/
Автор: Кох К.
Теги: теория чисел математика алгебра элементарная алгебра точные науки
ISBN: 0233-6723
Год: 1990
Текст
РГАСНТИ 27.15.25 ISSN 0233-6723
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ СССР АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ПО НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ВСЕСОЮЗНЫЙ ИНСТИТУТ НАУЧНОЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
(ВИНИТИ)
ИТОГИ НАУКИ И ТЕХНИКИ
СЕРИЯ
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИКИ
Фундаментальные направления
Том 62
Научный редактор н составитель
член-корреспондент АН СССР Р. В. Гамкрелидзе
Серия издаетси с 1985 г.
МОСКВА 1990
1-6164
УДК 511.2
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
К. Кох1
Научный редактор-составитель тома
В. Г. Чирский
Автор X. Кох
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 9
Глава 1. Основы теории чисел 11
§ 1. Порядки в алгебраических числовых полях 11
1.1. Модули и порядки 13
1.2. Классы модулей 15
1.3. Группа единиц порядка 18
1.4. Группа единиц действительного квадратичного числового поля 21
1.5. Целые представления рациональных чисел полными формами, 22
1.6. Бинарные квадратичные формы и полные модули в квадра-
квадратичных числовых полях 23
1.7. Представители классов модулей в квадратичных числовых
полях 2f>
§ 2. Кольца с теорией дивизоров 26
2.1. Единственность разложения на простые элементы ... 26
2.2. Понитне области с теорией дивизоров 28
2.3. Теория дивизоров для максимального порядка алгебраического
числового поля 30
§ 3. Дедекиндовы кольца 33
3.1. Определение дедекиидовых колец 33
3.2. Сравнения 35
3.3. Полулокализацин 36
3.4. Расширения дедекиндовых колец 36
3.5. Дифферента и дискримниаит 39
3.6. Несущественные делители дискриминанта 43
3.7. Нормальные расширения <Н
3.8. Идеалы в алгебраических числовых полях 47
3.9. Круговые поля 49
ЗЛО. Приложения к последней теореме Ферма. 1 .... 52
§ 4. Нормирования 54
4.1. Определение и первые свойства нормирований 55
4.2. Пополнение поля относительно нормирования 59
4.3. Полные поля с дискретным нормированием 60
4.4. Мультипликативная структура у-адического числового поля . 62
4.5. Продолжение нормирований 64
4.6. Конечные расширения »-адическнх числовых полей . . 67
4.7. Расширения Куммера 69
1 Перевод с англ. В. Г. Чирского
4.8. Аналитические функции в полных неархимедовски нормиро- -,
ванных полях Ii
4.9. Элементарные функции в Р-адическом анализе . . . ;| If.
4.10. Расширения Любниа — Тейта Л
•§ 5. Гармонический анализ на локальных и глобальных полях
5.1. Гармонический анализ на локальных полях, аддитивная -„
группа '"
5.2. Гармонический анализ на локальных полях, мультнпликатив- -„
ная группа 1„
5.3. Адели 7°
5.4. Идели bl
5.5. Подгруппы /(К)/Кх конечного индекса и группы лучевых „
классов jH
§ 6. L-ряды Гекке и распределение простых идеалов .... *jq
6.1. Локальная дзета-функция °^
6.2. Глобальное функциональное уравнение ®\
6.3. Характеры Гекке ?~
6.4. Функциональное уравнение для L-ряда Гекке *?,
6.5. Гауссовы суммы 96
6.6. Асимптотическое распределение идеалов н простых идеалов . ,9°
6.7. Теорема Чеботарёва о плотности J0O
6.8. Плотности Кронекера и теорема Баузра J01
6.9. Теорема о простых идеалах с остаточным членом . . . . J03
6.10. Явные формулы '03
6.11. Оценки дискриминанта '05
Глава 2. Теория полей классов |06
§ 1. Основные теоремы теории полей классов '09
1.1. Теория полей классов для абелевых расширений поля . . '09
1.2. Поле классов Гильберта Но
1.3. Локальная теория полей классов Ill
1.4. Группа классов нделей нормального расширения . . . . 11,3
1.5. Глобальная теория полей классов 114
1.6. Функториальное поведение норменного символа ... П5
1.7. Общий закон взаимности Артина 117
1.8. Символ степенного вычета 118
1.9. Норменный символ Гильберта 119
1.10. Закон взаимности для символа степенного вычета . . . 120
1.11. Теорема о главных идеалах 122
1.12. Локально глобальные соотношения 122
1.13. Дзета-функцня абелева расширения 124
§ 2. Комплексное умножение . . 126
2.1. Основной многочлен 126
2.2. Первая основная теорема 127
2.3. Закон взаимности 127
2.4. Построение поля лучевых классов 128
2.5. Алгебраическая теория комплексного умножении .... 130
2.6. Обобщение 130
§ 3. Когомологии групп 131
3.1. Определение групп когомологнй 131
3.2. Функториальность н длинная точная последовательность . . 132
3.3. Сдвиг размерности 133
3.4. Лемма Шапиро 134
3.5. Коограничеиие 134
3.6. Трансгрессия и последовательность Хохшильда—Серра . 135
3.7. Умножение классов когомологии 136
3.8. Модифицированные когомологии конечных групп .... 138
3.9. Когомологии циклических групп 140
3.10. Теорема Тейта 140
§ 4. Доказательства основных теорем теории полей классов . . 141
4.1. Приложение теоремы Тейта к теории полей классов . . . 141
4.2. Формации классов
4.3. Когомологии локальных полей
4.4. Когомологии иделей н классов иделей
4.5. Аналитическое доказательство второго неравенства . . . 150
4.6. Канонический класс для нормальных расширений 151
§ 5. Простые алгебры 153
5.1. Простые алгебры над произвольными полями .... 153
5.2. Приведённые след и норма 1st
5.3. Поля расщеплении 154
5.4. Группа Браузра 1Г>5
5.5. Простые алгебры над локальными полями 156
5.6. Структура группы Брауэра алгебраического числового поля 15
5.7. Простые алгебры над алгебраическими числовыми полями . 159
§ 6. Явные законы взаимности и символы 160
6.1. Явный закон взаимности Шафаревича 1б6
6.2. Явный закон взаимности Брюкнера и Востокова . . . . 162
6.3. Приложение к последней теореме Ферма. II 1б5
6.4. Символы 1G6
6.5. Символы У-адических числовых полей 1б7
6.6. Ручные и дикие символы ,168
6.7. Замечания о К-теорни Милнора 169
§ 7. Дальнейшие результаты теории полей классов 169
7.1. Теорема Шафаревича—Вейля 169
7.2. Универсальные нормы 170
7.3. О структуре группы классов идеалов 170
7.4. Spiegelungssatz Леопольдта 172
7.5. Когомологнй мультипликативной группы .... 174
Глава 3. Группы Галуа 175
§ 1. Когомологин прокопечных групп 175
1.1. Обратные пределы групп и колец 176
1.2. Проконсчные группы 178
1.3. Сверхнатуральные числа 108
1.4. Про- р-группы и силовские р-группы 180
1.5. Свободные проконечные, свободные проразрешимые и свобод-
свободные про- р-группы 181
1.6. Дискретные модули 181
1.7. Индуктивные пределы в С 182
1.8. Теория Галуа бесконечных алгебраических расширений . 183
1.9. Когомологии проконечных групп 186
1.10. Когомологическая размерность 186
1.11. Дуализирующий модуль 187
1.12. Когомологии про- р-групп 188
1.13. Представление про- р-групп с помощью образующих и со-
соотношений 189
1.14. Группы Пуанкаре 111
1.15. Структура соотношений и произведение классов когомологии 193
1.16. Групповые кольца и теорема Голода—Шафаревича . . \9\
§ 2. Когомологии Галуа локальных и глобальных полей . . . . '196
2.1. Примеры когомологий Галуа для произвольных полей . . 196
2.2. Алгебраическое замыкание локального поля 197
2.3. Максимальное р-расширение локального поля 199
2.4. Группа Галуа локального поля 201
2.5. Максимальное алгебраическое расширение с заданным ветв-
ветвлением . . 203
2.6. Максимальное р-расширение с заданным ветвлением . . 206
2.7. Задача о башне полей классов 209
2.8. Оценки сверху для дискриминанта 211
¦§ 3. Расширения с заданными группами Галуа 212
3.1. Задачи погружения 213
3.2. Задачи погружения для локальных и глобальных полей . . 215
3.3. Расширения с предписанной группой Галуа порядка, равного
степени / 216
3.4. Расширения с предписанной разрешимой группой Галуа . . 218
3.5. Расширения с предписанным локальным поведением . . . 219
3.6. Реализация расширений с предписанном группой Галуа с по-
помощью теоремы Гильберта о неприводимости 220
Глава 4. Абелевы поля 223
§ 1. Целые числа абелева поля 225
1.1. Координаты 225
1.2. Структура модуля Галуа кольца целых чисел абелева ноля . 225
§ 2. Арифметическая формула числа классов .997
2.1. Арифметическая формула числа классов для комплексных абе-
левых полей 227
2.2. Арифметическая формула числа классов для вещественных
квадратичных полей 229
2.3. Арифметическая формула числа классов для вещественных
абелевых полей 230
2.4. Идеал Штикельбергера „^2
2.5. О р-компоненте группы классов поля 035
2.6. Приложение к последней теореме Ферма. Ill ^п
§ 3. Теория Ивасавы Г-расширений ^Jj
3.1. Теория полей классов Г-расшнрений ^л
3.2. Структура Л-модулей ^д
3.3. Группа р-классов Г-расширения ?j.j
3.4. Теорема Ивасавы . . . i^,
§ 4. р-адические L-функции "и-
4.1. Дзета-функция Гурвица ??
4.2. р-адические /.-функции ~?i
4.3. Сравнения для чисел Бернулли ^Jj
4.4. Обобщение на вполне вещественные числовые поля . . . ?е?
4.5. р-аднческая формула числа классов ~j_
4.6. Построение Ивасавы р-адических /.-функций ^j?|
4.7. Основная гипотеза -',-•
Глава 5. /.-функции Артина и структура модуля Галуа .... ?*>
§ 1. I-фуикции Артина ^2
1.1. Представления конечных групп -?г
1.2. /.-функции Артина ^
1.3. Круговые поля с числом классов 1 *™\
1.4. Мнимые квадратичные поля с малым числом классов . . . ^5
1.5. Представление Артина и кондуктор Артииа 2оо
1.6. Функциональное уравнение для /.-функций Артииа . . . *i
1.7. Гипотезы Старка о L-функциях Артииа при s = 0 . . . {
§ 2. Структура модуля Галуа и корневые числа Артина .... ^Lj
2.1. Группа классов 074
2.2. Структура модуля Галуа ручных расширений .... *'1
2.3. Дальнейшие результаты о структуре модуля Галуа . . . ~'Jj
Приложение 1. Поля, области и комплексы ?77
1.1. Конечные расширения полей ~__
АЛ.2. Теория Галуа i'L
А.1.3 Области ?!?
1.4. Комплексы *
Приложение 2. Квадратичные вычеты дяп
Приложение 3. Локально компактные группы 282
3.1. Локально компактные абелевы группы 282
3.2. Ограниченные произведения 283
Приложение 4. Числа Бернулли 28Ф
Таблицы 285
Литература 291
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этого сборника состоит в описании основных структур
и результатов алгебраической теории чисел. Основным предме-
предметом изучения являются алгебраические числовые поля. В сбор-
сборник, в основном, включены свойства алгебраических числовых
полей и связанных с ними структур, носящие общий характер.
Специальные результаты появляются лишь в виде примеров,
иллюстрирующих общие черты теории. Следовательно, этот
сборник нельзя считать обзором огромного количества литерату-
литературы, посвященного алгебраическим числовым полям. По поводу
такого обзора мы отсылаем читателя к Итогам науки и техники.
Серия Алгебра. Топология. Геометрия.
С другой стороны, важные части алгебраической теории чи-
чисел такие, как теория полей классов, имеют аналоги для дру-
других типов полей, например, полей функций от одной переменной
над конечными полями. Более общая теория полей классов яв-
является частью развивающейся теории полей конечной размер-
размерности. Эти аналогии и обобщения отмечаются лишь в несколь-
нескольких случаях. Из приложений алгебраической теории чисел к тео-
теории диофантовых уравнений рассмотрены вопросы теории пол-
полных форм, в особенности бинарных квадратичных форм (глава
1.1.5—1.1.7) а также приложения к последней теореме Ферма
(главы 1.3.10, 2.6.4, 24.2.6).
Часть алгебраической теории чисел служит основой для
других разделов математики таких, как арифметическая алгеб-
алгебраическая геометрия и теория модулярных форм. Это относится
к главе 1 «Основы теории чисел», главе 2 «Теория полей клас-
классов» и к части главы 3 «Когомологии Галуа». Эти области пред-
представлены с большей подробностью, чем остальные части теории.
В связи с принципами этой энциклопедии, мы не даем, вооб-
вообще говоря, ссылок на историю результатов, указывая лишь
окончательные или наиболее удобные источники рассматривае-
рассматриваемых результатов. Большинство параграфов или пунктов содер-
содержат, вслед за заглавием, основные ссылки, служившие основой
изложения материала в этом параграфе или разделе.
Все главы и некоторые параграфы содержат детальное вве-
введение в их предмет. Поэтому здесь мы сделаем лишь некоторые
технические замечания. В конце теорем, предложений, лемм,
доказательств нли упражнений стоит знак ? или и. Знак ?
означает, что теорему, предложение, лемму или упражнение по-
получить нетрудно, или что дан полный набросок доказательства.
Знак и означает, что для доказательства нужны идеи, которые
не объяснены в сборнике, либо объяснены лишь отчасти.
Используются стандартные обозначения из книг Бурбаки,
такие, как Z — кольцо целых чисел, Q — поле рациональных
чисел, R — поле вещественных чисел, С — поле комплексных чи-
чисел. Для любого кольца Л с единичным элементом Лх обозна-
чает группу единиц, т. е. группу обратимых элементов, а Л*
обозначает полугруппу элементов, отличных от 0. Кроме того,
,jxn обозначает группу корней из единицы порядка, делящего п.
Для любого множества М обозначаем через |Л1| мощность М.
Глава 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Первая цель алгебраической теории чисел состоит в обоб-
обобщении теоремы о единственности представления натуральных
чисел в виде произведений простых чисел на случай алгебраи-
алгебраических чисел. Гаусс в _1832 году [99] рассмотрел кольцо Z[f—1]
всех чисел вида а+У—1 Ь, где о, biZ, и показал, что в этом
кольце разложение на простые элементы единственно (см.
§ 2.1). Он ввел эти числа для развития своей теории биквадра-
тичных вычетов. Другой повод для изучения арифметики алгеб-
алгебраических чисел появляется из теории диофантовых уравнений.
Например, квадратичная форма /(*,, x2)=xl2—Dx22, где D6Z,
y/)$Z может быть записана в виде (jc,— у!)х~2) (л^+УД^г). Сле-
Следовательно, вопрос о представлении целых чисел формой
/(О], о2) при аи a2eZ можно переформулировать как вопрос о
разложении на множители алгебраических чисел вида а{-\-
+yDa2. Эти числа образуют модуль в поле QflD).
Начиная с 1840 года, Куммер [158] рассматривал кольцо чи-
чисел, имеющих вид ao+at%+ ... +ap-i?p~', «о, ..., ap.}eZ, где
p — простое число, а % — примитивный корень из единицы сте-
степени р, т. е. ?р=1 и %Ф1. Поскольку, в общем случае, в этом
кольце нет однозначности разложения в произведение простых
чисел, Куммер ввел «идеальные числа» и показал однозначность
разложения на идеальные простые множители. Это понятие
позволило ему доказать последнюю теорему Ферма во многих
новых случаях, используя тождество
р—i
хр — ур=* И (х — 1'у).
Глубокие и прекрасные результаты Куммера о круговых полях
Q(t) до сих пор служат образцом для исследований в алгебраи-
алгебраической теории чисел (см. гл. 4), но потребовалось почти 30 лет
для того, чтобы Кронекером и Дедекиндом было найдено пра-
правильное обобщение идеальных чисел Куммера в случае произ-
произвольных числовых полей К: следовало определить понятие це-
целого алгебраического числа. Целые алгебраические числа, со-
содержащиеся в поле К, образуют кольцо Ок(§ 1.1), которое яв-
10
•ляется естественной областью для обобщения однозначности
разложения на простые множители.
Существуют три метода введения арифметики в кольце Ок
Кронекер рассматривает многочлены с коэффициентами из О к
(§ 2.3). Дедекинд вводит идеалы в кольце Ок, определяя, тем
самым, одно из важнейших понятий алгебры, а третий метод,
принадлежащий Золотареву и Гензелю, использует то, что сей-
сейчас называется локализацией (§ 4).
Важная часть теории, в частности, теорема Дирихле о еди-
единицах, справедлива для колец О поля К таких, что K=Q(O),
160 и ОеОк, называемых порядками в поле К. Порядки и мо-
модули элементов в К появляются в связи с разложимыми форма-
формами (§ 1.5—1.6). Поэтому глава 1 начинается с теории модулей
и порядков в алгебраических числовых полях (§ 1). В § 2 опре-
определяется понятие кольца с теорией дивизоров и аксиоматически
формулируются естественно ожидаемые свойства арифметики
колец. Для области такая теория дивизоров всегда единствен-
единственна. Ее существование для кольца Ок будет показано методом
Кронекера. В § 3 систематически развивается теория идеалов
дедекиндовых колец, включая дифференту, дискриминант и
теорию групп ветвления. В настоящее время алгебраические
числовые поля изучаются как методами теории идеалов, так и
методами теории нормирований. Последняя, будучи третьим из
вышеупомянутых, представлена в § 4. /7-адический анализ, ко-
который является существенной частью методов теории нормиро-
нормирований, развивается здесь лишь в пределах, требующихся для
дальнейшего. С дополнительной информацией можно познако-
познакомиться в [6]. В § 5 изучается гармонический анализ в локальных
и глобальных полях, а § 6 посвящен изучению L-рядов и их
приложению к арифметике алгебраических числовых полей.
Глава 1 охватывает содержание многочисленных книг по
алгебраической теории чисел, служащих введением в эту об-
область. Упомянем лишь следующие: Артин [36], 3. И. Боревич,
И. Р. Шафаревич [6], Эйхлер [87], Хассе [112], Гекке [120],
Ленг [161], Наркевич [193], Вейсс [275], А. Вейль [276].
Книги Артина [36], Эйхлера [87], Хассе {122] являются введе-
введениями как в теорию алгебраических чисел, так и в теорию ал-
алгебраических функций. Наркевич [193] содержит обширный об-
обзор результатов по элементарной и аналитической теории алгеб-
алгебраических чисел и полную библиографию в этой области.
§ 1. Порядки в алгебраических числовых полях
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаре-
Шафаревич [6, гл. 2].
В этом сборнике изучаются алгебраические числа. Комплекс-
Комплексное число а называется алгебраическим, если оно удовлетворяет
IT
уравнению вида
где аь ..., anGQ.
Алгебраическое числовое поле К представляет собой лежа-
лежащее в С конечное расширение поля Q. Оно всегда имеет вид
K=Q(a), где а—алгебраическое число. Степень [К : Q] поля К
над полем Q называется степенью К-
Первая цель алгебраической теории чисел состоит в распро-
распространении арифметики в Z и Q на алгебраические числовые
поля.
Под арифметикой в Z имеется в виду однозначность разло-
разложения натуральных чисел в произведение простых чисел. Ариф-
Арифметика в Q определяется арифметикой в Z: любое reQ\{0} имеет
однозначно определенное представление
где произведение взято по всем простым числам р, а числа
иб{0, 1}, vp(r) однозначно определяются числом г.
Если мы хотим обобщить арифметику поля Q на алгебраи-
алгебраическое числовое поле К, то, прежде всего, мы должны дать от-
ответ на вопрос о том, что является правильным обобщением коль-
кольца Z? Это должно быть кольцо Эв К, обладающее следующими
свойствами:
1. К — поле частных кольца О.
2. DflQ = Z.
3. Аддитивная группа кольца О конечно порождена. Кольцо
в поле К, обладающее такими свойствами, называется поряд-
порядком в К.
Легко видеть (см. пример 2), что для K?=Q существует бес-
бесконечное множество порядков в К. Но в § 1.1 будет показано,
что существует единственный максимальный порядок Ок, со-
содержащий все порядки в К, причем элемент а поля К принад-
принадлежит Ск тогда и только тогда, когда при некотором s сущест-
существуют целые числа аи .... о, такие, что
Более того, в § 2 мы увидим, что Ок представляет собой естест-
естественное обобщение кольца Z в том смысле, что в Ок можно
построить арифметику. Элементы Ок называются целыми в К
и любое комплексное число а, удовлетворяющее некоторому
уравнению вида A.0), называется целым алгебраическим чис-
числом.
Порядки в числовом поле К естественно возникают в связи
с модулями в К: в этом параграфе модуль m в К представляет
собой конечно порожденную подгруппу в К+. Так как К+ —
группа без кручения, m является свободным Z-модулем ранга
12
^[К: Q]. Модуль m называется полным (или решеткой в К),
если его ранг равен числу [К: Q].
Модули играют важную роль в арифметике поля К и в тео-
теоретико-числовых вопросах, связанных с алгебраическими чис-
числовыми полями (§ 1.5—1.7). Таким образом, мы начинаем изу-
изучение модулей и порядков.
1.1 Модули и порядки. Пусть ш, и т2 —модули в К. Тогда
произведение т]Шг — это абелева группа, порожденная элемен-
элементами Ц1Ц2, где fii€nib цг^Шг. Очевидно, что группа mim2 конечно
порождена, т. е. тдог является модулем в К.
Предложение 1.1. Число а из алгебраического числового
поля К является целым алгебраическим тогда и только тогда,
когда существует модуль ш={0} в К такой, что amcrm.
Доказательство. Пусть a — целое алгебраическое чис-
число из К. В качестве модуля ш примем модуль, порожденный 1,
а, а2 а", где n = [K : Q]. С другой стороны, если amcrm при
некотором абК и ц , ц, образуют базис т, то существуют
афЪ такие, что
2
при
Следовательно, det(a6(j—a{j)==0.
Пусть m—полный модуль в К. Тогда
O(m)={a6K|amc=m}
называется порядком модуля ш.х
Предложение 1.2. Порядок полного модуля m в К яв-
является порядком в поле К. Для любого порядка О в поле К
существует полный модуль в К такой, что О—О(т), например,
т=О2
Пример 1. Пусть K=Q(a), где a — целое алгебраическое
число. Тогда Z[a] — порядок в поле К.
Пусть соь .... (¦>„ — базис полного модуля m в поле К. Тогда
дискриминант cfo/Q (аи, ..., со„) (см. приложение 1.1) не зави-
зависит от выбора ©I, ..., со„. Эта величина называется дискрими-
дискриминантом ш и обозначается d(m).
Пусть р,, .... р\, — базис D(m) и пусть A$GLn(Q) такова,
что
(©,, .... ап)г*=А(?> р„)т
Тогда абсолютная величина |deM| определителя матрицы А
не зависит от выбора базиса. Она называется нормой m и обо-
обозначается jV(m). Легко видеть, что
d(m)=d(D(m))JV(mJ (l.l)
1 Прим. перев. Другое название — кольцо множителей модуля т.
2 Прим. перев. Это утверждение доказано, например, в книге 3. И. Бо-
ревича, И. Р. Шафаревича [6, стр. 105—106].
13
N(am)=NKtQ(a)N(vx), «GK*. A.2)
Число d(m) является рациональным, отличным от 0. Знак
числа d(m) определяется с помощью следующего утверждения.
Предложение 1.2а (Теорема Брилля о дискриминанте).
Пусть г\—число действительных, а 2г2 — число комплексных
вложений поля К в поле С. Тогда d(m) положительно тогда и
только тогда, когда число г2 — четное. (Наркевич [193, стр. 59].)
Пусть теперь О— порядок в поле К. Кроме предложения
1.2а, имеется еще одно простое утверждение о числе d(O).
Предложение 1.26 (Теорема Штикельбергера о дискри-
дискриминанте). Число d(O)—целое; причем d(O)==l или d(O)s==
^0 (mod 4). Наркевич [193, стр. 59])
Из теории конечно порожденных абелевых групп следует
Предложение 1.3. Пусть щщ— полные модули с одним
и тем же порядком О и т^Шг. Тогда число N(Ш2)IN(щ) рав-
равняется индексу [mi : m2]. D.
Основным результатом этого параграфа является
Теорема 1.4. Множество Ок всех целых алгебраических
чисел поля К является порядком в поле К, называемым макси-
максимальным порядком.
Доказательство. Пусть сиагбОк и пусть щ: = Х{а\\;
m2. = ZIa2]. Тогда (<Х]±о1.2)'&1ЩС1ЩЩ и ахаъщщащшъ. Следова-
Следовательно, Ок —кольцо, по Предл. 1.1. Остается показать, что Ок
конечно порождено. Пусть m — полный модуль, содержащийся
в Ок. Если т=^=Ок , то выберем а^Ок—т, и пусть (m, ai) —мо->
дуль в К, порожденный ш и aj. Тогда D((m, at)) является собст-
собственным делителем ?>(т). Если (т, а^^Ок, то выберем абОк—
— (m, ai) и так далее. Через конечное число шагов процесс за-
завершится с а. таким, что (ш, ось .... а.)=Ок.
Легко доказать следующие два предложения.
Предложение 1.5. Алгебраическое число а является це-
целым тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен
относительно Q имеет целые коэффициенты.
Предложение 1.6. Пусть
f(x) =хт+а,хп-1 . . . +<хт(-?)к [х]
и абК таково, что f(a)=^0. Тогда a — целое число поля К.
Пример 2. По определению, квадратичное числовое поле —
это алгебраическое числовое поле степени два. Существует
единственное свободное от квадратов число d6Z такое, что К=
= Q(Vd). Пусть
A> =
\-\-Vd)l2, cf=l(mod4),
ds 2,3 (mod 4),
Произвольный порядок в К имеет вид Df:=Z\fw], где f —
целое рациональное положительное число, называемое кондукто-
кондуктором О/.
Пример 3. Для числовых полей К степени >2 максималь-
максимальный порядок Ок не всегда имеет вид Z [а]. Пусть, например,
K=Q(p), где
тогда {1, ац) — базис
14
2—20+8=0.
Тогда ¦у=(Р+Р2)/2б0к и 1, р, f образуют базис модуля О к, но
не существует такого абОк , что DK=Z[a]. (Хассе[112, гл. 25.7],
Вейсс [275, стр. 170]).
Дискриминант йк :=с((Ок ) называется дискриминантом по-
поля К. Вместе со степенью [К : Q] дискриминант является важ-
важнейшим инвариантом алгебраического числового поля. По теоре-
теореме Эрмита о дискриминанте (теорема 1.10 а), существует лишь
конечное число алгебраических числовых полей с заданным
дискриминантом. Следовательно, можно классифицировать ал-
алгебраические числовые поля с помощью их степени и дискрими-
дискриминанта. Разумеется, сопряженные поля имеют одинаковые дис-
дискриминанты. Согласно примеру 2, дискриминант квадратичного
поля K=Q(~j/d) определяется равенствами
dK =<2, при d=l (mod 4), d к =4 d при ds2,3 (mod 4)
Это показывает, что квадратичное поле однозначно опреде-
определяется величиной его дискриминанта. В общем случае, для по-
полей более высокой степени, это неверно (пример 14.6). В таб-
таблице 5 на стр. 290 приведены попарно несопряжсиные вполне
действительные кубические поля с одинаковыми дискриминанта-
дискриминантами <!500 000. В гл. I, § 6.11 даны оценки дискриминанта и рас-
рассмотрены наименьшие дискриминанты полей заданной степени.
1.2. Классы модулей. Пусть О—порядок в алгебраическом
числовом поле. Очевидно, что для любого абКх полный модуль
аО имеет порядок О. Если все полные модули с порядком О
имеют вид аО при некотором абКх, то О — кольцо главных иде-
идеалов и в О есть арифметика, полностью подобная арифметике в
Z (см. § 2.1). В общем случае К действует на множестве М(О)
полных модулей с порядком О посредством умножения. Орбиты
этого действия называются классами модулей, т. е. класс моду-
модулей О состоит из всех модулей вида am, a^K*, для некоторого
фиксированного модуля meAI(D). Два модуля, принадлежащие
одному классу, называются эквивалентными. Число Л(О) клас-
классов модулей О служит мерой того, насколько О отличается от
области главных идеалов. В этом параграфе будет доказана
конечность числа Л(О).
Для приложения к теории квадратичных форм (§ 1.6) потре-
потребуется также более тонкая классификация модулей.
Алгебраическое число называется вполне положительным,
если все его действительные сопряженные числа положительны.
15
Модули mi и Юг называются эквивалентными в узком смысле,
если ni2 = ami с вполне положительным ссбК*.
Множество классов эквивалентных модулей с порядком О
будет обозначаться CL (О).
Теорема 1.8. CL (О) — конечное множество.
Используя геометрию чисел Минковского C. И. Боревич,
И. Р. Шафаревич, F, гл. 2, §3)]), получаем более точный ре-
результат:
Теорема 1.9. Пусть К — алгебраическое числовое поле,
имеющее Г\ действительных и 2г2 комплексных сопряжённых
(прилож. 1.2), где п : =[К : Q)—гг-\-2г2. и пусть m является
полным модулем в К с порядком О. Тогда существует абт та-
такое, что а#0 и
Теорема 1.8 следует из теоремы 1.9. Поскольку OSa"'m,
используя предложение 1.3 и A.1) и A.2), находим
[cr%:01 - N (or*.)-.
1.3)
Следовательно, в каждом классе из CL(D) есть модуль ш',
содержащий О такой, что [гп': О] — ограниченная величина. Из
теории конечно порождённых абелевых групп следует, что в
CL(O) имеется лишь конечное число таких модулей.
Для доказательства теоремы 1.9 рассматриваем полные моду-
модули, как решетки в R" следующим образом: пусть gx ...,gft,
— действительные изоморфизмы поля К и gr,+i, gr+), ..., gr, gn—
пары сопряженных комплексных изоморфизмов поля К, где г =
=r,-fr2. Тогда
Ф:а-»-(?,а gria,
..., Im gra)
определяет вложение К в Rn. Легко видеть, что для
образ Ф(т) представляет собой решетку в Rn с дискриминан-
дискриминантом 2-r2y|d(m)|.
Мы собираемся применить к Ф(т) следующую геометриче-
геометрическую теорему.
Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть L — решётка
в Rn с дискриминантом 1. Пусть, далее, М — выпуклое замкну-
замкнутое множество в Rn, центрально симметричное относительно
начала координат и имеет объём V(M), причём V(M)^2"l.
Тогда в М содержится хотя бы одна точка L, отличная от на-
начала координат. В (Хассе [112], гл. 30.2)
Применение теоремы Минковского о выпуклом теле основа-
основано на следующей лемме.
16
Лемма. Пусть тбЩО) и М — выпуклое замкнутое тело,
центрально симметричное относительно начала координат и
содержащееся в множестве
(-1
11
v = l
г
п
V = rl + 1
Тогда в ш существует такое ос=^0, что
A.4)
Доказательство. Применим теорему Минковского к
множеству М и решетке ^Ф(т), где 00 удовлетворяет равен-
равенству
V (М) = B<)" 2~" V\ d (m) |.
Тогда предположения теоремы выполнены. Следовательно, су-
существует элемент ^Ф(а)=^=0 в /Ф(ш) такой, что абт. Из того,
что /Ф(а)б1М, следует A.4)
Осталось выбрать множество М. Положим
г (
V
v-1
к
+ 2
V
Г
V
~~г
+1
Xv + t'Xv + r,
Очевидно, что это — выпуклое замкнутое множество в Rn,
центрально симметричное относительно начала координат. По-
Поскольку среднее геометрическое не превосходит среднего ариф-
арифметического, M^N. Вычисляя объём множества М:
1/(Ж) =
получаем теорему 1.9.
Пример 4. Пусть К =
d,
Гж
П пп
, как в примере 2. Тогда
(mod4),
Согласно A.3), для вычисления CL(DK) следует рассматривать
полные модули ю.''^>ОК такие, что
у, 1
rJ •lrV|d(DK)|.
а) Пусть d <0 и, следовательно, г2==1. Тогда
^)-^-/|^ЧОкТ|<2 при |rf(DK)|<10.
Следовательно, |CL(DK)| = 1 при d== — 1, —2, —3, —7.
2-GM4- 17
б) Пусть rf>0, откуда r2 —0. Тогда
странство U пространства R1", определяемое следующим обра-
образом
-T]'\d(DK)\<2 при |
Поэтому |CL(?>K)| = 1 при d = 2,3,5. D
Применяя теорему 1.9 к m = ?> = ?>*, находим
1<| Wk/q(<x)|«
Тем самым, доказана следующая теорема Минковского о
дискриминанте:
Теорема 1.10. Пусть К—алгебраическое числовое поле,
имеющее гх действительных и 2г2 комплексных сопряжённых
изоморфизмов в поле С. Тогда
I Л \'?rt П2"
I " (лМ i - [-f ) -(n[J
и, в частности, |d@K)|>l при л> 1. П
Далее, используя формулу Стирлинга, получаем оценку
при п>1, называемую границей Минковского для дискрими-
дискриминанта (см § 6.11 и гл. 3.2.8 по поводу дальнейших результатов
об оценке дискриминанта).
Теорема Минковского о выпуклом теле используется и в до-
доказательстве следующей теоремы Эрмита о дискриминанте:
Теорема 1.11. Пусть N— натуральное число. Тогда суще-
существует лишь конечное число алгебраических числовых полей К,
для которых |d(?)ic)|^V- ?
(Наркепич [193, теорема 2.11]).
1.3. Группа единиц порядка. Пусть О — порядок в алгебра-
алгебраическом числовом поле К, имеющем Г\ действительных и 2г2
комплексных сопряжённых изоморфизмов. Структура груп-
группы О' обратимых элементов в D описывается следующей
теоремой Дирихле о единицах.
Теорема 1.12. Ох представляет собой прямое произведе-
произведение конечных циклических групп корней из 1 в О и свободной
абелевой группы ранга гх-\-г2—1.
Доказательство теоремы 1.12 проводится в несколько эта-
этапов.
а) Пусть g, . . ., gn те же, что и в доказательстве теоремы 1.9,
и положим /,= 1 при v = l, .. ., г{ и /v=2 при v=/"i + l, ..., г.
Логарифмические компоненты а*Кх определяются как
/,(ос) : =Uog|g\,a| при v=l,...,r. Положим, далее /(а) : =
= (/i(а), ...,/,¦ (а)). Тогда I является гомомрофилмом Кх в ад-
аддитивную группу Rr. Кроме того, Ох отображается в подпро-
Л&
б) Ядро отображения /: D*->Rr конечное. Это следует из
леммы.
Лемма 1.13. Пусть с — положительное действительное чис-
число. Тогда существует лишь конечное множество абО таких, что
|gva|^c при v=l п.
Доказательство. Пусть to , ©„ — базис О, а
xi,...,хп — взаимный базис (приложение 1.1). Для а=
= /i|ioi-f- ... +/inu)n, /tv6Z имеем
/*v =trK/Q (axv) = g,ag,y.v+ ... -f gnagnr.v,
|Av|<c([g,>:v | + ...-f | gv>:v I), v=l, ...,n. П
Так как ядро / — конечная группа, она является группой кор-
корней из единицы, а так как все корни из единицы в О отобра-
отображаются посредством / в 0, ядро / является группой всех корней
из единицы в О.
в) Из леммы 1.13 следует, что /(Ох)—дискретная подгруп-
подгруппа U и, так как векторное пространство V имеет размерность
г—1, абелева группа 1(ОХ) имеет ранг <У—1.
г) Для завершения доказательства теоремы 1.11 осталось
показать, что ранг /(Ох) не меньше, чем г—1. В этом и со-
состоит основная проблема. Дирихле решил её с помощью своего
знаменитого принципа «ящиков», а Мииковский применил
геометрию чисел (см. 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич [6,
гл. 2, § 4] по поводу этого последнего подхода). Здесь мы
объясним метод Дирихле.
Принцип «ящиков» состоит в том, что если некоторое ко-
количество предметов требуется уложить в меньшее количество
ящиков, то в некотором из ящиков окажется не менее двух
предметов. Теорема Минковского о выпуклом теле (§ 1.2) мо-
может рассматриваться, как уточнение принципа Дирихле.
Ограничимся случаем действительного квадратичного по-
поля К, в котором идея доказательства показана в простейшей
нетривиальной ситуации (также см. Кох [147, 19.7] по поводу
доказательства в общем случае).
Лемма 1.14. Пусть g — нетривиальный автоморфизм по-
поля К и пусть A>ь ©г — базис О. Положим
и: = max
-f
| +
!}•
Тогда для любого положительного действительного числа с су-
существует число ydO такое, что
|Tl |К/о(т)|
Доказательство. Пусть k — натуральное число и
для v=l,2}.
19
По определению и, имеем
при бей (ft).
Применим принцип Дирихле следующим образом: для
66Й(?) имеем —и?<б<г/?. Положим d : ^2uk/(k2+l), отку-
откуда d<2u/k. Разделим интервал [—uk, uk) на подынтервалы
длины d. Эти подынтервалы играют роль «ящиков», б принад-
принадлежит некоторому из них. Если б лежит на границе двух со-
соседних промежутков, то мы включаем его в один из этих про-
промежутков. Так как в Й(?) имеется (?+1J чисел, а количе-
количество промежутков равно #4-1, хотя бы один из этих промежут-
промежутков содержит два различных числа а, р из Q(k). Положим
Y •" =а—р. Тогда
Теперь видно, что при достаточно большом k лемма 1.13 спра-
справедлива. ?
С помощью леммы 1.14 построим единицу ебОх такую, что
|е|<1 следующим образом. Существует бесконечная последо-
последовательность yi, Y2. • • • чисел из О таких, что
ЛГк/оЫ<2лг2 при V—1,2, ...
М>М>... A-5)
Так как натуральные числа |Af(-yv)| ограничены, можно без
ограничения общности считать, что все они равны между собой.
Но существует лишь конечное число попарно различных
неассоциированных чисел '^бО с фиксированной величиной
|jV(y) |. Это будет доказано в следующей лемме.
Лемма 1.15. Пусть'а, рбО таковы, что \N(а) \ — \N($) \ =а
и а—р<'оО. Тогда аир ассоциированы, т. е. а/[} является еди-
единицей в О.
Доказательство. Так как а—$=а8 и 6<О,
Возьмем ассоциированные числа fi. "f2fD, удовлетворяющие
A.5). Тогда для e=Y2Yi"' имеем |р.|<1. Следовательно, ранг
Z(OX) не меньше 1. Это завершает доказательство теоремы 1.11
в случае действительного квадратичного поля К.
Вернёмся теперь к общей ситуации алгебраического число-
числового поля К степени п с гх действительными и 2г2 комплексны-
комплексными сопряжёнными, г :
Множество {ei, ..., er-i} единиц в О называется фундамен-
фундаментальной системой единиц О, если векторы 1(ъ\). .... 1{гг-\) по-
порождают абелеву группу 1(?>х). Число
не зависит от выбора последовательности изоморфизмов
g\,...,gr-i- Более того, величина Я(г\,..., er-i) одинакова для
любой фундаментальной системы единиц порядка О. Она на-
называется регулятором /?(?)) порядка О. В случае г=1 пола-
полагаем Л(О) = 1. Из линейной независимости Z(ei), .... /(er-i)
следует, что R(О)=И=0.
1.4. Группа единиц действительного квадратичного числово-
числового поля. В случае действительного квадратичного поля
K = Q(yd) имеем г=2 и поэтому фундаментальная система еди-
единиц состоит из одной единицы. Существует прекрасный метод
вычисления фундаментальной единицы порядка D/ = Z[o)f], ко-
который будет изложен в этом разделе. Мы сохраняем обозначе-
обозначения из примера 2. Этот метод связан с алгоритмом разложения
в непрерывную дробь. Начнём с некоторых определений и фак-
фактов, относящихся к этому алгоритму.
Пусть сс>1 — действительное иррациональное число. С чис-
числом а можно связать рекуррентную бесконечную последова-
последовательность [аьа2,...] натуральных чисел, полагая ai=^[u] (це-
(целая часть числа a),«2=(a—Qi) na,, = [an].
Последовательность [аи а2,.. ] является периодической в
том и только в том случае, когда Q(a)—действительное квад-
квадратичное поле и чисто периодической тогда и только тогда,
когда а>1 приведено, т. е. 1/а'>1, где а! обозначает сопря-
сопряжённое с а число. Если [аь а2,... ] имеет период at а,+„
то мы пишем
' Определение ассоциированных элементов лано на стр. 42
[а,, ..., а,_,, а,, ..., а,-+,]: =[аи а2, .... at+s, ...}
n-ая подходящая дробь для [аь а2,... ] определяется ра-
равенством
/>„/?„ = [а,, аъ ..., ап]=а, + 1/(а2+1/(... + 1/(я„_, + 1/а„).. .))•
где (р„, <7„) = 1 Положим />0=1, ^0 = 0, /?_,=0, <7_, = 1. Легко
видеть, что
рп = апрп_х+рп_2 н qn = anqn_x-\-qn_2 при «==1,2, ...
Теперь можно сформулировать основной результат этого
раздела.
Теорема 1.16. Пусть а> 1 — приведённое число из К и
D kiq (<x)=D(O,), например, a:=(f©—[со]). Пусть
[a\,...,ak] — непрерывная дробь этого числа с наименьшим
возможным периодом. Тогда e=^a+^-i является фундамен-
фундаментальной единицей О/, и (Хассе [119] § 16.5, Кох, Пипер
[151, 9.3])
21
Замечание, е — единственная фундаментальная единица
порядка D/, которая больше 1.
Пример 5. K = Q(V^5), /-=1. Тогда сс = A+^5)/2
является приведенным и а = [1]. Поэтому <7i = l, е = а. ?
Пример 6. K = Q(Vrf9), /==1, a = (J/T9—4). Тогда
а = [2, 1, 3, 1, 2, 8]. ^ = 1,_^=1, ^ = 4, <74 = 5, _?5= 14,
<76 = И7. Поэтому е = 117(|/9 —4)~' +14= 170 + 391/19. Q
1.5. Целые представления рациональных чисел полными
формами. Как будет показано в этом разделе, из теоремы Ди-
Дирихле о единицах можно получить результаты о некоторых
диофантовых уравнениях.
Пусть хи...,х„— переменные и F(x\,...,xn)—форма от
х\,. .., х„ степени п с рациональными коэффициентами. Тогда
F называется полной, если существуют алгебраическое число-
числовое поле К степени п, полный модуль т=(ц[, .... ц„) в К и
рациональное число аФО такие, что
F(x ,xn)^=aNKiQ(xl\il + ... +хПцп)- П.6)
Если (хр ..., ця —другой базис ш, то (uv ..., рп)т =
= A(\iv ...,\i'n)f, где AeGLn(Z). Положим
(x'v ..., хп) = (х хп)А.
Тогда
Q{xyi + ... + КК) = F (*i - • ¦-.-*«)•
Формы F и G называются эквивалентными.
Пусть b — рациональное число. В этом разделе нас интере-
интересуют решения диофантова уравнения
F(Xl xn)=b A.7)
в целых рациональных числах b\,...,bn. Ввиду A.6) это эк-
эквивалентно решению уравнения Л/^к/о ([*¦) "b/a, где
Некоторые интуитивные соображения по поводу решений
A.7) содержатся в следующем предложении в связи с теоремой
Дирихле о единицах.
Предложение 1.17. Существует конечное множество чи-
чисел cci акСчш таких, что любое цбщ, для которого
N k/q {\i)=b/a, обладает единственным представлением в виде
ц=а,е, где v=l, .... k. eG?>(m)x, NK/q (e) = 1.
По поводу доказательства см. лемму 1.14.
Замечание. Множество
вается индексом единиц. Если К не имеет действительных со-
сопряжённых, то, разумеется, каждая единица имеет норму 1.
В общем случае неизвестен простой критерий для определения
индекса единиц. ?
Пример. 7. Пусть K = Q(Krf), где d—свободно от квадра-
квадратов, d>0. Если d делится непростое число р /? = 3(mod4), то
\Ох:Е0\=^\, так как из р»авенст1а /V(e)= —1 следует существо-
существование х,у&? таких, что
*• ¦»
-
где (—) обозначает символ Лежандра.
\ Р I
х:?] =
другой стороны,
\ Р I
[Ох:?] = 2 при of = 5 (пример 5).
Пусть, в принятых выше обозначениях, а = Ь = \ и пусть
т=О. Тогда предложение 1.17 устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между решениями уравнения A.7) и еди-
единицами О, имеющими норму 1.
Пример 7 а. Пусть D — натуральное число, не являющееся
квадратом. Уравнение
является подгруппо?! Ох индекса 1 или 2. Этот индекс назы-
22
называется уравнением Пелля. Его решения соответствуют еди-
единицам с нормой 1 порядка A, ^D) в поле Q(yZ)).
Пример 7 6. Пусть а — целое рациональное число, не яв-
являющееся кубом. Уравнение
x3+ay3+a3z3~3xyz=l A.7а)
можно записать в виде
NKiq {х — \/"ау + У'аЩ = 1,
где К: =Q(\/<z). Следовательно, решения уравнения A.7а) со-
з — з - —
ответствуют единицам с нормой I порядка 1,у а, У а2) в К.
1.6. Бинарные квадратичные формы и полные модули в квад-
квадратичных числовых полях. О полных бинарных квадратичных
формах F, т. с.
F(x, у) =ax2+bxy+cy2, a, b, ceZ,
где d{F): = b2—Аас не является квадратом, известно значитель-
значительно больше, чем о формах более высоких степеней. Такие формы
являлись основной темой теоретико-числовых исследований Эй-
Эйлера, Лагранжа и Гаусса (А. Вейль [279]).
Пусть О — порядок в квадратичном числовом поле К =
= Q(yd). Естественный автоморфизм К будем обозначать g.
Прежде всего, имеет место следующая теорема о множестве
полный модулей с порядком D.
23
Теорема 1.18. ?И(О) является группой относительно умно-
умножения модулей. Единичным элементом этой группы является О,
а обратным элементом для тб?й(О) служит N(nt)~1gnt, где gm=
={?ц|цет}. Далее,
jV(m,,Bi2) = iV(ni1) vV(m2) при щ,т?$!1@).
Доказательство. Прежде всего, mgm.—N(m)u. Далее''
если т,, тгеЭДф), то
(ш, m2) g (щ т2) = т, ga^ т^Иг == N (Щ) N (т2) D. A.8)
Если ?), — порядок Ш|Шг, то
(ЯЦШв) ^ (иЦШа) == Л/" (til, Ша) D,, A.9)
Из равенств A.13) и A./4) следует, что ?5 = 0, и jV (т,)Л^(Ша) =
= jV(m,m2).
? Вообще говоря, теорема 1.18 неверна для порядков в по-
полях степени ^3. По поводу изучения общей ситуации см. Дейд,
Таусски, Цассенхауз [73].
Главные модули аО при абК1 образуют подгруппу ф(О)
группы Ш1(О) и CL(O) можно отождествить с факторгруппой
а»(О)/«(О)
)«()
Мы хотим связать теорию бинарных квадратичных форм с
CL(O). Мы уже сопоставили модулю m класс эквивалентности
полных форм. Теперь мы хотим установить взаимно однозначное
соответствие между классами модулей и классами форм. С этой
целью нам придется слегка изменить понятия эквивалентности
модулей и форм.
Вместо 8Э(О) берем подгруппу Эо(О) главных модулей аО,
где абКх и вполне положительное. Группа CLo(D):=2ft(D)S3o(D)
называется группой классов в узком смысле. Если с/<0, то
8o(D)=-S(D). Если d>0, то [$(О) :$о@)]/2 " фо@)=ф(С)
тогда и только тогда, когда существует единица е?Ох такая, что
/V(e)=-1.
С другой стороны, рассмотрим примитивные формы
F{*> y)=axi-\-bxy-\-cy2,
т. е. те, для которых (а, Ь, с) = 1, с дискриминантом D(F) =
=D(O). Две таких формы F\ и F2 называются собственно экви-
эквивалентными, если существует матрица /U<SL2(Z) такая, что
F2(x,y)=Fl((x,y)A).
Базис ИпНз модуля т€9Д(?>) называется допустимым, если
det
h
ен
при d>0, и det
o
при
Имеется следующее фундаментальное соответствие.
Теорема 1.19. Пусть шС!И(О) и ць цг — допустимый ба-
базис т. Тогда т сопоставляется класс Ф(ш)собственно эквива-
эквивалентных форм, содержащий N(\iiX-\-\i2y)/N(m).
Ф индуцирует взаимно однозначное соответствие Ф между
классами в СЦ(О) и классами собственно эквивалентных при-
примитивных бинарных квадратичных форм с дискриминантом
?>(О), которые положительно определены, если d<0. ?
Мы можем перенести групповую структуру СЦ(О) на мно-
множество классов форм, появляющееся в этой теореме. В резуль-
результате получится знаменитая гауссова композиция классов форм.
1.7. Представители классов модулей в квадратичных число-
числовых полях. Пусть О — порядок в поле K=Q(V<i). В этом разде-
разделе будут определены представители CL(O) в Ш1(О).
Начнем со случая d<0. Число абК называется приведенным,
если выполнены следующие условия:
Ima>0, —<Rea< —,
|<х|
1
при
|а|>1 при
0< Rea< -i-.
-—<Rea<0,
Теорема 1.20. Пусть О — порядок в мнимом квадратичном
числовом поле. Каждый класс из CL(O) содержит, и притом
только один, модуль с базисом 1, а, где а — приведенное число.
М = A, а) имеет порядок О тогда и только тогда, когда
aa?+ba+c=0, где a, b, ceZ, а>0, (а, Ь, с) = 1 и d(O) =b2—Аас.
Число
приведено тогда и только тогда, когда —а^.Ь<Са и с^а при
Ьз^О и О а при Ь>0.
Следовательно, классы в CL(O) соответствуют тройкам
а, Ь, с целых чисел таким, что d(Q)=b2—4ac, a>0, (a, b, c)~l,
^b ^ b^0 > 60
при
(
c>a при
Пример 8.
24
Тогда | /;
Существует лишь одна возможная тройка:
и -1,5. a
Пример 9. D = Z[(l-j у —19)/2]. Тогда имеется пять
возможных троек: 3, ±1, 4; 2, +1, 6; 1, —1, 12 ?
Пусть теперь d>0. Используем обозначения нз § 1.4.
Теорема 1.21. Пусть a=ai, f) — приведенные числа дейст-
действительного квадратичного поля. Тогда модули A, а) и A, $)
принадлежат одному порядку О и одному классу в CL(O) тогда
и только тогда, когда fJ=a» при некотором v=l, 2, ..., И
Каждый класс в CL(O) содержит модуль A, а), где а —
приведенное число.
Как и в случае d<0, модуль m=(l, a) имеет порядок О
тогда и только тогда, когда aa?+ba+c=Q, где a, b, cGZ, a>0,
25
(a, b, c) = l и d(D)=b2—4ac. Число a==(—6+d(O))/2a яв-
является приведенным в том и только в том случае, когда —Ь
+yd(D) 2by
Пример 10. D==--Zl^6j. Тогда сущестнуют дна приве-
приведенных числа a = (|/6 + 2)/2 и В=Кб-f 2, но В = 2а, отку-
откуда | CL ф) | = 1.
Как показано выше, теория приведения содержит новое до-
доказательство конечности числа классов модулей с заданным
порядком в квадратичном поле.
В случае мнимого квадратичного поля два модуля A, а) и
A, р) эквивалентны тогда н только тогда, когда
= . A.9а)
та + п '
где k, I, m, nGZ и kn—//п=±1. Вообще назовем два комплекс-
комплексных числа аир эквивалентными, если выполнено равенство
A.9а) при некоторых k, I, m, neZ таких, что kn—/m=±l.
В каждом классе эквивалентности комплексных, не являющихся
действительными чисел существует, притом единственное приве-
приведенное число. Эта эквивалентность комплексных чисел играет
важную роль в теории эллиптических функций и модулярных
форм (см. Серр [221, гл. 7]).
§ 2. Кольца с теорией дивизоров
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаре-
вич [6, гл. 3].
Пусть К—алгебраическое числовое поле и О — порядок в К.
В этом параграфе мы рассмотрим проблему обобщения един-
единственности разложения натуральных чисел в произведение про-
простых множителей. Будет показано, что это можно сделать под-
подходящим образом тогда и только тогда, когда О представляет
собой максимальный порядок Ок поля К.
2.1. Единственность разложения на простые элементы. Об-
Область R — это коммутативное кольцо с единичным элементом,
не имеющая делителей нуля. Понятие однозначности разложе- ;
ния на простые множители можно сформулировать для области
R следующим образом.
Элемент а=5^0 из R называется простым элементом обла- '
сти R, если а— не единица и любой делитель р элемента а в R
либо является единицей, либо |5 ассоциирован с а, т. е. a/{J — \
единица. R называется кольцом с о<)нпзначным разложением
в произведение простых элементов, если любое a&R—/?х, a=?*=0 I
можно представить в виде произведения простых элементов j
Л1 л„ и если ос=Л1, .. ., л/— другое представление а в '
виде произведения простых элементов, то t-=u и существует
26 !
такая перестановка q>dSu, что п( ассоциирован с п',<() для i=
= 1 и.
Кольцо с однозначным разложением в произведение простых
элементов обозначаем, для краткости, через ФК (факториаль-
ное кольцо).
В более абстрактной форме условие того, что область R яв-
является ФК можно сформулировать следующим образом. Пусть
S) — факторполугруппа мультипликативной полугруппы R* эле-
элементов R, отличных от 0, по группе /?х единиц в R. Тогда R яв-
является ФК в том и только в том случае, когда © представляет
собой свободную абелеву полугруппу.
В кольце Z однозначность разложения на множители можно
доказывать, используя алгоритм Евклида. В общем случае об-
область R называется евклидовой если существует отображение h
области R во множество неотрицательных целых чисел, назы-
называемое высотой, удовлетворяющее следующим условиям:
1) для всех а, рб/?, $фО либо существует ydR такое, что
а = ^, либо h(a—^)</t(^).
2) h(а) тогда и только тогда, когда а=0.
Кольцо R называется кольцом главных идеалов, если каж-
каждый идеал а из R — главный, т. е. a=aR при некотором afR
(сокращенное обозначение КГИ).
Предложение 1.22. Евклидово кольцо является кольцом
главных идеалов. Область главных идеалов представляет со-
собой ФК.
Алгебраическое числовое поле называется евклидовым, если
максимальный порядок Ок является евклидовым с высотой
h() N() O
Пример 11. Мнимое квадратичное поле К евклидово тог-
тогда и только тогда, когда D(Ok )=—3, —4, —7, —8, —11.
Пример 12. Действительное квадратичное поле евклидово
тогда и только тогда, когда D(OK )=5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28,
29, 33, 37, 41, 44, 57, 73, 76 (Чатлэнд. Давенпорт [67]).
Пример 12а. Пусть р — простое число, р^13 и пусть ?Р —
примитивный корень степени р из единицы. Тогда Q(Ep+Ep"') —
евклидово поле (Ленстра [166]).
Примеры II и 8 вместе показывают, что не всякое ФК яв-
является евклидовым кольцом, см. также гл. 5.5.3—5.5.4.
Если максимальный порядок Ск алгебраического числового
поля К является КГИ, получаются особенно простые результаты
о решении диофантовых уравнений, связанных с иорменной фор-
формой базиса юь ..., ю„ порядка О к :
, ..., хп)
a,
(сравните с § 1.5).
Пример 12 б. Пусть K = Q(j/"—I), cot = 1, №2=-К — 1.
27
Тогда
Wk/q (X + V^-ly) = & + У2-
Любой простой элемент 0К делит натуральное простое число р.
Если /?=21_го 2 = У~1 A — К^ТJ, если /;=l(mod4) то
/? = (а-ьу — 1й)(я — K^lft), а, 6PZ, где 1—У—1, а +
+ У"—16 и а — V — \Ь являются простыми элементами в ?)к.
Если /?~3(mod4), то р — простой элемент в О*. Таким образом,
получена следующая Теорема Эйлера: простое число р можно
представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел
тогда и только тогда, когда р=2 или р=1 (mod 4). Такое пред-
представление единственно. D
Ниже будет доказано, что среди порядков полей алгебраиче-
алгебраических чисел лишь максимальные порядки могут быть ФК. Сле-
Следующий пример показывает, что не каждый максимальный по-
порядок является ФК.
Пример 13. В кольие Z [ \ — 5] число 6 имеет представ-
представления 2x3 и A + \ —5H — V — 5) в иидепроизведения прос-
простых элементов и они неассоциирозанл. [J
2.2. Понятие области с теорией дивизоров. Пример 13 пока-
показал, что понятие однозначности разложения на простые элемен-
элементы не является полезным для обобщения арифметики кольца Z.
Куммер [158] нашел выход из этой ситуации в случае колец
Z [?], где ? — корень из единицы простого порядка, введя поня-
понятие идеальных чисел, которое можно сформулировать для про-
произвольных областей следующим способом.
Теория дивизоров для области R задается свободной абеле-
вой полугруппой S) и гомоморфизмом ( ) полугруппы R* в S),
обладающими следующими свойствами (в дальнейшем называе-
называемыми аксиомами):
1) <x(<R* делит $tR* тогда и только тогда, когда (а) де-
делит (р).
Говорят, что абЗ) делит аб/?, если а=0 или а делит (а) и
это обозначается так: а|а.
2) Если абф делит a?R и рб/?, то а делит a±fi.
3) Пусть а, Ь?2> таковы, что
тогда a=b.
Понятие области с теорией дивизоров было впервые сформу-
сформулировано в книге: 3. И. Боревнч, И. Р. Шафаревич, [6, гл. 3, §3].
Скула [238] показал, что условие 2) следует из условий 1) и 3).
Легко видеть, что для области R существует теория дивизиров
в том и только и том случае, когда R представляет собой об-
область Крулля (Бурбаки [50], Мочкорж [190, гл. 10]).
Элементы 3) называются дивизорами R и простые элементы
5В называются простыми дивизорами. Группа частных Я) оудет
обозначаться Q(S>). Главными дивизорами R являются элемен-
элементы ©, принадлежащие образу гомоморфизма ( ). Наибольший
общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)
множеств дивизоров в Ф определяются обычным способом.
Пусть a — дивизор в S>. Множество
непусто. Более того, можно найти a?R, a|a такое, что (сс)/<х
взаимно прост с заданным дивизором Ь:
НОД ((о)/а,Ь) = A), A.146)
а можно построить следующим образом. Пусть Ц>1, ..., Ц>,—
простые дивизоры Ь. По аксиоме 3) существует a(ei? такой, что
a»i •¦•b/ViK. ОД •••Vfai> t=—1, ..., s.
Элемент a:—ai+ ... -fa, обладает свойством A.146) по аксио-
аксиоме 2).
Если для области R существует теория дивизоров, то она
определяется областью R однозначно.
Предложение 1.23. Пусть Я*-*© и Я*-*-©'~две теории
дивизоров для R. Тогда существует единственный изоморфизм
л\.^«\' такой( что следующая диаграмма коммутативна:
1°
Предложение 1.24. R является ФК тогда и только тогда,
когда R обладает теорией дивизоров, в которой все дивизоры
являются главными дивизорами. ?
Предложение 1.25. Если для области R существует тео-
теория дивизиров, то R —целозамкнутая область (приложение 1.3).
Доказательство. Пусть \ — элемент поля частных об-
области R такой, что %$R и существуют элементы аь .... а. из R,
для которых
Пусть 5—-у, где а, 66/?- Тогда (Ь)-\{а). Следовательно, су-
щестнуют простой днкпзор >р в S) и целое число k такие, что
IP*1F), f"'lJf(d). Правая часть уравнения
а*= — axbs-1— ... — asbs
делится на />*я+1, но /;t-'+1'fas. Q
Ввиду предложения 1.23, было бы желательно иметь кано-
29
ническую реализацию теории дивизоров для R. Это можно сде-
сделать так. Пусть z— переменная. Для a?R[z\* определим содер-
содержание /(сс)еф как НОД коэффициентов а. Легко доказать сле-
следующую лемму Гаусса. Для этого требуются лишь аксио-
аксиомы 1) и 2).
Лемма 1.25а. /(ар) =/(а)/(р) для а, pe/?[z]*. ?
Пусть К—поле частных для R. С помощью леммы 1.25а
продолжим / на K(z)*, полагая
/(Tf):-=/(a)//(p)€Q(a>) при ^K(z)*, T=a/p, a, pe/?[z]*.
Положим теперь
#(z):={aeK(z)*|/(a)es)}u{0}
По предложению 1.23, определение R(z) не зависит от выбора
теории дивизоров для R.
Предложение 1.256. R(z) является ФК. Элементы a
из R(z) имеют вид
<х«=р/т, где р, Te/?[zj, /(y)=A).
Доказательство. Легко видеть, что R(z)—кольцо с
теорией дивизоров, определенной посредством /. Так как / ото-
отображает на полугруппу дивизоров SD, из предложения 1.24 сле-
следует, что /?(z) — ФК. Пусть теперь а = р7т'еЯB)» гДе Р'>
y'G/?(z) и /(•у/)^=1. Выберем некоторый а^Я) такой, что /
= (с), c(-R и бе/? (z) такой, что / (б) —а. Тогда
р: = р'6с-[, Т: = т'бс-'е/?[г], /(т) = 1 и a=p/T. D
Из 1.256 следует, что естественное отображение R*-*-R(z)*/
/R(z)x определяет теорию дивизоров для R. Она называется
теорией дивизоров Кронекера.
2.3. Теория дивизоров для максимального порядка алгебраи-
алгебраического числового поля. Предложение 1.25 показывает, что су-
существование теории дивизоров для порядков в алгебраических
числовых полях возможно лишь для целозамкнутых порядков,
т. е. для максимальных порядкоп Ок » поле К. Дедекиид |74<],
Кронекер [155] и Золотарев [287) первыми доказали, что О к
действительно обладает теорией дивизоров. Метод Дедекинда,
относящийся к теории идеалов, будет рассмотрен в следующем
параграфе. Подход Золотарева (см. § 3.3) представляет начала
локальной алгебры, которая была развита в дальнейшем в тео-
теории нормирований Гензеля, являющейся объектом § 4. Следую-
Следующая теорема, включающая в себя существование теории дивизо-
дивизоров для Ок' будет доказана методом присоединения перемен-
переменных Кронекера.
Теорема 1.26. Пусть R— область с теорией дивизоров,
К— после частных R и S — целое замыкание R в конечном рас-
расширении L поля К. Тогда 5 — область с теорией дивизоров.
Доказательство. (Эйхлер [87, гл. 2, § 1]). Пусть /?*-*•
30
-*-2> — теория дивизоров R, z — переменная, R(z)—ФК, опре-
определенное в § 2.2 и S(z) — целое замыкание R(z) в L(z). В даль-
дальнейшем мы покажем, что S(z) —кольцо главных идеалов и что
естественное отображение S*->-S(z)/S(z)x определяет теорию
дивизоров для 5. Следовательно, эта теория дивизоров яв-
является кронекеровской теорией дивизоров в смысле, определен-
определенном в § 2.2.
Доказательство теоремы 1.26 разделим на три леммы.
Лемма 1.27. Элементы а из S(z) имеют вид а=р/с, где
peS[z], ce/?[z],/(с) —A).
Доказательство, а удовлетворяет уравнению
o4-a,a-l+ ... +a.=0,
где atQR(z). По предложению 1.256 коэффициенты а( имеют вид
bjc, где Ьи cG/?[z], /(с) = A), i=l s
Следовательно, са удовлетворяет уравнению
(са)* + а\ (са)*-'_+ ... +a's =0,
где а'б/?[г]. Тогда ca?S[z], поскольку S[z] есть целое замыка-
замыкание R[z\ в L(z) (приложение 1.3).
Лемма 1.28. S(z) — кольцо главных идеалов.
Доказательство. Пусть, сначала, B=(pi, .... р.) —
конечно порожденный идеал в S(z). Мы собираемся доказать,
что В порожден линейной комбинацией p[Jti+ ... +р.*., где хи
t=l, .... 5, представляют собой некоторые степени величины z,
которая ниже будет фиксирована. Рассмотрим характеристичес-
характеристические многочлены
2
'L/K л.
для ^* k = l,, ¦.., s, где jVl/k означает норму из L(z, |)
v
V
в К (z, I). Требуется доказать, что коэффициенты /к лежат в /? (z)
Пусть
где a, atl...,fi
v-1
31
а суммирование производится по »сем наборам из s чисел
*i» • •., is таких, что
A.10)
2
V-1
Положим yVl = xvl — 6vk. Тогда
fk
Зафиксируем теперь лг,— такие степени z, что
-и.о. л. (/(<*,,...!,)). A.10а)
Пусть t — 1 является максимумом степеней коэффициентов
at,...ts, как многочленов от z. Положим
Тогда степени по z величин л:',1...х'* различны для всех наборов
*i> ...,i3, обладающих свойством A.10), и представляют собой
степени z'. Из этого получаем A.10а). Таким образом, /*(?)
является многочленом с коэффициентами из/?(z) и старшим коэф-
фициентом 1. Поэтому корень р*/^? pvA\ многочлена /*(|) при-
v-l
надлежит S(г), т.е. В =
$vXv )•
V-=I
Пусть теперь В — произвольный идеал S (z) и пусть pt,
...—элементы В такие, что
^ i •<=(&• Р2 Р,)^..-
Нам уже известно, что идеалы в этой цепочке—главные. Пусть
(Р., ре, .... Р.) = Ы. s = 1.2, ...
Тогда jVL)K Y<+i — собственный делитель Л/ lik Т< Для i=l»2, ...
Следовательно, эта цепочка не может быть бесконечной. П
Замечание. Кронекер присоединяет бесконечное множест-
множество переменных. Это упрощает доказательство леммы 1.28, так
как можно выбирать хх, .. ., х„ как переменные. С другой сто-
стороны, поле функций от одной переменной представляется мате-
математикам нашего времени более привлекательным объектом и
более простым, чем поле функций от бесконечного числа пере-
переменных. ?
Осталось доказать, что отображение Sx->-S(z) */S(z)x удо-
удовлетворяет аксиомам теории дивизоров. Аксиомы 1) и 2) легко
проверяются. По лемме 1.27 аксиома 3) эквивалентна следую-
следующей лемме.
Лемма 1.28а. (a)=/(a) для всех a65[z].
Доказательство. Так как S[z] является целым замыка-
ннем R[z] в L(z), имеем Л/Мк a=afi, где ^S[z] (приложе-
(приложение 1.3). Более того, так как естественное отображение R*(z)f
/R (z)x-*-5* (z) /S (z)* полугруппы дивизоров для R в полугруппу
дивизоров для 5 инъективно, то имеет место соотношение
I(Nlik a) = (NL|K a), откуда /(a)/(P) = (a) (?). Следователь-
Следовательно, (a)=/(a) так как /(a) |a и /(?) |?. П
§ 3. Дедекиндовы кольца
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич
16, гл. 3].
Пусть К—алгебраическое числовое поле и О к—макси-
к—максимальный порядок К. Дедекинд [74] показал, что идеалы а=?0
порядка Ок образуют свободную абелеву полугруппу по ум-
умножению. Это приводит к реализации теории дивизоров для Ок»
которая, возможно, является наиболее естественной. В этом па-
параграфе, вообще, рассматриваются дедекиндовы кольца и объ-
объясняются их основные арифметические свойства.
Произведение ab идеалов а, Ь в произвольном кольце R опре-
определяется как идеал, порожденный произведениями сф, аба, pcb.
Идеалы области, отличные от {0}, образуют полугруппу по это-
этому умножению. В дальнейшем идеал области всегда считает от-
отличным от {0}.
3.1. Определение дедекиндовых колец. Пусть R — кольцо с
теорией дивизоров /?*-*-S). Каждому дивизору аб© соответствует
идеал
кольца Ft. Если у —простой дивизор, то ^—простой идеал. Во-
Вообще говоря, у не является максимальном идеалом кольца R.
Пример 14. Пусть F—произвольное поле и R=F[x\, хг]
с переменными х\, х2. По лемме 1.27а F[xu х2] является ФК. Но
идеал X\R — простой, но не максимальный идеал. ?
Область R с теорией дивизоров называется дедекиндовым
кольцом, если все простые идеалы области R являются макси-
максимальными.
Те о рема 1.29. Пусть R — дедекиндово кольцо и /?*-»-2> —
теория дивизоров R. Тогда соответствие а-*-а определяет изомор-
изоморфизм м«жду полугруппой S) и полугруппой идеалов R.
Из теоремы 1.29 следует, что каждый идеал дедекнндова
кольца можно единственным образом представить в виде произ-
произведения простых идеалов.
3—6164 -43
Теорема 1.29а. Пусть К — алгебраическое числовое поле.
Тогда Ок — дедекиндово кольцо.
Доказательство. Принимая во внимание теорему 1.26,
требуется лишь доказать, что каждый простой идеал у порядка
О к максимален. Пусть р—простое число такое, что (p)=fy[\Z.
Тогда естественное вложение Z/(p)-*-DkA5 показывает, что об-
область Ок/Ф является векторным пространством над Z/(p). Та-
Таким образом, Ок/Ф — поле и, следовательно, идеал ф — макси-
максимальный. D
Следующая теорема содержит более традиционное определе-
определение дедекиндовых колец и основную теорему об этих кольцах,
принадлежащую Э. Нётер.
Теорема 1.30. Пусть R— область. Следующие свойства
эквивалентны:
1) R— дедекиндово кольцо.
2) Полугруппа идеалов области R образует свободную полу-
полугруппу.
3) R — целозамкнутое нетерово кольцо и все простые идеалы
R максимальны, в (Ван дер Варден [267, § 137]).
Напомним, что кольцо называется нётеровым, если всякая
возрастающая цепочка попарно различных идеалов конечна.
В доказательстве того, что из 3) следует 2), используется
понятие дробного идеала. Это — конечно порожденный R — мо-
модуль в поле частных Q(R). Если R=Qk, то дробный идеал —
это то же самое, что полный модуль с порядом О к
Произведение аЬ двух дробных идеалов а, Ь — это 7?-модуль,
порожденный элементами ар, где аба, р?Ь.
Пусть 2Л(/?) —полугруппа дробных идеалов Ф{0}. Если р —
простой идеал кольца, обладающего свойством 3), то можно до-
доказать, что дробный идеал
является обратным для у в 2Я(/?). Следовательно, ©?(/?) —груп-
—группа. Точнее говоря, 2Л(/?) представляет собой свободную абеле-
ву группу, множество свободных образующих которой состоит
из простых идеалов.
В коммутативной алгебре рассматриваются более общие
нётеровы области R с конечной размерностью Крулля. Размер-
Размерность Крулля определяется так. Высота простого идеала у об-
области R равна h, если существует цепочка
простых идеалов и если не существует такой цепочки, состоящей
из /t+1 идеалов. Размерность R определяется как максимум вы-
высот простых идеалов из R. Если в R нет простых идеалов (кро-
(кроме {0}), т. е. если R — поле, то размерность R равна 0 по опре-
определению.
Типичный пример кольца с размерностью Крулля, равной п,
34
дает кольцо Щхи ..., хн] многочленов от п переменных
Х\,-..,хп иад полем К. По теореме 1.30, дедекиндовы
кольца можно охарактеризовать, как целозамкнутые
нётеровы кольца размерности 1. В частности, КМ — дедекиндо-
дедекиндово кольцо. В действительности, КМ — даже евклидово кольцо,
роль высоты в котором выполняет степень многочлена из КМ-
В дальнейшем в этом параграфе R всегда обозначает деде-
дедекиндово кольцо. Каждый дробный идеал а=?Ц0} имеет единст-
единственное представление
где произведение берется по всем простым идеалам-V из R и
почти все Vp(a) равны нулю. vp(a) называется ^-показателем а.
Носитель supp(a) представляет собой множество простых идеа-
идеалов у таких, что Vp(a)^=0. Два дробных идеала а, 6бШ1(/?) на-
называются взаимно простыми, если supp (a)f|supp(b) =0. Более
того, определим наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное а, Ь равенствами
НОД(а,Ь)=с, НОК(а, Ь)=Ь,
где
vp(c) = min{vp(a), vp(b)}, vp (b) = max {vp (a), vp (&)}.
Предложение 1.31. ИОД (а, Ь) = а+Ь, HOK (a, &) = а П b. ?
Для a&R* пишем (a): = a/?, vp(a) =vp((a)) и т. д. Распро-
Распространим понятия НОД и НОК на 2Jt(/?)U{0} в соответствии с
правыми частями формул в предложении 1.31. Для удобства
обозначений полагаем Vj@) = oo, считая, что символ с» больше
любого действительного числа.
3.2. Сравнения. Пусть R — дедекиндово кольцо и a — идеал
в R. Два элемента a, $?R называются сравнимыми по модулю
а, если а—?6а. Обозначение: ae^(moda). Сравнения по mod a
равносильны равенствам в факторкольце R/a.
Приведем основные факты о сравнениях.
Предложение 1.32. Пусть а, ?6/? и а — идеал в R.
Сравнение
ai^P(moda) A.12)
имеет решение тогда и только тогда, когда (J делит НОД
((а), а). Если %о — решение сравнения A.17), то любое его
решение имеет вид 5о+Т, где ^ба((а), а).
Предложение 1.33 (Китайская теорема об остатках).
Пусть аь .... а.с:/? — попарно взаимно простые идеалы. Пусть,
далее, a a, — произвольные элементы из R. Тогда сущест-
существует аб/? такой, что
ascx((moda) при i=l, ..., s.
Класс a mod <Xi<i2... a. однозначно определен. ?
я* 35
«Деал
числу
н ф
спе«иально случай, когда /?=ОК представляет
"?ЫХЛ^ ?лг/бРаичесК0™ числового поля и а-
К" § U была опРеДелена норма а, равная
конечно™ кольДа Ск/о. Определим обоби<е«-
классов из DK/ai взаимно
праведливы следующие обобщения теорем Ферма и Эйлера.
поле » пп°ЖелИе L34- ПУСТЬ К-алгебраическое числовое
> *>--простой идеал и a — произвольный идеал Ок. Тогда
2) a4a)^a(m°d^ ДЛЯ ВСеХ аеОк:
' а =1 (mod а) для всех абОк, взаимно простых с а;
3>Ф(а)- П ЛГОЛЮ-1 <*<»)-!) .П
>6supp a
множес-11пЛ^ЛОКализация- ПУСТЬ ^-Дедекиндово кольцо и в —
элеме Простых идеалов из Я. Тогда /?@ обозначает кольцо
^е@ нтов а/Р» «, ^е/? в поле частных R таких, что p<ty для всех
Зб
язляется дедекиндовым кольцом с простыми идеалами вида
= »Л'@, где »б@. Если ©-конечное, то /?@-кольцо главных
*. согласно следующему утверждению.
Сложение 1.35. Пусть R — дедекиндово кольцо с ко-
коидеалов. Слом пРостых идеалов. Тогда R — кольцо главных
ьство. Пусть >[, .... р. — простые идеалы /? и а —
идеал /?. Существуют afiR такие, что
а*>1 ¦ • • МГ1 |а< и a?, . .. y,fa,
rjrZ1' "' s- Следовательно, a=(ai+ ... +a.). D.
лах B сложение 1.35 позволяет свести многие вопросы об идеа-
мегол „^лекиндовых кольцах к случаю главных идеалов. Этот
простого ИСЯ полУлокализацией. Если 5 состоит из одного
^ идеала *>, то /?. = /? „ называется локализацией R по р
^, называется локальным кольцом.
г по дИг^ер 14а" ГГУСТЬ Р —простое число. Локализация Z(p)
состоит из всех рациональных чисел а/b, а, ЬЬЪ таких,
алгебо^еЛ°е замыкание Ок,» кольца Z(P) представляет собой,
^=*ическ:ом числовом поле К, кольцо главных идеалов
-?Ь, предложение 1.35). Простые элементы Ок Р со-
- т простым дивизорам р в Ок. Принадлежащее Золо-
"ооснованне арифметики в К (§ 2.3) опирается на иссле-
та ГбГэтпК°лец С^к. *> (в «ниге 3. И. Боревича и И. Р. Шафареви-
Vj это изложено подробнее).
V," ас1"ирения делекиндовых колец. В этом и следующем
мссматрикается следующая ситуация. Пусть R — деде-
киндово кольцо с полем частных К и ® целое замыкание R в
конечном расширении L поля К.
Тогда <3 также является дедекиндовым кольцом (теорема
1.26). Нас интересуют связи между группами идеалов 9Я(/?) и
3» (в).
Во-первых, имеется гомоморфизм i из Wl(R) в 5Ш(<3):
i(a)=a© при абФ1(#)
Если абКег I, то as/? и a-'eKert. Следовательно, а = /?. Таким
образом, i является вложением. В последующем 2Я(/?) отожде-
отождествляется со своим образом в Ш1(@), если это не приводит к
недоразумениям.
Пусть теперь g — изоморфизм поля L с расширением gh
поля К и пусть аб2Л(@). Тогда
ga: ={g
представляет собой дробный идеал дедекиндова кольца
индуцирует изоморфизм Ш1(@) на 2Jl(g@).
Более того, имеется гомоморфизм М./к группы Ш1(@) в
называемый нормой идеала. TVl/к однозначно определяется
свойством
0 для
Nlik% Для 2tg2>l(©) строится следующим образом. Выберем
такой, что (р) Я взаимно прост с а: =21 ПК и положим
Тогда
NbiK%:= П »*Р.
ygsupp a
С помощью полулокализации доказывается, что N LjK—
корректно определённый гомоморфизм, обладающий следу-
следующими основными свойствами.
Предложение 1.36.1) Пусть п : =[L : К] и абШ1(/?).
Тогда NLIK a=an.
2) Для башии полей МэЬзК имеем 7Ум/к = ЛгикЛгм/1.- Если
М/К — нормальное и G обозначает множество изоморфизмоа
поля L в М, оставляющих К неподвижным, то
для
3) Пусть Я и 95 — целые идеалы в Ш1(@). Тогда из 21195 еле*
дует, что jVl/k^I^Vl/k®.
4) Если /? = Z, то jVl/k совпадает с нормой, определенной
Ь § Ы. D
37
Рассмотрим теперь связь между простым идеалом 5р в
и соответствующим простым идеалом V : —Щ Г) R в 5Ш(/?)
Определим индекс ветвления е=--еь/к(ф) как наивысший
показатель е такой, что фе делят р, т. е. е — v.,.(y). Далее,
степень инерции / = А/к($) определяется равенством jVl/k? =
= j/ (из $р|у следует, что М./кф|ря)-
Из этих определений сразу следует, что
кОР). 0-13)
Если L/K—сепарабельное расширение, то
Поскольку включение /??© индуцирует нложение
можно рассматривать ©/$ как расширение поля /?/у. Более
общим образом, ©/Я можно рассматривать как векторное про-
пространство над R/y для всех таких идеалов из ©, что Я/V- Фор-
Формулу A.13) можно интерпретировать, как равенство для раз-
размерностей векторных пространств, встречающихся в следу-
следующем частном случае китайской теоремы об остатках
(предл. 1.33):
6/^)^2 ©/pL/K(^ A.13a)
(см. также предл. 1.60). Используя полулокализацию (§ 3.3),
можно допустить, что R и © — кольца главных идеалов. Тогда
равенство dim©/y=[L : К] легко доказывается.)
Следующая теорема Куммера во многих случаях позволяет
найти разложение у на простые идеалы в ©.
Теорема 1.37. Пусть аб© — образующий элемент расши-
расширения L/K и пусть f (x) — минимальный многочлен для а над К.
Пусть у — простой идеал R такой, что у©|~)/?[а]=$[«]. Если раз-
разложение / на неприводимые многочлены в (R/V) [х] имеет вид
то
представляет собой разложение у в S на простые идеалы»
А/к(Ф<) равно степени f, и
?!=»(?.//(«)).
где /i — многочлен из JR[x] такой, что /( = f,, i = l, ..., s. |x|
(Иаркевич [193, Глава 4.3.1.])
Пример 14а. Пусть K,=Q(ct,), a? —1804 — 6--=0, К2 =
ой —36<xj—78=0, K3=-Q(O3). а^-54а3 —150 = 0.
Тогда кольцом целлх чисел в Kj является Z[a,], /=.1,2,3. Эти
три поля имеют одинаковый дискриминант 22-38-23, но они раз-
различны, так как E)—простой идеал в К,, К2, но E4=^,^2^ в К3,
а (И) —простой идеал в К2, но (ll^pjpj)^ в К,.
Пусть МзЬгэК— башня полей, ф—простой идеал целого
замыкания R в М и 5Рь:==фП@- Тогда
. AЛ4)
. AЛ5)
Пусть р — простой идеал в R. Многочлен
f{x) =*»+а,*»-1+ ... +anC'R[x)
называется многочленом Эйзенштейна (для )р), если
а,,... ,а„ер и v? (а„) = 1.
Предложение 1.38.1) (Критерий неприводимости Эй-
Эйзенштейна). Пусть f(x) — многочлен Эйзенштейна для р и a —
корень fix) в некотором расширении R. Тогда [К(а) : К] — п,
f К
р f р
т. е. f(x) непрнводим над К.
2) П ©
f() р
2) Пусть © — целое замыкание Ш в К (а) и 43 — идеал п <3.
порожденный а и у. Тогда Щ— простой идеал н у—ф1.
3) Пусть L/K — конечное расширение степени п и пусть <2—
целое замыкание J? в L. Предположим, что i{5n=ip для некоторо-
некоторого простого идеала *$ из ©, р=!]ЗПЖ и пусть а — элемент из ©
такой, что Vp (a) = l. Тогда L=K(a) и a — корень многочлена
Эйзенштейна для р.
Доказательство. 1), 2). Пусть $ — простой дивизор у
в ©. Тогда из равенства
an =—ела"-'— . . . —ап
следует, что nv^ (a)=v, (an) =vp(v), откуда lp=ipn, согласно
A.18) и?=(о,»).
3) Пусть f(x)=xm+b[Xm-l+ ... +bm?R[x) представляет со-
собой неприводимый многочлен такой, что /(а)=0. Тогда
v>p(am)='". vv<{biam-i)^m—i(modn), t=l m. Поэтому
m=vn (am) =v 4!Fm)sO(raodre) и v$(bi)>0 при i=l,...,
.. .,m— 1. П
3.5. Дифферента и дискриминант. Рекомендуемая литерату-
литература: Ленг [161, гл. 3].
Пусть снова R — дедекиндово кольцо с полем частных К и
© — целое замыкание R, в конечном сепарабельном расшире-
расширении L поля К. Пусть 9162Л(©). Дополнительный идеал Я ' для 91
(относительно R) определяется как
Я": ={aeL|trL/K (««)<*}
Из определения ясно, что % ' действительно является дроб-
дробным идеалом в M(S). Он имеет следующие свойства: © '^S,
Я -=5-21-', (Я")"=Я.
38
39
Теорема 1.41а. Пусть S — конечное множество простых
чисел. Существует лишь конечное множество алгебраических
числовых нолей заданной степени, которые разветвлены толь-
только в простых из S.
Доказательство теоремы 1.41а будет приведено позднее
(§4.6).
Теорема 1.41а справедлива и для функциональных полей
иад С. Более того, имеется очень хорошее представление о
структуре (бесконечного) расширения поля С (г), состоящего
из всех алгебраических функций, имеющих ветвление в фик-
фиксированном множестве точек SczC (глава 3, пример 12а). Об
алгебраических числовых полях с заданным ветвлением извест-
известно намного меньше (глава 3, 2.5—6).
Пусть р — простой идеал из R. Определим ^-дифференту 3) -
для © над R равенстиом
Ввиду теоремы 1.39.1) 3)р можно отождествить с дифферентой
<3f/R) (§ 3.3). Следовательно, мы получаем «глобальную диф-
дифференту» фь/к как произведение «(полу)локальных дифферент>
для всех простых идеалов f (см. также § 4.5). То же справед-
справедливо и для дискриминанта ©Д5.
Завершим этот раздел применением теоремы 1.41 к компо-
композиту полей.
Теорема 1.416. Пусть R — кольцо главных идеалов, а
Q)i,. .., ш„ — базис © как Ш-модуля, поле М такое же, как вы-
выше, и F — промежуточное поле М/К такое, что [FL : К\~
=[F : K][L : К]. Пусть, далее, О — целое замыкание R в F и
0i,..., 0,п — базис О, как ^-модуля. Предположим, что
дискриминанты Ьь/к и Ьр|к взаимно просты. Тогда множество
В={ш^, i=l п, /=1 ш)
является базисом целого замыкания 31 в FL, рассматриваемо-
рассматриваемого, как /^-модуль.
Доказательство. По теореме о дискриминантах в баш-
башне расширений имеем:
С другой сторону, В— базис FL/K с дискриминантом
УК- ?
Пример 146 (Ленг [161, глава 5, § 4]). Пусть K = Q(il),
где р°—{14-1=0. Так как многочлен f(x)=x5—х+1 иеприводим
(поскольку ои иеприводим по mod 5), поле К имеет степень 5.
Дискриминант многочлена вида хъ+ах+Ь равен 5464+28а5.
Следовательно, дискриминант f(x) равен 2869= 19-151. Ввиду
того, что это число свободно от квадратов, оно равно днскрими-
42
нанту d для Ок (§ 1.1). Следовательно, Dk = Z({1). По теореме
1.41, разветвленными простыми в K/Q являются числа 19 и 151.
Согласно A.3) в каждом классе идеалов К содержится целый
идеал а такой, что N(a)<4. Так как числа 2 и 3 не имеют
простых делителей степени 1 в К (теорема 1.37), то не сущест-
существует целых идеалов а с нормами 2 или 3. Следовательно, число
классов поля К равно 1.
Можно доказать, что нормальное замыкание N поля К име-
имеет иад Q степень 120 и что N/Q(Vd) не разветвлено. ?
Пример 14 в (Ленг [161, глава 5, § 4]). Пусть К—произ-
К—произвольное алгебраическое числовое поле и L/K—конечное нор-
нормальное расширение. Тогда существует бесконечное множество
конечных расширений F поля К таких, что Lf|F=K и FL/FK
не разветвлено. ?
3.6. Несущественные делители дискриминанта. Рекомендуе-
Рекомендуемая литература: Хассе [112, гл. 25.6].
У читателя может возникнуть вопрос, есть ли утверждение
о дискриминанте, соответствующее теореме 1.39, 1). Можно бы-
было надеяться, что Ьык представляет собой НОД дискриминантов
элементов
rfL/k(a^=A^L/K/a(a):== ±^ь/кA.а. • ...a"") при atS,
где fa обозначает характеристический многочлен для а, п\ —
=(L : К] (приложение 1.1). Но, вообще говоря, это не так, даже
если K = Q, что было известно уже Дедекинду.
Для af.S имеем
<з?ик(а)# = т(аJДь/к, (Ы6)
где m(a)—целый идеал, называемый несущественным делите-
делителем дискриминанта а или индексом а. Если R=Z, то A.16)
представляет собой частный случай A.1). В общем случае ра-
равенство A.16) доказывается методом полулокализации.
Идеал а из R называется общим несущественным делителем
S/R, если а делит ш(а) для всех a6S.
Теорема 1.42. Пусть К—алгебраическое числовое поле и
L — конечное расширение К. Простой идеал f из Ок не является
общим несущественным делителем дискриминанта Оь/Ок тогда
и только тогда, когда для любого натурального числа f количест-
количество гр(И простых дивизоров Щ для f в Olc условием /ик($)=/
удовлетворяет неравенству
d\f
В этой формуле идеал Nk/qA>) отождествляется с порождаю-
порождающим его натуральным числом.
Из теорема 1.42 следует, что для того чтобы простой идеал
р из DK б"лл общим несущественном делителем дискриминанта
Ои/Ок, необходимо условие jVk/q (p) < [L: К]. Это условие
43
Целый идеал (©")-' называется дифферентой ©//? и
обозначается S)l/k . Следующая теорема устанавливает основ-
основные свойства дифференты.
Теорема 1.39. Пусть R, ©— те же, что выше, и расшире-
расширения полей вычетов (@/ф)/(/?/ф) сепарабельны для всех про-
простых идеалов ф кольца © и р=фП/?.
1) Фь/к представляет собой наибольший общин делитель
дифферент Sl/k (а) элементов рс<© (приложение 1.1).
2) (Теорема Дедекинда о дифференте). Пусть ф— простой
идеал вир: =$(")/?, е : =\у,(у). Пусть р — характеристика по-
поля @/ip. Тогда
V»(®L/K)==e—1, если p-fe
и
vj. (DL/K) > e — 1, если р \ е.
3) (Мультипликативность дифференты в башне расшире-
расширений). Пусть Т — целое замыкание © в конечном сепарабельиом
расширении М поля L. Тогда
3>m/k = 2>m/l3>l/k- ?
Замечание. Предположения теоремы 1.39, разумеется,
выполнены в случае алгебраических числовых полей К, L и
R=D к, ©=Dl. так как в этом случае поля классов вычетов
конечны. ?
Простой идеал SJ} кольца @ называется разветвлённым над
f=fy(}R, если e*=v % (у) > 1. Это понятие пришло из теории ал-
алгебраических функций. Пусть K==C(z)—поле рациональных
функций с комплексными коэффициентами, /? = G[z] и L = K(/)-
Тогда простые идеалы кольца /? находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с комплексными числами. Числу абС со-
соответствует простой идеал (z—a)R. Простые идеалы кольца ©
можно отождествить с точками римановой поверхности / над С.
Так как поле С — алгебраически замкнуто, то естественное
отображение С-*-©/$ является изоморфизмом С на ©/$. Если
/6®, то значение / в точке ф римановой поверхности представ-
представляет собой однозначно определённое комплексное число в клас-
классе /+$• Простой идеал ф разветвлён над f тогда ; и только
тогда, когда точка ф разветвлена в смысле накрытия поверхно-
поверхностей, т. е. в окрестности $ риманова поверхность / имеет вид
* ——
V 2—а.
Из теоремы 1.39. 2) следует, что идеал ф разветвлён тогда
и только тогда, когда е>»1. Следовательно, имеем следующую
теорему.
Теорема 1.40. Пусть выполнены условия теоремы 1.39.
Тогда существует лишь конечное число простых идеалов ф
кольца @ разветвлённых над 1р=фП/?.
40
Определим дискриминант d l/k поля <3//? как норму от
дифференты JVL/K?>lik- В случае R=Z это — идеал, порождён-
порождённый дискриминантом d\ (§ 1.1). Из теоремы 1.39 получаем ос-
основные свойства дискриминанта.
Теорема 1.41. Пусть вмполнены условия теоремч Т.38 и
пусть р = ф1...ф? — разложение простого идеала у кольца R
в произведение простых идеалои кольца @. Пусть, далее,
^—характеристика JR/y и /(—степень инерции фм /=1, ...,s.
Тогда
1) (Теорема Дедекинда о дискриминанте)
vv(bL/K) = (ei — l)/i-K ••+(<?,—.1)/,, если />-fe,, i=l, ...,s;
v>(bL/K) = tei — 1 )/i + • • • +{es — 1) /„ если p \ et для некоторого /.
2) (Теорема о дискриминанте в башне расширений). Пусть
/ — целое замыкание S в конечном сепарабельном расшире-
расширении М поля L. Тогда
А^(ьмь)Ьь/
3) Ьык является наибольшим общим делителем всех дискри-
дискриминантов dbiK (<xi,...,an) Для он,..., an?S. В частности, если
R — кольцо главных идеалов и оц,.. ., (оп — базис © над R, то
~L|K ¦* ь/14. \«n • • • , "-n/ • —-
Простой идеал f кольца R называется разветвлённым в
©//?, если один из его простых дивизоров ф в © разветвлён
над ». Согласно теореме 1.41. 1), р разветвлён в ©//?! тогда и
только тогда, когда 1р|Ьык-
Если характеристика поля вычетов ф, т. е. (@/Ф) взаимно
проста с /l/k($) и /l/k ($)>1, то мы говорим, что ветвле-
ветвление $р — ручное1. В этом случае, используя теорему 1.39. 2),
можно вычислить точную степень $ в 5>l\k по известному
^l/kOP). Если характеристика поля вычетов $ делит /lik (Ф),
то ветвление $ называется диким1. Поводом для такого назва-
названия служит то, что, как мы увидим в дальнейшем, этот случай
является наиболее сложным.
Если простой идеал ф кольца © разветвлён над простым
идеалом и кольца R, то мы говорим, что р разветвлён в ©//?.
Из теоремы 1.10 выводится следующая теорема Минковского.
Теорема 1.41*. Для любого числового поля K^Qi суще-
существует простое число, разветвлённое в К (т. е. в Ок/Z). П
Если простой идеал ф кольца © разветвлён иад простым
идеалом $ из R, то мы говорим, что f разветвлён в©//?. В со-
соответствии с теоремой 1.40, теорему 1.10а можно переформули-
переформулировать следующим образом.
1 Эти термины являются относительно новыми. Более распространено
говорить, соответственно, об отсутствии и наличии высшего ветвления. —
Прим. ред.
41
являете? и достаточным, если р разлагается в L на [L:K] раз-
различных простых дивизоров.
Пример 14г (Дедекинд [74]). 2 представляет собой общий
несущественный делитель дискриминанта в рассмотренном в
примере 3 расширении Q(?)/Q, где ЭЭ-ЬР2—2р+8=0.
3.7. Нормальные расширения. Рекомендуемая литература:
Серр [222, гл. 1, § 7, 8, гл. 4]. Пусть R— дедекиндово кольцо с
полем частных К и @— целое замыкание R в конечном сепара-
бельном расширении N поля К. Пусть G— группа Галуа поля
N/K.
С использованием теории Галуа можно получить более хо-
хорошее описание свойств ветвления простых идеалов в расшире-
расширении ©//?. Каждому простому идеалу ф из © сопоставляется ряд
подгрупп группы G, называемых группами ветвления. Они
определяют не только поведение ветвления ф над р: = /?ПФ, но и
соответствующих простых идеалов в промежуточных полях
L/K.
В § 3.4 мы уже видели, что G действует на 2Я(@), как груп-
группа автоморфизмов. Пусть ф— простой идеал из ©. Тогда под-
подгруппа
группы G называется группой разложения $ и неподвижное
поле группы С,в называется полем разложения ф. Мы предпо-
предполагаем, что расширение полей вычетов (@/ф)/(/?/фГ|/?) сепара-
бельно.
Предложение 1.43. Пусть R и © те же, что и выше, и
пусть ф— простой идеал из <3.
1) Простыми дивизорами р:=фЛ/? в © являются простые
идеалы ?ф, где gdG. Эти простые идеалы имеют одинаковые
индексы ветвления е и степени инерции /.
2) Порядок группы разложения G*R равен ef.
3) Пусть К л—поле разложения $. В расширении N/Kqs
простой идеал ф имеет индекс ветвления е и степень инерции /.
В расширении К<д/К простой идеал фПК^из 5A К у. имеет ин-
индекс ветвления 1 и степень инерции 1.
Для я=0, 1,... п-ая группа ветвления Vn = Vn (ф) —
= Vn($, N/K) простого идеала ф из 5 определяется, как
7\д : = VoOP) называется группой инерции ф, а неподвижное поле
группы Tijj называется полем инерции ф. Легко видеть, что
Vo, V\,... — убывающая последовательность инвариантных под-
подгрупп группы G,j>. Группу 7^ можно охарактеризовать, как мак-
максимальную подгруппу группы G^, которая действует на @/ф
тривиально. Следовательно, Gy/Ty можно отождествить с соот-
4 f
расширения полей
ветствующей подгруппой группы Галуа
вычетов (@/Щ)/_(/?/фПЯ).
Положим V-1: = G43 . В следующем предложении собраны
простейшие факты о группах ветвления.
Предложение 1.44. Пусть % и © имеют тот же смысл,
что и выше, Щ—простой идеал из © такой, что (@/Ф)/(Я/$ПЯ) —
сепарабельное расширение, е — индекс ветвления н / — степень
инерции идеала ф относительно R.
)
B4 ?
2) Пусть F —промежуточное поле N/K и tf: = G(N/F). Тог-
Тогда п-ая группа ветвления $ относительно N/F равна Vn(%
N/K)flH, n = -l,0, ... F ^
3) Пусть /0 —поле инерции $ относительно К. Тогда *Р
имеет относительно /э индекс ветвления e = [N:/^] и простой
идеал *РП/41 из @П/^ имеет относительно К» степень инерции
4) Пусть я — элемент ф такой, что ябф2. Тогда группу ветв-
ветвления Vn можно охарактеризовать как группу всех g?l таких,
что
5) У„={1} при достаточно больших п.
6) Существуют мономорфизмы
A.17)
и
n/n+I(/J})+ при п=\, 2,... A.18)
7) Пусть )p:=ipfV? и степень [/? : j>]=JV(ip) конечна. Тогда су-
существует, и притом единственный, такой элемент gbG^IT^, что
для всех
? порождает группу Q$/T<q. Он называется автоморфизмом
Фробениусз. <Р относительно N/K и обозначается
8) Пусть А —изоморфизм N на AN. Тогда А»р — простой
идеал из AS. Более того,
n=
\
1,0
Если группа G(N/K) абелева и AeO(N/K), то
лишь от р = фП/?. В этом случае обозначаем
зависит
\
1
t I
45
Из свойства 3) следует, что любой класс из @/ф имеет пред-
представителя в @(V-;.-. Поэтому любое аб© обладает представлением
Следовательно,
(
где а,-б@ГУ «р. Из этого следует свойство 4). Свойство 5) полу-
получается из 4): если ?я=я(гшх1 ф"+1) для всех п=1, 2,..., то
gn—n. Но /,ц (я)—М и, поэтому, g—\.
Мономорфизмы A.17) и A.18) зависят от выбора такого
элемента яС$, что я^ф2. Их можно построить так. Согласно
§ 3.3, пусть 5ц ={«/{*|а. Р6©> РеФ} — локализация © по ф. Вло-
Вложение ®-»-©,j, индуцирует изоморфизм <3/$-*-S}!/ф<3 ,>. Далее, по-
поскольку любой класс в <2/$ имеет представителя в ©flip, моно-
мономорфизм A.22) индуцируется гомоморфизмом g-*-a (mod $<3 щ)
группы Ко в
я )*, где класс
tiопределяется сравне-
сравнением §л=ая(тоAф2©,).), а мономорфизм A.23) индуцируется
гомоморфизмом g-Hx(mod$P<3;;) группы К„ в {®#№@>ц)+, где
класс aG©f)/.jj определяется сравнением ?я=я+аяп+|-
(mod5pn+2®.,-,). D
Пусть @/ф— конечное поле характеристики р. Тогда из
A.23) и 5) получаем, что У( является р-группой, а из A.22) сле-
следует, что Vo/Vi — циклическая группа порядка eo\N(^) — 1. Сле-
Следовательно, е0 — максимальный делитель е, взаимно простой
с р. Так как G^/Iy—также циклическая группа, группа G(;—
разрешимая (см. также § 4.6).
Напомним некоторые свойства фильтрации {Vn\n = 0, 1,...},
принадлежащие Шпайзеру [239].
Предложение 1.44а. 1) Если g?V0 и h(-Vn, п>1, то
ghg-]h-*kVn+i тогда и только тогда, когда gneVb или ЛеУп-ц.
2) Если gdVm и h(-Vn, m, п>1, то ghg-4i-*dVm+n+\.
3) Пусть характеристика поля @/ф равна простому числу р.
Если УшфУт+\ и Vn?=Vn+u т, п^Н, то m^n(modp). н
Применим группы нетвлення для вычисления дифференты.
Теорема 1.45. Пусть Щ—простой идеал из © такой, что
(©/ф)/(/?/ФЛ#) —сепарабельное расширение и пусть vn — поря-
порядок Я-й группы ветвления идеала $. Тогда
n— П.
Доказательство. Согласно теореме 1.39, можно считать,,
что G(N/K)=VoOP, N/K). Тогда для аб@ имеем
П(а—рт).
я—О
если ябф, яФф2. Таким образом, теорема 1.45 следует из теоремы
1.39.1). D
Предложение 1.44.2) показывает, что группы ветвления пре-
прекрасно ведут себя по отношению к подгруппам группы Галуа
G(N/K). Но это не так по отношению к факторгруппам. Если
F — нормальное промежуточное поле расширения N/K, то, в
общем случае, Vn(%()F, F/K) ф Vn(% N/K) G(N/F)/G(N/F) при
я>1. Для спасения ситуации Эрбранд [125] ввел верхнюю ну-
нумерацию групп ветвления.
Верхняя нумерация определяется с помощью функции ц>(х) =
=<Pjv/k (х) вещественной переменной х^—1:
<р(х)—х при —I^jc^O;
ф(х) = (t)|+ ... +vn+(x—m)vm+i)/v0, где т:=[х] при х>0.
Функция ф(х)—непрерывна и строго возрастает, следова-
следовательно, она имеет непрерывную и строго возрастающую обрат-
обратную функцию г|>(#). Положим vx=vu, где и — наименьшее целое
число ~^х. Тогда верхняя нумерация задается посредством
Если ц>(х) —целое число, то х — также целое число, но об-
обратное, вообще говоря, неверно.
Теорема 1.46. Пусть F/K — нормальное подрасширение
N/K. Тогда
при х>—\,
F/K) —г»»0Р, NIK)G(N/F)/G(NIF) при у> — 1
Будем говорить, что {/„,—скачок в фильтрации {vy}, если
Т)О«ф'цУ<,+г для ЛЮбоГО 6,> 0.
Теорема 1.46а (Теорема Хассе—Арфа). Пусть G = G(N/K) —
абелева группа и у0 — скачок в фильтрации {V}. Тогда у0 — це-
целое число.
3.8. Идеалы в алгебраических числовых полях. Пусть К—ал-
К—алгебраическое числовое поле. Максимальный порядок Ок поля К
является дедекиндовым кольцом (Теорема 1.29а). В дальней-
дальнейшем основным объектом изучения являются поля К. Поэтому
некоторые понятия, касающиеся Ок, переносятся на К. Говоря
о группе единиц К, подразумеваем О?. Идеал из К — элемент
47
множества 2Я(К):=ЗЯ(ОК). Элементы 2Я(К) также называют
дробными идеалами. В связи с этим, идеалы О? называют це-
целыми идеалами К.
Главные идеалы (<х)=аОк образуют подгруппу (Кх) в
2Я(К). Одним из наиболее интересных инвариантов поля К яв-
является группа классов (идеалов) CL(K), т. е. группа 2Я(К)/(КХ)
Теорема 1.47. CL(K)—конечная группа.
Доказательство. Сразу следует из теоремы 1.8. ?
Изучение группы классов идеалов алгебраического числово-
числового поля является одной из важных целей теории алгебраических
чисел. Хотя существует огромное количество литературы, по-
священиой частным случаям, в общем случае структура группы
классов идеалов мало изучена. В этой книге результаты о груп-
группах классов идеалов приведены в следующих пунктах: 2.1.2,
2.7.3—2.7.4, 3.2.6—3.2.7, 4.2.1—4.2.5, 4.3.3—4.3.4, 4.4.5, 4.4.7. По-
Порядок группы классов идеалов называется числом классов.
Пытаясь понять эвристически ряд экспериментальных наблю-
наблюдений над группой классов идеалов, Ленстра выдвинул идею ис-
использовать формулы масс. Три из этих наблюдений таковы:
а) Нечетная компонента группы классов идеалов мнимого
квадратичного поля очень редко оказывается нециклической.
б) Если рф2—небольшое простое число, то часть мнимых
квадратичных полей, число классов которых делится на р, ока-
оказывается значительно большим, чем l/р (например, 43% для
р==3, 23,5% для р=«=5).
в) Оказывается, что определенная, ненулевая часть действи-
действительных квадратичных полей с простым дискриминантом (близ-
(близко к 76%) имеет число классов, равное 1, хотя неизвестно даже,
бесконечно ли количество полей с этим числом классов.
Сформулируем предположение Ленстры в случае мнимых
квадратичных полей (по поводу других полей и дополнительной
информации см. Коэн, Ленстра [70] и Коэн, Мартиие [71]).
Пусть CL'(K)—нечетная компонента группы классов идеа-
идеалов мнимого квадратичного поля К, dit — дискриминант К и
пусть / — неотрицательная функция на классах изоморфизмов
G конечных абелевых групп нечетного порядка. Положим
/(CL-(K))
-, Л1„ (/У-'
V /(O)/|AutO|
|O|<n
' 2 l/|AutO| "
Тогда Af(/)=Afo(/)
Замечание. Поведение компоненты порядка два группы
классов идеалов квадратичного поля полностью отличается от
поведения нечетной компоненты B.7.3, 3.2.6). Это объясняет
причину того, что предположение ограничивается случаем ие-
четной компоненты группы классов идеалов.
48
Если Р — свойство конечных абелевых групп нечетного по-
порядка и / — соответствующая характеристическая функция, т. е.
/(G) = l, если G обладает свойством Р, и /(G)=0, если G не
обладает свойством Р, то мы пишем М0(Р) =M0(f). Следующие
значения очень хорошо согласуются с результатами вычислений
(Бюелл [57]), если использовать гипотезу Ленстры:
M0(G— циклическая) =97,7575%, AfoC1161) =43,987%,
AfoE1161) =23,987%, AfoG1161) = 16,320%,
Мо (G3 = Z/9Z) =9,335%,
yW0(G3=(Z/3ZJ==l,167%, Afo(G3=(Z/3ZK) =0,005%,
jW0(G3= (Z/3Z)«) =2-3-10-8, jW0(G5 = Z/25Z) =3,802%,
yW0(G5=(Z/5Zn =0,158%,
Gp обозначает р-компоненту G.
Для любого идеала аеЭД(К) отождествим N (й):—- Nk/q(<i) c
положительным рациональным числом, порождаюши N (а)-
Обозначим /(К) полугруппу идеалов из О (К) и ф (К) —множе-
—множество простых идеалов К.
Пусть 5 — конечное множество простых идеалов из К. 5 —
единица поля К — это такой элемент а из Кх, что supp(a)sS
(§ 3.1).
Теорема 1.48. Пусть г,—число действительных и 2г2 —
число комплексных изоморфизмов поля К. Тогда группа Ев
S-едиииц поля К является конечно порожденной группой ранга
|S|+r,+r2— 1
Доказательство. Имеем точную последовательность
¦ Ок;-* Es
*Dls/(Es) -* {1},
где 2R, обозначает подгруппу 2Я(К), порожденную 5. Так как
Wls/(Es) = SRs/SRs П (К*) = Wls (Rx)/(Kx)eCL (К),
из теоремы 1.11 следует, что
rk {Es) = rk (O?) + rk (Wls) = 151 +r, +r2- 1.
3.9. Круговые поля1. Пусть п — натуральное число и t=?n —
примитивный корень степени п из единицы, т. е. %п—\ и ?**»Н,
если n-\k. Поле Q(?n) называется n-ым круговым полем. В этом
разделе будут детально изучены круговые поля в качестве ил-
иллюстрации общей теории.
Теорема 1.49.1) Q(?n)/Q — нормальное расширение степе-
степени (р(п), где ф — функция Эйлера.
1 Другое название — поля деления круга, нли циклотомнческне. — прим.
перев.
4—6164
49
2) Числа, сопряженнее к ?„, имеют вид ?", где afj(Z//iZ)*
и ga'-^я-*-^ определяет изоморфизм (Z/rcZ)* на G(Q(Cn)/Q).
3) Q(?n)/Q не раззетилено для простых q q\n.
Доказательство. Пусть р — простое, а т — натуральное
число. Тогда ?рП является корнем многочлена
степени <р(рт). Испо ьзуя критерий Эйзенштейна (предл. 1.38),
получаем, что многочлен
неприводим и
Так как
(Sam — ?*m) = (Cam*—OK/7)' если а.фо (modpm), то дискриминант
р р р
?рт является степенью /?. Поэтому G (Q (? "»)/Q) неразветвЛено вне/?ф
5
Пусть теперь «= И р™. Предположим, что теорема 1.49 уже
доказана для некоторого s и положим п' — прт, р-\п. Тогда в
Q(?n)nQ(?pm) простое р полностью разветвлено и неразветвле-
но, следовательно Q(?n)nQ (^m) —Q- Таким образом, [Q(Sn):Q] =
=-ф(я'). а
Теорема 1.49а. Пусть ^ — простое число и q-\n. Тогда
для любого простого делителя q числа q в Q(?n) автоморфизм
Фробениуса Fq отображает Zn на ?*.
Доказательство. По определению, имеем
Из равенства
следует, что (I
|я, если i#0(modrt), откуда /%?„ = ?«. П
Вычислим теперь групп л ветвления для простого дивизора
.(? m — 1) числа р в Q(? m). Имеем
и
50
Положим
Тогда
при i-=
при
1,...,
, = {1>, при
Относительно верхней нумерации находим, что все скачки —
целые (теорема 1.46а) и что V"=G(y), если //6N.
Вычислим теперь дискриминант Q(?pm)/Q с помощью предло-
предложения 1.45. При п = рт его значение равно п^^/р"^. Более
того, так как дискриминант ? т равен яф<'|)//?'1/р» ^[? ш] является
максимальным порядком Q(? m).
Перейдем к случаю общего n€N с помощью теорем 1.41 и
1.42.
Теорема 1.50. Дискриминант Q(?n)/Q равен
/
I
Максимальным порядком Q(^n) является Z[?n]. D
В частности, теорема 1.49 описывает типы разложения не-
разветвленных простых q в круговых полях Q(?n). Так как все
простые делители Q числа q имеют одну и ту же степень /, до-
достаточно знать число f, которое равно порядку Fq. По теореме
1.49 / равно порядку q в группе (Z/nZ)x. Простое число q пол-
полностью разлагается тогда и только тогда, когда q^\ (mod n)
Во введении к главе 1 упоминалось, что обобщение квадра-
квадратичного закона взаимности (Приложение 2) играло важную
роль в развитии теории алгебраических чисел. С другой сторо-
стороны, теория круговых полей дает ключ к пониманию квадратич-
квадратичного закона взаимности, впервые доказанного Гауссом в его
Dlsquisition.es arithmeticae. Гаусс дал шесть различных доказа-
доказательств этого закона, но все они не давали глубокого представ-
представления о его природе. Далее мы получим доказательство этого
закона, как следствие из теоремы 1.49.
В примере 20 (§ 4.5) мы объясняем типы разложения прос-
простых q в квадратичных полях Q(YZ)) с дискриминантом D. Они
определяются символом Лежандра (приложение 2): q нераз-
ветвлено тогда и только тогда, когда q-\D (теорема 1.41) и
если q-\2D, то q разлагается в произведение двух простых
идеалов в том и только в том случае, когда f—J=l. Пусть те-
теперь p=f*q — нечетное простое число. Тогда Q^) содержит, при-
1/7 — ^
том единственное, квадратичное поле L:=Qr \(—1) 2 р]. По
предложению 1.44, q разлагается в L тогда и только тогда.
4*
51
когда ограничение Fq на L тривиально, т. е. q— квадратичный
вычет по mod/г (теорема 1.49). С другой стороны, q разлагается
р-\
в квадратичном поле L с дискриминантом (—1) ' р тогда и толь-
ко тогда, когда I- 1—?-1 = 1. Следовательно,
Р-\
(-1)
i:
Это и есть квадратичный закон взаимности.
Это доказательство показывает, что квадратичный закон
взаимности имеет свои корни в свойствах разложения простых
чисел в абелевых расширениях поля Q. Правильное обобщение,
таким образом, состоит в описании свойств разложения простых
идеалов в абелевых расширениях и, более общо, в нормальных
расширениях произвольного алгебраического поля К посредст-
посредством инвариантов, определенных в К. Решение этой проблемы
для абелевых расширений — лежит в самом сердце алгебраичес-
алгебраической теории чисел (глава 2). Решение для нормальных расшире-
расширений находится сейчас в состоянии серии гипотез, называемых
гипотезами Ленглендса (глава 5).
3.10. Приложения к последней теореме Ферма. I. Рекомен-
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич [6, гл. 3].
Ферма предположил, что при п>2 уравнение
xn-\-yn=z" A19)
не имеет решений в натуральных числах. Эта знаменитая гипо-
гипотеза носит название последней теоремы Ферма, так как Ферма
заявлял, что обладает доказательством этой гипотезы. Это до-
доказательство неизвестно и до сих пор гипотеза остается недока-
недоказанной. Единственный известный общий результат — теорема
Фальтннгса, согласно которой уравнение A19) имеет не более
чем конечное число примитивных решений, т. е. решений х, у, г
таких, что НОД(х, у, г) = 1. Из утого, очевидно, следует, что
последняя теорема Ферма справедлива при п—рт, где р — прос-
простое, а т достаточно велико. Но существует огромное количест-
количество литературы, в которой рассматриваются частные случаи, или
необходимые условия существования решения A.19). По пово-
поводу истории этого вопроса и его современного состояния см. Ри-
бенбойм [205].
В этой книге рассматриваются лишь немногие результаты,
с целью дать пример приложения алгебраической теории чисел
к решению диофантовых уравнений.
Так как из справедливости гипотезы для числа п вытекает
ее справедливость для любого числа, кратного п, достаточно
ограничиться случаем, когда п — р, р — простое число, р~>2.
'52
Более того, достаточно рассматривать примитивные решения
х, у, z. Будем говорить, что имеет место первый случай послед-
последней теоремы Ферма, если р-\х, у, г к второй случай, если p\xyz.
В дальнейшем ?=?,, обозначает примитивный корень in едини-
единицы. Число р называется регулярным, если оно не делит числа
классов Q(?). В этом разделе будет доказан первый случай
теоремы Куммера. Для этого потребуется следующая лемма
Куммера.
Лемма 1.50а. Любая единица е из Q(?) имеет вид e = 2;'ti,
где г)OR.
Доказательство, e/s—единица, причем |е/е) = 1, следо-
следовательно, е/е=±С/ A.3.6)). Далее, e = e(modc; — 1) откуда
s —Ск. При j —2s (mod р) имеем т]: =е?1 = т]. П
Перейдем теперь к первому случаю теоремы Куммера.
Теорема 1.506. Пусть р — регулярное простое число, р>2.
Тогда выполняется первый случай теоремы Ферма.
Доказательство. Предположим, что равенство хГ-\-ур —
= 2Р справедливо для некоторых натуральных чисел х, у, z та-
таких, что НОД(х, у, г) = 1 и p-fxyz и придем к противоречию.
Пусть сначала р = 3. Из сравнения x3-f-j/3^z3(mod 3) следует
x-\-y"-=z(mod3). Положим z=x+y+3u. Тогда
х3-\-у3= (x-\-y-\-3uK^x3-{-y3 + 3x2y+3xy2(mod 9),
откуда
0^х2у-\-ху2=ху (х-\-у) =xyz(mod 3).
Получено противоречие.
Пусть теперь р>3. Используя предположение о том, что
р-\хуг, можно показать, что при i^j(modp) числа •*+?'# и л +
-\-t,'y взаимно просты. Поэтому из уравнения
(=0
следует, что для некоторого идеала acZ[?] имеем: (x-\-t,y)=ap.
Так как число классов Q(?) взаимно просто с р, a — главный
идеал. Следовательно, *-r-?t/=eap, где е — единица из <?(?), а
Z[]
Пусть
где af-Ъ. Тогда
Принимая во внимание лемму 1.50а, получаем сравнение
A.20)
53
с некоторым sf-Z и t,?Z\Z,][)R. Срапиенне A.20) вместе с ком-
комплексно сопряженным, дает
I/O- A.21)
Если показатели —s, 1—s, s—1, попарно не сравнимы по mod р,
получаем противоречащее сравнение x^y^Q(mod p). В общем
случае легко показать, что из A.23в) следует х^у(той р). Ана-
Аналогично доказывается, что **¦—z(modp). Следовательно,
2x]ssx-\-y:s3xp-\-yPsizp=z^ —je(mod p).
Таким образом, получается желаемое противоречие: Xs1
¦B0(mod p).
С помощью подобного, но значительно более сложного рас-
рассуждения Эйхлер [87] доказал значительно более сильный резуль-
результат. Для его формулировки ввэдеч некоторые понятия. Пусть
K:=Q(?) и К+: = QE-(-S) — максимальное вещественное под-
подполе поля К. Норма идеала Мщк индуцирует эндоморфизм
/^-компоненты CLp группы классов идеалов К. Пусть CL/ — образ
этого эндоморфизма. В главе 2.7.3 будет показано, что CL*
можно идентифицировать с ^-компонентой группы классов идеа-
идеалов К+.
- . Теорема 1.50в (Эйхлер). Пусть s — p — ранг СЦ/CL*. Если
Ур—2>s, то справедлив пгрв^й случай теорем^ Ферма.
Другие результаты о последней теореме Ферма приведены в
этой книге в главах 2.6.6 и 4.2.6.
с некоторым sOZ и t,(-Z\t]f]R, Сранненне A.20) вместе с ком-
комплексно сопряженным, дает
%-'x+%l-y=*tfx+t-ly{mod p). A.21)
Если показатели —s, 1—s, s—1, попарно не сравнимы по mod р,
получаем противоречащее сравнение x = j/s*0(mod p). В общем
случае легко показать, что из A.23в) следует х**у(той р). Ана-
Аналогично доказывается, что х**—z(modp). Следовательно,
2x^x-\-y^xp-\-yp^zp^z^ —х(тойр).
Таким образом, получается желаемое противоречие: Xs3
eB0(mod p).
С помощью подобного, но значительно более сложного рас-
рассуждения Эйхлер [87] доказал значительно более сильный резуль-
результат. Для его формулировки ввгдеч некоторые понятия. Пусть
K:=Q(?) и К+:—Q (? + ?-') —максимальное вещественное под-
подполе поля К. Норма идеала Nkik индуцирует эндоморфизм
/^-компоненты CLp группы классов идеалов К. Пусть CL+ —образ
этого эндоморфизма. В главе 2.7.3 будет показано, что CL+
можно идентифицировать с /^-компонентой группы классов идеа-
идеалов К+.
• Теорема 1.50в (Эйхлер). Пусть s — р — ранг CLp/CL*. Если
V р — 2>s, то справедлив пэр вый случай теорема Ферма.
Другие результаты о последней теореме Ферма приведены в
этой книге в главах 2.6.6 и 4.2.6.
§ 4. Нормирования
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шифаре-
вич [6, гл. 4], а также Хассе [122, часть 2].
В настоящее время для изучения алгебраических числовых
полей в большинстве случаев используются теория идеалов
вместе с теорией нормирований. В этом параграфе представлен
подход теории нормирований.
Нормирование поля К представляет собой непосредственное
обобщение абсолютной величины поля Q рациональных чисел.
Так же как R является пополнением Q относительно абсолют-
абсолютной величины, нормирование К приводит к пополнению поля К.
Нормирования поля Q соответствуют простым числам и абсо-
абсолютному значению. Арифметические проблемы об алгебраичес-
алгебраическом числовом поле К вначале изучаются в пополнениях относи-
относительно нормирований поля К, называемых «локальными поля-
полями». Тогда к «глобальному» полю К можно перейти с помощью
«принципа локальное — глобальное». Эта процедура будет пре-
прекрасно показана в § 5 и главе 2, § 1.
ь\
4.1. Определение и первые свойства нормирований. Пусть
К — поле. Нормирование v поля К — это гомоморфизм К в груп-
группу положительных вещественных чисел, удовлетворяющий не-
неравенству треугольника
, а, рек, а+р=^0. A.22)
Полагая i>@)=0, распространяем функцию v на К.
Тогда A.24) выполняется для всех а, реК. Поскольку триви-
тривиальное нормирование v0, для которого ио(а) = 1 для всех
абКх, не представляет интереса, в дальнейшем предполагаем,
что нормирование не является тривиальным.
Нормирование v индуцирует метрику d(a, Р)=г(а— Р), с
которой К становится топологическим полем. Два нормирова-
нормирования в К называются эквивалентными, если они определяют в
К одну и ту же топологию. Класс эквивалентных нормирова-
нормирований называется точкой поля[. Множество всех точек поля К
обозначается Р(К).
Предложение 1.51. Два нормирования поля К v\ и v2
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует положи-
положительное число с такое, что
и2(а) ==t)|(a)c для всех абК. D
В дальнейшем, говоря о нормированиях поля К, мы всегда
подразумеваем попарно неэквивалентные нормирования К.
Нормирование v называется архимедовым, если для всех
а, рбКх существует натуральное число п такое, что
Все остальные нормирования называются неархимедовыми.
Класс эквивалентности архимедовых нормирований называется
бесконечной точкой поля. Класс эквивалентности неархимедо-
неархимедовых нормирований называется конечной точкой поля.
Предложение 1.52. Пусть v—неархимедово нормирова-
нормирование. Тогда
у(а4-р)^глах{и(а), и(Р)} для всех «,
?
у(а+p)=max{y(a),i'(p)}, если и(а)
Нормирование v называется дискретным, если множество зна-
значений logu(a) при абК* является дискретным подмноже-
подмножеством R. Дискретное нормирование всегда неархимедово, но
обратное, вообще говоря, неверно, как мы увидим в дальней-
дальнейшем. Если v — неархимедово нормирование, то logo назы-
называется показательным нормированием.
1 Иногда вместо термина «точка поля» используется тремни «плейс».
В оригинале «place». — Прим. перев.
Пусть v — дискретное нормирование поля К. Множество
образует кольцо, называемое кольцом нормирования v.
Кольцо О„ имеет единственным простой идеал и,.=
= {абК|и(а) <1} и является кольцом главных идеалов. Два
элемента а, р??>„ ассоциированы тогда и только тогда, когда
и(а)=и(Р). Поле Ov/fv называется полем классов вычетов v.
Показатель элемента а из К относительно fv будем обозначать
vr(a), т. е.
аО„ = !>„*' . Положим л'„@) = 0. Если я — простой элемент из
Ov, то
V (О)
г;(я) v =г)(а) при а^К*.
Независимо от теории нормирований, кольцо нормирования
определяется как область V с полем частных К такая, что
для всех абК* либо а, "либо «-' принадлежит V. Элементы р
из V такие, что р-'$У образуют идеал $ в V. Следовательно,
ф — единственный максимальный идеал в V. Если R — деде-
киндово кольцо и К — его поле частных, то содержащие R
кольца нормирования в К представляют собой локальные коль-
кольца R р (§ 3.3) для простых идеалов р из R и R является пере-
пересечением этих колец нормирования. Определим нормирование
v p в К равенством
z»,(a) = g-v»(e) для afcK* (§3.1). A.22а)
Тогда /?р — кольцо нормирования для vf.
Кольца нормирования естественно возникают в теории
функций одной комплексной переменной. Если р — точка рнма-
новой поверхности F, то множество мероморфпы.х функций
на F, голоморфных в р, образует кольцо нормирования. Если
F — замкнуто, то можно доказать, что соответствующие норми-
нормирования Vp исчерпывают нормирования поля мсроморфных
функций / на F такие, что v^(c)==\ при с<-С/. Тот факт, что
число нулей функции f равно числу её полюсов, можно выра-
выразить формулой
По, (/)==!• A.226)
Следующий пример описывает нормирования алгебраиче-
алгебраических числовых полей.
Пример 15. Пусть К—алгебраическое числовое ноле и
Ф : К-»-С— изоморфизм К в С. Тогда
vv(a) : =|cp(a)| для аС<К
является архимедовым нормированием поля К.
56
Пусть у — простой идеал из Ою Тогда
¦v (а): = N(p)"~V)) ° , «fjKx, г>5@)=0 —
— неархимедово нормирование поля К.
Имеет место соотношение
Пг)Ф(а)П1)р(а)=1 для всех agK*. A.23)
где Ф пробегает все изоморфизмы К в С, а р — все простые
идеалы из Ок- Соотношение A.23) корректно, так как для
заданного agK почти для всех р имеем v^(a)=\. Оно пред-
представляет собой переформулировку равенства
р / р
Предложение 1.53. Пусть К — алгебраическое числовое
поле. Нормирования, определенные в примере 15 — это с точ-
точностью до эквивалентности и есть все нормирования поля К. Два
различных нормирования vi, v2 из примера 15 эквивалентны
тогда и только тогда, когда они имеют вид Ui = t4pb t>2 = i^2 с
комплексно сопряженными изоморфизмами ф1 и фг-
Нормирования, определенные в примере 15 называются нор-
нормализованными, за исключением нормирования иФ, где ф — ком-
комплексный изоморфизм. В последнем случае i\2 называется
нормализованным, хотя эта величина уже не является норми-
нормированием, поскольку для нее нарушено неравенство треугольни-
треугольника. Но равенство A.23) принимает красивый вид
A.24)
Пт;(а) = 1 для всех at:K\
где произведение взято по всем нормализованным нормирова-
нормированиям v поля К. Формулы произведения A.226) и A.24) демон-
демонстрируют аналогию между алгебраическими числовыми полями
и полями алгебраических функций.
В последующем символ | |„ обозначает нормализованное
нормирование отвечающее точке поля v.
В § 3.8 введено понятие 5-единиц алгебраического числово-
числового поля К, где S было множеством простых идеалов. На языке
теории нормирований это понятие можно переформулировать
следующим образом. Теперь S обозначает конечное множество
точек поля, включающее множество S» всех бесконечных точек.
Элемент а^К* является S-единицей, если f(a) = l для всех то-
точек поля ибР(К)—S.
Группа Ев 5-единиц представляет собой конечно порожден-
порожденную группу ранга |S| — 1 (теорема 1.48). Группа кручения Пв —
циклическая группа корней из единицы в К. Пусть % — образу-
57
ющии элемент этой группы и пусть |, ei e,«,-i — система
образующих для Е„. Тогда еь .... e,.,_i называется фундамен-
фундаментальной системой единиц из Ев.
Регулятор RB для Ев определяется равенством
гДе i=l [51—1, a v пробегает все точки из 5—{v0}, исклю-
исключая одну произвольную фиксированную точку uo€S (сравните
с определением регулятора в § 1.3). Величина RB не зависит от
выбора фундаментальной системы единиц и выбора v0. Неравен-
Неравенство ЯвФО можно доказать так же, как выше было доказано
неравенство R=?Q.
Имеется следующая характеризация алгебраических число-
числовых полей.
Теорема 1.54. Пусть К поле характеристики 0. Следующие
условия эквивалентны:
1) К — алгебраическое числовое поле.
2) К имеет хотя бы одно нормирование, которое либо архи-
архимедово, либо дискретное с конечным полем классов вычетов и
существуют множество 5 нормирований К и положительные
числа а„ при v?S такие, что для любого ссбКх неравенство
у() 1
= 1 выполняется лишь для конечного множества нормиро-
нормирований из 5 и
3) Неархимедовы нормирования поля К дискретны с конеч-
конечным полем классов вычетов. Для любого абКх существует лишь
конечное число неархимедовых нормирований таких, что v(a)?=
Китайскую теорему об остатках (предложение 1.33) в более
сильной форме можно записать в терминах теории нормирова-
нормирований.
Предложение 1.55 (Сильная теорема о приближениях1).
Пусть v0 — произвольное нормирование алгебраического число-
числового поля К и пусть 5 — конечное множество нормирований К,
отличных от v0. Пусть, далее, а«, v?S — произвольные элементы
из К.
Тогда для любого е>0 существует (К<К такой, что
o((J—<х„)<е для всех v?S и у'(р)^1 для всех нормирований v'
поля К, не принадлежащих 5U{oo}- (Касселс, Фрёлих [65, гла-
глава 2.15].) И
Исключительная роль одного нормирования v0 в сильной
теореме о приближениях естественна с точки зрения формулы
произведения A.26), так как с помощью этой формулы можно
определить значение одного нормирования при заданных значе-
значениях остальных нормирований.
Пример 16. Пусть R— кольцо с теорией дивизоров /?*->-$
Тогда любой простой дивизор р из 3) определяет дискретное нор-
нормирование vp поля частных Q(R) посредством равенства
' Эта теорема также называется «сильной лпнрпкеиманионной теоре-
теоремой». — Прим. перев.
58
где р — произвольное фиксированное число из интервала 0<р<1.
4.2. Пополнение поля относительно нормирования. Пусть К —
произвольное поле v — нормирование поля К. Так же, как в
случае обычного абсолютного значения, на поле Q можно ис-
использовать последовательности Коши для построения пополне-
пополнения К относительно v.
Будем называть ^-последовательностью Коши последова-
последовательность есь <Х2, ... элементов из К таких, что для любого
е>0 существует натуральное число N (е) такое, что
и(а„—am)<e при п, m>N{e,).
Поле К называется полным относительно нормирования v,
если любая ^-последовательность Коши сходится. Расширение
К', поля К с нормированием v', продолжающим v на К', назы-
называется пополнением К относительно v, если К' является полным
относительно у' и К плотно в К'. Пополнение единственно п том
смысле, что если К", v" — другое пополнение, то существует
единственный изоморфизм <р : К'-+-К" нормированных полей та-
такой, что ограничение ф на К тождественное.
Множество С всех -^-последовательностей Коши в К обра-
образует кольцо со сложением и умножением, определенными
поэлементно. Кольцу С принадлежат такие последовательности
a,,a2, ..., что liman = 0 в топологии, определенной нор миро-
ванием v. Эти О-последовательности образуют максимальный
идеал М в С. Поле С/М представляет собой пополнение К„ по-
поля К. Нормирование v продолжается на К„ очевидным образом.
Продолженное нормирование можно, не боясь ошибиться, сно-
снова обозначить v.
Пополнения алгебраического числового поля К называются
локальными полями. Архимедовы нормирования vv называются
действительными (соответственно, комплексными), если <р —
действительный (соответственно, комплексный) изоморфизм.
Тогда пополнение К относительно и„ изоморфно R (соответствен-
(соответственно, С). Пополнение Кщ поля К относительно неархимедова нор-
нормирования и„ называется /7-адическим числовым полем. Пусть
р — характеристика поля вычетов иг Тогда К>- —конечное рас-
расширение поля Qp рациональных р-адических чисел. Поле клас-
классов вычетов vp представляет собой конечное поле с N(p) элемен-
элементами.
59
В случае архимедовых нормирований имеется общий резуль-
результат о возможных полных полях, принадлежащий Островскому.
Теорема 1.55а. Пусть К—полное поле по отношению к
архимедову нормированию. Тогда К изоморфно R или С причем
в обоих случаях нормирование представляет собой обычную аб-
абсолютную величину (Хассе [112, глава 13]).
4.3. Полные поля с дискретным нормированием. Если К — по-
поле с дискретным нормированием у, то пополнение К„ вновь об-
обладает дискретным нормированием и
о(К)—в(К.).
Пусть D—кольцо нормирования и и л — образующий эле-
элемент идеала р кольца D. Тогда л называется простым элемен-
элементом К и характеристика D/p называется характеристикой по-
поля вычетов К. Положим v : =vv. Очевидно, что для любой по-
последовательности а0, <zi, ct2,. .. элементов из О ряд ои-4-0С|Л-4-
-\-а.2Л2-\- ... сходится к элементу из кольца нормирования О,,
из К„.
Предложение 1.56. Пусть R — система представителей
классов Ц/р в О. Тогда любой элемент а из Кх можно един-
единственным образом представить в пиде
а= VOvnvf гдо av(:R. A.25)
V-V,
VO = V(CC), OCv.^O. ?
Пример 1.15a. Пусть К = СB), « — комплексное число и
v = va — нормирование поля К, заданное равенством
¦Оц(/) = « " » /6 К »
где vu(/)—кратность и в /, т.е.
(сравните с 1.22а). Тогда кольцо нормирования О представ-
представляет собой кольцо всех функций /r'Kv, не имеющих полюса в
и, "р — идеал, состоящий из всех /''О, имеющих нуль в и и
?)/$> = С. Следовательно, можно положить R : =С и n=z—и и
A.25) является так называемым формальным степенным ря-
рядом
У, cv(z — u)v, fv(-C,
для /бК, который, в данном случае, сходится в обычном смыс-
смысле теории функций. ?
Замечание. Основой для развития метода теории норми-
нормирований в теории чисел послужило сделанное Гензелем наблю-
наблюдение о том, что с рядами вида A.27) можно оперировать так
же, как со степенными рядами в функциональных полях.
Предложение 1.57 (Лемма Гензеля). Пусть К—поле,
полное относительно дискретного нормирования и. Пусть
f(x)(-D[x]— нормированный многочлен. Предположим, что
$(х) и Ъ(х)—взаимно простые многочлены нз (О/р [л:] та-
такие, что
Тогда существуют такие многочлены g(x), h(x) GD [*], что
f(x)=g(x)h(x)
и
g(x)-6(x), к(х)-Цх).
Доказательство. Выберем многочлены gi(x),
Л, (*)("<?>[*] такие, что g, (x) =д(лг), /ij(x) =f)(x). Тогда
f(x)— gi{x)hi(x)=nw(x), где w(x)?D[x], а я —простой эле-
элемент из К. Рассмотрим теперь
§2 (х) =gi (х) +ли (*), ht (х) =А, (л:) +nv (x)
с подлежащими определению многочленами и(х), v(x). Тогда
/(*) —gi(x)h2(х) шшЯ(и>(х) —gi{x) v(х) —h{ (х)и (х)) (mod л2).
Поскольку g(x) и h(x) взаимно простые, можно выбрать и(х)
и v(x) такие, что
w (x) —gi (x) v (х) —Л, (д:) и (х) эО(mod я).
Предположим, что уже построены gn(x), hn(x)?D[x] такие, что
gn(x)=g(x), hn(x)=h{x) и /(*)=?„ (*)/!„(ж) (mod я"). Тогда
мы ищем многочлены ип(х), vn(x)?Q[x] такие, что
(Jc)(modn««)
удовлетворяют сравнению
следовательно,
Пример 17. Пусть К — поле р-адических чисел и f(x) —
=jrjv<p)—х Тогда f(x) разлагается на различные линейные мно-
множители. По лемме Гензеля, то же справедливо и для в ?>[*].
Корни f(x) являются системой представителей классов ОД вО,
называемой отмеченной системой представителей.1
Лемма Гензеля даёт некоторую информацию о многочленах
в D[x], если что-то известно о соответствующих многочленах в
(D/f)[x]. В более общем случае, хотелось бы сравнить
Также называется представителями Тейхмюллера. — Прим. персе.
60
61
с соответствующим многочленом в (О/рЛ)[лс]. В этом
направлении имеется следующая усложнённая версия леммы
Гензеля.
Предложение 1.58. Пусть /(*). #n(*). M*)—многочле-
M*)—многочлены из О[х], для которых выполнены следующие условия:
1) Старшие коэффициенты /(*) и go(x)ho(x) совпадают.
2) Показатель r=\(IZ(g0, h0)) результанта g0 и h0 конечен.
3) f(x)wmg0(x)h0(x)(modn2^).
Тогда существуют такие многочлены g(x), h(x)?D[x\, что
f(x)-g(x)h(x), ?(*)=Ы*). h(x)^h,(x)(modnr+l). C. И. Бо-
ревич, И. Р. Шафаревич [6, глава 4.3J).
4.4. Мультипликативная структура р-адического числового
поля. Пусть К — р-адическое числовое поле и О — кольцо нор-
нормирования поля К. Простой идеал кольца ?> также обозна-
обозначаем р. Характеристику поля вычетов поля К обозначаем р.
В этом разделе мы хотим описать структуру К*.
Пусть л— простой элемент О, т. е. р=г|О. Тогда Кх—(л)Х
Х?>*. Пусть, далее, q : = N (у) =[О : $]. Согласно примеру 17,
О содержит группу ц,-, корней из единицы порядка q—1. Сле-
Следовательно,
где t/| : =1+1» называется группой основных единиц. В более
общем случае положим ?/n:=l-t-pn для п=1, 2,... и 00—
= ?/:=?)*. Группы Un, п—1,2,..., образуют базис окрестно-
окрестностей 1 в топологии Кх, индуцированной топологией К.
Группа Zp целых р-адических чисел действует на U, есте-
естественным образом: из
A+ая')р*1+»'+1 Для а€С, *GN
следует, что
т)»»€1+1>*+1 для т)€У,, р»\т. A.26)
Пусть теперь g = \imgn^Zp, gn?Z и rigV,. Тогда rfn сходится
Л-»-оо
к элементу из ?/,, не зависящему от влбэра последовательности
glt g2, .... сходящейся к g. Положим
Это определяет непрерывное отображение ZvY,U\-*-U\ такое,
что U\ становится Zд^модулем.
П р е дл о ж е н ие~ 1.59. Zp-модуль Ut представляет собой
прямую сумму группы jip корней из единицы в К порядка, рав-
равного степени р, и свободного Zp-модуля ранга [К : QP]. ?
Короткое доказательство этого предложения, использу-
использующее /7-адический логарифм, приведено в 4.9, а в этом разделе
62
рассматривается вопрос о структуре С/ь как фильтрованной
группы с фильтрацией {?/„ | п— 1, 2,...}.
Пусть е — индекс ветвления, а /—степень инерции О отно-
относительно Ър и Ср< — образующий элемент jy, i—\,...,e.
Отображение ф„ : =O-*-i/n, определённое равенством ф„ (а) —
= 14-«яя, индуцирует групповой изоморфизм (O/f)+ Iia
Un/Un+\- Более того,
1-т-аяп-+-A-т-аяп)Р=1+алп/7+ • • ¦ +арлпр Для
индуцирует групповой изоморфизм
Un/Un+i-t-Unp/Unp+i, если 1<п<е/(р—1),
Un/Un+l-+Un+e/Un+l,+u если п>е/(р—\),
Un/Un+l-»-Un+e/Un+0+i если п-е/{р—1) и
Un/(Un+u l+ynn)-+AczUn+e/Un+e+u если n^e/ip)
где у — решение сравнения
1 =_ур-'л"'р-')р-1 (mod л)
и /4 — подгруппа индекса р в Un+e/Un+e+i элементов 1 +
1—?р)р, где рео, Тг^ = 0, а Тг обозначает след из О/р в
Z
/pp
Для доказательства A.29) заметим, что
-%р-хр-1— l(modX). ?
В случае цр^^/, мы получаем простое описание ?/,. Пусть
ю,, ..., ш/— множество образующих (D/P)+ и tivA: = 1 -j- ЮуП11.
Тогда
{Tivii|v=l,...,/, 1<ц<.ре/(р-\), piii} A.28)
есть базис свободного Zp-модуля U{.
Если jipczt/,, то, согласно A.29), требуется ещё один обра-
образующий элемент т)., лежащий в Uep,(p-\). Элемент т|. можно
выбирать в виде
?]„ —1+ю«A— 1р)р,
гдеТгсо+=О.
Между образующими A.30) и г^ существует одно порождаю-
порождающее соотношение, соответствующее равенству ^<?=1. Если
то можно взять тIц = ? с. Если р\\*-, то соотношение более
сложное. Подробнее см. Хассе [112, глава 15].
63
Пример 18. K^Qp. Если рФ2, то С/,= A+р). Если р=2,
то ?/,-(—1,5).
Если К — алгебраическое числовое поле и р— простой
идеал К, то
?)K/p" = ?>p/pft для всех А = 1, 2, ....
где Dp обозначает кольцо нормирования на К.. Далее,
Таким образом, структура групп (?)к/РЛ)х определена приведенны-
приведенными рассуждениями.
4.5. Продолжение нормирований.
Предложение 1.60. Пусть и--нормирование поля К, и
L — конечное сепарабелыюе расширение степени п поля К
1) Если К — полное по отношению к v, то существует, при-
притом единственное, продолжение v' нормирования v на L, зада-
задаваемое равенством
v'(a) = v{N4K{a))yi" для аеК,
L — полное относительно v.
2) Если К не является полным относительно v, то продол-
продолжения и на L соответствуют полям Li,.. . , L, — компонентам
тензорного произведения
Le>KK,=-L,©...eL,. A.29)
Поля Lv, v—l,...,s,— полные и соответствующие нормирова-
нормирования ич поля L задаются каноническим вложением L в Lv.
3] В случае, когда v — дискретное нормирование, ?)„ /О„
представляет собой расширение дедекиндовых колец с просты-
простыми идеалами spv|pv и имеет место равенство
[Lv: Kv] = <?vfv, A.30)
где ех—индекс ветвления, a /v — степень инерции $, относи-
относительно Pv.
4) Если L задаётся неприводимым многочленом f(x) с ко-
коэффициентами из К, т. е. Ls*K.\x]/{f(x)), то полные поля LT,
v=l,...,s, соответствуют неприводимым сомножителям f,(x)
многочлена f(x) над Kv, т. е. Lvs*Kv[x\/(fv(x)) ,{*\_
Пусть теперь К — поле частных дедекиндова кольца R и
5 — целое замыкание R в конечном сепарабельном расширении
L поля К. Пусть р — простой идеал из R н Ч5|, . . . , $.,— простые
дивизоры у в S. Пусть, далее, v и vt,...,v, — нормирования К
и L, соответствующие $ и ф|,...,ф„ Тогда, с точностью до
эквивалентности, уь...,у., представляют собой множество всех
продолжении v на L и равенства A.29) и A.30)
П КК Ь L
Теорема 1.61.
рд р
отражают ф>рм/лу A.13). Положим
.П/:
P,,
?>>о:=.0„, Djj. ="D,,r Пт.кгой ит,еал к >льца нормирования Dv
п^ля К„ обозиачэси 1), если это не приводит к недоразумению.
04
/-1 >J
Теорема 1.61 показывает, что зная «локальные» дифферен-
дифференты и дискриминанты, можно вычислить дифференту и дискри-
дискриминант расширения S/R. Грубо говоря, «глобальная» диффе-
дифферента (соответственно, дискриминант) является произведением
«локальных» дифферент (соответственно, дискриминантов).
Как будет показано в следующем разделе, знание локальных
простых элементов позволяет без труда вычислить локальные
дифференты и дискриминанты.
Некоторые понятия сохраияются при переходе к пополнениям
L/K, причем их становится легче вычислять. Например, пусть
L/K — нормальное расширение, ф—простой идеал из 5 ир = $Л/?.
Тогда L^/Kp —нормальное расширение и ограничение <3(Ц|/Кр)
иа L определяет вложение О(Ц/К,,) в G(L/K), образ которого
является группой разложения G«jj(L/К). В более общем случае,
ограничение И„(ф, Ц./Кр) на L есть И„(ф, L/K), я= 1,0,
В последующем Vn(ty, L^/Kp) и И„(ф, L/K) отождествляются.
Если w — архимедово нормирование L с ограничением v на К,
то группа разложения Gw для w относительно L/K, опреде-
определяется как группа C(L»/K»), рассматриваемая, как подгруппа
G(L/K).
Для удобства будем говорить, что точка w поля L лежит
над v-точкой поля К, если нормирования из w являются про-
продолжениями нормирований из v. В этом случае мы пишем:
w\v. Классы эквивалентности архимедовых (неархимедовых)
нормирований называются бесконечными (конечными) точками
поля. Если К — алгебраическое числовое поле, то конечные
точки будут отождествляться с простыми идеалами из К. Эти
обозначения возникли в теории замкнутых римановых поверх-
поверхностей, где точки поверхности F соответствуют классам эквива-
эквивалентности нормирований поля К мероморфных функций на F
(§ 4.1). Если L/K — конечное расширение, то риманова поверх-
поверхность L есть накрытие F, поэтому точки w из L лежат над точ-
точками у из К (рис.).
v
5—6164
G5
Пример 19. Пусть L-K[*]//(jc), где f(x)r-R[x] - неприво-
неприводимый нормированный многочлен. Пусть, далее, р —простой
идеал из R и
— разложение J(x)=f(x) (mod p) на неприводимые многочлены
над /?/р. Предположим, что дискриминант / взаимно прост с р,
тогда многочлены fi(x), ... f»(jc) — попарно различные. Поэто-
Поэтому по лемме Гензеля получаем, что f(x)=fl(x) .../,(*), где
/»(•*)€/? М, v=l, ..., s,— неприводимые многочлены такие, что
/»(*)=fv(*). Следовательно, р в 5 обладает разложением р =
=$|...Щ, на попарно различные простые идеалы %, имеющие
степени инерции, равные deg/v.
Пример 20. Пусть d?Z—свободное от квадратов число,
K = Q, L = Q(|/dr). Рассмотрим разложение простых чисел р на
простые идеалы в 0L. Если p-\2d, то по определению символа
Лежандра (—j, многочлен /(jc) = jc2—d неприводим над Z/pZ
тогда и только тогда, когда /—)== — 1. Для (—)== 1 имеем
х2—d = (x — a)(x-j-a) (modр), где agZ. Таккака^ё—a (mod/?),
из леммы Гензеля следует, что / (jc) разлагается над Qp на ли-
линейные множители. Значит,
(P) = M2 при p\2d, (у)-=1. (Р)-=Ф при p<\2d, (y)=-l.
Более того, легко видеть, что в первом случае
9i=(p. Vd—a),
Если p\d, многочлен х2—d неприводим по mod/?2 и, следова-
следовательно, иеприводим над Q,.
(Р)=Ф, если p\d, где SP=(p, fd)
Если р=2, d=3 (mod 4), многочлен х2—d иеприводим по mod 4
и, следовательно, неприводим над Q2.
(р)=ф2, еслир==2, d-зЗ (mod 4), где Щ=B, У«М-1).
Если р=2, d**l (mod 8), то
jc2—d**x2— 1«(jc— 1) (Jc-r-l) (mod 8).
Следовательно, по предложению 1.53, x2—d разлагается над
Q2 на линейные множители.
(P)=SP,SP2, если р=2, p-l(mod8), где SP, = B, (yJ+l)/2),
SP2=B,
Если р=2, d=5 (mod 8), многочлен х2—d неприводим по mod 8
и, следовательно, неприводим над Q2. (p) = (<p), если р=2,
p-5 (mod 8). D
66
С помощью квадратичного закона взаимности можно дока-
доказать, что свойства разложения простого числа р в квадратичном
поле с дискриминантом D зависят только от класса вычетов р
по mod \D\.
4.6. Конечные расширения р-адических числовых полей. Пусть
К — р-адическое числовое поле, т. е. пополнение алгебраическо-
алгебраического числового поля относительно нормирования, соответствующе-
соответствующему простому идеалу р из ?)к . Пусть р — характеристика поля
вычетов для р. Тогда К — конечное расширение QP. С другой
стороны, каждое конечное расширение Q, изоморфно, как топо-
топологическое поле, р-адическому числовому полю. В этом разделе
будут более тщательно изучаться конечные расширения L по-
поля К. Так как кольцо нормирования Ol поля L имеет единст-
единственный простой идеал, можно говорить об индексе ветвления
e=eL/K и степени инерции /==/lik для L/K.
Предложение 1.62. Пусть я — образующий элемент про-
простого идеала $ из Ol и пусть шь ..., Ш/ — базис расширения
поля классов вычетов (?>ь/Щ)/(?>к/!Р). Тогда
{ю,я?|ц=1 /, v=0,l, .... е— 1}
— базис ?)к -модуля Ol.
Доказательство. Сразу следует из A.27). D
Расширение L/K называется неразветвлеииым (соответствен-
(соответственно, вполне разветвленным), если eL/K =1 (соответственно
/l/k=1).
Предложение 1.63.1). Пусть q—число элементов в
Ок/р. Существует и притом единственное промежуточное поле
К/ из L/K такое, что К//К не разветвлено, a L/K/ — вполне
разветвлено. Кроме того, [К/: К]=/ и К/=КA), где \— прими-
примитивный корень из единицы порядка q'~\
2) Пусть /«(jc) — минимальный многочлен для л над К/.
Тогда I
®L/K-</',(*))•
Доказательство. Поле ?>l/$P содержит q* элементов.
Поэтому многочлен xgf — 1 имеет qf—\ различных корней в OL/f
и, по лемме Гензеля, (предложение 1.57) х" -1 —1 имеет qf —Л
корней в L. Следовательно, К(|)сХ. Так как К(?)/К имеет
степень инерции / и индекс ветвления 1, K(g) = K7. Из A.14)
и A-15) следует, что еЧК/ = е, /L/K/=»l.
По предложению 1.62 имеем bL/K ==(yVL/K//«("))» 0ТКУДа
SbL/K^toLIKj^ifl. («))• П
Пусть L содержится в поле М и F — конечное расширение К
в М. По предложению 1.63
5»
67
, г-„ v...x,w i.w нинааывает, что с точностью до
изоморфизма существует, притом единственное, неразветвленное
расширение К произвольной заданной степени. Это — нормаль-
нормальное расширение с циклической группой Галуа G и G порождена
автоморфизмом Фробениуса (предложение 1.43.5).
Расширение L/K называется ручным разветвленным (соот-
(соответственно, диким разветвленным) если еФО (modp), (e™
*=0(тоа»).
Предложение 1.64. Пусть L/K—ручное разветвленное
расширение со степенью инерции 1 и пусть як —простой эле-
элемент ?>к. Тогда Ь = К(>/лк?), где е—степень L/K и ? — корень
степени q—I из единицы.
Доказательство. Согласно предположениям, л'=елк,
где е — единица из Of Так как L/K не разветвлено, имеем е==
н=?(яюAя) с корнем из единицы степени q—\. Поэтому е = во?,
где е0—основная единица, т. е. e0 = J(modn). Так как Zp дей-
действует на группе основных единиц (§ 4.4) и (е, р) = \, сущест-
существует, притом единственная основная единица ei^Ot такая, что
ei*=eo. ?
Задача классификации ручных разветвленных расширений
поля К с точностью до изоморфизма, является элементарной.
По поводу этого вопроса отошлем читателя к книге Хассе [112,
глава 16] (Предостережение: в трех изданиях на немецком язы-
языке этой книги в главе 16 имеются ошибки).
Дикие разветвленные расширения намного более сложны.
Но, в некотором смысле, представление о том, какие возможны
расширения в этой общей ситуации, также имеется. К этому во-
вопросу мы вернемся в главе 3, § 2.3—4.
Приведем одни результат в этом направлении.
Предложение* 1.64а. Пусть L/K — вполне разветвленное
v$ C>l/k) < vy (п)+п — 1.
Доказательство. Пусть я — простой элемент L и пусть
f()+ix+ ... \ап.}х+ао —
— минимальный многочлен для я. Тогда степени я слагаемых
в равенстве
+,
все различны. Следовательно,
p(/m"-1)=*v.-p(/*)+«—1- ?
Предложение 1.64а используется для доказательства теоре-
теоремы 1.41а. Пусть L—алгебраическое числовое поле степени п.
По теореме 1.10а достаточно показать, что дискриминант dp
ограничен числом, зависящим только от п и S. Следовательно,
,' расширение степени п. Тогда
достаточно показать, что локальные дискриминанты ограничены
для p?S, а это следует из предложения 1.64а.
По аналогии с теоремой 1.41а, количество р-адических число-
числовых полей заданной степени — конечное. Более того, справедли-
справедлива следующая теорема Краснера.
Теорема 1.65. Пусть К—алгебраическое замыкание К и
N (п, J) — число вполне разветвленных расширений L поля К в
К таких, что [L:K] = ra и фь/к=/> фу'~'. где ф — простой идеал из
L. Тогда
у
где д = [О к: »1. h^E/p+E/p^... +?/рр+[(/—Е)/р<>+Ч /,=(), если
}<ZsE или ]>тЕ, l}—q—1, если sE<.j<.mE, l)—\, если /=т?,
?=vp(p), m=v,(n), s={min m, vp(/)}, p=[j/E] В (Крас-
нер [153], Серр [223]).
Для доказательства теоремы 1.65, а также в некоторых дру-
других ситуациях, полезна следующая лемма Краснера.
Предложение 1.66. Пусть К — поле, полное относитель-
относительно неархимедова нормирования v и пусть а, рб1(, причем а се-
парабелеи над К(р). Если
v (р—а)< v (а7—а)
для всех сопряженных а'фа для а, то а€К(р).
Доказательство. Пусть L/K(P)—нормальное замыка-
замыкание К (о, Р)/К(р) и $€G(L/K(P)). Тогда
v (p—ga) = v (р—а) < v (а7—а).
Поэтому
v (<x—g<i)<max(v(а—Р), v ($—ga)) <v(а'—а).
Следовательно, ga=a. П
Из теоремы 1.65 следует элегантная формула масс Сер-
ра [223].
Теорема 1.67. Пусть Е„—множество всех вполне развет-
разветвленных расширений L поля К заданной степени п в фиксиро-
фиксированном алгебраическом замыкании поля К и пусть /(L):=/ и
q определены так же, как и выше. Тогда
68
4.7. Расширения Куммера. Пусть п — натуральное число,
К — поле, характеристика которого взаимно проста спи кото-
которое содержит корни из единицы порядка п. Из основ теории
Галуа известны следующие факты.
Любое циклическое расширение L поля К степени п порож-
порождается корнем а неприводимого многочлена хп—аеК[дс]. Элемен-
Элементу ?бц„ сопоставляется автоморфизм g\ поля L/K, определяе-
69
мый равенством g{a=ta. Тогда ?-»-?t— изоморфизм \in на
C(L/K)
Многочлен x"—b, *бКх неприводим тогда и только тогда,
когда порядок элемента Ъ в группе КХ/(К )" равен п. Если р —
корень многочлена хп— Ь в некотором расширении Е поля К,
то К (Р)/К —циклическое расширение степени п. Оно называется
расширением. Куммера, а j^ft = p.
Пусть х"—ft, и х" — Ьч—неприводимое многочлены из К [х].
Тогда K(|/ft,) = K(>/*2) в том и только в том случае, когда
Ьг = Ь[сп, где (г,л)==1, сбК.
Предположим теперь, что К — поле частных дедекиндова коль-
кольца R.
Предложение 1.68. Предположим, что л"—а — непри-
неприводимый многочлен из R\x\ и пусть L = K(j/a).
1) Если ) — простой идеал К такой, что pfna, то р неразвет-
влен и разлагается в произведение s простых идеалов в L, где
s — максимальный делитель числа п такой, что сравнение лс*в
^a(modi>) имеет в R решение Ь.
2) Если р — простой идеал поля К такой, что р\а, pn-f а, то р
разветвлен в L/K. Если p-fn и (vp(a), я) = :А, то индекс ветвле-
ветвления р в L/K равен n/h. _
Доказательство. 1) Согласно предположениям, хп—а
разлагается в R/f в произведение попарно различных неприво-
неприводимых множителей хп/'—Ъ\, |6ц.. Таким образом, утверждение
следует из примера 19. Утверждение 2) доказывается с по-
помощью критерия Эйзенштейна (предложение 1.38.2) и получен-
полученного выше утверждения 1), принимая во внимание, что в случае
|n|a, p-\n, существует элемент6€К такой, что abn?R и p-\nabn. ?
При изучении диких ветвлений в расширениях Куммера огра-
ограничимся случаем, когда п=р — простое число и К — /ьадичес-
кое числовое поле, ]р|р.
Предложение 1.69. Пусть а—элемент из у такой, что
vp(a)H=0(modp), ^(а)<
Тогда K(v^l -\-a)/K разветвлено.
Доказательство. Положим р== у 1 -\-а— 1. Тогда
Обозначим продолжение доказательного нормирования vp иа
К (j/ 1 +а) снова через vp. Поскольку из неравенства v>(p'')>
>vp(/?p) следуют неравенства vp($p)>pvp(p)/(p— 1) и vp(p$)>
>pvj>i.P)/(p—l)* что невозможно, имеет место равенство
V
Согласно § 4.4, существует дальнейшее расширение Куммера
^(Уг'гд1^ с основной единицей т), а именно т]=т]# = 14"
4-w*(l—?р) р. Поскольку существует единен ешюе неразгет-
влеиное расширение L степени р над К, получаем следующее
утверждение.
Предложение 1.70. Пусть единица т]# — такая же, как в
§4.4. Тогда K(v^T]#)/K —неразветвленное расширение степени
р. П (см. также главу 2. 6. 4.)
4.8. Аналитические функции в полных неархимедовски норми-
нормированных полях. Пусть К — поле, полное относительно неархи-
неархимедова нормирования v.
Ряд 2 ал> где а„бК, сходится тогда и только тогда, когда
оо
11тал = 0. Если ряд S-—^ а„ сходится, то при любой переста-
л-»оо л = 1
новке его членов полученный ряд снова сходится к s. Следова-
ОО ОО
тельно, произведение сходящихся рядов 2 ал и 2 р„ равно
л,т— 1
о
Пусть К {{<}} —поле формальных степенных рядов 2 an'" c
переменной t, no?Z и а„еК. Как и в случае теории функций ком-
комплексной переменной, для рядов из К {{t}}, кроме сложения, вы-
вычитания, умножения и деления есть две другие операции. Пусть
g@ = 2 aJn и /(^ — произвольный элемент из К {{t}}. Тогда
1
композиция f(git)) и производная f'{i) определяются так же,
как и в случае обычных степенных рядов. Известные правила диф-
дифференцирования справедливы и для формальных степенных рядов.
оо
Рассмотрим теперь степенной ряд 2 ал?". гДе а«, |бК. По-
л=0
ложим
г:=AГтл/г)(ап))-1.
л-*оо
Тогда при v(l)<r ряд сходится и при г>(|)>г ряд расходится.
Число г называется радиусом сходимости и множество |бК, для
оо
которых ряд 2 агЛ" сходится, называется областью сходимости
л-=0
степенного ряда. В своей области сходимости степенной ряд
71
70
представляет собой непрерывную функцию, называемую (неар-
(неархимедовой) аналитической функцией.
Некоторые свойства обычных аналитических функций пере-
переносятся на неархимедовы аналитические функции. Например,
если аналитические функции /i и /г принимают одинаковые зна-
значения на множестве из области сходимости С, имеющем точку
накопления, то функции f\ и /г должны совпадать на всей обла-
области С. Понятия мероморфной функции, полюса и вычета можно
без труда перенести в неархимедову ситуацию.
В следующем предложении собраны некоторые свойства пе-
перехода от формальных степенных рядов к сходящимся.
Предложение 1.71 (Принцип подстановки). Пусть 1 —
элемент полного неархимедовски нормированного поля К.
1) Пусть /@. g(t) —формальные степенные ряды такие, что
/(?). S{%) сходятся и пусть h(t)=f(t)°g(t), где символ • обо-
обозначает любую из операций сложения, вычитания, или умноже-
умножения. Тогда h(%) сходится и /(?)• g{%)=h(%).
2) Пусть /@=2 <V и g(t)*=*2 M"—формальные
л«=л„ л —1
степенные ряды такие, что g&) и figil)) сходятся и ¦» (/$„?")<
<v{g(l)) при всех п>\. Далее, пусть h(t)=f(g(t)). Тогда
h(l) сходится и
* ffi)-/(*(!)).
3) Пусть /(t)—формальный степенной ряд такой, что /(|)
сходится при ?бКх. Тогда /'(?) также сходится и
/'(S)-lhn
0
из К таким.
ТH Т|
где предельный переход производится по всем
что ряд /A+л) сходится.
4.9. Элементарные функции в р-адическом анализе. Приме-
Применим принципы предыдущего пункта к экспоненциальному ряду
логарифмическому ряду
и биномиальному ряду
л-0
л—1
п
л—0
чек.
Поскольку любое натуральное число делит знаменатели не-
некоторых коэффициентов каждого из этих рядов, рассматривае-
72
мое поле К должно иметь нулевую характеристику. В дальней-
дальнейшем предполагаем, что К содержит поле Q, рациональных
р-адических чисел для некоторого простого р.
В обычном анализе поле комплексных чисел С одновременно
является полным и алгебраически замкнутым. Мы хотим по-
построить подобное поле в р-адическом анализе. Начиная с Q,,
рассмотрим его алгебраическое замыкание Qp. Так как любое
конечное расширение поля Q, обладает единственным нормиро-
нормированием, продолжающим нормирование Qj,, имеется единственное
нормирование Q,, продолжающее нормирование Q,. Обозначим
пополнение Q, относительно этого нормирования через С,.
Предложение 1.72. Поле С, алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть элемент а алгебраичен над С,
и пусть f(x) —его неприводимый многочлен в С, [jc]. Так как Q*
плотно в С„ можно выбрать многочлен g(x) 6Q, [х], коэффициен-
коэффициенты которого близки к коэффициента /(jc). Тогда g(a) =g(a) —
/(а) —малая величина. Следовательно, v(a—{*) должна быть
малой для некоторого корня р€С, многочлена g(x). Можно вы-
выбрать g(x) и р так, что v(p—а)<и(<х<—а) для всех сопряжен-
сопряженных а^а. Тогда, по лемме Краснера (предложение 1.66),
a€C,(p)czC1>. ?
Пусть
v,(l):=logu(l)/logu(p)
— нормализованное показательное нормирование, отвечаю-
отвечающее v. Тогда имеют место следующие результаты
Предложение 1.73. 1) Область сходимости exp(f) име-
имеет вид
2) v/,(exp(E)-l-E)>vl,F) для |еС„р-{0}.
3) ехр^-т-Ы^ехр^ехр^ для h,l?Cexp.
4) Если h,t?Cexp и expg,=exp|2, то ii=|
Предложение 1.74. 1) Область сходимости для log (I
имеет вид
?
2) vp(log(l+?)-
3)
4)
)
при v/
при
1
P—V
для g, — 1, g2—ieCiog.
5) Если Е,—1, h — 1бС1ог и logi,=-log?2, то Ei=-EaE.
Ъ—корень из единицы, порядок которого—степень р.
где
6)
при vp(?-
•Леопольдт [167]). Щ
73
Из предложений 1.73 и 1.74 следует, что отображение
?-*ехр| задает изоморфизм из аддитивной группы Сехр иа
мультипликативную группу С' = jrjeK | vp (tj- 1)>-У. Если
К-р-адическое числовое поле, то С„р (соответственно С)
является подгруппой » (соответственно ?/,) конечного индекса.
1ем самым доказано предложение 1.59.
Предложение 1.75. 1) Ряд для A+5)" сходится при
Л'р^)>^1Г7' а ес™ Ц&р, то при vp(g)>0.
2) Функция A-f Е)ч непрерывна по ц.
3) (l+g)i = exp(^log(l+|)) при vp(g)>^L-, vp(ti)>0.
при
Мб»;
JZT' va>(t))>0' vp(t)')>0.
Предложение 1.76. Существует единственное продолже-
продолжение log иа все элементы из Кх такое, что logp=0 и log(|Tj) =
= log g+log Ti при I, tj€Kx. H
(Вашингтон [270, предложение 5.4])
4.10. Расширения Любима—Тейта. Рекомендуемая лите-
литература: Касселс, Фрёлих [65, гл. 6]. Пусть К — р-адическое
числовое поле с кольцом нормирования ?), q— число элементов
поля классов вычетов и пусть g(t) — многочлен Эйзенштейна
степени q—1 с коэффициентами нз О. Положим f(t): — tg(t).
Легко видеть, что для любого аб?> существует, и притом единст-
единственный формальный степенной ряд
с коэффициентами из О такой, что
[а],(/(/))=/([о1/@).
Пусть Qn(g)—корень многочлена Эйзенштейна g/<"-|)(/): =
~g(f(--{f(t))) (n—1 — кратная_ итерация /) в фиксирован-
фиксированном алгебраическом замыкании К поля К. Тогда [а]/(9„(и)) —
также корень gfin'l>(t), если а€?/:=?>х
Т 1
кании К пол
же корень gfil>(t), если а€?/:=?>х
Теорема 1.77. 1) K@n(g))/K — абелево расширение, т. е.
нормальное расширение с абелевой группой Галуа, называемое
расширением Любима—Тейта. Пусть о» — автоморфизм этого
расширения такой, что при а€(/
этого
Тогда ф : а-*-ов — гомоморфизм U на группу Галуа G расшире-
расширения К(в„(?))/К с ядром Un: = l+r.
2) Пусть g\ и gz — многочлены Эйзенштейна степени q—1 с
коэффициентами из D и пусть L—иеразветвленное расширение
К в К степени ^-«(^—l). Тогда L(Gn(g1)) =Ь@„(Ы)-
KFn(gi)) = K(9n(g2)), если совпадают абсолютные коэффици-
коэффициенты gx и g2.
3) Для всех «6R, ы>0 положим U4 — Un, если п—\<.и^л.
Тогда ф отображает Un на «-ую группу ветвления группы G в
верхней нумерации (§ 3.7).
Для доказательства теоремы 1.77 вводится формальный
групповой закон, соответствующий /.
Если А — произвольное коммутативное кольцо с 1, то фор-
формальный степенной ряд F(x, у) с переменными х, у и коэффици-
коэффициентами из А называется коммутативным формальным группо-
групповым законом над А, если
F(x, F(y, z))=F(F(x, у), г), F(y, x)=F(x, у), F@, x)=x.
Существует, притом единственный, коммутативный формаль-
формальный групповой закон F, над О такой, что f(F,(x, у)) —
— ^/(/(*)» f(y))- Он называется формальным групповым зако-
законом Любина—Тейта. Следовательно,
*) при а,
Пусть ц — множество корней многочленов gf{n'l), n=l, 2,..., в
К. Тогда F,(a, $) сходится для a, (J€(x и /^(а, Р)бц. Следова-
Следовательно, F, определяет на множестве ц умножение, относитель-
относительно которого ц становится абелевой группой.
Пример 20а. Пусть K = QP и пусть |„ = ^п—примитивный
Корень степени р" из единицы в алгебраическом замыкании Qp
поля Qp. Тогда, согласно § 3.9, Qp A„) является вполне раз-
разветвленным расширением Qp степени ц>(рп) = (р_—1)рп ' и
Яп = 5л —1— простой элемент в Q,,(|n). 5„—корень многочлена
Эйзенштейна
gn (х) = Фр
Положим g=gi. Тогда g{in-l)=gn и Qp(en(?))=QP(!n). Фор-
Формальный групповой закон F, соответствующий g, представляет
собой «мультипликативную группу»
Кроме того, ц'={а—1|а€ц} — множество корней из единицы
порядка, равного степени р. Следовательно, F индуцирует в
ц/ обычное умножение из Q,.
74
75
§ 5. Гармонический анализ на локальных
и глобальных полях
Рекомендуемая литература: (Тейт [253]).
В современных исследованиях по алгебраической теории
чисел, теории автоморфных функций, связанных с редуктивны-
ми группами Ли, арифметической алгебраической геометрии
центральную роль играет гармонический анализ на локально
компактных группах, связанных с локальными и глобальными
полями. В этом параграфе изучается гармонический анализ для
аддитивной и мультипликативной группы, неабелевы группы
будут рассмотрены в главе 5.
Общие факты и обозначения гармонического анализа на ло-
локально компактных группах собраны в приложении 3.
В литературе (см., например, Тейт [254], Леиг [161], Делинь
[76]) встречаются различные соглашения по поводу определения
специального аддитивного характера локального поля, преобра-
преобразования Фурье, сумм Гаусса и т. д. Здесь мы, по существу, сле-
следует соглашениям, принятым в книге Тейта [253], причем основ-
основные ссылки содержатся в частях главы 5.
5.1. Гармонический анализ на локальных полях, аддитивная
группа. Пусть К — локальное поле (§ 4.2) и v — соответствую-
соответствующее нормализованное нормирование. Топологическое простран-
пространство К локально компактно. Точнее говоря, имеем следующее
предложение.
Предложение 1.78. Подмножество Be К относительно
компактно тогда и только тогда, когда существует число Ь та-
такое, что v (а) ^Ь для всех а&В.
Пусть ^(К+) — группа характеров аддитивной группы из К.
Структура Х(К+) определяется следующим предложением.
Предложение 1.79. Пусть х— нетривиальный харак-
характер К+. Тогда для любого а€К+ отображение фа : ?-*-х(а?)
также является характером. Соответствие сь-м}>а представляет
собой изоморфизм групп К+ и Х(К+).
Доказательство. Легко видеть, что а-*^>а задаёт изо-
изоморфизм в Х(К+). Образ / всюду плотен в ЛГ(К+), так как
из равенства фаA) = 1 для фиксированного | и всех а?К+ сле-
следует, что ?=0. (Подгруппа U абелевой локально компактной
группы G всюду плотна в том и только в том случае, когда из
равенств х(ы) = 1 для всех %eX(G) следует, что и = 0.) Далее
доказывается, что / замкнут в Х(К+).
Согласно предложению 1,79, мы отождествляем К+ и
Х(К+) с помощью специального нетривиального характера К,
определяемого следующим образом.
Если нормирование v — архимедово, положим
К (а)=ехр Bл* TrK/R (а)).
Если нормирование v — неархимедово и характеристика по-
76
ля вычетов К равна р, положим
% (а)=ехр BШ ТгК/ор (а)),
где функция ехрBл/д:) для jc6Qp определена так:
ехр Bnix): = ехр Bnixv) для
lim xv,
v-«-oo
—
L У J
и достаточно большого v
В следующих примерах мы непосредственно покажем, что
любой характер % для Q+ при любой точке v поля Q имеет
вид х(?) = Ма?) Для некоторого a.eQv.
Пример 206. Пусть K=R- Тогда А, определяет изомор-
изоморфизм между R+/Z и Г:={сеСх| |с|-1}. Пусть % — характер
R+. Любой гомоморфизм х из R+ в R+/Z можно поднять (един^
ственным образом) до гомоморфизма x:R+-»-R+ (сначала %
определяется в малой окрестности 0, затем распространяется
на всё R с помощью равенства х(т]|) = пх(|)). Теперь мы ви-
видим, что х имеет вид х(?)=Я(!хA)), где х=А.-'х.
Пример 20в. Пусть K = QP. Этот случай подобен примеру
206. Следует показать, что гомоморфизм x:Q*-»-Q*/Zp можно
поднять до гомоморфизма x:Q^-*-Qp. Пусть а„—представитель
в Qp класса и A//?"), « = 0,1, Тогда предел a = lirn/p"an
существует и не зависит от выбора последовательности {а„}.
Более того, х(|)==а|. О
Пример 20 г. Если K=R, то очевидно, что при отож-
отождествлении X(R+) с R+ ортогональное дополнение для Zc:R
относительно формы
<a, P>: =A,(ap),a, p€R
есть само Z. Это объясняет простой вид (классической) фор-
формулы суммы Пуассона для Rj и Z (приложение 3.1).
Рассмотрим теперь меру Хаара ц на К+. Пусть М — изме-
измеримое множество в К+. Тогда легко доказать, что
для а€К. A-32)
Равенство A.32) позволяет по-новому охарактеризовать норма-
нормализованные нормирования.
Зафиксируем меру Хаара ц такую, что для преобразования
Фурье
функции /6^i (К+) справедлива формула обращения
77
,—v.v ,, 1ДС сц»\ / —iiputjpaHCTBO функция
таких, что / — непрерывная и /eLi (К+).
Эта мера \i определяется однозначно и является обычной
мерой Лебега, если К—действительное, удвоенной мерой Ле-
Лебега, если К — комплексное и мерой, задаваемой равенством
ц(О„) —р~*п, если v — неархимедово и v — р-показатель дискри-
дискриминанта О„ над Zp.
В дальнейшем вместо d\x,{t,) пишем dg.
5.2. Гармонический анализ на локальных полях, мультипли-
мультипликативная группа. В связи с мультипликативной группой Кх
поля К объектом нашего интереса являются не только харак-
характеры, но также квазихарактеры, т. е. непрерывные гомомор-
гомоморфизмы Кх в Сх. Квазихарактер называется неразветвлённым,
если он тривиален на единичной группе ?/=?/0: ={af Kx| v{a) —
= 1} поля К.
Предложение 1.80. Неразветвлённый квазихарактер х
для Кх имеет вид:
X(a)=i>(a)s= : v*{a),
где 5 — некоторое комплексное число.
Для любого квазихарактера х существует однозначно опре-
определённое действительное число о такое, что \%(a)\—v(a)°, на-
называемое показателем1 %.
Любой квазихарактер х группы Rx имеет вид /Л0)"
=sgnay(a)s или x(a)=f (a)s Для некоторого sC'C. v называется
кондуктором квазихарактера %.
Любой квазихарактер % группы Сх имеет вид х(а)~
=Xn(a)f(a)s для некоторых sGG, n^Z, где
Хп(а)=а"и(а)-"/2.
По определению, % имеет тривиальный кондуктор.
Если К — р-адическое числовое поле, то подгруппы ?/„ :—
— 1+J>", л—1,2,..., образуют систему окрестностей 1 в К.
Пусть х — разветвлённый квазнхарактер группы Кх. Сущест-
Существует минимальное п такое, что %{Un)— {1}. Идеал рп назы-
называется кондуктором квазихарактера х- Если % неразветвлён, то
кондуктором х называется идеал A).
Подгруппа U группы Кх компактна. Выберем на Кх меру
Хаара цх такую, что
Легко видеть, что dp* (a) = t>(a)~'Ja для архимедовых полей и
dllX(a)=Nr)(Nv— l)~lv(a)-lda для р-адических числовых полей.
5.3. Адели. Пусть К алгебраическое числовое поле степени я.
тожно собрать наши локальные объекты—пополнения поля К
в глобальней объект, связанный с К, кольцо аделей Л (К).
Это — подкольцо прямого произведения 11К^,, взятого по всем
точкам v поля К.
принадлежит Л (К), если Z,veDv для
V V
почти всех v. По определению, Л (К)—топологическое кольцо.
Л(К)+ представляет собой ограниченное произведение групп К*
относительно компактных подгрупп D+, определенных для почти
всех точек v. Следовательно, Л (К) локально компактно (прило-
(приложение ЗА).
Из теоремы Дедекинда о дифференте (теорема 1.39) сле-
следует, что для почти всех точек v мера Ог, определённая выше,
равна 1. Поэтому наши локальные меры определяют меру
Хаара rf| = nrf|r на Л(К)+. (Обозначения § 5.1—5.3 будут
использоваться с индексами v.)
Из отождествлений X (К^) с К; следует, что ЛГ(Л(К+) есть
ограниченное прямое произведение групп К^, относительно под-
подгрупп D^'/Qp- Так как ^kJQp — Ov для почти всех точек v,
имеем равенство АГ(Л(К)") = /t (К)". При та<<ом отождествлении
адель t] = 11t]j, должен быть отождествлен с характером
Определим преобразование Фурье
/ (Л) = J / (?) A. (In) d\ для /б Lx
Тогда формула обращения
1 Другое название — вещественная часть квазихарактера у. — Прим..
перев.
78
справедлива для /б(())
Поле К вложено в Л (К) с помощью отождествления
с главным аделем Ilg. Факторгруппа Л(К)/К компактна и фун-
V
даментальная область Л (К) относительно К легко описывается
следующим образом. Пусть S^ — множество архимедовых точек К.
Тогда Л(К),х>:= 11 Kv представляет собой ^-векторное прост-
ранство размерности я:=[К:C]. Поле К вложено в Л (К)» так
79
же, как и выше, и 0К—решетка в Л (К)
областью
с фундаментальной
где со,,..., (о„ — базис О* как Z-модуля. Тогда
F:= П DvXFco
— фундаментальная область Л(К)/К. Подмножество К нз
Л (К) дискретно, так как F обладает внутренними точками.
Группа классов аделей А (К) /К возникает естественным обра-
образом, если рассматривать решётки в n-мерном пространстве
r"=k®qR= П к„,
заданном идеалами Я из К и соответствующие факторпростран-
ства Rn/St. Компактные кольца Rn/a, где %—группа 2Я(К)
дробных идеалов, образуют обратную систему в смысле гла-
главы 3.1.1 с естественными отображениями Rn/a-*-R"/9 для
ФгэЯ в качестве морфизмов. Обратный предел этой системы
канонически изоморфен А (К) /К.
Для абК пусть ф/(а) —адель с компонентой а для конечных
точек v поля и компонентой 0 для бесконечных точек. Обозна-
Обозначим ф/(&)=&/. Тогда %f компактен и
П
¦Й-
Откуда
Л(К)/К —Hin.A(K)/(*/
Более того, отображение
заданное естественным инъективным отображением
R"= П К.-* Л (К),
является изоморфизмом. Утверждение доказано. ?
Отождествление Х(А(К)) с А (К) особенно удобно в виду
следующей теоремы.
Теорема 1.81. Ортогональное дополнение К^ для К отно-
относительно формы
совпадает с самим К (сравните с примером 20 г).
80
Доказательство. Включение КХ^>К следует нз того,
что Я.(а) = 1 для всех главных аделей а. Для доказательства
равенства Х|а| = 1 рассмотрим сначала случай K=Q. Если
adZ то, очевидно, Х(а) = 1. Пусть р — произвольное простое
число. Тогда, по определению,
Утверждение теперь следует из аддитивности X. Случай произ-
произвольного К можно свести к случаю K=Q, так как глобальный
след есть сумма локальных следов.
Кх можно отождествить с Х(А(К)/К). Так как Л(К)/К—
компактно, Кх дискретно. Следовательно, группа Кх/К—ко-
Кх/К—конечна как дискретная подгруппа компактной группы А(К)/К-
Поскольку К1/К — векторное пространство над бесконечным
полем К, К1=='К.
В качестве побочного продукта теоремы 1.80а, с помощью
двойственности Понтрягнна получаем, что А(К)/К представ-
представляет собой группу характеров дискретной группы К+.
5.4. Идели. Группа /(К):=Л(К)Х называется группой
иделей К. Вводим в /(К) топологию, заданную характериза-
цией /(К), как ограниченного произведения групп Ко относи-
относительно группы единиц Uv. Как и в случае аделей, Кх диаго-
диагонально вложено в /(К). По определению, идель а = Па„ имеет
абсолютную величину \а\ : =Пи(а„), которая определена
корректно, поскольку и(а„) = 1 для почти всех v. Как и в ло-
локальной ситуации, для измеримого множества М из А(К)+ и
иделя а имеем ц(аМ) = (<а)ц(М), где ц— мера в Л(К)+.
Отображение а->|а| определяет непрерывный гомомор-
гомоморфизм /(К) в R+. Его ядро будет обозначаться /°(К). Из A.26)
следует, что Кхсг/°(К).
Теорема 1.82. Группа /°(К)/КХ компактна.
До казательство. Пусть ср:/(К)-»-Зй(Ок)— гомоморфизм,
сопоставляющий иделю IIav идеал II у/^"^, где р„—простой
идеал иЭ Ок. соответствующий
последовательность
П UVXH
Тогда имеется точная
}, A.33)
где //—группа
Пао П г»(ая)=11
6—6164
81
Так как
Кх( П U.Xff
и /(Dk) является решеткой в 1{Н) (§ 1.3), теорема 1.82 следует
из теорему Дирихле о единицах и конечности CL(K) (§ 1.2). Q
Определим фундаментальную область У (К) относительна
Кх следующим образом. Влберем одну точку г»0б5«,. Пусть,
далее, elf ...,ег_,—фундаментальная система единиц из ?>ц
(§ 1.3) и пусть Р—параллелотоп в /(//), натянутый на
/(ej), . . .,/(еГ_,), т. е. множество всех векторов вида
хЛед, где 0<Л/<1. Определим Е'\ как множество элемен-
тов а в N таких, что 1{а)(<Р и 0<argaz>, <2л/да, где да обо-
обозначает порядок группы корней из единицы в К. Пусть
Р,, ..., рА — идели такие, что ф (р,),..., ф (рА) — представители
классов идеалов из CL(K). Тогда, ввиду A.37), легко видеть, что
— фундаментальная область У°(К)/КХ.
Сопоставим члслу tdR+ идель, равней t"n в архимедовых
точках и 1 а неархимедов^х точках (п -[K:Q]). Тогда У (К) —
прямое произведение У°(К) и R+. На У (К) имеется мера произ-
произведения цх в смысле приложения 3.2. Следовательно, сущест-
существует однозначно определенная мера м* на У°(К) такая, что
цх=ц><[1,*, где и<х —мера dtjt на R+.
Предложение 1.83. Пусть F( — регулятор группы ?>?, h—
число классов идеалов поля К, да—порядок группы корней
из единицы в К и г, (соответственно, г2) —число действительных
(соответственно, комплексных) точек поля К. Тогда
5.5. Подгруппы У(К)/КХ конечного индекса и группы лу-
лучевых классов. Для любой точки v поля К вложим К?
в У (К), отождествляя agK^ с иделем, равным а в г» и 1 во
всех остальных точках.
Пусть Л—замкнутая подгруппа конечного индекса в У(К).
Поскольку А содержит все бесконечно делимые элементы иа
У (К), она содержит подгруппы К» для комплексных v и Кс>+ =
= {«бК^|а>0} для действительных г». Так как группа
82
А—открыта, то она содержит ?/„ для почти всех неархимедо-
неархимедовых точек v и содержит подгруппу UnJ~Uo для некоторого
п„>0 (§ 4.4) для всех неархимедовых точек.
Определяющий модуль1 ЗЯ в К представляет собой формаль-
формальное произведение идеала ю0 из Ок и некоторых действительных
точек Vi,... ,v,, ш : =Bt)i>i... и,. Носитель supp m модуля ш
определяется равенством supp ш : =supp ao[j{vь .... vs}. Будем
говорить, что ш меньше илн равен m==mo'u/ ... v/, если
mo|mo' и
(г»,, .-.,vs}g_{v'v ...,v't].
Пусть UmaJ(K) — прямое произведение групп Um v для всех
точек v, где Um v: ==U'„v^Vv при no: =v))(ni0), если г»—неархимедо-
г»—неархимедово нормирование, соответствующее простому идеалу р,
UmiV: = Kv,+, если ?»6{t>i vs};
U
ш,»*
<Kv, если v—архимедово, rv?{ul, ...,«,}•
Легко видеть, что U ш Кх — замкнутая подгруппа конечного
индекса в /(К). Кондуктором группы А называется такой оп-
определяющий модуль f, что ?/f — максимальная группа с усло-
условием U^ аА, т. е. наименьший определяющий модуль.
Факторгруппу J(K)/UmKx можно рассматривать как груп-
группу классов идеалов, называемую группой лучевых классов,
следующим образом. Пусть Ят =21<р—группа всех идеалов а в
ЗД(Ок ), которые взаимно просты с S : supp m, т. е. supp afl
r)suppm=0. Лучевая группа Rm представляет собой подгруп-
подгруппу главных идеалов (а) из §[s таких, что a?U ш,с при
t>6supp m.
Пример 20д. Пусть K=Q и пусть m — натуральное число*
Положим т: =(/тг)г»0о, где г>оо—действительная точка Q. В каждом
классе а из (Z/mZ)x имеется положительное число а. Сопоставим
а класс (а) з Ят, получая при этом изоморфизм (Z/mZ)*
на %JRm. ?
Предложение 1.84. Сушествует канонический изоморфизм
J(K)/UmK* на As/Rm.
Доказательство. Положим
1 Здесь в оригинале defining module и автор делает примечание, что
это — перевод с немецкого термина «Erklarungs modul». Другие варианты —
«interpretation modulus». Xacce [113] и «Cycle of declaration (Нойкирх [194,
глава 4]).
6*
Тогда /m?/mK
./(K), согласно предложению 1.55. Значит,
циональное уравнение
m называется группой, лучевых классов по mod m.
§ 6. /,-ряды Гекке и распределение простых идеалов
Рекомендуемая литература: Ленг [161, гл. 6—8J), Наркевич
[193, гл. 6—7]. Распределение простых чисел в последователь-
последовательности целых чисел представляет собой один из самых увлека-
увлекательных вопросов теории чисел. Наиболее известным результа-
результатом в этом направлении является теорема о простых числах:
Если л(х) обозначает количество простых чисел, не прево-
превосходящих действительного числа х, то
= 1. П.34)
2
л=1
Связь ?(s) с распределением простых чисел задаётся
мулой Эйлеровского произведения
— р-'Г1, Res>l,
Классический подход к доказательству равенства A.34) со-
состоит в детальном изучении свойств дзета-функции Римана
фор-
форгде произведение взято по всем простым числам р.
Функцию ?(s) можно продолжить до мероморфной функции
на всей комплексной плоскости, голоморфной всюду, кроме 5=1
н имеющей в 1 простой полюс. Более того, функция
ф E) = П-"/2Г E/2)C;(.s) A.34а)
удовлетворяет функциональному уравнению
Ц,E)=^A-5). A.346)
Для доказательства A.34) требуется неравенство ЕA +
-\-it)?=0 для /6R. Для получения дополнительной информации
о распределении простых чисел требуются дополнительные све-
сведения о распределении нулей t,(s) в «критической полосе»
O^Res^l. Знаменитая гипотеза Римана [207] утверждает, что
все нули в этой полосе лежат на прямой линии Res—-я- Она
до сих пор не доказана.
Риман [207] дал два доказательства функционального
уравнения A.346). Его второе доказательство использует функ-
84
) ), л:>0,
для тета-функции Якоби
ос*)— 2 е~пНи
л——оо
и проводится следующим образом. Положим
A.34в)
^-^-"'"-(Ot*)-
л-1
Тогда
ф (s) = IVJ/2r (s/2) fi (S) _ J jc-© (x) dx *
о
oo oo
= [ x'l*-1® (x) dx+ [ jc-*/2-1© (Ifx) dx,
} Г
x-«^<*(\lx)dxJ\x-°i^(-~+1Iir~
(jc)) dx
Следовательно,
A.34r)
Интеграл в правой части равенства A.34г) определяет голо-
голоморфную на всей комплексной плоскости функцию, симметрич-
симметричную относительно прямой линии Re5= • Тем самым, A.346)
доказано.
Равенство A.34в) легко следует из формулы суммирования
Пуассона. В этом параграфе будет объяснено доказательство
обобщения равенства A.346), основанное непосредственно на
формуле суммирования Пуассона.
Для чётного целого числа 1=&^2 справедлива хорошо из-
известная формула Эйлера
85
где Вк обозначает k-oe число Бернулли. С помощью уравнения
A.346) получаем
?"A—*)*=—Я*/*. A.34д)
что является рациональным числом. Следствия и обобщения ра-
равенства A.34д) изучаются в главе 4.
В связи с распределением простых чисел в арифметической
прогрессии, Дирихле изучал более общие ряды
л—1 р
где х — характер по mod га при некотором натуральном га, т. е.
X — гомоморфизм (Z/raZ)* в Сх, %{п)=%(п) при (п,т) — \,
%{п)—0 при (п, т)Ф\, х называется характером Дирихле.
Пусть га' кратно га. Тогда х индуцирует характер %' по mod га',
определяемый условиями хе(п)=%(п) при (л, га') = 1 и
х'(п)=0 при (л, га')=?*=1. Характер по mod/ называется прими-
примитивным, а / называется его кондуктором, если он не индуциро-
индуцирован никаким характером по mod га, где m\f. Для любого харак-
характера х' по mod m' существует однозначно определённый прими-
примитивный характер х такой, что %' индуцирован характером х- Кон-
Кондуктор х' определяется, как кондуктор %. Характеры по mod га об-
образуют группу. Единичный элемент этой группы будет обозна-
обозначаться хо- Он называется тривиальным (или единичным) ха-
характером.
Ряд L(s, x) называется L-функцией Дирихле. L(s,%) снова
можно продолжить до мероморфной на всей комплексной пло-
плоскости функции, которая является голоморфной, если х отличен
от тривиального характера хэ и удовлетворяет функционально-
функциональному уравнению, аналогичному A.346).
Дирихле показал, что можно легко доказать существование
простых в арифметических прогрессиях, если известно, что
,X)
Пусть / — натуральное число такое, что (/, т) = 1. Мы хотим
доказать, что существует бесконечное множество простых чи-
чисел р таких, что pss I (mod га). Пусть а — натуральное число,
для которого a/=s I (mod га) и пусть б>-1. Тогда
, x)=—
¦2;
х
(
р \ У.
2 *
/?»l(mod m)
где/(о) —непрерывная при о>0 функция. Если Ц),х)фО при
X Ф Хо< т° ПРИ °-> 1 2 X (о) log L (о, х)-> оо, так как lim Z, (о, &,) =
х "-1
= оо. Следовательно,
lim 2 р~°г=оо
и утверждение доказано.
Неравенство L(l, %)ФО можно доказать различными спо-
способами, но доказательство, соответствующее нашим концепциям,
использует сведения о круговом поле Q(?m) (§ 3.9). Введем
следующие обозначения: h — число классов идеалов, w — число
корней из единицы, R — регулятор, D — дискриминант, г\ — чис-
число действительных и г2 — половина числа комплексных сопря-
сопряженных для Q(?».)¦ Далее, ^E) обозначает элементарную функ-
функцию
F E): = П A - ЛГ (РГТ1 П С1 -Р~%
р/т р/пг
где первое произведение взято по воем простым делителям у для
m в Q(?m). Тогда справедлива следующая аналитическая фор-
формула числа классов
О П /.A.Х). 0-34е)
2'1+" ПГ'Л
где произведение взято по всем нетривиальным характерам %
группы (Z/raZ)x. Из A.34е) сразу следует, что L(l, %) ФО, так
как НфЬ по определению.
Доказательство равенства A.34е) тесно связано с исследо-
исследованием дзета-функции Дедекинда для Q(?m) и разложениями
простых в Q(?m). В главе 2.1.9 будет доказана значительно бо-
более общая формула.
Дзета функция Дедекинда
алгебраического числового поля К, где суммирование произво-
производится по воем целым идеалам а из К, а произведение взято по
всем простым идеалам V из К, представляет собой прямое обоб-
обобщение дзета-функции Римана %{s). В более общем случае, мож-
можно ввести дзета-функцию ?жE) для любой схемы X конечного
типа над Spec Z : ^(s) определяется произведением Эйлера
&*E):—Щ1 —JVU)-*)-1.
где произведение взято по всем замкнутым точкам х схемы X
и N(x) обозначает мощность поля вычетов х. Произведение аб-
87
солютно сходится прн Res>dimA'. В частности, дзета-функция
Римана получается при X-Spec Z, а ?к (s)=?jc(s) для Х=
— SpecOn • Пусть Ft—конечное поле из q элементов. Тогда
?() 1
A—
и если z—переменная, то
-1 при J^
Qx (s) = П A — q-s "^ /)-i = (vt-i _ l)-' дЛя X=Spec Fq [z]
где произведение взято по всем неприводимым многочленам
Е X
ленам
Если X — произвольное алгебраическое многообразие над
Spec/1,, то, согласно знаменитой теореме Делиня (см., например,
Кац f142J), имеют место следующие результаты1:
1. ?жE) — рациональная функция Zx(y) от y. — q'.
2. 5jc(s) удовлетворяет функциональному уравнению, подоб-
подобному уравнению A.34 6).
3. Нули и полюса ?.v(s) лежат на прямых линиях
j log<7 / — 0,1,..., 2 dim*.
j log<7
Утверждение 3. аналогично приведенной выше гипоте-
гипотезе Римана.
Обобщениями /.-функций Дирихле являются /,-функции для
некоторых пучков на схемах конечного типа и /.-функции для
представлений редуктивных групп и групп Галуа локальных и
глобальных полей. Взаимосвязь между этими /.-функциями
представляет собой главный предмет теории Ленглендса. По-
Подробнее об этом будет сказано в главе 5.
Как итог наших рассуждений, сформулируем четыре основ-
основные проблемы в исследовании дзета-функций н /.-функций:
}. Мероморфное продолжение функций на всю плоскость и
функциональное уравнение.
2. Ситуация с полюсами, подсчет вычетов в них.
3. Значения в целых точках.
4. Распределение нулей, обобщение гипотезы Римаиа и до-
доказательство этой гипотезы.
В этом параграфе, в основном, изучаются первые две проб-
проблемы для /.-функций, связанных с числопыми полями и сведе-
сведения о /--функциях применяются в изучении распределения идеа-
идеалов в числовых полях. Третья проблема, в частных случаях, бу-
будет исследоваться в главе 4.
Следуя диссертации Тейта [253], мы рассматриваем /.-ряды,
как в гармоническом анализе на группах аделей и нделей
(§ 5) и вначале изучаем довольно общие функции. Те /.-функ-
1 Делиню принадлежит лишь третий результат. Первые дпя были полу-
получены Гротендиком. — Прим. ред.
88
ции, которые нас действительно интересуют, появятся затеи
естественным образом.
6.1. Локальная дзета-функция. Комплекснозначная функция
f на К+ называется допустимой, если /eS(K+) и /(а)и(и)\
/(а) с (а)*, принадлежат Z-i(Kx) для всех положительных чи-
чисел 6.
Для любого квазихарактера % с положительным показателем
и любой допустимой функции / определим
x)J/()x(a)
?(/, х) называется дзета-функцией К.
Пусть JT(s)—гамма-функция. Для любого квазихарактера
определим соответствующую /.-функцию нли эйлеров множи-
множитель Г(х)бСхи{оо} следующим образом:
а) K=R, тогда
L(x):rc-s'2r(s/2) прн
б) К = С, тогда
при
¦И?."
для х = :
в) К — р-адическое числовое поле, р —(я), тогда
'О—xfa))» если % неразветвлел;
если х разветвлен.
В любом случае, L(yy') — мероморфная функция от 5 и L
не имеет нулей.
Теорема 1.84а. Пусть f — допустимая функция и х — ква-
квазихарактер с показателем 0. Тогда функция ?(/>ХЧ") голоморф-
голоморфна при Res>-0. Существует такая мероморфная функция
8(хи"). называемая е-множителем для s$C и не зависящая от
f, что
^^„Ч Щ.%*) 0<Re5<l.
A.35)
Равенство A.35) дает аналитическое продолжение ?(/, yju") до
мероморфной функции от seC.
Доказательство. Пусть f и g—произвольные допусти-
допустимые функции. С помощью теоремы Фубини можно доказать, что
С (/. xw) S (g, X~W)=? (/. х^1) С te. X^J) при 0 < Re s < 1.
Таким образом, достаточно доказать теорему 1.84а для специ-
специальной допустимой функции /.
а) K=R. Если х=1, полагаем /(|)=ехр(—я?2) и нахо-
находим
). С
= я-Г
89
Если x = sgn, полагаем /(|)^|ехр(—л?*) и получаем
б) К = С. Положим
Тогда
Уп (I) = i
при л>0,
Ul«iexp( — 2лг»(Е)) при «<0.
), С (/„, х„г>0 =
я
в) К — р-аднческое числовое поле с характеристикой поля
вычетов р. Без ограничения общности, пусть % — характер Кх
с кондуктором Г и х(я) = 1. Положим
Тогда
о,
/(?)¦
О, \Wn.
В неразветвленном случа-е, га = 0, имеем
а в разветвленном случае, л > О,
где р пробегает множество представителей элементов U/Un и
где
ео (X):
имеет абсолютную величину 1 и называется корневым числом %.
Для любого нетривиального характера у группы К+ и лю-
любого характера х группы Кх с ведущим модулем р" сумма
(X. if):
X
/я"+я) ^ (р/я"+я)
называется локальной суммой Гаусса. Здесь rf обозначает наи-
наибольшее Целое число, для которого yp^~d)^={l}. Если ф=Х, то
90
6.2. Глобальное функциональное уравнение. Пусть %—ква-
%—квазихарактер на группе классов иделей J(K)/KX. Индуцирован-
Индуцированный квазихарактер на J(K) будет также обозначаться х- По-
Поскольку J°(K)/KX компактна, ограничение х на «Iе(К) является
характером. Следовательно, х имеет вид
-хо(о)|о|* где5бС, (х=хо| I'),
где хо — характер группы J(K)/KX, тривиальный на R+. Харак-
Характер хо будем называть нормализованным. Как и в локальной
ситуации, называем Re s показателем х-
Мы хотим определить глобальные дзета-функции. Допусти-
Допустимая функция / на А (К) есть комплекснозначная функция на
/1(К), обладающая следующими свойствами:
1. / и / непрерывны и принадлежат Ц(А(К)).
2. Ряды.
2/(
сходятся одновременно для всех a6j(/C), $&A(K). Эта сходи-
сходимость равномерна по а и р на компактных подмножествах
J(K) и, соответственно, Л (К).
3. /(о)|о|* и / (а) | a |eeZ., (У (К)) при б>1.
Тогда
определена для любого квазихарактера х с показателем б>1
и t(f, А,| |5 — голоморфная функция от 5 при Res> 1—f>.
В следующей теореме содержится решение основных проб-
проблем 1) и 2) из введения к § 6 для ?(f, xl Г), рассматриваемой,
как функция от 5.
Теорема 1.85. Пусть х — нормализованный характер и до-
допустимая функция на /1(К). Тогда ?(/, xl I") можно аналити-
аналитически продолжить до мероморфной функции от s6C. Если %
нетривиален, то %{\, %\\') голоморфна на С. Если х тривиален,
то ?(f, X||*) голоморфна всюду, кроме точек 5=0 и 5=1, где
она имеет простые полюсы с вычетами—xf(O) и xf@), соответ-
соответственно, где х: = цох(?) (предложение 1.83). Функция ?(/, xl |*)
удовлетворяет функциональному уравнению
С(/.х1 !')=?(/. х-Ч Г"')- (ЬЗб)
Доказательство. Представим ? (/, х I I*) в виде
I*) I
J
. С первым интегралом
91
Второй интеграл сходится для всех
поступим так: положим a=Pi/, где ре/°(К), /CR+. Тогда
i
f
= J J
X (Р) лГИо (Р) '*
, J / (РО X (Р) <*ИоХ (Р) =2 J / («fit) X (Р) ФоХ (Р) =
-S f / (apO х (Р) йГИоХ (Р) -/ @) J х (р) rftf <Р> =
J B
где
• J1'
"" 0.
о* (Р) -
1, если х тривиален,
если х нетривиален.
Существенным шагом доказательства теперь будет применение
формулы суммирования Пауссона (приложение 3) к функции
—/FР0. Двойственной для нее i(l) =
б Л (К) и дискретной подгрурпе А группы А (К)
2
ogK
Тогда
K
Объединяя произведенные вычисления, находим
A.37)
Выражение в правой части этого равенства — мероморфная
функция, имеющая требуемые в заключении теоремы 1.85 свой-
свойства.
6.3. Характеры Гекке. В следующем пункте выбираются спе-
специальные глобальные функции /, в результате чего получается
обобщение функционального уравнения для дзета-функции Ри-
мана. В этом разделе характеры группы классов иделей сравни-
сравниваются с характерами Гекке.
92
Пусть ш — определяющий модуль в К (§ 5.5). Характер X
труппы 31 m называется характером Гекке (groessen character)
по mod ш, если существует характер
At» группы П К? такой, что
однозначно
A. ((a)) = *,«,(«) Для всех абКх с )
где К* диагонально вложено в П К*. Характер
определяется характером X (теорема A.55) и называется беско-
бесконечной компонентой. X. Характер Хм группу П КГ появля-
ется, как бесконечная Компонента характера Гекке по modm тог-
тогда и только тогда, когда Хео(е)»=1 для всех единиц е из К та-
таких, что ?.QVmv при •agsuppm,,.
Пусть ш.' — определяющий модуль в К и X'—характер Гекке
по modm' такой, что А,в0 = Я^о и A,(a) = A/(a) для всех аеЯтП Яш'.
Тогда т' называется определяющим модулем X. Наименьший
определяющий модуль X называется кондуктором или ведущим
модулем X и обозначается f*. Характер Гекке по mod ш назы-
называется примитивным, если m=f».
Пусть теперь х — характер группы классов иделей /(К)/Кх
и пусть Хг — ограничение % на К„х. Обозначим ведущий модуль
X» через f, (§ 5.3). По определению топологии в /(К), f»=(l)
для почти всех точек v. Назовем П fB ведущим модулем %.
V
Каждому характеру х группы /(К)/Кх с ведущим модулем f
сопоставим примитивный характер Гекке Хх, определяемый равен-
равенством Л.х (р) = х (л;) для всех простых идеалов р из ^, где л —
простой элемент в К^. Легко видеть, что любому примитивному
характеру Гекке X соответствует, притом единственный, харак-
характер х группы /(К)/Кх такой, что А=А» (сравните с § 5.5). Если
не возникает опасности перепутать, то мы отождествляем % с X.
В дальнейшем 5 обозначает конечное множество точек поля
К, содержащее все архимедовские точки и мы рассматриваем
характеры % группы /(К)/Кх, не разветвленные вне S, т. е. f,=
==A) для vdS. Такой характер % представляет собой произведе-
произведение локальных характеров х»
удовлетворяющих условиям:
1) х» неразветвлен, если
2) Пх„(а) = 1 Для абКх
Для построения характера Гекке с ведущим модулем / рас-
рассмотрим сначала 5-единицы поля К- Пусть во — образующий
элемент группы корней из единицы в К и вь ..., вт — фунда-
фундаментальная система S-единиц в К (§ 3.8). Мы должны выбрать
такие локальные характеры х» для v$S с ведущими модулями
/„, что
П X*(e,)=l для /=«0, \,...,т.
A.38)
Остается выбрать характер Гекке х такой, что
Х(Ф5(а))-П х,(а)~1 для абК*
»gs
где
Это означает, что % задан на подгруппе <р8(Кх) конечного ин-
индекса в Ав и требуется продолжить % на А8 произвольным об-
образом.
Пример 21. Пусть Нш—группа лучевых классов по rnodm
(§ 5.5). Любой характер группы Ят является характером Гек-
Гекке по rnodm. Принимая во внимание изоморфизм из примера
20а мы видим, что характеры Дирихле % по mod m, рассмотрен-
рассмотренные во введении к § б, являются специальными характерами
Гекке.
Пример 22. Пусть K==Q(l/—l), S = {<x>), архимедова
точка поля К. Характер группы К^^С4 имеет вид х<»(Е) =
= |6|*6", где sQC, rtgZ, Res=— 4га. A.38) означает, что 4/я.
Следовательно, наиболее общий характер Гекке, не разветвленный
вне S, имеет вид
для
где
Res=—4я
нор-
нор(здесь |а| обозначает обычную абсолютную величину), х
мализован тогда и только тогда, когда s——4л. ?
6.4. Функциональное уравнение для L-ряда Гекке. Пусть х —
нормализованный характер группы /(К)/Кх, не разветвленный
вне S. Выбираем функцию f на А (К), как произведение локаль-
локальных функций fv, определенных в § 6.1:
/(ГЦ.)-II/.а.
V п I V
Предложение 1.86. Функция /-допустима,
A.39)
Существенным шагом в доказательстве предложения 1.86 яв-
является абсолютная сходимость
ГЦ(/.,Х.Д')-П1_х(рIл,(>)_, при Res>l, A.40)
где произведение взято по всем y — v^S, для которых K»/Qp не-
разветвлено. Равенство A.40) следует из сходимости произведения
О>1'
взятого по всем простым идеалам р из К.
Продолжим характер Гекке % до функции на &0, полагая
х(а) = 0, если аб^0—AS.
называется L-рядом. Гекке, соответствующим характеру Гекке %.
Если Хо~"тРивиальный характер, то
А
а?0
называется дзета-функцией Дедекинда поля К, упоминавшейся
во введении к § 6.
Если K=»Q и х —характер группы (Z/mZ)x (пример 20а), то
X можно рассматривать, как характер Гекке, ввиду изоморфизма
(ZImZ)* -> Аш/Дш из примера 20а. Функция
94
Г 2
называется /.-рядом Дирихле по mod m, упоминавшимся во вве-
введении § 6.
Объединяя теорему 1.85 и предложение 1.86, приходим к
следующему результату.
Теорема 1.87. Пусть х — нормализованный примитивный
характер Гекке. Если % нетривиален, то L(s, %) голоморфна на
всей комплексной плоскости. Функция ? к (s) голоморфна на
всей комплексной плоскости, кроме 5=1, где она имеет простой
полюс с вычетом х(К) (предложение 1.83).
95
110Л0ЖИМ
ГГ
Тогда A(s, x) Удовлетворяет функциональному уравнению
A(s, z)-e(s, х)ЛA-5, х),
где
— глобальный г-множитель.
A(s, x) называется расширенной'1* L-функцией.
6.5 Гауссовы суммы. Пусть К — алгебраическое числовое
поле, 2) —дифферента K/Q, f—идеал кольца Dk, x—характер
по mod/, т.е. характер rpynnsi (DK/f)x и agST'f. Тогда
t«(X):
Х(Б)ехрBл*ТгК/д(<*Б))
называется гауссовой суммой, соответствующей % и а. Выра-
Выражение ТгК/о(а|) определено корректно, поскольку из сравнения
gs=g'(mod/) вытекает TrK/Q №) = TK,Q(al')(l 1)
Пример 23. K = Q и f = (/)
— 2 X(x)expBnix/f)
—сумма, исследованная Гауссом. П
Предложение 1.88. Пусть рё€>к. (Р, /)=-1. Тогда
Bл/' TrK/<j(apg)
Доказательство. тяР(х)=
2
I
= 2 X (iP"')exp Bл* Тгк/q №)) = х (Р) t« (z). D
i
Предложение 1.89. Пусть f, и f2 — идеалы из Ск, яв-
являющиеся взаимно простыми, пусть %к — характер по mod fk,
k— 1, 2, и х — соответствующий характер по mod f ==fif2, согласно
каноническому изоморфизму
(§ 3-2)-
Пусть, далее, а, а,, а^Ок — таков.f, что
олба-1^1. a—a^S^f-'f*. A — I.2.
В оригинале — enlarged. — Прим. перев.
96
Тогда
D
Связь с локальными гауссовыми суммами, определенными в
§ 6.1, устанавливается в следующем утверждении.
Предложение 1.90. Пусть f=pm, /n>0, является сте-
степенью простого идеала р из К, а х — характер группы Крхс ве-
ведущим модулем х- Характер группы (ОкД)х, индуцированный
характером х. будет также обозначаться х- Пусть a6S)-'f-' та-
такой, что ateD-'f}). Тогда
Доказательство. Пусть
тов для Кр. Тогда
(X) — 2
характеристика поля выче-
выче/) 2 Тг V«,(a^ *"
9 Р
- 2 X («Е) ^"' («Б) = 2 X («ЕГ1 ^ («Б). П
i i
Пусть теперь х — характер группы /(К)/Кх н f% — конечная
часть ведущего модуля х- Гауссова сумма, соответствующая х,
определяется равенством
)), Я,).
Их
Характер группы (DK/fx)x, индуцированный характером х ввиду
изоморфизма
будет также обозначаться х- Из предыдущих предложений сле-
следует
Предложение 1.91. Пусть a^S^'f удовлетворяет усло-
условию a&D-'f}) при j>efx. Тогда
|та(х)| = |т(х)|. а
Пример 23а. При K=Q и f==(/) имеем
Ti//-(x) = t~(x). ?
В § 6.1 были определены локальные корневые числа для
разветвленных характеров. Для неразветвленных характеров
группы Kj локальное корневое число равно 1, а для бесконеч-
бесконечных точек поля оно равно е-множителю, который, в этом слу-
случае, есть постоянная величина. Глобальное корневое число
8о(х) определяется, как произведение локальных корневых чи-
чисел. Следовательно,
7-6104
97
где г — число вещественных точек в ведущем модуле %.
скольку абсолютная величина ео(х) равна 1, имеем
По-
По2- A-42)
6.6. Асимптотическое распределение идеалов и простых идеа-
идеалов. Рекомендуемая литература: Наркевич [193, гл. 7]. Приме-
Применим теперь установленные результаты о L-рядах Гекке к рас-
распределению идеалов и простых идеалов. В действительности,
иам требуется еще одна теорема о L-рядах Гекке.
Теорема 1.92. Пусть % — характер Гекке. Тогда L(s,%)^=0
при Res^l. H
Без ограничения общности, пусть х нормализован. Доказа-
Доказательство неравенства L(l-\-it, %)фО в случае, когда t=^0 либо
Х2^Хо не намного труднее, чем доказательство неравенства
^,A+И)Ф0 для дзета-функции Римаиа (см. Наркевич [193, тео-
теорема 7.5]). Неравенство L(\,%)^0 для характера % конечного
порядка можно доказать способом, описанным для характеров
Дирихле во введении к § 6.
Пусть А — множество простых идеалов алгебраического чис-
числового поля К. Множество А называется регулярным с плот-
плотностью Дирихле а^О, если функцию
JliVd)) — alog(s — 1)
можно продолжить до голоморфной в области Re s^l.
Если А имеет плотность Дирихле а>0, то, разумеется, А —
бесконечное множество. В действительности, во многих интерес-
интересных ситуациях, обычный метод доказательства того, что А — не-
непустое множество, состоит в доказательстве того, что А имеет
плотность Дирихле а>0.
Легко видеть, что величина а однозначно определяется мно-
множеством А, т. е. определение корректно. В дальнейшем gt(s),
i=l, 2 обозначают функции, голоморфные в Res^l.
Теорема 1.93. Пусть X — нормализованный характер Гек-
Гекке, не разветвленный вне S, и пусть S' — подмножество S, со-
состоящее нз неархимедовых точек поля, для которых х иераз-
нетвлен. Тогда
L(s, x)=a*/(s-l)+?i(s) A-43)
и
+g2(s),
A-44)
где сумм 'рованче производится по всем простым идеалам?
поля К и
ах,= бу==0, сечи % нетривиален,
ах-х(К) IT A—./V(Dr1}, й/==1, ест х тривиален.
Доказательство. Равенство A.43) немедленно следует
из теоремы 1.87. Равенство A.44) следует из теоремы 1.92 и
A.43), ввиду соотношения
log L(s, x)=l,x(p)N(p)-+g3(s). ?
Если взять в качестве % тривиальный характер, то A.44) по-
показывает, что множество всех простых идеалов поля К регуляр-
регулярно и имеет плотность Дирихле 1. Конечное множество простых
идеалов имеет плотность Дирихле 0.
Теорема 1. 94. Пусть m — определяющий модуль и С —
класс в группе лучевых классов Нш. Тогда класс С регулярен
с плотностью Дирихле 1/|#ш|.
Доказательство. По свойствам ортогональности харак-
характеров х конечной абелевой группы, имеем
2
г
). ?
Согласно примеру 20а, теорема 1.94 утверждает, в частно-
частности, что для заданных натуральных чисел k и / таких, что
(k, I) = 1 существует бесконечное множество простых чисел р,
для которых р*=/(mod k). (Теорема Дирихле о простых числах
в арифметических прогрессиях.)
Теорема 1.95. Множество А всех простых идеалов > из К,
для которых /к/о(р) = 1—регулярное с плотностью Дирихле,
равной 1.
Доказательство. Ряд ? N ())~* равномерно сходится
на множестве Res>3/4. ?
Следующую теорему, обобщающую теорему о простых чис-
числах, упомянутую во введении к этому параграфу, можно дока-
доказать с помощью теорем тауберова типа Делаижа—Икеары (Де-
ланж [75]).
Теорема 1.96. Пусть А — регулярное множество простых
идеалов с плотностью Дирихле, равной а и пусть
Тогда
-a. x
Используя тот же самый метод и равенство A.43), можно
получить количественные результаты о распределении идеалов.
Здесь будет установлена лишь теорема Дедекиида [74].
Теорема 1.97. Пусть М(х) обозначает количество идеалов
7*
Ввиду A.46) и предложения 1.43, имеем
из Ок таких, что JV(a)^.x. Тогда
Компактная группа G равномерно распределена в G если
для любого замкнутого измеримого подмножества А из G
Ilm
где \i(x)=*\{g,GA\t<x)\.
Теорема 1.98. Пусть G — компактная абелева группа и
непрерывный гомоморфизм группы /°(К)/КХ иа G. Продолжим
f на /(K)=/°(K)XR+, полагая f(Rj.) = l. Далее, положим
g(p)'—f(^) Для простых идеалов р из К, где я — некоторый
фиксированный простой элемент КР и продолжим g по мульти-
мультипликативности иа полугруппу / всех идеалов из Ок.
Тогда последовательность {g(a) \aCl) (соответственно,
ig(p) |Pe!P(K)}), упорядоченная по отношению к норме идеала,
равномерно распределена в G. D
Пример 24. Теорема 1.94 в количественной форме, данной
теоремой 1.96, представляет собой частный случай теоремы 1.98.
Следует положить С=#ш
Пример 25. Пусть К — мнимое квадратичное числовое по-
поле, Л — число классов этого поля, a w— число корней из едини-
единицы, содержащихся в К. Пусть, далее, a, fcGR и
N (х) = | {<хб?>к I ЛЛх < х, a<arga<A, (a) —простой идеал} |.
Тогда
(ft — a)w ,. At..
2яЛ
ГХОЬ(К)>
Для доказательства равенства A.45) положим
где Т—единичная окружность и
/(a)«=exp(/arg(«p(a)/aoo)"w)X<P(a). a6/(K).
<р(а)Л" обозначает однозначно определенное число (J" из К та-
такое, что ф(<х)*=(В). D
6.7. Теорема Чеботарева о плотности. Рекомендуемая лите-
литература: Наркевич [193, гл. 7]. Пусть L — конечное нормальное
расширение алгебраического числового поля К и ф — простой
идеал из L, не разветвленный в L/K. Положим G: = G(L/K).
Легко доказать, что
м
предложение 1.44.5). Пусть p = spnK. Положи
100
A.47)
Для заданного смежного класса С в О можно интересоваться,
существует лч простой идеал р из К, не разветвленный в L/K
такой, что С — —-—]. Положительный ответ на этот вопрос
является слабейшей формой теоремы Чеботарёва, которая сейчас
будет сформулирована в усиленном виде.
Теорема 1.99. Множество всех простых идеалов р из К
таких, что I'—^-1 °=С, регулярно с плотностью Дирихле |C|/|G|. |El
Теорема взаимности Артина (теорема 2.10) показывает, что
теорема 1.99 является обобщением теоремы 1.94. В случае
Q(?m)/Q круговых полей теорема взаимности Артина, соответ-
соответствующая теореме Дирихле о простых числах в арифметических
прогрессиях, уже доказана в § 3.9.
Для доказательства сильной версии теоремы Чеботарева о
плотности нужна теорема взаимности Артина. С другой сторо-
стороны, Чеботарев доказал свою теорему о плотности в ее слабой
форме без использования теории полей классов (которая будет
развита в главе 2). Однако его метод доказательства
использовался в доказательстве Артина теоремы взаимности
(Артин [36]).
6.8. Плотности Кронекера и теорема Бауэра. Рекомендуемая
литература: Хассе [114, 11, § 25]. Пусть L — произвольное конеч-
конечное расширение алгебраического числового поля К, а h — неот-
неотрицательное целое число. Обозначим Ah множество всех простых
идеалов из К, которые не разветвлены в L/K и имеют ровно h
простых дивизоров в L степени инерции I. Пусть N/K—нор-
N/K—нормальное замыкание L/K. Рассмотрим G(N/K), как подгруппу
Sn, n:=[L: К]. Тогда )рб>4л тогда и только тогда, когда переста-
[N/K*
—— оставляют h букв инвариантными. Следователь-
Следовательно, Аь. имеет плотность Дирихле dhy согласно теореме 1.99, назы-
называемую плотностью Кронекера. Методом § 6.10 доказывается
равенство
2^ = 1. A.48)
h
Положим P(L/K): = U А„ и rf(L/K): = 2rf«-
Теорема 1.100. Пусть «—степень L/K, тогда d(L/K)>
>~- Расширение L/K нормальное тогда и только тогда, когда
/
Доказательство. Это следует из A.48) и приведенных
выше рассуждений. ?
101
, „ „.ишоыд uujltH СО-
СОСТОИТ в описании расширений L/K с помощью приданных основ-
основному полю инвариантов. Следующая теорема Бауэра показыва-
показывает, что множество Р(ЦК), если L/K — нормальное, является
кандидатом в такие инварианты. Осталось характеризовать
множество простых идеалов из К, которые имеют вид P(L/K)
для некоторого нормального расширения L/K.
Это возможно, если ограничиться абелевыми расширениями
L/K (глава 2.1.6).
Теорема 1.101 (ТеоремаБауэра). Пусть L—произвольное
коиечное расширение алгебраического числового поля К и пусть
М/К— конечное нормальное расширение. Тогда Р(М/К)Э
2P(L/K)—в том и только в том случае, когда MsL. В част-
частности, конечное нормальное расширение М поля К характери-
характеризуется множеством простых идеалов из К, которые полностью
разлагаются в М/К.
Доказательство. Есть L/K — нормальное, то теорема
1.101 следует из элементарного факта о том, что
/>(LM/K)=P(WK)n/>(M/K)
(предложение 1.43). В общем случае используется теорема Че-
Чеботарева о плотности и иекоторые рассуждения, связанные с ав-
автоморфизмом Фробениуса. В
Конечное расширение F/K называется бауэровским расши-
рением (Шинцель [211]), если для любого конечного расшире-
расширения L/K из включения P(L/K)S/>(F/K) следует, что L содержит
подполе F', изоморфное F над К. По теореме 1.101 любое нор-
нормальное расширение F/K является бауэровским расширением.
Шницель [211] показал, что любое расширение поля Q степени
^4 является бауэровским расширением, но расширения степе-
степени 5 с симметрической группой Галуа ие являются бауэровски-
ми расширениями.
Следующая теорема следует из теоремы Бауэра.
Теорема 1.102. Пусть L— конечное расширение алгебраи-
алгебраического числового поля К. Тогда L/K — нормальное тогда и
только тогда, когда все простые идеалы в P(L/K) полиостью
разлагаются в L. ?
Так как теоремы 1.100—1.102 основаны на плотностях Ди-
Дирихле, они справедливы также, если пренебречь конечным мно-
множеством простых идеалов из К.
Приложением теоремы 1.100 является следующая теорема.
Теорема 1.102а. Пусть f(x)— нормированный многочлен
с коэффициентами из Z и пусть f(x)—соответствующий много-
многочлен с коэффициентами из Z/pZ. Тогда f(x) разлагается на ли-
линейные множители для почти всех простых чисел р тогда и толь-
только тогда, когда f(x) разлагается на линейные множители.
Доказательство. Пусть, без ограничения общности,
f(x) нёприводим. Пусть N — поле разложения для f(x). Тогда
•102
по лемме Геизеля (предложение 1.57), f(x) разлагается на ли-
линейные множители для почти всех простых чисел p-^iVcrQ,,
для почти всех простых чисел /7-*=*-d(jV/Q) »= 1 -*=*-[Л/': Q]= 1. ?
Пример 25а. Пусть М — квадратичное поле с дискриминан-
tOM D и L — круговое поле корней из единицы степени \D\. По-
Поскольку свойства разложения на множители простого числа р
в поле М зависят лишь от класса вычетов р по mod \D\ (при-
(пример 20) и простые р, полностью разлагающиеся в L, удовлетво-
удовлетворяют сравнению p^l(mod \D\) (теорема 1.49), имеем включе-
включение P(M/Q)=d/j(L/Q), откуда МсК. Конечно, это утверждение
можно доказать сотней других методов. D
6.9. Теорема о простых идеалах с остаточным членом. Реко-
Рекомендуемая литература: Наркевич [193, глава 7.2]. Теорема 1.96
не дает наилучшего возможного приближения для функции лл
посредством элементарных функций. Методами теории функций
комплексного переменного доказывается следующая оценка
остаточного члена для яА:
Теорема 1.103. Пусть А — множество простых идеалов в
классе из группы Яш лучевых классов. Тогда существуют по-
положительные постоянные С\, с2 такие, что для всех
<с,.\гехр( —
Основную роль в доказательстве теоремы 1.103 играет иссле-
исследование нулей функций L (s, %) для характеров % группы Нт в
критической полосе 0<Res< 1. Обобщенная гипотеза Римана
утверждает, что все эти нули лежат на прямой Re s = —• В слу-
случае дзета-функции Римана ?(s):=?q(s) эта гипотеза совпадает с
гипотезой Римана [207].
Теорема 1.104. Пусть А — множсстго простых идеалов в
классе из группы лучевых классов //ш. Если обобщенная гипоте-
гипотеза Римана выполняется для всех характеров группы //ш, то для
любого е>0 существует положительная постоянная с такая, что
для всех х>2
dx
log*
<СХ
6.10. Явные формулы. Рекомендуемая литература: Ленг
[161, глава 10]. Для натурального п определим А(п) как logp,
если п есть степень простого числа р и Л(п)=0 в остальных
случаях. Тогда
103
Тогда
л I
Л(л)
Функция
называется функцией Чебышева. Она играет важную роль в до-
доказательстве теоремы 1.103 в случае, когда А является множе-
множеством всех простых чисел.
Существует классическая формула, связчвающая ^р(х) с нуля-
нулями ?(.*). Положим tfi0(х): = tp(х) А(х), если а: — натураль-
ное число и -ф0(.лг) = -ф(_sc) в остальных случаях. Тогда
= X —
A.49)
где суммирование производится по всем нулям р функции
удовлетворяющих неравенствам 0<CRep<cl. Точнее говоря,
У ,. V .vp
Вейль {277], [278] обобщил равенство A.49) для /--функций
Гекке из широкого класса (Ленг A61, глава 10]).Здесь мы сфор-
сформулируем это обобщение только для нулей дзета-функции Де-
декиида ?k(s) и для функций, которые будут иас интересовать
в следующем разделе.
Пусть F(x), *?R,— вещественная, четная, дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условиям
некоторыми постоянными с>0, е>0. Положим
оо
ф (s): = jj F (х) exp Us -'~jx) dx'ф W: = Ф (т +li}
Теорема 1.104а. Пусть К—алгебраическое числовое поле,
имеющее Г\ вещественных и г2 комплексных точек. Положим
104
2л
Ф(/JRe~^-i-
=— Ф@) —
¦^ф(Р)+^2
р--
Л'г
fill
A.50)
где первая сумма взята по всем нулям р функции Sk(s), удов-
удовлетворяющим неравенствам 0<Rep<l, а вторая — по всем
простым идеалам )р из К и всем натуральным числам т. Н
6.11. Оценки дискриминанта. Рекомендуемая литература:
Пуату [202]. Пусть К—алгебраическое числовое поле степени п.
Применяя формулу Стирлинга к оценке Минковского для дис-
дискриминанта (теорема 1.10), получаем неравенство
jdK | > (—- еА" '2ли)-' exp (-1 /бя),
называемое границей Мииковского. Эта оценка усиливалась не-
некоторыми авторами, улучшавшими метод доказательства Мин-
Минковского (см. Наркевич [193, глава 2.4.9]). Позднее Одлыжко
связал dn с нулями дзета-функции поля К и получил резуль-
результаты, намного лучше ранее известных. Развивая идею Серра,
Пуату [202] показал, что границы Одлыжко получаются с помо-
помощью явной формулы A.50) для некоторых выборов функции F.
Теорема 1.105. Пусть М(п, г2) — множество алгебраичес-
алгебраических числовых полей, имеющих гх вещественных и г2 комплекс-
комплексных точек, n=r!+2r2. Тогда
| оГк |1/л > F0,8)' ¦/" B2,3J"/", КъМ (я, г2)
при достаточно большом п. Кроме того,
| dK |'/« > B15,3)' ¦'" D4,7J'./", КеМ (я, г2)
для достаточно боль-йог л п пои устовии B'jnoi нения для ^к(^)
расширенной гипотезы Римаиа. |х|
Для небольших значений п теорема 1.104 дает оценки величи-
величины |аГк|1/ли которые, Для 2<«<8, приведены в следующей таб-
таблице. В клетке таблицы с координатами п, г2 стоят три числа
h(n,r2), fi2(n,r2), h3(n,r2).
Число hx(n,r2) равно |^к.||/л Для поля КобИ(я,г2), имеющего
наименьшую абсолютную величину дискриминанта среди всех
известных полей в М(п, г2). Доказано, что это — поля в
М(п, г2) с наименьшей абсолютной величиной дискриминанта,
если п<6, если п = 7, г2 = 0, 2, 3 или л=8, л2 = 4. Всегда есть
лишь одно такое поле (Мартине [171]) Н3(п, г2) (соответствен-
(соответственно, Н2(п, г2) является нижней границей для |^к |1/п, К^М(п, г2),
полученной из теоремы 1.104 (в предположении справедливости
обобщенной гипотезы Римана).
10 5
nit,
2
3
4
5
6
7
8
1
2,236
2,225
2,228
3,659
3,639
3,613
5,189
5,124
5,067
6,809
6,640
6,524
8,182
8,143
7,942
11,051
9.611
9,303
11,385
11,036
10,597
| i
1,732
1,730
1,730
2,844
2.820
2,819
4,072
4,036
4.014
5,381
5,322
5,264
6,728
6,638
6.524
8,110
7,960
7,766
9,544
9,266
8,975
Глав
i 2
3,289
3,263
3,258
4,378
4,345
4,318
5,512
5,484
5,419
6,710
6,653
6,536
7,905 .
7,834
7,645
a 2
1 3
i
4,622
4,592
4,558
5,654
5,619
5,549
6,779
6,675
6,554
I 4
5,787
5.734
5,659
Глава 2
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
Рекомендуемая литература: Касселс, Фрёлих [65], Артии,
Тейт, [40], Нойкирх [195].
В теории алгебраических числовых полей есть две основные
проблемы: описание арифметических свойств заданного число-
1юго поля, с одной стороны и. с другой стороны,описание число-
числовых полей с заданными арифметическими свойствами.
Теория полей комплексных функций от одной переменной да-
дает пример решения второй проблемы в случае функциональных
полей. Конечные расширения L ноля C(z), не разветвленные
вне множества 5 точек риманпппй поверхности F=C|J{oo} C(z)
соответствуют подгруппам U конечного индекса фундаменталь-
фундаментальной группы топологического пространства F\S. Таким образом,
накрывающее пространство F, заданное U, соответствует рима-
новой поверхности L (см. также главу 3, пример 13а). К сожа-
сожалению, результат такой общности в теории числовых полей до
сих пор не получен. Это можно выразить словами, что значение
фундаментальной группы в случае числовых полей до сих пор
в достаточной степени не выяснено.
106
Прежде чем перейти к более детальному обсуждению этих
двух основных проблем, переформулируем их в соответствую-
соответствующем содержанию главы виде. Относительно арифметических
свойств мы выясняем более конкретный вопрос о поведении раз-
разложений простых идеалов в конечных расширениях и, посколь-
поскольку любое конечное расширение содержится в нормальном рас-
расширении, мы ограничиваемся нормальными расширениями и
описываем арифметические свойства расширений (и их под-
расширений) с помощью разложения и групп ветвления (гла-
(глава 1.3.7).
В главе 1.3.9 мл в щели, что имзется детаъчое описание
арифмет,1ческчх свойств круговых noieft Q •?„')• Группа Галуа
Q(?,,0 над Q канонически изоморфна группе (Z/p'Z)*. Для
простого числа qi=p автоморфизм Фробениуса Fq определен
равенством Fq (?у)«=?*/ и /-ая группа ветвления р в верхней
нумерации соответствует при этом изоморфизме подгруппе
{ae(Z//>'Z)*|a=l (mod(/>'))}•
Оказывается, что столь прекрасное описание арифметичес-
арифметических свойств возможно для любого абелева расширения L/K
числовых полей (абелево расширение L/K представляет собой
нормальное расширение L поля К с абелевой группой Галуа).
Соответствующая теория называется теорией полей классов.
Она является предметом этой главы.
В соответствии с принципом перехода от локального к гло-
глобальному (глава 1.4), теория полей классов начинается с изу-
изучения локальных полей К. Абелевы расширения поля К соот-
соответствуют замкнутым подгруппам конечного индекса мульти-
мультипликативной группы Кх поля К (§ 1.3). Для глобальных полей
К группа классов иделей (глава 1.5.5) играет роль мультипли-
мультипликативной группы в локальном случае: абелевы расширения гло-
глобального поля К соответствуют замкнутым подгруппам конеч-
конечного индекса группы классов иделей К (§ 1.5). По теореме
Бауэра (теорема 1.101), конечное нормальное расширение L
поля К характеризуется множеством простых идеалов, полно-
полностью разлагающихся в L. Для абелевых расширений L/K теория
полей классов дает замечательное описание таких множеств
простых идеалов в терминах подгруппы группы классов иделей,
соответствующей L (§ 1.6).
Кроме двух основных проблем, наиболее интересными за-
задачами теории полей классов являются явные построения полей
классов и законов взаимности. Обе проблемы играли решающую
роль в развитии теории. Явные построения абелевых расшире-
расширений известны для локальных полей (расширения Любина —
Тейта (глава 1.4.10)), для поля Q(§ 1.1) и для мнимых квадра-
квадратичных полей (§ 2). Для других глобальных полей есть лишь
частичные результаты. Явные законы взаимности являются пря-
прямым обобщением квадратичного закона взаимности. Они (в
107
принципе) позволяют установить, является ли целое число в по-
ае К вычетом n-ой степени по простому идеалу. Для аккуратной
формулировки результатов необходимо предполагать, что К со-
содержит корни степени п из единицы. Таким образом, Гаусс изу-
изучал поле Q(V—1) для формулировки явного биквадратического
закона взаимности.
Понятие поля классов было известно уже Кронекеру, знав-
знавшему, что любое абелево расширение поля Q содержится в кру-
круговом поле. Его «liebster Jugendtraum» состояло в том, что, ана-
аналогично, любое абелево расширение мнимого квадратичного чис-
числового поля можно получить с помощью «singular moduli», свя-
связанного с модулярными функциями и эллиптическими функциями
(§ 2). Общие понятия теории полей классов были развиты в
конце прошлого столетия Гильбертом и Вебером. Гильберт во
введении к его знаменитой «Zahlkorperbericht» (Гильберт [126])
писал:
«Теория числовых полей является творением удивительной
красоты и гармонии, наиболее ярко представленной частью
которого мне кажется теория абелевых и относительно-абелевых
полей, развитая Куммером в его работах о высших законах
взаимности и Кронекером в его исследованиях комплексного
умножения эллиптических функций. Глубина, иа которую удает-
удается проникнуть взглядом в эту теорию, благодаря работам обоих
математиков, показывает, вместе с тем, что в этой области нау-
науки еще остается нераскрытым целое множество ценнейших со-
сокровищ, которые могут служить богатой наградой исследова-
исследователю, осознающему их ценность и с любовью занимающемуся
искусством их поиска».
В определении Всбера [272], [273] поле классов L алгебраи-
алгебраического ч елового поля К от юс гтельно подгруппы НЩл
группы Ла/#а лучевых классов (глава 1.5.6) представляет собой
(однозначно определенное (глава 1.5.12)) нормальное расш фение
поля К такое, что простой ид?ал j из К, p/at полностью раз-
разлагается в L/K тогда и только тогда, когда он принадлежит
N. Группа Галуа L/K изоморфна Ат/Н. Существование поля
классов для заданной группы Н было доказано в 1920 году Та-
каги [252], а Артин [37] в 1927 году показал, что существует
канонический изоморфизм Ат/Н на G(L/K), задаваемый симво-
символом Фробеннуса (глава 1.3.7). Этот изоморфизм можно рас-
рассматривать, как далеко идущее обобщение квадратичного зако-
закона взаимности (§ 6). Результат Артина завершил обоснование
теории полей классов.
В то время доказательства основных теорем были чрезвы-
чрезвычайно сложными (см. Хассе [114]) и последующий период харак-
характеризуется упрощением и перестройкой всей теории. В частно-
частности, Хассе [115] в 1930 году развил локальную теорию полей
108
классов, т. е. теорию абелевых расширений локальных полей,
а в 1940 году Шевалле [68] ввел понятие иделя, что позволило
сформулировать теорию полей классов с помощью принципа пе-
перехода от локального к глобальному (глава 1.4). В связи с
вычислением группы Брауэра локальных и глобальных полей,
стало ясным, что технически лучше всего формулировать тео-
теорию полей классов с помощью когомологии групп. В частности,
Тент {255] в 1952 году обобщил закон взаимности Артина, по-
получив теорему о группах когомологии произвольных нормаль-
нормальных расширений локальных и глобальных полей (см. Хассе
[113] по поводу более подробного изложения истории теории по-
полей классов).
Содержание главы 2 таково. В § 1 основные теоремы теории
полей классов сформулированы без доказательств и без обра-
обращения к группам когомологии. § 2 содержит описание теории
полей классов мнимых квадратичных полей с помощью комп-
комплексного умножения. В § 3 рассматриваются когомологии
групп, как подготовка для обзора доказательств основных тео-
теорем теории полей классов в § 4 и применения когомологических
методов к неабелевой теории Галуа алгебраических числовых
полей в главе 3. § 5 посвящеи теории групп Брауэра локальных
и глобальных полей. В § 6 рассматриваются точные законы
взаимности, а в § 7 представлены некоторые дальнейшие ре-
результаты теории полей классов.
Существует ряд книг, служащих введением в теорию полей
классов. Стандартный когомологический подход представлен в:
Шевалле [69], Касселс, Фрёлих [65], Нойкирх [194] и Иянага
[138], Гольдштейн [104] и Ленг [161] используют аналитические
методы, а подход Вейля [279] основан иа теории простых алгебр.
Нойкирх [193] использует лишь группы когомологии размерно-
размерности —1, 0, 1 и дает новое доказательство закона взаимности
Артина. Нет книги, в которой полностью изглагалась бы теория
полей классов, но книга Артина, Тейта [40], иногда называемая
библией теории полей классов, содержит большую часть мате-
материала, который следовало бы включить в такую книгу.
§ 1. Основные теоремы теории полей классов
Начнем с описания основных теорем теории полей классов.
1.1. Теория полей классов для абелевых расширений поля.
Мы уже имеем подробное описание абелевых расширений Q(?n),
где ?„— примитивный корень из единицы порядка п (глава
1.3.9). С другой стороны, имеет место следующая теорема Кро-
некера и Вебера:
Теорема 2.1. Для любого конечного абелева расширения
L/Q существует натуральное число п такое, что LsQ(?;„). ®
Кроме доказательства Вебера [274] (см. также Нойман [197]),
100
доказательства теоремы 2.1 можно считать вариациями доказа-
доказательства Гильберта из [126], Capitel XXIII (Шпайзер [239],
И. Р. Шафаревич [23], дополнительные ссылки — Наркевич [193,
глава VI, § 3]). Доказательство Гильберта состоит в сведении
проблемы к полям с меньшим числом разветвленных простых,
используя предложение 1.43 из главы 1. Оно завершается не-
разветвленным полем, совпадающим с Q по теореме Минковско-
го о дискриминанте (глава 1.1.2).
Наименьшее п такое, что LsQ(gn), называется кондукто-
кондуктором L.
Поскольку G(Q(?n)/Q) канонически изоморфна (Z/nZ)x, по-
поле L задается подгруппой U группы (Z/nZ)x, соответствующей
^(Q(?n)/Q). Следовательно, пара п, U определяет L. Группа Га-
луа расширения 1,/Q канонически изоморфна группе (Z/nZ)x/U,
простое число разветвлено в L/Q в том и только в том случае,
когда оно делит кондуктор L и автоморфизм Фробениуса нераз-
ветвленного простого р задается посредством pU.
Это описание абелевых расширений поля Q имеет то преиму-
преимущество, что оно вполне элементарно, а недостатком его являет-
является малая пригодность для формулирования дальнейших свойств
абелевых расширений, например, связанных с высшими группа-
группами ветвления. Мы уже знаем, что любая конечная факторгруп-
факторгруппа группы классов иделей J(Q)/QX протаскивается череа
(Z/nZ)* при некотором п (глава 1.5.6). Оказывается, что вооб-
вообще группа классов иделей позволяет наилучшим образом опи-
описать абелевы расширения.
1.2. Поле классов Гильберта. Пусть К — алгебраическое чис-
числовое поле и L — конечное расширение К. Бесконечная точка v
поля К называется разветвленной в L/K, если существует точ-
точка w поля L такая, что w/v, L^^K, (следовательно, комплекс-
комплексные точки не могут быть разветвлены).
Если v — произвольная точка поля К, не разветвленная в
расширениях Li и L2 поля К, то и не разветвлена в L1L2 A.19).
Композит абелевых расширений поля К, не разветвленных во
всех точках К, называется полем классов Гильберта и обозна-
обозначается #(К).
Теорема 2.2. #(К)—конечное расширение поля К. Груп-
Группа Галуа расширения #(К)/К канонически изоморфна группе
классов идеалов CL(K). Простой идеал V из К разлагается в
произведение [#(К) : К] различных простых дивизоров в #(К)
тогда и только тогда, когда р—главный идеал. И
Пример 1. Число классов поля К=О(У6) равно I. Следо-
Следовательно, оно не имеет нетривиальных неразветвленных абеле-
абелевых расширений. Q(y—2, У—3) не разветвлено в конечных точ-
точках, но разветвлено в бесконечных точках, й
Пример 2. Чюто классов поля K =
Я(К)-<20 -1, | =5"). 1x1
110
Пример 3. Число классов поля K = Q()^ — 23) равно 3.
Я()--=О(|/:^23", 9), где о3—0—1=0. Расширение KlO)/K
нераЗветвлено: дискриминант х2—х— 1 равен —23, следова-
следовательно, только (У — 23) может Сыть разветвлен в К (.0), но
тогда группа инерции простого дивизора для {\ —23) относи-
относительно Q должна быть циклической, порядка 6 (предложение
1.43), что невозможно, поскольку группа Галуа расширения
KF)/Q ие является циклической.
Пример 4. Число классов поля О(У—47) равно 5. (при-
(пример 9 из главы 1.1.7). Для нахождения поля классов Гильберта
, требуется значительно больше усилий (Хассе [116]).
1.3. Локальная теория полей классов. В этом пункте К обо-
обозначает р-адическое числовое поле. Используются обозначения
главы 1.4.10. Центральную роль в локальной теории полей клас-
классов играет норменный символ, также называемый символом
норменного вычета или символом Хассе. Для абелевых расши-
расширений L/K нормеиный символ (a, L/K), абКх представляет со-
собой гомоморфизм Кх на G(L/K). Его характеризуют следующие
свойства.
Пусть L/K — произвольное абелево расширение и пусть М —
промежуточное поле L/K. Тогда
(I) (а, М/К)=«р(а, L/K.) для абК*, где <р — естественная про-
проекция G(L/K)-^G(M/K).
(II) (p,L/M) = (WM/Kp. L/K) для рб7Лх.
(III) Если L/M нераэветвлено и лм — простой элемент М, то
лм, L/M) — автоморфизм Фробениуса L/M (предложение 1.44,7)).
Название норменного символа объясняется следующей теоре-
теоремой.
Теорема 2.3 (Основная теорема локальной теории полей
классов). Существует взаимно однозначное соответствие Ф меж-
между конечными абелевыми расширениями L поля К и замкнуты-
замкнутыми подгруппами Кх конечного индекса. Это соответствие обла-
обладает следующими свойствами:
a)
—5) равно 2,
б) Норменный символ индуцирует изоморфизм КХ/Ф(Ь) и
G(L/K), отображающий У„Ф(Ь)/Ф(Ь) иа n-ую группу ветвле-
ветвления L/K в верхней нумерации.
в) Пусть L и I/ — конечные абелевы расширения поля К.
Тогда Lsl/ в том и только в том случае, когда ф(Ь)эФA/).
Если Ф(Ь,)ЭФA/), то L характеризуется как неподвижное поле
для (Ф(Ь), L'/K).
Нормениый символ можно определить с помощью расшире-
расширений Любина—Тейта (глава 1.4.10). Прежде всего, имеется сле-
следующий аналог теоремы Кронекера и Вебера.
Ш
Теорема 2.4. Пусть L/K — конечное абелево расширение
и пусть g— многочлен Эйзенштейна степени q—1 с коэффици-
коэффициентами из О. Тогда существует такое натуральное число п, что
U ; К., (в. (г)).
Пусть п — наименьшее натуральное число такое, что
Li.;KUr(en(g)), если L/K разветвлено, и пусть п=0, если L/K
не^азветвлено. Тогда п не зависит от выбора g и р" называется
кондуктором L/K.
Пусть л — абсолютный коэффициент g и а=я"е, еб?/. Тогда
(a, L/K) является ограничением на L автоморфизма расширения
К„г(в„(?))/К, индуцирующего на К„г/К v-ую степень автомор-
автоморфизма Фробениуса F и на KFn(g))/K автоморфизм задается
посредством Qn(g)-+iB~l]«(Qn(g)) (Поле К„г порождается иад К
корнями из единицы ? порядка, взаимно простого с q и F опре-
определяется равенством Ft,—t, (глава 1.4.6.))
Другое построение норменного символа будет дано в § 4.
Замкнутая подгруппа V группы Кх конечного индекса также
замкнута и, таким образом, содержит Um при некотором т.
Пусть п — наименьшее такое, что UnczV. Тогда рп называется
кондуктором V. Кондуктор L равен кондуктору Ф(Ь).
В главе 1.5.2 был определен кондуктор fx характера % груп-
вы Кх. Следующая теорема позволяет иайти дискриминант
И/К при заданном Ф(Ь).
Теорема 2.5. {Формула произведения ведущих дискри-
дискриминантов в оригинале—Fuhrerdiskriminantenprodukt
for met). di./K = llf%, где произведение взято по всем характе-
X
рам х группы Кх, тривиальным иа Ф(Ь).
В главе 1.4.4 мы видели, что существует полное представле-
йие о структуре группы Кх. Теорема 2.3, таким образом, пока-
показывает, что имеется такое же полное представление о возмож-
возможных абелевых расширениях поля К.
Пример 4а. Пусть К^=О.Р- Коичество циклических расши-
расширений поля К степени р равно количеству замкнутых подгрупп
группы Кх индекса р. Для рФ2 им?ем [Q^ :QX"] = /?2. Следо-
Следовательно, существует /7-}— 1 такое расшрение поля Qn. Если
/7 = 2, то [Q^ :Q2<']=23 и имеется семь квадратичных расшире-
расширений Qj. Гшс1Э1нчй результат, разумеется, также следует из
теории Куммера циклических полей (глава 1.4.7). Рекомендуем
читателю в лчисл 1ть подгруппы группы СЪ*, принадлежащее семи
Q(^2'
Я» ПРИ а>0
полям Q2(^2'-( —I)'-*» ), h, i2, ЩО, 1}, Й+12 + 1зФ0.
В дачьнейшем нам потребуется символ (a, L/K) также в слу-
случаях К равного R или С. Положим
(a, L/K)=l, при L=-K,
112
где O(C/R) = {l,c}.
1.4. Группа классов иделей нормального расширения. В сле-
следующем разделе будут сформулированы основные теоремы гло-
глобальной теории полей классов. В этом разделе будет дай под-
подготовительный материал.
Пусть L — произвольное конечное расширение алгебраичес-
алгебраического числового поля К. Пусть w — точка поля L, лежащая иад
точкой v поля К. Тогда мы обозначаем естественное вложение
Kv в L,B посредством i«,. Определим вложение i группы иделей
/(К) в группу иделей /(L) равенством
i: | Пао ]: = П iwav (глава 1.5.5),
i отображает главные идели иа главные идели. Существует
также вложение т группы У(К)ХКХ в /(L)/Lx. В дальнейшем
мы будем отождествлять /(К) (соответствеиио, У(К)/КХ) с ее
образом в /(L) (соответственно, /(L)/Lx). Положим, далее,
с(К):=/(К)/Кх
Пусть aGLx и у — точка поля К. Согласно предложению
1.60.2) имеем
П/У1.и)/к1а. B.1)
Определим норменное отображение /(L) в /(К) равенством
Очевидно, что это—непрерывный гомоморфизм. Равенство B.1)
показывает, что jVl/k отображает главные идели на главные
идели. Следовательно, оно индуцирует гомоморфизм E(L) в 6 (К),
снова обозначаемый Nl/k-
Пусть g : L-*-l/ — изоморфизм полей. Каждому нормирова-
нормированию w поля L соответствует нормирование gw поля I/, опреде-
определяемое равенством
gw(a)=w(g-Ja) при aGl/.
Легко видеть, что g индуцирует изоморфизмы Lw на Lgw, J(L)
на J(L') и ®(L) на ®(L'), снова обозначаемые g. Пусть теперь
L/K—нормальное расширение с группой Галуа G. Тогда, с
только что описанным действием группы G, J(K) и ®(L) стано-
становятся G-модулями. Множество J(L)e иделей, оставляемых на
месте автоморфизмами из G, совпадает с /(К) в смысле нашего
отождествления /(К) с ее образом в /(L). Кроме того, очевид-
очевидно, что @(K)S@(L)°. Мы хотим доказать, что ®(K)==©(L)G.
К -0104 113
ото означает, что для каждого иделя а поля L такого, что ga—
~f(g)a при некотором /(gNLx для всех g*G, существует
ае/(К) такой, что а=р с некоторым peLx. f(g) является функ-
функцией на G со значениями в L, удовлетворяющей уравнению
f(gh)=gf(h)f(g) для всех g, ЛеО.
Такая функция называется (одномерной) системой факторов
группы G со значениями в L. Мы должны доказать следующее
предложение, представляющее собой полученное Э. Нётер обоб-
обобщение принадлежащего Гильберту результата из Satz 90 из
«Zahlkorperberichb (Гильберт [126]).
Предложение 2.6. Пусть К — произвольное поле и L —
конечное сепарабельное расширение К с группой Галуа G.
Пусть, далее, / — система факторов G со значениями в 1Л Тогда
существует p?Lx такой, что
НШ р g
Доказательство. Ввиду линейной независимости авто-
автоморфизмов в G, существует f^Lx такое, что
2
Следовательно,
. ?
Легко видеть, что
= II ga, при aej (L).
1.5. Глобальная теория полей классов. Пусть L — конечное
нормальное расширение алгебраического числового поля К с
группой Галуа G и пусть w — точка поля L, лежащая над точ-
точкой v поля К. Тогда С(Ц,/К„) будет отождествляться с группой
разложения Gw—{g?G/gw=w} точки w относительно L/K (гла-
(глава 1.4.5). Так как
Glw=={h6G/hgw=gw}=gGKg-i, для g*G,
группа разложения для w определяется точкой v с точностью
до сопряженной.
Следовательно, если L/K абелево, то G«, зависит только от v
и можно говорить о группе разложения v относительно L/K.
Для любого иделя Па„б/(К) почти все (ац, Lw/Kt,)^, посколь-
поскольку (а„, Ьш/К») —1, если а„ — единица в Kv и Ь№/К„ неразветвле-
но. (aUt 1<„,/Кц) не зависит от выбора лежащей над v почти до.
Для любой v выбираем одну лежащую над v точку w поля К.
Тогда
B.2)
114
— корректно определенный гомоморфизм /(К) в G(L/K). Он
называется (глобальным) норменным символом.
Следующую теорему иногда называют законом взаимности
Артина. Как мы увидим позднее, его можно рассматривать, как
далеко идущее обобщение гауссова закона квадратичной взаим-
взаимности.
Теорема 2.7. (a, L/K) = 1 при «еК*. и
Теорема 2.7 показывает, что норменный символ ( , L/K)
можно рассматривать, как гомоморфизм &(К) в G(L/K). Для
того, чтобы сформулировать следующую основную теорему гло-
глобальной теории полей классов, напомним, что Кох отождествле-
отождествлена с подгруппой группы У (К) (глава 1.5.5).
Теорема 2.8. Существует взаимно-однозначное соответ-
соответствие Ф между конечными абелевыми расширениями L поля К
и замкнутыми подгруппами <5(К) конечного индекса. Это соот-
соответствие обладает следующими свойствами:
а) O(L) = ^L/Ke(L) = Ker( , L/K).
б) Нормеиный символ индуцирует изоморфизм <5(К)/Ф(Ь)
на G(L/K) и отображает К»х на группу разложения v для всех
точек v поля К.
в) Пусть L и I/—конечные абелевы расширения поля К.
Тогда Lsl/ в том и только в том случае, когда Ф(Ь)эФA/).
Если Ф(Ь)эФ(Ь'), то L характеризуется, как неподвижное
поле (Ф(Ь), L7K). н
Замечание. Утверждение о К„х сразу следует из опреде-
определения нормениого символа и локальной теории полей классов,
л-ая группа G„>п главных единиц в К„ отображается иа п-ую
группу ветвления v в верхней нумерации.
Если U — замкнутая подгруппа конечного индекса в ©(К),
то ф-'((У) называется полем классов для U (или <?(К)/?/).
В дальнейшем используем обозначения из главы 1.5.5.
Пример 5. Пусть m — натуральное число. Поле классов
J(Q)/Q*Umoo^(Z/mZ)x является полем Q(Cm) (§ 1.1).
Пример 6. Пусть L/i=Uv(Jv, т, е. ?/„: = К? для беско-
бесконечной точки v. Тогда поле классов /(K)/Kx?/i=CL(K) является
полем классов Гильберта (§ 1.2). м
Пусть ш—любой определяющий модуль. Тогда поле классов
J(K)/KxUm=*Hm называется полем лучевых классов по modra.
1.6. Функториальное поведение норменного символа.
В этом пункте рассматриваются функториальные свойства нор-
норменного символа в локальном и глобальном случае. Поскольку
оба случая будут изучаться одновременно, положим Лк: = Кх
если К—локальное поле, и Лк:=<?(К), если К — глобальное*
поле. Назовем Лк модулем классов К. Если #:К-»-К' — изомор"
физм локальных или глобальных полей, то соответствующий изо-
изоморфизм Ак на А'к будет также обозначаться через g.
8*
115
Будет удобно рассматривать конечные нормальные расши-
расширения L/K. Пусть L — максимальное абелево подрасширение
L/K. Положим
(a,
:(а, L/K) для а
Теорема 2.9. Пусть L,/К и L2/K —конечные абелевы рас-
расширения такие, что LiCr/,2, и пусть я:О(^2/К)->О(^1/К) —про-
—проекция. Тогда
(ее, L,/K) = n(a, L2/K) при а^Ак. Ш>
Для следующей теоремы нам потребуется понятие группово-
группового переноса (в оригинале — group transfer (Verlagerung)).
Пусть G— конечная группа и И—подгруппа G. Обозначим
коммутатор группы G через [G, G] н положим Gab: — GI{G, G].
Перенос Ver из G в Н представляет собой гомоморфизм G в
НаЬ, определяемый следующим образом: пусть R — система
представителей G\H в G и обозначим g представителя элемен-
элемента g.
Тогда
Verte[G,G]): = IT h(g, r)[H, H],
где h (g, r)?H определяется равенством
В § 3.8 мы увидим, что отображение переноса представляет
собой частный случай когомологической операции, называемой
ограничением. Там выяснится, что Ver — корректно определен-
определенный гомоморфизм.
Теорема 2.10. Пусть L/K — конечное нормальное расшире-
расширение, К'/К — произвольное подрасширение и Ver — перенос из
G(L/K) в G(L/K')- Тогда
Ver(a, L/K) = (a, L/K') для
B.3)
Пусть х — гомоморфизм из G(L/L')"h в G(L/К)аЬ, индуциро-
индуцированный включением G(L/K')sG(L/K). Тогда
x(a, LfK') = (NKIKa, L/K) для а€Ик. B.4)
Теорема 2.11. Пусть L/К —коночное абелево расширение и
g—изоморфизм L на gL. Тогда
(ga, gL/gK) = g(a, L/K)g~] при аОЛк. fxj
Свойство в) в основной теорем'.' теории локальных и глобаль-
нмх полей классов следует из B.4). Если LCL', то
ЦП
Если O(LKO(L'), то
(O(L), LL'/K) —(ЛГь/кЛ, LL7K)-HL, LL'/L)CG(LL'/L)
и (O(L')> LL'/K)CG(LL'/L'), откуда (O(L'j, LL'/K)=={1}. Из
этого следует, что O(L')CQ(LL'), [L':K] = [LL':K] и LcL'.
1.7. Общий закон взаимности Артина* Используем обозна-
обозначения главы 1.5.6. Пусть L—конечное нормальное расширение
алгебраического числового поля К и пусть ф — простой идеал из
L, не разветвленный в L/K. Тогда автоморфизм Фробениуса (j4jrj
(глава 1, предложение 1.44.7) от ф является элементом группы
G(L/K). При этом
( B.5)
для
и мы
Если L/К —абелево, то (-тяг) завиент лишь от p
полагаем (гть-)'-= [гтп\ Пусть S — множество простых идеалов
(гть-)-= [гтп\
()[
из К, разветвленных в абелевом расширении L/K. Положим
(еТк) называется символом Артина для а. По определению, \rpjr
является гомоморфизмом Я5 в G(L/K;.
Теорема 2.12 (Общий закон взаимности Артина). Пусть
L/K — конечное абелево расширение, неразветвленное вне 5.
Тогда (гм/)—гомоморфизм %s на G (L/K) с ядром, содержащим
лучевую группу ^т, для некоторого определяющего модуля т.
По теореме 2.12, разложение простого идеала ? из К в абе-
левом расширении L/K зависит только от класса ? по опреде-
определяющему модулю ю. Это непосредственно обобщает закон раз-
разложения простых в круговых полях (глава 1.3.9), который, в
свою очередь, стоит за законом квадратичной взаимности.
Доказательство теоремы 2.12. По определению, ядро
глобального норменного символа ( , L/K):/(K)->G(L/K) содер-
содержит подгруппу Um для некоторого определяющего модуля и
такого, что supp 11^ = 5. Пусть л —простой элемент в Кг Тогда,
по определению, для p$S имеем
Утверждение теперь сразу следует из теорем 2.8, 2.7. Q
Наименьший определяющий модуль называется кондуктором
L/K. Он представляет собой произведение локальных кондукто-
117
рои. «ш/л.ег \jj?) называется группой классов L/K относи-
относительно т.
1.8. Символ степенного вычета. В этом и следующих двух
разделах рассматривается связь между общим законом взаим-
взаимности Артина, квадратичным законом взаимности Гаусса, его
непосредственным обобщением до закона взаимности для сим-
символа вычета m-ой степени и символом Гильберта (основные
ссылки: Хасое [114]).
Выше (глава 1.0) уже упоминалось, что Гаусс рассматривал
числа в кольце Z [У—1] и сформулировал биквадратичный закон
взаимности. Якоби и Эйзенштейн дали первые доказательства
биквадратичного и кубического законов взаимности. На основе
своей теории идеальных чисел Куммер сформулировал и дока-
доказал закон взаимности для символа вычета ^-ой степени в круго-
круговых полях Q(?p) (глава 1.3.9), если р— регулярное простое
число, т. е. число классов Q(%p) взаимно просто с р. Такаги ис-
исследовал случай произвольного простого числа р. В своей девя-
девятой проблеме Гильберт поставил вопрос о «наиболее общем за-
законе взаимности в алгебраическом числовом поле>. В некотором
смысле ответ на этот вопрос дан общим законом взаимности
Артина (§ 1.7), но в более прямом смысле эта проблема была
решена Шафаревичем (§ 6.1) и, в более точной форме, незави-
независимо Брюкнером и Востоковым (§ 6.2).
Пусть т — натуральное число и К—алгебраическое числовое
поле, содержащее корни степени т из единчцы. Для ссбК* обоз-
обозначим через fa (соответственно, Ьа) кондуктор (§1-7) (соответст-
(соответственно, дчскрим шант) абзлева расинренкя К (уос)/К. Тогда для
любого дробного идеала Ь из К, взаимно простого с fa символ
шчета степени т(-%-) =(-^-)б\>т определяется равенством.
\ О /т,К \ 6 /
4. Пусть d—делитель т. Тогда
Символ (—) обладает следующими свойствами, вытекающи-
вытекающими из свойств символа Артина (§ 1.6—7).
Теорема 2.13.
1. /JLL-WJtjMp?L), если siippfe,fe.nsuppb=-0. B.6)
2. (—)(—) = (-2—) supp faП (supp Ь, U supph) = 0. B.7)
\ b, / \ fy» / \ bib» /
3. Пусть g. К-*-gK — изоморфизм, тогда
B-8)
118
Ь /mid
B.9)
5. Пусть L/K —конечное расширение, аеКх и 95 —идеал из
L, взаимно простой с fa. Тогда
*d*-)K BЛ0)
6. Пусть р — простой идеал из К, взаимно простой с т-
Тогда Х:«->(—) — характер .группы (?>к/Р)х такой, что %m=l и
\ р /
X порождает группу характеров группы (Ок/Р)х> обладающих
этим свойством.
7. (Обобщенный критерий Эйлера). Если сс/0к, (сс/га,р) =
= 1, то
а;
' (modp).
\ Р /
В частности, [—] = 1 тогда и только тогда, когда
\ р /
s=pm(modp) для некоторого рбУк-
8. Пусть НасЩ —группа идеалов, принадлежащая
в смысле теории полей классов. Тогда
— ), при bi, Ьгб^г «
в том и только в том случае, когда Ъх, b^'G/Za- В частности
/-i^J зависит только от лучевого класса Ь по mod fa-
Пусть K = Q. Если a6Z и /? = 2 — простое число, р-\а, то
(JL\ = (—) есть символ Лежандра. Если b?L и (а,26)= 1, то
\р) \РI
/'_fL_\ — /_?_)—символ Якоби.
1.9. Норменный символ Гильберта. В этом разделе К обозна-
обозначает локальное поле. Пусть т — натуральное число такое, что
К содержит корни степени т из единицы. Для а, ре К* нормен-
норменный символ Гильберта (?, а)™, *=(Р> сс)<5цт определяется равен-
равенством
(р\ К (т^«)/К) 7a = (p, a) 7^'
Он обладает следующими свойствами, вытекающими из локаль-
локальной теории полей классов (§ 1.3, § 1-6):
Теорема 2.14. 1. (р,a) =-l тогда и только тогда, когда
119
/
(К О/ос)*).
К( у а )/К
2. (ft,p2,o)=-(pI,a)(p2,a), (P,alex2) = (p,cS|)(p,a2). B.11)
3. (ос, р) —(р, ос)-1, (—ос, ос) = 1 (сравните с предложением 2.92)
B.12)
4. A—ос, сс) = 1 при сс=?1.
5. Отображение р, сс-*-(р\ ос) —непрерывное.
6. Пусть g : K-*~gK — изоморфизм, тогда
(?0. ga)gK = g (P. a)K ДЛ я ос, рб К. B.13,
7. Пусть d делит т, тогда
(Р. «)? — (Р. «)»/./• BЛ4)
8. Пусть L/K — конечное расширение, тогда для рбЬ*, осбК*,
(
заключена в следующей формуле
P)l (М./кР.)к B-'5)
9. Пусть К/Ко —нормальное расширение с группой Галуа О.
Тогда ( , ) индуцирует невырожденное спаривание (§ 3.7)
О-модулей Кх/Кхт, Кх/Кхт на О-модуль \г.т (невырожденность
здесь означает, что для любого а^К^/К* порядка d сущест-
существует РбК^/К* такое, что (р, ос) имеет порядок d).
Пожалуй, наиболее удивительным свойством норменного
символа Гильберта является свойство 4, поскольку оно относит-
относится к аддитивной структуре К. Это —начальная точка теории
символов (§ 6.6) и /С-теории Милнора [188]. Свойство 4 дока-
доказывается так. Пусть d—наибольший делитель т такой, что
a=Y<* для некоторого ч(*К- Положим n:=m/d. 'Горда поле
К(>Лх )=К [i/~i ) имеет степень п над К (глава A.4.7). Поэтому
ff
где ?,„—пр ШИТ.1ВН.1Й корень степени т из единици, имеет
норму 1—ос. Поэтому свойство 4 следует из свойства 1. П
Легко видеть, что если K = R, го
1.10. Закон взаимности для символа степенного вычета.
В этом пункте К обозначает алгебраическое числовое поле, со-
содержащее корень степени т из единицы. Для любой точки v
поля К и ос, рек* пишем
AГ)Р)
где ( , ) — норменный символ Гильберта поля К,,.
Пусть р — простой идеал из К такой, что pffa. Связь между
символом степенного вычета и норменным символом Гильберта
120
Из теоремы B.8) следует формула произведения
1, B.18)
где v пробегает все точки поля К. Из B.12), B.17), B.18)
выводится
Теорема 2.15 (Закон взаимности). Пусть ос, РбКх и
nv (о) TJ v (р)
Тогда
где '/ = supp fa П supp fp. ?
Следующий частный случай теоремы 2.15 можно рассматри-
рассматривать, как прямое обобщение квадратичного закона взаимности
Якоби.
Теорема 2.16. Пусть ос, (} — числа из К, взаимно простые
с т и друг с другом. Тогда
где (f): =((?)• п
Покажем, что из теоре*мы 2.15 следует закон взаимности
для символа Якобл при т = 2, K = Q:
для a,
Требуется доказать, что
Так как
B.20)
достаточно доказать равенство B.20) для базиса Z2*, например,
для —1,5. Так как 5=#B+У— 1) и 2=N(l+i— 1), имеем
E,—1) = 1, B,—1) = 1 и, следовательно, (—1,—1)=—1 (Тео-
(Теорема 2.14.9). Кроме того, E,5) = E, —5) —1. D
В дополнение к теореме 2.16 есть
Теорема 2.17 (дополнительная теорема для закона взаим-
взаимности). Пусть Я, aGK* такие, что supp AEsupp m. и supp
121
сипл;»венным вложением
11 aupp m — &. Тогда
1.11. Теорема о главных идеалах. Гильберт высказал в каче-
качестве предположения следующую теорему о главных идеалах.
Теорема 2.18. Пусть К—алгебраическое числовое поле и
Я поле классов Гильберта для К. Тогда каждый идеал из К
становится главным, если рассматривать его, как идеал из Я.
С помощью теоремы 2.10 теорему 2.18 можно переформули-
переформулировать, как чисто теоретико-групповое утверждение. Пусть
Я'—поле классов Гильберта поля Я. Тогда Я'/К — нормальное
расширение и Я/К — максимальное абелево подрасширение рас-
расширения Я'/К. Поэтому теорема 2.18 эквивалентна утверждению
B.21)
По теореме 2.10 равенство B.21) эквивалентно такому:
Ver( w/
> для
Таким образом, теорема 2.18 следует из теоретико-групповой
теоремы:
Теорема 2.19. Пусть G— конечная группа с абелевым ком-
коммутатором H: — [G, G]. Тогда отображение переноса из G в Я
тривиально. В (Артин, Тейт [40, глава 13]).
Начиная с работы Таусски [261] ряд авторов изучали про-
процесс «капитуляции» (в оригинале—capitulation) идеалов из К,
т. е. становления главным идеалом, в подполях поля классов
Гильберта. Более подробным источником сведений и ссылок мо-
может служить работа Шмитхальса [212].
1.12. Локально глобальные соотношения. Рекомендуемая
литература: Артин, Тейт [40, глава 10]. Пусть L — абелево рас-
расширение алгебраического числового поля К, N=Ni.\k ®(L) —
соответствующая подгруппа группы классов иделей <5(К) и
пусть w — точка поля L, лежащая над точкой v поля К. Тогда
из теоремы 2.9 следует, что норменная группа L»/K. равна
WOK»*. С другой стороны, предположим, что для некоторого ко-
конечного множества S точек поля К имеются локальные абелевы
расширения Ц./К» для vdS. Возникает естественный вопрос, су-
существует ли глобальное абелево расширение L поля К такое,
что локализации L/K в точках v из 5 изоморфны L«,/Ki,. Теория
полей классов переводит этот вопрос в вопрос о подгруппах
группы ®(К), положительный ответ на который содержится в
следующей теореме.
Теорема 2.19а. Пусть Р есть группа 11 К* с топологией,
122
П к
и Р—группа 11 К» с топологией произведения.
Тогда подгруппа V конечного индекса замкнута в Р тогда и
только тогда, когда она замкнута в Р. Для любой такой под-
подгруппы V существует замкнутая подгруппа N из @(К) такая,
что Pr^N—V. в
Можно задать вопрос о возможности найти глобальное рас-
расширение L/K с локальными свойствами, описанными выше и до-
добавочным условием о том, что [L: К] есть наименьшее общее
кратное локальных степеней [С: К„] при v?S. Грюнвальд [108]
объявил, что это верно для циклических расширений, но Вонг
[269] обнаружил ошибку в доказательстве Грюнвальда и дал
правильную формулировку теоремы (теорема 2.19 в, приведен-
приведенная ниже), которую теперь называют теоремой Грюнвальда—
Вонга.
Существуют «исключительные» случаи, в которых утверж-
утверждение Грюнвальда не выполняется. Эти случаи связаны со сле-
следующей теоремой о m-ых степенях в К.
Теорема 2.196. Пусть п — натуральное число и S—конеч-
S—конечное множество точек поля К. Пусть, далее, s — наибольшее на-
натуральное число такое, что К (*).,) = К, где r\s — С^+^у1 и ц,* —
примитивный корень из единицы порядка 2s. Тогда группа
P(m,
для
равна К* , кроме как при следующих условиях, называемых спе-
специальным случаем:
1. __1, 2+ть и — B + тъ) — «е квадраты в К.
2. гп = 2'т', где от' —нечетное и tf>s.
3. Soc.S, где 50—множество простых делителей р для 2 в К,
для которых — 1,2 + Л* и —B+tjJ не являются квадратами в
Кр. В специальном случае
Р(т, S) = K*mUa0Kxm.
где ао^{2 + ц3)т'2. Тщ
Пример 6а. Пусть K=Q. Тогда s—2. Специальный случай
возникает, если 8|яи если 2б5. Так как ц.=0, имеем ао==2/2.
В частности, 16 является 8-ой степенью в оо и во всех нечетных
простых, с другой стороны, 16 не является 8-ой степенью в Q
или СЬ- ? , г.
Перейдем к формулировке теоремы Грюнвальоа—Ьонга:
Теорема 2.19 в. Пусть 5 — конечное множество точек по-
123
ля К, х» — локальные характеры периода л„ для каждой v?S и
пусть т — наименьшее общее кратное всех л„. Тогда существует
глобальный характер % на С (К), локальные ограничения кото-
которого совпадают с заданными %v. Такой характер % существует с
периодом т, если в специальном случае выполняется условие
Если это условие не выполняется, можно получить лишь пери-
период 2т. В
Если локально заданы лишь степени расширений Ц<,/К„, мож-
можно избежать специального случая. Получающаяся ниже теорема
имеет интересные приложения в теории простых алгебр над
числовыми полями.
Теорема 2.19 г. Пусть S — конечное множество точек по-
поля К и л„ — целые положительные числа, сопоставленные каж-
каждой иб5. Если v — архимедова, п„ должно быть возможной сте-
степенью расширения Кг- Тогда существует циклическое расшире-
расширение L/K, степень которого есть наименьшее общее кратное чисел
nv такое, что пополнения Ц,/Кг имеют степень п„ для каждой
1.13. Дзета-функция абелева расширения. Пусть L—конеч-
L—конечное абелево расширение алгебраического числового поля К и
— дзета-функция Дедекинда и пусть Лк (s) —соответствующая
расширенная дзета-функция (глава 1.6.3).
Теорема 2.20. Пусть ?/=ЛГь/кУ (U — подгруппа группы
У (К), соответствующая L, и пусть А'—группа характеров %
группы У (К), тривиальных на U. Тогда
5к(*)—П L(s, у),
ЛкE)
B.22)
B.23)
Доказательство. Для уста нов тския равенства B.22) тре-
требуется доказать, что
П A - N4Q 0Р)-«) = A - /Vk/q (V)-'')*
хь-v
B-24)
124
где g обозначает ччсло простых дивизоров поля L, лежащих
над 1р и равенство B.24) эквивалентно многочленному уравнение^
A_jc/)cIIA-x(v)*)- B-25)
xgx
По теореме 2.8 характеры группы J(K)/U соответствуют харак-
характерам группы G(L/K). Произведение в правой части равенства
B.25) следует взять по всем неразветвленным характерам, т. е.
характерам, тривиальным на группе инерции Г^. Так как /—по-
/—порядок группы Gy/Ty и Gsp/Ty порождена (л, L/K), где я—
простой элемент из К„, мы видим, что существует ровно g та-
таких характеров с условием, что хAр) = х(я) есть заданный корень
из единицы в Ц/. Тем самым, B.25) доказано.
Для доказательства B.23) используется формула Лежандра
Из равенства B.22) и теоремы 1.87 следует
Теорема 2.21 (Аналитическая формула числа классов).
x(L)-x(K) П
П
Пео(х)-1. ?
Из теоремы 2.21 немедленно следует, что при х^Хо и
^-A»х)^0- Этого достаточно для доказательства существова-
существования бесконечного множества простых идеалов в классах груп-
группы лучевых классов Н ш (сравните с теоремой 1.94).
Кроме того, функциональное уравнение для A(s, %) (теоре-
(теорема 1.87) вместе с равенством B.23) даёт теорему:
Теорема 2.22 (Формула произведения для е-множителей)
|4,оГ'2=ПеEЛ) B-26)
B-27)
Для вычисления е»(х) мы можем, без ограничения общно-
общности, предполагать, что L/K — циклическое расширение, соот-
соответствующее ядру х- Пусть х^Хо — вещественный характер,
т. е. х2~Хл- Тогда |Х|=2 и, так как eoixoj^l, из равенства
B.27) получаем, что ео(х) = 1- Следовательно, A.41) опреде-
определяет гауссову сумму т(х):
Теорема 2.23. Пусть х~~ве1Дественный характер. Тогда
где г — число вещественных точек в кондукторе х " ?х — конеч-
конечная часть кондуктора %.
Пример бб). Пусть K==Q и пусть % — характер с кондук-
кондуктором fvr, r=0,l. Тогда из теоремы 2.23 и предложения 1.89
125
следует формула Гаусса
Т1/,(Х)=Л/. Х(-
\1Г'2 <
п
§ 2. Комплексное умножение
Рекомендуемая литература: Дойринг [82]. Любое абелево
расширение поля Q содержится в круговом поле, т. е. поле, по-
порождённом значением функции ехрBл/я) в точке деления xi
решетки Z в Q. (§ 1.1)
Нечто подобное имеется для мнчмых квадратичных полей К:
кольцо ?>k = Zo), +Za>2, 1тсо,/ю2>О цел.1х в К образует решет-
решетку в Коо = С с комплексным умножением, т. е. а?)кс?>к для
аб?)к. Пусть j(z)—эллиптическая модулярная функция. Тогда
К (У (©[/«г)) есть поле классов Гильберта поля К (§ 1.2) и любое
абелево расширение прля Ксодержттся апэлз К (У (о>, /а>2))» г (•?]))»
где г (г)—т — функция Вебера, которая с точностью до посто-
постоянного множителя равна(Р-функции Вейерштрасса и Z\ — точка
деления решётки Ок.
Можно развить теорию полей классов мнимых квадратич-
квадратичных числовых полей на основе функций j(z) и т(г) (Донринг
[82J). Мы ограничимся здесь изучением теоретико-числовых
свойств специальных значений этих функций на базе основных
теорем теории полей классов.
2.1. Основной многочлен- Матрица А = 1а *), где a, b, c,d&Z
и det Л>0, называется примитивной, если НОД (а, Ь, с, d)=\.
Пусть А,— множество таких матриц с определителем s.
ОрбггыД > n . > умножения слева на матрицы из
SL2(Z) представляются треугольными матрицами вида (^ \,
а>0, ad = s, НОД (с, b, fl?)=l и 0<b<d. Пусть 5— мно
жестно таких матри.
Предложные 2.21. Многочлен
где
где S(z)~
CZ + "
имеет коэффициенты из Z[j(z)]. Старший коэффициент много-
многочлена 1,(х, х) равен ±1. н
Основное в доказательстве — воспользоваться тем, что раз-
разложение Фурье
126
имеет целые коэффициенты и что j(z) порождает поле моду-
модулярных функций на SL2(z).
Предложение 2.25. Пусть s—p — простое число. Тогда
/Р(х, 1(г))шш(хР—j(z)) (x-j{z)р) (modp).&i
2.2. Первая основная теорема. Пусть К —мнимое квадра-
квадратичное поле .ч ^ — порядок в К с кондуктором / (глава 1.1.1).
Полные модули а с порядком ?>f такие, что идеал 21?>к из К
взаимно прост с /, образуют группу Шг (глава 1.1.6). Соответ-
Соответствие ф:а->-аС>к определяет изоморфизм Mf на %f (глава 1.5.6).
Положим ffl{b) = bf для Ьб^/-
Так как модули из Шг есть в каждом классе CL(?),/) =
•=аЯ(О/)/^(О/), имеем: С1(О/)=ЗЯ//B«/П5(О/)).
Пусть ®f—группа главных идеалов сс?>к таких, что аОкб^/
. и a=r(mod/) для некоторого r6Q (глава 1.5.6) (a=r(mod/)
¦ означает, что vp(a—r)>vp(f) для p\f). Тогда а-+аОк инду-
индуцирует изоморфизм CL(O/) на Я//®/. CL(O/) понимается как
группа классов в смысле теории полей классов (§ 1.7) с по-
помощью этого изоморфизма. Она называется группой кольце-
кольцевых классов по mod /.
Пусть a=a|Z-4-a2Z, 1т(а(/а2)>0—произвольный полный
модуль с порядком Of. Тогда j (a): ==/ (cC|/a2) зависит лишь от
класса <x(*CL{Df) модуля а и определяет этот класс. Положим
/(a):-/(a).
Теорема 2.26 {j (a) |a6CL (О,)} представляет собой пол-
полный набор сопряжённых целых алгебраических чисел относи-
относительно поля К. Поле К/: = К(/(«)) есть абелево расширение,
поле классов группы кольцевых классов CL(O/).
Доказательство. С помощью общей теории полей
классов (§ 1) достаточно доказать два утверждения:
1. у (а) для a&CL(?)f) является целым алгебраическим.
2. Для почти всех простых идеалов у из К степени 1, t>/ яв-
является главным модулем для О/ тогда и только тогда, когда р
полностью разлагается в К/ (теорема 1.101) (Определение Ве-
Вебера класса /)
Пусть p-f/, NKfQy = p и aGCL (?>,). Тогда
•/р(У(а), УпрГ1)) —О,
так как цз равенства <ц>~' = (а,, а?) следует, что 2Г порожден
P(ai) Р?А Е
у
P(ai), где Р?АР. Если р,—главный модуль, то j (арг') = У (а).
Следовательно, У (а) является корнем многочлена Jp(x,x). Из
предложения 2.24 следует, что J (а) — целое алгебраическое.
2.3. Закон взаимности. Теорема 2.27. Символ Артина
127
для класса
{
тун
^) равен
)J ft=J
для *6CL
{тун)
Доказательство основано на сравнении
B.28)
для простых идеалов р таких, что f -\].
Для доказательства B.28) используется функция <p,B) для
's, определяемая следующим образом:
Ф5B):=51
где А (г)—дискриминант, т. е. нетривиальная параболическая
модулярная форма веса 12.
Одно из OCHOBH6IX преимуществ функции (ps(z) состоит в том,
что нам известна ее структура с точки зрен 1Я теории идеалов
21 ——— .
при особых значениях аргумента: ^Д B) = }^2пtj(г) — регулярная
функция в области Imz>0. T](z) называется функцией Деде-
кинда. Следовательно, <psB) также регулярна при 1тг>0.
Теорема 2.28. Пусть Ь — идеал из К, взаимнопростой с6/.
Пусть, далее, cci, ссг, Im<X|/a2>'0— базис модуля af с порядком
О/ и пусть В — рациональная матрица, переводящая си, аг в
базис ufgbf~2, где g обозначает комплексное сопряжение. Тогда
Р:=фв(си/сс2) —число из К/ и (j})=6. И
Если /=1, то это — теорема о главных идеалах (§ 1.11)
2.4. Построение поля лучевых классов. Кронекер предполо-
предположил, что любое абелево расширение мнимого квадратичного
поля является подполем поля вида К (/(а), е2я'э) при некото-
некотором ссбК, Ima>0 и CGQ. Это — специальный вид гипотезы,
названной им «дорогой мечтой своей юности» (в оригинале —
seinen liebsten Jugendtraum). Гипотеза неверна, так как поле
лучевых классов K(/)mod/ в общем случае является собствен-
собственным расширением Ko(f):^Kf(e^"f). Но G(K(f)/K0(f)) яв-
является элементарной 2-группой (Хассе [114], 1. § 10). Поэтому
гипотеза верна для абелевых расширений нечётной степени.
Для порождения всего поля лучевых классов по mod f „ ис-
используются значения эллиптических функций в точках деления.
Пусть а=(о)ьго2), Im о)|/оJ —идеал п.ч К и Ф (z,a)—соот-
(z,a)—соответствующая ф -функция Вейерштрасса. Для целей теории чи-
чисел следует умножить Ф (г, а) па множитель g{<!\ где е —
число корней из единицы в 0к, т. е. е=6, если ?>к=
=.Z f(l -|-|/^3)/2], в = 4, если DK-=Z|/-1] и е = 2 во всех
остальных случаях.
где, как обычно, gi{<si),
такие, что
(P'(z, аJ=4(рB, aK—g2(со) Ф[г, a)—
Функция
обозначают ряды Эйзенштейна
x(z, a):=gM (P(z, a)e/2
называется х-функцией Вебера идеала а. Множитель g1"* вы-
выбран так, что тB, а) обладает разложением Фурье
+ 12 2 nqnm(un+trn
1
\«/2
-2))
по q = e2"', u — e2*lzi<*' с целыми коэффициентами tv.
Пусть N — натуральное число. Тогда
т^«<в, + xiWl ^ \ где XitX?Zt (Х1,х2)ф@,0)(той^,
называется значением iV-ro деления функции x(z, a). Вычисляя
а) в виде ряда Лорана по q1/N, убеждаемся, что
ЛГ,<Ц, -f
имеет рациональные коэффициенты, являющиеся целыми, ес-
если УУ — не степень простого числа и которые становятся целы-
целыми после умножения на Iе, если Af — степень простого числа /.
Следовательно,
т(ъ й)=тA, а^) для ч^К, -у €a
является алгебраическим числом.
Если m и г — целые идеалы из К и t взаимно прост с т, то
тA,шт~|) зависит только от лучевого класса t no mod m.
Действительно, пусть т'=Ах, где Я,зз1 (modm), тогда
т A, mr'~') = т (A,, rat)=т A, пит1).
Если t~! лежит в лучевом классе Я, то мы пишем xBt): =
=x(l,mt-1).
Предложение 2.29. Пусть 21 и %' — лучевые классы но
modm такие, что ЗГ2С~' состоит из главных идеалов. Тогда
&=9Г тогда и только тогда, когда т(Я) =тBГ).
Следующая теорема называется второй основной теоремой.
Теорема 2.30. Пусть m — идеал из О к и Я — лучевой
класс по modm. Тогда К|(т(Л)) является полем лучевых клас-
классов по mod m. Eg
1 >.ч
9—6164
129
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.26.
Оно основано на следующем сравнении:
Теорема 2.31. Пусть f — простой идеал из К степени 1,
взаимно простой с 6NmdK/o- Тогда
для любого простого дивизора ф для р в К^г/Щ, т(Я~')). jxj
Из этого сравнения выводится также закон взаимности:
Теорема 2.32. Пусть St и 95—лучевые классы по modnt и
Qm поле лучевых классов по mod m. Тогда
2.5. Алгебраическая теория комплексного умножения. Реко-
Рекомендуемая литература: Шимура [234, глава 4]. Теорию ком-
комплексного умножения можно также развивать алгебраическим
путём, как часть теории эллиптических кривых. Если Е—
эллиптическая кривая, определённая над С, то End(?) изо-
изоморфно Z или порядку мнимого квадратичного числового по-
поля. В последнем случае говорим, что Е обладает комплексным
умножением.
Связь с аналитической теорией устанавливается в следу-
следующей теореме.
Теорема 2.32а. Пусть Е — эллиптическая кривая, опреде-
определённая над С такая, что EndQ(?) — End(?) <g> z Q изоморфно
мнимому квадратичному полю К, и пусть О — порядок в К со-
соответствующий End(?). Тогда Е изоморфна (как аналитиче-
аналитическая группа) тору С/а для некоторого модуля а с порядком О.
С другой стороны, End(C/a) изоморфно О для любого моду-
модуля а с порядком О. Если а и Ь—модули с порядком О, то кри-
кривые С/а и С/Ь изоморфны в том и только в том случае, когда
Ь=ца для некоторого цбКх и
Инвариант Е равен /(а). Следовательно, Е определена над
алгебраическим числовым полем Q(/(a)). Используя теорию
приведения Е, получаем прекрасное доказательство теоремы
2.27. Подробнее см. Шимура [234, глава 4] или Ленг [162,
часть 2].
2.6. Обобщение. Порождение полей классов значениями
трансцендентных функций уже отмечалось Гильбертом в его
двенадцатой проблеме (Гильберт, [128]). Он пишет: «Распро-
«Распространение теоремы Кронекера на тот случай, когда вместо об-
области рациональных чисел или мнимого квадратичного поля
произвольное алгебраическое поле взято в качестве области
130
рациональности, представляется мне очень важным. Я считаю
эту проблему одной из наиболее глубоких и далеко идущих в
теории чисел и теории функций» (перевод из [128]).
С точки зрения комплексного умножения, наиболее есте-
естественным обобщением является замена эллиптических кривых
абелевыми многообразиями. Такое обобщение было получено
Шимурой и Таниямой для CAf-полей, т. е. чисто мнимых квад-
квадратичных расширений вполне вещественных числовых полей,
но лишь частичное, поскольку получаются не все абелевы
расширения. Дальнейшее развитие этих исследований привело
к понятию многообразия Шимуры (Делинь G7]), имеющему
большое значение в арифметической алгебраической геометрии
и теории автоморфных L-функций (глава 5).
Подход к 12-ой проблеме Гильберта, имеющий совсем дру-
другую природу, был предложен Старком [241]—[247], см. также
работу Тейта [257J], который связал единицы абелевых расши-
расширений со значением L — функций Артина (глава 5.1.12) bs = O.
§ 3. Когомологии групп
Рекомендуемая литература: Серр [222, часть 3], Кох [148,
§ 3]. Когомологии групп — удобный математический язык для
доказательств теорем из теории полей классов. Он приводит к
дальнейшему развитию этой теории, называемому когомоло-
гиями Галуа, которые будут рассмотрены в следующей главе.
Мы представляем когомологии групп в простейшей форме как
теорию систем факторов. По поводу более общей точки зре-
зрения— производных функторов — читатель отсылается к клас-
классической книге Картана, Эйленберга [63].
3.1. Определение rpynrt когомологии. Пусть G — группа,
A***Z[G]— её групповое кольцо над Z, (левый) G-модуль пред-
представляет собой унитарный (левый) Л-модуль. Для п^\ и
G-модуля А обозначим Kn(G, А) множество отображений
гс-кратного произведения группы G в А. Положим K°(G, A):—A
и перенесём сложение в А на Kn(G, А). Элемент f из K.n(G, A}
называется n-мерной коцепью.
(df)(xt, ...,xrM) = xJ(л:2 хпл1) +
определяет гомоморфизм d = dn из K"(G, А) в/СлН(О, Л) такой,
со
что fif^i-i ==0 при п> 1. Следовательно, K(G, А): — 2 ^"(G' л>
Л=0
со
с эндоморфизмом 2ddn является комплексом (приложение 1.4)
л-0
131
Коциклом или системой факторов называется коцепь f та-
такая, что ??/=0, кограница или расщепляющаяся система факто-
факторов представляет собой коцепь f такую, что /elm d. Конечно,
каждая кограница является коцепью.
Определим группы когомологий Hn(G,A) для G и А как
группы когомологий комплекса K(G, А), т. е.
#"(G, А):=НЯ(К(О, Л)) =
(Kerdn/lmdn_v n>\,
"iKerrf., я-0.
Пример 6в). H°(G, A)— AG — группа элементов из А,
оставляемых группой G неподвижными. D
Пример 7. Пусть L/K — конечное нормальное сепарабель-
ное расширение полей. Тогда L—G(L/K)-модуль. Полученное
Э. Нётер обобщение теоремы 90 Гильберта (предложение 2.6)
означает, что Hl(G(L/K), Lx)={0}. ?
Пример 8. Если G действует на А тривиально, то
H1(G, A) =Hom(G, А) есть группа гомоморфизмов G в A. П
Пример 9. Двумерная система факторов определяет груп-
групповое расширение А с G. Классы эквивалентности таких расши-
расширений находятся во взаимно-однозначном соответствии с эле-
элементами из Я2(G, А) (Холл {ПО, глава 13]).
Пусть X — абелева группа и MG(X)—группа отображений
из G в X. Определим для Мв(Х) структуру G-модуля следу-
следующим образом:
gf(x)~f(x,g) для geG, feM0(X),
MG(X) называется индуцированным модулем.
Предложение 2.33. Hn(G, AfG(X))={0} для п>1. D
3.2. Функториальность и длинная точная последователь-
последовательность. Пусть G и Я — группы, А — G-модуль и В — Я-модуль.
Морфизм из А в В представляет собой пару [<р, г|э] гомоморфиз-
гомоморфизмов групп ф : H-+-G, if) : А~*-В таких, что
ij)(<p(A)a)=Ait>(a) для he И, а?А.
Если H=G и <p=icl, то [ф, •»])] — гомоморфизм G-модулей.
Морфизм (ф, if] кз А ъ В индуцирует морфизм K(G, А) в
К(Н,В) и, следовательно, гомоморфизм [ф,"ф] из Hn(G,A) в
Пример 10. Пусть Я— подгруппа G, В—А, -ф == Id и
Ф — погружение Н в G. Тогда
Res:-[<p,i|>] :Hn(G,A)-+Hn(H,A)
называется ограничением из G в И. ?
Пример 11. Пусть Я — нормальная подгруппа G. Тогда А"
представляет собой G/Я-модуль и имеется естественный мор-
фнзм [ф, i|>], где ij): Ап-*-А, ф : G-+-G/H. Соответствующий гомо-
132
морфизм Inf :Hn(G/H, A*-*-Hn(G, А) называется подъемом (в
оригинале—inflation) из G/H в G.
Пусть G и Я — группы. Коммутативная диаграмма
¦ ¦ ф ф ф
{0}^А'^В'^С'^{0},
где первый ряд — точная последовательность G-модулей, а вто-
второй ряд — точная последовательность Я-модулей, индуцируег
точную коммутативную диаграмму
?, A)^K(G, B)^K(G, C)-*{0}
4- Ф
Н;В')^К(Н;С')->{0)
комплексов. Следовательно, имеется точная коммутативная ди-
диаграмма
... -у Нп (G, С)->Ял+1 (О, А)-+
4- 4. д» 4-
@, С')^НЯ+1(Н, Л')-*
¦Hn+l(G, B)->Hn+l(G, С)->... B.29)
где Д„ — п-ый связывающий гомоморфизм для групп когомоло-
гии комплексов. Строки B.29) называются длинными точными
последовательностями.
3.3. Сдвиг размерности. G-модуль А можно погрузить в
Ма(А) с помощью отображения, сопоставляющего а&А функцию
fa(x)=xa для xGG. Пусть
Мо (A )-vC-^{0}
— соответствующая точная последовательность. По предложе-
предложению 2.33 соответствующий связывающий гомоморфизм
, A)
является изоморфизмом при п^\ и сюръекцией при п=0.
С помощью этого сдвига размерности можно доказывать тео-
теоремы о группах когомологий, сводя их к меньшим размерно-
размерностям. Этот метод основан на следующем принципе:
Предложение 2.34. Пусть G и Я-группы, а F — точный
ковариантный функтор из категории Я-модулей в категорию
G-модулей, переводящий индуцированные модули в индуциро-
индуцированные модули. Пусть, далее, т^О — целое число, aL — фуик-
ториальный морфизм, определенный для любого Я-модуля А
так, что Хт(А) — гомоморфизм из Hm(G, FA) в Нт(Н, А).
Тогда существует, притом единственное, семейство {Я,„/п=
—т, т+1, ...} функториальных морфизмов таких, что для
133
последовательностей /7-модулей
и всех п^т диаграмма
¦ также изомор-
H™(G,FA)
коммутативна. Если %т — изоморфизм, то А„
физм для п^т.
В следующем разделе будут даны некоторые приложения
предложения 2.34.
3.4. Лемма Шапиро. Пусть Я— подгруппа G и А — Я-мо-
дуль. G-мэдуль М%(А) представляет собой подмодуль Ма(А),
состоящий из ff*Ma(A) таких, что
для
Возьмем /=": = М'^ и пусть %п(Л): = $„*(Л)—гомоморфизм*
индуцированный мсГрфизмом [ф, -ф):[С7, М%(А)]-+[Н, А], где
Ф—вложение Я-*О, а iJ>(/) = /(l) Для /еМ%(А).
Легко видеть, что условия предложения 2.34 выполнены. По-
Поскольку tyv(A):(M%(A))a=*Aff-+Aff тождественно, нами уста-
установлено.
' Предложение 2.35 (лемма Шапиро), ^„.(^ — изомор-
изоморфизм. П
3.5. Коограничение. Пусть Я—подгруппа группы G конеч-
конечного индекса. В примере 10 построен гомоморфизм, названный
ограничением из H"(G, А) в #"(#, А). Теперь мы хотим постро-
построить гомоморфизм из Нп(Н, А) в Hn(G, А), называемый коогра-
ничением.
Пусть F(A)=A и пусть Ап(Л) =Сог задано равенством
Га
Сог(а)=
Яо — функториальный морфизм и его можно продолжить на выс-
высшие размерности (отметим, что G и Н поменялись ролями). По-
Получившийся морфизм является коограничением Сог.
Предложение 2.36. Сог. Res = [G : И].
Доказательство. Это очевидно в размерности 0 и сле-
следует из предложения 2.34 для высших размерностей. D
Предложение 2.37. Пусть G — конечная группа и А—G-
модуль. Тогда #n(G, А) аннулируется \G\ при п^1.
Доказательство. Положить //={1} в предложении
2.36. D
134
Пусть G — конечная группа и Я — подгруппа (/. Рассмат-
Рассматриваем Q/Z, как G-модуль с тривиальным действием G. Тогда
Сог : Н1(Н, Q/Z)-+Hl(G, Q/Z)
индуцирует гомоморфизм G/[G, GJ-^ЯДЯ, Я], являющийся ото-
отображением переноса, определенным в § 1.7.
3.6. Трансгрессия и последовательность Хохшильда—Серра.
Пусть Я — нормальная подгруппа G и А—G-модуль. Для лю-
любого g?G определим автоморфизм g группы Нп(Н, А) :g инду-
индуцирован морфизмом [ф, i|>]: if (a) —ga, <p(h)—g~lhg д.ля а?А, йбЯ.
При таком действии g группа Нп(Н, А) становится G-моду-
лем. Сдвиг размерности показывает, что g тождествен для g^H.
Поэтому Нп(Н, А) можно рассматривать как G/Я-модуль. Об-
Образ отображения ограничения H"(G, A)-*-Hn(H, А) лежит в
Н„(Н, А)а/Н. Трансгрессия является функциональным гомомор-
гомоморфизмом из Нп{Н, А)а/а в Hn+l(G/H, Ан), определенным, только
если Н{(Н, А) ={0} для t'=l п—\.
При_п = 1 трансгрессия определяется следующим образом.
Пусть а?Н1(Н, А)а1н, da=0. Продолжим а до элемента
Ь6/С(С, Л), обладающего свойствами:
gb(g-lhg)-b(h)=hb(g)-b(g),b(hg)=b(h)-hb[g)
для geG, heH.
Это возможно, так как а инвариантен относительно G. Положим
теперь
f(gu g2):=db(gu g2) для gu g2eG.
Тогда f(gi, g2J зависит лишь от классов gi, g2 no mod Я и имеет
значения в Ан. Следовательно, определяется класс Тга а в
H2(G/H, А"), трансгрессия.
Непосредственно проверяется, что следующая последователь-
последовательность
Inf
)
Res
Tr»
Tr»
НЦ0[Н,
Inf
, Л).
В общем случае сдвиг размерности позволяет определить
трансгрессию и доказать следующее предложение.
Предложение 2.38. Пусть Я—нормальная подгруппа G
и пусть Н'(Н, Л)={0}, t = l n—\. Тогда следующая после-
последовательность Хохшильда—Серра точна
W
'Res
Тга
Тг»
135
Получить трансгрессию и предложение 2.38 можно также,
используя спектральную последовательность HP(G/H, НЧ{Н, А))=>
=*¦#"((?, Л) Хохшильда —Серра (Картан —Эйленберг [63,
р
глава 16]).
В качестве приложения докажем полезное в дальнейшем
Предложение 2.39. Пусть G— конечная группа, А — G-
модуль н п, mGZ, причем п>0, /л^О. Предположим, что выпол-
выполнены следующие два условия:
1) #'(#, Л)={0} для всех 0</<п и всех подгрупп Н груп-
группы G.
2) Если #?#'sG, где Н — нормальная подгруппа группы
W и Н'[Н — циклическая группа простого порядка, то порядок
группы Нп(Нг, А) делит [Н': //]-.
Тогда Hn(G, А) имеет порядок, делящий |G|m.
Доказательство. Пусть р — простое число и Gp — силов-
ская р-группа G. Предложение 2.36 показывает, что ограниче-
ограничение #n(G, A)-*-Hn(Gp, А) инъективно на р-компоненте Hn(G, A).
Следовательно, утверждение достаточно доказать для р-групп G.
Пусть \G\-p*. Применяя индукцию поs и предложение 2.38, по-
получаем, что Hn(G, А) делит |G|m.
3.7. Умножение классов когомологий. Пусть G — группа и
А, В, С—G-модули. Пусть, далее, • — билинейное отображение
из АХВ в С такое, что
g(a°b) = ga°gb для g?G,
Следовательно,
' называется спариванием из АХВ в С.
Пример 12. Пусть Л — кольцо, на котором G действует
тривиально. Тогда умножение в Л представляет собой спарива-
спаривание из АХ.А в Л. ?
Пример 13. Пусть А и Л —произвольные G-модули. Тен-
Тензорное произведение А®гВ определяется, как G-модуль равен-
равенством
g(a®b)=ga®gb для gP.G, ad A, b(\B. B.30)
Тогда a,b-*-a®b определяет спаривание из АХ В в A®ZB*
Это — универсальное спаривание по определению тензорного
произведения. П
Спаривание из А'Х.В в С индуцирует билинейное отобра-
отображение
Hm(G, A)XHn{G, B)-+Hn+m(G, С)
для всех п, т^О, называемое произведением классов когомоло-
когомологий и определяемое следующим образом:
Для /е/Ст(С, Л), /'e/Cn(G, В) положим
(f°f'){X\ ЛГп+я, = /(ЛГ , Хп)°Х\ ...ХтУ(Хт+ *m+n).
Тогда
136
77'
определяет билинейное отображение Hm(G, A)XH"(G, В) в
Hm+n(G, С), произведение классов когомологий (cup product).
Поскольку любое спаривание из А"Х.В в С индуцирует гомо-
гомоморфизм из Л ®z В в С, произведение классов когомологий из
Hm(G, A)XHn{G, В) в Hn+m(G, С) является композицией произ-
произведения классов когомологий Hm(G, Л)Х#"(О, В) в Нт+Я (G,
A<8)ZB) и гомоморфизма Ят+"(С A<S>xB)-*-Hm+n(G, С). Таким
образом, достаточно рассмотреть спаривание из ЛХ# в Л® В.
Следующие свойства произведения классов когомологий
сразу следуют из определения.
Предложение 2.40. Пусть Л и В — G-модули. Тогда
aUP = a®p для ae#°(G, Л), реЯ°(С В). ?
Предложение 2.41. Пусть
{0}-*Л-*Л'-*Л"-»-{0}
— точная последовательность G-модулей и пусть В — G-модуль
такой, что последовательность
{0} -ч- Л® гВ ->- А' ® гВ ->- Л"® гВ -*¦ {0}
точна. Тогда
(Ama)Up=Am+n(«Up) Для a?Hm(G, А"), реЯя(О, В). ?
Предложение 2.42. Пусть
{0}-+В-+В'-+В"-+{0}
— точная последовательность G-модулей и пусть А—G-модуль
такой, что последовательность
точна. Тогда
a U (Аяр) -(- 1)тАт+л (a U Р) для
(О, Л),
, В").
Предложения 2.41—2.42 показывают, что метод сдвига раз-
размерности применим к произведению классов когомологий.
Вместе с
{}
также точна последовательность
{О}-»- A®ZB-+Ma (Л)®г?-
Это можно применить, в частности, к доказательству следующих
предложений.
Предложение 2.43. Пусть G и Н — группы и пусть [<р, $л],
[ф, $в] — морфизмы G-модулей Л, В в Я-модулн Л', В'. Тогда
i для аеНт (G, А),
? B.31)
137
равенство ('l.dl) вместе с предложениями 2.40—2.42 опреде-
определяет произведение классов когомологий однозначно с точностью
до изоморфизма.
Предложение 2.44. Пусть А, В, С—G-модули со спари-
спариваниями (А°В)°С и А°(В°С) такими, что
(a°b)°c=a°(b°c), a(-A, Ь&В, сеС.
Тогда
(aUP)U?=aU(PUT) для «e//I(G, -4), pe#m(G, В), f(<Hn(G, С). ?
Предложение 2.45. Пусть А, В — G-модули и пусть А°В
и В°А спаривания такие, что
с ядром
=Ь°а для
Тогда
= (— l)-n(pUa) для аеЯт(С A),
, В). ?
Предложение 2.46. Пусть А, В — G-модули, Н — под-
подгруппа конечного индекса в G и А«В — спаривание. Res обозна-
обозначает ограничение из G в Н и Сог обозначает коограничение из
Я в G. Тогда
Res(aUP) ==Res all Res p. aetfm(G, Л), petf»(G, B), B.32)
Cor (Res a|JP)=aU Corp, aetfm(G, A),
№H?{H, B). D B.33)
3.8. Модифицированные когомологий конечных групп. Пусть
теперь G—конечная группа, а А — G-модуль. Тогда Жо(-Л)
изоморфна Z[G]®zA (действие G задано в B.30)). Изоморфизм
определен следующим образом: f-*-'?tg®gf((r1h Существует
вложение G-модуля Z с тр*ивиальнчм действием G в Z[G]. опре-
определенным посредством ft-*- 2 % Для A6Z. Пусть /O: = Z[G]/Z.
*€°
Тогда точная последовательность
{0}-* A =Z®z^-*Z [G\®ZA-+ Jo®zA-+{ty
влечет изоморфизм
Нп(О, Ja®A)^Hnn (G, А), п>\.
С другой стороны, имеется сюръекиия Z[G]-*-Z, заданная как
/V ПУСТЬ /о —ядро. Тогда имеется изоморфизм
H"(G,A)*=*Hn+1(G,Ia®A), n>\.
При л=0 поаучаем сюръекцию
ННО, A)-+Hl(G, la®A)
138
tea
j
Группа H°(G,A):=H4G, Го®Л)^Аа!\таА называется моди-
модифицированной группой когомологий размерности нуль.
Мы пишем Jq, IQ для л-кратных тензорных произведений Ja
и /о, соответственно. Тогда имеется функториальный изоморфизм
Hm(G, Jo 9 la 9 A)szHm-n+'(G, А) при m-n + l> I.
Определим модифицированные группа когомологий для высших
размерностей равенствами
Нт(О, Л):==Я0(О, /от®Л) при
Hm(G, A):=H°{GtJa®A) при
Из этого определения ясно, что, используя принцип сдвига
размерности, мы можем сформулировать определения и предло-
предложения из разделов § 3.2—§ 3.7 для групп Hm(G, A), meZ почти
без изменений. Предоставляем читателям сделать это самим.
Пример 14. Элементы из Aа®А)° имеют вид 2^g®ga для
таких, что
изоморфизм
a~0. Отображение
У ga*-0\lloAatH*-4O,A),
° II
где IaA:'=*(ua\uefo,aeA) = (ga—a\g?G,aeA). ?
Пример 15. H-2(G,Z)^H-1(G,Ia)^Ia/IaIa^G/[G,G}-
Изоморфизм GI\Q,G\-+IgIIqIq задан посредством g\Q,G\-+
gl+fafo. П
Предложение 2.47. Произведение классов когомологий
~l(G, Z)-*//°(O,Z)»Z,'|G|Z
H"(G,
определяет совершенное спаривание, т. е- индуцированный
гомоморфизм
N-"(G, Z)^Hom(Hn(G,Z),ZI\G\Z B.34)
является изоморфизмом (сравните с предложением 2.33). П.
Пусть Q—G-модуль с тривиальным действием G. Тогда
//"(G, Q)={0} (предложение 2.37). Поэтому точная последова-
последовательность
{0b-Z-vQ-»-Q/Z-v{0}
139
индуцирует изоморфизмы Hn(G, Q/Z)s//"+1 (G, Z), neZ. В част-
частности, Я2(С?, Z)^//1 (О, Q/Z)^Hom (О, Q/Z). Следовательно»
из предложения 2.47 следует изоморфизм H~2(G, Z)^G/[G, G]
из примера 15. Равенство B.33) показывает, что отображение
переноса (§ 1.7, § 3.5) соответствует ограничению Я~2(О, Z)->-
-»-Я~2(Я, Z). (см. Серр [222], глав j 7.8, по поводу прямого
доказательства)
3.9. Когомологии циклических групп. Пусть G — конечная
циклическая группа порядка т с образующей s. Изоморфизм
/с на /о, заданный как
t=l, .... m—1,
индуцирует изоморфизмы
6„ можно описать также следующим образом. Пусть
, Q/Z)—характер такой, что %{s)=—-\-Z, и пусть
, Q/Z)-+H*(G, Z). Тогда
оя (а) — а U А! (X) при аеЯ" (О, Л)
B.35
G-модуль Л такой, что //°(G, Л) и Я"'(С?, Л) (и, следовательно,
Я"(<7, Л) для /z(=Z) конечны, называется модулем Эрбранда
Частное
h(A): = \\H°(G,A)\/\H-i(G,A)\
называется частным Эрбранда.
Пусть {0}->-Л-»-В-»-С-»-{0} — точная последовательность С-
модулей, два из которых—модули Эрбранда. Из длинной точ-
точной последовательности B.29) следует, что и третий модуль
есть модуль Эрбранда и что
h(B)=h(A)h(C). B.36)
Предложение 2.48. Пусть Л — конечный С-модуль. Тог-
Тогда Л(Л) = 1.
Для G-модуля Л обозначим Ло(Л) частное Эрбранда для
абелевой группы Л, если оно существует. Если Л конечно по-
порожден, то h0 (А) — | G |гЬ А.
Предложение 2.49. Пусть р — простое число, G — группа
порядка р и Л — С-модуль такой, что ho(A)—существует. Тог-
Тогда существуют ho(A°) и Л (Л) и Л(Л) определяется равенством
А(Л)'-1 = Ло(Лв)'/Ло(Л). в B.37)
3.10. Теорема Тейта. Теорема 2.50 (Теорема Тейта). Пусть
G — конечная группа и Л — С-модуль такой, что Л1 (Я, Л)={0}
ио
я Н2(Н, А) —циклическая группа порядка \Н\ для любой под-
подгруппы Н группы С.
Пусть I — образующий элемент для Я2(О, Л). Тогда гомо-
гомоморфизм 9n://"(G, Z)->-//n+2(O, Л), заданный равенством
для абЯ" (О, Z) является изоморфизмом для всех
§ 4. Доказательства основных теорем
теории полей классов
Рекомендуемая литература Касселс, Фрёлих [65, гл. 6,7],
Шевалле [68]. В этом параграфе показано, как можно дока-
доказать основные теоремы теории полей классов, используя кого-
мологии групп.
4.1. Приложение теоремы Тейта к теории полей классов.
В § 1.7 определено понятие модуля классов Л к локального
или глобального поля К. С точки зрения когомологии, следу-
следующая теорема содержит основные факты о модулях классов.
Теорема 2.51. Пусть L/K —конечное нормальное расшире-
расширение локальных или глобальных полей с группой Галуа G. Тогда
//'(О, Ль)=={0} и //2(G, AL)~циклическая группа порядка \G\
с канонической образующей Сь/ю называемой каноническим
классом.
Для локальных полей равенство Я'(С Ль)={0} представ-
представляет собой обобщение, полученное Э. Нётер для теоремы 90
Гильберта (предложение 2.6). Все другие утверждения теоре-
теоремы 2.51 представляют собой глубокие результаты, составля-
составляющие существенную часть теории полей классов. Доказатель-
Доказательством теоремы 2.51 мы займёмся в следующих пунктах.
Соединяя теоремы 2.50 и 2.51, получаем теорему:
Теорема 2.52. Пусть L/K—конечное нормальное расши-
расширение локальных или глобальных полей с группой Галуа G.
Тогда между группами //"(<?, Z) и #Я+2(О, AL) для любого
ngZ существует канонический изоморфизм.
В частности, при п = —2 имеем
G/\G, G]^H~2 (G, Z)=s//°(<7, Al)^Ak/Nl,kAl. ? B.38)
Это доказывает часть основной теоремы теории полей классов
в локальном и глобальном случае. Оказывается, что гомомор-
гомоморфизм из Ак на G/[G, G], индуцированный посредством B.38),
есть норменнын символ A.3, 1.5).
Канонический класс индуцирует мономорфизм inv :
: H2(G, At )-*-Q/Z, называемый инвариантом и определённый
равенством
1
141
Имеется следующая характеризация норменного символа.
Если хб//1^» Q/Z) и Aj— связлвающчй гомоморфизм
Я'(О, Q/Z)-tf2(G, Z), то
X(a,L/K) = Jnv(aUAiX). «б^к B.39)
(Серр [222, глава 11.3]).
Поведение когомологических операций даёт функториальные
свойства норменного символа (§ 1.7).
Поскольку в этом параграфе рассматриваются произволь-
произвольные нормальные расширения L/K. мы получаем нечто большее,
чем установленные в § 1 результаты. Например, имеется сле-
следующая теорема о норме.
Теорема 2.53. Пусть L/K — конечное расширение локаль-
локальных или глобальных полей и пусть L'/K — максимальное абелево
подрасширение L/K. Тогда jVl/k^l — /Vl/кЛь'.
Доказательство. Пусть Е — нормальное расширение К,
содержащее L. Положим G:=G(E/K), H: ==G(E/L), тогда
G(E/L') = [G,G\H. Мусть aeNL'IK(AL) и, таким образом,
(a,L'/K)=l. Следовательно, {а,Е/К) лежит в образе Hab->G"*.
Так так Ль->//"* —сюръективное, B.5) показывает, что суще-
существует абЛь, для которого (jVl/k«. Е/К) == (а, Е/К). Из B.38)
теперь следует, что существует сс'^Ле. для которого Л^Е/ка' =
= Л^/ка/0. откуда а = Л^ь/к(а/ЛГА/ьа'). П
4.2. Формации классов. Часть необходимой информации о
модулях классов будет собрана в виде аксиом и из них будут
выведены основные теоремы теории полей классов. Обычно это
делается весьма абстрактно. Но для нас будет достаточно
ограничиться формациями полей.
Пусть F — произвольное поле н F — сепарабельное алгебра-
алгебраическое замыкание F. Формация полей над F представляет со-
собой ковариантиый функтор А из категории S?P конечных рас-
расширений K/F таких, что KsF, в категорию абелевых тополо-
топологических групп со следующими свойствами.
Пусть K,LG5?f и KczL. Тогда гомоморфизм i:AK-+Ab coot
иетствующий вложению K->L, является погружением, т. е. i —
вложение и Im t замкнут в Ль. В дальнейшем рассматриваем Лк,
как подгруппу Ль- Есл! L/K — нормальное расширение с группой
Галуа G, то Л^ = ЛК.
Ясно, что модули классов для локальных (соответственно,
глобальных) полей образуют формацию полей над Q'p (соот-
(соответственно, Q) и нас интересуют лишь эти формации полей.
Пусть L/K — нормальное расширение, причём L, КС?> и
пусть К' — промежуточное поле L/K. Введём обозначение
#«(L/K): = tf"(G(L/K), Ль), Res К-^К' для ограничения из
G(L/K) в G(L/K') и подобные обозначения для отображений
подъёма и коограничения.
142
Формация полей А над F называется формацией классов,
если выполнены следующие аксиомы:
1. Пусть L/K — нормальное расширение простои степени по-
полей в ?>. Тогда #'(L/K)={0} и порядок #2(L/K) делит
[LK]
2. Для любого натурального числа т и любого поля
существует конечное абелево расширение Еб$р такое, что
/га|[Е:К] и /У2(Е/К) — циклическая группа порядка [Е:К] с кано-
канонической образующей Се/к. Е/К называется специальным рас-
расширением.
3. Если Е/К — специальное расширение и К'6$р—произволь-
К'6$р—произвольное расширение К, то ЕК'/К'— специальное расширение и гомо-
гомоморфизм //2(E/Kj.->-//2(EK7K'). индуцированный проекцией
G (EK'/K')-»- G (Е/К), отображает ?Е/К на [ЕК':Е] ?ЕК/к'-
4. Если Е/К и Е'/К—специальные расширения, а v и v' — на-
натуральные числа такие, что [E:K]/[E':K] = v/v\ то
vInfE-EE'?E/K=VlnfE'-EE'?E7K-
В следующих разделах мы увидим, что неразветвлённые
расширения в локальном случае и круговые расширения в гло-
глобальном случае служат специальными расширениями.
В конце этого раздела будет показано, ото наши аксиомы
позволяют дать полную картину структуры #'(L/K) и #2(L/K)
для произвольных нормальных расширений L/K в ®Р.
Предложение 2.54. Пусть L/K—нормальное расшире-
расширение в &р. Тогда tf'(L/K)={0} и порядок #2(L/K) делит
[L:K].
Доказательство. Это следует из аксиомы 1 и предло-
предложения 2.
Предложение 2.55. Пусть L/K и L'/K—нормальные
расширения в $Р такие, что L'crL. Тогда отображение InfL ^L:
://2(L,/K)-»-//2(L/K) является инъективным.
// Доказательство. Это следует из предложений 2.54 и
2.38. ?
Мы хотим построить теперь каноническую образующую
2(L/K) для произвольных нормальных расширений L/K в 8р.
Пусть Е/К —специальное расширение и [L:K] | [Е:К]. Поло-
Положим v = [?:K]/[L:K]. Тогда [EL:E] ?el/l = O, так как порядок
?el/l равен [EL:L] и v[EL:E] = [EL:L]. Поэтому из. аксиомы 3
следует
^L (v Infe^el Se/k) = v IEL:E] ?EL/L = 0.
Таким образом, точная последовательность
{0}_*tf2(L/K)_yftt2(EL/K)^tt2(EL/K) (предложение 2.38)
показывает, что существует единственный элемент ?l/k из
//2(L/K) такой, что 1п?ь^еь^ь/к = 1г1{е-еьСе/к- Поскольку подъем
143
инъектирен, порядок ?l/k равен [L:K]. Из аксиомы 4 легко сле-
следует, что ?L/k не зависит от выбора специального расширения Е.
Предложение 2.56. Пусть L/K — нормальное расшире-
#2(L/K)—циклическая порядка fL : К] с канонической обра-
ние в Хр и пусть К' — промежуточное поле L/K. Тогда
зующей ?l/k- Кроме того,
'Cl/k', B.40)
¦IK':K]Cl/k B.41)
и InfK'»LSK7K = [b:K']SL/K» если К'/К — нормальное B.42).
Доказательство. Первое утверждение следует из по-
построения ? и предложения 2.54, равенство B.40) доказы-
доказывается с помощью аксиомы 3, B.41) следует из B.40) и пред-
предложения 2.36, а B.42) следует из построения ?; L/k . П
Использование специальных расширений в построении ка-
канонической образующей #2(L/K) называется по-немецки
Durchkreuzung1. Этот метод был открыт Чеботарёвым, приме-
применившим его для доказательства своей теоремы ; о плотности
(глава 1.5.11). Позднее Артин применил его для доказатель-
доказательства закона взаимности (§ 1.6). Метод можно использовать для
доказательства того, что норменный символ характеризуется
свойствами (I) —(III) (§ 1.2). Это —отправная точка подхода
Нойкирха [194] к теории полей классов.
Пусть L/K — нормальное расширение в &р и g—изоморфизм
L на gL. Тогда g индуцирует морфизм [ф, tJ>]:(G(L/K), AL}-+
-+[G(gL/gK), Agi], заданный равенствами ¦ty(a) = g{a),q(h) =
=g-lhg при aeAL, heG(glfgK).
Результирующий гомоморфизм из #2(L/K) в H2(gL/gK) бу-
будет обозначаться g*.
Предложение 2.57. g%UK = ?gLigK- ?
Если бы мы знали, что модули классов для локальных и
глобальных полей образуют формацию классов, то для доказа-
доказательства основных теорем теории полей классов (теоремы 2.3,
2.8) оставалось бы доказать, что Ф — сюръективное. В терми-
терминах формаций классов это можно сформулировать следующим
образом:
Аксиома 5. Для любого поля KP$f ii любой замкнутой
подгрупп>i U конечного индекса в Ак существует абелево рас-
расширение L?5?f поля К такое, что Nl/kAl=U-
Требуется также доказать, что норменный символ, постро-
построенный в § 1 с помощью расширений Любипа—Тейта, и локаль-
локально глобальный принцип совпадают с отображением, заданным
B.38). Функториальные свойства норменного символа (§ 1.7)
следуют тогда из B.40) — B.42) и предложения 2.57.
4.3. Когомологии локальных полей. Пусть К — конечное
расширение поля Qp рациональных р-адических чисел. Мы хо-
хотим показать, что Лк =КХ определяет формацию классов иад
QP.
Предложение 2.58. Пусть L/K — циклическое расшире-
расширение локальных полей степени п. Тогда порядок #2(L/K) ра-
равен п.
Доказательство. С помощью показательной функции
{глава 1.4.9) строится подмодуль V конечного индекса в группе
единиц UL такой, что Нт (G(L/K), V) = {0) для ot'gZ. Следо-
Следовательно, частное Эрбранда h{UC) равно 1 (§3.9) и //(Ц, ) —я,
откуда | #2(Ь/К)| = /г, так как | tf'(L/K)| = I. (предложение 2.7). ?
В качестве специальных расширений поля К берем нераз-
ветвленные расширения. Мы уже знаем, что неразветвленные
расширения являются циклическими и для любого nON суще-
существует, притом единственное, перазветвленное расширение К в
Qp степени п (глава 1.4.6).
Предложение 2.59. Пусть Е/К —неразветвленное расши-
расширение степени п. Тогда Ят(G(Е/К), ?/Е) = {0} для mqZ.
Доказательство. Так как я —| Я*(Е/К)|= ,//°(Е/К)| =
= [Kx:Ne/k?x] и Д/Е/кЕх = Л/'е|к^еХ(ля) для простого элемен-
элемента л из К, ЛГЕ/к^е = ?/к и, следовательно, //°(G(E/K), ?/e) =
= {0}. Из равенства Л(?/Е)=1 следует теперь, что
Я'(О(Е/К), ?/Е) = {0}. ?
Точная последовательность
вместе с предложением 2.59 пока'зывает, что v*://2(E/K)-*-
-*tf2(G(E/K), Z) — изоморфизм. Более того, Д,:Я1(<3(Е/К),
Q/Z)->H2(G(Е/К), Z) — изоморфизм. Пусть %—характер G(E/K)
такой, что x(F) = \-Z, где F обозначает автоморфизм Фро-
бениуса Е/К.
Опрсдел;м теперь канонический класс ?Е/к с помощью уравнения
1 Т. с. сращивание поля с круговыми расширениями.— Прим. ред.
Нетрудно проверить выполнение аксиом 2—4 и показать, что
гомоморфизм из Кх на G(E/K), определенный в B.38), отобра-
отображает я на F, т. е. совпадает с норменным символом.
Используя теорию Любина—Тейта, можно показать, что ак-
аксиома 5 выполняется (Серр [224, 3.7—3.8]).
4.4. Когомологии иделей и классов иделей. Теоремы этого
раздела представляют собой основное ядро теории полей клас-
классов. Доказательство теоремы 2.67 — довольно длинное и носит
технический характер. Оно демонстрирует важность теории Кум-
144
10— G164
115
мера (глава i.4.7) для теории полей классов. Читатель, которо-
которого не интересуют детали и который верит, что аксиома 1 верна
для глобальных формаций модулей, может пропустить содер-
содержание § 4.4 после предложения 2.62.
Пусть К — алгебраическое числовое поле и L — конечное
нормальное расширение К (L/K — нормальное расширение Ко)
с группой Галуа G. Точки поля К обозначаются буквой v, a
точки поля L — буквой w. Gw обозначает группу разложения да
относительно L/K, т. е. Gw — образ G(L,t,/K») в G, если w\v.
Для любой точки v поля К выберем одну точку wv поля L,
лежащую над и. Множество всех точек поля К обозначается
Рк.
Группа G действует на JJLw (§ 1.4). Определим изоморфизм <р
из 11 L
w\v
w на MqWv(LWv) равенством
\to\o I
Из лемм ,i Шад ipo следует
Предложение 2.60. JimlG, ]\
для
(§3.4;
(GWv, L? ),
w\v
для всех /n€Z, где UK— группа единиц L». П
Для доказательства следующего предложения потребуется
принцип, который будет рассмотрен в главе 3 в значительно бо-
более общей форме.
Пусть ДСЛ2с... —подмодули G-модуля Л такие, что
U Ai = A, и пусть Л;С[Л/+1 индуцирует вложение Нт(О, Д)->-
-y/im(O, Д+|), так что можно рассматривать Hm(G,Ai) как
подгруппу Нт(О,А1А), / = 1,2,.... Тогда Hm(G,A)^
= и.Ят(О, Л,).
Предложение 2.61. й-(О, J(L))
г. L. ) для
всех
В°- ПуСТЬ 5—">«сное множество точек
Тогда
и из предложений 2.59 и 2.60 следует, что
Нт (О, /я)аа
/m (OWr, L^), B.43)
если 5 содержит все разветвленные точки. Рассмотрим теперь
B.43) для последовательности Slt / = 1,2,..., такой, что
U ^1 = РК. Сформулированный выше принцип показывает справед-
справедливость утверждения. Q
Согласно § 4.3, § 4.4, для любой точки v поля К имеется
канонический изоморфизм H2(GW, L?j)->- — Z/Z, определенный по-
средством ?L(e/Ke_»..-I-.-f-Z, где nv: = [Le,:Ks]. Так как Hl(Gw,
Lw) = {0}, имеем
Предложение 2.62. Я1 (О, Л)=-{0}, Я2(О, Л) —
-I^z/z. ?
Теперь мы подошли к основной проблеме этого раздела, до-
доказательству справедливости аксиомы I для формации модулей
С(К)=/(К)/КХ. Нам потребуются подготовительные утвержде-
утверждения.
Теорема 2.63. Пусть L/K — циклическое расширение прос-
простой степени р. Тогда /i(@(L))=p.
Доказательство. Пусть 5 — конечное множество точек
поля К, включающее бесконечные точки, точки, разветвленные в
L и множество точек таких, что лежащие над ними точки по-
поля L порождают группу классов идеалов L. Обозначим через Т
множество точек поля L, лежащих над точками из 5. Тогда
J (L)*=LX Js, <E(L) = LxJslL*s*
Так как h(Js)—П nv, (предложение 2.58, B.42)) осталось пока-
(S
зать, что
где
nv,
—группа Г-единиц в L (глава 1.3.8).
Lr представляет собой конечно порожденную группу ранга
\Т\— 1 и L? = Ks—группа 5-единиц в К, имеющая ранг ]5| —1
(теорема /.48). Следовательно, из предложения 2.48 вытекает
146
10*
147
—„чоот jeupeMbi 2.t>3 немедленно получаем теорему.
Теорема 2.64 (Первое неравенство). Пусть L/K — цикли-
циклическое расширение простой степени р. Тогда
Приведенная ниже теорема является следствием теоремы 1.93.
Мы напоминаем ее здесь потому, что хотим дать чисто алге-
алгебраическое доказательство основной теоремы.
Теорема 2.65. Пусть L/K — циклическое расширение прос-
простой степени. Существует бесконечное множество точек поля не
разлагающихся в L.
Доказательство. Пусть S — множество всех точек по-
поля К, не разлагающихся в L. Предположим, что 5 — конечное
Пусть IIav — произвольный идель из /(L). Существует х^К та-
такой, что х~1а„вК* для v?S (предложение 1.55). Тогда
x~lJ\av?Ni,iKJ(L), откуда KxjVl/k^(L) —/(К), что противоре-
противоречит теореме 2.64.
Теорема 2.66. Пусть р— простое число такое, что цясгК
и S — множество точек поля К, содержащее все бесконечные
точки, все простые дивизоры р и множество точек, порождаю-
порождающих группу классов идеалов К. Пусть, далее, 5'—множество
точек поля К такое, что S'[}S—0 и естественное отображение
Ks-*- Л 1
*&•
сюръективно.
Тогда любой хвК такой, что
является /7-ой степенью в Кх.
затьД:тКоа3К'1ей,ЬСТВО- П^СТЬ К'-К(^Г). Требуется дока-
оГбра'же.Г310" Те0РШ1 П°леЙ *лассов <§ 4.3). Так как
сюръективно, J (К) —Кх I ,«¦ «••,.
'/ч, п~" •y-^'v'==IV ^. откуда У(К) =
< ))• По теореме 2.64 из этого следует, что
Its
Рассмотрим теперь специальный случай теоремы 2.66, когда
5—пустое множество. Положим
Тогда К$П//=К?, откуда
кроме того,
[Js (К): Н\ — П p2l ^(")=
как
по предложению 1.59, A.26) (Здесь v следует понимать,
нормализованное нормирование.) Поэтому
[/(K):tfKx]«[/s (К) КХ:ЯКХ] = [/5(К):ЯК5]=-/?". B.44)
После этих приготовлений мы в состоянии доказать ак-
аксиому 1 для формации полей Kq.
Теорема 2.67. Пусть L/K — циклическое расширение про-
простой степени р. Тогда
/К){0} и
Доказательство. Ввиду теоремы 2.63 достаточно до-
доказать, что
tf«(L/K) = [/(K):KxiVL/K(./(L))]</>. B.45)
B.45) называется вторым неравенством.
С помощью когомологической техники неравенство B.45)
сводится к случаю, когда К содержит корни степени р из
единицы. Тогда пусть L = K(y^a) и 5 — конечное множество
точек поля К, удовлетворяющее условиям троремы 2.66 и до-
дополнительному условию о том, что 5 содержит все точки v,
для которых а не является единицей в К„. Расширение
Es'.^KiVx'l-x^Ks) поля К имеет степень ры (глава 1.4.7).
Пусть gu ..., gN—система образующих Q(E/K) такая, что L
является неподвижным полем gN. Обозначим неподвижное поле
gi через Ег. По теореме 2.65 существует точка wt поля L/,
не разлагающаяся в Е; пусть vt — точка поля К такая, что
'WilVi, i == 1, ..., N. Тогда
N
,—сюръективное. В действительности, Е, представляет собой
поле разложения vt в Е$/К (глава 1.3.7). Если лгбКегф, то vt
(^) () i = l, ...
р / ( )
разлагается в K(^jc)/K, следовательно,
149
K(i/*J-K. Поэтому
и утверждение доказано
теорему 2.66 к множеству *-«,, Vn} и полу.
п и, п к* = к*р.
Этого следует
]
Ищем теперь идея, в М.,К(У<1.)). Находим
B46)
и следовательно, используя B.46)),
?
показать
расширение степени п. Мы хотим
[J{K):KxNuK{J{L))]<n. B.47)
С помощью локальных рассуждений легко показать, что су-
существует определяющий модуль m такой, что KxjV(/(L))<
Кх?/Ш (глава 1.5.5). Следовательно, существует подгруппа 95Ш
группы Яш, содержащая лучевую группу 7?ш такая, гчто
95Ш содержит все простые идеал1^ из Яш, полностью разлагающие-
разлагающиеся в L/K. Пусть С — множество этих простых идеалов. Тогда
имеем
150
где х пробегает все характеры 21Ш/З9т-
Так как log L(s,%)~огран тенная при s-*-l функция, если
Iogi(s,x0)=-log(s—
имеем
С другой стороны,
B:49)
где суммирование производится го ессм простым идеалам ? из
L, полиостью разлагающимся в L/K (сравните с теоремой 1.У&).
Из B.48) и B.49) следует, что
— [^-.SSJ-1 log (s— 1)> — n-4og(s — l) + ge(s)'
Разделим на — log(s — 1). Тогда при s->l получаем
4.6. Канонический класс для нормальных расширений. Рас-
Рассмотрим теперь аксиомы 2—4 для Я* - Круговое расширение К
представляет собой подрасширение некоторого расширения
К(?)/К, где I — корень из единицы. В качестве специальных
расширений К берём циклические круговые расширения *. аш
должны построить канонический класс для таких расширении.
Действуем так.
Для любого нормального расширения Ц/К с группой Га-
луа G определим символ <а, />e#2(L/K) для аеС(К)=*
= Я°(Ь/К), хеЯ'(С, Q/Z) равенством
где А]—связывающий гомоморфизм HX(G, Q/Z)-*-#2(G, Z).
Легко показать, что <а, х> обладает следующими свойствами
вырожденности:
<a,j?>=0 для всех x6//'(G,Q/Z) тогда и только тогда
когда а?ПМм/кв(М), где М пробегает все циклические подрас-
м
ширения L/K.
<а. Х>=0 Для всех аб@(К) тогда и только тогда, когда
%—%¦>.
Кроме того, используется наше хорошее знание свойств
круговых полей (§ 1.1). Пусть ? — примитивный корень степени
151
т из единицы. Определим
для aef(Q) равенством
где u6(Z/mZ)x —класс, соответствующий а при изоморфизме
<p:I(Q)/Q*Uma>-+(Z/mZ)x, (глава 1.5.6)
который строится следующим образом: aeC(Q) имеет един-
единственного представителя Пир в
?/«-/?+ П UP-
р конечное
Далее, существует единственный элемент пр. (Z/mZ)* такой, что
ния w. Обозначим tyw отображение из H2(Lu,/Kv) в #2(L,,.), ин-
индуцированное вложением Lu,x-*-C(L). Так как определения ло-
локальных и глобальных канонических классов соответствуют
друг другу, имеем
Положи м ф (а) = и.
Для любого алгебраического числового поля К и /(К) до-
доказывается, что (Q(t)/Q, tfjc/Q a) представляет собой образ
вложения G(K(?)/K)-*G(Q(?)/Q). Определим (К(С)/К а)
как прообраз (QE)/Q, NK/Q а). Если Е/К-произвольное кру-
1°1??Д РасшиРение, то (Е/К, а) определяется как ограничение
(К(?)/К, а) для некоторого ? такого, что ЕеК(?). Тогда
(Е/К, а) не зависит от выбора ?.
Теорема_2.68. Пусть Е/К — циклическое круговое расши-
расширение. Тогда а-* (Е/К, а) — эпиморфизм С (К) на G (Е/К) с яд-
ядром jVe/k@(E).
Пусть Е/К—циклическое круговое расширение степени п
с группой Галуа G. Определим канонический класс Е/К следу-
следующим образом. Пусть s — образющая G и %^Hl(G, Q/Z) — та-
такой, что x(s) = й" +z> и пУсть af'/(K) — такой, что (Е/К, a) =s.
Тогда положим
?е/к:== <а, X > •
Легко видеть, что ?Е/к не завис it or njfnpa s и а. Осталось
доказать, что ?Е/К удовлсгвэрязт аксиомам 2—4 (Шевалле [68],.
§15— 16).
Пусть тепврь L/K —n>oi3i)ibi)j н)рчпьное расширение в
Kq. Канон веский класс ;L/k- определенней в §4.2, приводит к
символу (a, L/K)eO(L/K)«* для об/(К) B.38). Доказывается,
что для круговых расщ фений Е/К имеем
(а, Е/К) = (Е/К, а).
Пусть, далее, у —точка поля К, точка w поля L лежит над
v, G^GfLJK.) —группа разложения ш и К»—поле разложе-
152
Это показывает, что (a, L/K) представляет собой норменный
символ, определенный в § 1.5.
Для завершения доказательства основной теоремы глобаль-
глобальной теории полей классов требуется доказать справедливость
аксиомы 5. Это делается сведением к случаю, когда замкнутая
подгруппа U конечного индекса в @(К) обладает тем свойством,
что @(К)/?/ имеет простой показатель р и К содержит корни
степени р из единицы. Тогда используем B.44). С одной сторо-
стороны, каждая U содержит группу
Я=/(К)"П Uv
при некотором S. С другой стороны, расширение Е$ =
= K(y/rx\xdKs) представляет собой поле классов группы
/K)//KKJV(/(E)) K//
§ 5. Простые алгебры
Теория простых алгебр над локальными и глобальными по-
полями тесно связана с теорией полей классов. С одной стороны,
когомологический метод есть результат предыдущего использо-
использования простых алгебр в теории полей классов. С другой сторо-
стороны, структура простых алгебр над локальными и глобальными
полями может быть определена с помощью результатов из тео-
теории полей классов.
5.1. Простые алгебры над произвольными полями. Рекомен-
Рекомендуемая литература: Вейль B79, глава 9]. Пусть К — произволь-
произвольное поле. Рассматриваем лишь алгебры А над К с единичным
элементом, являющиеся конечномерными и центральными над
К, т. е. А — конечномерное векторное пространство над К и
кольцо с единичным элементом 1 такое, что К — центр А.
Алгебра А над полем К — простая, если она имеет лишь
тривиальные двусторонние идеалы {0} и А. Вместе с Л и Я
простой алгеброй над К является и А<8>к.В. Пусть А — простая
алгебра над К и L — расширение поля К. Тогда Л®кЬ — прос-
простая алгебра над L.
Теорема 2.69. Пусть D—алгебра с делением над Кип —
натуральное число. Тогда матричная алгебра Mn(D)—простая
алгебра над К. Произвольная простая алгебра А над К изо-
изоморфна Mn(D) для некоторой алгебры с делением D и некото-
15.Т
рого натурального числа п. Для заданной простой алгебры А
число п определяется однозначно, a D определяется с точностью
до изоморфизма. ?3
Для алгебры А над К противоположная алгебра А° представ-
представляет собой алгебру, совпадающую с А как векторное простран-
пространство над К и обладающую умножением (х, у)-*-ух для х, г/бЛ.
Предложение 2.70. Размерность простой алгебры А над
К равна п2 для некоторого натурального п.
Доказательство. Пусть L — алгебраическое замукание К.
Тогда dimLi4®KL = dimK А. Так как L —алгебраически замкнутое,
алгебра с делением над L совпадает с L. Таким образом,
ЛКЬ = ЛГ„(Ь) для некоторого числа п по теореме 2.69. Q
Предложение 2.71. Пусть Л —простая алгебра над К и
— линейное отображение, переводящее а®Ь в эндоморфизм
x-*-axb. Тогда ф — изоморфизм алгебр. И
Предложение 2.72. Пусть А — простая алгебра над К
и а — автоморфизм А, оставляющий К неподвижным. Тогда
а(х) =а~1ха для некоторого а&А.
Пусть В, С —подалгебры алгебры А, центры которых содер-
содержат К и пусть р — изоморфизм В на С. Тогда [J можно продол-
продолжить до автоморфизма А.
5.2. Приведенные след и норма. Пусть L—алгебраическое
замыкание К и А — простая алгебра над К. Пусть <р — изомор-
изоморфизм алгебр из Л в Afn(L). Такие изоморфизмы всегда сущест-
существуют (см. доказательство предл. 2.70).
Предложение 2.73. Функции
т(а) =tr((p(a)) и v(a) = det(<p(a)) для абЛ
принимают значения в К и не зависят от выбора <р. т(а) назы-
называется приведенным следом, а v(a) называется приведенной
нормой а.
Очевидно, что
т(a-f-6)-= т (а)-|~т (Ь), т (па) — ат (а), г (ab)~x(ba),
v(ab) = x(a)x(b), а, Ы]А, «еК.
Пусть А—простая алгебра степени п2 над К, ЬсЛ—расши-
ЬсЛ—расширение поля К степей i m. Тогда m делит п и
5.3. Поля расщепления. Пусть А — простая алгебра над К
размерности п. Расширение L поля К называется полем рас-
расщепления А, если А&к La*Afn(L).
Предложение 2.74. Для любой простой алгебры А над
К существует сепарабельное нормальное поле расщепления ко-
конечной степени над К.
151
Предложение 2.75. Каждое максимальное подполе ал-
алгебры с делением D над К является полем расщепления D.
Каждое поле расщепления D является полем расщепления
Mn(D).
5.4. Группа Брауэра. Две простые алгебры А и В над К
называются подобными, если A^Mm(D), Bs?Mn(D) с одной и
той же алгеброй с делением D. Класс алгебр, подобных Л, обо-
обозначается {Л]. Определим произведение двух классов [А{\ и
[А2] равенством
[^1]-[^2] = [Л,®кЛ]. B.51)
Это произведение корректно определено, коммутативно и ас-
ассоциативно. Кроме того, ИИК]=[Л] и [Л]-[Л0]=[К]. Поэтому
множество классов простых алгебр над К образует абелеву
группу В (К.) по умножению B.51) с единичным элементом [К],
называемую группой Брауэра поля К.
Пусть L — расширение поля К. Тогда классы простых ал-
алгебр над К с полем расщепления L образуют подгруппу B(L/K)
группы В (К.), называемую группой Брауэра расширения L/K.
Пусть теперь L/K — конечное нормальное сепарабельное рас-
расширение и D — алгебра с делением над К с полем расщепле-
расщепления L. Тогда существует натуральное число г такое, что L изо-
изоморфно максимальному подполю в A—Mr(D). Мы отождествля-
отождествляем L с его образом в А. По предложению 2.72 для g?G: =
= G(L/K) существует иввА такой, что
B.52)
Элементы us определяются g однозначно с точностью до мно-
множителя из Lx и {ug\g&G} является базисом векторного прост-
пространства Л над L. Кроме того,
— коцикл в смысле § 3.1, который умножается на кограницу,
если умножить ug на некоторые элементы /i (g) в Lx. Таким
образом, имеется отображение Ф группы B(L/K) в #2(G, Lx),
определенное равенством Ф([?>]=^.
С другой стороны, любой /еЯ2(О, Lx) приводит к простой
алгебре
Л =
формальных линейных комбинаций с умножением, определен-
определенным в B.52) и B.53)
Теорема 2.76. Ф — изоморфизм S(L/K) на Я2(С, Lx).
Ввиду теоремы 2.76, группа H2(G, Lx) также называется
группой Брауэра расширения L/K.
Если G — циклическая, XGHom(G, Q/Z) =Я'(О, Q/Z) и aGK*.
Тогда a(JAoc6#2(G. Lx), где Л,: #'(G, Q/Z)-+H2(G, Z) — связы-
155
вающий гомоморфизм, соответствующий точной последователь-
последовательности
{0}->-Z->Q->Q/Z-40} (§ 3.8).
Соответствующая простая алгебра называется циклической ал-
алгеброй. Она будет обозначаться [L/K; %, а]. Если s — образую-
образующий элемент G, то
[L/K;
/-о
B-54)
5.5. Простые алгебры над локальными полями. Рекомендуе-
Рекомендуемая литература: Вейль B79, глава 10]. Пусть К — конечное рас-
расширение Qp и пусть D — алгебра с делением над К размерно-
размерности п2.
Теорема 2.77. Целые элементы D образуют кольцо OD яв-
являющееся максимальным компактным подкольцом D. Любое
максимальное компактное подкольцо Mm(D) сопряжено с
М„(ОВ) при внутреннем автоморфизме Mn(D). в
Теорема 2.78. D содержит изоморфный образ любого рас-
расширения полей L/K такого, что [L: К]|п.
В частности, пусть L/K — неразветвленное расширение сте-
степени п в D. Пусть х — характер группы G. = G(L/K), переводя-
переводящий автоморфизм Фробениуса в— -{-Z, и пусть я—простой эле-
элемент К. Тогда D изоморфна циклической алгебре [L/K; х. л']
для некоторого r6Z такого, что 1<г^тг, (г, /г) = 1 (§ 4.3). Класс
г/п в Q/Z однозначно определяется алгеброй D и называется
инвариантом Хассе [D]. Он обозначается h(D). Из B.39) сле-
следует
invO ([?>]). B.55)
Теорема 2.79. h(D) определяет D с точностью до изомор-
изоморфизма иад К (§ 4.3) ?
Предложение 2.80. Пусть А — простая алгебра над К
и пусть v — приведенная норма в А. Тогда v(/lx) = Kx. и
Пусть теперь К — это поле R вещественных чисел. Алгебра
кватернионов Н является единственной (центральной) алгеброй
с делением над R, отличной от R. Как циклическая алгебра,
Н равна [C/R; %, —1], где % — нетривиальный характер в
Нот (G(C/R), Q/Z). Приведенная норма отображает Мт(Н)
на R+.
H/R порождена элементам! /, i, j, k такими, что
i2=,ji=>k2=» —I, ij=.— ji=k, jk =- — kj=-i, ki — —ik=»j.
В дальнейшем дта х --=• я, -(-^i -f-ayJ ~ba*^ полагаем
150
Тогда
т(х) = х + х', v(x)=xlx B.56)
i называется главной инволюцией Н.
5.6. Структура группы Брауэра алгебраического числового
поля. Пусть L—конечное нормальное расширение алгебраичес-
алгебраического числового поля К. Используются обозначения § 4.4. Точная
последовательность
{1} _> Lx -v / (L) -v ? (L) -v {1-}
индуцирует точную последовательность
Я1 (О. С (L))^HHG,LX)-*HHG, J &.))-+H4G, G(L)). B.57)
Используя теорему 2.51 и предложение 2.61, получаем из B.57)
точную последовательность
Из определения ф и B.50) следует
где KWp обозначает поле разложения для wv. Значит,
Это показывает, что отображение
задается равенством
Таким образом, получено следующее описание группы Брауэра
L/K:
Теорема 2.81. Пусть L/K — конечное нормальное расши-
расширение с группой Галуа G. Тогда, в обозначениях § 4.4 имеем
точную последовательность
¦'
Если G — циклическая, то H2(G,Ly) = H°(G, Lx). Тем самым
доказан следующий локально-глобальный принцип Хассе для
нормы:
Теорема 2.82. Пусть L/K —конечное циклическое расшире-
расширение и v0 — фиксированная точка поля К. Элемент а из Кх
157
содержится в ,/Vl/kL* в том и только в том случае, когда а
содержится в NL(B/k L» для всех точек v = v0 поля К.
Теорема 2.82, вообще говоря, неверна для нециклических нор-
нормальных расширений, например, пусть К = Q, L = Q({Тз, VVi).
Тогда все группы разложения цикличны. Кроме того, из теоремы
Тейта (§ 4.1) следует, что Н~1 (О, 6 (L))^//~3 (О, Z). Так как
//~3(С7, Z)^H2(G, Q/Z)^Z/2Z B.34), для группы C7 = Z/2ZX
XZ/2Z и последовательность
V
точна, существует абКх, являющийся локальной нормой во всех
точках поля К, но не являющийся глобальной нормой.
Следующий (сильный) локально глобальный принцип Хассе
для квадратичных форм можно довольно легко вывести из тео-
теоремы 2.82. Сначала рассматривается случай двух переменных
(сравните с гл. 1.1.6), а затем теорема доказывается по индук-
индукции C. И. Боревич, И. Р. Шафаревич [6, глава 1.71]; Серр [221,
глава 4J).
Теорема 2.82а. Пусть
п
... л-„)= ^ a,jXtXj
— невырожденная квадратичная форма от п переменных с ко-
коэффициентами atj нз К. Тогда число а из К представляется фор-
формой / в К в том и только в том случае, когда а представляется
формой / во всех пополнениях К„ поля К.
Существует соответствующая теорема об эквивалентности
форм, называемая слабым локально глобальным принципом
Хассе.
Локально глобальный принцип Хассе в общем случае неве-
неверен для форм более высокой степени. Это следует из приведен-
приведенного выше примера. Дополнительная информация по этому во-
вопросу дана в книге 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, [6, гл. 1.7.6].
Более того, из теорем 2.81 и 2.19г следуют теоремы:
Теорема 2,826. Каждая простая алгебра над К имеет цик-
циклическое круговое поле расщепления.
Теорема 2.82в (Теорема Брауэра—Хассе—Нётер). Каждая
простая алгебра над К—циклическая.
Возникает вопрос, всякая ли простая алгебра над произволь-
произвольным полем является циклической. Альберт [34] показал, что в
общем случае это не так, а Амитсур, Роуэн, Тииьоль [35] дали
пример простой алгебры над полем Q(t), неизоморфной тензор-
тензорному произведению простых алгебр. Но недавно А. С. Мер-
Меркурьев, А. А. Суслин [21] получили следующий положительный
результат:
158
Теорема 2.82г. Пусть п — натуральное число и F — поле
характеристики 0, содержащее корни из единицы n-ой степени.
Тогда каждая простая алгебра над F с показателем п в группе
Брауэра подобна произведению циклических алгебр размерно-
размерности п2.
5.7. Простые алгебры над алгебраическими числовыми поля-
полями. Рекомендуемая литература: Дойринг [82]. Сохраним обозна-
обозначения предыдущего раздела. Пусть А — простая алгебра над К
с полем расщепления L и v — точка поля К. Локализация А в
v представляет собой простую алгебру Лг:=Л®кКг над К».
Будем говорить, что А неразветвлена в v, если Av подобна К„,
т. е. Avd[Kv].
Ф([Лу\)еН2{О\у„, L*) является локализацией Ф([Л])б//2(О, Lx).
Поэтому из теоремы 2.81 следует, что А подобна К тогда и
только тогда, когда А неразветрлена во всех точках поля К.
Обозначим кольцо целых чисел К* для конечных точек v че-
через О„.
Теорема 2.83. Пусть А — простая алгебра над К и пусть
М—конечное подмножество А, содержащее базис алгебры А
над К. Для каждой конечной точки v поля К пусть Mv обозна-
обозначает О„-модуль, порожденный М в Av. Тогда, для почти всех v,
Av тривиальна над К„ и Mv — максимальное компактное подколь-
цо А„.
Можно построить теорию идеалов для простых алгебр над
алгебраическими числовыми полями, которая обобщает теорию
идеалов алгебраических числовых полей (Дойринг [82]). Приве-
Приведем несколько основных результатов этой теории.
Порядком простой алгебры А над К является подкольцо А,
содержащее единичный элемент А, образующее решетку в А,
когда А рассматривается, как векторное пространство над Q.
Среди порядков алгебраического числового поля есть един-
единственный максимальный порядок (глава 1.1). То же справедли-
справедливо для порядков алгебр с делением над локальными полями
(§ 5.5). Для простых алгебр над алгебраическими числовыми
полями верен следующий результат:
Предложение 2.84. Пусть А — простая алгебра над К.
Тогда существуют максимальные порядки в А. Ими являются
О к-модули в Л и Ок -модуль М в А представляет собой макси-
максимальный порядок тогда и только тогда, когда его замыкание Mv
в Av является максимальным компактным подкольцом в Av для
любой конечной точки v поля К. Любой порядок в А содержит-
содержится в максимальном порядке, н
Пример 16. Пусть K = Q и A-=an+aJ-\-a2l
а0, аи а2,алв0, где i, j, k те же, что и в § 5.5. ao + ali
-f-<z3k— целое тогда и только тогда, когда 2/i0gZ и a-j
159
36Z. Следовательно, i и -ri + v J — целые, но их сумма —
нецелая.
Пусть тп —конечно порожденный Ок-модуль в А, порождаю-
порождающей А, как К-модуль. Тогда левый (соответственно, правый)
порядок т определяется как
|ащСщ (соответственно, Ur(m) = {a^
m называется нормальным идеалом, если его левый и правый
порядки — максимальные порядки, m называется целым, если он
содержится в своем левом порядке и, следовательно, в своем
правом порядке, m называется равносторонним, если его левый
и правый порядки совпадают.
Теорема 2.85 (Теорема Брандта). Нормальные идеалы
алгебры А образуют группоид по умножению идеалов, единица-
единицами которого являются максимальные порядки (произведение
двух нормальных идеалов а и Ь допускается, лишь если правый
порядок а равен левому порядку Ь).
Теорема 2.86. Равносторонние нормальные идеалы макси-
максимального порядка О образуют абелеву группу G(O) и целые
идеалы в G(O) единственным образом разлагаются в произве-
произведение простых идеалов.
§ 6. Явные законы взаимности и символы
Как упоминалось выше (§ 1.8), решение девятой проблемы
Гильберта было дано И. Р. Шафаревичем и, в более явной фор-
форме, Брюкнером и С. В. Востоковмм. Ввиду теоремы 2.15, тре-
требуется вычислить символы \-^-) для бесконечных нормирований г»
и для v\m. Так как (—~) задается посредством B.16), если
•v — вещественное и ( ¦ ¦—) = 1 для v комплексного, осталось вы-
вычислить (-—-) Для v\m. Согласно теореме 2.14.7, достаточно
рассмотреть случай, когда т ятяпгя степенью простого числа р.
Поэтому в дальнейшем точный зжоп взаимности означает точ-
точную формулу для ( ? ), где ар у-0 принадлежат локальному
полю К с характеристикой поля вычетов, равной р и ц scK.
6.1. Явный закон взаимности Шафаревича. Рекомендуемая
литература: Кнезер [146]. Начиная с объяснения точного закона
взаимности Шафаревича, используем следующие обозначения:
р — простой идеал и л — фиксированный простой элемент из К.
?2 — группа р"-примарных чисел со из К, т. е.
12: = {«(;КХ J К ' i/^o)'/KJ/ неразветв.теио.
Т — поле инерции поля К, т. е. T/Qp — максимальное нераз-
ветвленное подрасширение K/QP.
f—пополнение максимального неразветвленного подрасши-
рения К.
R (соответственно, R)—система представителей Ог/(/?) (со-
(соответственно, Ог/(р)) в Or (соответственно Ог), состоящее из
корней из единицы порядка, взаимно простого с р в От (соответ-
(соответственно, От) и 0.
е—индекс ветвленчя K/Qp. F — автоморфизм Фробениуса
T/Qp- Отображение р:йт-*-йт, заданное равенством р(а) —
= /?(a)_a, является эндоморфизмом 0^ на ?>^. В частности,
для любого apDy существует a?Uj такое, что /?(a) = a.
Закон взаимности Шафаревича основан на представлении
аеКх с помощью функции Артина—Хассе ?(а) и функции
Шафаревича Е(а, х), где a^Or, xdf. Положим
00
E(a,x):=T[(l--a'"x'n)ll{m)"n,
где \i обозначает функцию Мёбиуса. ?(а, х) определена кор-
корректно, так как \i(m)lm?Zp. По формуле обращения для функ-
функции Мёбиуса
1—ал- = П Е (а"», х1"I"".
т-\
Для любого
положим
t-o
Е(а, х)=*Т1Е(а„х)р1.
Предложение 2.87. Е (а + р, х) = Е (а, х) Е ф, х) для
a. peOf. П
Пусть С — примитивный корень степени р" из единицы. Суще-
Существует единственный xfy такой, что ?=?"A,т). Кроме того,
если afjCy, пусть арр^, где и(а) = а. Положим
Е (а): =? (р"а, т) = Е (о, т)Л
ъ Теорема 2.88. 1) Е(а) не зависит от выбора а и является
основной единицей К.
2) Е (а + Р) = Е (а) Е (р) для а,
3) {Е(а)\а?0т}Кх" =Q. Щ\
П—6164
пи-
пиВ дальнейшем насинтересуетгруппаКх/Кх" . Для|,т1еКх
шем !~Ti, если |л€Кх" .
Теорема 2.89. 1. Для любого ?бКх имеется представление
), где a?Z, alf
i
а произведение взято по всем /таким, что 1</<>е/(о—1),
pfi (сравните с главой 1.4.4).
2 Е
(р
2. Если
па П Е (а,я') Е (а) ~ я* П Е (ft, я') Е ф),
то
a = b(modр"), Я(а„я')~Е(р„я'), ? (а) ~ Я (р). |х|
Теперь мы в состоянии сформулировать явный закон взаим-
взаимности Шафаревича:
Теорема 2.90. 1) (я, Е (а, л')) = 1 при p-\L a6Dr.
2) (я,?(а)) —|тгв> если абОг. Тга = Тг77<К.
3) (л,л) = (л, -1).
4) (Я (а), е) = 1, если а.фт, eeD*.
5) Ести рф2, то (Я (а, л'), Я(р,я')) = (л^, Е (ар,я'^)),
Если
/?.-=2, то (Я(о, я'),
(- я/, Я (ар, я^)) II (- 1. Е (aF* (р),
ОО
л'+^))П(-1,Я(^(а))Р,:
если a.peOr.jOf/.^fy
6) Если р = 2, то
J-0
если agDr, /?f/. |x|
Функции ?(а, дс) и ?(а) обладают простыми свойствами пре-
преобразования относительно группы Галуа ручного разветвленного
нормального расширения К/Ко. Это будет использовано в главе
3.2.4 вместе с теоремой 2.90.
6.2. Явный закон взаимности Брюкнера и Востокова. Реко-
Рекомендуемая литература: Бргокнер [51]. Закон взаимности Ша-
Шафаревича не столь явен, как хотелось бы, поскольку для вычнс-
162
леиия A, г\) требуется записать в виде
| ~ я"П Е (а,я<) Е (а), л ~ "»П Е (ру, Ш) Е ф),
i 1
а затем, если p\(i+J), требуется записать в таком виде
?(orft,«'+J).
Более явный закон взаимности был открыт Брюкнером [53]
и С. В. Востоковым [8].
Используем обозначения § 6.1. Для простоты предположим,
что рф2. По поводу случая р=2 см. Брюкнер [52]. Пусть
?*г ((¦*)) — кольцо формальных степенных рядов
2 «**'.
с коэффициентами из Ог. Мы рассматриваем От((х)) как топо-
топологическое кольцо с системой окрестностей 0, заданной подгруп-
подгруппами х'От((х))-{-р'От((х)) для i€Z, /6N. Автоморфизм Фробе-
ниуса F продолжается с помощью равенства
до непрерывного эндоморфизма От((*))• Для f6DT((x)) частное
f/Ff лежит в 1+рОг[М]. Определим log^ для g^l+pOT[[x]\
обычным образом, как
Тогда \og:l+pOT\[x]h-p?)T^x]l+ — непрерывный гомоморфизм
групп. Кроме того, для произвольного f&DT((x))x положим
dlog/:--?-dxt
где /' — формальная производная /. Вычет hdx='I,i(mxidx, как
обычно, обозначается res hdx:—a-\
Для фиксированного простого элемента я из К и фиксиро-
фиксированного примитивного кория из единицы /?*-ой степени S опреде-
определим *е?>г(О*))так:пусть 1— ?—я''е,гдеебОхс и иеОг[[х]\ таковы,
что а(я)—=е. Тогда
t\=-\*-Q.—xt'uy"-={xlwy*{\— v), где vepDr(.(х));
1/t представляет собой ряд Лорана 2 а'х'* где limai=«
лежит в пополнении ?т((х)) кольца Ог ((•*)) относительно введен-
введенной выше топологии.
И*
163
как
Пусть Sn-отображение из Dr\\x]\d log x в Zp, определяемое
- —— jw для uQDT\lx]]d\ogx.
Кроме того, для f,geDr((x))x положим
d\ogFfVoT\\x)]d\ogx.
м /,
Р ~" Fg l\ р
Теперь можно сформулировать закон взаимности Брюкнера
и С. В. Востокова в форме из работы Брюкнера [51].
Теорема 2.91. Пусть р-- = 2, ?,
/(") = !. ?(")="!• Тогда
где
(&.т]) =
где
) (g) ||
Пример 17 (Артнн, Хассе [39, 2.6.9а], Артин, Тейт [40, гла-
глава 12]). В специальных случаях явные законы взаимности вы-
выглядят значительно проще, чем в форме Брюкнера и С. В. Вос-
Востокова. Пусть K: = QP(?), где ? — фиксированный примитивный
корень из единицы степени р. (р) = A—t)p~l представляет со-
собой разложение р в произведение простых идеалов в К- Поло-
Положим Я: = 1—?. Тогда
, если az=l(modA,2), 0 = 1 (modA,);
(?, a) = StrA°Ra>"', если a=l(modA.);
(а,р*) = ?;(г(:|ок«»/>, если a==l(modA,),
где ?Hog[3 означает логарифмическую производную от J3, рас-
рассматриваемую, как степенной ряд по Я, и tr обозначает след из
К в QP. Поскольку символ Гильберта тривиален для корней
р—1-й степени из единицы и ?=l(mod А,2), символ (a, P) для
произвольных а, реКх легко сводится к приведенным выше трем
случаям. ?3
Символ Гильберта можно рассматривать, как норменный
символ для расширений Куммера. В более общем случае, мож-
можно определить «символ Гильберта» для расширений, порожден-
порожденных точками деления формальных групп размерности единица.
.В. А. Колывагин [17] установил явные законы взаимности для
таких расширений. См. также Уайлис [283] и ряд статей
С. В. Востокова, в частности, с другими авторами (С. В. Восто-
ков, И. Б. Фесенко [9]) по поводу случая расширений Любнна—
10-1
Тейта (глава 1.4.10). С. В. Востоков также получил явный закон
взаимности для локальных полей более высокой размерности.
6.3. Приложение к последней теореме Ферма. П. Рекомендуе-
Рекомендуемая литература: Хассе [114, II, § 22]. Фуртвенглер заметил, что
закон взаимности для символа вычета р-н степени можно ис-
использовать для получения интересных достаточных условий для
первого случая последней теоремы Ферма (глава 1.3.10). Вдаль-
нейшем используем обозначения из главы 1.3.10. Так как из
xPJry" — zp, НОД(х, у, z) — \, p-fxyz следует, что (*+?';/) ~°-<р
для / = 0. ..., /7—1 и идеалов а( из Z[?], частное а= (*+?</)/я+.У
является р-й степенью дробного идеала. Более того,
Щ# - А —
х+ у
Следовательно, (¦--\= 1 для всех p?Z[?], взаимно простых с а,
т. е- НОД(р\ suppa)=l.
В качестве примера приложения условия ML)--=1 дадим
набросок доказательства следующей теоремы Фуртвенглера, а
дополнительную информацию можно получить в работе Хассе
[114, II, § 22].
Теорема 2.91а. Пусть х, у, z — натуральные числа такие,
что xp+y" = zp, НОД(л:, у, z) = 1 и p-\xyz. Кроме того, пусть q —
простое число такое, что q-fxyz. Тогда g" — l(modp2).
Доказательство. Используем следующую формулу из
Хассе [114, II, § 16.1].
LiLdL B.58а)
'" "-
l— mod
для всех a, P^Q(?) таких, что НОД(а, р) = 1, а5
P^^modp), где tr обозначает след из Q(t) в Q B.58а) сле-
следует из явного закона взаимности Артина, Хассе (пример 17).
Применим B.58а) к f$: =qP~l = \ (mod/?). Без огранимени
общности, пусть q\y, откуда a = l(mod^) и ( — 1=1. Таким
образом,
но
tr
— (Р— l)^-r#0(mod/7). ?
Так как всегда 2\xyz, из теоремы 2.91а следует критерий Ви-
фериха 2P-' = l(mod/72).
Наименьшими простыми р такими, что 2p = l(mod p2), яв-
являются числа 1093 и 3511 и других таких простых чисел /; с
условием р<3-109 нет. Мириманов доказал, что первый случай
105
выполняется, если 3"~1ssl(mod p2). Поскольку это условие спра-
справедливо для 1093 и 3511, первый случай имеет место для всех
р<3-109. Эдлман, Хит—Браун [33] и Фуври [92] показали, что
первый случай имеет место для бесконечного множества про-
простых чисел.
6.4. Символы. Рекомендуемая литература: Мил нор [189]. До-
Доказательство теоремы 2.91 в работе Брюкнера [51] основано на
теории символов. В этом разделе объясняется связь теоремы
2.91 с символами и рассматриваются символы на локальных
полях, служащие предпосылкой всех рассмотрений, посвящеи-
ных явным формулам для символа Гильберта.
Пусть R— коммутативное кольцо с единичным элементом и
А — абелева группа. Символ из R со значениями в А представ-
представляет собой бимультипликативное отображение С: Rxy(.Rx-*-A
такое, что
1) С (—а, а) = 0, если a*Rx;
2) СA— а, а) = 0, если aetfx, 1— ае#*.
Предложение 2.92. С(Ь, а) = С(а, Ь), если a, bGRx.
Доказательство. C(b, a)=C(b, —ab)=C(b{ab)~l,
—аЬ)=С(а~1, ab)=—C(a, b). ?
Если R— поле, то свойство 1) следует из свойства 2). Пусть
а=?М, тогда
0 = СA — а, а)=С(~аA—а-1), а) =
= С(—а, а)+С(\-а-\ в)-С(—в, с).
Предложение 2.93. Каждый символ конечного поля F,
тривиален.
Доказательство. Если и—образующий элемент F%, то
(й, а) = (— 1, и) и, поэтому 2(я, 6)-=0 для всех a, b&F?. Кроме
того,, существуют a, b&F% такие, что 1 = (а2 + Ь2)и, следовательно,
0=С(ыо2, 1—кс2)=С(кс2, иЬ2)=С(и, и). ?
Предложение 2.94. Пусть R — поле. Тогда для а, Ь,
Rx таких, что а-\-Ь — с,
С(а, Ь)~С(а, с)+С(с, Ь)+С(—1, с).
Доказательство. 0=C(bc[, ac-l)-C(b, а)—С(Ь, с) —
—С(с, а)+С(-1, с). О
Симовл С :ОГ((*)) ХОт((х))-»-Л называется допустимым, если
А является полной хаусдорфовой топологической группой с то-
топологией подгруппы, если С — непрерывен, С(ОГ, Ог)—{0} и
С(щ О((*))){0}
щ (())){}
Норменный символ Гильберта (, )pk индуцирует на Dr((x))X
ХОт((х)) символ С:
являющийся допустимым.
166
Теорема 2.95. f, g-*-(f, ?)-«Юг[М] является универсаль-
универсальным допустимым символом из Ог((д:)) со значениями в
?>T\[x]]d\ogx/dOr[{x]]. ?
6.5. Символы р-адических числовых полей. Пусть теперь
К—р-адическое числовое поле и t/i = l+j. Тогда КХ=(П)Х
Xn<7-iX?A, где q — число элементов в поле классов вычетов по-
поля К. Норменный символ Гильберта (,)т является символом из
К со значениями в цт. Пусть р — характеристика поля вычетов
для К.
Предложение 2.96. Пусть А — хаусдорфова полная топо-
топологическая абелева группа и С : КхХКх-»-/1 — непрерывный
символ. Тогда
1) С(^_„?Л)={0},
2) С(и,_,,|х^)-{0},
3) C(U,,Ux)^C{Ux,n).
Доказательство. Утверждение 1) следует из того фак-
факта, что U\ является Zp-модулем (глава 1.4.4), следовательно,
1/(<7—1)е^р. Из 1) следует, что С: ц,-1Хц«-1-»-^ протаскивается
через \iq.\UilUi. Таким образом, 2) следует из предложения
2.93. Для доказательства свойства 3) используется то, что для
¦«, /GN, о, р?ц.,-1 по предложению 2.94 имеем
СA —ря', 1— оя') = СA — ря', ря'—оря'+^)==
= С A — ря', 1 — оря'^) + С A — аря'Ч 1 — on') +
+ /С A — арп1+/, я) + С (— 1, 1 — аря'+>)-
Итерируя, находим, что С([/ь t/,)sC([/,, n)C(Uu 1+P*)
для произвольно большого числа h. Так как С непрерывен, из
этого следует, что C(U\, f/i)sC(t/i, я). ?
Осталось найти С (Кх, я). Пусть i = iopv, где p-\i0- Тогда
PVC A — ря', л) = Aд0) С A-ря', ряО=0. B.59)
Если корни р-ой степени из единицы не принадлежат К то,
к Zp-модуль, U\ порожден элементами вида 1—ря', где
|, (глава 1.4.4) и, следовательно, C(U\, я)=0.
Если црс:К>< и п — максимальное такое, что црлсК, то U\
порожден 1— ря' для р€и?_н \<i<eopn, p^i и одним элемен-
элементом вида
б,==1 — ря^"", где рец?-1. 1гпйррф0(тодр)
и где е0—индекс ветвления K/Qp(ppn) (глава 1.4.4). В дальнейшем
такой элемент б фиксируется.
Предложение 2.97. Пусть ? — примитивный корень из
«диницы порядка р" в К, гС^\. Тогда C(UU n) порождается
С(а, t,) при некотором а<5Кх.
167
как
Доказательство. Мы ужо знаем, что С(?/ь л) является
циклическим Zp-модулем, порожденным (б, я). Таким образом,
достаточно найти at Кх такой, что С(а, ?) порождает C(Ut,n,)/
/pC(Ui, л). Пусть /n(N — максимальное число такое, что t,53
^«(mod U\p) для некоторого u<U,n. Тогда т^еор". то т взаим-
взаимно просто с р. Выберем
а: = 1 ——==аят (mo<MJx)
-р Тогда С \а'-г)~0 и
) = C(c,6)=smC(n, б) (mod С (/7,, л)). П
для некоторого
С (а, |) = С
6.6. Ручные и дикие символы. Символ С у-адического число-
числового поля К называется ручным (соответственно, диким), если
C(UU Кх)={0} (соответственно, С(ц,.,, Кх)={0}). Ыорменный
символ Гильберта (,)т является ручным для p-fm и диким для
т = р'.
Предложение 2.98. Если К не содержит корни /?-ой сте-
степени из единицы, то каждый непрерывный дикий символ К три-
тривиален.
Доказательство. B.59). ?
Предложение 2.99. Любой непрерывный символ К мож-
можно единственным образом представить в виде суммы ручного и
дикого символов.
Доказательство. Пусть C — t-\-w, где / — ручной, а
w — дикий символ. Положим а. = п"^и, $ — nbbvdKx, где a, 66Z,
р, оО^,.ь и, v?U\. Тогда
. (аЬС{ — 1, л)аС(а, л) + ЬС(р, л), если рф2, /
'<а'Р) = |—аС(ст, п) + ЬС(р, л), если /> = 2. (
Этим доказана единственность. С другой стороны, B.60) опре-
определяет для произвольного С ручной символ, a w—/ — дикий
символ.
Непрерывный символ 5 из поля К называется универсаль-
универсальным ручным (соответственно, диким) символом, если для каж-
каждого ручного (соответственно, дикого) символа С : К*"Х.Кх-*-Аг
существует гомоморфизм / : A-*-Af такой, что C' — fC.
Теорема 2.100 (Теорема Мцра). Пусть К—р-адчческое
числовое поле такое, что [1рПсК, ц^ли^К. Тогда норменный
символ Гильберта ( , )рп явтается универсальным диким символом
поля К.
Доказательство. Это елгдует ич § 6.7.
Согласно B.60), универсальный ручной символ *:КУХКХ-»-
-*!1?-! задается как
6.7. Замечания о /С-теории Милнора. Рекомендуемая лите-
литература: Милнор [188]. Понятие символа приводит к К-теорш
Милнора. Для любого поля F определяется градуированное
кольцо Кх (F)= © Kj (F), как факторкольцо тензорной алгебры
Z + FX+FX®ZFX+FX®ZFX®ZFX+... B.62)
по идеалу, порожденному элементами а®A—а) для всех af:Fx,
аф\. Если F —топологическое поле, то B.62) обладает естест-
естественной топологией и /(xtop(F) определяется, как факторкольцо
B.62) по замкнутому идеалу, порожденному элементами
а®A—а) для всех a6Fx, аФ1. Результаты о символах на F
можно переформулировать, как результаты о К2(Р) или о
(
Одномерным аналогом символов является показательное
нормирование v ; Fx-»-Z. A. H. Паршин выдвинул плодотворную
идею о том, что, поскольку /Ci(F)=Fx определяет теорию полей
классов локальных полей,/(„(F) должно подобным же образом
определять теорию абелевых расширений «локальных полей
размерности п». Это действительно справедливо для локальных
полей размерности 0, т. е. для конечных полей и это оказывает-
оказывается верным и в общем случае, если определить локальное поле
размерности п по индукции следующим образом. Локальное по-
поле размерности п-\-\ представляет собой дискретно нормирован-
нормированное поле такое, что его поле классов вычетов является локаль-
локальным полем размерности п. Соответствующая глобальная теория
обещает произвести революцию в арифметической алгебраичес-
алгебраической геометрии.
§ 7. Дальнейшие результаты теории полей классов
7.1. Теорема Шафаревича—Вейля. Рекомендуемая литерату-
тура: Артин-Тейт [40, главы 13, 15]. Пусть F — локальное или
глобальное поле. Мы рассматриваем конечное нормальное рас-
расширение K/F и конечное абелево расширение L/K, заданное
соответствующей подгруппой модуля классов Ак (§ 1.6). Со-
Согласно теореме 2.11, Н инвариантна относительно G(K/F) тогда
и только тогда, когда L/F — нормальное. Предположив это, по-
получим расширение групп
v{1}, B.63
t(ct, р) —(—
1Г>8
{
где <7(K/F) действует на Ак/Н естественным образом.
Возникает вопрос, какой класс в M^(f}(K/F), AK/H) при-
принадлежит расширению групп B.63) (§ 3.1, пример 9). Если в
математике есть предустановленная гармония, то можно наде-
надеяться, что класс B.63) связан с каноническим классом в
//2(G(K/F), Лк) (теорема 2.51). Это действительно так:
169
1еорема 2.101 (Теорема Шафаревича—Вейля). Класс
расширения групп B.63) является образом канонического клас-
класса при отображении Я*(С (K/F), AK)-+fP(G(K/F), А к /Я)).
7.2. Универсальные нормы. Рекомендуемая литература: Ар-
тин—Тейт [40]. Пусть L/K — конечное нормальное расширение
локальных или глобальных полей. Ядром норменного символа
а-»-(а, L/K) является группа Nl/kAl (§ 1). Универсальной
нормой, по определению, является элемент из Лк, представля-
представляющий собой норму для всех конечных нормальных расширений
L/K. Следовательно, группой универсальных норм является
группа
где пересечение взято по всем нормальным расширениям L по-
поля к.
Легко видеть, что в локальном случае UK={1}. В глобальном
случае имеется следующий результат.
Теорема 2.102. Пусть К — алгебраическое числовое поле.
Тогда UK является связной компонентой группы классов иделей
6 (К). Группу UK можно также охарактеризовать, как группу
элементов из ©к> являющихся бесконечно делимыми.
Пусть V—группа целых аделей Q, т. е. компоненты являют-
являются целыми во всех конечных точках (глава 1.5.4). Пусть Г\
соответственно, г2) — число вещественных (соответственно, ком-
комплексных) точек поля К. Тогда Uk топологически изоморфна
группе
R+Xfl/7Z)"+r'-1X(R/Z)". TxT
7.3. О структуре группы классов идеалов. В этом пункте бу-
будут даны некоторые приложения изоморфизма между группой
классов идеалов CL(K) и группой Галуа поля классов Гильбер-
Гильберта Я(К) алгебраического числового поля (§ 1.2)
Теорема 2.103. Пусть L/K — конечное расширение число-
числовых полей, не содержащее подрасширений F/K, F^K, не раз-
разветвленных во всех точках. Тогда Л(К) |Л(L). При этом
Доказательство. Согласно B.5), имеется коммутатив-
коммутативная диаграмма
170
По условию, Я(К)ПЬ=К. Поэтому у. сюръективно и, следова-
следовательно, отображение нормы также сюръективио. ?
Теорема 2.104. Пусть р — простое число и L/K — конечное
/«-расширение, т. е. L/K—нормальное и его степень является
степенью числа р. Тогда из p\h(L) следует, что p\h(K).
Если К не имеет абелевых расширений, не разветвленных в
конечных точках (например, K=Q), то достаточно предполо-
предположить, что К имеет не более, чем одну конечную точку, ветвящу-
ветвящуюся в L/K.
Доказательство. Пусть p\h(L). Пусть Н—максималь-
Н—максимальное неразветвленное абелево уэ-расширение L. Тогда Н/К—нор-
Н/К—нормальное. Положим C: = G(H/K). Пусть v — точка поля К, ко-
которая ветвится в L/K (если такая точка существует), пусть w —
точка поля Н, лежащая над v, и пусть Vo— группа инерции w
относительно Н/К. По предположению, Vo=G. Так как G —
р-группа, Vo оставляет неподвижным циклическое подрасшире-
ние Е степени р расширения Н/К. Тогда Е/К неразветвлено во
всех точках. ?
Пусть т — произведение всех вещественных точек поля К
и CLo(K)—группа лучевых классов по mod m (глава 1.5.6).
CL0(K) называется группой классов идеалов в узком смысле.
Если К — вполне комплексное, т.е. К не имеет вещественных то-
точек, то CLo(K)=CL(K). Поле классов CL0(K) представляет со-
собой максимальное абелево расширение К, не разветвленное в
конечных точках.
При мер 18. Число классов поля K = Q(l/6) равно 1, н<>
Q)~\f—2, У — 3)/QQ/?) иеразветвлено в конечных точках,
CL0(K)| = 2. ?
Следующая теорема восходит к Гауссу, сформулировавшему
ее на языке квадратичных форм (глава 1.1.6).
Теорема 2.105. Пусть К — квадратичное расширение поля
Q с / разветвленными конечными точками. Тогда [CL0(K) :
:CL0(KJ]=2'-1.
Доказательство. Пусть d — дискриминант K/Q. Тог-
Тогда d однозначно представляется в виде
где Pi—простой дискриминант, т.е. поле Q{Vp\) имеет одно
разветвленное простое число pt, i = l, ...,*. Простой дискри-
дискриминант р* имеет вид
/?* = (— \)lp-lW*p, если р=2, и />*=— 4,8, —8, если />=2.
Поле _классов _Н0(К) из CL0(K) содержит поле
E = Q(y>J. ..-¦.Vp't)- С другой стороны, пусть Е/К —макси-
—максимальное 2-элементарное подрасширение Я0(К)/К. Тогда E/Q —
нормальное. Группа ветвления Vo простого дивизора Р\ в Е
171
имеет порядок 2 и не содержится в G(E/K). Поэтому G(E/K)
не содержит элементов порядка 4. Следовательно, G(E/Q) —
абелева 2-элементарная группа и Е = Е'.
Классы из CLo(K)/CLo(KJ называются родами К a CL0(KJ
называется главным родом. Если а — идеал К, взаимно простой
с Ь, то, согласно B.5),
t/K
Тем самым, доказана следующая теорема.
Теорема 2.106. Пусть К — квадратичное расширение поля
Q с дискриминантом d. Тогда норма из К в Q индуцирует вло-
вложение
i: CL0(K)/CLo(KJ-^(Z/^/Z)></(Z/rfZ)>< .
Образ i равен U(K)/(Z/dZ)x , где t/(K) — подгруппа (Z/rfZ)\
соответствующая К в смысле § 1.1. D
Обобщения теорем 2.105 и 2.106 приведены в работе Лео-
Леопольдта [168]. Дополнительная информация о 2-компоненте
CLo(K) приведена в главе 3.
7.4. Spiegelungssatz. Леопольдта. Рекомендуемая литерату-
литература: Вашингтон [270, глава 10.2]. В этом пункте используются не-
некоторые результаты из теории представлений полупростых ал-
алгебр над полями (Кертис—Райнер [72]).
Пусть р — фиксированное простое число, a L — конечное нор-
нормальное расширение алгебраического числового поля К такое,
что ц-pCrL и p-ffL: К]. Положим G: = G(L/K). Силовская р-груп-
па А группы классов идеалов L является ZpfGJ-модулем.
Групповое кольцо QP [G] является прямой суммой простых
алгебр Яф , соответствующих неприводимым характерам Ф
QP[G]. Алгебра ЯФ является полной матричной алгеброй над
своим центром Z<t>. Ранг ЯФ над 2Ф равен степени х(П любой
абсолютно неприводимой компоненты % характера Ф. Расшире-
Расширение Zф/Qp — неразветвленное и имеет степень ФA)/хО)- Ха-
Характеру Ф соответствует примитивный идемпотент
1 ._v(l) —
где
= Q[O]U и
1Ф. 1ф=0 если
Из B.64-) следует рззло:-кен ie н поямое про:1зведенче
Л = Г1яф, где ЯФ=Л1ф.
B.64)
ф
Индекс [Лф:Лф] является степенью pb{lv<*> от рфA). Число еф
называется С?-рангом Яф.
172
характер такой, что
Пусть
Отражением (в оригинале— re flection (Spiegetuag)) Ф харак-
характера Ф является характер, определяемый как
(g) (g)-i) для
Имеем: ф=ф.
Пусть Е—группа единиц Ей <S = E/E". Класс вЕ" из 6 назы-
называется примерным, если Klf/Tj/K неразветвлено для всех точек
поля К, лежащих над р. Пусть 60—группа примарных классов.
Так как <g0 является Ър [О]-модулем, имеется разложение в прямое
произведение
ф
Теорема 2.107 (Spiegelungssatz Леопольдта). Пусть еФ
(соответственно, бФ) является G-рангом Лф (соответственно,
<5оф). Тогда
Оф B.65)
(Леопольдт [169].)
Доказательство соединяет наши знания из теории полей
классов о максимальных неразветвленных р-элементарных рас-
расширениях К с теорией Куммера таких расширений.
В частном случае, когда L является СМ-полем, т. е. чисто
мнимым квадратичным расширением вполне вещественного рас-
расширения К и i обозначает комплексное сопряжение, получаем,
что ФA)=±ФA). Характеры Ф такие, что Ф0)=ФA) (соот-
(соответственно, Ф@ = —ФA) называются четными (соответственно,
нечетными). Так как 6Ф =0 для нечетных характеров, B.65)
в этом случае принимает вид
6ф>^ф — <?ф>0, если Ф—четный. B.66)
Это применяется, в частности, в случае K = Q, L=Q(n.p). Теоре-
Теорема 2.107, усиливающая в этом случае результат Куммера, была
доказана Поллачеком.
Другой частный случай представляет собой следующая
теорема Шольца.
Теорема 2.108. Пусть d>\ свободно от квадратов,
г —3-ранг групп .г классов идеалов поля Q(|/i5) us — 3-ранг груп-
группы классов идеалов Q (J/" — 3d). Тогда
Доказательство. Применим теорему 2.107 в случае
3, K=Q, L = IT 5
173
=»—Vd, o(K—3)--=>l/3. Пусть х — нетривиальный четный харак-
характер О. Тогда г=е%> $=¦%, й*<1. Следовательно, утверждение
вытекает нз B.65).
7.5. Когомологии мультипликативной группы. Рекомендуемая
литература: Тейт [258, 11.4]. Сохраним обозначения § 5.6, в ко-
котором мы определили структуру H2(G, L*).
В общем случае, из точной последовательности
следует точная последовательность
Имеем
, Z)
B.33), теорема 2.52). Поэтому Кегф изоморфно
коядру отображения
(О, Z),
заданного, как
ния
*Bp.)-2'
\ v J o
По предложению 2.47 Coker^, двойственно ядру отображу
to:ti»-*(Q,Z)-+ U H3-"(GW , Z),
рерк
заданного посредством
тт
„ • р-
Отметим два случая: «==0 и я =
Теорема 2.109. Пусть
двэастзенно ядру отображения ограничения
)-* П Я3 @^,2). |х|
Тогда
Пример I. Если существует точка ¦» поля К такая, что
О = С?дао, то любой элемент agK*, являющийся локальной нор-
нормой для всех -обРк. является глобальной нормой.
Теорема 2.110. Я3(G,L*)—циклическая, порядка
[L:K]/HOK{[L.,:K,ll«e/M-
Доказательство. Из теоремы 2.52 следует, что
H4QWv, Llv)^W{GWv,Z) = {0). П
По поводу дополннтельной информации см. Тейт [255], [258]
174
Глава 3
ГРУППЫ ГАЛУА
До сих пор мы изучали теорию полей классов, в основном
как теорию конечных абелевых расширений локальных и гло-
глобальных полей. В этой главе нас будет, в основном, интересо-
интересовать изучение группы Галуа (главным образом) бесконечных
нормальных расширений на основе когомологического подхода
к теории полей классов.
Группа Галуа бесконечного нормального расширения полей
была введена Круллем [156(] в 1928 году. Важность групп Га-
Галуа бесконечных расширений с некоторыми условиями макси-
максимальности стала очевидна после работ И. Р. Шафаревича [25],
Ивасавы [134], Кавады [143] о локальных полях и работ Тейта
и Серра [259], [225], о глобальных полях. Кульминацией этого
развития было решение проблемы о башне полей классов
Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем [10].
Теория погружений полей, начала которой заложены в ряде
работ Д. К. Фаддеева и Хассе, опубликованных в сороковые
годы, была применена И. Р. Шафаревичем f26|] к решению об-
обратной задачи теории Галуа над алгебраическими числовыми
полями для разрешимых групп. В терминах когомологии Галуа
теория погружений полей была переформулирована М. И. Баш-
маковым [3] и Хоехсманном [129].
Новое направление в теории Галуа было создано Матцатом
[175] и Г. В. Белым [4], показавшими, на основе теоремы Гиль-
Гильберта о неприводимости, что некоторые простые некоммутатив-
некоммутативные группы являются группами Галуа нормальных расширений
над абелевыми полями.
175
Глава 3 строится следующим образом: в § 1 вводится язык
проконечных групп и когомологии таких групп. В пунктах
1.12—1.16 развивается теория про-/?-групп, включая классифи-
классификацию групп Дёмушкина и теорему Голода, Шафаревича.
В § 2 приведены наиболее важные результаты о когомологии
Галуа локальных и глобальных полей с приложением к струк-
структуре группы Галуа максимального /^-расширения локальных по-
полей B.3), алгебраическое замыкание локальных полей B.4) и
максимального /^-расширения с заданным ветвлением глобаль-
глобальных полей B.6). § 3 содержит теорию погружения полей и ре-
результаты о расширениях глобальных полей с заданной группой
Галуа.
§ 1. Когомологии проконечных групп
Рекомендуемая литература: Серр [225, глава 1], Кох [148,
§ 1-7].
Начнём с объяснения языка когомологин Галуа, представ-
представляющего собой топологическую версию когомологни групп
(глава 2.3).
1.1. Обратные пределы групп и колец. Пусть К — поле и
L/K — бесконечное (сепарабелыюе алгебраическое) нормаль-
нормальное расширение, т. е. L — объединение конечных (сепарабель-
ных) расширений L, поля К, где i пробегает систему индексов /.
Группу Галуа Ц/К можно.понимать, как предел конечных групп
Галуа G(L,/K). Этот предел называется обратным, или проек-
проективным, пределом системы.
Обратные пределы играют всё большую роль не только в
алгебраической теории чисел, но, также в других областях ма-
математики, таких, как алгебраическая геометрия и топология
(см., например, Хартсхорн fill, глава 2.9], Сулливан [251]).
Начнём с описания понятия обратного предела с точки зре-
зрения топологических групп.
Пусть / — направленное множество относительно упорядо-
упорядочения ^, т. е. для всех I, jo/ существует kol такой, что i^k,
/<7г. Рассматриваем /, как категорию с множеством объектов/
и множеством морфизмов Нот(/,/). /. /(•/, содержащим един-
единственный элемент, если /s^/ н пустым в противном случае.
Обратная система Р = {1, G,, ц<,'} компактных групп (колец)
представляет собой контраварнантиый функтор из / в катего-
категорию К компактных групп (колец) такой, что G, = P(/) для if/
и (p/=P(i^.j) : Gt—>-G,. Для краткости используется также обо-
обозначение P{Gi, HI). P(i^.i) является тождественным отобра-
отображенном
17Г,
Пример 1. Пусть /=N — упорядоченное множество нату-
натуральных чисел, {G,|ieN}— семейство компактных групп и
<p,1+1 — произвольные морфизмы Gi+l в G(. Для i</ определим
Тогда {N, Gj, cpjj} является обратной системой. ?
Для любого направленного множества / и G&K тривиаль-
тривиальная обратная система Рс, сопоставляет Ш группу (кольцо) G
и /^/ — тождественное отображение. Любому морфизму <р из
G'dK в G соответствует функториальный морфизм из Рс1 в
PG, снова обозначаемый <р.
Пусть Р={1, Gt, (pi1) — обратная система. Группа (кольцо)
G(-K вместе с функториальным морфизмом Ф из Рс в Р назы-
называется обратным пределом Р, если для всех G' и любого
функториального морфизма Ф' из PG' в Р существует, и притом
единственный, морфизм ф из G' в G такой, что диаграмма ком-
коммутативна. Функториальный морфизм из Рс в Р задаётся се-
семейством {ф(|1б/ морфизмов из G в G( таких, что диаграмма
коммутативна при i^/.
Из определения следует, что обратный предел определён
однозначно с точностью до изоморфизма.
Предложение 3.1. Для любой обратной системы
{/, G,, ф,-'} существует обратный предел.
Доказательство. Определим О как группу, состоящую
из всех элементов вида II gt из прямого произведения ILGi
таких, что gi=><p[gj для всех i</. Морфизм <pt'-G-*-Gt пред"
ставляет собой ограничение lLgt на gt. ?
будет обозначаться lim G( или
Обратный предел {/,О/,
llm О,.
Пример 2. Пусть G — произвольная топологическая груп-
группа (кольцо) и / — множество замкнутых нормальных подгрупп
12—6164
177
(идеалов) конечного индекса в G, замкнутое относительно ко*
нечных пересечений. Пусть »</ равносильно тому, что ia/ ком-
коммутативна.
Морфизму \Ь сопоставляется морфизм ф из ПтС/, в lim/Zj с
Помощью равенства
V6' /
Из приведенных выше определений ясно, что следует понимать
под категорией Ki обратных систем над направленным множе-
множеством /. Функтор lim из К/ в К точен. Иными словами:
-'б'
Предложение 3.2. Пусть
обратные системы и пусть 0={8(} и ф={<р<}—морфизмы из Р
в Q и из Q в /?, соответственно, такие, что для всех »б/ после-
последовательность
¦ Hm#,->{1}—
точна. Тогда последовательность
{l)-*-UmF,-*llmOr
точная.
1.2. Проконечные группы. Проконечная группа — это топо-
топологическая группа, которую можно представить, как обратный
предел конечных групп.
Пример 3. Группы Q1 из примера 2—проконечные, в част
ностн Z+ и Z* — прокоиечиые группы.
Пример 4. Аналитическая группа над Qp определяется
так же, как аналитическая группа над R. Компактная анали-
аналитическая группа над Qp — проконечная группа. В частности,
GLn(Zp), SLn(Zp) —проконечные группы.
Пусть G, (ф( 11'€/} — обратный предел обратной системы
{/, Git (pi'}. Тогда {Кег ф(/1б/} — полная система окрестностей
единицы в топологии группы G.
Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только
тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс.
Дадим теперь внутреннюю характеристику проконечных
групп:
Предложение 3.3. Следующие свойства компактных
групп G эквивалентны:
1) G — прокоиечная.
2) G — полностью несвязная.
3) Существует множество U открытых нормальных подгрупп
178
группы G, представляющее собой полную систему окрестностей
единицы в G.
Категория проконечных групп (морфизмами являются не-
непрерывные гомоморфизмы) замкнута относительно замкнутых
подгрупп, факторгрупп, бесконечных прямых произведений и
обратных пределов. Следующее предложение гарантирует су-
существование непрерывной системы представителей для комно-
жеств подгрупп:
Предложение 3.4. Пусть Н— замкнутая подгруппа про-
коиечной группы G. Тогда существует непрерывное сечение сг
из G/H в G такое, что <т(Я) = 1, т. е. непрерывное отображе-
отображение а из G/H в G такое, что композиция а с проекцией G-*-G/H
даёт тождественное отображение.
Пусть G — абелева прокоиечиая группа и % — непрерывный
гомоморфизм из G в R/Z. Вместе с G также для i, /€/. Для
ts^/ пусть ф<* является проекцией G/j-*-G/i. Тогда {/, G/i,
Ф<0 — обратная система. Соответствующий предел будет обо-
обозначаться G1. Если / является множеством всех замкнутых нор-
нормальных подгрупп (идеалов) конечного индекса в G, то G1
называется полным пополнением G и обозначается G. Пусть-
р — простое число. Если /—множество всех замкнутых нор-
нормальных подгрупп (идеалов), индекс которых равен степени рг
то G" называется р-пополнением G.
Пример 5. /^-пополнение дискретного кольца Z целых чи-
чисел изоморфно кольцу Zp целых р-адических чисел, полное по-
пополнение Z изоморфно прямому произведению, nzp, взятому
по всем простым числам р.
В более общем случае, пусть D — дедекиндово кольцо (гла-
(глава 1.3) и р — простой идеал конечного индекса в О. Тогда по-
пополнение О относительно множества I степеней идеала 1р изо-
изоморфно кольцу О целых чисел в пополнении поля частных К
для О относительно нормирования К, соответствующего 1р.
Пусть О — дедекиидово кольцо такое, что О/1р — конечное
для всех простых идеалов 1р(=/¦{()}). Тогда полное пополнение D
изоморфно прямому произведению Ор , взятому по всем про-
простым идеалам 1р из О.
Пусть Р="{/, G,, ф,*} и Q={J, Ни tyi1} — обратные системы.
Морфизм rj> из Р в Q состоит из морфизма из / в / и семейства
морфизмов tyh /6/, из G<d(j) в Hi таких, что при i^/ диаграмма
компактна и полностью несвязна Im %. Поэтому Im % — конеч-
конечная, следовательно, циклическая и содержится в Q/Z. Это озна-
означает, что двойственная группа Понтрягнна x(G*):=»
12*
=Hom(G,fl/Z) группы G представляет собой дискретную груп-
группу кручения. G-»-x(G*)—точный функтор из категории абеле-
абелевых проконечных групп в категорию абелевых дискретных групп
кручения.
Пример 6. Двойственная группа для полного пополнения
Z+ есть Q/Z.
Двойственным понятием для обратного предела компактных
абелевых групп является понятие прямого предела дискретных
абелевых групп (см. § 1.4). Пусть {G,/i/} — обратная система
компактных абелевых групп. Тогда
-I
(ЗЛ)
1.3. Сверхнатуральные числа. Сверхнатуральное число пред-
представляет собой формальное произведение Прр"" взятое по всем
простым числам р, где пр — целые неотрицательные числа,
или оо. Произведение, НОД и НОК любого множества сверхна-
сверхнатуральных чисел определяется очевидным способом.
Пусть G — проконечная группа и Н — замкнутая подгруп-
подгруппа G. Индекс [G : Н] группы Н в G определяется как НОК ко-
конечных индексов [G: Ни], где U пробегает вое открытые нор-
нормальные подгруппы группы G.
Предложение 3.5. 1) Пусть KsHsG — проконечные
группы. Тогда
[G:K}=[G:H][H:K].
2) Пусть {f-ft, г'Р/}—Убывающее фильтрующее семейство замк
нутых подгрупп группы Q такое, что //= C\Ht. Тогда
'б7
[G:H]=HOK{[G:HJ|IGI}.
3) Замкнутая подгруппа Н открыта в G тогда и только тог-
тогда, когда [G : Н] — натуральное число.
1.4. Про- р-группы и силовские р-группы. Пусть р — простое
число. Проконечная группа является про- р-группой, если она—
обратный предел р-групп. Это равносильно тому, что порядок Н
есть конечная, или бесконечная, степень числа р. Замкнутая
подгруппа Н проконечиой группы G называется силовской
р-группой, если Н — про-р-группа и индекс [G : Н] взаимно
прост с р.
Предложение 3. 6. Пусть G — проконечная группа и р
простое число.
1) Существует силопская р-группа группы G н две силов-
силовские р-группы группы G сопряжены.
2) Любая про-р-группа, содержащаяся в G. является под-
подгруппой силовской р-группы.
3) Пусть G' — образ морфизма гр из G и Н — силовская
р-группа группы G. Тогда <р(Н)—енловская р-группа группыG'
ISO
1.5. Свободные проконечные, свободные проразрешимые и
свободные про-р-группы.
Пусть / — множество и /•"(/) —свободная дискретная группа
с системой образующих {sjtel}. Пусть, далее, система открытых
нормальных подгрупп, содержащих почти все s(. Тогда
lim F(I)/N
называется свободной проконечной группой F=F, со свободной
системой образующих {Sj/ie/}. Если 91— система открытых под-
подгрупп с разрешимой факторгруппой (соответственно, с индек-
индексом, равным степени р), содержащих почти все s;,
то llm F(I)/N называется свободной про разреши ной (соответ-<
ственно, свободной про-р-группой) F — F/ со свободной систе-
системой образующих {S/fiQl}.
Эти определения подкреплены следующими фактами, спра-
справедливыми в обоих случаях:
Предложение 3.7. 1) Естественное отображение F(I)-*~F
является вложением.
2) Пусть G— проконечная (про-р-) группа и {gi/iGl}— се-
семейство элементов из G таких, что любая окрестность 1 содер-
содержит почти все gi. Тогда sf-»-gi, te/, определяет морфизм F в Gfxj.
Всегда можно найти такое семейство {g</iG/}, которое порож-
порождает G, т. е. такое, что наименьшая змакнутая подгруппа груп-
группы G, содержащая {gi/tel}, совпадает с G. Тогда {gi/i^I} назы-
называется системой образующих G. Система образующих назы-
называется минимальной, если она не обладает собственным подсе-
подсемейством, порождающим G.
1.6. Дискретные модули. Пусть G — проконечная группа, а
А —унитарный G-модуль. Рассматриваем А как топологическое
пространство с дискретной топологией. А называется дискрет-
дискретным G-модулем, если действие G на А непрерывно.
Предложение 3.8. Пусть G — проконечная группа и А —
унитарный G-модуль. Следующие условия равносильны:
1) А — дискретный G-модуль.
2) Для любого а<?\ стабилизатор Ga={g?G/ga = a} является
открытой подгруппой G.
3) Пусть U — множество всех открытых нормальных под-
подгрупп G. Тогда
A- U А".
Пример 7. Пусть А —абелева группа и G — проконечная
группа, действующая на А тривиально. Тогда А — дискретный
G-модуль.
Пример 8. Умножение на целые р-адические числа опреде-
определяет Qp/Zp как дискретный Zp-модуль.
181
Пусть G—проконечная группа, Н—замкнутая подгруппа О
и А—дискретный Н-модуль. М" (А) обозначает множество всех
непрерывных соображений / из О в А таких, что
hf{x)=f{hx) для Лея, x?G (сравните с гл. 2.3.4).
Отображение / непрерывно тогда и только тогда, когда в G
существует открытая нормальная подгруппа U такая, что f за-
зависит только от классов G/U.
Определим М%(\), как Q-модуль равенством
(gf) (•*) — / (xg) для g, x&Q.
Легко видеть, что М"(А) — дискретный G-модуль. М^:^
**=МУ(\) называется индуцированным модулем.
В дальнейшем под G-модулем всегда подразумевается дис-
дискретный унитарный G-модуль. Кроме категории Cg G-модулей,
важна также следующая категория С: объектами С являются
пары [G, А], где G — проконечная группа н А—G-модуль. Мор-
физм из [G, AJ в [Н, В] — это пара [ф, <р] такая, что <р — морфнзм
из Н в G и ф — гомоморфизм абелевых групп из А в В та-
такой, что
1|>(ф(Л)а)=М|?(а) для ЛеН, аеА.
Для конечных групп G категория С совпадает с категорией, рас-
рассмотренной в главе 2.3.2.
1.7. Индуктивные пределы в С. Пусть / — направленное мно-
множество. Прямой системой (также называемой индуктивной си-
системой) {/, [G,, AJ, фЛ $/]} в С является ковариаитный функтор
Ф из категории / (§ 1.1) в С такой, что O(i)=[G,, XJi для Ш
и Ф (/</') =[<рЛ \f>/]. Тогда {/, G<, фЛ — обратная система в кате-
категории проконечных групп н (/, A<, ipr*} — прямая система абеле-
абелевых групп. Каждому G-модулю А сопоставляется тривиальная
прямая система
где ф/ и ф/ — тождественнее отображения. Морфизму [ф, rj>] из
[G, А] в [С?', А'] очевидным образом сопоставляется морфизм из
?>[g,aj в ZD[g-,a[, также обозначаемый [ф,-ф]. J1——»—»»
Пусть Z) = {/, [Git А,], [ф{, rjj^]}—прямая система. G-модуль А
вместе с функториальным морфизмом Ф из D в ?>|G,ai называет-
называется прямим, пределом О, ес'ли для пюбого G'-модуля А' и лю-
любого функториальнсго морфлзма Ф' из D в D[O'.ai существует,
притом единственный, морфнзм [ф, rj>] из [G, А] в [G', К] такой,
что диаграмма
коммутативна.
Функториальный морфнзм D в Dla, д, задается семейством
{[ф(г|)(] | ie/} морфизмов из [G() AJ в G, А] таким, что при i<j
диаграммы
n\ A
коммутативны.
Из определения следует, что прямые пределы определяются
однозначно, с точностью до изоморфизма.
Предложение 3.9. В категории С существуют прямые
пределы.
Доказательство. Два элемента afi\t и а(еА, называют-
называются эквивалентными, если существует fte/ такой, что
Получаем отношение эквивалентности в разделенном объеди-
объединении абелевых групп A/, i?l. Эти классы по отношению к указан-
указанному отношению эквивалентности, очевидным образом являются
абелевой группой A, A = HmA/t представляющей собой прямой
I—
предел прямой системы {/, A/, rjj/}. А есть <7=*llm Огмодуль
и существует фуикториальный морфизм из D в D[o,ai. определен-
определенный естественным оСразом, такой, что [О, А], Ф—прямой пре-
предел D. Детали оставляем читателю.
Пусть G — проконечная группа и 11 — множество открытых
нормальных подгрупп G. Каждая пара [G, А] является пределом
прямой системы {U, G/U, \и}. Поэтому каждый (дискретный)
G-модуль является прямым пределом G< — модулей с конечны-
конечными группами G*.
1.8. Теория Г ал у а бесконечных алгебраических расширений.
Пусть К — произвольное поле и L — расширение К. Будем на-
называть L/K нормальным расширением, если L является объеди-
объединением конечных нормальных сепарабельных алгебраических
расширений К.
183
Группа Галуа G(L/K) нормального расширения L/K являет-
является топологической группой всех автоморфизмов поля L, остав-
оставляющих элементы К неподвижными. Топология G(L/K) опреде-
определяется системой окрестностей единицы
U(L/K): = {G(L/N)|Nr-S},
W5i—множество всех конечных нормальных подрасширений
Легко видеть, что <7(L/K) является обратным пределом обрат-
ним пределом обратной системы («R, G(N/K),<p%), где для N^M,
<Р% является проекцией C?(Af/K)->G(N/K). Следовательно,
<7(L/K) — проконечная группа.
Предложение 3.10. (Основная теорема теории Галуа).
Пусть L/K — нормальное расширение. Отображение
Ф : M-+G(L/M)
определяет взаимно однозначное соответствие между всеми под-
расширениями М/К расширения L/K и замкнутыми подгруппа-
подгруппами G(L/K). Обратным для Ф является отображение, ставящее
в соответствие замкнутой подгруппе U группы G(L/K) непо-
неподвижное поле K(?/): = {aGL|ga=a, аб?/}. В
Пусть теперь R — дедекиндово кольцо с полем частных К,
v нормирование К, соответствующее простому идеалу из R,
L — нормальное расширение К и w — продолжение v на L.
Часть рассмотрений главы 1.3.7 можно перенести на бесконеч-
бесконечные расширения.
Если g(*G (L/K), определим gw как
gw(a)—w(g-{a) для aC-L.
Кроме того, группа разложения Gw и группа инерции Tw опреде-
определяются для w как
Если расширение поля классов вычетов L0,/Kr — сепарабель-
ное, то существует естественный ичоморфизм GJTa на О(Ц<,/К„).
Если К„— конечное, то автоморфизм Фробениуса F^GJTV оп-
определяется, как в предложении 1.44.5 и /"«, порождает GJTa.
Высшие группы ветвления можно определить, для верхней
нумерации, с помощью теоремы 1.46: для y?R, у^О положим
V>(w, L/K)= lim V»(w|n. N/K), C2)
у — скачок, если Ууф Vv+' для произвольного е>0. Скачком
может быт-ь любое неотрицательное вещественное число.
См. Маус [181], [182], [183], [184], Сен [220], Н. Л. Гордеев, [11]
по поводу детального рассмотрения фильтрации {Vy/y?R+} груп-
группы G(L/K) в случае локальных полей.
184
Пример 9. Пусть К — конечное поле и L— алгебраическое
замыкание К. Тогда G(L/K) — полное пополнение Z+ для Z+.
Пример 10. Пусть К — конечное расширение QP и L =
= Кпг — максимальное неразветвленное расширение поля К в
алгебраическом замыкании поля К. Тогда G(L/K)=Z+. ?
Пример 11. Пусть К —Q и пусть L — объединение псех
круговых расширений Q (глава 1.3.9). Тогда G(L/K) изоморф-
изоморфна мультипликативной группе кольца Z.
Пример 12. Пусть К —локальное плч глобальное поле
с модулем классов Ак (глава 2.1.7) н пусть К'"' —максимальное
абелево расширение К. Тогда по теории полей классов (глава 2.1)
О(КЯ*/К) изоморфна полному пополнению Ак-
Этот изоморфизм индуцирован норменным символом (a, K)fi
?С?(К/К)а*> определенным равенством
(а, К): = lira (a, L/K), «еАк. C.2а)
— L
где L пробегает конечные нормальные расширения К. (Сравни-
(Сравните с теоремой 2.11) Функториальные свойства этого символа не-
немедленно следуют из теорем 2.12 и 2.13.
Пусть К'/К — конечное расширение в К. Если Н — откры-
открытая подгруппа проконечной группы G, перенос из G в Н опре-
определяется так_же, как в_случае конечных групп. Пусть Ver — пе-
перенос из G(K/K) в G(K/K')
Тогда
Ver(a, K) = (a, К'), <х(=Ак C-2бУ
k(a, K') = (NK',Ka, К), _
где k обозначает гомоморфизм из O(K/K')aft в О (К/КГ. инду-
индуцированный включением G(K/K')^O(К/К).
Пусть ^—автоморфизм К, тогда
Пример 12а. Пусть F— риманова поверхность конечного
расширения К функционального поля С (Z) и ^ — ко11?™"я
множество точек из F. Пусть g - род F. Тогда группа Галуа
максимального расширения К, не разветвленного вне:?. изо_
морфна полному пополнению фундаментальной группы г \о
(Шпрингер [240, глава 10.9]). В соответствии с хорошо извест
ной структурой этой группы (см., например, Заиферт Грель-
фолл [219, глава 7]), С, изоморфна свободной "Р0^"^/^
пе с 2^+|S | — 1 образующими, если ЭФ0 и G изоморфна про
конечной группе с образующими sb tu ..., sg, tg и одним со
ношением
185
если S—0. В частности, если g=0 н S=0, т. е. К имеет вид
C(Z), то G={1}. Это соответствует теореме Мииковского о
дискриминанте (теорема 1.41). Н
Пример 13. Пусть К — р-адическое числовое поле с прос-
простым идеалом >. Композит конечных ручных расширений развет-
разветвленных расширений поля К снова является ручным развет-
разветвленным (предложение 1.64). Пусть L — максимальное ручное
разветвленное расширение поля К в алгебраическом замыка-
замыкании К. Тогда G(L/Knr) изоморфна Пдфр1р, где произведение
взято по всем простым дфр. Если s — продолжение автомор-
автоморфизма Фробеииуса с К„г/К на L, то
sts-i = **»>, t(*Q(L/Knr). ? C.3)
1.9. Когомологии проконечных групп. Пусть G — проконечная
группа и А—(дискретный) G-модуль. Определение групп кого-
когомологии Hn(G, А), п=0, 1 подобно определению групп ко-
гомологий для абстрактных групп (глава 2.3). n-мерная коцепь
f группы G со значениями в А есть непрерывное отображение
n-кратного произведения G в А. Непрерывность означает, что
существует открытая подгруппа U группы G такая, что значе-
значения f зависят лишь от ко-множеств G относительно U. Ввиду
этой модификации все, что было сказано в главе 2.3.1—7 пере-
переносится на случай прокоиечных групп и мы это ие повторяем.
Используются обозначения из главы 2.3.
Предложение 3.11. Пусть {/, [G,, А,], [ф{, ф/]}—прямая
система в С с пределом [О, А]. Тогда
//л(О,А) = ИтЯ%О„ А,), « = 0, 1,.... ?
Предложение 3.12. Пусть G — проконечная группа и
А — G-модуль. Тогда #n(G, A)—группа кручения при п>0.
Доказательство. Это следует из предложений 2.37, 3.11
и § 1.7.
1.10. Когомологическая размерность. Пусть G — прокоиечная
группа ир — простое число. Когомологической р-размерностью
cdp(G) группы G называется наименьшее целое число п такое,
что для всех /п> пи любого G-модуля А, являющегося группой
кручения, р-примарная компонента H'n(G, А) исчезает. Если
такое целое число не существует, то мы полагаем cdp(G) = оо.
Когомологическая размерность cd(G) группы G является
точной верхней гранью р-размериостей.
Предложение 3.13. Пусть пЗ^О — целое число такое, что
Hn+t(G, A)={0} для всех простых G-модулей А, которые анну-
аннулируются р. Тогда afp(G)<n. И
Абелева группа А называется р-делимой, если рА=А.
Предложение 3.14. Пусть cdp(G)<ln и А — р-делимый.
¦G-модуль. Тогда р—примарная компонента Hm(G, А) исче-
исчезает для m>n.
186
Пример 13а. cdP(G)<l, если G —свободная про-р-группа
{сравните с § 1.12), свободная проконечная группа или свобод-
свободная проразрешимая группа. cdp(G) — l, если G—Z О
Строгая когомологическая р-размерность scdp(G) группы G
есть наименьшее целое число п такое, что для всех m>fi
р-примарная компонента Hm(G,\) исчезает для любого G-мо-
G-модуля А. Строгая когомологическая размерность scd(G) яв-
является точной верхней гранью точных когомологических р-раз-
мерностей группы G.
Предложение 3.15. scdp(G) равняется cdp(G), или
cdp(G)+l. Ю
Предложение 3.16. Пусть Я— замкнутая подгруппа G.
Тогда cdp(H)^cdp(G), scdp(H)^scdp(G). Если Я —силов-
ская р-группа G, то cdp(H)=cdp(G).
Предложение 3.16 показывает, что в вопросе о когомологи-
когомологической р-размерности достаточно рассматривать про-р-группы
¦без кручения. (Про-р-группа с кручением имеет когомологиче-
когомологическую размерность оо; так как у неё есть нетривиальная конеч-
конечная циклическая подгруппа, обладающая периодической кого-
мологией (глава 2.3.9)). Следующая теорема представляет со-
собой глубокий результат:
Теорема 3.17. Пусть Н — открытая подгруппа про-р-груп-
про-р-группы G без кручения. Тогда cd(H)=cd(G). ЕЭ (Серр [226]).
Предложение 3.18. Пусть G — проконечная группа та-
такая, что cdp(G) =п<оо и Z —G-модуль с тривиальным дей-
действием G. Тогда scdp(G)=n тогда и только тогда, когда р-ком-
понента ЯП+1(Я, Z) исчезает для всех открытых подгрупп Я
группы G. ES!
Предложение 3.19. Пусть Я — замкнутая нормальная
подгруппа группы G. Тогда
cdp(G)^cdp(H)+cdp( GlH)№
См. также предложение 3.25.
1.11. Дуализирующий модуль. Пусть п — натуральное число
н G — проконечная группа такая, что cd(G)^n и для любого
конечного G-модуля А группа Hn(G, А) конечная.
Предложение 3.20. Существуют G-модуль /, являющий-
являющийся группой кручения и отображение i: Hn(G, I)-»-Q/Z такие.
Что индуцированный гомоморфизм <р из Нотс(Л, I) в
Hn(G,A)*, определённый как
ф (/) («) = t/, (а),
(Л, /),
(О, А),
является изоморфизмом для любого конечного G-модуля А. И
Пара I, i определяется однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма и называется дуализирующим модулем G для размер-
размерности п
187
Предложение 3.21. Дуализирующий модуль G также
является дуализирующим модулем для любой открытой под-
подгруппы группы G.
Предложение 3.22. scd,,(G) =n+l тогда и только тогда,
когда существует открытая подгруппа // группы G такая, что
Iе содержит подгруппу, изоморфную Q,,/Z,,.
Пример 136. Пусть G=Z и п—\. Пусть, кроме того, а —
автоморфизм конечного G-модуля А, индуцированный 16Z;
Тогда Hl(G, А) можно отождествить с А/(а—1)А посредством
отображения, ставящего коциклу h : Ъ-^-К в соответствие его
значение h(\). Это показывает, что дуализирующим модулем'
для Z является Q/Z с тривиальным действием Z. ?
1.12. Когомологии про-р-групп. Пусть G —про-р-группа и
А — простой G-модуль, аннулируемый р. Тогда А — конечный1
и существует открытая нормальная подгруппа U группы G та-
такая, что 0 действует на А тривиально. Следовательно, А —
G/U-моаулъ и из теории представлений известно, что А изо-
изоморфен Z/pZ с тривиальным действием G. Поэтому, согласие!
предложению 3.13, имеем следующий результат.
Предложение 3.23. Про-р-группа G имеет когомологи-
когомологическую размерность cd(G)^n в том и только в том случае,'
когда Hn+l(G, Z/pZ) ={0}. gj
В дальнейшем, для краткости, обозначаем H'(G)**i
= #'(G,Z/pZ).
Легко видеть, что cd(G)=0 тогда и только тогда, когда G**
= {1}. Следующая характеризация свободных прогрупп яв-i
ляется краеугольным камнем в теории про-р-групп: ;
Предложение 3.24. Про-р-группа G свободна тогда и
только тогда, когда cd(G)^.\. ?><I. ¦
Предложение 3.25. Пусть G — про-р-группа и ¦ #*—
замкнутая нормальная подгруппа группы G. Пусть n: = cd(H)
и m: — cd(G/H)—конечные. Тогда cd(G)—n-\-m в следующих
двух случаях: .
1. Я"(Я) — конечная.
2. Я содержится в центре G.
Пример Н. Пусть Z" — «-кратное прямое произведение !„-
Тогда cd(Znp)^n. ?
Если группы H'(G) — конечные при i = 0, 1 п, то мож-
но определить частичную характеристику Эйлера—Пуанкаре
1-0
Если Я'(С)={0} при i>n, то x(G) :=Xn(G) называется ха-,
рактеристикой Эйлера—Пуанкаре группы G и мы говорим, что
G является про-р-группой с характеристикой Эйлера—Пуаи*
каре.
188
Предложение 3.26. Пусть G — про-р-группа с характе-
характеристикой Эйлера—Пуанкаре и Я — открытая подгруппа груп-
группы G. Тогда Я также имеет характеристику Эйлера—Пуанка-
Эйлера—Пуанкаре и
Предложение 3.27. Пусть G — про-р-группа и N —
замкнутая нормальная подгруппа группы G такая, что N и
G/N обладают характеристикой Эйлера—Пуанкаре. Тогда G
также имеет характеристику Эйлера—Пуанкаре и
Предложение 3.28. Пусть G — про-р-группа с частичной
характеристикой Эйлера—Пуанкаре %n{G) и для любой откры-
открытой подгруппы U пусть
Тогда cd(G)^n. И
1.13. Представление про-р-групп с помощью образующих и
соотношений. Пусть G — про-р-группа и q — степень р. Убыва-
Убывающий центральный <7-ряд {G(n>9}|n=l, 2,. . .} определяется ре-
куррентно следующим образом: G(I'9): = G, G<n+|9> — замкнутая
подгруппа G, порождённая элементами вида gi и (g, /i): =
^g^h-'gh для g?G{n-9\ heG.
Число образующих d(G) группы G определяется, как раз-
размерность Z/pZ-векторного пространства Hl(G). Основанием
для этого определения служит следующая теорема Бернсайда
о базисе.
Предложение 3.29. (Теорема Шрайера). Пусть F — сво-
свободная про-р-группа и U — открытая подгруппа F. Тогда
d([/) = l + rf: U](d(F) — l). (Предложения 3.24, 3.26).
Пусть G — про-р-группа и F — свободная про-р-группа со
свободной системой образующих {tt/№I}, Назовём точную по-
последовательность
{1}-W?-+.F->G-{1} C.4)
ф
представлением G посредством F. Представление называется
минимальным, если {срг,/?е/} — минимальная система образу-
образующих G.
Подмножество Е из R называется (порождающей) систе-
системой соотношений группы G (для представления C.4)), если:
1. R порождена Е, как замкнутая нормальная подгруппа F.
2. Любая открытая нормальная подгруппа R содержит поч-
почти все элементы Е. Для краткости мы говорим, что G представ-
представлена системой образующих {tt/i?I} и системой соотношений Е.
Е называется минимальной, если никакое собственное
подмножество Е не является системой соотношений G.
180
Предложение 3.30. Пусть G — про-р-группа и ?-мини-
мальная система соотношений G. Тогда
|?|-dImVp*//»(O). И C.5)
Число C.5) называется числом соотношений G.
В приложениях к числовым полям (глава 3.2.6) будет рас-
рассматриваться семейство {G,/i'6/} про-р-групп и морфизмы
{ф,: Gc+G} в про-р-группу G. Понятие системы соотношений
будет изучаться нами в этой связи. Некоторые сложности свя-
связаны с условием 2. определения системы соотношений.
Для любого i пусть Т{— нормальная подгруппа G< такая,
что Gi/Tt — свободная про-р-группа. {ф(//е/} называется до-
допустимым относительно {7\/i6/}, если любая открытая подгруп-
подгруппа группы G содержит почти все ф,G\).
Пример 15. Если /—конечное и T,= GU то {ф(/1'6/} — до-
допустимое. ?
Предложение 3.31. Пусть {ф<Дб/}— допустимое относи-
относительно {7\/i?/}. Пусть, кроме того, имеются представления
{iJ-fli-^-a-Hi} (з.е>
для каждого i€/. Тогда существуют морфизмы %t из F( в F с
ограничениями %(' на R, такие, что диаграммы
C.7)
являются коммутативными и {х/Дб/}— допустимое относи-
относительно {/?j/ie/}.
В этом случае C.7) называется допустимым представле-
представлением {ф<//е/}.
В оставшейся части этого раздела мы предполагаем, что за-
задано допустимое представление C.7).
Предложение 3.32. Группы х<(#<). ii7 порождают R,
как замкнутую нормальную подгруппу F тогда и только тогда,
когда ограничение на Я'(/?)с отображения
C.8>
•с 'С
является вложением.
По предположениям, образ II %] уже лежит в 2-
Перейдем теперь к основному результату этого раздела. Под- \
множество Е из R называется дополнительным множеством. ]
190 '
Для
если Е, вместе с U X/(^?0. порождает /?, как замк-
нутую нормальную подгруппу F и любая открытая подгруппа
R содержит почти все элементы из Е. Дополнительное множе-
множество Е называется минимальным, если никакое собственное
подмножество Е не является дополнительным множеством для
Предложение 3.33. Пусть Е — минимальное дополни-
дополнительное множество для {%(/№Г} и
'б7
Тогда
Доказательство предложения 3.33 соединяет
предложение 3.32 с рассмотрением точной диаграммы (предло-
(предложение 2.34)
Я1 (О)->Я1
)
Res
Tra
Inf
Res
Tra
Так как C.4) и C.6)—минимальные представления, транс-
трансгрессии являются изоморфизмами. Предложение 3.30 есть ча-
частный случай предложения 3.33.
Предложение 3.34. При сделанных выше предположе-
предположениях как замкнутая нормальная подгруппа, F порождается
подгруппами %<(Rj), Ш тогда и только тогда, когда ф* — вло-
вложение.
1.14. Группы Пуанкаре. Пусть G — про-р-группа когомоло-
когомологической размерности п. Тогда G называется группой Пуан-
Пуанкаре размерности п, если выполняются следующие условия:
1. tf'(G) —конечная при i>0, Hn(G)^Z/pZ.
2. (Двойственность Пуанкаре). Произведение классов кого-
мологий
заданное произведение в Z/pZ (глава 2, пример 12), невы-
невырождено при 0г$л^п.
Пример 16. {Теорема Лазара). Любая открытая подгруп-
подгруппа без кручения компактной аналитической группы над Qp
размерности п представляет собой группу Пуанкаре размер-
размерности п (Лазар [164], серр [226]). Н
Предложение 3.35. Открытая подгруппа группы Пуан-
Пуанкаре является группой Пуанкаре той же размерности. S
Предложение 3.36. Пусть / — дуализирующий модуль
191
группы Пуанкаре G размерности п. Тогда, как абелева груп-
группа, / изоморфен Qp/Zp.JgJ
Проконечная группа ?/:=Zp канонически изоморфна группе
автоморфизмов Qp/Zp. Следовательно, действие G на / инду-
индуцирует канонический гомоморфизм i:G-*-U. Так как G —
про-р-группа, образ х лежит в группе 1)\ основных единиц в
Qp (глава 1.4.4).
Предложение 3.37. Пусть G—-группа Пуанкаре размер-
размерности п н пусть х : G-*-U соответствующий морфизм. Тогда
scd(G)—n-{-l в том и только в том случае, когда Imx—конеч-
Imx—конечный, fxj
Zj,+ с точностью до изоморфизма, является единственной
группой Пуанкаре размерности 1. Группы Пуанкаре размерно-
размерности 2 называются группами Дёмушкина (Серр {227]). Эти
группы полностью классифицированы.
Теорема 3.38. Пусть G— группа Дёмушкина с числом
соотношений d. Тогда G/\G, G] изоморфна
где q = q(G)—однозначно определенная степень р (р°°=0).Ю
Кроме d(G) и q(G), нам нужен инвариант Im^Sf/i, где
X—морфизм G в U\, определенный выше. Если q(G)^=2, то
\m%—\\-qZp и ничего нового мы не получили. Если q(G)=t=2
и d — нечетное, то Im х—{±1}+^/> где /=f(G)^2, или оо,
U,= l+2/Z2. Если <7(G)=2 и d — четное, то
a(G):={Imx: (ImxJ] = 2 или 4.
Если a(G)=2, то Im х= (—1+2>). где /=f(G)>2, или оо.
Если a(G)=4, то d>4 и Im х= (± 1}Х^/, где /=/(G)>2.
Если q=q(G)=?2, то а=2 и мы положим f=oo. Четверка
чисел d, q, a, f, удовлетворяющих указанным выше условиям,
называется допустимым множеством инвариантов.
Теорема 3.39. Пусть G — группа Дёмушкниа с инва-
инвариантами d, q, а, /. Тогда G можно представить с помощью
образующих S|,. . . , s,i и единственного соотношения
p=s,9(SiS2) (s3, s4) ... (s,/-i,s()), если q??2,
р=»$^'E2, s3)...(sd_u s,,), c-cih <7=.2, rf — нечетное,
'l+- (slt s2)(s3, s^.. .(sr/_,, я.,), ecri
, rf —четное, a
p = sf(s,, s2)S5'(s3, s4).. .(srf_,, sd), ест <7 —2, с? — четное, a=4.
С другой стороны, если d, q, a f -допустимое множество
инвариантов и F — свободная про-р-группа, порожденная
s, . .., sd, то F/{p), для заданного указанным выше способом р,
является группой Дёмушкина с инвариантами d, q, a f, (Ла-
бют [160]). Я
\<У2
1.15. Структура соотношений и произведение классов кого-
мологий. В доказательстве теоремы 3.39 используется связь
между структурой соотношений про-р-группы и произведением
классов когомологий. Пусть G — про-р-группа с конечным чис-
числом образующих d и пусть q=ph, l^/i<oo — делитель показа-
показателя группы кручения из G/[G, G]. Кроме того, пусть
— минимальное представление G с образующими S\,...,Sd
для F и соотношениями ф<, №1. По условию относительно q,
#<=Л2ч> (§ 1.13) и \ni:Hx(G,Z/qZ)^-W(F,Z/qZ) является изо-
изоморфизмом. Следовательно, Тга : Я1 (R, Z/qZ)G^>-H2(G, Z/qZ) —
изоморфизм (предложение 2.34). Для каждого Ш определим
гомоморфизм
Ф, : H2(G, Z/qZ)-*-Z/qZ
равенством
ф.(а) = (Тга-1а)(р,) для a.ZH2(G,Z/qZ).
Предложение 3.40. Для -tG/, x, v, ц,е.{1,..., d), x<\i су-
существуют однозначно определенные целые числа а*,,
б{0, 1,.... q—1} такие, что
d
р, = П 5выч П (sv, S|i)e'V(lpi. где
Пусть Xi. • • •. %d — базис Нх (G, Z/?Z), причем
Xv(Sn) = 6vn, ДЛЯ V, (^6{1, • • ч d
Тогда
— aiv\x., если v<(i,
I — -H-)a(v, если v=|x.
Числа ai4 определяются приведенной выше формулой, толь-
только если <7=2. Для определения ai4 в общем случае, вводится
оператор Бокштейна: В : HX(G, Z/qZ)^>-H2{G, Z/qZ), как свя-
связывающий гомоморфизм, индуцированный из точной последо-
последовательности
Предложение 3.41. ц>х(В%к) ——аы.[Е_\
Также существует связь между высшими коммутаторами и
произведениями Мэсси (фольклор).
Пример 16а. Пусть G — про-р-группа, как и выше, и
''=0 для всех х. х'6^1 (G, Z/pZ) и пусть rjwdj) таковы, что
Xv (gl) Xn (?2> ==¦ ifvu (gi) + r|)vn {g2l — *|)vn (gi, g2). ^1' g?O,
193
Тогда
Xv
— t|)vx (gi) X*. Ы
является коциклом, класс которого не зависит от выбора $>хХ и
rj>w и связан с 3-коммутаторами в соотношениях для G.
Сделаем теперь несколько замечаний о доказательстве тео-
теоремы 3.39. Ограничимся случаем р^2. Пусть G— группа Дё-
мушкина с инвариантами d, q. Так как произведение классов
когомологий Я1 (G)X#'(G)-»-//2(G) невырождено, предложе-
предложение 3.40 показывает, что единственное соотношение группы G
можно записать в виде
p=s19(sI, s2) (s3, sA) ... (Srf-i, srf)p', p'eF<3.<?\
Если р' содержит, например, коммутатор (s](sl,sj)), перейдем
к новой образующей S2r==s2(suSj) и получим
b s2') (s3, s4) ... (sd_,, sd)p",
где В" уже не содержит (sb (Sj.Sj)). С помощью этого метода
Дёмушкина можно избавиться от всех высших коммутаторов и
получить, в результате, нормальную запись
p = S,9(S,, S2) (S3, ^4) • . . (Sd-1, S<i).
1.16. Групповые кольца и теорема Голода— Шафаревича.
Пусть Л — компактное кольцо и G — проконечная группа. Для
открытых нормальных подгрупп N^N' группы G, естественное
отображение G/N'-^-G/N можно однозначно продолжить до
гомоморфизма алгебр
A[G/N']-+A\G/N].
Получается обратная система компактных колец A[G/N],
jVGU, где U — множество всех открытых нормальных подгрупп
из G. Полное групповое кольцо Af[G]] представляет собой об-
обратный предел для {A[G/jV]|jVGU}'. Вместе с A[G/N] кольцо
A[[G]] также компактно. Погрузим G в A[[G]] с помощью
отображения
g-+ П gN для gP.G,
A\G] плотно в A[[G]].
В оставшейся части раздела рассмотрим частный случай,
когда G — про-р-группа и A=Z//?Z.
Z//?Z[[G]j имеет единственный максимальный замкнутый
идеал /(G), порожденный элементами g—1, g€G
Предложение 3.42. Пусть G — про-р-группа с конечным
числом образующих. Тогда замкнутые степени /n(G), n-
= 1, 2,..., идеала I(G) образуют полную систему окрестно-
окрестностей 0 в Z/pZ [[G]].
194
Фильтрация {/" (G) | п=» 1, 2,...} индуцирует фильтрацию
{Gn|n=l, 2,...} в G, определенную, как
называющуюся фильтрацией Цассенхауза для G.
Предложение 3.43. Пусть G — про-р-группа с конечным
числом образующих. Тогда группы Gn, я=1,2,..., являются
открытыми нормальными подгруппами G и образуют полную
систему окрестностей 1 в G.
Связь фильтрации Цассенхауза с фильтрацией {G(r"9)|n =
= 1,2,...} устанавливается в следующем предложении.
Предложение 3.44. Пусть G — про-р-группа и
h*Gm. Тогда gneGnp и (h,g)ZGn+m.
Доказательство. Точнее говоря, gP—l — (g—1)р и
=2 о -
V—0
»—0
. D
Кольцо Магнуса Z/pZ{{xu ... ,xd}} от d переменных
хь .. •, xd есть кольцо некоммутативных степенных рядов от
X] ..., xd с коэффициентами из Z/pZ. Топология кольца Магну-
Магнуса определяется системой открытых окрестностей Dn, n=
¦,2,..., нуля, где Dn — идеал всех степенных рядов из
Z/pZ{{xi,.... xd}} с однородными компонентами степени ~^п.
Предложение 3.45. Пусть F — свободная про-р-группа
с образующими s, sd. Тогда отображение <р(Х()=5(—1,
i=l,...,d, продолжается до топологического изоморфизма
Z/pZ {{*„...,*„» на Z/pZ [[/>]]. П
В дальнейшем Z/pZ {{хи ..., xd}} и Z/pZ\[F]] отождест-
отождествляются.
Интуитивно ясно, что про-р-группа может быть конечной,
только если число ее соотношений r(G) велико по сравнению
с числом образующих d(G). В количественной форме это вы-
выражается следующей теоремой Голода—Шафаревича.
Теорема 3.46. Пусть G — конечная про-р-группа. Тогда
r(G)>rf(GJ/4. и C.9)
Можно доказать, что это неравенство не улучшаемо в том
смысле, что
lira infr(G)/cf(GJ=-5-.
(Вислицени [285]).
Основная идея доказательства теоремы 3.46 такова: пусть
-F^G-+{1)
13»
195
— минимальное представление G с образующими S\, ..., sd и
соотношениями pi, ..., р.. Так как
Доказательство. Это следует из предложения ~г:ш
теоремы 2.72, предложения 3.9 и коммутативности диаграммы
где М — замкнутый идеал Z/pZftF]], порожденный pi—1, ...
..., рг—1, мы рассматриваем М вместо R. Пусть L есть Z//9Z-
модуль, порожденный pi—1 рг—1. Для получения неравен-
неравенства C.9) нужно строить М из L самым экономным способом.
С помощью фильтрации группы G можно получить усиления
теоремы 3.46. (И. В. Андожский [2], Кох [149]). Упомянем здесь
лишь следующий результат:
Теорема 3.47. Пусть G — конечная про-р-группа с пред-
представлением
такая, что tfsFn, где {Fn/n=l, 2, ...} —фильтрация Цассен-
хауза для F. Тогда
r(G)>d(G)m(m—\)m-ymm. в
§ 2. Когомологии Галуа локальных н глобальных полей
Рекомендуемая литература: Серр [225].
2.1. Примеры когомологии Галуа для произвольных полей.
Пусть К — поле, a L—нормальное расширение поля К (§ 1.8).
Когомология Галуа состоит в изучении групп когомологии
G(L/K)—модулей А. Вместо #"(G(L/K), А) мы часто будем
писать tf"(L/K, A).
Важными примерами G(L/K)-модулей являются аддитивная
группа L+ и мультипликативная группа L* поля L.
Предложение 3.48. Я"(Ь/К, L+)={0} при п>0.
Доказательство. Если L/K — конечное расширение, то
существование нормального базиса для L/K (приложение 1)
означает, что
следовательно, #"(L/K, L+)={0} при п>0, по предложению
2.29. Если L/K — бесконечное, то утверждение следует из пред-
предложения 3.9. D
Предложение 3.49. Я'(Ь/К, Lx)={0}.
Доказательство. Это следует из предложений 2.7 и
3.9. ?
Предложение 3.50. #2(L/K, Lx) изоморфна группе
Брауэра B(L/K). В частности, если L — сепарабельное алгеб-
алгебраическое замыкание К, то #2(L/K, Lx) изоморфна В(К) (гла-
(глава 2.5.4).
196
цК/К F2)-+B(F2, К),
где F\^F2 — конечные нормальные подрасширения L/K. D
2.2. Алгебраическое замыкание локального поля. Пусть К —
конечное расширение Q, и К алгебраическое замыкание К-
Обозначаем группу Галуа К/К через Gk.
В главе 2.4.1 рассматривалось отображение
inv : Я2(Ь/К, Lx)-vQ/Z
для конечных нормальных расширений L/K. Пусть L'/K — нор-
нормальное расширение такое, что L'sL. Так как
Я2 (L'/K, L'x)^"v
Ml ^ Q/Z
Я2(L/K, Lx)fnv
— коммутативная диаграмма, согласно B.28), inv индуцирует
гомоморфизм тУк://2(Ок. Kx)-*-Q/Z.
Теорема 3.51. invK —изоморфизм Я2(ОК» Кх) на Q/Z.
Если К' —конечное расширение К в К, то
InvK' ReSK-к' = IK': К] invK.
Доказательство. Следует из теоремы B.47) и B.26).
Важную роль в когомологии Галуа играет последователь-
последовательность Куммера
{l}->!xn+L?-»Lx->-{l}, Л(а) = ая, cc6Lx, C.9)
где L — нормальное расширение К, содержащее группу \in кор-
корней n-ой степени из единицы. Продемонстрируем эту роль в-
простой ситуации L=K.
Теорема 3.52. 1) HHGKy< n,)sKx/Kx".
2) H4GK,\in)^Z/nZ.
Доказательство. Когомологическая последователь-
последовательность B.15) для C.10) вместе с предложением 3.49 и теоремой
3.51 дает точные последовательности
. D
Теорема 3.53. Пусть L/K — расширение в К степени
П/°°, т.е. для любого натурального числа п. существует под-
расширение L/K степени, кратной п. Тогда Я2(Оь, Кх) = {0}
и cd(GL)<l.
197
Доказательство. Пусть
конечные расширения К. Тогда
и L,, где L,CL
2C.
/->OO
и первое утверждение следует из теоремы 3.51.
Пусть /— простое число и Gt — силовская /-группа из Gl.
Для доказательства второго утверждения требуется доказать,
что H2(Gi, Z//Z)={0} (предложения 3.16, 3.23). Последователь-
Последовательность Куммера
{l}^h-*K*rK*-*{l}
вместе с равенством H2{GL, Кх) = {0} и предложением 3.49 дает
и tin [^ — {о}. Поскольку Gt действует на }<•, тривчально,
/)
Теорема 3.54. а/(Ок)
Доказательство. Пусть К„г — максимальное неразвет-
вленное подрасширение поля К. Тогда cd(<7(Knr/K)) — l и
rf(G(f<7Knr))»=l, поэтому из предложения 3.19 следует, что
<1(Gk)<2. Более того, с</(Ок) = 2 по теореме 3.52.2. ?
Пусть А—конечный Ок-модуль. Из приведенных вуше резуль-
результатов легко следует, что группы //'(Ок, А) — конечные. Так как
са?(Ок)==2, существует дуализирующий модуль для Ок (§1-П).
Теорема 3.55. Дуализирующий модуль для Ок есть модуль
ц всех корней из единицы в К.
Пусть A':==Homz(A, ц). Тогда Ок действует на А' в соот-
соответствии с правилом
Теорема 3.56. Про «зедение клзссов когомологий
/ ,,
индуцированное естественным спариванием из АчА' в ц, опреде-
определяет двойственность между конечными группами //'(Ок,-А) и
Для »=0, 2 двойственность в теореме 3.56 является частью
определения дуализирующего модуля.
Характеристика (мультипликативная) Эйлера—Пуанкаре
Х(А) определяется посредством
Х(А):=АО(Л)А1(^ГА2(Л), hl(A)^\Hl(GK, A).
Теорема 3.57. Пусть а—порядок Ок-модуля А\\.
Тогда
198
где | |к обозначает нормализованное нормирование К (глава
1.4.1). П<Т (Серр [225, глава 2.5.7],).
Теорема 3.58. scrf@K) = 2.
Доказательство. Это следует из предложения 3.22 и
теоремы 3.55. D
Пусть PGLn(C): = CLn(C)/Cx обозначает проективную ли-
линейную группу. Из теоремы 3.58 вытекает следующий резуль-
результат, важный для теории представлений Gk (глава 5.4.5).
Теорема 3.59. Каждый непрерывный гомоморфизм из Ок в
PGLn(C) можно поднять до GLn(C).
Доказательство. Точная последовательность
индуцирует точную последовательность
Нош (Ок, GL, (С)) -*. Нош (Ок, PGLn (С))->Я» (Ок, С>).
Более того, группа С+ однозначно делима любым натуральным
числом, откуда Я'(Ок, С+) = {0} при ?>0. Поэтому после-
последовательность
{.0}->Z->C+->Cx->{1}
ехр
индуцирует изоморфизм Я2(Ок. СХ)->Я3(ОК, Z) и H3(Gk, Z) =
—{0} по теореме 3.58. П
Следующее рассуждения необходимы для изучения когомологий
глобальных полей.
Ок-модуль А называется неразветвленным, если О(К/К„Г)
действует на А тривиально- Такой модуль можно рассматривать,
как ^-модуль, поскольку G(Knr/K) канонически изоморфна Z.
Определим
Тогда Нпг (Ок. А)~ Н° (Ок. А), Н1пг (Ок, А) можно рассматривать,
как. подгруппу Я1 (Ок, А) и Нгпг{рк, А) = {0), так как crf(Z)==l.
Предложение 3.60. Пусть А—конечный неразветвленный
Ок-модуль, порядок которого взаимно прост с р. Тогда А'
обладает теми же свойствами и в двойственности между
Я'(Ок, А) и И1(ОК,А') подгруппы ЯIГ(ОК, А) и Н\г (Ок, А')
ортогональны друг к другу.
2.3. Максимальное р-расширение локального поля. Пусть
К — конечное расширение Qp степени N и К(р) — максимальное
р-расширение К, т. е. объединение всех нормальных расшире-
расширений К, степень которых равна некоторой степени числа р. Тогда
G к (p): = G(K(p)/K) есть максимальная факторгруппа Gk, яв-
являющаяся про-р-группой. Основная цель этого раздела состоит
в определении структуры этой группы.
199
теорема 3.61. Пусть Л —/мпимярнчй GK(p) модуль. Тогда
^ А\-ь. шт.. л\
0*(р))(ъ)
является изоморфизмом для всех t>0.
Доказательство. Положим /: = G(K/K(p)). Аналогично
доказательству теоремы 3.53, можно доказать, что cdp(I)^.].
Так как #'(/, А)—{0}, утверждение следует из предложения
2.34. П
Теорема 3.62. Если К не содержит корней из единицы р-ой
степени, то GK(p) является свободной про-р-группой с числом
образующих N-\-\.
Доказательство. Имеют место равенства
<1(Ок{р)) = &таг1РгН1{О*(р), Z/pZ) = uimZIPz(Ky/К**) = N+1,
согласно предложению 1.59. Применяя это к конечному расшире-
расширению L поля К, получаем
i((/))I]xi(,c(/))
Поэтому утверждение следует из предложения 3.28. ?
Теорема 3.63. Пусть q— наивысшая степень р такая, что К
содержит корни из единицы степени q, q^\. Тогда Gk(P) —
группа Дёмушкина такая, что d (Ок (/>)) == N + 2 и q (Ок (р)) = Я-
Дуализирующий модуль для GK(p) представлдет собой модуль
всех корней из единицы порядка, равного степени числа р.
Доказательство. d(GK(p)) определяется, как в доказа-
доказательстве теоремы 3.62. Кроме того, по теоремам 3.52 и 3.61
получаем г (Gk (/*>)• Следовательно, cd {Gk. (/»)) = 2, согласно пред-
предложению 3.28. бк (р) является группой Дёмушкина, так как
произведение классов когомологий
Kph/p)/p
индуцирует, с точностью до изоморфизма Z/pZ^\ip, символ
Гильберта Кх/Кх"х Кх/Кх" -* цр (глава 2.6.2) (Серр [222,
глава 14J). Наконец, из теорем 3.55 и 3.61 саедует утверждение
о дуализирующем модуле. П
Теорема 3.63, вместе с теоремой 3.39, полностью определяет
структуру Ок(Р) в случае |i,cK.
Пример 17. Пусть K-=Q2. Тогда </ = 3, q = 2, / = 2. По-
Поэтому C?q, B) является про-2-группой с образующими 5И s2, s3
и одним соотношением s1sl(s2, s3). D
Пример 18. Пусть 1фр— простое число и пусть К конеч-
конечное расширение Q(. Тогда ветвление максимального р-расшире-
ния К(р) поля К—ручное. Пример 13 показывает, что
G (К(р) /К) можно представить, как про-р-группу с двумя об-
образующими s, t и одним соотношением
20О
где Л^(/)—число элементов в поле классов вычетов К. Если
iV(/)gfel(modp), то К(р)/К иеразветвлено и G(K(p)/K)^Zp. П
2.4. Группа Галуа локального поля. Рекомендуемая литера-
литература: Яннсен [140], Яннсен, Вингберг A41], Вингберг [284].
В этом пункте описывается структура Gk в случае рф2. При
р = 2 установлен лишь случай, когда V—16К (Дикерт [86],
А. В. Зелевинский [14]). Если [К : Qp] — четное число, то такое
описание с помощью образующих и соотношений было впервые
дано А. В. Яковлевым [31].
р-замкнутое расширение поля К представляет собой нор-
нормальное расширение, не имеющее собственных р-расширений.
Поскольку случай р-замкнутых расширений L не труднее, чем
случай алгебраического замыкания К, рассматриваются такие
расширения L.
Пусть L] — максимальное подрасширение L/K с ручным ветв-
ветвлением. Тогда_О(Ь1/К)—факторгруппа G(Ki/K) такая, что
p°°\[Li : К]. G(Ki/K) — проконечная группа с двумя образующи-
образующими о, т и одним соотношением oto = tjv(i>), где N (р) обозначает
число элементов в поле классов вычетов К. Более точно, это
означает, что существует точная последовательность
такая, что F — свободная проконечная группа с образующими
s, t (§ 1.5), замкнутая нормальная подгруппа R группы F по-
порождена sts~l t~Tf(v) и (ps = o, ф/=т. Будем называть Li/Kp-замк-
нутым ручным расширением и рассматривать о и т также как
образующие G(L,/K).
Изучение G(L/K) можно смоделировать на примере Gk(p).
Сперва вводится теоретико-групповое понятие формации Дё-
Дёмушкина, такие объекты классифицируются с помощью инва-
инвариантов и затем показывается, что G(L/K)-*~G(Li/K) — форма-
формация Дёмушкина.
Пусть G — группа Галуа р-замкнутого ручного расширения
поля К, п, К^\ — целые числа и
— характер группы G. Тогда пара (X, Ф), состоящая из проко-
нечной группы X и морфизма Ф из X на G, называется форма-
формацией Дёмушкина, если для всех нормальных открытых подгрупп
Н группы G таких, что HsKer а, выполняются следующие усло-
условия:
1. Пусть Хв — максимальная про-р-факторгруппа ф-'(Я).
Тогда Х„ — группа Дёмушкина (§ 1.14) такая, что d(XH) =
=n{G:H]+2 и q(XB)=p".
2. Пусть <pi (соответственно, фг) — отображение inf подъема
классов когомологий из Hl(XH, Z/pZ) (соответственно,
201
Я1 (Я, Z/pZ) в Я'(Ф-'(Я), Z/pZ), пусть
Пусть У — любая проконечная группа. Z действует на У в
соответствии с
и пусть УИ1— )ргогаяальчое дополнение М относительно били-
билинейной формы и Hl(Xff, Z/pZ), заданной произведением классов
когомологий. Тогда М1/М — свободный Z/pZ [[О/Я]]-модуль
ранга п и разлагается в прямую сумму двух полностью изо-
изотропных подмодулей.
3. ifjc«a(Y)jc для y6G, х^НЦХгг, Z/p"Z).
В дальнейшем предполагаем, что инварианты п, а удовлет-
удовлетворяют следующим условиям:
4. Пусть /0 обозначает натуральное число такое, что
pft = N (р). Если п—нечетное, то /0 — также нечетное и
а(т)("-()/2=_ 1 (Tuod/7).
Теорема 3.64. Формация Дёмушкина над G определяется
своими инвариантами п, s, а однозначно с точностью до изомор-
изоморфизма. В
Теорема 3.65. Пусть п, s — натуральные числа и а : G-*~
->-(Z/phZ)—гомоморфизм, удовлетворяющий условию 4. Тогда
существует формация Дёмушкииа над G с инвариантами я,
s, a. H
Теорема 3.66. Пусть К — р-адическое числовое поле сте-
степени п над Q,, рФ% Пусть L — р-замкнутое расширение К и
Ц — максимальное подрасширение L с ручным ветвлением.
Пусть \xph — группа корней из единицы, порядок которых есть
степень числа р, принадлежащих Lb и а — гомоморфизм из
C(Li/K) в Z[phZ, заданный посредством
Y? = Ce(v) для т€О(?,/К), &ррм.
Тогда C(L/K)—формация Дёмушкнна над G(Li/K) с инва-
инвариантами п, s, а.
Доказательство. Аксиомы 1 и 3 проверяются с помо-
помощью теоремы 3.63. Аксиому 2 можно переформулировать с по-
помощью теории нолей классов, как утверждение о б(Т/К)-моду-
лях UtQ, где Т—нормальное конечное расширение К с ручным
ветвлением, Ux — группа основных единиц Т и ?2 — группа/?-при-
мерных чисел в ?/, (глава 2.6.4). В этой форме первое утверж-
утверждение аксиомы 2 доказано Ивасавой [135], см. также Пипер
[201], Яннсен [140]. Второе утверждение аксиомы 2 является
следствием точного закона взаимности Шафаревича (глава
2.6.4), прекрасно ведущего себя при преобразованиях относи-
относительно группы Галуа расширений с ручным ветвлением (см.
Кох [150]). Легко видеть, что аксиома 4 верна. В
Формацию Дёмушкина можно представить, как проконеч-
ную группу с п+3 образующими. Для описания этого представ-
представления нам требуется сдела/ь некоторые приготовления.
202
г/т = Нт ут' для
l-*0O
Если х, у, с?У, то мы пишем
ху: уху1,
Отождествим Z с 11Z,, где произведение вЗято по всем
простым числам / таким, что от = П/га, если m?Z и отождествим
Zp с его образом в Z при отображении
Положим фрA)=Пр.
Рассмотрим теперь свободную проконечную группу F с об-
образующими s, t, s0, ..., sn. Определим морфизм <Di из f на G
равенствами >
Пусть р:F -*¦ G-*¦ Zp—непрерывный додъем а. Положим
w: =
х: = jc-, {jc, у):
yl:-s[™{sl,l^Pi{sl,t'+l)~s~tY+*lP+m, если
Теорема 3.67. Пусть (X, Ф)—формация Дёмушкина с
инвариантами п, s, а, удовлетворяющими условию 4. Тогда X
имеет представление
и Ф индуцировано ф^ Замкнутая нормальная подгруппа R груп-
группы F порождена наименьшей нормальной подгруппой W группы
Ф,-'(О) такой, что Фг'@)/# является про-р-группой, ядром
ограничения Ф] на замкнутую подгруппу F, порожденную
s, t и
s-sws((su s2){s3, s,) ... (sn_,, sn), rt=0(mod2),
sf (s,, t/,)(s2, s3)... (sn_,, sn>, n = 1 (mod2).
2.5. Максимальное алгебраическое расширение с заданным
ветвлением. Рекомендуемая литература: Хаберленд [109]. Пусть
203
К — конечное расширение поля Q и S — множество точек К, со-
содержащее все бесконечные точки. К, обозначает максимальное
расширение К, неразветвленное вне 5. Положим
Gs:=G(Ks/K) и Qv:
для v<*S. Для каждой v&S зафнксиоуем вложение /„:Ks->Ko.
Пусть Л—конечный G5-модуль. Инчуциропанный гомоморфизм
iv,:Hn{Gs, A)^Hn{Gv,A)
не зависит от выбора вложения ?„.
В этом пункте #"(G., А) изучаются с помощью локализаций
H"(GV, А). Поэтому рассмотрим отображение локализации
tf"(<?s,
Hn(GvA)
Если v — бесконечная, то выбираем в качестве H°(GV, А) моди-
модифицированных групп когомологии H°(GV, А) (глава 2.3.8), в
частности, #°(G,, Л)={0}, если v — мнимая.
Образ отображения C-11) лежит в подгруппе группы
И//"((?, А), определяемой следующим образом. Так как А—
конечный, существует открытая подгруппа группы G., действу-
действующая на А тривиально. Следовательно, G^-модуль А неразветв-
лен почти во всех и€5 (§ 2.2). Определим Pn(G,, А), как огра-
ограниченное прямое произведение групп
Hn(pv, Л) для v?S относительно подгрупп H%r(Gv, А), т. е.
Pn(Gs, А) состоит из элементов Ц av из П Hn(Gv, А) таких,
что aveHnr(Ov, Л) для почти всех v&S. Msr рассматриваем
Pn(Gs, А), как топологическую группу, взяв в качестве окрест-
окрестностей 0 подгруппы Д Hlr{Gv, А), где Т пробегает все конеч-
ные подмножества 5, содержащие все бесконечные точки поля и
точки поля, для которых А разветвлен. Тогда
P°(OS,
H°(GO, А) компактна,
P'(Gs. Л)=: JJ Hl(Gv, А) локально компактна,
P2{GS, У1)- ^H4GV, Л) дискретна,
P"(OS, Л)=- ^ Я» (Ог, Л) конечна при л>3.
204
Пусть р., — группа корней из единицы в К. и пусть М — ко-
конечный Gs-модуль такой, что u-f|Af| при v$S. Как и в § 2.2,
положим Af': = Homz(Af, ц8). Согласно теореме 3.56, билиней-
билинейная форма
P"(GB,M)xP2-n(GB,M')^Q/Z C.12)
невырождена при п=0, 1, 2.
Обозначим отображение Hn(GB, M)-*-Pn(GB, M) через ап.
C.12) индуцирует гомоморфизм
M')).
Кроме того, ядро а„ обозначаем Kern(Ge, M).
Теорема 3.68 (Теорема Пуату—Тейта). Пусть S — множе-
множество точек поля К, содержащее все бесконечные точки, и пусть
М — конечный Gg-модуль такой, что u-f|Af| при v$S. Тогда
1. Кег1 (Gs, M) и Ker2(Ge, M') — конечные и существует ка-
каноническое невырожденное спаривание
Кег1 (Ge, M) XKer2(Gs, Af')
2. Пусть
C.13)
—гомоморфизм, индуцированный C.13).
ность
M)-+P°(Gs,
P»
Тогда последователь-
последователь, M'))-+H4Qs, M)
УМ | о,
Pl(Gs,M)
, M'))
точна.
3. Отображения а„ — собственные, т. е. обратный образ лю-
любого компактного множества компактен.
4. а„ биективно при п>3. В
Из свойства 4. и теоремы 3.54 следует
Теорема 3.69. cd,(Gs^2, если рФ2. cd2(GeX2, если К
не имеет вещественных точек.
Точная когомологическая размерность Gs неизвестна, но для
(}К:=О(К/К) имеется следующий результат:
Теорема 3.70- Я2"«(Ок, Z) = {0} np;i «>1, №n{GK, Z)s
^(Z/2Z)r' при /i>2, где г, обозначает количество вещественных
точек К.
Из теоремы 3.70 следует, что теорема 3.59 верна также для
алгебраических числовых полей К.
Пусть р — фиксированное простое число и 5 — множество то-
точек поля К, содержащее множество 5«, бесконечных точек и
205
множество Sp точек, лежащих над р. Пусть 7"(К8, р) обозначает
утверждение о том, что scd,(GsX2, если р=2, то предполага-
предполагаем, что К не имеет вещественных точек. 7"(К„ р) было названо
в работе Тейта теоремой, но оно до сих пор не доказано. Его
называют гипотезой Тейта. Оно связано со следующей гипоте-
гипотезой Леопольдта:
Пусть Uv (соответственно, U,,,) — группа единиц (соответст-
(соответственно, основных единчц) поля К„ и Е группа единиц К. По-
Положим
иР-=Т[ uvtuPl-- П */.,.
vesP vesP
Тогда имеется погружение Е в Uр. Группа VРх является Zp-mo-
дулем. Гипотеза Леопольдта утверждает, что E\\=EV\U р, по-
порождает в Up, Zp-модуль ранга \Soa\ — 1- Это утверждение обо-
обозначим /.(К, р).
Теорема 3.71. Если L(L, p) справедлива для всех конеч-
конечных расширений L/K в К8/К, то справедливо 7"(Кл, р). Если
Г(Кв, р) выполняется для конечного множества S, то L(L, p)
верна для всех конечных подрасшнрений L/K расширения Кл/К.
Мы вновь вернемся к гипотезе Леопольдта в главе 4.3.5.
Теорема 3.72. Пусть М — как в теореме 3.68. Кроме того,
пусть S — конечное. Тогда #"(GS, M) конечна для всех п^О.
Следовательно, определена частичная характеристика Эйле-
Эйлера—Пуанкаре
%2(М): = А" (М) h> (My1 h*(М), hl (M) =
Пусть /«—степень К над Q, тогда
\M\-m]J \Ма*\.
H^ (Gs, M%
Теорема 3.72 — существенный шаг в доказательстве теоре-
теоремы 3.68.
2.6. Максимальное р-расширение с заданным ветвлением.
Рекомендуемая литература: Кох [148]. Пусть р — фиксированное
простое число, К — конечное расширение Q, S — множество то-
точек К и пусть Ks(p) — максимальное /^-расширение К, не раз-
разветвленное вне 5.
Следующие точки v не могут быть разветвлены в р-расши-
рении:
1. конечные точки v такие, что N(v)*&0, l(modp) (предло-
(предложение 1.44.4),
2. комплексные точки,
3. вещественные точки, если рф2.
В дальнейшем предполагаем, что такие точки не входят в
5. Положим Gs(p):==G(Ki)(p)/K).
206
Теорема 3.73. Пусть S — множество точек поля К, со-
содержащее все точки, лежащие над р и все вещественные точки
при р—2. Тогда канонический гомоморфизм
Я"(Ов(р), Z/pZ)-^/"(G8> Z/pZ)
является изоморфизмом для всех п^О. (Нойман [198], Хабер-
ленд [109, предложение 22]).
С помощью теоремы 3.73 результаты о когомологии Os перено-
переносятся на Os{p). Положим^(К): ={абКх |аб?/*К?Р для всех ко-
конечных точек z>,a6K*P для v?S}, Bs(K):=(l/s(K)/Kx").
Теорема 3.74. Пусть 5 — конечное множество точек по-
поля К, содержащее все точки, лежащие над р и все веществен-
вещественные точки при р=2.
2. Если К содержит корни из единицы степени р, то суще-
существует точная последовательность
3. Если К не содержит корней из единицы степени р, то су-
существует точная последовательность
Н 2
(/»))
(Gv (р)) -> {0}.
4. Если рф2 или К не имеет вещественных точек, то
cd(Ge(p)K2.
5. Если 5 — конечное, %2(Gs(p))=—г2, где г2 обозначает
число комплексных точек поля К (обозначение, как в § 1.12).
Хаберленд [109, § 6.3]).
Для произвольного множества 5 ядро Шв отображения
tfa(G.(p))-»-W/s(G.(p), Z/pZ)
должно быть неизоморфно Б8. Имеется лишь следующий ре-
результат:
Теорема 3.75. Существует каноническое вложение Ш8 в
Б8. Если К содержит корни степени р из единицы и БФ0, то
Ш8 уже является ядром отображения
где v0 — произвольная точка из 5. в
Для любого поля L положим 6(L)=0, если iV^L и 6(L) = 1,
если iipczh. Кроме того, положим 9(К, S) = l, если 6(К) = 1, и
5 = 0 и 0(К, 5)=0 в противном случае. Из теоремы 3,75,
207
вместе с результатами § 2.3 вытекает следующая теорема Ша-
фаревича [27].
Теорема 3.76. Пусть S — конечное множество точек по-
поля К. Тогда
г (Gs (/>)) = dimz//,z//2 (Gs (p)) < 2 й (К.) - б (К) +
г/E5
+ dimz/pZB5 + fi(K,S). ?
С другой стороны, нетрудно вычислить число образующих
с помощью теории полей классов. GB(p)/GB(p)i2-p)— группа
Галуа максимального ^-элементарного расширения К, не раз-
разветвленного вне 5. Имеем
d(Gs
C.13)
где г обозначает число бесконечных точек поля К.
Пусть S — произвольное множество точек поля К и <р,:
: Go(p)-»-Gs(/?)—гомоморфизм, соответствующий погружению
Ks(p) в К,(р) для v$S. В смысле § 1.13 мы можем перенести
известное локальное соотношение из Gv(p) в соотношение из
GB(p). Вообще говоря, остаются неизвестные соотношения. Но
если Б„={0}, то по теореме 3.75 все соотношения из Gs(p) по-
получаются из локальных соотношений. В этом случае имеется
полное описание для GB(p)/GB(p)^p) и если 6(К) = 1 (и в не-
некоторых других случаях), даже для GB(p)/GB(p)i3).
В частности, если К—поле рациональных чисел, или мии-
мое квадратичное поле с числом классов, взаимно простым с р,
ситуация весьма проста. В этих случаях dimB0=6(K).
В случае, когда K = Q и ooOS, такое описание уже было да-
дано Фрёлихом [93], см. также Фрёлнх [94].
В частных случаях можно определить полную структуру
Gs(p) на основе теоремы 3.75. Приведем здесь лишь три при-
примера.
Пример 19. Пусть K = Q, p-hi и S-={p,q}, цф
ф 1 (mod/72) (п ) предположению, g-~ I (mod/')). Тогда Gs(p)
обладает представлением с двумя образующими s9,tq и одним
определяющим соотношением t"~*(tjl, snl). ?
Пример 20. Пусть К = Q, /7 — 2 и S = {2,q, оо}, </ =
==+3 (mod 8). Тогда Gs B) обладает представлением с тремя
образующими sq. tq, s^, и двумя определяющими соотношениями
/?-i (t-\ s-») и t2.
q * q ' I ' or
L>08
Пример 21. Пусть K=Q(V~23) и 5={i>1, ь q, »}, где »,,
f2 — простые дивизоры 3, q — простое, ^^fel(mod9) порождаю-
порождающее простой идеал в К и р — простой идеал, не являющийся
главным. Тогда GsC) обладает представлением с четырьмя
образующими s,, /„ Sp, / у и двумя определяющими соотноше-
соотношениями
Пусть К — квадратичное числовое поле и Go,,B) — группа
Галуа максимального 2-расширения К, не разветвленного в ко-
конечных точках (следовательно, GcoB)==GelB), если К—мни-
К—мнимое). Используя некоторые результаты из теории групп и о
группе инерции (глава 1.3.7), а также сведения о группе Галуа
максимального 2-расширения поля Q, разветвленного лишь в оо,
и в простых, разветвленных в К, получаем такую информацию
о С.B):
Теорема 3.77. Пусть К — квадратичное числовое поле и
GB)—как и выше. Пусть, кроме того, d = q\* ... qn* — разло-
разложение дискриминанта d поля К в произведение простых дискри-
дискриминантов (глава 2.7.3). Для различных простых q, q' определим
t<7. <7^{0. 1} с помощью символа Лежандра:
(_l)W.*'] = f_?_W_?iy, если д'ф2.
Тогда имеется минимальное представление
{lyR(){}
G«B) с помощью свободной про-2-группы F с образующими
Si, .... sB_i и определяющими соотношениями
где р/бЯ32) и sn = l.
Пусть CLo(K)—группа классов идеалов в узком смысле
(глава 2.7.3). Используя теорию полей классов, можно с по-
помощью теоремы 3.77 определить структуру CLo(K)/CLo(K)<3'2)
(теорема Редей [203] и Райхарда [204]).
2.7. Задача о башне полей классов. Пусть К — конечное рас-
расширение поля Q. Основная проблема алгебраической теории
чисел состоит в вопросе о возможности погрузить К в конечное
расширение L такое, что &(L) = 1, т. е. Dl — область с одно-
однозначным разложением на множители (глава 1.2.1). Тогда, по
теореме 2.2, L содержит поле классов Гильберта Я(К). Башня
14-616*
209
полей классов — это последовательность
К<=Я(К)<=Я(Я(К))=Я2(К)<=
Пусть #~(К):= иЯ'ЧК). Тогда rt~(K)CL. Следовательно,
п~\
необходимое условие существования конечного расширения L
поля К такого, что Л(Ь) = 1, состоит в конечности расширения
Я-(К)/К. С другой стороны, если Я"(К)/К —конечное, то
Таким образом, первоначальная проблема сводится к во-
вопросу о конечности или бесконечности расширения Я"(К)/К.
Долгое время существовала гипотеза о том, что Я~(К)/К—
всегда конечное (см. Хасое [114, 1, § 11.3]), но Е. С. Голод и
И. Р. Шафаревич [10] первыми дали примеры алгебраических
числовых полей К с бесконечной башней полей классов Н°°(К).
Теорема 3.78. Пусть К — мнимое квадратичное поле, име-
имеющее не менее 6 простых дивизоров дискриминанта. Тогда сте-
степень максимального неразветвленного 2-расширения К0B) по-
поля К бесконечна.
Доказательство. Положим G = G(K0B)/K). Тогда
a?(G)>5 (теорема 2.105) и r(C)^(G) + i<d(GJ/4 (теорема
3.77). Таким образом, по теореме 3.46, G бесконечна. ?
В более общем случае, числовое поле с достаточно большим
числом разветвленных простых идеалов обладает бесконечной
башней полей классов. Это было доказано Брюмером [54] для
абсолютно нормальных полей с использованием метода из ра-
работы Брюмера и Розена [56] для оценки числа классов. Рокетт
[208] доказал более точный результат.
Теорема 3.78а. Пусть К — нормальное расширение Q сте-
степени п, г — число бесконечных точек поля К и р — простое чис-
число такое, что показатель vp(n)>0. Пусть, далее, tp — число
простых чисел, разветвленных в К, с индексом ветвления е&з
e=0(mod p).
Тогда К обладает бесконечной башней полей классов при
условии, что
* ^ /• — 1
где бр=1, если корни из единицы степени р лежат в К и 6„=0,
в противном случае.
Доказательство. Метод Шафаревича и Голода дает
бесконечность башни полей классов К, если
d(CL (К)(/>)) > 2 + 2 ] 7+V
Следовательно, теорема 3.78а вытекает из следующей оценки для
d(CL(K)(p))
Существует подобный, но менее точный результат для про-
произвольных числовых полей К (Рокетт, Цассенхауз [209]).
Пусть рФЧ — простое число и К — мнимое квадратичное по-
поле. Используя существование квадратичного автоморфизма для
G0(p), можно показать, что для минимального представления
имеем tfsF3 (§ Ы6) (Кох, Б. Б. Венков [152]). Поэтому из тео-
теоремы 3.47 следует, что G0(p) бесконечна, если d(G0(p))>3.
(Это утверждение справедливо и в случае действительного
квадратичного поля (Щуф [216]).)
Пример 22. К=О(У—3321607) —поле с простым дискри-
дискриминантом. 3- компонента группы CL(K) имеет число образую-
образующих—(Диаз и Диаз [85], Щуф [217]). Поэтому башия полей
классов поля К бесконечна. В
2.8. Оценки сверху для дискриминанта. В главе 1.6.15 были
получены оценки снизу для абсолютной величины |dic| дискри-
дискриминанта алгебраического числового поля К. Существование
бесконечных башен полей классов дает возможность получить
оценки сверху: пусть F — поле с бесконечной башней полей
классов F0 и пусть К — промежуточное поле расширения F0/F
конечной степени п над Q. Тогда
Из теоремы 3.79 следует, что F = Q(K—т.), где от = 3-5-7-
• 1Ы9, обладает бесконечной башней полей классов, поэтому
в этом случае
| dK |«/» — 2/ге»/2 = 296,276...
В общем случае пусть гх и г2— два неотрицательных целых
числа таких, что no:=ri+2r2— положительное число. Пусть
dn — минимум значений \йк\ для всех числовых полей К, сте-
степень которых ns=0(modn0) и для которых частное МЮ/МК)
чисел вещественных точек МК) и комплексных точек г2(К)
равно г,/л2. Из главы 1.6.15 следует, что величина
fxj
удовлетворяет неравенству
а (г,, ra) > F0,8)""" B2,3J"""
и, при условии справедливости расширенной гипотезы Римана,
~ а (г,, г2) > B15,3)"/«« D4,7J""*
Приведенный выше пример показывает, что
о@, 1)<296, 276...
Для действительных квадратичных полей, аналогично, получаем
ссA, 0)<5123, 106...
210
Эти оценки можно усилить, выбирая другие числовые поля
F с бесконечной башней полей классов. Мартиие доказал, что
, аA,0)<1059.
а@,
§ 3. Расширения с заданными группами Галуа
Пусть G— конечная группа и К — алгебраическое числовое
поле. В этом параграфе ищутся нормальные расширения L по-
поля К с условием G(L/K)=G. Слабая обратная задача состоит
в вопросе о существовании такого расширения. Сильная обратная
задача — описать множество всех нормальных расширений L,
для которых G(L/K)=G.
Сильная обратная задача весьма удовлетворительным об-
образом решена для абелевых групп с помощью теории полей
классов. Но уже для симметрической группы S3 не имеется
описания расширений Q с группой Галуа 53 с помощью объек-
объектов из Q. Разумеется, с помощью теории полей классов легко
охарактеризовать расширения L степени 3 над квадратичным
числовым полем F, для которого L/Q — нормальное расшире-
расширение с группой Галуа S3.
Для других представляющих интерес основных полей об об-
обратной задаче известно намного больше. Самый известный слу-
случай— функциональное поле С(/) рациональных функций от од-
одной переменной t над полем комплексных чисел С. Группа
Галуа алгебраического замыкания СA) поля С(/) является
свободной проконечной группой с множеством образующих,
имеющим мощность континуума. Максимальное расширение
С(/), с ветвлением лишь в s заданных точках сферы Римана,
обладает свободной проконечиой группой Галуа с s—1 образу-
образующими и подобная же теорема справедлива для конечных рас-
расширений С (О в качестве основного поля. Если основное поле L
является алгебраическим расширением максимального абелева
расширения Qab поля Q, то группа Галуа максимального разре-
разрешимого расширения L является свободной проконечной
группой (теорема 3.90а). Этот результат, аналогия между функ-
функциональными полями и числовыми полями и результаты из
§ 3.6 дают некоторую надежду, что группа Галуа алгебраичес-
алгебраического замыкания Q над Q"" является свободной проконечной
группой (гипотеза Шафаревича).
Известные результаты о слабой обратной задаче принадле-
принадлежат, в основном, двум полностью различным теориям. Если G
разрешима, то можно построить расширения с группой G с
помощью цепочки абелевых расширений. Это делается с исполь-
использованием теории задач погружения. Если G неразрешима, то
известны лишь частные случаи, основанные на методах алгеб-
алгебраической геометрии.
212
3.1. Задачи погружения. Рекомендуемая литература: Хоехс-
манн [129]. Пусть К — произвольное поле, L/K—конечное се-
парабельное нормальное расширение с группой Галуа G и
/: ?-*-G — гомоморфизм конечной группы Е на G. Задача по-
погружения состоит в отыскании нормального расширения М/К
и изоморфизма G(M/K)-*-? таких, что диаграмма
G(M/K)
/ U
E-+G
г
коммутативна (Ир обозначает естественную проекцию). Кег/ на-
называется ядром задачи погружения.
Очевидно, что это то же самое, что искать сюръективный
гомоморфизм Gk~*-E, для которого диаграмма коммутативна.
Кроме Gk , можно рассматривать также другие проконечные
группы ®, если нас интересуют расширения с некоторыми за-
заданными свойствами, например, ограниченным ветвлением.
В этом и следующем разделе мы ограничимся случаем, ког-
когда ядро А гомоморфизма f абелево и мы определяем задачу
погружения [®, ф, е] для любой проконечной группы ®, сюръ-
ективного гомоморфизма ф: ©-И8 и ее#2(®, А) (класс в
Н2(®, А), соответствующий /) как задачу нахождения морфиз-
ма Ф, для которого /Ф=ф. Далее мы рассмотрим вопрос о том,
является ли Ф сюръективным.
Предложение 3.79. Задача погружения [©, ф, е] имеет
решение тогда и только тогда, когда
<р*:Я2(®, А)-+НЦ®, А)
отображает е в 0.
Доказательство. Рассмотрим точную и коммутативную
диаграмму,
НУ—А—Е» а—*а-~{П
II Г
где
Е X
{*}—а
{(е,
9 \ ф (о) - / (е))
— произведение слоев. [<В, ф, е] разрешима тогда и только тог-
тогда, когда верхняя последовательность распадается.
21
Предложение 3.80. Пусть А -— прямая сумма двух ©-мо-
©-модулей Л,, А2 и e = ei+e2, где е,е#2(@, At), t = l, 2. Тогда [®, ф, е}
разрешима в том и только в том случае, когда разрешимы
[@, Ф, ei] и [©, ф, е2].
Предложение 3.81. Пусть G\ — подгруппа G такая, что
[G : GJ взаимно прост с \А\. Тогда [®, ф, е] разрешима тогда
и только тогда, когда разрешима
[ф (О|), Ф. Res0>0, (e)].
Доказательство. Имеем
где ®,:=ф-'(С,)
инъективно, так как
(глава 2.3.5).
В общем случае трудно сказать что-либо о существовании
сюръективного решения Ф : G-*-E, но в случае р-группы Е мож-
можно отметить следующее:
Предложение 3.82. Пусть Е — р-группа, причем число
образующих Е равно числу образующих группы ©. Тогда все
решения [®, ф, е] сюръективны.
Доказательство. Пусть ф(©):=?'. Тогда
/
сюръективно, т. е. Е' и Е<2р) порождают Е. Но тогда Е также
порождено ?', откуда Е=Е'. О
Пусть теперь G—G (L/K), где К —поле характеристики 0 иЬ
содержится в фиксированном алгебраическом замыкании К поля К.
Пусть, кроме того, @: = G(K/K) и пусть ф:®-*¦ G — естественная
проекция. Двойственный G-модуль Л^_для модуля А определяется
так же, как в §2.2: А': = Нот2(Л,~Кх). Для у&А' пусть %* —
Гомоморфизм
Ц, )ЦхА)НЦ®х, Кх),
Inf Res X*
где @х обозначает стабилизатор %. {% является гомоморфизмом
®х-модулей, по определению А').
Очевидно, что если [®, ф, е] имеет решение, то %*(г)=0 для
всех х^А'. С другой стороны, если из равенства %*(г)—0 для
любого f^A' следует, что [®, ф, е] имеет решение, то мы говорим,
что выполняется V(G, A, e) (V(G, А, е) является эквивалентом
гипотезы Хассе [117], опровергнутой Бенером [45]).
Дальше мы рассматриваем задачи погружения со слегка
иной точки зрения: мы начинаем с конечного (дискретного)
©-модуля А. Пусть ®А — неподвижная группа А и U — откры-
открытая нормальная подгруппа ®, содержащаяся в ®А. Тогда А —
®/11-модуль и для всех e6//2(@/U, А) имеется задача погружения
214
[®, фц . е], где фи : ©-H8/U. Мы говорим, что справедливо
V(®, А), если V(@/U, Л, е) выполняется для любой открытой
нормальной подгруппы U группы ® такой, что US®a и любого
еб//2(@/и, Л). По этому определению, V(®, А) выполняется
тогда и только тогда, когда отображение
Кх) C.14)
х*
инъективное.
Предложение 3.83. Если G действует на Л' тривиально,
то V(G, А) выполняется.
Доказательство. Модуль Л' и, следовательно, модуль
Л являются прямыми суммами циклических модулей. По пред-
предложению 3.81, можно считать, что Л — циклический. Пусть
л=|Л| и %?А' — характер порядка п. Тогда последовательность
является точной последовательностью ©-модулей. Следователь-
Следовательно, по предложению 3.48 индуцированный гомоморфизм
HHG, Л)->//2(@, Кх)
инъективен.
В более общем случае, имеется следующая теорема:
Теорема 3.84. Если © действует на Л' циклически, то
V(®, А) —верно, в
3.2. Задачи погружения для локальных и глобальных полей.
Рекомендуемая литература: Хоехсманн [129], Дёмушкин, Шафа-
ревич [12]). Теорема 3.85. Пусть К—конечное расширение
поля Qp. Тогда V(®, Л) выполняется для всех конечных ©-моду-
©-модулей Л.
Доказательство. По теореме 3.56 для любого
ебЯ2(@, Л), ъ?=0 существует уЬНЪF, А'), для которого eUx=
=Х*(е) ^0. следовательно, отображение C.16) инъективно.
Теорема 3.85 верна также для K=R.
Пусть теперь К — алгебраическое числовое поле. Для любой
точки v поля К выберем продолжение wv на К- Группа разложе-
разложения для до„ будет обозначаться G»
Теорема 3.86 (Принцип «локальное — глобальное» для по-
погружений). Отображение локализации
инъективно в том и только в том случае, когда выполняется ут-
утверждение V(G, A).
215
Доказательство. Это следует из теоремы 3.85, приме-
примененной к C.16). D
Теорема 3.87. Пусть F — неподвижное поле неподвижной
группы модуля А' и G: = G(F/K). Тогда утверждение V(G, A)
выполняется тогда и только тогда, когда инъективно отобра-
отображение
V
де Gw обозначает группу разложения w |f-
Доказательство. Это сразу следует из теорем 3.86,
3.68.1, и предложения 3.84. ?
В качестве следствия получаем теорему:
Теорем а 3.88. С введенными выше обозначениями, утверж-
утверждение V(G, А) верно, если НОД индексов [G : Gw] равен 1.
По теореме 2.110 последнее условие равносильно условию
№(G, Fx)={0}.
Следующая теорема принадлежит Шольцу [213] и Икеде [133]
Теорема 3.89. Пусть К — алгебраическое числовое поле.
Тогда всякая задача погружения [Gk , q>, e], имеющая решение,
имеет сюръективное решение. В
До сих пор рассматривались только конечные расширения
К поля Q. Мы уже знаем, что группа Брауэра бесконечного
алгебраического расширения L поля Q тривиальна, если [L : QJ
делится на /°° для всех простых чисел / (теорема 3.53). Следо-
Следовательно, все задачи погружения разрешимы; по теореме 3.89
они имеют даже сюръективные решения. Из этого вытекает сле-
следующая теорема Ивасавы:
Теорема 3.89а. Пусть L — алгебраическое расширение Q,
степень которого [L: Q] делится на /°° для всех простых /. Тогда
G г —свободная проразрешимая группа, имеющая счетное мно-
множество образующих.
Предположения теоремы 3.89а выполняются, например, если
L—максимальное абелево расширение Q"" поля Q. Ушида [265J
доказал также, что максимальное неразветвленное алгебраичес-
алгебраическое расширение поля Q°* имеет группу Галуа, представляющую
собой конечную проразрешимую группу со счетным множеством
образующих.
3.3. Расширения с предписанной группой Галуа порядка,
равного степени /. Рекомендуемая литература: Шафаревич [28].
Пусть К — алгебраическое числовое поле, /—фиксированное
простое число и G—/-группа. Мы хотим построить нормальные
расширения L/K, для которых G(L/K) = G. Поскольку любая
/-группа имеет нетривиальный центр, это можно сделать сле-
следующим образом: выберем цепочку групп
G\ *->G2*-* ...-*-> G,_i ¦*-*G, = G
216
с условием, что для всех t=l, 2, ..., s—1 гомоморфизм Gi+i-*-Gt
сюръективен, с ядром порядка /, лежащим в центре G,+\ и G| =
==G/G<2-". Тогда мы пытаемся решить задачи погружения, свя-
связанные с гомоморфизмами Gi+i~*-Gi последовательно, одну за
другой, начиная с расширения с группой Галуа G\.
С этой целью вводится понятие расширения Шольца; расши-
расширением Шольца L/K с показателем h называется нормальное
расширение, обладающее свойствами:
1. G(L/K) —/-группа.
2. Точки, лежащие над / и вещественные точки К полностью
разлагаются в L.
3. Простые идеалы р из К, разветвленные в расширении L/K,
имеют степень инерции 1, и их абсолютная норма N(y) удовле-
удовлетворяет сравнению
ЛГ(к) = 1 (mod/*).
Теорема 3.90. Пусть L/K — расширение Шольца с пока-
показателем А и [Ок, ф, f] — задача погружения, где <р—проекция
Gk-> G('L/K), расширение E-+G(L/K)— центральное с ядром At
имеющим порядок I, а ранги Е и G(L/K) равны. Тогда
1<3к* Ф.е] имеет, для достаточно больших А, сюръективное
решение.
Доказательство. Допустим сначала, что корни из еди-
единицы степени / лежат в К. Тогда, по предложениям 3.82 и 3.83,
достаточно доказать равенство х*(е)=0 Для В(ХХ Хе^'- Так как
Х*(е)б#2(Ок , Кх), согласно теореме 2. требуется доказать, что
локализации х*(е) обращаются в 0. Но в этом легко убедиться,
так как, по определению расширения Шольца, группы разложе-
разложения Gr группы G(L/K) являются циклическими. Следовательно,
соответствующая локальная задача погружения [Gc, фС) е,], где
ф2 : Ev~*-Gv либо распадается, либо Ev — циклическая. В первом
случае имеется тривиальное (не сюръективное) решение. Во
втором случае имеем неразветвленное решение, если v не раз-
разветвлено в L/K и разветвленное решение, если v разветвлено
в L/K для достаточно больших h.
Если К не содержит корни из единицы степени /, то перехо-
переходим к расширению Ь(ц,)/К и используем предложение 3.82. В
Задача построения полей с заданной группой Галуа, порядок
которой есть степень числа /, с помощью теоремы 3.91 сведена
к проблеме доказательства того, что среди решений задачи по-
погружения для расширений Шольца есть одно решение, вновь яв-
являющееся расширением Шольца. Если ц^К, то это нетрудно
доказать (Шольд [214], Райхард [204]). В случае, когда ц(с:К,
действуем следующим образом.
Определяются инварианты (%, X) и (X)h со значениями в
ц, для Xe#2(L/K, Ц|) и %?Hl(L/K, ц,) с помощью символа Арти-
на. Эти инварианты мультипликативны по X и х- Фиксируем
217
Л
X 1
ш 0/<^Л:=КегФ. Тогда каждой задаче погруже-
Ф> 3 ДЛЯ РасшиРени* Шольца L/K соответствует
|28>
Тогда (х,*)=-1. ixj
для t^G (L/K).
' ЧТ°
погру-
д<жазыв«™
теорема.
.. разрешимой группой Галуа.
: Шафаревич [29], Ишханов [15]. На-
шипенир
{1}-+/V^f~-+G^{l} C.15
ч
называется полупрямым произведением, если оно распадается,
т. е. ф обладает сечением s : G-*-E
Теорема 3.93. Пусть К — алгебраическое числовое поле,
L/K — конечное нормальное расширение с группой Галуа G и
пусть C.17) — полупрямое произведение нильпотентной груп-
группы N. Тогда соответствующая задача погружения имеет реше-
решение М/К.
Доказательство. Так как нильпотентная группа есть
прямое произведение /-групп, можно считать, что N является
/-группой. Пусть G, — си-повская /-группа группы G и Et — соот-
соответствующее групповое расширение с N. С помощью предложе-
предложения 3.82 и теоремы 3.90 доказывается, что задача погружения
218
для Е разрешима, если разрешима задача погружения для Е,.
Поэтому можно предполагать, что Е — /-группа. Определяется
понятие расширения Шольца 1//L с показателем h относительно
расширения L/K и методы § 3.3 обобщаются на эту ситуацию, н
Пусть теперь G — конечная разрешимая группа. Тогда G
является факторгруппой группы G', которая является полупря-
полупрямым произведением /-групп (Оре [199]). Следовательно, как
следствие теоремы 3.93 получаем следующую теорему Шафаре-
внча:
Теорема 3.94. Пусть G — конечная разрешимая группа и
К — алгебраическое числовое поле. Тогда существует нормаль-
нормальное расширение L/K такое, что G(L/K) изоморфна G. в
3.5. Расширения с предписанным локальным поведением.
Рекомендуемая литература: Нойкирх [196]. Задачу погружения
можно усилить следующим образом. Пусть, как и выше,
К—алгебраическое числовое поле и К»—его пополнение в точке
т>. Положим Gv:—Gk^. Для каждой точки v выберем фиксиро-
фиксированное погружение К->К„ и получим погружение Gv-+Gk-
Пусть 4>:Gk.-*-G—морфизм Gk. на конечную группу G и
Ф„:Go-»-G—его ограничение на (?„. Тогда если /:?"-»-G —мор-
—морфизм произвольной проконечной группы Е, мы получаем
диаграммы
и соответствующее отображение ограничения Ното(С?к» Е)-*-
-> П Homo (Gv, E).
V
Задача погружения с заданным локальным поведением со-
состоит в отыскании морфизмов Ф, индуцирующих заданные ло-
локальные морфизмы ф„ для некоторых точек v поля К.
Теорема 3.95. Пусть ф : Gk -*-G — сюръективный гомомор-
гомоморфизм иа конечную группу G и пусть m(L) —число корней из
единицы в неподвижном поле L ядра ф.
Если f : E~*-G — сюръективный морфизм с про- разрешимым
сепарабельным ядром с конечным показателем, взаимно прос-
простым с m(L) и если множество Нот0@„, Е) непусто для всех
точек v поля К, то отображение
Homo (GK, E),er-> П Homo (Gv, E^
сюръективно для любого конечного множества 5 точек поля К
(Нош0@к , Е).ит обозначает множество сюръективных мор-
морфизмов). в
219
Доказательство использует идеи Шольца [214] и Райхарда
[204] и когомологии Галуа алгебраических числовых полей.
В дальнейшем будем считать все встречающиеся проконеч-
ные группы сепарабельными. Приведенные ниже теоремы явля-
являются следствиями теоремы 3.95. Напомним, что по теореме Фей-
та и Томпсона любая конечная группа нечетного порядка раз-
разрешима.
Теорема 3.96. Пусть К — конечное алгебраическое число-
числовое поле и Е — проконечная группа конечного нечетного пока-
показателя. Тогда существует нормальное расширение L/K такое,
что G(L/K) изоморфна Е.
Доказательство. Применим теорему 3.95 к полю Q ра-
рациональных чисел и множеству S простых, ветвящихся в K/Q.
Положим G: = {1}. Если L'—решение соответствующей задачи
погружения, то L: = L'K имеет над К группу Галуа, изоморф-
изоморфную Е.
Теорема 3.97. Пусть К — конечное алгебраическое число-
числовое поле, т(К) — число корней нз единицы в К и 5 — конечное
множество точек поля К. Пусть Е—проконечная группа с ко-
конечным показателем, взаимно простым с т(К.) и LJKV, v?S —
нормальные расширения, группы Галуа которых можно погру-
погрузить в Е.
Тогда существует нормальное расширение L/K с группой
Галуа, изоморфной Е, которое для vbS имеет в качестве попол-
пополнений заданные расширения L../K,..
Доказательство. Применяем теорему 3.95 с G={1}. D
Теорема 3.98 обобщает теорему Грюнвальда — Вона (глава
2.1.12). Условие конечности показателя Е в теоремах 3.95—3.97
отбросить нельзя, поскольку для простого числа р, например,
не существует нормального расширения L/Q, у которого
G(L/Q)-ZPXZP.
3.6. Реализация расширений с предписанной группой Галуа
с помощью теоремы Гильберта о неприводимости. Рекомендуе-
Рекомендуемая литература: Матцат [176], [177]. С помощью методов, ис-
использовавшихся до сих пор, мы можем строить лишь разреши-
разрешимые расширения. В этом разделе мы рассмотрим реализацию
конечных групп G, как групп Галуа нормальных расширений
L/K с помощью теоремы Гильберта о неприводимости. Этот ме-
метод восходит еще к Гильберту, использовавшему его в случае
симметрических и знакопеременных групп, но для других групп
он был развит совсем недавно в работах: Г. В. Белый [4], Матцат
[175]. До енх пор удается реализовать некоторые группы, как
группы Галуа лишь над некоторым расширением К поля Q в
качестве основного поля, а не над самим Q. В качестве К удоб-
удобно взять максимальное абелево расширение Q поля Q. В слу-
случае разрешимых групп G теорема Ивасавы (теорема 3.99а) да-
дает полное представление о возможных расширениях L поля Q"*
таких, что G(L/Qal>)sG.
220
Пусть х, t — переменные. Поле К называется полем Гиль-
Гильберта, если для любого многочлена f(x, t)dK[x, t], неприводи-
неприводимого над К, существует бесконечное множество элементов t0
из К, для которых f(x, t0) неприводим над К. Кроме бесконеч-
бесконечных конечно порожденных полей, полями Гильберта также яв-
являются конечные расширения поля Q°* (Вайссауэр [281]). Гиль-
Гильберт показал, что Q — поле Гильберта. Это утверждение и его
обобщение на другие поля называется теоремой Гильберта о
неприводимости.
Пусть G — конечная группа, К — поле Гильберта и N(K.{t)) —
нормальное расширение такое, что G(N/K.(t))s*G, и которое ре-
регулярно, т. е. К алгебраически замкнуто в N. Тогда существует
нормальное расширение L/K, для которого G(L/K)=G.
Теорема существования Римана для комплексных алгебраи-
алгебраических функций дает полную картину возможных алгебраичес-
алгебраических расширений поля С(/) и их поведения относительно ветвле-
вления (пример 12а). В частности, для любой конечной груп-
группы G существует нормальное расширение N/C(t), для которого
G(N/C(t))&G. Если мы можем доказать, что существует под-
подполе К поля С и нормальное расширение NJK(t) такое, что
N—CN0, то G(NJK(t))=G. В этом случае говорят, что можно
спуститься из С в К. Если К — поле Гильберта, мы получаем
нормальное расширение поля К с группой Галуа, изоморфной G.
По принципу Лефшетца можно спуститься из С в Q. Для
некоторых конечных групп G возможен спуск из Q в Qab или
даже в Q. Основа этой процедуры дается следующей теоремой.
Для ее формулировки требуются некоторые определения.
Пусть G — конечная группа порядка п и Сь .... С. — неко-
некоторые классы сопряженных элементов в G. Структура классов
<$¦= (С , С.) определяется, как
(С , С,):—fei, ....?,
Для k^Z/nZ положим
тогда
(С*,
называется структурой ветвления G, порожденной <?.
Более того, для любого множества 3> s-наборов из G" по-
положим
v/
gs) = G}.
221
Тогда /<(S):=|2'(S) [ — делитель /'FХ):= |2'"(©х) I- Пусть
е(<?) — натуральное число такое, что
Р (G*)=e (<?)/< F).
Нормальное регулярное расширение N/K(t) имеет структу-
структуру ветвления 6*, если К(/) обладает ровно 5 точками
ft, ..., >., разветвленными в ЛПК, и для всех [й]62'(@*) суще-
существуют образующие g, групп инерции Т(%) для точек % поля
ЛТК таких, что %\ft, удовлетворяющие равенству Q=gi... ga.
Говорят, что подгруппа U группы G имеет дополнение Н,
где Н—подгруппа G, если любой элемент g из G можно един-
единственным образом представить в виде g^uh, где u(tU, MH.
Теорема 3.99. Пусть G — конечная группа, центр которой
2,(G) обладает дополнением, и пусть S — структура классов
группы G, причём /((®)#0. Тогда существуют подполе К по-
поля Q, нормальное регулярное расширение N/K(t) такое, что
G(N/K(t))^G, структура ветвления S*. Более того, поле кон-
констант поля К содержит абелево расширение Ко поля Q, для
которого [К : Ко]</'(®) и [Ко: Q] = eF). Щ)
Наиболее интересны случаи, когда /'(<?) = 1, т. е. KsQab и
/¦(©*) = 1, т. е. K = Q.
В общем случае трудно установить, существует ли для
заданной группы G структура ветвления, для которой /*F) = 1
или /*(®*) = 1. Г. В. Белый [4] исследовал случаи s = 3 для
подгрупп группы GLm(Fq) и доказал следующую теорему.
Теорема 3.100. Существуют нормальные регулярные рас-
расширения N/Qab(t) такие, что G(N/Qab(t))s*G для всех клас-
классических простых групп, т. е. для простых групп вида
PSLm(/%), PSUm (/=¦,.), PSpto.(/=¦,), PSO2m+1 (F,), PSO^,(F,). Ш
Если известна таблица характеров группы G, то /'(@) мож-
можно оценить сверху. Это приводит к следующим результатам о
спорадических простых группах (используются стандартные
обозначения для этих групп).
Теорема 3.101. Существуют нормальные регулярные рас-
расширения N/Qab(t) такие, что G(\r/Qah(t))=*G для всех спора-
спорадических простых групп G с единственным возможным исклю-
исключением /4.
Существуют нормальные регулярные расширения N/Q(t),
для которых G(/V/Q(/)) изоморфна одной из следующих IS
спорадических простых групп: Ми, Af12, M22, /1, /2, US, SZ, ON,
Co3, Co,, Co\, Fi22, F123, ^'24, ^5, ^3, F2. F\- liL'
Доказательства приведены в работах: Хойден [130] (JW23f
M2i, /,, /2), Хойден, Матцат [131] (/3, Me, He, Ru, ON, Ly, F5),
Хант [132] (Af12, M22, /2. MS, Sz, Co3, Co2, Cou Fi22, Fi^, Fi^',
F's, F2), Матцат [178] (Mi2, M22), Матцат, Зех [180] (ЛГ,,, МХ2),
Томпсон [263J (F{).
222
Существуют также результаты о конечных группах \G с не-
некоторыми заданными простыми сомножителями разложения"
(Матцат [179]). В частности, если К — конечное расширение
поля Qab, то любая задача погружения над К разрешима, если
ее ядро удовлетворяет некоторым условиям, которые можно
проверить для многих групп. Есть надежда на то, что эти ус-
условия можно проверить для всех простых групп. Согласно
теореме Ивасавы, из этого будет следовать доказательство ги-
гипотезы Шафаревича о том, что G(Q/K) является свободной
проконечной группой, имеющей счётное множество образующих.
Глава 4
АБЕЛЕВЫ ПОЛЯ
Рекомендуемая литература: Вашингтон [270].
Конечные абелевы расширения поля Q называются (абсо-
(абсолютными) абелевыми полями. До сих пор они появлялись, как
примеры для более общих теорем. В этой главе мы рассмотрим
дальнейшие проблемы о числовых полях, в основном ограничи-
ограничиваясь абелевыми полями, поскольку при таком ограничении
теория намного более содержательна, чем в общей постановке.
Каждое абелево поле М является подполем кругового поля
(глава 2.1.1), т. е. поля вида Q(?n), где ?n:=expBni/n).
Наименьшее п, для которого MsQ(?n), называется кондукто-
кондуктором м!
Существует канонический гомоморфизм Ф„ из (Z/nZ)x на
G(M/Q), заданный равенством
Ф/,(а)(С)=-Й Для ae(Z//iZ)x.
Характеры группы (Z/nZ)x называются характерами Ди-
Дирихле по mod п. Абелево поле М однозначно определяется
группой X=X(Ni) характеров группы (Z/nZ)x, обращающихся
в 0 на ядре Ф„.
Если п/гп, то любой характер % группы (Z/nZ)x индуцирует
характер %' группы (Z/mZ)x
Отождествим %' и % и назовём лит определяющими модуля-
модулями %. Наименьший определяющий модуль % называется кон-
кондуктором (или ведущим модулем) fx характера %. %, рассмат-
рассматриваемый, как характер группы (Z//,Z)X, называется прими-
примитивным характером (сравните с главой 1.5.6—8, где те же са-
самые понятия определялись с помощью соответствующего ха-
223
рактера группы иделей). Буквой % обозначаем, также, соответ-
соответствующий характер группы G(M/Q).
В этой главе используется принятое в теории абелевых по-
полей определение гауссовых сумм
где / обозначает конечную часть кондуктора характера %.
Это — комплексно-сопряжённое число к гауссовой сумме, опре-
определённой в главе 1.6.5, как произведение локальных гауссовых
сумм (пример 23а).
Тогда дискриминант d поля М равен
*»- П т0сJ= П х(-1)/х (теоремы 2.6, ). D.1)
Во введении к главе 1 уже упоминалась фундаментальная
работа Куммера, опубликованная в середине прошлого столе-
столетия, посвященная арифметике круговых полей. Эта работа со-
составляла основную часть теории абелевых полей до тех пор,
пока Леопольдт, вдохновленный работами Хассе, в особенности
книгой [118], не обобщил в пятидесятых годах нашего столетия
большинство существовавших тогда результатов о круговых
полях на случай абелевых полей и, вместе с Куботой нашёл
р-адический аналог для L-функций Дирихле. В то же время
Ивасава разработал свою теорию Г-расширений, т. е. нормаль-
нормальных расширений с группой Галуа, изоморфной 25Р, и интерпре-
интерпретировал р-адические /.-функции в терминах Г-расширений. Это
привело его к основной гипотезе, которую в 1979 году доказали
Мазур и Уайлис [185] D.7).
Часть результатов можно доказать для абелевых расшире-
расширений мнимых квадратичных полей, используя вместо показатель-
показательной функции эллиптические функции. Исследование формулы
числа классов в этой постановке было начато Мейером [186].
Современное состояние теории отражено в работе: Рубин [210,
§ 12].
Глава 4 построена следующим образом. В § 1 развивается
данное Леопольдтом описание кольца целых чисел абелева по-
поля М с помощью группы Х(М). В § 2 будет показано, как вы-
вывести из аналитической формулы для числа классов (теоремы
2.17) чисто алгебраическое выражение, называемое арифмети-
арифметической формулой для числа классов, и рассматриваются неко-
некоторые другие результаты, связанные с арифметической форму-
формулой для числа классов. § 3 посвящен р-адическим L-функциям,
а § 4 — теории Ивасавы.
224
§ 1. Целые числа абелева поля
Рекомендуемая литература: Леопольдт [170]. Если L/K —
произвольное нормальное расширение алгебраических число-
числовых полей и Cl^Ok—соответствующие кольца целых чисел,
то интерес представляет структура Dl, как Ок [G(L/K)]-mo-
дуля. В случае абелева расширения M/QS, имеется прекрасное
описание этой структуры, которое будет дано ниже. По поводу
общего случая см. главу 5.
1.1. Координаты. Пусть Q(x) —расширение поля Q, порож-
порождённое значениями характера х> и пусть Q(X) является ком-
композитом полей Q(x) для уЬХ. Если показатель G: = G(M/Q)
равен т, то Q(X)=Q(U)-
Введём следующие координаты у л (а,х) Для абМ:
Ум (а, у>):
Эти координаты обладают свойствами:
1. Ум(а,Х)еС*0с).
2- Ум(ст, %") = ( Q(y)/Q )Ум(а, х). Для a?L, взаимно простых
С ПОрЯДКОМ X'
1 ^ ',а,х)т(х).
2
4. г/м (а. х)—Q-линейная, как функция от а.
5. */м(?«, Х) = Х(?)Ум(а, X) ДЛЯ g€G.
6. Пусть М' —подполе М и %'—характер М'.
Тогда
Ум (а, Х')-=#м- (trM/M- (a), %')'
7. Пусть у(%), хбX—система чисел, щуичем »/(xNQ(x)H
у^={спш)у(%)
для agZ, взаимно простых с порядком характера х» Тогда суще
ствует абЖ такое, что у (х) = Ум (а, %) для %<с.Х.
1.2. Структура модуля Галуа кольца целых чисел абелева
поля. абМ принадлежит Ом тогда и только тогда, когда коор-
координаты ун (а, у) принадлежат Dq(X) и удовлетворяют некото-
некоторым сравнениям по mod[М : Q]. Тогда для описания Ом, как
2[О]-модуля, достаточно описать эти сравнения. Это можно
сделать следующим образом.
Пусть в1—элемент М такой, что g6, g&G, образуют базис
M/Q. Тогда любое абОм можно однозначно записать в виде
a=a>0, где w — элемент некоторой подгруппы W из Q\G], име-
15—6164
225
ющей Z-ранг, равный [М : Q]:
m
Порядок
и класс SB как Ом -модуля, не зависят от выбора 6. Любой дру-
другой элемент 6' из JW, для которого gQ', g&G, образуют базис
M/Q, имеет вид ев, где e6Q[G]x. Поэтому
Введем дополнительные обозначения, связанные с харак-
характерами. Два характера % и х' поля М называются подобными,
если они обладают одним и тем же диким ветвлением, т. е.
если "vp(/x)>l или Vp(/X )>1, то vp(fx) =vp(fx' J для всех про-
простых чисел р, удовлетворяющих условию р\ \G\. Пусть Ф —
класс подобных характеров, тогда
—идемпотент в Q [G]. Положим, далее,
/Ф:=НОК{/х|хеФ},
Мф: = неподвижное поле группы {g&G \x(g)=l, хбФ}>
т(х|Ф):= 2 XW^,
Теперь мы в состоянии сформулировать теоремы о структуре
Ом-
Теорема 4.1.1. Ом =2Z[G] 1Ф, где суммирование произво-
производится по всем классам Ф подобных характеров.
2. ЗВ эквивалентен Ом, рассматриваемому, как Ом-модуль. Гх)
Из теоремы 4.1 следует, что существует обМ, для которого
Om = OmG- Следовательно, для точного описания целых чисел из
М достаточно найти такой элемент 0.
Теорема 4.2. Пусть 6:=^0ф, где суммирование произво-
производится по всем классам подобных характеров. Тогда Ом = ОмО. ПО
В качестве следствия теоремы 4.2 получаем следующий ре-
результат.
Теорема 4.3. Ом —прямая сумма Z [G]-модулей 1фОм.
В частности, Ом имеет нормальный целый базис, т. е. базис вида
{gw, g?G} для некоторого о)бОм тогда и только тогда, когда
M/Q обладает ручным ветвлением.
22G
Используя теорему 4.2, можно найти сравнения,
зующие координаты целых чисел из М.
Пример 1. Если JW/Q обладает ручным ветвлением, то
0=6 ф порождает целый нормальный базис. ?
Пример 1а. Как иллюстрацию к теореме 4.3, рассмотрим
случай {М : Q]=2. В этом случае результат хорошо известен
(глава 1.1.1., пример 2). Два характера х и хо группы ,G, где хо
обозначает единичный характер, принадлежат одному и тому
же классу Ф подобных характеров в том и только в том случае»
когда M/Q обладает ручным ветвлением. Кроме того,
ели M/Q имеет дикое ветвление, т. е.
если M/Q имеет ручное ветвление, т. е.
§ 2. Арифметическая формула числа классов
Мы хотим переформулировать аналитическую формулу чис-
числа классов (теорема 2.17) в случае абелевых полей в чисто ал-
алгебраическом виде.
2.1. Арифметическая формула числа классов для комплекс-
комплексных абелевых полей. Сначала рассмотрим связь между ком-
комплексным абелевым полем М и его максимальным веществен-
вещественным подполем М+. В следующем предложении рассматрива-
рассматриваются СМ-поля, т. е. вполне комплексные расширения К поля
Q, имеющие вполне вещественное подполе К+, для которого
[К:К+]=2.
Предложение 4.4. Пусть К — СМ-поле и К+ — его мак-
максимальное вещественное подполе, w — число корней из едини-
единицы в К. Тогда число классов Л(К+) делит Л (К). Гомоморфизм
Ф: Е~*~Е, с^(е)=е-е~1 группы единиц ?=s?(K) имеет образ ц,г,
или Ци>2, где w обозначает число корней из единицы в К.
Доказательство. То, что Л(К+)|Л(К), следует из
теории полей классов. Так как К/К+ не разветвлено в беско-
бесконечных точках, поле классов Гильберта поля К+ не содержит К
(теоремы 2.2, 2.103). Поскольку |<р(е)| = 1, образ <р содержит-
содержится в цш (глава 1.1.3). Поэтому утверждение следует из нера-
неравенства [?(К) :Е(К+)]>"Т D
Л:=Л(К)/Л(К+) называется относительным числом классов,
а индекс Q0K)==[?(K) : Цш?(К+)] называется индексом единиц.
По предложению 4.4 индекс единиц равен 1 или 2, см. работу
15»
227
Хассе1 [118A, где он вычислен для абелевых полей, например,
Q(Q(?n)) = l тогда и только тогда, когда п — степень простого
числа.
Теорема 4.5. Пусть М — комплексное абелево поле, а
М+ — его максимальное вещественное подполе. Тогда
где w — число корней из единицы в поле М, произведение взя-
взято по всем нечетным характерам ip (т. е. $(—1)=—1) поля М,
а В\,+ определяется как
(как обычно, полагаем ^(х)=0, если х не взаимно прост cf+).
Доказательство. Сравним аналитические формулы для
числа классов для полей М и М+. Легко видеть, что регулятор
/?(М) равен
где n+=[JW+ : Q]. Кроме того, вычислим L(l,\p):
Предложение 4.6. Пусть % — характер Дирихле с кон-
кондуктором /. Тогда
2
X—1
I —S*|, если х(-1)-1 D-2)
' если х(—
2
х-1
D.3)
Доказательство. Положим ?*-?.. Тогда
2 ?-
¦г(п10<1 f) n
f-l
*-0 Л-1 "
f-l f-l
~±У
л-1
' В этой работе теорема 29 неверна. — Прим. автора.
228
при s>l. Toj-да, по принципу непрерывности Абеля,
/f-\
2
где взято главное Значение логарифма, которое, в нашем случае,
лежит между линиями—j- и -у.
Более того
I-S'l2 D.4)
при х(—1) —I и
log A — М — bg 2 sin у ± я/ (у—4").
U*j log A - Гл) ¦+- хТ11^) log A - С*)-
D.5)
при l<je<f—1 их(—1)=—1.
Из D.4) и D.5) следуют D.2) и D.3). ?
Подставляя теперь выражения D.2), D.3) для характеров
полей М и М+ в аналитическую формулу числа классов для М
и М+ (теорема 2.17) и принимая во внимание равенства
id]i2, если М вещественное,
ил/2^м2. если М комплексное, rz:=[M:Q]
(A.41), B.27)), получаем искомую_ формулу из теоремы 4.5.
Пример 16. Пусть Мт^О(У—1)—мнимое квадратичное
поле и ^ — его нетривиальный характер. В этом случае можно
упростить формулу из теоремы 4.5 (см., например, Боре-
вич И. Р., Шафаревич [6, глава 5, § 4]):
де суммирование производится по всем JCgZ, удовлетворяющим
условиям 0<Jc<dM/2 и {х, cfM)=l-
2.2. Арифметическая формула числа классов для веществен-
вещественных квадратичных полей. Осталось изучить случай веществен-
вещественного абелева поля. Сперва в качестве примера рассмотрим ве-
вещественные квадратичные поля M=Q(yd) с дискриминантом d
и фундаментальной единицей е>1. Тогда регулятор поля М
равен log е. Пусть % — характер, соответствующий М. Его кон-
кондуктор равен d. По формуле числа классов,
х-1
229
1 Гх |
1 *v I —
кроме того, из
следует
h
Таким образом,
Последнее уравнение показывает, что
корнями из единицы в поле М и всеми элементами вида
)
•х _ г-х
1<Х<4/2
является единицей в М. Она называется круговой единицей,
в вместе с —1 порождают подгруппу индекса Л(М) группы
единиц поля М. Это — арифметическая форма формулы числа
классов, которую мы хотим обобщить на произвольные веще-
вещественные абелевы поля М.
2.3. Арифметическая формула числа классов для веществен-
вещественных абелевых полей. Рекомендуемая литература: Синнотт
[237]. Пусть М — произвольное абелево поле и М+ — его мак-
максимальное вещественное подполе. Л+(М):=Л(М+) часто назы-
называют вторым множителем числа классов М.
Для того, чтобы установить формулу числа классов для
Л+(М), введем некоторые определения и обозначения.
Пусть G — группа Галуа расширения JW/Q. С каждым про-
простым числом р свяжем элемент
П A-(/?,м)),
группового кольца QfG], где Тр обозначает группу инерции, а
Fp^G/Tp — автоморфизм Фробениуса. Для натурального чис-
числа г обозначим 7,-подгруппу группы F, порожденную группой
инерции Тр при р\г, в частности, 7| = {1}. Пусть ш — произведе-
произведение всех простых, разветвленных в М. пусть U обозначает
ZfGJ-модуль в Q[G], порождённый элементами
( 2
\*втг
где г пробегает все делители т.
Предложение 4.7. U — свободный Z-модуль ранга
[М : Q]. пТ
Пусть п — делитель кондуктора М и пусть а — целое число,
не делящееся на п. Положим Mn = JWflQ(U). Тогда группа D
круговых чисел в М определяется как группа, порожденная в М
230
Группа С круговых единиц М определяется равенством
С ' Сл^ующее предложение, вместе со связывающим идеалы
уравнением
для простых чисел р (глава 1.3.9) показывает, что для задан-
заданного поля М легко определить, какие элементы D принадле
УК Я Т 1^
Предложение 4.8. Если натуральное число п имеет не
менее двух различных простых делителей, то 1—Ц,—единица
BZ[y и
П A-Й)-1.
п-\
Доказательство. Иэ равенства
следует
Кроме того,
откуда
y6(Z/nZ)
В случае М—Q(Cp«) имеем простое описание группы круговых
единиц с помощью независимых образующих.
Предложение 4.8а. Круговые единицы поля Q(tp») по
рождены —1 и единицами
231
р\п Р\п )-Л
П (i-
Круговые единицы поля Q(Upm) порождены ?р/п и круговыми
единицами лоля Q(?pm)+. ?
Теперь мы можем сформулировать основной результат
(Синнотт [237]).
Теорема 4.9. Пусть М — вещественное абелево поле.
Тогда, используя введенные выше обозначения,
[?-C]AIMQI
rnf/Ql)(Z[G]:^),
где ре обозначает наивысшую степень р, делящую кондуктор М.
Индекс (Z[G] : U) определяется из равенства
(Z[G]M [±][±
]
где натуральное число А таково, что ?/о—Z[<7]. |?| '
Про индекс можно сказать несколько больше:
Теорема 4.10. (Z[G]: U)—целое число, которое делится
лишь на простые числа, делящие \G\. Если не более двух про-
простых чисел разветвляются в М, нли если G представляет собой
прямое произведение своих групп инерции, то (Z[G]: С/)~1. И
Теорема 4.11. Пусть пф2 (mod 4), М — максимальное ве-
вещественное подполе поля Q(?n), g— число различных простых
делителей числа п и пусть Ь~0, если g=l, b—2«~2+\—g, если
g>2. Тогда [Е : С]=2»Л(М)./хТ
2.4. Идеал Штикельбергера. Рекомендуемая литература?
Вашингтон [270], глава 6.
В этом пункте изучается группа классов идеалов абелева
поля М как ZfGJ-модуль, G: = G(M/Q). Идеал Штикельбергера
определяется как идеал в Z[G), аннулирующий группу клас^
сов. В § 2.3 мы связали второй множитель числа классов М с
индексом группы. То же можно сделать и для множителя от-
относительного числа классов Л~(М). В случае круговых полей
мы связываем ft-(M) с идеалом Штикельбергера. По поводу
общего случая комплексных абелевых полей см. Синнотт [237]
Для изучения идеала Штикельбергера нам потребуются"
гауссовы суммы над конечными полями, которые представляют
интерес сами по себе.
Пусть Fq — конечное поле с q элементами, где q— степень
простого числа р. Пусть ?р — фиксированный примитивный ко-
корень из единицы степени р и пусть tr обозначает след из F4 &
Z/pZ. Функция ip : Ftf-t-C*, определённая при x?Fq равенством
УР(Х):
является характером Ft. Пусть ГР^^
рактер rnvnnw F* п / x * C —произвольный ха-
характер группы Ff. Положим х@) = 0 и определим сумму Гаусса
/232
t(x) равенством
Легко доказать следующие факты:
1. Если порядок х равен т, то
2.
3. Если х=1, то т(х)т:(х) = 5(
делят т, то
— \)Ч- Если порядки Xi. Ъ
—целое алгефаическое число в Q(?m).
5.
называется суммой Якобн характеров
^1 и XiXa^l. то
6. Пусть т взаимно просто ери пусть
поля Q(?m, ?j>), для которого
Если
— автоморфизм
Если порядок х равен т, то
:т
Пусть М — абелево поле с кондуктором /. Отождествим
G(M/Q) с соответствующей факторгруппой _ группы (Z//Z)x.
Элемент в G:=G(M/Q), соответствующий ae(Z/fZ)y, будет
обозначаться аа. Элемент Штикельбергера 6=в(М) опреде-
определяется равенством
где для вещественного числа х символ {х} обозначает его дроб-
дробную часть, т. е. число х' такое, что 0<дг'<1 и х—x'GZ. Идеал
Штикельбергера /=/(М) определяется, как
Это — идеал группового кольца Z[G].
Теорема 4.12 (Теорема Штикельбергера). Пусть Я —
дробный идеал из М и ре/. Тогда R* — главный идеал, т. е.
233
идеал Штикельбергера аннулирует группу классов иде-
идеалов М. D
Доказательство теоремы 4.12 основано на изучении введён-
введённых выше сумм Гаусса. Пусть р— простое число, не делящее
кондуктор f поля М. Если h — порядок р по mod f, положим
q—ph. Пусть to (соответственно, j>)—простой идеал Q(S/)
(соответственно, Q(?g-i)) такой, что р|р \р. Поскольку
Z[?wJ/P — конечное поле с q элементами, существу-
существует изоморфизм со:F%-у(?„_,), для которого
Тогда характер %—a>~d, где d—(q—\)/f, имеет порядок f. Сле-
Следовательно, t(xNQ(S/p) "(§ 3.1.1). Можно доказать, что
Поэтому
(т(х)р)=С к™ Pez[G], pee/.
Пусть Я — дробный идеал М, взаимно простой с f. Предста-
Представим Я как произведение простых идеалов в Q(?/). Тогда
где f — произведение гауссовых сумм т(х). В итоге доказы-
доказываем, что y^NV. п
Пример 2. Пусть JW — вещественное абелево поле. Тогда
<та = —оа и
где Nn/Q обозначает норму идеала. Следовательно, в этом
случае теорема тривиальна. П
Пример 2а. Пусть М — мнимое квадратичное поле. Тогда
и /6(М) действует на группе классов идеалов, как ~La%(a), где
X — квадратичный характер М. Поскольку из формулы числа
классов (§ 2.1) следует, что это равно — fh(Nl) (если f>4),
мы получаем слабую форму для формулы числа классов. ?
Теперь мы ограничимся круговыми полями M = Q(?n),
n=s2(mod4). Обозначим комплексное сопряжение через i и
положим R : —Z[G],
Теорема 4.13. Пусть g — число различных простых дели-
делителей числа п и пусть 6 = 0, если g=l, fc==2«-2—1, если
Тогда
(Синнотт [237], случай п=рт см. Вашингтон [270], § 6.4).
Доказательство теоремы 4.13 состоит в преобразовании фор-
формулы числа классов для h*(Q(t,n)) (теорема 4.5). Это можно
сделать для простых компонент [R- : 1~] по отдельности. Про-
Продемонстрируем принцип доказательства в простейшем случае
простых чисел q, q-f~2n. Положим
Тогда /„ =RqQ и (/-компонентой [R~:?~] является [Rq:Iq\-
Рассмотрим линейное отображение A:RH'-*¦ Rq', заданное, как
[-+xQ. Кз теории элементарных делителей известно, что
R^:R7e] представляет собой q—часть det(A). Вычислим ^et' "
работая в векторном пространстве 7?~®zQ7 имеющем базис
t|)—нечетный}, где
В этом базисе матрица А—диагональная,
В случае q\2n приходится учитывать знаменатели. В частных
случаях n=pm,q = p (см. § 2.5).
В случае M = Q(? т) можно было бы надеяться, что R~/I~
изоморфна факторгруппе CL(M)/CL(Af+), так как обе группы
имеют одинаковый порядок. В общем случае такого изоморфиз-
изоморфизма нет, как показывает следующий пример.
Пример 3. Пусть р=4027, /1=1. Положим CL=CL(M),
CL+=CL(M+). Группой классов CL, поля Q(V—4027) sM яв-
является Z/3Z+Z/3Z. Пусть R-/I-szCL/CL+. Так как /?"//", как
R-модуль, порождена 1—i, существует c€CL, для которого
/?c-CL+=CL. Поэтому группа
CLj==yV m/q/(^7( CL)
порождена над R элементом
234
Так как ос^с*1 для oQG (M/Q), получаем, следовательно, что
j^Cl—циклическая группа, порожденная c,i Получено противо-
противоречие, так как CL, — нециклическая. Q
235
2.5. О р —компоненте группы классов поля Q({y>»). Рекомен-
Рекомендуемая литература: Вашингтон [270, § 10.3]. Пусть рф2 —
простое число. В этом разделе изучается Ат — ур-компонента
группы классов CL(Q(iyn)), как Zp [С?]-модуля. Это отправная
точка теории Ивасавы (§ 3). Мы сохраняем обозначения § 2.4.
Для любого J.o ГС71-модуля X доложим A^+:=(l t-/W, X~: =
A-0*.
Кроме того, положим
По теореме 2./03, группа -<4(/га)+ является уР-компонентой группы
Прежде всего, рассмотрим идеал Штикельбергера Цт)
группового кольца R(m)—ZP[G]. Разложим G=(Z/pmZ)x на
р-компоненту и взаимно простую с р компоненту Я. Группа Я—
циклическая, порядка р—1. Пусть ю — характер со : Н-*~ХРХ,
определяемый сравнением
co(a)=a(mod p), а?Н (для a?Z, (a, p)
p) ? (для a?Z, (a, p)-=U
существует, притом единственный корень из единицы ??ZPX сте-
степени р—1, для которого ?s=3a(mod р)). а порождает группу ха-
характеров Я. Обозначим ъ?2р[Н]—идемпотент, соответствую-
соответствующий вI: |
в,:
—1 а?Н
0, 1, ...,р-2.
Теорема 4.13а. 1(т) —главный идеал кольца R{m) с об-
образующим элементом
2 08, + (<х|+„ — 1 — р) ве, — в + (<Ь+Р—2 — />) ее,.
Доказательство теоремы 4.13а (Шафаревич [30, глава 3.8])
состоит из двух шагов. Сначала доказывается, что
/ (т) - Zpp»e -f, ® тгр (с а - а) в,
(в.р)->
а затем по отдельности рассматриваются компоненты е(/?(/л).
Если g'-'assi, то (y(S)~S)9e^(/n). где у обозначает обратный
для со характер. Так как
Если 1ф\, то й)'у(?)—? — единица в Zp, следовательно,
e/(m) =0e,R(m). Это демонстрирует специальную роль харак-
характера со. Если i = l, то доказывается, что (о1+р—1—p)QBi^R(m). в
Куммер [158, стр. 85], высказал гипотезу, что число классов
поля Q(?P)+ не делится на р. Эта гипотеза известна, как гипо-
гипотеза Вандивера. Она была проверена для всех р< 125000 (Ваг-
стафф [268]). По теореме 2.104 из p-fA(Q(?„)+) следует, что
P"fMQ(?pra)+) для всех т==1, 2,... и поэтому А(т)=А(т)~.
Теорема 4.14. Пусть р=??=2 — простое число, для которого
/>-fA(Q(?p)+)- Тогда гр[О]-модули R(m)-/I(m)- и А(т)- изо-
изоморфны для всех т=1, 2,... Н
Из того, что yP-fA(Q(S m)+) следует, что индекс группы кру-
круговых единиц в группе всех единиц поля Q (С „)*" взаимно прост
с р (теорема 4.11). Это, вместе с теорией Куммера (глава 1.4.7),
показывает, что А(т)-, рассматриваемый как Zp [О]-модуль, яв-
является циклическим. Поэтому любая образующая а0 модуля
А(т)- приводит к изоморфизму т-*-гаа факторкольца R(m)~l
fl{m)- на А(пг).
Теперь мы ограничимся случаем круговых полей Q(?j>). Уже
Куммер доказал следующую теорему.
Теорема 4.15. Пусть р— нечетное простое число, Ар =
= h~pfi+p— число классов поля Q(?p). Тогда следующие условия
равносильны:
1) P\h'p,
2) p\hr
3) р делит числитель числа Бернулли В, при некотором
/ = 2,4 р-3.
Доказательство. Из теоремы 4.5, вместе с приложени-
приложением 4, следует, что
S
S wm
, /-1
1 нечетное
D.6)
где a:(Z/pZ)x-*-Zp характер такой, что со (a) s= a (mod p). Кроме
того, числа В1фп и Bn+l/(n-j- 1) лежат в Zp и
если n&s — I (mod(/?— 1)) (приложение 4).
получаем
236
Т (С)—С) ве, — («»' т (С)
а—1
D.7)
237
h =
p
J нечетное
Тем
самым доказана
»" *
г»
ав1"*ильиость
р-2
Имеем
Д, A-
р-2
/-н
/—четное . -„.«inn
Следующие теоремы частично уточняют теорему 4.15.
Теорема 4.16 (Теорема Эрбранда [109]). Л0=Л1={0}.
Пусть i — нечетное и 3<i<p—2. Если Л,=тЦ0}, то p\Bp.t.
Доказательство. Равенство Д,-{0} очевидно, поскольку
eo"=jV«(Cp)/«/(/'—')¦
Пусть ?6^. сфО(тойр). По теореме Штикельбергера (с — ос)в
аннулирует Л, следовательно, и Д. Поэтому (с — со'(с)) В _t
аннулирует Л,. При / = 1, и ?• =•/»-{-1 имеем
— со
откуда Д =0. При 1ф\ иг нечетном выбираем с, для которого
cs^c'ssco'^Xmod^). Тогда
Так как
~ i)(taodp).
имеем p\Bp_i, если Л;=^{0}. П
Теорема 4.17 (Теорема Мазура и Уайлиса {185]). Если i —
нечетное число, 3 </</?—2, то
Это — следствие доказательства «основной гипотезы» Мазу-
Мазура и Уайлиса (см. § 4.7). Если p-\hp+, т. е. если справедлива
гипотеза Вандивера, то, согласно теореме 4.14, группы Л< — цик-
238
лические. Поэтому из равенства D.8) вытекает неравенство
и утверждение теоремы 4.17 следует из равенства D.6)
Следующая теорема Рибе [206] представляет собой следствие
теоремы 4.17.
Теорема 4.18. Пусть i€Z—нечетное, 3<i<p—2. Если
р\Вр.и тоА,Ф{0}. И
2.6. Приложение к последней теореме Ферма. III. Рекомен-
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич [6, гла-
глава 5]. В главах 1.3.10 и 2.6.6. нами рассмотрен первый случай
последней теоремы Ферма. Если р — регулярное простое
число, т. е. р-[кр, Куммером установлен и второй случай.
Теорема 4.18а. Второй случай последней теоремы Ферма
справедлив для регулярных простых чисел.
Доказательство намного труднее, чем доказательство пер-
первого случая. Оно основано на теореме 4.15 и следующей лемме.
Лемма 4.186 (Куммер). Пусть р — регулярное простое чис-
число и е — единица в поле Q(?p). для которой e=a(modp), aGZ.
Тогда е — р-ая степень некоторого числа из Q(?P).
Дальнейший прогресс в доказательстве второго случая, в
основном, связан с Вандивером, давшим ряд достаточных усло-
условий. Наиболее подходящим условием для вычислений с исполь-
использованием быстродействующих вычислительных машин является
следующая теорема (Лемер Д., Лемер Е., Ванднвер [165]).
Теорема 4.18в. Пусть / — простое число, l = kp-)r\ <
<P2JrP и t — натуральное число, для которого ?* = l(mod/).
Положим
Р-1)/2
П (t»-
(р-Ц/2
Если B%аф1 (mod/) для всех aGZ, удовлетворяющих условиям
2<2а.<:/7 — 3, то для р выполняется второй случай последней
теоремы Ферма и prffip*. [x|
Вагстафф проверил, что приведенные выше условия верны
при р<С125 000. Во всех случаях можно было использовать наи-
меньшеэе простое число /=?p-f-l, для которого 2*^1 (modi),
t=2.
Поскольку первый случай верен, по крайней мере, для всех
р<3-1О9, последняя теорема Ферма справедлива для всех р<.
< 125 000.
239
§ 3. Теория Ивасавы Г-расширений
Рекомендуемая литература: Вашингтон [270, глава 13]. Пусть
р — простое число. Г-расширение алгебраического числового
поля К представляет собой нормальное расширение К'"' с груп-
группой Галуа, изоморфной Г:=1Р+ (глава 3). Для любой степени
рп числа р, п—0, 1, ..., существует, притом единственное, рас-
расширение К(п\ удовлетворяющее условиям
Kln)i)
Основная цель теории Г-расширений Ивасавы состоит в изуче-
изучении группы р-классов для последовательности полей
Согласно теории полей классов (глава 2.1.7), группы р-клас-
сов Хп расширений К', «===1, 2, ..., образуют обратную систе-
систему (глава 3.1.1), с норменными отображениями в качестве мор-
физмов. Теория Ивасавы изучает обратный предел Х=НтХя,
как ZpflT]]-модуль (глава 3.1.16).
Из результатов о структуре X следуют соответствующие резуль-
результаты об Хп.
Наиболее интересным случаем Г-расширения и, в действи-
действительности, примером всей теории, является случай круговых
полей К(л) = <3(?рл+1), уже изученный в §2.3.
3.1. Теория полей классов Г-расширеиий. Начнем с некото-
некоторых фактов, которые легко установить для Г-расширений на
основе теории полей классов (глава 2.1).
Теорема 4.19. Пусть K("VK — Г-расширеиие и пусть v —
точка поля К, не лежащая над р. Тогда К("'/К иеразветвлено в
v, т. е. Г-расширение неразветвлено вне р.
Доказательство. Группа инерции 7"„ локального расши-
расширения К("'К^/К„ согласно локальной теории полей классов, со-
соответствует факторгруппе группы единиц поля К„. Так как ветв-
ветвление и-ручное, группа Т„ — конечная. С другой стороны, Г.—
замкнутая подгруппа группы T^ZP+. Но единственной конеч-
конечной замкнутой подгруппой группы Zp+ является {0}. D
Над Q существует единственное Г-расширение Q(<"° =
= Q(o°'(p). Соответствующие расширения Q"°, я = 1, 2, ....
строятся следующим образом.
При рф2 рассматриваем расширение Q(?yi+i)/Q. Его группой
Галуа является группа
Следовательно, Q(?0n+i) содержит, притом единственное, под-
240
поле Q{n) такое, что O(Q<n)/Q)s^Z/p»Z. Имеем
Q=Q@)cQA)c...cQ('T)
и полагаем Q(e>)= \jQ(;i).
п
При /» = 2 рассмотрим расширение Q(?2n-t*)/Q. Его группа
Галуа изоморфна
(Z/2"+2Z)x =s Z/2"ZX Z/2Z.
Группа Галуа максимального вещественного подполя Q}n) поля
Q(C2«4i) над Q изоморфна Z/2"Z. Положим Q(oo)= uQ<e).
п
Для произвольного числового поля К расширение KQ("'/K
является Г-расширением. Оно называется круговым Т-расшире-
наем. Вообще говоря, существуют и другие Г-расширения поля
К, кроме KQ"".
Пусть /"]-|-Г2—1—б — Zp-ранг группы Еь рассмотренной в
главе 3.2.5 в связи с гипотезой Леопольдта о том, что 6=0.
Теорема 4.20. Пусть F — максимальное абелево р-расши-
рение поля К, не разветвленное вне р. Тогда Zp-ранг р группы
G(F/K) равен г2+1+б.
Доказательство. Группа G(F/K) изоморфна /7-попол-
нению С группы
J(K)/K*UUV
(глава 2.1.1). Так как группа J{K)/KxJIuv изоморфна конеч-
V
ной группе классов идеалов поля К, Zp-ранг С равен Z^-рангу
уР-пополнения группы
кх П ?/„/кх П и<зМ uv/kx n П и„
v vjrp v\p v\p
^-пополнение П f/w/Кх пП Uv равно IT UvJEy. Поэтому
v\p v\p v\p
pE,—IK:Q] —(
2
v\p
Пусть t: ==r24-l 4-o. По теореме 4.20 группа G(K/K) изо-
изоморфна Z'p(BH для некоторой конечной группы И. Пусть
К(оо) — F-расширение поля К. Тогда, по теореме 4.19, K(oo)cF.
Следовательно, расширению К(оо) соответствует подгруппа группы
Z*p-\-H, содержащая Н. Расширение поля К, соответствующее
16—6164
241
Н, содержит все Г-расширения поля К и является композитом t
«независимых» Г-расширений.
Пусть Е — Замыкание группы единиц Е поля К, диагонально
погруженное в IL(JV. Из доказательства теоремы 4.20 вытекает
также следующая теорема.
Теорема 4.21. Пусть Н — поле классов Гильберта поля К
(глава 2.1.2) и F—максимальное абелево расширение К, не
разветвленное вне р. Тогда
v,p
Теорема 4.22. Пусть К(К— Г-расширение. Тогда суще-
существует конечное подрасширение М/К такое, что все простые ди-
дивизоры р в М вполне разветвлены в К'"'. D
3.2. Структура Л-модулей. В дальнейшем Л обозначает коль-
кольцо Zy[[r]]. Как упоминалось во введении к § 3, основным объек-
объектом теории Ивасавы является предельная группа X, рассматри-
рассматриваемая, как Л-модуль. В § 3.4 будет показано, что X представ-
представляет собой конечно порожденный модуль с Л-кручением. В этом
разделе изучается общий случай конечно порожденных Л-мо-
Л-модулей.
Если f — топологическая образующая Г, то мы положим
7: = y—1. Тогда групповое кольцо A=Zp{[r]J изоморфно кольцу
2»Г[7Ц и они будут отождествлены (глава 3.1.16).
Подготовительная теорема Вейерштрасса справедлива для
кольца Л.
Предложение 4.23. Пусть /(Т)9А — ненулевой степен-
степенной ряд. Тогда существует, притом единственное, представление
f(T)=n-P(T)U(T),
где пг — неотрицательное целое число, U(T)—единица в Л и
Р(Т) —отмеченный многочлен, т. е.
где p\at при t = 0, 1, ..., п—\.
Доказательство. Его основа — следующее предложе-
предложение.
Предложение 4.24. Пусть /, gt-Л и пусть /=ao+fliT-f-...,
где р\а, при t = 0, 1, .... п—\ и anoZpx. Тогда существует, при-
притом единственное, представление g^qf+r, где q?A и r?Zp[T] —
многочлен степени, не выше п—1. И
Из предложения 4.23 следует, что Л является областью с
однозначным разложением на множители, неприводимые эле-
элементы которой — число р и неприводимые отмеченные много-
многочлены. Единицами являются степенные ряды с постоянным чле-
членом из Zpx.
242
Пусть Ш — категория конечно порожденных Л-модулей и S —
категория конечных Л-модулей. Мы собираемся классифициро-
классифицировать модули в ЗД по модулю & и будем называть морфизм ка-
категории ЗЯ Е-изоморфизмом, если его ядро н коядро конечные.
Если М{ и М2 — ©-изоморфные Л-модули, то мы пишем Af|~Af2.
По модулю S-изоморфизма, с Л-модулями можно оперировать
так, как если бы Л было областью главных идеалов. Это при-
приводит к следующей теореме.
Теорема 4.25. Пусть М — конечно порожденный Л-модуль.
Тогда
M~A'(B®A/(pni)®®iA/(f/{T))mi,
где г, s, t, tii, m, — натуральные числа, а f}—неприводимые от-
отмеченные многочлены из Л. И (Серр [228]).
3.3. Группа /7-классов Г-расширения. Пусть К("'/К — Г-рас-
Г-расширение и L'"' — максимальное абелево р-расширение К'"'.
Пусть, кроме того, L(n), п=0, 1, ..., — максимальные нераз-
ветвленные абелевы р-расширения К(п>. Тогда
L(oo)
U L(n).
я-1
Имеем точную последовательность
и G(L("VK(oc))—Г-модуль. С другой стороны, так как
G(L("VK("') — про-р-группа, она является Zp-модулем, следо-
следовательно, ZpflT]]- модулем.
Идея Ивасавы состоит в изучении A':==G(L("VK<")). как
ЯрИЩ-модуля и переносе информации об этом модуле на груп-
группу An: —G(L(I°/K<n)). изоморфную группе классов идеалов поля
К(п), согласно теории полей классов.
Так как нас, в основном, интересуют результаты, справедли-
справедливые для всех достаточно больших п, мы можем считать, соглас-
согласно теореме 4.22, что все точки р< поля К такие, что ){\р, вполне
разветвлены в расширении К("УК, i=l, ..., s. Для каждого i
зафиксируем точку р, поля L""'. Пусть 7\ — группа инерции Ь
относительно К. Тогда
G(V->/K)=T{X, f-1 s.
Пусть у — образующая Г и пусть gi,...,gs — прообразы у
в Т. Тогда gt — образующая для Т,. Положим 7:=^—1 и рас-
рассмотрим X, как аддитивно записанный Zp[[r]]-модуль (§ 3.2).
16*
243
Предложение 4.26. Пусть К'-'/К вполне разветвлено от-
относительно точек, лежащих над р, пусть Nn — нормальная под-
подгруппа группы G(L(~'/K), порожденная
gf, ...,gf и пусть Уп: =ХП Nn.
1) Х^Х/У
) ХП^Х/УП.
2) Уо порождена a,=>gigY1, i = 2, ...,s, и ТХ.
3) Пусть
vn = (A + ТУ"-1)Т-* =Г + -Г+--.+ "С"-1.
тогда Г„=уяГ0.
Доказательство. По определению, имеем
»3Bp!Zt"T 2) ЯВЛЯеТСЯ ПР°СТЫМ> а У™еРжДение 3) следует
tnat)gf. П
3.4. Теорема Ивасавы. Применим теперь результаты разде-
раздела 2 к Л-модулю X.
Теорема 4.27. X— конечно порожденный модуль с Л-кру-
чением.
Доказательство. Во-первых, докажем, что X конечно
порождён. Так как Х~ Yo, достаточно доказать, что Yo конеч-
конечно порожден, vi принадлежит максимальному идеалу (р, Т)
кольца Л и Yo/xiY<,= Yo/Y\ содержится в конечном модуле
X/Y\. Следовательно, Yo конечно порожден по лемме Накаямы.
Теперь можно применить теорему 4.25. Поскольку Л/viA —
бесконечное, a Yohi Yo — конечен, Yo и, следовательно, X не
имеет компонент вида Л.
Теорема 4.28 (Теорема Ивасавы). Пусть М — конечно по-
порождённый модуль с Л-кручсиием и пусть для всех неотрица-
неотрицательных целых чисел п, М/\„М — конечная группа порядка р'п.
Тогда существуют неотрицательные целые числа ш, I и целое
число с такие, что для достаточно больших п
Доказательство. Сначала доказывается инвариант-
инвариантность относительно ©-изоморфизмов. Поэтому можно считать,
что М имеет вид
М—®г Л/(/,),
где /;==/»"', либо ft — отмеченный многочлен (теорема 4.25).
.Рассмотрим прямые слагаемые М, : —A/(ft).
244
vn — отмеченный многочлен степени рп—1. Поэтому алго-
алгоритм деления показывает, что любой элемент из
однозначно представляется многочленом, степень котррого ниже,
чем р"—1. Следовательно, если ft=pn, то
log [Afi :VW,Hя, </>•.-1).
Если /,•—отмеченный многочлен степени ти то Мх — сво-
свободный Zp-модуль ранга т,-. Структура Л-модуля задается ав-
автоморфизмом f : Mr+Mt, т. е. miX'"< матрицей А с коэффи-
коэффициентами из Zp, унипотентными по mod p. Из этого следует,
что Vr,Af, = pvn-iMi для достаточно больших п, например, при
п0. Положим Lt: =vn,Mu Тогда
— n0). П
Теоремы 4.27 и 4.28 дают окончательный результат:
Теорема 4.29 (Теорема Ивасавы). Пусть К^/К— Г-рас-
ширение и ре" — порядок группы /7-классов К<">. Тогда суще-
существуют неотрицательные целые числа ц, Я. и целое число v та-
такие, что
для достаточно больших п. D
Пусть теперь К<эт) является CAf-полем. Тогда К(")+/К есть
Г-расширенне (круговое, если верна гипотеза Леопольдта, см.
теорему 4.20). Напомним, что К+ обозначает максимальное ве-
вещественное подполе поля К. Пусть р—нечетное и i обозначает
комплексное сопряжение, A:={1,L}. Тогда для любого
ZpfAJ-модуля М имеется разложение
где
meM}, M
Положим e*==log/J|jc+ |. Тогда
для достаточно большого п, где
Я, —Л.+ + А.", ц = ц
Если р = 2, положим
{т— im\
D.09)
D.10)
245
и точная последовательность
A.34а). Уже Куммеру были известны сравнения
D.11]
дает D.10).
Более того, развитая выше техника позволяет доказать, что
для любых простых чисел р равенства ц*=0 выполняются тог-
тогда и только тогда, когда р-ранг Х,,* ограничен. Ввиду Spiegel-
ungssatz (глава 2.7.4) мы знаем, что из ji"=0 следует ji+=0,
если ЦрСгК.
Теорема 4.30 (Теорема Ферреро—Вашингтона [91]).
Пусть К—абелево числовое поле и К("'/К — круговое Г-рас-
ширение. Кроме того, пусть jx имеет тот же смысл, что и в тео-
теореме 4.29. Тогда ц—0. я
Сперва показываем, что достаточно доказать теорему для
случая K=Q(?*„). Тогда ц=^++ц" и из равенства ц-=0 сле-
следует, что ц+=0. Поэтому требуется доказать равенство ц~ = 0.
Это — наиболее трудная часть доказательства и в ней исполь-
используется равномерное распределение некоторых последовательно-
последовательностей по mod 1. Примеры Г-расширений, для которых цфО при-
приведены в работах: Ивасава [136] и Л. В. Кузьмин [19]. Для не
зависящей от р части числа классов кругового Г-расширения
абелева поля имеется результат Вашингтона f271J. Доказатель-
Доказательство подобно доказательству равенства ji=0 для р-части числа
классов.
§ 4. р-адические L-функции
Рекомендуемая литература: Вашингтон, [270, глава 5].
В этом параграфе будут построены р-адические аналоги L-функ-
ций Дирихле (глава 1.5, введение). Так как обычные ряды для
этих функций не сходятся р-аднчески, мы должны прибегнуть
к другой процедуре. Значения L(s,%) в неотрицательных целых
точках являются алгебраическими числами:
L(\-n, x)=Bn,Jn (§4.1)
(см. приложение 4 по поводу определения обобщенных чисел
Бернулли Вп х). Обозначим С„ — пополнение Qp. Поле Ср алгеб-
алгебраически замкнуто (предложение 1.72а). Зафиксируем, на про-
протяжении всего § 4, погружение Q в С, н рассмотрим Впх, как
элемент Qp. Мы ищем р-адическую функцию, совпадающую с
L(s, x) при неотрицательных целых значениях s.
Пусть, сначала, х=%о — тривиальный характер и L(s, xo)~
— ?(,)—дзета-функция Римана. Тогда ?A—п) =—BJn
246
D.12)
для целых положительных чисел пг, п, удовлетворяющих усло-
условиям
то *з я (mo
1)),
и произвольных неотрицательных целых чисел а. Сравнение
D.12) можно рассматривать, как свойство р-адической непре-
непрерывности функции A—p-')t,(s). Но мы должны отдельно рас-
рассматривать классы по mod(p—1). Для того, чтобы получить не-
непрерывную р-адическую функцию для всех целых чисел, мы
должны сплести вместе различные L-функции (теорема 4.34).
В действительности, мы строим р-адические L-функцин незави-
независимо от D.12), как аналитические р-адические функции (по по-
поводу обозначений и результатов, относящихся к р-адическому
анализу см. главу 1.4.8), а сравнение D.12) получается как след-
следствие. A—Р"') представляет собой р-множитель в представ-
представлении ?(s) в виде бесконечного произведения. Интуитивно по-
понятно, что этот множитель следует убрать, поскольку ряд
имеет сколь угодно большие р-адические члены, тогда как чле-
члены ряда
2*-
p'f'n
no крайней мере, ограничены при s6Z.
Первоначальной мотивировкой для введения р-адических
L-функций в работе: Кубота и Леопольдт [157] было желание
лучше понять связь р-адических L-функций с теорией Г-расши-
репин (§ 4.6—7), позволяющую по-новому взглянуть на соотно-
соотношение между свойствами р-адических L-функций и структурой
групп классов абелевых числовых полей.
В этом параграфе рассматриваются только примитивные ха-
характеры (глава 1.5 введения). Произведение двух характеров
Дирихле xi и Х2 с кондукторами fi и f2 определяется следующим
образом. Берем характеры х/ и хг' по mod НОД (fi, fc) и опре-
определяем xiX2 как примитивный характер для %\'%г •
4.1. Дзета-функция Гурвица. Рекомендуемая литература: Ва-
Вашингтон [270, глава 4]. Пусть % — характер Дирихле с кондукто-
кондуктором /. Кроме L-ряда Дирихле L(s, x) рассмотрим дзета-функ-
дзета-функцию Гурвица
247
«—о
«)"* при
Тогда
, х) = 2 X И /"*? 1$. а//).
в—I
D.13)
Теорема 4.31. ?(s, 6) — мероморфная функция на всей
комплексной плоскости, имеющая единственный простой полюс
при s=l. Кроме того,
5A—п, Ь)=В„(Ь)/п при
и, следовательно,
п, х)=
п,х/п при я>1 D.14)
(определение В„(й) и В„,х дано в приложении 4).
Доказательство. Используя метод Римана первого до-
доказательства функционального уравнения для ?(s)=?(s, 1)
(Риман [207]), полагаем:
М1-*)'
л-0
где интегрирование производится по следующему пути (см.
рис.), состоящему из положительной вещественной оси (верх-
?>
няя сторона), окружности С, радиуса е с центром в начале ко-
координат и положительной вещественной оси (нижняя сторона).
z' означает exp(sloga), причем логарифм определяется, как
log/ на верхней стороне и как log/+2m' на нижней стороне.
Тогда И(s)—аналитическая при soC. Можно доказать, что
b) при
п ^
4.2. /7-адические /.-функции. Используем следующие обозна-
обозначения: р — произвольное простое число, |х|, *€СР обозначает
248
нормирование поля Ср, для которого \p\-lfp. Для удобства
положим
q:
р, если
4, если
2.
Для заданного a€Zpp-fа существует единственный корень из еди-
единицы степени <р(<7) такой, что a=s со (a) (mod q). a соответствует
характер Дирихле по mod q, который также обозначаем ©.
Пусть
N(s,a,F)=
т>0
где s — комплексная переменная, a a, F—целые числа такие,
что 0<а</7.
Теорема 4.32. Пусть q\F и p"fa. Тогда существует р-ади-
ческая мероморфная функция Hp(s, a, F) на
для которой
НрA — п,а, F) = urn{a)H{\—n,a,F) при
В частности, если п =0 (mod ф(<?)), то
Нр(\-п, a, F)= H(\-n, a, F),
Нр — аналитична всюду, кроме s=l, где она имеет простой
полюс с вычетом 1/F.
Замечание. Так как функция Hp(s, a, F) имеет точки на-
накопления в множестве
{1—n\n^0(mody(q))},
она уже однозначно определяется своими значениями на этом
множестве. Следовательно, без множителя ©""(а) обойтись
нельзя.
Доказательство теоремы 4.33. Положим
/-0
и используем теоремы 1.71 и А.4.2 для доказательства того, что
Нр аналитична в D. При s = l—п имеем
..wiv.v.ujj'M [,*.ia), переходим к L(s, x):
Теорема 4.33. Пусть % — характер Дирихле с кондукто-
кондуктором / и пусть F кратно Q и f. Тогда
p-fa
— р-аднческая мероморфная функция на
множестве
причем
— п, х)=— (I— х<о-»
= A - х«-« (р) р«-1 • Z A - л, х©-")
при п^\. Lr(s, x) аналитична, если %Ф\ и имеет единственный
простой полюс при s=\ с вычетом A — lip), если %—\. й
^рE» х) называется р-адической L-функцией.
Замечание 1. Множитель
(х(Р)рГ
связан с Эйлеровлм множителем пргт р функции
L (s, Х«-я) - П A - х«
/
Общий принцип состоит в том, что для получения р-адическо-
го аналога комплексной функции следует отбросить уэ-часть.
Замечание 2. Если х — нечетный характер (%(— 1)= — l)i
то Вп/кы-п=О. Следовательно, Lp(s, x) тождественно равна О
для нечетных характеров.
4.3. Сравнения для чисел Бернуллн.
Теорема 4.34. Пусть х — нетривиальный четный характер
с кондуктором / и pq^f. Тогда
Lp(s, x)
где |ао|<1 и |а(|<1 при i = l, 2, ... в
Теорему 4.34 можно использовать для доказательства
сравнений, которым удовлетворяют числа Бернулли.
Теорема 4.35. Пусть %—такой же, как и выше, т.,
Тогда
и оба числа
250
, x)
р-целые.
(mod p)
Доказательство. Обе части сравнимы с а<>. ?
Теорема 4.36 (сравнения Куммера). Пусть т*
(d(—1)) —положительные четные числа. Тогда
т4 ?
Имеется более общее сравнение D.12).
Теорема 4.37. Пусть п — положительное нечетное
число, пф—l(mod(p—1)). Тогда
целое
4.4. Обобщение на вполне вещественные числовые поля.
Пусть К — вполне вещественное числовое поле и М — вещест-
вещественное абелево расширение К с кондуктором f. Пусть, кроме
того, х — характер группы С(М/К), который мы будем, также,
рассматривать, как характер группы лучевых классов по mod f
(глава 2.1). Тогда имеем /--ряд
где суммирование производится по всем целым идеалам поля К,
взаимно простым с f. L(s, x) определяет мероморфную на ком-
комплексной плоскости функцию, имеющую не более чем простой
полюс при 5=1 (глава 1.6.4).
Запишем L(s, %) в виде
, X)—
где ?m(s,o) — частичная дзета-функция
s, a),
Суммирование здесь производится по всем целым идеалам
поля К таким, что (a, f)=l и ()
Клинген {145] и Зигель [236] доказали, что
tu(l—k, aNQ
при &6Z, fc>0. Они использовали тот факт, что ?мA—k, a)
появляется как постоянный член модулярной формы Гильберта
с известными старшими коэффициентами Фурье (ряд Эйзен-
Эйзенштейна). Так что можно интересоваться, обладает ли L(l—k, x)
р-адической интерполяцией, обобщающей теорему 4.34. Это
было доказано в работе: Делинь, Рибе [80] на основе теории
/>-адических модулярных форм Гильберта, являющейся следст-
следствием построения над Z некоторых схем модулей Гильберта—
251
училиинтГ™ил СШР°,НЫ' карски 143J и Кассу-Ноже [66]
Шикани См ?10,ТпИЮ ЬA"к' Х) "а ОСНОве точных Формул
Щейся L-'<bvHKuuu ] "ОВОДУ исслеД°вания значений получаю-
Леопольд?аУ (§ J б)" СЛУЧа€> *°W K УдовлетвоРяет гипотезе
Расс^атСвТе™*^ формУла„ числ* пассов. В этом
числа к17с17Тг4шГ2Т7Т ЭНаЛ0Г аНалититеской
тора
й получаю
УдовлетвоРяет гипотезе
разделе
2Т7Т
П0ТРебУется
"
^Д^1- «ели
~ °МПЛеКСНОе- ПУСТЬ' далее' «ь • • •> еР.,-
система единиц поля К (глава 1.1.3). Тогда
- вещественное и
еР.,-сЬун-
(gP(gjJ))j.j
с то™остью до перемены знака, не зависит от выбора е,
гулятопом пп»'а' vg" « псличина называется р-адическим ре-
лениеТпо ,я К И обоз»ачается /?,(К). Вообще говоря, опреде-
П d „ i?i 3/висит от выбора погружения L в С„. V ^
вС привод V УСТЬ K = Q<^' Т™ ТРИ погружение К
/, приводят к трем различным оегуляторам /?„(К). \Щ
(Вашиш^тон f27O, упражнение 5.12]). ' ' '"'
незя?н!иК~ВПОЛНе вещественное, или СМ — поле, то Rv( К)
5.13D °Т ПОГРУження L в ^ (Вашингтон [270, упражнение
ле ст^еп/ниМ„а 4'38' ПУСТЬ К —вполне вещественное абелево по-
Пусть Н?К) соответствУющее группе ^ характеров Дирихле.
усть Л(К)-число классов, a d(К) -дискриминант К Т
D.15)
знак/^P^f « ие Равенство в D.15) следует понимать так, что
ет место О можно выбрать так, что это равенство
Доказательство теоремы 4.38 основано иа формуле
где
252
И С?
— сумма Гаусса, а изучение круговых единиц проводится так
же, как в § 2.
Леопольдт высказал гипотезу о том, что ^(KJt^O для всех
алгебраических числовых полей К.
Теорема 4.39. Пусть К —абелево поле. Тогда Я,(К)Ф
Ф0. И (Брюмер [58]).
Л. В. Кузьмин [18] доказал гипотезу Леопольдта в некото-
некоторых неабелевых случаях.
В главе 3.2.5 рассматривалась другая форма гипотезы Лео-
Леопольдта, обозначавшаяся L(K, p).
Теорема 4.40. Пусть К — вполне вещественное. Тогда
¦Яр(К)=0 тогда и только тогда, когда верна гипотеза L(K, р).й
4.6. Построение Ивасавы р-адических L-функцнй. Рекомен-
Рекомендуемая литература: Вашингтон [270, глава 7]. В этом пункте
мы хотим связать теорию Г-расширений с р-адическими L-функ-
циями. Рассматривается круговое Г-расширение для основного
поля K==Q(fxrf,), где q—p при рф2 и q=*4 при р = 2, a d —
натуральное число, удовлетворяющее условиям d?feO(mod p),
*/?fe2(mod4). Группа Галуа G(K("VQ) представляет собой пря-
прямое произведение своих подгрупп Г„ = С(К(П)/К) и
A = G(K(nVQ(n))=G(K/Q), я=0, 1, ...
Пусть х — характер Дирихле с кондуктором dp5, для неко-
некоторого /^0. Рассматривая %, как характер группы C(K<™VQ).
мы видим, что существует единственное представление %=tty,
где т — характер А, а г|> — характер Г. Назовем т характером
первого рода, a ty — характером второго рода. ij>—всегда чет-
четный, поскольку он соответствует вещественному полю. Пусть
qn — qpnd и го, как в § 2.5. В соответствии с разложением
запишем элемент Штикельбергера (§ 2.4) для К(л) п виде
где <Та=о(а)уп(а), а суммирование производится по всем а
таким, что 0<а<<7п и (а, <7„)=1. Положим |„:= — т(К(п)) и
5.W: jrj et«a-« (a) f „ (а),
4 а
цп (т): .-= A -A 4- <70) ТЛI + ^оГ1) In It).
Пусть KT/Q —расширение полей, порожденное значениями
характера т и пусть Ох—кольио целых чисел поля Кт. Тогда
6(т) г](т)еК[Т]
Предложение 4.41. 1) -у г\п (т)бОт [Гп].
2) Если
, то 4г1„(х)е0х[Гп].
253
"а
,У *> проекцией
— топологическая образующая Г. При Г:=у — 1
получаем степенной ряд
/G\ г) = НтЕ„(т) для
ложим
[[]1 Т[[11
При t == 1 положим
где
Конструкция Ивасавы р-адического L-ряда приведена в сле-
следующей теореме.
Теорема 4.42. Пусть x—xty — четный характер Дирихле
и пусть
Тогда
Теорема 4.42 может быть обобщена. Пусть F—вполне ве-
вещественное поле, K=F(^P) и пусть К'"' — круговое Г-расшире-
ние. Характеры группы A: = G(K/F) можно рассматривать, как
характеры Дирихле по mod р. Пусть % — нечетный характер
группы Д. Барски [43], Кассу—Ноже [66] и Делинь, Рибе [80]
показали, что существует степенной ряд /хеЛ, для которого
(§ 4.4).
Сравнивая теорему 4.42 с формулой числа классов из тео-
теоремы 4.5, получаем следующий результат:
Теорема 4.43. Пусть
Тогда
= 2 2
T—четное
Последняя формула позволяет дать новое доказательство
для равенства D.14) с минусом в нашей частной ситуации. По-
254
П 4-
т—четный
Тогда A(T)?ZP\[T]], согласно предложению 4.42.2. Следователь-
Следовательно, А(Т) имеет вид
A(T)=p«P(T)U(T), D.15)
где m^O, P(Г) — отмеченный многочлен и U(T)—единица в
ZpHni (предложение 4.23). Пусть / — степень Р(Т). Для при-
примитивного корня степени рп из единицы при достаточно боль-
большом п имеем
Следовательно,
для достаточно большого п. и некоторой постоянной с. Поэ-
Поэтому
П
Сравнение с D.14) показывает, что ц- = т. Эта интерпрета-
интерпретация ц~ играет важную роль в доказательстве теоремы Ферре-
ро—Вашингтона (теорема 4.30)
4.7. Основная гипотеза. Пусть р — нечетное простое число.
Допустим сначала, что p-f/i(Q(?*)+) (гипотеза Вандивера).
Пусть K=Q(Sp) и пусть К(св) — круговое Г-расширение. Теоре-
Теорема 4.14 и конструкция Ивасавы р-адических L-рядов показы-
показывают, что
e^«Z,H7T]/(/(r, to1"')) при t=3, 5, ..., р-2,
где /(Г, со'-') —степенной ряд, для которого
и
а=\
Здесь aa6C(Q(^p)/Q) отождествляется со своим образом при
вложении G(Q(tp)/Q)-*-G(K(~VQ), рассмотренном в § 4.5.
Более того, поскольку ц=0, имеем
255
где gt(T) —отмеченный многочлен f(T, ел1'').
Вернемся теперь к общей ситуации, рассмотренной в конце
§ 4.6, т. е. предположим, что F — вполне вещественное поле,
K:=F(Z,p) и К'"' — круговое Г-расшнреиис. Положим
1
~ Я"' №)!> для характера х группы А. Согласно
6?Д
§ 3.4, имеем
exX~®A/(p"')@®
Пусть
* у v /*ТЧ\, Л II V /*T*\
/ ' /
Ивасава высказал следующую гипотезу:
Основная гипотеза. Пусть х^®— нечетный характер груп-
группы Д. Тогда
f*(T)=g*(T)Ut(T),
где С/хG")бЛх
Основная гипотеза была доказана в работе: Мазур, Уайлис
[185] для F=Q, K = Q(^p). Наиболее важная часть их доказа-
доказательства состоит в распространении метода Рибе на случай до-
доказательства обратной теоремы к теореме Эрбранда (§ 2.5) с
помощью р-адических представлений, (глава 5.3), связанных с
некоторыми модулярными формами.
Глава 5
Л-ФУНКЦИИ АРТИНА
И СТРУКТУРА МОДУЛЯ ГАЛУА
В главе 2 теория полей классов рассматривалась как теория,
связывающая абелевы расширения алгебраического числового
поля К с замкнутыми подгруппами конечного индекса группы
классов иделей К. Прямое обобщение теории полей классов
должно состоять из топологической группы ©(К), обобщающей
группу классов иделеи, определенной в терминах К и обладаю-
обладающей функториальными свойствами по отношению к гомомор-
гомоморфизмам полей K-»-L и канонического гомоморфизма <рк:©(К)->-
-ИЗ(К/К) = :@к такого, что <р к сохраняет функториальное по-
поведение ®(К) и С(К) в смысле C.26) —C.2г) и такого, что
u-)-<pK.(U) представляет собой взаимно однозначное соответст-
256
вне между замкнутыми подгруппами конечного индекса в G(K)
и замкнутыми подгруппами конечного индекса в ©(К). Это по-
последнее свойство также можно выразить, сказав, что индуциро-
индуцированный гомоморфизм <рк полного пополнения (глава 3.1.1)
G(K) в ®(К) является изоморфизмом на ©(К).
Такое обобщение теории полей классов неизвестно до сих
пор, возможно, оно и не существует. Но есть очевидная пере-
переформулировка теории полей классов в терминах характеров,
которую Ленглендс [163], опираясь на предшествующие иссле-
исследования Гельфанда и его школы и Вейля, считает частью
огромной теории адельных представлений линейных групп,
включая обобщение закона взаимности Артина (глава 2.1.6).
Эта теория, называемая теорией Ленглендса, до сих пор со-
состоит, в основном, из гипотез. Она постулирует соответствие
между адельными представлениями фиксированной редуктивнои
группы, например, полной линейной группы GLn, с некоторыми
свойствами и представлениями Ск с некоторыми свойствами.
Это соответствие основано на локальном соответствии для всех
пополнений поля К. Адельные представления с некоторыми
условиями, называемые модулярными представлениями, можно
рассматривать как обобщение модулярных форм. Это является
основным поводом для интенсивного изучения их многими мате-
математиками, базирующимися, главным образом, на теории пред-
представлений групп Ли и функциональном анализе. Представления
групп Галуа появляются как классифицирующие параметры.
С другой стороны, в задачах алгебраической теории чисел пред-
представления редуктивных групп возникают как классифицирую-
классифицирующие параметры для представлений групп Галуа.
Гипотезы Ленглеидса описаны в книге [163]. Прежде всего
мы хотим объяснить основную идею обобщения Ленглендса
теории полей классов и начнем с переформулировки теории по-
полей классов в терминах характеров абелевых групп.
Пусть Лк—модуль классов локального или глобального по-
поля К (глава 2.1.7), т. е. Ак: = КХ, если К—локальное неархи-
неархимедово поле, Л к'. =группа классов иделей & (К), если К—гло-
К—глобальное пол?. Пусть, далее, Xt(Лк)—группа конечных характе-
характеров х на Лк, т. е. % — непрерывный гомоморфизм Лк в Сх с
конечным образом. Норменный символ ( , К) (пример 3.12) инду-
индуцирует изоморфизм Фк группу X(Gk) на,группу X(A
(Так как GK — проконечная группа, все характеры Ок — конечные
(глава 3.1.21.)
Если К' — конечное расширение К, то вложение i:AK-*-AK-
гомоморфизм l*:Xf(Лк0-*¦Xf(Лк) « норменное
jVkvk'-^k¦-> Лк индуцирует гомоморфизм
)^-А'/(Лк). Для любого автоморфизма g поля К
индуцирует
отображение
17-6164
257
имеется действие g:Xf{AK)^Xf(?AK), определенное равенством
для
Кроме того, есть индуцированный гомоморфизм Ver*:A'iC7K)->
?,Ш?КК5?Я. пеРеноса из Ок в Ок (глава 3, пример 12),
Л(Ок)->л(Ок), включения k:GK-+GK и g:X(GK)-+X(Q.K)
определенный посредством
для х
Из C.26)—C.2г) вытекают следующие функториальные свой-
свойства Фк:
Ver»
)
К,
фк
Х{$к)-+Х,(А
ft* i Фк I ,v
/V
1 K7K
)
ф
к.
Х(ОК)~+ХЛАК)
ф
E.0a)
E.06)
E.0 b)
Первый шаг в обобщении теории полей классов с помощью
представлений Gk был сделан в 1923 году Артином [38], кото-
который определил новый тип /.-функций, соответствующих пред-
представлениям групп Галуа нормальных расширений алгебраичес-
алгебраических числовых полей, который в случае абелевых групп привел
его к гипотезе о законе взаимности теории полей классов (глава
2.1.6). В общем случае эти /.-функции играют подобную роль
для гипотетического закона взаимности Ленглендса.
Характеры Ок рассматривались влше, как одномерные пред-
представления Ок. В более общэм случае, пусть р —непрерывное
/ь-мерное неприводимое представление GK (§ 1)- Ядро р является
открытой нормальной подгруппой (/ группы Ок- Пусть Кр—
неподвижное поле U. Тогда К,,/К — конечное нормальное рас-
расширение. Пусть р — тоетой идеал К, не разветвленный
в К„/К » пусть $ — тоетой идеач К, лежащий над р. Класс
сопряженности автоморфизма ФроГпчшуса F^ (предложение
1.44.7) зависит только от у. Функция
Lv(s, p): =dct (I -p(F.,) N(V)-*)-1,
таким образом, не зависит от вмбора ф. Она называется локаль-
локальной /.-функцией от р для у. Так как p(F$) — полупростое,
ZB (s, p) содержит всю информацию о поведении разложениям
25S
в расширении Кр/К: порядок p(Fj) равен степени инерции
над р.
Произведение
L(st
, p)
Р
сходится для Re5>l и обладает мероморфным продолжением
на всю комплексную плоскость. L(s, p) называется L-функцией
Артина. Если K=Q, то локальные ^-функции однозначно опре-
определяются по L(s, p). Следовательно, в этом случае поведение
разложения для неразветвленных простых определяется L(s, p).
В случае одномерных представлений р соответствие Фк со-
составляет р характер ФцрбА*/(С (К)) и L(s, p) равна /,-функ-
Ujih L(s, Фкр). изучавшейся в главе 1.5. Более точно, имеет
место равенство локальных /.-функций
где р—характер Ок . индуцированный р.
Обобщая эту картину, гипотетическое соответствие Ленглендса
в его простейшем виде, состоит в локальном соответствии, сопо-
тавляющем каждому n-мерному представлению р? группы Ок
представление р^ группы OLn(Ks) такое, что /.-функции для ру и
Ру совпадают, в ряде других свойств, частично обобщающих
функториальные свойства E.0а) — E.0в) и глобальном соответст-
соответствии, сопоставляющем каждому «-мерному представлению р груп-
группы Ок представление р' группы GL,,(Ak), являющееся тензорным
произведением локальных представлений, соответствующих ло-
локализациям р. Представление р' должно быть модулярным
представлением с соответствующей L-функцией, представляю-
представляющей собой обобщение L-функции, которую Гекке связал с моду-
модулярными формами. Равенство /.-функций для р и р' представля-
представляет собой желаемое обобщение закона взаимности для теории
полей классов.
В главе 5 мы ограничимся теорией L-функций Артина, ее
приложению к вопросам о числе классов и их связями с зада-
задачами о модуле Галуа.
§ 1. L-функцни Артина
Мы хотим рассматривать L-функции Артина в духе главы 2,
т. е. избегая бесконечных расширений полей. Следовательно,
мы связываем /.-функции с представлениями конечных групп
Галуа G(L/K) (§ 1.2). Это — почти то же самое, что рассматри-
рассматривать представления Gk, так как любой непрерывный гомомор-
17* 295
физм G к в GLn(C) протаскивается через конечную фактор-
факторгруппу группы дк (сравните с главой 3.1.2). В § 1.3—1.4 мы
рассматриваем абелевы поля с малым числом классов. Резуль-
Результаты частично основаны на теореме Брауэра—Зигеля (теоре-
(теорема 5.2), представляющей собой одно из наиболее интересных
приложений L-функцнй Артина. § 1.5, в основном, посвящен
изучению кондуктора Артина, играющего для представлений
групп Галуа роль, подобную роли кондуктора характера Гекке.
В § 1.6 рассматривается функциональное уравнение для L-функ-
ций Артнна. Наконец, в § 1.7 рассматриваются L-функции Ар-
Артина при s=0. Это часть общей философии, согласно которой
значения, или, в более общем виде, старший член степенного ря-
ряда, представляющего собой разложение L-функции, при целых
значениях аргумента несет в себе важную информацию об объ-
объектах, для которых эта L-функция определена (сравните с вве-
введением к главе 1.6) Наиболее общей гипотезой в этом смысле
является гипотеза Бейлинсона.
1.1. Представления конечных групп. Рекомендуемая литера-
литература: Серр [229].
Пусть G — конечная группа и V — векторное пространство
над С конечной размерности п. Представление р=(р, V) группы
G на V степени п является гомоморфизмом р : G-*-GL(V). Мо-
Модуль представления р— это G-модуль, определяемый посредст-
посредством
gv: = p(g)v для
Если р'— представление G на векторном пространстве V",
то р и р' называются эквивалентными, если изоморфны соответ-
соответствующие модули представлений.
Характер % представления р — это функция % : G-*-C такая,
что
x(g)=trp(g) для geG.
X зависит лишь от класса эквивалентности р и однозначно
определяет этот класс. % называется также характером груп-
группы G. Если V — одномерное, то х — гомоморфизм группы G в Сх,
т. е. характер п смысле, использованном в предыдущих главах.
Характеры первой степени также называются линейными ха-
характерами. Единичное представление 1—это линейное пред-
представление х такое, что %(ё) — 1 Для U{'G.
Представление р называется неприводимым, если соответст-
соответствующий модуль представления V(p)—простой, т. е. V(p) не
содержит подмодулей, отличных от V(p) или {0}. По теореме
Машке каждый модуль представления является прямой суммой
простых модулей.
Все понятия о представлениях переносятся на соответству-
соответствующие характеры. Так, мы говорим о неприводимых характерах
и т. д.
Пусть Я— подгруппа и. иредилоолспгп. v *rj
вается индуцированным, если его модуль представления имеет
вид Мя°(У(о)), где о—представление группы Я (глава 2.3.4).
р называется мономиальным, если существует подгруппа Я
группы G и представление о группы Я первой степени такие,
что V(p)=MHe(V(a)). Следующая теорема Брауэра устанавли-
устанавливает, что в общем случае представления не слишком далеки от
мономиальных представлений.
Теорема 5. 1. Любой характер группы G является линей-
линейной комбинацией с целыми коэффициентами характеров, инду-
индуцированных циклическими подгруппами группы G. В
Для характеров х и Ф группы G определим
A,
= <Х. Ф> '•
X неприводим тогда и только тогда, когда <х, х)~1- Если х и
х' неприводимы и различны, то (%, х'>=0.
Следующая формула носит название формулы взаимности
Фробениуса:
Пусть Н — подгруппа G, ф — характер Н и •§ — характер G.
Обозначим ограничение я|> на Н через Res \|j и индуцированный
Ф характер через ind «p. Тогда
<Ф,
> //= < indcp, ¦§ > а.
<Ф, R^ > <
Если р — представление группы С, то (detpxg) =det(p(g)),
g6G является линейным характером G, называемым детерми-
нантным характером.
Пусть V — модуль представления для представления р. Тог-
Тогда V*:=Homc(V, С) определяется, как G-модуль равенством
*V* eV eG
(gv)() (g
Представление р* в пространстве V* называется контрагреди-
ентным представлением для представления р. Характер х* пред-
представления V* является комплексно сопряженным характера х
представления V
X*(?) = ХО?) -X(Г) Для geO.
1.2. /,-функцин Артина. Пусть L/K—конечное нормальное
расширение алгебраических числовых полей и (р, V)—пред-
V)—представление G: = G(L/K) с характером %. Для каждого простого
идеала > из К выберем в L простой дивизор $. Пусть Z..; —
группа разложения и Г^ группа инерции ф. Тогда
| gv = v для
является Zlfi/?^-модулем. Для почти всех р имеем V^=V (теоре*
ма 1.4). Пусть о ^—автоморфизм Фробениуса, т. е. образующая
2G1
группы /..j;/3fl> индуцирующая на расширении поля классов выче-
вычетов автоморфизм
Оу,:х->х", x?Di/ty, q=\DK/y (предложение 1.44).
Обозначим единичным элемент Aut(l/',}.) через 1. Тогда 1 —
¦^(Р)~еО(р действует на V у. и
L){s. X)"':
имеем
представляет собой многочлен от N{$)-', не зависящий от вы-
выбора SJ3. L-функция Артина для % определяется, как
L(s, Х):=П Vs' х),
где произведение взято по всем простым идеалам из К. Исполь-
Используются также обозначения L(s, %) =L(s, p).
Произведение для L(s, %) сходится при Res>l и представ-
представляет голоморфную в этой полуплоскости функцию, имеющую
следующие свойства:
1) Пусть xi и Х2 — характеры G, тогда
L(s, %i+Ki)=L(s, Xi)^(^. Ха).
2) Пусть Н — нормальная подгруппа G и % — характер груп-
группы G/H. Обозначим подъем % на G через %'. Тогда
3) Пусть // — подгруппа Q и х—характер//. Индуцированный
характер ьа О обозначаем ind^x- Тогда
L(s, ind%x)^L(s, x).
4) Пусть группа С — абелева. Пусть % — характер G первой
степени и х* — характер группы классов иделей, соответствую-
соответствующей теории полей классов (глава 2.1.5). Тогда
(глава 1.6.3).
Поскольку L(s, х*) можно продолжить до мероморфной
функции на всей комплексной плоскости, имеющей не более,
чем простой полюс в 5=1, то же справедливо и для L(s, %).
По теореме Брауэра (теорема 5.1), характер % произвольной
конечной группы G имеет вид
где Hi —
2Г>2
i=i
циклические подгруппы G. Тогда, ввиду 1.З., и 1.4,
E-1)
Поэтому L(s, x) — мероморфная функция на всей комплексной
плоскости.
Артин предположил, что L(s, x) голоморфна на всей комп-
комплексной плоскости, если % не содержит единичный характер. Те-
Теперь это называется гипотезой Артина. Из 3) и 4) следует, что
гипотеза верна для характеров, индуцированных из одномерных.
Гипотеза Артина играет важную роль в соответствии Ленг-
лендса. С одной стороны, гипотеза Артина вытекает из гипоте-
гипотезы Ленглендса, а с другой стороны, в частных случаях из гипо-
гипотезы Артина следует гипотеза Ленглендса.
Поскольку
где сумма взята по всем неприводимым представлениям х груп-
группы G, имеем
Если Н—подгруппа G с неподвижным полем М, то из гипоте-
гипотезы Артина следует, что S«(s)/Sk(s) голоморфна на всей плос-
плоскости. Действительно,
?M(s)=AE,ind« \„)
и ind?l,r/— 1G — характер О, не содержащий единичного харак-
характера.
Голоморфность ?m(s)/?k(s) на всей комплексной плоскости
доказана в теории представления групп в следующих случаях:
1. М/К — нормальное.
2. G — группа Фробениуса для Н (т. е. H[\gHg'l = {\) для
GH)
3. G разрешима.
Доказательства и дополнительная информация приведены в
работе: ван дер Вааль [266]
Для нормальных расширений L/K из формулы E.1) следует:
E-2)
где %, — нетривиальные характеры С (L) и >:(L) (соответственно»
х(К))-вычет ?L(s) (соответственно, ?k(s)), в s = 1.
Пусть K = Q. Выражение
2Г|(-)Г'
W
L/Q I
из предложения 1.83, вместе с оценками правой части равенст-
равенства E.2), приводит к доказательству следующей теоремы Зиге-
ля и Брауэра (Ленг [161, глава 9]).
Теорема 5.2.1) Пусть L(, L2... — последовательность нор-
нормальных расширений поля Q таких, что
тогда
lim
log/?(L,,)A(U)
'°SlrfL /qI
2) M|,M2, ...—последовательность расширений поля Q фик
сированной степени, тогда
|<*Л(М„)А(Мв) 1 _
lim , =—. ixi
„-ос log|rfMrt/Q, 2 —
Пример 5.0. Пусть Q(yd) — мнимое квадратичное поле
с дискриминантом с?<0. Тогда /?(Q(l/cf))= 1 и, по теореме
5.2,
lim
— d-*oo
Следовательно, существует лишь конечное число мнимых квад-
квадратичных полей с заданным числом классов. Дополнительная
информация по поводу числа классов мнимого квадратичного
поля приведена в § 1.4. П
1.3. Круговые поля с числом классов 1. Рекомендуемая ли-
литература: Вашингтон [270], глава П. Используя теорему Брауэ-
ра—Зигеля (теорему 5.2) для О(?„) и Q(?n)+, доказывается
следующая оценка для hn~, показывающая, что ftn быстро растет
с ростом п:
Теорема
где ф(я) обозначает функцию Эйлера, й
Следовательно, существует лишь конечное множество круго-
круговых полей с ограниченным числом классов, но теорема неэффек-
неэффективна в том смысле, что она не позволяет вычислить постоян-
постоянную ti(h) такую, что hn'^h при n^n(h). На основе арифмети-
феской формулы для числа классов для /г„~ (теорема 4.5) дока-
доказывается эффективная оценка:
264
Теорема 5.3. Пусть «-натуральное число такое, что
ф(п)>220. Если « — степень простого числа, то
log A7>-j-rf«-0.0
Если п. — произвольное, то
l0gA7> — </„-<!,08)ф(л) ?¦<*(*) Z~±r-
Здесь dn обозначает абсолютную величину дискриминанте
Мы хотим найти все круговые поля с числом классов 1. Из
теоремы 5.3 следует, что Н~а>\ при Ф(/*-)>220. С другой сто-
р
роны, величина tin известна", по крайней мере, для
(Шрутка фон Рехтенштамм B181, Вашингтон [270]
§ 3]). Для степени простого числа р" имеем Арв=1 втомитоль^
i<o в том случае, когда а=1, /»<19, или ра=4, 8, 9, 16, 25
272
Так как hm\hn, если т\п по теореме2 103А.--1
р-компонента п имеет вышеприведенный вид р . ^
лишь конечное число таких случаев, вторые можно исследо
вать по отдельности, используя теорему 5.3. Приэтом находим
следующие числа n^2(mod 4), для которых ft —1.
1, 3, 5, ,7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27 28
32, 33. 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84. E^
Для всех п ft+=1. Это можно доказать, используя оценку
Одлыжко (глава 1.6.10) для поля классов Гильберта для
Q( тУорема 5.4 (Мэсли). Пусть п- натуральное числота-
кое, что rt^2(hod4). Тогда число классов поля О(Ы Ра*"°J,
тогда и только тогда, когда число п равно одному из чисел
E.3).
См. Мэсли [174] по поводу дополнительной информации о
круговых полях с малым числом классов. „-яггон
14 Мнимые квадратичные поля с малым числом классов.
Пусть теперь Q(Vd) — мнимое квадратичное поле с Ди^рими-
наУнтом d и числом классов h(d). Теорема Брауэра-Зигеля
(теорема 5.2) принимает вид:
Следовательно, существует лишь конечное число мнимых квад-
квадратичных полей с ограниченным числом классов.
Оценку h(d) можно сделать эффективной (Беикер 141]
Гросс—Загир [107]).
265
Таким образом, имеется полный список мнимых квадратич-
квадратичных полей таких, что h(d) = \, 2 и 3.
Теорема 5.5 (теорема Бейкера {41], [42] и Старка [248],
[249]). Пусть h(d)—число классов мнимого квадратичного по-
поля с дискриминантом d. Тогда h(d) — \ тогда и только тогда,
когда
d= —3, —4, —7, —8, —11, —19, —43, —67, —163.
h(d)=2 тогда и только тогда, когда
d= —15, —20, —24, —35, —40, —51, —52, —88, —91,
— 115,-123,-148, —187, —232, —235, —267, —403, —427.
Пример 5.1. Пусть dssl(mod4)—дискриминант мнимого
квадратичного поля. Тогда х2—je-f-(l— d)/4 — простое число при
*=1, 2,^.., —(d-f~3)/4 тогда и только тогда, когда число клас-
классов Q(~\/d) равно 1.
В частности, х2—Jc-f-41 — простое число для х=\, 2, ..„ 40
(Эйлер, 1772).
Хигнер [122] (см. также Дойринг [82]) и Старк [250] разра-
разработали метод, связывающий мнимые квадратичные поля с числом
кчассов 1 с решениями диофантовых уравнений. Пусть h{d) = \.
Если 2 разлагается в (ЦУсГ), то легко видеть, что d ——4,
— 7, или —8. Следовательно, пусть B) — простой идеал
в Q(Vd~). Тогда J=l(mod4) ji ю = ЦЯ~+1)/2, 1—базис над
Z кольца целых чисел из Q(Krf). Поэтому J (со) порождает
поле классов Гильберта для Q(| d) (глава 2.2.2), следовательно,
/(со) — рациональное и даже целое число. С другой стороны,
значение J (<л) модулярной функции j (z) определяет со с точ-
точностью до модулярной эквивалентности, а значит, определяет
поле<3(| cL)- Кроме j (z), рассматриваются другие функции
в Q[y (z)\ и, используя алгебраическую зависимость этих функ-
функций, устанавлипастся уравнение F(x,y) — Q такое, что любому
мнимому квадратичному полю Qiy^d), где d&{ — 4, —7, —8),
соответствует, притом единственное, решение уравнения. После
некоторых вычислений находим уравнение уг — 2х(хг-\-\), имею-
имеющее указанное свойство. Решениями этого уравнения, хорошо
известного в арифметической теории эллиптических кривых, яв-
являются: @, 0), A, 2), A, —2), (—1, 0), B, 6), B, —6).
Следовательно, существуют лишь девять мнимых квадратич-
квадратичных полей с числом классов 1.
Мы видели, что мнимые квадратичные поля с числом клас-
классов 1 и простым идеалом B) параметризуются решениями дио-
фаитова уравнения у2 = 2х(х3+1). Подобный факт известен
лишь для мнимых квадратичных полей с числом классов 2 и
четным дискриминантом (Кенку [144], В. А. Абрашкин [1]).
2G6
Если число классов мнимого квадратичного поля Qd^d) рав-
равно 1, то QiV^d) не имеет нетривиальных абелевых расширений,
нер-азветвленных во всех точках (теорема 2.2). В более общем
случае, пусть К — произвольное конечное нормальное расширение
поля Q(]/d), неразветвленное во всех точках. Если K^Q{l^d )¦
то группа <7(K/Q(|/rrf")) неразрешима, откуда [K:Q]>120.
Используя оценку Одлыжко для <tfK (глава 1.6.10) и теорему
5.5, доказываем, что K = Q(J/ d).
1.5. Представление Артнна и кондуктор Артнна. Рекомендуе-
Рекомендуемая литература: Серр [222, глава 6]. Пусть L—конечное нор-
нормальное расширение р-адического числового поля К с группой
Галуа G. Для g&G, g=?\ определим ia(g), как наибольшее на-
натуральное число i-j-1 такое, что g лежит в t-ой группе ветвле-
ветвления Gt расширения L/K (глава 1.3.7). Если я — простой эле-
элемент L, то
ia (g) = vL (g-л — л), g?G0.
Полагаем /оA)=оо.
Теорема 5.6. Пусть /—степень инерции L/K и
aa(g)*=-fio(g), шф\, аоA) =
Тогда функция ав является характером представления группы
G, называемого представлением Артина.
Мы определили представление Артина с помощью его ха-
характера. Непосредственная конструкция этого представления до
сих пор не известна. Но известно, что в общем случае представ-
представление Артина не является рациональным (Серр [227]). Поэтому
маловероятно, что простая конструкция существует. Представ-
Представление Артина играет важную роль в теории арифметических
алгебраических кривых (см. Серр [222, глава 6.4]).
Для любого характера % группы G положим
fix) — называется кондуктором Артина для х- Его можно опи-
описать в терминах представления р с характером % следующим
образом:
Теорема 5.7. Пусть V — модуль представления р. Тогда
Из последнего равенства ясно, что кондуктор Артина не из-
изменится, если ограничить представление на группу инерции Со.
207
2) Пусть Я—нормальная подгруппа G
G/H. Обозначим подъем % на G черсл у/. Тогда
Следовательно, для исследования кондуктора Артина достаточ-
достаточно рассмотреть вполне разветвленные расширения.
Кондуктор Артина имеет следующие основные свойства:
1) Пусть %i и %2 — характеры G. Тогда
% — характер
3) Пусть //—подгруппа G и % — характер И. Пусть, кроме
того, М —неподвижное поле Н и ЬМ/к (соответственно, /м/к) —
дискриминант (соответственно, степень инерции) М/К. Тогда
/(Ind?x)-vK(bM/KV/.A)-l"/M/K/(X). E.4)
4) Пусть х—характер G псрпоп степени и Су. — наибольшее
целое число такое, что ограничение % на группу ветвления Get.
не является единичным характером (для /=1 полагаем с= — 1)*
Тогда
определение Фь/к приведено в главе 1.3.7)
Свойство 4) и локальная теория полей классов (глава 2.1.3)
показывают, что для характера % первой степени f(x) является
показателем кондуктора %, рассматриваемого как характер
группы Кх. Кондуктор произвольного неприводимого характера
играет подобную роль в локальном соответствии Ленглендса.
Применим свойства 1), 3) в случае #=={!}, х=1- Тогда
E.5)
где суммирование производится по всем неприводимым характе-
характерам х группы G. Это — обобщение Артнна теоремы 2.4 Fiihrer-
diskriminantenprodukt formal.
Пусть теперь L—конечное нормальное расширение алгеб-
алгебраического числового поля К и х — характер группы Галуа G
расширения L/K. Для всех простых дивизоров Ц5 в L простого
идеала J> in К имеется одни и тот же кондуктор Ар-
Артина /(х, Ф) характера %, ограниченного на группу разложения
Z>B= G(Lnj/Kp7. Определим кондуктор Артина fx характера %
равенством
2GS
Основные свойства fx соответствуют свойствам 1)—4) локаль-
локальных кондукторов Артина. Равенству E.4) соответствует
bL/K = TTfxA). E.6)
ос
1.6. Функциональное уравнение для L-функций Артина. Пусть
L/K—нормальное расширение числовых полей. Если % — одно-
одномерный характер G(L/K) и %* — соответствующий характер
группы классов иделей, то
L(s, X)=i-(s, X*)-
(§ 1.2). Так как L(s,x*) удовлетворяет функциональному
уравнению (теорема 1.87), то же справедливо и для L(s, xV
Мы хотим обобщить это функциональное уравнение на случай
произвольных представлений р группы G(L/K). Пусть х °б°~
зиачает характер представления р. Как и в случае функци-
функционального уравнения, для характеров Гекке мы должны опре-
определить локальные L-множители Lv(s,%) в бесконечных точках
v поля К. Положим Y(s): = ^'s/2r(s/2). Если v — комплексная,
то
Если v — вещественная, то пусть w — точка L, лежащая над v.
Если w — вещественная, положим
Mx)Y
Для комплексной точки w пусть <т„ обозначает образующий
элемент G(L№/Kt,) и V(p) = V++V~ — разложение V(p), соот-
соответствующее собственным значениям +1 и —1 для р(<т«). По-
Положим
Lv (s, х): = Т (s)
dlm v+
+ l)
dlm v~-
v (, х) Т (
Очевидно, что это определение не зависит от выбора ш.
Произведение A«,(s,x) по всем L-множителям Lv(s,x) для
бесконечных точек v обладает свойствами 1)—4) из § 1.2. По-
Поэтому из теоремы 5.1 и функционального уравнения для
L-функций Гекке (теорема 1.87) следует, что расширенная
L-функция Артина
удовлетворяет соответствующему функциональному уравне-
уравнению.
Теорема 5.8. Пусть L/K—нормальное расширение числовых
полей и х — характер G(L/K). Тогда существует комплексное
число ео(х) такое, что |ео(х)|~1. называемое корневым числом
Артина, для которого
Ms, *) =
L{\-s,
269
где
a da —дискриминант К и f(%)—кондуктор Артнна, а % —
комплексно сопряжённый с % характер (являющийся характе-
характером контрагредиентного представления для р). D'
n-мерное представление р группы G(L/K) можно поднять
до представления р' группы Gk:
GK->G(L/K),,->GLn(C),
т. е. непрерывного гомоморфизма Ск в GLn(C). С другой сто-
стороны, любой непрерывный гомоморфизм Gk в GLn(C) про-
протаскивается через конечную группу, так как его ядро — откры-
открытая подгруппа.
Инвариантность L-функции, расширенной L-функции и
кондуктора Артина относительно подъёмов (§ 1.2, § 1.5, свой-
свойство 2) позволяет определить эти понятия и корневое число
Артина для р':
L (s, р') = L (s, р) = L (s, у), Л (s, р'): —Л (s, /).
Читателю предоставляется самому переформулировать резуль-
результаты §§ 1.2, 1.5 и 1.6 в терминах представлений группы G
L-функция Артина, определённая во введении к главе 5, отли-
отличается от L(s, p') конечным числом локальных множителей,
связанных с разветвлёнными простыми идеалами р. Эти мно-
множители необходимы для функционального уравнения.
1.7. Гипотезы Старка о /--функциях Артина при s —0. Ре-
Рекомендованная литература: Тейт [257]. Пусть L — конечное
нормальное расширение алгебраического числового поля К и
пусть х — характер представления (р, V) группы G(L/K)=:G.
В этом пункте рассматриваются L-функции Артина L(s, %)
при s = 0. В более общем виде, пусть S — конечное множество
точек поля К, содержащее множество Sm бесконечных точек.
Уберём локальные множители L(s,%) для точек vdS—5„:
Ls(s, xi:= ][ Lv(s, у)
(§ 1-2).
Функциональное уравнение для L(s,x) показывает, что
Ls(s,x) регулярна в s = 0. Пусть с(хNСх и r(xNZ определены
равенством
270
в окрестности s*=0. Тогда снова из функционального уравне
ния, неравенство Ц\,%)Ф0 для одномерных характеров
(теорема 2.21), используя теорию характеров, получаем
'2 dim V°w) -dim V° = dimc Homo {V*, C®ZX),
г {%)
где w — фиксированная точка поля L,
GW: = G(LW/KV) nJf—Z-модуль
лежащая
•01,
над
где S(L) обозначает множество точек L, лежащих над точка-
точками из S.
Если х~%э — тривиальный характер, то /¦(Xo)==|S| —1 и
функциональное уравнение даёт также структуру с(хо):
с(Хо)= т-1.
где hs: =f?V.Kx] обозначает число классов
Rs—S-регулятор (глава 1.4.1) и е — число корней нз единицы
в К. Основная гипотеза Старка (в форме нз Тейт [257]) ка-
касается структуры с(х) при х^Хо (Старк [242]).
Во-первых, определим регулятор Старка R(%,f)- По теоре-
теореме Дирихле о единицах группа U, состоящая из S(L)-единиц
в L, обладает изоморфизмом X RfGJ-модулен R®zL/ и
R® X, определенным равенством
tt-gS(L)
где |a|w—¦ нормализованное нормирование, соответствующее w
(глава 1.4.1). Из этого следует, что R®zf/ и R®ZAT имеют рав-
равные характеры. Поэтому уже рацчональные представления моду-
модулей Q®ZU и Q®ZX изоморфны. Пусть f:Q®zX-+Q®zU — изо-
изоморфизм Q[G]-moдулей. Автоморфизм А, СА': =C®z^=C®R(R<g)zAD
индуцирует линейное отображение
Homo (Vх, СЛ0->Ното (Vх, СХ).
Пусть /?(х,/)—его определитель. Назовём #(х./) регулятором
Старка.
Пример 5.2. Пусть / — вложение X в U. Тогда
Rs[U:f(X))
^(Хо. /)= ± 1 П
271
Теперь можно сформулировать основную гипотезу Старка:
Пусть A(x,f):=R(x,f)/c(%). Тогда А (%, /) лежит в поле
значений Q(%(g) \g^G) ==Q(x) характера % и
gA(%,f)=A(gx,f) для^-Г/(О(х)/О). ?
Замечание. Собственные значения матрицы конечного
порядка являются корнями из единицы. Следовательно,
Q(x) —абелево поле. D
Имеются следующие упрощённые варианты гипотезы Стар-
Старка и частные случаи, в которых она справедлива:
Теорема 5.9. Если основная гипотеза справедлива для
одного выбора / и S, то она справедлива и для всех выборов
/ и S.
Если гипотеза верна для нормальных расширений L/Q, то
она верна и в общем случае, ш
Если гипотеза верна для одномерных характеров, то она
верна и в общем случае.
Теорема 5.10. Основная гипотеза верна для рациональ-
рациональных характеров, т. е. характеров со значениями в Q.
Теорема 5.11. Основная гипотеза верна, если г(%) =0. Гх?
Ограничимся теперь абелевыми расширениями L/K. Более
того, предположим, что 5, кроме S,,, содержит все точки, раз-
разветвлённые в L/K и, по крайней мере, одну точку, которая пол-
полностью разлагается в L/K. Тогда Старк объявил о следующей
гипотезе, более сильной, чем основная гипотеза:
Пусть v — полностью разложимая точка из S и w — точка
поля L, лежащая над v. Тогда существует единица e?L такая,
что
L'@, X) = -|
E.7)
для всех характеров /о;
Эта гипотеза в дальнейшем обозначается St (L/K, S). Ра-
Равенство E.7) определяет е с точностью до корня из единицы
в L.
Так как /--ряд Лртпна для одномерных характеров % равен
/,-ряду соответствующего характера группы классов L/K,
St(L/K,S) представляет собой неожиданный вклад в 12-ую
проблему Гильберта, связанную с построением нолей классов
с помощью специальных значении трансцендентных функций
(глава 2.2). В некоторых случаях L—К(е). Пусть G — цикли-
циклическая и S содержит лишь одну точку, полностью разлага-
разлагающуюся в L. Тогда L'(Q,x)^0 для всех точных характеров %
группы G. Пусть /iCG, причём /if. re. Тогда
откуда x(h) = l и Л = 1.
'272
Гипотеза была доказана Старком для K = Q и мнимого
квадратичного поля К с использованием того факта, что в этих
случаях имеются конструкции полей классов с помощью спе-
специальных значений, трансцендентных функций (глава l.l). 1 и-
потеза также верна, если S содержит две полностью разветв-
разветвленных точки: если |S|>3, то 1/@, х)=0 для всех xe*(G) и
гипотеза тривиальна. Если |S|=2, то 1/@, х)=0 для х=Х<>
и гипотезу легко доказать. Группа S-единиц в К имеет ранг 1
и в качестве е можно взять степень фундаментальной единицы
из К. Следовательно, интерес представляет случаи, когда в с>
имеется лишь одна вполне разветвленная точка.
Пример 5.3 (Старк [246]). Многочлен
x3_x2_9a:+8= (jc+1) (JC+3) (x—3)— 1
имеет три вещественных нуля р = р~1>Р~2>Р~з, (J = 3,079... Дис-
кримнн.'пт поля K=Q(P) равен 7-253 и его кольцо целых чисел
есть Z[[JJ. Элементы р—1, р+3 образуют фундаментальную си-
систему единиц, а порядок группы классов равен 3 и она порож-
порождена /?2=(Р, 2).
Пусть, далее, 0=2 cos Bя/7) и
F: = K@), L: = K(e, в>, L': = K(fl)
Q(9)/Q разветвлено лишь для 7, Q,F) и Q,(?) -
расширения степени 3. Поскольку ручная гРУппи
всегда циклическая, F/K не разветвлено в конечных
L7K также не разветвлено в ^«Д'^.^-Й+) (?^
криминант 6 является единицей (р+1)'—4-(Р+НР ';
ладает тремя бесконечными точками, соответствующими погру-
погружениям W. р-^р», Р^Рз поля К в R. Легко видеть что «
разлагается в L'/K, но оо2 и оо3 разветвлены. Для S. {оо.
оо2, оо3}, Старк численно проверил гипотезу 5f(L/K. =»)¦
Дополнительная информация и примеры приведены в работах
Старка [241]—[247] и Тейта [257] „„„„„„
Существуют р-адические аналоги гипотезы Старка, припад-
лежащие Гроссу при s-0 [106] и Серру [231] при s = l (Теит
[257, глава 6]).
§ 2. Структура модуля Галуа и корневые числа Артина
Рекомендованная литература: Фрёлих [96]. Пусть К—
273
18—6164
*->к10|-модуль. Леопольдт [170] дал полный ответ на этот вопрос
в случае, когда К и L/Q — абелевы расширения (глава 4.1). Но
в общем случае представляется безнадежным получить какой-
либо разумный ответ, поскольку, в общем случае, ©l далек от
принадлежности к какому-то простому типу ?>к [GJ-модулей.
Поэтому ищется более скромный вопрос, на который есть
надежда получать ответ: спрашивается, при каких условиях на L
Ul имеет нормальный целый базис (НЦБ). т. е. существуют
«1 Ятб&и пг: = [ К: QJ такие, что
{««/!«е<2, «=.1 in)
— базис OL. Разумеется, наиболее интересен случай К —Q, но
общая ситуация полезна по техническим причинам, например,
для индуктивных рассуждений.
Из теории дифференты (глава ]) легко следует, что нор-
нормальное локальное расширение имеет НЦБ тогда и только тог-
тогда, когда оно ручное (теорема Истер). Следовательно, ручное
ветвление — необходимое условие существования НЦБ для DL.
Уже Гильберт [126], Satz 132, доказал, что для абелевых рас-
расширений L/Q это условие также является и достаточным. Мар-
Мартине показал, что это верно также для расширений L/Q с ди-
эдральной группой порядка 21, I—нечетное простое. Но если
G(L/Q) представляет собой группу кватернионов Я8 порядка 8,
в работе Мартине [173] показано, что это уже неверно. В слу-
случае группы #8 имеется прекрасная ситуация, так как сущест-
существует лишь два класса изоморфности 2[Я8]-модулей М таких,
что M(&zZp^Zv{Hz\ для всех простых р. Серр выдвинул идею
связать этот вопрос с корневым числом Артина е0 единственно-
единственного неприводимого представления группы G(L/Q) размерности 2.
Он предположил, что ?>l обладает НЦБ тогда и только тогда,
когда ео=1 (Для кватерннониого расширения L/Q имеем: ео=
==±1.) Это было доказано Фрёлихом [97] на основе его резуль-
результатов о центральных расширениях абелевых полей (глава
3.2.6). Дальнейшее развитие получено, в основном, Фрёлихом.
Мы приведем здесь описание существенной части теории Фрё-
лиха и основного результата, принадлежащего Тейлору.
2.1. Группа классов Z[G]. Пусть G— конечная группа. Ло-
Локально свободный ZfGJ-модуль представляет собой конечно по-
порожденный ZfGJ-модуль М такой, что МР:=М® Zp— свобод-
свободный ZpfGJ-модуль для всех простых р. Ранг rk(M) определяется,
как ранг свободного QfGj-модуля M<g>zQ. Он равен также рангу
Мр, как свободного /р[О]-модуля для нсех р.
Группа классов CL(Z[G\) является факторгруппой свобод-
свободной группы, порожденной классами изоморфности конечно по-
порожденных локально свободных ZfGJ-модулей по группе, по-
порожденной модулями вида М^ЪМ?—М\—М? н свободными Z[G]-
модулями. Пусть [М] — класс модуля М в CL(Z[G]). Тогда
274
[Mi]=[M2] и rk(M\)=rk{M2) тогда и только тогда, когда М\
и М2 стабильно изоморфны, т. е. Afi-f-Z[G]^Af2+Z[G]. Если ран-
ранги больше 1, то из этого, в действительности, следует, что М^Мг-
Пусть R(G)—группа виртуальных представлений G (§ 1.6)
и пусть E/Q— конечное расширение такое, что абсолютно не-
неприводимые представления G можно реализовать над Е. Тогда
G(E/Q) действут на R(G) посредством
для pHRiG), co6O(E/Q),
Мы хотим дать интерпретацию CL (Z [G]) как факторгруппы
группы Hom0(E/Q)(/?(G), Уе), где /Е обозначает группу ид елей
(глава 1.5.5) и нам для этой цели требуется следующий гомо-
гомоморфизм
Del: П (Z, [G])x-> Hom0(E/Q) (R (G), c/E),
p _
где U e обозначает группу единичных иделей Е, а произведение
взято по всем точкам р поля Q (мы полагаем Z«, = R). Det
определяется соответствующими локальными отображениями
DetP: пусть р : G->-GLn(E)—неприводимое представление G.
Тогда мы продолжаем р до гомоморфизма алгебр р: Qp[G]-*-
->-Л1„(Е(810 Q,,). Положим
(Det,*,) (p): = det (pXp) xpeQp [О].
Если xp?(Zp [G\)x, то
U I
p?(Zp
из
лежит в группе единиц
Теорема 5.12. 1) Пусть /И—локально свободный Z(<?1-mo-
дуль ранга 1. Выберем свободную образующую v для M&7.Q.
над Q[G] и для каждого простого р выберем свободную обра-
образующую vp для M®zZp над Zp [G\. Тогда
j где
и класс f {M) для
П DetpX,peHome(F./Q) (R (.G), Jv)
относительно
Z):=Hom0(E/Q)(y?«7),E)Det(II(Zp[Or)
____ р
зависит лишь от класса изоморфизма М.
2) Существует единственный изоморфизм
CL (Z [O]^HomO(E/Q) (К (Cr), Jb)/D
такой, что для любого локального свободного модуля М ранга
1 клас [М\ из CL(Z[G]) отображается на f(M). D3
18* 275
2.2. Структура модуля Галуа ручных расширений. Теперь
мы в состоянии обобщить связь между структурой модуля Га-
Галуа и корневыми числами Артина на произвольные нормаль-
нормальные ручные расширения L алгебраического числового поля К.
В этой связи появляются лишь симплектические представле-
представления: представление р конечной группы G называется симплек-
тическим (соответственно, ортогональным), если оно протаски-
протаскивается через G—*-Spn(C) (соответственно, через G—>-О„(С)).
Любое неприводимое представление с вещественнозиачным ха-
характером является либо симплектическим, либо ортогональ-
ортогональным. Более того, легко видеть, что корневое число Артина та-
такого представления равно +1, или —1.
Теорема 5.13. Пусть L/K—нормальное ручное расширение
и р — симплектическое представление G:=G(L/K). Тогда
корневое число Артина ео(р) удовлетворяет равенству
Сопоставим L/K элемент eo(L/K) из CL(Z[G]) следующим
образом:
Пусть en (L/К) —элемент из HomO(E/Q)(/? (G), УЕ), задаваемый
на неп-пволимых представлениях р группм G посредством
равенстн
e,)(L/K)(p)p = e(, (р) для р конечного,
eo(L/K) (p)j,^= 1 для р бесконечного,
если р —снмплектнческое,
eo(L/K)(p) = l
если р — не симплсктнческое.
Тогда eo(L/K) —элемент CL(ZfG]), соответствующий
eo'(L/K) по теореме 5.12. i*j
Теорема Г).14. Пусть L/K—конечное нормальное ручное
расширение с группой Галуа G. Класс ZfGJ-модуля Ol в
CL(ZfGJ) равен eo(L/K).Lj"
Из те >г>см .i с юдует, что OL — сгаоб >ди ,ih Z [О}-модуль, если
О не iivi^eT непр iBD.uiM.ix симтектпческнх представлений и что
?>i/BDL — исегда 'си )б )днлй Z [(/|-мод\'ль.
2.3. Дальнейшие результаты о структуре модуля Галуа. Су-
Существует обширная литература, посвященная структуре моду-
модуля Галуа для подгрупп аддптшшон или мультипликативной
группы локальных млн глобальных полей, н основном с весьма ,
ограничивающими условиями на группу Галуа, например, с |
циклическими пли диадральнымн группами, а на основное по- j
ле. Мы упомянем здесь лишь несколько результатов более об- i
щеп природы. !
270
Пусть К — р-адическое поле с характеристикой классов вы-
вычетов р и пусть L/K — конечное нормальное расширение с
группой Галуа G. Краснер [154] и Ивасава [135] изучали
структуру Lx, как G-модуля в случае, когда ветвление L/K руч-
ручное (глава 3.2.4). Случай дикого ветвления изучался 3. И. Бо-
ревичем и некоторыми из его учеников (см. [5] и приведённые
там ссылки). Пусть L/K — р-расшнрение, Lx — про-р-пополне-
ние Lx, F— группа Галуа максимального ^-расширения К и
пусть R—ядро естественного отображения F-*-G. Тогда G-mo-
дуль Lx изоморфен R/[R, R], согласно теории полей классов.
Следовательно, информацию об Lx можно получить по изве-
известной структуре F (глава 3.2.3). 3. И. Боревич даёт описание
Lx с помощью образующих и соотношений. Его дальнейшие ре-
результаты относятся к структуре группы основных единиц Ux
из L, которую можно рассматривать, как подгруппу Lx. В слу-
случае, когда К не содержит корней р-ой степени из единицы,
им дано полное описание структуры Uu как G-модуля.
Пусть теперь К — алгебраическое числовое поле и L/K —
конечное нормальное расширение с группой Галуа G. Структу-
Структура группы Е единиц из L, как G-модуля была впервые изучена
Эрбрандом [124], который показал, что Е содержит G-подмо-
дуль конечного индекса с просто описываемой структурой
(§ 1.12). Недавно Фрёлих [98] начал исследовать Е в случае
ручных расширений L/K по аналогии с его аддитивной
теорией, описанной в § 2.2.
Приложение 1. Поля, области и комплексы
А 1.1. Конечные расширения полей. Рекомендованная лите-
литература: ван дер Варден [267, глава 6]. Пусть К поле и L — ко-
конечное расширение К, т. е. L содержит К и имеет конечную
размерность n=[L:K], как векторное пространство над К.
Пусть aOL и Аа — эндоморфизм L, определённый равенством
^»(l)=a| Для |GL. Характеристический многочлен Аа будет
обозначаться /«. Если
/а @ =
то /rL/K(a) = tr(a): == — а, называется следом, а Ууь/к(а)==
= jV (а): =( —1)"ая — нормой а. Далее, ?>(a):=/a(a) назы-
называется дифферентой а. 0(^)^0 тогда и только тогда, когда
L-=K(a) и L/K—сепарабельное.
Пусть a,, ...,anPL, тогда d (a,, ..., ап): =det(tr (a,ay);,/)
называется дискриминантом a,, ...,an. В частности.
()
d(a): =W(/)(a)) = (— 1) 2 d{\, a, ..., a")
скриминантом a.
называется ди-
ди277
0I
Если a, 0GL, то tr(a+p)=tr(<z)+tr(p), ЛГ(ар) -Л7(а)ЛГ(р).
d(a\,... ,а„) =^=0 тогда и только тогда, когда расширение
L/K — сепарабельное и аь .... а„ — базис L/K, т. е. базис L
как векторного пространства над К.
Пусть L/K—сепарабельное и ©i, ...,(ап — базис L/K.
Тогда существует однозначно определённый базис Х[,...,х„
расширения L/K такой, что tr((a,Xj)=6,,- для i, /е{1,...., я}.
Действительно, система линейных уравнении
tr(co, (^@, + ... |уяй)„)) = б//-> i = l га,
относительно ?л> • • • > ?.пеК имеет определитель, равный
1, • ¦.. >ц называется дополнительным базисом для
@„.
А. 1.2. Теория Галуа. Рекомендуемая литература: ван дер
Варден [267, глава 8]. Пусть К — поле и L—конечное расши-
расширение К. Обозначим G(L/K) группу автоморфизмов L,
оставляющих элементы К неподвижными. Тогда |G(L/K)K
^[L: К] и расширение L/K называется сепарабельным и нор-
нормальным (или расширением Галуа), если [ G(L/K) j = fL: К].
Группа G(L/K) называется группой Галуа L/K.
Теорема А. 1.1. Пусть L/K — конечное, сепарабельное,
нормальное расширение с группой Галуа G.
а) Существует взаимно однозначное соответствие Ф между
промежуточными полями F расширения L/K и подгруппами
группы G, определяемое так: <X>(F) = G(L/F). Если Я — под-
подгруппа G, то Ф~'(Я) представляет собой поле {x?L\gx=x,
g%H), называемое неподвижным полем Н.
б) L содержит элемент 0 такой, что {gQ, g&G} является
базисом векторного_ пространства L/K, называемым нормаль-
нормальней», базисом Ь/К.[Ш
Пусть L/K — конечное сепарабельное расширение. Тогда
Существует конечное, сепарабельное, нормальное расширение
"JV/K такое, что LaN. Существует в точности я: ==[L: К] изо-
изоморфизмов g\ gn Lb N. Если a^L, то
п п п
/а(<) = П ^~?<а)« следовательно, tr(a)-= ^?g;a, Л/(а) = П^а>
;-1 1-1 ;-1
gxa, ..., gna называются сопряженными с а (в N).
В частности, пусть К — алгебраическое числовое поле, т. е.
К—конечное расширение поля Q, содержащееся в С. Тогда
существует n=(K:Q] изоморфизмов К в С. Такой изоморфизм
называется вещественным, если g(K)aR, и комплексным,
если g(K)<?R. В последнем случае комплексно-сопряжённый g
для g определяется равенством g(a)=g(a), где черта сверху
обозначает комплексное сопряжение в С. Следовательно, ком-
комплексные изоморфизмы всегда встречаются попарно. К назы-
278
вается вполне вещественным (комплексным), если все изомор-
изоморфизмы g — вещественные (комплексные).
А.1.3. Области. Рекомендуемая литература: ван дер Варден
[267, глава 17]. Область R — это коммутативное кольцо с еди-
единичным элементом, не имеющее делителей нуля. Такое коль-
кольцо содержится в поле. Наименьшее поле, содержащее R, опре-
определяется однозначно с точностью до изоморфизма и назы-
называется полем частных R. Оно обозначается Q(#).
Пусть L — поле, содержащее R. Тогда а называется целым
над R, если существует многочлен
f(x) =xm+atxm-l+ ... +а0Щх]
такой, что f(a)=O. а цел над R тогда и только тогда, когда
минимальный многочлен а относительно Q(/?,) имеет коэффи-
коэффициенты из R.
Элементы L, целые над R, образуют кольцо S, называемое
целым замыканием R в L. Кольцо R называется цело-
замкнутым, если целое замыкание R в Q(#) совпадает с R. Це-
Целое замыкание R в L целозамкнуто.
Предложение А.1.2. Пусть z — переменная над L.
Тогда S(z) является целым замыканием R[z] в L(z). ?
Положим K:=Q(#). Пусть a6S. Тогда характеристический
многочлен fa(z) относительно К имеет коэффициенты из R, по-
поскольку fa(z) является степенью минимального многочлена.
В частности, trL/Ka, Мь/ка> ^ь/к«е^, OL,Ka?S.
Пусть f(z), g(z)?L[z] — многочлены, старшие коэффициенты
которых равны 1 и пусть g(z) —делитель f{z) в L[z]. Тогда
из того, что f(zNS[z], следует, что g(z)&S[z]. В частности,
a?S является делителем Nlik а в S так как z—а делит fa{z).
А.1.4. Комплексы. Рекомендуемая литература: Картан,
Эйленберг [63]. Комплекс М—(Е, d) представляет собой се-
семейство {?', /eZ} абелевых групп вместе с гомоморфизмами d\
Е1 в Ei+l такими, что di+ldi=O. Морфизм <р комплексов М —
= (Е, d), M'=(E', d') является семейством гомоморфизмов
{ф(, t'6Z} E' в ?' таких, что йг'ф' = <р*+|а'. Понятия ядра, образа
и точной последовательности очевидным образом переносятся с
категории абелевых групп на категорию комплексов.
t-ая группа когомологий Н'(М) комплекса $=(?, d) опре-
определяется, как
Морфизм М-*-®' индуцирует гомоморфизм Н1(К)-*~Н' (Кг). Да-
Далее, точная последовательность
279
индуцирует длинную точную последовательность
И1 (ЛЭ)-
где связывающий гомоморфизм А' определяется следующим оСра-
зом.
Пусть
т. е.
что (р'2у = х. Тогда <P2+1
вует Z6?"i+1 такой, что
= 0. Возьмем уб?2 такой,
O, следовательно, сущест-
сущест= rfiy. Так как
+V.+ 'г = dj+1d^ = 0,
имеем </'|+12==0._Класс z6//'+I(8, не зависит от выбора у, z).
Положим Д'л: = г. Гомоморфизм Л' функториален в том смысле,
что коммутативная диаграмма
о-я;-*--*;-о
с точными строками индуцирует связывающие гомоморфизмы
Л1', А'' такие, что диаграмма
коммутативна.
Если семейство (?, d) задано лишь для индексов i=0, 1,...»
то мы полагаем Ei=0, dt—O для t= —1, —2,... и получаем ком-
комплекс в указанном выше смысле.
Приложение 2. Квадратичные вычеты
Рекомендуемая литература: Виноградов [7]. Пусть р — нечет-
нечетное простое число. Целое число аФО называется квадратичным
вычетом по mod p, если существует такое целое число *, что
a^jc2(mod p).
По определению, символ ЛежандрауЛ равен 1, если а яв-
является квадратичным вычетом по mod р, и он равен —1, если
а — невычет по mod p. Очевидно, что (-") зависит лишь от клас-
класса вычетов a mod p и определяет гомоморфизм группы (Z/pZ)x
на группу ZX={±1}.
Предложение А.2.1 (Критерий Эйлера).
280
Доказательство. Пусть g — примитивный корень по
mod р, т. е. g — образующая циклической группы (Z/pZ)x. Тог-
Тогда gvs=—1 (mod p) тогда и только тогда, когда v=s
= 0(mod (p—1)), и gv=—l(modp) тогда и только тогда,
когда v==(p—1)/2 (mod(p-l)).
Первый интересный вопрос о квадратичных вычетах состоит
в следующем: что можно сказать о зависимости (—-J от р при
фиксированном а. Ответ дает квадратичный закон взаимности:
Теорема А.2.2 (Гаусс). Пусть р, q — различные простые
числа, рф2, цф2.
Дадим набросок доказательства этой теоремы для того, что-
чтобы показать, как алгебраические числа используются в элемен-
элементарной теории чисел. Утверждение б) сразу следует из пред-
предложения А.2.1. Для доказательства а) положим
т„:
где С—примитивный корень степени р из единицы (глава 1.3-9).
Тогда
t2
р
2 (t-
Р-\
Следовательно,
T2 =,(_l)(P->)(«/
С другой стороны,
Поэтому
Из этого сравнения следует равенство, так как обе его части
равны ±1.
19—6164
281
Для доказательства равенства в) положим Т2=5+С"]. ГД«
- примитивный корень 8-й степени из единицы. Тогда тг2=2 и
Пусть аФО — целое число, fe>0 — целое число такое, что
Bа, 6) = | и пусть b=zpi...p. — разложение Ь в произведение
простых чисел. Символ Якоби определяется равенством
Символ (-?) определяет гомоморфизм (ZfbZ)x на {±1}
и теорема А.2.2 остается справедливой,если р и q — взаимно
простые нечетные целые числа.
Следовательно, если as I (mod 4), то (yj зависит лишь о
класса b mod a, а в общем случае (у) зависит только от класса
b mod 4a.
Приложение 3. Локально компактные группы
3.1. Локально компактные абелевы группы. Рекомендуемая
литература: Бурбаки [49, глава 2]. Пусть G — локально ком-
компактная абелева группа. Характер % группы G является непре-
непрерывным гомоморфизмом G в Сх таким, что \x(g)\ — l Для g^G.
Определим групповую структуру на множестве X(G) всех ха-
характеров группы G равенством
Кроме того, определим топологию в X(G) с помощью следую-
следующего семейства {U(e, К)} окрестностей нулевого элемента G
U(e, K):={%GX(G)\\x(g)—\\<* Для g*K),
где е — положительное число и К — компактное подмножест-
подмножество G. С этой топологией X(G) становится локально компактной
группой. X(G) называется группой характеров или двойствен-
двойственной группой для G.
Теорема А.3.1 (Теорема двойственности Понтрягина).
а) Пусть Я— замкнутая подгруппа группы G. Отождествим
Х{Н) с факторгруппой X(G)/{%\x{H)-{\}). Тогда Н-^Х(Н)
является взаимно однозначным соответствием между подгруп-
подгруппами G и факторгруппами X(G).
б) Пусть ф — гомоморфизм G в X(X(G)) —такой, что
282
Тогда <р — топологический изоморфизм G на X(X(G)). В
В дальнейшем мы отождествляем G с X(X(G)).
Пример А.3.1. Двойственной группой для R+ является R+,
двойственной группой для R+/Z+ является Z+. ?
Пример А.3.2. Двойственная группа компактной группы
является дискретной группой. D
Пусть ц — мера Хаара на G. Как обычно, Lm(G) обозначает
пространство комплекснозначных функций f на G обладающих
So\f(g)\mdii(g)-
Преобразование Фурье f функции fQL1^) представляет со-
собой непрерывную функцию на X(G) такую, что
Теорема А.3.2 (Теорема обращения). Пусть G — локаль-
локально компактная абелева группа и ц — мера Хаара на G. Тогда
существует единственная мера Хаара ц на X(G) такая, что
для любой функции ftDiG) такой, что f?Ll(X(G)) имеет место
формула обращения
f(g)-h-gh о
Теорема А.3.3 (Формула суммирования Пуассона). Пусть
Н — замкнутая подгруппа G, ц—мера Хаара на G, v — мера
Хаара на Я, f — индуцированная мера Хаара на GJH и пусть
Ч — мера Хаара на X(G/H), соответствующая f в смысле тео-
теоремы А.3.2.
Пусть, кроме того, f — непрерывная функция нз Ll(G) такая,
что:
а) для всех g$G функция h-*-f(g-\-h) интегрируема на Я,
б) \f(g + h)dv(А)— непрерывная функция на G,
К
в) /(У) интегрируема на XIG/H).
Тогда
3.2. Ограниченные произведения. Пусть {GB|y6V)—семейство
локально компактных групп и пусть 5 — конечное подмножест-
подмножество из V такое, что при v$S существует открытая компактная
подгруппа Я, группы G,, которая будет зафиксирована в даль-
дальнейшем.
283
Ограниченное произведение {Gv\v?V} относительно {Hv\v6S}
представляет собой подгруппу G прямого произведения n,,FvG,.,
состоящую нз всех элементов Uvgv таких, что gpf'H, для почти
всех v. Введем в G топологию, индуцированную топологией про-
произведения подгруппы
GS:-UGVXJI Hv.
Тогда G — локально компактная группа.
Выберем меры Хаара ц„ для v?V так, чтобы ц„(Я„) = 1 для
v$S. Тогда мера произведения на Gs определена корректно и
индуцирует меру на G, которую мы будем называть мерой про-
произведения.
Приложение 4. Числа Бернул
ли
Рекомендуемая литература: 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич
[6, глава 5, § 8], § 8, Вашингтон [270, главы 4,5].
Числа Бернулли Во, В[ ... определяются из ряда
четных п>\.
Функция, 5„=0 для не-
не^^^
2 ВпЛ±1;=.УУ(!)'е»
«-о л| ,fj ef'-l •
Если
имеем
te*
'-1
Следовательно, В„,\ — Вп, кроме как при п — 1, когда
284
Если х^Ь то Во, х=0. Кроме того, в этом случае порождаю-
порождающая числа Впх функция четна, если %—четный, и нечетна, ес-
если х — нечетный. Следовательно, B2n+i,x=0, если %—четный,
В2п. х=0, если х — нечетный.
Введем многочлены Бернулли Вп[х) с помощью равенства
я-0
п\
Так как
я-0
имеем
С другой стороны, обобщенные числа Бернулли легко выра-
выражаются через многочлены Бернулли.
Предложение А.4.1. Пусть F кратно кондуктору f.
Тогда
В частности,
Числа Бернулли — рациональные, знаменатель которых оп-
определяется следующей теоремой фон Штаудта—Клаузена:
Теорема А.4.2. Пусть п>0 — четное число, тогда
(/>-1)|л Р
где сумма взята по всем простым числам р таким, что р—1 де-
делит п. В
ТАБЛИЦЫ
В литературе, особенно в журнале «Mathematics of Computation» содер-
содержится всевозрастающее количе ство вычислительных данных о числовых
полях (например, числа классов, группы классов, регуляторы). Здесь приво-
приводится лишь небольшое количество таблиц, полученных при таких вычисле-
вычислениях. Первые две таблицы можно установить вручную или с помощью пер-
персонального компьютера, используя метод вычисления из главы 1.1.4, 1.1.7.
285
Таблица 1
Число классов h мнимых квадратичных полей <2(У—а), где а — свобод-
свободно от квадратов, 1^а<500.
Таблица 2
Число классов A it фундаментальная единица е>1 действительных квад-
квадратичных^ полей Q(ya), где a — свободно от квадратов, 2^а<101, ш =
= A+Уа)/2, если а» 1 (mod4), т—Т/а, если а™2,3(mod 4).
а
1
2
3
5
6
7
10
11
13
14
15
17
19
21
21
23
26
29
30
31
33
34
35
37
38
39
41
42
43
46
47
51
53
55
57
56
59
61
62
65
66
67
69
70
Л
1
1
1
2
2
1
2
1
2
4
2
4
1
4
2
3
6
6
4
3
4
4
2
2
6
4
8
4
1
4
5
2
6
4
4
2
3
6
8
8
8
1
8
4
71
73
74
77
78
79
82
83
85
86
87
89
91
93
91
95
,97
01
'02
|03
'05
106
107
109
ПО
Ш
ИЗ
114
П5
П8
119
122
123
1=27
129
130
131
133
134
137
138
139
141
142
7
4
10
8
4
5
4
3
4
10
6
12
2
4
8
8
4
14
4
5
8
6
3
6
12
8
8
8
2
6
I
1
2
5
12
4
5
4
14
8
8
3
8
4
143
145
146
149
151
154
155
157
158
159
161
163
165
166
167
117
173
174
177
178
179
181
182
183
185
186
187
190
191
193
194
195
197
199
201
202
203
205
206
209
210
211
213
214
А
11
8
16
44
7
8
4
6
8
Ю
16
1
8
Ю
И
12
[4
12
4
8
5
10
и
8
16
12
2
4
13
4
20
4
10
9
12
6
4
8
20
20
8
3
8
6
1-
215
217
218
219
221
222
223
226
227
229
230
231
233
235
237
238
239
241
246
¦247
249
251
253
254
255
257
258
259
262
263
265
266
267
269
271
273
274
277
278
281
282
283
285
286
14
8
10
4
16
12
7
8
5
П
20
12
12
2
12
8
15
12
12
6
12
7
4
16
\d
16
8
4
6
13
8
20
2
22
11
8
12
6
14
20
8
3
16
12
287
29J
291
293
295
298
299
301
302
303
305
307
309
310
311
313
314
317
318
319
321
322
323
326
327
329
330
331
334
335
337
339
341
3E
346
347
3(9
ЗЯЗ
354
355
357
358
359
362
Л
14
20
1
18
8
6
8
8
12
10
16
12
8
19
8
26
10
12
10
20
8
4
22
12
24
8
3
12
18
8
6
28
8
10
5
14
1С.
16
4
8
6
19
18
365
366
367
370
371
373
374
377
379
381
382
383
385
386
389
390
391
393
394
395
397
398
399
401
402
403
406
407
409
410
411
413
415
417
418
419
421
422
426
427
429
430
431
433
20 | 434
12
9
12
8
10
28
16
3
20
8
17
8
20
22
16
14
12
10
8
6
20
16
16
2
16
16
16
16
6
20
10
12
8
9
10
10
24
2
6
12
21
2
435
437
438
439
442
443
445
446
447
449
451
453
454
455
457
458
461
462
463
465
466
467
20 469
470
471
473
474
478
479
481
482
•183
485
467
489
491
493
494
457
498
499
24
4
20
8
15
8
5
8
32
14
20
6
12
14
20
8
26
30
8
7
16
8
7
16
20
16
12
20
8
25
16
20
4
20
7
20
9
12
28
24
8
3
а
2
3
5
6
7
10
11
13
14
15
17
19
21
22
23
26
29
30
31
33
34
35
37
38
39
41
42
43
46
47
51
А
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
I
г
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
2
е
1+й>
2+<В
О)
5+2ш
8+3@
З+о)
10+Зш
1+О)
15+4ш
4+(о
3+2о)
170+39®
2+<в
197+420)
24+5@
5+@
2+о
11+2ю
1520+273@
19+8@
35+6@
6+0)
5+2о)
37+6*0
25+4<о
27+Юш
13+2о)
3482+531@
24 335+3 588©
48+7ш
50+7@
—1
+ 1
—1
+ 1.
+ 1
—1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
1
+ 1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
53
55
57
58
59
61
69
65
66
67
69
70
71
73
74
77
78
79
82
83
€5
86
87
89
91
93
94
95
97
101
А
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
I
2
1
1
2
Г
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
е
3+0)
89+12о)
131+40@
99+13@
530+69ш
17+5@
63+8@
7+2ш
65+8@
48 842+5 967ш
11+3(о
251+30®
3480+413ш
943+250@
43+5ш
4+0)
S3+6o>
80+9ш
9+(о
82+9@
4+ю
10405+1 122@
28+Зо>
447+106@
1574+165@
13+3(о
2143 295+
+221 064@
39+4ш
5035+1138©
9+2ш
—1
+ 1
+ 1
—I
+ 1
—1
+ 1
—I
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
—1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
—1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
—1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
—1
—1
286
287
Таблица 3 (Вильяме, Броер)
Число классов Л действительных квадратичных полей Q(ffa), где а —
свободно от квадратов, 2=^а<150 000. Второй столбец таблицы указывает
число /(А) полей с числом классов А, третий столбец дает наименьшее а,
для которого число классов поля <3(Уа) равно R.
л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
20 574
26 427
2 677
18573
943
3 453
462
6 898
311
1237
176
2 434
124
563
115
1 970
62
385
48
788
43
163
20
838
30
ПО
20
d
2
10
79
82
401
235
577
226
1 129
1 111
1297
730
4 759
1534
9871
2305
7054
4 954
15409
3 601
7 057
4 762
23 593
9634
21859
13 321
8 761
Л
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
324
16
113
4
397
11
47
8
165
7
33
6
179
1
30
3
82
7
14
1
92
1
8
I
28
1
8
d
5 626
49281
11665
97 753
15 130
55 339
19882
25 601
18226
24 337
19834
41614
16899
55 966
47 959
14 401
11026
32 401
49321
78 401
21610
70 969
54 769
69 697
23410
69 694
4983 4
j|
55
56
57
58
60
61
62
63
64
66
68
70
72
74
76
78
ЯО
84
86
87
88
94
96
100
108
ПО
116
1
38
2
7
18
1
3
1
23
3
12
5
11
1
7
1
3
3
2
2
3
2
4
2
1
1
1
d
106 537
39999
41617
27226
78 745
126 499
68 179
57 601
71290
87 271
53 362
56 011
45 511
38 026
93619
36 159
19*546
77 779
10 926
190001
56 17Э
99 226
50626
131 770
140 626
125 434
116 554
288
Таблица 4 (Эннола — Турунеи;
Вполне вещественные кубические поля с дискримииаитом d<500000.
Таблица показывает количество полей с заданным числом классов и дискри-
дискриминант в границах, данных в верхней части каждого столбца.
Число классов
1
2
3
4
6
6
7
8
9
10
11
12
13
Общее чис-
число полей
1
50000
2023
Д09
112
11
6
1
1
2263
50 001
100000
2169
181
155
10
12
6
6
1
1
2541
100 001
150 000
2204
193
143
17
12
11
4
4
2
1
'2591
150 001
200000
2204
199
162
20
11
12
3
3
4
2
2620
200 001
250000
2258
230
163
29
11
17
3
2
2
2715
Число кл ассов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Общее чис-
число полей
250 001
300 000
2261
216
156
26
12
10
5
1
3
1
2691
300 001
350000
2244
232
199
24
14
16
5
3
3
3
1
1
1
2746
t
350001
400 000
2278
238
155
26
14
9
1
2
5
1
1
1
•2731
400 001
450 000
2309
229
154
29
12
17
2
3
3
3
5
«766
450 001
500000
2270
232
193
32
21
11
6
2
2
1
3
1
1
1
2776
289
Дискримиианты < 500 000 вполне
Таблица 5
(Эянола — Турунен^
вещественных кубических полей, име-
ющнх N ассоциированных несоиряжеииых полей при
3 969
46 548
83 700
149 769
181 300
213 300
248 724
278 964
323 028
363 609
393 492
441 396
461 041
22 356
62 004
89 073
109 396
144 532
180 549
217012
239 124
293 876
314 577
326 281
350 612
392 468
418 324
444 756
458 356
471 325
498 428
32 009
142 097
206 776
252 977
320 785
363 397
424 236
476 124
290
8 281
47 089
90 601
155412
182 329
215 700
255 636
284 148
327 668
367 956
395 604
442 260
465 588
28212
62 644
95 992
119 604
146 452
189 777
223 540
239 476
295 784
314 772
326 516
354 772
394 292
419 688
444 852
459 892
476 820
42817
151 141
209 765
255 973
321 053
371 965
431 761
476 152
13 689
55700
92340
157 300
182 868
215 892
257 556
296 325
331 425
370 548
399 924
452 925
470 988
31425
63 028
97 844
122 300
150 164
198 045
223 604
240 692
302 612
317 300
327 537
358 425
397 300
424 148
448 092
462 537
477 981
62 501
152 949
213913
259 653
326 945
381 369
449 797
486 221
ЛГ—2
17 689
61 009
110 889
162 324
185 652
219 961
259 700
299 700
334 260
372 276
419 796
456 948
473 300
41 332
65 908
98 132
123 860
152212
202 932
224 088
263 196
303 220
321 364
335 732
360 948
405 965
425 493
448 929
463 988
478 521
ЛГ
72 329
153 949
214 028
265 246
333 656
390 876
459 964
486 581
29 241
66 825
113 940
16 ¦¦ JC9
186516
223 668
261 121
301 401
340 200
374 868
428 436
457 652
489 300
.3
47 860
77 844
99Ь6О
129 164
153 981
205 748
225 716
270 292
304 925
323 956
339 348
378 228
407 528
428 212
452 084
464 212
486 708
-4
94 636
172 252
214712
275 881
355 229
400 369
460 817
494 286
37 300
67 081
115668
164 052
189 972
231 361
262964
302 292
346 921
379 700
431 325
458 325
494 209
54 324
82 484
101 876
136 628
156 244
210 708
226 580
270 405
305 268
324 308
344 568
380 884
408 244
430 228
456 425
469 233
492 212
103 809
173 944
219 461
282 461
341724
412 277
468 472
38 612
69 012
138 996
168 372
191 700
235 224
263 277
305 809
348 948
391 284
431 649
460 377
57 588
86 485
105 192
138 388
161844
214 925
235 953
275 604
313 492
325 620
344 884
383 668
410913
438 484
456 980
469 773
492 700
114 889
184 137
220 217
383 673
342 664
415 432
471 057
45 684
77 372
148 372
173 556
208 980
238 140
275 700
312 481
359 700
393 012
435 348
460 404
58077
86828
108 72»
144 212
177 741
215 795
236 277
279 284
313 620
325809
345 715
384 404
414 708
439 124
458 260
470 56»
493 925
130 397
189 237
250 748
298 849
358 285
422 573
471713
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрашкин В. А. Нахождение двуклассных мнимых квадратичных полей
с четным дискриминантом методом Хегнера // Мат. заметки.— 1У/4.—
15, № 2.— С. 241—246.
2. Андожский И. В. О некоторых классах замкнутых про-р-групп // Изв.
АН СССР. Сер. мат.— 1975.— 39, № 4.— С. 707—738.
3. Башмаков М. И. О задаче погружения и о лей // Мат. заметки.— 1968.—
4, № 2.— С. 137—140.
4. Белый Г. В. О расширениях Галуа максимального кругового поля //
Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1979,— 43, № 2.— С. 267—276.
5. Боревич 3. И. О группах главных единиц р-расширений локального по-
поля // Докл. АН СССР.— 1967— 173, № 2.— С. 253—255.
6. —, Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.: Наука, 1985.— 503 с.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел.— М.: Наука.— 1972.— 172 с.
8. Востоков С. В. Явная форма закона взаимности // Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1978.— 42, № 6.— С. 1288—1321.
9. —, Фесекко И. Б. Символ Гильберта для формальных групп Любима—
Тейта II // Записки иауч. семии. Ленингр. от-иия Мат. нн-та АН СССР.
— 1983.— 132.— Т. 85—96.
10. Голод Е. С, Шафаревич И. Р. О башне полей классов // Изв. АН
СССР. Сер. мат.— 1964.— 28, № 2.— С. 261—272.
11. Гордеев Н. Л. Бесконечность числа соотношений в группе Галуа мак-
максимального р-расширеиия с ограниченным ветвлением локального поля
// Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1981.— 45, № 3.—С. 592—607.
12. Дёмушкин С. П., Шафаревич И. Р. Второе препятствие для задачи по-
погружения полей алгебраических чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат..—
1962.— 26, № 2.— С. 911—924.
13. Дринфельд В. Г. Доказательство глобальной гипотезы Леиглеидса для
GL B) над полями функций // Функц. анализ и его прил.— 1977.— 2,
№ 1,— С. 74—75.
14. Зелевикский А. В. Об алгебраическом замыкании локального поля при
р=2 // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1972.— 6, № 1.— С. 905—937.
15. Ишханов В. В. О полупрямой задаче погружеияя с нильпотентным
ядром // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1976.— 40, № 1.— С. 3—25.
16. Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— М.: Наука, 1978.—
336 с.
17. Колывагин В. А. Формальные группы и символ норменного вычета //
Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1979.— 43, М» 5.— С. 1054—1120.
18. Кузьмин JI. В. Некоторые замечания о р-адической теореме Дирихле н
р-адическом регуляторе // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1981.— 45,
№ 6— С. 1203—1240.
19. — Некоторые теоремы двойственности для круговых р-расширеиий по-
полей алгебраических чисел СМ — типа // Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1979.— 43, № 3.— С. 483—547.
20. Манин Ю. И. Соответствия, мотивы и моноидальные преобразования //
Мат. сб.— 1968.— 77, № 4.— С. 475—507.
21. Меркурьев А. С, Суслин А. А. К-когомологни многообразия Севери—
Брауэра н гомоморфизм нормеиного вычета // Изв. АН СССР. Cepi
мат.— 1982.— 46, № 5.— С. 1011—1061.
22. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М.: Наука, 1984.— 520 с.
23. Шафаревич И. Р. Новое доказательство теоремы Кроиекера—Вебера //
Тр. Мат. ин-та АН СССР,— 1951.— 38— С. 382—387.
24. — Общий закон взаимности // Мат. сб. Нов. сер.— 1950.— 26F8).—
С. 113—146.
25. — О р-расширениях // Мат. сб. Нов. сер.— 1947.— 20F2).— С.
351—363.
291
26. — Построение полей алгебраических чисел с заданной разрешимой груп-
группой Галуа // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1954.— 18, № 6.— С 525—
578.
27. — О построении полей с заданной группой Галуа порядка I" // Изв
АН СССР. Сер. мат.— 1954,— 18, № 6,— С. 261—296.
28. — Расширения с заданными точками ветвления // Publ. Math IHES —
1964,— 18.— С. 71—95.
29. — О задаче погружения полей // Докл АН СССР.— 1954.— 95 № 3
— С. 459—461.
30. — Дзета-фуикция.— М.: МГУ.— 1969.— 148 с.
31. Яковлев А. В. Группа Галуа алгебраического замыкания локального
поля // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1968.— 32, № 6.— С. 1231—1269.
32. — Замечания к моей работе «Группы Галуа алгебраического замыкания
локального поля» // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1978.— 42, № 1.— С.
205—206.
33. Adleman L. M., Heath-Brown D. R. The first case of Fermat's last Theo-
Theorem // Invent, math.— 1985.— 79, № 2.— С 409—416
34. Albert A. A. A construction of non-cyclic normal division algebras //
Bull. Amer. Math. Soc.— 1932.— 38 — С 449—456
35. Amitsur S. A., Rowen L H., Tignol I. P. Division algebras of degree 4
and 8 with involution // Isr. J. Math.— 1979.— 33, № 2.— 6. 133—148
36. Artin E. Algebraic numbers and algebraic functions 1 // Inst. Math and
Mech., New York, New York University.— 1951.— 355 c.
37. — Beweis des allgemeinen Reziprozitatsgesetzes // Abh. Math. Semin.
Univ. Hamburg,— 1927.— 5— С 353—363
38. — Ober eine neue Art von L-Reihen // Hamb. Abh.— 1923.— /.— С
89—108
39. — Hasse H. Die beiden Erganzungssatze zum Reziprozitatsgesetz der
/"-ten Potenzreste im Korper der /n-ten Einheitswurzeln // Abh. Math.
Semin. Univ. Hamburg.— 1928.— 6 — С 146—162.
40. — Tate I. Class field theory.— New York e. a., Benjamin.— 1968.—
259 с
41. Baker A. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers // Mathe-
matika.— 1966.— 13.— С 204—216 (Пер. на рус. яз.: Сб. перев. Мате-
Математика. 1967,— 11, № 3.— С. 155—166)
42. — Imaginary quadratic fields with class number 2 // Ann. Math.— 1971.
— 94, № 1.— С 139—152 (Пер. на рус. яз.: Бейкер А. Сб. перев. Ма-
Математика,— 1967.— 15, № 5.— С. 49—54)
43. Barsky D. Fonctions zeta /э-adiques d'une classe de rayon des corps de
nombres totalement reels // Groupe d'Etude d'Analyse Ultrametrique, 5e
nnnee.— 1977/78.— Exp. 16.— 23 с
44. Belyj G. V. On extensions of the maximal cyclotomic field having a gi-
given classical Galois group // J. reine angw. Math.— 1983.— 341.— С
147—156
45. Вецег G. Ober eine Vermutung von Hasse // J. reine angew. Math.—
1956,— 196.— С 205—212
46. Borel A., Casselman W. (eds), Automorphic forms, representations and
L-functions II Proc. symp. pure math. // Providence, Rhode Island, Amer.
Math. Soc— 1979, 33, I, II (Частичный пер. на рус. яз.: Автоморфиые
формы, представления и ^-функции.— М.: Мир, 1984.— 288 с)
47. —, Jacquet H. Automorphic forms and automorphic representations, in
Borel, Casselman, 1979.— /.— C, 189—202 (Пер, на рус. яз.: см. кн.
[46])
48. Bourbaki N. Algebre.— Paris, Herman, 1950. (Пер. на рус. яз.: Бурба-
ки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная
алгебра.— М.: Физматгиз, 1962.— 516 с; Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы.— М.: Физматгиз, 1965.— 300 с.; Алгебра. Моду-
Модули, кольца, формы, - М.: Физматгнз, 1966.— 555 с.
292
49. — Algebre commutative, Chap. 7. Diviseurs, Paris, Hermann, 1965, (Пер.
иа рус. яз.: Бурбаки И. Коммутативная алгебра.— М.: Мир, 1971.—
707 с.)
50. — Theories spectrales, Paris, Hermann, 1967 (Пер. иа рус. яз.: Бурба-
Бурбаки И.— Спектральная теория.— М.: Мир, 1972.— 181 с.)
51. Bruckner H. Explizites keziprozitatsgesetz und Anwendungen // Vorles.
Fachber. Mathem. Univ. Essen, Heft 2.— 1979.
52. — Hilbertsymbole zum Exponenten p" und Pfaffsche Formen // Preprint
Hamburg.— 1979.
53. — Eine explizite Formel zum Reziprozitatsgesetz fur Primzahlexponentan
p II Algebraische Zahlentheorie (Ber. Tagung Math. Forschungsinst Ober-
wolfach 1964), Mannheim, Bibliogr. Inst— 1967.— C. 31—30
54. Brumer A. Ramification and class field towers of number fields // Michi-
Michigan Math. J.— 1965.— 12.— С 129—131
55. — On the units of algebraic number fields // Mathematika.— 1967.— 14.
— С 121—124
56. —, Rosen M. Class number and ramification in number fields // Nagoya
math. J.— 1963— 23.— C. 97—101
57. Buell D. A. The expectation of success using a Monte-Carlo factoring
method — Some statistics on quadratic class numbers//Math. Сотр.—
1984.— 43, № 167.— С. 313—327
58. — Class groups of quadratic fields II // Math. Сотр.— 1987.— 48,
№ 177.— С. 85—93
59. Buhler J. P. Icosahedral Galois representations // Lect. Notes Math.—
1978, 654
60. Bushnell С J. Hereditary orders, Gauss sums and supercuspidal repre-
representations of GL* // J. reine angew. Math.— 1987.— 375/376.— С 184—
210
61. —, Frolich A. Gauss sums and p-adic division algebras // Lect. Notes
Math.— 1983.— 987.— 186 с
62. Carayol H. Representations cuspidales du groupe lineaire // Ann. scienL
Ec. Norm. Sup., 4 ser.— 1984.— 17.— С 191—225
63. Cartan H., EUenberg S. Homological algebra.— Princeton, New Jersey:
Univ. Press.— 1956 (Пер. на рус. яз.: Картан А., Эйлекберг С. Гомоло-
Гомологическая алгебра.— М.: ИЛ, I960.— 510 с.)
64. Casselman W. GLn,— В кн. [95.— С. 663—704]
65. Cassels J. W. S., Frolich A. Algebraic number theory.— London e. a.;
Academic Press, 1967 (Пер. на рус. яз.: Алгебраическая теория чисел.
Под редакцией Дж. Касселса и А. Фрёлиха.— М.: Мир, 1969.— 483 с.)
66. Cassou-Nobues P. Valeurs aux entiers negativefs des fonctions zeta p-
adiques // Invent, math.— 1|979.— 51.— C. 29—59
67. Chatland H., Davenport H. Euclid's algorithm in real quadratic fields //
Canad. J. Math.— 1950.— 2— С 289—296
68. Chavalley C. La theorie du corps de classes // Ann. Math.— 1940.— 41.
— С 394—417
69. — Class field theory.— Nagoya, Nagoya Univ.— 1954.— 104 с
70. Cohen H., Lenstra H. W., Jr. Heuristics on class groups of number fields,
Number theory Noordwijkerhout, 1983 // Lect. Notes Math.— 1984.—
1068.— С 33—62
71. —, Martinet 1. Class groups of number fields: numerical heuristics //
Math. Сотр.— 1987.— 48, № 177.— С. 123—137
72. Curtis С. W., Reiner I. Representation theory of finite groups and asso-
associative algebras.— New York e. a.: Interscience Publ.— 1962 (Пер. на
рус. яз.: Кэртис Ч., Райкер И. ГГеория представлений конечных групп
и ассоциативных алгебр.— М.: Наука, 1968.— 668 с.)
73. Dade E. С, Taussky О., Zassenhaus H. On the theory of orders, in par-
particular on the semigroup of ideal classes and genera of an order in an
algebraic number field // Math. Ann.— 1962.— 148.— G. 31—64
74. Dedekind R. Ober die Theorie der ganzen algebraische Zahlen, Supple-
Supplement XI to Dirichlets Vorlesungen flber Zahlentheorie, 4. ed.— Braun-
20—6164
293
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
schweig, Vieweg, 1894 (Пер. иа рус. яз.: Дирихле П. Г. Л. Лекции по
теории чисел в обработке и с добавлением Р. Дедекинда.— М.— Л.:
ОНТИ НКТП СССР, J936.— 404 с.
Delange Н. Generalisation du theoreme de Ikehara // Ann. Sci. ?c.
Norm. Sup.— 1954.— 71.— C. 213—242
— Les constantes des equations fonctionelles des fonctions L // Antwerp
II. Lect. Notes Math.— 1973.— 349.— С 501—595
— Travaux de Shimura // Semin. Bourbaki, Fevrier 1971, J6 389.— Lect.
Notes Math.— Ш71.— 244
Deligne P. Formes modulaires et representations 1-adiques.— Sem. Bour-
Bourbaki.— 1968/69.— № 355 (Пер. на рус. яз.: прилож. к кн. Ж.-П. Се pp.
Абелевы р-адические представления н эллиптические кривые.— М.:
Мир, 1973.— 191 с.)
— Valeurs de fonctions L et periodes d'integrales // (Пер. иа рус. яз.:
в кн. [46])
—, Ribet К. Values of abelian /,-functions at negative integers over a
totally real fields // Invent, math.— 1980.— 59.— C. 227—286
—, Serre J.-P. Formes modulaires de poids 1 // Ann. sci. ?c. Norm.—
Sup. 4.— ser,— 1974.— 7.— С 507—530
Deuring M. Die Klassenkcrper der komplexen Multiplikation.— Stuttgart'
Teubner Verlag.— 1958
— Algebren. 2. ed.— Berlin e. a.: Springer-Verlag.— 1968.— 143 s.
— Imaginare quadratische Zahlkcrper mit der Klassenzahl Eins // Invent
math.— 1968.— 5.— С 179—196
Diaz у Diaz F. Sur le 3-rang des corps quadratiques.— These 3. cycle.
Publ. Math: Orsay. 1978
Diekert V. Ober die absolute Galoisgruppe dyadischer Zahlkorper // J.
rine angew. Math— 1984.— 350.— С 152—172
Eichler M. Einfflhrung in die Theorie der algebraischen Zahlen und
Funktionen.— Bales: Birkhauser-Verlag.— 1963.— 338 с
— Eine Bemerkung zur Fermatschen Vermutung // Acta Arith.— 1966.—
//.— С 129—131 (Errata с 261)
Ennola V., Turunen R. On totally real cubic fields // Math. Comput.—
1985.- 44, № 170.— C. 495—518.
Fallings G. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten fiber Zahlkorpern //
Invent. Math.— 1983.— 73.— C. 349—366: Erratum 1984.— 76.— С 381
Ferrero В., Washington L. The Iwasawa invariant up vanishes for abe-
abelian number fields // Ann. Math.— 1979.— 109.— C. 377—395
Fouvry E. Theorerne de Brun-Titchmarsh, application au Theoreme de
Fermat // Invent, math.— 1985.— 79, № 2.— С 383—407
Frohlich A. On fields of class two // Proc. London Math. Soc— 1954.—
3, № 4.— С 235—256
— Central extensions, Galois groups, and ideal class groups of number
fields // Contemp. Math., Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc.—
1983.— 86 s.
— (ed). Algebraic number fields (L-functions and Gelois properties).—
London e. a.: Academic Press, 1977.
294
— Galois Module Structure of Algebraic Integers.— Berlin e. a.: Sprin-
Springer-Verlag, 1983
.— Artin root numbers and normal integral bases for quaternion fields //
Invent. Math.— 1972.— 17.— С 143—166
— /.-values at zero and multiplicative Galois module structure.— Pre-
Preprint, 1087
Gauss С F. Theoria residuorum biquadraticorum.— Werke. V. II. Gottin-
gen, 1863.— С 93—198
Gelbart S. S. Automorphic forms on adele groups.— Princeton, New Jer-
Jersey: Princeton Univ. Press, 1975
101. G elf and I. M., Kflzhdan D. A. Representations of the group GL(n, K), in
«lie groups and their representations».— Budapest, Akademiai Kiado.—
1974.— 2
102. Godement R., Jacquet H. Zeta functions of simple algebras.— Lect. Notes
Math.— 1972.— 260.— 188 с
103. Goldfeld D. Gauss' class number problem for imaginary quadratic dields
// Bull. AMS.— 1985.— 13, № 1.— С 23—38
104. Goldstein L. J. Analytic number theory.— Englewood Cliffs, New Jersey:
Prentice-Hall, 1971
105. Gras G. Theorie des genres analytique des fonctions L p-adiques corps
totalement reeles // Invent, math.— 1986.— 86, № 1.— С 1—17
106. Gross B. H. p-adic L-series at s=0 // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo.— 1981.—
28.— С 979—994
107. —, Zagier D. B. Heegner points and derivations of L-series // Invent.
math.— 1986.— 84, № 2.— C. 225—320
108. Grunwald W. Ein allgemeines Existenztheorem fur algebraische Zahl-
Zahlkorper // J. reine angew. Math.— 1933.— 169.— С 103—107
109. Haberland K. Galois cohomology of algebraic number fields // Berlin,
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988.— 145 c.
110. Hall M., Jr. The theory of groups.— New York: Macmillan Сотр., 1959
(Пер. на рус. яз.: Холл М. Теория групп.— М.: ИЛ, 1962.— 468 с.)
111. Hartshorne R. Algebraic geometry.— New York e. a.: Springer-Verlag,
1977 (Пер. иа рус. яз.: Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия.— Мл
Мир, 1981— 600 с.)
112. Hasse Н. Number theory, english translation of the 3. ed. of Zahlentheo-
rie.— Berlin: Akademie-Verlag.— 1979.— 638 c.
113. — History of class field theory.— В кн. [65.— С. 266—279] (Пер. на
рус. яз.: в кн. [65])
114. — Bericht fiber neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie
der algebraischen Zahlkorper, Teil I: Klassenkcrpertheorie, Teil la: Bewei-
se zu Teil I, Teil II: Reziprozitatsgesetz. 3. ed.— Wurzburg e. a.: Physi-
ka-Verlag, 1970.— 204 с
115. — Die Normenresttheorie relativ-Abelscher Zahlkorper als Klassenkcrper-
Klassenkcrpertheorie im Kleinen // J. reine angew. Math.— 1930.— 162.— C. 145—154
116. — Ober den Klassenkorper zum quadratischen Zahlkcrper mit der Diskri-
tninante — 47 // Acta Arith.— 1964.— P.— С 419—434
117. — Existenz und Mannigfaltigkeit abelscher Algebren. I, II, HI // Math.
Nachr.— 1948.— A— C. 40—61. 213—217, 177—283
118. — Ober die Klassenzahl abelscher Zahlkorper.— Berlin; Akademie-Verlag.
— 1952.— 190 с
119. — Vorlesungen fiber Zahlentheorie.— 2. Aufl., Berlin e. a.; Springer-
Verlag, 1964 (Пер. иа рус. яз. 1-го изд.: Хассе Г. Лекции по теории чи-
чисел. М.: ИЛ, 1953.— 527 с.)
120. Hecke E. Vorlesungen fiber die Theorie der algebraischen Zahlen.—
Leipzig; Geest und Prtig.— 1923.— 266 с. (Пер. иа рус. яз.: Гекке Е.
Лекции по теории алгебраических чисел. М.— Л.: Гостехиздат, 1940.—
240 с.)
121. — Zur Theorie der elliptischen Modulformen.— Math. Werke, Gcttingen,
Vandenhoeck & Ruprecht, 1970.— С 428—460
122. Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen // Math. Z.—
1952.— 56.— C. 227—253
123. Herbrand I. Sur les classes des corps circulates // J. Math. Pure»
Appl.— 1932.— 9, № П.— С 417—441
124. — Sur les unites d'un corps algebrique // 6. R. Acad. Sc. Paris.— 1931.
— 192.— C. 24—27
125. — Sur la theorie des groupes de decomposition, d'innertie et de ramifica-
ramification // J. Math. Pures Appl.— 1931.— 10.— C. 481—498
126. Hubert D. Die Theorie der algebraischen Zahlkorper.— Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Verreinigung IV, 1894/95
20*
295
127. — Ober die Irreduzibilitat ganzer rationaler Funktionen mit ganzzahligen
Koeffizienten // J. reine angew. Math.— 1892.— НО.— C. 104—129
128. — Mathematische Probleme.— Gottinger Nachrichten, 1900.— С 253
297ё english translation in Mathematical developments arising from Hil-
bert problems.— Procidence; Rhode Island, 1976.— С 1—24
129. Hoeclismann K. Zum Einbettungsproblem //J. reine angew Math
1968,— 229.— С 91—106
130. Hoyden-Siedersleben G. Realisierung der Jankogruppen h und /a als
Galoisgruppen fiber Q // J. Algebra.— 1985.— 97.— С 14—22
131. — Matzat В. Н. Realisierung sporadischer einfacher Gruppen als Galois-
Galoisgruppen fiber Kreisteilungkcrpern // J. Algebra.— 1986.— 101.— С 273
286
132. Hunt D. С Rational rigidity and the sporadic groups // J. Algebra —
1986- PP.- С 577-592
133. Ikeda M. Zur Existenz eigentlicher galoisscher Korper beim Einbettungs-
Einbettungsproblem // Hamb. Abh.— I960.— 24— С 126—131
134. Iwasawa K. On solvable extensions of algebraic number fields // Ann
Math.— 1953.— BM8.— С 548—572
135. — On galois groups of local fields // Trans. Amer. Math. Soc.— 1955 —
80.— С 448—469
136. — On the ц-invariant of Zi-extensions, Number theory. Algebraic Geo-
Geometry and Commutative Algebra (in honor to Y. Akizuki).— Tokyo- Ki-
nokuniya, 1973.— С 1—11
137. — On p-adic /.-functions // Ann Math.— 1969.— B)89.— С 198—205
138. lyanaga S. (ed.). The theory of numbers.— Amsterdam; North-Holland
Publ. Сотр., 1975
139.—, Langlands R. P. Automorphic forms on GLB) // Lect. Notes Math.
1972, 260
140. Jannsen U. Ober Galoisgruppen lokaler Korper // Invent, math.— 1982.—
70, № 1.— С 53—69.
141. —, Wlngberg K- Die Struktur der absoluten Galoisgruppe p-adischer
Zahlkcrper //Invent, math— 1982— 70, № 1— C. 70—98
142. Katz N. M. An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis
for varieties over finite fields (Hilbert's problem 8). Mathematical de-
developments arising from Hilbert problems.— Providence, Rhode Island:
Amer. Math. Soc— 1976.— С 275—306
143. Kawada Y. On the structure of the Galois group of some infinite exten-
extensions // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo,— Sec. 1.— 1954.— 7.— C. 1—18
144. Kenku M. A. Determination of the even discriminants of complex quadra-
quadratic fields of class number 2 // Proc. London Math. Soc.— Ser. 3.—
1971,— 22, № 4.— С 734—746
145. Kiingen H. tJber die Werte der Dedekindschen Zetafunktion // Math. Ann.
— 1962— 145.— C. 265—272
146. Kneser M. Zum expliziten Reziprozitatsgesetz von I. R. Safarevic // Math.
Nachr.— 1951.— 6 — C. 89—96
147. Koch H. Einfflhrung in die klassische Mathematik. I,— Berlin e. a.:
Springer-Verlag.— 1986,— 326 с
148. — Galoissche Theorie der p-Erweiterungen.— Berlin e. a.: Springer-Ver-
Springer-Verlag. 1970
149. — On /^-extensions with given ramification. Приложение 1 к 1109 С.
89—126]
150 — Ober Darstellungsraume und die Struktur der multiplikativen Gruppe
eines p-adischen Zahlkorpers // Math. Nachr.— 1963.— 26.— C. 67—100
151. —, Pieper H. Zahlentheorie.— Berlin; VEB Deutscher Verlag der Wissen-
schaften, 1976
152 — Venkov В. В Ober den p-Klassenkorperturm eines imaginarquadrati-
scl'ien Zahlkcrpers // Asterisque,— 1975,— 24—25, 57—67
153 Krasner M N ombre des extensions d un degre donne rf-un corps p-adi-
que // Coll. Tend. Geom. en Elgebre, Paris.— 1966.— C. 143—169
296
154. — Sur la representation multipricative dans les corps de nombres Я-adl-
que relative galoisiens // C. r. Acad. Sci. Paris.— 1936.— 203.— C.
907—908
155. Kronecker L. Grundzfige einer erithmetischen Theorie der algebraischen
Grr.ssen // J. reine angew. Math.— 1882.— 92
156. Krull W. Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterun-
gen // Math. Ann.— 1928.— 100.— С 687—698
157. Kubota Т., Leopold! H. W. Eine p-adischen Theorie der Zeta werte I.
Einfflhrung der p-adischen Dirichletschen /.-Funktionen // J. reine angew.
Math,— 1964,— С 214/215, 328—339
158. Kummer E. Collected Papers (ed. by A. Weil), V. I.— New York e. a.:
Springer-Verlag, 1975
159. Kutzko P., Moy A. On the local Langlands conjecture in prime dimension
// Ann. Math.— 1985.— 121.~ С 495—517
160. Labute J. P. Classification of Demushkin groups // Canadian J. Math.—
1967.— 1967.— 19.— С 106—132
161. Lang S. Algebraic number theory.— Reading, Mass.; e. a. Addison—Wes-
Addison—Wesley publ. сотр.; 1970.— 354 с. (Пер. на рус. яз. первого изд.: Лекг Т.
Алгебраические числа.— М.: Мир, 1966,— 225 с.)
162. — Elliptic functions — London e. a.; Addison—Wesley publ. сотр., 1973
(Пер. на рус. яз.: Лет С. Эллиптические функпии.— М.: Наука, 1984.—
311 с.)
163. Langlands R. P. Problems n the theory of automorphic forms,— Lect
Notes Math.— 1970.— 170.— C. 18—86 (Пер иа рус. яз.:
Ленглендс Р. П. Сб. перев. Математика.— 1971.— 15, № 2.— С. 57—83)
164. Lazard M. Groupes analytiques p-adiques // IHES Publ. Math.— 1965.—
26
165. Lehmer D. H., Lehmer E., Vandiver H. An application of hightspeed
computing to Fermat's last theorem // Proc. Nat. Acad. Sci., USA.—
1954,— C. 25—33
166. Lenstra Jr., H. W. Euclidean number fields of large degree // Invent,
math,— 1977.— 38.— С 237—254
167. Leopoldt H W. Zur Approximation des p-adischen Logarithmus // Abh.
Math. Sem. Univ. Hamburg.— 1961.— 25.— C. 77—81
168. — Zur Geschleichtertheorie in abelschen Zahlkorpern // Math. Nachr.—
1953.— P.— С 351—362
169. — Zur Struktur der /-Klassengruppe galoisscher Zahlkorper // J. reine
angew. Math.— 1958.— 199.— С 165—174
170. Ober die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkorper»
// J. reine angew. Math.— 1959.— 201.— С 119—149
171. Martinet J. Petits discriminants // Ann. Inst. Fourier.— 1979.— 29, № 1 .—
С 159—170
172. — Tours de corps de classes et estimations de discriminants // Invent,
math.— 1978.— 44, № 1.— С 65—73
173. — Modules sur l'algebre du group quaternbonien // Ann. Sci. Ec. N6rm.
Sup.— 1971.— 4.— С 399—408
174. Masley J. Solution of small class number problems for cyclotomic fields //
Сотр. Math— 1976.— 33.— С 179—186
175. Matzat B. H. Zur Konstruktion von Funktionen- und Zahlkorpern mitvor-
gegebener Galoisgruppe // Math, Forschungsinst. Oberwolafch, Tagungs-
bericht 33, Algebraische Zahlentheorie, 1977, 8
176. — Ober das Umkehrproblem der Galoisschen Theorie // Jahresber.
Deutsch. Math.— Verein.— 1983
177. — Zwei aspekte Konstruktiver Galoistheorie //J. Algebra.— 1985.— 36,
№ 2.— C. 499—531
178. — Konstruktion von Zahl- und Funktionenkorpern mit vorgegebener
Galoisgruppe // J. reine angew. Math.— 1984.— 349.— C. 17—220
179. — Zum Einbettungsproblem der algebraischen Zahlentheorie mit nichtabel-
schen Kern // Invent, math.— 1985.— 80.— C. 365—374
297
181.
182.
183.
184.
185.
186.
187
188.
189.
190.
191.
192.
193.
194.
195.
196.
197.
198
199.
200.
201.
202.
203.
204.
205.
298
iuikc n. «eausierung der Mathieugruppen Afu und Afrt als
„-open iiber Q // J. Number Theory.— 1986.— 23.— C. 195—202
Maus E. Artithmetisch disjunkte Kcrper // J. reine angew. Math.— 1967.
— 226.— C. 184—203
— Die gruppentheoretische Struktur der Verzweigungsgruppenreihen // J.
reine, angew. Math.— 1968.— 230.— С 1—28
— Ober die Verteilung der Grundverzweigungszahlen von wild verzweig-
ten Erweiterungen p-adischer Zahlkorper // J. reine angew. Math.— 1972.
— 157.— С 47—79
— Relationen in Verzweigungsgruppen // J. reine angew Math.— 1973
— 258— С 23—50
Mazur В., Wiles A. Class fields of abelian extensions of Q // Invent
math.— 1984.— 76, № 2.— С 179—330
Meyer С Die Berechnung der Klassenzahl Abelscher Korper fiber quad-
ratischen Zahlkcrpern.— Berlin: Akademie-Verlag, 1957
.— Milne J. S. Etale cobomology.— Princeton, New Jersey: Princeton
Univ. Press, 1980 (Пер. на рус. яз.: Милн Дж. Этальиые когомологии.—
М.: Мир, 1983.— 392 с.)
Milnor /. /(-theory and quadratic forms // Invent, math.— 1970.— C.
318—344 (Пер. на рус. яз.: Милнор Дж. Сб. перев. Математика.— 1971.
— 15, № 4,— С. 3—27)
— Introduction to algebraic ./(-theory // Ann Math. Stud. 72, Princeton,
New Jersey; Princeton Univ. Press, 1971 (Пер. на рус. яз.: Мил-
Милнор Дж. Введение в алгебраическую /(-теорию.— М.: Мир, 1974.—
197 с.)
Montgomery И. L, Weinberger P. /. Notes on small class numbers Ц
Acta Arith.— 1973.— 24.— С 529—542
Molkof J. Groups of divisibility, Prague, SNTL, 1983
Mumford D. Abelian varieties // Lect. in Tata Institute of fundamental
research, Bombay, 1968 (Пер. на рус. яз.: Мамфорд Д. Абелевы много*
образия,— М.: Мир, 1971.— 299 с.)
Narkiewlcz W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers.—
Warszawa; PWN, 1974.— 630 с
—, Neukirch J. Class field theory.— Berlin e. a.: Springer-Verlag, 1986.—
140 p.
Neukirch f. Klassenkorpertheorie.— Manneheim; Bibliogr. Inst., 1969
— On solvable number fields // Invent, math.— 1979.— 53 — С 135—164
Neumann I. Two proofs of the Kronecker—Weber Theorem «according
to Kronekker and Weber> // J. reine angew. Math.— 1981.— 323.— С
105—126
Neumann О. О on p-closed algebraic number fields with restricted rami-
ramification // Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1975.— 35. № 2.— С. 259—271
Ore О. Contribution to the theory of groups of finte order // Duke Math.
J— 1939.— 5, № 2.— С 431—460
Oesterle J. Nombre de classes des corps quadratiques imaginaires // Sem.
Bourbaki, 1983—1984, Exp. 631 (Пер. на рус. яз.: В сб. Алгебра и тео-
теория чисел с приложениями.— М.: Мнр, 1987.— 272 с.)
Pieper H. Die Einseinheitengruppe eines zahm-verzweigten galoisschen
lokalen Korpers als Galois-Modul // Math. Nachr.— 1972.— 54.— C.
173—210
Poitou G. Minorations de discriminants (d'apres A. M. Odlyzko) // Sem.
Bourbaki, fevrier 1976, ezpose 479
Redei L. Reichardt H. Die Anzahl der durch 4 teilbaren Invarianten der
Klassengruppe eines beliebigen quadratischen Zahlkorpers // J. reine
angew. Math.— 1934.— 170.— C. 69—74
Reichardt H. Konstruktion von Zahlkorpern mit gegebener Galoisgruppe
von Primzahlpotenzordnung // J. reine angew. Math.— 1937.— 177.— G.
1—5
.— Ribenboim P. 13 lectures on Fermat's last theorem.— New York e. a.;
Springer-Verlag, 1979.— 302 с
206. Ribet K. A modular construction of unramified p-extensions of Q((ij>) //
Invent, math.— 1976.— 34.— С 151—162
207. Riemann B. Ober die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grc-
Be,—Monatsber. Preuss. Akad. Wissensch.; November 1959
208. Roquette P. On class field towers. В ки. [65, С. 231—249] (Пер. на рус.
яз.: в кн. 65)
209. —, Zassenhaus H. A class rank estimate for algebraic number fields // J.
London Math. Soc— 1969.— 44.— С 31—38
210. Rubin K- Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with
complex multiplication // Invent, math.— 1987.— 89, № 3.— С 527—560
211. Schinzel A. On a theorem of Bauer and some of its applications // Acta
Arith.— 1966.— //.— С 333—344
212. Schmithals B. Kapitulation der Idealklassen und Einheitenstruktur in
Zahlkorpern // J. rine angew. Math.— 1985.— 358.— С 43—60
213. Scholz A. Ober die Bildung algebraischer Zahlkorper mit auflcsbarer ga-
loisscher Gruppe // Math. Z.— 1929.— 30.— С 332—356
214. — Konstruktion algebraischer Zahlkorper mit beliebiger Gruppe von
Primzahlpotenzordnung // Math. Z.— 1937.— 42.— С 161—188
215. Schtneberg B. Elliptic modular functions.— Berlin e. a.; Springer-Verlacr.
1974
216. —, Infinite class field towers of quadratic fields // J. reine angew. Math.
— 1986.— 372.— С 209—220.
.217. Schoof R. J. Class groups of complex quadratic fields // Math. Сотр.—
1983.— 44— С. 295—302
218. Schrutka von Rechtenstamm G. Tabelle der (Relativ)—Klassenzahlen
der Kreiskorper, deren Q-Funktion des Wurzelexponenten (Grad) nicht
grofier als 256 ist // Abh. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin, Kl. Math. Phys.—
1964.— № 2.— С 1—64
219. Seifert H., Threlfall W. Lehrbuch der Topologie.— Leipzig, Teubner-Ver-
lag, 1934 (Пер. иа рус. яз.: Зейферт Г., Трельфалль Т. Топология.— М.
— Л.: ГОНТИ, 1938, 400 с.)
220. Sen S. Ramificaton in p-adic Lie extensions // Invent, math.— 1972.—
№ 1.— С 44—50
221. Serre J.-P. Cours d'arithmetique.— Paris: Presses Universit. de France.—
1970 (Пер. иа рус. яз.: Серр Ж-П. Курс арифметики.— М.: Мир, 1972.
— 184 с.)
222. — Corps locaux.— Paris. Hermann, 1962.— 243 с.
223. — Une «formule de masse> pour les extensions totalement ramifie de
degre donne d'un corps local // С r. Acad. Sci.— 1978.— AB 286, № 22.
— С 1031—1036
224. — .Local class field theory, в кн. [65, С. 129—1621 (Пер. на рус. яз.:
в ки. [65])
225. — Cohomologie galoisienne // Lect. Notes Math.— 1964, 5 (Пер. на рус.
яз.: Серр Ж-П. Когомологии Галуа.— М.: Мир, 1968.— 208 с.)
226. — Sur la dimension cohomologique des groupes profinis // Topology.—
1965.— 3.— C. 413—420
227. — Structure de certains pro-p-groupes // Semin. Bourbaki.— 1962—1963.
— exp. 252
228. Serre J.-P. Classes des corps cyclotomiques (d'apres K. Iwasawa) // Sem.
Bourbaki.— 1958.— Exp. 174
229.— Representations lineaires des groupes finis.— Paris: Hermann, 1967
(Пер. на рус. яз.: Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп.
М.: Мир, 1970.— 132 с.)
230. — Sur la rationalite des representation d'artin // Ann. Math.— I960.—
72.— С 406—420
231. — Sur le residu de la fonction zeta p-adique d'un corps de nombres //
С. г. Acad. Sci. Paris.— 1978.— 287— С. А183—188
232. — Modular forms of weight one and Galois representations / В. сб.
[95,— С. 193—268]
233. —, Tate J. Good reduction of abelian varieties // Ann. Math.— 1968.—
299
234.
235,
236
237
238.
239.
240.
241.
242.
243
244.
245.
246.
247.
248.
249.
250.
251.
252.
253.
254.
255.
256.
257.
258.
259.
300
88.— С. 492—517 (Пер. на рус. ял.: Серр Ж.П., Тейт Д. Сб псрев. Ма-
Математика,— 1971,— 15, № 5.— С. 140—165)
\. Shimura G. Introduction to the arithmetic theory of automorphic func-
functions,— Tokyo, Iwanami Shoten, 1971 (Пер, на рус, яз.: Ш и мура Г.
Владение в арифметическую теорию аптоморфных функций, М.: Мир,
1973,- 326 с.)
>• —. Taniyama У. Complex multiplication of abeiinn varieties and its appli-
application to number theory // Publ. Math. Soc. Jap.— Tokyo.— 1961,— №¦ 6
>. Siege! С L. Berechnung von Zetafunktionen an ganzzahligen Stellen //
Nachr. Akad. Wissensch. Gottingen, Math.— Phys. Kl. Il— 1969.— С
87—102
Sinnott W. On the Stickelberger ideal and the circular units of an abe-
lian field // Invent, math.— 1980.— 62 — С 181—234
Skula L. Divisorenfheorie einer Halbgruppe // Math. Z.~ 1970.— 114.—
С 113—120
Speiser A. Die Zerlegungsgruppe // J. reine angew. Math.— 1919.— 149.
— C. 174—188
Springer G. Introduction to Riemann surfaces.— Reading, Massachusetts,
Addison-Wesley Publ. Сотр., 1957 (Пер. на рус. яз.: Срингер Г. Введе-
Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1960.— 343 с.)
. — Values of /.-functions at s=l. I. /.-functions for quadratic forms //
Adv. math,— 1971.— 7.— С 301—343
— /.-functions at s=l. II. Artin /.-functions with ratinal characters//
Adv. math.— 1975.— 17.— С 60—92
— /.-functions at s=l. III. Totally real fields and Hildert's twelfth prob-
problem // Adv. math,— 1976— 22 — С 64—84
— Class fields and modular forms of weight one, in Modular functions
of one variable V, Bonn 1976 // Lect Notes Math.— 1977.— 601.— C.
277-288
— Hilbert's twelfth problem and /.-series // Bull. AMS.— 1977.— 83.—
C. 1072—1074
. — /.-functions at s*=l, IV. First derivatives at 5=0//Adv. math.—
1980— 35 — C. 197—235
— Values of zeta and L-functions // Abh. Braunschweiger Wiss. Ges.—
1982.— 33.— С 71—83
Stark H. M. A complete determination of the complex quabratic fields of
class-number one // Michigan math. J.— 1967,— 14.— C. 1—27
— On complex quadratic fields with class-number two // Math. Сотр.—
1!O5— C. 289—302
— On the «gap» in a theorem of Heegner // J. Number Theory.— 1969.
— /, № 1.— С 16—27
Sullivan D. Geometric topology // Cambridge, Massachusetts, MIT,
1970 (Пер, иа рус. яз.: Сулливан Д. Геометрическая топология. М.:
Мир. 1975.— 286 с.)
Takagi Т. Ober eine Theorie des relativ-abelschen Zahlkorpers // J. Coll.
Sci. imp. Univ. Tokyo,— 1920,— 41. № 9, — С 1—133
— Fourier analysis in number fields and Hecke's zeta-functions, in Cas-
sels. Frohlich,— В кн. f65. С. 305—347J
— Number theoretic background.— В кн. [46, //,— С. 3—26] (Пер. на
pvc. яп,- В кн. [461)
Tate J. The higher dimensional cohomology groups of class field theory
//Ann. Math,— 1952.— 2. № 56.— С 294—297
— On Stark's conjecture on the behavior of L(s, y) at s = 0 // J. Fac.
Sci, Univ. Tokvo.— 1941 — sec. IA.— 28. X? 3.— С 963—978
— Les conjectures de Stark sur Ies fonctions L d'Artin en s=0.— Bo-
Boston e, a.: Birkhauser-Verlag.— 1984
— Global class field theory.— В 6 кн. [65, С. 163—2031 (Пер. иа рус.
яз.: В ки. f65])
— Duality theorems in Galois cohomology over number fields, Proc.
Intern. Congress Math. 1962 // Stockholm.— 1963.— С 288—295
260.— Local constants.— В кн. [95, С. 89—131] (Пер. иа рус. яз.: Ь кн.
261.
262.
263.
264.
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
281.
282.
283.
284.
285,
286.
287.
taussky О. Ober eine Verscharfung des Hauptidealsatzes fur algebraische
Zahlkorper // J. reine angew. Math.— 1932.— /68.— С 193—210
Taylor M. J. On Frohlich's conjecture for rings of integers of tame ex-
tensions // Invent, math.— 1981.— 63, № 1.— С 41—79
Thompson J. G. Some finite groups which appear as Gal ЦК, where K=^
= Q(H") // J- Algebra.— 1984.— 89, № 2— C. 437—499
Tunnell J. Artin's conjecture for representations of octahedral type // Bull
Amer. Math. Soc— 1981.— 5, № 2.— C. 173—175
Uchida K. Galois groups of unramified solvable extensions // Tohoku
Math. J.— 1982.— 34.— С 311—317
van der Waall R. W. Holomorphy of quotients of zeta functions, in
Frshlich. 1982.— С 649—662
van der Waerden B. L. Algebra.— Berlin e. a., Springer-Verlag, I, 8. ed.,
1971, //, 5. ed. 1967 (Пер. иа рус. яз.: ван дер Варден Б. Л. Алгебра.
М.: Наука, 1976.— 623 с.)
Wagstaff S. The irregular primes to 125 000//Math. Сотр.— 1978.—
32.— С. 583—591
Wang Sh. On Grundwalds theorem//Ann. Math.— 1950,— 51 — С 471— 484
—Introduction to cyclotomic fields.— New York e. a., Springer-Verlag,
1982
Washington L. The non-p-part of the class number in a cyclotomic Zp-
extension // Invent, math.— 1979.— 49, № 1.— С 87—97
— Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen.— Braunschweig, vie-
weg, 1891
Ober Zahlengruppen in algebraischen Korpern. 1, II, III // Math. Ann.,
1897— 48.— С 433—473; 1897.— 49.— С. 83—100; 1898.— 50.— С.
1—26
Weber H. Theorie der Abelschen Zahlkorper. I, II // Acta math. Stock-
Stockholm.— 1886.— 8.— С 193—263; 1887.— 9.— С. 105—130
Weiss E. Algebraic number theory.— New York e. a., Me Graw-Hill.—
1963.— 275 с
Weil A. Number theory, an approach through history, From Hammurapi
to Legendre.— Boston e. a., Birkhauser-Verlag.— 1983.— 375 с
— Sur les cformules explicites> de la theorie des nombres premiers //
Comm Semin. Math. Lund.— 1952.— С 252—265
— Sur Ies formules explicites de la theorie des nombres // Изв. АН
СССР. Сер. мат.— 1972.— 36, № 1.— С. 3—18)
— Basic number theory.— Berlin e. a., Springer-Verlag, 1967 (Пер. на
рус. яз.: Вейль А. Основы теории чисел. М,.: Мир, 1972.— 408 с.)
— Ober die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgreichun-
gen // Math. Ann.— 1967.— 168.— C. 149—156
Weissauer R. Der Hibertsche Irreduzibilitatssatz // J. reine angew. Math.
— 1982.— 334.— C. 203—220
Weyl H. Algebraic theory of numbers // Ann. Math. Stud., 1, Princeton,
New Jersey, Princeton Univ. Press, 1940, 223 с. (Пер. иа рус. яз.:
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ, 1947.— 226 с.)
Wiles A. Higher explicit reciprocity laws // Ann. of Math.— 1978.— 107.
— С 235—254
Wingberg K- Der Eindeutigkeitssatz fur Demuskinformationen // Invent,
math.— 1982.— 70, № 1.— С 99—113
.— Wisliceny J. Zur Darstellung von pro-p-Gruppen und Lieschen Algeb-
ren durch Erzeugende und Relationen // Math. Nachr.— 1981.— 102.—
С 57—78
Williams H. C, Broere I. A computional technique for evaluating
i(l, x) and the class number of a real quadratic field // Math. Compui
_ 1976.— 30, № 136.— С 887—893
Zolotarev E. Sur la theorie des nombres complexes // J. Math, pures
appl.— 1880.— 3, № 6.— С 51—84, С. 129—166
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абрашкин В. А. 266
Альберт (Albert А. А.) 138, 158
Амнтсур (Amitsur S. А.) 158
Андожский И. В. 196
Артии (Artin E.) 101, 106, 108, 1096,
115, 117, 118, 122, 131, 144, 161,
164, 165, 169, 170, 187, 217, 257—
263, 266—270, 276
Барски (Barsky D.) 252
Башмаков М. И. 175
Бейер (Beyer G.) 214
Бейкер (Baker A.) 265, 266
Белый Г. В. 175, 220, 222
Боревич 3. И. 11, 16, 19, 26, 28, 33,
36, 52, 54, 158, 229, 239, 277, 284
Брауэр (Brauer R.) 155, 157—159,
216, 260—262, 264, 265
Брнлль (ВгШ А.) 14
Брюкиер (Bruckner W.) 118, 160,
162-164, 166
Брюмер (Brflrner A.) 210, 253
Бурбаки (Bourbaki N.) 28. 282
Бюелл (Buell D. А.) 49
Бернуллн (Bernoulli J.) 237, 246,
250, 284, 285
Вагстафф (Wagstaff S.) 237—239
Вайссауэр (Weissauer К.) 221
ван дер Вааль (van der Waall R. W.)
263
Ван дер Вардеи (van der Waer-
den B. L.) 277—279
Вандивер (Vandiver H.) 237—239
Вашингтон (Washington L.) 74, 172,
223, 235, 236, 246, 247, 252, 253,
264, 265, 284
Вебср (Weber H.) 108, 109, 111, 126,
127, 129
Вейль A. (Weil A.) 11, 23, 109, 153,
156, 169, 170, 257
Вейерштрасс Weierstrass K.) 126,
128. 242
Вейс (Weiss E.) 11
Венков Б. Б. 211
Виноградов И. М. 280
Винберг (Wingberg К.) 201
Вислицени (Wisliceny J.) 195
Вонг (Wang Sh.) 123, 220
Востоков С. В. 118, 160, 162—164
Галуа (Galois E.) 47, 88, 107, 109,
111, 113, 126, 131, 141, 142, 152,
157, 162, 170, 175, 176, 183—185,
196, 197, 201, 202, 208, 209,
302
213, 216—218, 220, 221, 224, 225,
230, 241, 253, 257—259, 266, 268,
272, 273, 276—278
Гаусс (Gauss С. F.) 10, 23, 30 90,
96, 108. 118, 126, 171, 234, 281
Гекке (Hecke E.) 83, 92—95, 104,
259, 260
Гензсль (Hensel К.) 60, 61, 66, 103
Гельфанд И. М. 257
Гильберт (Hilbert D.) 108, ПО, 111,
113, 115, 118—120, 122, 126, 130,
131, 132, 141, 160, 164, 166—168,
174, 175, 200, 209. 220, 221, 227,
241, 251, 265, 266, 273
Голод Е. С. 175, 176, 194, 195, 210
Гольлштейн (Goldstein L. J.) 109,
150
Гордеев Н. Л. 184
Гросс (Gross В. Н.) 265, 273
Грюнвальд (Grunwald W.) 123, 220
Гурвиц (Hurwitz A.) 247, 248
Давенпорт (Davenport H.) 27
Дедекинд (Dedekind R.) 10, 11, 30,
33, 40, 73, 87, 95, 99, 104, 124, 128
Дейд (Dade E. С.) 24
Деланж (Delange H.) 99
Делииь (Deligne P.) 76, 131, 251
Демушкнн С. П. 176, 192, 200—203.
215
Диаз и Диаз (Diaz у Diaz F.) 211
Дикерт (Dickert V.) 201
Дойрииг (Deuring M.) 126, 159, 266
Дирихле (Dirichlet PGL) 11, 18, 19,
22. 82, 86, 88, 98, 99, 101, 224, 228,
246, 248, 249, 253
Загир (Zagier D. В.) 265
Зейферт (Seifert H.) 185
Зелсвинский А. В. 201
Зех-Маршенке (Zeh-Marschenke A.)
222
Знгель (Siegel К. L.) 251, 261, 264,
265
Золотарев Е. И. 30, 36,
Ивагава (lwasawa К.) 175, 202, 216,
220, 223, 224, 236, 240, 243—246,
253, 277
Икеара (Ikehara G.) 99
Икела (Ikeda M.) 216
Ишханов В. В. 218
Ияиага (lyanaga S.) 109
Кавада (Kawada Y.) 175
Картан Э. (Cartan M.) 131, 136, 279
Касселс (Cassels J. W. S.) 74, 106,
109, 141
Кассу-Ноже (Cassou-Nogues P.) 252,
254
Кац (Katz N. M.) 88
Кенку (Kenku M. A.) 266
Кертис (Curtis С W.) 172
Клингеи (Klingen H.) 251
Киезер (Kneser M.) 160
Колывагин В. А. 164
Кох (Koch H.) 19, 21, 131, 176, 196,
202, 206, 211
Коэи (Cohen H.) 48
Краснер (Krasner M.) 69, 73, 277
Кронекер (Kronecker L.) 10, 11, 30,
32, 101, 108, 109, 111, 128, 130
Крулль (Krull W.) 28, 175
Кубота (Kubota T.) 224, 247
Кузьмин Л. В. 246, 253
Куммер (Kummer E. E.) 10, 38, 53,
69, 70, 108, 112, 145, 164, 173, 197
Лабют (Labute J. P.) 192
Лаграиж (Lagrange J. L.) 23
Лазар (Lazard M.) 191
Лежаидр (Legendre A. M.) 119, 125,
209, 280
Лемер Д. (Lehmer D. H.) 239
Лемер Е. (Lehmer E.) 239
Леиг (Leng S.) 11, 39, 76, 84, 103,
104, 109, 130, 264
Ленглеидс (Langlands R. P.) 88,
257—259, 263, 268
Леистра (Ltnstra H. W. Jr.) 27, 48,
49
Леопольдт (Leopoldt H. W.) 73, 172,
173, 206, 224, 225, 241, 245, 247,
252. 253. 274
Любин ((Lubin K.) 74, 75, 107, 111,
144, 145, 164
Маэур (Mazur B.) 224, 238
Мартине (Martinet J.) 106, 212, 213
Матцат (Matzat В. Н.) 175, 220. 222,
223
Mayc (Maus E.) 184
Мейер (Meyer C.) 224
Меркурьев А. С 248, 158
Мёбиус (Mobius A.) 161
Милиор (Milnor J.) 120, 166, 169
Минковский (Minkowski H.) 16—19,
105, 110
Мнриманов (Mirimanoff D.) 165
Мэсли (Masley J.) 265
Наркевич (Harkiewicz W.) 11, 18, 38,
84, 98, 100, 103, 109, 110
Накаяма (Nakayama) 244
Нётер Э. (Hoether E.) 34, 114, 132,
141, 158, 273
Нойкирх (Neukirch J.) 83, 106, 109,
144, 219
Ньюман (Neumann J.) 207
Одлыжко (Odlyzko A.) 105, 265, 266
Островский (Ostrowski A.) 60
Ope (Ore O.) 219
Паршин А. Н. 4, 169
Пипер (Pieper H.) 202
Пуанкаре (Poincare H.) 188, 189,
191, 192, 198
Пуату (Poitou G.) 205
Поитрягин Л. С. 81, 179, 282
Пуассои (Poisson S. D.) 92, 283
Редей (Redei L.) 209
Рейнер (Reiner I.) 172
Рейхард (Reichardt H.) 209, 217, 220
Рибе (Ribet K.) 239, 251
Рнбенбойм (Ribenboim P.) 52
Рнман (Riemann B.) 84, 88, 98, 103,
106, 211, 212, 246, 248
Розен (Rosen M.) 210
Рокетт (Roquette P.) 210
Роуэн (Rowen L. H.) 158
Рубнн (Rubin K-) 224
Сен (Sen S.) 184
Cepp (Serre J.-P.) 26, 69, 131, 135,
140, 145, 158, 175. 176, 187, 191,
192 196, 200, 243, 260, 266, 273
Chhhott (Sinnott W.) 230, 232, 235
Старк (Stark H. M.) 131, 266,
270—273
Сулливан (Sullivan D.) 176
Суслин A. A. 158
Такаги (Takagi T.) 108
Танняма (Tanijama J.) 131
Танелль (Tunnell J.) 158
Таусскн (Taussky O.) 24, 122
Тейт (Tate J.) 74—76, 88, 106, 107,
109 111 122, 140, 144, 145, 164,
169* 170, 174, 175, 205, 206, 270,
271
(Гиньоль (Tignol J.) 158
Томпсон (Thompson J. G.)
Трельфолл (Threlfall W.)
Турунен (Turunen G.) 289, 290
Уайлес (Wiles A.) 164, 224, 238
Ушида (Uchida K.) 216
%4$Г(&™1% 10, 36, 165, 239
Ферреро (Ferrero В.) 246
Фесенко И. Б. 164
303
Фрёлих (Frohlich A.) 74, 106, 109,
141, 208, 273, 274, 278
Фробеинус (Frobenius) 107, 108, 111,
112, 117, 145, 156, 161, 163, 184,
230, 261, 263
Фуврн (Fouvry E.) 166
Фуртпемглер (Furtwanglcr R. M.) 165
Фурье (Fourier Ch.) 129, 251, 283
Хаар (Haar) 72, 83
Хаберленд (Haberland К.) 203, 207
Хант (Hunt D.) 222
Хартсхорн (Hartshorne К.) 176
Хассе (Hasse H.) 11, 21, 47, 54, 60,
101, 111, 118, 128, 150, 156—158,
161, 165, 210, 214, 224, 228
Хигнер (Heegner К.) 266
Хит-Браун (Heath-Brown D. R.) 166
Хоехсманн (Hoechsrnann К.) 175,
213, 215
Хойден (Hoyden-Siedersleben G.) 222
Холл Т. (Hall M. Jr.) 132
Хохшилд (Hochschild G.) 135
Цассеихауз (Zassenhaus H.) 24, 195,
196, 211
Чеботарев Н. Г. 100, 101, 144
Чебышев П. Л. 104
Чатлэнд (Chatland H.) 27
Шапиро (Shapiro) 134
Шафаревич И. Р. 11, 19, 26, 33, 36,
52, 54, ПО, 118, 158, 160—162, 169,
170, 175, 194, 195, 202, 208, 210,
212, 215, 216, 218, 219, 223, 229.
236, 239, 285
Шевалле (Chavalley С.) 109, 141.
152
Шнмура (Shimura G.) 130, 131
Шинцсль (Schinzel A.) 101
Шмитхальс (Schmithals В.) 122
Шуф (Schoof R. J.) 211
Шольц (Scholz A.) 173, 216—220
Шпайзер (Speiser A.) 46, ПО
Шпрингер (Springer G.) 185
Шрутка фои Рехтенштамм (bcnrutka
von Rechtenstamm G.) 265
Штикельбергер (Stickelberger L.) 14,
232—234, 236, 238, 253
Эдлман (Adleman L. M.) 166
Эйзенштейн (Eisenstein G.) 39, 118,
129
Эйленберг (Eilenberg S.) 131, 136,
279
Эйлер (Euler L.) 36, 85, 87, 119, 188,
189, 198, 264, 266, 281
Эйхлер (Eichler M.) 11, 30, 54
Эннола (Ennola V.) 289, 290
Эрбранд (Herbrand J.) 47, 140, 145,
238, 277
Якоби (Jacobi G. G. J.) 86, 118, 119.
121, 282
Яковлев А. В. 201
Яинсен (Jannsen U.) 201, 202
Автоморфизм Фробеииуса 45
Ад ель главный 79
Алгебра простая 153
— противоположная 154
Базис дополнительный 278
— нормальный 278
Башня полей классов 209
Высота 27
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Граница Минковского для дискрн-
мииаита 18
— Одлыжко 105
Группа Брауэра 155
— ветвления 44
— Галуа 278
-— двойственная 282
Гипотеза Артина 263
— Вандивера 237
— Леопольдта 206
— основная 256
Старка 272
— Римана 84
— — Обобщенная 103
— Шафаревича 212
Гомоморфизм связывающий 132, 280
304
— Дсмушкина 192
— единиц 47
— идслсй 81
-- инерции 44
-- классов алгебраического числово-
числового поля 48
— — — в узком смысле U4
— когомологий 132
— когомологий модифицированная
139
— кольцевых классов 127
— лучевых классов 83, 84
— прокоиечная 178
— проконсчная свободная 181
— проразрешимая свободная 181
— Пуанкаре 191
— разложения 44
¦— характером 44, 282
— — конечной группы 260
группа силовская 180
Группы когомологий комплекса 132
Делитель дискриминанта несущест-
несущественны ft 43
— наибольший общий (НОД) 29
Дзета-функция Гурвица 247
Дедекиида 87
Римана 84
Дивизор главный 29
— простой 29
Дискриминант алгебраического чис-
числового поля 15
— квадратичной формы 24
— полного модуля 13
— расширения 41
— элемента 277
Дифферента расширения 40
— элемента 277
^-дифферента 42
— единица поля 49
Задача обратная теории Галуа силь-
сильная 212
слабая 212
— погружения 213
Закон взаимности 121
Артина 115
общий 117
квадратичный 281
Замыкание целое 279
Идеал дополнительный 39
— дробный 34
— нормальный 160
— равносторонний 160
— Штикельбергера 233
Иделя абсолютная величина 81
Изоморфизм вещественный 278
— комплексный 278
Индекс ветвления 38
Квазнхарактер 78
— неразветвленный 78
Класс канонический 141
— модулей 15
Когомологий Галуа 196
Кограница 132
Кольцо адслей 79
— главных идеалов 27
— дедекнндово 33
— Магнуса 195
— нстерово 34
— нормирования 56
— с однозначным разложением на
простые множители 26
— целозамкнутое 279
Комплекс 279
Композиция классов форм 25
Компонента характера Гекке беско-
бесконечная 93
Кондуктор абелева поля ПО
— Артина 267
— квазихарактера 78
расширения 117
— подгруппы группы иделей S3
— характера Гекке 93
Дирихле 86
Коограничеиие 134
Корень из единицы степени п при-
примитивный 49
Коцепь 131
Коцикл 132
Кратное наименьшее общее (НОК.)
29, 35
Критерий Эйзенштейна 39
— Эйлера 119, 281
обобщенный 119
Лемма Гаусса 30
— Геизеля 61
— Краснера 69
— Шапиро 134
Многочлен Бернулли 285
— отмеченный 242
— Эйзенштейна 39
Множество дополнительное 190
минимальное 191
— допустимое 190
— направленное 176
Множитель Эйлера 89
е — множитель глобальный 96
локальный 89
Модуль главный 24
— дискретный 181
— дуализирующий 187
— индуцированный 182
— полный 13
— представления 260
— Эрбраида 219, 140
Норма идеала 37
— полного модуля 13
— приведенная 154
— элемента 277
Нормирование 55
— архимедово 55
— дискретное 55
— неархнмедово 55
— нормализованное 57
— показательное 55
Носитель идеала 35
Нумерация верхняя 47
Область евклидова 27
Ограничение 132
Оператор Бокштейна 193
Отражение 173
Перенос групповой (group transfer)
116
Плотность Дирихле 98
— Кронекера 101
Подъем классов когомологий (infla-
(inflation) 133
Показатель квазихарактера 78
р-показатель идеала 35
Поле абелево 223
— алгебраическое числовое 12
— Гильберта 221
— инерции 44
— классов вычетов нормирования 56
Гильберта 110
— локальное 59
— неподвижное 278
Размерность когомологическая ieb
строгая 197
/^-размерность когомологическая 186
строгая 187
— Крулля 34
Расширение абелево 118, 74
— Бауэра 158, +102
— Галуа 454, 278
— Куммера НО, 70
— Любина-Тейта 118, 74
— специальное 143
— Шольца 347, 217
¦ расширение круговое 241
Регулятор группы S-единнц 91, 58-
— порядка 33, 21
— р-адическнй 411, 252
I-ряд Гекке 147, 95
— полное относительно нормирова-
нормирования 59
— разложения 44
— расщепления 154
— числовое вполне вещественное 279
комплексное 279
евклидово 27
квадратичное 14
— СМ — поле 227
Полное пополнение 179
— р-пополнение 179
Полоса критическая 84
Полулокализация 36
Пополнение поля относительно нор-
нормирования 59
Порядок в алгебраическом числовом
поле 12
— левый 160
— максимальный 14
— полного модуля 13
— правый 160
Последовательность Куммера 197
Предел обратный 177
— прямой 182
Представление Артина 267
— группы 260
— контрагредиентное 261
— мономиальное 261
— неприводимое 260
Преобразование Фурье 283
«Принцип ящиков» Днрнхле 19
Произведение идеалов 33
— классов когомологнй (cup pro-
product) 136, 137
— ограниченное 284
Про-р-группа 180
свободная 181
306 ¦
Сдвнг размерности 208, 133
Символ 260, 166
— дикий 263, 168
универсальный 264, 168
— допустимый 261, 166
— Лежандра 459, 280
— норменного вычета 173, 111
— нормениый Гильберта 186, 119
— ручной 263, 168
универсальный 264, 168
— степенного вычета 184, 118
— Хассе 173, 111
— Якоби 461, 282
Система единиц фундаментальная
33, 21
Система индуктивная 182
Образующих 181
минимальная 181
— Обратная 176
— прямая 181
— соотношений 189
— минимальная 189
— факторов 132
расщепимая 181
след 277
Сопряженные к элементу 278
Спаривание 136
Сравнение числовое 35
Сращивание поля с круговым рас-
расширением (Durchkreuzung) 144
Степень алгебраического числового
поля 12
— инерции 38
Структура классов 221
— ветвления 221
Сумма Гаусса 96
локальная 90
след приведенный 154
Теорема Бауэра 102
— Берясайда о базисе 189
— Бранда 160
— Брауэра 261
— Брауэра—Знгеля 264
— Брауэра—Хассе—Нётер 158
— Брнлля о дискриминанте 14
— Вейерштрасса подготонительная
242
— Голода—Шафаревича 195
— Грюнвальда—Бона 123
— Дедекинда о дискриминанте 41
о дифференте 40
— Дирихле о единицах 18
— — о простых числах в арифмети-
арифметической прогрессии 99
— о дискриминанте в башне расши-
расширений 41
— Ивасавы 244
— китайская об остатках 35
— Клаузена—фон Штаудта 285
— Лазара 191
— Машке 260
— Мннковского о выпуклом теле 16
¦ о дискриминанте 18
— о главных идеалах 122
— о мультипликативности дифферен-
дифференты в башне расширений 40
— Мура 168
— Понтрягииа о двойственности 282
¦— о приближениях сильная ?>в
— Пуату—Тейта 205
— Рибе 239
— Тейта 140
— Ферма последняя 52
— — —, первый случай 53
, второй случай 53
— Ферреро—Вашингтона 246
Фурье обращения 283
¦— Хассе—Арфа 47
— Шафаренича о максимальных р-
расшнрениях с заданным ветвле-
ветвлением 208
о разрешимых расширениях
числовых полей 219
— Шафаревича—Вейля 170
— Шольца 173
— Шрайера о про-р-группах 189
— Штиксльбергера 233
о дискриминанте 14
¦— Чеботарева о плотности Iи 1
— Эрбранда 238
— Эрмнта о дискриминанте 18
Теория дивизоров для области 28
Кронекера 30
— полей классов 106
/(-теория Милнора 164
(Точка поля 55
бесконечная 55
бесконечно разветвленная ПО
— — конечная 55
Трансгрессия 135
Умножение комплексное 130
Фильтрация Цассенхауза 195
Форма бинарная квадратичная пол-
полная 23
— полная 22
— примитивная 24
Формация Дёмушкнна 201
— классов 143
— полей 142
— формула аналитическая числа
классов 125
Формула обращения 283
— произведения ведущих дискрими-
дискриминантов 112
для нормирований 57
— Пуассона суммирования 283
— Серра масс 89
— Фробениуса взаимности 2Ы
— Эйлера 84
Функция аналитическая иеархимедо-
ва 72
— Чебышева 104
— Эйлера обобщенная 36
L-фуикцня Артина 262
— — Дирихле 86
расширенная 96
р-адическая 250
т-функция Вебера 129
Характер Гекке 93
примитивный 93
— детермннантный 261
— Дирихле 86, 223
примитивный 223
— единичный 86
— линейный 260
— неприводимый 260
— нормализованный 91
— тривиальный 86
Характеристика Эйлера—Пуанкаре
188
частичная 188
Частное Эрбранда 140
Числа классов аналитическая фор-
формула 125
Число алгебраическое 11
вполне положительное 15
— Бернулли 284
обобщенное 284
— вещественного квадратичного по-
поля приведенное 21
— классов 45
— корневое 90
— — глобальное 97
локальное 90
— мнимого квадратичного поля при-
приведенное 25
— образующих 189
307
— примерное 160
¦— простое регулярное 53
— свер.хнатуральнос 180
— соотношений 190
Эквивалентность модулей 15
— — в узком смысле 16
— нормирований 55
— представлении 260
— собственная 24
— форм 22
Элемент простой 26
— Штиксльбергера 233
Элементы ассоциированные 26
Ядро в задаче погружения 213
ОГЛАВЛЕНИ Е
Алгебраическая теория чисел (X. Кох) 5
Именной указатель 302
Предметный указатель
ОПЕЧАТКИ
к РЖ «Современные пробл. матем. Фундаментальные
направления» 1990 г., том 62
.,..„«, tM.rr иена z p. W к.
Адрес редакции: 125219, Москва, ул. Усиевича, 20а. Тел. 155-42-29
Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ.
140010. Люберцы, Ю, Московской обл.. Октябрьский просп.. 403
Страница
39
43
45
83
87
96
144
254
Строка
17 сверху
13, 19 снизу
2 сверху
10 снизу
19 снизу
12 сверху
4. 5. 6
6 сверху
Напечатано
Ш
Я
•VT51
hs° 2r,+r.nr,R ¦ • •
о
Я* (L/K) — циклическая
порядка [L : К] с канони-
канонической обрание в ЭТг и
пусть К' — промежуточ-
промежуточное поле L/K. Тогда ...
Q
Следует читать
R
R
R
J, F I 1
2Г|+Г'п('1/? '"
О
нне вШг и пусть К' ¦—
промежуточное поле
L/K. Тогда НЦЬ/К) —
циклическая порядка
[L : К] с канонической
обра-
О
Зак, 6164
Индекс 56862
ISSN 0233—6723. ИНТ. Современные проблемы математики. Фундаменталь-
Фундаментальные направления. Т 62. 1990. 1—308