АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ
Е.П.ОЖИГОВА
РАЗВИТИЕ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В РОССИИ
Ё
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Ленинградское отделение
Ленинград . 1972

УДИ 611
Развитие теории чисел в России. Ожигова Е. II. Изд-во
«Наука», Ленингр. отд., Л., 1972, стр. 1—358.
В книге освещается развитие теории чисел в России от
Эйлера до 1917 г. Наряду с деятельностью ученых
Петербургской школы, автор рассматривает исследования по теории
чисел математиков других научных центров России. Кроме
работ русских математиков, в книге использованы
многочисленные историко-математические исследования и архивные
материалы. Представляют научный интерес изученные
автором рукописные материалы петербургских математиков. Книга
предназначена для широкого круга математиков и историков
науки.
12 порт., около 1200 библ. назв.
Ответственный редактор
д-р физ.-мат. наук А. В. МАЛЫШЕВ
Елена Петровна Ожигова
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В РОССИИ
Утверждено к печати
Институтом истории естествознания и техники АН СССР
Редактор издательства Т. И. Сушкова. Художник Л. А. Яценко
Технический редактор М. Н. Кондратьева
Корректоры Г. А. Мирошниченко и Г. Г. Эдельман
Сдано в набор 3 IX 1971 г. Подписано к печати 16/11 1972 г. Формат бумаги
60x90Vie. Печ. л. 22V2=22,5 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 24,42. Изд. № 4563. Тип.
зак. № 469. М-16136. Тираж 2250. Бумага № 2 Цепа 1 р. 80 к.
Ленинградское отделение издательства «Наука»
2-2-3 199164, Ленинград, Менделеевская лин., д. 1
543—71 (I) 1-я тип. издательства «Наука». 19С034, Ленинград, 9 линия, д. 12

ПРЕДИСЛОВИЕ
Отдельные направления математики и прежде всего теория
чисел особенно успешно развивались в России, начиная с работ
Эйлера и кончая первоклассными исследованиями советских
ученых. Задача исследования развития теории чисел в нашей стране
не раз ставилась на математических съездах и конференциях
по истории физико-математических наук. Однако до сих пор она
не решена. Не решает ее полностью и настоящая работа, целью
которой было собрать воедино все известные к настоящему
времени данные о развитии теории чисел в России. Для этого автором
была использована обширная литература, а также материалы
ленинградских архивов и архива Н. В. Бугаева в Московском
университете. Сюда следует отнести издания собраний сочинений
и избранных трудов русских математиков и их работы,
публиковавшиеся в различных русских и иностранных периодических
изданиях. Для того чтобы сделать возможно более полным список
работ русских ученых, были просмотрены издания Академии наук,
где публиковались наиболее значительные работы:
«Математический сборник», издававшийся Московским математическим
обществом; «Ученые записки» университетов; журналы
математических обществ Харькова, Казани, Одессы; популярные
журналы: «Вестник математических наук», издававшийся М. Гусевым
в Вильно (ныне Вильнюс); «Журнал элементарной
математики», издававшийся В. П. Ермаковым в Киеве, и его
продолжение — «Вестник опытной физики и элементарной математики»
под редакцией Э. К. Шпачинского и В. Ф. Кагана, издававшийся
первоначально в Киеве, а затем в Одессе; «Математический
листок» Н. А. Агрономова, выходивший в Ревеле (ныне Таллин),
и другие. Несколько статей было выбрано из «Педагогического
сборника» и из журнала «Семья и школа».
Наряду с русскими были использованы иностранные журналы:
Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Journal de mathe-
matiques pures et appliquees, Acta mathematica, Comptes rendus
hebdomadaires de l'Academie des sciences de Paris, Enseignement
mathematique, Nouvelles annales и другие.
В нашей стране печатались лишь отдельные работы по
вопросам истории теории чисел в России, например книги и статьи
А. В. Васильева, диссертация И. И. Иванова, работы Б. Н. Делоне,
книга и статьи Б. А. Венкова, статьи И. М. Виноградова,
А. О. Гельфонда, Н. Г. Чеботарева, Н. Г. Чудакова.
3

Много сделано в области истории теории чисел авторами
математических разделов таких капитальных трудов, как «История
естествознания в России», «История Академии наук СССР»,
«История отечественной математики», «История математики в
России». Ряд статей по отдельным проблемам истории теории чисел
и о творчестве некоторых выдающихся математиков России,
работавших в этой области, был опубликован в юбилейных
сборниках и таких изданиях, как
«Историко-математическиеисследования», «Успехи математических наук». Труды русских математиков
по теории чисел привлекали к себе внимание иностранных
ученых. Так, в фундаментальном трактате по истории теории чисел
Диксона содержатся многочисленные упоминания результатов
исследований русских ученых.
Наряду с печатными были изучены архивные материалы в
основном ленинградских архивов: Архива АН СССР (Ленинград
и Москва), Центрального государственного исторического архива
Ленинграда (ЦГИАЛ), Ленинградского государственного
исторического архива (ЛГИА), некоторые материалы из архива Научной
библиотеки МГУ.
В первой главе дан обзор развития теории чисел в России
и исследований по истории этой науки. Каждая из последующих
глав посвящена деятельности одного или нескольких ученых или
теоретико-числовым исследованиям в каком-либо научном центре.
Приложение содержит краткое описание архивных материалов
русских математиков по теории чисел.
Библиография книги состоит из трех частей. 1) Список работ
ученых России по теории чисел до 1917 г. (работы, вышедшие
в свет после 1917 г., учтены в сборниках «Математика в СССР
за 30 лет» и «Математика в СССР за 40 лет», а в
библиографии приведены лишь в порядке исключения) и краткие
биографические сведения об авторах; работы, имеющие только методический
интерес, как правило, в библиографию не были включены. Однако
некоторые статьи такого типа все же попали в список для полноты
представления научных интересов авторов. В список включены
некоторые учебники по теории чисел и литографированные курсы,
о которых имеются упоминания в тексте. Ссылки на работы этого
списка даны в квадратных скобках, например [25]. 2) Список
работ по истории теории чисел в России; сюда вошли лишь общие
работы, в которых затрагивается творчество нескольких авторов,
например [И 25]. 3) Персоналия — перечень работ об авторах
сочинений по теории чисел; литература, содержащая сведения
об этих сочинениях или развитие идей данного автора или
упоминания о нем, например [П 25].
Подстрочные примечания даны по главам. В них вошли ссылки
на архивные материалы и на литературу, не вошедшую ни в один
из указанных трех списков.

ГЛАВА 1
ОБЩИЙ ОБЗОР
РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В РОССИИ
Еще в древности задачи теории чисел волновали умы людей,
занимавшихся математикой. Задачи, сводившиеся к решению
неопределенных уравнений в целых числах, были предметом
изучения Диофанта, а вслед за ним — математиков стран ислама,
а затем и средневековой Европы. Теорией чисел интересовались
еще в Древней Индии и Древнем Китае.
Исследования по теории чисел в России начались с работ
Леонарда Эйлера, явившегося основоположником этой науки.
Непосредственными предшественниками Эйлера были Ферма, Валлис,
Баше де Мезириак и другие.
Имя Ферма известно всем, кто занимается теорией чисел. Малая
теорема Ферма, последняя («великая») теорема Ферма, числа
Ферма — эти термины часто встречаются в книгах по теории чисел.
Но, как известно, Ферма не оставил доказательств своих
результатов, кроме эскиза метода спуска, который ведет свое начало
еще от Евклида. Свои замечания и теоремы Ферма писал или
в письмах к друзьям и соперникам-математикам, или на полях
книги Диофанта «Арифметика», изданной в начале XVII в. Баше
де Мезириаком.
Эйлер, узнавший от академика X. Гольдбаха об исследованиях
Ферма, начал свою работу в области теории чисел (1729 г.) с
доказательства ложности утверждения Ферма о том, что все числа
вида 22т+ 1 (т=1, 2,3,. . .) — простые. Впоследствии Эйлер
доказал почти все утверждения Ферма, а для некоторых из
недоказанных им предложен план возможных доказательств, например для
доказательства теоремы о многоугольных числах.
В то же время Эйлер создал новые методы и приемы для
решения проблем теории чисел. Особенно большое значение имела идея
Эйлера о применении методов математического анализа в теории
чисел. Исследованиями по теории чисел он занимался всю жизнь.
Эйлер пытался систематизировать изложение теории чисел.
В его рукописном наследии был найден «Трактат» [112], в котором
последовательно излагалась теория делимости, теории
квадратичных и степенных вычетов. Почему Эйлер не опубликовал это
сочинение? Может быть, как предполагал издатель Opera omnia
5

[128, т. 5, стр. .VIII—XXXVII] Фютер, Эйлер хотел
систематизировать теорию чисел так же, как он сделал это с
дифференциальным и интегральным исчислением. Но он не закончил
предпринятого труда, поскольку видел, что эта наука еще не развита
в такой степени, в какой это требовалось. Некоторых вопросов
он еще не мог решить. Например, у него не было общей теории
для решения различных классов неопределенных уравнений в
целых числах, общей теории квадратичных форм, доказательства
закона взаимности и т. д.
По-видимому, «Универсальная арифметика», которую чаще
называют «Алгеброй» Эйлера, явилась осуществлением части того,
что намеревался сделать Эйлер. Он объединил в этом труде (во
второй части) все, что было сделано значительного по теории
неопределенных уравнений, систематизировав материал и
доказав то, что он мог доказать. Сюда вошли, кроме всего прочего,
доказательства двух случаев (п=3 и п=4) последней теоремы
Ферма.
После смерти Эйлера (1783 г.) его сочинения продолжали
публиковать в изданиях Петербургской Академии наук, среди них
большое место занимали его работы по теории чисел. Кроме
сочинений Эйлера, в изданиях Петербургской Академии печатались
в небольшом числе статьи по теории чисел других авторов. Ни по
значению, ни по количеству их нельзя сравнить с тем, что было
сделано Эйлером. Ничего существенного эти работы в теорию
чисел не внесли, но они способствовали тому, что в России
продолжал существовать интерес к проблемам теории чисел, и русские
ученые были в курсе современной теоретико-числовой литературы.
Стараниями потомков Л. Эйлера П. Н. и Н. Н. Фуссов были
изданы собрания сочинений Эйлера, в том числе и его рукописные
работы.
. В 60-е годы XVIII в. к Эйлеру присоединился Лагранж, а
с 1785 г. этими вопросами занялся и Лежандр. Лагранж также
не оставил после себя сводного труда по теории чисел. Однако
он является создателем общей теории решения неопределенных
уравнений второй степени и начал общей теории квадратичных
форм.
На рубеже XVIII и XIX вв. появились два сочинения,
подводивших итоги сделанному в теории чисел за все
предшествующее время и разными способами приводивших в систему эту часть
математики.
В 1798 г. вышел труд А. М. Лежандра «Очерк теории чисел».1
В 1801 г. вышло капитальное сочинение К. Ф. Гаусса
«Арифметические исследования».2 Оба труда основывались на результатах
Эйлера, Лагранжа, Лежандра, но только Гаусс смог изложить
1 Legendre А. М. Essai sur la theorie des nombres. Paris, 1798.
2 Gauss C. F, Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801,
<*

теорию чисел исходя из одного общего начала — понятия
сравнения, на языке теории сравнений. Лежандру не удалось создать
достаточно систематическую теорию чисел, хотя в его труде было
приведено много интересных результатов и утверждений как
самого автора, так и других ученых. Зато изложение в книге Лежандра
было более простым и доступным, чем у Гаусса.
Начав с разработки теории деления круга, Гаусс разработал
затем систематическую теорию квадратичных форм. Развитие этой
теории привело позднее (Эйзенштейн, Смит, Минковский) к
созданию теории квадратичных форм нескольких переменных. Идеи
Гаусса в теории деления круга, в теории квадратичных форм
и целых комплексных чисел явились исходными для создания
теории целых алгебраических чисел в трудах Куммера, Дирихле,
Эрмита, Дедекинда, Золотарева и др.
Труды Гаусса и Лежандра вскоре приобрели широкую
известность. Они легли в основу всех читавшихся курсов и всех
учебников по теории чисел. Первым учебником по теории чисел на
немецком языке была книга приват-доцента Берлинского университета,
а впоследствии профессора Дерптского университета Ф. Миндинга
(1832 г.). Первыми учебниками по теории чисел на русском языке
можно считать «Алгебру или вычисление конечных»
Лобачевского (1834 г.) и «Лекции алгебрического и трансцендентного
анализа» Остроградского (1836 г.).
В течение первой половины XIX в. были получены
выдающиеся результаты в области теории чисел (Гаусс, Дирихле, Лиувилль,
Якоби, Эрмит, Куммер и другие).
П. Г. Лежен-Дирихле явился создателем аналитической
теории чисел, идея которой идет от Эйлера. Дирихле внес большой
вклад в теорию алгебраических чисел и в теорию квадратичных
форм. Многие результаты этого ученого вошли в его «Лекции
по теории чисел»,3 изданные после смерти Дирихле и дополненные
его учеником Р. Дедекиндом. От работ Дирихле берут свое начало
исследования по изучению рядов Дирихле и их применению.
Первым русским ученым— специалистом по теории чисел — был
В. Я. Буняковский. Он обучался в Париже и там же защитил
докторскую диссертацию. Вернувшись в Россию, он продолжал
заниматься математической физикой. Первые его статьи по теории
чисел были напечатаны в 1831 г. В них Буняковский использовал
понятия сравнения и первообразного корня для доказательства
ряда теорем теории делимости и теории сравнений. Позднее он
опубликовал более сорока статей по теории чисел. Основные
направления его исследований: приложения теории сравнений,
получение теоретико-числовых тождеств с помощью рядов, применение
теории чисел к другим отделам математики.
3Lejeune-Dirichlet P. G. Vorlesungen uber Zahlentheorie.
Braunschweig, 1863.
7

Главная заслуга Буняковского заключается в том, что он
содействовал распространению в России современных
математических понятий, методов, терминологии. Кроме того, именно Буня-
ковский приобщил молодого Чебышева к занятиям теорией чисел.
Творчество П. Л. Чебышева сложилось под влиянием трудов
Эйлера, Лежандра, Лагранжа, Гаусса, Дирихле. Свое знакомство
с теорией чисел он начал с того, что совместно с В. Я. Буняковским
издал арифметические сочинения Эйлера [126]. Одновременно
с этим он опубликовал книгу «Теория сравнений» [2], которая
в течение многих лет была основным учебником теории чисел
в русских университетах.
Внимание Чебышева привлекали различные вопросы: закон
распределения простых чисел, ряды, члены которых зависят от
простых чисел, квадратичные формы, применение идеи наилучшего
приближения функций в теории чисел.
Наибольшей известностью пользуются две теоретико-числовые
работы Чебышева: «Об определении числа простых чисел, не
превосходящих данной величины» [3] и «О простых числах» [6]. В
первой работе Чебышев показал, что формула, предложенная Лежан-
дром для выражения функции к (х) (количества простых чисел,
не превосходящих данной величины #), должна быть заменена
другой, и в связи с этим исправил другие утверждения,
следовавшие из формулы Лежандра. Здесь же Чебышев показал, что если
существует предел отношения
lim^l,
logx
то он равен единице. В статье [6] Чебышев нашел, что отношение
-^, где 6 (х) = N log р (р — простые числа),
лежит между двумя границами, близкими к единице:
где Аг и А2 некоторые постоянные. Из общего утверждения,
доказанного Чебышевым в [6], как следствие получилось
доказательство постулата Бертрана (см. стр. 123).
Таким образом, Чебышев внес большой вклад в доказательство
асимптотического закона распределения простых чисел. Работа
«О простых числах» явилась исходным пунктом многих
исследований русских и зарубежных ученых вплоть до нашего времени
(Сильвестер, Штернек, Бугаев, Ландау, Рамануджан и другие).
Будучи выдающимся ученым и талантливым педагогом,
П. Л. Чебышев сумел создать в Петербурге первую русскую мате-
8

матическую школу теории чисел. Ее представителями являются
А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев, А. А. Марков, а среди их
учеников: Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве, Я. В. Успенский.
Во второй половине XIX и началеХХ в. развитие теории чисел
происходило в следующих основных направлениях.
1. Развитие аналитических методов теории чисел. Вначале оно
было связано с исследованиями Лежен-Дирихле и Чебышева.
В 1859 г. появилась работа Б. Римана, в которой с помощью метода
теории функций комплексного переменного исследовалась
задача об определении функции, дающей асимптотическое
выражение для числа простых чисел, не превосходящих данного
предела. Это сочинение вызвало большой интерес к исследованиям
в направлении поисков доказательства асимптотического закона
распределения простых чисел с помощью методов теории функций
комплексного переменного. В 1896 г. этот закон был впервые
доказан аналитическими методами одновременно Адамаром и Вал-
ле-Пуссеном. После этого продолжалось совершенствование
найденных доказательств и поиски арифметического доказательства
закона распределения простых чисел. В 1949 г. закон
распределения простых чисел был доказан без помощи теории функций
комплексного переменного А. Сельбергом и П. Эрдешом. Метод
их доказательства берет начало в методе работы Чебышева [6].
2. Наряду с исследованиями, посвященными аналитической
теории чисел, начала развиваться теория алгебраических чисел.
Ее возникновение было связано с попытками доказать последнюю
теорему Ферма. Математики разных стран соревновались в
доказательстве частных случаев этой теоремы. Куммер,
продолживший исследования Гаусса и Дирихле, создал начала арифметики
целых алгебраических чисел, зависящих от корней из единицы.
Дедекинд пытался создать более общую теорию целых
алгебраических чисел, следуя по пути Куммера, но, потерпев неудачу,
пошел по пути создания теории идеалов, с помощью которой решил
поставленную проблему создания общей теории целых
алгебраических чисел.
3. Разрабатывалась теория форм, в первую очередь
квадратичных. Сюда входили: а) решение задачи о представлении чисел
квадратичными формами и о числе таких представлений, а в связи
с этим — задачи об установлении эквивалентности форм, о
приведении форм, о числе классов форм данного определителя
(аналитическими, геометрическими и элементарными методами);
б) решение задачи о минимумах форм разными методами. С этим
связаны обобщения алгоритма непрерывных дробей и диофан-
товы приближения (Эрмит, Якоби, Чебышев, Золотарев и другие).
4. Разрабатывалась геометрия чисел, возникшая в связи с
задачами о числе целых точек в некоторой области и о числе классов
квадратичных форм данного определителя в работах Гаусса,
Дирихле, Эрмита,
9

5. Много исследований было посвящено созданию общей
теории числовых тождеств на основе формального применения
степенных рядов и рядов Дирихле, с одной стороны, и на базе
основных свойств арифметических функций, с другой.
Как же продолжали развиваться исследования по теории чисел
в России после первых выдающихся работ Чебышева.
Традиционным направлением Петербургской школы Чебышева
была теория квадратичных форм. Чебышев посвятил этому вопросу
несколько разделов в «Теории сравнений» и одну статью. Его
ученики Коркин и Золотарев успешно занимались проблемами
минимумов квадратичных форм, поставленными Эрмитом в его письмах
к Якоби. Эти исследования были тесно связаны с вопросами дио-
фантовых приближений и обобщением алгоритма непрерывных
дробей, занимавшими в то время умы многих видных ученых:
Дирихле, Якоби, Эрмита. В конце XIX в. эти исследования были
продолжены А. А. Марковым, затем Г. Ф. Вороным, Я. В.
Успенским и советскими математиками. Крупным достижением была
магистерская диссертация А. А. Маркова [3], идеи которой были
затем развиты им в работах начала XX в.
Русские математики также занимались и теорией целых
алгебраических чисел. Первыми крупными исследованиями в этой
области были исследования Золотарева. Он сумел преодолеть
трудности, остановившие Дедекинда, и обосновать теорию делимости
целых комплексных чисел, следуя направлению, указанному Кум-
мером. И. И. Иванов и Ю. В. Сохоцкий произвели сравнение
теорий Дедекинда и Золотарева и установили эквивалентность
этих теорий. Исследования по теории целых алгебраических чисел
в России продолжили А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве,
Я. В. Успенский, В. П. Вельмин и другие.
После работ Чебышева вопросы аналитической теории чисел
мало интересовали петербургских математиков. По ряду
высказываний учеников Чебышева видно, что они не смогли понять и
оценить по достоинству исследования Римана и его последователей
(см. стр. 150). Это непонимание было связано с недооценкой роли
теории функций комплексного переменного представителями
Петербургской школы Чебышева.
Московские математики были более осведомлены в
исследованиях этого направления и опубликовали несколько статей,
связанных с применением теории функций комплексного переменного
к теории чисел. Применение теории эллиптических функций
к теории чисел было предметом изучения Золотарева и
московских математиков: Бугаева, Назимова и других. Н. В. Бугаев и
его ученики отличались большим искусством в вопросах
получения и применения общих числовых тождеств.
В конце XIX и начале XX в. в силу ряда обстоятельств
деятельность математиков Петербурга и Москвы ослабевает. Теоре-
10

Тико-чйсловыё исследования начинают развиваться в
университетах Варшавы, Киева, Казани и Одессы.
В Варшавском университете работал воспитанник
Петербургского университета Г. Ф. Вороной, продолживший исследования
петербургских ученых по теории квадратичных форм и теории
алгебраических чисел. В своих исследованиях он широко
пользовался геометрическими методами и, наряду с Г. Минковским,
был одним из основателей геометрии чисел. Сильное влияние на
творчество Вороного оказали труды Дирихле и Эрмита. Вместе
с тем Вороной испытал влияние московских математиков,
особенно Н. Я. Сонина, благодаря которому он начал использовать
в теории чисел специальные функции, а в интегральном
исчислении — прерывную функцию [х]. Вороной получил также
выдающиеся результаты в аналитической теории чисел. В свою
очередь творчество Вороного оказало сильное влияние на
научные интересы выдающегося польского математика В. Серпин-
ского, а также на Я. В. Успенского и И. М. Виноградова.
В первом десятилетии XX в. создается новая математическая
школа Д. А. Граве в Киеве. Здесь объединились традиции
теоретико-числовой школы Чебышева, воспитанником которой являлся
Граве, и современной алгебраической школы, методы которой
Граве ввел в России. Сильным было здесь и влияние Вороного.
Ученики Граве стали впоследствии крупнейшими советскими
учеными (Б. Н. Делоне, Н. Г. Чеботарев, О. Ю. Шмидт и другие).
В Петербурге исследования в области теории чисел в
начале XX в. почти прекратились, если не считать нескольких работ
по теории квадратичных форм А. А. Маркова, докторской
диссертации И. И. Иванова (1901 г.) и его нескольких статей. Оживление
здесь наступило с началом разноплановой научной деятельности
Я. В. Успенского. Успенский и его ученики занимались
применением метода непрерывного параметра Эрмита, нахождением
асимптотических выражений теоретико-числовых функций (вслед
за Вороным), теорией целых алгебраических чисел и другими
вопросами, в частности развитием и применением методов Лиувилля.
Традиции Петербургской школы теории чисел и других
центров России были в дальнейшем усвоены и развиты советскими
учеными. Как известно, советским математикам И. М.
Виноградову, А. О. Гельфонду, Л. Г. Шнирельману, Б. Н. Делоне,
Б. А. Венкову, Ю. В. Линнику, И. Р. Шафаревичу и другим
принадлежат блестящие достижения в разных областях теории
чисел.
Свыше двухсот лет математики нашей страны занимаются
вопросами теории чисел. Можно проследить основные этапы этих
исследований.
Первый этап — эйлеровский — заложены основы теории чисел
как науки, созданы и намечены основные методы для решения
проблем теории чисел.
Jl

Второй этап — от Эйлера до Буняковского. В этот период
не было создано каких-либо оригинальных методов и не было
получено достаточно заметных результатов в области теории чисел.
Но продолжавшееся издание сочинений Эйлера и печатавшиеся
время от времени статьи по теории чисел поддерживали интерес
к проблемам теории чисел и знакомили русских математиков
с достижениями европейских ученых. Наиболее видным ученым
в области теории чисел был В. Я. Буняковский. Вначале он
продолжил существовавшие в России традиции — участвовал в
издании сочинений Эйлера и знакомил русских математиков
с трудами их западных коллег. Но он не ограничился этим.
Буняковскому принадлежит свыше сорока оригинальных
сочинений по теории чисел. Приемы и результаты Буняковского изучали
и использовали его современники — Лиувилль и Гегенбауэр.
Третий этап наступает с приходом в науку П. Л. Чебышева.
Этот этап характеризуется созданием в Петербурге первой
крупной русской школы теории чисел, созданием центра теоретико-
числовых исследований в Москве, началом деятельности в этой
области математиков других городов России. Были получены
оригинальные результаты, в первую очередь Чебышевым и его
учениками: Коркиным, Золотаревым, Марковым, заложены начала
новых направлений исследований в России.
Четвертый этап занимает первые полтора десятилетия XX в.
В начале этого этапа творческая деятельность по теории чисел
в Петербурге и в Москве ослабевает. Зато начинают успешно
развиваться исследования по теории чисел в других городах, в первую
очередь в Варшаве, где работал воспитанник Петербургского
университета Г. Ф. Вороной, и в Киеве, где преподавал другой
выпускник Петербургского университета Д. А. Граве. Здесь
происходит объединение традиций Петербургской школы Чебышева
с идеями и методами математиков других европейских стран.
Начиная с 1910—1912 гг. в Петербурге начинает работать
Я. В. Успенский со своими учениками. Происходит возрождение
Петербургской школы теории чисел на новой основе. Среди
научных направлений этого периода встречаются как традиционные,
так и новые, сложившиеся в результате исследований по теории
чисел математиков различных научных центров. Традиционные
направления работ петербургских математиков: теория
квадратичных форм, неопределенные уравнения, теория целых
алгебраических чисел; геометрия чисел и исследования по
аналитической теории чисел, идущие от работ Вороного; идеи и методы
общей алгебры, принесенные на русскую почву школой Граве,
стремление к нахождению общих методов в теории чисел и
искусное владение элементарными методами у московских
математиков — все это нашло отражение в творчестве советских
математиков и позволило им получить выдающиеся результаты.
12

Исследования по истории теории чисел в России
Развитию теории чисел в России посвящено лишь небольшое
число работ. Общую характеристику развития теории чисел в
России дает статья Б. Н. Делоне [И 10]. Краткий обзор теоретико-
числовых исследований в России в XIX в. содержится в статье
Н. Д. Беспамятных [И 1].
В широко известной книге Б. Н. Делоне «Петербургская школа
теории чисел» [И 9] рассмотрены работы по теории чисел
петербургских математиков: П. Л. Чебышева, А. Н. Коркина, Е. И.
Золотарева, А. А. Маркова и более поздних представителей
Петербургской школы: Г. Ф. Вороного и И. М. Виноградова. В этом
труде в значительной мере проявились тенденции, обусловленные
научными интересами ее автора. Б. Н. Делоне провел глубокое
исследование трудов петербургских ученых по теории
квадратичных форм, теории алгебраических чисел и теории диофантовых
уравнений, едва коснувшись других сторон их деятельности.
В [И 9] совсем, например, не упоминаются труды других
петербургских математиков: Ю. В. Сохоцкого, И. И. Иванова, Я. В.
Успенского.
Вопросам истории теории чисел в России посвящены
отдельные разделы сочинений А. В. Васильева [И 2, 3], Б. В. Гнеден-
ко [И 7], А. П. Юшкевича [И 29—31], Диксона [И 33], С.
Смита [И 37], М. Кантора [И 32], Г. Вилейтнера [И 5], Д.
Стройка [И 28] и других.
Изложение книги А. В. Васильева [И 3] конспективно, но зато
охватывает всю историю математики в России до 60-х годов XIX в.
Здесь кратко охарактеризованы основные достижения
крупнейших русских ученых в области теории чисел. Как известно,
Васильев собирался продолжить работу над своей книгой, но
продолжения не последовало. В его труде «Целое число» [И 2]
русским математикам отведено лишь несколько страниц.
Очерки Б. В. Гнеденко [И 7] посвящены истории математики
в России, поэтому теория чисел занимает в них незначительное
место.
Развитию теории чисел в русских университетах XIX в.
посвящены работы Н. Н. Морозовой [И 20—23], основанные на
изучении архивных материалов. Судя по автореферату и статьям,
Н. Н. Морозова сумела довольно полно осветить
теоретико-числовые исследования и преподавание теории чисел в русских
университетах в XIX в.
В четырехтомном капитальном труде «История отечественной
математики» [И 13] развитию теории чисел в России посвящены
специальные главы. Однако поскольку теория чисел является
одним из многочисленных направлений математики, хотя и успешно
развивающимся, то и в общей истории математики она занимает
скромное место. Так, о работах ряда русских ученых по теории
13

чисел ничего не сказано. Например, о Бугаеве говорится только,
что он занимался теорией чисел.
Значительно больше внимания теории чисел уделено в
монографии А. П. Юшкевича [И 30]. Но и в этой работе теория чисел —
лишь одно из направлений деятельности русских математиков.
Трактат Диксона [И 33] специально посвящен истории теории
чисел и содержит, в частности, краткие резюме результатов
математиков России. Результаты подобраны по определенным
проблемам. Некоторые проблемы, предназначенные для публикации
в четвертом томе трактата, который не был издан, так и остались
неосвещенными. Кроме того, Диксону остались неизвестными
сочинения русских авторов, не прореферированные в зарубежной
печати. Однако эти замечания не умаляют значения этого
фундаментального труда, единственного сочинения подобного рода.
В обзорах С. Смита [И 37] имеются всего лишь отдельные
высказывания о русских ученых (Чебышеве, Золотареве и
других), хотя и очень интересные.
В собраниях сочинений и избранных трудах выдающихся
математиков обычно печатают обзорные статьи, биографические очерки
и комментарии, которые также являются источниками сведений
по истории теории чисел. Статьи по истории отдельных проблем,
привлекавших внимание русских математиков, и о деятельности
математиков, занимавшихся теорией чисел, публиковались в
«Успехах математических наук» и в «Историко-математических
исследованиях».

ГЛАВА 2
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
Вклад в науку этого выдающегося ученого неоценим. Леонард
Эйлер (1707—1783) обогатил и развил почти все направления
математики, однако он особенно любил теорию чисел. Эйлер сумел
доказать многие результаты, полученные его предшественниками,
создал новые методы теории чисел.
Научное наследие Леонарда Эйлера огромно. Если считать
только оригинальные работы по теории чисел, не учитывая
собрания сочинений, переписку и работы, посвященные
приложениям непрерывных дробей, то их было более 120.
После смерти Эйлера его сочинения продолжали печатать
в изданиях Петербургской Академии наук. Через 47 лет после
его кончины в предисловии к XI тому «Мемуаров Петербургской
Академии наук» было сказано: «Известно, что этот великий
человек пожелал, чтобы тома академического сборника могли
содержать его мемуары еще сорок лет после его смерти. . . Число его
посмертных мемуаров оказалось достаточным не только для того,
чтобы заполнить сразу же после его смерти. . . три больших тома
in 4° Opuscula analytica и IV том 2-го издания его Institutiones
calculi integralis, но еще и для того, чтобы украсить 25 томов
Nova acta и Memoires, которые появились с того времени, и в 1823 г.,
по истечении сорока лет, их осталось в архиве еще 14. Их
Академия предлагает в настоящее время публике в этом томе».1
После издания этого тома ученые продолжали находить
рукописные сочинения Эйлера, его письма и заметки. Правнуки Эйлера,
братья П. Н. и Н. Н. Фуссы издали два тома «Собрания
арифметических сочинений» Эйлера. Теоретико-числовые работы Эйлера
были отредактированы и отобраны В. Я. Буняковским и П. Л. Че-
бышевым. Ими же был составлен «Систематический указатель»
к «Собранию арифметических сочинений» Эйлера [126]. Наряду
с сочинениями, печатавшимися ранее в разных периодических
изданиях, в [126] были помещены и статьи, найденные в
рукописном наследии Эйлера, среди них большой трактат по теории чисел
[112]. В 1862 г. в «Посмертных сочинениях» [127] были перепеча-
Mem. Acad. imp. sci. St.-Petersbourg, 1.11.1830, Avant-propos* pp. I—II.
15

таны из [126] девять работ Эйлера и опубликованы отрывки из
записей, написанных под диктовку или под руководством Эйлера
его помощниками и учениками: Г. В. Крафтом (1701—1754 гг.),
И. А. Эйлером (1734-1800 гг.), А. И. Лекселем (1740-1784 гг.),
Н. И. Фуссом (1755-1826 гг.), М. Е. Головиным (1756-1790 гг.)
и другими [126, т. 1, стр. 157—266]. Эти рукописные
отрывки были, по-видимому, отобраны и проверены П. Л. Чебышевым.
Большое значение для изучения и использования научного
наследия Эйлера имело начатое в 1911 г. в Швейцарии издание
«Полного собрания сочинений» Эйлера [128], продолжающееся
и в настоящее время.
В этом издании были исправлены ошибки в вычислениях и
опечатки, допущенные в изданиях [126, 127]. Статьи Эйлера были
снабжены более подробными комментариями. Каждому тому
предшествовала обзорная статья.
В первом томе напечатано предисловие Ф. Рудио ко всему
изданию, обзорные статьи ко второму и к третьему томам также
принадлежат Ф. Рудио, к четвертому и пятому томам — Р. Фюте-
ру. Кроме того, в пятом томе помещено предисловие редакции,
написанное Шпайзером.
В этих обзорных статьях кратко излагается содержание
статей, вошедших в данные тома. Статьи печатаются в порядке,
соответствующем списку сочинений Эйлера, составленному Энестрё-
мом [П 67] и перепечатанному с некоторыми дополнениями
в [П 64]. Кроме того, в этом издании были опубликованы резюме
мемуаров Эйлера, печатавшихся в номерах журналов
Петербургской Академии наук. Теоретико-числовые сочинения Эйлера
опубликованы в томах со второго по пятый первой серии этого
издания, в «Универсальной арифметике» [128, т. 1, 1-й серии]
и во «Введении в анализ бесконечных» [128, тт. 8, 9, 1-й серии],
а также в нескольких других томах первой серии.
Переписка Эйлера с Гольдбахом, Вернул ли и другими
известными математиками XVIII в. была впервые опубликована в 1843 г.
[124, тт. 1, 2]. Первый том этого издания содержит переписку
Эйлера с Гольдбахом. Том был переиздан в 1965 г. [129] силами
Академии наук СССР и Академии наук Германской
Демократической Республики. В новое издание дополнительно вошло 19 вновь
найденных писем, исправлены недостатки первого издания, кроме
того, имеются подробные комментарии, в частности к вопросам
теории чисел, затронутым в переписке. Некоторые комментарии
представляют собой небольшие исторические исследования по
отдельным проблемам теории чисел (например, о проблеме
Гольдбаха, о теореме Ферма о двух квадратах, о законе взаимности,
о трансцендентных числах и т. д.).
Работы Эйлера по теории чисел были предметом исследований
многих ученых. Первым таким исследованием можно считать
«Систематический указатель» к [126]. Буняковскдй ц Чебышев впервые
16

Леонард Эйлер.

систематизировали все вошедшие в эти два тома арифметические
работы Эйлера и дали им краткие аннотации.
Они разделили все арифметические сочинения Эйлера на три
раздела:
1. Делимость чисел: а) о целых числах в связи с их
разложением на множители; количество целых чисел, взаимно простых
с некоторым целым числом и меньших, чем оно; о суммах
делителей чисел; дружественные числа; б) делимость различных
выражений; в) теория вычетов и квадратичные вычеты. Кроме того,
сюда были отнесены отдельные разделы работ Эйлера, указанные
авторами в примечании.
2. Разложение чисел на суммы различного вида: а)
разложение чисел на квадраты, на треугольные числа и на члены,
пропорциональные квадратам; б) разбиение чисел.
3. Диофантов анализ: а) определение двух или нескольких
неизвестных, заданных одним уравнением; невозможные
уравнения; б) определение нескольких неизвестных, заданных двумя
уравнениями; в) определение нескольких неизвестных, заданных
тремя уравнениями; г) определение нескольких неизвестных,
заданных четырьмя уравнениями; д) определение нескольких
неизвестных, заданных более чем четырьмя уравнениями; е)
неопределенные задачи, которые приводят к числу уравнений, большему,
чем число неизвестных.
В примечаниях ко второму и третьему разделам были даны
ссылки на мемуары, содержащие рассматриваемые вопросы. Кроме
того, в конце указателя авторы поместили «Смесь» — задачи,
которые трудно было отнести в какой-либо из трех разделов.
Комментарий в этом издании были сведены к минимуму. В
подстрочных примечаниях давались лишь некоторые ссылки на
работы Эйлера, помещенные в одном из двух томов.
Юбилейные даты (200-летие со дня рождения Эйлера, 150-летие
со дня смерти, 250-летие со дня рождения) всегда вызывали
появление в печати материалов, посвященных жизни и творчеству
Эйлера, в частности его арифметическим исследованиям. Целый
поток научных статей вызвало начало издания Полного собрания
сочинений [128]. Теоретико-числовым исследованиям Эйлера
посвящены статьи А. Обри [П 65], И. Гофмана [П 79, 80], Э.
Ландау [П 81] и его книга [И 36], комментарии к переписке Эйлера
с Гольдбахом А. А. Киселева, И. Г. Мельникова, А. П.
Юшкевича [129] и их статьи, а также статьи в юбилейных сборниках,
дающие обзор творчества Эйлера в области теории чисел, Б. А. Вен-
кова [П 4] и А. О. Гельфонда [П 5]. Большое значение при
издании сочинений, рукописных материалов и переписки Эйлера в
последние годы имела деятельность А. П. Юшкевича и Э. Винтера,
В. И. Смирнова, Г. К. Михайлова, А. Т. Григорьяна. Достаточно
полный обзор работ Эйлера содержится в книге Юшкевича [И 30].
18

Интересные сведения о «творческой лаборатории» Эйлера дают
исследования его рукописных материалов, начатые в связи с
изданием переписки [129 ] и успешно продолженные в последнее время
советскими учеными. Рукописным наследием Эйлера в области
теории чисел занимается Г. П. Матвиевская [П 27—29 и др.].
Ряд статей написан ею совместно с А. А. Киселевым [П 11, 12].
Как видно уже из краткого описания указателя к [126],
научные интересы Эйлера в области теории чисел были весьма обширны.
Он доказал почти все результаты, полученные Ферма, начав с
обнаружения ошибки Ферма, изучал свойства совершенных и
дружественных чисел, числа Мерсенна, доказал различными
способами малую теорему Ферма, дал ее обобщение и использовал ее
в своей теории степенных вычетов. Созданная Эйлером теория
вычетов привела его к формулировке квадратичного закона
взаимности. Им была рассмотрена, доказана, обобщена и использована
для нахождения простых чисел теорема о представлении простого
числа вида 4?i-j-l в виде суммы двух квадратов. Вообще вопросы
исследования простоты чисел и разложения их на множители
всегда находились в центре внимания Эйлера.
Важнейшей заслугой Эйлера было применение им в теории
чисел средств математического анализа и использование теории
чисел в других областях математики.
У Эйлера впервые встречаются аналитические доказательства
теоретико-числовых теорем и тождеств для С-функции и функций,
подобных ей. Эйлер указал на возможность использования
анализа для доказательства утверждений аддитивной теории чисел.
Исследования Эйлера по применению анализа к задачам теории
разбиения чисел на слагаемые послужили отправной точкой для
последующих работ Лежандра, Якоби и других математиков.
Применение математического анализа к задачам, связанным с
мультипликативной структурой натуральных чисел, привело
впоследствии Дирихле к созданию одного из направлений аналитической
теории чисел. Это направление исследований теории чисел
развивалось в трудах Чебышева, Римана, Адамара, Валле-Пуссена.
Больше половины трудов Эйлера по теории чисел посвящено
задачам диофантова анализа, где им также достигнуты
выдающиеся результаты. Решение различных диофантовых уравнений
и систем таких уравнений, начала теории квадратичных формг
представление чисел квадратичными формами, первые задачи о
минимумах квадратичных форм, доказательства двух случаев
последней теоремы Ферма (для и=3 и w=4), применение разложения
на множители, содержащие мнимые числа, —. все это было
развито, систематизировано и использовано впоследствии Лагранжем,
Лежандром, Гауссом и математиками более позднего времени.
Ряд работ Эйлера связан с применением непрерывных дробей
к вопросам математического анализа. В настоящей книге они не
затрагиваются. Точно так же не говорится о вопросах, связанных
19

с трансцендентностью чисел, которых касался Эйлер. При
помощи эйлеровского разложения в непрерывную дробь числа —g—
Ламберт исследовал трансцендентность чисел е и тс. Эйлеру
принадлежит также первое обобщение алгоритма непрерывных
дробей [76], впоследствии привлекавшее внимание многих
выдающихся ученых (Якоби, Эрмита, Золотарева, Минковского,
Успенского, Бруна и других). Кроме указанных вопросов, Эйлер
занимался также составлением таблиц чисел различного вида.
При составлении таблиц простых чисел Эйлер применил
видоизмененный способ решета Эратосфена.
Первые работы по теории чисел. Ошибка Ферма.
Совершенные числа. Числа Мерсенна
По-видимому, первым, кто привлек внимание Эйлера к теории
чисел и, в частности, к исследованиям Ферма, был Христиан
Гольдбах (см. стр. 60). В постскриптуме второго письма к Эйлеру
(1 декабря 1729 г.) он спрашивает: «Известно ли Вам замечание
Ферма, согласно которому все числа вида 22*_1 + 1, а именно
3, 5, 17 и т. д., являются простыми? Правда, он сам признавался,
что не в состоянии его доказать, а после него, насколько я знаю,
его тоже никто не доказал» [129, стр. 24].
Эйлер ответил, что для него «совершенно неясно, каким
образом, пользуясь одной лишь индукцией, он (Ферма, — Е. О.)
мог обоснованно сделать подобное замечание, поскольку мне
известно, что, подставляя в формулу 22Х + 1 вместо х различные
числа, он не дошел даже до шестерки» [129, стр. 28]. Гольдбах
в следующем письме выразил свое согласие с мнением Эйлера и
добавил, что и нет нужды проделывать столь большую работу:
«Ведь мы легко убеждаемся, что если взять какой-либо делитель,
то остатки, получающиеся при делении на него членов, взятых
в порядке их следования, периодически повторяются» [129,
стр. 29, 30]. Это замечание Гольдбаха направило мысли его
молодого друга в сторону отыскания делителей сумм и разностей
различных чисел. Отвечая на это письмо, Эйлер рассматривает
делители разности ап—Ьп и суммы ап+Ьп, получая, в частности,
вид делителей разности 2п—1.
Вскоре ему удалось найти собственный делитель числа 22*+1,
которое Ферма считал простым, и тем самым установить ложность
утверждения Ферма о том, что все числа вида 22"1 + 1 — простые
(Я1 = 1, 2, 3, 4, ...). Заметка об этом была напечатана
в 1738 г. [1]. Числа Ферма встречаются и в других работах
Эйлера [16, 38]. В статье [16] он доказал теорему: сумма двух
степеней a2m + 62m, где показателями являются степени двойки,
не может иметь других делителей, кроме тех, которые заключены
в форме 2w+1w + l. При a = 2, 6=1 отсюда следует, что дели-
20

телями суммы 22Па + 1 могут быть лишь числа вида 2т+1/г + 1.
Положив т = 5, Эйлер нашел, что делителями числа 225 + 1 могут
быть только числа вида 64я + 1 • Проверив делимость числа 225 + 1
на числа 64га +1 при нескольких я, он нашел, что делителем
является число 641, т. е. 64-10 + 1.
Эйлер возвращается к числам Ферма в работе [38], посвщцен-
ной проблеме отыскания больших простых чисел. Ферма считал,
что он нашел выражение, дающее при всех натуральных
значениях т простые числа. Как показал Эйлер, Ферма ошибался.
Но может быть, такое выражение, такая функция от т все-таки
существует? В этой статье Эйлер доказал теорему, что не
существует такой целой функции (полинома или степенного ряда), все
значения которых при целых значениях аргумента были бы
простыми числами.
В заметке [1] ставится вопрос о делителях чисел вида 2я—1,
о том, когда эти числа бывают простыми, и о совершенных числах.
Б]ще Евклид в IX книге «Начал» доказал теорему о том, что
числа 2я"1 (2я—1) при 2я—1 —простом числе являются
совершенными. Напомним, что совершенным называется натуральное
число, равное сумме своих делителей, меньших самого числа.
Например, число 6 — совершенное, так как 6=1+2+3.
Утверждение, что не существует других четных совершенных чисел, кроме
тех* которые заключены в формуле Евклида, было высказано
Декартом и доказано Эйлером [118]. Здесь же высказано
утверждение, что если существуют нечетные совершенные числа, то они
необходимо имеют следующий вид: (4ттг+1)4я+1;г2, где 4ттг+1 —
простое число, а х — нечетное, 4и+1— целое положительное.
С теоремой Евклида связана проблема Мерсенна, состоящая
в отыскании тех целых положительных п, при которых разности
2я—1— простые числа. Вопросы о совершенных числах и числах
Мерсенна Эйлер затрагивал в статьях [16, 17, 53, 68, 112] и в
переписке с Гольдбахом. Сначала он интересуется вопросом, когда
числа Мерсенна 2я—1 будут составными при простом п, и находит
делители некоторых чисел такого вида. Для этой цели он
использует теорему, в правильности которой уверен, но доказательства
еще не имеет: разность ап—Ъп всегда делится на тг+1, если тг+1 —
простое число и ни а, ни Ъ на него не делятся [1 ]. Отсюда он
переходит к доказательству малой теоремы Ферма.
Малая теорема Ферма
Первое доказательство теоремы Ферма Эйлер дает в статье [6],
исходя из рассмотрения частных случаев а=2, а=3. Сначала
он показывает, что если р — простое нечетное число, то 2р~г
всегда делится на р. Это следует из вида коэффициентов
разложения (1+1)р. Точно так же доказывается утверждение, что
3?-1__1 всегда делится на простое р, не равное 3. Затем Эйлер
21

доказывает, что если разность ар—а делится на р, то отсюда
следует, что и разность (а+1)р—(а+1) делится на р. Таким образом,
полной математической индукцией доказана теорема: разность
ар—а делится на р.
Вторично доказательство теоремы Ферма Эйлер дает в работе
[16]. Он замечает, что из утверждения «ар—а всегда делится на р»
следует при (а, р) = 1, что а?"1—1 делится на р. Это уже обычная
формулировка теоремы Ферма. В работе [16] даны также
различные утверждения относительно делителей сумм вида а2™ ± Ь2™.
Третье доказательство малой теоремы Ферма, основанное на
теории степенных вычетов (см. стр. 31), Эйлер дает в работе [32].
Четвертое доказательство этой теоремы вытекает как частный
случай из теоремы Эйлера в [34]. На языке теории сравнений2
теорема Эйлера формулируется так: если а и п — натуральные
числа, взаимно простые между собой, ср (п) — функция Эйлера,
выражающая количество натуральных чисел, взаимно простых
с п и не превосходящих п, то имеет место сравнение
а*(»> = 1 (mod я).
Дружественные числа. Функции а (п) и ^ (ю)
Дружественными числами называются два целых
положительных числа, сумма всех делителей (меньших самого числа) каждого
из которых равна другому числу. Эйлер изучает свойства таких
чисел в [17], а также свойства функции о (п) — суммы делителей
числа п, которую обозначает обычно JVi. Им установлена
мультипликативность функции а (п): о (тп)=о (т)о (/г), если т, п —
взаимно просты; выведена формула для суммы делителей а (пк):
Кроме того, Эйлер дал таблицу значений о (/г) для чисел п,
пробегающих первые три степени натуральных чисел, меньших
1000,
В этой же работе Эйлер решает задачу: найти дружественные
числа, имеющие общие делители. Он рассматривает
дружественные числа различного вида и приводит таблицу дружественных
чисел. Краткая заметка об этом была опубликована в Берлине
[12]. Некоторые свойства дружественных чисел рассмотрены
в [112, 118]. Рекуррентная формула для выражения суммы
делителей чисел о (п) через суммы делителей чисел о (/г—1), а (п—2),
а (/г—5), . . . привлекала внимание Эйлера много раз (см. стр. 49).
Еще одна числовая функция ср (и), названная впоследствии
2 Здесь и в дальнейшем обозначения модернизированы. Понятие и символ
сравнения появились лишь в работах Гаусса.
22

функцией Эйлера, выражает количество чисел, взаимно простых
с п и не превосходящих п. Эйлер рассматривает значения этой
функции при п — простых числах, квадратах, произведениях,
степенях. Он получает в [34] формулы для <р (п) во всех этих
случаях. Дальнейшая часть работы [34] посвящена применению
функции ср (п) для обобщения малой теоремы Ферма на случай
составного модуля (см. стр. 32). В [72] Эйлер обозначает функцию,
выражающую количество чисел, взаимно простых с данным
числом п и не превосходящих п, символом тт. Здесь снова выводится
формула для этой функции. Кроме того, Эйлер рассматривает
ряд, для которого значения функции JlU_ служат коэффициентами
Снова функция у (п) упоминается в работе [112].
Многоугольные числа
Большое влияние на выбор направлений исследований Эйлера
в области теории чисел оказала теорема Ферма о многоугольных
числах. Впервые Эйлер упоминает об этой теореме в письме
к Гольдбаху 4 мая 1748 г. [129, стр. 291]. До этого он занимался
частным случаем теоремы о многоугольных числах — теоремой
о четырех квадратах (см. стр. 29).
Теорема о многоугольных числах утверждала, что всякое
натуральное число представляет собой сумму или не более трех
треугольных чисел, или не более четырех квадратов, или не более
пяти пятиугольных чисел и т. д.
Долгое время Эйлера интересовало доказательство этой
теоремы. Для этой цели он применил средства математического
анализа и дал эскиз возможного доказательства различных
случаев теоремы. В 1801 г. теорема о треугольных числах была
доказана Гауссом.3 Общую теорему о многоугольных числах доказал
Коши.4 Ему удалось также доказать, что для п ^ 5 каждое
натуральное число пред ставимо в виде суммы п n-угольных чисел, из
которых лг—4 равны нулю или единице.
Эйлера интересовали также вопросы о представлении одних
многоугольных чисел в виде других, в частности многоугольных.
В письме к Гольдбаху [129, стр. 101 ] в 1742 г. он пишет, что число
Атп—т—п не может быть ни треугольным, ни семиугольным
числом. Доказательство его основано на теореме Ферма о том,
что сумма двух взаимно простых квадратов не может делиться
3 Г а у с с К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 423—425.
4 Cauchy Au. Mem. sci. math, et phys. Г Inst. France, (1), t. 14,
1813-1815, pp. 177-200.
23

на числа вида An—1, так как если существуют числа т, /г, х такие,
что Атп— т — п= if"х (треугольному числу), то придем к
равенству 2 (Am—1)(Ап— 1) = (2х-}-1)2 + 1, которое по теореме
о сумме двух квадратов невозможно. Это доказательство было
найдено Матвиевской в записных книжках Эйлера [П 30, стр.
5^2 За:
144]. Зависимость Атп— т — п-= ^ (семиугольному числу)
также приводит к невозможному равенству: (Am — 1) (4/г—1) =
= (За: — 1)2 + х2.
В записных книжках Эйлера была найдена также заметка
[П, 30, стр. 145], показывающая, что его интересовал и более
общий вопрос: для каких целых т, п справедливо уравнение
С + РИЧ-С + Р)» =Атп-т-п.
Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная А. А.
Киселевым [129, стр. 105, прим. 6] и утверждающая, что для
разрешимости этого уравнения в целых числах т > 0, п > 0 необходимо
и достаточно, чтобы существовало простое число р=—1 (mod 4)
такое, что ос=|3#0 (mod р).
Много задач посвящено вопросу о нахождении х, при которых
треугольное (пятиугольное, семиугольное и т. д.) число является
квадратом (кубом, биквадратом). По-видимому, эти задачи
явились одним из стимулов усиленного изучения Эйлером диофанто-
вых уравнений. Ряд задач посвящен вопросу отыскания таких
треугольных чисел, которые, будучи утроены, снова дают
треугольные числа. Многоугольные числа встречаются и в работах
Эйлера об уравнении Ферма. Для них доказаны теоремы типа
последней теоремы Ферма. Например, никакое треугольное
число, кроме 1, не может быть биквадратом. Упоминания о
многоугольных числах встречаются в работах Эйлера [2, 11, 24, 48,
64, 69, 71, 73, 75, 92].
Теорема о двух квадратах
Теорема о том, что всякое простое число вида 4га+1 есть сумма
двух целых квадратов, была предметом изучения и применения
с давних пор. Ею занимались математики разных стран, включая
Диофанта, Баше, Жирара, Ферма. Последний утверждал, что он
доказал ее с помощью метода бесконечного спуска.
Впервые Эйлер касается вопросов, связанных с этой теоремой,
в письме к Гольдбаху 6 марта 1742 г. [129, стр. 96]. Эйлер
доказал здесь с помощью малой теоремы Ферма следующее
утверждение: сумма двух квадратов а2-\-Ь2 не делится на простое число
вида р=Ап—1, если каждый из квадратов аиЬне делится на это
простое число. Действительно, по малой теореме Ферма при уело-
24

вии, что а не делится на р и Ъ не делится на р, будем иметь, что
ар"1—Ър~1 делится на р, а ар"1+Ья"1 не делится, а потому не делится
на р=Ап—1 и никакой множитель этой суммы квадратов.
Но а2+Ь2 является множителем суммы ap~1+bp~1i так как р=Ап—1,
т. е. a4n-2+b4w-2=(a2+b2) (а4я-4-Ь2а4*-6+. . . (-1) Ь4я"4).
Поэтому сумма квадратов а2-\-Ъ2 не будет делиться на простое число
р=4лг—1.
Следствие этой теоремы: если 4/г—1 — составное число, то его
простые делители также будут числа вида 4/1—1. Следовательно,
сумма квадратов а2+Ь2 может иметь делителями только числа
вида 4/1+1.
В письме к Гольдбаху 30 июня 1742 г. [129, стр. 107—111]
Эйлер утверждает, что если число 4л+1 — составное, то оно
не является суммой двух квадратов, или его можно представить
суммой двух квадратов более чем одним способом. Здесь же он
сообщает: если произведение ab и один из множителей а
представляют собой суммы двух квадратов, то и второй множитель Ь
есть сумма двух квадратов. В то же время произведение двух
множителей, разложенных в суммы двух квадратов каждый,
само представляет собой сумму квадратов. Эти утверждения,
как писал Эйлер, могут быть строго доказаны.
В статье [20] Эйлер высказал без доказательства множество
теорем, среди которых были и утверждения, относящиеся к
вопросам, связанным с теоремой о двух квадратах.
Теорема 1. Простыми делителями суммы квадратов а2+Ь2,
где а, Ь — взаимно просты, будут число 2 или простые числа вида
4/1+1.
Теорема 2. Все простые числа вида 4/1+1 представимы в виде
суммы квадратов а2+Ь2.
Теорема 3. Сумма двух квадратов а2-\-Ъ2 не делится ни на какое
число вида An—1.
) Затем аналогичные утверждения были высказаны относительно
выражений a2+262, а2+ЗЬ2 и более общего вида: pa2±qb2.
В ответе Эйлера 19 сентября 1744 г. на письма Гольдбаха от
16 июля и 17 августа 1744 г. имеется постскриптум. Эйлер пишет:
«То, что для данного простого числа вида 4/г+1 всегда найдется
число вида а2+1, которое делится на данное, простое число 4/г+1,
известно, так как простое число 4/1+1 всегда есть сумма двух
квадратов. Поэтому, положив An+l=p2+q2, можем всегда найти
такие числа/ и g, что gp—fq= ±1 или, что дробь — будет так близко
подходить к дроби —, что при вычитании одной от другой в
числителе получится единица. Когда дробь — найдена, то будет
а = fp + gQ> или более общим образом а = (An + 1) т ± (fp +-
+ #g)» [129, стр. 204]. На примере Эйлер показывает, как надо
25

находить дробь —. Определив числитель и знаменатель дроби
—, он находит число—, а затем число a2-f-1. Способ Эйлера
удивил и восхитил Гольдбаха [129, стр. 206].
В письме к Гольдбаху 6 мая 1747 г. [129, стр. 271—273] Эйлер
сообщает, что имеет доказательства следующих утверждений:
1) всякое простое число вида Ап+1 есть сумма двух квадратов;
2) всякое не простое число вида 4я+1, не имеющее делителей
вида Ар—1, есть сумма двух квадратов. Что касается теоремы
о том, что каждое простое число вида 4га+1 всегда есть сумма
двух квадратов, то Эйлер еще не имел вполне убедительного
доказательства для этого утверждения.
Среди теорем, доказанных в этом письме, была такая: сумма
двух квадратов, взаимно простых между собой, может делиться
только на сумму двух квадратов. Поэтому всякий делитель суммы
двух квадратов чисел, взаимно простых между собой, есть сумма
двух квадратов. Эйлер сообщил, что долго искал доказательство
следующей теоремы: если р=4и+1 — простое число, то оно есть
сумма двух квадратов. Был дан набросок доказательства этой
теоремы.
В статье [24 ] Эйлер опубликовал «попытку доказательства»
теоремы о двух квадратах. Пусть р=4я+1 — простое число.
Если можно выбрать а и Ъ так, чтобы разность а2я—Ь2п делилась
на 4и+1, то число 4м+1 будет делителем суммы а2я+Ь2я, а потому
само будет суммой двух квадратов. Эйлер еще не имел
доказательства существования таких чисел а и Ь, но применял теорему
для выяснения простоты чисел вида 4/1+1.
12 апреля 1749 г. Эйлер сообщает Гольдбаху, что сумел,
наконец, доказать, что каждое простое число вида 4я+1 есть сумма
двух квадратов. Он формулирует следующие теоремы, из которых
состоит это доказательство.
1. Если а равно квадрату и Ъ равно квадрату, то и аЪ равно
квадрату.
2. Если аЬ равно квадрату и а равно квадрату, то и Ъ равно
квадрату.
3. Сумма двух квадратов а2+Ь2, где а и Ъ не имеют общего
делителя, не допускает других делителей, кроме сумм двух
квадратов.
4. Простое число 4лг+1 всегда является делителем разности
а4я—1, если само число а не делится на 4лг+1- Доказательство
этой теоремы было основано на малой теореме Ферма и
опубликовано в [16].
5. Так как а4я-1=(а2я+1) (а2я-1), то или а2я+1 или а2и-1
делится на 4тг+1. Остается доказать, что не а2я—1, а именно
а2я+1 делится на 4л+1. Если это будет доказано, то по теореме 3
получим, что простое число вида 4/г+1 есть сумма двух квадратов.
26

6. Всякое простое число вида 4/1+1 есть сумма двух
квадратов. Доказательство этого приведено в статье [25], в которой
Эйлер рассматривает пункт, остававшийся не доказанным в [24]:
существуют такие числа а и Ь, что разность а2я—Ъгп не делится
на 4/1+1.
Для этой цели он впервые в теории чисел использует конечные
разности. Он берет ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . ., ряд
квадратов этих чисел: 1, 22, З2, 42, 52, б2, 72, 82, . . ., ряд четвертых
степеней: 1, 24, З4, 44, 54, б4, 74, 84, ... и т. д., ряд степеней 2л:
12я, 22я, 32я, 42я, 52я, 62я, 72я, 82я, Затем Эйлер строит ряды
первых, вторых, третьих и т. д. разностей для этих рядов.
Оказывается, что для ряда общего вида 12я, 22я, 32я, 42я, 52я, 62я, . . .,
разности порядка 2/г равны Д2Я=1 «2»3... 2/г. Эти разности не
делятся на р=4/г+1, а потому не делятся на 4/г+1 и все
предыдущие разности.
Таким образом, существуют разности а2я—Ь2Я, которые не
делятся на число 4/г+1. Поэтому делится на 4/г+1 сумма а2я+&2я.
И, следовательно, теорема о двух квадратах доказана.
Вопросов, связанных с теоремой о двух квадратах, Эйлер
касается в работах [16, 24, 20, 25, 38, 41, 48, 49, 65, 66, 79, 112].
Обобщения теории, относящейся к разложению чисел на два
квадрата, на выражения вида pa2+qb2 позволили Эйлеру прийти
к формулировке квадратичного закона взаимности [20]. Второе
доказательство теоремы о двух квадратах Эйлер дал с помощью
квадратичных вычетов в статье [26].
При исследованиях, связанных с доказательством теоремы
о двух квадратах, Эйлер установил ряд других полезных
закономерностей. В статье [25] он сообщает, что если число 4/г+1 имеет
несколько представлений в виде суммы двух квадратов или ни
одного, то оно — составное. Если число 4/г+1 имеет лишь одно
представление в виде суммы двух квадратов, причем эти квадраты
взаимно просты, то оно — простое. С помощью этих утверждений
он исследовал, являются ли числа вида 4/г+1 простыми. Для
составных чисел он разработал удобный метод разложения их на
множители.
Доказательства теоремы о двух квадратах имеются также в
других работах Эйлера [49, 65, 79].
Удобные числа
При изучении представления чисел квадратичными формами
вида
а*2+&/2 (1)
с целыми положительными коэффициентами и с взаимно простыми
or, $у Эйлер столкнулся с таким обстоятельством. Если число
было пред ставимо двумя способами такой формой, то оно — состав-
27

ное. Если же оно представимо лишь одним способом, то еще нельзя
сказать, что оно — простое. Оказалось, что ответ на вопрос о том,
когда же оно будет простым, зависит от природы коэффициентов
аир, которые бывают двух видов. Для одного из видов все числа,
представимые формой (1), будут простыми в некотором
обобщенном смысле. Для другого вида форма (1) представляет составные
числа, несмотря на то что представление единственно.
Обобщенными простыми числами являются: простое число р,
его удвоение, его квадрат, все степени двойки. Соответственно,
составными в обобщенном смысле будут все составные числа,
за исключением квадратов простых чисел, степеней двойки и
удвоенных простых.
Формы вида (1) при перемножении дают форму вида
ар*2+*А (2)
Формы видов (1) и (2) обладают столь близкими свойствами,
что Эйлер приходит к следующему заключению: доказанное об
одной из них можно применять к другой. Вывод относительно
представимости чисел Эйлер формулирует для форм вида (2):
если форма ap#2+i/2 не выражает ни одного составного в
обобщенном смысле числа, меньшего 4а|3, то таковых не может быть
и среди чисел, больших 4ар, и, следовательно, каждое число,
представимое этой формой единственным образом, является
простым в обобщенном смысле. Числа, меньшие 4а(3, получаются
при х=1. Поэтому для решения вопроса, можно ли считать
простыми или составными в обобщенном смысле числа,
представимые формой (1) или (2) единственным образом, надо рассмотреть
только числа вида аР+i/2, где у принимает значения, меньшие
\/3ap и взаимно простые с ар. С этим связано и определение
удобных чисел (numeri idonei). Число aP называется удобным,
если все числа, единственным образом представимые формой
ap#2+jA где (apz, J/) = 1, являются или простыми, или
удвоенными простыми, или квадратами простых, или степенями двойки.
Когда ар — удобное число, причем (а, р)=1, то для
исследования чисел, наряду с формами вида (2), можно использовать и
формы (1).
Число п будет удобным, если для каждого значения у,
меньшего \J3n и взаимно простого с п, число п + У2 будет простым
в обобщенном смысле. До применения этого приема Эйлер
исключал из рассмотрения некоторые классы чисел, которые не могут
быть удобными. Например, сразу исключал числа вида 4/с+З,
кроме трех чисел: 3, 7, 15, а также числа вида 3&+2, кроме 2, 5, 8,
и т. д. Он составил специальную таблицу таких форм
исключения. Рассмотрев все натуральные числа до 10 000, Эйлер
обнаружил только 65 удобных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12,
13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48,
28

57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133,
165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345,
357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.
Эйлер установил ряд свойств удобных чисел. Он применил
их затем к исследованию чисел на простоту. Из простых в
обобщенном смысле уже легко было выделить обычные простые числа.
Он дал некоторые приемы, облегчающие это исследование.
В частности, были рассмотрены числа, представимые формой
1848a2+z/2, где 1848 — наибольшее из найденных удобных чисел.
Конечность множества удобных чисел была позднее доказана
Чоула.
Гаусс указал на тесную связь удобных чисел с теорией родов
квадратичных форм.5
В математической литературе встречаются неправильные
толкования исследований Эйлера об удобных числах. Критика таких
толкований имеется в статье Мельникова [П35], а также в статьях
[П83, 84].
Теорема о четырех квадратах
Впервые теорему о представлении натурального числа в виде
суммы четырех (или меньшего числа) квадратов целых чисел
Эйлер упоминает в письме к Гольдбаху от 4 июня 1730 г. [129,
стр. 31]. Он обращает внимание на эту теорему, как на важный
случай теоремы Ферма о многоугольных числах (см. стр. 23).
Письмо к Гольдбаху 25 июня того же года свидетельствует о том,
что летом 1730 г. он уже занимался доказательством этой теоремы.
В этом письме отражен первый этап исследований Эйлера,
завершенный в работе [26].
Сначала Эйлер доказал более слабую форму теоремы о четырех
квадратах: «Каждое целое положительное рациональное число
есть сумма четырех квадратов рациональных чисел», подготовив
при этом вспомогательный алгебраический аппарат для полного
решения проблемы. В письме 15 октября 1743 г. [129, стр. 185]
он без доказательства высказал утверждение, равносильное
утверждению, что каждое целое положительное число, пред ставимое
как сумма четырех рациональных квадратов, представимо также
и в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Последний раз
эта теорема в переписке с Гольдбахом упоминается 4 декабря
1751 г. [129, стр. 343].
Теореме о четырех квадратах посвящены работы Эйлера [25,
26, 48, 73, 80].
Это первая проблема аддитивного типа, привлекшая внимание
Эйлера. В первом из указанных сочинений Эйлер доказал выше-
5 Г а у с с К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 451—453; см.
также [И4].
29

упомянутую более слабую форму теоремы (о представлении в виде
рациональных чисел). Дополнительные сведения о том, как
работал Эйлер над доказательством этой теоремы, дает статья Матвиев-
ской [П 30, стр. 144, 145]. Вопросы, связанные с доказательством
этой теоремы, встречаются в переписке Эйлера с Гольдбахом
в период с 1730 по 1751 гг., а также в его записных книжках раз-
ных периодов (1736—1757 и 1767—1775 гг.). В записных книжках
последовательно рассмотрен вопрос о разложении чисел вида
(a2+b2+c2+d2) (p2+g2), затем вида (a2+b2+c2+d2) (p2+q2+r2)
и вида (a2+b2+c2+d2) (p2+q2+r2+s2) на сумму четырех
квадратов. Для последнего случая Эйлер приходит к формуле
(д2 + &2 + С2 + ^2) (р2 + д2 + Г2 + ^2) _ (ар + bq + СГ + ds)2 +'
+ (bp — aq + dr + cs)2 + (cp — dq — ar + bs)2 +
+ (dp+cq + br-as)2, (3)
которая была опубликована в его работах [26, 80] и впоследствии
легла в основу теории кватернионов. Деген 6 в статье, отзыв о
которой был написан Коллинсом,7 обобщил ее на случай восьми
квадратов, Гурвиц 8 доказал, что тождества, аналогичные формуле
Эйлера (3), справедливы только для 1, 2, 4, 8 квадратов. В России
этим вопросом интересовался А. Н. Коркин(см. стр. 153). История
развития этого раздела математики достаточно подробно освещена
в книге Диксона [И 33, т. 2, стр. 275—303] и в примечании к
переписке Эйлера с Гольдбахом [129, стр. 291].
Как показано в [П 30], в распоряжении Эйлера еще в 1750 г.
были все средства для доказательства теоремы о четырех
квадратах, но доказательство осталось незаконченным.
В 1770 г. Лагранж, основываясь на результатах Эйлера, дал
полное доказательство этой теоремы. Лагранж писал: «Что
касается Эйлера, то если его труды по этому предмету и не достигли
полного успеха, который был бы желателен, то мы обязаны ему
по крайней мере тем, что открыт путь, которым надо следовать
в этом роде исследований».9
Лагранж заметил, что из утверждения, доказанного Эйлером,
о том, что произведение двух или нескольких чисел, каждое из
которых представляет собой сумму четырех или меньшего числа
квадратов целых чисел, будет всегда также состоять из
четырех или меньшего числа квадратов целых чисел [26], в первую
очередь следует, что если предложенная теорема может быть до-
6 Degen С. F. Adumbratio demonstrationis theorematis arithmetici
maxime universalis (1818). Mem. Acad, des sciences St.-Petersb., t. 8, 1822,
pp. 207—219.
7 ЛОА АН СССР, ф. 1, on. 2-1818, № 31, § 372.
8 Hurwitz A. Mathematische Werke, Bd. 2. 1933, SS. 565—571.
9 Lagrange J. Demonstration d'un theoreme d'arithmetique. Nouv.
mem. Acad, des sciences, Berlin, 1772, pp. 123—133; Oeuvres, t. 3. Paris,
1859, pp. 189-201.
30

казана для всех простых чисел, то она будет доказана и для всех
остальных.
Исходным пунктом доказательства Лагранжа было
утверждение Эйлера (лемма): числа, которые являются суммой двух
взаимно простых квадратов, не допускают других делителей,
кроме тех, которые сами являются суммами двух квадратов.
Это утверждение, имевшееся еще у Ферма, было доказано
Эйлером [24, стр. 161, утв. 4]. -
Затем методом бесконечного спуска Лагранж доказал
теорему 1: если сумма четырех квадратов a2+b2+c2+d2=iV делится
на простое число р ^> \JN, то это число есть сумма четырех
квадратов. Эта теорема аналогична теореме о делителях суммы двух
квадратов, доказанной и использованной Эйлером при
доказательстве теоремы о двух квадратах.
Теорема 2 Лагранжа гласила: если А — простое нечетное число,
а числа В и С — целые положительные или отрицательные, не
делящиеся на А, то существуют такие целые числа р и д, что
p2—Bq2—C делится на А. Это было обобщение теоремы Эйлера:
если задано простое число р, то всегда можно найти число iV,
равное сумме трех целых квадратов, не делящихся на р, один
из которых равен единице, такое, что N делится на р [26, стр. 229 ].
Способ доказательства теоремы 2 у Лагранжа был другой.
На основании теорем 1 и 2 Лагранж получил, наконец, что
всякое простое число равно сумме четырех или меньшего числа
квадратов. Отсюда, следуя Эйлеру, уже легко получить, что и
всякое целое положительное число есть сумма четырех или
меньшего числа квадратов.
Таким образом, доказательство теоремы о четырех квадратах
явилось плодом общих усилий Эйлера и Лагранжа. После
знакомства с доказательством Лагранжа, Эйлер вернулся к этой
теореме и дал упрощение доказательства Лагранжа в работе [48].
Степенные вычеты
Исследования Эйлера по теории степенных вычетов начинаются
с нескольких доказательств малой теоремы Ферма. Начало
созданию теории степенных вычетов положила работа [32],
представленная в Академию наук в 1755 г. В ней Эйлер исследует вопрос
об остатках, получающихся при делении степеней одного и того же
числа на данное простое число. Пусть р — простое число, а —
целое, не делящееся на р. Тогда ни один из членов геометрической
прогрессии 1, а, а2, а3, а4, а5, ... не будет делиться на р.
Различных остатков при делении членов прогрессии на р может быть
не больше р — 1.
В [32] доказан важный результат: если р — простое число,
а ах — наименьшая степень а, которая при делении на р дает
в остатке единицу, то показатель X является делителем числа
31

р — 1, собственным или несобственным [32, стр. 268]. Отсюда,
в частности, следует малая теорема Ферма.
В первой части работы [34] Эйлер анализирует свойства
функции <р (п) (см. стр. 22). Во второй части [34] он
рассматривает степенные вычеты, получаемые при делении степеней числа х
на любое натуральное число п при условии, что (и, х) = 1. Приемы
исследования аналогичны тем, которые были в предыдущей
статье. Эйлер устанавливает, что если хх — наименьшая степень х,
сравнимая с единицей по модулю п, то X является делителем <р (тг).
Отсюда получается теорема Эйлера:
xv(n) = J (m0(j пу
Большое значение для дальнейшего развития теории
степенных вычетов имела работа [49]. В ней Эйлер вводит понятие
первообразного корня (radix primitiva), доказывает его
существование для любого простого числа и определяет количество
первообразных корней.
Рассматривая остатки от деления членов геометрической
прогрессии 1, а, а2, а3, а4, а5, . . . на простое число р при условии,
что (а, р) = 1, Эйлер заметил, что иногда эти остатки совпадают
со всеми натуральными числами, меньшими р, а иногда лишь
с некоторыми из них. Оказалось, что число различных остатков
(вычетов) является делителем числа р — 1. Число, порождающее
полный ряд вычетов, Эйлер назвал первообразным корнем
делителя р. Дальше доказано, что если а — первообразный корень,
то av~x при делении на простое число р дает в остатке единицу.
Главным в статье [49] является доказательство существования
первообразного корня для каждого простого числа р.
Существование первообразного корня без доказательства утверждал еще
Ламберт.10 Гаусс считал, что доказательство, данное Эйлером, не
строго. И. Г. Мельников и А. А. Киселев [П43] подробно изучили
эту работу Эйлера и установили, что данное Эйлером
доказательство можно интерпретировать, как вполне убедительное.
Эйлер формулирует эту теорему следующим образом:
«Какое бы простое число ни было взято в качестве делителя р, всегда
можно найти такую геометрическую прогрессию 1, а, а2, а3, а4 и т. д.,
из которой будет возникать полный ряд вычетов» [П43,стр. 237].
Установив, что сравнение
хп— l = 0(modp); п<р (4)
при простом р имеет не более п корней, Эйлер ставит вопрос об
особых случаях сравнения (4), понимая под ними такие его
решения, которые не удовлетворяют ни одному сравнению такого же
вида низшей степени. Подсчитывая число особых случаев сравне-
10 Lambert J.H. Adnotata quaedam de numeris eorumque anatomia.
Nova Acta eruditorum, Leipzig, 1769, pp. 127, 128.
32

ния (4), Эйлер исходит из предположения, что при любом п это
сравнение имеет точно п решений. Он приходит к выводу, что
количество особых случаев совпадает с числом натуральных
чисел, меньших п и взаимно простых с ним.
Если п — делитель числа р — 1, то сравнение (4),
действительно, имеет п решений. Эти решения Эйлер называет
вещественными. Если же п не является делителем р — 1, то число
«вещественных» корней оказывается меньше п. В этом случае Эйлер
полагает, что, наряду с вещественными корнями, сравнение
обладает «мнимыми», или «невозможными», корнями в таком
количестве, что общее число вещественных и мнимых корней равно п
[П43, стр. 237, 238]. Если n=dk, то все вещественные и мнимые
решения сравнения хл — 1 = 0 (mod р) удовлетворяют
сравнению (4). Поэтому число особых случаев последнего сравнения
получается при вычитании из п числа особых случаев всех
сравнений д;^ — 1 ^ 0 (mod р), где d — любой собственный делитель
числа п.
В случае, когда п=р — 1, все особые случаи сравнения
хР'1 — 1=0 (mod р) непременно окажутся вещественными.
Поэтому каждый особый случай этого сравнения может быть принят
за первообразный корень модуля р, и тем самым существование
первообразного корня установлено.
Гаусс u сделал два замечания по поводу эйлеровского
доказательства. Первое касалось того, что Эйлер «молчаливо принимает,
что сравнение #я=1. . ., действительно, имеет п различных
корней, хотя до этого было доказано, что оно может иметь лишь
не более чем п корней» [П 43; стр. 238, 239].
На формальный характер такой критики первым указал
издатель сочинений Эйлера Ф. Рудио. Авторы статьи [П43] подробно
рассмотрели возражения Гаусса и критику их Рудио и дали свои
соображения по поводу доказательства Эйлера. Они пришли
к выводу, что доказательство Эйлера было вполне строгим
благодаря введению им «мнимых» корней. Гаусс же, как утверждают
авторы [П 43], недостаточно внимательно изучал многочисленные
мемуары Эйлера.
В [49] была дана таблица первообразных корней для р ^ 37.
Вопросы теории степенных вычетов Эйлер рассматривал в [16,
20, 25, 32, 34, 49, 66, 68, 79, 112]. В последнем сочинении дано
систематическое изложение теории степенных вычетов.
Квадратичные вычеты
В работе [26] Эйлер изложил начала теории квадратичных
вычетов. В ней ученый рассматривает остатки, получающиеся
при делении квадратов на простое число р (квадратичные вы-
11 Г а у с с К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 60.
33

четы). Он замечает, что, помимо этих чисел, существуют и другие
числа, меньшие р. Числа, меньшие р и не попадающиеся среди
этих остатков, будут невычетами (квадратичными невычетами).
Эйлер подсчитывает количество квадратичных вычетов и
квадратичных невычетов простого числа р, выясняет, что все
квадратичные вычеты для данного р можно получить с помощью
возведения в степени одного из них. Здесь же он устанавливает, что
произведение двух квадратичных вычетов будет квадратичным
вычетом, двух квадратичных невычетов — квадратичным
вычетом, а произведение квадратичного вычета на квадратичный
невычет — квадратичным невычетом. Он устанавливает, что —1
является квадратичным вычетом по простому модулю вида 4я+1,
а по простому модулю вида 4га — 1 — квадратичным невычетом.
Поэтому по простому модулю 4ra-fl квадратичными вычетами
будут как числа 1, а, р, у, . . ., так и числа —1, — а, — р, — у, . ...
(«дополнительные вычеты»). По простому же модулю вида 4лг — 1,
если числа 1, а, р, у, • • . являются квадратичными вычетами,
числа —1, —а, —р, —у, . . . будут квадратичными невычетами.
Рассмотрев ряд квадратичных вычетов простого числа р =
—4га+1 и взяв числа а2 и Ь2, отвечающие вычетам г и —г: я2=ее
= r(modp), Ъ2 = — г (mod р), Эйлер приходит к утверждению,
что для простого числа р = 4лг-+-1 могут быть найдены два
квадрата, сумма которых делится на р, хотя ни одно из чисел а2
и Ъ2 не делится на р. Действительно, сумма а2+62 будет делиться
на р. Получается еще одно доказательство теоремы о двух
квадратах.
Кроме того, Эйлер установил критерий того, является ли
данное число квадратичным вычетом по заданному простому
модулю р. В работе [16] Эйлер утверждал, что если а — квадратич-
р-Л
ный вычет по простому модулю р, то а 2 = 1 (mod р.). В статье
[32], наряду с таким же утверждением, имеется и обратное (тео-
£-1
рема 19): если а2 =1 (mod р), то а будет квадратичным
вычетом по модулю р. К рассмотрению этого критерия Эйлер
возвращался и в других своих статьях [66, 67].
В работе [49] Эйлер доказал первое дополнение к закону
взаимности в следующей форме: если имеется простой делитель
р=2га+1, то в ряду квадратичных вычетов имеется число —1
(или 2лг), когда га четное, т. е. когда р=4га+1. Если же р=4га — 1,
то —1 (или 2га) будет квадратичным невычетом [49, стр. 527].
Затем был рассмотрен квадратичный характер чисел +3, —3,
-f2, —2 и др. Эйлер установил, что +2 есть квадратичный вычет
для простых чисел вида 8га+1 и 8га — 1. Число —2 есть
квадратичный вычет для простых чисел вида 8гг+1 и 8га+3. Число +2
есть квадратичный невычет для простых чисел вида 8га+3 и
8тг — 3. Число —2 есть квадратичный невычет для простых чисел
34

вида 8/г — 1 и 8п — 3. Затем рассмотрен квадратичный характер
чисел +3 и —3 и др. .
Вопросы теории квадратичных вычетов Эйлер рассматривал
также в работах [35, 65, 68, 80, 112].
Квадратичный закон взаимности
К открытию квадратичного закона взаимности Эйлера привели
его исследования в двух различных направлениях: по теории
делителей квадратичных форм и по теории степенных вычетов.
Появление этих направлений явилось результатом поисков
доказательств теоремы о двух квадратах.
Итак, Эйлер начал изучать делители выражений вида ах2 ±Ьу2,
где (а, Ь) = 1. Еще в письме к Гольдбаху 9 сентября 1741 г. [129,
стр. 85—88] он рассмотрел ряд свойств простых делителей таких
выражений и заметил, что все простые делители (кроме 2)
выражения а2 — 2Ъ2 содержатся в форме 8тг+1; все простые делители
выражения а2 — ЗЬ2 имеют вид 12^+1 (кроме того, делителями
будут числа 2 и 3); все простые делители выражения а2 — ЪЪ2
имеют вид 10п±1 (кроме того, делителями будут числа 2 и 5)
и т. д. Это были первые наблюдения Эйлера над делителями
чисел вида a2±mb2, где т — бесквадратное число.
В письме от 28 августа 1742 г. [129, стр. 116—122] Эйлер
сообщил Гольдбаху несколько утверждений о делителях
квадратичных форм вида ах2±Ьу2. Он указал, что все простые делители
форм х2 — у2 содержатся в формуле An ±1; простые делители
форм 2х2 — у2 имеют вид 8тг+1. Вообще, простые делители форм
вида рх2 — у2 или х2 — ру2 заключены в формуле Апр +s, где s —
определенное число. Если перейти к языку теории квадратичных
вычетов, то утверждение Эйлера можно будет сформулировать
так: пусть к и s — фиксированные натуральные числа, 0 < s <
< 4ft, (s, 2fc)=l; тогда для всех простых чисел вида 4кп ±s
квадратичный характер числа к будет один и тот же. Отсюда легко
выводится закон взаимности в обычной форме [129, стр. 121,
прим. 9; П 9, стр. 34].
Мы видели, что подобные вопросы, сформулированные на
языке теории квадратичных вычетов, Эйлер изучал в работе [49].
Но еще раньше, в [20], он рассмотрел делители выражений вида
pa2±qb2. Он установил там, что если N — число вида рк+t2,
где р — простое число, то среди делителей вида ANm + a
выражений а — Nb2 или Nb2 — а2 имеется а=р. Если же N не
содержится в выражении pn+t2, то никакое из чисел, заключенных
в выражении Шт±р, не может быть делителем чисел вида
а2 — Nb2. То, что в этой работе Эйлера в неявной форме
содержится закон взаимности, впервые заметил Кронекер в 1875 г.12
12 К г о п е с к е г L. Zur Geschichte der Reciprocitatsgesetz. Werke,
Bd. 2, 1897, SS. 1-10.
35

Однако задолго до этого (1849 г.) П. Л. Чебышев [12, т. 1, стр. И,
12] уже нашел закон взаимности в более поздней работе
Эйлера [65].
Кронекер заметил, что теорема 27 и замечания 3, 4, 7, 13, 14,
16 из работы Эйлера [20] содержат закон взаимности. В
примечаниях 14 и 16 говорилось: «Если в качестве общей формы
делителей, содержащихся в выражении а2 — Nb2, принять ANm±a,
то буква а по большей части будет обозначать много чисел, среди
которых всегда содержится единица. . . Следовательно,
значениями а будут нечетные числа, простые с N л меньшие, чем 2JV,
и половина всех этих нечетных чисел а, взаимно простых с N
и меньших, чем 2N, доставляет удобные значения для а,
остальные же дают формулы, в которых эти делители не содержатся. . .
Поскольку единица постоянно повторяется среди значений а,
любое квадратное число, взаимно простое с AN, дает удобное
значение для а».
Таким образом, Эйлер установил, что число прогрессий ANrn ±ol
(где а < 2N, (а, 2N) = l), в которых лежат делители форм
а2 — Nb2, равно числу прогрессий, в которых нет таких
делителей, и что среди прогрессий, содержащих делители, всегда
находится прогрессия ANm+1.13
Если учесть, писал Кронекер, что для простого числа N имеется
2 (N — 1) нечетных первых квадратов, не сравнимых друг
с другом по модулю N, доставляющих нужные значения для а,
то закон взаимности получается в виде: N будет квадратичным
вычетом для каждого простого числа (и только для него), которое
сравнимо с квадратом по mod AN.
В более привычной форме, на языке теории квадратичных
вычетов, Эйлер сформулировал закон взаимности в работе [65].
Сначала там приведено изложение теории квадратичных вычетов,
некоторые свойства которых даны впервые. Например, Эйлер
отметил существование обратного элемента в классе
квадратичных вычетов (Эйлер не говорит так, но фактически рассматривает
именно классы вычетов), существование «союзного» элемента. Это
значит, что если а и р — квадратичные вычеты по модулю р, то
найдется такой квадратичный вычет f («союзный»), что
произведение ур тоже будет квадратичным вычетом по модулю р и у|3 =
= a (mod/?). Наконец, Эйлер приходит к утверждениям:
1) если простой делитель имеет вид Ans-\-(2x-\-l)2, где s —
простое число, то среди квадратичных вычетов встретятся числа +s
и —s, т. е. квадраты при делении на такое число дают в остатке
+5 и —s;
13 Б а ш м а к о в а И. Г. Обоснование теории делимости в трудах
Е. И. Золотарева. ИМИ, вып. 2, 1947, стр. 262.
36

2) если простой делитель имеет вид 4ns — (2х-\-1)2, где s -—
простое число, то среди квадратичных вычетов встретится число
-\-s, a s будет квадратичным невычетом.
Таким образом, если простой делитель имеет вид 4rcs+<2l, то
для всех значений простых ЗД и, соответственно, для всех таких
делителей, кроме Arts — (2#+1)2, s будет квадратичным
вычетом, а +5 — квадратичным невычетом. В конце статьи
Эйлер формулирует следующую теорему, которую считает весьма
лажной.
Если s — простое число, то делим нечетные квадраты I2, З2,
52, 72, ... на 4^. Замечаем, что остатки будут числа вида 4g-f 1.
Обозначим их буквой а. Остальные числа вида iq+l, которые
не встречаются среди остатков, обозначим буквой 2J. Тогда если
делитель будет простое число вида 4ras-f- а, то s — квадратичный
вычет, —s — квадратичный вычет; если делитель будет простое
число вида ins — а, то s — квадратичный вычет, — s —
квадратичный невычет; если делитель будет простое число вида Ans+ty,
то s — квадратичный невычет; —s — квадратичный невычет; если
делитель будет простое число вида 4ns — ЭД, то s — квадратичный
невычет, —s — квадратичный вычет.
Как уже упоминалось, впервые формулировку закона
взаимности у Эйлера в [65] заметил П. Л. Чебышев (см. стр. 36). Если
заменить слова «делитель будет простое число» буквой /?, то, по
Кронекеру, получаем более понятную формулировку:
положительное простое число s есть квадратичный вычет или квадратичный
не вычет положительного простого числа р в зависимости от того,
— -1
будет (—1)2 р квадратичным вычетом или невычетом для s. В этом
виде теорема Эйлера почти дословно совпадает с теоремой, сфор-
мулировнной Гауссом в его книге.14 Между тем Гаусс отрицал,
что у Эйлера уже имелась формулировка закона взаимности.15
В более удобной форме квадратичный закон взаимности
в 1785 г. был сформулирован Лежандром.16 Позднее Лежандр
ввел в употребление «символ Лежандра» для обозначения
квадратичных вычетов и невычетов.17 В обозначениях Лежандра закон
взаимности записывается следующим образом: если f—) —
символ Лежандра, т. е.
/а\ f 1, если а квадратичный вычет по модулю р,
\Р/ \ —1, если а квадратичный невычет по модулю р,
14 Г а у с с К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 125—138.
15 Там же, стр. 147—149.
16 L е g е n d г е А. М. Recherches (Гanalyse indeterminee. Histoire Acad
roy. des sci., Paris, 1788, pp. 465—559.
17 L e g e n d r e A. M. Essai sur la theorie des nombres, Paris, 1798;
2-me ed. 1808; 3-me ed. Theorie des nombres, 1.1, 2. Paris, 1830, pp. 230—243.
37

то для любых двух нечетных простых чисел р и q выполняется
соотношение
Кроме того, для чисел — 1 и 2 справедливы соотношения
являющиеся дополнением к закону взаимности. В работах [26t
32 и 49] Эйлер привел доказательства справедливости этих
соотношений.
Как известно, доказательство закона взаимности, данное Ле-
жандром, было неполным. Впервые строго доказал эту теорему
Гаусс, которому принадлежит восемь доказательств закона
взаимности.18
Простые числа* Критерии простоты чисел.
Составление таблиц
Вопросы составления таблиц простых чисел и поиски способов
для распознавания и отыскания простых чисел, больших любого
заданного, всегда были в центре внимания Эйлера.
Как известно, для выбора простых чисел существует метод
решета Эратосфена. В работе [55] Эйлер показал, как можно
изменить решето Эратосфена для построения таблиц больших
простых чисел.
Эйлер исключает из натурального ряда не только те числа,
которые делятся на 2, 3, 5, . . ., но и те, для которых известны
минимальные простые делители. При этом все числа
рассматриваются в зависимости от остатков, которые они дают при делении
на тридцать. Среди чисел до тридцати, кроме чисел 2, 3, 5,
входящих в 30 как множители, простыми делителями будут числа 1
(Эйлер причисляет 1 к простым), 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Любое
число можно представить в виде SOq+г, где г принимает значение
одного из упомянутых восьми чисел, если данное число не
делится на 30 или на один из его делителей, а число q принимает
значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . до тех пор, пока величина ЗОд не
превысит миллиона. Это случится для q=3S 333. Очевидно, что г
не может принимать никаких других значений, кроме восьми
указанных, так как в противном случае число 30д+г не было бы
взаимно простым с 30.
Рассмотрим таблицу Эйлера. Если данное число является
простым, то в соответствующую клетку таблицы ставится буква р.
18 Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 125—138 и
комментарии В. Н. Делоне, стр. 898—900.
38

Если число имеет делители, то в клетку ставится наименьший
делитель данного числа. В первой строке стоят значения восьми
возможных остатков, в первом столбце — значения q от 0 до 49.
Все числа представляются в виде 30д+г.
Пусть q=0. Подставив это в выражение 30д+г, получим все
числа первой строки: 1, 7, И, 13, 17, 19, 23, 29. Полагая д=1,
т. е. взяв числа вида 30+г, находим, что семь из них будут
простыми, а восьмое —• 49 — составное. Наименьший простой
делитель числа 49 равен 7. Записываем в соответствующую клетку
второй строки число 7 и т. д. В конце концов получается таблица,
позволяющая судить о простоте чисел.
В других работах для определения простых чисел Эйлер
применяет метод, связанный с представлением чисел в виде суммы
двух квадратов. В [24] он основывается на следующем
утверждении [24, стр. 165]. Если число вида Ап+1 может быть разложено
единственным образом на два взаимно простых между собой
квадрата, то это число — простое. Второе утверждение из той же
статьи: если число представимо в виде суммы квадратов двумя
или большим числом способов, то оно состоит не менее, чем из
двух множителей.
Затем ставится задача: определить, простое ли число вида
4п+1. Предлагается следующее решение.
Предложенное число вида 4л+1 может оканчиваться на 1, 3, 7
или 9. В случае, если число оканчивается на 5, оно — составное.
Последовательно вычитают из предложенного числа квадраты
чисел, непосредственно меньших данного числа. Так как квадрат
не может оканчиваться на 2, 3, 7, 8, то вычитание таких
квадратов, которые в разности дают эти числа, можно опустить.
Разности могут быть только 0, 1, 4, 5, 6, 9.
Пусть iV=47i+l — заданное число. Сначала вычитаем из него
р2 — наибольший квадрат, не превосходящий числа N. Находим
разность N — р2. Если это не квадрат, вычитаем из N квадрат
(р — 10)2, иначе говоря, прибавляем к N — р2 разность 20р — 100.
Затем прибавляем разность 20р — 300 и получаем N — (р — 20)2
и т. д.
Эйлер поясняет этот способ на примерах.
Он использует для той же цели и обобщение суммы квадратов:
выражения вида а2+262, а2+3й2 и т. д. В работе [31] он
доказывает, что если число раскладывается на сумму 2а2-\-Ь2 двумя
или более способами, то оно не может быть простым. С другой
стороны, если число вида 2а2+Ь2 представимо в таком виде
единственным образом, причем числа а и Ъ — взаимно просты, то это
число — простое. Затем рассматриваются представления
квадратичными формами чисел видов 8лг+1, 8/г+З. Например, Эйлер
доказывает, что если число одного из двух видов 8тг+1 или 8л+3
не может быть представлено в виде 2а2+Ь2, то оно не может быть
простым. Если оно единственным образом представимо в этом
39

виде, то оно — простое. Если оно преДставимо более чем одним
способом, то оно не может быть простым. Способом, аналогичным
способу работы [24], Эйлер проверяет простоту различных чисел.
Тем же вопросам посвящены работы и части работ [38, 41, 58,
83, 85, 88, 89, 86}.
В [88] Эйлер применяет для той же цели свойства удобных
чисел. Еще один способ подробно разобран в [89], где также
используются свойства удобных чисел. Дана таблица простых
чисел, представимых в виде 1848а2+1972.
Диофантовы уравнения
Наибольшее место в исследованиях Эйлера по теории чисел
занимают задачи по диофантову анализу — решение
неопределенных уравнений в целых числах. К диофантовым уравнениям Эйлер
приходит в результате решения различных алгебраических
вопросов ; задач о многоугольных числах, интегрирования
иррациональных выражений, «загадок», содержавшихся в заметках Ферма.
Эйлер рассматривал диофантов анализ как составную часть
алгебры: алгебра занимается решением уравнений вообще, а
диофантов анализ — решением неопределенных уравнений в целых
числах, иногда и в рациональных числах. Поэтому он посвятил
диофантову анализу вторую часть «Универсальной
арифметики» [42].
В «Универсальной арифметике» были систематизированы
задачи по неопределенным уравнениям первой, второй, третьей и
четвертой степени. Наряду с решением уравнений первой степени
и уравнения Ферма (Пелля), Эйлер привел доказательство
последней теоремы Ферма для л=3 и п=4. Кроме [42], диофантову
анализу посвящены работы [21, 29, 30, 33, 36, 45—47, 50, 54,
57, 59, 61, 71, 81, 84, 87, 91, 92, 95, 97-111, ИЗ, 116, 117, 119].
Уравнения первой ст е.п е н и. В
«Универсальной арифметике» изложены два способа решения в целых числах
уравнения
ах-\-Ьу = с (5)
с целыми коэффициентами. Первый способ заключается в том,
что х выражается через у: х= с~~ у , причем берутся только
у^>0,х^>0. Подбираются такие целые положительные значения у,
чтобы с — Ьу^>0, т. е. чтобы выполнялись неравенства 0<^г/<С
<С-г. По этим значениям у находятся соответствующие
значения х.
Второй способ (деление на наименьший коэффициент) Эйлер
показал на примере. Анализируя приемы, используемые в
примерах, он делает вывод, что для нахождения х и у приходится
40

применять те же операции, что и при определении общего
наибольшего делителя двух чисел с помощью алгоритма Евклида.
Например, для решения уравнения
39р = 56д+ 11
последовательность операций такова:
p = q^r, r = 3s + t, t = 2u+ll.
q = 2r + s, s = 2t + u.
Поэтому можно сразу пользоваться этим знакомым процессом.
В следующем уравнении 11/?=19д+2 неизвестные находятся уже
с помощью алгоритма Евклида. Эйлер указывает, что в
уравнении (5) числа а и Ъ должны быть взаимно простыми, так как в
противном случае задача будет неразрешимой, если только и число с
не имеет того же делителя.
Уравнения второй степени. Уравнение
Ферма (Пелля). Впервые Эйлер упоминает об уравнении
Ферма и методе его решения, изложенном в книге Валлиса,19
в письме к Гольдбаху 10 августа 1730 г. [129, стр. 39]. Он
называет этот метод методом Пелля. В статье [2] Эйлер отмечает, что
в задачах такого рода надо найти одно решение, тогда из него
можно будет получить бесконечно много других решений. Могут
встретиться случаи, когда решений нет. Например, выражение
3#2+2 никогда не может быть квадратом для целых
положительных х. В дальнейшем рассматриваются только такие уравнения,
у которых одно решение уже известно.
Если известно значение х=п, для которого трехчлен ах2-{-
+Ъх-\-с равен квадрату, то другое значение х, обладающее тем же
свойством, можно найти по формуле
х = qn + -^—|- р sjan2 + Ъп + с,
где р и q удовлетворяют уравнению Ферма
ар2 + 1 = q2.
Для решения последнего уравнения Эйлер излагает способ
Брункера из книги Валлиса, применив его к решению
уравнения 31р2+1=д2.
В этой работе еще не указывается связь этого процесса с
алгоритмом разложения иррационального числа в непрерывную дробь.
В ней дана таблица наименьших значений а, для которых ар2-\-1 =
=q2, и примеры применения того же приема разложения числа
в непрерывную дробь для приближенного извлечения корней,
19 W а 11 i s J. Treatise of Algebra. London, 1685; Opera mathematica,
tt, 1-3. Oxford, 1695—1699,
41

для нахождения всех треугольных чисел, являющихся
квадратами, и для нахождения всех многоугольных чисел, являющихся
квадратами.
Эта тема продолжается в [34]. Используя формулы
предыдущей работы и обозначая буквами а и b известное решение
уравнения 1х2-\-тх-\-п=у2, Эйлер получает общий вид решений
такого уравнения. Затем он переходит к общему уравнению
Ах2 + 2Вху + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. (6)
Снова известным он считает одно решение: х=а, у=Ь. Тогда
найдутся такие числа рид, что для В2 — АС > 0 будет
выполняться р2=(В2 — AC) д2+1» и обычным образом находятся
формулы для всех решений (6). Показав, что решение общего
уравнения сводится к решению уравнения Ферма, которое требует
больших вычислений, Эйлер хочет облегчить этот труд. Он
совершенствует метод Брункера—Валлиса, замечая, что, в сущности, он
сводится к разложению корня \jl в непрерывную дробь, так как
из уравнения p2 = lq2-\-l сразу видно, что приближенно —?&\Jl.
Он раскладывает \]1 в непрерывную дробь и показывает, как
с помощью этого разложения найти числа рид, чтобы они
удовлетворяли уравнению Ферма. Здесь же приведена таблица
значений р vl q для всех I ^ 100.
Эйлер устанавливает периодичность непрерывной дроби для
\jl. В конце работы даны выражения х и у с помощью
числителей и знаменателей подходящих дробей.
В работе Эйлера [52] разбирается вопрос, имеет ли уравнение
Ах2-\-2Вху-\-Су2—0 решение в целых числах. Эйлер считает, что
для сведения к единице или к двум выражения Ах2-\-2Вху+Су2
р и q следует подобрать с таким расчетом, чтобы это выражение
имело наименьшее значение. Возникает новая задача: для данных
чисел А, В, С найти такие целые значения букв рид, чтобы Ар2-\-
+2Bpq-\-Cq2 принимало наименьшее значение.
Чебышев и Буняковский в «Систематическом указателе» к
«Собранию арифметических сочинений» Эйлера [126, т. 1, стр. LXVII]
писали, что метод, использованный в [52], «основан на
рассмотрении непрерывных дробей и ведет к любопытным результатам
о минимуме формы тх2 — пу2 в целых числах. Заметим также,
что анализ, который использован Лагранжем при рассмотрении
задачи Пелля, имеет большую аналогию с методом Эйлера».
Дальше рассмотрено уравнение тх2 — пу2=к, где к дано, /и^1,
Как показывает Эйлер, наименьшее значение формы тх2 — пу2
получается в том случае, если х, у найти с помощью разложения
1 /~7Г
корня г — в непрерывную дробь, т. е. так же, как и при реше-
\г

Ний ураЁйейия Ферма. Если же одно решение уравнения
тх2 — пу2=к известно: при х=а и у=Ъ будет та2 — nb2=k, то
остальные х и у получаются следующим образом:
тх2 — пу2 = та2 — rib2.
Если к рассматриваемому уравнению присоединить
уравнение Ферма
р2 — mnq2 = 1,
откуда
(р2 — mnq2)l=l, (ттг>0 и не равно квадрату), то получим
тх2 — пу2 = (та2 — nb2) (р2 — mnq2f.
Эйлер полагает
x\Jm-\- y\Jn = {a\Jm + b yjn) (р + q \/mnf,
(p + q s/mnf = P + Q\/m9
x \Jm — yyjn = (a \jm — b \fn) (p — q \Jmnf,
(p — q \Jmn) = P — Q \jm,
тогда
x \Jm + у \jn = (a \]m + b \jn) (P + Q yjmn),
x^m-{-y\Jn — (aP + ribQ) \fm + (bP + maQ) \jn
и требуемые значения x и у выражаются по формулам
х = аР -f- nbQ, у ~. ЬР + maQ.
Эйлер излагает метод решения уравнения Ферма по книге
Валлиса, но более подробно, чем это сделано у автора [42Ь, т. 2,
стр. 346—368]. Он также рассматривает уравнение ап2-\-1=т2,
где а > 0 и не равно квадрату. В этом случае всегда можно найти
такое целое тг, чтобы ап2-\-1 было равно квадрату. Зная одно
решение, можно найти и другие. Способ находить частное решение
Эйлер показывает на примере уравнения 2п2-\-1=т2 и
нескольких других. Он подробно решает уравнение 13/г2+1 =/тг2,
рассмотренное в книге Валлиса.
В [42Ь] Эйлер дает такой план решения уравнения ах2-\-Ъ=у2.
«Для нахождения х та у ъ целых числах, чтобы ахх-\-Ь=уу было,
надлежит прежде всего знать такой ,случай, чтоб aff-\-b=gg,
и как скоро сей случай известен будет, то должно еще к числу а
найти такие числа тип, чтоб апп-\-1=тт было; о чем в
следующем показано будет. Когда же сие сделано будет, то получится
зараз новый случай, а именно
x = ng -\-rnf и у = mg + naf и будет ахх -\-Ь = уу.
43

Поставь сей новый случай на место прежнего, который был взят
за известный, и напиши ng-\-mf вместо /, a mg-\-naf вместо g, то
получатся вместо х и у новые наши знаменования, из которых
еще, когда они вместо / и g поставятся, другие новые выдут, и так
далее. Так что ежели сначала один только такой случай был
известен, то из одного бесконечно много другцх найти можно»
[42Ь, кн. 2, стр. 332, 333]. Решение он поясняет рядом примеров.
Затем Эйлер переходит к решению уравнений более общего
вида:
ах2 + Ъх + с = у2.
Сначала он решает такое уравнение в рациональных числах.
Потом переходит к целым, приравнивая полученные дробные
выражения к целым числам. Снова используется уравнение
Ферма. Получается следующий результат: чтобы решить
уравнение ах2-\-Ъх-\-с=у2 в целых числах (здесь а, Ъ, с — целые), надо
знать одно решение: x=f, y=g. Тогда можно найти другое
решение в виде
* = 2PQg + f И2 + Р2) + bpq,
y = g (aq2 + р2) + 2afpq + bpq,
где p, q — удовлетворяют уравнению Ферма p2—aq2+l при
заданном а.
Другие неопределенные уравнения. Среди
задач, решенных Эйлером в «Универсальной арифметике», имеются,
например, уравнения видов
ах2 + су2 = z2, ах2 + су2 = 23, ах2 -f- су2 = z*.
Для их решения Эйлер пользуется приемом разложения левой
части на множители. Он показывает, что не всегда выражение
ax2Jrcy% можно сделать квадратом или, вообще, четной степенью.
Другая задача — сделать выражение ах2+су2 равным кубу
целого числа — всегда возможна. Для этого, как утверждает Эйлер,
надо представить множители x\Ja-\- у \J—с и х \Ja — у yj—с в виде
x\Ja + y \J—c = (j>}Ja + q \/—с)3, x\Ja — y \J—c = (р \ja — q \]—cf.
Тогда получится
ax2 + су2 = (ар2 + cq2f,
отсюда х и у можно найти по формулам
х = ар3 — 3cpq, у = 3ap2q — cq3.
Эйлер придавал большое значение подобным приемам:
«Употребляемые здесь способы тем наипаче достопамятны, что помощью
иррациональных или еще и мнимых формул такие решения сыс-
44

каны, к чему одни только рациональные, да еще и целые
требовались числа» [42Ь, т. 2, стр. 450].
Затем Эйлер исследует выражения, которые нельзя сделать
равными некоторой степени. В первую очередь он исследует
частный случай последней теоремы Ферма — для п=А.
I. Доказательство последней теоремы Ферма для случая п=А.
Впервые Эйлер доказал невозможность решения в целых числах
уравнения x*+y*=z* в работе [6], основываясь на доказательстве
Френикля,20 которое было проведено методом бесконечного спуска.
Эйлер повторил свое доказательство в [42Ь, т. 2, стр. 461—474].
Первый этап рассуждения Эйлера в [42] сводится к
доказательству того, что сумма четвертых степеней не может быть равна
квадрату (при целых и взаимно простых хну).
1. Так как (#, г/) = 1, то одно из них — четное число, другое —
нечетное или оба — нечетные. Но оба нечетными быть не могут,
так как сумма двух нечетных квадратов не может быть
квадратом. Так же обстоит дело и с суммой двух биквадратов.
2. Если бы сумма #4+i/4 равнялась квадрату, то одно из чисел
х, у должно было бы быть четным, другое — нечетным. Решение
уравнения x*+y*=z2 будет иметь вид
x2 = p2 — q2, y2 = 2pq.
3. Если бы у было четным числом, а х — нечетным, то,
поскольку х2=р2 — q2, одно из чисел р.та. q должно быть четным,
другое — нечетным. Но р не может быть четным, так как р2 — д2,
как число вида An — 1 или 4/г+З, никогда не сможет быть
квадратом. Поэтому р должно быть нечетным, ад — четным и (р, д)=1.
4. Когда р2 — q2=x2, то если p=r2+s?, q=2rs, будем иметь
у2 = Ars (г2 -f- s2).
5. Поэтому выражение Ars (г2+52) должно быть равно
квадрату, т. е. rs (r2-\-s2) равно квадрату. Здесь (г, s) = l.
Следовательно, г, s и (r2-\-s*) не имеют общего делителя.
6. В результате каждый из этих множителей должен быть
квадратом. Положим r=£2, s=и2. Тогда £4+и4 должно быть равно
квадрату. Таким образом, из утверждения, что #4+г/4 равно
квадрату, следует, что £4+м4 тоже будет равно квадрату. Но
x2 = t* + u*, у2 = At2u2 (t* + ы4) (t, и — целые),
отсюда видно, что t < х, и < у.
Следовательно, если бы существовали два таких биквадрата #4,
у4, сумма которых была бы равна квадрату, то можно было бы
получить и сумму меньших биквадратов, которая тоже была бы
равна квадрату. Это же можно было бы получить и для меньших
20Frenicle de Bessy. Traite des triangles rectangles en nombres.
Paris, 1676, pp. 101—106.
45

биквадратов и так до бесконечности. Но имеется конечное число
чисел, меньших х, у и натуральных. Поэтому задача невозможна.
При этом не может оказаться, что один из биквадратов равен
нулю, потому что если бы в сумме **+и4 одно из слагаемых
равнялось нулю, то и в большей сумме было бы i/=0, а это не
предполагалось.
Таким же образом доказывается тот факт, что #4+2#4 не равно
квадрату. Но разность хА — 2г/4 может быть квадратом
бесчисленное множество раз.
П. Доказательство последней теоремы Ферма в случае п=3.
В 15-й главе «Универсальной арифметики», которая называется
«О разрешении вопросов, в которых требуются кубы», Эйлер
доказывает теорему Ферма для случая п=Ъ. Сначала он
показывает, что обыкновенные приемы, с помощью которых раньше
удавалось избавиться от иррациональности, в рассматриваемом
случае не приводят к цели. Затем формулируется теорема:
«Невозможно найти двух кубов, коих сумма или разность была бы
куб» [42Ь, т. 2, стр. 560].
Эйлер замечает вначале, что если невозможно равенство
xs-\-y3=zs для суммы, то оно невозможно и для разности. Поэтому
достаточно рассмотреть теорему для суммы. Доказательство
проводится следующим образом.
1. Числа (я, j/)=l, так как если бы у них был общий делитель,
например х=2а, у=2Ь, то было бы ж3+г/3=8 (а3+Ьг), и если бы
эта сумма была кубом, то была бы кубом и сумма а3+Ь3.
2. Если (#, г/) = 1, то они или нечетные или одно — четное,
другое — нечетное. Тогда в первом случае z должно быть
четным, а в другом — нечетным. Таким образом, из трех чисел х, у, z
два всегда нечетные, а одно — четное. Положим, что х, у —
нечетные, a z — четное.
3. Так как х, у — нечетные, то сумма и разность их будут
четными. Положим
тогда x=p+q. Отсюда следует, что из чисел рид одно — четное,
другое — нечетное. Поэтому
я3 + у3 = 2f + 6pg2 = 2р (р2 + Зд2).
Следует доказать, что произведение 2р (р2+3д2) кубом быть
не может.
4. Если бы 2р (p2+3q2) было кубом, то он был бы четный,
следовательно, он должен был бы делиться на 8, т. е. одна
восьмая выражения: -г р (р2+3д2) тоже была бы кубом. Но так как
одно из чисел р и q — четное, другое — нечетное, то p2+3q2 будет
нечетным и на четыре делиться не может. Отсюда следует, что р
делится на 4, т. е. р — четное число.
46

5. Если произведение ~ (р2 + 3q2) есть куб, то каждый из
множителей -|- и р2 + Зд2 должен быть кубом, если они не имеют
общего делителя.
Так как р и q — взаимно просты, то числа р2 и Зд2 могут иметь
общий делитель только в том случае, если р делится на 3.
Поэтому Эйлер рассматривает два случая: когда р и р2-\-Зф не имеют
общего делителя и когда они имеют общий делитель (при р
делящемся на 3).
Первый случай. Пусть р не делится на 3 и, следовательно,
множители у и р2 + 3q2 не имеют общего делителя. Тогда
каждый из них в отдельности должен быть кубом. Положим р2 -|- 3q2
равно кубу, т. е.
р + ?>/=3 = (* + а>/33)8, a p-qs/^3=:(t — u\J^3)\
тогда было бы
p2+3q2 = (t2 + 3u2)3.
Но отсюда следовало бы, что
p = *3_9ftt2 и q=z3t2u — 3u? = 3u(t2 — и2).
Поскольку q — нечетное, то и тоже должно быть нечетным,
a t — четным (иначе было бы t2 — и2 четным, что дало бы q четное).
Так как p2-\-3q2 равно кубу и найдено значение для р
p = t(t2 — Ы2) = t(t + Зи) (t — Зи),
то -j и 2t должны были бы быть кубом. Потому и выражение
2t (t+3u) (t — Зи) должно быть кубом. Так как здесь t — четное
и не делится на 3 (иначе и р тоже делилось бы на 3, а этот случай
сейчас исключается), то множители 2t, t-\-3u, t — Зи не имеют
общего делителя и потому каждый из них должен быть кубом.
Положим £+Зи=/3, t — 3u=g3, тогда 2£=/3+g3. Но так как 2t
тоже должно быть кубом, то получим два куба f и g3, сумма
которых тоже равна кубу, причем эти кубы значительно меньше
кубов xz и у3, взятых вначале, ибо если положить x=p+q, у=
=р — q, то числа р и q должны быть гораздо больше, нежели t
и и. Поэтому если бы нашлись такие кубы в больших числах, то
можно было бы найти и в меньших числах кубы, сумма которых
была бы равна кубу. Но в малых числах таких кубов нет, а
потому они невозможны и в больших.
Второй случай. Пусть р делится на 3, a q не делится на 3.
Положим р=3г. В результате получим выражение
|(9г2 + 3^)или|г(Зг2 + ^))
47

где оба множителя между собой взаимно просты. Действительно,
г — четное и не делится на 3, q — нечетное. Поэтому выражение
3r2-\-q2 не может делиться ни на 2, ни на 3. Каждый из этих
множителей должен быть кубом.
Если множитель 3r2-\-q2 равен кубу, то, как и раньше, найдем
q = t(t2 — 3u2) и r = 3u{t2 — и2).
Здесь должно быть нечетным t, а и — четным.
Так как -г- тоже должно быть кубом, то, умножив его на ™,
снова должны получить куб, т. е. 2и (t2 — и2)=2и (t-\-u) (t — и)
должно быть кубом. Здесь три множителя 2и, (t+u), (t — и) не
имеют общего делителя, следовательно, каждый из них должен
быть кубом. Но если положить t+u=f и t — u=g34 то отсюда
следует, что и 2u=f3 — g3 также должно быть кубом, ибо 2и
есть куб.
Таким образом, снова найдем два меньших куба, разность
которых будет кубом, а следовательно, и сумма будет кубом.
Иными словами, если для больших чисел сумма кубов есть куб,
то же будет и для меньших чисел. Для самых малых чисел таких
кубов нет.21
Закончив доказательство теоремы, Эйлер переходит к другим
вопросам о кубах: ни сумма, ни разность двух кубов не могут
быть равны удвоенному кубу, исключая случай х=щ найти три
куба х3, у3, 23, сумма которых была бы равна кубу, например
33+43+53=63; решается задача о нахождении трех чисел в
арифметической прогрессии, разность которой равна 1, кубы которых
в сумме давали бы куб.
В [42] и, в частности, в доказательстве для п=3 Эйлер
использовал целые алгебраические числа в полях К \J—3 и К \/—а.
Дальнейшие усилия математиков для доказательства последней
теоремы Ферма привели к созданию общей теории
алгебраических чисел. До сих пор не решенный в общем виде вопрос Ферма
много лет служит стимулом важнейших исследований в теории
чисел (Куммер, Дедекинд, Золотарев, Кронекер и другие).
Применение математического анализа в теории чисел
За время, прошедшее после открытий Ньютона и Лейбница,
были достаточно разработаны дифференциальное и интегральное
исчисление и теория рядов. Эйлер был одним из творцов высшей
математики, продолжателем трудов Ньютона и Лейбница.
Поэтому не удивительно, что именно Эйлер ввел в теорию чисел
методы математического анализа. Он применял их к задачам
21 Диксон [ИЗЗ, т. 2, стр. 545—550] замечает, что в доказательстве Эйлера
была одна неточность, устраненная Кармайклом,
48

аддитивного характера и к задачам, связанным с разложением
чисел на множители.
Вывод рекуррентной формулы для о (п).
В ряде работ [17, 22, 27, 28, 112] Эйлер изучал свойства суммы
делителей числа п. В письмах 15 октября 1743 г. [129, стр. 186]
и 1 апреля 1747 г. [129, стр. 266—268] Эйлер привел два
замечательных результата, полученных в процессе разработки метода
производящих функций. Были даны тождество
П(1-*")= 2 (-1)***. '(7)
( 3*2 + k \ Оо
(где <оЛ = —s= пятиугольные числа], наиденное дилером
в конце 1740 г., и следующая из тождества (7) рекуррентная
формула для суммы делителей а (п)
2 (-1)* а (/,_«.») = 0, (8)
где а (0) считается равным п. Эти формулы были приведены в
работе Эйлера [23], где он не смог доказать равенство (7). После
многолетних усилий Эйлеру удалось найти доказательство
формулы (7) и он изложил его в письме к Гольдбаху 9 июня 1750 г.
[129, стр. 321—325]. Это доказательство было опубликовано
в [28]. Еще два доказательства формулы (7) Эйлер дал в [631.
Четвертое доказательство было обнаружено Г. П. Матвиевской
в записных книжках ученого. Вывод формулы (8) из (7)
рассматривается в мемуарах [22, 27, 28]. История исследования Эйлером
этого вопроса освещена в [П9, стр. 32].
Формулы (7) и (8) сыграли важную роль в развитии
математики. В трудах Якоби обобщения формулы (7) привели автора
к основным теоремам теории d-функций. Много аналогичных
формул было найдено математиками XIX в. В1913г. формула (8)
без использования формулы (7) была доказана Я. В. Успенским
[см. Эйлер, П9, стр. 32].
Partitio numerorum. Большой цикл работ Эйлера,
связанный с предыдущими исследованиями, посвящен вопросам
разбиения чисел (partitio numerorum). Историческая справка и
характеристика печатных и неопубликованных исследований
Эйлера по теории разбиения чисел даны в статье А. А. Киселева
и Г. П. Матвиевской [П12].
Возможность представления любого целого числа в виде
суммы различных членов прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, ... или +1,
±3, +9, +27, . . . отмечали еще Леонардо Пизанский, Михаил
Штифель (1487—1567 гг.), Франс ван Шутен (1581—1646 гг.),
составившие таблицы выражения каждого числа, не большего 127,
в виде суммы членов прогрессии 1, 2, 4, 8, ... и каждого числа,
не большего 121, в виде суммы членов прогрессии +1, ±3, ±9,
49

±27, . . . Вопрос такого рода Эйлер рассматривает во «Введении
в анализ», приводя в качестве примера взвешивание различных
предметов с помощью наименьшего числа гирь.
Следующая задача — сколькими способами данное целое число
может быть разложено на сумму меньших целых чисел — была
поставлена Лейбницем в 1674 г.
В работе «О разбиении чисел» [23] Эйлер сообщает о том, что
эта задача впервые была ему предложена профессором Ноде
(Naude Philipp, 1684—1745 гг.). Она заключалась в том, чтобы
определить, сколькими различными способами число может быть
представлено как сумма двух, трех, четырех или вообще любого
числа чисел.22 В ответе Ноде Эйлер впервые приводит свое
аналитическое решение вопроса Ноде [П61]. В статье «Различные
аналитические замечания о комбинациях» [19] Эйлер впервые
приводит замечание о существовании тождества
оо Зп2±п
П(1— Хк) = \— X — .Г2 + Я5 + Я7- ... +(—\)пх 2 +... (9)
Некоторые новые утверждения Эйлер приводит в 16-й главе
«Введения в анализ» [13]. Например, им доказана теорема о том,
что число разбиений п на различные слагаемые равно числу
разбиений на любые нечетные слагаемые. Кроме того, аналитически
доказано, что каждое натуральное число может быть
единственным образом получено сложением различных членов прогрессии
1, 2, 4, 8, 16, . . . или ±1, ±3, ±9, . . . .
Вопросам разбиения чисел посвящены работы Эйлера [22, 27,
28, 63].
Свой аналитический метод Эйлер основывает на следующих
леммах.
Лемма 1. Если имеется произведение конечного или
бесконечного числа сомножителей (l+az) (l+bz) (1+cz). . . и его
преобразовать к виду l+Az-\-Bz2+Cz3-\—•, то коэффициенты этого
ряда будут выражаться как А =а+Ь+с-\ , B=ab+bc-\-ac+ • • •,
C=abc+bcd-{ [13, т. 1, стр. 74].
Лемма 2. Если имеется равенство
-г. г-г,—5гтн *— = l+Az + Bz2+ Cz3+ ...,
(1 — az) (1 -— bz) (1 — cz)... i i i i >
то коэффициенты ряда выражаются по формулам
В = ab + be + аа + ЬЬ + ас + ..., С = aab -f- аас + abc + ....
Здесь среди сомножителей учтены и равные [13, т. 1, стр. 74].
22 JJOA АН СССР, ф. 1, оп. 3, Я« 28, лл. 133-135, об,
50

Как Эйлер решает, например, вопрос о том, сколькими
различными способами данное число N может быть разложено на
р частей, неравных между собой. Составляются выражения
s = (l+xz){l+x2z)(l +a*z)... и s=l+Az + Bz* + Cz* + ....
По лемме 1 коэффициенты Л, В, С, . . . выражаются по
формулам
А = х + х2 + х3 + .. .,
В = х3 + я4 + 2я5 + 2х« + Зх' + Зя8 + . ...
Коэффициенты ряда для В показывают, сколькими
различными способами показатель степени х может быть разложен на
две неравные части. Аналогичным способом решаются и другие
задачи на разложение чисел. В [23] Эйлер указывает, что с
помощью разложения
S = 1 + х + х3 + х* + х10 + ...
можно доказать «изящнейшую теорему Ферма о том, что всякое
число есть треугольное или сумма двух или трех треугольных
чисел. С помощью ряда 1+#+#4+#9+#16Н можно будет
доказать теорему Ферма о четырех квадратах и вообще с
помощью ряда
S = l+x + xm + a?m-3 + x*m-3 + x10m-»+ ...
можно будет доказать, что всякое число есть сумма не более чем т
яг-угольных чисел» [23, стр. 165].
Эйлер указал и путь этих возможных доказательств. Чтобы
получить, например, разложение числа на треугольные числа,
надо дробь
1
(1 — z) (1 - xz) (1 — x*z) (1 — xfiz)...
разложить в ряд i+Pz-\-Qz2-\-Rz3-\ , где коэффициенты Р, (?,
Д,... будут функциями только от х. Тогда, по лемме 2, Р=1+х+
+#3+#6+#10+ • • •, где в показателях степеней стоят треугольные
ЧИСЛа 771= y— (771 = 0, 1, 3, 6, 10, . ..).
Этот путь, намеченный Эйлером, был использован Лежан-
дром 23 и послужил основ й доказательства, данного Якоби.24
23 L с g е n d г е А. М. orie des nombres, t. 2, 3-е ed. Paris, 1830,
p. 216.
24 J а с о b i С G. J. Gesammelte Werke, Bd. 1. Berlin, 1881, SS. 245—
247; 249-253; Bd. 0, 1881. SS. 245-251.
51

Для определения, сколькими различными способами данное
число может быть разложено в сумму целых чисел, Эйлер
рассматривает равенство
(1+аЛг)(1+Л)(1 + *т2)... = l + Pz + Qz2 + Rz* + ...,
где коэффициенты Р, Q, Л, . . . определяет по формулам
Р = х« + х? + а* + . . ., Q = х«х$ + хРхЧ + х«хЧ + . . .
R = х*х$хЧ + а?х*х1 + . . . .
Как показано в [П 9, 10], Эйлер рассмотрел соотношения
между симметрическими функциями от бесконечного числа
переменных в письмах Гольдбаху от23 ноября 1739 г., 7 декабря 1739 г.
и 28 августа 1742 г. [129]. Подобные соотношения Эйлер
использовал в [19] для установления аналитических тождеств,
положенных им в основу учения о разбиении чисел на слагаемые. В [64]
он связал свой метод симметрических функций с теорией
расходящихся рядов. Подробнее об этом см. в [П9—12].
Приме не ние математического анализа
к вопросам, связанным с
мультипликативной структурой натуральных чисел. Кроме
применения аналитических методов к аддитивным задачам теории
чисел, во «Введении в анализ бесконечных» [13] Эйлер применил
аналитические методы при решении задач мультипликативного
характера. Вначале он исходил из представления выражений
ех — е~х ех -Ь е~х
о— и ^
в виде ряда и в виде бесконечного произведения. Например,
ех+е-х х2 д4 / 4*2\/ 4*24
2 -1 +ТТ2 + 1.2.3.4+ V1 +1#)V +№)-'
Приняв х2=^—т-9 он получает равенство
1 + 1 . 2 • 4Z+ 1-2.3.4. 42 z2+ •••
..-.=(i+*)(i+40(1+i0--- (10)
Отсюда он определяет коэффициенты. В частности,
коэффициент А при z в левой части равенства (10) равен сумме обратных
нечетных квадратов
52

Затем Эйлер переходит к изучению рядов, которые
получаются при разложении дробей более общего вида:
A + B, + C*+D*+...=l±£±g±g±^. (12)
и рядов, получающихся при умножении множителей вида
(1 + olz) (1 + р*) (1 Н- Тг). .. == 1 + Az + Bz2 + Cz3 + Dz± + ....
В частном случае он полагает сначала z = 1. Получается
равенство
(1 + а)(1+Р)(1+Т)...=1+Л + Д+С + Л+....
Затем в качестве а, В, у, . . . выбираются тг-е степени
обратных величин простых чисел
Произведя умножение, он получает
Если взять z = —1, а, (3, у, . . . —степени обратных величин
простых чисел, то получается
V 2п)\ 3*Д Ь*)'"~ 2W 3* 5я^6W
В современных обозначениях- первое равенство можно
записать так:
п0+й=2^
к=1
где произведение берется по всем простым р, а второе
равенство будет выглядеть следующим образом:
Р Лг=1
где р — простые числа, а р. (А:) — функция Мёбиуса, т. е. [х (к) = 1,
если й=1; (а(А) = 0, если А: содержит квадрат; [х(/с) = (—1)',
если к = ргр2 . .. рр где pt. — простые различные числа.
Функцию р (п) Эйлер впервые рассмотрел на полях письма
Гольдбаха от 24 ноября 1739 г. [129, р. 71—73]. Систематическое
изучение этой функции и связанных с нею формул обращения
началось в 1831 г. с работы Мёбиуса.25 Обзор результатов, полу-
25 М о е b i u s A. F. Ueber eine besondere Art von Umkehrung der Rheien.
Werke, Bd. 4, 1886, SS. 589-612.
53

ченных в этой области до 1919 г., имеется в сочинении Диксона
[ИЗЗ]. Замечания о вопросах аналитической теории чисел у
Эйлера имеются в примечаниях к переписке Эйлера с Гольдбахом
[129, стр. 67, 68, 70—73], а также в [П8, 9—12].
Беря за основу другое равенство
A+Az + Bz2 + Cz* + ...,
(1 _ М) (1 _ pz) (1 _ Tz).. .
он приходит в частном случае к равенству [13, т. 1, стр. 215, 216]
— х Т nnivniAni • • • •
(•-J0O-i)O-W-
При а, р, у, ..., равных обратным величинам степеней
простых чисел, и z — 1 слева будет
1
(.-i)0-;)(.-i)...'
111
а в правой части 1 + -^ + -о7г + -т5Г+---- ^ современных
обозначениях это запишется так:
2^=П7-Чу. (13)
произведение берется по всем простым р, а ряд слева — С (s).
Это — знаменитое тождество Эйлера. Оно легло в основу всего
развития аналитической теории чисел. Отсюда Эйлер приходит
к выводу, что простых чисел бесконечно много, так как этот ряд
при 5=1 расходится.
Среди примеров, рассмотренных Эйлером, есть следующие
(записаны в современных обозначениях):
С (2») VV ^р')9
Предшественниками Эйлера в области преобразования рядов
были Муавр 26 и Стирлинг.27
28 М о i v г е A. Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis. Londini,
1730.
27 S t i г 1 i n g J. Methodus differentialis. Londini, 1730.
54

Формулы для выражения коэффициентов рядов Эйлер получил
в результате обобщения известных формул, связывающих
коэффициенты и корни алгебраических уравнений, и доказал их в статье
[18]. Обыкновенно эти формулы Эйлер называл формулами
Ньютона, хотя они были еще у Жирара.28
При выводе этих тождеств, в том числе и при выводе
знаменитого тождества для ^-функции, и для решения задач разбиения
чисел на слагаемые, Эйлер пользуется одним и тем же приемом.
Он рассматривает разложение в ряд бесконечных произведений
видов [13, т. 1, стр. 215]
(1-„)(1-р,) (!-■,,)... И (1+«*)(1+Р*)(1+Т*)...,
полагая z=l в задачах мультипликатного характера, и видов
(i-*,)(i-rf,)(i-*,)... и (1-л)(1-Л)(1-**)•••
в задачах аддитивного характера, выбирая при этом z, равным
степени х.
Тождества для С-функции. В 1906 г. Э. Ландау
опубликовал статью «Эйлер и функциональное уравнение Рима-
новой дзета-функции» [П81], в которой дал подробное
изложение статьи Эйлера [40], доказал утверждение Эйлера и показал
его эквивалентность с функциональным уравнением Римана.
Утверждение Эйлера заключалось в следующем: каков бы ни был
показатель п, имеет место уравнение
1 — 2*-i -f 3*-1 — 4*-i + 5w-i — 6"-i -f etc. __
1 — 2-* + 3-w — 4""+ 5-* — 6-" +etc. ~
_ — 1 . 2»3 ... (я — 1) (2я — 1) пк
— (2-1-1) тс* C0S 2 '
Эйлер проверяет справедливость этого утверждения при п=\
и п=2к. Он надеется, что в дальнейшем математики найдут строгое
доказательство его предположения и что такое доказательство
прольет яркий свет на многие другие исследования того же рода.
Утверждение Эйлера Ландау записывает в современной форме:
с»
limY(-l)v+i v*-i;zv-i
00
Hm2(—l)*+iv-«**~i
28 G i г а r d A. Invention nouvelle en algebre. Amsterdam, 1629, 2-е
ed. Leiden, 1884; N e w X Q n J. Arithmetic universelle. Cambridge, 1707,
p. 25|,
-Г(«)(2'-1) sn
(2*-i-l)7t* COST
(14)
55

и
оо
lira У. (-l)v+1 (2v — l)«-i x'-i
^ =^'sinf. (15)
lim 51 (-1)v+1 (2v ~ !)"* *v-1
Применяя аппарат теории функций комплексного переменного,
Ландау доказал утверждение Эйлера и показал эквивалентность
его с уравнением Римана.
Современники и ученики Л. Эйлера
Весьма интересны отношения, существовавшие между Эйлером
и другими учеными того времени и в первую очередь между двумя
великими современниками — Эйлером и Лагранжем.
Жозеф Лагранж (1736—1815 гг.) был значительно
моложе Эйлера, родившегося в 1707 г., и вошел в науку в тот
период, когда Эйлер был уже прославленным ученым. Лагранж
начал переписку с Эйлером, живя еще в Турине. Он посылал
великому ученому для просмотра свои статьи и очень высоко
ценил его мнение и советы. Напомним, что первые письма Ла-
гранжа к Эйлеру, опубликованные в 1877 г. Петербургской
Академией наук, были написаны восемнадцатилетним юношей. В них
Лагранж не касался еще вопросов теории чисел.
Быстрые успехи Лагранжа скоро сделали его имя известным
в Европе. Лагранжа приглашают в Берлинскую Академию наук,
где он в первую очередь стал знакомиться с трудами своего
предшественника, напечатанными в изданиях этой академии, и с
публикациями его трудов в изданиях Петербургской Академии наук.
В дальнейшем Лагранж продолжал внимательно следить за всеми
работами Эйлера. Переписка между ними продолжалась долгие
годы. Эйлер приглашал Лагранжа приехать в Петербург, но тот
отказался. Несколько лет Лагранж занимался печатанием
оставленных в Берлине сочинений Эйлера.
Эйлер в свою очередь с большой похвалой отзывался о работах
Лагранжа. Он высоко оценил метод Лагранжа для решения
уравнения
А = р2 ± Bq*
и метод использования иррациональных и даже мнимых чисел
в вопросах теории чисел. В письме Лагранжу Эйлер сообщал,
что у него также уже несколько лет были подобные идеи, но
опубликовал он их только в своей «Алгебре». Он писал:
«Опубликовав здесь полпую „Алгебру" на русском языке, я развил там
50

довольно подробно этот предмет, показав, что для решения
уравнения х2 + пу2 ~ (р2 + Щ2)Х надо решить такое: (х + у \J—п) =
= {p + qs]~Z)\
. . .Но я не зашел в моих исследованиях дальше квадратных
корней; и приложение к кубическим корням и дальше
предоставляется полностью Вам. Это отсюда я получил замечательную
формулу a?-{-ny3+n2z3 — 3nxyz, три множителя которой есть х+
~\~У Уп + 2 sjn2, откуда видно, что всегда легко определить х, у, z
так, чтобы эта формула стала квадратом или кубом или квадрато-
квадратом или какой-нибудь более высокой степенью».29 В этом
письме Эйлер обещал Лагранжу прислать свою книгу на русском
или немецком языке и вскоре выполнил свое обещание, в связи
с чем 30 декабря 1770 г. Лагранж пишет: «Благодарю Вас за
прекрасный подарок, которым Вы меня почтили. Хотя я еще
не особенно хорошо владею немецким языком, я прочитал Вашу
Алгебру с большим удовольствием. Особенно я был очарован той
частью, где трактуются неопределенные задачи. Я нахожу ее еще
более ценной потому, что еще не существует, насколько я знаю,
никакой книги, где эта ветвь анализа трактовалась бы хоть
сколько-нибудь удовлетворительным образом. Эта причина
заставила меня опубликовать французское издание Вашего труда,
которое должно появиться в Лионе в течение будущего года.
Льщу себя надеждой, что Вы не будете против того, что я
присоединю в конце несколько добавлений со своей стороны,
касающихся в особенности решения неопределенных уравнений второй
степени как в целых, так и только в рациональных числах. Так
как Вы применили в нескольких случаях методы, которые я
нашел для этой цели, то я попытался их усовершенствовать и
упростить их насколько смог, особенно удалось это сделать в
отношении очень простого и легкого метода для решения в целых числах
уравнений вида ах2+Ь=у2. Этот метод находится в ст. 32 моего
второго мемуара, названного „Новый метод. . .",30 и я применил
его в ст. 33 моего мемуара об уравнении 13#2+101 = г/2, которое
Вы оказали мне честь сообщить в прошлом году» [П 25, стр. 116,
117].
Французский перевод «Алгебры» появился в 1773 г., хотя на
обложке был указан 1774 г. Вместе с письмом от 13 июля 1773 г.
Лагранж прислал Эйлеру и французский перевод его книги. То
и другое должен был передать Эйлеру Формей. В письме Лагранж
выражал надежду, что Эйлер останется доволен как переводом
Бернулли, так и самим изданием, и извинялся за свои
«Добавления»: «Вы найдете во втором томе как продолжение Вашего пре-
29 Lagrange J. Oeuvres de Lagrange, t. 14. Paris, 1892, pp. 214,
215 (письмо Эйлера от 27 января 1770 г.
30 Lagrange J. Nouvelle methode pour resoudre les problemes inde-
termines en nombres entiers, (1770). Oeuvres, t. 2, Paris, 1868, pp. 655—726.
57

восходного трактата по неопределенному анализу Добавления
с моей стороны, содержащие резюме исследований, данных мною
в Мемуарах нашей Академии о решении неопределенных
уравнений. Так как Вы уже удостоили эти исследования своим
одобрением, я льщу себя надеждой, что Вы не оскорбитесь тем, что я
посмел присоединить мои слабые труды к Вашим. Я надеялся
сослужить службу любителям этого рода анализа, представив им
в одном томе основные методы, найденные до сих пор для
решения неопределенных уравнений» [П 25, стр. 119, 120].
Получив французский перевод своей «Алгебры», Эйлер в письме
от 5 октября 1773 г. свидетельствует свою глубокую благодарность
за труд, который взял на себя Лагранж, добавив свои важные
исследования по неопределенному анализу, и просит передать
Бернулли и издателям его глубокую благодарность. Здесь же он
приложил свое доказательство теоремы Вильсона в ответ на
доказательство, присланное ему Лагранжем [П 25, стр. 121].
Великий французский математик в предисловии к
«Добавлениям» во французском издании «Алгебры» Эйлера писал: «В
настоящем столетии этой ветвью анализа почти совсем
пренебрегают, и, за исключением г. Эйлера, я не знаю никого, кто бы
занимался ею. Но прекрасные и многочисленные открытия,
которые этот великий математик сделал в ней, достаточно
компенсируют безразличие, с которым математические авторы
относились до сих пор к таким исследованиям» [42е, стр. 463, 464].
Об «Алгебре» Эйлера Лагранж писал, что «до публикации
этого труда не было сочинения, в котором эта наука была бы
систематически изложена и которое перечисляло бы и объясняло
основные правила, известные до сих пор для решения
неопределенных задач [42е, стр. 464].
Считая теорию непрерывных дробей одной из наиболее
полезных в арифметике, особенно при решении неопределенных
уравнений, Лагранж изложил в «Добавлениях» к «Алгебре» эту
теорию. В качестве приложений он дал простой способ приведения
корней уравнений второй степени к непрерывным дробям и
прямое доказательство того, что эти дроби должны быть
периодическими. Другие дополнения относятся к решению
неопределенных уравнений первой и второй степени и к вопросам, связанным
с теорией неопределенных уравнений. Кроме того, Лагранж изло
жил сведения о функциях, обладающих тем свойством, что произве
дение двух или более подобных функций есть функция того же рода.
Высокая оценка исследований Лагранжа дана Эйлером в письме
23 марта 1775 г.: «Я совершенно убежден, что если только Вы не
сумеете восстановить утерянные доказательства Ферма, они
останутся утерянными навеки. Все мои усилия в этом отношении
были тщетными».31 Эйлер пишет Лагранжу, что равенство х"±
Lagrange J. Oeuvres de Lagrange, t. 14, pp. 241—245.
58

±yn=zn всегда невозможно, если показатель п > 2 (принимая,
таким образом, без доказательства теорему Ферма). «Мы считали
раньше, что эта невозможность распространяется далее на
формулы a3±63=z3, a4±b4±c4=z4, а5±Ьб±с5+й5=25, но недавно
я убедился в неверности второго из этих утверждений, найдя
четыре числа а, Ь, с, d таких, что a4+fe4+c4=d4».32
Из приведенных отрывков писем видно, с каким большим
уважением относились друг к другу эти два великих математика и
как высоко ценили они талант друг друга. В их отношениях был,
конечно, некоторый элемент соревнования или соперничества,
который приводил ученых к различным остроумным
доказательствам одних и тех же теорем, например теоремы Вильсона, и в
результате способствовал развитию теории чисел. Некоторые
утверждения были доказаны их совместными усилиями. Так было
с теоремой о представлении целого положительного числа в виде
суммы четырех целых квадратов. Она была доказана Лагранжем,
использовавшим для этой цели высказанные Эйлером идеи, а
затем Эйлером, но уже другим способом.
В отличие от Эйлера, разрабатывавшего методы
математического анализа и поэтому ставшего творцом аналитических
методов теории чисел, Лагранж, стремившийся «очистить»
математику от методов исчисления бесконечно малых, успешно развивал
алгебраические и арифметические методы в разных областях
математики. В частности, он применил их и в теории чисел,
подробно изложив свою теорию в «Добавлениях» к «Алгебре» Эйлера.
Этим объясняются успехи Эйлера в применении методов анализа,
а Лагранжа — в теории квадратичных форм, в применении
алгебраических и арифметических средств.
Исследования Эйлера явились фундаментом современной
теории чисел. От них ведет свое начало аналитическая теория чисел,
теория разбиения чисел и другие разделы этой науки.
А. О. Гельфонд справедливо писал, что «богатство и глубина
идей Эйлера предопределили пути развития этой теории (теории
чисел, — Е. О.) на столетия, и созданные им методы продолжают
развиваться и давать многочисленные важные результаты до
настоящего времени. . . В работах Эйлера, доказавшего ряд
основных для теории чисел общих теорем, введшего много новых
понятий и разработавшего многочисленные новые методы для решения
числовых задач, был заложен фундамент этой теории,
оформившейся в достаточно законченном виде после К. Гаусса» [П 5,
стр. 97].
Какой же вклад в теорию чисел внесли все остальные
математики России XVIII—начала XIX в. Следует сказать, что он
несоизмерим с тем, что было сделано Эйлером. Большей частью они
32 См. кн.: Серпинский В. 250 задач по элементарной теории
чисел. М.? 1968 (прим. И. Г. Мельникова, стр. 145, 146).
59

решали некоторые из более простых задач, поставленных
Эйлером, обобщали его результаты, приводили более
усовершенствованные доказательства утверждений, ранее доказанных
Эйлером.
Однако деятельность в этой области математики
продолжалась и после Эйлера. Математики России проявляли интерес
к сочинениям Эйлера, которые продолжали регулярно печататься
еще много лет после его кончины, а также к достижениям
зарубежных ученых — Лагранжа, Лежандра, Гаусса.
В первую очередь надо сказать о трудах Христиана
Гольдбаха (1690—1764 гг.), который был на 17 лет старше
Эйлера и первый знакомил двадцатилетнего ученого с
исследованиями Ферма. Гольдбах окончил юридический факультет в
Кенигсберге, математику изучил самостоятельно. Он много
путешествовал и был знаком с европейскими учеными, в том числе с
Лейбницем и с семьей Бернулли. Он публиковал статьи о суммировании
рядов, занимался интегрированием дифференциальных
уравнений, геометрией, теорией чисел. С 1725 г. Гольдбах становится
членом Петербургской Академии наук, а вскоре воспитателем
Петра II — наследника престола, поэтому несколько лет
(до смерти наследника — 1730 г.) живет в Москве. Впоследствии
он занимал высокие государственные посты, находясь то в Москве,
то в Петербурге. Переписку с Эйлером он поддерживал до
последних своих дней [129, стр. 1—16; П 1, 2].
Гольдбах высказал ряд предположений о представлении чисел
некоторыми суммами, среди них знаменитая «гипотеза
Гольдбаха».
В письме к Эйлеру 7 июня 1742 г. Гольдбах писал: «Всякое
число, большее чем 2, есть сумма трех простых чисел» [129,
стр. 104]. При этом Гольдбах указал, что он причисляет к простым
числам единицу. Если единицу не причислять к простым числам,
то гипотеза сформулируется так: всякое натуральное число,
большее двух, есть сумма трех слагаемых, каждое из которых
является простым числом или единицей. Это утверждение
равносильно такому: всякое четное число есть сумма двух
слагаемых, каждое из которых является простым числом или
единицей.
В настоящее время под «гипотезой Гольдбаха» принято
понимать более «сильное» утверждение: всякое четное число, большее
двух, есть сумма двух простых. Отсюда следует, что всякое
нечетное число, большее пяти, есть сумма трех простых чисел [129,
стр. 105—106; П9, стр. 33].
Гольдбах выдвигал и другие гипотезы, среди них, например,
такая: всякое нечетное число представимо в виде 2п—1=2а2+р,
где а — целое число (может быть и 0), р — простое. Позднее было
доказано, что существуют числа, не пред ставимые в таком виде.
Подобную гипотезу сформулировали Харди и Литлвуд: каждое
60

достаточно большое натуральное число есть сумма простого
числа и двух квадратов целых чисел.33
В письме 28 сентября 1743 г. Гольдбах предложил теорему:
не существует полинома от а; с целыми коэффициентами а0хп-\-
-f-«i^w"1+. . .+ап(п .> 1) для всех целых значений х и для и^1,
равного простому числу [129, стр. 181]. Ему же принадлежит
и первое доказательство этой теоремы [129, стр. 361]. Эйлер
сформулировал ее в письме [129, стр. 358] и доказал в [38].
Эйлер и Гольдбах дали несколько выражений вида ах2-\-Ьх-\-с,
дающих простые числа для многих значений х. Например,
трехчлен #2—я+41 принимает значения, равные простым числам
при ж=1, 2, 3,.. ., 40. Лежандр показал, что и полином х2+х+41
дает простые значения для я=0, 1, 2, 3,.. ., 39 [129, стр. 188,
прим. 8].
В переписке Гольдбаха с Бернулли затрагивался вопрос
о трансцендентности и иррациональности чисел. Бернулли
предполагал, что логарифмы рациональных чисел могут быть
выражены и в рациональных, и в иррациональных числах [124, т. 2,
стр. 301]. Гольдбах возражал против этого, утверждая, что он
может привести бесконечно много рядов, суммы которых не будут
ни рациональным числом, ни корнем из рационального числа, и
привел следующий пример:
1111
Ю^~Ш~*~ 10000+ ' " * +102^1+ —
Примеры трансцендентных чисел дал Лиувилль. Ему
принадлежит и первый критерий трансцендентности чисел (1844, 1851 гг.).
Трансцендентность числа, сконструированного Гольдбахом,
доказал Р. О. Кузьмин. 34 Трансцендентность натуральных
логарифмов каждого отличного от единицы алгебраического числа
доказал в 1882 г. Линдеман, основываясь на методе, принадлежащем
Эрмиту (1873 г.).35
Несколько статей по теории чисел принадлежит
современникам Эйлера X. Майеру [1], Г. В. Крафту [1—6], Н. Бернулли,
К. Н. фон Винсгейму [1].
Темами исследований Георга Вольфганга Крафта
служили совершенные и дружественные числа, а также вопросы
делимости чисел. В статье [3] приводятся свойства дружественных
чисел, даны исторические сведения об этих числах, решаются
задачи такого типа: 1) найти число, сумма делителей которого чет-
33 Н а г d у G. Н. and Littlewood J. Е. Some problems of parti-
tio numerorum (III). Acta mathem., t. 44, 1923, p. 49. См. также [129, стр. 106,
361].
34 К у з ь м и н Р. О. Об одной задаче Гаусса. ДАН СССР (А), 1928,
стр. 375—380.
3бГельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические числа.
М., 1952,
61

ная (или нечетная); 2) найти число, сумма делителей которого
есть квадрат; 3) найти два числа, которые имеют одну и ту же
сумму аликвотных частей. Крафт рассматривает суммы делителей
и суммы аликвотных частей совершенных чисел. Он, например,
решает такую задачу: найти число, у которого сумма аликвотных
частей равна самому числу. Подобную задачу он пытается решить
и для дружественных чисел. Крафт приходит к выводу, что обе
задачи приводятся к одной: найти число, которое находится в
данном отношении к сумме делителей. Числа можно подобрать
по таблицам, но, как отмечает автор, материал таблиц слишком
ограничен.
В статье [5] Г. В. Крафт отмечает трудность вопроса
отыскания делителей и указывает ошибки в таблицах простых чисел,
составленных Шутеном (Скоутеном), Озанамом, Поэцием. Затем
он рассматривает деление суммы аа+Ьр на аг+Ь8, где а, Ь, а, (3,
у, 8 — целые положительные числа. Рассмотрен пример, в котором
он доказывает, что
24»«+1 _ 22.т — 1 д;2 _|_ х
9 =~2 *
В качестве следствий получены утверждения Эйлера: ая+1
делится на а+1, если п — нечетное число; ап— 1 всегда делится
на а—1 [1]. Крафт показывает, что если га — простое, то 2т — 1
может иметь делители только вида га а + 1. Например, 211—1
делится на 23 (где 23=11 -2+1), 247—1 делится на 2351 и т. д. О
делимости числа 247—1 ему сообщил Эйлер в 1741 г. Кроме того,
Крафт утверждает, что число 2т—1 нельзя считать простым
при любом га. Эту ошибку допускали некоторые ученые. Он
проверяет утверждение Лейбница о том, что всякое простое число
имеет вид 6га+1 или 6га—1. Среди других результатов Г. В. Крафта
имеется утверждение, что если число 2Р—1 имеет делители, то они
вида 2gwp+l, где g, р — простые числа.
В статье К. Н. Винсгейма [1] рассматривались совершенные,
избыточные и недостаточные числа. Он изучал числа вида 2я—1,
для того чтобы получить новые случаи четных совершенных
чисел 2я-1 (2я—1). Эйлер указал Винсгейму в письме, что число
247—1, которое Винсгейм считал простым, — составное и имеет
делителем число 2351. Он указал некоторые другие составные
числа, ранее считавшиеся простыми и имеющими форму 2я—1.
В работе X. Майера [11 рассматривались фигурные числа и их
приложения.
К исследованиям Эйлера примыкает и работа Вольфганга
Людвига Крафта [1]. В ней автор ищет условия, при
которых рассматриваемые числа обязательно будут простыми.
Например, теорема 1 гласит: всякое число N вида 6га+1 есть простое
при условии, что га не заключается ни в форме бяу+я+у, ни
в форме Qxy—z—y. Теорема 2: всякое число N вида 6га—1 — про-
62

стое, если т не будет вида §ху-\-х—у. Эти теоремы связаны с
работами Г. В. Крафта и с упомянутой выше теоремой Лейбница
о том, что любое простое число всегда есть число вида бтга+1 или
6т—1.
Способом, отличным от того, каким пользовался Эйлер,
В. Л. Крафт доказывает, что числа 233 033 и 1 000 009 -—
составные. Как утверждал он, его способ подобен способу Кауслера.
Крафт исходил из принципа, которым он доказывал, что если
всякое нечетное число вообще является разностью двух взаимно
простых квадратов, то простые числа могут быть представлены
таким образом только единственным способом. Способ проверки,
является ли данное нечетное число N простым, сводился к тому,
чтобы найти, существует ли целое, меньшее чем —^—, которое
удовлетворяло бы неопределенному уравнению: N+z2 равно
квадрату. В статье В. Л. Крафта вычисления, требуемые методом
Кауслера, были сокращены.
Христиан Фредерик Кауслер, советник двора
герцога Вюртембергского, был членом-корреспондентом
Петербургской Академии наук (1797 г.), а позднее — ее
членом-пенсионером и почетным членом (1798 г.). В 1796 г. во Франкфурте-
на-Майне он издал на немецком языке «Добавления» Лагранжа
к «Универсальной арифметике» Эйлера. Впервые в изданиях
Петербургской Академии наук была напечатана его статья [1].
Затем он опубликовал еще 10 статей.
В работе [1] его внимание привлекла теорема о разложении
целого числа на сумму не более четырех квадратов целых чисел.
Он отмечал, что все предыдущие авторы, в том числе Эйлер и
Лагранж, довольствовались выяснением и доказательством этого
свойства целых чисел, не показывая, каким образом можно
действительно осуществить это разложение. Правда, Баше в
«Комментариях» к Диофанту дал список всех целых чисел от 1 до 120,
разложенных на квадраты, но он также ничего не сообщил о
способе, которым пользовался для определения этих разложений.
Вероятно, он нашел все эти разложения «ощупью». Это
обстоятельство вызвало у Кауслера желание провести некоторые
исследования, завершившиеся этой статьей.
Кауслер использует понятие «проник-число», которым
пользовались еще математики XVI в. Проник-число означает число,
являющееся произведением двух последовательных натуральных
чисел. Таковы, например, числа 2=1 -2, 6=2 »3, 12=3*4, 30=5*6
и др. Общий вид проник-числа т (т+1) или т*+т. Чтобы
определить, является ли данное число М проник-числом, надо извлечь
квадратный корень из наибольшего числа, являющегося
квадратом целого числа и содержащегося в М. Потом М записывается
в виде М =iV2+iV1, и если N1=N1 то М — проник-число.
Рассмотрим, например, число 210: 210=196+14, или 210=142+14.
63

Из 142 корень' извлекается, и он равен 14, остается 14— число,
равное найденному значению корня. Следовательно, 210 — про-
ник-число, так как 210=14 (14+1).
Сначала решается вопрос, может ли данное число А, целое и
не являющееся квадратом, быть разложено на сумму двух целых
квадратов. Для этого надо найти два проник-числа, сумма
которых равна некоторому данному числу. Затем исследуется вопрос:
является ли данное число суммой трех целых квадратов. Для его
решения Кауслер использует проник-числа. Они же помогают и
при рассмотрении разложения числа на сумму четырех целых
квадратов. Чтобы пояснить метод этого исследования, приведем
пример, решенный Кауслером.
Требуется разложить число 230 на два целых квадрата: 230 =
=т2-\-п2. Определим тип. Так как 230 — четное число, то т и п
должны быть или оба четные, или оба нечетные.
1) Пусть оба они четные: т=2Р, n=2Q. Тогда 230=4Р2+4<?2.
Но 230 на 4 не делится. Случай этот отпадает.
2) Пусть оба числа нечетные: w=2P+l, n=2Q-\-\. Тогда
230=(2Р+1)2+(2<?+1)2=2+4Р2+4<?2+8Р<?, 228=4Р(Р+1) +
-\-4Q(Q+l). Делим на 4: 57=Р (Р+1)+<? (<?+1). Этого тоже не
может быть, так как сумма двух проник-чисел должна быть
обязательно четной (проник-число всегда четное). Следовательно,
230 нельзя разложить на сумму двух целых квадратов. В конце
статьи приведена таблица проник-чисел от 2 до 50 850 и их
половин.
Тематика последующих статей Кауслера полностью примыкает
к тематике исследований его великого предшественника — Эйлера.
В [9] Кауслер указывает, что в работе Эйлера [99] дан метод
нахождения бесчисленного множества значений целого К, для
которых легко определить хну, делающие это выражение х*+Кх2у2-\-
+i/4 полным квадратом. Все значения К заключены в выражении
К—(п2—4) z2±n, где п и z — рациональные числа, а К — целое.
Кауслер писал: «Как ни остроумен этот метод, решение г. Эйлера
кажется непрямым, эти предположения произвольны и скорее
являются результатом счастливого случая. Кроме того, не видно,
чтобы значения К, содержащиеся в найденном выражении, были
единственными, для которых предложенное уравнение должно
быть возможно». Эйлер в конце работы предложил задачу: «Найти
метод, с помощью которого будут получаться все целые числа,
содержащиеся в выражении (м2—4) z2±n, если п is. z могут быть
предположены не только целыми, но и дробными» [99, стр. 46].
Все это заставило Кауслера заняться указанным вопросом.
Он решает следующие задачи: 1) если К — какое-то целое число,
найти значения х и t/, делающие выражение х*-\-Кх2у2-\-у*
равным квадрату; 2) найти все целые числа, содержащиеся в
выражении К=(п2—4) z2-{-n1 если п и z могут быть не только целыми,
но и дробными.
64

Работа Кауслера [10] сьязайа с великой теоремой Ферма.
Автор снова начинает со ссылки на Эйлера [42, т. 2], доказывая
невозможность найти такие целые х и у, которые обращали бы
одновременно в полные квадраты сумму и разность квадратов
з?+у2 и х2—у2. Если х2+у2 — квадрат, то разность х2—у2 не
может быть квадратом и наоборот. Затем он доказывает, что ни сумма,
ни разность двух биквадратов не может быть биквадратом.
Доказательство ведется от противного.
В следующей статье [И] он пытается элементарно доказать
невозможность быть кубом ни сумме, ни разности двух кубов
(теорема Ферма для га=3), используя проник-числа.
Работа Кауслера [3] относится к представлению целого числа
суммой двух взаимно простых квадратов. Решается задача: дано
целое число А,- являющееся суммой двух взаимно простых
квадратов а2 и Ь2, где а и Ь — известны. Требуется найти два других
целых числа, сумма которых тоже равна Л. В этой работе он снова
использует проник-числа. Статья заканчивается сравнением
способа разложения на множители, данного в ней, со способом,
принадлежащим Ламберту, у которого число операций значительно
больше. К работе были приложены таблицы проник-чисел от 2
до 1 001 000.
Ознакомившись с книгой Лежандра по теории чисел (см. стр. 37),
Кауслер в работе [2 ] внес некоторые упрощения в метод Лежандра
для проверки простоты чисел и предложил свой способ для
изучения делимости данного числа на одно или несколько других
данных чисел.
В работе [4] содержалось решение задачи, сформулированной
Эйлером в [84, стр. 78—93]: найти все рациональные значения х
и у, которые делают выражение N=(x2—1) (у2—1) равным целому
числу. В статье [5 ] был рассмотрен случай последней теоремы
Ферма для /г=6. В [6], связанной по теме с работой Эйлера [85],
Кауслер доказал теорему: если т и п — положительные целые
взаимно простые числа, то любое простое N не более чем одним
способом может быть представлено в виде тх2-\-пу2. Здесь
решаются другие задачи, например: решить неопределенное
уравнение mx2+ny2=N, где N — число вида 44+1; т — вида 4&+1;
п — вида 2(2Z+1). В примерах определяется, между прочим,
сколькими способами число N=430 317 представляется в виде
53*2+166i/2.
Статья Кауслера [7] посвящена решению задачи Диофанта:;
разбить данное число а на некоторое число частей, сумма по Ь
из которых (в разных комбинациях) есть квадрат.
В последней из опубликованных Петербургской Академией:
наук статей [8] Кауслер изучает природу непрерывных дробей,
выражающих квадратные корни из целых чисел. Сначала
рассматривается разложение >/А в непрерывную дробь, период которой
состоит из одного члена:
65

Автор приходит к выводу: 1) среди целых чисел только числа вида
аа+1 имеют квадратные корни, выражаемые периодической
непрерывной дробью, период которой имеет только один член; 2) дробь,
представляющая квадратный корень из целого числа вида а2+1,
всегда вида
^2a + -i—
^2a + ...
где 2a повторяется бесконечно.
В этой же статье рассмотрены разложения в непрерывную
дробь, период которой имеет 3, 4, 5 членов. Кауслер приходит
к заключению, что целые числа, квадратный корень из которых
образует непрерывную дробь с периодом из двух членов, всегда
заключены в выражении яч-т—|-1J.
Кроме Кауслера, вопросами теории чисел в эти годы
занимались Н. И. Фусс, В. И. Висковатов, Э. Коллинс, В. Л. Крафт
(см. стр. 62). О работах В. И. Висковатова и Д. Бернулли,
посвященных применению непрерывных дробей, подробно рассказано
в книге А. Н. Хованского.36
Николай Иванович Фусс (1755—1826 гг.)
приехал в Россию в 1772 г. из Базеля, рекомендованный Д. Бернулли
в помощники Эйлеру. Фуссу принадлежит больше 100
публикаций, среди которых несколько статей по теории чисел [1—3].
Кроме того, в его рукописях также затронуты арифметические
вопросы.
В статье [1] по тематике, близко примыкающей к работе
Эйлера [99], Фусс решает следующие задачи:
1) найти такие значения чисел х и у, чтобы выражения
х2-\-2аху+у2 и х2+2Ьху+у2 были квадратами целых чисел;
2) найти такие значения чисел и, чтобы выражения
x2Jr2nxy-\-y2 и х2—2пху-\-у2 были квадратами;
3) найти такие значения чисел /г, чтобы выражения
х2+(п-\-2) ху-\-у2 и х2-\-(п—2) ху-\-у2 были квадратами;
4) найти такое значение иг, чтобы выражение х^+тх^+у*
было квадратом.
Н. И. Фусс первую задачу решает так. Пусть даны два
уравнения
х2 + 2аху + у2 = р2 и х2 + 2Ьху + у2 = q2.
36 Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений
к вопросам приближенного анализа. М., 1956, стр. 30—34, 163—175.
66

Вычитая почленно второе равенство из первого, получим
р2 — q2 = 2(a — b)xy.
Принимаем х=4 (а+Ь), у=(а—Ь)2—4, тогда произведение ху
будет равно 4(а+Ь)((а—Ь)2—4), откуда
P±z£ = 2(a + b)(a~b)((a~bf-^
или P^E^Zl = 2(a+b)(a-b)((a--br-4).
Приняв
P+i = 2(a + b)(a-b), JLz* = (a _ ьр _ 4,
он находит для р и q значения:
р = (а — Ь){За + Ъ) — 4, g = (a —&)(3fc + a) + 4.
Таким образом, значения x = 4t(a-\-b) и у = (а — Ь)2 — 4
удовлетворяют условиям задачи. При этих значениях х и у
заданные квадратичные формы принимают вид:
х2 + 2аху + у2 = [(а - Ъ) (За + Ь) - 4]2,
х2 + 2£ш/ + У2 = [(а — Ъ) (36 + а) — 4]2.
Другая статья Н. И. Фусса [3], написанная в 1821, но
опубликованная только в 1830 г., содержит следующий способ
суммирования многоугольных чисел. Обозначим сумму п первых
треугольных чисел
?n(n + i)
\-
т. е.
роч-1)=1 + з.|.б + 1о+...+ ("~1)п +^+Я + ....
Если в этой формуле вместо п положить п — 1, то получим
j£l^!jl = i + 3 + 6 + 10+...+^=^.
Рассмотрим теперь разность
Сп(п + 1) Г/г (тг — 1) __п(п + 1)
) 2 ) 2 — 2 *
Если положить
то будем иметь
j(»-l)n = il(n —1)» + Д(я —1)» + С(» —1).
67

Их разность равна
п±+± = ЪАп* — ЗАп + А + 2Вп — В + С,
отсюда
Л-1 Д-1 С-1
л— 6, ^— 2 ' ° ~~ 3 *
Таким образом,
Такой же способ Фусс применяет для суммирования других
многоугольных чисел, в том числе и для тп-угольных. Он
ссылается при этом на Эйлера [128, тт. И—13].
Сын Н. Фусса и правнук Л. Эйлера Павел
Николаевич Ф у с с (1796—1755 гг.) сменил своего отца в 1826 г. на посту
непременного секретаря Академии наук, став тогда же
ординарным академиком. Главная заслуга П. Фусса — отыскание и
публикация научного наследия Леонарда Эйлера.
Другому правнуку Эйлера Эдуарду Давидовичу
Коллинсу (1791—1840 гг.) принадлежит несколько работ
по теории чисел, хотя основным направлением его научных
исследований было общее символическое функциональное исчисление,
соприкасавшееся с комбинаторным анализом немецких
математиков того времени.
В статье [1 ] Коллинс впервые в России применил понятие
сравнения и его обозначение по Гауссу: а=Ъ (mod с). Работа целиком
следовала книге Гаусса.
В этой статье Коллинс высказал гипотезу, связанную с
последней теоремой Ферма: сумма нескольких одинаковых степеней
не может быть той же степени, если их количество меньше
показателя степени [1, стр. 246].
В заметке [2] Коллинс предлагает способ для разложения
нечетных чисел на множители с помощью их представления в виде
разности двух квадратов, обещая развить этот способ в другой
работе. В добавлении к этой статье Коллинс применил свой способ
к разложению на множители числа 1 000 009, которое, как ему
было известно, рассмотрено Эйлером [97]. Эйлер существенно
использовал разложение этого числа на два квадрата: 1 000 009=
= 10002+32. Коллинс же ищет алгоритм, позволяющий решить
вопрос о простоте числа в любом случае. Разложение числа
1 000 009 было лишь примером применения его способа.

ГЛАВА 3
В. Я. БУНЯКОВСКИЙ
Виктор Яковлевич Буняковский (1804—1889 гг.) был
известным математиком, результаты работ которого порой опережали
результаты исследований европейских ученых того времени.
Буняковский являлся пропагандистом идей, понятий, методов и
терминологии теории чисел в России, он посвятил многие годы
своей жизни исследованиям в этой области математики.
Знакомство с арифметическими сочинениями Эйлера оказало
определяющее влияние на творчество Буняковского. Он применял
формулы Эйлера и аналогичные им, связывающие ряды и
бесконечные произведения, вывел таким образом много тождеств для
различных теоретико-числовых функций. Он дал новые доказательства
теорем Ферма и Вильсона, ранее доказанных Эйлером, теорем
самого Эйлера и других ученых, нашел рекуррентные формулы
для суммы делителей. Стремление применить теорию чисел в
других разделах математики и, наоборот, другие разделы математики
в теории чисел характерно для исследований Буняковского, также
как и для работ Эйлера.
Кроме сочинений Эйлера, в издании которых и составлении
комментариев к ним Буняковский принимал активное участие, он
хорошо знал и труды других своих предшественников и
современников. Об этом свидетельствуют его «Лексикон чистой и
прикладной математики» [7], работы самого Буняковского, а также его
«Краткий исторический обзор успехов теории чисел» [4].
Основными вопросами, которые изучал Буняковский в области
теории чисел, были следующие: теория сравнений с
приложениями к разложению чисел на множители и к другим вопросам;
квадратичные вычеты и квадратичный закон взаимности;
получение арифметических тождеств и свойств арифметических функций
с помощью рядов и бесконечных произведений; свойства символа Е
и различные его применения; приложения теории чисел к другим
разделам математики; применения других разделов математики
к теории чисел. Кроме того, он уделял большое внимание
вопросам истории, методологии и распространения идей и методов
теории чисел.
69

Арифметические исследования Буняковского рассматриваются
лишь в немногих работах. К ним относятся статья Мельникова
[П 3], Мельникова и Славутского [П 4), Киро (И 13, т. 2, стр. 85—
95], разделы в книгах Прудникова [П 10] и Юшкевича [И 301
и др. В трактате Диксона [И 33] имеется более сорока упоминаний!
о результатах Буняковского. Но даже в этом труде, специально*
посвященном истории теории чисел, даны ссылки далеко не на все»
работы Буняковского. В частности, здесь не упоминаются его
исследования по теории квадратичных вычетов, доказательство-
закона взаимности, о свойствах символа Е, а также его работы
по вопросам истории и методологии теории чисел.
Таким образом, в литературе нет исчерпывающего анализа
сочинений Буняковского по теории чисел.* В предлагаемой главе
рассмотрены все направления теоретико-числовых исслед'<$ваний
ученого, однако следует сказать, что его творчество ешцг
нуждается в тщательном изучении.
Теория сравнений
В первой теоретико-числовой статье Буняковского [1 ] было
доказано следующее обобщение теоремы Эйлера: если разность двух
целых чисел а—Ъ делится на простое число р, то разность
аРп~1 — Ып~\ где п — любое целое положительное число, будет
делиться на рп. Для доказательства этой теоремы Буняковский
записывает а в виде Ъ-\-рк и возводит обе части равенства в
степень рп~1. Затем по индукции доказано утверждение: если ajzfr
делится на РхР^Ръ* • •» то
—= целое число.
Pi Р*
Отсюда получается теорема Эйлера:
а*М -1
п
равно целому числу. Здесь <р (п) — функция Эйлера — число
целых положительных чисел, не превосходящих п (см. стр. 22).
Затем автор применяет теорему Эйлера к решению
неопределенного уравнения первой степени
ах — by = су (1)
замечая, что целые числа
а<р(б) _ 1
ж = са*(*Ь1, У —с ^
* В период, когда данная книга находилась уже в печати, вышла
в свет работа: Н. Н. М о р о з о в а. В. Я. Буняковский и его работы по
теории чисел. Уч. зап. Моск. обл. пед. инст. им. Н, К, Крупской, т. 282,
вып. 8, 1970.
70

Виктор Яковлевич Буняковский.

удовлетворяют этому уравнению. Сравнивая этот способ решения
уравнения (1) с методом непрерывных дробей, Буняковский
приходит к выводу, что можно таким образом находить подходящие
дроби для -г-, не прибегая к разложению «г- в непрерывную дробь-
Однако практически этот прием приводит к очень большим
вычислениям. В популярной статье Перевощикова [2 ] было дано
изложение способа Буняковского для решения линейного уравнения
на русском языке, проиллюстрированное числовыми примерами.
Затем Буняковский получает обобщение теоремы Вильсона,
доказав, что
1 *2.3...(р —l^'^+l
Рп
есть целое число.
В работе [2] Буняковский использует понятие сравнения,
символ Гаусса для его обозначения и понятие и свойства
первообразного корня. В этой и последующих статьях [3 и 6]
Буняковский применяет один и тот же метод, основанный на том, что
каждое целое положительное число можно заменить некоторой
степенью первообразного корня р по данному модулю. Он исходит
из свойств первообразного корня.
Если р — первообразный корень по простому модулю р, то,
возводя последовательно р в степени 1,2,3,..., р—1, получим все числа
натурального ряда от 1 до р—1. Поэтому можно записать
рр2р3.. .р^= 1 .2-3.. .(р— l)(modp).
Но, с другой стороны,
l(JP-l) р-1
рр2р3.. .рр"1 = р 2 , а р2 =—l(modp)
— по свойству первообразных корней. Поэтому получим сравнение
1'2«3. . .(р—1)=—1 (mod р), представляющее собой известную
теорему Вильсона. Этот способ доказательства применял Эйлер
в [71 ]. Группируя степени первообразного корня от первой до ■£——
и от -^~2 1-1 до р—1, Буняковский получает два сравнения:
£2 £±+1 £±+2
Рг = р№...р 2 (modp), Р2~? 2 р 2 ...p^(modp).
Отсюда следует, что
Р1 = Р2 4 (modp) = (-l) 4 (modp),
/>,=(-!)* (modp).
72

В случае, когда р=4/с—1, получим Рг+Р2=(—l)*-f-(—1)зл-1
(mod р), иначе говоря, P1+P2^0 (mod р).
Далее рассмотрен случай р=4&+1 и показано, что Рг—Р2=
=0 (mod р). Отсюда вытекает несколько следствий, в частности:
всегда можно придать неизвестным х и у в выражении Ах2+Ву2—С
такие целые значения, что это выражение будет делиться на любое
простое р. Коэффициенты А, В, С предполагаются любыми
целыми числами, положительными или отрицательными, взаимно
простыми ср. ПриЛ=1 получается теорема о сравнении х2-\-Ву2—С=
=0 (modp), впервые доказанная Лагранжем. При А =В=1> С=—-1
получается доказанная Эйлером [126, т. 1, стр. 229] теорема
о 32+i/2+l=0 (mod р).
В конце статьи автор обобщает полученные результаты.
Аналогичным способом в [3] доказана теорема: всегда можно
удовлетворить сравнению
Ах* + By* + Cz* — D = 0 (mod р)
целыми значениями х, у и z. Для ее доказательства рассмотрены
случаи р=3&+1 и р=3&+2. Значения р=2 и р=3 исключаются.
В этой работе Буняковский вводит в отечественную
математическую литературу термины на русском языке: простое число,
сравнение, первообразный корень.
В небольшой заметке [6 ] таким же образом доказывается
любопытное свойство простых чисел, сообщенное автору академиком
Остроградским.
Пусть р — простое число, не равное 2, т — целое нечетное,
причем тф1 (mod р—1). Тогда сумма т-х степеней s=lw+2w+
+3™+. . .+(р—l)m будет делиться на р2. Еслити=1 (modp—1) и
т=0 (mod р), то теорема тоже верна. Для доказательства теоремы
Буняковский представляет сумму s в виде s=A+B, где
Л = Г + 2" + 3™+...+(^у\
...+(р-3)»+(р-2)- + (р-1Г.
Буняковский приводит задачу к рассмотрению сравнеция
Л = 1*»-1 + 2м"1 + З*-1 + ... + (Р — 1Г"1 (mod р),
где заменяет числа 1, 2, 3,. . ., р—1 степенями цервообразного
корня по модулю р.
73

Распознавание простых чисел
и разложение чисел на множители
Как отмечал Буняковский, вопрос выяснения простоты числа—
один из труднейших в теории чисел, «решение этой проблемы,
рассмотренной во всей ее общности, представляет непреодолимые
трудности, по крайней мере при настоящем состоянии теории
чисел» [8, стр. 447].
Способ Буняковского разложения чисел на множители
использует бинарную арифметику [8]. Пусть N — число, которое
требуется изучить исходя из его разложения на множители.
Рассмотрим сравнение
&*=1 (mod TV), (2)
где Ъ — целое положительное число, (6, N) = \.
Сначала полагаем Ь=2. Если бы было известно разложение
числа N : N=px(pr9* . ., где р, q, г,. . . — различные простые
числа, а показатели А, р, 0,. . . — целые, >0, то сравнение (2)
удовлетворялось бы при x=pk~1q*~1. . .(р—1) (q—1). . .
Ищется наименьшее х, удовлетворяющее сравнению 2*=
= 1 (mod N). Пусть это будет х=а. Тогда все остальные решения
будут х=ка, где к — любое положительное целое. Сравнение 2а=
= 1 (mod N) соответствует уравнению 2a=NK+l, т. е. сумма NK+i
при выражении ее в бинарной системе должна представлять собой
единицу с несколькими нулями. Выражаем N и К в бинарной
системе, полагая, что К=. . .щп^щщпх. Затем из равенства
NK+l=2a определим пг, п21 п%, . . . Количество цифр числа
NK+1, записанного в двоичной системе, уменьшенное на 1,
будет искомым числом а. Это число а будет ^ <р (N) и обязательно
должно быть его делителем.
Пусть, например, ЛГ=17, 2Р=ПК+1. Запишем К в бинарной
системе: К=. . .щп^щщщ, 17 запишется числом 10 001 с числом
знаков т=Ь. Находим произведение 17 К и прибавляем единицу
.. .п10пдп8п7п^п5п^п^п2п1
10 0 0 1
. . .П10П$П8П7ПъП5П4^3/12^!
. . . п^п^п^п3п2пх -j-J.
100000000 '
пг+1 должно равняться нулю, поэтому полагаем пг=1, /г2+1
должно равняться нулю, поэтому полагаем п2=1, и т. д.; /г5+^1+1
также должно равняться нулю, но так как пг=1, то /г5=0, и т. д.
В конце концов находим 17^+1 = 100 000 000=2а, т. е. а=8.
Подобный метод применим и к решению сравнений вида 2Х=
=Z (mod N), где I — заданное целое число.
Пусть сравнение (2) решено. Если N — простое число, то а
делит разность N—1, Поэтому N—l=az, где z — целое число.
7*

Если Лг=рр1, Tt> а должно быть делителем ср (N)=(p—1) (рх—1),
а следовательно, ак=(р—1) (рх—1), где /с — целое число. Таким
образом, если а не есть делитель N—1, то N не будет простым
числом. Указанным способом Буняковский проверяет, что число
Ферма 225+1 состоит из двух множителей. Автор не считает, что
его способ для решения «одной из самых интересных проблем
теории чисел — общий и совершенно удовлетворительный,
особенно в практическом отношении, но тем не менее верно, что есть
много случаев, когда он не бесполезен» [8, стр. 469].
Свой способ проверки простоты числа Буняковский
распространяет затем на числа, состоящие из к простых множителей.
К решению сравнений вида bx=\ (mod N) приводятся две
задачи, совершенно разного характера, рассмотренные Буня-
ковским в работах [23, 27].
В [23] дается решение одной карточной задачи,
предложенной автору одним из его коллег. Имеется группа карт (например,
восемь), расположенных в определенном порядке: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8-я. Преобразуем этот порядок (№ 1) в другой следующим
образом. Возьмем самую верхнюю карту 1 и положим сверху
вторую 2, под карту 1 положим карту 3, поверх карты 2 — карту 4 и
так продолжаем до тех пор, пока не окажется наверху карта 8.
Теперь снова переменим порядок карт (№ 2): на карту 8 положим 6,
под 8 положим 4 и т. д., пока наверху не окажется карта 7.
Таким же образом получим порядок № 3, в котором верхней будет
карта 5. Преобразуя таким же способом порядок № 3, снова
придем к исходному порядку (№ 4). В результате четыре подобных
преобразования приводят группу карт к первоначальному виду.
Затем Буняковский обобщает полученный результат. Пусть
2N — четное число букв или чисел, расположенных в
определенном порядке, впрочем произвольном, a jx — число
преобразований, которые приводят этот порядок снова к
первоначальному виду. Количество преобразований, относящихся к
нечетному числу 2N+1, следующему непосредственно за 2N, также
будет равно ja. Если имеется совокупность из 2N+1 элементов,
требуется найти минимальное число преобразований указанного
выше типа, которые приводят эту совокупность к
первоначальному порядку. Оказывается, что минимальное число
преобразований, которые приводят совокупность из 2N или из 2N+1 элемент
тов к первоначальному порядку, определяется минимальным пока-*'
зателем р, удовлетворяющим одному из двух сравнений
2^ + 1=0 (mod 4/V + 1) (3)
или
4^_l=0(mod4/V + l). (4)
В статье [27] решается следующая задача. Дана такая
непрерывная величина, что каждая из ее частей может быть разделена
75

точно на две равные части. Требуетсй разбить эту величину на
определенное число равных частей со степенью приближения, которая
превосходит произвольно взятый предел. Это может быть
приближенное деление отрезка прямой, дуги круга, угла,
поверхности сферы и многих других геометрических величин, деление
которых пополам осуществляется с помощью циркуля и линейки.
Буняковский приводит решение этой задачи к решению
сравнения рассмотренного выше вида
2^+ l=0(modp).
В конце работы автор показывает, как с помощью его формул
просто получается доказательство двух теорем Чебышева о
первообразных корнях. Первая теорема: если числа 4и+1 и 8п+3 —
простые, то 2 будет первообразным корнем для 8л+3. Вторая
теорема: если числа п и 4га+1 — простые, то 2 — первообразный
корень для 4л+1.
Теория квадратичных вычетов
и квадратичный закон взаимности
В работе [29], примыкающей по содержанию к статьям [8,
23, 27], Буняковский применил свой метод, выработанный для
сравнений с основанием 6=2, к сравнениям с основанием 6=3.
Здесь дано решение двучленного сравнения
g3* + r = 0(modP), (5)
где Р — нечетное число. В частности, рассмотрен случай
3*+1=0 (mod р). (6)
Если р — простое число, то <p(p)=jP"~"1» а наименьший
показатель jx0, удовлетворяющий сравнению (6), будет равен делителю
ср (р), не исключая и само это чдсло. Отсюда получается несколько
формул для символов Лежандра. Так, для простого р=6гс+1
доказано, что
(}Нб^И-1Г(тос16ге + 1).
Для простого р=6/г+5 аналогичным образом доказывается, что
(!)=(б^Т-5)-(-1Г1(тоЛ6ге + 5)-
Обе формулы можно объединить в одну
(})-<-ч(¥)-
76

Подобные выражения найдены для (—), (—), (—)> (—)•
При решении сравнения (6), когда оно возможно, получаются
две теоремы: 1) если числа р = 24гг + д5
и-£——=6дг4-1—простые, то 3 будет первообразным корнем для р; 2) если р = \2п -f-
-fll и VT> —§п + 5 — простые, то р — 3 = 12лг + 8 будет
первообразным корнем для р. Получена также теорема более общего
характера: для р, р1 — простых чисел вида р = 2ап + г, р' =
= 2anf + г имеем
Ш=<-'>
*-1 , /ч
-5- (*+*')
где а — целое нечетное число, числа г лежат между 1 и 2а — 1 —
нечетные, (а, г) = 1.
Продолжением и логическим завершением этих исследований
Буняковского явилась работа [30]. В ней даны теоремы уже
не для частных видов символа Лежандра, а для (—), где а —
нечетное число, р — простое. Здесь установлен также ряд новых
теорем, доказательство которых автор дает позднее. В этой
статье дается доказательство закона взаимности, основанное на
следующей теореме.
Пусть а и г—два нечетных целых взаимно простых числа,
а предполагается заданным, 1 ^ г ^ 2а — 1. Если обозначить
через р любое простое (т^=2) и представить его в виде р = 2ап + г,
то получается сравнение
а2 =(—1) 2 (modp),
которое можно записать так:
ен-1»
а-1
п+т
где показатель т не зависит от п.
Для доказательства автор распределяет р~7 = алг -J—^—
чисел ряда
1, 2, 3, ...,Z=± = an + r-=± (7)
в а групп, каждая из которых содержит лишь числа, сравнимые
между собой по модулю а. Получаются следующие а групп,
которые исчерпывают ряд (7):
1, 1+а, 1 +2а, ..., 1 +(п — 1)а, 1 +па,
2, 2 + а, 2 + 2а, ..., 2 + (п — 1)а, 2+па,
77

Г —1 Г — I j ., Г — 1 , Л г — 1 . , 4ч г —1.
-2~, —2~ + а, —2~ + 2а, ..., -^- + (>* — 1)а, —— + па,
а — 1, а — 1 + а, а — 1 + 2а, ..., а — 1 + (и — 1) а
а, 2а, За яа.
Каждая из *Г первых горизонтальных строчек содержит
п + 1 элементов, каждая из остальных а ^— строк — по п
элементов. Получается а возрастающих арифметических
прогрессий с разностью а. Их первые члены можно заменить
числами из ряда 0, rv г2, ...,ra_1, a — rv а — г2У . ..,а — ra_v где
гх— вычет от деления Хг на а и Х^ —^—. Для доказательства
достаточно проверить, что в последнем ряду нет двух равных
членов.
Буняковский обозначает [гх, а] — совокупность элементов
группы
гх, гх + а, гх + 2а,...., гх + па или гх + (п — 1) а,
в зависимости от того, будет гх<^-^- или т*х>-^-.
Множество элементов группы а — гх, (а — гх) + а, (а — гх) + 2а, ...
обозначается [а — гх, а]. Покажем, что элементы каждой из
групп [гх, а] по модулю р сравнимы с отрицательными
кратными а, а элементы каждой из групп [а — т\, а] сравнимы по
модулю р с положительными кратными а. При этом значения
коэффициентов, на которые умножается а, будут заключены
между 1 и £-^- = агг-] —. Последовательность членов [гх, а],
взятую в обратном порядке, обозначим [а, гх]. Получается
соответствие между числом коэффициентов кратности 1, 2, 3, ...
..., ап-\ j"" и последовательными элементами различных групп:
[О, а], [а, rj, [а — гр а], [а, г2], [а —г2, а].. .[a — ra_v а].
Пусть Д/— число элементов, содержащихся в совокупности
групп [а, гх], [а, г2], ..., Га, га Л, соответствующей
отрицательным кратным а. Очевидно, что 1*2-3.. .р~ , или, что то же,
произведение [0, а][а, rj.. .Га — гр v а\ будет сравнимо с произ-
р —1
ведением *Цр- кратных а, взятых каждое с указанным выше
знаком. Тогда
р-\
1 .2.3...Ц^==а-2а-За...£-=^(—1)% 2 (moclp).
78

Следовательно,
p-l a-l
а2=(±) = (-1)*^(-1)2 (modp),
так как показатель M равен
М = (п + 1) w + (^у т?Л и = ^- п + т.
Отсюда как следствие получается закон взаимности. Еще
в [29] Буняковский доказал, что если р = 2ап + г, q — 2ап' -\-г —
простые, а, г — нечетные, 1^г<^2а—1, и (а, г) = 1, то
(7)(7)=<-])
^(» + »'>
Пусть р, g — простые нечетные и р = 2адг + г, ? = 2anf + г,
р>(7, тогда р— g = 2va, где а>0— нечетное, (а, г) = 1. Тогда
а = ^т^, а г — остаток от деления р (или q) на 2а. Таким
образом, имеем р = 2va (mod g), g =—2va(modp). По свойствам
символа Лежандра будет
(*)-Ш. Ф=(1)'(1)<-^.
отсюда получается
Ш-м^уте®
и по свойству символа Лежандра
Подробно изучив показатель, Буняковский показывает, что
он равен
Р-1 (7~1
и получает тем самым закон взаимности
я-1 j-i
(f)(i)-M)"
В работе [31] Буняковский дополнил свою общую теорему
из [29], указав выражение т как функции от а, г и от некоторой
вспомогательной величины, зависящей от а и г. Он возвратился
р этой теме исследований в работе [34], в которой доказало, что
79

значение т равно числу решений неравенства Д(—)<^ Г~2 »
где X допускает последовательно все значения 1, 2, 3, ..., "7 ,
Л(—J—остаток от деления Хг на а. Здесь указан частный
случай, когда выражение для т упрощается.
Получение арифметических тождеств с помощью рядов
и бесконечных произведений
Первой работой этого направления явилась статья
«Исследования о различных новых законах, относящихся к сумме
делителей чисел» [15]. Вначале автор говорит о прекрасных трудах
Якоби по эллиптическим функциям, в которых он пришел к
важным формулам, тесно связанным с теорией чисел: «Было бы
предприятием достойным внимания и очень интересным для
трансцендентной арифметики — собрать все эти формулы и извлечь
из них многочисленные следствия, которые они могут дать.
Мы в этой статье задаемся целью дать набросок работы в этом
роде, сохраняя за собой право вернуться в дальнейшем к этому
предмету» [15, стр. 259].
Буняковский предлагает процесс для разложения функций
в ряды, применимый, главным образом, для бесконечного
произведения степенных рядов.
Пусть Х'Х"Х'" ... — бесконечное произведение,
сомножители которого — полиномы или степенные ряды. Разложим это
произведение по возрастающим степеням х
Х'Х"Х' ... =А0 + А1х + А^*+ ... +Атхт+ .... (8)
Для определения коэффициентов в правой части полагаем
х=— и обозначаем У, У", У*, ... полиномы, полученные из
X/ X", ХП1.. .после этой замены и освобождения от знаменателя-
Обозначаем s'v s'2> s'z,... суммы (бесконечные!) корней первых, вторых
и т. д. степеней уравнения У=О, такие же суммы для корней
уравнения У"=0 обозначим s{, Зг, «3,. . .ит. д. Большими буквами S±,
iS2, 53, • • • обозначим суммы первых, вторых и т. д. степеней
корней уравнения, левая часть которого получена из (8) после
замены а; на-, Тогда получим систему
"2 = *2 "Г S2 "Г *2 "Г • • •> /д\
80

Из теории алгебраических уравнений известно, что между
суммами iSl5 S2, Ss, . . . и коэффициентами А0, Аг, Аг, ...
существуют следующие соотношения:
А^ + А^О,
A0S2 + A1S1 + 2A2 = 0, 0
4А + Л Д., + А£„_2 + ... + пАп = 0.
Эти формулы служат для определения коэффициентов Л1э
Л2, 43, . . . как функций от А0 и сумм Sx, S2y S3, . . ., Sn, которые
сами получаются из формул (9). Общий член Ая, найденный из
(10), будет
^—^-{S.+M^ + pS^ + ...}, (И)
где X, p., v, ... определяются из равенств
\ ^1 ., ^2 I ^1
л— „_1 » Р— „_2 "Г (л—1)(л-2) »
» ^1 I ^2^1 / ^2 I
■(■
I Si \
"Г (л--!)(»--2) (л— З)/*1' '•'•
■ 3 ~(л —1)(л —3) V (л —2) (д — З)
si
В частных случаях формулы часто упрощаются. Например,
если Х1 = Хи = Х* = ..., тогда 8[ = 8l = 8{" =.. ., *; = < =
— s2" = ..., s'3 = 5g = Sg" = ..., и формулы (9) превращаются в
Sx = ms'v S2 = ms2, Ss = ms'3, ..., (12)
где m — число сомножителей Xf, X", X'", ..., предполагаемое
конечным. Получается равенство (Х,)т = А0 + Агх + -42ж2 + • • •>
коэффициенты правой части которого можно найти по (11).
В качестве приложения этого метода рассмотрен случай,
когда все уравнения X' = 0, X" = 0, ... будут возвратными.
Тогда «s'v s2, *з» • • •» *i» sv sl> • • •» si"» si"» ••• можно отнести
к корням уравнений X1 = 0, Xй = 0, Xя = 0, ..., непосредственно
данным».
Пусть имеем
(1— я?)(1_ял)(1_яя)...=1+Л1ж + Л2«» + ...| (13)
где правая часть, как было указано Эйлером, сводится к ряду
1 — х — х2 + я5 + х1 — ж12 — я15 + ...,
показатели степеней которого — пятиугольные числа. С другой
стороны, в силу известной теоремы сумма п-х степеней корней
уравнений
81

l_z = 0, 1 — я2 = 0, 1— «3 = 0; 1—x* = 0,- ..., 1— яя = 0
представляет сумму делителей числа п. Сумма п-х степеней
корней уравнений
l_a*fl = 0f 1— хп^ = 0у 1 — жп+3 = 0, ...
будет равна нулю. Поэтому, обозначив \п — сумму делителей
числа п и получив
51=jl,'58=j2, S3=J3, .... 5„=j«,
Буняковский вновь приходит к (13).
Кроме того, поскольку Л0 = 1, А1 = -1, Л2 = —1, Л3 = Л4=0,
Л3=1, ..., то формулы (10) приводятся к такому виду:
jl-l=0, J2-Jl--2 = 0f J3—J2—Jl=0. ....
Jm—j(/n—1)—j(m —2)+j(m —5)+j(m —7)... =0.
Таким образом, последняя формула позволяет выразить сумму
делителей числа т через суммы делителей чисел т — 1, т — 2,
т — 5 и т. д. (см. стр. 49).
Теперь применим (8) к разложению выражения
[(l-z)(l-a*)(l-a*)...f = f(xf9
которое по формуле Якоби равно
1 _ Зх + Ьэ? — 7х* + ....
Так как суммы различных степеней корней уравнения f(x) = 0
будут, соответственно, \ 1, 12, 13, . .., то суммы такого же
типа для куба функции будут 3 11, 3 12, 3 13, .... Поэтому по
формуле (12) в уравнениях (10) надо положить
51 = 3jl, 58 = 3J2, 53 = 3j3, ....
Для коэффициентов Ак получим систему
(1+1^ = 0, (2 + ^(1+1^ = 0, ...
откуда будем иметь
Л1 = -3, А2 = 0, Л3 = 5, Л4 = Л5 = 0, ....
В этой статье рассмотрены еще некоторые частные случаи,
82

Пусть требуется найти разложение
(1+я + я3 + *6+ ._y = i+A1x + A<F2+ •••> (14)
Обозначим суммы степеней корней уравнения
1+* + зЗ+...=0 (15)
буквами sv s2y 53, .... Это уравнение — возвратное. Для
определения сумм sv s2, s3, ... получим систему уравнений:
S2 4-1=0, 52 + ^ = 0, 53 + 52 + 3 = 0, 54 + 53 + 5i = 0,
55 + Ч + S2 = °э *6 + S5 + S3 + 6 = 0>
отсюда
$2 = 1, S2=l, S3 = —4, S4 = О, ....
Теперь находим коэффициенты Av А2, Л3, ... с помощью
сумм Sv Sv 53t • • •» гДе межДУ 51> #2> #з> • • • и 51> *2> *з>
такие зависимости:
^ = 4^, 52 = 4^, S3 = 4s3, ....
Получаем
Л1 = 4, Л2 = 6, Л3 = 8, Л4=13, ....
Найдем выражение для суммы степеней корней уравнения
1+х + а? + а*+...=0. (16)
Так как, по Якоби,
1+х + а*+...=(1 — х)(1— х2){1— ж3)...
...[(1+*)(1+*2)...]2,
то сумма тг-х степеней корней уравнения (16) будет состоять
из суммы тг-х степеней корней уравнения
(1—х)(1—а*)(1—а*)...=0 (17)
и из удвоения тех же степеней корней другого уравнения
(1+*)(1+я»)(1+«»).•• =°- (18)
Пусть сумма корней уравнения (16) обозначена 2Я, корней
уравнения (17) 5Я, уравнения (18) sn, тогда
2. = $, + 2*.
и, так как Sn= \ п, то будем иметь
2„=S« + 2s«- (19)
83

Обозначим d и В два множителя, составляющие п\ db = n.
Тогда имеем равенство
*„=2(-1)Ч (20)
db=n
где сумма берется по всем разложениям п на два множителя.
В результате получим1
2„=U + 2 2(-1)*8. (21)
Если п — нечетное, то d и 8 — нечетные и (—l)d = —1, sn =
= — \ п. Следовательно,
2n= j п -2 2 d = j п-2 $ п = — { п. (22)
Для /гг == 2я будем иметь
2 (_1)*8_=1 + 2 + 22+ ... +2т-1 — 2т = — 1, ^т = 2Г1 — 3.
Буняковский берет «одну из самых изящных формул Якоби»
(1 + я + ж3 + я6 + ...)4 =
_ 1 , За , (2п + 1)хп ,
+ • • •
1 — я ^1 - *3 ' ' • • ^ 1 _ s&i+l » * ' *'
где показатели степеней в скобке — треугольные числа.
Раскладывая каждое слагаемое правой части по формуле суммы
геометрической прогрессии, он получает ряд, где коэффициентами
при степенях х являются суммы делителей чисел 2я + 1,
1 + J3#+ $5я2+ \za? + ... + j(2m+l)«", + ...,
где l(2m + l)— сумма делителей числа 2т + 1. В настоящее
время ее чаще обозначают о (2т +1). Буняковский получает
уравнение
(1+я + яЗ + а:б + а;1о+ ...)4 = i + J3 х+ J5*2 + ..., (23)
выражающее теорему Лежандра [ИЗЗ, т. 2, стр. 19]: всякое
целое число разложимо на 4 треугольных числа столькими
способами, сколько имеется единиц в сумме делителей нечетного
1 Ссылки на формулы (20) и (21) имеются в статье Лиувилля: L i о и-
ville J. Demonstration du formule enonce dans Particle precedent. J.
mathem., t. 2, 1857, pp. 409—412.

*гасла 2w+i. Буняковский заменяет в тождестве (23) х на х*у
умножает обе части на я4 и приходит к следующему тождеству:
(х1* + а** + хь* + х*+ ...)4 = **+ j 3 я12 + ( 5 я20 + ...
... + j(2w + l)*4(2w+2) .... (24)
Отсюда следует, что всякое число вида 4(2яг + 1) разложимо
на четыре нечетных квадрата столькими способами, сколько
имеется единиц в сумме делителей числа 2/71 + 1. Беря
логарифмическую производную от (24), умножая обе части на а: и
сравнивая коэффициенты при #4С2т+1), он получает равенство
(12 _ (2т + 1)) J (2т + 1) + (З2 — (2т — 1)) j (2т — 1) +
+ (52 — (2т — 5)) j (2го — 5) + ... = 0.
Это — закон для суммы делителей чисел, отличный от
формулы, данной Эйлером (см. стр. 49),
\п = \(п-1)+\(п-2)-\(п-Ь)-\(п-7)+....
Затем Буняковский получает другие формы этого закона,
например каково бы ни было данное число ЛГ, четное или
нечетное, между суммами делителей последовательных чисел iV,
N—l-2, N— 2-3, . . . всегда получим следующее соотношение:
(1 — N) j N + (З2 — (N — 1 • 2)) j (N — 1 • 2) +
+ (5* - (# — 2 . 3)) j (ЛГ — 2 . 3) + (72 - (N — 3 . 4)) X
xJ(iV-3.4)+...=0.
Если в правой части получается \0, то его значение заме-
N д
няют на -^.
о
Продолжение этого исследования содержится в статье «Новый
метод в исследованиях, относящихся к представлению чисел
квадратичными формами» [17]. Исходя из результатов предыдущей
работы и используя закон взаимности, Буняковский получает
несколько новых теорем о квадратичных формах: ушестеренный
квадрат четного числа плюс единица всегда может быть
представлен в виде суммы нечетного квадрата плюс утроение или ynte-
стерение четного квадрата; пентагональное нечетное число всегда
может быть представлено суммой другого пентагонального числа
плюс квадрат или удвоение квадрата; простое число вида 16л+5
разложимо на сумму двух квадратов; простое число 8&+5 всегда
85

разложимо йа сумму двух квадратов; сумма делителей числа N
может быть сравнима с 2 по модулю 4 только в том случае, когда N
будет вида Qc2 или 2Qc2, где Q — простое число вида 4Z+1.
По поводу последней теоремы Лиувилль заметил, что условие
Буняковского необходимое, но не достаточное.2 Лиувилль
доказал, что о {п)=2 (mod 4) тогда и только тогда, когда п есть
произведение простого 4Х+1, возведенного в степень 4Z+1 (Z ^ 0),
на квадрат или удвоение квадрата, не делящегося на простое
4М-1.
Особенно важной автор считал следующую теорему: всякое
простое число 16&+7 будет необходимо вида 2u2-\-Qv2, где Q —
простое число вида 8Z+5 [17, стр. 320]. Он писал: «Эта теорема
устанавливает соотношение равенства, очень простого, между
двумя простыми числами, что не находит себе аналога, насколько
я знаю, в известных теоремах теории чисел. Закон взаимности,
•открытый Лежандром, дает только соотношение сравнимости
между двумя числами этой природы» [17, стр. 320].3
Автор указывает, что подобным способом можно получить
ж другие аналогичные теоремы.
В 1856 г. Лиувилль опубликовал статью «О суммах делителей
1чисел»,4 где без доказательства привел формулу
2[ra-5^±i)]S(2re + l-m^-m)=0,
тде т=0, 1, 2, . . ., 2/1+1— т2—т ^ 0.
Буняковский заметил [20], что формула Лиувилля для суммы
делителей была уже приведена им в работе 1848 г. [15, стр. 263]
и напомнил еще несколько результатов этой статьи и ее
продолжения [17]. В статье «Доказательство теоремы, высказанной
в предыдущей статье» б Лиувилль подтвердил, что, действительно,
должен был указать на авторство Буняковского. В результате
Лиувилль познакомился с этой и другими работами русского
математика и применил метод Буняковского в «Заметке по поводу
•мемуара г. Буняковского», в которой он писал, что Буняковский
m [17] дал теорему: всякое простое число 16Л+7 имеет форму
'2u2-\-Qv2, где Q — простое число вида 8Z+5. «Метод его основан
;на этом двойном свойстве суммы делителей числа т — иметь
^нечетное значение только, если т — квадрат или удвоенный
2 L i о u v i 11 е J. Generalisation d'une formule concernant la somme
<des puissances des diviseurs d'un nombre. J. Liouville, t. 3, 1858, p. 63; [ИЗЗ,
t. 1, pp. 286, 287].
£ Буняковский, по-видимому, забыл, что закон взаимности был открыт
•еще Эйлером. Об этом было сказано в предисловии к «Теории сравнений»
Чебышева, отзыв о которой писали Буняковский и П. Фусс.
4 Liouville J. Sur les sommes des diviseurs des nombres, J. mathem.,
t. 1, ser. 2, 1856, pp. 349, 350.
§ Liouville J. Demonstration du theoreme enonce dans Particle
precedent. Ibid., t. 2, 1857, pp. 409—412.
86

квадрат, и иметь нечетно-четное значение только тогда, когда
т — произведение квадрата на простое число вида 4/1+1
(возведенное в степень 1 или 4^+1) или на удвоение такого числа.
Это свойство, которое легко установить, было известно Эйлеру,
использовавшему его в работе о совершенных числах. Но мы
обязаны г. Буняковскому тем, что он открыл важность этого свойства,
сделал из него основание общего метода и извлек из него
прекрасные теоремы. Используя в свою очередь счастливую идею Буня-
ковского, я получил аналогичные результаты».6 Лиувилль
применял метод Буняковского и в других статьях.7
Важную роль в развитии аналитических методов теории чисел
сыграла другая работа Буняковского «Исследования о некоторых
числовых функциях» [24], где с помощью рядов Дирихле
получается много известных и новых тождеств для числовых
функций. Автор начинает с изучения ряда
Сейчас вместо ф(#) используют обозначение С(#). Возводя
ф (х) в степень т — 1, он получает ряд
шг^ 1+ф-+#+4^+ • • • +#+ • • ••
Чтобы определить коэффициенты ряда <|>т(а:), он перемножает
ряды
ф-1 (*)ф(*) = (1+ф+-^+...+•£+...)х
в результате получается ряд
Отсюда находятся коэффициенты Вк. В случае, когда /гг = 2,
коэффициенты #я = т(я), где z(n) — число делителей п. Для
случая т = 3 коэффициенты Вп = 2 т №)• Произведение ф (х) ф (х — 1)
представляется рядом
♦ «♦«_1) = 1 + !^+!£!+!±£Ь«+...
I * + <*1 + <*2 + " - + » I
6 Liouville J. Note a l'occasion d'un memoire de M. Bouniakowsky,
Ibid., p. 424.
7 Liouville J. Sur quelques formules generates qui peuvent etre
utiles dans la theorie des noinbres, Ibid., t. 3, 1858, p. 249,
87

где dk — делители п. Отсюда следует формула для произведения
♦(*)Ф(*-1)=2^.
В современных обозначениях это записывается так:
С(«)С(.-1) = 2^.
Аналогичным образом, комбинируя различные формулы, Буня-
ковский получает тождества
2 o(d)o(8)= 2 ^t(d)x(8),
которые совпадают с формулами, данными Лиувиллем.8
Среди других тождеств Буняковского находим теорему Гаусса:
2 <р (d) = тг, формулы Лиувилля9
d\n
2 Cll(d)T(8) = mCll_1(m)) 2 <«,(*)= 2 d\(8),
где Cv (tfi) — сумма v-x степеней делителей числа m. Основой
доказательства служит тождество Эйлера для C(s)
?(.-VrI»'
и аналогичные тождества для рядов
00 00
т (2га) ^ о (2л)
2 т (2л) %ч °(2л)
я=1
Установленные здесь соотношения между функциями т(я),
о (я), #(#) также представляют интерес. Формулы Буняковского
и-2
3
8Liouville I. Sur quelques fonctions numeriques. Ibid., t. 2,
1857, pp. 141—144 (формула (3) на стр. 142 и (6) — на стр. 143),
• Там же, стр. 427—428,
68

•г-'
,<2„-1> = 2 + ^ («^-'Ч^г)
получил Гегенбауэр.10
Указанные результаты получаются на основании двух общих
теорем, доказанных Буняковским для мультипликативной функции
6(pegprr...), для которой имеет место тождество вида
е(*)=.
о-*)о-*)- •
где числа р, q, г, ... — взаимно простые между собой.
К тому же кругу проблем относится и статья [32]. Исходя
из известного тождества
1 , 2х , 3*2 , , mxm-i
1 — х ~ 1 — х* * 1 — жЗ
где а(/7г) — сумма всех делителей т, включая 1, автор приходит
к тождеству
= в.т.+=ш.-+^+...+^.-+...# (25)
(1 — X) (1 - *2) (1 — Хд)
Принимая левую часть (25) равной 1 + Nxx + N^2 + ...
... -j- Nmxm + • • • у получаем в качестве Nm совокупность всех
возможных разложений т на целые слагаемые. Разложение
правой части (25) дает
<i+°(i>*+w+m^+...)(i+if^+
+^+ ...)~+=»н~<ч*+(тМг1)«'+
Коэффициент при хт будет выражен следующим образом:
т
при условии, что т = аа + Ь$ + су + • • • • Эта формула дает
зависимость между функциями Nm и а (яг). Умножая обе части (26)
10 Gegenbauer L. Arithmetische Notiz. Sitzungsber. Akad. Wis*
sensch. Wien, Math.-Nat. Kl., Bd. 91, Abt. II, SS. 1194—1201 (см. формулы
(9), (11)).
89

на т!, видим, что S правой части получается Целое число. При
т = р — простом числе в правой части будет только два члена
Чтобы правая часть этого выражения представляла целое
число, числитель этой дроби должен делиться на р. Замечая,
что о(1) = 1, о(р) = р-М> получаем теорему Вильсона: 1-2х
X 3 ... (р — 1) + 1=0 (mod р). Обобщение теоремы Вильсона
дано Буняковским также в заметке [19]. Здесь использованы
свойства биномиальных коэффициентов. Обобщенная теорема
Вильсона формулируется так: произведение всех чисел, взаимно
простых с составным числом /V, увеличенное или уменьшенное
на единицу, всегда сравнимо с нулем по модулю N.
Свойства и приложения символа Е
Тождества, содержащие символ Е, встречаются во многих
работах Буняковского [26—31, 33, 34, 39, 42]. В [27], например,
из свойств квадратичных вычетов и невычетов выводятся
различные тождества, содержащие числовую функцию Е (х). Эта
работа была написана под влиянием сочинения Бугаева [3]. Здесь
выведены формулы вида
2*^=(p-1)1jp-5), 2*^=(p~1)i27p+1)' <28>
из которых следует равенство
2Д^ = (р-1)8(2р->), (29)
обобщенное в 1929 г. Ивановым [16].
В четырех статьях [40] Буняковский доказал ряд утверждений
относительно функции Е(х). В первой статье новым способом
доказаны равенства (28), (29) статьи [27]. Буняковский исходит
из уравнения
1хр-ц2_г = о, (30)
в которое последовательно подставляет значения |х=1, 2, 3.. .,
р*7 , а и и г придает такие значения, чтобы г было меньше р:
90

fx=l, в = 1, 2, 3, 4..., E\/p~,
,1 = 2, u = Ey/p+l, E\/p + 2, .... E\j2p,
{1 = 3, u = EsJ2p+l, E>j2p + 2, .... Eyj2p + p = E\/3p,
При p = 4/г + 1 выражение E у p~7 p равно E\Jin2 + n =
— 2/г = -£-я—f Все значения г меньше p и не равны между
собой. Значениям р, = 1, 2, 3, 4, ..., -^-т— соответствуют группы
уравнений (30), количество которых, соответственно, равно
Е\1р, ЕуЩ — Eyfp, E\j3p — E\j2p, ...
...еУ^р-еУ^Гр.
Сумма -£-=— уравнений (30) приводит к равенству Мр — С —
— Л = 0, где
М = Е sjp +. 2 [Е s]Tp - Е Slp] + ... + -^i [Е Y^- Р-
-eY^p]=^-eY^Tp-s,
s=^ie^,c=£^Lp, R = ^-p.
JX=1
Для определения S служит равенство
S^P^Ey^Tp-^^-^^-
24
которое после замены Е у -^— р на р ' приведется к
следующему:
р-ь
/-_ (p-l)(f»-5)
12
91

Аналогичным образом получается
р-1 р-1
2 Е \J\>.p и 2 Е Vp-P •
Буняковский замечает, что те же результаты можно получить,
пользуясь методом неопределенных коэффициентов, например,
р-Л
4
записав 2 \А*Р в виДе Ар2 -{- Вр-\-С. Но неизвестно, как дока-
зать a priori справедливость формы Ар2 + Вр -f- С для простого р
вида 4w + 1.
Во второй части статьи [40] Буняковский решает аналогичные
вопросы для простых чисел вида 4я + 3. Среди других примеров
дано вычисление сумм 2 Е \^> 2 Е Уп% Несколько новых резуль-
п п
татов, связанных со статьей [39], дано в третьей части.
В четвертой части продолжены исследования, начатые
в статьях [30, 31, 34]. В частности, получена формула для сим-
( а \ ~2~п+т
вола Лежандра (—)=(—1) > где а — нечетное, р — простое,
р = 2ап + г,
-i.'^^.-'Mr^).
т
(31)
Целью этой части статьи [40] является определение в
возможно более простой форме выражения символа Лежандра f—J
для некоторых значений а при сокращении числа операций,
указанных знаком Е в формуле (31).
В работе [41] с помощью суммы ^Ef(x) для функции,
свойства которой связаны со свойствами [37] периодических
десятичных дробей, Буняковский выводит несколько аналитических
выражений для суммы квадратичных вычетов простых чисел вида
4& + 1. С суммами типа ^Ef(x) связана и работа [42]. Здесь
выведена формула
A— S (А)
Е
(£)• (32)
где S (А)р = А — (р — 1)Е (—), А — целое число, А > 0, (А)р —
запись А в системе счисления, с основанием р, S(A)p — сумма
цифр числа (А)р.
92

Эта формула служит для перехода от произвольного ряда
целых положительных чисел к другому ряду, связанному с
первым некоторой зависимостью. С помощью этой формулы автор
смог единым приемом решить ряд вопросов теории чисел.
Затем дано обобщение (32). Найденные формулы автор
применяет при определении кратности простых множителей числа,
при решении неопределенных уравнений первой степени и
вычислении суммы квадратичных вычетов нескольких простых чисел.
Неопределенные уравнения
В заметке [14] Буняковский решает в целых числах
неопределенное уравнение вида
ах + by + cz + • • • + et = 0. (33)
Для уравнения с тремя неизвестными
ах + by + cz = 0, где (а, Ь, с) = 1, (34)
Коши нашел решения в виде
х = Ъг — cqy у~ср — ar, z = aq — br.
Буняковский выводит эти известные формулы другим
приемом. Он присоединяет к (34) еще два уравнения
alz + b'y+c'z = h'f a"x + V'y + c''z = h", (35)
коэффициенты которых произвольны и подчинены только одному
условию: система уравнений (34), (35) должна быть разрешима
и в ней не должно быть тождественных уравнений. Решая эту
систему, Буняковский находит обычные формулы для неизвестных
с'К' — К'с" Vh" — b"h' a'h" — h'a" c'K' — h'c"
х=Ъ ^ с j , у=с д а д ,
b'h" — V'h' , a'h" — h'a"
z=a j b s .
Обозначив
a'h' — h'a* b'hT — Vh' c'h" — h'c"
д = Pt д =?, —д = r
(Д — определитель системы (34), (35)), Буняковский получает
формулы Коши. Тот же прием он распространяет на уравнения
с большим числом неизвестных. В [14] рассмотрено также
уравнение
xmXn + ymYn=zmZn,
где х, у, z, X,Y,Z — неизвестные, т,п — целые, взаимно простые
числа. Метод решения этого уравнения Буняковский предлагает
применять для решения других видов неопределенных уравнений.
93

Уравнения первой степени с двумя неизвестными Буняковский
решает в работах [1, 11, 41]. В [11] был дан способ решения
неопределенных уравнений, использующий свойства факториаль-
ных биномов, т. е. выражений такого вида:
р(р-1)(р-2)...(р-/г + 1) = Т^ГГ.
Для решения уравнения Mx—Ny=l Буняковский
раскладывает N на простые множители: N=p^ri . . . Затем составляет
и решает вспомогательные уравнения вида ах—ру = 1, где а —
простое или составное число, заключенное между р и 2р, а р —
простое. Решения для каждого из таких уравнений получаются
с помощью свойств факториального бинома. С помощью решений
вспомогательных уравнений получается и решение заданного
уравнения.
Другие работы по теории чисел
Кроме указанных выше вопросов, Буняковского интересовали
и многие другие. Например, статья [22] содержит оригинальный
прием нахождения остатка от деления данного числа N на простое
или составное р с помощью преобразования модуля р к модулю
р+п или р — п, в частном случае, когда он равен степени числа 10.
В работе [9] изучаются свойства иррациональных чисел,
теорию которых Буняковский считал одной из наименее изученных
областей трансцендентной арифметики. Здесь он выводит теоремы
о «невозможности удовлетворить в целых числах некоторым
иррациональным формулам».
Одна из теорем гласит: если А и В— целые, не квадраты,
то сумма у/A + yjB не может быть рациональной. То же
доказывается для суммы у/А + у/В + у/С и т. д. Сумма i^A + у^В не
может быть рациональным числом, если А, В — целые, а у^А
и у/~В — иррациональные (т = 2, 3, 4, 5, 6, 7). Все эти
утверждения доказываются методом от противного.
Одно из уравнений работы [9] ведет к доказательству леммы
Ламе из его статьи, посвященной доказательству теоремы Ферма
для случая п=7: уравнение x1-\-y1=z1 невозможно в целых
числах. Лемма Ламе п была обобщена Коши в рапорте о [работе
Ламе 12. Из другой формулы Буняковского легко получить и
указанное обобщение Коши [9, стр. 491].
u Lame G. Memoire <Г analyse indeterminee, demon trant que Г equation
x7+y7=z7 est impossible en nombres entiers. J. mathem., t. 5, 1840,
pp. 195—211; G. R., t. 9, Paris, 1839, pp. 45, 46; Mem. presentes par divers
savants, t. 8, 1843, pp. 421—437.
12 Cauchy Au. L. Rapport sur le memoire precedent, par M. Cauchy,
C. R., t. 9, 1839, pp. 359; J. mathem., t. 5, 1840, pp. 211—215.
94

В статье [18] Буняковский отмечает, что существует два вида
делимости многочленов: делимость на многочлен с рациональными
коэффициентами и делимость многочлена на число. Например,
многочлен
z* + * + 2 = 2[ii<f+ii+l]
всегда делится на число 2 и не делится ни на какой многочлен
с рациональными коэффициентами. В этой статье изучается
второй вид делимости — йа число. Дан способ нахождения
постоянного числового делителя заданного целого многочлена,
связанный с теорией сравнений. Затем метод обобщается на функции
от нескольких переменных. Показано, например, что многочлен
ии (и4 — у4) всегда делится на число 30. Буняковский
высказывает предположение, что многочлен / (#), разделенный на свой
постоянный числовой делитель, всегда будет целым числом
(«неделимая функция»). Эта функция будет представлять бесконечно
много простых чисел, если придавать х последовательно
всевозможные целые значения.
Буняковский рассматривает этот факт как обобщение
известной теоремы об арифметических прогрессиях:13 «Эта теорема,
которую строго доказывают, имеет место для линейной неделимой
функции а0х-{-Ь, но мы утверждаем, что то же свойство имеет
место и для полинома любой степени a0#w,+fli#w~1+ • • • +яот>
когда этот полином неделим в смысле, который мы придаем этому
термину» [18, стр. 328]. В конце работы автор высказывает
следующее интересное утверждение: «Заметим, что теорема может быть
рассматриваема как частный случай очень общего принципа,
который можно высказать в следующих словах.
Пусть / (#, у, z, . . .) некоторое выражение, которое для
неопределенных значений переменных х, у, z, . . . не удовлетворяет
никаким условиям, необходимым и достаточным, чтобы это
выражение обладало некоторым свойством Р. В этом предположении
будет существовать бесконечно много систем х0, у01 z0, . . ., xv уг,
zx, . . . таких, что свойство Р не будет иметь места для функций
/ (*о> У о, z0, ...)»/ (*i> У и zn •••)»•• •• Этот общий принцип,
из которого можно было бы извлечь большое число частных
замечательных теорем, не оставляет сомнений, но его строгое
доказательство кажется нам совершенно недостижимым» [18, стр. 329].
В 1882 г. Буняковский представил Физико-математическому
отделению Академии наук записку «Об одном видоизменении
способа, известного под названием Эратосфенова решета» [38].
Он дает оригинальный прием, пользуясь которым можно найти
все простые числа определенного вида, заключенные между дан-
13 Гензель (1886 г.) и Борель (1900 г.) дали более простые способы
решения задачи, поставленной Буняковский [ИЗЗ, т. 1, стр. 334].
95

йыми границами* Хоти этот способ не имеет особенных
преимуществ перед другими, автор считает, что в некоторых случаях
этот способ полезен. Он показывает, как найти, например, все
простые числа, оканчивающиеся цифрой 1 и заключенные между
101 и 191.
Кроме упомянутых работ, Буняковскому принадлежат три
сообщения [35, 36, 43] о результатах И. М. Первушина.
Небольшая работа [25] относится к решению двух вопросов,
предложенных итальянским математиком Б. Бонкомпаньи.14 Первый вопрос:
найти целые числа х, г, п, обращающие сумму
я8 + (* + rf + (х + 2г)3 + •.. + (х + (п — 1)г)3
в точный куб. Второй вопрос: решить уравнение
х* + {х — г)* + (х — 2г)3+ ... + (* — (л — 1)г)3 = (я — nrf.
В этой работе Буняковский упоминает о сочинении Эйлера'
в котором было рассмотрено в общем виде решение неопределен
ного уравнения #3+i/3-fz3=i^, где корни х, t/, z не обязательно
должны составлять арифметическую прогрессию [42, т. 1,стр. 193].
Во втором томе «Алгебры» Эйлера находим решение вопроса,
касающегося также суммы трех кубов, и притом с требованием,
чтобы их корни составляли арифметическую прогрессию с
разностью, равной единице. Буняковский установил, что при
выполнении условия, чтобы все три числа были положительными,
задаче Бонкомпаньи удовлетворяет единственное решение:
33+43+53=63. Первая задача имеет бесконечно много решений
и была еще до Буняковского рассмотрена в работах Лебега и
Дженокки (ИЗЗ, т. 2, стр. 583]. Буняковский показал, что
уравнение
а?+(х — г)3 + (я — 2г)3+ ... +(*— (* — 1)г)3 = (я--7гг)3
для п > 5 не допускает даже иррациональных решений, если
потребовать, чтобы все кубы были положительными.
Взаимосвязь теории чисел с другими разделами
математики
Как уже говорилось, для исследований Буняковского
характерно применение теории чисел при решении задач других
разделов математики и наоборот. Так, например, Буняковский пытался
применить теорию вероятностей к определению приближенных
величин трансцендентных чисел [5], теорию чисел к
элементарной геометрии, интегральное исчисление к теории чисел, теорию
чисел к теории вероятностей. Статья «Об использовании элемен-
14 Эти вопросы были опубликованы в журналах: Zeitschrift fur Mathema-
tik und Physik, Bd. 4,1864; Nouv. Annales, (2), t. 3,1864; [ИЗЗ, т. 2, стр. 583}.
96

Тарных процессов интегрального исчисления в вопросах,
относящихся к диофантову анализу» [16] связывает интегральное
исчисление с решением неопределенных уравнений. Если у Эйлера
диофантов анализ служил средством освобождения от иррацио-
нальностей, то у Буняковского неопределенное интегрирование
служит источником различных тождеств, нужных для диофантова
анализа.
Пусть 1 <р (х) ф (х) dx выражается в элементарных функциях.
Положим
\l(z)dx = P19 \P1dx=P2, \P2dx = P3, ...,
\ty(x)dx = Qv \Q1dx = Q2, \Q2dx = Q„ ....
Интегрируем по частям двумя различными путями:
J ср (X) ф (X) dx = PJ (X) - P2ty> (X) + />3f (*)-...+ С0Л81,
j <р (з) ф (х) dx — Qtf (х) — Q2<p' (х) + QBf (х) — ... + const.
Вычитая из первого равенства почленно второе, получим
тождественное равенство
[Р# (х) - P2f (х) + P3f (х) - ... ] -
- K?i? (*) - Qtf' (*) + <?з?" (*) • • • ] = с.
Таким способом Буняковский находит формулы, выражающие
решение уравнений вида Ътх — Ь"у = 1 с помощью решения
уравнения Ъх — Ъху = \, и решение дифантовых уравнений х2 + у2 = z2,
х2 + у2 = 23, х2 + у3 = z2 в рациональных числах. Например,
решение уравнения x2-{-y2 = z2 производится следующим образом.
Вычисляется интеграл
j (ax + b)dx+ j (a!x + V)dx= J [(a-\-a')x + b+bf]dx—
_(а* + Ь)2 , (а'х + Ъ)*_ {(a + a'fx + b + b'] . p
~ 2a "T" 2a' ~~~ 2(а + а') "*"
или
a' (a + a') {ax + fc)2 + a (a + a') (a's + &')2 =
= aa' [(a + af)x + b + b1]2 = С
При x = 0 найдем С = (6a; — &a')2 и при х = 1 получим
тождество
а' (а + а') {а + б)2 + а {а + а') (а' + Ь1)2 =
= аа' (а + а' + 6 + V)2 + (6а; — ab1)2.
97

В чабтном случае, когда a = bf, b = ar, Тождество принимаем
вид
(Ь + Ь'У = W (26 + 26')» + (б2 — Ь'2)2.
Отсюда при Ъ = и2, Ъ1 = v2 получаем
(и2 + у2)4 = [2uv (и2 + у2)]2, или (и2 + v2)2 = (2uv)2 + (и2 — v2)2.
Последнее тождество дает общее решение уравнения x2-{-y2=z2
[П 3, стр. 275-277].
Еще один пример применения теории чисел — к решению задачи
теории вероятностей. В изданной в 1873 г. в Париже книге
Лорана 15 были изложены основы теории вероятностей. Автор писал,
что для решения некоторых задач теории вероятностей надо знать
коэффициент при fx8 в разложении в ряд произведения
(l+tx) (l+tx2) (1+to3) . . . (l+txn).
Например, предлагается задача: из урны, содержащей п
шаров с номерами 1, 2, 3, . . ., п, одновременно вынимают а шаров.
Какова будет вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров
будет равна S? Коэффициент при fx8 в указанном ряде дает число
равновозможных случаев, приводящих к получению суммы S,
и так как возможных случаев всего Cj, то искомая вероятность
равна отношению коэффициента при fx8 к CJJ. Эйлер [13, т. 1]
дал явное выражение для коэффициента при fx8 в случае тг=оо,
но для конечного п такого выражения не было известно. В статье
[33] Буняковский вывел рекуррентные формулы для этих
коэффициентов. Вопрос не был для него новым, так как он занимался
разбиением чисел на слагаемые в работе [15].
История теории чисел и методологические вопросы
Буняковскому принадлежат интересные работы по истории
математики, в частности по истории теории чисел и по
методологии теории чисел. В 1835 г. во второй книге сборника «Летопись
факультетов» была напечатана его статья [4], в которой автор
дает обзор развития теории чисел от Диофанта до 30-х годов XIX в.
Буняковский отмечает заслуги Виета, Баше де Мезириака,
Ферма, по обычаю того времени называя его Ферматом.
Признавая, что «Фермат вполне заслуживает знаменитость, присвоенную
его имени», и перечисляя его важнейшие открытия (малую теорему
Ферма, представление чисел в виде суммы двух квадратов),
Буняковский, однако, сообщает о том, что Ферма «издавал в свет
свои открытия большею частью без доводов и это самое заставляло
думать многих математиков, будто он доказывал по одному
наведению предполагаемые им теоремы». По-видимому, замеченное
Эйлером неверное утверждение Ферма, что все числа вида
Ч Laurent Н. Traite du calcul des probabilites. Paris, 1873.
98

22m+l (где m — любое целое) — простые, могло вызвать
некоторую недоверчивость и у Буняковского [4].
Подробно анализирует Буняковский труды Эйлера, в качестве
важнейших открытий которого отмечает работы по
неопределенным уравнениям, доказательства теорем Ферма, теорию
двучленных сравнений, употребление мнимых и иррациональных
множителей при решении неопределенных уравнений, доказательство
существования первообразных корней. Среди результатов Лаг-
ранжа важнейшими автор считает полное решение
неопределенных уравнений второй степени с помощью непрерывных дробей у
метод, основанный на связи квадратичной и линейной форм
делителей формы х2-\-ау2, доказательство разложимости всякого
целого числа на четыре целых квадрата.
Давая оценку работам Лежандра, Буняковский отмечает, что
он один из математиков, «наиболее споспешествовавших в наше
время усовершенствованию теории чисел». Он обращает также
внимание на прославившую Гаусса теорему о возможности
построения с помощью циркуля и линейки вписанных
многоугольников (m-угольников, когда т — простое число вида 2п+1).
Далее, говоря о научном вкладе ученых в теорию чисел,
Буняковский упоминает члена Парижской Академии наук Либри,
доказавшего теорему, по которой целое число может быть
разложено на 6 кубов, и предложившего новый способ для решения
неопределенных уравнений первой степени посредством
тригонометрических функций. Дирихле доказал теорему Ферма для
п=5, и=14, теоремы, относящиеся к простым делителям одного
класса формул четвертой степени, и самое удачное и простое
доказательство малой теоремы Ферма. Абель — норвежский
математик, написал отличное рассуждение об алгебраическом решении
особого класса уравнений. Решение Гаусса двучленного
уравнения хр—1 есть частный случай излагаемой Абелем теоремы.
Здесь же отмечены труды Якоби, исследования которого по
эллиптическим функциям привели к замечательным выводам в теории
чисел, в том числе к весьма остроумному новому доказательству
теоремы о разложимости целого числа на четыре квадрата и
некоторых теорем о кубичных вычетах.
В исторический обзор трудов по теории чисел Буняковский
включил и некоторые свои работы. Сведения по теории чисел
и по ее истории содержатся также в «Лексиконе чистой и
прикладной математики» [7] и в статьях Буняковского в
Энциклопедическом словаре, частично перепечатанных из его
«Лексикона».
В «Лексикон» вошли статьи на буквы от «А» до «Д». В Архиве
АН СССР сохранились материалы к «Лексикону» до буквы «Л».
Слова в «Лексиконе» расположены в порядке латинского
алфавита и записаны по-французски с русским переводом. Объяснения
даны на русском языке. Например:
99

«Bin6mes (equations) — двучленные уравнения». В
объяснении говорится о теории решения двучленных уравнений Гаусса
из его «Арифметических исследований» и о распространении
Абелем исследований Гаусса на уравнения, содержащие более двух
членов.
«Carre magique — магический квадрат». В этой статье
излагаются способы составления магических квадратов Баше де Ме-
зириаком, де л а Гиром, обобщения магических квадратов —
волшебные кубы и т. д.
«Congruence — остаточное сравнение, равноостаточность,
сравнение». Здесь подробно изложены свойства сравнений, их
применение для доказательства признаков делимости.
В других статьях подробно рассказывается о теории
непрерывных дробей, о многогранниках и их применении в
кристаллографии, решете Эратосфена, делимости и делителях, говорится об
открытии Гаусса и о предложенном Ампером на основании
теории Гаусса геометрическом построении правильного семнадцати-
угольника.16
В неопубликованных материалах есть большие статьи «Fermat
(theoreme de) — Ферматова теорема»,17 «Figures (tiombres) —
фигурные числа», «Theorie des formes — теория видов» и
«Determinant de la forme — определитель вида». Название «вид» не
привилось в русской литературе, и в дальнейшем математики
пользовались словом «форма».
Профессор Московского университета Н. Д. Брашман высоко
оценил «Лексикон» Буняковского. Он писал: «Множество
содержащихся в нем оригинальных статей, ясность изложения, обилие
исторических сведений, обогащение языка новыми понятиями,
для которых у нас не существовало терминов, и труд, какого
подобное сочинение требует, — все это заслуживает уважения и
признательности. Усердно желаем, чтобы достойный автор
продолжил это полезное и необходимое для России сочинение».18
В 1857 г. Буняковский сообщил Физико-математическому
отделению Академии наук о подготовленном им сочинении «Опыт
методологии, примененной к теории чисел» [21]. Это сочинение
должно было содержать систематическую классификацию
различных методов и процессов, правил и процессов вычисления,
используемых в теории чисел. Кроме того, в него должны были войти
таблицы и формулы, а также сведения по истории теории чисел.
К сожалению, это сочинение не найдено ни в числе печатных,
16 Это доказательство не было опубликовано, но содержание рукописи
можно узнать, например, из кн.: Л. Д. Белькинд. Андре-Мари Ампер.
1775—1836. М., 1968, стр. 127—129.
17 ЛОА АН СССР, ф. 2, оп. 1, № 280, лл. 85—91.
18 Брашман Н. Д. О влиянии математических наук на развитие
умственных способностей. Речь в торж. собр. имп. Моск. унив. орд,
проф. Ник. Брашмана июня 17 дня 1841 г. М., 1841, стр. 25,
too

ни в числе рукописных материалов Буняковского. Возможно,
оно не было написано из-за трудности предмета, а может быть,
эта идея не встретила одобрения Чебышева или тема перестала
интересовать Буняковского, занявшегося другими вопросами.
Научная деятельность В. Я. Буняковского заслужила
высокую оценку П. Л. Чебышева, который писал: «После смерти
нашего достославного сочлена и бывшего вице-президента Академии
наук Буняковского прошло более трех лет и до сих пор место его
как ординарного академика по чистой математике остается
вакантным. Причина этого заключается в трудности найти вполне
достойного преемника такому замечательному ученому, как
Виктор Яковлевич Буняковский, преемника, который мог бы
совершенно заменить его в Академии наук и по своим
необыкновенным способностям, и по своим многосторонним познаниям».19
Современники В. Я. Буняковского
Говоря о научном вкладе в теорию чисел ученых первой
половины XIX в., прежде всего следует сказать о деятельности
Н. И. Лобачевского, которому посвящен самостоятельный раздел
в данной книге (см. стр. 259), и М. В. Остроградского.
Михаил Васильевич Остроградский
(1801—1861 гг.) не занимался специально теорией чисел, но
посвятил ей ряд глав в своих публичных лекциях. Как следует из
работ Буняковского, вопросы теории чисел все же интересовали
Остроградского. Так, он поставил перед Буняковским вопрос
об одном свойстве простых чисел (см. стр. 73). В 1836 г., видимо,
в связи с подготовленными им публичными лекциями он
представил Академии наук «Таблицы первообразных корней для всех
простых чисел < 200» [2].
Рассмотрим «Лекции алгебрического и трансцендентного
анализа» [1], которые Остроградский читал зимой 1836/37 г.
в Морском корпусе два раза в неделю. Среди слушателей был
и В. Я. Буняковский. Этим лекциям посвящена статья И. Г. Баш-
маковой и Л. А. Сорокиной, в которой говорится, что лекции
Остроградского (объемом более 130 стр.) содержали первый 20
полный курс элементарной теории чисел на русском языке [П 3,
стр. 149]. Действительно, лекции XXIII—XXX посвящены
вопросам теории чисел. Остроградский излагает начала теории чисел.
Кроме того, к «Лекциям» были приложены таблицы
первообразных корней [2]. Издатели «Лекций» Остроградского в конце
XXII главы указывали, что для решения уравнений в радикалах
нужно изложить гауссово решение двучленных уравнений. «Но как
для этого нужно знать теорию чисел, а с другой стороны, на рус-
19 ЛОА АН СССР, ф. 2, оп. 17, № 78, лл. 2—4 об.
20 «Алгебра или исчисление конечных» Лобачевского вышла в 1834 г
101

ском языке так мало о ней писано, то мы посвятим несколько
лекций на изучение основных теорем этой, весьма важной, части
анализа, дополнив из „Theorie des nombres" Лежандра и „Dis-
quisitiones arithmeticae" Гаусса те статьи, необходимые для
решения двучленных уравнений, которые М. В. Остроградский,
ограничившийся самым малым числом теорем, лишь упомянул» [П 3,
стр. 329].
Лекция XXIII начиналась с описания различных видов чисел.
О предмете теории чисел Остроградский говорил: «Теория чисел,
или, как называют ее, трансцендентная арифметика,
исключительно занимается целыми числами, иногда дробями, и вовсе
не касается чисел иррациональных, но ее приложения к числам
иррациональным весьма важны и обширны» [1, стр. 330]. В
лекции определяются числа четные и нечетные, простые и составные,
доказываются теоремы о простых числах (Ферма, Гаусса,
Вильсона и др.)- Затем говорится «об остаточных сравнениях» —
излагается по Гауссу теория сравнений. О значении теории
сравнений в лекции сказано: «Вообще, когда / (х) будет вида
хп + Ах"-1 + Вхп~2 + ... +7V (А, В, ...—целые,
п — целое, положительное),
то уравнение / (х)=0 не будет иметь ни одного рационального
корня, если по известному модулю т не удовлетворится сравнение
/ (х)=0 (mod т). ... Один уже этот намек показывает, как
важно для анализа исследование остаточных сравнений» [1,
стр. 340].
Остроградский отмечает, что теория сравнений применима
к доказательству признаков делимости, к правилам для проверки
сложения, вычитания и других действий. Алгоритма Евклида
Остроградский не излагал. Для нахождения общего наибольшего
делителя он советовал раскладывать числа на множители и брать
произведение тех множителей, которые входят во все числа.
Следующая лекция была посвящена решению сравнений
первой степени. Решению сравнений высших степеней и сравнений
с несколькими неизвестными была посвящена глава XXV. В
лекции XXVI сообщались свойства степенных вычетов, давалось
понятие первообразного корня и способ отыскания первообразных
корней. Лекция XXVII была посвящена теории индексов,
которые Остроградский называл «указателями». Последние три
лекции были посвящены теории двучленных уравнений.
Особенно интересны разделы «Вычеты степенных чисел и
проч.» и «Первообразные корни». Приведем для примера способ
вычисления первообразных корней, указанный в лекциях.
Пусть требуется найти первообразные корни для простого
адсла, равного 19. Остроградский берет ряд чисел:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 16 17 18. (36)
102

Для проверки, не является ли 2 первообразным корнем,
каждое число из ряда (36) умножается на 2:
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36. (37)
В тех случаях, когда произведение больше 19, его заменяют
вычетом по модулю 19. В результате получается
2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 3 5 7 9 И 13 15 17. (38)
Затем возводят число 2 последовательно в первую, вторую,
третью и т. д. степени и, пользуясь рядом (38), заменяют
полученные степени двойки их вычетами по модулю 19, получается
2 4 8 16 13 7 14 9 18 17 15 И 3 6 12 5 10 1. (39)
Оказывается, что впервые сравнимо с единицей будет 218,
т. е. 2 — первообразный корень по модулю 19. Чтобы найти
остальные первообразные корни по модулю 19, ищут сначала все числа,
взаимно простые с р—1 = 18 и не большие чем 18. Это будут числа
5, 7, И, 13,17. Возводя полученный ранее первообразный корень 2
в степени 5, 7, И, 13, 17, получаем еще пять первообразных
корней: 13, 14, 15, 3, 10. Если бы 2 не оказалось первообразным
корнем, надо было бы проверить число 3 и т. д.
Всего у числа 19 оказалось шесть первообразных корней,
т. е. столько, сколько чисел, взаимно простых с 18 и не
превосходящих 18. Остроградский применяет еще некоторые приемы,
позволяющие упростить вычисление первообразных корней.
Видимо, таким образом он и вычислял свои таблицы первообразных
корней.
В лекции XXIX Остроградский, придерживаясь книги Гаусса,
кратко изложил теорию решения уравнения деления круга
хп~г-\-хп~2-\- . . -\-х-\-1 = 0, сопровождая объяснение подробно
разобранным примером.
Других работ по теории чисел у Остроградского не обнаружено.
В статье [3] используются числа Бернулли.

ГЛАВА 4
П. Л. ЧЕБЫШЕВ
Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894 гг.) — автор
немногочисленных, но широко известных исследований по теории чисел,
из которых каждое продвигало теорию чисел вперед и вносило
в нее нечто новое и оригинальное. Труды Чебышева по теории
чисел собраны в первом томе его Полного собрания сочинений [12].
Сюда не вошли его выступления на съездах русских
естествоиспытателей и врачей [П 5, 18, 19]. Исследованиям Чебышева по этому
разделу математики посвящены статья И. М. Виноградова и
Б. Н. Делоне [П 8], раздел в книге Б. Н. Делоне [И 9] и его
статьи [И 10; П 12, 13, 14, 15]; многократно упоминаются
результаты Чебышева в трактате Диксона [И 33] и в математических
энциклопедиях [И 34, 35],
Ученые многих стран совершенствовали, видоизменяли,
обобщали, применяли результаты и методы П. Л. Чебышева вплоть
до самого последнего времени. Особенно много литературы
посвящено методам и результатам работы Чебышева «О простых
числах» [6].
В пятом томе Полного собрания сочинений Чебышева [12]
приведены многочисленные архивные документы, рассказывающие
о жизненном и творческом пути великого русского ученого.
Кроме того, биографические сведения о П. Л. Чебышеве можно
найти в очерке А. М. Ляпунова [П 23], в статье К. А. Поссе [П 25],
в книгах В. Е. Прудникова [П 28, 29] и его статьях [П 30—33].
Основными направлениями исследований Чебышева в области
теории чисел являются: теория распределения простых чисел,
значительно усовершенствованная его трудами; теория рядов,
общий член которых является функцией простых чисел; вопросы
теории квадратичных форм; вопросы теории диофантовых
приближений.
Наряду с блестящими достижениями Чебышева в науке,
следует отметить создание им первой крупной русской математической
школы — Петербургской школы Чебышева. Учениками
Чебышева были выдающиеся ученые: Е. И. Золотарев, А. Н. Коркин,
А. А. Марков, А. М. Ляпунов, А. В. Васильев, а через его
учеников влияние Чебышева испытали на себе Г. Ф. Вороной,
104

Пафнутий Львович Чебышев.

Д. А. Граве, И. И. Иванов, А. Н. Крылов, В. А. Стеклов и многие
другие известные математики. Традиции Петербургской школы
Чебышева живы и поныне.
Большое влияние Чебышева испытали на себе и многие
зарубежные математики (Сильвестер, Штернек, Ландау, Рамануджан,
Минковский, Сельберг и другие). Часто бывая за границей»
с некоторыми из них он поддерживал дружеские отношения.
На протяжении сорока лет его другом был знаменитый
французский математик Шарль Эрмит (1822—1901 г.), в ряде
высказываний которого чувствуется глубокое уважение к таланту и
личности Чебышева. Как известно, Чебышев очень не
любил писать письма. Поэтому особенно ценными являются его
письма к Эрмиту и ответы французского ученого, напечатанные
в пятом томе Полного собрания сочинений [12, т. 5, стр. 424—
436].
Главными точками соприкосновения двух математиков
в области теории чисел были вопросы, затронутые в работе
Чебышева [7], и различные применения непрерывных дробей.
Первой теоретико-числовой работой Чебышева явилась
подготовка к изданию сочинений Эйлера — с этого и следует начать
анализ его творческой деятельности.
Участие в подготовке к изданию сочинений Эйлера
Знакомство Чебышева с теорией чисел началось, по-видимому,
с того времени, когда В. Я. Буняковский привлек его к подготовке
издания «Собрания арифметических сочинений» Эйлера
[Чебышев, 1]. Знание трудов Эйлера и потребовавшееся для их
комментирования изучение сочинений Лагранжа, Лежандра, Гаусса,
Дирихле, Буняковского явились прочным фундаментом для
занятий Чебышева теорией чисел. Если учесть, что магистерская
диссертация Чебышева была посвящена элементарному анализу
теории вероятностей, а диссертация на право чтения лекций
(1847 г.) — интегрированию с помощью логарифмов, то
становится ясным, что к занятиям теорией чисел Чебышев приступил
не раньше 1847 г.
Чебышев и Буняковский составили «Систематический
указатель» арифметических сочинений Эйлера [126, т. 1, стр. LI—
LXXX; Чебышев, 1], рассмотренный выше (см. стр. 16).
Кроме того, Чебышев участвовал и в восстановлении текста
мемуаров Эйлера 1116, 117], о чем свидетельствует, например,
отрывок из отчета ректора Петербургского университета за 1849 г.:
«Трудами адъюнкта П. Л. Чебышева восстановлены двд мемуара
Эйлера, которые и напечатаны в Полцом собрании сочиненцй
этого знаменитого математика. Адъюнкт П. Л. Чебышев вместе
с ординарным профессором В. Я. Буняковским составил систе?
100

матйчёский указатель мемуаров Эйлера, касающихся теорий
чисел».1
Резюме этих статей, написанные, по-видимому, П. Л. Чебыше-
вым, имеются в «Систематическом указателе» Буняковского и Чебы-
шева.
Судя по архивным материалам,2 на страницах которых имеются
карандашные пометки, Чебышев исправил в рукописях Эйлера
много ошибок и описок. Появление их можно объяснить тем, что
эти сочинения писали под диктовку Эйлера его ученики, сам же
ученый не мог проверить их записей.
В издании сочинений Эйлера [127] Чебышев также принимал
активное участие.
«Теория сравнений»
В октябре 1848 г. Чебышев закончил работу над докторской
диссертацией. В отзыве Буняковского об этой работе отмечалось
особенное искусство, с которым автор расположил и подвел
под общие начала все исследования и доказательства,
относящиеся к теории сравнений. Это было первое капитальное
сочинение по теории чисел на русском языке. Буняковский отмечал
также, что работа отличается строгой последовательностью,
простотой изложения и изяществом приемов, принадлежащих автору.
По совету Буняковского, Чебышев представил свое сочинение
на конкурс, объявленный Академией наук. В отзыве, написанном
академиками П. Н. Фуссом и В. Я. Буняковским [Чебышев, 12,
т. 5, стр. 231—233], к сказанному Буняковским раньше
добавлено, что автор глубоко изучил труды математиков по этому
предмету, особенно труды Эйлера.
Вскоре книга [2] была напечатана. 27 мая 1849 г. Чебышев
защитил докторскую диссертацию, а 1 июня того же года
Академией наук ему была присуждена Демидовская премия.
К тому времени он уже два года преподавал в Петербургском
университете алгебру и теорию чисел. В дальнейшем он читал
курс теории чисел, используя материалы «Теории сравнений» и
дополняя ее сведениями из книг Гаусса и Лежандра [Чебышев,
12, т. 5, стр. 224, 225].
Чебышев о работах своих
предшественников. В предисловии к «Теории сравнений» Чебышев дал
критическую оценку тому, что было сделано в области теории чисел
Эйлером, Лагранжем, Лежандром. Основателем этой теории
Чебышев с полным основанием считал Эйлера, утверждая, что
изыскания Фермата, так он называл Ферма, не имели непосредственного
влияния на развитие науки, они оставались без доказательств и
1 Годичный торжественный акт в ими. С.-Петербургском университете,
бывший 8 февраля 1849 г. СПб., 1849, стр. 24.
2 ЛОА АН СССР, ф. 136, оп. 1, №№ 32, 33.
107

без приложений. «В этом состоянии открытия Фермата служили
только вызовом геометров на изыскания в теории чисел. Но
несмотря на весь интерес этих изысканий, до Эйлера на них никто
не вызывался. И это понятно: эти изыскания требовали не новых
приложений приемов, уже известных, и не новых развитии
приемов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали
создания новых приемов, открытия новых начал, одним словом,
основания новой науки. Это было сделано Эйлером» [Чебышев, 12, т. 1,
стр. 10].
Чебышев отметил, что наибольшее влияние на развитие теории
чисел имели труды Эйлера о степенных вычетах, положившие
начало теории двучленных сравнений, теории индексов и теории
квадратичных вычетов, и исследования Эйлера, о числах,
представляющих сумму двух чисел, одно из которых — квадрат,
а другое — произведение квадрата на данное число. Отсюда
пошла теория квадратичных форм.
Исследования Эйлера о делителях форм вида а2±Ь2 положили
начало теории двучленных сравнений. Особое внимание Чебышев
обратил на работу Эйлера [16], теоремы которой явились
основанием теории двучленных сравнений и, в частности, теории
квадратичных вычетов. В одном из утверждений работы Эйлера [65]
Чебышев увидел формулировку закона взаимности квадратичных
вычетов, который в дальнейшем был положен в основу теории
квадратичных вычетов.
Чебышев отметил также заслуги Эйлера в применении рядов
к задачам теории чисел и его вклад в диофантов анализ.
Говоря о трудах Лагранжа, Чебышев указал, что наибольшее
влияние имели его исследования о квадратичных формах: «Он
дал общие начала для тех изысканий, которые были сделаны
Эйлером для немногих простейших форм, и эти начала, развитые
Лежандром, составили полную теорию делителей квадратичных
форм, одну из самых главных в теории чисел и особенно важную
по своим приложениям к определению делителей данного числа»
[12, т. 1, стр. 13].
Чебышев писал, что Лежандр доказал закон взаимности3
на основании признаков возможности уравнения ax2-\-by2=cz2,
им же открытых, и показал приложения этой теоремы к
исследованию сравнений второй степени и определению делителей
квадратичных форм.
Проследив основные этапы развития теории чисел в работах
своих предшественников, Чебышев анализирует изложение этой
науки в трудах Гаусса и Лежандра, написавших первые
систематические трактаты по этому предмету.
«Теория чисел» Лежандра не была, по мнению Чебышева, до-
3 Нестрогость доказательства закона взаимности у Лежандра обнаружил
Гаусс, давший восемь доказательств этого закона.
108

статочно систематичной. Лежандр выводил закон взаимности,
служащий основой теории квадратичных вычетов, из свойств
неопределенных уравнений второй степени. Теория квадратичных
вычетов и основанная на ней теория квадратичных форм могли
быть изложены только после теории неопределенных уравнений
второй степени. К общим свойствам чисел Лежандр приступал
только после изложения теории неопределенных уравнений.
После того, как Гаусс показал, что закон взаимности двух
простых чисел может быть выведен непосредственно из
рассмотрения сравнений, стало возможным излагать теорию сравнений
второй степени до изложения уравнений второй степени и на основании
теории сравнений упростить исследование уравнений высших
степеней. Но и изложение, данное Гауссом, не удовлетворяло Чебышева.
Он отметил, что большая часть выводов Гаусса лишена простоты,
присущей приемам Эйлера, Лагранжа, Лежандра. Отсюда
следовал вывод: ни сочинение Лежандра, ни сочинение Гаусса не
представляют теорию чисел в том виде, в каком она может быть
изложена после трудов великих математиков, тем более после
исследований позднейших ученых.
При написании своей книги Чебышев использовал труды Гаусса,
Лагранжа, Лежандра и других ученых, занимавшихся этой наукой.
Предмет теории чисел и теории
сравнений. Книга П. Л. Чебышева «Теория сравнений» начинается
с определения предмета теории чисел: «Теория чисел, иначе
называемая трансцендентной арифметикой, есть наука о решении
неопределенных уравнений в числах целых. Заимствуя понятия
о числах из арифметики и об уравнениях из алгебры и
трансцендентного анализа, она в то же время существенно отлична от этих
наук.
«Она отличается от арифметики тем, что рассматривает числа
только в отношении их способности удовлетворять
неопределенным уравнениям. . . Она отличается от алгебры и других частей
определенного анализа тем, что рассматривая уравнения, она
ограничивается только целыми значениями неизвестных.
Рассматривая таким образом и числа и уравнения с особенной точки
зрения, теория чисел доходит до результатов совершенно новых
и весьма важных в теории определенных уравнений» [12, т. 1,
стр. 15].
Из уравнений, которыми занимается теория чисел, Чебышев
выделил уравнения, которые содержат одно из неизвестных в
первой степени. Именно эти уравнения, важные и по свойствам, и
по приложениям, составляют предмет теории сравнений.
Прежде чем перейти к теории сравнений, автор останавливается
на свойствах чисел и основных понятиях, с которыми придется
иметь дело в остальной части книги. Среди них — вывод формул
для числа и суммы делителей числа, оригинальный вывод
формулы для <р (х) и др.
109

Общие вопросы теорий сравнений. Изло->
жение теории сравнений Чебышев начинает с главы под
названием «О сравнениях вообще». Здесь вводится понятие сравнения,
модуля сравнения, излагаются общие свойства сравнений общего
вида
F(x, г/, z, ...) = #(мод А), (1)
где F (х, у, z. . .) — данная функция, а4 и5 — известные числа.
Затем Чебышев рассматривает свойства сравнений вида
/ (я) = 0 (мод и), (2)
где / (х) — многочлен с целыми коэффициентами, п — целое
положительное число.
Доказав теорему о том, что если сравнению (2) удовлетворяет
х=а, то ему удовлетворяют и все числа, сравнимые с а по
модулю п, автор вводит понятия наименьшего положительного
вычета, наименьшего отрицательного и абсолютно малого вычетов
числа а по модулю п. Чебышев доказывает теорему о числе
решений сравнения (2). Сравнение (2) имеет столько решений, сколько
чисел в ряду 0, 1, 2,. . . п—1 ему удовлетворяет. Если эти числа
суть а1? а2, а3,. . ., ада, то х=аи я=а2,. . ., х=ат (мод п) суть
решения сравнения (2).
Сравнения первой степени. Этот раздел
изложен Чебышевым по Гауссу. Указав общий вид таких сравнений
ах — Ь = 0(мод?г), (3)
где а, Ъ — какие-либо положительные или отрицательные целые
числа, п — целое положительное число, Чебышев доказывает
теорему о числе решений такого сравнения при а взаимно простом
с пь отмечая, что существует несколько способов решения
сравнений первой степени.
После этого он доказывает малую теорему Ферма, теорему
Эйлера, а затем показывает, как при помощи малой теоремы Ферма
решить сравнение (3) по простому модулю, и при помощи теоремы
Эйлера — сравнение (3) по составному модулю. Решения
получаются в том же виде, что и в первой работе Буняковского [1].
Затем рассмотрены другие случаи сравнений первой степени:
когда а ж п имеют общий множитель, который не делит Ь, и когда
общий множитель а и п делит Ъ. Показано, что в первом случае
сравнение не имеет решений, а во втором имеет d решений, если
обозначить d=(a, п).
Сравнения высших степеней. Это один из
наиболее интересных и оригинальных разделов «Теории сравнений».
В нем Чебышев рассматривает сравнения степени т по простому
модулю. Общий вид таких сравнений
Ахт + Вхт~1 + Схт~2 + ... +Hx + S~0 (мод р), (4)
где р — простое число, А, В, С,. . ., Я, S — целые числа.
НО

Сначала показано, как это сравнение приводится к виду
хш + В^-1 + Сгхт-* + . .. + Нхх + Sx = 0 (мод р). (5)
Методом математической индукции доказана теорема Лаг-
ранжа: сравнение (5) при простом модуле р имеет не более т
решений. Из нее получается другая теорема: если в сравнении (4)
не все коэффициенты делятся на р, то оно не может иметь более
т решений.
С помощью доказанных теорем Чебышев устанавливает ряд
утверждений, среди которых отметим следующие.
Коэффициенты всех степеней х в разложении в ряд выражения
(д._1)(х_ 2)(х — 3) ... (х — р + 1) — х^ + 1
делятся на р, если р — простое число. Из этого, в частности,
следует теорема Вильсона и следующее утверждение: если т чисел
а1? а2,. . ., ат неотрицательных, целых и меньших, чем /?,
удовлетворяют сравнению (4), то имеют место сравнения
А(а1+а2 + ап+ ... + aj = В(модр),
А (ага2 + ага^ + a2az +...)= С (мод р),
(—1)т Аага2а3 ...am~S (мод р).
Чебышев не ограничивается доказательством теоремы Лаг-
ранжа. Доказав, что сравнение (5) имеет не более т решений, он
ставит вопрос, при каких условиях это сравнение имеет не меньше
т решений (при этом предполагается, что т ^ р—1 — это не
ограничивает общности), при каких условиях сравнение (5) имеет
точно т решений?
Чебышев находит необходимые и достаточные условия.
Теорема 1: если сравнение
хм + Вхт~1 + Схт'2 + ... + Нх + S == 0 (мод р) (5')
имеет т решений, то в остатке от деления хр—х на хт+Вхт~г+
-\-Схт~*-\-. . ,-\-S все коэффициенты делятся на р.
Обратная теорема 2: если остаток от деления хр—х на хт-\-
+Вхт~1-\-Схт~2-{-. . .+S имеет все коэффициенты, кратные р, то
сравнение (5') имеет т решений.
По-видимому, эти теоремы до Чебышева в математической
литературе [И 33, т. 1, стр. 225] не встречались.
Сравнения второй степени. В качестве
приложений своей теории Чебышев рассматривает сравнения второй
степени
ах2 + Ъх + с = 0 (мод р).^ (6)
Теория таких сравнений была разработана в трудах Гаусса
и Лежандра, но способ доследования принадлежит Чебыщеву.
111

Если р=2 или а делится на р, то такое сравнение приводится
к сравнениям первой степени. Поэтому в последующем изложении
Чебышев предполагает, что р — простое и не равное 2 и что а
не делится на р. Тогда сравнение (6) сводится к виду
22 = д(модр). (7)
Если д=0 (мод р), то это сравнение имеет единственное
решение z=0 (мод /?). Если q=£0 (мод />), то сравнение z2=q (мод р)
или не имеет решений, или имеет два решения.
Доказав теорему, Чебышев приступает к исследованию
признаков, по которым можно узнать, имеет ли сравнение z2=q(мод р),
где д#0 (мод р), два решения или нет. Для решения этого вопроса
Чебышев применяет свой признак. Он находит остаток от деле-
( р— \
ния zp—z на z2 — д, который равен z\q 2 —\). ОтсЕОда
получается критерий Эйлера разрешимости двучленных сравнений.
Затем Чебышев переходит к теории символа Лежандра. Он
доказывает лемму Гаусса4 в формулировке и обозначениях
Лежандра: 5 значение символа Лежандра определяется уравнением
(f)= м)
q q р
где Е (х) — «антье от х» (наибольшее целое число, меньшее или
равное х). Он применяет лемму к вычислению символа Лежандра.
Последнюю формулу Чебышев преобразует к виду
®- «-и'
t!ui_,i.....,ki',
2 2 q q
где q — нечетное и q < р. С помощью леммы выводится закон
взаимности.
Чебышев использует символ Лежандра для решения вопроса,
имейт ли решение сравнение г2=д(модр). Затем решается
обратный вопрос: по данной величине (—J найти значения х.
Определив условия, при которых сравнение (7) имеет решения,
Чебышев переходит к решению таких сравнений сначала по
простому, потом по составному модулю.
Двучленные сравнения и-йстепени. В пятой
главе «Теории сравнений» изучаются двучленные сравнения вида
ж*— 4=0 (мод р), (8)
где п, А, р — некоторые целые числа. Теория таких сравнений
имелась в трудах Гаусса и Лежандра. В частности, Чебышев дока-
4 Г а у с с К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959, стр. 589.
6 Legendre А. М. Theorie des nombres, t. 2, part. 4, § 7, 1830,
112

зывает здесь теорему Лежандра относительно числа решений
сравнения хт—1=0 (мод р) по простому модулю: сравнение хт—1=0
(мод р) имеет d решений, если d=(m, р—1), и эти решения
найдутся из сравнения xd—1=0 (мод р). Затем рассматривается
решение сравнений (8) по простому и по составному модулю.
Сравнения вида ах=А (мод р). Изучение таких
сравнений прир — простом иаи4,не делящихся нар, Чебышев
начинает с доказательства теоремы о том, что если число а
удовлетворяет сравнению
а*=1(модр), (9)
то этому сравнению удовлетворяет и всякое число, сравнимое с а
по модулю р—1. Он указывает, что все эти числа, сравнимые
между собой по модулю р—1, принимаются за одно решение
сравнения (9).
Затем он рассматривает частный случай:
а*=1(модр), (10)
где р — простое число и а не делится на р. Чебышев показывает,
что наименьшее положительное число, удовлетворяющее
сравнению (10), есть делитель р—1. Прочие же числа, удовлетворяющие
этому сравнению, суть кратные этого делителя. Число решений
сравнения (10) равно — , где а — наименьшее число,
удовлетворяющее этому сравнению.
Затем рассмотрено решение сравнений вида (9). В частном
случае Чебышев получает сравнения
2х = 1 (мод р) и 3* = 1 (мод р),
рассмотренные Буняковским в работах [8, 13]. Метод Чебышева
является общим, тогда как метод Буняковского был связан с
представлением чисел в двоичной системе.
От сравнений вида (9), (10) Чебышев переходит к понятию
первообразного корня числа р, который он определяет следующим
образом. Если сравнение ах=1 (мод р) имеет единственное решение, то
наименьшее число, удовлетворяющее этому сравнению, есть р—1.
В этом случае а называется первообразным корнем числа р. Им
была доказана теорема: если а — первообразный корень числа р
и А не делится на р, то сравнение ах=А (мод р) имеет одно
решение.
На основании этой теоремы Чебышев утверждает, что если а —
первообразный корень числа р, то для всякого числа Л, не
делящегося на /?, сравнение (9) будет иметь одно решение и,
следовательно, будет удовлетворяться одним числом, меньшим р—1 и
не меньшим нуля. Такое число Чебышев называет указателем
числа А, а первообразный корень а получает в этом случае
название основания указателей. Теория указателей, или индексов, как
ИЗ

их чаще называют, берет начало в работах Эйлера. Она была
подробно разработана и изложена Гауссом, однако у Чебышева
совершенно иной подход к ее изложению, поэтому он
представляет интерес.
Отыскание первообразных корней.
Русские математики придавали большое значение искусству
отыскания первообразных корней. Вслед за Остроградским Чебышев
продолжал поиски удобного способа отыскания первообразных
корней. В предисловии к «Теории сравнений» Чебышев писал*
что Эйлер положил начало теории указателей, но не сумел найти
хорошего способа определения первообразных корней.
В главе 6 доказан ряд теорем, известных еще Гауссу, которые
позволяют находить первообразные корни с помощью
многократных испытаний чисел, в результате огромных математических
выкладок. Поэтому даже после написания основного текста
«Теории сравнений» Чебышев продолжал поиски удобного способа
отыскания первообразных корней. В Прибавлении 2 он доказал
несколько теорем, с помощью которых можно находить
первообразный корень для некоторых видов чисел.
Теорема 1. Первообразный корень числа 22п+1 есть 3.
Теорема 2. Первообразный корень числа 2(4гс+1)+1 при
4лг+1 простом есть 2, а числа 2(4тг+3)+1 при 4дг+3 простом
есть 2(4я+3)—1.
Теорема 3. Первообразный корень 4тг+1 при п простом и
большем 2 есть 2.
Теорема 4. Число 4 • 2тп +1 при п простом числе, превосхо-
92w
дящем г—^i» и /гг > 0 будет иметь первообразным корнем число 3.
К «Теории сравнений» Чебышев приложил таблицу
первообразных корней и индексов (по Остроградскому). Опечатки и
некоторые ошибки, замеченные Лемером,6 были исправлены
А. А. Марковым 7 при переиздании «Теории сравнений» в 1901 г. [2].
В. Я. Буняковский доказал другим способом теоремы
Чебышева о том, что 2 есть первообразный корень для /?=8лг+3, если
р и 4тг+1 — простые числа, и для p=4n+l, если pun— простые
числа. Он дал способ отыскания показателя, которому 2 или 10
принадлежат по модулю р [2].
Сравнения второй степени с двумя
неизвестными и теория делител е"й
квадратичных форм. Замечательнейшими и имеющими наибольшие
приложения, по мнению Чебышева, являются сравнения вида
х* + Ау* + В = 0(ноцр). (И)
6 Lehmer D. N. Errors in Legendre's tables of linear divisors. Bull.
Amer. Math. Soc. (2), v. 8, 1902, pp. 401, 402.
7 Markoff A. Tchebyobef s theory of congruences. Bull. Amert Math.
Soc, (2), vf 11, 1905, p. 337,
114

Относительно таких сравнений доказана теорема: если р —
простое число и не делит А, то сравнению х2-\-Ау2-\-В=0 (мод р)
всегда можно удовлетворить. Несколько ранее и другим способом
эту теорему доказал Буняковский в работе [2]. До него этими
сравнениями интересовались Эйлер и Лагранж (см. стр. 73).
Чебышев специально рассмотрел сравнение
Ж2 + Л^ = 0(модр), (12)
в результате чего выясняется, какими свойствами должно обладать
число р, для которого это сравнение удовлетворяется какими-то
числами х, #, взаимно простыми между собой. Возможность этого
сравнения показывает, что число р может быть делителем числа
вида х2-\-Ау2, где (#, у) = 1. В противном случае числа вида х2+Ау2
не делятся на р. В первом случае р называется делителем
квадратичной формы х2+Ау2, во втором случае — неделителем этой
формы.
Чебышев показывает, как по данной форме х2-\-Ау2 находить
все ее делители и неделители. Эти числа представляют либо в виде
mz+ а, где z — произвольное целое число, либо в виде au2-\-2buv-\-
+су2, где и, v — произвольные целые числа, взаимно простые
между собой. В первом случае получается теория линейных
делителей квадратичных форм, во втором — теория квадратичных
делителей квадратичных форм [12, т. 1, стр. 117].
Основанием теории линейных делителей послужили
исследования Эйлера, в частности исследования, связанные с удобными
числами. В дальнейшем этой теорией занимался Лежандр. Для
определения линейных делителей квадратичной формы х2-\-Ау2
Чебышев применяет теорему: если сравнению х2+Ау2=0 (мод р)
удовлетворяют какие-нибудь числа х, у, взаимно простые между
собой, то сравнение и2+А=0 (мод р) имеет решение. С помощью
этой теоремы нетрудно узнать, является ли данное число
делителем данной формы. В частности, отсюда получаются хорошо
известные теоремы: никакое простое число вида 4и+3 не будет делителем
чисел, являющихся суммой двух квадратов, взаимно простых
между собой; если р — простое число вида 4гг+1, то всегда
найдется сумма квадратов, делящаяся на это р.
Чебышев определяет все линейные делители форм х2±Ау2 при
Л, являющемся простым нечетным числом. Затем он излагает
теорию квадратичных делителей, дав определение квадратичной
формы и приведя несколько теорем из теории квадратичных форм,
имевшихся у Лагранж а и Гаусса. На основании предложенных
теорем Чебышев показывает, какими квадратичными формами
выражаются все делители данной формы вида x2±Dy2 [12, т. 1,
стр. 136, 137]. Далее он показывает, каким образом из
квадратичных форм делителей могут быть выведены линейные делители. Он
подробно рассматривает линейные формы чисел, определяемых
квадратичными формами. В конце книги приведены таблицы ли-
115

нейных делителей формы x2±dy2 для всех значений d, не
делящихся на квадрат, от d=l до d=101.
Приложение теории сравнений к
разложению чисел на простые множители. В
последней, восьмой, главе Чебышев показывает, как с помощью теории
сравнений можно упростить разложение чисел на множители. Он
приводит в систему утверждения Эйлера, Лежандра, Гаусса,
относящиеся к этому вопросу, начиная с определения форм
делителей чисел вида ат±1. Им доказана теорема Лежандра: если р —
нечетное и делит ат — 1, то р может быть выражено в виде dz+l,
где d — делитель т (включая и единицу), z — число, взаимно
простое с -г-; р должно быть делителем ad — 1. Отсюда Чебышев
делает вывод, что если 2тг+1 — простое число, то простые
нечетные делители разности а2я+1—1 должны быть вида 2 (2ti+1)z+1
или делить а—1, притом они должны быть делителями формы
х2—ау2. В качестве примера приведено утверждение Эйлера,
что 231—1 — простое число.
Затем Чебышев обращается к числам более общего вида:
х2±ау2, показывая, что для всякого числа А может быть найдено
множество форм вида х2±ау2 с малыми значениями а, которые
будут выражать данное число А или число, кратное ему. Делители
числа А будут делителями этих форм и потому их вид будет
определяться по способам, указанным в предыдущей, седьмой, главе,
или по таблицам делителей х2±ау2 при а ^ 101.
Принимая за х какое-нибудь число, за у — наибольшее число,
квадрат которого делит разность А — х2, и полагая частное
д #2
—2— равным а, он получает А = х2 + ау2.
Все формы, полученные таким способом, могут служить для
нахождения делителей А. Но из них наиболее выгодны те, в
которых а — малое число, ибо чем меньше а, тем проще формы
делителей х2-\-ау2 [12, т. 1, стр. 154]. Поэтому из всевозможных
выражений А или кА формами вида х2±ау2 надо выбирать те, которые
соответствуют малым а. Чебышев показывает, как это сделать.
Прибавления. В «Теории сравнений» было три
Прибавления. В первом «О квадратичных вычетах» Чебышев показывает,
как наряду с символом Лежандра можно использовать символ
Якоби для выяснения существования решений сравнения х2=а
(мод р).
О втором Прибавлении «Об определении первообразных кор
ней» уже говорилось (см. стр. 114).
Третье Прибавление (см. стр. 118) было представлено Академии
наук в виде отдельной работы еще 21 мая 1848 г., печаталось как
приложение к «Теории сравнений», во французском журнале
Лиувилля и отдельным изданием [3].
116

Влияние работ Дирихле на творчество Чебышева
Вопросы применения математического анализа в теории чисел
интересовали Чебышева еще в то время, когда он изучал
арифметические сочинения Эйлера. В связи с этим особый интерес вызвали
у него статьи Дирихле, развившего и успешно применившего
в теории чисел метод, идея которого берет свое начало в
сочинениях Эйлера. Внимание Чебышева к трудам Дирихле,
по-видимому, привлек В. Я. Буняковский, еще в 30-х годах знавший
об исследованиях этого выдающегося ученого.
Первая работа Чебышева по теории чисел [3] тесно связана
со статьями Дирихле «О применении бесконечных рядов в теории
чисел» (1838 г.) 8 и «Исследования о различных приложениях
анализа бесконечно малых в теории чисел» (1839 г.).9 В этих
статьях Дирихле установил связь между теорией чисел и
математическим анализом. Например, во второй статье Дирихле
рассмотрел функцию <р (р), которая при р -* 0 заменяет более
сложную функцию. Отношение этих функций -т-т-у стремится к
единице при р -> 0. В ходе доказательства теоремы Дирихле
рассмотрел, например, такое выражение
1
ВД J [t=7-^V1 l°gf (т) dx>
где Г — известная гамма-функция, и показал, что оно стремится
к конечному пределу при р -> 0, р > 0.
Дирихле отмечал, что эти принципы он применял к доказатель-
тельству замечательной формулы, которую Лежандр дал для
приближенного представления функции п(х), выражающей
количество простых чисел, не превосходящих некоторой очень
большой границы х. В следующей работе (1838 г.) Дирихле 10 ввел
понятие асимптотического закона, приведя в качестве одного
из примеров формулу Лежандра.
Чебышев счел необходимым проверить формулу Лежандра
для п(х)
y = *(*)~log»-1.08366' <13>
Убедившись в ее непригодности, он решил заняться выводом
другой, более точной формулы. Средства для этого исследования
были указаны теми же работами Дирихле, т. е. надо было приме-
8 Lejeune-Dirichlet P. G. Sur l'usage des series infinies dans
la theorie de nombres. Werke, Bd. 1, 1889, SS. 357—374.
9 Lejeune-DirichletP. G. Recherches sur diverses applications
de Г analyse infinitesimale a la theorie des nombres. Ibid. SS. 411—496, 415, 416.
10 Lejeune-Dirichlet P. G. Uber die Bestimmung asympto-
tischer Gesetze in der Zahlentheorie, Ibid., SS. 351—356.
117

ййтъ ряды, интегралы, производные, б том, что толчком для этого
исследования послужили работы Дирихле, Чебышев говорит
в своей первой статье по теории чисел (1851 г.): «Позднее та же
самая формула дала место исследованиям г. Л ежен-Дирихле,
который в одном из своих мемуаров сообщает, что он нашел строгое
аналитическое доказательство. Несмотря на авторитет имени
г. Лежен-Дирихле и высказанное согласие формулы Лежандра
с таблицами простых чисел, мы позволим себе выразить некоторое
сомнение в ее точности и, следовательно, также в результатах,
которые из нее были получены. . .» [3, стр. 141 ].и
Другим свидетельством интереса Чебышева к работам
Дирихле является его отчет о заграничной командировке 1852 г.
[12, т. 5, стр. 254, 255]. Чебышев писал, что в Берлине ему было
особенно интересно увидеть известного математика Дирихле.
Среди исследований Дирихле Чебышева особенно привлекли
приложения анализа бесконечно малых к теории чисел.
Будучи в Берлине, Чебышев каждый день встречался и беседовал
с Дирихле. Возможно, они говорили и об установленной Чебыше-
вым необходимости замены формулы Лежандра (13) другой.
Интерес Чебышева к трудам Дирихле сохранялся долгие годы.
Когда в 1889 г. Кронекер издал первый том сочинений Дирихле,
он получил от Чебышева письмо с просьбой прислать ему этот том
[12, т. 5, стр. 453].
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих
данной величины»
Третье Прибавление к «Теории сравнений», изданное
отдельной статьей, содержит одно из важнейших достижений Чебышева
в области теории чисел.
В работе [3] Чебышев доказал теорему 1: если тс (х) означает
число простых чисел, меньших х, п —- какое-нибудь целое,
р — положительное число, то функция
Х=1
с приближением р к нулю стремится к конечному пределу [12,
т. 1, стр. 173].
Сначала Чебышев доказал, что при р -> О выражения
u О том же говорилось и в издании этой работы (1852 г.) в журнале
Лиувилля [3, стр. 341]. В других изданиях этой статьи имя Дирихле не
упоминалось.
118

где т — натуральные числа, а р —- простые числа, так же как
[х производные, стремя'
Затем он показал, что
и их производные, стремятся к конечным пределам.12
О 0 0 о
поэтому разность 1) можно представить в виде дроби
00
V?_J J_^ о__ '
£ mi+P р оо
J e~xx9dx
о
Производная тг-го порядка от разности 1) будет выражаться
дробью, у которой знаменателем будет
(оо \и+1
I e~xx?dx I ,
а числителем — целая функция интегралов
00 00
S (рйгт - т) е~*хЧх' \ Ыл - т)e'v losxdx> ■■■'
о о
00 00 00
| ( х__ а )e~*x? l°gwх&х> \ e"xx9dx9 I е~хх? log xdx, . ..,
О 0 0
00
\ е~хх9 \ogn xdx.
о
Такая дробь при п ^ О будет приближаться к конечному
пределу с приближением р к нулю, так как предел интеграла
00
\e~xx?dx при р->0 есть 1. Остальные интегралы при р->0
сохраняют конечную величину. Все производные от N т+Г >
так же как и сама разность N •—щ , при р -> 0 будут иметь
конечный предел.
12 Непосредственный вывод этих утверждений имеется в рукописях Кор-
кина (см. стр. 151).
№

Проверив, что выражения 2) и 3) вместе с производными
также имеют при р->0 конечные пределы, Чебышев доказал
конечность предела и для выражения
dpn ~Г <*ря "~
которое после дифференцирования и сокращения принимает вид
, /V log> ylogn-im\
Отсюда получается требуемая теорема, так как последнее
выражение тождественно равно выражению
1 1 log* я
2[«^+1)-"W-i5f]-
Ж1+Р
где тг (#) — число простых чисел, равных или меньших х, а потому
1, если х равно простому числу,
iz(x-\-l) — iz(x) = \r.
7 v ' (к) — в остальных случаях.
Из этой теоремы, пользуясь формулой суммирования Абеля,
Чебышев выводит теорему 2: функция к{х) для х от 2 до оо
бесконечно много раз удовлетворяет как неравенству
так и неравенству
log х logn х •
2
*W<^ J loga. -1-iog»» >
как бы ни было мало положительное а и как бы велико ни было п.
На основании теоремы 2 получается следующая теорема 3:
выражение —т-г—loga: при #-> оо не может иметь пределом
количество, отличное от единицы [12, т. 1, стр. 181].
Это утверждение противоречит формуле, предложенной Ле-
жандром,
71 № = log х -1.08366
120

йрй достаточно больших х. Из формулы Лежандра следовало бы,
что
limf-fv — log х) = —1.08366 вместо —1.
Затем Чебышев вводит понятие «количества порядка
log»*
Он называет А количеством порядка -j——, если отношение А
к , т при х~> оо будет со для га>«иО для т<^п.
В теореме 4 утверждается: если выражение
при ж-> оо имеет пределом количество конечное или
бесконечность, то f(x) не может представить п(х) верно до количества
порядка т—„— включительно [12, т. 1, стр. 182].
На основании этой теоремы выясняется, что формула
Лежандра, для которой
log2 я / х Г dx |
х I log х — 1.08366 — J fog7 I
при x = оо имеет пределом величину 0.08366, не может
выражать п(х) — число простых чисел, меньших х, верно до количеств
порядка j—^— включительно. В то же время с помощью теоремы 4
Чебышев показывает, что из функций вида -j-j -ц-g- одна только
функция т—^ZTT могла бы выразить п(х) верно до количеств
порядка т—g— включительно. Что касается выбора функции,
наилучшим образом («наиближе») выражающей «(ж), то
Чебышев доказывает теорему 5 [12, т. 1, стр. 184]: если
функция тс (я), определяющая число простых чисел,
меньших х, может быть выражена верно до количества порядка т—^—
включительно алгебраически в х, logo:, ех, то такое выражение
ее есть
х . 1х 1 . 2х , 1 . 2 . 3... (п — 1)х
log а: ' log^x ' log3 я "Г • • * "Г \ogn х
121

dx
SdX X
j , верное до количеств ? ,
x x С dx <
I5^2T' IHisT ' '' " Поэтому при указанных предположениях J -^
верно выражает п(х) до количеств того порядка, до какого она
способна выражаться алгебраически в х, log а:, ех. Преимущества
X
dx
формулы 1 , перед формулой Лежандра не заметны. Для этого
2
нужны более обширные таблицы. Но разность
х
х С dx
log х — 1.08366 — J Togx
2
(1.08366)'
имеет минимум при х = е 008366 =1.247646, а после этого
значения постоянно возрастает до оо и при х > 10 000 000 достигает
уже значительного размера.
Таким образом, для приближенного определения функции к (х)
idx
, . В связи с этим он изменяет все
2
выражения, полученные исходя из формулы Лежандра,
Р
где р — простые числа от 2 до X.
Доказательства в этой работе Чебышева основаны на
использовании рядов, дифференцирования и оценок определенных
интегралов, т. е. не являются элементарными.
«О простых числах»
Еще Эйлер писал о том, что математики тщетно пытались
обнаружить какой-то порядок в ряде простых чисел. По его мнению,
это тайна, в которую ум человеческий не сможет никогда
проникнуть. Чтобы убедиться в этом, достаточно бросить взгляд на
таблицы простых чисел [22]. Первые асимптотические выражения
для функции к (х) предложили Лежандр и Гаусс.
Изучая сочинения Эйлера, Чебышев также обратил внимание
на этот вопрос. Непосредственным поводом к написанию статьи [61
послужил, по-видимому, доклад А. де Полиньяка «Новые
исследования о простых числах», сделанный 15 октября 1849 г. в
Парижской Академии наук. Познакомившись с его содержанием (см.
122

стр. 128), Чебышев приходит к мысли о необходимости
доказательства постулата Бертрана и решения других задач,
рассмотренных в [6].
Знаменитая работа «О простых числах» [6] содержит всего
17 страниц. Она состоит из небольшого введения, где автор ставит
задачи, которые решает в этой работе, доказательства неравенств
Ах < 0 (х) < Вх для функции 0 (х) = 2 l°g Р> применения
полученных неравенств для оценки количества простых чисел,
заключенных между данными пределами, в частности,
доказательства постулата Бертрана, получения оценок для функции
О (х) и применения их к вычислению сумм рядов, членами которых
являются функции простых чисел.
Вопросы, зависящие от закона распределения простых чисел
в натуральном ряду, представляют большие трудности. К ним
относятся все вопросы о суммировании рядов, членами которых
служат функции простых чисел. Некоторые утверждения
получены на основании изучения таблиц простых чисел без всякого
доказательства. К числу таких утверждений относится и постулат
Бертрана: «Начиная от а > 3 существует всегда простое число,
большее чем а и меньшее чем 2а—2».13
Чебышев заметил, что трудность еще увеличивается, когда
заданы более тесные пределы или назначен такой предел для а,
что для значений, превышающих этот предел, ряд а + 1, а + 2, . ..
...,2а — 2 должен содержать по крайней мере два, три, четыре
и т. д. простых числа [12, т. 1, стр. 191J.
Чебышев рассматривает функцию 6 (ж), равную сумме
натуральных логарифмов всех простых чисел, не превосходящих х,
6 (*) = 2 log р.
Р<х
Эта функция, как показывает Чебышев, удовлетворяет
уравнению
е(х)+е(^) + 9(^)+...+е(|.) + е(/|) + е(уЛ|)+
+ ...+9(±)+е(/1)+е(-^|)+...=1о§(1.2.з...[Ж]).
Если обозначить
0(*) + 0(>/£) + е(^+...=ф(а:)
и
logl .2-3. •.[*;] = Г (ж),
13Bertrand J. Memoire sur le nombre de valeurs que^peut prendre une
fonction quand on у permute les lettres qu'elle renferme. J. Ecole polytechn.,
t. 18, 1845, pp. 123-140.
123

то уравнение Чебышева запишется в следующем виде:
ИЛИ
2*(т)=тю- <14')
fr=l
При этом функции 6 (я), ф (#), Т (х) считаем равными 0, если
я<2.
Сначала Чебышев находит неравенства, которым
удовлетворяет функция ф(#),
t<*)>r<*)+r(J)-r(|)-r(f).-r(f)t
♦ ^-♦(т)<г(лг) + 2,(й)-г(т)-г(т)-г(т)-
Для доказательства этих неравенств Чебышев вычисляет
величину алгебраической суммы
При этом получается знакочередующийся ряд
tw-»G)+t(*)-t(ft)+t(frH(fi)+" =
=тм+тШ-т{¥)-тО)-тШ
Это ряд убывающий, поэтому его сумма заключена между
ф (х) и ф (ж) — ф("б")» отсюда и следуют два указанных неравенства.
Затем Чебышев переходит к изучению функции Т (х) и для
ее оценки применяет формулу Стирлинга, в результате получаются
два неравенства
Т {х)< log \/2« + a log а — а + -j log а + Wa'
7'(*)>logV2S + (a + l)log(a + l)-(a + l)-ylog(o + l).
Если выражение
^)+7,(ш)-7,(!)-гШ-*,(т)
124

обозначить М (х), то получаются неравенства (х ^ 30)
М(*)<Ах + 4 log*-1 log 1800* + i,
Л/(а;)>Л;г — у log* + у log- -,
где 4 = log ,/зо° =0.92129.... Для всех х>1
Л/ (i)< Лж + у log х, М (х)^> Ах — у log а: — 1.
Тогда для ty(x) получаются неравенства
<]>(x)>^-ylogx-l, (15)
t(*)-<j>(|)< Ах + ^ log х. (16)
С помощью второго из этих неравенств Чебышев находит
верхнюю границу для ф (х). С этой целью вводится в
рассмотрение функция
/(x) = |^ + n|plog^ + 4]ogx> (17)
удовлетворяющая уравнению
/(*)-/(£) = Л*+ J-log*. (18)
Если из неравенства (16) вычесть равенство (18), то
получится
<К*)-ф(т)-/(*) + /(тг)<0
или
*<*>-/(Й<*(т)-/(т)- (19)
Заменяя последовательно в этой формуле х на -g-, -^, ..., g^,
найдем
♦w-/w<t(f)-/(f)<<i)-/(i)<
<---<ф("В^т)—/(-gwr).
где т — наибольшее целое число, удовлетворяющее условию -^ ^ 1.
Отсюда получим
125

При -g- < z < 1 будет ф (z) = 0, a —/ (г)<1. Следовательно,
ф(б^г) —Ke^")^1, а потому и ♦ (*) —/(*)<* •
Подставив значение /(#) в это неравенство, находим
Ф(*)<4л*+п^1о8»*+41о«а:+1- (20>
Теперь легко найти и соответствующие неравенства для 0 (х)
12 5 15 ^ '
Ъ(х)>Ах — тАаУ* — -j-^log2* — jlogx— 3.
Затем Чебышев переходит к применению полученных
неравенств. Обозначив число простых чисел, находящихся в
промежутке (Z, L), буквой т, находим, что сумма логарифмов этих
чисел будет лежать в промежутке
т log Z < G (ж)< яг log L,
а разность 6(L) — 8(Z) будет удовлетворять неравенствам
6(L) — 6(Z)>mlogZ, 6(L) — 0 (Z)<m log L,
откуда
„^ 6(L)-G(Z) в(^)^в(0
log I ' ""^ logL
Зная оценки для б (#), получаем оценки и для т: N <С яг <' М.
Отсюда видно, что между I и L находится больше к простых
чисел; при к = 0 между Z и L находится по крайней мере одно
простое число. Если взять
/ _ 5 г ОГЧ 25 log2 L 125 log L 25_
1 —"6 L — *L 2 — 16^1og6 24Л 6Л »
то придем к строгому доказательству постулата Бертрана. Между
а и 2а — 2, где а>160, заключаются Z и L. Для этого
достаточно взять
о о\г „^Ъ т огч I 251og2£ 125 log L 25 .
т. е. 2а — 2>L, a<Z.
Если положить L = 2a— 3, тогда а<1 для а>160, и
постулат Бертрана доказан для всех а>160. Но для а<160 он
следует из таблиц простых чисел,
126

Последняя часть статьи посвящена оценке функций
—2 ""iff-"'<*>.,
к=1
где U = F(a) + F$) + F(t)+ .... +F(p), а, р, Т, ..., р— простые
числа, лежащие между I и L.
Применяя неравенства для б (Л), Чебышев находит оценки
для и. Доказывается теорема: если функция F(x) остается
положительной при переходе х за некоторый предел, то сходимость
ряда
2°° F(k)
log А:
будет необходимым и достаточным условием сходимости ряда
F(2) + F{Z) + F(b) + ... (22)
В случае сходимости ряда (22) Чебышев находит его сумму
с любым приближением. Вычисляя сумму ряда с помощью его
частных сумм, Чебышев указывает погрешность от этой замены.
Количество простых чисел, заключающихся в данных
пределах, можно снова вывести как частный случай из суммы
где а, р, у,... — простые числа; если положить F(x) = l, то
сумма будет равна количеству простых чисел между I и L.
Первые открытия Чебышева в области теории простых чисел
заинтересовали знаменитого французского математика О. Коши.
Об этом написал Чебышеву Шарль Эрмит: «Мне хотелось бы, чтобы
Вы узнали, что г. Коши, которого я видел в последний четверг,
чрезвычайно заинтересовался Вашими открытиями в области
простых чисел. . . Я сообщил ему большую часть Ваших теорем
и с удовлетворением убедился, что он обнаружил самый живой
интерес. В особенности его поразило доказательство постулата
Бертрана и результаты, касающиеся сходимости ряда щ, щ,
и3,. . ., и (где р — целые), и, слушая его замечания, я пришел
к заключению, что момент (благоприятен, чтобы передать ему
Ваше желание с ним увидеться» [Чебышев, 12, т. 5, стр. 425].
Примерно в то же время, что и Чебышев, вопросом о
распределении простых чисел занимался А. де Полиньяк (1826—1863 гг.).
Во время заграничной командировки 1852 г. Чебышев специально
ездил в город Мец, чтобы повидаться и побеседовать с Полиньяком.
В отчете о поездке он писал: «Здесь же я встретился с А. де
Полиньяком, известным во Франции по своим изысканиям в
математике; мы с ним занимались одними вопросами — доказательством
127

известного постулата Бертрана и других предложений этого
рода — и, по-видимому, различными путями успели победить
особенные трудности, которые представляли эти вопросы. В 1849 г.
15 октября в Парижской Академии наук читал г. Полиньяк
отчет u об исследовании особенных рядов, названных им диатоми-
ческими, и о приложениях, которые из них можно сделать. . .»
[12, т. 1, стр. 251].
Полиньяк писал, что с помощью диатомических рядов он
доказал, что в пределах между ап и ая+1 находится хоть одно простое
число. Между тем Чебышев в 1850 г. в представленной в
Петербургскую Академию наук статье [6] строго доказал постулат
Бертрана, дававший более тесные пределы для промежутка,
содержащего хоть одно простое число, чем пределы у По-
линьяка. Поскольку доклад Полиньяка не содержал доказательств,
и, следовательно, Чебышев не мог знать его методов, то Полиньяк
считал исследования русского ученого вполне оригинальными.15
Впоследствии Полиньяк пришел к выводу о превосходстве
метода Чебышева 16 и даже применял его для решения различных
вопросов теории простых чисел.
Дальнейшее развитие исследований по
теории распределения простых чисел.
Работа Чебышева «О простых числах» [6] породила множество
исследований. Их авторы (Сильвестер, Штернек, Пуанкаре, Стане-
вич и др.) улучшали границы для функций б (х) и ф (х) и оценивали
другие функции, подобные этим, обобщали результаты Чебышева,
давали новые доказательства этих и аналогичных результатов.
Изложению чебышевских результатов и методов и сравнению
их с исследованиями Мертенса17 была посвящена в основном
докторская диссертация И. И. Иванова [13]. В. И. Станевич
нашел границы для числа простых чисел видов 4лг+1 [3]. Е. И.
Золотарев пробовал изменить доказательство Чебышева, но не
опубликовал свои результаты (см. стр. 165).
Доказательство асимптотического закона распределения
простых чисел было получено впервые аналитическим путем. Ученик
Дирихле и Гаусса Б. Риман (1826—1866 гг.) развил метод,
использовавший теорию функций комплексного переменного. Он
14 PolignacA. Recherches nouvellessur les nombres premiers. С R,,
t. 29, 1849, pp. 397—401; Rectification a la note precedente, t. 29, 1849, pp. 738,
739; t. 35, 1852, p. 333; t. 49, 1859, pp. 350—352, 386-390,624-628, 724-729;
t. 50, 1860, pp. 575—579.
Ч P о 1 i g n а с A. Nouvelles recherches sur les nombres premiers. J.
math, pures et appl., t. 19, 1854, p. 322.
16 P о 1 i g n а с A. Sur quelques formules, tres generates qui se presentent
dans la theorie des nombres premiers. Mem. Acad. imp. des sciences, inscriptions
et belles-lettres de Toulouse, (5), t. 1, 1857, pp. 308—334.
17 Mertens F. Beitrag zur analytische Zahlentheorie. J. reine ang.
Math., Bd. 78, 1874, SS. 55, 56.
128

рассматривал С-функцию, впервые введенную Эйлером, как
аналитическую функцию комплексного переменного. Своим новым
методом он пробовал решать задачи, недоступные другим
приемам. Одной из таких задач был асимптотический закон
распределения простых чисел в натуральном ряду. Набросок
доказательства асимптотического закона Риман дал в своей работе
1859 г.18 Пробелы, имевшиеся в этом доказательстве, привлекли
внимание математиков и явились стимулом для доказательства
закона простых чисел. В 1896 г. он был доказан одновременно
Адамаром 19 и Валле-Пуссеном.20 Оба автора использовали
теорию целых функций, созданную Адамаром в 1893 г.21
Доказательство Адамара было немного проще, но Валле-Пуссен в
следующей статье 22 подробно исследовал вопрос о точности
приближения функции п (х). Позднее доказательство было упрощено,
причем в нем уже не использовалась теория целых функций.
. Математики снова вспомнили об элементарном пути
доказательства в 1948—1949 гг. в связи с появлением статей Сельберга
и Эрдеша,23 в которых содержалось элементарное, т. е. без
использования теории функций комплексного переменного,
доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
Это доказательство, а также последовавшие за ним доказательства
различных эквивалентных этому закону утверждений,
обобщений и упрощений его, в качестве одной из составных частей
содержали результаты и приемы работы Чебышева [6].
Другие работы по теории простых чисел
Кроме «Теории сравнений» с Прибавлениями и статьи «О
простых числах» [6], Чебышев опубликовал еще несколько работ по
теории чисел. Все они напечатаны в первом томе его Полного
собрания сочинений [12].
18 Р и м а н Б. Сочинения. М., 1948, стр. 216—224.
"Hadamard J. Sur la distribution des zeros de la fonction C(s)
et ses consequences arithmetiques. Bull. soc. math, de France, t. 24,1896, pp. 199,
220.
20 De la Valle e-P о u s s i n Ch. Recherches analytiques sur la
theorie des nombres (I part.). Ann. soc. sci., Bruxelles, t. 20, № 2, 1896,
pp. 183—256.
aHadamard J. Etude sur les proprietes des fonctions entiers. J.
math., (4), t. 9, 1893, pp. 171—215.
22 D e 1 a Va41e£-P о us sin Ch. Sur la fonction de Riemannetle nombre
des nombres premiers inferieure a une limite donnee. Mem. couronnees Acad, de
Belg., t. 59, pp.4899, 1900.
23 S e 1 b e r g A. An elementary proof of the number theory. Ann. Math.,
(2), v. 50, 1949, pp. 305—313; Erdos P. On a new method in elementary
number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem.
Proc. Nat. Acad. USA, v. 35, 1949, pp. 374—384.
129

Ряды, члены которых зависят от простых чисел.
В заметке [5] Чебышев рассматривает три пары формул
обращения рядов:
Р (*) = 2 / (*»), / (п) - 2 AkF (пк), (23)
* (*) = 2 / «2» + 1) к), f (п) = 2 Я**" (»*). (24)
*(*) = 2 (-l)B/((2n + 1)А), /(/»)= 2 C^(nft). (25)
я=0 Л=1
Для определения коэффициентов ЛЛ в формуле (23) Чебышев
полагает / (п) = —, где г > 1. Тогда
00
F^=^lvkF'или р(к)=^(гУ> /(i)=i=2i4*F(ft)-
я=1 fc=l
Для определения коэффициентов Лд. получается равенство
£г ~ £ кг >
к=1 к=1
из которого видно, что Ак = р(к), где p(&) — функция Мёбиуса.
Аналогичным путем Чебышев находит коэффициенты Вк и Ск.
Оказывается, что
А =
с* =
\ 0 при к9 которые делятся на 2 или на квадрат,
(—l)w, если к = ргр2 ... рт, где р4 — различные простые
(делители числа к, не равные 2,
О при к — четном или делящемся на квадрат,
-f-1, если к имеет четное число простых делителей вида
I—1, если к имеет нечетное число таких делителей.
Затем рассмотрены различные частные случаи полученных
формул. Если взять известный ряд
20
cos 2% (2п + 1) 1х
2
(2л + 1)2
»=0
130

и принять в нем \х = т±<о, где т — целое, а -^^ы^О, то
сумма ряда равна
f(l-4a>) илИ|(1-4{Ха:}).
где (кх) — наименьшее число, которое надо прибавить к \х или
вычесть из \х, чтобы получить целое число, т. е.
00
™21\ / а \\ X? cos 2% (2п-\-1) \х
п 1\ А А г\\ — \? cos 2% (2га + 1) 1х
8 (i — * \ьх)) — £ (2п + 1)2 •
я=0
Приняв в этом равенстве х = 0, получим
00
2 1 7С2
(2/г + 1)2 —¥#
я=0
Вычтя почленно это равенство из предыдущего, найдем
1 .у ч_ 2 у 1 — cos2%(2n + l)lx
х2 {№)— %2 2± (2/г + 1)2
я=0
Отсюда, в частности, получается разложение в ряд
2
я=0
<Хж>=-г- 2(1 ~cos 2яХ (2ге+1} ж)-
Теперь можно найти разложение в ряд для функции
2 1 — cos 2%кх л
*Г J2 ПРИ аг=1;
Положим .F (ж) = —^- {Ха;}. По формуле (24)
х ( \ 2 1 — cos 2тсХж
' W — ^2" ^ •
При а: = 1 получим
/(1) = 4-(1-С082-Х) = ^-{|1-§1---- (28)
Следовательно,
131

Если заменить 1 — cos 2izkx на 2 sin пкх, то придем к
равенству
4sin2 7cX _{\) {31} {5Х} „
%2 — 12 32 52 VZ//
С помощью общих формул Чебышев находит также суммы
нескольких числовых рядов.
Ш. Эрмит заметил по поводу этой статьи следующее: «Г.
Чебышев дал замечательный пример другого способа выражения
периодических функций в следующей формуле. Пусть (х) наименьшая
величина, которую надо добавить к х или отнять от #, чтобы
получить целое число. Тогда
4 sin2 %х _ {х) (Зх) (Ъх) _Vi (гмО
%2 — 12 32 52 2ла" 7l2
где коэффициент ап равен нулю, когда п — четное или делится
на квадрат, и равен 1 или —1 в зависимости от того, будет число
простых делителей п четным или нечетным».24 Сравнение формул
Чебышева (23) с формулами обращения Мёбиуса имеется в [И 14].
Две статьи Чебышева [8, 10] посвящены исследованию
вопросов, связанных с распределением простых чисел. В [8] автор
без доказательства высказал утверждение, что для достаточно
больших х количество простых чисел вида 4и+3, не
превосходящих х (обозначим его g(x)), больше, чем количество простых
чисел вида 4га+1, не превосходящих того же предела х
(обозначим его f(x)). При этом разность g(x) — /(ж), деленная на
-j , приближается к 1 с возрастанием х. Чебышев поясняет
это утверждение примерами: сумма ряда
при с -> 0 стремится к оо; ряд
/(3)-/(5) + /(7) + /(И)-/(13)-/(17) + /(19) + /(23) + ...,
где / (х) — постоянно убывающая функция, может быть сходя-
щимся только в том случае, если предел произведения x2f(x)
равен нулю (предел берется при х -> со). Чебышев отметил, что
он пришел к этим результатам, рассматривая одно уравнение,
которое содержит в себе как частный случай уравнение (14').25
24 Н е г m i t е Ch. Cours d'analyse. Paris, 1873, p. 43.
2* Развитие этого вопроса имеется в книге Ландау [И 36, т. 2,
стр. 695—705], в которой доказана теорема:
неравенство
m—i\
log х
<8
132

Через 26 лет появилась статья [10], из содержания которой
видно, каким образом Чебышев пришел к этим утверждениям.
Целью его исследования было установление зависимости между
тождеством (14') и тождеством Эйлера для ^-функции
21о*п=2Ктг)' <28)
п^х п^.х
!^-?ГтУ <29)
где р — простые числа. Он пришел к выводу, что обе формулы
следуют из одного равенства
2iogre/H=2iogPF(p), (3°)
и=2 р
где р — простые числа. Функции F(x) и /(#), как утверждает
Чебышев [12, т. 1, стр. 280], могут быть непрерывными или
прерывными, достаточно лишь, чтобы содержащие их ряды были
сходящимися. При этом функции f(x) и F(x) должны быть
связаны соотношением
f(i)=2 2/K). (31)
Действительно, полагая /(#) = —, где ж>1, р>1, получаем
00 00
нпзГ)=(^г откуда F w=2 "яг 2 s=? •
Поскольку
ТО
2 1 _ 1
хт? — «Р — 1 »
*(*) = IFZ7iC(p),
всегда выполняется при любых заданных положительных &, 5, т. е. для
некоторого я (S, Ь) > § справедливо
log а: ^ v ' log х ^ log а? *
где Р (x)=g (*)—/ (х).
133

тогда рдврнртво (30) принимает вид
log 71 _V JOgp г/гЛ
где р — простые числа.
Отсюда следует, что
С'(Р)
С(Р)
Проинтегрировав от какого-нибудь р ДР оо> сш получает
равенство
1
log С (р) = log
?(«-*)•
потенцируя которое, он получает формулу (29).
Если взять
11 при х ^ а,
/(*) = (о при *>а,
то сумма
сю
2 bg п /(/г)
приведется к сумме логарифмов 2 log гг. Обозначив
Ф(*) = 2 iogp,
а>2
получим равенство (28).
В качестве еще одного приложения общей формулы (30) Чебы-
шев утверждает, что сумма
е-з« _ е-ьо + e-ic _|_ е-пс _ _ (32)
бесконечно возрастает, когда с стремится к нулю. Чебышев
делает отсюда следующее заключение: «Так как члены последнего)
ряда при с = 0 приводятся к ±1, смотря по тому, имеет ли
соответствующий множитель при с вид 4лг + 3 или вид 4тг+ 1, то мы
приводим к следующему заключению: существует значительная
разница в распределении простых чисел двух видов 4гг + 3, An + 1:
первый вид содержит значительно больше чисел, чем второй»
[12, т. 1, стр. 282].
Нахождение асимптотических выражений для сумм рядов (32) и
ег*4-<Г2* + еГ4* + <г8*+ ••• (33)
134

привлекало и ученика Чебышева Е. И. Золотарева, как об этом
свидетельствуют его черновые тетради.26
Харди и Литлвуд исследовали связь предположения Чебышева
о том, что
Ш = 2(-1)2 в""-* со приг/^0,
р
с гипотезой Римана.27
В заметке [9] Чебышев обобщил тождество, предложенное
французским математиком Каталаном, заметившим, что предел
суммы
1 , 1 , 1 . , J_
при и-^оо, равный log 2, можно получить из тождества
2^3 4 ~ ' * # 2/г — п + 1 ~ п + 2 ^ " * ^ 2п »
которое легко проверить. Чебышев обобщил тождество Каталана,
заменив единицы, стоящие в числителях в левой части тождества
членами некоторого ряда uv и2> щ, ..., и2п и обозначив их =
= »# —в*.:
Щ ЩЬ\иЗ ^2п и2п+2 I ц2и+4 i i
1 2~*~ J " * ' 2/1~"л + 1"Ги + 2~1"-"~г
+ £ + ■?-+•••+*• (34)
Полагая
£(flx)
где a — некоторое положительное число, Е (х) — целая часть х,
он находит, что
1 _(_1)Я(2ааО
а предел Итил = а. Подставив их и vx в формулу (34), получим
я-»оо
а Юё * — 12 22^ + ^2 • • • —
1-(-1)Д(««) 1 — (_l)^(^)
4 • 12 + 4 . 22
26 ААН СССР, ф. 289, оп. 1, № 6, л. 31 и дальше.
"Hardy G. Н. and L i t 11 e w о о d. J. E. Contributions to the
theory of the Riemann zeta-function ard the theory of the distribution of
primes. Acta mathem., t. 41, 1918, pp. 119—196.
135

Квадратичные формы. Статью о квадратичных
формах [4] Чебышев начинает с упоминания о том, что еще
Эйлер [86, 89] показал на примерах, как представление чисел
квадратичными формами с отрицательным определителем можно
использовать для выяснения простоты числа. Чебышев показал
в [4], что в этих исследованиях можно использовать и формы с
положительным определителем. В последнем случае можно
охватить многие случаи небольшим числом специально подобранных
форм. Для каждой из этих форм надо составить таблицы,
облегчающие исследование.
Число представлений данного числа N в форме Ах2+Ву2
конечно, поэтому, отыскивая количество решений уравнения
Ax2 + By2 = N,
можно отличить случай, когда N — простое, от случая, когда оно—
составное. То же обстоятельство имеет место и по отношению
к уравнению
x2 — Dy2=±N,
если среди его решений (число которых бесконечно) считать только
те, в которых х и у не превышают определенных пределов.
Чебышев доказывает теорему о числе решений уравнения
x2—Dy2=N, заключенных в некоторых границах: если
уравнение x2—Dy2=N возможно, то в пределах
х=о, *=УЩИ,У=0,У=УЩШ
существуют значения для хну, которые ему удовлетворяют,
где х=а. означает наименьшее решение уравнения
х2 — Dy2=l,
превышающее единицу [12, т. 1, стр. 211].
Аналогичная теорема доказана и для уравнения #2—Dy2=—N.
В работе даны таблицы квадратичных форм различного вида для
линейных форм N, которые могут быть испытаны при помощи этих
квадратичных форм. В таблице указаны соответствующие
пределы для хну. Полученные результаты автор иллюстрирует
несколькими примерами.
«Об одном арифметическом вопросе». Пара
положительных целых чисел р и q дает относительный минимум
линейной формы х—ау, где а — вещественное иррациональное
число, если неравенства
I * — оу КI р — щ 1> о < У < ?>
удовлетворяются только целыми числами х=р, y=q (если не
считать х=0, у=0) [И 4, стр. 47]. Задача отыскания всех
относительных минимумов данной линейной формы была предметом исследо-
136

ваний Лагранжа и привела его к открытию важных свойств
подходящих дробей. Относительные минимумы линейной формы х—ау
находятся с помощью подходящих дробей, получаемых при
разложении а в непрерывную дробь. Различные обобщения алгоритма
непрерывных дробей были основаны на свойстве подходящих
дробей давать относительные минимумы формы х—ау.
Как заметил Б. А. Венков, Чебышев в работе [7] решил более
общую задачу об определении относительных минимумов
линейной функции х—ау—Ь, где а, Ъ — данные вещественные числа.
При этом он получил следующий результат: существует
бесчисленное множество пар целых чисел яг, у, удовлетворяющих
неравенству
\х — ау — Ь\<-щ9
где 6=1/2 [И-4, стр. 67].
О цели своего исследования Чебышев говорит таким образом:
«По данной степени приближения у—ах к нулю наименьшие х, у,
при которых такое приближение имеет место, легко определяются
разложением количества а в непрерывную дробь. Вопрос более
сложный, когда числа х, у ищутся под условием, чтобы разность
у—ах до желаемой степени приближения привелась бы к данной
величине Ь, отличной от нуля, тоже может быть решен при помощи
непрерывных дробей. Решением этого вопроса мы теперь и
займемся» [12, т. 1, стр. 237].
Чебышев показывает, что этот вопрос сводится к нахождению
целого числа х, для которого разность
Е{ах + Ь) + 1 — {ах + Ъ) или ах-\-Ъ — Е{ах + Ь),
где Е {х) — целая часть числа х, не превосходит данной границы,
определяющей приближение разности у — ах к числу Ъ [12, т. 1,
стр. 238].
Чтобы найти наименьшие целые числа х, у, для которых
разность у — ах, оставаясь меньше 6, приближается к Ъ таким
образом, что разность у — ах — b становится меньше е, Чебышев
разлагает число а в непрерывную дробь
.1
я = ?<Н 1 >
д* + ъ + -
находит подходящие дроби
£± — 1 Il = S1 pi+i— Prti + Pi-i
Qo 0' Qx !»•••» qm— Piqi + QM
и составляет величины Z>0, Dv D2, Dv ... следующим образом:
Z?0=l, D1 = a — q0, D2 = l—qiDv Dl+lr=zDl_1 — qlDv ...
137

Затем разность Ъ — Е (Ь) разлагается в ряд
ЦМ- (А + a1D1 + D2) + HD2 + '-±1 (D3 + *3D3 + DJ + ...,
где целые положительные числа av а2, а3, ... и знаки в
множителях ~ выбираются так, чтобы этот ряд, «остановленный на
каком-либо члене, давал величину, не превосходящую Ъ — Е(Ь),
но по возможности большую». Остановимся на первом из членов
вида a2Z)2, a4Z)4, ..., при котором «ряд дает величину Ъ — Е (Ь)
верно до е, и в этом выражении Ь — Е (Ь) последний коэффициент
настолько приближаем к нулю, насколько это возможно сделать,
оставляя его числом целым и не увеличивая погрешности
выражения за предел е». Заменяя в полученном таким образом
приближенном выражении для Ъ — Е (Ь) величины Dv Z)2, Z)3, • • •
числами —Qv +(?2» —(?з> ~hQv • • •» находим х, а при замене
тех же величин числами —Pv +Р2» —^з> • • •> прибавляя Е(Ь),
находим у [12, т. 1, стр. 265, 266].
Результатом исследований Чебышева является теорема: если
а — количество несоизмеримое (иррациональное, — Е. О.),
найдется бесконечное множество таких целых чисел х, у, при
которых выражение у—ах будет разниться с каким-либо данным коли-
2
чеством Ь менее, чем на —. Одни из этих величин х> у будут
давать у — ах^>Ь, другие у — ах<^Ь [12, т. 1, стр. 271].
В заключение Чебышев показал, как найти бесконечное
множество целых чисел #, у, при которых разность
А (1х + ту + п)2 — Аг (lxx + mjj + ^i)2
будет заключена между 0 и Ik{lm1 — l1m)\lAAv если ААХ не
есть точный квадрат и lm1 — Ijn не равна нулю.
В связи с исследованием Чебышева «Об одном арифметическом
вопросе» Ш. Эрмит писал ему 29 июня 1878 г.: «С самого
заседания в прошлый понедельник, когда Вы сообщили мне о Вашем
w
прекрасном результате, содержащемся в формуле т — an — Ь=-,
где Е — меньше 2, и упрекнули меня с большой горечью, что я
обратил на него не больше внимания, чем другие, я пытался его
доказать и теперь, чтобы себя оправдать, предлагаю Вам мой
скромный метод» [12, т. 5, стр. 432, 433].
Второй раз об этом результате Чебышева Эрмит упоминает
в своем письме к Борхардту, опубликованном в 1879 г. в журнале
Крелле: «Чебышев в личном разговоре со мной сообщил мне
арифметическую теорему, которая меня очень заинтересовала. Он
установил в мемуаре, опубликованном в „Мемуарах С.-Петербургской
Академии наук" на русском языке, с которым я поэтому без его
помощи никогда бы не познакомился, следующее весьма замеча-
138

тельное предложение: существует бесконечно много систем целых
чисел х, у, таких что линейная функция х—ау—Ь, где а и Ъ —
произвольно заданные постоянные, по абсолютной величине
меньше, чем —(в мемуаре Чебышева, собственно, лишь доказано,
что меньше J2). Это, как Вы видите, обобщение основного
результата теории непрерывных дробей на выражение совершенно
иного вида; обобщение это открывает дорогу для многочисленных
дальнейших исследований» [12, т. 1, стр. 288, 289].
В своей статье Эрмит 28 уточнил неравенство Чебышева. Он
указал, что исследование формы
где Ь и У — переменные, принимающие положительные значения,
дающее простое доказательство результатов относительно
минимумов линейной функции x—ay—bz, полученных Дирихле, ведет
также и к утверждению Чебышева. Он получил неравенство
\х — ау — Ъг\^\~, откуда \х — ау — 6|^|/21.
После Эрмита задачей, рассмотренной Чебышевым, занимался
Г. Минковский. Он заметил, что подобно тому, как вопрос о
значении с в неравенствах
\х~аУ\<-щ или К*-аУ)У\<с
может быть обобщен на вопрос о с в неравенстве
где aS— Py=1» вопрос о постоянной с в неравенстве Чебышева
может быть обобщен на неравенство
| (ах + $у — 60) (т* + Ьу — тг)0) |< с,
в котором £0, ^о — произвольные заданные числа. В этой
измененной форме Минковский исследует этот вопрос и показывает, что
можно взять с=т и нельзя взять меньшую константу, т. е. что
т — точное значение этой константы [12, т. 1, стр. 291].
Результаты статьи Чебышева [7] были изложены в курсе
лекций А. А. Маркова 29 «О непрерывных дробях», в котором автор
28 Her mite Ch. Oeuvres, t. 3, 1912, pp. 513, 514; [12, т. 1, стр.
288-300).
2» AAH СССР, ф. 173, on. 1, №№ 4, 5.
139

анализирует работу Чебышева, поясняет ее примерами и,
сравнивая результаты Чебышева с результатами Эрмита, Кронекера и
Стилтьеса, приходит к выводу, что исследования последних
не исчерпывают того, что было в работе Чебышева. Предметом
статьи Чебышева является составление и исследование двух рядов
последовательных численно наименьших значений трехчлена
х—ау—Ь, где а, Ъ — какие-нибудь данные положительные числа,
#, у — переменные целые, притом у ^ 0. Марков пишет, что
в то же время «ни Эрмит, ни Кронекер не рассматривают ничего
подобного рядам Чебышева и не доказывают его предложения,
но они указывают некоторые правила для получения пар целых
чисел #, у, при которых числовая величина трехчлена х—ау—Ь
мала и даже сколь угодно мала. Продолжив достаточно далеко
ряды Чебышева, мы для любого данного положительного числа N
найдем наименьшие положительные величины трехчленов
х — ау — 6, ау + Ь — х = — (х — ау — Ъ)
при условии 0 ^ у ^ N и соответствующие пары чисел х, у,
а правила Эрмита и Кронекера не дают возможности это сделать».30
Вопрос об одновременном приближении двух иррациональных
чисел дробями или об одновременном приближении двух разностей
(х—ay), (z—by) к нулю рассматривал Е. И. Золотарев,
заинтересовавшийся им, по-видимому, в связи с работами Чебышева и
письмами Эрмита.31
30 Там же, № 4, л. 15.
31 ЛОА АН СССР, ф. 289, оп. 1, № 3, л. 26.

ГЛАВА 5
ПЕТЕРБУРГСКАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА
П. Л. Чебышев известен не только как великий математик, но
и как создатель и глава первой крупной математической школы
в России. Одним из направлений исследований этой школы было
изучение теории чисел.
Молодые ученые ценили в своем учителе умение определять
новые перспективные направления исследований, ставить трудные
и интересные задачи, большей частью имевшие важные
практические и научные применения. Влияние Чебышева на учеников
сказывалось не только в выборе тем исследований, но и в характере
этих исследований, в применяемых средствах и методах. Как
известно, каждую математическую задачу Чебышев старался свести
к решению задач о наибольших и наименьших величинах. Этот
принцип творчества Чебышева характерен для многих трудов его
учеников. В частности, совместные работы А. Н. Коркина и
Е. И. Золотарева являются воплощением этой идеи Чебышева в
теории квадратичных форм.
I Учениками Чебышева были А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев,
А. А. Марков, А. В. Васильев, Ю. В. Сохоцкий. Влияние его
идей испытало на себе и следующее поколение математиков —
Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве и другие известные ученые, работавшие
в области теории чисел. Излюбленным средством в работах
Чебышева, как теоретико-числовых, так и относящихся к другим
разделам математики, были непрерывные дроби. Ученики Чебышева
также широко использовали методы теории непрерывных
дробей в различных вопросах, в том числе в теории
дифференциальных уравнений и интегральном исчислении. Особенно
хорошо владел аппаратом непрерывных дробей А. А. Марков.
Затронутые Чебышевым в работе [7 ] и в переписке с Эрмитом вопросы
диофантовых приближений и обобщения алгоритма непрерывных
дробей позднее разрабатывались Е. И. Золотаревым, Г. Ф.
Вороным, Я. В. Успенским.
Деятельности в области теории чисел наиболее выдающихся
ученых Петербургской школы посвящена широко известная книга
Б. Н. Делоне [И 9]. В настоящей главе рассмотрены труды всех
учеников, а также последователей идей П. Л. Чебышева по теории
чисел.
141

А. Н. Коркин
Александр Николаевич Коркин (1837—1908 гг.) был первым
из учеников П. Л. Чебышева, известных в научном мире своими
математическими трудами. В течение многих лет (1860—1908 гг.)
он преподавал в Петербургском университете. Его научные
интересы в области теории чисел были сосредоточены на изучении
теории квадратичных форм. Совместно с Е. И. Золотаревым им были
подготовлены три статьи о минимумах квадратичных форм.
Вскоре после кончины Коркина в его бумагах были найдены
записи о решении двучленных сравнений, подготовленные к
публикации К. А. Поссе и И. И. Ивановым и изданные К. А. Поссе
[П 10]. В Архиве АН СССР хранятся его рукописные материалы,
о некоторых из них будет сказано ниже.
Работы А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева
по теории квадратичных форм. А. Н. Коркин
занимался изучением теории квадратичных форм еще во время
своей первой научной командировки за границу. Среди его
рукописей того времени имеются, например, подробные конспекты
лекций Дирихле о счете классов бинарных форм.1 Долгие годы эти
вопросы продолжали интересовать ученого. Об этом
свидетельствуют замечания Коркина на упомянутой рукописи,
относящиеся к разным периодам его творчества.
Поэтому особый интерес у Коркина вызвала магистерская
диссертация^. И. Золотарева [1], в которой использовалась теория
квадратичных форм. Коркин не был официальным оппонентом,
но на защите выступил с замечаниями по этой работе.
Исследования, предпринятые вскоре после этой защиты совместно Коркиным
и Золотаревым, были изложены ими в трех статьях [Коркин,
1—3]. Кроме того, вопросы теории квадратичных форм занимают
много места в переписке Коркина и Золотарева, опубликованной
впервые в 1931—1932 гг. в Полном собрании сочинений Е. И.
Золотарева [Коркин, 13].
Совместные работы Золотарева и Коркина по теории
квадратичных форм были вызваны интересом к научным проблемам,
обсуждаемым в письмах Эрмита к Якоби. Об этом писал Коркин
в записке, посвященной памяти Золотарева: «В тех же письмах
поставлен вопрос о точном пределе для наименьших значений
положительных квадратичных форм, решение которого было известно
только для случая двух и трех переменных. Вопрос этот, один
из труднейших, повел к целому ряду исследований, сделанных
Золотаревым совместно с профессором Коркиным» [Золотарев,
П И, стр. 83].
В первой из статей «О положительных квадратичных кватер-
нарных формах» [1] авторы доказали теорему: переменным лю-
1 ЛОА АН СССР, ф. 759, оп. 4, № 115, лл. 81—142.
142

Александр Николаевич Коркин.

бой положительной кватернарной квадратичной формы
определителя D можно придать такие целые значения, что значение формы
не будет превосходить величины -^4/), и существуют такие
формы, минимумы которых равны j/AD. Примером такой формы
является форма
VMffi + aZ + aZ + aZ + zfr + XjXi + xpJ.
Таким образом, точной верхней границей минимумов кватер-
нарных квадратичных форм будет р. (4) = -j/47 Для п — 2 итг = 3
точные верхние границы минимумов были известны:
ffx(2) = /4> ИЗ) = У2.
Результат этой статьи неоднократно использовался
математиками. Метод этой работы (метод двух плоскостей) впоследствии
много раз применял А. А. Марков.
Вторая совместная статья^Ю квадратичных формах» [2] была
опубликована в 1873 г. Здесь Коркин и Золотарев впервые вводят
понятие предельной, или экстремальной, формы. Авторы так
объясняли историю появления этой работы. Первоначально они хотели
убедиться в справедливости гипотезы Эрмита и доказать, что
величина 2*1/ , есть точная верхняя граница минимумов
форм с п переменными определителя D. Вместо этого они выяснили,
что указанная величина является минимумом экстремальных форм,
т. е. является точной верхней границей не для всех, а лишь для
некоторых форм. Если же рассматривать все множество
квадратичных форм с п переменными данного определителя D, то имеются
локальные минимумы, которые превосходят эту величину. Они
пришли к заключению, что точной верхней границей для всего
множества указанных форм является наибольший из локальных
минимумов, которые содержатся в этом множестве.
Коркин и Золотарев установили одно из важнейших свойств
предельных форм. Пусть / (хг, #2,. . ., хп) — предельная форма
определителя Z), т — ее минимум, а
Ч1> ^12» П3> • • *» Пп»
*21> ^22» *23> • • •» ^2п> /|\
М> ^ff2> ЧхЗ» * • *> ^«тя»
— все системы целых значений переменных #я, при которых форма
достигает своего минимума, так что
f(lt{) = m (* = 1, 2, 3, ..., о; * = 1, 2, ...л). (2)
144

При этом если две системы значений отличаются только
знаками, то их считают одинаковыми и учитывают только один раз
(такие системы значений переменных хк называются
представлениями минимума данной формы). В этом случае уравнения (2),
линейные относительно коэффициентов a.j формы /, определяют
эти коэффициенты с точностью до общего множителя. Отсюда
следует, что число строк в (1) не меньше ——^—", т. е. о^
^— 2 ' так как пРеДставлений минимума не меньше, чем
п(п + \)
2
При исследовании положительных квадратичных форм Коркин
и Золотарев применяли свой метод приведения положительной
квадратичной формы к простейшему виду, названный ими
«разложением формы по ее минимумам». Этот метод они применили и
при доказательстве теоремы Эрмита относительно верхней
границы минимумов положительных квадратичных форм от п пере-
п
менных: (у)2 " +у/Г5 и для получения другой, более точной,
чем у Эрмита, границы для минимумов форм. Для бинарных,
тернарных и кватернарных форм полученная ими верхняя граница
является точной. Для числа переменных п ^ 5 эта граница точной
уже не является.
В этой работе были указаны примеры предельных форм и
для других значений п: для п = 6 с минимумом 2 "I/ -^-, для п = 7
с минимумом \/64Z). Вопрос о предельных формах с пятью и более
переменными Коркин и Золотарев обсуждали в письмах 1872 г.
Там же они рассматривали различные приложения теорем о
минимумах: к теории уравнений, к доказательству алгебраических
теорем, к интегрированию. К сожалению, эти планы остались
не осуществленными.
Замечание о неопределенных формах, сделанное авторами в
работе [2], явилось исходным пунктом для исследований их ученика
А. А. Маркова (см. стр. 178). а
Третья работа Коркина и Золотарева «О положительных
квадратичных формах» [3 ] дополняет исследование о предельных
формах, начатое ими во второй статье. Здесь выясняются некоторые
важные свойства этих предельных форм и найдены все предельные
формы с двумя, тремя, четырьмя и пятью переменными.
Появлению трех статей Коркина и Золотарева предшествовала
длительная и чрезвычайно кропотливая работа обоих ученых.
Продолжателями идей Коркина и Золотарева в Советском
Союзе являются Б. Н. Делоне, Б. А. Венков и их ученики.
Рассмотрению и геометрическому истолкованию их работ посвящено
несколько разделов в книге Б. Н. Делоне [И 9].
145

О решении двучленных сравнений. Кроме
исследований по теории квадратичных форм, Коркину
принадлежат труды по другим вопросам теории чисел: решению
двучленных сравнений, представлению чисел в виде суммы квадратов,
о числах Бернулли и др. Но опубликованы лишь немногие из этих
исследований.
О содержании статьи Коркина [9] И. И. Иванов писал: «В этой
работе мы находим: 1) обобщения теорем Чебышева об определении
первообразных корней простых чисел, заключающихся в
известных формах, и 2) ряд предложений относительно двучленных
сравнений с простым модулем» [П 10, стр. 15]. Дальше излагались
способы Коркина для нахождения первообразных корней и
решения двучленных сравнений.
Коркин рассмотрел сравнения вида
хч = a (mod р), (3)
где q — простое число, делитель числа р—1, а число а
удовлетворяет условию
р-Л
a q =l(modp). (4)
Для нахождения всех решений сравнения (3) достаточно знать
одно его решение и, кроме того, одно решение, отличное от
единицы, сравнения
z* = l(modp). (5)
Если известен один из первообразных корней числа р или
вообще, как замечает Коркин, любой невычет степени q числа /?,
то можно найти все решения сравнения (3). Он предлагает свой
способ для нахождения одного решения сравнения (5). В конце
статьи Коркин указал на несколько ошибок в таблицах Бурк-
хардта и Якоби.
Эта работа была написана Коркиным в качестве введения к
составленным им таблицам, и поэтому большая часть теорем в ней
была дана без доказательств. Таблицы были составлены им для
личного пользования.
К. А. Поссе написал примечания к этой статье Коркина [П 10,
11 ]. Подготавливая ее к печати Поссе и Иванов обнаружили, что
ряд теорем из этой работы был доказан в статье Вертхайма.2
При этом ни Коркину, ни Вертхайму, видимо, не была известна
книга Демаре 3 с таблицей первообразных корней всех простых
чисел до 10 000, представленная в Парижскую Академию наук
2Wertheim G. Primitive Wurzeln der Primzahlen von der Form
2V+1- Acta mathem., t. 20, 1897, pp. 143—152.
3Desmarest E. Theorie des nombres. Traite de Г analyse indetcr-
minee du seconde degre* a deux inconnues. Paris, 1852,
146

в 1845 и 1846 гг. еще до появления «Теории сравнений» Чебышева
(1849 г.), в Прибавлении к которой были впервые опубликованы
теоремы такого рода.
Как использовать таблицы Коркина для вычисления индексов
произвольно взятых чисел, показал Граве в заметке [7],
иллюстрируя свое замечание примерами. Вопросами того же рода, что
и Коркии в [9], занимался священник Максимов [2]. Метод
Коркина для решения двучленных сравнений изложен в книге
Граве [1].
| Б. А. Венков писал о методе Коркина: «Для практического
решения двучленных сравнений А. Н. Коркин дал метод,
основанный на введении некоторых вспомогательных чисел, которые он
называет характерами и которые вычисляются раз навсегда
для данного простого модуля. Коркин вычислил эти характеры
для простых чисел до 4000. Метод Коркина особенно полезен
ввиду того, что К. А. Поссе продолжил вычисление таблицы
характеров до 10 000» [И 4, стр. 31].
Другие работы по теории чисел. К работам
по теории чисел примыкает небольшая заметка «О невозможности
алгебраического соотношения жя+г/я+2я=0» [5, 6], посланная
Коркиным Эрмиту.
Р. Лиувилль 4 дал доказательство возможности удовлетворить
уравнению xn+yn+zn=0 многочленами X, У, Z. Коркин
усовершенствовал доказательство Лиувилля. Заметка Коркина вызвала
восторженный отзыв Эрмита [П 9, стр. 93].
В сообщении Коркина на VI съезде русских
естествоиспытателей и врачей [4] говорилось:5 «Если, согласно Лежандру,
обозначить знакоположением Ех наибольшее целое число,
заключенное в величине #, то следует во второй части упомянутого
сравнения взять знак -{-, когда число
Z=l + Ejp + EjTp+...+EyeElp
есть четное, и знак —, когда оно нечетное. Это приводит к более
общему следующему вопросу, имеющему некоторую аналогию
с вопросом Ивана Бернулли, изложенным в статье .. .,6 а именно:
найти способ вычислять числа Е >Jp -\-E\j2p + Е \/Зр + ..., не
прибегая к извлечению корня из каждого из них. Не входя
в изложение решения этого вопроса, профессор Коркин заявил,
что можно составить все числа ряда E\Jp, Е\]2р, E>j3p, . ..,
4Liouville R. Sur impossibilite de la relation algebrique. C. R.,
t. 89, 2-е part., 1879, pp. 1108—1110.
* В протокольную запись внесены исправления по черновику письма
Коркина Лемуану [П9, стр. 96, 97].
6 Bernoulli J. Sur une espece de calcul. Recueil pour les astronomes,
t. 1, Berlin, 1771, pp. 255—284.
147

Е\/рр = р, найдя только некоторые из них в числе Ег^ j»
[4, стр. 169]. С этой темой связаны вопросы, опубликованные
Коркиным [8]. Один вопрос был сформулирован так: «Обозна-
чим р простое число вида4я + 3 и у — число *-f E>Jp* Тогда
две суммы
A=EyJp + E\/2J>-\-E\/ty+... +EY^p
и
будут одновременно или обе четные, или обе нечетные. Здесь Е(х)
обозначает наибольшее целое, содержащееся в х» [8, стр. 95].
Другой вопрос: «В тех же обозначениях. . . надо выбрать
верхний или нижний знак в сравнении
1.2-3... E^zl == ±1 (modp) (5'-, — Е. О.)
в зависимости от того, будут числа -^-^—\-А и ^-^—\-В
четными или нечетными» [8, стр. 96]. Ответы на вопросы Коркина
дали И. И. Иванов и Франель.
Б. А. Венков писал в 1937 г.: «В неизданных рукописях
А. Н. Коркина, хранящихся в Физико-математическом институте
Академии наук СССР, излагается способ для определения знака
+1 в сравнении. . . (5', —Е. О.) для простого числа р=3 (mod 4).
Этот способ основан на легко доказываемом замечании, что
в сравнении. . . (5', — Е. О.) имеет место знак + или —» смотря
по тому, будет ли число -2-=—f-[yjp] + [\j2p] +•••+[}/ -^-р|
четным или нечетным. Коркин дает прием для последовательного
составления чисел [Vp]> [V^p]» [\/3p], ... путем одних
сложений, аналогичный правилу Ивана Бернулли..., для приложения
этого приема нужно предварительно вычислить несколько членов
ряда [\/р]> [\Др]> [\/Зр], ... в количестве ^ р "^ . Однако
на практике способ Коркина приводит, по-видимому, к более
сложным вычислениям, чем критерий Кронекера...» (И 4, стр. 30].
В книге Б. А. Венкова дан вывод этого сравнения [И 4,
стр. 14, 15].
148

Вопрос о знаке этого сравнения впервые был поставлен
Дирихле 7 в 1828 г. Кронекер дал правило для определения этого
знака (1857 г.). Изложение его результатов дано в книге Венкова
[И 4, стр. 202, 203]. Этот вопрос интересовал также П. С.
Назимова Ц], Я. В. Успенского [10] и других математиков.
В том же журнале был опубликован еще один вопрос Кор-
кина, уже другого рода: «Обозначим через р неприводимую дробь,
1
положительную и меньшую чем у, знаменатель которой не
превосходит величины N. Пусть р — простое нечетное число, боль-
шее чем -у- и меньшее или равное N, или целая положительная
N
степень которого больше чем -у- и меньше или равна N. Имеем
\logtgpTc=y \ logp, где сумма в левой части берется по всем
дробям р, а сумма второй части по всем числам р» [8, стр. 146].
Ответ на этот вопрос был дан Франелем.
Некоторые вопросы теории чисел в рукописях
А. Н. Корки на. В черновых записях, относящихся
к 1894 г. и посвященных работе Римана о числе простых чисел,
не превосходящих данной границы,8 Коркин дает подробный вывод
некоторых формул Римана.9
Коркин рассматривает формулу из статьи Римана
log С (s) = — 2 i°g (1 — Р~*)> Р — простые,
р
или
1одС(8)=2Р"4+т2Р"2'+т2Р"3' + --- (6)
Подробно выполняя все промежуточные действия, он выводит
из нее другую формулу Римана
с»
1 log С (*) = J / (х) х-(,+1) dx (7)
и
fww-lnSS[. ■ <8>
7Lejeune-Dirichlet P. G. Question сГanalyse indeterminee.
Werke, Bd. 1, Berlin, 1889, SS. 105—108.
8 ЛОА АН СССР, ф. 759, on. 4, № 114, лл. 184, 185, об.
9 P и м а н Б. Сочинения, М., 1948, стр. 216—224.
149

Функция f(x) равна
/(*)=*(*)+!*■ (*v.)+| *•(*%)+....
Для обращения формулы (7), т. е. для того чтобы выразить f(x)
через og **' , Риман использует формулу Фурье. Коркин хорошо
знал эту формулу, так как использовал ее еще в магистерской
диссертации «Рассуждение об определении произвольных
функций в интегралах уравнений с частными производными» (1860 г.).
Коркин записывает эту формулу в виде
—оо Lfc J
Здесь <р(х) задана в промежутке [к, I] и равна нулю вне его.
Полагая х = ег, s = a-{-bi в формуле (7) при а ^> 1, он
умножает обе части равенства на ebUdb, интегрирует от Ъ = —оо до
b = -f~°° и получает
j Щ&±>Пе>"4Ь= ] \]f(S)e-«J«->*dz\db.
-оо -оо Lo J
Здесь & = 0, Z = oo. Правая часть представляет собой (по
формуле Фурье) 2тс/ (е*) е~а*. Сделав замену t = log х (тогда е* = х,
e~at = x~a, ebti — xbi) и умножив обе части равенства на у, он
лолучает формулу
-00
Коркин утверждает, что «Если мы могли бы вычислить
правую часть этого уравнения, то нашли бы /(#), а через нее
и F(x).... В самом деле, если две функции связаны уравнением
?(1) = ф(1) + 4>(2) + ф(3)+....
то, наоборот, будет
<|>(1) = ?(1)-?(2)-<р(3)-<р(5) + ?(6)+...».
Это — формула обращения Мёбиуса, т. е. Коркин согласен
с дальнейшим ходом рассуждений Римана. И далее, «Однако
весьма сомнительно, чтобы в формуле (9) (здесь и дальше наш
150

номер, — Е. О.) правая часть была равна левой, так как
применение теоремы Фурье к формуле (7) незаконно».10
Вслед за этими замечаниями, относящимися к работе Римана,
в тетради Коркина имеются доказательства некоторых
утверждений статьи Чебышева «Об определении числа простых чисел,
не превосходящих данной величины» [3]. Коркин доказывает, что
= С, (10)
где С — постоянная Эйлера, р>0, т — натуральные числа.
Чебышев доказывал конечность этого предела с помощью
выражения этой разности в виде довольно сложной дроби
(см. стр. 119). Тогда как Коркин использует признак сходимости
рядов Коши. Обозначим сумму ряда
частную сумму
s-S-L-
7»
s S 1
остаток гЛ.
Представим остаток в виде
00
r„=\f(z)dx + b(P)f(n),
где 0 (р) — ограниченная величина. Затем положим / (х) = 1+ ,
где т=1, 2, 3, ..., тогда
00
S = S„+rn = S„+\^r+.b(P)-±f. (11)
я
Рассмотрим разность
,w = e_i__(SI=i)+4+^.
где 0 < 0 < 1, и ее предел при р -> О
lim и (р) = lim Sn — log тг+Ц-^.
р->0 р->о п
10 ЛОА АН СССР, ф. 759, оп. 4, № 114, лл. 184, 185.
151

Затем возьмем предел и (р) при п ->► оо. Левая часть не зависит
от п
lim I > —r+г- = lim Sn — lim log n + lim -^ ,
linm(p) = lim(l+T + ^+ ...+——log n)=C,
Я->-00
p-*0
n->oo
т. е. и(р) = 5 > С имеет конечный предел. Аналогично
Р р->0
доказывается, что производная и{п) (р) тоже имеет конечный
предел.
Вопросу о квадратичных формах в рукописи посвящен
большой отрывок «Извлечение из мемуара Hermite'a о квадратичных
формах»,11 в котором, кроме конспекта рассуждений Эрмита,
содержатся и замечания Коркина. Записи12 также касаются
вопросов о квадратичных бинарных формах. Отрывок
«Тройничные неопределенные формы» 13 интересен тем, что в нем Коркин
находит некоторые точные верхние границы минимумов этих
форм. Такой вопрос он поставил А. А. Маркову, который спустя
двадцать лет решил его в [19]. Марков писал: «В настоящей статье
мы имеем в виду заняться вопросом о последовательных точных
высших пределах для наименьших значений неопределенных
тройничных квадратичных форм одного и того же определителя.
Подобный.же вопрос для бинарных форм был решен нами в
диссертации [3]. . . Для тройничных форм мы не можем пока дать
полного решения поставленного вопроса, которое сопряжено
с большими затруднениями, и установим здесь только два высших
предела, из которых первый нам был давно указан профессором
А. Н. Коркиным» [Марков, 19, стр. 145]. Речь идет о следующем
утверждении: «Наименьшее численное значение форм,
эквивалентных
/о = - l^l-Я {*2 + *У + У2 - 2z2},
3 /~~2
равно 1/ -q"|£M> гДе \&\ означает числовую величину D, а для
з г 2
всех прочих форм того же определителя D оно меньше "I/ -Н#|»
[Марков, 19, стр. 162].
11 Там же, лл. 214—221.
12 Там же, лл. 421, 422 об., об. 424.
13 Там же, лл. 656—659.

Многие записи в черновиках Коркина связаны с его попытками
обобщить теорему о том, что произведение суммы двух квадратов
на сумму двух квадратов есть также сумма двух квадратов.14
Ему было известно обобщение теоремы на случай восьми
квадратов. Он показал, что на случай 16 квадратов теорема не
распространяется.
Большая рукописная работа Коркина посвящена
систематическому изложению свойств чисел Бернулли. Теорию
квадратичных форм Коркин применяет к вопросу о малых колебаниях.
Е. И. Золотарев
Егор Иванович Золотарев (1847—1878 гг.) — один из
талантливейших учеников А. Н. Коркина и П. Л. Чебышева, а в
дальнейшем друг и соавтор А. Н. Коркина. Жизни и творчеству этого
выдающегося ученого посвящены работы Васильева [П 3],
Кузьмина [П 7], главы в книге Делоне [И 9], Юшкевича [И 30], статьи
Чеботарева [П 14, 15] и многие другие работы. Подробная
библиография имеется в [ПИ]. В работах Башмаковой [П 1, 2] подробно
исследованы труды Золотарева по обоснованию теории делимости
целых алгебраических чисел. В статьях Мельникова и Славут-
ского [П 9, 12, 13] говорится о законе взаимности, в статье Нал-
бандян [П 10] — о его работах по теории эллиптических функций.
Долгие годы А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева связывала
не только личная дружба, но и плодотворная совместная работа.
Три из четырех совместных статей Коркина и Золотарева
посвящены теории квадратичных форм. Наряду с теорией
квадратичных форм, Золотарев исследовал вопросы теории делимости целых
алгебраических чисел и дал свое оригинальное обоснование этой
теории, основанное на рассмотрении сравнений высших степеней
по двойному модулю. Немецкий математик Р. Дедекинд,
пытавшийся дать обоснование теории делимости целых алгебраических
чисел таким же путем, потерпел неудачу и был вынужден искать
другой путь — он нашел его в теории идеалов. Золотарев сумел
преодолеть трудности, остановившие Дедекинда, и дал полную
теорию делимости.
Кроме того, Золотарев применил теорию эллиптических
функций к выводу одного тождества Лиувилля, дал свое
доказательство квадратичного закона взаимности. В его рукописях
сохранились заметки и по другим вопросам теории чисел.
Магистерская диссертация. В этой работе
определился научный интерес Е. И. Золотарева к теории
квадратичных форм и теории делимости целых алгебраических чисел.
Содержание этой работы было вызвано к жизни сочинениями Эр-
мита, особенно его письмами к Якоби.15 Эрмит развил в них метод
14 Там же, № 115, лл. 1084—1141.
Ч Н е г m i t е Ch. Oeuvres, t. 1. Paris, 1905, pp. 100—163.
153

непрерывных параметров и применил его к теории приведения
квадратичных форм с любым числом переменных. Прежде всего
он задался целью найти целые значения переменных, для которых
данная определенная квадратичная форма имела бы наименьшее
возможное значение. Решение этого вопроса должно было привести
к ряду важных заключений, связанных с алгоритмом
непрерывных дробей и его обобщением, с диофантовыми приближениями
и пр. Одним из важнейших вопросов, связанных с отысканием
минимумов квадратичных форм, был, по мнению Эрмита,
следующий.
Пусть ср (а) — целое комплексное число, зависящее от корня а
неприводимого уравнения F (х)=0 с целыми коэффициентами и
коэффициентом при старшем члене, равным 1. Целым
комплексным числом, зависящим от корня а неприводимого уравнения
п-й степени с целыми коэффициентами F (#)=0, Эрмит называет
любой многочлен с целыми коэффициентами от этого корня:
<? {*)=а0+а1а+а2а2+. . . +ап_1ап~11 где а0, а1э . . ., ая-1 —
целые числа. Если ах, а2, . . ., ап — все корни уравнения F (#)=0,
то произведение <р (ах) <р (а2). . . ср (ая), являющееся целым числом,
называется нормой комплексного числа <р(а) и обозначается
Nor те <р(а). Вопрос Эрмита16 заключается в том, чтобы найти
все решения уравнения
Norme?(a) = l. (12)
Эрмит только ставит вопрос и связывает его решение с
необходимостью отыскания всех минимумов квадратичных форм.
Золотарев решил вопрос Эрмита для конкретного уравнения
яз + Ауъ + Л22з _ sAzyz = 1, (13)
где А — данное целое число, не равное полному кубу.
Решение неопределенных уравнений в целых числах является
очень трудной задачей. Даже решение в целых числах уравнения
вида
Х2_ау2 = 1у (14)
где а — целое число, не равное квадрату, явилось предметом
долгих поисков многих известных математиков. Уравнение
Золотарева [13, т. 1, стр. 23] — гораздо сложнее. Из исследований
Дирихле было известно, что как для уравнения (14), так и для
(13) существует бесконечно много решений, которые все могут быть
получены из одного основного. Но было неизвестно, как
практически искать это основное решение.
Магистерская диссертация Золотарева «Об одном
неопределенном уравнении третьей степени» [1 ] посвящена именно этой
проблеме. Диссертация состоит из двух частей. В первой части Зо-
16 Там же, стр. 146, 147.
154

Егор Иванович Золотарев.

лотарев решает поставленный Эрмитом вопрос о нахождении
последовательных минимумов бинарной формы
(у — azf+*
и тернарной формы
'A(x-az)* + B(y-bzr+%,
где А, В — положительные, а, Ъ — вещественные (у Золотарева
-4=5=1) при непрерывном изменении параметра А от 0 до оо.
Попутно Золотарев дает более простое доказательство теоремы
Эрмита о том, что минимумы определенной квадратичной формы
от га+1 переменной меньше, чем
(4)*тл
Он доказывает также, что предположение Эрмита относительно
(4 \ j п+г/ i
Y) на 2 1/ 2 верно для
п = 2, и приводит в качестве примера квадратичную форму,
минимум которой достигает этой границы:
$2D (х\ + х\ + х\ + хгх2 + х<ръ + * А)-
Золотарев замечает, что всегда можно выбрать квадратичную
форму от и+1 переменных, минимум которой равен граничному
значению.
Во второй части диссертации Золотарев решает уравнение (13)
в целых числах. Для этой цели он использует разработанный
в первой части диссертации метод нахождения последовательных
минимумов квадратичных форм. Он показывает, что основное
решение уравнения (13) найдется в ряду представлений минимумов
некоторой квадратичной формы, зависящей от параметра А.
Остальные решения, которых будет бесконечно много, получаются
из основного по указанным в работе формулам. Так как способ
нахождения последовательных минимумов квадратичной формы
у него уже есть, то тем самым найдено средство для нахождения
основного решения уравнения (13).
Идея Эрмита об использовании непрерывного параметра Д,
с успехом примененная Золотаревым в этой работе, применялась
им и позднее. Использовали и развивали ее и другие математики,
в частности Г. Ф. Вороной и Я. В. Успенский.
Дальнейшие исследования в области теории квадратичных
форм Золотарев проводил совместно со своим учителем А, Н, Кор-
киным (см. стр. 142).
156

Работы по теории делимости целых
алгебраических чисел. Как было сказано выше, первое
знакомство Золотарева с теорией целых алгебраических чисел
произошло во время подготовки им магистерской диссертации,
где рассмотрено уравнение Золотарева
а? + Ауг + A2zz _ ЗАхуг = 1, (15)
решение которого эквивалентно вопросу об отыскании основных
единиц в кольце целых комплексных чисел вида а + Ъ ^А + с $А2.
Комплексными единицами называются комплексные целые числа,
норма которых равна +1. Все целые комплексные числа, норма
которых равна +1, выражаются в виде произведения одного из
них на различные комплексные единицы, норма которых равна 1.
Поэтому вопрос сводится прежде всего к нахождению всех
решений уравнения Norme ср(#)=1.
Для рассмотренного Золотаревым случая целых
комплексных чисел вида а -+- Ь $А + с $]А2 (где а, Ь, с — целые
рациональные числа), образующих кольцо, нормой числа а + Ь^ +
•\-ctfA2 будет являться произведение
{а + ЪУА+с№){а + Ъ^А + с?УА2)(а +
где 1, р, р2 — корни кубического уравнения p3 = i4. Если
перемножить числа_ (а + Ъ ^А + с ^Л2), (а + Ьр $А + ср2 ^Л2), (а +
+&Pi У А + ср2 tyА2), то получим
а3 + АЬ3 + А 2с3 — ЪАаЪс = 1.
Поэтому уравнение Золотарева (15) представляет собой
частный случай уравнения Norme <р (а) = 1 и решение его
эквивалентно вопросу об отыскании единиц в кольце целых
комплексных чисел вида а + Ъ ^А + с fyA2.
Докторская диссертация Золотарева [9] была специально
посвящена теории целых комплексных чисел.
В первой главе излагалась теория функциональных сравнений.
Как пишет автор, в этой главе он использовал книгу Серре.17
Изложение первой главы [9 ] выдержано в соответствии с книгой
Серре. Золотарев иногда применяет другие обозначения, дает
более подробные доказательства, поясняет теорию примерами.
Заканчивается глава разложением функции ~ на простые
множители по некоторому простому модулю при п простом.
Вторая глава посвящена вопросу о комплексных единицах.
Здесь приводятся определения целого и рационального
комплексного числа.
1?Serret J. A. Cours d'algebre superieure, t. 2, 3-е ed., Paris, 1866,
pp. 121-188.
157

Целым комплексным числом, зависящим от корней
неприводимого уравнения тг-й степени с целыми коэффициентами
F(x) = 09 (16)
называется всякая целая функция с целыми коэффициентами
одного из корней этого уравнения. Общий вид комплексного
целого числа <р (х):
ср (х) = а0 + ахх + а2х2 + ... + я*-!**"1»
где коэффициенты ак — обычные целые числа
Рациональными комплексными числами, зависящими от
корней уравнения (16), называются числа вида I/ ч , где <р(х) и
ф(#) — целые комплексные числа.
Затем дается определение сопряженных целых комплексных
чисел. Пусть х0, хх, . . ., хп_г —- корни уравнения (16).
Комплексные числа ср (#0), ср (хг), . . ., ср (хп_г) называются сопряженными,
а произведение их <р (^о)? (#i) • • • <Р (xn-i)' являющееся целым
числом, — нормой комплексного числа <f(x). Норму Золотарев
обозначает Ny (х) и рассматривает ее свойства. Затем вводится
понятие действий над целыми комплексными числами. В этой
главе Золотарев дает новое доказательство теоремы Дирихле
о комплексных единицах, использующее свойства квадратичных
форм и метод непрерывного параметра Эрмита.
В третьей главе Золотарев излагает теорию целых
алгебраических чисел, зависящих от корней неприводимого уравнения (16)
с целыми коэффициентами, причем коэффициент при старшем члене
равен 1. «Для того чтобы не усложнять теорию, исключены
некоторые особенные функции F (#), которые мы характеризуем
ниже и которые рассмотрим при другом случае. Эта теория
основана на свойствах функциональных сравнений, изложенных в главе
первой этого сочинения» [13, т. 2, стр. 241, 242].
Функцию F (х) Золотарев раскладывает на простые множители
по модулю р, записывая это разложение в виде уравнения
F(x) = VmVTl... V?8 + pFx (х), (17)
или в виде сравнения
F(x)== VmV?\ .. V?°(modp). (17')
Здесь V=V (#), V1=V1 (#), . . ., V8=V8 (x) — различные простые
функции от х по модулю р, Fx (х) — многочлен с целыми
коэффициентами степени меньше п.
Золотарев предлагает считать, что произведение целых
комплексных чисел ср (#0)ф (х0) делится на р, если функция ср (#)<|> (х)
делится ца F {х) по модулю р.
158

Далее исследуется вопрос о том, как узнать, делится ли норма
комплексного числа <р (х0) на р, не вычисляя этой нормы. Здесь
х0— корень уравнения (16). Необходимое и достаточное условие
того, чтобы норма какого-нибудь комплексного числа <р (х0)
делилась на р, состоит в том, чтобы функция <р (х) делилась по
модулю р на одну из функций V, V±, . . ., V8. Отсюда следует теорема,
доказанная Золотаревым: если норма одного из целых
комплексных чисел V (х0), Vx (х0), . . ., V8(x0), например Norme V (х0),
делится на рш, где т > v, то она содержит р в степени, кратной v
[13, т. 1, стр. 246]. Затем Золотарев снова обращается к
уравнению (17). Он доказывает, что если какое-нибудь из чисел т, тг,
т2, . . ., т8 равно единице, то можно предположить, что Fx (х)
не делится по модулю р на ту функцию, которая имеет этот
показатель.
Если же F± (х) делится по модулю р на какую-нибудь из
функций, например на V (х), с показателем т > 1, то целые
комплексные числа, зависящие от корней таких уравнений F (х)=0,
обладают особыми свойствами. Желая представить в этой работе
теорию целых комплексных чисел в самом простом виде, Золотарев
исключил из рассмотрения такие числа, рассчитывая изложить
их свойства в другой работе [13, т. 2, стр. 249].
Главный вопрос, рассмотренный в этой главе, заключается
в том, чтобы узнать, делится ли одно целое комплексное число
на другое, не производя деления. Для комплексных чисел вида
а-\-Ы эта задача решается с помощью разложения числа на простые
множители. Здесь этот способ неприменим, так как
рассматриваемое целое комплексное число может быть разложено на простые
множители несколькими способами. Для того чтобы разложение
на простые множители стало единственным, вводится понятие
идеальных множителей.
Простые числа Золотарев классифицирует следующим образом.
Всякое простое обыкновенное число р, относительно которого
F (х) есть простая функция, будет считаться простым и в ряду
целых комплексных чисел, зависящих от корня уравнения
F (#)=0 (неприводимого, степени п). Остальные обыкновенные
простые числа в ряду этих комплексных чисел считаются
сложными. Первые простые р не делятся ни на какие комплексные
числа, кроме р и комплексных единиц. Напомним, что простой
функцией по модулю р Золотарев называет функцию, не
делящуюся по модулю р ни на какую другую функцию меньшей
степени.
Пусть по модулю р функция F (х) не является простой. Тогда
F(х) ~ VmV?lV?\ .. V?9 (mod р),
или
F(x) = VmVTl...V79 + pF1(x)t
159

где Рг (х) не делится по модулю р ни на одну из функций V, Vt,
У2, . . ., V8, где V, У1э 72, . . ., V9 — простые функции по
модулю р степеней v, vx, v2, . . ., ve. Такое число р будем считать
сложным в ряду комплексных чисел и состоящим из т
одинаковых простых множителей, принадлежащих функции V, из т1
одинаковых простых множителей, принадлежащих функции Ух,
и т. д. Это определение не зависит от того, разлагается ли р в
действительности на столько комплексных множителей. Эти
множители могут оказаться комплексными числами или не
существующими. В обоих случаях Золотарев называет их идеальными
множителями.
Целое комплексное число / (х0) делится на простой идеальный
множитель числа р, принадлежащий функции У, если / (х)
делится на V по модулю р. После этого Золотарев доказывает
несколько теорем об идеальных числах. Например: если целое
комплексное число <р (#о) содержит идеальный множитель числа р,
принадлежащий функции V, X раз, а другое целое комплексное
число ф (х0) не делится на него, то произведение <f(x0)ty(x0) со~
держит этот множитель ровно X раз.
\- Произведение комплексных чисел содержит идеальный
множитель числа р, принадлежащий функции У, ровно столько раз,
сколько его содержат оба сомножителя вместе.
Дальше рассматривается разложение комплексного числа
ср (х0) на простые множители
?(*o) = d№---d//cPi(*o)>
где срх (х0) — какая-нибудь комплексная единица, dly d2, . . .,
dj — различные простые идеальные множители, Xl7 Х2, . . ., Х; —
их кратности. Это — обобщение обыкновенного разложения на
простые множители для чисел вида а-\-Ы. Затем Золотарев
перечисляет некоторые теоремы, аналогичные тем, которые имеют
место для обычных целых чисел. В этой же главе Золотарев
получает теории целых комплексных чисел Гаусса и Куммера из
теории своих целых комплексных чисел в качестве частных
случаев, изучает свойства идеальных чисел; устанавливает, что всегда
можно найти конечное число идеальных чисел таких, что
произведение одного из них и какого угодно идеального числа будет
существующим комплексным числом; показывает, что все
идеальные числа распределяются в определенное и конечное число
классов так, что каждое идеальное число относится к одному
определенному классу, и что каждое идеальное число можно представить
как корень из существующего.
В четвертой главе дано приложение теории комплексных чисел
к вопросу, поставленному Чебышевым: узнать при помощи
конечного числа действий, можно ли в дифференциале
(д; -\- A) dx
^х* + чхЗ + Ьх* + гх + Ц 9
160

где у, S, e, С — некоторые вещественные коэффициенты,
параметр А определить таким образом, чтобы этот дифференциал
интегрировался в логарифмах.
В [9] были исключены из рассмотрения такие простые числа р,
для которых F± (х) делится по модулю р на одну из функций У,
^i» • • •» V8i с показателем степени, большим 1 (в равенстве
F (x) = VmV™* . . . V^'+pF± (х)). Функции F (#), для которых
существуют такие простые числа р, рассматриваются как
исключительные среди всех целых функций с целыми коэффициентами.
Кроме того, для каждой из этих функций количество таких чисел
ограничено. В небольшой статье, вышедшей в 1878 г. в Петер-
турге [И], Золотарев доказывает основную теорему для
исключительного случая, не приводя всех ее следствий. За границей
эта статья оставалась почти неизвестной, хотя реферат ее,
написанный Поссе, был опубликован в Jahrbuch'e рядом с рефератом
работы Дедекинда.18 Поссе писал, что в статье рассмотрен особый
случай, исключенный из докторской диссертации, и что автор
расширяет область целых комплексных чисел, рассматривая как
целые комплексные числа числа вида
Q
(где с0, cv , . ., ся_!, Q — целые числа), удовлетворяющие
уравнению
cl+?iCM+...+f,-1 = o
с целыми коэффициентами. Была приведена формулировка
основной теоремы, доказанной в статье.
Во время поездки во Францию летом 1876 г. Золотарев передал
издателю журнала Лиувилля Резалю свою статью о комплексных
числах, в которой подробно рассматривает случай, исключенный
из докторской диссертации. Статья была готова еще весной.
Об этом свидетельствуют слова Коркина в представлении
Золотарева в экстраординарные профессора: «В последнее время он
пополнил совершенно один пробел, существовавший до сих пор
и в теории Куммера и в его собственной, так что теперь теория
г. Золотарева является совершенно общею и не претерпевает
никаких исключений».19
5 июля 1876 г. Золотарев сообщает Коркину из Парижа:
«Я сдал Resal'io мемуар о комплексных числах. Случаи
дополнительные, которые я прежде исключил, заняли довольно много
места. Я очень рад, что покончил с этой работой и что все случаи
разобраны» [П 11, стр. 99].
18Dedekind R. Sur la theorie des nombres entiers algebriques. Paris,
1876.
19 Протоколы заседаний Совета С.-Петербургского университета за
1875/1876 ак. г. СПб., 1877, стр. 35-37.
161

Эта статья Золотарева «О теории комплексных чисел» [12]
была напечатана в журнале Лиувилля только в 1880 г., уже после
смерти автора. В 1871 г. Дедекинд уже пытался обосновать
теорию делимости целых алгебраических чисел с помощью
функциональных сравнений, но, потерпев неудачу, пошел другим путем.
Золотарев блестяще преодолел препятствия, которые остановили
искусного и опытного математика. Но иностранные ученые,
знавшие уже теорию целых алгебраических чисел Дедекинда, не
обратили особого внимания на работу Золотарева, решив, что по
сравнению с его докторской диссертацией в статье нет ничего
нового.
В первой части [12] Золотарев рассматривает целые
комплексные числа, определенные так же, как и в докторской
диссертации. Изложение результатов, полученных им в диссертации,
здесь несколько усовершенствовано и более кратко. Автор
показывает, каким образом из его теории получаются как частные
случаи теории целых комплексных чисел Гаусса и Куммера.
Здесь он обращается к исследованию особых случаев, которые
могут встретиться, когда в равенстве (17) Fx (х) делится по модулю
р на одну из функций У, показатель которой т больше 1.
Для таких чисел не выполняется свойство, доказанное раньше:
если -|-ру не целое, то оно не может удовлетворять никакому
уравнению вида zn + (frz""1 + • • • + Q„ = 0 с целыми
коэффициентами. Напротив, пусть
ym-ttmt ут8
Р
— комплексное число исключительного вида. Оно удовлетворяет
уравнению t>N + Q&N~l + • • • + ?^ = 0 с целыми коэффициентами.
Из-за этого свойства исключительных модулей ему пришлось
обобщить понятие целых комплексных чисел. Золотарев дает
новое определение: каждое комплексное число у=а-\-Ъх-\- . . . +
+1х1~г называется целым, если оно удовлетворяет уравнению
вида ^N + q^1"1 + . • • + qN = 0 с целыми коэффициентами.
В дальнейшем Золотарев рассматривает теорию делимости
этих новых комплексных чисел.
Подробный разбор исследований Золотарева по теории
делимости целых комплексных чисел, историю вопроса и установление
связи этой теории с современными методами алгебраической
теории чисел можно найти в работах И. Г. Башмаковой [П 1, 2].
Сравнение и установление эквивалентности теорий Дедекинда и
Золотарева было произведено И. И. Ивановым [5, 6]. Он показал,
что теория идеальных множителей Золотарева эквивалентна
теории идеалов Дедекинда. «Однако, если результаты обеих теорий
и одинаковы, что вполне естественно, то идеи и методы,
положенные в основание обеих теорий, глубоко различны» [П 1, стр. 331].
162

Замечания об исследованиях Золотарева, Дедекинда и других
математиков по теории алгебраических чисел даны в сочинении
Ю. В. Сохоцкого [6].
В том же направлении, что и Золотарев, работали А. А.
Марков [10, И], Г. Ф. Вороной [2, 3], Я. В. Успенский [1, 2],
Вслед за работами Н. Г. Чеботарева [П 14, 15] локальные
методы Золотарева начинают применять при решении различных
вопросов теории чисел, развивать и углублять А. О. Гельфонд,
Н. Г. Чеботарев, И. Р. Шафаревич. В последние годы творчество
Золотарева все больше привлекает к себе внимание математиков
и историков математики. На XII Международном конгрессе по
истории науки и техники в Париже И. Г. Башмакова [П 2]
сделала доклад о локальных методах Золотарева, вызвавший
оживленные прения.
Доказательство закона взаимности и
другие вопросы теории чисел. Квадратичному
закону взаимности посвящена работа Золотарева [4] и ряд
записей в его черновых тетрадях. Золотарев заинтересовался этим
вопросом еще в студенческие годы. С тех пор сохранился
подробный конспект лекции Чебышева о законе взаимности. В тетрадях
Золотарева имеется «Обзор существующих доказательств закона
взаимности», где перечислено несколько различных доказательств
этого закона и излагаются доказательства, данные Гауссом.
На III съезде русских естествоиспытателей и врачей в 1871 г.
Золотарев выступил с сообщением о своем доказательстве закона
взаимности.20 Затем, в 1872 г. это доказательство было
опубликовано [4]. Изложение доказательства Золотарева и
комментарии к нему даны в статье Мельникова и Славутского [П 9].
Золотарев вводит понятие характера произвольной
перестановки относительно обычного расположения чисел
1, 2, 3, ..., р-1, (18)
где р — простое число. Пусть
Pi» Р-2> Рз» • • м Р>-1 (19)
— другое расположение чисел (18). Говорят, что характер
перестановки (19) относительно (18) равен 1 или —1 в зависимости
от того, будет ли число инверсий в расположении (19) относительно
(18) четным или нечетным. Доказательство Золотарева базируется
на известном факте: транспозиция меняет характер перестановки.
Первая лемма Золотарева утверждает следующее: пусть к —
целое число, не делящееся на простое р. Тогда характер
перестановки, составленной из наименьших положительных вычетов
чисел
к, 2к, ЗА, ..., (р — 1)к
20 Труды III съезда русских естествоиспытателей. Киев, 1873, стр. 6.
163

по модулю р относительно расположения (18), равен символу Ле-
жандра. Доказав лемму, Золотарев рассматривает ряд
1, 2, 3, ..., pq-1, (20)
1дер и q — различные нечетные простые числа, и ряд
q, 2q, ..., (p — l)q; . . ., р, p + q, p + 2q, . .., p + (p_l)g;
2p, 2p-\-q, .... 2p + (p — i)q; .... (q — i)p,
(g-i)p + q, .... (?-i)p+(P-i)g- (21)
Оба ряда имеют no pq— 1 членов, не сравнимых по модулю
pq, так что вычеты ряда (21) по модулю pq образуют некоторую
перестановку ряда (20). Подсчет числа транспозиций при
переходе от (20) к (21) двумя различными способами дает один раз число
——/ \ /а\
(—1) 2 2 (—), другой раз число (p-). Отсюда и получается
закон взаимности
(шн-<>
2 2
Существуют различные доказательства указанной леммы
Золотарева, до сих пор привлекающей внимание математиков
разных стран.
Рукописные материалы Золотарева позволяют выяснить,
каким путем он пришел к своему доказательству квадратичного
закона взаимности. В них имеется такое замечание: 21 символ Ле-
жандра (—) можно выразить определителем порядкар — 1, элементы
которого равны 0 или 1. Номер элемента, равного 1, в первой
строке определителя должен быть равен i или сравним с i по
модулю р. Номер элемента, равного 1, во второй строке
определителя должен быть равен 2£ или сравним с 2i по модулю р, в третьей
строке — равен Зг или сравним с Si по модулю р и т. д. Например,
определитель для символа Лежандра (-г) будет выглядеть так:
(!)=
0 0 10
10 0 0
0 0 0 1
0 10 0
Подсчитав определитель, найдем значение символа Лежандра
21 ААН СССР, ф. 289, оп. 1, № 5, л. 238.
164

Затем Золотарев вычислил определитель порядка pq — 1, ока-
£-lg-l
завшийся равным (—1) 2 2 . Далее имеется запись «О законе
взаимности в теории квадратичных вычетов», где Золотарев
доказывает закон взаимности. Доказательство в рукописи
отличается от опубликованного в [4]. Оно использует выражение
символа Лежандра в виде определителя. Золотарев перемножает
символы Лежандра Г—J и (—J и соответствующие им
определители. Полученный при этом определитель равен
£-1 £-1
(-1)2 \
Отсюда получается закон взаимности.
В записях, предшествующих этому доказательству, Золотарев
занимался теорией перестановок. В качестве одного из примеров
он вычислил определитель.
В рукописях Золотарева содержатся записи, относящиеся и
к другим вопросам теории чисел, не затронутым в его печатных
трудах. Например, имеется набросок 22 доказательства теоремы
о границах для функции Чебышева ф (х). Доказательство
Золотарева более общее, чем у Чебышева в [6]. Здесь рассмотрены
функции Чебышева
<и*)=21оер' г<*>=2 *(£)•'
Золотарев составляет комбинацию, отличную от чебышевской
(см. стр. 124),
Г(х)-2г(|)=«р(х)-ф(|) + ф(|)-...,
откуда получается
Для функции ф (х) Золотарев находит границы
^(х)^>Вх—у log а:— 1;
ф (х) — <|> Гу J < Вх-{- y bg х (В = const).
Подобные доказательства были даны позднее иностранными
математиками. Доказательство Золотарева осталось неопублико-
22 ЛОА АН СССР, ф. 289, оп. 1, № 6, л. 64 и дальше.
165

ванным. Это доказательство, проведенное им для функции ty(x)r
можно перенести на функцию Нг{х) (см. стр. 234). По-видимому,
именно об этом говорил он на заседании III съезда русских
естествоиспытателей в связи с сообщениями Чебышева и Бугаева,
(см. стр. 234).
Золотарев опубликовал еще две заметки по теории чисел..
В статье [2] он доказал одно теоретико-числовое тождество Лиу-
вилля, данное последним без доказательства.23 Доказательство
Золотарева основано на использовании свойств эллиптических
функций. Подобные доказательства тождеств Лиувилля имеются
в более поздних работах русских математиков: Н. В. Бугаева,
П. С. Назимова, С. И. Баскакова. Арифметические доказательства
подобных формул дал Я. В. Успенский.
В заметке [6], переведенной на французский язык [5],
Золотарев доказал, что полиномы X, У, Z, удовлетворяющие
уравнению
р-1
Y2 — p(—l)2 Z2 = 4X,
находятся с помощью непрерывных дробей, и указал линейные
уравнения, из которых получаются коэффициенты полинома Z.
По Z уже легко найти Y. Во французском издании
Математической энциклопедии об этом сказано: «Золотарев дал очень
удобный способ вычислять Y и Z. Этот способ дает, кстати, очень
простое доказательство свойств Y и Z» [И 34, т. 1, ч. 3, вып. 1,
стр. 202]. Когда заметка [6] была уже напечатана, Золотарев
узнал, что на ту же тему была заметка Лиувилля,24 который
нашел полиномы Y и Z другим способом. По этому поводу
Золотарев написал письмо в Nouvelles Annales [8].
Ю. В. Сохоцкий
Юлиан Васильевич Сохоцкий (1842—1927 гг.) был блестящим
педагогом и известным ученым-математиком. Более пятидесяти
лет он преподавал в Петербургском университете. О его работах
по теории чисел специальных публикаций не было.
Работы по теории чисел. В течение многих лет
Ю. В. Сохоцкий читал в Петербургском университете лекции по>
высшей алгебре, куда в качестве одного из разделов входила
теория чисел. Содержание этого курса можно узнать из
литографированных лекций [5] и из второй части «Высшей алгебры» [4],
которая называется «Начала теории чисел».
23Liouville J. Extrait d'une lettre adressee a M. V.-A. Lebesgue.
J. mathem., (2), t. 15, 1870, pp. 133—136.
24 L i о u v i 11 e J. Sur un point de la theorie des equations binomes.
J. math., (2), t. 2, 1857, pp. 413-423.
166

Юлиан Васильевич Сохоцкий.

Автор рассматривал теорию чисел как вспомогательное
средство для изложения алгебры.
В предисловии говорится, что прежде чем приступать к общей
теории алгебраических уравнений, надо знать теорию
перестановок. А эта теория многое заимствует из теории чисел. Поэтому
необходимо ознакомиться с основными свойствами целых чисел
и усвоить разнообразные приемы, используемые в теории чисел
[4, ч. 2, стр. III]. Сохоцкий сравнивал переход от изучения целых
чисел к изучению целых алгебраических чисел с переходом в
геометрии от изучения прямой линии к изучению кривых линий.
Исследование целых алгебраических чисел «второго порядка»
привело к столь же важным последствиям, как и исследование
свойств кривых второго порядка в геометрии [4, ч. 2, стр. IV].
Сохоцкий считал, что современная теория чисел построена на
трех началах: общий наибольший делитель, непрерывные дроби
и начало Дирихле. Его книга была посвящена, по его словам,
исключительно первому «началу» — началу Евклида (алгоритму
общего наибольшего делителя) в приложении к целым числам и
целым функциям. Автор обращал особое внимание на те вопросы,
которые важны для приложений в алгебре. Например, он
подробно останавливался на теории линейных сравнений со многими
неизвестными, которые играют существенную роль в теории
перестановок. Сохоцкий отмечал, что в способах решения в целых
числах системы неопределенных уравнений первой степени
содержится решение вопроса об умножении идеальных чисел второго
порядка, или, что все равно, о сложении квадратичных форм.
Ю. В. Сохоцкий начинает изложение теории делимости
с алгоритма Евклида, разложения чисел на простые множители
и теоремы о бесконечности множества простых чисел
(доказательство теоремы Евклида у него проведено не совсем строго).
Он вводит в рассмотрение символы Е(х) и е(х), где Е(х)
означает «entier от х»9 а
(1 при х=19
е (х) ~— {
v ' [О при остальных х.
В качестве приложения символа Е(х) он находит выражение
наивысшей степени простого числа pf содержащейся в п\ Затем
излагает доказательство тождества Чебышева
где
Т(х) = 2 bg /г, ф (х) = 2 log Р>
а>2
168

с помощью которого находятся границы для функции Чебы-
шева ф(#). Для получения более точных данных автор отсылает
читателя к работе Чебышева [6].
Сохоцкий рассматривает свойства функции Эйлера ср (х) и двумя
способами выводит формулу для этой функции. Затем им
доказана лемма Гаусса
2<p(d) = rc.
dfn
Автор записывает сумму значений числовой функции ф (п) по
всем делителям d числа п
din
и произведение
П ♦ (<*)=Л (»)•
djn
В частности, он рассматривает
2log<Kd) = log/(rc)
din
и находит с его помощью
log«l»(n) = log/(«)-2log/(^) + 2log/(^)-.-..
а отсюда получает и выражение для ф (лг). Затем по функции
п^х
он находит
п^х
Так как
din
Для частного вида функции ф(тг) = 2б|/тг решается задача
нахождения функции
в (п) = 2 ^*гФ Vn*
Иными словами, требуется найти коэффициенты Ак в этом
разложении. Автор указывает, что функции ф(тг) и 6 (/г) не
обязательно те, что у Чебышева.
169

Вторая глава книги Сохоцкого [4] посвящена решению
неопределенных уравнений в целых числах. Сначала ищется общее
решение в целых числах линейного однородного уравнения
ЯЛ + Чхг + я.А + • • • + <*А = °-
В качестве примера была решена такая задача. Найти шесть
чисел х1У х2У #3, yv у2, У$> которые удовлетворяли бы следующим
условиям:
'«2 У 2
*з Уз
= а1,
xi Vi
хз Уз
= й2,
хг У 2
где av а2, а3 — данные целые числа, не имеющие общего
делителя. Дальше идут вопросы теории сочетаний и теории
определителей, связанные с решением систем неопределенных
уравнений.
Третья глава посвящена понятию сравнения, теоремам Ферма
(Сохоцкий, так же как и Чебышев, называл его Фермат),
Эйлера, Вильсона и решению сравнений первой степени. В качестве
следствия теоремы Вильсона доказано следующее утверждение:
если р — простое число, т делится на р — 1, то
l^ + 2m + 3m + 4m+ ... +(р —1)" = —l(modp).
Если же т не делится на р — 1, то
1m + 2w + 3M+ ... +(р —l)w = 0(modp).
Здесь же имеется замечание о знаке сравнения
1.2.3...^i=±l(modp).
Если р — простое число вида 4лг + 3, то произведение 1 • 2 • 3...
£-х— сравнимо с одним из чисел +1, и, наоборот, если р
вида 4гс + 1, то произведение 1-2-3... р "Г не может быть сравнимо
ни с —1, ни с +1. Доказательство этого утверждения проведено
методом спуска. Мы уже видели, что вопрос о знаке этого
сравнения интересовал А. Н. Коркина. Впоследствии им занимался
Я. В. Успенский.
В этой же главе излагаются свойства символа Лежандра,
решение сравнений первой степени и системы линейных
сравнений по любому модулю (как простому, так и составному), решение
сравнений второй степени по простому модулю. В связи с этим
вопросом рассмотрен закон взаимности. Приведено пятое
доказательство Гаусса и доказательство, принадлежащее Чебышеву.
Пятая глава посвящена квадратичным вычетам и невычетам
и вопросу о делителях квадратичной формы t2 — Du2. В следую-
170

щей главе рассмотрено решение сравнений второй степени по
составному модулю. Глава седьмая посвящена сравнениям высших
степеней и двучленным сравнениям. Здесь доказана теорема
Лагранжа о том, что число корней сравнения не превышает его
степени, дается понятие о разложении функций на множители по
данному модулю и о функциях, неразложимых (неприводимых)
по данному модулю. Указаны необходимые и достаточные условия
разрешимости сравнения вида xn=q (mod р).
В следующей главе рассказывается о первообразных корнях.
Дано доказательство теоремы существования первообразного
корня, доказана обобщенная теорема Вильсона. Далее материал
книги посвящен теории функциональных сравнений и
неприводимым функциям. Для функциональных сравнений доказана
теорема, аналогичная теореме Лагранжа. Рассмотрен алгоритм
Евклида и начала теории делимости для функций, сравнимых по
двойному модулю.
В литографированных лекциях [5] Сохоцкий излагает теорию
чисел как самостоятельный предмет, не связывая ее с алгеброй.
Лекции заканчиваются теорией первообразных корней и индексов
и их приложениями к решению сравнений. Этот курс был
значительно менее полным, чем книга [4, ч. 2].
По лекциям и книге Сохоцкого изучали теорию чисел многие
петербургские математики. В частности, учеником Сохоцкого
был Г. Ф. Вороной, впоследствии с большим уважением
вспоминавший о своем учителе.
Теория делимости целых
алгебраических чисел. Наиболее полно результаты исследований
Сохоцкого в этой области изложены в работе «Начало общего
наибольшего делителя в применении к теории делимости
алгебраических чисел» [6]. Сохоцкий строит здесь теорию делимости
целых алгебраических чисел. Он начинает с определения
основных понятий: целого алгебраического числа, алгебраической
единицы, области чисел, нормы.
Целым алгебраическим числом он называет всякий корень
уравнения вида
я* + а1аГ1 + а*Г*+ ...+ая = 0,
где av а2,. . ., ап — обыкновенные целые числа. Затем показано, что
сумма и разность целых алгебраических чисел, произведение
таких чисел есть также целое алгебраическое число. Всякая
величина, удовлетворяющая уравнению вида
а» + а1аГ1 + а#Г*+...+ая = 0,
коэффициенты которого — целые алгебраические числа, есть
целое алгебраическое число.
Утверждение: «а делится на р» или «(3 есть делитель а»
означает, что отношение двух целых алгебраических чисел а и р есть
171

также целое алгебраическое число. «Ёсякое число, делящее
единицу, называется алгебраической единицей или просто единицей»
[6, стр. 2]. Например, числа
V—1> !5 » —L2 единицы.
Сохоцкий утверждает, что для открытия законов делимости
целых алгебраических чисел надо ограничиться такими числами,
которые могут быть выражены рациональным образом
посредством одного из них, например а, определяемого неприводимым
уравнением
*» + a1*n-i + a2<in-*+...+an = 0,
где ах, а2, а8. . . — обыкновенные целые числа. Выражение
$ = х1 + хр + х4*+...+хп*Г* (22)
при всевозможных рациональных значениях коэффициентов xv
х2. . ., хп даст бесконечное множество алгебраических чисел,
совокупность которых Сохоцкий называет областью чисел. В
дальнейшем он рассматривает только целые алгебраические числа
этой области.
Всякое число, определяемое формулой (22), удовлетворяет
некоторому уравнению п-ж степени. Последний член в этом
уравнении, умноженный на (—1)я, называется нормой числа р. Норма
числа N($) равна произведению всех значений числа [3,
соответствующих различным значениям корней а уравнения и-й степени.
Для того чтобы данное целое алгебраическое число (3 было
алгебраической единицей, необходимо и достаточно, чтобы его норма
была равна +1, т. е. N (Р)== +1.
Сохоцкий^замечает, что формула (22) при целых значениях хг,
х2-> • • •» хп Дает только целые числа, но она может давать целые
значения и при некоторых дробных значениях хх, х21 хг, . . ., хп.
Можно так подобрать п целых чисел о^, о>2, о)3, . . ., соя, что
выражение
Р = :г1а)1 + :г2о>2+ ... +*А (23)
при рациональных значениях х1У х21 . . ., хп будет давать все
числа, принадлежащие данной области, так что формула (23)
вполне заменяет формулу (22). При этом формула (23) имеет то
преимущество, что она будет давать целые числа исключительно
при целых значениях рациональных хх, х2, . . ., хп.
172

Таких совокупностей из п целых чисел существует бесконечно
много. Возьмем совокупность из п значений <лг: ш[, о/^, ..., со^-1),
п значений числа (о2 и т. д. и составим определитель
I 0^ (l)j (Dj ... (й[п~г) I
(О (I)' О)" . . . 0)(я~1)
J я я я ' ' я I
Если этот определитель, возведенный в квадрат, по
абсолютной величине имеет наименьшее возможное значение, отличное от
нуля (это значение является обыкновенным целым числом), то
числа а)х, а)2, . . ., а>я, выбранные таким образом, составляют
основную группу (базис). Между этими числами не может
существовать никакая линейная зависимость вида
при обыкновенных целых значениях коэффициентов /х, Z2, . . ., /я,
ибо тогда определитель (24) был бы равен нулю.
Затем он вводит понятие сравнения, класса чисел, сравнимых
по данному модулю, понятие взаимной простоты для [целых
алгебраических чисел. Если для двух данных целых алгебраических
чисел (3, у можно найти такие числа р1? ух, что будет иметь место
равенство
то р и у называются взаимно простыми. В противном случае
числа — не взаимно простые.
Общим делителем двух целых алгебраических чисел аир
называется число у, отличное от единицы, которое делит
одновременно аир. Автор обращает внимание читателя на то
обстоятельство, что в теории обыкновенных чисел числа, не имеющие
общего делителя, суть всегда взаимно простые. В теории же
алгебраических чисел встречаются числа, не имеющие общего
делителя, но вместе с тем не взаимно простые [6, стр. 4].
Сохоцкий перечисляет основные свойства двух взаимно
простых целых алгебраических чисел и отмечает, что они подобны
тем, которыми обладают обычные взаимно простые числа. Всюду,
где речь идет об обыкновенных целых числах, добавляется слово
«обыкновенные», там же, где говорится о целых алгебраических
числах, слово «алгебраическое» часто опускается. Так что словом
«число» Сохоцкий обозначает целое алгебраическое число.
Он вводит определение простого числа (для целых
алгебраических чисел): «если число р обладает особенным свойством,
что всякое произвольно взятое число f или делится на р, или
есть взаимно простое с р, тогда р называется числом простым»
[6, стр. 5]. Формулируются свойства простых чисел. Среди них
173

имеются такие: два различных простых числа суть взаимно
простые; произведение нескольких чисел только тогда делится на
простое число тс, когда по крайней мере один из множителей
делится на щ норма простого числа равна всегда степени простого
числа р, а самое число есть делитель р.
Сопряженным числом для р называется число рх,
принадлежащее той же области, что и р, и определяемое по формуле
pPi=*(P)-
Два числа, нормы которых взаимно просты, суть также взаимно
простые, ибо тогда #PPi+*/TTi=l при обыкновенных целых
значениях для хну. Сравнивая какое угодно целое алгебраическое
число р с обыкновенным целым числом А, легко убедиться, что р
и к суть взаимно простые тогда и только тогда, когда N (Р) лк
суть взаимно простые.
Далее Сохоцкий рассматривает вопросы о делимости по
модулю р и о распределении чисел на классы. Назовем любое
обыкновенное простое число р модулем. Наивысшая степень модуля р,
делящая норму числа а, называется порядком числа а.
Обозначив его а, имеем N (а)=раЛ, где h — обыкновенное целое число,
не делящееся на р. Порядок произведения равен сумме
порядков сомножителей, порядок частного равен разности между
порядком делимого и порядком делителя. Числа нулевого
порядка суть простые относительно р и, наоборот, числа простые
относительно р суть числа нулевого порядка. Такие числа
Сохоцкий назвал равносильными по модулю р. Из них составляется
класс К0, в который войдут среди прочих чисел и все единицы.
Те числа, нормы которых делятся на модуль р, окажутся вне
класса К0. Если число -S-—целое при у взаимно простым с р,
т. е. при числе, равносильном единице, то а делится по модулю р
на р или р есть делитель по модулю р числа а. Перечислив
свойства делимости по модулю р, автор приходит к такому вопросу:
чтобы определение делимости числа по модулю р имело
надлежащее значение, необходимо убедиться, делится ли а по модулю р
на р. На этот вопрос отвечает теорема Золотарева.
Пусть N (Р)=р*А, причем h не делится на р. Для того чтобы
данное число а делилось по модулю р на р, необходимо и
достаточно, чтобы отношение -я- было числом целым. Так как
достаточность очевидна, Сохоцкий доказывает необходимость.
Следствие из этой теоремы гласит: число а только тогда делится по
модулю р на р, когда оно делится на р в обыкновенном смысле
слова.
Он вводит еще одно понятие: два каких угодно числа а и р
будем называть равносильными по модулю р, если одновременно
по модулю р а делится на р и р делится на а. Это понятие он
174

записывает в виде a=^p(modp), и называет уравнением по
модулю р.
Далее рассматриваются свойства таких уравнений. Все числа,
равносильные по модулю р с данным числом а, равносильны
между собой и образуют один класс. Все числа одного класса
имеют одинаковый порядок — порядок класса. Если два
различных класса окажутся одного порядка, то они называются
параллельными классами. Доказывается, что с помощью конечного,
числа действий можно определить все классы m-го порядка. Число
различных классов бесконечно велико, но число параллельных
классов всегда конечно. Произведение двух чисел аир, взятых
произвольно (одно из класса Кг, другое из класса К2) дает
произведение, принадлежащее к одному и тому же некоторому классу
ЛГ3» называемому произведением классов Кгж К2ж обозначаемому
K3=K1K2=K2KV Три числа, взятых произвольно из
соответствующих классов Кг, К21 К3, связаны уравнением ар== у (modp).
Классы Кг, К2 называются делителями класса К3. Искать
делители данного класса все равно, что искать делители по модулю р
какого угодно представителя данного класса. Любой класс К
(как и каждое число) имеет два очевидных делителя, которые не
будем принимать во внимание: класс К0 (или единицу) и класс К
(или число, его представляющее). Задача нахождения всех
делителей данного класса решается при помощи конечного числа
действий.
Сохоцкий доказывает теорему: всякое данное число имеет
конечное число делителей по модулю р, неравносильных между
собой, и все эти делители могут быть получены с помощью
конечного числа действий. Среди всех делителей данного числа
наибольшего внимания заслуживает тот, порядок которого
наименьший. Он представляет собой число, неразложимое по модулю р.
Далее идет доказательство основной теоремы. Пусть а и р —
два целых числа и Р не делится по модулю р на а. Тогда можно
найти такое целое число со, что порядок разности -^—со будет
ниже порядка отношения -g- [6, стр. 19]. Из теоремы вытекает
следствие: если р не делится на а по mod р, то можно найти
такое число со, что порядок разности а — р со будет ниже порядка а.
В теории делимости по модулю р число со играет роль частного,
а разность а — рсо — роль остатка от деления а на р. Применяя
эту теорему к двум произвольно взятым целым числам аир
и предполагая, что а не делится по модулю р на р, а р не делится
по модулю р на а, получим новое целое число р2= а — р со,
порядок которого ниже порядка а. Аналогично найдем следующее
целое число р3= Р — р2<*Л порядок которого ниже порядка р
и т. д. В результате этого процесса получим два числа рт и pw-1,
одно из которых (например, рт_х) будет делиться на другое по
175

модулю р. Этот процесс аналогичен алгоритму Евклида. Число pw,
на которое будут делиться числа рт_г, рот_2, . . ., р, а по
модулю р, Сохоцкий называет общим наибольшим делителем
чисел а и р.
Для взаимно простых по модулю р чисел имеется два
равносильных определения: два числа а и р — взаимно просты, если
не имеют никакого общего делителя по модулю р, и числа а и
р — взаимно просты, если они удовлетворяют уравнению А а+
+#Р=/&, где h — число, равносильное с единицей по модулю р.
Затем рассмотрены свойства чисел, взаимно простых по модулю р.
Отмечается, что всякое число тс, неразложимое по модулю р, или,
другими словами, не имеющее других делителей по модулю р,
кроме двух очевидных, обладает следующими свойствами: 1)
всякое произвольно взятое число а или делится на тс по модулю р,
или же взаимно просто с тс по модулю р; 2) если ар делится по
модулю р на тс, то по крайней мере один из множителей а р
делится по модулю р на тс. Как следствие из последнего получается
теорема: «всякое число разлагается на произведение нескольких
множителей, простых по модулю р, и только единственным
образом» [6, стр. 25]. Разложение понимается здесь в смысле
равносильности, а не равенства. Все, что было сказано о числах, можно
отнести и к классам равносильных чисел. Легко убедиться
теперь, что число простых чисел по модулю р — конечное.
В этой же работе изучается вопрос о главных представителях
классов, исследуются законы обыкновенной делимости. Важную
роль в рассуждении играет теорема: для того чтобы число а
делилось на р, необходимо и достаточно, чтобы а делилось на р
по каждому из модулей, входящих в состав N (р). На основании
этой теоремы вопрос о делимости одного числа на другое
приводится к вопросу о делимости по каждому из модулей, входящих
в состав нормы делителя. Отсюда следует: для того чтобы два
числа аир были взаимно простыми, необходимо и достаточно,
чтобы аир были взаимно простыми по каждому из модулей,
входящих одновременно в состав N (а) и N (р). Таким образом,
законы делимости чисел по модулю р связываются с законами
обычной делимости.
Другая элементарная и вместе с тем одна из наиболее важных
задач теории алгебраических чисел: найти все делители данного
числа р. Для решения этой задачи вводятся идеальные числа.
Идеальное число х определяется следующими условиями:
x=^a(modp), х =f р (mod q), #=?=T(modr), ±N (x) = paqbre,
где a — порядок числа а по модулю р, Ъ — порядок числа р по
модулю q и т. д. Это записывают таким образом:
|«р|
х =
Р 9
Т г
т

Теория идеальных чисел основывается на следующих
теоремах: 1) всякое существующее число можно рассматривать как
идеальное; 2) в выражении идеального числа можно
переставлять строки как угодно; 3) в выражении идеального числа можно
приписывать сколько угодно строк с произвольными модулями,
лишь бы соответствующие им первые элементы были равны
единице. Не будем перечислять все свойства. Одно из них говорит
о том, что норма идеального числа равна произведению его
модулей, возведенных в степень, равную порядку соответствующего
элемента в первом столбце. Норма произведения двух или более
идеальных чисел равна произведению их норм. Еще одно из
свойств: всякие два идеальных числа имеют общий наибольший
делитель, который можно найти с помощью конечного числа
действий. Сохоцкий дает определение идеальных простых чисел.
Наконец, наиболее важное свойство: всякое идеальное число
разлагается и только одним способом на произведение простых
идеальных множителей.
В своей работе Сохоцкий приводит основные положения
теории идеалов Дедекинда, излагает свойства идеалов на основе
теории идеальных чисел Золотарева и, таким образом,
показывает, что теория Дедекинда может быть выведена из теории
Золотарева. В последнем разделе, названном «О сравнениях, когда
модуль есть число идеальное», дается переход от идеальных чисел
к идеалам.
Книга заканчивается словами: «Этим мы заканчиваем
настоящий наш труд: основы теории делимости алгебраических чисел
как следствие из начала делимости чисел по данному модулю
установлены вполне, и этим наша цель достигнута» [6, стр. 63].
Работа Сохоцкого, не будучи оригинальной, сыграла важную
роль в распространении идей теории делимости целых
алгебраических чисел в России. Она привлекла внимание русских
математиков к этому вопросу, сделав для них доступным содержание
трудов Дедекинда и Золотарева. Не случайно Г. Ф. Вороной,
слушавший в Петербургском университете лекции Сохоцкого и
знакомившийся с теорией алгебраических чисел по этому
сочинению, посвятил две свои диссертации теории целых
алгебраических чисел.
Кроме указанных сочинений, Сохоцкому принадлежит
несколько сочинений, опубликованных за границей [1, 6], и
несколько сообщений на VI съезде русских естествоиспытателей и
врачей [2, 3] и в Петербургском математическом обществе [7].
А. А. Марков
Совместные исследования А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева
по теории квадратичных форм и оригинальные работы
Золотарева по теории целых комплексных чисел были продолжены
177

Андреем Андреевичем Марковым (1856—1922 гг.). Кроме работ
по теории квадратичных форм и теории целых алгебраических
чисел, Марков опубликовал брошюру-о доказательствах
трансцендентности чисел [7], восстановил доказательство одной из
теорем Чебышева [13, 14]. Многие исследования Маркова
относятся к теории непрерывных дробей. В частности, среди его
рукописей имеется курс по теории непрерывных дробей,
значительно отличающийся от опубликованного [24]. В рукописном
курсе Марков подробно рассматривает работу Чебышева «Об
одном арифметическом вопросе» [7] и сравнивает ее с трудами
Эрмита, Кронекера, Стилтьеса.
Трудам Маркова по теории чисел посвящены статьи и
комментарии Б. Н. Делоне, Н. И. Ахиезера, В. Н. Тимофеева в изданиях
избранных сочинений А. А. Маркова [26, 27].
Работы по теории квадратичных форм.
А. А. Марков учился в Петербургском университете и слушал
лекции Чебышева, Коркина, Золотарева. Он рано начал свою
научную деятельность. За сочинение, написанное в студенческие
годы, он получил золотую медаль и по представлению Коркина
был оставлен при университете для подготовки к профессорскому
званию. Его первая научная работа [1] по рекомендации
Коркина была напечатана в Mathematische Annalen. Исследования
Маркова о бинарйых квадратичных формах положительного
определителя были опубликованы им в [1] и в его магистерской
диссертации [3]. Они примыкали к исследованиям Коркина и
Золотарева и были высоко оценены Чебышевым в отзыве о
магистерской диссертации, подписанном также Коркиным и Сохоцким
[Чебышев, 12, т. 5, стр. 300].
А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев впервые обратили внимание
на то, что имеется существенное различие в отыскании точных
пределов минимумов для совокупности всех бинарных
квадратичных форм данного положительного определителя и для
совокупности таких же форм данного отрицательного определителя.
А именно, точный верхний предел минимумов для совокупности
всех бинарных квадратичных форм данного положительного
определителя D, не эквивалентных форме
Y^D{x*-xy-y% (25)
равен у -г D, тогда как между бинарными квадратичными
формами отрицательного определителя —D можно найти для любого
данного положительного числа /, не превосходящего у, такие,
минимумы которых равны ^ID.
178

Андрей Андреевич Марков.

Таким образом, минимум 1/ -=-/) квадратичной формы
/:
T-D(x2 — xy—y2)
положительного определителя оказывается изолированным.
Число 1/ ^ D является вторым минимумом этих форм. Марков
показал, что явление изоляции распространяется и на
следующие минимумы. Он доказал, что точный предел минимумов для
совокупности всех квадратичных бинарных форм данного
определителя D > 0, не эквивалентных ни
]/| D (х* -ху- у% ни ]/i D (я2.- 2ху - у\ (26)
i/Too Q о о
равен I/ "22Г* ^тот точный верхний предел минимумов равен
минимуму форм определителя D, эквивалентных форме
У
■±D(5x2-Hxy — 5y2) и т. д.
4 1
Числа т-Иу оказываются лишь первыми членами бесконечно
убывающего ряда положительных чисел
Nv N2, ЛГ„ .... Nk, .... (27)
обладающего следующими свойствами.
1) Число классов бинарных квадратичных форм, для каждой
из которых определитель равен данному положительному числу D
и минимум равен \jNkD^ не может быть ни нулем, ни бесконечно
большим числом.
2) Если некоторая бинарная квадратичная форма данного
положительного определителя D не может быть сделана по
абсолютной величине меньше \jNkD> то ее минимум равен одному из
чисел
yjN,D, >JN2D, yjN3D, ..., s/NkD. (28)
3) Предел
lim Nk = T.
4) Существует бесконечно много классов бинарных
квадратичных форм данного положительного определителя D, минимум
которых равен yvAD-
180

Числа Nk зависят от некоторых периодических непрерывных
дробей, тесно связанных с рядами чисел рассмотренных Иваном
Бернулли (см. стр. 148) при решении вопросов совершенно
другого рода. Исследование этих дробей привело А. А. Маркова
к следующим результатам. Каждое из чисел N может быть
представлено в виде
1
где Q — некоторое целое число. В частности, при Q = 1 полу-
чается число N = -£-9 которому соответствует форма (25), при
Q = 2 получается число /V = y, которому соответствует
форма (26). В конце работы Марков дал таблицу чисел N и
соответствующих форм.
Вторая часть диссертации была посвящена решению в целых
числах неопределенного уравнения
т2 + П2 _|_ р2 _ Smnp. (29)
Оказалось, что исследования, проведенные в первой части
работы, позволяют найти все целые решения этого уравнения,
не превосходящие по абсолютной величине данной границы.
Марков установил, что если уравнению (29) удовлетворяют целые
числа х = т, у = п, z = р, то среди чисел ряда (27) должны
содержаться числа
1 1 1
4 ~~ m2 4 ~~ п* 4 "~ р2
С другой стороны, если одно из чисел N равно
1
' JL 1 '
4 "~ т*
где т — целое число, то можно найти бесконечно много пар целых
чисел пир таких, что для каждой из таких пар т2-\-п2-\-р2=
=Ътпр. В конце работы приведена таблица решений
уравнения (29) для целых положительных х, у, z, не превышающих
1 000 000.
Магистерская диссертация Маркова представляет собой одно
из блестящих достижений Петербургской математической школы.
Марков использовал в ней в качестве основного средства теорию
непрерывных дробей. Уже в этой ранней работе видны основные
черты его научного творчества: умение преодолевать серьезные
трудности, стремление довести решение задачи до вычислитель-
181

ного алгоритма, знание источников, в том числе и мало
известных. В этой работе Марков использовал труды Лагранжа, Якоби,
письма Эрмита к Якоби, сочинения Лежандра, Гаусса, И. Бер-
нулли и, конечно, труды своих соотечественников Коркина и
Золотарева. Глубокий анализ этой работы Маркова дан в книге
Б. Н. Делоне [И9].
Спустя двадцать лет после появления работы [3], Марков
снова обращается к теории квадратичных форм. Он занимается
вопросом о последовательных точных верхних границах для
минимумов неопределенных тройничных квадратичных форм [19],
желая перенести на тройничные формы результаты, найденные
им в [3] для двойничных форм данного положительного
определителя. В этой статье он не смог привести полного решения
задачи, представляющей большие трудности, но пришел к двум
утверждениям, первое из которых было предложено ему еще за
двадцать лет до того профессором Коркиным (см. стр. 152).
1) Наименьшим численным значением форм, эквивалентных
форме
А = ~-\f\ D (х2 + ху + у2 - 2*2),
f2
•s-1D |, где | D | — абсолютная величина D. Для всех
остальных форм того же определителя наименьшее численное
3/~~2
значение меньше 1/ -g-|Z>|.
2) Наименьшее численное значение форм, эквивалентных
/2 = + |Г| Д (*2 - *!/- */2 - 222),
f~2
-o-|Z)|, а для форм, не эквивалентных ни fv ни /2, оно
f2
-g-1 /> |.
Во время печатания этой статьи Марков убедился, что точным
высшим пределом для минимумов всех форм, не эквивалентных
-o-|D| [27, стр. 162, 163].
В предисловии к работе [25] Марков узнал, что если
исключить формы, эквивалентные формам fv /2, /3, то для любой формы
/ можно найти такую систему целых чисел х, г/, z (где х2 -\-у2-\-
+ 22>0), что абсолютное значение / будет меньше Т/ з~|#|.
Для любой формы /, не эквивалентной формам Д, /2, /3 и
форме
f*=t^S (-2*2 -2ху+2у2 -5z2)'
182

абсолютное значение может быть сделано меньше Т/ —LJ. щ Он за-
*f~2 3/~2 3/"Т 3/~8~
метил, что продолжение ряда 1/ "§"> V з*» V з"» V -^является
затруднительным. Марков указал, какие приемы он использовал
при составлении своей таблицы в [25], и показал на примерах,
как надо пользоваться ею. В конце предисловия к таблице Марков
обращает внимание на работы двух очень талантливых
математиков: А. Мейера и Г. Вороного [27, стр. 197]. Здесь же он
отмечает, что особенно полезны при нахождении приведенных
представлений чисел геометрические соображения, которые «не только
упрощают анализ полученных неравенств, но, кроме того, они
помогают при нахождении подстановок» [27, стр. 197, 198]. Это
замечание свидетельствует о том, что Марков не отвергал
геометрических методов в теории чисел, как часто утверждают, но
возможно, что он пришел к этому убеждению после знакомства
с работами Вороного.
К тому же кругу вопросов относятся работы Маркова [21,
22, 23]. В работе [22] он доказал экстремальность формы /3
_|^Л(*1 + ^ + 3*«),
предложенной им в конце статьи [19]. Работа [23] была
посвящена отысканию экстремальных форм для случая
неопределенных квадратичных форм с четырьмя переменными. Марков нашел
в ней две первые экстремальные формы.
После работ Маркова долгое время не было добавлено ни
одного члена к найденному им ряду экстремальных форм для
неопределенных квадратичных форм с тремя переменными. Лишь
в 1945 г. Б. А. Венкову удалось продолжить ряд Маркова. Метод
доказательства Венкова — чисто геометрический. Для форм с
четырьмя переменными результаты Маркова еще никем не
продолжены [27, стр. 649—652].
Анализ работ Маркова по теории квадратичных форм дан в [И 9 ]
и [П 6]. Очерк работ Маркова по теории чисел имеется в [П 8, 18].
В комментариях к работам Маркова в [П9] В. Н. Тимофеев
доказал, что в интервалах
(Y-k. ПУ (tfS. Y£l
не содержится минимумов бинарных квадратичных форм
положительного определителя D. При этом он использует идею
А. Н. Коркина, с помощью которой тот нашел два первых
минимума у -g- и у у в рукописи «О бинарных формах
положительного определителя» [27, стр. 642, 643]. G помощью той же
идеи можно получить и другие минимумы Маркова [27, стр. 642].
183

О целых комплексных числах. Работы
А. А. Маркова в этой области связаны с исследованиями Е. И.
Золотарева, который в магистерской диссертации [1 ] дал алгоритм
для нахождения основной единицы чисто кубического поля,
а позднее разработал полную теорию целых алгебраических
чисел. Марков изучает целые алгебраические числа, зависящие
от кубического корня из обычного целого числа. Первыми его
публикациями на эту тему были напечатанные в Париже заметки
[10]. В первой из них Марков выясняет, какой вид имеют целые
комплексные числа, зависящие от -\/~А, для А = 3 и А = 10. Он
заметил, что в соответствии с теориями Дедекинда и Золотарева
разложение целых чисел, зависящих от корней какого-нибудь
алгебраического уравнения, на множители сводится к
разложению на множители обычных простых чисел.
-* Марков указал, что целые комплексные числа, зависящие от
^Л, где tyA = a2b, будут иметь вид
если а26 = 2,3,4,5,6,7 (mod 9), и вид
если а26 = 1, 8 (mod 9), где X, У, Z — обычные целые числа.
При этом в области алгебраических чисел, зависящих от ^3 и
^/10, все идеальные множители сводятся к существующим числам.
Например, 2 ==(^3 — 1)(^3* — $3 + 1); 3 = (^ЗД 5 = (—_(£ + 2) х
X (^З2 + 2 ft + 4); 7 — простое число, И = (^3 + 2)(^32- 2 ^3 +
-|-4); 13 — простое число и т. д.
В конце заметки Марков замечает, что теория разложения
целых чисел, зависящих от ^Л, на простые множители может
быть изложена очень просто, если следовать идеям Золотарева.
Он написал об этом Эрмиту, одобрившему исследование молодого
ученого и опубликовавшему работу в Comptes rendus. В
продолжении этой заметки Марков подробно рассмотрел целые
алгебраические числа, зависящие от ^аЬ2, где а, Ь, аЪ — целые
рациональные числа, не делящиеся на квадрат и имеющие форму
X + Y УаЬ* + г$аЯ)
3
где X, У, Z — целые рациональные числа, не делящиеся на 3.
Такие числа разбиваются на два класса: 1) взаимно простые
с числом 3 и 2) не взаимно простые с 3. Комплексные единицы
принадлежат к первому классу. В качестве примера Марков
рассматривает числа, зависящие от ^17.
184

В статье [11], посвященной памяти Е. Й. Золотарева, Марков
применяет теорию Золотарева к числам, зависящим от
кубического корня из целого рационального числа. В частности, он
получает разложение на простые множители всех целых чисел,
зависящих от $А. Затем рассмотрено много частных случаев,
среди которых и те, о которых Марков писал в [10]. Статья
заканчивается таблицей комплексных единиц для А от 2 до 70.
Внимательное изучение этой работы Маркова помогает лучше
понять содержание исследований Золотарева.
Другие работы по теории чисел. Вскоре
после смерти П. Л. Чебышева А. А. Марков обнаружил в его
рукописях листок с эскизом доказательства теоремы о простых
делителях чисел вида 1+4г2. Он доказал теорему, состоявшую
в следующем: если f* — общий наибольший простой делитель
чисел 1+22, 1+42, 1+62, . . ., 1+4N2 (N=1, 2, 3, . . .), то
Доказательство теоремы Чебышева Марков доложил на
заседании Физико-математического отделения Академии наук и
послал его также в письме к Эрмиту, опубликованном в Comptes
rendus [14]. Эрмит ответил Маркову трогательным письмом:
«Память о Чебышеве, великом геометре, которого потеряла
Россия, наши дружеские отношения, которые восходят к началу
нашей карьеры, глубокое огорчение, причиненное мне его кончиной,
приходят мне на ум, когда я смотрю на фотографическую
репродукцию отрывка из его вычислений, которую Вы были добры мне
прислать. Доказательство его прекрасной теоремы о простых
делителях чисел вида ?г2+1, которого никто не сумел открыть,
полностью достойно его. Оно живо заинтересует друзей
арифметики. Они воспримут его с признательностью, которая будет
относиться и к Вам, когда прочтут его в Comptes rendus» [П 13].
Обобщение этой теоремы Чебышева тогда же доказал И. И.
Иванов [9]. Теорема была опубликована Эрмитом также в его
«Курсе».25
В брошюре [7] А. А. Марков резюмирует результаты работ
Эрмита26 и Линдемана 27 в следующей теореме: каковы бы ни были
алгебраические числа а2, а2, а3, . . ., ал и Аг, А2, А3, . . ., Аа,
равенство
Аг€^ + А2е«> + 43е*з + .. . + Аае^ = 0
невозможно, если не все Ак равны нулю, а а1? а2, . . ., аа —
различны.
25 Hermit е Ch. Gours d'analyse, 2-е ed. Paris, 1882, p. 149, 150;
3-е ed., 1887, pp. 175, 176; 4-e ed., 1891, p. 197.
26 H e г m i t e Ch. Sur la fonction exponentielle. Paris, 1873.
27 Lindemann F. Ueber die Zahl тс. Mathem. Ann., Bd. 20, Berlin,
1882.
185

В. А. Марков
Владимир Андреевич Марков (1871—1897 гг.), так же как и
его брат А. А. Марков, окончил Петербургский университет [И 10].
Будучи еще студентом, он получил премию за сочинение,
написанное на тему — «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля».
В. А. Марков написал две работы [1, 2] по теории тройничных
кв адратичных форм.
В статье [1], написанной по предложению А. Н. Коркина,
дается доказательство формул Эйзенштейна, относящихся к
вопросу о счете классов положительных квадратичных форм.
Сочинение «О положительных тройничных квадратичных
формах» [2] было напечатано уже после смерти В. А. Маркова. Оно
было представлено в рукописи вместе со статьей [1] в качестве
магистерской диссертации физико-математическому факультету
Петербургского университета. В первой главе сочинения [2]
содержалось исследование основного вопроса арифметической
теории тройничных квадратичных форм — содержится ли одна
из двух тройничных квадратичных форм в другой, и если
содержится, то найти все представления одной формы другою. В этом
вопросе заключались как частные случаи поставленные Гауссом
вопросы о представлении данного числа и данной бинарной формы
данной тройничной формою и вопрос об эквивалентности форм.
Основной вопрос был сведен во всех случаях к вопросу об
эквивалентности двух тройничных форм, решение которого дается
при помощи теории приведения форм.
Вторая глава была посвящена понятию меры, введенному в
теорию форм Эйзенштейном, и должна была служить переходом от
первой к третьей главе. В качестве третьей главы Марков
собирался использовать статью [1], надеясь переделать и
значительно дополнить ее, но не успел. 18 января 1897 г. он умер от
туберкулеза легких.
В предисловии к работе [2] К. А. Поссе писал: «Наш
университет потерял в нем молодого ученого, успевшего уже оправдать
возлагавшиеся на него надежды и много обещавшего в будущем».
Печатание диссертации было закончено под наблюдением
А. А. Маркова.
Г. Ф. Вороной
Георгий Феодосьевич Вороной (1868—1908 гг.) учился в
Петербургском университете в те годы,- когда Чебышев уже
закончил свою педагогическую деятельность. Поэтому он является
непосредственным учеником А. А. Маркова и Ю. В. Сохоцкого.
Основными направлениями научной деятельности Вороного
являются его исследования в области теории целых
алгебраических чисел, теории квадратичных форм и аналитической теории
чисел.
186

В 1952—1953 гг. в Киеве было издано Собрание сочинений
Г. Ф. Вороного в трех томах, где имеется подробная статья
И. 3. Штокало и И. Б. Погребысского о жизни и деятельности
Г. Ф. Вороного [П 26] и комментарии к его работам.
Работы по теории целых
алгебраических чисел. Этому направлению посвящены обе
диссертации Г. Ф. Вороного [2, 3].
В магистерской диссертации [2] результаты общей теории
целых алгебраических чисел применяются к частному случаю,
когда числа зависят от корня неприводимого уравнения p3=rp+s.
А. А. Марков в [10, 11] рассмотрел числа, зависящие от корня
уравнения p3=s. Вороной исследовал случай более общий.
Он указал форму, в которой заключаются все целые числа
рассматриваемой области. Зная эту форму, нетрудно найти
разложение любого числа на простые множители и указать вид, в котором
заключаются все «существующие» числа, делящиеся на данное
идеальное число.
; Решение всех этих вопросов в магистерской диссертации
Вороного основано на исследовании решений сравнений третьей
степени по простому и по составному модулю. Диссертация
состоит из трех глав. В первой главе дан способ для решения
сравнения X3 — rX—s=0 (mod р), основанный на введении
«комплексных чисел по модулю /?», т. е. чисел видаХ+Х'*, где i обозначает
не существующее в действительности решение сравнения i2=
=N (mod /?), р — простое число, N — квадратичный невычет по
модулю р. Для решения этого сравнения используются таблицы
индексов, приложенные в конце работы. В этой же главе
Вороной доказывает теорему о числе решений сравнения X3—rX—s=
=0 (mod р) с дискриминантом— Д=4г3—27^. Если дискриминант
—А — квадратичный невычет по модулю р, то сравнение имеет
только один корень. Если А — квадратичный вычет по модулю /?,
то сравнение имеет три корня или не имеет ни одного. Другие
доказательства этой теоремы дали И. И. Иванов в [10] и сам
Вороной в работе [4].
Во второй главе Вороной доказал основную теорему для чисел
указанного вида: все алгебраические числа, зависящие от корня
неприводимого уравнения p3=rp+s, заключаются в форме
x + x'^+L+x» *-'£? + '*,
где числа X, X', X" могут иметь какие угодно целые
рациональные значения, % есть единственное решение, определяемое по
модулю 8о, сравнений
£3_rs_s = 0(mod83o2),
3$2 — r = 0(mod82o),
187

о — наибольшее число, для которого возможны одновременно эти
сравнения. Число 8 = й, если уравнение рз= -^- рх -]—^—не
особенное, и 8 = 3d, если это уравнение—особенное, причем d есть
наибольшее число, для которого возможны сравнения
r==0(modd2), s = 0 (mod d3).
Уравнение
« Г . S
Р? = 52Р1 + Ж
называется особенным, если имеют место сравнения
-^ = 3(mod9), ^.= ±l(l_^)(mod27).
Третья глава существенно использует сочинение Ю. В. Со-
хоцкого [6]. В ней решаются следующие вопросы: 1) разложение
любого данного простого рационального числа р на простые
идеальные множители; 2) разложение существующего числа о> на
простые идеальные множители; 3) нахождение всех существующих
чисел, которые делятся на данное идеальное число А, или, что
одно и то же, нахождение идеала, соответствующего идеальному
числу А. Все это делается с помощью таблицы, приложенной
к диссертации.
j В предисловии к докторской диссертации [3] Г. Ф. Вороной
критически пересмотрел результаты своих предшественников.
Первое обобщение алгоритма непрерывных дробей было дано
в работе Эйлера [76]. Якоби 28 применил алгоритм Эйлера к
решению задачи следующего типа: по данным целым рациональным
числам р, р', р", не имеющим общего делителя, найти целые
числа |g, g', q" и г, г', г", удовлетворяющие равенству
= +1.
Якоби несколько изменил алгоритм Эйлера с целью придания
вычислениям большего единообразия. Затем алгоритм был им
усовершенствован, но опубликован только посмертно.29
Применяя алгоритм Якоби к формам, коэффициенты которых —
алгебраические числа, зависящие от корня неприводимого уравнения
третьей степени, Вороной заметил, что в некоторых случаях
полученные при этом новые формы периодически повторяются.
р
\р'
\р"
я
Я1
q"
г
г'\
г"
28 J а с о b i С. G. J. Ueber die Auflosung der Gleichung а^-Ь
+a2*2 +• • • + anxnJ==fu* J« reine angew. Mathem., Bd. 69, Berlin, 1868, S. 1—28.
a» J а с о b i G. G. J. Allgemeine Theorie der kettebbruchahnlichen Algo-
rithmen. J. reine angew. Mathem., Bd. 69, Berlin, 1868, S. 29—64.
188

Возник вопрос: всегда ли в результате применения алгоритма
Якоби получаются периодически повторяющиеся формы.
Кроме Вороного, этим вопросом занимались и другие
математики. Бахман,30 например, установил, что решение этого вопроса
зависит от степени приближения к числам -£, у дробей,
определяемых с помощью алгоритма Якоби. Пуанкаре дал геометрическое
истолкование алгоритма непрерывных дробей и его обобщения.31
Попытка обобщения алгоритма с помощью дробей Фарея
принадлежала Гурвицу. Но все указанные алгоритмы оказались
непригодными для решения тех основных вопросов теории
алгебраических чисел кубической области, которые для квадратичной
области решались с помощью алгоритма непрерывных дробей.
Первое обобщение алгоритма непрерывных дробей, пригодное
для этой цели, было дано Дирихле.32 Вороной очень высоко
оценил эту замечательную работу Дирихле, но способ Дирихле
в практическом отношении оказался неудобным. Метод
непрерывного параметра Эрмита также можно было использовать для
решения поставленного вопроса, но и он на практике был
неприемлем. Поэтому Вороной предложил новое обобщение алгоритма
непрерывных дробей, основанное на понятии системы ковариант-
ных форм.
В первом разделе докторской диссертации [3] Вороной
рассмотрел ковариантные формы
© = ХХ + Х'ц, и' = Х\' + Х'р', (30)
коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям: 1) X,
IX [X I
[л, X', р/ — действительные числа; 2) определитель J = A не
равен нулю: 3) системы (X, р.) и (X', р/)— неприводимые, т. е.
равенство XX + X'fx = 0 (и ZX; + Х'р/= 0) невозможно ни при
каких рациональных значениях X и X7, одновременно не равных
нулю. Система ковариантных форм (30) обозначается симво-
IX р, I
лом L I А. Переменные X и X1 будут принимать только целые
I л р> I
рациональные значения. Совокупность значений (оиш'
ковариантных форм (30) при некоторых значениях X и Xf Вороной
называет системой (о), со'), а числа <о и <о' — первым и вторым
элементами системы.
30Bachmann P. Zur Theorie von Jacobi's Kettenbruch Algorithmen.
J. reine angew. Mathem., Bd. 75, Berlin, S. 25.
31 P о i n с а г e H. Sur une generalisation des fractions continues. С R.,
t. 99, Paris, 1884, pp. 1014—1016.
32Lejeune-Dirichlet P. G. Vorallgemeinerung eines Satzes
aus der Lehre von den Kettenbriichen nebst einigen Anwendungen auf die
Theorie der Zahlen. Werke. Bd. 1, Berlin, 1889, SS. 633—638.
189

Предполагая, что системы (X, jjl) и (У, ц') — неприводимые,
Вороной из систем (о>, со') значений ковариантных форм (30)
при всевозможных зн? тениях переменных I и Х;, не равных нулю
одновременно, выделяет системы, представляющие минимумы
этих форм. Относительные минимумы системы (30) определяются
следующим образом.
«Если при некоторых значениях переменных X иХ' ковариант-
ные формы ((30) — Е. О.) получают такие значения о>0 и (%, что
нельзя найти целые рациональные числа t и t', удовлетворяющие
одновременно неравенствам
|А + *'Н<К1 и |*Х'+*У|<К1,
то числа со0 и и>'0 называют относительными минимумами
ковариантных форм (30), или, символически, системы форм '
[22, т. 1, стр. 2071.
Системы | о), о/| и |— о), — о>'| считаются одинаковыми.
Вороной рассматривает совокупность (S) всех систем, представляющих
относительные минимумы и удовлетворяющих условию <о > 0.
Все системы совокупности (S) он располагает в бесконечный
ряд
..., ((о_1Э o/j, (о)0, о>;), ((■>!, «>;), ..., (31)
удовлетворяющий условиям:
. . . > о)_1 > о)0 > сот > . . . ,
••.<KiKKI<KI<....
Систему (u^i, ^i), следующую в этом ряду за системой
(а)Л, со^,), он называет 1-й системой, смежной с (а>Л, о>'к), а систему
(«Од..!, ю^) — 2-й системой, смежной с (а)^, и>'к). Оказывается,
что все системы ряда (31) могут быть получены из каждых двух
смежных систем ряда (31) при помощи алгоритма непрерывных
дробей. Это свойство ряда (31) позволяет установить новую точку
зрения на алгоритм непрерывных дробей и тем самым открыть
путь к новому обобщению этого алгоритма [22, т. 1, стр. 207].
Алгоритм непрерывных дробей составляет совокупность действий,
при помощи которых по двум данным системам ряда (31)
определяются как система, следующая в (31) за данными системами,
так и им предшествующая. Вороной отмечает, что это свойство
систем ряда [31] представляет собой обобщение свойств
последовательных минимумов линейной формы Х+Х'ср при целых
значениях переменных, на которые обратил внимание еще Лагранж
в Добавлениях к «Алгебре» Эйлера.
190

Во втором разделе Вороной рассматривает ковариантные
формы
со = Х\ + X'р. + Х\ «>i = X {V + 14) + X' (т' + тЧ) +
+ X" (п'+ rfl) (32)
и распространяет на эти системы форм все определения, данные
им в первом разделе для форм (30). Как и в первом разделе, автор
рассматривает совокупность (S) всех систем (со, со'),
представляющих относительные минимумы форм (32) при условии со > 0.
Все эти системы он располагает в ряд
..., («и, «>:,), (<о0, о>;), ((о1Э о>;), .... (33)
последовательных относительных минимумов форм (32). Он
предлагает два алгоритма: один для определения 1-й системы,
смежной с данной, другой — для нахождения 2-й системы, смежной
с данной. Затем выводятся условия, необходимые и достаточные
для того, чтобы системы ковариантных форм были эквивалентны,
и полученные результаты применяются к системам форм,
зависящим от корней уравнения третьей степени с отрицательным
дискриминантом. Вороной доказывает, что при преобразовании
таких систем с помощью предложенных им алгоритмов, всегда
получается ряд периодически повторяющихся приведенных
систем.
j Кроме того, он дает способ для получения основной
алгебраической единицы и способ для определения числа классов
неэквивалентных идеалов рассматриваемой кубической области.
В третьем разделе он рассматривает ковариантные формы вида
о = хх + ху + х\ о' = х\> + ху + XV,
со" = XX" + ху + XV'. (34)
На эти формы он переносит определения предыдущих двух
разделов. Преобразуя при помощи данного им алгоритма систему
ковариантных форм, коэффициенты которой зависят от корней
уравнения третьей степени с положительным дискриминантом,
он доказывает, что таким образом всегда получается ряд
периодически повторяющихся приведенных систем. Из рассмотрения
двух рядов приведенных систем он выводит способ для получения
системы основных алгебраических единиц и для определения
числа классов неэквивалентных идеалов рассматриваемой области.
Когда работа была уже сдана в печать, Вороной познакомился
с материалом статьи Минковского,33 где в геометрической форме
было проведено исследование, близкое по теме к исследованию
33MinJtowski Н. Generalisation de la theorie des fractions
continues. Ann. Ecole norm., t. 13, N 2, Paris, 1896, p. 41.
191

Вороного. Он указал на это в предисловии к [3]. Следует
отметить, что почти все теоремы в работе Минковского были даны
без доказательств.
В своей работе Вороной использовал труды Коркина,
Золотарева, магистерскую диссертацию Маркова, его статью [11].
Диссертация Вороного была написана в духе традиций математиков
Петербургской школы. Она содержала не только новые научные
результаты, но и таблицы идеальных чисел, идеалов и
соответствующих им форм, которые можно было использовать при
вычислениях.
Обе диссертации Вороного получили высокую оценку
оппонентов А. А. Маркова и Ю. В. Сохоцкого и были удостоены
премии имени В. Я. Буняковского, присужденной Академией наук
в 1897 г.
Работы Вороного [2, 3] подробно разобраны и
прокомментированы Б. Н. Делоне в [И 9, П 12] и в книге Б. Н. Делоне и
Д. К. Фаддеева.34Б. Н. Делоне считает, что докторская
диссертация Вороного, хотя и изложена по обычаю своего времени чисто
арифметически, по существу является геометрическим
исследованием. «В ней Вороной дает самые удобные из существующих
алгоритмы для вычисления основной единицы кубического поля
отрицательного определителя и системы основных единиц
кубического поля положительного определителя» [22, т. 1, стр. 394,
395]. По мнению Б. Н. Делоне, главный оппонент Вороного
А. А. Марков не принял бы работы, изложенной геометрически.
Это соображение является не очень убедительным. Вороной мог
изложить материал арифметически, но дать ему геометрическое
толкование. По-видимому, он еще сам не был подготовлен к
такому способу изложения. Говоря о геометрическом толковании
алгоритма непрерывных дробей и его обобщения, данном
Пуанкаре, Вороной находит, что алгоритм Пуанкаре непригоден для
решения основных вопросов теории алгебраических чисел
кубической области, но считает арифметическую и геометрическую формы
изложения вполне равноправными.
Теория квадратичных форм. В том же
направлении Вороной продолжал работать и дальше. Он подготовил
к публикации несколько статей, в которых излагал различные
применения метода непрерывного параметра Эрмита к задачам
геометрической теории определенных и неопределенных
квадратичных форм. На X съезде русских естествоиспытателей и врачей
в Киеве (1898 г.) он сообщил без доказательства теорему о том,
что все простые числа, пред ставимые одной и той же
целочисленной квадратичной формой определителя D, одинаково разлагаются
34 Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей
третьей степени. М.—Л., 1941.
192

на простые идеалы в кубическом поле дискриминанта D [4].
Доказательство этой теоремы дал лишь в 1930 г. Хассе. Тем же
вопросам посвящен его доклад на Международном конгрессе
математиков в Гейдельберге [9].
Основными работами по теории квадратичных форм были две
статьи Вороного [И, 12] под общим заглавием «Новые
приложения непрерывных параметров в теории квадратичных форм».
В основу этих исследований снова был положен принцип
непрерывного параметра Эрмита, привлекавший внимание Коркина,
Золотарева и Вороного в его докторской диссертации [3]. Эти
статьи посвящены геометрии положительных квадратичных форм.
Вороной занимался также и теорией неопределенных
квадратичных форм. Рукописные материалы в этой области стали
доступны для изучения только после издания Собрания сочинений
Вороного [22], в третьем томе которого были впервые напечатаны
материалы пяти его рукописей по теории неопределенных
квадратичных форм с комментариями Б. А. Венкова.
Сочинения Вороного по теории положительных квадратичных
форм подробно изложены и прокомментированы в работах
Б. Н. Делоне [П 12, 13] и Б. А. Венкова [П 3—8].
В первой из указанных статей [11] Вороной изучает свойства
арифметического минимума положительных квадратичных форм
и различные его представления с помощью систем целых чисел.
Здесь он продолжил исследования Коркина и Золотарева,
предпринявших определение точного предела минимумов
положительных квадратичных форм заданного определителя. Обозначим
D (a.j) определитель формы Ъа-jX.Xj с вещественными
коэффициентами, М (a.j) -— минимум формы, тогда получим минимум
У D (aij)
положительной квадратичной формы определителя, равного
единице. По теореме Эрмита функция 9ft (a.j) удовлетворяет
неравенству
9»(evK(t)" •
Следовательно, она ограничена на множестве (/) всех
положительных квадратичных форм с вещественными коэффициентами.
Минковский указал верхнюю границу для функции9ft (а4.) более
простую, чем у Эрмита, 9ft (a.j) <J п. Коркин и Золотарев
доказали, что функция 9ft (a.j) обладает на множестве (/) несколькими
минимумами, которые соответствуют различным классам эквива-
2
лентных положительных квадратичных форм. Граница ,
уп + 1
указанная Эрмитом в письме к Якоби, является только одним
193

из максимальных значений функции 9D? (а^). Из исследований
Коркина и Золотарева следовало, что двойничные и тройничные
положительные квадратичные формы имеют один единственный
максимум, который, следовательно, является точной верхней
границей значений 99? (я^-). Начиная же с п ^ 4 квадратичные
формы имеют несколько максимумов функции 93? (я,-у). Коркин и
Золотарев нашли несколько значений различных максимумов
2
функции 9)?(а Д превышающих величину указанную
J yn + i
Эрмитом, но не превосходящих 2. По Коркину и Золотареву,
отыскание точной верхней границы минимумов положительных
квадратичных форм с заданным определителем сводится к
отысканию всех различных классов положительных квадратичных
форм, которым соответствуют максимальные значения функции
9D? (а^). Наибольший из максимумов функции SO? (a.J) является
наибольшим значением этой функции и представляет собой
числовую функцию от и, которую обозначают обычно \х (п). Коркин и
Золотарев показали, что
(.(2) = ]/!, pi(3) = f2, ix(4) = i/4, |х(5)-Г8
(первые два равенства были известны еще Лагранжу и Гауссу).
Они назвали предельными квадратичные формы, для которых
функция ft (п) принимает максимальное значение. Предельные
квадратичные формы обладают важным свойством: каждая
предельная квадратичная форма определяется значением своего
минимума и всеми представлениями этого минимума [Коркин, 2].
Коркин и Золотарев определили все классы предельных форм
для двух, трех, четырех и пяти переменных.
Изучая предельные формы, Вороной заметил, что все они
определяются указанным свойством. Только начиная с
положительных форм от шести переменных встречаются положительные
квадратичные формы, которые обладают этим свойством и не
являются предельными. Каждуюj[ положительную квадратичную
форму, обладающую этим свойством, Вороной назвал
совершенной. Он доказал, что множество всех совершенных форм от п
переменных может быть разделено на классы, число которых
конечно.
Вороной ввел понятие смежных совершенных форм и построил
алгоритм для отыскания различных совершенных форм (полной
системы представителей различных классов совершенных форм).
При этом он сам отметил слабую сторону своего метода —\ число
подстановок, которыми приходится пользоваться для
преобразования области в себя, очень велико. Он указал также, что надо
сделать в будущем, чтобы облегчить приложение созданной им
теории к числовым примерам.
194

«Приложение изложенной в этом мемуаре общей теории к
численным примерам было бы значительно облегчено, если бы можно
было разрешить следующую проблему: дана группа G подстановок,
которые преобразуют область R саму в себя; требуется разбить
эту область на эквивалентные части, число которых было бы равно
числу подстановок группы G при условии, что число граней
п .^ * — 1 измерений полученных областей является
наименьшим возможным. В настоящем мемуаре изложено решение
сформулированной проблемы в двух случаях: п—2 и п=Ъ. Начиная
с числа переменных п ^ 4, я не знаю никакого практического
решения поставленной проблемы» [22, т. 2, стр. 176].
Во второй статье «Исследования о примитивных параллело-
эдрах» [12] Вороной изучает области квадратичных форм, которые
получаются при обобщении результатов, изложенных в работах
Дирихле и Эрмита, на положительные квадратичные формы с
произвольным числом переменных. Работа эта полностью
геометрическая. Изложение и характеристика обеих статей имеется в книге
Делоне [И 9].
Вопросы аналитической теории чисел.
Несколько работ Вороного посвящено аналитической теории чисел.
Особое значение среди них имеет статья «Об одной задаче из
теории асимптотических функций» [7]. Предметом этой работы
являются методы, служащие для определения асимптотического
значения числовой функции F (х), представляемой суммой F (х) =
— 2jf(m, п)у где f(m, п) произвольная функция двух целых пе-
ременных, определенная на множестве (£), которое задается
неравенствами: т^>0, п^>0 и тп^х, где х^1.
Самый простой случай / (т, п) = 1 был предметом многих
исследований, при этом функция F{x)=2\~~ L гДе М— целая
часть х. Дирихле доказал,35 что числовая функция N — имеет
асимптотическое выражение
z(logx+2C — l) + R(z),
где С — постоянная Эйлера, a R (х) — остаточный член,
удовлетворяющий неравенству |R(х)|< A \Jx, каково бы ни было
положительное значение х, А — постоянная. В исследованиях о функ-
35 Lejeune-Dirichlet. Ueber die Bestimmung asymptotischer
Gesetze in der Zahlentheorie. Werke, Bd. 1, Berlin, 1889, S. 351; Ueber
Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. Werke, Bd. 2, Berlin, 1897,
S, 49-66, -
195

ции N -2. Дирихле основывался на своей замечательной фор-
муле
т<и n<v
2И-2й+2И-ен*
я^л? т>0 п>0
где и, у>0, uv = x.
Если положить u — v = \/x, то получается другая важная
формула
2М-»2М-«^
я>0 я>0
являющаяся основной в указанных исследованиях Дирихле.
Вороной доказал такую теорему о функции ^ — .
Функция х (log х -f- 2С — 1) представляет числовую функцию
я^а?
N — с ошибкой, порядок которой не превосходит порядка
я>0 _
функции ^Jxlogx. К этому результату он пришел с помощью
нового преобразования суммы N — . Преобразование это может
п^.х
быть применено ко всякой сумме N / (га, п) и составляет новый ме-
тод, служащий для нахождения асимптотических значений числовых
функций F (ж), представляемых двойной суммой N / (га, п). Метод
(S)
Вороного легко обобщается и применяется к нахождению
асимптотических значений кратных сумм.
Вороной начал с геометрической интерпретации
преобразования Дирихле. Затем он указал новое преобразование суммы
2/(^> я) и дал алгоритм для выбора точек на гиперболе, что
(В)
было очень важно для его преобразования. При этом он
использовал ряды Фарея, знакомые ему еще со времени работы над
магистерской диссертацией. Во второй части [8] он ограничивает
свою задачу изучением числовой функции jF(#)=\ — L приме-
я<а?
няя к ней метод, изложенный в первой части работы. При этом
196

он использует формулу Сонина, являющуюся обобщением формулы
Эйлера—Маклорена (см. стр. 248)
2 /(")=( / («) du + г0 (Ь) f (b) - r0 (a) f(a)-\ r0 (и) df (a),
n>a J J
a a
где a, b — любые числа (a < 6, a, fc > 0),/(u) имеет непрерывную
производную в (a, ft).
В статьях [8, 10] Вороной впервые применил бесселевы
функции к вопросам теории чисел. Первая из них была напечатана
во Франции в 1904 г. Вороной заметил, что формулы Эйлера—
Маклорена и формула Фурье для разложения / (х) в
тригонометрический ряд являются следствиями общей теоремы: сумма
т 2 к*)+т 2 /(ге)
может быть разложена в бесконечный ряд
Ь оо Ь
a<n^.b a^.n<b а я=1 a
при условии, что / (х) — непрерывна в (а, Ь) и имеет в нем только
конечное число экстремумов, a, ft — некоторые действительные
числа. Это было известно из работ Дирихле.36 Выбирая функцию
/ (х) и концы промежутка нужным ему образом и интегрируя
по частям, Вороной получил, в частности, обобщенную формулу
суммирования, принадлежащую Сонину [22, т. 2, стр. 54].
В случаях, когда встречаются суммы,37 зависящие от значений
разрывных функций, формула Эйлера—Маклорена перестает быть
применимой. Наиболее простая из проблем такого рода
следующая: дана аналитическая функция / (х) и числовая функция
т (/г), определенная лишь для целых значений переменной п;
требуется определить значение суммы
s=t 2 x(")/m+t 2 x(n)/w- (36)
Вороной решил обобщить формулу (35), в результате чего
получил новое выражение для суммы (36) в виде бесконечного ряда
Ь со Ь
S = ( / (х) 6 (х) dx + 2 * (п) \ f (х) a (пх) dx, (36')
3eLejeune-Dirichlet P. G. Vorlesungen tiber Zahlentheorie,
4-e Auflage, 1894, Supplem. 1, S. 288.
37 Об этих суммах см., например: Kronecker L, Vorlesungen iiber
Mathemat., Bd. 1, 1894, S. 147.
197

где / (х) непрерывна в (а, Ь) и имеет в нем лишь конечное число
экстремумов, б (х) и а (х) — две аналитические функции,
зависящие только от числовой функции т (п).
Цель этой статьи Вороного — доказательство теоремы при
условии, что числовая функция т (п) обозначает число делителей
натурального числа п. Он полагает при этом
0 (x) = log х-\-2Су а (х) = 2 [6 (4iAr) + т) (4iAr)|,
где С — постоянная Эйлера, а функции Б (ж) и тс (#) удовлетворяют
линейным дифференциальным уравнениям второго порядка
Интегралы этих уравнений называются функциями Фурье,
или Бесселя, или цилиндрическими функциями. Используя
тождество Римана для С (s), Вороной получает разложение для новой
функции g (х)
г(1)=1т(д)5(Ш),
п=1
аналогичное разложению функции 2КХ __ , , и приходит к выводу
[22, т. 2, стр. 58], что формула Римана может служить основой
для исследований, связанных с дальнейшими приложениями
формулы (36') к числовым функциям т(гс, &), определяемым равенством
со
* w — £ п° •
Он находит выражение для суммы 2j т (л) / (я) в виде опре-
деленного интеграла.
Незадолго до своей смерти Дирихле в письме к Кронекеру
сообщил об открытии, касающемся функции ср0 (х) = 2 т (я)» однако
полученные результаты он не успел опубликовать. В связи с этим
Вороной писал, что в настоящее время об остаточном члене
формулы ср0 (х)=х (log Х+2С—i)+R (х) известно не более того,
что знали после опубликования в 1849 г. знаменитой статьи Ле-
жен-Дирихле (см. сноску на стр. 195). Отыскание точного
аналитического выражения для функции сро (х) представляет собой
проблему фундаментальной важности. В [22, т. 2, стр. 110] Вороной
писал: «Метод Лежен-Дирихле. . . может быть применен также
к вычислению приближенного значения сумм
2 ^Чг1 (* = 1.2....)»-
0<п<«
198

В этой статье Вороной применил свойства С-функции Римана,
комплексное интегрирование и теорему Коши. В то же время он
использовал и ряды Дирихле. По мнению Ю. В. Линника [22,
т. 2, стр. 376], способы, примененные Вороным в этих работах,
могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения
функции т (п) и с успехом применены в теории рядов Дирихле.
Он считает, что «все наши современные познания о тонкостях
в поведении т (п) связаны с формулой Г. Ф. Вороного» [22, т. 2,
стр. 375]. Ландау, считавший формулу Вороного
принадлежавшей Харди, указывал, что она является источником многих
исследований о целых точках внутри круга и в других вопросах.
Следующий шаг по исследованию формулы
Вороного—Дирихле был сделан в работе И. М. Виноградова [1 ] 1917 г., который
подсчитал количество целых точек не под гиперболой, а под
кривой y=f (х). Он рассмотрел семейство кривых, зависящих от
параметров А и А -> оо, причем в [Q, R] он предполагает
1 1
-т~т ^ f (х) ^ -т , где h ^ 1 — фиксированное число. Подсчет
целых точек на промежутке [(), R] для такой кривой сводился
к оценке суммы дробных частей 2{/ (#)}. Его метод подсчета
подобен методу Вороного. Он также использовал формулу Сонина,
но вывод у него был более прост, а теоремы более общие. Вместо
разложения в ряд функции {/ (х)} Виноградов раскладывал
в ряд другую, близкую к ней функцию.
Разработкой подобных вопросов с 1915 г. занимались многие
ученые, в том числе Э. Ландау, Харди и Литтлвуд и другие.
До сих пор представляют интерес и другие работы Вороного,
в том числе и его студенческая работа «О числах Бернулли» [1],
где устанавливается связь между числами Бернулли и некоторыми
сравнениями. С помощью простых идеалов Вороной доказал
теорему Штикельбергера о том, что
(т)=(-1Г'
где (—) — символ Лежандра [И 33, т. 1, стр. 251].
Большое влияние на творчество Вороного оказали труды Эр-
мита, Золотарева, Коркина, Сохоцкого, Римана, Сонина, Мин-
ковского. Особенно тесно исследования Вороного связаны с
работами Дирихле, в частности исследования асимптотического
выражения для 2 т (п)> работы по теории алгебраических чисел,
обобщение алгоритма непрерывных дробей, исследования
примитивных параллелоэдров.
Ученик Г. Ф. Вороного — Вацлав Серпин-
с к и й. Известный польский лк тематик В. Серпинский (1882—
1969 гг.) был учеником Г. Ф. Вороного по Варшавскому
университету. Еще в студенческие годы он провел серьезное исследова-
199

ние по аналитической теории чисел, изложив его в конкурсном
сочинении «О суммировании ряда 2 х(п)1(п) ПРИ условии,
что х (п) представляет число разложений п на сумму квадратов
двух целых чисел», награжденном по отзыву Вороного [13]
золотой медалью. Тема работы Серпинского соответствовала
научным интересам Г. Ф. Вороного. В ней вычислялась двойная
сумма £ = 22/ (m2+w2) в области изменения значений
переменных тип, определяемой неравенствами а < m2+n2 < Ъ для
функции / (л), непрерывной и дифференцируемой в а < п < Ь.
Сумма была преобразована в обыкновенную
к>а
где х (к) — число разложений к на сумму квадратов двух целых
чисел, к которой формула Эйлера—Маклорена была
неприменима, так как i (k)f (к) определена только для целых значений к.
Серпинский исследовал сумму S двумя способами. Второй способ
был основан на теореме Якоби о числе разложений целого числа
на сумму квадратов. Вороной писал, что с помощью этой теоремы
Серпинскому удалось получить замечательное преобразование,
частным случаем которого является известное тождество Лиу-
вилля
Е s/x+EyJ^T^ + E\/I^22 +...=Яу —Яу + tf у—... •
При вычислении Серпинскому пришлось распространить
формулу Эйлера—Маклорена на функции, имеющие в области
определения конечное число точек разрыва. Вороной писал:
«Изложенные результаты самостоятельных исследований автора
обнаруживают в нем выдающиеся математические способности и имеют
несомненное научное значение» [13, стр. 6].
В работе затрагивались и другие вопросы, в частности была
оо
рассмотрена функция F(s)=^ — $-> имеющая много общего
с С-функцией Римана. В замечании Вороного об этой части работы
Серпинского говорилось, что «Пользуясь методом Римана для
определения числа простых чисел, заключающихся в данном
промежутке, с помощью определенных интегралов, автор
подобным же образом с помощью функции F (s) решает вопрос о
вычислении числа простых чисел вида 4А+1, не превосходящих
данного предела» [13, стр. 7]. Здесь же Вороной отметил, что
вопросы, исследованием которых занимается Серпинский,
относятся к сравнительно новому отделу математики —
аналитической теории чисел. Автор совершенно самостоятельно ознако-
200

милея с работами по этому отделу математики, причем он «вполне
освоился с методами и приемами исследований и с успехом
применил их к решению новых вопросов аналитической теории чисел.
Постановка вопросов и приемы их решения обнаруживают
несомненную талантливость автора» [13, стр. 6].
В дальнейшем В. Серпинский продолжал изучение вопросов,
которых касался в студенческом сочинении. В работе [1 ] он
применил метод Вороного к нахождению асимптотического выраже-
ния числовой функции *2 \/х — п2. Он рассмотрел функцию
F(x) =2/(m» п) целочисленных переменных тип,
определенен)
ную в области, заданной неравенствами т2 -{-n2^.x, где #^1.
В простейшем случае, когда /(иг, лг) = 1, функция F(x) может
быть представлена в виде
F(x) = l+i 2 EyjF^rf.
Применяя известное утверждение Дирихле о зависимости
между площадью фигуры и числом точек решетки, находящихся
внутри фигуры, Серпинский нашел асимптотическое выражение
для F (х): F (х)=п (х)-\-г (#), где остаток г (х) удовлетворяет
неравенству \r(x)\<^A\Jx при всех i^l, ai обозначает
некоторую постоянную.
Доказательство этого утверждения основано на том факте,
что совокупность точек с целыми координатами т, п,
удовлетворяющими неравенству т2 + тг2<^#, представляет точки с
целыми координатами, лежащие внутри круга и на окружности круга
радиуса \Jx с центром в начале координат. Здесь доказано, что
функция к(х) представляет числовую функцию F(x) с
погрешностью, порядок которой не превышает порядка функции tyx .
В статье [2] Серпинский вычисляет двойную сумму S =
= 22/ (m2+ra2), распространенную на область значений целых
переменных тип, указанную неравенствами а < m2+w2 <С Ъ.
Функция / (п) предполагается непрерывной и дифференцируемой
в промежутке (а, Ь).
Кроме указанных работ вопросам теории чисел посвящены
еще многие работы Серпинского. В одной из них [3] показано,
что вероятность того, что два натуральных числа, равных или
меньших х, являются взаимно простыми, равна
к=1
где р. (к) — функция Мёбиуса.
201

Большую роль в развитии теории чисел в Польше сыграла
книга Серпинского «Теория чисел» [10], вышедшая в нескольких
изданиях и переведенная на английский язык. Кроме теории
чисел, научная деятельность выдающегося польского ученого
была посвящена теории множеств, теории функций, теории
вероятностей, топологии. Он является создателем польской
математической школы в этих областях математики.
В Варшавском университете начиналась также
преподавательская и научная деятельность В. И. Романовского,
написавшего под влиянием трудов Г. Ф. Вороного несколько работ по
теории чисел [1—3].
И. И. Иванов
Иван Иванович Иванов (1862—1939 гг.), так же как и
большинство других представителей Петербургской школы
математиков, окончив Петербургский университет, посвятил себя
педагогической деятельности. Представляя его в
члены-корреспонденты Российской Академии наук, академики В. А. Стеклов,
П. П. Лазарев и А. А. Белопольский высоко оценили его научные
заслуги.38
Основными направлениями научной деятельности И. И.
Иванова в области теории чисел являются теория целых
алгебраических чисел, теория простых чисел, задачи о количестве простых
чисел в арифметических прогрессиях.
Вопросы теории целых алгебраических
чисел. Магистерская диссертация Иванова [5] была
посвящена делимости целых алгебраических чисел. Основные
результаты этой работы были изложены в отзыве 10. В. Сохоцкого и
А. А. Маркова, которые отмечали, что русские ученые высоко
ценили труды Золотарева и Дедекинда, дающие полное решение
вопроса о делимости алгебраических чисел, но сравнительная
оценка их методов оказалась весьма трудной в связи с новизной
приемов и необычной манерой изложения обоих авторов.
«Задача оставалась до настоящего времени не выполненною
в русской литературе. Наш магистрант И. И. Иванов есть первый,
который взял на себя труд разобрать критическим образом обе
теории и изложить их сущность в форме по возможности
общедоступной. Он выполнил это вполне добросовестно. Ясность,
строгость и относительная самостоятельность изложения
показывают и основательное изучение обоих авторов и отличное
понимание предмета; эти достоинства позволяют считать И. И.
Иванова вполне серьезным ученым.
38 Записка об ученых трудах И. И. Иванова. Изв. РАЦ, №№ 12—18,
1924, стр. 442, 443,
303

«Диссертация И. И. Иванова окажет существенную пользу
молодым русским ученым, желающим познакомиться с теориею
идеальных множителей, так как, кроме вышеупомянутой работы
Золотарева, где рассматриваются только некоторые частные
случаи, на русском языке нам не известно ни одного сочинения,
посвященного тому же вопросу. Учение об идеалах изложено в
сочинении Иванова строго по Дедекинду. Что же касается теории
Золотарева, то основные положения этой теории Иванов выводит
из теории Дедекинда, так что теория Золотарева является
естественным следствием и дополнением теории Дедекинда. Переход
от теории Дедекинда к теории Золотарева представляет самый
большой интерес в сочинении Иванова; это есть именно
оригинальная часть диссертации, потребовавшая от автора
значительной научной самостоятельности. Кроме того, в диссертации
Иванова мы видим и другие исследования, принадлежащие лично
ее автору. Вначале выяснено понятие об идеалах на числах,
зависящих от квадратного корня; здесь ясно выступают все
особенности общей теории, и читатель сейчас знакомится с ее
сущностью. К самостоятельной части диссертации следует причислить
также доказательство одной теоремы, относящейся к целым
числам, зависящим от кубического корня, высказанной ранее
А. А. Марковым.
«В заключение считаем долгом прибавить, что работа И. И.
Иванова представляется для русской математической литературы
весьма важной и современной, ибо относится к некоторым
вопросам, до сих пор еще не совсем выясненным и в сильной степени
интересующим ученых России. С окончательными заключениями
Иванова мы вполне согласны и считаем его добросовестным и
даровитым ученым, вполне заслуживающим признания
(присвоения, — Е. О.) ему степени магистра математики.
Ю. Сохоцкий, А. Марков». 39
В 1893 г. И. И. Иванов опубликовал работу [6], где показал,
что из теории Золотарева можно получить теорию Дедекинда.
Таким образом, работы [5, 6] установили полную эквивалентность
теорий делимости целых комплексных чисел Золотарева и
Дедекинда, основанных на различных принципах.
В работе [10] Иванов доказал утверждение Г. Ф. Вороного
из статьи «О целых алгебраических числах, зависящих от корня
уравнения третьей степени» [2], которое заключалось в
следующем.
Сравнение третьей степени
х3 — rx — s = 0 (mod р)
при простом модуле р > 2 всегда имеет одно и только одно
решение, если число 4Г3—27s2 — не квадратичный вычет по мо-
39 ЛГИ А, ф. 14, оп. 3, № 14892, лл. 92, 93, об.
203

дулю р. Если же 4Г3 — 27s? — квадратичный вычет, то сравнейиб
имеет или три решения, или ни одного.
Вопросы теории простых чисел. Докторская
диссертация И. И. Иванова [13] посвящена вопросам теории
простых чисел. Она состоит из четырех глав. В первой главе
Иванов доказывает формулу Чебышева, являвшуюся исходным
пунктом его изысканий о простых числах, и записывает ее в виде
00 00
2 f{n)logn= 2^(p)logp,
я=2 р=2
где р — простые числа,
^(р)=2/("/>)+2/("р2)+---.
В этой главе доказаны также формулы Эйлера,
устанавливающие связь между рядами и бесконечными произведениями, и
несколько теорем Чебышева о простых числах. Среди них имеются
две теоремы Чебышева^ сообщенные ему А. А. Марковым.
Теорема 1. Как бы ни было велико наперед заданное
положительное число М, существует в ряде pv р2, р3, . . . бесчисленное
множество пар таких последовательных чисел рк и рк+1, что
разность рк+1-рк > М.
Теорема 2. Как бы ни было мало а>Ов ряду р±, р2, р3, . . .
существует бесконечное множество пар таких последовательных
чисел рк и рк+1, что pk+i—pk < «. Обе теоремы доказываются от
противного.
В диссертации дано более простое доказательство теоремы
о том, что простых чисел, заключающихся в линейной форме
ах-\-1, где а — целое положительное число, бесчисленное
множество. Эта теорема ранее была доказана, например, Кронекером.
Кроме того, доказано несколько частных случаев теоремы
Дирихле об арифметических прогрессиях.
Во второй главе дается вывод неравенств Чебышева для
функции G (х) = 2 log р, критерий сходимости рядов вида 2 F (р)
р^х р
с положительными членами, выводятся неравенства для функций
2log р, где р — простые числа, равные или меньшие х, р=+1
(mod 4) или р=±1 (mod 6). Для p=4k±i этот вопрос был
рассмотрен В. И. Станевичем [1]. Здесь же находятся
приближенные значения для суммы и произведения:
Zl и П—Г>
где р — простые числа указанных видов.
204

Бблыпая часть третьей главы посвящена анализу
исследования Мертенса.40 Наиболее ценным результатом работы Мер-
тенса Иванов считал установление связи между исследованиями
Дирихле и Чебышева. Автор благодарит А. А. Маркова,
обратившего его внимание на работу Мертенса. Глава заканчивается
доказательством обобщенной Ивановым теоремы Чебышева о
простых делителях чисел вида 4ж2+1 (см. стр. 185).
Следует заметить, что в диссертации Иванова [13] имеется
небольшое замечание об исследованиях Римана и его
последователей: «В нашем рассуждении совершенно не затрагиваются те
исследования, основанием которых служит известный мемуар
Римана. . .41. Дело в том, что в настоящее время еще трудно
сказать, какие результаты авторами последних исследований
получены и строго доказаны» [13, стр. II—III].
Другие работы по теории чисел. И. И.
Иванов опубликовал несколько решений задач по теории чисел, в том
числе дал ответы на вопросы А. Н. Коркина [8] во французском
журнале [7], несколько заметок было напечатано в отечественных
изданиях.
В статье «Об одной сумме» [8] было доказано равенство
Е{Г} + ЕУЪ + ЕУЩ+...+ЕУ(р-2)(р-1)р =
_(р-1)(р-2)(Зр-5)
— 4 '
где р > 2 — простое число.
В другой статье, также помещенной в Известиях Академии
наук [9], Иванов обобщил результат Чебышева (см. стр. 185).
Читая теорию чисел в Петербургском университете и на
Высших женских курсах, Иванов подготовил курс лекций по теории
чисел [14]. Следуя традиции Чебышева, И. И. Иванов считал,
что главным предметом теории чисел является решение некоторых
классов неопределенных уравнений в целых числах. Так как
этот вопрос тесно связан с вопросами делимости, курс начинался
с изложения теории делимости (алгоритма Евклида, доказательств
теоремы о бесконечности количества простых чисел в
натуральном ряду, теорем о разложении на простые множители и пр.).
Затем автор переходил к теоремам Ферма, Вильсона, Эйлера и
к изложению теории сравнений. Были рассмотрены свойства
сравнений первой и высших степеней и решение систем сравнений
по Лагранжу.
Во второй главе излагается теория сравнений второй степени,
свойства символов Лежандра и Якоби и теория квадратичных
вычетов, включая закон взаимности и связь закона взаимности
40 М е г t е n s F. Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. reine unci
angew. Math., Bd. 78, 1874, SS. 55, 56.
41 P и м а н Б. Сочинения. M., 1948, стр. 216—224.
205

с решением сравнений второй степени. В частности, в этой главе
был изложен способ решения двучленных сравнений по простому
модулю р=2хк-\-1, предложенный Коркиным [9].
Третья глава была посвящена первообразным корням,
индексам и их приложениям к решению двучленных сравнений,
четвертая глава — некоторым неопределенным уравнениям
с двумя неизвестными второй степени в связи с теорией
квадратичных форм. Приведенное в курсе доказательство теоремы:
«всякое простое число формы 4лг+1 может быть представлено
в виде суммы двух квадратов и только одним манером»
принадлежало Эрмиту [14, стр. 207—212].
К курсу были приложены Дополнения, в которых
доказывалось, что простых чисел вида 4етг+1, 4/гг+З, 6/71+1, 6т-{-5
бесконечно много. Доказательства этих утверждений
представляли собой обобщение доказательства Евклида теоремы о
бесконечности количества простых чисел в натуральном ряду.
Представляя И. И. Иванова на штатную должность
ординарного профессора, В. А. Стеклов писал: «Наиболее ценными
являются его исследования по теории чисел. . . Почти все
исследования автора касаются более или менее важных вопросов
теории чисел и анализа, суждения отличаются простотой и
строгостью. . . и приводят к ряду самостоятельных выводов».42
Я. В. Успенский
Яков Викторович Успенский (1883—1947 гг.) за три с
небольшим года (1903—1906 гг.) успешно окончил математическое
отделение физико-математического факультета Петербургского
университета, получив диплом первой степени. Он был оставлен при
университете для подготовки к профессорскому званию.
Успенскому было поручено чтение лекций по теории чисел и исчислению
конечных разностей, а также ведение практических занятий по
приложению интегрального исчисления к геометрии.
Высоко оценил научную деятельность молодого ученого
В. А. Стеклов. В записке, рекомендовавшей факультету
пригласить Успенского на должность экстраординарного профессора по
кафедре математики, Стеклов писал, что в магистерской
диссертации Успенский обнаружил «не только весьма широкую
эрудицию, редкую для начинающего ученого его возраста (27 лет),
и незаурядные способности, но и несомненный талант
самостоятельного и оригинального исследователя, стоящего на верном
пути к дальнейшему научному успеху».
Стеклов считал Успенского также и талантливым педагогом,
отмечал его участие в составлении задачника по высшей мате-
42 ЛГИА, ф. 14, оп. 1, № 8795, лл. 95—97, об. Здесь же имеются
биографические сведения об И. И. Иванове (лл. 62 об, 70, 71, 103—119, 123, 129,
130, 136, 141 и др.).
206

матике, изданного преподавателями Института инженеров путей
сообщения, где «ему принадлежит свыше тысячи оригинальных
задач, им вновь составленных».43
В тот период в университете было очень трудно с
профессорскими кадрами, а магистры не могли занимать профессорские
должности по уставу 1884 г. Поэтому Стеклов предложил
факультету в нарушение этого устава пригласить магистра
Успенского на должность экстраординарного профессора по кафедре
математики. Его поддержали Д. К. Бобылев и И. И. Иванов,
также подписавшие записку. В 1915 г. Успенский был избран
экстраординарным профессором.
Спустя шесть лет он был представлен в академики. В записке
о его ученых трудах 44 академики А. А. Марков, В. А. Стеклов,
А. Н. Крылов писали, что он уже успел приобрести известность
глубокого знатока задач современного математического анализа
и талантливого изобретателя новых приемов для их решения.
Так же как и в предыдущем отзыве, отмечалась его блестящая
эрудиция. В 1921 г. Успенский был избран действительным
членом Академии наук.
Я. В. Успенский занимался теорией чисел в следующих
направлениях: представление чисел квадратичными формами,
асимптотические выражения числовых функций в вопросах разбиения
чисел на слагаемые и теория целых алгебраических чисел.
Приложения принципа непрерывного
параметра Эрмита. Магистерская диссертация
Успенского [3] была посвящена приложениям принципа Эрмита 45 к
решению некоторых вопросов теории чисел.
Коркин и Золотарев, а затем Вороной применяли принцип
Эрмита в теории квадратичных форм. Успенский применил этот
принцип к формам вида
F(x, y) = \ax + to\' + t\ix + *y\*, (37)
где р — любое число, равное или большее 1. Правда, хороших
результатов он сумел достичь только для р=1 и р=2.
В диссертации он доказал теоремы, предложенные Г. Мин-
ковским в статье,46 и получил алгоритмы, обобщающие алгоритм
непрерывных дробей. Затем он дал различные применения своих
алгоритмов.
43 Там же, № 10104, лл. 62—65.
44 Протоколы заседаний Общего собрания РАН, 1921. Петроград,
стр. 13—15; Изв. АН, т. 15, Пгр., 1921, стр. 4—6.
45 Н е г m i t е Ch. Sur Г introduction des variables continues dans la
theorie des nombres. Oeuvres, t. 1. Paris, 1905, pp. 164—192.
46 Minkowski H. Generalisation de la theorie des fractions continues.
Ann. l'Ecolc norm., t. 13, 1896, pp. 41—60; Ueber die Annaherung an eine
reelle Grosse durch rationale Zahlen. Math. Ann., Bd. 54, 1901, S. 91—124.
207

Во второй части работы Успенский разработал алгоритмы
приведения форм Дирихле,47 назвав так бинарные квадратичные
формы, коэффициенты которых и переменные — целые числа
данной области. Он берет области (1, а) и (1, i), где i = \]—1,
а — мнимый корень кубичный из единицы.
Успенский начал исследование, желая доказать теоремы,
предложенные Минковским на съезде математиков в Гейдельберге
(1904 г.), но осенью 1907 г. Минковский опубликовал
доказательства этих теорем и аналогичных им для области (1, а). Пользуясь
теоремами Минковского и следуя по пути, проложенному
Вороным [3], уже нетрудно было выработать алгоритм для приведения
форм Дирихле в областях (1, г) и (1, а).
Когда диссертация была написана, Успенский узнал о работе
Гурвица 48 на ту же тему. В применении к числовым примерам
алгоритм Успенского оказался сложнее алгоритма Гурвица, и
Успенский хотел уже отказаться от печатания работы. Но его
остановило то, что его алгоритм являлся следствием свойств
подстановок, с помощью которых осуществляется приведение форм.
Поэтому, например, доказательство основной теоремы: две формы
не могут быть эквивалентными, если они дают разные периоды
приведенных форм, — получалось у него непосредственно. У
Гурвица же доказательство этой теоремы было очень сложным.
Первая часть работы Успенского была посвящена отысканию
целых значений переменных х, i/, дающих минимум формы (37),
где р > 1 — любое число, t > 0 — произвольное, а, (3, у, 8 —-
вещественные коэффициенты, Д=а8—|3у=£0 при всевозможных
значениях положительного параметра t, и изучению связи
получаемых таким образом систем целых чисел между собою.
Результатом явились алгоритмы, представляющие простейшее
видоизменение алгоритма непрерывных дробей. Исходным пунктом
рассуждения была теорема Минковского.49 При всяком
положительном t можно найти целые числа х, у, удовлетворяющие
неравенству
г(1+4у
Ч'+т)
При этом всегда можно найти целые числа х, у так, чтобы
неравенство выполнялось со знаком «<». Этого нельзя было
47 Lejeune-Dirichlet. Recherches sur les formes quadratiques
к coefficients et a indeterminees complexes. J. reine und angew. Mathem.,
Bd. 24, 1842, SS. 291-371; Werke, Bd. 1, Berlin, 1889, 533-618.
48 H u г w i t z J. Ueber die Reduction der binaren quadratischen Formen
mit complexen Coefficienten und Variabeln. Acta Mathem., t. 25, 1902,
S. 231—290.
49 Minkowski H. Diophantische Approximationen. Leipzig, 1907;
Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1, 2, 1911.
208

сделать лишь при р = 1 и при соблюдении некоторых
дополнительных условий [3].
Далее доказана основная теорема: если при заданном
значении параметра t имеются две различные системы х=р, y=q; х=р'',
y=q\ дающие минимум форме F (х, у), то pq'—pq= ±1. У этой
теоремы есть одно исключение: когда р=1 и формы £ и г\ с
помощью линейной подстановки с целыми коэффициентами и
определителем +1 могут быть приведены к виду £=°(Х-|-У), *]=
= х(Х-У).
При доказательстве этой теоремы Успенский исходит из
указанной выше теоремы Минковского и использует средства
математического анализа и высшей алгебры. Затем строится ряд
подстановок для форм %=ах-{-Ъу, ч\=сх-\-\у и даются различные
приложения этого алгоритма. Одно из приложений: разложение
чисел в непрерывные дроби. Построение ряда подстановок
сводится к определению начальной подстановки, из которой уже
известным образом можно найти и все остальные. Каждая из
подстановок дает минимум форме F (х, у) при некотором значении t.
При любом t > О задача сводится к случаю t=l. Поэтому
основную роль в исследовании играет задача нахождения целых
чисел х, у, дающих минимум форме F(x, у)= \ ах-\-$у\р-\-\ *(х-{-Ъу\р.
Теория сопровождается подробным решением числовых
примеров. Затем рассмотренные алгоритмы применяются к теории
приведения квадратичных форм и этот процесс ^сравнивается со
способом Гаусса.
Глава третья посвящена общему исследованию свойств целых
чисел, дающих последовательные минимумы системы линейных
форм £=вд+[3г/, т\=°(х-{-Ъу с комплексными переменными. Автор
применяет свою теорию к формам Эрмита для квадратичных
областей (1, i) и (1, а), причем многим результатам дает
геометрическое истолкование. В четвертой главе изложена теория
приведения форм Дирихле, которые рассматриваются в областях (1, i)
и (1, а).
В подробном отзыве об этой диссертации оппоненты Ю. В. Со-
хоцкий и А. А. Марков писали: «Работа Успенского относится
к одному вопросу, возбужденному в середине минувшего
столетия Ш. Эрмитом. Ученый этот задался тогда мыслью создать
аналитический путь, который дал бы возможность приступить
к разработке теории форм высшего разряда — по числу
переменных или по степени; таким образом была бы создана в науке
новая платформа для новых открытий в высших областях теории
чисел. Как ни остроумны и блестящи были первые пробные мысли,
намеченные Эрмитом с предвзятой им целью, они, однако, в
дальнейшем их развитии встретились с непреодолимыми трудностями,
так что спустя некоторое время речь о них сократилась. Только
появление в недавнее время двух высокодаровитых математиков:
Вороного в России и Минковского в Германии, дало новый тол-
209

чок и, кажется, новую жизнь немного позабытым идеям Эрмита.
Действительное научное значение результатов, достигнутых
трудами Вороного или Минковского, оценить в настоящее время будет
затруднительно, но тем не менее успехи названных ученых сильно
воодушевили и, быть может, не в меру увлекли нашего магистранта
Я. Успенского, коего настоящая работа построена сплошь на
началах Вороного и Минковского».
Оппоненты отметили ряд недочетов, в частности «само
изложение не доведено до наглядности, требуемой от всякой теории,
имеющей фундаментальное значение». Следует сказать, что это
замечание характерно для представителей Петербургской школы.
В целом, по их мнению, работа представляла «все-таки труд весьма
солидный с несомненными достоинствами и притом труд весьма
ценный для всякого специалиста по теории чисел», автор
которого «вполне сложившийся ученый, умеющий стойко и мастерски
справляться с серьезными научными трудностями».ба
Представление чисел квадратичными
формами. Основные работы этого направления были
опубликованы Успенским в Известиях Российской Академии наук за
1925—1926 гг. [15]. К этому же направлению относятся его
статьи [6-9, 12, 14-19, 20].
Начиная с Кронекера, опубликовавшего в 1857 г. первые
примеры замечательных зависимостей между числами классов
положительных квадратичных бинарных форм, многие математики
занимались исследованиями в этом направлении. При этом они
пользовались преимущественно двумя методами — Кронекера и
Эрмита. Метод Кронекера, основанный на рассмотрении особых
значений модулярных функций, был развит и усовершенствован
в трудах Гирстера и Гурвица. Второй метод, более элементарный,
был предложен Эрмитом и основан на изучении
тригонометрических разложений некоторых комбинаций 0-функций. Метод
Эрмита был развит и применялся в работах П. С. Назимова,
К. Петра, Г. Гумберта. Оба метода имели аналитический
характер. Часть своих результатов Кронекер сумел получить и
арифметическим путем. Другой арифметический путь указал Лиу-
вилль в письме к Эрмиту. Его метод основывался на некоторых
общих формулах, опубликованных им без доказательства в ряде
статей. В своей работе Успенский приводит следующие слова
Лиувилля: «Мои формулы связаны также с теорией
эллиптических функций, но скорее они содержат эту теорию, чем от нее
зависят. Я их получаю все с помощью самой простой алгебры»
[15, стр. 599].
Успенский пришел к выводу, что метод Лиувилля заслуживает
более глубокого изучения, тем более, что арифметические вопросы
всегда представляет интерес изучить чисто арифметическими ме-
бо ЛГИА, ф. 14, оц. 3, № 15120, дл. 44—46, об.
?10

тодами. Одним из математиков, работавших над усовершей-
ствованием метода Лиувилля, был Стилтьес. В переписке с Эр-
митом 51 он указал, что его результаты имели арифметический
источник. Успенский решил усовершенствовать метод Лиувилля,
которым хотел доказать все известные до тех пор результаты,
полученные в теории чисел с помощью теории эллиптических
функций. Вначале он вывел общие формулы Лиувилля и другие,
подобные им. Полученные им три группы общих формул должны
были заменить теорию эллиптических функций. Затем он перешел
к вопросу о числе решений некоторых видов неопределенных
уравнений. Он определяет количество решений уравнения
4tt+l=d8 + 2d'§', (38)
где d, S, d! 8' — целые числа большие 0, связанные зависимостью
d' = ^±l±i9 (39)
где 8' — нечетное число, &' может быть четным или нечетным,
d, 8 — нечетные.
В случае, когда взят нижний знак в (39), полагают d=2w-|-l,
8=2р+1, где целые и, v — не отрицательны; d' = u-\-v, Ъ'=2к—1,
к > 0. Тогда уравнение (38) примет вид
n = uv + (u + v)k = (u + k)(v + k) — к2. (40)
Количество решений уравнения (40) будет то же, что и
уравнения (38). Обозначим его Pv При верхнем знаке в (39) число
решений уравнения (38) обозначим Р2. Общее число решений
будет Р = Рх-\-Р2. Эта сумма просто выражается с помощью
числовой функции G(ri), связанной с числом классов бинарных
положительных квадратичных форм Детерминанта — п.
Если обозначить число классов G (я), то G (п) определяется так:
G(n) = G{n) — у, когда n2 = s2;
G(n) = G(n) — -g-, когда n = 3s2;
G(n) = G(n) — в остальных случаях.
Тогда Рг + Р2 = 6G (п) или P = $G(n). В случае, если d, 8,
d1, Ь' нечетные и связаны соотношением (39), общее число
решений Р1 состоит из двух частей: /^.(при нижнем знаке) и Р'2 (при
верхнем знаке). Тогда Р[ + Р'2 = ^F(n) и Pr = 4F(w), причем F(n)
определяется так:
F(n) = F(n) — у, если п — s2, s — нечетное число;
F(ri) = F(n) — в остальных случаях, a F (п) — число классов
бинарных положительных квадратичных форм детерминанта — п,
которые способны представлять нечетные числа. Функции F(n) и
!* Correspondence d'Hermite et Stieltjes, t. 1, 1905, pp. 26, 43, 45 etc.
211

(sF(s
wHo-,
G(n) определены только для /г>0, но их легко определить и
для гг = 0, полагая F(0) = 0, G(0) = — -j^-.
После этого автор переходит к. доказательству формул Кроне-
кера. Исходным пунктом служат основные формулы начала
работы. Путь рассуждений в остальных случаях аналогичен этому.
По общей формуле Успенский пишет
2 F(4}) = 2 2 F(d' + l) + {,F(s))t (41)
m=ih*+db m^i'+Zd'b'
«w=e2, e>0
где 8' — нечетные числа и
' sF(s) при m = s2, s>0,
в остальных случаях.
m = s2, s>0.
Формула (41) верна для всякой нечетной функции F(x),
причем т — нечетное число. Пусть 8", d" — нечетные и удовлетворяют
условию 2d"8"<4ra + l. Положим в (41) m = in +1 — 2d"8" и
запишем F (х) в виде разности F(x) = f(x — d") — / (х + d"), где
/(#) — произвольная положительная функция.
Замечая, что 4гс + 1—2d"b" = 3 (mod 4) и что, следовательно,
это число не может быть полным квадратом, будем иметь
4я4-1-2<*"8"=
=4u2-{-rf8
= 2 2 {/(#_<Г'+0-/(<*' + <Г + 0}-
4n-fl— 2«"=
=*2+2rf'8'
d'f 8' —нечетные
Придавая d" и 8" все возможные значения и складывая
полученные результаты, находим
2 {'(4*!-*)-'№+*)}=
4и+1=4Л2+
+rf8+2d"8"
= 2 2 {/(d'-d" +*)-/(<*'+ <*" + *)}• (^2)
4я+1=12+
Здесь d, 8, d7, d", 8"— нечетные числа, большие 0, h может быть
равно 0, <0, >0, i — нечетное число, большее или меньшее 0.
Преобразуем правую часть. Так как число—i пробегает то же
множество значений, что и i, то
2Z{f(d'-d'> + t)-f(d> + d'' + i)} = 2t{f(d>-d» + i) +
+ f(d' — d" — i) — f(d' + d" + i) — f(d>-\-d" — i)}.
212

d
Для функции ф (х) = f (х + 0 + / (х — О» четной при данном i,
имеем формулу
2 (ф(<*' — d") — ф(d' + d")} = 2 d(f (0)-f (2d)}.
2fc=d'8'+d"8" A:=rf8
d;, 8', d", 8"— нечетные, 8 — нечетные.
Так как / (х) — некоторая четная функция, можно положить
/(#):= 0, когда х2 =7^=1 и/(±1) = 1. Левая часть (42) представляет
теперь число всех решений уравнения
4rc + l=4A2 + d3 + 2d"8", Л = 0, ±1, ±2, ...
где d, 8, d", 8"— нечетные числа, связанные соотношением d" =
= ^±l), равное 4%F(n — h% где Л = 0, ±1, ±2, ...,#><тг.
При том же выборе / (х) правая часть формулы (42) станет равной
4 2 <2— ^ d (8 — нечетные).
я=^8 in=d(d±2+28)
Легко видеть, что
2 d = 2 2 ь>
ln=d(d+2+2b) я=ДД',Д<Д',
Д'=Д(тО(12)
где 8 — нечетные числа.
Следовательно, правая часть (42) станет равной
42^ — 2 2 А — 2 2 Д> А' н= Д (mod 2), 8 — нечетные числа.
n=dS я=ДД', п=ДД'
Д<Д' Д<Д'
Приравнивая полученное выражение к выражению,
найденному для левой части, получим
2 *■(-,-*>)= 2 *-т2А-т2*.
А=0, ±1, ±2, ... 8—нечетное я=дд' п=дд'
я=а8,Д'=Д(то<12) Д<Д' Д<Д'
ИЛИ
2 F\n-h?)= 2 d- 2 А-ум-
й=0, ±1, ±2, ... n=db я=ДД' Д'=ДГГО0<12)
8—нечетное д<д' я=в% *>0
Принимая во внимание три случая: п — нечетное число, п —
удвоенное нечетное, п — делящееся на четыре, Успенский
получает три формулы Кронекера. Аналогичным образом он
доказывает и остальные формулы Кронекера. Затем он переходит
к элементарному доказательству теоремы Якоби о числе пред-
213

ставлений целого Зисла суммой четырёх квадратов, Из его общих
формул и из теоремы Якоби получается простое доказательство
формул Гаусса для числа представлений целых чисел суммой трех
квадратов. Формулы Кронекера дают простое выражение для
сумм SF (n—h2) и 2 (—i)hF (w—h2). Можно попытаться обобщить
результаты Кронекера, рассмотрев более общие суммы: 2F (n—kh2),
2 (—l)hF4п—kh2), где к — целое заданное число, большее 0. Этот
вопрос Успенский сумел решить для некоторых частных случаев
(&=2, ft=3). Впервые для к=2 он был решен Стилтьесом,
сообщившим об этом Эрмиту, но ничего не опубликовавшим по этому
поводу.
В 1901 г. К. Петр методом Эрмита доказал результат Стилтьеса
и дал решение для случая к=3 и для нескольких других частных
случаев при к=5. Общее выражение суммы 2F {п—5h2) для
любого п сообщил Успенскому в 1919 г. Б. А. Венков. Все
выражения, полученные Стилтьесом, Петром, а также формулы Гур-
вица и Гумберта, Успенский выводит из своих общих формул чисто
арифметическим путем. В третьей статье [15] он воспроизводит
сущность результатов Венкова для суммы ^F (п—5h2). Общий
путь решения был тот же, что и раньше, но рассуждения
становятся сложнее. Успенский отметил вначале: «Наибольшая
трудность, присущая этому роду исследований, состоит в построении
необходимых общих формул. Г. Венков чрезвычайно счастливым
образом преодолел упомянутую трудность и сумел вывести все
необходимые формулы посредством приема, который был много
раз использован в предыдущем мемуаре» [15, стр. 327].
В четвертой статье [15] дан метод, остающийся в рамках
того же круга идей, но основанный на общих формулах еще
одного вида. В качестве приложений автор находит формулы
Назимова, Лиувилля и Гумберта.
Наконец, в пятой статье [15] он применяет формулы
предыдущей статьи для вывода формул Гирстера, который сам пришел
к ним с помощью обобщения метода Кронекера и показал, как
прийти к ним с помощью метода Эрмита. Успенский вывел их
арифметическим путем.
Через два года в статье «О соотношениях Гирстера для числа
классов» [18] он внес ряд усовершенствований в методы пятой
статьи. Тогда же в 1928 г. он опубликовал статью «Об
арифметических теоремах Якоби относительно одновременного
представления чисел различными квадратичными формами» [17]. Здесь
он показал, как теоремы, выведенные Якоби, могут легко быть
получены с помощью простых арифметических соображений.
Первая часть этой работы основана на идеях Лиувилля. Другая —
на более простом методе. Исходным пунктом нового метода
служит одна общая формула и известные результаты, касающиеся
числа представлений чисел квадратичными формами х2-\-у2, х2-\-2у2,
х2-\-Зу2. Эти результаты Успенский тоже вывел заново, чтобы
214

продемонстрировать возможности своего нового метода. Им же
доказана теорема Якоби
2 (—iy= 2 (—1) 8 для m=l(mod 8),
т=х~-{-\Ъуп' т=х2-\-8у2
из которой в частном случае (когда т — простое число)
получается теорема Гаусса: если в m = a2-\-lQb2 Ъ — четное, то
в выражении m—c2-{-8d2 с — вида 81+1; если Ъ — нечетное,
то с — вида 81 +3. Теорема Гаусса была опубликована им
в первой статье по биквадратичным вычетам.
Доказан еще ряд теорем, среди которых теорема Якоби
(-iF 2 М)у=2 2 Mr
я=*2+9#2 n=(Gx+l) 2-H2y*
для каждого тг=1 (mod 12), теорема Ст. Смита для и=1 (mod 8)
2 (-i)^+z= 2 (-1)'.
п=х2—8z2 п=хг-\-Ъг>
л?±4*>0 х>0
В 1929—1930 гг. в Америке печатается ряд работ Успенского
по теории квадратичных форм. Статья «О числе представлений
целых некоторыми тернарными квадратичными формами» [19]
была вызвана появлением в 1927 г. статьи Л. Е. Диксона, в
которой речь шла о возможности таких представлений. Успенский
заметил, что для форм, рассмотренных Диксоном, и некоторых
других частных видов форм можно дать точное число
представлений. Количество представлений целых чисел формой x2-\-y2-\-z2
было впервые дано Гауссом в качестве приложения общей теории
тернарных квадратичных форм. Более элементарным путем этот
результат вывел Кронекер из своих соотношений для числа
классов. Очень простой и ясный вывод, основанный на арифметике
кватернионов, дал Б. А. Венков. Успенский находит точное
число представлений чисел формами x2+y2-\-2z2, x2-\-2y2-\-2z2,
#2+3#2+6z2, x2-\-y2-{-3z2 и другими.
В статье [21] изучаются «неполные» числовые функции. Если
рассматривается сумма 2 /№ ty при некотором условии в виде
db=n
неравенства, например при условии d < 8 или d < 38, то говорят,
что это — неполная числовая функция. Такие функции
использовал еще Лиувилль. Пусть для нечетного т
g(m)= 2 ММ
?15

Если обозначить N (n=x2-\-y2-\-z7) число представлений п
в виде суммы трех квадратов, то для ге=3 (mod 8) имеем
N(n = x* + y* + z*) = 8[g(n) + 2g(n-4-l*) +
+ 2*(i»-4.2«) + 2jr(»-4-.3»)].
Другое представление для этого числа дает формула
^(n = ^ + ^ + ^ = 8[p(i^!) + p(i^) + p(l^)]. (43)
где р(т)= 2 (—1) 2 , т — нечетное число.
dfm
Цель статьи Успенского — показать, как все подобные
результаты можно вывести элементарным путем из некоторых очень
общих формул, уже использованных прежде в статье [18]. Здесь
получается также результат Эрмита о числе представлений
целого числа пятью квадратами:
N(n = a*. + y* + z* + t* + i?) =
= U\x(n) + 2X(n-V) + 2z(n-V)+...l
где х (т) = 2 (^ + 38) — неполная функция.
db-=.m
38<rf
Асимптотические выражения числовых
функций. К этому направлению работ Я. В. Успенского
в первую очередь относится статья [13]. Среди многих
аддитивных проблем есть такие, которые рассматривают разложение
целого числа на целые числа определенного вида,
п = а1 + а2 + а3+ ... +аг.
Например, если ак должны быть квадратами, то имеем
классическую задачу разложения целого-числа на сумму квадратов или
представления числа квадратичной формой. Если ак — простые
числа, получаем проблему Гольдбаха—Варинга; если ак — яг-ные
степени, получаем известную проблему Варинга. Различают
теоремы о возможности такого разложения (теоремы существования)
и теоремы о количестве разложений. Так, классическая теорема
Баше—Эйлера—Лагранжа о существовании разложения любого
целого числа в виде суммы не более четырех квадратов
дополняется теоремой Якоби о числе таких представлений. При
больших числах вместо числа представлений рассматривают обычно
асимптотическое выражение для количества представлений, и
затем стараются получить возможно более точную оценку
остаточного члена в асимптотической формуле. Можно рассматривать
разбиения чисел, не подчиненные никаким ограничениям, можно
изучать разбиения на не более чем s частей и пр.
216

Первый существенный вклад в теорию разбиений внес Эйлер.
Свойства разбиений он большей частью выводил исходя из
порождающих функций. Для задач мультипликативного типа
порождающими функциями служат обычно ряды Дирихле. Для задач
аддитивного типа эту роль исполняют степенные ряды.
Обозначим р (п) число разбиений п. Известна теорема: для 0 ^ х < 1
Р(*) = У,Р(п)хп = 11-!—к, Р(0)=1.
^J fc=l 1 — хК
Отсюда с помощью теоремы Коши можно найти р (п).
Доказательство формулы для р (п), данное Успенским, Люб считает
наиболее простым.62 В [13] Успенский выводит асимптотические
выражения для трех основных функций, встречающихся в
задачах о разбиении чисел на слагаемые. Функция р (т) означает
число всевозможных разбиений числа т на сумму равных или
неравных слагаемых, X (т) — число разбиений т на сумму
неравных слагаемых, v (т) — число разбиений т на сумму
неравных нечетных слагаемых. Успенский исходит из двух известных
фактов: 1) эти функции являются коэффициентами при хт в
разложениях по степеням х функций
/W=(1-I)(1J2)(1-l8),„;yW=(H^(i+,^(i+^).-;
аналитических в области \х\ < 1, и 2) интегрального
представления коэффициентов степенного ряда
__ 1 f / (х) д
°п — 2%i ) xn+i йХ'
с
Поэтому получается интегральное представление функций
с с с
где С — замкнутый контур, содержащий внутри себя точку О
и лежащий внутри круга | х | < 1. Задача сводится к определению
асимптотических выражений этих интегралов при т -> сю.
Для этого рассматривается интеграл
*™Тт = \Щ-<1х,
62 А у о u b R. An introduction to the analytic theory of numbers.
Providence, USA, 1963, p. 203.
217

где g(х) = х*flog — j e * , A^O, A, a — вещественные, |3 = 0
или у, С7 — дуга окружности вблизи #=1, определяемая
подробнее в дальнейшем. Задача решается с помощью комплексного
интегрирования. Затем устанавливается связь / (х) с бесконечными
произведениями, изучаемыми в теории эллиптических функций, и
с помощью формул линейного преобразования тета-функций
для / (х) устанавливается соотношение
4ic3
log
где £ = e x , позволяющее построить g (ж), аппроксимирующую
/(ж). После ряда преобразований получается оценка
V24 Г6(1+Х')7 1
l/(*)l<z> р,
(где L — постоянная), верная на остальной части С, и
доказывается, что Тт — главная часть р(т). Аналогичные оценки
получаются для ср (х) и ф (я). Переходя к р, X, v, Успенский получает
соотношения
с/тж //"г
РИ — . .=• при т-> оо, Х(т)~ ——— при го-> оо,
4/тг V3 4/ 3 m и
откуда
'(m)~il71WA при т->00'
,w^oo v (2w) v
Большое количество алгебраических свойств разбиений можно
найти в работах Сильвестера. Арифметические доказательства
формул для числа разбиений есть у Бугаева. Первая формула
асимптотического типа была доказана в работе Харди и Рамануд-
жана с помощью так называемого кругового метода, с успехом
использовавшегося позднее в решении проблем аддитивной теории
чисел.
Нахождение единиц алгебраических
полей. Тема первой печатной работы Успенского [1 ] возникла
218

в результате знакомства автора со статьей Гаусса «К теории
комплексных чисел». Успенский дал алгоритм Евклида для целых
чисел, зависящих от корня пятой степени из единицы. По
содержанию эта статья примыкает к исследованиям Золотарева,
Маркова и Вороного о целых алгебраических числах.
Вторая работа этого направления [22] появилась в связи
с изучением Успенским магистерской диссертации Золотарева
[1], который развил метод нахождения единиц в поле #+j/9-|-z02
(где 0 — корень неприводимого уравнения №=А), основанный
на изучении последовательных минимумов некоторой тернарной
квадратичной формы, содержащей непрерывный параметр.
Отмечая большую ценность способа, приводящего изучение
последовательных минимумов тернарных квадратичных форм к подобной
проблеме, касающейся бинарных форм, Успенский указал, что
метод Золотарева требует дальнейшего развития для определения
всех последовательных минимумов, как это требовалось
принципом Эрмита. Сохранив основную идею Золотарева, он построил
новый метод нахождения основных единиц в кубических полях
отрицательного дискриминанта, уже сравнительно легко
применимый к числовым примерам.
«Элементарная теория чисел». Итогом
научной и педагогической деятельности Успенского в области теории
чисел явилась книга «Элементарная теория чисел» [23]. Для ее
написания Успенский использовал материалы, накопленные им
по теории чисел и по ее истории. Книга была написана в
соавторстве с американским математиком Хислетом.
Главы, соответствующие обычным разделам программы, здесь
менее насыщенны и интересны, чем в литографированном курсе
Успенского [5]. Зато добавлены главы о методах Лиувилля, где
сконцентрированы результаты исследований Успенского и
приведены новые приложения его методов.
В главе о числах Бернулли содержится изложение теорем
Вороного, из которых легко получается множество свойств чисел
Бернулли.
Принципы метода Лиувилля — Успенского изложены в [И 4].
Ученик Успенского известный советский математик Б. А.
Венков писал о нем: «Заслуга воссоздания арифметических методов
Лиувилля во всей их простоте и полноте принадлежит Успенскому;
он не только доказал все тождества и упомянутые выше результаты
Лиувилля, но нашел много новых подобного рода формул и
применил их к доказательству результатов, найденных разными
авторами (Клейном, Гирстером, Тумбертом) с помощью аналитических
методов» [И 4, стр. 169].
В настоящее время в Советском Союзе работают талантливые
ученики Успенского, но их деятельность относится уже к
советскому периоду, поэтому выходит за пределы задач данной книги.

ГЛАВА 6
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
В МОСКВЕ
Н. В. Бугаев
Начало исследований по теории чисел в Московском
университете связано с деятельностью профессора Николая Васильевича
Бугаева (1837—1903 гг.). Окончив в 1859 г. Московский
университет и защитив в 1863 г. магистерскую диссертацию, Бугаев
едет за границу для подготовки к профессорскому званию. В
Берлине он слушает лекции Куммера, Кронекера, Вейерштрасса,
в Париже — Лиувилля, Ламе, Дюамеля. После защиты
докторской диссертации (1866 г.) Бугаев становится профессором
Московского университета. Много лет он является деканом физико-
математического факультета. В то же время Бугаев был одним
из членов-учредителей и активнейшим членом Московского
математического общества, а последние двенадцать лет — его
президентом. К участию в работе Общества он привлекал и наиболее
способных студентов, и уже известных ученых — выпускников
университета, многие из которых были его учениками. Среди
них: Д. Ф. Егоров, Н. Я. Сонин, Б. К. Млодзеевский, Л. К. Лах-
тин, К. А. Андреев, В. А. Анисимов, П. С. Назимов, В. Г.
Алексеев и многие другие. Как видно, тесную связь с учениками Бугаев
поддерживал и после окончания ими университета.
Большим уважением Н. В. Бугаев пользовался в
профессорской среде университета, в частности его очень высоко ценил
Н. Е. Жуковский. Когда в 1900 г. Московское математическое
общество решило отметить выход в свет двадцати томов
Математического сборника, члены Общества приняли решение отметить
одновременно и 35-летний юбилей научной деятельности Н. В.
Бугаева. 24 ноября 1899 г. Н. Е. Жуковский писал по этому поводу
В. А. Стеклову: «Среди живущих в Москве членов Общества
возникла мысль почтить вместе с тем. . . президента Общества
Н. В. Бугаева, неутомимая научная деятельность которого
неразрывно связана с жизнью Математического общества с самого
его основания. . -».1 В статье [П 12, стр. 258] Жуковский писал:
1 ЛОА АН СССР, ф. 162, оп. 2, № 147, л. 8.
220

Николай Васильевич Бугаев.

«Недавно Московское математическое общество чествовало
своего. . . президента, знаменитого исследователя в области
прерывных функций и арифмологии, Н. В. Бугаева, плодотворное
влияние которого отразилось на работах наших аналитиков».
В 1897 г. по представлению А. А. Маркова и Н. Я. Сонина
Н. В. Бугаев был избран членом-корреспондентом Академии
наук.2
Творчеству Бугаева в области теории чисел посвящена статья
его ученика А. П. Минина [П 21]. Об этих же исследованиях
Бугаева говорится в статьях Егорова [П И], Морозовой [И 20],
Беспамятных [И 1], Киселева и Ожиговой [И 14], в публикации
и заметках Шевелева [П 26—29]. Проблема изучения научного
наследия Бугаева и объективной оценки его вклада в математику
была поставлена в статье М. Я. Выгодского [П 10], а позднее —
в докладах на съездах и конференциях.3
Попытка оценки значения работ Бугаева в области теории
чисел была сделана в сообщении А. А. Киселева и Е. П.
Ожиговой на 4-м Всесоюзном математическом съезде. Конкретный
анализ опубликованных трудов Бугаева, а также его учеников и
последователей по теории чисел привел авторов к следующим
выводам. 1) В центре исследований Бугаева находится проблема
создания и разработки универсальных методов установления и
преобразования арифметических тождеств. Этой общей проблеме
посвящены четыре цикла его работ: а) учение о числовых
производных и интегралах по делителям, б) о тождествах, связанных
с функцией Е (#), в) исследования по применению эллиптических
функций к теории чисел, г) о тождествах, относящихся к теории
разбиения чисел на слагаемые. 2) Особенно важное значение
для современной математики имеют работы цикла а), в которых
создан и разработан общий элементарный метод систематического
построения арифметических тождеств, связанных с
мультипликативной структурой натуральных чисел. Удалось проследить связь
этих работ Бугаева с исследованиями целого ряда зарубежных
математиков вплоть до самого последнего времени. В частности,
выяснилось, что метод Бугаева позволяет легко получить
знаменитое тождество А. Сельберга,4 лежащее в основе современного
элементарного метода в теории простых чисел.
В силу ряда обстоятельств (рано умер талантливый ученик
Бугаева С. И. Баскаков, тяжело заболел Н. В. Берви, переклю-
2 Там же, ф. 2, оп. 1, № 16, лл. 24, об.
3 Александров П. С, Гнеденко Б. В., Степанов В.
В.Математика в Московском университете в XX в. (до 1940 г.) ИМИ, вып. 1,1948,
стр. 9—42; Гнеденко Б. В., Рыбников К. А., Симонов Н. И.
Проблемы истории математики Нового времени. ИМИ, вып. 15, 1963,
стр. 73—96.
4Selberg A. An elementary proof of the prime number theorem. Ann,
Mathem., (2), v. 50, 1949, pp. 305—313,
322

чились на исследование других вопросов Н. Я. Сонин, Д. Ф.
Егоров, В. Г. Алексеев и другие) после смерти Бугаева развитие его
исследований в России почти прекратилось. В тоже время за
границей развитие идей по числовому интегрированию и
дифференцированию и по созданию общих числовых тождеств наблюдается
в трудах Гегенбауэра, Грама, в работах итальянских
математиков, в исследованиях ученых Америки, Канады, Индии.
Обобщению результатов Бугаева посвящены статьи
Гегенбауэра [П 39—46], Чиполлы [36, 37], Вайдьянатхасвами [56]
и других. Биографические данные о Бугаеве можно найти в
литературе, указанной в персоналии, в первую очередь в статьях
[П 8, 13, 19].
Взгляд Н. В. Бугаева на предмет и методы
теории чисел. Интерес к теории чисел возник у Бугаева,
по-видимому, еще в период подготовки к магистерским экзаменам,
когда он напечатал заметку [1]. Магистерская диссертация
Бугаева не была связана с проблематикой теории чисел. Может быть,
некоторую роль в выборе этого направления исследований сыграл
В. Я. Буняковский, с которым Бугаев познакомился в Петербурге
и позднее долгое время переписывался. Но окончательно
направление научной деятельности Бугаева определилось в период
пребывания его за границей в 1863—1865 гг. Об этом можно судить
по его научным отчетам, публиковавшимся в Журнале
Министерства народного просвещения за эти годы.
Во время заграничной командировки молодой ученый
знакомится с трудами виднейших европейских ученых: Коши, Кум-
мера, Пуансо, Ламе, Либри. Его интересуют исследования
Дирихле по применению математического анализа к теории чисел
(см. стр. 117) и, конечно, только что появившиеся «Лекции по
теории чисел» Дирихле, изданные Р. Дедекиндом (см. стр. 197).
Особенно сильное влияние оказали на Бугаева труды и лекции
Ж. Лиувилля, которого он слушал в College de France. Лиувилль
высказывал мысль о существовании тесной связи теории чисел
и математического анализа, подтверждая свое утверждение
примерами. Он показал, что изучение рядов приводит к знанию свойств
числовых функций, а знание свойств числовых функций в свою
очередь может быть полезно для изучения рядов. Лиувилль
внушал слушателям мысль о том, что «методы, употребляемые
теорией числовых функций, могут быть настолько же общими,
насколько они бывают в других частях математического
анализа».5
В последнем отчете, присланном из-за границы,6 Бугаев
сообщил о подготовленной им диссертации и прислал введение к ней.
К этому времени сложились его взгляды на предмет и методы тео-
6 Отчет Бугаева. ЖМНП, ч. CXXI, СПб., 1864, 268-273.
6 Там же, ч. CXXVII, СПб., 1865, стр. 175-179.
223

рии чисел, высказанные им во вступительной лекции в
Московском университете в 1865 г. [2].
Бугаев утверждал, что теория чисел состоит из двух разделов:
теории неопределенных уравнений и теории числовых функций.
Между ними много точек соприкосновения, но такое разделение
помогает ориентироваться в огромном материале теории чисел.
Методы, выработанные анализом для исследования
аналитических функций, не всегда могут быть применимы к функциям
числовым. Но не подлежит сомнению, что общность в приемах может
существовать для той или другой группы числовых функций.
Для того чтобы изучить какую-нибудь числовую функцию, надо
исследовать, во-первых, ее отношение к другим, уже известным,
функциям, числовым или аналитическим, и, во-вторых,
соотношения, в которые входит изучаемая функция при разных
значениях аргумента.
Бугаев отмечал, что большая часть числовых функций
изменяется совершенно неправильно, несмотря на это в средней
величине некоторых из них иногда намечается стремление все к
большей и большей правильности. Аналитическое выражение, к
которому приближается такая средняя величина, Дирихле называет
асимптотическим выражением.
Взаимное соотношение между функциями аналитическими и
числовыми привлекло к себе внимание величайших математиков.
Часто свойства числовых функций выводятся из рассмотрения
бесконечных рядов. Это сближает теорию чисел с анализом.
Но многие теоремы для числовых функций, выводимые из
рассмотрения рядов, доказываются в теории чисел другим путем, иногда
они вытекают из очень простых соображений. Таким образом,
не только многие истины теории чисел могут быть выведены
при помощи анализа, но часто и, наоборот, из соображений,
относящихся к теории чисел, могут получаться утверждения,
доказываемые в анализе. Бугаев считал особенно важной идею
о нахождении соотношений, которые были бы справедливы
как для функций аналитических, так и для функций
числовых.
Изучение теории чисел Бугаев представлял себе следующим
образом: прежде всего изучение неопределенного анализа —
классического отдела теории чисел. При этом он считал, что
особое внимание следует обращать на те разделы этой науки, в
которых она соприкасается с анализом, и иметь в виду те соображения
и выводы, к которым приводит это сближение. Вторым этапом
является изучение характера и методов теории чисел с помощью
рассмотрения одних и тех же фактов с различных позиций.
Сравнительное изучение методов так же важно, как и знакомство
с фактическим содержанием науки. При этом он отмечал особое
значение знания методов теории чисел для воспитания
оригинального способа мышления. Он называл теорию чисел «математиче-
224

ским арсеналом, из которого можно заимствовать самое
разнообразное оружие» [2, стр. 348].
В своих лекциях по теории чисел [И 20] Бугаев приводил
различные приемы получения одних и тех же результатов,
сравнивая разные методы доказательств. Его курс был иллюстрирован
историческими сведениями, а первая лекция даже начиналась
со специального исторического очерка по теории чисел. Большое
внимание в своих лекциях Бугаев уделял числовым функциям,
числовому дифференцированию и интегрированию. Было
рассмотрено несколько способов решения сравнений первой степени.
Сравнивая способ, основанный на применении теоремы Эйлера,
со способом, применяющим непрерывные дроби, Бугаев добивался
понимания слушателями преимуществ второго способа. Затем
рассматривались сравнения второй и высших степеней. В лекциях
приводились и собственные результаты ученого. Бугаев
использовал тригонометрические суммы Гаусса и с их помощью доказал
закон взаимности квадратичных вычетов. Другое доказательство
закона взаимности он проводил с помощью геометрических
соображений, в духе Эйзенштейна. Затем излагалась теория
первообразных корней и теория индексов. Заканчивался этот курс
теорией квадратичных форм, которую Бугаев излагал по Гауссу.
Лекции Бугаева отличались содержательностью, широтой
взглядов лектора на предмет, глубоким знанием истории и
современного состояния теории чисел, которой сам лектор занимался
уже много лет. В этом отношении лекции Бугаева имели сходство
с лекциями Чебышева, хотя ученые отдавали предпочтение
различным разделам теории чисел: Чебышев наибольшее внимание
уделял закону распределения простых чисел, Бугаев —
дифференцированию и интегрированию числовых функций. Курс Чебышева
был лаконичнее курса Бугаева. В отличие от многих других
профессоров, например Остроградского, Лобачевского, оба
лектора рассматривали теорию чисел как важный и вполне
самостоятельный предмет. ^ Л**
Числовые тождества, связанн ы~е^ с
символом Е. В предисловии к докторской диссертации [3] Бугаев
снова писал о том, что теория чисел состоит из двух больших
разделов: в первом исследуются свойства неопределенных уравнений,
сюда же относится теория сравнений и различных форм; во втором
изучаются свойства числовых функций по отношению к
аналитическим функциям в связи с разными вопросами анализа. Сюда
Бугаев относил «изящные исследования Чебышева о первых
(простых, — Е. О.) числах, Гаусса, Дирихле и Кронекера о числе
родов и классов квадратичных форм,... Лиувилля о различных
числовых тождествах и все изыскания о взаимной зависимости между
свойствами числовых функций и коэффициентами бесконечных
рядов» [3,стр. I]. Свои исследования он также относил к этому разделу,
который он назвал «числовым исчислением», или «числовым ана-
225

лизом». В работах этого направления часто использовался
символ Е (х) (антье от х). Лучшим сочинением, в котором разбираются
свойства выражений, зависящих от символа Е, Бугаев считал
работу Дирихле (см. стр. 195, вторая статья).
Бугаев различает три способа изучения свойств символа Е:
1) способ неравенств, когда определяют, сколько раз неравенство
/(х, у, z)<^n может быть удовлетворено при известных условиях
возрастания переменных; 2) геометрический способ; 3) способ
неопределенных уравнений, в котором свойства символа Е
выводятся на основании способности выражений, зависящих от Е,
выражать различные свойства по отношению к неопределенным
уравнениям. Последним способом он пользуется в диссертации [3].
С помощью символа Е Бугаев записывает число целых
положительных решений N неопределенного уравнения z + ах = п.
Очевидно, N = E(—J. Число решений системы неопределенных
уравнений z + ах + Ьу = п (где а, 6, п > О — различные целые,
в решении z>0; х, у^>0 — целые) Бугаев подсчитывает двумя
.способами и находит, что, с одной стороны,
Л'
с другой,
N
отсюда следует тождество
ЧЙ ЧЙ
\? рп — аи 'V рП — Ъи
из которого выводится ряд следствий. Чтобы вычислить сумму
2#ф (и), где ф (и) — некоторая числовая функция, и изменяется
в некоторых пределах, Бугаев рассматривает уравнение z + # +
-}-ф(г/) = дг. В частном случае, когда ф(г/) = г/ш, получается
E(V")
У£Е{уИ) = {п + \)ЕУи)~ 2 и".
м=1 «==1
Рассматривая различные виды уравнений и систем
неопределенных уравнений, Бугаев находит много других числовых
тождеств. Подсчет числа решений неопределенного уравнения
2 + Ф1 (х) + Фг (У) = п> гДе <h (х)> Фг (У) — возрастающие функции,
226

принимающие только положительные значения, приводит Бугаева
к «первому закону числовых тождеств»
Ед(п) Е/(п)
%Ef(n-g (и)) = 2 Eg (п - / (в)), (1)
где g(u) — функция, обратная /(и). Например, для /(а) = 10*
тождество имеет вид
Eff(n) Elogn
2 Е log (i, _/(«))= 2 я* (»-10»).
Несколько видоизменив исходное неопределенное уравнение,.
Бугаев приходит к ряду других подобных тождеств, среди
которых, например, формула для числа решений неравенства ху^п;:
N
<»>=2*(тЬ2'<»>-
Здесь х (п) — число делителей п. С помощью первого закона
числовых тождеств Бугаев получает ряд результатов, среди
которых доказательство закона взаимности [3, стр. 58, 59], формулы
для суммы квадратичных вычетов и квадратичных невычетов,
формулы для сумм вида
к^п
причем автор замечает, что подобные формулы можно вывести
и для корней степеней, выше третьей [3, стр. 46, 47].
Числовое тождество
ВМп-д{\)) ВМп-д{\)) Яд(*-/(«0)
2 ф(«)яЛ (*-/(«))= 2 2 ♦(«), (2)
гДе £i — обратная функция для g, fx — обратная функция для /,
Бугаев называет «вторым законом числовых тождеств». При
g(x) = x, f(y) = y получается тождество
п—1 к w—1 и—1
2 2 Ф (и)=п 2 Ф (и) — 2 иф (и)«
к=1 и=1 м=1 м=1
В качестве функции ty(n) Бугаев предлагает брать
аналитические или числовые функции, например символ Лежандра, ап, ein>
cos п, sin п и др,
227

Второй закон числовых тождеств приводится к виду
я—1 я—к п—1 п— к
2?(*)2<К»)=21>(*)2?(в).
Это соотношение служит источником множества тождеств для
частных видов функций ср и ф. Например, из него получается
формула Мейсселя7 [3, стр. 145—148].
Бугаев вывел известную формулу Лиувилля [3, стр. 160]
Яу/п оо 8_i
2*>/£=^=2<-1>"т*(т).
к=0 8=1
где 5=1, 3, 5, . ..,&--= О, 1, 2, ..., E\Jn.
Ее геометрическое истолкование он дал на стр. 161. Между
прочим, Бугаев получает разложение в ряд числа тс и
приближенное выражение для числа целых точек в круге.
Теория числовых производных и интегралов.
За докторской диссертацией последовали статьи |4, 5]. Они
являются обобщением статьи Лиувилля «О некоторых рядах и
бесконечных произведениях».8 В первой из них Бугаев
рассматривает ряды
2в<и>-г?гг.
я=1
где G (п) — произвольная числовая функция. Он представляет их
в виде
00 со
2 ж* 2 0(d) = 7^ (а) и ^1Q(k)F1(xk) = F2{x).
fc=l dlh fc=l
Затем получает два разложения функции F2(x) по
возрастающим степеням
оо 2 оо
ад=2»*й2в-1ги л(*)=2*"2*(8)2в<*)-
я=1 d/n я=1 db=n d'jd
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в этих
выражениях для F2 (х), он приходит к теореме
„2^=2*(8>2е^>- (3)
d/n db=n d'jd
7Meissel E. Observationes quaedam in theoria numerorum. J. reine
und angew. Mathem., Bd. 48, 1854, SS. 301—316.
8 Liouville J. Sur quelques series et produHs infinies. J. mathem.,
(2), t. 2, 1857, pp. 433—440,

Заменяя 6(d) на d6(d), он получает
п 2 9 (d) = 2 <р (8) 2 d'6 МО. (*)
rf|« d5=n d'/d х ' х '
В качестве примеров отсюда получаются формулы Лиувилля:9
(«с»), («а»), («4») и другие. Все эти формулы даны им без
доказательства.
Во второй статье Бугаев рассматривает мультипликативную
функцию б (к)
0(тп) = Ъ(т)Ъ(п) для (т, п) = 1 и б(1) = 1,
тогда
2в(й) = п(1 + в(р)+в(р>)+... +е о,-»,
d/n р
где произведение взято по всем простым р, входящим в п. Беря
различные конкретные виды функций б (/г), автор получает много
теоретико-числовых теорем. Например, взяв б (d) = о (d), где
о (d) — сумма делителей d, а т (d) — число делителей d,
он получает
2 *(<*)= 2 М<*).
Это — формула из статьи Лиувилля,10 данная им без
доказательства. Для б (d) = dx (d) он находит
2<Ь(<*)= 2 8о(<*)-
Это — формула из той же статьи Лиувилля.11 При б (d) = do (d)
получается формула из работы Лиувилля12 и т. д.
Затем Бугаев получает более общее соотношение для
произвольных числовых функций ф (л), б (тг), обладающих свойством
мультипликативности,
2 е (d) 2 ф (<*') = 2 ♦ W S в (<«'), • ■ (5)
<*5=я tf'/8 ^8=п d'/8
откуда выводит много следствий. В частности, он получает
формулы
2 с (d) = 2 dx (8), 2 <»* (<*) = 2 d*x (8), о (п) = 2 <Р (<*) «с (8).
tf/я rfS=n d/я db=n db=n
9Liouville J. Sur quelques fonctions numeriques. J. math.,
(2), t. 2, 1857, pp. 245, 427, 143.
10 L i о u v i 1 1 e J. Sur quelques fonctions numeriques, Jt math., (2),
t. 2, 1857, p. 142. • i ■
11 Там же, стр. 245.
12 Там же, стр. 141.
229

Последняя из них — формула («4») из статьи Лиувилля,
"Зк (») = 2 ? (<*) °k+i (8)
rf5=n
— формула («а») Лиувилля и др. До последнего времени появляются
заметки с выводом числовых тождеств, многие из которых
содержались уже в этой и других работах Бугаева.
Этими статьями начинается цикл работ Бугаева, посвященных
числовым производным и интегралам. Основные идеи содержатся
в [9]. Это сочинение состоит из четырех частей. Краткое
содержание первой части Бугаев доложил в 1869 г. на II съезде
русских естествоиспытателей и врачей [7J. Резюме всех четырех
частей [9] печатались за границей.
Главная цель этих работ Бугаева — создать в теории чисел
методы столь же общие, как в математическом анализе. Попытки
создания в теории чисел аналога дифференциального и
интегрального исчисления изложены в [9] и других работах этого цикла.
Пусть 6 (п) — числовая функция.13 Сумму 2 6 (d) = ф (п) Бугаев
d/n
называет числовым интегралом функции 6 (п) но делителям, тогда
О (п) = /)ф (п) называется числовой производной функции ф (п) но
делителям. Затем вводится понятие числового интеграла и
числовой производной по натуральным числам. Если / (тг) —
произвольная числовая функция, то сумма 2 / (Щ = F (п) называется число-
к^п
вым интегралом функции f(n) по натуральным числам, а
выражение f(n) = F(n) — F (п — 1) — числовой производной функции
F(n) по натуральным числам.
Числовые суммы14 вида
*Ч»)=2е(*)я(т)
Бугаев называет числовыми рядами по Е(у). Коэффициенты
этого ряда Q{n) определяются следующим образом:
Q{n) = D{F{n)-F{n-\)).
Эта общая формула применяется потом к разложению
функций 1, E\Jn, E^Jn, . .., Eyfn; к разложению в числовой ряд
функции тг (лг), выражающей количество простых чисел, не
превосходящих п, к разложению функции N (п), выражающей
количество квадратичных вычетов простого числа дг, не превосходя-
13 функцию 6 (п), если известна функция ф (и), определяли также Ле-
жандр (1830 г.), Мёбиус (1832 г.), Дирихле и Лиувилль (1857 г.).
14 О применении разложения числовых функций в ряды по Мт")
см. также работы Минина [7, 14].
230

щих »v й г. д. коэффициенты этих разложений сами являются
числовыми функциями, играющими видную роль в теории чисел.
Получаются такие «числовые ряды»:
п я п
1 =2«(*)*£, ^V" = 2X(A)^T'jE^=i2Xl(A:)^© идр"
Л=1 Л=1 |fc=l
где коэффициенты записываются следующим образом:
q(n) = D(E^\ = Dn(n)9 \ (п) = D (Е у/п — Е у/п^Т),
Ха (п) = D(E $п — Е $п — 1) и т. д.
Здесь q(n) — функция Мёбиуса (см. стр. 53); функция X (гг) для
любого натурального п = ааЬ^су.. ., где а, Ь, с, ...—различные
простые множители, а а, р, у, ... — их соответствующие
кратности, определяется равенством
Х(л) = (—1ГР+Т+---
Для функции тс (я) получается числовой ряд вида
С помощью числовых рядов
Бугаев выводит закон взаимных разложений
из которого получается множество различных соотношений между
числовыми функциями. Здесь ф(и) — коэффициенты ряда <p(w)>
/*(ц)— коэффициенты ряда F{n).
Полагая, например, F(u) = E у/и, <р (гг) = 1, откуда /* (и) = X (гг),
(f(u) = q (ц), Бугаев получает тождество15
п п
2ми)=2в(в)^Кг
15 Эту формулу снова вывел Гегенбауэр, использовав для этой цели ряды
Дирихле: Gegenbauer L. Ubereinige zahlentheoretische Functionen.
Sitzungsber. Akad. Wissensch. Wien, Mathem. Natur. Kl., Bd. 89, Abt. 2-a,
1884, SS. 37-39, 138.
231

Во второй части [9J рассматривается свертка двух
произвольных функций
2 е(8)*(<*) = <)»(«).
db=n
Если известны функции б (п) и ty(n), то можно найти третью
функцию х(п) с помощью операции числового
дифференцирования при б (тп) = б (т) 6 (п). В этом случае
Х(п) = Ь(п)п[Щ].
Применяя эту формулу к одной из теорем Лиувилля, Бугаев
получает соотношение
e?,(i») = 2<p(n)n» + 3»«5l + (-lp>?(»)61(n),
где ср (лг) выражает число целых чисел, взаимно простых с п и
меньших чем п, <?2(п) — сумма квадратов этих чисел, |(дг) —
количество простых различных множителей, входящих в число п,
%i(n) — произведение этих множителей.
Затем Бугаев переходит к использованию рядов для
получения числовых тождеств. Но если Буняковский получал таким
образом различные конкретные числовые тождества, Бугаев
использует это средство для вывода общих числовых тождеств,
зависящих от произвольных числовых функций. Так,
рассматривая произведение трех рядов
СО 00 с»
2<h (и) V <Ь (д) V Фз (ц)
«=1 И=1 tt=l
и сравнивая коэффициенты трех получаемых при этом рядов, он
приходит к соотношению16
2<Ы8) 2 <MS')<Md')=2<MS) 2 «h СИ» (<*') =
db=n d'b'=d db=n d'b'=d
= 2 <M&) 2 ЬШЛ*')- (6)
db=n b'd'=d'
В частном случае отсюда получается
2 2 0(8')<Ж')= 2 в(8) 2 *(<*') = 2 ф(8) 2 <).(<*')• (7)
rf8=n 8'd'=tf db=n d'b'=d db=n d'b'=d
16 Обобщение этого соотношения см. Gegenbauer L. Uber ein
Theorem des Herrn Baker. Sitzungsber. Akad. Wissensch. Wien, Mathem.-
Natur. Kl., Bd. 102, Abt. 2-a, 1893, S. 963.
232

В качестве одного из следствий формулы (7) получается «закон
числового дифференцирования и интегрирования» свертки 2Х@ЖФ-
db=n
Обозначив 2 9 (d) = D^b (п), он получает
din
Dk 2 X (Щ е (d) = 2 X (8) D4 (d) = 2 в (<*) Z?*Z (8)
db=n db=n db=n
для любого целого А, положительного или отрицательного.
Целью третьей части [9], по словам Бугаева, является
изучение некоторых приложений числовых производных. Свойства
числовых производных позволяют, в частности, осуществить
суммирование некоторых бесконечных рядов. Получается, например,
2«-=2m*)j^
Принципы теории числовых производных могут быть
применены также к решению проблем, относящихся к обращению
бесконечных рядов, например, если дан ряд
2 */(*»)=*■(*)
сю
и требуется найти разложение 2/(ж*?) по функциям F(x). Затем
Бугаев дает правила обращения бесконечных произведений и
двойных рядов. Применяя эти правила к обращению
произведения, фигурирующего в теореме Чебышева, он получает
выражение для Т (п) в виде двойного бесконечного произведения.
В последней, четвертой, части работы рассматривается
приложение теории числовых производных к разложению функций
в числовые ряды вида
п я
F(n) = ^F2(k)Eyj, ..., F(n)=^Fm(k)Eyl.
Для получения этих соотношений надо знать разложения
я . я
n = 2e2(B)^j/|, .... n = 2u«)£-j/i.
В частности, для л получается разложение
оо __
233

откуда получается тождество
^(п)=2я/г2(9(8))2т
где q (п) — функция Мёбиуса, обычно обозначаемая ja (п).
Важную роль в подобных разложениях играют первичные
числа, т. е. целые положительные числа, не делящиеся на
квадраты чисел, больших единицы, — «бесквадратные» числа.
Функцию, выражающую количество первичных чисел, равных или
меньших п, Бугаев обозначает Н1(п) и находит для нее
несколько интересных соотношений, некоторые из которых с
помощью рядов Дирихле снова вывел Гегенбауэр,17
я»=2 2 pv>' 2 *i (£)=*. "*i(»)= 2 «*<*)*&•
Числа, не делящиеся на кубы целых чисел, больших 1,
Бугаев называет вторичными и обозначает количество таких чисел,
равных или меньших п, Н2(п), количество третичных чисел, т. е.
чисел, равных или меньших п и не делящихся на четвертые
степени целых чисел, отличных от 1, он обозначает Н3(п) и т. д.
Выведены тождества, аналогичные тождествам для Н1(п)
Е
со
•п
w< У п
к^ у/ п
Эти результаты Бугаева привлекли внимание Гегенбауэра,18
давшего ряд обобщений и других зависимостей для чисел и
функций, рассмотренных Бугаевым в [9].
Некоторые результаты, относящиеся к первичным числам,
кроме [9], были напечатаны также в [33] и доложены на III
съезде русских естествоиспытателей и врачей [10].
Заинтересовавшись сообщением Бугаева, Чегбышев применил к функции 'Иг'(х)
.свой способ, изложенный им в работе «О простых чцслах» [6],
17 Gegenbauer L. Uber die Divisoren der ganzen Zahlen. Sitzungs^-
ber. Akad. Wissensch. Wien, Math. Natur. Kl., Bd. 91, Abt. 2, 1885, SS. 600—
«621.
18 Gegenbauer L. Uber Primzahlen. Ibid., Bd. 94, Abt. 2, 188.7,
SS. 903—9^0.

и нашел границы, между которыми лежит Пг (п). Правда, границы
были вычислены им неточно [Чебышев, 1118, 15]. Сообщение
Чебышева содержало первый результат, характеризующий
распределение бесквадратных чисел в натуральном ряду. Бугаев
нашел для Н^п) также асимптотическое выражение
#!•(*) ~ 55 Л"
В работе [30] рассматривается функция «порядок Числа п» для
п = aab^cyt где ат Ьг с — различные простые множители, а, (J,-у — их
кратности, порядок 0 (л) равен a-j-(3+ Т- Затей! Бугаев ищет
числовую производную но делителям для функций ф (п) = 2 ^ №>
d/n
которая равна
ДФ(»)= 2 р (*Ж<*),
db=n
в частности, отсюда получается числовая производная логарифма
/; (п). Так как числовой интеграл этой функции равен
логарифму log п
2 *'(<*) = l°g л,
din
то числовая производная логарифма будет равна
l'(n) = Z)logn = 2 p.(8)logd.
db=n
Она оказывается равной —^jj\><(d)logd, т. е. числовая произ-
d/n
водная логарифма /; (п) = Л (п) — это известная функция Ман-
гольдта, которую было бы правильнее называть функцией
Бугаева.19 С помощью суммы 2iA(d) = logn изучаются бесконеч-
dln
ные ряды, зависящие от простых чисел. В частности, исходя из
этой суммы, Бугаев выводит тождество Чебышева: так как
2 A (d) = log гс, то логарифм произведения log П (п)
последовали
тельных натуральных чисел от 2 до п будет равен
<*)
logn(n)=2 2 Л (то).
19 Гегенбауэр снова вводит функцию Л (и), называя ее v (#), в работе:
Gegenbauer L. Zahlentheoretische Notiz. Ibid., Bd. 97, Abt. 2-a, Wien,
1889, SS. 420—426 и получает те же равенства, что и Бугаев. Позднее функцию
Л (п) использовали и другие авторы (например, М. Чиполла, Э. Ландау).
В наше время с помощью Л (п) дано несколько элементарных доказательств
тождества Сельберга и тождеств, аналогичных ему [И14].
235

Переходя от логарифмов к числам, Бугаев получает тождество
Чебышева.
Работа [30] интересна и тем, что Бугаев вводит в ней
определение логарифмических прерывных функций L (п)> где функция
L (п) обладает свойством L (тп) = L (т) + L (я), L (1) = 0.
Используя выражение ^\*-(d)\ogd в комбинации с другими функциями [31],
din
Бугаев получает, в частности,
2logd = Tx(n) logп, 2L (d) = Tx(n)L(п).
d/n d/n
В статье [34] дается ряд теорем, позволяющих облегчить
вычисление числовых интегралов по делителям. Решается также
задача: определить 2&@)Ф(^)> если известен числовой интеграл
2 ф (d). Здесь I (п) — функция, выражающая количество
различи/и
ных простых чисел, являющихся множителями п. Формула для
2 £(&)ф(й) при п = а*Ь^су имеет вид
2*(ЗЖ<*)= 2<Ж) + 2<К«*) + 2 ♦(<*)•
db=n An An ,\п
а I— я г- а —
\а \Ь \с
Для конкретных ф (п) из этой формулы Бугаев получает много
частных результатов. Аналогичным образом исследуются суммы
2х(§)<Ж), 2f*2(W<*)> 20'(*Ж«). 20'(<W<*).
с?6=я db=n db=n din
2> 0(d) 0(b),
db=n
где 0(n) — порядок числа n> a O1 (n) = DO(n). Затем дано
обобщение формулы [9, т. 6, стр. 159]
2|>(8) 2 9(S')/(d')l=2/W 2 <k*W)=
rf6=»L rf'8'-rf J db=n d'b'=d
= 2 8(8) 2 /(<*W).
и рассматриваются задачи исключения числовой функции из двух
числовых равенств и двух произвольных числовых функций из
трех равенств. Резюме основных результатов этих двух работ
имеется в [32, 33, 35]. В них дается также понятие об
операции прерывного логарифмирования. ,
В следующей статье этого цикла [36] Бугаев впервые
говорит об определенном числовом интеграле по делителям, т. е.,
продолжая аналогию с математическим анализом, наряду с
обычным интегралом по делителям («неопределенным интегралом»)
вводит определенный числовой интеграл. Это — сумма значений
236

некоторой функции 6 (га), взятая по всем делителям, лежащим
ь
между а и Ь: ^пЬ (d), где d/n, a^d^b. Связь обычного и ОПре-
деленного интегралов по делителям такова:
2 ^)=2с-)в(*) = 2«о(<*)-
d'n 1 1
Зависимость между интегралом по делителям и интегралом
по натуральным числам Бугаев устанавливает с помощью
функции р (ц), введенной им в работе [22]. Функция определяется так:
(1 для и = р/с, т. е. для гг = 0 (mod/?),
* {О для остальных и, т. е. для и ^ 0(mod р).
Ее можно выражать также по формуле
р(и) = Е Е
Р Р
Очевидно, что для натуральных и, п
п т
2 в («) й («) = 2е (<*); 26 (в) s (и) = 2(«)в (<*)•
С помощью числового интегрирования из последней формулы
Бугаев получает «общий числовой закон»
Е1
db=n d=\ (n) rf=1 Д.
г, П „ П П П
где Z? -у, Е -о-, ... можно заменить на у, -д- , ....
Метод вывода различных числовых тождеств («законов») у
Бугаева одинаков: берется определенный числовой интеграл,
содержащий функцию й (и), в нем меняется порядок суммирования,
затем сравниваются полученные в обоих случаях результаты.
При частных значениях произвольных функций получаются
частные числовые законы.
В работе [38] была установлена зависимость между
определенными интегралами по делителям и обыкновенными интегралами
по делителям
2(»)<К*) = 2л.(<*Ж<*).
1 d/n
где функция Na(n) определяется следующим образом:
{1 для п^.а,
Одля»>а.
23?

Благодаря указанной зависимости все теоремы, относящиеся
к обычным интегралам по делителям, становится возможным
переносить на определенные числовые интегралы по делителям.
С помощью той же функции й(п) в работе [42] Бугаев
установил связь между числовыми интегралами по делителям и
интегралами по натуральным числам. Полученные соотношения
позволяют выводить новые числовые тождества из тех соотношений,
которые были указаны Бугаевым в докторской диссертации [3].
В статье [42] рассматриваются числовые суммы,
распространенные на все значения корней неопределенного уравнения,
лежащие в некоторых пределах. Например, рассматривается сумма
2/(и, у), где суммирование берется по всем положительным
решениям и и v неопределенного уравнения z + u + v = п,
2/(1, v) + "tf(2, »)+... =2/(«, 1)+2/(». 2)+.... (8)
В частности, полагая
/(в. v):
1 при и | V,
О при u^v,
Бугаев получает тождество
i»(l) + 2u(2) + Ss(3)+...=£i(u) + 22(«)+....
и=1 м=1 м=1 м=1 м=1
До сих пор встречаются работы, трактующие частные
результаты, содержащиеся в результатах этой и других работ Бугаева.
Приложения теории эллиптических функций
iK теории чисел. Идея работы [22] возникла у Бугаева,
по-видимому, также во время его пребывания в заграничной
командировке. Многие результаты, полученные в ней Бугаевым,
доказывают или обобщают формулы Лиувилля. Работа состоит из
четырех частей. В первой части вводятся вспомогательные функ-
дии р(и) и р„(и), определенные таким образом:
( 1, если tt = p.(mod р),
/>\ ) | о, если a^[x(modp), р(и) = р}(и).
Здесь р — целое число, не обязательно простое. Общий вид
функции р(п) для простого числа р
р (п) = — (1 + а" + а*" + . . . + а^"),
где а — первообразный корень уравнения ар = 1. При этом (pq)(n) =
= p(h)q(n) для р, q простых.
238

Бугаев говорит о вспомогательных рядах вида
2т
я=1
ft (п) дп
.qn »
где G (п) — произвольная мультипликативная числовая функция.
Такой ряд можно записать в другой форме
я=1 и=1 d/n
Затем рассмотрены ряды более общего вида
2e(»)W) = 2«"2$(&)e(d).
м=1 w=l db=u
оо
где F(q) = ^0(n)qn. При разных F(q) отсюда получаются раз-
я=1
ные конкретные ряды. В дальнейшем Бугаев использует
некоторые свойства числовых интегралов по делителям. Метод работы [22]
заключается в следующем. Бугаев сравнивает разные
выражения одного и того же эллиптического постоянного, например
в виде ряда и бесконечного произведения, и после
преобразований получает соотношения между числовыми функциями.
Приведем один пример. Из формулы, устанавливающей зависимость
между степенным рядом и бесконечным произведением,
1 + 2 S (-1)" «"* = П (1 - 92"-1) (1 - <72в)
после некоторых преобразований он получает равенство
1+2 2(-1)V=U(tT?)- (9)
Далее он берет производную от логарифмов обеих частей (9),
проводит еще некоторые преобразования, записывает правую часть
со
в виде 2 $nQnи сравнивает коэффициенты придав обеих частях полу-
я=1
ченного равенства. Обозначив —у(Зя = ая он находит
«■ - 2 2 (-1)" ««-.»= (-1Г1 {Еу1п-Е \1К=1) п,
и
или иначе
а(»)—(|)-22(-1Г(а(»-»»)-<Ч£)) =
= (-1Г1 (М- IV» -1])«.
239

Аналогичным путем получены другие тождества. В частности,
так получена теорема о количестве разложений числа на сумму
двух квадратов. Обозначим N2(n) число разложений числа п на
сумму двух квадратов или количество решений уравнения х2-\-
—|— г/2 = лг. Замечая, что
/ оо\2 оо / оо \2
1+2 2?»Ч =l+42g«'+ Ее"' .
\ и=1 / я=1 \я-1 /
ВИДИМ, ЧТО
1 + 4 2?«' + 4ЛГ8(/*)</" = 1+42эд"-
я=1
Сравнив коэффициенты при qn, найдем (d — нечетные)
4([>/Я-[>/и^) + 4ЛГ,(п) = 4е, = 42'(-1)Ч
.d/n
откуда следует
n,=е„ - (Ш - [\/^Л])=2' (-1)^ - (Ш - LV^m]).
din
Таким образом, получается теорема: число разложений числа п
на сумму квадратов двух каких угодно положительных целых
чисел или число решений уравнения х2 + у2 = п равно величине
2'(-irii-(M-[V'^T]).
d/n
Если взять от N2 (п) числовой интеграл но натуральным
числам, получим
п [\/п] 00
2лг,(«) = 2 [>&=*] = ^[агЬт]*-1**"1 (10)
— формулу Лиувилля, имевшуюся еще в [3]. В 1880 г. Н. Я. Со-
нин писал Н. В. Бугаеву из Варшавы, что формула Лиувилля
получается при посредстве одного из модулярных соотношений,
которые находятся у Якоби. Может быть, в связи с этим Бугаев
вновь вспомнил об этой формуле.
Бугаев заметил, что каждая эллиптическая функция и каждая
комбинация эллиптических функций могут служить источником
общих числовых законов, из которых получается много общих и
частных числовых тождеств. В [22] были доказаны формулы
Лиувилля, причем некоторые были обобщены Бугаевым.
Приложениями теории эллиптических функций к теории
чисел занимались ученики Бугаева: П. С. Назимов (см. стр. 250)
и С. И. Баскаков (см. стр. 256), который интересовался
арифметическими доказательствами результатов, получаемых обычно с по-
240

мощью теории эллиптических функций. Историей разработки
теории эллиптических функций в России и, в частности, ее
приложений к теории чисел в последние годы занималась М. Б. Нал-
бандян [И 24].
Другие работы по теории чисел, а)
Числовая алгебра. Под числовой алгеброй Бугаев понимал
теорию уравнений, зависящих от числовых функций. Сюда
относятся его статьи [13, 14] и работы его учеников В. Е. Сердо-
бинского и Н. В. Берви. Эти работы рассмотрены в статье
А. К. Сушкевича [И 27].
б) Свойства вычетов и числовых сумм. В статье [20] Бугаев
вводит понятие наименьшего положительного вычета для
числовой функции ф (и) по модулю р, обозначив его R (ty (и)) ,
<!>(«) = Я (<!>(«)), (mod р).
Он находит соотношение
fc=0 ft=o *=0
откуда, зная \#(ф(/с)), определяет ^. Для некоторых
fo=0 fc=0
видов функций. Например, для ф (и) = qu + а он получает
тождество
р-1
^[£±«]=fa-')<P-i)+fl.
и=0
В этой работе выведено также несколько формул из статьи
Буняковского [28]. В письме Н. В. Бугаеву от 10 марта 1881 г.
В. Я. Буняковский писал: «Премного благодарен Вам за
обязательное доставление мне экземпляра Вашего интересного труда
о свойствах вычетов и числовых сумм. Мне очень приятно было
встретить в нем и мое имя. Читая Ваш цитат, я вспомнил, что кроме
формул. . ., на которые Вы указываете, в другом моем мемуаре,
именно в Recherches sur quelques fonctions numeriques. . . ([24],
—E. О.), приведены еще две—три формулы, также относящиеся
к символу Е».20 Бугаев имеет в виду другую статью
Буняковского [28]. В статьях [21] и [39] Бугаев доказывает некоторые
свойства сравнений.
20 Архив Н. В. Бугаева. Научн. библ. МГУ.
241

в) Вопросы разбиения чисел. Статья [29] посвящена
решению следующей задачи. Ряд
где ф (к) — возрастающая функция, положительная и
принимающая целые значения для целых значений аргумента, а <р (к) —
произвольная функция, возводится в целую степень т
Получается формальное равенство
/со \ т оо
2<p(&)**(fc) =2 <?(*)**>
где коэффициент Q(k) выражает сумму произведений
?(*i)?fe)-••?(*«)>
взятую для всех систем корней неопределенного уравнения
Ф(*1) + Ф(*.)'+•••+<!>(*.) = »
(рассматриваются только строго положительные целые корни),
Q{n)= 2 ?(*iM*2)-•• ?(*«)•
«=<K*i)+...+<K*m)
После ряда преобразований Бугаев приходит к равенству
р
2 (п — (го + 1)) ф (и) <Р (и) <?м>(*о = О,
где (?0 = 0, а р удовлетворяет неравенствам ф (р) ^ я, ф (р + 1) > тг.
При ср(гг) = 1, Qn = N[L(n), где N^(n) означает число систем
корней неопределенного уравнения,
M*i) + <K*2)+•••+<!>(*>) = "•
В этом случае получается следующее соотношение между N^ (re)
и Л^+1(ге), выражающими число решений последнего уравнения
и уравнения ф (ж,) + ф (*2) + ... + ф (х^+1) = в:
.^+1 (») = 2 ЛГ„(я -♦(»))•
Если число решений N (п) известно из каких-либо
соображений, то полученная формула дает различные числовые
242

Законы. Это обстоятельство имеет место, например, в случае
применения эллиптических функций к теории чисел.
В заметке [17] определяется число различных способов,
которыми ладья (или слон) может передвинуться из клетки с номером О
в клетку с номером тг. Подобные задачи интересовали многих
математиков, в частности Вандермонда, Эйлера, Лежандра, Мин-
динга, Буняковского. Задача определения всех различных
способов передвижения ладьи от нулевой клетки до клетки п приводится
в статье [17] к решению неопределенного уравнения
Щ + 2и2 + Зиз + ••• +пип = п.
Количество всех различных способов указанного передвижения
равно числу неотрицательных решений этого уравнения. Бугаев
заменяет это уравнение другим
оо
2 пип = П
и для определения числа решений последнего уравнения
использует уравнение Эйлера
П(1-*я) = 1 + 2М(р)^,
Зи2 + П
где А(р) =
(—1)я для пятиугольных чисел р=. 2
0 для других чисел р, не равных О,
1 для р = 0.
Для числа N (п) решений неопределенного уравнения Бугаев
получает выражение
N(n) = N{n — l) + N(n — 2) — N(n — 5) — N(n — 7)+...,
откуда функция N (п) находится последовательным"вычислением.
Затем он находит еще одно выражение для N (п). Эти результаты
Бугаева были использованы С. П. Слугиновым в [1].
Развитие идей Бугаева по теории
числовых производных и интегралов. В своих
исследованиях по теории чисел Бугаев стремился выяснить общие
законы теории числовых функций и найти столь же общие методы
для решения ее задач, какие существуют в математическом
анализе. Он предложил метод числового дифференцирования и ин
тегрирования. Продолжателями идей Бугаева в этом направлении
были его ученики С. И. Баскаков, Н. В. Берви, А. П. Минин,
П. С. Назимов, Н. Я. Сонин, И. И. Чистяков и другие. Влияние
идей Бугаева сказалось и на творчестве многих зарубежных
математиков, работавших в различных направлениях. Например,
в работах Л. Гегенбауэра встречаются обобщения и доказатель-
243

ства результатов, полученных ранее Бугаевым. Вопросами,
аналогичными тем, которыми занимался Бугаев, интересовался
Э. Чезаро. Иногда он даже повторял его результаты. О таком
случае Бугаев писал [23] в редакцию Бюллетеня Дарбу, сообщая,
что в книге Чезаро [П 35] были повторены многие его
утверждения и формулы без упоминания их автора.
Современником Бугаева был итальянец Микеле Чиполла.
В его статьях [П 36, 37], посвященных изложению принципов
«арифметико-интегрального исчисления» часто упоминалось имя
Бугаева. Чиполла пользовался введенными Бугаевым понятиями
числовой производной и числового интеграла, их свойствами.
Самостоятельно Чиполла создал теорию числовых тождеств на
основе понятия интегрального произведения (арифметической
свертки)
db=n
Аналогия f-g с обычным арифметическим произведением и
введение для него удобного симйола привели к очень простому
операционному исчислению.
Ученик Чиполлы Ф. Пеллегрино [П 49, 50] решил пересмотреть
сочинения своего учителя с современной точки зрения,
применив при этом понятия и результаты, относящиеся к теории
колец, пространств Банаха, к теории топологических групп и пр.
В настоящее время подобными вопросами занимаются также
Суччи, Комман, Кашуэл, Эверет [П 34, 38, 52, 53]. Свойства
свертки использовал Й. П. Кубилюс [П 17].
В дальнейшем развитие идей Бугаева продолжалось в двух
направлениях. Первое направление связано с дальнейшей
разработкой операционного исчисления для числовых функций.
Таковы, например, работы Белла [П 33] и Вайдьянатхасвами [П 56].
Последний исследовал свойства мультипликативных
арифметических функций от нескольких переменных.
Другое направление — применение операционного
исчисления Бугаева—Чиполлы (иногда с упоминанием, а иногда и без
упоминания их имен) для получения новых результатов и для
доказательства некоторых уже известных утверждений. Попкен
[П 51 ] дает новый вывод тождества А. Сельберга с помощью
операционного исчисления для арифметических функций. Ямамото
[П 55] с помощью операционного исчисления доказывает теорему
Дирихле для арифметических прогрессий. Появились и новые
виды операционных исчислений. Амицур [П 31, 32] взял в
качестве основной операцию
Он доказал ряд результатов, связанных с законом
распределения простых чисел и смежными вопросами.
244

Интересное применение идей Бугаева дано в работе Когбет-
лянца [П 16]. Много общего с методами Бугаева имеют некоторые
исследования Н. П. Романова [П 24].
Ученики Н. В. Бугаева
Николай Яковлевич Сонин (1849—1915 гг.)
после окончания Московского университета в 1869 г. был оставлен
при университете для подготовки к профессорскому званию.
В 1871 г. он защитил магистерскую диссертацию на тему,
предложенную его научным руководителем Бугаевым. С 1872 г. Сонин
преподавал в Варшавском университете. После переезда из
Варшавы в столицу научная деятельность Сонина заметно
ослабевает, а в дальнейшем и совсем прекращается. Он становится
попечителем Петербургского учебного округа, затем
председателем Ученого комитета Министерства народного просвещения и
членом Совета при этом министерстве.
Научная деятельность Сонина посвящена исследованиям в
области теории специальных функций, теории определенных
интегралов, теории чисел Вернул ли и теории прерывной функции [#],
интегрирования дифференциальных уравнений. В дальнейшем
будут рассмотрены только работы, касающиеся вопросов теории
чисел.
Статья [2] написана целиком в духе идей Н. В. Бугаева. Она
посвящена исследованию тождества вида
00 00 00 00
2 2 6 (#*, П) = 2 Ij 8(W, П),
m=-oo п=-оо w=-oo т=-со
где под 6 (т, п) понимается произвольная функция целых
аргументов, определенная для всех значений аргументов от —оо до оо.
Сонин рассматривает частные случаи этого общего тождества.
При этом он получает формулу
1 — хп~~,£ I — хп
п=1 п=1
— известное преобразование ряда Ламберта, использованное
Якоби.
Сонин указывает, что его общие формулы могут служить для
вычисления одних сумм посредством других и для представления
числовых функций, наподобие формулы Тейлора в анализе.
Применяя прием из статьи [3], он вновь выводит формулу
00
j [t]df(t) = - 2 f(k), (ii)
245

из которой получает несколько интересных следствий. Одним
из них является равенство, которое получается при
использовании формулы Лиувилля (см. стр. 240).
В конце статьи дан краткий исторический очерк о работах,
относящихся к формулам, содержащим функцию [х]. Говоря
о работах Бугаева, Сонин пишет: «Последнему, моему
высокоуважаемому учителю, принадлежит бесспорно честь первой
попытки создать для этой функции теорию, которая и изложена
в многочисленных статьях, напечатанных в журнале
Московского математического общества. Собственно говоря, изложению
оснований этой теории посвящена диссертация 1866 г.» ([Бугаев,
3], — Е. О.) [2, стр. 27, 28]. Указав источник своих идей, Сонин
переходит к критическому анализу работы. Идея метода Сонина,
хотя и кратко, была уже изложена в докторской диссертации
Бугаева [31. От него же у Сонина появился интерес к прерывной
функции [#], применение которой к интегральному исчислению
привело его к обобщенной формуле суммирования определенных
интегралов [2, 3, 61.
В статье [3] была выведена общая формула, примененная
затем к выводу ряда утверждений, оказавшихся, таким образом,
связанными между собой. Вначале автор упоминает о том, что
Коши представлял функцию комплексного переменного / (z)
в виде интеграла по контуру и приводил вопрос о разложении этой
функции / (z) по степеням z к разложению функции —-— .
Подобную же роль должна играть данная им общая формула по
отношению к функциям действительного аргумента. Из нее в качестве
приложения получается представление функции
тригонометрическими рядами и другие формулы теории тригонометрических
рядов. Исходным пунктом этих исследований служит
предполагаемое известным представление аргумента тригонометрическим
рядом. Другим приложением общей формулы Сонина является
обобщение формулы Эйлера—Маклорена — формулы, представляющей
зависимость между определенным интегралом и конечной суммой.
Действительно, исходя из разложения в ряд Фурье по
синусам в промежутке (—тс, тг) функции
х sin х sin 2х _. sin За:
Сонин приходит к формуле с остаточным членом
1 sin 2%х . sin 4тсж sin 2пъх . D ,„ <)ч
радеющей место для всех х. Полагая х = t — [t], on находит
разложение для [t]
246

Николай Яковлевич Сонин.

где предел остаточного члена равен 0 при п-> со для всех t не
1
целых и равен у для всех целых t.
Затем рассматривается интеграл от [t]
»= J [«wo.
где функция / (t) непрерывна и имеет интегрируемую
производную; f'(t) = 0, если t§[—а, 6]. Сонин показывает, что
справедлива формула
\ [«] df (t) = [b]f(b) + [a+i]f (-а) - 2 / (*)• (14)
-а *—М
Здесь а, Ь — не целые, но формула остается верной и при
целых а, Ь. При а =оо, 6= со -и при условии, что lim£/(£) = О,
она переходит в формулу (11). Подставляя под интегралы
вместо [t] ее разложение в тригонометрический ряд (13), Сонин
получает новые результаты. Среди них обобщение формулы
Эйлера—Маклорена
-[а] -а
Г п-\
+(T-a + [a])(f(-a)-^v^cosk-±±n[f(*Hb)--fW(a)}-
\ к-1
- 2м>* T(d7*'+i)*i+1) /ww+2(-1)fe?("V+lif+1)x
fe=i
Х/С*) (-а) + (-1)" j /<»«> (0 <р(<~+1).+ 1) <**• (15>
-а
В этой формуле Вк — полиномы Бернулли, а, Ъ — не обязательно
целые. При целых а, Ъ из нее получается обычная формула
Эйлера—Маклорена.
Другая работа Сонина [6] посвящена изучению свойств
функции вещественного переменного по ее первой разности в случае,
когда производная от этой разности равна нулю при стремлении
аргумента к бесконечности. Основой этого исследования служит
представление функции в виде определенного интеграла,
содержащего указанную производную и прерывную функцию [х].
Вначале автор дает аналитическое определение функции [х]:
248

«Под функцией [х] мы будем понимать такое частное решение
разностного уравнения [#+1]— [#] = 1, которое постоянно равно
нулю при 0 ^ # < 1» [5, стр. 4]. Отсюда следует ряд свойств
функции [ж], в том числе формула, доказанная Эрмитом, 21
[nz] = [z] + [z+^]+...+[z + n-^l],
выведенная Сониным из общей формулы в работе [2] и снова
доказанная Штерном. 22 Из определения [х] следует, что разность
[х]—х есть периодическая функция от х с периодом 1, значения
которой при 0 ^ х < 1 совпадают с —х. Из разложения в
тригонометрический ряд фукции [х]—х Сонин получает для нецелого х
формулу
г , 1 . sin 2ъх . sin 4t%x , /л ^ч
[х\ = х-т+—— + ___+.... (16)
Для любого х будет справедлива формула
г , 2 Г sin %х sin 2пх . sin 3%х 1 , , ч ,лп.
[х] = х--[—j — + —з ...j + s(x)9 (17)
где е (х) имеет период 2 и сохраняет значение 0 для 0 ^ х < 1.
Затем им рассмотрены следствия формулы (И) и изучено
представление функций определенным интегралом.
В отзыве о трудах Сонина, представленных на премию
им. В. Я. Буняковского, Чебышевым, Марковым и Имшенецким
был отмечен оригинальный прием введения прерывной функции
под знак определенного интеграла [Чебышев, 12, т. 5, стр. 307—
310; П 1].
Кроме указанных работ, Сонину принадлежат исследования
свойств чисел и полиномов Вернул ли, в которых он в ряде пунктов
опередил Эрмита. В связи с этим между ними завязалась
переписка, опубликованная в [7], где Эрмит высоко оценил результаты
Сонина.
Работы Сонина оказали заметное влияние на творчество
Г. Ф. Вороного и его ученика по Варшавскому университету —
В. Серпинского. Читая лекции в Варшавском университете,
Вороной, по-видимому, заинтересовался сочинениями Сонина.
Во всяком случае, в своих трудах [7, 8] он применил формулу
Сонина, содержащую [ж], и в вопросах теории чисел использовал
цилиндрические функции, являвшиеся основным предметом
исследований Сонина. Таким образом, Вороной косвенным образом
испытал на себе влияние Бугаева — учителя Сонина. Вслед за
21 Hermite Ch. Sur quelques consequences arithmetiques des formules
de la theorie des fonctions elliDtiques. Acta mathem., t. 5, 1884, pp. 297—330.
22 S t e г n A. Sur un theoreme de M. Hermite relatif a la fonction [x].
Ibid., t. 8, 1886, pp. 93—96.
249

Вороным В. Серпинский в работе [1] использовал формулу (14)
из статьи Сонина [3] и в работе [2] обобщение формулы Сонина,
принадлежащее Вороному. Позднее формулы Сонина и Вороного
использовал И. М. Виноградов в работе [1] и других сочинениях.
Петр Сергеевич Назимов (1851—1901 гг.)
окончил Московский университет в 1873 г. Он дважды получал
премию им. Н. Д. Брашмана: первый раз за исследование по теории
дифференциальных уравнений в частных производных (1880 г.),
второй раз — за сочинение о приложениях теории эллиптических
функций к теории чисел [21. За вторую работу, представленную
в качестве магистерской диссертации, он получил степень доктора
чистой математики. С 1886 г. он начал преподавательскую
деятельность в Варшавском университете, а через три года был
переведен в Казанский университет.
Теории чисел посвящены три работы Назимова [1—3]:
вышеупомянутая работа [2], извлечение из нее, опубликованное во
французском журнале [3], и маленькая заметка в Математическом
сборнике [1].
Сочинение [2] написано под явным и сильным влиянием
Н. В. Бугаева. Автор указывает два вида применений теории
эллиптических функций: 1) теоремы и формулы из теории
эллиптических функций можно употреблять для вывода различных
свойств арифметических функций; 2) решения различных
арифметических задач сводятся к эллиптическим функциям. При этом
применения первого вида могут и должны быть заменены чисто
арифметическими выводами.
Назимов напоминает, что еще Эйлер использовал частные
случаи эллиптических разложений для вывода арифметических
теорем, и приводит в качестве примера такого вывода
доказательство теоремы Вильсона. Пусть а (т) — сумма делителей т,
включая I и т. Тогда имеет место равенство
00
k=i
' 1 2х
которое легко проверить, раскладывая дроби , __ , л__2 , . ..
по формуле для суммы геометрической прогрессии и суммируя
затем полученные ряды. Проинтегрировав равенство (18), получим
log((1 — х)(1 - х2)(1 — я3). . .)-! =
00
= log(i+N1x + N^+...) = 12i°-^xm. (19)
m=l
250

Здесь Nm — количество различных разложений т на сумму-
целых слагаемых. Пусть т — простое число. Пропотенцировав и
подсчитав коэффициенты при хт, находим, что
_ 1 о (2) oJm)_
»"ro!T2(m-2)!r",T т »
где т входит в знаменатель только двух крайних дробей, поэтому
сумма
1 . о (т) _1 + (т — 1) ! (т — 1)
т ! "•" т т ! '
и получаем равенство
1+(го —1)!=0(шо(1/л).
А это и есть теорема Вильсона.
Во введении автор подробно излагает историю применения
эллиптических функций к теории чисел. В первой главе дается
первый метод Якоби, в котором используются разложения
эллиптических функций в ряды. С помощью этого метода Якоби доказал
теорему о числе разложений числа вида 8тг+4 на четыре
нечетных квадрата.
В общих чертах метод заключается в следующем: берут
эллиптическую функцию и представляют ее в виде тригонометрического
ряда. Затем аргументу эллиптической функции придают какое-
нибудь частное значение. Получается ряд от д. Сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях д, получают арифметические
теоремы. Например, для определения числа целых решений
неопределенного квадратного уравнения
ах2 + 2bxy -f- су2 = п
рассматривают ряд
00 00 1 . , чо 1 , ,0. ,
2х~1 - о, •• хп XI — (ах—by)- —(ac-b')y2
2 jw+^ey = 22je qa
#=-00 #=-00
Для определения количества решений уравнения х2-\-Зу2—
=2/г—1 берется ряд
22«Л*=1+22(т)гтЬ=
= 1 + 2 fj Н (2л — 1) [qin~l + Зд4'2"-1' + 3gM(*-i' +...},
И=1
10 при г = Зк,
1 при г = Зк + 1,
—1 при г = 3£ + 2,
251

а Н (2п—1) — разность между числом делителей 2лг—1 вида
6г+1 и вида 6г+5. Автор приходит к выводу: для определения
числа решений уравнения х2+3у2=2п—1 из числа делителей
2и—1 вида 6г+1 следует вычесть число делителей вида 6г+5 и
полученную разность удвоить. Рассмотрев некоторые уравнения
с двумя переменными, Назимов переходит к неопределенным
уравнениям с 4 и 6 переменными. Он рассматривает несколько
квадратичных форм из статей Лиувилля. Останавливается и на
вопросе о числе разложений данного числа на 8, 10, 12 и более
квадратов. Указывается, что вопрос о представлении числа с
помощью большего количества квадратов нельзя считать решенным.
Главная трудность этого метода, по словам Назимова,
заключается в том, чтобы найти подходящую эллиптическую функцию
при решении той или иной задачи.
Во второй главе изложен второй способ Якоби: одно и то же
бесконечное произведение множителей l±qm представляется
в виде различных частных двух произведений эллиптических
функций.
Третья глава посвящена способу Эрмита и применению его
к задаче о количестве разложений числа на три квадрата, к
выводу формул Кронекера и Гирстера. Среди прочего здесь
содержится решение задачи, предложенной Дирихле: определить знак
в сравнении
1 .2-3...5^=(—l)»(modn).
Пусть п = 4iV + 3. Если А — число вычетов среди чисел
п i
1, 2, 3, . . ., —^—» а В — число невычетов, то, по Дирихле,
имеет место правило:
F(n) = A-B = r^ + 2v; т. е. v = n-=^~F{n),
v = ^(n) — ^F(n) = F(n — 2*) + F(n—V) + F(n—&)+....
Глава четвертая посвящена выводу ряда числовых тождеств
Лиувилля. Здесь же дан вывод теоремы Якоби о числе
разложений числа 8тг+4 на сумму четырех нечетных квадратов. Назимов
несколько видоизменяет начало доказательства теоремы Лиувилля,
данного Золотаревым [2], чтобы показать связь способа
Золотарева с теоремами второй главы своего сочинения. Теорема
Лиувилля формулируется так.
Пусть т — число вида 4Z+1. Обозначим i и гг некоторые
положительные числа, со, s, а>17 s± — какие-нибудь целые числа.
252

Петр Сергеевич Назимов.

Пусть функция F (х) имеет определенные конечные значения при
всех рассматриваемых целых значениях аргументов. Тогда
S(-l)f+"(^,V(<o) = S(-l)'.FK),
где суммы последовательно распространяются на все решения
i, s, со, 1Х, 51? сох при данном т уравнений i2+a)2+16s2=w и ix2+
<o12+8512=/?i [2, стр. 269—270]. Назимов замечает, что «самый
способ вывода можно значительно обобщить, но цель этой статьи
не состоит в такого рода исследованиях: предполагается только
представить в возможно более полном виде те главнейшие
приложения теории эллиптических функций, которые сделаны до
сих пор различными исследователями» [там же, стр. 271].
В пятой главе автор останавливается на теории целых
гауссовых чисел и излагает ее, упоминая исследования Золотарева.
Он замечает, что теоремы Ферма и Вильсона имеют аналоги в
теории гауссовых чисел, и доказывает теорему, аналогичную теореме
Ферма. Излагается закон взаимности биквадратичных вычетов
с доказательством и теоремы, основанные на свойствах «лемни-
скатных» функций — так Эйзенштейн называл эллиптические
функции, модуль которых равен i. Вводятся числа Эйзенштейна,
т. е. комплексные числа вида A+Bj, где А и В — целые гауссовы
числа. С их помощью доказывается закон взаимности вычетов
восьмой степени. Рассмотрен аналог уравнения Ферма (Пелля),
его решение, единицы в теории комплексных чисел Эйзенштейна.
В шестой главе выводится формула Дирихле для числа
классов «собственно первоначальных» квадратичных форм с мнимыми
коэффициентами и с двумя переменными при данном
определителе. Назимов выражает равенство, из которого получаются
окончательные формулы Дирихле, с помощью функций Якоби и
приходит к заключению, что исследование Дирихле можно было бы
заменить некоторым исследованием из области эллиптических
функций. Дирихле распространил свои исследования на те же
вопросы для квадратичных бинарных форм с мнимыми
коэффициентами и переменными. Здесь суммирование производится с
помощью эллиптических функций. Последняя глава посвящена
вопросу о связи теории умножения аргументов эллиптических
функций на мнимые величины с формулами Кронекера и Гирстера.
Николай Васильевич (Вильгельмович)
Б е р в и (род. в 1869 г.) также является выпускником
Московского университета и учеником Н. В. Бугаева. В 1896 г. он
защитил магистерскую диссертацию [2] на тему, предложенную
Н. В. Бугаевым и близкую к его научным интересам. В Архиве
МГУ сохранился черновик отзыва 23 Бугаева об этой работе,
23 Архив Н. В. Бугаева. Научи, библ. МГУ.
254

в котором отмечаются незаурядные способности автора и подробно
разбирается работа.
В качестве приложения к магистерской диссертации Берви
написал «Краткий очерк современного состояния теории
числовых функций» [3]. Кроме того, ему принадлежит статья об
асимптотических выражениях функций [1].
В работе [2] Берви изучает сумму вида
т(п) = 2,гтф)о(г/). (20)
Здесь х, у — целые числа, удовлетворяющие уравнению тг=
=а+Ь (х-\-у)+сху, где b2=b+ac и с — делитель Ъ—1, а функции
щ а — произвольные числовые функции. С помощью (20)
исследуются свойства ряда чисел вида ст+1, так же как с помощью
числового интеграла по делителям изучаются свойства чисел
натурального ряда. Сумма (20) обладает следующим свойством:
всякая теорема, доказанная для некоторого частного значения с,
например для с=1, и относящаяся к свойствам функций,
зависящим лишь от вида разложения чисел п на множители, может
быть обобщена на все целые значения числа с с заменой операции
умножения ху операцией а-\-Ъ (х+у)+сху и операции деления —
х — by — а
операцией —су_^& .
С помощью теории функций комплексного переменного Берви
доказывает теорему для чисел вида cm + b, аналогичную теореме
Чебышева для отношения при п-+ оо.
В [2] Берви продолжает развивать идеи Бугаева о создании
общих методов в теории чисел. Он решает числовые уравнения,
вводит в рассмотрение числовые производные высших порядков
для некоторых простейших функций, рассматривает уравнения
с числовыми производными (аналог дифференциальных
уравнений). В частности, им рассмотрено интегрирование уравнений
вида
Я«Ч + aj)^x + a2Dm~4 + . . . + ат = <р,
где ф — некоторая числовая функция, а коэффициенты ах, а2,
. . . , ат — постоянны. Если уравнение разрешимо, то функция т
линейно выражается через функцию <р и ее производные. Затем
автор рассматривает числовые ряды, асимптотические
выражения для числовых функций. В частности, он изучает
асимптотические выражения для функций от чисел вида ст-\-Ь.
Он вводит бс (и) = 2 log (ср-\-1) и рассматривает функцию
Сс (s), аналогичную функции Римана С (s).
Вопросу об асимптотических выражениях функций была
посвящена другая статья Берви [1]. В ней автор использует
свойства функции Римана С (s), утверждения Римана и Стилтьеса,
255

в частности, утверждение Стилтьеса о том, что для всех s,
действительная часть которых больше -~-, ряд Сх (s) =-- -р-рг сходится и
Z С, [S)
дает конечное значение для C2(s). «Поэтому справа от прямой
s = -^-{-ti функция С (s) всюду, кроме 5 = 1, конечна и не имеет
нулей, а слева имеет их лишь на действительной оси» [1, стр. 4].
Берви ставит перед собой задачу — разложить в степенные
ряды некоторые числовые функции, следуя методу, которым Ри-
ман «решил задачу о простых числах. . . и который был потом
обработан Halphen'oM» [1, стр. 5]. Он раскладывает в степенной
ряд функцию Чебышева 6 (#), используя при этом равенство,
имевшееся у Бугаева,
^-простые
и метод Римана интегрирования по контуру. Аналогичными
приемами он находит разложение для Нк (х) и асимптотические
выражения для ряда функций: для разности между числом первичных
(бесквадратных) чисел «четного и нечетного образования», для
количества первичных, вторичных и т. д. делителей всех чисел,
меньших или равных х, для логарифма произведения всех
первичных чисел, меньших или равных х. Затем им рассмотрено
разложение функций в ряды по функциям w (q, п): H(imw(qm, п), где
функции w (q, п) определяются с помощью равенства
V tq(ent -1) ,.
iw(q, п)= \ l_e.t 'dt.
—тс»
Наконец, автор рассматривает функцию ^ (с), являющуюся
обобщением С-функции Римана, и ее свойства.
Статья Берви [1 ] — одна из немногих статей, вышедших в
России прошлого столетия и посвященных применению теории
функций комплексного переменного к теории чисел.
В статье [3] дан обзор работ по теории числовых функций
в связи с теорией аналитических функций, приведены
рассуждения автора о теории числовых функций и его планы изучения
теории числовых рядов — «центрального пункта неаналитической
теории числовых функций» [3, стр. 190].
Ученику Н. В. Бугаева Сергею Ивановичу
Баскакову принадлежит интересная статья «Об одном из способов
получения числовых тождеств и его приложение к теории
числовых функций» [1].
Баскаков заметил, что арифметическое доказательство, данное
Кронекером для теоремы о разложении числа на сумму четырех
256

квадратов,24 было упрощено и превосходно изложено Дирихле 25
в письме к Лиувиллю. Именно из этого письма Лиувилль, по его
собственным словам,26 заимствовал идею метода, с помощью
которого получил затем множество тождеств и соотношений между
числовыми функциями. Лиувилль сообщил их без доказательства
в своем журнале за 1858—1859 гг.
Баскаков указал, что именно в письме Дирихле могло
послужить источником для создания Лиувиллем нового метода, и сам
получил несколько формул Лиувилля. Основная идея метода
заключалась в том, чтобы сопоставлять разложения, элементы
которых связаны между собой уравнением или системой
уравнений. Связь разложений с теорией квадратичных форм, по мнению
Баскакова, была заимствована Лиувиллем у Эрмита.27
Исследования в направлении, указанном в этой статье
Баскакова, продолжили позднее Я. В. Успенский и Б. А. Венков.
Идеи Бугаева нашли свое отражение в курсах по теории
чисел, изданных его учениками — Л. К. Лахтиным [4] и Д. Ф.
Егоровым [2].
Один из разделов книги Леонида Кузьмича Л а х-
т и н а так и назывался «Понятие о числовых производных и
интегралах» [4, стр. 33, 34]. Лахтину принадлежат также
несколько заметок по различным вопросам теории чисел [1—3].
Курс Дмитрия Федоровича Егорова
«Элементы теории чисел» [2] был создан на основе лекций, читанных
Егоровым в течение ряда лет в Московском университете. Третья
глава курса называется «Числовые функции и интегралы по
делителям». В ней излагается теория числовых интегралов и
числовых производных и приводится формула, выражающая перемести-
тельное свойство кратных числовых интегралов — формула
Бугаева (см. стр. 232), и ряд других числовых тождеств. В курсе
Егорова не упоминалось имя Бугаева, но его теория излагалась
достаточно подробно.
Не случайно в курсе Егорова было упомянуто тождество
Бугаева, которому посвящена специальная работа Егорова [1].
Тождество Бугаева было обобщено, в результате чего в качестве
частных случаев были выведены многие формулы Лиувилля и
Бугаева.
Кроме того, Егорову принадлежит очерк о научных трудах
Бугаева [П И], в котором автор дает высокую оценку
исследованиям выдающегося математика по теории чисел.
24 К г о п е с к е г L. Ueber die Anzahl der verschiedenen Classen quadra-
tischer Formen von negativer Determinante. Monatsber. Akad. zu Berlin, 1859.
4 L e j e u n e - D i r i с h 1 e t P.* G. Sur l'equation t2+u2+u2+w2=
=4 m. J. mathem., (2), t. 1, 1856, pp. 210—214; Werke, Bd. 2, SS. 201—208.
26 Liouville J. Sur quelques formules generates qui peuvent etre
utiles dans la theorie des nombres. J. mathem., (2), t. 4, 1859, pp. 1—8.
27 Hermite Ch. Sur la theorie des fonctions elliptiques. Oeuvres,
t. 1, 1905, p. 74.
257

Об ученике Н. В. Бугаева — Д. Н. Соколове, к
сожалению, очень мало известно. В Математическом сборнике он
опубликовал две работы [1, 2], в первой из которых доказал
35 тождеств Лиувилля и 8 тождеств, ранее доказанных Бугаевым.
Метод доказательства был основан на свойствах операции
числового интеграла по делителям и операции свертки 2 f(d)g(ty-
db=n
Во второй работе [2 ] Соколов дает обобщение ряда прерывных
функций.
Многочисленные заметки, посвященные решению отдельных
видов неопределенных уравнений в целых числах и подсчету числа
решений таких уравнений и систем, принадлежат А. С. Вере-
б р ю с о в у. Диксон [И 33] и другие авторы указали на ряд
ошибок в работах Веребрюсова.
В качестве примера его результатов приведем следующий:
он дал рекуррентную формулу для числа совокупностей целых
положительных решений уравнения
ЯА + Д2*2 + • • • + апХп = А>
где целые положительные коэффициенты не имеют общего
множителя. Затем он рассмотрел количество совокупностей решений
этого уравнения в случае, когда хоть один х <^ 0.

ГЛАВА 7
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
В КАЗАНИ
В Казанском университете, открывшемся в 1804 г., студентам
не читали самостоятельного курса по теории чисел. Отдельные
вопросы теории чисел входили в курс алгебры, читавшийся
Г. И. Карташевским (1779-1840 гг.) [И 21, стр. 82, 83]. В 1808 г.
в Казань приехал И. М. X. Бартельс (1769—1836 гг.) и с нового
учебного года приступил к чтению лекций по высшей арифметике,
используя в них сочинения Гаусса и Лежандра.
В этот период в Казанском университете учился Н. И.
Лобачевский. Он с большим интересом слушал лекции Бартельса,
и под его руководством самостоятельно занимался изучением
трактатов Гаусса, Лежандра и других ученых по теории чисел.
Деятельность Н. И. Лобачевского в области
теории чисел
Уже с 1813 г. Николай Иванович Лобачевский (1792—1856 гг.)
начинает читать публичные лекции по курсу арифметики на
русском языке. Через год он становится преподавателем университета.
Свою педагогическую деятельность Лобачевский начал с
чтения курса теории чисел, в основу которого были положены труды
Гаусса и Лежандра. Первые два года теорию чисел он читал как
самостоятельный курс, позже она вошла в курс алгебры.
Конспекты, подготовленные для этого курса, в 1834 г. были изданы
под названием «Алгебра или вычисление конечных» [1].
Кроме «Алгебры», Лобачевскому принадлежит еще одна статья
по теории чисел [2] и некоторые теоретико-числовые
рассуждения в [3]. Все эти работы вошли в Полное собрание сочинений [4].
В «Алгебре» рассматриваются вопросы теории чисел.
Например, в главе 10 излагаются свойства непрерывных дробей,
отмечается, что разложение обыкновенных дробей в непрерывные
дроби «делается так же, как при отыскании самого большого
делителя» [4, т. 4, стр. 81, 82], что «с помощью приближенных
дробей можно доказать некоторые свойства целых чисел, весьма
важные для арифметики» [4, т. 4, стр. 108]. Эта глава
посвящена решению систем неопределенных уравнений в целых числах
т

с помощью непрерывных дробей. Сначала рассматривается
решение одного уравнения с двумя неизвестными первой степени,
потом системы, например, двух уравнений с тремя неизвестными.
Особого внимания заслуживает тот случай, когда во все
уравнения входит одно неизвестное каждый раз с другим новым.
Такие уравнения имеют вид
ах + by = су \
afx-\- b'y' = с'у I
а!>х + Ь"у" = <?,
Приводятся примеры хронологического характера,
связанные с вычислением дней пасхи, дней недели в некоторые годы
и др. Затем рассматривается решение одного уравнения первой
степени с п неизвестными
aYxx + а2я2 + а3#3 + • • • + апхп = °-
Далее определяются условия возможности решения такого
уравнения. После этого автор переходит к решению системы
однородных линейных уравнений, где уравнений на одно больше, чем
неизвестных. Наконец, рассматривается решение неоднородной
системы линейных уравнений с п неизвестными с помощью
непрерывных дробей.
В главе «Действия с комплексными числами» есть ряд
замечаний, относящихся к вопросам теории чисел.
Глава 16 посвящена решению двучленных уравнений,
изложение теории этого вопроса соответствовало книге Гаусса х и
сопровождалось подробным разбором примеров. В частности очень
детально было решено уравнение #п=1. В «Алгебре»
Лобачевский доказывает теорему существования первообразных корней
для простого р [4, т. 4, стр. 265, 266].
Книга Лобачевского встретила недружелюбный прием в
Петербургской Академии наук. В донесении академика Н. Фусса
министру народного просвещения С. С. Уварову говорилось:
«Вашему Высокопревосходительству угодно было поручить мне
рассмотреть сочиненную г. Лобачевским „Алгебру или
вычисление конечных" и доставить Вам о достоинствах оной мое мнение.
«О пользе учебной книги можно судить в двояком отношении.
Учащий, издавая руководство своей науки с тем только
намерением, чтобы слушатели его имели средство в досужные от
лекций часы повторять и затверживать преподанные им правила или
приготовляться к будущим лекциям, обыкновенно достигает цели
своей. В таком случае труд его будет не безнадежен, хотя бы книги
его имели местное лишь достоинство, и приносит пользу тем только
лицам, которые непосредственно пользуются уроками сочинителя.
1 Gauss С. F. Disquisitiones arithmeticae. Leipzig, 1801.
260

«Рассматривая книгу г. Л[обачевского] в сем отношении, я
уверен, что она будет приятным подарком ученикам его, которые,
приобыкши к способу изложения его, найдут в ней все то, что
для них необходимо должно входить в состав учебной книги сей
науки. . . , и даже некоторые собственные изыскания и взгляды
учителя их, которые они тщетно бы искали в других руководствах
по сей части.
«Но г. Л [обачевский ] говорит в конце предисловия..., что
предполагая сначала составить Алгебру для гимназий, он
впоследствии переменил свое намерение и надеется, что сочинение его
будет служить руководством для учителей и учебной книгой для
слушателей в университете. После такового объявления книгу
г. Л[обачевского] надлежит рассматривать с другой точки
[зрения], и тогда внимательный разбор покажет, что она во многих
отношениях не удовлетворяет ни первоначальному, ни нынешнему
своему назначению. Быть может, что приговор ей покажется
строгим, но расположение предметов в ней столько различествует от
принятого в других учебных книгах, способ изложения
некоторых первоначальных статей, например о положительных и
отрицательных величинах, столь сбивчив и, по моему мнению,
неудачен, что едва ли другой преподающий пожелает принять сию
книгу за основание в своих уроках. Впрочем, из всего видно, что
автор во время самого составления книги своей переменил
назначение ее, ибо некоторые предметы. . . пропущены, другие же,
принадлежащие более к высшему курсу Алгебры или к теории
функций, изложены с большой подробностью. Выбор приемов и
доказательств, а некоторым образом и ход изложения могут быть
предметом различных мнений. Но в том, несомненно, всякий
согласится со мною, что в математическом сочинении, особенно
в учебной книге, ясность, точность и простота в изложении суть
необходимые качества.
«К сожалению, в книге г. Л[обачевского] мы находим самые
первоначальные понятия, облеченными в столь странные формы,
простейшие предложения так неестественно выраженными,
столько темных (чтобы не сказать неточных) определений и
оборотов, что по сей уже причине введение в употребление сей книги
в учебные заведения отнюдь проповедовать нельзя. Стоит только
прочесть вступление в книгу г. Лобачевского, чтобы убедиться
в основательности сказанного мною».2
Интересно сравнить эту характеристику «Алгебры», данную
современником Лобачевского, с характеристикой, данной ей
советскими историками математики А. П. Юшкевичем и И. Г. Баш-
маковой: «С присущим ему интересом к коренным проблемам
математики Лобачевский выступил в этой работе как один из
первых создателей новой теоретической арифметики и дал чрез-
2 ЛОА АН СССР, Р. 1, оп. Ф-20, № 8, лл. 1, 2 об.
261

вычайно интересный и глубокий анализ операций над
натуральными и рациональными числами» [ПЗ, стр. 128].
Авторы статьи напоминают также слова А. Пуанкаре,
сказанные им в 1903 г.: «„Со времени Лобачевского математическая мысль
подверглась глубокой эволюции не только в геометрии, но и в
арифметике и в анализе. Понятие числа сделалось более ясным и
точным; в то же время оно подверглось разнообразным обобщениям"..
Разумеется, Пуанкаре имел в виду косвенное влияние
неевклидовой геометрии на развитие анализа и арифметики, он не был
знаком с работами Лобачевского в этих двух областях. На самом
деле Лобачевский много и плодотворно работал над
исследованием основ арифметики. Работы по исследованию свойств
натурального ряда подготовили почву для подлинной революция
в арифметике и алгебре, сравнимой по своему значению с
открытием неевклидовой геометрии. Они привели не только к
позднейшему аксиоматическому построению обычной арифметики, но и
к созданию некоммутативных и неассоциативных алгебр,
получивших широкое применение не только в самой математике, на
и далеко за ее пределами» [ПЗ, стр. 100, 101].
В 1834 г. Н. И. Лобачевский опубликовал статью «Понижение
степени в двучленном уравнении, когда показатель без единицы
делится на 8» [2]. Подробный разбор и оценка этой работы даны
в комментариях Н. Г. Чеботарева к 4-му тому Полного собрания
сочинений Лобачевского [4, т. 4].
А. В* Васильев
После Н. И. Лобачевского наибольшее влияние на
деятельность казанских математиков оказывал профессор Александр
Васильевич Васильев (1853—1929 гг.). Окончив в 1874 г.
Петербургский университет с золотой медалью, он не захотел остаться в
столице, где перед ним открывалась блестящая карьера, а уехал
в провинцию, в Казань, желая трудиться в своем родном городе.
Его научная и педагогическая деятельность была тесно
связана с его популяризаторской и просветительской работой. Кроме
того, А. В. Васильев был одним из немногих историков
математики дореволюционной России.
Вопросы теории чисел он рассматривает в своем курсе
«Введение в анализ» [6], в статьях, посвященных вопросам философии
математики [5], и в книгах «Целое число» [9] и «Математика» [10].
«Введение в анализ». Курс начинается разделом
«Из истории понятия о целом положительном числе». Затем из-
дагаются аксиомы арифметики и законы операций над целыми
числами. После этого автор переходит к теории целых
положительных чисел, далее рассматриваются вопросы: предмет теории
чисел, приложения теорди чисел, элементы теорци чисел. Работа
заканчивается историческим очерком [6, ч. I].
262

Александр Васильевич Васильев.

«Целое число». Под таким названием в 1919 т. в
Петрограде вышла книга Васильева [9], явившаяся результатом
многолетней работы автора по вопросам теории чисел и ее истории.
Изданная небольшим форматом, на плохой бумаге, она
чрезвычайно интересна по содержанию. В первой главе дается генезис
понятия натурального числа, во второй —- рассказывается о
математике в Древнем Египте и Вавилоне, о школе Пифагора и о
пережитках числовой мистики в современной культуре. Третья
глава посвящена возникновению науки о числах в Древней
Греции. Далее рассказывается об «Арифметике» Диофанта, о
теоретико-числовых находках у индусов, арабов, европейцев в средние
века и эпоху Возрождения. В книге были главы, названные
«Фермат и Эйлер», «Лагранж и Лежандр», «Гаусс». Одна из глав
посвящена краткому изложению основных идей современной
высшей арифметики.
Более подробно рассказывается о содержании одного из
современных направлений теории чисел — арифметической теории
алгебраических чисел, а также о геометрии чисел. Автор
останавливается на взаимной связи и взаимном влиянии теории чисел
и математического анализа, на нерешенных проблемах теории
чисел: законе распределения простых чисел и великой теореме
Ферма. Последняя, 15-я, глава посвящена приложениям теории
чисел и носит название «Теория чисел и математическое
природоведение».
Заключительные главы были написаны весьма сжато,
конспективно, так как Васильев рассматривал их как «программу другой
книги, которая должна полнее изобразить развитие теории чисел
после Гаусса» [9, стр. 264]. В конце книги автор выражает
благодарность издателям и Я. В. Успенскому за его «в высшей
степени полезные указания и его благожелательную критику» [там же,
стр. 266].
Следует отметить большую эрудицию и необычайную
трудоспособность А. В. Васильева, собравшего большой и интересный
материал, а также его энергию, упорство, которые помогли автору
в такое трудное время издать эту книгу.
Казанское физико-математическое общество
А. В. Васильев был организатором и душой Казанского
физико-математического общества, основанного в апреле 1880 г.
В начале оно представляло собой секцию Общества
естествоиспытателей при Казанском университете. Члены Общества всегда
были в курсе событий математической жизни и новейшей
литературы. В Известиях Физико-математического общества
печатались заметки о наиболее интересных сочинениях, статьи об
отечественных и зарубежных математиках, переводы работ Эрмита,
Кронекера, Пуанкаре, Дедекинда, Гельмгольца, сообщения о меж-
2G4

дународных конгрессах, о конкурсах и работах, получивших
премии. Ряд статей в Протоколах Общества был посвящен
кватернионам.
Вернувшись из поездки за границу в 1882 г., Васильев
поделился впечатлениями о лекциях Вейерштрасса, Куммера, Кроне-
кера и об их последних трудах. В частности, он рассказал о
сочинении Кронекера «Основания арифметической теории
алгебраических величин», о доказательстве Линдемана трансцендентности
числа тс.
В 1895 г. Известия Физико-математического общества
сообщили о премии по теории простых чисел, объявленной Академией
физико-математических наук королевского Неаполитанского
общества за сочинение на следующую тему: «Изложить, критически
разобрать и сопоставить в обстоятельном изложении изыскания,
касающиеся определения численности простых чисел, внеся
какие-нибудь значительные дополнения к законам, согласно которым
эти числа распределяются между всеми целыми числами».
К назначенному сроку — 31 марта 1896 г. в Академию наук
Неаполитанского общества поступило две работы. Одна из них,
представлявшая, по мнению судей, «гораздо более инт реса»,
была прислана из России. «На шести страницах, большею частью
занятых численными таблицами, автор дает несколько ценных
эмпирических формул, плод многих лет многотрудных и
терпеливых вычислений и искусных умственных построений,
доказывающих необычайную математическую интуицию и поэтому вполне
достойных опубликования; но Академия не могла присудить
премию этой работе, так как автор сам отказывается от рассмотрения
формул, прежде данных Лежандром, Чебышевым, Риманом и пр.,
между тем как предметом конкурса было именно изложение и
рассмотрение всех исследований, основанных как на
асимптотических вычислениях в области вещественных чисел, так и на
обращении некоторых интегралов в области комплексных чисел.
«Ничего подобного не находится в этой работе; автор в своем
плохо скрытом пренебрежении к теории не замечает, что из
формул Чебышева и из других аналогичных могут быть получены
с помощью легких и кратких вычислений все эмпирические
формулы, построенные им с большим трудом, и что различия в
дальнейших членах рядов происходят от неизбежной ограниченности
области, доступной прямому наблюдению, между тем как
теоретические исследования относятся к области, не имеющей пределов».3
На этом основании премия не была присуждена и срок
представления работ был продлен до 31 марта 1898 г.
Другая задача на соискание премии была объявлена Геттин-
генским королевским обществом на 1901 г. Условия ее были та-
3 ИФМО, (2), т. 7, № 1, 1897, Казань, стр. 62, 63 (Хроника).
По-видимому, автором работы был И. М. Первушин, а автором рецензии Э. Чезаро.
265

ковы: «Для произвольного числового тела должен быть развит
закон взаимности вычетов Z-й степени при простом нечетном
числе Z». К задаче были приложены объяснения: «если Z
обозначает нечетное простое число, } — первичный корень Z-й степени
из единицы, к — произвольное алгебраическое тело,
заключающее в себе число }, v и jx — два целых числа тела к и w какой-
либо из простых идеалов к, то самый общий закон взаимности
для вычетов Z-й степени в числовом теле к выражается уравнением
«Произведение предполагается распространенным на все
простые идеалы w тела к и символ I [ обозначает однозначно
определяемый посредством чисел v, ^ и простого идеала w корень Z-й
степени из единицы. Этот закон взаимности для вычетов Z-й
степени должен быть вполне развит и по крайней мере в некоторых
случаях и при некоторых упрощающих допущениях доказан».4
В изданиях Казанского физико-математического общества
публиковались и оригинальные работы по математике. Наиболее
крупными из них в области теории чисел были работы П. С. По-
рецкого, П. В. Преображенского и А. В. Васильева. Воспитанник
Московского университета Петр Васильевич
Преображенский опубликовал большую статью «Принцип
узловых точек» [4]. Этот принцип заключался в следующем. Пусть
y=R (х) — некоторая функция, или, графически, некоторая
кривая. Обратная функция обозначается х=и (у). Проводим прямые,
параллельные оси Ох: у=1, у—2, г/=3, . . . Обозначим абсциссы
точек пересечения кривой y=R (х) с этими прямыми и (1), и (2),
и (3), ... Точки пересечения прямых у=С с кривой y=R (х)
назовем узловыми точками, а их абсциссы и (1), и (2), и (3), ... —
узловыми числами. Принцип узловых точек заключается в
следующем равенстве:
u{t)
Vt'+l «(/')
Здесь Д (х) обозначает производную от
R (х) = И х — у И (я1/,) — 1 и (я7з) _ .1 и (х%) + ...,
х
П#= I интегральный логарифм, т. е. можно записать
2
4 ИФМО, (2), т. 8, № 2, 1898, Казань, стр. 50, 51.
266

Преображенский так объясняя сущность своего способа. При
пользовании приближенными формулами для различных
выражений, зависящих от простых чисел, встречаются затруднения.
Например, при вычислении суммы
я
27=y + |+y + y+--- + ~ = loglogn + const
требуется вычислить сумму до некоторого п, но неизвестно, на
каком п надо остановиться. От изменения предела п получается
ошибка. Преображенский заметил, что для каждого простого
числа существует единственный, строго определенный предел, до
которого надо брать сумму каких бы то ни было функций,
зависящих от ряда целых чисел. Этот принцип доводит погрешности
до ничтожных размеров. Для числа простых чисел, не
превосходящих #, Риман дал ряд
00 / 1_
R(x)= 2 1 =Лр(п)1\[х*
р^х я=1 \
X
- интегральный логарифм и ji (п) — функция
2
Мёбиуса, т. е.
(—1)*, если ^ = pxp2... рЛ, где р. — различные
простые числа, (& = 1, 2, . . ., к),
1, если лг = 1,
О в остальных случаях.
ц(гс):
Производную от R (х) Преображенский называет плотностью
простых чисел в точке х и обозначает А (#), тогда
со
1
я=1
Первый член в разложении R или А значительно больше
остальных, поэтому в первом приближении можно брать вместо R
или А первый член разложения. Для получения второй степени
приближения можно к первому члену добавить сумму второго
и третьего и т. д. Он рассматривает приближения, получаемые
при отбрасывании большого числа членов. Принцип узловых
точек формулируется так: если нужно найти 2/ (р) для ряда простых
чисел, из которых последнее занимает место t, а первому
предшествует t' простых чисел, то / (х) следует умножить на А (х)
и взять интеграл между пределами и (tf) и и (t). Здесь t, t' —
узловые точки, а и (£), и (tf) — узловые числа.
267

Заметим, что в формуле Римана слева стояла сумма, где / (р)
равна 1, справа — ряд; здесь в левой части сумма берется от / (р),
зато справа стоит интеграл от / (х), умноженной на A (x)dx —
приближенное значение количества простых чисел в промежутке
(и (£')> и {£)). В статье приведена таблица узловых точек и их
десятичных логарифмов, кроме того, таблица для нахождения
интегрального логарифма от узловых чисел в отрицательных
степенях, где исправлялись ошибки, допущенные при вычислении
значений И х другими авторами (Гуэлем, Шлёмильхом). Затем
автор применял свой принцип узловых точек к определению
некоторых сумм и произведений, зависящих от простых чисел,
2f п0-|). 2"*» 2*
Обобщенный принцип узловых точек позволил
Преображенскому вычислить количество чисел, взаимно простых с
произведением 2*3«5. . .р. Например, количество чисел, не
превосходящих х и взаимно простых с 2«3, он записывает в виде
У = Т+Т («)
для х, взаимно простых с 2»3. Количество чисел, не
превосходящих х и взаимно простых с произведением 2*3«5. . ./?, он
записывает в виде
1-2.4.6...(р»-1) (2)
У — 2.3.5.7...р* Х + S> W
где е = 0, если на х не наложено условий, ие = у, если за х
принимается одно из чисел а.
В статье [3] Преображенский заметил, что в ряде случаев
ряд Фурье можно заменить более простым. Обозначим функцию
«знак синуса»
I-f-1, если sin х > О,
—1, если sin х < О,
О, если sin х = 0.
Для cos х вводится функция «знак косинуса», обозначаемая
( -f-1, если cos х > 0,
ks (х) = I —1, если cos х < 0,
I 0, если cos# = 0.
С помощью этих функций автор получает разложения,
заменяющие ряды Фурье.
268

В работе [1] он указывает выражения для количества чисел,
лежащих между числами 3 и 25 и не делящихся на произведение
2-3 и др.
По поводу этой статьи Преображенского на заседании Общества
выступил Платон Сергеевич Порецкий. Он
указал [3], что формула Преображенского (1) не совсем точна, ибо
она может давать дробное выражение для числа z, которое должно
быть целым, так как выражает количество чисел, целых, взаимно
простых с 2-3 и равных или меньших т. Порецкий предложил
заменить формулу Преображенского такой:
г,/т , 1 . 1 /тп\\
где Е — целая часть числа. Он исходил из формул Лежандра.
В частности, он применял формулу
■п п + А
У = п-Е-^-,
выражающую количество членов и-членной арифметической
прогрессии
g — a, 2g — a, 3g — a, ...,ng — a (3)
(где (a, g)=l), которое останется, если из прогрессии (3)
исключить все члены, делящиеся на простое число р, взаимно простое
с g. Число А — наименьшее из чисел, удовлетворяющих
сравнению
#Д + a = 0 (modp).
Порецкий рассматривает вначале прогрессию
1, 3, 5, 7, ..., 2лг — 1 (при т = 2п — 1). (4)
Количество чисел, взаимно простых с 6 и равных или
меньших 2/г—1, должно равняться количеству чисел, остающихся
в прогрессии (4) после исключения из нее чисел, делящихся на 3.
Следовательно, здесь g = 2, a = 1, р = 3, Д = 1. Поэтому z = п —
гт W + 1 тт 771 + 1 г 0 л
— Ь—^—. При этом п = —^—, так как m = Zn — 1.
Другой случай: т=2п. Можно взять еще более простую
формулу. Число т может быть одного из шести видов: 6&+1, 6&+2,
6fc+3, 6А+4, 6А+5, 6/с+6. Количество чисел, меньших т и
взаимно простых с 6, назовем w. Оно будет, соответственно, равно
2к, 2к, 2к + 1, 2к + 1, 2к + 1, 2к + 2. Следовательно, w = a + Е^,
причем а=1, если т вида 6&+2; а=0 в остальных случаях.
Здесь w должно равняться z или z—1. Для выражения
количества чисел, не превосходящих т и взаимно простых с
произведением 2«3'5=30, Порецкий уточняет формулу, данную Преоб-
269

раженским, а затем предлагает свою, более простую,
полученную на основе формулы Лежандра,
* р q ■ р »
где Д', Д", Д'" — наименьшие из чисел, определяемых
сравнениями
#Д' + а = 0 (mod р), #Д" + а = 0 (mod q), gkm + а = 0 (mod pg).
Порецкий предложил формулу
т + 1 га
где я = —^—, если т — нечетное; п = ~2, если т — четное.
Порецкий известен своими работами по математической
логике и мало кто знает, что он также занимался вопросами теории
чисел. Наибольший интерес в этом плане представляет статья
«К учению о простых числах» [4].
Порецкий вводит в рассмотрение новую функцию ф (т),
значениями которой являются <р (т) чисел, взаимно простых с т и
меньших или равных т. Подобную функцию в частных случаях
использовали французы Дюпре б и Дормуа 6. Порецкий
указывает, что если бы ф (т) была известна, то, прибавив к ней
слагаемое km, где к — произвольное натуральное число, мы
получили бы общее выражение для всевозможных чисел, взаимно
простых с т, как меньших т, так и больших т. В это
выражение вошли бы и всевозможные простые числа, кроме тех, которые
входят в состав канонического разложения т.
Чтобы определить все простые числа от 1 до А (за
исключением нескольких ранее выбранных р1? р2, . . . , рп), их не
следует искать в натуральном ряду или в ряду нечетных чисел, как
это делается при использовании процесса решета Эратосфена,
а достаточно лишь рассмотреть прогрессию
ty(m) + km. (k=lf 2, 3, ...). (5)
В эту прогрессию не входят числа рг, р2, . . . , рп и составные
числа, делящиеся на них.
Порецкий указывает на существенные преимущества этого
способа: 1) количество членов ряда (5) примерно равно <р (А),
т. е. меньше А; 2) нет необходимости исключать числа, кратные
Ply Ры • • • 1 РП'
* D и р г ё A. Examen d'une proposition de Legendre relative a la theo-
rie des nombres. Paris, 1859.
eDormoy E. Formule generate des nombres premiers. C. R., t. 63,
1886, pp. 178—181.
270

При определении всех простых чисел, лежащих в промежутке
между Р и (?, можно сразу начинать с исключения из этого
промежутка всех чисел, не содержащихся в прогрессии (5). Знание
функции ф (т) может не только упростить приемы отыскания
простых чисел, но и пролить свет на их природу [4, стр. 55].
Порецкий критически рассмотрел работы Дюпре и Дормуа.
Дюпре утверждал, что если Р=3«5«7 • • • р, то все числа,
взаимно простые сРи лежащие между кР и (к+2)Р, могут быть
получены из формулы
РУ + Е2*,
где Е — целое число, взаимно простое с Р, х, у — специально
выбранные целые числа. Эта формула дает только числа, взаимно
простые с Р, но Дюпре не доказал, что она содержит все такие
числа. Кроме того; формула Дюпре не доказана, а только
вероятна. К тому же она требует предварительного знания одного
или нескольких чисел, взаимно простых с Р, которые можно
было бы подставлять вместо Е, и значения #, у в этой формуле
подбираются эмпирически.
Дормуа дал формулу, желая с ее помощью выразить закон
распределения простых чисел. Формула Дормуа очень сложна.
Для выражения чисел, взаимно простых с произведением 2-3«5х
Х7«И»13. . . rst=R, формула Дормуа принимает такой вид:
Nt = к • 2 . 3 . 5... rst + Dtat + tCtDsa8 + tsCtC8Drar + ...
... + tsr.. .7 • bCtC9. . .C7Ce0A + tsr. ..7-5. 3CtCe. . .C5C3. (6)
Здесь приняты следующие обозначения (qu q2, . . . , qn —
заданы):
O*,0=1> 0п,1=Яп> Оп,2 = Оп,1Яп-1+Оп,0 = Я«Яп-1 + 1.--
Числа qv q2, g3, . . ., qn обозначают все последовательные
частные, получаемые при отыскании общего наибольшего
делителя чисел t и R. Числа Dt = tC ± 1 (знак зависит от того,
будет п четным или нечетным).
Порецкий показал, что сложность лишает формулу Дормуа (6)
почти всякого практического значения. Кроме того, она
позволяет определить ф(т) только для И1 = 2«3«5-7...р.
Затем Порецкий переходит к определению ty(m) для частных
случаев: 1) т = р; 2) т = ргр2... рп = П (р). В первом случае
ф(т) = 1, 2, . .., р — 1. Во втором случае ф (ш) = ф (П(р)). Здесь
рь — простые числа, а символ ф (П (р)) будет представлять только
271

числа, меньшие П(р), и допускать количество значений, равное
произведению
(А-1)(Л-1).-.(р„-1) = П(р-1).
Всякое число, превышающее П(р), имеет вид qll(p), где а<
< П (р), q > 0. Оно может быть взаимно простым с II (р) только
тогда, когда а — взаимно просто с П(р), т. е. когда а — одно из
значений символа ф(П(р)).
Все значения символа ф(П(р)) не сравнимы между собой по
модулю П (р), и все они меньше П (р). Отсюда следует, что числа,
взаимно простые с II (р), как меньшие, так и большие П(р), могут
принадлежать только к П(р — 1) классам по модулю П(р).
Затем автор показывает, что формула
Pi
дает возможность получить по одному представителю из каждого
из упомянутых П(р — 1) классов.
Но формула (7) еще не может быть принята за символ ф (II (р)),
так как некоторые из ее значений могут быть больше П (р), а все
значения ф (П (р)) должны быть меньше П (р). Окончательный вид
формулы
Ф(П(р)) = П(р){2*^—*}. (8)
Здесь к = 0, когда формула дает число меньшее II (р), и 4 —
положительное целое, при котором разность
п(р)2^-*п(р)
заключается между пределами 0 и П(р), если число,
определяемое по формуле (8), больше П (р). Здесь р, — любые (не
обязательно последовательные) простые числа.
Наконец, рассмотрен случай 3): т = p^pl*... pj» = П (р) А,
где А = pj1"1??"1 • • • Pln~1' ? (и*) = 4 • П (р — 1). В этом случае
ф(т) = ф(П(р)) + й:'П(р), (9)
где *' = 0, 1, 2, 3, ..., Л —1.
Кроме формулы (9), Порецкий указывает еще одну,
рекуррентную формулу, позволяющую выражать ф IIJ (р{) j через
ф(П(р,)).
4> (U (р,))=р„4> (Й (р,)) + Ф (ря) П (р,) - * П (р,). (i°)
272

где А:=7^=0 только тогда, когда значения, определяемые предыду-
п
щей суммой (9), больше П(р,).
1
Затем изучаются свойства функции <b(m) и ее приложения.
Вот некоторые из них.
1) За исключением ф(2), имеющего только одно значение, все
остальные символы ty(m) имеют всегда четное число значений.
2) За исключением случая т = 2, два значения ф (т) всегда
известны и равны 1 и т—1.
3) Если одно из значений ty(m) есть а, то число т — а тоже
принадлежит к числу значений этого символа.
4) Для определения всех значений ty(m) достаточно знать
только те его значения, которые меньше -у. Вычитая их из т,
получим все остальные значения того же символа.
5) Сумма всех значений символа ф(/?г) всегда равна числу
Порецкий указывает формулу, содержащую все числа, взаимно
простые с данным (т = р^р^1» • -р"", Рк — простые числа):
ф (П (р)) +АН (р). (11)
В ней заключено II (р— 1) арифметических прогрессий с одной
и той же общей разностью, равной П (р). Первыми членами этих
прогрессий служат все П(р— 1) значений символа ф(П(р)). Числа
* = 0, 1, 2, 3, ...
Порецкий показывает, что выражение (И) содержит в себе
все без исключения простые числа, если принять П(р) = 1, а * =
= 1, 2, 3,... Для П(р) = 2 формула (И) превращается в ряд
нечетных чисел. Для П(р) = 2-3 формула (11) дает две
арифметические прогрессии
( 6Л + 1,
так как числами, взаимно простыми с 6, а также равными или
меньшими 6, будут 1 и 5. Этими прогрессиями еще никто не
занимался, кроме Лейбница, который заметил, что они содержат
все простые числа, исключая 2 и 3.
При П(р) = 2-5 формула (И) дает четыре прогрессии:
1 + 10&, 3 + ЮЛ, 7 + 10*, 9 + Ю*.
Эти прогрессии использовал Буняковский при определении
простых чисел, лежащих между данными границами [38].
При П(р) = 2 • 3 » 5 из формулы (И) получается 8 прогрессий:
1 + ЗОЛ;, 7+ 30*, 11 + 30*, 13 + 30*, 17 + 30*, 19 + 30*,
23 + 30*, 29 + 30*.
273

Именно эти прогрессии Эйлер рекомендовал брать при
составлении таблиц простых чисел [55]. При этом из рассмотрения сразу
исключаются числа, кратные 2, 3, 5, как заведомо составные.
При П(р) = 2 • 3 • 5 • 7 из (И) получается 48 прогрессий,
соответствующих решету Лебега.7
При П (р) = и(р), где п (р) = 2 • 3 • 5 • 7... р, получается
ФИр)) + *«(р).
Если отсюда исключить все числа, большие 1 и меньшие р2,
то получим все простые числа, лежащие между р+1 и р2,
рассматривавшиеся Ф. А. Слудским [2].
Далее Порецкий отмечает, что употребление формулы (И)
для исключения из ряда Af, M+l, М+2, М+3, . . ., N—1, N
всех чисел, делящихся на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, ..., &
(со — наибольшее из простых чисел между 1 и \//V), на практике
оказывается трудно осуществить. Поэтому приходится
довольствоваться применением формулы (11) при П (р), являющемся
произведением не всех, а только некоторых простых чисел.
Порецкий замечает, что во всех способах решета, получаемых
с помощью (11), различаются две существенные операции:
предварительного и окончательного решетирования. В операции
предварительного решетирования производят замену при помощи
выбранного значения П (р) ряда
Му М + 1, М + 2, ..., N (12)
теми членами ряда (11), которые лежат между данными
границами М и N. Во второй операции производят исключение из
этого нового ряда всех оставшихся там составных чисел. Для
каждого данного ряда (11) предварительных решет может быть
несколько, окончательное — только одно.
Порецкий рассматривает такой вопрос: какое
предварительное решето выгоднее всего для практики? Очевидно, это решето,
которое содержит меньше всего прогрессий и в котором
заключается меньше всего членов ряда (12). Оказывается, что для
случая II (р„)=2 это — решето Эратосфена; для П (р)=2-3 —
решето, осуществляемое с помощью прогрессий 1+6&, 5+6/с; для
П (р)=2«3 «5 — решето Эйлера. Общий случай: когда П (р) =
=PiP2- • -Рп — произведение п произвольных чисел ряда (12).
Затем он исследует переход к окончательному решетированию
и предлагает несколько способов такого перехода. Он отмечает
особенное удобство способа решетирования натурального ряда
между границами М и N с помощью формулы ф (6)+6&.
7 Lebesgue V.A. Tables di verses pour la decomposition des nombres
en leurs facteurs premiers. Mem. soc. sci. phys. et math. Bordeaux, t. 3, cah. 1,
1864, pp. 1—37.
274

Он указывает также, как найти простые числа, превышающие
все известные (этот вопрос интересовал еще Лежандра и Эйлера).
Из утверждения о том, что существуют простые числа,
превышающие любой данный предел, автор делает заключение:
следовательно, простых чисел бесконечно много (еще одно
доказательство теоремы Евклида о бесконечности числа простых). Кроме
того, в работе Порецкого исследованы формулы Лежандра для
записи количества чисел, содержащихся в данной арифметической
прогрессии после исключения из нее всех чисел, кратных
заданным простым.
Кроме утверждения о том, что всякая арифметическая
прогрессия вида km-\-ty (т) содержит бесконечно много простых
чисел, Порецкий останавливается на другом утверждении, тесно
связанном с первым: простые числа стремятся к распределению
поровну между отдельными прогрессиями вида km+ty (т).
Доказательства Лежандра не были достаточно строги, и, кроме
того, он рассматривал эти два утверждения без установления
между ними взаимной связи. Недостаточность доказательства
Лежандром первого утверждения была известна, недостаточность
доказательства второй истины обнаружил Порецкий. В работе
Порецкого было еще много интересных утверждений. Например,
он затрагивал вопрос о промежутках между двумя
последовательными простыми числами. В конце работы были приложены
таблица значений простейших из символов вида ф (те (р)) и список
литературы.
У математиков Казанского университета наблюдался
постоянный интерес к теории чисел.
Много работ по различным вопросам теории чисел написано
Евгением Ивановичем Григорьевым (1876—
1950 гг.), учеником профессора А. В. Васильева.
В заметке [2] Григорьев ставит перед собой задачу: выяснить,
когда данное число N есть число треугольное, когда оно может
представлять сумму двух, когда трех треугольных чисел, т. е.
уточняет теорему о многоугольных числах для случая, когда
эти числа — треугольные.
Решение первого вопроса совсем простое. Достаточно опре-
делить, когда уравнение '—'- = N имеет целое положительное
решение. Оказывается, если 8N+1 — полный квадрат, то N есть
число треугольное. Два других вопроса — сложнее. Автор
доказывает, что если 4/V+1 — число простое, то N может быть
представлено, и притом единственным образом, в виде суммы
двух треугольных чисел. Если 4/V+1 — простое число, a 8N+1 —
полный квадрат, то N будет такое треугольное число, которое не
может представлять собой сумму двух треугольных чисел.
Наконец, если &/V+3 — простое число, то N может быть представ-
275

лено, притом только единственным образом, в виде суммы трех
таких треугольных чисел, два из которых равны.
Заметка [5] посвящена доказательству следующей теоремы:
первообразный корень простого числа р не может быть
произведением четного числа первообразных корней, принадлежащих
тому же числу р. Доказательство дано методом от противного
и приводит к противоречию с теоремой Вильсона.
В [4] печатались также ответы Григорьева на вопросы из
французского журнала L'intermediaire des mathematiciens за
1902 г.
Теории чисел был посвящен курс С. П. С л у г и н о в а [1 ],
в котором содержался большой исторический очерк и список
сочинений по теории чисел для математиков, желающих
специализироваться в этой области. Этот курс интересен тем, что автор
рассматривал два класса прерывных функций: числовые, у
которых и аргумент и функция изменяются скачками, и
полуаналитические, у которых аргумент может меняться непрерывно, а
функция изменяется скачками. Были приведены примеры и графики
таких функций. Говорилось об арифметических операциях и их
законах. В остальном курс был выдержан в установившихся
традициях.
Философские вопросы теории чисел.
Математики Казанского университета проявляли большой интерес
к философским вопросам математики, особенно теории чисел.
На русский язык были переведены и напечатаны работы
иностранных ученых (Пуансо, Кронекера, Гельмгольца и др.),
посвященные философским вопросам арифметики, публиковались
сочинения А. Пуанкаре, в том числе его речь на IV Международном
конгрессе математиков «Будущее математики».
Интерес к этим вопросам особенно возрос в результате
знакомства математиков с трудами Бугаева, в которых
рассматривались вопросы философии в математике. В Казани преподавали
многие ученики Бугаева, выступавшие проводниками его идей.
Кроме того, здесь были живы идущие от Н. И. Лобачевского
традиции интереса к философским вопросам математики.
По-видимому, немалую роль в воспитании у казанских ученых интереса
к вопросам обоснования принципиальных понятий математики и
к философским вопросам математики вообще сыграла деятельность
А. В. Васильева. Ему самому принадлежала специальная
работа «Из истории и философии понятия о целом положительном
числе» [5] и другие работы. Под влиянием Васильева, появились
первые в России работы по математической логике,
принадлежавшие П. С. Порецкому. Порецкий не раз говорил о том, что первым
знакомством с математической логикой он обязан профессору
А. В. Васильеву. Особенно привлекали внимание казанских
математиков идеи прерывности и непрерывности, идея порядка
[Парфентьев, 1, 2].
276

Математики-самоучки: И. М. Первушин и
И. Максимов. Казанское физико-математическое общество,
в частности профессор Васильев, всячески поддерживали работу
математика-самоучки Ивана Михеевича Первушина [П 1, 2, 4].
Из протоколов Общества видно, что именно Васильеву обязан
он публикацией своих работ. В Петербургскую Академию
наук Первушин отправил более 20 заметок [Буняковский, 35,
36, 43]. Первушина занимал вопрос о простых и составных
числах видов 2W±1 и 221И + 1. В частности в Петербургскую
Академию наук он сообщил о следующих результатах: число
2223+1 — составное и делится на число 167 772 161=5«22б+1,
а еще раньше: 2212+1 — составное и делится на 7-214+1. В 1883 г.
он сообщил, что число 261—1 — простое.
Им были составлены таблицы простых чисел до 10 000 000,
которые он передал на хранение в Академию наук. На их
составление потребовалось около сорока лет. Он предложил
оригинальный способ проверки арифметических действий над большими
числами при составлении таблиц [3]. Эмпирическим путем он
пришел к заключению [2], что так как функция к (х) (количество
простых чисел, меньших или равных х) приближенно выражается
формулой
, х ^ х , 1х . 2х . , 1 • 2 • 3.. .(п — 1)х
* '*' ^ ЩГ7 +l0g2 х + l0g3 X "■" • * '"1 log^ »
то можно решить обратную задачу: определить такую функцию
/ (и), которая по порядковому номеру п простого числа рп
приближенно выражала бы величину этого простого числа и которая
позволила бы определить сумму S всех простых чисел до рп также
в виде функции от номера п:
Он пришел к заключению, что
2 Рк
Р±_Цп=с1
п 2*
где d-> 0.522, 2d > 1.08 366. Все эти соображения он изложил
в заметке [2]. Вскоре Л. К. Лахтин доказал [3], что
л _ | Р« *<я I _^ 1
\ Л<я /
и что
111 7 1
d ~ ~2+ Т ТБ£^Г+ Т Щ#К •
277

На основании своих таблиц Первушин получил еще
некоторые формулы [4], например
2 к * ^ & 12 log лг
Эта формула была вскоре уточнена в работе Э. Чезаро [П 5].
Как уже говорилось выше (см. стр. 265), по-видимому, именно
Первушин участвовал в конкурсе, объявленном Неаполитанской
Академией наук.
В начале XX в. в изданиях Казанского
физико-математического общества появляются заметки и брошюры еще одного
математика-самоучки — Исайи Максимова [1—4]. Так, на
заседании 23 мая 1915 г. были зачитаны замечания Н. Н. Пар-
фентьева о работе И. Максимова «Теория двучленных сравнений
с простым модулем и первообразных корней» [2]. Изложив
содержание присланной работы, Н. Н. Парфентьев сказал, что
«достоинством работы священника Исайи Максимова является
стремление получить решение сравнения
хт — А = О (mod р)
в виде одной общей формулы, из коей сразу можно получить все
корни сравнения. Правда, задача эта решалась уже русским
математиком Коркиным, но прием отца Исайи отличается
непосредственностью и крайней элементарностью.
«Другой характерный признак работы отца Исайи
заключается во введении им особого понятия „первообразный корень
первоначального числа р порядка м;". Ввиду этих достоинств
работы предлагаю Обществу напечатать ее; я ходатайствую об
этом с удовольствием уже по одному тому, что отец Исайя
Максимов — самоук, и наше общество должно поддержать его в его
исследованиях».8
Отъезд А. В. Васильева в Петроград, увлечение Н. Н. Пар-
фентьева другими вопросами математики ослабили в Казани
интерес к теории чисел. Он возродился лишь с приездом в Казань
в 1934 г. Н. Г. Чеботарева — ученика Д. А. Граве по Киевскому
университету. Чеботарев занимался теорией Галуа и теорией
алгебраических чисел и оказал сильное влияние на новое
поколение казанских математиков.
8 ИФМО, сер. 2, т. 21, 1915, стр. 44.

ГЛАВА 8
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
НА УКРАИНЕ
Основными научными центрами Украины в прошлом столетии
являлись Киев, Харьков и Одесса. В университетах этих городов
теория чисел не привлекала особого внимания математиков и
входила лишь составной частью в некоторые курсы. Кроме того,
отдельные вопросы теории чисел были освещены в различных
книгах и диссертациях, например в книге П. Э. Ромера
«Основные начала метода кватернёнов» [1], в докторской диссертации
А. Н. Тихомандрицкого, в лекциях алгебраического анализа Де-
ларю, изданных в Харькове.
Элементы теории чисел содержались в книге «Алгебраический
анализ или высшая алгебра» [2] М. Е. Ващенко-Захарченко.
Она представляла собой курс лекций, который автор читал в
Киевском университете в течение более двадцати лет. Наряду со
свойствами чисел и функций, а также теорией определителей здесь
рассматривались и вопросы теоретико-числового характера. Одна
из глав была посвящена сравнениям и другим основным
понятиям теории чисел. Ващенко-Захарченко сформулировал и
доказал основные теоремы элементарной теории чисел, изложил
решение сравнений и систем сравнений первой степени. Им было
введено понятие первообразного корня и индекса. Была изложена
теория двучленных сравнений, свойства символа Лежандра,
закон взаимности, теоремы о делителях суммы квадратов и вопрос
о представлении чисел суммой квадратов и т. д. Кроме того, автор
изложил решение двучленных уравнений и теорию деления
окружности по Гауссу.
Своеобразным является способ изложения книги [2]: автор
сначала приводит примеры, потом излагает соответствующую
теорию, затем дает ее приложения. К сожалению, в сочинении [2]
очень много опечаток, сильно затрудняющих чтение.
В Харьковском университете теорию чисел читал профессор
К. А. Андреев. Сохранились его литографированные лекции.1
Изложение было традиционным. Курс начинался с теории дели-
1 ЛОА АН СССР, ф. 162, оп. 3, № 132.
279

мости, основных понятий и основных числовых функций. Затем
излагалась теория сравнений, теория первообразных корней и
индексов, решение сравнений второй степени, свойства символа
Лежандра и закон взаимности. Андреев был в основном геометром,
поэтому курс теории чисел он, видимо, читал без особого
увлечения.
Д. А. Граве
Научные интересы упомянутых математиков были далеки от
теории чисел, а следовательно, их лекции не могли увлечь
слушателей этим разделом математики. Положение изменилось, когда
в 1902 г. в Киев приехал Дмитрий Александрович Граве (1863—
1939 гг.), воспитанник Петербургского университета, широко
образованный, талантливый ученый. Хотя первые научные труды
Граве и не были связаны с вопросами теории чисел, он хорошо
знал ее, так как в Петербургском университете слушал лекции
Ю. В. Сохоцкого по высшей алгебре, в которых теории чисел
уделялось серьезное внимание.
На творчество Граве большое влияние оказали беседы
с А. Н. Коркиным и А. А. Марковым, а также труды П. Л. Чебы-
шева по теории чисел. В Киевском университете Граве читает
курс теории чисел и добивается перевода его из дополнительного
курса в обязательный [П 6], издает литографированные и
печатные руководства.
Теорию чисел Граве рассматривает как фундамент математики,
отмечая ее ценность в отношении логичности и строгости, ее
важное педагогическое значение [П 6, стр. 24].
Во время поездок за границу Граве сближается с учеными,
занимавшимися разными разделами теории чисел: Ф. Мертенсом,
Э. Ландау, К. Гензелем, Ф. Фробениусом и другими. Под их
влиянием интересы Граве сосредоточиваются в основном на
общей алгебре и теории чисел.
После смерти своего любимого учителя А. Н. Коркина Граве
изучает его работу [9] о решении двучленных сравнений и пишет
статью [7], посвященную практическому применению способа
Коркина. Ему принадлежит так же несколько статей по теории
чисел, посвященных в основном разложению простых чисел на
идеальные множители, теории идеалов и другим вопросам теории
чисел, пограничным с алгеброй.
«Элементарный курс теории чисел». Первое
издание этого курса вышло в 1909—1910 гг., измененное и
дополненное — в 1913 [1]. Курс Граве существенно отличался от
подобных курсов, изданных в России до него.
Первые пять глав книги [1; 2-е изд.] (всего было 15 глав)
соответствовали обычному курсу теории чисел для университе-
280

Дмитрий Александрович Граве.

тов, остальные были новыми и оригинальными. Шестая глава
называлась «Связь с теорией групп». В трех последующих
излагалась теория полей и приложения теории конечного поля. Две
другие были посвящены элементарной теории непрерывных
дробей и основам теории бинарных квадратичных форм. Далее
излагались основы общей теории алгебраических чисел, матричное
исчисление, числа Бернулли. Последняя глава была посвящена
последней теореме Ферма. Но и в разделах, где излагались
традиционные вопросы, Граве приводил новые сведения, другие
доказательства, выводы. Например, уже в первой главе, где
излагались основные теоремы теории делимости, автор привел ряд
новых данных. По поводу закона распределения простых чисел
Граве писал: «Русская наука может гордиться замечательными
исследованиями Чебышева о простых числах. Эти исследования
были продолжены гениальным немецким математиком Riemann'oM»
[1, стр. 12].
Граве обращал внимание на книгу Ландау [И 36] и на
приведенные в его речи на 12-м Международном конгрессе
математиков в Кембридже нерешенные вопросы о простых числах.
Например: представляет ли функция тг2+1 при целых значениях п
бесчисленное множество простых чисел; имеет ли уравнение
т=р-\-р' для всякого четного т > 2 решение в простых числах
р и р'\ лежит ли между п2 и (га+1)2 при всяком целом п по крайней
мере одно простое число.
Подробно был рассмотрен вопрос о совершенных числах —
определение, примеры, метод Евклида для нахождения
совершенных чисел, теорема о том, что не существует других четных
совершенных чисел, кроме полученных методом Евклида.
Приводились сведения о новейших достижениях теории чисел;
например, говоря о теореме Варинга, Граве сообщал, что она
впервые была доказана Гильбертом в 1909 г.
Целью книги автор считал «изложение тех общего характера
метод, которые сделались классическими и которые составляют
азбуку теории чисел» [1, стр. 17]. Указав, что элементарных
приемов для развития теории чисел недостаточно, Граве
излагает основные понятия аналитической теории чисел. Он
рассматривает числовые функции и тождества, принцип обращения.
К этим вопросам относится его интересное замечание: «Этот
вывод формулы2 . . ., уже давно известный, можно
рассматривать как замечательный пример на теорию, развитую более
или менее систематически лишь в последнее время, а именно,
теорию бесконечных определителей, или, другими словами, тео-
2 Речь идет о том, что если ц(п) — функция Мёбиуса, а ^^(тп) =
*=F(m),Toty(l)=I>p(m)F(m).
т
282

рию систем уравнений с бесконечным числом неизвестных. Эта
теория получила в последнее время большое развитие в Gottin-
gen'e, в школе профессора Hilbert'a, причем обратили на себя
внимание работы его ученика Toplitz'a» [1, стр. 39, 40].
В главе, посвященной теории степенных вычетов, Граве
остановился на вопросе о таблицах индексов простых чисел. Таблица
индексов, имевшаяся в Canon arithmeticus Якоби, по
предложению Граве была продолжена его студентами, использовавшими
при вычислениях счетные машины. При занятиях теорией чисел
Граве рекомендовал вообще использовать счетные машины, в
первую очередь арифмометр Однера. При вычислении таблиц
студенты использовали метод решения двучленных сравнений,
предложенный А. Н. Коркиным [9] и дополненный Граве. Этот метод
Коркина был приведен в книге [1].
В книге Граве приводились интересные исторические сведения,
в частности исторический очерк о законе взаимности. Эти
отступления помогали усвоению и запоминанию материала.
В главе, посвященной связи теории чисел с теорией групп,
автор указал, что эйлерову теорию степенных вычетов по простому
модулю можно рассматривать как частный случай теории групп.
Дальше были рассмотрены свойства групп и было выяснено, что
основные теоремы теории чисел суть частные случаи теорем
теории групп. Граве показал также, что между абелевыми группами
и гауссовой теорией круга существует тесная связь.
Эта глава особенно интересна. Ничего похожего не было в
других учебниках по теории чисел, изданных прежде в России.
Но Граве не ограничился изложением основных положений теории
групп и установлением связи между теорией групп и теорией
чисел. В следующих главах он излагает теорию полей, уделяя
особое внимание алгебраическим полям. Отмечается новый вид
поля, введенный К. Гензелем для р-адических чисел, и
доказывается, что р-адические числа образуют поле.
Далее Граве рассматривает конечные поля, простейшим из
которых является числовое поле. Автор показывает, что числовое
поле изоморфно с полем, образованным классами чисел по
простому модулю р. Элементами такого поля являются не числа,
а классы чисел по модулю р. Решение уравнений в числовом поле
равносильно решению сравнений по простому модулю. Выкладки
поля Галуа можно рассматривать как действия над
функциональными сравнениями по двойному модулю.
В следующей главе автор приводит некоторые приложения
конечного поля и устанавливает связь идеальных чисел с
конечным полем. Он считает, что конечное поле самого общего вида
изоморфно с совокупностью классов по простому идеальному
модулю [1, стр. 167]. Граве рассматривает несколько приложений
конечных полей и дает ссылки на основную литературу по этому
ропросу. В частности, он ссылается ра статью студента
т

О. Ю. Шмидта «Об уравнениях, решаемых в радикалах, степень
которых есть степень простого числа» (Киев, 1913).
Граве приходит к следующему выводу: так как формальная
алгебра рациональных действий сохраняет свое значение для
конечного поля, а сравнения по простому модулю представляют
простейший случай конечного* пол я, то многие свойства
уравнений переносятся на сравнения. В этом источник аналогии между
уравнениями и сравнениями, замеченной еще Коши и
Пуассоном [1, стр. 174]. Однако Граве считает, что аналогия идет
гораздо глубже и распространяется на сравнения по идеальному
модулю. Он показывает, что в конечном поле сохраняется теория
определителей и связанная с ней теория линейных уравнений,
имеют место теоремы, аналогичные теоремам Гаусса, Абеля и др.
В качестве примера формул, аналогичных формулам Кардано
в арифметическом поле, Граве ссылается на исследования
Г. Ф. Вороного [2].
Чтобы изложить теорию квадратичных форм, Граве
потребовалось вначале дать основы теории непрерывных дробей. Затем
он проанализировал основное направление теории квадратичных
форм в XVIII в. — работы Эйлера и Лагранжа. Для знакомства
с теорией делителей квадратичных форм по Лагранжу он
рекомендовал студентам «Теорию сравнений» Чебышева. Затем он
изложил теорию квадратичных форм, придерживаясь Гаусса, и
дал геометрическую интерпретацию вопроса о приведении
квадратичных иррациональностей. В книге были приведены
результаты исследований самого последнего времени — Фробениуса,
Вебера и других ученых.
Одна из глав была посвящена общей теории алгебраических
чисел, которую Граве начинает с истории вопроса, затем он
вводит понятие алгебраического числа и целого алгебраического
числа, дает геометрическое представление целых алгебраических
чисел. При этом он резюмирует результаты русских
математиков А. А. Маркова, И. И. Иванова, Г. Ф. Вороного и студентов
Б. Делоне и Е. Жилинского. Переходя к вопросу об
алгебраических единицах, Граве напоминает о заслугах Вороного,
нашедшего алгоритм для вычисления алгебраических единиц в
кубическом поле, о работах в этой области Кронекера и его учеников —
Вебера и Гензеля. Он указывает, что полное изложение теории
алгебраических чисел с приложениями было дано Гильбертом
(1897 г.). Особо отмечается почетная роль русских математиков
в разработке теории целых комплексных чисел. Говоря о Вороном,
Граве подчеркивает, что долг русских ученых продолжить
исследования Вороного, «ибо все говорит в пользу возможности
дальнейших обобщений на поля высших степеней» [1, стр. 271].
Речь идет об обобщении алгоритма для вычисления
алгебраических единиц.
284

Далее рассказывается о матричном исчислении, причем
матрицы сопоставляются с алгебраическими числами. Подробно
рассказывается о числах Бернулли: дается исторический очерк
о числах Бернулли, приводятся основные определения, свойства
и теоремы об этих числах, в частности теорема Адамса—Вороного,
причем исправляется ошибка, допущенная в доказательстве
Вороного. Затем говорится о числах Дженокки—Эйлера.
Последняя глава книги Граве была посвящена великой теореме Ферма,
причем были приведены доказательства для случаев п=2 и и=4
и даны сведения о доказательствах других частных случаев этой
теоремы.
Таким образом, курс теории чисел Граве был совершенно
оригинальным для русских университетов. Его значение, как
и значение всей научно-педагогической деятельности Граве,
очень велико. Граве приобщил русских ученых к вопросам общей
алгебры, подытожил достижения русских ученых в вопросах
теории чисел, указал на последние достижения мировой науки
в этой области, поставил ряд нерешенных задач. Кроме того,
книга Граве содержала ценные исторические и библиографические
сведения по вопросам теории чисел. Не удивительно, что
ученики Граве, слушатели его лекций: О. Ю. Шмидт, Н. Г.
Чеботарев, Б. Н. Делоне, В. П. Вельмин, Е. И. Жилинский и другие
впоследствии стали выдающимися специалистами в области
теории чисел и алгебры.
Другая книга Граве — литографированный курс лекций [4, 6],
также представляет немалый интерес. Д. А. Граве намеревался
прочитать программу из пяти курсов: 1) квадратичная область,
2) общая теория идеалов, 3) теория деления круга, 4) кубическая
область (алгоритм Вороного), 5) теория комплексного
умножения. Эта книга представляла собой лекции по первому пункту
программы. Автор придерживался в ней в основном
классической теории Гаусса, по возможности модернизируя ее и используя
самые последние достижения того времени: книги Бахмана,
Перрона, свои собственные исследования. В качестве приложения
к книге была дана статья В. П. Вельмина [6]. После
исторического очерка, в котором было рассказано о работах Эйлера,
Лагранжа, Гаусса, Дирихле, Граве излагал вопросы о
квадратичных сравнениях по составному модулю, о делителях формы
t2—Du2, гауссовых суммах, о представлении чисел
квадратичными формами, о родах форм, об абелевых группах, рядах
Дирихле, о счете классов квадратичных форм и о композиции форм.
С. 0. Шатуновский
Несколько теоретико-числовых работ принадлежит Самуилу
Осиповичу Шатуновскому (1859—1929 гг.), автору
фундаментального сочинения «Алгебра как учение о сравнениях по функцио-
285

нальным модулям» [5], в котором дано обоснование алгебры
без доказательства теоремы о существовании корня
алгебраического уравнения и развивается теория Галуа без использования
понятия корня алгебраического уравнения. В статье [3]
доказана теорема: «Чтобы сравнение
/(*)=== 0 (mod р)
имело все рациональные и несравнимые по модулю р корни,
необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант не делился
на р и чтобы величины s{ (где s. — сумма £-х степеней корней
уравнения) удовлетворяли сравнениям
si+p = s4(modр) (* = 1, 2, 3, ..., р —1)».
В статье [4] решается неопределенное уравнение
ахтп + а^™-1 + ... + атп = Ъут,
где на коэффициенты а и Ъ наложено условие
-— +ст
Ь — ±с '
с — положительное рациональное число.
В работе [1 ] дана весьма точная оценка числа
последовательных делений при применении алгоритма Евклида к целым
числам. Под редакцией С. О. Шатуновского Одесское издательство
«Матезис» выпустило несколько ценных переводов сочинений
математиков. Он принимал активное участие в издании «Вестника
опытной физики и элементарной математики», где было
напечатано много его заметок, задач и решений.
Все труды Шатуновского отличаются оригинальностью
постановки задачи, остроумностью приводимых доказательств,
логичностью изложения и точностью формулировок.
Популяризация теории чисел на Украине
Большое значение для популяризации на Украине
математики, в частности теории чисел, имела деятельность В. П.
Ермакова, издававшего «Журнал элементарной математики», а также
Э. К. Шпачинского и В. Ф. Кагана — издателей «Вестника
опытной физики и элементарной математики». В этих журналах
печатались статьи по различным проблемам теории чисел, задачи,
вопросы, темы для исследования и решения предложенных задач.
В этих журналах сотрудничали А. Н. Коркин, И. И. Иванов,
С. О. Шатуновский, Д. Д. Ефремов, Н. Р. Сорокин и многие
другие.
В журналах печатались задачи на премию. Например, в 1886 г.
во втором номере «Журнала элементарной математики» была
помещена задача; если сумма квадратов двух взаимно простых
286

чисел разлагается на множители, то каждый множитель может
быть выражен также суммой квадратов двух чисел. При
доказательстве разрешалось пользоваться только такими теоремами,
относящимися к делимости чисел, которые изложены в учебниках
арифметики. Эту задачу сумели решить П. Н. Фрязиновский и
Д. С. Мириманов, ставший впоследствии профессором
Женевского университета.
Эти журналы сыграли важную роль в развитии теории чисел
на Украине и вообще в России. Молодые математики имели
возможность публиковать результаты своих исследований. Так,
первые исследования Вороного были напечатаны в «Журнале
элементарной математики». Здесь начали свою творческую
деятельность и многие другие украинские математики [И 8].

ГЛАВА 9
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
В ДЕРИТЕ *
И. М. X. Бартельс
В 1821 г. в Дерпт приехал И. М. X. Бартельс (1769—1836 гг.),
до этого преподававший в Казанском университете. Как в Казани,
так, по-видимому, и в Дерпте под руководством Бартельса его
ученики основательно изучали сочинения по теории чисел Гаусса
и Лежандра. Может быть, именно поэтому Карл Зенф решил
предпринять впервые в Дерптском университете чтение курса
теории чисел.
Бартельс мало печатался, но пользовался большим
авторитетом в научном мире. Сильное впечатление на петербургского
математика П. Н. Фусса произвел разговор с Бартельсом «этим
глубоким геометром, которому только скромность или, скорее,
странное пренебрежение к своим собственным талантам
помешали занять достойное место среди первых знаменитостей своего
века, почетное место, на которое он мог рассчитывать благодаря
своим работам, оставшимся большей частью неизвестными,
благодаря своему уму и обширным знаниям».2
Обычно не пишут о том, что Бартельс занимался теорией чисел,
но в его «Лекциях по математическому анализу» [1] имеется
несколько замечаний, связанных с вопросами теории чисел.
Бартельс предостерегает читателей от слишком поспешных
обобщений, указывая, что по нескольким частным случаям нельзя еще
судить об общем. Это говорится при выводе бинома Ньютона.
В качестве примера таких поспешных выводов он приводит
утверждение Ферма о том, что все числа вида 22т +1 при т=1,2,3, ... —
простые. Ссылаясь на книгу Гаусса, Бартельс напоминает, что
еще Эйлер доказал ложность утверждения Ферма для т=5.
В этой работе Бартельса имеются замечания о непрерывных
дробях [1, стр. XVIII—XIX] и о теории деления круга Гаусса
[1, стр. XXI—XXIII], дается понятие наименьшего вычета
1 Сведения о преподавании теории чисел в Дерптском (ныне Тартуском)
университете взяты из статьи [И 22] с некоторыми уточнениями и
дополнениями.
2 С. R. Acad. Sci. St.-Petersbourg, 1856, pp. 98.
288

по данному модулю, понятие первообразного корня, которое
сразу же поясняется примерами. Затем Бартельс очень просто
показывает, каким образом построение правильных
многоугольников связано с решением алгебраических уравнений. Он
рассматривает случай построения правильного 17-у гол ьника [1,
стр. XXI-XXIII].
Педагогическая деятельность ученика Бартельса Карла
Зенфа была недолгой. Он не оставил трудов по теории чисел.
После его кончины все математические дисциплины в течение
трех лет вынужден был читать Ф. Миндинг. Он же продолжил
чтение курса теории чисел.
Ф. Миндинг
Фердинанд Миндинг (1806—1885 гг.) приехал в Дерпт в 1842 г.
и начал преподавать в Дерптском университете.
К теории чисел можно отнести учебник Миндинга [3],
изданный еще в Берлине, и три его статьи [1, 2, 4].
Учебник по теории чисел. Теорией чисел Ф.
Миндинг заинтересовался еще в пору своего пребывания в Берлине,
когда в должности приват-доцента он преподавал в Берлинском
университете. Там он встречался с Лежен-Дирихле и
с К. Г. Якоби и, вероятно, не без их влияния начал заниматься
теорией чисел. Во всяком случае в 1831 г. появилась его заметка
о будущей книге [1], а в 1832 г. вышла в свет и книга [3].
Одним из препятствий на пути распространения высшей
арифметики Миндинг считал отсутствие учебников. Сведения
по арифметике были разбросаны в различных трактатах и статьях,
найти и понять их было, порой, не под силу начинающему.
Поэтому Миндинг решил создать учебник, в котором излагались бы
важнейшие результаты теории чисел. Автор хотел вызвать
интерес к теории чисел и облегчить ее понимание при обучении.
В книге Миндинга излагалась теория делимости,
неопределенные уравнения, теория сравнений. В первой части
рассматривались неопределенные уравнения и сравнения первой степени и
необходимые для их изложения сведения из теории непрерывных
дробей. Подробно была изложена теория степенных вычетов, в
частности теория квадратичных вычетов и символа Лежандра.
Автор подробно изложил вопрос о законе взаимности двух
простых чисел, в качестве одного из главных приложений закона
указал его использование для нахождения простых чисел, для
которых данное число служит квадратичным вычетом. Затем было
дано обобщение закона взаимности на случай составных чисел.
Теория сравнений и закон взаимности излагались по Гауссу.
Миндинг обобщил малую теорему Ферма и теорему Вильсона,
отметив, что на теореме Фер^а основана теория двучленных
сравнений п-и степени.
289

_ Вторая часть книги была посвящена теории квадратичных
форм. Для этой теории Миндинг продолжил изложение теории
непрерывных дробей, начатое в первой части. Содержание
второй части соответствовало в основном трудам Лагранжа и Ле-
жандра. По-видимому, изложение Гаусса Миндинг счел слишком
сложным для начинающих математиков. Следует отметить, что
в [3] содержались оригинальные результаты, цитируемые в
трактате Диксона [И 33].
Материал книги изложен в простой и доступной форме,
теоретические рассуждения проиллюстрированы примерами. В конце
книги дан исторический очерк развития теории чисел.
Книга Миндинга — первый серьезный учебник по теории
чисел на немецком языке. Книга заслужила одобрение Гаусса.
Впоследствии сам Миндинг и другие преподаватели Дерптского
университета при чтении курса теории чисел пользовались этим
учебником.
В связи с подготовкой книги Миндинг опубликовал заметку,
в которой содержалось одно замечание о решении
неопределенных уравнений второй степени [2].
Заметка о непрерывных дробях. Теории
чисел посвящена еще одна заметка Миндинга [4]. Применяя
известные формулы для оптической системы линз, нужные ему при
чтении курса диоптрики, Миндинг на основании свойств
диоптрических величин получил формулы Эйлера из [37] для обращения
непрерывной дроби в обыкновенную, но в форме, отличной
от эйлеровской. Миндинг исходил из книги Гаусса «Диоптрические
исследования», в которой решалась задача об определении пути
светового луча после л-преломлений. Он пришел к системе
неопределенных уравнений с двумя неизвестными. Искомые
неизвестные определялись с помощью числителей и знаменателей
подходящих дробей. Миндинг обобщил правило составления
числителя и знаменателя подходящей дроби для непрерывной дроби
на случай любого числа звеньев и получил удобный способ
составления этих выражений.
Его не столько интересовали сами формулы, которые уже
были, например, у Штерна, сколько необычный способ их
получения — из свойств оптических величин.
Работы по теории чисел после Миндинга
В Дерптском университете после Миндинга теорию чисел
читали П. Гельмлинг, И. К. Вейраух, Ф. Э. Молин и др.
Начатый Молиным курс «Кватернионьх» продолжил приват-доцент
П. X. Кадикис. В разные годы преподавали воспитанники
Московского университета Н. В. Берви, Л. К. Лахтин, В. Г.
Алексеев. Из них специально теорией чисел занимались И. К.
Вейраух, Н. В. Берви, Л. К. Лахтин, Ф. Э. Молин. Кроме того,
290

несколько небольших заметок йо теории *шсел написал Ф. Кла-
узен. В частности, ему принадлежат заметки: об одном свойстве
чисел Бернулли [1], о вычислении числа к с помощью
непрерывных дробей. Он вычислил число п с 250 знаками в заметке [2].
Несколько статей принадлежит А. Кнезеру, преподававшему
в Дерптском университете в 1883—1900 гг.
Остановимся на работах Иоганна Карла В е й-
р а у х а (1841—1891 гг.), преподававшего в Дерптском
университете с 1871 г. Он защитил здесь свою магистерскую
диссертацию и был оставлен при университете для подготовки к
профессорскому званию.
Первая из его статей [3] написана по его магистерской
диссертации [2]. Автор ищет целые положительные решения
неопределенного уравнения первой степени от п неизвестных
а1х1 + а2х2 + ... +апхп = А, (1)
где ак — целые положительные без общего делителя
коэффициенты. Эйлер применял для решения подобных уравнений в целых
числах с двумя и с тремя неизвестными метод деления на
наименьший коэффициент (см. стр. 40).
Вейраух применил аналогичный способ для уравнения вида (1).
Неизвестные получились в виде
Хк = Мк + Я*, А + ак,2*2 + • • • + Я*,я-1**-1>
где &=1, 2, 3, . . ., п. Вейраух поставил вопросы: 1) все ли
возможные решения содержатся в этой форме и 2) как установить
зависимость между двумя различными формами решений? В своей
работе он ответил на оба вопроса.
В других статьях [4—6] Вейраух подсчитывает число
совокупностей решений неопределенного уравнения (1) для
различного числа неизвестных, применяет полученную теорию к
решению некоторых вопросов из теории определителей, показывает
также, что обобщенный им способ Эйлера всегда дает полные
формы, т. е. такие формулы, в которых содержатся все решения
уравнения (1). Другие методы дают неполные формы.
Затем он решает подобные вопросы для специального вида
уравнений, уже не с взаимно простыми коэффициентами. Затем
Вейраух рассмотрел суммы
р
2/«Н>
w=l
где fn (т) — число решений уравнения с целыми коэффициентами,
не имеющими общего делителя;
п
2 акхк== т>
к=1
причем Иак=Р, 0 < т < Р.
291

Если обозначить S{ = 2 (а*)*> то> например,
р
2,, ч Р-^ + 1
tn=l
Это доказано Вейраухом в [5]. В статье [7] он рассмотрел
разложение в ряд по степеням х п-ш степени полинома
(14-я + я2+ ... +ят-1)\
Он полагает
(ш-1 \я я(т-1)
ft-0 / fc-0
и ищет выражения для коэффициентов ак (и, m — целые числа).
Вейраух использует для этой цели два способа, причем второй
способ основан на его теории решения неопределенных уравнений.
Число ак есть число решений неопределенного уравнения
п
2i/,= к при условии, что О <J[ */,. </я.
Представляет интерес и работа [8]. В ней автор вводит
понятие рядов вычетов первого и второго порядка. Рядом вычетов
первого порядка он называет сумму
ь
Ar-l
а рядом вычетов второго порядка сумму
ь
°1 = Цктк.
Здесь 0<^а<Ь, 0<d< 6, 0^mk<b, а+(к—i)d=mk (mod b).
Он вычисляет ряды вычетов второго порядка для некоторых
конкретных случаев, чтобы выяснить свойства этих рядов.
Формулы Вейрауха для /2, /3, /4 были даны позднее другим
способом [И 33, т. 2, стр. 127]. Рекуррентную формулу для числа
решений неопределенного уравнения (1) дал Веребрюсов [2].
В 1883 г. Дерптский университет окончил Федор
Эдуардович Молин (1861—1941 гг.). После окончания
университета Молин провел два года в заграничной командировке в
Лейпциге, где участвовал в семинаре Ф. Клейна. После защиты в 1885 г.
магистерской диссертации Молин читал различные курсы, в том
числе и кватернионы.
292

Основные научные интересы Молина лежали в области систем
высших комплексных чисел и теории представления групп.
Результаты его исследований по теории систем
гиперкомплексных чисел были изложены в его диссертации «О системах
высших комплексных чисел» [1]. В этой работе были заложены
основы общей теории систем гиперкомплексных чисел, доказаны
важные теоремы о строении системы гиперкомплексных чисел.
Исследования Молина стали основополагающими для теории
строения ассоциативных алгебр [П 1—7].
Работа [1 ] вызвала большой интерес у знаменитого алгебраиста
Фробениуса, отметившего, что «Молин одним ударом дал почти
полное решение наиболее важных вопросов в этой области»
[П 5, стр. 15]. Результаты исследований Молина изложены в
книгах Софуса Ли,3 в немецком и французском изданиях
Математической энциклопедии [И 34, 35]. Э. Картан распространил
результаты Молина на системы гиперкомплексных чисел над полем
действительных чисел. Многие европейские ученые, в частности
Г. Вейль, признавали большое значение трудов Молина. В то же
время в России даже такие крупные математики, как А. М.
Ляпунов и В. А. Стеклов [П 5, стр. 15], не смогли оценить в
должной мере значение трудов Молина.
Кроме печатных материалов Ф. Молина, имеются
рукописные, хранящиеся в архиве Ф. Э. Молина в Томске.
3 L i е S. Vorlesungen iiber continuirliche Gruppen mit geometrischen
Anwendungen. Leipzig, 1893; Lie S. Theorie der Transformationsgruppen,
Bd. 3. Leipzig, 1893.

ПРИЛОЖЕНИЕ
РУКОПИСНЫЕ МАТЕРИАЛЫ РУССКИХ МАТЕМАТИКОВ
ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Наряду с печатными работами для исследователя по истории математики
представляют интерес и архивные материалы ученых. Кроме публикаций,
в настоящей книге использованы рукописные материалы многих русских
математиков. Правда, в основном это материалы ленинградских архивов.
В этом приложении дается краткое описание архивных материалов русских
ученых, относящихся к вопросам теории чисел.
Все материалы о работе и обучении математиков в Петербургском
университете (материалы факультета, отзывы о сочинениях, диссертациях,
формулярные списки и пр.) находятся в ЛГИА, математиков других городов —
в местных архивах. Материалы о деятельности академиков находятся в
Архиве АН СССР (в Москве и в Ленинграде). Материалы о прохождении службы,
о наградах, отпусках, иногда отзывы о работах — в ЦГИАЛ. Во всех архивах
могут оказаться личные фонды ученых.
Леонард Эйлер. В Архиве АН СССР имеется фонд Эйлера —
фонд 136. Отдельные документы и письма Эйлера встречаются и в других
фондах. Описание рукописных материалов Эйлера, в том числе и по теории
чисел, дано в [П 64], Переписка Эйлера описана в «Аннотированном
указателе» [П 60].
Переписка Эйлера издается совместно Академиями наук СССР и ГДР
по инициативе и под руководством А. П. Юшкевича, В. И. Смирнова,
А. Т. Григорьяна (СССР), Э. Винтера (ГДР) [129]. Изучены отдельные
вопросы, затронутые Эйлером в переписке и в записных книжках [П 9—11,
23—33, 36, 45, 46]. В переписке Эйлера с Гольдбахом прокомментированы
почти все вопросы теории чисел, интересовавшие Эйлера в период этой
переписки (1729—1764 гг.), в том числе — гипотеза Гольдбаха,
трансцендентность чисел, исследования, связанные с результатами Ферма, вопросы
аналитической теории чисел.
Изучение наследия Л. Эйлера в области теории чисел продолжается.
Николай Фусс. В Архиве АН СССР имеется фонд Н. Фусса —
фонд 40.
Среди прочих материалов в нем имеются тетради с записями Фусса по
проблемам диофантова анализа, о числах Бернулли, по непрерывным дробям,
различные задачи по теории чисел. По-видимому, этими материалами
исследователи почти не занимались.
Имеется список опубликованных и неопубликованных трудов Н. Фусса,
составленный его сыном П. Н. Фуссом.
В. Я. Б у н я к о в с к и й. Как ни странно, в Архиве АН СССР нет
фонда Буняковского, хотя в течение 25 лет (1864—1889 гг.) он был вице-
президентом Академии наук. Материалы Буняковского, в том числе по тео-
294

рии чисел, имеющиеся в Архиве, до сих пор мало изучены. В данной книге
использованы материалы, относящиеся к подготовке Буняковским второго
тома «Лексикона чистой и прикладной математики».
М. В. Остроградский. Архивные материалы Остроградского
можно встретить в архивах Ленинграда и Киева. Фонда Остроградского
в Архиве АН СССР тоже нет. Все найденные в архивах материалы
Остроградского были использованы при издании Полного собрания трудов
Остроградского [4] и в специальном томе [П 16].
П. Л. Чебышев. В Архиве АН СССР (Москва) имеется фонд Чебы-
шева — фонд 505. Отдельные рукописи и биографические материалы
встречаются и в других фондах и архивах Москвы, Ленинграда, Калуги. По
объему фонд Чебышева очень незначительный. Может быть, основной архив
Чебышева утрачен, а возможно хранится у кого-нибудь из потомков семьи
Чебышевых. Имеющиеся материалы и основная часть переписки изучены
и опубликованы в Полном собрании сочинений П. Л. Чебышева [12, т. 5].
Кроме того, архивные материалы о Чебышеве использованы в работах
В. Е. Прудникова [П 28—33].
Г. Ф. В о р о н о й. В Архиве АН СССР фонда Вороного нет, но в
различных архивах попадаются его материалы. В основном его рукописи
хранятся в архивах Украины. Все найденные материалы описаны и
опубликованы в Полном собрании сочинений Г. Ф. Вороного [22], в статьях Б. А. Вен-
кова и И. Б. Погребысского [П 4, 21, 22].
Работы Вороного по теории чисел прокомментированы Б. А. Венко-
вым, Б. Н. Делоне, Ю. В. Линником, Н. Г. Чудаковым и другими.
А. Н. Корки н. В Архиве АН СССР имеется много материалов Кор-
кина, в том числе большое число записей по теории чисел. Они находятся
в фонде 759 (А. Н. Крылова) и частично в фонде 289 (Е. И. Золотарева). Эти
материалы изучены недостаточно. Лишь в последнее время в фонде
Золотарева были обнаружены тетради, написанные рукою Коркина. Как и
остальные материалы Коркина, они также не изучены.
Е. И. Золотарев. В Архиве АН СССР имеется фонд Золотарева —
фонд 289. Эти материалы использованы недостаточно, лишь при издании
Полного собрания сочинений Золотарева [13] была опубликована
хранившаяся в этом фонде переписка Коркина с Золотаревым [13, т. 2]. Кроме
того, архивные материалы Золотарева использовали в последние годы
историки математики [13; П 10, И].
А. А. М а р к о в. В Архиве АН СССР имеется фонд Маркова — фонд 173.
Он почти не изучен и не описан. В нем хранятся лекции Маркова по теории
непрерывных дробей и конспект лекций Чебышева по теории чисел (1876—
1877 гг.).
Я. В. Успенский. В Архиве АН СССР нет специального фонда,
но имеются некоторые материалы Успенского. Большое число материалов
находится в ЛГИА. Некоторые из них использованы здесь (см. стр. 206).
И. И. Иванов. Архивные материалы находятся в ЛГИА. Некоторые
из них использованы здесь.
Ю. В. Сохоцкий. Материалы находятся в основном в ЛГИА.
Благодаря им стали известны некоторые детали биографии Сохоцкого. Кроме
того, имеются отзывы его и о нем, а также другие материалы.
Н. В. Бугаев. Архивные материалы находятся в Научной
библиотеке Московского университета. В них имеется много записей, относящихся
к теории чисел. Этим архивом занимались Ф. Я. Шевелев, М. Б. Налбан-
дян, Н. Н. Морозова, Е. П. Ожигова. Эти материалы частично описаны
в статьях Ф. Я. Шевелева.
Материалы о жизни и деятельности Бугаева и его учеников имеются
в Архиве МГУ и в Московском областном историческом архиве.
295

Н. И. Лобачевский. Основные материалы сосредоточены в
Архиве Казанского университета, но некоторые бумаги встречаются и в Архиве
АН СССР. Здесь использован, например, отзыв Н. Фусса об «Алгебре»
Лобачевского из Архива АН СССР. Его архивные материалы использованы
при подготовке Полного собрания сочинений [4], а также Н. Н.
Морозовой [И 21].
П. С. Н а з и м о в. Материалы Назимова находятся в архивах Москвы,
Казани и, возможно, Варшавы. Изучены Н. Н. Морозовой [И 21].
Ф.Миндинг. Архивные материалы имеются в Архиве Тарту и в
Архиве АН СССР, а также в архивах городов Галле и Берлина. Использованы
при работе над книгой о Миндинге [П 3]. Материалы по теории чисел
изучены Н. Н. Морозовой [И 22].
Ф. Э. М о л и н. Архивные материалы имеются в архивах Тарту и
Томска. В настоящее время изучаются Н. Н. Круликовским.
Д. А. Граве. Архивные материалы находятся в архивах Украины
и частично в ЛГИ А и Архиве АН СССР. Здесь не использованы. Ими
занимались украинские историки математики [П 6].

ЛИТЕРАТУРА
Агрономов Николай Александрович (24 окт. 1886 — 23 апр. 1929)*
окончил Петерб. унив., в 1919—1923 гг. работал в Кубанск. политехи, инст.
и в Ставропольск. с.-х. инст., в 1923—1929 гг. — профессор Дальневост.
унив.
1. Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символов,
подобных символу Е. Мат. сб., т. 27, вып. 4, 1911, стр. 452—476.
2. О сумме цифр всех чисел до N включительно. Мат. образ., № 7, М.,
1912, стр. 309—313.
3. О некоторых неопределенных уравнениях типа х\т+1+х2ш+1+. . .+
+xlm+1=0, решаемых в целых числах. Изв. К азане к. Физ.-мат. общ.
(ИФМО), (2), т. 20, № 1, 1914, стр. 19-23.
4. О некоторых классах неопределенных уравнений типа #J+#g+. . .+
+#jb=0, решаемых в целых числах. ИФМО, (2), т. 20, № 3, 1915,
стр. 93—103.
5. О некоторых общих теоремах, относящихся к решению в целых числах
неопределенных уравнений высших степеней. ИФМО, (2), т. 21, № 3,
1915, стр. 50.
6. О сумме произведений цифр всех чисел по N включительно. Мат. листок,
Ревель, № 5, 1915, стр. 60—62.
7. Способ Жерардена для решения неопределенных уравнений второй
степени в целых числах. Мат. листок, № 2, Ревель, 1915, стр. 9—15.
8. О свойствах некоторых числовых таблиц. Мат. листок, № 4, Ревель,
1915, стр. 41—44.
9. По поводу одного признака делимости на 11. Мат. листок, № 6, Ревель,
1915, стр. 75—76.
10. Некоторые свойства чисел Фибоначчи. Мат. листок, № 6, Ревель, стр. 80,
11. О некоторых неопределенных уравнениях. Мат. листок, № 7, Ревель,
1915, стр. 93-95.'
12. О сумме чисел натурального ряда от I до N. Мат. листок, № 9, Ревель,
1915, стр. 121—123.
13. По поводу чисел Fibonacci. Мат. листок, № 5, стр. 70, 71.
14. Задача о магических квадратах. Мат. листок, № 9—10, Ревель, 1916,
стр. 129—132.
15. Оо одном свойстве чисел, написанных по десятичной системе счисления*
Мат. листок, № 2, Ревель, 1916, стр. 18.
16. О некоторых замечательных рядах. Мат. листок, № 2, Ревель, 1916,
стр. 19, 20.
17. Sur quelques questions d'analyse indeterminee. Tohoku Mathem. Journ.t
v. 10, 1916, pp. 207—214.
Аладов Илья" Семенович.
1. О распределении квадратичных и неквадратичных вычетов простого числа^
в ряду 1, 2, 3, ... , р—1. Мат. сб., тг 18, вып. I, стр. 61—75.
Даты даны по новому стилю,
297

2. О числе классов бинарных квадратичных форм, определитель которых
равен отрицательному числу. Проток. С.-Петерб. мат. общ., СПб., 1899.
3. О наивысшем пределе числа решений сравнения хР~1—1=0 (mod р2)
меньших р при р простом. Проток. С.-Петерб. мат. общ., СПб., 1899,
стр. 40—44.
4. О распределении квадратичных и неквадратичных вычетов * простого
числа р в ряду 1, 2, 3, . . . , р—1. Проток: С.-Петерб. мат. общ., СПб.,
1899, стр. 65—72.
Алексеев Виссарион Григорьевич (1866—1943) в 1888 г. окончил Моск.
унив., с 1891 г. — приват-доцент того же университета. С 1893 г. — магистр,
преподавал в Моск., а с 1895 г. — в Юрьевск. унив.
1. Graphische Aufstellung des simultanen Systems einer biquadratischen
Form, wodurch,die Uebereinstimmung des atomistischen Theorie und der
symbolischen Invariantentheorie darstellt wird. Уч. зап. Юрьевск. унив.,
№ 4, 1900, стр. 1—4.
Алексеевский Владимир Петрович (1858—1916) окончил Харьк. унив.,
с 1893 г. — магистр, с 1893 по 1905 г. — профессор Томск, технол. инст.
В 1907—1911 гг. — директор Томск, технол. инст.
1. О законе взаимности простых чисел. Сообщ. Харьк. мат. общ., (2), т. 6,
1893, стр. 200—202.
Андреевский Михаил Аркадьевич (10 янв. 1848—22 июля 1879)
в 1866 г. окончил Харьк. унив., с 1869 г. — магистр в Моск. унив.,
с 1870 по 1879 г. — препод, в Варшавск. унив., с 1871 г. — доктор орд.
профессор Варшавск. унив.
1. По поводу сочинения Н. В. Бугаева «Учение о числовых производных».
Мат. сб., т. 5, отд. 1, 1870—1872, стр. 420.
2. О числе всех делителей нечетного числа, имеющих одну из линейных
форм 4п±1, 8п+1, 8+3. Мат. сб., т. 6, отд. 1, 1872, стр. 97—110.
Бартельс Иоганн Мартин Христиан (23 авг. 1769—19 дек. 1836) окончил
Геттингенск. унив., с 1803 г. — доктор философ. Иенск. унив., в 1808—
1820 гг. — профессор Казанск. унив., в 1821—1836 гг. — профессор Дерптск.
(Юрьевск.) унив.
1. Vorlesungen tiber mathematische Analysis mit Anwendungen auf Geometrie,
Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Bd. 1, Dorpat, 1833.
Баскаков Сергей Иванович (ум. 1 апреля 1883) окончил Моск. унив.,
был приват-доцентом Варшавск. унив. Умер на 27-м году жизни.
1. Об одном из способов получения числовых тождеств и его приложение
к теории числовых функций. Мат. сб., т. 10, вып. 3, отд. 1, 1882—1883,
стр. 313—382.
Берви Николай Васильевич (Вильгельмович) (род. в 1869) окончил
Моск. унив., с 1896 г. — магистр., назначен профессором в Юрьевск. унив.
В начале 1897 г. заболел душевным расстройством, в 1898 г. ушел в отставку.
1. Некоторые числовые приложения анализа бесконечно малых и
аналитические приложения теории чисел. Функции, имеющие особые линии.
Тр. физ. отд. общ. любит, естествозн. при Моск. унив., т. 9, вып. 1,
1896, стр. 1—28.
2. Решение некоторых общих вопросов теории числовых интегралов. Мат. сб.,
т. 18, вып. 4, 1896, стр. 519—585.
3. Краткий очерк современного состояния теории числовых функций. Мат.
сб., т. 19, вып. 1, 1896, стр. 182—197.
Бессель Александр Васильевич (1839—1870) окончил Петерб. унив.,
защитил магист. дисс, с 1865 г. — приват-доцент того же университета,
с 1869 г. — профессор Новороссийск, унив.
1. О формах третьей и четвертой степеней с двумя переменными. Мат. сб.,
т. 3, отд. 1, 1868, стр. 123—134,
298

Борисов Евгений Васильевич (род. 12 марта 1854) в 1878 г. окончил
Петерб. унив. С 1880 г. — препод, математики во 2-й Петерб. гимназии,
с 1891 г. — магистр и приват-доцент Петерб. унив.
1. О приведении положительных тройничных квадратичных форм по
способу Зеллинга. СПб., 1890.
Бугаев Николай Васильевич (14 сент. 1837—11 июня 1903) в 1859 г.
окончил Моск. унив., с 1863 г. — магистр, с 1867 г. — доктор матем.
С 1867 г. — экстра-орд., а с декабря того же года — орд. профессор Моск.
унив., с 1890 г. засл. профессор. Один из членов-учредителей, секретарь
(1869), вице-президент (1885), президент (1891—1903) Моск. мат. общ-ва.
С 1897 г. чл.-корр. Петерб. Акад. наук.
1. Новое доказательство теоремы Вильсона. Вестн. мат. наук, Вильно, т. 1,
№ 14—15, 1861, стр. 119—120.
2. Введение в теорию чисел. Моск. унив. изв., № 4, 1865, стр. 268—282,
Отд. отт. М., 1865, То же: Мат. сб., т. 25, вып. 2, 1904, стр. 334—348.
3. Числовые тождества, находящиеся в связи со свойствами символа Е.
Мат. сб., т. 1, отд. 1, 1866, стр. 1—162.
4. Общая теорема теории чисел с одной произвольной функцией. Мат. сб.,
т. 2, отд. 1, 1867, стр. 10—16.
5. Некоторые частные теоремы для числовых функций. Общая теорема,
зависящая от делителей с двумя произвольными функциями. Мат. сб.,
т. 3, отд. 1, 1868, стр. 69—78.
6. Новая теорема из теории чисел. Тр. 1-го съезда русск. естествоисп.
СПб., 1868. То же: Проток, засед. мат. и астрой., СПб., 1868, стр. 5.
7. О разложении функций в некоторые числовые и аналитические ряды
особого вида. 2-й съезд русск. естествоисп. в Москве. Проток, засед.,
М., 1869, проток. 3-го объед. засед. отд. мат., мех., астрон. и физ.,
стр. 2—5.
8. Учение о числовых производных. Тр. 2-го съезда русск. естествоиспыт.
в Москве, т. 2, М., 1870, стр. 71—119.
9. Учение о числовых производных. Мат. сб., т. 5, отд. 1, 1870, стр. 1—63;
т. 6, отд. 1, 1872—1873, стр. 133—180, 201—254, 309—360.
10. Некоторые приложения учения о числовых производных. Проток, секц.
засед. 3-го съезда русск. естествоисп. Киев, 1873, стр. 3—5.
И. Resolution d'une question numerique. С. R., Paris, t. 74, 1872, pp. 449—
450.
12. Problemes sur quelques f о notions numeriques. Nouv. Ann. math., (2),
t. 13, 1874, pp. 381—383.
13. Некоторые вопросы числовой алгебры. Мат. сб., т. 7, вып. 4, 1875,
стр. 424—436.
14. Числовые уравнения второй степени. Мат. сб., т. 8, вып. 2, 1876, стр. 239—
253.
15. Theorie des derivees numeriques. Analyse faite par l'auteur. Bull. sci.
math, et astr. (1), t. 10, 1876, pp. 13—32.
16. К теории делимости чисел. Мат. сб., т. 8, вып. 4, 1877, стр. 501—506.
17. Решение одного шахматного вопроса помощью числовых сумм. Мат. сб.,
т. 9, вып. 3, 1879, стр. 355—360.
18. О связи между двумя числовыми функциями. Речи и проток. 6-го съезда
русск. естествоисп. и врачей. СПб., 1880, стр. 170.
19. Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. Речи и проток. 6-го съезда
русск. естествоисп. и врачей. СПб., 1880, стр. 183—185.
20. Некоторые свойства вычетов и числовых сумм. Мат. сб., т. 10, вып. 1,
1882—1883, стр. 30—53.
21. Решение сравнений второй степени при модуле простом. Мат. сб., т. 10,
вып. 2, 1882-1883, стр. 103-111.
22. Некоторые приложения теории эллиптических функций к теории
функций прерывных. Мат. сб., т. 11, вып. 2, 1883, стр. 200—312; вып. 3,
1884, стр. 415—456; вып. 4, стр. 515—602; т. 12, вып. 1, 1885, стр. 1—21.
899

23. Extrait d'une lettre de M. Bougaief. Bull. sci. math, et astr., (2), t. 3, 1884,
pp. 254—256.
24. Sur une loi generate de la theorie de la partition des nombres. C. R., t. 100,
1885, pp. 1123—1125.
25. Application des lois generates de la theorie de la partition des nombres
aux fonctions numeriques. С R., t. 100, 1885, pp. 1159—1162.
26. Quelques applications de la theorie des fonctions elliptiques a la theorie
des fonctions discontinues. Bull. sci. math, et astr., (2), t. 9, part. 1, 1885,
pp. 89—103.
27. [Nazimow (P. S.)]. Applications de la theorie des fonctions elliptiques
a la theorie des nombres, Bull. sci. math, et astr. (2), t. 10, part. 1, 1886,
pp. 100—109.
28. Представление Г. Дарбу трех работ Бугаева в Парижскую академию.
С. R., t. 103, 1886, pp. 1217.
29. Один общий закон теории разбиения чисел. Мат. сб., т. 12, вып. 2, 1885—
1886, стр. 283-314.
30. Свойства одного числового интеграла по делителям и его различные
применения. Логарифмические числовые функции. Мат. сб., т. 13, вып. 4,
1888, стр. 757—777.
31. Общие приемы вычисления числовых интегралов по делителям.
Естественная классификация целых чисел и прерывных функций. Мат. сб.,
т. 14, вып. 1, 1888, стр. 1—44.
32. Sur une integrate numerique suivant les diviseurs. G. R., t. 106, 1888,
pp. 652—653.
33. Sur les fonctions discontinues logarithmiques. С R., t. 106, 1888, pp. 1067—
1070.
34. Общие преобразования числовых интегралов по делителям. Мат. сб.,
т. 14, вып. 2, 1889, стр. 169—196.
35Л Sur les integrates definies suivant les diviseurs. G. R., t. 119, 1894,
J pp. 1259—1261.
36. Определенные числовые интегралы по делителям. Мат. сб., т. 17, вып. 4,
1895, стр. 720—758.
37. Sur quelques theoremes d'Arithmologie. С. R., t. 120, 1895, pp. 432—434.
38. Определенные числовые интегралы по делителям смешанного характера.
Мат. сб., т. 18, вып. 1, 1896, стр. 1—54.
39. Об одной теореме теории чисел. Мат. сб., т. 20, вып. 2, 1897, стр. 171—-
172.
40. Sobre un teorema de la teoria de les numeros. Arch. Mat., t. 2, 1897,
pp. 81—82.
41. Различные способы исследования определенных числовых интегралов
по делителям. Мат. сб., т. 20, вып. 4, 1899, стр. 549—594.
42. Связь числовых интегралов по делителям с числовыми интегралами по
натуральным числам. Мат. сб., т. 21, вып. 2, 1900, стр. 335—350.
43. Связь числовых интегралов по натуральным числам с определенными
числовыми интегралами смешанного характера. Мат. сб., т. 21, вып. 3,
1900, стр. 499—536.
44. Разложение функций в числовой ряд по функциям ЧГ (л). Мат. сб., т. 23,
вып. 1, 1902, стр. 1—11.
Булыгин Василий Васильевич (9 июня 1888—17 ноября 1918) в 1910 г.
окончил Петрогр. унив. С ноября 1915 г. работал сверхштатн. мл. ассист.
по каф. чистой и прикладной математики в унив. и читал механику в Инст.
инж. путей сообщения.
1. Sur la representation d'un nombre entier par une somme de carres. C. R.,
t. 158, 1914, pp. 328—330.
2. Sur une application des fonctions elliptiques au probleme de representation
des nombres entiers par une somme de carres. Изв. Петерб. Акад. наук,
т. 8, 1914, стр. 389—404.
§00

3. Sur la representation d'un nombre entier par une somme de carres. G. R.,
t. 161, part. 2, 1915, pp. 28—30.
Буняковский Виктор Яковлевич (16 декабря 1804 — 12 декабря 1889)
математическое образование получил в Париже, где в 1825 г. ему была
присуждена степень доктора математики. В 1826 г. вернулся в Россию. В 1846—
1860 гг. — профессор Петерб. у нив., работал также в Морском корпусе,
Горном инст. и других учебных заведениях. С 1828 г. — адъюнкт Акад.
наук, с 1830 г. — академик.
1. Recherches numeriques. Mem. Acad. sci. St.-Petersb.r (6), sci. math., phys.
et nat., t. 1, 1831, pp. 139—152.
2. Sur les congruences du second degre. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6),
sci. math., phys. et nat., t. 1, 1831, pp. 563—581.
3. Об остаточных сравнениях третьей степени. Mem. Acad, sci.,
St.-Petersb., (6), sci. math., phys. et nat., t. 2, 1833, pp. 373—392.
4. Краткий исторический обзор успехов теории чисел. Летопись
факультетов на 1835 г., изданная А. Галичем и В. Плаксиным, кн. 2, СПб.,
1835, стр. 103-116.
5. О приложении анализа вероятностей к определению приближенных
величин трансцендентных чисел. Bull. Acad, sci., St.-Petersb., t. 1, 1836,
p. 177; t. 2, 1837, p. 337. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et
phys., t. 1, 1838, pj). 457-465, 517-526.
6. Note sur une propriete des nombres premiers. Bull. Acad. sci. St.-Petersb.,
t. 4, 1838, pp. 65—69. Mem. Acad. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys.,
t. 1, 1838, pp. 457—465, 517—526.
7. Лексикон чистой и прикладной математики. СПб., 1839.
8. Nouveaux theoremes relatifs a la distinction des nombres premiers. Bull.
Acad. sci. St.-Petersb., t. 6, 1840, pp. 97—98. Mem. Acad. sci.
St.-Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 2, 1841, pp. 447—469.
9. Memoire sur Tirreductibilite de certaines formules irrationnelles tant
litterales que numeriques. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 8, 1841, pp. 1 —
2. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 2, 1841, pp. 471—
492.
10. О правильных многоугольниках, вписанных и описанных около круга.
Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 5, 1839; Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6),
sci. math, et phys., t. 2, 1841, pp. 423—435.
11. Note sur l'emploi du binome factoriel pour la resolution des congruences
du premier degre. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys.,
. t. 3, 1844, pp. 287-295.
12. Рецензия на: Correspondance mathematique et physique de quelques ce-
lebres geometres du XVIII-eme siecle nrecedee d'une notice sur les travaux
de Leonard Euler, tant imprimes qu'inedits, tt. 1, 2, publiee par P. H. Fuss.
St.-Petersb., 1843.
13. Solution d'un probleme de l'analyse de Diophante. Mem. Acad. sci. St.-
Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 3, 1844, pp. 1—16.
14. Note sur quelques points de l'analyse indeterminee. Bull. Acad. sci. St.-
Petersb., t. 6, 1848, pp. 196—208.
15. Recherches sur differentes lois nouvelles relatives a la somme des diviseurs
des nombres. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 7, 1849, p. 170. Mem. Acad,
sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 4, 1850, pp. 259—295.
16. Note sur Pemploi des procedes elementaires du Galcul integral dans les
questions relatives а Г Analyse de Diophante. Bull. Acad. sci. St.-Petersb.,
sci. math, et phys., t. 11, 1853, pp. 65—74. Melanges math, et astr., t. 1,
1853, pp. 489-501.
17. Nouvelle methode dans les recherches relatives aux formes quadratiques
des nombres. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 5,
1853, pp. 303—322.
18. Sur les diviseurs numeriques invariables des fonctions rationnelles entie-
res. Bull. Acad, sci. St.-Petersb., sci. math, et phys., t. 13, 1855, pp. 140.
301

Mem. Acad. Sci., (6), sci. math, et phys., t. 6, (VIII), 1857, p. 304.
19. Sur une extension du theoreme de Wilson. Bull. Acad. sci. St.-Petersb.,
sci. math, et phys., t. 15, 1857, pp. 202—205. Melanges math, et astr.,
t. 2, 1859, pp. 409—414.
20. Quelques remarques a Г occasion d'une note sous le titre: Sur les sommes
de diviseurs des nombres, publiee par M. J. Liouville dans son Journal
de Mathematiques. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. math, et phys., t. 15,
1857, pp. 267-269.
21. Rapport sur un ouvrage: Essai sur la methodologie appliquee a la theorie
des nombres de M. Bouniakovsky. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. math,
et phys., t. 15, 1857, pp. 14—16. Melanges math, et astr., t. 2, 1859,
pp. 407—408.
22. Sur la transformation des modules dans les congruences du premier degre.
Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. math, et phys., t. 17, 1858, pp. 129—135.
Melanges math, et astr., t. 2, 1859, pp. 571—578.
23. Sur un probleme de position relatif a la theorie des nombres. Bull. Acad,
sci., sci. math, et phys., t. 16, 1858, pp. 67—78. Melanges math, et astr.,
t. 2, 1859, pp. 499—513.
24. Recherches sur quelques fonctions numeriques. Mem. Acad. sci.
St.-Petersb., (7), t. 4, 1862, pp. -1—35.
25. О двух любопытных вопросах из Диофантова анализа, предложенных
в Zeitschrift fur Mathematik und Physik. Зап. Петерб. Акад. наук, т. 6,
1865, стр. 142—163. Extrait: Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. math, et
phys., t. 8, 1865, pp. 163—170. Melanges math, et astr., t. 3, 1866, pp. 644—
654.
26. О суммовании численных таблиц по приближению. СПб., 1867.
Приложение к 12 т. Зап. Петерб. Акад. наук, стр. 1—41.
27. Quelques considerations sur la bipartition repetee des grandeurs. Bull.
Acad. sci. St.-Petersb., sci. math, et phys., t. 11, 1867, pp. 97—130. Mel.
math, et astr., t. 4, 1872, pp. 71—118.
28. Sur quelques formules qui resultent de la combination des residus quadra-
tiques des nombres premiers. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. math, et
phys., t. 13, 1869, pp. 25—32. Melanges math, et astr., t. 4, 1872, pp. 263—
273.
29. Sur les congruences binomes exponentielles a base 3 et sur plusieurs theo-
remes relatifs aux residus et aux racines primitives. Bull. Acad. sci. St.-
Petersb., t. 14, 1870, pp. 356—381, Melanges math, et astr., t. 4, 1872,
pp. 489—526.
30. Sur un theoreme relatif a la theorie des residus et de son application a la
demonstration de la loi de reciprocite de deux nombres premiers. Bull.
Acad. sci. St.-Petersb., t. 14, 1870, pp. 432—447. Melanges math, et astr.,
t.. 4, 1872, pp. 527—548.
31. Sur le symbole de Legendre ("!")• Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 14,
1870, pp. 497—512. Melanges math, et astr., t. 4, 1872, pp. 549.
32. Об одной формуле, выражающей зависимость между суммами делителей
всех слагаемых данного числа и совокупностью разложений этого
самого числа на целые слагаемые. Зап. Петерб. Акад. наук, т. 18, 1871,
стр. 20—24.
33. Об одном вопросе, относящемся к разложению чисел на части.
Приложение к 25 т. Записок Петерб. Акад. наук, СПб., 1874, стр. 1—29.
34. Sur quelques propositions nouvelles relatives au symbole de Legendre
(тО* Bu1L Acad* scL St.-Petersb., t. 22, 1877, pp. 358-377.
Melanges math, et astr., t. 5, 1881, pp. 437—446.
35. Nouveau cas de divisibilite des nombres de la forme 22m -(- 1 trouve
par le reverend pere J. Pervouchine. Bull. Acad. sci. St.-Petersb.,
t. 24, 1878, p. 559. To же на русск. яз.: О новом случае делимости
302

чисел вида 22 + 1, сообщенном Академии о. Первушиным. Зап.
Петерб. Акад. наук, т. 31, 1878, стр. 223—224. Melanges math, et
astr., t. 5, 1881, pp. 505—506.
36. Encore un nouveau cas de divisibilite des nombres de la forme 22"1 -f- 1.
Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 25, 1878, pp. 63—64. Melanges math,
et astr., t. 5, 1881, pp. 519—520.
37. Quelques remarques sur les proprietes (Tune classe particuliere des fractions
decimales periodiques. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 27, 1881, pp. 362—
369. Melanges math, et astr., t. 6, 1888, pp. 723—733.
38. Об одном видоизменении способа, известного под названием Эратосфенова
решета. Зап. Петерб. Акад. наук, т. 41, прилож. № 3, 1882, стр. 1—32.
39. Demonstration d'un theoreme relatif a la fonctiori E (x). G. R., t. 94, 1882,
pp. 1459—1491.
40. Demonstration de quelques propositions relatives a la fonction numerique
E (x) Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 28, 1883, pp. 257—267, 411—425,
t. 29, 1883, pp. 250—272, 503—520. Mel. math, et astr., t. 6, 1888, pp. 87—
101, 113-134.
41. Об одном видоизменении функции Е (х) и о приложении измененного
приема к исследованию некоторых свойств квадратичных и
неквадратичных вычетов простых чисел вида 4&+1. Зап. Петерб. Акад. наук,
т. 52, 1886, стр. 124—141.
42. Заметка об одной формуле, относящейся к теории чисел. Приложение
к 55 т. Зап. Акад. наук, № 5, стр. 1—16, СПб., 1887.
43. Sur un nouveau nombre premier, annonce par le pere Pervouchine. Bull.
Acad. sci. St.-Petersb., t. 31, 1887, pp. 532—533. Melanges math, et astr.,
t. 6, 1888, pp. 553—554. (Совместно с В. Г. Имшенецким).
Буницкий Е. Л. (1874—1952) профессор Новороссийского (Одесского)
унив.
1. Некоторые приложения математической логики к арифметике. Вестн.
оп. физ. и элем, мат., № 241, 1896, стр. 5—11.
2. О разложении произведения 1-2-3. . .т на первоначальные множители.
Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 260, 1898, стр. 200—207.
3. Некоторые приложения математической логики к теории общего
наибольшего делителя и общего наименьшего кратного. Вестн. оп. физ.
и элемент, мат., № 274, 1899, стр. 249—253.
4. Сравнения по составному модулю. Зап. Мат. отд. Новороссийск, общ.
естеств., Одесса, т. 20, 1902, стр. 1—21.
Васильев Александр Васильевич (2 июля 1853—6 октября 1929) в 1874 г-
окончил Петерб. унив. С 1880 г. — магистр, с 1884 г. — доктор, с 1875 г. —
приват-доцент Казанск. унив., с 1887 г. — профессор того же университета.
В 1907 г. переехал в Петербург. Один из основателей и с 1884 г.
председатель физ.-мат. секции Казанск. общ. естествоисп. (с 1890 г. — Казанск.
физ.-мат. общ.).
1. Введение в теорию кватернёнов. Собр. проток, засед. секц. физ.-мат.
наук Общ. естествоисп. при Казанск. унив., засед. 10, 26 апреля 1882 г.,
стр. 24—28.
2. Сообщение о смерти Ж. Лиувилля. Собр. проток, засед. секц. физ.-мат.
наук Общ. естествоисп. при Казанск. унив., засед. 20, 25 сентября
1882 г., стр. 2—3.
3. О сочинении А. А. Маркова «О бинарных квадратичных формах
положительного определителя». Собр. проток, засед. секц. физ.-мат. наук
Общ. естествоисп. при Казанск. унив., т. 1, 1883—1885, стр. 30—31.
4. Числовые суеверия. Казань, 1886.
5. Из истории и философии понятия о целом положительном числе. ИФМО,
(2), т. 1, № 1, 1891, стр. 1—21.
6. Введение в анализ. Казань, вып. 1, 1904; вып. 2, 1907.
7. Учение о числе. Сб. статей под ред. А. В. Васильева, СПб., 1913.
> 303

8, Математика. ИФМО, (2), т. 22 (юбилейный), № 1, 1916, стр. 1—58.
9. Целое число. Пгр., 1919, 2-е изд. 1922.
10. Математика. Пгр., 1921.
Ващенко-Захарченко Михаил Егорович (12 ноября 1825—27 авг. 1912)
в 1852 г. сдал экзамены за курс Киевск. унив. Преподавал, в средних
учебных заведениях. С 1862 г. — магистр, с 1867 г. — доктор, с 1863 г. —
приват-доцент, с 1867 г. — профессор Киевск. унив.
1. Теория двойничных форм. Уч. зап. Киевск. унив., 1876, №№ 7, 8,
стр. 385—432; 1877, №№ 1—7, стр. 433—645.
2. Алгебраический анализ или высшая алгебра. Киев, 1887.
Вейраух Карл Иоганн (род. 23 ноября 1841—1891) окончил Дерптский
унив., преподавал в том же унив. с 1871 г.
1. [Weirauch К.] 1. Beitrag zur Lehre unbestimmten Gleichungen 1.
Grad. Arensberg, 1866.
2. Untersuchungen uber eine Gleichung 1. Grad. Diss., Dorpat, 1869.
3. Ueber die Formen in denen die Losungen einer diophantischen Gleichung
von ersten Grabe enthalten sind. Zeit. Math, und Phys., 19. Jahrgang.
Leipzig, 1874, SS. 53—67.
4. Die Anzahl der Losungen diophantischer Gleichungen bei theilfremden
Coefficienten. Zeit. Math, und Phys. 20. Jahrgang, 1875, SS. 97—111,
314-316.
5. Ueber die Ausdriicke und die Umgestaltungen der Formel fur die Losungs-
zahlen. Zeit. Math, und Phys. 20. Jahrgang, 1875, SS. 112—117.
6. Die Anzahl der Losungen fur die allgemeinste Gleichung ersten Grades mit
vier Unbekannten. Zeit. Math, und Phys., 22. Jahrgang, 1877, SS. 234—
243.
7. Eine Polynomentwicklung. Zeit. Math, und Phys., 26. Jahrgang, 1881,
SS. 127—132.
8. Theorie der Restreihen zweiter Ordnung. Zeit. Math, und Phys., 32.
Jahrgang, 1887, SS. 1—21.
Вельмин Владимир Петрович (род. 20 июля 1885) окончил Киевск. унив.
С 1913 г. — магистр, с 1935 г. — доктор физ.-мат. наук, с 1913 г. —
профессор. В 1909—1950 гг. работал вВаршавск., Ростовск. унив., с 1950 г. —
в Киевск. инст. легк. промышл.
1. Решение неопределенного уравнения um-\-vn=wk. Мат. сб., т. 24, вып. 4,
1904, стр. 633—661.
2. Разложение числа е в обыкновенную непрерывную дробь. Мат. сб., т. 25,
вып. 3, 1905, стр. 501—504.
3. Das quadratische Reziprozitatsgesetz im beliebigen quadratischen Zahl-
korpern. J. reine und ang. Math., Bd. 142, 1913.
4. К теории вычетов 8-й степени в алгебраических числовых полях. Варш.
унив. изв., № 7, 1912, стр. I—XXI, 1—8; № 8, стр. 9—24; № 9, стр. 25—
56.
5. О квадратичном законе взаимности в произвольной квадратичной области.
Варшава, 1913.
6. Введение в теорию алгебраических чисел. Варшава, 1913.
Веребрюсов А. С. Составитель учебников по математике (1884—1885 гг.).
1. О числах, дающих данные остатки. Вест. оп. физ. и элемент, мат., № 252,
1898.
2. О числе решений неопределенных уравнений первой степени. Вестн. оп.
физ. и элемент, мат., № 298, 1901, стр. 224—229; № 299, 1901, стр. 250—
254.
3. Об уравнениях x*+y3=Az*. Мат. сб., т. 23, вып. 4, 1902, стр. 761—763.
4. Обращение квадратичных форм в степени. Мат. сб., т. 22, вып. 4, 1902,
стр. 580—585.
5. Теория кубичных форм. Мат. сб., т. 24, вып. 1, 1903, стр. 69—93.
304

6. Таблица для разложения квадратных корней из целых чисел в
непрерывные дроби. Мат. сб., т. 24, вып. 3, 1904, стр. 501—514.
7. О числе решений неопределенных уравнений первой степени со
многими неизвестными. Мат. сб., т. 24, вып. 4, 1904, стр. 662—688.
8. Об уравнении xb+y&=Azb. Мат. сб., т. 25, вып. 3, 1905, стр. 466—473.
9. Общее решение уравнения х3+у3=х'3+у'3. Мат. сб., т. 25, вып. 3, 1905,
стр. 417—437.
10. О выражении радикалов и корней уравнений непрерывными дробями.
Мат. сб., т. 26, вып. 1, 1906, стр. 95—104.
И. Обращение корня квадратного уравнения в непрерывную дробь. Мат. сб.,
т. 26, вып. 1, 1906, стр. 105—109.
12. О числе решений кубичных уравнений с двумя неизвестными. Мат. сб.,
т. 26, вып. 2, 1907, стр. 115—129.
13. Обращение кубичной формы в квадрат и биквадрат. Мат. сб., т. 26, вып. 4,
1908, стр. 618-621.
14. Об уравнении x3+y3+z3=2u3. Мат. сб., т. 26, вып. 4, 1908, стр. 622—
624.
15. Об уравнении x*+mx2y2+y*=z2. Мат. сб., т. 26, вып. 4, 1908, стр. 599—
617.
16. О двойном уравнении Диофанта. Мат. сб., т. 26, вып. 4, 1908, стр. 497—
543.
17. Превращение формы четвертой степени в квадратичную. Мат. сб., т. 27,
вып. 2, 1909, стр. 170—174.
18. Об уравнении тх3 +пу3 +pz3=0. Мат. сб., т. 27, вып. 2, 1909, стр. 211 —
227.
20. Об уравнении x*+y*+z4=x'*+y'*+z'*. Мат. сб., т. 30, 1916, вып. 2,
стр. 325—343.
19. Общее решение уравнения х3+у3=х'3+у'3=х"3+у"3. Мат. сб., т. 27,
вып. 2, 1909, стр. 146—169.
21. Memoire sur les classes des nombres complexes ideaux avec Г application
a la demonstration du dernier theoreme de Fermat. Paris, 1912.
22. Equation indeterminee. Intermed. math., t. 20, 1913, p. 58.
23. Equation x2+y2+z2=x'2+y'2+z'2. Intermed. math., t. 20, Paris, 1916,
pp. 12-13.
24. Solution generale de x2+y2=z2+u2+v2. Intermed. math., t. 23, Paris,
1916, pp. 17-18.
Виноградов Иван Матвеевич (род. 14 сентября 1891) в 1914 г. окончил
Петрогр. унив., доктор физ.-мат. наук, с 1929 г. — академик. В 1918—
1920 гг. преподавал в Пермск. унив.; в 1920—1934 гг. — в Ленинградск.
унив. и Политехи, инст., с 1932 г. — директор Мат. инст. АН СССР. Член
многих иностранных научных обществ и академий.
1. Новый способ для получения асимптотических выражений
арифметических функций. Изв. АН, (6), т. И, № 16, 1917, стр. 1347—1378.
Винсгейм Христиан Николай (Winsheim С. N. de) (ум. 4 марта 1751),
академик Петерб. Акад. наук, астроном, конференц-секретарь Академии
в течение ряда лет.
1. О совершенных числах. Содержание ученых рассуждений имп. Акад. наук,
изд. во втором томе Новых комментариев. СПб., 1751, стр. 8—9.
2. De numeris perfectis. Novi comment. Acad. sci. Petropol., t. 2 (1749), 1751.
Висковатов Василий Иванович (6 января 1780—октября 1812),
профессор математики Инст. корпуса путей сообщения, член-корр. Петерб. Акад.
наук.
1. Essai d'une methode generale pour reduire toutes sortes de series en
fractions continues. Nova acta Acad. sci. Petropol., t. 15, 1806, pp. 181—191.
2. De la methode generale pour reduire toute serie des quantites en fractions
continues. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 1, 1809, pp. 226—247.
305

Волков Михаил Сергеевич (1860—1918), преподаватель 2-го
Петербургского реального училища.
1. О началах арифметики. Сообщ. и проток, секц. физ.-мат. наук, т. 4, вып. 1,
Казань, 1886, стр. 5—6.
2. Эволюция понятия о числе. СПб., 1899.
Вороной Георгий Феодосьевич (28 апреля 1868—20 ноября 1908) в 1889 г.
окончил Петерб. унив. С 1894 г. — магистр, с 1897 г. — доктор. В 1894—
1908 гг. — приват-доцент Варшавск. унив., экстраорд. профессор и
с 1897 г. — орд. профессор, с 1898 г. работал также в Варшавск. политехи,
инст. В 1907 г. преподавал в Новочеркасск. Донском политехи, инст.;
с 1907 г. — чл.-корр. Петерб. Акад. наук.
1. О числах Бернулли. Сообщ. Харьк. мат. общ., (2), т. 2, 1890, стр. 129—
148. То же: Собр. соч., т. 1, Киев, 1952, стр. 7—23.
2. О целых алгебраических числах, зависящих от корня уравнения третьей
степени. Магист. дисс. СПб., 1894, то же: собр. соч., т. 1, Киев, стр. 25—
195.
3. Об одном обобщении алгорифма непрерывных дробей. Докт. дисс,
Варшава, 1896. То же: собр. соч., т. 1, Киев, 1952, стр. 197—391.
4. О числе корней сравнения третьей степени при простом модуле.
Дневник X съезда русск. естествоисп. и врачей. Киев, 1898, стр. 329. То же:
Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 8.
5. Об определении суммы квадратичных вычетов простого числа вида
km +3 при помощи чисел Бернулли. Проток. С.-Петерб. мат. общ. (1890—
1899), 1899, засед. 15 января 1891 г., стр. 5. То же: Собр. соч., т. 3,
Киев, 1953, стр. 7.
6. Об одной задаче теории вероятностей. Дневник XI съезда русск.
естествоисп. и врачей 20—30 декабря 1901 г., СПб., 1901, стр. 240. То же: Собр.
соч., т. 3, Киев, 1953, стр. И.
7. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques. J. reine und ang.
Math., Bd. 126, 1903, SS. 241—282. To же: Собр. соч., т. 2, Киев, 1952,
стр. 5—50.
8. Sur une fonction transcendante et son application a la sommation de quel-
ques series. Ann. Ecole norm, super., (3), t. 20, 1904, pp. 459—533. To же:
Собр. соч., г. Киев, 1952, стр. 51—165.
9. Sur une propriete du discriminant des fonctions entieres. Verhandl. d. 3.
intern. Math. Kongress in Heidelberg, Leipzig, 1905, SS. 186—189. To же:
Собр. соч., т. 3, Киев, 1953; стр. 12—15.
10. Sur le developpement а Г aide des fonctions cylindriques des sommes
doubles 2/ (pm2-{-2qmn+rn2), ou pm2+2qmn+rn2 est une forme positive a
coefficients entiers. Verhandl des 3. intern. Math. Kongress in Heidelberg,
Leipzig, 1905, SS. 241—245. To же: Собр. соч., т. 2, Киев, 1952, стр. 166—
170.
И. Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites. J.
reine und ang. Math., Bd. 133, 1908, SS. 97—178. To же: Собр. соч.,
т. 2, Киев, 1952, стр. 171—238.
12. Recherches sur les paralleloedres primitifs. J. reine und ang. Math., Bd. 134,
1908, SS. 198—287; Bd. 136, 1909, SS. 67—179. To же: Собр. соч., т. 2,
Киев, 1952, стр. 239—368.
13. Отзыв о конкурсном сочинении на тему «О суммировании ряда
2 т (п) f (п) при условии, что т (п) представляет число разложений п
п>а
на сумму квадратов двух целых чисел» под девизом «Summa».
Варшавск. унив. изв., кн. VI, 1904, стр. 3—8.
14. Из рукописей по аналитической теории чисел. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 19—44.
15. О простых числах. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 45—51.
306

16. Заметки о неопределенных квадратичных формах (I). Собр. соч., т. 3,
Киев, стр. 52—67.
17. Заметки к сочинению «Общая теория приведения квадратичных форм
с вещественными коэффициентами». Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 68—
83. ,
18. Заметки о неопределенных квадратичных формах (2). Собр. соч., т. 3,
Киев, 1953, стр. 84—113.
19. О неопределенных квадратичных формах. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953,
стр. 114—120.
20. О некотором видоизменении алгорифма Якоби. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 121-180.
21. Заметки по поводу последней теоремы Ферма. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 181—191.
22. Собр. соч., Киев, т. 1, 1952, т. 2, 1952, т. 3, 1953.
Воронцов
1. Sur les nombres de Bernoulli. Nouv. Ann., (2), t. 15, 1876, pp. 1873.
Граве Дмитрий Александрович (6 сентября 1863—19 декабря 1939)
в 1885 г. окончил Петерб. унив. С 1889 г. — магистр, с 1896 г. — доктор,
с 1899 г. — профессор Харьк., с 1902 г. — Киевск. унив., с 1920 г. — чл.-
корр. АН УССР, с 1924 г. — АН СССР, с 1929 г. — почетн. чл. АН СССР.
1. Элементарный курс теории чисел. Унив. изв., Киев, 1909, 1910 гг. 'Отд.
изд., Киев, 1910; 2-е перераб. изд., Киев, 1913.
2. Sur une identite dans la theorie des formes binaires quadratiques. C. R.,
t. 149, 1909, pp. 770—772.
3. Sur les equations du cinquieme degre resolubles algebriquement quand le
produit des racines reste arbitraire. Bull. sci. math., t. 34, 1910, pp. 23—29.
4. Арифметическая теория алгебраических величин. Т. 1. Квадратичная
область, Киев, 1910.
5. Об алгебраических единицах. Унив. изв. Киев, № 5, 1912, стр. 1—25.
(Отд. оттиск: Киев, 1912).
6. Арифметическая теория алгебраических величин. Т. 2. Теория идеалов.
Унив. изв. № 1—3, Киев, 1913. (Отд. изд.: Киев, 1913).
7. О таблице характеров Коркина. Мат. сб., т. 29, вып. 1, 1913, стр. 7—11.
8. Sur la generalisation d'un theoreme de St. Smith. Унив. изв., Киев, № 6,
1914, стр. 59—60.
9. Sur les sommes^de Gauss. Сообщ. Харьк. мат. общ., (2), т. 14, 1915,
стр. 202—207.
10. О периодических непрерывных дробях. Сообщ. Харьк. мат. общ., (2),
т. 14, 1915, стр. 239—246.
Григорьев Евгений Иванович (13 января 1876 — 5 сентября 1950)
в 1899 г. окончил Казанск. унив., в 1923—1940 гг. работал в Казанск. унив.,
сЛ932 по 1950 гг. —профессор Казанск. авиационного инст.
1. Бернуллиевы числа высших порядков ИФМО, (2), т. 7, 1898,
стр. 146—202.
2. К теореме Фермата о разложении числа в сумму треугольных чисел.
ИФМО, (2), т. И, № 2, 1901, стр. 64—69.
3. Интересное свойство лемнискаты Я. Бернулли. ИФМО, (2), т. 11, № 4,
1901, стр. 130—132.
4. Ответы на некоторые вопросы, предложенные в L'intermediate des mate-
maticiens. ИФМО, (2), т. 12, № 2, 1902, стр. 11—31.
5. Одно из свойств первообразных корней. ИФМО, (2), т. 12, № 1, 1902,
стр. 7—10.
6. К вопросу о решении неопределенных биквадратичных уравнений. ИФМО,
(2), т. 13, № 1, стр. 5.
7. Задача Эйлера о четырех биквадратах. ИФМО, (2), т. 13, № 2, 1903,
стр. 46.
307

Делоне Борис Николаевич (род. 15 марта 1890 г.) в 1913 г. окончил
Киевск. унив. С 1934 г. — доктор физ.-мат. наук, с 1923 г. — профессор,
с 1929 г. — чл.-корр. АН СССР, член акад. Леопольдина (ГДР).
1. К определению алгебраической области при помощи сравнений (с
приложением к абелевым уравнениям). Сообщ. Харьк. мат. общ., (2), т. 14,
№ 6, 1915, стр. 271—274.
2. К решению неопределенного уравнения ж3р+#3=1. Сообщ. Харьк. мат.
общ., (2), т. 15, № 1, 1915, стр. 1^-10.
3. Решение неопределенного уравнения #3р+г/3=1. Сообщ. Харьк. мат.
общ., (2), т. 15, № 1, 1915, стр. 11—16, 46—48.
4. Решение неопределенного уравнения #3р+#3=1. Сообщ. Харьк. мат.
общ., (2), т. 15, № 2, 1916, стр. 75—76.
5. La solution generate de Г equation x3p+y9=l. С R., t. 162, 1916; pp. 150—
151.
Егоров Дмитрий Федорович (22 декабря 1869—10 сентября 1931) в 1891 г.
окончил Моск. унив. С 1893 г. — приват-доцент, с 1903 г. — профессор,
с 1924 г. — чл.-корр., с 1929 г. — почетный член АН СССР.
1. Некоторые соотношения из теории интегралов по делителям. Мат. сб.,
т. 16, вып. 2, 1892, стр. 236—255.
2. Элементы теории чисел. М.—Пгр., 1923.
Ермаков Василий Петрович (11 марта 1845—16 марта 1922) в 1868 г.
окончил Киевск. унив. С 1873 г. — магистр, с 1877 г. — доктор, с 1874 г. —
доцент Киевск. унив., с 1877 г. — экстраорд. профессор, с 1888 г. — орд.
профессор. Преподавал также в Политехи, инст., чл.-корр. Академии наук
(1884). Издатель и редактор Журнала элементарной математики (1884—
1886).
1. Полные волшебные квадраты. Журн. элемент, мат., т. 1, 1884—1885,
стр. 33—37.
2. Средние волшебные квадраты с 16 клетками. Журн. элемент, мат., т. 1,
1884—1885, стр. 61—63.
3. Признаки делимости чисел. Журн. элемент, матем., т. 1, 1884—1885,
стр. 101—104.
4. Правильные волшебные квадраты с 16 клетками. Журн. элемент, мат.,
т. 1, 1884—1885, стр. 288-291.
5. Трехчленные неопределенные уравнения. Мат. сб., т. 20, вып. 2, 1898,
стр. 293—298.
6. Число целых положительных решений уравнения x+2y+3z=m. Вестн.
оп. физ. и элемент, мат., № 603, Одесса, 1914.
7. П. Порецкий [Рец. ]. К учению о простых числах. Вестн. оп. физ. и
элемент, мат., № 48, 1888, стр. 276—277.
Ефремов Дмитрий Дмитриевич (1859—7 июля 1912) учитель в Иваново-
Вознесенске (1880—1890 гг.), инспектор Ив. Возн. школы колористов.
1. К теории неопределенных уравнений. Вестн. оп. физ. и элемент, мат.,
№ 96, 1890, стр. 229—230.
2. Общее решение в целых числах неопределенных уравнений первой
степени. Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 97, 1891, стр. 4—9; № 99, 1891,
стр. 41—47.
3. Решение уравнения х2—2у2= +1 в целых и положительных числах.
(Ответ на тему С. Шатуновского в № 174 того же журнала). Вестн. оп. физ.
и элемент, мат., № 193, 1895, стр. 19—21. (Совм. с Н. Николаевым).
Жбиковский Антон Ксавериевич (18 сентября 1829—29 марта 1900)
в 1850 г. окончил Петербургск. унив. Учитель в Виленском межевом
училище, с 1855 г. — в Минске, с 1860 г. — в Минской, с 1864 г. — в Вятской
гимназии, с 1866 г. — в Первой Казанской гимназии. Магист. дисс. защитил
в Петерб. унив. в 1867 г., докторскую — в 1871 г. в Казанск. унив. С 1868 г.
с перерывами работал в качестве приват-доцента в Казанск. унив.
308

1; Относительно теЬремк Вильсона. Вестн. мат. наук, Вильно, т. 1, Bi 4,
1860, стр. 27-28.
2. Относительно признаков делимости чиселi Вестн. мат. наук, Вильно, т. 1*
№ 1, 1860.
3. Новая теорема относительно первых чисел Сильвестра. Вестн. мат; наук,
Вильно, т. 1, № 8, 1860.
4. Теорема Сильвестра относительно бернуллиевых чисел. Вестн. мат. наук,
Вильно, т. 1, № 13, I860»
5. Note sur la divisibilite des nombres. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 3,
1861, pp. 151-153.
6. Основания общей арифметики. СПб., 1862.
7. Из письма г. Жолковского. Вестн. мат. наук, Вильно, № 37, 1862, стр. 103.
8. К теории чисел Бернулли. Мат. сб., т. 10, вып. 2, 1882, стр. 127—166.
Жилинский Б. И.
1. Об области рациональных р-адических чисел. Унив. изв., Киев, т. 54,
1914. Проток, физ.-мат. общ., стр. 49—57. (Отд. оттиск: Киев, 1913).
Журавский Андрей Митрофанович (13 декабря 1892—4 сентября 1969)
в 1915 г. окончил Петрогр. унив. В 1922 г. защитил магист. дисс. Преподавал
в Петрогр. унив. и других вузах Петрограда—Ленинграда. Основная
педагогическая деятельность связана с Горным инст. (с 1916). В 1926—1929 гг.
руководил Бюро техн. расчетов и производств, вычислений при физ.-мат. фак.
ЛГУ- С 1933 г. заведовал отделом приближенных методов в Мат. инст. АН
СССР им. В. А. Стеклова, в 1941—1942 гг. — руководитель Ленингр. отд.
Мат- инст. им. В. А. Стеклова. В 1943—1954 гг. вел работу по оборонной
тематике.. В 1955 г. вернулся в Горный институт. С 1958 г. — доктор техн.
наук, с 1937 г. — профессор.
1. О функции среднего арифметико-геометрического. ИФМО, (2), т. 22
(юбилейный), № 2, 1917, стр. 49.
Зейлигер Дмитрий Николаевич (24 мая 1864—25 июля 1936) в 1887 г.
окончил Новороссийск, унив. С 1892 г. — магистр, приват-доцент на
кафедре механики Казанск. унив., с 1895 г. — доктор. В 1914 г. был уволен
из унив. и вернулся в унив. после февральской революции.
1. Некоторые приложения непрерывных дробей. ИФМО, т. 2, № 4, 1892,
стр. 54—57.
Золотарев Егор Иванович (12 апреля 1847—19 июля 1878) в 1867 г.
окончил Петерб. унив. С 1869 г. — магистр, с 1874 г. — доктор. Преподавал
в Петерб. унив. с 1868 г. в качестве приват-доцента, с 1874 г. — доцент,
с 1876 г. — экстраорд. профессор, с 1877 г. — адъюнкт Петерб. Акад. наук.
Одновременно преподавал в Строительном училище (186.8—1871 гг.) и
в Инст. инженеров путей сообщения (с 1869 г.).
1. Об одном неопределенном уравнении третьей степени. Магист. дисс. СПб.,
1869. То же: Поли. собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 1—62,
2. Note relative a une formule de M. Liouville. Bull. Acad. sei. St.-f etersb.,
(3), t. 16, 1871, pp. 85—87; Melanges math, et astron., t, 4, 1872, pp. 673--
675; To же: Поли. собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 63—65.
.3. Sur les formes quadratiques positives quaternaires. Math. Ann., Bd. 5,
1872, SS. 581—583. (Совм. с A. H. Коркиным). To же: Соч. A. H. Kop-
кина, стр. 283—288; Поли. собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 66—68,
4. Nouvelle demonstration de la loi de reciprocite de Legendre. Nouv. Ann.,
(2), t. 11, 1872, pp. 354—362. To же: Поли. собр. соч„ т. 1, Л., 1931,
стр. 69—75.
5. Sur l'equation Y* — (—1) 2 pZ*=4X. Nouv. Ann., (2), t. 11, 1872,
pp. 539—549. Иолн. собр. соч., т. I, Л., 1931, стр. 76—83.
309

р-±
6. Об уравнении У2 — (—1) 2 pZ* — 4X из теории деления круга. Мат.
сб., т. 6, вып. I, 1872, стр. 83—96.
7. Sur les formes quadratiques. Math. Ann., Bd. 6, 1873, SS. 366—389.
(Совм. с A. H. Коркиным). To же: Соч. A. H. Коркина, т. 1, СПб., 1911,
стр. 289—327; То же: Поли. собр. соч., т. I, Л., 1931, стр. 109—137.
8. Extrait d'une lettre de M. G. Zolotareff. Nouv. Ann., (2), t. 12, 1873,
pp. 183—184.
9. Теория целых комплексных чисел с приложением к интегральному
исчислению. Докт. дисс, СПб., 1874, То же: Поли. собр. соч., т. 1, Л.,
1931, стр. 161—360.
10., Sur les formes quadratiques positives, Math. Ann,, Bd. 11, 1877, SS. 242—
292. (Совм. с A. H. Коркиным). To же: Соч., стр. 351—425; Поли. собр.
соч., т. 1, Л., стр. 375—434.
И. Sur les nombres complexes. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., (3), t. 24, 1878,
pp. 310—317; Melanges math, et astr., t. 5, 1881, pp. 427—437. To же:
Поли. собр. соч., т. 1, стр. 361—368.
12. Sur la theorie des nombres complexes. J. math., (3), t. 6, 1880, pp. 51—84,
129—166. To же: Поли. собр. соч., т. 2, стр. 72—129.
13. Поли. собр. соч., тт. 1, 2. Л., 1931, 1932.
Иванов Иван Иванович (11 августа 1862—17 декабря 1939) в 1886 г.
окончил Петерб. унив., с 1891 г. — магистр, с 1892 г. — приват-доцент
Петерб. унив., с 1901 г. — доктор, с 1902 г. — профессор Политехнич. инст.,
чл.-корр. АН СССР.
1. Суммирование трех рядов Эйлера. Зап. физ.-мат. общ. студентов физ.-
мат. фак. С.-Петерб. унив., т. 1, 1885, стр. 125—128.
2. Представление чисел в форме х2+Ау2 (метод Hermite'a). Зап. общ.
студентов физ.-мат. фак. С.-Петерб. унив., т. 2, 1885, стр. 109—114.
3. Некоторые предложения о простых числах. Зап. общ. студентов физ.-
мат. фак. С.-Петерб. унив., т. 2, 1885, стр. 109—114.
4. Разложение квадратных корней из некоторых целых чисел в
непрерывную дробь. Журн. элемент, мат., Киев, т. 2, 1886, стр. 222—227.
5. Целые комплексные числа. Магистерск. дисс. СПб., 1891.
6. К теории целых комплексных чисел. Прилож. т. 72. Зап. Петерб. Акад.
наук, 1893, стр. 1—12.
7. Вопросы и решения задач в Intermediate des mathematiciens, t. 1, 1894.
8. Об одной сумме. Изв. Петерб. Акад. наук, (5), т. 2, 1895, стр. 253—256.
9. О простых делителях чисел вида А +х2. Изв. Петерб. Акад. наук, (5),
т. 3, 1895, стр. 361—366.
10. О сравнении третьей степени. Изв. Петерб. Акад. наук, (5), т. 5, 1896,
СПб., стр. 137—142.
И. О некоторых суммах, зависящих от простых чисел формы 4/я+З. Сб.
Инст. инж. путей сообщ., в. 50, СПб., 1899, стр. 1—22.
12. Некоторые предложения о простых числах. Проток, засед. С.-Петерб.
мат. общ., СПб., 1899, стр. 53—54 (18 сентября 1893 и 20 октября 1893).
13. О некоторых вопросах, находящихся в связи со счетом простых чисел.
Докт. дисс, СПб., 1901.
14. Теория чисел. Литограф, курс. СПб., 1910.
15. Линдеманово доказательство теоремы Ферма. Вестн. оп. физ. и элемент,
мат., № 507, 1910, стр. 69—70.
16. Об обобщении одного тождества В. Я. Буняковского. Изв. Лен.
Политехи, инст., т. 32, 1929, Л., Отд. техн., естеств. и мат., стр. 5—9.
Износков Илиодор Александрович, учитель 2-й Казанской гимназии
(1860-е годы), член Казанск. физ.-мат. общ. (с 1882 г.).«
1. О суммировании некоторых строк. Вестн. мат. наук, Вильно, № 16, 1861,
стр. 127—129.
2. Решение уравнений со многими неизвестными при помощи магических
квадратов. Одесса, 1895.
310

3. Полные численные квадраты. ИФМО, (2), т. 20, № 1, 1914, стр. 1—7.
Имшенецкий Василий Григорьевич (16 января 1832—5 июня 1892)
в 1853 г. окончил Казанск. унив. Преподавал в Казанек. унив. с 1860 г.
В 1862—1864 гг. был в научной командировке за границей. С 1865 г. —
магистр, с 1869 г. — доктор. С 1865 до 1871 г. — доцент Казанск. унив.
С 1872 г. — профессор кафедры механики в Харьк. унив., с 1881 г. —
академик. Председатель Харьк. мат. общ. (с 1880 г. до отъезда в Петербург),
первый председатель С.-Петерб. мат. общ. (1890—1891).
1. О функциях Я. Бернулли и выражениях разности между определенными
суммою и интегралом. Уч. зап. Казанск. унив., т. 6, 1870.
2. Об обобщении функций Я. Бернулли. Зап. Петерб. Акад. наук (7), т. 31,
1883.
3. О некоторых приложениях общих функций Бернулли. Прилож. к Зап.
Петерб. Акад. наук, т. 52, 1886, стр. 1—62.
Каган Вениамин Федорович (9 марта 1869—8 мая 1953) в 1892 г. окончил
Киевск. унив. С 1907 г. — доктор. Работал в Одесск., а с 1923 г. — в Моск.
унив.
1. Новое доказательство трансцендентности чисел е и тс. (Доказательство
Ф. Валена). Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 286—287, 1900, стр. 223—
231, 261-266; № 290, 1901, стр. 25-35; № 291, 1901, стр. 56—62.
Кауслер Христиан Фредерик (Kausler Christian Friedrich) (8 мая 1760—
5 февраля 1825) жил в Германии и с 1794 г. преподавал математику и
французский язык. С 23 февраля 1797 г. — чл.-корр., с 26 апреля 1798 г. —
чл.-пенсионер, а с 30 апреля 1798 г. — почетн. иностр. член Петерб. Акад.
наук.
1. Solution du probleme de decomposer les nombres noncarres en deux, trois
ou quatre carres. Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 11, (1793), 1798,
pp. 125-158.
2. Remarques pour faciliter la recherche des diviseurs des nombres premiers.
Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 14, (1801), 1805, pp. 268—289.
3. De numeris qui semel in summam duorum quadratorum resolvi possunt.
Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 14, (1800), 1805, pp. 232—267.
4. Solution de quelques problemes de Г Analyse indeterminee. Nova acta Acad.
sci., PetropoL, t. 15, (1800), 1806, pp. 116—145.
5. Demonstratio theorematis nee summam nee differentiam duorum cubo-
cuborum cubo cubum esse posse. Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 15,
(1801), 1806, pp. 146-155.
6. Novae disquisitiones super numeris formae mx2—ny2. Nova acta7Acad. sci.,
PetropoL, t. 15, (1801), 1806, pp. 156—180.
7. Solutio problematis Diophantei: datum numerum dividere in quotlibet
partes, ita ut summa omnium, qualibet earum dempta, quadratum faciat.
Mem. Acad. St.-Petersb., t. 1, (1806), 1809, pp. 271—282.
8. Reflexions sur les fractions continues periodiques qui expriment les ra-
cines carrees des nombres entiers et sur leur usage dans la recherche des
facteurs des nombres. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 2, 1810, pp. 95—123.
9. Solution de quelques problemes remarquables de Г Analyse indeterminee.
Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 13, (1798), 1827, pp. 205—236.
10. Nova demonstratio, nee summam nee dinerentiam duorum biquadratorum
biquadratum esse posse. Nova acta Acad, sci., PetropoL, 1.13, (1799), 1827,
pp. 237-244.
11. Nova demonstratio theorematis, nee summam, nee differentiam duorum
cuborum cubum esse posse. Nova acta Acad, sci., PetropoL, t. 13, (1799),
1827, pp. 245-256.
Клаузен Фома (Clausen Thomas) (1801—1880).
1. Theorem iiber die Bernoullischen Zallien. Astron. Nachricht., Bd., 17, 1840,
col. 351-352.
311

2. Ueber den Werth des Euler'schen Kettenbruchs. J. reine und ang. Math.,
Bd. 9, 1851, SS.
Коллинс Эдуард Давидович (Collins) (15 июля 1791—16 августа 1840).
Правнук Л. Эйлера. Окончил Петершуле в Петербурге, математикой
занимался под руководством дяди, Н. И. Фусса. С 1814 г. — адъюнкт,
с 1820 г. — экстраорд., с 1826 г. — орд. академик Петерб. Акад. наук.
С 1824 г. преподавал в Петершуле, а с 1833 г. (после смерти отца —
директора школы) был ее директором. Преподавал математику детям царя,
в том числе наследнику престола будущему императору Александру II.
1. Theorematis arithmetici demonstratio. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 8, (1820),
1822, pp. 242—246.
2. Ueber die Zerfallung ganzer Zahlen in ihre Factoren. Bull. Acad. sci. St.-
Petersb., t. 6, 1840, pp. 84—87, zweite Note, pp. 87—88.
3. Neuer Beweis der Zerlegbarkeit ganzen Functionen in reelle Factoren vom
ersten Qder zweiten Grade. J. reine u. angew. Mathem., Bd. 18, 1837,
SS. 119-126.
Коркин Александр Николаевич (3 марта 1837—1 сентября 1908) в 1858 г.
окончил Петерб. унив. С 1858 г. — учитель в 1-м кадетском корпусе. С 1860 г.
до 1908 г. преподавал в Петерб. унив. С 1861 г. — магистр, с 1867 г. —
доктор, с 1873 г. — орд. профессор, с 1886 г. — засл. профессор. С 1864
по 1900 гг. преподавал также в Морской академии.
1. Sur les formes quadratiques positives quaternaires. Math. Ann., Bd. 5,
1872, SS. 66—68. (Совместно с E. И. Золотаревым). To же: Соч., т. 1,
СПб., 1911, стр. 283—288; Е. И. Золотарев. Поли. собр. соч., т. 1, Л.,
1931, стр. 66—68.
2. Sur les formes quadratiques. Math. Ann., Bd. 6, 1873, SS. 366—380.
(Совместно с E. И. Золотаревым). To же: Соч., т. 1, СПб., 1911, стр. 289—
327; Е. И. Золотарев. Поли. собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 109—137.
3. Sur les formes quadratiques positives. Math. Ann., Bd. II, 1877, SS. 242—
292. (Совместно с E. И. Золотаревым). To же: Соч., т. 1, стр. 351—425.
Золотарев Е. И. Поли. собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 375—434.
р —1
4. Сообщение относительно выбора знака в сравнении 1 -2.3... —«— —
= ±1 (mod р), где р простое вида An +3. Речи и проток. VI съезда русск.
естествоисп. и врачей. СПб., 1880. Проток, второго засед. секции астрон.
и мат., стр. 169.
5. Sur rimpossibilite de resoudre Г equation xn+yn+zn=Q en fonctions entie-
res. С R., Paris, t. 90, 1880, pp. 303—304.
6. О невозможности решения при помощи целых функций уравнения
xn+yn+zn=0. Мат. сб., т. 10, вып. 1, 1882, стр. 54-55.
7. (Задачи) Журн. элемент, мат., т. 2, 1886; Вестн. оп. физ. и элемент, мат.,
1886—1887, т. 1, стр. 107, 121.
8. (Вопросы) L'Intermediate des mathematiciens, №№ 181, 182, 260. т. 1.
Paris, 1894.
9. О распределении целых чисел по простому модулю и о двучленных
сравнениях с таблицей первообразных корней и характеров, к ним
относящихся, для простых чисел, меньших 4000. Мат. сб., т. 27, вып. 1, 1909,
стр. 28—115.
10. Таблица первообразных корней и характеров, к ним относящихся, для
простых чисел, меньших 4000. Мат. сб., т. 27, вып. 1, 1909, стр. 121—137.
И. Е. И. Золотарев. Поли. собр. соч., т. 2, Л., 1932, стр. 167—342.
Переписка А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева.
12. А. Н. Коркин. Соч., изд. под ред. проф. В. А. Стеклован акад. А. А.
Маркова при содействии проф. К. А. Поссе, акад. А. М. Ляпунова и проф.
А. Н. Крылова, т. 1, СПб., 1911.
13. Е. И. Золотарев. Поли. собр. соч., т. 2, Л., 1932, стр. 167—342.
(Переписка А. Н. Коркина с Е. И. Золотаревым).
312

Крафт Георг Вольфганг (Kraft Georg Wolfgang) (18 июля 1701—16 июля
1754) окончил Тюбингенск. унив., там же получил степень магистра. В конце
1725 г. прибыл в С.-Петербург, занимался под руководством Ж. Делиля.
В 1730—1733 гг. вел протоколы конференции. С 1731 г. — академик по
математике, с 1733 г. — по физике. В 1744 г. уехал в Тюбинген, профессор
Тюбингенск. унив. С 1745 г. получал пенсию от Петерб. Акад. наук.
1. De numeris perfectis. Comment. Acad. sci. Petropol., t. 7, (1734—1735),
1740, pp. 7-14.
2. Observationes artihmeticae de septenario. Comment. Acad. sci. Petropol.,
t. 7, (1734-1735), t. 7, 1740, pp. 41-45.
3. De numeris amicabilibus atque ad hanc doctrinam spectantibus. Novi
comment. Acad. Petropol., t. 2, (1749), 1751, pp. 1100—118.
4. О содружных числах. Содержание ученых рассуждений имп. Акад.
наук, изд. во втором томе Новых комментариев. СПб., 1752, стр. 9—10.
5. De divisoribus numerorum indagandis. Novi. Comment. Acad. sci.
Petropol., t. 3, (1750), 1753, pp. 14-15.
6. О исследовании делителей господина Георга Вольфганга Крафта.
Содержание ученых рассуждений имп. Акад. наук, изд. в третьем томе Новых
комментариев. СПб., 1753, стр. 11—12.
Крафт Логин Юрьевич (Wolfgang Ludwig Kraft) (5 сентября 1743—
2 декабря 1814). Сын Г. В. Крафта. В 1744 г. отец увез его в Германию.
Вернулся в Россию в 1767 г. С 1767 г. — адъюнкт, с 1771 г. — орд. академик
Петерб. Акад. наук. Помогал Эйлеру записывать его работы и производить
вычисления. С 1782 г. — профессор математики в кадетском корпусе.
Преподавал математику детям царя Павла. Член различных ученых обществ.
1. Essai sur les nombres premiers. Nova acta Acad. sci. Petropol., t. 12, (1798),
1801, pp. 217—245.
Крутиков Федор в 1874 г. окончил Петерб. унив.
1. Отыскание простых чисел, заключающихся в данных пределах. Вестн.
оп. физ. и элемент, мат., 1886, сем. 1, № 10, стр. 215—219.
Кузнецов В. Н.
1. Об аналитических выражениях некоторых функций, встречающихся в
теории простых чисел. Мат. сб., т. 27, вып. 3, 1910, стр. 335—339.
Лахтин Леонид Кузьмич (1863—1927) в 1885 г. окончил Москв. унив.,
был оставлен для подготовки к профессорскому званию, в 1889 г. сдал
магистерские экзамены и стал приват-доцентом Моск. унив. В 1892 г.
назначен на должн. экстраорд. профессора Юрьевск. унив. В 1893 г. защитил магист.
дисс. и был утвержден экстраорд. профессором. С 1896 г. экстраорд.
профессор Моск. унив., с 1897 г. — доктор. Преподавал также в Техн. училище
и в Межевом институте.
1. Некоторые упрощения в решении неопределенного уравнения второй
степени с двумя неизвестными. Мат. сб., т. 14, вып. 4, 1890, стр. 487—
526.
2. Ответ на замечание г. Преображенского. Мат. сб., т. 15, вып. 3, 1891,
стр. 573—575.
3. По поводу одной теоремы теории чисел, найденной эмпирически отцом
И. М. Первушиным. Мат. сб., т. 16, вып. 3, 1892, стр. 460—469.
4. Введение в теорию чисел. М., 1899. Литограф, лекции.
Лобачевский Николай Иванович (1 декабря 1792—24 февраля 1856)
в 1811 г. окончил Казанск. унив. и был сразу произведен в магистры.
С 1814 г. — адъюнкт, с 1816 г. — профессор Казанск. унив. С 1827—
1846 гг. — ректор; попечитель Казанского учебного округа.
1. Алгебра или вычисление конечных. 1834, Казань. То же: Полн. собр.
соч., т. 4, М.—Л., 1950, стр. 23—437.
313

2. Понижение степени в двучленном уравнении, когда показатель без
единицы делится на 8. Казань, 1834. То же: Поли. собр. соч., т. 4, М.—Л.,
1950, стр. 445—465.
3. Способ уверяться в исчезании бесконечных строк и приближаться к
значению функций от весьма больших чисел. Поли. собр. соч., т. 5, М.—Л.,
1951, стр. 81—162.
4. Поли. собр. соч., тт. 1—5, М.—Л., 1946—1951.
Майер Фридрих Христофор (10 октября 1697—5 декабря 1729), астроном,
академик Петерб. Акад. наук.
1. De arithmetica figurata ejusque usibus aliquot. Comment. Acad. sci. Pet-
ropolit., t. 3, (1728), 1732, pp. 28—53.
Максимов Исайя — священник села Александровского в Чувашии,
окончил духовную семинарию, математик-самоучка.
1. Аналитическое решение некоторых вопросов теории чисел. Казань, 1914.
2. Теория двучленных сравнений с простым модулем и первообразных
корней. ИФМО, (2), т. 21, № 2, 1915, стр. 70—95.
3. Применение теории определителей при решении системы сравнений.
ИФМО, т. 21, 1916, Казань, стр. 46—49.
4. 1) Число первоначальных чисел, меньших данного числа. 2) Двучленные
сравнения, 2-я часть. ИФМО, (2), т. 22, № 1, 1916, стр. 2.
Максимович Владимир Петрович (10 сентября 1850—29 октября 1889)
начал свое математическое образование в Петерб. унив., затем продолжил
его самостоятельно и закончил в Парижск. политехи, школе. С 1879 г. —
доктор Парижск. унив. С 1882 г. — магистр Казанск. унив. и
приват-доцент, а с 1883 г. — доцент, с 1885 г. — доктор. С 1885 по 1887 гг.
находился за границей. Экстраорд. профессор Киевск. унив.
1. Об основах мнимых выражений в символах Гамильтона. Сообщ. и проток.
засед. секц. физ.-мат. наук, т. 2, вып. 1, Казань, 1884, стр. 3.
2. Новая теория гамильтоновых пар и соответственное обобщение теории
функций мнимого переменного. Сообщ. и проток, засед. секц. физ.-мат.
наук, т. 2, вып. 3, Казань, 1884, стр. 97—152.
Мальцев Михаил Михайлович — учитель Учительск. инст. в Казани,
член Казанск. мат. общ. (1883).
1. Об одном тождестве. Сообщ. и проток, засед. секц. физ.-мат. наук, т. 2,
вып. 1, Казань, 1884, стр. 8.
2. О равенстве aw=SaJ. Сообщ. и проток, засед. секц. физ.-мат. наук, т. 2,
вып. 2, Казань, 1884, стр. 44.
Марков Андрей Андреевич (14 июня 1856—20 июля 1922) окончил Петерб.
унив. в 1878 г. С 1880 г. — магистр, с 1885 г. — доктор, с 1886 г. —
экстраорд., с 1893 г. — орд. профессор Петерб. унив., с 1886 г. — адъюнкт Акад.
наук, с 1890 г. — экстраорд. академик, с 1896 г. — орд. академик.
1. Sur les formes quadratiques binaires indefinies. Math. Ann., Bd. 15, 1879,
SS. 381-406.
2. О бернуллиевом вопросе. Речи и проток. VI съезда русск. естествоисп.
и врачей. СПб., 1880, стр. 188—189.
3. О бинарных квадратичных формах положительного определителя. Ма-
гист. дисс. СПб., 1880. То же: УМН, т. 3, вып. 5, 1948, стр. 7—51.
t
4. Разложение I е~**dt в непрерывную дробь. Речи и проток. VI съезда
о
русск. естествоисп. и врачей. СПб., 1880, стр. 211.
5. Sur les formes quadratiques binaires indefinies (2-е mem.), Math. Ann.,
Bd. 17, 1880, SS. 379—399.
6. Sur une question de Jean Bernoulli. Math. Ann., Bd. 19, 1882, SS. 27—36.
314

7. Доказательство трансцендентности чисел е и те. (Невозможность
квадратуры круга). По статьям Эрмита и Линдемана обработал А. Марков.
СПб., 1883.
8. О некоторых приложениях алгебраич. непрерывных дробей. СПб., 1884.
9. Доказательство сходимости многих непрерывных дробей. Сообщ. и
проток. Харьк. мат. общ., т. 1, 1885, стр. 29—33. Отд. оттиск. Харьков, 1885.
10. Sur une classe de nombres complexes. C. R., t. 112, 1891, pp. 780—782,
1049-1050, 1123-1124, 1240.
11. Sur les nombres entiers dependant d'une racine cubique d'un nombre entier
ordinaire. Mem. Acad. St.-Petersb., (7), t. 38, 1892, pp. 85—133.
12. Note sur les fractions continues. Изв. Петерб. Акад. наук, (5), т. 2, № 1,
1895, стр. 9—13.
13. О простых делителях чисел вида 1+4А Изв. Петерб. Акад. наук, (5),
т. 3, № 1, 1895, стр. 55—58. То же: П. Л. Чебышев. Поли. соб. соч.,
т. I, 1944, стр. 283—284; Избр. тр. М., 1951, стр. 133—141.
14. Demonstration d'un theoreme de Tchebychef. (Lettre adressee a M. Her-
mite). С R., t. 120, 1895, pp. 1032—1034.
15. Deux demonstrations de la convergence de certaines fractions continues.
Acta mathematica, t. 19, 1895, pp. 93—104.
16. Nouvelles applications des fractions continues. Math. Ann., Bd. 47, 1896,
SS. 579—597. To же: в кн. Избр. тр. по теории непрерывных дробей,
М.—Л., 1948, стр. 106—119.
17. Новые приложения непрерывных дробей. Зап. Петерб. Акад. наук, (8),
т. 3, № 5, 1896, стр. 1—50.
18. О доказательстве Сильвестера трансцендентности числа тс. Проток.
С.-Петерб. мат. общ., 1899, стр. 9—10.
19. О неопределенных тройничных квадратичных формах. Изв. Петерб. Акад.
наук, (5), т. 14, № 5, 1901, стр. 509—523. То же: Избр. тр., М., 1951,
стр. 143—163.
20. От издателя. В кн.: П. Л. Чебышев. Теория сравнений. Изд. 3-е.
Издатель А. Марков, СПб., 1901.
21. О неопределенных квадратичных формах с четырьмя переменными. Изв.
Петерб. Акад. наук, (5), т. 16, № 3, 1902, стр. 97—108.
22. О трех неопределенных тройничных квадратичных формах. Изв.
Петерб. Акад. наук, (5), т. 17, № 2, стр. 109—119.
23. Sur les formes quadratiques ternaires indefinies. Math. Ann., Bd., 56, 1903,
SS. 233-251.
24. О непрерывных дробях. Сост. по лекциям А. А. Маркова, Н. Михельсон.
СПб., 1906, литограф.
25. Таблица тройничных квадратичных форм, не представляющих нуля,
для всех положительных детерминантов D < 50. Зап. Петерб. Акад.
наук, (8), т. 23, 1909, стр. 1—22. То же: Избр. тр., М., 1951, стр. 165—198.
26. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля. М.—Л., 1948.
27. Избранные труды. М., 1951.
28. Марков А. А. Материалы для биографического словаря действит. членов
Академии наук, ч. 2, Пгр., 1917, стр. 16—18.
Марков Владимир Андреевич (19 мая 1871—30 января 1897) окончил
Петерб. унив. в 1892 г. и был оставлен для подготовки к профессорскому
званию. Преподавал в Инст. инженеров путей сообщения и в Пятой
гимназии. Брат А. А. Маркова.
1. О числе классов положительных тройничных квадратичных форм
данного определителя. Сообщ. Харьк. мат. общ., (2), т. 4, 1893, стр. 1—59.
2. О положительных тройничных квадратичных формах. СПб., 1897.
Миндинг Фердинад Готлибович (Minding Ernst Ferdinand) (23 января
1806—13 мая 1885) обучался в течение двух семестров в унив. г. Галле на
философ, фак., затем три года — в Берлинск. унив. Математикой занимался
в основном самостоятельно. В 1828—1830 гг. преподавал в гимназии:
315

с 1829 г. — доктор философии (унив. Галле), с 1831 г. — приват-доцент
Берлинск. унив., с 1834 г., кроме того, — доцент в Высшей строит, школе;
с 1843 г. — орд. профессор прикладной матем. в Дерптск. унив.; с 1864 г. —
чл.-корр., а с 1879 г. — почетный член Петерб. Акад. наук.
1. Anzeige. J. reine und ang. Math., Bd. 7, 1831, SS. 414—416.
2. Observatio pertinens ad solutionem aequationum indeterminatorum secundi
gradus. J. reine und ang. Math., Bd. 7, 1831, SS. 140—142.
3. Anfangsgriinde der hoheren Arithmetik. Berlin, 1832.
4. Loi de la formation des denominateurs pour la reduction des fractions
continues en fractions ordinaires. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., t. 13, 1869,
pp. 524—528.
Минаев Г. E. — учитель частной гимназии в слободе Михайловке области
войска Донского.
1. Таблицы чисел профессора В. П. Ермакова, составленные Г. Е.
Минаевым. Вестн. оп. физ. и элемент, мат., Одесса, № 667—668,1916, стр.185—
187.
Минин Александр Петрович — преподаватель Елизаветинск. инст. и
других средн. учебн. заведений Москвы, автор учебников и задачников по
математике.
1. Разложение в ряд числовой функции, выражающей произведение
остатков от деления числа на 2 и на 3. Мат., сб., т. 7, вып. 4, 1875, стр. 485—
490.
2. О числовых рядах, находящихся в связи с числовыми интегралами.
Мат. сб., т. 9, вып. 1, 1878, стр. 128—136.
3. Sur la somme de nombres premiers a un nombre donne N et compris entre
Q et P. J. math, element et spec, t. 5, 1880, p. 278.
4. Generalisation de deux theoremes de Tchebychef. Les Mondes, t. 55, 1881,
pp. 185-188.
5. О свойствах чисел, аналогичных с совершенными числами. Мат. сб.,
т. 10, вып. 1, 1882—1883, стр. 87—101.
6. О наименьшем числе, имеющем данное число делителей. Мат. сб., т. И,
вып. 4, 1884, стр. 632—638.
7. Об одном приеме для получения числовых рядов. Мат. сб., т. 13, вып. 3,
1886, стр. 635.
8. К вопросу о получении числовых соотношений помощью числового
дифференцирования и интегрирования. Тр. отд. физ. наук Общ. любит,
естеств. т. 5, вып. 1, М., 1892, стр. 22—26.
9. О числах, делящихся на число своих делителей. Мат. сб., т. 17, вып. 2,
1893, стр. 240-252.
10. О числах, для которых число делителей равно числу чисел, первых
с ними и меньших их. Мат. сб., т. 17, вып. 3, 1894, стр. 538—543.
И. Ряд по функциям (тг+1— х) для функции б (х). Тр. отд. физ.-мат. наук
Общ. любит, естествознан., т. 9, М., 1897, стр. 30—33.
12. Применение числового анализа к решению одного геометрического
вопроса. Тр. отд. физ.-мат. наук Общ. любит, естествозн., т. 9, М., 1897.
13. О трудах Н. В. Бугаева по теории чисел. Мат. сб., т. 25, вып. 2, 1904,
стр. 293—321.
14. Числовые тождества как результат применения числовых рядов в сумме
степеней последовательных чисел. Мат. сб., т. 27, вып. 3, 1910, стр. 340—
345.
Мириманов Дмитрий С. (25 сентября 1861—5 января 1945) в 1880—
1881 гг. учился в Монпелье, в 1883—1884 гг. — в Париже, в 1897—1899 гг. —
в Женеве у Ольтрамара. В 1900 г. защитил диссертацию в Женеве, с того же
года — приват-доцент в Женевск. унив., с 1920 г. — в унив. г. Фрибурга,
с 1922 г. — орд. профессор унив. в Женеве. Первые математические работы
печатались в Журнале элемент, мат. В. П. Ермакова (т. 1, 1885; т. 2, 1885,

1886). Основное направление исследований: теория чисел, теория множеств,
теория вероятностей.
1. Sur une question de la theorie des nombres. J. reine und ang. Math., Bd. 109,
1891, SS. 82-88.
2. Sur la congruence (r?-1—1) : p=qr (mod p). J. reine und ang. Math., Bd.115,
1895, SS. 295-300.
3. Sur l'equation x^+y37+z31=0. J. reine und ang. Math., Bd. Ill, 1897,
SS. 20-30.
4. Приведение целых рациональных функций от нескольких переменных
к каноническому виду. Мат. сб., т. 19, вып. 4, 1897, стр. 629—647.
5. Racines cubiques de nombres entiers et multiplication complexe dans les
fonctions elliptiques. Math. Ann., Bd. 56, 1902, pp. 115—128.
0. Sur l'equation x3+y3+z3=t3. Nouv. Ann., (4), t. 3, 1903, pp. 17—21.
7. Sur l'equation (x+1)1— xl—1=0. Nouv. Ann., (4), t. 3, 1903, pp. 385—
39J.
8. L'equation indeterminee xl+yl-\-zl=0 et le criterium de Kummer. J.
reine und ang. Math., Bd. 128, 1904, SS. 45—68.
9. Sur la relation I— )=■•(—\yi~h et la loi de reciprocite. J. math., t. 129,,
1905, pp. 86-87.
10. Sur les congruences du troisieme degre. Ens. math., t. 9, 1907, pp. 381 —
384.
11. Sur le dernier theoreme de Fermat. Ens. math., t. 11, 1909, pp. 49—51.
12. Quelques essais de demonstration du grand theoreme de Fermat. Ens. math.,
t. 11, 1909, 126—129.
13. Sur le dernier theoreme de Fermat et le criterium de M. A. Wieferich. Ens.
math., t. 11, 1909, 126-129.
14. Sur le dernier theoreme de Fermat. G. R., t. 150, 1910, pp. 204—206.
15. Sur le dernier theoreme de Fermat. Act. Soc. Helvet. sci. nat., Bale, 1910.
16. Sur le dernier theoreme de Fermat. Ens. math., t. 12, 1910, pp. 524—525.
17. Sur le dernier theoreme de Fermat. J. reine und ang. Math., Bd. 139, 1911.
18. Sur un certain developpcment en fraction continue. Ens. math., t. 14,
1912, 294-298.
Молин Федор Эдуардович (10 сентября 1861—25 декабря 1941) окончил
Дерптск. унив. в 1883 г. С 1885 г. — магистр чистой матем., с 1892 г. —
доктор; с 1900 г. — профессор Томск, технол. инст., с 1917 г. — Томск, унив.;
засл. деятель науки с 1934 г.
1. Ueber System hoherer complexer Zahlen. Math. Ann., Bd. 41, 1892,
SS. 83-156.
Мордухай-Болтовской Дмитрий Дмитриевич (8 августа 1876—7 февраля
1952) окончил Петерб. унив. в 1898 г., с 1906 г. — магистр, с 1909 г. —
профессор, с 1935 г. — доктор физ.-мат. наук. Работал с 1898 г. в Варшавском,
а с 1915 г. — в Ростовск. унив., в 1950—1952 гг. — в Пятигорск, пединст.
1. О законе непрерывности. М., 1907, стр. 1—19.
2. К теории трансцендентных чисел. Проток, засед. общ. естествоисп. при
Варшавск. унив., № 1—2, 1913.
3. О гипертрансцендентности функции С (s, х). Изв. Варшавск. политехи.
инст., 1913.
Мошкович А.
1. Об одной арифметической задаче. (Задача Чебышева о простых числах).
Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 300, 301.
Назимов Петр Сергеевич (1 декабря 1851—26 декабря 1901) окончил
Моск. унив. в 1873 г. С 1885 г. — доктор чистой матем. В 1873—1886 гг.
преподавал математику в гимназиях. В 1886—1889 гг. — доцент Варшавск.
унив., с 1889 г. — экстраорд. профессор, с 1897 г. — орд. профессор Ка-
занск. унив.
317

1. О сумме чисел, взаимно простых с данным числом N и не превышающих
данное число р. Мат. сб., т. И, вып. 4, 1884, стр. 603—610.
2. О приложениях теории эллиптических функций к теории чисел. Уч. зап.
Моск. унив., физ.-мат. отд., в. 5, 1885, Отд. изд., М., 1885.
3. Sur quelques applications de la theorie des fonctions elliptiques a la theorie
des nombres. Ann. Ecole norm., t. 5, 1888, pp. 147—176.
4. Несколько слов об учебнике теории чисел Бахмана. ИФМО, (2), т. 6,
№ 1, 1896, стр. 26.
Нивенгловский Б.
1. Нивенгловский Б., Дикштейн С. Z elementarnei teoryi liczb, Warszawa,
1902.
Никульцев Петр Федорович (ум. 25 февраля 1916) в 1877 г. окончил
Петерб. унив., учитель математики, инспектор Смоленского реального
училища (1877 г.), автор учебников по разным отделам математики.
1. Об одном свойстве чисел. Семья и школа, кн. 3, СПб., 1875, стр. 343—344.
2. Произведение нескольких чисел. Журн. элемент, мат., т. 1, 1884—1885,
стр. 107—108.
Орлов Б.
1. Полные и средние волшебные квадраты с 64 клетками. Журн. элемент,
мат., т. 1, 1884—1885, стр. 305—309.
Остроградский Михаил Васильевич (24 сентября 1801—1 января 1861)
с 1816 г. обучался в Харьк. унив. и в университетах Парижа. Приехал в
Петербург в 1828 г. и в том же году был избран адъюнктом Петерб. Акад. наук.
С 1830 г. — экстраорд., с 1830 г. — орд. академик. С 1828 г. преподавал
в Морском корпусе (позднее Морской академии) и в других учебных
заведениях Петербурга. Член ряда иностранных академий, в том числе член-
корр. Парижск. Акад. наук (1856).
1. Лекции алгебрического и трансцендентного анализа, читанные в Морском
кадетском корпусе акад. Остроградским. Сост. корп. инж. капит. С.
Бурачком и лейт. С. Зелёным. Первый год. СПб., 1837; изд. 2-е. Л.—М.,
1940.
2. Tables des racines primitives pour tous les nombres premiers audessous de
200. Mem. Acad. sci. St.-Petersb., (6), sci. math, et phys., t. 1 (3), 1838,
pp. 359—388. To же: Поли. собр. соч., т. 3, Киев, 1961, стр. 76—99.
3. Memoire sur des quadratures definies. Mem. Acad. sci. St.-Petersb. sci.
math, et phys., t. 2, 1841, pp. 309—336.
4. Полное собрание сочинений, т. 1—3, Киев, 1959—1961.
Парфентьев Николай Николаевич (3 марта 1877—22 января 1943) окончил
Казанск. унив. в 1899 г. С 1911 г. магистр чистой матем., с 1911 г.
профессор; засл. деят. науки и техн. (с 1940 г.). С 1904 г. работал в Казанск. унив.
1. Идеи прерывности и непрерывности. ИФМО, (2), т. 15, вып. 1, 1905,
стр. 3—24.
2. Роль идеи порядка в математике. ИФМО, (2), т. 15, № 3, 1906, стр. 119—
134.
3. Несколько слов о магических квадратах (по поводу статьи г. Износкова,
появившейся в ИФМО, т. 20, вып. 1). ИФМО, (2), т. 20, вып. 3, 1915,
стр. 81—92.
4. О современной математике и молекулярных физических теориях. ИФМО,
(2), т. 22 (юбилейный), вып. 1, 1916, стр. 3.
5. Сборник статей по основаниям арифметики. Под ред. Н. Н. Парфентьева.
Казань, 1906.
Первушин Иван Михеевич (2 февраля 1827—29 июня 1900) окончил
Пермскую духовную семинарию, а позднее — Казанскую духовную
академию. Преподавал математику в семинарии, позднее — священник в с. За-
мараевском Щадринского уезда Пермской губ.; в последние годы жизни —
318

священник в селе Мехонском Шадринского уезда, почетный член Казанск.
матем. общ.
1. О числах вида 2ат+1. ИФМО, (2), т. 1, вып. 2, 1891, стр. 40.
2. Задача из теории чисел. Формула простых чисел. ИФМО, (2), т. 1, вып. 4,
1891, стр. 70—71.
3. О наилучшей проверке огромных арифметических действий. ИФМО,
(2), т. 4, вып. 2, 1894, стр. 74—75.
4. Les formules pour la determination approximative des nombres premiers,
de leur somme et de leur difference d'apres le numero de ces nombres.
ИФМО, (2), т. 4, вып. 3, 1894, стр. 94—96.
Перевощиков Дмитрий Матвеевич (9 мая 1790—26 сентября 1880)
окончил Казанск. унив. С 1818 г. работал в Моск. унив. с 1832 г. — чл.-корр.
В 1852 г. был избран адъюнктом, в 1855 г. — экстраорд. академиком Петерб.
Акад. наук.
1. Ручная математическая энциклопедия. Кн. 1. Арифметика, М., 1826;
(2-е изд. М., 1827); Кн. 3. Алгебра. М., 1827 (2-е изд. М., 1835).
2. О разрешении неопределенных уравнений первой степени. Новый
магазин естественной истории, физики, химии за 1830 г., ч. 3, стр. 95—108.
Полтавцев В.
1. К делимости чисел. Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 106, 1891, стр. 194—
196.
Попов Александр Федорович (И декабря 1815—24 января 1878) окончил
Казанск. унив. в 1835 г., был учителем в Казанск. гимназии. С 1843 г. —
магистр, с 1845 г. — доктор, с 1846 г. — экстраорд. профессор, с 1849 г. —
орд. профессор; с 1866 г. чл.-корр. Петерб. Акад. наук.
1. Очерк развития арифметики. Казань, 1873.
Попруженко М.
1. Числовые теоремы, вытекающие из некоторых тождеств. Вестн. оп. физ.
и элемент, мат., № 78, 1889, стр. 116.
2. По поводу графического изображения суммы ряда натуральных чисел.
Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 230, 1896, стр. 38—40.
Порецкий Платон Сергеевич (27 октября 1846—3 сентября 1907) окончил
Харьковск. унив. в 1870 г. С 1886 г. — доктор астрономии и математики.
С 1876 по 1889 г. работал в Казанск. унив., в 1889 г. вышел в отставку по
болезни и жил в своем имении.
1. О решетах чисел. Сообщ. и проток, засед. секции физ.-мат. наук, Казань,
т. 5, вып. 1, 1887, стр. 7.
2. О промежутках между последовательными простыми числами. Сообщ. и
проток, секц. физ.-мат. наук, Казань, т. 5, вып. 3, 1887, стр. 179.
3. О распознавании простых чисел. Сообщ. и проток, секц. физ.-мат. наук,
Казань, т. 6, в. 2, 1888, стр. 146.
4. К учению о простых числах. Сообщ. и проток, секц. физ.-мат. наук, т. 6,
вып. 1—2, Казань, 1888, стр. 52—140, 140—142.
5. По поводу сообщения П. В. Преображенского «Особого вида
тригонометрические ряды». Сообщ. и проток, секции физ.-мат. наук, т. 7, вып. 6,
Казань, 1889, стр. 396.
Преображенский Петр Васильевич — учитель 4-й гимназии в Москве,
Окончил Московский унив. Член Моск. мат. общ.
1. О числе простых и составных чисел между данными пределами. Мат. сб.,
т. 13, вып. 1886—1887, стр. 707—738.
2. Замечание по поводу статьи Л. К. Лахтина «Некоторые упрощения в
решении неопределенных уравнений». Мат. сб., т. 15, вып. 1, 1890,
стр. 118—120.
3. Особого вида тригонометрические ряды. Сообщ. и проток, секц. физ.-
мат. наук, т. 6, Казань, 1888, стр. 10—13.
319

4. Принцип узловых точек. Сообщ. и проток, засед. секц. физ.-мат. наук,
Казань, т. 7, 1889, стр. 5—37.
5. Теория бинарных квадратичных форм. Тр. отд. физ.-мат. наук Общ.
любит, естествозн., т. 3, вып. 1, М., 1890, стр. 62—82.
6. Об одном замечательном минимуме Римановой функции, выражающей
число простых чисел, не превосходящих данной величины. Тр. отд. физ.-
мат. наук Общ. любит, естествозн., т. 5, вып. 1, 1892, М., стр. 27—28.
Пфейффер Георгий (Юрий) Васильевич (1872—1946). С 1900 по 1946 гг.
работал в Киевск. унив., профессор. С 1920 г. — академик АН УССР.
В 1941—1944 гг. — директор Института физики и математики АН УССР.
1. Решение двучленных уравнений сложных степеней. Унив. изв., Киев,
т. 5, 1902.
2. Группы многогранников. Унив. изв., Киев, т. 43, 1903.
3. Заметка о функциях Бернулли. Протоколы физ.-мат. общ., Киев, 1905.
Рабинович Ю. Г.
1. О разложении на простые множители в квадратичных корпусах. ИФМО,
(2), т. 19, вып. 2, 1913, стр. 25—40.
Рождественский А. А.
1. К вопросу о величине промежутка между двумя последовательными
абсолютно простыми числами. ИФМО, (2), т. 8, 1889, стр. 71.
Романовский Всеволод Иванович (5 декабря 1879—6 октября 1954)
окончил Петерб. унив. в 1906 г. В 1908—1911 гг. преподавал математику
и физику в Ташкентском реальном училище. В 1912 г. — магистр, доцент,
затем профессор Варшавск. и Донск. унив. (до 1918 г.); с 1918 г.— профессор
Среднеазиатск. унив. (Ташкентского). С 1935 г. — доктор физ.-мат. наук,
профессор, академик АН УзССР (с 1943 г.). Засл. деятель науки УзССР.
1. О двух приближенных формулах, относящихся к счету простых чисел.
Проток, общ. естествоисп. при Варшавск. унив., 1912.
2. О гольдбаховых числах. Мат. сб., т. 29, вып. 1, 1913, стр. 67.
3. О простых числах. Варшавск. унив., изв., кн. 1, 1914, стр. 1—47.
Ромер Павел Эмильевич (1835—1899) окончил Киевск. унив., с 1861 г. —
магистр, с 1867 г. — доктор. С 1861 до 1891 гг. преподавал в Киевск. унив.,
с 1863 г. — орд. профессор. В 1891 г. вышел в отставку по болезни в звапии
засл. профессора.
1. Основные начала метода кватернёнов. Киев, 1868.
Селиванов Дмитрий Федорович (1855—1932) окончил Петерб. унив.
в 1878 г., в 1880—1884 гг. был за границей; с 1885 г. — магистр, приват-
доцент, с 1889 г. доктор, с 1905 г. — профессор Петерб. унив. Преподавал
также в Технол. инст. и на Высших женских курсах.
1. О числовой функции <р (п). Проток. С.-Петерб. мат. общ., 1899, стр. 120—
122. То же: ИМИ, вып. 13, 1960, стр. 60—61.
2. О разложении чисел на множители. Проток. С.-Петерб. мат. общ., 1899,
стр. 12. То же: ИМИ, вып. 13, 1960, стр. 69.
3. О делимости чисел. Проток. С.-Петерб. мат. общ., 1899, стр. 31.
Сенигов Н. П.
1. Новооткрытый закон приращений простых чисел. М., 1893.
Сердобинский В. Б. Окончил Моск. унив.
1. Об одном вопросе числовой алгебры. Мат. сб., т. 6, вып. 1, 1872, стр. 103—
НО.
2. Решение уравнения ах2+Ьх+с=Е (а^+Ь^+с^. Мат. сб., т. 7, вып. 4,
1875, стр. 437—459.
3. К числовой алгебре. Мат. сб., т. 9, вып. 3, 1879, стр. 557—564.
Серебренников С. В.
1. Таблица первых девяноста чисел Бернулли. Зап. Петерб. Акад. наук,
(8), т. 10, № ю, 1905, стр. 1-8,
320

2. Новый способ вычисления чисел Бернулли. Зап. Петерб. Акад. наук,
(8), т. 19, 1906, стр. 1-6.
Серпинекий Вацлав (14 марта 1882—1969) — выдающийся польский
математик. Окончил Варшавск. унив. в 1904 г. и преподавал математику
в Варшавских гимназиях. С 1906 г. — доктор Ягеллонск. унив. в Кракове,
преподавал в Варшавских учебных заведениях, с 1908 г. работал в Львовск.
унив., с 1910 г. — профессор. С 1915 до 1918 г. жил в Москве; с 1918 г. —
профессор Варшавск. унив. С 1921 г. — действ, член Польск. Акад. наук.
В 1952—1957 гг. — вице-президент Польск. Акад. наук, почетный член
многих иностранных академий и научных обществ.
1. О pewnem zagadnieniu z rachunku funkcyj asymptotycznych. Prace mat.-
fiz., t. 17, 1906, pp. 77—118.
2. О sumowaniu szeregu 2 x(w)/(w)> gdzie т (n) oznacza liczbe rozkladow
n>a
liczby n na sum§, kwadrat6w dwoch liczb calkowitych. Prace mat.-fiz.,
t. 18, 1908, pp. 1—59.
3. О pewnem przypadku blednego stosowania zasady mnogenia prawdopodo-
bienstw. Wiadom. mat., t. 11, 1908, pp. 77—80.
4. О rozkladach liczb calkowitych na roznice dwoch kwadratow. Wiadom.
mat., t. 11, 1908; pp. 89—110.
5. Wzor analityczny na pewna funkcje liczbowa. Wiadom. mat., t. 11, 1908,
pp. 225—231.
6. О wymernych punktach kola. Wiadom. mat., t. 12, 1908, pp. 47—54.
7. О wartosciach srednich kilku funkcyj liczbowych. G. R. Soc. lett. Var-
sovie, cl. 3, 1908, pp. 215—222.
8. О zaleznosciach miedzy zasadniczymi wlasnosciami symbolu Legendre'a.
G. R. Soc. sci. lett. Varsovie, cl. mat., 1909, pp. 260—272.
9. Zagadnienie i metody teoryi analitychnej liczb. Wiadom. mat., 1910.
10. Teorya liczb. (Kurs uniwersytecki) napisal Waclaw Sierpinski, profesor
Uniwersyteta Lwowskiego, 1914 (Wyd. 2, 1925, wyd. 3, 1964 (англ.), War-
szawa).
Синцов Дмитрий Матвеевич (20 ноября 1867—28 января 1946) окончил
Казанск. унив. в 1890 г. G 1895 г. — магистр, с 1898 г. — доктор, с 1899 —
профессор Высшего горного училища в Екатеринославе, с 1903 г. —
профессор Харьк. унив., с 1894 г. — приват-доцент Казанск. унив., с 1939 г. —
академик АН УССР.
1. О функциях Бернулли дробных порядков. Сообщ. и проток, засед. секции
физ.-мат. наук, т. 3, вып. 4, Казань, 1890, стр. 291—336.
2. Бернуллиевы функции с произвольными указателями. Изв. Казанск.
физ.-мат. общ., (2), т. 1, вып. 2, 1891, стр. 234—256.
3. Заметка о Бернуллиевых числах. Изв. Казанск. физ.-мат общ., (2), т. 8,
вып. 2, 1898, стр. 104—106.
4. Новости русской литературы. Заметки о следующих книгах: 1) Сочинения
А. Н. Коркина СПб., 1911; 2) Д. Граве. Элементарный курс теории
чисел. Зап. Харьк. унив., кн. 4, 1913, стр. 1—6.
Слешинский Иван Владиславович (1854—1931) окончил Новороссийск,
унив. в 1875 г., до 1909 г. преподавал в нем, затем в Кракове. Магистр с 1889 г.
1. К вопросу о сходимости непрерывных дробей. Мат. сб., т. 14, вып. 3,
1889, стр. 337-343.
2. Дополнение к заметке о сходимости непрерывных дробей. Мат. сб., т. 14,
вып. 3, 1889—1890, стр. 436—438.
Слугинов Н. П. (14 октября 1854—22 февраля 1897) окончил Петерб.
унив. в 1877 г. С 1881 г. — магистр, с 1884 г. — доктор; профессор физики
в Моск. техн. училище, с 1886 г. — профессор физики Казанск. унив.
1. Заметка о числе комбинаций гальванических элементов. ИФМО, (2), т. 1,
№ 3, Казань, 1891, стр. 257—258.
321

Слугинов С. П. (род. в 1879)
1. Основы теории чисел. Казань, 1913*
Слудский Федор Андреевич (1841—1897) окончил Моск. унив. в 1860 г.
С 1863 г. — магистр астрономии. С 1866 г. экстраорд. профессор механики,
с 1869 г. — орд. профессор. В 1886—1890 гг. в отставке, читает лекции в
качестве приват~доцента, с 1890 г. — орд. и засл. профессор. Один из
основателей Моск. мат. общ.
1. Предмет теории чисел и отношение ее к другим отделам математики.
Мат. сб., т. 2, 1867, стр. 195—208.
2. Заметка о числе и форме простых чисел. Мат. сб., т. 3, вып. 3, 1868,
стр. 214—216.
3. О свойствах степеней двух и трех. Мат. сб., т. 4, вып. 1, 1869—1870,
стр. 171—175.
Соколов Д. Н.
1. Вывод некоторых числовых тождеств Лиувилля по методу Н. В. Бугаева.
Мат. сб., т. 16, вып. 1, 1891, стр. 89—112.
2. К теории числовых прерывных функций. Мат. сб., т. 16, вып. 2, 1892,
стр. 282—294.
Соколов Н. П.
1. Некоторые из свойств чисел, не зависящие от системы счисления.
Унив. изв., Киев, т. 6, 1893.
Сонин Николай Яковлевич (10 февраля 1849—14 февраля 1915) окончил
Моск. унив. в 1869 г. С 1871 г. — магистр, с 1874 г. — доктор, с 1872 г. —
доцент Варшавск. унив., с 1877 г. — профессор, с 1892 г. — чл.-корр.,
с 1893 г. — орд. академик Петерб. Акад. наук. В 1894—1899 гг. читал на
Высших женских курсах в Петербурге. В 1899—1901 гг. — попечитель
Петербургского учебного округа, затем председатель Ученого комитета МНП.
1. Note sur une formule de Gauss. Bull. soc. math. France, 1881, t. 9, pp. 162—
166.
2. О числовых тождествах и их приложении к учению о бесконечных рядах.
Варшавск. унив. изв., № 5, 1885, стр. 1—28.
3. Об одном определенном интеграле, содержащем числовую функцию [х].
Варшавск. унив. изв., № 3, 1885, стр. 1—24.
4. О бернуллиевых полиномах и их приложениях. Варшавск. унив. изв.,
№ 3, 4, 1888, стр. 1-71.
5. Sur les termes complementaires de la formule sommatoire d'Euler et celle
de Stirling. Ann. Ecole norm, sup., (3), t. 6, 1889, pp. 157—262.
6. О прерывной функции [x] и ее приложениях. Варшавск. унив. изв.,
№ 7—8, 1891, стр. 1—78. То же: Варшавск. общ. естествоисп., т. 1, 1891.
7. [Sonine N. et Hermite Gh.]. Sur les polyndmes de Bernoulli. Extrait d'une
correspondance entre M. Sonine et M. Hermite. J. reine und ang. Math.,
Bd., 116, 1896, pp. 156.
Сорокин Николай Александрович (4 декабря 1861—17 июня 1896) окончил
Петерб. унив. в 1881 г. Учитель в Киево-Печерской гимназии.
1. О сумме цифр при различных системах счисления. Вестн. оп. физ. и
элемент, мат., № 105, 1891, стр. 161—168.
Сохоцкий Юлиан Васильевич (5 февраля 1842—14 декабря 1927) окончил
Варшавск. губернскую гимназию. Проучившись 1861/62 гг. в Петерб. унив.,
вынужден был три последующих года заниматься самостоятельно в Варшаве.
В 1865 г. вернулся в Петербург и сдал экзамены за курс университета.
С 1866 г. — кандидат, с 1868 г. — магистр, с 1873 г. — доктор, с 1868 г. —
приват-доцент, с 1869 г. — доцент, с 1873 г. — экстраорд. профессор,
с 1882 г. — орд. профессор Петерб. унив.; с 1893 г. — засл. профессор.
1. Определение постоянных множителей в формулах линейного
преобразования функций б. Суммы Гаусса и закон взаимности символа Лежандра
322

(на польск. яз.). Pamiqtnik Towarzystwa Nauk scieslich w Pary2u, X,
1878, str. 1—37.
2. Начала теории идеальных кубических чисел. Речи и проток. VI съезда
русск. естествоисп. и врачей, СПб., 1880, стр. 170—175.
3. О разложении простых чисел вида 4и+1 на сумму двух полных
квадратов. Речи и проток. VI съезда русск. естествоисп. и врачей, СПб., 1880,
стр. 212.
4. Высшая алгебра. Ч. 1, СПб., 1882. Ч. 2. Теория чисел. СПб., 1888.
5. Теория чисел. 1884—1885. Литограф, лекции.
6. Начало общего наибольшего делителя в применении к теории делимости
алгебраических чисел. СПб., 1893, стр. 1—64. То же: Prace math.-fiz.,
Warszawa, 1893, p. 95—153 (на польск. яз.).
7. Принцип общего наибольшего делителя в применении к теории
делимости алгебраических чисел. Проток. С.-Петерб. мат. общ. 1899, стр. 48.
Станевич Виктор Иванович — преподаватель Инст. инж. путей
сообщения, Политехи, инст. и Артиллерийского училища.
1. Sur un theoreme arithmetique de M. Poincare. Extrait d'une lettre a M. Her-
mite. С R., t. 114, 1892, pp. 109—112.
2. По поводу заметки Пуанкаре о распределении простых чисел вида Ап-\-1
Проток. С.-Петерб. мат. общ., 1899, стр. 20. То же: ИМИ, вып. 13,
1960, стр. 100.
3. О простых числах вида 4и+1 и 4/г—1. Сб. Инст. инж. путей сообщ., в. 50,
СПб., 1899, стр. 433—439.
Станкевич Борис Вячеславович окончил Варшавск. унив., с 1887 г. —
магистр, профессор Варшавск. унив.
1. К теории сравнений с одной неизвестной при модуле простом. Мат. сб.,
т. 10, вып. 2, стр. 112—126.
Тамаркин Яков Давидович (10 июля 1888—18 ноября 1945) окончил
Петерб. унив. в 1910 г. С 1913 г. — приват-доцент Петерб. электротехн.
инст., с 1917 — экстраорд. профессор. Работал в ряде других высших
учебных заведений Петрограда, в том числе и в университете. В 1919—1921 гг. —
профессор в Пермск. унив.; с 1921 — профессор Петерб. унив. С 1U25 г.
преподавал в Пермск. унив.; с31921 г"—профессор Петерб. унив. С 1925 г.
преподавал в Дортмутском колледже, с 1929 г. — профессор Брауновск. унив.
(США). Почетн. член Амер. мат. общ., с 1942 по 1943 гг. — вице-президент
Общества. Редактор ряда американских мат. журналов.
1. Sur les congruences du second degre et les nombres de Bernoulli. Math. Ann.,
Bd. 62, 1906, SS. 409—412. (Совместно с А. А. Фридманом).
2. Quelques formules concernant la theorie de la fonction [x] et les nombres
de Bernoulli. J. reine und an. Math., Bd. 135, 1908, SS. 146—156.
(Совместно с А. А. Фридманом).
Татаринов Иван Васильевич.
1. Способы вычисления суммы Е2£+Е4*+. . . при помощи непрерывных
дробей. Мат. сб., т. 14, вып. 4, 1890, стр. 668—682.
Тихомиров В. А.
1. Способ узнавать, делится ли данное целое число без остатка на другое
целое. М., 1852.
Томашевич Б. С.
1. Вывод общей формулы для числовой производной от числового интеграла
по делителям. Мат. сб., т. 9, вып. 3, 1879, стр. 546—549.
Турчанинов А.
1. Разложение числа на сумму двух квадратов. Вестн. оп. физ. и элемент,
мат., № 652, 1916, стр. 73—77.
323

2. К вопросу о представлении чисел под видом дайной квадратичной формы.
Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 653—654, 1916, стр. 132—137.
Успенский Яков Викторович (И мая 1883—27 января 1947) окончил
Летерб. унив. в 1906 г. С 1911 г. — магистр, в 1912—1915 гг. — приват-
доцент Петерб. унив., с 1916 г. — экстраорд. профессор, с 1920 г. —
профессор, с 1921 г. — академик. С 1929 г. по 1932 г. — преподаватель,
а с 1932—1947 гг. — профессор в Стенфордск. унив. Член Амер. мат. общ.
1. Заметка о целых числах, зависящих от корня 5-й степени из единицы.
Мат. сб., т. 26, вып. 1, 1906, стр. 1—17.
2. Note sur les nombres entiers dependant d'une racine cinquieme de l'unite.
Math. Ann., Bd., 66, 1909, SS. 109—112.
3. Некоторые приложения непрерывных параметров к теории чисел. Ма-
гист. дисс, СПб., 1910.
4. О некоторых арифметических теоремах Stieltjes'a. Сообщ. Харьк. мат.
общ., т. 14, 1912, стр. 7-^30.
5. Теория чисел. СПб., 1913. Литограф, курс.
6. Арифметическое доказательство соотношений Кронекера между числами
классов бинарных квадратичных форм. Мат. сб., т. 29, вып. 1, 1913,
стр. 26—52.
7. О представлении чисел суммами квадратов. Сообщ. Харьк. мат. общ.,
т. 14, 1913—1915, стр. 31—64.
8. О некоторых арифметических теоремах. Сообщ. Харьк. мат. общ., т. 14,
1913-1915, стр. 88—89.
9. О возможности представления простых чисел некоторыми простейшими
квадратичными формами. ИФМО, (2), т. 21, № 4, 1915, стр. 179—186.
U0. Правило для определения знака в сравнении 1. 2. 3 ... —«— —
= 44 (mod р), где р простое число формы 4[А + 3. ИФМО, (2), т. 21,
№ 4, *915, стр. 187—198.
11. О числе классов положительных форм Эрмита. Изв. АН, (6), т. 9, 1915,
стр. 1768—1800.
12. О числе представлений целых чисел некоторыми квадратичными
формами с 4 и 6 переменными. Сообщ. Харьк. мат. общ., т. 15, 1916, стр. 81 —
147.
13. Асимптотические выражения числовых функций, встречающихся в
задачах о разбиении числа на слагаемые. Изв. РАН, т. 14, 1920, стр. 199—
213.
14. On new classnumber relations. Proc. of the Math. Congr. in Toronto,
Canada, v. 1, 1928, p. 315.
15. Sur les relations entre les nombres des classes des formes quadratiques bi-
naires et positives. Изв. PAH, 1925, т. 19, стр. 599—620, 763—787;
2-й мем. т. 20, 1926, стр. 25—38, 175—196; 3-й мем., стр. 327—348;
4-й мем., стр. 547—566; 5-й мем., стр. 619—648.
Ц6. Note sur le nombre des representations des nombres par une somme d'un
nombre pair de carres. Изв. РАН, т. 19, № 16—17, 1925, стр. 647—662.
17. On J&cobi's arithmetical theorems concerning the simultaneous
representations of numbers by two different quadratic forms. Trans. Amer. Math.
Soc, v. .30, N 2, 1928, pp. 328—404.
18. On Gierster's class number relations. Amer. Math. Journ., v. 50, N» 1, 1928,
pp. 93—102.
19. On the number of representations of integres by certain ternary quadratic
forms. Amer. Math. Journ., v. 51, N 1, 1929, pp. 51—60.
20. On the reduction of the indefinite binary quadratic forms. Bull. Math.
Soc, v. 36, N 10, 1930, pp. 710-718.
21. On incomplet numerical functions. Bull. Amer. Math. Soc, v. 36, 1930,
pp. 743-754.
22. A method for finding units in cubic orders of a negative discriminant.
Trans. Amer. Math. Soc, v. 33, N 1, 1931, pp. 1—22.
324

23. Elementary number theory. New York—London, 1939. (With M. A. He-
aslet).
24. Об одной задаче Ивана Бернулли. Изв. АН, т. 18, стр. 67—84.
Флоров П. С.
1. О целых многочленах, представляющих собой целые числа. Мат. листок,
№ 10, Ревель, 1915, стр. 133—134.
2. Частный случай уравнения Пелля. Мат. листок, № 10, Ревель, 1915,
стр. 137—138.
Фридман Александр Александрович (17 июня 1888—15 сентября 1925)
окончил Петерб. унив. в 1910 г. Преподавал в университете и других
высших учебных заведениях; в 1918—1920 гг. — профессор Пермского унив.
С 1920 г. снова преподавал в вузах Петрограда и работал в Главной физич.
обсерватории.
1. Sur les congruences du second degre et les nombres de Bernoulli. Math. Ann.,
Bd. 62, 1906, SS. 409—412.
2. Quelques formules concernant la theorie de la fonction [x] et les nombres
de Bernoulli. J. fur die reine und ang. Math., Bd. 135, 1908, SS. 146—156.
Фусс Николай Иванович (29 января 1755—4 января 1826) академик
Петерб. Акад. наук. Окончил Базельский унив. С 1772 г. жил в Петербурге.
С 1783 г. — академик и профессор матем. в Дворянском сухопутном корпусе.
С 1800 г. — непрем, секретарь Петерб. Акад. наук. Член многих иностр.
академий и обществ.
1. Solutio problematum quorundam ad analysin Diophanteam spectantium.
Mem. Acad. sci. St.-Petersb., t. 9, (1820), 1824, pp. 151—160.
2. Demonstration de quelques theoremes arithmetiques. Mem. Acad. sci. St.-
Petersb., t. 10, (1809), 1826, pp. 27—36.
3. Expositio methodi concinnae inveniendi cujusque progressions terminum
tarn generalem quam summatorium per differentiae continuae. Mem. Acad,
sci. St.-Petersb., t. 11, (1821), 1830, pp. 246—257.
Фусс Павел Николаевич (1 июня 1797—22 января 1855). Сын Н. И. Фусса—
правнук Л. Эйлера. В 1814 г. окончил гимназию и занимался математикой
под руководством отца. С 1818 г. — адъюнкт Петерб. Акад. наук, с 1823 г.—
экстраорд. академик, с 1826 г. — орд. академик и непременный секретарь
Академии наук. Вместе с братом Н. Н. Фуссом (учителем Л арийской
гимназии) издал неопубликованные сочинения Эйлера.
1. Разбор сочинения г. Чебышева, адъюнкта С.-Петербургского
университета, под заглавием: Теория сравнений, составленный гг. академиками
Фусом и Буняковским. 18-е присуждение учрежденных П. Н.
Демидовым наград. 17 апреля 1849 года. СПб, 1849, стр. 47—56.
2. Nachricht uber eine Sammlung unedirter Handschriften Leonhard Euler's
und die von der Akademie begonnene Gesammtausgabe seiner kleineren
Schriften. Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. phys. et math., t. 7, 184Э,
pp. 337—368.
3. Supplement a notre rapport relatif a la succession literaire de Leonard Euler.
Bull. Acad. sci. St.-Petersb., Sci. phys. et math., t. 9, 1851, pp. 337—346.
Ханыков Николай Владимирович (1822—1878). По другим сведениям
род. в 1820 г. Ориенталист, путешественник, этнограф.
1. Procede pour resoudre en nombres entiers l'equation indeterminee A +bt2=
= u2. С R., t. 69, 1869, pp. 185—188.
Чебышев Пафнутий Львович (16 мая 1821—8 декабря 1894) окончил
Моск. унив. в 1841 г. С 1846 г. — магистр, с 1849 г. — доктор, с 1847 г. —
доцент Петерб. унив., с 1850 г. — экстраорд. профессор, с 1860 г. — орд.
профессор. С 1853 г. — адъюнкт Петерб. Акад. наук, с 1856 г. —
экстраорд. академик, с 1858 г. — орд. академик. С 1872 г. — засл. профессор,
325

почетный член Петерб. и других университетов. Чл.-корр. Парижской Акад.
наук (1860 г.).
1. Index systematique et raisonnee des memoires arithmetiques de L. Euler,
contenues dans les deux volumes de cette collection, par V. Bouniakowsky
et P. Tchebychef. Comment, arithm., t. 1, St.-Petersb., 1849, pp. LI—
LXXX.
2. Теория сравнений. СПб., 1849. 2-е изд., СПб., 1879, 3-е изд. СПб., 1901;
Theorie des Congruenzen, Berlin, 1888; Theorie delle congruenze. Roma,
1895; Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л., 1944, стр. 10—172.
3. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины. Теория сравнений, СПб., 1849, стр. 209—229. То же: Mem. pres.
Acad. sci. St.-Petersb., t. 6, 1851, pp. 141—157; J. demath.,(l), 1.17,1852,
pp. 341—365, Собр. соч., т. 1, СПб., 1899, стр. 29—48, Поли. собр. соч.,
т. 1, М.—Л., 1944, стр. 173—190, Избр. мат. тр., М., 1946, стр. 29—52.
4. Sur les formes quadratiques (О квадратичных формах). J. de math., (1),
t. 16, 1851, pp. 257—282. To же: Собр. соч., т. 1, СПб, 1899, стр. 73—96,
Поли. собр. соч., т. 1, М.— Л., 1944, стр. 208—228.
5. Note sur differentes series (Заметка о некоторых рядах). J. math., (1),
t. 16, 1851, pp. 337—346. То же: Собр. соч., т. 1, СПб., 1899, стр. 99—
108, Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л., 1944, стр. 229—236.
6. Sur les nombres premiers (О простых числах). J. math., (1), t. 17, 1852,
pp. 366—390. Mem. pres. Acad. sci. St.-Petersb., t. 7, 1854, pp. 17—33.
To же: Собр. соч., т. 1, СПб., 1899, стр. 51—70, Поли. собр. соч., т. 1,
М.—Л., 1944, стр. 191—207, Избр. мат. тр., М., 1946, стр. 53—76.
7. Об одном арифметическом вопросе. Прилож. к 10-му т. Зап. Петерб.
Акад. наук, № 4, 1866. Собр. соч., т. 1, СПб., 1899, стр. 639—684. Поли,
собр. соч., т. 1, М.—Л., 1944, стр. 237—275.
8. О новой теореме, относящейся к числу простых чисел вида 4л+1 и
4я+3. (Письмо к г. Фуссу). Bull. Acad. sci. St.-Petersb., sci. phys. et
math., t. 11, 1853, pp. 208. To же: Собр. соч., т. 1, СПб., 1899, стр. 697—
698, Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л., 1944, стр. 276.
9. Sur la generalisation de la formule de M. Catalan et sur une formule arith-
metique qui en resulte (Об обобщении формулы Каталана и об одной
арифметической формуле, которая отсюда получается). Assoc, franc,
l'avanc. sci. С. R., Bull., 1876, pp. 114—117. To же: Собр. соч., т. 2,
СПб., 1907, стр. 702—704, Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л., 1944, стр. 277—
279. Nouv. corr. math., t. 2, 1876, pp. 303—306.
10. Sur une transformation des series numeriques (Об одном преобразовании
числовых рядов). Nouv. corr. mathem., t. 4, 1879, pp. 305—308. To же:
Собр. соч., т. 2, СПб., 1907, стр. 705—707. Поли. собр. соч., т. 1, М.—
Л., 1944, стр. 280-282.
11. П. Л. Чебышев. Собр. соч. Под редакцией А. А. Маркова и Н. Я. Со-
нина, т. 1, СПб., 1899, т. 2, СПб., 1907. (Изд. на русск. и на франц. яз.).
12. П. Л. Чебышев. Поли. собр. соч., тт. 1—5, М.—Л., 1944—1951.
13. Избр. мат. труды, М., 1946.
14. Избр. труды, М., 1955.
Чистяков Иван Иванович (1870—1942) окончил Моск. у нив., профессор.
1. Обобщение числовой функции Гаусса и следствия его. Мат. сб., т. 17,
вып. 3, 1894, стр. 530—537.
2. Бернуллиевы числа. М., 1895.
3. О второй производной одной логарифмической числовой функции. Мат. сб.,
т. 20, вып. 4, 1899, стр. 595—607.
4. Выступление на XII съезде русск. естествоисп. и врачей. Дневник
XII съезда русск. естествоисп. и врачей, М., 1910.
5. Свойства ряда нечетных чисел и их приложения. Мат. образ., т. 1, 1912,
стр. 21—23.
6. Элементы теории чисел в средней школе. М., 1912.
326

7. Теория чисел. Курс лекций, читанных на Моск. высш. женск. курсах.
М., (б. г.)
8. О некоторых признаках делимости. Мат. образ., М., 1915, стр. 4, 97.
Шатуновский Самуил Осипович (13 марта 1859—27 марта 1929)
математику изучил самостоятельно. После 1905 г. преподавал в Одесском у ни в.
в качестве приват-доцента, после Октябрьской революции — профессор
Одесского унив.
1. О числе последовательных делений. Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 206,
1895, стр. 25—32.
2. Доказательство существования трансцендентных чисел (по Cantor'y)
Вестн. оп. физ. и элемент, мат., № 233, 1896.
3. Об условиях существования п неравных корней у сравнения тг-й степени
по простому модулю. ИФМО, (2), т. 1, № 3, 1902, стр. 33—49.
4. Об одном неопределенном уравнении. Зап. мат. отд. Новороссийск, общ.
естествоисп., т. 20, 1902, стр. 1—22.
5. Алгебра как учение о сравнениях по функциональным модулям. Зап.
Новороссийск, унив., физ.-мат. фак., вып. 11, 1917, стр. 1—208.
Шпачинский Эразм Корнелиевич (1848—1912) окончил Киевский унив.
Издатель и редактор журнала «Вестник опытной физики и элементарной
математики» в Киеве (1886—1891), а затем в Одессе (1891—1912).
1. К вопросу о выделении простых чисел. Вестн. оп. физ. и элемент, мат.,
№ 41, 1888, стр. 107—110.
2. Об одном признаке делимости чисел. Вестн. оп. физ. и элемент, мат.,
№ 40, 1888, стр. 202-203.
Эйлер Иоганн Альберт (27 ноября 1734—18 сентября 1800). Сын
Леонарда Эйлера, академик Петерб. Акад. наук.
1. Beantwortung einiger arithmetischen Fragen. Abhandl. Bayer. Akad. Wiss.,
Bd. 3, 1764, SS. 3—36.
2. Ad dissertationem Patris praecedentem commentatio. Acta Acad, sci.,
Petropol., pars 1, (1779), 1782, pp. 40—48.
Эйлер Леонард (Euler Leonhard) (15 апреля 1707—18 сентября 1783)
окончил Базельск. унив. в 1724 г. С 1727 г. по 1741 г. жил в Петербурге.
С 1731 г. — профессор физики, с 1733 г. — профессор математики
Петербургской Акад. наук, член Петерб. Акад. наук. В 1741—1766 гг. был
директором Матем. отделения Берлинск. Акад. наук. В 1766—1783 гг. снова
жил и работал в Петербурге. Академик Парижской Акад. наук, член
Лондонского королевск. общ. и многих других научных обществ.
1. Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros pri-
mos spectantibus. Comment. Acad. Petropol., t. 6, 1738, pp. 103—107.
To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 1—3; Opera omnia, (1), v. 2,
1915, pp. 1—5.
2. De solutione problematum Diophantaeorum per numeros integros. Comment.
Acad. Petropol., t. 6, 1738, pp. 175—188. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 4—10; Opera omnia, (1), v. 2, 1915, pp. 6—17.
3. Solutio problematis arithmetici de inveniendo numero, qui per dates
numeros divisus relinquat data residua. Comment. Acad. Petropol., t. 7,
1740, pp. 46—66. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 11—20; Opera
omnia, (1), v. 2, 1915, pp. 18—32.
4. De summis serierum reciprocarum. Comment. Acad. Petropol., t. 7, 1740,
pp. 123—134. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 73—86.
5. Inventio summae cujusque seriei ex dato termino generali. Comment. Acad.
Petropol., t. 8, 1741, pp. 9—22. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 108—
123.
6. Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio.
Comment. Acad. Petropol., t. 8, 1741, pp. 141—146. To же: Comment,
arithm., t. 1, 1849, pp. 21—23; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 33—37.
327

7. De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium
ortarum dissertatio altera, in qua eaedem summationes ex fonte maxime
diverso derivantur. Miscel. Berolinensia, t. 7, 1743, pp. 172—192. To же:
Opera omnia, (1), v. 14, pp. 138—155.
1 1 1
8. Demonstration de la somme de cette suite: 1 + -r- + -<r + -nr -f etc.
Journ. litter. Allemagne, Suisse et Nord. -Haye, t. 2, N1, 1743,
pp. 115—127. To же: Opera omnia, (1) v. 14, pp. 177—186.
9. De fractionibus continuis dissertatio. Comment. Acad. Petropol., t. 9,
1744, pp. 98—137. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 187—215.
10. Variae observationes circa series infinitas. Comment. Acad. Petropol.,
t. 9, 1744, pp. 160—188. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 216—244.
11. Theorematum quorundam arithmeticorum demonstrationes. Comment.
Acad. Petropol., t. 10, 1747, pp. 125—146. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 24—34; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 38—58.
12. De numeris amicabilibus. Nova acta eruditorum, 1747, pp. 267—269. To же:
Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 102—145; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 59—
61.
13. Introductio in analysin infinitorum, t. 1, Lausannae, 1748. To же: Opera
omnia, (1), v. 8. Введение в анализ бесконечных, т. 1. М.—Л., 1936
(2-е изд. М., 1961); t. 2, 1748, Lausannae. То же: Opera omnia (1), v. 9.
Введение в анализ бесконечных, т. 2, М., 1961.
14. De fractionibus continuis observationes. Comment. Acad. Petropol., t. 11,
1750, pp. 32—81. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 291—349.
15. De seriebus quibusdam consider at iones. Comment. Acad. Petropol., t. 12,
1750, pp. 53—96. To же: Opera omnia, (1), v. 14, pp. 407—462.
16. Theoremata circa divisores numerorum. Novi Comment. Acad. Petropol.,
t. 1, 1750, pp. 20—48. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 50—61.
Opera omnia, (1), v. 2, pp. 62—85; Правила с доказательствами господина
Эйлера о делителях в числах. Содержание ученых рассуждений
Академии наук, изд. в первом томе Новых комментариев, ч. 1, 1751, стр. 41 —
44.
17. De numeris amicabilibus. Opuscula varii argumenti, t. 2, 1750, pp. 23—
107. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 102—145; Opera omnia,
(1), v. 2, pp. 86-162.
18. Demonstrate gemina theorematis Newtoniani. Opuscula varii argumenti,
t. 2, 1750, pp. 108—120. To же: Opera omnia, (1), v. 6, pp. 20—30.
19. Observationes analyticae variae de combinationibus, Comment. Acad.
Petropol., t. 13, 1751, pp. 64—93. To же: Opera omnia, (1), v. 2, pp. 163—
193.
20. Theoremata circa divisores numerorum in hac forma paa±gbb contento-
rum. Comment. Acad. Petropol., t. 14, 1751, pp. 151—181. To же:
Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 35—49; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 194—222.
21. Solutio problematis difficillimi a Fermatio propositi. Novi comment.
Acad. Petropol., t. 2, 1751, pp. 49—67. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 62—72; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 223—240; Л. Эйлера
решение претрудной задачи, предложенной от Фермация. Содержание
ученых рассуждений Академии наук, изд. во втором томе Новых
комментариев, ч. 2, 1752, стр. 7—8.
22. Decouverte d'une loi extraordinaire des nombres par rapport a la somme
de leurs diviseurs. Bibliotheque imp., t. 3, 1751, pp. 10—31. To же:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 639—647. Opera omnia, (1), v. 2, pp. 241—
253.
23. De partitione numerorum. Novi comment. Acad. Petropol., t. 3, 1753,
pp. 125—169. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 73—101; Opera
omnia, (1), v. 2, pp. 254—294; О раздроблении чисел Л. Эйлера.
Содержание ученых рассуждений Академии наук, изданных в третьем томе
Новых комментариев, ч. 3, СПб., 1753, стр. 12—15.
328

24. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. Novi comment.
Acad. Petropol., t. 4, 1758, pp. 3—40. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 155—173; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 295—327; О числах,
которые составляют сумму двух квадратных чисел. Содержание ученых
рассуждений Академии наук, изданных в четвертом томе Новых
комментариев, ч. 4, стр. 5—8, СПб., 1758.
25. Demonstrate theorematis Fermatiani omnem numerum primum formae
4ti+1 esse summam duorum quadratorum. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 5, 1760, pp. 3—13. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 210—
215; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 328—337.
26. Demonstratio theorematis Fermatiani omnem numerum sive integrum sive
fractum esse summam quatuor pauciorumve quadratorum. Novi
Comment. Acad. Petropol., t. 5, 1760, pp. 13—58. To же: Comment, arithm.,
t. 1, pp. 215—233; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 338—372.
27. Observatio des summis divisorum. Novi comment. Acad. Petropol., t. 5,
1760, pp. 59—74. Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 146—154; Opera
omnia, (1), v. 2, pp. 373—389.
28. Demonstratio theorematis circa ordinem in summis divisorum observatum.
Novi comment. Acad. Petropol., t. 5, 1760, pp. 75—83; Comment, arithm.,
t. 1, 1849, pp. 234—238; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 390—398.
29. De problematibus indeterminatis quae videntur plus quam determinata.
Novi comment. Acad. Petropol., t. 6, 1761, pp. 85—114. To же: Comment,
arithm., t. 1, 1849, pp. 245—259; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 399—427.
30. Solutio generalis quorundam problematum Diophantaeorum, quae vulgo
nonnisi solutiones speciales admittere videntur. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 6, 1761, pp. 155—184. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849,
pp. 193—209; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 428—458.
31. Specimen de usu observationum in mathesi pura. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 6, 1761, pp. 185—230. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849,
pp. 174—192; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 459—492.
32. Theoremata circa residua ex divisione potestatum relicta. Novi comment.
Acad. Petropol., t. 7, 1761, pp. 49—82. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 260—273; Opera omnia, (1), t. 2, pp. 493—518.
33. Solutio problematis de investigatione trium numerorum, quorum tarn
summa, quam productum, nee non summa productorum ex binis, sint nu-
meri quadrati. Novi comment. Acad. Petropol., t. 8, 1763, pp. 64—73.
To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 239—244; Opera omnia, (1), v. 2,
pp. 519—530.
34. Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 8, 1763, pp. 74—104. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849,
pp. 274—286; Opera omnia, (1), v. 2, pp. 531—555.
35. Supplementum quorundam theorematum arithmeticorum, quae in nonnul-
lis demonstrationibus supponuntur. Novi comment. Acad. Petropol., t. 8,
1763, pp. 105—128. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 287—296;
Opera omnia, (1), v. 2, pp. 556—575.
36. De resolutione formularum quadraticarum indeterminatarum per numeros
integros. Novi comment. Acad. Petropol., t. 9, 1764, pp. 3—39. To же:
Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 297—315; Opera omnia, (1), v. 2,
pp. 576—611.
37. Specimen algorithmi singularis. Novi comment. Acad. Petropol., t. 9,
1764, pp. 53—69. To же: Opera omnia, (1), v. 15.
38. De numeris primis valde magnis. Novi comment. Acad. Petropol., t. 9,
1764, pp. 99—153. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 356—378;
Opera omnia, (1), 3, pp. 1—46.
39. De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo. Novi comment.
Acad. Petropol., t. 11, 1767, pp. 28—66. To же: Comment, arithm., t. 1,
,1849, pp. 316—336; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 73—111.
329

40. Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes
que reciproques. Mem. Acad. Roy. sci. et belles-lettres, t. 17, 1768»
pp. 83—106. To же: Opera omnia, (1), v. 15.
41. Quomodo numeri praemagni sint explorandi, utrum sint primi, nee ne.
Novi comment. Acad. Petropol., t. 13, 1769, pp. 67—88. To же: Comment,
arithm., t. 1, 1849, pp. 379—390; opera omnia, (1), v. 3, pp. 112—130.
42. a) Vollstandige Anleitung zur Algebra. St.-Petersb., t. 1, 2. 1770 (2-е ed.:
t. 1, 2, 1802). To же: Opera omnia, (1), v. 1, 1911. b) Русск. пер.:
Универсальная арифметика г. Леонгарда Ейлера, переведенная с
немецкого подлинника студ. П. Иноходцевым и И. Юдиным, т. 1, СПб., 1768
(изд. 2: СПб., 1787); Универсальная арифметика г. Леонгарда Ейлера,
переведенная с нем. подлинника адъюнктом П. Иноходцевым и студ.
И. Юдиным, т. 2, СПб., 1769 (2-еизд.: СПб., 1788). Оснований алгебры
г. Леонгарда Ейлера части первой первые три отделения перев. с фр. яз.
на российский со многими присовокуплениями Вас. Висковатовым,
тт. 1, 2. СПб., 1812. с) Франц. пер.: Elements d'Algebre, t. 1, 2. Lyon,
1773 (1774). (2-е ed.: 1795; 3-е ed. 1807, Paris), d) Нем. изд.: Vollstandige
Anleitung zur Algebra, herausgegebene von J. Griison. Bd. 1, 2, Berlin,
1796, 1797. 3-е Theil, enthaltend die Zusatze von de La Grange aus dem
franzosischen ubersetzt und mit eigenen Abhandlungen begleitet von Kaus-
ler, Frankfurt am Mayn, 1796 (Leipzig, 1802—1805; Stuttgart, 1959).[e) Англ.
пер. Elements of Algebra by L. Euler. London, 3-е ed., 1822; 4-e ed.,
1828.
43. De summis serierum numeros Bernoullianos involventum. Novi comment.
Acad. Petropol., t. 14, 1770, pp. 129—167. To же: Opera omnia, (1), 15 pp.
44. De partitione numerorum in partes tarn numero quam specie datas. Novi
comment. Acad. Petropol., t. 14, 1770, pp. 168—187. To же: Comment,
arithm., t. 1, 1849, pp. 391—400; Opera omnia (1), v. 3, pp. 131—147.
45. Solutio problematis, quo duo quaeruntur numeri, quorum productum tarn
summa, quam differentia eorum, sive auctum, sive minutum fiat quadra-
turn. Novi comment. Acad. Petropol., t. 15, 1771, pp. 29—50. To же:
Comment, arithm., t. 1, pp. 414—426. Opera omnia, v. 1—3, pp. 148—
171.
45a. De inventione quotcunque mediarum proportonalium circa radicum ex-
tractionem. Novi comment. Acad. Petropol., t. 14, 1770. p. 1, pp. 188—
214. To же: Opera omnia, (1). t. 6, pp. 240—262.
46. Problematis cujusdam Diophantei evolutio. Novi comment. Acad.
Petropol., 1.17,1773, pp. 24—63. To же: Comment, arithm., 1.1,1849, pp. 450—
472; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 172—210.
47. Observationes circa bina biquadrata, quorum summam in due alia biquad-
rata resolvere liceat. Novi comment. Acad. Petropol., t. 17, 1773, pp. 64—
69. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 473—476; Opera omnia,
(1), v. 3, pp. 211—217.
48. Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata. Nova
acta eruditorum, t. 17, 1773, pp. 193—211. To же: Comment, arithm,
t. 1, 1849, pp. 538—548; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 218—239.
49. Demonstrationes circa residua ex divisione potestatum per numeros primos
resultantia. Novi comment. Acad. Petropol., t. 18, 1774, pp. 85—135.
To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 516—537; Opera omnia, (1),
v. 3, pp. 240—281.
50. Solutio problematis de inveniendo triangulo, in quo rectae ex singulis an-
gulis latera opposita bisecantes sint rationales. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 18, 1774, pp. 171—184. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849,
pp. 507—515; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 282—296.
51. Resolutio aequationis Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 per numeros
tarn rationales quam integros. Novi comment. Acad. Petropol., t. 18, 1774,
pp. 185—197. To же: Comment, arithm. t. 1, 1849, pp. 549—555; Opera
omnia, (1), v. 3, pp. 297—309.
330

52. De resolutione irrationalium per fractiones continuas, ubi simul nova
quaedam et singularis species minimi exponitur. Novi comment. Acad»
Petropol., t. 18, 1774, pp. 218—244. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849,
pp. 570—583; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 310—334.
53. Extrait d'une lettre de M. Euler le рёге a M. Bernoulli, concernant le me-
moire, imprime parmi ceux de 1771, p. 318. Nouv. mem. Acad. Roy. sci.
et belles-lettre, 1774, pp. 35—36; Comment, arithm., t. 1, 1849, p. 584.
To же: Opera omnia, (1), v. 3, pp. 335—337.
54. Problema Diophantaeum singulare. Novi comment. Acad. Petropol., t. 19,
1775, pp. 112—131. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 53—63;
Opera omnia, (1), v. 3, pp. 338—358.
55. De tabula numerorum primorum, usque ad millionem et ultra continuanda,
in qua simul omnium numerorum non primorum minimi divisores expri-
mantur. Novi comment. Acad. Petropol., t. 19, 1775, pp. 132—183. To же:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 64—91; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 359—
404.
56. Extrait d'une lettre de M. Fuss a M. Beguelin. Nouv. Mem. Acad. Berlin,
1779, pp. 340—346. To же: Opera omnia, (1), v. 3, pp. 421—428.
57. Solutio quorundam problematum Diophanteorum. Novi comment. Acad.
Petropol., t. 20, pp. 48—58. To же: Comment, arithm., 1.1,1849, pp. 444—
449; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 405—417.
58. Extrait d'une lettre en mai 1778 a M. Beguelin de M. Euler. Nouv. mem.
Acad. Roy. sci. et belles-lettres, 1779, pp. 337—339. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 270—271; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 418—420.
59. De casibus quibusdam maxime memorabilibus in analysi indeterminata,
ubi imprimis insignis usus calculi angulorum in analysi Diophantea osten-
ditur. Acta Acad. Petropol. 1781, pp. 85—110. To же: Comment, arithm.,
t. 2, 1849, pp. 366—379; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 429—452.
60. De formatione fractionum continuarum. Acta Acad. Petropol., 1782,
pp. 3—29. To же: Opera omnia, (1), v. 15.
61. De tribus numeris quadratis, quorum tarn summa, quam summa producto-
rum ex binis sit quadratum. Acta Acad. Petropol. 1782, pp. 30—39. To же:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 457—461; Suppl. J. A. Euleri conscrip-
tum. Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 462—466; Opera omnia, (1), v. 3,
pp. 453-462.
62. Nova methodus fractiones quaescunque rationales in fractiones simplices
resolvendi. Acta Acad. Petropol., 1783, pp. 32—46. To же: Opera omnia,
(1), v. 6, pp. 370-383.
63. Evolutio prOducti infiniti (1— x)(l— xx)(\— x3). . . etc. in seriem simpli-
cem. Acta Acad. Petropol., 1783, pp. 47—55. To же: Opera omnia, (1),
v. 3, pp. 472-479.
64. De mirabilibus proprietatibus numerorum pentagonalium. Acta Acad.
Petropol., 1783, pp. 56—75. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 105—
115; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 480—496.
65. Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos. Opus-
cula analytica, t. 1, 1783, pp. 64—84. To же: Comment, arithm., t. 1,
1849, pp. 477—484; Opera omnia, (1), v. 3, pp. 497—512.
66. Disquisitio accuratior circa residua ex divisione quadratorum altiorum
que potestatum per numeros primos relicta. Opuscula analytica, t. 1, 1783,
pp. 121—156. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849, pp. 487—506; Opera
omnia, (1), v. 3, pp, 513—543.
67. De criteriis aequationis fxx+gyy—hzz utrum ea resolutionem admittat
nee ne? Opuscula analytica, t. 1, 1783, pp. 211—241. To же: Comment,
arithm., t. 1, 1849, pp. 556—569; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 1—24.
68. De quibusdam eximiis proprietatibus circa^divisores potestatum occuren-
tibus. Opuscula analytica, t. 1, 1783, pp. 242—295. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 1—26; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 25—64.
69. Proposita quacunque progressione ad unitate incipiente, quaeritur quot
ejus terminos ad minimum oporteat, ut omnes producantur? Opuscula
331

analytica, t. 1, 1783, pp. 296—309. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 27—34; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 65—75.
70. Nova subsidia proresolutione formulae axz+l=yy. Opuscula analytica,
t. 1, 1783, pp. 310—328. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 36—
43; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 76—90.
71. Miscellanea analytica. Opuscula analytical. 1,1783, pp. 329—344. Тоже:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 44—52; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 91 —
104.
72. Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum. Acta Acad.
Petropol. 1784, pp. 18—30. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 127—
133; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 105—115.
73. De inductione ad plenam certitudinem evehenda. Acta Acad. Petropol.,
1784, pp. 38—48. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 134—139;
Opera omnia, (1), v. 4, pp. 116—124.
74. De numero memorabili, in summatione progressionis harmonicae natura-
lis occurente. Acta Acad. Petropol., 1785, pp. 45—75. To же: Opera omnia,
(1), v. 15.
75. Considerations super theoremate Fermatiano de resolutione numerorum
in numeros polygonales. Opuscula analytica, t. 2, 1785, pp. 3—15. To же:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 92—98; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 125—
135.
76. De relatione inter ternas pluresve quantitates instituenda. Opuscula
analytica, t. 2, 1785, pp. 91—101. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 99—104; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 136—145.
77. De resolutione fractionum transcendentium in infinitas fractiones cimpli-
ces. Opuscula analytica, t. 2, 1785, pp. 102—137. To же: Opera omnia,
(1), v. 15.
78.
1111 1 1
De summa seriei ex numeris primis formatae — _^f--_.-|_ __—_ _
1111
-|-—-J-—.—__{__ etc., ubi numeri primi formae 4rc—1 habent signum4
У1 £o £io Ol
positivum, formae autem 4л+1 signum negativum. Opuscula analytica,
t. 2, 1785, pp. 240—256. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp.
116—126; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 146—162.
79. De insigni promotione scientiae numerorum. Opuscula analytica, t. 2,
1785, pp. 275—314. To же: Comment, arithm., t. 2, pp. 140—158; Opera
omnia, (1), v. 4, pp. 163—196.
80. Novae demonstrationes circa divisores numerorum formae xx+nyy. Nova
acta Acad. Petropol., t. 1, 1787, pp. 47—74. To же: Comment, arithm.,
t. 2, 1849, pp. 159—173; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 197—220; Леонгарда
Ейлера новые доказательства теорем о делителях чисел вида хх+пуу.
Академические сочинения, выбранные из первого тома Деяний
Академии наук под заглавием Nova acta Academiae scientiarum Petropolita-
nae, ч. 1, 1801; 1801, стр. 7—10.
81. De singulari genere quaestionum Diophantearum et methodo maxime re-
condita eas resolvendi, Nova acta Acad. Petropol., t. 9, 1795, pp. 3—18.
To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 174—182; Opera omnia, (1),
v. 4, pp. 221—234.
82. De casibus quibus hanc formulam x*+kxxyy+y* ad quadratum reducere
licet. Nova acta Acad. Petropol., t. 10, 1797, pp. 27—40; To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 183—189; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 235—244.
83. Utrum hie numerus: 1000 009 sit primus, nee ne? inquiritur. Nova acta
Acad. Petropol., t. 10, 1797, pp. 63—73. To же: Comment, arithm., t. 2,
1849, pp. 243—248; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 245—254.
84. De novo genere quaestionum arithmeticarum, pro quibus solvendis certa
methodus adhuc desideratur. Nova acta Acad. Petropol., t. 11, 1798,
pp. 78—93. To же:ХСоттеп1. arithm., t. 2, 1849, pp. 190—197; Opera
omnia, (1), v. 4, pp. 255—268.

85. De formulis speciei mxx+nyy ad numeros pirmos explorandes idoneis, earum-
que mirabilibus proprietatibus. Nova acta Acad. Petropol., t. 11, 1798,
pp. 78—93. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 249—260; Opera
omnia, (1), v. 4, pp. 269—289.
86. De variis modis numeros praegrandes examinandi, utrum sint primi nee ne?
Nova acta Acad. Petropol., t. 13, 1802, pp. 14—44. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 198—214; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 303—
328.
87. Resolutio formulae Diophanteae ab(maa+nbb)=cd(mcc+ndd) per numeros
rationales. Nova acta Acad. Petropol., t. 13, 1802, pp. 45—63. To же:
Comment, arithm., t. 2, pp. 281—293; Opera omnia, v. 1—4, pp. 329—
351.
88. Facillima methodus plurimus numeros primos praemagnos inveniendi.
Nova acta Acad. Petropol., 1.14,1805, pp. 3—10. To же: Comment, arithm.,
t. 2, 1849, pp. 215—219; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 352—359.
89. Methodus generalior numeros quovis satis grandes perscrutandi, utrum
sint primi, nee ne? Nova acta Acad. Petropol., t. 14, 1805, pp. 11—51.
To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 220—242; Opera omnia, (1), v. 4
pp. 360—394.
90. Illustratio paradoxi circa progressionem numerorum idoneorum sive con-
gruorum. Nova acta Acad. Petropol., 1.14, 1805, p. 51,1.15, 1806, pp. 29—
32. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 261—262; Opera omnia,
(1), v. 4, pp. 395—398.
91. Solutio facilior problematis Diophantei circa triangxilum, in qui rectae
ex angulis latera opposita bisecantes rationaliter exprimantur. Mem. Acad.
Petersb., t. 2, 1810, pp. 10—16. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 362—365; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 399—405.
92. Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite re-
solvendi. Mem. Acad. Petersb., t. 4, 1813, pp. 3—17. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 263—269; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 406—
417.
93. Observationes circa fractiones continuas in hac forma contentas
n
di- 4 +etc •
Mem. Acad. St.-Petersb., t. 4, 1813, pp. 52—74. To же: Opera omnia
(1), v. 16b, pp. 139—161.
94. De divisoribus numerorum in forma mxx+nyy contentorum. Mem. Acad.
St.-Petersb., t. 5, 1815, pp. 3—23. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 272—280; Opera omnia, (1), v. 4, pp. 418—431.
95. Investigatio quadrilateri, in quo singulorum angulorum sinus datam inter
se teneant rationem, ubi artificia prorsus singularia in analysi
Diophantea occurrunt. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 5, 1815, pp. 73—95. To же:
Comment, arithm., t. 2, pp. 380—391; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 1—19.
96. Commentatio in fractionem continuam, qua illustris La Grange potestates
binomia les expressit. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 6, 1818, pp. 3—11.
To же: Opera omnia, (1), v. 16b, pp. 232—240.
97. Solutio succincta et elegans problematis, quo quaeruntur tres numeri
tales, ut tarn summae quam differentiae binorum sint quadrata. Mem. Acad.
St.-Petersb., t. 6, 1818, pp. 54—65. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 392—396; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 20—27.
98. Probleme de geometric resolu par Г analyse de Diophante. Mem. Acad.
St.-Petersb., t. 7, 1820, pp. 3—9. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849,
pp. 488—491; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 28—34,
333

99. De casibus quibus formulam x*+mx2y2+y* ad quadratum reducere licet,.
Mem. Acad. St.-Petersb., t. 7, 1820, pp. 10—22. To же: Comment, arithm.,.
t. 2, 1849, pp. 492—500; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 35—47.
100. De binis formulis xx+myy et xx+nyy inter se concordibus et discordibus..
Mem. Acad. St.-Petersb., t. 8, 1822, pp. 3—16; To же: Comment, arithm.,.
t. 2, 1849, pp. 406—413; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 48—60.
101. Investigate) trianguli, in quo distantiae angulorum ab ejus centro gra-
vitatis rationaliter exprimantur. Nova acta Acad. Petropol., t. 12, 1801,
pp. 101—113. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 294—301; Opera
omnia, (1), v. 4, pp. 290—302.
102. De tribus pluribusve inveniendis, quorum summa sit quadratum, quadra-
torum vero summa biquadratum. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 9, 1824,
pp. 3—13. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849. pp. 397—402; Opera
omnia, (1), v. 5, pp. 61—70.
103. Resolutio facilis quaestionis deficillimae, qua haec formula maxime
generalis vvzz(axx+byy)2+Axxyy(auu+bzz)2 ad quadratum, reduci
postulate. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 9, 1824, pp. 14—19. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 414—417; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 71—76.
104. Solutio problematis Fermatiani de duobus numeris, quorum summa sit
quadratum, quadratorum vero summa biquadratum, ad mentem ill.
Lagrange aboranta. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 10, 1826, pp. 3—6. To же:
Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 403—405; Opera omnia, (1), v. 5,
pp. 77-81.
105. De, insigni promotione analysis Diophanteae. Mem. Acad. St.-Petersb.,
t. 11, 1830, pp. 1—11. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 418—
424; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 82—93.
106. Solutio problematis difficillimi, quo hae duae formulae aaxx+bbyy et
aayy+bbxx quadrata reddi debent. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11, 1830,
pp. 12—30. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 425—437; Opera
omnia, (1), v. 5, 94—115.
107. Investigatio binorum numerorum formae xy(x*— i/4) quorum productum
sive quotus sit quadratum. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11, 1830, pp. 31—
45. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 438—446; Opera omnia, (1),
v. 5, pp. 116—130.
108. De binis numeris quorum summa sive aucta sive minuta tarn unius quam
alterius quadrato producat quadrata. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11,
1830, pp. 46—48. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 447—449;
Opera omnia, (1), v. 5, pp. 131—134.
109. Dilucidationes circa binas summas duorum biquadratorum inter se aequa-
les. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11, 1830, pp. 49—57. To же: Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 450—456; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 135—145.
110. De resolutione hujus aequationis 0=a+bx+cy+dxx+exy+fyy+gxxy +
+hxyy+ixxyy per numeris rationales. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11,
1830, pp. 58—68. To же: Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 467—473;
Opera omnia, (1), v. 5, pp. 146—156.
111. Methodus nova et facilis formulas cubicas et biquadraticas ad quadratum
reducendi. Mem. Acad. St.-Petersb., t. 11, 1830, pp. 69—91. To же:
Comment, arithm. t. 2, 1849, pp. 474—487; Opera omnia, (1), v. 5, pp. 157—
181.
112. Tractatus de numerorum doctrina capita XVI, quae supersunt. Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 501—575. To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 182—
283.
113. Considerationes circa analysin Diophanteam. Comment, arithm., t. 2,
1849, pp. 588—592. To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 284—302.
114. Theorema arithmeticum ejusque demonstratio. Comment, arithm., t. 2,
1849, pp. 588—592. To же: Opera omnia, (1), v. 6.
115. De quadratis magicis. Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 593—602. To же:
Opera pcistuma, i, 1, 1863, pp. 140—151; Opera omnia, (1), v. 7, pp. 441—
457,
334

Иб. Recherches sur le ргоЫёте de tfois noinbres carres tels, que la soinihe
de deux quelconques, moins le troisieme, fasse un nombre carre. Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 603—616. To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 303—
329.
117. Recherches ulterieurs et tres curieuses sur le probleme de quatre nombres
posititifs et en proportion arithmetique tels, que la somme de deux
quelconques soit toujours un nombre carre. Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 617—
625. To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 340—352.
118. De numeris amicabilibus. Comment, arithm., t. 2, 1849, pp. 627—636.
To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 353—365.
119. Fragmenta commentationes cujusdam majoris, de invenienda relatione
inter latera triangulorum, quorum area rationaler exprimi possit. Comment,
arithm., t. 2, 1849, pp. 648—651. To же: Opera omnia, (1), v. 5, pp. 366—
370.
120. Problema algebraicum de inveniendis quatuor numeris, ex datis totidem
productis uniuscujusque horum numerorum in summas trium reliquorum.
Opera post., t. 1, 1862, pp. 282—287. To же: Opera omnia, (1), v. 6,
pp. 494—503.
121. Fragmenta arithmetica ex adversaria mathematicae deprompta. Opera
post., t. 1, St.-Petersb., 1862, pp. 157—266.
122. Continuatio fragmentorum ex adversaria mathematicae deprompta. Opera
post., t. 1. 1862, pp. 487—518.
123. Fragmentum ex adversariis depromptum. Opera post., t. 2, 1862,
pp. 824—826; Opera omnia, (1), t. 23.
124. Correspond ance ma them, et phys. de quelques celebres geometres du
XVIII siecle, t. 1, 2, St.-Petersb., 1843.
125. Oeuvres completes en francais de L. Euler, tt. 1—5, Bruxelles, 1839.
126. Commentationes arithmeticae collectae, tt. 1, 2, St.-Petersb., 1849.
127. Opera postuma mathematica et physica, tt. 1, 2, 1862, St.-Petersb.
128. Opera omnia, (1), tt. 1, 1911; t. 2, 1915; t. 3, 1917; t. 4, 1941; t. 5, 1944;
t. 6, 1921; t. 8, 1922; t. 9, 1945; t. 14, 1924; t. 15, 1927; t. 16, 1933; t. 16a,
1935.
129. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel. 1729—1764. He-
rausgegeben und eingeleiten von A. P. Juskevic and E. Winter. Berlin,
1965.
ЛИТЕРАТУРА ПО ИСТОРИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В РОССИИ
1. Беспамятных Н. Д. Арифметические исследования в России
в XIX в. Уч. зап. Гродненск. пед. инст., вып. 2, 1957, стр. 3—42.
2. Васильев А. В. Целое число. Пгр., 1919 (2-е изд.: Пгр., 1922).
3. Васильев А. В. Математика. Пгр., 1921.
4. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.—Л., 1937.
5. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX
столетия. М., 1960.
6. Виноградов И. М. Русская математика. Краткий очерк развития
оригинальных школ и направлений. Славяне, № 5—6, 1942, стр. 74—
75.
7. Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России. М., 1946.
8. Д а х и я С. А. «Журнал элементарной математики» и «Вестник опытной
физики и элементарной математики», ИМИ, вып. 9, 1956, стр. 537—612.
9. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. М.—Л., 1947.
10. ДелонеБ. Н. Развитие теории чисел в России. Уч. зап. МГУ, вып. 91,
т. 1, кн. 1, стр. 77—96.
11. Депман И. Я. История арифметики. М., 1959.
12. Д е п м а н И. Я. С.-Петербургское математическое общество. ИМИ,
вып. 13, 1960, стр. 11—106.
13. История отечественной математики, тт. 1, 2. Киев, 1966, 1967.
335

14. Киселев А. А., Ожигова Б. П. К истории элементарного
метода в теории чисел. Actes du XI Congres intern. d'Histoire des sciences
(1965), t. 3, Warszawa, 1967, pp. 244—249.
15. К и с e л e в А. А., С л а в у т с к и й И. Ш. Роль чисел и многочленов
Бернулли в теории чисел. Тез. конф. Лен. отд. Советск. нац. объедин.
истор. естествозн. и техн., Л., 1966, стр. 9.
16. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.—Л.,
1937.
17. ЛихинВ. В. Теория функций и чисел Бернулли и ее развитие в
трудах отечественных математиков. ИМИ, вып. 12, 1959, стр. 59—*
134.
18. ЛихинВ. В. Приложения чисел Бернулли к теории чисел. Научн.
зап. Полтавск. пед. инст., сер. физ.-мат., т. 13, вып. 3, 1963 (на укр. яз.).
19. Математика в Петербургском—Ленинградском университете. Л.,
1970.
20. М о р о з о в а Н. Н. Теория чисел в Московском университете в XIX в.
Уч. зап. Моск. обл. пед. инст. им. Крупской, т. 98, 1960, стр. 3—46.
21. М о р о з о в а Н. Н. Теория чисел в Казанском университете в XIX в.
Уч. зап. Моск. обл. пед. инст. им. Крупской, т. 123. Тр. каф. в. алгебры,
элемент, матем. и методики матем., вып. 3, 1963, стр. 81—114.
22. Морозова Н. Н. Из истории преподавания математики в Дерпт-
ском университете. Уч. зап. Моск. обл. пед. инст. им. Крупской, т. 123,
каф. в. алг., элемент, математ. и методики матем., вып. 3,1963, стр. 115—
121.
23.Морозова Н.Н. Теория чисел в русских университетах в XIX веке.
Автореф. канд. дисс, М., 1968.
24. НалбандянМ. Б. Теория эллиптических функций и ее приложения
в трудах русских математиков XIX—начала XX в.. ИМИ, вып. 17,
1966, стр. 361—370.
25. Рыбников К. А. История математики. М., т. 1, 1961, т. 2, 1963.
26. Смирнов В. И. Русская математика XIX и XX вв. Природа, № 3,
1945, стр. 17-23.
27. Сушкевич А. К. Материалы к истории алгебры в России. ИМИ,
вып. 4, 1951, стр. 237—449.
28. С т р о й к Д. Краткий очерк истории математики. Изд. «Наука», М.,
1964. Пер. и дополнения И. Б. Погребысского.
29. Юшкевич А. П. В кн.: История Академии наук СССР, т. 1, 1958,
стр. 70—84, 187—195, 341—352, т. 2, 1964, стр. 34-52, 286-306, 373—
484 (Во втором томе совместно с В. И. Смирновым).
30. Юшкевич А. П. История математики в России. М., 1968.
31. ЮшкевичА. П. Математика. В кн.: История естествознания в
России, М., т. 1, 2, 1960.
31. Cantor М. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik, Bd. 1—4,
Leipzig, 1897.
33. Dickson L. E. History of the theory of numbers, v. 1—3, Washington,
1919—1923, (2-е ed.: New York, 1934).
34. Encyclopedic des sciences mathematiques, t. 1, v. 3, f. 1—3, Paris,
1906-1908.
35. Enzyklopadie der mathematische Wissenschaften, Leipzig, 1898-
1934.
36. Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,
Bd. 1, 2, Leipzig, 1909.
37. S m i t h H. J. S. On the present state and prospects of some branches
of pure Mathematics (1876). Collected Math. Papers, v. 1, 2, 2-е ed., New
York, 1965.
336

ПЕРСОНАЛИЯ
Агрономов Н. А.
1. Сборник, посвященный памяти Н. А. Агрономова. Тр. Дальневост. унив.,
сер. 15, № 6, 1930.
Алексеев В. Г.
1. Донцы XIX века. Биографии и материалы для биографий. Новочеркасск,
1907, стр. 1—3.
Алексеевский В. П.
1. СтекловВ. А. иСинцов Д. М. Отзыв об ученых трудах приват-
доцента В. П. Алексеевского. Зап. Харьк. унив., т. 1, 1904, стр. 1—11.
2. Синцов Д.М. Некролог В. П. Алексеевского. Сообщ. Харьк. мат. общ.,
/2/, т. 15, стр. 288-295.
Андреевский М. А.
1. Венгеров С. А. Критико-биографический словарь русских
писателей и ученых, т. 1, СПб., 1900, стр. 544, 954—955.
Бартельс М. Ф.
1. Биографический словарь профессоров и преподавателей Юрьевского
б. Дерптского университета за 100 лет его существования, т. 1, Юрьев,
1902, стр. 163—167.
2. Д е п м а н И. Я. М. Ф. Бартельс — учитель Н. И. Лобачевского. ИМИ,
вып. 3, 1950, стр. 475—485.
Бугаев Н. В.
1. Адрес профессору Н. В. Бугаеву. Прилож. к протоколу 92—93-го
заседания ИФМО, /2/, т. 9, № 4, 1899, стр. 55.
2. Адрес Московскому математическому обществу. Прилож. к проток,
заседания ИФМО, /2/, т. 4, № 3, 1894, стр. 29—30.
3. Алексеев В. Г. Н. В. Бугаев и проблемы идеализма Московской
математической школы. Юрьев, 1905.
4. АндреевскийМ. А. По поводу сочинения Бугаева «Учение о
числовых производных». Мат. сб., т. 5, вып. 4, 1870, стр. 420.
5. Б е л ы й А. Московский чудак. М., 1927.
6. Б е л ы й А. На рубеже двух столетий. М.—Л., 1930.
7. Бобылев Д. К. Бугаев Николай Васильевич. В кн.:
Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона, т. 4-а, СПб., 1891.
8. Б о б ы л е в Д. К. Бугаев Николай Васильевич. В кн.: Критико-био-
графич. словарь С. А. Венгерова, т. 1, СПб., 1900, стр. 359.
9. БСЭ, т. 6, 1951, стр. 218.
10. Выгодский М. Я. Математика и ее деятели в Московском
университете во второй половине XIX в. ИМИ, вып. 1, 1948, стр. 141—183.
См. стр. 165—175.
11. Егоров Д. Ф. Научные труды Н. В. Бугаева. Киев, 1904.
12. Ж у к о в с к и й Н. Е. О работах В. Я. Цингера по механике. Собр. соч.,
т. 7, М., 1950, стр. 258—261.
13. К а г а н В. Ф. Бугаев Николай Васильевич. БСЭ, т. 7, 1-е изд., 1927.
14. К а г а н В. Ф. Бугаев Николай Васильевич. В кн.: Энциклопедический
словарь, А. Гранат, стр. 45—46.
15. К и с е л е в А. А., О ж и г о в а Е. П.'П.!Л. Чебышевна съездах русских
естествоиспытателей и врачей. ИМИ, вып. 15, 1963, стр. 291—317.
16. Когбетлянц Э. Аритмологическая аналогия тригонометрическим
рядам Фурье. Сообщ. Харьк. мат. общ., /2/, т. 16, №№ 1—2, 1918, стр.
55—72.
17. Кубилюс Й. П. Свертки арифметических функций и предельные
теоремы для суммы независимых случайных величин. Вестн. ЛГУ,
сер. мат. и мех., № 1, 1959.
18. Л а х т и н Л. К. Труды Н. В. Бугаева в области анализа. Мат. сб., т. 25,
вып. 1905, стр. 322—330.
337

19. Л а х т и н Л. К. Николай Васильевич Бугаев (биографический очерк).
Мат. сб., т. 25, вып. 2, 1904, стр. 251—269.
20. Л и х о л е т о в И. И. иЯновскаяС. А. Из истории преподавания
математики в Московском университете. ИМИ, вып. 8,1955, стр. 127—480.
21.МининА. П. О трудах Н. В. Бугаева по теории чисел. Мат. сб., т. 25,
вып. 2, 1904, стр. 293—321.
22. Некрасов!!. А. идр. Николай Васильевич Бугаев. Речи,
произнесенные в засед. Моск. мат. общ. 16 марта 1904 г., М., 1904.
23. Некрасов П. А. Московская философско-математическая школа
и ее основатели. Мат. сб., т. 25, вып. 1, 1904.
24. Романов Н. П. Элементарные доказательства некоторых предельных
теорем теории чисел. Тр. Среднеазиатск. унив., т. 54, 1954, стр. 23—27.
25. ЧебышевП.Л. Сообщение на 3-м съезде русских естествоиспытателей.
Тр. 3-го съезда русск. естествоисп., отд. мат., Киев, 1873. То же:
Протоколы секционных заседаний 3-го съезда русск. естествоисп., Киев.
26. Шевелев Ф. Я. Краткое обозрение ученых трудов профессора
Н. В. Бугаева (публикация). ИМИ, вып. 12, 1959, стр. 525—558.
27. Шевелев Ф. Я. Из истории Московского математического общества.
Вестн. Моск. унив., т. 2, 1963, стр. 65—73. См. также: т. 6, стр. 71—78.
28. Шевелев Ф. Я. К истории Московского математического общества.
Ист. и методология естеств. наук, вып. 5, М., 1966, стр. 62—74.
29. Шевелев Ф. Я. О некоторых сторонах деятельности Московского
математического общества и его членов. Уч. зап. Волог. пед. инст., т.
30, 1966.
30. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 349—
350, 483—489 и др.
31. Amitsur L. A. On arithmetical functions. J. analyse math., vol. 5,
part. 2, 1956—1957, pp. 174—314.
32. AmitsurL. A. Some results on arithmetical functions. J. math. Soc,
Japan, 1959, v. 11, N 4, pp. 275-290.
33. В e 11 E. T. Algebraic arithmetic. New York, 1927.
34. CashwellE. D., Everett C. J. The Ring of number-theoretic
functions. Pacific Journ. Math., v. 9, n 4, 1959, pp. 975—985.
35. Cesaro E. Sur diverses questions d'arithmetique. Bruxelles, 1883.
36. Cipolla M. Specimen de Calcolo aritmetico-integrale. Revista de Ma-
tem., t. 9-a, Torino, 1908.
37. Cipolla M. Sui principi del calcolo aritmetico-integrale. Atti Accad.
Gioenia (5), v. 8, Catania, 1915, pp. 7—34.
38. С о m m e n t P. Sur la structure du groupe des unites de Tanneau des fonc-
tions arithmetiques. Rendiconti di matem. e delle sue applicazioni. Roma,
(5), v. 16, f. 1—2, 1957, pp. 250—254. (A M. Cipolla in memoriam).
39. Gegenbauer L. Uber einige zahlentheoretische Functionen. Sit-
zungsber. Akad. Wiss., Wien, Math.-Nat. KL, Bd. 89, Abt. 2-a,
1884, SS. 37—79. ..
40. Gegenbauer. Uber ein Theorem des Herrn Baker. Sitzungsber. Akad.
Wiss., Wien, Bd. 102, Abt. 2-a, 1893, p. 951.
41. Gegenbauer L. Uber eine Relation des Herrn Nasimoff. Sitzungsber.
Akad. Wiss. Bd. 102, Abt. 2-a, 1893, SS. 1265-1294.
42. Gegenbauer L. Note fiber die Exponentialfonction. Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Bd. 95, Abt. 2, 1887, стр. 846-850.
43. Gegenbauer L. Uber Primzahlen. Sitzungsber. Akad. Wiss., Wien,
Bd. 94, Math.-Nat. KL, Abt. 2, 1887, SS. 903-910.
44. Gegenbauer L. Uber ein Theorem des Herrn Bugajef. Sitzungsber.
Akad. Wiss. Wien, Math.-Nat. KL, Bd. 95, Abt. 2, 1887, SS. 219-224.
45. Gegenbauer L. Zahlentheoretische Notiz. Sitzungsber. Akad. Wiss.,
Wien, Math.-Nat. KL, Bd. 97, Abt. 2-a, 1889, SS. 420-426.
46. Gegenbauer L. Arithmetische Bemerkung. Monatshefte fur Math.,
und Phys., Wien, 1893, Bd. 7, S. 26.
338

47. Gram J. P. Undersogfclser angaaende Maengen af Primtal under en given
Graense. Det Kongelige Danske Videnscabernes selskabs skrifter. Nat.-
Math. (6), v. 2, 1884, Kjobenhavn, pp. 183—307.
48. Hermite G. Usage des produits infinies dans la theorie des fonctions
elliptiques. Acta math., t. 4, 1884, pp. 89—92.
49. Pellegrino F. Svilluppi moderni del calcolo numerico integrale
di Michele Cipolla. Atti del quarto Congresso dell'Union matem. Italiana
tenuto in Taormina Nei Gioni 25—31 ottobre 1951, Roma, v. 2, 1953,
pp. 161-168.
50. Pellegrino F. Lineamenti di una teoria delle funzioni aritmetiche.
Univ. di Roma istituto nazionale di alta matem. Rendiconti di matem.
e delle sue applicazioni, Roma, (5), v. 15, 1956, f. 3—4, pp. 469—504.
51. Popken J. On convolutions in number theory. Indigat. math., t. 17,
1955, pp. 10—15.
52. S u с с i F. Sulla espressione del quoziente integrale di due funzioni
aritmetiche. Univ. di Roma istituto naz. di alta matem. Rendiconti di
matem. e delle due applicazioni. Roma, (5), v. 15, f. 1—2, 1956, pp. 80—92.
53. S u с с i F. Una generalizzatione delle funzioni aritmetiche completamente
multiplicative. Rendiconti di mat. e delle sue applicazzioni, Roma, (5),
v. 16, f. 1—2, 1957, pp. 255—280.
54. Teixeira G. Remarques sur un travail publie par N. Bougaief.
55. YamamotoK. Theory of.arithmetical linear transformations. J. Math.
Soc. Japan, v. 7, 1955, pp. 324—334.
56. Vaidynathaswamy R. The theory of multiplicative arithmetical
functions. Trans. Amer. Math. Soc, v. 31, N 1, 1931, pp. 579—662.
Буняковский В. Я.
1. Андреев К. А. Виктор Яковлевич Буняковский. Харьков, 1890.
2. Материалы для биографического словаря действительных членов
Академии наук, ч. 1, Пгр., 1915, стр. 73—78.
3. Мельников И. Г. О работах В. Я. Буняковского по теории чисел.
Тр. ИИЕТ, т. 17, ист. физ.-мат. наук, М., 1957, стр. 270—286.
4. Мельников И. Г. и Славутский И. Ш. О двух забытых
доказательствах закона взаимности. Тр. ИИЕТ, т. 28, ист. физ.-мат. наук,
1959, стр. 201-218.
5. Некролог. Отчет о состоянии и деятельн. С.-Петерб. унив. за 1889 г. СПб.,
1890, стр. 3—4.
6. Некролог. Сообщ. Харьк. мат. общ., /2/, т. 2, 1889, стр. 149—161.
7. Некролог. Педагог, сб., т. 1, СПб., 1890, стр. 103—106.
8. Описание празднования докторского юбилея вице-президента имп.
Академии наук академика тайного советника В. Я. Буняковского 19 мая
1875 г. СПб., 1876.
9. Отрадных Ф. П. В. Я. Буняковский — профессор Петербургского
университета. Вестн. ЛГУ, сер. мат., физ. и хим. наук, вып. 2, № 5,
1955, стр. 49—54.
10. Прудников В. Е. В. Я. Буняковский — ученый и педагог.
Учпедгиз, М., 1954,
И. Трипольский П. И. Виктор Яковлевич Буняковский. Харьков, 1890.
12. Киро С. Н. В кн.: История отечеств, математики, т. 2, Киев, 1967,
стр. 86—95.
Васильев А. В.
1. Васильев А. В. Автобиография. В кн.: С. А. Венгеров. Критико-
биографический словарь русских писателей и ученых, т. 4, отд. 2, СПб.,
1895, стр. 135-141.
2. ПарфентьевН. Н. А. В. Васильев как математик и философ. ИФМО,
/3/, т. 4, вып. 1, 1929—1930, стр. 92—104. См. также: Уч. зап. Каз. унив.,
кн. 6, 1930, стр. 943—956.
3. Парфентьев Н. Н. Заслуженный профессор математики Александр
Васильевич Васильев. ИФМО, /2/, т. 24, вып. 2, 1924, стр. 2—7.
339

4. Синцов Д. М. Александр Васильевич как педагог и популяризатор.
Мат. образ., вып. 6, 1930, стр. 177—184.
5. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 520—521.
Ващенко-Захарченко М. Б.
1. Гайдук Ю. М. О роли педагогов-математиков М. Е.
Ващенко-Захарченко и М. С. Волкова в популяризации идей Лобачевского. Мат. в школе,
№ 2, 1956, стр. 74-76.
2. Грацианская Л. Н. Михайло Егорович Ващенко-Захарченко.
Наук. щор1чник мех.-мат. ф-ту Кшвск. унив., 1956, стр. 511—513.
3. Грацианская Л. Н. М. Е. Ващенко-Захарченко. ИМИ, вып. 14,
1961, стр. 441—464.
4. П о с с е К. А. М. Е. Ващенко-Захарченко /1825—1912/. Некролог. ЖМНП,
т. 42, 1912, стр. 49—51.
5. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 492—
494.
Вейраух К.
1. Биографический словарь профессоров и преподавателей Юрьевского —
б. Дерптского унив. за 100 лет, т. 1—3, под ред. Г. В. Левицкого. Юрьев,
1902.
Вельмин В. П.
1. Математика в СССР за 40 лет, т. 1, 2, М., 1959.
Виноградов И. М.
1. Математика в СССР за 40 лет, т. 1, 2, М., 1959. •
2. Д е л о н е Б. Н. Петербургская школа теории чисел, М., 1947, стр. 318—
410.
3. История отечественной математики, т. 3, Киев, 1968, стр. 226—233, стр. 642
(библиография работ, посвященных И. М. Виноградову).
Висковатов В. И.
1. J.C. Poggendorff. Biographisch-literarisches Handworterbuch,
Bd. 2, Leipzig, 1863, S. 1311.
2. Хованский A. H. Приложение цепных дробей и их обобщений
к вопросам приближенного анализа, М., 1956, стр. 31—34, 163—175.
Вороной Г. Ф.
1. Б р а й ц е в И. Р. Г. Ф. Вороной. Некролог. Сообщ. Харьк. мат. общ.,
/2/, т. И, 1908, стр. 197.
2. ВейбергС. А. Участие Г. Ф. Вороного в решении некоторых задач
геометрической кристаллографии. Проток, засед. общ. естествоисп.
при Варшавск. унив. за 1909 г., №№ 1—2, 1910, стр. 5—9.
3. ВенковБ. А. К работе «О некоторых свойствах положительных
совершенных квадратичных форм. В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 2,
Киев, 1952, стр. 379—385.
4. ВенковБ. А. О научном дневнике Г. Ф. Вороного. УМЖ, т. 3, № 3,
1951, стр. 279—289.
5. ВенковБ. А. К работе «О числах Бернулли» . В кн.: Е. Ф. Вороной.
Собр. соч., т. 1, Киев, 1952, стр. 392.
6. Венков Б. А. К работе «Заметки о неопределенных квадратичных
формах». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 225.
7. Венков Б. А. К работе «Заметки к сочинению „Общая теория
приведения квадратичных форм"». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 226, 227.
8. Венков Б. А. К работам «Заметки о неопределенных формах», /2/
и «О неопределенных квадратичных формах». В кн.: Г. Ф. Вороной.
Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 228—234.
9. Г р а в е Д. А. Прозагальнення алгоритма Вороного. Журн. мат. циклу
Всеукр. Акад. наук, т. 1, № 2, 1933.
10. Д е л о н е Б. Н. Вороной Г. Ф. В кн.: БСЭ, т. 13, 1929, стр. 162—163.
340

11. Д е л о н е Б. Н. Юрий Тодосьевич Вороной. Журн. мат. циклу Всеукр.
Акад.. наук, т. 1, № 2, 1933, стр. 15—16.
12. ДелонеБ. Н. К работам «О целых алгебраических числах, зависящих
от корня уравнения третьей степени» и «Об одном обобщении алгоритма
непрерывных дробей». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 1, Киев, 1952,
стр. 394—395.
13. Делоне Б. Н. К работе «Исследования о примитивных параллелоэд-
рах». Вчкн.: Вороной Г. Ф. Собр. соч., т. 2, Киев, 1952, стр. 386—388.
14. К и с е л е в А. А. К сообщению «Об определении суммы квадратичных
вычетов простого числа р вида 4т+3 при помощи чисел Бернулли».
В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, 1953, стр. 203—204.
15. Л инник Ю. В. К работе «Об одной задаче из теории асимптотических
функций». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч.,т. 2, Киев, 1952, стр. 369—372.
16. Л инникЮ. В.К работе «Об одной трансцендентной функции и ее
приложениях к суммированию некоторых рядов». В кн.: Г. Ф. Вороной.
Собр. соч., т. 2, Киев, 1952, стр. 373—376.
17.Л инникЮ. В. К работе «О разложении посредством цилиндрических
функций». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 2, Киев, 1952, стр. 377—
378.
18. М а р к о в А. А. Записка об ученых трудах профессора Г. Ф. Вороного.
Изв. Петерб. Акад. наук, /6/, т. 2, № 1, 1908, стр. И.
19. М а р к о в А. А. Г. Ф. Вороной. 1868—1908. Изв. Петерб. Акад. наук,
/6/, т. 2, № 17, 1908, стр. 1247-1248.
20. Отзыв комиссии по присуждению премии Буняковского о работах
Г. Ф. Вороного. Изв. Петерб. Акад. наук, /6/, т. 6, вып. 4,1897, стр. 428—
430.
21. Погребысский И. Б. Обзор архивных материалов о Г. Ф.
Вороном. В кн. Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 448—451.
22. Погребысский И. Б. Рукописный фонд Г. Ф. Вороного.
В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 251—260.
23. Ч у да к о в Н. Г. О некоторых рукописях Г. Ф. Вороного, относящихся
к аналитической теории чисел. В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3,
Киев, 1953, стр. 211—224.
24. Ш а ф а р е в и ч И. Р. К сообщению «О числе корней сравнения третьей
степени при простом модуле». В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 205.
25. Шафаревич И. Р. К работе «Заметки по поводу последней теоремы
Ферма». В кн.: Вороной Г. Ф. Собр. соч., т. 3, Киев, 1953, стр. 247.
26. ШтокалоИ. 3., Погребысский И. Б. Жизнь и научная
деятельность Г. Ф. Вороного. В кн.: Г. Ф. Вороной. Собр. соч., т. 3, Киев,
1953, стр. 263-304.
Гольдбах X.
1. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel. 1729—1764. Heraus-
gegeben und eingeleitet von A. P. Juskevic und E. Winter. Berlin, 1965,
SS. 1-16.
2. ЧудаковН. Г. О проблеме Гольдбаха. УМН, вып. 4, 1938, стр. 14—33.
Граве Д. А.
1. Б р е у с К. А. Дмитрий Александрович Граве. УМЖ, т. 15, № 3, 1963,
стр. 235—239.
2. Д е л о н е Б. Н. Дмитрий Александрович Граве. 1863—1939. Изв. Акад.
наук, сер. мат., № 4—5, 1940, стр. 349—356. Список трудов Д. А. Граве,
132 назв.
3. ДелонеБ. Н. К геометрии теории Галуа. В сб., посвящ. памяти
акад. Д. А. Граве. М.—Л., 1940, стр. 52—62.
4. Д о б р о в Г. М., С о л о г у б В. С. Памяти Д. О. Граве. ДАН УРСР,
1964, № 5, стр. 697—699.
5. Добровольский В. А. Научно-педагогическая деятельность
Д. А. Граве. ИМИ, вып. 15, 1963, стр. 319—360.
341

6. Добровольский В. А. Дмитрий Александрович Граве, М., 1968.
7. К р а в ч у к М. Ф., К р ы л о в Н. М., П ф е й ф ф е р Г. В., Ш т а е р-
м а н И. Швстолеття науков.-педагопчшн д1ятельностч академша
Д. О. Граве. Bicra. УАН, 1935, № 5, 1963, № 8—10, стр. 59—64.
. 8. ПогребысскийИ.Б. Дмитрий Александрович Граве. Мат. в школе,
№ 5, 1963, стр. 72-74.
9. Пясковский Б. В. До 100-р1ччя з дня народження академша
Д. О. Граве. Нариси з icT. техн. i природозн. Вин. 4. Киев, 1963,
стр. 125—129.
10. Сборник, посвященный памяти академика Дмитрия Александровича
Граве. М.—Л., 1940.
И.Стеклов В. А., Лазарев П. П. иБелопольский А. А.
Записка об ученых трудах Д. А. Граве. ИРАН, т. 18, №№ 12—18, 1924, стр.
448—449.
12.ТесленкоИ.Ф. Академик Дмитрий Александрович Граве (к 50-летию
его научно-педагогической деятельности). УМН, вып. 3, 1937, стр. 222—
233.
13. Ч е б о т а р е в Н. Г. Академик Д. А. Граве. Сб., посвящ. памяти
акад. Д. А. Граве, М.—Л., 1940, стр. 13—14.
14. ЧеботаревН. Г. Академик Дмитрий Александрович Граве. УМН,
вып. 3, 1937, стр. 222—233.
Делоне Б. Н.
1. К шестидесятилетию Бориса Николаевича Делоне. Изв. АН СССР, сер.
мат. № 4, 1950, стр. 297—302.
2. Ф а д д е е в Д. К. Борис Николаевич Делоне. УМН, т. 5, вып. 6, 1950,
стр. 159—163.
3. Член-корреспондент Академии наук СССР, доктор матем. наук Б. Н.
Делоне. Сост. Н. И. Акинфиева. М., 1938.
Егоров Д. Ф.
1.Стеклов В. А., Лазарев П. П. иБелопольский А. А.
Записка об ученых трудах Д. Ф. Егорова. Изв. РАН, т. 18, №№ 12—18,1924,
стр. 445—446.
Ермаков В. П.
1. Букреев Б. Я. Бюграф1я профессора В. П. Ермакова. BicTH. По-
лггехн. шст. Киев, т. 20, 1926, стр. 133—135.
2. Грацианская Л. Н. Василий Петрович Ермаков. ИМИ, вып. 9,
1956, стр. 667—690.
3. Д а х и я С. А. Василий Петрович Ермаков. Матем. в школе, № 6, 1952,
стр. 64—69.
4. Латышева К. Я. О работах В. П. Ермакова (1845—1922) по теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. УМЖ, т. 7, № 2, стр. 231—
238.
5. Латышева К. Я. О работах В. П. Ермакова по теории
дифференциальных уравнений. ИМИ, вып. 9, 1956, стр. 691—722.
6. П о т а п о bJB. С. Работа В. П. Ермакова по векторной алгебре. Из
истории математики. Уч. зап. Сталингр. пед. инст., вып. 3, 1953, стр. 3—8.
7. ПутятаТ. В. иФрадлинБ. Н. Василий Петрович Ермаков. Изв.
Киевск. политехи, инст., т. 19, 1956, стр. 389—400.
2Кбиковский А К
1. Н е ч а е в Н. В. А*. К. Жбиковский. Некролог. ИФМО, (2), т. 10, № 2,
1900, стр. 39—46.
Журавский А. М.
1. Профессор А. М. Журавский. Зап. Ленинградок.горн, инст., т.З, вып. 3,
Математика, М., 1964, стр. 3—8. В списке научных работ А. М. Жу-
равского 74 названия.
Золотарев Е. И.
1. БашмаковаИ. Г. Обоснование теории делимости в трудах Е. И.
Золотарева. ИМИ, вып. 2, 1949, стр. 233—351.
342

2. Башмакова И. Г. [Bachmakova I.J Sur Thistoire de Talgebre
commutative. XII Congres Intern. d'Hist. des sci. Golloques. Textes des
rapports. T. LXXXIX ser. generale, Paris, 1968, pp. 185—202.
3. Васильев А. В. Золотарев Егор Иванович. Русск. биогр. словарь,
т. Ж 3, Игр., 1916, стр. 431-434.
4. Венков Б. А. Егор Иванович Золотарев. В кн.: Б. И. Золотарев.
Собр. соч., т. 1, Л., 1931, стр. 9—11.
5. ДелонеБ. Н. Петербургская школа теории чисел. М., 1947, стр. 93—
140.
6. КоркинА. Н. Записка об ученых трудах доцента Е. И. Золотарева.
Проток, засед. Совета С.-Петерб. унив. за вторую половину 1875/76
акад. г., № 14, 1877, стр. 35—37.
7. Кузьмин Р. О. Жизнь и научная деятельность Егора Ивановича
Золотарева. УМН, т. 2, вып. 6, 1947.
8. ЛивановН. Письмо А. Н. Коркину. В кн.: Е. И. Золотарев. Собр.
соч., т. 2, Л., 1932, стр. 342—343.
9. Мельников И. Г., СлавутскийИ. Ш. О двух забытых
доказательствах закона взаимности. Тр. ИИЕТ, т. 28, ист. физ.-мат. наук,
М., 1959, стр. 201-218.
10. НалбандянМ. Б. Теория эллиптических функций и ее
приложения в работах Золотарева. ИМИ, вып. 16, 1965, стр. 191—206.
И. Ожигова Е. П. Егор Иванович Золотарев. Л., 1966.
12.СлавутскийИ. Ш. Одно обобщение леммы Золотарева. Rev. de ma-
tem. pures et appliq., t. 8, № 13, 1963 (румын).
13. С л а в у т с к и й И. Ш. Одно обобщение леммы Золотарева. Тр. научн.
объедин. физ.-мат. фак. вузов Дальнего Востока., вып. 3, 1963, стр. 81—
82.
14. ЧеботаревН. Г. Новое обоснование теории идеалов /по Золотареву/,
ИФМО, т. 2, вып. 25, 1925.
15. ЧеботаревН. Г. Обоснование теории идеалов по Золотареву. УМН,
т. 2, вып. 6, 1947.
16. Чебышев П. Л. Донесение о магистерской диссертации Золотарева.
Поли. собр. соч., т. 5, М.—Л., 1951, стр. 297.
17. Чебышев П. Л. Донесение о докторской диссертации Золотарева.
В кн.: П. Л. Чебышев. Полн. собр. соч., т. 5, М.—Л., 1951, стр. 299.
18. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России., М., 1968, стр. 350—
357, 366-375.
Иванов И. И.
1. ДепманИ. Я. Петербургское математическое общество. ИМИ, вып. 13,
1960, стр. 11—106.
2. К у з ь м и н Р. О. Иван Иванович Иванов./1862—1939/. Изв. Акад. наук,
сер. мат., т. 4, 1940, №№ 4—5, стр. 357—362.
3. Стеклов В. А., Лазарев П.П., БелопольскийА. А.
Записка об ученых трудах И. И. Иванова. Изв. РАН, т. 18,1924, №№ 12—18,
442-444.
Имшенецкий В. Г.
1. Андреев К. А. Василий Григорьевич Имшенецкий. Харьков. 1895.
2. Андреев К. А. Жизнь и научная деятельность Василия Григорьевича
Имшенецкого. М., 1896.
3. Износков И. А. Воспоминания об В. Г. Имшенецком. ИФМО, /2/,
т. 3, 1893, стр. 37—44.
4. П о р е ц к и й П. С. Новая наука и академик Имшенецкий. Ковно, 1897.
5. С у в о р о в Ф. М. В. Г. Имшенецкий. ИФМО, /2/, т. 2, № 2,1892, стр. 15—
18.
Кауслер X. Ф.
1. Poggendorff J. С. Biographisch-literarisches Handworterbuch. Bd.
1, Leipzig, 1863, S. 1233.
343

Кнезер А.
1. Биография, словарь профессоров и преподавателей Юрьевского б. Дерпт-
ского унив. за сто лет его существования, т. 1, Юрьев, 1902, стр. 197—
198.
2. Стеклов В. А., Л а з а р е в П. П., БелопольскийА. А.
Записка об ученых трудах Адольфа Кнезера. Изв. РАН, т. 18, №№ 12—
18, стр. 452—453.
Клаузен Т.
1. Poggendorff J. С. Biographtsch-literarisches Handworterbuch,
Bd. 1, 1863, Leipzig, SS. 452-454.
Коллинс Э. Д.
1. К и p о С. Н. Академик Э. Д. Коллинс. Вопр. ист. естествозн. и техн.,
вып. 2/31/, 1970, стр. 81-87.
2. Ф у с с П. (Fuss P. Н.) Ed. Collins. Notice biographique. Recueil des actes
de la seance publ. Acad. St.-Petersb., tenue le 29 decembre 1840. St.-
Petersb., 1841, pp. 3—12.
Коркин A. H.
1. ВенгеровС. А. Источники словаря русских писателей, т. 3, СПб.,
1914, стр. 181.
2. Коркин А. Н. Биографический словарь деятелей естеств. и техн.,
т. 1, М., 1958, стр. 444.
3. К о р к и н А. Н. БСЭ, т. 23, 2-е изд., 1953, стр. 8—9.
4. К о р к и н А. Н. Исторический вестник, т. 114, октябрь 1908, стр. 374—
375.
5. Коркин А. Н. Энциклопедич. словарь Брокгауза и Ефрона, т. 16,
СПб., стр. 262—263.
6. К о р к и н А. Н. Вестн. оп. физ. и элем, мат., т. 40, 1908, стр. 329—330.
7. К р о п о т о в А. И. Коркин А. Н. В кн.: История отечеств, математики,
т. 2, 1967, стр. 259-266.
8. Крылов А. Н. Краткий биографический очерк А. Н. Коркина.
В кн.: Воспоминания и очерки, М., 1950, стр. 413—415.
9. Ожигова Е. П. Александр Николаевич Коркин. Л., 1968.
10. ПоссеК. А. А. Н. Коркин. Мат. сб., т. 27, вып. 1, 909, стр. 1—27.
То же: ЖМНП, ч. И, 1908, стр. 25—46.
И. П о с с е К. А. А. Н. Коркин. Сообщения Харьк. мат. общ., /2/, т. 10,
1909, стр. 217—230.
12. Поссе К. А. Заметка о решении двучленных сравнений с простым
модулем по способу Коркина. Сообщ. Харьк. мат. общ., /2/, т. И, 1910,
стр. 249—268.
13. П о с с е К. А. А. Н. Коркин. Отчет о состоянии и деятельности С.-Пе-
терб. унив. за 1908 г., СПб., 1909, стр. 31—42.
14. Р е б и н д е р М. Г. Александр Николаевич Коркин. Проток, общ. есте-
ствоисп. т. 17, 1908, Юрьев, стр. XV—XX.
15. Сохоцкий Ю. В. Записка о трудах ординарного профессора
А. Н. Коркина. Проток. Совета С.-Петерб. унив. за вторую половину
1882/83 акад. г., № 28, СПб., 1884, стр. 53-56.
16. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 350—
357.
Крафт В. Л.
1. Русский биографический словарь, т. Кнаппе—Кюхельбекер, СПб, 1903,
стр. 418.
2. Allgemeine Deutsche Biographie, Bd. 17, 1883, SS. 20—21.
Крафт Г. В.
1. Русский биографический словарь, т. Кнаппе—Кюхельбекер, СПб., 1903,
стр. 418—419.
344

2. ЛысенкоВ. И. О научной переписке между Г. В. Крафтоми Л.
Эйлером. Ист. и методол. естеств. наук, вып. 9, мех. и мат., М., 1970, стр. 227—
238.
3. Allgemeine deutsche Biographie, Bd. 17, 1883, SS. 9—10.
Лахтин Л. К.
1. Биографический словарь профессоров и преподавателей Юрьевск. б.
Дерптск. уиив. за 100 лет. Под ред. Г. В. Левицкого, Юрьев, 1902.
Лобачевский Н. И.
1. А л е к с а н д р о в П. С. Н. И. Лобачевский. УМН, т. 1, вып. I, 1946,
стр. 11—14.
2. Александров П. С, Колмогоров А. Н. Николай Иванович
Лобачевский. М.—Л., 1943.
3. Башмакова И. Г. иЮшкевичА. П. Алгебра или вычисление
конечных Н. И. Лобачевского. ИМИ, вып. 2, 1949, стр. 72—128.
4. Беспамятных Н. Д. О теории отрицательных чисел у
Лобачевского. ИМИ, вып. 3, 1950, стр. 154—170.
5. Васильев А. В. Николай Иванович Лобачевский. Казань, 1894.
6. Васильев А. В. Lobatchevsky as algebraist and analyst. Bull. New
York Math. Soc, v. 3, Juli 1894.
7. К а г а н H. Ф. Лобачевский. Изд. 2-е, M.—Л., 1948.
8.ЛитвиноваЕ.Ф.Н. И. Лобачевский. Его жизнь и научная
деятельность. СПб., 1895.
9. Материалы для биографии Н. И. Лобачевского. Собр. и ред. Л. Б. Мод-
залевский. М.—Л., 1948.
10. ЧеботаревН. Г, Вводная статья и комментарии к Полному
собранию сочинений Н. И. Лобачевского, т. 4, стр. 9—22, 441—444.
Марков А. А.
1. Ахиезер Н. И. Андрей Андреевич Марков. Биографический очерк,
В кн.: А. А. Марков. Избр. тр., М., 1948, стр. 9—12, 377—390
/примечания/.
2. ВенковБ. А. Об экстремальной проблеме Маркова для
неопределенных тройничных квадратичных форм. Изв. Акад. наук, сер. мат., т. 9,
1945, стр. 429—494.
3. Гнеденко Б. В. Андрей Андреевич Марков. Люди русской науки,
М. Л., т. 1, 1948, стр. 179—185.
4. Гнеденко Б. В. Марков Андрей Андреевич. Люди русской науки.
Матем., мех., астрон., физ., химия. М., 1961, стр. 193—199.
5. Гюптер Н. М. О педагогической деятельности А. А. Маркова. Изв.
РАН, т. 17, №№ 1-18, 1923, стр. 35—44.
6. Делоне Б. Н. О работе А. А. Маркова «О бинарных квадратичных
формах положительного определителя». УМН, т. 3, вып. 5,1948, стр. 3—5.
7. Кольцов А. В. Некоторые материалы к биографии академика
А. А. Маркова. Вопр. ист. естеств. и техн., вып. 1, 1956, стр. 204—207.
8. Л и н н и к Ю. В., С а п о г о в Н. А., Тимофеев В. Н., Сарма-
н о в О. В. Очерк работ А. А. Маркова по теории чисел и теории
вероятностей. В кн.: А. А. Марков. Избр. тр., М., 1951, стр. 614—640.
9. Линник Ю. В., Сапогов Н. А., Сарманов О. В.,
Тимофее в В. Н. Комментарии к «Избр. трудам» А. А. Маркова, М., 1951,
стр. 643—678.
10. М а р к о в А. А. /младш./. Биографический очерк. В кн.: А. А. Марков.
Избр. тр., М., 1951, стр. 599—613.
И. Марков А. А. Материалы для биографического словаря
действительных членов Академии наук, ч. 2, Пгр., 1917, стр. 16—18/автобиография/.
12. Н о в л я и с к а я М. Г. К тридцатилетию со дня смерти академика
А. А. Маркова. УМН, т. 7, вып. 6, 1952, стр. 213—215.
13. О g i g о v а Н. Les lettres de Ch. Hermite a A. Markoff. 1885—1899. Revue
d'Histoire des sciences et de leurs applications. Paris, t. 20,1967, pp. 1— 32#
345

14. О т р а д н ы х Ф. П. Эпизод из жизни академика А. А. Маркова. ИМИ,
вып. 6, 1953, стр. 495—508.
15. П о г р е б ы с с к и й И. Б. А. А. Марков. В кн.: История
отечественной математики, т. 2, Киев, 1967, стр. 328—340.
16. С т е к л о в В. А. Об ученых трудах академика А. А. Маркова. Проток.
Совета С.-Петерб. унив. за 1913 г., № 69, 1915, стр. 193—196.
17. С т е к л о в В. А. Андрей Андреевич Марков. Изв. РАН, т. 16, №№ 1—
18, 1922, стр. 169—184. Отд. оттиск/, Л., 1924.
18. Успенский Я. В. Очерк научной деятельности А. А. Маркова.
Изв. РАН, т. 17, 1923, стр. 19-34.
19. ЮшкевичА. П. А. А. Марков. В кн.: История естествознания в
России, т. 2, М. 1960, стр. 94—97.
20. ЮшкевичА. П. История математики в России. М., 1968, стр. 357—
363, 373.
Марков В. А.
1. Депман И. Я. С.-Петербургское математическое общество. ИМИ,
вып. 13, 1960, стр. 87—96.
2. Юшкевич А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 412—
413.
Миндинг Ф. Г.
1. Васильев А. В. Математика, Пгр., 1921.
2. Г а б о в и ч Я. А., Хованский А. Н. Ф. Г. Миндинг и его вклад в
теорию цепных дробей. Наука в Прибалтике в XVIII — начале XIX в.
Рига, 1962, стр. 55—56.
3. Г а л ч е н к о в а Р. И., Л у м и с т е Ю. Г., Ожигова Е. П., П о-
гребысскийИ. Б. Фердинанд Миндинг. Л., 1970.
4. Депман И. Я. Карл Михайлович Петерсон и его кандидатская
диссертация. ИМИ, вып. 5, 1952, стр. 134—164.
5. Кнезер A. (A. Kneser) Ubersicht der wissenschaftlichen Arbeiten Fer-
dinan Minding's nebst biographischen Notizen. Z. Math, und Phys., Bd. 45,
Histor.-litt. Abt., 1900, SS. 113—128.
6. Лумисте Ю. Г. К истории физико-математических наук в Тартуском
университете в середине XIX в. Рига, 1968, стр. 19—24.
7. Ожигова Е. П. Теория чисел в исследованиях профессоров
Тартуского университета. Научн. связи Прибалтики в XVIII—XX вв. Рига,
1968, стр. 58—59.
8. Р я г о Г. Из жизни и деятельности четырех замечательных математиков
Тартуского университета. Уч. зап. Тартуск. унив., т. 37, 1955, стр. 74—
105.
9. Морозова Н. Н. Из истории преподавания математики в Дерптском
университете. Уч. зап. Моск. обл. пед. инст. им. Н. К. Крупской, т. 123,
1963, каф. высш. алг., элем, мат., метод, мат., вып. 3, стр. 115—121.
Мириманов Д. С.
1. Vandiver Н. S. Les travaux mathematiques de Dmitry Mirimanoff.
L'Enseignement math., 1953, pp. 169—179.
Молин Ф. Э.
1* Канунов H. Ф. Вклад Ф. Э. Молина в теорию представления алгебр
и групп конечного порядка. Тез. кратк. научн. сообщ. Междунар.
конгресса математиков. Секц. 15, М., 1966, стр. 16.
2. КануновН. Ф. О работах Ф. Молина по теории представления
конечных групп. ИМИ, вып. 17, 1966, стр. 57—88.
3. Канунов Н. Ф. О работах Ф. Молина, П. Фробениуси Ф. Молин.
Уч. зап. Кабард.-Балкарск. унив., вып. 19, 1963, стр. 155—157.
4. КруликовскийН. Н. Об^изучении'научногошаследетва в архиве
Ф. Э. Молина. Тр. Томск, унив., т. 163, стр. 3—5. V
5. Круликовски^ Нг Ц. История развития математики в Томске,
Томск, 1967.
т

6. М о л и н Ф. Э. В кн.: Биографич. словарь проф. и преподав. Юрьевы*.,
б. Дерптск., унив. за 100 лет его существования, т. 1, Юрьев, 1902,
стр. 173-175.
7. Р я г о Г. Из жизни четырех замечательных математиков Тартуского
университета. Уч. зап. Тартуск. унив., вып. 37, 1955, стр. 74—103.
Назимов П. С.
1. Васильев А. В. Петр Сергеевич Назимов (1851—1901). Некролог.
ИФМО, /2/, т. 12, № 1, 1902, стр. 1—6. Отд. оттиск, Казань, 1903.
2. Gegenbauer L. Uber eine RelationdesHerrn Nasimoff. Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Bd. 102, Abt. 2-a, 1893, S. 951.
Остроградский M. В.
1. А л e к с ejd в В. Г. Михаил Васильевич Остроградский. Биографический
очерк. Юрьев, 1902.
2. Антропова В. И. Михаил Васильевич Остроградский. Вести,
высш. шк., № 9, 1954, стр. 49—56.
3. БашмаковаИ. Г., Сорокина Л. А. О лекциях по
алгебраическому анализу М. В. Остроградского. В кн.: Михаил Васильевич
Остроградский. Педагогическое наследие. Документы о жизни и деятельности.
Под ред. И. Б. Погребысского и А. П. Юшкевича. М., 1961, стр. 137—151.
4. Васильев А. В. Михаил Васильевич Остроградский. Казань. 1904.
5. Гнеденко Б. В. Выдающийся русский ученый М. В. Остроградский.
М., 1952.
6. Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский. Очерк жизни,
научного творчества и педагогической деятельности, М., 1952.
7. ГнеденкоМ. В. Михаил Васильевич Остроградский. Люди русской
науки, т. 1, М., 1943, стр. 99—104.
8. Гнеденко Б. В. Михаил Васильевич Остроградский. Люди русской
науки. Матем., мех., астр., физ., хим. М., 1961, стр. 104—110.
9. Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б. Михаил Васильевич
Остроградский. 1801—1862. Жизнь и работа. Научное и педагогическое
наследие. М., 1963.
10. Г р и г о р ь я н А. Т, Михаил Васильевич Остроградский —
выдающийся русский ученый. М., 1953.
И. Г р и г о р ь я н А. Т. Михаил Васильевич Остроградский. М., 1961.
12. Ж у к о в с к и й Н. Б. М. В. Остроградский. Собр. соч., т. 7, стр. 250—
257.
13. К р о п о т о в А. И., М а р о н И. А. М. В. Остроградский и его
педагогическое наследие. М., 1961.
14. М а р о н, И. А. Общие педагогические взгляды М. В. Остроградского.
ИМИ, вып. 4, 1951, стр. 124—159.
15. Михаил Васильевич Остроградский. Празднование
столетия со дня рождения Полтавским кружком любителей физико-
математических наук. Полтава, 1902. шт
16. Михаил Васильевич Остроградский. Педагогическое
наследие. Документы о жизни и деятельности. Под ред. И. Б.
Погребысского и А. П. Юшкевича. М., 1961.
17. О^трад^ных Ф. П. М. В. Остроградский. Л., 1953.
18. Памяти М."В. Остроградского. Вестн. оп. физ. и элем, матем., № 305,
1901, стр. 97-101.
19. П у т я т а Т. В., Ф р а д л и н Б. М. Михаил Васильевич
Остроградский. До 150—р1ччя з дня нарождения. Кшв, 1951.
20. РемезЕ. Я. О математических рукописях академика М. В.
Остроградского. ИМИ, вып. 4, 1951, стр. 9—98.
21. Сабинин Е. Ф. Михаил Васильевич Остроградский. Одесса, 1881.
22. Сомов И. И. Очерк жизни и ученой деятельности М. В.
Остроградского. Зап. Петерб. Акад. наук, т. 3, 1863, стр. 1—26.
347

23. ШтокалоИ. 3. иПогребысскийИ. Б. Об яздании Полного
собрания научных трудов М. В. Остроградского. Тр. III Всесоюзн. мат.
съезда, т. 1, М., 1956, стр. 233.
Парфентьев Н. Н.
1. Парфентьев Н. Н. Некролог. ИФМО, (3), т. 13,1945, стр. 1—11.
2. С к о п и н Г. А., ШематоноваА. А. Библиографический указатель.
Николай Николаевич Парфентьев. Казань, 1955.
Первушин И. М.
1. Ж о г и н И. И. Иван Михеевич Первушин (к 130-летиюсодня рождения).
Научно-методич. сб. Шадринск. пединст., вып. 1, 1957, стр. 325—330.
2. ЖогинИ. И. иТимофеевВ. П. Неизвестные письма уральского
математика И. М. Первушина. Уч. зап. Свердловск, пед. инст., 1967,
сб. 52, стр. 22—36, Нижн. Тагил.
3. Лахтин Л. К. По поводу одной теоремы теории чисел, найденной
эмпирически И. М. Первушиным. Мат. сб., т. 16, 1892.
4. Р а и к А. Б. Уральский математик Иван Михеевич Первушин. ИМИ,
вып. 6, 1953, стр. 535—572.
5. Чезаро Э. [Cesaro Е.] Sur une formule empirique de M. Pervouchine.
С R., t. 119, 1894, pp. 848—849.
Порецкий П. С.
1. Д у б я г о Д. И. П. С. Порецкий. ИФМО, (2), т. 16, № 1, 1908, стр. 3—7.
2. Памяти Платона Сергеевича Порецкого. Одесса, 1909.
Романовский В. И.
1. НазаровН. Н. Работы В. И. Романовского в области математического
анализа. Тр. Среднеазиатск. унив., сер. 5-а, матем., вып. 19—32. Сб.,
поев, тридцатилетию научной и педагогич. деятельности проф. В. И.
Романовского. Ташкент, 1939, стр. 21—25.
2. Николаев А. Н. Всеволод Иванович Романовский. Биогр. очерк.
Тр. Среднеазиатск. унив., сер. 5-а, матем. Сб., поев, тридцатилетию
научной и педагогич. деятельности проф. В. И. Романовского. Ташкент,
1939, стр. 9—11.
Серпинский В.
1. Мельников И. Г. Выдающийся польский математик Вацлав
Серпинский (к 85-летию со дня рождения). В кн.: В. Серпинский. 250 задач
по элементарной теории чисел. М., 1968, стр. 3—13.
2. Мельников И. Г. Памяти Вацлава Серпинского /1882—1969 гг./
Материалы годичн. конф. Лен. отд. Советск. нац. объедин. истории и
философии естествозн. и техн., Л., 1970, стр. 95—96.
3. VI Polski zjazd matematyczny. Jub. 40-lecia dzialnosci na katedrze uni-
versyteckiej profesora Waclawa Sierpinskiego. Warszawa, 28.9, 1948.
Warszawa, 1949.
Синцов Д. M.
1. Наумов И. А. Д. М. Синцов. Очерк жизни и научно-педагогической
деятельности. Харьков, 1955.
Слудский Ф. А.
1.ЖуковскийН.Е. Биография и ученые труды профессора Ф. А. Слуд-
ского. В кн.: Собр. соч., т. 7, 1950, стр. 192—204.
Сонин Н. Я.
1. ИмшенецкийВ. Г., ЧебышевП. Л., М а р к о в А. А. Отзыв
о работах Н. Я. Сонина. Зап. Петерб. Акад. наук, т. 67,1892, стр. 16—21.
2. КропотовА. И. Николай Яковлевич Сонин. Л., 1967.
3. КропотовА. И. Научное наследие академика Н. Я. Сонина. Научн.
i зап. Лен. финансово-экономич. инст., т. 13, 1953, стр. 153—189.
4. М а р к о в А. А. Н. Я. Сонин. Некролог. Изв. Акад. наук, т. 9, № 5, 1915,
стр. 360—372.
348

5. С о н и н Н. Я. В кн.: Материалы для биогр. словаря действит. членов
Акад. наук, ч. 2. Пгр., 1917, стр. 170—173.
6. Мордухай-Болтовской Д. Д. Очерк научной деятельности
Николая Яковлевича Сонина. Варш. унив. изв., № 3, 1915.
7. Мордухай-Болтовской Д. Д. Очерк научной деятельности
Н. Я. Сонина. Харьков, 1916.
8. Парфентьев Н. Н. Памяти ординарного академика Н. Я. Сонина.
ИФМО, /2/, № 1, 1915, стр. 1-19.
9. П о с с е К. А. Н. Я. Сонин. Некролог. ЖМНП, ч. 7, 1915, июнь, стр. 105—
124.
10. С о н и н Н. Я. Некролог. Сообщ. Харьк. матем. общ., /2/, т. 14, стр. 275—
283.
Сохоцкиё Ю. В,
1. Депман И. Я. С.-Петербургское математическое общество. ИМИ,
вып. 13, 1960, стр. 33—38.
2. Дикштейн С. /Dickstein S./Wspomnienieposmiertne о prof. Sochockim.
Wiadomosci mat., t. 30, 1927—1928, pp. 79—85.
3. КоркинА. H. Записка об ученых трудах профессора Ю. В. Сохоцкого.
Протоколы засед. совета С.-Петерб. унив. за первое полугодие
1882/83 ак. г. № 27, СПб., 1883, стр. 66-67.
4. МаркушевичА. И. Вклад Ю. В. Сохоцкого в общую теорию
аналитических функций. ИМИ, вып. 3, 1950, стр. 399—406.
Успенский Я. В.
1. А. А. М а р к о в, А. Н. К р ы л о в, В. А. С т е к л о в. Записка об ученых
трудах профессора Петроградского университета Я. В. Успенского.
Проток, засед. Общ. собр. РАН, Пгр., стр. 13—15, 1921. Изв. РАН, т. 15,
Пгр., 1921, стр. 4—6.
2. Ожигова Е.П. Математика в Академии наук в первые годы советской
власти. ИМИ, вып. 17, стр. 1966, стр. 387—388.
Фусс Н. И.
1. Ф у с с Н. И. В кн.: Русск. биогр. словарь, т. Фабер — Цявловский,
СПб., 1901.
2. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 196—
198.
Фусс П. Н.
1. Русский биограф, словарь, т. Фабер — Цявловский, СПб., 1901.
2. С т р у в е О. /Struve О./ Eloge de P. Н. Fuss. С. R. Acad. sci. St.-Petersb.,
1856, pp. 89-122.
3. Юшкевич А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 214.
Чебышев П. Л.
1. Ахиезер Н. И. П. Л. Чебышев и его научное наследие.
В кн.: П. Л. Чебышев. Избр. тр., 1955, М., стр. 843—887.
2. Ахиезер Н. И. Краткий обзор математических трудов П. Л. Чебы-
шева. В кн.: П. Л. Чебышев. Избр. тр., М., 1946, стр. 171—189.
3. Бернштейн С. Н. Академик П. Л. Чебышев. /К 50-летней годовщине
его кончины/. Природа, вып. 3, 1945, стр. 78—86.
4. БернштейнС. Н. Чебышев и его влияние на развитие математики.
Уч. зап. Моск. гос. унив., вып. 91, 1947, стр. 35—45.
5. Беспамятных Н. Д. Участие П. Л. Чебышева в работе съездов
русских естествоиспытателей. Уч. зап. Гродненск. пед. инст., т. 1, 1955,
стр. 13—16.
6. В а с и л ь е в А. В. P. L. Tchebychef et son oeuvre scientifique. Bol-
letino di bibliografia e storia delle scienze matematiche. Torino, 1898.
7. Васильев A. B. Tschebyschef und seine wissenschaftlischen Leistun-
gen. Leipzig, 1900.
349

'8. В и я'отрад ов И. М. и Делоне Б. Н. Работы П. Л. Чебышева
по теории чисел. Научн. наследие П. Л. Чебышева, т. 1, М., 1945,
стр. 69—88.
9. Г н е д е н к о Б. В. П. Л, Чебышев. В кн.: Люди русской науки, т. 1,
М.—Л., 1948.
10. Гнеденко Б. В. П. Л. Чебышев. В кн.: Люди русской науки, Мат.,
мех. астр., физ., химия. М., 1961, стр. 129—140.
11. Гуров С. П., Хромиенков Н. А. Великий русский ученый
П. Л. Чебышев. Калуга, 1961.
12. ДелонеБ. Н. Академик П. Л. Чебышев и русская школа математики.
Речь на торжеств, засед. юбилейной сессии Акад. наук СССР. В кн.:
Юбилейная сессия АН СССР 15 июня—3 июля 1945 г. М.—Л., 1945.
13. ДелонеБ. Н. Работы П. Л. Чебышева по теории чисел. В кн.:
Научное наследие П. Л. Чебышева. т. 1, 1945, стр. 69—87 /совм. с И. М.
Виноградовым/.
14. Делоне Б. Н. Пафнутий Львович Чебышев. Красноармеец, 10, 1946,
стр. 7.
15. Делоне Б. Н. Развитие теории чисел в России. В кн.: Роль русской
науки в развитии мировой науки и культуры. Уч. зап. Моск. гос. унив.,
вып. 91, 1947, стр. 77—96.
16. Делоне Б. Н. Комментарии к работе Чебышева «Об одном
арифметическом вопросе». В кн.: П. Л. Чебышев. Поли. собр. соч., т. 1, 1944,
стр. 289—309.
17. Делоне Б. Н. Марков А. А. Доказательство одной теоремы
Чебышева. В кн.: П. Л. Чебышев. Поли. собр. соч., т. 1, 1944, стр. 309—310.
.18. Киселев А. А., Ожигова Е. П. П. Л. Чебышев на съездах
русских естествоиспытателей и врачей. ИМИ, вып. 15, 1963, стр. 291—317.
19. КироС. Н. Математика на съездах русских естествоиспытателей и
врачей. ИМИ, вып. 11, 1958, стр. 133—158.
20. К и р о С. Н. Творчество П. Л. Чебышева. В кн.: История отечественной
математики, т. 2, Киев, 1967, стр. 184—196.
21. К р ы л о в А. Н. Пафнутий Львович Чебышев. М.—Л., 1944.
22. К р ы л о в Н. М., СмирновВ.И. Памяти двух великих русских ученых
второй половины XIX столетия: П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.
Зап. мат. кабинета Крымского унив., Симферополь, т. 3, 1921, стр. XXII.
23. Ляпунов А. М. П. Л. Чебышев. Сообщ. Харьк. мат. общ., /2/, т. 4,
№№ 5—6, 1895, стр. 263—273. То же: П. Л. Чебышев. Избр. мат. тр.,
1946, стр. 9—21.
:24. Научное наследие П. Л. Чебышева, вып. 1, математика. М., 1945.
J25. П о с с е К. А. П. Л. Чебышев. В кн.: Критико-биографич. словарь
С. А. Венгерова, т. 6, СПб., 1897—1904.
26. П о с с е К. А. П. Л. Чебышев. Энциклопедич. словарь Брокгауза и
Ефрона, т. 38, СПб., 1903. То же: П. Л. Чебышев. Собр. соч., т. 2, СПб., 1907.
27. Полное собрание сочинений П. Л. Чебышева, т. 1, 1944, т. 5, 1951.
28. П р у д н и к о в В. Е. П. Л. Чебышев. М., 1970.
29. Прудников В. Е. П. Л. Чебышев — ученый и педагог. Пособие
для учителей. М., 1950 (2-е доп. изд., М., 1964).
30. ПрудниковВ. Е. П. Л. Чебышев и Московский университет в 40-х
годах XIX в. ИМИ, вып. 1, 1948, стр. 184—224.
31. Прудников В. Е. Академик П. Л. Чебышев и русская школа.
Тр. ИИЕТ, т. 3, 1949, стр. 117-135.
32. ПрудниковВ. Е. Московское математическое общество и П. Л.
Чебышев. Природа, № 4, 1949, стр. 53—56.
33. Прудников В. Е. П. Л. Чебышев — выдающийся педагог
отечественной высшей школы. Вестн. высш. шк., № 12, 1954, стр. 52—55.
34. Ю ш к е в и ч А. П. Математика. В кн.: История естествознания в
России, т. 2, 1960, стр. 41—221.
35. Юшкевич А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 343—
349.
350

36. В г о с а г d Н. Sur la frequence et la totalite* des nombres premiers. Nouv.
corr. math., t. 5, 6, 1879—1880J
37. Catalan E. Demonstration des formules de M. Tchebycheff. Nouv.
corr. math., t. 4, 1878, pp. 308—313.
38. Daublebskyvon Sterneck R. Zur Tchebychef schen Prim-
zahltheorie. Sitzungsber. Akad. Wiss., Wien, Bd. 109, Abt. 2-a, 1900.
39. G'laisher J. W. L. On the function which denotes the differences
between the number of 4 n-f-1 divisors and the number of 4 n+3 divisors
of a number. London, 1884.
40. H e r m i t e Ch. Sur une extension donnee a la theorie des fractions
continues par M. Tchebychef. Extrait d'une lettre de M. Hermite a M. Bor-
chardt. J. reine und ang. Math., Bd. 88, 1880, H. 1, SS. 10—14. Oeuvres,
t. 3, 1912, Paris, pp. 513—519.
41. H e r m i t e Ch. Cours d'analyse. Paris, 1873, 2-е ed. 1887, 3-е ed. 1891,
4-e ed. 1891. ..
42. Landau E. Uber einen Satz von Tchebychef. Math. Annalen, Bd. 61,
1905, SS. 527—550.
43. Landau E. Uber die Aquivalenz zwei Hauptsatze der analytischen
Zahlentheorie. Sitzungsber. Akad. Wiss., Wien, Bd. 120, Abt. 2-a, H. 1-Х,
1911, S. 973.
44. M e r t e n s F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. reine und
angew. Math., Bd. 78, 1874, SS. 55—56.
45. Poincare H. Extension aux nombres premiers complexes des theore-
mes de M. Tchebycheff. J. math., (4), t. 8, 1892.
46. RamanujanS.A proof of Bertrand's postulate. Collect, papers of Ra-
manujyn. Cambridge, 1927, pp. 208—209.
47. S e r r e t J.-A. Cours d'algebre superieure. Ed. 3, Paris, 1866, t. 2, pp. 189—
218.
Шатуновский С. О.
1. Чеботарев Н. Г. Самуил Осипович Шатуновский. (К десятилетию
со дня смерти). УМН, вып. 7, 1940, стр. 316—321.
2. Ю ш к е в и ч А. П. История математики в России. М., 1968, стр. 531—
534, 554-555.
Эйлер Л.
1. Башмакова И. Г. О доказательстве основной теоремы алгебры.
ИМИ, вып. 10, 1957, стр. 257—304.
2. Башмакова И. Г. и Юшкевич А. П. Леонард Эйлер. ИМИ,
вып. 7, 1954, стр. 453—512.
3. Башмакова И. Г. иЮшкевичА. П. Леонард Эйлер. В кн.: Люди
русской науки. Матем., мех., астрон., физ., химия. М., 1961, стр. 41—
62.
4. В е н к о в Б. А. О работах Л. Эйлера по теории чисел. В сб.: Леонард
Эйлер, Л., 1935, стр. 81—87.
5. Г е л ь ф о н д А. О. Роль работ Л. Эйлера в развитии теории чисел.
В сб.: Леонард Эйлер, М., 1958, стр. 80—97.
6. Г р и г о р ь я н А. Т., П о л а к Л. С. Леонард Эйлер. Вопр. ист. естеств.
и техн., вып. 4, М., 1957, стр. 3—15.
7. Дел оне Б. Н. Памяти великого ученого. Природа, № 8, г1957,
стр. 57—62.
8. КиселевА. А. Роль Эйлера в создании аналитических методов теории
чисел. Тез. докл. конф. ЛО Сов, нац. объедин, историков естествозн.
и техники, Л., 1966.
9. КиселевА. А. Некоторые вопросы теории чисел из переписки Эйлера
с Гольдбахом. Ист. и методол. естеств. наук, вып. 5, матем., М., 1966,
стр. 31—34.
10. Киселев А. А. Симметрические функции от бесконечного числа
переменных (5- функции) у Эйлера. Тез. кр. научн. сообщ, Междунар.
конгр. математиков. Секц. 15, М., 1966, стр. 16,.
351

11. Киселев А. А. иМатвиевская Г. П. Неопубликованные
рукописи Л. Эйлера по теории чисел. Вопр. ист. физ.-мат. наук, М., 1963,
стр. 26—28.
12. Киселев А. А. иМатвиевская Г. П. Неопубликованные записи
Эйлера по partitio numerorum. ИМИ, вып. 16, 1965, стр. 145—180.
13. Кольман Э. Вклад Эйлера в развитие математики в России. Вопр.
ист. естеств. и техн., вып. 4, 1957, стр. 15—25.
14. Копелевич Ю. X. Материалы к биографии Л. Эйлера.
(Публикация). ИМИ, вып. 10, 1957, стр. 9—65.
15. К о п е л е в и ч Ю. X. Переписка Л. Эйлера и Я. В. Брюса.
(Публикация). ИМИ, вып. 10, 1957, стр. 95—116.
16. Копелевич Ю. X. иКрасоткина Т. А. Эпистолярное
наследие Л. Эйлера в архивах СССР. Вестн. мировой культ., вып. 3, 1957,
стр. 108—144.
17. К о т е к В. В. Работы Л. Эйлера по теории чисел. Ист.-мат. сб., вьпьЗ,
Киев, 1962, стр. 50—57 (на укр. яз.).
18. Котек В. В. Теория чисел в трудах Л. Эйлера. В кн.: История
отечественной математики, т. 1, Киев, 1966, стр. 287—291.
19. К о т о в Н. П. Заметки о работах Эйлера по диофантову анализу. Уч. зап.
Иркутск, пед. инст., вып. 20, 1964, стр. 185—194.
20. Котов Н. П. О переписке Эйлера с Гольдбахом по вопросам теории
чисел. Уч. зап. Иркутск, пед. инст., вып. 20, 1964, стр. 150—169.
21. КрасоткинаТ. А. (Лукина). Переписка Л. Эйлера и Дж.
Стерлинга. (Публикация). Примеч. Б. В. Русанова. ИМИ, вып. 10, 1957,
стр. 117-158.
22. К р ы л о в А. Н. Леонард Эйлер. В кн.: Леонард Эйлер, Л., 1935.
(Отд. изд. Л., 1933).
23. Л и х и н В. В. Теория чисел и функций Бернулли и ее развитие в трудах
отечественных математиков. ИМИ, вып. 12, 1959, стр. 59—134; см.
стр. 63—74.
24. Л у з и н Н. Н. Предисловие к письмам Л. Эйлера к X. Гольдбаху. ИМИ,
вып. 16, 1965, стр. 129—144.
25. Лурье С. Я. Неопубликованная научная переписка Леонарда Эйлера.
В кн.: Леонард Эйлер. Л., 1935, стр. 111—162.
26. Лысенко В. И. Из истории первой петербургской математической
школы. Тр. ИИЕТ, вып. 43, 1961, стр. 182—205.
27. Матвиевская Г. П. Неопубликованные рукописи Л. Эйлера
по теории чисел. Автореф. канд. дисс, Л., 1958.
28. МатвиевскаяГ.П. Неопубликованные рукописи Л. Эйлера по
диофантову анализу. Тр. ИИЕТ, т. 22, М., 1959.
29. Матвиевская Г. П. Заметки о совершенных числах в записных
книжках Л. Эйлера. Тр. ИИЕТ, т. 34, 1960, стр. 415—427.
30. Матвиевская Г. П. О неопубликованных рукописях Л. Эйлера
по диофантову анализу. ИМИ, вып. 13, 1960, стр. 107—186.
31. Матвиевская Г. П. Теория чисел в неопубликованных
рукописях Л. Эйлера. Тезисы докл. и сообщ. на межвузовской конф. по ист.
физ.-мат. наук, М., 1960, стр. 47—49.
32. Матвиевская Г. П. Постулат Бертрана в записях Эйлера. ИМИ,
вып. 14, 1961, стр. 285—288.
33. Матвиевская Г. П. Неопубликованные рукописи Л. Эйлера
по теории чисел. Вопр. ист. физ.-мат. наук, М., 1963, стр. 26—28.
34. М е л ь н и к о в И. Г. Эйлер и его математические работы. ИМИ, вып. 10,
1957, стр. 211-228.
35. М е л ь н и к о в И. Г. Открытие Эйлером удобных чисел. ИМИ, вып. 13,
1960, стр. 187-216.
36. Мельников И. Г. О некоторых вопросах теории чисел в переписке
Эйлера с Гольдбахом. История и методол. естеств. наук, вып. 5, матем.,
М., 1966, стр. 15—30.
352

37. Мельников И. Г. О некоторых гипотезах Эйлера и Гольдбаха.
Материалы VI конф. по истории науки в Прибалтике. Вильнюс, 1966,
стр. 34—39.
38. Мельниковы.Г. Леонард Эйлер о математической строгости. ИМИ,
вып. 17, 1966, стр. 289—298.
39. Мельников И. Г. Некоторые соображения об арифметическом
наследии Ферма. Тез. кратк. науч. сообщ. Междунар. конгресса
математиков. Секц. 15, М., 1966, стр. 20, 21.
40. Мельников И. Г. Об одном ошибочном утверждении Ферма. Тез.
докл. конф. Лен. отд. Сов. нац. объединения историков естествозн. и
техн., Л., 1966, стр. 10, 11.
41. Мельников И. Г. Леонард Эйлер и элементарная математика.
Матем. в школе, № 4, 1957, стр. 1—15.
42. Мельников И. Г. Пьер Ферма и метод бесконечного спуска. Тез.
докл. годичной конф. Лен. отд. Сов. нац. объединения историков
естествозн. и техн., Л., 1967, стр. 20—21.
43. М е л ь н и к о в И. Г., К и с е л е в А. А. К вопросу о доказательстве
Л. Эйлером теоремы существования первообразного корня. ИМИ,
вып. 10, 1957, стр. 229—256.
44. Михайлов Г. К. Записные книжки Леонарда Эйлера в Архиве
АН СССР. ИМИ, вып. 10, стр. 67—94.
45. М' и х а й л о в Г. К. Леонард Эйлер. Изв. АН СССР, отд. техн. наук, № 1,
1955, стр. 1—2.
46. Михайлов Г. К. и Смирнов В. И. Неопубликованные
материалы Л. Эйлера в Архиве АН СССР. В сб.: Леонард Эйлер, М., 1958,
стр. 47—79.
47. О т р а д н ы х Ф. П. Математика XVIII в. и академик Леонард Эйлер.
М., 1954.
48. Хованский А. Н. Работы Л. Эйлера по теории цепных дробей. ИМИ,
вып. 10, стр. 305—326.
49. Хованский А. Н. Работы Л. Эйлера по теории цепных дробей.
Тр. 3-го Всесоюзн. мат. съезда, т. 1, М., 1956, стр. 236—237.
50. Ч у д а к о в Н. Г. О проблеме Гольдбаха. УМН, вып. 4, 1938, стр. 14—
33.
51. Ю ш к е в и ч А. П. Эйлер и русская математика в XVIII в. Тр. ИИЕ,
т. 3, 1949, стр. 45-116.
52. Ю ш к е в и ч А. П. Последнее письмо Л. Эйлера к X. Гольдбаху. ИМИ,
вып. 7, 1954, стр. 625—629.
53. Ю ш к е в и ч А. П. Леонард Эйлер и квадратура круга. ИМИ, вып. 10,
1957, стр. 159-210.
54. Ю ш к е в и ч А. П. Эйлер Л. В кн.: БСЭ, т. 48, 1957.
55. Ю ш к е в и ч А. П. Жизнь и математическое творчество Леонарда Эйлера.
УМН, т. 12, вып. 4, 1957, стр. 3-28.
56. Ю ш к е в и ч А. П. Математика. В кн.: История естествознания в
России., т. 1,4.1, М., 1957, стр. 26-48, 215-272.
57. 10 ш к е в и ч А. П. История математики в России, М., 1968, стр. 103—
113, 114-189.
58. Юшкевич А. П. иВинтер Э. О переписке Леонарда Эйлера с
Петербургской Академией наук в 1741—1757 гг. Тр. ИИЕТ, т. 34, 1960,
стр. 428—491.
59. Юшкевич А. П. иВинтерЭ. О переписке Л. Эйлера и Г. Ф.
Миллера. В сб.: Леонард Эйлер, М., 1958, стр. 465—498.
Сборники
60. Леонард Эйлер. Переписка. Аннотированный указатель. Подготовили
Т. Н. Кладо. Ю. X. Копелевич, Т. А. Лукина, И. Г. Мельников,
В. И. Смирнов, А. П. Юшкевич при участии К.-Р. Бирмана и
Ф.-Г. Ланге. Под ред. А. П. Юшкевича и В. И. Смирнова. Изд.
«Наука», Л., 1967.
353

61. Леонард Эйлер. Письма к ученым. Составители: Т. Н. К ладо, Ю. X. Ко-
пелевич, Т. А. Лукина. Под ред. В. И. Смирнова., М.—Л., 1963.
62. Леонард Эйлер. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти.
М.—Л., 1935.
63. Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения,
представленных Академии наук СССР. Под ред. М. А. Лаврентьева,
А. П. Юшкевича, А. Т. Григорьяна. М., 1958.
64. Рукописные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР,
т. 1. Научное описание, т. 2, Труды по механике. М., 1962, 1965.
65. A u b г у A. L'oeuvre arithmetique d'Euler. L'enseignement math., № 9,
1909, pp. 329—356. „
66. CondorcetM. J. Eloge de M. Euler. Histoire Acad. roy. sci., Paris,
1786, pp. 37—68.
67. E n e s t г 6 m G. Verzeichnis des Schriften L. Euler. Jahresber. Deutsch.
Math. Verein. 1910—1913.
68. E n e s t г 6 m G. Bericht an die Euler Komission der Schweizerischen
naturforschenden Gesellschaft iiber die Eulerschen Manuscripte der Pe-
tersburger Academie. Jahresber. Deutsch. Math. Verein. Bd. 22, 1913,
N 11—12, 2-е Abt., SS. 191—205.
69. F u s s P. Notice sur la decouverte d'ouvrages inedits d'Euler. Bull. Sci.
Acad. St.-Petersb., cl. phys. math., t. 3, N 5, 1845, pp. 74—79.
70. Fuss P. Nachricht tiber eine Sammlung inedirten Handschriften Leon-
hard Eulers und iiber die von der Akademie begonnene Gesammtausgabe
seiner kleineren Schriften. Bull. Sci. el phys math. Acad. St.-Petersb.,
t. 7, N 23, 1849, pp. 337—368.
71. M ti 11 e r F. Uber bahnbrechende Arbeiten L. Eulers aus der reinen Mat-
hematik. Festschrift zur Euler—Feier. Abh. z. Geschichte math. Wiss.,
H. 25, 1907, SS. 61-116.
72. S p e i s e r A. Einleitung der samtlicher Werke Leonhard Eulers.
Comment, math, helvet., 20, N 3, 1947, SS. 288—318.
73. S p i e s s O. Leonhard Euler. Framenfeld. 1929.
74. S t а с k e 1 P. Eine vergessene Abhandlung Eulers tiber die Summe derRe-
ziproken Quadrate der nattirlichen Zahlen. Bibl. math., 83, 1908, SS. 37—
54.
75. Die Berliner und die Petersburger Akademie der Wissenschaften im Brief-
wechsel L. Eulers. Bd. 1—2. Herausgegeben von A. P. Juskevic und
E. Winter. Berlin, 1959, 1961.
76. Euler L. Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers.
Unter Redaction von K. Schroder. Berlin, 1959.
77. F u s s N. Eloge de M. Leonhard Euler (1783). Nova acta Acad. sci. Petro-
pol., t. 1, 1787], pp. 159—212. To же: Comment, arithm., t. 1, 1849.
78. L. G. duPasquier. Leonard Euler et ses amis. Paris, 1927.
79. HofmannJ. E. Um Eulers erste Reihenstudien. Sammelband zu Ehren
des 250. Geburtstages L. Eulers. Berlin, 1959, SS. 139—208.
80. HofmannJ. E. Uber zahlen theoretische Methoden Fermats und Eulers,
ihre Zusammenhange und ihre Bedeutung. Arch. hist, exact sci., v. 1, 1961,
pp. 122-159.
81. Landau E. Euler und Functionalgleichung der Riemannschen Zeta-
Funktion. Bibliotheca mathematica, (3), Bd. 7, H. 1, 1906, Leipzig,
SS. 69—79.
82. Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Leonhard Eulers. Red.
K. Schroder. Berlin, 1959.
83. G r u b e F. Ueber einige Eulersche Satze aus der Theorie der quadrati-
schen Formen. Zeit. Math., 19. Jahrg., 1874, SS. 492—519.
84. S t e i n i g J. On Euler's idoneal numbers. Elemente Math., v. 21, N 4,
1966, pp. 73-88.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраические целые числа 7 , 9—
13 , 48 , 153 , 154 , 157 - 163 , 168 ,
171 - 178 , 185 - 193 , 199 , 202 ,
203 , 206 - 208 , 218 - 219 , 254 , 278 ,
282 - 284 , 285 .
Алгоритм Евклида 41 , 102 , 168 , 171 ,
205 , 286
Алгоритм непрерывных дробей и его
обобщение 9 , 41 , 137 , 141 , 188 —
192 , 207 - 209 , 284
Аналитические методы в теории
чисел 7 - 12 , 19 , 48 - 56 , 59 , 80 -
90 , 97 , 98 , 117 - 135 , 195 - 202 ,
216 - 219 , 228 , 232 , 233 , 238 —
243 , 245 - 256 , 264 - 268 .
Асимптотический закон
распределения простых чисел 8 , 104 , 117 —
129 , 132 - 134 , 149 — 151 , 223 , 282 .
Бертрана постулат 8 , 123 , 126 — 128
Бесселя (и другие специальные)
функции 197 , 198 , 245 , 249
Бинарная система счисления 74 , 113
Варинга проблема 216 , 282
Вычеты 18 , 102 , 110 , 288
— квадратичные 5 , 18 , 33 — 38 , 69 ,
70 , 76 , 90 — 93 , 102 , 108 , 116 ,
163 , 170 , 187 , 204 , 205 , 227
— биквадратичные 102 , 108 , 215 ,
254
— степенные 5 , 19 , 22 , 31 — 33 , 108 ,
109 , 283
Геометрические методы , приемы ,
интерпретации 9 , 11 , 12 , 183 , 191 ,
196 , 197 , 199 , 201 , 225 , 226 , 228 ,
264 , 266 , 284 , 289
Гольдбаха гипотеза 16 , 60 , 216
Делители квадратичных форм 35 —
37 , 99 , 108 , 114 - 116 , 170 , 185 ,
205 , 279 , 285
Диофантовы уравнения (диофантов
анализ , неопределенные
уравнения) 6 , 12 , 13 , 18 , 19 , 40 - 48 , 56 -
59 , 65 , 66 , 93 , 94 , 99 — 100 , 109 ,
154 , 170 , 206 , 224 , 226 , 242 , 243 ,
258 , 286 , 289 - 291
Диофантовых уравнений системы 168 ,
226 , 260 — 263 , 279 , 290
Дифференцирование 6 , 48 — 56 , 118 —
122 , 152
Дифференцирование числовое 223 ,
225 , 228 — 238 , 243 — 245 , 255 — 258
Евклида теорема о бесконечности
числа простых чисел и ее
обобщения 168 , 204 , 206
Единицы (алгебраические , основные)
157 , 158 , 172 , 184 , 185 , 191 , 192 ,
218 , 219 , 254 , 284
Закон взаимности
— квадратичных вычетов 6 , 16 , 19 ,
27 , 34 - 38 , 69 , 76 - 80 , 86 , 153 ,
163 — 165 , 170 , 205 , 225 , 227 , 279 ,
280 , 289
— кубических вычетов 99
— степенных вычетов 289
Законы числовых тождеств 227 , 228
Идеальные числа и идеалы 153 ,
160 - 163 , 168 , 176 , 177 , 188 , 191 ,
192 , 202 , 203 , 283 — 285
Индексы (указатели) 102 , 103 , 113 ,
114 , 147 , 171 , 225 , 279 , 280 , 283
Интегрирование 6 , 48 — 56 , 96 , 97 ,
122 , 141 , 150 - 152 , 197 - 200 ,
222 - 225 , 248 , 249 , 266 — 268
Интегралы числовые 223 , 225 , 228 —
240 , 243 — 245 , 255 , 257 , 258
Квадратичные формы 6 , 7 , 9 — 13 ,
27 - 31 , 59 , 85 , 86 , 104 , 108 , 115 ,
116 , 136 , 141 - 144 , 152 - 156 , 170 ,
177 — 182 , 185 — 187 , 192 - 195 ,
207 — 217 , 254 , 257 , 282 , 284 , 285 ,
290
Кватернионы 30 , 215 , 264 , 292
Лежандра (Якоби) символ 76 — 80 ,
90 — 92 , 112 , 116 , 164 , 165 , 170
199 , 227 , 279 , 280 .
355

Метод бесконечного спуска 5 , 31 ,
45 - 48 .
Метод непрерывного параметра Эр -
мита 11 , 139 , 153 , 154 , 155 — 158 ,
192 - 195 , 207 - 210
Методы Лиувилля 11 , 257 , 258
Минимумы квадратичных форм 9 ,
10 , 19 , 42 , 43 , 142 — 145 , 152 , 153 ,
154 - 156 , 178 - 183 , 190 - 195 , 208 ,
209
Многоугольные числа 5 , 23 , 24 , 40 ,
42 , 49 - 51 , 67 , 68 , 81 - 86 , 275
Непрерывные дроби и их
приложения 19 , 20 , 41 - 43 , 65 , 66 , 72 ,
99 , 100 , 106 , 137 , 138 - 141 , 166 ,
168 , 181 , 189 , 225 , 259 , 282 , 284 ,
290
Обращения формулы 130 — 132 , 150 ,
282 , 283
Первообразные корни 7 , 32 , 33 ,
72 — 74 , 76 , 99 , 101 — 103 , 113 ,
114 , 116 , 146 , 171 , 206 , 225 , 260 ,
276 , 278 — 280 , 289
Перестановки 163 — 165 , 168
Произведения бесконечные 49 — 55 ,
69 , 80 - 83 , 133 , 134 , 204 , 217 ,
218 , 228 , 233 , 239 , 252
Проник — числа 63 — 65
Простые числа , критерии простоты ,
таблицы простых чисел 38 — 40 ,
65 , 74 — 76
Разбиение чисел на слагаемые 49 —
52 , 84 , 85 , 216 — 222 , 240 — 243 ,
251 — 252 , 256 , 257
Разложение на множители 65 , 66 ,
69 , 74 — 76 , 102 , 116 , 168
Разложение на сумму двух
квадратов 18 , 64 , 68 , 153 , 216
Разложение на сумму
многоугольных чисел 5 , 23 , 24 , 49 — 51 , 81 —
86 , 275
Решето Эратосфена 20 , 95 , 100 , 269 —
275
Ряды Фарея 189 , 196
— Дирихле 53 — 54 , 87 , 117 — 120 ,
133 , 149 - 151 , 198 , 199 , 232 , 233 ,
285
— в связи с арифметическими
тождествами 7 , 49 , 80 — 93 , 228 — 245 ,
250 — 254
— Фурье и аналоги 246 , 268
Свертка арифметических функций
232 , 233 , 236 , 244 , 258
Селберга тождество 222
Симметрические функции (в том
числе и от бесконечного числа
переменных) 52 , 80 — 83
Системы высших комплексных
чисел 293
Сравнения 7 , 22 , 68 , 72 — 76 , 99 ,
100 , 102 , 107 - 116 , 148 , 149 ,
153 - 162 , 168 , 170 , 171 , 187 , 188 ,
203 , 206 , 225 , 278 - 280 , 283 , 285 ,
286 , 289 , 290
Таблицы простых чисел ,
первообразных корней и пр . 20 , 22 , 33 , 62 ,
64 , 101 - 103 , 118 , 122 , 123 , 136 ,
146 , 147 , 181 , 188 , 265 , 275 , 277 ,
283
Теорема
— малая Ферма 5 , 19 , 21 , 22 , 31
32 , 98 , 102 , 110 , 254 , 289
— «великая» или «последняя» Ферма
5 , 6 , 19 , 24 , 45 — 48 , 65 , 94 , 99 ,
100 , 147 , 285
— Вильсона и ее обобщения 59 , 72 ,
90 , 102 , 170 , 250 , 251 , 254 , 276 , 289
— о двух квадратах 16 , 19 , 24 — 27 ,
34 , 98 , 206
— о четырех квадратах и ее
обобщения 23 , 29 — 31 , 63 , 99
— о многоугольных числах 5 , 23 ,
24 , 49 , 50 , 51
Теория деления круга 7 , 99 , 100 —
103 , 260 , 279 , 283 , 285 - 289
Тождества числовые 49 , 82 — 93 , 123 ,
124 , 133 , 165 , 166 , 168 , 210 - 214 ,
215 — 218 , 222 , 223 , 225 , 226 -
243 , 244 , 245 , 252 , 253
Уравнение
— Ферма (Пелля) 24 , 41 — 43
— Золотарева 157
— Маркова 181
Формула
— для числа и суммы делителей 22 ,
49 , 61 , 62 , 69 , 82 - 89
— Лежандра 8 , 117 , 120 — 122 , 265 ,
269
— Римана 198 , 199 , 265 , 266
— Сонина 197 , 199 , 246 — 249 , 250
— Чебышева 123 , 124 , 133 , 165 ,
168 , 204 , 233 — 236 , 256 , 265
— Эйлера—Маклорена 197 , 200 ,
246 - 248
— суммирования по Абелю 120
Функция
— те (х) для числа простых чисел ,
не превосходящих # , 117 — 127 ,
277 , 278
— Бугаева—Мангольдта 235
— Мёбиуса ц (п) 53 , 54 , 130 , 132 ,

150 , 200 , 201 , 230 , 231 , 235 ,
236
— Эйлера <p(n) 23 , 32 , 70
— Чебышева б (х) и ф (х) 123 — 126 ,
165 , 168 , 169 , 255 , 256
— сумма делителей о (п) 22 , 49 ,
61 , 62 , 69 , 82 - 89
— число делителей т (п) 87 , 88
— целая часть числа Е (#) , [х] 11 ,
88 - 92 , 112 , 135 , 147 , 148 , 168 ,
195 , 196 , 200 , 205 , 222 , 225 , 226 ,
230 - 237 , 239 - 245 , 246 , 248 , 249
— £ — функция Римана 19 , 53 —
56 , 128 , 133 , 134 , 149 , 150 , 198 ,
199 , 205 , 255
— Нг (#) , число первичных
(бесквадратных) чисел , не
превосходящих х , и другие подобные
функции 166 , 234 , 235 , 256
Числа
— Вернулли и функции Вернулли
103 , 153 , 199 , 219 , 245 , 248 ,
249 , 282 , 285 , 291 , 307 , 309 , 320 —
323 , 325 , 326 , 336 , 340
— дружественные 19 , 22 , 61 , 62
— вида 22"»+1 5 , 19 , 20 , 21 , 98 , 99 ,
277 , 288
— вида 2W±1 20 , 21 , 277
— совершенные 19 , 21 , 61 , 62
— удобные 27 , 28 , 29 , 40
— трансцендентные 16 , 20 , 61 , 94 ,
185
Эллиптические функции 99 , 153 , 210 ,
251 , 254 , 285
— приложения их к теории чисел 10 ,
166 , 222 , 238 — 241 , 243 , 250 , 251 ,
254

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Глава 1. Общий обзор развития теории чисел в России 5
Исследования по истории теории чисел в России 13
Глава 2. Леонард Эйлер 15
Первые работы по теории чисел. Ошибка Ферма. Совершенные числа.
Числа Мерсенна 20
Малая теорема Ферма 21
Дружественные числа. Функции а(/г) и у(п) 22
Многоугольные числа 23
Теорема о двух квадратах 24
Удобные числа 27
Теорема о четырех квадратах 29
Степенные вычеты 31
Квадратичные вычеты 33
Квадратичный закон взаимности 35
Простые числа. Критерии простоты чисел. Составление таблиц .... 38
Диофантовы уравнения 40
Уравнения первой степени 40
Уравнения второй степени. Уравнение Ферма (Пелля) .... 41
Другие неопределенные уравнения 44
Применение математического анализа в теории чисел 48
Вывод рекуррентной формулы для о(п) 49
Partitio numerorum 49
Применение математического анализа к вопросам, связанным
с мультипликативной структурой натуральных чисел 52
Тождества для С-функции 55
Современники и ученики Л. Эйлера 56
Ж. Лагранж 56
X. Гольдбах 60
Г. В. Крафт 61
В. Л. Крафт 62
X. Ф. Кауслер 63
Н. И. Фусс 66
П. Н. Фусс 68
Э. Д. Колчинс 68
Г л а в а 3. В. Я. Буняковский 69
Теория сравнений 70
Распознавание простых чисел и разложение чисел на множители ... 74
Теория квадратичных вычетов и квадратичный закон взаимности . . 76
Получение арифметических тождеств с помощью рядов и бесконечных
произведений 80
Свойства и приложения символа Е 90
Неопределенные уравнения 93
Другие работы по теории чисел 94
Взаимосвязь теории чисел с другими разделами математики ... 96
История теории чисел и методологические вопросы 98
Современники В. Я. Буняковского 101
Н. И. Лобачевский (см. стр. 259) 101
М. В. Остроградский 101
358

Стр.
Глава 4. П. Л.^Чебышев 104
Участив в подготовке к изданию сочинений Эйлера 106
«Теория сравнений» 107
Чебышев о работах своих предшественников 107
Предмет теории чисел и теории сравнений 109
Общие вопросы теории сравнений 110
Сравнения первой степени 110
Сравнения высших степеней 110
Сравнения второй степени 111
Двучленные сравнения гс-й степени 112
Сравнения вида а*=А (мод р) 113
Отыскание первообразных корней 114
Сравнения второй степени с двумя неизвестными и теория
делителей квадратичных форм 114
Приложение теории сравнений к разложению чисел на простые
множители 116
Прибавления 116
Влияние работ Дирихле на творчество Чебышева 117
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины» 118
«О простых числах» 122
Дальнейшее развитие исследований по теории распределения
простых чисел 128
Другие работы по теории простых чисел 129
Ряды, члены которых зависят от простых чисел 130
Квадратичные формы 136
«Об одном арифметическом вопросе» 136
Глава 5. Петербургская математическая школа 141
А. Н. Коркин 142
Работы А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева по теории
квадратичных форм 142
О решении двучленных сравнений 146
Другие работы по теории чисел 147
Некоторые вопросы теории чисел в рукописях А. Н. Коркина 149
Е. И. Золотарев 153
Магистерская диссертация 153
Работы по теории делимости целых алгебраических чисел . . . 157
Доказательство закона взаимности и другие вопросы теории
чисел 163
Ю. В. Сохоцкий 166
Работы по теории чисел 166
Теория делимости целых алгебраических чисел 171
A. А. Марков 177
Работы по теории квадратичных форм 178
О целых комплексных числах 184
Другие работы по теории чисел 185
B. А. Марков 186
Г. Ф. Вороной 186
Работы по теории целых алгебраических чисел 187
Теория квадратичных форм 192
Вопросы аналитической теории чисел 195
Ученик Г. Ф. Вороного — Вацлав Серпинский 199
И. И. Иванов 202
Вопросы теории целых алгебраических чисел 202
Вопросы теории простых чисел 204
Другие работы по теории чисел 205
359

Стр.
Я. В. Успенский 206
Приложения принципа непрерывного параметра Эрмита ... 207
Представление чисел квадратичными формами 210
Асимптотические выражения числовых функций 216
Нахождение единиц алгебраических полей 218
«Элементарная теория чисел» 219
Г л а в а 6. Теория чисел в Москве 220
Н. В. Бугаев 220
Взгляд Н. В. Бугаева на предмет и методы теории чисел . . . 223
Числовые тождества, связанные с символом Е 225
Теория числовых производных и интегралов 228
Приложения теории эллиптических функций к теории чисел . . 238
Другие работы по теории чисел 241
Развитие идей Бугаева по теории числовых производных и
интегралов 243
Ученики Н. В. Бугаева 245
Н. Я. Сонин 245
П. С. Назимов 250
Н. В. Берви 254
С. И. Баскаков . . . . 256
Л. К. Лахтин 257
Д. Ф. Егоров 257
Д. Н. Соколов . . . 258
А. С. Веребрюсов 258
Глава 7. Теория чисел в Казани 259
Деятельность Н. И. Лобачевского в области теории чисел 259
А. В. Васильев 262
«Введение в анализ» . 262
«Целое число» 264
Казанское физико-математическое общество 264
П. В. Преображенский 266
П. С. Порецкий 269
Е. И. Григорьев 275
С. П. Слугинов . . 276
Философские вопросы теории чисел 276
Математики-самоучки: И. М. Первушин и И. Максимов . . . 277
Г л а в а 8. Теория чисел на Украине 279
Д. А. Граве 280
«Элементарный курс теории чисел» 280
С. О. Шатуновский 285
Популяризация теории чисел на Украине 286
Г л а в а 9. Теория чисел в Дерпте 288
И. М. X. Бартельс 288
Ф. Миндинг 289
Учебник по теории чисел . . . 289
Заметка о непрерывных дробях 290
Работы по теории чисел после Миндинга 290
И. К. Вейраух 291
Ф. Э. Молин . 292
Приложение
Рукописные материалы русских математиков по теории чисел . . . 294
Литература 297
Предметный указатель 355

Е . П . ОЖИГОВА
РАЗВИТИЕ
ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
В РОССИИ