ИЗДАТЕЛЬСТ В О
«МИР»

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
Band 91
PRIMZAHLVERTEILUNG
von
KARL PRACHAR
WIEN
SPRINGE R-VE RLAQ
BERLIN - GOTTINOEN - HEIDELBERG
1957

К. ПРАХАР
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Перевод с немецкого
А. А. КАРАЦУБЫ
Под редакцией
А. И. ВИНОГРАДОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР* • МОСКВА 1967

УДК 511.2
Монография известного специалиста в области
теории чисел К. Прахара подводит итог многолет-
многолетним исследованиям по распределению простых чисел.
В русской литературе немного книг по теории
чисел, а по теме монографии имеется лишь неболь-
небольшая книга Ингама, переведенная в начале 30-х годов.
Настоящее издание книги К. Прахара содержит
два добавления, в которых содержится обзор резуль-
результатов по распределению простых чисел, полученных
после выхода в свет немецкого издания.
Книга будет полезна и интересна математикам
различных специальностей, начиная со студентов
университетов и пединститутов.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3

От издательства
Проблема распределения простых чисел в натуральном ряде зани-
занимает центральное место в аналитической теории чисел и является од-
одной из труднейших и интереснейших математических проблем. Пред-
Предлагаемая вниманию читателей книга Прахара была написана в 1957 г. —
почти полвека спустя после выхода в свет классического труда
Э. Ландау (Е. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prinr
zahlen, Leipzig, 1909). Она отражает прогресс, достигнутый в теории
распределения простых чисел за этот пятидесятилетний период.
По полноте охвата материала и тщательности изложения книга
стоит на таком же высоком уровне как и превосходная книга Лан-
Ландау. Ее могут читать все, интересующиеся теорией чисел.
Достижения в теории распределения простых чисел за десять лет,
прошедших со времени выхода немецкого издания книги Прахара»
отражены в двух добавлениях, написанных по просьбе издательства
М. Б. Барбаном совместно с А. И. Виноградовым (о методе решета)
и Н. М. Коробовым (о методе тригонометрических сумм).
Издательство считает своим приятным долгом выразить благодар-
благодарность автору — проф. К. Прахару, который любезно прислал список
исправлений специально для русского издания.

Предисловие
Наука о распределении простых чисел в последние два десятилетия
обогатилась различными новыми результатами, которые в имеющейся
на эту тему литературе не изложены или изложены только частично.
Достаточно полные сочинения Ландау и Ингама стали большой ред-
редкостью. Эстерман в недавно вышедшей брошюре вследствие неболь-
небольшого объема многого не излагает, и то же самое можно сказать
о брошюре Троста. Кроме этого, существуют еще монографии Титч-
марша о ^-функции Римана, Виноградова о теории тригонометри-
тригонометрических сумм (переведена на английский язык и дополнена Э. Давен-
порт и К. Ф. Ротом), монографии Хуа о простых числах и Чудакова
о теории /,-функций Дирихле (две последние изданы только на
русском языке). Однако с настоящей книгой эти монографии имеют
общими только некоторые разделы. Она представляет систематиче-
систематическое введение в различные разделы теории простых чисел. Естественно,
здесь также не удается добиться абсолютной полноты. Так, например,
доказательство Линника и Чудакова теоремы Гольдбаха — Виноградова
дано совсем коротко и схематично. „Большое решето" Линника, ко-
которое Реньи применил с некоторым улучшением к доказательству своей
теоремы о представимости натурального числа в виде суммы простого
числа и почти простого числа, совсем опускается. Опускаются также
все оценки снизу, которые можно получить с помощью метода ре-
решета Брука.
Вышеназванные сочинения, в особенности непревзойденные по
способу изложения сочинения Ингама и Титчмарша, служили ав-
автору примером, однако пришлось добавить многое из того, что до сих
пор содержалось только в оригинальных статьях. Прежде всего, здесь
нужно упомянуть улучшение Сельбергом метода решета Бруна (гл. II),
различные интересные результаты Эрдёша о разностях последователь-
последовательных простых чисел (гл. V); теорему о том, что почти все четные

Предисловие
числа представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел (гл. VI);
теорему Родосского о простых числах в „короткой" арифметической
прогрессии с доказательством Татудзавы, лучший известный до сих
пор остаточный член в теореме о простых числах *)> теоремы Хохай-
зеля и Ингама о разности последовательных простых чисел с обобще-
обобщением Татудзавы (гл. IX) и в последней главе доказательство Родос-
Родосского теоремы Линника о наименьшем простом числе в арифметичес-
арифметической прогрессии. Вариант элементарного доказательства теоремы
о простых числах принадлежит Бройшу. Оправданием для изложения
довольно сложных теорем последних трех глав может служить боль-
большой интерес, который вызывают методы, применявшиеся при их до-
доказательстве. Поэтому можно надеяться, что большой круг читателей
предпримет новые исследования по этим интересным вопросам2).
Чтение глав I, II, V, а также большей части глав VI, VIII и неко-
некоторой части гл. III не требует никаких предварительных знаний из теории
функций. Здесь необходимо только знание основ дифференциального
и интегрального исчисления, а также немногих фактов из элементарной
теории чисел. Некоторые теоремы, прежде всего из теории функций,
которые во вводных лекциях вообще не излагаются, собраны чаще
всего с доказательством в приложении. Текст, напечатанный мелким
шрифтом, содержит дополнительные результаты и замечания. Если
там даются доказательства, то они проводятся не всегда подробно.
Список литературы не претендует на полноту, а скорее может
служить руководством по имеющейся литературе. Дальнейшие ссылки
на литературу можно найти у Остмана [1] и Титчмарша [4].
При чтении книги не обязательно придерживаться последователь-
последовательности глав. Так, например, можно читать гл. V и VI ранее гл. III и IV,
а § 5, б гл. III в дальнейшем вообще не используются.
Я благодарю прежде всего моего уважаемого учителя проф.
Е. Главку, который всегда поддерживал меня своей инициативой
и ценными советами; я весьма обязан также руководителям математиче-
математического института университета в Вене проф. Ж, Радону и проф. Н, Хоф-
райтеру, которые сделали для меня возможной спокойную работу. За
различные ценные сообщения я особенно благодарен проф. П. Эрдёшу.
1) О последних результатах в теореме о простых числах см. добавле-
добавление II. — Прим. ред.
2) О современном состоянии вопроса см. добавление I. — Прим* ред.

8 Предисловие
Часть рукописи была просмотрена В. Кнеделем и В. Небауэром
из Вены, Г. Ж. Ригером из Гессена. Я благодарен им как за устра-
устранение многочисленных погрешностей, так и за улучшение изложения.
Рукопись и корректуры были критически просмотрены В. Флухом, X. Бе-
кичем, А. Блюмелем, В. Хайтманеком и X. Роппертом. Всем этим по-
помощникам я искренне благодарен за большой труд, который они
проделали при этой самоотверженной работе. Я искренне благодарен
А. Катингер, которая очень тщательно напечатала машинописный
текст рукописи.
Проф. Ф. К. Шмидту и издательству Шпрингер я особенно благо-
благодарен за то, что книга была принята к изданию в этой серии, за
приветливость и предупредительность по отношению ко мне и прежде
всего за прекрасное оформление книги.
К. Прахар

ВВЕДЕНИЕ
Точно неизвестно, когда впервые в истории математики возникло
понятие простого числа. Простое число — положительное целое число,
отличное от единицы, которое делится только на 1 и само на себя.
Насколько известно, впервые Евклид доказал, что последовательность
простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, ... не обрывается, т. е. что имеется
бесконечно много простых чисел. Но и до Евклида были известны
некоторые свойства простых чисел. Так, например, теорема Ферма
о том, что для любого простого числа р и любого целого а раз-
разность ар — а делится на р, вероятно, была уже известна древним
китайцам.
С более точными исследованиями распределения простых чисел
мы встречаемся после Евклида впервые у Эйлера A744 г.). Эйлер
доказал, например, что ряд 2 1/р, где суммирование распространя-
распространяется на все простые числа, расходится, из чего, в частности, следует,
что имеется бесконечно много простых чисел. Эйлер заметил также,
что простых чисел „бесконечно меньше", чем натуральных чисел.
Точнее, если через л(х) обозначается число простых чисел, не пре-
превосходящих х, то частное п(х)/х стремится к 0 при #->оо. Позд-
Позднее Лежандр доказал это более строго.
Главная проблема теории распределения простых чисел состоит
в исследовании п(х), т. е, количества простых чисел, меньших или рав-
равных х. Если мы рассмотрим достаточно большое число членов по-
последовательности простых чисел, то заметим, что скорее всего не су-
существует элементарной функции, с помощью которой можно представить
л(х) для всех целых х > 0, так как возрастание п(х) проис-
происходит очень неравномерно. Поэтому нужно попробовать найти про-
простые приближения для п(х). Лежандр предположил в 1798 г., что
lim п ' = 1 и, следовательно, для большого х логариф
миче-
ская часть всех натуральных чисел состоит из простых чисел. Точнее
Лежандр предполагал, что л (х) = х/{\п х — В (х)}, причем В (х)
при х~>оо стремится к константе 5=1,083... Еще до Лежандра
Гауссом было высказано предположение о том, что л(х) с „гораздо

10 Введение
меньшей" ошибкой приближается с помощью функции
ii v /° Г* 1i О 1 С\А
• 11 Л v> , О 11 & 1 iUi.ii)
1
чем с помощью Jt/lnjc1). (Как нетрудно доказать, частное обеих функ-
функций стремится к 1 при лс->оо.) Если последнее предположение
правильно, то без особого труда можно получить в формуле Ле-
жандра lim В(х) — В — \ и, следовательно, гипотеза Лежандра от-
X ->ОО
части неверна. Точные результаты в этом направлении были получены
впервые Чебышевым в 1851 и 1852 гг. Чебышев показал, что если
предел п{х)\ , * при л;->со существует, то он должен равняться 1.
Чебышев получил даже более сильную теорему: для любого боль-
большого Л>0 и любого малого 6>0 существуют сколь угодно большие
значения х, для которых
2
и (возможно, отличные от этих) значения х, для которых
х
Г d\ х
2
т. е. для любого большого числа А
lim
и соответствующий нижний предел <^0.
Далее Чебышев сумел показать, что при подходящих константах
а и Л, где 0 < а < 1 < Л, для всех достаточно больших х
а-т^--<я(д:)< А- х
л— < я (х) < А -т—
In ^ v 7 In л:
(для констант Чебышев нашел значение а = 0,92129..., А = 1,0555).
*) И л: — интегральный логарифм, определенный равенством
- 1-е лч
1+е /

Введение 11
Из всех этих результатов не следует еще, что lim л(х):-. су-
ществует, но следует, что этот предел равен 1, если он существует,
и во всяком случае нижний предел^ а и верхний предел^ А. Из ре-
результатов Чебышева следует также, что гипотеза Лежандра может
быть верна лишь при В = 1.
Только с помощью вспомогательных средств, созданных Риманом,
удалось доказать, что
lim
В этом состоит содержание асимптотического закона распределения
простых чисел1). Риман ввел функцию комплексного переменного ?(s),
которая для любого s, имеющего действительную часть, большую 1,
задается равенством
(причем р в произведении пробегает все простые числа). Дирихле,
Чебышев и еще раньше Эйлер также пользовались этой функцией
(в частности Эйлер выяснил тождественность ряда и произведения).
Однако они рассматривали эту функцию исключительно для дей-
действительного s. Риман показал, что с помощью применения теории
функций комплексного переменного к исследованию ?>(s) можно по-
получить новые глубокие результаты о распределении простых чисел.
Функция ? (s) регулярна во всей s-плоскости, кроме простого полюса
при 5=1 (с вычетом 1). Она удовлетворяет, как доказал Риман,
функциональному уравнению, которое позволяет по значению в точке
s вычислить ее значение в точке 1—s. Оказалось, что нули ?(s)
в полосе 0<Са<С1, o = Res играют исключительную роль во мно-
многих вопросах теории простых чисел. Риман указал формулу, которая
представляет функцию п(х) (точнее некоторые функции, родственные
п(х)) в виде функции от х и от нулей ?(s) в этой полосе. Кроме
того, он дал приближенную формулу
для числа нулей ?>(s) в полосе —Т^lms^.T для большого Т.
Функция г (Т) имеет порядок не выше порядка величины In Т. Эти
результаты Римана были строго доказаны только в 1894 г. Мангольд-
том, после того как Адамар развил свою теорию целых функций
конечного порядка. Сама теорема о простых числах была доказана
лишь в 1896 г. Адамаром и (независимо от него) Валле-Пуссеном
1) В дальнейшем это утверждение называется теоремой о простых числах.—
Прим. ред.

12 Введение
с помощью теории целых функций конечного порядка. При этом
пришлось доказать, что на прямой Res = o=\ нет нулей ?(s).
Валле-Пуссен доказал даже более точное соотношение
2
где для достаточно большого х
| R (х) | < сххе "
т. е. ошибка меньше чем х/\пАх при сколь угодно большом посто-
постоянном числе А. Таким образом было показано, что функция
х
г d\ r r
11 X • I | - I v> \ — 11^ i^z 1 , U тг • • •)
2
дает лишь хорошее приближение для функции jt(jc).
Позднее Ландау сильно упростил доказательство этих фактов и
сделал это доказательство независимым от теории целых функций
конечного порядка. Поскольку доказательство теоремы о простых
числах было получено только обходным путем, с помощью приме-
применения теории функций комплексного переменного, было предпринято
много попыток получить „чисто действительное" доказательство этой
теоремы. Эти усилия оставались напрасными до 1948 г., в котором
П. Эрдёшу и А. Сельбергу с помощью соотношения, найденного
А. Сельбергом, удалось указать „действительный" подход к доказа-
доказательству теоремы о простых числах.
Оценка Валле-Пуссена ошибки R(x) при приближении п(х)
X
с помощью dl/lnl (которая до сих пор не получена без примене-
2
нения теории комплексных функций) была долгое время лучшим
результатом, доказанным в этом направлении. С помощью примене-
применения метода Вейля к оценке тригонометрических сумм вида 2# »
п
где / (п) — полином от п, а п пробегает натуральный ряд чисел,
Литлвуду в 1921 г. удалось доказать для R(x) лучшую оценку
| R (х) | < сххе-с*Vla х 1п 1п х.
В 1935 г. Виноградов развил новый, очень сложный метод оценок
тригонометрических сумм. С помощью этого метода Чудаков сумел
доказать, что для большого х

Введение 13
при некотором ^б(у» 1]. Он доказал это для любого а ? (у, y+|gj.
Улучшая метод Виноградова (наиболее эффективное из улучшений
принадлежит самому Виноградову и было очень упрощено Хуа),
а можно в этой оценке еще увеличить. До сих пор лучшая оценка
следующая: ±_
(In In л:O
Она получена Татудзавой из результата Хуа1).
Еще Лежандр предположил, что в любой арифметической про-
прогрессии /, / + &, l-\-2k, . .., где k^>\—целое, а / и к— взаимно
простые числа, встречается бесконечно много простых чисел. Это
предположение было впервые доказано Дирихле в 1837 г. В дока-
доказательстве он использовал так называемые L-функции, соответствую-
соответствующие числу k, аналогичные функции ?(s). Эти Z-функции в полупло-
полуплоскости Re 5 > 1 задаются равенством
где %{п) — характер по модулю к. Теория L-функций Дирихле
развилась в одно из важнейших вспомогательных средств теории
простых чисел.
Пусть я(х, к, I) — число не превосходящих х простых чисел р,
для которых p = l (mod к). С помощью L-функций Дирихле Валле-
Пуссен доказал теорему о простых числах для арифметической про-
прогрессии г
lim \п(х, k, I):—т
L v ; Ф(
Согласно этой теореме, в любом из ф(&) классов вычетов, взаимно
простых с к, находится „одинаково много" простых чисел. Валле-
Пуссен показал далее, что
где
\R(x. к, l)\ <c1^-
причем сх = сх (к), с2 = с2 (к) — положительные константы. Для дока-
доказательства этой формулы необходимо исследовать нули функции
L(s, x) в полосе O^a^l (a = Res). Эти нули играют здесь ту же
роль, что и нули ? (s) при исследовании я(х).
1) В настоящее время известны более сильные результаты (см. добав-
добавление Щ. — Прим. ред.

14 Введение
В последней формуле оценка ошибки R(x, k, /), кроме х, зави-
зависит еще от к. Если допустить, что к и х стремятся к бесконеч-
бесконечности, то оценить ошибку — трудная проблема. Это требует иссле-
исследования нулей функций L (s, у), когда модуль к растет. Такие
исследования были начаты Ландау, Титчмаршем и Пейджем. В период
с 1918 по 1935 г. ими было показано, что верхняя оценка для
R(x, к, I) верна равномерно по к для к^ес}Гых и большого х
при положительной константе с, если выбирать определенным обра-
образом значения к, которые не должны быть кратны зависящему от х и
неизвестному точно модулю к*, причем k* > с In x[(\n In хJ.
В 1935 г. Зигель доказал теорему о нулях L-рядов, из которой
можно вывести (Вальфиш, 1936 г.). что верхняя оценка верна равно-
равномерно для всех без исключения k<^(ln х)А, где Л—любое боль-
больр ^
шое постоянное, сг == сг (Л), с2 = с2 (Л). Для k > ес }Г{п х оценка
\R(x, k> I) | < clxe^c^lnx при достаточно большом с становится
сомнительной, так как тогда главный чл«н
1 С dl х
J Ing
q>(*)J Ing <p(k)\nx
2
меньше, чем оценки для ошибки R(x, k, I). Для таких k нельзя
даже считать, что л(х, k, I) > 0, т. е. имеется по крайней мере одно
простое число р ^ х, такое, что p^l (mod к). Используя результаты
Линника A943—1945 гг.) о плотности нулей L-функций, Родос-
Родосскому A949 г.) удалось доказать формулу
Здесь е (л:, k, I) стремится равномерно к нулю при х ~-> со для опре-
определенным образом выбранных значений k-^eK^x\ где Я(лг)=с1п xj\n\nx.
Независимо от Родосского это доказал также Хасельгров в 1951 г.
Та же теорема была доказана Татудзавой (в 1950 г.) другими ори-
оригинальными методами.
Возникает вопрос, когда появляется первое простое число в ариф-
арифметической прогрессии /, /-J-&, 1-\-2к, ..., если /<& и / взаимно
просто с k. В 1947 г. Линник доказал, что имеется такая незави-
независимая от k константа с, что первое простое число этой прогрессии
меньше kc(k^2\ Более простое доказательство той же теоремы дал
Родосский в 1954 г.
При теоретико-групповом исследовании Бертран принял без дока-
доказательства, что между х и 2х (х^> 1) всегда лежит простое число.
Если рп обозначает /г-е простое число, то отсюда следует, что
Pn+i < %Рп- Доказательство этого утверждения получено Чебыше-
вым. Уже Лежандр предполагал, что для всех достаточно больших п

Введение 15
р +1 — ря < VРп- Это до сих пор не доказано, но Хохайзель
в 1930 г. сумел доказать, что существует число а<1, для которого
рп+х — рп < рп. Доказательство последнего утверждения опирается
на исследования плотности нулей ^-функции, проведенные Карлсоном.
Хохайзель доказал свою теорему для значения а, большего чем
1—"oTqoo« Это значение улучшалось впоследствии Хейльбронном,
Чудаковым и Ингамом. В 1937 г. Ингам получил теорему для а=5/8
и даже для несколько меньшего а. Похожие результаты можно также
вывести для простых чисел в арифметической прогрессии (Татуд-
зава, 1950 г.).
Для доказательства упомянутых до сих пор результатов чаще
всего приходилось привлекать средства теории функций комплексного
переменного. Некоторые проблемы решались, наоборот, труднее или
даже вовсе не решались этими методами. Примером такой проблемы
является вопрос о количестве простых близнецов р <^ х, т. е.
о количестве простых чисел р <С х, для которых р -f- 2 также
простое. Хотя до сих пор неизвестно, имеется ли бесконечно много
таких близнецов, Брун в 1920 г. нашел метод (метод решета Бруна),
который позволяет оценить сверху количество таких близнецов. Он
показал для большого хч что при подходящем с имеется не больше,
чем cxjlv? x> близнецов, меньших или равных х. Метод Бруна при-
применим также в других числовых проблемах и дает многие интерес-
интересные результаты (подробности см. в гл. V). В 1947 г. Сельберг
нашел модификацию метода Бруна, которая очень изящна и дает
в константах несколько лучшие результаты, чем метод Бруна.
Метод Бруна дал также первые результаты по проблеме Гольд-
Гольдбаха. Эта проблема состоит в том, чтобы доказать, что каждое чет-
четное число большее 4 является суммой двух нечетных простых чисел,
а каждое нечетное число большее 8 — суммой трех нечетных простых
чисел. Шнирельман с помощью метода Бруна доказал сначала, что
числа, которые можно представить суммой двух простых чисел, имеют
положительную плотность. Затем он вывел отсюда, что каждое доста-
достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы постоян-
постоянного числа простых чисел. В 1922 г. Харди и Литлвуд доказали
с помощью своего известного аналитического метода, что предполо-
предположение Гольдбаха правильно для всех достаточно больших нечетных
чисел, если функция Z(s) и функиия L(s, x) не имеют нулей при
Re 5 ^-3/4. Еще Риман предполагал, что все нули ?($) в полупло-
полуплоскости Res > 0 лежат на прямой а = Res =1/2 (гипотеза Римана),
а Пильц предполагал то же самое для нулей L-функций. В 1937 г.
Виноградову удалось доказать теорему Гольдбаха для нечетных чисел
без недоказанных до сих пор предположений о нулях t,(s)nL(s, x)-
Проблема Гольдбаха для четных чисел еще не решена, хотя мето-

1б Введение
дами Харди—Литлвуда — Виноградова можно доказать, что „почти
все" четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.
При этом возможно бесконечное множество исключений.
При предположении правильности гипотезы Римана можно дока-
доказать, что при некотором подходящем с для остаточного члена в теореме
о простых числах верна оценка | R (х) |< с Yx In x. Литлвуд показал
в 1914 г., что при достаточно малом постоянном 6 найдется сколь угодно
большое jc, такое, что
л (лг)—И х > 6 ?-L In In In х,
а, с другой стороны, найдется сколь угодно большое (отличное от преды-
предыдущего) значение х, такое, что
л (х) — И х < — 6 ^~ In In In х.
Следовательно, R(x) при х->оо не может быть величиной меньшего
Ух
порядка, чем величина -.— In In In л:. Кроме того, отсюда видно, что
неравенство jt(x)<lix верно не для всех х, как предполагали дол-
долгое время на основании таблиц.
Общие обозначения
Через т, п обозначаются всегда, если не оговорено противное, нату-
натуральные числа, через р — простые числа. Через с, А, В, С, К обо-
обозначаются положительные константы, причем одинаково обозначенные
константы не обязательно должны иметь одно и то owe зна-
значение. Иногда — но только в одном и том же параграфе — с снаб-
снабжается индексами (clt с2 . . .)• Если в некоторое равенство входят кон-
константы с, cv .... Л, то это значит, что равенство справедливо при
подходящем значении этих констант. Через 8 обозначается чаще всего
любое сколь угодно малое положительное число, [л;] для действи-
действительного х — наибольшее целое число, не превосходящее х. Пустые
суммы обозначают всегда нуль, пустые произведения — единицу. Мы
сю
пишем часто 2 вмест0 2 » в суммах вида 2 » 2 • • • • всегда
п я=1 т <х п^х
суммирование производится от т—\ и /г = 1. Через (а, Ь) обозна-
обозначаем наибольший общий делитель, а через [а, Ь\ — наименьшее общее
кратное целых чисел а и Ь. Натуральный логарифм обозначается In.
Далее мы полагаем !п2 ( ) = In In ( ), 1п3( ) = lnlnln( ),....
Пусть / (х) и g (x) — две функции, положительные для достаточно
большого х. Если lim -~~=1, то пишем f (х) — g (x) (х ~> оо).
Что касается ссылок на теоремы и формулы, то, например, E.4.1)
означает „глава 5, § 4, формула D.1)"; G.4) означает „та же глава,
§ 7, формула G.4)а; (П. 1.3)—„приложение, § 1, формула A.3)" и т. д.

Глава I
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 1. Некоторые свойства простых чисел
При определении простых чисел необходимо понятие делимости
целых чисел, которое предполагается известным. Натуральное число п>
большее единицы, называется простым, если оно не делится ни на
какое другое натуральное число, кроме единицы и самого себя. Еди-
Единицу целесообразно не причислять к простым числам. Согласно этому
определению ряд простых чисел начинается числами 2, 3, 5, ....
Следующая теорема доказывается в учебниках элементарной теории
чисел и поэтому мы приводим ее без доказательства:
Теорема 1.1. Каждое натуральное число /г > 1 можно за-
записать в виде
п = рп^рп2>...рпгг, п.>1 (/=1.2. ....г).
причем Pi—различные простые числа. (Простые числа pt и со-
соответствующие степени nt определяются однозначно, с точ-
точностью до порядка.)
Возникает вопрос: обрывается ли ряд простых чисел или таких
чисел бесконечно много? Уже Евклид показал, что имеет место по-
последний случай.
Теорема 1.2 *). Существует бесконечно много простых чисел.
Доказательство. Предположим противное; пусть имеется
только конечное число простых чисел и они занумерованы, например,
в порядке возрастания: р1% р2, . . ., рГ Число z = ргр2 . . . рг+ 1
не делится ни на какое из простых чисел plt p2, .... рг По тео-
теореме 1.1 должно существовать по крайней мере одно простое число,
на которое z делится без остатка. Но это число должно быть отлич-
отличным от /?!, /?2> ...» Рг* а это противоречит тому, что нет простых
чисел, кроме рх, р2, ..., рг Тем самым теорема 1.2 доказана.
Второе доказательство теоремы 1.2 2). Снова предпола-
предполагаем, что имеется только конечное число простых чисел pv p2, .... рг.
1) Евклид, Начала, кн. 9.
2) Эйлер [1].
2 К. Прахар

18 Гл. 1. Элементарные результаты
Составим следующее произведение:
A.1)
Все ряды справа абсолютно сходятся; следовательно, их можно по-
почленно перемножить, и получившийся ряд должен опять сходиться:
A.2)
Суммирование справа проводится по тем числам /г, которые являются
произведениями чисел pv /?2, . . ., рг и их степеней, а также по
п— 1. По теореме 1.1 каждое число п > 1 можно представить в виде
произведения степеней простых чисел. Следовательно, справа в зна-
знаменателях должно появиться каждое число п, так как мы предполо-
предположили, что pv /72, . . ., рт — все простые числа. Поэтому ряд, стоящий
с правой стороны A.2), должен быть рядом ^—» о котором изве-
известно, что он расходится. Мы пришли к противоречию, и наше пред-
предположение опровергнуто.
При первом доказательстве теоремы 1.2 мы только ради простоты ссы-
ссылались на теорему 1.1. Легко понять, что каждое натуральное число
делится по крайней мере на одно простое число. Напротив, при втором
доказательстве теорема 1.1 использовалась полностью.
Спрашивается: имеется ли простая формула, по которой можно
вычислять простые числа, не обращаясь к их определению? В неко-
некотором смысле это отражается следующей теоремой.
Теорема 1.3. Не существует полинома
f (х) = aQxn + . .. -f- an^x + an, A.3)
где аь— целые, /г^-1, а0 Ф О, значения которого f(m) для всех
целых /ю=1, 2, 3, ... являются простыми числами.
Доказательство. Очевидно, что | / (п0) | > 1 для достаточно
большого п0. Возьмем простое число /?, на которое делится / (п0), и
рассмотрим следующее равенство:
Число fi(n0, p, ft) при этом целое, и все три числа A.4) делятся
на р для всех k = 1, 2, 3, . . . . Так как для достаточно большого k
число |/(^о +ft/7)! больше р и кратно /?, то оно либо кратно /?2,
либо, кроме /7, содержит еще и другие простые множители. Тем
самым теорема доказана.
Уже теорема 1.3 показывает, что простые числа распределены
в некотором смысле неравномерно. Имеет место

§ 2. Простейшие оценки п(х) 19
Теорема 1.4. В последовательности натуральных чисел
имеются сколь угодно большие пробелы, не содерэ/сащие простых
чисел, т. е. существуют цепочки любой длины из следующих
друг за другом составных чисел.
Доказательство. Действительно, последовательность
/г! + 2> /г! + 3 п\-\-п A.5)
содержит только составные числа и для достаточно большого п стано-
становится как угодно длинной.
Позднее (гл. V и IX) мы познакомимся с многочисленными тео-
теоремами о расстояниях между последовательными простыми числами.
Приведем еще следующую теорему Серпинского [3].
Теорема. Пусть
л 1
где через рп обозначено п-е простое число. Тогда
Л = [108"а]-10*Я
Доказательство. Действительно
[l02"a] = 102"-2p1 + ...+Pn+U+l10-2
] = кГ1 lioT'-Ъ +.. .,„_, +
Мы покажем ниже (теорема 2.1), что рп <Зп+К Пользуясь этим, легко под-
подсчитать, что числа в квадратных скобках меньше 1, откуда уже следует
утверждение теоремы.
Доказанное соотношение дает простую формулу для нахождения п-го
простого числа. Однако эта формула не годится для вычислений, так как,
чтобы найти нужное количество десятичных знаков числа а, требуется знать
достаточно много простых чисел.
§ 2. Простейшие оценки п(х)
Обозначим через я(х), х > 0, количество простых чисел, не пре-
превосходящих х. Например, яA) = 0, лB)=1, лC) = 2, л A1) = 5
и т. д. В § 1 было доказано, что п(х) стремится к бесконечности
при д:->оо. Теперь мы дадим простые оценки характера стремле-
стремления л(х) к бесконечности.
Теорема 2.1. Для п-го простого числа рп при любых х^-1,
1 имеют место неравенства
п(х)>1пх—1, рп<еп+1<Зп+К B.1)
Доказательство, Аналогично тому, как это было сделано
в A.1) и A.2), имеем
Р<х

20 Гл. I. Элементарные результаты
причем штрих в 2' означает, что суммирование проводится только
по тем п, простые множители которых не превосходят х. В частности,
С другой стороны, очевидно, что
, Л(ЛГ) + 1 ,
II ( i)
П{\ М <-T?fi Ч 2-3... {«W + l) _
<xV~~t) <lll1~TJ = 1-2- • ¦«(*) s==n
так как для /я-ro простого числа
Из B.2) — B.4) следует утверждение теоремы !), если воспользоваться
еще тем, что п(рп)-=п.
Теорема 2.2 2). Ряд
У\^-> B.5)
Jmd p
Р
где р пробегает все простые числа, расходится.
Доказательство. После логарифмирования формул B.2)
и B.3) получаем
2 (-i) > In In x (*>1). B.6)
Р<х
Далее
/-vr-ТГ B<7)
и поэтому из B.6) следует
п (п — 1) •
Отсюда при дг->оо получается утверждение теоремы.
1) Согласно нашим обозначениям оба последних произведения равны 1,
если 1 < х < 2.
2) Эйлер [1].

§ 2. Простейшие оценки п(х) 21
Обе последние теоремы показывают, что в некотором смысле
имеется „много" простых чисел. Теперь мы получим для л(х)
оценку сверху.
Теорема 2.31). Имеет место соотношение
lim (л (х)/х) = 0. B.8)
Доказательство. Для доказательства теоремы применим ре-
решето Эратосфена, позволяющее найти все простые числа <^ х, если
уже известны простые числа <; |Лс. Пусть х >- 4 и pv р2, .. ., рТ —
все простые числа <; Ух . Если вычеркнуть из ряда натуральных
чисел <^л; сначала кратные pv из оставшихся чисел — кратные р2
и т. д. до рг, то останутся, кроме числа 1, те простые числа р,
для которых Ух < р <; х, так как всякое другое число <^ х делится
по крайней мере на одно р <; Ух . Мы утверждаем теперь, что коли-
количество невычеркнутых чисел 1-f л(х) — л(Ух) равно следующему
выражению:
м- 2 [f]+ 2
1<1<г1У1} l<i<k
Действительно, количество чисел, не превосходящих х и кратных pt,
равно — . Если вычесть это количество из [л:] для всех /= 1, . . ., г,
то для чисел, которые делятся на pt и pk, вычитаются две единицы
вместо одной. Если присоединить теперь 1 для каждого числа, кото-
которое делится на pt и pk, то тем самым прибавим —^— . Это делается
для всех комбинаций /, k, 1 ^/ < &<^г. Но при этом опять приба-
прибавили слишком много, так как, например, для числа ргр2Рг сначала
единица трижды вычиталась, а затем опять трижды прибавилась
(*¦ -И- -Ш -Ш - Ш- Ш- ШУ -
что для этого числа из [х] вообще ничего не вычиталось. Продолжая
таким образом, доходим наконец до последнего члена B.9); если
некоторое число ^л: делится точно на s чисел из pv ..., рг, то
из [л:] в B.9) оно вычитается в совокупности
— C2s-\- ... +(_1M-1С^=1-A—1/=1 B.10)
раз.
1) Лежандр [1], стр. 12—16.

22 Гл. /. Элементарные результаты
Выражение B.9) содержит всего
членов. Если опустить квадратные скобки в формуле B.9), то
от каждой скобки возникает ошибка самое большее в единицу,
и ошибка во всем выражении будет не больше 2Г. Следовательно,
согласно B.2) и B.3),
здесь |/?|<2г и г == я(]/"*) < У* . Однако формула B.11) не го-
годится для оценки п(х) сверху, так как 2УХ ^> х и ошибка R может
стать такой большой, что мы не получим из B.11) даже тривиального
неравенства я(л;)< х. Лучшую оценку получают следующим образом.
Если в прежнем рассуждении заменить У~х на и, где 2 <^ и <^ ]/ х>
и Pv • • •» Рг на совокупность простых чисел <; и, то формула B.9)
дает число чисел ^ х, которые не делятся ни на какое р ^и. Это
число очевидно не меньше чем п(х) — л (и). Отсюда следует оценка,
аналогичная B.11):
^ B.12)
B.13)
Теперь можно выбрать и так, чтобы 2й < -j—. Положим # =
а < -jjj^- ; тогда получим
B.14)
для достаточно большого д;. Если сх — положительная константа > 3,
то для достаточно большого х имеет место неравенство

§ 2. Простейшие оценки п(х) 23
так как при х —> оо
1 х I х
\'3"^ "ШЙТ/ 1п1пл:
= °° (если aln2<l)
Отсюда следует утверждение теоремы 2.3.
Определим теперь часто применяемые символы о, О. Пусть f(x),
g(x)— две функции, которые определены для достаточно большого
положительного х, причем f(x) — любая комплекснозначная функция,
а g (x)—положительная для достаточно больших х, Тогда соотношения
).
соответственно f (x) = o(g(x)) при х>со
означают, что для достаточно больших х имеем
| /(х) |<; Ag(х) при подходящем Л > О,
соответственно /*! ""* О ПРИ -^->оо. v • /
Аналогично можно определить соотношения f(x) = O(g(x)), f(x) —
s=o(g(x)) при х->-|~0' если предполагать g"(x) положительной
для достаточно малых положительных х.
Чаще всего мы будем опускать условия „л;->со\ „л;->-f-0",
если из текста однозначно вытекает, что имеется в виду.
Основное содержание теорем 2.1—2.3 может быть выражено
теперь так:
Заметим, что равенство f(x) — O (g (x)) надо читать слева направо.
Например, О (х) = О (л;2) при х->оо, но не О (х2) = О (х).
Мы будем применять эти символы также и в случае, когда fug
определены только для целых х или когда fug определены для
достаточно больших целых х, и будем писать тогда О (п), О (—-)
и т. д. Иногда мы будем указывать определенную область значе-
значений х, для которых верно первое неравенство B,17). Так, например,
т— = 0A), 2^je<oo, означает, что -.— в этой области остается
ограниченным. Константа А в условии B.17) не зависит от того,

24 Гл. I. Элементарные результаты
какое х берется из этой области. В равенстве
1+2+ •-. + я = уЯ2+О(я) (я->оо) B.18)
первый член правой части — главный- член, а второй член — остаток,
который должен быть малым по сравнению с главным членом. Не
имело бы смысла писать, например, равенство
1+2+ ... + я = ~я2+О(я2) (л-»оо),
так как -jfi2-\- 0(п2) = 0(п2) при п->оо, в то время как фор-
формула B.18) показывает больше, чем 1+2+ ... -\-п = 0(п2).
Теперь ясно, что значит, например, соотношение
-О.
§ 3. Истинный порядок л(х)
Мы не знаем простых явных формул, которые позволяли бы
по заданному х вычислять п(х). Поэтому естественно искать простые
функции, которые возможно лучше приближают л(х). Мы покажем
теперь, что в некотором смысле xjlnx — именно такая функция. Для
этого рассмотрим вспомогательную функцию
введенную Чебышевым. Оказывается, что эту сумму легче оценить,
чем п(х)= 2 • !• Позднее по поведению этой суммы мы будем
Р
судить о поведении п(х). Разумеется, чем больше простых чисел,
не превосходящих х, тем больше сумма C.1)
Теорема 3.1 ]) Имеют место соотношения
с2х < е (х)< сгх, 0 < с2 < сг (х > 2), C.2)
~^=1плг-+-0A) (*>1). C.3)
Доказательство. Докажем сначала равенство2)
n>L C.4)
р<п
О Чебышев [1], [2], Мертенс [1], Шапиро [1]. Для х < 2, 9(л:) = 0
и поэтому левая часть неравенства C.2) неверна.
2) Сумма обрывается, как только pk становится больше п, т. е. при
к > 1йпAпр.

§ 3. Истинный порядок п(х) 25
Действительно, в последовательности 1, 2, 3, ..., п имеется всего
[п/р] чисел, которые делятся на р. Из них [п/р2] делятся на р2,
из них опять [п/р3] делятся на /?3 и т. д. Сумма всех этих величин
равна степени, в которой р входит в п\.
Пусть теперь п ^> 2. Логарифмируя равенство C.4) и принимая
во внимание, что
In n \ = n In n -f О (п) (я>2), C.5)
получим
2В-]1п/7+ 2ЬЯ1
Число k сумм слева есть наибольшее целое число g> для которого
n/2g^>l> Следовательно, k = [\nn/\n2]. Тогда
р < л р < л
оо
m=2
так как последний ряд сходится (для достаточно большого m общий
член ряда меньше т~ъ^). Из C.6) и C.7) следует, что
[\ C.8)
Р<п
Если воспользоваться этим равенством для п и для 2/г, то получим
поскольку при рУп — всегда равно 0. Для /г</?^2/г имеем
Г2лг о Гл~] t
— —2 — =1» для ДРУГИХ Р это выражение во всяком случае
неотрицательно, так как [2а] — 2 [а] ^> 0, какое бы ни было а.>0.
Следовательно, из C.9), опуская слева члены с р < /г, получим
2 In р = 8 B/г) - 6 (л)< <yi. C.10)
При я = [л;], д:^2, отсюда следует, что
~ е (*) = е (\2х\ > — е ([х]) =
C.11)

26 Гл. 1, Элементарные результаты
так как In [2х] <^ In 2л: < х при х ^> 2. Это же неравенство, возможно
с другой константой с5, справедливо и при 0 < х < 2. Теперь, если
/1241 то
Таким образом, первая часть неравенства C.2) доказана.
Если в C.8) опустить квадратные скобки, то ошибка, получив-
получившаяся от каждой скобки, не превзойдет единицы. Поэтому верно
следующее соотношение:
~ \пр -f О/У \пр) = п\пп-\-О(п) (п >2). C.13)
Р < п \Р<п
Отсюда и из C.12) после деления на п получаем
Теперь равенство C.3) также доказано, так как \пх — In n = 0A)
при п = [х] и х^\. Теперь докажем вторую часть C.2). Для этого
воспользуемся равенством C.3), Из него для 0 < а < 1 следует, что
= In 1 + 0A) (*-*оо). C.15)
причем константа в 0A) не зависит от а.
Может случиться, что константа Л из B.17), появляющаяся при опре-
определении О ( ), зависит от некоторых параметров. Так, например, при л:->оо
мы могли бы вместо C.15) написать Л. —?-=0A), но тогда нужно
ах<р^л
было бы добавить, что константа в 0A) зависит от а. Чаще всего из текста
будет понятно, от каких параметров зависит константа в О A).
Согласно C.12) 0(ал:)/ал; —0A). Следовательно, при х^\
имеем
ах *w v"w/ ~ ч—у¦* ну i - \-у \ /¦ \ • *^у
Причем опять константа в 0A) не зависит от а. Из C.15) и C.16)
получаем
C.17)

§ 3. Истинный порядок п(х) 27
Выберем а, которое до сих пор не фиксировалось, настолько малым,
чтобы выражение в фигурной скобке в C.17) было положительно1).
Теперь неравенство C.2) доказано для достаточно большого х. От-
Отсюда следует, что оно верно для всех х ^ 22).
С помощью неравенства C.2) мы докажем теперь следующее
утверждение:
Теорема 3.2. При х^2 имеют место неравенства
^СТШ' °<сб<<7- C-18)
Доказательство. Действительно,
{л (х) — я (Ух)} In Ух < 9 (*)< л (х) In х. C.19)
Правая часть этого неравенства следует сейчас же из определе-
определения 0 (л:). Левая часть неравенства следует из того, что
2 1пр> _2 In р> In Ух 2 1.
< Vx<p<x V
Так как я(Ух)=О(Ух), из C.19) заключаем, что
Отсюда, учитывая C.2), получаем утверждение теоремы, поскольку,
например, из правой части C.2) следует, что
т. е.
Теорема 3.3. Пусть рп есть п-е простое число, п^>23). Тогда
ctfi\nn < рп < с9п\пп, 0 < cs < cg. C.20;
Доказательство. Из неравенства C.18) при х — рп сле-
следует, что
с61?й-<п C.21)
и
C.22)
1) Это можно сделать ввиду того, что 1пA/а)-»оо при а^--{ и п0
определению —К < О A) < К при некотором К > 0, независимом от а и л:.
2) Возможно, что при этом с2 и с3 изменятся.
8) Так как In 1 = 0, то п предполагается > 2.

28 Гл. I. Элементарные результаты
Из C.21) получаем Inрп-\-\пс6— 1п1прЛ<1пд. Следовательно, для
достаточно большого п
~\прп<\пп. C.23)
Действительно, так как рп —>со, то для достаточно большого п вы-
выполнено неравенство
у In рп < In сб + In pn — In In рп.
Из неравенств C.21) и C.23) следует правая часть C.20). Левая
часть получается из C.22) и из неравенства
\прп> In л.
§ 4. Суммы и произведения по простым числам
Применим теперь полученные оценки к исследованию некоторых
сумм и произведений по простым числам.
Теорема 4.1. При х->аэ имеют место соотношения
D.1)
)
lit1—у) =
Здесь а и В —некоторые константы, причем В > I
Доказательство. Пусть лг^-3. Очевидно, что
_1_ V4 In/7 1
y~~ 2u ~p~ in/? •
р*Сх
Положим теперь в теореме П. 1.41) Хп = рп (^ = 2)
ап = In рл/рл, ^* (л;) = 1/1п х.
Тогда Л (л:) становится суммой из C.3) и мы получаем
Буква вП" в ссылках всегда обозначает приложение.

§ 4. Суммы и произведения по простым числам 29
оо
Поскольку Г Ing сходится,
2
где #х— константа, знак которой пока не определен. Из D.2), D.3)
следует первая часть D.1) при a = al-\-\—In In 2. Далее,
D-4)
как 2и п(п — \)=!п% имеем
п>т
(J-4--J-4- W
\ 2р2 ^^ З/?3 "^ ' ' ' /
\2<р< оо
При с > 0, 0<J!ctf<;i/2 имеет место неравенство
Положим здесь w=l/lnx, а с равным константе в 0A/\пх). Тогда
мы получим
ехр О A/1п х) = 1 4- О A/1п х)
для 1пх^-2с. Для 2<^х^е2с это соотношение очевидно и, следо-
следовательно, имеет место при х ^> 2.
Теперь, исходя из D.4) и уже доказанной части теоремы D.1),
мы получаем
Р<х
= Б 1п х {1 + О A /In *)}, В = ехр (а + с10) > 0. D.5)
Этим теорема D.1) полностью доказана. Константы а и В будут
определены в гл. 3, § 5. Из формул B.2) и B.3) сразу следует.
что В>1.

30 Гл. I. Элементарные результаты
Теорема 4.2. При постоянном а> — 1 имеют место нера-
неравенства
Р<х
причем си и с12 зависят от а.
Доказательство. Мы докажем сначала правую часть нера-
неравенства. При а^>0 она следует из C.18), если учесть, что сумма
содержит п(х) членов, которые все не больше ха. Пусть теперь
0<р< 1. Согласно C.18) и C.20),
D.7)
Рп<х 2<п^с7х/1пх
Из (П. 1.8) следует
S -(/<^) <4'8)
Мы имеем
j_l_(i ___!__)=.
felng Ч (lP)Ingj A-РIпР|
Ввиду того что 1—р/A—p)ln|>Y ПРИ i >-*о> для интеграла
в D.8)г) справедлива та же самая оценка, так как
Если в этой оценке заменить х на с7х/\пх, то правая часть неравен-
неравенства D.6) получается из D.7) также и для — 1 < a < 0.
Теперь докажем левую часть D.6). Для а^О при любом е>0
и л:>^о(8) имеем, согласно C.18),
Ра > 2 р« > {я (х) - я (ех)) (гх)а >
ех<р<х
1) Интеграл можно оценить несколько проще:
х0 х0
где P4-6<1, 6>0, и |6/ln^g при |!>^0 монотонно возрастает.

§ 5. Различные применения
31
причем с(&) — положительная константа, которая может зависеть от а
(е предполагается настолько малым, что с6—с7г > 0). Далее при
1>р>0 в силу C.18) получаем
1Jp>^>c«^- DЛ0)
Р<х у
Этим неравенство D.6) полностью доказано.
Теорема 3.2 наводит на вопрос, существует ли предел я(х)\пх/х
при х->оо. Существование этого предела — центральная часть тео-
теоремы о простых числах, которую, однако, мы сможем доказать лишь
позднее.
Теорема 4.3. Если
а= lim *<*)ln* D.11)
Jf->OO Х
существует, то а должно быть равно 1.
Доказательство. Соотношение D.11) можно записать так:
Используя теорему П. 1.4, отсюда получим
)- DЛЗ)
По определению о( ) для любого е>0 величина оA/|1п|) не пре-
превосходит е/? In I при I > х (е). Следовательно,
х0 (е)
2 " "' 6 хо(е)
= С (8) ~f 8 In In X < 28 In In X (X > Xj (б) ),
и интеграл слева есть о (In In jc) при *->оо. Сравнивая D.13) с D.1),
получим а= 1.
§ 5. Различные применения
Обозначим через <р(я) функцию Эйлера, т. е. количество нату-
натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с я. Известно,
что
^Ш1-})' EЛ)
р[п

32 Гл. I. Элементарные результаты
где запись р\п означает, что р — делитель числа п. Множитель
1 — 1/р тем меньше, чем меньше р. Следовательно, это произведе-
произведение мало, если п имеет много маленьких простых делителей. Очевидно,
что <р(я)<;я (#;> 1).
Теорема 5.1 !). Имеет место неравенство
Доказательство. Пусть v(ri) — количество различных про-
простых делителей п, a pt есть 1-й простой делитель. Так как В\пх-\-
-f- о (In х) < с In х при х ^ 2 и достаточно большом с > 0, то, со-
согласно D.1), имеем
v{n)
ПA-7)>ПA-^)= П A-})>с"т^- ^3>
Р\ П i = 1 Z7 ^ Ру 1П\
С другой стороны, в силу C.2)
v(n)
»>П/>>ПЛ= П Р. E-4)
1пге> 2 1п/' = 0(рв^')>с2р„,„>. E.5)
Поэтому lnpv{n) < ^15 In In /г, и утверждение теоремы следует из E.3).
Обозначим через d(ri) число положительных делителей числа п
(причем 1 и само п также считаются). Очевидно, d(p) = 2 и всегда
d (п) ^> 2. Если п = рп\ . .. рпг, то
поскольку для кратности pt в каком-нибудь делителе п имеется
щ + 1 возможность: 0, 1, 2, . . ., я/(
Неравенство d(n)^.n тривиально. Несколько лучше оценка
d (п) <. 2 У п. Действительно для п = ^гя?2 или й?! <^ |/"л или d2 ^ Yn*
Докажем теперь более точное утверждение.
Теорема 5.23) Для каждого е>0 и /г>яо(е)
E.7)
О Ландау [2].
2) При л = 2 неравенство E.2) тривиально, так как in In л < 0.
8) Виман [1], Рамануджан [1J.

§ 5. Различные применения 33
Доказательство. 11усть п = Д рпр ^> 3. Возьмем любое
р\ 'г
а > 1 и образуем число
П • П =Л'^2> E.8)
причем 0<т]<1. Если г| == rj (а) выбрать настолько малым, чтобы
A—т|)а стало больше единицы, то для любого р из произведе-
произведения Р2 получим
In 2 _ In 2
Следовательно, Р2< *• Число множителей в Pj не больше чем
(л 1-Т1 ^ ^ In11 /г
v 7 ^ 7 A—
-п г?—г
A—т]) In In я
а каждый множитель не превосходит величины
In2 Jn2
Теперь легко проверить, что функция
при постоянном ^>0 имеет максимум 1/еЬ\п2. Следовательно,
каждый множитель Рг не больше чем —р^+1. Отсюда для до-
достаточно большого п получаем неравенство
*72оA11 Цп) (п->оо) E.9)
с константой с16, зависящей от а. Для достаточно большого п из
E.8), E.9) и неравенства Р2 <^ 1 следует утверждение теоремы, если
положить а = 1 + е.
Можно доказать 1), что оценку E.7) нельзя существенно улучшить, т. е.
имеется бесконечно много п, для которых
rf(«)>exp {A-е) In 2-,^}. E.10)
1) Виман [1], Рамануджан [1].

34 Гл. I. Элементарные результаты
Но в среднем при п ^ х, где х — достаточно большое число, d (n) гораздо
меньше и имеет порядок \пх. Более точно это замечание формули-
формулируется так:
Теорема 5.3 *). Имеет место равенство
2 = x\nx-\~O(x) (*>1). E.11)
п <х
Доказательство. Имеем
m | n
так как — == V 1. Отсюда, если воспользоваться тем, что
tn \п, п^х
" -^-==ln jc-f- 0A). E.12)
следует утверждение E.11).
Можно легко показать, что
У\ d (п) = х In х -[- Bу — 1) х
где у — постоянная Эйлера (гл. I, задача 17). В уточнении остаточного члена
этой формулы состоит проблема делителей Дирихле.
Формула E.11) означает, что 2 d(n) ведет себя так, как lnx,
/г<лг
умноженный на число слагаемых в сумме. Если образовать сумму
2 d2(ri), то, применяя неравенство Шварца (П. 12.3), получим
ж*
\ 2 ь<*(«I2< 2 i2 2 <?{п).
Из E.11) следует, что
2 (*>2). E.13)
Относительно большую часть суммы E.13) составляют большие зна-
значения d(n), так как они там возводятся в квадрат. Можно дока-
доказать2), что
2 d2 (n) ~ cmx In3 л:, E.14)
<
, tr18>0 (см. гл. III, задачу 7), Получим теперь оценку
сверху для 2
О Дирихле [2].
2) Рамануджан [2], Вильсон [1].

§ 5. Различные применения 35
Теорема 5.4. Имеет место неравенство
2 d2 (/*)< cl9x In3 х (*>2). E.15)
<
Доказательство. При х^-2 имеем
т\ п т^х п^х, т \п
([JL]«)|. E.16)
Далее из формулы E.6) следует общее для всех натуральных чисел
а, Ь неравенстве^
d(a.bL?d(a)d(b). E.17)
Следовательно,
d(m)+ ...-!-<*( [-?¦]/»)<<* (m)
и по теореме 5.3 получаем
^ d(k)^c2Ox\n2x (*>1). E.18)
Следовательно, при х^>2, l^m-^x
причем ?21 не зависит от т. Согласно E.16),
^с1Чп)<спх\пх 2 ^М. E.19)
Если мы покажем еще, что
М. = ^_ in2 д- + о (In je) (jc > 2), E.20)
то неравенство E.15) будет доказано. Для доказательства соотноше-
соотношения E.20) положим в теореме П. 1.4 ап = d(n)t g{x)—\jxt кп — п.
Пользуясь E.11), получим
из чего уже следует E.20),

36 Гл. I. Элементарные результаты
Мы уже доказали в теореме 4.1, что
Отсюда можно судить о величине Т? A -| ). Докажем более
общую теорему
Теорема 5.5. Пусть s — произвольное целое число и М —
произвольное конечное множество простых чисел, больших \ s |.
Тогда имеют место неравенства
7)
р6М р?М
р е м
М
П ('+))' <^П('-|Г- (М4)
причем константы с зависят только от s, но не от выбора
множества М.
Доказательство. Неравенство E.21) следует из неравенства
Бернулли
Чтобы доказать E.22), заметим сначала, что, поскольку |С"^||-^| s\",
p^-\s\~\- I, по формуле бинома имеем
л 1Х—\ s
7/ -1~
где
\b(s, p)|=
Отсюда следует, что

Задачи к главе I 37
так как 1 -
^,_, , _ при p>|s|+l. Кроме того, имеет
место неравенство
0 ^)
р? М л-1
и, таким образом, E.22) доказано. Неравенства E.23) и E.24) легко
следуют из следующих двух неравенств:
Л
Л('-?)> П
2
2</?<оо л = 2
_ЬЗ#2-4 _1
"~~1Г2" #зТз" • " • — 2"
Следствия. Пусть х^>2. Имеем из E.23)
Р<х
По теореме 4.1 из E.21) при s = — 2 получаем
Р<Х
Кроме того, из теоремы 4.1 и E.21) следует
П
(}) W7-
х
И
TJ A j < с JJ Г1 —| J для целого п > 1.
р\ п р \п
Здесь с > 0 и не обязательно одно и то же во всех этих нера-
неравенствах.
Задачи к главе I
1. Из первого доказательства теоремы 1.2 вывести, что рп+1 < 2 ,
и отсюда для больших х показать, что п(х) > a In In л: при
а< 1/1п2.
2. Пусть Рп = 22П-+-1, л=1, 2 ... Доказать, что (/%, F^=l
при пФт. Это дает третье доказательство теоремы 1.2 2).
Пойя, Сегё [1].

38 Гл. I. Элементарные результаты
3. Пользуясь доказательством теоремы 1.4, показать, что для
всякого как угодно большого х при подходящем с > 0 всегда имеется
больше чем c\nxj\n\nx последовательных составных чисел, не пре-
превосходящих х.
4. При достаточно большом А и достаточно большом х между х
и Ах лежит по крайней мере одно простое число. (Следует вос-
воспользоваться C.18).)
5. Для любого малого 8 > 0 имеется бесконечно много пар про-
простых чисел рп, рл+1, таких, что рп+1 <A+г)рп.
6. Пусть d1=pl и dn — pn — рп_г при /г>1.
Показать, что при подходящем с (для достаточно большого х)
сх< 2 <*„<*•
Рп<х
7. В задаче 3 можно заменить \nxf\n\nx на Injc (см. задачу 6).
8. При подходящем с1 > 0, с2 > 0 неравенство рп+\ —рп < с1\прп
выполняется более чем для с2х/\пх простых чисел рп<^.х. Указа-
Указание: из задачи 6 следует, что
к
с In х
pn<x,dn>c\nx
9. Пусть V (х) — наименьшее общее кратное всех чисел
Показать, что
в0**, 0<сг< с2.
10. Доказать, что
1 . с (б)
р1+6 ^ х6\пх
р>х *
при постоянном б > 0.
11. Доказать, что ряд
р{\п\пр)а
сходится при а> 1 и расходится при а<^1.
12. Пусть i|)(jc) = 2 S1ПР» где суммирование проводится по
Рт<х
всем р и всем т, таким, что рт^.х. Тогда
причем ряд обрывается самое большее на [1пл:/1п2] члене.
13. Если i|)(x) определено как и в задаче 12, то справедливо
следующее / равенство:
1

Задачи к главе I 39
14. Докажите, что г|)(/г)<2/г (см. задачу 12) и что
(следует воспользоваться тем, что левая часть равна 1п[л:]!—
— 2 InU-jc !, и формулой Стерлинга).
15. Доказать, что
16. Докажите, что для каждого простого числа р имеются числа т
со следующим свойством: не существует ни для какого натурального
числа п точной степени рт, которая делила бы п\.
17. Доказать равенство
2 И=2 2 Ш-
и показать, что
2 d(n) = x\nx + By — 1)х+(
п < х
где у— постоянная Эйлера = lim A + "о"+ • • • Ч In я).
18. Пусть v (п) — число различных простых делителей п. Дока-
Докажите, что
2 v(ri) = х In In x -f- о (x In In x).
19. (Продолжение.) Докажите, что
20]). Из задач 18 и 19 вывести формулу
2 {*> (п) — In In /г}2 = О (jc In In jc)
и отсюда получить, что
2' 1 = О {х (In In xI-2*} = о (а:),
<
где 2 означает, что суммирование проводится по тем п, для ко-
которых
| v {п)— In In п | > (In In ri)b, -к < b < 1.
l) Туран [1].

Глава II
МЕТОДЫ РЕШЕТА
§ 1. Обозначения
В этой главе будут употребляться следующие обозначения: х — до-
достаточно большое положительное число, 8 — сколь угодно малое по-
положительное число; i, j, k, I, т, п, г, $ — натуральные числа,
/?, q — простые числа. N (z; В)— число тех чисел z, которые удовле-
удовлетворяют условию В; v{n) = N (р\ р\п)— число различных простых
делителей п. Положительные константы сг, с2 . . . мы будем чаще
всего перенумеровывать только внутри параграфа. Там, где значение
констант не очень важно, мы будем употреблять буквы с, С, Л, В.
Таким образом, эти константы не всегда имеют одно и то же зна-
значение.
§ 2. jLi-функция Мёбиуса
При доказательстве теоремы 1.2.3 применялся так называемый
метод решета. Из чисел п^.х вычеркивают определенные числа и
пытаются оценить сверху число остающихся чисел. Число остающихся
чисел l-f-jt(X) — л;(]/"лГ) задавалось выражением A.2.9). Мы можем
записать это выражение несколько проще с помощью р,-функции
Мёбиуса. Функция Мёбиуса jo, определяется следующим образом:
( 0, если п делится на т2 для какого-нибудь //г > 1,
I (—1)V(/I\ если п не делится на т2 при т> 1,
в частности, |i(l)=l. Тогда A.2.9) можно записать так:
B-2)
d \D
где
рг= П Р
Y
Мы докажем теперь одну общую формулу, которую также можно
получить с помощью метода решета.
Теорема 2.1 ]). Пусть даны натуральные числа klt k2, .. ., kN,
среди которых могут быть и равные, и любая действительная
1) Мёбиус [1].

§ 2. ii-функция Мёбиуса
41
или комплексная функция f (k), которая определена при k = kt,
i=l, 2 ЛЛ Обозначим для каждого числа dl)
Sd= 2 /(*,). B.3)
5=
Тогда имеет место равенство
/(ft,)-
B-4)
B.5)
*/
причем суммирование проводится по всем d, которые делят
какое-нибудь kt {для остальных d, разумеется, Sd==0).
Доказательство. Сначала докажем следующее главное свой-
свойство ц-функции:
Первая часть B.6) очевидна, так как jo,(l)=l. Пусть я>1. Рас-
Рассмотрим разложение п = р . . . р"г числа ^г на простые множители.
Обозначим п'= рг ... рг. Тогда из определения ц( ) имеем
2 и(<9= 2 i*(rf) = 2 2
й?1л d|/i' 5=0 d«l л', г/(йО =
(-l)J = (l-l)r = 0. B.7)
Из B.6) следует теперь, что
/(ft,)
2
d\kt,l*Ci<N
B-8)
что и требовалось доказать.
Формула B.2) получается как частный случай B.5), если в каче-
качестве kt взять [х] чисел (п, D), п<^.х, и если /(А*) положить рав-
равными 1 для всех kt. В этом случае Sd = [x/d].
Как частный случай той же формулы B.5) получается известная
формула обращения Мёбиуса (см. задачу 5), если в качестве kt взять
числа /г/б, причем п фиксировано, а 6 — делитель п. В качестве
f(kt) следует взять значения /F) какой-нибудь функции /.
1) При этом суммирование в B.3) проводится по всем kt, кратным d,
а в B.4) — по всем ?/, равным единице.

42 Гл. II. Методы решета
Заметим, что B.5) можно получить без вычислений с помощью метода
решета, сначала вычитая из ^ f (kt) все суммы Sp= ^ f (ki) затем
KKN р\ kt
прибавляя все 5 = 2 / Фд и т- д* Дальнейшие применения тео-
12 *Л\*1
рема 2.1 находит в задачах в конце главы.
Будем считать, что в этой главе п всегда пробегает последо-
последовательность из N натуральных чисел пг, п2 nN, которые
мы предполагаем заданными; кроме того, считаем, что Л/>1.
Применим теорему 2.1 к одному важному частному случаю. По-
Положим п — т(т~\-2), т=\, 2, ..., N, и в качестве kt в тео-
теореме 2.1 возьмем числа (п, D), где D= Д /?. Пусть /(^)=1 для
<
Р<
всех kt. Тогда S — количество тех чисел п = т (т-\-2), I <^m^.N,
которые не имеют простых делителей, меньших или равных и. Если
положим и = УЫ-\-2 , то для такого п получим, что т и т-\-2 —
простые числа, большие ~\/~N ~\-2 . Наоборот, каждая пара простых р
и q = р~\-2, ]/OV-|-2 </?<#<;Л^-|-2 причисляется к S. Два про-
простых числа вида р и q — p-\-2 называются простыми близнецами.
Число таких близнецов при р ^N, очевидно, равно
N; p + 2 — простое) =5 + 0 (УЮ- B-9)
Здесь применяется теорема 2.1 при km = (m(m-\-2), D), 1
f(km)=l. Далее
; m(m-\-2)==0(modd)). B.10)
Рассмотрим сравнение
т (т + 2) = 0 (mod d)t B.11)
где d \D и d свободно от квадратов. Обозначим со(<2) количество
решений сравнения B.11), т. е. количество различных вычетов по modrf,
которые ему удовлетворяют. Тогда
1 для /? = 2,
2 для р > 2.
Из B.12) и B.5) следует, что
B.14)
d\D d\D d\D

§ 2. [х-функция Мёбиуса 43
Если d = pip2 • .. рг — свободное от квадратов число, то по извест-
известным теоремам о сравнениях имеем
ю (d) = ю (рх) о) (р2) ... о) (РгУ B.15)
Отсюда и из B.13) получаем
а из B.14), B.16) и B.12) следует, что
S = TN П. O-D + ofS^Wy B-17)
Из B.9) и следствия из теоремы 1.5.5 получим
^0(d)N)
B.18)
Так как 0(d) ^ 1 и, согласно A.3.18), число простых делителей D
равно я (]/"N + 2) > с yNJlnN (N > 1), то имеем
>l. B.19)
Отсюда видно, что формула B.18) не пригодна для оценки сверху
числа простых близнецов, не превосходящих /V, также как формула
A.2.11) не пригодна для оценки сверху п(х). Действительно, оста-
остаточный О-член становится больше, чем главный член cN/In2 N. По-
Положение не улучшится, если заменить в определении D число y~iV-f-2
на меньшее число, как было сделано при доказательстве фор-
формулы A.2.15). Тогда бы мы получили, как легко проверить, самое
большее, что1)
N (Р < ^; Р + 2 — простое) < с -ц^ (N > 1), B.20)
но это тривиально следует из неравенства
Долгое время думали, что вообще нельзя получить нужную
оценку методом решета. Но В. Бруну [1] удалось показать с по-
помощью нового способа оценки ошибки, что
р + 2 —простое) < с 1j?J7 (N > 1). B.21)
1) Напомним, что 1п2 N ¦— сокращенное обозначение In In Af.

44 Гл. II. Методы решета
В. Брун решил еще несколько аналогичных проблем. В последнее
время А. Сельберг [2] с помощью обобщения метода решета сумел
новым, более простым способом доказать и несколько улучшить ре-
результаты Бруна. Метод Сельберга будет изложен ниже. При этом
речь идет всегда об оценках сверху.
Для оценок снизу получены пока гораздо худшие результаты, которые
чаще всего требуют очень больших вычислений. Реньи [1], например, до-
доказал, что имеется бесконечно много р, для которых число простых дели-
делителей р-\-2 меньше постоянного числа. А. И. Виноградов недавно доказал
с помощью метода решета Сельберга, что имеется бесконечно много пар
(гп, m -\- 2), таких, что каждое из обеих чисел имеет не более трех простых
множителей. Однако пока неизвестно, существует ли бесконечно много
простых близнецов. На оценках снизу мы здесь останавливаться не будем.
§ 3. Метод решета А. Сельберга
Пусть п пробегает iV > 1 натуральных чисел п1, п2, .... nN,
среди которых могут быть и равные. Положим
S = N(n; р^п для р<г); D= Д Р» ^>2. C.1)
По формуле B.6I) имеем
S = 2 1=2 2 V(d)=I>\x(d)Sd, C.2)
п, {п, ?>) = 1 п d \(D, n) d\D
причем
sd= 2 i. (з.з)
п, d\n
Предположим, что для Sd имеется „приближенная формула"
C.4)
0A)= 1. При этом 0(т) должна быть мультипликативной функцией.
Мы называем функцию целочисленного аргумента /(т)фО мульти-
мультипликативной, если для всех mv m2, (mv m2)=l, выполняется ра-
равенство
Если это свойство выполняется для всех т1, пг2 без ограничения,
то f(m) называется вполне мультипликативной функцией. В частности,
/A)=1, так как f (т . 1)=/(/и)/A) и при /(т)ФО. /A)=1.
Сумма Sd формулы B.12) удовлетворяет этому требованию.
1) Здесь ^ обозначает не ^- а 2 ' так как в это^ главе мы огра-
п л-1 «.,l<KiY
ничиваемся числами щ.

§ 3. Метод решета А. Сельберга 45
Из C.2) и C.4) и мультипликативности со (я) следует
d\D \d\D
(^) Bl*4 C.5)
d\D I
Также как в примере § 2, здесь при достаточно большом z число
делителей D будет очень велико. Тогда остаточный член в C.5) мо-
может стать не меньше главного члена, и формула станет бессодержа-
бессодержательной.
Следуя идее Сельберга, мы сначала заменим в C.2) множители
\x(d) на любые числа pd, для которых
2р,>2
d\m d\m
при всех натуральных т. Тогда
<2 S р*2
п d \{n, D) d\D
и так же, как формула C.5) выводится из формулы C.4), получаем
C.8)
d\D \d\D
Хотя суммы в остаточных членах C.5) и C.8) имеют много слагае-
слагаемых, полагая достаточно многие из pd равными нулю, мы можем
существенно понизить величину остатка в C.8). При т=1 фор-
формула C.6) дает р1^|аA)=1. Положим р2 = 1. Если имеется две
системы р^, p"d% для которых выполняется C.6) и р1/ = р^/=1, то
можно составить третью такую же систему чисел р^ по формуле
2р^BрЛ = 2р<г р*= 2 p^V <3-9)
d\m )\d\m j d\m \du d2]~d
Здесь [dv d2] — наименьшее общее кратное чисел dx и d2. Выберем,
в частности, pd = p^ = Xd. Тогда числа pd, определенные формулой
2^2=5Ч. 9d= 2 ЧЧ- (з-ю)
d\rn ) d\m [dud2\=d
будут удовлетворять условию C.6), если fkd удовлетворяют этому
условию. Однако р^ из формулы C.10) удовлетворяют условию
C.6), если положить Хг = 1 даже тогда, когда kd не удовлетворяют
этому условию. Это следует из равенства B.6) и того, что ^ = 1,

46 Гл. //. Методы решета
( 2 kd\ J> 0 при m > 1. Если подставим значение pd из (ЗЛО) в C.7),
\d\rn )
то получим
s<2( 2 М2=2( 2
п \d\(n,D) ) d\D\ldud2]
Полагаем теперь Xd = 0 при d>z. Так как D = JJ/?, то доста-
точно распространить суммирование во внутренней сумме в C.11)
на те d, для которых
d\n, d^z, d свободно от квадратов. C.12)
Очевидно, что d\(n, D).
Ниже мы будем считать, что п пробегает N > 1 значений nv ...
..., nN, которые не предполагаются различными. Рассмотрим для
? ^> 2 число D = JJ/?. Это число свободно от квадратов, т. е. не
<
делится на ш2, каково бы ни было число /я > 1. Пусть 5—-число
тех /, для которых (n-v D)=l. Пусть также для натурального d\D
через Sd обозначено число тех /, для которых d\nt. Таким образом,
2 2 \() Ii\()d C.13)
i,(n,D) = \ n d\(n,D) d\D
Собственно говоря, например, первую из сумм следовало бы запи-
записать 2 1. То же относится и к остальным суммам.
Пусть для всех d\ D определена функция co(?f); (x)(d) — мультипли-
мультипликативная функция в следующем смысле: для d = р1р2 ... pr, d\D
должно быть со (d) = со (/?j) ... 0(/?г), (оA)=1. Далее 0^a>(d) <Cd
для всех fif> I, d\D. Определим для d\D число Rd формулой
C.14)
Обозначим f(d) — —гтг-, причем условимся, что / (d) = -f- oo для
со(бГ) —0, -ц— = 0, Ъ . (~j~ со) = ± оо при конечном Ь^О. Таким
образом, /A)=1, 1 < f(d)^-\-cx>t если d> 1. Ниже для обозна-
обозначения бесквадратных чисел будем применять буквы d, dv d2, 6, и,
иг и г. Для r<^?, r\D положим
~j^)>0. C.15)
PV

§ 3. Метод решета А. Сельберга 47
Если /(r) = -f-oo, то и /j (г) = f~ оо. Для конечных f (г)
<3-16>
d\r d\r
Очевидно, что fx(l)=\t Положим далее
так что l^Z<-f-oo, и для d^z введем величины
Отсюда видно, что ^ = 1.
Теорема 3.1 Имеет место оценка
S < ^г + Я. Я = 2 I ^i^^i. ^ I- C-19>
Доказательство. Заметим сначала, что достаточно опреде-
определить со (р) для простых делителей числа D, так, чтобы О <J со (р) < р.
После этого можно однозначно продолжить a>(d) на все делители d
числа D.
1. Пусть сначала со(/?)>О для всех р|А и, таким образом,
f(d) конечно и имеет место C.16).
Для натурального п величины %d% введенные в C,18), удовлет-
удовлетворяют неравенству
d\ I n, d21 п
так как левая часть равна единице для п = 1 и, кроме того, всегда
неотрицательна.
2 2 и№<2 S Л2
л d |(л, Z)) /г dx\n,d1\n
du d2Kz
причем само собой разумеется, что dx и ^2~ делители числа D.
Если обозначить
Р^ = 2 kdfai*
ddd

48 Гл. II. Методы решета
то
2
d\D d\D [dl}d2]=d
где
Действительно, /([rfj, tf2]) /(№» ^2) )=/№)•/№)» если tflf
Теперь для r|D, r ^ 0, согласно C.16),
Итак
Р -
где
1
/Ш f(d2)
Z
s
л.
\к —
d\6
\
} —
6\Г
C-20)
7W- C-21>
Если u — dr, то по формулам C.15) и C.18) мы получаем для d\D
2л 7^Р)=1х(-аJл7Г(п)- Cl22)
Для 6<z из C.21) и C.22) следует
d, и
b\d,d\u
Положим d = bdv u^bu^ Тогда

§ 3. Метод решета А. Сельберга 49
По формулам C.20) и C.22) получаем
2. Пусть теперь со(/?') = 0 для некоторых простых делителей рг
числа D, а (о(/?")>0 для остальных p"\D. Числа S и Sd опреде-
определяются через пх nN, z независимо от выбора функции со. Вы-
Выберем е>0 и заменим со функцией о)(е) так, чтобы о)(8)(//) = е,
со(е) (/?") = со (//'). Тогда в соответствии с формулами C.15) — C.19)
определятся числа R{1\ /(е)(О> ff ir), Z(e), %$ и /?(е). В силу C.19)
и первой части доказательства имеет место неравенство
^ C.23)
Действительно, очевидно, что при 8—>0 имеем о)(е) (d)->(d(d),
kf-^la, R{e)->R и C.23) следует из C.19).
Выведем теперь общую оценку величин Z и /?, которая полезна
для многочисленных применений.
Теорема 3.21). Обозначим через (z) множество тех натураль-
натуральных чисел т, для которых Д р < z, и пусть m = Ylpmp (к (г)
р\т р\т
принадлежат, в частности, все числа <^z). Тогда в обозначениях
теоремы 3.1 имеем
z==z 2 ill0^^- C-24)
m?(z) p\m
Пусть далее для всех d, dv d2 (в обозначениях теоремы 3.1)
| Я, |<©(d), (о([dlf d2])<0№) ш(daJ). C.25)
Tvzda справедливо неравенство
Доказательство. Из C.16), C.15) и того, что
1) Чулановский [I].
2) Последнее условие обязательно выполняется, если со ((dl} d2) )>- 1.

50 Гл. //. Методы решета
следует, что
р\Г
/7 \т
После перемножения отсюда получим C.24). Далее, согласно C.25),
имеем | R[du d2\ | ^ со (dx) со (d2), следовательно, используя C.19), при-
приходим к неравенству
dx, d2*Cz
Г( S И( ^ГJ- C-28)
так как fx (r) > 0 для бесквадратного числа г, и, следовательно,
имеет место оценка
Из того, что m = JX pw^» функция 0 (m) мультипликативна,
/71 m
®(P)IP <l и (^) — подмножество множества чисел, все простые
сомножители которых не превосходят г, мы можем заключить, что
p\ d d*Cz p\ d
rf<г р\ d
/я С (г) p\m
Таким образом, неравенство C.26) доказано.
§ 4. Примеры на метод решета
Сохраним обозначения предыдущего параграфа и рассмотрим вопрос
о том, какова верхняя граница числа простых чисел, которые встре-
встречаются в арифметической прогрессии
t+k, l + 2k, .... l + Nk% D.1)
если k > 1, 0 < / < k.. (k, I) = 1. При k = 2 в последовательность D.1)
при растущем N войдут все простые числа большие двух. Если уело-

§ 4. Примеры на метод решета 51
вие (k, /)=1 не выполнено, то среди чисел D.1) нет ни одного
простого числа. В § 3 мы положим
n = l + km, m = l9 2, ..., N, N>1 D.2)
и тогда в обозначениях § 3
S = N(rn<CN> P^km+l для р<2), г>2, D.3)
Sd = N(m^N; km + l==0(modd)). D.4)
Пусть со(й?) — число тех г, 0 ^/•<*/, для которых выполняется
сравнение
kr +1 = 0 (moid). D.5)
Тогда, очевидно,
5d = ©(rfL-+^. \Rd\<<»(d). D.6)
Согласно известной теореме о сравнениях по составному модулю,
a>(d)— мультипликативная функция. Далее, так как (k, /)=1,
1, р*А,
0. p\k. D'7)
Легко видеть, что to([dv d2]) ^.(o(dl)(o(d2). Впрочем, это неравенство
имеет место всегда, если со(ш) — неотрицательное целое число и
© (ps) = 0 (/?) для любой степени простого числа. Тем самым условия
для применения теорем 3.1 и 3.2 выполнены. Согласно C.24) и C.26),
соответственно получаем
m ? (г), (tn, k) = l m < z, (m, k) — l
р<г, р -К k
Чтобы получить для «S оценку сверху C.19), мы должны оценить Z
снизу, a R сверху. Для этого нам нужна
Лемма 4.1. Пусть N ^>2, Р — какое-нибудь множество про-
простых чисел, не больших N, и пусть Np — множество, состоящее
из Р и всех чисел, не больших N, которые содержат только
простые сомножители из Р. Тогда имеет место неравенство
П('-уГ<в 2 -ж- <"¦'»)
р ? Р т ? Np
причем В — положительная константа, не зависящая от Р и N.

52 Гл. //. Методы решета
Доказательство. Если Р ~~множество всех простых чисел
то D.10) следует из A.4.1) и из равенства
<W>1) D.11)
[см. A.5.12)]. Предположим, что D.10) уже доказано для непустого
множества Р и соответствующих чисел m?Np. Пусть q— простое
число из Р, а Р1 —множество простых чисел из Р, за исключе-
исключением q, NP' — аналогичное множество для Np 2). Тогда достаточно
доказать, что из справедливости D.10) для Р и Np следует справед-
справедливость этого же самого неравенства для Pf и N р> с той же кон-
константой В. Имеем
Н ('-if-O Ч) Н (•-!)"• «¦*>
Р е Р' Р ? Р
V ±= V _L_ у _L, D.13)
m G Np' m ? Np m ? l\'p, q \ m
m ^ Л^р, <7 | m m' ? Np m ? Np
Из двух последних формул следует, что
m ^ Л^р' m ? Np
Формулы D.12), D.15) и предположение, что справедливо неравенство
влекут за собой неравенство
Н('-тГ<в 2 i-
? Р' € iV
Р?Р'
и тем самым все доказано.
Возьмем в лемме 4.1 в качестве множества Р простые числа
не делящие к. Тогда, согласно A.4.1), из D.8) после замены N на
[z] следует неравенство
г> 2 ^>4 И (¦-!)">
т < z, {т, ?)=»1 р < z, p -f k
^> с In z (z ^ 2) Г4.16)
Если Р' пусто, то Nр, содержит только единицу.

§ 4. Примеры на метод решета 53
Теорема 4.1 ]). Пусть 1<&<л;, 0</<&, (к, /) = 1 и
л(х, k, l) = N(p^x, p = /(mod*)). D.17)
Тогда
*<*'*' *><%(*)?(,/*)' <4Л8>
причем константа с не зависит от х и k.
Доказательство. Из A.4.1) и D.9) в прежних обозначениях
получаем
/? = ОB21п22) B>2). D.19)
По теоремам 3.1, 3.2 и формуле D.16) имеем
S = N(m^N; p%mk~\-l для р <; г) <
< ы | с l^i- ln^|"" +0 B?2 In2 2?). D.20)
Выберем z — N^2lln2N и будем предполагать, что Af > No = б16.
Тогда, очевидно, z>-2, In 2: > с In N. Поскольку z2 In2 г = О (N/ln2 Л/),
из D.20) и неравенства &/<р(&)^1 следует, что
где константа с не зависит от N и /г. Теперь положим
Пусть #/& > с2 = б16-|-2, тогда Л/ > в16 и, так как N/lnN монотонно
возрастает, из D.21) следует, что
Неравенство
J+l D.23)
имеет место потому, что в числе S считаются простые числа
р — mk-{-1 (l^m^N) с условием z<p^Cx и число простых
чисел p = l (mod &), p<Cz> в0 всяком случае не превосходит z]k-\-l.
Так как при xjk> c2 zlk=N42/k\n2 N =0 (Yx/k), то в этом слу-
случае D.18) следует из D.23). Для x/k^c2 теорема 4.1 тривиальна,
так как очевидно, что п(х, k, 0^-т-+1«
Позже мы укажем теоретико-числовые применения теоремы 4.1.
1) При k < ха, 0 < а < 1, см. Титчмарш [2] (теорема Бруна — Титчмарша).

54 Гл. //. Методы решета
Докажем теперь одну теорему, обобщающую теорему 4.1 и даю-
дающую, в частности, оценку числа простых близнецов, не превосходя-
превосходящих некоторого числа.
Теорема 4.2. Пусть av ..., as, bv ..., bs— целые числа,
причем для 1= 1, 2, ..., s
в/=?0, (alt Ьд = 1. D.24)
Предположим, что равенства at= ± ak, bt—±bk при 1Ф k не
могут выполняться одновременно. Обозначим со(/?) число раз-
различных по mod p решений сравнения
(ахт + Ьх) (а2т + #2) ... (asm -\-bs) = 0 (mod p) D.25)
и пусть со (/?)</? для всех р1). Пусть, наконец,
= П */ П («А-
1 < / < 5 1 < / < Л < 5
П / П
< / < 5 1 < / < Л < 5
Тогда при N^>2 имеет место оценка
N (m<^N; | af-w + ^ | — простое при i = 1, 2, . . ., 5) <
(s-cj(p))
• D'26)
в которой c(s) зависит только от s, но не зависит от N, ait bt.
Прежде чем доказать неравенство D.26), заметим, что оно
остается верным, если ау(р) = р для какого-нибудь р. Действи-
Действительно, в этом случае для каждого достаточно большого т по край-
крайней мере одно из чисел aim~\-bi содержит собственный делитель р
и, следовательно, не простое. Поэтому левая часть D.26) остается
меньше константы.
Доказательство теоремы 4.2. Положим в теоремах 3.1
и 3.2
П К + Ы l<m<N. D.27)
К / < s
Заметим, что в этих теоремах числа п не обязательно должны быть
различными. Мы будем сначала предполагать, что JJ(^m -f-6/)=?0
при I <^m^N, следовательно, п — натуральное число (что пред-
предполагалось и в предыдущей теореме). Тогда co(d) — число решений
сравнения
П (a^ + ^sO^odd), D.28)
*) Так как известно, что сравнение D.25) имеет не более чем 5 различ-
различных решений, то достаточно предположить, что это неравенство выпол-
выполняется при р < s.

§ 4. Примеры на метод решета 55
и легко проверить, что условия теорем 3.1 и 3.2 выполнены. Таким
образом,
^N; НД|^ + М Для р < г\ < NZ'1 + О (R).
D.29)
где
p \т
Р<г
Теперь для оценки Z необходимы некоторые вспомогательные соо-
соображения.
Обозначим для натурального s через ds (m) число различных
разложений т вида
m = k1k2 ... ks, I <&,.<#*, /=1,2,... ,5, D.32)
при этом два разложения считаются равными только тогда, когда
k[ = ki, ..., k's = k"sl). В частности, dl(m) = l при всех т>1,
d2(fn) — d(m). Будем еще предполагать, что do(rri) = O при т>1
и ds(l)=l при всех 5^>0.
Покажем теперь, что ds(m) — мультипликативная функция от т,
и что при 5>0и целом неотрицательном а имеет место неравенство2)
^>ds(pa). D.33)
При 5 «^ 1 это тривиально. Далее при а ^> 0 имеем
Пусть неравенство D.33) уже доказано для всех s, 2^.s^r. Тогда
0<a<a 0<a <a
и, таким образом, D.33) доказано для всех s.
Мультипликативность ds(m) следует из того, что для m = m'ni",
(т',т")=\ каждому разложению D.32) числа т соответствует
точно одна пара разложений
т =k\ ... ks, m =k\ ... ks*
ki = k/iki, {kfh &")=1, /= 1, 2, .-.., s,
и наоборот.
1) Например, разложения 2 = 1 • 1 • 2, 2=1-2-1, 2 = 2 • 1 • 1 нужно счи-
считать различными, но разложение, которое получается из 2 = 1 • 1 • 2 при
перестановке обеих единиц считается совпадающим с исходным (например,
ds A2) = 18).
2) При a = s = 0 полагаем sa = 1.

56 Гл. II. Методы решета
Теперь получаем
() = s для
Это следует из того, что при pJfE, (p, at)= 1 каждое сравнение
dim-{-bi = 0 (mod p), 1=1, 2, ..., s,
имеет ровно одно решение, и при I Ф k сравнения
аьт + bt=акт~\-bk==0(mod p)
не могут выполняться одновременно.
Действительно в противном случае р \(atbk— CLkbj) и поэтому р \Е.
Впрочем, при / Ф k всегда afik — аф1 Ф О, так как из afik = akbl
и D.24) следовало бы, что а?.= ±а^, bi== ±bk, что противоречит
условию теоремы.
0 12 5
Для каждого натурального числа и положим и —и и и ... и,
k
причем и обозначает делитель и, который содержит только те простые
k
числа р\и, для которых со(/?) = &, и и считается равным единице,
если и не содержит ни одного такого р. Далее положим
pk= II P. * = 0, U .... s- 1.
<O(p)-k
Очевидно, что Pk делят Е и что (Pk, Pj) = 1 при k Ф j. Теперь,
так как ds(m) — мультипликативная функция, из неравенства D.33)
получим
= Sill II »"«¦>=
p\m < (p)
р\ т
-к
П r"> S i^ • • • d*(«>- D-34)
=0 со (/;) = *
Р I tn
Далее имеем неравенство
1 0
в котором справа суммирование распространено на l<^ls ^9, ...,^^
(ftlf Po)= 1, (ft2i Р0Л)= 1. • • •' (*,. Л) • • . Я5-1)= 1. В произведе-
произведении всех сумм ^j-jp» г==Ь 2, ..., 5, сначала появляются только

§ 4. Примеры на метод решета 57
члены вида \\т, где m = kx ... ks<^z. Если мы напишем
1 2 5
ТО
12 2 55 s 12 5
m = klk2 ... ks=kl(klk2) . .. (&!&2 • • • ks) — mm . . . m D.36)
и
i i i I
m = &J&2 • • • kt, /=1,2 5,
такое разложение /n, какое засчитывается при подсчете d^m)
(/=1, ..., 5). Поэтому при перемножении в D.35) член \\т встре-
0 5
чается самое большее do(m) ... ds(m) раз. Легко также видеть, что
если m = kik2...ks и не все kt равны соответствующим k\t то
i
разложения т по формуле D.36) не для всех 1=1, 2, ..., 5
i i i
равны соответствующим разложениям m = k[ . . . kfs.
Из D.30), D.34), D.35), используя, кроме того, D.16) при z > 2s,
получим
где с зависит только от s. Следовательно,
причем теперь все константы могут зависеть от s. Из D.31), A.4.1),
A.5.22) в силу того, что co(/?)<^s, получаем оценку для R\
П
о
S <p
причем константа с происходит от простых чисел, не превосходящих s.
Подставляя эти оценки в D.29), получим неравенство
S < с1< {"г + ° ^ 1п 2" *>•

58 Гл. П. Методы решета
в котором по определению Рь
П. « ._E
1-у
Положим теперь z = N^2 \n~2s N. Тогда для достаточно большого
NN
Р\В
еперь z = N^2 \n~2s N. Т
N>N0(s)
г>2*, с InN <lnz< InN
и
При s^>l отсюда и из D.37) следует, что
5<^/Стн^г, К>\. D.38)
Таким образом, для 5 оценка D.26) уже доказана. Теперь оче-
очевидно, что
N{m^N, \ciim-\-bi\ — простое, 1=1, 2, ..., $)<
<5 + A/r(m</V; min |0//w-ffy|<2). D.39)
Далее имеем
min \atm + bt |< *)< 2 N{
Теперь для каждого / имеет место оценка
^z)^~+l
причем, так как \пь\^\, константа в О( ) не зависит от al% btl).
Отсюда следует оценка
N(m<CN; min | atm-f-Ь% |< z) = sO (z) = О(Л/1/г),
1 < I <
1 < I
и, согласно формулам D.38), D.39), получаем утверждение тео-
теоремы 4.2.
До сих пор мы предполагали, что ПI #/m4~^/1 > ^ для
1 <С ш ^ N. Общий случай можно свести к этому. Действи-
Действительно, пусть mv ..., mr {r ^s) — целочисленные корни полинома
JI {аьт -|- bj) при l^m^N, и пусть 1 ^ тх < т2 < ... < tnr ^ N
(из нашего предположения следует, что все корни простые). Интер-
Интервал l<w<A/ делится корнями т} (J= 1 г) не больше
') Числа aim-}-b[, \ а[?п + bt \ < z лежат на отрезке длины 2z и уда-
удалены друг от друга на расстояние > | aL |.

§ 4. Примеры на метод решета 59
чем на г+l^s+l подинтервалов. Положим m==m/.-\-ni/ при
пг. К пг <i m.+v Тогда a.m-4-b. = a/.m/-\~blv где a/i = a.\ b't =
^=bi-\-m^a-v и числа at, b't опять удовлетворяют условиям, которые
наложены на ait bt в теореме 4.2. При этом для /и. <^ m < ^y+i и
Л/у = mJ+1 — nij — 1 < А/ всегда 1 <; m/ < Ny.
По уже доказанному имеем
N (nij < m < ntj+i', |^m + */| — простое при /=1, ..., 5) <
для iV>A/r0E), так как здесь правая часть неравенства растет с ро-
ростом ЛЛ Эта же самая оценка получается и для чисел, принадлежащих
начальному и конечному интервалам 1 <; m < mx и mr < m<^.N, если
они существуют. Таким образом,
; \alm-\-bi\ — простое при /=1, 2, ..., s) <
I \
чем теорема 4.2 полностью доказана1).
Теперь займемся некоторыми специальными случаями теоремы 4.2.
При 5=1, a1=k, bx = l (/, &)=1 по существу получается тео-
теорема 4.1. Полагая s = 2; als Ьг, а2, Ь2—1, 0, 1, 2, получим сле-
следующую теорему.
Теорема 4.3. Число простых чисел p^N, для которых
р~{-2 простое, меньше чем
N
С In2 AT #
Из этого результата следует известная теорема Бруна.
Если рг пробегает все простые близнецы, то ряд
р
сходится2).
Предположим, что существует бесконечно много близнецовой
расположим по величине первые простые числа в каждой паре в по-
последовательность
где х ^ 2 — произвольное достаточно большое число.
1) Теорема имеет место при N > No (s) для достаточно большого No (s)
однако, увеличивая с (s), можно получить, что D.26) имеет место и при
N < Л^о (s) (произведение из D.26) всегда > 1).
2) Брун [1].

60 Гл. II. Методы решета
По теореме 4.3 имеем
Отсюда следует, что
Поэтому получаем
Известно, что последний ряд сходится и, следовательно, 2 \\р' < °°»
причем все равно, суммируем ли мы только по первым близнецам
каждой пары, или по вторым, или же по обоим близнецам.
Положим в теореме 4.2 s=2, N=[x], av bx, a2, Ь2=1, 0, 1, b,
где b — положительное или отрицательное четное число. Тогда
получим
Теорема 4.4!). Имеет место оценка
М(р<х, \р+Ь\-простое)<с-~ ]?(l_-L)"\ D.40)
р\ь
Для отрицательного b и р <—b выражение „|/>-f-6| — простое
число" обозначает, что
— b = p-\-q, q — простое. D.41)
Теорема 4.4 дает тогда оценку сверху для числа разложений вида
D.41) четного числа — b в сумму двух простых чисел, из которых
одно не превосходит х.
В 1742 г. Гольдбах предположил, что каждое четное число > 2 пред-
ставимо в виде суммы двух простых чисел. Эта проблема Гольдбаха до
сих пор не решена (см. гл. VI).
Положим теперь в теореме 4.2 s = 2, av bv а2, Ь2=\, 0, k, 1;
&>0 — целое число. Мы получим следующую теорему.
Теорема 4.52). Для четного &^>1 имеет место нера-
неравенство
-простое) < с-^-^(\-^y\ D.42)
р\ k
Эту же теорему можно сформулировать так:
1) Шнирельман [1].
2) Эрдёш [2].

§ 4. Примеры на метод решета 61
Теорема 4.6х). Для четного k, 2^/г<х, имеем
> p—\=-kqt q —простое) < с ^щщщ-. D.43)
Это утверждение получаем из теоремы 4.5, подставляя вместо N
число тех т, для которых mk-\-\ ^х, т. е. полагая Л/==[(л;—l)(k]
также, как при доказательстве теоремы 4.1.
Теорема 4.72). Число простых чисел p^,N, для которых
все числа р-\~Ьъ р-\-Ь2, .. ¦., p-\-bs> О < Ьг < Ь2 < ... < bs—про-
bs—простые, меньше чем
I Я
D.44)
г<^^ (д(р)—число решений сравнения т(т-\-Ьг)... (m-|-^5)^0 (mod p).
Эта теорема также следует из теоремы 4.2 в случае ai=\,
1=1, 2 5 И 5~>5+Ь
Теорема 4.7 в некоторых случаях тривиальна, например, если
b — нечетное число или если 5 = 2, ftx = 2, ft2 —4. В последнем
случае для всех т
т (т + 2) (w + 4) = 0 (mod 3)
и, следовательно, (оC) = 3, что мы исключили в теореме 4.2.
Теорема 4.8. Пусть g — положительное четное число.
Тогда
g=p + q, q — простое) < с-^YL{\+±). D.45)
pig-
Теорема следует из теоремы 4.4 при b = — g, x = g и фор-
формулы A.5.23).
Теперь докажем еще две теоремы, которыми мы будем пользо-
пользоваться в гл. X.
Теорема 4.9. Пусть k—натуральное число и x^k2,
где а — постоянное вещественное число, 0<а<1/2. Тогда при
<?, (/, й) = 1
N(n<C*; n = l(modk), pfn. Р<*)<*(<*
Доказательство. Возьмем, также как при доказательстве
теоремы 4.1, в теоремах 3.1 и 3.2 в качестве п числа п-
1) До сих пор неизвестно, бесконечно много или нет простых чисел р,
для которых 1/2 (р—1) — простое число.
2) См., например, Эрдёш [3].

62 Гл. //. Методы решета
n=:l (mod k). Тогда при х^-k2 число таких чисел N не превзойдет
cxjk и мы получаем аналогично формулам D.20) — D.22)
*;* =/(mod Л), р f п, р < г)< с( ф
Так как x^k2 и z^ ka, 0 < а < 1/2, то при достаточно большом &
первый член правой части этого неравенства больше второго. Этим
неравенство D.46) доказано.
Теорема 4.10. Пусть 2>2 и x>za, a > 2.
ЛГ(л<*; pfri, /><*)<? (a) y^j- D.47)
Доказательство. Положим в формуле D.20) k=lt / = 0,
г = [х]. Для искомого числа находим оценку сверху:
Так как х > 2°, а > 2, то при достаточно большом г первый член
больше второго. Этим неравенство D.47) доказано.
Между прочим, формула D.47) при z = x1'4 содержит правую
часть неравенства A.3.18).
Задачи к главе II
Доказать следующие утверждения:
1. 1= 2 \i(d)[nld].
2. ^2
^(J I
d2 \n
3. щ(п)= 2 Iх(d) равно 0 или 1, смотря по тому, делится или
l
dl\n
не делится п на /-ю степень tf, /^1.
4. 2 I1 (^IпШ ^ = 0» если ^ (я) > w >> 1 (применить полную
индукцию).
5. Если g(k)=JEif(d) для натурального k, то f(n) =
d\k
— 2 V^(d) g (nfd), n=L 2 ..., и наоборот1).
d I /г
6. 2 V>(d)ld < 1 (см. задачу 1).
Формула обращения Мёбиуса.

Задачи к главе 11 63
7. 2fiF)rf(/i/6)=l (см. задачу 5).
61 п
8.
9. Вычислить
т
Доказать следующие утверждения:
11. Пусть g(n) = nl(p(n). Тогда
й\ п
12. 2 g(N — p) = O(NllnN).
P<N
13. Число решений уравнения
N = рг-\-р2-\-Рз (Pi простое)
не больше сЛ/2/1п3ЛЛ
14. Число чисел п^х, которые могут быть представлены в виде
#== рг-\-/?2 + Лз' больше сх, с > 0.
15.
= c(k), /г>3.
16. Оценить сверху 2 d2(P
<
17. Оценить сверху 2 ?2(р— О* ?(я) —л/ф(л).
<
18. Пусть Q(x) — число свободных от квадратов чисел, не пре-
превосходящих л\ Доказать
А=П (! - "^
2; см-гл-
!) Титчмарш [2].
2) Гегенбауэр [1].

64 Гл. //. Методы решета
19. Получить из задачи 17 гл, I оценку для
20!). 2 ФО) =
21. 2 /
22. 2 1/фО) = ОAпх) (задача 11).
Дирихле [2].

Глава III
ТЕОРЕМА О ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ
§ 1. Введение
В этой главе мы уточним результаты, полученные в гл. I в тео-
теоремах 3.2 и 4.3. Именно, мы получим асимптотический закон рас-
распределения простых чисел, или теорему о простых числах. Будет
доказано, что \imn(x) \nxjx существует и равен единице. Эту же
*-»оо
теорему можно выразить формулой
Равенство предела единице следует из его существования по теореме
1.4.3, но здесь оно будет получено независимо.
Теорема о простых числах впервые была доказана Адамаром [1] и
Валле-Пуссеном [1]. Долгое время существовали лишь доказательства,
использующие теорию функций комплексного переменного. Только
в 1948 г. Эрдёш и Сельберг нашли „чисто вещественное" доказатель-
доказательство. Однако методами теории функций комплексного переменного
можно получить оценки, которые далеко превосходят A.1) и которые
пока не удается получить элементарными средствами. Кроме того,
теоретико-функциональные вспомогательные средства необходимы
сегодня и для решения других числовых проблем. Поэтому при
доказательстве теоремы о простых числах мы в полной мере поль-
пользуемся теоретико-функциональными методами. Это, пожалуй, самый
короткий путь к доказательству, если иметь небольшие познания
в теории функций.
§ 2. g-функция Римана 1)
При втором доказательстве теоремы 1.1.2 мы использовали соот-
соотношение
)"
П('-7)">2т-
Чтобы доказать, что имеется бесконечно много простых чисел, нужно
доказать, что правая часть этого неравенства стремится к оо при
!) Риман [1].
5 К- Прахар

66 Гл. III. Теорема о простых числах
х->оо. Тогда отсюда будет видно, что слева имеется „достаточно
много" простых чисел. Более точное выражение вместо „достаточно
много" можно получить, приняв во внимание, что ^l/n
<
Существенно более точное выражение для A.1) можно доказать,
рассматривая вместо суммы B.1) сходящийся при s > 1 ряд
Исследуя функцию, определенную формулой B.2) для комплексных
значений s, мы найдем свойства этой функции, из которых может
быть получено соотношение A.1). Функция, определенная равенством
B.2), называется дзета-функцией Римана и обозначается ?
Теорема 2.1. Ряд
%n-s B.3)
п
равномерно сходится при Res^l-f-e, и функция, определяемая
этим рядом, регулярна в полуплоскости Res> 1. При этом n"s
для комплексного s задается равенством n~s —e~s lnn, где \пп
означает действительный логарифм положительного числа п.
Доказательство. Пусть s = o-{-it. Равномерная сходимость
ряда следует из неравенства
\п-3 | = л-а<л-A+в), а>1+е. B.4)
Регулярность ?(s) при Res> 1 следует из известной теоремы Вейер-
штрасса о регулярности предельной функции равномерно сходящейся
последовательности аналитических функций, так как для каждой точки
из полуплоскости а > 1 найдется такое е, что эта точка будет внут-
внутренней точкой области а^> 1-4-6.
Далее всюду буквы а и t обозначают действительную и мнимую
части комплексного переменного 5.
Связь между простыми числами и ^-функцией устанавливается
следующей теоремой. (Если не оговорено противное, то п пробегает
числа 1, 2, ..., а р пробегает все простые числа 2, 3, 5 )
Теорема 2.2. При а> 1 имеет место равенство
Доказательство получается из следующей более общей теоремы.
Теорема 2.3. Пусть f(п) — действительная или комплек-
комплексная мультипликативная функция, определенная для всех нату-

§ 2. ^-функция Римана 67
ралъных п, т. е. f (mri) = / (т) f (ri) при (п, т) = \ а /A)=1.
Если 2|/|<°°» т0
Доказательство. Перемножая конечное число абсолютно
сходящихся рядов в левой части равенства B.6) и пользуясь мульти-
мультипликативностью /, получим равенство
П U+/(/>)+/(/>2)+ ...}=27(«). B.7)
<
где 2 == S означает суммирование по всем п, которые содержат
только простые множители <^х, и еще в=1. Далее имеем
B.8)
При х->оо следует, что /?(х)->0, так как 2|/(лI<°°» и утвер-
/1
ждение теоремы следует из двух последних соотношений.
Теорема 2.2 получается, если положить f(n) = n~s. Предпо-
Предположим сначала, что 5 действительное число и s>l. Тогда
A — l/ps)~l > 1 и, следовательно, ?(s) также действительное число
и ?($)> 1. Прологарифмировав B.5), получим
В этой формуле все логарифмы положительны. Дифференцируя B.9),
получим !)
Равенство B.9) можно дифференцировать, так как получившийся ряд
равномерно сходится в полуплоскости s^l-j-e. Действительно, ряд
в этой полуплоскости имеет сходящуюся мажоранту 2ln/?/(/?1+e—1).
Порядок суммирования в двойном ряду B.10) можно переменить, так
как члены этого ряда положительны.
Для комплексного 5 в полуплоскости а > 1 мы выберем ветви
многозначных функций в B.9) и в B.10) так, чтобы при действи-
*) Мы пишем ^j- (s) вместо

68 Гл. III. Теорема о простых числах
тельном s > 1 они были действительными. Тогда по принципу анали-
аналитического продолжения они определены при любом комплексном s
с а > 1 1). Положим теперь
Г In /7, если п — рт (т>1),
Л(л) = 1 B.11)
[ 0 в противном случае.
В частности, ЛA) = 0. Тогда B.10) запишется так
(о>1). B.12)
Ряды вида ^ann-s> где ап не зависят от s, называются рядами
Дирихле (приложение, §2). Ряд в правой части B.12), а также ряд,
определяющий ?(s), являются рядами Дирихле. Введем теперь сле-
следующую функцию — сумму коэффициентов ряда Дирихле B.12):
яК*) = 2 Л(л)= S Ц In р. B.13)
п<х Рт<х т>\
Здесь в двойной сумме суммирование ведется по всем простым чи-
числам р и всем натуральным т, для которых рт<^х.
Между функциями п(х) и ф(х) существует следующая связь.
Теорема 2.4. Из равенства
Ц(х) = х + о(х) (х->оо) B.14)
следует
Таким образом, для доказательства теоремы о простых числах
достаточно доказать B.14).
Доказательство. Из B.14) следует, что
9(х) = л: + о(;с) (*-»оо). B.16)
Действительно,
рт<х рт<х 2<т
B.17)
Ср. с теоремой 4.1.

§ 3. Связь между — ?'/? и $(*) 69
\™).
так как при фиксированном т V In р = 9 \хт) = О \хт). Но
я (л:) In х > 9 (*),
и, с другой стороны, для каждого постоянного а, 0<а<1 (так
же как в A.3.19))
{я (х) — я (ха)} In ха < 9 (х).
Следовательно, в силу неравенства л(ха)<^ха имеем
ая (х) In х <! 9 (х) + сиса In х.
Итак, из формулы B.16) следует
BЛ8)
Так как это верно для каждого а<1, то lim л(х) In xfx = 1 и,
следовательно, верно B.15). Таким образом, в дальнейшем нам
остается доказать равенство B.14).
§ 3. Связь между — g'/S и ¦W
Теорема 3.1. Функция ?>(s) может быть аналитически
продолжена на полуплоскость а > 0 и регулярна там за исклю-
исключением простого полюса при s=\. В окрестности точки s = 1
имеют место следующие разложения:
U •• . C-1)
••• C'2)
Доказательство. Положим в теореме П. 1.5 а = 1, х = N^> 1,
g (?) = l"s. Тогда получим
1Sr. C.3)
Отсюда при а> 1 и Л/->оо следует, что
оо

70 Гл. III. Теорема о простых числах
Последний интеграл абсолютно и равномерно сходится при а ^ е > 0,
так как 0<? — [?] < 1 и |ГE+1)| = Г(а+1). <*+1 > 1+е. Поэтому
правая часть C.4) представляет при а > 0 функцию, регулярную за
исключением точки s=l. Эта функция и дает аналитическое про-
продолжение функции ?($), которая была определена только при а> 1,
на полуплоскость а > 0. Разложение C.1) следует сразу же из C.4),
а C.2) из C.1).
Теперь мы применим теорему П. 3.1 к функции /($) =—?'($)/?($).
Здесь ап=А (п). Согласно B.11) и C.2), можно положить Ф (п) = In n
и а= 1. Кроме того, выберем w = u-\-lv = 0 и будем предполагать,
что Ъ > 1. Положим далее х ==N+ ^' N^\ — целое. Тогда (П. 3.3)
дает нам
b + iT
=ш J (-•?<*))?
n<x b-iT
, 01 xb , x\r\2x\ 5
так как при x = N~\--^ последний член в (П. 3.3) содержится в пред-
предпоследнем. Величины b > 1 и 7^1 будут определены позднее в за-
зависимости от х. Докажем сначала следующую теорему.
Теорема 3.2. Пусть -у <а<1,й>1,71^2я Г — замкну-
тый прямоугольный контур, который состоит из следующих
отрезков: Г1 = ф — iT, b-\-iT), 1?2 = (b-)riT, a-\-iT), Г3 =
= (a-\-iTt a — iT), Г4 = (а — iT, b — iT). Если t,(s) не имеет нулей
внутри Г и на Г, то
b+iT
b-iT
= х-\-О\ max "у~E) (тт [- лгЛ In Т*) V. C.6)
Is ? Г2, Га, Г4 Ь I \ * 1П X } )
Доказательство. Так как ?($)=? 0 внутри Г и на Г, то tffc
согласно теореме 3.1 регулярна внутри Г везде, кроме простого
полюса s == I с вычетом, равным 1. Согласно теореме о вычетах,
b + iT
2m* J \ ^ ) s
b-iT
г2г3г4
\ГаГ|Г«

§ 5. Связь между — ?'/? и ty(x) 71
так как
Далее, так как \s\^-T, s ? Г2, а < 1 < Ъ, то
ь
То же самое имеет место и для интеграла по Г4. Наконец, замечая,
что \xs\ = xa = xa, |5|=(o2 + ^2)"V2J o>y Для 5^Г3, получаем
Г3 \ J
(интеграл при 0 ^ t ^ 1 меньше 2ха = О (ха 1п Г), так как а > -~ ,
7^-2). Если все это подставим в C.7), то получим C.6).
Теорема 3.3 ]). Теорема о простых числах будет доказана
и будет доказано даже более точное утверждение
^(x) = x-\-O(xe-cVT™) (*->oo), C.8)
где с — положительная константа, если доказать, что для
достаточно большого Т (например, Т > То > 2) в теореме 3.2
можно положить а = \—сх\\х\Т'> -^-. При таком выборе а вну-
внутри и на границе Г нет нулей t,(s) и имеет место неравенство
4^-
max
lt c2 — некоторые положительные константы).
C.9)
Доказательство. Подставим C.6) в C.5) и воспользуемся
формулой C.9). Тогда получим равенство
где Г>7, 6>1, а = 1 — Cj/ln 7". Если мы положим теперь
Ь = 1 -\- 1/1п л:, то
(х) = * + О (-f In x + f ln2x + -fj^- + xi-^'« T In» Г) =
C.10)
!) Равенство C.8) исходит от Валле-Пуссена [2]. Метод доказательства,
применяемый ниже, см. у Ландау [7].

72 Гл. III. Теорема о простых числах
для x = N -{--к, Т > То. Выберем теперь Т в зависимости от х так,
чтобы остаток был как можно меньше. Число х1~с1/[п т \п2 Т велико
при большом 7\ и оба первых слагаемых остаточного члена при
большом Т малы. Все три слагаемых приблизительно одного порядка,
если взять Т = ехр (с3 "|Лп х). Следовательно, при х->оо
\п2х О (хе~с<ушт) 0 < сА < с3,
так как 1пл х = О (ехр {(сг — с4) |/"ln x}) при любом постоянном
Л > 0 >)>
—^- Vhiuc + ln2 )
= О(*в-'^^), c5<cjc3.
Подставим теперь все это в C.10) и возьмем N настолько большим,
чтобы при x = N-\--x- у Т = ехр (с3 У^пл;) было выполнено неравен-
неравенство Т > То. Тогда
х + 0 (хе~с*/ПГ7), с6 = min (c4, с5),
если л: стремится к бесконечности по значениям вида x = N-\~Y'
Так как для каждого х > 0 г|) (x)=ty l[x] -|- ^)» то тем самым ра-
равенство C.8) полностью доказано.
Метод, примененный в теоремах 3.2 и 3.3, называется методом комплекс-
комплексного интегрирования. Функция ij; (x) выражается через интеграл по фор-
формуле C.5) с точностью до некоторой ошибки. Сдвиг пути интегрирования
налево, проведенный в теореме 3.2, дает для этого интеграла в качестве
главного члена х с ошибкой, которая состоит из интегралов по Г3 и Г2, Г4.
Желательно путь интегрирования^сдвинуть налево как можно дальше, так как
имеющийся в интеграле по Г3 член( л:5 (тем меньше, чем меньше а. Член \xs\
при доказательстве равенства C.8) порождает член х1~Сх1Ы г, который при
оценке ошибки в некотором смысле является наиболее трудным, так как
из-за него нельзя брать Т слишком большим. Помехой для переноса пути
интегрирования левее является возможное появление нулей ? (s), в кото-
которых ?7/? имеет полюс. В этом случае выводы при доказательстве теоремы 3.2
становились бы неверными. Доказательство предположения, сделанного в тео-
теореме 3.3, что при подходящем с{ > 0
С (s) ф 0 в области а>1—-у^г, |^|<Г, C.11)
является основой доказательства теоремы о простых числах (см. ниже тео-
теорему 4.5). Соотношение C.9) тогда относительно легко доказать, так как
1) Напомним, что для краткости мы положили In In x -¦= In2 x.

§ 4. О нулях l(s) 73
в этом случае в окрестности точки s, где ? (s) Ф О, функция ?'/? не может
быть слишком большой (см. ниже теорему 4.7). Отметим между прочим, что
из C.5) при х = N -{-1/2 следует соотношение
b + ioo
b-ioo
если положить
b+ioo b + iT
f = Hm Г .
J Г-»оо J
b-loo b-iT
§ 4. О нулях g(s)
Для исследования нулей ?(s) мы привлечем некоторые вспомога-
вспомогательные теоретико-функциональные теоремы (см. приложение, § 4).
Теорема 4.1. ?>(s) не имеет нулей в области а>1, т. е.
?(s) ф 0 при а > 1. D.1)
Доказательство. Согласно B.5), при а>1 имеем
так как 2 1/р<т<°°» ^ > Ь что и требовалось доказать.
Заметим еще, что в достаточно малой окрестности точки 5 — 1
, так как в этой точке функция ?(s) имеет полюс.
Лемма 4.1. При о > 1 имеем 1)
^ } D.3)
Доказательство. Выражение, стоящее слева при а> 1, со-
согласно B.12), равно
п
Но для любого ф имеет место очевидное соотношение
3 + 4 cos ф + cos 2ф = 2 A + cos фJ > О,
откуда и следует D.3).
l) Re и Im обозначают, как обычно, действительную и мнимую части
комплексного числа.

74 Гл. III. Теорема о простых числах
Теорема 4.2. 1) Имеет место соотношение
?A+//)?= 0, t^O. D.4)
Доказательство. Пусть \-{-itv tx Ф О, является /п-кратным
нулем С(s), m^>\. Тогда ?'/? имеет в этой точке полюс первого
порядка с вычетом т .;> 1. Поэтому
^ ^-. о->1+0. D.5)
Согласно разложению C.2) имеем
f^ D-6)
и так как s = a-|-/2^— регулярная точка для ?($), то при а—>1+О
справедливо соотноше! ие
| ~-5-^-г, ?> 0 —целое2). D.7)
Так как 4/п>4 и k >0, то из формул D.5) — D.7) при а->1+0
следует, что
D.8)
Но при а, достаточно близком к 1, это противоречит D.3), таким
образом, D.4) доказано.
Приведенное доказательство основано на том, что при ? A + #0 = О
выражение ?' A -\- /^)/? A + #0 должно обращаться в бесконечность. Дей-
Действительная часть членов ряда B.12) не всегда имеет один и тот же знак,
и отсюда нельзя определить непосредственно знак Re (?70 вблизи а=1.
Комбинация значений функции ?'/?' применяемая в D.8), имеет то преимуще-
преимущество, что по лемме 4.1 известен ее знак при a > 1. Кроме того, поскольку
4 > 3, отсюда следует, что полюса 3?' (ог)/? (а) при а = 1 не достаточно,
чтобы компенсировать обращение в бесконечность 4?' (tf-|-#i)/? (o-\~it{)
при о = \. Вместо 3 -\~ 4 cos ф -(- cos 2ф можно взять также любой другой
тригонометрический полином Р (ф) = а0 -\-ах cos ф-|- ... -\-ar cos гф, для
которого а/ > 0, /=1,2, ..., г, я0 < 0! и Р (ф) > 0 @ < ф < 2л). Годится,
например, полином 5 -(- 8 cos ф 4- 4 cos 2ф -f- cos Зф; наоборот, полином
1 -f- cos ср не годится, хотя всегда 1-f-cos ф ;> 0.
Чтобы доказать утверждение C.11), которое сильнее теоремы 4.2,
нам нужны некоторые вспомогательные оценки.
1) Адамар [1], Валле-Пуссен [1]. Другие доказательства см. у Титч-
марша [4].
2) При k = 0 это должно означать, что отношение ?' (a -|~ /2^)/? (a + i2t{)
при а -> 1 -j- 0 остается ограниченным, k > 0 только для ? A + *2ч) = Ь.

§ 4. О нулях t>(s)
75
Теорема 4.3. При любом постоянном Л>0 имеют место
оценки:
О if).
2, 0<6<~,
D.9)
D.10)
Константа в О( ) в формуле D.9) может зависеть от 6, та-
такая же константа в D.10) — от Л, но они не зависят от t.
Доказательство. Мы можем предположить, что о<С2, так
как при о > 2 имеем
/г I /z /г
Согласно теореме П. 1.5, при a = N, л;->оо для а> 1,
лучим
n<N
по-
поD.11)
i
N
так как
lim
N ъ N *
Формула D.11) доказывается сначала при а> 1. Правая часть D.11)
оо
регулярна при а > 0, поскольку Г а^ < оо вплоть до $= 1. Сле-
Следовательно, формула D.11) может быть аналитически продолжена на
область о > 0. Для о>1 —6 и 0 < 6 < 7г имеем
При
-6 справедливо неравенство
jl-s
1 —
и для у<
со
получаем
D.13)
V-°\ D.14)

76
Гл. 111. Теорема о простых числах
Из неравенств D.12) — D.14) при t^>2 и постоянном 6, согласно
D.11), выводим соотношение
С (s) = О (N6 + ГУ + tN*-1) = О (N6 + W6-1),
в котором константа в О( ) зависит от 6 и при 6->0 стремится
к бесконечности. Если мы выберем Л/", которое до сих пор не опреде-
определялось, равным [t], то получим формулу D.9). Формулы D.12)—D.14)
верны также в случае, когда 6 зависит от N. Если мы положим
6 = A/\nN и возьмем N настолько большим, чтобы A/lnN <-?> т°
вследствие того, что N6=OA), при 1 — Л/1пЛг<^а<^2, f^>2 по-
получим
? (s) = О (in N + Г1 + гЛГ1),
где константа в О( ) зависит от Л. Если теперь возьмем N=[t],
то при ^>^>2 получим Л/1п[^]<7>-. Теперь формула D.10) сле-
следует из последнего равенства при t > tv Для области 2<^t<^tx
соотношение D.10) выполняется тривиально, так как в ней функ-
функция t>(s) ограничена.
Так как g (s) = g (s) l)> то из D.9) и D.10) следует, что
= О (In A
сг>1— 6,
Теорема 4.4. При о> 1 имеют место соотношения2)
1 _ у ц (л)
Us)
D.15)
D.16)
D.17)
Доказательство. Поскольку произведение
сходится при о> 1, из B.5) следует, что
ЦA —
Dл9)
1) При а > 1 это следует из представления ? (s) в виде ряда, а при
а> 0 — по принципу симметрии. Ограничение |^|>2 несущественно. Какое-
нибудь ограничение вида \t\^to> 0 из-за полюса при s = 1 необходимо,
но можно было бы с правой стороны D.15) и D.16) добавить еще член
О A/| s—1 |); здесь нужно взять практически to> 1, например to = 2; при
?0<;1 нужно было бы заменить In 111, например, на ln( 11\-\-2), так как
при t = 1 имеем Aj\n t = оо. То же самое замечание имеет место для огра-
ограничения | 11 > 3 в некоторых из следующих теорем.
2) Определение \i (n) см. в гл. II, § 2.

§ 4. О нулях Us) 77
Если в теореме 2.3 мы положим f (ti) = \x{ri)n~s, то получим
а это вместе с D.19) дает равенство D.17). Неравенство D.18) при
а > 1 следует из неравенств
Теорема 4.5'). Функция ?(s) не имеет нулей при подходя-
подходящем с7 > 0 в области
°>1> И>3 D20>
Доказательство. Мы можем предположить, что ^^3, по-
поскольку в силу равенства ?($) = ?($) возможные нули С($) располо-
расположены симметрично относительно действительной оси. Если D.20)
справедливо для некоторого с7, то то же неравенство будет верно,
если вместо с7 поставить меньшее значение2). Пусть pl = fi-\-itl —
нуль С(s), причем ^ J> 3, р=1—bl\nt1. Согласно теореме 4.2,
Ъ должно быть положительно. Формула D.20) будет доказана, если мы
покажем, что Ъ > с7 для некоторого с7, не зависящего от tv Поло-
Положим в D.3) t = tv о = о0 = 1 -\-aj\ntlt где 0 < а < У2 и более
точно а будет определено позже. Чтобы оценить Re ¦|-
применим теорему П.4.5 (при предположении, что р2 — нуль
Положим в этой теореме
Тогда, согласно теореме 4.1, ?(s)=?0 при Re (s — ?о)^О- Доказывая
формулу D.20) с возможно меньшим с7, мы можем, очевидно, огра-
ограничиться рассмотрением нулей, у которых р> 1—1/8 = 7/83). Пусть
pz=Repj> 1—7/8. При достаточно малом а, например при 0<а<
<^i<V2» число р2 лежит в круге \s — so\^.-^-r = -j-t что удовле-
удовлетворяет условиям теоремы П.4.5 (^ J> 3 может быть сколь угодно
велико). Теперь нам нужна еще оценка | F(s)IF(s0) | = | Z/^ \
1) Валле-Пуссен [2].
2) Следовательно, 1 — с7/\п \ t \ > !/г Для всех достаточно малых с7 и
\t\>3.
3) 7/8 берем для того, чтобы рассматриваемые нули для каждого tx > 3
наверняка лежали в области | s — s0 \ < 1]ь как этого требует теорема П.4.5.

78 Гл. III. Теорема о простых числах
в круге \s — So 1^72- По формулам D.9) при Ь=1/2 и D.18) при
\ s — Sq | <^ 1/2 имеет место оценка
С («о) ~ \ao-l/ —^V^ Г1Г l U
где константа в О( ) не зависит от а. Оценка D.9) применима
ввиду того, что область \s — $ol^72 Целиком лежит в области
а^-7г» f^-2 (так как ао>1, ^^3). Для |5 — sQ\^l/2, Ь\^Ъ
из D.21) следует оценка
так как \t — ^|^V2- Следовательно, мы можем применить тео-
1
1
! 1
рему П.4.5 с М = съ—1% \ntv Согласно формуле (П.4.10), для
h ^ 1, так как tx ^-3,
^. D.23)
Применим теперь теорему П.4.5 в несколько другой форме, за-
заменяя s0 через s'0 = oQ-}-i2tv и возьмем опять r = V2. Тогда, так как
|? — 2^|<V2 при \s — <|<V2> в области \s — ^|<V2 из D.9)
и D.18) получим
()
! 1
Следовательно, мы можем применить теорему П.4.5 для M=clQ— t^ In tv
Так же как и при выводе D.23), согласно П.4.91), имеем
D.25)
Отсюда можно вывести оценку третьего члена в D.3). Согласно фор-
формуле C.2), для первого члена мы получим следующую оценку:
Re-^(ao)=-|-(ao)>-~^-. D.26)
Эта оценка справедлива при любом 8 > 0 и достаточно малом а0— 1,
т. е. при достаточно малом а. Таким образом, мы можем взять а из
интервала 0 < а < а(&)< ах < 1/2- Положим в оценках D.23), D.25)
1) Безразлично имсе! или не имеет ?($) нули в круге \$ — s'Q\ ^l/2r~ lU»

§ 4. О нулях tfs) 79
и D.26) o0=l-\-a/\ntlt р=1—b/\ntl и подставим это в D.3).
Тогда получим
. D.27)
Теперь выберем е настолько малым, чтобы 4 — 3A-)-?)> О (напри-
(например, е = г/А). Тогда при 0 < а < а2 < ах < l/2, (а2 = а (е), e = 2/4)
имеем
Так как — при а->-)-0 стремится к бесконечности быстрее, чем
In —, то при достаточно малом а, например при 0 < а < а3 < а2»
имеет место неравенство
(— 4^- + - — cl2) In 3 — с12 In - > 0. D.29)
Поэтому (-J ^12) > 0- При 0 < а < аъ из D.28) следует
если Ь настолько мало, что выражение в скобках положительно
(это возможно, так как j cl2 >01, например 0 < Ъ < Ъх =
= Ьг(а) < -?-!п 3. При Ь = 0 левая часть D.30) переходит в левую
часть D.29). Отсюда следует, что для постоянного а, 0 < а < а3,
и всех достаточно малых Ь, например 0 < Ь < Ь2 < Ьх (р2 не за-
зависит от ^), неравенство D.30) дает нам противоречие. Этим тео-
теорема 4.5 доказана.
Мы видим, что принцип доказательства теоремы 4.5 тот же самый, что
и доказательства теоремы 4.2. Неравенство D.23) означает, что Re (?'/?) —
большое положительное число вблизи точки s = C-|~#1; это видно из при-
присутствия члена 1/(а0 —13) (а0 > |3). Равенство C.2) показывает, что Re (?70
большое по модулю отрицательное для действительного s> 1 вблизи 5 = 1.
Но член — 3 A + е)/а, порожденный полюсом, при достаточно малом Ь уже
может не компенсировать члена 4/(а + Ь), порожденного нулями. Неравен-
Неравенство D.25) нужно для того, чтобы третий член ^ (о0~\- l2tl)/t,(o0-\-i2tl)
существенно не менялся от этого обстоятельства. Положение сложнее, чем
в теореме 4.2 из-за того, что мы должны использовать D.3) для получения
сведений о точках слева от прямой а=1, в то время как в теореме 4.2
нас интересовали нули только на этой прямой. Поэтому вместо оценок D.5),
D.6), D.7) здесь появляются более сложные оценки D.23), D.26), D.25), для
доказательства которых была необходима теорема П.4.5.

Гл. III. Теорема о простых числах
Теорема 4.6. Если Т^>3, то при подходящем сп
О * области g>1—^j>j, |*|<Г+1. D.31)
Доказательство. Если |?|^3, то утверждение теоремы
следует из теоремы 4.5, так как c7/ln\t\^> с7/\п(Т-\-1) для
3<U|<T+1 и 1п771п(Г+1)>1пЗ/1п4 для Г>3. В области
1/2<^а<1, |^|^ 3 лежит самое большее конечное число нулей
?(s), а на прямой а=1 вообще нет нулей. Поэтому при достаточно
малом с имеем ])
?(s)^0, о>1— с, |*|<3, D.32)
и отсюда следует D.31) также для |?|^3; можно, например, взять
cl3 = min (c7 In 3/ln 4, с In 3).
Теорема 4.72). Если Т ;>3, то при подходящем си
<cl5\nT, I D.33)
Доказательство. Пусть 3^|^|^Г. Применим теорему
П. 4.6, положив в ней F(s) = Z>(s), s0==o0-\-tt, ao=l+a/ln7\
г = -^-э г1 = 2а/\пТ. При достаточно малом а, например 0<а<
<Cai<^'o*» для всех ^^-^ имеем ^i < "х ^ и, согласно теореме 4.6,
получаем
О в области \s — 50|<r, Re(s — s0) >—2rv
Так как |^|^3, то ?(s) регулярна в круге |5 — so\ = г ^-^ . при-
причем, если фиксировать a = с1б, в этом круге имеет место оценка:
= о (-L Г In т) = О [т~- In т),
L
? (so)
аналогичная D.22). Далее, согласно B.12) и C.2), для а0 > 1
получаем
х) Так как g E) при а>0 — аналитическая функция (кроме полюса
s = l) и нули ? (s) не могут находиться в любой близости отрезка а=1,
I * | < 3.
2) Метод доказательства см. у Ландау [7].

§ 4. О нулях l(s) 81
Следовательно, условия теоремы П. 4.6 выполнены при М = сТ2 1п7\
Из (П. 4.14) находим
<c17ln7\ \S-So\<ri=^f.
В частности, при t = tl имеем 1—с16/1п Т ^ а<; 1 —(- Зс]б/1п Т. По-
Поскольку функция j-(e) при а>1 монотонно убывает, согласно
B.12) и C.2), соотношения D.33) при а^>1—3c16/ln7" получаются
из оценки
Тем самым теорема доказана для 3^|tf|^7\ Так как ?(s) не имеет
нулей в полуплоскости а> 1, в области U|<C3, 1—^17/1пТ'^а^2
при достаточно малом с17 из C.2) следует оценка
Отсюда в свою очередь при достаточно малом с, о = 1 — c/ln T и
|^|<СЗ получаем оценку
?-(*) = О (In Г).
Теперь теорема 4.7 полностью доказана.
Теоремы 4.6 и 4.7 показывают, что предположения, которые
предполагались верными в теореме 3.3, выполнены. Тем самым соот-
соотношение C.8) полностью доказано. Из этого соотношения по тео-
теореме 2.4 вытекает теорема о простых числах.
Остаточный член в C.8) имеет порядок меньше, чем x/\nm х для сколь
угодно большого постоянного т. Из C.8) для л (х) можно получить гораздо
больше, чем соотношение л; (х)'^х/\п х. Мы сделаем это в ближайшей главе
для более общего случая простых чисел в арифметической прогрессии.
Остаточный член в теореме о простых числах можно улучшить, заменив
1^1 пх на \па х при некотором а >-^-. Однако это требует относительно
более сложных вспомогательных средств (см. гл. VIII и IX).
Теорему о простых числах впервые доказали независимо друг от друга
Адамар и Валле-Пуссен. Последний доказал более точное соотношение C.8).
Приведенное здесь доказательство с применением теорем П., § 3 и § 4,
принадлежит Ландау [7]. Впрочем можно, если требуется доказать только
соотношение ф (х) — х-{-о (дг), заменить теоремы из П., § 4, гораздо более
элементарными утверждениями (см., например, Ландау [5], гл. XI, XII;
Ингам [2], гл. II). Методами Винера [1, 2] теорему о простых числах
удается вывести из D.4) без дальнейшего применения теории функций ком-
комплексного переменного. Сельбергу [3] и Эрдёшу [7] удалось дать доказа-
доказательство, которое совершенно обходится без теории функций комплексного
переменного и вариант которого мы приведем в § 6.

82 Гл. 111. Теорема о простых числах
§ б. Дальнейшие применения метода комплексного
интегрирования1)
Метод, применявшийся для доказательства теоремы о простых
числах в § 1—4, можно коротко охарактеризовать так: для оценки
суммы вида 2 ап (а именно, ап=А(п)) рассматривают «произ-
п < х
водящую функцию»
(а именно, f(s) = —?'($)/? (s)) и из ее аналитических свойств про.
буют сделать заключение о порядке верхней суммы. Естественно»
что исследование аналитических свойств ?'/? представляло основную
трудность. Здесь будут коротко излагаться некоторые аналогичные
проблемы.
Согласно D.17), функция l/?(s) при а>1 разлагается в ряд
Дирихле, сумма коэффициентов которого равна 2 М»(Л)«
Теорема 5.1. Имеет место соотношение
2 \х(п) = О(хе~cVT™) (x~>oo). E.1)
п < х
Доказательство. Из теоремы П. 3.1 при ап = \i(n) = 0 A),
а=1, т==0, &> 1 следует равенство
Ь + IT
¦4 I
V
п < х
если предположить, что х—половина нечетного числа ^>3. Нам нужна
теперь оценка l/?(s) слева от прямой а=1, чтобы можно было
сдвинуть туда путь интегрирования так же, как мы это делали
раньше для ?'/?• Пусть Г>3 и А — положительная константа, ко-
которая существует согласно D.33) и для которой выполняется соотно-
соотношение
-ш J т^*'+0[т?=ъ+*Щ- E-2)
±-(s) =О(ЫТ), а>\-"^4г, 3<|/|<Г. E.3)
Тогда для такого s имеем
1+A/laT 1+A/laT+tt
I Re{""T(T1+/°}dT):=Re
In
o+it
E.4)
См. также Ландау [4], гл. 39—49; Титчмарш [4].

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 83
Теперь, согласно C.1), получаем оценку
В силу D.18) такое же неравенство имеет место и для
Отсюда получаем
In
Подставляя это и E.3) в E.4) и применяя D.18) в области
о>1 — Л/1п7\ 3<|*|<7\ получаем1)
1пТШТ= /
а
В этой же области
d > и. (о.о;
При подходящем А то же равенство имеет место в области
— Л/1п7\ |^|<Г (Г>3), так как, согласно D.4), l/?(s) ограничена
в области |^|<СЗ, о^> 1 —Л/lnT1, если А—достаточно малое число.
Если в E.2) выбрать Ъ = 1 -f- -j— и взять а = 1 — Л/ln 7\ а Г, Г2,
Г3, Г4 определить как в теореме 3.2, то
Г
ь+п
b-i
так как 1/? регулярна внутри Г, и
/ ь
12I4
*) Сначала только для а^ 1 -(- Л/ln 74, а затем в силу георемы 4.4 также
и для о> \-{-A/In Т.

84 Гл. HI. Теорема о простых числах
Подставляя все это в E.2), найдем
Если положим здесь Т = ехр(с j/^lnx), то для любого х^-l полу-
получим утверждение, аналогичное утверждению теоремы 3.3.
Отсюда можно получить сразу же, что ряд
2> E.6)
п
сходится для любого t. Так как
оо
J e~cY[n% т
то, согласно теореме ГТ.1.4, для ап = ц (и) имеем
Отсюда следует сходимость ряда E.6). Сумма ряда получается из теоремы
Абеля о предельном значении рядов Дирихле (П., § 2)
а@= Нт (У.ц(п)п-(а+и)\= lira l/S(a + tf) = 1 S( +
«и+° l J «^i+o I 0.
Отсюда, в частности, имеем
2ц (я)я-a E.7)
/г
Уже давно известно, что равенство E.7) можно получить из теоремы
о простых числах без применения теории функций комплексного перемен-
переменного и что, наоборот, из E.7) можно, получить теорему о простых числах
также без применения теории функций комплексного переменного (см.
Ландау [1,6]). Перед открытием элементарного, т. е. без использования
теории функций, доказательства теоремы о простых числах две теоремы
называли эквивалентными, если для доказательства любой из них нужны
были теоретико-функциональные вспомогательные средства, но одна из дру-
другой получалась элементарно, т. е. без теории функций. В этом смысле тео-
теорема о простых числах и формула E.7) должны считаться эквивалентными.
Отчасти еще и сегодня можно защищать это (несколько проблематичное)
различие между доказываемыми элементарно и недоказываемыми элемен-
элементарно теоремами. Например, соотношение C.8), более сильное, чем теорема
о простых числах, пока никто не смог доказать без теории функций.

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 85
Аналогично ряду E.6) можно исследовать ряд
2 \i(n)\nan-n-(l+it\ сс>0.
По теореме П.1.4 и формуле E.1) находим
^) с'УШ*), E.8)
так как
и
оо
I
Поэтому сходимость ряда установлена. Для целого а значение ряда полу-
получается из теоремы Абеля о предельном значении рядов Дирихле (П., § 2):
}= ton 1
п
В частности, при s = 1 имеет место соотношение
следовательно
-. In п = — 1. E.9)
С функцией \х(п) тесно связана функция 1(п), которая определяется
следующим образом:
1, л=1.

Гл. III. Теорема о простых числах
причем V (п)—число всех (а не только различных) простых сомно-
сомножителей п1). Легко проверить, что для а > 1 имеет место равенство
Далее получаем
n n
Отсюда и из теоремы П.2.3 (аЛ2=1, am = Q для тфп2) следует
равенство
*-W = 2|i(-J-). E.10)
<Р | п
Его можно доказать и непосредственно из определений \х(п) и к (/г).
Теорема 5.2. Имеет место равенство
E.11)
Доказательство. Теорему можно доказывать так же, как
теорему 5.1, используя свойства ?Bs)/?(s). Все зависит главным
образом от l/?(s), так как СBs) ограничена при а > 3/4. Но можно
доказать E.11) проще, пользуясь теоремой 5.1 и формулой E.10).
Из них следует, что
d2\ n
] S(^exi)(-dn^))> Eл2)
Так как при 6 > 0
!) Простой сомножитель, входящий в п в степени kt считается k раз. —
Прим, ред

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 87
то
2 >(-«i.^)- 2 +
Подставляя это в E.12), получаем (б. И).
Теорему 5.2 можно сформулировать еще так: имеется асимптотически
одинаково много чисел с четным и нечетным числом простых множителей.
Именно, если мы положим
*,Мя)-±1
то из E.11) следует, что S{ (х) — S_{ (x) = о (х). С другой стороны,
Из этих двух равенств получаем
Подобно равенству E.10), из теоремы П.2.3 следует многочислен-
многочисленные соотношения между ф(я), jn(fl), Л (/г), d(ri); некоторые из этих
соотношений мы сейчас приведем. Из равенства
п п
которое выполняется в силу теоремы П. 2.3, следует, что
1, если п= 1,
f 0, если Я>1.
Далее из A/С/ = (—?//0A /С) можно заключить, что
па п
и отсюда
Л (л) = — 2 М- (<0 In d. E.13)
Из равенства С7 = (?//?) С следует
— V Л (^) _

Гл. III. Теорема о простых числах
а. потому
2 Л (я?) = In/г. E.14)
d \n
Из равенства E.14) следует соотношение
2 ^Md) = ^A(d)[^\ = \n[x]l
/г < х d \n d < х
которым мы пользовались в гл. I. Из него по A.3.2) и B.17) по-
получаем
так как
Последнее равенство приводит опять к формуле 2 In/?//? = 1 rut-[-
Р<х
-f-O(l). Из равенства
/г п п
следует равенство
-lx(n)\nn = ^ix(d)A(^Y E.15)
d \n
а из него
^](^). E.16)
/г < х
Перемножая ряды Дирихле, получаем
п d \ n n
и из равенства ?2 - С" == ? следует, что
^(х(бЩ) = 1. E.18)
б \П
Равенство С • С = (С'/С)' —(— (С'/СJ приводит к соотношению
rf| /г d\n
Естественно, что A(d)A(n/d) только тогда отлично от нуля, когда d
и n\d являются степенями простых чисел; следовательно, последняя

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 89
сумма обратится в нуль, если п имеет более двух различных про-
простых множителей.
Равенства E.13) — E.19) легко доказать и без использования рядов
Дирихле.
Функция In С (s) при а> 1 представляется рядом
2и р
р m n
(при п=\ нужно положить А(пI\пп = 0), что сразу же получается
из разложения произведения ?(s). Под In С понимают ту ветвь ло-
логарифма, которая действительна для действительного $==а> 1.
Теорема 5.3. При х->оо имеет место равенство
E.21)
где у — постоянная Эйлера.
Доказательство. Пусть х>2, Г>3 их равно половине
нечетного числа. Тогда, согласно теореме П.З. 1 с параметрами w=l,
Ъ > 0, ап = О A), получим
b+iT
n < x b-iT
так как в этом случае можно взять а=1. При b=\j\nx это озна-
означает, что
b + iT
b-iT
Теперь имеет место следующее соотношение:
b + iT /-6-iT -6 -6 + /Г b + iT
f ^1
b + iT \
J +J .
-6+iT С J
E.23)
где С — окружность с центром в точке 5 = 0, пробегаемая в поло-
положительном направлении и имеющая начало и конец в точке 5 = — 6,
которая определяется следующим образом: в области о^> — 6, 111^ T
не должно быть нулей функции ?($+1) и на пути интегрирования
в правой части E.23) должно выполняться равенство ln?(s-f-l) =
= О (\п2Т). Формула E.23) следует из теоремы о вычетах, так как
1) Для я = рт естественно имеем \jmpms = Л (n)/ns In n.

90 Гл. III. Теорема о простых числах
ln?(s+ 1) • xs\s регулярна и однозначна внутри замкнутого контура,
который получается из путей интегрирования левой и правой части
равенства E.23). При подходящем Л > 0 величину 6 можно взять
равной Л[\п Т (Г > 3); при этом, однако, надо принять во внимание,
что при | s | —> 0 имеет место равенство 2)
ln?(s+l) = ln| + O(H), E.24)
так что при достаточно малом Л, в частности также и на С, имеет
место оценка
In?(s+ 1) = О {in (Л/ln Г)"} + О A) = О Aп2Г).
Полагая теперь2) Т = ехр {с |Лпл;}, находим
-б ( т \
J \n?(s+ \) -^ ds = 0\х-ь \п2Т J| — Л/1пГ — lt\~ldt\ =
-Ь-iT { 0 j
= О (х-6 In Т 1п2 Т) = О {е-
Это же соотношение имеет место для интеграла по пути (—6,
Далее
b+iT
и то же самое — для интеграла по пути (—6 — /7\ ? — /71). Так как
функция
в окрестности s = 0 однозначна и регулярна, то при достаточно ма-
малом А имеет место следующее равенство:
J-г [ ln?E+l)— ds = ~ Г In — — ^.
2яг J v ' у s 2яг J s s
*) Вытекающее из разложения g(s -f-1) = l/s + ^o + ^i5 +
в окрестности точки s = 0. При этом — я < Im In A/s) < л.
2) Напомним, что с не всегда имеет одно и то же значение.
3) При 0< t < 1 имеет место оценка | — Л/In Г— /^ |~!< (In Г)/Л а при
t < Т весь модуль не больше \jt

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 91
Из равенства
==- in 5,
flnl
2m J s s
с
в котором &cf(s) обозначает изменение / (s) вдоль С, следует
Для вычисления последнего интеграла возьмем 6' < б и преобразуем С
в следующий путь: отрезок (—б, —6х) с args = — я, круг ра-
радиуса 6х с центром в точке s — О (проходимый в положительном на-
направлении) и отрезок (—6', —6) с args = n. Интегралы вдоль дей-
действительных отрезков дают вместе величину
б'
б Ыпх
Г11 —1 . г 1— е~и
г 1— е
= J —Г
Выберем теперь 6/ = 6/(лг) так, чтобы б/1пл:->0 при л:->оо; из
определения 6 следует, что
б In л: = Л In jc/ln Г = с ]Лп л: -> со.
Тогда для х—>оо получим
61пл: 1 б In л:
1 и а
61пл: 1 б In л:
J ^—da= J J—l—dtt- J ^r
r 1 6
J J J
6r 1пл: 6' Inr 1
= у + In F In jc) + О F' In *-f- *-'yTn^),

92 Гл. III. Теорема о простых числах
так как
о
бМпл:
r In л: /6r In x \
J l "f* du=0[ J du\=O(b'lnx)9
о \ о /
00 oo
л - — It л .
1 _______ fj 11 <^ I p~~ U fi ii • v* ~* О ——— fj I p — С У In Jf J
б In л: б In x
Из равенства (xs—1)/$ = 1пл;A-|-O(| s |1пл;)), | ^ | In jc —> 0, следует
ln< >ds = O(b'In -^7- lnx).
Положим теперь 6/ = ехр {—c\nx] и внесем все это в E.25). Тогда
Подставляя эти оценки в E.25), E.22) и принимая во внимание, что
\пх/Т = О(е~У{пх), получаем E.21). Из формулы E.21) следует тео-
теорема 1.4.1 с более точным остаточным членом:
р<х р пг>2
Можно и без теории функций доказать, что константа а в теореме 1.4.1
совпадает с постоянной Эйлера. Это было известно уже давно (Мертенс [1],
см. также Харди [1]). Если известно, что выполняется равенство
1 + а+
то, так как Л (х) ^"^О (л:->оо), из теоремы П.1.4 при а > 1 следует соот-
соотношение
р р 2
1) Это формально следует из равенства
\ n ) ) и J \ n) и
1
при п -> оо. Вводя новую переменную 1 — w/я, после коротких преобразо-
преобразований получаем эту формулу.

§ 5. Применения метода комплексного интегрирования 93
Отсюда
со оо
/<о) = (а-1) J ln2gi| + (a-l)J <3+
2 * 2 *
оо
+ (а — 1) J Л^-^-^Л + Л+Л; Л (Е) — О (I/In Б).
2 *
Из интегрального представления функции Г (s) с помощью дифференцирова-
дифференцирования получаем
оо
Y = — I e~u \nudu
о
(так как у = — Г'A)). Если положить 1а~1=еи, то при а-»1-|-0 можно
написать
/i-<ff-l) f lnsg-§-+O((a-l))= f e-u\n-^—
i 6 J a-1
<e(a-l)| f ^--f f * ^ =0A).
В итоге при a —> 1 +0
+ оA). E.26)
С другой стороны, согласно B.9) и C.1), для /(а) выполняется равенство
/(о)-in;(«)-2 ^
при а -> 1 -|- 0. Сравнивая это с E.26), получаем
«=y-2j Zi n^-
Так как имеют место равенства
1 ___ V4 / 1 \ V V \ V V 1
и
р > х от > 2
то из E.21) следует, что

94 Гл. III. Теорема о простых числах
Отсюда уже получается асимптотическая формула
Р<х
Если не пользоваться вспомогательными теоретико-функциональными сред-
средствами, из теоремы 1.4.1 можно было бы получить в остаточном члене этой
формулы только 0A/\пх). Впрочем, если не интересоваться значением у,
формулу E.21) можно получить также с помощью частного суммирования
из равенства -ф (х) = 2 Л (п) = •* + 0{хе~с {пх) по теореме П. 1.4 без
п < х
дальнейшего применения комплексного интегрирования.
§ 6. Элементарное доказательство теоремы
о простых числах
Основой всех до сих пор известных элементарных доказательств
теоремы о простых числах является асимптотическая формула Сель-
берга [3]
() F.1)
Р<х
Если считать теорему о простых числах доказанной, то эта формула
следует сейчас же из результатов гл. I. Действительно, из равенства
6 (х) = х -\- о (х) при х —> оо следует, что 6 (х) In х — х In x -f- о (х In x).
Далее получаем
2>G)'"'= 2 + 2 -
/? < х р < х/ln л: лг/ln ж < р < х
Х/\ПХ
= л: In л: + о (х In л;), F.2)
так как в(-|) = х/р + о(у) при /><x/lnx, a в (у) = О (у) при
и так как в силу A.3.3) имеет место соотношение
+() л:->оо.
jt/ln ж < р < х
Но не только равенство F.1) следует из теоремы о простых числах,
а также, наоборот, из этого равенства можно получить теорему
о простых числах. Этим относительно сложным переходом от F.1)
к теореме о простых числах и отличаются друг от друга различные
элементарные доказательства. Доказательство F.1) возможно без
использования вспомогательных теоретико-функциональных средств.

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах 95
Если F.1) записать в форме
0 w +1HT Е 0 (уIп р = 2х+0 <*>' F*3)
то второй член слева можно считать за среднее значение функции 0 (х) по
всем точкам х/р. В этом случае равенство F.3) означает, что значение
функции 0(х) плюс некоторое среднее значение асимптотически ведут себя
так, как если бы 0 (х) было эквивалентно х. Теоремы, которые позволяют
судить по поведению среднего значения функции о поведении самой функ-
функции, называются, как известно, тауберовыми теоремами.
Гораздо легче судить о поведении среднего значения по поведению
функции, как мы это делали при выводе F.2), чем наоборот, поскольку при
усреднении свойства функции, вообще говоря, „стираются". Например, легко
можно доказать, что из соотношений
/ (*) = 2 ann~s> a>1» 2 ап~Ах* *-»со,
п < х
при s-> 1+0 следует соотношение
E — 1)/($)-» Л
/здесь 2 ап — функция и (s — l)/(s) — „среднее значениеЛ . Обратное)
\ п<х )
однако, вообще говоря, не верно, как видно на примере следующей функции
(Ингам [2], стр. 38):
Если бы обратное было всегда (или по крайней мере при #л!>0) верно, то
отсюда при ап = Л (п) следовала бы теорема о простых числах.
Для доказательства F.1) нам нужна
Лемма 6.1. Пусть функция F(x) определена при лг^>1, и
пусть функция О\х) задана равенством
О(х)= 2 f(-?-)'n*. F.4)
т < х
Тогда имеет место соотношение
F(x)\nx+ J] ^(^-)Л(л)= 5] ,i(dH(-J). F.5)
п < х d < х
Доказательство. Из равенства \nn=^K{d) по формуле
d \п
обращения Мёбиуса1) следует
d\n
1) Гл. II, задача 5 и теорема 2.2.1.

96 Гл. 111. Теорема о простых числах
Отсюда получается (см. B.2.6))
d\n
()H)
л < лг <э? | я /г < л: <э? I /z
()
Теорема 6.1. При х^\ справедливо равенство
яр (-J-) Л (л) = 2л: In л: + О (л:). F.6)
Доказательство. Если положим в лемме 6.1 F(х) = Fx(x)
г[5 (л:), то найдем, что
= In jc ^ 1п^ = х1п2х — х Inх-1-0 (In2л:I).
Если теперь положим г (х) = F0(x) = x — у — 1, где у — постоянная
Эйлера, и используем2) равенство
то будем иметь
^ {^ | ~ л: In х + О (In
В частности, отсюда следует, что
По формуле Стирлинга 2 In ^ = л:1п дг+О (^).
<
2) Это соотношение известно и следует впрочем также из теоремы П.1.5
(так же как при доказательстве (П.1.10)).

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах 97
Так как в силу (П. 1.10)
2
ТО
Отсюда следует, что при F = F-y и F — Fo левая часть равен-
равенства F.5) остается одной и той же с точностью до О (х). Из A.3.2),
B.17) и из соотношения
у Л (и) _ yi lnp_i Y V 1пр
2и п ~ 2и р "~*~ Za Za Pm *
n<* P<x p m>2,PmKx
где двойная сумма меньше 2 \пп/п2 = 0A), следует, что
= (л: — у— 1) In дг-4- ^Ц f^_7_ Л Л (л) = 2* In * + О (*).
/2<ЛГ
Из F.6) получаем
яр (jc) In a: -f- ^Ц ярГ—) 1пр =2аг1п аг-4-^ (Jclnjc), F.8)
потому что яр (л:) = О (х) и
Доказательство теорбмы этим заканчивается.
Равенство F.1) следует теперь из равенства F.8). Действительно,
имеем
и, следовательно,
q(x) = Q(x) + o(xJ+xZ\nx) = Q(x) + O\x'z). F.9)
Отсюда следует, что
При этом

98 Гл. 111. Теорема о простых числах
поскольку, согласно A.4.6), справедлива оценка
р<х
Это доказательство, более простое по сравнению с первоначальным до-
доказательством Сельберга, принадлежит Татудзаве и Исеки [1].
Из соотношения F.1) должна следовать теперь теорема о простых
числах. Для этого потребуются некоторые леммы.
Лемма 62. При \^.y<z имеет место равенство
S х-'-7+0G)- <610>
77
Доказательство получается сейчас же из F.7).
Лемма 6.3. При 1 <^>? < z <^x имеет место оценка
2 e(?)-*in|- <вх F.И)
у < п < г
с константой В, не зависящей от х, у, z.
Доказательство. При l^y^x имеем
х/у <р<х/п
Согласно A.3.2) и A.3.3), отсюда следует при
откуда получается F.11).
Оценка F.11) означает, что если сумма ^jQ(x/n) распространена на
не слишком маленькую область, то она ведет себя как 2 Х1п- ^та оценка
тривиальна, если х In (zjy) = О (х), т. е. если zjy ограничено величиной,
не зависящей от х.
Лемма 6.4. При \ ^у <iz ^Чу имеют место неравенства
(*). F.12)

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах 99
Доказательство. Левая часть неравенства очевидна. Если
в формуле F.11) положим x — z, то получим
Q(z)lnz + 2 е(—\\np = 2z\nz + o(z\nz). F.13)
P<z
Напишем равенство F.1) для х = у и прибавим к левой части
О (у) In (z/y) = О (у) (так как 2<2у) и к правой части 2ylnB/y) =
= О(у). Тогда
в (у) In г 4-
Р<У
Если вычесть это из F.13) и воспользоваться тем, что
6(у//?)< Э(z/p). то получим F.12).
F.12) выражает некоторое свойство непрерывности Э (х). Если считать
теорему о простых числах в форме B.14) доказанной, то, естественно, имеет
место соотношение 9 (z) — 0 (у) = z — у -\- о (z).
Ниже (до конца § 6) символ 2' будет всегда означать суммиро-
суммирование по интервалу (Inл;, xflxix). Если я находится в этом интер-
х
вале, то и я—>оо и >оо при х—>оо. Далее при х—>оо
A+оA))\пх, F.14)
9 (х) In х + 2'е (у) In Р = 2 A + о A)) a: In лг, F.15)
(i+o(i))*in*. (еле)
Формула F.14) получается из равенства
^ F.17)
Р<Х
так как часть суммы, распространенная на области р^\пх и
xjlnx <С р ^х, есть О (In In x). Соотношение F.15) следует из F.1),
если опять воспользоваться F.17) и равенством Q(xjp) — O(xlp).
Наконец формула F.16) получается из леммы 6.3 при у-—\пх,
z — x/lnx.
Положим теперь
а = Ит!^, А = ШпЦр- (*->oo). F.18)
Уже известно, что 0 < а ^ Л < оо A.3.2).

100 Гл. III. Теорема о простых числах
Лемма 6.5 Имеет место равенство а-\-А=2 -и, следова-
следовательно, #<; 1 <с а.
Доказательство. По определению верхнего предела имеется
последовательность неограниченно растущих значений х, для которых
Q(x) = A(l-\-o(l))x. F.19)
Кроме того, по определению нижнего предела для каждой последо-
последовательности неограниченно растущих значений х имеем
. F.20)
Так как х/р->оэ для р из интервала (lnx, xlXxvx), то если мы за-
заставим х в F.15) пробегать последовательность, для которой спра-
справедливо равенство F.19), то получим
р F.21)
Отсюда, согласно F.14), следует неравенство а-}-Л<^2. С другой
стороны, если заставить х пробегать последовательность значений,
для которой Q(x) = a(\-\-оA))х, и воспользоваться тем, что всегда
выполняется неравенство
Q(x)<A(lA-o(l))x (*->oo), F.22)
то получим также, что а-\- А ^>2. Таким образом, равенство А-\-а = 2
доказано.
Разделим теперь интервал (In x> х/\п х) на
т = \j (In x — 2 In In *)] ~ у In x F.23)
интервалов Jk вида
k = l, 2 m, F.24)
и один интервал
t xllnx),
который может быть пустым. При этом 0<6-^-^- и 6—пока любое
действительное число, не зависящее от х. Тогда, согласно фор-
формуле F.10), имеет место равенство
1 = 6A+0A)) A <*<«). F.25)
n4Jk
Константы в о() и О() и константы с,, с2, ... в дальнейшем
всегда не зависят от 6; следовательно, при возможном уменьшении 6

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах 101
они остаются теми же самыми. Все последующие равенства и нера-
неравенства имеют место, если х больше некоторой величины, зависящей
от 6 (которая вообще при 6->0 неограниченно растет); это будем
считать известным не оговаривая особо. Далее (до конца § 6) х бу-
будет пробегать последовательность действительных чисел —>оо, удо-
удовлетворяющих условию
9(л;) = 4A+0A))*. F.26)
Лемма 6.6. Неравенство
<(a + b)j- F.27)
имеет место для множества простых чисел рг из интервала
(In л:, х/\пх], удовлетворяющих условию
^Xl-c^lnx. F.28)
Pi
Доказательство. Пусть р2 пробегает множество простых
чисел из интервала (\пх, xjlnx], для которых не выполнено F.27).
Следовательно,
Из-за того, что х1рг->оо (д;->оо), по определению а в силу F.26)
имеют место неравенства
Если подставим это в F.15), то получим
B + б2) х In х >(Л — б2) х In х +
Pi P2
p\
p Pi
Из F.14) следует
Подставим это в верхнюю формулу и воспользуемся тем, что
I
F -f б2) У' il&. > {6 — B + а) б2 — б3) In л: >F — Щ In x.

102 Гл. III. Теорема о простых числах
Так как F — 462)/F + б2) = 1 — 56/A +6) > 1 — 56, то F.28) дока-
доказано при сх = 5.
Лемма 6.6 в некотором смысле есть улучшение леммы 6.5 и выражает
приблизительно следующее: если 9 (х)/х — большое, то очень многие из
0 (х/р) - р/х должны быть маленькими.
Лемма 6.7. Имеют место неравенства
-^i- < 26-f-г2б2, 4=1,2 w+1, F.29)
р{
V
±4
причем Jk—интервалы, определенные в F.24).
Доказательство. В силу F.12), полагая у = е(*-1
получаем
Так как ^—1 < 6 + 62(у + (~J + ...) = 6 + 62, 6<1 и
для р ?Jk, то
Неравенство F.29) можно рассматривать как выражение свойства не-
непрерывности ^ ^пР/Р- Если бы вместо F.12) мы использовали только F.17),
Р<Х
то получили бы вместо 26 -|- с2Ь2 только 6-)-0A), что при 5->0 не стре-
стремится к 0.
Лемма 6.8. Пусть Nx—число интервалов Jk, k ^.т-\-\У
которые содержат по крайней мере одно рх. Тогда
т (~
Доказательство. Если предположить, что F.30) не выпол-
выполнено, то по лемме 6.7 получим
B6 + с2&) < B6 + с2&) (JL _ ^3 + о A)) 1п х.
Рх
а это для достаточно большого с3 противоречит F.28).
Лемма 6.9. Для всех nv n2 из интервала (lnx, х/\пх], удо-
удовлетворяющих неравенству
*-6<-^-<>6, F.31)
имеем
гс4Ь. F.32)

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах
103
Доказательство. Пусть (njx) 9 (xjnx) > (п2/х) 9 (х /л2). По
формуле F.12) получаем
п\
л.
так как ?б < 1+26^2 для 6^ у. Отсюда следует, что
\п2
Принимая во внимание неравенства
получаем
< 1 -[- 26 и 9 (х//г2) < сх\пъ
П2
откуда следует F.32), если (jillx)Q{xlnx)^{n2lx)Q{xjfi^)\ в другом
случае нужно только поменять местами пх и #2-
Лемма 6.10. Пусть Jk, &<^m-f-l, — интервал, в котором
находится по крайней мере одно pv Тогда
-^ для каждого n?Jk. F.33)
Доказательство. Утверждение леммы при с1=\-\-сА сразу
следует из F.32) и F.27); F.32) справедливо, поскольку е~6 <^
Выберем ^ = y(^ —а)- Тогда, так как А-]-а = 2, получим
а = 1-Я., Л = 1 + А,, 0<;А,<1. Предположим, что К > 0, и до-
докажем, что это ведет к противоречию.
В последующем константы во(), О()и константы с8, с9, ...
не зависят 1как от х, 6, так и от К. Насколько большим должно быть х,
для того чтобы выполнялись соответствующие неравенства, зависит,
вообще говоря, от 6 и 1.
Лемма 6.11. Пусть N2 — число тех интервалов Jk> k^m,
для которых имеет место неравенство
— у А,)? при каждом n?Jk. F.34)
Тогда при достаточно малом 6 (например, при 0 < 6 < 6j (к)
выполняется оценка
l F.35)

104 Гл. III. Теорема о простых числах
Доказательство. Рассмотрим цепь из М следующих друг
за другом интервалов Jk, k-^m> для которых имеет место нера-
неравенство
~T*)li ПрИ каждом n€Jk' F'36>
Если просуммировать последнее неравенство по всем п из всех М
интервалов, то, согласно F.25), получим
(мы предполагали k^m). С другой стороны, по лемме 6.3 имеем
Оба неравенства вместе дают
М<с10±-.
Если в интервале Jk находится хотя бы одно pv то, выбирая, на-
например, 6 < 62 (/-) = min (-<у-, Х/^сЛ, в силу леммы 6.10 получим
= A— 1 + с7Ь)~ <(\ — 4^)^ Для каждого n?Jk. F.37)
За последовательностью из не более чем cl0/X6 друг за другом
следующих интервалов, где выполнено F.33) (кроме, быть может,
последней такой последовательности), следует последовательность
интервалов, в которых Q(x/n)nlx растет от A—А,-|-с76) по крайней
мере до A —у X)!), иначе говоря, возрастает для 6<62(^) по
меньшей мере на
Y X — с76 > -?- X.
По лемме 6.9 для такого увеличения требуется по меньшей мере
!) Если F.33) выполняется, то выполняется также F.36); 6 (х/п) п/х может,
естественно, иногда отсутствовать.

§ 6. Доказательство теоремы о простых числах 105
интервалов Jk. Для достаточно малого 6 F.34) справедливо самое
меньшее в
таких интервалов1).
По лемме 6.8 имеется по крайней мере
W
таких цепочек интервалов Jk с растущим 9 ( — )#/.#. В каждой цепочке
содержится по крайней мере с^Х/Ь интервалов, где выполнено F.34),
и это дает в совокупности самое меньшее
схъ% In х . cl2 j = сх2с1г -?- In х
таких интервалов. Этим утверждение доказано с с8< с12сгг.
Теорема 6.2. Имеем А, = 0 и, следовательно,
lim v ; =lim = 1. F.38)
1 х х
Доказательство. Предположим, что X > 0. Тогда (в преж-
прежних обозначениях) из F.25) и F.37) следует
так как для п, не причисленных к Nx и N2, обязательно имеет
место неравенство
*) Так как если F.34) не имеет места для некоторого J& то по лемме 6.9
для всех nfJk или 9 (х/п) п!х <; ac7b -\-cAb, или, если J^ — последний интер-
интервал последовательности, возможно, 0 (х/п) п/х > 1 — -^- Я — с46.

106 Гл. 111. Теорема о простых числах:
Далее это дает, при достаточно малом 6, если использовать фор-
формулу F.23) и леммы 6.8 и 6.11,
Уменьшим 6, если нужно, настолько, чтобы выражение в фигурных
скобках стало меньше единицы. Это возможно, так как А, > 0, и мы
получим противоречие с формулой F.16). Следовательно, 1 = 0 и
равенство F.38) также доказано.
По теореме 2.4 из F.38) следует теорема о простых числах.
Примененный здесь метод — выводить теорему о простых числах из
формулы Сельберга F.1) —принадлежит Р. Бройшу [1]. Другие методы
можно найти у Эрдёша [7], Сельберга [3], Райта [1]. Естественно, что раз-
различные способы выводить из формулы F.1) теорему о простых числах имеют
много общего, поскольку это связано с существом дела.
Первоначально формула F.1) доказывалась несколько ияаче. Если поло-
положить
Л(<О = Мй01п2~
и f (n) = ^X (d), то для я<лг, как легко показать, имеют место СООТНО-
СООТНОСИ | п
шения
/ A) = In2 *, f (pa) = — In2 p + 2 In x In p, f (pV) = ^ In p In q,
где р и q — различные простые числа, а, р — натуральные числа и / (п) = 0
для всех остальных п. Если мы образуем сумму
$(¦*)= Ц /(л),
п < х
то числа /2, имеющие больше чем два простых сомножителя, отсеиваются;
Я (d) играют роль, аналогичную р^ в методе решета Сельберга в гл. П. Сле-
Следовательно, можно назвать / (п) „фильтрующей функцией", которая, правда,
отсеивает не только простые числа, но также еще числа, имеющие не более
двух простых сомножителей. Подставляя значения / (п), получаем
Р <х
С другой стороны, можно также записать
1) Следует принять во внимание, что с-\-о A) — с A -f-o A)).

Задачи к главе III 107
Из этой формулы можно после некоторых преобразований получить S (х) =
= 2х In х -|- о (х In х). Если положить z = x/ln2 x, то ошибка, возникающая
при опускании квадратных скобок, не больше чем
Для главного члена нужна формула
ЦД- 1п*4 = 21п
Доказательство этой формулы см. у Сельберга [3].
Вышеприведенное доказательство Татудзавы и Исеки упрощает не-
несколько более трудные вычисления первоначального доказательства.
По поводу обсуждения некоторых аналитических фактов, связанных
с элементарным доказательством теоремы о простых числах, см. также
Винер и Геллерт [1].
Задачи к главе III
1. Показать, что
и тем самым доказать, что из существования предела lim ty(x)/x
AT->OO
вытекает, что он равен 1.
2. Другое доказательство теоремы 4.2 проходит следующим обра-
образом *). При а > 1
р
где / (s) регулярна в полуплоскости а>^- Следовательно,
Если бы C(l-b#i) равнялось нулю, то при s = a-\-itlt а —> 1 —{~ О,
мы имели бы
Последнее и предпоследнее равенства позволяют видеть, что cos(^ In p)
в известном смысле должен быть близок к — 1 для многих /7. Но
тогда cosB^ In/?) должен быть близок к 1 (для многих р) и было бы
') Адамар [1].

108 Гл. 111. Теорема о простых числах
Отсюда опять следует, что a-f I2t — полюс ?(s), а это невозможно.
Проведите эти рассуждения точнее.
3. Доказать, что ряд
имеет абсциссу сходимости 1. При а>1 этот ряд представляет
функцию
4. Еще одно доказательство теоремы 4.2 состоит в следую-
следующем !). При a > 1 имеем
Пусть a — абсцисса сходимости этого ряда. Тогда по теореме (П.2.4)
a — особая точка / (s) и / (s) регулярна при a > а. Пусть ? A -f- Мг)=0
и, следовательно, СA—/^) = 0, тогда должно быть а<^02). Это
невозможно, так как тогда было бы /(у) ^>| Сх |2= 1, в то время
как в действительности /(у| = 0.
5. Докажите, что
С'(*) = ОAп2|/|), а>тахA. 1-
при постоянном с.
6. Из равенства
следует ?(а)<0, 0<а< 1.
В задачах 7—11 нужно доказать асимптотические формулы ком-
комплексным интегрированием и вычислить константы.
7. 2 ?/2 (л) — ел: 1п3 лг,
J) Ингам [1].
2) i (а) ф 0, 0 < a < 1 (см. задачу б и гл. IV, § 7).

Задачи к главе III 109
о. ^^j CL^A \Jl) '"'"*'' CX 1П X)
n < x
где dm (n) — число разложений п = nxn2 .. . nm.
9. Пусть г (n) — число решений уравнений ф (tri) = п. Тогда
10. В обозначениях теоремы 2.4.2
z= 2 -^-ПЛ^~с1п
m ? (<г) р I m
при постоянных 0j а5, Ъх bs(m= Ц
V Р\т
J g ])
d(n) /i
Как изменятся константы в задачах 7—11, если потребовать,
чтобы п (соответственно т) были бесквадратными числами?
12. Докажите, что
i ь+к» s f 0 @<у<1).
' ^ d(n) /in *
где 6 > 0 и А ^ 1 — целое.
132). С помощью задачи 12 докажите при
b+ioo
1
~2ЙГ J
b-ioo
14. С помощью теоремы 4.7 докажите, что ifo (х)—-^.
15. Из задачи 14 получить асимптотическое равенство
При этом использовать следующее. Пусть ал^0, л=1, 2, ..., и
л < х 0 л < jf
Тогда из Лх(х) — Аха, л;->оо (а, Л > 0) следует соотношение
Л^ Ааха~1. (Надо использовать тот факт, что при е > о
*) Вильсон [1].
2) По поводу задач 13—15 см. Ингам [2J, гл. 2.

ПО Гл. III. Теорема о простых числах
выполняются неравенства
х A+е) х
-L J A(l)dl<A(x)<lF j A(l)dl).
A-е) л- х
Обратное доказать легче, и оно имеет место без ограничения ап ^> 0.
Следовательно, если теорема о простых числах ty(x)~x уже дока-
доказана, то я^ (л:) ~ -о- х2.
16. Докажите при &>0 формулу
b+loo
1 Л ys
Ш J 7^ ^5 =
17. С помощью задачи 16 докажите, что
2+ix2
/ . Л (и) \п —= -р;—г Г"E))—Т
Jmi П ZKl J \ ? / 5
/г<х -2-/ДГ2
18. С помощью задачи 17 докажите асимптотическое равенство
п < лт
и из него соотношение я|) (л:) ^-^ хх).
19. Исследуйте сходимость рядов
при s=l-\-it, t^O.
20. Для функции tyi(x) из задачи 13 при #>1 справедливо
равенство
х' 2\1 х) — 2л1 J n
bi
b-ioa
причем оно имеет место даже при Ь=\. Отсюда следует
1) Ландау [5], гл. XII.

Задачи к главе III 111
и = \пх. Из того, что
+ 00
J | л A-НО К °о.
— оэ
обобщая лемму Римана — Лебега из теории рядов Фурье, получаем
Это другое доказательство*) соотношения у
21. Докажите E.16) без рядов Дирихле и докажите тем самым,
что из соотношения я|) (.*;)<—>х следует равенство 2 \*>(п) = о(х).
Ингам [2]; Титчмарш [3].

Глава IV
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
§ 1. Введение
Пусть k — натуральное, а / — целое число, 0 ^ / < k. Спраши-
Спрашивается: существует ли бесконечно много простых чисел в последо-
последовательности /, /-}-&, 1-\-2к, ...? Для этого необходимо, чтобы /
и k были взаимно просты, так как каждый общий делитель Ink
делит также и l-\-nk (п=0, 1, 2, . . .)• Поэтому если (/, &)> 1,
то при я> 1 числа l-\-nk заведомо не простые.
Во всей гл. IV, если не оговорено противное, числа / и k всегда
будут предполагаться взаимно простыми. В некоторых частных слу-
случаях легко можно показать, что имеется бесконечно много простых
чисел вида l-\-nk (п=0, 1, 2, . . .). Например, при k==l, 1 = 0
и k=2, / = 1 это следует из того, что существует бесконечно много
простых чисел. При k = 4, / = 3 это следует так же, как при дока-
доказательстве теоремы 1.1.2 из того, что число 4ргр2 ... рт-\-Ъ должно
иметь по крайней мере один простой делитель вида Ап-\-Ъ1). Это
приводит к противоречию, если предположить, что нет простых
чисел вида 4я-|-3, кроме pv p2* .... рт.
Доказательство того, что в каждой арифметической прогрессии,
разность которой k взаимно проста с начальным членом /, имеется
бесконечно много простых чисел, т. е. что сравнение
/? = /(mod?) A.1)
имеет бесконечно много простых решений, впервые получил Дирихле2).
Для доказательства этого утверждения он ввел так называемые харак-
характеры, о которых мы будем говорить в § 2.
В гл. I мы доказали бесконечность множества простых чисел,
пользуясь неравенством
р < х
1) Так как произведение двух простых чисел вида 4/г -\-1 опять число
такого вида и каждое простое число ф2 или =1 или E=3(mod4).
2) Дирихле [1].

§ 1. Введение 113
Логарифмируя это неравенство, получим
так как V V l/mpm<oo. Отсюда уже следует, что N. >оо
р, га>2
при л; —>оо.
Для доказательства того, что имеется бесконечно много простых
чисел р, p^l (mod k)> достаточно показать, что
\ >оо При х—>^о. A-4)
/?<•*", ps=/ (mod ft)
Для этой суммы гораздо труднее найти соотношение, аналогичное
соотношению A.3) для суммы 2 I//7 по всем р^.х.
Если бы, например, в A.2) мы взяли произведение только по тем /?,
для которых /?^=/ (mod k), то справа появилась бы сумма вида 2 V^>
/72 <ЛГ
где т пробегает все числа, состоящие из простых множителей /?, /?==/(mod&).
Но заранее также неизвестно, расходится ли ^ l/w> как не известно, име-
имеется ли бесконечно много /?н== / (mod &).
Эту трудность преодолел Дирихле, рассмотрев произведения вида
где /(/?) — некоторые вполне мультипликативные функции1). (Соб-
(Собственно говоря, он рассмотрел функции
P(s) =
при 5 > 12), но мы не будем ими заниматься в данный момент.)
Перемножая A.5) и пользуясь полной мультипликативностью
получим, например, при
A.7)
1) Это означает, что / (п) ф 0 и f (n) f (т) = / (л/и) для всех натураль-
натуральных чисел п и т.
2) Сходимость произведения предполагается.

114 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
причем штрих у знака суммы означает, что суммирование прово-
проводится по всем п, которые получаются от перемножения р^х. Имеет
место формула
n(z^f2z^ (L8)
которая совместно с A.7) даст сведения о сумме
A-9)
если мы получим соответствующие сведения о сумме в правой части
равенства A.7). Уже понятно, что полезно положить, например,
f(p)=\ для /? = /(mod/?) и /(/?) = О для рщЫ (mod k). Впослед-
Впоследствии мы определим мультипликативные функции fv /2, ..., Д,
h — q>(k), зависящие от к и /, которые обладают свойством
и
для m^l (mod k),
I для т ф I (mod k),
1=1, 2, ..., h (n=\, 2, 3, ...) A.10)
и для которых сравнительно легко изучать соответствующие суммы
в правой части равенства A.7)J). В действительности мы поступим
несколько иначе и вместо
„,
будем использовать функции
2<р<оо /г = 1
A.11)
Так как |/,(ft)|<^l, то при s > 1 произведение и ряд A.11) абсо-
абсолютно сходятся. Легко показать, что Pi(s) = Ft(s) при 5 > 1 и,
кроме того, при s->l-|~0 имеет место формула
\nFl(s) = \nP,(s) =
1) Эта формула позволяет отобрать простые числа, сравнимые с /
по модулю k. После того как произошел этот отбор, рассуждения проходят
с помощью функций Fi(s), введенных в A.11), во многом аналогично рас-
рассуждениям, проведенным в гл. III при доказательстве теоремы о простых
числах (т. е. для ? = 1, Л = 1, F{ (s) = ? (s)).

§ 2. Характеры 115
Отсюда и из A.10) следует соотношение
h
^r^i\nFi(s)= JJ J_ + 0(l). A.12)
/ = 1 /?ss/(mod k)
Основная трудность — доказать соотношение
h
y^\nFt{s)->oo (s->l-fO). A.13)
Из него сразу же следует, что сумма в правой части A.12) имеет
бесконечно много членов 1).
§ 2. Характеры
Рассмотрим целое число &> 1, и пусть
k = 2aopa1i...parr B.1)
— разложение k на простые множители. Обозначим через glt g2> ...
.... gr первообразные корни по модулям р, р%2, ..., ра/. Тогда,
как известно, для каждого натурального числа /, (/, k)=l, имеются
числа у, Yo» Yi» •••» Yr» такие, что
I = (— If 5Yo (mod 2ao), / = g)i (mod paA
J B.2)
0<Y<2. O<Yo<2ao, 0<у/<ф(р?')=Р?г1(^-1)
для /= 1, 2, . . ., г, и для каждого /, 0 < / < k, (/, k)= 1, имеется
только одна система y» Yo» Yi- •••» Yr такого вида2). Пусть теперь
е, е0, ej, ..., 8Г — любые корни из единицы порядков 2, 2а°~2
ф(р). •••» ф(р"г)- Такую систему корней из единицы можно
выбрать 2 • 2а°~2 • «jpfp) . . . ф (р"г) способами.
Определим функцию у^(п) = у^{п\ е, е0, 8j, ..., ег) формулой
х@ =
для
для (/, ft)> 1.
B.3)
0 Для k = /г = 1, / = 0, Z7! E) = ? E) очевидно, что из In ? E) =
= 2 /?~5+ О A) п0 теореме 3.3.1 для 5 -> 1 -j- 0 следует расходимость
р
ряда 2 I//7» следовательно, существует бесконечно много простых чисел.
2) См., например, Хассе [1], § 5. Для а0 =. 1 первое сравнение надо
заменить сравнением / === 1 (mod 2); у и Yq отсутствуют.

116 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
где у, у0, Yi» •••» Yr для V* *)=1 задаются формулами B.2). Если
е, е0, elf .... ег выбраны всеми возможными способами, то мы по-
получим в совокупности ф (k) функций !). Эти функции, определенные
на множестве всех натуральных чисел, называются характерами по
модулю k. В частности характер, образованный системой ? = го =
==е1=... .=ег=1 называют главным характером и обозначают %0 {]>)—
= Хо- Из определения Хо следует, что
Для каждого характера хA)=1.
Пример. При & = 5 имеются четыре характера со значениями
1,
/.
— л
—1,
1;
— /,
Л
—1,
1,
—1,
—1,
1,
о,
0,
0,
0
для /==1, 2, 3, 4, 5 (mod 5).
Легко получить следующие соотношения для любых натуральных
м и п:
m = ft(mod&), B.5)
= %(тп). B.6)
Главные свойства характеров выражаются формулами
(&), если х = Хо»
0, если х Ф Хо»
если /^ 1 (mod &),
/-X.W ^/ B-8)
если / ^= 1 (mod k),
причем / в B.7) пробегает полную систему вычетов по mod k, a %
в B.8) пробегает все ф(&) характеров по mod&. Чтобы доказать
формулу B.7), аоспользуемся соотношением
Х@ = 2j 8 8о° • • • v = 2j е 2j ?о • • • 2j ?гг» B-9)
/mod к y, Yo» •••> Vr Y Yo Yr
в котором суммирование проводится по всем
< 2а»", . . ., 0^;уг < ф (Ргг\ ^сли хотя ^ы одно из чисел е, е0, ..., гГ
не равно 1, т. е. если % не главный характер, то соответствующая сумма
*) Позднее выяснится, что эти функции только меняются местами, если
выбрать другие ?>

§ 2. Характеры 117
равна нулю, так как для каждого корня m-ft степени из единицы
При s = eo = ... =8Г=1 для суммы B.9) получаем значение
2 • 2а°~2ф (р°Л ... ф//А\ что и доказывает B.7).
Теперь докажем B.8). Имеем
2 Х<0 = 2 е^ ...ejr = 2e^ в?* ... 2 ej>. B.10)
X е,ео,...,ег е е0 ef
где суммирование проводится при постоянной системе у, у0, ..., уг
соответствующей /, по всем корням из единицы е, е0, ..., ег
порядков 2, 2ао~2, ..., ф(/?"г). Если хотя бы одно из чисел у не
равно нулю, т. е. если / ф 1 (mod k)> то соответствующая сумма
обращается в 0, так как
если С пробегает все корни /и-й степени из единицы. Для y=Yo=Yi== • • •
. .. = Y/- —0 значение суммы в B.10) снова равно 2-2ао"~ ... ф (ра/\ =
= ф(^), что и доказывает формулу B.8).
При (/, k)=\ из B.8) следует
К # = ()
B-11)
Для каждого характера % функция % определяется формулой
-X~l(l) Для (/, Л)=1, B.12)
так как значение % для (/, k) = 1 есть всегда произведение корней из
единицы. Пусть теперь /' — решение сравнения /7=l(mod&)«
Тогда очевидно, что (/', k)=l, и так как %A)=1, согласно фор-
формулам B.5), B.6), получаем
Отсюда следует, что
2 х (л) х @ = 2 х (л) х @ = 2 х (д) х (/0 = 2 х (*/').
Из последнего соотношения и соотношения B.8) следует B.11), так
как равнозначны следующие сравнения: /г = / (mod k) к nl' =1 (mod /e),
п ф I (mod ft) и nV ф\ (mod ft).

118 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Теорема 2.1. Каждая функция f (я), определенная для всех
натуральных чисел я и удовлетворяющая соотношениям
a) /(л) = 0. (я, ft)>l,
/(п)фО, (я, ft) = 1,
b) /(#0 =/(#), яг = я (mod ft),
c) f(mri) — f(m)f(n) при любых натуральных тип (полная,
мультипликативность),
должна быть одной из рассмотренных функций %(я).
Действительно, во-первых, из с) следует /A) =</A)/A), и так
как из а) /(\)Ф0, то /A)=1. Далее, обобщая B.2), в элементарной
теории чисел доказывают, что существуют такие числа со, соо, . . ., ог,
что любое число /, 0 <^ / < ft, (/, ft)=lf можно единственным
образом представить в виде
/ = oY(o^ . . . ojr (mod ft), B.13)
причем у, yQ, •••» Yr имеют те же значения, что и в формуле B.2).
Кроме того, имеют место соотношения
о2 == сооао~2 = ... =oj О7?г) = 1 (mod ft)]).
Принимая во внимание с) и Ь), из последнего соотношения получаем
{/(о))}2 = /((о2) = /A)= 1, так что /(о)=± 1. Аналогично полу-
получаем, что /((%), /(coj) ... должны быть корнями из единицы по-
порядков 2а°~2, cpjp),.... Так как / (/) = /Y (о) /Yo (о0) ... Л(сог),
то ясно, что / — характер.
Следовательно, характер по mod ft можно определить как такую
функцию, которая удовлетворяет условиям а), Ь), с).
Очевидно, что произведение V (п) X" (п) = % (п) двух характеров
X7 (п) и %" (п) — опять характер.
Теорема 2.2. Никакие два характера из совокупности (p(ft)
характеров не равны, т. е. не совпадают при всех значениях я.
Пусть, например, в соотношении B.3)
!) Нужно только величины ю, ©0, ..., % определить так, чтобы
со =з — 1 (mod 2а°), ©si (mod ?/2а<>), ©0~5 (mod 2а°), соо == 1 (mod а)
г ^j (mod /?^), ©i s I (mod^1) и т. д.

§ 3. L-функции и теорема Дирихле 119
Тогда или е' Ф г", или по крайней мере для одного / (/ = 0, 1 г)
е^Фе".. Если имеет место последний случай, то, очевидно, %' A)Фу!' (I)
для такого /, для которого
Если при k= 1 определить единственный характер % (п) = х0 (#) = 1
для всех натуральных чисел я, то этот характер обладает всеми
свойствами выше определенных характеров.
Область определения % (п) можно распространить на нуль и на
отрицательные целые числа. Для этого надо предположить, что усло-
условие Ь) выполнено для всех целых чисел. При k = 1 надо положить
^@)=1 и 5С(т)=1 при пгфО (так как (т, 1)=1 для любого
целого т)\ при &> 1 полагают %@) = 0, так как @, &) = &> 1.
§ 3. /.-функции и теорема Дирихле
Пусть &^> 1. После того как введены характеры, можно построить
функции fi(ri), определенные в § 1. Именно если за функции ft{n)
(/=1, 2 ф(&)) взять ф(&) функций %(п)%A), то ввиду B.11)
условие A.10) выполнено. Функции Fi(s) из A.11) отличаются мно-
множителем %(/) от ф(&) функций L(s, x). где
Так как |л/(я)|=1 или 0, то последний ряд сходится во всяком
случае в области о > 1 и функция L (s, %), определяемая этим рядом,
аналитична в этой области (см. П., § 2). В частности, для k-~\
существует только главный характер, и L(s, x) переходит в функ-
функцию С (s). Многие из свойств L(s, %), которые будут доказаны впо-
впоследствии, аналогичны свойствам C(s), однако поведение L(s, x)>
X Ф %0' в некотором смысле отлично от поведения L (s, %0).
Теорема 3.1. При а> 1 имеет место разложение
для любого х по mod k l).
Это утверждение следует из теоремы 3.2.3, если положить /(/?)=0
при p\k и f(p) = %(p)lps при p\k, и из соотношения
,lW , %(р2) , _i | х(р) , хЧр) , _
1) Так как % (р) = 0 для /? | ^, то оба произведения имеют одно и то же
значение.

120 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
В частности, справедлива формула
?(*. Ь) = ПA -^У1 =ПA —р)Ш (°> 0. C.2)
Например, при k = 2 имеется только главный характер %о и, сле-
следовательно,
Р>2
При & = 3 имеется два характера Хо и Xi- Хо== 0, 1, 1 и Xi =
= 0, 1, —1 для л==0, 1, 2(mod3). Тогда имеем
При & = 4 имеется два характера Хо и Xi- Хо==О» Ь 0» 1 и Xi =
= 0, 1, 0, —1 для я = 0, 1, 2, 3(mod4). Следовательно, имеем
функции
Теорема 3.2. /^ области о > 1 Z,(s, у) ФО для, любого x(mod
Действительно, из формулы C.1) следует неравенство
Из него получаем утверждение теоремы таким же путем, как и
в теореме 3.4.1.
Из только что доказанной теоремы следует, что выражение C.1)
можно логарифмировать:
•>'•
/?-f k p\ k m-1
Двойной ряд представляет собой то значение In L (s, x) =
= In i 2 X (Л) n~s\> которое стремится к нулю, если s стремится к оо
по действительным положительным числам. Поскольку L(s, у) Ф 0, оо
при а> 1, эта ветвь логарифма однозначна и регулярна в области
а > 1. Двойной ряд там абсолютно сходится, и поэтому можно менять

Гл. 8. L-функции и теорема Дирихле 121
порядок суммирования. Так как А(п)/\пп = Inp/m In/? = — при
n — pm и %(п) = 0 при (п, /г) > 1, то получаем формулу
Продифференцируем равенство C.3)
^(s.X) _y Х(я)А(я) -. „
дифференцирование законно, так как последний ряд равномерно схо-
сходится при <?;> 1 +е-
Теорема 3.3. При %ф%0 ряд 2х(я)я-* сходится также
п
и в области 0<а<^1. Все функции L(s, %) аналитически про-
продолжаемы в область 0<а<?1. и регулярны там, за исключе-
исключением функции L(s, Хо)- Она имеет при 5=1 полюс первого по-
порядка и разложение
р\
Доказательство. Пусть %ф%0- Из неравенства | % (п) |
и формулы B.7) для любого | > 0 имеем
так как последняя сумма обращается в 0 через k последовательных
членов х(п)' ^3 теоремы П. 1.4 получаем
Последний интеграл ввиду неравенства C.6) сходится также и при
О < а^ 1. Тем самым при х Ф Хо наше утверждение следует из тео-
теоремы П. 2.1. При Х = Хо оно следует из формулы C.2) и тео-
теоремы 3.3.1.
В частности, имеем
Надо положить Л A)/1п 1 = 0.

122 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Для доказательства того, что существует бесконечно много чисел
р, p^l (mod k), достаточно доказать соотношение
lim 2 р~а = оо. C.9)
1+0 р = / (mod k)
Так как \\р > 1//?а, о> 1, то из C.9) легко следует расходимость
ряда
р = / (mod &)
Теперь, согласно B.11), имеет место формула
и У = "^W АЛ У 2d
d /г) Р
где в правой части равенства суммирование проводится по всем р.
Согласно C.3), при <?> 1 имеет место равенство
p
и, следовательно,
р
Из C.10) следует, что
2 ?=,
(mod /г)
причем s—>l+0 означает, что $ стремится справа к единице, при-
принимая действительные значения. Константа в 0A) даже не зависит
от k, так как количество членов вида 0A), встречающихся в сумме,
разно ф(й).
Из C.5) получаем
InL(s9 xo) = ln^rr+0(l), 5->1+О. C.12)
Ввиду того что
пЛ(*. %) = In L(s, xo)+

§ 4. Необращение в нуль L(l+it, %) 123
из C.11) и C.12) следовало бы C.9), если бы доказать, что
C.13)
или что L(l, у)Ф®, оо при х =? Хо- Неравенство /,A, у) Ф оз при
уФ%0 следует из регулярности /,($, х) при s=l (теорема 3.3).
Наиболее трудная часть доказательства C.9) и вместе с тем того,
что имеется бесконечно много простых чисел р, р^ I (mod k), состоит
в доказательстве соотношения L(\, %) ф О, уФ Хо» которое мы теперь
приведем.
§ 4. Необращение в нуль L(\-\-itt X)
При доказательстве соотношения
?A. %)Ф0 D.1)
мы должны различать два случая: 1) i(n) принимает по крайней мере
для одного п комплексное значение; 2) i(ri) для всех п—действительное
число. В первом случае х называется комплексным характером, во вто-
втором случае — действительным. Действительный характер %(п) должен
быть равен 0, ±1, так как |х(я)|=1 или 0; следовательно, х2(я) =
= {Х(Л)}2=1 для'(л. k)=l и х2(я)={х(я)}2 = 0 для (л, Л)>1.
Таким образом, характер является действительным или комплексным,
смотря по тому, х2 = Хо или X2 Ф Хо-
Теорема 4. 1 !).
ЬA~\-И,%)ФО для%2Фх0 и всех t; D.2)
1(\+П,х)Ф0 для х2 = Хо « '^0- D-3)
Доказательство. Из C.4) при а> 1 имеем
^(a X) + 4(o + tf X) +
. D.4)
так как 3-J-4 coscp-(-cos 2ф = 2A -|-cosсрJ;>0 (мы положили ф=
= arg(x(Ai) n~u). Из C.5) следует
(а Х) 4 + 0A) а140 D.5)
Если бы число 1 + # было нулем функции L(s, %), например т-го
порядка, т^1, то мы имели бы
(o + « Х) ^ + ОA) а1Ь0 D.6)
') Дирихле [1J, Валле-Пуссен [1], [2].

124 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
По теореме 3.3 s=l + 2#—регулярная точка функции L(s, %2),
кроме' случая %2 = %0, t = 0. Исключая этот случай, при а—>1+0
получим
^ ^ 1), а>0. D.7)
Из формул D.5), D.6), D.7) находим
r . D.8)
Так как m^l, 4m > 3, я^О, это противоречит D.4). Следова-
Следовательно, предположение, что tn^-l, было неверным и справедливы
формулы D.2) и D.3).
В случае %2 = %0, t = 0 нам потребуется
Лемма 4.1. Для Х2 = Хо имеет место соотношение
Ц D.9)
где ап — действительные числа и
ап>0, «яа>1. D.10)
Доказательство. Имеем !)
Характер %(р) может принимать только значения 0, ±1. Для
Х(/>)=1 (о>1)
l1"^] I1 ps ) -1 + ps++
для () !
и для х (/>) = О
l Х \~4l- 5С С/») Ч-1 i -J- — 4- — 4-
!) Произведение можно распространить на все /?, так как % (р) = О
при /? | &.

§ 4. Необращение в нуль L(l+it, %) 125
Перемножая произведения всех трех типов, получим ряд Дирихле 1)
с коэффициентами ап^>>0, аП2^>>1, так как во всех трех случаях
коэффициенты при p~2ms не меньше 1.
Теорема 4.2 2). Для Х2 = Хо имеет место неравенство
Ц1, х)^=0 и, кроме того, L(l, х) > 0 для %Ф%о- D-11)
Доказательство. Так как Z,(l, /0) = схэ, то надо исследовать
только случай % Ф Хо- Рассмотрим ряд в формуле D.9). Так как
аЛ2^>1, то при s = l]2 частичный ряд
расходится. Следовательно, и сам ряд 2 ann~s расходится при а < 1/2.
п
Для абсциссы сходимости а0 (см. П., § 2) этого ряда имеют место
неравенства 1 ^ а0 >-1/2. С другой стороны, по теореме Ландау (тео-
(теорема П.2.4) s = o0 — особая точка функции ?,(s)L(s, у). Но так
как С (s) и L(s, %) при 72<Са< 1 регулярны, то а0 должно рав-
равняться 1. Но тогда s=\ не может быть нулем L(s, %). Действи-
Действительно, в противном случае функция ?($)?(?> %) при 5=1 была бы
регулярной, так как полюс первого порядка ?(s) компенсировался бы
нулем L(s, х) порядка ^> 1. Следовательно, Z,(l, %) Ф 0. Из равенства
L(U x)= lim (a—l)C(a)L(a. x)
10
и положительности ап следует, что L(l, x) > 0.
Теорема 4.3. Пусть &>1 « 0</<^, (/, А) = 1.
имеется бесконечно много простых чисел р вида
p = l-\-nk, п= 1, 2, D.12)
Доказательство. По теоремам 4.1 и 4.2 1A, х)^0 для
всех характеров х- Отсюда следует формула C.13), и с помощью
C.11), C.12) получается C.9), чем утверждение теоремы доказано.
Вместо формул C.10) и C.11) для доказательства теоремы 4.3
можно применить аналогично доказываемое равенство
p==l (mod k)
*) Это перемножение бесконечного числа рядов Дирихле законно по
теореме 3.2.3, так как |ля|= 2 X (<0 <d (n)> и ряд ^d(n)n~s при
d]/i п
о > 1 абсолютно сходится.
2) Дирихле [1], Мертенс [2], Ландау [4].

126 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Вместо C.9) получим тогда соотношение
-^ ->со при а->1+0. D.14)
pss/ (mod k)
При доказательстве теоремы 4.3 мы использовали в полной мере вспо-
вспомогательные средства теории функций комплексного переменного и теории
рядов Дирихле. Имеются доказательства, которые обходятся без многих
из этих вспомогательных средств (см. Хассе [1]). В последнее время най-
найдены доказательства, которые позволяют обходиться совершенно без этих
вспомогательных средств (А. Сельберг [4], Г. Цассенхаус [1]) 1). Здесь
положение аналогично положению при доказательстве теоремы о простых
числах. Однако здесь „элементаризация* аналитического доказательства
в известном смысле легче2) и поэтому удалась независимо от методов
А. Сельберга (Цассенхаус [1]). Мы даем только набросок элементар-
элементарного доказательства (Шапиро [2] ).
Пусть сначала % ф /о- Докажем прежде всего с помощью частного
суммирования, что
2 X СО/(л) = О {/С*)}.
п < х
где f (х) — произвольная функция, монотонно стремящаяся к нулю при
возрастании х. Отсюда следует, что
п < х п < х
D15>
причем теперь естественно, что L A, у), —Z/ A, у), М~о~' X) — предельные
значения левых частей равенств D.15) при jc->co (теория L-рядов не
используется!). Теперь легко доказать следующую формулу обращения: для
любой функции / (х) и вполне мультипликативной функции Р (п) (Р(п)фО)
из равенства
п<х
следует
2
и наоборот. Применяя это к функциям
п < х
1) См. также книгу А. О. Гельфонда и 10. В. Линника „Элементарные
методы в аналитической теории чисел", Физматгиз, 1962. — Прим. ред.
2) Так как при этом ничего точного о числе доказывать не нужно.

§ 4. Необращение в нуль L(\-\~ity x) 127
и соответственно к
\~Ч X X
п < х
при Я (л) = X (Л)« согласно D.15), получаем
? О, X) 2) V (п) ^ТГ" = ° A) DЛ6)
и соответственно
x\nx = L A, х) Z7 (х, X) + ¦*?' О. %) ^ V (п) 1^р- + О (х), D.17)
п < л:
так как 2 In (*/п) — О (х). Вид функции F (х, %) далее не важен.
п < л:
Из D.16) и D.17) следует, что L A, х) и Z/ A, х) не могут одновременно
обращаться в нуль. Так как Z/ A, х) =^= оо !) то имеет место соотношение
п <
Далее имеем
для
для
< х d\n
Легко показать, что
p <x
а это вместе с D.18) и D.19) дает
S%(p) , __ ( 0A) для 1A, %)фО,
р пр~[ — In jc -J- О A) для Z,(l,x) = O. D*20)
1) Вторая часть D.18) следует из того, что в силу L A, х) Ф 0 сумма
из D.16) остается ограниченной.

128 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Теперь уже можно показать, что для комплексного % L A, %) не, равно 0:
из B.8), D.20) и A.3.3) при л:-»оо следует
In р
(/л /г)=1
где Af — число тех характеров % Ф %0, для которых L(l, х) = 0- Очевидно,
что эта сумма >>0. Поэтому М должно равняться нулю или единице.
Если бы L A, %) — 0 для комплексного %, то тогда и L A, /) = 0, т. е. было бы
Л4>2, что невозможно. Таким образом, если исключить только действи-
действительные характеры, L A, %) обязательно не равно нулю при % Ф %0. Чтобы
доказать это также и для всех действительных характеров %, образуем
сумму
S(*,X) = 2 7=Г'
где ап ~ 2 х№ — коэффициенты из леммы 4.1. То, что йл>0 и ani^\,
d\ n
можно доказать без рядов Дирихле, так как из мультипликативности % (п)
для п == рп\ ... рпг следует, что
Каждый сомножитель произведения 5>0 (из-за того, что % = 0, ±1) и ^ I
для четного щ. Из этих свойств ап следует, что lim S (х> %) = оо при
л:->оо. Покажем, что lim S (х, %) конечен, если L A, х) = 0. Имеем
d\n dm
-(S S + S S Ш
V</jt ^<^ m</l Y
С помощью теоремы П. 1.5 можно доказать, что
п <лг
со о
> = -l-j {(s-Hnf^e-

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой сг=1 129
и это, согласно D.15), дает для первой двойной суммы следующую асим-
асимптотику:
d<V
d<YT
Для второй двойной суммы из третьего равенства D.15) получаем оценку
т <Yx
Объединяя все вместе, получим
Отсюда и из первого равенства D.15) при L A, у) = 0 следовало бы соот-
соотношение
5 (*, %) = О A),
что противоречит равенству lim 5 (х, у) = со. Следовательно, L A, %) ^ О
ДГ->ОО
для действительного характера %. Тем самым доказано, что в D.20) может
появиться лишь первая возможность, следовательно,
np—0A) для всех Хф%о.
Отсюда, как при выводе C.10), с помощью B.8) получаем, наконец, соот-
соотношение
s/(mod k)
что доказывает бесконечность числа простых чисел р, таких, что
/?=s/(mod &).
Приведенное доказательство необращения в нуль L A, %) для действи-
действительного характера % принадлежит Мертенсу [2].
§ 5. О нулях /.-функции вблизи прямой а == 1
Рассмотрим опять натуральные взаимно простые числа Ink.
Через л (л;, k, l) обозначим число простых чисел /?, для которых
> p^l (mod k). Выше мы доказали, что
я (л:, k> /)->oo (л:->оо)

130 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
при фиксированных k% L Наша ближайшая цель — доказать соот-
соотношение
при фиксированных k, L Это равенство означает, что в ф(&) клас-
классах (mod k), содержащих взаимно простые с k вычеты, находится
асимптотически равное число простых чисел из совокупности х\\х\х
простых чисел. Очевидно, что п(х, 1, 0) = л(л:). Для доказательства
асимптотического закона распределения простых чисел л (x)~xl\nx
(теорема 1.1.2) и еще более точного соотношения -ф (jc) =
= х-{- О(хе~с}Г[пх) в гл. III необходимо было исследование нулей
?(s) на прямой а=1 и слева от нее. Подобное исследование мы
должны провести также и для нулей L($, %). Мы докажем соотно-
соотношение
4 ' ф (k) \ПХ
более сильное, чем E.1) (и даже соотношение с несколько лучшим
приближением), которое имеет место равномерно для k^a(x), при-
причем 0(x)<x может стремиться к бесконечности. Равномерность
по k ^ 0 (х) означает, что для константы в О ( ) можно брать одно
и то же значение, если k остается меньше со(х). Утверждения
такого вида доказывать гораздо труднее, чем утверждения для по-
постоянного k. Очевидно, что уже трудно решить, имеются ли вообще
простые числа р^х, р=\ (mod А), когда k растет вместе с х,
Чтобы получить асимптотические формулы, которые справедливы
равномерно для некоторой области значений k, мы должны в после-
последующем доказывать все оценки равномерно по k, т. е. так, чтобы
константы не зависели от k.
Теорема 5.1. При а> 1 имеет место равенство1)
Доказательство. Теорема следует из теорем 3.1 и 3.2.3,
если принять во внимание, что \х (п) х (ri)jns — мультипликативная
функция.
Для оценки L(s, %) целесообразно ввести вспомогательную функ-
функцию
оо
?(<?, W)= 2 (n + w)~s, а>1, 0<та><1; E.4)
0
1) Напомним, что 2 обозначает 2 > если ничего другого не сказано.
п л»1

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой сг=1 131
в частности, ? ($, 1) = ?($). Очевидно, что
?(*. Х)= 2 Х@ 2( 5
Следовательно,
L{s, i) = k-s 2 Х(ОС(*. j). a>\. E.5)
Как мы сейчас покажем, функцию ?(s, «до) можно аналитически про-
продолжить в область 0<а<;1, поэтому формула E.5) имеет место и
для этой области.
Теорема 5.2. Пусть 0<b4^l/2 и Л — положительная кон-
константа. Функцию ?($, w) можно аналитически продолжить
на область 0<а<С1. При этом имеют место соотношения
?(*, w) = w~*-\-0{\tf), а>1—6, |/|>2; E.6)
(-i, I — Al\n\t\\, |*|>2, E.7)
в которых константы в О( ) зависят от 6 и соответственно
от Л, но не зависят от w.
Доказательство. Так как С(s> w) = ?,(s, w), достаточно до-
доказать теорему для t^>2.
Из w ^ 0 при а > 2 следует
| С E, w) — ws |< 2 (л + w) < S ^~2= 0A).
/2 П
Поэтому можно предположить, что а <С2. По теореме II. 1.5 (для
a = N, х->оо) при yV^-1, а.> 1 получаем
TV
Эта формула дает аналитическое продолжение ?($, w) на область
а > 0, так как последний интеграл в ней представляет функцию,
регулярную при а>0. Принимая во внимание неравенства 0<^? —
— [|] < 1, из 5.8 получим

132 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
При любом 6?@, 7г] в области 2>а>1—6, ^>2 имеет место
оценка
U<7V
в которой константа в О ( ) не зависит от 6. Если положить
M=[t], зафиксировать 6 и допустить в константах из О ( ) зави-
зависимость от 6, то остаточный член примет вид
О (N6 + t'lN6 + *ЛГ1+б) = О О6).
С другой стороны, если мы возьмем b = A/\nt, N=[t], то оста-
остаточный член в E.9) станет равным
O(\nt NA/[nt-{-r'NA/lnt + tN-l+A/hu)= О (\nt),
поскольку 6 ^ 7г ПРИ большом t.
Теорема 5.3. При а^>72> MI^U» 0<^<;i имеет место
соотношение
LA), E.10)
?(<?, W) = K,_|__L_.^_OA),
где константа в О( ) не зависит от s и wl).
Доказательство. Для а>2 имеем ?,(s, w) = w~s-\- О A).
Следовательно, равенство E.10) справедливо. Пусть теперь а ^2.
Если в E.8) положим N=1, то получим
С E. ^)-^^ = A+^)-5+A]"-11+0A)
при 72<а<2. К |< П. В этой же области A -\-w)'s = 0A) и
так как \s—\ | = ОA), 0 <
Теорема 5.4. Пусть k^\ и % — любой характер по mod&.
Если 0<6<7г» ^>0«
!) Требование |/|< 11 не существенно. Соотношение E.10) имеет место
также, если 11 заменить на любую константу В > 0 от которой, естественно,
будет зависеть константа в О ( ).

§ 5. О нулях L-функцич вблизи прямой ст=1 133
то имеют место соотношения
L(s,x) = O{(k\t\?}, о>1-6, |*|>2. E.12)
L(s, х) = 0(Ал/1п|'|1пА|/|), a>max(l--E^7T,l), |*|>2.
E.13)
, o>±, |*|<11. E.14)
константы не зависят от k, но могут зависеть от 6 и
соответственно от Л.
Доказательство. Из E.5) и E.6) при о~^1—6,
следует, что
= 2
где константа в О( ) может зависеть от 6; это дает формулу E.12).
Из E.5), E.7) при a>maxG2> l — A/lnk\t\), так как &>1 и
\t\^>2, следует оценка E.13):
. х)=
Из E.5) и E.10) при сг^'/г- |*|<^И следует, что
ОС*1)- E-15)
Теперь, учитывая B.7), при о^1/2 получим
2 Х@/"* = оB »"^) = o(ft), E.16)
E.17)
О < / < k
Далее при \s — 1 | <С 7г имеет место равенство
1 — in /v [ О'
E.18)

134 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
ибо при |s—I |> V2. <*>72 имеем k~sj(s— 1)= О U™)- Подста-
Подставляя это и E.16), E.17) в E.15), получаем E.14).
Мы установили уже в равенстве C.5), что вычет L(s, Хо) ПРИ
П
s=l равен ПО — 1/Р) =Ф(*)/*•
P\k
Теорема 5.5. При а>0 имеет место оценка
E.19)
Доказательство. Из E.3) и неравенства |[х(я)|<^1 следует
1
E, X)
Поэтому имеем E.19).
Уже в § 4, чтобы доказать, что 5=1 не является нулем L(s, х)>
мы должны были в случае действительного характера применить
метод, отличный от метода, применявшегося в случае комплексного
характера или действительного характера при s=\-\-it Ф 1. В даль-
дальнейшем такие случаи также должны рассматриваться отдельно.
Теорема 5.6. Пусть Л^>1. Для всех х по mod & при под-
подходящем сх имеем
Цз,%)Ф0. a>l-1^iRT>-|, |*|>3. E.20)
Доказательство. Это утверждение достаточно доказать при
t^>3, так как вместе с х является характером также функция х
и L{7, i) = L(s. хI).
Пусть рх == р —|— /^х — нуль функции L(s,%), причем 1—Vs <
<Р< 1, ^^>3. Если мы положим р=1—bj\nktl, то достаточно,
очевидно, доказать* что Ъ должно быть больше с2 при подходящем с2,
не зависящем от k и tv Положим oQ=\ -\- aj\nktv где сначала
пусть а ^ @, 72] и позднее в случае необходимости будет еще умень-
уменьшено. Теперь применим теорему П.4.5 для F(s) = L(s, х)» г = 72»
50 = a0-f-/Yx. По теореме 3.2 L(s, х) в области |^ — ^ol^V2»
Re(s — 50) > 0 не имеет нулей. Для достаточно малого а, например
0 < а < ах < 72» Pi содержится в круге | s — s0 \ <; 7гг = 74
!) При а> 1 это сейчас же следует из представления ряда L(s,%); по
принципу симметрии это имеет место для всех s области регулярности.
Естественно, если существование с{ однажды установлено, всегда, уменьшая
можно получить неравенство 1 — cjln k \t \ > 3Д Для вс^х К1>3

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой сг=1 135
любого ft]>l, ^i^3; кроме того, круг |s— so\<^.xl2 лежит в об-
области а > у2, \t\>2. Из E.12) и E Л 9), так как ^>3 u\t — /1|<72^
следует, что в круге \s — $0 |< у2
/•/* х)ч = О (ft 2"< 2" 1 In ftM = 0 (— ft7i* In ftf.). E.21)
Поэтому при применении теоремы П.4.5 можно считать выполненным
неравенство
Jktl-\-ln±:)j, 0<a<av E.22)
где съ не зависит от а (и от ft, /j). Эта теорема дает теперь
E.23)
Снова применим теорему П.4.5 с заменой sQ->s'Q = oQ-{-i2tv r = l/2,
F(s) = L(s, x2)- Тогда получим
О?» X2) (A A
_ o (A A l
-°\k ь ^
= О ^ftT B^)T ~ I" *M = ° f~ ^T^7 ln ktx) E-24)
в круге | 5 — SqI^1/^» следовательно, для М получается неравенство
такой же формы, как E.22), но возможно с другой константой сг.
Теперь из теоремы П. 4.9 следует, что
( ±) E.25)
Наконец, для а > 1 и всех % по mod ft в силу равенства C.4) и тео-
теоремы 3.3.1 имеем
E.26)
для достаточно малого а, например для 0 < а < а2 = #2(е) ^
Если подставим все это в D.4) (с о — о0), то для 0 < а < а2
M±i
J) Недостаточно сослаться только на C.5), после чего L'IL~\\{E—1)
при а -> 1 -f- О, если % — главный характер, так как граница должна быть
независима от k.

136 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
и, следовательно,
3A+8I+ 4^y-c6}ln^1^c6lnl<0. E.27)
Теперь возьмем е настолько малым, чтобы 3A -+-?)< 4, напри-
например е = ljA. Тогда для достаточно малого а, например 0 < а < #3,
имеем
\ 4 а ] а /
так как \\а при а->0 растет быстрее, чем In \\a. Для достаточно
малого Ь> например для b ^ с2, также имеем неравенство
и так как ktl^-3, то это неравенство противоречит E.27) и теорема
5.6 доказана. Доказано также и неравенство 1 — cl/\n k\t\^3/4,11 \^ 3,
так как, уменьшая c2* всегда можно добиться, чтобы для всех t ^ 3
было 1 — Ve < ^ "
Теорема 5.7. Пусть k^\. При подходящем cv не завися-
зависящем от k, имеет место соотношение
%)фО для %2Фх0 в области а>1—-j^-, ИК51). E.28)
Доказательство. Как и в теореме 5.6, достаточно доказать
утверждение для />02). Пусть рх = р + /^ — нуль функции 1E, х)
в области 1 — Vs < Р < 1' 0<|<1|<5. Положим а0 = 1 + а/\п 2k и
р=1— ?/1п2&, где 0<a<^V2 (^ позднее будет определено точно),
и также, как при доказательстве теоремы 5.6, применим тео-
теорему П. 4.5. Вместо соотношения E,21) получаем теперь из E.14),
E.19) E0 = а0 + ^)
в круге | 5 — s0 |< 72. так как ?0 = 0 при % Ф %0. Следовательно,
при применении теоремы П. 4.5 можно взять
. E.30)
') Мы пишем In 2k, чтобы включить случай k = 1. При &>2 можно,
естественно, заменить c7/In 2k на c/ln k.
2) Если х2 Ф Хо. ^ также ^ ^ Хо.

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой о—\ 137
При этом условия применимости теоремы для достаточно малого а,
очевидно, выполнены. Вместо E.23) мы получаем теперь из П. 4.10
In
2k — c9 fin 2k -f In --Ц. E.31)
Все неравенства до конца § 5 справедливы только для доста-
достаточно малого а (возможно зависящего от е), и это не всегда будет
оговариваться.
Теперь применим теорему П. 4.5 с s0->s'0 = oQ-\-i2tl. В круге
\s — Sq|^V2 имеем j?|<^ll, так как | tx | -^ 5; следовательно, для
оценки \L(s, х2) | там применима оценка E.14). Так как %2ф%0, то
при EQ = 0 мы получаем отсюда и из E.19) равенство
L (s> I2) _ о (k1/2 - In 2У^ E
Следовательно, для In M опять получается граница того же вида
как в E.30) (возможно с другими константами). Теорема П. 4.9 дает
теперь
Re 41 (<*о + ««!, X2) > - сю (*п 2^ + In |), E.33)
и из E.26) следует, что
41^iln2^ E.34)
Теперь, подставляя E.31), E.33), E.34) в D.4), получаем
2*-??I1lni<0. E.35)
Если, например, опять положить г = 1/А пав случае необходимо-
необходимости уменьшить еще настолько, чтобы было
НО +тН+4-с"
то E.35) приводит к противоречию при ^^.с12 для всех
Тем самым теорема доказана.
Теорема 5.8. При k ^> 1 имеет место соотношение
L(s,%)^0 для %2~Хо' о > 1 fnif/T' 0 < 1^1-^5»
причем, следовательно, Im 5 ф О,

138 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Доказательство. Мы можем предположить х Ф Хо» так как
при Х = Хо по О*-2) ?($. X) совпадает с ?($) с точностью до множи-
множителя ЦA — 1/р5)» который не обращается в 0 в области а > 0, и
р\ь
по теореме 3.4.6 утверждение в этом случае верно.
Мы употребим те же обозначения, что при доказательстве преды-
предыдущей теоремы, и снова предположим 0<^^5. Тогда мы сможем
вывести неравенства E.31) и E.34) для х2 = Хо- Однако перестает
быть верным результат, который вел к E.32), так как теперь функ-
функция L ($, х2) —L(s, Хо) может быть нерегулярна в круге \s — s'o I <^ !/г
в том случае, когда точка 5 = 1 находится в этом круге. Применим
теперь теорему П. 4.5 к функции
и положим г = 1/г> so-*-s'o = ao-\-i2ty В силу E.14) имеем
(s - 1) L (s, хо) - -^ф- + О (| 5 - 1 | #) = О (ft7') E.37)
в круге Is — Sq|^V2- Далее, согласно E.19),
(X\ E.38)
Следовательно, в круге \s — ^ol
F(s) _ (s — I) L(s,
so0 (sJ-l)
Поэтому при применении теоремы П. 4.5 можно положить
1пЖ< c14
и получить из П. 4.9 неравенство
Re^O Re<a+/2'
s0 — 1 у
E.39)
Подставляя это вместе с E.31), E.34) в D.4) и замечая, что
1/1 5q— 1 | ^ Re 1/(Sq— 1). для достаточно малого а, 0 < а < а (г), по-
получаем
E.40)

§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой а=1 139
Отсюда получается противоречие (для достаточно малого а) только
тогда, когда l/\sr0—1| не слишком велико. Следовательно, рас-
рассмотрим
причем А сначала любая положительная константа, которую позднее
мы определим точнее. Тогда
|sj-l| ^2t, ^ 2Л
Подставляя это в E.40), при е = 1[4 и ао= 1 -f-a/ln 2/е, р == 1 —
— b/\n 2k получим
(где cl7 = clQ-\- 1/BЛ) зависит от Л и при Л->0 с17->оо). Это дает
при достаточно малом а противоречие, например, для Ь^с1Ъ, как
при доказательстве теорем 5.6 и 5.7.
Если неравенство E.41) не выполнено, неравенство D.4) больше
не нужно. Вместо D.4) можно применить тогда следующее соотно-
соотношение. При а0 > 1 и действительном % имеет место
Re { 41 (go> Xo) + -j- <а0' X)} - - 21 ^Г (Хо («) + X (л) X 0. E.42)
так как всегда Хо(л) + Х (л) > 0-
Пусть теперь pj == р -[- /^ — нуль функции Z, E, х)» причем 1 —
— у<Р< 1 и
0<*1<та-' л>0- E*43)
Вместе с pj также рх = р — Нх является нулем L(s, x)- ^ак как
действительного х
Теперь применим теорему П. 4.5 с
F(s) = L(s, х), s0 = o0=l+al\n2k, r = ~
и, в частности, применим (П. 4.11) с р2 == рх. Если а и Л достаточно
малы, то pj и рг для каждого k ;> 1 содержатся в круге | s — s0 | <^I 1/4.
Так как х Ф Хо» мы можем для оценки | L (s, x) I опять применить

140 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
E.14) с Е0 — 0. Тогда для достаточно малых а и Л из (П. 4.11)
следует, что
Re —(а0, x)>R^( 1 l~==r-)~--cl9!\n2k-\-\n—). E.44)
L I oro — pt cr0 — pL J V a I
Подставляя это и E.34) в E.42), получим
_(l+e)_j hRe/ L_-j U_
a0—1 I cr0 — Pi <7o~Pi
и, следовательно,
-(l+e)—L- + 2 ,_ \-р Л -gl9fln2fe + »n-)<0.
Для a0 == 1 —j— a/In 2k, p = 1 — &/ln 2^ с помощью E.43) получаем
неравенство
^b^|2ft_c19ln-i-<0. E.45)
Теперь выберем 8 настолько малым, чтобы 1 -f-e < 2 (например,е = 72)»
и выберем а таким, чтобы выполнялось неравенство
что возможно всегда. Величину А мы уменьшим, если необходимо,
настолько, чтобы, кроме того, имело место неравенство
+ С 1п2~ СЪ 1П Т > °'
Это противоречит при Ъ <; с20 неравенству E.45) с е = 1/2» каково
бы ни было &^>1. Тем самым теорема 5.8 полностью доказана.
Здесь уже видно, что исследование нулей L (s, %) с действительными
характерами, которые находятся вблизи действительной оси, особенно
трудно.
§ 6. Действительные нули L-функций с действительными
характерами. Примитивные характеры
Теорема 6.1. При подходящем сх функция L(s, у), 12==Хо
имеет в области
самое большее один простой нуль.
Доказательство. Мы можем опять предположить, что %
так как L(s, Хо) в области а> 0 имеет те же нули, что и

§ 6. Нули L-функций 141
Пусть pj = рх и р2 = Р2 — Два действительных нуля функции
L(s, %), причем 1— 1/8<Pi<l» I— 1/8<P2<1- Положим
Рх ===== 1 — bj\n 2k, p2 = 1 — *2/1п 2k.
Мы должны доказать, что при подходящем с2, независимом от kt или
Ь\ > С2> или ^2 > С2- Если ао= 1 -\-aj\n2k, то при достаточно ма-
малом а можно применить теорему П. 4.5 с F(s) = L(s, %), so = ao,
r = l/2. Используя E.14) (для Е0 = 0) и E.19), мы получим из П. 4.11
+ ^(>п2А + 1п1) F.2)
Подставляя это вместе с E.34) в E.42), получим
lH. F.3)
Если мы положим 8 = 1/2, то получим далее
3 1. 1 , 1
2 а а -\-Ь\ ^^
и отсюда для достаточно малого а
Выберем а настолько малым, чтобы было
тогда F.4) представляет собой противоречие, как только тах(^1э Ь2)
достаточно мал, например, при max(^j, b2) ^ c5, где с5 не зависит
от k. Отсюда следует, что- два различных нуля не могут лежать
в области F.1), если только сх достаточно мало. Случай единствен-
единственного по крайней мере двукратного нуля Р (Pi == P2) исследуется ана-
аналогично. Вместо F.2) нужно применить неравенство
следующее из П. 4.10 при h = 2.
Существует ли для всех k область вида F.1) (с одной и той же кон-
константой), где L (s, х) ф 0 для всех действительных % по mod k, до сих пор
неизвестно. Мы докажем следующее утверждение: если в этой области
^ E> Xi) обращается в нуль, то имеется „много" %2> для которых L (s, %г)
там не обращается в нуль.
Для дальнейшего нам потребуется понятие эквивалентных харак-
характеров и понятие примитивного характера.
Пусть Х\ и Ъ — Два характера, и kx и k2 — соответствующие
модули. Для чисел я, взаимно простых с kx и k2, т. е. таких, что

142 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
(п, [kv k2]) = 1, где [kx, k2]— наименьшее общее кратное kx и k2, мы
имеем /л (п) ф О, 7.2 (;0 =? 0. Характеры Xi и %2 называются эквивалент-
эквивалентными, если
%\(п) = %2(п) ДЛЯ (Л' 1*1' *2l)=l F.5)
или, короче говоря, если Xi и -%2 равны для тех п, для которых оба
значения не равны нулю. Тогда функция, определенная равенствами
, ч f /л («) = Х2 (я), (л. [*!• *21) = 1 •
х(в) = 1 о, (».Iftl*,)>i (b-6)
представляет собой характер у по modi/?!, k2]. Легко проверить, что
основные свойства а), Ь), с) из § 2 для % (я) выполнены. В после-
последующем kx и &2 всегда будут натуральными числами. Если для
характера ух по mod kx имеется эквивалентный характер %2 по mod k2,
то говорят, что Xi определим по модулю k2 или, коротко, Xi опреде-
определим по mod k2. Характер у2 называют определяющим для Xi п0
mod k2> k2 — определяющим модулем Xi-
Тривиальным образом Xi само определимо по модулю kv В F.6) х (п)
есть определяющий характер для Xi (я) и %2 (я) по модулю [klt k2].
Лемма 6.1. Каждый характер %г по mod^! может опреде-
определяться по любому модулю, который кратен kx.
Доказательство. Пусть k2 такое кратное. Тогда
— характер по mod k2> так как условия а), Ь), с) из § 2 выполнены;
очевидно, Х2 эквивалентен Xi-
Лемма 6.2. Пусть k2\kx и (т, k2) — l. Тогда имеются такие
числа у, что
{m-\-k2y, kx)= 1. F.7)
Доказательство. Пусть k' — произведение всех простых
чисел, которые делят kv но не делят k2, и пусть (т\ kf)=\. Тогда
сравнение
т ~\~ k2y ^^.m' (mod kf)
разрешимо. Если у — решение, то
(m-\-k2yy kr)=z(m', kf)zz=\
и, с другой стороны,
по предположению.

§ 6. Нули L-функций 143
Следовательно, (т -} k2y, kx) = 1.
Лемма 6.3. Пусть k2\kv Для того чтобы характер %х по
^ был определим также по mod &2, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
%1(п) = 1 для всех п, я=== 1 (mod&2), (#> kx) = l, F.8)
Доказательство. Необходимость следует сейчас же. А именно,
если характер %2 п0 mod/г2 эквивалентен %i> то должно быть
%2(п) = %х(п) для всех п, удовлетворяющих F.8). Но с другой
стороны, для этих же самых п должно быть %2(я) = 1, так как
п== 1 (mod&2).
Наоборот, предположим, что имеет место F.8). Каждому т,
взаимно простому с k2, сопоставим значение %2(т)- Для этого опре-
определим у, как в лемме 6.2, и положим
F.9)
Это определение не зависит от выбора у. Действительно, пусть,
например, (w + ^i» *i) = (m + &2У2» k{)=l. Определим т при
помощи сравнения mm = 1 (mod k2); очевидно, что (т, k2) = 1 и
по лемме 6.2 имеется такое z, что (m~\-k2z< kx)=\. Тогда имеем
(m-f- k2y{) (т-{-k2z) =e= I (mod k2), и оба сомножителя взаимно просты
с kv Таким образом, если предположить, что F.8) справедливо, то
имеет место соотношение
X! (т + k2yx)X! (m"+ k2z) =
и также
Xi {гп + ?2У2) Xi (^
Так как
X! (да + М) ^ 0 ((т
то отсюда следует
Если положить %2(п) = 0 для (/г, k2) > 1, то с помощью равенства
F.9) характер по mod& определен полностью; для этого достаточно
доказать свойства а), Ь), с) из § 2. Свойство а) следует из того, что
из (m-{-k2y, ^j) = l получаем
Для доказательства Ь) допустим, например, тг ^ т2 (mod k2),
{mv k2) = (m2% ^2)=1. Определим т' из сравнения тхт*' = т2т'' =
^ 1 (mod k2)* а затем определим числа yv y2, z так, чтобы числа
Щ "Г" ^2^1' ^2 + ^2^2' т' + ^2^

144 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
были взаимно просты с kv Тогда из F.8) следует
Xi (Щ + hy\) Xi W + М) = Xi ((Щ + к2У\) О»' + k2z)) = 1
и также
Xi (Щ + hy-i) Xi {mf + k2z) = 1.
Итак мы получили Xi (Щ + &2У1) = Xi (Щ + ^гУг). т- е- Х2 (Щ) =
для tftj =/я2 (mod ^2)- Свойство с) следует при (т^г, ^2) = 1 из
равенства
Х2 (ЛЧ) Х2 (^2> = Xi {Щ + *2yi) Xi (^2 + к2Уг) =
= Xi (ЩЩ + h (У1ГП2 + y2^i -f ЛзУ^г)) = Х2 (ЩЩ)
(в очевидных обозначениях)!).
Лемма 6.4. Пусть Xi '^ mod/^ w X2 яо mod ^2 — два эквива-
эквивалентных характера, и пусть k/ = (k1, k2). Тогда имеют место
соотношения
Х1(п)=1 для n==\(modkf), (kv n)=l,
(b.lU)
Х2(п) = 1 для п=== 1 (mod k'), (я, k2) = 1
и Xi и Х2 могут определяться по
Доказательство. Пусть я= 1 (mod k'), например п= 1 ~\-mk'.
Так как kf — akl-\-bk2 (a, & — целые), то я = 1 + maftj-4-/и#А2.
Пусть теперь (п, kx)=\\ тогда 1+т^^2 взаимно просто с kx и k2
и по определению эквивалентности имеет место равенство
Также доказывается второе из соотношений F.10), и из леммы 6.3
следует утверждение доказываемой леммы.
Теорема 6.2. Все определяющие модули характера %
кратны единственному определяющему модулю &*, который
называют ведущим для %.
Доказательство. Пусть наименьший определяющий модуль &*
характера % больше единицы. Каждый другой определяющий модуль
кратен k*. В противном случае число (k, k*) было бы опять опреде-
определяющим модулем (по лемме 6.4) и имело бы (k, k*) < k*. (Мы вос-
воспользовались транзитивностью соотношения эквивалентности для
характеров.) Если наименьший определяющий модуль равен 1, то
теорема очевидна
Далее наименьший определяющий модуль будем обозначать через &*,
а характер, эквивалентный % по mod&*, — через %*. Имеется только
1) В случае {т^т.^ k2) > 1 это также очевидно.

§ 6. Нули L-функций 145
один такой характер по mod &*, эквивалентный %> так как никакие
два из ф(&*) характеров по mod k* для всех п не имеют одинаковых
значений (§ 2).
Пример. Пусть х — характер по mod б, причем %(п)=\, —1
для п =1,5 (mod 6). Здесь k* = 3 — ведущий модуль характера %>
а х* О) = 1, — 1 Для п = 1, 2 (mod 3).
Если характер х по mod k не определяется никаким модулем,
который делит k, то х называется примитивным характером. Тогда
имеем k* — k, %* = X- В частности, %*, всегда примитивный характер
(следовательно, х** = %*)- Таким образом каждому характеру сопоста-
сопоставляется единственный примитивный характер х*- Два эквивалентных
характера имеют один и тот же примитивный характер. Для данного
характера по каждому модулю имеется по крайней мере один экви-
эквивалентный характер. Множество п с %*(я)=?0, вообще говоря, шире
множеств п с %(п)фО. Первое из этих множеств есть наибольшее
множество, в которое функция %(п) может быть продолжена в опре-
определенном смысле без потери свойств характера.
Чтобы узнать о заданном характере, примитивный он или нет,
достаточно по лемме 6.3 проверить, существует ли для каждого d, d \k
хотя бы одно п, такое, что
/t==l(modrf), (л, А0 = 1, %(п)ф\.
Два примитивных характера или совпадают для всех я, или не
эквивалентны.
В частности, для каждого k главный характер /о им^ет ведущий
модуль &*=1 и %*(д)—1 для всех целых п,
Если х — действительный характер, то %* тоже действительный
характер; это следует, например, из F.9), так как характер %2 Должен
быть действительным, если %}—действительный характер.
Подробное представление о теории характеров можно получить,
например, из книги Хассе [1].
Теорема 6.3. Пусть % — характер mod k, модуль k* —веду-
—ведущий для х. и х* соответствующий примитивный характер mod k*.
Между L(s, x) u ?($• X*) существует соотношение
L (s, %*)= Д A - ^-f1 L (s, х). F.11)
р\ь,pi k*'
L(st %*) и L(s, x) имеют в полуплоскости о>0 одни и те же
нули 1).
Доказательство. Формула F.11) следует из того, что в раз-
разложении в произведение L(st /*) при р % k* все сомножители сов-
0 Если они там вообще имеются, что позднее (гл. VII) будет показано.

146 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
падают с соответствующими сомножителями в произведении для/.(s, %).
Upwp\k, р f k* шегм %* (р) Ф О, ЗС(/0 = О- в силу F.11) функции Z,(s, х)>
L(s, %*) для каждого s из области а> О или обе обращаются в нуль,
или обе отличны от нуля, так как \%*(p)/ps| = 1//?а < 1, и поэтому
при а> О всегда 1 — %*(p)!ps Ф О, оо. Также и кратность возмож-
возможного нуля одна и та же. Произведение в формуле F.11) можно рас-
распространить на все p\k, так как для p\k* имеем %*(/?) = 0. Следова-
Следовательно, имеет равенство
L(s, x) =
Р\
Теорема 6.4. Пусть х* и у^ — действительные характеры
по модулям k* и &*, причем %* Ф у?2. Тогда существует такая
константа се > 0, что в области
°>l-T^F7F> t==0 FЛЗ)
In ««
по крайней мере одна из функций L(s, %*), L(s, %*Л не обращается
в нуль.
Доказательство. Достаточно предположить, что %* Ф xj.
%*2 Ф Xq» где Хо—примитивный характер по modi, принадлежащий
всем главным характерам. Для х1 = Хо имеем L(s, x*)=CE) и
? (а) Ф 0 при о > 1 — с. с > 0 1).
Определим х* и х* п0 модулю k\k*2 = k и обозначим таким обра-
образом полученные характеры через Xi и Ъ- Очевидно, что k > 2 и
Xi^Xo' и г2Ф%0> ii^u для х2 ==х2 было бы ?;==&*, %* = г2.
Характеры Xi и %2 — действительные и Х1Х2Ф Хо» так как в противном
случае для любого п было бы Xi (л) — Ъ(п) = @, ±1). С помощью
теоремы 6.3 мы можем доказать утверждение для функций L(s, Xi)
и Z,(s, х2) вместо LE, х*) и ^E> %1)- ПРИ а> 1 имеет место соот-
соотношение •
77 (°
так как
*я = Хо (и) + Xi (я) + Ъ (я) + Xi (я) Х2 (я) =
0. (я,
') 0 < a < 1 (см ниже G.1)).

§ 6. Нули L-функций 147
Если теперь р1=р1 = 1—bjlnk и соответственно р2 = р2=1—
— b2/\nk— нули функций Z,(s, Xi) и L(s, %2), причем 1 — Vs < Pi*
р2 < 1 и о0= 1 -\-aj\nk, то, применяя теорему П. 4.5 также, как
в D.5.31), получаем для достаточно малого а
Re-^o Xi) = x(o0. ^>^p7-^(ln^ + ln4-)'
и и 1 / i\ FЛ5)
ReCO Х)
и 1 / i\
= Т"(^о. Ъ)>- з с lnft + ln— .
l oQ — р2 \ а )
При этом константа с может не быть одной и той же.
Так как Xi Ф Хо и Ъ Ф Хо» мы можем для оценки L (s, Xi)
и L(s, X2) в кРУге Н — aol^V2 опираться на формулу E.14)
при ?*0 = 0. Это же мы можем сделать при оценке L(s, X1X2)' по-
поскольку Х1Х2 Ф Хо- Из (П. 4.9) получим
Re-^(o-o> XiX2) = x(a0' X1X2) > — с (in Л -+¦ In 4") FЛ6)
опять для достаточно малого а. Подставим это вместе с F.15) и E.34)
в F.14). Тогда
или (при е = У2)
In— <0
для достаточно малого a. Можно уменьшить а, если это необхо-
необходимо, настолько, чтобы было
i _ * -L 4- — — Л 1 п 2 — с 1 п — > 0.
Теперь, как при доказательстве теоремы 6.1, получаем тах(&1} Ь2) > с7.
Теорема 6.5. Пусть Xi и %2 — действительные неэквива-
неэквивалентные характеры по модулям kx и k2- Тогда в области
по крайней мере одна из функций L(s, Xi) и L(s, X2) не обра-
обращается в нуль.
Доказательство. Утверждение следует, с одной стороны,
из теоремы 6.4, так как функции L(s, x*) и ?(s» X2) в области о> О
имеют те же нули, что L(s, Xi) и L(s, %2), а с другой стороны,
из неравенства kxk2 .> /г*/г*. Так как %х и х2 не эквивалентны, то выпол-
выполнено также условие xj Ф %1>

148 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Теорема 6.6. Пусть z — любое действительное число, 2 > 2.
Существует не зависящая от z константа с8 со следующим
свойством: для всех действительных % по модулям, не превос-
превосходящим z,
1(з,у>)Ф0, а>1-1^-) * = о. F.18)
возможно, за исключением тех действительных %, которые экви-
эквивалентны единственному не определенному более точно прими-
примитивному характеру %* = %*(?) по модулю k* = k* (zI).
Доказательство. Достаточно доказать, что 6.18 имеет место
для всех действительных примитивных характеров %* по модулям, не
превосходящим z, за исключением, быть может, одного. Если теперь
X*mod&*, X2m°d&2' ^*^z* Ь*2^2 — Два таких примитивных ха-
характера, то по теореме 6.4 при %* Ф %* в области
In kxk2
имеет нуль не более чем одна из функций L (s, %*). L(s, %*Л. Так
как In k*k*2 <;in z2 = 2 In 2, то то же самое имеет место при а^> 1 —
— с6/21пг, чем утверждение доказано для cb = -^-cQ.
Модули, для которых могут существовать такие действительные
характеры, для которых F.18) не выполняется, кратны единствен-
единственному модулю k* = k*(z).
Если теорема 6.6 выполняется с некоторым значением с8> то она,
очевидно, имеет место, если с8 заменить на меньшую константу.
Теорема 6.7. Пусть z^ko-\-l, где kQ — натуральное число.
При подходящем c = c(k0), не зависящем от z, в области
а>1— 4jj&*-, t = 0 F.19)
могут иметь нули только те из L-функций
L(s, X)» X по mod^, k-^z. F.20)
для которых ? = 0(mod?*), причем k* = k* (z) > k0. Все такие %
принадлежат к тому же самому х* по m°d k*.
Доказательство. По теореме 5.7 можно ограничиться дей-
действительными характерами, так как в силу неравенства k <; z в утверж-
утверждении можно заменить 2k на 2z. Для действительных характеров
*) Модуль k* зависит от z, так как для постоянного k* можно всегда
выбрать z настолько большим, что в области а>1—c8/ln z нет действи-
действительных нулей ни у какой функции L E, %)> где % — характер по mod k*
(теоремы 4.1 и 4.2). Следовательно, Л* (г)-> оо при z->oo.

§ 6. Нули L-функций 149
утверждение следует из теорем 6.6 и 4.2, и можно всегда выбрать
c=zc(k0), меньшее чем с8, настолько малым, что в области а^> 1 —
— ?(&о)/1п(А)+1)> t = Q ни одна из действительных L-функций по
модулям, не превосходящим kQ, не обращается в нуль. Так как
^С^, т0 же самое имеет место в области а^-1—c(ko)/\nz,
t
До сих пор не доказано, что в теоремах 6.4 и 6.5 выражение
„не больше одной" можно заменить на „никакая" и, следовательно, в
теоремах 6.6 и 6.7 все, что относится к %*(z), k*(z), можно опустить.
Теорема 6.8. Пусть k0 > 1 — целое. При подходящем с = с (k0)
не более чем одна из L-функций, которые образованы всеми ха-
характерами модуля k, имеет действительный нуль в области
и возможное исключение может появиться лишь при модулях,
больших &0.
Это следует из теоремы 6.7 с z = k.
Теорема 6.9. Существует константа с0 > 0 со следую-
следующими свойствами:
а) Для целого ^>1 б области1)
> «™б°е) F.22)
L(s, х)фО для всех % по mod&, за исключением, быть может,
L-функции, соответствующей действительному % по mod k, кото-
которая имеет там действительный нуль первого порядка Pj.
b) Для любого z^2 8 области
°>l— \nz{\t\+2) >T it —любое) F.23)
?(•?> X) =? 0 для 6сех X п0 модулям, не превосходящим z, зашключе-
нием, быть может, тех L(s, %), для которых % эквивалентно
одному и тому же примитивному характеру /,* = X* С-^) mod ^*,
*• = #•(*).
Если k0^ 1 — целое, то с помощью уменьшения с0 можно
добиться, чтобы в а) при k <^ k0 не было никаких исключений,
а в Ъ) было k*(z)>k0 при всех z^-2.
Доказательство получается применением теорем из § 5, 6 со
ссылкой на монотонность функции In х.
Теоремы, доказанные в § 5, 6 о нулях L-функций, принадлежат Грюн-
валю [1], Ландау [9], [10], Титчмаршу [2] и Пейджу [1]. Идея рассматривать
функции F.14) принадлежит, вероятно, Ландау [9].
l) In k 111 и In 2k заменяются на In k (\t \ 4- 2), чтобы охватить случаи
|П> 3 и 11К 3.

150 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии
Теперь мы будем применять теоремы о нулях ^-функций к асимп-
асимптотической оценке величины
я(х, ft, /)= S 1.
/><д-, /j as/(mod k)
Наши рассуждения будут аналогичны проведенным в гл. III, только
возможное существование в области F.22) „исключительных" нулей
приводит к некоторым осложнениям.
Обозначим через Xi возможно существующий исключительный
характер mod ft (ft ^>1), а через ft исключительный нуль L(s, Xi)
в области F.22). %i никогда не равно /о» так как из равенства1)
(l— 21-5)C(s)=l-2~5 + 3-5— + .... о>0 G.1)
следует, что (l—2]~а)С(а)>0, и поэтому ?(а) меньше нуля при
0 < а < 1. Отсюда видно, что L(s, Хо) < 0-
Существование Xi и ft зависит от с0. Именно, уменьшая с0, всегда
можно добиться того, чтобы для постоянного k не существовало
никаких исключительных характеров.
В гл. IV, а также в гл. VII, IX, X мы считаем константу с0 из
теоремы 6.9 заданной. Остальные константы в этой главе зависят,
вообще говоря, от с0.
Если нет исключительных характеров Xi и нулей ft, то во всех
равенствах нужно опустить члены, в которых встречаются Xi или ft,
Теорема 7.1. При подходящем сх > 0 и произвольном дей-
действительном числе t в области
имеют место оценки
?-(*, х) = О (In ft
4 ^ )), G.4)
+ O(ln*(^l + 2)) G>5)
Доказательство. Применим теорему П.4.6 в случае, когда
r = 1l2, s0 = а0-f- itx, tx — любое действительное число,. ао= 1-f-
-|-#/lnft( |^ |-(-2), причем пусть сначала 0 < а < 1/2 (позже а будет
1) Равенство G.1) позволяет, между прочим, очень просто получить
продолжение I (s) в область 0 < о < 1.

§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии 151
определено более точно). В круге \s — s0 | ^ 1/2 справедливы оценки
E.12) и E.14). Положим теперь в формулировке теоремы П.4.6
а) F(s)=L(s, х) при х^Хо» Xi.
б) F(s) = (s — l)L(s, Хо) ПРИ Х = Хо»
в) F(s) = L(s. Xi)/(« — Pi) при x = Xi-
В случае а) из E.12), E.14), E.19) следует оценка1)
Аналогично в случае б)
|s-so|<7» G.7)
причем константа с не зависит от k, tx и а и может иметь не всегда
одно и то же значение.
В случае в) мы возьмем с2 настолько малым, чтобы круг
\s — Pi |<*2
целиком лежал в полуплоскости V2 ^а- Это можно сделать ввиду
того, что 3/4<С Pi < 1. Например, можно взять с2 = V8. При| ^—рх |^-с2,
!/2<о из E.12), E.14), E.19) и 50 —p1 = O(|/1|-f-2) следует оценка
J-gLJ^Jg=|l2— О { Л"А СI * I -h 2IЛ СI *i 1-4- 2)-!" In Л СI *i 14-2)} . С7.8)
Так как функция, стоящая в левой части G.8), регулярна в круге
Is — Pi I ^ С2* т0 (^'8) имеет место в этом круге2), а следовательно,
всюду в полуплоскости !/2<Са и, в частности, в круге \s — s0 | <; 1/2>
Теперь применим теорему П.4.6 в случае rx = 2aj\nk{ \tx Ц-2).
Тогда очевидно, что при 0 < а < ах < 1/2> гх < -^г = х\ь и во всех
случаях а), б), в) ^(^^О в области
ъ> 1 ^а I I <^ ^
0 ^l~ \nk(\tl\+2) ' \S~ so\<J
(по теореме 6.9, так как в случае в) fix — нуль первого порядка),
как этого требует применение теоремы П.4.6. Фиксируем а так,
чтобы оно удовлетворяло этому условию. Из G.6), G.7) и G.8) сле-
следует, что во всех трех случаях, применяя теорему П.4.6, можно взять
\x\M<c\nk(\tl\-\-2).
О При |s —so|< V2 имеем О ([/1 +2) = О (| tx | +2).
2) По принципу максимума.

152 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
При \s — so\^l/2 в G.8) можно заменить t на tv Теперь мы не
будем больше отмечать особо зависимость константы с от фиксиро-
фиксированного выше а. Нужно еще проверить, выполнено ли соотношение
(П.4.12) во всех трех случаях. В случае а) из E.26) следует
(*) (* Х) ОAп*(|
В случае б) из E.26) и неравенства \ s0 — 1 | > а0— 1 = а/ln ft (| tx | -j- 2)
вытекает
Наконец, в случае в) из E.26) и неравенства \ s0 — Pi|^-<J0
> a/In ft (| tx | ¦+- 2) получаем
Поэтому во всех трех случаях теорема П.4.6 применима. Мы полу-
получаем оценки G.3), G.4) и G.5) сначала для s = a-{-#i» \о—%\<С
в области
При а > 1 + За/1п ft (\t |-f- 2) эти оценки следуют из формулы E.26),
имеющей место для любого характера.
Рассмотрим теперь при k ^ 1 для всех х по mod k функции
> Х)= 2 Х(я)Л(я) G.9)
и при /, взаимно простом с ft, функцию
. *. 0= 2 А (л), G.10)
которая при ft=l переходит в функцию г|)(д:). Согласно B.11),
имеет место равенство
*<* * /) S Х@*(^. X)* G.11)
X mod ft
Теорема 7.2. Если положить
1 при x = Xi»
п V. G.12)
mo имеет место соотношение
х) = Еох - Ех -^ + О {хе-<>v^), G.13)

§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии 153
которое равномерно при k ^ ехр (с4 |Лп х). (Определение Ео см.
в E.11).)
Доказательство, Применим теорему П.3.1 в случае
Согласно C.4), ап = О (\пп), и так как
— (<0 =
+0, G.14)
то можно взять а=1. Тогда при х =N -\-l/2> А/^1, Т > О,
#= 1 -f- 1/ln x, <ш=0 получаем формулу
b + iT
2 Х(л)Л(л) = -2^ J 4г^ X)^^ + 0(-f 1п2дг). G.15)
п<х Ъ-iT
Пусть Pv Р2 — точки I -\- l/lnx ± iT и Qlf Q2 — точки
1 c
Обозначим через Гг отрезок PjQj. через Г2—- отрезок кривой
о= 1 — c1/lnft( |/ | + 2), ведущий от С?! до Q2' через Г3—отрезок Q2P2,
и через С — замкнутый путь Fj +Г2-|-Гз + Р2Р1.
Сначала предположим, что х =^ Xi« Тогда на С нет ни одной осо-
особой точки подинтегральной функции. Аналогично выводу соотноше-
соотношения C.3.7) получаем
b+iT
*-w г,+г2+г3
Если потребовать, чтобы Г>2A/E—1) = ОA) при ^б^ + Гд),
то, согласно G.3) и G.4), имеет место оценка
Г l + 1/In* Л
T I (Г+2) J
lnftr). G.17)
Так как в силу G.2) а>-3/4 для всех $?Г2, то на Г2 имеем
1/(8- 1) — ОAп2Л) и l/js О {1/(|*|+1)}. Поэтому из G.3) и G.4)
следует
J Т"^1 X)-?•<*«= О (in JW J x1-

154 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Это есть
O(xl-c*/lnkTln2kT\ Г>2, G.18)
так как показатель в последнем интеграле имеет максимум
1 — сг/1п * (Г + 2)< 1 — с5/\п kT (T > 2).
Если положить In Т = У In x для достаточно большого х и принять
во внимание, что In k ^ c4 Y^nx> T° In AT = О (]/"ln лг) и порядок
величины всех остаточных членов при достаточно малом сь будет
равен О(д;ехр {—сГ)|Лпл;}). Тем самым утверждение теоремы при
ХФ%1 доказано,
Рассмотрим .случай х= Xi• Если для исключительного нуля plt
который может существовать, выполняется неравенство
то для
—l— = O(\n2k).
В этом случае используется формула G.5) и доказательство проте-
протекает так же, как при %Ф%\> только в правой части равенства G.16)
появляется член
Г l! x
Res ~ Т"E' Xl) Т I = ~ Т
В случае неравенства
Pl < 1~ 21п2А GЛ9)
мы проводим вокруг точки пересечения Г2 с действительной осью
о=1 — cjln 2k, t = 0 окружность радиуса 3/4 Cj/ln 2ife и заменяем
соответствующий кусок Г2 на кусок дуги окружности, проходящей
через точку а=1—ll4cl/\n2kt ^ = 0. Пусть Г2 — измененный таким
образом путь и С/ = Г1 +Г\, + Гз ^р2рх. Тогда имеют место соот-
соотношения
Res{ — -j-
Следовательно, как и раньше1),
ф (л:, х) = О
Естественно, что здесь ?0 = 0, так как Xi Ф Хо-

§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии 155
Из G.19) и неравенства 1 — сг/2 In 2k > Pj ^ 3Д ПРИ- * ^С ехР (С4 V^n x)
получаем
у^ = О (х1"^21п2*) = О (**-
Следовательно, равенство G.13) выполнено и в этом случае, если cz
достаточно мало. Отличие в том, что второй член правой части со-
содержится в этом случае в остаточном члене. Тем самым теорема 7.2
полностью доказана.
Из хода доказательства вытекает, что с4 в G.13) можно взять любым,,
но при увеличении с4, вообще говоря, с3 должно будет уменьшаться. Позд-
Позднее мы покажем, что теорему 7.2 можно существенно улучшить (гл. IX).
Теорема 7.3. Имеет место равенство
которое выполняется равномерно при ?^ехр(с1оу1пл;). Второй
член не равен нулю, если существует исключительный харак-
характер Xi no mod ^ и исключительный нуль §x = $x(k) соответствую-
соответствующей функции L(s, Xi)-
Доказательство. Из равенства G.11) и теоремы 7.2 сле-
следует, что
. А. /) = ^
)
г
Отсюда получается G.20), если принять во внимание определения
Ео> Ех и соотношение Xi = Xi > 2 * =ф(&).
х
Функция Их — „интегральный логарифм хи—определяется фор-
формулой
/1-е х\
Ид;=Пт \
е->0 V6j
Очевидно, что
И х =
2
Далее для любого натурального т с помощью интегрирования по
частям получаем
x \

156 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
G.23)
Лемма 7.1. Пусть равенство
У (*. А. О = ^щ + О [R (х, ft)} (х -> оо) G.24)
выполняется равномерно при k^a)(x), (k, /)=1, причем а(х)
обозначает любую неотрицательную функцию х. Будем предпо-
предполагать, что при х > х0, где х0 не зависит от k, функция
R(x, k)j\r\2х монотонно возрастает. Пусть далее при k^ay(x)
выполняется оценка х1^ = О (R (x, k)). Для фиксированных х
функция R(x, k) должна быть равномерно ограничена по k. Если
все эти условия выполнены, то имеет место равенство
которое выполняется равномерно при 1 <^ k
Доказательство. При любом k
_ у у 1- у
J^ ^J 1пл
так как (см. A.3.18))
Далее, согласно теореме П. 1.4 и равенству G.24), при
SA(/z) ___x ,
Inn ф(ЛIпа: "г
/ (d Л)
г, « ^/ (mod Л)
2
Интегрирование по частям дает
Ф (Л) J s In | '
2
f !</.!=* +0A)- ("A-
J ъ In | In* ' v y J In I

§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии 157
Далее в силу монотонности /?(лг, k)j\n2 х при х > х0 имеем
где константа в 0A) не зависит от k, так как /?(?, k) ограничена
при |^#о и А^-1. Если принять во внимание G.21), то полу-
получим G.25).
Теорема 7.4. Равенство
«(*• *• /)=ткИх+0(та-+хе"й/пп:) G-26)
выполняется равномерно при k <^ехр(с10 ]/1пл:).
Доказательство следует из теоремы 7.3 и леммы 7.1, если по-
положить
*<*• ^)=-да1г+^"9/^ G<27)
воспользоваться неравенством Р!^3/4 и несколько ухудшить остаточ-
остаточный член.
Теорема 7.5. Я/?# постоянном k
п (х, k, I) = -щ- И а; + О (х^-^ /пг^), G.28)
б частности,
Доказательство. По теореме 4.2 имеем1) р2 ^ 1—6,
6 = 6(?)>0. Следовательно, если k фиксировано, из G.26) по-
получаем
Отсюда вытекает равенство G.28), причем константа, естественно,
может зависеть от k.
При k = 1 получаем
я (X) = И х + О (хе~с /пг^) G.30)
!) Исключительный характер %г действителен, так как ^ = %0.

158 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
и отсюда, согласно G.21) и G.22),
Уже Гаусс заметил, что л (х) приближается функцией li x с ошибкой
меньшей, чем О (х/\пт х)у где т как угодно велико. Это доказывается с по-
помощью равенства G.30), так как х ехр {—с }Лп х) — О (.*:/lnm x) для любого
сколь угодно большого постоянного т.
В качестве приближения функции л (х) Лежандр рассматривал функцию
In x — В In x
и указал в качестве „наилучшего значения" В число 1,08... Из равен-
равенства G.30) следует, напротив, что В = 1 — лучшее значение. Это впервые
установил Чебышев [1], правда без соотношения G.30), которое тогда еще
не было известно и которое, как и теорема 7.5 (для фиксированного &),
было доказано впервые Валле-Пуссеном [2]. Более слабое утверждение G.29),
которое называется „теоремой о простых числах в арифметических прогрес-
прогрессиях", можно, как и теорему о простых числах в гл. III, доказать элемен-
элементарно, с помощью формулы, аналогичной равенству Сельберга F.1).
Для дальнейших применений мы докажем еще одну теорему.
Теорема 7.6. Равенство
я (х, k, I) = —r^i A + О (т^—\ ) G.32)
V У m (Ь) In X \ ' V In X ) I К '
выполняется равномерно при k ^exp(cn ]/ln x)\ исключение могут
составить те k, которые кратны некоторому k* = k*(x)> I1).
Доказательство. По теореме 6.7 в случае ko=l, z =
= exp(cn ]/ln x) получим
fe G-33)
для каждого возможного исключительного нуля plt который появ-
появляется при модуле &^=0(mod&*) (k* > 1). (Напомним, что так как со
фиксировано, то исключительный нуль mod k существует только
тогда, когда Z. (рг, х) = 0 для % по mod& и для $г ^ 1—co/\n2k.)
Неравенство G.33) дает нам
*Pl = О(х ехр (— с12 yWx) )
и остаточный член в G.26) заменяется здесь на 0{хехр(—с "^ln x)}>
чем утверждение теоремы доказано.
Результаты этого параграфа, которые относятся к k, растущему вместе
с х, принадлежат Титчмаршу [2] и Пейджу [1].
1) Число 1, естественно, можно заменить на любое постоянное число, но
для применений целесообразно зафиксировать его.

§ 8. Теорема 3 иге ля 159
§ 8. Теорема Зигеля
Теоремы § б не полны в том отношении, что мы до сих пор
не знаем ни одной функции 6 = 6(&)>0, которая устроена так,
что в области
а> 1—6F), / = 0
ни одна из ^-функций, образованных характерами % по mod?, не
обращается в нуль. Из теорем 4.1 и 4.2 следует только, что такая
положительная функция всегда должна существовать.
1
Пейдж [1] доказал, что b(k) = c/k2 \n k — такая функция. Мы
докажем здесь глубокий результат Зигеля [1] о том, что для любого
е>0 можно взять 6(&) — c(e)lkE, причем с (г) — положительная кон-
константа. Правда, нужно заметить, что известные до сих пор доказа-
доказательства теоремы Зигеля „не эффективны" в том смысле, что они
при достаточно малом г не позволяют вычислить константу с (г). Для
доказательства теоремы нам потребуется несколько лемм.
Лемма 8.1. При всех k^-l и %ф%0 имеет место соот-
соотношение
L(U x) = O(ln2ft). (8.1)
Доказательство следует из соотношения E.15), справедливого
при s=l, где при %?=Хо второй член правой части обращается
в нуль.
Лемма 8.2. В области
°>1> k>l
при %Ф%$ имеет место соотношение
Г (а, х) = ОAп22&), (8.3)
Доказательство. При а>1
Из теоремы П. 1.4 при Xi = k, x—>оо и а>1 следует
-L'(s. X)= ? ^n«-fc(?)dili, (8.4)
n<k k
причем мы положили С(?)= 2 Х(/0- Согласно C.6),

160
Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Поэтому при а > 0 интеграл
абсолютно сходится, и (8.4) справедливо также в полуплоскости а > 0.
Далее при а^> 1 —c1/\n2k ^1/2 имеем
2
2
n<k
так как
(8'5)
Лемма 8.3. Пусть iv %2 — ^ва действительных характера1)
по mod&j, k2, a X1X2 — произведение характеров %1 и ^2» опре-
определенное по модулю kxk2. Тогда при о > 1 имеет место ра-
равенство
венство
F (s) =
s,
XiX2) =
(8.6)
где Ьг = \ и ?я>0, л=1, 2, 3, ...
Доказательство проводится так же, как доказательство леммы 4.1,
и поэтому мы его проводить не будем2).
Лемма 8.4. Пусть Xi» %2 — действительные примитивные
характеры по д
&!>2, /г2>2).
формулой (8.6),
области 1—
р
mod kv k2 и %гФ Х2> Xi» Ъ ^ Хо (следовательно,
обозначает функцию, определенную
подходящих с2, с3, причем
, X1X2).
(8-7)
(8.8)
J) В этом параграфе мы откажемся от соглашения, что через Xi обозна-
обозначается исключительный характер.
2) Вообще всегда можно произведение П L (s, у), образованное по муль-
мультипликативным группам характеров, представить рядом Дирихле с неотри-
неотрицательными коэффициентами. Функции D.9), соответственно (8.6), по суще-
существу g-функции Дедекинда квадратичного, соответственно биквадратичного,
числового поля, см. Хассе [1].

§ 8. Теорема Зигеля 161
Доказательство. Произведение Х1Х2 не может быть главным
характером по mod kxk2, так как Xi =? %2- Следовательно, функция
L(st Х1Х2) регулярна в полуплоскости а > 0. Поэтому там регулярна
также функция F(s)t за исключением простого полюса при s=l
с вычетом, равным X. Следовательно, функция
-j^rT (8.9)
всюду регулярна в полуплоскости а > 0. Разложим ее в окрестности
точки s = 2 в степенной ряд, так же как в теореме П.2.4. При
и по лемме 8.3
= 2 атB — s)>", flm>0, во>1. \s — 2|<l, (8.10)
0
X)B-s)m, |s —2|<1. (8.11)
Так как g(s) регулярна в полуплоскости а > 0, то равен-
равенство (8.11) справедливо также в круге Is — 2 I <^ 3/2. Далее при
|2| з/
-±-
и в силу равенства E.14)
так как Xi» Ъ и Х1Х2 отличны от главного характера. Кроме того,
согласно E.14),
В итоге получаем
g(s) = O{(k1k2f] (8.12)
для |s — 21 = 3/2 и отсюда по принципу максимума в круге
\s — 2|<3/2.
Из формул (8.11), (8.12), оценивая коэффициенты по Коши,
получим
D)т^ » = 0, 1. 2, .... (8.13)
Выберем теперь с6 так, чтобы 2 — A — с6) = 1 -}- с6 < 3/2 (с6 < 1/2),
т. е. а = A+с6J/3< 1. Тогда при 1 — ?6<а< 1 ввиду неравенств

162 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
(8.13), (8.10) и ао>1 получим
< М т> М
/С) rt\M 1
(8-14)
Теперь выберем Ж настолько большим, чтобы последний член стал
меньше 1/2 для всех kx^>>2, k2^>2. Этого можно добиться, полагая
M = c7\nklk2 с подходящей константой с7, зависящей от а. Далее
в области 1 — с6 ^ а < 1 имеет место оценка
B — о)м = ехр {/И InB — о)} < exp {^ln/e^. c8(l —а)},
из которой следует утверждение леммы при cs = cQ, с2==с1сд).
Теорема 8.1. Для любого е>0 а для каждого действи-
действительного характера % при &>/го(е) имеет место соотношение
%)ф0, а> 1- ^"е.
Доказательство. Достаточно доказать теорему для прими-
примитивного характера % Ф %о-
Применим лемму 8.4. Пусть Xi и %2 — характеры вида, рассмот-
рассмотренного в лемме, и L(ov ^^ = 0 для ог из области 1 —
Из (8.7) ввиду F(o1) = 0 следует
и поэтому
>4(l-o1)(M2)"'2A"(T')- (8-15)
По лемме 8.1 для любого е>0 при &1
Подставляя это в верхнее неравенство при /г1/г2>^(е), получим
^^2A"а1)"8. (8.16)
так как в силу D.11) при %Фхо всегда Z,(l, %) > 0.
Пусть 1—о1^с9г, где с9 будет точнее определено ниже. Тогда
из (8.16) следует
4еA + ^) (8.17)
Если положим теперь с9—1/с2 и выберем k2 настолько большим,
чтобы
•g-O—oi) *!-*>* а"8.

§ 8. Теорема 3 иге ля 163
например, ft2 > /г2 (е, fti), то из (8.17) при k\k2 > ft(e), ft2 > к2(г, fti)
следует оценка
/-О. Х2)>?2~3е. (8.18)
Поэтому, если имеется характер Xi no mod ftls для которого L(ox, fa) —О
при Gj из области 1—с9е<^о1<. I, то из (8.18) при
ft > max (*2 (e, fti), ft (e)/fti) = й'(е)
следует
i(l. X)>^?- (8.19)
Теперь при 1—ft" 8<Jg<C1 по теореме о среднем значении полу-
получается
L(o, y) = L(\, X)_(i_0)Z/(a. x).
где a<;a^ 1 и ft > ft"(e). Отсюда по лемме 8.2 и из (8.19) заклю-
заключаем, что
если ft остается больше некоторой величины, зависящей от 8. Тем
самым, если в области 1—с9г^а^\ имеется нуль какой-нибудь
^-функции по какому-нибудь модулю kv утверждение теоремы дока-
доказано с 4е вместо 8. Если же в этой области все L (s, %) не равны
нулю, то утверждение теоремы следует из того, что
с9г > ft"8,
если ft больше некоторого числа, зависящего от 8.
Теорема 8.2. Для любого & > 0, ft ^ 1 а для каждого
действительного характера х
Цо.уОФО при а>1— i^-, (8.20)
где с (г) обозначает константу, зависящую только от 8.
Доказательство сразу же следует из теоремы 8.1 и из того, что
. X) =? 0 по теореме 4.2 !).
Теорема 8.3. Пусть Л — с/солб угодно большое положи-
положительное число. Тогда имеет место оценка
л(х, ft, /) = —L-н x + ^(^^"Clo/llri')» x->oo, (8.21)
равномерная при 1 < ft < 1пл х, (/, ft) = 1.
константы в (8.21) зависят от А.
1) Теоремы 8.1 и 8.2, очевидно, эквивалентны, так как е> 0 — любое,

164 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
Доказательство. Из теоремы 8.2 следует, что для Pj—
исключительного нуля L-функций по модулям, не превосходящим
1пл х, при любом ? > 0 выполняется неравенство
Если мы положим ? = 1/2Л, то
х& = О (xe~c
с константой с, зависящей от А. Отсюда, согласно G.26), следует
утверждение теоремы.
Теорема 8.3 до сегодняшнего дня является лучшей среди утверж-
утверждений относительно равенства
A+0A)) (8-22)
которое справедливо равномерно для всех k, меньших некоторой
величины, растущей вместе с х 1).
Приведенное выше доказательство теоремы Зигеля принадлежит Эстер-
ману [2].
Эта теорема дает также сведения о числе классов квадратичных форм.
Рассмотрим отрицательный фундаментальный дискриминант — k и число h (k)
классов квадратичных форм с этим дискриминантом. Тогда
(8-23)
, a I ) — символ Кронекера (см., например, Хассе
[1]). Символ Кронекера — действительный характер по mod k\ можно пока-
показать, что он является примитивным характером по mod k. Если мы положим
то
h(k) = ZJLL(\, X). (8.24)
Гекке впервые доказал (доказательство Гекке см. у Ландау [10]), что из
L (а, %) Ф 0 в области а > 1 — а/\п k (например, при k > 2) следовало бы
^p 4A. Х)>^Т- (8-25)
При этом а достаточно мало и не зависит от k, а с (а) зависит только от а.
Это можно получить следующим образом. Совершенно так же, как в (8.7),
Следовательно, без всякого исключения.

Задачи к главе IV 165
можно доказать, что при 0 < 1 —а<; сп и любом действительном характере %
по mod k имеет место оценка
I (a) L (а, х) > \ - "TZ^r **" ^ (8<26)
Нужно только там вместо F (s) рассмотреть функции ? E) Z, E, х)- Если те-
теперь Z, (а, х) ?= О в области 1 — a/In k <; а < 1, то там же ? (a) L (а, х) < О,
так как
и L A, х) > 0- Из (8.26) при а = 1 — а/In & следует неравенство
О > у-с (а) 1A. ХIпЛ
и, таким образом, неравенство (8.25).
Соотношения
Игл Л (Л) = оо и jim L A, х) V^ = оо (8.27)
справедливы, если в области а > 1/2 какая-нибудь из функций L (s, х)> X п0
mod k обращается в нуль. Этого факта достаточно для доказательства (8.27I)
по теореме Гекке. При доказательстве, как и в теореме 8.1, используется то,
что из L (a, Xi) — 0 вблизи а = 1 следует, что Z. A, %2) велико, если %2 —
характер по достаточно большому модулю k2. Теорема Зигеля 8.2 дает
больше, чем результат Хейльбронна (8.27), а именно оценку
h(k)> с (е) k* ,
поскольку из (8.26) и Цо) L (а, х) < 0 в области 1 — с (е) k"e < о < 1 при
а = 1 — с(е)&~8 следует неравенство
с (г)
0>±-c(e)keL(l, х), HI x)>
Об элементарном доказательстве (8.27) см. Линник [5]. В теории простых
чисел теорема Зигеля впервые применялась Вальфишем [1].
Задачи к главе IV
1. Пусть /?-~простое, х~характер по mod/?, число а—целое и
Л2
/1-1
Доказать, что имеют место равенства \Sa(p)\ = Yp ПРИ (я» /?) = 1 и
Равенства (8.27) предполагались уже Гауссом.

166 Гл. IV. Простые числа в арифметической прогрессии
2. Пусть Ж, /V — целые, 0<С М < N < /?. Доказать, что для
любого неглавного характера % по mod p имеет место оценка1)
< Yp In/?.
3. Число п, как известно, только тогда представляется в виде
суммы двух квадратов, когда каждый простой сомножитель .вида
4п~{-3 встречается в п в четной степени. Докажите, что число
чисел такого вида, меньших х, эквивалентно bx/Yinx, где #—-неко-
#—-некоторая положительная константа2).
4. Пусть Л (х) означает число тех п, не превосходящих х, для
которых все простые сомножители принадлежат прогрессиям
km-\-lXi . . ., km~\-lr (
Докажите, что3)
5. Перенесите варианты доказательств теоремы о простых числах
из задач к гл. III на случай теоремы о простых числах для ариф-
арифметической прогрессии.
!) Пойя [1], Виноградов [1].
2) Ландау [5], т. 2.
3) Титчмарш [2].

Глава V
РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Введение
Здесь будут изложены некоторые применения наших результатов,
в первую очередь полученных в гл. II.
Пусть х обозначает достаточно большое положительное число, и
равенства, в которых встречается х, имеют место, возможно, только
для достаточно большого х (каждый раз особо это напоминаться не
будет). Пусть далее 8 — произвольно малое положительное число.
Насколько велико должно быть.л;, чтобы было справедливо равен-
равенство, в котором встречаются е и х, зависит, вообще говоря, от 8.
Буквами /, j, к, /, т, п, г, s, z в этой главе будут обозначаться
натуральные числа, р и q обозначают простые числа, N (z\ В), как
и в гл. II,— число чисел, которые удовлетворяют условию В. Через
v{n) обозначим число различных простых делителей числа п.
§ 2. О простых числах в арифметической прогрессии
В данной арифметической прогрессии
kn-\-U 0</<? (л = 0, 1, 2, ...)
только тогда может встретиться бесконечно много простых чисел,
когда (k, I) = 1. С помощью метода решета можно указать верхнюю
оценку количества я (л:, k, l) простых чисел в этой прогрессии,
которые не превосходят х. Из теоремы 2.4.1 следует
Теорема 2.1 1) Пусть О < а < 1 и
1 <?<•*:*. B.1)
Тогда существует константа С = С(а), такая, что
для всех /, удовлетворяющих условиям (/, k)=l, 0<;/<&.
Значение этой оценки состоит в том, что она справедлива для
любого k, которое лежит в области B.1) с одной и той же констан-
константой С. Оценка снизу, аналогичная теореме 2.1, до сих пор неизве-
Титчмарш [2].

168 Гл. V. Различные применения
стна (см. гл. IV). Однако мы покажем, что по крайней мере „в конеч-
конечной части" всех простых классов вычетов по mod k должно нахо-
находиться „много" простых чисел.
Теорема 2.2. При предположениях теоремы 2.1 для каж-
каждого k и подходящих сх и с2 (не зависящих от х и k) имеется
больше чем cxq> (k) различных значений /, для которых
Доказательство. Пусть с2 — положительная константа, мень-
меньшая 1. Простые классы вычетов по mod k, из которых каждый содер-
содержит меньше чем с2х/(р (k) In x простых чисел, не превосходящих х>
вместе содержат меньше чем
с* Ф (Л) in х = °2 "ШТ
таких простых чисел. Так как с2<. 1, то остальные простые классы
вычетов по mod k по теореме о простых числах содержат больше
чем
простых чисел, не превосходящих х при любом е > 0(х > хо(е)).
Член In ft/In 2 = ОAплг) происходит от простых делителей числа k,
которые не содержатся ни в каком из простых классов вычетов
по mod k. По теореме 2.1 в каждом классе вычетов mod& имеется
не более чем Cxjq(k)\nx простых чисел, не превосходящих х. Сле-
Следовательно (по принципу Дирихле), должно существовать не меньше
чем
классов вычетов по mod k> каждый из которых содержит не меньше
чем c2xj^>(k)\nx простых чисел, не превосходящих х; при этом с2
выбиралось так, что 2е < 1 — с2. Тем самым утверждение теоремы
доказано.
Для констант с{ и С из доказательства следует, что сх < 1/С Можно
также дать оценку снизу для большего числа классов вычетов, если огра-
ограничиться в определенном смысле „конечной долей" всех модулей k^a
Теорема 2.3 *). Пусть k^xa, 0<а<1. Тогда для каж-
каждого Ь, 0<?< 1, найдется такое п, что в каждом разложении
k = kxk2 ... kn, (ft,, kj) = l AФЛ.
Эрдёш [1J.

§ 2. О простых числах в арифметической прогрессии 169
имеется kr A <><;я), удовлетворяющее при некотором c3 = cz(b)
неравенству
*'• ^>«»-??ОТ7 B-4)
не меньше, чем для bcp(kr) различных классов вычетов lmodkr
Доказательство. Пусть k разлагается указанным образом
на п попарно взаимно простых сомножителей kv kv . . ., kn% причем
я^>1. Ниже на п будут введены новые ограничения. Для каждого
/=1, 2, ..., п мы разделим простые классы вычетов по mod^
на две группы и обозначим классы вычетов первой и второй группы
соответственно через г'{ и г".. В первой группе находятся классы вы-
вычетов r'v для которых
константа с3 потом будет определена точнее. Во второй группе на-
находятся такие классы вычетов г"г что
Для каждого
я(*. kr r't)K<p{kt) • с, ~
Следовательно,
S 2(*'^г;)<сз«ТНТ- B.5)
Предположим теперь, что для каждого /=1, 2, .... п выполняется
неравенство
и покажем, что при достаточно малом с3 и достаточна большом п
это приводит к противоречию.
По известным теоремам о решениях сравнений по составным
модулям, так как kt попарно взаимно просты, из B.6) следует, что
2 К П
г mod k \<i<n
z==r] (mod ?^A <*</*)
При этом суммирование должно распространяться на все z,
Q<Cz<k> Для которых (z> k) = l и z no каждому модулю k%

170 Гл. V. Различные применения
A=1, 2, ..., п) сравнимо с каким-нибудь rj. Теорема 2.1 теперь
дает
z mod &
Каждое простое число, не превосходящее х, или принадлежит мно-
множеству простых чисел, для которых выполняются оценки B.5) и B.7),
или делит k. Справедлива оценка
К-}?§• = О (In*).
Это дает совместно с B.5) и B.7) неравенство
п W < с*п ш + а" ТйТ + °Aп *>'
Если взять с3 настолько малым и п настолько большим, что
с3п-\-СЬп < 1, то это противоречит теореме о простых числах. Сле-
Следовательно, в этом случае неравенство B.6) не может быть верным
для всех / (/= 1, 2, . . ., п). Поэтому для некоторых / должно быть
не меньше чем 6<р(АЛ различных классов вычетов rj. Этим тео-
теорема 2.3 доказана.
§ 3. О числах вида р,+р2
Пусть рх и /?2 — нечетные простые числа. Числа п, которые пред-
представляются в виде суммы
n = Pi + p2, C.1)
тогда обязательно четные. Покажем теперь, что эти числа имеют по-
положительную (асимптотическую) плотность. Говорят, что некоторое
множество натуральных чисел имеет положительную плотность, если
число чисел этого множества, которые не превосходят х, всегда
больше чем сх при некоторой положительной константе с.
Теорема 3.1 ]). Справедливо неравенство
N(п < х\ п = рх + р2) > сх. C.2)
]) Шнирельман [1]. Там также доказывается утверждение: если множе-
множество чисел имеет положительную плотность, то каждое число можно пред-
представить в виде суммы постоянного числа слагаемых из этого множества;
откуда следует, что каждое достаточно большое натуральное число пред-
ставимо в виде суммы постоянного числа простых чисел-

§ 3. О числах вида р\ + р2 171
Доказательство. Пусть
р\ р^х p<X
Согласно A.3.18),
N [Р\> Pi < ¦§¦ x) = я ( 2" x)
Аналогичное неравенство верно и для /?2, Рг^-о"-^- При /г = /72 —|— /72,
/?1<^~2"х» /72^С'о'х' неравенство п^х очевидно. Следовательно,
Используем теперь теорему 2.4.8, которая утверждает, что многие
суммы Pi~\-p2 не могут быть равными. Поэтому из п^.х следует
C-5>
где
p\n d\n, \i2 (d) = l
Оказывается, что
2 g2(n)<c3x. C.6)
Действительно из A.5.24) и A.5.22) получаем
л < Jf р\п п^х р\п т <-г, p.2(s«w) = 1
и отсюда вытекает C.6), потому что ввиду A.5.7) для чисел w, сво-
свободных от квадратов, 2v(rn)=d(m) = О(те), и значит
1 <т < оо
Пусть с4 — некоторая положительная константа. Тогда из C.5) сле-
следует оценка
л < дг, g- (л) > ск
а из C.6)
, g(n)> с< п<х, g(n)> Ci

172 Гл. V. Различные применения
Таким образом,
2
л < х, g (л) >
Выберем с4 настолько большим, чтобы c2c3fcA < ^. Тогда из C.4) и
C.8) следует
п<х, #(я)
Для тех д, для которых g(ri)^c4, из C.5) получим
Вместе с этим C.9) дает
Следовательно,
i)>0
и неравенство C.2) доказано.
Несколько проще получить C.2) с помощью неравенства Шварца. Со-
Согласно C.4), C.5) и C.6), имеем
1 1
2 /(*)<{
1 п
Zj • 1 I ся т-2~ (сз-^J ¦ (ЗЛО)
Jmd AП2Л:Х V У
л < j»t, / (л) > О J
Отсюда опять следует C.2).
Если бы для всех п всегда было g (n) < с, то доказательство можно
было получить гораздо проще. Тогда было бы /(п) < сх/\п2 х при п^х
и из C.4) следовало бы по принципу Дирихле
х х*
С In2 х > Cl In2 х *
п<х,
Поэтому

§ 3. О числах вида р\ + р2 173
Но функция g (п) не ограничена. Действительно, при п = р{р2 ... рг (через pi
обозначено 1-е простое число) по теореме 1.5.5 и формуле A.4.1), так как
1< 6 (рт) < срп имеет место оценка
Р<РГ ' Р<РГ
> с In pr > с In2 n. C.11)
Следовательно функция g (n) не ограничена, и нужно оценить „разброс"
2j ^2 (л)» чтобы показать, что не слишком велика сумма 2 ?" (л)» Рас"
< <
пространенная на те п, для которых ^ (п) > с4.
Из C.4) сразу же следует, что существуют числа п-^х, которые
могут быть представлены в виде суммы двух простых чисел, не пре-
превосходящих х, более чем ^.xr/ln2x способами. Действительно, со-
согласно C.4), для каждого п^.х не может выполняться неравенство
/ (п) ^^Jt/ln2 х (см. также задачу 1).
Теорема 3.2 ]). Существует бесконечно много чисел /г, кото-
которые представляются в виде суммы двух простых чисел больше чем
п C.12)
способами (причем с — константа, не зависящая от /гJ).
Доказательство. В силу теоремы 4.7.6 существует такая
константа сб, что
для всех k <; ехр (сб У In x ), за исключением, быть может, кратных
k* = k*(x), &* > 1. Положим теперь
= П_
РфРо
с6),
где Ро = Ро(х)— любое простое число, содержащееся в &*; условие
р ф pQ нужно опустить, если не существует ни одного k*. Тогда
имеем k* >( k и, так как 0(х)~ х,
In k < 0 (с7 УТгПх7) < с6 УиГх.
Отсюда следует соотношение C.13). Пусть теперь 0<^/ < k, (/, k) = 1.
1) Прахар [2].
2) Это показывает ввиду оценки g (п) = JJ A -[- 1/р) < с/г/ф (п) < In2 n
р\п
(теорема 1.5.1), что верхняя граница в C.5) достигается в основном для
бесконечно многих п с „большим" значением функции g (n).

174 Гл. V. Различные применения
Тогда в силу C.13) выполняется неравенство
х
л О*, А, /) > 2
1, также нерав
л (х, k, — /) >
2ф (k) In x
и, так как (—/, k)=l, также неравенство
х
(k) In
Поэтому имеет место оценка
N(Pi. Ръ Pi<*. Р2<*> P\^l> P2^— / 4ф(^
C.14)
Для каждой такой пары plf /?2 выполняется сравнение
и /
В итоге получается ф(&) возможностей для выбора / и, так как для
различных значений / соответствующие пары pv p2 различны,
N(pv Ръ Pi<*> Р2<** Р\ + Р2 = Ъ (mod k)) > 4ф ^ 1д2 х. C.15)
Если положить
f(n) = N(pv р2) Р!<аг, р2
то из C.15) следует
2 /w>i^wr- с3-16)
я = 0 (mod /г)
Поскольку
<
/г=0 (mod /г)
то из C.16) следует, что существует такая функция /(/г), что
X2 I X X k
/3
(ЗЛ7)
Теперь имеет место неравенство
Неравенство ро^2 равносильно 1 — l/Po^-72- Поэтому из C.17)
получаем, что для достаточно большого х имеются числа n-^2xt
которые представимы в виде суммы двух простых чисел больше чем

§ 4. Разность между соседними простыми числами 175
способами. Таким образом, теорема 3.2 доказана. Кроме того, можно
утверждать, что таких п должно существовать бесконечно много, так
как левая часть неравенства при п->оо тоже стремится к бесконеч-
бесконечности, а фиксированное число допускает только конечное число
представлений.
§ 4. Разность между соседними простыми числами
Пусть в этом параграфе pt всегда обозначает 1-е простое число
и Pi < Pi < • • • < Рг ^С х—простые числа, не превосходящие х и рас-
расположенные в порядке возрастания. Обозначим также dt = pi—pi_l1
l^l<Cr и d\ = P\- ^° теореме о простых числах
Аналогично по той же теореме между A—г)х и х всегда должно
лежать простое число, так как имеют место соотношения1)
п (х) — л (A — 6) х) ~ -г^ . {\~г\х ~.
v } 4V } } In х In (I — г) х \пх
Таким образом, из рт ^х < рг+1 следует
(l-e)x< 2 <*i = />
Отсюда сейчас же получаем оценку
D'3)
Выберем теперь сх настолько большим и 8 настолько малым, чтобы
величина A—е)— \jcl=c2 стала больше нуля. Тогда по теореме
о простых числах
<x\ di<cl\nx)>c2-[?7. D.4)
Следовательно, приращения dt, которые образованы простыми числами
Pi^x, дают „конечную (т. е. не бесконечно малую) часть" всех
приращений, меньших cl\nx.
Теорема 4.12). При подходящих константах с3 и сА суще-
существует больше чем с3\пх различных приращений dt < с4\пх,
которые образованы простыми числами pt <J x.
Доказательство. Пусть
1) См. также гл. I, задача 4.
2) Кнёдель [1], Прахар [1].

176 Гл. V. Различные применения
По теоремам 2.4.4 и 1.5.5
p\n
Из этой формулы, формулы D.4) и неравенства Шварца получаем
Таким образом, из C.6) следует неравенство
2 1 > с In at. D.5)
п <сх \пх
/ (л) > О
Теорему 4.1 можно переформулировать так: числа п, которые предста-
вляются в виде разности двух соседних простых чисел, имеют положитель-
положительную (асимптотическую) плотность. Если положить N = [c^lnx], то фор-
формула D.5) говорит, что число чисел л, не превосходящих N и представимых
в виде разности соседних простых чисел, больше чем c7N.
Согласно одной старой гипотезе!), существует бесконечно много
номеров /, для которых dl==pl — р^1 = 2. Числа pt и р(^х назы-
называются тогда простыми близнецами. Если это до сих пор недоказан-
недоказанное предположение правильно, то
До сих пор доказано только гораздо менее содержательное соотно-
соотношение \imdil\npi^a < 1. Сначала докажем следующую простую
теорему.
Теорема 4.2. Имеет место неравенство
D.6)
Доказательство. Если это не так, то существует такое число
-Д > 1, что при l > 10 выполняется неравенство dt^> A\npt. Отсюда
следует, что
2 <*/= 2 **+ 2 rf/ = 2o+2i- D-7)
Но 2о = 0О)» и из 9 (х) = х -f* о W вытекает
Гольдбах, 1742 г.

§ 4. Разность между соседними простыми числами 177
Подставляя это в D.7), получаем соотношение
которое противоречит неравенству D.2). Тем самым теорема доказана.
Теорема 4.31). Существует такая константа а, 0<а< 1,
что
^<а< 1 (/-*оо). D.8)
Доказательство. Достаточно доказать, что существует число р{,
удовлетворяющее условиям
для всех достаточно больших х. Для такого рг выполняются соот-
соотношения
с а < о! < 1. Имеет место оценка
(|), D.9)
у X < р1 < X
так как по теореме о простых числах между (у — е)лг и -^х
должно лежать по крайней мере одно простое число. Теперь нужно
показать, что оценка D.9) невозможна, если всегда ^>а1плг, при-
причем #<1 будет в дальнейшем определено точнее. Предположим,
что ^>alnx при -тух < р}^х, и положим
М = Л/ f pt; у х < р{ <; х, a In лг < ^ < Л In л:),
где Л > 1 (величина Л позже будет определена более точно). Тогда
s=
2
^.<Л In*
= | я (x) — я A x j 1 Л In л; — Ж (Л — a) In *. D.10)
0 Эрдёш [5].

178 Гл. V. Различные применения
Из теоремы 2.4.4 следует, как и при доказательстве теоремы 4.1, что
и отсюда
a In x < п К Л In x alnx<n*?A\nx
Теперь, если предположить Л < 2, принимая во внимание C,5), имеем
2 *<»>< 2
п <
d\n
1 ( (А — а)\пх
{
a lax < n<A In x a Inx < /г<Л In л:
d\n
d<Alnx
где с7 не зависит от а, А (x>xo(a, Л)). Это дает оценку
M <Г Сс, (А — а) 1— (Со = с,с7).
Подставляя ее в D.10), получаем
Можно так выбрать величины а и Л, соблюдая условия а < 1 <
< Л < 2, чтобы для малого 8 выполнялось неравенство
у — е) Л — ?8(Л —аJ>-^+е.
Это противоречит предположению D.9) и тем самым доказывает
теорему.
Основная идея доказательства неравенства D.8) следующая. Рассматри-
Рассматривают приращения d-t простых чисел из интервала -^ х < р. < х. Должны
всегда существовать „малые" приращения (d-t < a In x), так как в противном
случае сумма всех dt была бы слишком большой, а согласно теореме 2.4.4,
не может быть слишком много приращений d-t, таких, что a In х < d-t <; A In x\
следовательно, все другие приращения dt тогда были бы больше A In x

§ 5. Большие приращения соседних простых чисел 179
§ б. Большие приращения соседних простых чисел
Обозначим опять 1-е простое число через р1 и покажем, что при
подходящем с > О для бесконечно многих pt выполняется неравен-
неравенство 1)
1ГК p. Ill; р.
d = pP>clnp 2"\ 4/V E.1)
Для доказательства необходимы некоторые вспомогательные теоремы.
Пусть pt — простое число, для которого имеет место неравен-
неравенство E.1). Согласно D.4), для конечной доли всех простых чисел
pj<CPi имеет место соотношение dj<^c\npt. Следовательно, при-
приращения dt из E.1) в определенном смысле „сверх нормы большие".
Лемма 5.12). Пусть М — какое-нибудь множество из N на-
натуральных чисел, и числа qt, /-1, 2, ..., z, пробегают какое-
нибудь множество различных простых чисел, каждое из кото-
которых не входит в М. Тогда для каждого qt существует такое гt,
О < rt < qt (/=1, 2, ..., z), что имеет место соотношение
=1. 2 *)<Л/ J[ q^y E.2)
Доказательство. Среди <7i—1 простых классов вычетов по
имеется по крайней мере один, например rlt для которого
выполняется неравенство
N (m ? M\ m = гг (mod q{)) >
M\ m ф rx (mod^j)
Тогда
Если из М отбросить те числа, которые сравнимы с rl(modql)y то
останется, например, Nx чисел. Предположим, что q2 Ф q^ Повторе-
Повторение процесса дает
N(m?M) тф гг (mod дг), тщк r2(mod
Продолжая этот процесс, убеждаемся в правильности леммы 5.1.
*) Эрдёш [1], Ранкин [1].
2) Чанг [1]

180 Гл. V. Различные применения
Лемма 5.2 *). Пусть N(x, у)—число всех чисел, не превос-
превосходящих х, которые имеют только простые множители, не
превосходящие у. Тогда для у= у(х) <^.х, у(х)~>оо при лг~>оо,
имеет место оценка
N(x, y)<*exp{--!gf^ln* + ln2y+0(^)}. E.3)
Доказательство. Пусть знак 2' обозначает суммирование
по таким числам, простые сомножители которых не превосходят у.
Сначала будем предполагать, что rj — любое положительное действи-
действительное число. Тогда, так как х\п^>\ при п<^.х,
Предположим теперь, что г] > 1/2, и с помощью частного суммиро-
суммирования (теорема П. 1.4) при у->со найдем
так как, согласно D.7.31),
Рассмотрим теперь три слагаемых в правой части соотношения E.5)
и положим 1—т] = 6 = 1п3у/1пу. Тогда
In у In у In у
Далее при у->оо получаем
!) Ранкин [1]. Несколько худшую оценку можно получить элементарнее
(Эрдёш [1]). Улучшение оценки (о.З) (которое, правда, незначительно) см.
у де Брейна [1].

§ 5. Большие приращения соседних простых чисел 181
так как
6In2
In z
J и
Последнее устанавливается с помощью интегрирования по частям,
так же как и формула D.7.22).
Следовательно, при у—>оо получим
Наконец'),
У
¦n f —JL-.__0
11 J fti-l)ln»6""
2 ъ ь
Следовательно, при 6 = 1п3>'/1пу
Если подставить все это в E.5), то получим
Поэтому утверждение леммы получается из E.4) при г\== 1 —1п3у/1пу.
Теорема 5.1. Пусть pt есть 1-е простое число и
dl = pt— рь_Л (i > 1). Тогда существует бесконечно много чисел p-v
для которых выполняется оценка
= Pi- Pi-x >c\nPi \[A l , E.6)
причем с — некоторая положительная константа, не зависящая
от pt.
1) Во втором интеграле нужно положить и * In | и затем делать так же,
как в D.7.22).

182 Гл. V. Различные применения
Доказательство. Достаточно доказать следующее. Пусть pv
Р2> •••' Рп — первые п простых чисел. Тогда для достаточно боль-
большого п всегда имеется z(=zn), 0 < z <J pxp2 ... piv и натураль-
натуральное число U(=Un),
X±b^ E.7)
ln2 Pn
такие, что каждое из чисел z-\~2, ?-4-3, ..., z~\-U содержит
в качестве собственного делителя по крайней мере одно из чисел
Pv Pi> • • •> Рп-
Чтобы показать, что отсюда следует утверждение теоремы, выбе-
выберем п таким, чтобы р^^-у In x < рп+х. Тогда
P\P2 •-• Pn =
и из теоремы о простых числах следует
(¦л е) In х < рп <^ -у In х.
Таким образом,
„ Л _1п/7Л1п3/?Л ^^ 1пл. 1п2л:1п4.
r n
^lP/г 7-2
Щрп
Если неравенство E.7) уже доказано, то всегда существуют такие
числа z < х, что при
т-
среди чисел z-\-2, z-{~3, ..., z-\-m нет ни одного простого числа.
Если в качестве pt возьмем ближайшее простое число, следующее
за z-\-mt то неравенство E.6) выполнено, так как тогда 1п/7/_1<
<1п(л:-|-1) и In /?/_! ^— In /7Z при /?;->со по теореме о простых
числах или по теореме 1.3.3 ]). Таким образом, если заставить х не-
неограниченно расти, то получается бесконечно много pt, для которых
выполнено E.6).
Прежде чем доказывать утверждение E.7), заметим, что в изме-
измененном виде теорема 5.1 очевидна, если вместо E.7) потребовать,
чтобы выполнялось только неравенство U^>pn. Тогда при
z = рхр2 . . . рп среди чисел z-\~2, z-{-3, ..., z-\-pn нет ни одного
простого. Это давало бы, как легко заметить, для бесконечно мно-
*) Потому, что lnp._x < In (х-\- 1) ^и In х (х->со) и функция, стоящая
в квадратных скобках, монотонна, можно заменить там In x на ln/?^; кроме
того, так как \npi_l ~ ln/^, In2 р^х ~*> 1п2р., \п^р._х^1п3рг можно заме-
заменить там pt_x на р..

§ 5. Большие приращения соседних простых чисел 183
гих pt оценку dt > A—e)ln/?;, которая является почти тривиальным
следствием теоремы о простых числах/ Действительно, если бы
при Ро< Pi^x всегда было dt^{\—e)ln/?;, то, поскольку 9 (х) =
= х-\-О(х), получалось бы, что
2 d, = ( 2+2 Ц<ОA) + A-е) 2 1пр,=
Pi<x \Pi <Ро ро< Р1 <Х1 Pi<x
= A—е)* + о(*).
Это противоречит D.2), если заменить там 8 на -~-е.
Перейдем теперь к доказательству утверждения E.7). Сначала
заметим, что сравнения
z = #! (mod /7j), j2r == «2 (mod /72), ¦.., z = an (mod /?„) E.8)
имеют решения в области
.. Р„ E.9)
при любых значениях alt a2, . . ., аЛ. Проблема состоит в том, чтобы
указать в этой области z и возможно большее число U так, чтобы
каждое из чисел z-\-gt g = 2t 3, ..., U делилось по крайней мере
на одно из простых чисел pv p2, ..., рп. Этого можно добиться
для различных g различными способами.
Пусть U сначала некоторое натуральное число, большее чем рп,
и X, К, Z — любые действительные числа, удовлетворяющие усло-
условиям
0<Х <Y<Z<pn<U. E.10)
Этими неравенствами определяются пять интервалов
Разделим множество чисел g = 2, 3, . . ., U на пять .подмножеств Mv
М2, . . ., М- (не обязательно составленных из разных элементов) так,
что число g принадлежит Мк, если оно содержит по крайней мере
один простой делитель p^k) из Jk (k = 1, 2, . . ., 5). В последующем
р№ пробегают простые числа из Jk. Для простого числа р, 2^
^.p^.U, очевидно, равнозначна принадлежность к множествам Jk
и Mk.
Сначала мы потребуем от z, чтобы оно делилось на все р^ и /?<3),
т. е. чтобы для всех p^?Mv pW ? Мъ выполнялись сравнения
z = 0 (mod /?A)). z = 0 (mod /?C))- E.11)
Тогда при ^G^i + ^з число 0 + (§* — не простое. Пусть теперь
g(tMx-\-М%. Выберем Xt Z и U так, чтобы множества М2 и М4-{-М5
не имели общего элемента, именно возьмем
XZ>U. E.12)

184 Г л V. Различные применения
Отсюда для чисел g с условием p{2)\g, p{4)\g следует неравенство
g>p{2)p& > XZ> U, а должно быть g < U. Из E.12) также сле-
следует, что g может содержать не больше одного простого делителя
р ?M4-f- Мъ. В итоге получаем, что каждое g$.Mx-\- Мг удовлетво-
удовлетворяет только одному из двух условий:
^6^2» S имеет только простые множители из М2, E.13)
или
g 6 ^4 + Щ — простое. E.14)
Множество простых g, g ? М4 -|- Ж5, обозначим через Р. Теперь
применим лемму 5.1, взяв в ней за qt число /?B), за М множество Р.
Тогда N = n(U) ~n(Z). Для каждого р{2) существует г (/?B))> 0<
< г(Р{2)) < РB)> обладающее таким свойством.
Для каждого g?P, за исключением некоторых glt g*2» •••» S*/»
где
/,B) ?М2 р
выполняется сравнение
g~r(p&) (mod p<2>). EЛ6)
Потребуем, чтобы 2^ удовлетворяло еще условиям
z=~= — r(pB))(modpB0 для всех р<216^2- E.17)
Тогда отсюда и из E.11) следует, что числа z~\~g не простые для
S 6 ^i + /W3 или ^ € ^4 -+- Mv gJ* Sv ё2> • • • • SA- Число ^ 0ПРе"
делено теперь однозначно по модулю JJ р. Обозначим теперь
еммм
$ и gv g2, ..., gA через ^, g'v ..., ^.
Как мы сейчас покажем, с помощью подходящего выбора величин X,
Y, Z, U можно добиться того, чтобы т стало меньше, чем число про-
простых чисел p(A)(z < р{А)^.рп). Поэтому простые числа /?<4), р^\ ..., р№
(Z < pfK ..., P{fn^.pn) можно выбрать различными, и сравнения
z-\-g'.=~ 0 (mod /?D)) (у = 1, 2, .... т) вместе со сравнениями E.11),
E.17) имеют точно одно решение по модулю
П Р. EЛ8)
мЛ1
Этот модуль делит рхр2 • • • Рп> и» следовательно, указанные сравне-
сравнения имеют одно решение z, z ^ рхр2 ... ргг по модулю рхр2 . . . /V
Для этого решения z + S"—не простое при всех g = 2, 3, ..., О,
если выполнено еще условие
E.19)

§ 5. Большие приращения соседних простых чисел 185
так как в этом случае z~\~ g'. не может быть равным рФ в силу E.11).
Утверждение теоремы, следовательно, будет доказано, если мы сумеем
так выбрать X, Y, Z, U, чтобы были выполнены условия E.12)
и E.19) и, кроме того, имело место соотношение
n(pn) — n(Z)>m=A + N(g; g^U, g? М2, g^M, + M3). E.20)
Положим при рп->оо
n
In р„ 1п3 рп
1
где величины б, а положительны и позднее будут определены более
точно. Очевидно, что E.12) и E.19)!) имеют место для достаточно
большого рп. Далее по теореме о простых числах при /?я—>оо
и, согласно E.15), при фиксированных 6, а и рп->оо получаем
р-2 <с _iL IT
р— 1 ^ 3 Ini/ ДЖ.
U
п
Наконец по лемме 5.2
N(g\ g<CU* S имеет только простые множители из М2) <
. E.23)
Если мы выберем а настолько малым, чтобы 1/а—1 > 2, т. е.
а<-о-, и затем 6 = 6 (а) настолько малым, чтобы ?4^/а было
о
меньше -у» т0 E.20) следует из E.21) — E.23). Этим теорема 5.1
доказана.
Метод доказательства теоремы 5.1 принадлежит Эрдёшу [1].
J) Последнее верно потому, что 0 (л:) <**> х (л -> со) и, следовательно,

186 Гл. V. Различные применения
§ 6. Цепочки больших приращений последовательных
простых чисел
Обозначим рх < р2 < ... все простые числа, расположенные
в порядке возрастания.
Теорема 6.1 *). Пусть г(х) и D(x) — положительные неубы-
неубывающие функции от х и г = г (х) при всех х — натуральное
число. Обозначим через Л(х) число простых чисел pt^xy та-
таких, что
Тогда если г(х) и D=D(x) удовлетворяют условию
r(x)D(x) = o(lnx), F.2)
то имеет место соотношение
Доказательство. Для доказательства применим теорему 2.4.8.
Если положить в ней
= N (pt < x\ Pi — />,_! = d).
то получим
Отсюда следует, что число тех pt^.x, для которых по крайней
мере одна разность Pi+ь — Pl+u-i Равна d, меньше чем
так как каждая пара последовательных простых чисел может быть
представлена в виде pi+k_v pi+k (l^k-^r) не более чем для г
значений I2). Далее видно, что число тех Pi<Cx> Для которых по
крайней мере одна разность pi+k — Pi+k-i A<^^^г) не больше D,
меньше чем
'»rDWJ- F'3)
!) См. Серпинский [2], Эрдёш [6], Вальфиш [2], Прахар [3].
2) Второе слагаемое получается от того, что для последних г простых
чисел, не превосходящих х> некоторые из p[+k (& = 1, 2, ..., г) могут быть
больше чем х и соответствующие разности не попадут в число первых.

§7.0 числе делителей чисел вида р—1 187
Это следует из соотношения r2D = o(\n2x), rD^>l и1)
В силу F.2) правая часть F.3) равна о(л:/1пл;), чем доказана тео-
теорема 6.1.
Из теоремы 6.1 при г = 2 следует, что все простые числа р-и не пре-
превосходящие х, за исключением самое большее о (х/\п х) чисел, удалены от
своего правого (левого) соседа больше, чем на D (х), если только D (х) =
= о (In x). Приведенный способ доказательства показывает также сущест-
существование бесконечно многих /?;, удовлетворяющих условиям F.1), только
вместо F.2) следует использовать неравенство rD < с In x для достаточно
малого с Методами, аналогичными примененным в § 5, Эрдёш [8] доказал,
что существует бесконечно много чисел /?/, удовлетворяющих условиям
Pt — Pi-i > A\npi% Pi+i—Pi> A In pi,
где константу А можно считать сколь угодно большой.
§ 7. О числе делителей чисел вида р—1
Каждое простое число р имеет только два делителя, но можно
предположить, что числа р—1 имеют „много" делителей2). Сле-
Следующая теорема показывает, что для простых чисел р, не пре-
превосходящих х, „в среднем" число делителей d (р—1) равно ОAплг).
Теорема 7.1 3). Имеет место равенство
2 d{p-\) = O{x). G.1)
Доказательство. Для доказательства применим теорему 2.1.
Так как для р^х, р—l=dld2 по крайней мере одно из чисел
dv d2 должно быть меньше чем Yx* то
2 2 i=S S i<2 2 я(*. </, о. G.2)
p<xd\p-l dC l(dd Y
По теореме 2.1 при а = 1/2 получаем
1 ш- G-3)
1) Из C.6) следует даже оценка 2 S2 (п) < СУ-
п<у
2) Все доказанное в этом параграфе для чисел вида р—1 имеет место
также для чисел вида р — / при фиксированном целом Л
3) Титчмарш [2].

188 Гл. V. Различные применения
Положив g"(/O = ?T(lH ) в формуле A.5.23), имеем
р\ п
р\ п
Из F.4) поэтому следует оценка
и отсюда с помощью частичного суммирования (теорема П. 1.4) находим
G.4)
Подставляя это в G.3), получаем равенство
я(л;, d, 1)=О(х),
из которого вместе с G.2) следует G.1).
Обозначим опять через v (n) число различных простых делителей
числа п. Известно, что „нормальное" число простых делителей
числа п равно In In /г, т. е., за исключением о(х) значений п,п<^х,
выполняются неравенства
A — E)\n2n<v(n) <A4-e)ln2/i
(Харди и Рамануджан [1], Туран [1]). Следующая теорема показы-
показывает, что числа р — 1 ведут себя так же, как и все натуральные
числа.
Теорема 7.2 !). Для каждого е>0 выполняется равенство
N (р < х\ A - е) 1п2 х < v (р - 1 )< A + е) 1п2 х) = ^ + о (^],
G.5)
причем константа в о( ) зависит от г.
Для доказательства теоремы 7.2 необходимо следующее вспомо-
вспомогательное утверждение, которое также интересно само по себе.
Лемма 7Л. Пусть k^>\ и
; v(/7-1) = 6). G.6)
Эрдёш [2].

§ 7. О числе делителей чисел вида р— 1 189
Тогда имеет место оценка
G'7)
где константа в о ( ) не зависит от k.
Доказательство. Обозначим через Мх и М2 соответственно
множества простых чисел р, не превосходящих х, для которых
выполняются следующие условия: 1) все простые делители р— 1 не
превосходят у= ехрAпл;/1п2л:); 2) наибольший простой делитель
/7—1 входит в разложение р— 1 по крайней мере во второй степени.
Покажем, что число элементов обоих множеств есть о(х/\п2х).
Если в лемме 5.2 положить у= exp (In х[\п2х), то найдем
) G.8)
Для р ? ЛТ2> ^(f^i число /?—1 делится на квадрат числа, большего
чем у=ехр(\пх/\п2х). Следовательно, в силу (П. 1.12)
Пусть теперь р^Мх-\- М2. Для каждого ^ ^> 1 обозначим через
числа я, для которых v(ri) = k. Пусть далее ^(/?—1) = &,
р^Мх-\-М2у т. е.
Pi < P2 < • • • < Рй» гДе Pfe > У» следовательно, /?^ > 2 и afe== 1.
Тогда имеет место равенство
/7—1 =ркп^'1К G.10)
где я^") < х/у = хехр(—1паг/1п2лг). Теперь воспользуемся теоре-
теоремой 2.4.6. При q > 2 имеем
? x\ p — 1 = qn, q — простое) < c6 w <
Так как

190 Гл. V. Различные применения
то при п<^х это дает по теореме 1.5.1
<
4
X 2 4
n < xfy n < x/y
v{n) = k-l v(n) = k-l
Теперь, поскольку k^-2, имеет место оценка1)
( оо U-1
()| ^
п < х/у { р <х/у т = \
v{n) = k-\
G.12)
так как при возведении в (k—1)-ю степень член l/p^...p^-i
с различными pv ..., Рь-\ встречается точно (к—1)! раз. Под-
Подставляя это в G.11) и принимая во внимание G.8) и G.9), получаем
утверждение леммы.
Доказательство теоремы 7.2. Достаточно доказать со-
соотношение
Ыщ) GЛЗ)
k<(l-e)ln2x k>(l-rE)ln2x
при 6 = 6(е)>0. Ограничимся рассмотрением первой суммы, так как
для второй доказательство аналогично. Согласно G.7) 2) имеет место
оценка
й<A-еIп2л- Л<A-еIп2л-
G.14)
и нам нужно оценить теперь сумму в правой части последнего нера-
неравенства. Если положить
то сначала получим равенство
оо
^ 8{k}= ec* In х • Aп2 х + ^5K- G-15)
1) По теореме 1.4.1, так как 2 2 */^m < °°*
/7, Ш>2
2) Соотношение G.7) выполняется тривиально также при k = 1.

§ 8. Теорема Романова 191
Если положить / = / (х) = 1п2 х, то для достаточно большого х > х (е)
имеют место неравенства
В{Ц<В{2}< ... <iJ([(l-
Кроме того,
¦U-l
Aп2 л: + с5) ч^ 1 / \п2х + с5 \
для достаточно малого 6 = 6(е) и х>х(б). Отсюда, согласно G.15),
получается оценка
В [к] < 1п2х. В {[A -?)/]}<
fc<(l-e)In2*
<1п2х
2
Подставляя ее в G.14), получаем утверждение теоремы.
§ 8. Теорема Романова
В этом параграфе мы будем заниматься представлением натураль-
натуральных чисел п в виде
я = /? + ат, (8.1)
где а > 1 — фиксированное целое число, р пробегает все простые
числа, а т соответственно все натуральные числа. Число решений
неравенства
(8.2)
есть 0(х), так как число простых чисел, не превосходящих х, есть
0(л:/1пл:) и число чисел т> удовлетворяющих неравенству ат
есть О Aпх)]).
В этом параграфе все константы могут зависеть от а.

192 Гл. V. Различные применения
Если ограничиться простыми числами /?, не превосходящими -^ х,
и числами т, для которых ат не превосходит ух, то видно, что
число решений неравенства (8.2) больше сх. Если теперь „в среднем"
не слишком многие из чисел р + ат представляют равные числа, то
можно ожидать, что больше, чем сх, чисел п, не превосходящих х,
могут быть представлены в виде (8.1). Это утверждение доказано
Романовым [1]. Положим
f(n)=f(n, *) = ЛГ (/><*. am^x; р + ат = п). (8.3)
При п^.х, очевидно, f (п) зависит только от я, но не от х.
Неравенство
2 Р (п) < с 2 / W
является основным, так как из него следует, что значений п, при которых
/ (п) велико, не слишком много. На самом деле отсюда, так же как и в § 3,
с помощью неравенства Шварца следует теорема Романова
<lc S/wl'M 2 •l\1'2-
1 л<л* f \/г<лг, f {n)>0 J
Следовательно,
2
так как
2 () N m +т^х)> сх.
Лемма 8.1. Число решений системы
p + am = Pl + a^^x. (8.4)
гд# /?, /?! — простые числа, а т, тх — любые натуральные числа,
равно 2 /2(я). Здесь функция /(/г) определяется равенством (8.3).
Доказательство. Утверждение леммы следует из того, что
для каждой из f(n) пар /?, т решений уравнения р-\-ат = п суще-
существует /(п) пар /?!, тх решений уравнения рх-\-ат\ =я. Это озна-
означает, что уравнение р -j- ат = рг -{- ami = n имеет ровно /2(#) решений
р, т> pv mx, Суммирование по всем п^х дает утверждение леммы.
Лемма 8.2. Пусть e(d) для любого числа а, взаимно про-
простого с d, является показателем а по mod d, т. е. число
e(d)~^>\ — целое,

§ 8. Теорема Романова 193
и это сравнение не имеет места, если e(d) заменить на соб-
собственный делитель е (d). Тогда имеет место неравенство
/2 (я) < схх 2' -^щ + О (д), (8.5)
причем 2' обозначает суммирование по числам, взаимно про-
простым с а и свободным от квадратов.
Доказательство. По лемме 8.1 это неравенство достаточно
доказать для числа решений системы (8.4). Из (8.4) следует ра-
равенство
р — р1 = ат^ — ат, (8.6)
причем для величин р, pv m, mv во всяком случае должны выпол-
выполняться следующие неравенства:
\, . ^ \ПХ ^ \ПХ /о тч
Пусть теперь S = S(x) — число решений (8.6) в области (8.7). Тогда
2 f2(n)<S. (8.8)
При фиксированных т и mv тФ тх, по теореме 2.4.4 имеет место
оценка
; р — Pl = am> — ат) < с2-^ g(ami — ат),
?ЧЮ = ПО+ !//>)•
р\ п
Теперь при тх^> т имеем
g(ат> — ат) = g(am (am^m — l)) = g(am) g(ат^т — 1) =
— g(a)g(amt-m — \) = c3g (а™*-™ — 1),
и аналогичное равенство при тг < т. Таким образом, в любом слу-
случае при т Ф т\
g (ат> — ат) < c3g (a\ т^т\ — 1).
При фиксированном целом /г^>1 получаем
N(т, т1^\пх1\па\ \тх — т\ =h) < c4lnx.
В итоге получается оценка
; р — р1 = ат^—ат, т Ф тх) <
S S(-*«)<W
/и, m^lnjt/lna 1<Л<1плг/1па
тФгПг
(8.9)

194 Гл. V. Различные применения
Кроме того, число таких наборов р, pv т, т1 в области (8.7),
для которых т = т1 и выполнено (8.6), во всякохм случае есть
О {jt(x)(lnx/lna)} = О(х). Совместно с (8.9) это дает нам
(8.10)
1 </г < \nxf\na
Теперь, если у = 1пх/1пд и 2' обозначает суммирование по нату-
натуральным числам, взаимно простым с а и свободным от квадратов,
имеет место оценка
2 *«¦-¦>- 2 2'7
*«¦-¦>- 2 2'7
/г < у, ^ (uf) I Л
Если подставить ее в (8.10), то, согласно (8.8), получим утверждение
леммы.
Лемма 8.3 *). Имеет место неравенство
со' (8Л1)
где 2' обозначает суммирование по числам, взаимно простим
с а и свободным от квадратов.
Доказательство. До конца доказательства d обозначает сво-
свободное от квадратов и взаимно простое с а число. Достаточно дока-
доказать, что
(8.12)
\ i ii -г. i
жем сначала, что (8.11) следует из этого соотношения.
Докажем сначала, что (8.11) следует из этого соотношения. Имеем
1 / \У , YV \ 1
_JL_ V -и V
de (d) ~\ ZA ^ Zu \ de (d)
\ d< d<x /
e{d) > in2d/
так как ^l/d\n2d < oo. Если (8.12) уже доказано, то по теореме
П. 1.4 можно оценить первый член правой части (8.13), причем за Хп
1) Эта лемма — самая трудная часть доказательства теоремы Романова.
Настоящее доказательство принадлежит Эрдёшу и Турану [I].

§ 8. Теорема Романова 195
нужно взять свободные от квадратов взаимно простые с а числа d,
удовлетворяющие условию 2
У -*-< У ±
ZU de(d) ^ ZA d
d < x, e (d) < In2 d
4
Отсюда следует (8.11).
Таким образом, достаточно доказать (8.12). Если мы положим
/ = [1п2л:], то каждое d, удовлетворяющее условию e(d)<^l, должно
быть делителем числа
Р= Ц (ап— \)<а!\ (8.14)
Можно оценить число v (Р) различных простых делителей Р:
Пусть теперь т— натуральное число, не превосходящее v(P). (Позд-
(Позднее мы определим его более точно в зависимости от л:.) Тогда
в силу (8.15) получаем
; d\P, v(
c>1)- (8лб)
л-1
С другой стороны, из A.5.11) следует1)
x; d\Pt v(d)>m)^N(n<?x
<iV(fl<x; d(n)>2m)< 2 d(nJ-m<cx\nx.2-m, (8.17)
<
так как свободное от квадратов число с т различными простыми
делителями имеет 2т делителей. Положим теперь т = Ug lnx/ln2x L
Тогда
ст log4m х = О (У х)
') Здесь d{n) обозначает число положительных делителей п.

196 Гл. V. Различные применения
Следовательно, в силу (8.16) и (8.17) имеет место оценка
Отсюда следует (8.12), а потому также (8.11).
П. Эрдёш 1) дал следующее исключительно простое доказательство
леммы 8.3. Если d пробегает свободные от квадратов взаимно простые с а
числа, то (сначала формально) имеем
{d)~ Zd m 2u d'
de{d)
Рассмотрим сумму
т < х е (d) — т
В этой сумме каждое d появляется не более одного раза, и каждое по-
появляющееся d является делителем числа
Р= JJ (ат-\)<ах\
Число различных простых делителей Р не больше чем [л:2 In a/ln2] = N.
Поэтому
d\p p\p
причем р\< р2 < • • • — простые числа, расположенные в порядке возраста-
возрастания. Из соотношений 2) pN^NlnN и A.4.1) следует
5 (х) = О (In N) = O (In x).
Отсюда с помощью частного суммирования получается утверждение леммы 8.3
X
шшт d X J g
Теорема 8.1. Рассмотрим целое число а^>2. Числа п, ко-
которые могут быть представлены в виде
п = р-\-ат, р — простое, т=\, 2
имеют положительную асимптотическую плотность.
Si
1) Это доказательство было сообщено автору устно проф. Эрдёшем.
2) Из равенства л (х) == A -\-о A)) л:/1п х получаем, что In л (х) =
A -\-о A)) In х\ следовательно, In х= A +о A)) In л (х)\ при д: = /?
WiV ^A+A))/1М

Задачи к главе V 197
Доказательство. Если функция f (п) задана соотношением
(8.3), то из лемм 8.2 и 8.3 следует оценка
2j /2 (ft) <С cqX>
/г<х
С другой стороны,
f(n)=N(p, m\ [
/г<х
Неравенство Шварца дает нам
v<2/(«)<( 2
/г<х 1/г<х, / (я)>0
Отсюда вытекает утверждение теоремы в следующем виде:
2 1>сх.
я<х, / (л)>0
Очевидно, что в виде р-\-2т с нечетным р могут представляться
только нечетные числа. Можно доказать, что существует арифметическая
прогрессия, состоящая из нечетных чисел, которые не представимы в таком
виде (Корпут [2], Эрдёш [9]). Для функции /(л), определенной выше,
Эрдёш [9] доказал оценку
2 fm (n) <с(т)х (т> 0).
/г<х
Задачи к главе V
Докажите следующие утверждения.
1. При подходящих cv с2 и
N{pv p2\
имеет место оценка
(следует воспользоваться неравенством
S
я<х, / (я)<6х/1п2 х
и результатами §* 3).
2. При подходящих cv с2, с3, с4 и
р2\ рг*Сх, р
v Р2 — последовательные простые числа) имеет место соотношение
<?! In л;; с2-^— < / (п) < c^—^j > c4ln x

198 Гл. V. Различные применения
(следует воспользоваться оценкой
^ / (л) <!! б?, -.— 1. '
л:
3) Число чисел /г, не превосходящих х, которые имеют не более k
простых множителей, меньше чем
(? 1)| 1П х 111Z -Л"
где с не зависит от & 2).
4. Более чем для cxx[\n x простых чисел pt^x при соответ-
соответствующем а < 1 имеет место соотношение 3)
Pt — Pi-i < ci In pt.
5. При достаточно малом б не существует такого действительного
числа Л, что для всех Pi^x, за исключением самое большее
о(х/\пх) значений /, при лг—>оо имеет соотношение4)
6. Для числа N = N (х) решений уравнения рх -\-р% = Рг~*гРа
с простыми pv p2, /?з> Ра имеют место оценки
7. Для числа Nm = Nm(x) решений системы уравнений
имеют место оценки
сх (т) xml\n2m x<Nm<c2 (m) xm ln2m x.
8. Для числа М решений уравнения
имеют место оценки
сг (т) х2т-2Цп2т х<М<с2(т) х2т'21\п2т х.
1) Кнёдель [1].
2) Харди и Рамануджан [1].
3) Риччи [1].
4) Риччи [1].

Задачи к главе V 199
9. Пусть dt = pt — Pi-i (ро — 0). Тогда имеют место соотноше-
соотношения 1)
1
10. Пусть
Р<П
Тогда
11. Пусть # пробегает все простые числа, а функция S(ri) опре-
определена, как в задаче 10. Тогда
12. Пусть ^ — фиксированное натуральное число. Тогда числа,
представимые в виде p-\-mg, m=\, 2 имеют положительную
плотность 3).
13. Числа, представимые в виде p-\-pf, где /?, рг — простые,
имеют положительную плотность.
14. Пусть тх < т2 < ... —какая-нибудь последовательность
натуральных чисел, а т(х) — число членов этой последовательности,
для которых c^J-^x, где а — фиксированное целое число, большее
единицы. Тогда число различных чисел п, не превосходящих х, кото-
которые представимы в виде п = р-\-атк больше чем с (a) xm(x)jln x.
15. Пусть
где а0, .... ag— целые, а0 > 0. Тогда если а— фиксированное целое
число, большее единицы, то числа, представимые в виде р-\-Р(ат),
где р — простое, т=\, 2, ..., имеют положительную плотность.
1) Эрдёш и Реньи [1].
2) Эрдёш и де Брейн (по сообщению проф. Эрдёша).
3) Романов [1].

200 Гл. V. Различные применения
16. Пусть г (п) — число решений уравнения
где nv п2^0— целые числа. Тогда имеют место соотношения
(П)ПХ
2(п) = О(х\пх).
Для доказательства последнего соотношения достаточно оценить число
решений уравнения я\~\-п\ = т\ -f-tft2^ х> из этого уравнения сле-
следует равенство (пх — тг) (пх -\- т^ = (т2 — п2) (т2 + п2), в котором
каждое выражение в скобках по модулю не превосходит 2 Ух. Сле-
Следовательно, достаточно оценить число решений уравнений dxd2 =
= б^з, 0 < dlt d2, 6P 62 <; 2 У"х. Из последнего уравнения полу-
получаем !)
d[<2"l/"jc, 61/<2/л:, а и b < min {2 /*/</[, 2/jt/dj
17. Используя результат задачи 16, докажите неравенство
2
^ 1П*
л <лг, г (я)> О
(см. гл. IV, задача 3).
18. Число решений уравнения п\-\-гй> — пг\ — т\ = п, где
0 </г1,/г2, ntv щ^п1!*, меньше чем
d I n
Докажите, что числа вида
п2 + т2 + 2*2 (л, /и, & > 0 — целые)
имеют положительную плотность2).
19. При некотором с > 0 имеется бесконечно много натуральных
чисел /г, для которых
N(nv n2; п\ + п] = п)>2с1ая/1п*я.
1) Серпинский [1].
2) С. Сельберг [1].

Задачи к главе V 201
Нужно рассмотреть такие nv nr что п\ -f- п\ = 0 (mod р[ . . . р\ где
p'v . .., р'т суть г первых простых чисел вида 4/г —|— 1, и использовать
теорему 2.3.
20. Имеется бесконечно много таких п, что
N(p, m\ p-\-mg = n)> c~ ln2n,
и бесконечно много таких /г, что
Нужно рассмотреть сравнение р-\-rng =: a (mod p1p2 ... рг), где а
ни для одного простого числа рх рт не является ^"-м степен-
степенным вычетом (тогда mg — а взаимно просто с рхр2 . . . рт) и под-
подсчитать решения, для которых /?<*, mg^x. Для второй части
воспользуйтесь тем же сравнением, но теперь пусть а будет степен-
степенным вычетом для pv ръ .. ., рт.
Докажите неравенства:
21.
22. N(p. m; p + 2m = n) > с\щп
24. Докажите, что всегда существует пара натуральных чисел
/г, т^х, п^х, тфп, для которой система
имеет больше чем сх 1п| л:/1п3 х решений.
1) Из устного сообщения проф. Эрдёша.
2) Эрдёш [9].
3) Эрдёш [4].

Глава VI
ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА
§ 1. Введение
В гл. V было доказано, что числа, которые представимы в виде
п = Р\-{-Р2> гДе Pv P2—простые числа, имеют положительную
плотность. То же самое справедливо для чисел, представимых в виде
/г = /?1 + /?2 + /?з (pv P2> Рз — простые числа). Если pv /?2, р3 —
нечетные простые числа, то Pi~\-p2 — четное и рх -f- p2 -+- р% —
нечетное числа. Гольдбах в 1742 г. высказал предположение, что
любое четное число, большее 4, можно представить в виде суммы
двух, и любое нечетное число, большее 7, — в виде суммы трех
нечетных простых чисел. В этой главе будут доказаны следующие
утверждения:
1) любое достаточно большое нечетное число представимо в виде
суммы трех нечетных простых чисел;
2) „почти все" четные числа представимы в виде суммы двух не-
нечетных простых чисел, или, точнее, количество четных чисел, не
превосходящих х, которые не представимы в виде суммы двух
нечетных простых чисел, есть О(х/\пАх) при х->оо, где Л — лю-
любое большое положительное число (константа в О ( ) может, естест-
естественно, зависеть от А).
Сначала Харди и Литлвуд [2] доказали эти утверждения с по-
помощью до сих пор недоказанной гипотезы, что все L-функции L (s, %)
по всем характерам и по всем модулям k ^ 1 не имеют нулей при
Res ^> -j. Виноградову [3] удалось провести доказательство незави-
независимо от этого недоказанного предположения и тем самым полностью
доказать оба утверждения1). Впрочем первое следует из второго.
Действительно, если п—нечетное число, то п — р — четное для не-
нечетного р и имеется —' п/\п п (п -> оо) чисел вида п — р, из которых
самое большее О(п/\пАп) не представимы в виде суммы двух про-
простых чисел. Следовательно, существует представление п—р = р\ + /?2»
1) Сам Виноградов доказал только 1; 2 может быть доказано без осо-
особых трудностей с помощью метода Виноградова (см. Корпут [1], Эстер-
ман [1], Чудаков [1]). Уже раньше Эстерман доказал, что .каждое доста-
достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы двух простых
чисел и одного числа, которое содержит не более двух простых множителей.

§ 2. Введение тригонометрических сумм 203
# = /?4-/?1 -\-р2 для числа значений р, р < /г, большего чем
A—-е)д/1п д. Этим доказано первое утверждение.
До сих пор не решено, можно ли представить любое достаточно
большое четное число в виде суммы двух простых чисел (см., од-
однако, Реньи [1]).
§ 2. Введение тригонометрических с>мм
Рассмотрим г последовательностей натуральных чисел [щ], [щ)> ...
.... {пг}. Пусть г (Л/)— количество представлений натурального
числа N в виде
.. + дг, B.1)
где nk всегда пробегает числа из \nk) (k—l> 2, .... г). Положим
=l. 2. .... г). B.2)
nk<N
Тогда
(Л0 = J
B.3)
Если мы раскроем произведение, то получим члены вида
1
о
но, как известно, для целого ш
^ ^ = 0^ B.5)
0 0, m ф О-
Таким образом, интеграл B.4) только тогда не обращается в 0 (и ра-
равен 1), когда выполняется B.1). Вообще из представления B.3) для
величины г (N) можно получить немного. Во многих случаях, однако,
можно приближенно определить поведение подинтегральной функции
в рациональных точках области интегрирования и даже в опреде-
определенной окрестности каждой рациональной точки. Если взять затем
рациональные точки в области интегрирования @,1) так плотно,
чтобы их окрестности покрывали весь интервал, то можно интеграл
по области @,1) составить из интегралов по окрестностям отдельных
рациональных точек. Если уже имеются простые формулы прибли-
приближения для интегралов по окрестностям отдельных рациональных то-
точек, то можно, таким образом, сказать что-то о величине г (N).

204 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Метод, только что грубо набросанный, принадлежит Харди, Литлвуду
и Рамануджану !). Правда, они развивали этот метод в несколько другой
форме, а именно рассматривали функции
/(*>(*)= ^ *"* (fe=1-2 о
1 <nk <оо
комплексного переменного s (| s | < 1). Тогда
Д/<*>(«) = %r(N)sN
k=*l N~l
и величины г (N) определяются по формуле Коши
г (N) =2
причем интегрирование ведется по кругу радиуса < 1 с центром в s = 0.
Здесь появляются функции f^ (s) и круг с радиусом < 1 (радиус устрем-
устремляют к 1 при N->oo) вместо тригонометрических сумм B.2) и интер-
интервала (ОД). Тригонометрические суммы в этом вопросе были введены впер-
впервые И. М. Виноградовым.
Если положить г = 3 и [пх) = [п2] = {пг} = {/?}. где {р}—по-
{р}—последовательность простых чисел, то г (N) — число представлений N
в виде суммы трех простых чисел. Аналогично для г = 2, {tii} =
= [п2) = {р] — число представлений N в виде суммы двух простых
чисел. Оказывается, что в этом случае для исследования суммы B.2)
в окрестности рационального числа ? требуются различные методы
в зависимости от того, „большой" или „малый" в определенном смысле
знаменатель имеет величина ?.
§ 3. Формулы приближения (дроби с малыми знаменателями)
Полагаем теперь для действительного а
e2nia = e(a). C.1)
Не упоминая об этом каждый раз особо, считаем в этой главе N
достаточно большим натуральным числом.
Пусть
SN(l)= 2 e(pl). C-2)
Тогда
Pi, Pb Pb<N
l) См. Харди и Рамануджан [2].

§ 3. Формулы приближения 205
и при целом #>1, 0<а<<7, (a, q) = \, очевидно,
Мт)-2«(>т)- <м>
P<N
Теорема 3.1. Рассмотрим натуральное число q, удовлетво-
удовлетворяющее условию l^q^\nuNf где и — сколь угодно большое
не зависящее от N положительное число. Пусть а—целое число
и 0 < а < qt (a, q)=\ l). Тогда
при N->oo, причем константы могут зависеть от и.
Доказательство. Действительно, согласно C.4),
Мт)- 2 «(-т) 2 -' + S<KH
<
(т, #)=1
0<т
(
поскольку | ^ (а/?/^) |==1 и21<[1п ?/1п 2]. Ввиду того что q < 1пи N,
применима теорема 4.8.3. Следовательно,
0<m <q
()l
при этом
s.,= 2 «(-т)- 2 '(«т) 2 "•»-
d\q
d\n
потому что для d\qy d<q, (a, q)=l
Тем самым теорема доказана.
l) Следовательно, а = 0 для ^ = I и I < а < q, (a q) = I для # > I.

206 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Бо всей гл. VI q обозначает натуральное число и а пробегает те
целые числа, для которых 0^а<^, (a, q) = \.
Теорема 3.2. Если q<^\nuN и действительное число р удо-
удовлетворяет условию 0 ^ | р | <; У2> то пРи N -> оо справедливо
соотношение
2 ^f. C.6)
Доказательство. Из равенства ^ (^) = 0 при помощи
частного суммирования получаем
- S
При ]/Л/<я<^Л/> из условия q^\nuN для г/ > й и достаточно
большого N следует также, что
Поэтому по теореме 3.1 при ]/"Л/" < п ^ N имеем
Так как
Snl — j \^.n, lin<^n, то это соотношение справедливо
также тривиальным образом и для 2 ^ п <J ]/*ЛЛ Если подставим его
в верхнее соотношение, то получим
где
^2 < л < TV

$ 3. Формулы приближения 207
Далее
I
J
3</z<7V
По теореме Тейлора 1) при п ^ 3
Л-1
Следовательно,
Так как
|е(яр) —
то для S^ сразу же получаем оценку
J In g In/г ^ \/г1п2/г
-1
сA)_ У(Я)
6 — фЖ
^). C-9)
что и требовалось доказать.
Теорема 3.3. Пусть и и t—любые положительные числа. Для
?<lnw7V, IpKATV/V C.10)
при N —> со справедливо равенство
SN(f + f) = SN(q, П + О^е-'^Щ, C.11)
где
Константы могут зависеть от и и t.
Доказательство. Утверждение следует из теоремы 3.2.
Соотношение C.11) — объявленная формула приближения. Оно
справедливо, конечно, только для дробей со знаменателями, не боль-
большими чем \naN, для окрестностей | fi I-^TV 1п*ЛЛ Очевидно, что
для любого действительного ?
SN(l-H]). C.13)
Поэтому C.11) дает также при #= 1, а = 0 приближенную формулу
] ^ 1 ^
для SN(l) в области 0<^<Л^~] 1п^, 1 — Л
Г1
!) Теорема Тейлора применяется к функции ~г~т" в точке хо = п-

208
Гл. VI. Проблема Гольдбаха
§ 4. Разбиение области интегрирования
Выберем теперь в теореме 3.3 t = и, и для каждой дроби a/q,
удовлетворяющей условиям
рассмотрим окрестность Jaq из тех ?, для которых
Таким образом, если мы положим
то Jaq определяется неравенством
а
~~~0~
D.П
D.2)
D.3)
D.4)
При q} Ф q2 окрестности Jа и j a не имеют общих точек, если
только N достаточно велико. Действительно, для достаточно боль-
большого N > N (и) и любого постоянного и > О
> — > 1гГ2м N > 2ЛГ1 In* ЛЛ
0102
Для достаточно большого N все
В самом деле,
о ^ а 1 ^
так как
, и
1 — 1/т
содержатся в интервале
D.5)
)« так как
В силу периодичности SN(Q n e(— NQ из C.3) следует также, что
i-i/t
r(N)= J S3N(l)e(--Nl)dl. D.6)
Эту формулу мы будем употреблять в дальнейшем вместо C.3).
Интервалы Jaq не покрывают интервал [—1/т, 1 — 1/т). Так как
для каждого q имеется точно <р(#) значений а, то сумма длин всех Jaq
2 yVln"yV<2N~1ln3"N->O (N->oo).

§ 5. Главный член проблемы 209
Таким образом, оказывается необходимо, кроме дробей a/q, удовле-
удовлетворяющих условию D.1), рассматривать еще дроби, окрестности
которых должны покрывать весь интервал [1/т, 1 — 1/т).
По теореме Дирихле (теореме П. 10.1), примененной в слу-
случае А = 1, N =1, q—> т, t—>qt для каждого действительного числа ?
существует дробь ajq, для которой
1<?<т> (а, 0) = 1. I — —
Мы утверждаем, что для каждого ??[—1/т, 1 — 1/т) имеется
даже такая дробь ajq, для которой 0 ^ а < q. А именно для
?61—1/т' 1/т1 такой дробью является a[q = 0/1=0. Но для
1/т < | < 1 — 1/т из D.7) и из того, что q^ 1, получаем
^ т qx q т ' #т ^ '
Следовательно, 0 < а < q. Пусть теперь для
Маа обозначает множество ^, для которых
а
Тогда из предыдущих рассуждений следует, что для любого |?[— 1/т,
1 — 1/т) выполнено точно одно из следующих условий:
1) | принадлежит строго к одному Jaqy причем для а и q выпол-
выполнено D.1);
2) если | не принадлежит ни одному Jaqi то оно принадлежит по
крайней мере одному Maq, причем теперь q и а удовлетворяют D.8).
Обозначим через Мх и М2 множества тех |?[—1/т, 1 — 1/т),
для которых выполнены соответственно условия 1 и 2. Из D.6)
следует равенство
D.10)
В § 5 мы будем заниматься прежде всего величиной Jx (N). Более
трудная оценка У2(^0 проводится в § 6, где показано, что J2(N) —
= о(JX(N)) при Л/->оо; таким образом, JX(N) представляет собой
главную часть г (N).
§ 5. Главный член проблемы
В тех же обозначениях, что и раньше,
•= J SN(Qe(—NQdl. E.1)

210 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Суммирование в ^JaQ проводится по интервалам Jaq, удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям D.1) и D.2), причем и — постоянное положительное
число, которое будет выбрано позднее. Нам понадобится
Лемма 5.1. Для любого действительного числа р имеют место
соотношения
SN(q. ®=°\<?-1+еТШ)> E-2)
где SN — функция, определенная формулой C.12)!).
Доказательство соотношения E.2) получается при помощи
(П. 1.8) из неравенства
Inn
< 2
1 Г dl , ^/1Ч N
формулы D.7.22) и теоремы 1.5.1.
Далее для я^-2, 0<|р|^-2- имеем
2 < /72</2
поскольку очевидно, что sina^>2a/tt при 0<<^а<^-^я. Отсюда
с помощью частного суммирования (теорема П. 1.4) следует
2<n<iV 2
Из этого соотношения получаем E.3).
Теорема 5.1. Имеет место равенство
JX(N)= J 8%а)е(-Щ)с% = Т(М)А(М) + О(МЧп-*»М), E.4)
в котором
E.5)
^ < In" iV 0 < fl < q, {a, q)-l
!) Константы в E.2) и E.3) могут, естественно, зависеть от г (но не
от qt p и Л/).

§ 5. Главный член проблемы 211
Доказательство. Положим для краткости 6== 1/% = N'~ \nuN9
и пусть 2' 2 означает сумму, распространенную на числа q, а, удо-
q a
влетворяющие условиям 1<^#^1пйЛЛ 0^а<<7, (a, q)=l. Тогда
Л(Л0 = 2'2 1^G+р)в(-^G+р))йр' E<6)
<7 а -б
Далее из теоремы 3.3 получаем
= $n (q. P) + О (N4~c Vt^) (N -> сю),
так как оценка \SN(q, p) | < Л^ тривиальна (в силу равенства C.12)
и \е(п$)\=\). Подставляя это в E.6), получаем
q a -6
V Я Я I
Так как q<^\naN, а < <7» то последний член есть величина порядка
О {N4~c vwn ln3u N) = O (№е~сз ^HHv).
Далее по лемме 5.1, используя определение C.12) величины §N(q, P),
при достаточно малом 8 получаем
б
-6
= J SSr(9. p)«(-JVp)dp+0U-»P-<9 J
Из равенства E.7) следует

212 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
и отсюда уже получаем E.4), так как неравенства
~ъ и 2 Я""'2 < °о
очевидны.
Лемма 5.2. Для величины Т (N), определенной формулой\Ь.Ь),
имеют место оценки
Доказательство. Очевидно, что
1== 2 S -1=4^ + 0(^0. E.9)
Из неравенства (In/г2 In/г2 In/гз)" ^> In"Л/ при nl-\-n2-{-nb = N сле-
следует левая часть E.8). С другой стороны, при N^A имеем
ji + ^^ i</, 2<л2, /?3
VN<nlt n2,nz*CN \
и, пользуясь равенством E.9), получаем правую часть неравенства E.8).
Легко доказать, что
N4n-*N (N-+OO), E.10)
однако в дальнейшем это соотношение нам не понадобится.
Лемма 5.3. Для величины A(N), определенной формулой E.5),
имеет место равенство
A (N) = © (Л0 + О {AпЛГГи A~е)}, E.11)
где
EЛ2)
P\N ^
причем
( =0 для четных N,
<S(N)\ n ХТ E.13)
I > св:=: 6/я:2 ^я нечетных Л/,
Доказательство. Положим
я, (а, ^)-1

§ 5. Главный член проблемы 213
Так как |Gfa)|<q>fa), ф(?)>с(8)^-е, ц3(?) = Ц@. то
Здесь функция G (#) мультипликативна. Действительно, если (^, q2)=\,
то
причем суммирование проводится по всем таким парам av a2> для
которых
0<ax<qv 0<a2<^2, (av gl) = (a2, q2) = l.
Когда аг и а2 пробегают приведенную систему вычетов по mod qx
и по mod q2 соответственно, то величина а^2-\-а^\ пробегает при-
приведенную систему вычетов по mod q\q2. Отсюда следует равенство
G (qx) G (q2) = О (qiq2), т. е. что G (q) — мультипликативная функция.
Поэтому функция \i(q)G(q)/qK(q) также мультипликативна, и по тео-
теореме 2.3 получаем
где
Отсюда следует равенство
Если число Л^—четное, то очевидно, что @(Л0 = 0. Если N — не-
нечетное, то все его простые делители не меньше трех. Отсюда сле-
следует, что
н tikk
2<р<оо

214 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Действительно, JJ A — <p__iy) ^ JJ (* г)» так как
2 < р <оо 2</?< оо
Pn-KPn+i — Ь если Рп есть п"е простое число. Тем самым лемма 5.3
полностью доказана. Из теоремы 5.1 и лемм 5.2 и 5.3 делаем сле-
следующее заключение.
Теорема 5.2. Для и^>2 и достаточно большого нечетного
N (N > N (и)) справедлива оценка
X(N)= J
§ 6. Остаточный член проблемы
Рассмотрим теперь величину
м2
Для каждого ??Af2, согласно § 4, выполняется по меньшей мере
неравенство вида
I q qx \ • /
где
:?. (а, <7)=1. F.2)
В этом параграфе мы докажем следующую теорему, из которой уже
легко следует утверждение 1 из § 1.
Теорема 6.1 1). Пусть 1 <q<N и (а, ?)=1,
| = 7+^' |0|<1< F'3)
Тогда имеет место оценка
I 9 ( 1 / 1 \ ) \
SN(Q = О \N ln2^K^-^ qN~1J -f-exp\—In2N) ]).
Для доказательства этой теоремы необходимы некоторые вспомо-
вспомогательные леммы, которые представляют самостоятельный интерес.
Для каждого действительного числа а через ||а|| мы будем обо-
обозначать расстояние от а до ближайшего целого числа. Следовательно,
|| а || = min (а — [а], 1 — а -f- [а]).
1) Виноградов [3], [5].

§ б. Остаточный член проблемы
215
Лемма 6.1. Пусть М и N — натуральные числа, Л4 < ЛЛ
Тогда для действительного %ф 0 имеет место неравенство
М < п
N— М,
1
F.4)
Лемма следует из равенства |е(#|)|=1 и из оценок
- е (Ml)
М < п < N
1
2 | sin itg| ^ 2||g||'
Лемма 6.2. Рассмотрим целые числа q, q' и g, причем
О <q' ^.q. Пусть на числах z=g, g-\-l, . . ., g-\-q' — 1 опре-
определена действительная функция p(z). Обозначим
Пусть далее
= max p (z) — min p (z).
g<z<g+qr g<z<g+q'
(a, q) = \.
Тогда при А > 0 имеет место оценка 1)
/. min( Л,
g< z < g+q'
При этом полагают min (Л, 1/0) = Л.
Доказательство. Положим
F.5)
F.6)
Тогда
В силу F.5) при некотором действительном В выполнены неравенства
В < Pi (*') < В + Я. @ < z' < qr).
Положим BX = B — [В] и обозначим через zn' = zn' (z) наименьший
положительный вычет величины az'-\-[B] по модулю q. Тогда по-
получим
1) Тривиальная оценка для суммы < qrA < qA.

216
Гл. VI. Проблема Гольдбаха
где b(zr) — целое число и p2(z") = &i +(Pi (zr) — В). Отсюда сле-
следуют неравенства
F-7)
Пока мы получили соотношение
Если q ^Х~\-3, то F.6) выполняется тривиальным образом, даже
без члена q In q. Пусть теперь q — 3 > X, в частности q > 3. Вели-
Величина z" пробегает часть чисел интервала 0, 1, . . ., q— 1, и, так как
q'<^.q, (a, q)—\, каждое такое число принимается величиной z
не более одного раза. Если мы положим ql = [B1-{-'k~\- \], то по-
поскольку к < q — 3, для qx получаем неравенства 0<ql<q. Кроме
того, очевидно, что 0^р2(^/)<^1. Для тех z, для которых z" =
= z"(z) — 0, q — qlt q — ^i+l. ...» q—1, имеем тривиальную
оценку
Число таких членов не превосходит
Следовательно,
z" B)=0, q-qu ..., q-\
Так как 0 ^ р2 {z") < qx для
— qv имеем
Поэтому
||ф («)|| = || \z
причем введено обозначение
г\ если z"
*\ = Z\ (г) =
Я—Яг — *"* если г"
Тогда в первом случае
|| {z"+ p2(z")}lq|| = {Z'
и соответственно во втором случае
F.8)
±q,
Всегда ^<^?» и величина zl = z1(z) принимает одно и то же
значение не больше чем для двух значений z, так как z'r принимает

§ 6, Остаточный член проблемы 217
каждое значение не больше чем при одном значении z. Из F.8)
следует оценка
, < itQ
при ^ > 3. Этим неравенство F.6) полностью доказано.
При р (г) — 0 соотношение F.6) переходит в неравенство
g+q'
которое лучше, чем тривиальная оценка qA для q > 6, In q < -- А
Введем теперь новый символ. Запись
А<СВ (В>0) F.9)
означает то же самое, что и запись А = О (В), Таким образом,
А <^ В равносильно | А | < сВ 1). Так же, как в символе О, кон-
константа с здесь может зависеть от некоторых параметров (например,
от е). От каких параметров зависит константа, чаще всего видно
из контекста. Так, например, имеет место соотношение \пх<^х? при
х—>со; здесь константа, входящая в символ <^, зависит от е.
Лемма 6.3. Пусть
где q— целое и \ — действительное число, причем
|=7+^"' (а> 9) = и |0|<1<
Пусть далее
Тогда имеет место оценка
S^:(W0 + q + Wq-l)\nW. F.11)
Доказательство. Разложим 5 следующим образом:
в случае, когда (у — -^jq < \^0 < (у + тг) ^' ПРИ ^о<-2-^» есте"
ственно, нужно записать только часть первой суммы.
1) Этот знак, введенный И. М. Виноградовым, сберегает скобки
для О (В), Для выражений вида А-\-0 (В), однако, символ О необходим.

218
Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Обозначим через zr = zr (z) наименьший неотрицательный вычет
az по mod q. Очевидно, что 0 < zr < q при 0<z<Cy<7. Так как
FЛ2)
и |6| < 1. при 0 < z <у? имеем
где
г' при z'-^-jq,
х
q—zr при z'> ^q.
Следовательно, для первой из сумм F.1Г) получим
Для остальных сумм применим лемму 6.2. Мы можем положить
в каждой сумме А, = 1, так как величина p(z) = Qzfq остается в ин-
интервале единичной длины, когда z пробегает последовательно числа,
не превосходящие q. Далее положим в лемме 6.2 A = w/[l—-^\q
для /=1,2,..., у. Тогда получим
Так как j
ние леммы.
-{- I и \nq -^\nW, то этим доказано утвержде-
утверждеТривиальная оценка величины S следующая:
Z<WO
Чтобы оценка F.11) была лучше тривиальной, величина Wo должна быть
мала по сравнению с W, а также с q и Wq~1.
Лемма 6.4. Рассмотрим какие-нибудь три последователь-
последовательности натуральных чисел. Будем предполагать, что иь и2, v не-
независимо друг от друга пробегают соответственно числа первой,
второй и третьей последовательностей. Пусть п пробегает все
значения иг • и2 и принимает одно и то же значение столько

§ 6. Остаточный член проблемы 219
раз, сколькими способами оно может быть записано в виде иг-и2-
Потребуем, чтобы
\<U<N, ?/<?/'<#[/, F.13)
где К > 1 — константа. Пусть, наконец, g — действительное
число
Если
то имеет место оценка
_i_
S^^l^iV^+^^ + t/^ + t/iVJ- F.15)
Доказательство. Обозначим
di(z)= 2 1. F.16)
Во всяком случае выполняются неравенства 0^^ (z)^d(z). Имеем
5= 2 iiW S e(zvt).
U' N
= 2 2 e{nvl) (/V>2, целое), F.14)
UU' N/
Из A,5.15) в силу F.16) следует, что
2
K
Применяя неравенства Шварца, получаем
и.
2 2 2 e(z(v — v')l). F.17)
U<z^U' v^N/z v'<N/z
При этом z пробегает при постоянных v, v' все числа интервала
длины не более (К—l)U. Применив лемму 6.1 с M = U, N = Uf,
получим, что !)
S^Uln^N S тт(и. „Е(Р1Р>)||), F-18)
v, v' <N/U
так как всегда N/z < NjU, и возможное расширение области сум-
суммирования может только увеличить сумму в правой части неравен-
неравенства. При фиксированном vr разложим область суммирования по v
на интервалы, длина которых не превосходит q. Очевидно, что
\\ Имеет место оценка 1 ? 2 е {г (v — v') g) | < S | ? ^ (г (^ — г/') Н) I.
vt v' z v% V' г

220 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
получится не более NU~lq~1 -j- 1 таких интервалов. К каждой из полу-
полученных сумм применим лемму 6.2, причем мы полагаем в этой лемме
v-v' = z, Ф(z) = ?z =
Так как Inq ^.inN, то
(
v' <N/U
U 1пЗ N -g- (-^ + 1) (U + q\n q) <i
Таким образом, неравенство 6.15 доказано.
Из A.5.20) вытекает тривиальная оценка для S:
\S\< 2 dx(z)
U<z*CU' v
Чтобы оценка F.15) была лучше тривиальной, q и Njq% а также U и
должны быть велики.
Доказательство теоремы 6.1. Пусть Р= Л р. Тогда
1
p<n2
|P
N <p<N
так как
у Г 1, если (я, Р)=1,
</|(л, Р) " \ 0, если (/г, Р) > 1.
Следовательно,
дЙ2
i/1 P
Разделим теперь интервал 0<m^A/" на подинтервалы вида
Ж<Ж/^2Л4; число таких подинтервалов не более чем
Положим
IiV(d) 2 e(dm\).
d\P MM'
1) В качестве начального интервала можно взять интервал (Л1, М'] •

§ 6. Остаточный член проблемы 221
причем суммирование по d ведется для d, не превосходящих N/M,
так как в противном случае внутренняя сумма будет пустой. Сле-
Следовательно,
2j, F.20)
где
21<С1пЛЛ F.21)
м
По лемме 6.1
Вообще говоря, здесь d пробегает некоторые делители числа Р, но
выражение в правой части неравенства может только увеличиться,
если проводить суммирование по всем dy не превосходящим N/M.
По лемме 6.3, примененной к W = N, W0 = NIM, получим
)\nN. F.22)
Обозначим теперь Я = ехр \\n2N). Для величины S (М) при
из F.22) и F.21) сразу же следует оценка
F.23)
так как \<q<Nt q~l-\-qN~l < 2 и Л <С ЛТ при Л < 2.
Пусть далее Ж < Я. Положим
Si(M)= 2Г |А(<0 2 e(dmQ, F.24)
где штрих обозначает, что суммирование ведется по тем ^, которые
не содержат простых делителей, больших чем Н2. Согласно лемме 5.5.2,
2Г ^
d<N/M
так как 1п(Л//М)~1п N(N-> со) при М < Я = ехр \ln2A/j. Отсюда
в силу F.21) и неравенства М'<^М получаем
Si (ЛГ) <С М • NM~lH~l = NH~\
2 ^ZIl <^N\nNH-\ F.25)

222 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Остается оценить сумму
м<н
Имеет место равенство
~ """" \х (d) e (mdQ,
где суммирование ведется только по тем делителям d числа Р,
которые имеют по крайней мере один простой делитель, больший
чем Я2. Запишем это равенство так:
5 (Ж) — Sx (Ж) = 2 [S'k (M) - S"k (Ж)}. F.26)
Здесь сумма Sfk (Ж) определяется равенством
Su{M)= 2 S e(dkml), F.27)
в котором б?? пробегает все числа d, d\P, которые содержат ровно k
простых множителей, больших И2. Число dk как делитель Р, очевидно,
свободно от квадратов. Сумма Sk (Ж) определяется аналогично, только
во внутренней сумме суммирование проводится по тем dk, для ко-
которых \x(dk) = —1. Достаточно оценить Su (Ж), потому что оценка
для Sk (Ж) получается так же.
Так как каждое d^N/m^N имеет <^1пЛ/ простых делителей,
то, очевидно,
N. F.28)
Сравним S^ (Ж) с суммой
Тк(М)= 2 2 2 eipd^ml), F.29)
ММ' d<N (^1
где в двойной сумме суммирование проводится по всем /? из интер-
1
вала Н2 < р <CN2 и по dk_1l). Каждое произведение pdk_v
(Р> ^-i)=l» встречающееся во внутренней сумме, равно dk из
внутренней суммы F.27), и каждое такое dk встречается в F.29)
ровно k раз, так как в качестве р можно взять любой из к раз-
различных простых делителей dk, больших чем Я2. Число членов в Tk (Ж),
*) Гак как p[Pt то

§ 6. Остаточный член проблемы 223
удовлетворяющих условию (/?, ^_1) = /?>1, в силу соотношений
М<^М и NlmN/M1
<:2 2i<c^ 2 p
р*п < Л7/И Р > Я2
р>Я2
Следовательно,
5;(Ж)=1г,(Ж)+О(Л^Я-2). F.30)
Оценим теперь величину Tk(M). Во внутренней сумме в F.29) раз-
делим интервал Я2<р<^Л^2 на <^1пЛ/" интервалов вида
Q<P<Q'> Q/<2Q<CQ
и положим
Tk(M) = ^Tk(M, Q), F.31)
Q
где
Tk(M, Q)= 2 2 2
M
2 2 {k
' Q<p<Q' db pm <TV, \x (d. ,) = -l
^ k'x Kk'° F.32)
Применим теперь лемму 6.4 при n — tnp, v = dk_1(\i(dk_l) = —1),
U = MQ, Ur = M'Qf2). Мы видим, что
2
Tk (Ж, Q) <C Af ln2iV (^~1 + ^~] -f- M~[Q-1 + MQ/V)"^.
_i_
Так как Н2 < Q < ЛГ2, то Ж"^'1 < Я, и ввиду того, что М < Я,
имеем оценку MQiV < ЯЛ/" 2 <^Н. Отсюда следует неравенство
F.33)
__ __ 1
так как, если а и C неотрицательны, то (а + РJ <Са2 +Р2-
F.31)-F.33)
1) Используется очевидное неравенство 2 ^ 2 < 2 я 2 <^ У ^
р > у л > у
2) Условие \ < U < N возможно выполнено лишь для N > No, но при
постоянном No теорема 6.1 для N^N0 тривиальна.

224 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Подставляя все это в F.30) и используя соответствующую формулу
для Sk (M), из F.26) получаем
5 (Л») - 6\ (Ж) <С 2 {11 Т„(М) | + О
так как ввиду F.28) справедлива оценка
к
Наконец из F.21) выводим соотношение
2
м <н
Отсюда и из F.23), F.25) получается утверждение теоремы 6.1.
Можно заметить, что доказательство теоремы 6.1 так сложно
главным образом потому, что различные тригонометрические суммы
сначала нужно разложить на подходящие части, к которым уже можно
применить леммы 6.2, 6.3 и 6.4.
Теорема 6.2. Каждое достаточно большое нечетное число N
представило в виде суммы трех нечетных простых чисел.
Доказательство. Пусть | ? М2 и ajq — дробь, для которой
выполнены соотношения F.1) и F.2). Тогда выполнены условия F.3).
Принимая во внимание F.2), из теоремы 6.1 получаем
^ F-34)
Выберем теперь и, которое до сих пор было произвольным, равным
числу 15. Тогда
S/v(s)<CiVln-3yV AеЩ- F-35)
Для величины У2 (W) находим
А
Л (Л0 = Г S% (I) е (- N1) dl <: max | SN (|) | f | SN (?) р d\ <
< шах | SN (|) | f | SN A) P d\ <: Л/2 In-* N,
что следует из F.35) и соотношения
1 1
j\SN(l)?dl=$ ^^eUPv- p2)l)dl=n{N).
0 0 p,,f!<iV

§ 6. Остаточный член проблемы 225
Из ^C.3), D.10) и теоремы 5.2 следует неравенство
r(N)>cN2\n-*N. F.36)
Величина г (Л/) — число представлений числа Л/ в виде суммы трех
не обязательно нечетных простых чисел. Так как N — нечетное число,
то в таком представлении или все три простых числа нечетные, или
два простых числа равны 2. Но имеется не более трех представле-
представлений числа N в последней форме!); следовательно, число представле-
представлений числа в виде суммы трех нечетных npocfbix чисел больше чем
cN2\n~zN для достаточно большого ЛЛ Теорема 6.2 тем самым
доказана.
Если считать в этих рассуждениях N четным числом, то для числа пред-
представлений N — 2 в виде суммы двух простых чисел получается оценка
0 (N2 \п~Л N) при сколь угодно большом А. Эта оценка не нова, так как
с помощью метода решета мы уже показали, что это число представлений
есть величина порядка
O(N\n2N/ln2N)
(теорема 2.4.8). С помощью E.10), кроме теоремы 6.2, нетрудно получить
асимптотическую формулу для величины г (N) вида
г (N) ~-1 © (N) (\ + о A)) N*/ln* N.
Для числа г' (N) представлений числа N в виде суммы двух простых чисел
имеет место формула, аналогичная C.3):
e(-Nl)dl F.37)
Теперь можно опять разложить область интегрирования (интервал [— 1/т,
1 — 1/т)) на области Мх и /И2. Несколько изменяя Мх и М2 найдем, рас-
рассуждая, как при доказательстве теоремы 5J, соотношение
J{ (N) ~ Г (N) Af {N),
где
V (N) ~ cN/In2 N,
- S Я&2И-»7)« S
причем В — положительная константа. Следовательно, величина J{ (N) <^
<^ N ln2 N/\n2 N. Кроме того что оценка снизу величины A' (N) трудна,
в этой проблеме до сих пор не удалось дать нужную оценку сверху
величины
м2
1) Например, 9 = 2 + 2+5 = 2 + 5 + 2 = 5+2+2

226 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Грубая оценка
м2
недостаточна, так как правая часть неравенства есть величина порядка
N/lnN (см. задачу 1).
§ 7, О представлении четных чисел в виде
суммы двух простых чисел
В этом параграфе мы докажем следующее утверждение:
Теорема 7.1. Число не превосходящих х четных чисел, ко-
которые не представимы в виде суммы двух нечетных простых
чисел, есть величина порядка 0(х/1плл;), где А — сколь угодно
большая константа.
Рассмотрим достаточно большое натуральное число N и определим
величины SN и SN формулами C.2) и C.12). Пусть и — произвольное
положительное число, а знак 2 2 указывает на то, что суммирова-
q a
ние ведется по q и а, удовлетворяющим условиям
1<<7<1п"ДГ, 0<а<<7, (а, 0 = 1.
Через гг (п) обозначим число представлений числа п в виде суммы
двух простых чисел, не превосходящих N. Следовательно, гг (п) = О
при /г > 27V. Нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.
Лемма 7.1. Пусть
G.1)
О q a
Тогда имеет место оценка
Iin W (п) - Г (п) А' (Л)}2 < Q (Л/), G.2)
где
Г(Л) =
q a
Доказательство. Величина А' (п) — действительное число,
так как а вместе с — а пробегает приведенную систему вычетов
по modtf. Очевидно, справедливо равенство
n<2N

§7.0 представлении четных в виде суммы двух простых
227
С другой стороны, согласно C.12),
<2/V
Из двух последних равенств следует1), что
Q(N)= 2 {r'(n)-~T'(n)A'(n)f.
tiK2N
Опуская члены с N < п <! 2N, получаем G.2).
Лемма 7,2. Имеют место неравенства
Доказательство. При п->оо
Так как
то отсюда следует левая часть неравенства G.4), Правая часть нера-
неравенства получается при помощи следующих вычислений (п ^ 4):
пи /г2> к п
Лемма 7.3. Пусть Ъ > 0—произвольное положительное число,
N > N ф) и а>Ь-\-\. Тогда при подходящем значении ?3 имеет
место неравенство
А'{п)>съ. G.5)
Это неравенство справедливо для п = 0 (mod 2), 0 < п <^ -/V, за
исключением O(Nin~bN) значений числа п,
Доказательство. Положим
Заметим, что для действительных ап
2 F ал^

228
Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Как при доказательстве леммы 5.3, можно показать, что В (q, п)—
мультипликативная функция от q. Поэтому для свободных от ква-
квадратов чисел q имеет место равенство
B(q. n) =
P\Q
t п).
где
В(р, п) = \
р\п.
Для чисел q, содержащих квадраты, значение B(q, п) равно нулю.
Далее
А'{п)=
оо
B(qtn)=%B(q,n)— 2 В (q, n). G.6)
u
q>\nuN
Бесконечные ряды абсолютно сходятся по теореме 1.5.1, так как
*I=Пt^tf П е-
P\Q P\(Q,n)
П
p\(q,n)
при
, \i2(q)=l. По теореме 3.2.3 отсюда следует равенство
q-l р^п р \п
Для нечетных п функция ©' (и), определенная равенством G.7),
равна нулю. Для четных п
Далее, согласно G.6) при N ^> N (г) и при е<"о"» имеем оценку
B(q,n) <
= > d
. G.9)
(Через 2' обозначена сумма по свободным от квадратов числам.)
Пусть теперь п = 0 (mod 2), п ^ N, v (п) ^ ^51п2 Л/, причем
^(/г) — число различных простых делителей числа п, а ?5 > 0 будет

§7.0 представлении четных в виде суммы двух простых 229
более точно определено позже. Тогда
2/^1п^ /1п2. G.10)
2<
d\n
Для не превосходящих N чисел п, у которых число разных простых де-
делителей v (п) не удовлетворяет этому неравенству, выполняется оценка
d(n)>(\nN)c>ln2,
и их число по теореме 1.5.11
<С N In N/(ln N)c< In 2 = TV (In Л01"'5 In 2.
Если для некоторого п выполнено G.10), то, согласно G.9), при
N > N (е) имеет место оценка
2
q>lnaN
B(q, n)
<c4(lnN) -{"(i-e)-*5in2}# GЛ1)
Следовательно, она имеет место и для любого четного п, не пре-
превосходящего N, такого, что v(ri)<^ c5ln2N.
Если теперь мы выберем с5 настолько большим, чтобы выполня-
выполнялось неравенство #>c5ln2>?-f~l» a 8 настолько малым, чтобы
иA—e)>c5ln2, то из формул G.6) — G.9) и G.11) для всех
четных п, за исключением
<CN(\nN)l-C5ln2 <iV In-*N
таких п, следует неравенство Аг (п) > 0.
Лемма 7.4. Пусть пх пробегает такие числа nx^N, для
которых rf(n1) = 0, пг = 0 (mod 2), А'(пг)>с3, т. е. числа, не
представимые в виде суммы двух простых чисел. Для числа R(N)
этих чисел имеет место оценка
1 1
(АОIn3 N. G.12)
Доказательство. Так как г/(я1) = 0, по лемме 7.1
2 {Г (и,) Л'(я,)}2 <Q (АО-
Л,
Отсюда в силу леммы 7.2 и предположения А' (п{) > съ следует оценка
Следовательно,

230 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Теперь имеем
/?! 1<Я</?(Л0
Подставляя все это в предыдущее неравенство, получаем
Лемма 7.5. Пусть R' (/V) — число всех п, не превосходящих N,
п = 0 (mod 2), для которых г'(я) = 0. Тогда имеет место оценка
I i.
#'(A0<CQ3 (TV) In3 N + Nln-bN. G.13)
Это следует сразу же из леммы 7.3 и 7.4.
Теперь нужно оценить Q(N) методами § 3—б. В последующем N
всегда предполагается достаточно большим; насколько большим оно
должно быть, зависит от параметров г, и, bt t. Пусть x = N\n"tN1
причем сначала предположим только, что t^u, а позже определим t
более точно. Каждой дроби a\q с 1 < q < In" /V, 0 <; а < qt (a, q)= I,
мы сопоставим интервал faqt состоящий из тех |, для которых вы-
выполняется неравенство
G.14)
Можно доказать, что интервалы Jaq для достаточно больших N не
пересекаются, аналогично тому, как это было доказано в § 4 для Jaq.
Пусть М[ = ^ ^j'aq и Мг2 — множество тех |, ^[—1/t, l — 1/t),
которые не принадлежат Мг. Для каждого Е?[—М/т, 1 — 1/т) по
теореме Дирихле имеется некоторая дробь ajq со знаменателем
^ \п~п N, такая, что
^q-lN-l\TLuN. G.15)
Если для 1?М'2 выполнено G.15), то должно быть 0<а/#<1,
так как для каждого | ^ Жг имеет место неравенство 1/т < | <
< 1 — 1/т (потому что Уо1=[—1/t, 1/т]) и, кроме того, q~lN~l \nu N^C
<ЛГ! lnwA^</V 1г/Л/= 1/т. Если выполняется G.15), то для
??^2, кроме того, должно выполняться соотношение \пи N <. q ^.
<^N\n~uN, так как в противном случае ввиду неравенства t^u
было бы l?JaqC:M'i. Следовательно, для каждого ??^2 существует
такое a/q, что
G.16)
0<a<q, (a,q)=l.

§7.0 представлении четных в виде суммы двух простых 231
Так как SN(Q и SN(q, ?—я/?)— периодические функции с периодом
единица, то
1—1
l-1/t
i
-1/t
q a
= J+ J=
Далее получаем
q a
' dl =
aq
, a
где
обозначает суммирование по а и #, удовлетворяющим
условиям 1<<7<1пмМ, 0<я<^, (я, q)=l, ajq^ajq. Из нера-
неравенства | Л — 5 |2<; 2 (| Л р + | Б |2), которое справедливо для всех
Л и Б, следует
G.18)
при N->co.
<С
ПРИ Af~>-oo можно оценить так:
G.19)
Теперь займемся последовательно оценкой всех Q[t ..., Ql.
Лемма 7.6. Величина Q[, определенная в G.18), при N->oo
удовлетворяет соотношению
-cYWn, G.20)

232 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
Поскольку | §дг |<^ ЛЛ в силу теоремы 3.3 для
Если теперь положим 6 = 1 /т = TV"" In N, то ввиду того, что
q a
получим соотношение
Q'i (АО <С 2' 2 6 {N'e-^^f <C N\-'
q a
причем константы могут зависеть от и и t.
Лемма 7.7 Для величины Q[, определенной формулой G.18),
имеет место оценка
Qi (ЛО <С Л^3 (In Ы)~ы+Аи (N -> оо). G.22)
Применим неравенство Шварца
q, a
4
. . G.23,
q, a=jt=q, a
Для ^^Jaq и a\q=ha\q имеем \\ — a/q\> Ь=1/х, так как интер-
интервалы Jaq не пересекаются. Поэтому из леммы 5.1 следует, что
SN(q, ^ —4-
Подставляя это в G.23) и принимая во внимание G.21) и определе-
определение Qi (N), получаем1)
Qi (АО <С 2' 2 & In2" N • 1п2м N . (q~1+e бL.
q a
Отсюда при достаточно малом е, поскольку
q a
следует утверждение леммы.
l) 2'S <С^^п2"^г- Каждая из сумм в G.23) оценивается через \n2aNt
q a
а суммы из G.18) сохраняются.

§7.0 представлении четных в виде суммы двух простых 233
Лемма 7.8. Для величины Q2, определенной формулой G.19),
имеет место оценка
Q2(A0<<N3(lnA0-("-8) (N->oo). G.24)
Доказательство. Для каждого ??Ж2 существует некоторая
дробь ajq, удовлетворяющая G.16). Следовательно, применима тео-
теорема 6.1. Для Ыи N < q<-CN\n-u N это дает
Отсюда следует неравенство
1
q'2 (N)= J i sN (|) |4 d% <c л;2 (in N)-{a-9) J | sN © |2 d%.
Так как последний интеграл равен я(ЛГ)» получаем G.24).
Лемма 7.9. Для величины Q2, определенной в G.19), имеет
место оценка
С?2 (N) <^i Nz (\n N)~3t+2a (N->oo). G.25)
Доказательство. При ??М2 для всех а и q, удовлетворя-
удовлетворяющих условию l<j7^1n"Af, 0-^а<^, (^, у)=1, имеем ||—а/#|>6=
= N~1\n N. Так же как при доказательстве леммы G.7), находим
q а б
Доказательство теоремы 7.1. Положим в наших рас-
рассуждениях t = 5u/S. Тогда из формул G.17) — G.19), а также
G.22) —G.25) следует
Подставляя это в G.13) и полагая и = ЗЬ-\-12, получаем
1 4
R' (N)<^N {(In Л/)~ з"(""8)+^ + In"* iV} <C ^V In-* N.

234 Гл. VI. Проблема Гольдбаха
При n^N величина гг (п) есть число представлений п в виде суммы
двух простых чисел. Для четного п > 4 оба простых числа должны
быть нечетными. Так как Ъ было произвольным, теорема 7.1 тем
самым доказана.
Изложенный в этой главе метод имел много других применений. Так
например, И. М. Виноградов [4] показал, что
2 e(pkl) <С N ln-AN, k>l
для %?М2 (при некотором определении М2 = М2 (А) и сколь угодно боль-
большом Л), и сделал возможным решение аддитивных проблем, в которых вместо
простых чисел появляются степени простых чисел. См. монографию Хуа [1].
Задачи к главе VI
1. Докажите соотношение
м2
в котором М2 обозначает подмножество [— 1/т, 1 — 1/т), введенное
в § 4. Из этого соотношения следует, что существует такое g ? Ж2,
что
2, Пусть /(Л/) — число решений уравнения
Pl + P2 = Ps-\-p4
с простыми числами pv /?2. /?3» Pa^-N. Докажите, что
где с(ЛГ)>с>0 для достаточно большого N.
3. Найдите асимптотическую формулу для числа решений урав-
уравнения
4. Выведите асимптотическую формулу для числа решений урав-
уравнения
где pv pr ..., p'm^N, аналогичную формуле задачи 2.
5. Докажите, что почти все четные числа могут быть представ-
представлены в виде разности двух нечетных простых чисел.
6. Докажите, что каждое достаточно большое нечетное число
может быть представлено в виде суммы трех неравных простых чи-
чисел и что почти все четные числа могут быть представлены в виде
суммы двух неравных простых чисел. (См. Рихерт [1].)

Глава VII
ТЕОРЕТИКО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА /ФУНКЦИЙ.
ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Функциональное уравнение
Рассмотрим целое число k^l, характер у по mod k и соответ-
соответствующую /.-функцию L(s, у). В гл. IV было показано, что функции
L (s, у) аналитически продолжаются на область а > 0 и регулярны
там, за исключением функции L(s, у0), которая имеет при 5=1 про-
простой полюс с вычетом ср (&)/&. Покажем, что L(s, у) продолжаются
на всю плоскость и удовлетворяют там некоторому функциональному
уравнению. Будем употреблять обозначения гл. IV. Если /*, так же
как в гл. IV, — единственный характер по modi, то ?(s) = L(s, jQ,
и в этом частном случае мы получаем функциональное уравнение
для ^-функции.
Теорема 1.1. Пусть у — примитивный характер по mod&.
Положим1)
0 при х(—1)=Ь
1 при х<-1) = -1. (М)
т. е. а — -к(\—у(—1)). Тогда L(s, у) регулярна по всей пло-
плоскости, за исключением случая k — 1, y = y*0. В этом случае
L(s, x*) = ?(s) имеет при s=l простой полюс с вычетом 1.
Для всех у
*-1 1
—5, y) = e%2Bnysk 2 cos у (s — а) л- Г (s) L (s, %), A.2)
причем г% обозначает константу с |ех|=1, зависящую только
от у. Функция
(^I($+а)г(±(з + а)I<(з, х). A-3)
удовлетворяет уравнению
1A—s. y) = e%l(s, у) A.4)
») Так как {% (— I)}2 = х ((— *J) = % С1) = L т0 X (~ 1) = ± 1 для лю-
любого %. Поэтому теперь мы считаем характеры определенными для всех
целых чисел (гл. IV, § 2).

236 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
и является целой функцией, кроме случая k = l, -? = y^, когда
она при 5=1 и s = 0 имеет простой полюс. Если в этом слу-
случае положить
5^)), A.5)
то имеет место равенство
l(s) = l(l—s) A.6)
и %(s) — целая функция.
Для доказательства теоремы 1.1 мы используем формулу, сле-
следующую из (П.6.1),
При о > 1 имеем
оо
и
п ли On (Л 7\
Перемена местами суммирования и интегрирования здесь возможна.
Действительно, е~ип < е~пЬ при и > 6, и ряд под знаком интеграла
в A.7) сходится равномерно в области 0 < 6 < и < со (а > 1 — по-
постоянное). Отсюда следует, что
со со
2 f X (и) e~ttnu$~l du = J ^ X О) e-unus~l du,
n Ь Ь n
где ряд в левой части сходится равномерно по 5 и со в области
О < 6 < со < оо, так как
J e~n
Л1 < л < Л? 0 M</z<7V
Если и = 0, то при а> 1 имеем JjXW^"*^5*1 = 0 и из A.7) сле-
п
дует, что
оо
Ы F (м) в* dw- A -8)

§ 1. Функциональное уравнение 237
где при #>0 функция F (и) определяется равенством
Будем считать теперь и комплексной переменной и вместо интегри-
интегрирования по положительной действительной оси будем интегрировать
по пути С = Сг ~\- С2 -f- С3, где Сх — прямолинейный кусок от со
до произвольного положительного числа б, С2 — круг |#| = 6, про-
пробегаемый в положительном направлении, и С3 — прямолинейный ку-
кусок F, оо). На Сг
llS—l =— ^E—1) In a
причем In я принимает действительные значения. После обхода С2
значение F (и) не изменяется, a us~l приобретает сомножитель
e2m(s-\) _e2nis^ j-jpH u ^ о имеет место равенство
Х@
0<*</г /is/(mod*)
I—-e n"
и с помощью аналитического продолжения получаем, что это равен-
равенство верно также для любого и. Следовательно, F (и) имеет особен-
особенности самое большее в точках и = 0 и и = 2л1т/к, т = ± 1, ±2, ....
Выберем теперь б настолько малым, чтобы последние названные точки
лежали вне С2, и положим (С = С1-\-С2~\-С2)
J(s) = Jc(s)= J F(u)us~ldu. A.10)
с
Этот интеграл равномерно сходится не только при а>1, но и
в каждой ограниченной области плоскости переменной 5. Так как
на С нет особенностей F(u), и для действительного #>0
I F(и) |<; 2 е~пи ~е~и (и—>оо), (\ ц\
л v • '
то функция J(s) регулярна во всей плоскости и, следовательно,
является целой функцией. Чтобы восстановить связь между J(s) и
L(s,x)> предположим сначала, что a = Res>l, Согласно A.9),
в окрестности точки и = 0
X @ ^ ~ >и (е и — 1) = с

238 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функци
где Ео определено так же, как в D.5.11), а константы в О( ) мо-
могут зависеть от k. Таким образом, F (и) = О(\/и) (и->0) и
1
F (и) us~l du
|6a-l
¦О
при 6->0 @ > 1). Отсюда при a> 1 получаем
О
J(s) = J F(a)us-1
F(u)e2siisus-ldu =
CO
= (е2л/*_ i) J F(u)as'ldu.
Согласно A.8), из этой формулы следует, что
Так как функция J (s) регулярна во всей плоскости, то формула A.13)
показывает, что L (s, %) можно аналитически продолжить на всю пло-
плоскость. Из A.13) следует также, что L(s, у) может иметь особен-
особенности только в нулях функции (е2ли—1)Г($). Множитель (e2nis—1)
обращается в 0 при 5 = 0, ± 1, . . .; Г(s) в нуль не обращается, так
как 1/ГE) — целая функция. Из гл. IV известно, что 5=1,2, ... —
регулярные точки L(s, х)> кроме s= 1 при х = %1 (характер % пред-
предполагался примитивным). При 5 = 0, — 1, — 2, ... функция (e2jxis—1)Х
X Г (s) Ф 0, так как нули первого сомножителя совпадают с полю-
полюсами Г (s). Поэтому L(s, x) ^ля любого примитивного Х^Хо Ре"
гулярна во всей плоскости и С (s) = L (s, %*A регулярна во всей
плоскости, кроме простого полюса при $=1,
Теперь можно оценить J(s) с помощью подходящего выбора С еще
другим способом. Положим R = 2nW-]~-~\/k, где N^\—целое,
и обозначим через С =С (R) путь С = Сг -\- С2 ~\- С3 4- С4, а от-
отдельные пути определены так: С( = (/?, 6), С2 — так же, как выше,
Сз = F, R), С\ — квадрат с вершинами ± R ± IR, пробегаемый в от-
отрицательном направлении. Покажем, что F (и) на С4 остается меньше
некоторой константы К, не зависящей от N, Согласно A.12), F (и)
равна сумме членов

§ 1. Функциональное уравнение
239
и так как Rk = 2n\N-\--^-\, то, например, при
< а < /?, имеет место равенство
= u-\-iR, —R <
Это выражение остается ограниченным, так как k > А —- / ^ 0.
Аналогично доказывается ограниченность F(w) и для остальных
частей С4<
Пусть теперь a = Re s < 0. Имеем
[ «*-i | = | exp {(s — 1) (In | и | + / arg и)} | =
= exp{(a— 1) In | и
= e-\-it).
Если и ^ С4, то 0 ^ arg a ^ 2я, | й | ^- /?; следовательно, | ^z5"
c=cE). Отсюда следует, что
(u)us~lda
8/? . К
со),
причем константы могут зависеть от k и 5, Поэтому при а < 0
lim Г F(u)us-ldu= \ F(u)us~ldu = J(s). A.14)
Но, с другой стороны,
F(u)us'ldu = — 2л/2 Res
где суммирование распространяется на вычеты в особых точках, лежа-
лежащих внутри С. Внутри С us~~l определяется как exp {(s—1Iп«},
где \пи — продолжение внутрь С (т. е. без пересечения действи-
действительной положительной оси) ветви логарифма, действительной на С\.
Внутри С/ полюсы F (и) находятся самое большее в точках u=2nimlk,
w=±l, ..,, ± N, Следовательно, принимая во внимание A.9), из

240 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
написанного выше выражения получим1)
[ F (и) us~l du =
mod
/ mod
m=l
mod
mod
—5-/)}. A.1Б)
J
где (так же как в гл. VI) еA) = е2л1%. Положим теперь
A.16)
mod
и будем различать два случая: 1) %(—1)==1 и 2)
В первом случае х(О = Х(—1)х(—0 = Х(—0 и
/ mod k
I mod k
mod k
так как / вместе с — / пробегает полную систему вычетов по mod k.
Во втором случае х@= — Х(—0» и также получаем
mod
Таким образом, в обоих случаях
J \ к I
J
2/sin у
v РОЯ ~~~
N
Для вычисления Skm нам потребуется следующая лемма.
!) Заметим, что, согласно сделанному замечанию, внутри С нужно поло-
1 3
жить Bmm/k) равным -^ п или -^ я, смотря по тому, m > 0 или < 0.

§ 1. Функциональное уравнение 241
Лемма 1.1. Пусть % — примитивный характер по mod&,
-1. Тогда для Skm из A.16) следует, что
Sktfn = 0 при (т> А)>1. A.18)
(яг, А)=1, mo ^п%тФ0, точнее
_ 1
S*,« = X (/»)$*,!• I5*,il = *2 <^я (m, *) = 1. A.19)
Доказательство. Пусть сначала
(mt k) = d>\, m = mld, к = кгс1, (mv k1)=\i
следовательно, в частности, А> 1. Тогда
A.20)
Покажем теперь, что если % — примитивный характер по mod&, то
2/, S
0</<ft, /ss
Очевидно, достаточно рассмотреть (/^ kx) = l. Так как % — прими-
примитивный характер по mod/г, то существует г, такое, что г < &,
(г, &)=1, г = 1 (mod Aj) и 1(г)Ф\. Затем, если / пробегает точно
по одному разу все вычеты по mod k, причем / = /2 (mod &j), то rl
также пробегает эти вычеты и каждый вычет ровно один раз, так
как (г, k)=\ и из rl' = rl" (mod А) следует /'==/" (mod &). Отсюда
и из X (г0 = X (г) X @ можно заключить, что
2
Так как х (г) ^ 1. то 2/i = 0» a отсюда и из A.20) следует A.18).
Пусть теперь (т, k) = 1. Тогда ml вместе с / пробегает все вы-
вычеты по mod k точно по одному разу и
X @ = X № X (т) = X (^0 X (т)-
Следовательно,
0<l<k
2 Х@«(х) = Х(^MЛэ1. A.21)
* mod к

242
Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Так как A.18) уже доказано и у(т) = 0 при (т, k) > 1, то A.21)
имеет место также при (т, &)> 1. Отсюда следует, что
m=l
С другой стороны, по определению Skt m
к к
25*.л,т-2 2 2 x«)t(ir)e{^(i-i'))=
к
так как
k, l — l' = 0(modk).
Сравнивая две последние формулы, получаем \Skfl\= k2, и прини-
принимая во внимание A.21), получаем A.19). Лемма 1.1 полностью дока-
доказана.
Доведем теперь до конца доказательство теоремы 1.1, Устремим
в A.17) N к со. Так как предполагалось, что o = Res меньше нуля,
то ряд в правой части A.17) сходится. Из A.17), A.14) и леммы 1.1
при /V->co (а следовательно, при R—> ос) в случаях /(—1)=1 и
X (— 1) == — 1 следует соответственно
2/ sin -я- 5л j
2 cos-t-
. 1
Sin -77 SK
COS
L(l—s.
A.22)
Мы можем утверждать, что |ЭХ|=1 сначала при а < 0, а после
аналитического продолжения и для всех s. Отсюда и из A.13) полу-
получается при %(—1) = 1
L{\ —s, х) = г 2 Bn)~sk 2 cos -^- sn • Г (s) L (s, x)» A.23)
и при х (—0 — "~~ ^
s i^5"" 2 sin 4 5Я . Г (s) L (s, x). A -24)

§ 1. Функциональное уравнение 243
где |ех|=1. Обе формулы вместе дают A.2). В частности, при
k = 1,' X = Хо получаем
?A —S) = e *2Bл)~6' cos 1-ns-Г (s^ts). A.25)
х0 z
При 5 = y отсюда следует
и так как гЩ = ят, а С(у)^=О (см. гл. IV, § 7), то е„* = 1.
(Это следует также непосредственно из Slm=l.) Применяя (П.6.4),
(П.6.3) и заменяя в A.23) Г (<?) на л"т2^'г( jS)t (jS-+ ij, по-
получим
Л A -5, х) = exn's'^k' ~~ sin 1 (s+1) яГ (у s) Г (I s 4-1) L (s, x)=
Следовательно, при x(—1)=1 имеет место равенство
и если х(—1)=1. й = 0, получаем A.4). Аналогично в случае
Х(—1)=—1 из A.24) получаем
Ц1 -s, х) = ехя"'"й51п
Следовательно,
A.27)
а это и есть формула A.4) для случая %(—1)=—1, #=1.
Точки 5 и 1 — 5 лежат симметрично относительно точки $ = -н-.
Так как ?A —5, x) = ?x?(s, Х)> т0 Для того, чтобы показать, что
при х Ф Хо функция l(s, x)» определенная с помощью A.3), является
целой функцией, достаточно показать, что при %ф%*0 функция |($, х)

244 Гл. VIL Теоретико-функциональные свойства L-функций
1
регулярна в полуплоскости а^>-тр "° эт0 следует из A.3), по-
поскольку L(s, х) и Г(уE + ^)) там регулярны при % фу^- Так как
е* = 1, то при &=1, а = 0, х = Хо> будет 1A—5, Xo) = !(s» Хо)-
Так же как и выше, отсюда и из A.3) следует, что функция l(s, Xq)
в точках 5=1 и 5 = 0 имеет полюсы первого порядка и всюду,
кроме этих точек, регулярна, потому что L(s, %l) = Z(s) регулярна
. 1
в полуплоскости tf^-ir везде, кроме полюса первого порядка при
5=1. Вычет при 5= 1 равен я 2Гь- =1, а при 5 = 0 равен —1.
Поэтому функция
1 1 --s /1 w
С, \Ь) ~cj о \Ь 1) С^[о, Хл) ~о" ^ V*^ IJJl I I'o'olbV'b^ (^l.Zoj
является целой, удовлетворяет равенству 1.6. Кроме того, ?@) =
= |A)= — , так как lim E—1)?E) = 1. Теперь теорема 1.1 пол-
костью доказана.
Можно явно вычислить ех (см., например, Чудаков [2]), однако нам это
впоследствии не понадобится. Приведенный метод доказательства принад-
принадлежит Риману [1], который естественно рассматривал только случай ?-функ-
ции. Другие методы вывода функционального уравнения см. Титчмарш [3].
Теорема 1.2. Пусть % — примитивный характер. Тогда
l(s> %)Ф® ^ областях а^>1 и а<^0. При %фу?о функция L(s, x)
имеет нули в области а<^0 только в точках s = — а,
— а — 2 При х(—1)= 1 это нули в точках 5 = 0, —2, ....
а при х(—\) = —1—в точках 5 = —1, —3 Функция
L(s> Xo) = ^E) 6 области а^О имеет нули только при 5 = — 2,
— 4, ....
Мы уже доказали в гл. IV, § 4, что L(s, %)ф0 в области а^-1
для любого х- Так как Г(s) Ф 0, из A.3) следует, что l(s, x) также
не равно нулю в области а !> 1 2). Так как % — примитивный ха-
характер, то имеет место равенство A.4) и отсюда следует, что
l(s> %) =? 0 в области а<^0, которая из области o'^l получается
зеркальным отражением относительно прямой s = -^. Поэтому из ра-
равенства A.3) получаем, что L(s, %) может иметь нуль только там,
Г (у (s -f- а)\ имеет полюс, т. е. в точках s = — а, — а — 2,
где
И также g E, %) ф 0.

§ 1. Функциональное уравнение 245
Согласно A.3), при % Ф %* эти точки действительно являются нулями
L(s, %), так как l(s, %) ф со при 0<!О. При X = Xq точка s = 0
не является нулем функции L(s, X*0) = Z(s), так как %(st yQ при
5 = 0 имеет полюс первого порядка, который взаимно уничтожается
с нулем —j-z—-. Согласно A.28), имеет место равенство
гИ
\ = -&@) = -1. A.29)
2
Напротив, в точках s = — 2, —4, ... функция ?,(s, *)Q Ф оо; сле-
следовательно, это нули ?(s) и эти нули — простые. Теорема 1.2 пол-
полностью доказана.
Нули, указанные в теореме 1.2, называются „тривиальными ну-
нулями" функции L (s, x)- Если исключить эти нули из рассмотрения,
то все нули L (s, х) ПРИ примитивном % лежат в полосе 0<а< 1.
Функция ? (s, x) может вообще не обращаться в нуль вне области
0<а<1. Из A.3) следует, что в области 0<а<1 функции
?($, х) и L(s, %)' имеют одни и те же нули, если только они
там имеются. Достаточно заметить, что М-^- (s-f-a)j Ф О, оо и
— (s + a)
(k/яJ Ф О, со в области 0<а<1. Полоса 0<а<1 назы-
называется критической. Мы докажем, что !•($, х)» а следовательно, и
L(s, x) имеют там бесконечно много нулей. Для этого используем
теорию целых функций конечного порядка (П., § 5).
Рассмотрим непримитивный характер х» и пусть х*—соответ-
х*—соответствующий примитивный характер. Так как функция L(s, %*) продол-
продолжается на всю плоскость, то из D.6.11) следует, что L(s, x) также
продолжается на всю плоскость. Заметим только, что в функции
при а>1 всегда n~~s = exp(—s Inri), p~~s = exp(—s In/?), причем
Inn и Inp берутся с действительными значениями, и поэтому функ-
функция p~~s во всей плоскости однозначна и регулярна. Согласно D.6.11),
L(s, %) имеет нули только там, где
Р\
Это произведение всегда конечно и обращается в 0 в точках, для
которых p~s — %*(р) при некотором /?, p\k, pJ(k*, т. е. в точках
5 = —\п%*(рI\пр. При этом In p имеет действительное значение,

246 Гл. VIf. Теоретико-функциональные свойства L-функций
а 1пх* (р) имеет бесконечно много значений, которые отличаются
друг от друга на 2mm. Так как |%*(/?)|=1, то Re In %* (р) = О,
и поэтому все нули лежат на мнимой оси в точках
n)/ln/?, го = 0, ±1
причем значение arg Х*(Р)— действительное. Таким образом, нули сим-
симметричны относительно действительной оси.
и
§ 2. Разложение частного -j-(s, X)
Пусть х—примитивный характер. В § 1 мы доказали, что функ-
функция l(s, %), определенная с помощью A.3), при % Ф Хо— целая и
что то же самое верно для функции i-(s), определенной равен-
равенством A.5). Покажем теперь, что эти функции—целые функции ко-
конечного порядка, и определим порядок этих функций (П., § 5).
Теорема 2.1, Пусть % — примитивный характер по mod&,
&^>1. Тогда |(s, X) пРи X Ф Хо—целая функция порядка 1. Еаи
р = р(х) пробегает нули этой функции ]), то
2| рГ1 = оо, 2|рГ<оо (а>1). B.1)
р р
Го же самое верно для функции ?(s) й ^ нулей. В частности,
эти функции имеют бесконечно много нулей в области 0 < о < 1.
Так как | ?A—s> X) 1 = |!(s» X) |» Т0 ПРИ o = Res>y доста-
достаточно доказать соотношение
Us, xXTexpi'sl14"^ (|5|->oo, a>i-) B.2)
(см. (П.5.2)J) и показать, что оно уже не имеет места, если 1 заме-
заменить на меньшее число (см. (П.5.3)). Из D.5.12) следует (даже для
любого х)» что
_L J_
L(s, X)<C*2|^I2 (НК^)' B.3)
где константа в <С] не зависит от k. Используя теорему П.6.1, от-
отсюда при |5|->оо получим
(i ), х)<С
} B.4)
1) Порядок следования при этом безразличен.
2) Так же, как в гл. VI, мы заменяем Л = О (В) на Л <^ В, если это
удобно.

§ 2. Разложение частного 247
(где константа опять не зависит от k). Этим соотношение B.2) до-
доказано. С другой стороны, для действительного а > 2
B.5)
и, согласно (П.6.7), при а—^оо имеет место равенство
Отсюда при достаточно большом а следует, что
2 I 1 ^
{|l + O()} B.6)
Поэтому B.2) не выполняется, если 1 заменить на меньшее число.
Следовательно, ?($,%) при % Ф %*0— целая функция порядка 1 и,
как это видно из B.6), ни для какого с > 0 не выполняется оценка
Из теоремы П.5.8 следует, что показатель сходимости последова-
последовательности р равен 1 и что 21 P Г расходится. Для ?, (s) имеет место
то же, что для ?($, %), %Ф%*^ потому что множитель -k-s(s— 1)
здесь не играет никакой роли. Так как по теореме 1.2 все нули
?($, х) и l(s) Должны лежать в области 0<а< 1, то теорема 2.1
доказана,
Другое доказательство того, что, например, g (s) имеет бесконечно много
нулей, следующее. Так как g (s) = g A — s), то ц-у + ' J^5 ) — однозначная
целая функция от s порядка -^-. Поэтому, согласно теореме П.5.8, она имеет
бесконечно много нулей и показатель сходимости последовательности нулей
равен -у.
Из теоремы П.5.8 следует, что для примитивного характера х Ф Хо
должно существовать разложение вида
(ХФ%1), B.7)
где р = р(х) опять пробегает все нули l(s, х)- А из § 1 известно,
что это нули функции L E, х) в области 0 < a < 1, Отсюда и из
A.3) следует

248 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Теорема 2.2. Пусть %— примитивный характер по mod k
« X =? & Тогда
i
() B.8)
р
причем р=р(%) пробегает нули L(s, %) в полосе 0<а<1.
}-1 * "Г A )" JJ JJ
? (s) = 2 {5 E - 1)}-1 л* "Г A 5)" *М+*о JJ J1 _ i-J вТ, B.9)
где р пробегает все нули ?(s) в области О < а < 1. В B.8) и B.9)
#0' #i» ^о» ^i—константы, и в произведении каждый нуль встре-
встречается столько раз, какова его кратность; константы а0 и ах
зависят от %•
Доказательство 2.9 аналогично доказательству 2.8.
При s = 0 получаем #0 = — In 2 и можно показать, что #1 = 7>-1п4я —
— 1 — -уу (Y — постоянная ЭйлераI), но нам это впоследствии не понадо-
понадобится. Из-за абсолютной сходимости произведения в B.9) безразлична после-
последовательность, в которой берутся сомножители, и можно считать р, напри-
например, упорядоченными по возрастанию абсолютной величины (а при одина-
одинаковой абсолютной величине в любой последовательности).
Если продифференцировать логарифм от выражения B.8) из тео-
теоремы 2.2, то получим следующую теорему2).
Теорема 2.3. Для примитивного %фу?0 справедливы равен-
равенства
Р
При этом р = р(х) пробегает в B.10) все нули функции L(s, %),
лежащие в области 0 < а < 1, а в B.11) — все нули ?(s) в этой же
области; аг и Ьх — константы, первая из них зависит от %.
1) Например, Ландау [5].
2) Как известно, можно дифференцировать почленно логарифм произве-
произведения Вейерштрасса.

§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции L(s, %) 249
§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции L(s, X)
Установим теперь верхнюю границу для числа нулей L(s, x)
в областях вида
Сначала нам потребуется оценка L(s, %) при o^-j.
Теорема 3.1. Пусть k — натуральное число. Для каждого
характера х по modk при любом о0^>-^
1 A) C.1)
причем константа в <^ может зависеть от о0, но не зависит
от k и t.
Пусть сначала % — примитивный характер. Тогда, согласно A.2),
имеет место равенство
tt(s — a)n-T(s)L(s, %)\. C.2)
Затем пусть % Ф xj. При -^ < а < а0 + 1 будет —а0 < Re (I —s) < -j
и по теореме 4.5,4, в области -q"^ а^ аоЧ~ * получаем
HI + 2J. C.3)
В той же области, согласно теореме П. 6.2,
Г(*)<Г(|*| + 2Hо+^Я|'1. C.4)
причем константа в <^ может зависеть от а0. Для любого 5
cos-x-(s — а) л
C.5)
Подставляя все это в C.2), получаем при -^ -^.о^.С10-\- 1, т. е. при
— o0<Re(l— »)<|,
Так как х вместе с х является примитивным характером, не рав-
равным xj» то отсюда при %->%, 1—s->s получаем C.1). Тем самым
утверждение доказано для примитивного х Ф Хо-

250 Гл. VIL Теоретико-функциональные свойства L-функций
Для L (s, Хо) = ? (s) имеет место а = а (%*Л = 0, и из равенства
C.5) и теоремы 4.5.4 при ^^а^°оН~^ следует, что
1 1 ^ {{ящ
так как функция cos-j ns • t>(s) регулярна при s=\. Подставляя это
вместе с C.4) в C.2), при k—1 получим утверждение также для
Х = Хсг ^сли характер х не примитивный, то рассмотрим соответ-
соответствующий примитивный характер х* по mod ^? (следовательно, k *\k).
Тогда в области — ^о^С0^"^" ПОЛУЧИМ
XJL V Р )\ -*¦¦-
Р\ k, р -Г /г* I p\k, p -Г k*
так как
П О-г-Ра°)< П A+Р°0)- C.8)
р\ k, p -f k* p\ (ft/A*)
Если а0 > 0, то 1 + р°о ^ 2р°о ^ р^о+1, тогда как при — у < а0 < 0
для любого целого т^>2
/71 т p<lnm/In2 /><21nm
<ехр 2 ^a°<exp(cln1+(Jow)<^;wi+^o, C.9)
/г<2 lam
причем константы зависят от а0!). Теперь уже доказано, что
при — ао<а<у, и вместе с D.6.11) это дает C.1) для любого
характера х по mod k.
Теорема 3.2. Пусть &>1, а а — любое действительное
число. Для любого характера % по mod k в области о^>а имеет
место равенство
L(s,%)=E0*^- + O{kc(\t\ + 2)% C.10)
где с = с(а) и константа в О ( ) также зависит от а.
для — 1<а0<0.

§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции L(s, %) 251
Эта теорема следует из теорем 3.1 и 4.5.4, так как первый член
в правой части (ЗЛО) ограничен, например при \s—1|>-^-*
Обозначим теперь через ЛЛДГ) число нулей L (s, %) в области
0<а< 1, И<7\
Мы знаем уже, что L (s, %) для примитивного % имеет на прямой о —О
не больше одного нуля, а именно в точке 5 = 0 (при %(—1) = 1, # = 0,
X Ф Хо)- ^ля непримитивного % функция L (s, у) имеет еще нули s, для
которых 1—х* (р) P~s — 0 Для некоторого /?, p\k\ все эти нули лежат на
прямой а — 0. На прямой а = 1 функция L (s, у) отлична от нуля для лю-
любого характера %. Следовательно, для примитивного характера % число нулей
функции L (s, х) в области 0 < а < 1 может быть только на 1 меньше, чем
в области 0 < а <; 1.
Теорема 3.3, При &^1, Т ^ 0 для любого % имеет место
оценка
2), C.11)
где константа в <^ не зависит от k и Т.
Пусть сначала % =? Хо- Применим теорему П. 5.2. Положим f(s) =
= L(s, A/)> so = 2-\-iTy r = у R и выберем R настолько большим,
чтобы область 0 <^ а < 1, 71</<^71 + 1 содержалась целиком в об-
области | s— s0 |^ y R (например, R = 6). При \s — s01<[ R по тео-
теореме 3.2 выполняется оценка
Кроме того,
Х(П) ~Х>~- C.12)
Если в теореме П. 5.2 взять в качестве чисел sv s2, ..., sm нули
функции L(s, х)> лежащие в области 0 <; а < 1, Г < ^ <С Г-f-1> то,
поскольку нули L (s, х) в области — Т — 1<^< — Т являются со-
сопряженными нулям L(st %), лежащим в области Т <t^Т-\-\, из
П. 5.10 получим C.11). Если мы применим теорему П. 5.2, так же
как и выше, к функции f(s) — (s—l)L(s, х)> т0 получим C.11)
для х = Хо- Это можно сделать потому, что в каждой полосе А <;
<^а<;Б имеет место 5—1<С!|^| + 2 (константа в <^ зависит
от Л, В). Следовательно, согласно теореме 3.2,
в каждой такой полосе. Оценку, более точную, чем в теореме 3.3,
дает следующая теорема.

252 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Теорема 3.41). Для любого % по mod& при Г^>2, k ^> 1
имеет место соотношение
Ny(T) = ±-T\nT~\-A(k)T-{-O(\nkT). C.13)
При этом Л (k) — действительная константа, зависящая от k
{соответствующая Г), и A(
Рассмотрим сначала х— примитивный характер, не равный %J.
Тогда все нули L (s, %) в области 0 < а < 1 являются также нулями
функции |(s, х)> определенной в A.3). Обозначим через С границу
5 3
прямоугольника с вершинами у ± /7\ —у ± iTt T ^2, пробегаемую
в положительном направлении, и пусть сначала на о±1ТУ 0<^а<7\
нет нулей L (s, %). Тогда на С нет нулей функции L (s, %), а внутри С
лежат N (Г) таких нулей или соответственно N (Т)-\-\ (для
x(-i)=-i).
По принципу аргумента имеем
C.14)
причем в 0A) учтена также точка 5 = 0 (которая, быть может,
является нулем функции L(s, %), но не является нулем ? (s, x))» и
Дс/ (s) обозначает изменение /(^), когда 5 пробегает путь С. Со-
Согласно A.3), имеет место равенство
дс afg I О' X) = дс
C.15)
Рассмотрим сначала изменение arg|(s, %) только на пути Сг, который
состоит из двух отрезков: (-=-, y-J-^Tj и f-j
делим первое слагаемое в C.15)
!) Для ^-функции (^ = 1) это утверждение сформулировано Риманом и
доказано Мангольдтом [1]. Метод доказательства см. Бзклунд [1].

§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции L(s, %) 253
Из теоремы П. 6.1 (в ней надо положить Ь = -^-\--^ а) следует для
второго слагаемого при Т^>2
= YTlnYT — уг + °0) (ЗЛ7)
Исследуем теперь Дс argZ,(s, х)« Пусть /я— число нулей ReZ(s, х)
на Сг (конечная точка исключается). Когда 5 пробегает один из т+1
кусков, на которые Сг разбивается нулями ReZ,(s, х)> то argZ(s, х)
изменяется не больше, чем на я, так как Re L (s, %) при этом не
меняет знак1). Следовательно,
A^argZCs. й<(»+1)я. C.18)
Так как
D J">0, C.19)
то функция ReZ,(s, %) не имеет нулей на прямой а = у. Поэтому m
равно числу нулей ReLE, х) на отрезке -о"^0^^"^' ^===^ и» так
как из LE, %) = L(s, %) следует
также равно числу нулей функции
на отрезке -к- < а < -^-, t = 0. Пусть п(Г) — число нулей /($, Т)
в области 5 — -су ^2. Тогда m-^n(T), Применим теперь тео-
теорему П. 5.2 в случае ,90 = ~^, г = 2, R •
По теореме 3.2 при
5 — -^
имеем оценку L(s-\-tT,
Та же оценка справедлива для L(s — lTt x).
1) На таком куске L (s, yw) должна лежать всегда или в правой, или в
левой полуплоскости.
2) При а > 1 это следует сразу из разложения в ряд L ($, у), а для
остальных 5 получается с помощью аналитического продолжения.

254 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-фунщий
следовательно, и для / (s). Далее, согласно C.19), /(-g-j = Re L[-^ -f-
4-/Г, х)>с>0. Отсюда и из (П. 5.10) при &>1, Г>2 полу-
получаем, что
m < я (Г)<С In {&* (Г -f б/} <С In kT. C.20)
Из C.18) следует, что A^argL^, x)<^ln&7\ Подставлял это и
C.16), C.17) в C.15) (с Сх вместо С), при &>1, Г>2 получим
C.21)
Так как ? (s, х) = ? (s, х) и X вместе с х является примитивным
характером, отличным от х*, то же соотношение справедливо для из-
изменения arg^(s, х) на отрезках (^ iT, ——/Г) и 1^-—iT, —V
Так как ^A—s, X) = e-^(^» X) (см. A.4)), то рассуждения, касаю-
касающиеся изменения для оставшейся левой половины пути С, таковы же,
как для правой половины. Следовательно, A^argK^, x) B четыре раза
больше выражения в правой части C.21), Если Т или —Т — орди-
ордината нуля функции L(s, у), то соотношение 3.13 получается следую-
следующим образом: так как Л (&) <<с^ 1п2& и 7^2, то существует е< 1,
прикоторомЛ/г(Г + е) = Л^(Г) и л (Г + 8Iп(Г + е) + Л(/e)G-f-e) +
-f О (In k (Г + е)) = n"lT \nT-\-A(k)T-\-0 (In kT). Поэтому, со-
согласно C.14), утверждение доказано для примитивного характера
X Ф Хо-
Для х = Zo> L(s, X^) = Z(s) доказательство протекает аналогично,
только нужно вместо функции ^(s, Xq) рассмотреть функцию ^(s)
(см. A.5)). Функция l(s) — целая, и нужно в прежних рассуждениях
вместо Ac,argZ,(s, х) взять ACi arg(s—l)C(^). В любой полосе
Л-^о^В по теореме 3.2 для k == 1 имеет место оценка
(s— l)?(s)<^(| ^ |—(— 2)^, с = с(А, В), доказательство протекает так же,
как и раньше, и мы не будехМ останавливаться на подробностях Если
характер х не примитивный, то рассмотрим соответствующий прими-
примитивный характер х* по mod&\ Согласно D.6.11), функция L(s, %),
кроме нулей функции L(s, x*)» иАмеет нули еще только в тех точках s,
для которых 1—х*(р)р-6 = 0 при некотором p, p\k, p /f k*t т. е.
s = \n х* (p)/ln р = / {argх* О) + 2ял}/1п р (п — целое).
Число всех таких точек в области 11 \ ^ Т равно
^ {-2|гГ1пр + ОA)} = ^г7'1п J? /» + O(ln2ft). C.22)
Dl ft, p-f ft* ' Pi ft,

§ 4. Явные формулы 255
так как число делителей р числа k, не делящих &*, во всяком случае
равно ОAп2&). Поскольку JJ p^k/k*, тем самым теорема 3.4
Р\Ь, P\k*
полностью доказана.
В частности, получаем
N* (г) <С Т In kT (T > 2). C.23)
Пусть теперь N (Т) — число нулей в области 0 ^ а <^ 1, 11 \ <J Т
всех функций L{s> х)> образованных с характерами по mod k. Тогда
А/ (Т) <С Ф (&) T\nkT<C kT In &Г (Г > 2). C.24)
Записывая C.11) для 0, 1,..., [Т] и суммируя, можно вывести C.23)
уже из теоремы 3.3.
§ 4. Явные формулы
В D.7.15) мы представляли сумму V х (я) Л (п) (х = N -\—^Л
через интеграл функции —г- и остаточный член. Теперь, применяя
B.10), установим связь между этой суммой и нулями р = р(^) функ-
функции L(s, х) в области 0 < а < 1.
Будем пока через р = $-\-iy = p(x)» P = P(X)» Y = VW» обозна-
обозначать нули функции L(s, х) в области 0<а< 1. Через ро = ро +
-J- 1у0 = р0 (х) будем обозначать нули L (s, %) в области 0 ^ а < 1,
исключая точку s = Q. Следовательно, множество р0 включает мно-
множество р. Для примитивного характера % множества р и р0 совпадают.
Для непримитивного % множество р0 состоит из множества р и отлич-
отличных от s = 0 нулей произведения ЦA—%*(p)p~s)* распространен-
распространенного на все /?, для которых p\k, р ^ k* (при этом х* по
mod^*—опять примитивный характер, соответствующий % по mod k).
Для любого х точки р(х) являются также нулями |(s, X*)« ^ак как1)
|E, х*) = ?»E' X*)» точки р(х) получаются из р(х) с помощью отра-
отражения относительно действительной оси, и так как L(s, %) = L(s, x).
то то же самое имеет место для ро(х) и Ро(х)- В частности, для
действительного х точки р, как и точки р0, расположены симметрично
по отношению к действительной оси, и то же самое справедливо
для любого характера % относительно нулей функции L (s, x) • L (s, %).
Из |(р,х*)=О следует Ц1 — р, х*) = 0, так как |A — s, x*) =
= 4*l(s* X*)- Отсюда, поскольку |(s, x*) = &(^. X*)» следует
1) Легко видеть, что (х*) = ЗС*»

256 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
|A—р, х*) = 0. Таким образом, нули р всегда лежат симметрично
относительно прямой о = -^.
Наконец пусть vo = v0(%) обозначает кратность нуля 5 = 0 функ-
функции Z,(s, х)- Для примитивного характера %, % Ф %1> по теореме 1.2
имеем vo(x)=l при X С— 1) = 1 и vo(x) = O при х(— 1) = — 1-
Кроме того, имеем vo(Xo) = O« Если х —не примитивный, то v0
увеличивается на число тех /?, для которых p\k, p>(k*, %*(p)=\.
Следовательно,
o<
р\ь
Нам нужна теперь приближенная формула для U\L.
Теорема 4.1. Для любого характера % по mod&,
D.2;)
При этом суммирование производится по всем р0 == р0 —|— /Yo»
мнимые части которых отстоят от t на расстояние <^1,
а величина а = а(%) определена формулой A.1).
Пусть сначала х Ф Хо и o-\-it — точка из области —1^а^2.
Применим теорему П. 4.2 и положим so = 2-\-it, r = 3, /? = 6.
Если 0 пробегает все нули функции L(s, x) B области \s — so|<C6, то
(при этом выбирается ветвь логарифма, для которой f(so) = O). Так
как g (s) Ф 0, оо при \s — 50|^6, то функция f (s) там однозначна
и регулярна. Если | $ — s0 \ == 12, то \(s0 — co)/(s — 0) | ^ 1, и поэтому
в силу теоремы 3.2
?(*)<С^(И + 2)С (|5 —^0| = 12). D.4)
Так как g(s) регулярна в области \s — so|^12, то D.4) имеет
место, в частности, также в области \s — so|<^6. Следовательно,
при \s — 50|<6 Re/(s) = ln|g"(s)|<clnfe(|*|-f-2). Поэтому при
\$ — <5oi^^ теорема П. 4.2 дает
f (s) =J^- (S, ti-^-L- <^lnk(\t\ + 2). D.5)

§ 4. Явные формулы 257
Следовательно, это соотношение верно, в частности, при $ = o
— 1<;а<^2. Но для такого 5
2 7^<С1п?(И + 2). D.6)
I lmo)-t\>l
Так как в области а<0 рассматриваются только нули 5 = —1,
— 2 то, используя теорему 3.3 и неравенство | Im со — t | <С б !),
получим
2 7^^ 2 1<СШ*(|*| + 2).
\lmo)-t |> 1 | Im оо~/1 > 1
С другой стороны, при |?|> 1, —1 <^а<^2 справедливо равенство
У -^-= У ——
а при |/|^1, —1<^а^2 справа добавляется еще член
-f-a/(s+l) + O(l). Но так как при 11 \ > 1 и — 1 <а< 2 из D.1)
следует, что vo/s •+¦#/($+ 1) <^ In 2^, то для всех ? имеет место
равенство
У —— = У — h^ + ^-r + O(\n2k). D.7)
Подставляя это выражение вместе с D.6) в D.5), получаем формулу
D.2) в случае х Ф Хо-
При %=Хо доказательство совершенно аналогично, только если
5=1 лежит в области \s — so|-^12, нужно вместо g(s) рассматри-
рассматривать функцию g (s) (s — l)[(sQ — 1). Тогда | (s — l)/(s0— Ь I ^ const
при \s — so|=12, и все остальное протекает так же, как в случае
%Ф%о> только в правой части D.2) появляется член —1/E—1),
если 5=1 лежит в области \s — 50|<!6. Если это не так, то всегда
\t\ > 1 и, следовательно, Eof(s—1) = ОA). Таким образом, в любом
случае в D.2) можно добавить член —EJ(s — 1). Тем самым теорема
полностью доказана.
При |?|;>2, согласно D.1), имеет место оценка —E0/(s—1) +
-\- vo/s-\-aj(s-]-l)<^\n2k. Поэтому для любого характера х п0
mod k из 4.2 следует равенство
4^-х)= 2 7
1) Область | Im со — ^|<6 содержится в двенадцати параллельных поло-
полосах вида Г<1т0<Г-|-1 и при | Irn со — 11 > 1 имеет место | s — со | < 1.

258 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Покажем теперь, что можно найти сколь угодно большую орди-
ординату tt для которой при —1<^а<^2 (в частности, в критической
полосе) —j-(p-\-itt x) не становится слишком большим.
Теорема 4.2. Рассмотрим целое число т^>2. Существует
последовательность чисел 7'm = 71m(x), т < Тт < m-f- 1, для ко-
которой при любом характере % по mod& (k^\) выполняется
оценка
?- (а ± 1Тт, х) | < с In2 kTm (- 1 < а < 2). D.9)
Здесь константа с не зависит от k, т.
Доказательство. Пусть Yoi <^Yo2 ^ • • • ^Yoy — ординаты
Ро(Х) и Ро(Х) в полосе т < t < т-\- 1, т. е. ординаты нулей функции
L E, х) • ^ E> X) в области 0^а<1, m<^<m+l. По теореме
3.3 J == j (m) <^\n km (k^>\, m^2). Если разделим теперь интер-
интервал (т, т-\-I) на (у-(-1) равных частей, то имеется по крайней
мере один подинтервал, который не содержит никакого yQi (t=l,
2, .... у). Пусть Тт — середина такого подинтервала. Длина каждого
подинтервала > c/lnkm, и поэтому для /== 1, 2 j имеет место
оценка | Тт — yQi \ > cj\nkm. Отсюда следует, что \Тт — Yo I > c/lnkm,
если Yo — ордината какого-нибудь нуля функции L(st x)*^E, х)-
Но так как эти нули лежат симметрично относительно действительной
оси, то одновременно имеет место оценка |—Тт — у0 | > с/\п km.
Если через Yo обозначить ординату р0, то при — 1 <^а<^2 из D.8)
следует, что
D.10)
Аналогичное соотношение получается и для —г-(о — iT , у}. Отсюда
Li
и из теоремы 3.3 следует D.9). Напомним, что L(st x)> кроме
Ро = р0 (х)> может иметь нули только в точках s = 0 и s = — (а-\- 2q),
q = 0, I, 2 При х = Хо НУЛЬ s = 0 отсутствует, в то время
как для главного характера Хо по модулю ^>2 всегда L@, Xo) = O-

§ 4. Явные формулы 259
Теорема 4.3. Пусть %— любой характер по mod& и k^l.
Из полуплоскости о^.— ^- исключим точки, лежащие в кругах
вида
|*4-я + 2?|<4' ? = °» !» 2' •••• DЛ1>
где а = у{1—%(—1)}. В оставшейся области О имеет место
оценка
¦?¦(*. Х)<С1пА(|«| + 2). D.12)
Пусть сначала % — примитивный характер. Из функционального
уравнения A.2) следует, что
= ех!л l BлM k 2 sin ~^(s-\-a)n • ГA—s)L(\—s, %), D.13)
так как Г($)ГA —s) = nlsinnsy и sinns/cos-^(s—a)n=2 sin-^(s-\-a)n.
Отсюда получается, что
™ (s> X)==: ^п'~~ь"^"о Tidg -2"E-)-a) л =r A—s) v-(l—s, %).
D-14)
Q
Если 5 лежит в G, то Re(l—s)^>у. Отсюда для s?G следует
— О—*. X) <2jA(«)« 2=OA) D.15)
и, согласно (П. 6.12),
1
Наконец, для s?G получаем
11A—s)<Cln|l—*|<С1п(М + 2). D.16)
так как ^/я (s+a^ — 1 — периодическая функция с периодом 2 и в любой
полосе —(a-{-2q)—1 <о<^ — (a-f-2#)-f-1 удовлетворяет условию
| еыE+л> — 1 | > с > 0, если исключить точки | s + а + 2? |<! Под-
ставляя это вместе с формулами D.15) и D.16) в D.14), получим
оценку D.12) для примитивного характера х-

260 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Если характер % не примитивный и %* по mod &* — соответствую-
соответствующий примитивный характер, то из D.6.11) следует, что
np-(x*(p)ps-iy\ D.17)
При а<^— у имеет место неравенство |% (/?)/?5—И ^ 1—20 ^.
^ 1—2 2. Поэтому сумма в правой части D.17) во всяком случае
имеет порядок <^ 2 In /? < In 2k, чем утверждение полностью
р\ь
доказано.
Положим теперь для любого характера % по mod k
| —0. Х)}= ^%(п)А(пI). D.18)
Л<ДГ
Здесь штрих обозначает, что для целого х член, соответствую-
соответствующий п = х, умножается на у. Выведем явную формулу, выражаю-
выражающую %(х, х) через х и нули L (s, %).
Теорема 4.4. Для каждого примитивного характера % по
при х^>2, Т^>2 имеет место равенство
ivK^ D.19)
оо
В(х. х)= 2 (+ag)
величины vo = vo(%) и do = do(%) задаются с помощью
разложения
б точке s=0 2), р пробегает все нули L (s, %) в области 0 < а < 1 и
R(x, T) <C-f On2 x + ln2 ft7^ + j^=r]7T для нецелого х9 D.22)
Л (а:, Г)<С-|-0п2д: + 1п2^Г) для ч^ого х, D.23)
R(x, Г)<у(ln2x + ln2^r) + lnx для б^х х>2. D.24)
0 Функция ^(л:, х) определена формулой D.7.9).
2) Следовательно, vo~ 1 при %(—1) = 1, x=^=xj и vo = O в противном
случае.

§ 4. Явные формулы 261
Здесь N обозначает целое число, ближайшее к х. Далее имеет
место равенство
x-(a + 2q)
G 0
a+2q >0
причем а определяется формулой A.1), а
==Iini 51 ПЕГ- D'26)
Доказательство. Пусть % — примитивный характер по mod k.
Положим в теореме П.3.1 ап = %(п)Л(п) = О (Inn), w = 0, b = 1 -j-
-f--j (a=l в силу D.5.26)). Тогда, согласно формуле D.3.4),
при х ^- 2 получаем, что
ь+п
%(х> Х) = — 2ST J Т"E' X)j7"^+/?1(j:, Г), D.27)
ь~п
где порядок величины Rx (x, T) не выше указанного в формулах
D.22)—D.24). Пусть теперь Тт — одно из чисел, определенных
в теореме 4.2 (Гт>2). Положим U = U{q) = a + 2q+\l ?>2 —
целое, и обозначим через Cv Сг и С3 отрезки ф-\-1Тт> —U-\-iTm),
(_U + iTm, -U — tTJ и (~U-iTm, b — iTm). По теоремам 4.2
и 4.3 на С1~\-С2-\~С3 нет особых точек -j-. Если обозначить
через R = R(q) внутренние точки прямоугольника, образованного
отрезками Cv C2, С3 и отрезком (b — iTm, b-\-iTm), то по теореме
о вычетах получим
2jt/ J L ^ ' **' s 2ш J L ^ * **' s
[--^-(s. %)^r\- D.28)
Чтобы оценить подинтегральное выражение, применим к подинте-
гральной функции в области —-^ ^.о^Ь = 1 -\-~. теорему 4.2,
и
или оценку — = 0A) в случае а>2 (см. 4.15), а в оставшейся
области применим теорему 4.3. Так как \п (в-{-Тт) ^ \п 2Тm при
и \п(в-{-Тт) < In2a при а>Гт>2, а также
J In 2a • х-* do < J In 2a . 2~g 6?a < ex?,

262 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
то
1
при q>Tm^>
и
L s
- 2 равномерно по q
и
+J
2
1 + 1/lnjf
; j in2 ki
i
In ^((У-{-Тт)
имеем
x°
m *m
* m
. D.29)
Далее получим, что при q->oo и постоянном Гт существует пре-
предельное значение интеграла, взятого по Clf и
С,
-r^X)-?-^^ f <€:-?-1п2ЬТп. D.30)
/
To же самое справедливо и для интеграла по С3. Далее по теореме
4.3 при q> Тт^>2 получаем
Г U Xs rm Y-(a + 2q+l)
и это выражение стремится к нулю при q->oo. Отсюда и из D.30)
получается, что при q->oo первый член в правой части D.28) имеет
предел и поэтому то же самое верно для второго члена. Следо-
Следовательно,
lim ^
Res { — 4~О> X) — 1l)- D.31)
Определим теперь отдельные вычеты в области а ^ 1, 11 \ < Тт.
Пусть 5 = pj—-нуль кратности vx функции L (s, %) в области 0 < а < 1.
Тогда
Res —^-($, x)J2_=-_Vl_±_ = _-V,^L. D.32)
5 = р, V L S J Pi Jmd P
P-Pl
!) Мы предполагаем, что члены суммы, соответствующие точкам из
области а < 0, упорядочены по убыванию действительной части.

§ 4. Явные формулы 263
Так как характер х предполагался примитивным, то L(s, х) имеет
на прямой о = 0 не больше одного простого нуля в точке s = О,
и из D.21) следует, что
Res I"ЧГ^ Х)^г} = -volnx — rf0, D.33)
где v0 равно 0 или 1. Вычеты, соответствующие простым нулям
L(s, х), в точках 5 = — (a-\-2q), q = Q, I, ...» отличных от 5 = 0,
равны x-(a+2<nj(a-\-2q). Таким образом, при % ф %*0 все особен-
ности -г- исчерпаны. При х = Х*о имеется еще полюс при s=\
с вычетом
Res {-¦?-(*. X*0)^}=Res {-^-W^-}»*. D.34)
Следовательно, если р = р —f- /у» то
\у \<тт
Устремим в D.28) q к бесконечности. Тогда
к Т }
D.36)
и порядок величины
не больше порядков величин правых частей в формулах D.22)—D.24).
Возьмем теперь любое Т^-2. Обязательно найдется такое Тт, что
2. Тогда R2(x, rj<C/?2(x, T) и по теореме 3.3
2 ?<е 2 Ifkf 2
так как | хр | = х$ < а:, 1/|р| < 1/71 <у (| v |>Л- Поэтому в равен-
равенстве D.36) можно заменить Тт на любое Т^2. Если положим
теперь R = R2(x, Г), то справедливы оценки D.22) — D.24), и тем
самым равенство D.19) доказано. Отсюда следует D.25), так как

264
Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
в силу D.22) и D.23) R(x, Т)—>0 при Г->оо и постоянном х.
В частности, при k = 1 получаем следующую теорему.
Теорема 4.5. Пусть %(х) = ~
при х ^ 2 имеет место равенство
0)}. Тогда
--^). D-37)
при Т ^2 и
/?(х,
\у\<Т
, дг, ) <^я нецелого х, D.39)
^ля ^^ло2о х, D.40)
для всех х Q>2). D.41)
р пробегает нули функции t>(s) в области 0<а<1.
Это утверждение следует из того, что здесь v0 = 0, так как
?@) = — -^ФО. Кроме того, do = % @)fc@), a = 0 и
Вообще говоря, в D.22) и D.39) \х — N\ можно заменить на наимень-
наименьшее расстояние, на которое х отстоит от целого числа вида рт, и эти
формулы останутся верными, если х не есть целое число такого вида.
Равенства D.19) и D.37) справедливы также при 1 < х<2; оценки остатков
для этого случая выполняются в несколько измененном виде. Можно пока-
показать, что ряд ^ *Р/Р из формулы D.38), в котором р упорядочены по воз-
возрастанию модуля ординаты, равномерно сходится в каждом замкнутом
jc-интервале, не содержащем целых вида рт. В интервале, который со-
содержит рт, ряд может не сходится равномерно, так как \|э0 {х) в точке х = рт
разрывна. По этому вопросу см., например, Ландау [5], [8]. Вообще ?' @) =
= — -у In 2jt Ф 0, но нам это равенство в дальнейшем не потребуется. Соот-
Соотношение D.37) представляет собой формулу, выражающую ф0 (х) через нули
^-функции. Риман впервые открыл формулы такого рода для несколько
более сложных функций
Л (л)
- 2 21-
In п
рт < х
п < х

§ 4. Явные формулы 265
Открытые Риманом формулы были впервые доказаны Мангольдтом [1]
(см., например, Ландау [5]).
Для различных применений нам нужна еще
Теорема 4.6. Пусть х =N -\--^, N^>2 — целое, k^\ и
X— любой характер по mod&. По теореме 4.6.9 в области
может находиться действительный исключительный нуль функ-
функции L(s, x). Обозначим его через f^. Тогда при х^Т%>2 имеет
место равенство
П<Х (x "" I \
+ O\jrln2kx + E1x4 \nkxj, D.43)
где 2' обозначает суммирование по нулям р = р(%) функции
L($> x) в области 0<а< 1, за исключением $х и 1—Pj!).
Пусть сначала х — примитивный характер, не равный хо- Так как
для примитивного характера х множества нулей р0 и р совпадают,
то из D.2J) при s = 0 мы получаем следующее выражение для dQ,
определенного в теореме 4.4:
1+ОAп2Л). D.44)
IYK1
Так как нули р лежат симметрично относительно прямой а=-о-,
то по теореме 4.6.9 функция L(s, x) не обращается в нуль в обла-
области а<1 — co/\nk(\t | + 2), s =? 1—рх и поэтому при р =? 1—рх
всегда 1/| р\^с In A(|y | + 2). Отсюда и из теоремы 3.3 получается
^ + 0A*2*). D.45)
(здесь и ниже члены, в которых встречается plf опускаются, если нет
исключительного нуля.)
Следовательно,
^ D.46)
1) Так как р лежат симметрично относительно прямой а = -у (см.
начало § 4), число 1 — pj вместе с р! является нулем L (s, %)• Функция ?j
определена в D.7.12).
2) Имеет место соотношение a/(s + l) = O(l) при 5->0.

266 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-фунщий
и поэтому имеет место равенство
S
t-+0(ln 2Л)- D-47)
По теореме о среднем для некоторого ах из интервала 0 < аг < 1— pi
**"" ' Г 1 = х°> In х <С ^-Pl In a:. D.48)
1 Р!
Подставляя это и D.47) в D.19) при jc == Л/" —H-q-» аг^Г ^2, получим
(*, 71) + О On2 2k + Ejjc1-!3' In a:), D.49)
так как vo = O или 1 и voln x — О (In x)t кроме того, получим
3 1
Согласно D.42), 1— pj < 1 — — = — . Поэтому, если % Ф ^ — при-
примитивный характер, то при лг^>Г^>2 из соотношения D.22), напи-
написанного для | а: — N | = -s-, получаем утверждение теоремы.
При % = %о утверждение теоремы содержится в теореме 4.5, так
как в этом случае k = 1 и нет ни одного исключительного нуля.
Если характер % не примитивный и %* по mod k* — соответст-
соответствующий примитивный характер, то по определению (см. 4.7.9) имеем
. X) = !>(*. X*)-
//"<.*•,
= * (х. Г) + О te 2 In /Л = ф (х, х*) + О (In х In 2Л). D.50)
V P\k j
При а: > Г > 2 имеет место оценка In x In 2k <C In2 &a; <C ^T1 In2 Aa:.
Тем самым равенство D.43) по существу доказано. Может, правда,
случиться, что хотя Pj и лежит в области а ;> 1 — со/\п %k*f но не
лежит в области а>1—со/1п2&, и тогда Е1(%^=\, но ?'1(х) = 0.
В этом случае D.43) следует непосредственно из теоремы 4.4
с помощью D.50). Действительно, согласно D.1), voln a:<^ Inxln2&,
и в этом случае член 1/A—р^ в правой части D.45) также равен
O(ln2ft), поскольку 1 — р2 > co/In 2k и, согласно D.44), 2

§ 5. Гипотеза Римана и ее следствия 267
§ б. Гипотеза Римана и ее следствия
Если применить теорему 4.6.9, то из теоремы 4.6 можно вывести
теорему 4.7.3. По теореме 4.6.9 при л;>Г>2 мы имеем
1 EЛ)
\\1<т
iрг1 E2)
2'ipr1- S' |ргг-ь
Поскольку в первой сумме справа всегда р Ф 1—рх, так же как
в D.45), убеждаемся, что первая сумма есть ОAп22&). Для второй
суммы правой части из теоремы 3.3 при Г^>2 получаем
2 iprl< 2 2 ipr1^
К\У\<Т 1<«<[Г] «<|yI<« + 1
<С 2 ±\nkT<^\n4T. E.3)
1<л<[Г]
Подставим все это в E,1)
J_ l_
Пусть теперь х достаточно велико, и k ^ exp In2 л:. Для Г = exp In2 л:
L I
имеем In2 д:^ InkT ^ 2 In2 x. Поскольку нас интересуют большие х,
можно предполагать, что х^Т^>2. Поэтому из D.43) и E.4) сле-
следует D.7.13), откуда, так же как в гл, IV, получаем D.7.20).
Если мы получаем какие-нибудь сведения о положении нулей р = р (х)
функции L (s, %) в области 0 < а < 1, то из D.43) видно, как это отразится
на функции ty(x, %). Чем меньше Rep, тем меньше \х9 |.
Риман [1] высказал гипотезу о том, что все нули ?(s), кроме
тривиальных s = —2, —4, ..., лежат на прямой а = у. Вообще
можно предположить, что нули всех функций L(s, %), образованных
с характерами по всем модулям ^> 1, в области 0 < а < 1 лежат
только на критической прямой о = -<т '. Ни обобщенное, ни перво-
0 Это предположение называется также «гипотезой Пильца».

268 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
начальное предположения Римана до сих пор не доказаны. Положим
E.5)
= max в ft). E.6)
d k
Так как мы уже знаем из § 2, что каждая функция L(s, %) в обла-
области 0<а<1 имеет бесконечно много нулей р = р(у), эти нули
лежат симметрично относительно прямой # —tj- (см. начало § 4),
то y^9 (х)<^ 1» ^9^^^ Обобщенная гипотеза Римана давала
бы, что dk = ~2 для всех k^>\. Но до сих пор никто не смог даже
показать ни для какого k, что 6^< 1. Это означало бы улучшение
теорем 4.7.3 и 4.7.4, которое вытекает из следующей теоремы.
Теорема 5.1 ]). Пусть х^-2. Для всех k^x справедливы
равенства
E.7)
ln х^ E-8>
где константы в О ( ) не зависят от k и I.
Доказательство. По лемме 4.7.1 достаточно доказать равен-
равенство E.7). Применим теорему 4.6. Из р2 <^ dk и Rep-^Э^ (поскольку
по нашему определению Pj в теореме 4.6.9 (^ может существовать
только при Уй>т) следует, что
\\\<т \у\<т
E.9)
Здесь сумма оценивается так же, как в E.2), E.3), и правая часть
не зависит от %. Отсюда, так как S^^-j, согласно равенству D.43),
написанному для 7" = 2;t1+V следует (сначала при x=N-\--^1
а затем также для всех лг^-2), что при k<^x
k\n2x). E.10)
Кох [1], Титчмарш [2].

§ 6. Другая явная формула 269
Из D.7.11) получаем E.7); равенство E.8) следует из леммы 4.7.1.
В частности, если обобщенную гипотезу Римана считать правильной,
то при k <^ х имеют место формулы
^) EЛ1)
п(х, k. Q = -±^ + o(x*lax). E.12)
Естественно, эти формулы имеют значение только тогда, когда л:21п2л:<;
i_
<; сх/у (&), где с достаточно мало, т. е. когда ф(?)<сх:2 In2 х. Это, в част-
1 /
ности, имеет место при k < сх2 / In2 x. Если обобщенная гипотеза Римана
считается верной, то, в частности, при всех k^x2 получаем
*(x*/) ^{1 + 0A)}> EЛЗ)
I /
где оA) зависит только от е. При х> k > сх2 / In2 x имеет место тривиаль-
тривиальная оценка п (х, k, I) < x/k < х 2 In2 х. При ха < k <^-^, а>-^, оценка
из теоремы 2.4.1 лучше, чем E.12). Если 9# = 1, то соотношения E.7) и
E.8) становятся тривиальными.
§ 6. Другая явная формула
Если вместо интеграла в D.27) напишем интеграл, подинтеграль-
ное выражение которого имеет вид (L'[L)F(x, s), где F(x, s) не
х3
обязательно равняется —, то получим явные формулы для некото-
оо
рых сумм 2 %(п) А(п)а(п, х), где при %(п) А(п) появляются неко-
торые, зависящие от F(x, s) сомножители а(п, х). Эти сомножители
(при подходящем F(x, s)) обеспечивают сходимость ряда. Такая фор-
формула потребуется нам позднее.
Пусть х — любой характер по mod к. Для действительного у > О
и любого действительного b определим функцию S(y, %, b) следую-
следующим образом:
оо
S(y, х» *)=2 %(п)А(п)пье-1п2^У. F.1)
л-2

270 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Так как ехр(—\п2 п/4у) <^п~в для любого постоянного В, то этот
ряд сходится для всех Ь. Из теоремы П.3.3 при ап = % (п) Л (пI)
ао=1, w = — b, f(s) = — 4т?' X)
получаем
. 2+loo
S(y. %. *) = /]/-J- J 4гE' Х)^+*Jу^ (У>0). F.2)
2-*оо
Теперь, если не оговорено противное, мы будем в отличие от преж-
прежнего обозначать через р = р (%) = р + 1у все нули s = р функции
L ($, х) в области 0 < а < 1.
Теорема 6.1. Пусть у^-1—действительное число, k ^> 1 и
X—любой характер по mod&. Если b — действительное число,
-j, mo имеет место равенство
5 (у, х, b) = 2 \пу J e{l+D)y ?0 — 2 *( Y У \ + 0 (In 2ft). F.3)
I p J
При этом р = р(х) пробегает все нули функции L(s, x) в обла-
области 0<^g< 1 {каждый нуль столько раз, какова его кратность).
Положим F(s) = -j- • ?E+&Jу . Пусть т^>2 иТт — одно из чисел,
введенных в теореме 4.2. Тогда из этой теоремы следует, что при
1 ... 3 ^
2-<С#<-4"И Iт->оо выполняется оценка
J F(s) ds <С In2 kTm • exp {— у (Т2т + О A))}.
Поэтому из теоремы о вычетах, примененной к прямоугольнику с вер-
вершинами 2±iTm, —b±iTm, при Тт->оо получаем
2+ioo -b+ioo
J F(s)ds= J F(s)ds + 2nl ^ ResFE). F.4)
2-/oo -b-ioo -b<0<2
о
Здесь интеграл в правой части существует. Поскольку—-j-<
< — b ^ — -н" и ПРИ У <> 1 имеет место оценка
-- 7
= у 2 J ln
о
Так как Л A) = 0, то ах = 0.

§7,0 наименьшем простом числе в прогрессии 271
то по теореме 4.3
— Ь+1 оо оо
Г С L'
I F(s)ds = i I -j- (—b-)rit,%)e-
— оо
О
Остается еще вычислить вычеты в равенстве F.4). В области
— ?<а<2 можно рассматривать как особые точки функции U\L
только точки 5=1, s = р. Имеем
где vp обозначает кратность нуля s = p функции L(s, %). Тем самым
равенство 6.3 доказано.
Заметим, что ряд в F.3) сходится абсолютно и равномерно в каждой
области 1 < у < А < оо. Пусть plt р2, ..., рп—нули функции L (s, %) в области
0<а < 1, ?>0, упорядоченные по возрастанию ординат. Иначе говоря, если
рЛ = рп (%) = рл -|- iyn, то 0 < Yi < Y2 < • • • (Р с равными мнимыми частями
располагаются в любом порядке). Тогда, согласно C.23), при уп -> оо имеет
место n*CNx(yn)<<^ynlnkyn. Отсюда, например, следует, что фупJ > схп
или у2п > с2п, с2 = с2 (k).
Поэтому при 1 <; у < Л получаем
ехР {(Ря + bf У) <^ ехР (—У2пУ) <С ехр (— с2л),
где константа в <^ зависит только от А, и равномерная сходимость ряда
из F.3) доказана.
§ 7. О наименьшем простом числе в арифметической
прогрессии
Пусть k — целое натуральное число и (/, k)=l. В гл. IV мы
показали, что всегда существует бесчисленное множество простых
чисел =/ (mod k). Можно спросить, насколько велико первое простое
число при данном к. Положим
Pl(k, /)= min p. G.1)
/?==?(modfc)
Теорема 7.1. Пусть А!>1, (/, k)=\. Для любого е>0
рг(к, l)<c(€)ek\ G.2)
причем с(&) не зависит от k.

272 Гл. VII. 1 еоретико-функциональные свойства L-функций
Доказательство. Из теоремы 4.8.3 следует, что я(х, ft, I) > О
при \nAx^k, k>ko(A) для сколь угодно большого А. Это значит,
что при х ^- exp ft , k > ko(A)t существует простое число /?, такое,
что p = l (mod k), p^Cx. Так как величина 1/Л при достаточно
большом А может быть сделана сколь угодно малой, то теорема
доказана.
Теорема 7.2 *). Пусть Qk, так же как б § 5, является
верхней гранью действительных частей нулей всех функций L(s, %),
образованных с характерами no mod ft. Тогда, если гипотеза
о том, что 9fe< 1, правильна, имеет место оценка
рх (ft, /) < сер (ftI/?-8*) (In ftJ/*1*) (ft >-2, (/, ft) = 1). G.3)
Доказательство. Из E.7) следует, что я|)(дг, ft, /) > 0, если
x/cp(k) > с^ * In л:, т. е. если при некотором сг xl~ k[\n2x > сгср (k).
Это выполняется, если при достаточно большом с2 положим
Ч G.4)
так как всегда In ф (ft) ^ In ft. Этим неравенство G.3) доказано.
Если, в частности, верна обобщенная гипотеза Римана (9Й =-2") •
то
Рх (ft, I) < су {kf In4 ft < с (8) ?2+s. G.5)
Если бы для всех ft было доказано, что 0fe<^0 < 1, то из теоремы 7.2
получили бы, что существует абсолютная константа С, такая, что
Pl(k,l)<kc (ft>2). G.6)
Туран [2] впервые показал, что неравенство G.6) выполняется, если
для всех х П(> mod k
К$,х)фО. если а>1— а, |*|<Л, G.7)
причем а, А положительны и не зависят от ft. Это мы сейчас
докажем.
Утверждение G.7) до сих пор не доказано. Однако Линнику [3] удалось
получить G.6) без всяких недоказанных предположений (см. гл. X).
Теорема 7.32). Пусть а и А — положительные действитель-
действительные числа, и пусть утверждение G.7) верно для всех ft ^2 и
любого характера % по mod ft3). Тогда имеет место оценка G.6).
О См. Човла [I).
2) Туран [2] (другой метод доказательства).
3) Очевидно, это верно тогда также при Л

§7.0 наименьшем простом числе в прогрессии 273
Доказательство. Будем предполагать, что ft ^> 2. Если при
1 положим
1_
S(y,k,l)= 2 К{п)п2е-™п№, G.8)
rt==/(mod k)
то из F.1), (б.З) и D.2.11) следует, что1)
S(y, k, l)=q>(k)-1
ОС mod k
^ y)
+O(lnft); G.9)
x p
обозначает суммирование по нулям всех ^-функций, соот-
х р
ветствующих характерам по mod &, в области 0 ^ а < 1. Введем
величины y(x) пРи помощи равенства
p = P4-'Y=l —ЛН-Zy- GЛ0)
Тогда 0<6<1 и, согласно G.9),
S(у, ft, 0 = с1(
\ % р
+ О (In ft), G.11)
где
Л F, y) = 6C— 6) + Y2 — ^'YC — 26),
причем 22 обозначает суммирование по всем нулям 1 —6 + iy всех
х р
функций L(s, х) (X по mod ft). Так как 0<6<1, то
Re Л F,
Отсюда следует, что
1 1
5(у. *. /)>ед(^Г1У2^4УA-
\ х р /
G.12)
Если условие GJ) выполнено, то, используя C.11) или C.24) при
у ^> 1, получим
S S exp{-yF + Y2)}<S 2 *у<С
X p.lvK-A X р, IVK-A
). G.13)
!) Имеет место равенство f(ft) 2 In ft = Ink
k

274 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Пусть m — ближайшее к А целое число, m > Л, т^>1. Тогда,
согласно C.11), имеет место оценка
2 exp{-yF + Y2)}< 2
Р, I Yl> A p, IyI > A
= B+2
<С In Л (/и + 2) г-^ + 2 In Л (Y + 2) • ^~Y2y <C In ft . eA+1e-AX
m < Y < °°
G.14)
так как
2 lnv- ^-v2>'<^-(m+1J>'{(m+l) + (^ + 2)^->'+ ...} <
m < v < оо
оо
< в-отаУ {(m -j~ 1) + (т + 2) е~1 + .. .} < ете~т2У 2 (я + 1) е~Л.
Л < т ^ Л-f-1; такое же неравенство имеет место также для 2 e""v"y.
Отсюда получается
2 2 ехр{— уF + у2))<Сф(&Iп?.ел+1е-Л2>'. G.15)
г о,\у\> а
Из последнего соотношения и из G.13) следует, что
22ехр{— уF + у2)}<Сф(?Iг1/г-ел+1 {*-«* + ^-Л2у}. G.16)
х р
Подставляя это в G.12), получаем
JL ?
5(у, ft, /)>с1ф(й)у2в4 У — /?(у, ft, а, Л), G.17)
/?(у, ft, а, А)<С.1пк-\1+е*Уу*еА+1(е-аУ-\-е-А1У)) G.18)
(у>1. ft>2).
Для доказательства теоремы 7.3 нам нужны еще два вспомога-
вспомогательных утверждения, которые мы сейчас докажем.
Лемма 7.1. Если In z ^> 4 max (In ft, у), ft^-1, y^-1, mo
^ L
= Sl(ys z, ft, /)=
n>z
nz~l (mod ft)
. G.19)
Доказательство. Так как -ф (л:, ft, /) ^г|)(д:) ^ х, то по тео-
теореме П. 1.4 (полагая в ней 'Кп = п> ап = 0 при я^^иал=Л(л) при

§7.0 наименьшем простом числе в прогрессии 275
, а кроме того, устремляя л;->оо) имеем при z^>2
. k, l)-^(z, k, 1
T ( - V i
= _ J г|,(|, ft, /)^2e-in=i/4yj ^„^(^ A_ /)г2е-т>г/4У- G.20)
г
По теореме 5.2.1 при
р < х, р зз / (mod ?)
. *. Oln*+ou2j<c~-. G-21)
Поэтому для z^k* интеграл в правой части G.20) становится равным
ОО 1
Г "~ 2 / I* ~
J \ ^
г
со
J \27 "]
i
Inz
J
In г
Обозначим r| = « + ln^. Тогда последняя оценка справедлива в силу
того, что
In г
ОО
/ О Т«2 >* \ л Г Q 1 \
и G.22)
и (й + 2 In z)/4y ^ In 2:/2y ^2, так как здесь мы предполагали, что
In z ^> 4у. Второй член в правой части G.20) не превосходит нуля,
и тем самым лемма доказана.

276 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Лемма 7.2. Если yj>l, In z ^ Зу, mo
n=pm, w>2
. G.23)
Доказательство. При фиксированном пг^>2 по теореме
П. 1.4 справедливо равенство
\пр. pj
\. G.24)
Так как #г^>2, то 8 B1/m) <^ z2 и первый член справа остается
меньше величины, указанной в G.23). Остается еще оценить второй
член в правой ^асти G.24). Имеем
Л/т
т2 , 1 , л ^
поскольку величина -о—^ — у/я не превосходит нуля для In 2 <J.
^^^w1^ и больше нуля для t>m~ly. Так как Q(x)<^x, пре-
предыдущее соотношение можно продолжить
Inz
(w""I+4m") у тГх\ъг
= J + / • G.25.)

§7.0 наименьшем простом числе в прогрессии 277
Очевидно, что (m~l-\- 4m~2)y^ m~lln z в силу того, что \nz^>
^>3у^уA 4-4W) для пг^>2. Для первого интеграла получим оценку
J <exp{(m-1 + 4m-2)y}X
x J (w'-т
m ly
1 m2 2\ \(m~l+*m~2)y
¦2"m ~7 /L-4
. G.26)
= - exp {(m-i + 4^~2) у} ехр ( ) |_
Если t^>(tn~lJ\-4rn~-2)y> то
m2 1_
Поэтому
m l Inz m In 2
J < J 2(^«-4
2
так как для ш^2 значение в фигурных скобках на нижней границе
3 7
^ -j у. Таким образом, мы установили, что интеграл в G.24) <^ ехр -j у.
Так как сумма S2 состоит из <^\nz членов вида G.24), то лемма
доказана.
Теперь мы можем довести до конца доказательство теоремы 7.3.
Если опустить из S(y, k, I) члены с п > z и п = рт, т^2, то из
G.8), G.17) и обеих только что доказанных лемм следует, что
В(*)= 2 \np.p^e
/7<г, /?=/(mod k)
G.27)
Здесь R то же самое, что и в G.17), G.18), а
'ехр (-1 In z-
+ In z ¦ | exp j у + exp (in z —
для In ?>- 4 max (In k, у), у>-1.

278 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Теперь положим y = B\nk, где В >> 1 будет выбрано позднее,
и In z = 4у = 4В In k. Тогда условие In z i> 4 max (In А, у) выполнено.
Отсюда получим при & 2
«4y>^4 /?2 In2 A, G.28)
G.29)
l). G.30)
Для В > max (I/a, 1/Л2, 2) функции /? и RY при большом & имеют
меньший порядок, чем G.28). Оценка G.27) дает поэтому 6(&4В)>0
для большого k.
Отсюда следует, что должно существовать такое простое число /?,
что
p = l(modk). p^.k4B.
Таким образом, теорема 7.3 доказана для достаточно больших k
при С = 45.
§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел
В гл. IV мы видели, что функция л(х, k, l) приближается функ-
функцией (p(k)~l\ix с точностью до О(хе~с1/Г[пх), по крайней мере если k
остается по отношению к х достаточно малым. Покажем теперь, что
остаточный член в этом приближении нельзя сделать меньше величины
определенного порядка. Однако мы ограничимся ради простоты слу-
случаем k=\> п(х, k, /) = я(дг).
Введем, следуя Харди и Литлвуду, такое обозначение. Пусть
g (х) — функция, при х—>оо монотонно стремящаяся к оо. Тогда,
если f(x) — действительная функция, равенство
или f(x) = Q.(g(x)) (x->oo) (8.1)
означает, что существует сколь угодно большое значение х> для ко-
которого при подходящей константе с > 0 выполнено соответственно
неравенство
f(x)>cg(x) или f(x)<—cg(x). (8.2)
Запись
/(х) = Q± (g (х)) (х -> оо) (8.3)
означает, что существует сколь угодно большое значение х> для ко-
которого выполняются оба неравенства 8.2. Для действительной или ком-
комплексной функции f(x) равенство
/ (*) = Q (g (x)) (х -> оо) (8.4)

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 279
означает то же самое, что и равенство | f(x) | = Q+ (g(x))> *->оо.
Этот символ можно варьировать так же, как мы делали это с сим-
символами О( ) и о( ). Например, при д:->оо имеем
xeix = Q (jc), x cos x = Q± (x), x -f- x cos (x) = Q+ (x).
Однако равенство х-\-х 1пл; —Q_ (x) неверно.
Пусть сначала 0' — нижняя граница тех а, для которых выполнено
соотношение
-ф (*) = * +О (*а). (8.6)
Тогда для а < 0'
=*-f-Q(*a). (8.6)
Из C.3.8) следует не больше чем тривиальный результат 0'<^1.
Положим теперь 0 = 0!, где 02 (как в § 5) — верхняя граница дей-
действительных частей всех нулей ?(s). (Напомним, что для k—l
Z(s) — единственная Z-функция.) Из теоремы 5.1 при k=l тогда
следует, что 0'<0.
Теорема 8.1. Имеет место равенство 0'==0.
Доказательство. Достаточно доказать, что 0<^0'. Согласно
формуле (П. 1.6), написанной для %п = п, ап = Л(л), g(l) = l~s, из
C.2.12) при а> 1 следует
и поэтому
^j13^±ds @>1)- (8>8)
Для каждого положительного 8 по определению 0' имеет место соот-
соотношение ty(x) — х = О(л;0'+е). Отсюда следует
| {-ф (X) — х] Х-*'1 \<С(е) ^в'-a-l+e (д. ^ 1),
и, таким образом, при а^0/ + 2е интеграл из (8.8) равномерно
сходится. Более того, функция в левой части (8.8) регулярна в области
а>0'. Следовательно, ?(s) в этой области не имеет нулей, т. е.
0^0^, что и требовалось доказать.
Мы видели уже раньше, что 0^-1/2. Теперь отсюда следует, что
никакое соотношение вида ф (х) — х -\- О (ха) с a < 1/2 не может
существовать. Поэтому
«< (89)

280 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Труднее сделать заключение о знаке остаточного члена. Мы покажем,
что в формуле (8.9) можно заменить символ Q на символ Q±. Для
доказательства нам нужны свойства функций, представимых интегра-
интегралом Дирихле, т. е. имеющих вид
^-dx. (8.10)
Для этих функций имеют место теоремы, аналогичные теоремам
для рядов Дирихле (см. П., § 2); существует абсцисса сходимости о0,
— оо<^о>0<Соо, такая, что интеграл (8.10) расходится при а<Са0,
а в полуплоскости о > о0 представляет аналитическую функцию. Если
а(х) действительна и имеет постоянный знак, то (аналогично тео-
теореме П. 2.4) s = о0—особая точка аналитической функции, предста-
представленной в полуплоскости о ^> о0 интегралом (8.10). Доказательство
этих фактов проходит аналогично доказательствам в П., § 2, и мы
не будем их здесь приводить.
Положим для х > 0
Л <л)
In n
pm<x n<x
Тогда по теореме о простых числах при х ^> 2 и М = [In x/ln 2] имеем
11 1
TYl 2. О
рт<х т>2
Теорема 8.2. Для каждого а в интервале
имеют место соотношения
(8.11)
*oo). K }
Доказательство. Докажем сначала, чтоф(л:) — x = Q+(xa).
Предположим, что для некоторого Л > 0 ф(х) — х<^Аха, а <С 6,
х^1, и покажем, что это ведет к противоречию. Согласно (8.8),
при а > 1
ъ ч J J ^5 + ! 5gV/ 5 — 1 S — a v J
Этот интеграл есть интеграл Дирихле с а(х) = {ф(х) — х —
— Аха}/х <^0. По аналогии с теоремой П. 2.4 а0 должна быть осо-

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 281
бой точкой g(s), следовательно, о0 является абсциссой сходимости
интеграла. Теперь ?(о)^0 при о^>0, согласно D.7.1), и функция
в точке s=l регулярна. Поэтому s = а — единственная особенность
на положительной действительной оси у функции, стоящей в правой
части (8.13), и а = а0. Но тогда функция g(s) должна быть регу-
регулярной даже во всей полуплоскости а>ао = а, что невозможно,
так как в области а>сс обязательно лежат нули ?(s), следовательно,
особые точки функции ?'/?» а также и функции g(s). Для доказа-
доказательства соотношения ф (х) — х = Q_ (ха), 0 < а < 0, показывают
аналогично, что предположение ф(лг) — х^— Аха (х^>\) ведет
к противоречию. Тем самым первая часть (8.12) доказана.
Чтобы доказать вторую часть (8.12), мы исходим из формулы
которая получается из теоремы П. 1.4 и соотношения
следующего из разложения ?(s) в произведение. При этом под
понимают ветвь, которая действительна для действительного
1. Так же, как в (8.13), рассматриваем функцию
-~- dx (or > 1), (8.14)
где
Г (П(х) — Пх — Лха)х~\ * > 2»
^ = \ (И (х) — Аха) х~\ 1 < х < 2.
Так как при х ^ 2
2
то для действительного 5 > 1 имеем
оо |°° оо
dx
Xs \ПХ '
2 2

282 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
С п du С „ du .
и после подстановки u~(s—1) In л:
1
.. da
-С 1
и
E-1) In 2 E-l)In2
1 1
= J Г+ J (e-u-l)^- + c = ~ln(s-l) + R(s), (8.15)
(s-l)ln2 E-1) In 2
причем R (s) — целая функция (которую можно продолжить на всю
плоскость). В итоге получаем
Отсюда видно, что в полуплоскости о>0 функция О(s) одно-
однозначна и регулярна, так как там функция (s—l)?(s) не нуль и не
бесконечность. Пусть теперь о0 — абсцисса сходимости интеграла
в (8.14). Если бы для постоянного Л>0 всегда было Ь(х)%0,
то функция G (s) в точке s — e0 должна была бы иметь особенность
(аналогия с теоремой П.2.4), а в полуплоскости а ^> а0 должна быть
регулярной. Так как ?($)=? 0 при 5^>0, то никакая ветвь G (s) не
может иметь на положительной действительной оси особенности, от-
отличной от s = а. Следовательно, должно быть а0 —а. Но так как
а<6 по определению 0, то функция G(s) не может быть регу-
регулярной в полуплоскости а>ао = а, потому что ?(s) имеет там нули.
Таким образом, И(х) — И x = Q+ (xa).
Аналогично доказывают, что эта разность равняется Q_ (xa).
Так как 6^>V2' то из теоремы 8.2 следует, в частности, что
$(x) — x-\-Q+ (xa) для каждого а < 1/2.
Теорема 8.2 принадлежит Шмидту [1], который также показал,
что утверждение теоремы
(jc->oo) (8.16)
может быть улучшено. Литлвуд [2] доказал 1), что имеет место со-
соотношение
^(x) = x^-Q±(x^\n3x) (*->oo). (8.17)
Мы это в последующем докажем.
С помощью (8.17) мы получим результат, лучший чем (8.12):
(*-*oo). (8.18)
Численные расчеты вели к предположению, что всегда имеет
место неравенство я(д:)<Нл:. Например, это верно при всех
См. также Ландау [12].

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 283
л:<109. Литлвуд, доказав соотношение (8.18), тем самым показал,
что это не всегда так. А именно из (8.11) следует, что
^ (*-»oo). (8.19)
Отсюда и из (8.12) еще не следует, что разность п(х)— \ix должна
принимать положительные значения, так как ха(а<С1!2) имеет мень-
меньший порядок, чем х1Щ\п х. Однако с учетом (8.18) это получается
сейчас же, так как из (8.18) и (8.19) следует, что
(*-*oo). (8.20)
Основная идея доказательства формулы (8.17) такова. Рассмотрим
формулу из теоремы 4.5
^Г^Т). (8.21)
Здесь х^2 и для R(x, T) выполнены оценки D.39)—D.41). Чтобы
доказать (8.17), нужно сделать как можно больше сумму
—. (8.22)
\у\<т
Если 9 > г[2 и, следовательно, гипотеза Римана неверна, то (8.17)
следует уже из теоремы 8.2, так как тогда (8.12) справедливо для
некоторого а> 112- Таким образом, нужно доказать (8.17) при пред-
предположении правильности гипотезы Римана. Если все р имеют вид
р = 1/2 + /у» то в сумме (8.22) можно заменить р приближенно на 1у.
Так как нули ?($) лежат симметрично относительно действительной
оси, то можно объединить сопряженные члены
(8.23)
||
р р iy —ty у
и сумма (8.22) приближенно представляется суммой
2*'/, ^ 8|п(у1п*> = 2*У. 2 8[п(У;1ПХ) , (8.24)
причем мы теперь расположим у > 0 в последовательность
0<Yi<Y2<...<Y«<..-- (8-25)
Оказывается целесообразно сначала исследовать функцию

284 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
для которой имеет место формула
-Im/(*ln*)= У
Уп
О < Yrt < оо
Сначала будут доказаны некоторые вспомогательные утверждения,
необходимые для исследования функции f (s).
Лемма 8.1. Функция f(s) регулярна в полуплоскости а > 0.
Доказательство. В теореме 2.1 было показано, что ряд
2|р|~& пРи ^>1 сходится. Теперь для р = 1/2-\-1у, Y > с > 0»
имеем Y^-^iIpI- Если о^6>0, то
1 сг2
!?<№• (8-27)
поэтому ряд (8.26) для таких а сходится равномерно и функция f(s)
регулярна в полуплоскости а > 0.
Лемма 8.2. Пусть s = o -\-it ¦=reia1 r > 0. При постоян-
постоянном а в области —1/2п < а < 11{тс для г->0 имеет место ра-
равенство
Im / (s) = - ± in I + О A). (8.28)
Константа в 0A) может зависеть от а.
Доказательство. Положим
М+(Г)= 2 -1. (8-29)
0 < Y< 7"
Теперь нули р функции ?(s) лежат симметрично относительно дей-
действительной оси и ?(а)=?0 при а^-0. Поэтому из теоремы 3.4
при & = 1 следует, что
W+ (Г) = — Г In T -f ЛГ -f О (In Г), (8.30)
где Г^-2 и В — вещественная константа. Теорема П. 1.4 теперь дает
— Itfx + B^nx + Oil) (jc~>oo). (8,31)

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 285
Здесь Bv согласно (8.30), — вещественная константа. По теореме П. 1.6
в случае 1п = уп> ял = 1/уЛ. g(l) = *~ls получаем
со
f(s) = s J A?)e-l'ds (a>0), (8.32)
Yi
так как A(x)e~xs->0 при х->оо, о > 0. Если подставить сюда
(8.31), то при a > 0 получится
(8.33)
поскольку
оо
\s\\ e~*a dl = -Ц1 = О A) (8.34)
о
для s = reia и постоянного а в области —я/2<а<я/2. Теперь
для каждого натурального т и а > О
оо оох Yi
Г— Г \\nmle-&dl < si f
j J } \ j
О / О
Ч
и
5 I \nmle-%sdl= I (In —-l-lnw) e~udu.
J J
о о
Эти соотношения получают подстановкой ^s = u n применением ин-
интегральной теоремы Коши1). Полагая т=1, 2, получаем, со-
согласно (8.33),
1 Л 1\2
оо оо
Г Г / 1
\ lnmle-lsd%= \ fln~
о
причем В2 — вещественная константа, если 5 указанным образом
стремится к нулю. Так как
In — = In /a = In 1- In cos a — /a,
то при г->0 получается равенство
Im f (s) = 2~- ln ^2a —|— О A) = о— In —
Таким образом, лемма доказана.
l) Так как a > 0, то положительной действительной оси в полуплоскости
Re и > 0 соответствует полупрямая. При этом нулевую точку из-за лога-
логарифмической особенности нужно обходить с помощью дуги окружности, ра-
радиус которой затем устремляют к 0.

286
Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функцип
Лемма 8.3. При 0<io^^ имеет место оценка
/(*)<С1п2~. (8.35)
Причем теперь константа в <^ не зависит от а.
Доказательс тво. Для а > О и X ^> 2 имеем
... V4 е~^а ^ V4 1 , V^ I
Y>0 0<y<X Y>^
Согласно (8.31), первая сумма <<^ln2.Y. С другой стороны, если
т>2 — ближайшее целое число, большее X, то по теореме 3.3
и (П. 1.13) имеем
1 / V V* \ 1
т> X
В итоге при а > О, X > 2
(8.36)
Пусть 0<а<у. Положим Х = 1/а, Х^2, тогда получим (8.35).
Лемма 8.4. Для каждого положительного е существует
некоторое а/ = а/(е)>0 со следующим свойством. Для 0<а<
<а'(е) и каждого То > 0 имеется Т = Т(о, То, е), такое, что
70<Г<Г0ехрA) , (8.37)
а для любого действительного t
| / (а_|_ « + /Л -/ (о + «) I < е.
(8.38)
Доказательство. Для а>0 и действительных t и Г при
любом X ^>2 имеем
<
sin Иг
у 1
Y >0
S
Y>0
rt-l

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел
287
Из (8.36) и неравенства e-w < 1/уо следует, что первая сумма
<^ In Х/аХ. Остается еще исследовать вторую сумму. Если в тео-
теореме П. 10.1 возьмем в качестве 8Л числа yJ2nt n=l, 2 N+(X),
то для любого целого q^-2 найдем такое 7\ что
{X)> (8.39)
и
иГ =
с целыми 1п для каждого я
место оценка
1, 2 N+(X). Для этого Т имеет
Y/i
я у 1
9 2d У
In2*
В итоге получаем для а > 0 и всех действительных t(q^-2, T = T(q))
неравенство
|/@ + « + /r)-/(a + «)|<Ci(-^ + -^). (8.40)
Л 1
Полагая Х=—In— с константой А > 0, которую мы потом опре-
определим точнее, можно добиться того, чтобы для всех достаточно ма-
малых а выполнялось неравенство сг In XjaX < -^-г. Тогда
1 , , 1
+ 1п
для Л>2^, 0<а^а!(е, Л), причем мы, если необходимо, умень-
уменьшаем (Tj настолько, чтобы X было не меньше 2.
— In2— +1. то получим для рас-
рассмотренного уже X неравенство
\П2Х d& /flii 1 , t л i i 1 \2
при Л > 2cj и 0<а^а2(г, Л). Выберем теперь Л = 3^. Тогда для
0 < а<а3(е) = min {oj (8, Л), а2(е, Л)},
согласно (8.40), имеет место неравенство (8.38), которое требуется
доказать. Число Т лежит в интервале (8.39). Если подставить вместо q
его значение и принять во внимание, что
N+ (X) < с2Х In X (X > 2),

288 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
то при подходящем значении о7 (е) получим оценку
± 1п2'-1 + 1) < (-1) @ < <т< а' (е)< а3(е)).
Следовательно, Т лежит в интервале вида (8.37) и утверждение до-
доказано.
Лемма 8.4 устанавливает, что функция / (а -[- it) почти периодична отно-
относительно t. Эта лемма применяется также в теории Бора почти периодиче-
периодических функций.
Лемма 8.5. Для каждого а, 0 < а < -j, и каждого а,
О < а <; а0 (а) (при подходящем а0 (а)) всегда имеется такое
tr = tf (а, а) и такое t" = t" {а> а), что
t' > ^/af lm/(a ._|_//') > aln2f'f (8.41)
< — а!п2Г. (8.42)
Доказательство. Пусть e<j, а а' =0^(8) определяется
/ 1 \1+е
как в лемме 8.4. Положим Г0 = ехр — 1 . По лемме 8.4 для каж-
каждого а, 0<а^аг, найдем такое TQt что для каждого действитель-
действительного t
i 1 \1+е / 1 \1+8
exp(-i-) <Га<ехр2(^) , (8.43)
| / (a + « -Ь Я о) — / (о + it) | < e. (8.44)
По лемме 8.2 при а—±-к-яA—е) мы имеем
Отсюда, например для 0 < o^Oj (e) < -я-, следует, что
1A—2e)lni.
Это и (8.44) при 0 < а ^о>2(8) ^^(е) дает для t = ± %g
l(I-2e)lnl
q: lm/(o ± iKo + tTj > 1A — 2e)ln-i -e > |A - 3e)ln i.

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 289
Из (8.43) следует, что для 0 <а <^а3(е) справедлива оценка
/ 1 Л+2е
#1* < ± 1а-\- То < ехр (±) . (8.45)
Нужно только выбрать а настолько малым, чтобы было 7
<ехРA)
1+2е
и Та— 7л > ехр —, а это можно сделать согласно
(8.43).
Если положим t' = — ka-\-Ta и f = la-f-7\,, то *' > в1^ и
tlr ^> е1^ для 0 < а <; а4 = min (а2, а3), и так как, согласно (8.45),
1М'<A + 2еIпA/а), имеем
Im/(c + tf') > |A - Зе) 1п 1 > -^I^-ln^' > 0.
Такое же неравенство получается для —\mf(a-\-it"). Тем самым
лемма 8.5 доказана, так как, поскольку 0 < а < -у, для достаточно
малого е = б (а) имеет место A — Зе)/4 A -|- 2е) > а.
До сих пор мы доказали, грубо говоря, что Im / (a -|- it) для достаточно
малого о становится достаточно большим (положительным или отрицатель-
отрицательным), если для t берутся определенные значения, большие, чем граница
зависящая от а. Для этого сначала доказывают, что Im / (s) при s = 0 ста-
становится большим (лемма 8.2), а затем с помощью „почти периодичности"
(лемма 8.4) делают заключения о поведении Im / E) для больших ординат.
Теорема 8.3. Имеет место соотношение
x = Q±(xlb\nzx) (*->oo). (8.46)
Доказательство. Если гипотеза Римана неверна, то это сле-
следует из теоремы 8.2, так как тогда 9>it' Следовательно, можно
предположить, что гипотеза Римана верна. Тогда, согласно D.41)
и (8.21),
Т
В частности, для Т^х, так как In2Т/Т для Т > е2 монотонно убы-
убывает, получаем
^^ (х>2, Т > х).

290 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Далее имеем
1 ,
-I
G
2
поскольку ряд 2y~2 сходится. Таким образом, из равенства гр(л;) =
\пх) и (8.24) следует
sin (у In x)
Y
(л:,
(8.47)
так как при л:>-2 имеет место оценка In A — х~2) = О(х~2). По-
Положим теперь х = е1,
к2 2ехрт^
В этих обозначениях из (8.47) следует
F(t) — ST(t) = O(l) (*
Отсюда, в частности, получается, что
5г, @ - ST2 @
(8.48)
(*>1, 7\>Г2>Д (8.49)
Теперь если /(s) — функция, определенная в (8.26), то для а>0
можно получить равенство
,-va sinY^
. (8.50)

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 291
Так как 0 < 1 — е"и < #, то для Т ^ е\ t^\ первая сумма по
абсолютной величине меньше чем
Если в теореме П. 1.4 положим Хп—уп, an = (s\nynt)lyn при уп>Т
и ап==0 при уп<^Т, g(l) = e-&, то для второй суммы из (8.50)
при Т^>е*, t^>\, G>0 получим
ОО
— J oe-l° {S6 (t) - Sr (t)} d\ <C J oe-*> d\ = 0 A),
т т
так как g (?>) A (E>)—> 0 при ?->оо (согласно (8.31)) и выполнено
равенство (8.49). Таким образом, при Т^е\ t^>\, a>0
1т/(а + /0— 5г@<СаГ1пГ + 0A).
Отсюда и из (8.48) для Т = е* получается
F(t) — \mf{a + it) = O{\) (*>1, 0<а<^-2/). (8.51)
Предположим теперь, что
Х~*°° 2,
jc^ 1п3л:
и приведем это к противоречию. Это будет означать, что
(8.52)
1 2
Из (8.52) следует сначала
>.!, (8.53)
х2 1п3 а:
^^ 1п2/ ^ 4 "
Таким образом,
(/>^) (8.54)
для некоторого а, 0 < a < -j-, и некоторого ^ > 3 !). Мы выберем
#!, а2 так, чтобы 0 < ах < а2 < -г- В последующем ^, t2, ... зави-
зависят от a, av a2. Из (8.54) и (8.51) для t^>t2 и некоторого t2^-tl
следует, что
Im/(a-M0< «ln2^ 4-O(l)<fliln2/ @<a<^-2/). (8.55)
!) При этом 1п2 ^ > 0 для

292 Гл. VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций
Применим теперь теорему П. 7.1 (принцип Фрагмена — Линделёфа)
к функции
'*{s) — hTs ' (b*5b)
где Ins означает ветвь логарифма, действительную для $ = а>0,
и возьмем в качестве области В область t^-t2, e~2t <^o <^1. Для
o — e~2tt согласно (8.55), имеет место оценка
I / /сМ — ехр {lmf(s)/al} exp ln21 _ 1
I /i(^ I — fuTF] < in/ — L
На отрезке t = t2, е~2^^о^\ и на прямой а=1 функция /! (s)
ограничена, так как там мы имеем |/(s) |<^/(aXJ/(?-2/2). Следо-
Следовательно, на границе В справедлива оценка
\fi(s)\<Ct (8.57)
причем C = C(t2, аг) = С(а, ах). Во всей области В, согласно
лемме 8.3, имеет место неравенство
| fx (s) | < сг exp ^
так как 0 < о<; e~2t < у и 1пA/а)<;2/. Поэтому условия теоремы
П. 7.1 выполнены и оценка (8.57) должна быть справедлива во всей
области В. Отсюда для некоторого tz J> t2 получаем
exp {Im / E)/^!} = | Л (s) In 51< С | In 5 | < 2C In t
Из последнего соотношения следует, что при подходящем t4 >- tz для
?~2'<;а<1 и t^tA будет
Im / (s) < «! In BC In 0 < a2 ln2 /.
Это неравенство и неравенство (8.55) дают
Im / (s)< a2 ln21 @ < a < 1, t > *4), (8.58)
что противоречит лемме 8.5, так как #2<-j-. Следовательно, фор-
формула (8.53) доказана. Вторая часть (8.46) получается совершенно
аналогично, если исходить из неравенства
. 1
> — -g-.
Вместо (8.58) получаем неравенство — Im f (s) < a2\n2t в полосе
О < a <; 1 для достаточно большого t. Это также противоречит
лемме 8.5. Теорема 8.3 тем самым доказана.

§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 293
Для доказательства (8.18) нам нужна еще
Лемма 8.6. Если гипотеза Римана верна, то
jT|)(|)rf| = i-jc2-)-oU2). (8.59)
2
Доказательство. Интегрированием равенства (8.47) получим
X
С _.
J
2
так как | х*/*+ *у \ = х\ и рял 2j l/YC/2 + ^'Y) абсолютно сходится
в силу оценки
C
самым лемма доказана.
Теорема 8.4. Пусть для х > О
Тогда при x->oo имеют место соотношения
(8.61)
я (х) = И * + Q± \^j ln3 x) . (8.62)
Доказательство. Обозначим
ПС*) — \ix = P(x), ^(x) — x = R(x). (8.63)
Из теоремы П. 1.4, если положить ап = А(п), ^(|)=1/1п|, при
х ^ 2 следует, что
С другой стороны,
2
и, следовательно,
(8-64)

294
Гл. VII. Теоретике функциональные свойства L-функцай
Если гипотеза Римана не верна, т. е. Q >-^-, то (8.61) следует уже
из (8.12). Предположим теперь, что гипотеза Римана верна. Положим
Применяя лемму 8.6, получаем для
так как ? /In Ь монотонно растет и для |>|0=?5 справедлива
оценка
X X \х
Г d\ [ Iй d\ xЛ [ d\
J 5/21п ? 2J In I Ь*< In Л J ?/«
Равенство (8.61) следует из (8.65) и теоремы 8.3, поскольку по
последней теореме R(x) = Q±(x1^\n3x), x—>со. Утверждение (8.62)
получается из (8.61) и (8.19), чем теорема 8.4 доказана.
Приведенное здесь доказательство не позволяет указать л:, для которого
л (х) > И х Скьюз [1] указал х0 со следующим свойством: в интервале
1 < х < х0 разность я (х) — И х изменяет знак не меньше одного раза. Он
нашел, что х0 = ехр ехр ехр ехр G,705).
Доказательство теоремы 8.3 (при использовании явной формулы для
*Фо (•*)) без теоремы Фрагмена — Линделёфа можно найти у Ингама [3].
Можно показать, что неравенство я (х) < И х верно в среднем, а именно
для достаточно большого х из гипотезы Римана вытекает оценка
(дальнейшая литература см. Бор и Крамер [1]).
Из (8.59) следует
если гипотеза Римана верна., так что я|? (х) — х иногда больше сх^ 1п3 х,
иногда меньше — сх^ \щ х, но в среднем эти неравномерности до некоторой

Задачи к главе VII 295
степени взаимно уничтожаются, Крамер [3] показал, что при предположении
правильности гипотезы Римана имеет место оценка
X
2
С помощью неравенства Шварца отсюда следует
X
\_
X
2
Таким образом, \ty (I) — ? I в среднем <^ х^2.
Теми же методами, что применялись в теореме 8.3, можно показать, что
п1 (х) ¦
где Я! (х) и я3 (х) — числа простых чисел ^х, сравнимых соответственно с 1
или 3 по mod 4. Долгое время, основываясь на численных расчетах, пробо-
пробовали показать, что всегда л{ (х) < я3 (х). Если гипотеза Римана верна для
I-рядов, образованных обоими характерами по mod 4, то можно показать,
что в некотором смысле чаще всего л{ (х) < л3 (х). (См. Харди и Литлвуд
[1], а также литературу, цитируемую у Бора и Крамера [1].) Мы не можем
остановиться на этом более подробно.
Задачи к главе VII
1. Укажите явные формулы для функций, рассмотренных в задачах
13 и 17 к гл. III.
2. Пусть Nk обозначает число тех /, 0 < / < &, (/, k) = \, для ко-
которых px{k I) < (p(k) 1п1~8ф(^). Докажите с помощью теоремы
о простых числах, что lim {А^/ф(&)} =0.
3. Докажите, что
где
1 < п < /VI
n(x) — L(x) = Q±(-?^\n3x),
L{x)= S \ix1/n.
1 < п *4 'И
4. Какие явные формулы получатся, если исходить из интеграла вида ])
b-\ ioo
1 Г .-.^р ?' (s) ,
~т{ г I 0 1 (S) т~/ г~ CIS»
b-ioo
x) Харди и Литлвуд [1].

Глава VIII
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
§ 1. Введение
В гл. III при исследовании нулей функции ?(s) мы получили
оценку для |?(s)| в области а^-1—Л/1п|?|, |?|J>2; аналогичную
оценку мы вывели в гл. IV для функции ?(s\ w) — w~s. При этом
мы применяли, например при доказательстве теоремы 3.4.3, также
и грубую оценку
jU
В частности, при s=\-\-it
2 Л""
Если положить
то по теореме П. 1.4 получаем равенство
N
(N->oo). A.1)
A.2)
A.3)
Оценка суммы |5"(|)|<^| дает грубую оценку A.1). Если мы сможем
доказать несколько лучшую оценку, чем |5(|)|-^|, то из A.3) мы
получим улучшение A.1). Оценка 5(|) = о(|) дала бы, например,
для суммы в A.1) оценку о (In Л/). Можно ожидать, что в сумме A.2)
многие члены компенсируются, так как argn~lt = — t\nn при пере-
переменном п ,.до некоторой степени равномерно" распределяется по всем
направлениям. Рассмотрим частную сумму S (^) вида
j = Sx (Q, P)=
р — it In л
Тогда
A.4)
0< n
0 < л
(-1)
ft+1
VQ) '

§ 2. Метод Вейля 297
если мы предположим, например, что P/Q ^ 1/2 и, таким образом,
nlQ^.1^ ПРИ 0<д<;Я. С помощью разбиения S(I) на частные
суммы вида SX(Q, P) с PIQ^C1^ можно свести оценку 5(|) к оценке
сумм
2 "(я)
где fk(n) — полином степени k от п. Такие суммы называются сум-
суммами Вейля, и мы будем теперь заниматься методами оценок таких
сумм, которые были развиты Г. Вейлем, Харди и Литлвудом и
И. М. Виноградовымг).
§ 2. Метод Вейля2)
Теорема 2.1. Пусть k^>l, Р^>\, Р и Q — целые числа, а
— полином с действительными коэффициентами. Положим
S = S(Q,P,f)= 2 «(/(«)) B-1)
Q<n<Q+P
(через еA) обозначено е2л1*). Тогда имеет место оценка (К—2к~1)
2 min(P,\\ak\nl...nk_1\\-1)}. B.2)
p J
При этом (как в гл. VI) обозначено || Л, ||=min (А,—[X], 1—f)
и пип(Я, О'1)^:/^. Для ^=1 вместо суммы должен стоять
только один член гшп(Я, ЦаЦ)-
Доказательство. При а = 0 оценка B.2) тривиально верна,
так как в этом случае ^т\п = Р -Р и |5| ^Я . Пусть а
||
Докажем B.2) индукцией по k. При k=\ имеем /С=1 и по F.6.4)
min(P, ЦаЦ).
Таким образом, оценка B.2) при k=\ доказана. Пусть k^-2. Пред-
Предположим, что теорема уже доказана для k—1. Без ограничения
общности можно принять Q = 0, так как в противном случае можно
f(x) заменить на f(x-\-Q)t и последний полином опять имеет a
старшим коэффициентом. При Q=0
„ p-i
|5|2 = 55= 2 e(f(m)-f(n))= 2 2 *(/(*+*)-/(*)).
0<m, n<P h^-(P-l) n
B.3)
1) Позднее (гл. IX) нам нужны будут также методы ван дер Корпута.
2) Вейль [1], [2], Харди и Литлвуд (Литлвуд [2], Ландау [12]).

298
Гл. VIII. Тригонометрические суммы
причем п пробегает не более Р последовательных целых чисел. Теперь
полином
есть полином (k—1)-й степени. Так как утверждение по предпо-
предположению индукции верно для k—1, то
ЧгК < 4'/2* \ Р
е (/ (л + К) -/(«))
\
min(PJaftft(ft-l) !/*,... лЛ_2
Здесь в сумме при k=2 опять остается только член min(P, ||||)
При этом то обстоятельство, что п пробегает не более чем Р по-
последовательных целых чисел, не играет никакой роли, так как стоящая
справа оценка не убывает с ростом Р. Из неравенства Гёльдера
(П. 12.2) и из формул B.3) и B.4) {h~>nk^]) следует оценка
|* = {|S |2}ък < BР)
/2К~1
р-\
X
I
min
nk-2
2
in(P,
min(P,
так как
имеем
<Р
гх . . . ял_2(—Л)||. и при
min(P, || ak \nx . . . ял_1*|Г1) = Я*-2Р = Р*
Таким образом, утверждение теоремы доказано для любого
Теорема 2.1 будет теперь применяться к оценке сумм вида
"
2 (n + wf (
Q < л< Q+P
Лемма 2.1. Пусть k > 1, Р> 1, Q > 1—
^<;1. Тогда при
и при подходящем сх > О справедлива оценка
г7
Q < n^Q+P
t
(л -г- «О г7 < с2 max
' <Р
О < w< P'
(/
tt^ 1,
B.5)
, B.6)
4- ...Ч ъ
)

§ 2. Метод Вейля
299
Доказательство. Положим ti~~Q-\-m. Тогда m пробегает
значения 0 < пг <; Р. Далее
= ехр{—
»)} =
Если обозначить Q -f- w = Qo, то QQ > Q ^ 1. Для m/Q0 < 1 получаем
)""
(я + w)"" = exp (— it In Qo) X
где
Sm = ехр \ U
Если положить
Qo
то имеет место оценка |?vi
следует
т ^ 3_ .-
V-0
B.5) для
B.8)
в частности w/Q0<l. Теперь, принимая во внимание B.5), при
k !> 1 имеем
v«o
причем с не зависит от /г. Далее
v=0
v-0
. B.10)

300 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Отсюда с помощью частного суммирования (П. 1.4) получаем
mve(f(m)) <2PV max 2 e(f(m))
|0<т<Я
Подставляя эту оценку в B.10) и принимая во внимание B.9), по-
получаем утверждение леммы.
Как легко видеть, ограничение P/Q < 1 необходимо, потому что при
Q < m^Q -\-Р всегда m/Q0<\ и ряд для ln(l+WQo) сходится. Огра-
Ограничение B.5) оказывается необходимым для B.9). Ниже довольно часто бу-
будет необходимо разлагать сумму вида ^ (п -)- w)~lt на отдельные отрезки,
для которых применима лемма 2.1.
Лемма 2.2. При предположениях леммы 2.1 имеет место
оценка
2 (n-\-w)~ct <^P ~ -\-Р1~ ^ i2 m*n (Р> ||"Фя (Q) II""
Q<л< Q+P \Н
B.11)
где константа в <^ не зависит от Q, P, t, k, w. При
этом
-пЛп0... пь_Л, ^^
и 2 обозначает суммирование по l^^, n2, ..., nk^1^P, где
н
фиксированное Н засчитывается столько раз, сколько имеется
представлений И в виде B.12) с \^nv ..., nk^l<^P1).
Доказательство получается из теоремы 2.1 и леммы 2.1, если
принять во внимание, что при Л ^> 0, В^>0 всегда
)ук < Лх/К + В1/к
(Л + В)у
Теорема 2.2. Пусть t > 3, 0 < w < 1 и N, N' — натуральные
числа, причем N < ЛЛ <^2ЛЛ Тогда для каждого целого k^>\
имеет место оценка
B.13)
где /С = 2 " ; постоянная в <^ не зависит от kt Nut.
Доказательство. Мы разобьем 2 на частичные суммы
N<Nr
вида 2» гДе Для Q и Р выполнено равенство B.5), и с по-
Q<n<Q+P
1<Я</7й-1 в силу B.12)

§ 2. Метод Вейля 301
мощью B.11) оценим отдельные частичные суммы. Неравенство B.5)
будет выполнено, если мы возьмем Q ^> N и положим
Предположим сначала, что Я^>2. Тогда выполнены условия леммы
5.2, в частности N > 2, так как t^>3. Теперь произведем разбиение
2=2 + 2 +...+ 2 .B-14)
N<n*?N' N <n<N+P N+ Р <л<ЛГ+2Р N+jP ^Nf
причем
глг-iVj^^.,i/(*+i) (р>2) ,>3). B.15)
Рассмотрим сначала случай у ^>2. Запишем B.14) в виде
2 =2 2 + 2 . B.16)
N' i Q^<w<Qt. + P N+jP <Nf
где Q/ = yV-f-(/— 1)Я и (как и в последующем) 2 обозначает
суммирование по /=1, 2, .... у. Очевидно, что
2
N+jP< n
2Л/Г
т. е. имеет порядок не больше порядка величины оценки в B.13).
Из леммы 2.2 и из B.15) для двойной суммы имеем
2 2 <с
/ Ql<n<Qi+P
<с jP-v'+p1 ~m 2 {2 min (я. ii *„ m П}"* <:
2| 2 W, B.17)
мя I
где 2 означает то же, что и в лемме 2.2. Из неравенства Гель-
TJ
дера (П. 12.1) в силу B.15) и неравенства Р<М~1(*+1) получаем
VK г>1-к/КЬ-УК(ъ V
J-^21 2 mini < Я1-*^-^) 2 2
? 2 minlW. B.18)

302 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
(Для t получается показатель (— A — k\K) -+- A — \!K)\j(k -\- \) =
= (k—l)/K(k + 1).) По теореме о среднем для /=1, ..., j—1
отсюда следует оценка
ШЯ , k(Ql+l-Qt) > k] 2
2* @+w)*+1
так как
\ Из определения B.12) функции "фя(С?) и равенства
= Л/ при фиксированном Я имеем
Запишем
2 2min=2S 2 min(P, II^CQOF1). B-20)
я , ,4<t|f(Q|)<,+?
где g при фиксированном Я пробегает <^k\tN~kH-f-1 целых чи-
чисел. Теперь для каждого ^*
(/>. п ip^ cQ/) 1Г1) <<:
< +
1 < m <*j
(j^>2), причем б определено формулой B.19). Действительно, раз-
разность \tyH(Qi) — g" | при фиксированном g
^> 6, за исключением не более чем двух значений /,
>26, „ „ четырех „ iy
>36 „ „ шести „ /,
и т. д.*), а число членов в сумме <;/ Далее в силу B.15) и k^ 1
2l<Pfe~"\ lny<C;in* B.21)
и, согласно B.19),
Таким образом, члены, которые соответствуют обоим значениям
\н (Q^)i соседним с g (слева и справа), можно оценить сверху величиной 2Р,
члены с обоими (справа и слева от g соответственно) следующими значе-
значениями tyH(Q.) — через 26 и т. д.

§ 2. Метод Вейля 303
Подставляя в B.20), получаем
S 2 min<C 2 (ШЛГ*/У + \){P+rm+l)\nt>NkH-x). B.22)
i H И
Мы оценим теперь различные части этой суммы. Из B.21), поскольку
Я<М-1/(*+1) и Н^Р*-\ следует
k\tN~hP2Я<А!tN~kP ¦ Р2(ft~1) <C
Далее ввиду B.21) и Р<Л/Г1/(*+1> имеем
2я<р*
я
Int <C A!^1/(*+1) Int ¦
Наконец,
U^f 2
Н \
In / • ^^-'ln^P <С Гк/(к+Х) In * • yvV lnft" W,
так как 2 л < 4 lnP < 41пЛ^ (Я>2, Р<Л/Г1/(*+1) < Л^ при
t ^. 3). Подставляя в B.22), получаем
2 2 min <С 22*Г ft/l*+1) In * • Nk ln*^ + ft! г(*~2)/(*+1) In f • /Vft-'<C
<C 2K(rw+1) \nt.Nk In*" W 4- r (ft)/(ft+1) In * • Л/*),
так как 2 <^Г2 и ?!<С[2 . Если мы подставим все это в B.18),
то получим (пользуясь неравенством (А -\- B)VK < AVK -\- Bl/K для
А, 5>0)
рХ-ЫК 2 г 1/*
I 1
Я
Используя B.17) и оценку
(Р ^Nt~1/{k+l)), получим утверждение теоремы.

304
Гл. VIII. Т ригоно метрические суммы
Остается еще рассмотреть случаи Р ^ 1 при произвольном j и
>2» У<1- в первом случае
а это <^л^11/^1/ЛГ(й+1), так как 0 < ЫГЩк+1) < 4 при Я<1. Во
втором случае N'— N < 2Я и
так как ?^>3, &^>1. Тем самым теорема 2.2 полностью доказана.
С точностью до степеней \nt и In N оба слагаемых в правой
части B.13) при фиксированном t равны, если N =
§ 3. Применение к оценке g(s, w)
Лемма 3.1. Пусть t^>3, 0<^<^1, к^\ —целое, К = 2k~l
и Nt N' — натуральные числа, причем N < ЛГ ^ 2Л/. Тогда для
о > 0 имеет место оценка
VKt. C.1)
Доказательство. С помощью частного суммирования (П. 1.3)
для а > 0 получаем
N <n
-о-it
< ЛГ
max
2 (»+«)
N<n<N"
-it
что вместе с теоремой 2.2 дает C.1).
Лемма 3.2. Если &>3, 1 —1/4/С<а<1, ^ > 3, /по имеет
место оценка
2 51/8^2^ C.2)
Доказательство. Если сумма не пустая, то мы разделим
ее на <^1п^ частичных сумм вида, рассмотренного в лемме 3.1, и
применим к этим частичным суммам лемму 3.1. В каждой частичной
сумме tm+2)<CN <t2(k+1) и inN^lnt (k > 3). Если учесть нера-
неравенство 1—G^l/4/C и неравенства
— 3/2
О

§ 3. Применение к оценке ?(s, w) 305
то получим, что частичная сумма
4- NVAKt~l/K{k+l)) In t <d (t
tV2K <*+*>-
Замечая, что число таких сумм <С! In t> получаем C.2).
Лемма 3.3. Если 31/32 <а<1, *>3, то
2 5 C.3)
Доказательство. Разделим сумму C.3) на частичные суммы,
рассмотренные в лемме 3.1, и применим эту лемму с К=2 к каж-
каждой частичной сумме. Тогда t2 ^ Л/ < t2, \nN ^2\nt, и ввиду того,
что 1 — с ^ -rg-, каждая такая частичная сумма будет
<С (A/5VA + ЛЛ32Г 7б) In ^ <С (Гle/M+Ve + ^/н/б) In t <C In/.
Так как число частичных сумм <^МпЛ получаем C.3).
Лемма 3.4. Пусть g — целое, G = 2g~l и 6 <§*< ln21. Тогда
2 (n + wys = 0(l) A —1/0<а<1). C.4)
2
Доказательство. Сумму по п из интервала t2/g < n^t2 ра-
ра2^k2) 2^k1\
зобьем на частичные суммы по интервалам t2^k+2) <C n^t2^k+1\ где
3^&<^?* — 2. К каждой частичной сумме применима лемма 3.2,
так как G = 25" > 2*+1 = 4АГ и, значит, 1 — 1/G > 1 — 1/4АГ. Таким
образом,
2 (л + ^Г5 <С rl/SKk \n t <C bi2"V,
t2l{k+2) <n<fi/(b+D
поскольку для каждого фиксированного р, 0<р< 1—In2,
Проводя суммирование по k — 3, 4, ..., §* — 2, убеждаемся в ог-
раниченности суммы, распространенной на t2/g<n^.t2. Так как
1
1 — 1/О> 1 —1/25 = 31/32, то к оставшейся сумме по t2 < /г < Р
применима лемма 3.3. Тем самым утверждение леммы полностью до-
доказано.
Как видно, при доказательстве леммы 3.4 было необходимо разложить
сумму C.4) на части и к каждой части применить лемму 3.2 с оптималь-

306 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
ным k. Дело в том, что правая часть в C.1) становится наименьшей, если
приблизительно равно 2^k1K
Лемма 3.5. Если -к-^о^.2, t^3t mo
C.5)
где С (s, w)—функция, определенная в гл. IV.
Доказательство. Для а>1, nt = [t2] из теоремы П. 1.5
следует, как в D.5.8),
1
причем это равенство имеет место также в области 0<а< 1, так
как интеграл там абсолютно и равномерно сходится. Для -^->
г^Ъ имеем l/(s — I) <^t
оо
что и требовалось доказать.
Теорема 3.1. Для постоянного #>0 имеем
t E, 1^) — W <^. -л » 1 —CL . ^ О ^. 2, tZ^Co(u), (О.Ь)
1П2t In Г
2^^ константы в <^ могут зависеть от а!).
Доказательство. В силу леммы 3.5 достаточно доказать,
что в указанной области
ч-s ^ In*
> ^ 1п2 * '
Положим в лемме 3.4 g— [b\n2t], 0<6< 1. Тогда
') Естественно, функция ?(s, w) — w~s в полуплоскости a>2 огра-
ограничена.

§ 4. Метод И. М. Виноградова 307
и для 6<^1/1п2 имеем 1 — 1/G <1 1 — a \n2tj\nt при t^>c3(a), так
что лемма 3.4 применима. Мы получаем
Теперь для 0 < а2 < а < 1
file
Если ах = 1—a\n2tl\nt, то
_ а,)"' = i #
с константой в <^, зависящей от а. Это дает C.6).
Теорема 3.1 является улучшением теоремы 4.5.2 и дает также улуч-
улучшение теоремы 4.7.4. В частности, в теореме о простых числах вместо оста-
остаточного члена О (х ехр (— с Kin x)) можно получить остаточный член
О (х ехр (— с Kin х ln2 х)) (см. Литлвуд [2], Ландау [12]), но мы этого
делать не будем. Напротив, мы применим метод И. М. Виноградова, пред-
представляющий самостоятельный интерес, и значительно улучшим этот остаток.
Для суммы по п < ехр (с In ^/ln21) [= t2lg, g = 2с ln21] и достаточно
малого с метод не дает никакого существенного улучшения тривиальной
оценки. Например, в B.13) для k = [ln2 ^/In 2] -|- 1 получаем
N ехр (__ 2-(ft-D in t) > cNt
а сумма в B.13) тривиально не превосходит N.
§ 4. Метод И. М. Виноградова
Нашей целью является доказательство следующей теоремы, связь
которой с оценкой сумм Вейля станет ясной позднее.
Теорема 4.11). Рассмотрим целые числа В и Р^>2 и по-
полином
с действительными коэффициентами. Положим
Ck = Ck(P)= 2 *(/(*)). D.1)
в < х<в+р
где х принимает целые значения. Пусть I — любое натуральное
число, 6/ = y^(A+1)A—-I/*)*» # * — такое натуральное число,
что
U) + /ft. D.2)
1) И. М. Виноградов [2], [5], Хуа [2].

308 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Тогда
1 1
J(P, Р)=\ ... \\Ck(P)fbdax ...rfa,<
0 О
<Grin'P./"^IW)+V D.3)
Доказательству этой теоремы мы предпошлем ряд вспомогатель-
вспомогательных рассуждений.
Сначала заметим, что тривиально J(bt Р)<^Р2Ь, так как
- Далее имеем
xv...,xb0
fe, D.4)
причем при суммировании xt и уь A = 1, 2, . .., b) пробегают неза-
независимо друг от друга значения ?~f-l, B-\-2y ..., В-^Р. В фор-
формуле D.4) те интегралы, для которых одновременно выполнены все
равенства
xk+ ... +4 = У? + ••• +Уь>
D.5)
равны единице; все другие интегралы равны нулю. Следовательно,
УF, Р) равно числу решений системы диофантовых уравнений D.5),
причем хЬь yt независимо друг от друга пробегают множество
Ж**.У,<Я +Я ('=1. 2. ...» *)• D.6)
Простую оценку числа J(bt P) получаем следующим образом. При
b = k система D.5) переходит в систему
х\+ ... 4-4 = У? + ••• +У\>
D.7)
хх-\- ... 4-^л = У1+ ••
k чисел определяются суммами своих степеней, от первой до k-ft
с точностью до порядка. Поэтому из D.7) следует, что yv ..., yk —
некоторая перестановка чисел xv ..., xk. Последние можно вы-
выбрать Pk различными способами. Следовательно, J(&, P)^k\Pk> и
отсюда
J(b, Р)<Р2(*"Л)У(ft. P)<к \Р2Ь~к D.8)

§ 4. Метод И. М. Виноградова 309
(первое неравенство получается после того, как будет вынесено из-под
интеграла Ck(P) в степени 2(Ь — k)). Показатель Р в D.3) меньше
чем 2Ь — k, если выбирать / достаточно большим. Например, если
/>&1п&, то этот показатель равен 2Ъ — у&(&+l)-f-О(&). Поло-
Положим в D.5) xt== Xi~{-Bi yi = Yi-\-B и получим, что J(b, P) равно
числу решений системы
2 (Xi + BY= 2 ОО-ЬВУ A < г < А). D.9)
0<Xlt Кг<Р A </<*). D.10)
При г = 1, 2, 3, ... последовательно получаем, что
\= 21 к/ 0<^<А). D.11)
Наоборот, из D.11) следует D.9), так что J{b, P) равно также числу
решений системы D.11) в области D.10). Отсюда видно, что УF, Р)
не зависит от В. Кроме того, получаем, что J(b, P) не убывает
с ростом Р.
Лемма 4.1. Пусть Q = RH, /? > 1, Я> 1, Н —целое. Пусть
также k^l и gx, ..., gk — такие целые числа, что
#v--?v-i>2 (v = 2. ..., A). ^*1Z;
Для каждого значения v (l^v<^) обозначим через xv целое
число из интервала
?, D.13)
г^в со^[0, Q] — некоторое действительное число, не зависящее
от v. Наконец, пусть Jlt У2, ..., У^ — какие-нибудь (слева откры-
открытые, справа замкнутые) интервалы, длины которых не превос-
превосходят соответственно 1, Q, ..., Qk~l. Тогда число различных
систем xv ..., xk, для которых
для всех * = 1. .2, .... А, D.14)
не превосходит
*kik~l\ D.15)
Доказательство. Пусть хх, ..., xk, уг, ..., у^ — две си-
системы рассмотренного вида, и пусть
V

310 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
для А=1, 2, ..., k. Обозначим через oh и o'h элементарные сим
метрические многочлены степени h от xv и от yv соответственно
Из D.13) и неравенства gvR^.HR = Q следует |#V|<Q, |yvK
A <^ v <^ k). Поэтому
По предположению должно быть
f
D.17)
Пусть теперь k^2. Покажем с помощью индукции, что отсюда сле-
следует
Ы B<А<А). D.18)
Так как o2 — — (s\ — s$), то при помощи D.17) (А=1, 2) и D.16)
это утверждение получается для /г = 2
Ь<|<{К<!(Ы + К
Пусть 3-^/г^/г и D.18) уже доказано для всех чисел, меньших /г.
Тогда, используя D.16), при l^v^/г—1 получаем (по D.17)
имеем |Oj — о[ I -^ П
Из формул Ньютона следует
Отсюда при ^^3, /г^>3 следует

§ 4. Метод И. М. Виноградова 311
чем D.18) доказано. Из D.18), в частности, следует, что
|*\ 1<Л<* D.19)
(для k = 1 по D.17)). Теперь для | X | ^ Q, й ^> 2 имеем
( Bft)*-1
< Л < fc I 2 < /г < /г
' *1. D-20)
так как 2kj{2k—1)^4/з ПРИ k^2. Таким образом, по предполо-
предположению D.13) для 1<^v<J& — 1 имеет место оценка \yk — xv\> R,
и, следовательно, если мы положим в D.20) X — yfc9 то получим
Rk-l\yk-xk\<BkQ)k~\
Поэтому число возможных различных xk не превосходит BkH) "*1-
При фиксированном xk, k^-2, по предположению, каждое из чисел
4+ ... +4-1 (!<*<*—1) D.21)
лежит в интервалах длины не более QA~1. Пусть k^>2. Предполо-
Предположим, что утверждение справедливо для k—1, т. е. что число раз-
различных систем xv ..., xk_v для которых суммы D.21) лежат
в интервалах длины 1, Q, .... Qfe~2, не больше чем
Тогда число соответствующих систем хг, . . ., xk будет не больше чем
Тем самым утверждение доказано для k, если оно верно для k — 1;
для k—l оно очевидно, и, следовательно, лемма 4.1 доказана.
Ввиду условия D.13) число, оцененное в лемме 4.1, тривиально не
больше (R+ l)k.
Лемма 4.2. Пусть с^>\, а в остальном пусть выполняются
предположения леммы 4.1. Тогда число различных систем, для
которых каждое из чисел
4+ ... +4 (!<*<*)

312 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
^ k)
лежит в фиксированном интервале длины не более cQ ^ k) не
превосходит величины
v 'Q2 * . D.22)
Доказательство. Разделим й-й интервал не более чем на
подинтервалов длины, не превосходящей Qh~l. Так как
П BCQ'-A/*) = BC)*Q^(*-1).
1 < h < k
мы имеем не более Bc)k Q2 систем подинтервалов, длины кото-
которых не более чем 1, Q, ..., Qk~1. К каждой такой системе приме-
— k (k—i)
нима лемма 4.1. Для каждой системы имеется не более BkHJ
возможностей. Отсюда следует утверждение леммы 4.2.
Число, оцениваемое леммой 4.2, тривиальным образом не превосходит
*
Лемма 4.3. Пусть Ъ ^> k ^ 2, // — целое. Система целых
чисел g1, . . ., gb (среди которых могут быть равные), 1 <;^'Ч?<;Я
(v = 1, 2, ..., Ь), называется правильной, если в системе встре-
встречаются по крайней мере k чисел, например g. , . . ., g. , такие,
что
j
—gf > 1 A <v<^— 1); D.23)
в противном случае система неправильная.
Тогда число неправильных систем не более чем
ЫЗьНк~\ D.24)
Доказательство. Расположим числа glt ..., gb в порядке
возрастания:
и положим fv = g'v+l—g'^ (l^.v^.b —1). Если система неправиль-
неправильная, то имеется не более чем k—1 значений /v > 1. Рассмотрим
систему, для которой / > 1,...,/ > 1 @ -^ т ^ k — 2),
а остальные /V<J2. Для выбора индексов vlt ..., vm при фиксиро-
фиксированном т имеется ровно Сь-\ возможностей. При фиксированных

§ 4. Метод И. М. Виноградова 313
Vj, . . ., vm имеется не больше чем Нт+ 2 т возможностей, так
как для g[ имеется не более Н возможностей, а для / / —
1 Vi vm
не более Н возможностей, в то время как при фиксированных gv
f , . . ., / каждая из остальных Ъ — 1 — т разностей /' может
1 171
принимать самое большее значение 0, 1, что дает 2 т возмож-
возможностей. В итоге число систем g'v ..., g'b, которые соответствуют
неправильной системе gv ..., gb, не больше чем
Л-2 k-2
т=0 т=0
Отсюда, так как Ь\ системам glt . . ., gb соответствует одна и та же
система g'v ..., gb, получаем утверждение леммы.
Для сравнения заметим, что число всех систем тривиально не больше
чем Нь.
Теперь докажем следующую рекуррентную формулу, из которой
легко получится доказательство теоремы 4.1.
Лемма 4.4. Пусть & !> 2 — целое, а Ъ — натуральное число,
Ь > ±k(k+l) + k = \b?+-\k D.26)
(в частности, Ъ > 3). Если
то
ЛЬ. Q)<G^max(l, rdQU-^+l)+i^mj(b-k. Q1"^). D.27)
Доказательство. Мы разобьем довольно сложное доказа-
доказательство на пять частей,
а) Имеем
1 1
J(p. Q)=J ... J|Cs(Q)p»rfa, ...dak,
О О
причем Ck определено в D.1). Разобьем [Ck(Q))b определенным
образом па частичные суммы. Согласно замеченному после фор-
формулы D.11), достаточно рассмотреть случай Б = 0.
В пунктах а), б), в), г) предположим, что r\ J> 2 и, следовательно.
Q > 22*.

314 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Пусть m — какое-нибудь целое число, 1 <J m <С r\ — 1. Разделим
область суммирования Ck(Q) на 2Ш частей длины Rm=zQ2~~m\
2m 2m
g-l (g-l)8m m
где Zmg—внутренняя сумма. Положим Z={Ck(Q)}b. После почлен-
почленного перемножения получаем
Z=^Zmgi ... Zmgb. D.28)
причем мы здесь и в последующем будем обозначать через
м
сумму не более М членов определенного типа G. Строение членов О
будет ясно из текста. Для краткости обозначим еще
Zm = Zm (g, gb) = Zmgi . .. Zmgb. D.29)
и всегда будем оговаривать, с какими glt ..., gb нужно брать Zm,
Те Zm, для которых gv ..., gb образуют правильную систему,
мы назовем правильными суммами (мы считаем при этом, что члены
произведения Zmg . . . Zmg в правой части D.29) почленно пере-
перемножены) и обозначим их через Zm\ остальные Zm мы назовем не-
неправильными суммами. По лемме 4.3 при Н = 2т число неправиль-
неправильных сумм Zm не больше чем Ъ\Ъ 2т^~1\ Эти неправильные Zm
теперь разобьем еще раз, разбивая в каждом сомножителе произве-
произведения D.29) область суммирования на две равные части; тем самым
каждая неправильная сумма Zm разбивается на 2Ь сумм типа Ztn+l.
Число правильных Zm+1, которые получаются таким образом из не-
неправильных Zm, не более
Эта оценка имеет место даже для числа всех Zm+1, получающихся
из неправильных Zm. Правильные Zmfl мы обозначим через z'm + \t
г неправильные Zm+1 мы разобьем далее так же, как были разбиты
неправильные Zm. Весь процесс начинается с Zv Zx — всегда непра-
неправильные, так как соответствующие g1% ..., gb равны 1 или 2, по-
поэтому можно начинать с них. Процесс мы повторяем для т= 1,
2, ..., т]—1 и через z\ обозначаем на этот раз все Zn, которые
получаются из неправильных Z^x (а не только правильные Z^). Таким
образом, мы находим т ц
Z=% ILz'm* D.30)

§ 4. Метод И. М. Виноградова 315
где Um = b! Qb2m{k"l\ (Внутренняя сумма становится пустой, если
щ настолько мало, что не существует ни одной правильной системы
gx gb, для которой 1 <; gv <; 2т A <; v <! Ь)> например если
2т < k.)
б) В этой части доказательства с помощью подходящего преобразования
Z'm(gv >.., gb)i так сказать, „извлекаются правильные индексы".
С помощью неравенства Шварца (П. 12.3) из D.30) получим
I^\Z/m\\ D.31)
m = \ m — \
Рассмотрим теперь некоторое Zr(gv . .., gX \^m^x\—1, и
предположим, что gx% ..., gb~~ правильный набор индексов (т. е.
выполнено условие D.23) при /v = v); если это не так, то можно
так перенумеровать индексы gv ..., gb, что получится именно этот
случай. Так как среднее геометрическое неотрицательных чисел не
превосходит среднего арифметического (П. 12.4), то
ь
7 12 ^ -J V I 7 I2 <*-*>
Область суммирования в Zmg. (k + 1 <. / «< b) мы разделим не более
чем на
Q2~m (Aq1-1^^ 4- Q1^-^-1 <Q1/^2"(m) D.33)
частей. Неравенство D.33) имеет место, так как ц = [In Q/^ In 2] !> 2,
Q>22*, ft>2, и, следовательно, 4 < 211 <Q1//? <Q1"/&. В каждой
из получившихся частичных сумм
С = 2 «(/(У)) D.34)
у должно пробегать значения из интервала, длина которого не более
чем Q — 1, точнее, для подходящего целого 0 индекс у пробе-
пробегает все целые числа интервала
ю < У < ю +- Q\ 0 < Q' < Ql~ll\ D.35)
причем 0 <; 0 <; ^,./?т <; Q, так как область суммирования С* должна
содержаться в области суммирования Zmgs (последняя состоит из
гаких целых х, что (^-1) /?т < л < ^/?m, /?OT = Q2"m, 1 < ^< 2т).

316 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Из неравенства Гёльдера (П. 12.2) следует (k +• 1 <;
I 7 \2ip-k) Л у ,г*|) ^
<^ \Q 2 ) 2lj 1^1 • D.36)
Отсюда и из D.32) следует, что1)
Из D.31) вытекает теперь неравенство
Nm
\ 7 7 I21 С* |2(& —ЭД
I ^mgx • • • ^tngk I I <-• I »
D.37)
где
A/^m = ^/m (^ — /j) Q 2~"^m~ D.38)
(при этом нужно заменить суммы в D.31), возможно пустые для
малого т, пустыми суммами). При m — r\ может получиться так, что
gv ..., gk образуют неправильную систему, однако с разбиением
Z (k-\-i^Ci^Cb) поступают так же, только g,, ..., gu в I Z ...Z 2
не обязательно образуют правильную систему.
Интегрирование D.37) по области {O^c^^l 0^ай<[1}
дает
11 11
Г ... f I Ck (Q) \2bdax . .. dak = [ ... Г I Z l2^ . . . dak <
0 0 0 0
X 2 j ... J | Zmgi ... Zmgk f\C* f^da, . .. dak. D.39)
о о
J) При этом последняя сумма есть сумма не более Gm членов |С*|2^ k\
С* — не рассмотренная подробно сумма вида D.34).

§ 4. Метод И. М. Виноградова 317
в) Теперь устраним из интеграла в правой части D.39) правильные для
m ^ т| — 1 индексы, рассматривая интеграл как число решений системы дио-
фантовых уравнений и используя леммы 4.1 и 4.2.
Выражение
1 1
J ... j\Zmgi ...Zmgkf\C*f(b-k)dal...dak D.40)
О О
равно числу решений системы диофантовых уравнений
; f f .. +vtk 0<A<ft). D.41)
причем переменные лежат в областях
о» < Уr y'j < © + Q' @ < Q' < QX~V\ 0 < со < Q), D.42)
_/=1, 2, ..., 6 — k, где и — целое число из D.35), зависящее
от С*, но не зависящее от j,
« (/==1'2 Л).
Здесь при гп^г)—1 наборы gx gk образуют правильные си-
системы. В D.9) и D.11) мы показали, что это число равно числу
решений системы D.41), если переменные лежат в областях
0<yry'j<Q'(<Ql-l/*) (/=1, 2 b — k), D.44)
т (/=1. 2 Щ. D.45)
Пусть теперь l^m^r]—1. Если xft фиксируется, а у. и yrt про-
пробегают область D.44), то уравнения D.41) накладывают на xt огра-
ограничения типа ограничений, предположенных в леммах 4.1 и 4.2, если
положить в этих леммах R — Rm> H = 2m, c = 2(b — k). В самом
деле, из D.44) следует
k-^ -¦¦¦ -t-k\ < {b-k)Q{'-ym A <А< k).
По лемме 4.2 число различных систем х. и xr. {l^i^k) из D.45),
которые удовлетворяют системе уравнений D.41), если у., уг. лежат
в области D.44), не превосходит величины
(Rn + 1)* {4 ф - k))
Мы имели l<]m^T]— 1 <л^ \nQ[k In 2 и, следовательно, Q2~m >
> Q2"^ > Ql/k > 22*, потому что Q > 22k. Следовательно,

318 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Rm-\- I = Q2~m-\- I <^2 • Q2~m и рассматриваемая величина не пре-
превосходит
{4 ф — k))k{2k)lik^'1J4imk (k~V-(m~V *о*ь-Чг <*+*). D#45)
Каждое выражение вида D.40) можно написать в виде
1 1
e(- N,ak - ... -N,a{)\ C* f(t>-h)dax ... da,, D.47)
0 6
где iH^Vj, .... Nk) — число решений системы
Nh = x\+ ... +xl-x[h— ... —x* (l<A<ft) D.48)
в области D.45), a Nx Nk пробегает систему чисел, которые
представимы в виде
Nft = yJ+ ... +y*_ft_yf_ ... -y'bh_k (!<*<*) D.49)
с у., у', из области D.44). Абсолютная величина интеграла из D.47)
не больше чем
r-^a, ... dak<
0 0 0 0
поскольку переменная суммирования у в С* пробегает интервал D.44),
и J(b, Р) с ростом Р не убывает, как уже было установлено в D.41).
Кроме того, 2 iK^i» ..., Nk) ограничено величиной D.46),
NN
так как эта сумма равна числу различных систем хr xf. из области D.45),
которые могут появиться в качестве решений D.41), если у. и у1,
лежат в D.44). Следовательно, для 1 <! m ^ У)—1 получим
1 1
J ... j\zagi ...гт^\2\с*Г'к)ааг ...rfaft<
о
*I/*i*1)!/*(*+1)B1)*2*l/(ft+1) X

§ 4. Метод И. М. Виноградова 319
При ш=Ц справедлива грубая оценка
1 1
f f I 7 Z I2! С* |2^~Л) da da <
^цУ ••• (^(Q1 !/)l dai ••• ^ад?> D.51)
J
0 0
поскольку Q2"T1>2^> 4 > 1, ft>2, и, значит, | гщ\</?n+ 1 =
= Q2"'n4-l <2/?л. Теперь, так как т) > lnQ/ft In2—1, имеем
Из D.26) следует {4 ф — k))k > [k (k + 1)}л > 22k(k >2), а отсюда
получаем, что D.50) имеет место также для щ = х\.
В этом месте становится ясно, почему разбиение проводится как раз до
т = У\. Это делается потому, что вплоть до этого значения m D.50) дает
улучшение по сравнению с тривиальной оценкой в D.51).
г) Если мы сопоставим теперь результаты а), б) и в), то, согласно
D.39) и D.50), получим
J ...
о о
m-1
Если положим
c(ft, *) = (ft!6^22(ft-ft)+Va*(*+1)Dft)*ftI/l*(*). D.54)
то, так как Um = b\6b2m{k'l) (см. D.30)) и
Nm = Um(b — ft) Q1/fe2-(m-1} = Й ! 6* (ft - ft) 2m
(cm. D.38)), наконец, получим
J ...
о
2'llt2*IA*(ft+5)}2*1/(ft1)+2(**)/*(ft, Q1/ft). D.55)
/rc-l

320 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Действительно, {4(b — k))k < Db)k и показатели степени двойки, не
встречающиеся в с (ft, b), дают в совокупности
m(k— 1)—/и2 ф—k) -fО — О + mft—2/rc-f I + у ^ft (ft — 3) =
= m{—2ft+~ft(ft + 5)—2) < wj —2?-f-yft (ft + 5) j,
в то время как показатель степени Q равен 2ft— ll2(k-\- I) -\-
+ 2 ф — k)lk. В силу D.26) имеем 2Ь — lj2k (k + 5) > 1, поэтому
из D.55) следует
)/V(^-^, Ql~l/k). D.56)
Теперь из-за того, что k < ^ и Уг^ (/г — 1) < !/2^ (* + 0 < 2^>
имеем
с (ft, b)< FbJb {Abf Bbfb = F2 • 4 • 22 • ?5N
и тем самым D.27) доказано для г)^2.
д) Пусть г) < 2, следовательно,
-^<2, Q<22*. max(l. rO=l. D.57)
Разобьем Ck(Q) на четыре части вида
0<Q'<i-Q<Q1-1/*. D.58)
Л
Неравенство Гёльдера дает
4
С помощью интегрирования отсюда следует
J(b, Q) < ^-'Q2*'1"™ J J ... j | С* |2<»-*)rfa, . .. da, <
0 0
< 42Vfea~1/ft) J ... JlC^Q1-1'*)!2*6-*^ •¦•dak, D.59)
0 0
так как Jф — k, Q')^.j(b — k, Ql~yk) (см. D.58)). Поскольку
2 (й — ft)/ft > V2 (ft + 1) (no D.26)) и 2k(l~llk)<2b, то правая
часть D.59) не превосходит величины
Этим лемма 4.4 полностью доказана.

§ 4. Метод И. М. Виноградова 321
Пусть, например, х пробегает множество натуральных чисел, и пусть
К = 2 е (ах>>' ПУСТЬ Далее Q = RH, И > 1 — целое, R > 1. Тогда
X = Х*п 4" • • • + Х^н\ где ХA) обозначает сумму, распространенную на
область
Bt\ (i—l)R<x^iR A </<#).
Пусть q > 1 — целое. Неравенство
1 f 1 1
J | Х\2* da < Я2* | J | XW Р* </а+ ... + J
о 1 о о
означает, что число решений системы
в области 0 < Xj, ^y<Q(l<y<^) не больше чем Я2*7-кратная сумма
чисел решений систем
4°
f
(/ - 1) R < xf, xf < IR A < J < ?)
для /= 1, 2, ...,//. Вероятно, трудно доказать такие теоремы (кроме спе-
специальных случаев, например q = 2) без помощи показательной функции.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть теперь мы имеем
b>-Lk(Jk+\)-\-kl. Если Р1-1/*<3, то Р<9 при ^>2 и тео-
теорема тривиальна, так как J(b> P) ^ 92b < GbMb и
ln/ p . р2&-уя ft (ft + D+б, > ,п/ р # рШ > {
B<Р<9, ^>2, />1).
Предположим теперь, что Pl~1/k > 3 и, следовательно, Я > 3.
Теорема 4.1 теперь имеет место для / = 0, так как J(b, P)^,P2b.
Пусть /;> 1, и теорема для (/ — 1) уже доказана. Тогда из леммы 4.4
при Q = P и неравенства max(l, rjX^lnP (Р > 3) следует
J(b, P)<Gftf P2k-l^k+1)+2{b-k)/k\nP.j(b-k, Pl-l/k). D.60)
По предположению индукции (нужно положить /—1, b — k, P~
вместо /, b, P) имеем
Подставляя это в D.60), получаем утверждение теоремы для /, так как
показатель степени Р равен
2ft — у (k + 1) + 2 Ф — ft)/ft + 2 ф — k) — 2 (й — ft)/ft —
—i
Таким образом, теорема полностью доказана.

322
Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Теорема 4.1 в этом виде принадлежит Хуа [2]. Теорема и доказательство
несколько проще, чем в первоначальном изложении И. М. Виноградова.
Кроме того, имеется небольшое улучшение результата.
Применим теперь теорему 4.1 для оценки тригонометрических
сумм.
Теорема 4.2. Пусть Р и Q — целые числа, Р^-l, и
S= 2 e(axw+akx*+ ... -fa^ + ao), D.61)
где a, cak a0 — действительные числа. Если
0<2(/e+l)|a|P<l, D.62)
то при подходящем cv не зависящем от k, Р, а а0, имеет
место оценка
\S\^2el*kWkPl-im*Xnk\nP + 2\a\-llk. D.63)
Доказательство. Для Р=1, 2 теорема тривиальна. Пусть
Р^>3. В последующем доказательстве k предполагается достаточно
большим, однако насколько большим нужно взять k — не зависит
от Р, Q или a <х0. Достаточно (как в доказательстве теоремы 2.1)
принять Q = 0. Положим
S(y)=
2
Л* < M
причем натуральное число М будет определено позднее. Имеем
М Р М Р-х
M ( Р
л-=1
М Р
, D.64)
|/С|<2. Пусть й>1—целое. В силу неравенства Гёльдера (ПЛ2.2)
р 2а р
2 s(y) < p2U~l 2 I 5 (У) |2и- D.65)
у-1 у-1
Теперь
р р
у-1
У-1
Р ( М ММ
SJS ... 2 2 ... 2
1?
, D.66)

§ 4. Метод И, М. Виноградова
323
где
(?>=F(x1
А+
D.67)
Обозначим через yp(N1 Nk) число решений системы
в области 0 < л:г л:^ ^ Ж. Тогда 2)
p
y-i
M MM
м
xrl
¦¦• S S ... S
<-*
<
'\N{\<uM \Nk\<aMk
У-1 I
P
x 2... 2
TV
2_
2-12
2
/V|
. D.68)
Рассмотрим сначала первый сомножитель в правой части D.68). Сумма
2 ••• 2^2(^i Nk) D-69)
равна числу решений системы
причем все переменные лежат в интервале [1, М]. Если перенести
здесь все отрицательные члены в другую часть, то получится система
типа D.5), число решений которой оценивалось в теореме 4.1.
Из этой теоремы, если положить Ь = 2и, Р = Н, для суммы D.69)
следует оценка
1 г /\
"-A-1/*П D.70)
0 Очевидно, что 2 * (ф) =
У-1
не зависит от у.
р
)) 2 ..-.так как Л
1

324
Гл. VIIL Тригонометрические суммы
при 2и > -J ft (ft -f- 1) + Ik. Будем теперь предполагать, что 2и >
> -j ft (ft-j-1)-{-Ik и положим
/ = [ft In {ft (ft+1)}+ *] + !. D.71)
Очевидно, что /—2ft In k при ft->oo. Далее при ft^>l имеем
Ift(ft+l)(l-~y<^ D.72)
так как A — I/ft)* < e~l и
Для второго множителя в правой части D.68), так как Ak~ak~\-
-\-(k-\-l)ay, в силу F.6.4) получаем
у-1
minhuMk, 1|
Из D.62) следует
D.73)
и, так как каждое из чисел 1, 2, ..., Р—1 можно представить
в виде \ух — у2\ A ^С.У1> У2^^) не более чем 2Р способами, по-
получаем
У У. min { } =
У» У2

§ 4. Метод И. М. Виноградова 325
Следовательно,
2 2 min { } < 2uMkP + P(l + In Я) | a I < AaPlnP • | а р1 D 74)
У! У2
если мы предположим, что
Ж<|а|-1/^. D.76)
В итоге для суммы из D.65) получаем
2и
S(y) <Р2м-1 {A4«I0мг1п'Ж • ж4м-'^(*+1)+1/5}'^ X
X {2*~ V-'M'^ «~ЧаР In P • | а Г1}72 <
< xV2"-1* ln1/2 Я • Ж2и+1/1° In'" Ж, D.76)
% = 2*+1й* A4«I1ЫЛГ* | а Г1. D.77)
Подставим это в D.64). Тогда
uPl-1/iuЫЩиР ¦ Ж1/20" \nmM-\- 1M. D.78)
Сначала следует предположить, что Р^-3*, и взять М = [\ a \~i/k].
(При этом D.75) выполнено.) Тогда в силу D.62) | а I > 2(&+ \)Р
и, следовательно, Ж>3. Поэтому имеем х/21 a |~1/ft -< ^f<!| а \~1/к
и |а|Ж*>2"*, т. е. Я,<22*+1м*A4йIОнГ. Далее предположим, что
Ж<Р. Тогда Ж1/20" < Я'/20", 1пЖ<1пР и из D.78) следует, что
Так как 4а > V2^(^+l) + 2/ft, то A+/)/4я<1, и
Из неравенства 4и > V2* (А + 1) + 2ZA = 4^2 In k -f- О (й2) вытекает,
что B2Й+1#А!I//4" -> 1 при k->oo. Следовательно, для достаточно боль-
большого k имеем B2k+luk)l/4u ^2. Итак, для достаточно большого k
| S |< 2 A4«)V/5e In P + 21 a |/ft. D.79)
Эта формула справедлива также в случаях, которые не рассматрива-
рассматривались, т. е. для Р < Ж, P^Sk и Р < 3*. Для достаточно большого k
з*<«'

326 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Положим теперь
и = [-g- ft (ft + 1) + ¦§¦ lk\ + 1 ~ & In ft (ft -> со). D.80)
Тогда обязательно 2# > l/4k(k-\~ l)-(-/ftf как мы до сих пор пред-
предполагали. При этом для достаточно большого ft 5/2/<6ftlnft,
Ни < 15ft2 In ft и следовательно,
A4яM/У < A5ft2 \nkfklnk < exp A5ft In2 ft).
Так как Ъи < 6ft2 In ft, то для достаточно большого ft получаем
Таким образом, теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3 1). Пусть Р^>\, Q — целые числа и
5= 2 *(/(*)). 0<Р'<Р, D.82)
Q < /i<Q + Р'
причем
k kl D.83)
— полином с действительными коэффициентами. Тогда при под'
ходящей положительной константе А имеет место оценка
|r1/(") D.84)
для
ft>?2. 0<2ft|a|P<l. D.85)
Здесь константы не зависят от Q, P, ft я а, ..., а^
Доказательство. Из теоремы 4.2 с заменой ft-f-1 на ft
для достаточно большого ft следует
так как первый член в правой части D.63) не убывает с возраста-
возрастанием ft. Для достаточно большого ft имеем 6 In ft ^ ft, и предполагая
сначала, что Р ^ exp (90ft3 In3 ft), получим
< {exp (9063 In3k))Vk> Pl-1/k' = exp (90 In3k) P1"''*
*) Татудзава [2].

§ 5. Применение к оценке ?(s, w) 327
(так как для 0 < сг < с2, О < 62 <6j < 1 имеем с^с*-6* < с\*с\-ь*у
Тем самым D.84) доказано для Р>-ехр (90?31п3&). В противном случае
| S |<Р<Р1-™*{exp(90?3In3А)}"** = ехр(90 In3k)Я17*'
и, следовательно, D.84) справедливо для любого Р^\ (для Р=1
имеем | 5 |^| ар1' ~ ). Теорема полностью доказана.
§ 5. Применение к оценке g(s, w)
Теорема 5.1. Пусть 0<^<lJ>3 а Л/, N' — такие нату-
натуральные числа, что
2**/<*2-D < iV < iVr < 2Л/. E.1)
Тогда при подходящем с1 > 0 ^ля k^> с1 имеет место оценка
X ^3('+1) ^(Л/Г^^^ + Л/^-^Г2^2-^. E.2)
Доказательство. Разложим сумму 2 на частичные суммы
вида, рассмотренного в лемме 2.1:
2 *(f(n))\, E.3)
0< л<Р' |
2 (Л+ <?;)-"<; max
Q<n<Q + P 0<Я'<
где Q — целое, а /(#) — такой же полином, как в теореме 4.3, и
В каждой такой сумме Q и Qo удовлетворяют неравенствам Л/ ^ Q <
<Q0<^2N; таких сумм имеется не более чем NIP-\-\, причем
в последней сумме суммирование, возможно, проводится по интервалу
длины меньше Р. Если мы положим
] E.4)
то непременно будет Р ^.-K-Qt~l^k+1) и, следовательно, будет выпол-
выполнено B.5). В силу E.1) имеем
1 ! * {2^*2-1)}-(*-V
р < 1 МГт + 1) < ! /V*
Отсюда следует, что

328 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
так как Qq^2N> так что условие D.85) теоремы 4.3 выполнено.
Из E.1) получаем
и, значит, Р ^> 1. Применим теорему 4.3 для достаточно большого k.
Тогда, так как Q0^2N, из 5.3 следует
2 <С ехр (Л In3 k) Я1-17*3 In P + BnkQSrf{k-l) <C
Q</i<Q+P
<Сехр(Л In3
Сумма в E.2) разложена на не более чем N/P-\- I <?1/(*+1)-f-1 ^
^ 2?^* (f ^-3) частичных сумм этого вида. Таким образом, оценка
E.2) выполняется и теорема 5.1 доказана.
Заметим, что
для //«#,
r 2
Следовательно, для постоянного t формула E.2) при iV = fi дает наилучшую
оценку.
Теорема 5.2. Пусть N, N' — натуральные числа, А/<Л^/<
<2N и
(Б#б)
При подходящих константах с2^3, с{^Ъ и
?>с2, ^>^з E.7)
имеет место оценка @ < <и><; 1)
C ) E-8)
области
E.9)
Доказательство. Если N удовлетворяет условию E.6), то
теорема 5.1 применима, если только

§ 5. Применение к оценке ?(s, w) 329
что выполняется при достаточно больших k и t. Следовательно, для
ллгтяточно больших k и t
достаточно больших k и t
v (n + w)"
N <n<N'
<C Л/ {exp (Л In3 k) Г°>ш*{k+l) In t0Mk+l) + ГWC*1-1)} <^
так как 0,4/(*2—1) > 0,2/А3(А +0- Как в лемме 3.1, с помощью
частного суммирования, согласно 5.6, получаем
Функция A — о) х — Ve-^4 имеет ПРИ х = 21/3 A — о)
значение, равное 3/421/3A—аL/3. Следовательно,
1/3 максимальное
2
N < п < N*
Отсюда, если выполнено E.9), следует E.8).
Теорема 5.3 ]). В области
имеет место оценка @<^<^1)
С (s, w) — ws <C exp (c5 In3 ^). E.11)
Доказательство. По теореме 3.1 можно считать, чтоа<1;
согласно лемме 3.5, достаточно доказать, что начиная с некоторого t
сумма 2 (n-\-w)~s остается меньше правой части E.11). Пусть t
t2
уже настолько велико, что область E.10) лежит в полуплоскости
1/2. Разделим эту сумму на три суммы
2 = 2+2+2
*2 CN NN N
причем положим Afo = exp ln3/4?, N(=t2/g\ натуральное число g
будет определено позднее. Для 0 < о1 <! о < 1 имеем
2 < 2.-<'+??¦
п < JV0
/г < iV0
!) Татудзава [2]. (См. также добавление \\. — Перев.)

330 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Если положить О\ = 1—1п|/4 ^/1п3/4^, то
Вторую сумму мы разделим на частичные суммы 2
вида, рассмотренного в теореме 5.2; таких частичных сумм будет,
очевидно, не более чем <^\nt2^g<^\nt. Для каждого /V определим k
так, чтобы выполнялось условие E.6I). Если g выбрано достаточно
большим, то в каждой частичной сумме k^>c2, так как из неравен-
неравенства E.6) для N^t2/g следует 1,2/(Л + 1)< 2jg.
Выберем теперь постоянное g так, чтобы 1,2^ ^ 2 (с2 + 1),
g^>6. Для любой частичной суммы N должно во всяком случае
удовлетворять условию /V ^-ехр 1п3/4^. Так как, кроме того, должна
выполняться оценка E.6), то, в частности, имеет место неравенство
In3/4*<1,6 (In0/(^+1) и, следовательно, /г < 1,6 ln1/^. Отсюда и
из теоремы 5.2 (увеличивая, если это необходимо, t настолько, чтобы
оно стало не меньше с3) получим
* • ехр {A In3 A,6 ln3/4 /) + сА lni /} <С ехр (с \ns21).
2
No < п < Nx
Наконец, из леммы 3.4 следует
2 =0A) (а>1-2"*-1>).
Nx < Л < t2
Для каждого фиксированного g и для достаточно большого t
1 1
1 1
ln24 ^/ln4 t < 2~(^~1). Тем самым для достаточно большого t, и по-
поэтому (после возможного увеличения сБ) для ^^>3, оценка E.11) до-
доказана.
§ 6. Следствия для нулей L(s, yv)
Оценка, полученная для ?(s, ^), позволяет расширить область,
свободную от нулей /,-функций. Сначала нам потребуются соответ-
соответствующие оценки для L(s, у).
Теорема 6.1. В области
По4*
V ^>8, F.1)
1) Это всегда можно сделать, так как для достаточно большого k имеют
место неравенства: 1,2/(А? + 2) < 1,2/(?~И) < 1, 6/(Л-J-2) <1,6/(? + 1>

§ 6. Следствия для нулей L(s, %) 331
имеет место оценка
L 0> X) К ехР '
для каждого характера i no
F.2)
Доказательство. Для k—\ теорема уже содержится в тео-
теореме 5.3, так как ?($) = ?($, 1). Пусть k > 2. Тогда
Us, x) = *-'{ Г}
Из теоремы 5.3 для
1 i
а > ах = 1 — In4 ^/ln4 t, t > 3,
следует
lno4 *
a отсюда вытекает 6.2.
Заметим, что в правой части 6.2 первое слагаемое в скобках равно вто-
/3 3
рому слагаемому при k = ехр
Методом, применявшимся в гл. IV, может быть доказана следую-
следующая теорема.
Теорема 6.2. Пусть ft > 1 — целое. При подходящем с2 > О
функция L(s, x) не имеет нулей в области
F'3)
Ж (ft, /) = max (in ft, In4 (|/| + 3)ln24 (| f |-f 3)J F.4)
характеров % по mod ft, за исключением, быть можетt
простого действительного нуля Pj .у L-функции, определенной
исключительным характером Xv
Доказательство. По теореме 4.6.9 достаточно доказать
утверждение для |^|^4, и, так как нули функций L(s, %) и L(s< x)
симметричны относительно действительной оси, достаточно рассмотреть
случай t ^ 4.

332 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Можно предположить, что ft^>3, так как нули Z-рядов по modi
и mod 2 при 0<а< 1 совпадают с нулями функции L{s, %0), соот-
соответствующей модулю, большему двух. Пусть р —р -\-it\— нуль функ-
з
ции L(s, х) и tx ^> 4. Положим R = R(k, ^)=max {In ft, (\ntx ln2 /xL}
и p=l—bjR. Нам нужно показать, что Ь больше, чем независимая
от х и tx константа. Положим а0—1 -{-a/R, 0 < а < у (причем а
ниже будет определено более точно), и
9
In4
ЬЗ"
F.5)
In4 tx
константа с3 также будет определена позднее. Применим теорему П. 4.5
к функции F(s) = L(s, х) с областями Is— s'0\ <; г, s/Q = oQ-\- itx и
Is —SqI-^г, s'q =o0-\-i2ty Выберем с3 настолько малым, чтобы эти
круги для каждого а>0 и каждого tx ,^> 4 лежали в области F.1).
Это всегда можно сделать, так как при t1~>oo и постоянном с
= 0
3_
In4 B^+ с).
Теперь в обоих кругах можно применять теорему 6.1. Для круга
Is — Sq|<J/*, принимая во внимание D.5.19), находим
F.6)
м = ~,
Аналогичная оценка получается для абсолютной величины дроби
L(s, х)/^Eо* 5С) в кРУге I5 — so ^r- ПРИ замене tx на 2tx порядок
величины последнего экспоненциального сомножителя по существу
остается таким же. Отсюда следует, что
_9 9
— 1 inJ*! з 1П7^1 1
In M <g" In h lno ft + ln2 Л + In ft —7X \~ ln21\ <CI —о— R In —.
In7 *, In1" ^
F.7)

§ 6. Следствия для нулей L(s, %) 333
Последняя оценка справедлива потому, что а < -к, 1пA/#)>1п2
и порядок \\\2k не больше порядка величины в правой части F.7),
так как имеет место оценка
_9
lr.4 +
которая очевидна, если рассматривать отдельно случаи tx ^k и tx <
Пусть теперь 6 выбрано настолько малым, чтобы при О < а
и 0<#<;б нуль рг == р —|— /^2 лежал в круге Is — <9ol^'9"r; кРоме
того, 6 выбирается одним и тем же для любого k J> 3 и tx = A. На-
Например, можно выбрать 6 так, чтобы
?±А <г — <-1
D s^^ D ""^^ О
Г\ Г\ At
для &^3, tx ^ 4. Это всегда можно сделать независимо от k, tv
так как 1/R = о (г) {tY ~> ооI) и так как l(R не возрастает с ростом к.
Достаточно доказать, что существует удовлетворяющая условиям тео-
теоремы константа с2, такая, что 0 < с2 < Ъ <^6. Из (П. 4.10) и (П. 4.9)
получаем тогда
U 11 CS ПЧ
Re -j- (сго4~ ^i» X) >—с/< In 1 g- (o-o)
и
Re -^- (сто + '2flf х2) >—cR\n — . F.9)
Так как
—^¦(ао- Хо)<С—
то для 0 < а ^. 6j (e) <^ 6 имеет место неравенство
Re 41 (сто- Хо)>-^Ёу- FЛ0)
Отсюда и из F.8), F.9), согласно D.4.4), следует, что
!) Имеет место неравенство l/R < l/(In tx In2 ^iK/4. Следовательно, для
достаточно большого ^, например tx>t', обязательно будет \jR <-^r n
можно взять 5 < «Tj- настолько малым, чтобы неравенство 26//? < "о" ^ имело
место для 4 < tl < ^.

334 Гл. VIII. Тригонометрические суммы
Возьмем е = |, 3A -f-e)= 15/4, 4 — 3A -f-е) =—-. Тогда, так как
о0— 1 -\-ajR, для 0 < а^Ьх =ЬХ f-j-j, 0<?<^5, получается
°- FЛ2)
С1п± + _
а { а~\-Ь 4
Для подходящего 62, 0<62<J6ls и для 0<а<^62 имеем
_cinl-f.J->o.
а ' 4а ^
Если теперь зафиксировать а, то получим противоречие с F.12),
например, для 0 < Ь <С с2 < 6. Следовательно, область
не содержит нулей ни одной i-функции, отвечающей характерам по
mod&. Это нам и требовалось доказать.
Пусть вообще в области вида а > \—6(t), ^>3, выполняется оценка
^ E' %) <С^ ехР (^ @ In /г —j- /n (t)}. Тогда аналогично можно показать, что
? E» %) Ф ^ в области
а > 1 — с//?, * > 4,
если только б (/), X (t) n m (t) удовлетворяет определенным условиям. В ка-
качестве таких условий можно выбрать, например, следующие: 6 (t), X (t), \/m (t)
не возрастают; m (t) -> oo при t -> oo; 6 @ < -j-»
при фиксированном с и то же самое имеет место для Я (t) и 1//я (t); наконец
-щ- <; exp m (t).
1 _з
При X (t) = б (^ = In24 ^/In 4/, m @ = In2 t получаем теорему 6.2, а при
6 (t) — -^, X (t) = const, яг (?) = In ^ — теорему 4.5.6.
Теорема 6.2 дает наилучший 1) на сегодняшний день известный результат
по областям „слева от а=1й (с большим t), в которых L (s, %) Ф 0 или
g (<?) =^= 0 (^е = 1). Уже из гл. IV для а—1 следует, что в области вида
а > 1 — c/max (In &, lna^) нет нулей никакой функции L E, х)- Для а < 1 это
впервые доказал Чудаков с помощью более старой формы метода Виноградова.
Наше доказательство примыкает к работе Татудзавы [2]. Несколько дру-
другое изложение (в случае k = 1) см. Титчмарш [3].
') В настоящее время известны более сильные результаты (см. Валь-
фиш [3*J ). — Прим. ред.

§ 6. Следствия для нулей L(s, %) 335
Уже здесь с помощью теоремы 6.2 мы сумели существенно улуч-
улучшить порядок величины остаточного члена в теореме 4.7.2. По при-
примеру того доказательства находим в остаточном члене формулы D.7.13)
ln7x/ln27x вместо ]/"lnx, правда, только для k <J ехр [с In7 x In4 х)
эта область меньше, чем область k ^ ехр (с ]/Тп х), в которой была
доказана оценка D.7.13). С точностью до малых сомножителей при-
приходят, так же как в D.7.15) и D.7.18), к остаточным членам вида
х/Т и
xi-c/M(k, Т)^х ехр | „ с 1п Х//тах (in /e, In4Г In4 T)
4 3
которые для 1пГ = In7 л:/1п27 х оба приблизительно одинакового по-
рядка. Правда, тогда 1п^ не может быть больше чем с In4 T In4 T <<^
3_ _3_
<^ In7 х In7 л:, иначе ехр(— с In x/ln ^) больше не будет величиной
/ -i - \
<С^ехр ^— с In7 x/ln27 х].
Для 1п^> ]Лпх можно доказать формулу, аналогичную D.7.13),
с остаточным членом О (х ехр {— с In x/\n k) • In2 kx). Однако при
переходе к теореме 4.7.3 это бесполезно, так как в D.7.20) получаем
тогда тот же остаточный член для 1п&> Л |Лп х (Л достаточно
большое) и этот остаточный член больше, чем главный член x[q)(k).
В следующей главе мы познакомимся с теоремами о „плотности"
нулей L(s, x) B критической полосе, которые позволяют улучшить
теорему 4.7.3. Эти теоремы нужны также для исследования порядка
величины plt±i—рп (где рп обозначает п-е простое число) и очень
интересны сами по себе.

Глава IX
ТЕОРЕМЫ О ПЛОТНОСТИ НУЛЕЙ L-ФУНКЦИЙ И ИХ
ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. Вертикальное распределение нулей
Рассмотрим сумму
х W\<T
где р = р(%) пробегает нули L(s, у) в полосе 0<о>< 1. Эта сумма
появляется в качестве главного члена разности i|)(jc, k, I) —x/q)(k)
в теореме 7.4.6 и формуле D.7.11). Так как | х& | = х$ (где p=p-]-/Y)»
то эта сумма будет тем меньше, чем меньше нулей имеют действи-
действительную часть вблизи единицы. Обозначим через N (а, Т) = N (а, Т, k)
общее число нулей всех ф(&) Z-функций с характерами по mod^(&;> 1)
в области
а<а<1. |*|<Л A.1)
причем каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.
В силу формулы G.3.24) при Г^2 тривиально вытекает, что
N (а, Г)< N (Г) <С kT In kT
(определение N (Т) см. в гл. VII). С ростом а величина N (а, Т) не
возрастает.
Наша цель — доказательство следующей теоремы, которая дает
оценку для N (а, Г), убывающую при возрастании а.
Теорема 1.1. Пусть Со — положительная константа, при
которой оценка
2(|?|_|_2)с° A.2)
выполняется равномерно для всех % по modk, k^>>\, и всех t
{по теореме 7.3.1 такая константа существует и не превосхо-
превосходит 112)- Тогда для 0<^а< 1, Т ^>2 имеет место неравенство
N (а, Г)<С {^г4С0(Г + ^J}1"а1п8^Г A.3)
с константой в <^, не зависящей от а, Т, k.
Доказательству этой теоремы мы предпошлем шестнадцать лемм.

§ 1. Вертикальное распределение нулей 337
Общая идея доказательства состоит в том, чтобы применить теорему
Литлвуда (теорема П. 8.1). Наиболее просто было бы применить ее к функ-
функции JJ L (s, x) (гДе произведение образовано по всем характерам по mod k),
х
так как число нулей этой функции в области A.1) равно N (а, Т). Однако
оказывается, что вместо этой функции лучше рассматривать некоторую вспо-
вспомогательную функцию (с теми же нулями), для которой, грубо говоря, пра-
правая часть формулы (П. 8.3) может быть меньше некоторой ниже определен-
определенной функции JJ hz (s, %).
х
Рассмотрим действительное число z, большее единицы. Положим
Qz(s> Х)=2
п<г
= max
т
Jz (a, T) =
-T x
причем знаки 2 и П обозначают суммирование и произведение по
х х
всем характерам х mod/г. В частности, для 1 <^^2
/*(*. Х) = ^(^. X) —1. hz(s> x)
Все нули функции L(s, x) являются также нулями hz(s, %). Обозначим
через NY (a, T) число нулей всех (образованных характерами по mod k)
функций hz(s, x) в области A.1) или, что то же самое, число нулей
функции
л*(*) = ПМ*. х)
ОС
в этой области. Тогда достаточно доказать, что A/j(a, T) остается
меньше границы из оценки A.3). Величина z позднее устанавливается
в зависимости от k и Г.
Перемножением рядов для функций Qz(s> x) и L(s, x) B полу-
полуплоскости a > 1 получаем
d\n, d <z
2 A.5)
/г > г d | п, d < ,г « > г

338 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
так как ^\i(d) = O или 1 для п > 1 или п—\ соответственно
d | /г
(d(fi) — число положительных делителей п). Теперь достаточно дока-
доказать теорему 1.1 для достаточно большого k, например для k^-k0,
так как для /е < &0, Т^>2 можно заменить оценку в A.3) величиной
и для каждой L-функции, отвечающей модулю kx <^ k0, имеется другая,
соответствующая модулю kxk0 (вообще с непримитивным характером),
которая имеет в полуплоскости а > О те же нули. Поскольку k0 ^
су
<С ^i^o ^С &о = const, то для последней L-функции выполняется оценка
A.3), и это дает оценку вида A.6), чем A.3) доказано для k < k0.
Наконец, можно предположить, что на прямой t=±T нет нулей
никакой функции hz (s, %) (% по mod k). Если это не так, возьмем
Тг > Т и такое, что в полосе Т < 11 \ ^ Тг нет ни одного такого
нуля. Тогда N (а, Тг) = N (а, Г), и если A.3) уже доказано для N (а, Тг),
то оно получается при Т1~>Т также для /V(a, T). Таким образом,
мы предположим, что
Следующие две леммы дают связь между N (a, T)(^.Ml(a) T))
и функциями Kz(o, T) и Jz(e, T), а последующие леммы служат для
оценки этих функций.
Лемма 1.1. Функция Hz(s) действительна для действи-
действительного s. Пусть z>k2, Г^>2 и nz(a, T) — число нулей функ-
функции
Rz(s, Т) = Hz(s + iT) + Hz(s~IT)
в области \s — 2|<i2 — a, !/2^a<2. Тогда1) для достаточно
большого k
arg Hz (a ± IT) <C пг (a, T) + 1. A.7)
При этом берется т,о значение аргумента, которое получается
с помощью непрерывного продолжения argHz(s) вдоль отрезков,
идущих от s = 2 к s = 2 ± iT и оттуда прямолинейно
к а ± iT.
Доказательство. Чтобы доказать, что функция H2(s) дей-
действительна для действительного 5, достаточно показать, что при
a > 1 имеет место равенство
1) Слагаемое -\-\ присутствует только тогда, когда nz (a, T) = 0-

§ 1. Вертикальное распределение нулей 339
где dn — действительные. По принципу симметрии это равенство до-
достаточно доказать для достаточно большого а. Имеем
ПМ*. Х) = П{1—/|(^ X)}=exp2ln{l-/2(s. X)}. A.8)
Так как ряд A.5) начинается с индекса /z^>z> 1, то для доста-
достаточно большого а справедлива оценка \fz(s, X)|2<^/2- Тогда
и вместо /2, /^, , . . можно подставить соответствующие ряды Ди*
рихле. Из A.5) получаем для а> 1
~5 « — Целые),
л > г2
так как ал — целые. Аналогично получается
с целыми я^, и т. д. Поэтому
In A — /2) = 2 ^Д (п) n~s (An — действительные),
и отсюда, согласно D.27), следует, что
2 In {1-/2 E, Х)}=Ф(*) 2 ^л^5.
X l J O^.flsl (mod k)
Если мы подставим это в A.8) и соответственно изменим порядок
суммирования (что для достаточно большого а можно сделать), то
для Hz(s) получается ряд Дирихле с действительными коэффициен-
коэффициентами. Следовательно, функция Hz(s) действительна для действитель-
действительного s.
При доказательстве A.7) мы можем ограничиться знаком „плюс".
Пусть m — число перемен знака ReH2(s) (очевидно, конечное) на
отрезках от 2 до 2-f-jT и от 2-\-iT до a~j-/7\ Тогда имеем (см.
доказательство теоремы 7.3.4)
A.9)
так как arg Hz (s) между двумя переменами знака Re Hz (s) может
меняться не больше, чем на ± я. Покажем сначала, что для доста-
достаточно большого k справедливо неравенство
Re Нг (s) > О

340 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
и что, следовательно, m равно числу перемен знака Re Нг (s) на от-
отрезке t = Tt a < а < 2. Действительно, согласно A.5),
л > г п > 1г2
я > /г2 А?2
так как z > &2 и d(n)^ 2 ]/7г. Отсюда следует, что1)
II ^ X)} =
)"> 0 A.10)
для достаточно большого k. Теперь по принципу симметрии имеем
)\s^. A.11)
Поэтому число m перемен знака ReHz(s) на отрезке t = T, a<
<а<2 не больше, чем число нулей функции Rz(s, T) на отрезке
? = 0, а<а<2, а последнее не превосходит nz(at T). Отсюда,
согласно A.9), получаем утверждение леммы.
Заметим, что JJ L E, %) — по существу дзета-функция Дедекинда поля
деления круга корней &-й степени из единицы (см. Хассе [1]).
Будем предполагать до конца доказательства теоремы 1.1, что
k — достаточно большое число, не оговаривая этого каждый раз.
Лемма 1.2. Если 1/2-г26<а<1' 6 > 0, Т > 2, то для
z > k2 справедлива оценка
max Kz(°> T) — \n{2—expKzB, T)}\ A.12)
26<а<4 )
{причем константа в <^ не зависит от а, 6, k, 7\ z) 2).
J) Это очевидно, если представить себе, что умножение выполнено.
2) Так как \fzB-\-it, х)|<4^~] (z > &2), то К2 B, Г)<16^"! сл(._„
вательно выражение, заключенное в скобках, для достаточно большого к
положительно и меньше, например, чем lj2-

§ 1. Вертикальное распределение нулей 341
Доказательство. Применим теорему П.8.1 с f(s) = H2(s),
02 = 2 и оценим члены SirgHz и 1п|Я^|, появляющиеся в правой
части (П.8.3). Согласно теореме П.5.2, в обозначениях леммы 1.1
получаем
2-а+тбг !
max
(как уже было показано при доказательстве леммы 1.1, RzB, Т) Ф О
для достаточно большого kI). Так же, как в A.10), из неравенства
| 2<Cexp| fz р заключаем, что
fz
Л,B, Г) = ({
>4-2ехр2|/гB + *Т, х)|2- A.14)
Далее, в силу оценки
I Иг (!)|<П A +| ЛE. X) PXexpS | Д E, X) I2
х г
имеет место неравенство
max \Rx(s, Г)|<ехр max 2|Д(* + #\ Х) |2 +
| ^~21 = 2-а+-|-6 |5-2|-2-а+-|& Х
+ ехр max 2|Д(* + Я\ х)|2<
<2ехр max ^(а, Г), A.15)
о Q
3 3
так как 2 — а-}--^ < у Подставляя A.14) и A.15) в A.13) и
используя соотношения
C 3
а — 26 < а — у б, 4 — a + -2"
я (а—6, Г)<:б ( max АГг(а,Г)+1п2 — In {4—2 expKz B, Т)}\.
\а-26<а<4 /
A.16)
') Так как 7" > 2 и функция Rz (s, 7") регулярна в круге \s — 2 |-<

342 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
Отсюда и из леммы 1.1 для а — 6 ^ а <^ 2 следует
arg Нг (а -г IT) <С п2 (а, Г) + 1 <С пг (а — 6, Т) + 1 <С
<C6":( max Кг(а. Т) — In {2 — ехрЛГгB. Г>}1 A.17)
\а-26<о<4 /
так как nz(o, T) не возрастает с ростом а, и то же самое неравен-
неравенство получается для \&xgHz(a — iT)\. Далее, для а —
1
max@, 1п|//,(оН-«)|)<1пП0+1Л(^+«. Х)|2I)<
<3|/г(о + «. Х)Р- A.18)
Из теоремы П.8.1 следует, что при f(s)->Hz(s)
а->а —6, а2->2, vCaJ-^N^o, 71)—1 2),
причем Nl(o1 Т) — число нулей функции Hz(s) в области Re5>a,
|^|<Г, в силу A.17), A.18K), получаем
2 Т
2я ^ Nx(ot T)do= J {1п|Я^(а —б + //)| —1п|Я
а-6 -Т
2
+ J {arg Я, (а + /Г) - arg Hz (a - (Г)) do + О A) <С
max
а~26<а<4
Т)}\.
При этом мы пользуемся определением величины Jz (см. 1.4) и тем,
что левая часть неотрицательна.
Теперь, так как Nx(o, T) не убывает с ростом а, имеем
а 2
Л/Х(а, Г)<6"! |Л/Х(а, Г)^а<6~1 JNx(a,T)da.
а-6 а-б
Из неравенства N (a, T)^Nx(a, T) следует соотношение A.12),
которое требовалось доказать.
1) Естественно может оказаться ln\Hz(o~{-it)\~~oo, если а-\-it-
нуль Hz (s).
2) Здесь Hz (s) при 5=1 имеет полюс.
3) При s = 2 -|- it имеет место также оценка
- In |//*(*) |<-In П
так как | Д (s, xJK^"^—

§ 1. Вертикальное распределение нулей
343
Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти как можно лучшие
верхние оценки для Kz (ст, Т) и Jz (a, T) в полосе -н-<ст< 1. Для этого ис-
используются теоремы П.9,3 и П.9.5, которые позволяют по Kz f-к-, т\ и,
пример, /<гA+6, Т) делать выводы о Kz (or, 71) для ~2-
на-
наили по
) Делать выводы о /2(а, 71) для -у^0^1-
-o~' M оцениваются согласно A.2). Величины
"МТ' Н И
чины /С2 (-=-»
/СгA+б,Г) и /2A-|-б, 71) мы непосредственно оценим, раскладывая
Kz (or, Г) и /г (а, Г) в сходящиеся ряды Дирихле в области а > 1. Нам по-
потребуются сначала некоторые вспомогательные теоремы о суммах коэффи-
коэффициентов этих рядов.
Из разложения A.5) для а = 1 —|— 6 следует
= 2 ^
m, л > z
и отсюда, согласно D.2.11),
d<z
Ф (*) у
/и, /г > г (ш, ^) =
л == m (mod &)
|
d <z
d | л
При /г>1, так как ^ \i(d) = 0, имеем
d | л, rf <z
Положим
d\ n,
d | л, d > -г <Яя,й?< л/г;
""" • 1, (Л, ft)= 1,
(л. Л)> 1.
1.A.20)
0
Лемма 1.3. Пусть z>k2 и
В (х) = Вг (х, т) —
2
л < ж, nz~m (mod
A.21)
Доказательство. Для того чтобы bz (n) было отлично
от нуля, необходимо п^ Z, следовательно, для z > k2 должно быть
л^>к2. Таким образом, для x^.k2 соотношение A.21) тривиально.

344 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-фунщий
Если (т, &)> 1, то Вг (х, т) = 0. В случае (т, &)—1 имеем
LJ^ (ЛГ, /ft) ==:: Z_l Z_l I =:::: ^j fj • 1 .
л < х d\n, d^n/z d < x/z я < ж, nsO (mod d)
nz^rn (mod k) n s Л2 (mod ft)
Внутренняя сумма обращается в нуль для (d, k) > 1, так как
(/и, Д)=1. Для (d, k)=l сравнения ^^O(mod^) и ^^m(mod^)
имеют точно по одному решению по модулю kd, следовательно, так
как г > k2,
Вг(х, /»)< 2] (ш^ Л ^ Х 1" " l X
Если бы мы оценили 2 И- (*0 с помощью суммы 2 * ^ вме"
й? | л, й?<г rf | п, d<z
сто 6 (я), то здесь в правой части добавился бы еще член О (z).
Лемма 1.4. Для z>k2, 0<6^3 справедлива оценка
Л > Z
п^тп (mod ft)
Доказательство. Поскольку 2 Ь(п)^В (?) и S(|)|"
•О при ?~>оо (в силу A.21)), по теореме П.1.4 мы имеем
2j п\+ь
n>z " г * г ^
nzam (mod ft)
Если положить ? = 2&1/6, то для последнего интеграла получится
оценка
f Xnz da 1 Г In"
6^V
Лемма 1.5. Для z>k2, 0<6<^3 имеем
J i??
6V '
m, n>z
л s=m (mod ft4.
Доказательство. Так как b(m)^d(m) и
/и> г m>\
то рассматриваемая сумма оценивается по лемме 1.4 так:
b(m) Y b(n) I In z
л > -г
m (mod

§ 1. Вертикальное распределение нулей 345
Лемма 1.6. Для z>k2 имеем
ЬМЦ&^хМх (х>2).
с*»J
Доказательство. Из теоремы П. 1.4, согласно лемме 1.3,
следует
. 0-22)
п<х „2 2
Отсюда, применяя A.22) к внутренней сумме и затем ту же самую
формулу применяя еще раз с k—\, получаем
ь (т) Ь
Г Za
m л ss m (mod*) n
Лемма 1.7. Для z>k2 имеем
УУ b(m)b(n) I
ZaZa n — m ^ k X
m < n < x
n^m (mod k)
Доказательство. Если мы положим п — m — kl и примем
во внимание соотношение b(m)^d(m), то, согласно неравенству
Шварца и оценке A.5.15), получаем
_1__
Ik
1
[tn<x-lk
Лемма 1.8. Для z>k2 имеем
^ A>23)
Доказательство. Действительно,
1 ^ 1.L
(тпJ In (n/m) (mnJ

346 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
так как при я > пг
, п . /1 п — пг\~1 . п — m .
In—=ln 1 > >
пг \ п ) ^ п
> п — пг _ Л i YnrnY
п -|- Ymn — пг \ п — m j
Отсюда и из двух предыдущих лемм следует утверждение леммы 1.8.
Лемма 1.9. Для 0<6-<3, z^2 справедлива оценка
Sb2(n) ^ 1 п 24,
/г > z
Доказательство. Из теоремы П. 1.4 и оценки A.5.15) для
А, = l-l-б (Я,>0) следует
отсйэда получается A.24), так как всегда выполняется неравенство
i б In z < ехр A б In 2) = 26/3.
Лемма 1.10. Для z > k2, 0<б<!3 справедлива оценка
Ь («) > (я) ^ 1 п 2
Доказательство. Если а = п/пг > 1, то
так как функций lna-f-^—1 при а> 1 монотонно растет, а при
а=1 обращается в нуль. Поэтому 1/ina < 1 -f- I/a2 In a, и иссле-
исследуемая сумма становится не больше, чем
b(m)b(n) . b(m)b{n) }
(пгпI+ь 6 1+6 1
/?^w(mod^)l m П \П1п) 1П\П/Л1
W [

§ 1. Вертикальное распределение нулей 347
В силу леммы 1.5 и неравенства 6 In z ^ ехр F In z) = zb имеем
^li*^^^- Далее» согласно лемме 1.8 и очевидному неравенству
W Ь(т)Ь(п) Г 1 + 6 ,t_
_ г 1+1 (\ V *(*)*(*) \^^ 1 г
\т<п<1
причем последнее неравенство опять получается с помощью подста-
подстановки | = и}1ь.
Теперь, наконец, мы можем оценить Kz(o, Т) и Jz(о, Г).
Лемма 1.11. Для z > ft2, 0 < 6 ^ 3 имеем
в частности
Доказательство. Из A.19) и A.20) по лемме 1.5 следует
2l/.<i+a+«.x)P<*
/и, /г > 2
^m(mod &)
Отсюда вытекает требуемое утверждение, так как
Лемма 1.12. Для z>k2, T ^2 имеем
г5^ Со обозначает константу из формулы A.2).
Доказательство. По определению A.4) функции / справед-
справедлива оценка
Согласно предположению A.2) теоремы 1.1 для Т
. ( 1 ... \i .. -
max

348
Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
С другой стороны,
m < z, n < z
по определению A.4) функции Q и
m,n < z, (m, k)—\
n^m (mod ft)
Поэтому, согласно A.26), для z^>k2 имеем
max
<C
vv
(mn) 2 <C
m, n < z, (m, ft) =
n=?zm (mod ft)
(ли)'
ff. A.27)
<C
m (mod ft)
так как если, например, m = Z(mod&),
, TO
I
2
•¦(e
sm (mod ft)
-JL ±
для z>№. [В случае r = 0 получается (///?) 2<;^2 <(#/?J.j Та-
Таким образом, лемма доказана.
Прямо к fz(s, %) теорема П.9.5 не применима, так как при
11 -> оо мы можем вывести лишь, что | f г (s, %) | < Л 11 \с (Л = Л (k))
и, кроме того, функция fz(s,%0) при s=l не регулярна. Чтобы
можно было применить эту теорему, мы введем следующую вспомо-
вспомогательную функцию:
s —Г f
gzKs> V— $cos(s/2T) fz^s' x)'
При 111->оо в области -н-<^а<;1+6, 0<6^3 имеем
COS E/2 Г)
поэтому в той же самой области
cos
A-28)

§ 1. Вертикальное распределение нулей 349
с константами, не зависящими от k, z, t и Т (Т >-2). Из тео-
теоремы 4.5.4 при постоянных k, z, T следует, что gz(s, %)~>0 при
\t\—>oo, так что теорема П.9.3 также применима.
Лемма 1.13. Пусть z = k(T~\-k), T^>2 (следовательно,
z > k2). Тогда справедлива оценка
A.29)
A<а<4)
a KzB, T)^y для достаточно большого k.
Доказательство. Положим Gz (s) = 21 gz (s> X) P и ^ (a)===
== sup |G^E)|. Из леммы 1.11 и правой оценки A.28) для z —
Re s = tf
= ^(Г-^-^) получаем Mz(\ +6)<^6~5. Из правой оценки A.28)
для всех t так же, как при доказательстве леммы 1.12, следует, что.
14- 2JCo e~l f l/Tz <C kT2C°z (T > 2),
если принять во внимание допущение A.2) и ограниченность функции
A1 |/ГJС° ехр (— 11 ЦТ). Следовательно
M(±\<:kT2C«z=k2T2~
Теорема П.9.3 при аг=^-^, 02=1+° Для -2-^0<С1+° Дает
Теперь положим 6 = a/In ^Г; при этом будем считать а положитель-
положительным и настолько малым, что 6-^1 для k^-l, T^2. Тогда для
и (о—Yj/ff ~Ь ^) "^ ^• Следовательно,
ln5kT

350
Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
для -^-<;а<; 1 +6. Для а > 1 +6= 1 -\-a\\x\kT из леммы 1.11
следует Kz(a, T)<^\n5kT. Левая оценка A.28) дает вместе с этим
формулу A.29), так как множитель e^^T\sl(s—1) |2 для Г^>2,
\t — Г|<С-к" ограничен. Последняя часть утверждения (для доста-
достаточно большого k) следует из неравенства \fzB-\-lt, %)|-^4/&,
полученного при доказательстве леммы 1.1, так как это неравенство
дает оценку
Лемма 1.14. Для
оценка
, 0<б<1 справедлива
5. A.31)
Доказательство. Интегрируя A.19) по отрезку —T^
и учитывая A.20), получим, если произведем суммирование отдельно
по пг = п и по т^п:
п>
так как
— dt
= 2Т
b (m) b (n)
(mnI +6 In (n'm)
(n Ф m).
, A.32)
A.33)
Утверждение следует теперь из леммы 1.9 (если положить в ней
z = kT) и леммы 1.10.
Лемма 1.15. Для z>k2, Г>2 справедлива оценка
* \ 2 '
[k (k + г) In г
@ < Т < 2).
Доказательство, Из A.26) и A.2) для Г^2 с помощью
интегрирования по отрезку — Т <С t <C T следует, что
-T
. A.34)

§ 1. Вертикальное распределение нулей 351
Далее, опять разделяя суммирование на случаи п — пг и п Ф т, со-
согласно A.27), имеем
т
х -т
-Т m, n<z, (m,
dk)
л<г m<n<z
n^m(modft)
при этом первая часть двойной суммы оценивается, как в лемме 1.12,
а для второй части имеет место оценка
т < п < z m < z r <{z~ m)/k m < г
п^т (mod ft)
Если просуммируем A.34) по всем %> то получим утверждение для
7^2. Для 0 < Г<^2 в предыдущем доказательстве вместо оценки A.2)
нужно использовать оценку D.5.14).
Применим теперь теорему П.9.5 к оценке функции Jz(o, T) при
2"^о^ 1 +6. Чтобы обеспечить равномерную сходимость интеграла,
мы перейдем опять к функциям gz(s, %) и положим
Этот интеграл сходится равномерно в области у<Са<^2, так как
там, согласно A.28), A.4) и D.5.12), при t->oo справедлива оценка
21 g, (s, X) Р <С е-"т 21 /г E, х) I2 <С
</г2{|/-E, x)|2|Q,(s. x)P+i}<C

352 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
Здесь c(k) и c(k, z) — константы, зависящие от k и от k> z> \ Q2(s, %) |
при у^а<;2 остается меньше константы, зависящей только от г.
С этого момента до конца доказательства будем предполагать, что
оф\. С помощью интегрирования по частям для X > 0 получаем
Для -у^а<^2 и А'—>оо первый член правой части стремится
к нулю, так как тогда подинтегральная функция <^c(k)t и, следо-
следовательно, интеграл <^ с (k) X2 (X —> со). Если обозначим еще I/71 = и,
то при X —> оо из A.28I) следует, что
Ти
A.35)
Лемма 1.16. Для z = k(T~\-k) в области -^"^a<;i —
— a/lnkT (a > 0, постоянное), Т^-2 справедлива оценка
Л(а- Л <С {^4C°(^ + ^J}1""a In7 A71. A.36)
Доказательство. Из A,35) и A.32) получаем2)
О
Здесь 2 <1/63^ по лемме 1.9, и 22 <С 1/&65 по лемме 1.10
«>2 Л > ОТ > «
(для z>k2). Следовательно, при 0<6<^3
- С1-37)
!) Часть интеграла /0(сг) от —оо до 0 оценивается так же, как часть
от 0 до +оо.
2) A.32) имеет место также и для 0 < Т < 2, что проверяется непосред-
непосредственно.

§ 1. Вертикальное распределение нулей 353
Из A.35) и леммы 1.15 вытекает, что
оо
/, (|) <С J e~" [k (Г«JС° (kTu + z) In z\ du +
О
1
2(: A.38)
для z ^ &2, следовательно, во всяком случае, для z = k(T-\-k).
Применим теорему П.9.5, взяв в качестве gn(s) функции gz(s, у).
Тогда из A.37), A.38) для 1<а<1+6, z = k(T-\-k) вытекает
Положим, например, 6= 1/2 \nkT(i> < 1). Тогда для -н-
следует так же, как при доказательстве A.30),
h(«)<С Wt2C<>(т + *) 1"А7'}2A~ОГ>1п5kT<C
^ {*VC° (Г + ftJ In2 kTf'a) In5
для -к-^a^l. Левая часть A.28) дает в области -j-
— a/lnkT
-т %
так как |s—I \ <^\n2 kT в этой области. Таким образом, лемма
доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть Т^>>2 и -о-^а^^
Положим 6 = а/1п^7\ где а положительно и настолько мало, что
6<1/4, т. е. 0 < а < 1/4 In 2. Так как 6 < -j, то применима лемма 1.2.
Если результаты из леммы 1.16, леммы 1.14 (нужно взять там 6=1)
и леммы 1.13 подставить в лемму 1.2, то для -j -\- 2a/ln kT <^ a < 1

354 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-фунщий
получим
N (а, Т) <^\nkT. ({*V4C° (Г + йJ}1*6 In7 kT + l) +
max /С.(а, Г)+ max Kz (а, Г) -f П <С
а-26<а<1 1<а<4 /
<С In8 *Г . {^4Г4
+ In2 kT . ({ft Vе- (Г + кJ}1'**26 + l) In5 kT.
)
Так как [kATAC° (T + kf) =0A), то отсюда следует, что оценка A.3)
справедлива в области -^--{-2a/\nkT ^.а < 1. Для O^ct<
-f- 2a/ln ft Г оценка A.3) следует из грубой оценки Af (a, T)
G.3.24). Тем самым теорема 1.1 полностью доказана.
О методе, примененном для доказательства теоремы 1.1 (в случае k = 1,
для ^-функции), см. Карлсон [1], Ландау [11], Титчмарш [1], Ингам [4]. Рас-
Распространение доказательства на любое k, которое влечет за собой новые
трудности, принадлежит Татудзаве [1]. Родосский [2] доказал еще раньше
другим методом, восходящим к Линнику [1, 2], в некотором смысле эквива-
эквивалентную теорему, которая достаточна для применений к распределению про-
простых чисел в арифметических прогрессиях. Именно, он рассмотрел функции
L (^, X)» ЭС по mod k, которые в прямоугольнике
1 — X (k)/\n kT < a < 1, 11 — Ti |< A In2 kT,
-г In k > К (k) > ln2 k, Tx — любое, A — любое положительное, T = | Tx | + 2,
имеют по крайней мере один нуль. Он доказал, что число таких функций
<^ exp {BX (k) 4-5 In2 kT}, В — В (А). Это получается по существу также
из теоремы 1.1 Татудзавы при а=1—X(k)/lnkT. Если мы положим
Т2 = | Тх | + A In2 kT, T = | Т{ | + 2 > 2, то отсюда следует
\^^
В частности, для 7*! = О, Т = 2 получаем, что число всех нулей всех функ-
функций L (s, х), % по mod k в области о > 1 — X (k)/\n k, \ t \ < A In2 k будет
<^ехр {М (^) + 81n2 k) (&>3). Исходным пунктом этих теорем были
результаты Линника, который вообще впервые исследовал распределение
нулей L-функций при переменном k (о „статистике" нулей см. Линник [1, 2],
а также, независимо от этого, Туран [3], Зигель [2]).
§ 2. Распределение простых чисел в „коротких"
арифметических прогрессиях
Применим теперь результаты § 1 и гл. VIII для того, чтобы
улучшить теоремы, найденные в гл. IV.
Теорема 2.11). Пусть &^>1—целое, (/, k)—l и функция
t, k, I) определена как в гл. IV. Тогда при
Д = max \ In ft, (In x ln2 x)
7 }
Родосский [1, 2], Татудзава [2].

§ 2. Распределение простых чисел 355
имеет место равенство
B.1)
равномерно в области
К*<«р (*,??-). B.2)
причем рт — возможно существующий действительный исключи-
исключительный нуль функции L(s, Xi) (%i — исключительный характер)
в области
При этом с0 — константа из теоремы 4.6.9, и члены, в кото-
которых встречается р2, нужно опускать в случае, если не суще-
существует исключительных нулей.
Доказательство. Предположим сначала, что k ^ 3. Чтобы
доказать равенство B.1), достаточно принять, что х имеет вид
х = N +--9" ¦ где N;>2—целое. По теореме 7.4.6 для х^>Т^>2
. Х)= 2
? 5J' ^ (T] B.4)
Отсюда в силу D.7.11) для k<^x следует, что
B.5)
1YK7-
Р-Р(Х)
причем р = р (х) пробегает нули L (st %) в области 0 < а < 1, а штрих
обозначает, что (^ и 1 — рх должны быть исключены из суммирования.
Доказательство мы проведем в три этапа, смотря по тому, какой
области принадлежит k.
з_
а) Пусть In k <^ (In x ln2 xO, т. е.
In-у In7* <26)
Inj х

356
г л. IX Теоремы о плотности нулей L-функций
Благодаря соотношению G.3.24) и теореме 8.6.2 имеем
In х
kT In kT . In ft • x exp / — cz -
max
L )
для Т^>3 и подходящего ?3, так как всегда
а ф рх, 1 —р1# Положим теперь
T = exp
In7 x
Для достаточно большого л: обязательно
Aп7Чп27у
j B-7)
In k для
B.8)
B.9)
если съ берется меньше двух, что всегда может быть достигнуто,
поскольку теорема 8.6.2 справедлива также с меньшей константой.
Следовательно,
1 2
maxflnft, Aп7Чп2ГL } < (In* 1п2л;O,
и имеем
х\пх • exp M,
In х
In27 х
(In л: In2 xI
т. е.
х exp I
In7 х
B.10)
B.11)
Отсюда следует, что порядок величины S/q>(ft) не больше порядка
величины остаточного члена в B.1). С другой стороны, так как
ф (ft)
exp (In x ln2 xO, то
i 1
In27 x j
и, следовательно, ~1п2л: в крайнем случае величина такого же
порядка. То же самое, очевидно, имеет место для последнего члена
в B.5) х4 1пх/ф(&). Тем самым утверждение в случае а) доказано.

§ 2. Распределение простых чисел 357
б) Пусть
-
(\пх\п2хO <1п?<
и х достаточно велико. Положим
H(w) f BЛЗ)
Тогда
AпГ1п2ГL <<: 1п? F>3) B.14)
и из теоремы 8.6.2 при некотором с4 > О следует, что
ix<l. |*|<7\ s^fr. B.15)
у0Ф0, 1 — -il-<(x<l. |*|<7\ s^fr
Если р = р + /у» то имеет место оценка
5<Cln^S S'^^xlnAS S' x*1-1. B.16)
X I Y I <Г % I Y|<T
Величину Л^(а, Г) определим так же, как в теореме 1.1 („частное
суммирование" относительно а). Тогда отсюда получаем
о
1
X \V\<T
J Л/(а, Г) лг^-1 In * da. B.17)
о
Здесь для a, удовлетворяющего B.15), сумма под знаком интеграла —
пустая. Теперь теорема 1.1 дает
l-cj\nk
cj\nk \
J {k4T^{T-\- kJ х-1}1'* In* kT In xdo\. B.18)
о /
l
Так как In k^ In2~ x, то при k>k0 получаем
In x > In2 k > In {&4Г4Со (Г+ /^J},
l) Сумма в первом члене равна N (О, Т) или N@, Г) —2, смотря по
тому, существует исключительный нуль или нет.

358 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
потому что правая часть есть <^\nAk. Отсюда при k>k0 следует
и если х достаточно велико, то же самое справедливо при k<^ik0
(Г определяется равенством B.13)). Следовательно, в B.18) подин-
тегральное выражение при достаточно большом х монотонно возра-
возрастает с ростом а. Поскольку
х
n**).
мы получаем
l-c4/lnk
о
< {k*T4C<> (T~\- kJ х-1 }°4/ln k In8 kT In x <C (T^x-l)c^lnk In8 kT In x <C
Для первого слагаемого из B.18) имеет место оценка
х-1 kT In kT = exp {— In x + In &7} . In kT <C
/ 2 1
\ — \nx~\-c \пг x ) • In л: <^ exp f—
Подставим это и B.19) в B.18). Тогда S <^x exp(—clnxfln kI).
Так как предполагалось, что ln& > (In л: 1п2л:O и, следовательно,
4
\nxl\nk<^\n3 k/\n2k, а, кроме того, \п2х<^\nxllnk, то получаем
наконец
/ i \
In3 k t 9 ^_ / 1пл:
cj 1п2л:Сехр^ С
Затем, поскольку 1п^ > Aпл: 1п2л:O, имеем
л:4 In х <^ л: ехр (— с In л:/1п &);
подставляя все это в B.5), получаем утверждение теоремы в случае б).
1) Так как In k < In2 x, то для любого 6>0 имеет место также In k
E1/1Л)

§ 2. Распределение простых чисел 359
в) Пусть теперь
lak>Jx. ^ = ^- B.20)
Положим
Т = &. B.21)
Тогда имеет место оценка
Aп7Чп2ГL =clnk,
и по теореме 8.6.2 получаем также, как в случае б), свободную от
нулей область 1—c6/lnft <а< 1, |^|<7\ Далее
?4Г4СО (Т + kJ ^ kc7 (k ^ 3) B 22)
При lnft <^lnje/ln2je имеет место оценка \пх^с\пк\п2к, следова-
следовательно, х > № при k > k0. Нам нужно рассмотреть только случай
k > k0, так как при k^k0 и достаточно большом х случай в) невоз-
невозможен. Так же, как в случае б), в B.18) имеем
X-lkT\nkT+ J [k4T4C\T-\-kf x'l}l~°\ns kTlnxdoY
о /
B.23)
Далее, так же, как в B.19), получается оценка для интеграла
in8 кТ In x <; ехр { cfy - с, |1J } • In9 x =
С другой стороны, при In k <^ In x/ln2 x имеем
ln2 x) <C ехр (— с
Подставляя все это в B.23), получаем
) B.24)
Положим теперь с2 = A/20)с8. Тогда при 1п& ^ с21пл:/1п2д: поау-
чим неравенство \0\п2х ^-ъ- cs\nx/\nk, и, следовательно, 5<^
—clnxflnk). Наконец, так как \n2k^>\nx, имеем
Ф (к) хТ"] In2 х <С х ехр (In ft — 2 In ft + 4 ln2 ft) <C -^ exp (— с In ft)

360 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
\_
Эта же оценка получается также для члена х4 ln;t/cp(&). Таким
образом, утверждение в случае в) доказано, и теорема 2.1 для
k%3 полностью доказана. При k < 3 утверждение теоремы 2.1
следует непосредственно, так как, например, \\)(x) = ty(x, 1,0) =
= г|)(*, 3, l)-\-ty(x, 3, 2) + #> где
Г) ^
lnjr/In 3
По образцу этого доказательства можно доказать, что если L (s, %) ф 0
в области а>-1—c/max (In &, lna Г), s =? ph 0<а<1, 7>3, то имеет
место теорема 2.1 с А = max {in k, (In x)a^a+1^}. При а¦* - -j- получается
аA+«) = 3/7.
Приведенное выше доказательство теоремы 2.1 см. у Татудзавы [2].
Первое доказательство принадлежит Родосскому [2] Сем. также Хазельгров [1]).
Теорема 2.2. Для k ^ 1, (/, k) = 1 при х ->оо равномерно
по &<^exp(c10lnjt/ln2Jc) имеет место равенство1)
¦ *¦ /^
где Д = тах\1п/г, (In jc ln2jcO j.
Принимая во внимание, что 1 /р2 = 0A) (в теореме 4.6.9 было
pj^-j), получаем доказательство этой теоремы из теоремы 2.1 и
леммы 4.7.1.
Теорема 2.3. При х—>оэ имеет место равенство
п(х, k, l) = —?. ii-f-Of-rJ—H B.26)
v ' ф (k) In х \ ' \ In х ) ) v J
равномерно no k <; ехр (сп 1паг/1п2а:), причем исключаются лишь
те k, которые кратны одному единственному &* = &*(jt)>
> 1плд: (Л—любая положительная постоянная); константа
в О ( ) может зависеть от Л.
Доказательство. Мы используем часть б) теоремы 4.6.9 и
положим z = exp (cl2ln х/\п2х), где с12 будет определено ниже. По
теореме 4.6.9а при постоянном k исключительный нуль Cls если он
существует, лежит в области а^1—со/1п2&. По теореме 4.6.96
в области а^-1—co/ln2?(^l—со/1п2&) может лежать не боль-
больше одной такой точки Cls в которой обращается в нуль какая-
нибудь из /,-функций, образованных с модулем k ^ z. Тогда имеются
1) Здесь так же, как и дальше, члены с ${ нужно опускать, если не
существует исключительного (в смысле теоремы 4.6.9а) нуля по модулю k.

§ 3. Разность последовательных простых чисел 361
одно k* = k* (x) <; z и один характер %* по mod k*t такие, что
L($v %) обращается в нуль только тогда, когда % эквивалентен %*.
Тогда при кф О (mod k*) имеет место оценка 1 — co/ln 2k <; fy <
< 1—co/ln2?, если существует f^-нуль /,-функции, соответствующей
модулю к. Отсюда при х —> со следует, что
a:Pi < х1'с^2г <С а: ехр (— -^-1п2 х).
\ С\2 I
Кроме того, согласно теореме 2.2, при In к <; In z имеем
ехр ( — г9 i-^- j <С ехр ( — ~^- ln2 xj (дг -> оо).
Если выбрать с12 — -к- min(c0, c9), то при ^^0 (mod ^*) получим
B.26). По теореме Зигеля (теорема 4.8.2) при каждом е>0 для Cls
соответствующего k*t имеет место оценка
fo< 1—с(г)/к\
Так как должно быть Pj ^ 1 — со/1п 2,г, то получается k* > ^j (e) ln1/28^,
и при 1/2е > А получаем утверждение теоремы.
§ 3. О разности между последовательными простыми числами
Тот факт, что между х и х~\-гх для любого 8 > 0 и х > хо(е)
всегда лежит простое число, есть непосредственное следствие тео-
теоремы о простых числах, так как
\пх~ \пх
Предполагают, что между п2> (п-\- IJ для целого положительного
п всегда лежит простое число. Чтобы это доказать (для достаточно
\_
большого п), достаточно показать, что между х и х-\-х2 всегда
лежит простое число. Это до сих пор не доказано. Но можно пока-
показать, что существует такое а<1, что между х и х~\-ха всегда
лежит простое число. Мы покажем, что это имеет место для всякого
а > A -f-4C0)/B-f-4C0), где Со — константа из теоремы 1.1. Суще-
Существование такого а<1 сначала доказал Хохайзель [1], который
вообще первый применил теоремы типа теоремы 1.1 к теории простых
чисел. Мы рассмотрим сейчас более общий случай простых чисел
в арифметической прогрессии (Татудзава [I]I)-
Теорема 3.1. Пусть к > 1, (/, к) = 1 и Ь=(\ + 4С0)/B + 4С0),
где для Со выполнено соотношение A.2). Пусть также е>0 —
любое постоянное,
хь+е<Су<х C.1)
*) См. также Чудаков [4].

362
Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
и а — такая константа, 0<а< 1, что в области
а>1—©(Г), |*|<7\ Г>2,
со (Г) = со (Г, *)=max(lnV,na7V
C>2)
кроме, быть может, исключительного нуля fo, нет нулей никакой
функции L{s, x)» X по mod&.
Тогда при л;->оо имеет место равенство
t kt /) =
= 1пахAп^, \па х), k ^ ехр (с2 In дг/1п2 дг),
существует, то соответствующий член опускается).
Доказательство. Для каждого нуля р какой-нибудь функ-
функции L (s, x) имеем
Р
Поэтому при лг^-Г^.2, fe-^Jt (y-^x), согласно B.5),
Н-у, й, 1) — Ц(х, k, /)} =
f
V
Так же как в формулах B.16) — B.19), при
X IT\ X
для х ^ Т 2> 2 получим соотношение
1-й (Г)
• C.4)
C.5)
4- | {ft Vе'(Г + ft)8 jT1}1"* In8 М-In л do <;
о
x-1}*{T)\n8kTlnx. C.6)

§ 3. Разность последовательных простых чисел 363
Пусть теперь
1п*<^ет?т (°<e<D- C-7)
Положим
7W, Я = гте<|. C-8)
Тогда для достаточно большого х > х (е) имеет место оценка
и, следовательно, выполнено C.5). Теперь, согласно C.9), при
л:->оо
Так как у^хь+г^х 2 , то
и эта же оценка остается верной для хА In х/у. Подставляя все это
в C.4), получаем
= у 11 + О ^р1"! 4- exp f 9 ln2 х — I 60 (Г) In xj + exp (—с (e)ln x\}.
C.10)
Теперь при \п k > \паТ = ка \па х выполняется оценка
1 lllJC / ? In
(так как из C.7) следует 9 ln2x^ 9eln;t/20 ln^), а при \nk<^Xa\nax
и для достаточно большого х
91п2л: —~Е0(ГIпх = 91п2х —i-E ^"^ la
Подставляя это в C.10), получаем утверждение C.3)s

364 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
По теореме Зигеля для k <; 1пл х (А > 0, постоянное) при любом
малом г] имеют место неравенства
и поэтому (для г\ = а/А)
x^l<^exp{— c(\nx)l~a}.
Далее, так как \пк^.А\п2х, то &<^\пах. Отсюда следует
Теорема 3.2. Если при предположениях теоремы 3.1
k^\nAx (Л>0, л/otfoe), C.11)
то при х->оо имеет место соотношение
гМ-к-г-у, ft, /)-ф(*. ft, O^^yfl + OCexpl-^lnArI-^)}.
C.12)
Отсюда, в частности, следует, что между х к х-\-у всегда имеются
простые числа, сравнимые с / по mod ft. При ft = l получаем сле-
следующее утверждение.
Теорема 3.3. Если а >A + 4С0)/B+4С0), ^0 ^ля достаточно
большого х между х и х-\-ха всегда лежит простое число1).
Согласно 7.3.1, можно взять Со == lj2 и тогда A +4С0)/B-|-4С0)=3/4.
Мы покажем в следующем параграфе, что в качестве Со можно взять
любое число, большее чем 7б» и' следовательно, за а можно взять
любое число, большее чем 5/8. Это результат Ингама [4]. Из него,
в частности, следует, что для достаточно большого целого п между п?
и (д-f- 1K всегда лежит простое число. Различными методами удалось
еще уменьшить значение Со (см. Титчмарш [3] и указанную там лите-
литературу). Лучшее указанное до сих пор значение Со = 15/92, следова-
следовательно, A + С0)/B + 4С0) = 38/61.
Существует до сих пор недоказанное предположение (гипотеза Линде-
лёфа), что в соотноитении A.2) в качестве Со можно взять сколь угодно
малое положительное число. Это означало бы, что в теореме 3.3 за а можно
брать любое число, большее 1/2- Впрочем, правильность гипотезы Линделёфа
следует из гипотезы Римана. Если последнюю считать верной, то при доста-
достаточно большом А > 0 между х и х+Ах1г In x (х > х0) всегда лежит по крайней
1) Чтобы формулировка этой теоремы была корректной, нужно обеспе-
обеспечить существование некоторого а?@, 1) в смысле теоремы 3.1. Существо-
Существование такого а следует из теоремы 8.2.6, но только в том случае, когда
теорема 3.1 доказана при более слабом предположении (а> 1 — Ясо (Т) вместо
а^ 1 _g)(;t)). Однако доказательство теоремы 3.1 проходит при этом пред-
предположении так же.

§ 4. Более точные оценки
365
мере одно простое число (Крамер [2], [4]). Сельберг [1] доказал следующее
утверждение. Пусть Ф (х) монотонно возрастает к оо и Ф (х)/х монотонно
убывает к 0. Тогда при
(х -> оо),
имеет место асимптотическое равенство
я (х + Ф (х)) — я (х) ^
In х
где исключается множество X действительных чисел асимптотической меры 0
(т. е. если m (N) — мера множества х, x^N, хСХ, то lim m ^ ' = 0V
\ JV-*oo N /
Если гипотеза Римана верна, то можно заменить C.13) на lim , = оо
In2 л:
(Сельберг [1]). Крамер [4] предположил, что при достаточно большом х и
подходящем А > 0 между х и х + A In2 x всегда лежат простые числа.
Следовательно, pn+i—рп < A In2 pn (см. теорему 5.5.1).
§ 4. Более точные оценки для ?(У2 + #» «0
, определенную в гл. IV. Мы пока-
покаРассмотрим функцию С E,
жем, что для ^?@, 1]
D.1)
Нам нужно сначала несколько лемм.
Лемма 4.1. Для целого Ж>0 и любого действительного
имеет место оценка
sin
т
Г1}.
D.2)
Мы можем считать, что 0^l<^l/2i так как обе части D.2) имеют
период 1 и являются четными функциями ?. Для | = 0 оценка D.2)
очевидна, поэтому пусть 0 < ?<J 1/2•
Согласно F.6.4), при п > М имеем
^ 1
sin
М <
Im 2u e
М < т < п
26 '
С помощью частного суммирования (теорема П. 1.2) получим
V
—sin 2nml,
и, следовательно,
М < т < п
— sin 2nmL
т
2М1
2М1
1
Ml

366
Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
При М^>\/1 это уже дает утверждение теоремы с константой
сх > 1. При М < 1/| можно записать
sin 2ят| =
Как известно, для нецелого | имеет место разложение в ряд Фурье
и поэтому
D.3)
/га-1
. Далее для Ж < 1/|, 0 < К 1/2 имеем
m < M m < M
Отсюда следует утверждение теоремы с с1 = 3я в случае Ж< 1/|.
Лемма 4.2 *). Пусть F(Q — действительная дважды непре-
непрерывно дифференцируемая функция в области a^l<^b. Если
в этой области
^(?)>*> 0 D.4)
при X, не зависящем от ?, то имеет место оценка
<
D.5)
Доказательство. Так как, согласно D.4), функция F'(?)
монотонно возрастает, то интервал [а, д] распадается на 2 подинтер-
вала [а, и] и [и, Ь], в которых F'Q,)-^0 и F'(%)^0 (естественно,
один из интервалов может отсутствовать). Рассмотрим сначала интер-
интервал [и, Ь\. Для Ь — и^2А,~1у* имеет место очевидная оценка
ь
При Ъ — и > 2Х
<
имеем сначала
и+2Х~Ч2
См. ван дер Корпут [3J.

§ 4. Более точные оценки 367
По второй теореме о среднем (примененной к действительной и мнимой
части отдельно) получим
- J iF'{\)
и+21~Чг
^2<*). Так как F/(«)>0, из D.4) и теоремы
о среднем следует
Рг (и + 2Х/2) > Р* (и + 2Я,"V2) — Р' (и) = 2%-xkF" (|0) >
Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем
ь
1
Для интеграла по отрезку [а, и] получается та же оценка, потому что,
полагая ? = — т), F (— ту) = Рг (ц), получаем в области — и ^ ч) <^—а
Л'М^-О, ^(л)^^* Таким образом, утверждение теоремы дока-
доказано, с2 = 8.
Теорема 4.1. При Nx = [^2/з/1пt] , 0<^<1 имеет место
оценка
2 (Л + «г)-A''+"> <С /1/в 1п/2' (< -> оо). D.6)
К п < TV,
Доказательство. Разделим сумму на <^InTVj частичных
сумм типа, указанного в лемме 8.3.1. Положим в этой лемме k = 2,
К = 2, а = 72. тогда 1<Л/Г<Л/Г1, lnA/^ln* и
2 <С In * (/Ve + М/21п1/2 ^Г Ve) 1п1/2 Л
Подставляя в эту оценку значение для Л^, получаем D.6).
Теорема 4.2. При t->oo для 0<?е>^1 справедлива оценка
1п8/2/, D.7)
причем константа в <^ не зависит от w.

368 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
Доказательство. Пусть t ^> 3 и настолько велико, что
Nl = \flzj\nt\ ^2. Согласно D.5.8), при о>0 имеет место равенство
n < ЛГ, Nx
По теореме 4.1 при а = 1/2 и t—>oo первое слагаемое в правой
1/ 3/
части имеет порядок <^г61п /, а второе слагаемое имеет еще мень-
меньший порядок <^Ni2t~ (t —>со).
Далее имеем '
ОО ОО
и так как (Ni-\-w)~s <^N{^2 при о = 1/2> то при t-^oo
+ О(^1п''.0. D.8)
Для оценки интеграла применим леммы 4.1 и 4.2. Согласно D.3),
при М > 1 выполняется равенство
Положим теперь Л1 == [^] —|— 1. По лемме 4.1 при а =72
Г min (l, -JU-)-4
оо
Ti-3/2 f minfi !
« J miT'Tf!
m + l
J
m 0 0
Следовательно, применяя (П. 1.12), получаем
оо оо
D.10)

§ 4. Более точные оценки 369
Положим теперь
F(l) = — tln(l + w) ±
Тогда
и лемма 4.2 при X > Ыг дает
х
J ехр(—/ {t\n(l-\-w) ±
Записывая это отдельно для знака „плюс" и для знака „минус" и
вычитая, получаем
х
sin2*"g dl^-jj- (X>N1). D.11)
Интегрируя по частям, при о=1/2 получаем
ii
+
, 3 Г G(l)dl ^ f\G(%)\
_3_ С G (I) d% f
2 J (g + w^^-J
1 G (j) 1 d\ .
здесь, согласно D.11), G(X)X's/2->0 при .Y->oo и G(A/1) = O.
Отсюда и из D.11) следует
так как Л^ =[У/з/1п/]. Наконец, отсюда следует при Ж =
m<[t]
Подставляя эту оценку и оценку D.10) в D.9) и D.8), получаем
утверждение теоремы.
Так как
0<l<k
то при s — xl2-\-it из доказанной теоремы непосредственно следует,

370 Гл. IX. Теоремы о плотности нулей L-функций
что
V'ln**. D-12)
Отсюда видно, что в оценке A.2) в качестве Со можно взять любую
константу > !/б'
Улучшение этого результата возможно получить методами ван дер Кор-
пута (см. Титчмарш [3], гл. V). Кроме теорем, изложенных в этой главе,
имеется другое важное применение теоремы 1.1, для которого достаточна,
вообще говоря, более слабая форма этой теоремы. Это — изложение про-
проблемы Гольдбаха, данное Линником [4] и Чудаковым [3]. При этом исходят
из первоначальной идеи Харди и Литлвуда. Харди и Литлвуд [2] рассматри-
рассматривают функцию
2
р
которая заменяет сумму SN (?), рассмотренную в гл. VI. Если положить
R (N) = 2 *n Pi *п Р2 *п Рь то из интегральной теоремы Коши сле-
дует, что
R(N) = -%
с
где С — окружность \z\=*R, R < 1. Для R (N) можно вывести асимптоти-
асимптотические формулы, аналогичные формулам, доказанным в гл. VI для
г (АО - S • h
Pi+p2+Pa*=N
Вместо разложения интервала [0, 1) или [— 1/т, 1 — 1/т) в обозначе-
обозначениях гл. VI здесь разлагается окружность \z\ = R на окрестности точек
arg г = a/q< 0 < а < q, (a, q) = 1. При этом R в зависимости от N выби-
выбирается достаточно близким к 1. Исследование f (z) по существу равнозначно
исследованию функции /* (z) = 2 А- (п) гП- Для ^ = Re (^/^~K) —z'e (a>lq)
п
имеем
где а должно лежать в классе вычетов по mod q, обратном к классу а.
С помощью преобразования Меллина (лемма П.3.1) получаем
*•<*'. К) =
оо 2+/оо
+
m**2 2-ioo
2+1ао
^)Г W-^-(«.*)*¦ D-13)

Задачи к главе IX 371
Поэтому для изучения функции /* (г) можно использовать теорию Л-функ-
дий. Харди и Литлвуд сумели таким путем доказать теоремы из гл. VI при
предположении правильности гипотезы Римана для L (s, %)> Линник и Чуда-
Чудаков избежали этого недоказанного предположения с помощью доказанной
к тому времени теоремы Зигеля (теорема 4.8.2). С помощью этой теоремы
можно оценить интеграл в правой части D.13) для малого q (при этом сна-
сначала сдвигается влево путь интегрирования). Для большого q (которое
в гл. VI доставило наибольшие трудности) можно использовать явную фор-
формулу и теорему 1.1. А именно при х = In A/г') имеем
я|>* (г', г) = Яо*" ~ 2 Г (р) *-Р + R (х, X),
где для остаточного члена R (х, %) существует простая оценка. Доказа-
Доказательство аналогично доказательствам теорем из гл. VII. Затем так же, как
в § 2 и 3 применяется теорема 1.1. О связи между тригонометрическими
суммами и нулями g-функции см. также Туран [4].
Задачи к главе IX
1. Покажите, что при целом
где v(ri) — число различных простых делителей п. Например, в слу-
случае т=\ эта сумма равна 2 я(*, q, I), q — простое. Для оценки
q <x
я(дг, q, 1) при малых q примените теорему 2.3 для исключитель-
исключительных qv которые могут появиться, и для больших q нужно исполь-
использовать соответственно теоремы 2.4.1 и 2.4.61).
2. С помощью задачи 1 докажите теорему 5.7.2.
3. Докажите, что существует бесконечно много чисел п, которые
имеют больше, чем ехр(с\пп/Щ п\ делителей вида р — 1. Рассмо-
Рассмотрите решение сравнения (р — 1) т = 0 (mod A)
А= П Р.
р<с In */ln2 х
Р?=Ро
где р<^х, т^х, р0—простое число, входящее в исключитель-
исключительный модуль. Проведите рассуждения, аналогичные доказательству
теоремы 5.3.2.
4. Имеется бесконечно много чисел п, которые больше, чем
ехр(с \пп/Inlri^ способами представимы в виде п=(р—\)(q—1)
(р, q — простые).
5. Укажите асимптотические формулы для количества членов ариф-
арифметической прогрессии, свободных от квадратов.
1) Доказательство без подробностей у Хазельгрова [1].

Глава X
НАИМЕНЬШЕЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ
§ 1. Введение
В гл. IV было доказано, что в любой арифметической прогрессии
/, /-f-ft» / + 2&, .... если (k, /)=1, / < k, то существует беско-
бесконечно много простых чисел. Обозначим через р1 (&, I) наименьшее
простое число этой прогрессии. В этой главе мы докажем, что суще-
существует такая не зависящая от k константа С, что
Pi(k. l)<kc A.1)
для всех k^2 и любого /, (/, &) = 1, / < k. В гл. VII, § 7, мы
доказали это при недоказанном предположении о том, что имеется
прямоугольник 1—a^a^l, |?|<^Л (с положительными, не за-
зависящими от k константами а, Л), в котором нет ни одного нуля
ни одной функции L(s, %), х по mod &. Ю. В. Линнику [3] удалось
доказать оценку A.1) без этого, до сих пор недоказанного предпо-
предположения. Доказательство Линника очень сложно. Мы приводим здесь
более простое доказательство К. А. Родосского [3] (однако все еще
довольно сложное). Это доказательство использует явную формулу
из § 6 гл. VII. Уже в § 7 гл. VII мы видели, что для наименьшего
простого числа в арифметической прогрессии особенно важны нули
L-функций в окрестности точки s=\.
Оказывается, что исследования „частоты" нулей L (s, %) вблизи
точки 5=1 особенно трудно. В теореме 9.1.1 оценка в правой части
(9.1.3) уже не убывает достаточно быстро, если а подходит близко
к единице.
Также для Г = 2, а=1 эта оценка не меньше чем с In8 k, хотя
в области а^>1, |?|^2 вообще нет нулей L(s, %). Если бы мы
имели в распоряжении вместо (9.1.3) оценку вида N (a, T) <^
<С {(кТ)с)х-а, то для Г = 2 было бы N (а, Г)<С&СA"Л что при
а>1—cln2&/ln& (k > k0) лучше чем (9.1.3).
Доказательство оценки A.1) основано на двух основных теоре-
теоремах (см. ниже теоремы 2.1 и 3.1). Первая из этих теорем позволяет
высказать довольно точное утверждение о распределении частоты
нулей всех функций L(s, %) в области a>a> 1—c\n2k/\nk. Ока-
Оказывается, что здесь для оценки некоторых сумм нужен метод решета
из гл. II, в то время как для оценки сумм, появляющихся в леммах
9.1.4 — 9.1.10, он был не нужен. Поэтому Линник называет область

§ 2. Плотность нулей L-функций 373
0>1—cXn^kjXnk „областью Вигго Бруна". Вторая основная тео-
теорема дает точное утверждение о положении исключительного нуля,
который может появиться. Согласно этой теореме, чем ближе к точке
$я=1 лежит исключительный нуль, тем большую окрестность точки
5=1, в которой нет никаких других нулей Z-функций, образован-
образованных с характерами по mod k, можно указать.
Доказательство требует многочисленных лемм, и примененные
при этом методы интересны также сами по себе.
§ 2. Плотность нулей L-функций в окрестности точки s=l
Цель этого параграфа — доказать следующую теорему.
Теорема 2.1. Пусть k ^ e20 и X = X(k) — действительная
функция от k, удовлетворяющая неравенствам1)
2<ад<-^1пА. B.1)
Обозначим через Q = Q(X(k)) число L-функций, образованных
характерами % по mod&, которые в прямоугольнике R
имеют по крайней мере один нуль. Тогда имеет место оценка
Q(X(k))<ecK{k) B.2)
с константой с > 0, не зависящей от k.
Прежде чем мы выведем леммы, необходимые для доказательства,
заметим, что при достаточно большом с для X(k)>c\n2k теорема
2.1 следует из теоремы 9.1.1. Действительно, при достаточно боль-
большом с имеем неравенства 1— A,(A)/ln k < 1— с 1п2А/1п kt lW/\k^2
В последующем всегда предполагается, что &>?20 и р == р (х) ПР°"
бегает (как в § б гл. VII) все нули L(st %) в области 0<а< 1
(а не только нули в области 0 < а < 1).
Лемма 2.1. Обозначим через G(t, r) круг
\s — A+/0|<Л B.3)
1) Мы предполагаем k > е20 для того, чтобы это соотношение было
возможным.

374 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
а через Q(t, r) = Q(t, r, %) — число нулей какой-нибудь функции
L(s, x) в этом круге. Для
при подходящем с1 имеем
Q(t. r)<cxr In ft(|f| + 2). B.5)
Доказательство. Пусть сначала г<1. Из теоремы 7.4.1
для а > О следует
так как при а>0 член а/E+1) содержится в остаточном члене
(здесь p = p(^) = p-j-/Y пробегает нули L(s, %) в области 0^а< 1
и сумма содержит, в частности, член vo/s).
Положим s= I ~\-r-\-it и рассмотрим действительную часть этой
формулы. Для а > 1 имеем
Re-T-(s, Х)< 4гE' X) <SATL = -T(°)<C—Ц- (а>1)'
** ^ -*¦¦ л ь а — 1
B.7)
Если s=l+r + jY, то Re {l/(s—р)} > 0. Следовательно, для
2 7^
В силу г<1 для каждого р = р-+-^€О(Л г) имеем
Поэтому
о 1 _ Re(s--p) > г _ 1
Если подставить это в B.6), то вместе с B.7) получим
так как ?0/E—1)<С 1/(°—0. o—1+r. Для r>l/lnft правая
часть имеет порядок <^ln ft( |tf | + 2), следовательно B.5) доказано
для г<^1. Для 1 <г<^2 оценка B.5) следует из теоремы 7.3.3.
Если бы утверждение леммы 2.1 можно было доказать для нулей всех
L(s, 5C) вместе, а не только для нулей одной-единственной L(s,'%), то тео-
теорему 2.1 можно было бы получить непосредственно, так как область (R)
можно покрыть кругами радиуса <^ Я (&)/In k в количестве

§ 2. Плотность нулей L-функций 375
Отсюда следовало бы
Обозначим теперь для краткости
т = т(*) = -??. B.10)
где
1 е2 k1/lQ
Предположим, что некоторая ^-функция L(s, х)» X =? Хо» образо-
образованная характером по mod &, имеет нуль
Ро = Ро(Х). Yo = Yo(X) B.11)
в прямоугольнике R
Следующие леммы, вплоть до леммы 2.9 включительно, излагают
следствия из этого предположения.
Лемма 2.2. Пусть К > 2 — произвольная константа, тогда
для каждого ро6# существует нуль
р' = р' (у) = р' + 1у' B.12)
со следующими свойствами:
Р'>Ро> |Yo — y'K5/^t (X = X(k))> B.13)
Z,(s, x) ф О в каждом прямоугольнике /?0= Rq(x)> B.14)
(Яо)
(может случиться, что р'==р0).
Доказательство. Рассмотрим прямоугольник Ро+1/^ In i
\t—Yol^^T- Если там L(s, у)Ф0, то утверждение доказано и p/==ft).
Но если L(s, х) в этом прямоугольнике имеет нуль р^ == р^ —j— /Yo»
то мы рассмотрим прямоугольник Pq+ 1/ЛГIn &^a<^2, \t — Yo|^^T*
Если в новом прямоугольнике нет нулей L(s, х)» то утверждение
доказано и р'==р^. Но если там лежит нуль pj = р^-|-/уо» т0 мы
рассмотрим прямоугольник Pq -\- 1 /К In k ^ а ^ 2, 11—Yq I ^ 5т. При
этом обязательно имеют место неравенства

376
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Если в третьем прямоугольнике L(s, %)ФО, мы положим р/==р^/,
а если это не так, то продолжим этот процесс. После m шагов
получим р[,т) ^ р0 —f— /гг/АГ In k, и поэтому процесс закончится, если
po-|_(m_ l)/Klnk< I <po+W^ln^' поскольку К > 2, /е>е20
имеем Pq-j- m//C In k ^ 2. Следовательно, из-за того, что ро^> 1—6,
процесс оборвется самое большее после
шагов. После m шагов выполняется неравенство \у^— Yoj
Поэтому во всяком случае | у'— Yoi^^'St, чем лемма 2.2 дока-
доказана.
Нуль вида р' назван Линником „благоприятным" (т. е. благоприятно
расположенным) нулем, так как условие B.14) делает возможным рассужде-
рассуждения, которые нужно провести в следующей лемме.
Лемма 2.3. Пусть
-1 —-1ЧЛУ —к -г Klnfc
и прямоугольник R1 = Rl (%) задан неравенствами
1
B.15)
Тогда для
W1—27ПНТ<0<2' 1^"
?! имеет место оценка1)
B.16)
Доказательство. Для о ^> 1 -{- 1 /In & утверждение леммы сле-
следует из B.7), так как К ^ 2, X ;> 2. Рассмотрим случай а < 1 -f-1 /In k.
Пусть 5/ = 1+6 + ^, причем 6 = 6(&) задано с помощью B.10).
Из B.6) для $?Ri получим
-^(s, y)-^(s', X)
5—
так как из
^ 4т для 5
s'-p
Y'-YoK
), B.17)
%0, Е0 — 0 и из |VoKT
! следует оценка
In k A11 -+- 2) <C In {k (t + 5/O,t -f 4t + 2)}
(/C> 2, &>e20).
In
Положим еще 50= 1 -\-it. Тогда для s? Rx, о <,!-{-!/Ink имеем
1
1
5' —
26
f —PlU'-Pl
5—p| IS' —p|'
l) Естественно, константы cu c2, ... и константы в О( ) и в
не зависят от /С, k, X (k), t (&), ...
B.18)
теперь

§ 2. Плотность нулей L-функций
377
так как s'—s=\-i-6 — o и 0< 1+6—о<26. (Из о< 1-{/
и a>aj —1/2/Пп/г = р' + 3/2/С1п/г>ро>1—6 следует 1—о>
> — l/lnft> —6 И 1 —0<6 ДЛЯ 5^/?!-)
Пусть теперь p = p~|-/Y— нуль, для которого |р — $0|^26.
Если |р—s01 -^ 26, то для мнимой части у нуля р справедливо
неравенство |y— ?|<!26, а следовательно, для s?Rx
2 вытекает
и поэтому 26<;т. В пря-
пря2, | * — у' |< 5т
так как из
моугольнике
p'-f-l/ZClrii
по лемме 2.2 нет нулей р и значит Rep < р' + \jK In k для
|p—s0 | -^ 26. Таким образом, для 5 ? Rx получаем
J- \- 1
К \nk ) — 2K In k '
Аналогично из Rep< 1 вытекает
\s' — p|
По лемме 2.1 имеет место оценка
p)>6.
2
р, 1р-50
поэтому из B.18) следует
Р, |Р-5
Исследуем теперь суммы по таким нулям p = p-|-/Y> Для
|р—sQ\ > 26, | y—t К 1 (так как 2б<2/10 < 1, то для | p—
всегда |y — ^I^O- ^ этом случае
I s' — р | > | р — s01 — I So — s' I > у I so — P |.
B.19)
которых
s0 |<2б
поскольку I s0 — s' |=6 < y| p—sQ |. Далее для s?Rlt a<l + l/lnA
имеем | 5 — p | > | p — so\ — \s — sQ | > у | ^o — P |» так как \s — so I =
= |a—1 | < 6. Это неравенство в свою очередь следует из того,
что a>a1—l/2/Clnft=p/+3/2A:inA>p0> 1—б и a <*1-f l/ln/г <
< 1 —|— 6. Следовательно, согласно B.18), получаем

378 Гл. X, Наименьшее простое число в прогрессии
так как \у— 1 | ^ 1 и, следовательно, | р — $0 | <; ]/. Последнюю
сумму преобразуем с помощью частного суммирования и применим
затем лемму 2.1. Для этого возьмем в теореме П. 1.4 за Хг, Х2, ...
числа | р — so\, удовлетворяющие условию 26 < | р — sQ |< ]/~2 и упо-
упорядоченные по величине, и получим в обозначениях леммы 2.1
1 <? ft /2) с 1
= Q(t* l)dY*
Для s?Rv следовательно, при 11 |-<т-4- 5/СА,т-f-4т <; \0Kk no
лемме 2.1 это последнее выражение имеет порядок
VT
26
26
in *. (i 4-в) <с: б" /с in ik.
так как 6<^Vio- Если теперь подставить это в B.20), то вместе
с B.19) получаем
s — р s —р
Из B.7) следует -у- (s',
2, К>2),
и если подставить все это в B.17), то получим утверждение B.16).
Рассмотрим теперь функцию
/E, y) = f(s, у, х)=—Их(л)Л(я)я-**-1п'»/4з\ B.21)
п
которую мы уже рассматривали в частном случае в § 6 гл. VII.
Функция f(s, у) регулярна для всех 5. Согласно теореме П. 3.3 для
у > 0, имеем
J_ 2+/оо
у) = —/Ш2 J ~(w, x)e{s~wJydw. B.22)
2-/со
Доказательство дальше основано на том, что из существования „благо-
„благоприятных" нулей р' функции L (s, %) (т. е. L' (p', %)'L(pr, %) — co) следует,
что определенные частичные суммы ряда для /(s, у, %) по абсолютной
величине становятся „большими". Наконец оказывается, что это невозможно
для „слишком многих" %.

§ 2. Плотность нулей L-функций 379
Предположим теперь, что s лежит в прямоугольнике /?2 —^(х)'
который определен неравенствами
а
или иначе
Очевидно, R2aRlc:RQ. Каждому $ = G-\-it?R2 мы сопоставим путь
C=C(s), который состоит из следующих отрезков:
C±i=(minB, 1+т) + #±/2т, minB, 1+т)±/оо),
C±2 = (minB, 1+т) + Й±йт, 0 + #±/2т),
Со = (а + /* — /2т, а + # + /2т).
Мы проходим путь С в направлении от B, l-j-т) — /оо до
B, 1 -+-т) —|~/cxd. Путь B—/оо, 2-f-/oo) можно деформировать
в путь С($), не меняя значения интеграла в B.22), так как при постоян-
ном т функция -у в области Ret^^>minB, 1+т) ограничена,
exp(s — ?2/J<^ехр{—(ImwJ} для |ImTiej|->oo и между С($) и
B — /оо, 2 + ^*со) нет нулей L(wt x) (по определению С E)). Для
s?#2 отрезки Со и С±2 лежат целиком в /?j и даже в прямоуголь-
прямоугольнике
, 1+т), \t — y
Лемма 2.4. Пусть у>1 w1)
ao = ao(x) = P/ + XJ^. B.23)
= a + tf ? /?
где
-2т р, y
C<a0 |Y-«-/|<l
B.24)
-2t p, Y
3>cr0, lv-a-
1. C±2
B.25)
J) Естественно, a0 не является действительной частью sQ из доказатель-
доказательства леммы 2.3»

380 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Доказательство. Преобразуем путь B—юо, 2 + /оо)
в путь C(s). Интегралы по С±ь С±2 содержатся в остаточном члене
формулы B.25). Остается еще рассмотреть интеграл по Со. На Со
мы положим w = s~\-lu, —2х^и<^2х. Согласно формуле B.6)
со значением ?0 = 0 и соотношению \nk(\ t-\-u |-|-2)<С^ \nKk
\\\\ \\ имеем'
B.26)
Теперь
Если в сумме в B.26) провести отдельно суммирование по нулям,
для которых Р<^сг0 и р > ог0, то получим утверждение леммы.
Лемма 2.5. Если
*i = *i (X) = * + Y = Р' + -щ + <У B.27)
tf у >(/С1п /гJ, B.28)
m0 P(sx)>csK Ink. B.29)
Доказательство. Для доказательства мы используем фор-
формулу B.24). При о = ог в сумме под знаком интеграла о — р > 0,
так как суммирование проводится только по нулям, для которых
P^oro(<ori)- Следовательно, функция Р($) действительна и положи-
положительна и сумма в B.24) не увеличится, если мы вместо того, чтобы
суммировать по всем нулям p-f-J'Y» сохраним только член, соответ-
соответствующий нулям P'-My'-
Для s = s1=ol-\-ty/ этот нуль содержится в области суммиро-
суммирования суммы, если | у' — и — у' \ = \и\^\. Следовательно, согласно
B.28), имеем
l, 2т) 2
f
J
l, 2t)
4
f
J
\l\ <y'/»mln(l,2T)
J
Отсюда следует B.29). так как К Ink . х~Кех > е1 и

§ 2. Плотность нулей L-функций 381
Положим теперь
у = (К In kf = (In kKf. B.30)
Лемма 2.6. Существует /Со>2, для которого при любом
справедлива оценка
\R(s)\<jC3K\nk, К^>К0, B.31)
причем с3 — константа из неравенства B.29). Ко может быть
выбрано независимо от k и %.
Доказательство. Покажем, что даже для каждого е>0
существует К (г), для которого | R (s) | < гК In k при /С> К (г). Для
этого оценим отдельно слагаемые в правой части B.25). При ~с^>-к
первое слагаемое правой части в B.25) обращается в нуль, так как
сумма под интегралом пуста. Так как 11—у' | < т для s=a-{-it ? R2
и — 2т <; и <; 2т, из | у — и — 11 ^ 1 для т ^> у следует оценка
|Y — y'I^^- Поэтому для тех P + /Y' по которым проводится
суммирование, всегда р > а0 = р' -f-1 jK In k и | y — У' \ <С 5t, a в этой
области, согласно лемме 2.2, нет нулей.
Пусть теперь т < у , Af — наибольшее натуральное число, для
которого 2ЛЧ<1 и 2пх = хп, я = 0, 1, ..., N+1. Для первого
слагаемого в B.25) запишем1)
1 2т
J 2d 2a (а"^р
2т __ 2
2 (v-Vly*»- B-32)
-2Т тл<1 V-u-t \<Xn+l
3 > сто
4, t
I
Действительно, из s?R2 следует 1—б < p'-f- 3/2K ln ^
^minB, 1 +т)<^ 1 +т и, кроме того, 1 —б < а0 < р < 1. Таким
образом, всегда A—6)— 1 < а — р < 1 -{-х — A —6), т. е. | а — р |<
+ б<2т. Теперь нули р + /у» Для которых р>ао(> 1—б) и
обязательно лежат в круге с центром 1-f-
]
-\-i(и-\-1±хт) и радиусом [Ь2~\-(хп+1—чпJ}2 ={62 + т^]2. Поэтому
из леммы 2.1 и соотношения
Ink(|и +1 ± хп | + 2)< InkBт + ЪК1х + 2т + 4) <СIn Kk
(тя<2, |^|<т4-5/ат + т для s?R2)
х) Сумма по |у — и —^i<T0 = t, Р > сг0 пуста, так как там |у—Y'l
не превосходит | у ~~ и — t \ -\- \t — у' \-\- \ и \ < т -\- т -f- 2s < 5т.

382 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
следует неравенство
2 (Y — « + О2 <С т;2 (б2 + хф In Kk <; 2-лт~1 In ffft,
так как 6<тл(я = 0, 1, ..., N).
Таким образом, для правой части в B.32) выполняется оценка
7
J e-u
и, следовательно, такая же оценка справедлива для первого слагаемого
в правой части B.25).
Каждое w?C±2 лежит в Rv так как s?R2 и w — s ±
0<!G)<JmiiiB, 1-f-t) — а<т-+-б. Следовательно, для w?
^ _ ^(co2-4t2) у
Из 6 — т = (X — el)/\n k < — — *VIn * <Л > 2) и 6+ Зт > Зт получаем
(т +- бJ — 4т2 = F+ Зт) F — т)< — 2т2.
Отсюда в силу леммы 2.3 следует, что
у2 J -j-(w, x)e{s-wJydw<:y2 (т + Ь)КХ\пКк-е-2х2У<С
С ±2
<С №К2 In Kk . exp (— 2К2е2К),
так как t-f-6 < 2t = 2^^/ln /г, у = (/С 1п/гJ. Наконец для ^^Сч-!,
согласно B.7),
4г^' Х)<С~
и
w = s±t2x+{minB, 1 + т) — a} -fto. 0<|coj<oo.
Следовательно, из неравенства minB, 1+т) — а<т + 6 для
у = (/^ In kJ вытекает
L
1 7
о
oo
J e
exp (—

§ 2. Плотность нулей L-фунщий 383
Подставляя полученные оценки в B.25), находим
R (s) <C In Kk 4- (XelK2 + е~я) In /Cft • exp (— 2K2e21) -f In /fft,
а это меньше, чем e/Clnft для /С>/С(е), причем /С(е) можно выб-
выбрать независимым от А,(J>2). Таким образом, лемма 2.6 полностью
доказана.
Лемма 2.7. Пусть G* — круг с центром s* и радиусом
1/2 /С In ft, который целиком лежит в R2. Тогда для s?G*
ln/Cft. B.33)
Доказательство. Так как /С> 2, то 1/2/Cln ft<-j.
Для s?G*c:/?2 имеем 5* = а*-)-/Г и для каждого нуляр
удовлетворяющего условиям | y — и — ?|<!1, — 2т <^ # <С 2т,
-j-l//Clnft, имеем а — p>l/2/Clnft. Следовательно, а — Р
-g (a'—p) и |
iu—(P + /Y)l« Отсюда вытекает, что
a-p <6 a*-P
Если для некоторого такого нуля выполняются неравенства | y — и —
— ^*|<1. |Y — « — ^|>L то из \t* — f|<l/2/Tlnft <^ следует
Число таких нулей по теореме 7.3.3 (при постоянных s*t s и и)
имеет порядок
Таким образом, если следующие суммы распространяются на нули
p-HY> для которых | y — и — Г|<1, |y — и — ^|>1, Р < а0, та
имеет место оценка
YJ
и та же оценка имеет место, если суммы распространяются на нули
+ Для которых |y — а — *|^1» |Y — и — ^*|>1« ^ итоге для

384 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
постоянных $, $* и и получаем
<6
Умножение на (^/лJ е~~и2У и интегрирование по отрезку —2т<;#
дает
Отсюда следует оценка B.33).
Пусть теперь К > Ко > 2. Из равенства Re / E, у) = Р (s) + /? ($),
используя леммы 2.5 и 2.6, получаем
Re/(^, у) >^с3К Ink, B.34)
причем $! определено соотношением B.27), а /E, у) — соотноше-
соотношением B.21). Положим теперь
(^) B.35)
Лемма 2.8. Если в^>1—6, то
2 х(п)А (п)n-se-wniAy = о A), B.36)
2 X (Р) In p • p-se-lnW*y <C In ft. B.37)
причем у определено соотношением B.30) (в котором К > /Со > 2)
# константы не зависят от К.
Доказательство. Поскольку б^^ю» пеРвая сумма не пре-
превосходит величины
In p _р/П
//.о (уЛо _ 1) — ^ ^Ч'
Так как 6 = ^/1п&, 2^Я,^^-1п^, то сумма из B.37) по абсолют-
абсолютной величине не превосходит1)
SV А(я) _
1) При применении теоремы П. 1.4 г|? — чебышевская функция из гл. III.

§ 2. Плотность нулей L-функций 385
Этим доказана оценка B.37). Положим теперь
/i (s) = Л (*. У, X) = 2 X (р) In р • р-**-^/4* B.38)
Z<*2
/2(«) = /2(«. И)=Их(Р)Inр . p-r'nW. B.39)
Выберем /С > Ко, /С > 4 и, если нужно, настолько большим, чтобы
было
|>21nft. B.40)
Это можно сделать, согласно B.34) и лемме 2.8, и при этом К
может быть определено независимо от ft и %.. Тем самым К зафик-
зафиксировано и в дальнейшем больше не будет изменяться. Теперь или
\fi(si) I > ln&, или | /2(sx) | > Ink. Обозначим
av B.41)
и пусть D — D(%) — круговое кольцо
а Г = Г(%) — окружность
\s — *о| = уд. (Г)
Так как гг < 26, 1+6 + ^+ l/2/flnft < 1 +36+ 1/2 In
<minB, l+т) (^>^20, 6<Vio) и r2+l/2A:in^<T, то
Лемма 2.9. Или по крайней мере для одного 52 =
имеет место оценка
B.43)
некоторого s3 =
Inke-<** l). B.44)
Доказательство. Предположим, что | fx (s) \ ^ In k для всех
s?D. Обозначим через Г\ окружность
Из неравенств |/2($i)|>lnft и B.40) (| fx (sx) |< In ft; ^^^cD)
следует, что
Мх = max I /2 E) | > In ft. B.45)
l) После того, как К выбрано, можно было бы не выделять повсюду
зависимость от К отдельно, а включить К в константы. Мы все же выде-
выделяем его ради наглядности.

386 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Пусть максимум достигается в точке s*, т. е. Мх =| /2E*) |. Пусть
далее го=1/2К Ink и Go — область
Go лежит в D с /?2. и из леммы 2.7 следует
Р (s) < 6Р E*) + c4 In /СЛ E ? О0). B.46)
Заметим еще, что по предположению
|/i(*)|<ln* (s?D). B.47)
Оценим теперь сверху |Re/2(s)| для s?G0 и покажем с помощью
теоремы Бореля — Каратеодори (теорема П. 4.2), что в малом круге,
целиком лежащем в О0, модуль функции /2(s) „велик". Так как
по лемме 2.8
(ln*) (а>1-6), B.48)
то из B.47) следует, что
|Re/2(s)|<|Re/E, y)| + O(lnft) (а>1—б). B.49)
Далее из Re/E, у) = Р(s)+ /?(<?) E6^2) и B.31) следует
I Re / (s, у)|< Р (s) + \ сгК In & E 6 #2). B-50)
Так как P(s) = Ref ($, у) — R(s), s?R2, то, согласно лемме 2.7
и формулам B.48), B.47), мы получаем Р(s)< 6P(s*)-f c4
+ 46M1 + O(A:in&), 5б^о- °тсюда и из B.49), B.50),
так как Mx = \f2 (s*) | > In ft, следует
Пусть теперь. r'0 = c7jK2 In ft, где с7 < -^ и G^ — область
\s-s*\^r'o. (G'Q)
Из теоремы П. 4.2 и неравенства B.51), если выбрать с7 достаточно
малым, следует, что
^^ '. B.52)
Пусть теперь Г2 — окружность
— -^0 I = Г1 — Г0 =

§ 2. Плотность нулей L-функций 387
Так как Со имеет общие точки с Г2, то, согласно B.52) и | /2(s*)|== Mv
имеет место оценка
±Ml. B.53)
г2
Применим теперь к окружностям Г, Г2, Т1 теорему П. 9.2 и положим
М =max| /2(s) |» гг=-7у6. Тогда r3 < r2 < rv так как из того, что
г z
1 Ч- -5" 6 — aj — с7[К2 In ft > -^ 6 — 2//Пп ft — с7/КЧп k > с/К In ft, сле-
следует 1б< 1+6 — аг — c7IK2\nk (б>2/1п*. /С > 4, ^7<у)-
Теорема П. 9.2 теперь дает нам
'"'"><'»'" {ЩЙ+ '"'"¦ ОТ <254>
ОТ
и, следовательно,
In {тъ1т2) In (rjrz) _ In {гх!гл)
М > Ж|п CV>) Ж2П (^/Г2) > In ft . 2 ln (ri/r2)f B.55)
так как М2 > l/2Mlt Mj > ln ft, M2 > -^ In k и
In(r3
V2) , In(ri/r3) 1
ln (rjra)
Это означает, что
inr'—In 1 + 6 —a, c7
c7
^ 2bK2lnk
поскольку с7/{A +6 — 00 К2 ln ft} < c7/fF — 2jK In ft) K2 In
<c7/(-i6K2lnft)<I F>2/lnft, K>4, c7<4) и
~qi <ln4, l—o,
6
Подставляя это в предыдущую формулу, получаем M^lnftexp(—cK2h).
Но Ж = тах| /2(s) |, и, следовательно, существует некоторое ?3?Г'
г
для которого выполнено B.44).
Доказательство теоремы 2.1. Мы можем теперь доказать
теорему 2.1 и проведем доказательство в два шага а) и б), в за-
зависимости от того, какое из двух утверждений леммы 2.9 имеет
место.

388 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
а) Пусть при подходящем s2 = s2(x) из D = D(%) для Qj раз-
различных характеров х по mod k будет
|/i(S2)l = |/i(*2(X). X)l>ln*> B.56)
причем
Qi>Y<?> B.57)
где Q = Q (X(k)) — число, определенное в теореме 2.1. Все области
D(x) лежат в прямоугольнике R
1— 6<а<1+36, |*|<6Ю/г. (Я)
и поэтому точки s2(x) также лежат в /?. Покроем R квадратами
с длиной стороны
причем ?8 < -^- сейчас будет определено точнее. Будем предполагать,
что стороны квадратов параллельны осям. Некоторые из этих квадра-
квадратов пересекаются с R по прямоугольнику, стороны которого, однако,
также не превосходят г\. Число таких квадратов (и прямоугольников)
меньше с9КХ2е5к. По крайней мере в одном из них лежит Q2 точек
s2 = s2(x)* Для которых выполнено B.56), и
B-59)
Пусть /?@)—такой квадрат (или прямоугольник) и s@) — его центр.
Для каждого s2 (x) 6 ^@) имеем тогда
*2 (х)
Для 5^/? так же, как при доказательстве B.37), получим
Отсюда следует, что
I /i (*2 (X). X) - Л (А х) I < сгN-V6 In й =
если только с8 выбирается достаточно малым, и, следовательно,
согласно B.56),

§ 2. Плотность нулей L-функций
389
Поэтому для Q2 характеров имеет место оценка
s,-ln2/>/4y
B.60)
Разобьем теперь интервал Z < /? <^ &2 на части вида
&l~n<p<Ck22~n, л=1, 2 N—1, B.61)
2<2~N
и одну часть Z < р <^ k2<2~N, причем N — наименьшее целое число,
для которого
Очевидно, N < с In А,. Среди этих интервалов имеется один такой, что
In
B-62)
для Q3 характеров % по mod ^, причем
Здесь область суммирования нужно заменить на Z</?<;ехрB2~дг1п^),
если B.62) выполняется для последнего интервала. Возведем нера-
неравенство B.62) в степень 2л+ . Тогда мы получим
-^, B.64)
k2 < m < k*
2~N
так как по определению Af 22~N > In X/2X и, следовательно,
< 16tylnA,. Из неравенств
Bп)! < exp (n2n In 2) < exp (M2N In 2) < exp {с In X (8tyln Я.) In 2}
вытекает оценка
. B.65)
В сумме B.64) каждое ш, для которого атф0, имеет простые
делители, только большие чем Z в силу способа, каким была полу-
получена эта сумма. После суммирования по всем характерам % по mod k,
включая х —Хо« принимая во внимание оценку

390
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
и такую же оценку для а вместо гп, получим
ft2 < m < k*
ft2 < и < ft4
*==m (mod ft)
ft2<m<ft4

B.66)
<
u^m (mod fe)
Здесь в обеих последних суммах tn и и пробегают только числа
с простыми делителями, большими чем Z. Применим теоремы
П. 1.4 и 2.4.9 (последняя применима, так как lnZ = alnft, a =
. Тогда
s ¦-
k2 < u < k*
usstn (mod ft
k2
<c
<c
Ink
I In Z ф (&) In A, '
Теперь можно применить теорему 2.4.10, так как k2 > Za, причем
за а можно взять любое постоянное число, меньшее 4а/1па, а
4Х/1пХ>2 для а>-2. В силу этой теоремы
L __?.
ft2 < m < ft^ ft2
Подставляя это в B.66), получаем
2
In A, *
ft2<m<ft4
Так как B.64) действительно для Q3 характеров, то
3 (In k)Z e~c^h < С15 -.-ут- ?Bсн + 8) /. (ln Д.J
и из B.63) вытекает
О Я2
/\ А ^ in A In A
откуда, если правильно а), следует утверждение B.2) теоремы 2.1,
б) Пусть теперь а) не выполнено. Тогда, согласно лемме 2.9,
существуют точки ss= s3(x) €Г = Г(%), в которых
I Л (*з) 1 = 1/2 (*з (X). X) I > In к • б-^2^ B.67)

§ 2. Плотность нулей L-функций
391
для Q[ различных характеров х по mod k, причем
B.68)
Докажем теорему 2.1 при этом предположении. Все окруж-
окружности Г (х) лежат в области
(R)
B.69)
Покроем эту область квадратами с длиной стороны
•In*
1
причем с17 < -я- позднее будет определено. Некоторые из квадратов
будут пересекаться с R только по прямоугольникам с длинами
сторон, не превосходящими ц. Число квадратов (и прямоугольни-
прямоугольников), необходимых для покрытия, меньше, чем
c18/aV2<5*2+D\ cn=cls(cl7). B.70)
В некотором таком квадрате (или прямоугольнике), например в /?(°),
лежат Qr2 точек $3(х)> где
Ql
B.71)
и для каждой из этих точек s300 выполнено B.67). Центр R@) обо-
обозначим опять через s^K Теперь для 0^-1 +-я-6 имеет место оценка
так как tf/t, ==1/A—$)+•••• Следовательно, если выбрать с17
достаточно малым, то для каждого s3(x)?^@) ПОЛУЧИМ
/2(*з(Х). X) —/2E@). Х)|<
*»(х)
< J | /г E' X) 11 ds |< спб-2 < \ In A . ^^"\
Отсюда и из B.67) для Q'2 характеров х по mod к следует оценка
X (Р) to Р
> -j In Л . ^-^2\ B.72)

392
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
С другой стороны, суммируя по всем характерам по mod k, мы
получаем
In /7
где ^ пробегает простые числа. Теперь имеем
In у
(mod
In 6
и из теорем 2.4.1 и П. 1.41) следует, что
V
Отсюда получаем
2
Ing
"Wr1-
P>
Но неравенство B.72) имеет место для Qf2 характеров х по mod/г.
Следовательно,
и из B.71) для Q вытекает оценка B.2) также в случае б), чем
теорема 2.1 полностью доказана.
Естественно, теорема 2.1 имеет место также тогда, когда за Q
принимается число всех L(s, %), % по mod k (включая %о)> которые
имеют в прямоугольнике R по крайней мере один нуль.
Пусть yV(a, T) = N(a, T, k) так же, как в гл. IX — число нулей
всех /,-функций mod к в прямоугольнике a < a, |?|<^7\
1) Применяя теорему П. 1.4, получаем Л (I)
Л < п (?, kt p)
д^р (mod k)
следовательно, теорема 2.4.1 применима, так как | > kK Формулу (П. 1.6)
можно применить, так как lim A (I) In g • g ч z J = 0 при g -> 0. Неравен-
Неравенство тем более верно, если интеграл берется от g = 2.

§ 3. Влияние исключительного нуля 393
Теорема 2.2. Для 0^^<^lnft имеет место оценка
N{\— X/\nk, ell\nk)<eAk (ft>3) B.720
г положительной константой Л, не зависящей от ft.
Доказательство. Для 2^A,<^-y^lnft из теоремы 2.1 и
леммы 2.1 следует, что
1
NA— tylnft, **/ln ft)
Действительно, прямоугольник 1 — ^/!п ft < а < 1, | ^ | <! бх/1п ft можно
покрыть кругами радиуса <^ Я-/1п ft, и некоторая ^-функция по
лемме 2.1 имеет в каждом таком круге <^ (k/\n ft) In ft = h нулей;
число таких кругов <^(е /Ink) (к/Ink).
Для -jq In k < X ^ In k утверждение следует из грубой оценки
G.3.24)
Для 0^А,<2, после того как B.72/) уже доказано для X = 2,
сначала может быть указана оценка
WO—tylnft, exl\nk)<e2A = eWVAK B.73)
Но по теореме 4.6.9 при достаточно малом X < ^0 в области
о^-l — А,/1п ft, |^|^ el/\n k находится самое большое один нуль
всех функций L(s, у) (а именно исключительный нуль). Поэтому
для X < Хо в B.73) можно заменить множитель B/Х) на 1. Тем самым
утверждение полностью доказано.
§ 3. Влияние исключительного нуля на остальные нули
Пусть ft ^ 3 и Р! — простой исключительный нуль функции
L(s, Xi)» соответствующей характеру по mod ft, в области
Тогда, кроме ft, в области о^>>1—co/\n2k нет действительных нулей
ни одной L-функции по mod ft. В этом параграфе мы докажем сле-
следующую теорему.
Теорема 3.1. Пусть ft ^> 3. Рассмотрим исключительный
нуль р2 функции L(s, Xi). образованной с характером %1 по mod ft.
Существуют положительные константы Ах и А2 со следующим
свойством. Если Pj лежит в области
<о<1> ^=0 C-2)
Pl C.3)

394 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
то в области
>. « -**2 t ej\\ /ry i\
0^1 1 b(]t\4-U (S I и] лхп' C.4)
6j In k (| t \-\- 1)<^ -4j C.5)
нет не равных p1 нулей никакой функции L(s, %), образованной
с характерами % по mod &, % Ф %0.
Для доказательства потребуется двенадцать лемм. Прежде чем
начинать доказательство этих лемм, заметим, что область C.4), C.5)
тем больше, чем меньше 6V т. е. чем ближе к 1 лежит исключи-
исключительный нуль. При 6j = A1/\n k эта область задается неравенствами
А2 1 е In k
In /г (I t |-f-1) <;in/e, т. e. ? —u,
и является куском действительной оси а^>1—Л2/1п/г. В этом слу-
случае теорема при достаточно малых Аг и А2 уже содержится в тео-
теореме 4.6.9!). Если положить 61 = с(е)/?е (до сих пор по теореме
Зигеля мы знаем о 6г только то, что Ьг ^> с (в)/&8), то область C.4),
C,5) определится неравенствами
°*(К1 ] , C.6)
Эта область содержит кусок действительной оси а^>1—с, с поло-
положительно и не зависит от k.
Если теорема 3.1 уже доказана для двух констант Ах и А2, то
утверждение остается верным, если уменьшить Av или Л2, или обе
константы.
Предположим, что Pj — исключительный нуль (в смысле тео-
теоремы 4.6.9а) какой-нибудь функции Z,(s, %г), %i no mod k и ро =
= Po-WYo — отличный от Pj нуль некоторой функции L(s, %),
X по mod k. Положим
C.7)
C.8)
C.9)
Мы должны в дальнейшем оценить X снизу. Можно предполагать, что
6<i. C.10)
1) Так как k > 3, то In k A1 \ + 2) можно заменить на In & (| * | + 1),

§ 3. Влияние исключительного нуля 395
Тогда если бы в области а ^ 1 ^к не было нулей C0 -f- *Yo» To
теорема 3.1 при достаточно малых Аь А2 следовала бы уже из тео-
теоремы Зигеля, как это показывает рассуждение, проведенное в C.6).
Рассмотрим функцию
f(s) = f(s, fi = L(s. l)L(s + 6v xXi). C.11)
причем х — тот характер, для которого L(p0, %) = 0. Предположим
пока, что
Х^Хо- C.12)
Тогда f (s) — целая функция, так как L(s, у) — целая и L(s, /vXi) —
целая функция, за исключением случая X —Xi- В этом же случае
XiXi=Xo и f(s) = L(s, Xi)?(s + fy. Хо)- Поэтому полюс s=l — 6г
функции L(s-\-61> Хо) компенсируется нулем 5=1—61 = |31 функции
L(s, Xi). Далее имеет место равенство
у-Ю = — %ЬпА(п)п-* (а>1). C.13)
л
где
{ (т>1). C.14)
и, следовательно, bn%(n)^>0. Нули L(s-\-6x, XXi) ПО отношению
к нулям L(s, XXi) сдвинуты влево на 6V
Лемма 3.1. При а > -у имеет место равенство
ft(|^|+1)). (ЗЛ5)
причем р пробегает нули р == р —|— /^ функции L(s, x)> есла
0<;р<1, и нули L{s-\-bv xXi)« если —Oj^p<l — 6j. Штрих
обозначает, что при х = Xi суммирование проводится только по
Доказательство. Утверждение следует из B.6), причем
lnft (|^| + 2) можно заменить через 1п^(|^|+1), так как k^>3.
Если применить B.6) к L(s, x). а затем к L(s, ^Xi) и сложить, то
получится C.15). При этом в случае X —Xi взаимно уничтожаются
член \/(s — Pj), происходящий от L(s, Xi)> и ч^ен —?0/(^ + 6Х— 1) =^
= —1/E —Pi), происходящий от L(s-\-6v y1yl) = L(s, y0).

396 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Далее применяется метод § 2 к функции / (s) (вместо L (s, х) *)•
По теореме 4.6.9 для X, определенного равенством C.9), во всяком
случае имеет место неравенство
к>сг C.16)
при подходящем cv Мы сейчас предположим, что
Пусть К > 2 — константа, от которой пока зависят все оценки
и которая позднее будет определена.
Лемма 3.2. Для нуля ро = ро + /уо (=? рг) функции L(s, х)(Х=?Хо)
найдется некоторый нуль р' — р'-+- iyr функции f(s), для которого
Р'>Ро. lY'-YoKB^ C.17)
О C.18)
в области
При этом возможно, что р/ = р0.
Доказательство получается совершенно аналогично доказательству
леммы 2.2. Отступая вправо на 1/KlnkU, после т-^ [6/A//С \nkU)]
шагов достигают прямой а=1. Если ордината при каждом шаге
меняется не больше чем на 5, то изменение ординаты в совокупности
по абсолютной величине будет не больше чем 56/( 1 /ЛГ inkU) = 5KX
(согласно C.9)).
Рассмотрим прямоугольник /?2
Имеет место включение /?2 cz /?0.
Лемма 3.3. Для каждого s = a-|-^6^i существует такое
действительное % — x(s)t 2<^т<;3, что
у-
C.19)
Доказательство. По теореме 7.3.3 число нулей р функ-
функции f (w) в области 2<;| \xnw — ^|^3 равно. О (ln(&| t Ц-5)),
а так как 5 ? /?j и
Я<-~-1пШ,
Конечно, вычисления оказываются здесь несколько проще.

§ 3. Влияние исключительного нуля 397
то число указанных нулей равно O(\n(KkU)). Следовательно, так же
как при доказательстве теоремы 7.4.2, существует некоторое т,
2^т<^3, которое обладает тем свойством, что при подходящем с3
в области
нет нулей р функции f(w).
е 7.3.3, лемма 3.1 дает теперь для Retc>
Im w = t ± x оценку
Согласно теореме 7.3.3, лемма 3.1 дает теперь для Retc>~-t
Y («0
Этим утверждение леммы доказано.
Рассмотрим теперь для каждого s^Rx путь C = C(s), который
состоит из следующих отрезков:
С±1 = B -Н (* ± т), 2 ± / оо),
причем т = тE) B^т^3) — число, указанное в лемме 3.3. Мы
будем проходить путь С(s) в направлении от 2 — /со к 2 -f-/оо.
Докажем теперь для у > 0 равенство
/ E, у) = — / (-J-J J у- (w) ^-^J у dw E 6 /?i). C.20)
2-ioo
По теореме П.3.3 имеем
f(St y) = -_y%bnK(n)ii-se-^nl*y (seRi)- C.21)
Не меняя значения интеграла в C.20), мы можем заменить путь
B — /оо, 2-|-/оо) на путь C(s), так как для s? /?j между обоими
путями нет нулей функции / (w). Ведь для s^Rx путь С (s) проходит
целиком в области /?0, а также в области Rew> 1. Так как пред-
предполагалось, что х Ф Хо» т0 f (w) не име^т полюсов.
Лемма 3.4. При у>1 и s?Rx имеет место соотношение
Re f(s, y) = P(s) + R(s). C.22)
/v\T Г
Co 1Y-

398
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
имеет то же значение, что в лемме ЪЛ) и
I i
(s-wJy
dw
. C.24)
Доказательство получается, если заменить путь B — /оо, 2-f-/oo)
через С ($), а в интеграле по Со преобразовать подинтегральное
выражение согласно C.15).
Лемма 3.5. Если
C.25)
то при
In kUJ имеет место оценка
c5KlnkU.
C.26)
Доказательство. В сумме из C.23) при о = о1, w?C0
имеем Rew=o1>Rep и, следовательно, Re I/(t^—р) > 0. Кроме того,
для w ? Со всегда w = s-\-iu, —х^и^х, и поэтому exp {(s—wJ}>0.
Если в интеграле C.23) положить w = sl-Jriu, то сумма под инте-
интегралом при | и | <; 1 содержит член с р = р' = fif -f- ly'. Следовательно,
интеграл не увеличится, если интегрировать только по — 1 <^ и ^ 1
вместо — т^м^ти оставить один этот член. Так как у ^ {К In kUJ,
то получаем
B//С In
B/АГ In
Наконец,
AT In/г/У > In 3
откуда следует C.26).
Положим теперь
Лемма 3.6. Для s^R^ имеет место оценка
\R(s)\<cQ\n(KkU).
¦d\>
\
\\\<,К\ъ)
¦d\.
C.27)
C.28)

§ 3. Влияние исключительного нуля 399
Доказательство. Рассмотрим отдельные члены в правой
части C.24). Для s?Rv до?С0 (t<]3) имеет место оценка
' —YoU-lYoK
и, следовательно, при X <; 6 <; -уд-
1п/г(|1тдо|-+ 1
Если мы положим w = s-{-iu, —х^и-^х (т^>3), то первое сла-
слагаемое справа в C.24) будет иметь порядок
J e-u
На C±i функция \ff(w)ff(w)\ ограничена (см. B.7)). Кроме того,
там до = 2~{-t(t ± т ± I), 0<^? < со, и так как для s ? Rlt 6 < -у^-,
0>рЧ-3/2/С1пШ > 1— 6, то
Re E - wf = B _ аJ-(т + ?J < A + 6J-(т + D2 < - ^2 (т > 2).
Таким образом,
1
с±1 о
На С±2 имеем до = $ ± /т ± со, 0-^со<;2 — а и ReE — доJ = со2—т2.
Так как со2 < B — аJ < A+бJ < 3, 6 < -1-, и т2>4, то из C.19)
следует
1 2tf
| dw I <С Ут | In2 (/СШ) • ^(с°2'т2) у ^со <С
1
Г (W) e{s-wJ у j | dw I <С Ут | In2
с±2'
Из C.27) вытекает
у2е-у = (К In ftf/) ^-(АГ In kUf
(K> 2, In^^/>ln3> 1). Тем самым C.28) полностью доказано.
Лемма 3.7. Пусть G*~Kpyz с центром в точке s* а радиусом
\j2K\nkU, целиком лежащий в Rv Тогда
Р (s) < 6Р E*) + c7 In (KkU) (s € О*). C.29)

400 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Доказательство. Поскольку АГ> 2, 1/2 К In kU < -^ . Пусть
s* = a* + #*. Пусть далее s?G*aRl и р = р-}-гу— нуль, для ко-
которого при некотором w = s-\-iu (—т<^#<^т) выполняется нера-
неравенство \lmw — yI^I- Тогда, так как
a* —p> i/KinkU и |s* + /tf — (p + /Y)|> 1/KlnkU.
имеем соответственно
а —р<а* —р+ 1/2/С1пШ < у (о* — Р)
Отсюда следует, что
если 5^0*, ^ = 5 + /й, —т<;^^т. Пусть для некоторого нуля
| — и — f*|<jl, но \у — и — ^ | > 1, тогда, так как 11*—11 -^
kU < -j, имеет место неравенство \s*-\-lu — (P + ^Y)I^
^>|Y — и — t*\^>\y — и —1\ — \f — * I > "о"- Число таких нулей при
постоянных 5*, 5, и по теореме 7.3.3
Следовательно, если суммировать по нулям p-j-ry» для которых
| Y — # — ^*|<^1> | Y — и — * I > 1» то получим
1
(a*-
То же самое справедливо для сумм по нулям P + /Y» Для которых
| Y — # — ^ К 1. |Y — и — ^* | > 1 • В итоге получаем
\y-u-t\<l
2

§ 3. Влияние исключительного нуля 401
Подставляя это в C.23), видим, что
Р(s) < 6Р (s*) + О I у2" In(KkU) J е-*У da \,
а отсюда следует C.29).
В силу лемм 3.4—3.6 существует такое /С0>2, что для К > Ко
, у) > съК In W% C.30)
где $! определяется формулой C.25). Пусть теперь /С> /Со- Положим
f In (W1) 1
Z = exp | Cj v2;i1 ; InkU h C.31)
где Cj задается с помощью C.16)l). Тогда имеем l<
Лемма 3.8. Если а>1—6, то
2 C.32)
C.33)
где у задается равенством C.27).
Доказательство. По определению C.14) коэффициентов Ьп
имеем |*я|^2. Поэтому доказательство равенств C.32) и C.33)
протекает точно так же, как доказательство формул B.36) и B.37).
При доказательстве последней формулы нужно заменить 6 = A,/ln k
на b — X/lnkU и принять во внимание, что X > сг согласно C.16)
()
Положим теперь
/i ($) = S bplnp. p-*e-l**rt% C.34)
ZkU)*
>plnp . р-*е-1п2р№. C.35)
Если взять К достаточно большим, например К > К\ > /Со» то из
формул C.32), C.33) и C.30) следует, что
1) Заметим, что может быть In Я < 0, но благодаря C.16) всегда

402 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Будем предполагать, что условие К > К\ выполнено. Пусть теперь
г1=1-}-6 — 0J, z0 = 1 + 6-f- iyr и D — круговое кольцо
r*~2*ln^<l*"*ol<'i+2/ClnM/' (D)
Рассмотрим окружность Г
\s—zo\ = \b. (Г)
Так как г, < 26, 1 +6+ гг-\-1/2К \nkU < 1 +36+ 1/2 In kU <2 и
г1 + 1/2/ПпШ<26+1/2/ПпШ< 1, то
Лемма 3.9. При подходящем К или по крайней мере для
одного s2? D выполняется неравенство
| /, (s2) | > In kU, C.37)
или для некоторого 53^Г
\f2(sz)\>\nkU .e-e*\ C.38)
Доказательство. Предположим, что
|/,(s)|<ln*?/ C.39)
для всех s ? D. Рассмотрим окружность Fj
\s-zo\ = rx. (ГО
Из C.36), C.39) и включения s1?T1czD следует
Ж1 = тах|/2E)|> inkU. C.40)
г.
Пусть максимум достигается в точке s*t т. е. ^ = | Л E*) |. Пусть
далее ro=\j2K\nkU и через Go обозначен круг
|«-^|<г0. (О0)
Имеет место включение GoczDczR1 и, согласно лемме 3.7,
Р (s) < 6Р E*) + с7 In (/Cftf/), 5 6 Go- C-4О
Оценим теперь |Re/2(s)| для s?G0. Так как по лемме 3.8
f(s. У) = ЛEL-/2E)+ОAпШ). а>1—б, C.42)
то из C.39) следует, что
|Re/2(s)|<|Re/(s, у)| + 0AпШ), 5^^. C.43)
Из C.28) и Re f(s, у) = Р (s) + R (s) (s?R{) получаем
| Re f(s, у)|<РE) + с61п(/СШ), s?Rv C.44)

§ 3. Влияние исключительного нуля 403
Из C.42), C.39), леммы 3.7 и равенства P(s) = Re/(s, y) — R (s)
следует
р (s) < 6P(s*) + c7ln(KkU)<e{\f(s\ у) | + | R (s*)
+ с7 In (KkU) < 6Mj -f О (/С In Ш), 5 ? Go.
Отсюда, из C.43), C.44) и того, что Мг=\ f2(s*)\>\nkUt вытекает
\Ref2(s)\<clQKMv C.45)
Пусть теперь r'Q = cn/K \п Ш, где cn<l[2 будет дальше определено
точнее, a Go — область
Из теоремы П. 4.2, согласно C.45), получаем
где сп выбирается достаточно малым. Обозначим через Г2 окружность
\S-Zo\=ri-rO = rT (Г2)
Так как Go имеет общую точку с Г2, то, принимая во внимание C.46)
и равенство \f2(s*)\ = Mlt имеем
Ж2 = тах|/2E)|>~Ж1. C.47)
г2 z
Применим теперь к окружностям Г, Г2, Гг теорему о трех кругах
(теорема П. 9.2) и положим M = max|/2(s) |, г3 = 6/2. Если сп еще
г
уменьшить, а К увеличить, то будут выполнены неравенства r3 < r2 < rv
2 1 1
В самом деле, если взять -^ < -j cv cu < -т-с1, то 6/2 < 1 -\-Ь —
— ai — си/К\пШ, так как
1 4- 6/2 — 0j — сп/1< In *t/ > 6/2 — 2/К In kU — cujK In Ш =
= (X/2 — 2/K — cn/K)l\n kU > 0.
Будем считать теперь К фиксированным. Теорема П. 9.2 дает тогда
2 ^ In (rx/r3)
In (гг/г2) In (г^Га) In (гi/rs)
М > Мг1" (Г'/Г2) Ж2 ln irM >lnkU.2 ы (Г'/Г2). C.48)

404
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
так как M2'>-jM
1п(гэ/г2)
\n(rjr2) "Г" In (г^г,) — le
Поскольку в силу C.16) и C.9)
— aj)/C In *{/} < <W{F— 2/ff In kU) К In
BjK < cJ4 < 16 In Ш, cn < ??х/4 < у 6 In *?/),
имеем
?n
tn ri —in
ln r2 ~"
?
— ox)K\nkU ">
Учитывая, что 1—ог < 6, мы получаем
Gl < In4.
ц
2/a '
C.49)
Подставляя все это в C.48) и принимая во внимание равенство
М = max | /2 (s) |, получаем утверждение леммы,
г
Лемма ЗЛО. Существуют константы В,
которых выполнены следующие неравенства:
), для
p>(kU)B
е-вх\
?=*¦<-иг-
Доказательство. Так как
со
In р
C.51)
пШ .е~с*кк. C.52)
х, то по теореме П. 1.4
2 ^rW^ I *
Р>Фи)в
(kU)B

§ 3. Влияние исключительного нуля 405
и для достаточно большого В = В(К)>12 (это необходимо для
дальнейшего) получаем C.50). Далее имеем
2 7"
/ 1п(КесГ1) \
так как ^ 1/р = 1п2*+ОA) и Z = txp\cx—Ц^—-\r\kU}.
Отсюда следует C.51). Наконец,
и так как к > clf отсюда для достаточно большого ?х получается
C.52). Выбор Вх зависит от величины К* но К уже выбрано, и эту
зависимость можно особо не отмечать. Поэтому лемма 3.10 полно-
полностью доказана.
С этого момента будем считать, что константы В, Вх определены
так, как выше. Если для некоторого р <; (kU)B
1—рГ >*-*¦*. C.53)
то отсюда уже следует утверждение теоремы 3.1. В самом деле,
тогда
и, следовательно,
ВЬх\пШ '
так как (kU)'mi < 1 и 1/A — ?) > {1пA/?)Р для 0 < |< 1. Отсюда
вытекает, что
I > ~ In
^1пШ '
и при Ахе—\1В, А2=\/В1 получаем утверждение теоремы 3.1.
Теперь мы будем предполагать, что
C.54)
Обозначим через M(Z) количество натуральных чисел, которые
состоят только из тех простых делителей р ^> Z, для которых %i (p) = 1.

406 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Лемма 3.11. Если L(s, %), % ф %0, имеет нуль ро=1—6-f-
Pi рассмотренного выше вида, то справедлива оценка
±>е-°»К C.55)
Доказательство. Предположим сначала, что в лемме 3.9
верно первое утверждение. Из C.37) в силу C.34) и C.14) следует
так как s2?Dt Res2>l—6, | Ър | = 1 -f-Xi (Р) P~6t- ^ы предпола-
предполагаем, что р /f k. Если р\ k, то | Ьр\ = 0. В этой сумме всегда 1пр<С
<^6 1п&?/, следовательно,
It -ptt
Опять предполагается, что р % k. Слагаемые, соответствующие тем р,
для которых )d(p) = —1, согласно C.54) и C.51), меньше в сумме,
чем 1/12. Поэтому
S фг>^. C-56)
так как l-f-p«<2. Разобьем теперь интервал Z < р -^ (/г(/N на
подинтервалы EЛ), (kUf'2~n < р < {kUf'2l"n, л = 1, 2 TV, при-
причем б . 2""^ In kU < In Z < б • 2l~N In Ш. Так как In Z=[cx In —/21W
X In Ш, то
/V •< t-^j- In —;—,« . ¦¦¦¦¦ < r14 In
^ In 2 c{ In (Я^/d) ^ 13 cx
(для 5^ нижняя оценка заменяется на Z). Согласно C.56), суще-
существует такой подинтервал Sn, что
Возводя обе части этого неравенства в степень 2Л, получаем
„л 24Л.
V !
in (л*/с,); ^ v in
1гГ
так как с14<1, In (A^/Cj) > 1, n^N и каждое m^Al(Z) можно
представить в виде произведения 2п простых чисел р (~Sn самое

§ 3. Влияние исключительного нуля 407
самое большее BЛ) ! способами. Деля это неравенство на BЛ) !(ШI26,
получаем C.55), поскольку
{2n)\{kU)m <2N'2N {kUfb <ech
и мы предполагали ? > 12.
Теперь допустим, что в лемме 3.9 верно второе утверждение.
Тогда из C.38) и неравенства Re s3 ;> 1-f-6/2 следует
Из 0 < 1 +Xi (p) Р~Ь{ < 2 и C.54), мы, принимая во внимание C.50)
и C.52), получаем
-» 2
p>{kU)B
Отсюда снова следует неравенство C.55), так как Z < (ШN и для
(kUf<p<C(kU)Bt Xi(P)=1 имеем p?M(Z).
Положим теперь
fl« = SXi(d)= IT {l+Xi(/>)+ ... 4-Xi(Pm)}. C.57)
d^ m\m+4
= S(k. Yo)= S -^-
В гл. IV (лемма 4.4.1) было доказано, что ап^0, аП2^
представляет собой мультипликативную функцию п.
Лемма 3.12. Если некоторая функция L(s, %),. Х
нуль Ро=1—6 + *'Yo =? Pi рассматриваемого вида, то
Доказательство. Пусть И(Z) — множество натуральных чи-
чисел, не больших, чем (kUJ, которые содержат только простые дели-
делители, не превосходящие Z. Пусть, далее, F (Z)—множество натураль-
натуральных чисел, которые содержат только простые делители р, Z < р ^
<^ (WJ. Рассмотрим произведение 1)
2 *• П (»-тГ- S тг
п?Н (Z) Z<p^{kUf n?H (Z)
1) Это произведение равно квадрату

408
Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
В последней сумме всегда (п, m)=\, am^d(m), следовательно,
and (m) > апат = апт. Поэтому
d(m)
(Z)
т
C.61)
Согласно A.4.1), имеем при подходящем с
П(
\
<(kUY
1)
Подставляя это в C.60) и принимая во внимание C.61), получаем
Если M(Z) — величина, определенная перед леммой 3.11, то имеем
(kUN<m<(kU)B
?M(Z)
)
(m,
так как %1(р) = \ для каждого р, р\т, и поэтому для каждого
m?M(Z) имеем (т, [Z)!)=l и ат^1. Теперь нужно оценить пра-
правую часть C.63) с помощью функции Z,(l, Xi)- Если х^>2, то
C.64)
dm *
С помощью частного суммирования (теорема П. 1.4) при % ф
получаем
X
Здесь сумма под интегралом по абсолютной величине меньше к. Точно
так же получается
Х(п)
Inn
In I
\пх

§ 3. Влияние исключительного нуля 409
Следовательно,
Поскольку 2 1/л = 1п* + с + ОA/;с) (л:>1), где с — константа
Эйлера, то из C.64) вытекает
d<Vx m<x/d m<Vx Vx<d<x/m
m<Vx
Следовательно,
(^). C.65)
Если в этом выражении положить сначала x — (kU) , а потом
х = (ШN и вычесть одно из другого, то получим
2 -^ = /.A.Х1)(Я-4IпШ + 0(.^)<
Х1IпШ, C.66)
так как по теореме Зигеля D.2.19) L(U Xi) > с(г) k~e* Отсюда и
из C.63) с помощью леммы 3.11 получаем
Если подставить это в C.62), то получится утверждение C.59).
Доказательство теоремы 3.1. Для ст > 1 имеем
ШЦз. Xi)=S<V*-5. C.67)
п
С помощью формулы Меллина (теорема П. 3.2) при X > 0 получаем
2+/оо
аЛп-Ье-** = -^ J ATPl"T (s - Pl) I (a) L (s,
2-/оо

410 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Заменим путь B — loo, 2-|-юо) на путь (— 1/2— /со, — 1/2 + /оо).
Между обоими путями подинтегральная функция имеет только полюс
в точке s=ll) и замена возможна, так как (по теоремам П.6.2Г
7 3.1 и 4.5.4) при 7->оо
2±1Т
J <С Х^ъТе~Ч2ПТ (kTf* -> 0.
Положим X = (kU)~3/\ Тогда из теорем П. 6.2, 7.3.1 и неравенств
Pi > 1 — Ую- Р2 + У2 > 4/з следует
<С
о
В итоге при X — (kU)~s/2 получаем
Теперь с помощью (П. 1.12) и неравенства an^d (n) ^п получим
n>{kUf n>{kUf
10 () С ()
Ц1, Xi) + O{(*^"Vi}- C.68)
Далее если потребовать, чтобы было
611пШ<с1, C.69)
где сх было определено так, что для любого нуля Po + ^Yo^Pi»
1—р0 = Я*/1п А?/ всегда X > сх 2), то получим оценку
195, C.70)
1) Правда, Г E — pt) имеет полюс при — l + Pi- Но вычет в этом по-
полюсе есть О l(kU)~0'4] и на дальнейшем не сказывается.
2) Это означает ограничение на р^ А именно, так как U = | у0 \ + 1 > 1,
то разрешаются только те plf для которых 6iln^<ci, т. е. Pi^l — ct/ln k.
При постоянном Pi это означает ограничение на Yo«

§ 4. Доказательство теоремы Линника 411
в которой S — сумма из леммы 3.12. Кроме того,
так как аг = \. Поэтому из C.70), C.68), неравенства ЛA, Xi) >
>?(е)&~е и того, что Х~Ьх > 1 и ГF1)~-^- при 61->0, получаем
L{\, Xi)>c2AlL(L xiI). C.71)
Теперь C.71) вместе с C.59) дает
и мы будем предполагать, что с21 < сге (этого всегда можно добиться).
Отсюда следует, что
X > с~1 In \
In я \\JT .
Тем самым утверждение теоремы 3.1 доказано также при предполо-
предположении C.54) для констант Al = c2i/e и Л2=1/с15.
При противоположном предположении, по ранее сказанному, можно
получить утверждение теоремы с А1 = 1/Ве и A2=\jBv Таким
образом, теорема 3.1 верна также при
= niin
§ 4. Доказательство теоремы Линника
Теорема 4.1. Пусть &>2, (t,k)=l, l<k и pl(k, I) —
наименьшее простое число в арифметической прогрессии mk-\-l,
т=1, 2 Тогда имеется такая константа С, не зависящая
от k, что
p(k, l)<kc. D.1)
Доказательство. Мы можем предполагать, что &^>3. Рас-
Рассмотрим функцию
i
2е~1п2п№. D.2)
sl (mod k)
Положив в теореме 7.6.1 b = l/2 при у^>1, получаем
р (х)
+ О (Ф (ft) In ft), D.3)
') Мы взяли с, < '/io In 3, поэтому из C.69) следует, что 6i <
< с,/1п tt/<'/и-

412 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
где двойная сумма распространяется на все нули р = р-+-/у
функций L(s, х) в области 0<^о< 1, кроме исключительного нуля
Р1==1—6lf и обозначено 1—р = 6. Пусть теперь
у = In ^ = 11 In ft, D.4)
где Л^-Ло^О и % будет выбрано позднее. Разделим D.3) на
?
2 ]Лгуе4 и проинтегрируем N раз по т] (Af ^>2). Положим
V1 V-i+1 ^i+1
J ... J Ф(у. ft,
/ _9
= J Ф(у. ft, /)\2 /яу«4
9 \-l
причем интегрирование ряда проводится сначала по т], потом по т^
и т. д. и до конца доказательства | d (ц) используется как сокра-
сокращенное обозначение Л/"-кратного интеграла в формуле D.5). Так как
ф (ft) < ft, у = In ft ^ т|0 In ft, то
119
и из D.3) следует
("По)
I
Р(Х) (По)
^j. D.6)
P(X) (Tlo)
T") ^J ^J exPl—B6~j-v2)Tloln*}| 26 + Y2 + ^YriV« D*7)
x p
Для двойной суммы из D.6) получаем
Jexp(

§ 4. Доказательство теоремы Линника
413
Действительно,
J ехр {— А (б, Y) Л In k) dK] =
(ть)
= {Л (б, у) In /е}""^ ехр { — Л F, у) Т1О In ?} A —ехр { — Л (б, у) In k))N,
где
ЛF. y)=6C— 6) + Y2 — /YC — 26),
бC-б)>26>0 @<б<1), |YC —
следовательно, | Л (б, Y) I ^ I 26 + Y2 + 'Y I» а также | 1 —
— ехр {— А (б, y) ln Щ | < 2, поскольку Re А (б, y) > 0. Суммирование
в двойной сумме в правой части D.7) проводится по всем нулям всех
функций L(st %) в области 0<^а< 1. Для оценки этой суммы при-
применим теперь теоремы из § 2 и 3. Обозначим рх == 1—6Х исключи-
исключительный нуль из теоремы 4.6.9. Положим
*о = ЛзШ-з^. D.8)
где Av А2 — константы из теоремы 3.1, a Az удовлетворяет усло-
условию 0 < Лз^-^- min (Av A2, у) и настолько мало, что в области
1—Л3/1п&<^сх< 1, |/|<;&4, кроме plf нет нулей ни одной функ-
функции L(s, x) (такой выбор Аг возможен по теореме 4.6.9) и
Л3
при
при
D.9)
если нет исключительного нуля.
Очевидно, что
In Л
> Л3. В области
нет нулей никакой функции L(s, %), образованной с характером %
по mod&, %Фх0, кроме быть может р = Рг Если б!<^Л2/1п^, это
следует из теоремы 3.1, так как при |?|<^&4—1
А2 I еА± ^ А2 еА
In
6, In k ( 111
Ш
55, In
Если же 6j > Л3/1п к, то Я0/1п k = Л3/1п ^, и в области а ^ 1 — Л3/1п А,
|*|-<й4 по определению Л3 нет нулей. По теореме Зигеля

414 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Хо — о (In k), следовательно, для достаточно большого k^>k0 будем
иметь Яо-<; yln k.
Разделим теперь нули всех функций L(s, %) mod k, по которым
производится суммирование в правой части D.7), на четыре группы.
К каждой группе отнесем нули, которые лежат в области одного из
следующих четырех типов G^l) (/=1, 2, 3, 4): (области различных
типов могут пересекаться)
= 1. 2, ...). (G{n])
(п = 0, 1, .... я0),
Число нулей в области G^ обозначим через №„. Из теоремы 7.3.3,
теоремы 2.2 и того, что в области —1 <0<О нет нулей, следует
N(n] < cxq> (k) in kn (/t = l, 2, ...),
N® < eA {K+n+1) @ < n < л0). D.11)
Последнее неравенство получается из теоремы 2.2 вследствие того,
что ela*k+n+l!\nk > 1. Оценим теперь сумму в правой части D.7),
причем оценим отдельно суммы по нулям из разных областей О„
(/=1, 2, 3, 4). В зависимости от того, какой из областей О^\ G%\
G{n\ G{n] принадлежат нули p-H'Y=1—6 + *Y» имеют место нера-
неравенства
ехр{— B6 + Y2) 4o\nk}^e
e-2k0n0t e-2(ln2
D.13)
' Г In* J *

§ 4. Доказательство теоремы Линника 415
Предположив, что г\0^> А~\-3> выберем N —[Л] + 3 и найдем
% Р
A) I VB) i VC) i VD)
где суммирование производится по нулям из
Тогда для k^>k0 получаем из формул D.11)—D.13)
^"rt4 ln *"~27V ln *л < c22iV (ln W
I I
так как М = [Л]-+-3, т]0:>Л + 3, 1—ti0 <—ут^ и у In ft ;
Из Яо ^ Л3 следует, что
и
~ " " ) = ОA), (N>3).
Поэтому для второй суммы имеет место оценка
2B)< S е-2Л+")Г1»(^о + «)-Л'
0</г<«0
<ехр {- 2Vb+ Л(Яо+ 1)} 2
0<
Далее, так как Л/" — Л^2, то имеем
0<л</г0
Наконец, — 2%+ А < — %, (ln2 ft)"^ = 0A) (^>^0>3)»
= [Л]-(-3. Поэтому для четвертой суммы справедлива оценка
2
О < л < л0
< с6^ -'По

416 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Отсюда для Я0<1п2& получим 2D) < с%е~к*щ. Так как в области
а^-1—Я0/1п ft, U|<^ft4—1 нет нулей (кроме Pj), то для Я0>1п2&
в области GAn, /г<Д0 — \n2k— 1 нет нулей (кроме быть может рЛ,
Следовательно, при Я0>1п2^ имеет место оценка
VD) ^ V -2Aп2й + л]
= 2 ехр{—Bri0 —.
n>hu~ln2k-l, /г>0
где предполагается, что rio<ln2&. Это предположение согласуется
с У]о^>Л + 3, например при k > &j = kx (Л) > ^0. Действительно,
тогда
Т1О —2 —Л>0, Т1О — Я0<ть — 1п2^<0 (Г1о<1п2^).
При этом через 2 обозначена сумма по 0^п^Х0 — 1п2&—1
тех членов D.14), которые соответствуют нулям L(s, %0) в обла-
области 0^, т. е. при Я0>1п2&. В этой области 1—а<у-^-— оA),
следовательно, а > 0 при достаточно большом k. Следовательно,
речь идет о нулях ?(s), причем |^|^1. Поэтому имеем
с™е~СюЛ In kc™ < '«*-«**In k для т^ш <1 >
так как X0 = o(\nk), то при достаточно большом k получаем
|S*l<'ioo*-^-
Подставляя все это в D.14), получаем
ехр (~B6+Y2) ^o In k) | 26+Y2+'Y Г^< V~M» D-15)
X P
при A > kv A + 3 ^Tjo < ln2k (c% = cQ(N)). Теперь оценим осталь-
остальные члены в формуле D.6). Так как Я0^-^-^п^' Ло > 3, то
О (in2 ft . rio 2 ft 4 j I < с9в-^. D.16)
Из определения 60 и неравенства
Г10—*-*)<! ПРИ 1>0 A = 2^ In ft)

§ 4. Доказательство теоремы Линника 417
следует далее
Г е-6, C-60 Л In krf до ^ f g-26^ In kd ДО ^
s= B6X In Л)"^ ?-2Мо In ft A —0-26, In *yV ^ 0-26^0 In ft ^ g-260 In */Л3> D# J 7)
где т|о > !/лз и А > *2 > *i-
Выберем теперь значение величины % которая ранее не фикси-
фиксировалась:
0 {Л + 3, Л3, Л3~11п4(<?8 + <?9)}. D.18)
Из формул D.6), D.7) и D.15)—D.17) получаем
Лз — (^8 + %) е'К^ (k>kz> k2). D.19)
Из D.18), определения Хо и неравенств 601пА^Л3, Л3т]о^1 сле-
следует, что
Поэтому из D.19) вытекает
-%^. D.20)
поскольку при 0 < |-^1 справедливо неравенство 1— е~^ j- \ > -j|.
По лемме 7.7.1 и лемме 7.7.2 при z — е5? = ехрEг|1п k) имеем
1 2
Ф(*) 2 1пр./?2в-|пЯ^4У>Ф(у, А, /) — с1Оф(А)у4 \ D.21)
/7<,г, ps/ (mod k)
Умножим это выражение на \2 ]Лтуе4 У) и проинтегрируем. Тогда
в силу D.5) и D.20I)
(
J Ф (*) 2 1п Р * Pv^-ln8p/4y U
9 \"*1
(Ло) P<z, pssl {mod k)
^ 60\nk - l
J ^^T "rf (Л)- С4'22)
*) Следует обратить внимание на то, что переменная интегрирования
входит также в z.

418 Гл. X. Наименьшее простое число в прогрессии
Так как в области т^ <^ ц ^ г^ -f- 1, .. ., т]0 ^ rjiV_1 <J % + 1 всегда
11 1 11
(¦По)
1 1 _1
<ln2 ^ . (по + Л/J J* 2 л
СПо>
^'^d^-f. D.23)
Но т]о>3, и по теореме Зигеля (теорема 4.8.2 в случае & =
имеет место оценка
60 In k сп In k
> Г~
Таким образом, для достаточно большого k, например k > k^ > ^
из D.23), и оценок^'^^^^о^^'^иГЧ1—^"^)<! при | > О
следует, что
(•По)
(Ло и N уже зафиксированы, причем г|0 > 3, Af^>3). Следовательно,
при k > &4 левая часть неравенства D.22) больше, чем 601п&/5Л3.
Наибольшее значение, которое может принимать z в интеграле
из D.22), равно exp E(r|0-f-iV) ln&} = k5^+N\ Отсюда следует, что
У) i|JjL*. D.24)
/ 9 v-1
При к^Ъ величина \]Лу е* ) убывает с возрастанием ц. Следова-
Следовательно, при к>к5(>кА) в области интегрирования из D.24) имеет
место оценка
9 \—1 19 19
?4 J <^ (r|0 In ^) 2? 4 ° =(цо\пк) 2 k 4 °.
Отсюда, из D.24) и неравенств 60 > cuk ^t к > k6 > къ следует
1 19 9
\пр-рг>-~—ттт-(т]01п к)г kq > cv2k* . D.25)
f (mod k)

Задачи к главе X 419
Так как ri0 > 3, то -^ Ло — 2 > 0, и отсюда, в частности, вытекает,
что
n(k5^+N\ ft, /)>1, Pl(k, /)<?5AЪ+Л°. D.26)
Таким образом, утверждение теоремы 4.1 доказано при ft > ft6 и
С == 5 (г|0 -|- Л/). Так как для нашего утверждения конечное множество
чисел ft не существенно, то теорема 4.1 доказана для всех ft ^>2.
Задачи к главе X
1. Покажите, что для достаточно большого k и постоянного а< 1
оценка
px(k, Z)< сир (ft) In ft
может не выполняться для всех / < ft, (/, ft) = l.
2. Для некоторого с > 0 имеется бесконечно много чисел р, для
которых
(d(n) обозначает число делителей п).

Приложение
§ 1. Частное суммирование и аналогичные преобразования
Теорема 1.1. Пусть ап и bn — комплексные числа, опреде-
определенные для всех целых индексов. Тогда для целого М и целого
N > М имеют место формулы
2 aJ>n = ANbN- 2
2
А, (*„+!-
2
M<n<N
A-1)
A.2)
где
An=
Доказательство. Так как Лж = 0, то мы имеем
2 «а= 2 (ля--4я-1)»я =
^N M<<N
а это и есть A.1). Равенство A.2) следует отсюда непосредственно»
Теорема 1.2. Если, кроме предположений теоремы 1.1,
выполнены неравенства М^>0, Ь0^Ьг^> ... Ъп ^> ... %0
2
М< n<
м шах
М <mKN
М < m< n
Доказательство. Из A.1) и неравенства Ъп — i
дует
2 ¦
M<n<N
- 2 I
М< n<N-l
|
M<n<N
An\<bM
то
A.3)
еле-
M<n<N

§ 1. Частное суммирование
421
Теорема 1.3. Если, кроме предположений теоремы 1.1, вы-
выполнены неравенства М^О, 0^Ь1<^Ь2 ... <!#Л<! ..., то
2 «А
JN
max
2 а„
М <т < л
A.4)
Доказательство. Из A.1) и неравенства bn+l—#„^>0 сле-
следует
max
шах
Теорема 1.4. Пусть Х1^Х2^'*'—последовательность
действительных чисел, Пт^/г = оо и g(Q — непрерывно диффе-
Л>оо
ренцируемая на отрезке Хг
плексная) функция. Тогда
где
, <^ х (действительная или ком-
X
ang (kn) = A(x)g(x)-\ A (I) g' (\) d%, A.5)
д/г\ V а
и ап — любые комплексные числа. Если в A.5) lim A (x)g(x) — О
ря^, или интеграл сходятся, то
Доказательство. Имеем
ang (Хп) = % an{g (х) - g {Xn)\ =
Л
так как в качестве сомножителя при g'(?,) в сумме слева как раз
появляется 2 ап- ^"ем самым равенство A.5) доказано, а остальные
утверждения следуют из него сейчас же.

422
Приложение
Теорема 1.5. Пусть а — целое положительное число,
a g(l) — непрерывно дифференцируемая на отрезке а^,\<^х
{действительная или комплексная) функция. Тогда
X X
а<п <лг а а
A.7)
Если на отрезке а ^ | <^ х выполнено неравенство g' (|) ^ 0 или
?'(!)< О, ото2)
X
g(n)=j g(l)dl-\-O(\g(a)\ + \g(x)\). A.8)
Доказательство. Положим в теореме 1.4 ап — \ для всех п
и A,j, Х2 = а> Л-+-1 Тогда Л(л:) = [л:] — а+1 и
—(е-Otf(e)—Jill*'(?)<*&• A.9)
a
С помощью интегрирования по частям получаем
X X
| g (|) d| = xg (x) - a^ (a) - J |^' (|) d\.
a a
Если вычтем это из A.9), то получим соотношение A.7). Равенство
A.8) следует отсюда, если воспользоваться тем, что, например, при
Мы приведем еще некоторые простые формулы, которые полу-
получаются отчасти из теоремы 1.5, отчасти непосредственно.
]) Для целого х, в частности,
X
а<я<ж а а
2) О значении символа О { ) см. гл. I §

§ 2. Некоторые свойства рядов Дирихле
423
При 0 < а < 1, х ^ 1 имеем
2 ^=/|~°/в-[Ш
A.10)
так как1)
X X
Если 0<а< 1, р> 0, д:>2, то
2 ¦^r=O(JC1-e
< <
<n <jr
Пусть а> 1, х^-Ъ. Тогда
A.11)
<M2)
оо
Sin п ^ In х . г In| ,о
In х
IF
= О(л:1-« In л:). A.13)
§ 2. Некоторые свойства рядов Дирихле
Рядами Дирихле называются ряды вида2)
п
причем 5 — комплексная переменная и ап не зависят от s.
1) Если g' (l) в теореме 1.5 имеет постоянный знак и g (x) стремится
к 0 при л:->оо, то вообще имеет место соотношение
X
2
а < п <лг
оо
J<6-
2) 2 означает всегда 2 •
п я-1

424 Приложение
При действительном положительном v под Vs понимаем всегда
?5lnv, причем Inv обозначает действительный натуральный логарифм
от v. Мы всегда полагаем Re 5 = 0, Ims — t, т. е. 5 = 0 -f- it.
Теорема 2.1. Пусть ряд ^ann~SQ сходится. Тогда ряд
п
^ann~s сходится равномерно в каждой замкнутой области, ко-
п
торая лежит целиком в области
1
I аг& (s — %) I < "о л — *• B-1)
где 6>0 постоянное. Функция F(s) — ^>jann~s регулярна при
п
0>ао.
Доказательство. Если Xv X2i ... = М, М-|~ 1, ..., g(I) =
= ls°~\ x = N, Л/>Ж>1, Л/, Ж — целые, то из теоремы 1.4
следует
аап-* =
N
4- B-2)
В силу сходимости ряда 2 ^nn~s° имеем
2 ann~s° <e для Ж>Ж0(е).
Для каждого такого М, согласно B.2), имеет место оценка
так как если 5 удовлетворяет B.1), то выполняются неравенства
а0 — a<JO и | s0 — 5 |/(a — ofo) ^ 1/sinб. Отсюда при постоянном 6
следует равномерная сходимость ряда. Регулярность F (s) в области
0 > а0 получается по теореме Вейерштрасса из того, что каждая
точка s области 0 > 0О при достаточно малом 6 является внутренней
точкой области B.1).

§ 2. Некоторые свойства рядов Дирихле 425
Из теоремы 2.1 следует, что существует такое действительное а,
что ряд 2 ann~s сходятся при а > а и расходится при а < а. При
этом а может быть равно ± оо. Число а называется абсциссой схо-
сходимости ряда ^ann"s. Ряды ^anti"s и ^j\an\n~s могут иметь раз-
различные абсциссы сходимости. Например, при ап — (—1)л эти абсциссы
равны соответственно 0 и 1.
Из теоремы 2.1 можно получить теорему, аналогичную теореме
Абеля о предельном значении: из сходимости ряда 2^лд~5° следует,
что lim F(s) = 2a/2^~5°» если s остается в области B.1). Тогда
0
в силу равномерной сходимости можно поменять местами знаки lim
и 2- ^е каждая точка абсциссы сходимости а==а обязана быть
особой точкой F(s); например, для ряда ап=(—I/1 абсцисса схо-
сходимости а = 0 и F(s)=(\—2l~s)?(s), a эта функция регулярна
во всей плоскости (см. также теорему 2.4). .
Теорема 2.2. Пусть для каждого а в области а0 < а < оо
%anti-S, G(s) = 2lbnti-S и
п
Тогда ап = Ьп, п = \, 2
Доказательство. По теореме 2.1
S*«*-a = flM-ff. B-3)
Л-1 /2-1
и оба ряда в области g>go~\-s равномерно сходятся. Следовательно,
lim 2#/z^-a = 2 \im anti-a = av
a-»oo n n a-»oo
Из B.3) следует также равенство
lim 2M-a = 2 \im bnn-° = bx.
Если уже доказано, что ап—Ьп при всех п < т, то из B.3) выте-
вытекает, что
оо оо
Sfl/-"=Sft/-'. B.4)
Умножая обе части на та и устремляя а к оо, получаем ат = Ьт.

426 Приложение
Теорема 2.3. Пусть ряды ^\ап\п-а и %\Ьп\п-а при
о0 < о < оо сходятся. Тогда в этой области имеет место ра-
равенство
B аяп-°)B М"а) = 2 ся»-« B.5)
с„=2л/п. B-6)
причем последний ряд абсолютно сходится в области а0 < а < оо.
Доказательство. Ряды в B.5) абсолютно сходятся, и их
можно произвольно перемножать. Это при о > о0 дает
оо оо оо оо оо
/1 а„п /1 On === /j / [ а 1ат (ctftij === / \ I / \ а^о » j n~~ .
Теорема 2.4 1), Пусть число а — абсцисса сходимости ряда
оо
а конечно, ап^>0 для всех п. Тогда s = а есть особая точка F(s).
Доказательство. По теореме 2.1 функция F(s) регулярна
в области а > а, и по теореме Вейерштрасса ряд B.7) в этой об-
области можно дифференцировать. Следовательно, при а > а
F{k)(s) = ^(—l)kann'slnkn. ft = 0, 1, 2
п
Поэтому для а0 > а имеет место разложение
F(s) =
Если бы функция F(s) была при s — a регулярной, то это разложе-
разложение должно было бы сходиться также при s —а, а < а. Следова-
Следовательно, при подходящем а < а должен сходиться ряд
со
— ( — '
ft = 0 П
Члены этого двойного ряда положительны, следовательно, их можно
произвольно переставлять. Поэтому
оо
~а° 2 тг (а° -
!) Ландау [3].

§ 3, Некоторые формулы обращения 427
и ряд справа должен сходиться вопреки предположению а < а. Та-
Таким образом, F(s) при 5 = а не может быть регулярной.
При предположениях теоремы 2.4 может все же оказаться, что
lim F(a)<oo. Например, при ап = \/In2 п(п ^> 2) имеем а=1,
о
2 1[п\п2п<оо.
1
§ 3. Некоторые формулы обращения
Следующая теорема позволяет по свойствам функции, заданной
рядом Дирихле
2X
судить о величине суммы коэффициентов 2 ап*
Теорема 3.1. Пусть ряд
/(s) = 2<V*~J C.1)
п
при а > 1 абсолютно сходится и
\ап\<сФ(п) (с > 0)»
где Ф(х) при большом х — положительная монотонно возра-
возрастающая функция,
21 ап | п~° = О ((а — 1)"а), а > 0, C.2)
п
при а -> 1 + 0. Пусть далее w — u-{-iv произвольно, b > 0,
u-\-b> I, T > 0. Тогда для нецелого х > 1 имеет место соот-
соотношение
Ь + 1Т
причем N — ближайшее к х натуральное число. Для целого
х^>1 имеем
b+iT
X
C.4)

428
Приложений
Для всех х^-1 остаточные члены в формулах C.3) и C.4)
можно записать так:
0
C.5)
а) + 0(
— \)а ) \ Т
Константы в 0( ) не зависят от х, 7\ Ь, и, пока b и и
остаются меньше некоторой постоянной.
Доказательство. Рассмотрим сначала нецелое число х и
п < х. По теореме о вычетах при U > О получаем
(b-iT b + LT -V+iT -U-iT\
I + J + J + I )(#*-•
-U-IT b-iT b + iT -U+IT /
если интегрирование проводится по прямолинейным отрезкам, так как
единственный полюс s = 0 подинтегральной функции лежит внутри
пути интегрирования. Теперь, так как х > п, при ?/->со имеет
место оценка
-U+iT
Следовательно,
b-iT
-00+/Г\
I + I + I
Очевидно, что отдельные интегралы существуют. Далее справедлива
оценка
s
J (t
-oo-iT
[ ( х \° da — Wn)b
} \п ) Т — ТЫ (х/п) '
и аналогично оцениваются интегралы по прямой (p-\-iT,
Отсюда следует, что
b + iT
J__ г /х\* ds _ >
2я/ J \n) s —1^
b-iT
C.6)
В случае /г > jc эта же формула получается без единицы и
с | In (jc/лг.) | вместо 1п(л;/я), если заменить —U на U и опять устре-
устремить U к og, так как внутри соответствующего пути интегрирования
подинтегральная функция регулярна. Таким образом,
b+iT
1 Г *JL(*\sdL.
2я/ J nw \ п ) s
b-iT
i ln(jf//z)h
C.7)

§ 3. Некоторые формулы обращения 429
На пути интегрирования Re(w-{-s) = u-\-b > 1 и по предположению
ряд 2 ann~^w+s) сходится там равномерно. Почленное интегрирова-
интегрирование ряда дает
Ъ + 1Т
Ъ-iT п<х
причем мы полагаем
пи+ь\\п(х/п)\ '
Разобьем теперь последнюю сумму на две части:
где в 2i суммирование проводится по значениям п, удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям п<.х[2 и п > 2л:, а в ^2 —по остальным п. Для
первых д очевидно неравенство | ln(x/ri) \ > In 2, и поэтому, со-
согласно C.2),
Для N <п^.2х положим г = п — N. Тогда получим1)
так как 1пA + 1) > А\ при 0 < |< 1 (Л > 0) и
Следовательно, часть суммы 2г» распространенная на эти л, есть
—W О(ФBд;) д;1-»"* ln2Ar), C.8)
1<г<лг
так как для этой суммы | ап | < сФ Bл:), /г>л:/2. Эта же оценка
справедлива для части суммы ^2» распространенной на интервал
1) Напомним о том, что константа с не всегда имеет одно и то же зна-
значение.

430 Приложение
х\2 ^п < N. Для n = N из неравенства и-\~Ь> 1 следует соотно-
соотношение
Nu+b{ln(x/N)
Таким образом, равенство C.3) доказано.
Если х — целое, то в C.7) появится дополнительно член
Ь+iT
ах С ds ax . b~\-iT
2mxw J ~~ 2nlxw b — iT
b-tT
и \х — п\^\ при пфх. Отсюда и из соотношений axx~wT~l ==
^OiOWJc'r1), Ф(л:)<ФBл:) и х"а^х1"и следует C.4).
Для доказательства C.5) предположим сначала, что п — целое
число, меньшее х. Пусть С — дуга окружности \ $\ = R = (b2-\-T2)l\
^Ь. Тогда по теореме о вычетах
b+iT
При /г > л: с помощью интегрирования по контуру |,s| = /?, ^
и ф — /Г, ^-f"^) получаем эту же формулу, только без члена 1.
Для п = х, как и при выводе C.10), имеем
b+tT b+tT
1 s L_ f ds —
~ 2ni J s ~
J \n) J
b-iT b-iT
2^ C.12)
где | A |^!/2- Пусть теперь Л/"—ближайшее к х целое число. Если
изменим доказательство C.3) и C.4), употребив для /г = Л/ фор-
формулы C.11) и C.12), то получим остаточный член
0 (W (жI = ° (ф <2*) х~ц)' C-13)
чем доказывается последняя часть утверждения теоремы.
Остаточный член в C.5) имеет то преимущество, что при x->N
он не обращается в бесконечность, как остаточный член в C.3).
Зато при Т->оо он не стремится к 0.

§ 3. Некоторые формулы обращения 431
При х^>2 во всех остаточных членах можно, очевидно, заменить
1п2х на \пх. В частности, при w—Q с помощью C.3) сумма 2 ап
п<х
выражается через / (s). Это часто дает возможность представлять
функцию f(s) не непосредственно через 2 ал» а через сумму вида
Л <Х
СО
2а„а„D где ал(Х) — множители, обеспечивающие сходимость
ряда, которые просто построить. Теоремы 3.2 и 3.3 дают формулы
этого типа.
Лемма 3.1. Пусть при х > О функция g(x) действительна
и непрерывно дифференцируема; при а < о < р, где а, р — произ-
произвольные действительные числа,
оо
J х*~11 ^ (*) | dx < со. C.14)
о
а < а < р, положим
C.15)
о
то для каждого а^(а, р) имеет место формула
а+1оо
8(х) = -%Г{¦ J x->f(s)ds (*>0). C.16)
a—i со
Это известное соотношение Меллина. Доказательство см., напри-
например, в книге Куранта и Гильберта [1]. Нам нужен специальный
случай.
Лемма 3.2. Если у > 0, то
b+too
Ш j 1$L**='->' C-17)
где ?>0 и T(s) — гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Утверждение леммы непосредственно сле-
следует из леммы 3.1 и равенства
оо
Г (s) = J e~xxs~l dx (a = Re $ > 0)
о
(см. ниже F.1)).

432
Приложение
Теорема 3.2. Пусть ряд
абсолютно сходится в области с > о0 > — со. Тогда при поло-
положительном у для каждого w — u-\-iv имеет место равенство
<318)
Ь> о0 и Ь> и.
Доказательство. Правая часть C.18) равна
b + ioo b—u+ico
r) 1 Г E)
+
1 л r(s-w) у anffn_ 1 Г
2^7 J /-« ^Л*^~2^Г J
п . _
j
b-ioo
b-u-ico
b—u—ico
Почленное интегрирование ряда допустимо согласно теореме 11.1,
потому что по предположению при Re s = b — и имеем
В силу теоремы 6.2 и неравенства b — «>0 имеем
b-u+icx> оо
J ys уЬ~и J
b—u—ico — оо
Утверждение теоремы следует теперь из равенства C.17).
Лемма 3.3. Для у>0 и любого действительного а имеет
место равенство
aV°°
V
J n-*e*yds =
C.19)
a-ioo
где п — натуральное число.

§ 4. Теоретико-функциональные теоремы 433
Доказательство. Очевидно, что при s = a-\-it, p — 2ау — \пп
имеет место соотношение
a+ico +00 1
— е 4у
У
f я~ V* ds = 1п~аеа2У f *-Уа
J J У
a—ico —00
из чего следует C.19I).
Теорема 3.3. В обозначениях теоремы 3.2 для у > 0, ft > сг0
справедлива формула
J C.20)
b—ico
Доказательство. Правая часть равенства с точностью до
множителя ]/"у//|/"я равна
&+/оо Ь — иЛ-ico
i b
b— too n b — u—ioo n
b-u+ioo
-S-S- I »-'^л-
Ь — u — ioo
При этом можно по теореме 11.1 поменять местами суммирование и
интегрирование, так как при s — b — u-\-it
ОО
J | ^^2у | dt < 00.
—00
Из C.19) получаем теперь утверждение теоремы.
§ 4. Некоторые вспомогательные теоретико-функциональные
теоремы
Здесь будут доказаны некоторые теоремы, которые необходимы
для доказательства теоремы о простых числах в гл. III.
Теорема 4.1. Пусть R > 0 и функция
О О значении последнего интеграла см., например, Курант и Гильберт [1].

434 Приложение
регулярна в круге \ s — s0 | <^ R. Пусть далее
Re/(s)<M при \s — so| = /?. D.1)
Тогда
Доказательство. Пусть сначала s0 = 0, ao — f(%) = 0.
Тогда согласно D.1), будем иметь Л4^>0, так как D.1) имеет место
в круге \s — so|</?, а значит, также при s = sQ (Re/ достигает
максимума на границе круга \s — s0 | < R).
Если ап = | ап \ ещп^ То
Re / (Re**) = 21 a J Rn cos (Фя + /ир).
Ввиду того что ряд ^j\an\Rn сходится, предыдущий ряд равно-
п
мерно сходится в области 0<^ф<^2я. С помощью почленного ин-
интегрирования получим
2Л
О
так как ао — О и
2я
| Re / (Rei(?) cos (cpn + Дф) dq> = я | art | /?Л, д ^-1.
о
Отсюда, так как Ж^О, 1 -f- cos (ф„ -|~ Лф) ^- 0, имеем
2л
<; Г М {1 -f- cos (ф^ + щ)) dip = 2яА1.
о
Следовательно,
и тем самым доказано утверждение теоремы для случая so =
а0 = 0. В общем случае положим sf = s — s0 и
F (^) = f(s)-ao = axs'
Тогда
Рф) = 0, Re F(O < Af —
и из ранее доказанного следует D.2).

§ 4. Теоретико-функциональные теоремы 435
Теорема 4.2. При предположениях теоремы 4.1 в круге
\$ — Sq | <С г < R имеют место неравенства
D.3)
\f(k)(s)\^2k\{M-Ref(so)} R , Л>1. D.4)
Доказательство. По теореме 4.1 в круге \s — $о
I / (s) - f (sQ) |< 2 {М-Re / (s0)} 2 /TV.
и отсюда следует D.3).
Далее при ^1 с помощью дифференцирования ряда для / (s)
получаем
<2{M-Re/(s0)} 2 я(я—1)... (я —Л+1)/?-"/•""* =
<ОО
)(
/1=0
а это и есть правая часть неравенства D.4).
Ниже в этом параграфе г будет обозначать действительное по-
положительное число.
Теорема 4.3. Пусть g (s)—регулярная функция в круге
\s — ^ol^r» удовлетворяющая в нем соотношениям
|g| D.5)
Тогда
|^ | D.6)
Доказательство. Пусть / (s) = In [g (s)/g (s0)}, причем мы
выбираем любую ветвь логарифма. Поскольку g(s) Ф 0, функция f(s)
регулярна и однозначна в круге \s — ^0|^г. Далее в этом же круге
Re / ($) = In | g (s)/g (s0) | <; In M (M ^ 1 по принципу максимума) и
R/() —0. Теорема 4.1 дает оценку
Теорема 4.4. Пусть F регулярна в круге \s
удовлетворяет условию
so\^.r a
<Л1. D.7)

436
Приложение
Если р пробегает нули функции F в круге \s — s0 | <^ у г и каж-
каждый нуль считается столько раз, какова его кратность, то
D.8)
Доказательство. Образуем функцию g(s) = F ($)Ц (s—р)~*
р
и применим к g (s) теорему 4.3. Тогда для \s—so| = r, а потому
и в круге \s — <^о1^г получим
g(s)
F (s)
о)
II3=
уГ и \s — p|^yr при \s — so\ = r. Да-
ДаОчевидно, что \s0—ру y
лее g(s)=?0 в круге | 5— so|<yr. Положив в теореме 4.3 -ц г
вместо г, имеем
Отсюда, в частности,
F
)—р
а это и есть D.8).
Теорема 4.5. Пусть функция F(s) регулярна в круге
\$ — s01<! г и там удовлетворяет условию
F(s)
F(s0)
1
Если F(s)=fcQ в области \s — 50|<уг, Re(s — sQ) > 0, то
где Pi — любой h-кратный нуль F(s) в области \s —
Re(s — so)<O, а также
0 — p2
где Р\ и Р2 — два любые нуля F (s) в области \s —;
Re (s — s0) < О.
D.9)
D.10)
. D.11)
^ 1

§ 4. Теоретико-функциональные теоремы
437
Доказательство. По предположению (в соответствии с тео-
теоремой 4.4) всегда Re(s0 — р)" ^ 0. Неравенство D.9) очевидно,
если опустить в D.8) справа все члены Re(s0 — р). Анало-
Аналогично D.10) будет доказано, если опустить только h слагаемых
с р=р1, и наконец получим D.11), если оставим только слагаемые
с p = pi и р = р2.
Теорема 4.6. Пусть имеют место обозначения и предпо-
предположения 4.4 и, кроме того,
-у In M (Л>0), D.12)
— so)>—2rlt D.13)
0 в области \ s — i
причем 0 < rx < -j г. Тогда
В
4
F
<у lnAf, l^-^Kn, D.14)
где В зависит только от А, но не зависит от F, г, rv M.
Доказательство. Применим теорему 4.2 к функции
g(s)
р
(где ветвь логарифма — любая) и заменим R, г на у г, -т-r. Функ-
Функция / (s) регулярна в круге | s—s0 | ^ -к г* так как g (s)^0 и Re/ (so)=O.
Как при доказательстве теоремы 4.4, видим, что неравенство
g(s)
справедливо при \s — s0 |<;г и, в частности, при \$ — s0 \^-jr.
Отсюда, независимо от того, какую ветвь логарифма мы брали, по-
получается оценка
. 1
^ -j т дает оценку
;— In Ж. D.15)
Теперь теорема 4.2 (при k=\) в круге \s — i
Следовательно,
р
F' ,
( с
F к°
1
? — Р
о)
V
шА i.
Р
> 1 М
1
\>-р
< 1-

438
Приложение
и, согласно D.12), отсюда следует неравенство
*> & л л/г
9
где В — константа (не всегда одна и та же).
Из условий D.13) для всех р получаем \ $Q — p\^>2rv Отсюда
для каждого s из круга \s — <^о I ^ ri следует неравенство
\s — P|> |s0 — р1'
так как точка р, удаленная от центра круга s0 не меньше чем на
двойной радиус, удалена от каждой точки s, лежащей внутри или на
границе круга, не менее чем на -н-|5о — Р I- Таким образом, так как,
согласно D.13), Re(s0 — p)^-2r1 для \s — $ol^ri и всех Р> имеем
1
1
—р
I 5 —
— р | | S0 — p |
1
< Re ($0 —• Р)
Отсюда при \з — s0 К гх следует неравенство
4J
> —Р
— 9
< -~ In М.
Из этого неравенства и из D.15) вытекает D.14).
§ 5. Целые функции конечного порядка
Пусть /(s) — целая функция, отличная от константы, т. е. функ-
функция, регулярная в любой конечной части s-плоскости. Пусть
Ж(г) = ЖДг)= max|/(s)|.
J Н1-г
Из принципа максимума следует, что при г~>оо Ж (г) монотонно
стремится к бесконечности. Функция / (s) называется функцией ко-
конечного порядка, если существует такое а > 0, что
М(г)<*'в при г>го(а); E.1)
a = infa по всем таким а называется порядком /. Порядок можно
определить еще так. Для каждого 8 > 0 и для всех г > 0 имеет
место неравенство
+е E.2)

§ 5. Целые функции конечного порядка 439
и существует последовательность 0 < гх < г2 < .. ., гп~>оо (п =
= 1, 2, ...)> для которой
М(гп)>с'(г)ег" \ 11=1,2 E.3)
Константы здесь не зависят от г, но, вообще говоря, зависят от е
(и /($))• В случае а = 0 условие E.3) нужно опустить. Так, напри-
например, а = 0, если/E) — полином, а для f (s) = sins, cos s, es a=l.
для / (s) = ev* + e-VJ a = у. Для / (s) = exp (aosk + axsk'1 + . ..
• ••-f~a*) а = Л, и здесь, кроме E.2), имеет место более точное
неравенство
M(r)<^a (^>|ao|).
Следовательно, в этом случае в E.2) 8 не нужно, если |ао|< 1.
Функция expes не будет функцией конечного порядка.
В последующем будем предполагать, если не оговорено против-
противное, что /@)=?0. Обозначим через slt s2, ... все нули /(s) в слу-
случае, если они существуют, и предположим, что
0<Ы<|52|<.... E.4)
При этом каждый нуль должен быть записан столько раз, какова
его кратность. Далее обозначим через N(r)=Ny(r) количество
нулей /(s) в круге |s|^r, т. е.
N(r)= 2 .1. E.5)
С N (г) связан показатель сходимости последовательности sv s2, ....
Так называется нижняя граница р тех Ь > 0, для которых
oo.
E.6)
Если имеется только конечное число нулей, то C = 0. Если нулей
нет, то р также будем считать равным нулю. Если E.6) не выпол-
выполнено ни для какого b > 0, то C полагается равным оо. Для sn = nn,
например, имеем р = 0, для sn = n имеем C=1. Грубо говоря, р бу-
будет тем больше, чем быстрее растет N (г). Мы будем предполагать
в дальнейшем, если не будет оговорено противное, что / (s) — от-
отличная от константы целая функция конечного порядка и что
Ж (г), a, N (r)t p — только что определенные величины.
Большинство следующих теорем содержит соотношения между
N (г), р и ростом величины М(г). Без доказательства приведем сле-
следующую хорошо известную теорему Вейерштрасса.

440
Приложение
Теорема 5.1. Для каждой целой функции f ($) (f @) ф 0)
имеет место разложение
E.7)
где
Е
рп — неотрицательные целые числа, a g(s) — целая функция.
За рп можно взять любую последовательность натуральных
чисел, для которых ряд
E.8)
сходится при всех s.
Разложение E.7) не однозначно. Если 5 = 0 — нуль кратности
точно k, то справа в E.7) появляется еще множитель sk.
Для дальнейшего нам нужна связь между ростом величины мо-
модуля аналитической функции и количеством ее нулей.
Теорема 5.2. Пусть 0 < г < R, функция
в круге \s—so|<[/? и f(so)^O. Если sv .... s
\l
\
нули f(s) в круге
f (s) регулярна
m — какие-нибудь
s—
(кратные нули записываются
\
столько раз, какова их кратность), то справедливо неравенство
AY
<
M(R)
I
= max \f(s)\.
В частности, при г = R[2 имеем
M(R)
Т7Ш'
E.9)
E.10)
Доказательство. Достаточно доказать это утверждение для
so = O. Функция
l
регулярна в круге |s|<^/? и при |s|:
|/7E) | = |/E) |, так как при ss = R2
R(s — sn)
s(R*-ssn)
/? удовлетворяет равенству
1.

§ 5. Целые функции конечного порядка 441
Следовательно, по принципу максимума получаем
f7< max \F(s)\=M(R).
Отсюда ввиду того, что |$л|^>, п = 1, 2, ..., т, следует E.9).
Если рассмотреть вместо F (s) более простую функцию
f(s)
{S—Si) .. (S — Sm) '
то в левой части неравенства E.9) получается меньшая величина,
а именно (Rjr — l)m.
Теорема 5.3. Для каждого е>0 имеем р<а й
N (г)< с (е) га+е. E.11)
Доказательство. Если f(s) не имеет нулей, то утвержде-
утверждение тривиально. Пусть Sj, ..., sN — все нули / (s) в круге | s | ^ г.
Применим теорему 5.2 при m = N, /? = 2г, 50==0. Так как /@)ФО,
то при г^>0 по определению а из E.10) следует, что
N = N (г)< Л In ^|^ < с (е)
Это и есть неравенство E.11).
Пусть Ь^>а. Чтобы доказать, чтор^а, достаточно доказать
для любого такого b сходимость ряда
2М„Г6. E-12)
/г
Согласно E.11), при г=|$л| имеем
n<c(e)\sn\a+\
Поэтому
Отсюда следует E.12), если е настолько мало, что а-|-е<?.
Из теоремы 5.3 вытекает, что числа рп в теореме 5.1 могут
быть взяты равными некоторому целому числу р ^> 0. Действительно,
при /7-f-l >а по теореме 5.3 имеем
s-Г <oo. E-13)
П
и тем самым E.8) выполнено. Может случиться, что р < а. Напри-
Например, для f(s) = es имеем а=1, Р —0. Для полинома всегда

442 Приложение
Пусть теперь р — наименьшее целое неотрицательное число, для
которого выполняется E.13), и пусть
п
Для р = 0 при этом нужно положить Е (— , р) = 1 —.
P(s) называется каноническим произведением для последователь-
последовательности sx, s2, .... По теореме 5.1 имеем
E.15)
где g(s)— определенная целая функция. Формула E.15) называется
каноническим разложением функции / (s). Это разложение однозначно
с точностью до аддитивной постоянной 2nin в g (s).
Теорема 5.4. Функция g(s) представляет собой полином
степени
Доказательство. Положим k = [a]. Тогда p^.k. Действи-
Действительно, ряд
сходится, потому что [а]-}-1 >а и р<а (по теореме 5.3). Доста-
Достаточно доказать, что
g-(*+i) (s) = 0 при любом s. E.16)
Ввиду того что /?<;&, а произведение Вейерштрасса можно по-
почленно прологарифмировать и затем продифференцировать, из E.15)
следует
<ц»4L
4
f
Запишем это иначе:
f
E.17)
Здесь R удовлетворяет условию R^2\s\. Тогда для | sn | > R вы-
выполняется неравенство \sn — 5 | > -к \ sn |, и, следовательно, при
/?->оо в силу сходимости ряда 2| sn \~^k+l\ получим
, . V* 1

§ 5. Целые функции конечного порядка
443
Первый член в правой части E.17) представляет собой
производную от
П
В круге 151 -^ R мы можем взять какую-нибудь регулярную ветвь
логарифма, так как там функция под знаком логарифма не обра-
обращается в нуль и в бесконечность. Далее имеем Re gR@) = 0. При
\\ 2R
f(s)
/@)
-1
< с (г) eW)
a+e
\sn\<R
так как f(s) имеет порядок а и так как
5
1 ——
для
s\ = 2R.
По принципу максимума это имеет место также при | s | «^ /?, и,
следовательно, там выполняется неравенство
/E)
Re gR (s) = In
/@)
П (>-?)"'
,a+e
К1<*
(например при R^> 1). Применим теперь теорему 4.2 к функции gR(s)
и кругам с радиусами R и /?/2. Оценка D.4) при |s|^/?/2 дает
)E)| <2(k+l)lc(e)Ra+e ^ТТз<с1 (e)/?a"(ft+1)+e. E.19)
При R—>оо это выражение стремится к нулю, если взять е на-
настолько малым, чтобы a — (&-}-1)-}-е было отрицательно (что всегда
возможно, поскольку k = [a]).
Равенство E.17) можно записать еще в виде
По ранее доказанному при постоянном s правая часть этого равен-
равенства стремится к нулю при /?->оо, т. е. g(k+V(s) = 0 для всех s.
Аналогично, но проще можно доказать, что g (s) — полином степени
не более а, если | g (s) |< cRa при | 5 | < R. Действительно, из равенства
= -^(* + 1)! J
— sy
fe+2
dz
I «I-/?
при I s I < /?/2 и неравенства | г — s\ > R/2 на окружности | z \ = R следует
Отсюда при R->oo опять получаем g-^+1)(s) = 0 при ^=[a]. Выше тео-
теорема 4.2 необходима, так как функция g (s) встречается в показателе и по

444
Приложение
\\=eReg^ нужно судить о ?
функции нужно судить о производных.
)> т. е. по действительной части
Теорема 5.5. Рассмотрим последовательность sn, О < | $г
I S21 ^ • • •' с конечным показателем сходимости. Пусть
где р— наименьшее целое неотрицательное число, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию 2 | $п |"(р+1) < со. Тогда P(s) — целая функция и
порядок Р равен показателю сходимости р последовательности sn.
Доказательство. По теореме 5.3 порядок Р, если он коне-
конечен, не меньше р. Следовательно, достаточно доказать, что
I Р (о\ I << г (р\ рг +е (\ с I <^ r\ (ft 91 "i
I •* V^/ ^^ \^y & \ \ ^ I ^^^- * / \ * '
ИЛИ ЧТО
1п|РE)|<С(8)|5|р+8
для достаточно большого | 5 |. Мы имеем
Пусть теперь а — константа, 0<а<1. При | s/sn
оценка
справедлива
In
1
1
р+2
Р+1
— а
s
"«7
При | s/sn | > а, во всяком случае, имеет место неравенство
In
Е14-,
где с==с(а) при р
при /? = 0.
Отсюда при р ^ 1 получаем
1
, и левая часть не превосходит c(&)\s/sn\e
Е —,
где константы с =
и р, всегда р-\- 1
E-22)
(а) не зависят от | 5 |. Согласно определению р
р. Если р ===== /7 —j— 1, то 2i<?|sf B силу схо-

§ 5. Целые функции конечного порядка 445
димости ряда 2|5лГ(Р+1)- В противном случае допустим, что е на-
настолько мало, что Р + е<р+1. Тогда1)
S/> I с |Р + 6 V I о |""(Р + 1)| о |(Р + 1)~(Р+е) ^
ввиду сходимости последнего ряда. Далее, во всяком случае, р <^ р и
2=Ф Г8 2 |5п*
a~l
так как последний ряд сходится. Из E.22) следует, таким образом,
E.21), и тем самым получается утверждение теоремы при р^>1.
Для р = 0 получаем так же, как в E.22),
где
22<Ф|8 S КГ
Сумма 2i оценивается, как и раньше. Для 2j2 получаем оценку
и тем самым теорема 5.5 полностью доказана.
Из этого доказательства сейчас же следует еще одно утвер-
утверждение.
Теорема 5.6. Если выполнены предположения теоремы 5.5
и сходится ряд
причем \sn\->oo, то помимо E.21) верно следующее неравенство:
p, \s\ = r. E.24)
1) Напомним здесь о том, что с не обязательно обозначает всегда одну
и ту же положительную константу. Данное неравенство получается, так как
здесь 15 |< а \ sn |.

446 Приложение
Доказательство. Чтобы доказать это утверждение, нужно
в прежнее доказательство при оценке 2i и 2г подставить
вместо р. Чтобы показать, что 2? < сг^> поступают аналогично:
2<^C\S\ Zj \sn\ <^C\S\ Jj | 5л I 1^1
U 1
<C\S
]*n\<*-l\s\
Эта оценка выполняется, если выбрать 8 настолько маленьким, чтобы
Р— е > 0. Последнее всегда возможно, так как из предположения
и сходимости ряда 2|^лГР следует, что Р > 0.
Теорема 5.7. Пусть fi(s) и /2($) — две целые функции
конечных порядков аг и а2. Тогда fY(s) - f2(s)-~ целая функция
порядка ^max(alf a2).
Доказательство. По предположению
| /, (s) | < Cl (г)er°'+e, \f2(s)\< c2(e) er<
Отсюда при | 5 | <; г следует, что
I /i (s) /2 (s) I < сг F) с2 (е) ехр (га«+е + ^*а2+ 8)< с (е) exp rmax («i» «2)+2e>
чем все доказано.
Строгое неравенство в теореме 5.7 имеет место, например, для
fi = e*. /2 = е~*.
Если мы опустим теперь условие / @) Ф 0, то сможем доказать
такую теорему:
Теорема 5.8. Каждая целая функция f(s) конечного по-
рядка а представила в виде
f(s) = smee&P(s), E.25)
где
При этом $п пробегает все нули функции /, кроме $ = 0, упоря-
упорядоченные по модулю, р — наименьшее неотрицательное целое
число, удовлетворяющее условию 2| sn |~"(р+1) < со, т — крат-
кратность нуля 5 = 0 и g (s) — полином степени g <^ а.
Если р — показатель сходимости последовательности | $п |,
то a = max(g\ p).

§ 6. Т-фужция 447
Если помимо 5.2 ни для одного с>0 й достаточно боль-
большого г не выполнено неравенство
e"a, |s|<rf E.26)
то а = р, и при а>0 ряд 2| 5л Г^ расходится.
Доказательство. Докажем сначала, что a = max(g\ р). Так
как g — порядок es(s) и р — порядок Р (s), то по теореме 5.7 а^
<^max(g*, Р). С другой стороны, g"^a по теореме 5.4 и р<^а
по теореме 5.3 (обе теоремы применены к f(s)[sm), следовательно,
a = max(g\ p).
Остается доказать последнюю часть утверждения. Допустим, что
р<а. Тогда a = max(g\ p) = g\ и, так как P(s) имеет порядок р
(теорема 5.5), мы имеем
<rmecrgc(г)/+е, | 5 |<г.
Отсюда неравенство вида E.26) следует для Р + е<?\ что невоз-
невозможно. Расходимость ряда 2|5яГ следует из теоремы 5.6.
Легко видеть, что целая функция нецелого порядка должна иметь
бесконечно много нулей. Действительно, в этом случае в силу того,
что а = р, в P(s) должно появиться бесконечно много нулей.
§ 6. Г-функция
Мы предполагаем в основном известными свойства этой функции
и приведем их здесь (часто без доказательства) в той мере, в какой
нам это необходимо. Функцию Г (s) можно определить при а —
= Re 5 > 0 интегралом Эйлера
со
-V*/*. F.1)
Г (s) можно продолжить на всю плоскость. Она будет регулярна
всюду, за исключением точек s = 0, —1, —2, ..., -—п, .... Эти
точки — простые полюсы с вычетами (—\)п/п\ (/г = 0, 1, 2, ...).
Функция Г (s) удовлетворяет функциональному уравнению
Г E+ l) = sT(s) F.2)
и формуле дополнения
Имеет место также формула удвоения
2* F.4)

448 Приложение
Функция 1/Г($) — целая функция порядка 1 и представляется в виде
произведения
где у— константа Эйлера. Следовательно, в обозначениях § 5 мы
имеем a = p = p=g* = l. Из F.5) сейчас же следует, что
r'(s>._r'/iA_ I .hV/I I \ F.6)
ГE) — Г w 5
/г
О поведении Г(s) при большом |s| дает представление следую-
следующая теорема (формула Стирлинга):
Теорема 6.1 !). При постоянном b имеет место формула
Г1) F.7)
равномерно в каждой области
|args|<n — 6, 6>0, F.8)
из которой должны быть исключены точка 5 = 0 и полюсы
Г (s-\-b) с окрестностями.
Для In Г (s) и Ins нужно взять те регулярные ветви, кото-
которые действительны для действительного положительного $.
Заметим, что константа в О( ) зависит от 6. Функция Г(s) не
имеет нулей, потому что 1 /Г (s) — целая функция.
Из теоремы 6.1 получается следующая теорема.
Теорема 6.2. Для постоянных А и В, А ^В в полосе
А^о^В F.9)
имеет место асимптотическая формула
|1» НBлI/2| t |а~ V/2jt|' !{l + О(| t Г1)} F.10)
при 111 -> со. Константа в О ( ) зависит от А и В.
Доказательство. Из F.7) следует при |/|->оо
Г (а + it) = ехр | (а + it — ~-\ In (а + it) —
1)} F.11)
1) Доказательство см., например, у Титчмарша [3].

§ 7. Теорема Фрагмена — Линделёфа 449
для всех а из полосы F.9), причем константы в О( ) во всем этом
доказательстве зависят от А и В. Далее имеем
( ) }=(°— ±) in (a2 + ;2I/а — farctgi-,
причем очевидно, что
при |?|->оо, и arctg —== ± -j-я — -f~{-0 (\t\~2) при ^~> —
Подставляя все это в F.11), получаем
с С = BяI/з. Отсюда следует F.10).
Теорема 6.3. В области | args |<Ся— б, | $ |^>6, при постоян-
постоянном 6 > 0 имеет место соотношение
(т) F.12)
Константа в О( ) зависит от 6.
Доказательство. Равенство 6.12 получается с помощью F.7),
если применить формулу Коши
с
к функции f(s) = In Г (s) — Is — -2-)^n5~f — п2я, причем путь
С ?
интегрирования С — окружность с центром в точке ? = 5 и радиусом
I sin у б.
§ 7. Теорема Фрагмена — Линделёфа
Теорема 7.1. Рассмотрим область В, состоящую из тех
точек s = o-\-it, для которых
ol(t)<o<o2(t). t>t0. GЛ)
где ox(t), o2(t) — непрерывные функции, удовлетворяющие условию
P2 (!>to), G.2)
# Pi» P2» А) — любые действительные числа. Пусть f (s) регулярна
в области В и непрерывна в замыкании Вг области В. Далее,

450 Приложение
пусть для всех s?Bf имеет место неравенство
\f(s)\< Л exp [ес% 0 < с < -р^-- G.3)
Если теперь на границе В имеет место неравенство
1/00 К С, G.4)
то оно выполняется при всех s?Br.
Доказательство. Предположим, что р1 = — -~-п, р2 = —я
(этого всегда можно добиться с помощью линейного преобразования
5/ = я<5 — -9-(fo~1~^2м/(^2 — Pi))* Тогда условие на с примет вид
0<?<1. Рассмотрим вспомогательную функцию
где с <СЬ < 1 и е>0 будет позднее определено. Для 5 ? В' из
0 < b < 1 следует
|g-(s)| = |/(s) |ехр {—е cos bo - ch bt) <
Поэтому | g(s) |<;С на границе В и
\g(s)\ <Ле|^
внутри В. Поскольку b > С, можно найти такое tx > t0, что для
ol(t)<o<o2(t), t^tlt
Но тогда по принципу максимума
\g(s)\<C
в любой области
ffi@<o-<o-2@> to^t^Tf T^tx G.6)
и, следовательно, |g*(s)|<;C во всей области В. Отсюда следует
то же самое для \f{s)\. Действительно, для каждого s?B имеем
| / (s) | = | g (s) | exp (e cos bo ch bt} < С exp {e cos bo ch W}
и, так как это верно для любого е > 0, получаем
Теорема 7.1 — это обобщение принципа максимума на бесконечную
область В. Правда, здесь еще требуется дополнительное условие G.3). Со-
Согласно принципу максимума, если неравенство j / E) | < С выполнено на
границе области, то это же неравенство имеет место внутри области. Дока-

§ 8. Теорема Литлвуда 451
занный здесь принцип Фрагмена —• Линделёфа формулируется так: если
1 / (s) I "С С на границе области, то это же неравенство имеет место внутри
области, или | / E) | растет быстрее, чем правая часть G.3). Впрочем пример
функции / (s) = exp cos s, ах (t) = Pi = —^" я, а2 (t) = p2 = -^ я, показывает,
что теорема уже не верна, если в 7.3 допустить равенство с = я/(р2 — Pi).
Теоремы, подобные теореме Фрагмена — Линделёфа, можно доказать
также для других типов бесконечных областей (см., например, Титчмарш [3]).
Теорема 7.1 справедлива также при to-> — оо. Нам нужен только
частный случай.
Теорема 7.2. Если функция f(s) регулярна в области
(Т1<а<а2, — оо </<-{-оо {7.7)
и там имеет место оценка
|/00|<Лехр(е<1М}, о<с<^-^Г, G.8)
то из неравенства
|/(s)|<C для а = (jj и о = о2
следует это же неравенство во всей области G.7).
Для доказательства, как и в теореме 7.1, нужно рассмотреть
функцию g(s) и показать, что |g*(s)|<;C в области, аналогич-
аналогичной G.6), для всех достаточно больших Т
G.9)
Отсюда, как и раньше, будет следовать утверждение теоремы.
§ 8. Теорема Литлвуда
Нам нужна следующая теорема о среднем числе нулей аналити-
аналитической функции:
Теорема 8.1. Пусть f (s) однозначна и регулярна во всех
точках области
0l<0<02> \t\<T9 (8.1)
за исключением некоторого числа полюсов, и не имеет ни нулей'
ни полюсов на прямой о = о2- Обозначим через v(a) разность
между количеством нулей и количеством полюсов функции f(s)
(каждая точка считается со своей кратностью) в прямоуголь-
прямоугольнике
a < о < ор | /1 < 7\ (8,2)

452 Приложение
где СГ] <J a < а2. Тогда имеет место равенство
а2 Т
= J {1п|/(а + /0|- ln\ f(o2-\-tt)\]dt +
-Т
J arg/(a—/Г))Лт. (8.3)
р з/тгол* arg/(a-(-/r) определяется следующим образом. Выбе-
Выберем в точке s = o2— iT любое значение arg/(s), продолжим это
значение непрерывно вдоль пути о=о2 к точке G2-^-iT и про-
продолжим затем вдоль пути t — T, увеличивая arg/(s) на —пп
при прохождении через п-кратный нуль и на пп при прохожде-
прохождении через п-кратный полюс. Величину arg/(a— iT) определяем,
продолжая вдоль t = — Т уже полученное значение arg/(a2— iT),
причем при прохождении п-кратного нуля или полюса arg/(s)
увеличивается на пп или соответственно на — пп.
Доказательство. Обозначим через R прямоугольник (8.2),
а через С — границу /?, проходимую в положительном направлении.
Мы предположим сначала, что на С функция f (s) не обращается
в 0 и со, т. е. что все нули и полюсы f (s) лежат в R. Эти точки
будут лежать на некоторых прямых t = const, например на прямых
t — tv t — U t = tm, причем предположим, что —T<C,tm<^
< tm-l < -Л < h < h < Т.
Пусть о$-\-itk> .. ., a(knk)-\-Uk — нули и полюсы f (s) на прямой
t = tk. и пусть а < а(Лп < ctf < ... <а(л*)<а2, ft= 1. 2 т.
Разрежем прямоугольник вдоль отрезков
а<а<а(?*), t = tk% ft=l, 2 т. (8.4)
В разрезанной области В рассмотрим функцию
lnf(s). (8.5)
причем мы возьмем любое значение логарифма в точке s = o2 — ^Т
и продолжим на всю область. Так получится однозначная и регуляр-
регулярная в В функция F (s). Каждому разрезу (8.4) мы сопоставим путь Ck,
который идет из точки a-\-itk по верхнему краю разреза, обходит
сверху точки а?|-|-/^, ..., a^k~^~\~Mk по маленьким полуокруж-
полуокружностям, обходит точку ^^Aritk по Маленькой окружности в отри-
отрицательном направлении и возвращается вдоль нижнего края разреза
a-\-itk> снова обходя точки a^ + tf^ a^kk~~^ "т"^а по малень"
ким полуокружностям снизу. Граница прямоугольника С образует

§ 8. Теорема Литлвуда 453
совместно с этим путем замкнутый путь С: от а2 — IT к а2-\~-1Т,
a-\~iT, a-\-itv назад вдоль Сг к a-\-ltli а + #2»затем вдоль С2 опять
назад к a-f it2 и т. д. к a — lTn назад к начальной точке а2 — IT.
Внутри С функция F(s) регулярна, следовательно,
f*/? (s) Л? = 0. (8.6)
с
Теперь имеем
причем нужно принять во внимание, что F (s) на С, вообще говоря,
не непрерывна, но в точках a-\-itlt ..., a-\-itm можно указать
скачки. Если мы обозначим через Fu (a) и Fk(a) значение F(s) на
верхнем и соответственно нижнем крае (8.4), то на прямолинейном
куске пути Ck имеет место равенство
причем через v# (P) обозначается разность между числом нулей и
числом полюсов функции / (s) (каждая точка считается со своей крат-
кратностью) на отрезке t = tk, (?i <! Р <; a <^ a2.
Если устремить теперь радиусы кругов и полукругов к нулю, то
легко видеть, что интегралы, взятые по ним, также стремятся к нулю.
Интеграл
\nsds,
взятый по дуге s = eei(v, г > 0, Ф1<!ф<^Ф2» при 8—>0 стремится
к нулю, и в окрестности нуля или полюса s0 кратности п
где /* — функция, ограниченная в точке s0. Таким образом, так как
vft(a) = 0 при a(^)<a^a2, имеет место соотношение
а<я*)
п
J F(s)ds~> J [Ffk (a) - Fl (a)} da =
ck a
= 2ni | vk (a) da = 2л/ [ vk (a) da.

454 Приложение
Это дает далее
ft-1 Ck a
m
поскольку очевидно, что ^vk(o) = v(o). Если устремить радиусы
кругов и полукругов к нулю, то из (8.6) следует
J F ($) ds = — 2я/ J v (a) do. (8.7)
С a
В частности, интеграл, стоящий слева, чисто мнимый. Теперь имеем
т
— i [ F(s)ds = lm f F(s) ds== f flnl f(p2-\~it) I —
J J J
с с -г
a. (8.8)
При этом значение atgf(o-{-iT), a<^a<^a2, получается продолже-
продолжением уже ранее установленного значения arg/(a2 — iT) вдоль в = в2
к G2~\-iT и оттуда вдоль / = Г к a-f-/7\ При обходе С значение
arg/(s) не изменяется, так как внутри С всегда / (s) не имеет нулей
и полюсов. Следовательно, arg/(a — IT) на С является непрерывным
продолжением arg/(a2 — IT) вдоль пути t = — Т. Равенство (8.8)
вместе с (8.7) дает утверждение теоремы, если f(s) не имеет нулей
и полюсов на С.
Если на С лежат нули или полюсы f(s), мы изменим С так,
чтобы обойти эти точки по маленьким полуокружностям (или в слу-
случае угловой точки С по маленькой четверти окружности) внутри С;
соответственно, если a-\-ltk — нуль или полюс, начинаем путь Ck
с четверти круга a-\-ttk-\-eelB, -н-я^б^-О, и заканчиваем чет-
четвертью круга a-\~ltk-\-zem, 0^Q^> — -^-я. Если теперь устремим
радиусы всех кругов к нулю, то получим ту же формулу (8.8),
только нужно принять во внимание, что arg/(a±/r) для а^в^в2
должен определяться так, как было указано в утверждении тео-
теоремы 8.1.
Равенство (8.3) — интегральная форма теоремы о вычетах
J у- (s) ds = J d In / (s) = 2niv (a), (8.9)
С G

§ 9. Некоторые теоремы выпуклости 455
например для / (s) Ф 0, со на С. Из d In / (s) получается при этом F (s) ds =
=In / (s) ds и из 2jt/v (a) — левая часть (8.3). Непосредственное интегрирова-
интегрирование (8.9) с а вместо а по интервалу a<;a<;a2 недопустимо, так как
/' (s)/f (s) имеет полюс, если s — нуль или полюс / (s). В этом случае инте-
интеграл (8.9) существует только в смысле главного значения Коши.
§ 9. Некоторые теоремы выпуклости
Теорема 9.1!). Рассмотрим функцию f(s), однозначную и
регулярную в области
ai<a<a2- (9.1)
Пусть во всей области (9.1)
Я. (9.2)
где В — константа, не зависящая от s. Если L (a) — верхняя
грань |/E)| на прямой а = а (а1<а<^а2), то имеет место не-
неравенство
L(a)<L(a2) a*-a> L (а2)а^а». (9.3)
Доказательство. Мы можем предполагать, что /(s) не равна
тождественно нулю в области ох<^о <^а2 и, следовательно, Z,(a)>0
для всех а из вг^о^в2. Действительно, из равенства L(a) = 0
для некоторого а следовало бы, что /(a + tf) = 0 для всех Л и по-
поэтому f(s) равнялось бы нулю для всех регулярных точек s. Пусть
0 — действительное число, которое позднее будет определено. Функция
в области о1^о^.о2 регулярна, ограничена и удовлетворяет усло-
условиям
Применим теперь к функции g(s) теорему 7.2, положив в ней
С = max {eQat L (c^), eda*L (a2)}. Тогда для верхней грани eQaL (a)
функции | g (s) | на прямой Re 5 = о получим оценку
eQ°L (a) < max [e^L (аг), e^L (а2)},
т. е.
L(G)^max{eQ^^L(ol)i eQ^-^L(o^l (9.4)
Положим теперь
1 Ш
') См. Дойч [1].

456 Приложение
Это всегда конечное число, так как по предположению 1(ог)Ф0, со
и Ь(о2)ф0у оо. Следовательно,
^ L (аг) = L (ojw L (ojw
и то же самое значение получается для eQ^"a^L(a2). Подставляя это
в (9.4), получаем утверждение теоремы.
Из теоремы 9.1 сразу же следует теорема Адамара о трех кругах.
Теорема 9.2. Пусть О < гг < г2 и функция /(?) однозначна
и регулярна для fl^\tl\^r2- Если
M(r)= max |/(С)|» (9.5)
ISI
то при /*! <^ г ^ г2 имеет место оценка
in (r2/r) In
М (г)< Ж (г^ In C-^i) Ж (r2) m (г2/го в (9.6)
Доказательство. С помощью бесконечнозначной функции
5 = In С отобразим круговое кольцо 0 < гг ^ | С | -^ г2 на полосу
In /-j <^a<; 1пг2. Применим теперь к функции f(Q=f(es) тео-
теорему 9.1 при cTj ===== In r-le a2 = lnr2. Тогда
L(a)== max | f (/) | = max| f (t) | = M (ea).
Следовательно, 1*(ог) = М(гг)> L(o2) = ^(^2) и (9.3) переходит в (9.6),
Теорема 9.3. Пусть функции gi(s), . .., gh(s) в полосе
°i^a^a2 регулярны и ограничены. Положим
^\gn{s)f (9.7)
М (а) = sup G (s). (9.8)
Ж(a)< M(аг)Q2-ai Ж(а2)а*-ст'. (9.9)
Доказательство. По определению верхнего предела для
каждого е>0 имеется такое s0 = o-\-itQ, что
O(s0)>M(g) — 8. (9.10)
Можно так определить числа 8j 8Л с абсолютной величиной,
равной единице, что

§ 9. Некоторые теоремы выпуклости 457
Пусть теперь п принимает значения 1, 2 h. Применяя тео-
теорему 9.1 к функции f(s) = 2iZng2n(s), получаем
L@,) = 8lip |/(S)|<SUP 2i\g
a—(Ji а—о"! п
и также L(e2) ^ M(o2). С другой стороны, согласно (9.10),
Таким образом, из (9.3) следует
М (а) — е < М (аО **-<?, М (а2) **-*!.
Так как это неравенство выполняется для каждого е > 0, полу-
получаем (9.9).
Теоремы типа теоремы 9.1 называются теоремами выпуклости,
потому что вытекающее из (9.3) неравенство
позволяет видеть, что \nL(o) есть выпуклая функция а. Нам нужна
еще другая теорема выпуклости, которая относится не к верхней
грани L(e), а к квадратичному среднему значению |/($)| вдоль пря-
прямой Re s = о.
Теорема 9.4 !). Пусть функция f (s) однозначна, регулярна
и ограничена в полосе ol^.a ^ а2 и существует интеграл
оо
/(а)= J|/(a + tf)|2<tt. (9.12)
— оо
Будем предполагать, что он равномерно сходится в полосе
0j >^ a ^ о2. Если равномерно в указанной полосе имеет место
соотношение
lim |/E)| = 0, (9,13)
|/|->оо
то
-°i I (а2) «ь-а, • (9.14)
Доказательство. Докажем теорему сначала при
о о (
См. Харди, Ингам и Пойа [1]; Габриэль [1].

458
Приложение
В каждом прямоугольнике
— Г</<7\ ох<о2 (9.15)
функция f(s) регулярна, и по известным теоремам функция /*($) =
= /Bс>о — s) (отражение в о — в0) также регулярна1). Пусть пути Сг
и С2 начинаются в точке s = G0— (Т и состоят соответственно из ле-
левой и правой половин границы прямоугольника. (Следовательно,
С2 берется в положительном, а С! в отрицательном направлении.)
Так как f*(s)=f(s) при Res = a0, то интегральная теорема Коши дает
o0+iT о0+СТ
J f(s)f*(s)ds = t J \f(s)\2dt=j f(s)f*(s)ds. (9.16)
ао-1Г а„-1Г С
Теперь по неравенству Шварца (см. ниже A2.6)) имеем
с2
с2
С
J
С
c2
1/2 ( j\f(s)\*\ds\\4\ (9.17)
l с, J
так как 2oQ — s?Cl для s?C2. Учитывая (9.13), получаем
lim J
Поэтому
и также
lim J
r~>0° c2
lim
Таким образом, в случае a = a0 = ll2 (ox -f- (T2) при Г->оо из (9.16)
и (9.17) следует утверждение (9.14).
Теперь докажем, что неравенство (9.14) справедливо для в — в'0 =
= 1/2(а[ + а2)» если оно справедливо при g — o[ и при в = в'2.
1) Пусть / (х + /у) = и (х% у) -j- ш (л:, у). Немедленно проверяется, что
из условий Коши — Римана их = г/у, иу = — vx эти уравнения следуют
также для функций и*, и*, определяемых равенствами
g(* + 1У) = и* С*. У) + '^ С*. У) = w Boro — ¦*. У) —iv Bao — *. У)»
а эти уравнения достаточны для регулярности в области.

§ 9. Некоторые теоремы выпуклости 459
Запишем (9.14) для о = о[ и о = о'2 и подставим это в неравенство
q2-q0 qQ-ql
следующее из уже доказанного. Отсюда сейчас же получится (9.14)
с в = в'о. В самом деле, например, показателем степени у I (а{)
в правой части неравенства будет число
Z I Z I Z I Z I Z к
Следовательно, неравенство (9.14) имеет место для a = 1/2(ai~ba2)'
если оно верно для о = в[ и в = в'г Но так как (9.14) для в = ог
и a = a2 тривиальным образом выполнено, то оно имеет место также
для всех а вида a = a1 + (^2~ ^)/2~Л, 0</<2Л; л = 1, 2
Из соображений непрерывности можно получить (9.14) для всех a
из области о1^в^в2, так как мы предполагали, что интеграл (9.12)
равномерно сходится и, следовательно, /(а) — непрерывная функ-
функция от а.
Предположения теоремы 9.4 отнюдь не нужны в полном объеме для
справедливости (9.14) (см. Харди, Ингам и Пойа [1]). Однако для рассматри-
рассматриваемых здесь применений они достаточны и доказательство получается не-
несколько проще.
Теорема 9.5. Пусть функции gi(s) ?h(s) регулярны
в области ol^.o <^a2, интегралы
л = 1, 2 Л, (9.18)
равномерно сходятся в области Oi<C°^C°2> u nPu \t\->oo каждая
функция gn равномерно стремится к нулю. Обозначим
= J G(o-\-it)dt. (9.19)
— ОО
Тогда для о
а-а,
/(а)</(a,)°*-(J. /(а2)"»-"¦. (9.20)

460 Приложение
Доказательство. Используя доказательство теоремы 9.4, имеем
Ц/„(о). (9.21)
причем пусть теперь суммирование проводится по п=\, 2, ..., h.
Из теоремы 9.4 следует, что
О2—в O — Oi
I (а)< 2 /л (о,) "^Г /„ @2)^^.
/I
Теперь по неравенству Гёльдера (см. ниже A2.1)), примененному
к а = (а2 — ol)l(a2 — а) и р = (а2— охI(а — ох), и из формулы (9.21)
получаем
СГ2 — СГ СУ —(Ti СТ2~СУ СТ —СУ]
/(а) < { S 'л (^i)}^7 { 2 /я (а2)| "^ = /(tfiI^ / (а2)^Г,
а это и есть оценка (9.20).
§ 10. Аппроксимационная теорема Дирихле
Теорема 10.1. Пусть Qv 02 9^ — действительные числа
и q > 0 — целое. Тогда в каждом интервале
Aq" (Л>0) A0.1)
существует некоторое t, которое является целым кратным А
и для которого имеет место соотношение
причем через ||<х|| обозначается расстояние от а до ближайшего
целого числа.
Доказательство. Для доказательства мы используем геоме-
геометрию iV-мерного пространства. Разделим Af-мерный единичный куб
на qN кубиков вида
/72, —1 ТПЛ ТП ..— 1 171.
1 ^ t I iV^t Л
"•' Я ^ё^< q> (Ю.З)
^q i=U 2, ..., N.
Рассмотрим точки
Pn = [(nAQl — [nAQl]) (nAQN-[nAQN])}
при п — 0, 1, 2, ..., ^r/v. Из этих qN-\-l точек по крайней мере
две точки, например Рт и Ps, 0^^<r<;^/v, лежат в одном и

§ 11. Почленное интегрирование рядов 461
том же кубике A0.3). Очевидно, что тогда имеет место неравенство
\rAQi — [rAQi] — (sAQi — [sAQl])\<^1 /=1, 2, ..., N,
следовательно,
\\(r-s)AQt\\<±..
Таким образом, утверждение A0.2) выполнено при t =(r — s) А. Усло-
Условие A0.1) выполнено, поскольку 0<r — s^.qN.
Теорема 10.1 чаще всего формулируется для Л=1 и принадлежит
Дирихле.
§ 11. Почленное интегрирование рядов
Теорема 11.1. Пусть для ?>0, /г=1, 2, ..., функции
fn (i). gn(l)> F(D непрерывны и
\fnG>)\<F{l)> \8n(l)\<bn, A1.1)
причем
[со
]F(\)d\ a %bn A1.2)
0 п
сходятся. Тогда
оо оо
S J /«(у в* ^) ^=J 2 /» й> ^ ®rf^ (!! -3)
л 0 0 л
Доказательство. Из A1.1) следует
N
м
N
м
и из сходимости интеграла A1.2) вытекает сходимость интегралов
оо
J fail) §'n(D d\
0
при п= 1, 2, .... Ряд в левой части A1.3) сходится, так как у него
есть сходящаяся мажоранта
n \ 0 /
Ряд 2/л(?)§"лA) сходится равномерно в каждом интервале вида
0<^?^^» так как он там имеет сходящуюся мажоранту

462
Приложение
O/i
и F(l) равномерно ограничена в 0^|<^Л\ Следовательно,
х х
"V Г f (?\ & (Р W? = f T1 f (?) & (I) dt
7л I J п\Ь/ь п\т>/иЬ— J ?д J п \Ъ/ б п \Ъ/ **Ь»
п О
и отсюда при J^->oo следует
X GO
п О
О п
fail)gnil)dl
п X
чем все доказано.
n X
§ 12. Некоторые неравенства
Без доказательства здесь приводятся некоторые известные не-
неравенства.
Неравенство Гёльдера. Для любых комплексных чисел
хг, .... xN, yv ..., yN имеет место неравенство
.. +\У„№. A2.1)
где а > 0, р > 0, 1 /а —]— 1 /Э = 1. Для натурального а = т и
хг ^> 0, .... xN^0, ух= ... = yN = 1, отсюда следует
A2.2)
Неравенство Шварца
iP+ ... +!хлг|2)^(|у1Р+ ...+|Улгр)^ A2.3)
получается при а = р==2 из неравенства Гёльдера.
Часто употребляется неравенство между средним ариф-
арифметическим и средним геометрическим N чисел. Именно

§ 12. Некоторые неравенства 463
для хх ^> 0, .... xN ^> О имеет место неравенство
(хг... xNI/N < ~ (хг + ... + xN), A2.4)
или
A^j^ . .. xN < (хг + .. . + лгдг)^. A2.5)
Интегральное неравенство Шварца имеет вид
1 2.
f f(s)g(s)ds <( f |/E)p|^|l2 f f |g*E)|2|^|l2 , A2.6)
с [с ) [с )
причем предполагается существование обоих интегралов по пути С
в комплексной плоскости.

Добавление I
БОЛЬШОЕ РЕШЕТО
М. Б. БарбаНу Л. Я. Виноградов
Метод большого решета Ю. В. Линника зарекомендовал себя
мощным аналитическим средством еще в сороковые годы. Этим мето-
методом А. Реньи [1] доказал, что всякое число представимо в виде
суммы простого и почти простого чисел. В последнее время развитием
и приложениями этого метода занимались X. М. Андрухаев, М. Б. Бар-
бан, Э. Бомбьери, А. И. Виноградов, Давенпорт, Пань Чень-Дунь,
Ригер, Рот, В. Р. Фридлендер, Халберстам, Р. Эрдёш. Самые силь-
сильные результаты здесь принадлежат А. И. Виноградову [Г] и Э. Бом-
Бомбьери [I*]1), работы которых практически подвели итог целому
направлению исследований по замене расширенной гипотезы Римана
теоремами типа большого решета.
Здесь мы изложим большое решето в его современном виде,
докажем теорему А. И. Виноградова — Э. Бомбьери о распределении
простых чисел в арифметических прогрессиях в среднем 2) и дадим
с ее помощью новое решение известной проблемы делителей Титч-
марша (см. гл. V, § 7). Эта проблема была решена впервые
Ю. В. Линником [8] применением дисперсионного метода, использую-
использующего оценки А. Вейля для сумм Клостермана. Читатель, когда-либо
изучавший работу Ю. В. Линника, безусловно оценит простоту
предлагаемого доказательства, фактически просто повторяющего
работу Е. К. Титчмарша [2] с заменой расширенной гипотезы Римана
на теорему А. И. Виноградова — Э. Бомбьери.
Основным соотношением в методе большого решета является
N
равенство Парсеваля. Пусть 5(а)= 2 ane2jiian, где ап — ПРОНЗ-
ПРОНЗЯТ -TV
вольные комплексные числа. Тогда равенство Парсеваля утверж-
утверждает, что
1 N
1) Звездочкой отмечены работы, включенные в список литературы авто-
авторами добавлений. — Прим. ред.
2) Здесь мы будем следовать изложению Э. Бомбьери.

Добавление I 465
Это тождество, тривиальное с точки зрения его доказательства,
весьма глубоко в том смысле, что оно дает точную оценку
|5(а)| для почти всех а из сегмента [0, 1]. Иными словами, для
всех а, за исключением множества, мера Лебега которого мала, при
не очень быстро растущих коэффициентах ап величина |5(а)| не пре-
превосходит квадратного корня из длины интервала суммирования. Чисто
арифметическая информация отсюда извлекается следующим образом.
Значение S (а) в рациональной точке a = a/D, очевидно, связано
2Ш-а
с арифметикой, ибо функция f(ti) = e D представляет собой
характер аддитивной группы вычетов по mod D (подобно тому как
введенные в гл. IV, § 2, функции %D (n) являются характерами муль-
мультипликативной группы классов вычетов по mod Dt взаимно простых
с модулем). С помощью набора таких функций, соответствующих
я = 0, D—1, выделяются числа, принадлежащие любой прогрес-
прогрессии mod D, точно так же, как с помощью %D (ti) выделяются числа,
принадлежащие любой примитивной прогрессии (начальный член
которой взаимно прост с модулем). Таким образом, наличие хороших
оценок величины ^(--И Для всех a=l, D— 1 влечет за собой
равнораспределенность сумм ап по всем арифметическим прогрес-
прогрессиям mod D. С другой стороны, функция S (а) непрерывна и для
всех а, близких к a/D, значение S(а) близко к s(-^-\. Поэтому
("ТУ/ близко к
/
-6
при достаточно малом 6.
Рассмотрим теперь совокупность рациональных точек
|~|, где (a, D)=l, l<a<D, I <D<Af
(дроби Фарея). Расстояние между двумя любыми такими дробями не
меньше 1/Ж2. В самом деле,
01 а2
D2
— 1 alD2— a'lD\
D{D2 ^ DXD2 '
ибо в силу условия (at, Dj)=\> /=1, 2, имеем axD2 — а2й1Ф0.
Значит, при любом 6<-2тр- интервалы -tj— б, -тг + й]» где (a, D)=l,
1 <^а < Df 1 < D <^ Ж, не пересекаются.

466 Добавление I
Но тогда
D-\
2 2
J
l<?><Af ««1 -6
(a, Z))«l
и мы можем оценить
(л, Я) = 1
/V
через 6 и 2 \ап Р- В этом и состоит основная идея метода боль-
шого решета.
Докажем теперь соответствующую теорему.
Теорема 1. Имеет место неравенство
N
2 2
(
(л, ^)-1
где С — абсолютная постоянная.
Доказательство проведем методом, который недавно был пред-
предложен Давенпортом и Халберстамом [1*]. Для любой периодиче-
периодической функции г|?(а) с периодом 1, интегрируемой вместе с квад-
квадратом модуля, имеет место тождество
1 / Vt \
1
\ -у, /
где /(а)= V ^e2Kian, a ^rt — коэффициенты Фурье функции ф (а)
предполагается, что ЬпФ0 при /г = —-А/, Л/"). Это известное свойство
свертки: при свертывании двух функций их коэффициенты Фурье
просто перемножаются.
Наша цель — оценить 5 (а) при помощи некоторого интеграла
по интервалу [а — 6, a -f- 6]. Тогда сразу можно применить основную
идею метода большого решета. Но для этого достаточно потребо-
потребовать, чтобы функция \|?(а) обращалась в нуль вне интервала [—6, б].
При этом условии
б
5(a)= J4
-б

Добавление I
467
и, пользуясь неравенством Шварца, получаем
6 6
|5(а)|2<
-6
-6
Таким образом,
а-6
1 < ?> < М a(D)
( Я)
a(D)
(a, Я)-1
< J
V
Но мы уже выяснили, что при 6 <
все интервалы -^- — б,
-^- + 6 не имеют общих точек. Следовательно, при этом условии
имеет место неравенство
a(D)
(в,
-V2
i
Чтобы завершить доказательство, теперь достаточно выбрать
в качестве я|? (а) любую подходящую конкретную функцию и оценить
сверху интеграл от квадрата ее модуля и снизу модуль ее коэффи-
коэффициентов Фурье. Возьмем
Тогда
j
-'Л
{| а |, |а|
О, 6<
<|а|<1.
Ьп = J ф (р) е-23"!3" rfe = J
о -а
" rfp = б2 {1 + О (ft»)},

468 Добавление I
или \оп ^~2~ при условии on < с0, где ?0— достаточно мало, но
фиксировано. Таким образом, если выполнены оба условия 6 < тггр-
то
D<A1 (?>) V
()
(я, Я)-1
откуда непосредственно следует теорема 1.
Для приложений к теории простых чисел, однако, более полезно
иметь аналог теоремы 1 для мультипликативных характеров, что не-
нетрудно получить с помощью известной связи между аддитивными и
мультипликативными характерами.
Рассмотрим линейное пространство комплекснозначных функций,
заданных на классах вычетов mod D. Если ввести скалярное умноже-
ние двух таких функций / и g по формуле -~- V f(a)g(a), то мы
получаем D-мерное гильбертово пространство, причем аддитивные
характеры образуют ортонормированный базис этого пространства.
Тогда, в частности, для мультипликативного характера имеем
a{D)
где
п (D)
Таким образом, координаты мультипликативного характера в базисе,
составленном из аддитивных характеров, лишь на множитель 1/D
отличаются от известных сумм Гаусса и, согласно лемме 7.1.1, для
первообразного характера %(п) обладают следующими важными для
дальнейшего свойствами:
Окончательно для первообразных мультипликативных характеров
получаем следующее выражение через аддитивные характеры:
2
a(D)

Добавление I
469
Пусть далее всюду х# обозначает первообразный характер по
mod D, a J- сумму по всем первообразным характерам по mod D.
Тогда
2 *.*» =2
т * О)
а (О)
~ D Li
так как по всем первообразным характерам суммируется неотрица-
неотрицательная величина. Теперь уже просто в силу ортогональности муль-
мультипликативных характеров (см. формулу D.2.11)) имеем
^^ n^D
a (D)
?)
(а,
и получаем такое следствие из теоремы 1.
Теорема 2. Имеет место неравенство
2л а„%*п (г
N
2 1 «„I2-
Чтобы оценить силу теоремы 2, рассмотрим один ее частный
случай. Пусть ап = 0 при отрицательных п, и ап = А(п) при по-
положительных п. Тогда
2л
<Сшах(Ж2, N)N\nN.
A)
Но если для любого е>0 и любого х^> 1 имеет место оценка
2 Л(я)хо(л) < с (е) *'/«+*. B)
п. < х
то для соответствующей L-функции имеет место гипотеза Римана
(ряд для логарифмической производной равномерно сходится при
1
Res ^-7j--r-eJ- Таким образом, неравенство A) показывает, что
оценка B) имеет место при x^.D2 в среднем. Именно тот факт,
что хорошая оценка B) в среднем имеет место лишь при x^D2, и
препятствует доказательству гипотезы Римана для почти всех /,-функ-

470 Добавление!
ций. Вместе с тем из теоремы 2 можно вывести весьма сильные
утверждения о нулях /,-функций почти всех модулей, во всяком
случае достаточные для доказательства закона распределения простых
чисел в коротких арифметических прогрессиях.
Прежде всего мы докажем лемму, показывающую, в какой мере
закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях
зависит от положения границы нулей /,-функций и от их плотности.
Здесь в первую очередь бросается в глаза, что зависимость
от Г в оценке N (at T, k) (обозначение см. § 1 гл. IX) практически
не влияет на закон распределения простых чисел в коротких ариф-
арифметических прогрессиях.
Лемма. Пусть все ф(&) L-функций mod k не имеют нулей
в области а>1—а0, |*|<Т0 (ао=ао(^), T0=TQ(k), Г0>2).
Если
N(a, Т, k)<
mo
, k. l) =
где с = с(сх, с2).
C)
Доказательство начнем с известной явной формулы, выра-
выражающей ^(х, k, l) через нули /,-функций Дирихле. Нашей ин-
информации о нулях /,-функциЙ недостаточно для непосредственного
изучения ty(x, k, I), однако, как мы увидим в дальнейшем, вполне
достаточно для вывода асимптотического закона при т = [сг] -|~ 2
для ij)m (x, k, /), т раз проинтегрированной по х функции г|?(х, k, /).
Теперь, пользуясь т раз классическим приемом асимптотического
дифференцирования, мы можем перейти от закона для t|)m(x, k, I)
к закону для функции ty(x, k, I). При каждом асимптотическом
дифференцировании из достигнутого понижения в соответствующей
асимптотической формуле извлекается квадратный корень, но, так как
нам требуется всего конечное число повторений этого приема, мы и
получаем формулу C), достаточную для большинства приложений.
Таким образом, пользуясь формулой (9.2.5), получаем
LY V 77л х9+т 1
+1I Ф

Добавление I 471
где Тх—любое число, 2<^Тг<^х, k^x, или в силу условий леммы
при Тг > То
2
Kn<Tl % P-P+/Y
Ж||<
Теперь уже можно стандартным образом применять оценки N (а, Г,
(ср. вывод формулы (9.2.17)):
1
^ 2| x$+m <C *w*fl In kn 4- ^m+1 J /V (а, Г, *) л:^-1 In x do.
х p-P+/y о
л< lYl < л + 1
Отсюда при 0 < п < Го — 1 имеем
X pP
я<1 Yl
Л
) ' [—)
\ )
г при /г > То — 1
X
я<
Подставляя эти оценки в D), получаем
^ In^x) + О (ж-.Ш kTO 4 О (^- Щ» х + ±щ- In
или, выбрав T1 = min(cp(k), То, х),
хт+\ [ xmir\ /Л«\ао \
<Ф (х. kt i) = 7—^1Ч. :ихЛ-о -—г- — ln^x 4-
Vm\ ) (т + 1)!ф(Л)» V ф (Л) \ ^ / /^
/ vm+'/4 \
Здесь мы пользовались тем, что при нашем выборе m {m=[cl)-^r2)
СХ)
Ряд 2j m+i сходится, причем быстрее ряда обратных квадратов.

472 Добавление I
Проиллюстрируем теперь метод асимптотического дифференциро-
дифференцирования. В силу монотонности и неотрицательности функции tym(x, k, I)
при любом h > 0 имеем
x+h
4
x-h
Пусть известно, что
где Пт(д:, fe) монотонно убывающая функция х. Тогда при
Выбирая /z оптимальным образом, получаем
*«-i(jf. k, o<^{i+o№(^, ft))}.
Объединяя это с аналогично доказываемой оценкой снизу, имеем
*»-!(*. *. ^^{l + O^^, ft))}.
Это как раз и означает, что при каждом асимптотическом дифферен-
дифференцировании из понижения извлекается квадратный корень. Применяя
этот метод т раз к формуле E), получаем
* 2
где сА = 2т, с5 = — . Переход к функции п(х, k, l) осуществляем
с помощью леммы 4.7.1. Этим заканчивается доказательство леммы.
Цель дальнейшего — развить теорию /,-функций Дирихле для
почти всех модулей k. Мы покажем, что для почти всех модулей
условия леммы выполнены с ао=со, T0 = kc\ где с0 — абсолют-
абсолютная постоянная (квазириманова гипотеза) и а = 2 (плотностная
гипотеза).

Добавление I 473
Базируясь на теореме 2, доказательство можно было бы провести
методом выпуклости средних от аналитических функций, изложенным
в гл. IX, однако здесь мы воспользуемся методом нагруженных сумм,
идея которого принадлежит Ю. В. Линнику. Если каждому нулю
^-функций сопоставить сумму значений характера с одними и теми же
коэффициентами для всех L-функций, про которую известно, что
она велика, то количество нулей всех L-функций оценится с помощью
суммирования таких сумм. Но для последнего суммирования уже
можно применять теорему 2. В теории наименьшего простого числа
в прогрессиях такое сопоставление производится очень тонко и сложно.
Для наших целей достаточно следующего простого приема. Пусть
p = P-f-ry — нуль функции L(s, %). Тогда равно нулю и произведе-
произведение А(р, х) 2j р ¦. Теперь будем аппроксимировать L (р, %)
как можно более коротким отрезком его ряда Дирихле (чем короче
отрезок удается взять, тем меньше коэффициент при A—а) в оценке
числа нулей). В частности, если обращать внимание только на зави-
зависимость от k, но не от у, то с помощью преобразования Абеля и
тривиальной оценки 2j X (п)
k можно доказать, что годится от-
резок длины k, а с помощью оценки I 2 X (#) <С^]/"&1П& Вино-
Виноградова— Пойа (см. например, Човла [1]) можно доказать, что го-
годится отрезок длины ]/&1п&.
Заметим, что еще лучшие результаты получаются применением
оценок Берджесса [1*], которому удалось использовать аналог гипо-
гипотезы Римана для специальных ^-функций; доказательство этого ана-
аналога было дано А. Вейлем [1*].
Таким образом, пользуясь преобразованием Абеля и оценкой
Виноградова — Пойа (читатель может доказать ее самостоятельно,
см. задачи 1 и 2 к гл. IV вместе с леммой 7.1.1), получаем
v
при Р>у
Теперь равенство
n<Nx

474
Добавление I
вместе с тривиальной оценкой
при р ^ -^ приводит к соотношению
Если ввести обозначение
то при условии
-~-
для всех достаточно больших k имеем
X (т) ат
Это почти нужная нагруженная сумма. В первую очередь с по-
помощью преобразования Абеля перейдем к нагруженным суммам, не-
несущественно зависящим от р. Введем обозначение S (п)= 2
Тогда из неравенства F) следует
поскольку
1
1
(п + If rfi
я+1
(р+1) J иг
Теперь мы можем оценить количество нулей всех /.-функций, соот-
соответствующих первообразным характерам по mod k для всех k ^ М.
Для этого возведем обе части неравенства G) в квадрат и просум-
просуммируем по всем нулям. Получим (при а^~о")
X*
<n<NlN2

Добавление I 475
где /V*(a, 7\ k) означает количество нулей L-функций с первообраз-
первообразными характерами по mod k в соответствующем прямоугольнике.
Предварительное возведение в квадрат неравенства G) необходимо
потому, что теорема 2 дает хорошую оценку только квадрата модуля
суммы значений характеров. Но у каждой ^-функции mod k количе-
количество нулей в критической полосе до высоты Т есть <^ Т In kT (см.
теорему 7.3.4), поэтому
•(a, Т.
Отсюда, применяя неравенство Шварца, получаем основное соот-
соотношение
(а. Т,
при любых А^! и Af2, удовлетворяющих условию
Теперь применим теорему 2. Пусть сначала Nl = M2 с тем, чтобы
мы могли пользоваться вторым из двух неравенств, содержащихся
в теореме 2. Тогда
15Х.(«)р
ибо |#л|^т(/г). Таким образом,
2 ЛГ(а, Г,
f
Выбирая теперь минимально возможное Д^2. приходим к следующей
теореме.
Теорема 3. Имеет место оценка
2 * (а, Г, /
Отметим важное следствие этой теоремы.
Теорема 4 (квазириманова гипотеза). Для модулей k аз ин-
интервала [Ж, 2Ж], за исключением не более Ж0'9 модулей, все
L-функции mod А #е имеют нулей в области а^>1

476 Добавление I
Пусть теперь NXN2= М2. Здесь вступает в силу первое неравен-
неравенство теоремы 2, и мы получаем плотностную гипотезу в среднем.
Теорема 5. Имеет место оценка
2 Л/*(а, Г, k)<CT0MM2{1-a)\nmM.
Доказательство. Можно считать, что Г^М'Ч так как
в противном случае теорема следует из тривиальной оценки
2 Л/* (а, 7\ *)<С ТМ2 In TM.
<M
Тогда Л/j можно выбрать равным М/т. Теперь для /г?[М, Ж2]
применяем теорему 2. Получаем
2 ^
При /г < Ж понижение, даваемое суммой V —^» не
/г < m <M
точно для доказательства теоремы. Поэтому применим вспомогатель-
вспомогательный прием.
Пусть / — целое положительное число. Тогда, неравенство Гёль-
дера дает
у, [ Sy (п) р
. ... ш»=
Теперь, введя обозначение
Ят, ... ат/ = О (X1 (m) T,
заметим, что мы свели оценку суммы S%(n) к оценке другой суммы
S'%(ri), распространенной опять на интервал [М, М2\. К ней можно
также применить теорему 2. В качестве следствия получаем теорему:

Добавление I 477
Теорема 6. Для k из интервала [М, 2М], за исключением
не более Ж/1пл М модулей, имеет место оценка
N(a, Т, ^)<
Теперь из леммы и теорем 4 и 6 следует
Теорема 7. Закон распределения простых чисел в арифме-
арифметических прогрессиях
и i\ И х
k 1)
/ \пс х \ Л
[—2— I
\lnAk}J
для всех (/, k)=l имеет место для k из интервала [М, 2М]
за исключением не более -г~сА— модулей, при условии
\пСЛ х
Так как для всех модулей k <! 1пл х закон простых чисел в про-
прогрессиях справедлив (теорема 4.8.3), то отсюда выводим следующую
теорему.
Теорема 8. Имеет место соотношение
I
max
n(xt k, I)
И X
гл I X \
= О -А—
\lncAx]
Выведем с помощью этой теоремы асимптотическую формулу для
проблемы делителей Е. К. Титчмарша.
Теорема 9. При х->оо имеет место
;C)
В самом деле,
2 t(P —1)<2 S 2 1—2 2 я (л:, w, 1).
р<х К /
Но часть суммы по всем т <Г -Ц— рассчитывается с помощью тео-
ремы 8. Здесь надо только вычислить V , что легко делается
от<у
аналитическим методом (см. гл. III) или элементарно (ср. гл. V, § 7).

478 Добавление I
Часть суммы по всем т, ? <^т ^ Vх» оценивается вели-
\пАх
чиной О [у^-In lnx) с помощью леммы Бруна — Титчмарша (тео-
(теорема 5.2.1). Для доказательства оценки снизу воспользуемся нера-
неравенством
и теорема становится очевидной.

Добавление II
О МЕТОДЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
Я. М. Коробов
После выхода в свет книги Прахара в теории дзета-функции
были получены новые результаты (Коробов [1*], [2*], Виногра-
Виноградов [6*], [7*], Коробов [3*], [4*]), позволившие усилить ряд оце-
оценок в теории распределения простых чисел. Подробное изложение
этих результатов можно найти в книге Вальфиша [3*]. Ниже до-
доказаны некоторые из теорем, полученных в этих работах, и приве-
приведено новое доказательство (Карацуба и Коробов [1*]) теоремы о сред-
среднем И. М. Виноградова.
§ 1. Свойства величин
Пусть Xlt .... %п— фиксированные целые числа. Обозначим через
\> •••> ^п) число целочисленных решений системы уравнений
*i + • • • + *ь = Уг + • •
Если Xi = .. . = Кп = 0, то вместо Mf) @ 0) будем пользоваться
обозначением Nk(P). Пусть, далее, S(av . . ., ал)—тригонометрическая
сумма,
5 (а, aj=
х=1
Лемма 1. При любом целом
справедливы равенства
= J ... J | S (а, ая)
о
а„)|2*=
+-+ап^ da,... dan, A)
где суммирование проводится по \ kv | < kPv (v=l, 2, ..., «)•

480 Д об а в ление II
Доказательство. Убедимся сначала в справедливости равен-
равенства B). Очевидно,
. C)
Пусть величины Хг, .,., Хп определены равенствами
•*!+¦•. — Ук = К
Так как 1 -< xJt \>j < Р, то | ^v | < ^Pv. В равенстве C) соберем
вместе слагаемые с фиксированными значениями Я: Хп. Тогда,
пользуясь определением величин Л/(йр)(Яь ..., Хп), получаем B):
15@,. .... а„)|»= Ц
Xl» •••' кп
Для доказательства равенства A) перепишем соотношение B)
в виде
где суммирование проводится по области | \1г | < &Р, . . ., | [хя | < kPn.
Домножая это равенство на ^~2jTi(ai?vi + -** + ct//z) и интегрируя по еди-
единичному я-мерному кубу, получаем
= J ... J|5(a, ая)|2^-2я'(аЛ+-+0А)йа1 ...daa.
0 0
Отсюда в силу равенства
! ПРИ ^ = Х'
0 при \i ф X
следует равенство A):
о о

Добавление II 481
Следствие. Справедливы соотношения
1 1
J J
О О
/А)
P) K
Действительно, первое из этих соотношений представляет собой част-
частный случай равенства A), получающийся при А,х = ... =Я,Л = 0:
1 1
Nk(P)=N<F(P..... 0)=J ... J|5(a1>....all)B*rfal ...dan.
о о
Оценка D) также непосредственно следует из A):
- j ... J | S(a, «„) Г е-ш^+-'+an\)dai ... dan <
О О
1 1
< J ... J I 5(а, а„) fda, ... dan = Nk(P).
О О
Отметим еще два соотношения, следующие из определения вели-
2\ E)
2
Оценка E) тривиальна: в ней число решений системы уравнений
оценивается числом всевозможных систем xv .... yk, равным, оче-
очевидно, P2k.
Ц^1Я вывода равенства F) рассмотрим систему
j G)
и присоединим к ней дополнительное уравнение

482 Добавление II
Очевидно, число решений системы G), равное Л^/Y^. . .., X _ ),
представляет собой сумму числа решений дополненной системы урав-
уравнений, распространенную на всевозможные значения Хп. Но эта сумма
равна
\\\<крП
и, следовательно,
^^ 1\fc \h\, . . . , fan),
что совпадает с равенством F).
Лемма 2. Пусть а —произвольное фиксированное целое.
Число решений системы уравнений
(8)
не зависит от а и равно Nk (P).
Доказательство. Пусть xv ...,yk — произвольное решение
системы уравнений
(9)
Тогда при любом 5=1, 2 я получим
2 [(а + */-(а + у/1= 2 S C^"v
2ijW^
v=0 7=1
Следовательно, каждое решение системы (9) является решением
системы (8). Так же легко проверить, что в свою очередь каждое
решение системы (8) будет решением системы (9). Но тогда число
решений этих систем уравнений одинаково, что совпадает с утвер-
утверждением леммы.
§ 2. Теорема о среднем
Докажем прежде всего одну лемму о сравнениях, указанную
Ю. В. Линником в работе [9*].
Лемма 3. Пусть \хх \хп — произвольные фиксированные
целые числа, р^>п — простое и Т — число решений системы

Добавление II 483
сравнений
= 1. 2. .... /г),
где при i Ф j выполняется условие х{ ф Xj (mod /?).
Тогда справедлива оценка
Доказательство. Запишем величины Xj в виде
xj = xji + xj2P+ ••• +xjnPn~l (У=Ь 2, .... л),
где 0^Xjv^ip — I (v=l, 2, ..., я). Заметим, что, согласно до-
дополнительному условию, указанному в лемме, при ЬФ] будет хпФх^.
Легко видеть, что величины хп, ..., хп1 удовлетворяют системе
сравнений
]
(mod/?). A1)
хп+ ••• +^ = [хя J
Обозначим через Тг число решений этой системы. Очевидно для
каждого решения системы A1) элементарные симметрические функ-
функции величин агп, ..., хп1 сохраняют фиксированные значения по
модулю р. Следовательно, величины хи хп1 являются пере-
перестановками корней некоторого сравнения степени п по простому
модулю /?, где р > п. Так как число различных корней сравнения
не превосходит nt то для Т1 получаем оценку Тг^п1
Пусть лги, .... хп1—какое-нибудь фиксированное решение си-
системы A1). Перейдем от основной системы сравнений к сравнениям по
модулю р2.Тогда получим
\ (mod/?2).
1 + *Я2/>)Л==[АЯ J
Отсюда после очевидных преобразований получим систему из п—1
линейных сравнений относительно лг12. .. . хп2
ХПХ\2 + • • • + Хп\Хп2 =
(mod/?). A2)
Так как величины агп> .... хп1 различны, то по меньшей мере п—1
из них отличны от нуля. Будем для определенности считать, что

484 Добавление II
отличны от нуля величины хи хп-\ г ^° т0ГДа ПРИ У ===== 1 •
2, ..., п—1 будет 1^х^^.р — 1 и, очевидно,
•^п • • • хп-\\
= хп .. . хп^г1 ТТ (хп — хп) ф О (mod /?).
Л11 • • • Л/г-П 1</ <у<л-1
Следовательно, при любом фиксированном значении хп2 величины
лг12, ...> хп„12 определяются из системы A2) однозначно. Таким
образом, обозначая через Т2 число решений этой системы сравнений,
получим Т2 — р.
Далее, рассматривая сравнения по модулю /?3, получим систему
из п — 2 линейных сравнений относительно дт13, .... хп3; число ре-
решений такой системы сравнений Г3 = /?2. Аналогично получим
74 = /?3, .... Тп = рп~1. Отсюда, так как Т = Тг ... Тп, следует
утверждение леммы
Следствие. Если m^\ uQ — произвольные целые,
простое и Т' — число решений системы сравнений
хг-\- ... -{-*„ = >>!-f ... +уп(тойр).
С/=1. 2 /г),
где при i Ф j выполняется условие xt ф Xj (mod p), то справедлива
оценка
Т'^п\т2Пр ~ 2 . A3)
Действительно, выберем величины ylf ..., уп произвольно. Это
можно сделать тпрп2 способами. Тогда, обозначая через Т" число
решений системы сравнений
получаем
В этой системе сравнений каждая из переменных Xj пробегает m
полных систем вычетов по модулю рп. Поэтому Т" ^ mnTt где
)
** —число решений системы A0). Отсюда следует
оценка A3):

Добавление II 485
В следующей лемме вводится ряд величин, нужных для доказа-
доказательства теоремы о среднем, и устанавливаются некоторые оценки,
связывающие эти величины.
/ 1 \х
Лемма 4. Пусть т>1, я>2, Р>B/гJл \ я^/ —произ-
—произвольные целые. Определим целые Ро, ..., Рх и простые pv ..., рх
с помощью соотношений
1 -
P
v=l, 2, ..., т.
Тогда выполняются оценки
1\T
pv > 2/г2, Pv < ГР"~) . рг... px< SxPl\l~n) . A5)
Доказательство. Первая из оценок A4) непосредственно
следует из определения Pv:
Далее, перемножая оценки
^v < Pv+lPv+l>
Px-l < PxPv
получаем
^v < Pv+г • • • РЛ
Отсюда следует вторая из оценок A4):
рг... рх < (р2... Рхрх) ... (Рхрх) рх = p2pi... ^-ipt.
Перейдем теперь к доказательству оценок A5). Из определения pv
_]_
следует, что р~х^2>Pv^l • Объединяя эту оценку с первой из оце-
оценок A4), получаем
i-l
п
Следовательно,
л-I.

486 Добавление II
( l V
Отсюда, так как Я>B/г) п V п'1' , получаем первую из оценок A5):
Далее, так как /?~! <^2PvJ*, то из определения Pv следует, что
, 1 , 1
Последовательное применение этого неравенства приводит ко второй
из оценок A5):
Наконец, применяя эту оценку к /\_], получаем
чем лемма доказана полностью.
/ 1 \т
Теорема 1. Пусть л>2, т>1, Я>Bn
2 - Тогда для числа решений системы уравнений
выполняется оценка
Mk(P)<
где величина Ь(п> т) определяется равенством

Добавление II
487
Доказательство. Согласно обозначениям, введенным в лемме 4,
р = Р0^р1Р1 и, следовательно, Nk(P) < Nk (рхРх), где Nk(plPl) —
число решений системы уравнений
Хл
Заменив здесь х;- на Xj-\-pxZj и у;- на yj-\~P\tj, перепишем эту
систему уравнений в виде
(x1-\-plzl)
0
0
*,-, у, < pv
A6)
Будем относить систему xv . . ., л:^ к первому классу, если в ней
можно найти п различных величин х;. Все остальные системы
xv ..., xk отнесем ко второму классу. Пусть Nk — число решений
системы уравнений A6) при xv . . ., xk и ух yk, принадлежащих
первому классу, a Nk — число решений этой системы при хх, . . ., xk
или ух yk, принадлежащих второму классу. Тогда, очевидно,
Для систем с различными xv ..., хп и произвольными xn+v ..., xk
введем обозначение (xlt ..., хп), xn+l xk. Будем называть пе-
перестановками систем (xv ..., хп), хп+1, ..., хк такие системы,
в которых различные Xj стоят уже не обязательно на первых п ме-
местах, а на произвольных местах.
Легко видеть, что каждая система первого класса найдется среди
различных перестановок систем (хх, ..., хп), хп+1, ..., xk. Следо-
Следовательно, величина Л/^ не превосходит числа решений системы урав-
уравнений A6) с переменными вида (xv ..., xj, xn+v ..., xk,
(Ух yn), yn+i yki умноженного на (CQ2. Но тогда, поль-
пользуясь обозначениями
anxn, S(x)= 2 *2jt// {x+PlZ)
0
и замечая, что
рх-1
S(xn+1)...S(xk)
2(k-n)

488
Добавление II
получаем
1
1
о о
2^-2л-1х
1 1
X/...J
о о
S(Xl)...S(xk)
/7,-1
Л--0
С помощью таких же рассуждений, как и при доказательстве
леммы 1, легко убедиться, что интеграл, стоящий в правой части
этого неравенства, равен числу решений системы уравнений
A7)
где 0 ^ х, Xj, уу < pv 0 <^ Zj, tj <.Рг и при / Ф j выполняются
условия х{ ф Xj, yt Ф Уу.
Далее, так же как и в лемме 2, получим, что число решений
системы уравнений
A8)
равно числу решений системы A7). Рассмотрим еще систему урав-
уравнений
A9)
где X,lf .... Xn — произвольные фиксированные целые, и систему
сравнений
tn) =0(тойрг),
B0)

Добавление II 489
Обозначим соответственно через N*k, N*n(Xlpv ..., ^пр^) и
Т* число решений систем A8), A9) и B0). Область изменения не-
неизвестных в этих системах будем предполагать такой же, как и
в системе A7). Из A8) и A9) видно, что величины zn+li ..,, tk
должны удовлетворять системе уравнений
Так как число решений этой системы равно N^nilu .... ln)t то,
очевидно,
Лб = 2 Nl (llPl Kpf) N?21 (Ль .. •, U
где суммирование распространено на область | %v | < (k — п) Pi
(v=l, 2 п). Отсюда, пользуясь оценкой D), получаем
л1§ .... ^
Но, как было показано выше,
Nk<\ck) Pi Nk
и, следовательно,
Наконец, выбирая m = fP1/?~/I+1l ~f~ 1, согласно следствию леммы 3,
получаем
У\ рг
^ /г!
Оценим теперь величину N^. Очевидно,
1 1
yft
где величины #,, .... yk меняются так, что хотя бы одна из систем
хг xk и Уц .... yk принадлежит второму классу. Замечая, что

490
Добавление II
число систем второго класса не превосходит (п — l)k р%~1, получаем
0
2
(x) |2*-2" rfo, . . . dan =
j
0 0
Так как А^-/г2 + ^ и, согласно A5), п < pf , то, очевидно,
1
Но тогда
( п\
и следовательно, так как п 1^-3 1-^-1 , получим
Применяя это неравенство т раз и пользуясь оценкой A4), полу-
получаем
X
Отсюда в силу E) и A5) следует утверждение теоремы:
X2L 0 -т

Добавление И 491
Следствие. При любом т^>4 для п^>6, k = тп2 и Р^>пп
выполняется оценка
Nk(p)
Действительно, эта оценка непосредственно следует из утвержде-
утверждения теоремы, если выбрать х = (т—\)п и воспользоваться соотно-
соотношениями
2k (/г —(— т) = 2т2п3, 2пх < 2тп2,
п (п + 1) Л _ W1 {т~1] < n(n+l) (l_\m~l < 7п2 /г2
2 [ п) ^ 2 U/ 12^т~1 2т+х '
Bп) V «¦
справедливыми при п ^ б и т ^> 4.
§ 3. Оценка ?A + #)
Уточнение оценки ?A-|-#) основано на возможности получения
оценок вида
<срх
где С и y — абсолютные константы. Такие оценки удается получить
благодаря двойному применению теоремы о среднем. В следующей
лемме показано, как оценка двойных тригонометрических сумм сво-
сводится к двойному применению теоремы о среднем. Обозначим через
f(x, у) многочлен от двух переменных с произвольными действи-
действительными коэффициентами
п т
f(x. У) =2 2 arsXy
И через 5(Pj, P2) двойную тригонометрическую сумму
S(PV Р2)=2
Лемма 5. Пусть целые Хг a \xs меняются в пределах
| К |< kxP\, | \xs |< k2PS2 @ < г < я, 0 < 5 < т). Тогда при любых
натуральных kx и k2 справедлива оценка
\S(PV P2) fk^ < Pf« ^

492
Добавление II
и величины Р5 определены равенствами
Доказательство. Расположим полином f(x, у) по степе-
степеням х:
п
где
г-0
Фг (У) = S «г
5-0
Тогда, пользуясь леммой 1, получаем
Рг
у-1
2 (у)
У-1
р,
у e2ni [<Pi (У) •*+ ¦
(У) Д
2*,
,
ал S
Далее, замечая, что имеет место равенство
п т
Ср1 (V) ^1 ' 1 ' • • • | Фг» (У) "я Ш^1 х | / [ CLr е^гУ 22SS Пл !¦'¦ П« у I , i
Г«1 5-0
где величины Р5 определены формулой B1), получаем
р2
У-1
-')r 2?
2
Я2
у-1
Но согласно F),
2

Добавление II
493
и, следовательно,
\S(P P\ \Akik* < P2k\ Bk*~l)p2k2 B
Отсюда, так как в силу леммы 1
M (kv ... Дв) X
x
y-1
l» • • •» t^m
получаем утверждение леммы 5:
Ь Р2) l4*1*^^
Следствие 1. Я/?й обозначениях леммы 5 для двойной
суммы S(Plt P2) справедлива оценка
где1)
\S(Plt P2) |4*'*2
l (Px) Nk2(P2) 2 min Bk2P2t -gJ^) ...
Доказательство. Определим величины $'г равенствами
p;=arA+ • • • +«w*« c-=i. 2 «).
Тогда в силу B1) получаем
Следовательно, согласно лемме 1,
,, Я.я) е2я1 (^+ - +^т) =
"¦
><).
Через | р (| обозначено расстояние от р до ближайшего целого.

494
Добавление II
Но тогда, очевидно,
X
2
*1 \,
Отсюда, пользуясь оценкой
получаем утверждение следствия:
!
m
П
Особо отметим частный случай леммы 5, получающийся для по-
полиномов /(х, у), у которых коэффициенты ars обращаются в нуль
при г Ф s. В этом случае т — пи полином можно записать в виде
f(Xi у)=:
B2)
Будем предполагать, что известны рациональные приближения вели-
величин GL,
= ^ + ^, (avt?v)=lf |8V|<1 (v=l. 2 n). B3)
Следствие 2. Если выполняются условия B2) и B3), то
обозначениях леммы 5 имеем
где
n

Лоб а в ление II 495
Доказательство. Так как по условию
as при г = s,
пгз \ О при г Ф s,
то из B1) получим
P, = aiA+ ••• +аяЛ=«Л (*=Ь 2, ....
Но тогда, согласно следствию 1,
Vki, k2 < Nki (PO Nk2 (P2) 2j min \2k2p2' 
Отсюда, пользуясь оценкой
< min \AhhFlPl 4 (i^L + 1J Bk2P; + qv In ?v)j <
< 16*^ min [P^
получаем утверждение следствия:
v-l
Теорема 2. Пусть t ^ е64'100 и Q — произвольное целое из
интервала [^iso(inо t fZj Тогда при любом натуральном P-^Q
справедлива оценка
Q + P
__ <2Q! Vhoo/ f B4)
n
где величина р определена равенством Q — t.
Доказательство. Определим целые Pv P2, s и п с помо-
помощью равенств
Легко показать, что тогда s^> 4 и при 5 <; v ^ 2s выполняется
оценка
vll B5)

496
Добавление II
1
Действительно, согласно условиям теоремы, Р^-g- и> следова-
[25 Т 25
"сщ- +1^>4. Далее, так как $>"94?Г» то ПРИ
* 24 ^ 1
будет 75c-v> jr и, очевидно,
25 9 1
Наконец, так как $ <; -^ -f-1, то при v < 2s будет -^ v < -* и,
следовательно,
16 \ 9 1
Покажем теперь, что оценка суммы B4) легко сводится к оценке
двойной тригонометрической суммы
где полином f(x, у) определен равенством
fix, y) = alxy- *1
и q — некоторое целое из интервала
Действительно, так как при любых натуральных л: и у
Q+Р Р
то, очевидно,
Q+P
max
х-1 у-1
Пусть наибольшее значение правой части достигается при z == z0. Тогда,
полагая ^ = Q-f-^o и пользуясь равенством

Добавление II
497
в силу B6) получаем
Q+P
z-Q+l
pxp2
Pi Pi
*-l y-1
2Р,Р2
• B7)
Для того чтобы оценить сумму S(Plt P2)» запишем величины av
в виде
и заметим, что при
как, согласно B5),
будет cv=l и <7V= ^Jtv^"]. Так
то, очевидно, при
1
Р1
выполняются оценки
2да BQ)V Г1] < 2m> BP2)V.
Но тогда, пользуясь вторым следствием леммы 5, при kx =
получаем
I S (Р„ Р2) Г < (Л
где
B8)
B9)
< Dkf° Nk (Pl} Nk (P2) П min \P\Pl
1) И 4- ?v Ш ?v)J <
35E+1)
Так как в силу B8)
то, очевидно,
25
35E41)

498
Добавление II
Следовательно,
П (/1 + 1) 35E + 1) П(П + 1)
" р 2
Выберем k = 6n2 и применим следствие теоремы 1 с т = 6; тогда
Nk (РЛ <; B/гI2/г2 372п*Рг 2 128 .
Аналогичная оценка справедлива, очевидно, и для величины Nk(P2).
17 1 ~
Следовательно, замечая, что PiP2<^2Pi и Pi>-9-Q25, получаем
-1Г
288 (Р,Р2J* Q-
Наконец, подставляя эту оценку в B9), находим оценку суммы
S(PV P2):
Р2) Г* < 3
3 »P
288/г3
2 Q~ ш.
C0)
Так как, очевидно,
то из B7) и C0) получаем утверждение теоремы:
17
со справедлива оценка
Q+P
S
Теорема 3.
Доказательство. Определим величины Qv с помощью условий
/J + lf Qv = 2vQ0 (v = 1. 2 г),
где Qr_,<*3"<Q, и *>вм*10\
Тогда, согласно леммам 8.3.4 и 8.3.5 (стр. 305, 306), получим
т> Qr
т

Добавление II
499
и, следовательно,
Qr
2
CD
v=0 m=Qv+l
Далее, пользуясь преобразованием Абеля, в силу теоремы 2
получаем
2<?v 2QV 2<?v m
2QV
v
2Q,,
m=Qv + l
где y — абсолютная константа и pv определяется равенством Qv = ^v.
Так как, очевидно,
г-1 2<?v
0» то> замечая, что
130
j-,
получаем
(In О
J + it
v=0
r-1
Отсюда в силу C1) следует утверждение теоремы.
Из оценки, полученной в теореме 3, следует, что в соотношениях
при
_4_,
значения а > -j и Р<у, указанные Н. Г. Чудаковым ([5*] — [8*]),
2 3
-^-. Аналогичное
можно заменить соответственно на
2
-т и
усиление результатов получается также для границы нулей /,-функ-
ций Дирихле и в вопросе об оценке разности я (х; q, I) рг И х.

ЛИТЕРАТУРА
Адам ар (Hadamard J.)
[1] Sur la distribution des zeros de la fonction ?(s) et ses consequences
arithmetiques, Bull. soc. math. France, 24 A896I 199—220.
А н д р у x a e в X. M.
[1*] Задача сложения простых и „почти" простых чисел в алгебраических
числовых полях, ДАН СССР, 159, № 6 A964), 1207—1209.
Барбан М. Б.
[1*] Метод „большого решета" и его применения в теории чисел, УМН, XXI,
вып. 1 A27) A966), 51—102.
[2*] Плотность нулей L-рядов Дирихле и задача о сложении простых и
„почти простых" чисел, Мат. сб., 61 A03) :4 A963), 418—425.
[3*] Новые применения „большого решета" Ю. В. Линника, Тр. Ин-та
матем. им. В. И. Романовского АН УзССР, Теория вероятностей и
матем. стат., вып. 22, Ташкент, 1961.
[4*] Об аналогах проблемы делителей Титчмарша, Вестн. ЛГУ, № 19
A963), 5—13.
[5*] „Большое решето" Ю. В. Линника и предельная теорема для числа
классов идеалов мнимого квадратического поля, Изв. АН СССР, сер.
матем., 26, 4 A962), 573—580.
[6*] Замечание к работе автора „Новые применения „большого решета""
Ю. В. Линника, Теория вероятн. и матем. статист., вып. 1, Ташкент,
1964.
Батеман, Човла, Эрдёш (Batema n Р. Т., Chowla S., Erdos P.)
[1*] Remarks on the size of 1A, x)» Publikationes Math. Debrecen, 1 A949—
1950), 165—182.
Берджесс (Burgess D. A.)
[1*] On character sums and L-series, II, Proc. London Math. Soc, 13, № 51
A963), 524—530.
Бомбьери (Bombieri E.)
[1*] On the large sieve, Mathematika, 12 A965), 201—225.
Бор, Крамер (Bohr H., Cramer H.)
[1] Die neuere Entwicklung der analytischen Zahlentheorie, Enzyklopadie
der math. Wiss., II С 8, 1922, 722—849.
д е Б р е й н (d e В г u i j n N. G.)
[1] On the number of positive integers <:# and free of prime factors >*/,
Indagationes math., 13 A951), 50—60.
Б р ой ш (Breusch R.)
[1] Another proof of the prime number theorem, Duke Math. /., 21 A954),
49—53.
Б рун (В run V.)
[1] Le crible d'Eratosthene et le theoreme de Goldbach, Skrifter utgit av
Videnskapsselskapet i Kristiania, mat. naturvid. Ki A920) i : 3.
Бухштаб A. A.
[1*] Новые результаты в исследовании проблемы Гольдбаха — Эйлера и
проблемы простых чисел близнецов, ДАН, 162, № 4 A965), 735—738.
Бэклунд (Backlund R. J.)
[1] Sur les zeros de la fonction ?(s) de Riemann, С R.} 158 A914), 1979—
1981.

Литература 501
Валле-Пуссен (de la Vallee Poussin Ch.)
[1] Recherches analytiques sur la theorie des nombres premiers, Ann. soc.
ScL Bruxetles, 202 A896), 183—256, 281—297.
[2] Sur la fonction ?(s) de Ricmann et le nombre des nombres premiers,
inferieurs a une limite donnee, Mem. couronnes et autres mem. Acad.
Belgique, 59, № 1 A899—1900).
Вальфиш А. 3.
[1J Zur additiven Zahlentheorie II, Math. Z., 40 A936), 592—607.
[2] Изолированные простые числа, ДАН, 90 A953), 711—713.
[3*] Weilsche Exponentialsurnmen in dcr neueren Zahlentheorie, Berlin, 1963.
ВанЮан (Wang Juan)
[1*] On the representations of large integer as a sum of a prime and an
almost prime, Sci. sinica, 11, № 8 A962), 1033—1054.
В ей ль A. (Weil A.)
[1*] On some exponential sums, Proc. Nat. Acad. ScL USA, 34, № 5 A948),
204—207.
В ей ль Г. (Weyl H.)
[1] Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins, Math. Ann., 77 A916),
313 3^2
[2] Zur Abschatzung von ?(l + tf), Math. Z., 10 A921), 88—101.
Вильсон (Wilson В. М.)
[1] Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan, Proc. bond. Math.
Soc. B), 21 A922), 235—255.
В и м а н (W i m a n A.)
[1] Sur l'ordre de grandeur du nombre dediviseurs d'un entier, Arkiv Mat.
Astr. och Fys., 3, № 18 A907), 1—9.
Винер (Wiener N.)
[1] A new method in Tauberian theorems, /. of Math. Phys. Mass. Inst. of
Techn., 7 A927—1928), 161—184.
[2] Tauberian theorems, Ann. of Math. B), 33 A932), 1—100.
Винер, Геллерт (Wiener N., Gellert L.)
[1] Some prime number consequences of the Ikehara-Theorem, Ada Sci.
Math. Szeged, 12 В A950), 25—28.
Виноградов А. И.
[1*] О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле, Изв. АН, сер. матем.,
29 A965), 903—934.
Виноградов И. М.
[1] Sur la distribution des residus et des nonresidus des puissances, Ж.
физ.-мат. о-ва, Пермь, 1 A918), 94—98.
[2] On Weyl's sums, Матем. сб., 42 A935), 521—530. -
[3] Представление нечетного числа суммой трех простых чисел, ДАН, 15
A937), 291.
[4] Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел,
Труды матем. ин-та Г р. фил. АН, 3 A938), 1—68.
[5] Метод тригонометрических сумм в теории чисел, Труды матем. ин-та
АН, 23 A947), 1 — 111.
[6*] О функции ?(s), ДАН, 118, 4 A958), 631.
[7*] Н ф ?(l /f) И АН
[] фу ?(), Д, ()
[7*] Новая оценка функции ?(l + /f). И АН, сер. матем., 22, 2 A958),
161—164.
Габриэль (Gabriel R. М.)
[1] Some results concerning the integrals of moduli of regular functions
along certain curves, /. Lond. Math. Soc, 2 A927), 112—117.
Гронваль (GronwallT. H.)
[1] Sur les series de Dirichlet correspondant a des characteres complexes,
Rend. Palermo, 35 A931), 145—159.

502 Литература
Давенпорт, Хальберстам (Davenport H., Halberstam H.)
[1*] The values of a trigonometrical polynomial at well spaced points, Mathe-
matika, 13 A966), 91—96.
Дирихле (Dirichlet P. G. L.)
[1] Beweis des Satzes, daB jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren
erstes GHed und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor
sind, unendlich viele Primzahlen enthalt, Abh. Akad. Berlin A837, 1839
math. Abh. 45—71).
[2] Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie, Abh.
Akad. Berlin A849), 69—83.
Дойринг (Deuring M.)
[1] Imaginar quadratische Zahlkorper mit der Klassenzahl A), Math. Z., 37
A933), 405—415.
Дойч (Doetsch G.)
[1] Ober die obere Grenze des absoluten Betrages einer analytischen Funk-
tion auf Geraden, Math. Z., 8 A920), 237—240.
Зигель (S i e g e 1 C. L.)
[1] Ober die Classenzahl quadratischer Korper, Ada Arithmetica, 1 A936),
83—86.
[2] On the zeros of Dirichlet's L-f unctions, Ann. of Math., 46 A945),
409-422.
Ингам (Ingham A. E.)
[1] Hote on Riemann's ^-function and Dirichlet's L-functions, /. Lond. Math.
Soc, 5 A930), 107—112.
[2] Распределение простых чисел, М. — Л., 1936.
[3] Note on the distribution of primes, Ada Arithmetica, 1 A936),
201—211.
[4] On the difference between consecutive primes, Quart. J. Oxford, 8 A937),
255—266.
Исеки, Татудзава (Iseki К., Tatuzawa Т.)
[1] On Selberg's elementary proof of the prime number theorem, Proc. Jap.
Acad., 27 A951), 340—342.
Карацуба А. А., Коробов Н. M.
[1*] О теореме о среднем, ДАН, 149, 2 A963), 245—248.
Карлсон (Carlson F.)
[1] Ober die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemannschen
?-Funktion, Arkiv f. Mat, Astr. och Fys.t 15, № 20 A920).
Кё(Кй1Ш)
д()
[1] Sa4ze uber Primzahlen I, II, Mh. f. Math., 55 A951), 62—76; 56 A952),
137—143.
Коробов Н. M.
[1*] О нулях функции l(s), ДАН, 118, 3 A958), 231—232.
[2*] О границе нулей функции Римана ?(s), Сообщение на заседании Моск.
матем. об-ва, УМН, 13, 2 (80), A958), 243—245.
[3*] Оценки тригонометрических сумм и их приложения, УМН, 13, № 4 (82)
A958), 185—192.
[4*] Оценки сумм Вейля и распределение простых чисел, ДЛЯ, 123, 1
A958), 28—31.
К о р п у т (van der С о г р u t J. G.)
[1] Sur I hypothese de Goldbach pour presque tous les nombers pairs, Ada
Arithmetica, 2 A937), 266—290.
[2] On de Polignac's conjecture, Simon Stevin, 27 A950), 99—105.
[3] Zahlentheoretische Abschatzungen, Math. Ann., 84 A921), 53—79.
Kox (von Koch H.)
[1] Sur la distribution des nombres premiers, Ada Math., 24 A901),
159—182.

Литература 503
Крамер (Cramer H.)
[1] Studien fiber die Nullstellen der Rjemannschen Zetafunktion, Math. Z.,
4 A919), 104—130.
[2] Some theorems concerning prime numbers, Arkiv Mat., Astr. och Fys.t
15, № 5 A920).
[3] Ein Mittelwertsatz der Primzahltheorie, Math. Z., 12 A922), 147—153.
[4] On the order of magnitude of the difference between consecutive primes,
Ada Arithmetica, 2 A937), 23—46.
Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
[1] Методы математической физики, т. 1, М — Л., Гостехиздат, 1951.
Ландау (Landau E.)
со
[1] Neuer Beweis der Gleichung 2|л(?)//г=0, Diss., Berlin, 1899.
[2] Uber den Verlauf der zahlentheoretischen Funktion cp(*), Arch. d. Math.
u. Phys. C), 5 A903), 86—91.
[3] Ober einen Satz von Tschebyscheff, Math. Ann., 61 A905), 527—550.
[4] Ober das Nichtverschwinden einer Dirichletschen Reihe, Sitzungsber.
Berlin A906), 314—320.
[5] Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 2 Bde, Leipzig,
Teubner, 1909.
[6] Uber die Aquivalenz zweier Hauptsatze der analytischen Zahlentheorie,
Sitzungsber. Wien, 120, 2a A911) 973—988.
[7] Bedingt konvergente Integrate in der Primzahltheorie, Math. Ann., 71
A912), 368—379.
[8] Ober die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Ann., 71 A912),
548—564.
[9] Ober imaginar quadratische Zahlkorper mit gleicher Klassenzahl, Gottin-
ger Nachr. A918), 277—284.
[10] Ober die Klassenzahl imaginar quadratischer Zahlkorper, Gottinger
Nachr. A918), 285—295.
[11] Ober die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemannschen
g-Funktion, Arkiv Mat., Astr. och Fys., 16, № 7 A922).
[12] Ober die J-Funktion und die L-Funktionen, Math. Z., 20 A924), 105—125.
Лежандр (Legend re A. M.)
[1] Essai sur la theorie des nombres, Paris, Duprat, 1798.
Линник Ю. В.
[1] Связь расширенной Riemann'oBoft гипотезы с методом И. М. Виногра-
Виноградова в теории простых чисел, ДАН, 41 A943), 152—154.
[2] On Dirichlet's L-series and prime-number sums, Матем. сб., 15 E7)
A944), 3—12.
[3] On the least prime in an arithmetic progression, I. The basic theorem,
Матем. сб., 15 E7) A944), 139—178; II. The Deuring —Heilbronn's
phenomenon, Матем. сб., 15 E7) A944), 347—368.
[4] О возможности единого метода в некоторых вопросах аддитивной и
дистрибутивной теории простых чисел, ДАН, 49 A945), 3—7.
[5] Элементарное доказательство теоремы Зигеля на основе способа
И. М Виноградова, И АН, сер. матем., 14 A950), 327—342.
[6*] „Большое решето", ДАН, 30, № 4 A941), 290—292.
[7*] Замечание о наименьшем квадратичном невычете, ДАН, 36, № 4—5
A942), 131 — 132.
[8*] Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, изд. ЛГУ, 1961.
[9*] О суммах Weyl'K, ДАН, 34, 7 A942), 201—203.
Литлвуд (Littlewood J. Е.)
[1] Researches in the theory of the Riemann t-function. Proc. Lond. math.
Soc. B), 20 A922), 22—28.

504 Литература
[2] Sur la distribution des nombres premiers, C. R., 158 A914), 1869—1872.
Мангольд т (von M a n g о 1 d t H )
[1] Zu Riemann's Abhandltmg, „Ober die Anzahl...", Crelles /., 114 A895),
255—305.
[2] Beweis der Gleichung Sfi(^)/^=-O, Sitzungsber. Berlin A897), 835—852.
Мёбиус (М б b i u s A. F.)
[1] Ober eine besondere Art der Umkehrung von Reihen, /. reine angew.
Math., 9 A832), 105-123.
Мертеис (Mertens F.)
[1] Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, J. reine angew. Math., 78
A874), 46—62.
[2] Ober das Nichtverschwinden Dirichletscher Reihen mit reellen Gliedern,
Sitzungsber. Wien, 104 A895), 1158—1166,
Mop дел л (Мог dell L. J.)
[1] On the Riemann hypothesis and imaginary quadratic fields with a given
class number, /. Load, math. Soc, 9 A934), 289—298.
Остман (Ostmann H.)
[1] Additive Zahlentheorie, 1. und 2. Teil, Springer, 1956.
ПаньЧень-дунь (Pan Cheng-don g)
[1*] On the representation of an even integer as the sum of a prime and
an almost prime, Chinese Math., 3, № 1 A963), 101—112.
Пейдж (Page A.)
[4] On the number of primes in an arithmetic progression, Proc. Lond. Math.
Soc, 39 A935), 116—141.
Пой a (Polya G.)
[1] Ober die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste, Gottinger
Nachr. A918), 21—29.
П о й а, С е г ё (Р 6 1 у a G., S z e g 6 G.)
[1] Задачи и теоремы из анализа, ч. 2, М., 1956.
Постников А. Г., Романов Н. П.
[1] Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотиче-
асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10 : 4 F6) A955), 75—87.
Прахар (Prachar K-)
[1] Ober Primzahldifferenzen, Mh. Math. Phys., 56 A952), 304—306.
[2] On integers having many reprensentations as a sum of two primes,
/. Lond. math. Soc, 29 A954), 347—350.
[3] Ober ein Resultat von A. Walfisz, Mh. f. Math., 58 A954), 114—116.
Райт (Wright E.)
[1] The elementary proof of the prime number theorem. Proc. Roy. Soc. Edin-
Edinburgh, A, 63 A952), 257—267.
P а м а н у д ж а н (R a m a n u j a n S.)
[1] Highly composite numbers, Collected papers, 85—86.
[2] Some formulae in the analytic theory of numbers, Messenger of Math..
45 A935), 253—261.
P а н к и н (R a n k i n R. A.)
[1] The difference between consecutive prime numbers, /. Lond. math. Soc,
13 A938), 242—247.
[2] The difference between consecutive prime numbers II, Proc. Cambridge
Phil. Soc, 36 A940), 255—256.
Реньи (Renyi A.)
[1] О представлении четного числа в виде суммы простого и почти про-
простого числа, И АН, сер. мат., 12 A948), 57—78.
[2*] Generalization of the „large sieve" of Ju. V. Linnik, Math. Centrum
A948), 1—5.

Литература 505
[3*] Probability methods in number theory, Publicationes math, colleciae, 1
A949), 1—9.
[4*] Un nouveau theoreme concernant les functions independantes et ses ap-
applications a la theorie des nombres, /. math, pares et appl. (N. S.), 28
A949), 137—149.
[5*] On the large sieve of Ju. V. Linnik, Compos, Math, 8 A950),
68—75.
[6*] Об одной общей теореме теории вероятностей и о ее применении в тео-
теории чисел, Zprary о spolecnem' 3 sjezdu matematiku Ceskoslovensych
a 7 sjezdu matematiku Polskych, Praha, 1950, 167—174.
[7*] On the probabilistic generalization of the large sieve of Linnik, Труды
математ. инстит. АН Венгрии, 2, вып. 3—4 A958), 199—206.
[8*3 New version of the probabilistic generalization of the large sieve, Ada
Math. Hungary, 10, 1—2 A959), 217—226.
P и м а н (Riemann B.)
[1] Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen GroSe, Monats-
her. Akad. Berlin, A859), 671—680.
Рихерт (Richert H. E.)
[1] Uber Zerfallungen in ungleiche Primzahlem, Math. Z., 52 A941),
342—343.
Риччи (Ricci G.)
[1] Sul pennelo di quasi asintoticita della differenza dei inter! primi consecu-
tivi I, II, Atti Accad. naz. Lincei Rend. (8), 17 A954), 192—196; A955),
347—351.
Родосский К. А.
[1] О распределении простых чисел в коротких арифметических прогрес-
прогрессиях, ИАН, сер. матем, 12 A948), 123—128.
[2] О нулях L-функций Дирихле, ИАН, сер. матем., 13 A949), 315—328.
[3] О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии, Матем.
сб., 34 G6) A954), 331—356.
Романов Н. П.
[1] Ober einige Satze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann., 109 A934),
668-678.
Pot (Roth K.)
[1*] On the large sieve of Linnik and Renyi, Mathematika, 12 A965), 1—9.
Сельберг A. (Selberg A.)
[1] On the normal density of primes in small intervalls and the difference
between consecutive primes, Arch. Math. Naturvid., 47, № 6 A943),
87—105.
[2] On an elementary method in the theory of primes, Norske Vid. Selsk.
Forh. Trondhjem, 19, № 18, A947), 64—67.
[3] An elementary proof of the prime number theorem, Ann. of Math. B),
50 A949), 305—313.
[4] An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic
progression, Ann. of Math. B), 50 A949), 297—304.
[5] An elementary proof of the prime number theorem for arithmetic progres-
progressions, Canad. J. Math., 2 A950), 66—78
Сельберг С. (Selberg S.)
[1] Note on the distribution of the integers ax2+by2+cz2, Arch. Math. Natur-
Naturvid., 50, JSIb 2 A949), 65—69.
Серпинский (Sierpinski W.)
[1] Ober die Summation der Reihe..., Prace mat. fis., 18 A907), 1—60.
[2] Remarque sur la repartition des nombres premiers, Colloquium Math.,
1 A948), 193—194.
[3] Sur une formule donnant tous les nombres premiers, C. /?., 235 A952),
1078—1079.

506 Литература
С к ь ю з (S k e w e s S.)
[1] On the difference л(х) — li (л:), Proc. Load. math. Soc. C), 5 A955),
48—69.
Степанов Б. В.
[1*] О среднем значении k-k степени числа классов для мнимого квадрати-
ческого поля, ДАН, 124, № 5 A959), 984—986.
Татудзава (Tatuzawa Т.)
[1] On the zeros of Dirichlefs L-functions, Proc. Jap. Acad., 26, № 9,
A950), 1 — 13.
[2] On the number of primes in an arithmetic progression, Jap. J. Math., 21
A951), 93—111.
T и т ч м а р ш (T itch marsh E. C.)
[1] On the zeros of the Riemann zeta-function, Proc. Load. math. Soc. B),
30 A929), 319—321.
[2] A divisor problem, Rendiconti Palermo, 54 A930), 414—429; 57 A933),
478—479.
[3] Теория функций, М., 1951.
[4] Теория g-функций Римана, ИЛ, М., 1953.
Т у р а н (Т u r a n Р.)
[1] On a theorem of Hardy and Ramanujan, /. Load. Math. Soc, 9 A934),
276—284.
[2] Uber die Primzahlen der arithmetischen Progression (II), Ada Sci. Math.
Szeged, 9 A938—1940), 87—192.
[3] Uber die Wurzeln der Dirichletschen L-Funktionen, Ada Sci. Math. Sze-
Szeged, 10 A941 — 1943), 188—201.
[4] Eine neue Methode in der Analysis and deren Anwendungen, Budapest,
Akademiai Kiado, 1953.
Ф р и д л е н д e p B. P.
[1*] О наименьших степенных невычетах по простым модулям, Учен. зап.
Елабужск. гос. пед. института, 1 A956), 5—55.
Харди (Hardy G. Н.)
[1] Note on a theorem of Mertens, /. Load. Math. Soc, 2 A927), 70—72.
Харди, Л и т л в у д (Hardy G. II., L i 111 e w о о d J. E.).
[I] Contributions to the theory of Riemann Zeta-Function and the theory of
the distribution of primes, Ada Math., 41 A918), 119—196.
[2] Some problems of partitio numerorum III, On the expression of a num-
number as a sum of primes, Ada Math., 44 A923), 1—70.
Харди, Рамануджан (Hardy G. H., Ramanujan S.)
[1] The normal number of prime factors of a number n, Quart. J. of Math.,
48 A917), 76—92.
[2] Asymptotic formulae in combinatorial analysis, Proc. Lond. Math. Soc.
B), 17 A918), 75—115.
Харди, Ингам, Пой a (Hardy G. H., Ingham A. E., Poly a G.)
[1] Theorems concerning mean values of analytic functions, Proc. Royal
Soc. (A), 113 A936), 542—569.
Хасельгров (HaselgroveC. В.)
[1] Some theorems in the analytic theory of numbers, /. Lond. Math. Soc,
26 A951), 273—277.
X а с с e (H a s s e H.)
[1] Введение в теорию чисел, М., 1953.
Хейльбронн (Heilbronn Н.)
[1] On the class number in imaginary quadratic fields, Quart. J. Oxford, 5
A934), 150—160.
Хохайзель (HoheiselG.)
[1] Primazahlprobleme in der Analysis, Sitzungsber. Berlin A930),
580—588.

Литература 507
Л о-ген (Ни a L. К.)
Аддитивная теория простых чисел, Труды мат. ин-та АН, 22 A947), 179.
An improvement of Vinogradov's mean-value theorem and several appli-
applications, Quart. J. Oxford, 20 A949), 48—61.
[3*] Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел,
«Мир», М., 1964.
Цассенхаус (ZassenhausH.)
[1] Ober die Existenz von Primzahlen in arithmetischen Progressionen,
Comment, math. Helvetici, 22 A949), 232—259.
Чанг (Chang Т. Н.)
[1] Ober aufeinanderfolgende Zahlen, von denen jede mindestens einer von n
linearen Kongruenzen gentigt, deren Moduln die ersten n Primzahlen
sind, Schriften des math. Seminars Berlin A938), 35—55.
Ч е б ы ш е в П. Л.
[1] Теория сравнений, СПб, 1849.
[2] Memoires presentes a l'Academie Imperiale des sciences de St. Peters-
bourg par divers savants, 7 A850—1854), 15—33; /. Math. A), 17
A852), 366—390.
Човл a (Chowla S.)
[1] On the least prime in the arithmetical progression, /. Ind. Math. Soc.
B), 1 A934), 1—3.
Чудаков Н. Г.
[1] О плотности совокупности четных чисел, непредставимых как сумма
двух нечетных простых, И АН, сер. матем., A938), 25—40.
[2] Введение в теорию L-функций Дирихле, М.—Л., 1947.
[3] On Goldbach—-Vinogradoffs theorem, Ann. Math., 48 A947),
515—545.
'4] О конечной разности для функции i|)(x, k, /), ИАН, сер. мат., 12 A948),
р д фуц |(, , ), ,
О нулях функции ?(s), ДАН, 1, 5 A936), 197—200.
On zeros of Dirichlet's L-functions, Матем. сб., 1 D3) A936), 591—602.
О суммах МУеуГя, Матем. сб., 2 D4) A937), 17—35.
О ф l() () ДАН 21 A938) 425426
у у, , () (),
0 функциях l(s) и л(х), ДАН, 21 A938), 425—426.
Чулановский И. В.
[1] Некоторые оценки, связанные с новым методом Selberg'a в элементар-
элементарной теории чисел, ДАН, 63 A948), 491—494.
Шапиро (S h a p i г о Н. N.)
[1] On the number of primes less than or equal x, Proc. Amer. math. Soc,
1 A950), 346—348.
[2] On primes in arithmetic progressions II, Ann. of Math. B), 52 A950),
231-243.
Шмидт (Schmidt E.)
[1] Uber die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze, Math. Ann.,
57 A903), 195—204.
Шнирельман Л. Г.
[1] Об аддитивных свойствах чисел, Изв. Донского Политехи, ин-та (Ново-
(Новочеркасск), 14 A930), 3—28; Math. Ann., 107 A933), 649—690. '
Эйлер (Е u I er L.)
[1] Varia observationes circa series infinitas, Comment. Acad. Sci. Imp.
PetropoL, 9, A737, 1744), 160—188.
Эрдёш (Erdos P.)
[1] On the difference of consecutive primes, Quart. J. Oxford, 6 A935),
124-128.
[2] On the normal number of prime factors of p—1 and some related pro-
problems concerning Euler's ф-f unction, Quart. J. Oxford, 6 A935),
205—213.

508 Литература
[3] On the easier Waring problem for powers of primes I, Proc. Cambridge
phil. Soc, 33 A937), 6—12.
[4] On the sum and the difference of squares of primes, /. Load. Math. Soc,
12 A937), 133—136, 168—171.
[5] The difference of consecutive primes, Duke Math. /., 6 A940), 438—441.
[6] On some applications of Brun's method, Ada ScL Math, Szeged, 13
A949), 57-63.
[7] On a new method in elementary number theory which leads to an ele-
elementary proof of the prime number theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
35 A949), 374—384.
[8] Problems and results on the difference of consecutive primes, Publ.
Math. Debrecen, 1 A949—1950), 33—37.
[9] On integers of the form 2k + p, Summa Brasil. Math., 2 A950),
113 123
[10*] Szameimeleti megjegyzesek 1, Math. Lapok, 12, № 1—2 A961), 10—17.
Эрдёш, Реньи (ErdosP., Renyi A.)
[1] Some problems and results on consecutive primes, Simon Stevin, 27
A950), 115—125.
Эрдёш, Туран (ErdosP., Turan P.)
[1] Ein zahlentheoretischer Satz, Mitt. Forsch. Inst. Math. u. Mech. Univ.
Tomsk, 1 A935), 101—103.
Эстерман (Estermann Th.)
[1] On Goldbach's problem: Proof that almost all even positive integers are
sums of two primes, Proc. Lond. Math. Soc. B), 44 A938), 307—314.
[2] On Dirichlet's L-Functions, /. Lond. Math. Soc, 23 A948), 275—279.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 5
Предисловие 6
Введение 9
Глава А Элементарные результаты 17
§ 1. Некоторые свойства простых чисел 17
§ 2. Простейшие оценки л(х) 19
§ 3. Истинный порядок л(х) 24
§ 4. Суммы и произведения по простым числам 28
§ 5. Различные применения 31
Задачи к главе I 37
Глава //. Методы решета 40
§ 1. Обозначения . 40
§ 2. ц-функция Мёбиуса 40
§ 3. Метод решета А. Сельберга 44
§ 4. Примеры на метод решета 50
Задачи к главе II 62
Глава IIL Теорема о простых числах 65
§ 1. Введение 65
§ 2. ^-функция Римана 65
§ 3. Связь между —?'/? и ФМ . , 69
§ 4. О нулях ?(s) 73
§ 5. Дальнейшие применения метода комплексного интегрирования , 82
§ 6. Элементарное доказательство теоремы о простых числах . . . 94
Задачи к главе III 107
Глава IV* Простые числа в арифметической прогрессии 112
§ 1. Введение .112
§ 2. Характеры 115
§ 3. L-функции и теорема Дирихле 119
§ 4. Необращение в нуль L(\+it, %) . 123
§ 5. О нулях L-функции вблизи прямой сг= 1 . 129
§ 6. Действительные нули L-функций с действительными характерами.
Примитивные характеры ...... 140
§ 7. Число простых чисел в арифметической прогрессии 150
§ 8. Теорема Зигеля 159
Задачи к главе IV 165
Глава V. Различные применения 167
§ 1. Введение 167
§ 2. О простых числах в арифметической прогрессии 167
§ 3. О числах вида pi + p2 170
§ 4. Разность между соседними простыми числами 175
§ 5. Большие приращения соседних простых чисел .,,.,.,. 179

510 Оглавление
§ 6. Цепочки больших приращений последовательных простых чисел . 186
§ 7. О числе делителей чисел вида р—1 187
§ 8. Теорема Романова . . 191
Задачи к главе V .197
Глава VI. Проблема Гольдбаха 202
§ 1. Введение 202
§ 2. Введение тригонометрических сумм 203
§ 3. Формулы приближения (дроби с малыми знаменателями) . . . 204
§ 4. Разбиение области интегрирования 208
§ 5. Главный член проблемы 209
§ 6. Остаточный член проблемы 214
§ 7. О представлении четных чисел в виде суммы двух простых чисел 226
Задачи к главе VI 234
Глава VII. Теоретико-функциональные свойства L-функций. Явные фор-
формулы 235
§ 1. Функциональное уравнение 235
§ 2. Разложение частного -т- (s,%) 246
§ 3. Дальнейшие сведения о нулях функции L(s, %) 249
§ 4. Явные формулы 255
§ 5. Гипотеза Римана и ее следствия 267
§ 6. Другая явная формула 269
§ 7. О наименьшем простом числе в арифметической прогрессии . . 271
§ 8. Нерегулярность в распределении простых чисел 278
Задачи к главе VII 295
Глава VIII. Тригонометрические суммы 296
§ 1. Введение 296
§ 2. Метод Вейля . 297
§ 3. Применение к оценке ?(s, w) 304
§ 4. Метод И. М. Виноградова 307
§ 5. Применение к оценке t(s,w) 327
§ 6. Следствия для нулей L(s, %) 330
Глава IX. Теоремы о плотности нулей L-функций и их применения в
теории простых чисел .... 336
§ 1. Вертикальное распределение нулей 336
§ 2. Распределение простых чисел в „коротких" арифметических про-
прогрессиях .... 354
§ 3. О разности между последовательными простыми числами . . . 361
§ 4. Более точные оценки для ?G2 + #,яу) 365
Задачи к главе IX 371
Глава X. Наименьшее простое число в арифметической прогрессии . . 372
§ 1. Введение 372
§ 2. Плотность нулей L-функций в окрестности точки s—\ .... 373
§ 3. Влияние исключительного нуля на остальные нули 393
§ 4. Доказательство теоремы Линника 411
Задачи к главе X 419
Приложение 420
§ 1. Частное суммирование и аналогичные преобразования .... 420
§ 2. Некоторые свойства рядов Дирихле 423
§ 3, Некоторые формулы обращения 427

Оглавление 511
§ 4. Некоторые вспомогательные теоретико-функциональные теоремы 433
§ 5. Целые функции конечного порядка 438
§ 6. Г-функция 447
§ 7. Теорема Фрагмена — Линделёфа 449
§ 8. Теорема Литлвуда ¦ 451
§ 9. Некоторые теоремы выпуклости 455
§ 10. Аппроксимационная теорема Дирихле 460
§ 11. Почленное интегрирование рядов 461
§ 12. Некоторые неравенства 462
Добавление I. Большое решето. М. Б. Барбан, А. II. Виноградов 464
Добавление II. О методе тригонометрических сумм. И. М. Коробов 479
Литература 500

К- Прахар
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Редакторы Д. В. Беклемишев
и Г. М. Ильичева
Художник Б. И. Астафьев
Художественный редактор
В. И. Шаповалов
Технический редактор А. Д. Хомяков
Сдано в производство 6/VI 1967 г.
Подписано к печати 23/XI 1967 г.
Бумага тип. N& 3 бОхЭО'Дв = 16 бум. л.
Усл. печ. л. 32. Уч.-изд. л. 29,76.
Изд. № 1/3143. Цена 2 р. 25 к. Зак. 752.
~ ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени
Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати
при Совете Министров СССР,
Измайловский проспект, 29