/
Автор: Сарнак П.
Теги: теория чисел математика естественные науки точные науки модулярная функция
ISBN: 5-7036-0029-4
Год: 1998
Текст
PETER SARNAK
Stanford University
Some applications of modular
forms
CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS
Cambridge
New York Port Chester
Melbourne Sydney-
П.Сарнак
Модулярные формы
и их приложения
Перевод с английского М. А. Всемирнова
под редакцией А. М. Вершима
Ф
ФАЗИС
Москва 19
УДК 511.334 Jf Издшшофщвствмеиоирылоддчаая
и PgfntHff*fyvi? фонда фумдошвшиояьных
шхмдоштй но проекту 9Ы1-14145
Сарнак П.
Модудириые формы и их i
Перевод с англ. М. А. Всемиряова под редакцией А. М. Вершика.
М: ФАЗИС, 1998. ХУШ+134 с.
(Библиотека студента-математика. Вып.4)
ISBN 5-70364029-4
Издательство ФАЗИС (ЛРЛ 064705 от 09.08.96)
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44.
E-mail: pbasis@ahaju
ППП Тшюграфт «Наука» Аюядштттдеигр РАН
121099 Москва Г-99, Шубижжий пер, 6
Заказ №4129
О Cambridge University Press, 1990
ISBN 5-7036-0029-4 О ФАЗИС, 1998
Оглавление
Предисловие редактора DC
Предисловие автора к русскому переводу XV
Предисловие XVIII
Введение • 1
Замечания и исторические комментарии 3
Глава 1. Модулярные формы 5
1.1. Введение 5
1.2. Модулярные формы целого веса 6
1.3. Тэта-функции и модулярные формы полуцелого веса — 11
1.4. Ряды Эйзенштейна 19
1.5. Ряды Пуанкаре 27
1.6. Операторы Гекке 33
Приложение 1.1 37
Приложение 1.2 41
Замечания 50
Глава 2. Инвариантные средние на 100E") 53
2.1. Инвариантное среднее 53
2.2. Неединственность инвариантного среднего для L°°(Sl) . 55
2.3. Сведение к существованию е-хороших множеств > 57
2.4. Индуктивная конструкция 58
2.5. е-хоропше множества в 5ОC) 61
2.6. Распределение точек на сфере S2 69
Замечания 70
Глава 3. Графы Рамануджана 73
3.1. Комбинаторные методы 73,
3.1.1. Графы с большим обхватом и большим
хроматическим числом 73
3.1.2. Расширители 76
УШ
3.2. Спектр графа 79
3.3. Явная конструкция графов Рашнуджана 88
3.4. Доказательства 91
3.5. Доказательство теоремы 3.3.1 96
Замечания 101
Глава 4 Оценки коэффициентов Фурье параболических форм
полуцелого веса 106
Замечания 121
Литература 124
Предисловие редактора
Перед ваш небольшая и не совсем обычная монография: в ней идет
речь о серьезных достижениях, полученных в последние десятилетия
в нескольких весьма далеких друг от друга трудных задачах, и в то же
время эта книга с успехом может читаться студентами 3-го курса ма-
математического факультета почти без обращения к другим источникам.
Книга написана известным американским математиком, профессо-
профессором Принстонского университета Питером Сарваком, активно работа-
работающим в нескольких математических областях; ему принадлежат мно-
многие из излагаемых результатов.
Знакомясь впервые с предметом и читая оглавление или пре-
предисловие автора, читатель должен удивиться тому, что столь раз-
разные темы, — такие, как сугубо комбинаторная задача построения
графа-расширителя (expander'а), теоретико-множественная задача о
мерах,
теоретико-числовая задача об асимптотике числа целых точек на сфере
(проблема Линийка), — тесно связаны между собой и, после некоторых
редукций, решаются едиными средствами, а именно, с помощью теории
модулярных форм.
Эта теория, у истоков которой стоят К. Гаусс, К.-Г. Якоби и дру-
другие классики, в равной мере относится и к теории чисел, и к алгебре,
и к теории представлений. Бе центральная роль во многих фундамен-
фундаментальных проблемах алгебры, арифметики, анализа хорошо известна, —
читатель книги убедится в этом. Как подчеркивает автор, с аналити-
аналитической точки зрения наиболее существенная часть всех доказательств
при решении разнообразных задач, представленных в книге, сводится
к оценке возрастания коэффициентов Фурье модулярных форм.
Изучая по этой книге начала теории модулярных форм, читатель
попутно узнает, что такое группы со свойством (Т) — свойством Ка-
ждана, каковы связи комбинаторных свойств графа и спектра его ма-
матрицы смежности, в чем сложность построения графов с большим об-
обхватом и с большим хроматическим числом, в чем преуспели П. Эрдёш,
Г. Маргулис, А. Любоцкий-Р. Филлнпс-П. Сарнак; читатель также
X Дрэдигеюшю редактора
приблизится к пониманию знаменитых гипотез Рамануджана и про-
прогресса, достигнутого в их доказательстве П. Делннем, узнает, как влия-
влияет на ответ в задаче об инвариантной мере на сфере ее размерность и
пространство функций, в котором инвариантное среднее определяется,
и многое другое.
Говоря более конкретно о темах книги, мне особенно приятно на-
начать с задачи Ю. В. Линийка. О его работах автор книги пишет с долж-
должным и вполне заслуженным пиететом. Выдающийся математик Юрий
Владимирович Линяик A915-1972), известный в основном своими ра-
работами по аналитической теории чисел, теории вероятностей и мате-
математической статистике, в течение всей своей ¦ ¦аи» активно интере-
интересовался и занимался классическими задачами о представлении квадра-
квадратичных тернарных форм и о распределении целых точек на сфере и
алгебраических многообразиях. Эти его работы принадлежат к числу
замечательных достижений теории чисел. Сам Ю. В. -ТГдптк в письме
В. А. Рохлину (около 1960 г.) писал: "Работа о сфере есть моя самая
лучшая работа".
Итог этих исследований подведен в книге [Л1]. В ней глубоко ис-
исследована проблема асимптотический равномерной распределенности
проекции на единичную сферу множества целочисленных векторов, ле-
лежащих на сфере, радиус которой допустим (т.е. множество целочи-
целочисленных векторов на ней непусто) и стремится к бесконечности. Не-
Некоторая незаконченность этого замечательного исследования заключа-
заключалась в том, что опенка остатка зависела, вообще говоря, от дополни-
дополнительного параметра (о чем Ю. В. Литппг писал: "... его наличие,
по-видимому, объясняется недостатками метода, а не существом де-
дела ... "). Для некоторых прогрессий этот параметр роля не играл,
а в целом вопрос решался положительно лишь в рамках стандартных
гипотез о нулях рядов Дирихле или рв*сши1*вииАи гипотезы Римана.
В этом смысля результат о равномерной распределенности оставайся
условным. В развитии подхода Линийка к этой задаче участвовали его
ученики, в особенности А. В. Малышев. В данной книге приводится без-
безусловное решение (см. гл. 4). Это решение требует более точных оценок
коэффициентов Фурье модулярных форм полуцелого веса, эта опенки
были получены X. Иванпем; позже была найдена связь с результата-
результатами Н. В. Кузнецова о суммах Клостермана — см. гл. 1 и 4. Общая же
гипотеза в этом направлении, называемая в книге гипотезой Линнн-
ка-Сельберга (см. 1.5.6) и имеющая много других следствий в теории
чисел, остается пока недоказанной.
Предисловие редактора И
Очень важно отметать, что подход Ю. В. Лютика базировался на
новой по тем временам идее, которая выражена и в названии его кни-
книги, а именно — на эргодическом иди, более осторожно., динамическом
аспекте проблемы: грубо говоря, строилась некоторая конечная группа
иди полугруппа ("поток", по выражению Ю. В.), часть орбит которой и
состоит из целых точек на сфере, а затем доказывалась "эргодическая
теорема" для этой орбиты. Ситуация в данной задаче отлична и на-
намного конкретнее, чем в стандартных эргодических постановках, тем
не менее, Линник думал не только о равномерном распределении, т. е.,
так сказать, о законе больших чисел, но и о других "эргодических" ана-
аналогах в данной задаче — о перемешивании, спектре и т. п. и обсуждал
эти, оставшиеся и сейчас неразработанными, проблемы со специалиста-
специалистами. Его подход современен и сегодня, а его возможности, по-видимому,
далеки от исчерпания. Читатель, заинтересовавшийся этим направле-
направлением, может обратиться к упомянутой книге Линийка и к тому его
"Избранных трудов" [Л2Д], в котором помешен обзор А. В. Малышева
по зргодическому методу Линника, и работам его учеников и последо-
последователей (см., например, сборник [КФД], посвященный 80-й годовщине
со дня его рождения и литературу в нем).
Здесь уместно также отметить, что идея привлечения геометри-
геометрических и групповых соображений в теоретико-числовых задачах ха-
характерна для представителей Петербугской Математической ТТТкплы —
А. Н. Коркина, Е. И. Золотарева, Г. Ф. Вороного, А. А. Маркова (ст.), и
позже, начиная с 20-х годов, Б. Н. Делоне, В. А. Тартаковского (первый
учитель Ю.В.) и, наконец, Б. А. Венкова, на работы которого Ю.В.
ссылается при определении "потока".
Методы Линника и методы настоящей книги различны,, но его ин-
интуиция была безошибочной — он предсказал будущие пути возможного
решения этой и других подобных задач. Вот как цитирует один из его
учеников советы, данные ему Ю. В. (см. [КФД]), по поводу "недоступ-
"недоступных современным аналитическим методам" задач теории чисел: "...
учите алгебраические методы ... Вы должны изучить три основные
темы: модулярные формы (выделено мною — А. В.) и операторы
Гекке, теорию соответствий Дойринга для алгебраических кривых и
теорию редукции для алгебраических многообразий по модулю про-
простых чисел."
Вернемся к содержанию книги. Выше упоминалась задача об ор-
ортогонально инвариантном среднем на сфере в пространстве ограни-
ХП Предисловие редактора.
ченных измеримых функции (задача, поставленная польским матема-
математиком Рузевичем). Сама по себе постановка следует традиции тех лет
B0-е годы) и копирует задачи Хаусдорфа-Банаха-Тарского и, осо-
особенно, фон Неймана об инвариантном среднем на группах. Учитывая
большую активность в последние десятилетия в теории аменабяяьных
групп, приведшую к решению многих проблем, следует признать не-
несколько странным, что эта задача оставалась вне поля зрения большин-
большинства специалистов: в ее общей формулировке, годной для произволь-
произвольных недискретных локально-компактных групп, она, насколько извест-
известно, не рассматривалась. Оказалось, что для групп SO(n) ее решение
весьма нетривиально и было получено сравнительно недавно в рабо-
работах Д. Сулливана, Г. Маргулиса, В. Дринфельда с использованием се-
серьезных средств теории алгебраических групп. Однако в данной кни-
книге приводится новое, более элементарное решение, основанное на со-
вршенно явном и интересном самом по себе построении так называе-
называемых е-хороших множеств на сфере, использующем модулярные формы,
и полученное автором этой книги совместно с А. Любоцким и Р. Фил-
липсом.
Возможно, наиболее элементарная и эффектная часть книги — гла-
глава 3, посвященная графам Рамануджана и экспандерам. Тематика, свя-
связанная со взаимоотношениями спектров графов и их комбинаторных
свойств, в последние годы занимает специалистов по алгебре (спектры
графов Кэли), комбинторике (ассоциативные схемы и их инварианты),
теории вероятностей (случайные блуждания на группах и графах, ско-
скорость сходимости к стационарному распределению), геометрии (дис-
(дискретный оператор Лапласа и аналоги изопериметрических неравенств),
теории кодирования и даже, как выяснилось недавно, теории операто-
операторов (тензорные произведения). Тем интереснее будет узнать, как стро-
строятся нетривиальные примеры графов с помощью групп матриц над ко-
конечным полем. Можно надеяться, что множество открытых вопросов
в этой области привлечет новых исследователей.
Книга написана сжато и тщательно, автор нашел нужную пропор-
пропорцию между глубиной подхода и доступностью «мп»ипи для неиску-
неискушенного читателя. За пределами книги осталось множество вопросов
как о модулярных формах — темы необъятной, — так и о затронутых
приложениях. Но поставленную задачу — написать книгу о приложе-
приложениях теории модулярных форм — автор решил на мой взгляд с блес-
блеском. В книгах Ж.-П. Серра, Г. Шимуры, Д. Мамфорда, С. Лента и др.
Предисловие редактора ХШ
можно найти дальнейшие сведения о модулярных формах. Стоит еще
упомянуть недавнюю книгу А. Любоцкого "Discrete Groups Expanding
Graphs and Invariant Measures", Birkhaueer Verlag, 1994. По содержанию
она очень близка к книге П. Сарнака, но характер изложения и акценты
в ней несколько иные.
Некоторые опечатки и неточности переводчик исправлял в основ-
основном без оговорок; добавлен ряд подстрочных примечаний редактора и
переводчика, носящих вспомогательный характер. Автор книги также
прислал специально для русского перевода свои комментарии и инфор-
информацию о последних результатах.
Наконец, нельзя не сказать о роди нового научного издательства
ФАЗИС и его руководителя В. Б. Филиппова, благодаря которым из-
издание математических книг и переводов (в частности, и данного) в Рос-
России приобретает новое дыхание.
j
Санкт-Петербург, А. Вершик
сентябрь 1997 г.
Предисловие автора к русскому переводу
С момента выхода английского издавна A990 г.) был достигнут опре-
определенный прогресс в решении некоторых проблем, обсуждавшихся в
1) Н»жя«я граница (А.2.14) для Ах(Г\%), принадлежащая Сельбер-
гу, была улучшена. Используя технику, существенно отличающу-
отличающуюся от методов главы I, Луо, Рудник и Сарнак (Luo, Rudnik and
Sarnak, Geometric and Functional Analysis, 1995, 5 B), 387-401)
показали, что Ai(T\%) ^ 21/100. Отсюда.следует, что справед-
справедлив аналог теоремы А.2.1 в случае, когда суммирование ведется
по с из произвольной арифметической прогрессии, а правая часть
заменена на О(х?/6).
2) Результаты главы 4 также имеют другие приложения к теории
положительно определенных квадратичных форм с целыми ко-
коэффициентами от трех переменных. Пусть F(xi,X2,X3)— такая
форма. Мы будем говорить, что целое число m > 0 является об-
общим для F, если сравнение F(x) = m (mod q) разрешимо для всех
О 1. Дюк и Шульце-Пиллот (Duke and Schulze-Pilfot, Invent.
Math., 1990, 90, 49-57) показали, что для такой формы F мно-
множество тех общих га, которые не представимы формой jP над Z,
конечно. Это подтверждает гипотезу Ватсона (Watson, Mathe-
matika, 1954,1,104-110). Следует отметить, что этот результат
неэффективен, т. е. для произвольной формы F доказательство
не дает никакой верхней границы для множества исключитель-
исключительных значений га.
3) Самая последняя проблема, упомянутая в книге, а именно, задача
о равномерном распределении корней сравнения х2 = — 1 (mod р)
при р -? со, была недавно решена в работе Дюка, Фридландера
и Иванца (Duke, FViedlander and Iwaniec, Annals of Math., 1995,
141, 423-441).
Я рад предоставленной мне возможности обратиться к российско-
российскому читателю. Вклад российской математической mvrunj в проблемы,
XVL Предшыавше автор» к русскому переводу
рассматриваемые в книге, весьма значителен. Особенно высоко следу-
следует оценить работы Ю- В. Лттпел по теории тернарных квадратичных
форм.
Я благодарю переводчика М. Всемирною и редактора перевода
А. Вершика за подготовку русского издания книги.
Принстон, Ныо-Джерси, Питер Сарнак
1996
Моим родителям
Фриде и Леону
Предисловие
Эта книга является расширенный вариантом Уиттморовских лекции,
прочитанных автором в Йельском университете в 1988 году1. Матери-
Материал, представленный в книге, в той или иной степени замкнут. В замеча-
замечаниях, помещенных в конце каждой главы, предполагается, что читатель
знаком с более сложными понятиями и фактами теории модулярных
форм. Часть изложенного в книге материала пересекается с книгой
А. Любоцкого (A. Lubotzky, "Discrete groups, expanding graphs and in-
invariant measures"). Однако точки зрения, с которых рассматривается
предмет, а также изложение материала в этих книгах различны. Сове-
Советуем читателю познакомиться с тем и другим подходом к предмету.
Автор благодарит А. Любоцкого, К. Мак-Мадлена, Н. Пиппенгера,
Ж.-П. Серра и И. Варди за их помощь в подготовке книги.
1 Автор выражает благодарность отделению математики Йельского универси-
университета за оказанное гостеприимство."
Введение
Традиционно теория модулярных форм была н остается одним из наи-
наиболее мощных средств теории чисел. Недавно она была успешно при-
применена при решении некоторых давно стоящих задач из казалось бы
не пиамдцт друг с другом областей математики. В этой книге мы
ставим перед собой цель описать три таких приложения, одновремен-
одновременно развивая необходимые методы теории, модулярных форм. Кратко
онтивм рассматриваемы»» задачи.
(А) Проблема Руэмеилпа. Проблема состоит в том, будет ли мера
Лебега А на п-мерной сфере 5" единственным инвариантным относи-
относительно вращений средним на L°°(Sn). Сформулируем ее в другом кон-
контексте. Аменабельная топологическая группа G — это группа, которая
допускает —«ртжиччим». среднее на L°°(G). Вопрос о одчи'-ччмипшлт»
такого среднего сложен и редко обсуждается. Рузиевич в 1920-х го-"
дах поставил вопрос о единственности конечно-аддитивной меры, опре-
определенной на лебеговых множествах 5" и инвариантной относительно
вращений1. Связь между этими задачами состоит в том, что инвари-
инвариантное среднее на L0OEn) есть конечно-аддитивная мера г/, которая,
кроме того, абсолютно непрерывна относительно меры Лебега А, т. е.
i/B?) = 0, если Х(Е) = 0. Как заметил Тарский [Таг], из конструкции
Хаусдорфа-Банаха-Тарского парадоксального разложения ?", n ^ 2,
следует, что каждая инвариантная относительно вращений конечно-
аддитивная мера на 5", п ^ 2, является абсолютно непрерывной ме-
мерой относительно А. Следовательно, для n ^ 2 задача об инвариантном
среднем и проблема Рузиевича эквивалентны. В главе 2 будет показа-
показано, что для п = 1 инвариантное среднее А не единственно, тогда как
для n ^ 2 будет доказана единственность. Ключевым шагом в решении
для п ^ 2 является конструкция замечательного конечного множества
вращений в группе SO(n + 1). Эти вращения, являющиеся "суперэрго-
дическими", имеют также и другие интересные приложения. Анализ
приводит к классификации компактных дяид групп Ли, для кото-
которых мера Хаара является единственным средним.
1 Сы. предисловие редактора. — Прим. ред.
2 Введение
(B) Графы Рамануджана. Основной задачей теории сетей, теоре-
теоретического программирования, а также экстремальной теории графов
является явное построение разреженных графов, обладающих большой
связностью. Существует много мер связности. Наиболее важной из них
оказывается свойство расширения [А] (см. гл. 3). Коротко говоря, дву-
двудольный граф с множеством вершин IllO, \1\ =п = \О\ (здесь Iозна-
Iозначает множество входов, а О — множество выходов), и с кп ребрами
(к фиксировано) называется (п,&,с)-расширителем3, если для каждого
А С / с \А\ < п/2 мощность множества дА (т. е. множества выходов,
соединенных ребрами с вершинами из А) удовлетворяет неравенству
\дА\ ^ с\А\. Параметр с > 1 .называется коэффициентом расширения.
Задача состоит в построении семейства (п, к, с)-расширителей, п -> оо,
с наибольшим возможным значением с. С помощью комбинаторных ар-
аргументов нетрудно показать, что расширители существуют (см. гл. 3).
Однако явная конструкция таких графов оказывается намного сложнее.
'Такая конструкция будет представлена в главе 3. Мы явно построим та-
такие простые семейства, которые по своим свойствам расширения почти
также хороши, как "случайный" граф. С других точек зрения эти гра-
графы лучше случайных и даже оптимальны. Построенные 'нами графы
мы называем графами Рамануджана. Мы надеемся, что после ознаком-
ознакомления с книгой читатель согласится с таким выбором названия. Графы
Рамануджана обладают еще одним свойством. Они являются первы-
первыми примерами графов с большим обхватом (т. е. длиной кратчайшего
простого цикла) и с большим хроматическим числом (т. е. наимень-
наименьшим количеством цветов, необходимым для такой раскраски вершин,
при которой никакие две вершины, соединенные ребром, не раскраше-
раскрашены в один цвет). Существование таких графов (с большим обхватом
и с большим хроматическим числом) установил Эрдеш [Ег] при помо-
помощи комбинаторных аргументов. Этот результат был одним из первых
достижений теории "случайных графов" [Во2].
(C) Проблема Линийка. Хорошо известно, что п > О представимо
в виде суммы трех квадратов целых чисел, п — х2 + у2 + z2, тогда
и только тогда, когда п Ф 4° (86— 1) (см. [Ga], а также [Ser, приложение
к гл. IV]). Кроме того, если п велико и является суммой трех квадра-
квадратов, то оно может быть представлено в таком виде многими способами.
Линник изучал распределение указанных выше троек (х,у, z) для боль-
1 Термин "расширитель" соответствует слову expander в оригинале. Иногда
"экспандер" используется н в русской литературе. — Прим. персе.
Замечание к исторические комментария 3
птах п. Тщательно развивая мощные методы, Птшпг [Л1] в предположе-
предположении справедливости некоторой гипотезы доказал3, что проекции этих
решений на единичную сферу асимптотически равномерно распределе-
распределены при п -> оо. В главе 4 мы дадим безусловное доказательство этого
результата. Ключевым шагом является новая опенка коэффициентов
Фурье форм полуцелого веса.
Задачи А, В и С связывает то, что они сводятся к задаче оценки
роста коэффициентов Фурье модулярных форм. Таким образом, они
сводятся к гипотезам Рамануджана и их обобщениям. Глава 1 посвяще-
посвящена развитию необходимой теории модулярных форм, а также основной
техники оценки коэффициентов Фурье через экспоненциальные сум-
суммы. Мы также выведем некоторые результаты о взаимном сокращении
(обусловленном чередованием знаков) сумм Клостермана (см. теорему
А.2.1 в приложении 1.2 к главе 1), которые позволяют достичь прогрес-
прогресса в изучении гипотезы Линника-Сельберга, см. 1.5.7.
Замечания и исторические комментарии
(A) Для п = 1 неединственность инвариантного среднего доказали Гра-
ньер [Gra] и Рудин [Ru]. Единственность для п ^ 4 доказали Маргу-
лис [Ма] и Салливан [Su]. Ключевым шагом в их решении было при-
применение групп Каждана [Ка], обладающих "свойством Т". Этот метод
работает только для п ^ 4. Дринфельд [Д], используя адельную тео-
теорию автоморфных форм, теорию Жаке-Ленглендса, а также принад-
принадлежащее Деяиню [De] доказательство гипотез Рамануджана, исследовал
оставшиеся случаи п = 2 и п = 3, доказав единственность. Наше дока-
доказательство единственности в случае п ^ 2 (см. гл. 2) является новым.
Для п = 2 оно основано на теории операторов Гекке на ^(S2), раз-
разработанной Любоцким, Филлипсом и Сарнаком [LPS1]. Преимущество
представленного здесь решения заключается в его эффективности и
в том, что конструкция е-хороших множеств поворотов явная. В дей-
действительности, эта конструкция оптимальна и может быть использо-
использована для получения оптимально равномерно распределенных вращений,
см. обсуждение этого вопроса в конце главы 2.
(B) Первая явная конструкция семейства графов-расширителей при-
принадлежит Маргулису [Mapl], однако она не дает точного значения
3 См. предисловие редактора. — Прим. ред.
коэффициента расширения. Позднее появились другие подобные кон-
конструкции. В работах Алона н Мильмана [AM] н Алона [А] выявилась
существенная связь между расширителями и собственными числами
матрицы смежности. Представленные в главе 3 графы построены Лю-
боцким, Филипсом и Сарнаком [LPS2,LPS3]. Они дают наилучшие из
известных «"* конструкции расширителей, которые с некоторой точ-
точки зрения оптимальны. Маргулис [Мар2,МарЗ] независимо обнаружил
подобные конструкции. Применение расширителен к неблокирующим
сетям и конструкции суперконцентраторов изложены в [Pipl].
(С) Безусловное решение проблемы Лютика и, в особенности, оцен-
оценки коэффициентов Фурье форм полуцелого веса принадлежат Иван-
цу [Iw2]. Мы следуем его методу. Аналогичные результаты для неопре-
неопределенных форм, связанные с распределением
квадратичных форм, и соответствующие оценки коэффициентов Фу-
Фурье форм Мааса полуцелого веса были получены недавно в работе Дю-
ка [Du].
Основной метод получения опенок коэффициентов Фурье, исполь-
используемый в этой книге, принадлежит Клостерману (К1] и Петерсону [Ре].
Сельберг [Sel] обсуждал этот и другие методы. Теорема А.2.1, кото-
которая дает взаимное сокращение знаков сумм Клостермана, принадлежит
Кузнецову [Ку]. Представленное здесь простое доказательство предло-
предложено Голдфельдом и Сарнаком [GS].
Глава 1
Модулярные формы
1.1. Введение
Рамануджан в своей работе [Raml] выдвинул две глубокие гипотезы о
коэффициентах т(п) функции А
д(«)=я п A - л24 = ? г(»)«п- AЫ)
п=1 п=1
Первая из них заключалась в той, что функция т(п) мультипликативна,
т(тп) = т(т) т(п), если (n,m) = l,
вторая касалась оценки роста коэффициентов т(п):
|r(n)Kd(n)nu/2, A.1.2)
где d(n) — число делителей п,
<f|n
Первая гипотеза была доказана Морделлом [Мо]. Это доказательство
стало началом теории операторов Гекке [Н]4. Вторая гипотеза была до-
доказана Делинем [Del. Этот результат является одним из
достижений математики. Следует отметить, что сам Рамануджан ин-
интересовался оценкой A.1.2) и-связанной с ними оценками, потому что
т(п) и подобные ей величины возникают как остаточные члены неко-
некоторых асимптотик. Например, если Г2,(п) есть число представлений п
в виде суммы 2а квадратов, то, как он заметил,
Г2,(П) = <$2,(П) +?2*М, A1.4)
где <$2я(п) — арифметическая функция, представленная в виде некото-
4 Более подробно о свят первая гипотезы Рамануджана с теорвев операторов
Геххе см. [Ser] иян [ЭЫд, §3.5]. — Прим. персе.
6
Глава 1. Модулярные формы
рой суммы по делителям числа г», а ?&(") — остаточный член. Для
я > 2 порядок величины ?ь(п) есть г»*", в то время как аналог гипо-
гипотезы A.1.2) (для а = 12 величина е(п) совпадает с т(п)) утверждает,
что
для е>0.
A.1.5)
Таким образом, &и(п) является удивительно хорошей аппроксимацией
функции Г2з(п). Например, для в = 2, как показал Якобн, остаточный
член равен нулю. А именно,
A.1.6)
Доказательство равенства A.1.6), данное Якоби, использует тэта-
функции. Далее мы разовьем теорию тэта-функций и модулярных
форм, которая приведет к естественной постановке и объяснению упо-
упомянутых выше обобщении гипотезы Рамануджана.
1.2. Модулярные формы целого веса
Пусть Н = {z\ Im(z) > 0} обозначает верхнюю комплексную полуплос-
полуплоскость. Группа
SLB,R)
действует на Н • посредством дробно-.
R,
а Ь
с d
преобразований z
. Пусть ГA) — обычная модулярная группа:
-
Группа ГA) — дискретная подгруппа SLB, R),' действующая на Н раз-
разрывно. Фундаментальной областью относительно этого действия явля-
является хорошо известная область Т (см. рис 1.1).
Таким образом, ГA)\ Н имеет одну параболическую точку, а имен-
именно, оо, и стабилизатор оо есть подгруппа Г,» группы ГA):
A.2.1)
1.2. Шдулжршьме фор,
-1 -J
Рис. 1.1. Фундамент,
область .F для ГA)
Нетрудно проверить, что род римановои поверхности ГA)\?? равен 0.
Мы начнем с определения голоморфной модулярной формы четного це-
целого веса к относительно группы ГA).
1.2.1. Определение. Пусть к — четное целое число. Голоморфной мо-
модулярной формой веса к относительно группы ГA) называется голо-
голоморфная в Н функция, удовлетворяющая следующим двум условиям:
(i) fhz) = (cz + <0*/М, 7 = t w) 6 ГA),
(ii) f(z) ограничена в параболической точке римановои поверх-
поверхности Г{1)\Н.
Второе условие утверждает, что / голоморфна "в оо". Локальным
параметром в оо будет q = е2***. Поскольку f(z +1) = f(z), функция /
раскладывается в ряд Фурье
+ОО
п = —оо
Условие (ii) гарантирует, что о„ = 0 для г» < 0; это означает, что /
голоморфна в области \q\ < 1. Числа о„ в разложении A.2.2) называются
коэффициентами Фурье формы / (в параболической точке оо). Если
w = yz, то
— = {cz + d) *, т. е. dw = (cz + d)~*dz.
Следовательно, модулярной форме веса к относительно ГA) соответ-
соответствует мероморфная дифференциальная форма веса А;/2 на поверхно-
поверхности ГA)\ U, а именно, f(z)(dz)k/2 (эта дифференциальная форма может
8 Глав* 1. Модуляршые формы
иметь полюс в оо относительно переменной q). Учитывая это замечание,
мы легко можем вычислить размерность конечномерного пространства
модулярных форм веса к относительно ГA), применяя теорему Рима-
ка-Роха. В большинстве случаев далее нам не потребуется точное зна-
значение размерности; достаточно будет знать лишь то, что соответству-
соответствующее пространство форм (как в данном примере, так и в более общей
ситуации) конечномерно, что можно доказать5, рассматривая интеграл
L
y(z)dz, который, согласно условию (i), не зависит от /.
1.2.2. Определение. Модулярная форма относительно ГA) называет-
называется параболической формой, если коэффициент oq в разложении A.2.2)
равен нулю.
Ясно, что пространство параболических форм веса к является под-
подпространством всего пространства модулярных форм веса к и соответ-
соответствует тем формам /, которые обращаются в 0 в оо. Примером парабо-
параболической формы веса к = 12 относительно ГA) служит функция Д(д),
определенная согласно A.1-1) при q = е2™*, т. е. - -
Д W = Е r(n)e(nz)
n=l
(мы используем обозначение e(z) = е2***, где z € С). Отнюдь не очевид-
очевидно, что A(z) является модулярной формой. Мы докажем это в прило-
приложении 1.1 к этой главе. Сейчас мы лишь заметим, что так как матрнцы
(о i)*(-i о)тор<шдаетГA)'ара|!вшгто^
ально, то для доказательства модулярности А достаточно проверить,
что
Д(-1/г) = z12A(z). A.2.3)
Теперь мы можем сформулировать гипотезы Рамануджана для го-
голоморфных модулярных форм четного целого веса относительно ГA).
1.2.3. Гипотезы Рамануджана. Пусть f(z) — параболическая фор-
форма веса к относительно ГA) и а,, — коэффициенты Фурье формы /.
Тогда
= Og(nT+e) для всех е > 0.
5 Подробнее см. книгу Г. Швмуры [ShlA, гл. 2]. — Прим. пере».
1.2. Модулярные формы целого веса
Для функции A(z) эта гипотеза согласуется (по крайней мере в от-
отношении показателя) с A.1.2), так как d(n) = Ое(пе).
Наше предположение о том, что / — параболическая форма относи-
относительно ГA), является слишком сильным ограничением. В последующих
главах центральную роль будут играть формы, инвариантные относи-
относительно действия определенных подгрупп ГA). Пусть T(N) — главная
конгруэнц-подгруппа (группы ГA)) уровня N, где N — положительное
целое число. Эта подгруппа определяется следующим образом:
{С
Любая подгруппа Г, V(N) С Г С ГA), называется конгруэнц-
подгруппой. Особый интерес представляет конгруэнц-подгруппа6
(С
Если Г — конгруэнц-подгруппа индекса m в ГA), то очевидно, что
в качестве фундаментальной области для Г можно взять -
для подходящих jj € ГA). Множество рациональных точек веществен-
вещественной прямой R разбивается на R на конечное число, скажем, г, классов
эквивалентаости (относительно дробно-линейного действия Г) парабо-
параболических точек pi,... ,рг. Иными словами, для любого у € Г при i Ф j
имеем fpi Ф- pj, и любую точку р 6 R U {оо} можно представить в виде
р = jpj для некоторого элемента у € Г. Мы всегда будем выбирать
Рх = оо. Так как ГA) имеет только одну параболическую точку, то для
каждой точки pj найдется элемент 7j € ГA) такой, что jjpj = оо. Для
определения модулярной формы веса А; относительно Г мы потребуем,
как выше, чтобы / была голоморфной на Н и удовлетворяла функцио-
функциональному уравнению
/Ы = (с*+ <*)*/(*), 7€Г.
Необходимо также потребовать, чтобы f(z) была голоморфна в ка-
каждой параболической точке. Чтобы исследовать поведение / в парабо-
параболической точке pj, будет удобно ввести локальный параметр в pj по-
посредством отображения pj*-*oo при тюиптр того же 7j, что и выше.
' Fo(JV) называется побочной хонгруэкц-подгрушкнс уровня N. — Прим. перев.
10 Глава 1. Модулярные формы
Если w = Jjz, то (в переменной w) / преобразуется в форму
)*/2. A.2.6)
Функция F(w) является формой веса к относительно Г, = JjTj'1 с
С ГA). Будем говорить, что f(z) голоморфна pj, если F(w) голоморф-
голоморфна в оо. Коэффициентами Фурье формы / в точке Pj будем называть
коэффициенты Фурье формы F в оо. Заметим, что (Г,),» является под-
подгруппой группы S (л ?) п € Z > конечного индекса, поэтому разло-
разложение F в ряд Фурье имеет вид
ane(nz/M) A.2.7)
n = 0
для некоторого целого М > 1.
1.2.4. Определение. Пусть Г — конгруэнц-подгруппа .группы ГA).
Модулярной формой веса к относительно Г (или Г-модулярной формой
веса кO называется голоморфная ъЧ функция f(z), удовлетворяющая
следующим двум условиям:
(i) /Gs) = (<
(ii) f(z) голоморфна в каждой параболической точке pj.
Если, кроме того, выполнено условие
(ш) в каждой параболической точке нулевой, коэффициент Фурье
функции / равен О,
то / называется параболической формой.
Мы обозначим пространство модулярных форм (соответственно па-
параболических форм) веса к относительно Г через Л4*(Г) (соответствен-
(соответственно 5fc(F)). Заметим, что модулярная форма относительно Г автомати-
автоматически будет модулярной формой относительно ГсГ. Это замечание
справедливо и в отношении параболических форм. Теперь мы можем
сформулировать более общие гипотезы Рамануджана.
7 Если Г есть главная конгруэнц-подгруппа T(N), то также говорят о модуляр-
модулярных формах уровня JV. — Прим. перев.
1.3. Тэта-фуюащм ж ыодуяяриые форыы шажуцелого ввел 11
1.2.5. Гипотезы Рамануджана. Пусть f(z) — голоморфная парабо-
параболическая форма веса к относительно конгруэнц-подгруппы Г«Оп -
ее коэффициенты Фурье в некоторой параболической точке. Тогда
о„ = ©«(п4*1*) для всех е > 0.
В этой ситуации достаточно проверить гипотезу Рамануджана
пути. д»« параболической точки в оо, так как если f{z) — параболиче-
параболическая форма относительно Г(ЛГ) то и fiifjz), jj б F(l), будет параболи-
параболической формой относительно T(N).
В заключение мы сделаем ряд замечаний относительно форм нечет-
нечетного целого веса к. Хотя мы не будем их рассматривать в этой кни-
книге, такие формы представляют большой интерес в теории чисел [DS]
и в физике [Sar]. Равенство f(fz) = (cz + d)kf(z), когда к нечетно и
7 = I л ,), возможно лишь при / = 0. Следовательно, в случае
нечетного к, мы должны либо предполагать, что f » , 1 ^ Г, либо
рассматривать формы, отвечающие нечетному характеру х группы Г
(т.е. гомоморфизму х: Г -? {z | \z\ = 1}, такому, что х(~-0 = —!)¦
Рассматривая только конгруэнц-подгруппы, мы также предполагаем,
что kerx — конгруэнц-подгруппа. Модулярная форма нечетного ве-
веса к — это голоморфная в Ч функция, удовлетворяющая функциональ-
функциональному уравнению
/G*)=XG)(« + «0*/W, • 7 6 Г.
Такая форма, например, при А; = 1, соответствует тензору f(z)(dzI^2
на поверхности Г\Н, который является голоморфным спинором [Sar].
1.3. Тэта-функции и модулярные формы полуцелого веса
Одна из самых пяжтлг конструкций модулярных форм (и наиболее
соответствующая рассматриваемым приложениям) состоит в их по-
построении при помощи тэта-функций. Мы начнем с классической тэта-
+0О
Этот ряд сходится абсолютно при Im(z) > 0 и удовлетворяет функци-
функциональному уравнению
(i) ф +2) =0(*).
12 Глава I. Модулярные формы
Другое функциональное уравнение для 0(г), соответствующее преобра-
преобразованию г •-»• - 1/z, рассмотрено ниже. Оно проверяется с помощью
формулы суммирования Пуассона и лежит в основе «итгц «ринит функ-
функциональных уравнении д** любых тэта-функций.
1.3.1. Формула суммирования Пуассона. Пусть / — функция из
класса Шварца6 на R". Тоеда
Е /о») = Е
m€Zn
где
В частности, так как преобразование Фурье функции е~1Гх3 есть
* , мы получаем, что
+ОО . +ОО
Следовательно,
(ц) *(-!/*) =
(Здесь и далее \Г~ обозначает ветвь корня, положительную на R+.)
Это дает нам второе функциональное уравнение для 9(z) и, следова-
следовательно, неявный закон преобразования в под действием группы, поро-
порожденной матрицами L J и ( А. Однако этого недостаточно для
наших целей. Пусть Г К) € 5LB, Z), а = 0 (mod 2), d ~ 0 (mod 2);
\с а/
мы изучим поведение «9 под действием fa , J. Пусть с > 0 (случай с < О
рассматривается аналогично),
lcz + dy ~ Ic dcz + iSI ~ 2~i *•* '
m (mod с) t=—оо
+оо .ПИ/
m (mod c)
8 См., нащжмер, [ГШД, гл. 1, §1]. — Прим. ред.
1.3. Тэта-фушжмтя ж модулярные формы пояуцяшого ввел 13
Здесь к внутренней сумме мы применяли формулу суммврованвя Пуас-
Пуассона. Рассмотрвм!
го (mod с) т (mod с)
, где
Так как Ba)d = 1 (mod с) в с нечетно, можно сделать замену перемен-
переменной суммврованвя
т = га;
здесь в далее а обозначает целое число, удовлетворяющее сравнению
aia = 1 (mod с). Тогда последняя сумма приобретает следующий вид:
z. *l—i—)- z. м 1 ;-
г (mod с) v ' r (mod с) v '
т.е.
где
г (mod e)
Подставляя значение Е в A.3.2), получаем
9 (f^) = (-icr^Hcz + d)Wfi{a,cnz). A.3.4)
Заметим, что функция /9 есть обычная гауссова сумма, и ее можно явно
вычислить [Dal]
V (—\ = /^1/2' ecmNsl («и*1 4)'
„=ов V^/ 1*^1/2» если ^ = 3 (mod 4).
Подставляя —1/z вместо z в A.3.4) и используя это значение гауссовой
суммы, получаем, что для всех у 6 SLB,Z) с с = 0 (mod 2) и Ь =
= 0 (mod 2)
(|) , A-3.5)
14 Глава 1. Модулярные формы
где ?4 = 1 или t в зависимости от того, какое из сравнений d = 1 или
3 (mod 4) имеет место. Символ f-J есть символ Лежандра, распро-
распространенный так, чтобы выполнялись следующие условия (см. [Sh2]): для
нечетного Ь
(i) (?) = 0, если М) / 1;
(ii) если Ь — нечетное простое, то (^ J — обычный символ Лежандра;
(Hi) если Ь > 0, то (?¦) — характер по модулю Ь;
(iv) если а ф 0, то (-г) — характер по модулю 4а;
(v) (^) = 1,
Положим 0(z) = 0Bz) = J2 e(m2z). Ha основании A-3.5) получаем сле-
—оо
душащее предложение.
1.3.2. Предложение.
- 9Ы) = Э{Ъ*Щ*) для всех 7 € Г0D),
где
Функция в будет нашей основной модулярной формой полуцелого
веса. Множитель j(y, z) используется в определении таких форм.
1.3.3. Определение. Пусть9 4\N. Модулярной формой веса к (к — по-
полуцелое число) относительно Fo(iV) называется голоморфная в Н функ-
функция f(z), удовлетворяющая следующим условиям:
(О !Ы = О'G, *))*/(*) Дяя 7 6 T0(N),
(ii) f(z) голоморфна в каждой параболической точке.
Это определение согласуется с данным ранее определением для чет-
четных к. Как и выше, пусть Л4*(Г), 5*(Г) обозначай», соответственно,
'Напомним, что запвсь а\Ь означает, что а делят 6. — Прим. ред.
1.3. Тэтл-фуикциж ж модухфхыв формЛг вожудвмого веса . 15
пространства модулярных и. параболических форм веса А: (эти про-
пространства конечномерны). Кроме того, удобно рассматривать более об-
общие формы, удовлетворяющие функциональному уравнению
/G*> = ХGH"G, *))*/(»), 7 € Го(ЛГ),
где х(" Jj = X(d) — мультниишкатнвнын характер по модулю N.
Построенная выше модулярная форма 9(z) является частным слу-
случаем следующей конструкции, восходящей к работам Шенберга [Schl,
Sch2] и Пфетцера [Pf). (Мы следуем изложению Шнмуры [Sh2].)
Пусть А — положительно определенная симметрическая цедочисден-
ная п х п-матрица. Пусть N — целое число такое, что NA~l — также
целочисленная матрица. Обозначим через Р(х) сферическую гармони-
гармоническую функцию, связанную с А, т. е. однородный многочлен степени
v > 0, для которого
где [oij] = А'1. Доя А € Zn
положим
0(z,h,N)= E Р(«).(?=?Й?). A.3.7)
m=h (mod AT) V '
Очевидно, что этот ряд сходится и определяет функцию, голоморфную
в Н. Используя описанный для §(z) метод, можно показать (см. [Sh2]),
что:
-l/M,h,N) = Н
I (mod AT)
/=0 (mod AT)
где D = det А, а А; = г» + Ъ/\
(И) tf(z + 2,A,JV) - е (^
(второе свойство очевидно, первое следует из формулы суммирования
Пуассона);
16 Глава 1. Модулярные формы
(ш)
для
7 = (" J) e SLB,Z) и Ь = 0 (mod 2), с = 0 (mod 2N).
Построенные выше 0(z,h,N), очевидно, дают нам многочисленные.
примеры модулярных форм. Рассмотрим некоторые из них.
Пример 1. Взяв п = 1, N = 1, Р(т) = m", i/ = 0, мы получим уже
известный пример ^-функции:
Можно обобщить нашу конструкцию, рассмотрев и = 1 и характер
Дирихле V по модулю 4 такой, что ф(-1) = -1. Используя вычисления,
подобные проделанным выше, можно показать, что ряд
+0О
Ф(т)те(т2г) A.3.8)
о
является параболической формой относительно Г0(8) веса 3/2.
Пример 2. Пусть
0>
— единичная пхп-матрица, N = 1, а Р — сферическая гармоническая
функция степени и. Ряд10
удовлетворяет функциональному уравнению (iii), указанному выше.
10 Факлпеосн фуакцня, ощмяакннаж в A.3.7), эавмзгг от ышжтчяввл Р. Здесь
автор еще раз подчеркивает это, указывав Р в качестве жндекгд. — Прим. ред.
1.3. Тэтг^фуикщмш ж модулярные формы ясауцадюго вес» 17
Пол
г) = const •
ro€Z»
= E( E р(тп**)> а-3-9)
ЗДИМ, ЧТО
. A.3.10)
Более того, условие (i) (см. выше) влечет, что вр голоморфна в каждой
параболической точке. Если v > 0, из определения в и условия (i) оче-
очевидно, что вр является параболической формой. Таким образом,
9р е 5*(Г0D)) для *>1, * = 5 + ^, A.3.11а)
тогда как для Р(х) = 1
«Р = «1 € ЛЧп/2(ГоD)). A.3.11Ь)
Заметим, что если Р{х) = 1, то в обозначениях равенства A.1.4)
,(i/)e(i/*) (=«i,»W) A.3.11c)
(мы пишем 0i,nB), чтобы еще раз подчеркнуть, что данная функция
зависит также от п).
Пример 3. Пусть А — положительно определенная симметрическая
целочисленная 4х4-матрица. Тогда Q(x) = *хАх — квадратичная форма
от четырех переменных. Положим
Если NA~X — целочисленная, то проведенные вычисления, а именно,
функциональное уравнение (ш), показывают, что функция
*(*) = Е <?™А™)*) = Е rQ{u)e(uz) A.3.12)
mez4 v=o
является модулярной формой из пространства M.2(T(N)).
18 Глава 1. Модулярные формы
Теперь мы сформулируем гипотезы Рамаауджана для полуцелого
веса. Прв этом следует проявлять осторожность. Например, коэффици-
коэффициенты параболической формы в(г,ф) веса 3/2 относительно Го(8), опре-
определенной согласно A.3.8), таковы:
о„ = y/v для v — т2.
Овв не являются величинами порядка О(у~*~ *~е\ при е < 1/4. Таким
образом, 9(z, ф) ве удовлетворяют оценке Рамаауджана. Следователь-
Следовательно, мы должны либо взбегать таких ^-функций от одной переменной,
либо (можно показать, что это то же самое; см. комментарии к гла-
главе 4) предполагать, что п свободно от квадратов (или его наибольший
квадратный делатель фиксирован).
1.3.4. Гжпотеза Рамануджана для полуцелого веса. Пусть к —
полуцелое, к > 3/2, u f(z) — голоморфная параболическая форма веса к
относительно Го (TV). Пусть
/(*) -
п=г
Тогда для чисел п, свободных от квадратов, и е > 0 справедлива оцем-
каап=Ое(п^1+е).
Мы вернемся к этой гипотезе позднее в в главе 4 получим некото-
некоторые частичные результаты в этом направлении. Следует сказать, что
в настоящее время (в отличие от случая четного веса) гипотеза 1.3.4
далека от своего полного решения.
Закончим этот раздел утверждением, которое можно назвать "три-
"тривиальной" оценкой коэффициентов Фурье параболической формы.
1.3.5. Предложение. Пусть f € $ь(Г) (кц — ее коэффициенты Фу-
Фурье. Тогда
Доказательство. Поскольку y(z) = Im(z) удовлетворяет соотноше-
соотношению y(jz) = [д^м' "" ""А1™! что Функция
является Г-инвариантной. Так как / обращается в 0 в каждой па-
параболической точке, то отсюда следует, что F(z) ограничена в Н,
1.4. Ряды Эшзенштеяна • 19
т.е. \F(z)\ < М для некоторого М. С другой стороны,
1
о„ = е*"» Г e(-nx)f(x + iy)dx.
о
Следовательно, |а„| ^ Me2xnvy~fc/'2. Выбирая у = 1/п, мы завершаем
доказательство. О
Оценки для On в гипотезах Рамануджана нельзя усилить, так как
доказано (см. [Sel]), что
где с > 0.
Любая оценка коэффициентов Фурье, улучшающая тривиальную,
имеет большое значение, поскольку она обычно приводит к решению
рассматриваемых задач. В разделе 1.5 мы представим нетривиальную
оценку вида Ое(п* ?+в) при е > 0 для коэффициентов Фурье. Эта
оценка окажется достаточной для решения проблемы Рузиевича и для
явных конструкций графов Рамануджана. Однако, как будет объясне-
объяснено в главе 4, для решения задачи Линийка необходима более сильная
оценка.
1.4. Ряды Эйзенштейна
В дополнение к тэта-рядам, модулярные формы можно подучать при
помощи рядов Эйзенштейна. Однако возникающие формы заведомо не
являются параболическими. Эта конструкция и формы, которые полу-
получаются при этом, хорошо изучены.
Предположим сначала, что к > 2. Для каждой параболической точ-
точки pj поверхности Г\ Н определим ряд Эйзенштейна Щ''(г). Мы сде-
сделаем это сначала для р\ = оо; остальные ряды Эйзенштейна можно
определить аналогично, используя соответствующие локальные пара-
параметры. Далее предполагаем (не умаляя общности), что
=гп{(о
20
Глав* 1. Модулжржые формы
ТЬ
«О
))-2*. A-4.2)
7€Г«,\Г
Для произвольной параболической точки
ряд Эйзенштейна определяется аналогич-
аналогично. При этом следует вместо Г«> рассмо-
рассмотреть стабилизатор соответствующей па-
параболической точки:
Рис. 1.2. Не
ядов шар
радиуса*
¦у mm» всего сделать при
Первая задача, стоящая перед нами, за-
заключается в проверке сходимости. Это
<Ун"кт1>|ц'т-1"лтя рядов Эйзенштейна.
Пусть Re(e) > 1. Положим
T5F=
76Г.ХГ
= Е
76Г„\Г
A.43)
Пусть zo e Jt вместе со своей окрестностью B(zo,6) с -?т, где
J3(zo, S) — это неевклидов шар радиуса 6 с центром в zq (см. рис. 1.2).
При вещественном а > 1 ряд A.4.3) сходится абсолютно, и
A.4.4)
Для проверки последнего неравенства рассмотрим сначала Zq с у < 1.
Тогда для некоторой постоянной С справедливо неравенство у? < Су
при всех z € J5(zo, 5), где * достаточно мало. Следовательно, для веще-
ственных а
? »G^)'<С Е
76Г„\Г 7€Г.\Г
/ «"т*
ди гиперболической плоскости. Множества
ГДв7РГ
B(jzo, S), 7 € Гоо\Г, не пересекаются и лежат в пересечении
{z | -1/2 < Re(z) < 1/2} П {z \ Im(z) < Т}.
1.4. Ряды Эйзенштейна
,21
Следовательно, при а > 1
//
//
о о
Это неравенство имеет место при уо ^ 1. В общем случае может по-
появиться дополнительное слагаемое, отвечающее тождественному пре-
преобразованию 7, что дает оценку для Re(«) > 1
где a = Re(a), a B(zq, 5) с Jr. Возвращаясь к Щ° , получаем, что
A.4.6)
Значит, ряд Щ°'(г) сходится абсолютно при к > 2. Следовательно,
JE?°°)(z) является голоморфной функцией в ft и, кроме того, модуляр-
модулярной, так как, очевидно, удовлетворяет необходимому функциональному
уравнению относительно действия Г. Как показывает следующее пред-
предложение, 4°О) € М*(Г).
1.4.1. Предложение. Имеют место следующие предельные соотно-
соотношения:
2, если
1, если
и Щ (z) обращается в нуль в остальных параболических точках
Р2,...,Рг-
Аналогично,
1, если
обращается в нуль в остальных параболических точках.
22 Глава 1. MciQ-жярпгп фприы
Доказательство. Мы докажем предложение для E^°\z). Рассмо-
Рассмотрим ряд Эйзенштейна без слагаемых, отвечающих пддшми классам
Tool, Гоо(—I). Этот абсолютно сходящийся ряд стремится к нулю при
z -? оо. Отсюда следует, что 23?°°'(оо) = 2. Теперь мы изучим поведение
Е^° (z). при z —> pj, где pj — другая (не эквивалентная оо) параболи-
параболическая точка. Предположим, для определенности, что щ — 0. Соглас-
Согласно A.4.8) и A.4.5)
|<У-1-* при *-Ю.
В ч^»рц»д*т лгяддих переменных,
|ВД| = |г-*??к(-1/г)| < |z|~*V*+1 -Ю при z -юо, так как * > 2.
Это завершает доказательство. О
1.4.3. Следствие. Линейная оболочка рядов Эйзенштейна щ
j = 1,..., г, является г-мерным подпространством Xjt(F). Кроме то-
того, каждая модулярная форма g € Л4*(Г) допускает единственное
представление
где / принадлежит пространству, порожденному рядами Эйзенштей-
Эйзенштейна, a he Sfe{T) {т. е. h — параболическая форма).
Доказательство-. Непосредственно следует из предложения 1.4.1. а
1.4*3. Разложение Фурье радов Эйзенштейна. Нетрудно вычи-
вычислить коэффициенты Фурье определенных выше рядов Эйзенштейна.
Мы покажем, что я-й коэффициент можно представить в виде так на-
называемой "суммы по делителям", т.е. суммы, где индекс суммирова-
суммирования d пробегает все делители числа п. В частности, коэффициенты
Фурье являются элементарными арифметическими функциями.
Рассмотрим, например, группу To(N) и ряд E^°\z). Если мы раз-
разложим в ряд Фурье u
11 Далее автор опускает кндекс оо ж пишет ?*(*) вместо E^°^{z). — Прим. перев.
1.4. Ряди Эйзенштейна 23
ТО
1 «Н-1
On = I Eic(z)e(—nz)dz (более точно I ... dz прн a > 0)
0 sot
1
= 2 / e(—nz)dz
о
}( ( (I m\ \\~»
Е Е
ibT*
+0О
с"»
c=0(modAO <<(modc)
е>0 (d) 1
с-
е=0 (mod AT) <i (mod с)
e>0 (d)
-4*о
1) 7
Следовательно,
о„ = 26о,п + 2П
*-1 I / z-ke(-z)dz J
E «"* E
c = 0 (mod ЛГ) d (mod e)
00
24 - Глава 1. Модулярные формы
Для полуцелого к экспоненциальная сумма в A.4.7) является более слож-
сложной; мы рассмотрим ее подробнее в главе 4 вместе с другими суммами,
связанными с ней. Для четного к сумма, входящая в A.4.7), упрощается
и приобретает вид
Е «-* Е (§
с = 0 (mod /Г) <* (mod с)
е>0 (*)
Е <" Е «(т)- <1А
с = 0 (mod АО << (mod с)
е>0 (*)
Внутренняя сумма легко вычисляется (это быт сделано Рамануджа-
ном [Ram2]), что дает
Е ^
с = 0 (mod ЛГ) <<|с
с>0 <<|п
где ju — функция Мебиуса. Например, в случае N = 1 мы получаем,
что
где12 С не зависит от п. Общий случай лишь немногим сложнее. Коэф-
Коэффициенты an всегда можно представить в виде суммы по делителям п,
т.е. в виде
A.4.11)
где функция F такова, что F(v) = F(v) (mod N), если u = v (mod iV).
1.4.4. Замечания.
(А) Аналогичные вычисления позволяют найти разложение в ряд Фу-
Фурье спектральных рядов Эйзенштейна A.43). Например, если Г = ГA),
uЗдесь С — дзвта-функцнж Раыана, a crb-i(n) = 2 <**~1- — Прим. перле.
1.4, Рмды Эйзенштейн* 25
то
^ B*ny) совB7гти;), A.4.12)
где
Из этого представления н хорошо известного аналитического продол-
продолжения дзета-функции Римана видно, что E(z, в) может быть продолже-
продолжена до мероморфной функции на комплексной плоскости. Мы применим
разложение A.4.12) в приложении 1.1, для того чтобы показать, что
функция Д(з) модулярна.
(В) Представленный выше анализ функций Ek(z) проходит для к > 2.
Для к = 2 необходимо модифицировать конструкцию, чтобы преодо-
преодолеть трудности, связанные со сходимостью ряда. Рассмотрим для а > О
Р*Д
,«)= E
Можно показать, что предел limij^z, a) = ^j(z,O) существует и опре-
в ¦¦¦О
делает функцию, которая удовлетворяет необходимому функциональ-
функциональному уравнению (относительно модулярного преобразования), но не
является голоморфной. В действительности, ее нулевой коэффициент
имеет простую неголоморфную часть. Аналогично определяются функ-
функции E%\z,0) для каждой параболической точки p, (j = 1,... ,г) груп-
группы Г. Любая комбинация функций щ'(г,0), при которой пропада-
пропадает неголоморфная часть, принадлежит пространству Хз(Г). Таким
образом, мы получаем (г — 1 ^мерное подпространство ?г(Г) простран-
пространства Л^г(Г). Коэффициенты Фурье функции е вз ?г(Г) вновь- являют-
являются суммами по делителям. Заметим также, что произвольная функ-
функция д е Хг(Г) определяет мероморфный дифференциал g(z)dz на
(компактифицированной) римановой поверхности Г\ Н. Так как сумма
Глав* 1. Модулярные форшы
вычетов g(z)dz в Г\ Н обращается в нуль, то значения g(z) в параболи-
параболических точках pi, ...,Рт удовлетворяют линейному соотношению. Ряды
Эйзенштейна (для к = 2) порождают (г-1)-мерное подпространство
?г(Г) пространства М%{Г), и любая функция g € -Ма(Г) единственным
образом представима в виде13
g = f-yh, A.4.13)
где / € ?г(Г), Л € 5^(Г). Более подробное обсуждение рядов Эйзен-
Эйзенштейна веса 2, можно найти в [Sch2].
(С) Теперь мы можем объяснить наблюдение Рамавуджана 1.1.4. Как
было показано в A.3.11с), для О 4
ОО
*.,1«.» ? г'(")еМ ( = const • ^Bг,0„ 1)) € Л*,/2(Г0D)).
узО
Следовательно, привлекая проведенные выше рассуждения, мы получа-
получаем, что
*,(*)-/.(*)+*•(*). ' A.4.14)
где ft € ?,/г(ГоD)) — линейная комбинация рядов Эйзенштейна, а Л, €
€5,/2(Г0D)).
Вычисляя коэффициенты Фурье, получаем, что
r,(n) = f,(n)+Mn), A.4.15)
где 6t(n) — комбинация коэффициентов Фурье некоторых рядов Эй-
Эйзенштейна, в частности, 6,(п) можно представить в виде суммы по де-
делителям (или в виде особого ряда, как она называется в "круговом ме-
методе", см. [Da2]). С другой стороны, согласно гипотезе Рамануджана
для параболических форм коэффициенты Л,(п) должны удовлетворять
Для малых значений а, например, для а = 4, не существует па-
параболических форм, точнее, 5^(Г0D)) = {0}. В случае а = 4 не-
нетрудно показать, что род (компактифицированной) римановой поверх-
поверхности ГоD)\'Н равен нулю. Следовательно, пространство голоморф-
голоморфных абелевых дифференциалов f(z)dz на Г0D)\?{ нульмерно. Так как
13 Иными сжяншн, М9(Т) ш Й(Г) ф 52(Г). — Прим. пери.
1.5. Ради Дутаре 27
параболическая форма / € ?з(ГоD)) задавала бы такой дифференциал,
то <$2(ГоD)) - {О}- Следовательно,
г4(п) = <*4<п).
Непосредственное вычисление коэффициентов Фурье ряда Эйзенштей-
Эйзенштейна приводит к равенству
т.е. к результату Якоби A.1.6).
1.5. Ряды Пуанкаре
Как мы видели, ряды Эйзенштейна не являются параболическими фор-
формами. Чтобы получить параболические формы при помощи аналогич-
аналогичной конструкции, мы используем функции, подобные рядам Эйзеи-
штейна и известные как ряды Пуанкаре. Рассмотрим группу Г = Го(ЛГ)
(для T(N) рассуждения аналогичны), где (всегда, когда мы имеем дело
с полуцелым весом) 4\N. Ряды Пуанкаре в "оо", Pm(z,k) определены
следующим образом:
A.5.1)
7€Г„\Г
Здесь т ^ 0, т — целое. В случае т = 0 мы получаем в точности ряды
Эйзенштейна, поэтому в данном разделе мы предполагаем, что т > 0.
Очевидно, что ряды Пуанкаре "^ж^рчрущ "у^я ряддми Эйзенштейна '*.
Следовательно, в случае к > 2, которым мы для простоты ограничива-
ограничиваемся, ряды A.5.1) сходятся абсолютно. Можно показать, как и выше,
что-РтО*!*) обращается в нуль во всех параболических точках, неэкви-
неэквивалентных оо. Однако Pm(z,k) обращается в нуль и в оо, поскольку
m > 0. Следовательно, Рт(г, к) € ?*(Г) для всех т > 1 (этот ряд может
обращаться в нуль тождественно). Как мы сейчас покажем, лчтйнм»
ободочка рядов Пуанкаре Pm(z, к), т ^ 1, совпадает с пространством
параболических форм
и
Точлее, фувкцшшж Е(г, *), опредеаешпшш согласно A.4.3). — Прим. иерее.
28
Глав* 1. Модулярные формы
1.5.1. Скалярное произведение Петерсона. До сих пор мы рассма-
тривади 5к(Г) только как линейное пространство. Оно может быть на-
наделено естественным скалярным произведением (так ияятляаямнч ска-
скалярным произведением Петерсона). Дня f,g€ 5*(Г) положим
(f,9) -
A.5.2)
Г\Н
Функция ykf(z)g(z) инвариантна относительно действия Г и быстро
убывает вблизи параболических точек. Следовательно, несобственный
интеграл A.5.2) корректно определен и сходится. Так введенное ска-
скалярное произведение оказывается естественным, поскольку все инте-
интересные линейные операторы на 5*(Г) (например, операторы Гекке,
обсуждаемые далее) являются эрмитовыми (или, по крайней мере,
нормальнымиI5 относительно этого скалярного произведения.
Пусть / €
и f{z)
53
п=1
<*!»«(«*) — ее разложение Фурье. Тогда
т\н
dxdy
IT
/
Г\«7€Гоо\Г
tt
оо 1-
. ] ] eimzW)^
о о
где в последней строке Г обозначает гамма-функцию. Следовательно,
если (Pmtf) - 0 для всех т, то о„, = 0 для всех т, т.е. / = 0. Зна-^
чит, ряды Рт порождают пространство 5к(Г) (как уже упоминалось в
разделе 1.3, 5*(Г) — конечномерное пространство).
В частности, для нашей основной задачи оценивания коэффициен-
коэффициентов Фурье параболических форм достаточно получить такие оценки
"Напомним, что оператор А называется эрмитовым (на самосопряженным),
если он совпадает с сопряженным оператором: А = А'; оператор А называется
нормальным, если АЛ" = А" А. — Прим. персе.
1.5. Рады Пуанкаре 29
для рядов Пуанкаре Рт. Выясним, что для этого необходимо. Мы мо-
можем найти разложение Фурье рядов Пуанкаре. Вычисления весьма схо-
схожи с теми, которые были проделаны для рядов Эйзенштейна.
о
1
/ Е Ub,z))-2ke(m'yz)e(-nz)dz
О 7€Г„\Г
1
= 2 / e(mz)e(— nz)dz
о
+ е
e^O -oo
7€Гов\Г/Гов
+2°
Запишем
7* = * -
+0О
Л (mod с) ¦ —(VI
-к
с=0 (mod AT) С)
х е
+0О
с=0 (mod Л!) d (mod e)
с>0 Кс) = 1
30 ' Глав* I. Модулярные формы
©"•!•• (=7=0
X
-00
его (mod ЛГ) sd (mod e)
c>0 •
Таким образом,
"'"' ~ \~п)
{г
¦ 2*i~k ? Jfc_2 (ЮЫр\ ?ЁЬ2^\ A.5.4)
с = 0 (mod JV) Vе/ J
е>0
где Pm{z,k) = D Pm(n)e(nz),
n=l
(|)^() A.5.5)
<1 (mod с) ^
a Jfc_i — функция Бесселя, следующим представлением которой мы
воспользовались:
/ tu~fcexp(—
-oo+ct
(Равенство A.5.4) является ужасным с точки зрения алгебраиста: мы
представили хорошее целое число, подобное т(п), в виде бесконечного
ряда, включающего функции-Бесселя!)
Для того чтобы продолжить исследование сумм A.5.5), мы долж-
должны различать два принципиально различных случая, когда к — четное
целое и когда к — полуцелое.
1.5. Ряды Пуанкаре 31
1.5.2. Четное к. В этом случае определенные выше экспоненциальные
суммы К(т,п,с) — это так шщмвядмтлй суммы Клостермана
*Г(т,п,с) = К(п,т,с) = ? е (^^) • A-5.6)
d (mod с) ^ '
(*)
(Напомним, что d обозначает целое число, удовлетворяющее сравнению
dd s I (mod с).)
Суммы Клостермана обладают очевидным свойством, которое сле-
следует из китайской теоремы об остатках. А именно,
A.5.6')
Нетрудно показать, что if(u,u,p*) для А ^ 2 удовлетворяет оценке
A.5.7)
Объединяя A.5.7) с важной оценкой Вейля [Wei], которая утверждает,
что для простого р и т, п, таких что (т, п,р) = 1,
Ч
A.5.8)
х (mod p)
видим, что для фиксированного т
К(т, п,с)=Ое (с$+е). A.5.9)
Подставляя в ряд A.5.4) эту оценку вместе с оценкой для функции Бес-
Бесселя [Wat]
Jk-i(x) < min I**! -i} , A.5.10)
мы заключаем, что
Pm(n)=Ot(J-^). A.5.11)
После соответствующего распространения этого результата на слу-
случай Г = F(iV) и к = 2, мы получим
32 Глав* 1. Модулярные формы
1.5.3. Предложение. Пусть к — положительное четное целое, аТ —
конгруэнц-подгруппа. Если f € 5*(Г), то коэффициенты Фурье сц» фор-
формы f удовлетворяют оценке
Этот результат является первым инирримпипл^цц шагом в направле-
направлении гипотез Рамануджана 1.2.5. Хотя он слабее гипотезы, для многих
приложений этого достаточно. Кроме того, в общем случае автоморф-
кых форм над числовыми полями этот метод приводит к наилучшим
из известных результатов; см. замечания в конце главы 1.
1.5.4. Полупелое к. В этом случае
ЛГ(т,п,е)- ? Ц) tf в (=2±?) . A.5.12)
d (mod с) ^ '
Эта сумма, по существу, является суммой Салье, которую мы детально
изучим в главе 4. Сейчас мы только отметим, что она вновь фактори-
зуется, и оценка ' ,
для простого р в этом случае элементарна (см. гл. 4). Как и выше, мы
завершим следующим утверждением.
1.5.5. Предложение. Пусть к — полуцелое и / € Sk(TQ(N)), D|iV).
Тогда
Учитывая пример A.3.8), мы видим, что, по сути, это наилучшая
оценка, которую можно получить, не ограничиваясь свободными от
квадратов п и не избегая 0-рядов от одной переменной.
Ясно, что для усиления этих оценок необходимо использовать вза-
взаимное сокращение слагаемых, возникающих в ряде A.5.4) и обусловлен-
обусловленных чередованием знаков в сумме К(т,п,с). Это очень трудная задача.
В этом направлении Линник [Lin] и Сельберг [Sel] высказали следующую
гипотезу.
1.5.6. Гипотеза (Линник-Сельберг).
<v) для «
1.6, Операторы Гекке 33
В частности, иэ справедливости этой гипотезы следуют гипоте-
гипотезы 1.2.5. Частичные результаты в этом направлении будут изложены
в приложении 1.2. Справедливость гипотезы 1.5.6 имеет много других
применении в теории чисел; см. [Lin]. Взаимное сокращение слагаемых
для сумм Салье является предметом изучения главы 4.
Возвращаясь к замечанию 1.4.4 (с), мы видим, что для з > 3
г» = *,(п) + 0,(п*-*+«). A.5.13)
Особый ряд 6*(п) имеет порядок п* 1 (для s = 3 это так только для
п, представимых в виде суммы трех квадратов) и, следовательно, для
s > 3, S,(n) является главным членом асимптотики. Для s = 3 это
не так, поэтому проблема Линника (проблема (С) во введении) является
сложной. Для ее решения необходимо преодолеть барьер -—- в оценках.
2 4
1.6. Операторы Гекке
Мы довольно подробно обсудили второе наблюдение Рамануджана,
а именно, A.1.2). В свою очередь первое (т. е. предположение о мульти-
мультипликативности функции т(п)) можно объяснить при помощи "операто-
"операторов Гекке".
В довольно общей ситуации, если G — группа, действующая на про-
пространстве X, а Г < G — ее подгруппа, действующая на X разрывно,
мы можем определить операторы Гекке на L2(T\X). Пусть16
СОМ(Г) ™ {д € G | [Г : Д] < оо, [g-lTg : Д] < оо, Д ж д^Гд П Г }.
Ясно, что СОМ(Г) является подгруппой G н содержит Г. Группа
СОМ(Г) называется соизмерителем Г. Для каждого д € СОМ(Г) опре-
определим оператор (оператор Гекке общего вида)
д: Ь [L \Л) —> Ь (I \Л)
следующим образом. Представим Г в виде (конечного) объединения
правых смежных классов по подгруппе Д = д~хТд П Г
16 СОМ — от commeneorator (сшвыерятель). — Прим. перев.
34 Глава 1. Модулярные формы
и положим
(Это определение корректно, так как суммирование ведется по конеч-
конечному множеству.)
Утверждению. F(x) € L2{T\X). Иными словами, функция F зависит
лишь от орбиты х.
В самом деле,
jj) для некоторой перестановки v множества, по которому
ведется суммирование. Следовательно,
i з
для некоторого \ij € Г. Таким образом,
з
что доказывает утверждение. Q
Конечно, если g € Г, то Т9 является тождественным оператором,
но если СОМ(Г) ^ Г и g & Г, то оператор Тд и, в особенности,
его спектр представляют интерес. Множество таких операторов Гек-
ке образуют алгебру, которая, например, коммутирует со всеми G-
дифф<>р<>н1^ишп.игмми операторами на X. Для того что-
чтобы некоторые определенные пространства функции на Т\Х были ко-
конечномерны, обычно необходимо будет потребовать, чтобы Г\Х было
компактным или (в худшем случае) имело конечный объем. Если G ком-
компактна, мы можем взять Г = {id}, тогда каждый д € G принадлежит
соиэмерителю подгруппы Г. Элементы алгебры так определенных опе-
операторе» Геюсе будут играть важную роль в главе 2 (в основном, в случае
X = S2\G = 50C)).
В случае, когда в описанной выше конструкции G = SLB,R) н
Г = F(iV), мы получаем определение обычных операторов Гекке. Мы
1.6. Операторы Гекхе " 35
рассмотрим лишь Г = ГA) и будем кратки, поскольку непосредствен-
непосредственное использование этих операторов больше нигде не потребуется.
Если ГA), G = GLB,R), то д - fc fj € СОМ(ГA)). Простое
вычисление показывает, что соответствующим оператором Гекхе на
L2(T\SLB,R)) будет
((о г)")"
mrn
i: (mod r)
Можно проверить, что функция / на Н удовлетворяет функционально-
функциональному уравнению
/G«) = (cz + <fykf(z) (k четное целое)
тогда и только тогда, когда F = y*/2/(z), рассматриваемая как функ-
функция на SLB,R), удовлетворяет соотношениям
(ii) F(-rg)=F(g).
Здесь мы отождествляем W с SLB, R)/A", где
_/1 af
является обычной факторизацией Ивасавы для д, a z — х + iy.
Осуществив это отождествление, мы получим, что для фулкций
на Н, удовлетворяющих функциональному уравнению
оператора Т„ можно представить в виде
. A.6.2)
(mod d)
36 Глава 1. Модулярные формы.
Можно проверить, что
(i) ТПТО = Т„ГТО для (n,m) = l,
(ii) T^Tp^TjH.+i+p"-1^-», n>l,
(iii) если f€Mk(T(l)), то Tnf€Mk(T(l)).
Кроме того, если
п=0 п=0
ТО
m=0
где
В частности, если Тп/ = Л„/, то
(iv) A»a! = а(п).
Из свойства (iv) следует, что если / является собственной функци-
функцией для всех операторов Гекке Тп и oi = 1, то коэффициенты Фурье
функции / наследуют свойства (i) и (ii).
1.6.1. Следствие. Коэффициенты т(п) функции A(z) мультиплика-
мультипликативны (т. е. т(тп) = т(т)т(п) для (п,тп) = 1) и
г(р)г(рп)=г(р»+1)+риг(рп-1), п>1.
Доказательство. Результат будет следовать из того факта, что про-
пространство 5i2(F(l)) одномерно. А именно, как будет показано в прило-
приложении 1.1, A(z) € 512(ГA)). Так как Tn: 5i2(r(l)) -+ 5i2(r(l)) (это, на-
например, следует из указанного выше явного вида коэффициентов Фурье
bm функции Tnf(z)) и 5i2(F(l)) одномерно, то А является собственной
функцией операторов Гекке. Осталось показать, что 5i2(F(l)) действи-
действительно одномерно. Для этого рассмотрим
2irt J f '
Пржмажеияе 1.1 37
С одной стороны, непосредственным вычислением находим, что этот
интеграл равен 1. С другой стороны он также равен числу нулей функ-
функции /. Если бы dim5i2(F(l)) > 2, то талями бы ненулевая функция
/ € ?>12(ГA)), имеющая в оо нудь порядка по крайней мере 2, что не-
невозможно с учетом приведенных выше рассуждений. D
Мы можем также прокомментировать более точную оценку
высказанную в качестве гипотезы Рамануджаяом. С учетом след-
следствия 1.6.1 это следовало бы из оценки |т(р)| ^ 2р11//2 для простых р.
В самом деже, согласно следствию 1.6.1
где
а_ т(р)
Следовательно, т(п) = О(п*&+е), если |г(р)| ^ 2рп/2 для простых р.
Последнее неравенство было доказано Делинем [De].
Как мы уже отметили, наше изложение в разделе 1.6 было очень
кратким. Для детального знакомства с операторами Гекке см. [О]
per].
Приложение 1.1
В этом приложении мы докажем, что функция Рамануджана A(z) =
оо
= J2 т(п)е(пг) является параболической формой веса 12 относитель-
п=1
но ГA). В действительности, мы докажем большее. Пусть
п=1
Мы покажем, что rj{z) является модулярной формой полуцелого веса.
А.1.1. Предложение. Функция F(z) = y^2\ri(z)\2 инвариантна отно-
относительно действия ГA). (Здесь у = lmz.)
Как только справедливость предложения А.1.1 будет установлена,
мы получим, что
(i) Ч(* + 1)=
38 Глава 1. Модулярные формы
Кроме того, |ij(-l/z)| = Izl^W*)!, и» следовательно,
t,(-1/z)=co{z)z1'2
для некоторого с, \с\ = 1. Подставляя в это равенство z = i, получим,
что
Так как r)(z) ф 0 при z e H (это, очевидно, следует из определе-
определения (А.1.1)), мы заключаем, что
(ii) T,(-l/z) = e-W4zi/24(z).
Из соотношении (i) и (И) следует, что функция Рамануджана
удовлетворяет следующим функциональным уравнениям
О Д(ж + 1)«Д(ж), ¦ ;
(ii') A(-1A) = z12A(z).
Так как группа ГA) (= SLB,Z)) порождена элементами [. .] и
f j - j, эти функциональные уравнения показывают, что функция Ра-
мануджана А — модулярная форма. ?
Для доказательства предложения А.1.1 рассмотрим другую интер-
интерпретацию F(z), которая показывает, что F(z) зависит от тора 2ДС, где
L = {т + т | m, n e Z}, но не от выбора базиса решетки ?.
Рассмотрим ряд
m,n
где ^ означает, что суммирование ведется по всем (т, п) ф @,0).
Этот ряд тесно связан со спектральными рдцям» Эйзенштей-
Эйзенштейна A.4.3). В действительности, следующий выбор представителей смеж-
смежных классов
Пршяпжпгше 1.1 ~ 39
позволяет дать геометрическую интерпретацию E*(z,s). Пусть М —
плоский тор L\R2, где L = {т + nz | т, п е Z}. Нетрудно найти спектр
одератора Лапласа А, действующего на функциях на М. Собственными
функциями оператора А являются
ф(х)=е((Г,х))
где i = (агьх2), С € L* = {у € R2 | (у,/) € Z для всех / € L}.
Соответствующее собственное число равно
А = -4*2|Г|2, Г € V.
Спектральная дзета-функция См(з) тора М определена следующим
образом:
Заметим, что См(з) по сути есть ряд Эйзенштейна ?*(z, з). Формально
производная См@) равна
следовательно,
("регуляризованный определитель" А). Доказательство пред.
А.1.1 будет основано на явном'вычислении det' Az н, в частности, на вы-
вычислении его разложения в ряд Фурье.
Функция E*(z,a) является ГA)-инвариантной по z. Следовательно,
функция h(z) = - log det' Az, определенная следующим образом
h(z) = i-E*(z,s) , (А.1.6)
является модулярной функцией относительно ГA). Для нахождения
производной в точке >з = 0 воспользуемся разложением A.4.12)
40 Глава 1. Модулярные формы
Следовательно,
« = 0
oo
+ С*(~1)у + 4y1/2 У2 n~ll2<ri{n)K-inBamy) coeBwnx).
Функция Jf_i/2(y) явно выражается через элементарные функции (это
несложное упражнение, но оно окажется весьма важным далее; см. гла-
ву4)
Таким образом,
дЕГ
да
00
+ С*(-1)У + 2 J2 «"ViWe*"* cosBwns).
n = l
Хороню известно (см.,- например, [ГР]), что ?@) = ~ 1/2 , С'@) —
= - ilogBw) и С*A - s) = С*(в)- Следовательно,
ад*
да
Кроме того, ?*B) = я--1ГA)СB) = -г, следовательно,
f Г оо 41
= Re J log 2*у1/2е*/в П A" е("**)J ^.
т.е.
|2). (А.1.7)
Прямажеияе 1.2 41
Как мы знаем, h(z) — модулярная функция. Таким образом, предложе-
предложение А.1.1 доказано. G
На самом деле мы показали, что
det'A, 2
где С не зависит от z.
Этот результат был переоткрыт физиками в контексте теории
струны на римановой поверхности рода 1 [Ро]. Данное выше доказа-
тельство равенства (А.1.8) представляет вычисление - —E*(z,s)
"a *=о
в терминах j/(z). Этот результат принадлежит Кронехеру [Кг] и изве-
известен как первая предельная формула Кронекера.
Приложение 1.2
В этом приложении мы покажем, как можно применить теорию ав-
томорфных форм для получения результатов в направлении гипотезы
Линийка- Сеяьберга 1.5.5- Как отметил Линник в своем докладе [Lin],
гипотеза 1.5.5 имеет много приложений в теории чисел помимо при-
приложения к гипотезам Рамануджана. Этот круг идей привел (после по-
появления работы Дезуйе н Иванца [DI]) к замечательным результатам,
см. pwl}. Другое применение взаимного сокращения "сумм Кдостерма-
на" обнаружил Варди [V] (см. замечания в конце главы).
А.2.1. Теорема.
К(т,п,с) _ ~ (х\+<\
Непосредственное применение неравенства Вейля A.5.8) приводит
к оценке порядка Oe(xi+e), так что теорема А.2.1 представляет при-
пример использования взаимного сокращения слагаемых, обусловленного
чередованием знаков К(т,п,с). (Однако, как отметил Серр, неизвест-
неизвестно, справедлива иди нет для фиксированных пит при с -> оо оценка
К(т,п,с) = 0(сЬ«о) при ео > 0.)
Для доказательства теоремы А.2.1 необходимо рассмотреть авто-
морфные формы на Н более общего вида, а именно, формы, возника-
ющие при изучении собственных функций инвариантных дифференци-
: операторов.
42 Глава 1. Модулярные формы
а? + дм* ) Д6™?61 ¦* Фуикпии» задан-
ные на %. Оператор А — это оператор JianmrA для гиперболической
метрики da — \dz\/y на Ч. Группа G — 5LB, R) действует на U, как
обычно, посредством дробно-линейных преобразований. Так как это
действие является изометрией, то оператор А коммутирует с действи-
действием G. Следовательно, для конгруэнц-подгруппы Г < G можно рассмо-
рассмотреть действие оператора Лапласа на Г-инварнантные функции. Опе-
Оператор А, действующий на Ь2(Г\Н), самосопряжен, и можно изучить
свойства его спектра. (Скалярное произведение на Г\Н — это обыч-
обычное скалярное произведение Петерсона (/,$) = / /B)9B) —%?.).
Jt\h У
Например, функция у* на W удовлетворяет следующему соотноше-
соотношению:
Д(у')+зA-з)у' = 0. (А.2.1)
Следовательно, ряд E*(z,s), определенный согласно (А. 1.2), удовлетво-
удовлетворяет, соответственно,
АБ*(г, з) + зA - s)ET(z, з) = О,
т.е. ряд E*(z,s) является ГA)-инвариантной собственной функцией
оператора А. Разложение Фурье A.4.12) (а чмяпм, явный вид "свобод-
"свободного члена", т. е. слагаемого, отвечающего п = 0) позволяет заключить,
что ряды E*(z, з) не принадлежат ?2(ГA)\ Ч). Хотя это и не потребу-
потребуется нам далее, отметим, что функции Е* (z, s) можно использовать для
описания непрерывного спектра ГA)\ Ч.
Возвращаясь к функциям из L2(T\ H), заметим, что для ф из области
определения оператора А имеет место равенство
= J
г\н т\н
Следовательно, До = 0 является наименьшим собственным числом опе-
оператора А на Г\ И (Ао отвечает постоянной функции). Положим
Аг= inf У,Т' "*. (А.2.2)
1.2 43
Если мы дополнительно предположим, что Г\Н компактно, то Ai —
следующее за 0 наименьшее собственное число. (В действительности,
если Г\Н не компактно, то Ai — не обязательно собственное число, а
лишь следующая точка спектра оператора А).
А.2.2. Пред.
Сельберг [Sel] высказал гипотезу, что
Ai(r(iV)\«)>l/4 для всех N. (А.2.3)
Неравенство (А.1.3) можно рассматривать как некоторое обобщение
гипотез Рамануджана. К этому вопросу мы вернемся позднее.
Для доказательства предложения А.2.2 рассмотрим общую пробле-
проблему нахождения оценки Aj (ft), где пС Н — "хорошая" область вН,а
А^ обозначает следующее (в порядке возрастания) собственное число
оператора А в области п для задачи с граничными условиями Неймана
(или свободными граничными условиями).
А.2.3. Предложение. Пусть Т — гиперболический треугольник {ко-
{конечной площади) в Н. Тогда А^(Т) > 1/4.
Доказательство. Мы докажем пред-
предложение для компактных треугольни-
треугольников (см. рис. 1.3).
Доказательство в случае треуголь-
треугольника с нулевым углом при какой-либо
многим сложнее. Собственное число pTC. 1.3. Треугольник Г С П
^ = 0 отвечает /o(z) = const. Пусть
= Ах — следующее (в порядке возрастания) собственное чи-
число, а ф\(г) — соответствующая ему собственная функция. Имеем
/ 4>\(z)dii(z) = 0. Следовательно, для функции <fa,(z) существует уэ-
Jt
ловое множество (т.е. множество, на котором функция обращается
в 0) М, часть которого должна либо соединять ребра треугольника,
44
Глава 1. Модулярные формы
как показано на рис. 1.4, либо иметь вид, как на рис. 1.5. Заметим, что,
отражая П на рис 1.4 (б) относительно О А, мы получим область того
же вида, что изображена на рис. 1.5.
(а)
(б)
Рис. 1.4. Узловые множества
Рас. 1.5. Другое узловое
Рассмотрим указанную область П. Интегрируя но частям, имеем
1
Рассмотрим геодезические полярные координаты {г, в) в области п на
рис. 1.4 с началом в точке О (ситуация, изображенная на рис. 1.5, явля-
является частным случаем при а = 2v). В этих координатах
<fa2 = dr2 + (akrfdfi.
Можно считать, что 0<в^аи0<г^Д (вне области П поло-
положим ф равной 0 и обозначим так доопределенную функцию через и).
Заметим, что
= -u2abr\R+
lo
Я
/u2
J
chrdr.
Тогда
я я я я
/ и2 shrdr ^ / и2 chrdr = — / -j-fa2) вЬгЛг — ~l 2u*«r shrdr
о о -о о
/я \1/2/Я \1/2
Vo / Vo /
т.е.
ГьРаЬгёпЦ [(urJabrdr.
о
Следовательно,
а Я а Я а Я
Г (|Vi*|2dp(r) > Г ЛигJ shrdrd» >\[[ ahrdrdB,
0 0 0 0 0 0
откуда следует, что
i > !/4-
В частности,
inf
Применим этот результат к фундаментальной области Т = ГA)\Н,
которая также является треугольником (см. рис. 1.1). В частно-
частности, этот результат справедлив для функции /, являющихся ГA)-
пернодическими. Таким образом,
Аг(ГA)\"Н)>1/4,
что завершает доказательство предложения A.2.2.D
А.2.4. Замечанже. Спектр оператора А на Ь2(Г\Н) представляет
значительный интерес. Отличные от постоянных Г-периодические соб-
собственные функции оператора А из пространства L2{T\ H) известны
46Глава 1. Модулярные форюг
как формы Мааса. В этом случае они являются тюргьЛтчгучгжтжя фор-
формами. Для таких форм также возникает задача получения оценок их
коэффициентов Фурье, и имеются соответствующие аналоги гипотез
Рамануджана. Однако в настоящее время эта задача далека от оконча-
окончательного решение. Читатель может найти детали в [JL].
Для доказательства теоремы А.2.1 мы рассмотрим (как и в разде-
разделе 1.5) ряды Пуанкаре.
Длятп>0
1Гт(я,а)ш ? y(>yzye(m>yz). (A.2.4)
Очевидно, что этот ряд мажорируется соответствующим рядом Эй-
Эйзенштейна A.4.3) и, следовательно, сходится абсолютно в правой по-
полуплоскости Re(a) > 1. Кроме того, слагаемое, отвечающее 7 — =Ы>
имеет вид y*e{mz) и быстро убывает при у -? со. Отсюда и из свойств
рядов Эйзенштейна, установленных в разделе 1.4, следует, что Um(z, a)
принадлежит пространству L2(T\H) при Re(s) > 1. На самом деле
\\Um(z, s)||2 = 0A) равномерно по Re(e) > <т0 > 1. (А.2.5)
Заметим теперь, что
A(y*e(mz)) + аA — a)(y*e(mz)) = —4ятпл (ya+1e(mz)).
Следовательно, для Re(s) > 1
(Д, + аA - a))(Um{z, a)) = -4*nw Um(z, a + 1). (A.2.6)
Последнее равенство можно переписать в виде
Um(z, а) = -Д4A_4).(Д)[41гпм Um(z, а + 1)], (А.2.7)
где R\ — резольвента (Л - Д)'1 оператора Д. На основании равен-
равенства (А.1.7) функцию Um(z,s) можно мероморфно продолжить по а.
Ограничимся лишь случаем Г = ГA). Из предложения А.2.2 следует,
что резольвента Rs(i—s) яялпт'ичил при Re(a) > 1/2, с единственным
полюсом в а = 1, отвечающим Ло — 0. Таким образом, на основании
(А.1.7) заключаем (так как аргумент в правой части сдвинут на 1),
что
Um{z,a) голоморфна в области Re(s) > 1/2. (А.2.8)
Драдожеше 1.2 47
Полюс в а = 1 у Um(z, а) не возникает, так как из определения U легко
следует, что (Um(z, a), 1M 0.
Для самосопряженного оператора А в качестве несложного след-
следствия спектральной теоремы получаем, что
В данном случае diet [яA-я),сг(Д)] > |<|B<т-1), где в = <г+йи<т> 1/2.
Объединяя (А. 1.9), (А. 1.7) и (А.1.5), заключаем, что
при Re(a) > сто > 1/2.
Связь C/m(z, в) с суммами Клостермана устанавливается, как обыч-
обычно, при помощи вычисления коэффициентов Фурье периодической
функции Um(z,а). Для т,п > 0 положим
е=1
Функция Z(m,n,a) — это дзета-функция Сельберга-Клостермана
(см. [Sel]). Из оценки Вейля легко следует, что Z(m,n,a) голоморфна,
в области Re(s) > 3/4, и, кроме того,
|Z(m, п,а)\ «1 при а > а0 > 3/4. (А.2.12)
А.2.5. Лемма.
2)) = 4-^1ir-In-a
где функция R(a) голоморфна в области Re(s) > 1/2 и удовлетворяет
в этой области оценке
48 Глав* 1. Шдулжрмые формы
Доказательство. На основания стандартных вычислений, как и в
разделе 1.5, имеем
00 1
ГA)\« О О
+00+О0
f f я Г Jdxdy
с^О 0 -оо
Далее вычислим интеграл
где WOji{z) — функция Уиттекера [ГР, разделы 9.22-9.23]. Кроме того,
о
Положив ю = ? +'2, получим, что
(Um(-,3),Un{-,3 + 2))
где
+00+00
/ /
О -оо
„dxdu
х expB«rtn(xy — *{/))——.
Пршмажввше 1.2 49
Заметим, что
+00
1 _1
ехр(—2imy)dy
с-* оо
С fydV+f
00
ехр(-2?гпу) , 2
Значит, Дт,„(в,с) < . 1[-
Следовательно, ряд
определяет функцию, голоморфную в области Re(s) > 1/2 и удовлетво-
удовлетворяющую оценке О ( j-) • Доказательство леммы А.2.5 завершено, а
В качестве следствия А.2.10 и леммы А.2.5 получаем оценку роста
дзета-функции Z\rn, n, з).
А.2.6. Теорема. Z(m,n,s) голоморфна в области Re(s) > 1/2, в =
U
(|в|1/а\
J-i—j J при t -> оо и «г > 1/2.
(Здесь <r = Re(a).)
Доказательство. Непосредственно следует из (АЛ.5), (АЛ.10), не-
неравенства Копта и формулы Стерлинга для гамма-функции, а
Переход от теоремы А.2.6 к теореме А.2.1 стандартен; мы лишь
кратко укажем основную его идею. Используя теорему А.2.6 и приме-
применяя принцип Фрагмена-Линделефа [Ti], имеем
при е < а < 1/2+е. Применяя обратное преобразование Меллина pal],
получим, что
50 Глава 1. МЬдухаржне формы
Заменяя контур интегрирования на Re(s) = е, на основании теоре-
теоремы А.2.6 заключаем, что
Положив Т = as1/3, завершаем доказательство теоремы А.2.1. а
В заключение этого приложения отметим, что в случае произволь-
произвольной конгруэнц-подгруппы Г (не обязательно Г = ГA)) можно рассу-
рассуждать аналогично, за исключением лишь того, что мы не знаем, спра-
справедлива ли оценка Ai(r\H) ^ 1/4 На самом деле, в общем случае оценка
Вейяя A.5.7) позволяет получить неравенство
*1(Г\«)>? (А.2.14)
цла ПРОИЗВОЛЬНОЙ m ihi'I >уячгт^-ггпдгт>у1ттты Р.
Оценка (А.1.14) принадлежит Сельбергу [Sel] и является оче-
очередным шагом в направлении доказательства'обобщенной гипотезы
Рамануджана А.2.3. Она эквивалентна предложению 1.5.2. Неравен-
Неравенство (А.1.14) к настоящему времени усилено лишь до Ai(T\ W) > 3/16,
см. [GJ]. Иванец [Iw3] показал, что для почти всех (Го(р), х) возможно
1»
Замечания
В этих комментариях мы подразумеваем, что читатель знаком с раз-
различными понятиями теории модулярных форм, которые мы использу-
используем, не имтпшппм определений.
Как было упомянуто выше, гипотеза Рамануджана для форм целого
веса fc относительно T{N) доказана Делинем [De]. Ранее, Эйхлер [Ei] и
Игуса pg] установили ее справедливость в случае к = 2. Эти решения
сводят доказательство гипотезы Рамануджана к гипотезе Римана для
кривых над конечным полем в случае к — 2 и к обобщению последней
— гипотезам Вейдя — для к ^ 4 Основную роль здесь играют операто-
операторы Гекке. Например, для к = 2 ключевой шаг заключается в изучении
их редукции по модулю р и их связи с автоморфизмом Фробениуса.
Для того чтобы доказать гипотезы Рамануджана в той форме, в ко-
которой мы их сформулировали в 1.2.5, необходимо также рассмотреть
17
См. предисловие шпора ж русскому переводу. — Прим. ред.
Заиечанкя 51
операторы Гекке Тр для р, делящих уровень Г, и, в частности, привлечь
теорию новых форм [AL]. Необходимые понятия можно найти в книге
Ранкина plan].
Для более общего случая произвольных автоморфных форм, т.е.
форм Мааса [JL], определенных в замечании А.2.4, а также для авто-
автоморфных форм относительно GLB) над числовым полем, вопрос о спра-
справедливости гипотез Рамануджана остается открытым. Метод разде-
раздела 1.5, принадлежащий Петерсону [Ре], может быть обобщен и дает не-
нетривиальные и, в общем, наилучшие из известных опенки. Удивитель-
Удивительный подход к общим гипотезам Рамануджана в рамках теории предста-
представлений предложил Ленглендс [La]. В этом случае основную роль играют
автоморфные формы относительно других групп, таких, как GL(n).
В связи с этим следует заметить, что весьма естественная формули-
формулировка гипотез Рамануджана на языке теории представлений принад-
принадлежит Сатане [Sat]. В этой формулировке утверждается, что для ав-
томорфного параболического представления т = ®р itp, представления
я? для неразветвленных р не лежат в дополнительной серии. В част-
частности, с этой точки зрения гипотезы Рамануджана 1.2.5 и гипотеза
Сельберга (А.2.3) в действительности одно и то же. Кроме того, эта
формулировка допускает обобщения на другие группы; но при этом,
как показали Хоув и Пятецкий-Шапиро [HP], следует соблюдать осто-
осторожность. Они привели примеры, подобные примеру формы полуцелого
веса (см. A.3.8) и последующее обсуждение), для которой не выполне-
выполнена оценка гипотезы Рамануджана. В общем случае о справедливости
гипотез Рамануджана известно очень мало. Некоторые качественные
результаты, касающиеся существования нетривиальных опенок, были
подучены-в работе Каждана.[Ка]. Эти результаты относятся к груп-
группам, которые обладают так называемым "свойством Т" и, в частности,
к группам, чей ранг не меньше 2. (Следует заметить, что "свойство Т"
и соответствующая нетривиальная опенка не используют дискретную
подгруппу Г и, следовательно, не опираются на арифметику.) Для клас-
классических групп, не обладающих "свойством Т", количественные резуль-
результаты, подобные предложению 1.5.3 и неравенству (А.2.14) и подучен-
подученные аналогичными методами, приведены в работах Элстреда, Меннике
к Грюневальда [EGM] и Ли, Пятецкого-Шапиро и Сарнака [LiPS] (для
SO(n, 1)), а также Ли [Li] (для SU{n, 1)).
Что касается гипотез Рамануджана для форм полуцелого веса, не-
нетривиальная оценка будет получена в главе 4. Этот случай принципи-
принципиально отличается от случая форм четного целого веса, и, по существу,
гипотеза Рамануджана для него связана с другими глубокими гипо-
52 Глава 1. Модулярные формы
тезами. Вальдшпургер [Wat], а также Конен к Загир [KZ] показали,
что для Го D), если f(z) € Sfc(ToD)) является собственной формой опе-
оператора Гекке Tpj и удовлетворяет дополнительному ортогональному
соотношению, л д — параболическая форма веса 2к — 1, соответству-
соответствующая / при подъеме Шимуры (в частности, д — собственная функция
операторов Гекке в пространстве $2*-i(r(l))), то
Здесь D > 0 — фундаментальный дискриминант, о„ — коэффициенты
Фурье формы /, a L{g®XD, я) — автоморфная Хгфункцня, отвечающая
д ® XD- Особое значение а = к — - является серединой критической по-
лосы функции Ь(д®хо,з). Известно, что гипотеза Рамануджана для /
эквивалентна гипотезе Линделефа для L (если D рассматривать в точ-
ке к — -). Выло бы интересно развить, даже опираясь на гипотезы,
такой же подход к гипотезе-Линделефа, как и упоминавшаяся выше
программа Ленглендса. В качестве интересной работы в этом напра-
направлении отметим статью Бамшц Хоффштейна и Фрейдберга [BFH].
Конструкция автоморфных форм при помощи тэта-функций в раз-
разделе 1.3 была обобщена Зигелем [Sil] с целью привлечь произвольные
квадратичные формы. Общая постановка задачи и опенка значимости
этой теории были предложены Вейдем [We2] и Хоувом [How] соответ-
соответственно; см. также теорию дуальных пар, предложенную последним.
Основная теорема Д.2.1 приложения 2 принадлежит Кузнецову [Ку].
Предложенное здесь доказательство этого результата с помощью
дзета-функции Сельберга и, в частности, оценка ее роста из теоре-
теоремы А.2.6 следует работе Голдфельда и Сарнака [GS]. Основные аспек-
аспекты приложения 1.2 (а также блестящее обсуждение проблемы получения
оценок коэффициентов Фурье) изложены Сельбергом [Sefl. Как было от-
отмечено в тексте, Дезуйе и Иванец в работе [DI] применили эту теорию,
наиболее гибкая форма которой известна как формула следа Кузнецо-
Кузнецова [Ку]. Варди [V] использовал аналог теоремы А.2.1 для форм более об-
общего веса, чтобы доказать равномерное распределение значений сумм
Дедекинда. Мейерсои [Меу], опираясь на результаты Варди, высказал
гипотезу, касающуюся равномерного распределения таких сумм, род-
родственную гипотезе Радемахера.
Глава 2
Инвариантные средние на Loc(Sn)
2.1. Инвариантное среднее
Пусть X — L0OEn) обозначает банахово пространство функций на п-
мерной сфере, измеримых относительно меры Лебега Л и ограниченных
в существенном18. Для функции / € X и вращения t,t € SO(n +1), по-
положим ft(x) = f(tx). В двойственном пространстве X* для каждого
линейного функционала и € X* можно определить линейный функцио-
функционал щ такой, что vtf = v(ft). Инвариантным (относительно вращений)
средним на X называется щнйииьш функционал р, удовлетворяющий
следующим трем условиям:
(i) *A) - 1,
(и) *(/)^0,если/>0,
(ш) щ = v для всех t € SO(n +1).
Мера Лебега Л задает инвариантное среднее, и, как хорошо известно,
оно единственно в пространстве C(Sn)*, сопряженном к пространству
непрерывных функций C(Sn), т. е. как мера. Вопрос, который мы рас-
рассмотрим в этой главе, состоит в том, будет ли Л единен
вариантным средним на L°°(Sn). Как было отмечено во введении, для
г» > 2 эта задача совпадает с проблемой Рузиевича [Ва]. В разделе 2.2
мы покажем, что в случае г» = 1 инвариантное среднее неединственно.
В разделе 2.3 будет показано, что единственнность следует из суще-
существования "е-хороших множеств", которые определяются следующим
образом:
1в Точнее, классе» функций, совпадающих почти всюду по мере Лебега я огра-
ограниченных яа множестве паяной меры. В дальнейшем в главе 2 "функция" означает
класс функций в этом смысле. Отметим также, что X — несепарабельное банахово
пространство. — Прим. перев.
54 Глава 2. Инвариантные средние да L°°(S")
Пусть е > 0 фиксировано. Множество, состоящее из вращений
ti,...,tr € SO(n + 1), называется е-хорошим, если для любой функ-
функции / € L^S"), удовлетворяющей условию / /dA = 0, существует
Js*
j 6 {1,..., г} такое, что
/1Ь>г||/||2. B.1.1)
Как мы увидим в 2.3, проблема единственности в случае n ^ 2 сводится
к построению таких е-хороших множеств. В разделе 2.4 мы предложим
индуктивную (и эффективную) конструкцию е-хороших множеств в
SO(n + 2) по е-хорошим множествам в SO(n + 1).
В заключение, в разделе 2.5 будет приведена явная (и даже опти-
оптимальная) конструкция е-хороших множеств в 50C). Именно в доказа-
доказательстве того, что эти множества являются е-хорошими, будет исполь-
использована справедливость гипотез Рамануджана.
Очевидно, е-хорошее множество порождает группу Г С SO(n + 1),
обладающую хорошими эргоднческимн свойствами.- Такие явные е-хо-
рошие множества можно применять для порождения оптимально рав-
равномерно распределенных матриц в ортогональных группах и, следова-
следовательно, равномерно распределенных точек на сфере. Мы кратко объ-
объясним эти идеи в разделе 2.6. Нашим основным е-хорошим множе-
множеством является набор *i,*2.,*a. € 50C) вращений относительно осей
в пространстве R3 на угол arccos(-3/5). Это множество бу-
будет -C - \/5)-хорошим19.
3
19 функционал, удовлетворяющий условиям (i), (ii), (ffi), можно определять в раз-
пространствах функций на группе (или G-пространствах); в исходном опре-
фон ленмаяу l^*sl* рассматривалась дискретная
и пространство i^yS) Ш'раиичттых »д«у» '¦'¦«¦¦¦¦¦хг функции яа группе. Группы,
у которых инвариантное среднее в l°°(G) существует, называются амеиабедьными
("измеримыми" по фон Нейману); их теория представляет теперь обширную область
анализа, теории динамических систем, теории вероятности (см. [Grix] и литературу
в [Ид]). Обычно, если на бесконечной дискретной группе инвариантное среднее су-
существует, то оно неединственно. Это фактически используется в 2.2. При переходе
к непрерывным группам и их однородным пространствам проблема усложняется.
Например, SO(n) в дискретной топологии неаменабельна при п ^ 3, так как со-
содержит свободную подгруппу с двумя образующими. Если же ставить вопрос о не-
непрерывных функциях, то, как указывалось, инвариантное среднее существует (мера
Хаара) и единственно. В проблеме, изучаемой далее, рассматривают пространство
L°°(S"). В этом случае единственность зависит от п. — Прим. ред.
2.2. Неединственность инвариантного среднего для L°°{Sl) 55
2.2. Неединственность инвариантного среднего
дам L
Пусть Я — линейное подпространство X = L°°(Sl), порожденное
функциями вида ft — /, где t € S1 и / € X. Очевидно, что функци-
функционал v & X* является инвариантным (относительно вращений) тогда
н только тогда когда v аннулирует Я. Для того, чтобы построить ин-
инвариантное среднее, отличное от Л, необходимо найти элементы про-
пространства X, не лежащие в Я и не являющиеся константами (см. далее).
2.2.1. Лемма. Пусть А с S1 — фиксированное открытое всюду
плотное множество. Тогда для любого А € Я
essinf/i(i) ^ 0.
N
Доказательство. Пусть Л € Я. Функция А имеет вид J2 [(Л)*» ""/*]¦
Для большого числа М рассмотрим20
Т(х) =
где т = (mi,..., тплг) € Ъ •
Д»« каждого к во внутренней сумме сначала выполним суммирова-
суммирование по гпк- Тогда очевидно, что для любого х
N
|Т(х)| ^ 2BМ + I)" ? ||Л|Ц. B.2.1)
/fc=i
С другой стороны, поскольку А открыто и всюду плотно (а пересечение
конечного числа сдвигов таких множеств не пусто), можно выбрать х
так, чтобы все точки х + n»iti Н h тд^лг °P" M ^ М- лежали в А,
и, следовательно, для таких х
Т{х) ^ BAf + l)Ne, B.2.2)
где е =fesaiafh(x). Так как М можно выбрать сколь угодно большим,
то из B.2.1) и B.2.2) следует, что е ^ 0. D
20 Автор использует здесь аддитивную запись для обозначения групповой опера-
операции в абелевой группе 51 = R/Z. При этом (Л)^ (г) = Д (tk + z). — Прим. перев.
56 Глава 2. Инвариантные средние на
Эта лемма позволяет легко показать, что сумма Y := Н +
c, где Ас — дополнение к А, является прямой суммой линейных
пространств. Действительно, определим линейный функционал v на У
следующим образом:
для у = А + axsi + Рхл' положим i/(y) = a. B.2.3)
При этом мы предполагаем, что А выбрано так, что А(ЛС) ф О (т. е. Ас
есть канторово множество положительной лебеговой меры). Тогда для
у € У из леммы 2.2.1 следует, что
||у|| = ||А + axst + 0Хл4 > esssup |ft + axstI > N = Иу)|,
т.е.
ИуЖНуИ для у G Г. B.2.4)
По теореме Хана-Банаха31 можно доопределить v до линейного функ-
функционала v на X, удовлетворяющего следующим четырем условиям:
(i) V{H) = О,
(ii) v(l) = 1,
И N = I-
(iv) v(XA')=0.
Из этих условий следует, что v инвариантное среднее, а условие (iv)
гарантирует, что А ф v.
Читатель, знакомый с понятием аменабельной группы, мог заме-
заметить, что именно это свойство является решающим в выводе B.2.1).
Неудивительно, что А не будет единственным инвариантным средним
для недискретных групп G, являющихся аменабельными (как дискрет-
дискретные группы), см. [Gra, Ru]22. Группа G - SOC) как дискретная группа
21 См., например, [КАД, гл. 5, §7]. — Ярш*. перев.
22 Фактически доказывается, что абелева группа SOB) как дискретная группа
имеет бесконечное множество инвариантных средних. Этот факт и был отправным
для фои Неймана. Наиболее близкое изложение см. в [HR,, гл. 4, §17]. В частности,
именно таким способом, как выше, доказаны существование инвариантного среднего
и теорема Дзя о неединственности инвариантного среднего на бесконечных абедевых
группах. — Прим. ред.
2.3. Сведвияе к существовавши с-хорошжх множеств 57
не является аменабедьной. В действительности, как мы увидим позже,
вращения *ъ*2,*з> упомянутые в конце раздела 2.1, образуют свобод-
свободную группу.
2.3. Сведение к существованию е-хороших множеств
2.3.1. Теорема. Если для некоторого е > 0 существует е-хорошее
множество, состоящее из вращений t\,...,tk € SO(n + 1), то мера
Лебега является единственным инвариантным средним на ХооE").
Доказательство. Пусть v € X* есть инвариантное среднее. Заме-
Заметим, что X = {L1)*, я, следовательно, i/ 6 (X1)** = -X"*- Пространство
L1 всюду плотно в «-слабой топологии (т.е. топологии двойственно-
двойственности (Х,Х*); см. [КАД, гл. 5, §7] — реЛ) (L1)** = X*. Так как i/ ? О
и i/(x5») = 1, то найдется направление {/М} g ii1 такое, что /W -> i/
в «-слабой топологии, If^dX = 1 я /^ > 0. Кроме того, так как i/ ин-
инвариантно (относительно вращений), то для всех j = 1,..., к имеем, что
/1 — /^ -> 0 в слабой топологии в L1 (поскольку это так в «-слабой
топологии в (X1)**). Слабое я сильное замыкание выпуклых множеств
совпадают; поэтому "н можем взять выпуклые комбинации элементов
направления /^ начиная с некоторого места, чтобы получить новое
направление д^\ для которого д^у - д^ -»¦ 0 для каждого j в смысле
сильной сходимости в L1, а также Ig^dX = 1 я д^) > 0. Кроме того,
+у в «-слабой топологии. Если у/дОй = ъ№, то
для каждого j. Таким образом, ||А(")||2 = 1 и \\h[f -h^\\2 -* 0. Из того,
что ti,...,tk образуют е-хорошее множество, следует, что /»М -> 1 в
X2; тогда
0.
Таким образом, 9^ -> 1 (сильно) в L1, а так как д№ -> i/ в «-слабой
топологии, то v = 1, что завершает доказательство. О
58 Глава 2. Ииваршажтяыв средние на L
Очевидно, что всякое множество вращении Ль ¦ • ¦, Д* € SO(n + 1)
не более чем 2-хорошее. В действительности, оно не может быть более
чем у2-горотим.
2.3.2. Предложение. Конечное множество Ri,...,Д* € SO(n), n > 3,
не может быть более чем у/2-хорошее.
Доказательство (Мак-Мадлен). Пусть Ri,...,Rk — заданное мно-
множество вращении. Можно найти достаточно малое открытое множе-
множество U такое, что (RjU)nU = {0} для каждого j. Построим функцию /
U такую, что / fd\ = 0 и / |/2|dA = 1. Тогда
Jsn-l У5»-1
с носителем в
(Rif,f)=O для j =
Следовательно,
||A/-/Hi = 2 для j =
В разделе 2.5 мы построим (%/2—^-хорошие множества в 50C) для
сколь угодно малых q > 0.
2.4. Индуктивная конструкция
Пусть имеется е-хорошее множество вращений *i ,---,** € SO(n + 1).
Мы построим 2fc вращений в SO(n + 2) следующим образом:
Для каждого j — 1,..'., к определим
B.4.1)
0 0 /
Так определенные ij оставляют ось хп+2 в Rn+2 неподвижной, т. е. все
ij — вращения вокруг оси N-S сферы 5"+1 (т. е. оси, проходящей через
северный и южный полюсы). Аналогично определим ej € SO(n + 2),
j = 1,..., к, при помощи такой же конструкции с заменой оси N-S
на "ось E-W (говоря об оси E-W, мы подразумеваем произвольную
фиксированную (не зависящую от j) ось, ортогональную оси N-S).
2.4.1. Теорема. Множество, состоящее из вращений ?i,...,?fc,
*Ь • • • > *ь является е/Bк)-хорошим.
2.4. Ивдуктявиаж конструкция 59
Доказательство. На 5"+1 рассмотрим сферические координаты
(в,т), О ^ в < ж, т € S". Угол в измеряется по отношению к хп+2-й
оси. В этих координатах
T). B.4.2)
Аналогичное соотношение имеет место для 3j, если рассматривать сфе-
сферические координаты относительно оси E-W (в этом случае коорди-
координата в — это угол между осью E-W и лучом, направленным из начала
координат в данную точку на сфере). Определим в L2(Sn+1) подпро-
подпространства An, Bn, Ae, Be следующим образом:
An = {/ I /(в, т) = /(<?, Рт) VP € SOin + 1)}, B.4.3)
т. е. An состоит из функции, радиальных относительно оси N-S. Опре-
Определим Bn = AN. Подпространства Ае в Be определяются аналогично
с заменой оси N-S на ось Е-W.
Мы утверждаем, что для / € Bn я g € Be справедливы неравенства
Действительно, если / € Bn, to / /@, r)rfAn(r) = 0 для почти всех в.
JS»
Для каждого такого в справедливо B.42). Интегрируя по в ж восполь-
воспользовавшись тем, что по предположению <i,..., t* образуют е-хорошее
множество (по переменной г), мы получим B.4.4). Доказательство для
Be ж sj «jfMpiQT'M чип.
Прежде чем продолжить доказательство, мы докажем следующую
важную лемму.
2.4.2. Лемма. Если f € AN, g eAE « / fd\ = 0 = / gd\, то
\(f,g)\'
60 Глава 2. Инвариантные средние да ?,°°E")
Доказательство. Представим L2(Sn+l) в виде ортогонального раз-
разложения по сферическим гармоническим функциям
где Я* — пространство сферических гармонических функций степе-
степени к. Достаточно проверить утверждение леммы для f,g € Я*, к > 1,
таких, что И/Иг = Hfflh = 1- Заметим, что такая функция / € Нк П Адг
(соответственно ? € Я* П Ад) лежит в одномерном пространстве ин-
инвариантных относительно вращений вокруг оси N-S (соответственно
вокруг оси E-W) собственных функций оператора Лапласа на сфере
S"*1. Таким образом, f(z) = ixWk(z, N), где N, Е, < — векторы из 5"+1,
Wk(z, С) — это зональная функция (см. [Fo]), нормализованная так, что-
чтобы Wk{z, z) = 1, а скаляр р подобран так, чтобы (/, /) = 1. Аналогично,
g(z) =iiWk(z,E). Следовательно,
/ I Wk(z,N)Wk(z,E)d\(z)
5»
= p2h(k)Wk(N,E), B.4.5)
где h зависит только от к; "преобразование Сельберга" — функция
W(z, Q — является сферической функцией (читатель может проверить
это непосредственно или найти подробности в [Sz]).
Кроме того,
l = (f,f)=.li2h(k)Wk(N,N) = vi2h(k). B.4.6)
Таким образом, (/, д) = Wk(N, Е), и, следовательно, для доказательства
леммы достаточно проверить, что
± B.4.7)
Хорошо известно, что зональная функция Wk(z, N), как функция пере-
переменной х = cos в, кратна ультрасферическому многочлену PJ?~2, см.
[Fo] и [Sz]. Так как оси N-S и E-W ортогональны, то величина, кото-
которую мы хотим найти (т. е. Wk(N, Е)), есть значение функции Р в точке
х = 0. Непосредственное вычисление (см. [Sz]) дает
2.5. е-хорашше множеств» в 5ОC) ' 61
Максимум достигается при jfe = 1. Непосредственно вычисляя его, мы
завершаем доказательство леммы. О
Jgn+i
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2.4.1.
Рассмотрим произвольную функцию /, удовлетворяющую условиям
fd\ = 0 и Ц/Цг = 1. Представим ее в виде
/ = un + bs и / = пе + Ье, B.4.8)
где un € Aff, bff € В^, од € Ae, Ье € Be- Из доказанного выше
(а именно, из неравенств B.44)) следует, что
ll/t, ~ /IU > f IIVIU Для некоторого j,
е , B-4.9)
II/»,-» - /IU > т||Ьлг||2 для некоторого j .
Кроме того,
II II2 lit l и 2
||'*АГ — *Ч?||2 ^ 11™АГ ~ "В||2>
и, по лемме 2.4.2,
||олг - аЕ\\1 > ^т1|оаг||2 ||о??||2- B.4.10)
Следовательно,
Объединяя последнее неравенство с ||алг||! + Н^лгНз = \\пе\\1 + \\Ье\\Ъ = ^
мы получаем, что по крайней мере одно из чисел ||&лг||з или \\ЬеЪ не
меньше, чем 1/2. Вместе с B.49) это означает, что *i,..., 4. *i, • • •, h
образуют e/BJb)-xopomee множество. D
2.5. е-хорошие множества в SOC)
В этом разделе мы предложим явную и оптимальную конструкцию
е-зюрошего множества в 50C). Как мы уже знаем из результатов раз-
разделов 2.2 и 2.3, в S1 не существует е-хороших множеств. Поучительно
доказать это непосредственно. Пусть ai,..., а* € S1. Можно выбрать
О ф т е Z так, чтобы точка m(ai,..., ar) (mod 1) в Rr/Zr была близ-
близка к @,... ,0) € RT/Zr. (Например, это следует из принципа Дирихле.)
62 Глава 2. Итлрш&ггиые среднже на L°°(S")
В-частностн, для произвольного е > 0 существует т ф 0 такое, что для
/(а;) = е(та;) на S1
(которая удовлетворяет условию / fdX = 0) имеет место оценка
Js1
\\faj — /Й2 = II1 - е(тал)|| < е для каждого j. Отсюда легко следует,
что в S1 не существует е-хороших множеств.
Для 50C) е-хорошие множества существуют. Вместе с индуктивной
схемой из раздела 2.4 они могут быть также использованы для явно-
явного построения е-хороших множеств в SO(n), n > 4. Объединяя этот
результат вместе с теоремой 2.3.1, мы завершим доказательство един-
единственности Л (как инвариантного среднего) для 5", п > 2. В этом раз-
разделе мы покажем, что вращения ti, *2, <з, определенные в конце раздела
2.1, образуют -C - %/5)-хорошее множество.
3
Если S С 50C) есть конечное'симметрическое множество (т.е.
8 € S ^- з~1 € S), то можно определить "оператор Гекке" Ts на ^2
при помощи следующего соотношения:
Tsf(x) = ^ f(ax). B.5.1)
Это оператор Гекке того же типа, что и введенные в разделе 1.6 (с груп-
группой Г, состоящей только из единичного элемента). Оператор Ts — сим-
симметрический оператор на Ь2(?Р), спектр которого содержится в [—Jfe, Jfe],
где к = \S\. Число к принадлежит spectrum (Is), так как оно являет-
является собственным числом оператора Ts, соответствующим постоянной
функции. Пусть Aj (Ts) обозначает абсолютную величину собственного
числа оператора Is, следующего (по абсолютной величине) за наиболь-
наибольшим собственным числом. Сходство с приложением А.2 не случайно.
Пусть
где h,t2,t3 —это вращения вокруг осей ii, 12,хз на угол агссов(-3/5).
2.5.1. Теорема.
Замечание. Любоцкий, Фиддипс и Сарнак (см. [LPS1]) показали, что
spectrmn (Ts) = {6} U [-2^5,2^5].
2.5. е-хороппге тожества в 5ОC) 63
Если функция / ортогональна постоянным функциям, то справедлива
оценка ЦГ^/Цг ^ Ai(Ts)||/||2. Поэтому из теоремы 2.5.1 следует, что
ИЛ. - /Hi + ll/d - /Hi + ИЛ. - /Hi > 2C -
для всех функций / € L2{SP), удовлетворяющих условию //dA = 0.
Следовательно, <i, fc» 'з образуют -C — \/5)-хорошее множество.
Множество 5s и оператор Tsf естественно возникают при рассмо-
рассмотрении целых кватернионов. Пусть Н = {а = ао + aii + а?} + азк},
(i2 = j2 = к2 = -1, ij = -ji . к) — кольцо кватернионов. Через Н(Ъ)
обозначим кольцо целых кватернионов, т.е. таких a € Н, для кото-
которых aj € Z, j = 0,1,2,3. Для a € H(Z), рассмотрим его сопряженное
a = ао - oii - oaj - 03k, и определим норму N(a) — ci&. Если а € ff(Z),
то iV(a) € Z. Очевидно, что «урптцтд (т. е. обратимые элементы) коль-
кольца Н{Ъ) — это в точности те a € H(Z), для которых N(a) = 1; т. е.
единицы исчерпываются следующими кватернионами: ±1, ±i, ±j, ±k.
Число тех a € #(Z), для которых N(a) = n, равно Г4(п), где г4(п) рав-
равно количеству представлений п в виде суммы четырех квадратов (см.
также обозначения A.1.4)). Как отмечено в A.1.6),
Пусть р простое, р = 1 (mod 4). Рассмотрим множество всех a € H(Z),
для которых JV(a) = р. Очевидно, что для такого a = ао + aii + 02J +
03k в точности один из коэффициентов Oj нечетный. Умножение на
единицы переводит множество целых кватернионов с нормой р в себя,
к для каждого такого ol существует единственный ассоциированный
с ним кватернион a = tol такой, что
N{a)=p, a = l (mod 2) (в H(Z)) и оо > 0. B.5.2)
Учитывая A.1.6) и тот факт, что мощность множества вдяядц в H(Z)
равна восьми, мы видим, что множество всех а, удовлетворяющих
B.5.2), состоит из р+1 элемента и, очевидно, распадается на а =
пары сопряженных. Таким образом, множество Sp тех а, которые удо-
удовлетворяют B.5.2), имеет вид
B.5.3)
64 Глава 2. Итарпитшые средние на L
Рассмотрим гомоморфизм жз Н* (мультипликативной группы обрати-
обратимых элементов кольца Н) в 517B), заданный следующим образом:
°2+a*i)
B.5.4)
Элементы 517B) соответствуют (посредством стереографической про-
проекции) вращениям из SOC)M. Гомоморфизм B.5.4) позволяет думать
об a € ВТ как об элементе группы 517B) или 5ОC), что мы и будем
делать (точное значение будет понятно из. контекста).
Для целого п > 1 определим операторы Гекке Т»:
a = l(mod2)
AT(a) = n
Непосредственное вычисление показывает, что
55 =;{1 + Я, 1 - Я, 1 + 2j, 1 - 2j, 1 + 2k, 1 - 2k}.
При помощи, гомоморфизма B.5.4) мы можем отождествить это мно-
множество S$ с множеством, введенным перед формулировкой теоремы
2.5.1; кроме того, оператор Г$, определенный согласно B.5.5), совпада-
совпадает с оператором Tss (см. B.5.1)). Таким образом, теорема 2.5.1 является
частным случаем следующего результата.
2.5.2. Теорема.
Нам потребуется несколько лемм.
2.5.3. Лемма. Каждый кватернион /9 € #(Z) с N(/3) = р* единствен-
единственным образом представим в виде
где I <. k/2, m + 21 — k, Rm — приведенное слово длины т в алфавите
од,... ,ov, и е — единица кольца Н{Ъ). Под приведенным словом в ал-
алфавите <*1,<5Г,...,Щ мы подразумеваем слово (составленное из этих
символов), в котором нет подслое вида а^Щ иди Ща, (иными слова-
словами, непосредственно за символом не может следовать сопряженный
к нему).
м Точнее, жыеетса двулистное накрытке SUB) = 5е -+ RP3 = SOC). Подробнее
см., например, (КМД, часть 2, §11]. — Прим. ред.
2.5. е-хорошме множества ж 5ОC) 65
Доказательство. Мы начнем с доказательства существования та-
такого представления. Д""« [pi] показал, что Н(Ъ) является левым и
правым евклидовым кольцом и что любой нечетный элемент #(Z) (т.е.
элемент с нечетной нормой) является простым тогда и только тогда,
когда его норма — целое простое число. Так как N@) = р*, то /9 —
нечетный кватернион. Следовательно, мы можем представить /9 в виде
Р = fS, где N(j) = р* (если само /9 не просто) и NF) = р. Используя
определение множества Sp, мы можем подобрать единицу е так, чтобы
0 = уеа, где а€5р.
Продолжим разложение, выделяя множитель у уе и т. д. Сократив за-
затем последовательные сопряженные {суЩ = ajcij = р), мы получим
требуемое в лемме 2.5.3 представление C.
Для доказательства единственности найдем количество таких пред-
представлений. Заметим, что число приведенных слов длины < > 1 равно
(р+1)р'-х. B.5.6)
Следовательно, количество всевозможных разложении на множители
(указанного в условии вида) элементов с нормой р* равно
B-5.7)
где S(k) = 0, если к нечетно, и 6(к) = 1, если к четно. Вычислив
сумму, мы находим, что число всевозможных таких разложений рав-
1Г+1 - 1
но 8- —. С другой стороны, согласно A.1.6), это в точности коли-
количество элементов с нормой р*. Таким образом, для каждого /9 такое
представление единственно. D
2.5.4. Лемма. Если /9 = 1 (mod 2) и N@) = р*, то /9 единственным
способом представило в виде
где 21 + т = к, a Rm — приведенное слово.
Доказательство. Так как /9 = 1 (mod 2) (по условию) и ац =
= 1 (mod 2) (по выбору оц), то в представлении из леммы 2.5.3 е =
= 1 (mod 2). Следовательно, е = ±1. О
66 Глава 3. Инвариантные средние на ?""C»)
Из леммы 2.5.4 следует, что аь..., а„, рассматриваемые как элемен-
элементы SOC), порождают свободную группу (см. раздел 2.2, где упоминался
этот результат).
2.5.5. Лемма.
где [/"„ — это многочлен Чебышева второго рода, т. е.
, am(arccoez)
Доказательство основано на непосредственном применении лем-
леммы 2.5.4. О
Из леммы 2.5.4 можно вывести соотношения, подобные соотношени-
соотношениям C.5.2) и C.5.3) (см. следующую главу). Заметим, что, в частности,
если и — собственная функция оператора Тр, т. е.
Три = Ли,
то
Т«ии = p»/aaip((y + 1)tf)> /2 5 g)
где .
Дха изучения спектра оператора Тп мы рассмотрим его действие на
сферические гармонические функции степени m на S2, т.е. его дей-
действие на ЯтпEг2). Очевидно, что эти конечномерные пространства ин-
инвариантны относительно действия любых операторов Гекке Т§. Пусть
и € HmiS2), го > 1.
2.5.в. Лемма. Зафиксируем точку. Со € S2.. Тогда функция F(z), опре-
определенная для z € % посредством равенства
F(*) =
a=2 (mod 4)
a€ff(Z)
является голоморфной параболической формой веса 2 + 2т относи-
относительно конгруэнц-подгруппы ГA6).
2.5. g-хорошие множества в 50C) 67
Доказательство. Как было отмечено в разделе 1.3 (в частности, см.
равенство A.3.7) для единичной 4 х 4-матрицы А, п = 4, N = 4, h —
B,0,0,0) и для любой сферической гармонической функции Р степени
v ^ 1 от четырех переменных) функция
O(z,h,N) =
msh (mod AT)
является модулярной формой веса 2+р относительно ГAб). Таким обра-
образом, для доказательства леммы достаточно показать, что u(a$o)N(a)m,
где а = а+Ы+qj+dk, является, как функция от (a,b,c,d), сферической
гармонической функцией.
Не умаляя общности, можно считать, что Со — южный полюс сфе-
сферы S2. Простое вычисление показывает, что в этом случае
= Ща)ти (]^B(со - <0>),2(da + Ьс), с2 + # - а3 - Ь2)) .
Функция и(С) является ограничением на единичную сферу однородно-
однородного гармонического многочлена степени m от трех переменных. Такой
многочлен может быть представлен как сумма многочленов вида
= О,
3 = 1
см. [Sch2]. Достаточно рассмотреть случай, когда сама функция и име-
имеет такой вид. Тогда
Ща)ти(аСо) = B6(со - db) + %(arf + be) + ^(с2 + # - a2 - Ь2)).
Очевидно, что это однородный многочлен степени 1т от переменных
a,6,c,d. Кроме того, он является гармоническим многочленом, что
з
можно непосредственно проверить, используя условие ?] ?? = 0. Это
3=1
завершает доказательство леммы 2.5.6. a
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы 2.S.2 Функ-
Функцию F(z) можно представить в виде
68
Глава 2. Инвараавтяые средам на ?овE")
где
О52 (mod 4)
Щ)
Применяя оценку 1.2.5 для парабол!
что
: форм веса 2 + 2т, получим,
': B.5.9)
(функция u и точка ? фиксированы; поэтому константа в последней
оценке также зависит от них.) Следовательно,
Е «(«о
а=2 (mod 4)
a€ff(Z)
ЛГ(О
B.5.10)
Положим в данной сумме ц = t//4 D делит i/) и /? = а/2. При этом
/9 € #(Z), iV(/3) = ц ж 0 s I (mod 2). Следовательно, оценку B.5.10)
можно переписать в виде
0=1 (mod 2)
(Р)
В частности, для ц = р*, р s I (mod 4) на основании леммы 2.5.5
имеем:
Бели теперь мы рассмотрим такую функцию и, что Три = Ли, и выбе-
выберем С так, чтобы и(?) ф 0, то полученная выше оценка вместе с B.5.8)
дает
sin*
где Л = 2^рсовв. Последняя оценка влечет, что в вещественное, и, сле-
следовательно, |Л| < %/р. Это завершает доказательство теоремы 2.5.2. Q
Заметим, что, опираясь на оценку, установленную в предложен!
1.5.3, мы бы получили, что
2.6. Распредемеатв точек на сфере 5* 69
Это неравенство (хотя порядок опенки Ai в ней и слабее истинного)
достаточно для построения е-хррошего множества. Так, на основании
него можно показать, что ?i,*2,*3 образуют е = [6 — E3^4 + 5~3/4)]-
хррошее множество.
Напомним, что согласно предложению 2.3.2 множество вращении
может быть не более чем у/2-харошяи. Пусть т/ > 0. Ниже мы пока-
покажем, что если р > I/T72, то множество oti,...,aa, определенное как
и в B.5.3), является л/2 — ^-хорошим (в SOC)). Таким образом, вра-
вращения оц,...,^ задают множества, которые являются оптимально
е-хорошими. Для доказательства этого заметим, что для функции /,
удовлетворяющей условиям / fd\ = 0 и ||/|| = 1, справедливо
Js*
(последнее неравенство следует из теоремы 2.5.2). Тогда
Следовательно, для некоторого j = 1,..., а
т.е. а\,...,аа задают л/2 — 4г;-хэрошее множество.
2.6. Распределение точек на сфере S2
Вращения *ь*2,*з € SOC) являются эргодическими в самом строгом
смысле. Элементы группы, порожденной ими, равномерно распределе-
распределены в SOC). Более точно, рассмотрим б- 5" вращении, яя.д»»тимтг с по-
помощью приведенных слов длины и в алфавите *i, ?г, *з (они легко строят-
строятся рекурсивно); такие вращения равномерно распределены в SOC). Это
позволяет явно порождать большие множества вращении, которые ока-
оказываются особенно мощным средством в задачах интегрирования. Дей-
Действуя этими вращениями на S2, мы получаем последовательность точек
на сфере S2. В [LPS1] был проведен анализ распределения этих точек
на S2; в частности, были получены оценки для ?2-отклоненвя. В неко-
некотором слмысяр. (для ?3-нормы) эти вращения распределены оптимально.
70 Гжаяа 3. инвариантные средние яа ^
Более точно, для произвольных N вращений W\,..., Wff € 5ОC) опре-
определим .^-отклонение следующим образом
N 2x1/2
т7?/№)-//(л)<ОД dg) .
i-1. G )
1/2
I r л JL r \
D(WU...,WM)= sup
Можно показать (см. [LPSl]), что для любых N вращений Wi,...,
справедлива оценка
D(WU...,WN)>N-1'2.
С другой стороны, из результатов этой главы легко следует (подроб-
(подробности можно найти в [LPS1]), что если N = 6 • 5" и U\,..., 11ц — все
приведенные слова длины v в алфавите *ь*2,*з, то
Завершая эту главу, заметим, что единственным инвариантным сред-
средним на L°°(SO(n)), n > 3, является мера Хаара. Этот результат сле-
следует из проведенного нами анализа, поскольку неприводимые пред-
представления SO(n) — это в точности рассмотренные выше представле-
представления на Hm(S*~l). В действительности,.наш анализ приводит к явным
конструкциям е-хороших множеств в SO(n), n > 3, которые являют-
являются ?-хоропшми в том смысле, что B.1.1) справедливо для функций на
G = SO(n). Вопрос о единственности инвариантного среднего для про-
произвольных связных компактных групп Ли обсуждается в замечаниях
к данной главе.
Завершим главу простым вопросом: как определить для данных
А, В € SO(n), п > 3, образуют ли они е-хорошее множество для не-
некоторого е > О?
Замечания
2.2. Неединственность Л как инвариантного среднего для недискрет-
недискретных топологических групп, которые являются аменабельяыми (как дис-
дискретные группы), восходит к работам Граньера [Gra] и Рудина [Ru]2*.
34 См. также прндешшв яа стр. 54. — Ярим. ред.
Замечавжж 71
2.3. Сведение задачи о единственности инвариантного среднего к за-
задаче о существовании е-хороших множеств (теорема 2.3.1 и ее доказа-
доказательство) принадлежит Лоэерту и Риндлеру [LR]. Близкие результаты
были получены Розенблаттом [Ro].
2.4 ¦ 2.5. Решение проблемы Рузиевича в случае п > 4 было полу-
получено независимо и почти одновременно Маргулисом [Ма] и Салдива-
ном [Su]. Они использовали так называемое "свойство Т", введенное
Кажданом [Ка]2б. Дринфельд, опираясь на адельную теорию автоморф-
ных форм и соответствие Жаке-Ленглендса [JL], доказал единствен-
единственность в случае п = 2,3. Преимущество предложенного в этой главе
доказательства заключается в том, что оно единообразно для всех п >
> 2 и, что более важно, является эффективным. А именно, строятся
е-хорошие множества с явным значением е я эффективным заданием
вращений. Метод, основанный на "свойстве Т", имеет свои преимуще-
преимущества. Например, Маргулнс отметил, что за исключением SOB), SOC)
и SOD) в каждой простой связной компактной группе Ли G существует
всюду плотная счетная подгруппа Г, обладающая "свойством Т". Это
влечет (хотя и неэффективно) существование в G е-хорошего множе-
множества (относительно L2{G)) для некоторого е > 0. Отсюда и из резуль-
результатов этой главы следует, что для всякой простой связной неабелевой
группы Ли существует единственное иищардямччим» среднее. Нетрудно
показать, что если в (?i и Gj существуют е-хорошие множества, то и
в Gi х (?а существует е-хорошие множество. Кроме того, известно, что
каждую компактную связную группу Ли G можно представить в виде
G = (ToxGiX...xGr)/K,
где То — компонента р^аят^м центра группы G, G< — односвязные
простые компактные группы Ли, а К — конечная подгруппа центра.
Следовательно, мы можем заключить, что компактная связная груп-
группа Ли G обладает р^чн'?'1"""""" инвариантным средним на L°°(G) то-
то26
гда и только тогда, когда ее центр конечен26.
w Группа G (дискретная щжш нет) обладает свойством Т (свойством Каждана),
ваш тривиальное представление изолировано в множестве всех унитарных непри-
неприводимых представлений группы G, снабженном естественной топологией. Из всех
классичес1яхгру1т Ли и их решеток лишь группы SO(n,l), SU(n, 1), п = 1,2,... и
соответствующие решетки не обладают свойством Т. — Прим. ред.
м Автору неизвестна подобная характернзацик для компактных групп общего
72 Глашл 3. Идаршштиые средние на ?оа(У)
Изучение операторов Тр в-разделе 2.5 основано на теории операто-
операторов Гекке на Ь2(?р), разработанной Любоцкнм, Фияяипсом и Сарнаком
в статье [LPS1], которой мы следовали.
В заключение отметим, что Чиу {Chi], используя кватернионную
алгебру D/Q, которая разветвлена в точности в 13 и в оо, построил,
опираясь на технику этой главы, е-хорошее множество в SOC), состо-
состоящее из двух вращений. Он показал, что если t\ — вращение вокруг
оси N-S на угол я", а ?г — вращение на угол arccos{l/B%/2)} вокруг
оси, составляющей с осью N-S угол arctg(v/13), то множество {<i,*a}
является -C — 2>/2)-хорошим.
3
Глава 3
Графы Рамануджана
3.1. Комбинаторные методы
В этой главе будет приведена явная конструкция разреженных гра-
графов с большой связностью. Прежде чем предъявить эту конструкцию,
мы при помощи элементарных комбинаторных методов докажем суще-
существование таких графов. Мы рассмотрим два примера. Первый связан
с классической задачей построения графов с большим обхватом и боль-
большим хроматическим числом (см. введение, где даны необходимые опре-
определения). Второй пример дает конструкцию графов-расширителей .
3.1.1. Графы с большим обхватом ¦ большим хроматическим
числом. Наша цель состоит в том, чтобы показать, что для данных
целых чисел к ж р существует граф X, хроматическое число которо-
которого не меньше р, а обхват не 'меньше к. Этот результат принадлежит
Эрдешу [Ег], методу которого- мы следуем. Во-первых, заметим, что
для любого графа X с штитмыплц независимым множеством вер-
вершин (т. е. максимальным подмножеством вершин V графа X, никакие
две из которых не соединены ребром) мощности i(X) справедливо не-
неравенство
C.1.1)
где п — количество вершин, а х(Х) — хроматическое число. Дей-
Действительно, если X раскрашен в г цветов, то каждое множество А,-,
j = 1,... ,г, вершин одного цвета является независимым. Тогда
17
См. сноску на с. 2. — Прим. перев.
74 Глава 3. Графы Рамаяуджана
и, следовательно,
Основная идея метода состоит в построении графа с большим обхватом
и небольшим числом независимости i(X).
Зафиксируем к > 3, параметр обхвата. Напомним, что обхватом
графа называется длина кратчайшего простого цикла. Пусть п — боль-
большое целое число, которое будет порядком \Х\ конструируемого графа.
Пусть т — целое число порядка п1+е, е > 0. Точное значение е будет вы-
выбрано позднее. Число т будет числом ребер (оно растет быстрее, чем
линейная функция от числа вершин). Пусть р — число порядка п1
(параметр г\ > 0 будет выбран позднее); оно будет отвечать мощности
максимального независимого множества вершин. Рассмотрим всевоз-
всевозможные графы X с помеченными вершинами (т. е. его вершины пере-
перенумерованы числами от 1 до п; V = {xi,...,хп} — множество вершин)
с m ребрами. Мы покажем, что для достаточно больших п после не-
незначительной модификации графов X типичный представитель такого
семейства графов обладает необходимым свойством.
Количество графов X с п помеченными вершинами и m ребрами
равно числу способов выборами ребер среди ( ] ребер, т. е.
'¦ а-
Таким образом, мы рассматриваем всевозможные графы
C.1.2)
Оценим количество тех графов среди них, у которых в некотором под-
подграфе, порожденном подмножеством вершив V^ мощности р, не более
п ребер. Для данного подмножества V^ количество п-вершинных гра-
графов с m ребрами таких, что а точности I ребер соединяют вершины
из У<*), равно
(?)(®?>)
3.1. Комбинаторные методы 75
Следовательно, количество графов, у которых имеется в» более п ре-
ребер, соединяющих вершины из данного V^, оценивается следующим
образом:
) Р2" A - &Y < fG))^-*^-*)/^-). C.1.4)
Количество способов выбора VW равно [ ], следовательно,
ство графов Ха, у которых не более чем п ребер соединяют вершины
из некоторого VW, не превосходит
количе-
количе^ () C-1.5)
если 2*7 < ?•
Мы уже получили почти все, что необходимо, поскольку очевидно,
что во всех остальных графах нет независимых множеств размера р.
Однако обхват этих графов может и не быть большим. Оценим количе-
количество тех графов Ха, которые содержат более чем п/к простых циклов
длины не больше к. Покажем, что их количество также является вели-
V2/ ). Следовательно, для больших п найдется граф
т)
Ха, удовлетворяющий следующим двум условиям (на самом деле, асим-
асимптотически почти каждый граф удовлетворяет им):
(i) каждый подграф графа Ха, порожденный набором вершин V^,
содержит по крайней мере п +1 ребро,
(И) граф Ха содержит не более п/к простых циклов длины не боль-
больше к.
Если для такого графа Ха мы удалим все ребра, входящие в про-
простые циклы длины не больше к, то удалить из Ха придется не более
чем п ребер. Очевидно, что обхват получающегося при этом графа X
больше к, и каждый подграф, порожденный множеством V^ из р вер-
вершин, содержит по крайней мере одно ребро. Следовательно, i(X) < р
и х(Х<х) ^ пч- Итак, нам остается оценить количество графов Ха, ко-
которые содержат более п/к простых циклов длины к.
76 Глав* 3. Графы Рамаяуджажл
простои цикл Y\ -? Y2 -? ... -*¦ Y[. -* Y\ длины I < к
содержится а точности а
(S--/>
графах Ха. Кроме того, мы рассматриваем цикл вместе с выбранной
первой вершиной и с порядком обхода вершин а нем; поэтому имеется
а точности nl/(n — I)! простых циклов длины I. Следовательно, ожида-
ожидаемое количество циклов длины А: равно
У^ргоЬ(Хо) #[простые циклы а Ха длины < к]
\т
<С — ц = о(п) (если мы выберем е так, чтобы е < 1/&).
Следовательно,
(Символ * означает, что сумма берется по тем графам Ха, которые
содержат более чем п/к простых циклов длины не более к.) Отсюда
следует, что почти все Ха (при п -юо) содержат не более п/к простых
циклов длины не больше к.
Отметим, что размер получающегося графа X весьма велик даже
3.1.2. Распшрнтеля. Пусть J и О — два множества мощности п (как
и выше, п -? со). Мы хотим построить двудольный граф, соединяю-
соединяющий множества J и О (т. е. каждое ребро графа соединяет вершины из
разных множеств; см. рис 3.1) с числом ребер, линейно зависящим от
количества вершин (кп ребер, параметр А; фиксирован), и удовлетворя-
удовлетворяющий следующему условию расширения:
Для каждого Ас/ такого, что |Л| < п/2, справедливо неравенство
|0А| ? c|A|, C.1.6)
3.1. Ксшбшвжгоряые методы Т7
X2'3
Рис. 3.1. Двудольный граф
где постоянная с > 1 (очевидно, что с < 2) и ЗА — множество тех
вершин из О, которые соединены ребром по крайней мере с одной вер-
вершиной из А..
Двудольный граф с указанными выше параметрами, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию C.1.6), мы будем называть (п, к, с)-расширитеяем. С по-
помощью комбинаторных аргументов докажем существование расшири-
расширителей. Мы сделаем это для с = 3/2 и к ^ 5; общий случай разбирается
аналогично.
Пусть 1 = 0 = {1,2,...,п}. Построим двудольный граф Хж, взяв
к перестановок *i,..., *k множества / и соединив каждую вершину j e
Е / с 7rr(j) е О доя г = 1,..., к. Тайкой граф является ^-регулярным
двудольным графом, т. е. каждая его вершина инцидентна в точности
к ребрам. Мы утверждаем, что для к > 5 и почти всех наборов перестаг
новок -к = (тгь..., irk) граф Хж удовлетворяет условию C.1.6). Ясно, что
имеется (п!)* наборов ж (но разные наборы могут приводить к одному
графу Хж, кроме того, при этом также возникают графы с кратными
ребрами).
78 Глав» 3. Графы Раюяуджава
Назовем набор перестановок -к = (*ь ...,irk) плохим, если для немо-
торого АС/, |А| < п/2, существует В С О такое, что |?| < -|А| и
*j(A) С В дяя] = 1,..., А;. Мы хотим оценить количество плохих -к. Для
Q
данных А, \А\ = t < п/2, и В, * < \В\ = тп < -*, количество плохих к,
соответствующих А и В, равно
(т(т -1)... (т -1 + l)(n - *)!)* = (У_~}?) . C.1.7)
Следовательно, количество всех плохих к (мы обозначим его BAD)
не превосходит
= 1 + П. C.1.8)
Оценим каждую из двух сумм а отдельности. Имеем
п
. п
= п
3t/2)!(n-t)!\
Для fc ^ 5 максимум величины Ь% достигается при t = 1. Таким образом,
1<п4((п-1)!)*, C.1.9)
и, следовательно, I/(n!)fc -»¦ 0 при п -юо. Далее,
,2V №¦
и hi достигает своего максимума при t = n/З или t = п/2. Значения ht
в этих точках оценим на основании формулы Стирлинга. Получим, что
3.2. Спектр граф» 79
П/(п!)к -* 0 при п -* со. Следовательно, для к > 5 имеем BAD/(n!)k -*
Таким образом, расширители, определенные согласно C.1.6), суще-
существуют. Удивительно, что явные конструкции графов, обладающих рас-
рассмотренными в 3.1.1 и 3.1.2 свойствами, оказываются довольно слож-
сложными.
3.2. Спектр графа
Рассмотрим граф X с множеством вершин V = {«i,..., vn}. Матрицей
смежности графа X называется п ж п-матрица А = (aij), в которой
Оу — число ребер, соединяющих вершины щ и Vj. Очевидно, что А —
симметрическая матрица (мы рассматриваем неориентированные гра-
графы). Из определения матричного умножения видно, что если
А' = (ag>),
то
afj = число путей в X длины г из «$ в «,-. C.2.1)
Другим линейным оператором, тесно связанным с А в случае, когда X
есть регулярный граф, является оператор Лапласа
где Р{Х) — комплексное векторное пространство функций на V(X).
Действие оператора Лапласа определяется следующим образом
Д/(«) = *,/(«)- ? /(to). C.2.2)
Здесь Е — множество ребер графа X, ad,, обозначает степень верши-
вершины v, т. е. число ребер, инцидентных v. С помощью "интегрирования
по частям" можно получить полезную формулу для оператора -Д*"*Я4ч*
Ориентируем ребра X произвольным образом. Каждому ребру е со-
соответствуют его начальная е+ и конечная е~ вершины. Имеет место
следующее соотношение.
«ев
Г()^(ё). C.2.3)
80 Лова 3. Графы Рамануджал*
где символу df пршшсано очевидное значение df(e) = /(е+) - /(е~).
<Д/,/)>0, C.2.4)
где (f,g) = 2 /(v)s(v) — скалярное произведение на Р{Х). Следова-
e
тельно, А — симметрический неотрицательно определенный оператор.
Очевидно, что А/ = 0 тогда и только тогда, когда df = 0, т. е. / посто-
постоянна на компонентах связности X. фтмя словами, спектр оператора А
вещественный, неотрицательный, и кратность 0, как собственного чи-
числа, равна числу компонент связности графа X.
В случае, когда X — регулярный граф степени к, матрица опера-
оператора А связана с А следующим соотношением:
A = jfcld-A C.2.5)
Начиная с этого места мы будем рассматривать только регулярные
графы. Регулярный граф степени к с п вершинами будем обозначать
Xnjc- Спектром графа Xnjk будем называть спектр матрицы смежно-
смежности А; собственные числа расположим в порядке убывания: Ао ^ Аг ^
> ... > An-i- Очевидно, Ао = к соответствует постоянной собственной
функции, и кратность Ао равна числу компонент связности X. Также
очевидно, что |Aj| ^ к.
3.2.1. Лемма. An-i = —А: тогда и только тогда, когда X — двудоль-
двудольный граф. В этом случае собственные числа расположены симметрич-
симметрично относительно 0.
Доказательство. Мы докажем лемму для связного графа X (если А"
несвязный, то аналогичные рассуждения следует провести для каждой
его компоненты связности X). Если —А: является собственным числом,
то
? /(») = -*/(*). C.2.6)
Следовательно, |/(v)| < - ? l/(w)|> те- I/I — "субгармоническая
* (w,»)€S
функция" и по принципу максимума должна быть постоянной. По-
Поскольку / вещественнозначная, можно считать (после соответствую-
соответствующей нормировки), что f(v) = ±1. Положим I = {о | f(v) = 1} и
3.2. Спектр графя 81
О = {« | /(«) = —1}. Из C.2.6) следует, что никакие две вершины
из / (аналогично, из О) не могут быть соединены ребром, т. е. X —
двудольный граф. С другой стороны, если X двудольный, и / — соб-
собственная функция А, отвечающая собственному числу Л, то
Изменяя знак / на одной из сторон биразбиения (т. е. во всех верши-
вершинах одного из множеств / или О), мы получим собственную функцию,
соответствующую собственному числу —Л. ?
3.2.2. Определение. Упорядочим собственные числа графа Хп^, в по-
порядке убывания их абсолютных величин. Обозначим через f*i{Xnjt) аб-
абсолютную величину собственного числа, следующего при таком упоря-
упорядочении за наибольшим собственным числом.
В частности, Ai < щ.
Суть привлечения понятия спектра графа заключается в том, что
оценка сверху для Ai обеспечивает справедливость свойства расшире-
расширения (см. C.1.6)) для двудольного графа Xnje, а оценка сверху для pi
позволяет ограничить число независимости. Мы можем переформули-
переформулировать рассмотренные выше задачи в терминах спектра.
3.2.3. Предложение.
Доказательство. Пусть / — независимое множество вершин, и |/| =
= г. Определим функцию f(x) на X следующим образом:
ПХ) \-с, если**/,
где с определяется из равенства г - (тг - г)с = 0. Тогда / J. 1, и,
согласно вариационным свойствам собственных чисел симметрической
матрицы,
Ш\\1 < Л/Й- C-2.7)
Так как множество вершин / независимо, то
Af(x) = — ck для х € /.
82 Глав* 3. Графы Раыащуджаял
Следовательно,
ЩЛА C.2.8)
Так как с = г/(п - г) = i//(l - v), где и = г/n, то согласно C.2.7)
и C.2.8)
Следовательно,
преобразований получаем, что
.. ^ Pi
т.е.
л*
Таким образом, для того чтобы постронть графы с большим хрома-
хроматическим числом, нам достаточно постронть граф с малым отношением
Hi/к (независимо от п).
Теперь мы поясним связь между спектром и свойством расширения.
3.2.4. Предложение. Пусть .Ходь — к-регулярный двудольный граф.
Тогда X является {п, к, с)-расширителем с
Доказательство. Пусть В.С /, причем |В| ^ п/2. Положим
10, если х ? В.
Тогда
'), если у & вВ,
3.2. Спектр графа 83
Чясдо ребер, соединяющих множества В и дВ, равно, с одной сторо-
стороны, к\В\, а с другой стороны может быть представлено а виде ?) °у-
Следовательно,
~~ Су = к\В\. C.2.8а)
уеав
Кроме того,
* уедв \ve9B
и, значит,
C.2.8Ь)
Пусть ^f и ф^ обозначают нормированные собственные функции опе-
оператора А, отвечающие собственным числам fc и -fc соответственно.
Функцию / можно представить а виде
/(х) = Jjgj-tffs) + ^f(») + М«). C.2.8с)
где (Л, ^о) = (Л,^i) = 0. Тогда
||А/||2<*И + А?(М>. C.2.8d)
Кроме того,
Объединяя эти соотношения с C.2.8Ь), получим, что
так что
84 Глава 3. Графы Раиаяуджала.
т.е.
\2_
2 '
Следовательно,
> j?z\b\. о
Аналогичные рассуждения позволяют доказать, следующее предло-
предложение.
3.2.5. Предложение. Пусть Xnjc — произвольный к-регулярный граф.
Тогда для любого множества BcV такого, что \В\ < п/2, справед-
справедливо неравенство
\дВ\>с\В\,
где с = . г. (Такие графы в работе Алона [А] были названы (п, к, с)-
уведнчитедями28.)
Продолжая эту тему, мы ограничим диаметр Xnj. в терминах /ii.
3.2.6. Предложение.
diani(Xnjc)
Доказательство. Пусть ^j(w), j = 0,1,...,п- 1, — ортонормиро-
ванный базис пространства ^(V), состоящий из собственных функ-
функций оператора А, отвечающих, соответственно, собственным числам
Ао,..., А„_1. Согласно определению щ, \Xj\ ^ щ для j ^ 0. Кроме того,
фо(ь) = 1/>/п, Ао = Л. Для любого многочлена Р справедливо, согласно
спектральной теореме,
п-1
P(A)(v, w) = Y, р(>ч)ФзШз(«>)- C-2.9)
3 = 0
"увеипитель" соответствует термшяу "enlarger" в оригинале. —
Ярим. перы.
3.2. Спектр графа 85
Если для v, w € V расстояние dist(v, to) > N, то, очевидно,
P(A)(v,w)=0 C.2.10)
для любого многочлена степени N. Подставляя последнее равенство
в C.2.9), получим, что
п-1
з-о
или, что то же самое,
|
п-1
sup |Р(А)|
W
п-1
sup |P(A)|.
Таким образом, для произвольного многочлена степени, не превосходя-
превосходящей N,
P(*Kn sup |P(A)|. C.2.11)
Щ <: И
Применим C.2.11), взяв в качестве Р{х) многочлен Чебьшюва, по-
поскольку такой многочлен обладает хорошо известными экстремальны-
экстремальными свойствами. Пусть
PN{x) =
где
Тф) = со8(ЛГагссов(ж)) = |{(ж + iy/\-x2)N + (х - iyfT!?)"}.
Очевидно, что Pn(x) ^ 1 для \х\ ^ /ii. Поэтому на основании C.2.11)
молено заключить, что
Рц(к) ^ П.
86 Глава 3. Графы Раыаауджаша.
Следовательно,
т.е.
Три последних предложения показывают, что для построения
с необходимыми нам свойствами надо найти граф с «мг можно меньши-
меньшими значениями Ai (X) и щ (X). Это приводит нас к определению графов
Рамануджаяа. Прежде чем дать это определение, мы докажем предло-
предложение, содержащее нижнюю опенку Ai (и, следовательно, /*i).
3.2.7. Предложение. Зафиксируем к. Тогда
где inf берется по всем графам Xmjt с не менее чем п вершинами.
Доказательство. Возьмем е > 0. Мы должны показать, для всех
достаточно больших п справедливо неравенство Ai(Xn^) > 2y/k — 1—
—? для всех Xnjc. Предположим что это не так, т.е. для сколь угодно
большого п найдется соответствующий ЗГП|* такой, что
^Т - е. C.2.12)
Для г > 0 рассмотрим
j = l j=0
Диагональные элементы о^' равны количеству маршрутов длины г из
вершины Vj в нее же. Очевидно, что это число не меньше количества
маршрутов длины г из v в «, где v — произвольная вершина бесконечно-
бесконечного (неориентированного) Jb-регулярного дерева» Это можно доказать,
рассмотрев Jb-регулярное дерево как универсальное накрытие Xnjt и
заметив, что каждый замкнутый маршрут из v в v в дереве перехо-
переходит в замкнутый маршрут в Xnjt (здесь v — это подъем вершины vj).
3.2. Спектр графа 87
Пусть р(г) обозначает число маршрутов днины г в дереве из некоторой
вершины v в нее же. Имеем, что
п-1
. C.2.14)
Значение р(г) можно легко оценить (мы оставляем это читателю в ка-
качестве упражнения):
р(г) = 0 для нечетных г,
Следовательно,
j='o
Используя C.2.12), мы подучим, что
*ir + \ Е ЛГ+^ Е >Г >**»>• C-2-15а)
Обозначив слагаемые в левой части соответствующими римскими ци-
цифрами, запишем C.2.15а) в виде
Так как (pBm))l^2m^ -+ 2-Jk — 1 при m -+.00, то, выбрав m достаточно
большим, мы можем добиться выполнения неравенства
1. C.2.16)
Кроме того,
поэтому для достаточно больших m (скажем, m ^ М, где М зависит
только от fc и е)
^ + i E Af>jBv^T-?)". C.2.17)
А,- < -Ъ-Л^Л+е
88 Глава 3. Графы Рлиануджамл
Следовательно, для больших п
± E Af>S(a^rTT-?)*". C.2.18)
X, < -2y/W=i
Однако, согласно C.2.15а),
- Т. X^ + h
Подставив в 3.2.18, получим
T 2*1 V=T еJ"»*1 ^ 0,
что невозможно для достаточно больших п. D
В заключение дадим следующие определения.
3.2.8. Определение. Граф Х„^ называется графом Рамануджана,
если
Двудольный граф Хп^ называется двудольным графом Рамануджана,
если .
Предложение 3.2.7 утверждает, что асимптотически при п -+ оо
графы Рамануджана являются оптимальными в задаче минимизации
Ai и щ. Конечно, они обладают свойствами, вытекающими из предло-
предложений 3.2.3, 3.2.5 и 3.2.6. Для небольших значений пжк можно непо-
непосредственно проверить, что некий граф является графом Рамануджа-
Рамануджана. Доказательству их существования при п ->¦ оо посвящен следующий
раздел.
3.3. Явная конструкция графов Рамануджана
Опенка Вейля сумм Кдостермана A.5.8) показывает, что если х пробе-
пробегает мультипликативную группу поля Z/pZ (т. е. циклическую группу
порядка р — 1), то последовательность х (mod р) (х = х~1) являет-
является "случайной", точнее, р слагаемых (каждое из которых есть корень
3.3. Явная конструкция графов Рамануджаяа 89
из 1) сокращаются, и сумма есть величина порядка у/р. Это именно то,
что можно ожидать от настоящей случайной последовательности. По-
Поэтому, естественно ожидать, что граф X, определенный ниже, должен
обладать свойством расширения.
В качестве вершин графа Хр возьмем точки {0,... ,р — 1, оо} про-
проективной прямой Pl{Fp) над полем из р элементов. Каждую вершину
? е Р1 (Fp) соединим ребром с ?+1, ?—1 и ?. Мы получим 3-регудярный
граф с р+1 вершиной. Можно ожидать, что Хр есть семейство расшири-
расширителей. Действительно, можно показать29, что Xi(Xp) < 2.999, и, соглас-
согласно результатам предыдущего раздела, графы Хр обладают свойством
расширения. Однако эта оценка слабее оценки, требуемой в определе-
определении графов Рамануджана. Ниже мы построим явное семейство таких
графов.
Начнем с описания графов. Пусть p,q — различные простые числа,
р = 1 (mod 4), q = 1 (mod 4). Последнее ограничение не обязательно;
мы наложили его лишь для того, чтобы сделать конструкцию прозра-
прозрачнее. Пусть i — целое, удовлетворяющее сравнению t2 = - 1 (mod q).
Согласно A.1.6), имеется в точности 8(р + 1) представлений числа р
в виде суммы четырех квадратов:
<*о "Ь в1 + °2 + <*3 == Р- C.3.1)
Среди них имеется в.точности р+1 преставление, где во > 0, во нечет-
нечетно, а вл, з =¦ 1,2,3, четны. Каждому такому набору о = @0,01,02,03)
сопоставим матрицу a € PGLB, Z/qZ):
a*+iaA. C.3.2)
ao — taij v '
Так мы подучим к = р + 1 матриц из PGLB, Z/qZ).
Мы будем рассматривать графы Кэли группы PGLB, Z/qZ), связан-
связанные с построенным выше множеством ее элементов. В общем случае,
для произвольной группы G и симметричного множества ее элемен-
элементов S (т. е. 8 € S => 8~1 € S), граф Кэли группы G, еыпяитхи с S,
определяется следующим образом. Вершины графа X соответствуют
элементам G, а ребра соединяют вершины д и ад для всех «6 S,g € G.
Граф Кэли является ^-регулярным графом на \G\ вершинах.
МВ случае Jfc = 3 собственное число Ai графа Рамануджана должно удовлетво-
удовлетворять неравенству Ai < 2>/2 = 2.828... Опенка Xi(Xp) < 2.999 приведена в работе
[LPS2].
90 Гжашл 3. Графы Раиаяуджмма
В случае G = PGLB,Z/qZ) и описанного выше (см. C.3.2)) (р+1)-
элементного множества S (S симметричное) мы получим граф порядка
п = q(q2 — 1). Если ( - 1 = 1, то этот граф несвязен, так как все эле-
элементы S лежат в подгруппе PSLB,Z/gZ) индекса 2 (а именно, в под-
подгруппе, состоящей из матриц, определитель которых является квадра-
квадратом по модулю р). Определим графы Х?л как описанные выше гра-
графы Кали в случае I - I = — 1 и как графы Кали подгруппы индекса 2
в PSLB, Z/gZ), связанные с 5 в случае ( — J = 1. Таким образом, X™ —
это ^-регулярный (к = р+1) граф на п = ^(в2—1) или q(q2 — l)/2 верши-
верширур ( р) рф
нах [в зависимости от знака (- ) )¦ Будет показано, что графы
связны. Если I - 1 = —1, то Xм — двудольный граф; соо
ветствую-
ветствующее разбиение множества вершин отвечает разбиению PSLB, Z/qZ) на
смежные юим***" по подгруппе индекса 2.
3.3.1. Теорема.
Случай (i). Бели (? J = -1, то
(a) X™ — двудольный граф Рамануджана,
(b) girth (Х">Л) > 4logpq-k)^,rCdecb girth — обхват графа),
(c) diam(Xp>4) < 21ogn + 21ogp2 + 1 (здесь diam — диаметр графа),
Случаи (ii). Если (?А = 1, то
(а) Xм — граф Рамануджана,
(b)girth(XP'4)^21ogpq,
(c) diam (ХРЛ) ^ 2 logp n + 2 logp 2 +1.
(d) i(
(e)
В частности, Хрл при 1-1 = 1 дает явный пример графа с боль-
большим обхватом и мжямц числом независимости, а значит, с большим
хроматическим числом. Также, согласно предложению 3.2.4, эти графы
3.4. Доказательства 91
fp\ , ..
при I — I = ~l являются расширителями, и их коэффициент расшн-
рения определяется на основании того же предложения. Утверждения
(i) (с), (ii) (с), (d) и (е) теоремы 3.3.1 следуют из справедливости свой-
свойства Рамануджана (а) и предложений 3.2.3 и 3.2.6. Следует отметить,
что предложение 3.2.6 в приведенной выше формулировке не может
быть непосредственно применено в случае двудольного графа Раману-
Рамануджана, однако его доказательство можно легко модифицировать так,
чтобы оно охватывало и этот случай. Итак, нам необходимо показать,
что Хр'9 является графом Рамануджана (или двудольным графом Ра-
мануджана), а также получить оценку снизу для его обхвата. Укажем,
М = -I
что при ( - 1 = —1 графы Хрл дают примеры ^-регулярных графов
порядка п, для которых
ргОД,,*) > | ю^ п. C.3.3)
Обхват таких графов (асимптотически) наибольший из известных для
fc-регулярных графов. При помощи комбинаторных методов можно
показать, что для случайных графов girth(jfni*) (асимптотически) по
крайней мере есть logfc_1n [Во2]. С другой стороны, очевидно, что
&rtii(Xn<k) < 2\agk_x п для любого Х^к.
Что касается диаметра графов Xм, то мы ожидаем, что он на-
настолько мал, как только возможно. Точнее, для любого е > О
A + е) log n + Се
при п -+ оо.
3.4. Доказательства
В этом и последующем разделах мы дадим доказательства утверждений
теоремы 3.3.1. Как и в главе 2, основную роль будут играть целые
кватернионы #(Z). Мы будем использовать те же обозначения, что и
в главе 2. Зафиксируем простое р, р = 1 (mod 4). Пусть
А'B) = {о € Н(Ъ) | о = 1 (mod 2) и Ща) =p",ub z}.
Множество А'B) замкнуто относительно умножения. Отождествим а
и /8 из А'B), если найдутся i/i, V* € Z такие, что ±р^в = р"*/3. Классы
92 Глава 3. Графы Рачаиуджааа
ти образуют группу относительно естественного закона
умножения [а]Щ = [а0\; при этом [а]\а] = [1]. Обозначим эту группу
ЛB). Из леммы 2.5.4 следует, что ЛB) — свободная группа со сво-
свободными образующими [ai],..., [а,]. Следовательно, граф Кэли груп-
группы АB), гатАягитл» с множеством S, является деревом степени р + 1.
Это дерево будем также обозначать АB). Итак, мы описали свобод-
свободную группу и отвечающее ей дерево при помощи теоретико-числовых
средств. Для того чтобы построить конечные графы, мы специальным
образом подберем нормальную подгруппу Г конечного индекса в груп-
группе АB). Подгруппа Г действует на АB) посредством правого умноже-
умножения, и факторгруппа (и отвечающий ей граф) АB)/Г конечна. Соответ-
Соответствующий граф будет графом Кэли АB)/Г, связанным с множеством
Для того чтобы эта конструкция имела теоретико-числовую ин-
интерпретацию, необходимо выбрать подгруппу Г подходящим образом.
Пусть (т,р) = 1. Рассмотрим все [а] € АB) (о = ао + a\i + ejj + 03k)
такие, что 2m |ол-, j = 1,2,3. Множество всех таких [а] является под-
подгруппой группы АB). Обозначим эту подгруппу АBт). Более того, она
является нормальной подгруппой конечного индекса в АB). Это можно
проверить следующим образом.
Пусть #(Z/Bm)Z) — кольцо кватернионов над Z/Bm)Z, а
#(Z/Bm)Z)* — мультипликативная группа обратимых элементов это-
этого кольца. Пусть Z С #(Z/Bm)Z)' — ее центр; Z = {ao\ (ao, 2m) = 1}.
Гомоморфизм ф: АB) f+ H(Z/Bm)Z)*/Z, заданный посредством [а] м-
^ (a mod 2т)Z, определен корректно. Его ядро — это АBт).
Пусть теперь m = q, где q то же, что и в разделе 3.3. Мы покажем,
что граф Х?л можно отождествить с графом Кэли группы АB)/АB?),
связанным с множеством а\,... ,5J. Это позволит показать, что Х>л
связен.
Определим гомоморфизм ф: АB) ->• PGLB, Z/qZ) следующим обра-
образом:
Здесь* —фиксированное целое число, удовлетворяющее сравнению t2 =
s - 1 (mod q).
3.4. Доказательства 93
3.4.1. Предложение.
PGLB,Z/qZ),
Image ф = <
|pSLB,Z/9Z),
Доказательство. Если норма кватерниона ctj € #(Z) равна р, то
его образ (j>(<*j) принадлежит PSLB, Z/qZ) тогда и только тогда, ко-
когда (-)= 1. Поскольку [PGLB,Z/qZ): PSLB,Z/qZ)] = 2, достаточно
показать, что <?(ЛB)) Э PSLB,Z/qZ). Гомоморфизм ф можно предста-
представить в виде следующей композиции:
АB) -^ H(Z/Bq)Z)*/Z -^ H(Z/qZ)*/Z -^ PGLB,Z/qZ).
Отображение тг3 является изоморфизмом, поэтому достаточно рассмо-
рассмотреть образ ЛB) под действием тгг о щ. Для доказательства предло-
предложения достаточно показать, что если норма кватерниона /9 € H(Z)
(fi = bo+bii+bii+Ьзк) сравнима с 1 по модулю q, то найдется а € Н{Ъ)
такое, что N(a) = р*, а = 1 (mod 2) и а = /3 (mod q). Пусть нам дано
такое fi. Покажем, как найти а. Положим 7 = То + 71* + 72J + 7з*,
То = Ьо (mod q), 2fj = bj (mod q), j = 1,2,3. Тогда
Нам потребуются результаты, касающиеся теории квадратичных
форм, в частности, понятие особого ряда Харди-Литтлвуда. А. В. Ма-
Малышев [Малд] установил следующий результат. Пусть f(xi,...,х„) —
квадратичная форма от п переменных (n ^ 4) с целыми коэффици-
коэффициентами, и ее дискриминант равен d. Пусть (g,2d) = I, a m таково,
что (g,2md) = 1 и сравнение / = m (mod I) разрешимо для лю-
любого I. Пусть (bi,...,bn,g) = 1 и f(bi,...,bn) = m (mod g). Тогда
найдутся целые аь...,а„, удовлетворяющие сравнению (аь... ,0») =
= (bi,--,bn) (mod ff), такие, что /(о1,...,а„) = т. Более того,
А. В. Малышев [Малд] подучил явную асимптотическую формулу для
количества таких (oi,..., On) при m -+ оо (т. е. вычислил особый ряд).
Применим этот результат в случае
94 Гдш» 3. Графы Рамануджана
m = p*,j = «i (ЬоММуЬз) = (Тсь7ь72,7з)- Если к достаточно ве-
велико и р* = 1 (mod q), то /Gо,7ь72,7з) = Р* (mod «)• Кроме того,
сравнение / = р* (mod /) разрешимо для любого /. Следовательно, су-
существуют oi,...,в4, (оо,аи02,аз) = (то,71.72,7з) (mod g) такие, что
Положим о = оо + 2aii + 2a2j + 2a3k. Тогда N(a) = p*, a = 1 (mod 2)
ia = j3 (mod q). О
Из предложения 3.4.1 следует, что ЛB)/ЛBд) ^ PGLB,Z/gZ) иди
PSLB, Z/qZ) в зависимости от знака I - ). Кроме того, соответству-
соответствующий гомоморфизм переводит образующие ai,..., Щ в матрицы ви-
вида C.3.2). Следовательно, можно отождествить Хрл с AB)/ABq). Далее
мы найдем оценку снизу для величины обхвата, т. е. докажем часть (Ъ)
теоремы 3.3.1.
S.4.2. Иттштшр оценка для обхвата. Граф ХРЛ является графом
Кали и, в частности, однородным графом. Поэтому можно предпола-
предполагать, что кратчайший простой цикл начинается и заканчивается в вер-
вершине, отвечающей единичному элементу группы. Он соответствует
кратчайшему маршруту в дереве ЛB) от вершины, отвечающей еди-
единичному элементу группы, до какой-либо вершины, отвечающей нееди-
неединичному элементу подгруппы ЛBд).. Если 7 € ЛBд), у ф е, и длина
маршрута от нее до единичной вершины равна t, то существует целый
кватернион 7 € Л'B) такой, что
• А> где fa 6 {ai,... ,Щ},
и 7 € Л'B?). Таким образом, Щу) = р* и 7 =
av € Z. Так как 7 Ф е» то по крайней мере одно из чисел 01,02,03
отлично от 0. Итак,
р*=4
В случае 1-1=1 заметим, что так как oj\ ф 0 по крайней мере для
одного из индексов j = 1,2,3, то
Следовательно, t > 2 log,, 9, что и утверждалось.
3.4. Доказательства 95
Бели [ - } = —1, то t должно быть четным, поскольку равен-
W
ство C.4.1), рассмотренное по модулю mod q, означает, что
Значит, t = 2г. В этом случае C.4.1) имеет тривиальное решение ао =
Х02=р' (modgJ C.4.2)
ЯВЛЯЮТСЯ Длит.
Хо = ±pr (mod gJ.
Если мы предположим, что C:4.1) имеет нетривиальное решение такое,
что
то ^ < ^/2. Тогда каждое целое число Хо, удовлетворяющее сравне-
сравнению C.4.2) и отличное от ±рг, должно удовлетворять неравенству
Следовательно, Х$ ^ 94/4. Но тогда р* > д4/4, что противоречит пред-
предположению (*). Таким образом, р* < q*/4, и
4jog?-Jog4
В заключение отметим, что если I - ) = 1, то граф ХРЛ не является
двудольным (это будет использовано далее). Бели бы он был двудоль-
двудольным, то мы получили бы разбиение группы X = PSLB, Z/qZ) на под-
подмножества А ж В такие, что ajA = В и а^5 = А для всех ai,..., Щ.
Очевидно, что тогда А являлась бы подгруппой индекса 2 (в действи-
действительности, подгруппой, состоящей аз всех элементов, которые пред-
ставимы в виде произведения четного числа сомножителей ct\,...,5J)
в группе PSLB, Z/qZ). Следовательно, А — нормальная подгруппа. Но
это невозможно, поскольку при q > 3 группа PSLB, Z/qZ) проста. По-
Полученное противоречие показывает, что Хр<я не является двудольным
графом.
96 Пиша 3. Графы Рамаяулжана
Дня завершения доказательства теоремы 3.3.1 осталось проверить,
что Xм является графом Рамануджана.
3.5. Доказательство теоремы 3.3.1
Спектральную теорию оператора А на X = ЛB)/Г = Т/Г (где Т —
это (р + 1)-регулярное дерево, а Г — дискретная группа автоморфиз-
автоморфизмов, действующая на Т) можно рассматривать как спектральный ана-
анализ действия оператора А на Г-периодические (автоморфные) функции,
заданные на Т. Прежде всего, мы рассмотрим оператор А, действую-
действующий на пространстве всех функций на Т;
- ? /(»)• C-5Л)
где d обозначает расстояние между вершинами дерева. "Ядро" опера-
оператора А обозначим &д(г,{/), оно имеет вид
1,
О, если i
Пусть An — оператор с ядром кп(х,у), где
^0 в противном случае,
т.е.
Операторы А„ принадлежат алгебре многочленов от оператора А;
в действительности нетрудно показать, что при п > 2 справедливо
равенство
Следовательно,
= А„+1 + рА„_1. C.5.2)
3.5. Доказательство теоремы 3.3.1 97
.Непосредственное вычисление, основанное на C.5.2), показывает, что
C-5-3)
где C/t — многочлен Чебышева второго рода, т. е.
Щх) = ^(ft + Datccosx)
v ' sm(arccoex) '
Ограничим теперь действие операторов Ат на пространство ЛBд)-
автоморфных функций, т. е. на конечномерное пространство функций
на Хр<ч = ЛB)/ЛBд), и вычислим след операторов в C.5.3). Пусть
спектр графа ЛB)/ЛBд) (его можно рассматривать и как спектр опера-
оператора А\ на пространстве ЛB^)-автоморфных форм) упорядочен обыч-
обычным образом: Ао > Ai > ... > An_i. Запишем Xj в виде
C.5.5)
где в, вообще говоря, комплексное. Тогда
С другой стороны, можно вычислить след исходя из правой части ра-
равенства C.5.3), т.е. геометрически,
*|_яг(*,7(*))-
Так как ЛB$) — нормальная подгруппа в ЛB), то AB)/ABq) — одно-
однородный граф; поэтому для каждого х
7€ЛB,)
Следовательно,
6 АBд) | dGe,e) = * - 2г}|. C.5.7)
98 Глава 3. Графы Рамаиуджаал
Пусть .
Q{xu X2, х3, х*) = х\ + Bqfx\ + Bq)*4 + Bqfx\. C.5.8)
Как и в главе 1, через rq{y) будем обозначать количество предста-
представления числа v формой Q. Очевидно, что rg(p*) равно количеству тек
а € #(Z), для которых 2д|(а — оо) и ЛГ(а) = р*. По лемме 2.5.4 каждое
такое а единственным образом представимо в виде ipTR^ari, • • • >57)>
где 2г + * = fc и [а] € ЛBф). Следовательно,
rq(pfc) = 2 ? |{а€ ABg) | d(a,е) = fc-2г}|. C.5.9)
Здесь мы использовали тот факт, что дяди», приведенного слова в ал-
алфавите аъ...,Щ равна расстоянию в дереве ЛB) между вершиной,
отвечающей данному слову, до вершины, отвечающей единичному эле-
элементу- Объединяя C.5.9) с C.5.7) и C.5.6), получим тождество
C.5.10)
П
Теперь мы можем свести задачу к оценкам Рамануджана и применить
теорию, развитую в главе 1. Согласно A.4.14) и A.4.15),
гд(р*) = 5(pf) + atf), C.5.11)
где a(p*) — коэффициент.' Фурье параболической формы веса 2 относи-
относительно ГA6д2), а <J(p*) — коэффициент ряда Эйзенштейна веса 2. Вычи-
Вычисления, проведенные в разделе 1.4, позволяют заключить, что 8 можно
представить в виде
C.5.12)
где F: N ->• С — периодическая функция с периодом leg2.
3.5.1. Лемма. Пусть фуюсцил G: N -+ С является периодической, и
спроведдива оценка
dG() (*) при fc-юо.
3.5. Доказательство теоремы 3.3.1 99
Тогда
J2 dG(d)= О для всех к.
Доказательство. Пусть а* = S^p* dG(d). Тогда
ak вь = G(pfc).
При к -* оо левая часть последнего равенства стремится к нулю. Так
как G — периодическая функция, отсюда следует, что G(p*) = 0 для
всех к. О
Вновь обратимся к соотношениям C.5.10) н C.5.11). Согласно этим
равенствам,
На основании (уже доказанных) гипотез Рамануджана 1.2.5 для пара-
параболических форм четного веса можно оценить слагаемое а(р*):
() C.5.13)
Итак,
Далее следует различать два случая: I - 1 = 1 н ( -) = —1.
Случай (i): (- 1 = —1. Как было показано выше, в этом случае
.У1' — двудольный граф, и его собственные числа симметричны отно-
относительно нуля. Поэтому Ао = р + 1, An+i = — (р + 1) и (так как Х?л
связен) |А,| < р +1 при 1 < j < n — 2. Таким образом, для нечетного ?
правая часть равенства C.5.14) обращается в 0, тогда как для четного
100 Глава 3. Графы Рамаиуджада
Применяя лемму 3.5.1, получим, что
@,
= 1
О, если к нечетно,
d. если к четно.
Сокращая главные члены в девой и правой частях равенства C.5.14),
получим, что
Следовательно,
Из последнего равенства следует, что все Bj, I ^ j < n — 2, являются
ственными, т. е. |Л,| < 2у/р дня всех 1 < j < п — 2. Таким обра-
образом, в случае [ - ) = -1 мы доказали, что Хр* — двудольный граф
Рамануджана.
Случай (ii): ( - ) =1. Как было показано в разделе 3.4, граф Xp<q
W •
не является двудольным. В этом случае
Следовательно, по лемме 3.5.1
Тогда
п-1
v?>o.
Заменами 101
Следовательно, 0,- вещественны для всех 1 < j < п — 1, т.е. |Aj| < 2у/р.
Таким образом, ХРЛ является графом Рамануджана.
Для доказательства того, что графы Хрл являются графами Рама-
Рамануджана, мы опирались на (уже установленную) справедливость гипо-
гипотез Рамануджана для параболических форм веса 2. Применяя более сла-
слабую оценку из предложения 1.5.3, можно показать, что Ai < р3/4+р~3/4.
Несмотря на то что эта оценка слабее точной оценки, она также до-
достаточна для многих приложении таких графов.
В заключение мы покажем, как с помощью графов Xp'q мож-
можно достроить другое семейство графов Рамануджана У. Груп-
Группа PGLB,Z/qZ) действует на P1{Fg) = {0,1,...,9 - 1,оо} посред-
посредством обычных дробно-линейных преобразовании. Определим (р+1)-
регулярный граф У1*, взяв в качестве вершин точки P1(F9) и со-
соединив ребрами вершины f € Р1 и 7f для всех у € {а,... ,57}. Оче-
Очевидно, что так определенный граф имеет петли. Каждой собственной
функции / оператора А на У можно сопоставить собственную функ-
функцию F графа Xp<q с тем же собственным числом. А именно, равенство
F(g) = f(g(O)) задает требуемое соответствие. Для того чтобы пока-
показать, что У1* — недвудольный граф Рамануджана, надо проверить,
что -(р + 1) не является собственным числом У1* (необходимая оцен-
оценка для m(Yp,q) следует из того, что спектр УРЛ содержится в спек-.
тре Хр<я). Если бы — (р+1) являлось собственным числом, то ( - ] = —1,
и можно предположить, что F(g) = /(<?@)) равно 1 на PSLB,Z/qZ)
и —1 на его дополнении. Кроме того, F постоянна на элементах под-
подд р , д
группы < [ j.) а6^0>. Однако эта подгруппа содержит как эле-
элементы PSLB, Z/qZ), так и элементы из дополнения к ней, что приводит
к противоречию.
1\мфы X2-3, У5'13, У5»17 изображены на рис. 3.1 (с. 77) и 3.2.
Замечания
3.1. Существование графов с большим обхватом и большим хромати-
хроматическим числом было доказано Эрдешем [Ег]. Мы следовали его методу.
Исторический обзор этой проблемы содержится в [Bol]. Явное решение
задачи при помощи графов Хр* принадлежит Любоцкому, Филипсу и
Сарнаку [LPS2,LPS3].
102
Глава 3. Графы Рамаяуджана
у5,13
11
12
16
у5,17
Рте. 3.2.
Замечания
103
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 3.3. График Пиппенгера
Графы-расширители являются основными блоками для создания су-
суперконцентраторов и неблокирующих сетей, см. [Pipl]. Пинскер [Pin]
первым доказал существование расширителей при помощи комбинатор-
комбинаторных аргументов, см. также [Pipl] и [Chul]. Явные примеры расширите-
расширителей, построенные в этой главе, в некотором смысле хуже тех, которые
получаются при помощи комбинаторных методов. Чтобы нагляднее
увидеть различие между ними, рассмотрим конструкции расширителей
с Зп ребрами. Доя каждого 0 < о < 1 можно пытаться найти графы,
которые "расширяют" подмножества вершин из О мощности an в под-
подмножества вершив из / мощности /Зп. Пиппенгер [Pip2] нашел оценки
сверху для /б как функции от а. Для двудольных кубических графов Ра-
мануджана функция расширения /3 (как функция от а) определяется из
предложения 3.2.4. Комбинаторный метод приводит к другой функции
/?(а). На рис. 3.3 приведены графики этих функций /?(а). Параметр a
откладывается вдоль х-оси, а C — вдоль у-оси. Самый тпктщ график.
соответствует диагонали у = х. Следующая кривая является графиком
функции /?(а) для двудольных графов Рамануджана. Третья кривая
отвечает функции /3 для случайных графов, полученных при помощи
комбинаторных методов (Chung [Chul]). Наконец, минимум функций,
заданных при помощи двух верхних графиков, дает верхнюю границу
для наилучшей возможной функции расширения /3 (см. [Pip2]). Этот
график предоставил нам Пиппенгер. Как видим, имеется возможность
для улучшения как явных так и случайных конструкций.
104 Глава 3. Графы Рамаиуджана
3.2. Предложение 3.2.4, связывающее коэффициент расширения со свой-
свойствами спектра, принадлежит Таннеру [Ian.]. В статье Алона [А] объяс-
объясняется связь между собственными числами и свойствами расширителей.
Оценка диаметра графа из предложения 3.2.6 была получена в работе
Любоцкого, Филлипса и Сарнака [LPS3]. Опенки диаметра, их прило-
приложения, а также конструкции других интересных семейств арифмети-
арифметических графов можно найти в статье Чунга [Chu2]. Нижняя оценка из
предложения 3.2.7 была анонсирована в работе Алона [А]; приведен-
приведенное здесь доказательство принадлежит Любоцкому, Фидлипсу и Сар-
Haxy[LPS3].
3.3 и 3.4. Рассматривая приведенные в книге конструкции графов
Хр'4 и их свойства, мы следуем работе Любоцкого, Филлипса и Сар-
Сарнака [LPS3]. Аналогичные конструкции, а также некоторые результа-
результаты этой главы, были независимо получены Маргулисом [Мар2, МарЗ].
В действительности, первая явная конструкция графов-расширителей
(хотя в ней не был определен соответствующий коэффициент расшире-
расширения) принадлежит Маргулису [Mapl]. В своей работе он использовал
теорию преставлений групп и так называемое свойство Т. Обсужде-
Обсуждение подхода, основанного на теории представлений, а также теоретико-
числовых методов можно найти в статье Байена [Bi]. В недавней статье
де ля Харпа и Ваяетта [HV] дан замечательный обзор свойства Т и его
приложений х графам-рччиирич^им и инвариантным средним.
Ихара [Ш] также построил семейство графов Рамануджана. Матри-
Матрицы смежности таких графов являются в точности ''матрицами Бранд-
та" [Ei]. Эти графы заданы не в столь явной форме как ХРЛ, одна-
однако они несут в себе очень интересную теоретико-числовую информа-
информацию. Они непосредственно связаны с редукцией модулярных кривых
XqA) (mod р), где I — простое число, отличное от р. Местр [Мез]
успешно использовал их для вычисления коэффициентов Фурье голо-
голоморфных форм веса 2 относительно Tq(N) для больших N.
Фридман [FV] показал, что случайный 2&-регулярный граф с п вер-
вершинами (при п-юо) близок к графу Рамануджана, а именно
Ai < 2y/W^l + 2 log к + С.
В заключение мы отметим, что можно модифицировать приведен-
приведенную выше конструкцию графов Х*л так, чтобы включить случай р =
= 3 (mod 4), р простое. Случай р = 2 сложнее, поскольку кватерни-
онная алгебра Я разветвлена в точке 2. Чу [СМ] показал как можно
Згшечавжя 105
использовать алгебру D/Q, которая разветвлена в 13 и оо (и число
классов которой равно 1), для аналогичного явного построения X2'4.
Если q такое простое, что ( — ] = I — 1=1, то граф Кали группы
V 9 / \«/
PSLB, Z/qZ), отвечающий системе образующих
\\0 -l)'\-V=M
является кубическим графом Рамануджана в случае [-1=1. Если же
[ -} = —1, то граф Кэли группы PGLB,Z/qZ), отвечающий той же
системе образующих, является двудольным кубическим графом Рама-
Рамануджана.
Глава 4
Оценки коэффициентов Фурье параболических
форм полуцелого веса
В предложении 1.5.4 мы получили оценку коэффициентов Фурье пара-
параболических форм полуцеюго веса, а именно:
Для таких приложений, как упомянутая во введении проблема Линни-
ка, этой оценки недостаточно. В этой главе мы докажем следующую
теорему.
4.1. Теорема. Пусть 4\N u f(z) — параболическая форма полуцелого
веса к относительно To(N). Для п, свободных от квадратов, имеет
место следующая оценка
4.2. Заме*
A) Предположение о том, что п свободно от квадратов, является необ-
необходимым, как показывает пример перед формулировкой гипотезы 1.3.4.
В комментариях к этой главе будет объяснено, как можно распростра-
распространить оценку из теоремы 4.1 на все п, в том случае, когда / ортогональна
(относительно скалярного произведения Петерсона) к тэта-функциям
одной переменной.
B) Хотя оценка в теореме 4.1 слабее ожидаемой оценки, высказанной
в гипотезе Рамануджана 1.3.4, она позволяет преодолеть барьер - — -
в показателе. По существу это дает следующее решение проблемы Лин-
Иэ A.3.11) следует, что если Р — однородный гармонический мно-
многочлен в R3 степени и ^ 1, то ряд
4.2. Замечания 107
является параболической формой веса - + v относительно Го D). Сле-
довательно, по теореме 4.1 для п, свободного от квадратов,
+е. D.1)
Но
так что
Следовательно,
ме/(яЬ<«й~>-
С другой стороны, по теореме Гаусса30 [Ga]
0)
где h(d) — число классов мнимого квадратичного поля Q( V-л), t»(d) —
число корней из 1 в этом поле и d = discr (Q(V-n)) — дискриминант
поля. В проблеме Линника мы, конечно, предполагаем, что гз(п) > 0,
т. е. (-z I = 1. Зигель [Si2] показал (хотя и неэффективно), что h(d) »e
^>е \d\ а~е. Следовательно, для рассматриваемых п справедлива оценка
гз(п) »е п^"е- D.4)
Отсюда следует, что для любого Р степени i/ > 1
P(m/|m|) = Oe(n-&+e). D.5)
30 Это тождество тажже можно получить, используя рады Эйзенштейна веса 3/2.
108 Глава 4. Оценки коэффициентов Фурье
Гармонические многочлены на сфере S2 образуют ортонормированный
базис 31, откуда немедленно следует, что для любой последовательности
свободных от квадратов n, n -f со, и любой непрерывной функции /
B&S2
/(т/М) -> ffdX. D.6)
н»=« ^
Это и означает, что точки {m | |т|2 = п} асимптотически равномерно
распределены. В комментариях в конце этой главы будет объяснено,
как распространить D.6) на случай произвольных п (не обязательно
свободных от квадратов), для которых гз(п) > 0).
C) Используя аналогичные методы, можно на основании теоремы 4.1
получить подобные результаты об асимптотически равномерном рас-
распределении целых точек на эллипсоидах в случае других определенных
квадратичных форм от трех переменных.
D) Для определенных квадратичных форм от четырех и более пере-
переменных аналогичный результат об асимптотически равномерном рас-
распределении точек следует из полученной ранее оценки |вп| *Се п*~* •
В этом случае особый ряд имеет порядок г»*.
Вернемся к доказательству теоремы 4.1. Пусть к = к/2, к — не-
нечетное целое число, к > 5/2, и пусть 4\N. Пусть функции Д,...,/я
образуют ортонормированный (относительно скалярного произведения
Петерсона) базис пространства 5*(Г0(^). Из A.5.3) следует, что
где коэффициенты aj(m) определяются из разложения Фурье
/iW= fXm),e(mz). D.7)
ro = l
Кроме того,
" См., например, (HdJ. — Прим. ред.
4.3. Леша 109
Следовательно,
Я
^Й 2^R D8)
Как известно (см. A.5.4)), коэффициенты Рт(п) можно представить
в виде бесконечного ряда, включающего суммы Клостермана. Объеди-
Объединяя D.8) и A.5.4), положив г» = т, получаем основное тождество
fc_ /47ГПЧ
С
с=0 (mod N) С
Опенки |а>(п)| основаны на D.9). Обратим аи»маиш> на то, что девая
часть тождества D.9) положительна; это позволит нам менять N в про-
процессе получения оценок |а^(п)|2. Для того чтобы применять D.9), мы
должны представить К(п, п, с) в такой форме, в которой возможно со-
Напомним, что к = 2Л, к нечетно. Согласно определению
<i(modc)
Так как Sd зависит от вычета d по модулю 4, сложность вычисл
суммы увеличивается в зависимости от того, на какую степень 2 де-
делится с. Применяя китайскую теорему об остатках и квадратичный
закон взаимности, получаем следующую лемму.
4.3. Лемма. Пусть с — дг, где (q,r) — 1 и 4|г. Тогда
Кк(т,п,с) - Kk-f+itmq, т»?, rM(mF,nF,
5A71, n,g) для нечеткого 9 — сумма Семье
(mod
Таким образом, после выделения степени 2, делящей с, сумма Кк,
по существу, есть сумма Салье. В отличие от кажущейся более простой
110 Глава 4. Оценки жоэффяцвештов Фурье
суммы Клостермана К(тп,п,с), сумма Салье S{m,n,q) может быть яв-
явно вычислена. Это конечный аналог ситуации, когда функция Бесселя
Jfc_i(z) для fc = к/2 (к — нечетное целое) выражается через элементар-
элементарные функции; например,
Л/2 (*) = у — em z. D.10 а)
4.4. Лемма. Пусть (m,q) = (n,q) = 1. Тогда
(i) S(m,n,q)
(И) S{l,m,q)=0, если (j)=
(ш)
x»=l (mod 4)
4.5. Следствие. ?c4ti q нечетко u (n, g) = 1, mo
Доказательство следствия 4.5. По лемме 44
9(*m«) = f 2) S(l,«2,o) = B) eqjq ? • f2=)
VV/ X4/ x»51(inod«) V * У
Непосредственно проверяем, что
<A=q
Доказательство леммы 4.4.
/•г в/ \
A) 5(m,n,o)=
* (mod q) V«
4.5. СЛвдствте 111
Положим у = mat, х = Лгу, х = ту. Тогда
* (mod
(U)
i (mode)
S(m,l,q)
(согласно (i)).
Следовательно, 5A,m,q) = 0, если (- J = -1.
(iii) Положим m = n2 и рассмотрим
при n = 0,1,...,? - 1. Фушщия h задана на группе Z/gZ; Используя
стандартное вычисление гауссовой суммы, найдем преобразование Фу-
Фурье функции h:
п (mod q)
Е/х
Следовательно,
112 Ржава 4. Оцепхн коэффшцмевтов Фурье
Суммы
* (mod q)
уже встречавшиеся в A.48), известны как суммы Рамануджана. Как
заметил сам Рамануджан [Ram2], их можно вычислить при помощи
формулы обращения Мёбиуса.
d\q,d\r
где ц — функция Мебиуса.
Применяя обратное преобразование Фурье, получаем
4 _ S_«J »\ . \ » /
m (mod
(mod «) d\q
(*|(m»
)
E •(=)• (*¦«)
(mod9) ч ч '
V* d|« m(mod9)
m2=4 (mod d)
Вспомним, что, согласно предположению леммы, (n,q) = 1. Мы утвер-
утверждаем, что тогда
внутренняя сумма в D.14) обращается в 0 для всех d\q, dj^q. D.15)
Из справедливости D.15) следует равенство
которое завершает доказательство пункта (ш) леммы 4.4.
Осталось проверить D.15). Пусть q — db, где Ь > 1. Пусть то
пробегает все вычеты по модулю d, являющиеся решениями сравне-
сравнения тп2 s 4 (mod d), а А пробегает все вычеты по модулю Ь. Тогда
4.5. Следствие ' 113
m = mo + Ad — это все (причем попарно различные) вычеты по мо-
модулю q, удовлетворяющие сравнению т3 = 4 (mod d). Следовательно,
внутренняя сумма в D.14) разбивается на суммы вида
~ \ db ) ^
V db )~ \ db )
A (mod 6) Ч ' A (mod b)
Так как (n,b) = 1, последняя сумма обращается в 0, что доказыва-
доказывает D.15). D
Следствие 4.5 и лемма 4.3 позволят нам оценить правую часть ра-
равенства D.9). Функция Jfc_iDim/c) изменяется незначительно, ее пове-
поведение хорошо изучено и, в действительности, не влияет на результат.
Напротив, мы должны использовать чередование знаков отдельных слаг
гаемых К(п, п, в), которое носит арифметический характер. Поскольку
по лемме 4.3 К(т,п,с), по существу, есть S(n,n,q), наша задача сво-
сводится к оценке суммы в следующей модельной задаче:
2йЬ?&. D.16)
9=0 (mod N)
Модельная задача. Мы хотим получить нетривиальную оценку для
Kff(n, х), используя взаимное сокращение слагаемых в сумме
() е ((;9) <ti7)
q=0 (mod АО
Далее мы получим равномерные по переменным x,Nwn опенки KN(x).
Мы предполагаем, что п достаточно велико и свободно от квадра-
квадратов. В качестве основной переменной будем рассматривать г», а х и N.
в конечном итоге будут, зависеть от п; пока мы считаем, что х я N
есть величины порядка О(пг) доя некоторого фиксированного (доста-
(достаточно большого) г. Все величины, для любого е > 0 имеющие поря-
порядок Oe(xeneNe), будем обозначать С. Например, функция т(п), рав-
равная числу делителей п, есть О{?}. Легко получить тривиальную оценку
для Кц(х)
C + C D.18)
Следующая идея позволяет улучшить оценку D.18). В случае, ко-
когда a v"n* b м^мтаг, взаимное сокращение яют?пиаш^пшт.тшт слагаемых
114 Глава 4. Ощенжж коэффициента» Фурье
в D.17) не дает большого выигрыша, однако, поскольку п свободно от
квадратов, сокращение возникнет за счет ( -). А в случае больших
значении а и о имеет место сокращение аяипппимп^игшу.^му слагаемых
в D.17). Для того чтобы разбить сумму на меньшие, мы рассмотрим
у<9<2у VV/ ab=q V V ''
у9у ab=q
9 = 0 (mod ft) (a,fr) = l
Исходная сумма D.17) содержит не более log x = О(?) таких слагаемых,
поэтому достаточно оценить суммы D.19).
Сумму D.19) можно переписать в следующем виде
*»w- E (а) •(*•(!-!))¦ <**>
(а,Ь) = 1
V|6
Вновь разбивая ее на логарифмическое число слагаемых, мы сведем
задачу к оценке следующей основной суммы:
E)
Неполная сумма. Зависимость е
I 2г» I т ) ) от а (или от Ь) может
быть представлена в более прозрачном виде при помощи следующего
соотношения взаимности, замеченного Иванцом.
Поскольку <м + 66 = 1 (mod об), мы подучаем, что
J + J«i(«odl). D.22)
Для больших значений <Л мы можем использовать это соотношение что-
чтобы приближенно обратить а и 6. Более точно,
4.5. Сждсгаме 115
Теперь для сумм вида
Е (?)«(f).
мы можем получить нетривиальные оценки, дополняя эти суммы и
используя оценки, полученные средствами алгебраической геометрии.
А именно, пусть F(u) — периодическая функция на множестве целых
чисел с периодом т. Тогда
? E *
и?Х г (mod m)
^Х
г (mod m)
X\F@)\ I v \F(r)\
X\F@)\ t
т.е.
F(«) < ±i?p + Иооlogm. D.24)
Этот метод известен как пополнение суммы. Слагаемое XF(Q)/m
соответствует сумме по периоду; мы выигрываем во втором слагаемом,
если значение Ц^Ноо мало.
Этот метод можно применить, например, к сумме
В этом случае
u (mod m)
116 Глава 4. Оцевхж коэффициентов Фурье
есть сзгмма Ююстермана. Согдасао оценке Вейля из главы 1,
l^rHlv.ml^ffl^ffl). D.27)
Таким образом,
Е(Ж\ ^ T(m)X(v,m) , , .1/2 i/2 / \i /л««ч
е ^—J < ^ + ("». v) m ' т(я») logm. D.28)
Следовательно, мы можем оценить сумму в D.23')
Здесь мы применили D.24) и использовали оценку Вейля для полной
суммы периода Ьп, а также тот факт, что для свободного от квадра-
квадратов я
? (?)•(?)"•
a (mod 6n)
Учитывая эти замечания, мы оценим F(A, В, N) в D.21).
Малые значения А и В. Если, например, В мало, то сначала про-
просуммируем по а в D.21) и применим метод, изложенный в предыдущем
разделе. Используя D.23) и суммирование по частям, мы приходим к за-
задаче оценки для каждого фиксированного 6 величины
Значения А\ и Ач определяются пределами изменения d = a/(N, Ь), а
т зависит от 6. Из D.29) следует, что
\F(A, B,N)\< ВВ^п1!2 С (l + -)
D.зо)
С другой стороны, выполнив сначала суммирование по 6, мы получим,
что
ll ( ?) D.31)
\F(A, B,N)\< A*l2nll2 С (l + ?) .
4.5. Следствие 117
Оценки D.30) и D.31) хороши лишь в том случае, когда либо А
либо В малы. Множитель п1/2 возникает, потому что мы должны учи-
учитывать изменение знаков величины (—), что приводит к полной сумме
с периодом nb. Когда А ж В велики мы предварительно учтем их со-
сокращение и применим неравенство Коши-Шварца. Однако прямая по-
попытка не приводит к успеху. Мы преодолеем это, применив еще один
ТрЮК, глтяртьгя с ВДОЖением.
Большие значения А в В. В этом случае недостаточно ограни-
ограничить F(A, В, N) при фиксированном N. Однако, если мы усредняем,
ITftJI i ОИМЙР ¦
FP= ? \ПА,В,р)\, D.32)
где р пробегает простые числа в пределах от Р до 2Р, мы можем сум-
суммировать следующим образом:
Таккакр|а илир|6, то
FP(A, В) = F(^/p, В) + F(A, В/р),
и можно оценивать каждое слагаемое отдельно. Меняя переменные, по-
получаем, что
\ПА/р,В)\
(здесь [Рь-Рг] — соответствующий интервал изменения переменных,
его длина < Р). Согласно неравенству Коши-Шварца,
2 ^ AB
|F(A/p,B)|2<^E
__!.))
. D.33)
118 Глава 4. Оценки коэффициента» Фурье
Вновь суммируя сначала по а и используя соотношение взаимно-
взаимности D.22), получаем для pi # рз
+ s) с ((Р2 -Л,ь)^ + <»-*¦»*) Dл4)
Отдельно выделим в сумме D.33) слагаемые, соответствующие pi = рз-
Их сумма оценивается величиной
p p p ¦
Согласно D.34) и оценке
для суммы D.33) с pi ф рз получим оценку
Объединяя D.34) и D.35), получим
|>(A/P,BJ|-< "ет +'f 1 + -)V2^ (А1'гВ*/*РФ + АВ1/2).
^ V У/ D.36)
С другой стороны, можно сначала просуммировать по 6, что дает
\F(A/P, В)|< ^| + f 1 + -I/2 {А*/*В1'2Р1'* + А1<2ВР-1/*) С.
4 V/ D.37)
Объединяя последние оценки (и проведя те же рассуждения для
F(A,B/P)), получим
FP(A,B) < -|- + (l + 2V/2 (y7/8p3/8 + (л-1/2 + в-1/2)у) ?
V V/ D.38)
Заметим, что для достижения результата мы должны выбрать Р до-
достаточно большим (например, равным небольшой степени п), а А и В
4.6. Предложение 119
большими с учетом слагаемого (А~Х12 + В/2). Следует отметить, что
в D.38) не возникает множитель я1/2, так как мы не использовали знак
f-J, а работали лишь с экспоненциальной частью.
Оптимизируя комбинацию оценок D.38), D.30) и D.31), мы разби-
разбиваем все на два случая. Если
А или В
то мы применяем D30) иди D.31); в противном случае мы использу-
используем D.38). Это приводит к оценке
5/8
/ \
Возвращаясь к D.17), получаем
_ + JL + (Я + пM/*(я1/4р«/. + п1/8ж1/8р1/4)] ?. D.39)
Это основная оценка в модельной задаче. Для того чтобы получить
оценку для сумм, включающих Kt{m, я, с), а именно, для
(), D.40)
сгО (mod Q)
где I/ = —1,0,1, необходимо модифицировать проведенные выше рас-
рассуждения, учитывая лемму 4.3 (т. е. выделение степени 2 в качестве
множителя в лемме 4.3); подробности см. в [Iwl]. В этом направлении
получается следующий результат.
4.6. Предложение. Для фиксированного Nq и свободного от квадра-
квадратов я справедлива оценка
120 Глава 4. Оценки коэффициентов Фурье
Доказательство теоремы 4.1. Причина проведенного выше усред-
усреднения объясняется следующим простым, но красивым фактом: если
/(z) — ортонормальная параболическая форма относительно T0(N),
то _ . . дгчц/з/С*) будет такой же формой относительно Fo(piV).
Следовательно, для каждого р мы можем добиться того, что в левой
части D.9) появляется слагаемое \а(п)\2/\To(N): To(pN)] (где e(n) —
оцениваемый коэффициент). Так как [Го(#) : To(pN)] < р+ 1, то сум-
суммирование по Р < р < 2Р приводит к оценке
ЕК(п,п,с) т /4хп\
—7—JkA—)
сгО (mod
Используя следующую формулу (подобную D.10а), но в более общем
случае [Wat])
где Hi и Я_1 — многочлены степени, не превосходящей к--, для z ^ 2
и простые оценки Jfc_i(z) = Ofz*) и Ji_x(z) = О(г*~2) для 0 < z < 2,
мы можем представить ряд
с = 0 (mod рЛЬ) ¦ c<n On
как сумму интегралов от KvfiQ{x). Подставляя в основную оценку (после
интегрирования по частям) из предложения 4.6 при Р = п1/7, непосред-
непосредственно получаем (см. [Iwl]), что
Это завершает доказательство теоремы. ?
Заметим, что для малых значений А или В мы использовали по-
поведение знаков (^т), поскольку решения сравнения х2 = 1 (mod q)
в этом случае не равномерно распределены, а в случае больших значе-
значений А ж В мы использовали то, что решения сравнения х2 = 1 (mod q)
распределены равномерно.
Заметали 121
Замечания
(а) Первое замечание касается переноса теоремы 4.1 и, соответственно,
гипотезы Линншга на случай произвольных (не обязательно свободных
от квадратов) целых я. Мы предполагаем, что читатель знаком с по-
понятием "подъема Шимуры", предложенного в статье Шимуры [Sh2].
(В действительности, имеется ряд трудностей в определении подъема,
поскольку необходимо рассматривать операторы Гекке 7^з с р, делящим
уровень формы; это можно преодолеть, привлекая теорию так изщнв»-
емых новых форм [AL].) Если / € Sjc(To(N)) для полуцелого к и / —
собственная форма операторов Гекке Tpt, то, как показал Шимура, для
свободного от квадратов t имеет место равенство (здесь, как обычно,
/_1\*-?
где xi(m) = ^—J . Кроме того,
р , если
торяд
принадлежит пространству параболических форм 52t-i(ro(iV')) для
подходящего N1 (если только / ортогональна к тэта-функциям одной
переменной [Sh2]). В частности, это так, если к ^ 5/2.
Отсюда следует, что
а(Ы2) =
Коэффициенты Ь(п) — это коэффициенты Фурье модулярной парабо-
параболической формы четного целого веса 2к — 1, и по гипотезе Рамаиуджа-
на 1.2.5 для них справедлива оценка
122 Глава 4. Оценки коэффаднантов Фурье
Следовательно,
d\n
Применяя теорему 4.1, получаем
\a(tn2)\ <? (*п
Это позволяет распространить теорему 4.1 на произвольные целые я.
(Ь) Существует аналог проблемы Линийка для неопределенных квадра-
квадратичных форм от трех переменных. Она эквивалентна изучению распре-
распределения бинарных квадратичных форм. Более точно, пусть d < 0 —
дискриминант бинарной квадратичной формы [а, 6, с] = ах2 + Ьху+су2.
Как показал Гаусс [Gaj, множество таких форм данного дискриминан-
дискриминанта распадается под действием SLB, Z) (эта группа действует посред-
посредством линейных преобразовании переменных (х,у)) на конечное чи-
число h(d) (так называемое число классов) классов эквивалентности. Ка-
Каждой форме [а, 6, с] можно сопоставить точку z € fi, взяв в качестве z
решение уравнения az2 + bz + с = 0. Тогда множество представителей
для h(d) приведенных форм можно выбрать лежащим в фундаменталь-
фундаментальной области Т (см. рис 1.1).' Возникает вопрос о распределении этих
точек в ГA)\% при d -* оо. Линник нашел условное доказательство
того, что они распределены асимптотически равномерно относитель-
относительно инвариантной меры на ГA)\%, а именно, —^. Дюк в своей заме-
замечательной статье [Du] дал безусловное доказательство. Для этого он
получил опенки, подобные опенке из теоремы 4.1, для коэффициентов
Фурье общих форм Мааса полуцелого веса, определенных в А.2.4.
Оценки этой главы основаны на анализе решений сравнения х2 =
= 1 (mod с) при меняющемся с Аналогичный вопрос для х? =
= m (mod с), где m не является полным квадратом, также тесно связан
с модулярными формами. Метод приложения 2.1 главы 1 применим и
здесь. Он дает опенку
Замечания 123
Как видно из лемм 4.4 и 4.3, суммы Къ(т, я, с) тесно связаны с суммами
х2=т (mod с)
иначе говоря, с "суммами Ве&ля" для решений х2 = т (mod с) при
меняющемся с. Следует сравнить это с работами Хули [Ноо] и Хей-
джала [Hej]. Более интересный вопрос о распределении решений х2 =
= — 1 (mod р) для простых р ^ X, кажется, лежит вне достижимости
этих методов. Однако известно об этом очень мало. Например, кроме
предельной точки 0 для х/р, где х2 = — 1 (mod р), р -? со, мы не знаем
других предельных точек в интервале [0,1/2).
Литература*
ГШД Гельфанд И.М., Шилов Г. Б. Обобщенные функции и дей-
действия над ними. М.: Фиэматгнз, 1959.
ГР Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведении. М.: Наука, 1971.
Д Дринфельд В. Г. Конечно-аддитивные меры на S2 и S3, ин-
инвариантные относительно вращений. Функц. анализ и его при-
лож., 1984, 18C), 77.
Ка Каждан Д. А. О связи дуального пространства группы со
строением ее замкнутых подгрупп. Функц. анализ и его прц-
лож., 1967,1 A), 71-74.
КАД Канторович Л. В., Акидов Г. П. Функциональный анализ.
М.: Наука, 1984.
КМД Кострикин А. И., Манин- Ю. И. Линейная алгебра и геоме-
геометрия. М.: МГУ, 1980.
Ку Кузнецов Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических
форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Кдостер-
мана. Машем, сборник, 1980, 111 C), 334-383.
КФД Аналитическая теория чисел и теория функций, 13. Сборник
работ под ред. Г. В. Кузьминой и О. М. Фоменко. Записки на-
научных семинаров ПОМИ, 1996, 226.
Л1 Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей.
Л.: ЛГУ, 1967.
Л2Д Л инн ик Ю. В. Избранные труды: Теория чисел. Эргодический
метод и Хгфункций. Л.: Наука, 1979.
* Индексом "д" попечена литература, добавленная прв переводе. — Прим. ред.
Лжтерааура ¦ 125
Малд Малышев А.В. О представлении целых чисел положитель-
положительными квадратичными формами. Труды Матем. ин-та им.
В. А. Огеклова АН СССР. Т. 65. М. - JL: Иэд-во АН СССР, 1962.
Mapl Маргудис Г. А. Явные конструкции расширителей. Проблемы
передача инфомации, 1973, 9D), 71-80.
Мар2 Маргудис Г. А. Арифметические группы и графы без ко-
коротких циклов. В кн.:' Шестой международный симпозиум по
теории информации (Ташкент, 1984). Тезисы докладов. Ч. I.
М.: Ташкент, 1984, 123-125.
МарЗ Маргудис Г.А. Явные теоретико-групповые конструкции
комбинаторных схем и их применения в построении расшири-
расширителей и концентраторов. Проблемы передачи инфомации, 1988,
.24A), 51-60.
A A Ion N. Eigenvalues and expanders. Combinatorial, 1986, в,
83-96.
AM Alon N., Millman V.D. Ai iaoperimetric inequalities for graphs
and superconcentrators. J. Comb. Theory, Ser. B, 1985, 38, 73-88.
AL Atkin A. O. L., Lehner J. Hecke operators on Го(тп). Math. Ann.,
1970, 185, 134-160.
Ba Banach S. Sur le probleme de la mesure. Fund. Math., 1923, 4,
7-33. .
Bi В ien F. Constructions of telephone networks by group representa-
representations. Notices Amer. Math. Soc., 1989, 36A), 5-22.
Bol В о Hob as B. Extremal graph theory. London: Academic press,
1978.
Bo2 Bollobas B. Random Graphs. London: Academic Press, 1985.
BFH Bump D., Friedberg S., Hoffstein J. Eisenstein series on the
Metaplectic group and non vanishing theorems for automorphic
Irtunctions and their derivatives. Ann. Math., 1990, 131, 53-128.
Chi Chiu P. The cubic Ramanujan graph. Combinatorica, 1992,12 C),
275-285.
126 . Литература
Chul Chung F. On concentrators, superconcentrators, generalizes, and
non blocking networks. Bell Sya. Tech. J., 1978, 59,1765-1777.
Cbu2 Chung F. Diameters and eigenvalues. J. Amer. Moth. Soc., 1989,
2B), 187-196.
Dal Davenport H. Multiplicative number theory. Second edition.
New York-Berlin: Springer-Verlag, 1980.
На русском^
Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Наука,
1971.
Da2 Davenport H. Analytic methods for Diophantine equations
and Diophantine inequalities (The University of Michigan, Fall
Semester, 1962). Ann Arbor, Mich.: Ann Arbor Publishers, 1963.
De Deligne P. La conjecture de Weil. Inst. Houtes Etudes Set. Publ.
Math., 1974, 43, 273-307.
На русском языке:
Делинь П. Гипотеза Векля. Успехи машем, наук, 1975, 30E),
159-190.
DS Deligne P., Serre J.-P. Formes modulaires de poids 1. Ann. Set.
Ecole Norm. Sup. D), 1974, 7, 507-530.
DI Deshouillers J.-M., Iwaniec H. Kloosterman sums and Fourier
coefficients of cusp forms. Invent. Math., 1982/83, 70 B), 219-288.
Di Dick son L.E. Arithmetic of quaternions. Proc. London Math.
Soc. B), 1922, 20, 225-232.
Du Duke W. Hyperbolic distribution problems and half-integral
weight Maass forms. Invent Math., 1988, 92 A), 73-90.
Ei Eichler M. Quaternare quadratische Formen und die Rie-
mannsche Vermutung fur die Kongruentzzetafunktion. Arch. Math.,
1954, 5 D-6), 355-366.
EGM Elstrodt J., Grunenwald F. J., Mennicke J.L. Poincare se-
series. Series de Poincare, sommes de Kloosterman et valeurs propres
du laplacien pour les groupes de congruence *g»"wt sur un espace
hyperbolique. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1 Math., 1987, 305A3),
577-581.
Лштврш/турл *.&(
Ег Erdos P. Graph theory and probability: Canad. J. Math., 1959,
11, 34-38.
Fo F о Hand G. Introduction to partial differential equations. Prince-
Princeton, NJ: Princeton University Press, 1976. (Preliminary informal
notes of university courses and seminars in mathematics. Mathe-
Mathematical Notes)
Fr Friedman J. On the second eigenvalue and random walks in ran-
random «l-regular graphs. Preprint, 1988.
Ga Gaufi С F. Disquisitiones arithmeticae. Leipzig: Fleischer, 1801.
GJ Gelbart.S., Jacquet H. A relation between automorphic repre-
representations of GLB) and GLC). Ann. Set. Ecole Norm. Sup., 1978,
11, 471-542.
GS Goldfeld D., Sarnak P. Sums of Klooeterman sums. Invent
Math., 1983, 71 B), 243-250.
Gra Granirer Б.Б. Criteria for compactness and for discreteness of
locally compact amenable groups. Proc. Amer. Math. Soc., 1973,
40B), 615-624.
Gri, Greenleaf F.P. Invariant means of topological groups and their
applications. New York-Toronto, Ont.-London: Van Nostrand;
Reinhold Co., 1969. (Van Nostrand Mathematical Studies, 16)
На русском языке:
Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических груп-
группах и их приложен». М.: Мир, 1973.
Н Неске Б. Mathematische Werke. Gottingen: Vandenhoeck
& Ruprecht, 1959. (Hrsg. im Auftrage der Acad. der Wissenschaffen
zu Gottingen)
HV Harpe P. de la, Valette A. La propriete (T) de Kazhdan pour
les groupes localement compacts. Asterisque, 1989, 175.
Hej Hej hal D. Roots of quadratic congruences and eigenvalues of the
non Euclidian laplacian. Cont. Math., 1985, 53, 277-339.
Не1д Helgason S. Groups and geometric analysis. Integral geom-
geometry, invariant differential operators, and spherical functions.
128 Литература
Orlando, Fla.: Academic Press, Inc., 1984. (Pure and Applied Math-
Mathematics, 113)
На русском языке:
Хедгасон С. Группы и геометрический анализ. М., 1987.
Нею Hooley С. On the distribution of the roots of polynomial congru-
congruences. Mathematika, 1964, 11, 39-49.
How Howe R. E. 0-series and invariant theory. In: Automorphic forms,
representation and Irfunctions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon
State Univ., Corvallis, Ore., 1977). Part. 1. Providence, RI: Amer.
Math. Soc., 1979, 275-285. (Proc. Sympos. Pure Math., 33)
HP Howe R.E., Piatetski-Shapiro LI. A counterexample to the
"generalized Ramanujan conjecture" for (quasi)-split groups. In:
Automorphic forms, representation and Irfunctions (Proc. Sympos.
Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977). Part. 1.
Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1979, 315-322. (Proc. Sympos.
Pure Math., 33)
ЕГО* Hewitt E., Ross K. A. Abstract harmonic analysis. Vol. 1. Struc-
Structure of topologies! groups-integration theory-group representation.
Berlin-Gottingen-Heildelberg: Springer, 1963.
На русском языке:
Хьюит. Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ.
Т. 1. Структура топологических групп. Теория интегрирова-
интегрирования. Представления трупп. М.: Наука, 1975.
Ig Igusa J. Fibre systems of Jacobian varieties. III. Fibre systems of
elliptic curves. Amer. J. Math., 1959, 81 B), 453-476.
Ш Ihara Y. Discrete subgroups of PLB,kp). Providence, RI: Amer.
Math, Soc., 1966, 272-278. (Proc. Symp. Pure Math. DC)
На русском языке:
Ихара Я. Дискретные подгруппы группы PLB, кр). В кн.: Ма-
Математика. Периодический сборник переводов иностранных ста-
статей, 1968, 12E), 131-138.
Iwl Iwaniec H. Spectral theory of automorphic functions and recent
developments in analytic number theory. In: Proceedings of the In-
International Congress of Mathematicians, Vol. 1,2 (Berkeley, Calif.,
1986). Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1987, 444-456.
Литература 129
Iw2 Iwaniec H. Fourier coefficients of modular forms of half integral
weight. Invent. Math., 1987, 87B), 385-401.
Iw3 Iwaniec H. Small eigenvalues of Laplacian for ro(iV). Ada Arith.,
1990, 56A), 65-82.
JL Jacquet H., Langlands R.P. Automorphic forms on GL{2).
Berlin-New York: Springer-Verlag, 1970. (Lecture Notes in Math-
Mathematicians, 114)
Kl Kloosterman H. On the representation of numbers in the form
ax2 + by2 + cz2 + dP. Ada Math., 1926, 49, 407-464.
KZ Kohnen W., Zagier D. Fourier coefficients of modular forms of
half integral weight. Math. Ann., 1985, 271, 237-268.
Кг KroneckerL. Zur Theorie der elliptischen Funktionen. Werke,
Vol. 4. Leipzig-Berlin: B.G. Teunber, 1929, 347-495; Vol. 5.
Leipzig-Berlin: B.G. Teunber, 1930, 1-132.
La Langland R.P. Problems in the theory of automorphic forms.
In: 7th Int. Teletraf. Congr. (Stockholm, 1973). Stockholm, 1973,
318/1-318/4.
На русском языке:
Ленглендс Р. П. Вопросы теории автоморфных форм. В кв.:
Математика. Периодический сборник переводов иностранных
статей, 1971, 15B), 57-83.
Li Li J.-S. Poincare series on SU(n, 1). Preprint, 1988.
LiPS Li J.-S., Piatetski-Shapiro LL, Sarnak P. Poincare series for
SO(n, 1). Proc. Indian Acad. Set., Math. Sci., 1987, 97, 231-237.
Lin Linnik Y. V. Additive problems and eigenvalues of the modular
operators. Proc. I.CM. (Stockholm, 1962). Djursholm: Mittag-
Leffter, 1963, 270-284.
На русском ядшге-
Лииник Ю. В. Аддитивные проблемы и собственные значения
модулярных операторов. В кн.: Теория чисел. Х-функции и дис-
дисперсионный метод. Избранные труды. Л.: Наука, 1980,135-151.
LR Losert V., Rindler H. Almost invariant sets. Bull. London Math.
Soc, 1981, 13B), 145-148.
130 Литература
LPS1 Lubotzky A., Phillips R.S., Sarnak P. Hecke operators and
distributing points on the sphere. I. Comm. Pure Appl. Math., 1986,
39 (S), suppL, 149-186; Hecke operators and distributing points
on S2. II. Comm. Pure Appl. Math., 1987, 40 D), 401-420.
LPS2 Lubotzky A., Phillips R.S., Sarnak P. Ramanujan conjecture
and explicit construction of expanders. Proc. STOC, 1986, 86, 240-
256.
LPS3 Lubotzky A., Phillips R.S., Sarnak P. Ramanujan graphs.
Combinatorial, 1988, 8C), 261-277.
Ma Margulis G. A. Some remarks on invariant means. Monatsch.
Math., 1980, 90, 233-235.
Mes Mestre J.F. Courbes de Weil de conducteur 5077. C.R. Acad.
Set. Paris, Ser. I Math., 1985, 300, 509-512.
Mey MeyersonG. Dedekind sums and uniform distribution. J. Number
Theory, 1988, 28, 233-239.
Mo Mor dell L. J. On Mr. Ramanujan's empirical expansions of mod-
modular functions. Proc. Cambridge Phil. Soc., 1917, 19.
NA von Neumann J. Collected works. Vol. Ш: Rings of operators.
New York-Oxford-London-Paris: Pergamon Press, 1961.
- На РУССКОМ иичи: ...
Нейман Дж. фон. О кольцах операторов. В кн.: Нейман
Дж. фон. Избранные труды по фу""хти>гомп-ному анализу.
Т. 2. М.: Наука, 1987, 7-336.
О Ogg A. Modular forms and Dirichlet series. W.A. New York-
Amsterdam: Benjamin Inc., 1969.
Pe Petersson H. Theorie der automorphen Formen beliebig reeler
Dimension und ihre Darstellung durch eine neue Art Poincare-
Reihen. Math. Ann., 1939, 103, 369-436.
Pf P fe t z e r W. Die Wirkung der Modulsubstitutionen auf mehrfache
Theta-Reihen zu quadratischen Formen ungerader Variablenzhal.
Arch. Math., 1953, в, 448-454.
Pipl Pippenger N. Super concentrators. SIAM J. Comput, 1977,
6B), 298-304.
Лжтерчгура - 131
Pip2 Pippenger N. Private communication, 1988.
Pin Pinsker M. On the complexity of a concentrator. In: 7th Int.
Teletraf. Congr. (Stockholm, 1973). Stockholm, 1973, 318/1-318/4.
Po Polchinsky J. Evaluation of the one loop string path integral.
Comm. Math. Phys., 1986, 104A), 37-47.
Raml Ramanujan S. On certain arithmetical functions. Trans. Cam-
Cambridge Pfttf., 1916, 22(9), 159-184.
Ram2 Ramanujan S. On certain trigonometrical sums and their ap-
applications to the theory of numbers. Trans. Cambridge Phil. Soc.,
1918, 22 A3), 259-276.
Ran Rankin R.A. Modular forms and functions. Cambridge-New
York-Melbourne: Cambridge University Press, 1977.
Ro Rosenblatt I. Uniqueness of invariant means for measure-
preserving transformations. Trans. Amer. Math. Soc., 1981, 265,
623-636.
Ru Rudin W. Invariant means on L°°. Studia Math., 1972, 44, 219-
227. (Collection of articles honoring the complection by Antoni Zyg-
mund of 50 years of scientific activity, Ш)
Sar Sarnak P. Determinants of Laplacians. Comm. Math. Phys., 1987,
110, 113-120.
Sat Satake I. Spherical functions and Ramanujan conjecture. In: Al-
Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure
Math., Boulder, Colo., 1965). Providence, RI: Amer. Math. Soc,
1966, 258-264.
Schl Schoenberg B. Das Verhalten von mehrfachen Thetareihen bei
Modulsubstitutionen. Math. Arm., 1939, 116, 511-523.
Sch2 Schoenberg B. Elliptic modular functions. New York: Springer-
Verlag, 1974.
Sel Selberg A. On the estimation of Fourier coefficients of modular
forms. In: Proc. Sympos. Pure Math. Vol. VHI. Providence, RI:
Amer. Math. Soc, 1965, 1-15.
132 Литература
Ser Serre J.-P. A course in arithmetics. New York-Heidelberg:
Springer-Verlag, 1973.
На русском языке:
Cepp Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.
ЭЫд Shimura G. Introduction to the arithmetic theory of automor-
phic functions. Ibkyo: Iwanami Shoten, Publishers; Princeton, NJ:
Princeton University Press, 1971. (Kano Memeorial Lectures, 1)
На русском.
Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморф-
ных функций. М.: Мир, 1973.
Sh2 Shimura G. On modular forms of half integral weight. Arm.
Math. B), 1973, 97B), 440-481.
511 Siegel С L. Lectures on quadratic forms. Bombay: Tata Institute
of Fundamental Research, 1967. (Tata Institute of Fundamental
Research Lectures on Mathematics, 7)
512 Siegel С L. Uber die Classenzahl quadratischer ZahQrorper. Ada
Arm., 1935, 1, 83-86.
Su Sullivan D. For n > 3 there is only one finitely additive rota-
tionally invariant measure on the n-sphere denned on all Lebesgue
measurable subsets. Brdl. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1981, 4A),
121-123.
Sz Szegd G. Oethogonal polynomials. New York: Amer. Math. Soc.,
1959. Amer. Math. Soc. Coll. Publ., XXIII)
На русском;
Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиэ, 1962.
Tan Tanner R.M. Explicit concentrators from generalized N-gons.
SIAMJ. Alg. Discrete Methods, 1984, 5C), 287-293.
Tar Tarski A. Algebraische Fassung des Mass Problems. Fund. Math.,
1938, 31, 47-66.
Ti Titchmarsh Б. С The theory of functions. Second edition. Ox-
Oxford: Oxford University Press, 1979.
На русском языке:
Тнтчмарш Б. К. Теория функций. М.: Наука, 1980.
Литература _, 133
V Vardi L A relation between Dedekind sums and Klooeterman
sums. Duke Math. J., 1987, 55A), 189-197.
Wai Waldspurger J.L. Sur lescoefficientsdeFourier desformesmod-
ulaires de poids demi-entier. J. Math. Puna Appl. (9), 1981, 60 D),
375-484.
Wat Watson G. N. A treatise on the theory of Bessel functions. Cam-
Cambridge University Press, 1922.
На русском языке:
Ватсон Дж. Н. Теория бесселевых функций. Ч. 1,2. М.: Изд-
во иностр. лит., 1949.
Wei Weil A. On some exponential sums. Proc. Nat Acad. Sci. U.S.A.,
1948, 34, 204-207.
We2 Weil A. Sur certains groupes d'operateurs unitaires. Acta Math.,
1964, 111C-4), 143-211.
На русском языке:
, Вейдь А. О некоторых группах унитарных операторов. В кн.:
Математика. Периодический сборник переводов иностранных
статей, 1969, 13E), 33-94.