Введение в эллиптические кривые
и модулярные формы

Graduate Texts in Mathematics 97
Neal Koblitz
Introduction to Elliptic
Curves and Modular Forms
Springer-Verlag
New York Berlin Heidelberg Tokyo
1984

Н.Коблиц
Введение
в эллиптические
кривые
и модулярные
формы
Перевод с английского
О. В. Огиевецкого
под редакцией
Ю. И. Манина
Москва «Мир» 1988

ББК 22.132
К55
УДК 511.3
Коблиц Н.
К55 Введение в эллиптические кривые и модулярные формы:
Пер. с англ.—М.: Мир, 1988.—320 с, ил.
Введение в одно из активно развивающихся направлений теории чисел, напи-
написанное известным американским математиком, знакомым советским читателям по
переводу его книги «р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции»
(М.: Мир, 1982). В новой книге развивается аналитическая и теоретико-числовая
тематика на стыке алгебраической геометрии, теории представлений и комплекс-
комплексного анализа.
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов универ-
университетов.
«173 ¦** - ¦ ¦«"¦'¦
Редакция литературы по математическим наукам
© 1984 by Springer-Verlag New York Inc.
All rights reserved. Authorized
translation from English language
edition published by Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
© перевод на русский язык, «Мир», 1988

От редактора перевода
Американский математик Нил Коблиц известен русскому чи-
читателю по переводу его книги «/?-адические числа, р-адический
анализ и дзета-функции» (М.: Мир, 1982). Его новую книгу можно
рассматривать как введение в теорию чисел, основанное на ма-
материале очень активно развивающегося сейчас раздела — арифме-
арифметики эллиптических кривых. Отправной точкой изложения является
древняя задача о конгруэнтных числах, которая получила (почти)
полное решение лишь в 1983 г. в работе молодого американского
математика Туннелла. Как часто бывает с трудными классиче-
классическими задачами, это решение лежит на пересечении нескольких
самостоятельных теорий — геометрии эллиптических кривых, тео-
теории модулярных форм, теории алгебраических чисел, — которые
развивались, повинуясь своей внутренней логике. Поэтому выбор
центральной задачи такого рода позволяет удачно сочетать пре-
преимущества двух конкурирующих методов изложения — на приме-
примерах и частных случаях, с одной стороны, и систематического, от
определений к теоремам, с другой.
Мне представляется, что эта хорошо задуманная и хорошо
выполненная книга долго будет популярна у всех математиков,
любящих теорию чисел, и у молодых в особенности.
Ю. И. Мания

Предисловие
В этой книге рассмотрены основные свойства эллиптических
кривых и модулярных форм, особенно их теоретико-числовые
аспекты. Главным примером и мотивировкой для большей части
книги служит задача о конгруэнтных числах.
Я намеревался сделать этот предмет доступным для тех, кому
трудно изучать более продвинутые или более алгебраически
ориентированные работы. В то же время я хотел, чтобы книга
включала в себя темы, находящиеся на переднем крае современ-
современных исследований. Основной текст и упражнения снабжены
конкретными примерами, чтобы сделать материал интересным и
увлекательным для математиков, работающих в областях, далеких
от предмета этой книги.
Многочисленные упражнения (и ответы к ним) включены для
того, чтобы книга стала полезной и для старшекурсников, про-
прослушавших стандартные курсы вещественного и комплексного
анализа и алгебры. Они смогут найти здесь приложения изучен-
изученного материала, углубив тем самым свое понимание некоторых
основных приемов, постоянно применяемых в разных областях
математики. Студенты, выбравшие своей специальностью теорию
чисел или алгебраическую геометрию, найдут в этой книге мо-
мотивированное и снабженное многими примерами введение в пред-
предмет, а студенты младших курсов могут использовать ее для кур-
курсовых работ и для обсуждений на семинарах.
Эта книга написана на основе записей лекций, которые я
прочел в Вашингтонском университете в 1981 —1982 гг., а также
ряда лекций в Ханойском математическом институте в апреле
1983 г. Я хотел бы поблагодарить слушателей обоих курсов за
их активный интерес. В особенности я благодарен Гэри Нелсону,
который прочел всю книгу в рукописи и сделал много замечаний
и исправлений. Я хотел бы также поблагодарить профессоров
Дж. Булера, Б. Мазура, Б. X. Гросса и Хинь Муи за их советы,
интерес и поддержку.
Рисунок на фронтисписе выполнен профессором А. Т. Фоменко
из Московского государственного университета. Этот рисунок
иллюстрирует тему этой книги. На нем изображено семейство

8 Предисловие
эллиптических кривых (торов), возникающее в задаче о конгруэнт-
конгруэнтных числах. Эллиптическая кривая, соответствующая натураль-
натуральному числу п, разветвляется в точках 0, оо, п и —п\ на ри-
рисунке мы видим, как эти кривые переплетаются и деформируются,
когда точки ветвления ± п стремятся к бесконечности.
Примечание: литературные ссылки даются в виде [Автор год];
в случае, когда в списке литературы участвует несколько работ
одного автора, вышедших в одном и том же году, мы ставим
буквы а, Ь? . .. после года, чтобы указать порядок работ в списке.
Сиэтл, Вашингтон Нил Коблиц

Глава I
От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
В теории эллиптических кривых и модулярных форм соеди-
соединяются самые разные ветви математики: комплексный анализ,
алгебраическая геометрия, теория представлений, теория чисел.
Хотя мы будем придерживаться теоретико-числовой точки зрения,
нам придется использовать технику, изучаемую в стандартных
курсах комплексного и вещественного анализа и алгебры. Теория
чисел богата гипотезами и теоремами, формулировки которых до-
доступны старшеклассникам, а доказательства либо не найдены,
либо, в отдельных случаях, венчают усилия многих десятилетий
исследовательской работы и используют самые сильные техниче-
технические средства математики двадцатого века.
Круг вопросов, обсуждаемых в этой книге, мотивирован одной
из таких теорем. Ее содержание составляет недавно открытое
Дж. Туннеллом изящное описание так называемых «конгруэнт-
«конгруэнтных чисел» [Tunnell 1983]. Мы не сможем доказать все необхо-
необходимые результаты; тем не менее, большая часть теоремы Туннелла
будет разобрана во всех подробностях.
Теорема Туннелла дает почти исчерпывающее решение древней
задачи: найти простой способ определять, является ли данное
целое число п площадью прямоугольного треугольника с рацио-
рациональными длинами сторон. Натуральное число п называется
конгруэнтным, если существует прямоугольный треугольник, все
стороны которого рациональны, а площадь равна п. Например,
б — площадь треугольника со сторонами 3, 4 и 5 и, следовательно,
б—конгруэнтное число.
Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами
X, У, Z («пифагоровы тройки») изучались в Древней Греции Пи-
Пифагором, Евклидом, Диофантом и др. Основным открытием этих
математиков был простой способ построения всех таких треуголь-
треугольников. А именно, выберем пару целых положительных чисел а
и ft, таких, что а > ft, и проведем в ш;-плоскости прямую через
точку (—1, 0) с наклоном ft/a. Пусть (и, v) — вторая точка пере-
пересечения этой прямой с единичной окружностью (см. рис. I. 1).
Нетрудно показать, что

10
Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Тогда целые числа X = a2 — b2, Y = аЬ и Z = a2 + b2 являются
сторонами прямоугольного треугольника; то, что X2 + Y2 = Z2,
следует из равенства u2+v2=\. Придавая а и b различные на-
натуральные значения так, что а > Ъ, мы получаем всевозможные
пифагоровы тройки (см. ниже, задача 1).
, о)
Рис. 1.1.
Некоторые из чисел п, возникающих как площади рациональ-
рациональных прямоугольных треугольников, изучались в Греции. Однако
первое систематическое обсуждение задачи о конгруэнтных числах
было предпринято, по-видимому, только арабскими учеными де-
десятого столетия (более подробную историю задачи описания
конгруэнтных чисел см. [Dickson 1952, ch. XVI], а также [Guy
1981, sec. D 27]). Арабские исследователи предпочли иметь дело
с такой переформулировкой задачи: можно ли по данному п найти
рациональное число х, такое, что числа х2-\-п и х2 — п являются
квадратами рациональных чисел? (Эквивалентность этих двух
форм задачи о конгруэнтных числах была известна грекам и
арабам; доказательство этого элементарного факта см. ниже,
предложение 1).
После этого многие математики тратили значительные усилия
на исследование отдельных случаев задачи о конгруэнтных числах.
В частности, Эйлер первым показал, что п = 7 конгруэнтное число.
Ферма показал, что п=\ не конгруэнтно. Этот результат, по
существу, эквивалентен последней теореме Ферма для показателя
4 (т. е. тому, что уравнение X4 + У4 = Z4 не имеет нетривиальных
целочисленных решений).
Со временем стало известно, что числа 1, 2, 3, 4 не являются
конгруэнтными, а 5, 6, 7 являются. Однако попытка найти не-
непосредственный критерий конгруэнтности данного числа п каза-

§ 1. Конгруэнтные числа Ц
лась безнадежной. В двадцатом веке произошло существенное
продвижение в понимании этой задачи. Она оказалась включен-
включенной в рамки арифметической теории эллиптических кривых. Именно
эта теория позволила Туннеллу доказать свою замечательную
теорему.
Часть этой теоремы звучит так (полная формулировка будет
приведена позже):
Теорема (Туннелл). Пусть п—нечетное натуральное число, сво-
свободное от квадратов. Рассмотрим два условия:
(A) п конгруэнтно\
(B) число троек целых чисел (X, Y, Z), удовлетворяющих уравне-
уравнению 2х2 + у2 + 8z2 = n, равно удвоенному числу троек, удов-
удовлетворяющих уравнению 2х2 + у2 + 32г2 = п.
Тогда из (А) следует (В); кроме того, если верна слабая форма
так называемой гипотезы Бёрча — Суиннертон-Дайера, то из
(В) следует (А).
Основные понятия, необходимые для доказательства теоремы
Туннелла—это L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой,
гипотеза Бёрча — Суиннертон-Дайера, модулярные формы полу-
полуцелого веса. Они будут обсуждаться в следующих главах.
В этой главе мы будем заниматься установлением связи между
конгруэнтными числами и некоторым семейством эллиптических
кривых. По ходу дела будут приведены определение и некоторые
основные свойства эллиптических кривых.
§ 1. Конгруэнтные числа
Дадим сначала более общее определение конгруэнтного числа.
Положительное рациональное число г ? Q называется конгруэнтным,
если оно является площадью некоторого прямоугольного треуголь-
треугольника с рациональными длинами сторон. Пусть г конгруэнтно и
X, У, Z?Q—стороны треугольника с площадью г. Для любого
rgQ мы можем найти такое s?Q, что s2r— целое число, свобод-
свободное от квадратов. Но площадь треугольника со сторонами sX,
sY, sZ равна s2r. Таким образом, не нарушая общности, можно
считать, что г = п — натуральное число, свободное от квадратов.
Используя язык теории групп, можно сказать, что свойство
числа п из мультипликативной группы Q+ положительных ра-
рациональных чисел быть конгруэнтным зависит только от его
образа в факторгруппе по подгруппе (Q+J, состоящей из квадра-
квадратов рациональных чисел; каждый элемент из Q+/(Q+J содержит
единственный представитель, являющийся натуральным числом,
свободным от квадратов. Всюду в дальнейшем, говоря о конгру-

12 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
энтных числах, мы будем предполагать, что это положительные
целые числа, свободные от квадратов.
Заметим, что в определении конгруэнтного числа стороны
треугольника должны быть только рациональными, не обязательно
целыми. В то время как п = 6 — наименьшая возможная площадь
треугольника с целочисленными сторонами, можно найти прямо-
Рис. 1.2.
угольные треугольники с рациональными сторонами и с площадью
1 2
п =Ъ. Такую площадь имеет треугольник со сторонами \-^ , 6 —
6-^- (см. рис. I. 2). Оказывается, п = Ъ — наименьшее конгруэнтное
число (напомним, что под конгруэнтным числом мы понимаем
натуральное свободное от квадратов конгруэнтное число).
Имеется простой алгоритм, использующий пифагоровы тройки,
который позволяет в принципе перечислить все конгруэнтные
числа (см. задачи ниже). К сожалению, для данного числа п
нельзя сказать, как долго придется ждать появления числа пу
если оно конгруэнтно; таким образом, то, что п не появилось,
еще не означает, что оно неконгруэнтно—может быть, мы просто
ждали недостаточно долго. С практической точки зрения, теорема
Туннелла замечательна тем, что условие (В) легко и быстро прове-
проверяется с помощью эффективного алгоритма. Таким образом, эта
теорема почти исчерпывает вопрос о конгруэнтных числах и дает
проверяемый критерий конгруэнтности числа п. Нам приходится
говорить «почти исчерпывает» потому, что известно, что в одном
направлении критерий работает только в предположении спра-
справедливости некоторой гипотезы об эллиптических кривых.
Предположим теперь, что X, Y, Z — стороны прямоугольного
треугольника с площадью п. Это означает, что X2 + Y2 = Z2 и
уХУ=/г. Таким образом, на алгебраическом языке свойство
числа п быть конгруэнтным означает, что эти два уравнения имеют
одновременное решение X, Y, Z?Q. В нижеследующем предло-
предложении мы выводим другое условие конгруэнтности числа п. При
перечислении треугольников со сторонами X, Y, Z нам не хоте-
хотелось бы учитывать отдельно X, Y, Z и Y, X, Z. Поэтому, на-
начиная с этого момента, фиксируем порядок сторон треугольника
требованием, чтобы X < Y < Z (Z — гипотенуза).

§ 1. Конгруэнтные числа 13
Предложение 1. Пусть п — положительное целое свободное от
квадратов число; X, Y, Z, х всегда будут обозначать рациональ-
рациональные числа с X < Y < Z. Имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие между: а) прямоугольными треугольниками с катетами
X и Y, гипотенузой Z и площадью nub) числами х, для кото-
которых все три числа х, х + п, х—п являются квадратами рацио-
рациональных чисел. Соответствие задается следующими формулами:
X, У, Z->x=(Z/2J
x^X=Vx + n—]/x—n , Y = V'x + n + yx—n, Z = 2K*.
В частности, число п конгруэнтно тогда и только тогда, когда
существует такое число х, что все три числа х, х+ п и х — п
являются квадратами рациональных чисел.
Доказательство. Сперва предположим, что Ху Y, Z — нужная
нам тройка: X2+Y2 = Z2, —XY=n. Добавляя и вычитая учет-
учетверенное второе уравнение из первого, получаем: (X ± YJ =
= Z2 ± An. Разделив обе части на 4, мы находим, что число
х = (Z/2J таково, что числа х ± п суть квадраты чисел (X ± Y)/2.
Обратно, пусть число х обладает требуемыми свойствами. Легко
видеть, что три положительных рациональных числа X < У < Z,
определяемые формулами из предложения, удовлетворяют тожде-
тождествам XY = 2п и X2 + Y2 = ix = Z2. Наконец, чтобы установить
взаимно однозначное соответствие, остается проверить, что раз-
различные тройки X, У, Z не могут приводить к одному и тому же
значению х. Мы оставляем эту проверку читателю (см. задачи
ниже). ?
ЗАДАЧИ
1. Напомним, что пифагорова тройка (X, У, Z) — это решение уравнения
X2-\-Y2 = Z2 в положительных целых числах. Она называется примитивной,
если числа X, К, Z не имеют общего делителя. Выберем пару а, Ь, а > Ь,
взаимно простых положительных целых чисел противоположной четности.
Покажите, что Х = а2 — Ь2> Y = ab, Z = a?-\-b2 образуют примитивную пи-
пифагорову тройку и что все примитивные пифагоровы тройки могут быть
получены таким способом.
2. Используя задачу 1, составьте блок-схему алгоритма, который перечисляет
все свободные от квадратов конгруэнтные числа (конечно, не в возрастаю-
возрастающем порядке). Выпишите, следуя вашему алгоритму, первые двенадцать
различных конгруэнтных чисел. Заметим, что узнать, когда данное конгру-
конгруэнтное число п впервые появится в списке, невозможно. Например, 101 —
конгруэнтное число, но первая пифагорова тройка, которая приводит к
треугольнику с площадью s2 = 101, содержит двадцатидвухзначные числа
(см. [Guy 1981, р. 106]). С числом 157 дело обстоит еще хуже (см. рис. 1.3).
Этот алгоритм не может быть использован для доказательства того, что не-
некоторое число п не является конгруэнтным. Таким образом, это не настоя-
настоящий алгоритм, а лишь «полуалгоритм».

14 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
3. (а) Покажите, что если бы 1 было конгруэнтным числом, то уравнение
л:4 — #4 = г/2 имело бы целочисленное решение с нечетным и.
(Ь) Покажите, что 1 не является конгруэнтным числом. (Замечание: отсюда
следует последняя теорема Ферма для показателя 4.)
4. Закончите доказательство предложения 1, показав, что две различные
тройки X, Y, Z не могут привести к одному и тому же х.
224403517704336969224557513090674863160948472041
8912332268928859588025535178967163570016480830
6803298487826435051217540
411340519227716149383203
411340519227716149383203
21666555693714761309610
Рис. 1.3. Простейший рациональный прямоугольный треугольник с площадью
157 (вычислено Д. Цагиром).
5. (а) Найдите *€(Q+J, такое, что х ± ^()
(b) Найдите *?(Q+J, такое, что х ± 6?(Q+J.
(c) Найдите два значения *?(Q+J, такие, что #±210?(Q+J. В конце
этой главы мы докажем, что если найдется одно такое значение х, то их
бесконечно много. Или, что эквивалентно (по предложению 1), если суще-
существует хотя бы один прямоугольный треугольник с рациональными длинами
сторон и площадью я, то их существует бесконечно много.
6. (а) Покажите, что условие (В) теоремы Туннелла эквивалентно следующему
условию: число способов, которыми п может быть записано в виде 2а:2 +
-\-y2-\-8z2 с целыми х, у и г и нечетным z, равно числу способов, которыми
п может быть записано в этом виде с четным z.
(Ь) Напишите блок-схему алгоритма, проверяющего для данного п условие
(В) теоремы Туннелла.
7. (а) Покажите, что условие (В) теоремы Туннелла выполнено в случае, когда
п сравнимо с 5 или 7 по модулю 8.
(b) Проверяя условие (В) для всех свободных от квадратов чисел м, срав-
сравнимых с 1 или 3 по модулю 8, найдите первое м, для которого условие (В)
выполнено.
(c) По теореме Туннелла число, найденное в пункте (Ь), будет наименьшим
конгруэнтным числом, сравнимым с 1 или 3 по модулю 8. Используя алго-
алгоритм из задачи 2, найдите прямоугольный треугольник с рациональными
сторонами и площадью, равной числу из пункта (Ь).

§ 2. Одно кубическое уравнение 15
§ 2. Одно кубическое уравнение
В этом параграфе мы дадим еще одно эквивалентное описание
конгруэнтных чисел.
В ходе доказательства предложения 1 из предыдущего па-
параграфа мы пришли к соотношениям ((X ± Y)/2J = (Z/2J ± п>
выполненным для сторон X, Y, Z треугольника с площадью п.
Перемножив эти два уравнения, мы получим ((X2 — У2)/4J =
= (Z/2L— /г2. Это показывает, что уравнение «4—n2=v2 имеет
рациональное решение, а именно, u = Z/2 nv = (X2 — F2)/4. Далее,
умножим это уравнение паи2: и6 — п2и2 = (uvJ. Положив х = и2 =
= (Z/2J (это то же самое х, что и в предложении 1) и y = uv =
= (X2 — Y2)Z/8, получим пару рациональных чисел (х% */), удов-
удовлетворяющую такому кубическому уравнению:
у2 = х3 — п2х.
Таким образом, по прямоугольному треугольнику с рациональными
сторонами Ху Y, Z и площадью п мы построили в ;о/-плоскости
точку (х, у), имеющую рациональные координаты и лежащую на
кривой у2 = хъ — п2х. Обратно, можем ли мы утверждать, что
любая точка (х, у) с х, у ? Q, лежащая на кубической кривой,
происходит из некоторого прямоугольного треугольника? Конечно,
нет, поскольку, во первых, координата х точки (х, у), полученной
этим способом, должна лежать в (Q+J, x = u2 = (Z/2J. Во-вторых,
можно получить, что знаменатель координаты х такой точки
должен делиться на 2. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
треугольник X, К, Z получается из примитивной пифагоровой
тройки X', У, Z', отвечающей прямоугольному треугольнику с
целочисленными сторонами X', Y', Z' и площадью s2n, делением
этих сторон на s. Но в примитивной пифагоровой тройке X' и
Y' имеют противоположные четности и Z' нечетно. Отсюда мы
заключаем, что A) знаменатель числа х = (Z/2J = (Z72sJ делится
на два и B) степень двойки, делящая знаменатель числа Z, равна
степени двойки, делящей знаменатель одной из двух других сто-
сторон, а знаменатель третьей стороны делится на строго меньшую
степень двойки. (Например, гипотенуза и меньший катет треуголь-
треугольника с площадью 5, изображенного на рис. I. 2, содержат двойку
в знаменателе, а оставшийся катет — нет.) Мы заключаем, что
необходимое условие для того, чтобы точка с рациональными
координатами (лс, у), лежащая на кривой у2 = хъ — п2х, происхо-
происходила из прямоугольного треугольника, заключается в том, что х
должно быть квадратом со знаменателем, делящимся на 2. На-
О1 /412 29520\ о 9 о О19
пример, при п = о\ точка \-jr, 73 I на кривой у2 = х3— 3\2х
не может быть получена ни из какого треугольника, несмотря
даже на то, что ее координата х есть квадрат.

16 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Наконец, третье необходимое условие состоит в том, что чис-
числитель числа х не должен иметь общих делителей с п. Чтобы
убедиться в этом, предположим, что простое р > 2 делит одно-
одновременно п и числитель числа х. Тогда р делит числитель числа
х + п= ( —?— ) и поэтому оно делит также и ~Т и —^— . Вме-
Вместе с ними р делит их сумму X и разность Y. Следовательно,
р2 делит n = -^XY. Но, по предположению, п свободно от квад-
квадратов. Это противоречие показывает, что х должно быть квадра-
квадратом, знаменатель которого — четное число, а числитель взаимно
прост с п. Численный пример (за который я благодарен Класу
Лефуоллу), показывающий, что только первых двух условий не-
недостаточно: (х, У) = [-т, -§¦)• Эта точка лежит на кривой у2 =
= х3 — п2х с п = 5.
Сейчас мы докажем, что этих трех условий достаточно для
того, чтобы точка на кривой происходила из некоторого тре-
треугольника.
Предложение 2. Рассмотрим точку с рациональными координа-
координатами (х, у), лежащую на кривой у2 = х3 — п2х. Предположим,
что х удовлетворяет следующим трем условиям: A) это квад-
квадрат рационального числа и, B) знаменатель числа х—четное
число, C) числитель числа х не имеет общих делителей с п.
Тогда число х с помощью соответствия из предложения 1 может
быть получено из некоторого прямоугольного треугольника с
рациональными длинами сторон и площадью п.
Доказательство. Пусть u = V~x ?Q+. Проделаем в обратном
порядке шаги, описанные в начале этого параграфа А именно,
положим v = ylw, тогда v2 = у2/х = х2— п2у или v2 + n2 = x2. Пусть
теперь / — знаменатель числа и, т. е. наименьшее положительное
число, такое, что tu?Z. По предположению, t четно. Заметим,
что знаменатели чисел v2 и х2 совпадают (поскольку п целое и
v2jt-n2=x2) и равны t2. Таким образом, t2v, t2n и t2x—прими-
t2x—примитивная пифагорова тройка, причем t2n четно (примитивность
тройки следует из условия C)). С помощью задачи 1 из § 1
получаем, что существуют целые а и Ьу такие, что t2n = 2ab,
t2v=a2—b2, t2x = a2 + b2. Тогда прямоугольный треугольник со
сторонами 2a/t, 2b/1, 2u имеет нужную площадь 2ab/t2 = п. Образ
этого треугольника при соответствии из предложения 1 есть х =
= (Z/2J = и2. Это доказывает предложение 2. ?
Позже мы докажем, что точки Р = (ху у) на кривой у2 =
= х6—п2х, отвечающие рациональным прямоугольным треуголь-
треугольникам с площадью п9 допускают еще одно описание: это «удво-

§ 2. Одно кубическое уравнение
17
енные» рациональные точки Р' = (х\ у'). Другими словами, Р' +
+ Р' = Р, где «+»— закон сложения для точек на нашей кри-
кривой, который будет описан ниже.
ЗАДАЧИ
1. Найдите простую линейную замену переменных, дающую взаимно одно-
однозначное соответствие между точками на кривых пу2 = х3 + ах2 + Ьх + с и
у* = х3-\-апх2-\-Ьп2х-\-сп'3. Например, другая форма уравнения у2 — х3 — п2х
есть пу2 = х3 — х,
2. Другое соответствие между рациональными прямоугольными треугольни-
треугольниками X, Y, Z с площадью — ХК=д и рациональными решениями урав-
уравнения у2 = х3 — п2х можно построить следующим образом.
(а) Параметризуйте все прямоугольные треугольники, сопоставляя точке
(и, о)
X,Y,Z>0
е
х, r>o,z<o
, Z>0
Рис. 1.4.
Рис. 1.5.
i/ = X/Z, v=Y/Z на единичной окружности наклон t прямой, соединяющей
эту точку с точкой (—1, 0) (см. рис. 1.4). Покажите, что
u = -
1 -12
2t
' 1 +t2'
(Замечание. Это обычный способ параметризовать коники. Если t = a/b ра-
рационально, то точка (и, v) отвечает пифагоровой тройке, построенной мето-
методом из начала этой главы.)
(b) Считая, что площадь треугольника X, Y, Z равна п, выразите n/Z2 че-
через /.
(c) Покажите, что точка х = — nt, y = n2 (I -\-t2)/Z лежит на кривой у2 =
= г3 — п2х. Выразите (х, у) через X, Y, Z.
(d) Обратно, покажите, что любая точка (#, у) с у ф 0, лежащая на кри-
кривой ?/2 = л:3 — п2х, может быть получена из некоторого треугольника. Нуж-
Нужно только оговорить, что для того, чтобы получать треугольники с поло-
положительным х} следует позволить сторонам X и Y принимать отрицательные

18 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
значения (площадь по-прежнему положительна, — Ar = /z , а для тогог
чтобы получать точки с отрицательным у, Z должно пробегать отрицатель-
отрицательные значения (см. рис. 1.5). Позже в этой главе мы установим связь меж-
между этим соответствием и тем, которое было описано выше,
(е) Найдите точки на кривой у2 = х3 — 36л:, происходящие из прямоуголь-
прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 и всех эквивалентных треугольни-
треугольников D, 3, 5; (—3), (—4), 5, и т. д.).
3. Обобщите задачу о конгруэнтных числах следующим образом. Фиксируем
угол 8, не обязательно равный 90°. Предположим, что рациональны одно-
одновременно и Л = cos 6, и В = sin 6 Пусть п — натуральное число, свободное
от квадратов. Можно поставить вопрос, является ли п площадью какого-
нибудь треугольника с рациональными сторонами, один из углов которого*
равен 6.
(a) Покажите, что этот вопрос эквивалентен вопросу о рациональных ре-
решениях некоторого кубического уравнения (коэффициенты которого зависят
как от 6, так и от п).
(b) Предположим, что прямая, соединяющая точку (—1, 0) с точкой (Л, В}
на единичной окружности, имеет наклон X. Покажите, что кубика из ча-
части (а) с помощью линейной замены переменных приводится к виду пу2 =
= х (х — X) (x-j-l/Х). Классическая задача о конгруэнтных числах — это, ко-
конечно, случай Х=1.
§ 3. Эллиптические кривые
Геометрическое место точек Р = (х, у), удовлетворяющих урав-
уравнению у2 = хъ— п2х,—это частный случай того, что называется
эллиптической кривой. Общее определение таково. Пусть К —
произвольное поле и f{x)?K[x]— кубический полином с коэффи-
коэффициентами из К, все корни которого (может быть, в некотором
расширении поля К) различны. Предположим, что характеристика
поля К не равна 2. Тогда решения уравнения
y* = f(x), C.1)
где х и у лежат в некотором расширении К' поля /С, называ-
называются К'-точками эллиптической кривой, определенной уравне-
уравнением C.1).
Только что мы рассмотрели пример с К= К' = Q и f (х) =
= хг — п2х. Заметим, что в этом примере условие из определения
эллиптической кривой удовлетворяется для любого поля /С, ха-
характеристика которого не делит 2я, так как тогда три корня
0, ±п полинома f(x) = xz — п2х различны.
Вообще, пусть х0, уо?К' — координаты точки на кривой Сг
определенной уравнением F(x, y) = 0- Мы говорим, что кривая С
гладкая в точке (х0, z/0), если частные производные dF/dx и dF/dy
не обращаются одновременно в нуль в этой точке. Это опреде-
определение не зависит от расширения (частные производные полинома
F(x, у) определяются обычной формулой, имеющей смысл для
любого поля). Для поля R вещественных чисел это условие пе-
переходит в условие существования касательного направления к

§ 3. Эллиптические кривые 19
кривой С. В случае, когда F(x, у) = у2—f(x), частные производ-
производные равны 2yQ и —/' (х0). Поскольку характеристика поля К'
не равна 2, они обращаются в нуль одновременно тогда и толь-
только тогда, когда уо = О и х0 — кратный корень функции f(x). Та-
Таким образом, кривая имеет негладкую точку в том и только в
том случае, когда f(x) имеет кратный корень. Именно по этой
причине в определении эллиптической кривой требуется, чтобы
все корни были различны: эллиптическая кривая гладка всюду.
В дополнение к точкам (х, у) на эллиптической кривой име-
имеется очень важная «бесконечная точка». Мы присоединяем ее к
кривой, подобно тому как в комплексном анализе к точкам комп-
комплексной плоскости присоединяют бесконечно удаленную точку,
образуя тем самым риманову сферу. Для того чтобы точно по-
понять, что это значит, нам понадобятся проективные координаты.
Полной степенью монома xl'y' мы называем число i + j.
Полной степенью полинома F(x, у) называется максимальная
из полных степеней входящих в него мономов. Для полинома
F(x, у) полной степени п определим соответствующий однород-
однородный полином Р(х, у, г) трех переменных, домножая каждый мо-
моном х{у], входящий в Z7, на zn~'l~j— мы увеличиваем полную
степень каждого монома до п; другими словами,
F(x, у, z) = z»
В нашем примере F(xt у) = у2 — (х3 — п2х), и, значит, Р(х, у, г) =
= y2z—x3 + n2xz2. Заметим, что F(x, y) = F(x, у, 1).
Предположим, что коэффициенты наших полиномов лежат в
поле К. Мы изучаем тройки х, у, z ? /С, удовлетворяющие урав-
уравнению F (x, yt z) = 0. Заметим, что
A) для произвольного А,? К выполнено равенство F (lx, Xy, Xz) =
= ХпР (ху уу z) (п — полная степень полинома F);
B) для произвольного ненулевого Х?К равенство F (Кх, Ху,
Xz) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда F (х, у, z) = 0.
В частности, при г=^=0 мы видим, что F (ху у, г)=0 тогда и
только тогда, когда F (x/z, y/z) = 0.
Свойство B) побуждает нас рассматривать классы эквивалент-
эквивалентности троек х, у, z б К\ мы называем две тройки (х, у, z) и (х\
у\ z') эквивалентными, если существует не равное нулю Х^К,
такое, что (х\ у1, z') = l(xt у, г). Отбросим тривиальную тройку
(О, 0, 0) и определим проективную плоскость р% как множество
всех классов эквивалентности нетривиальных троек.
Определение через классы эквивалентности недостаточно об-
образно; к счастью, есть другие, более наглядные способы описы-

20 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
вать проективную плоскость. Пусть К—это поле R веществен-
вещественных чисел. Тройке (х, у, z) сопоставим точку в трехмерном
евклидовом пространстве. Тогда класс эквивалентности отвечает
некоторой прямой, проходящей через начало координат. Таким
образом, мы можем геометрически представлять себе Pr как мно-
множество всех проходящих через начало координат прямых в трех-
трехмерном пространстве.
Другой способ представлять себе pjr заключается в следую-
следующем. Проведем в трехмерном пространстве плоскость, не прохо-
проходящую через начало координат. Можно, например, выбрать
плоскость, параллельную плоскости ху и расположенную на рас-
расстоянии 1 от нее, т. е. плоскость г=1. Все прямые, проходя-
проходящие через начало координат и не лежащие в плоскости ху, пе-
пересекают плоскость z=\ в единственной точке. Другими словами,
любой класс эквивалентности троек (х, у, г) с ненулевой г-коор-
динатой содержит единственною тройку вида (х, у, 1). Таким
образом, классы эквивалентности таких троек можно представ-
представлять себе как точки обыкновенной ху-плоскости. Остальные
тройки — вида (х, у, 0)—образуют «бесконечную прямую».
Бесконечную прямую тоже можно разбить на две части: обыч-
обычную прямую и «бесконечную точку». В качестве обычной прямой
можно взять, например, прямую у = 1 в ху-плоскости, представ-
представленную классами эквивалентности с ненулевой координатой у.
(В каждом таком классе содержится единственная тройка вида
(х, 1, 0).) Бесконечная точка—это точка A, 0, 0). Иначе говоря,
бесконечная прямая—это проективная прямая р# над полем К*
т. е. множество классов эквивалентности пар (х, у) ((л:, у) ~
~ (кх, ку)). Итак, р^ можно представлять себе как обычную
плоскость (х9 у, 1), к которой добавлена проективная прямая
на бесконечности. Эта прямая в свою очередь разбивается на
обычную прямую (х, 1, 0) и бесконечную точку A, 0, 0).
Все это обобщается на случай /г-мерного проективного прост-
пространства р#. Оно определяется как множество классов эквивалент-
эквивалентности наборов из (п+1) элемента; наглядно его можно описать
как обычное пространство наборов из п элементов (х1у ..., хп, l)f
к которому добавлено pjf1 на бесконечности. Но нам понадо-
понадобятся только р]( и р|(.
Рассмотрим множество нулей однородного полинома F (х, у, г)
с коэффициентами из /С, т. е. множество точек (классов эквива-
эквивалентности) (ху у, z) из Р#, таких, что F (х, у, z) = 0. Среди них
имеются точки с ненулевым z—это точки (х, у, 1), для которых
Р(х* У у l) = F(x> y) = Q- Остальные точки лежат на бесконечной
прямой. Множество решений уравнения F(x, yyz) = 0 называется
проективным пополнением кривой F(x, y) = 0. Начиная с этого
места, говоря о прямой, коническом сечении, эллиптической кри-

§ 3. Эллиптические кривые
21
вой и т. д., мы подразумеваем, что все эти объекты относятся к
Р/с, т. е. являются проективными пополнениями обычных кривых
на ^-плоскости. Например, под прямой у = тх+Ь мы будем на
самом деле понимать множество решений уравнения y = mx + bz
в р|, а под эллиптической кривой у2 = хъ—п2х—множество ре-
решений уравнения y2z = xd — n2xz2 в р2к.
Рассмотрим подробнее наш излюбленный пример: F(x, у) =
= у2 — x3-f n2x, F(x, у, z) = y2z—x3-\-n2xz2. Бесконечные точки
этой эллиптической кривой — это классы эквивалентности троек
(х, у, 0), для которых 0 = Р(х, у, 0) = —х3, т. е. х = 0. Есть
только один такой класс эквива-
эквивалентности—класс тройки @, 1, 0).
В случае К = К можно интуитив-
интуитивно представлять себе этот класс
как асимптотическое вертикальное
направление кривой (см. рис.
1.6). Точки на бесконечной прямой
отвечают прямым, проходящим че-
через начало координат в ^-плоско-
^-плоскости; для каждого наклона у/х име-
имеется одна такая прямая. При уходе
на бесконечность по эллиптической
кривой наклон стремится к оо,
у/х=оо\ это отвечает единственной
точке @, 1, 0) на бесконечной пря-
прямой. Заметим, что любая эллипти-
эллиптическая кривая y2=f(x) также со-
содержит ровно одну бесконечную точ-
точку, @, 1, 0).
Все стандартные понятия ана-
анализа на кривых F(x, y) = 0 в
плоскости ху переносятся на слу-
случай соответствующих проектив-
проективных кривых F(x, yy z) = 0. Определения касательной в данной
точке, точек перегиба, гладких и сингулярных точек зависят
только от поведения кривой в некоторой окрестности изучаемой
точки. А любая точка в Pr имеет большую окрестность, подоб-
подобную обычной плоскости. Точнее говоря, если мы интересуемся
точкой с ненулевой координатой z, мы можем работать в обычной
плоскости ху\ там кривая имеет уравнение F (x, y)=F (x, у, \) = 0.
Если же исследуемая точка имеет координату z = 0, то мы запи-
записываем тройку либо в виде (х, 1, 0), либо в виде A, у, 0).
В первом случае мы представляем ее как точку на кривой
F (х, 1, z) = 0 в плоскости xz\ во втором — как точку на кривой
^A| У> z) = 0 в плоскости уг.
Рис. J.6.

22 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Например, около бесконечной точки @, 1, 0) все точки эл-
эллиптической кривой y2z—x3-\-n2xz2 имеют вид (х, 1, г), причем
z—х3 + n2xz2 = 0. Последнее уравнение на самом деле дает все
точки эллиптической кривой, за исключением трех точек @, 0, 1),
(±п, 0, 1), имеющих нулевую координату у (это три бесконеч-
бесконечные точки по отношению к координатам х, г).
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что если К — бесконечное поле и F (х, у, z)?K[x, у, z] удов-
удовлетворяет условию F (kx, ку, kz) = knF (x, у, г) для всех к, х, у, z?K, то
F однороден степени п, т. е. полная степень любого монома равна п. Дайте
контрпример для случая конечного поля К-
2. Под прямой в Рк мы подразумеваем либо проективное пополнение прямой,
расположенной в плоскости ху, либо бесконечную прямую. Покажите, что
прямая в Р% имеет уравнение вида ax-{-by-\-cz = 0, где а, Ь, с?К не рав-
равны нулю одновременно, и что два таких уравнения задают одну и ту же
прямую тогда и только тогда, когда соответствующие тройки (а, Ь, с) про-
пропорциональны Постройте взаимно однозначное соответствие (а) между пря-
прямыми в одном экземпляре Р% с координатами (х, у, z) и точками в другом
экземпляре Р#, с координатами (a, b, c)\ (b) между точками в проектив-
проективной плоскости xyz и прямыми в проективной плоскости аЬс. При этом со-
соответствии точки, лежащие на одной прямой на первой проективной пло-
плоскости, переходят в прямые, пересекающиеся в одной точке на второй про-
проективной плоскости. Мы говорим, что проективные плоскости xyz и abc
двойственны друг другу.
3 Сколько бесконечных точек в Р/< имеет парабола? Эллипс? Гипербола?
4. Докажите, что для любых двух невырожденных конических сечений в Р\
найдется линейная замена координат, переводящая одно сечение в другое.
5. (а) Покажите, что для однородного полинома F(xt у, z) ?K [х, у, г] степе-
степени п выполнено тождество
дР . дР . дР г
х ——\-у ——\-z -?— = nF.
дх * ду ' дг
(b) Пусть К имеет нулевую характеристику. Покажите, что точка (х, у, г) ?
?Рк является негладкой точкой кривой С: F (х, у, z) = 0 тогда и только
тогда, когда в этой точке обращаются в нуль все три производные
дР/дх, дР/ду, dP/dz. Дайте контрпример для случая, когда char К ф 0.
В остальных задачах мы предполагаем, что char/C=O, например, /C=R.
(c) Покажите, что касательная к С в гладкой точке (дг0, у0, г0) имеет урав-
уравнение ах + by + cz = 0, где
дР
а =
_
дх
(*о. 0о. *о)' дУ
с = -
(х0,
(xo,yo,zo)' dz
(d) Покажите, что условие гладкости точки (х, у, z) на кривой С не зави-
зависит от выбора координат, т. е. не меняется при переходе к новым коорди-
координатам (#', у\ z'), где (хг, у', z')={x, у, z) А, А — обратимая матрица 3X3.
Например, если две координаты у, z отличны от нуля, то безразлично, в
какой плоскости: ху или xz — мы рассматриваем кривую.
(e) Покажите, что условие того, что данная прямая / является касатель-
касательной к С в гладкой точке (х, у, г), не зависит от выбора системы коорди-
координат.

§ 4. Двоякопериодические функции 23
(a) Пусть Р1 = (х1, yly 2i) и Р2 = (х2, у2, г2) —две различные точки в Р#.
Покажите, что прямую, соединяющую эти точки, можно параметрически
задать в виде sP1-\-tP2, т. е. {(sx1-\-tx2, sy1-\-ty2, szi-]-tz2)\ s, t?K}.
Проверьте, что это линейное отображение взаимно однозначно переводит
Р/С (с координатами s, /) в прямую Р\Р2 в Р\. Какую часть этой прямой
мы получим, если ограничимся точками, для которых s = l, a / произвольно?
(b) Пусть /C = R или С. Рассмотрим кривую F (х, у) = 0 на плоскости ху.
Предположим, что эта кривая гладкая в точке Р1 = (д:1, #х), причем каса-
касательная прямая невертикальна. Неявную функцию y = f (х) можно разло-
разложить в ряд Тейлора около точки x = xlt Линейный член задает касатель-
касательную прямую. Вычтем его: f (x) — y1 — ff (хх) (х — х1) = ат(х — х1)т4-.. .г
т^2 и ат Ф 0. Число т называется порядком касания. Мы называем
точку (#!, yi) точкой перегиба, если т > 2, т. е. f'(#i) = 0. (Обратите вни-
внимание, что в случае /C=R мы не требуем изменения направления выпук-
выпуклости; это означает, например, что # = #4 имеет точку перегиба прид: = 0.)
Пусть Pi=(#i, У\, 2х), Zi Ф 0, и пусть / = Р\Р2— касательная к кривой
F (x, y) = F(x, у, 1) в гладкой точке Рх. Пусть Р2 = (х2, Уъ,г?). Покажите,
что наименьшая степень, с которой / входит в многочлен F(Xi-\-tx2,
yi + ty2> Zi-htz2)?Klt], равна т.
(c) Покажите, что т не меняется при линейных заменах координат в Р%*
Если, например, ни ylt ни гх не равны нулю, то в пункте (Ь) можно поль-
пользоваться как xz-, так и ху-плоскостью.
Покажите, что бесконечная прямая (прямая 2=0) касается эллиптической
кривой y2 = f(x) в точке @, 1, 0). Покажите, что точка @, 1, 0) —это
точка перегиба.
§ 4. Двоякопериодические функции
Пусть L—решетка на комплексной плоскости, т. е. множество
всех целочисленных линейных комбинаций двух данных комп-
комплексных чисел (Oj и (о2, не лежащих на одной прямой, проходя-
проходящей через начало координат. Если, например, сог= i и со2=1,
то мы получаем решетку гауссовых целых {mi+n\ m, n?Z).
Оказывается, эта решетка тесно связана с эллиптическими кри-
кривыми у2 = х3 — п2х, возникающими в задаче о конгруэнтных числах.
Фундаментальным параллелограммом для решетки, построен-
построенной по числам (о15 (о2, называется множество
П = {а©! + 6(о2| 0<а < 1, 0<6<1}.
Векторы coj, (o2 образуют базис комплексной плоскости над ве-
вещественными числами. Поэтому любое число х?С может быть
записано в виде x = acoi + bco2 для некоторых a, b?R. Значит, х
можно записать как сумму элемента решетки L = [тых + псо2} и
элемента из П; эта запись единственна, за исключением того слу-
случая, когда а или Ь целое, т. е. элемент из П лежит на границе дП.
Мы всегда будем выбирать со^ со2 так, чтобы поворот от о)х
к (о2 совершался по часовой стрелке; другими словами, мы всегда
будем предполагать, что o)Jco2 имеет положительную мнимую
часть.

24 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Заметим, что пара со1э со2 для данной решетки L не единст-
единственна; например, со1' = со1+ со2 и со2 дают ту же решетку. Вообще,
новые базисы coj, оо2 решетки L получаются применением матрицы
с целыми элементами и единичным детерминантом (см. задачу 1
ниже).
Мероморфная функция f(z) на С называется эллиптической
функцией относительно L, если f (z + l) = f (z) для всех / ? L. За-
Заметим, что достаточно проверить это свойство для l = cot и / = со2.
о
Рис. 1.7.
Другими словами, эллиптическая функция—это периодическая
функция с периодами щ и со2. Такая функция определяется сво-
своими значениями на фундаментальном параллелограмме П, причем
ее значения на противоположных сторонах границы еШ совпа-
совпадают, / (а©! + са2) = / (ао^), / (©! + fe(o2) = f (Ь(о2). Поэтому можно
представлять себе эллиптическую функцию как функцию на мно-
множестве, полученном из П склеиванием противоположных сторон.
Это множество (точнее говоря, комплексное многообразие) назы-
называется тором. Оно выглядит как баранка.
Двоякопериодические функции на комплексной плоскости ана-
аналогичны периодическим функциям на вещественной прямой. Функ-
Функция f(x) на R, удовлетворяющая условию f (x +na) = f (х), опре-
определяется своими значениями на интервале [0, со]. Значения этой
функции в точках 0 и со совпадают, поэтому ее можно представ-
представлять себе как функцию на интервале [0, со] со склеенными гра-
граничными точками. Вещественное многообразие, полученное таким
склеиванием граничных точек,—это просто окружность (см.
рис. 1.7).
Вернемся к эллиптическим функциям для решетки L. Обозна-
Обозначим множество таких функций через <§L. Мы видим, что SL—это
подполе поля всех мероморфных функций, т. е. сумма, разность,
произведение и частное двух эллиптических функций снова яв-
являются эллиптическими функциями. Кроме того, подполе <§L
замкнуто относительно дифференцирования. Эллиптические функ-
функции обладают замечательными свойствами. В ближайших предло-
предложениях мы выведем некоторые из этих свойств. Оказывается,

§ 4. Двоякопериодические функции 25
условие двоякопериодичности намного более ограничительно по
сравнению с аналогичным условием в вещественном случае. Мно-
Множество вещественно аналитических периодических функций с
данным периодом гораздо «больше», чем множество ?L эллипти-
эллиптических функций с данной решеткой периодов L.
Предложение 3. Если функция f(z)^SL, L = {mco1 + /i(oa}, не име-
имеет полюсов в фундаментальном параллелограмме П, то она по-
постоянна.
Доказательство. Из компактности П следует, что любая та-
такая функция ограничена на П. Пусть, скажем, |/(г)|<Л4 для
a
Рис. 1.8.
г?П. Но тогда |/(z)| <Л1 для всех г вследствие периодичности.
По теореме Лиувилля, мероморфная и ограниченная на С функ-
функция постоянна. ?
Предложение 4. Пусть, в тех же обозначениях, а + П обозначает
параллелограмм П, сдвинутый на комплексное число а, т. е. мно-
множество {a-\-z\ z?ll}. Предположим, что f(z)?$L не имеет по-
полюсов на границе С параллелограмма а + П. Тогда сумма выче-
вычетов функции f (z) в а+П равна нулю.
Доказательство. По теореме о вычетах, эта сумма равна
Но интегралы по противоположным сторонам сокращаются, так
как значения функции f (z) в точках, отличающихся на период,
равны, a dz имеют противоположные знаки (поскольку противо-
противоположные стороны входят в путь интегрирования с разной ори-
ориентацией, см. рис. 1.8). Следовательно, интеграл равен нулю и
сумма вычетов равна нулю. ?
Мероморфная функция может иметь лишь конечное число по-
полюсов в ограниченной области, поэтому такое а, что граница
параллелограмма а+П не содержит полюсов функции / (г), всегда
существует. Заметим, что из предложения 4 немедленно следует,

26 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
что непостоянная функция / (z) ? SL должна иметь по меньшей
мере два полюса (или кратный полюс), поскольку в случае од-
одного простого полюса сумма вычетов не могла бы равняться нулю.
Предложение 5. Пусть, в условиях предложения 4, f (z) не имеет
ни нулей, ни полюсов на границе параллелограмма а + П. Пусть
{т{} — порядки различных нулей функции /(г) в а + П, а [п/\ —
порядки различных полюсов. Тогда 2 m/ = 2 п/-
Доказательство. Применим предложение 4 к эллиптической
функции f (z)/f (г). Напомним, что логарифмическая производная
/' (г)// (г) имеет полюсы как раз в нулях или полюсах функции
/(г). Эти полюсы просты, и вычет в таком полюсе равен порядку
нуля или полюса исходной функции f (г) (он отрицателен в слу-
случае полюса). (Напомним, почему это так. Если/ (z)=cm (г— а)т-\-...,
Tof (z) = cmm(z—a)m-1+... . Поэтому /' (z)/f (z) = m(z — a)+... .)
Таким образом, сумма вычетов функции /' (z)/f (z) равна У\т? —
-2^=0. п
Дадим теперь определение одной из основных эллиптических
функций, связанных с решеткой L = {mco1 + жо2}. Эта функция
называется $ -функцией Вейерштрасса. Она обозначается ^ (г; L),
или № (г; со^ оо2), или просто $> (г), если известно, о какой
решетке идет речь. Положим
^ ^^) DЛ)
Предложение 6. Сумма в D.1) сходится абсолютно и равно-
равномерно по z в любом компактном подмножестве в С — L.
Доказательство. Суммирование в определении ^ (г) ведется
по двумерной решетке. Доказательство сходимости станет вполне
понятным, если мы вспомним одномерный аналог. Если вместо L
мы возьмем множество целых чисел Z, а вместо обратных квад-
квадратов— просто обратные, то получим вещественную функцию
}{х) = y + ^ -j—j + у (суммирование ведется по ненулевым / б Z).
Для того чтобы доказать абсолютную и равномерную сходимость
на любом компактном подмножестве в R — Z, запишем каждый
член суммы в виде .*:/(/(л;—/)). Воспользуемся леммой: если ^ibl —
сходящийся ряд, состоящий из положительных членов (суммиро-
(суммирование во всех суммах ведется по ненулевым / из Z) и если ряд
2fj(x) таков, что \fi(x)/bl\ имеет конечный предел при /—^±оо
равномерно по х, принадлежащему некоторому множеству, то
2 fi (x) сходится абсолютно и равномерно по хв этом множестве.
Детали этого рассуждения легко восполнить. (Между прочим,

§ 4. Двоякопериодические функции 27
сумма в нашем примере равна л-ctg ял;; для доказательства доста-
достаточно взять логарифмическую производную разложения функции
со
sin ял; в бесконечнее произведение: sin:nu;= ял; Ц A—х2/п2).)
п= 1
Доказательство предложения 6 можно проводить таким же
способом. Приведем справа каждее слагаемое к общему знамена-
знаменателю:
1 1 _2z—z2/i
(г—/J /2 ~~ (г—/J/'
После этого абсолютная и равномерная сходимость следует из
сравнения с рядом 2К1"~3> в котором суммирование ведется по
всем ненулевым /?L. Более строго, предложение 6 следует из
двух лемм:
Лемма 1. Если 2^г (сумма берется по всем ненулевым эле-
элементам решетки L) — сходящийся ряд, состоящий из положи-
положительных членов, и 2/г (г) такова, что |/;(г)/^1 имеет конечный
предел при \1\ —> оо равномерно по z из некоторого подмножества
в С, то 2/Л2) сходится абсолютно и равномерно по z в этом
множестве.
Лемма 2. 2К1~5 сходится при s > 2.
Доказательство леммы 1 опущено — оно стандартно. Дадим
набросок доказательства леммы 2. Расщепим сумму в суммы по
I, удовлетворяющим условиям п—1^|/[^/г, /г=1, 2, .... Не-
Нетрудно показать, что количество различных / в таком кольце по
порядку величины равно п. Таким образом, сумма ограничена
со
константой, умноженной на 2 n'n~s=^ nx~s. Эта сумма сходится
п= 1
при s—1 > 1.
Доказательство предложения 6 закончено. ?
Предложение 7. №(z)??L. Она имеет двойной полюс в каждой
точке решетки и не имеет других полюсов.
Доказательство. С помощью тех же рассуждений, что и при
доказательстве предложения 6, мы убеждаемся, что для любого
фиксированного l?L функция $ (z) — (z—/)~2 непрерывна в точке
z=l. Таким образом, ^ (г) — мероморфная функция с двойным
полюсом во всех точках решетки. Других полюсов у № (z) нет.
Заметим далее, что ^ (г) = ^ (— г), поскольку правая часть в D.1)
не меняется при замене z на —г и / на — / (суммирование по
l?L эквивалентно суммированию по —KzL).
Для доказательства того, что эта функция двоякопериодична,
нам понадобится ее производная. Дифференцируя D.1) почленно,

28 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
получаем
/6 L
Очевидно, что функция $'(z) двоякопериодична. При замене z
на г+/0, где lo?L, члены в сумме просто подвергаются пере-
перестановке. Значит, №'(z)?$L. Для того чтобы доказать, что
№ (г) € &L, достаточно проверить, что f? (z + coz-)— ^ (z) = 0 для
/ = 1, 2. Докажем это для /=1; те же самые рассуждения при-
применимы и для 1 = 2.
Производная функции ^(z + cOi)—$> (z) равна ^'(z+cOi)—
8Р' (z) = 0. Поэтому !^ (z + сог) — ^ (z) = С для некоторой кон-
константы С. Подставляя z = —-^щ и используя то, что ф (z) —чет-
—четная функция, мы заключаем, что С=№(-=- ыА— $(—-а>1) = 0.
. 2 V V 2
Доказательство закончено. П
Заметим, что двоякопериодичность функции f^(z) не следует
непосредственно из определения D.1).
Функция Р (г) имеет в точности один двойной полюс в фунда-
фундаментальной области вида а + П. Поэтому, по предложению 5, $> (z)
имеет там ровно два нуля (или один двойной нуль). То же верно
и для любой эллиптической функции вида Ц? (г) — и, где и — кон-
константа. Нетрудно показать (см. задачи ниже), что функция f (z)
на торе (т. е. на фундаментальном параллелограмме с отождест-
отождествленными противоположными сторонами) принимает каждое зна-
значение и ? С U {оо} дважды с учетом кратности (кратность значения
и—это порядок нуля функции $ (г) — и)\ значения, принимаемые
с двойной кратностью, —это оо, ег=№ (сох/2), е2= $> (со2/2),
^з= JP ((©I + со2)/2). А именно 9 (г) имеет двойной полюс в нуле,
а остальные три точки — это нули функции ^'(z).
§ 5. Поле эллиптических функций
Предложение 7 дает нам пример эллиптической функции.
В теории периодических функций на R основную роль играют
функции sinx и cosx, с помощью которых строится разложение
Фурье. Аналогично, функции Ф (г) и $=>' (г) играют фундаменталь-
фундаментальную роль в изучении эллиптических функций, но, в отличие от
вещественного случая, нам не нужны бесконечные ряды, чтобы
выразить произвольную эллиптическую функцию через эти две.
Предложение 8. ^L = C(^, W), т. е, любая эллиптическая функ-
функция относительно L является рациональной функцией от ^ (z; L)

§ 5. Поле эллиптических функций 29
и P'(z; L). Точнее, для любой f(z)??L найдутся две рациональ-
рациональные функции g(X), h(X), такие, что f (z)=g(№(г))+ф'(г) h
Доказательство. Если f (z)—эллиптическая функция относи-
относительно L, то эллиптическими будут и следующие две четные
функции:
f(Z) + f(-z) f(Z)-f(-z)
2 2{p'(z) *
Произведение второй из них на №'(г), сложенное с первой, дает
f(z). Поэтому для доказательства предложения 8 достаточно
доказать
Предложение 9. Подполе StczSi четных эллиптических функций
относительно L порождено ф (г), т.е. ?l=C(№)
Доказательство. Идея заключается в построении из функций
вида ф (z)—и (и — константа) функции, имеющей те же нули и
полюсы, что и /(г). Отношение функции f(z) к такой функции—
это эллиптическая функция без полюсов, поэтому, по предложе-
предложению 3, оно должно быть константой.
Пусть f(z)^Si- Выпишем сперва нули и полюсы функции
f(z). Здесь требуется некоторая осторожность. Пусть ГГ—фунда-
ГГ—фундаментальный параллелограмм с выброшенными двумя сторонами:
Ilt = {a(o1+b(j}2\ 0<а< 1, 0<b< 1}.
Тогда любая точка в С получается сдвигом на некоторый эле-
элемент решетки ровно одной точки из ГГ; другими словами, ГГ —
это набор представителей смежных классов аддитивной группы
комплексных чисел по подгруппе L. Мы выпишем нули и полюсы
в ГГ, опуская в нашем списке 0 (даже в том случае, когда он
является нулем или полюсом функции f(z)). Каждый нуль или
полюс перечислим т раз, где т—его кратность. Однако пере-
перечислена будет только половина нулей и полюсов: они группи-
группируются в пары, и наш список будет содержать по одному эле-
элементу из каждой пары. Теперь перейдем к деталям. Мы опишем
метод перечисления нулей. Метод перечисления полюсов полно-
полностью ему аналогичен.
Сперва предположим, что /(а) = 0, причем а?ГГ, афО и не
совпадает с точками а),/2, со2/2 или (coj + соа)/2. Пусть точка а* ? ГГ
«симметрична» точке а, т.е. u*=g)t + (d2— а, если а лежит внутри
ГГ, и а* = со1 — а или а* = оо2 — а, если а лежит на одной из сто-
сторон (см. рис. 1.9). Пусть т — порядок нуля а. Мы утверждаем,
что симметричная точка а* также является нулем порядка т.
Это следует из двоякопериодичности и четности /(г). А именно,
из двоякопериодичности вытекает, что f (а* — z) = f( — а — г), а это
равно f(a + z)9 так как /(г) — четная функция. Таким образом,

30
Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
если f(a + z)= amzm + члены высшего порядка, то f (a* + z) =
= am(—z)m + члены высшего порядка, т.е. а*—нуль порядка т.
Предположим теперь, что f(a) = Oy где а — одна из точек gV2,
со2/2 или (со1 + со2)/2. Пусть, например, a = (oj2. В этом случае мы
со2
утверждаем, что порядок т нуля а—четное число: если f(a + z) =
= f ( — g>i + * ) = amzm + члены высшего порядка, то /(— со, — г) =
= м—-9-%+2 =П"9% + 2), поскольку / — четная и двояко-
периодическая функция. Таким образом, amzm + члены высшего
порядка = ат( — z)m + члены высшего порядка; следовательно,
т четно.
Теперь мы можем перейти к составлению списка нулей и полю-
полюсов функции /(г). Пусть {а{}—список тех нулей функции f(г)
в ГГ, которые не совпадают с точками с^/2, оо2/2, (tt>i+tt>2)/2;
каждый берется с учетом кратности и из каждой пары симметрич-
симметричных нулей а и а* берется только один. Кроме того, если какие-
то из точек (Dj/2, (о2/2, (щ + щ)^ служат нулями функции /(г),
включим их в наш список. Они будут встречаться в нем п
раз, где 2п—кратность соответствующего нуля. Пусть {bj}—спи-
{bj}—список ненулевых полюсов функции f(z) в ГГ, аналогичный списку
нулей (т. е. в нем появляется только половина полюсов).
Поскольку все числа а{ и bj отличны от 0, значения j? (at) и
#> (bj) конечны и корректно определена следующая эллиптическая
функция:
Мы утверждаем, что g(z) имеет те же нули и полюсы, что и f(z)
(с учетом кратностей), откуда следует, что f(z) =cg(z) для неко-
некоторой константы с. Поскольку g(z) рационально выражается
через IP (z)y отсюда следует предложение.

§ 5. Поле эллиптических функций 31
Для доказательства этого утверждения исследуем ненулевые
точки в ГГ. Нуль является единственным полюсом числителя и
знаменателя функции g(z). Отсюда следует, что ненулевые нули
функции g (z) получаются из нулей функций ф (z)— ф (а?), а не-
ненулевые полюсы получаются из нулей функций ф (z)—ф (Ьу). Но
мы знаем (см. задачи ниже), что ф (г) — ф (и) (и — константа)
имеет двойной нуль в z = u, если « = оо1/2, co2/2, (о)!+(о2)/2, или
же пару простых нулей в симметричных точках и и и*. Это един-
единственные нули функции ф (г)—ф(и) в ГГ. По построению точек
а{ и bj мы видим, что f (z) и g(z) имеют одинаковые порядки
нулей и полюсов всюду в П', за возможным исключением точки
0. Поэтому остается показать, что они имеют одинаковый поря-
порядок нуля или полюса в 0. Но это автоматически следует из пред-
предложения 5. А именно, выберем а так, что граница параллело-
параллелограмма а+П не содержит точек решетки и нулей или полюсов
функций f (z) или g(z). Тогда а + П содержит ровно одну точку
1, принадлежащую решетке. Мы знаем, что f (z) и g(z) имеют
одинаковые порядки нулей и полюсов всюду в а + П, за возмож-
возможным исключением точки /. Пусть mf — порядок нуля функции f (z)
в I (mf отрицательно в случае полюса), и пусть mg обозначает поря-
порядок нуля для g (z). Тогда mf + (полное число нулей функции/) —
(полное число полюсов функции f) = mg+ (полнее число нулей функ-
функции g) — (полное число полюсов функции g). Поскольку соответст-
соответствующие члены в скобках в обеих частях равенства равны, мы заклю-
заключаем, что mf=mg. Таким образом, из предложения 5 следует, что если
мы знаем, что две эллиптические функции имеют одинаковый поря-
порядок нулей или полюсов всюду, кроме, быть может, одной точки,
в фундаментальном параллелограмме, то их порядки в этой точке
автоматически совпадают. Это завершает доказательство пред-
предложения 9. ?
Доказательство предложений 8 и 9 конструктивно, т. е. дает
нам выражение данной эллиптической функции через ф (г), если
мы знаем ее нули и полюсы. Мы можем, например, без каких-
либо дополнительных рассуждений немедленно заключить, что:
A) четная эллиптическая функция ф' (гJ является кубическим
полиномом по ф (г) (поскольку ф' (z) имеет тройной полюс
в нуле и три простых нуля, т. е. имеется три а{ и ни одного bj)\
B) четная эллиптическая функция ф (Nz) (для любого заданного
положительного числа N) — рациональная функция от ф(г).
Оба эти факта будут играть фундаментальную роль в дальней-
дальнейшем. Первый означает, что ^-функция Вейерштрасса удовлетво-
удовлетворяет дифференциальному уравнению весьма специального вида.
С помощью этого уравнения будет установлена связь с эллипти-
эллиптическими кривыми. Второй факт служит исходным пунктом для

32 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
изучения точек конечного порядка на эллиптических кривых.
В следующих разделах обоим фактам будет дана более точная
формулировка и будет установлена связь с эллиптическими кри-
кривыми.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что две решетки L = {тщ -\- пщ} и L' = /тсо^ + псоЗ совпадают
тогда и только тогда, когда существует целочисленная 2х2-матрица с де-
детерминантом, равным ±1, такая, что со'= Лео (где со — столбец с двумя
элементами coi, со2). Покажите, что если в обеих парах соь со2 и со^, со^
поворот от первого элемента ко второму происходит по часовой стрелке, то
det A= + 1.
2. Обозначим через C/L факторгруппу аддитивной группы комплексных чисел
по подгруппе L ={тщ-\- ясо2}. Тогда точки в C/L находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с точками фундаментального параллелограмма П
с отождествленными противоположными сторонами.
(a) Пусть С — группа окружности (единичная окружность в комплексной
плоскости). Докажите, что квадрат этой группы изоморфен C/L (постройте
непрерывный изоморфизм между этими группами).
(b) Сколько точек, порядок которых равен или делит N, имеется
в группе C/L?
(c) Покажите, что множество подгрупп простого порядка р в C/L находится
во взаимно однозначном соответствии с точками в [PJ- (где Fp = Z/pZ).
Р
Подсчитайте, сколько их.
3. Пусть s = 2, 3, 4, ... . Фиксируем положительное целое число N, и пусть
/: Z X 7L —> С — некоторая функция периода N, т. е. f(m + N, n)=f(m,n)
и / (m, n-\- N) = f (m, ri). Предположим, что /(О, 0) = 0. Если s = 2, то
предположим еще, что 2j f (т, я)=0, где суммирование ведется по мно
жеству 0<;m, я < W. Определим функцию
f(tn,n)
(a) Докажите, что при s > 2 эта сумма сходится абсолютно, а при s = 2
условно. (В последнем случае члены суммы расположены так, что величина
| mcoi + ясо21 не убывает.)
(b) Выразите F5(co!, со2) через значения функции $> (г; соь со2) или ее про-
производных в точках г?Й, для которых Nz?L (см. задачу 2(Ь)).
Покажите, что для любого фиксированного и эллиптическая функция
$>(г) — и имеет ровно два нуля (или один двойной нуль). Используя то, что
$' (г) нечетна, покажите, что нули функции $>' (г) — это в точности точки
cOi/2, co2/2, (ooi+(D2)/2. Покажите, что значения ?i=$> (сох/2), ?2 = $> (со2/2),
вз=^ ((coi + co2)/2) — это те значения и, для которык ^ (г) — и имеет двой-
двойной нуль. Объясните, почему е^ е2, е% различны. Итак, Jp-функция Вейер-
штрасса задает отображение тора (фундаментального параллелограмма П
с отождествленными противоположными сторонами) на риманову сферу
С U {°°} так> что все точки, кроме в\, е2, е%, оо, имеют по два прообраза,
а точки ветвления elt e2, е3, оо по одному.
Что можно сказать о выражении второй производной $>" (г) через $> (г),
пользуясь только доказательством предложения 9?

§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса 33
§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса
Как было отмечено в конце предыдущего параграфа, из дока-
доказательства предложения 9 немедленно следует, что квадрат функ-
функции f'(z) выражается как кубический полином через ф(г). Точ-
Точнее, мы знаем, что $'(zJ имеет двойные нули в точках ov'2,
со2/2, (сох + со2)/2 (см. задачу 4 в § 5). Принимая эти три числа за
аг, получаем
f\zJ = C((p (*)-fp (g>x/2)) (jp (г)-(Р К/2))(Р (г)-9 ((щ + щ),2))
= С((р (z)-e1)(^ (г)-ел)(№ (г)-ея),
где С—некоторая константа. Она легко находится из сравнения
низших коэффициентов в лорановском разложении около начала
координат. Напомним, что Ф (г) — z~2, а, следовательно, и $>' (z) +
+ 2z~3 непрерывны в начале координат. Поэтому низший член
в левой части есть (—2z~3J = 4z~6, а в правой С (z~2K = Cz~6.
Мы заключаем, что С = 4. Итак, $ (z) удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению:
Г(г)* =/(?(*)), где f(x) = 4(x-e1)(x-e2)(x~e3)eC[x}. F.1)
Заметим, что корни кубического полинома f различны (см. за-
задачу 4, § 5).
Дадим теперь другой, независимый вывод дифференциального
уравнения для $ (z). В нем используется лишь предложение 3 из
§ 4. Предположим, что кубический полином f(x)=ax3+bx2+cx+d
таков, что члены отрицательной степени по z в разложениях
Лорана около 0 функций f ($ (z)) и $'(zJ совпадают. Тогда их
разность f(zJ—/ (fP (z)) будет эллиптической функцией, не имею-
имеющей полюса в начале координат. Тем самым она вообще не имеет
полюсов (так как $ (z) и $'(z) имеют полюсы только в нуле).
По предложению 3, эта разность постоянна, поэтому при под-
подходящем выборе постоянного члена d в / (х) она исчезает.
Для того чтобы найти такой полином, разложим j?(z) и ^'(zJ
около начала координат. Поскольку обе эти функции четны,
в разложениях будут встречаться только члены четной степени по z.
Обозначим через с минимум абсолютных величин ненулевых
комплексных чисел, отвечающих точкам решетки. Предположим,
что z лежит в круге радиуса г с с центром в начале координат,
где г<1. Разложим члены суммы D.1), определяющей j? (z),
в ряды по z. Это делается дифференцированием суммы геометри-
геометрической прогрессии -j = 1 -\-х-\-х2-\-... с последующей подстанов-
кой г// вместо х:
_?13 — +4 — 4-

34 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Вычитая 1 из обеих частей, деля на /2 и подставляя в D.1),
лолучаем
-?+ Е 2-? + з?+4-?+..
1Ф О
Мы утверждаем, что эти двойные ряды сходятся абсолютно для
|г|<гс. Это позволяет изменить порядок суммирования и полу-
получить
F.2)
Здесь для k > 2 мы ввели обозначение
(Заметим, что Gk равны нулю для нечетных k, поскольку член,
отвечающий —/, сокращается с членом, отвечающим /; как мы
и ожидали, в разложение F.2) входят только члены четной сте-
степени по z.) Для того чтобы проверить абсолютную сходимость
двойного ряда, запишем сумму абсолютных значений членов внут-
внутренней с>ммы в виде (напомним, что |г|<г|/|)
и применим лемму 2 из доказательства предложения 6.
Используем теперь F.2) для вычисления нескольких первых
членов в разложениях функций №(z)t ${zJ, ^(гK, №'(z) и ^'(-гJ.
Имеем
20G6z3 + 42G825+ ..., F.4)
z2+...t F.5)
F.6)
+.... F.7)
Напомним, что мы ищем коэффициенты а, Ьу с, d кубического
полинома / (х) = ахъ + Ьх2 + сх + d, такого, что
jp' {xf = fljp(z)8+ b$>(zy+ c&{z) + d,
и мы обнаружили, что достаточно показать, что обе части имеют
одинаковую отрицательную часть в разложении Лорана. Умно-

§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса 35
жим уравнение F.7) на а, F.6) на Ъ, F.2) на с, сложим их и
добавим к сумме постоянную d. Приравнивая теперь коэф-
коэффициенты при 2~6, 2~4, 2 и 2° к соответствующим коэффициен-
коэффициентам в F.5), получим
а = 4; Ь = 0; —24G4= 4 (9G4) + с; — 80G6 = 4 A5G6) + d.
Таким образом, с = —60G4, d=—140G6. Переходя к традицион-
традиционным обозначениям
def
ft = ft(?) = 60G4 = 60 2 /-*,
<68)
запишем дифференциальное уравнение F.1) в виде
8»'BJ = / (jp(z)), где /(х) = 4*3-&*-?3 € С М- F.9)
Заметим, что сравнение коэффициентов при высших степенях па
z в разложении обеих частей приводит к соотношениям между
различными Gk (см. задачи 4—5 ниже).
Дифференциальное уравнение F.9) имеет элегантную и очень
важную для нас геометрическую интерпретацию. Зададим отобра-
отображение тора C/L (т. е. фундаментального параллелограмма П с отож-
отождествленными противоположными сторонами) в Pq формулой
г~>(9(г)9 Г(г), 1) для гфО,
(W@, 1, 0). 1° ;
Образ любой ненулевой точки z из C/L—это точка в плоскости
ху (с комплексными координатами), и в силу уравнения F.9)
координаты этой точки удовлетворяют соотношению y2 = f(x)
(f(x)?C[x] — кубический полином с различными корнями). Таким
образом, любая точка z ? C/L переходит в точку на эллиптиче-
эллиптической кривой y2 = f(x) в р|ч. Нетрудно видеть, что это отображе-
отображение осуществляет взаимно однозначное соответствие между C/L
и эллиптической кривой (включая бесконечные точки). А именно,
каждому значению координаты х, за исключением корней поли-
полинома f(x) (и бесконечности), отвечают ровно два значения 2, та-
такие, что %>(z) = x (см. задачу 4 из § 5); ^/-координаты y = f{z),
отвечающие этим двум значениям 2,— это два квадратных корня
из f(x) = f($ (z)). Если же х—корень полинома f(x), то имеется
только одно значение 2, для которого i? (z) = х, и соответствую-
соответствующая ^/-координата равна y = $f{z)=0.
Кроме того, отображение из C/L на нашу эллиптическую кри-
кривую в р^ аналитично. Это означает, что в окрестности любой

36 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
точки в C/L оно может быть задано тройкой аналитических функ-
функций. Около точки в С, не принадлежащей решетке, отображение
задается формулой 21—^ (^ (г), $'{z), 1); около точки, принадле-
принадлежащей решетке, отображение задается формулой z*-+($(z)/f '(z),
1, l/$'(z)) (эти три функции аналитичны в окрестности L).
Мы доказали следующее предложение.
Предложение 10. Отображение F.10) задает взаимно однозначное
соответствие между C/L и эллиптической кривой у'2 = 4х3—g2(L)x —
-8ЛЦ в р*с.
Можно задать вопрос: как построить обратное отображение
эллиптической кривой на C/L? Это делается с помощью контур-
контурных интегралов от dx/y = Dx* — g2x— g)~1/2 dx no контуру, соеди-
соединяющему фиксированную начальную точку с переменной конеч-
конечной. Получающийся интеграл зависит от контура, но при изменении
контура он изменяется на период, т. е. на элемент решетки.
Следовательно, мы получаем корректное отображение в C/L.
Подробности см. в упражнениях ниже.
Закончим этот параграф несколькими словами об алгебраиче-
алгебраической картине, тесно связанной с геометрией нашей эллиптической
кривой. Напомним, что, по предложению 8, любая эллиптическая
функция (мероморфная функция на торе) рационально выражается
через № (z) и $>'(z). При взаимно однозначном соответствии из
предложения 10 такая функция переходит в рациональное выра-
выражение от х и у на эллиптической кривой в х у -плоек ост и (на
самом деле в р^). Таким образом, поле С(х, у) рациональных
функций на плоскости ху при ограничении на эллиптическую
кривую y2 = f(x) и последующем взятии обратного образа (т. е.
подстановки х=ф(г), y=f(z)) переходит в точности в поле
эллиптических функций <§L на торе C/L. Ограничения функций у2
и f (х) совпадают. Поэтому поле функций, полученных ограниче-
ограничением рациональных функций из С (.г, у) на эллиптическую кри-
кривую, является следующим квадратичным расширением поля С (х):
С (х) [y]/{y2 — Dxb—g2x—gs)). Алгебраически это означает, что мы
образуем факторкольцо кольца С(х)[г/] по главному идеалу, по-
порожденному элементом y2 = f{x).
Проекция на х-координату представлена на рис. 1.10. Две
точки на эллиптической кривой отображаются в одну точку на
проективной прямой, за исключением четырех точек ветвления
(бесконечной точки и трех точек, где у = 0), в которых две ветви
«склеиваются».
В алгебраической геометрии поле F = С (х) соответствует комп-
комплексной прямой pj, и поле/( = С (я, у)/(у2 — Dх3 — g2x—g)) соот-
соответствует эллиптической кривой в р^. Кольца Л = С[#] и В =
= С[х, y]/(y2 — f(x)) —это кольца целых в этих полях. Макси-

§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса
37
мальные идеалы в А имеют вид (х—а) А\ они находятся во взаимно
однозначном соответствии с a g С. Максимальные идеалы в В имеют
вид (х — а)В+ (у — Ь)В (где Ъ — квадратный корень из/(а)) и от-
отвечают точкам (а, Ь) на эллиптической кривой
> (х—а)В+ (у — Ь) В (Ь =
(х-а)В +
F zd A zd (х—а) А
Подъем максимального идеала (х—а) А в кольцо В не является
простым идеалом. Другими словами, идеал (х—а) В распадается
в произведение двух идеалов:
(х—а)В=((х-а)В+(у-Ь)В)((х-а)В
Максимальный идеал, отвечающий точке а на прямой, превра-
превращается в два идеала, отвечающих двум точкам на эллиптической
Рис. I 10.
кривой. Если же Ь=0, т. е- а — корень полинома f(x), то эти
два идеала совпадают, т. е. (х—а)В есть квадрат идеала ((х—а)В +
+ у В). В этом случае мы говорим, что идеал (х—а) А ветвится в В.
Это происходит при тех значениях а, которые имеют только один
прообраз на эллиптической кривой. Таким образом, описанная
алгебраическая диаграмма полей, колец и идеалов есть точное
отражение предшествующей геометрической диаграммы.
Мы не будем углубляться в эти замечания, сделанные ad hoc,
поскольку в дальнейшем алгебро-геометрическая техника нам не
понадобится. Подробное введение в алгебраическую геометрию
можно найти в учебниках И. Р. Шафаревича, Д. Мамфорда или
Р. Хартсхорна.

Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
ЗАДАЧИ
(a) Пусть L= Ъ [t] —решетка гауссовых целых. Покажите, что g3(L) = 0,
a g2 W — ненулевое вещественное число.
(b) Пусть L = Z[«], где со = -^ ( —1 + i Vs) —решетка целых в квадра-
квадратичном поле Q (V—3 ). Покажите, что ?2(^) = 0, а ?з (Ц — ненулевое ве-
вещественное число.
(c) Пусть с — ненулевое комплексное число и cL — решетка, полученная
из решетки L умножением всех ее элементов на с. Покажите, что Яг(^) =
^2(Ц g() g
(d) Докажите, что эллиптическая кривая, заданная уравнением
у2 = 4хъ — g2x— g3, Б котором либо g2, либо g3 равно нулю, имеет вид
у2 = 4х* — ^ (L) jt — gz(L) для некоторой решетки L. Можно показать, что
любая эллиптическая кривая имеет такой вид для некоторой решетки L,
См., например, [Whittaker, Watson 1958, § 21.73]. Мы тоже дадим дока-
доказательство этого факта, но гораздо позже, при изучении модулярных форм.
2. Напомним, что дискриминант полинома / (х) =aQxn-\-aiXn~1-\- .. .-\-ап =
= а0 (х — е{) (х—е2)...(х—еп) есть а%~г JJ[ (е/ — ejJ. Он отличен от нуля
i < 1
тогда и только тогда, когда все корни различны. Поскольку дискрими-
дискриминант— симметрический однородный полином степени п (п — 1) по е/, его
можно записать как полином от элементарных симметрических полиномов
от ?/, которые равны (—1)' п[/а0. Более того, каждый моном ТТ (ai/ao)mi
I
имеет полный вес mi+2m2+ .. .-\-птп, равный п (п—1). Применяя это
к случаю / (х) = Ахъ — g%x — gb, мы видим, что дискриминант равен поли-
полиному от g2, ?з веса 6. Значит, он должен иметь вид ос^| —|— P^f- Найдите
аир, непосредственно вычисляя, чему равно 42 {е\— е2J (е\ — е3J (е2 — е3J
в случаях ?2=4, ?3 = 0 и ?2 = 0, ?з=4.
3. Четная эллиптическая функция $>" (г) имеет единственный полюс порядка 4
в нуле. Поэтому мы заранее знаем, что $" (г) можно записать в виде
квадратичного полинома от $> (г). Найдите этот полином двумя способами:
(а) сравнивая коэффициенты при степенях переменной г\ (Ь) дифференци-
дифференцируя уравнение $>'2 = 4jp—g2^ — ?з- Проверьте совпадение ответов.
4. Используя либо уравнение для $>'2, либо уравнение для $>", докажите,
что08=у042.
5. Докажите по индукции, что все G# можно записать в виде полиномов от
G4 и G6 с рациональными коэффициентами, т. е. G/?^Q[G4, G6]. Позже,
при изучении модулярных форм, мы снова выведем этот факт (мы увидим,
что G# являются примерами таких форм).
6. Пусть coi = i7 —чисто мнимое число и со2 = я. Покажите, что, когда / стре-
стремится к оо, Gk(it, я) стремится к 2jt-*?(&), где ? (s) — риманова дзета-
функция. Предположим, что нам известно, что ?B)=л;2/6, ?D) = я4/90,
? F) = я6/945. Используйте задачу 4 для того, чтобы найти 1,(8). Исполь-
Используйте задачу 5 для того, чтобы доказать, что я""А?(&)?<0 для всех
положительных четных целых чисел k.
7. Найдите предел величин g2 и g3 для решетки L = {mit + пл] при t—> оо.
8. Покажите, что u = cosec2z удовлетворяет дифференциальному уравнению
v'2 = 4v2(v— 1), ay = cosec2e—=" — уравнению у'2 = 4у3—-5-у —-jr—. Чему
о о Z7
равен дискриминант полинома в правой части? Напишите разложение функ-
функции sin nz в бесконечное произведение. Замените z на г/я, возьмите ло-
логарифмическую производную и потом снова продифференцируйте. Вы по-

§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса 39
лучите разложение функции cosec22 в бесконечный ряд. Докажите, что
lim $ (г; it, п) = cosec2 г —— .
t -+¦ оа О
9. Цель этой задачи — в качестве тренировки для следующих задач описать
функцию г = log v для комплексного v.
(a) Пусть v лежит в односвязной области комплексной плоскости, не со-
содержащей начала координат. Определим функцию z от аргумента v фор-
формулой
z =
причем пути интегрирования, ведущие в разные точки, согласованы. (Это
означает, что нужно фиксировать путь, соединяющий 1 с некоторой точ-
точкой 1>0, а для других точек v использовать любой путь от v0 к и, ле-
лежащий в нашей области.) Назовем эту функцию z = log v. Покажите, что
другой выбор контура приводит к тому, что функция изменяется на кон-
константу, принадлежащую «решетке» L = {2mm}. Любой элемент ре-
решетки может быть получен подходящим изменением контура. (На самом
деле L образует решетку только на мнимой оси R/, а не на всей плос-
плоскости С.)
(b) Выразите dz/dv и dv/dz через и.
(c) Определим функцию v = ez стандартным рядом. Используя (Ь), пока-
покажите, что функция ez обратна к 2=logu.
(d) Покажите, что отображение ez задает взаимно однозначное соответствие
между C/L и С—{0}. В какой групповой закон на С —{0} переходит при
этом соответствии аддитивный групповой закон на C/L?
10. Фиксируем решетку L и положим g2= g2(L), gb = gb (L), $>(г)=$>(г; L),
Пусть u = u (z)— функция на связной открытой области UczC, удовлет-
удовлетворяющая дифференциальному уравнению w'2 = 4w3—g2u — g3- Докажите,
что и (г) = Jp (г + а) для некоторой константы а.
11. Фиксируем решетку L = {mco1+ /7co2) и положим g2 = g2(L), ?з = ?з(^),
$>(z)=j^(z; L). Пусть U\ — неограниченная односвязная открытая область
в комплексной плоскости, не содержащая корней еь е2у е3 кубического
полинома 4x3 — g2x — g3. Для u?Ui определим функцию z = g (и) формулой
00
dt
(мы фиксируем некоторую ветвь корня для /, меняющегося в U\). Заме-
Заметим, что интеграл сходится и не зависит от пути в U\, соединяющего и
с оо, поскольку U\ односвязна. Пусть U2—односвязная область в С —
{^ъ ?2, ?з}, пересекающаяся с U\. Функция z = g(u) аналитически про-
продолжается на U2 следующим образом. Выберем Ui^UiflUz- Для u^U2
положим g (и) = g (u\) + \ D/3— g2t — gs)'12 dt. Ясно, что это определение
и
не зависит от ut^Uif\U2 и пути, лежащего в U2 и соединяющего точку
и с их. Продолжая действовать таким способом, мы получим аналитиче-
аналитическую функцию. Она многозначна, поскольку, двигаясь по областям Uu
U%, Уз,---, мы можем совершать обороты вокруг точек ей е2 или е3.
(a) Выразите (dz/duJ и {du/dzJ через и.
(b) Покажите, что и = $ (г). В частности, при оборотах вокруг еъ е2 или
е3 значение величины z может измениться только на элемент решетки L.

Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Таким образом, z = g(u) есть корректно определенная точка в C/L для
и?С — {elf е2, е3). Функция z = g(u) по непрерывности продолжается
в точки в\, е2, ез-
(c) Когда г пробегает от со2/2 до 0 вдоль стороны параллелограмма П,
и пробегает некоторый путь Сь соединяющий е2 с оо (см. рис. 1.11).
Покажите, что [ D/3 — g2t — g3)~1/2dt = — со2/2 Для подходящей ветви
квадратного корня.
(d) Пусть С2 — контур, который идет из оо в е2 по Сь далее делает один
оборот вокруг е2 и возвращается по Q в оо. Выбирая ту же ветвь квад-
квадратного корня, что и в (с), покажите, что \ D/3 — #2* — ?з)~1/2 dt = со2.
с2
(e) Опишите, что нужно сделать с функцией z = g(u) для того, чтобы
получить все прообразы точки и при отображении w = $>()
Рис. 1.11.
12. (а) Докажите, что все три корня е±, е2, е3 полинома 4х3— g2x — g3 ве-
вещественны одновременно тогда и только тогда, когда вещественны g2 и g$
и, кроме того, A = g\ — <^g\ > 0.
(b) Предположим, что условия пункта (а) выполнены и в[ упорядочены
так, что е2 > еъ > е\. Покажите, что можно выбрать периоды решетки L
в виде
ел
dt
V
dt
здесь мы выбираем положительную ветвь квадратного корня и интегри-
интегрируем по вещественной оси.
(с) В предположениях, сделанных выше о расположении точек е/ на ве-
вещественной оси, опишите, как нужно изменять путь интегрирования и
ветвь квадратного корня в задаче 11 для того, чтобы получить все зна-
значения переменной г, для которых M = j^(z), т. е. значения ± г + mooi +/г©2*
13. Предположим, что g2 = 4/i2, ?з = 0- Выберем е±, е2, es так, что е2> es> е±.
Чему они равны? Покажите, что cox=tco2, т. е. решетка L получается из
решетки гауссовых целых умножением на со2. Покажите, что, когда z дви-
р у у 2 , , д д
жется по прямой линии от coi/2 до со!/2 + оJ, точка (ху у) = ($(г)у $' (г))
пробегает вещественные точки эллиптической кривой r/2=4(#3 — п2х), нахо-
находящиеся между (— п) и 0, а когда z пробегает отрезок от 0 до со2, точка
{^, У) = {$(г), $' (z)) пробегает вещественные точки эллиптической кри-

§ 7. Закон сложения 41
вой, находящиеся справа от точки (п, 0). То что последняя часть выгля-
выглядит открытой,— не более чем оптический обман. На самом деле концы
этой кривой склеены в бесконечной точке @, 1, 0).
1
,. мп Г tn dt л 1 3 / 1 \
14. (а) Покажите, что = (п_ ) для ,7 = 0,1,2,... .
(b) В условиях задачи 12 {е2 > е3 > ег) пусть Х=——— ?@, 1). Выведите
формулу
dt
со2=-
_ Yn\-t)(l-kt)
о
(с) Выведите формулу (?>2 = л (e2 — ei) ~l 2 F (X), где
3 5
Функция F (Я) называется гипергеометрическим рядом.
(d) Покажите, что гипергеометрический ряд из пункта (с) удовлетворяет
дифференциальному уравнению:
§ 7. Закон сложения
В предыдущем параграфе мы показали, что $>-функция Вейер-
итрасса осуществляет изоморфизм между C/L и эллиптической
кривой y2 = f(x) = 4x* — g2(L)x—?з(Ц в р%. Для точек в C/L
имеется очевидный закон сложения, полученный из обыкновенного
сложения комплексных чисел по модулю аддитивной подгруппы L.
Это двумерный аналог сложения по модулю 1 в группе R/Z.
Используем изоморфизм между C/L и эллиптической кривой
для того, чтобы перенести закон сложения на точки эллиптиче-
эллиптической кривой. Это означает, что для сложения двух точек Рх =
= (хи ух) и Р2 = {х29 Уг) нам нужно перейти на z-плоскость, найти
гг и 22, такие, что Р1 = (Ф(г1), 9'(гг)) и Pt ={& {гЛ), V {гЛ)),
и положить Рг+ Р2 = ($ (гг + z2), $' (гг+ г2)). Здесь проявляется
следующий общий принцип: с помощью взаимно однозначного
соответствия между элементами коммутативной группы и некото-
некоторого множества можно перенести структуру коммутативной группы
на это множество.
Закон сложения, который мы получили таким способом, заме-
замечателен следующим: A) имеется простая геометрическая интер-
интерпретация сложения точек на эллиптической кривой; B) координаты
точки Рг+Р2 выражаются непосредственно через хг, х2, уи у2
с помощью весьма простых рациональных функций. Объясним,
как это происходит.

42 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Сперва докажем следующую общую лемму об эллиптических
функциях.
Лемма. Пусть / (z) (= SL, П = {аауг + Ьсо21 0 < а, Ъ ^ 1} — фундамен-
фундаментальный параллелограмм для решетки L. Выберем а так, что
f (z) не имеет нулей или полюсов на границе параллелограмма
а + П. Пусть {af}, {bj} — нули и полюсы функции /(г), взятые
с учетом кратностей. Тогда 2 а{ — ^bj^L.
Доказательство. Напомним, что функция f'(z)/f(z) имеет по-
полюсы в нулях и полюсах функции f (г) и ее разложение около
нуля а порядка т имеет вид m/(z— а)+ ... (а около полюса t
cd + coj-f co2
Рис. 1.12.
порядка т — вид (—m)/(z—b)+...). Функция zf'(z)/f(z) имеет
те же полюсы. Записав z = a+ (z — а), мы видим, что разложение
начинается с ami (г—а). Мы заключаем, что сумма вычетов функ-
функции zf'(z)/f(z) внутри а + П равна 2 ai — 2 h- Обозначим через С
границу параллелограмма а+П. По теореме о вычетах
С
Сперва возьмем интеграл по паре противоположных сторон от а
до а + оJ и от a + (Oi до a + o^ + oXj (см. рис. 1.12). Эта часть
равна
/GC+C02 a + Gh + COa ч
1 I f 2r(Z)d2 С Zf'{Z)rlA-
Ш\ 3 zW)dz J Z7udz ~
a
/ a + (o2 _ a + oJ
яГ %
a
a+co2
Теперь сделаем замену переменных и = f(z), так что f'(z)dz/f(z) =
= dulu. Когда z меняется от а до а + со2, и пробегает некоторый

§ 7. Закон сложения 43
замкнутый контур Си соединяющий /(а) с/(а + со2) = /(а). Тогда
2яГ J /(if Ш j T '
Это равно некоторому целому числу /г, а именно числу оборотов
контура Сх вокруг начала координат против часовой стрелки.
Таким образом, эта часть исходного интеграла равна (— щп).
Аналогично, интеграл по остальным двум сторонам равен (— суп)
для некоторого целого т. Таким образом, 2Ц—2fey = — о^я —
— co2m?L, что и доказывает лемму. П
Теперь мы можем перейти к геометрическому описанию сло-
сложения точек на эллиптической кривой y2=f (х)=х3—g2 (L) х—gs (L).
Точку на эллиптической кривой, отвечающую z?€/L, обозначим
через Рг; Рг = (ф(г), №'(г), 1), Ро= @, 1, 0). Предположим, что
сумма точек Pz=(xly уг) и PZi = (x2, y2) есть некоторая точка
Рz^Zt= (лс3т ys). Мы хотим знать, как строить сумму двух точек
явно, не переходя на z-плоскость.
Сперва изучим несколько частных случаев. Нулевой элемент
нашей группы—это, конечно, образ точки z = 0. Обозначим через
О бесконечную точку @, 1, 0), т. е. нуль нашей группы. Сложе-
Сложение тривиально, если одна из точек гг или z2 есть 0. Предполо-
Предположим теперь, что Рг^ и Р22—разные точки, имеющие одну и ту
же координату х. Это означает, что х2 = хи у2 = — ух. В этом
случае z2 = — zlT поскольку только в симметричных точках z
{точках, сумма которых равна нулю по модулю решетки L) функ-
функция f принимает одинаковые значения. В этом случае Рг + Рz% =
= Р0=0, т. е. эти две точки аддитивно обратны друг другу. На
геометрическом языке это означает, что сумма двух точек кривой,
лежащих на одной вертикальной прямой, равна нулю. Заметим
далее, что в том частном случае, когда точка Рz = P\г лежит на
оси х, мы имеем у2 = —#i=0, и легко проверить, что по-преж-
по-прежнему Pz^ + PZi=2Pz^=0. Мы доказали следующее
Предложение 11. Точка (х, у) аддитивно обратна к точке (х, —у).
Для данных двух точек P1 = Pz=(xu уг) и Р2 = Р22=(х2У у2)
на эллиптической кривой у*=\хъ — g2x—gSi ни одна из которых
не является бесконечной точкой, найдется проходящая через них
прямая 1 = РгР2. В случае когда Р1 = Р2, в качестве прямой /
возьмем касательную прямую к эллиптической кривой в точке Рг.
Если / — вертикальная прямая, то мы уже знаем, что Рг + Р2 = 0.
Предположим, что / не вертикальна. Мы хотим найти Рг-\-Р2 =
= Ръ = (хъ, уз). Наше основное утверждение состоит в том, что
— Р3={х3,—уъ) есть третья точка пересечения эллиптической
кривой с /.

44 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Запишем уравнение прямой 1 = РХР2 в виде у=тх + Ь. Точка
(хУ y)?l лежит на эллиптической кривой тогда и только тогда,
когда (тх+ bJ = f (x) = 4:Xs — g2x—g3y т. е. тогда и только тогда,
когда х есть корень кубического полинома f (х) — (тх + ЬJ. Этот
полином имеет три корня, каждый из которых дает точку пере-
пересечения. Если х—двойной или тройной корень, то / пересекает
кривую с кратностью 2 или 3 в точке (х, у) (см. задачу 6 в § I. 3).
В любом случае полное число точек пересечения с учетом крат-
ностей равно 3.
Заметим, что вертикальные прямые также пересекают кривую
в трех точках, включая бесконечную точку 0; и бесконечная пря-
прямая имеет тройное пересечение с кривой в бесконечной точке 0
(см. задачу 7 из § 1.3). Таким образом, любая прямая в Р^ пе-
пересекает кривую в трех точках. Это частный случай теоремы Безу.
Теорема Безу. Пусть F(xyyyz) и G(x,y,z) — однородные поли-
полиномы степеней тип соответственно над алгебраически замкну-
замкнутым полем К. Предположим, что F и G не имеют общего по-
полиномиального множителя. Тогда кривые в Р2Ку определенные по-
полиномами F и G, имеют тп точек пересечения с учетом крат-
ностей.
Более подробное обсуждение кратностей пересечения и дока-
доказательство теоремы Безу имеются, например, в книге Уокера по
алгебраическим кривым [Walker 1978].
В нашем случае F (х, у, г) = у2г — 4л;3 + g2xz2 + g3zs и G(x, у, z) =
= у — тх—bz.
Предложение 12. Если Рг + P2 = PSi то — Р3 есть третья точка
пересечения прямой 1 = РХР2 с эллиптической кривой. Если Рг = Р2>
то под РгР2 мы подразумеваем касательную прямую в точке Рх.
Доказательство. Мы уже изучили случаи, когда одна из точек
Рх или Р2 лежит на бесконечности и когда Р2 = —Рх. Предпо-
Предположим поэтому, что РгР2 имеет вид у = тх + b. Пусть Pl = PZi>
^2 = ^z2- Точка Pz = (f{z), f (z)) лежит на прямой / тогда и
только тогда, когда ф' (z) = m$ (z)+ b. Эллиптическая функция
№' (z) — т$ (z) — b имеет три полюса и, следовательно, три нуля
в C/L. Точки гг и z2 являются нулями. В соответствии с уже
доказанной леммой разность между суммами трех нулей и трех
полюсов равна нулю по модулю решетки L. Но все три полюса
находятся в нуле (где ф' (z) имеет тройной полюс); таким образом,
третий нуль равен —(z1 + z2) по модулю решетки. Следовательно,
третья точка пересечения прямой / с кривой есть Р_(z +z) = —Рг >
что и утверждалось.

§ 7. Закон сложения
45
Рис. 1.13.
Рассуждения в последнем абзаце являются строгими только в
том случае, когда три точки пересечения прямой / с эллиптиче-
эллиптической кривой различны. Тогда нули функции fP'(z)—m$(z)— b
отвечают как раз точкам пересе-
пересечения Pz. Нам остается показать,
что двойной или тройной нуль
эллиптической функции отвечает
соответственно двойному или
тройному пересечению прямой / с
кривой. Иначе говоря, нам нуж-
нужно показать, что два значения
термина «кратность» согласова-
согласованы: кратность нуля эллиптической
функции по переменной z и крат-
кратность пересечения в плоскости ху.
Пусть zly z2, —z3 — три ну-
нуля функции фг (z) — nC§ (z)— b,
выписанные с учетом кратностей.
Заметим, что сумма любой пары
этих точек не лежит на решет-
решетке, поскольку / не вертикальна.
Точки —zu —z2, z3 — три ну-
нуля функции f(z) + т№ (г) + Ь.
Поэтому ±zu ztz2, ±z3— шесть нулей функции
— (тф (z) + b)*=f(№ (г)) — (тф (г) + Ь)*=4(ф W—xJW (z)—x2)x
х(ф (z)—x3), где xu x2, x3 — корни полинома f (x)—(mx+bJ.
Если, скажем, $(zl) = xl, то кратность значения хх зависит от
того, сколько из чисел ± z2, ± z3 равны ±zx. Но их количество
в точности равно количеству чисел z2, —z3, равных zx. Следо-
Следовательно, термин «кратность» имеет одинаковый смысл в обоих
случаях.
Это завершает доказательство предложения 12. ?
Предложение 12 проиллюстрировано на рис. 1.13, на котором
изображена группа точек эллиптической кривой у2 = х3 — х. Для
того чтобы сложить две точки Рг и Р2, мы проводим соединяю-
соединяющую их прямую, находим третью точку пересечения этой прямой
с нашей кривой и берем симметричную точку, лежащую по дру-
другую сторону от оси х.
Можно было бы с самого начала определить групповой закон
этим геометрическим способом и потом доказать, что выполняются
все аксиомы абелевой группы. Труднее всего было бы доказать
ассоциативность; для этого необходимо более глубокое изучение
пересечений кривых. Оказывается, имеется некоторая свобода в
определении группового закона. Например, в качестве групповой
единицы можно было бы выбрать вместо бесконечной точки лю-
f (zJ—

46 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
бую из восьми других точек перегиба. Подробности такого под-
подхода см. в книге [Walker 1978].
Недостаток нашего подхода, использующего $> (z), заключается
в том, что a priori он применим только к тем эллиптическим
кривым, которые имеют вид у2 = 4л;3— g2 {L)x—g\> (L) или приво-
приводятся к такому виду с помощью линейной замены координат
(заметим, что геометрическое описание группового закона после
такой замены координат по-прежнему дает коммутативный груп-
групповой закон). На самом деле, как мы уже отмечали, любая эл-
эллиптическая кривая над полем комплексных чисел может быть
приведена к форме Вейерштрасса для некоторой решетки L, и мы
со временем докажем это. Мы уже знаем, что наш излюбленный
пример у2 = хъ— п2х отвечает решетке, кратной решетке гауссовых
целых. В упражнениях к этому и последующим параграфам мы
позволим себе пользоваться тем, что групповой закон определен
для любой эллиптической кривой.
Нетрудно извлечь из этой геометрической процедуры формулы,
выражающие координаты (х3, у3) суммы точек Р1 = (х11 уг), Р2 =
= (х2, у2) через хи х2, уи у2 и коэффициенты уравнения эллип-
эллиптической кривой. Хотя, строго говоря, наш вывод годился только
для эллиптических кривых вида у2 = f (х) = 4л;3— g2 (L) х—g3 (L)
для некоторой решетки L, та же процедура приводит к комму-
коммутативному групповому закону на любой эллиптической кривой
y2 = f{x), как отмечалось выше. Поэтому мы будем считать, что
f (л;) = ал;3 + Ьх2 + сх + d ? С [л;] — произвольный кубический полином
с различными корнями.
В дальнейшем мы будем предполагать, что ни одна из точек
Ри Р2 не совпадает с бесконечной точкой и что Р1ф — Р2. Тогда
прямая, проходящая через Рх и Р2 (касательная к кривой в Р19
если Р1=Р2), может быть записана в виде у = тх+$, где т =
= (У2 — #i)/(*2—*i), если РхфР2, и m = dy/dx\{Xuylh если Рг = Р2.
В последнем случае мы можем выразить т через хг и у1у неявно
дифференцируя y2 = f(x)\ находим, что m = f'(x1)/2yl. В обоих
случаях отрезок, высекаемый на оси у, есть $ = уг — тх1.
Тогда л;3, лжоордината суммы, есть третий корень кубического
полинома f(x) — (тл;+CJ, два корня которого равны х1 и х2.
Сумма трех корней равна взятому со знаком минус отношению
коэффициента при х2 к старшему коэффициенту, т. е.
+ хъ = — ф—т2)/а. Следовательно,
= -*1-*1-4+-5-(gE7;)'. если Р,фР2, G.1)
Xi =-2x1—1 + 1 (-^)\ если Pt = P2. G.2)
//-координата уъ есть взятое со знаком минус значение линейной

§ 7. Закон сложения 47
функции y = tnx + fi в точке x = x3i т. е.
Уз = — У1+т (х1 — ха)\ G.3)
х3 определяется из G.1) или G.2), а т — из формул
w=(#2 —#i)/(*2—*i)> если рхФр^ п 4ч
т = Г(Х1)/2уи если Л = Л- 1 '
Если наша эллиптическая кривая записана в форме Вейер-
штрасса у2 = \хъ—g2x — g3i то в формулах сложения G.1) — G.4)
нужно положить а = 4, b = 0, f (xl)=\2x\—g2.
В принципе групповой закон можно было бы задать прямо
этими формулами. Тогда нужно было бы проверять выполнение
аксиом коммутативной группы. Труднее всего было бы проверить
ассоциативность. Несмотря на утомительность такого способа, он
имеет некоторое преимущество как перед комплексно аналитиче-
аналитическим способом, использующим j? (z), так и перед геометрическим.
А именно, в этих формулах ни разу не используется то, что
поле /С, над которым определена наша эллиптическая кривая,
есть поле комплексных чисел, ни даже то, что оно имеет харак-
характеристику 0. Это означает, что нашими формулами, имеющими
смысл над любым полем /С, характеристика которого не равна 2,
задается структура абелевой группы. Иными словами, если
у* _ j ^ __. пхъ _|_ fox2 _|_ сх _|_ d g K[x] есть уравнение эллиптической
кривой над /С, то мы можем складывать любые две точки, ко-
координаты которых лежат в некотором расширении поля /С, с по-
помощью формул G.1) — G.4). В дальнейшем мы будем пользоваться
этим фактом, несмотря на то, что, строго говоря, мы не проделали
утомительную (чисто алгебраическую) проверку аксиом абелевой
группы.
ЗАДАЧИ
1. Пусть LaR — аддитивная подгруппа {ты} чисел, кратных фиксированному
ненулевому вещественному числу со. Функция г\—> (cos Bnz/co), sin Bяг/со))
задает взаимно однозначное аналитическое отображение из R/L на кривую
х2-\-у2=\, лежащую в вещественной плоскости ху. Покажите, что обычное
сложение в R/L переходит в закон сложения точек на единичной окруж-
окружности, выражаемый рациональными (на самом деле полиномиальными)
функциями (т. е. координаты суммы являются полиномами от xit х2, Уи Уъ).
Таким образом, мы можем считать, что рациональный закон сложения на
эллиптической кривой является обобщением формул для синуса и косинуса
суммы углов.
2. (а) Упростите выражение для я-координаты точки 2Р в случае эллиптиче-
эллиптической кривой вида г/2=х3—п2х.
(b) Пусть X, К, Z — стороны рационального прямоугольного треугольника
с площадью п. Пусть Р — отвечающая ему точка на кривой г/2 = х3 — п2х,
построенная в § 1.2. Пусть Q—точка, построенная в задаче 2, § 1.2. По-
Покажите, что P=2Q.
(c) Пусть Р—точка с рациональными координатами на кривой у2 =х3—п2х.
Предположим, что порядок точки Р не равен двум. Докажите, что х-коор-

48 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
дината точки 2Р есть квадрат рационального числа, имеющего четный зна-
знаменатель. Поэтому, в частности, точка Q = (D1/7J, 720-41/73) на кривой
^2 = л:з—З12дс не представима в виде 2Р для точки Р с рациональными
координатами (напомним: п свободно от квадратов).
3. Опишите геометрически: (а) четыре точки порядка два на эллиптической
кривой; (Ь) девять точек порядка три; (с) как найти двенадцать точек,
порядок которых равен четырем, но не равен двум; (d) что означает ас-
ассоциативный закон в применении к соответствующим конфигурациям пря-
прямых, соединяющих точки эллиптической кривой (нарисуйте картинку).
4. (а) Сколько точек перегиба, кроме бесконечной точки, имеется на эллипти-
эллиптической кривой? Заметим, что они встречаются симметричными относительно
оси х парами. Найдите уравнение для х координат этих точек.
(Ь) В случае эллиптической кривой г/2 = дс3—п2х напишите окончательную
формулу для их х-координат. Докажите, что они иррациональны при лю-
любом п.
5. Фиксируем точку Q на эллиптической кривой. Сколько найдется точек Р,
таких, что 2P=Q? Опишите геометрически, как их находить.
6. Покажите, что если подполе KdC содержит g2 и ?з> то точки на эллипти-
эллиптической кривой г/2=4х3 — g2x— ?з> координаты которых лежат в /С, обра-
образуют подгруппу в группе всех точек. Покажите, что это верно и для общей
эллиптической кривой f/2 = f(jc), если f (х)?К [х].
7. Рассмотрим подгруппу точек на кривой у2 = х3—п2х с вещественными ко-
координатами. Сколько в этой подгруппе точек порядка 2? 3? 4? Опишите
геометрически, как расположены эти точки.
8. Сделайте то же, что в задаче 7, для эллиптической кривой г/2 = х3— а,
a?R.
9. Рассмотрим эллиптическую кривую y2 = f(x), где f(x) — полином с веще-
вещественными коэффициентами. Покажите, что группа точек с вещественными
координатами изоморфна (a) R/Z, если f (x) имеет только один веществен-
вещественный корень; (b) R/ZXZ/2Z, если f (x) имеет три вещественных корня.
10. Рассмотрим эллиптическую кривую из задачи 8, и пусть а стремится к
нулю. Покажите, что наша геометрическая процедура для нахождения
Pi+P2 превращает множество гладких точек кривой г/2 = х3 (т. е. точек
Р ф @, 0); бесконечную точку мы включаем) в абелеву группу. Покажите,
что отображение P = (jc, у) \—>х/у (бесконечная точка переходит в нуль)
задает изоморфизм построенной абелевой группы с аддитивной группой
комплексных чисел. Это называется «аддитивным вырождением» эллипти-
эллиптической кривой. Можно представлять себе это так: устремим coi и со2 к
бесконечности по разным направлениям. Тогда g2 и g3 стремятся к нулю
и уравнение соответствующей эллиптической кривой переходит в г/2 = 4х3.
Между тем, аддитивная группа C/L, где L = {тщ + ясо2}, переходит в ад-
аддитивную группу С, т. е. фундаментальный параллелограмм начинает за-
занимать всю плоскость.
11. Рассмотрим эллиптическую кривую г/2=(х2 — а) (х-\-1), и пусть а—> 0.
Применим нашу геометрическую процедуру нахождения Pi + Рг к кривой
у2 = х2 (х-\-\). Покажите, что при этом гладкие точки кривой наделяются
структурой абелевой группы. Покажите, что отображение Р = (х, у) \—>
i—>(у — хI(у-\-х) (бесконечная точка переходит в 1) задает изоморфизм
построенной абелевой группы с мультипликативной группой С* ненулевых
комплексных чисел. Это называется «мультипликативным вырождением»
эллиптической кривой. Нарисуйте график вещественных точек кривой
у2 = х2(х-\-\) и покажите, куда переходят его различные участки при изо-
изоморфизме с С*. Мультипликативное вырождение можно представлять себе
так. Сделаем линейную замену переменных у\—>iy/2, х\—> — х —1/3.
Уравнение кривой перейдет в у2=4х*—тх~7п (СР- с задачей 8 из § 1.6).
Значит, мы имеем дело с пределом при /—> оо группы C/{mit-\-nn}} т. е.

§ 8. Точки конечного порядка 49
с вертикальной полосой С/{лп} (вернее, с цилиндром, так как противо-
противоположные стороны полосы отождествляются). Отображение z\—>e2tz задает
изоморфизм этого цилиндра с С*.
§ 8. Точки конечного порядка
В любой группе имеются элементы конечного порядка и эле-
элементы бесконечного порядка. Множество элементов конечного по-
порядка в абелевой группе образует подгруппу, которая называется
подгруппой кручения. В случае группы точек на эллиптической
кривой y2 = f(x) непосредственно видно, что точка Pz = (x, у)
имеет конечный порядок тогда и только тогда, когда Nz?L для
некоторого N, т. е. тогда и только тогда, когда z есть рацио-
рациональная линейная комбинация чисел о)х и оз2. В этом случае
наименьшее такое N (являющееся наименьшим общим знаменате-
знаменателем коэффициентов при ыг и со2) и есть порядок точки Pz. При
изоморфизме между R/ZxR/Z и эллиптической кривой, заданном
формулой (a, b)tr-ь-Ра^ + ьыг, подгруппа кручения на эллиптической
кривой есть образ подгруппы Q/ZxQ/Z.
Это является двумерным аналогом группы точек на окруж-
окружности, подгруппа кручения которой есть группа всех корней из
единицы, т. е. группа чисел вида e2Jliz для zgQ/Z. Круговые
поля — расширения поля Q, порожденные корнями из единицы,—
являются центральными объектами в алгебраической теории чи-
чисел. По аналогии можно ожидать, что поля, полученные присо-
присоединением координат точек Р = (х, у) порядка N на эллиптиче-
эллиптической кривой, должны иметь замечательные свойства. Мы вскоре
увидим, что эти координаты алгебраичны (если алгебраичны
коэффициенты полинома /(*)). Аналогия между круговыми полями
и полями, связанными с точками конечного порядка на эллипти-
эллиптических кривых, более глубока, чем кажется на первый взгляд.
Основная область исследований в современной алгебраической
теории чисел как раз связана с обобщением на случай этих по-
полей различных утверждений из богатой результатами теории
круговых полей.
Фиксируем положительное целое число N. Пусть f(x) = ax3 +
+ bx2+ cx + d = a (х—ег) (х—е2) (х—е3) — кубический полином с
коэффициентами в поле /( характеристики, не равной 2. Предпо-
Предположим, что корни этого полинома (возможно, в некотором рас-
расширении поля К) различны. Мы хотим описывать координаты
точек порядка N (т. е. точного порядка, равного делителю чи-
числа N) на эллиптической кривой y2 = f (x), причем эти координаты
могут лежать в некотором расширении поля К- При N = 2 точки
порядка N— это бесконечная точка и точки (еь 0), * = 1, 2, 3.
Теперь предположим, что W > 2. Если /V нечетно, то под нетри-
нетривиальной точкой порядка N мы будем подразумевать точку
Р ф0у такую, что NP=0. Если N четно, то под нетривиальной

50 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
точкой порядка N мы будем подразумевать точку Р =Ф 0, такую,
чт0 NP = 0, но 2Р ф 0.
Предложение 13. Пусть К'—любое расширение поля К (не обя-
обязательно алгебраическое). Пусть а: К'—+оК'—любой изоморфизм
полей, оставляющий все точки поля К на месте. Пусть Р g P%—
точка на эллиптической кривой y2 = f(x)> точный порядок ко-
которой равен N (здесь f (х) ? К [х}). Тогда точка оР имеет точный
def
порядок Ny где для Р = {х, у, z)?P/<' мы обозначаем оР = (ох,
2
Доказательство. Из формул сложения следует, что оРг +
+ aP2=a(Pi + P2)\ отсюда N (oP) = a(NP) = oO=0, так как 0@,
1т 0) = @, 1, 0)). Поэтому точка оР имеет порядок Л\ причем N
должно быть ее точным порядком, так как из N'oP = 0 следует,
что o(N'P) = 0= @, 1, 0) и, значит, N'P = 0. Это доказывает
предложение. ?
Предложение 14. В ситуации предложения 13 пусть К — подполе
в С. Пусть KNaC — подполе, полученное присоединением к К
х- и у-координат всех точек порядка N. Пусть Kjtj — подполе,
полученное присоединением только х-координат этих точек.
Тогда и KN и Kn являются конечными расширениями Галуа поля К-
Доказательство. В обоих случаях (KN и Kn) мы присоединяем
конечное множество комплексных чисел; любой автоморфизм
поля С, оставляющий неподвижным /С, переставляет элементы
этого множества. Из этого немедленно следует предложение. ?
Если, например, N = 2, то К2 = К% есть поле разложения по-
полинома f(x) над К.
Напомним, что группа точек порядка N на эллиптической
кривой в $>? изоморфна (Z/NZ)x(Z/NZ). Любой автоморфизм
o?Ga\(KlX/K) сохраняет суммы, т. е. а (Р1 + Р2) = о(Р1) + а(Я2).
Отсюда следует, что а определяет обратимое линейное отображе-
отображение из (Z/NZJ в себя.
Для любого коммутативного кольца R обозначим через GLn (R)
группу обратимых ях/г-матриц с элементами из R. (Групповая
структура задается матричным умножением.) Обратимость матрицы
А эквивалентна тому, что det A ? R*, где R* — мультипликативная
группа обратимых элементов кольца. Например,
A) GL, (/?) = /?•;
а Ъ
B) GL2 (Z/NZ) =
а, Ь, с, d?Z/NZ, ad—bc€(Z/NZy
Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между
обратимыми линейными отображениями из Rn в Rn и элементами

§ 8. Точки конечного порядка 51
группы GLn(R). В этом смысле тут нет отличий от более при-
привычного случая, когда R — поле.
Возвращаясь к нашей ситуации с точками порядка N на эл-
эллиптической кривой, мы видим, что группа Gal (KN/K) изоморфна
подгруппе группы обратимых линейных отображений (Z/NZJ—>
—>(Z/AfZJ. Таким образом, каждому а ? Gal (KN/K) отвечает мат-
матрица ( )€GL2(Z/NZ). Матричные элементы определяются
с &
формулами
Заметим, что это служит непосредственным обобщением случая
кругового поля QN= Q (*}/1). Напомним, что Gal (QNlQ)
(ZNZy GL(ZNZ) GL ZNZ)
N (}) , (N)
(y = GL1(Z/NZ)9 причем элемент а ? GLX (Z/NZ), отве-
отвечающий 0, определяется формулой
В двумерном случае имеется одно отличие. Отображение
Gal (KNIK) —> GL2 (XINX) не является в общем случае изоморфиз-
изоморфизмом. Это только вложение.
Пусть теперь K=Q{g2, gs)c:C, где g2, ^ — коэффициенты в
уравнении у2 = f(x) = \хъ —g2x—g3 эллиптической кривой в форме
Вейерштрасса. Пользуясь ?Р-функцией, мы найдем полином, корни
которого являются х-координатами точек порядка Af; Kti—поле
разложения такого полинома.
Построим сперва эллиптическую функцию, обращающуюся в
нуль в точности в тех точках z, для которых Pz — точки порядка N.
Будем следовать предписаниям из доказательства предложения 9
из § 1.5. Если u^C/L — точка порядка Л/, то такова же симмет-
симметричная точка —и (когда мы работали с фундаментальным парал-
параллелограммом, мы обозначали ее через г/*). Рассмотрим два случая.
(i) N нечетно. Тогда точки и и —и различны по модулю ре-
решетки L. Другими словами, если и имеет нечетный порядок /V,
то и не может быть одной из точек сох/2, о2/2, (^1-\-^2)J. Опре-
Определим функцию
где произведение берется по таким ненулевым и ? C/L, для кото-
которых Nu^L, причем из каждой пары и, —и берется только один
элемент. Тогда fN (z) = FN (ф (z)), где FN (x) б С [х] — полином сте-
степени (Af2 — 1)/2. Четная эллиптическая функция fN (z) имеет Л/2 — 1
простых нулей и единственный полюс в точке 0 порядка М2—1.
Главный член разложения этой функции около z = 0 равен N/zNZ~1,

52 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
(ii) N четно. Пусть теперь и g C/L таково, что Nu g L, но 2и (? L,
т. е. ифО, сох/2, @2/2, (оI + оз2)/2. Пусть fy(z)— произведение,
аналогичное (8.1). Тогда JN (z) = FN (jp (z)), где FN (x) g С [х] —
полином степени (N2 — 4)/2. Четная эллиптическая функция ]N{z)
имеет Л^2—4 простых нулей и единственный полюс в точке О
порядка /V2 — 4. Главный член разложения этой функции около
2 = 0 равен Л^/2Л'2~4.
В случае нечетного N имеем
fN{zf = N* П (84*)-Ии)).
ОФиеС/L, NueL
def 1
В случае четного N пусть fN{z) = -^ f'(z) fN (г). Тогда
= N*(®(z)-e1)(®(z)-e2)(V(z)-e3) Ц
, NueL,
д
Мы видим, что точка (х, г/) = (^(г), f?'B)) имеет нечетный поря-
порядок Л^ тогда и только тогда, когда FN(x) = 0. Эта точка имеет
четный порядок /V тогда и только тогда, когда либо у = 0 (т. е. это
точка порядка 2), либо же FN(x) = 0.
Из предложений 13 и 14 мы знаем, что любой автоморфизм
поля С, оставляющий неподвижным K=Q(g2, gs)r переставляет
корни полинома FN. Следовательно, коэффициенты этого полинома
лежат в K=Q(g2, g3)-
Если бы наша исходная кривая у2 = f (x) = axs + bx2 +cx + d
не была бы записана в форме Вейерштрасса и мы бы хотели избе-
избежать использования ^-функции, то можно было бы пользоваться
формулами сложения G.1) — G.4) для того, чтобы выразить х-коор-
динату точки NP как рациональную функцию от х и у, где
Р = (х, у). Пользуясь соотношением y2=f(x) для упрощения про-
промежуточных формул, мы бы пришли к выражению, знаменатель
которого обращался бы в нуль в тех и только в тех точках, для
которых NP — бесконечная точка, т. е. в точках порядка N (напом-
(напомним, что мы говорим, что порядок точки равен N, если ее точный
порядок равен или делит N).
Какой вид имело бы выражение для знаменателя х-координаты
точки NP? Предположим, например, что N нечетно. Тогда знаме-
знаменатель представляет собой выражение из К [х, у], в которое у
входит не более чем в первой степени (здесь K=Q(a1 6, с, d)).
Это выражение обращается в нуль тогда и только тогда, когда х

§ 8. Точки конечного порядка 53
равно х-координате одной из (N2 — \)/2 нетривиальных точек по-
порядка АЛ Отсюда следует, что это выражение должно быть поли-
полиномом только от х с (N2—1)/2 корнями. Аналогично, в случае,
когда N четно, мы находим, что знаменатель имеет вид г/-(полином
по х), где полином по х из К [х] имеет (N2— 4)/2 корней.
Важно отметить, что алгебраическая процедура, описанная
в последних двух абзацах, применима к эллиптическим кривым
над любым полем К характеристики, не равной двум, а не только
над подполями поля комплексных чисел. Таким образом, для
любого К выражение в знаменателе х-координаты точки NP обра-
обращается в нуль не более чем в N2 — 1 точках (х, у).
Однако для общего поля К количество нетривиальных точек
порядка N необязательно равно АР—1. Конечно, если К алгеб-
алгебраически незамкнуто, то координаты точек порядка N могут
лежать в некотором расширении поля К. Более того, если К
имеет характеристику р, то уменьшение количества точек по-
порядка N может происходить еще по одной причине: старший коэф-
коэффициент выражения в знаменателе может быть равен нулю по
модулю р и, значит, степень полинома может уменьшаться. Скоро
нам встретятся примеры, в которых число точек порядка N, даже
с координатами в Ka]gc\ меньше, чем N2.
Наше обсуждение приводит к следующему предложению.
Предложение 15. Пусть y2 = f(x) — эллиптическая кривая над
любым полем К характеристики, не равной двум. Тогда имеется
не более чем N2 точек порядка N над любым расширением /('
поля К.
Теперь обсудим кратко случай конечного поля /С, для топ>
чтобы проиллюстрировать одно применение предложения 15. Позже
мы будем изучать эллиптические кривые над конечными полями
более подробно.
Так как Рр содержит конечное число точек (а именно q2 + q +
+ 1), то эллиптическая кривая y2=f(x), где / (х) ? р^ [х], тоже
содержит лишь конечное число р^-точек. Поэтому группа р^-точек
есть конечная абелева группа.
Под типом конечной абелевой группы мы подразумеваем ее
запись в виде произведения циклических групп порядков, равных
степеням простых чисел. Мы выписываем порядки возникающих
циклических групп в виде 2а*, 2*4 2?% ..., За% ЗР», 3?», ..., 5°S
5^5, .... Из предложения 15 следует, что не все типы могут
встречаться как типы групп р^-точек кривой y2 = f(x). А именно,
для каждого простого / имеется не более двух компонент поряд-
порядков /а*, /р*» поскольку в противном случае мы имели бы более
чем /2 точек порядка /. И, конечно, lai+^i должно равняться
порядку числа /, делящему порядок группы.

54 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
В качестве примера рассмотрим эллиптическую кривую у2 =
= хъ — п2х над K = fq (конечное поле из q = pf элементов), при-
причем р не делит 2я. Особенно легко считать количество р^-точек
в случае, когда q = 3 (mod 4).
Предложение 16. Пусть q = pf, р\2п. Предположим, что q =
= 3(mod4). Тогда на эллиптической кривой у2 = хъ— п2х имеется
(<7+!) ?д-точек.
Доказательство. Прежде всего имеется четыре точки порядка 2:
бесконечная точка, @, 0) и (=Ь я, 0). Пересчитаем теперь все пары
(ху у), для которых хфО, я, —п. Разобьем эти q — 3 значениях
на пары {х, —х}. Поскольку f(x)=xs — п2х — нечетная функция
и (— 1) не является квадратом в fg (здесь использовано предпо-
предположение, что q = 3 (mod 4)), мы видим, что в точности один из
двух элементов f (х) и / (—х) = — f (х) является квадратом в fq
(напомним, что в мультипликативной группе конечного поля квад-
квадраты образуют подгруппу индекса 2, поэтому произведение двух
неквадратов есть квадрат, а произведение квадрата и неквадрата
есть неквадрат). В любом случае мы получаем ровно две точки,
либо (х, ±Vf(x))y либо же (—х, ±Vf( — x)). Таким образом,
(q—3)/2 пар дают нам q — 3 точек. Учитывая четыре точки
порядка 2, мы получаем {q-\- 1) р^-точек, что и утверждалось. ?
Заметим, что, когда g = 3(mod4), число р^-точек на эллипти-
эллиптической кривой у2 = х3—п2х не зависит от я. Это перестает быть
верным для q= I (mod 4).
Например, из предложения 16 мы получаем, что для q = 73
имеются 344 = 23-43 точки. Учитывая четыре точки порядка 2,
мы видим, что тип группы Р343-точек на кривой уг = хъ — п2х
должен быть B, 22, 43)."
Более интересный пример доставляет случай q = p = 107. Тогда
имеется 108 = 22-33 точек. Тип группы может быть либо B, 2, З3),
либо B, 2, 3, З2). Для того чтобы понять, к какому именно типу
относится наша группа, нужно определить, сколько точек по-
порядка 3, три или девять, имеется на кривой. (Нетривиальные
точки порядка 3 должны существовать, поскольку 3 делит поря-
порядок группы.) Напомним уравнение для дг-координат точек порядка 3
(см. задачу 4 из § 7):
2 + я4 = 0, т. е. x = ±n}/l±2VlS /3.
Тогда соответствующие ^-координаты равны ± V f(x). Мы хотим
узнать, сколько из этих точек имеют обе координаты в самом
поле Рю7» а не в его расширении. Можно вычислить, что в р107
справедливо равенство !/ =± 18. Поэтому х = чьпVV5 , ztnV—11
и т. д. Но даже и без этих вычислений ясно, что не все девять

§ 8. Точки конечного порядка 55
точек имеют координаты в р107. Это происходит потому, что если
координаты точки (ху у) лежат в р107, то (—х, ]/ — \у) — другая
точка порядка 3 и ее координаты не лежат в Рю7- Таким обра-
образом, имеются только три точки порядка 3 и тип группы есть
B, 2, З3).
Заметим, что если К—любое поле характеристики 3, то группа
К-точек не имеет нетривиальных точек порядка 3, поскольку
— Зх* + 6п2х2 + az4 = п*фО. Это пример упомянутого выше явле-
явления понижения степени полинома. Оказывается, то же самое
верно и для любого р = 3(mod4), а именно, в этом случае отсут-
отсутствуют точки порядка р над полем характеристики р. Это связано
с тем, что такое р остается простым в кольце гауссовых целых,
весьма тесно связанном с нужными нам эллиптическими кривыми
(см. задачу 13 из § 6). Сейчас мы не будем вдаваться в это
подробнее.
ЗАДАЧИ
1. Рассмотрим эллиптическую кривую у2 = 4x3 — g2x—g3. Выразите $ (Nz) как:
рациональную функцию от Jp (г) для N = 2.
2. Пусть fw(z) — эллиптическая функция, определенная выше. Выразите /з(г)
как полином от ^ (г).
3. Положим /i(z) = l. Покажите, что для 7V = 2, 3, 4, ... выполнено ра-
равенство
f (Nz) = f (г) - fN_ г (z) fN+ x (z)/fN (гJ.
4. В обозначениях предложения 14 предположим, что а ? Gal (KnIK) оставляет
неподвижными х-координаты всех точек порядка N, т.е. о\ +—тождест-
венное преобразование. Покажите, что образ элемента а в GL2A1/N'Ii) равен
± 1. Выведите, что Gal (K^/Kn) = {± 1}Г)^> где G — образ группы Gal {Км/К)
в GL2(Z/NZ). Каков аналог этой ситуации для круговых полей?
5. Пусть L = {mco1+tfco2}, и пусть Е — эллиптическая кривая #2 = 4л:3—g>2(L)x —
— g3 Щ- Заметим, что Е не меняется при замене базиса решетки L. Однако
меняется изоморфизм групп C/L « R/ZXR/Z, а вместе с ним и изоморфизм
группы точек порядка N на Е с группой Z/NZXIi/NIi- Например, при
замене базиса (шх, со2) на базис (coi, @0 в точку A, Q)?%,/N%iX%,/N%
переходит точка ($((*>i/N), $' ((o[/N)) вместо точки ($(&i/N), $' (coi/Л7)).
Какое изменение при такой замене базиса претерпевает образ группы
Ga\(KN/K) в GL2(z/N%)*
6. Покажите, что группа GL2B/2^) изоморфна 53, группе перестановок мно-
множества {1,2, 3}. Для каждой из следующих эллиптических кривых опишите
образ в GL2(Z/2Z) группы Галуа поля, порожденного координатами точек
порядка 2 над Q:
(a) у2=хя—пх (п не является квадратом);
(b) у2 = х*—п2х;
(c) #2 = л:3 — п (п не является кубом);
(d) у2 = х* — пг.
7. (а) Из скольких элементов состоит группа G2(^/3Z)
(b) Опишите расширение /С3 поля K=Q, порожденное координатами всех
точек порядка 3 на эллиптической кривой у2 = х*— п2х.

56 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
(c) Найдите [Кз • Q]. Какая подгруппа в GL2(!i1/Sz) изоморфна Gal C/)
(d) Дайте простой пример элемента из GL2 (Z/3Z), не лежащего в образе
группы Gal (Кз/Q)', иначе говоря, найдите пару элементов e1=(m1@i+/t1@2)/3,
г2 = (т2со1Н-/12со2)/3, таких, что все множество (mwi + mo2)/3 порождается
ими, но PZl, PZ2 не могут быть получены из Р^^, Р^ /3 применением авто-
автоморфизма к координатам этой пары точек.
8. В задаче 13 из § 1.6 мы видели, что решетка L, отвечающая кривой у2 =
= х3—п2х, получается из решетки гауссовых целых умножением на число
?R L { } [i
i].
(a) Пскажите, что отображение z\—>iz задает аналитический автоморфизм
аддитивной группы C/L; в общем случае любое гауссово целое а-\-Ы(^Ъ Щ
задает аналитический эндоморфизм группы C/L формулой z\—>(а-\-Ы) г.
(b) Заметим, что при 6 = 0 это то отображение г\—>z-\-z-\-... -\-z (а раз),
которое определяет отображение фа: Pi—>aP на эллиптической кривой.
Вспоминая определения функций $>(z), $>' (z), покажите, что отображение
г\—>iz задает автоморфизм ф/: (х, у)\—>(—х, iy) эллиптической кривой.
Это пример того, что называется комплексным умножением. Покажите, что
Ф/°Ф/ = ф-1 и что отображение а-\-Ы\—>фа + &/ есть вложение кольца % [i]
в кольцо эндоморфизмов группы точек на эллиптической кривой.
(c) Пусть L — решетка в С, для которой существует комплексное число
а=а-\-Ы, Ь Ф 0, такое, что aLczL. Покажите, что тогда а —квадратичное
мнимое алгебраическое целое число и что L содержит подрешетку конечного
индекса вида со22[а].
9. Каждая из следующих точек имеет конечный порядок на соответствующей
эллиптической кривой. Найдите его.
(a) Р = @, 4) на #2=4л:3+16;
(b) Р = B, 8) на у2=4х*+\6х,
(c) Р = B, 3) на у2 = хъ+\\
(d) P = C, 8) на #2=л:3-43л: + 166;
(e) Р = C, 12) на у* = л:3- 14л:2+ 81л:;
(f) P=@, 0) на у* + *2
(g) P = (lf 0) на у*
§ 9. Точки над конечными полями
и задача о конгруэнтных числах
Мы интересовались в основном эллиптическими кривыми Е
над полем Q, в частности эллиптическими кривыми вида у2 =
= хъ — п2х, которые мы будем обозначать через Еп. Но для любого
поля Ку характеристика р которого не делит 2я, это же уравнение
определяет эллиптическую кривую над К (мы рассматриваем п
как вычет по модулю р). Обозначим через Еп (К) множество точек
на этой кривой с координатами в К. С таким обозначением пред-
предложение 16 из предыдущего параграфа можно сформулировать
так: если ^ = 3(mod4), то #En(fq)=q + l.
Эллиптическая кривая Еп, рассматриваемая над fp, называется
редукцией по модулю р\ мы говорим, что Еп имеет хорошую редук-
редукцию, если р\2п, т. е. если у2=х6 — п2х определяет эллиптическую
кривую над fp. Вообще, если y2 = f(x) — эллиптическая кривая Е,
определенная над полем алгебраических чисел, и р — простой идеал
этого поля, не делящий ни знаменателей коэффициентов поли-

§ 9. Точки над конечными полями 57
нома /(х), ни дискриминанта полинома f(x)y то при редукции по
модулю $ мы получаем эллиптическую кривую над (конечным)
полем вычетов идеала р.
На первый взгляд может показаться, что эллиптические кри-
кривые над конечными полями, приводящие лишь к конечным абеле-
вым группам, не заслуживают серьезного внимания и что редук-
редукция по модулю р — всего лишь пустая забава, которая не поможет
в нашем первоначальном намерении изучать Q-точки кривой у2 =
= х3 — п2х. Однако это далеко не так. Часто из информации о
различных редукциях по модулю р можно извлечь полезные све-
сведения о Q-точках. Обычно это тонкая и сложная процедура,
изобилующая гипотезами и нерешенными проблемами. Однако один
из результатов подобного типа достаточно прост, и мы уже сейчас
можем описать его. А именно, используя редукцию по модулю р
для различных простых ру мы определим подгруппу кручения
в группе En(Q) Q-точек на кривой у2 = х3— п2х.
В любой абелевой группе элементы конечного порядка обра-
образуют подгруппу, которая называется подгруппой кручения. Рас-
Рассмотрим, например, группу Е (С) комплексных точек на эллипти-
эллиптической кривой, изоморфную C/L. Эта группа в свою очередь изо-
изоморфна R/ZxR/Z для любой решетки L (см. задачу 2 из § 1.5).
Подгруппа кручения в R/ZxR/Z есть Q/ZxQ/Z, и в C/L ей
отвечает подгруппа рациональных линейных комбинаций чисел:
% и (о2. Основная теорема Морделла утверждает, что группа Е (Q)
Q-точек на эллиптической кривой, определенной над Q, есть
конечно порожденная абелева группа. Это означает, что A) под-
подгруппа кручения Е (Q)tors конечна, и B) Е (Q) изоморфна прямой
сумме ?(Q)tors и конечного числа экземпляров группы Z: E (Q) я^
« ?(Q)tors(J)Zr. Неотрицательное целое число г называется ран-
рангом группы Е (Q). Оно больше нуля тогда и только тогда, когда Е
имеет бесконечно много Q-точек. Кстати говоря, теорема Морделла
остается верной при замене поля Q на любое поле алгебраических
чисел. Это обобщение, доказанное Андре Вейлем, известно как
теорема Морделла — Вейля. Нам эта теорема не понадобится, даже
в форме, доказанной Морделлом. За доказательством мы отсылаем
читателя к книге Хьюзмюллера по эллиптическим кривым или же
к книге [Lang 1978b].
Мы докажем, что на Еп есть только четыре рациональные точки
конечного порядка. Порядок этих точек равен 2, и эти точки
суть 0 (бесконечная точка), @, 0), (± п, 0).
Предложение 17. #Еп (Q)tors = 4.
Доказательство. Идея заключается в построении гомоморфизма
группы Еп (Q)tors в ГРУППУ Еп (Fp), инъективного для почти всех р.
Отсюда будет следовать, что для таких р порядок группы Еп (Q)tOrs
делит порядок группы En(fp). Но никакое число, большее четы-

58 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
рех, не может делить все такие числа #En(fp), поскольку уже
для простых /? = 3(mod4) последовательность #Еп (fp) пробегает
значения р+1 (см. предложение 16).
Начнем доказательство предложения 17 с построения гомо-
гомоморфизма группы Q-точек на Еп в группу fp-точек. На самом
деле мы просто построим отображение из Pq в р| .В дальнейшем
мы всегда будем выбирать тройку (х, у, г), представляющую
точку из Pq, так, что х, у, z— целые числа, не имеющие общего
делителя. С точностью до умножения на ± 1, в каждом классе
эквивалентности имеется только одна такая тройка.
Фиксируем простое число ру и пусть черта означает взятие
вычета по модулю р. Сопоставим точке Р = (х, у, z) ? Pq точку
Р = (х, ~у, г)?р| • Заметим, что тройка х, ~у, I не равна тождест-
тождественно нулю, поскольку р не может делить все три числа х, у, г.
Заметим также, что Р не изменится, если мы умножим тройку
(лг, у, z) на число, взаимно простое с р.
Легко видеть, что если точка Р = (х, у, z) лежит в En(Q),
т. е. если у-г = х*—n2xz2, то Р лежит в En(fp). Мы можем вос-
воспользоваться формулами сложения G.1) — G.4) для того, чтобы
найти сумму двух точек, а потом сделать редукцию по модулю р
или же сначала взять редукцию по модулю /?, а потом использо-
использовать формулы сложения. Очевидно, что результаты совпадут.
Отсюда следует, что при нашем отображении точка Рх + Р2 пере-
переходит в точку Рг + Р2. Другими словами, наше отображение задает
гомоморфизм из En(Q) в En(fp) для любого простого р\2п.
Выясним теперь, когда это отображение не инъективно, т. е.
когда образы двух точек Р1 = (х1У yly zt) и Р2 = (х21 у2, z2) из
Pq совпадают в Рр , Pi = P2.
Лемма. РХ = Р2 тогда и только тогда, когда векторное произве-
произведение троек Рх и Р2, рассматриваемых как векторы в R3, делится
на р, т. е. тогда и только тогда, когда р делит yxz2 — y2zu
Доказательство леммы. Предположим сначала, что р делит
векторное произведение. Рассмотрим два случая:
(i) p делит хх. Тогда р делит x2zx и х2ух и, следовательно,
делит х2У так как р не может делить хи ух и zx одновременно.
Пусть, например, р\ ух (аналогичное рассуждение применимо и к
случаю pjfzj. Тогда Р2=@, угу2У ^Е2) = @, ~угу2, у2г1) = @9 уи 1г) =
= Рг (мы воспользовались тем, что р делит yxz2 — у2гг).
(и) р не делит хг. Тогда Р2=(х1х21 \у2У xj2) = (хгх2, х2уи

§ 9. Точки над конечными полями 59
Обратно, предположим, что Рг = Р2. Без потери общности
можно считать, что р\ хг (аналогичное рассуждение применимо,
если р\\)х или р^гг). Из того что Рг = Р2=(х2У г/2, 72), следует,
что р\х2. Следовательно, (х^х2, ~x-Jj2, 3F172) = P2 = P1 =C^, ~х^и
XjFj). Поскольку первые координаты одинаковы, эти две точки
могут совпадать только в том случае, если равны между собой
их вторые и третьи координаты, т. е. если р делит х1у2 — х2у1 и
xxz2—х2г1. Наконец, мы должны показать, что р делит yxz2— y2z1.
В случае когда оба числа ух и гг делятся на /?, это очевидно.
В противном случае доказательство можно получить, повторяя
описанные выше рассуждения с заменой хи х2 на уи у2 или zu z2.
Это завершает доказательство леммы.
Теперь мы можем перейти к доказательству предложения 17.
Предположим, что оно неверно, т. е. что?„@) содержит точку ко-
конечного порядка, большего 2. Тогда либо оно содержит точку
нечетного порядка, либо же группа точек порядка, равного или
делящего 4, содержит восемь или шестнадцать элементов. В любом
случае мы получим подгруппу S = {PU P2J ..., Pm}czEn (Q)tor8,
где m = #S либо равно 8, либо нечетно.
Выпишем представители всех точек Р{, i = l, ..., /л, Pt =
= (x(i yt, z{). Для каждой пары точек Pf, Pj рассмотрим их.
векторное произведение (y(Zj— у-}гь XjZt — x{Zj, xtyj—Xjy() ^ R3.
Поскольку точки Pt и Pj различны, соответствующие векторы в
R3 не пропорциональны, и поэтому их векторное произведение не
равно нулю. Обозначим через пи- наибольший общий делитель
координат этого векторного произведения. В соответствии с лем-
леммой образы точек Рг и Pj в Еп (р^) совпадают тогда и только
тогда, когда р делит я/у. Следовательно, если р—простое число
с хорошей редукцией и р больше, чем все n{j, то образы всех
точек различны, т. е. отображение редукции по модулю р задает
инъективный гомоморфизм группы S в Еп^р).
Но это означает, что почти для всех р (т. е. для всех, кроме,,
быть может, конечного числа) число т должно делить #En(fp)r
поскольку образ группы 5 есть подгруппа порядка т. Тогда
почти для всех простых /?, сравнимых с 3(mod4), мы получаем
по предложению 16, что р = — 1 (mod/л). Но это противоречит
теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
А именно, если /л =8, то это означает, что имеется только конеч-
конечное число простых чисел вида 8& + 3. Если же т нечетно, то это
означает, что имеется только конечное число простых чисел вида
4/л/г+З (в случае З^т) и 12&+7 (в случае 3\т). Во всех
случаях теорема Дирихле гласит, что имеется бесконечно много
простых чисел такого вида. Это завершает доказательство пред-
предложения 17. ?
Обратим внимание на то, что с помощью редукции по модулю

60 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
р в сочетании с использованием предложения 16 для бесконечного
множества различных р нам удалось довольно легко доказать
сильный результат: Еп не содержит неочевидных рациональных
точек конечного порядка. Вскоре мы увидим, как этот факт
используется в задачах о конгруэнтных числах. Гораздо инте-
интереснее и труднее вопрос о наличии точек бесконечного порядка,
т. е. вопрос о том, равен или не равен нулю ранг г группы
En{Q). Мы увидим, что этот вопрос на самом деле эквивалентен
вопросу о том, является ли п конгруэнтным числом.
Итак, естественно спросить: можно ли из информации о ре-
редукции по модулю р извлечь какие-нибудь сведения о ранге
эллиптической кривой. Этот тонкий вопрос приведет нас в сле-
следующих главах к гипотезе Бёрча — Суиннертон-Дайера для эллип-
эллиптических кривых.
Дальнейшее обсуждение общих мотивов рассмотрения эллип-
эллиптических кривых над конечными полями см. в работе [Koblitz
1982].
Докажем теперь обещанное следствие предложения 17.
Предложение 18. Число п конгруэнтно тогда и только тогда,
когда ранг г группы Еп (Q) не равен нулю.
Доказательство. Предположим сперва, что число п конгруэнт-
конгруэнтно. В начале § 2 мы видели, что по прямоугольному треуголь-
треугольнику с рациональными сторонами и площадью п строится рацио-
рациональная точка на Еп, х-координата которой лежит в (С3+J.
Поскольку л-координаты всех трех нетривиальных точек порядка
2 суть 0, ± пу мы видим, что должна существовать рациональная
точка порядка, не равного 2. По предложению 17 такая точка
имеет бесконечный порядок, т. е. г^1.
Обратно, предположим, что Р — точка бесконечного порядка.
Из задачи 2 (с) § 1.7 мы знаем, что х-координата точки 2Р явля-
является квадратом рационального числа, имеющего четный знамена-
знаменатель. Далее, по предложению 2 из § 1.2, точке 2Р отвечает (при
соответствии из предложения 1) прямоугольный треугольник с
рациональными сторонами и площадью п. Это доказывает пред-
предложение 18. ?
Обратим внимание на то, как используется предложение 17
в доказательстве предложения 18. Из него следует, что нетри-
нетривиальные рациональные точки вида 2Р можно получить только
из точек бесконечного порядка. Пусть 2Еп (Q) обозначает под-
подгруппу в En(Q)y состоящую из точек вида 2Р, где Р — рациональ-
рациональная точка. Тогда предложение 17 эквивалентно утверждению, что
2Еп (Q) есть абелева группа, свободная от кручения, т. е. группа,
изоморфная сумме некоторого количества (а именно, г) экземп-
экземпляров группы Z. Множество 2Еп (Q) — 0 @ обозначает бесконеч-
бесконечную точку) пусто тогда и только тогда, когда г=0.

§ 9. Точки над конечными полями 61
Мы видели, что при соответствии из предложения 1 точкам
множества 2Еп (Q) — 0 отвечают прямоугольные треугольники с
рациональными сторонами и площадью п. Естественно задать
вопрос, все ли точки, удовлетворяющие условиям предложения
2, т. е. отвечающие треугольникам, имеют вид 2Р для рациональ-
рациональных Р. Мы докажем, что ответ на этот вопрос утвердительный.
При этом мы дадим другой вывод предложения 18, не опираю-
опирающийся на задачу 2 (с) из § 1.7.
Предложение 19. Имеется взаимно однозначное соответствие
между прямоугольными треугольниками с рациональными сторо-
сторонами X < F < Z и площадью п и парами точек (ху ± у) ?
? 2Еп (Q) — 0. Соответствие задается формулами
(х, ±у) ь-> Ух + п — Ух—п , У'х + п +У'х—п , 2 К*7;
X, Y, Z^(Z*A, ±(y»-X*)Z/8).
В свете предложения 1 из § 1.1 предложение 19 есть немед-
немедленное следствие следующего общего описания точек вида 2Р на
эллиптических кривых.
Предложение 20. Пусть Е— эллиптическая кривая у2=(х—ег)х
х (х— е.2) {х—е3) с еи е2У es ? Q. Пусть Р = (х0, у0) g Ё (Q) —0.
Тогда P?2E(Q) — 0 в том и только том случае, когда все три
числа х0 — е1у х0—е2, х0 — е3 являются квадратами рациональных
чисел.
Доказательство. Без потери общности мы можем предполо-
предположить, что хо=О. Чтобы убедиться в этом, сделаем замену пере-
переменных х = х — х0. Поскольку геометрическая картинка, описы-
описывающая сложение точек, просто сдвигается, мы видим, что точка
Р'=@, у0) на кривой Е' с уравнением у2 = (х—е'1)(х—е'2)(х— е^)У
где е\ = е1—х0, лежит в 2?"(Q)—0 тогда и только тогда, когда
исходная точка Р лежит в 2Е (Q)—0; очевидно, что все числа
х0—е{ квадраты тогда и только тогда, когда таковы числа @ —е-).
Поэтому достаточно доказать предложение для хо = О.
Далее заметим, что если существует Q?E(Q), такая, что
2Q = Py то существуют ровно четыре такие точки: Q, Qly Q2, Q3 €
g?(Q), 2Qi = P. Чтобы получить Qf, достаточно просто добавить
к Q точку (eh 0)g?(Q) порядка 2 (см. задачу 5 из § 1.7).
Выберем точку Q = (xi у) так, что 2Q = P = @, у0). Мы хотим
найти условия, при которых координаты одной из таких точек
Q (а, следовательно, всех четырех) рациональны. Точка Q на
эллиптической кривой удовлетворяет уравнению 2Q = P тогда и
только тогда, когда касательная прямая к кривой в точке Q
проходит через —Р = @, —у0). Геометрически четыре точки Q
получаются, если нарисовать четыре различные прямые, исходя-
исходящие из —Р и касающиеся кривой.

62 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
Легко проверить, что координаты (х, у) рациональны тогда и
только тогда, когда рационален наклон прямой, соединяю-
соединяющей —Р с Q. Часть «только тогда» очевидна. Обратно, если
наклон т рационален, то я-координата точки Q, являющаяся
двойным корнем кубического полинома (тх—у0J = (х—е^ (х—е2) х
X (х— ?3), также рациональна (в явном виде х = (е1 + е2 + е3 + т2)/2).
В этом случае у-координата точки Q также рациональна: у =
= тх—у0. Таким образом, нам нужно узнать, когда наклон одной,
а, значит, всех четырех прямых, выходящих из —Р и касающихся
?, рационален.
Число т?С является наклоном прямой, исходящей из
—Р и касательной к Е, тогда и только тогда, когда следующее
уравнение имеет двойной корень:
(тх—у0J = (x—ej) (х—е2) (х—е3) =х* + ах2 + Ьх + с, (9.1)
где
а = —е1—е2—еЗУ Ъ = еге2 + е±ед + е2еЗУ (9.2)
С = ?i#2^3 = У 0 *
Последнее равенство с = у\ следует из того, что точка @, у0) ле-
лежит на кривой у2 = х*+ах2 + Ьх +с. Воспользовавшись этим,
можно упростить (9.1) и сократить на х. Мы приходим к тому,
что следующее квадратное уравнение должно иметь кратный
корень:
Это эквивалентно тому, что его дискриминант должен равняться
нулю:
(а—т2J — 4 ф + 2ту0) = 0. (9.3)
Таким образом, нам нужно определить, когда один корень этого
полинома четвертой степени по т рационален (тогда рациональны
все четыре корня).
Мы хотим записать это условие через е{ (а именно, мы утверж-
утверждаем, что его можно записать в виде —et ^ Q2). Коэффициенты а и
Ъ—симметрические полиномы от et, а у0 — нет. Однако у0 является
симметрическим полиномом от Vet. Введем поэтому числа fi9
такие, что fj = — et. Если et не равны 0, то имеется два возмож-
возможных варианта для каждого из /{. Выберем ft любым из этих спо-
способов, подчинив их только условию yo = fi-f2'f3- Если все et от-
отличны от нуля, то это означает, что знаки у /х и /2 произволь-
произвольны, а знак числа /3 определяется из того условия, что у0 и
/i'/у/з —это °ДИН и тот же корень из (— е1-е2-е3). Если, скажем,
е3 = 0, то выбор знаков для /х и /2 произволен и, конечно, /3 = 0.
Во всех случаях имеется четыре способа задания чисел /?, согла-
согласованных с требованием yo = fi-f2-fs- Если мы фиксировали один

§ 9. Точки над конечными полями 63
из таких способов, то список всех четырех способов таков (мы
предполагаем, что ег и е2 не равны нулю):
/1» /2» /з> /1» /2» /з» /1» /2» /з» —/1» /2» /з- (9-4)
Преимущество перехода от е( к /,- заключается в том, что
теперь все коэффициенты уравнения (9.3) являются симметриче-
симметрическими функциями от /х, /2, /3- Точнее говоря, если мы введем
элементарные симметрические функции sx = fx-\- f2 + /3» s2 =
= /1/2 + /1/3 + /2/3» s9 = fJJ9, то
Таким образом, уравнение (9.3) принимает вид
О = (m* _ si + 2s2J - 4 (s\ - 2Sls3 + 2/ns3)
( )
Мы видим, что полином в (9.5) делится на т—slT т. е. т =
= st = /i+ /2 H-fg есть корень. Выбирая другие знаки для fh мы
получаем остальные корни. Итак, решение уравнения (9.3) таково:
m2 = h — fs—f»
m3 = —f1+f2 f3y rni=—f1 — f2 + f3.
Мы хотим узнать, когда четыре числа (9.6) рациональны. Ясно,
что если все /, рациональны, то mi тоже рациональны. Обратно,
предположим, что тг рациональны. Тогда f± = (тг + /л2)/2,
/2 = (т1 + /п3)/2, /3 = (/пх + /л4)/2 рациональны. Эта цепочка экви-
эквивалентных условий приводит к утверждению: координаты (х, #)
точки Q, для которой 2Q = Py рациональны тогда и только
тогда, когда // = У—ег рациональны. Это доказывает предложение
20. П
Наконец, заметим, что предложение 20 остается справедливым
при замене поля Q на любое поле К характеристики, не равной
двум. По существу, проходит то же самое доказательство (нам
нужно позаботиться только о том, чтобы использовать алгебраи-
алгебраические, а не геометрические рассуждения, например, при сведении
к случаю Р= @, у0)).
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что для нечетного / любая F ^--точка порядка 3 на эллиптиче-
эллиптической кривой Еп\ у2=х* — п2х есть на самом деле F^-точка. Докажите,
что имеется не более трех таких точек для /? = 3(mod 4). Найдите удов-
удовлетворительное достаточное условие на р и /, обеспечивающее существо-
существование девяти F ^-точек порядка 3,

64 Гл. I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым
2. Для каждого из следующих значений q найдите порядок и тип группы
F^-точек на эллиптической кривой Е±: у2 = х3— х. Во всех случаях най-
найдите тип непосредственно, проверяя в случае необходимости, сколько
точек имеют порядок 3 или 4 (и не заглядывая в следующие задачи).
(a) Все нечетные простые числа от 3 до 23.
(b) 9.
(c) 27.
(d) 71.
(e) И3.
3. Найдите тип группы F^-точек на эллиптической кривой Еъ: у2 = х3—25л:
для всех нечетных простых р от 3 до 23, имеющих хорошую редукцию.
4. Докажите, что для a?Q уравнение г/2=х3— а определяет эллиптическую
кривую над любым полем /С, характеристика которого не делит ни 6, ни
числитель или знаменатель числа а; докажите, что эта кривая имеет q + 1
F^-точек, если # = 2 (mod 3).
5. Докажите, что на эллиптической кривой из задачи 4 имеется ровно три
F^-точки порядка 3, если q = 2 (mod 3).
6. Для всех нечетных простых чисел р от 5 до 23 найдите порядок и тип
группы F^-точек на эллиптической кривой г/2=х3—1.
7. Докажите, что подгруппа кручения группы Q точек на эллиптической
кривой г/2 = х3 — а имеет порядок, не превосходящий 6. Этот порядок равен
(a) 6, если а = —№ дтя некоторого b?Q;
(b) 2, если а = с3 для некоторого c?Q, причем с не имеет вида —Ь2\
(c) 3, если либо а = — d2 для некоторого d?Q, причем d не имеет вида
№, либо а = 432Ь6 для некоторого b?Q\
(d) 1 в остальных случаях.
8. Покажите, что отображение, построенное в задаче 2 из § 1.2, задает
взаимно однозначное соответствие между прямоугольными треугольниками
с рациональными сторонами и площадью п и парами ± Р элементов фак-
факторгруппы Еп (Q)/En (Q)tors> неравных единице. Отображение Р н-> 2Р
задает изоморфизм группы Еп (Q)/En (Q)tors с группой 2Еп (Q). См. задачу
2 (Ь) из § 1.7.
Новую информацию можно получить, используя A) автоморфизм компле-
комплексного умножения (х, у)\—>(—х, У—1 у) для группы 7(-точек на эллип-
эллиптической кривой у2 = х3 — п2х, если К содержит квадратный корень из —1;
B) действие группы Gal (/Cals с1//С) на координаты /Са1&с1-точек. Этому
посвящена следующая серия задач.
9. Предположим, что q =3 (mod 4) и / — нечетное простое число. Докажите, что
(a) имеется не более чем / F^-точек порядка / на эллиптической кривой
г/2 = л:3—п2х и не более восьми F^-точек порядка 4;
(b) группа F^-точек является произведением группы порядка 2 и цикли-
циклической группы порядка (<? + 1)/2.
10. Предположим, что <? = 2(mod3), 2\ N, З^ЛЛ Докажите, что имеется не
более чем ;V F^-точек порядка jV на эллиптической кривой г/2 = л:3 — а.
11. Предположим, что g = l(mod4). Пусть /=3(mod4) — простое число, не
равное р. Пусть /-компонента группы F^-точек на эллиптической кривой
у2 = х3 — п2х имеет тип (/а, /Э). Докажите, что а=р. Кроме того, для
/ = 2 докажите, что а = Р или а = Р ± 1.
12. Группа /(-точек на эллиптической кривой аналогична мультипликативной
группе К*. В задаче 11 из § 1.7 мы видели, что если /С=С, то при а —>¦ О
эллиптическая кривая у2 = (х2 — а) (х-\-\) превращается в мультипликатив-
мультипликативную группу С*. Пусть теперь К— конечное поле ?д. В этой задаче мы
будем заниматься группой /С*, а в следующей — группой /(-точек на эллип-
эллиптической кривой. Пусть / — простое число, не равное р. Предположим, что
?д содержит все 1-е корни из 1, т. е. <7=/?^=1 (mod/).
(а) Покажите, что степень поля разложения многочлена х1 — а} где a??qt
над ?д равна либо 1, либо /.

§ 9. Точки над конечными полями 65
(b) Покажите, что подполе в F^Igcl, порожденное всеми /м + 1-ми корнями
из 1, есть F м,, где М'<М.
я1
(c) (Для читателей, знакомых с /-адическими числами.) Постройте изомор-
изоморфизм между аддитивной группой %i /-адических целых чисел и группой
Галуа расширения поля F^, порожденного корнями из единицы степени,
равной степени числа /.
13. Пусть Е— эллиптическая кривая, определенная над ?q. Предположим, что
имеется /2 F^-точек порядка /.
(a) Пусть А— некоторая F^-точка, и пусть F r — расширение поля ?q,
порожденное координатами решения а уравнения /а = Л (т. е. ? г—на-
г—наименьшее расширение поля F^, содержащее такое а). Покажите, что
имеется /2 F г-точек а/, таких, что 1щ = А.
(b) Фиксируем F г-точку а, такую, что 1а = А. Докажите, что отображе-
отображение Gi—> в (а) — а задает вложение группы Gal (FQr/?q) в группу точек
порядка / на Е.
(c) Покажите, что г равно либо 1, либо /.
(d) Каково расширение поля Fq, порожденное всеми точками порядка
/ , Л1=1, 2, ...? Чему равна его группа Галуа?

Глава II
L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
В конце предыдущей главы мы использовали редукцию по
модулю р для того, чтобы получить некоторую информацию об
эллиптических кривых Еп\ y2 = xs— п2х и задаче о конгруэнтных
числах. Мы рассмотрели кривую Еп над простым полем fpj где
р\2п. В случае когда /? = 3(mod4), количество точек на ней
легко вычисляется и равно ф Еп (fp) = р + 1. Используя этот
факт для бесконечного числа различных р, мы доказали, что
единственные рациональные точки конечного порядка на Еп — это
четыре очевидные точки порядка 2. Тем самым задача о конг-
конгруэнтных числах свелась к вопросу о том, равен или не равен
нулю ранг г группы En(Q).
Определить ранг гораздо труднее, чем найти группу круче-
кручения. Некоторое продвижение достигается с помощью подсчета
числа F^-точек. Но оно дается не так легко. Прежде всего мы
выведем формулу для # Еп (fq) для любых степеней простых
чисел, q = pr- Далее, из этих чисел Nr = Nn р = фEn(fpr) мы
построим функцию, аналогичную обычной дзета-функции Римана,
хотя и более сложно устроенную. Это комплексно аналитическая
функция, и ее поведение около точки 1 тесно связано с группой
рациональных точек.
Перед тем как вводить комплексно аналитическую функцию,
определенную посредством всех точек Nr%p, мы введем гораздо
более простую функцию. Она называется конгруэнц-дзета-функ-
конгруэнц-дзета-функцией и строится с помощью чисел Nr = Nr^p для некоторого фик-
фиксированного простого числа р.
§ 1. Конгруэнц-дзета-функция
Для каждой последовательности NrJ r=l, 2, 3, ..., опреде-
определим отвечающую ей дзета-функцию формальным степенным рядом:
/ 00 \ 00
def / w-^ Tr \ def ^ uk
2(Т)=ехрVLNr- . где ехр(и)=?-?г- A.1)
Может показаться, что было бы проще определить Z(T) как
^NrTr. Однако наше определение имеет замечательные свойства,
делающие его весьма полезным (см. задачи ниже).

§ 1. Конгруэнц-дзета-функция 67
Пусть К— поле. Обозначим через А/< множество наборов из т
элементов поля К. Под аффинным алгебраическим многообразием
в т-мерном пространстве над К мы понимаем систему полино-
полиномиальных уравнений вида fj(xly . .., хт) = 0, где fj€K[xl9 ...
..., хт]. Например, коническое сечение — это система из двух
уравнений
/х(х, у, z) = x2 + y2-z2 = 0,
/2(х, у, z)=ax+by + cz + d=O
в трехмерном пространстве над R. Если L— любое расширение
поля /С, то L-точками многообразия называются наборы (xlt . ..
. .., хт)?Аь, на которых равны нулю все полиномы /у.
Проективным многообразием в т мерном пространстве над
К мы называем систему однородных полиномиальных уравнений
fj(xQ, ..., x'J от m+1 переменных. Если L — расширение поля
К, то L-точки проективного многообразия — это точки в pf (т. е.
классы эквивалентности наборов (х0, . .., хт) по отношению экви-
эквивалентности (х0, ..., хт) ~ (kxOi . .., %хт) для любого X?L*), в
которых все полиномы /у- обращаются в нуль. Например, в пре-
предыдущей главе мы изучали F^-точки эллиптической кривой, опре-
определенной в р| одним уравнением f(x, у, z) = y2z—х3 + n2xz2 = 0.
(Здесь хо=2, х±=х, х2 = у — координаты проективного пространства
р|(, а в предыдущем абзаце хг = х, х2 = у, хъ = z были координа-
координатами аффинного пространства А^.)
Если дано проективное многообразие, то, положив хо= 1 во
всех /у, мы получим аффинное многообразие, L-точки которого
отвечают L-точкам проективного многообразия с отличной от нуля
первой компонентой. Остальные L-точки проективного многообра-
многообразия образуют проективное многообразие в р^; оно задается
полиномами /у, в которых хо=О. Например, аффинные точки
эллиптической кривой с уравнением y2z — xs + n2xz2 задаются урав-
уравнением y2 = xs — п2х\ кроме того, на кривой имеется точка из р^,
для которой —Xs = 0 — это точка @, 1) на бесконечной прямой
2=0.
Пусть V—аффинное или проективное многообразие над fq.
Для любого поля К iDfq обозначим через V (К) множество /(-точек
многообразия V. Конгруэнц-дзета-функцией многообразия V над
f называется дзета-функция, отвечающая последовательности
#V(f), т. е.
^r= 1
Каждое из чисел Nr конечно, поскольку оно, несомненно, мень-
меньше, чем полное число точек в Ajpr (в аффинном случае) или в
р{? (в проективном).

68 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Нас будет особенно интересовать случай, когда V— эллипти-
эллиптическая кривая, определенная над fq. Это частный случай гладкой
проективной плоской кривой. Проективная плоская кривая, опре-
определенная над полем К, — это проективное многообразие, заданное
в Рд однородным уравнением f (х, у> г) = 0. Мы говорим, что
такая кривая гладкая, если она не содержит/Са1ес1-точек, в ко-
которых все частные производные функции / обращаются в нуль.
Это согласовано с обычным определением для случая К = С (кри-
(кривая над С гладкая, если она имеет касательную прямую в каждой
точке).
Оказывается, конгруэнц-дзета-функция любой эллиптической
кривой Е, определенной над fQ, имеет вид
п 3
{l_T){l_qTy (I-*)
где от Е зависит только целое число 2аЕ. Мы скоро докажем это для
эллиптических кривых Еп\ у2 = хъ—п2х. Обозначим через а обрат-
обратную величину к корню полинома, стоящего в числителе. Тогда
1— 2aET + qT2=(l — aT) (\ — ±.т\ Взяв логарифмическую про-
производную обеих частей в A.3) и используя определение A.1),
получаем (см. задачи ниже), что равенство A.3) эквивалентно
следующей формуле для N r = #E (FV):
Nr=qr+ l — ar — (q/ay. A.4)
Как частный случай получаем
±-2aB. A.5)
Таким образом, зная, что Z(E/fq\ T) имеет вид A.3), мы опре-
определяем аЕ просто подсчетом числа р^-точек. После этого мы знаем
Z(E/fq\ T), значение а и, по A.4), все числа Nr = #E(fqr).
Другими словами, в случае эллиптической кривой число р^-точек
определяет число F^-точек для всех г. Это важное свойство эл-
эллиптических кривых, определенных над конечными полями. Мы
докажем его в частном случае кривых вида у2 = х3 — п2х.
Кроме того, мы увидим, что а — квадратичное алгебраическое
целое число; его абсолютное значение равно Vq'. Для кривой
у2 = х2 — п2х в случае, когда q= 3(mod4), число а равно квадрат-
квадратному корню из —q\ если же q= I (mod 4), то а имеет вид а+Ы;
a, beZ; a2+b2 = q.
Это частный случай гораздо более общих результатов о глад-
гладких проективных многообразиях над конечными полями. Общая
теорема была высказана в качестве гипотезы Андре Вейлем
[Weil 1949]; ее последняя и наиболее трудная часть была дока-
доказана Пьером Делинем в 1973 г. (см. обзор, посвященный доказа-

§ 1. Конгруэнц-дзета-функция
тельству Делиня, в работе [Katz 1976 a]). Мы не будем обсуж-
обсуждать эту теорему. Сформулируем только соответствующие утвер-
утверждения для гладкой проективной кривой (т. е. для одномерного
многообразия).
(i) Z(V/fg\ Т) есть рациональная функция от Т (это верно
для любого многообразия, без предположения гладкости), имею-
имеющая вид Р (T)/(l — T)(l — qT) для гладкой кривой. Коэффициенты
полинома Р (Т)—целые числа, и его свободный член равен 1.
Рис. П.1.
(Это эквивалентно тому, что обратные величины корней этого
полинома суть целые алгебраические числа.)
(И) Если V было получено редукцией по модулю р многообра-
многообразия V, определенного над Q, то degP равна 2g, т. е. удвоенному
роду (числу Бетти) комплексно аналитического многообразия V. Ин-
Интуитивно g—это число ручек на соответствующей римановой по-
поверхности. Для эллиптической кривой g=l, а для кривой, изо-
изображенной на рис. II. 1, g = 3.
(Hi) Преобразование a\-^q/a переводит множество обратных
величин корней полинома Р (V) в себя.
(iv) Абсолютная величина всех обратных величин к корням
полинома Р(Т) равна V~q *
Гипотезы Вейля весьма изящны. Одна из причин этого —ин-
—интригующая косвенная связь между «физическими» свойствами
кривой (например, числом ручек римановой поверхности, отве-
отвечающей точкам кривой) и теоретико-числовыми свойствами (числом
fqr-точек). Грубо говоря, теорема утверждает, что чем сложнее
кривая (чем больше ее род), тем больше чисел Nr независимы.
В простейшем интересном случае эллиптической кривой, когда
g"=l, все Nr выражаются через Nt.
ЗАДАЧИ
1. Покажите, что если Nr=N*+N? и Z(T), Z*(T), Z**(Т) -соответствую-
щие дзета-функции, то Z (T) = Z*{T) Z**(^); если же Nr = N*—N**E то
Z{T)=Z*{T)/Z**(T)t

70 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
2. Пусть iVr имеет вид iVr = pi+... +р^—а[—...=а? для некоторых чи-
чисел «1, ..., ocs, Px, ..., Pf. Покажите, что тогда
7т = (\-aiT)(\-a2T)...(\-gsT)
Z( ] A — рГ) A
3. Пусть Nr < САГ для некоторых констант С и Л. Докажите, что степенной
ряд Z (Т) сходится в открытом круге радиуса 1 /Л в комплексной плоскости.
п' ' то Z (Т) не является рациональ-
и, г нечетное,
ной функцией; если же ^r=\Q ^ нечетное то ^ ^ рациональна. В по-
последнем случае проинтерпретируйте Nг как число ГрГ-решений некото-
некоторого уравнения.
5. Полиномы Бернулли Br(x)?Q[x] обладают следующими свойствами:
(i) degBr = r; (ii) для всех М имеем ВГ(М) — Вг@) =г (К + 2''+ ...
... +(М —IO"). Фиксируем М и положим yvr_1 = — (Br{M) — Вг@)).
Найдите соответствующее Z(T). ( Явный вид полиномов Бернулли: В1(х) =
= х—^-, В2(х) = х2 — х + "д" и т- Д- Они однозначно определены свойст-
1
вами (i), (ii) и нормировкой \Br(x) dx=0 для r^l; их можно определить
о
v^ tr teix
также с помощью производящей функции: ^ Br(x) — =—t -.
6. Предположим, что /—простое число, <? —степень простого числа р, причем
q = \ (mod/), q^\ (mod/2).
(a) Фиксируем М и положим Nr=^fx ?FЛ xl =1}. Найдите соответ-
соответствующее Z (Т).
(b) Пусть Nr = ^hc^Vqr\xl =1 для некоторого М}. Найдите соответ-
соответствующую дзета-функцию. Рациональна ли она?
7. Частным случаем аффинного или проективного многообразия служит все
пространство. Оно отвечает пустой системе уравнений. Пусть, как обычно,
Ах есть m-мерное аффинное пространство (обычное пространство наборов
из m элементов поля К) и 1Р/( — проективное пространство.
(a) Найдите z(a{? Ifq; t\
\ "д1 ч J
(b) Записывая 1Р^ как объединение непересекающихся множеств А^, / = т,
т — 1, ..., О, и используя пункт (а) и задачу 1, найдите Z ( IPjr /F^; Т\.
(c) Найдите Z f IPjr /F^; Tj непосредственным подсчетом числа классов
эквивалентности наборов из т+1 элементов, проверьте совпадение ответа
с полученным в пункте (Ь).
8. Покажите, что если У —подмногообразие в Ар или IPjp , то Z(F/F^; T)
сходится при \Т\ <q~m.
9. Предположим, что мы хотим доказать, что Z(V/?g\ T)? % ЦТ]] для любого
[жнного или проективного многообразия V. Покажите, что достаточно

§ 1. Конгруэнц-дзета-функция 71
доказывать это для аффинных многообразий. Далее покажите, что доста-
достаточно доказывать это для случая, когда V задается одним уравнением.
Покажите, что предположение о рациональности дзета-функции,
Z {V1^q\ T)?Q{T), также сводится к случаю аффинного многообразия, за-
заданного одним уравнением. Многообразие, заданное одним уравнением,
называется гиперповерхностью.
10. Найдите дзета-функцию кривой г/2=х3— п2х в 1Рр в случае, когда р\2п,
т. е. когда кривая не имеет хорошей редукции. q
11. Найдите дзета-функцию гиперповерхности в А? , заданной уравнением
я
ххх2— xsx± = 0.
12. Пусть Nг— число прямых в IP| r. Найдите дзета-функцию этой последо-
последовательности. (Множество /-мерных подпространств в 1Рх составляет мно-
многообразие, которое называется грассманианом. В нашем случае / = 1,т = 3.)
13. Вспомним, что дзета-функция эллиптической кривой имеет вид A.3). Пусть
а — обратная величина к корню полинома, стоящего в числителе Покажите,
что Л^г равно норме элемента 1 — аг. В условиях задачи 13 из § 1.9 пред-
предположим, что Е имеет /2 F^-точек порядка / и ни одной F^-точки точного
порядка /2. Докажите, что расширение поля ?q, порожденное координа-
координатами точек порядка /М+1, есть ? ьм. /Обратите внимание на тесную ана-
аналогию с мультипликативной группой F^ в случае, когда # = 1 (mod/), но
<7^1 (mod/2), поле, порождаемое всеми корнями из единицы степени /Л1 + 1,
есть ? LM A
14. Пусть V—аффинное алгебраическое многообразие, заданное над К урав-
уравнениями fj(xi, ..., хт)=0. Координатным кольцом R (V) называется
факторкольцо кольца К[х1, ..., хт] по идеалу, порожденному всеми по-
полиномами fj. Пусть Р = (а1, ..., ат) есть /Са1~?с1-точка в V. Пусть L =
= К{а1, ..., ат)— конечное расширение поля /С, порожденное координа-
координатами точки Р. Оно называется полем вычетов в точке Р, и его степень
над К называется степенью точки.
(a) Покажите, что отображение хц—> п[ корректно определено на R (V)
и задает гомоморфизм, ядром которого служит максимальный идеал т(Р)
в R (V). (Нетрудно показать, что любой максимальный идеал кольца
R (V) возникает таким способом.)
(b) Покажите, что т(Р') = т(Р) тогда и только тогда, когда существует
изоморфизм между L и L' (и полями вычетов точек Р и Р'), переводящий
щ в а\. Таким образом, максимальный идеал отвечает d разным /(alg cl-
точкам Р в К, где d= [R (V)/m (P) : К] есть степень любой из точек Р.
15. Пусть, в ситуации задачи 14, K = ?q. Фиксируем некоторую /Са1§ с1-точку Р.
Поле вычетов в точке Р есть F d для некоторого d. Тогда Р дает вклад 1
в те Nr, для которых г кратно d. Это означает, что полный вклад от Р
vi Tkd
в показатель экспоненты в определении дзета-функции есть jj ~п~7'•
k~ 1
Функция Z (У/?д\ Т) — это экспонента от суммы таких вкладов по всем
/(alg cl_точкам Р. Сгруппировав вместе точки, отвечающие данному макси-
максимальному идеалу, выразите Z (У/?д; Т) в виде произведения по всем мак-
максимальным идеалам m сомножителей (l — т1^1"). Покажите, что дзета-
функция лежит в 1 + Г!2 [[Г]]. (В более подходящих обозначениях это
можно выразить так. Сделаем замену переменных T=q~s. Обозначим че-
через Norm (m) число элементов в поле вычетов, т. е. Norm (m) = # g ш. Тогда
2 {V/?g\ q~s) = Y\ A~ Norm (m)~s)~l. Это очень похоже на эйлерово

72 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
произведение для дедекиндовой дзета-функции числового поля: ?#(s) =
= П О — Norm (ft)"), где произведение берется по всем ненулевым
простым идеалам кольца целых в поле /С. В числовом кольце ненулевые
простые идеалы совпадают с максимальными идеалами.)
16. Докажите, что если Z(V/?g\ T)?Q (T), то числитель и знаменатель лежат
в \-\-TZ [Т] (или, эквивалентно, все а и р из задачи 2 — алгебраические
целые числа).
§ 2. Дзета-функция кривой Еп
Вернемся теперь к нашей эллиптической кривой EnJ заданной
уравнением у2 = хъ— п2х, где п — положительное целое число, сво-
свободное от квадратов. Точнее говоря, Еп есть проективное попол-
пополнение этой кривой (т. е. мы включаем бесконечную точку). Эл-
Эллиптическая кривая Еп определена над любым полем /С, характе-
характеристика которого не делит 2п\ мы видели, что в качестве К
полезно выбирать K = FP или K = ?q. Цель этого параграфа —
выразить число р^-точек на Еп через якобиевы суммы.
Для того чтобы сделать это, преобразуем уравнение, опреде-
определяющее Еп, к диагональному виду. Мы говорим, что гиперпо-
гиперповерхность f (хи ..., хп) = 0 в А%диагональная, если каждый мо-
моном в F содержит только одну переменную и каждая переменная
входит не более чем в один моном. Например, кривая Ферма
xd-\- yd= 1 диагональна. Оказывается, что для диагональной гипер-
гиперповерхности вычисление чисел Nг упрощается (подобно тому, как
упрощается вычисление кратного интеграла в случае, когда пе-
переменные разделяются). Мы не будем исследовать здесь общий
случай (общее обсуждение диагональной гиперповерхности см.
в работах [Weil 1949] или [Ireland, Rosen 1982, ch. II]).
Перейдем к оценке чисел Nr = #En (fgr). Построим взаимно
однозначное соответствие между точками из Еп — {@, 0)} и точками
на кривой Е'п\ u2 = v* + 4n2. Как обычно, предположим, что р\2п.
Пусть точка (и, v) лежит на Е'п. Тогда легко проверить, что
точка (х, y)=( — (u + v<l)y -gv(u + v2)) лежит на Еп. Обратно,
если (х, у) лежит на Еп, причем хфО, то точка (и, v) =
= Bх—у2/х2, у/х)?Е'п. Более того, эти два отображения взаимно
обратны. Это дает требуемое соответствие. Пусть N' — число р^-
решений уравнения u2 = v* + in2. Точками нашей эллиптической
кривой являются N' точек, отвечающих парам (и, у), точка @, 0)
и бесконечная точка. Поэтому Nx = # En(fg) равно А^ + 2. Оста-
Остается вычислить N'. Преимущество уравнения u2=v* + 4n2 заклю-
заключается в том, что оно диагонально.
Основные средства для вычисления количества точек на диа-
диагональных гиперповерхностях — это гауссовы и якобиевы суммы
над конечными полями. Мы дадим их определения и перечислим
основные свойства.

§ 2. Дзета-функция кривой Еп 73
Пусть г|): ?д —> С*— нетривиальный аддитивный характер, т. е.
нетривиальный гомоморфизм аддитивной группы конечного поля
в мультипликативную группу комплексных чисел. (Поскольку fq
конечно, образ должен лежать в множестве корней из 1.) В даль-
дальнейшем мы всегда будем иметь дело с характером ^(х) = ^Тгх, где
1=е2Ш/р и Хг есть отображение следа из F^ в fp. Поскольку след
есть нетривиальное аддитивное отображение, образ которого сов-
совпадает с fp = Z/pZ, мы получаем нетривиальный аддитивный
характер.
Пусть %: F?—* С*— любой мультипликативный характер, т. е.
групповой гомоморфизм мультипликативной группы конечного
поля в мультипликативную группу ненулевых комплексных чисел.
В дальнейшем аддитивный характер г|) будет фиксирован, как
выше, а % будет меняться.
Определим гауссову сумму, зависящую от переменного харак-
характера х, формулой
= 2 Х(*Ж*).
где мы условились считать, что % @) = 0 для всех %, даже для
тривиального мультипликативного характера. Определим якобиеву
сумму, зависящую от двух переменных мультипликативных ха-
характеров, формулой
%2)= 2
хе?„
Доказательство следующих элементарных свойств гауссовых
и якобиевых сумм непосредственно, и мы оставляем его читателю
в качестве упражнения:
(О g(Xtriv)= —I; <f (Xtriv,Xtriv) = <7 — 2;
•ffttriv. x) =—i; ^(x.x) = —x(—i); ^(Xi.xa) = ^(X2.xi);
B) g(x)g(x) = x(-i)< V
C) J (Kl,%2) =g Ш g
Здесь Xtriv обозначает тривиальный характер, который пере-
переводит все ненулевые элементы из fq в 1; %, %i и %2 — нетривиаль-
нетривиальные характеры; % обозначает комплексно сопряженный характер
к i\ его называют также обратным к %, и его значение в точке х
комплексно сопряжено числу %(х).
Перейдем теперь к вычислению числа N' пар (и, и), и, v?Fqf
удовлетворяющих уравнению ^2 = у4 + 4м2. Ключевое наблюдение,
позволяющее вычислить N1, заключается в том, что для любого
а ф 0 из р<7 и любого т, делящего q—l, число решений x?fq

74 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
уравнения хт = а дается формулой
#{*- = *} = 2 Х(а), B.1)
%т = \
где сумма распространяется на все мультипликативные харак-
характеры, т-я степень которых есть тривиальный характер. А именно,
обе части в B.1) равны т, если а есть т-я степень в fg, и равны
О в противном случае; детали доказательства сформулированы
ниже в виде задачи.
По предложению 16 предыдущей главы мы знаем, что N1 = q + l,
если ^ = 3(mod4). В дальнейшем мы будем предполагать, что
q= I (mod 4).
При подсчете количества пар (и, v) мы будем отдельно счи-
считать пары, у которых либо и, либо v равно нулю. Напишем
; . B.2)
Очевидно, что первый член в B.2) равен 2 (напомним, что мы
предположили, что р\2п). Используем B.1) для вычисления
второго члена. Пусть %4—один из характеров группы f*, точный
порядок которого равен 4, т. е. %4(?) = * Для некоторой обра-
образующей g циклической группы f*. Тогда по B.1) второй член
в B.2) равен
2 х{(-4/г2) = 2 + 2Х4(-4/г2) B.3)
(мы использовали то, что —4/г2 есть квадрат в f*q). Наконец, вы-
вычислим третий член в B.2). Обозначим через %2 нетривиальный
характер порядка 2 (%2 = %|)„ Снова используя B.1), мы можем
записать третий член в B.2) в виде
2 #{u* = a}-#{v*=b}= 2 2
а=Ь + 4п2 а-4п2ф0
Заметим, что, поскольку xi@) = 0> МЫ можем опустить усло-
условие а—4:п2ф0 в правой части. Сделаем теперь замену перемен-
переменных х = а/4:п2 в первой сумме в правой части. Меняя порядок
суммирования, перепишем правую часть в виде
2 хН-4/г2) 2 xt(*)xiO-*)= 2 xi(-^
/Ш4 ^ !Ъ14
Наконец, собирая вместе три члена в B.2) и используя свойство
A) якобиевых сумм для случаев, когда либо один из характеров

§ 2. Дзета-функция кривой Еп 75
%{ тривиален, либо они сопряжены друг другу, получаем
.2
/—1,3
B.4)
д2) =
def B 5)
B.4)
В задачах мы докажем, что %4(—4) = 1. Следовательно, %4(— 4д2) =
= %2(п)- Таким образом, положив
5
мы получим, что
^1=#?n(F^)=? + l-a-a. B.6)
Заметим, что a—алгебраическое целое число в Q(i), поскольку
все значения характеров %2, %4 в определении суммы J (%2, %4)
равны ±1, ± i. Изучим теперь подробнее гауссово целое а = а+Ы
в случаях, когда q = p = 1 (mod 4) или q = p2, где /? = 3(mod4).
По свойству C), связывающему якобиевы и гауссовы суммы, имеем
и, следовательно, по свойству B), \a\2 = a2 + b2 = q. В рассматри-
рассматриваемых двух случаях (q = p = 1 (mod 4) и q = p2, /? = 3(mod4))
возможностей для таких чисел а совсем немного. А именно,
в первом случае имеется восемь возможностей вида ±а±Ы,
± Ь ± ш; во втором случае имеется четыре возможности dtp, ± pi-
Следующая лемма позволяет решить, какая из них реализуется.
Лемма 1. Пусть q = 1 (mod 4), и пусть %2 и х4—характеры группы
f*g точных порядков 2 и 4 соответственно. Тогда 1 + J (%2, %±)
делится на B + 2i) в кольце Z[i].
Доказательство. Свяжем J (%2, %J с J (%^ %±), выразив их
через гауссовы суммы. По свойствам C) и B) имеем J (%2J td =
= J (X4.X4) g (Х2J/?Ы ff(X4> = X4(—О J'(X4, XJ- Далее, запишем
где 2'—сумма по (G — 3)/2 парам (х, 1—х), причем пара
((р + 1)/2, (/?+1)/2) опущена. Заметим, что XuW есть степень
числа ij поэтому %4(*) сравнимо с 1 по модулю 1 + / в Z[i]\
таким образом, 2%4 (х) %4 A —х) = 2(mod2 + 2i). В результате, вы-
вычисляя по модулю 2+2i, имеем J (уА, у4) = ff —3 + %t f 2 )
= 2 + %4 D) (поскольку g = 1 (mod 4)). Возвращаясь к J (ха

76 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
получаем
1 + '(Х.. Х4)=1+Х4(-1)'(Х4. Х4)^1 + Х4(-4) + 2Х4(-1)
(mod 2+ 20-
Как мы уже упоминали (со ссылкой на задачу к этому параграфу),
%4(— 4)=1. Поскольку еще 2 A + %4 (— 1)) = 0 или 4, мы полу-
получаем, что 1 + /(%2> %4) делится на 2 + 2i, что и утверждалось. П
Теперь у нас есть все необходимое для вывода формулы для
Z{Ejfp; T).
Теорема. Пусть Еп—эллиптическая кривая у2 = х3 — п2х, опре-
определенная над fp, где р\2п. Тогда
рТ) (\-Т)(\-рТ) ' К }
где а = Re а; если р= 3 (mod 4), mo a = i]/~p', а если р = 1 (mod 4),
mo а есть элемент из Z [i] с нормой, равной р, сравнимый
с (~J no модулю 2 + 2i.
Перед тем как доказывать эту теорему, сделаем замечание.
Для случая когда р=\ (mod 4), имеем а = а + Ы, где а нечетно
и Ъ четно. Знак числа а определяется из сравнения по модулю
2 + 21. Поэтому имеется две возможности: а+Ы и а — Ы\ но,
конечно, формула B.7) не меняется при замене числа а на сопря-
сопряженное.
Доказательство. Чтобы получить формулу для Z(Ejfp\ Г),
нужно найти числа Nr=#En(fpr) для произвольных г. Мы видели,
что если р = 3 (mod 4), то Nr=pr+\ для нечетных г, и остается
найти N2r = # En (fqr), где q=p2. Положим q=p, если р = 1 (mod 4),
и q= р2, если р = 3(mod 4). В обоих случаях q = I (mod 4), и нам
нужно найти формулу для #Еп(^дГ).
Поскольку г меняется, мы будем снабжать характеры %2 и %4
дополнительным значком, указывающим, о каком поле идет речь.
Пусть %2,1 = %2 — единственный нетривиальный характер группы pj
порядка 2. Обозначим через %4,i = %4 один из характеров груп-
группы р* точного порядка 4 (всего имеется два таких характера,
%4 и %*)• Композиция характеров %2 и %4 с отображением нормы
из р^г в р^ определяет характеры группы р*г точных порядков
2 и 4 соответственно. Обозначим эти характеры через х2, г и %4, #¦•
Например, пусть g—образующая группы FJ, такая, что %A(g)=iy
и gr — образующая группы р*г с нормой, равной g, т. е.
(giI + 0+'"+Ql"'1=g- Тогда Х4,г(<§гг) = 1'- Обозначая через Ыг отобра-
отображение нормы из fqr в fq, запишем
%ur=%*°^n X2,r=X2oNr. B.8)

§ 2. Дзета-функция кривой Еп 77
Используя эти определения и равенства B.5) и B.6), запишем
# Еп (fqr) = qr+l — an, qr — аПг Qry
где ал,^г = —xair(/i) ¦=— . B.9
g(X4,r)
Основой дальнейших рассуждений служит соотношение Хассе —
Дэвенпорта для гауссовых сумм над расширениями конечных
полей. Формула Хассе—Дэвенпорта имеет вид
-g(%oNr)=(-g(x))r. B.10)
Ее доказательство будет дано в серии упражнений к этому па-
параграфу. Применяя формулу B.10) к трем гауссовым суммам
в B.9) и замечая, что %2,г{п) = %2(пг) = %2(п)г> мы приходим
к следующему решающему соотношению:
antQr = afltq. B.11)
Отсюда быстро следует теорема. Сперва предположим, что р =
= l(mod4) и q = р. Тогда %2(я) есть символ Лежандра ( — J .
Используя B.5) и лемму 1, мы находим, что oL = aufP есть гаус-
гауссово целое с нормой, равной /?, сравнимое с f —) по модулю
B+2*). Из B.9) и B.11) получаем, что
Nr = pr + i — a/ — ar.
Это доказывает теорему в случае р = 1 (mod 4) (см. задачу 2 из
§ И. 1).
Теперь предположим, что р = 3(mod 4), q = p2. Тогда %2(п) = 1>
поскольку все элементы из F^ являются квадратами в fp%. По
лемме 1, antQ есть гауссово целое с нормой, равной q, сравнимое
с 1 по модулю 2 + 2/. Из четырех гауссовых целых Up, / = 0, 1, 2, 3,
имеющих норму qy только ant q=—р сравнимо с 1 по модулю
2 + 2/. Поэтому из B.6) и B.11) мы заключаем, что для четного г
справедливо равенство
Если г нечетно, то Nr=pr-\-\. Поэтому для любого г получаем
Это завершает доказательство теоремы. ?
В заключение этого параграфа обратим внимание читателя на
лемму 1, которая понадобилась нам для уточнения значений обрат-
обратных корней а, а из B.7). Сравнение из леммы 1 понадобится нам
снова при работе с L-функцией Хассе — Вейля эллиптической кри-

78 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
вой Eni в которой участвуют числа а для различных простых
чисел р. В таком контексте лемма 1 есть частный случай общих
утверждений о том, как меняются якобиевы суммы при измене-
изменении простого числа р. Общий случай рассматривается в работе
[Weil 1952].
ЗАДАЧИ
1. Докажите сформулированные в тексте свойства A) —C) гауссовых и яко-
биевых сумм.
2. Пусть G— конечная группа. Обозначим группу ее характеров (т. е. гомо-
гомоморфизмов %: G—> С*) через G. Напомним, что 2 X(g) = ® Для любого
geG
нетривиального %? G. Заметим, что любое g?G задает характер g: %i—> %(g)
группы G или любой ее подгруппы 5 с: G. Примените эти общие утверждения
к случаю, когда G = F*q и 5 — подгруппа, состоящая из таких характеров %,
что хот = 1« Докажите таким способом соотношение B.1) из текста.
3. Пусть g= I (mod 4), и пусть точный порядок характера %4 равен 4. Пока-
Покажите, что числа %4 D) и Хь(~ 0 совпадают и равны 1, если #=1 (mod 8),
и — 1, если q = 5 (mod 8). Отсюда следует, что во всех случаях ^4 (—4) = 1.
4. Покажите, что g (%2J = (—0(<7 "~1)/2#. Вопрос о том, какой корень следует
выбрать для g (%2), более труден (см. [Боревич, Шафаревич 1985, с. 385—390]).
Вычислите g (%2) для <? = 3, 5, 7, 9.
5. Пусть g=l(mod4). Пусть %2—нетривиальный квадратичный характер
и %4> )п—Два характера точного порядка 4. Исходя из определения,
вычислите /(х2, Хд и / (%2, %д для q = b, 9, 13, 17.
6. Покажите, что если %2 — нетривиальный квадратичный характер группы
F<7 и х — любой нетривиальный характер, то /(/г> %) = % D) J(%>%)•
7. Пусть Хз ИЪ~Два характера группы ?*q порядка 3, где g=l(mod3).
Исходя из определения, вычислите / (Хз» Хз) и / (Хъ, Хъ) Для q = 7, 13.
8. (а) Заметим, что из утверждений этого параграфа следует, что число
Nr F /.-точек на Еп не зависит от п при четном г. Дайте прямое доказа-
доказательство этого факта.
(Ь) Заметим также, что Nг не меняется при умножении числа п на любое
целое число, являющееся квадратом в поле F^. Причина этому та же
самая, которая позволила нам при рассмотрении Q-точек свести все дело
к случаю, когда п свободно от квадратов. А именно, если К—любое поле,
характеристика которого не равна 2, и т, п ? /С*, то имеется простое
соответствие между точками из Еп (К) и Епт2 (К). Постройте его.
9. В этой задаче нам потребуется более общее определение гауссовых сумм.
Примеры таких сумм встретятся позже в этой главе. Пусть /?—-кольцо
целых в числовом поле К, и пусть / — ненулевой идеал в R. Тогда коль-
кольцо R/I конечно. Пусть гр: R/I—> С* — некоторый аддитивный характер,
нетривиальный на любой аддитивной подгруппе в R/I вида ///, где
/ — идеал, строго содержащий / (включая несобственный идеал J = R; это
единственный возможный / в случае, когда идеал / простой). Определим
норму идеала |^/ = ^-(/?//). Пусть %: (R/I)*—> С* — любой мультиплика-
мультипликативный характер. Положим %(л:) = 0, если х — делитель нуля в R/I. Опре-
Определим гауссову сумму:
BЖЬ
где суммирование ведется по х ? R/I.

§ 2. Дзета-функция кривой Еп 79
(a) Докажите, что 2 %(х) Ф (ах) = ~%{а) g (Х>Ц) Для любого а ? (R/I)*.
В пунктах (Ь) и (с) мы предполагаем, что характер % примитивен по
модулю идеала /. По определению это означает, что для любого строго
большего идеала / Z) / характер % нетривиален на подгруппе в (R/I)*,
состоящей из элементов, сравнимых с 1 по модулю идеала /.
(b) Покажите, что если % примитивен, то формула из пункта (а) спра-
справедлива для всех а ? R/I.
(c) Пусть % примитивен. Докажите, что g (%, г|)) g (%, г|)) = % (—I) Ш и
\gtt,y)\ = Vw.
Вот некоторые примеры, относящиеся к свойствам характеров и гауссовых
сумм, обсуждавшихся в этой задаче. A) Если / — простой идеал с полем
вычетов ?д, то свойство B) гауссовых сумм из этого параграфа есть част-
частный случай пункта (с). B) Если R = Z и идеал / порожден некоторым
числом N, то %— это обыкновенный характер Дирихле. Норма f^I = N;
в качестве г|) часто используется характер г|) (x) = emix/N, и примитивность
означает, что не существует такого собственного делителя М числа N,
что значение характера % в точке х ? (Z/N%)* зависит только от вычета
числа х по модулю М. C) Позже в этой главе нам встретятся примеры,
в которых R = Z [/].
Серия задач A0) — A7) дает доказательство формулы Хассе — Дэвенпорта.
10. Пусть S —множество всех полиномов из ?q[x] со старшим коэффициентом,
равным 1 Пусть Sirr с S— подмножество всех неприводимых полиномов
и SdrCZ SlrT — подмножество всех неприводимых полиномов степени d.
Исходя из равенства хдГ—#= JJ (х—а), докажите, что**7 —*=11 /»
ъЫяг
где произведение берется по всем / из 5^гг для всех <2, делящих г.
11. Пусть я|?—нетривиальный аддитивный характер и % — мультипликативный
характер поля F^. Запишем / g S в виде / (x) = xd—c1xd~1-\- ... + (— \)d cd.
Определим отображение h S—>С формулой X (/) = % icd) 'Ф (ci)- (Для
постоянной функции / = 1 из So положим ЯA)= 1.) Докажите, что "к (/1/2) =
= ^(/i)^(/2) для всех /ь f2?S.
12. Докажите, что гауссова сумма может быть записана в виде g(yj= 2 М/)*
13. Предположим, что a f F^ есть корень неприводимого полинома f ? S{Jr
с единичным старшим коэффициентом, и d \ г. Покажите, что k(f)r/d =
= %r (a) tyr (а) (индексы внизу указывают на то, что мы имеем дело с
характерами поля ?qf, полученными композицией отображения нормы из
?(jr в Fq в случае мультипликативных характеров и отображения следа из
?qr в ?q в случае аддитивных характеров с соответствующими характерами
ПОЛЯ Fq).
14. Докажите, что g(%r)=2 2 dk(f)rld.
d\r /gsjin-
15. Докажите равенство ^k(f)Tde^f= Д A - k{f)Tde% f)'1.
fes /6Sirr
16. Покажите, что при d > 1 выполнено 2 Mf)=O-
17. Взяв логарифмическую производную от обеих частей равенства из задачи 15,
докажите, что
(-iy-l?(x)r=2 2 d4fvid*
d\r /6Snr
и закончите доказательство формулы Хассе — Дэвенпорта.

Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
(a) Покажите, что идеал B) в кольце % [i] есть квадрат простого идеала
A+0- Предположим, что элемент а ? % Щ не лежит в идеале A+0-
Докажите, что тогда среди элементов вида Ua имеется единственный эле-
элемент, сравнимый с 1 по модулю A + /K = B + 2i).
(b) Покажите, что идеал C) в % [со], где со =( —1 + ]/—3)/2, есть квад-
квадрат простого идеала (]/—3 ). Пусть элемент a ? % [со] не лежит в (]/—3).
Докажите, что тогда среди элементов вида (— соУ а имеется единственный
элемент, сравнимый с 1 по модулю 3.
Рассмотрим эллиптическую кривую */2 = х3—a, a ??q. Напомним (см.
задачу 4 из § 1.9), что эта кривая содержит q + 1 точек, если q = 2 (mod 3).
Предположим, что ^=l(mod3). Пусть Хг — нетривиальный квадратичный
характер группы Fj, и пусть Хз — любой нетривиальный характер груп-
группы F<J порядка 3. Покажите, что число F^-точек на данной эллиптической
кривой равно
Пусть </= I(mod3), и пусть Хз—один из нетривиальных характеров груп-
группы ?q порядка 3.
(a) Покажите, что qJ (%з, Хз) = ?(ХзK-
(b) Покажите, что / (Хз, Хз) = — 1 (mod 3) в % [со], где со = (—1 + /]/3)/2.
(c) Покажите, что / (%з, Хз) = Р, если q = p2, p = 2(mod3).
(d) Предположим, что ^=p^l(mod3). Выберем a + fao так, что р =
= | a + foo |2 = а2 — ab-\-b2. Покажите, что ровно один из двух идеалов
(а+6со), (а-\-Ь(д) обладает свойством
%з (х) ^ х(р ~1)/3 (mod а + ^?со) для всех х ? ?р
(без потери общности можно предположить, что это —первый из них).
(e) Пусть ^ = р= 1 (mod3). Выберем а + 6со как в пункте (d). Покажите,
что единственный элемент, порождающий идеал (а + 6со) и сравнимый с 1
по модулю 3, есть — /(%зЛз)-
Пусть Nr— число ?рГ-точек на эллиптической кривой у2 = х3 — а, где agF/,,
Р 7*2,3.
(a) Пусть р = 1 (mod3), и пусть %2 и у3 — нетривиальные характеры груп-
группы ?р порядков 2иЗ соответственно. Положим а= — %2(— ^)ХзDа)/(л/3,Хз)-
Докажите, что Nr = pr-\-1 — аг — ~аг.
(b) Пусть p = 2(mod3), и пусть ул и %з — нетривиальные характеры груп-
группы Fp2 порядков 2 и 3 соответственно. Докажите, что у2 и %з тривиальны
на элементах из ?р. Положим а= i V~P - Докажите, что
(с) Выведите, что в обоих случаях дзета-функция равна A — 2сТ-\-рТ2)/
(\-Т){\-рТ), где с = 0, ecлиp = 2(modЗ), и с= -%2 (-a) Re fe3 Dа) X
X/ (Хз, Хз)), если р = 1 (mod 3).
Пусть цСс: Р^ — криваяу2 + ау = Xs, а?К (т. е. F(x, у, z) = y2z + ayz2 — л:3).
(a) Найдите условия на характеристику поля К и на элемент а ? /С,
необходимые и достаточные для того, чтобы кривая С была гладкой во
всех своих /Са1?с1-точках.
(b) Пусть К = ?2Г. Покажите, что если г нечетно, то фС{?2Г) = 2Г-\-1
независимо от а.
(c) Пусть /C = F4r, а ? /С, а ^ 0. Пусть Хз> Хз — нетривиальные характеры
группы К* порядка 3. Выведите формулу

§ 3. Зависимость от р 81
(d) В ситуации из пункта (с) покажите, что J (%3, Хз) = ( — 1)г"х 2Г. Най-
Найдите формулу для Z(C/F2; T) в случае, когда а = \.
(e) Теперь пусть /C=Q, а = 1. Найдите линейную замену переменных
с коэффициентами в Q, переводящую кривую С в эллиптическую кривую
у2 = х3 -\-16.
23. Пусть Nr — число ?рГ-точек на эллиптической кривой Еп: у2 = х3— п2х,
где р JBn.
(a) Пусть p=3(mod4). Покажите, что Nr не зависит от п и равно рг-\- 1,
если г нечетно, и (/?г/2 —(—1)г/2J, если г четно.
(b) Пусть /?= 1 (mod 4). Выше, в задаче 8, мы видели, что Nr не зависит
от п, если г четно; если г нечетно, то Nr зависит только от того, является
ли п квадратичным вычетом или невычетом по модулю р. Пусть г нечетно.
Обозначим Nr через NTres в случае, когда п — квадратичный вычет, и че-
через N™ в случае, когда п — квадратичный невычет. Покажите, что N2r
делится на наименьшее общее кратное чисел Nrres и Л^?г.
(c) Пусть /7 = 5. Составьте таблицу чисел Nrres и Л^"г при г=1, 3, 5, 7
и таблицу чисел Мг при г = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. В каждом случае опре-
определите тип абелевой группы Еп (?рГ) (см. задачи 9 и 11 из § 1.9).
(d) Пусть /7 = 13. Составьте таблицу чисел iVJres и М"г при г=1, 3, 5
и таблицу чисел Nr при г = 2, 4, 6, 8, 10. В каждом случае найдите тип
группы Еп(?рГ).
§ 3. Зависимость от р
В этом параграфе мы будем изучать поведение дзета-функции
Z(En/fp\ Т) эллиптической кривой Еп\ y2=xs — п2х при измене-
изменении простого числа р. Впоследствии мы объединим дзета-функции
при различных р в одну функцию, которая называется L-рядом
Хассе — Вейля эллиптической кривой. Именно L-функция Хассе —
Вейля тесно связана с группой Q-точек на Еп.
Знаменатель дзета-функции Z(En/fp\ T) равен A — Г)A — рТ).
Числитель зависит от Т более сложным образом. Если р \ 2п
(и в этом случае Еп даже не является эллиптической кривой),
числитель равен 1 (см. задачу 10 из § II. 1). В противном слу-
случае числитель есть квадратичный полином от Т вида (I —аГ)х
ХA — аТ).
Впоследствии, при определении L-ряда Хассе—Вейля кри-
кривой ?л, мы введем новую комплексную переменную s и заменим
в этом полиноме переменную Т на p~s. Получающееся выраже-
выражение A — ap~s)(l — ap~s) называется множителем Эйлера по ана-
аналогии с членами разложения римановой дзета-функции в эйлерово
произведение:
00
?(s) = !>-'= П тз^т. где Res > 1. C.1)
п=- i простые р L r
В этом параграфе мы будем изучать зависимость множителя
Эйлера от р. Мы увидим, что эта зависимость описывается неко-
некоторым характером %'п кольца Z[i].

82 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
На протяжении всего этого параграфа мы будем обозначать
буквой Р простые идеалы кольца гауссовых целых Z[/]. Имеется
два типа идеалов: A) Р = {р) для p=3(mod4); B) Р = (а + Ы)
для а2 + Ь2 = р = 1 (mod 4). В последнем случае РР = (/?); мы гово-
говорим, что р расщепляется в Z[i]. (Имеется также выделенный
случай Р = (\ + i). Этот идеал ветвится, т. е. Р2 =B).) Определим
степень простого идеала Р, делящего (/?), как степень расшире-
расширения поля Z [i]/P над F/, эта степень равна 2 в первом случае
и 1, если р расщепляется. Мы можем переформулировать теорему
из предыдущего параграфа следующим образом.
Предложение 1.
(l-T)(l-pT)Z(En/Fp;T)= II(l-(<vOdegP), C-2)
ЯКа?)
где произведение берется по одному или двум простым идеалам
кольца Z[i], делящим идеал (р). Здесь ир=1\/Гр, если Я = (/?),
а ар = а + Ы, если р расщепляется, где а + Ы—единственная
образующая идеала Я, сравнимая с ( —] по модулю 2+2i. Мы
принимаем, что ая = 0, если Р\Bп).
Определим теперь отображение %п кольца Z [i] в себя со свой-
свойствами: (i) оно мультипликативно; (ii) %п(х) =ар для любой обра-
образующей х идеала Р = (х). Это отображение имеет вид %п(х) =х%'п(х),
где %п(х) принимает значения 0, ± 1, ±i- Прежде всего поло-
положим %'п (х) = 0 для чисел х, имеющих общий делитель с 2п. Далее,
при п=\ положим %[{х) равным 0, где г7'—единственная степень
числа г, для которой iJ'x= I(mod2 + 2r). Мы предполагаем здесь,
что х взаимно просто с 2 и, следовательно, является элементом
группы (Z [i]/B + 2r))*, имеющей четыре элемента, в качестве пред-
представителей которых можно выбрать степени числа i. Наконец,
для других п и для чисел x?Z[i], взаимно простых с 2, поло-
положим %п(х) = %[(х) ( -^- ), где Nx = x- х есть положительное чет-
четное целое число, и (—) — символ Лежандра, продолженный
т
с простых значений числа т на произвольные положительные
/ п \ ( п \ ( п \ |Л
нечетные значения по правилу = — — . Итак, мы
определили
,,. \ хЛх)( -^-)у если х взаимно просто с 2п,
(О в остальных случаях,
C.3)

§ 3. Зависимость от р 83
где для ху взаимно простых с 2,
Xl{x)=iJ с Vx = I(mod2 + 2r). C.4)
Предположим, что х порождает простой идеал Р = (х), не де-
делящий 2п. Если Р = (р), где р = 3(mod 4), то (-^-) = (-^) = 1 и
\1^дс/ \ Р J
^n(x) = Vx =—р. Это означает, что %п переводит любую из четы-
четырех возможных образующих идеала Р в ар. Если х — любая из
четырех возможных образующих простого идеала Р с нормой
р=1 (mod 4), то x»U) = ^G)-G)(mod2 + 2f)> T*e* *"W
есть единственная образующая ар, сравнимая с ( —J по модулю
2+2/. Таким образом, мы доказали
Предложение 2. Отображение %п, определенное формулами C.3),
C.4), есть единственное мультипликативное отображение кольца
Z[i] в себя, равное а^ р на любой образующей простого идеала Р.
Заметим, что %[ есть характер группы (Z[i]/B + 2i))*. Он пе-
переводит любой элемент х в корень из единицы, лежащий в классе
элемента 1/х. Отображение ^п строится из %[ и символа Лежан-
дра, в который переменная х входит в качестве нижнего аргумента.
Для того чтобы показать, что %„ является характером, восполь-
воспользуемся квадратичным законом взаимности и перенесем перемен-
переменную х наверх. В этом месте нужно вспомнить задачу 9 из пре-
предыдущего параграфа, в частности определение примитивного харак-
характера числового кольца.
Предложение 3. Отображение %„, определенное формулами C.3),
C.4), является примитивным мультипликативным характером
по модулю B И- 2i) n для нечетных п и по модулю 2п для четных п.
Доказательство. Предположим, что х взаимно просто с 2п.
Пусть п = 2е 1Х . , . 1Ь где lj — различные нечетные простые числа
и 8 = 0 или 1. Заметим, что Нх есть произведение квадрата нечет-
нечетного числа и простых чисел ри ..., рг, сравнимых с I(mod4).
Легко показать, что
1, если Нх= 1 (mod 8),
-1, если Nx=5(mod8). C<5)
Далее, поскольку pk = I (mod 4), из квадратичного закона взаим-
взаимности вытекает, что

84 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Поскольку Нх равно произведению квадрата нечетного числа на
/?!... рп мы заключаем, что
(%){&)() C.6)
где по = п, если п нечетно, и по = п/2, если п четно.
Докажем теперь предложение в случае нечетного п. Доказа-
Доказательство для четного п совершенно аналогично, и мы оставляем
его читателю в качестве задачи.
Сперва мы должны показать, что %'п(х) зависит только от зна-
значения числа х по модулю B + 2i)n. Предположим, что х' = х +
+ B + 2i)n$. Поскольку х = х (mod 2 + 2i), ясно, что %i (х') = %[ (х).
Далее, имеем
№*' = (х + B +20 яр) (х + B — 21) гф) = х-х = Nx(mod n),
и, следовательно, символы Лежандра тоже совпадают (это не бы-
было очевидно до того, как мы использовали квадратичный закон
взаимности и перенесли Нх наверх, получив ( —) в C.6)).
Для того чтобы проверить примитивность, нам нужно дока-
доказать, что не существует собственного делителя числа B + 2г) п,
такого, что %'„ (х) зависит только от значения числа х по модулю
этого собственного делителя. Действительно, пусть %'п неприми-
непримитивен по модулю B + 2i)n. Тогда существует простой идеал Q,
делящий B+2i)n, такой, что %'п(х) зависит только от значения
числа х по модулю идеала (B+2i)n)/Q. В частности, %'n(x)=^= — i
для всех х = 1 (mod(B + 2i)n/Q). Рассмотрим три случая и убе-
убедимся, что каждый из них приводит к противоречию.
(i) Q=(l + i), т.е. тЬ(х)ф — \ для всех x=l+2np, PgZ[t].
Но, поскольку Нх = 1 (mod ri), имеем %'п (х) = %[ (х) = %[ A + 2Р),
и в случае, если, например, р = *\ это число равно —1.
(ii) Q = (a + Ы), где (a + bi) (a — bi) = l = l (mod 4), 1\п. Мы пред-
предполагаем, что %'п(х)ф—1 при всех х вида 1 + РB + 2i) n(a—bi)/lt
где Р С Z [i]. Пусть р = &A — i), где k—произвольное целое число,
т. е. х = 1 + \kn (a — bi)/l. Тогда %i (х) = 1 и Nx = 1 + 8akn/l (mod n).
Значит, Хп(х) = ( Т~) • Поскольку 8ап/1 взаимно просто с Z,
число 1 + 8akn/l при изменении k пробегает все вычеты по моду-
модулю /. В частности, найдется значение &, при которОхМ \ + 8akn/l —
квадратичный невычет, т.е. %'п(х)=—1, и мы получили противо-
противоречие.
(Hi) Q=(/), где Z = 3(mod4). Мы предполагаем, что %'п(х)Ф
Ф — 1 для х = 1 (mod B + 2i) nil). Поскольку х = 1 (mod 2 + 2i)y
Ф дл х (m ( + ) i) коу
имеем %'1(x) = l1 Nx= 1 (mod n/t), и потому 7Ы (x) = {^) \pf) •
Далее, согласно китайской теореме об остатках, из того, что

§ 3. Зависимость от р 85
B + 2i) nil взаимно просто с /, следует, что число х вида 1 +
+ $B+2i)n/l пробегает все вычеты кольца Z[i] по модулю Q.
Рассмотрим такое число х по модулю идеала Q, т. е. как элемент
поля Z[i]/Qttfi2. Тогда отображение нормы х\-^>Нх = х-~х есть
просто отображение нормы из F/2 в F*- Последнее отображение
сюръективно (например, образующая g2 группы F** переходит в
образующую g = g{+1 группы F*)- Следовательно, найдется эле-
элемент х требуемого вида, для которого %'п(х) = I -~ ) = —1. Это
завершает доказательство предложения. ?
В оставшейся части этой главы через п мы будем обозначать
кондуктор характера %'п, т. е. образующую наибольшего идеала,
такого, что %п (х) зависит только от класса элемента х по модулю
этого идеала. По предложению 3 мы можем выбрать п' следую-
следующим образом:
\ B + 2i) я, п нечетно,
п' = < о C.7)
[ 2/2, п четно. v '
При изучении формул преобразования функций, содержащих
характеры — а этим нам предстоит заниматься в последующих
разделах — можно быть почти уверенным в том, что появятся
гауссовы суммы. В качестве подготовительного шага к последую-
последующему выводу функционального уравнения для L-ряда Хассе —
Вейля кривой Еп мы сейчас найдем формулу для гауссовой сум-
суммы характера %'п: (Z[i]/n')*—>C*. (Образ этого характера состоит
из степеней числа i.)
Определим аддитивный характер на Z [i]/nr формулой
\1э (х) = 62ni ^e (*/"'). C 8)
Легко проверить, что г|э является нетривиальным аддитивным
характером на Z[i]/nf, удовлетворяющим условию из задачи 9
предыдущего параграфа. А именно, -ф нетривиален на любой под-
подгруппе, состоящей из чисел, кратных некоторому собственному
делителю числа п'.
Предложение 4.
def [ (—•) п\ п нечетно,
xsZvyn' (—1 in' n = 2n0 четно.
C.9)
Доказательство. Доказательство того, что g(%'1)=2+2i и
g(%2)=4i, представляет собой короткое вычисление; оно оставле-
оставлено в качестве упражнения (задача 2 ниже).

86 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Пусть т—положительное нечетное число, свободное от квад-
квадратов. Обозначим через (—) характер хн->( — ) на (ZU'1/m)*.
r l \т J l 1 \ тJ vlj/
Тогда по C.6) имеем
%; = %;[---1 для нечетного п\ Хп = %Л—\ для четного п = 2п0.
C.10)
Гауссова сумма для характера ( — ) определяется следующим об-
образом:
C.11)
/ /
Заменяя х на 2х, мы получим другое выражение для g |
т
(Заметим, что 2х пробегает (Z[i]/tri)*, когда х пробегает (Z[i]/m)*.)
(М2х\ (Nx\
— = — . Записы-
т J \m J
вая ReBx/m) как —Тгх, где Тгх обозначает х + ху находим, что
^((/я)) =
Предложение 4 немедленно вытекает из следующих лемм.
Лемма 1.
п нечетно,
п = 2п0 четно.
Лемма 2. Если щ=т1тш, то g ((-))= 8 ((^)) g ((-
Лемма 3. ?с./ш /? — нечетное простое число, то g[[— ))=P-
Доказательство леммы 1. Сперва предположим, что п нечетно.
Запишем х в виде х= B+ 2i) хг + пх2, где хг пробегает множество
представителей смежных классов кольца Z [i] по модулю п, а х2
пробегает множество представителей смежных классов кольца
Z[i] по модулю 2+2/. По китайской теореме об остатках, х про-
пробегает множество представителей смежных классов кольца Z[i]
по модулю B + 20 п. По C.10) имеем %п(х) = %[(пх2) 2j
По C.4) имеем х'1(п) = {—). Кроме того, N(B+ 2i)x1) = l
и поэтому второй член превращается в (-^) . В то же время

§ 3. Зависимость от р 87
Re(x/n') в выражении для аддитивного характера можно перепи-
переписать в виде Re (x/n')= Re (x1/n+ x2/B + 2i)). Подставляя все это
в определение гауссовой суммы C.9), получаем
и двойная сумма в правой части распадается в g(%i)g[[—
Если п четно, то х записывается в виде х = \х1-\- п0х2 и дока-
доказательство совершенно аналогично. Детали мы оставляем читателю
в качестве упражнения. ?
Доказательство леммы 2. Доказательство вполне аналогично
доказательству леммы 1. В определении C.11) запишем х = хгт2-\-
+ х2т19 где Xj пробегает множество представителей в Z[i] элемен-
элементов кольца Z[i]/rrijf / = 1, 2. Поскольку Нх = ml Мхг (mod тг) и
Щх = ml Mx2 (mod m2), мы видим, что
( ( (
т ) V mx / \т2) \ тг ) \ т2
Поскольку, кроме того, Re(x/m) = Re(x1/m1) + Re(x2/m2), с>мма
в C.11) распадается в произведение двух сумм, по хх и по х2.
Сумма по хх равна g ( — ) ) , а сумма по х2 равна g ( ( — . П
\\tUijj \\ т2 } )
Доказательство леммы 3. Сперва рассмотрим случай р =
= I(mod4). Пусть р = РР, rj\e $= а + Ы. В C.11) запишем х =
= х1р + х2Р, где каждое из х1г х2 пробегает множество 0, 1, ...
..., р—1. (Заметим, что оно является множеством всех предста-
представителей в Z [i] кольца Z [i]/$ или Z [*"]/р.) Поскольку р, р взаимно
просты, мы снова по китайской теореме об остатках получаем,
что х пробегает Z\i]/p. Имеем Нх = (х$ + х2Р) (xLP + л*2Р) =
= 2хгх2 Re P2 (mod р). Но ReP2 = a2— b2 = 2а2 (mod /?), так как
р = а2+Ь2. Таким образом, поскольку Rex = xta + x2a, мы полу-
получаем по C.11), что
(
\ Р J
Двойная сумма есть квадрат одинарной суммы по хг € ZIpZ.
Заменяя ахг на х, получим
Согласно свойству B) гауссовых сумм для конечных полей, это
выражение равно р (см. § II. 2; см. также задачу 4 из § П. 2).

88 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Наконец, предположим, что /7 = 3 (mod 4). Тогда (р) есть
простой идеал кольца Z[i], a Z[i]/p есть поле из р2 элементов.
В этом случае g((—м в C.12) есть гауссова сумма для муль-
мультипликативного и аддитивного характеров поля Fp2, полученных
из мультипликативного характера (—) и аддитивного характе-
характера еш1х1р поля fp взятием нормы и следа. Иными словами, мы
находимся в ситуации, когда применимо соотношение Хассе —
Дэвенгюрта B.10). Из него следует, что —g((— П есть квадрат
гауссовой суммы ^ (Л.\е2Шх/ря Снова используя задачу 4 из
§ 11.2 (на этот раз для q = р = 3 (mod 4)), мы заключаем, что
Это завершает доказательство лемм, а, значит, и предложе-
предложения 4. ?
В предложении 4 член, равный (—J для нечетного п и
— ) для четного /г, равен +1, если п= 1, 2, 3(mod8), и —1,
п0 }
если п = 5, 6, 7 (mod 8). Мы увидим, что этот знак играет решаю-
решающую роль в функциональном уравнении для L-ряда Хассе — Вей-
Вейля кривой Еп. Он называется корневым числом. Если оно равно
— 1, то предположительно отсюда следует, что число п конгру-
конгруэнтно. Но мы не знаем ни одной непосредственной причины, по-
почему свободное от квадратов число п, сравнимое с 5, 6 или 7
по модулю 8, должно быть площадью рационального прямоуголь-
прямоугольного треугольника.
ЗАДАЧИ
1. Используя C.6), докажите предложение 3 для четного п = 2я0.
2. Для ,*г=1, 2 проверьте формулу из предложения 4 непосредственным вы-
вычислением.
3 Докажите лемму 1 для четного п.
4 Дайте другое доказательство леммы 3, исходя непосредственно из определе-
определения величины g [ [ —
§ 4. Прототип: дзета-функция Римана
Для Res > 1 риманова дзета-функция определяется с помощью
сходящейся бесконечной суммы обратных s-x степеней. Можно
определить ее иначе как произведение эйлеровых множителей
1/A — p~s)9 взятое по всем простым числам р (см. C.1)). В этом

§ 4. Прототип: дзета-функция Римана 89
параграфе мы опишем аналитическое продолжение и выведем
функциональное уравнение для дзета-функции Римана ?(s). Впо-
Впоследствии мы будем доказывать аналогичные факты для L-функ-
ции Хассе — Вейля, и рассуждения в этом параграфе построены
так, чтобы содержать все существенные элементы, которые пона-
понадобятся в дальнейшем.
Начнем с напоминания некоторых важных элементов теории
вещественных и комплексных функций. В частности, приведем
определение и свойства гамма-функции (доказательства и дальней-
дальнейшие подробности см., например, в книгах [Whittaker, Watson
1958, ch. XII] или [Artin 1964]).
Гамма-функция Г (s) есть интерполяция функции п\ в том
смысле, что Г (п) = (п — 1) !. Для s?C, Res>0 она может быть
определена интегралом
def о jj.
Jf D.1)
Гамма-функция удовлетворяет соотношению
r(s+l) = sr(s), D.2)
которое дает возможность аналитически продолжить Г (s) на всю
комплексную плоскость; все особенности гамма-функции — простые
полюсы в точках s = 0, —1, —2, —3, .... Кроме того, гамма-
функция удовлетворяет соотношениям
T(s)T(l — s)=—?-7 D.3)
v ' v ; sin (its) ч '
Наконец, используя D.2) и D.3), легко проверить, что функция
1 /Г (s) есть целая функция от s.
Гамма-функция D.1) получается конструкцией, известной
как преобразование Меллина. Преобразование Меллина функции
/(/), определенной на положительной части вещественной оси,
есть функция g(s), заданная формулой
для тех значений s, для которых интеграл сходится. Таким об-
образом, Г (s) есть преобразование Меллина функции е~г. Заметим,
что для любой константы с > 0 преобразование Меллина функ-

90 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
ции e~ct есть c~sF(s):
00
?e-cttsE_ = c-sY(s) D.6)
о
— это сразу видно после простой замены переменных. Мы будем
часто пользоваться формулой D.6).
Нам понадобится еще одно средство — преобразование Фурье.
Обозначим через of векторное пространство бесконечно дифферен-
дифференцируемых функций /: R—>С, убывающих на бесконечности быст-
быстрее, чем любая отрицательная степень (т.е. | x\N f(x) —> 0 при
х—>ЧЬоо для любого N). Пример такой функции: f (x) = е~ш\
Преобразование Фурье / любой функции / ? of определим формулой
00
f{y) = [e~ 2ni*y f(x) dx. D.7)
Нетрудно показать, что этот интеграл сходится при всех у и что
Вот несколько легко проверяемых свойств преобразования
Фурье:
A) Если a?R и g{x) = f(x+a), то g(y) = e™iay f(у).
B) Если a?R и g (х) = е^ах f (x), то g(y) = j(y-a).
C) Если Ь>0 и g(x) = f(bx), то g(y) = -^f(y/b).
Например, следующая цепочка равенств приводит к свойству C):
?(</) =
Предложение 5. Если f(x) = e~nx\ mo f = f.
Доказательство. Дифференцируя под знаком интеграла, полу-
получим
GO
= —2ш f е-

§ 4. Прототип: дзета-функция Римана 91
Интегрирование по частям дает
f'(y) = — 2nie-™ixy
+2ш [ — 2niye-^ixy. -^- dx=
00
= — 2пу (V2Я^ / (*) d* = — 2nyf (у).
Таким образом, / удовлетворяет дифференциальному уравнению
f'(y)/f(y) =—2пу. Ясно, что его решение есть [(у) = Се~лУ2\ зна-
значение константы С получим, положив у = 0:
С = /@)=
(Напомним, как вычислять последний интеграл:
СО 00
С2= \ e-™2dx \ e-w2dy = \ e~n^+y2
- оо -оо R.2
= j е~лг2 2nr dr = \}e~adu=l.)
о о
Таким образом, J (у) = е~лУ\ что и утверждалось. ?
Предложение 6. (Формула суммирования Пуассона.) Если g(zo?\ то
= 2 sim). D.8)
00
Доказательство. Положим h(x)= 2 §"(^ + й). Функция/i(jc)
/г = -оо
периодична с периодом, равным 1, и ее разложение в ряд Фурье
00
есть h(x)= 2 cme2nimxt где
г = — оо
1 1
ст = ^ А (а:) е-ая^ dx= \ ^ g(x + k) e~2nimx dx
О 0 ?=-а°
= \ g(x)e-2nimxdx
— 00
(мы изменили порядок суммирования и интегрирования и сделали
замену переменных а: + Л i—> а:). Но последнее выражение есть
просто g(m). Далее, левая часть в D.8) есть, по определению,
А@). Подставляя х = 0 в разложение Фурье для h (x) и поль-

92 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
зуясь тем, что cm = g(m)y мы приходим к тому, что правая часть
тоже равна h @). ?
Определим теперь тэта-функцию:
6@= 2 e~*tn2 при г>0. D.9)
П = — 00
Предложение 7. Тэта-функция удовлетворяет следующему функ-
функциональному уравнению:
0@=^6A/0. D.10)
Доказательство. Пусть t > 0 фиксировано. Применим фор-
формулу суммирования Пуассона к функции g(x) = e~ntx\ Записывая
g(x) = f (УТх), tj\? f (x) = е~ш\ и применяя предложение 5 и
свойство C) преобразования Фурье (с b = V7), мы видим, что
ё(У)= t~1/2e~ny2/t. Тогда левая часть в D.8) есть 0@, а правая
часть есть ^"~1/2 0A//). Это доказывает предложение. ?
Иногда нам потребуется рассматривать 0 (/) при комплексном
/. При Re t > 0 значение 0 (?) по-прежнему определяется форму-
формулой D.9). Функциональное уравнение D.10) справедливо и для
комплексных t по принципу аналитического продолжения. Дей-
Действительно, обе части в D.10) являются аналитическими функ-
функциями от t в правой полуплоскости. Поскольку они совпадают
на положительной части вещественной оси, они должны совпа-
совпадать всюду при Re t > 0.
Предложение 8. Пусть t стремится к нулю сверху. Тогда выпол-
выполняется неравенство
|0(/) — t-^Ke-W D.11)
для некоторой положительной константы С.
Доказательство. По D.10) и D.9), левая часть равна
2t~1/2 2 e~nn2/t. Выберем t настолько малым, что J/T>4e-1/^ и
п=\
e-zn/t < __# Тогда
|0 (/) — t-^l ^l-e^ie-^ + e-^t + ...)
|L_i__L + J-_i_
^ 2 ^ 4 ^ 8 ^ •"
Таким образом, мы можем взять С = п — 1. ?
Теперь мы свяжем 0@ с дзета-функцией Римана. Грубо го-
говоря, ?(s) есть преобразование Меллина от 0@- Исходя из функ-

§ 4. Прототип: дзета-функция Римана 93
ционального уравнения для Q(t)> мы построим функциональное
уравнение для ?(s); в то же самое время это даст нам аналити-
аналитическое продолжение для ?(s). Покажем теперь, как это проив-
ходит.
Теорема. Дзета-функция Римана ?(s), определенная формулой C.1)
при Res>l, аналитически продолжается на всю комплексную
s-плоскость, за исключением точки s = l, в которой она имеет
простой полюс с вычетом 1. Положим,
-/«r(|)c() D.12)
Тогда A(s) инвариантно относительно замены s на A— s):
A(s) = A(l— s).
<9mo означает, что ?(s) удовлетворяет функциональному урав-
уравнению
() (i)l-s). D.13)
Доказательство. По существу, мы хотим рассмотреть преоб-
00
разование Меллина \^ Q(t) ts dt/t. Однако для больших ? тэта-
о
функция асимптотически равна 1 (поскольку все члены в D.9),
за исключением члена с п=0, быстро убывают); при малых t
тэта-функция ведет себя, по предложению 8, как /-1/2. Следова-
Следовательно, для того, чтобы добиться сходимости на обоих концах,
нужно ввести поправочные члены. Кроме того, заменим s на s/2
(иначе мы придем к ?Bs)). Итак, введем функцию
--^)^. D.14)
00
Выражение в первом интеграле 8@ — 1=2 2 е~ппН быстро
/2=1
стремится к нулю в бесконечности. Поэтому этот интеграл сходится
и может быть вычислен почленно при любом s. Подобным же об-
образом из предложения 8 следует, что второй интеграл сходится
при любом s. В интервале @, 1] функция Q(t) ограничена кон-
константой, умноженной на t'1^2. Взяв s так, что Res > 1, мы мо-
можем переписать второй интеграл следующим образом:

94 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Таким образом, для s в полуплоскости Re s > 1 получаем
1 ж 1
1=1 1 ^0 1=1 О
Используя D.6) с заменой с на я/г2 и s на s/2, получаем
1 ¦ 1
где всегда Res > 1.
Далее, cp(s) есть целая функция от s, поскольку, как мы ви-
видели, интегралы в D.14) сходятся достаточно быстро при любом s.
Таким образом, из D.14) мы видим, что выражение
s/2 / 1 . ч 1 1
1ф^
задает мероморфную на всей комплексной плоскости функцию
от s; эта функция равна ?(s) при Res> 1. Кроме того, посколь-
поскольку я5/2, 1/Г( yj и cp(s) являются целыми функциями, полюсы у
этой мероморфнои функции могут быть только при s = 0 hs=1.
Но около s = 0 мы можем заменить sWyj в знаменателе на вы-
ражение 2уГ(у]=2Г(у+1 ), которое остается ненулевым
при s—> 0. Следовательно, имеется полюс только при s=l; вы-
вычислим вычет в нем:
lim (s — 1)
г(у
Остается вывести функциональное уравнение. Поскольку, по
D.15), A(s) = y(p(s)—-—у—- и поскольку l/s+l/(l — s) инва-
инвариантно относительно замены s на 1 — s, достаточно доказать,
что 9(s) = 9(l — s). Именно здесь нужно воспользоваться урав-
уравнением D.10) для тэта-функции. Используя D.10) и заменяя t
на 1/^ в D.14), мы получаем [заметим, что ^(т) {т)= — Т и

§ 4. Прототип: дзета-функция Римана 95
00 0 1
что при этой замене ^ превращается в ^ =— \
1 1 О
(замена t на —
о
(по D.10))
--^)d-f + ]t^44t)-i)di=v(i-s).
Это завершает доказательство теоремы. ?
Аналогичным образом выводится аналитическое продолжение
и функциональное уравнение для более общих рядов, получаю-
получающихся из C.1), если мы вставим характер Дирихле % (п) перед
n~s, или, что равносильно, если мы вставим %(р) перед p~s в
эйлеровом произведении (см. задачу 1 ниже). Введем для таких
рядов специальное обозначение. Пусть %: (Z/nZ)* —> С* — любой
характер. Положим
1!-%Г=П ,_,(,)p-s
при Res>l. D.16)
Подробности вывода аналитического продолжения и функцио-
функционального уравнения вынесены в задачи к этому параграфу.
L-функция Хассе — Вей ля кривой Еп, которую мы определим
в следующем параграфе, также задается рядом, аналогичным D.16).
Но там суммирование ведется по гауссовым целым х9 знамена-
знаменатель есть s-я степень нормы числа х и числитель равен х«М>
где %п определено формулой C.3) предыдущего параграфа. Тех-
Техника, использованная в этом параграфе для изучения дзета-функ-
дзета-функции Римана, приводит при должной модификации к аналогичным
фактам об аналитическом продолжении и функциональном урав-
уравнении для L-функции Хассе — Вейля кривой Еп. В последнем па-
параграфе этой главы мы будем использовать эту информацию для
изучения критического значения L-функции Хассе — Вейля. Это
значение связано с задачей о конгруэнтных числах.

96 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
ЗАДАЧИ
1. (а) Покажите, что определения функции L(%, s) в виде ряда и в виде про-
произведения совпадают.
(Ь) Докажите, что если % нетривиален, то сумма в D.16) сходится условно
при Re s > 0.
2. Пусть G = WJN%< и пусть l = e2ni/N •
(а) Определим конечное преобразование Фурье функции /: G —> С форму-
формулой f(a) = 2 f(b) l~ab для a?G. Докажите, что f(b) =-^=- V J (а) 1аЪ.
b*G Tt
(b) Для фиксированного s?C с Res> 1 определим функцию fs: G —> С
формулой
fs(b)= 2 n'S-
п > 1, n==b (mod N)
Докажите, что для любого примитивного характера Дирихле % по модулю
N и для любого s с Re s > 1 выполнено равенство
aeG n=\
где g (%) — гауссова сумма (см. задачу 9 из § II.2).
(c) Считая, что % в пункте {Ь) нетривиален, вычислите предел при s, стре-
стремящемся к 1 сверху. Получите таким образом простую формулу для L (%, 1).
00
(d) Определим функцию дилогарифм формулой / (д:)= N —^ для | х\ ^ 1.
Выразите L (%, 2) через дилогарифм.
8. (а) Чему равно преобразование Фурье функции e~nt(x+aJ при фиксирован-
фиксированном />0и a?R?
(b) Предположим, что a?IR лежит в открытом интервале @, 1). Определим
следующие функции:
00
/7=0
00
l(a,s)= 2 п-*ешШп, Res> 1;
п- 1
00
f2 := — 00
00
М= — 00
Юбозначение l(a,s) не следует путать с обозначением I (х) из задачи 2.)
Докажите, что
(i) %(t) = i
00 |6я@~^~1/21 < ^"Cl// при /—> 0, где Сх — некоторая положительная
константа;

§ 4. Прототип: дзета-функция Римана 97
(iii) \§a (t)\ < e~Czi при / —> О, где С2 — некоторая положительная кон-
константа.
(с) Докажите, что ?(а, s) + ?(l — a, s) продолжается как функция от s до
мероморфной функции с единственным простым полюсом при s = l; дока-
докажите, что I (a, s) + /(l—a, s) продолжается до целой функции от s и что
(d) Пусть х—примитивный характер Дирихле mod N. Пусть L (x, s) опре-
определено формулой D.16). Докажите, что при Res> 1
(О ?
0</г<Л/
(ii) ?
0</г<Л/
(e) Предположим, что % — нетривиальный четный характер, т.е. %(—1) = 1.
Докажите, что L (х, s) продолжается до целой функции от s?C, и найдите
функциональное уравнение, связывающее L (%, s) с L (х, 1—s).
(f) Пусть / — примитивный четный квадратичный характер, т. е. % (п) =
= ±1. Напомним (см задачу 9 (с) из § П.2), что g(%J = W> а значит,
g(X) = ± V~N • Предположим, что мы можем доказать, что L (%, 1/2)^0.
Покажите, что g{y) = V~N .
(g) Пусть х такой же, как в пункте (е). Покажите, что L (%, s) = 0, если
s — четное отрицательное число или нуль.
(h) Пусть % такой же, как в пункте (е). Выразите V (%, —2k) через
L (x, 2&+l). В частности, выразите L'(x,0) через L(x, l)«
Пусть х—нетривиальный четный примитивный характер Дирихле mod N.
Положим
(а) Докажите, что
1 N
(О в(х,0=-2 X
a=l
1
(ii) -i^
a=\
(b) Покажите, что преобразование Меллина от 0 (х, t) сходится при лю-
любом s (без каких бы то ни было поправочных членов) и что при Res > 1/2
оно равно n~sT (s) L (x, 2s).
(c) Используя функциональное уравнение из пункта (a) (iii), дайте другой
вывод функционального уравнения из задачи 3 (е) для L (x, s).

98 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
5. (а) Пусть \^of и g (х) = f'(x). Покажите, что g (у) = 2niyf(y).
(b) Найдите преобразование Фурье от (* + а) е~я'(*+аJ, где t и а такие
же, как в задаче 3 (а).
(c) Пусть а?@, 1). Определим функции ? (a, s) и /(а, s) так же, как в
задаче 3, а 6в и 0а — иначе:
@= 2
П = —00
@= 2 ne™inae-ntn%, t>0.
Докажите, что
(О QAt) = -it-
00 I вя (О I < ?~Cl/' ПРИ t—>0, где С1 — некоторая положительная кон-
константа;
(iii) | Qa (t) | < e~Cz/t при t—>0, где С2 —некоторая положительная кон-
константа.
(d) Выразите преобразование Меллина функций 6д и да через ?(а, s) и
l(a, s); докажите, что ^(а, s) — ^A—a, s) и /(а, s)—/A — a, s) продол-
продолжаются до целых функций от s; выведите функциональное уравнение, свя-
связывающее эти две функции.
(e) Пусть х —примитивный нечетный характер mod Л/, т. е. % (— 1) = — 1.
Докажите, что L (%, s) продолжается до целой функции от s^C; выведите
функциональное уравнение, связывающее L (%, s) с L (%, 1 — s).
(f) Пусть X — нечетный квадратичный характер. Предположим, что мы мо-
можем доказать, что L (%, 1/2) ф 0. Докажите, что тогда g (y)=iVN (а не
-{УЮ-
(g) Пусть х такой же, как в пункте (е). Покажите, что L (%, s) = 0, если
s —отрицательное нечетное число.
(h) Пусть % такой же, как в пункте (е). Выразите V (%, \—Щ через
L(x, 2&). В частности, выразите L'(%, —1) через дилогарифм. Например,
/ N / П \
сделайте это в случае, когда % (я) = ( — ].
6. Пусть х —нечетный примитивный характер Дирихле mod N. Положим
(заметим, что это отличается от определения функции 6 (X, t) для четного X,
см. задачу 4). Пусть 6Л и 6Л такие же, как в задаче 5 (с),
(а) Докажите, что
М N
(i) в(Х. *) = ¦§¦? X(flNe/JV(^0;
a=l
00 yX x(a) в^^@= «roc) e(x, 0;

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 99
(b) Покажите, что преобразование Меллина функции 0 (%, t) сходится при
любом s; покажите, что при Res> 1/2 оно равно n~sT (s) L (X, 2s—1).
(c) Используя функциональное уравнение пункта (a) (iii), дайте другой вы-
вывод функционального уравнения из задачи 5 (е) для L (X, s).
7. Пусть х — характер mod 12, такой, что %(±1) = 1, %(±5) =—1. Положим
г] (г) = 6 (%, —/г/12) при Im г > 0. Докажите, что т] (— 1/z) = ]/г/Гт] (z)
для той ветви функции ]/г// , которая принимает значение 1 в точке z = i.
Мы позже снова встретимся с функцией ц (z), получим для нее другое выра-
выражение и дадим другой вывод ее функционального уравнения.
8. (а) Используя выведенные выше функциональные уравнения, выразите
/(а, 1—s) через ? (а, s) и ?A — a, s).
(b) Используя свойства D.3) и D.4) гамма-функции и пункт (а), покажите,
что
/(a, l-s)=r(s)Bjt)-Vs:rl/2((?(a, s) + e~isnt (I-a, s)).
(c) Пусть а ? С, а ф—п. Определим функцию (а + п)-* как e~sl°s{a+n),
где мы выбираем ту ветвь логарифма, мнимая часть которой принимает
значения в (—я, л]. Докажите, что при Ima>0, Res>l выполнено
равенство
(d)
Im
Пусть s = k — положительное четное целое число, и пусть а ? С,
2 > 0. Покажите, что
^ 1
(k—l)\ ^
п = —оо п= 1
(е) Последовательно дифференцируя равенство
nctg(na)=l+?^ + ^(
дайте второй вывод формулы из пункта (d).
§ 5. L-функция Хассе—Вейля
и ее функциональное уравнение
В начале этой главы мы изучали конгруэнц-дзета-функцию
Z(Elfp\ Т) нашей эллиптической кривой Еп: у2 = х3—п2х. В опре-
определении этой функции участвовал производящий ряд чисел Nr,
где Nr = Nr^p — число Fp'-точек на эллиптической кривой, реду-
редуцированной по модулю р. Теперь мы соберем эти функции для
всех р в одну функцию. Эта функция несет информацию о чис-
числах Nr%p для всевозможных степеней простых чисел ргу т. е.
о числе точек кривой Еп над всеми конечными полями.
Пусть s — комплексное переменное. Сделаем подстановку
T = p~s в выражение для Z(Ejfp\ T) и определим L-функцию

100 Гл. II. /.-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Хассе—Вейля L(En,s) следующим образом:
EЛ)
Мы должны объяснить смысл этих произведений, почему они
эквивалентны и какие ограничения на s ? С обеспечивают сходи-
сходимость. В E.1) мы использовали выражение для конгруэнц-дзета-
функции, полученное в теореме § II.2 (см. первое равенство
в B.7)); обозначение аЕп, р указывает, что коэффициент а зависит
и от ?и, и от простого числа р. Мы внесли в определение сомно-
сомножитель 1,(8I,(8 — 1) для того, чтобы сократить неинтересную
часть конгруэнц-дзета-функции —ее знаменатель (для этого нужно
разложить функции ?(s) и ?(s — 1) в эйлерово произведение;
см. C.1)). Заметим, что, когда р\2п, вся конгруэнц дзета-функция
сводится к знаменателю (см. задачу 10 из § II. 1) и вклад от
таких р равен 1; поэтому эти простые числа не участвуют
в произведении E.1).
В E.2) произведение берется по всем простым идеалам Р
кольца Z[t], делящим простые числа р с хорошей редукцией.
Напомним, что эти простые идеалы бывают двух типов: Р = (/?),
/? = 3 (mod 4), degP = 2, НР = р2 и Р = (а + Ы), а2 + Ь2=р =
= l(mod4), degP = l, HP = P. Смысл величины аР и эквива-
эквивалентность E.1) и E.2) выяснены в предложении 1 (см. C.2)).
Так же как и в случае дзета-функции Римана, мы можем
разложить эйлерово произведение в ряд, записав каждый сомно-
сомножитель в виде геометрической прогрессии и перемножив эти гео-
геометрические прогрессии. В результате мы получим ряд Ди-
Дирихле, т. е. ряд вида
/71=1
E.3)
Перед тем как подробно обсуждать аддитивную запись функции
L(En, s), вычислим в качестве примера первые несколько чисел
Ьт>п для эллиптической кривой Ег\ у2 = хъ — х. Сперва нужно
вычислить несколько первых значений величины cleuP из E.1).
Если /?=3(mod4), то аЕиР=0. В случае когда /7=1 (mod 4),
имеется два простых способа находить а = пЕиР' A) как такое
решение уравнения а2 + Ь2 = р, для которого а+Ы = 1 (mod2 + 2i)\
B) из формулы 2а = р-\-\ — Nu где Nx — число Fjp-точек на Ех

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 101
(см. A.5)). Вот первые члены ряда для L(El9s):
Т (р v= 1 11 1
1+3.9-* 1+2.5-^ + 5-25-^ 1 + 7-49-^ 1 + 1Ы21—*
1 1
1 — 6-13-*+ 13-169-* 1—2.17-^ + 17-289-^ '*'
= 1—2.5-*—3.9-* + 6-13-*+2.17-*+ 2 ЪтчПт-*. E.4)
т>25
Мы еще не обсуждали сходимость рядов или произведений,
определяющих L(En, s). Применяя к E.2) стандартный критерий
сходимости бесконечного произведения к ненулевому значению,
мы приходим к ряду 21ая ldeg p (NP)~S с вещественным s. По пред-
р
ложению 1, имеем |aP|de^p = NP1/2. Кроме того, HP1/2~S ^p1^-*
для s^l/2 (где Р = (р) или же РР=(р)). Поскольку имеется
не более двух Р для каждого р, мы получаем, что сумма огра-
ограничена рядом 2 2/?1/2~5> сходящимся при Res > 3/2. Итак, схо-
р
димость обеспечена в правой полуплоскости, получающейся сдвигом
вправо на 1/2 из правой полуплоскости сходимости для дзета-
функции Римана. Это происходит потому, что в этом эйлеровом
произведении участвуют члены с абсолютной величиной, рав-
равной j/p", которых не было в случае функции ?(s).
Теперь обсудим более подробно аддитивную форму функции
L(En, s). Используя предложение 2, мы можем записать E.2)
через отображение %п, определенное в C.3)—C.4):
У1- E-5)
Здесь %п(Р) — значение отображения %п на любой образующей
идеала Р. (Заметим, что, поскольку %п есть мультипликативное
отображение, равное 1 на всех четырех единицах ±1, =Ы\ мы
можем рассматривать его значения как на элементах х кольца Z [i],
так и на идеалах /.)
Теперь мы можем разложить произведение E.5) таким же
образом, как это обычно делается для дзета-функции Римана и
для L-ряда Дирихле (см. задачу 1 (а) предыдущего параграфа).
Мы используем два факта: A) каждый идеал / имеет единствен-
единственное разложение в произведение степеней простых идеалов;
B) отображения %п и N мультипликативны: xn(I1I2)=XnUi)'Xn(h)^
НA112)=Ш1-Ш2- Тогда, перемножая геометрические прогрессии,
получаем
Ь(?и) = 2у/)№, E.6)
где сумма берется по всем ненулевым идеалам кольца Z[t].

102 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Ряд вида E.6) называется L-рядом Гекке, и отображение %п
есть пример характера Гекке. В L-ряде Гекке сумма в правой
части выражения E.6) берется по всем ненулевым идеалам в не-
некотором числовом кольце. Мультипликативное отображение %
на множестве идеалов этого кольца называется характером Гекке,
если выполняется следующее условие. Существует некоторый
идеал f и некоторое множество целых чисел пОУ по одному для
каждого вложения а числового поля в Qalecl, такие, что если
/ есть главный идеал, порожденный элементом х, сравнимым с 1
по модулю идеала f, то %(/) = Псг(л:)'2G. В нашем примере чис-
о
ловое кольцо есть Z[i]\ вложения задаются элементами ои а2
(ог = тождественное преобразование, а2 = комплексное сопряжение)
группы Gal(Q[/]/Q); возьмем nCTl=l, nO2=0\ пусть еще f = (n'),
где п!'= B+21) п, если п нечетно, и я' = 2я, если п четно. Тогда
наше условие означает просто, что %„ ((*)) = л:, если х= 1 (mod я').
Очень удачно, если L-ряд Хассе — Вейля эллиптической кривой
оказывается L-рядом Гекке. В этом случае с ним можно работать
как с L-рядом Дирихле, например при выводе аналитического
продолжения и функционального уравнения. Можно показать, что
L-ряд Хассе — Вейля эллиптической кривой с комплексным умно-
умножением (см. задачу 8 из § 1.8) всегда является L-рядом Гекке.
Связь между аддитивной формой E.6) и аддитивной формой
E.3) весьма проста. Собирая все члены, отвечающие идеалам /
с одной и той же нормой, мы получаем E.3), т.е.
Заметим, что, поскольку, согласно C.3), %п (I) = %гA) (-щ\ мы
имеем
где мы ввели обозначение bm = bm%1. Таким образом, обозначая
через %п мультипликативные отображения на Z, заданные фор-
формулой т|—>(-^-) Для т> взаимно простых с 2/г, получаем
E.7)
(заметим, что [-^j" равен 1, если Ъ\п% и 0, если 3|я]. Мы

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 103
говорим, что L(Eni s) есть результат «скручивания» ряда L(E11 s) =
= ^bmm"s c помощью характера %п. Можно проверить, что
если п свободно от квадратов, то кондуктор отображения %п
равен п, когда п = 1 (mod 4), и равен 4п, когда п = 2 или 3 (mod 4)
(это следует из квадратичного закона взаимности). Другими сло-
словами, %п есть примитивный характер Дирихле по модулю п или 4п.
Чтобы не запутаться в обозначениях, напомним смысл отобра-
отображений %«> %п и Хп- Первое, %п—это отображение из Z в {±1, 0},
определенное с помощью символа Лежандра на целых числах,
взаимно простых с 2п. Далее, %'п—это отображение из Z[i]
в {±1, ±i, 0}, которое переводит число х, взаимно простое с 2я,
в такую степень числа t, для которой х'п(х)х= 1п (^х) по модулю
2 + 2t (см. C.3) —C.4)). Наконец, \п— это отображение из Z[i]
в Z[i]j переводящее элемент х в х%'п(х). Кроме того, его можно
определить как отображение множества идеалов кольца Z [i]
в само кольцо Z[i]\ %n переводит идеал /, взаимно простой с 2п,
в единственную образующую идеала /, сравнимую с %n(NI) по
модулю 2 + 2i.
Характер %п тесно связан с квадратичным полем
А именно, если т=р Ф 2 —простое число, то величина %п(р) = (—
показывает, что происходит с идеалом (р) в Q(j/^). Он расщеп-
расщепляется в произведение двух простых идеалов, {р) = Р1Р2 в Q(V~n),
если I — j = 1, остается простым, если (— ) = — 1, и ветвится,
(р) = Р2, если (— J = 0, т. е. р\п (см. [Боревич, Шафаревич, 1985]).
Мы говорим, что %п есть квадратичный характер, ассоциированный
с полем Q (V~n ).
То что в формуле E.7), связывающей L(En, s) с L(EU s),
возникает характер, отвечающий полю Q{V~n), не должно вызы-
вызывать удивление. Действительно, если мы будем рассматривать
линейные замены координат с коэффициентами в Q(j/fz), то мы
можем преобразовать кривую Еп: у2 = хъ — п2х в кривую Ег: у'2=
= х'ь—х', положив у = п Vn у1, х = пх'. Кривые Еп и Ег изо-
изоморфны над полем Q(V~n).
Возвращаясь к выражению E.6) для L(En, s), мы видим, что
оно может быть записано также в виде суммы по элементам
кольца Z[i], а не по идеалам. Заметим просто, что любой нену-
ненулевой идеал имеет четыре образующие, поэтому он появится
четырежды, если мы будем суммировать по элементам, а не по
идеалам. Таким образом,
ъ..п = т Ц х
a+bi: a2+b2=m

104 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
in(
где х« определено формулами C.3) —C.4) (суммирования ведутся
по ненулевым х, а+Ы).
Обратим внимание на аналогию между суммой E.8) и L-рядом
Дирихле. Единственная разница заключается в том, что теперь
числовое кольцо есть Z [i] вместо Z и характер Гекке %п(х) по-
получается из обычного характера %'п(х) (принимающего значения
в множестве корней из единицы) умножением на х.
Теперь перейдем к доказательству того, что L(Enis) может
быть аналитически продолжено налево от Res = 3/2. Мы увидим,
что L(Eny s) продолжается до целой функции на всей комплексной
плоскости, удовлетворяющей функциональному уравнению, связы-
связывающему L(En, s) с L(En, 2 — s).
Поскольку L(En, s) определяется как двумерная сумма (сумма
по Z[i]«Z2), т.е. как сумма по парам целых чисел, а не по
целым числам, нам нужно обобщить преобразование Фурье, фор-
формулу суммирования Пуассона и тэта-функции на случай двух
переменных. Все необходимое содержится в ряде предложений
ниже. Доказательства этих предложений не сложнее, чем дока-
доказательства аналогичных результатов из предыдущего параграфа
для случая одного переменного.
Поскольку определения и свойства, нужные нам для случая
двух измерений, столь же просто формулируются и доказываются
в общем случае п измерений, мы будем рассматривать функции
на Rn.
Некоторое время мы будем обозначать через п число пере-
переменных (не следует путать с п, участвующем в уравнении
кривой Еп\ у2 = х3 — п2х). Векторы из R" мы будем обозначать
х = (х1у ...,*„) иу = (уи . ..,#„). Пусть, как обычно, х-у=х1у1+. ..
... +хпуп, \х\ = Ух-х. Если векторы берутся из С", то мы также
обозначаем скалярное произведение точкой. Например, при п = 2
имеем лг-A, i) =xt + x2i.
Обозначим через of векторное пространство ограниченных
гладких быстро убывающих функций /: R"—>С (/ гладкая, если
все частные производные существуют и непрерывны; / быстро убы-
убывает, если для любого N функция \x\Nf(x) стремится к нулю
при |*|, стремящемся к бесконечности). Для функции \$.?Р
определим ее преобразование Фурье f: R"—>С следующим обра-

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 105
зом (здесь dx обозначает dxx ... dxn):
x. E.9)
1
Этот интеграл сходится при всех y?Rn и /?<^.
Предложение 9. Пусть /: R"—>C, g: Rn —>С — функции из tf.
A) Если a?Rn и g(x) = f(x+a), то g (y) = e™ia'yf (у).
B) Если a?Rn и g(x) = e™ia'xf (x), то g(y)=f(y—a).
C) Если b?R, b>0 и g(x) = f(bx)9 то g(y) = b~nf(y/b).
D) Если f(x) = e-nx'\ mof = f.
Предложение 10. (Формула суммирования Пуассона.) Еслиg?of ,то
2 g(m)= 2 g(m).
п
Доказательства предложений 9 и 10 совершенно аналогичны
доказательствам свойств A) — C) преобразования Фурье для одного
переменного и предложений 5 и 6 предыдущего параграфа. Просто
нужно сделать преобразование Фурье сперва по первому пере-
переменному, потом по второму и т. д.
Пусть wfCn и fGzf. Положим w^-f = w, -J- + w9 -J—+ ...
J ^ ' ^ дх1 г dxi 2 дх2
дх1 г dxi 2 дх
п
Предложение 11. Если f^SP и g=w-=fxfi mo
Доказательство. Поскольку обе части равенства линейны по до,
достаточно доказать предложение в случае, когда до есть /-й век-
вектор стандартного базиса, т. е. доказать, что преобразование Фурье
функции -~—f(x) есть 2niyj-f(y). Это сразу получится, если под-
подставить -г—f(x) вместо f (х) в E.9) и проинтегрировать по частям
по /-му переменному (см. задачу 5 (а) из предыдущего пара-
параграфа). ?
В оставшейся части этого параграфа мы будем считать, что
п из предложений 9—11 равно 2, и вернемся к прежнему упот-
употреблению буквы п: Еп, Хп и т- Д-
Теорема. L-функция Хассе—Вейля L(Eni s) эллиптической кривой
Еп: у2 = х3 — п2ху которая при Res > 3/2 определялась формулой
E.1), аналитически продолжается до целой функции на всей
комплексной s-плоскости. Пусть
32я2, п нечетно,
Ла 1 E.10)
16я2, п четно,

106 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
и пусть
def
Тогда L(Eni s) удовлетворяет следующему функциональному урав-
уравнению:
A(s) = ±AB-s), E.12)
где корневое число ± 1 равно 1, если п = 1, 2, 3 (mod 8), и равно —1,
если п = 5, 6, 7 (mod 8).
Доказательство. Доказательство проводится по той же схеме,
что и вывод функционального уравнения и аналитического про-
продолжения для L-ряда Дирихле с нечетным характером, который
составлял содержание задачи E) предыдущего параграфа. А именно,
выразим L(En, s) из E.8) в виде преобразования Меллина дву-
двумерной версии тэта-функции 9а@, определенной в задаче 5 (с).
Мы будем использовать букву «и» вместо «а», чтобы не спутать
с «а» из E.8).
Пусть и = (ии и2) ? R2, где м(? Z2, и пусть t ? R — положитель-
положительное число. Обозначим через w вектор A, i) 6 С2, так что, например^
m>w = m1+ m2i для m?Z2. Положим
е«@= 2 (m + u)-we-*t^+»\2\ E.13)
m€Z2
9й (/)= 2 m-we2nCm-ue-nt№. E.14)
«eZ2
Фиксируя и и t, найдем функциональное уравнение для Эй (/)
с помощью формулы суммирования Пуассона (предложение 10);
чтобы получить 6а@ в левой части равенства из предложения 10,
выберем
g (x) = (x + u)- we~nt \x+ul\ E.15)
Нам нужно найти правую часть формулы суммирования Пуассона,
т. е. преобразование Фурье функции g(x). Мы сделаем это
в несколько шагов, записывая f(x) = ?~Л|А:|2 , gt (x) = f(VTх),
g2(x) = w^g1(x) и, наконец, g(x) = -^tg2(x + u). Имеем
j(y) =е-л\у\2 по предложению 9, D);
по предложению 9, C);
no предложению 11;
n/t"yf по предложению 9, A).
Суммируя теперь величины g(m) по всем m?Z2, мы приходим

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 107
к функциональному уравнению
в„@ = ^-в«A). E.16)
Рассмотрим теперь преобразование Меллина функции Qu(t):
00
\ ^^и@"Г' Покажем, что этот интеграл сходится к целой функ-
о
ции от s. Для больших t легко оценить подынтегральное выра-
выражение функцией типа е~с\ используя то, что \т + и\2 ограничено
снизу положительной величиной, поскольку и не лежит в Z2.
Далее, для малых / можно использовать функциональное урав-
уравнение E.16) и оценить 6и(т") функцией типа e~c/t (здесь исполь-
используется то, что единственный член в E.14) с |т|2 = 0 исчезает
из-за множителя m-w). С помощью этих оценок можно стандартным
образом проверить, что интеграл сходится при всех s и что пре-
преобразование Меллина аналитично по s.
При Res > 3/2 мы можем вычислить интеграл почленно. Полу-
Получающаяся сумма по структуре начинает напоминать L-функцию
meZ2
= n-*T(s) У )mVZ (см. D.6)).
При Res>3/2 можно записать L(En^s) в виде линейной комби-
комбинации таких сумм с различными и.
Предположим, что п нечетно. Случай, когда п = 2п0 четно,
совершенно аналогичен, и мы оставляем его читателю в виде
упражнения. Пусть w = (l,i). Вспоминая, что %п(х) зависит
только от смежного класса числа х по модулю п' = B + 2i) я,
а, значит, a fortiori — от смежного класса по модулю 4м, перепи-
перепишем E.8) в виде
v^ a-\-bi-\-Anm'W
Таким образом,
00
(а,Ь)Ф@,0)
E.17)

108 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Поскольку интеграл под знаком конечной суммы есть целая*
функция от s, так же как функции DдI~25 и я^/Г (s), мы заклю-
заключаем, что L(Ent s) аналитически продолжается до целой функции
от s.
Далее, преобразуем этот интеграл, используя функциональное
уравнение E.16) и заменяя t на l/t:
С Sb u,dt . f ,з-2йа/4п,Ь/4п{ \\dt
0 0
Предположим теперь, что ReB — s) > 3/2 (т. е. Res < 1/2). Тогда
мы можем вычислять последний интеграл как бесконечную сумму.
Снова используя D.6), подставляя определение E.14) и меняя
порядок суммирования и интегрирования, получаем
00
Г j2-sr,a/4n,b/4n dt _nS-2r /O_Q\ V m'W r(Wi/*n)m-(a, b)
\ l u I// Jt L \A ' Z*l \m\2B~s)
0 meZ2
Таким образом, при Re B — s) > 3/2 правая часть выражения E.17)
равна
-1DпI-»я*-«ГB-8I ^2_p_5m) E.18)
где для mgZ2 мы ввели обозначение
X '(+bi)^i/in)m-iab) E.19)
Лемма. Если m1 + m2i не лежит в идеале A + 0» то ^=0; если
9fcem1+m2i = (l + i)x, где х? Z[i], rtioSm=2%'n(x)g(%'n)t где g{^) есть
гауссова сумма, определенная в предложении 4 из § II. 3 (см. 3.9)).
Перед тем как доказывать лемму, покажем, что из нее немед-
немедленно следует функциональное уравнение из теоремы. Подставив
m-w = m1 + m2i = (l + i)x в сумму E.18) и применяя лемму и
предложение 4, получим, что
el,2
xeZ[i]
Но последняя сумма равна 4L(En, 2 — s) no E.8). Собирая все
это вместе, мы заключаем, что при Re B — s) > 3/2 правая часть

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 109
в E.17) равна
-iDny-*' л'Г B-s) A + 0 2*(^-) B + 20 nL(En, 2-s)
w, 2-s). E.20)
С другой стороны, перенося направо член (j/]V/2M в функцио-
функциональном уравнении из теоремы, мы видим, что нам нужно дока-
доказать равенство
XL(Eni2-s)
А это и есть E.20).
Таким образом, чтобы закончить доказательство теоремы для
нечетного п, нам остается доказать лемму.
Доказательство леммы. Сперва предположим, что m1-\-m2i не
делится на 1 + /. Это эквивалентно тому, что т1 и т2 имеют
противоположные четности, т. е. их сумма нечетна. Далее, когда
а и b пробегают значения от 0 до 4/г, гауссово целое а + Ы про-
пробегает каждый класс вычетов по модулю B + 2i)n ровно два раза.
Каждый раз мы получаем одно и то же значение величины
Xn(ct+bi), так как %'n(ci + bi) зависит только от класса вычетов
числа а + Ы по модулю п' = B + 2i) п. Но экспоненциальные члены
в соответствующих двух слагаемых имеют противоположные знаки,
и поэтому эти слагаемые сокращаются. Чтобы проверить это, вы-
выберем два гауссовых целых аг+bxi и a2+b2i, лежащих в одном
классе вычетов по модулю B + 2i) n, но в разных классах выче-
вычетов по модулю 4л. Тогда a1+b1i—(a2+b2i) = B + 2i) n (mod 4/z),
и поэтому
((at, bt)-(a2, b2)) __ ^BЯ1*/4/г) т-Bп, 2/г) __
Это доказывает первую часть леммы.
Теперь предположим, что тг +m2i = (l+i)x. Заметим, что
т-(a, b) =m1a + m2b =Re((m1 — m2i) (a+ bi)) = Re((l — i)~x(a + bi)).
Следовательно, экспоненциальный член в каждом слагаемом из Sm
есть -ty(x(a + bi))9 где
def
2mRe(x/nf)
(здесь n'=B + 2i)ri). Поскольку у^ есть примитивный характер
по модулю B + 2г) п. (см. предложение 3), мы можем использовать
результаты задач 9 (а), (Ь) из § II.2. Поскольку при суммирова-
суммировании в E.19) каждый класс вычетов по модулю ^2-\-21)п учиты-

110 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
вается дважды, мы имеем
Sm = 2 2 У
а + Ые Z[t]/B+2t)i
= 2%n(x)g (x'n) = 2%'п (х)
Это доказывает лемму и, следовательно, теорему (нужен еще
случай четного п\ он отличается от разобранного незначительными
изменениями и оставлен в качестве упражнения). ?
В задачах ниже мы наметим доказательство аналогичной тео-
теоремы для эллиптической кривой у2 = х3 + 1€> с кольцом комплекс-
комплексного умножения Z[co], где со = —о' + т^^^"" ^Ри этом СУММИ"
ровать приходится не по решетке Z[i], которая может рассмат-
рассматриваться как Z2, а по ее образу относительно некоторой 2x2-
матрицы. Поэтому формулу суммирования Пуассона нужно при-
применять с учетом этой матрицы.
Мы закончим этот параграф упоминанием о двух работах,
в которых имеется более общее обсуждение теории, частные слу-
случаи которой мы разбирали. Первая—это записки Зигеля [Siegel 1961]
(нам наиболее важны с. 60—72). Там рассматриваются L-функции
со слагаемыми вида
где т ? Z", и, v ? R", Q — матрица положительно определенной
квадратичной формы и Р — сферический полином относительно Q
степени g. Функции L(En> s) отвечает случай я = 2, Q = (i A ,
Р (хг, x2)=x1+ix29 g=l- В задаче 8 ниже разобран случай
Q = (l/2 !/l2)J P{Xl> ^) = (со + 1/2)л:, + (со/2 + 1)х2 (где со =
= —1/2+0^3/2), g=\.
Главы XIII и XIV книги [Lang 1970] содержат два подхода
к этим вопросам. В гл. XIII с помощью выбранного нами под-
подхода (принадлежащего Гекке) получено функциональное уравне-
уравнение для дзета-функции Дедекинда произвольного числового поля.
Это является обобщением задач 2 и 6 ниже. Однако случай более
общего L-ряда Гекке не включен в эту главу. Совершенно другой
подход, принадлежащий Тэйту, дан в гл. XIV книги Ленга. В нем
используется анализ Фурье на р-адических полях.
ЗАДАЧИ
1. Закончите доказательство теоремы в случае четного п.
2. (а) Найдите функциональное уравнение для
6@= 2 е-*'!!2, t>0.

§ 5. L-функция Хассе — Вейля 111
(b) Дзета-функция Дедекинда числового поля К определяется следующим
образом:
def
где сумма берется по всем ненулевым идеалам кольца целых поля /С. Эта
сумма сходится при Re s > 1 (см. [Боревич, Шафаревич 1985, гл. 5, § 1]).
Пусть K = Q(i). Докажите, что функция ?#(s) голоморфна всюду, за исклю-
исключением точки s = l, где она имеет простой полюс с вычетом л/4. Найдите
функциональное уравнение, связывающее ?>k(s) с ?#A—s).
3. Пусть ut v?R2. Положим
б2(*)= 2 e2nim-v-e-nt\m+u\\ t>0.
meZ2
Найдите функциональное уравнение, связывающее Q%(t) с 0^.у[ —).
4. (а) Пусть k — неотрицательное целое число. В ситуации предложения 11
выразите преобразование Фурье функции (w» — j f (x) через f(y).
(Ь) Пусть k — неотрицательное целое число, и пусть о> =A,/)?С2. Фикси-
Фиксируем t > 0 и выберем u?R2 так, чтоифЧ,2. Чему равно преобразование Фурье
функции
(с) Пусть k, w, t, и — такие же, как в пункте (Ь). Положим
meZ2
Найдите функциональное уравнение, связывающее Qu,k(t) c QUtk(-r )•
(d) Пусть /—идеал в z W, и пусть %: (Z [/]//)*—>€*— нетривиальный
характер. Опуская детали, придумайте, как можно было бы доказать, что
функция 2 xk %(х) (Nx)~s продолжается до целой функции от s (в слу-
xeZH]
чае тривиального % эта функция имела бы простой полюс в точке s = l) и
удовлетворяет функциональному уравнению, связывающему ее значения
в точках shH I— s.
(e) Объясните, почему любой L-ряд Гекке кольца Z [/] имеет, по существу,
вид, описанный в пункте (d).
5. Пусть /: R"^C, /g^.
(а) Пусть M?GLn (R). Обозначим через М* транспонированную к М ма-
матрицу. Положим М* =(M)t. Пусть g(x) = f (Мх). Выразите g (у) через
?(У)
(Ь) Пусть L — решетка в R". Тогда L имеет вид L = Mlin, где M?GLn (IR),
т. е. L получается из стандартной решетки %п применением некоторой
матрицы М. Обозначим через L' дуальную решетку: L' = {y?Rn \ х-у? %
для всех x?L). Покажите, что L' — действительно решетка. Выведите функ-
функциональное уравнение, связывающее 2 f (х) с 2 ?
xeL yet'

112 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
6. Пусть со =_1 + 1;>/3.
(a) Пусть М=( лГо L ) • Покажите, что решетка L = % [со] совпадает
с решеткой Ml2. Найдите М* и V'. Покажите, что Z/, рассматриваемая
как решетка в С, получается удвоением решетки {*?Q (со) | Tr (ху)? Z для
всех у^Ъ [со]} (дифференты кольца Z [со]). Здесь Trx = x-\-x = 2Rex.
(b) Докажите, что
У е-Щ\х\*=Л_ у e-i*n/3t)\x\*
L* /т/о L*
*€Z[co] г *€Z[co]
(c) Пусть /C = Q(co). Докажите, что ?^(s) продолжается до мероморфной
функции на комплексной плоскости, имеющей единственный полюс в точке
s = l. Порядок этого полюса равен 1. Найдите вычет в этом полюсе и вы-
выведите функциональное уравнение для ?#- (s)-
(d) Пусть К — такое же, как в пункте (с). Докажите тождество ?^(s) =
= ?(s)MX> s), где %~нетривиальный характер группы (Z/3Z)*.
(e) Используя пункт (d), теорему из § П.4 и задачу 5 (е) из § Н.4, дайте
другой вывод функционального уравнения из пункта (с).
7. Пусть Е — эллиптическая кривая */2 = л:3+16. Пусть со=—п"Н~"о"ь У^'
(а) Покажите, что редукция по модулю р кривой #2 = л:3 + 16 есть эллипти-
эллиптическая кривая над ?р в том и только том случае, когда р Ф 2, 3. Напомним,
что эйлеров множитель для таких р равен A—2a/?/7"<s + p15)~1, где
(\—2арТ-\-рТ2) — числитель функции % (Е/?р\ Т). Покажите, что при
р Ф 2, 3 этот множитель равен
где произведение берется по всем (одному или двум) простым идеалам Р кольца
Z[co], делящим (р), и а$её р есть единственная образующая идеала Р, такая,
что afeP = 1 (mod3).
(b) Возьмем эйлеров множитель для /7 = 3 просто равным 1. То же самое
мы делали для кривой Еп: у2 = х3 — п2х в случае, когда р \ 2п. Пусть теперь
/7=2. Поскольку редукция уравнения г/2 = л:3+16 имеет вид у2 = х3, сперва
возникает соблазн взять эйлеров множитель равным 1 и в этом случае.
Однако это неправильно. Если имеется Q-линейная замена переменных в Р^
переводящая кривую Е: #2 = л:3+16 в кривую С, имеющую гладкую редук-
редукцию по модулю /7, то мы должны считать, что кривая Е имеет хорошую
редукцию mod p. В этом случае эйлеров множитель в L (?, s) считается
при помощи кривой С. В задаче 22 из § П.2 мы видели, что кривая у2 =
= *3+16 эквивалентна над Q кривой у2-\-у = х3, гладкой над F2. Мы
вычислили дзета-функцию этой кривой. Покажите, что эйлеров множитель
для /7=2 дается той же формулой, что и в пункте (а).
(c) Если x?%i [со] взаимно просто сЗ, то пусть %(#)=(—со)-' — единственный
корень шестой степени из 1, такой, что *%(*)=; 1 (mod3). Если х лежит
в идеале (У~3), то пусть %(х)=0. Покажите, что
(d) Положим

§ 6. Критическое значение ИЗ
где Tv x = x + x = 2 Rex. Проверьте, что г|з (х) есть аддитивный характер
кольца Z [со]/3, удовлетворяющий условию задачи 9 из § II.2 (т. е. % не-
нетривиален на любом идеале, большем, чем C)). Найдите значение суммы
&(Х» "Ф) = 2 ХМ^М» ГДе 1 такое же, как в пункте (Ь).
хе Z[co]/3
8. (а) Пусть ау = A, со), u?R2— Z2, t > 0. Чему равно преобразование Фурье
функции g (x) = (x + u)-we-nt\{x + u)w\2?
(b) Пусть 0tt(/)= 2 ?(m)> где ?M такое же, как в пункте (а). Най-
meZ2
дите преобразование Меллина cp(s) функции
2 к.(й+ме„@.
и = {а/3,Ь/3)
0<а,Ь<3
(c) Докажите, что для эллиптической кривой Е: у2=х3 + \6 (см. задачу 7)
L (?, s) — целая функция
(d) Выведите функциональное уравнение A(s) = AB — s), где
§ 6. Критическое значение
Значение L-функции Хассе—Вейля L(E, s) эллиптической
кривой Е в точке s = 1 называется критическим значением. Функ-
Функциональное уравнение связывает L (?", s) с L(E, 2 — s), и точка
5 = 1 есть как раз неподвижная точка отображения s<-»2 — s.
Важность критического значения видна из следующей знаменитой
гипотезы.
Гипотеза. (Б. Дж. Бёрч, X. П. Ф. Суиннертон-Дайер.) L (?, 1) = 0
тогда и только тогда, когда Е содержит бесконечно много
рациональных точек.
В формулировке этой гипотезы Е — любая эллиптическая кри-
кривая, определенная над Q. В общем случае мы не знаем даже,
имеет ли смысл говорить о L(E, 1), поскольку мы не распола-
располагаем данными об аналитическом продолжении функции L (?, s)
влево от прямой Res = 3/2. Однако аналитическое продолжение
и функциональное уравнение выведены для любой эллиптической
кривой, обладающей комплексным умножением (см. задачу 8 из
§ 1.8) (наши кривые Еп—частный случай таких кривых), и для
более широкого класса эллиптических кривых, имеющих так на-
называемую параметризацию Вейля модулярными кривыми (А. Вейль
и Танияма высказали гипотезу, что этот последний класс содер-
содержит на самом деле все эллиптические кривые, определенные над Q).
Мы будем называть сформулированную гипотезу слабой гипотезой
Бёрча — Суиннертон-Дайера, поскольку Бёрч и Суиннертон-Дайер
высказали гораздо более подробную гипотезу о поведении функ-
функции L (?, s) около s=l. А именно, их гипотеза заключается

114 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
в том, что порядок нуля равен рангу г группы рациональных
точек на Е (см. начало § 1.9). Более того, они дали предполо-
предположительное описание коэффициента при первом ненулевом члене
в тейлоровском разложении около s = 1 через различные тонкие
арифметические свойства кривой Е. Более подробное обсуждение
гипотезы Бёрча—Суиннертон-Дайера см. в работах [Birch 1963],
[Birch, Swinnerton-Dyer 1963, 1965], [Cassels 1966], [Swinnerton-
Dyer 1967], [Tate 1974].
Имеются простые эвристические соображения — конечно, дале-
далекие от доказательства — показывающие, почему слабая гипотеза
Бёрча — Суиннертон-Дайера может быть верна. Предположим на
время, что эйлерово произведение для L(Ey s) (см. E.1) в слу-
случае Е = Еп) есть сходящееся бесконечное произведение при s = 1
(на самом деле это не так). Тогда мы бы имели
+ ^-2S s = i
— TT P
где Np = NliP = p + I — 2аВр — число р^-точек на эллиптической
кривой ?, рассматриваемой по модулю р. Число Nр отстоит от
р на расстоянии, не большем, чем 2V~p - Это происходит потому,
что 2аЕ)Р = ар + ар и ар имеет абсолютную величину, равную ]/р
(см. B.7) в случае Е=Еп и обсуждение гипотез Вейля в § 1
в общем случае). Таким образом, грубо говоря, Np&p±Vp.
Если при меняющемся р число Nр примерно одинаковое количе-
количество раз бывает больше р и меньше /?, то можно ожидать, что
бесконечное произведение величин p/Np сходится к ненулевому
пределу (см. задачу 1 ниже). Если же Np чаще оказывается
справа: Np я^ р + V~p , то мы получим L(Ef 1) « Д Р/(р+ Vp) =
= П1/A + р-1/2) = 0-
р
Чтобы закончить наши эвристические соображения, подчерк-
подчеркнем, что в случае, когда кривая содержит бесконечно много
точек, можно считать, что при редукции по модулю р (как
в доказательстве предложения 17 в § 1.9) Nр будет заведомо
достаточно велико для многих р. Это обеспечивает несимметрич-
несимметричное поведение величины Npi N рж p+Vp. С другой стороны,
если имеется только конечное число рациональных точек, то их
вклад в Np мал при больших р. Поэтому Nр будет иметь слу-
случайное поведение, /Vрж p±Vp- Конечно, нет нужды гово-
говорить, что эти эвристические соображения не очень помогают
в попытках доказать слабую гипотезу Бёрча — Суиннертон-Дайера.

§ 6. Критическое значение 115
Но имеются важные основания, как вычислительные, так и
теоретические, в пользу гипотезы Бёрча —Суиннертон-Дайера.
Наиболее ярким частным результатом по нынешний день остается
доказанное в 1977 г. Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверж-
утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых,
о том, что если кривая Е содержит бесконечное число рациональ-
рациональных точек, то L(E, l) = 0. Другие важные достижения были
получены в работах [Greenberg 1983] и [Gross, Zagier 1983].
Напомним (см. задачу 8 из § 1.8), что мы говорим, что эллип-
эллиптическая кривая обладает комплексным умножением, если ее
решетка переводится в себя умножением на некоторое комплекс-
комплексное число, не лежащее в Z.
Теорема. (Дж. Коутс и Э. Уайлс.) Пусть Е — эллиптическая кри-
кривая, определенная над Q и обладающая комплексным умножением.
Если Е содержит бесконечно много Q-точек, то L(E, l)=0.
Доказательство этой теоремы весьма сложно (см. [Coats,
Wiles 1977]), и мы не приводим его здесь (в исходном доказа-
доказательстве делалось дополнительное предположение, что квадратич-
квадратичное мнимое поле комплексного умножения имеет число классов,
равное 1, но оно оказалось излишним).
Поскольку наши кривые Еп обладают комплексным умноже-
умножением, теорема Коутса — Уайлса применима. Вспоминая предложе-
предложение 18 гл. I, мы видим, что если L(En, 1) не равно 0, то п не
является конгруэнтным числом. Обратно, если мы примем слабую
гипотезу Бёрча —Суиннертон-Дайера, то из того, что L(En, l) = 0,
следует, что п—конгруэнтное число.
Имеется одна ситуация, в которой легко проверить равенство
L(En1 l) = 0. Напомним, что корневое число (знак плюс или ми-
минус в функциональном уравнении для L(En,s)) для нечетного п
равно (—) и для четного п = 2п0 равно (—) (см. теорему из § 5).
Предложение 12. Если п = 5, 6 или 7 (mod 8) и если слабая
гипотеза Бёрча —Суиннертон-Дайера справедлива для Еп, то п —
конгруэнтное число.
Доказательство. В соответствии с теоремой из § 5, если п =
= 5, 6, 7(mod8), то A(s) = — Л B — s), где A(s) задается форму-
формулой E.11). Подставляя s = l, мы заключаем, что ЛA) = —ЛA),
т.е. ЛA) = 0. Но, по E.11), Л A) отличается от L(En9 1) на нену-
ненулевой множитель (а именно, на V~NJ2n). Таким образом,
L(En, l) = 0 и из слабой гипотезы Бёрча—Суиннертон-Дайера
следует, что Еп содержит бесконечно много Q-точек. Значит, по
предложению 18 гл. I, п — конгруэнтное число. ?

116 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
При наличии дополнительных предположений утверждение о
том, что числа п = 5, 6, 7 (mod 8) конгруэнтны, можно доказать,
не прибегая к слабой гипотезе Бёрча — Суиннертон-Дайера. Метод
построения точек на Еп, принадлежащий Хигнеру (см. [Birch 1975]),
позволяет доказать это утверждение в случаях, когда п равно
простому или удвоенному простому числу. Это означает, что если
п равно простому числу /?, /7=5,7 (mod 8) или если п равно
удвоенному простому числу /?, п = 2ру p = 3(mod4), то п — кон-
конгруэнтное число.
Интересно заметить, что даже в тех случаях, когда с помощью
метода Хигнера мы доказываем, что число п конгруэнтно, этот
метод не дает нам эффективного алгоритма построения нетривиаль-
нетривиальной рациональной точки на ЕпУ или, что то же самое, нахожде-
нахождения прямоугольного треугольника с рациональными сторонами и
площадью п.
Совсем недавно Гроссу и Цагиру удалось сильно улучшить
метод Хигнера. В частности, они показали, что если для п =
= 5, 6, 7 (mod 8) функция Ь(ЕпУ s) имеет простой нуль в точке
s=l, т.е. L'(En, 1)^0, то эллиптическая кривая Еп имеет
бесконечно много рациональных точек. Их результат означает
существенное продвижение на пути к полному доказательству
предложения 12. Более того, их метод конструктивен, т. е. поз-
позволяет построить рациональную точку на кривой (или, что экви-
эквивалентно, прямоугольный треугольник с площадью п) в случае,
когда L'(En, 1)ф0. (См. [Gross, Zagier 1983].)
В случаях, когда корневое число равно +1, мы не можем
заранее сказать, равно ли L(En, 1) нулю. Поэтому в этих слу-
случаях полезно иметь эффективный алгоритм для вычисления вели-
величины Ь(Еп, 1), который позволял бы с достаточной точностью
определять, когда она отлична от нуля (случаи, когда Ь(Еп, 1)
предположительно равна нулю, гораздо труднее исследовать таким
способом). Мы не можем использовать ряды E.3) или E.8) для
оценки L(En, 1), поскольку они сходятся только при Res > 3/2.
Поэтому теперь перейдем к нахождению быстро сходящегося
выражения для L(En, 1). Вернемся к функциональному уравне-
уравнению для L (ЕПУ s) и дадим немного другой, более эффективный
вывод этого уравнения. Напомним, что
[i]
где %п(х) = х%п(х) и %'п определено формулами C.3) —C.4). Зада-
Зададимся вопросом: преобразование Меллина какой функции F(En9 t)
равно n~sT (s) L (En, s)? Нашим обычным способом, используя

§ 6. Критическое значение 117
D.6), мы находим, что
def I V^ ~ | |2
/ — ~~л~ ^^^ /С п V / ' V /
Теперь найдем функциональное уравнение для F(En,t). Это не-
немедленно приведет нас к функциональному уравнению для пре-
преобразования Меллина функции F, т. е. к нашему уравнению для
L(EnJs). Этот вывод отличается от предыдущего только тем, что
в нем с самого начала появляется сумма, в которой участвует
характер (сравните с двумя выводами функционального уравне-
уравнения для L-ряда Дирихле: первый — в задачах 3 и 5 из §11.4,
второй — в задачах 4 и 6 из § II.4).
Напомним, что %'п (х) есть примитивный характер группы
(Z[i]/n')*, где n' = B + 2i)n для нечетного п и п' = 2п для чет-
четного п. Пусть а + bi пробегает некоторое множество представи-
представителей смежных классов кольца Z[i] по модулю п'. Каждому
а+Ы сопоставим пару рациональных чисел (ии и2) по формуле
иг + u2i = (а + ЫIпг. Положим
N' = \n'\2 = N/4 F.2)
(см. E.10)). Заменяя х на a + bi + n' (m-(l,i)), rj\e m?Z2, мы
можем переписать выражение для F(En, t) следующим образом:
Если мы заменим / на l/N't, то внутренняя сумма превратится
в 6ЙA//) (в обозначениях E.13)). Теперь используем функциональ-
функциональное уравнение E.16) для 0ЙA//). В результате получаем
a + bi
т a + bi
Далее, m-u = Re((m1—m2i) (ux+ u2i)) = R^{(m1—m2i){a+bi)ln').
Используя задачу 2 из § П.2, перепишем внутреннюю сумму
в виде
a + bi
Но %n(mi — Щ1) = In (^i + Щ1), и сумма в этом выражении—это
гауссова сумма, вычисленная в предложении 4 (см. C.9)). Таким
образом,

118 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
где б равно ( —) для нечетного п и i[—) для четного пу п =
= 2п0. Заменяя m1 + m2i на x?Z[i], мы видим, что эта сумма
есть в точности iF(En, t). Итак, имеем
, ч ((ir)(nh нечетно;
F[E)\)
N 1> у (_L j Nft*F (ЕПУ t), n = 2п0 четно.
Из F.3) легко выводится функциональное уравнение для L(En, s).
— 1 для нечетного
п и (— ) для четного п = 2п0. Из F.3) получаем, что
О О
Делая замену переменных u=l/N't, получаем, что
О
= ±Nfl-sns-2T B —s) L (ЕпУ 2 —s).
Наконец, заменяя Nfl~s на (l/A/"/2J~2>s и умножая обе части на
(]/Nj2)sy мы приходим к функциональному уравнению E.11)—E.12).
Пусть теперь корневое число равно +1, т.е. /г=1, 2, 3
(mod 8). Используя функцию F(EnJ t), мы найдем удобное выра-
выражение для Ь(ЕпУ 1). Для выбранных п функциональное уравне-
уравнение имеет вид
(^)t). F.4)
Мы используем это уравнение для того, чтобы разбить интеграл
в преобразовании Меллина в сумму двух интегралов от l/j/ЛГ
до оо. Точка l/j/ЛГ есть неподвижная точка отображения
t<r->\\N't. Имеем
\IVW'

§ 6. Критическое значение 119
Во втором интеграле заменим t на l/N't и используем F.4) для
того, чтобы выразить F(En, l/N't) через F(En,t). Получим
n-<T(8)L(En,s)=
Далее, положим s = 1. Умножая обе части на я, мы немедленно
получаем, что
L(Enil) = 2n J F(En,t)dt. F.5)
i/l/лТ7
Напомним, что L-функция Хассе—Вейля может быть записана
в виде ряда Дирихле
со
L(Ea,s)=2lbmfnm-, где 6т>„ = ± ? 1„{х). F.6)
Сравнивая с определением F.1) функции F(En,t), мы видим, что
00
т-\
Теперь мы можем подставить ряд F.7) в F.5) и проинтегриро-
проинтегрировать почленно. (Заметим, что эта процедура работает только
потому, что нижний предел интегрирования в F.5) положителен;
если бы мы попытались непосредственно использовать интеграл
из преобразования Меллина, в котором нижний предел равен
нулю, мы бы не имели сходимости.) Используя формулу
GO
Р 1
\ e~ct dt = — e~ac с а=ЛГ~1/2, с=пт> мы немедленно приходим
а
к быстро сходящемуся бесконечному ряду для L(Eni 1).
Предложение 13. Пусть п=\, 2, 3 (mod8) — натуральное
число, свободное от квадратов. Критическое значение Ь-функции
Хассе—Вейля эллиптической кривой Еп\ у2 = х3 — п2х дается фор-
формулой
?^y т ' \ 2n, n четно.
F.8)
Здесь Ьт> п —коэффициенты ряда Дирихле:
L(En,s)= П A-2ая„,рр-* + />1-гГ1= 2
pjf2n m-\

320 Гл. II. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой
Кроме того, абсолютная величина коэффициентов bm>n не пре-
превосходит о0(т)]/~т, где о0(т) — число делителей числа т.
Доказательство. Мы уже доказали все, за исключением оценки
для bmi п. Запишем эйлеров множитель в виде A — а^/7) х
X A — а^/7), разложим каждый сомножитель в сумму геомет-
геометрической прогрессии и соберем коэффициенты при p~es для каж-
каждого положительного целого числа е. Мы получим, что коэффици-
коэффициент при p~es есть аер + аер-1ар+аер-2Щ+ . . . +аер. Это означает,
что если разложение числа т на простые множители имеет вид
т= р\\..рег\ то
Поскольку \ap\ = \ap\ = Vp для всех /?, мы немедленно получаем
неравенство
\Ьт,п\<Т1 (e; + l) ppt* = o0(m)Vm
1
1 = 1
(мы воспользовались простым утверждением из элементарной тео-
теории чисел о том, что о0(т) есть произведение чисел (еу- + 1)). Это
завершает доказательство. ?
Неравенство для Ът^п полезно для оценки остатка ряда F.8).
В частности, если мы обнаружим, что остаток меньше, чем частич-
частичная сумма, то L(En, 1)^=0.
В качестве примера разберем случай п=\. Несколько пер-
первых коэффициентов ряда Дирихле для L(Ely s) выписаны в E.4).
По F.8), имеем
L(El9 l) =
3
l3e -h l?e
= 0.6555143... +R25y
где мы обозначили RM = 2 2* -ZL-e-nm/2Vl . Очень грубо можно
M
оценить ао(т) сверху величиной 2]/т (см. задачи). Таким обра-
образом,
т> М
Поэтому R25 ограничено величиной 5.2х 102. На самом деле ряд
сходится столь быстро, что первого члена достаточно для того,
чтобы показать, что L(Et, 1)^=0:
L(E1} 1) = 0.6586... +Rb с | R51< 0.023.

§ 6. Критическое значение 121
Это вычисление вместе с теоремой Коутса — Уайлса показывает,
что 1 не является конгруэнтным числом. Это, несомненно, самое
окольное доказательство факта, открытого Ферма более чем три
столетия назад (см. [Weil 1973, р. 270]; см. также задачу 3
из § 1.1).
Следующим предметом нашего изучения будут функции, подоб-
подобные тэта-рядам, преобразующиеся определенным образом при
заменах переменных типа t*—>l/t. Такие функции называются
модулярными формами. На самом деле модулярными формами
принято называть функции вида ^bme2niz, а не 2 bme~nt, но про-
простая подстановка t = —2iz переводит тэта-ряды этой главы в то,
что называется модулярными формами.
Изучение модулярных форм позволяет по-новому взглянуть
на эллиптические кривые. В последние годы эти две стороны
теории эллиптических кривых—конгруэнц-дзета-функция и L-
ряд Хассе—Вейля с одной стороны, и теория модулярных форм
с другой,—объединились в богатую общую картину.
ЗАДАЧИ
1. При эвристическом обсуждении слабой гипотезы Бёрча — Суиннертон-Дайера
сделайте вздорное предположение, что (i) | 2аЕ^р — 1 | = ]//Г и (ii) {2аЕ, »_i)/
Yp = ± 1 имеет четное распределение и совпадает со значением в точке р
квадратичного характера Дирихле х(/?) = ( "тг) Для некоторого фиксиро-
фиксированного N. (Это предположение вздорное, в частности, потому, что 2аЕ^р—
целое число.) Покажите, что тогда L (?, 1) равно L (%, 1/2), т. е. значению L-
функции Дирихле в центре симметрии ее функционального уравнения.
2. Докажите, что если корневое число в функциональном уравнении для
L(En, s) равно 1, то либо L (Enf s) Ф 0, либо L(En, s) имеет нуль четного
порядка в точке s = l; если же корневое число равно —1, то L(En, s)
имеет нуль нечетного порядка в точке s=l.
3. В обозначениях предложения 13 положим для краткости bm = bm^nt
ар = аЕп^ р. Докажите, что
(a) Ьр = 2ар, если рХ2п\ Ьр = 0, если р\2п;
(b) bmim2=bmibm2, если тг и т2 взаимно просты;
(c) bpe + t=2apbpe—pbpe-1 для е^О (для е=0 в правой части стоит Ь^р=0)
4. Докажите, что а0 (т) < 2 У~т для всех т и что т~е о0(т) —> 0 при
т —> оо при любом положительном 8.
5. Вычисляя L (Е2, 1) и L (?3, 1) с точностью до трех десятичных знаков,
убедитесь, что они не равны нулю.
6. Докажите, что L (Е10, 1) Ф 0.
7. Предположим, что нам известна нижняя граница с абсолютных величин тех
чисел L(En, 1), которые не равны нулю, где /г = 1, 2, 3, ... свободно от
квадратов (на самом деле такое с неизвестно). Для очень больших п оце-
оцените по порядку величины число членов ряда F.8), которые нужно вы-
вычислить для того, чтобы узнать, равно ли нулю L (Еп, 1).
8. (а) Напишите блок-схему программы для компьютера, вычисляющей L(En, 1)
с помощью М членов ряда F.8) и оценивающей остаток.
(Ь) Если у вас есть под рукой компьютер, вычислите, используя пункт (а),
L (^41» 1) с точностью до трех десятичных знаков.

Глава III
Модулярные формы
Мы излагаем подготовительный материал в духе «Курса арифме-
арифметики» Серра (глава VII), за исключением того, что мы с самого
начала вводим понятие уровня».
§ 1. Группа SL2(Z) и ее конгруэнц-подгруппы
Пусть R— любое коммутативное кольцо. Полной линейной
группой GL2(R) называется множество матриц g = [c л), детер-
детерминант которых, detg(=ad—be), лежит в R* (/?*—мультипли-
(/?*—мультипликативная группа обратимых элементов кольца R). Легко видеть,
что множество GL2(R) образует группу. Специальной линейной
группой SL2(R) называется подгруппа в GL2(R), состоящая из
матриц с единичным детерминантом. В этом параграфе мы будем
изучать случаи R = R (вещественные числа), R = Z> R = Z/NZ
(N — положительное целое число).
Комплексную плоскость с бесконечной точкой, С (J {<*>}, или,
что то же самое, комплексную проективную прямую p<q мы бу-
будем обозначать через С (С называется также римановой сферой).
Элементу g = (c ^)eSL2((R) сопоставим отображение
def azA-b def
f ?°° =alc= lim ег. A.1)
(Таким образом, g(—d/c) = oo, и если с = 0, то gcx) = oo.) Отоб-
Отображения zh->gz называются дробно-линейными преобразованиями
римановой сферы С. Легко проверить, что формулы A.1) задают
действие группы SL2(R) на множестве С, т. е. gt (g2z) = (g"ig) z
для всех gu g-2eSL2(R), z ? С.
Заметим, что элементу g=—/ = f q jJgSL2(R) отвечает
тождественное отображение. Из всех матриц только ±/ дейст-
действуют тривиально на С. Действительно, пусть z = (az + b)/(cz + d)

§ 1. Группа SL2(is) и ее конгруэнц-подгруппы 123
для всех z. Тогда cz2+(d—a) z— b = 0 для всех z. Отсюда сле-
следует, что b = c = 0, a = d. Но единственные скалярные матрицы,,
детерминант которых равен 1, — это ±/. Таким образом, дейст-
действие факторгруппы SL2 (R)/±/ (которая иногда обозначается
PSL2 (R)) на С точное, т. е. любой ее элемент, за исключением
единичного, действует нетривиально.
Обозначим через Я с: С верхнюю полуплоскость, H={z?
? С | Im z > 0}. Важно заметить, что любой элемент g ? SL2 (R)
сохраняет Я, т. е. из Imz>0 следует, что Img"z>0. Действи-
Действительно,
т т az + b T (az4-b) (czA-d)
= | cz + d|~2 Im (adz + bcz).
Ho Im (adz-\- bcz) = (ad—be) Im z= Im г, так как detg= 1. Поэтому
Imgz = \cz + d\-*lmz для g = (" ^)eSL2(R). A.2)
Таким образом, формулы A.1) задают действие группы SL2(R}
на множестве Я.
Подгруппа в SL2(R), состоящая из матриц с целочисленными:
элементами, есть, по определению, SL2(Z). Она называется пол-
полной модулярной группой и иногда обозначается через Г. Введем
^^^
обозначение Г = Г/±/ (и вообще, если подгруппа G в SL2 (R) со-
содержит —/, то мы будем обозначать через G группу G/±/; если
же — /(?G, то положим G = G). Действие группы Г = SL2(Z)/zb/
на Я точное. Это одна из основных групп, возникающих в тео-^
рии чисел и других областях математики.
Кроме самой группы T = SL2(Z) важную роль играют некото-
некоторые ее подгруппы. Пусть N — положительное целое число. Положим
A.3)
Это подгруппа в T = SL2(Z). На самом деле это нормальная под-
подгруппа, поскольку она совпадает с ядром гомоморфизма группы
Г на группу SL2 (Z/NZ) (этот гомоморфизм получается взятием
вычетов элементов матрицы по модулю N). Другими словами,
Т (N) состоит из целочисленных 2х2-матриц с единичным детер-
детерминантом, сравнимых с единичной матрицей по модулю N. За-
Заметим, что Г (N) аналогична подполугруппе 1 + iVZczZ, состоя-
состоящей из целых чисел, сравнимых с 1 по модулю N. Подгруппа
Г (ЛА) называется главной конгруэнц-подгруппой уровня N.

124 Гл. III. Модулярные формы
Заметим, что Г B) = Г B)/±/; если W > 2, то Г(ЛО =
так как —1^1 (modN) и поэтому —/ не лежит в T(N).
Подгруппа в Г (или в Г) называется конгруэнц-подгруппой
уровня N, если она содержит V (N) (или Г(#), если мы рассмат-
рассматриваем матрицы по модулю ±7). Заметим, что конгруэнц-погруп-
па уровня N является также конгруэнц-подгруппой уровня N'
для любого N', кратного N. Это происходит потому, что T(N)z)
зГ(ЛГ). Мы говорим, что подгруппа в Г (или в Г) есть конгру-
энц-подгруппа, если найдется такое N, что эта подгруппа есть
конгруэнц-подгруппа уровня N. Группа Г содержит подгруппы,
не являющиеся конгруэнц-подгруппами, но мы ни разу не встре-
встретимся с ними.
Нам будут наиболее важны следующие конгруэнц-подгруппы
в Г:
{
{( 2)} A.5)
Легко проверить, что это действительно подгруппы. Заметим, что
если (с ^JGri(iV), то d= I (mod N). Действительно, из того,
что ad—bc=l и N\c, следует, что ad= 1 (mod N), а, значит, и
d=l(modiV). Определения A.3) — A.5) можно кратко записать
следующим образом:
где * обозначает отсутствие каких бы то ни было условий на
сравнение по модулю АЛ
Когда группа действует на множестве, она разбивает это мно-
множество на классы эквивалентности. Две точки лежат в одном
классе эквивалентности, если существует элемент из группы, пе-
переводящий одну из этих точек в другую. В частности, если G —
подгруппа в Г, то мы говорим, что две точки ги 22^Я G-экви-
тлентны, если существует элемент g?G, такой, что z2 = gz1.
Пусть F — замкнутое множество в Н (обычно F выбирается
односвязным). Мы говорим, что F—фундаментальная область
подгруппы G группы Г, если для любой точки z?# найдется
^-эквивалентная ей точка из F, но никакие две различные внут-
внутренние точки zl9 z2 множества F не могут быть G-эквивалент-

§ 1. Группа SL2(%) и ее конгруэнц-подгруппы
125
ными друг другу (граничным точкам разрешается быть G-эквива-
лентными).
На рис. II 1.1 изображен самый знаменитый пример фунда-
фундаментальной области. Это область
F = |ze#|-i-<Rez<y и |z|>l|. A.6)
Предложение 1. Область F, определенная формулой A.6), есть
фундаментальная область группы Г.
-и*
Рис. III.1.
Доказательство. Группа SL2(Z) содержит два дробно-линей-
дробно-линейных преобразования, которые служат строительными блоками для
всей группы:
def / 1 1 \
d^/o _nZI~*Z+ ' AJ)
Доказательство того, что каждая точка z ? Я Г-эквивалентна
точке из F, основано на следующей идее. С помощью сдвигов TJ
переведем точку z внутрь полосы —1/2 <I Re z ^1/2 Если полу-
полученная точка лежит вне единичной окружности, то она лежит
в F. В противном случае используем преобразование S для того,
чтобы вывести точку за пределы единичной окружности, а потом
с помощью сдвигов Tk снова переведем ее в полосу. Повторив
эту процедуру нужное число раз, мы получим точку полосы, ле-
лежащую вне единичной окружности. Перейдем теперь к деталям.
Выберем точку z?H. Пусть Г'—подгруппа в Г, порожденная
элементами S и Т (мы вскоре увидим, что на самом деле Г = Г').
Если у = (с д\ то, по A.2), \myz= Im z/\cz + d\2. Поскольку с

126 Гл. III. Модулярные формы
и d—целые числа, множество чисел |cz + d| для различных у
ограничено снизу положительной величиной. (Геометрически:
когда end меняются, комплексные числа cz + d пробегают ре-
решетку с базисом 1 и г; поэтому существует круг с центром в О,
не содержащий ненулевых элементов решетки.) Отсюда заклю-
заключаем, что найдется такой элемент у = ус d)^'* что ^тУ2 мак~
симально. Заменяя у на Т^'у для подходящего /, мы можем, без
потери общности, предположить, что yz лежит в полосе —1/2^
^ Re z ^1/2. Точка yz лежит в F, поскольку в противном слу-
случае мы бы имели \yz\ < 1 и, по A.2),
Im Syz = Im уг/\ yz |2 > Im yz.
Это противоречит тому, что liny* максимально. Таким образом,,
существует элемент у 6 Г", такой, что yz?F.
Докажем теперь, что никакие две внутренние точки множе-
множества F не являются Г-эквивалентными. На самом деле мы дока-
докажем более точный результат. Предположим, что точки zlt z2?F
Г-эквивалентны. Сейчас мы не предполагаем, что zx и z2 обяза-
обязательно различны или что они обязательно лежат внутри множе-
множества F. Мы можем считать без потери общности, что Im z2 ^ Im гг*
Пусть матрица у = ( с л) 6 Г такова, что z2 = YZj> Поскольку
ImZa^ImZx, из соотношения A.2) следует, что \сгг + d|< 1. На
zx лежит в F и d—вещественное (на самом деле целое) число;
отсюда легко следует (см. рис. III. 1), что это неравенство не мо-
может выполняться, если \с\^2. Остаются следующие случаи:
(i) c = 0, d=±l; (ii) c=±l, d = 0 и z1 лежит на единичной ок-
1 l/^3
ружности; (iii) c = d=±\ и гг = — y + "^—'• (iy) Cz=—d=±l
и 2i==:y + '^—• В случае (i) либо у, либо —у есть сдвиг 7^;
но если такое преобразование у переводит точку из F в другую
точку из F, то это означает, что либо у—тождественное преоб-
преобразование, либо / = ±1 и точки лежат на двух вертикальных
прямых Re г = ±1/2, ограничивающих полосу. В случае (ii) легко
проверить, что y = ±:TaS, где либо а = 0 и точки zit z2 лежат
на единичной окружности (и расположены симметрично относи-
тельно мнимой оси), либо а = ±1 и z* = za=±-j + -*-^—. В слу-
@ j \
1 1 г
и из того, что такое преобразование переводит точку гг б F в

§ 1. Группа SL2(Z) и ее конгруэнц-подгруппы 127
точку z2?F, следует, что либо а = 0 и z2 = z1 =— уЧ"^?—' ли~
бо а=\ и z2 = Zi+ 1 = ~9" + ~^>—• Случай (iv) аналогичен слу-
случаю (Hi). Мы заключаем, что если zx или z2 лежат внутри мно-
множества F, то d=7—тождественное преобразование и га^г^ Это
доказывает предложение. ?
В ходе доказательства предложения 1 мы установили еще два
факта.
Предложение 2. Две различные точки zl9 z2 на границе множе-
множества F Y-эквивалентны только в тех случаях, когда либо Re гг =
= ±1/2 и z2 = z1±l, либо гг лежит на единичной окружности
и z2 = —l/z1.
В следующем предложении Gz обозначает подгруппу изотро-
изотропии точки z из множества, на котором действует группа G; по
определению, Gz = {g g G \ gz = z}.
Предложение З. Если z?F, то Гг=±/, за исключением следую-
следующих трех случаев:
(i) Г=±{/, S}, если г = 1;
(ii) Г=±{/, ST9 (STJ}, если z = a> = —1
(iii) Г=±{/, TSf (TSJ}, |
Предложения 2 и 3 следуют из второй части доказательства
предложения 1.
Заметим, что S2 = —/, (STK = —/ и (TS)S = —/. Отсюда сле-
следует, что в F = SL2(Z)/±/ элементы S, S71, TS порождают цик-
циклические подгруппы порядков 2, 3, 3 соответственно; эти под-
подгруппы служат подгруппами изотропии элементов г, со, —со со-
соответственно. Три точки iy со, —со в Я, имеющие нетривиальные
подгруппы изотропии, называются эллиптическими точками.
Вот еще одно полезное предложение, которое мы получили в
качестве побочного результата при доказательстве предложения 1.
Предложение 4. Группа F = SL2(Z)/±/ порождена двумя элемен-
элементами S и Т (см. A.7)). Другими словами, любое дробно-линейное
преобразование может быть записано в виде слова от S и Т.
Доказательство. Пусть, так же как в доказательстве предло-
предложения 1, Г' обозначает подгруппу в Г, порожденную элементами
S и Т. Пусть z — любая внутренняя точка множества F (напри-
(например, z = 2r), и пусть g—некоторый элемент из Г. Рассмотрим

128 Гл. III. Модулярные формы
точку gz?H. В первой части доказательства предложения 1 мы
показали, что существует элемент у ? Г', такой, что y(gz)?F.
Поскольку z— внутренняя точка множества F, мы заключаем на
основании предложений 1 и 3, что yg = ±L т. е. g=±y~l?T'.
Это показывает, что на самом деле любой элемент g?T (с точ-
точностью до знака1)) лежит в Г'. Предложение доказано. ?
Таким образом, любой элемент в Г может быть записан в ви-
виде SaiTbtSa*Tb*.. .Sa*Tbiy где все числа ау-, bJy за исключением,
быть может, аг и Ьь не равны нулю. Далее, поскольку S2 =—/,
мы можем предположить, что все ау-, кроме а1У равны 1 (аг мо-
может быть равно 0 или 1). Кроме того, мы можем пользоваться
тождеством (STK = — 1 для дальнейшего упрощения.
Вернемся теперь к фундаментальной области F для F = SL2(Z).
Напомним, что в § 4 гл. I при изучении решетки L нам уже
встречалась фундаментальная область — параллелограмм П а С.
Решетка L образовывала группу, и действие элемента g?L на
ТРчку zgC задавалось просто формулой g(z) = g+z. Любая точ
ка z?C была L-эквивалентна точке в П, и никакие две внутрен-
внутренние точки в П не были L-эквивалентны. Как мы обнаружили,
оказалось полезным отождествить L-эквивалентные точки границы
параллелограмма П. Мы видели, что отображение zi—>($>(z),
^'(z)) задает аналитический изоморфизм тора C/L на эллипти-
эллиптическую кривую у2 = 4х3 — g2(L)x—g3 (L) (см. § 1.6).
В ситуации, которую мы сейчас изучаем, группа Г действует
на множестве Я с фундаментальной областью F; здесь также
оказывается полезным отождествить Г-эквивалентные точки на
границе множества F. Наглядно это можно пояснить так. Мы
склеиваем точку 1/2 + iy с течкой —1/2+и/ для y^j/~3/2 и
точку e27llQ с точкой еш1^/2-0) для 1/6^6<1/3. Множество,
получающееся из F склеиванием сторон, находится во взаимно
однозначном соответствии с множеством классов Г-эквивалентно-
сти точек в Я, которое мы обозначаем через Г\Я (обычно пи-
пишут Г\Я, а не Я/Г, поскольку группа Г действует на множе-
множестве Я слева).
В гл. I мы видели, насколько полезно было «пополнять» кар-
картину, включая точку или точки на бесконечности. То же самое
полезно делать и при работе с Г\Я.
Обозначим через Я множество Яи{оо}иО- Это означает, что
мы добавляем к Я бесконечную точку (которую можно представ-
представлять себе как точку, находящуюся очень высоко на положитель-
положительной части мнимой оси; по этим причинам мы иногда будем обо-
обозначать ее через /оо), а также все рациональные числа на веще-
х) Замечание о знаке можно опустить, поскольку —1 = 32?Г'.—
пере в.

§ 1. Группа SL2(Z) и ее конгруэнц-подгруппы 129
ственной оси. Точки {oo} U Q называются параболическими точками.
Легко видеть, что Г транзитивно действует на параболические
точки. Действительно, запишем любое рациональное число в виде
дроби а/с с наименьшими возможными а и с. Мы можем найти
b и d из уравнения ad—bc=l и построить матрицу (
Эта матрица переводит оо в а/с. Следовательно, все рациональ-
рациональные числа попадают в тот же класс Г-эквивалентности, что и оо.
Если Г' — подгруппа в Г, то Г' переставляет параболические
точки, но, вообще говоря, не транзитивно. Это означает, что
множество параболических точек {oo}uQ разбивается больше чем
на один класс Г-эквивалентности. Позже нам встретятся различ-
различные примеры. Под параболической точкой относительно Г' мы
подразумеваем класс Г"-эквивалентности параболических точек.
Мы можем выбрать наиболее удобный представитель класса эк-
эквивалентности для того, чтобы обозначить параболическую точку.
Например, мы говорим, что Г имеет единственную параболиче-
параболическую точку в бесконечности; бесконечность здесь можно заменить
на любое рациональное число а/с.
Обычная топология на Я продолжается на множество Я сле-
следующим образом. Прежде всего, фундаментальную систему окре-
окрестностей точки оо составляют множества Nc = [z ? Я | Im z > С} и
U {оо} для всех С > 0. Определим отображение из Я в проколо-
проколотый открытый единичный круг формулой
def
i A.8)
Дополним это отображение до отображения множества Я, счи-
считая, что точка оо ? Я переходит в начало координат. Тогда Nc
есть прообраз открытого круга радиуса е~шС с центром в нача-
начале координат, и топология на Я и {оо} такова, что построенное
отображение непрерывно.
Переход от переменной z к переменной q играет важную роль
в теории модулярных функций. С помощью A.8) определяется
аналитическая структура на Яи{оо}. Другими словами, функция
периода 1 на Я называется мероморфной, если ее можно выра-
выразить в виде степенного ряда по переменной q, имеющего конеч-
конечное число членов отрицательной степени, т. е. если разложение
Фурье этой функции имеет вид
/(«)== 2 апе***"*= 2 anq\ A.9)
где ап = 0 для п<^0. Мы говорим, что f(z) голоморфна в оо,
если ап = 0 для всех отрицательных д, и мы говорим, что f(z)
обращается в нуль в бесконечности, если f(z) голоморфна в оо

130 Гл. III. Модулярные формы
и а0 = 0. В более общем случае, когда / (z) имеет период N,
отобразим Н и {оо} на открытый единичный круг формулой
zi—» gyV= ?2m'2/iV. После этого выразим f(z) в виде ряда по qN.
Мы говорим, что / (г) мероморфна (голоморфна, обращается в
нуль) в оо, если ап=0 для я<^0 (соответственно для п < 0,
для л<0). __
Далее, рассмотрим параболическую точку a/c^QciH. Допол-
Дополним пару а, с до матрицы а = 1С лу^Г. С помощью отображе-
отображения а переведем окрестности Nc в круги, касающиеся вещест-
вещественной оси в точке а/с (см. рис. III.2). Эти круги образуют фун-
фундаментальную систему открытых окрестностей около точки а/с.
ОО
iC
о
а/с
Рис. Ш.2.
Иначе говоря, то, что последовательность Zj сходится в этой то-
топологии к а/с, означает, что последовательность a~lz;- сходится
к too, т. е. что последовательность чисел lma~lZj сходится в
обычной топологии к бесконечности. Заметим кстати, что топо-
топология около рационального числа а/с не согласована с обычной
топологией вещественной оси, т. е. последовательность рацио-
рациональных чисел, сходящаяся к а/с в топологии вещественной пря-
прямой, не сходится к а/с в нашей топологии.
Фундаментальную область F с отождествленными Г-эквива-
лентными граничными точками и с добавленной параболической
точкой оо обозначим через F. Таким образом, точки в F нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с классами Г-экви-
валентности точек в Н. Топология на Н определяет топологию
на F. Это означает, что под маленьким кругом около внутренней
точки в F мы подразумеваем обычный круг; под маленьким кру-
кругом около точки оо мы подразумеваем множество точек, лежащих

§ 1. Группа SL2(z) и ее конгруэнц-подгруппы 131
выше линии Imz = C, где С—большое положительное число; под
маленьким крутом около граничной точки —т + *# мы подразу-
подразумеваем объединение принадлежащей F половины круга около
точки —о" + *# с пРинаДлежа1Дей F половиной круга того же
радиуса около точки -к-\-1у\ и т.д. Таким образом, F имеет ана-
аналитическую структуру. В точках, не равных оо, она возникает
из обычной аналитической структуры на Я, а в точке оо она
возникает из обычной структуры в точке 0 после замены пере-
переменных A.8).
В гл. I мы видели, что с помощью ^-функции Вейерштрасса
можно построить аналитический изоморфизм тора C/L с эллипти-
эллиптической кривой в Р?. Мы вскоре увидим, что в нашей ситуации
имеется функция (которая называется /-инвариантом), задающая
аналитический изоморфизм множества F = T\H с проективной
прямой (римановой сферой) р@.
Обратимся теперь к фундаментальным областям для подгрупп
Г'сГ. Предположим, что [Г:Г'] = я< оо, так что Г распадается
п
на п попарно непересекающихся смежных классов Г= (J а?Г". Я
утверждаю, что F'= (J oljxF является фундаментальной областью
группы Г'. Проверим, что каждая точка г?# Г'-эквивалентна
точке в F'\ проверку того, что две внутренние точки в F' не
могут быть Г'-эквивалентными, мы оставляем читателю (см. ниже).
Пусть z?#. Поскольку F—фундаментальная область для Г, мы
можем найти элемент у^Г, такой, что yz?F. Для некоторого i
мы имеем 7 = 0^7', где /6 Г", и, следовательно, y'z^a^Ft^F',
что и требовалось. Грубо говоря, F' в п раз больше, чем F, по-
поскольку мы располагаем в п раз меньшим количеством преобра-
преобразований у'^Г", действующих на точки в Я.
Имеется много вариантов выбора элементов а( в разложении
на смежные классы из предыдущего абзаца. Как правило, мы
будем стараться выбрать af так, чтобы получающаяся область F'
была односвязной.
В качестве примера найдем фундаментальную область F B)
группы Г B) = Г'. (Мы будем обозначать через F (N) фундамен-
фундаментальную область для T(N)y через F0(N) — фундаментальную об-
область для Го (N) и т. д.) Группа Г B) есть ядро сюръективного
отображения SL2 (Z) —> SL2 (Z/2Z), и группа SL2 (Z/2Z) =
= GL2(Z/2Z) изоморфна группе S3 (см. задачу 6 из § 1.8). От-
Отсюда следует, что [Г:ГB)] = 6. В качестве представителей смеж-

Гл. III. Модулярные формы
ных классов группы Г по подгруппе Г B) выберем
1 0\ _ /1 1
6
Получающаяся фундаментальная область FB)= U аг1^7 изобра-
i
t=
жена на рис. III. 3. Любое вещественное дробно-линейное отоб-
4
3
_]
0
11
3 2.
Рис. III.3. Фундаментальная область FB) группы ГB).
ражение переводит окружность или прямую в окружность или
прямую и сохраняет симметрию относительно вещественной оси;
отсюда следует, что граница любой фундаментальной области,
построенной таким способом, состоит из вертикальных прямых

§ 1. Группа SL2(%) и ее конгруэнц-подгруппы 133
и дуг окружностей с центрами в рациональных точках вещест-
вещественной оси. Граница фундаментальной области на рис. II 1.3 со-
3 1
стоит из вертикальных прямых Rez = — у и Rez = — , дуг ок-
окружностей радиуса 1 с центрами в точках 0 и —1 и дуг окруж-
окружностей радиуса V3 с центрами в точках 1/3 и —4/3.
Мы видим, что Г B) имеет три параболические точки: оо, О,
— 1. Это означает, что имеется три класса Г B)-эквивалентности
параболических точек, в качестве представителей которых можно
выбрать эти три точки. Параболические точки называли также
вершинами, поскольку геометрически то, что мы обычно называем
вершиной, возникает для F B) в точках 0 и —1.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что подгруппа Гх (N) нормальна в Го (А/"), но не в Г. Нор-
Нормальна ли подгруппа Го (N) в Г?
2. (а) Докажите, что для любого N отображение SL2(Z)—> SL2(z/NZ)t
полученное взятием вычетов элементов матрицы по модулю N, есть сюръек-
тивный гомоморфизм групп.
(Ь) Докажите, что для любых положительных целых чисел М и IV отоб-
отображения (редукция по модулю N) из SL2(Z/MNZ) в SL2(Z/N7j) и из
GL2(Z/MIVZ) в GL2(Z/NZ) являются сюръективными гомоморфизмами
групп.
3. Чему равен порядок группы (a) GL2 (F^)? (b) SL2 (?q)?
4. (а) Чему равно ядро гомоморфизма GL2(%jpe%)—> GL2 (Z/pZ)?
(b) Чему равен порядок группы GL2(Z/peZ)?
(c) Чему равен порядок группы SL2(Z/peZ)?
5. Пусть N = pe* ... prr — разложение положительного целого N на простые
делители. Покажите, что редукции по модулю р/, / = 1, •••,/", задают
изоморфизмы
GL2 (Z/NZ) ^ JjGL2
SL2(Z/NZ) ^||5L2(z/
/
6. Чему равен порядок группы SL2(Z/NZ)?
7. Найдите индексы [Г: Г (А/)], [1\(Л0 : Г(Л^)], [Го (Л:) :Гх(^)], [Го (Л^) : Г (N)],
[Г : Го (IV)].
S. Придумайте простой изоморфизм группы Г (IV) с подгруппой в Го (N2),
имеющей индекс ф (N) в Г0(М2I). В частности, группы Г B) и Го D)
изоморфны.
9. Пусть Гх и Г2 —две подгруппы конечного индекса в Г, и пусть Г1=аГ2а~1
для некоторого a?GL2(Q). Докажите, что если Р2 — фундаментальная
область группы Г2, то aF2 — фундаментальная область группы 1\.
10. Используя предыдущую задачу, нарисуйте фундаментальную область группы
Го D).
1) Напомним, что ф(/У) —это порядок группы (Z/NZ)*. —Прим. перео.

Гл. III. Модулярные формы
n
11. Пусть Г = U ауР, где Г' —подгруппа индекса п в Г. Пусть F' =
/г
= U а//7. Покажите, что никакие две различные внутренние точки в F'
не могут быть Г'-эквивалентны.
12. Опишите все конгруэнц-подгруппы Г' уровня 2, т. е. все группы, лежащие
между Г и Г B): Г B) с Г' С Г. Для каждой такой Г' постройте одно-
связную фундаментальную область, взяв подходящую часть фундаменталь-
фундаментальной области F B), построенной в тексте.
13. (а) Докажите, что S и Г2, где S и Т определены формулами A.7), порож-
порождают одну из подгрупп уровня 2 из предыдущей задачи. Гекке обозначил
эту подгруппу через © B).
_ def
(b) Покажите, что элементы TST и Т2 порождают подгруппу Г0B) =
= {(* *) mo(^ 2} и что Т и ST2S порождают подгруппу Го B).
(c) Покажите, что элементы Т2 и ST~2S порождают подгруппу Г B).
(d) Покажите, что элементы Т и ST~*S порождают подгруппу Го D).
14. (а) Докажите, что в качестве полного набора {ау} представителей смежных
классов группы Г по подгруппе Го (/?*), т. е. такого набора, что Г =
= U Я/Го (/?*) есть объединение непересекающихся множеств, можно вы-
выбрать следующий набор:
1; Г-*5, k = 0, I, ,.., ре— 1;
ST~kpS, k=\, 2, ..., ре-1—!.
(b) Используя пункт (а), нарисуйте фундаментальную область группы Г0D).
(c) Используя пункт (а), опишите фундаментальную область группы Го (/?).
Нарисуйте фундаментальную область группы Го C).
Пусть Tf и Г2 — подгруппы конечного индекса в Г, и пусть Fi и F2—их
фундаментальные области. Пусть FiCl/V Следует ли отсюда, что Гх ZD Г2?
(Докажите это или дайте контрпример.)
(a) В конце этого параграфа мы выяснили, что группа Г B) имеет три
параболические точки (т. е. имеется три класса Г B)-эквивалентности пара-
параболических точек). Это не следует непосредственно из вида фундаменталь-
фундаментальной области, поскольку граничные точки фундаментальной области могут
быть Г B)-эквивалентными. Дайте прямое доказательство того, что точки
оо, 0, —1 попарно Г B)-неэквивалентны.
(b) Сколько параболических точек имеют конгруэнц-подгруппы из задачи 12?
Пусть {ау-} — полный набор представителей смежных классов группы Г
по подгруппе Г', где Г' —подгруппа конечного индекса в Г. Покажите,
что параболические точки относительно Г' содержатся в множестве {а/^оо}
и точки а[хоо и ajj^oo являются Г'-эквивалентными тогда и только тогда,
когда существует число fi^Z, такое, что
18. Покажите, что Го (р) имеет две параболические точки оо и 0 и что Го (р2)
имеет /?+1 параболических точек оо, 0 и —l/kp для &=1, ..., /7—1.

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(%) 135
§ 2. Модулярные формы относительно SL2(Z)
Определение. Пусть f (z)—мероморфная функция на верхней полу-
полуплоскости Я, и пусть k — целое число. Предположим, что f (z)
удовлетворяет соотношению
f (уг) = (сг + d)k f (z) для всех у = (ar J ) ? SL2 (Z). B.1)
В частности, для элементов у = Т=(п А и y = S=( А полу-
чаем
/(z+1) = /(*); B.2)
B.3)
Далее, предположим, что f (z) мероморфна в бесконечности. Напом-
Напомним, что это означает, что ряд Фурье
= 2 a«qn, где q = e*""9 B.4)
neZ
имеет не более конечного числа ненулевых ап с отрицательным я.
Тогда f (z) называется модулярной функцией веса k относительно
r = SL2(Z).
Если, кроме того, f (z) голоморфна на Я и в бесконечности
(т. е. ап = 0 для всех п < 0), то f (z) называется модулярной фор-
формой веса k относительно T = SL2(Z). Множество таких функций
обозначается Мк(Т).
Если еще ао = О, т. е. модулярная форма f (z) обращается
в нуль на бесконечности, то она называется параболической
формой веса k относительно Г. Множество таких функций обозна-
обозначается Sk(F). (Использование буквы S традиционно: это первая
буква немецкого слова Spitzenform, означающего «параболическая
форма».)
Наконец, разложение B.4) модулярной функции f (z) назы-
называется q- разложением.
Сперва сделаем несколько легко проверяемых замечаний по
поводу этих определений.
Замечания. 1. При нечетном k не существует ненулевой модуляр-
модулярной функции веса k относительно Г. Это получается подстановкой
элемента Y = (^~ __i) B B-1)- Поэтому в этом параграфе всегда
предполагается, что k четно.
2. Поскольку —21 = — ((az + b)/(cz + d)) = (cz + d) "~2, мы можем
CLZ CLZ
переписать B.1) в виде (-^рЧ 2 f (Уг) ^ f (z)• ^то означает, что
форма / (z) (dz)k/2 инвариантна при замене переменной z на yz.

136 Гл. III. Модулярные формы
Отсюда мы заключаем, что если соотношение B.1) справедливо
для Yi и Тг» то оно справедливо и для у^. Поскольку вся группа
Г порождена элементами S и Г, мы видим, что из соотношений
B.2) — B.3) следует соотношение B.1).
3. Все условия из определения сохраняются при сложении
двух функций и умножении функции на число. Отсюда следует,
что множества модулярных функций, модулярных форм и пара-
параболических форм некоторого веса являются комплексными вектор-
векторными пространствами. Кроме того, произведение модулярной функ-
функции (формы) веса kx на модулярную функцию (соответственно
форму) веса k2 есть модулярная функция (соответственно форма)
веса %i + k2 и отношение модулярной функции веса кг к ненулевой
модулярной функции веса k2 есть модулярная функция веса k1—k2.
В частности, множество модулярных функций веса 0 является полем.
4. При k = 0 условие B.1) означает, что функция f (г) инва-
инвариантна относительно группы F==SL2(Z), т. е. что мы можем
рассматривать f (z) как функцию на Г\Я. Если & = 2, то диффе-
дифференциальная форма / (z) dz на Н инвариантна относительно Г;
действительно, так как dyz/dz=^(cz + d)~2, то f (yz)dyz = f (z)dz.
Пример (ряд Эйзенштейна). Пусть & > 2 — четное положительное
число. Для z?# определим функцию
где суммирование производится по всем парам m, n целых чисел»
не равных нулю одновременно. Обозначим через Lz решетку в С,
порожденную векторами 1 и z. Величину B.5) мы встречали в
гл. I (см. F.3)). Там мы обозначали ее через Gk(Lz). Новая точка
зрения, принятая в этой главе, заключается в том, чтобы рассмат-
рассматривать величины Gk (z) = Gk (Lz) как функции от z, а не просто
как коэффициенты в лорановском разложении $>-функции Вейер-
штрасса. (В § 6 гл. I буква z употреблялась в другом смысле.)
Поскольку k не меньше 4, двойная сумма в B.5) сходится
абсолютно и равномерно на любом компактном подмножестве в Я.
Следовательно, функция Gk (z) голоморфна в Н. Очевидно также,
что Gk {z) — Gk (z+ 1) и что разложение Фурье B.4) не содержит
отрицательных членов, так как Gk (z) стремится к конечному пре-
пределу при z—>ioo:
lim 2' (mz + n)-k= 2 n~k =
Наконец, легко проверить, что
т, п

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(z) 137
т. е. Gk(z) удовлетворяет соотношению B.3). Мы доказали сле-
следующее предложение:
Предложение 5.
Вычислим теперь коэффициенты q-разложения функции Gk.
Мы увидим, что эти коэффициенты являются, по существу, ариф-
арифметическими функциями от п:
^*-1. B.6)
Предложение 6. Пусть k > 2—четное число, и пусть z?H. Моду-
Модулярная форма Gk(z), определенная выражением B.5), имеет сле-
следующее q-разложение:
(г) = 2? (k) 1 —§*¦ ? ok_, (я) q" ), B.7)
П=.\
где q = e2niz и числа Бернулли Bk определяются из равенства
/г=0
{Замечание. Наши обозначения несколько отличаются от принятых
в «Курсе арифметики» Серра. Серр пишет 2k вместо нашего k.)
Доказательство. Применяя логарифмическую производную к
разложению синуса в бесконечное произведение, получаем
(^ a7r) B.9)
Запишем левую часть в виде т(еп1а + е-Ша)/(епШ—e~nia) = m +
+ 2ni/(e2nia—1). Умножим обе части на а, заменим 2ша на х
и разложим обе части по степеням х, используя B.8). В резуль-
результате мы придем к следующей хорошо известной формуле для (&)
= — Bni)kBk/2k\ для четных k > 0. B.10)
Далее, последовательно дифференцируя по а обе части равенства
B.9) (см. задачи 8 (d) — (е) из § П.4) и заменяя а на mz, мы
получаем, что

138 Гл. III. Модулярные формы
(здесь мы использовали B.10) и заменили п на d> а в2Шг на q).
Таким образом,
сю со
пг = 1 п— — со
Собирая коэффициенты при qn в последней двойной сумме, мы
получаем сумму B.6). Это завершает доказательство. ?
Предложение 6 показывает, что полезно определить нормали-
нормализованные ряды Эйзенштейна, полученные делением функции Gk (г)
на константу
|7
Таким образом, коэффициенты разложения функции Ek (г) рацио-
рациональны. Вот несколько первых Ek:
, ч , , 65 520
(г) = 1 + -ggj-
Другой способ определения нормализованных рядов Эйзенштейна
заключается в том, чтобы суммировать в B.5) только по взаимно
простым парам:
*» <*) =4 ? (йгЬг- <2-12>
(т, п)= 1
где (т, п) обозначает наибольший общий делитель чисел тип.
Проверка эквивалентности определений B.12) и B.11) предостав-
предоставляется читателю в качестве упражнения (см. ниже).

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(%) 139
Пример (дискриминант A(z)). Напомним, что при изучении
#>-функции Вейерштрасса, отвечающей решетке L, мы определяли
величины g2(L) = 60G4(L), gs(L)= H0G6(L). Они служили коэф-
коэффициентами дифференциального уравнения для ^-функции (т. е.
коэффициентами уравнения эллиптической кривой, отвечающей
решетке L; см. формулы F.8) — F.9) в § 1.6). Определим теперь
функции g2(z) = g2(Lz), g3(z)=g3(L2) для z?H. Другими сло-
словами,
g2(z) = 60G4 (г); g3 (z) = 140G6 (г). B.13)
Тогда g2(z) и g3 (z) являются модулярными формами относительно Г
веса 4 и 6 соответственно. Поскольку ?D) = я4/90, Ц6) = я6/945,
мы можем выразить g2 и g3 через нормализованные ряды Эйзен-
Эйзенштейна следующим образом:
?2B) = 4л*?4(г); g,(z)=*§ftfEt(z). B.14)
Дискриминант эллиптической кривой, отвечающей решетке Lz,—
это дискриминант кубического полинома \хъ—g2(L2)x—g3(L2).
Он задается формулой
A (z) = & (zK-27g3 (zy = ^g- (Et (zy-Ee (г)») B.15)
(см. задачу 2 из § 1.6). Мы видим, что дискриминант определяет
функцию решеток, не обращающуюся в нуль на нетривиальных
решетках. На основании замечания 3, идущего за определением
модулярных форм, мы заключаем, что Д (г)—модулярная форма
веса 12 относительно Г. Более того, поскольку постоянные члены
в ^-разложении форм E^(z), E%(z) равны 1, мы видим, что посто-
постоянный член в B.15) равен нулю, т. е. A (z) — параболическая
форма. Это наш первый пример параболической формы. Позже
мы увидим, что эта параболическая форма имеет наименьший
возможный вес относительно Г.
Коэффициенты разложения формы 2я2А(г) рациональны;
легко вычислить, что первый из них равен 1 (это следует из
формул ?4= 1 + 240<7+ ..., Еь= 1—504^+ .. .)• Позже мы дока-
докажем замечательную формулу, принадлежащую Якоби, для разло-
разложения дискриминанта в бесконечное произведение.
Ряды Эйзенштейна дают нам примеры модулярных форм для
каждого четного веса, начиная с 4. Кажется несправедливым,
что пропущен случай k = 2. Можно ли с помощью какого-нибудь
ряда Эйзенштейна спасти положение?
Оказывается, можно определить нормализованный ряд Эйзен-
Эйзенштейна Е2, но он не будет модулярной формой. Используем для
него то же самое определение, что и для других Ек. Мы видим,
что двойная сумма при fe = 2 не является абсолютно сходящейся;

140 Гл. III. Модулярные формы
поэтому мы должны заботиться о порядке суммирования. Заметим,
что, когда мы проверяли равенство z~kGk(—l/z) = Gk(z) в дока-
доказательстве предложения 5, нам нужно было менять порядок сум-
суммирования по т и п. Когда ряд сходится только условно, изме-
изменение порядка суммирования может привести к изменению суммы.
Это и происходит в случае с Е2. При замене zi—>—1/г ряд Е2
преобразуется чуть более сложным образом. Этот закон преобра-
преобразования будет важен для нас в дальнейшем.
Итак, положим (здесь штрих означает, что если т = 0, то
О
l
2?(
1 пг= —
3 ^
тф
00
6 V"^
т =
1
00 Л= ¦
00
V
I Z*
0 п— -
оо
V
1 —
1 я= -
- 00
- со
1
i
оо
1
(mz + nJ
1
1
(mz-frtJ "
<2Л6>
Ясно, что внутренняя сумма сходится для любого z ? Н и любого
/п; сейчас мы выведем другое выражение для внутренней суммы
и увидим, что внешняя сумма по т сходится абсолютно. Так же
как в доказательстве предложения 6, находим, что дли любого
/п=1, 2, 3, ... выполнено равенство
где д =
Отсюда получаем, что
?а=1—24 2 2 dQdm-
m=Id=l
Используя неравенство |^|<1, легко убедиться, что двойная
сумма по т и d абсолютно сходится. Соберем коэффициенты при
qn, выделяя сумму по всем делителям d числа п. В результате
получим, что
00
?2=1 — 24 2 Oi(n)qn. B.17)
ГС=1
Так же как в случае высших Ек1 функция Е2 голоморфна в Ну
имеет период, равный 1, и голоморфна в бесконечности. Для того
чтобы она была модулярной формой веса 2 относительно Г, не-
необходимо еще, чтобы z~2E2(—1/г) равнялось E2(z). Из B.16)

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(Z) 141
находим, что
т= — со гс= — со
я = — со пг Ф О
Таким образом, отклонение закона преобразования функции от
«правильного» связано с изменениями, возникшими в результате
перемены порядка суммирования. Вычислим теперь возникающую
«погрешность».
Предложение 7.
*-¦?,(-1/г) = ?, (г)+ ^L. B.19)
Доказательство. В предложении утверждается, что 12/2шг
есть разность между двойной суммой B.18) и двойной суммой
B.16). Предположим, что мы ввели поправочный член ат, п в
обе суммы, так что в результате двойные суммы стали абсолютно
сходящимися. Тогда перемена порядка суммирования не меняет
сумму, т. е. «исправленные» двойные суммы равны. Отсюда сле-
следует, что разница между B.18) и B.16) равна разнице между
22а/л,« и 22а/л,«- Идея заключается в подходящем выборе
т п п т
члена ат,п. Мы должны подобрать его так, чтобы он мало от-
отличался от (mz + ft)~~2, но чтобы ряды с атуП легче суммировались.
Выберем
1
_
~~ (mz-\-n— 1) (mz-\-ri) '
Поскольку разница между (mz+n)~2 и атуП равна l/(mz + nJx
x{mz + n—1), мы заключаем, что следующий исправленный ряд
сходится абсолютно:
= 1 + — V
L* (mz + nJ
п— -со
1 у у
я2 jLa L*
(_!
(_! \
\mz-\-n mz-\-n—1
п= -со
Члены последней внутренней суммы сокращаются друг с другом.
Поэтому она равна нулю и мы имеем E2(z) = E2(z). Двойная

142 Гл. III. Модулярные формы
сумма для Ё2 абсолютно сходится, поэтому можно записать
3 °°
2 ^ Я2 ^тшЛ A*t
п= -со тфО
о «
п = — ос тФ О
Остается вычислить последнюю двойную сумму.
Эта двойная сумма отличается от суммы в B.18) на абсолютно
сходящийся ряд. Так же как при выводе равенства B.17), нахо-
находим, что при п > О
V 1 1 V' 1 1 4д2^ , -ътйп/г
Zu ( — mz — nJ~z2 jLd ( — n/z + mJ~ n2 z2 Z-<
Поскольку —1/2 есть фиксированный элемент в Н, мы видим,
что внешняя сумма по п в B.18) сходится абсолютно. Это остается
верным и для ряда 22a™,«B:)- Поэтому можно записать
п т
оо N
2 2 amtn(z) = lim 2 2 аа%п(г)
" ' тфО
N
= lim 2 2 атщП(г).
~ . = -N+1
Последняя внутренняя сумма равна \/(mz—N)—l/(mz+N)
Используя B.9), получаем
Z*t, \mz — N mz-^-NJ z ?* \ — N/z-\-m —N/z—m
тфО т— 1
=4He(-?N ¦'
Мы заключаем, что двойная сумма равна
Подставляя эту величину в B.20), получаем
l
Это завершает доказательство предложения 7. ?
Следующий результат будет играть основную роль при описа-
описании пространств Мк(Т) и Sk(T) модулярных и параболических

§ 2. Модулярные формы относительно SL2G1) 143
форм данного веса относительно Г. Кроме того, этот результат
будет полезен в тех случаях, когда нам нужно будет доказать,
что две модулярные формы, определенные разными способами, на
самом деле совпадают.
Предложение 8. Пусть f (z) — ненулевая модулярная функция веса
k относительно Г. Для точки Р?Н обозначим через vp(f) поря-
порядок нуля (или взятый со знаком минус порядок полюса) функции
f (г) в точке Р. Обозначим через v0O(f) номер первого ненулевого
члена в q-разложении функции f(z). Тогда
Рег\н,
Р ф i, ©
(Замечание. Легко проверить, что vp (/) не меняется при за-
замене точки Р на уР для у ? Г.)
Доказательство. Идея доказательства заключается в том, чтобы
найти число нулей и полюсов в Т\Н с помощью интегрирования
логарифмической производной функции / (z) по границе фунда-
фундаментальной области ?. Точнее, пусть % — контур, изображенный
на рис. II 1.4. Контур % содержит горизонтальный отрезок, со-
соединяющий точки H = — -\-iT и Л = —-о"~И^' гДе Т больше
мнимой части любого из нулей или полюсов функции f(z). (За-
(Замечание. То, что это возможно, т. е. что f (z) не может иметь
нулей или полюсов с произвольно большой мнимой частью, сле-
следует из того, что замена переменных q = emiz превращает функ-
функцию f(z) в функцию от q, мероморфную в круге с центром ^==0.)
Остаток контура проходит по границе области <F, расположенной
ниже горизонтального отрезка. Каждый нуль или полюс, встре-
встречающийся на границе области ?, мы обходим по дуге окружности
малого радиуса 8. Это делается с тем расчетом, чтобы каждый
класс Г-эквивалентности нулей или полюсов, если он не совпа-
совпадает с классом точек i и со, содержался внутри контура % ровно
один раз. Если же класс Г-эквивалентности нулей или полюсов
содержит точку i или точки со и —со (напомним, что —со = See),
то эти точки мы оставляем снаружи контура %. На рис. II 1.4
изображен случай, когда множество нулей и полюсов, попавших
на контур %, состоит из точек /, со (а, значит, и See), точки Р
на вертикальной прямой (и, следовательно, Г-эквивалентной точки
на противоположной прямой) и точки Q на той части единичной
окружности, которая лежит на границе области ? (и, следова-
следовательно, точки SQ).

144
Гл. III. Модулярные формы
Применяя теорему о вычетах, получаем, что
B.22)
РбГ\#,
t, 0)
С другой стороны, мы можем вычислить интеграл в B.22) по
отдельности на каждой части контура. Прежде всего интеграл от
•Р
Н
с
-1/2 0 1/2
Рис. III. 4. Контур, используемый в доказательстве предложения 8,
А до В (см. рис. II 1.4) сокращается с интегралом от G до Я,
так как f(z+l) = f(z), а направления на этих двух линиях про-
противоположны. Далее, вычислим интеграл по ЯЛ. "Для этого сде-
сделаем замену переменных q = emiz. Напишем ^-разложение: f(q) =
= ^jCinqn- Поскольку j
= ^/(?)gf, мы видим, что эта
часть интеграла в B.22) равна следующему интегралу по окруж-
окружности радиуса е~шт с центром в нуле:

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(Z) 145
Когда точка z пробегает отрезок от Я до Л, точка q обходит
окружность по часовой стрелке. Отсюда следует, что этот интег-
интеграл равен порядку нуля или полюса функции ] (q) в 0, взятому
со знаком минус, т. е. —v^tf).
Чтобы вычислить интеграл по дугам ВС, DE и FG, нужно
вспомнить вывод теоремы о вычетах. Если разложение Лорана
функции f (z) около точки а имеет вид ст (z — а)т+..., где
ст Ф О, то /' {z)/f (z) = ^- + g(z)y где g (z)—функция, голоморфная
в точке а. Будем интегрировать функцию /' (z)/f (z) по дуге ок-
окружности маленького радиуса г с центром в точке а. Если дуга
имеет угол 0 и ориентирована против часовой стрелки, то при
8—+0 интеграл стремится к т/0 (обычная теорема о вычетах по-
получается при 0 = 2я). Применим это рассуждение к дуге, соеди-
соединяющей точки В и С. При s—^0 угол стремится к я/3, поэтому
интеграл стремится к величине —-^—. (yw (/) /я/3) =—vti)(f)/6 (знак
минус объясняется тем, что мы проходим дугу ВС по часовой
стрелке). Действуя в том же духе, мы находим, что при 8 —> 0
интеграл по дуге DE в B.22) стремится к — у?(/)/2, а интеграл по
дуге FG-к —1>_-(/)/6=—iU/)/6.
Остаются интегралы по кривым CD и EF. Собирая вместе
проведенные вычисления, мы находим, что левая часть в B.21)
равна оставшейся части интеграла из B.22). Таким образом, для
того, чтобы доказать предложение 8, остается показать, что в
пределе при 8—>0 выполнено равенство
Г'
_L f L
CD
Для того чтобы вычислить сумму этих двух интегралов, заметим,
что преобразование S: 2н->—1/2 переводит кривую CD в кривую
EF, или, точнее, в кривую FE, т. е., когда точка z пробегает по
контуру от С до D, точка Sz пробегает по контуру от F до Е.
Требуемая формула вытекает из следующей более общей леммы.
fa b\
Лемма. Пусть у = ( g Г, причем сфО, и пусть f (z)—функ-
\с dj
ция, мероморфная в Н и не имеющая нулей или полюсов на кон-
контуре %<z.H. Предположим, что f (yz) = (cz + d)k f (z). Тогда
Требуемое равенство немедленно следует из леммы. Действи-
Действительно, положим y==S = ( j. Тогда S(CD) = FE, и легко

146 Гл. III. Модулярные формы
ВЫЧИСЛИТЬ, ЧТО
1/4
2ni) z ) а ' 12 ^ГДе Z~~
CD 1/3
Доказательство леммы. Дифференцируя равенство
f(yz) = (cz + d)kf(z)i B.25)
получаем, что
Г (Y*) $ = (« + d)k Г (г) + *с (cz + d)* / B). B.26)
Разделив B.26) на B.25), мы получаем, что
Таким образом, левая часть в B.24) равна
Это завершает доказательство леммы, а вместе с ней и предло-
предложения 8. ?
Выведем несколько очень полезных следствий из предложения 8.
Предложение 9. Пусть k—четное число, F = SL2(Z).
(a) Пространство модулярных форм веса 0 состоит только из
констант, Мо (Г) = С.
(b) Mk(T) = Ot если k отрицательно или k = 2.
(c) Mk(T) одномерно и порождается модулярной формой Eki если
k = i, 6, 8, 10 или 14; другими словами, Mk(T) = CEk для
перечисленных значений числа k.
(d) Sk(T) = 0, если k< 12 или fe=14; Sla(r) = CA и если k> 14,
то Sk(Y) = AMk_12(T) (т. е. параболические формы веса k по-
получаются умножением модулярных форм веса k—12 на функ-
функцию А (г)).
(e) Mk(T) = Sk(T)®CEk при k>2.
Доказательство. Заметим, что для модулярной формы все
члены в левой части равенства B.21) неотрицательны.
(a) Пусть /?М0(Г), и пусть с—одно из значений, принимае-
принимаемых функцией f(z). Тогда функция f (z)—с?М0(Г) имеет нуль,
т. е. один из членов в левой части равенства B.21) строго поло-
положителен. Но правая часть равна нулю. Это может случиться
только тогда, когда функция f (z)—с тождественно равна нулю.
(b) Пусть ?<0 или k = 2. Сумма неотрицательных членов в
левой части равенства B.21) не может равняться &/12 для таких k.

§ 2. Модулярные формы относительно SL2B) 147
(c) Пусть й = 4, 6, 8, 10 или 14. В каждом из этих случаев
существует лишь один способ выбирать величины vp (f) так, чтобы
выполнялось равенство B.21). Укажем эти способы:
при й = 4 необходимо, чтобы v@(f)=l9 а остальные vp(f) = O;
при k = €> необходимо, чтобы vi(f)=l9 а остальные vp(f) = O\
при k = 8 необходимо, чтобы уО)(/) = 2, а остальные vp(f) = O\
при k = 10 необходимо, чтобы v^ (/) = v{ (/) = 1, а остальные
fj.(/) = 0;
при &=14 необходимо, чтобы yw(/) = 2, y?(/)=l, а остальные
vp(f) = O.
Пусть /i(z), /2(z) —ненулевые элементы в МЛ(г). Поскольку
нули функций /х B) и /2 (г) совпадают, модулярная функция
fi{z)/f2(z) веса нуль является на самом деле модулярной формой.
На основании пункта (а) мы заключаем, что /х и /2 пропорцио-
пропорциональны. Выбирая ^ (г) = ?"^ (г), мы получаем пункт (с).
(d) Если /gS^JT), то Уоо(/)>0,а все остальные члены в левой
части равенства B.21) неотрицательны. Заметим, что, когда k= 12
и / = Д, из B.21) следует, что оо — единственный нуль функции
А (г). Следовательно, для любого k и для любого f^Sk(T) моду-
модулярная функция //Л является на самом деле модулярной формой,
т. е. //Л ? Мк_12 (Г). Это доказывает утверждение пункта (d).
(e) Пусть /?МЙ(Г). Поскольку функция Ек не равна нулю
на бесконечности, мы можем, вычитая из / функцию, пропорцио-
пропорциональную Ек, добиться того, чтобы функция /—сЕк?Мк(Т) обра-
обращалась в нуль на бесконечности. Это означает, что /—сЕк б Sk (Г). ?
Теперь мы докажем, что любая модулярная форма относительно
Г является полиномом от ?4, ?6 (другое доказательство этого
факта см. в задаче 4 из § 1.6).
Предложение 10. Любая функция f ?Mk(Y) может быть записана
в виде
№= 2 c,,yE4(z)'?.(z)>. B.27)
Доказательство. Будем вести индукцию по &. Заметим, что
для &=4, 6, 8, 10, 14 функции ?4, ?6, El, Е^Е6, Е\Е6 соответ-
соответственно лежат в Mk(T), и, значит, по предложению 9 (с), по-
порождают Mk(T). Пусть теперь &=12 или k> 14. Найдем такие
i, /, что М + 6j = k. Тогда ?|?'6 6 Щ (Г). Пусть f 6 Mk (Г). Исполь-
Используя рассуждения, подобные тем, с помощью которых мы доказы-
доказывали пункт (е) предложения 9, мы можем найти число ??С,
такое, что /—cEiE^Sk(T). Используя пункт (d) предложения 9,
запишем / в виде

148 Гл. III. Модулярные формы
где /х ? М/г-12 (Г). Поскольку f1?Mk_12(T), мы можем применить
предположение индукции и записать /х в виде B.27). В резуль-
результате мы получаем требуемый полином для /. ?
i-инвариант. Определим очень важную модулярную функцию
веса нуль:
/<*)= "^If = 1728?4(г^в(гJ (по B.14)-B.15)). B.28)
Предложение 11. Функция j задает биекцию между Т\Н (фун-
(фундаментальной областью с отождествленными Т-эквивалентными
точками и с присоединенной бесконечной точкой) и римановой
сферой P(Q = Cu {00}•
Доказательство. В ходе доказательства пункта (d) предложе-
предложения 9 мы установили, что функция A (г) имеет только один
нуль — простой нуль в бесконечности. Из того что g2 не обра-
обращается в нуль в бесконечности, следует, что / (г) имеет простой
полюс в бесконечности и голоморфна в Н. Для любого числа
eg С модулярная форма 1728^1—сА ? М12 (Г) должна обращаться
в нуль ровно в одной точке Р?Г\Н, так как при ?=12 лишь
один член в правой части равенства B.21) может быть строго
положителен. Деля на А, мы получаем, что j (z)—с = 0 ровно
для одного значения z ? Г\Я. Таким образом, / переводит оо в
оо и является биекцией между Г\Я и С. ?
Предложение 12. Любая модулярная функция веса О относительно
Г есть рациональная функция от /.
Доказательство. Рациональная функция от / (z) есть моду-
модулярная функция веса нуль (см. замечание 3 в начале этого па-
параграфа). Обратно, предположим, что f(z) — модулярная функция
веса 0 относительно Г. Если z;- — полюсы функции /B) в Г\#,
перечисленные с учетом кратностей, то модулярная функция
/ (z) П О (z) — / (Z/)) не имеет полюсов в Я, и достаточно доказать,
что такая функция есть рациональная функция от /. Поэтому мы
можем без потери общности предположить, что f(z) не имеет по-
полюсов в Н. Далее, умножая на подходящую степень функции А,
добьемся того, чтобы произведение не имело полюса в оо. Таким
образом, для некоторого k получим A (z)k f (z) б M12k (Г). Применяя
предложение 10, мы можем записать f (z) как линейную комби-
комбинацию модулярных функций вида E{EyAk (где 4/ + 6/ = 12&),
поэтому достаточно показать, что такие модулярные функции ра-
рационально выражаются через /. Из того что 41 + 6/ делится на
12, следует, что i делится на 3, i = 3iO9 и / делится на 2, / = 2/0.
Используя B.28), легко проверить, что любая из функций ЕЦА

§ 2. Модулярные формы относительно SL2B) 149»
и ЕЦА имеет вид а/ + Ь; функция ElhEllolAk является произве-
произведением таких множителей. Это доказывает предложение. ?
Можно было бы выбрать инвариант B.28) иначе. Действительно,,
нетрудно видеть, что отношение любых двух непропорциональных
модулярных форм веса 12 удовлетворяет предложениям 11 и 12.
Однако функция / (г) обладает дополнительными свойствами, де-
делающими ее наиболее удобной: полюс функции / (z) расположен
в бесконечности, т. е. она голоморфна в Я, и вычет в этом по-
полюсе равен 1 (так как исходя из B.28), легко вычислить, что
начало ^-разложения функции / имеет вид \/q+...).
Напомним, что в гл. I, используя ^-функцию Вейерштрасса
и ее производную, мы отождествили аналитическое многообразие
C/L с эллиптической кривой в р?. Подобным же образом в на-
нашей нынешней ситуации мы с помощью /-инварианта отождествили
Г\# как аналитическое многообразие с римановой сферой Pq . После
этого предложение 12 превращается в утверждение о том,
что мероморфные функции на римановой сфере—это рациональные
функции. Таким образом, предложение 12 аналогично предложе-
предложению 8 из § 1.5, в котором эллиптические функции охарактеризо-
охарактеризованы как рациональные функции от х=ф(г), у=ф'(г).
Пропущенное место гл. I. В гл. I мы определили эллиптическую'
кривую над С как кривую, заданную уравнением вида y2 = f(x),
где f (х)— кубический полином, все корни которого различны.
Мы имели дело с кривыми, уравнения которых были записаны
в виде
tf = Ax*-gt(L)x-gt(L) B.29)
для некоторой решетки L. Нетрудно видеть, что для любого по-
полинома f(x) с различными корнями существует линейная замена
переменных, приводящая уравнение y2 = f(x) к виду
у* = 4х> — дх_ в с дз_ 27В2 фО. B.30)
Но для того чтобы записать эту кривую в виде B.29), необхо-
необходимо показать, что всегда найдется такая решетка L, что g2(L) = Ay
g3(L) = B. Это не было доказано в гл. I, но сейчас это легко,
сделать с помощью модулярных форм.
Мы будем записывать решетку L= {таI + псо2} в виде L =
= hL2 = {mkz-\- rik), где А, = со2, z = cd1/cd2?#. Таким образом, лю-
любая решетка L отличается от решетки Lz на комплексный мно-
множитель, т. е. получается из Lz комбинацией вращения и растя-
растяжения.

150 Гл. III. Модулярные формы
Предложение 13. Для любых Л, В ? С, таких, что А3ф27В2,
существует решетка L = XL2, такая, что
ВАЦ = М B.31)
gs(L) = B. B.32)
Доказательство. Из определения величины g2 немедленно сле-
следует, что g2(kL2) = X-*g2(L2). Аналогично, g3(XLz) = X-*g3(Lz).
Используя B.14), мы можем переформулировать предложение:
существуют такие X и z, что ?4 (z) = Я4 C/4я4) А и EQ (z) =
= №B7/8л*) В. Пусть а = ЗЛ/4я4, Ь = 27В/8л«. Тогда условие
Аъф27В* превращается в а3ФЬ2. Предположим, что мы нашли
значение переменной z, при котором E6(zJ/E^(zK = b2/a3. Выбе-
Выберем X из условия E^(z) = X^a. Тогда
Е6 (zJ = Ь2?4 (zK/a3 - Я12Ь2, т. е. Е6 (z) = ± Я66.
Если в последнем уравнении стоит знак «+», то X и z дают ре-
решение уравнений B.31) — B.32). Если же там стоит «—», то нужно
заменить X на iX. Поэтому остается найти нужное нам значение
переменной z. Из B.28) следует, что ЕЦЕ\= 1 —1728//. Поскольку
j (z) принимает в Н все конечные значения и поскольку Ь21аъФ 1,
мы заключаем, что существует такое 2, что Ь2/а3= 1 —1728// (z) =
= ?'6BJ/?14BK. Это завершает доказательство. ?
Таким образом, то, что в гл. I мы рассматривали только кри-
кривые вида B.29) для некоторой решетки L, нисколько не умень-
уменьшало общности.
Эта-функция Дедекинда и формула произведения для А (г). В за-
заключение этого параграфа выведем функциональное уравнение для
т]-функции Дедекинда и докажем с помощью этого функциональ-
функционального уравнения формулу произведения Якоби для А (г).
Функция r](z), г ? Я, определяется как следующее бесконеч-
бесконечное произведение:
г)(г) = е2Ш'2/24П A— e2ninz). B.33)
n=i
(В задаче 7 из § II.4 мы приводили другое определение и давали
другой вывод функционального уравнения. В задачах ниже будет
установлена эквивалентность этих определений.)
Предложение 14. Пусть V — ^# ветвь квадратного корня, кото-
которая имеет неотрицательную вещественную часть. Тогда
т|(—Мг) = У~гпг\(г). B.34)
Доказательство. Ясно, что произведение B.33) сходится к не-
ненулевому значению для любого z ? Я и определяет голоморфную

§ 2. Модулярные формы относительно SL2(Z) 151
функцию на Н. Предположим, что мы доказали, что логарифми-
логарифмические производные от обеих частей равенства B.34) совпадают.
Тогда B.34) должно выполняться с точностью до множителя.
Подставляя z = i, мы убеждаемся, что этот множитель равен L
Напишем логарифмическую производную от B.33):
Разлагая каждый член суммы в геометрическую прогрессию по
q (q = emiz) и собирая члены при одинаковых степенях перемен-
переменной q, мы получаем, что
W = ^A-24t M«)<7"V-|4B). B.35)
\ 71=1 /
В то же время логарифмическая производная от соотношения
B.34), которое мы хотим доказать, имеет вид
Ч'(—1/2) ^-2 _ 1 , Ч'(г) /9 ory
Используя B.35), мы можем переписать B.36) в виде
Но это как раз то соотношение, которое мы доказали в предло-
предложении 7. Q
Предложение 15.
00
П B.37)
Доказательство. Обозначим через / (z) произведение, стоящее
в правой части доказываемого равенства B.37). Функция / голо-
голоморфна в Я, периодична с периодом 1 и обращается в нуль на
бесконечности. Кроме того, f (z) равно, по определению, 24-й сте-
степени r](z). Возводя обе части равенства B.34) в 24-ю степень*
мы находим, что /(—l/z) = z12f (z). Таким образом, f (z) — парабо-
параболическая форма веса 12 относительно Г. По предложению 9(d),,
функция f (z) должна быть пропорциональна функции А (г). Срав-
Сравнивая коэффициенты при q в их ^-разложениях, мы заключаем, что»
f(z) равно Bя)-12Д(г). Q
Обратите внимание на роль ряда Эйзенштейна E2(z)b выводе
функционального уравнения для ц (z) и доказательстве равенства
B.37.) rj-функция часто возникает при изучении модулярных форм.
С помощью функции г] (г) и функций вида r\(Mz) строятся неко-

152 Гл. III. Модулярные формы
торые полезные примеры модулярных форм, в основном относи-
относительно конгруэнц-подгрупп.
Разложение произведения B.37) в ряд—одно из наиболее зна-
знаменитых разложений в теории чисел. Коэффициенты этого разло-
разложения обозначаются через х(п):
» def
п=\
Функция х(п) называется функцией Рамануджана, поскольку
именно Рамануджан доказал многие ее свойства и выдвинул ряд
гипотез. Позже мы докажем следующие свойства: A) функция
х(п) мультипликативна (т. е. х(тп) = х (т)х (п), когда тип
взаимно просты); B) х(п) = огп (п) (mod 691) (см. задачу 4 ниже);
C) последовательность т (п)/п6 ограничена. Рамануджан предпо-
предположил, что имеет место более сильная, по сравнению с C), оценка,
а именно: | т (п) | < п11/2о0 (п) (где о0 (п) есть число делителей
числа п). Гипотеза Рамануджана была окончательно доказана
Делинем. Делинь вывел ее в качестве следствия из своего дока-
доказательства гипотез Вей ля. Дальнейшее обсуждение функции х(п)
и ссылки по поводу доказательств см., например, в работах
[Serre 1977] и [Katz 1976a].
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что при &;^4 справедливо равенство
1 V1
-7Г Z-I {mz + ri)-b.
(т,п)= 1
2. Чему равно Е2 (iO
3. (а) Покажите, что Ei = E8, Е±Е6 = Е1о и ЕбЕ8 = Еы.
(b) Выразите о7 через а3; а9 через а3 и оу, огз через а5 и а7.
4. (а) Покажите, что Е12 — Е% — сА, где
(b) Выразите т (п) через Оц и а5.
(c) Докажите, что т (п) = an (n) (mod 691).
5. Докажите, что ?4 и ^6 алгебраически независимы. В частности, выражение
из предложения 10 единственно.
6. (а) Докажите тождество
ПаХп
п-\
(Ь) Пусть a=l(mod4) — целое число, большее 1. Покажите, что Ea+i(i) =
и докажите следующую формулу суммирования:
- „a i /1/504, а = 5.
2 S1=1 1/264' а==9'
е2я«_1 2(а + 1) a+11 /64' а9'
i U/24, а=13
и т. д.

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 153
7. Пусть f (г) — модулярная форма веса k относительно Г. Положим
Докажите, что g (z) — модулярная форма веса & + 2 относительно Г. Дока-
Докажите, что для того, чтобы форма g (z) была параболической, необходимо
и достаточно, чтобы форма / (z) была параболической.
8. (а) Докажите, что
3 1
Еъ = ЕьЕ2 — -^тЕь и E8 = EqE2 — -^tEq.
(b) Выразите а5 через а и а3; а7 через ах и а5.
9. Напомним следующие определения и соотношения из задач 4 и 7 § II.4.
Пусть х — нетривиальный четный примитивный характер Дирихле mod N.
Положим
е(х. O^jg
П-\
Тогда
Пусть теперь %— характер mod 12, такой, что %(±1)=1, %(±5) = —1.
Положим rj(z) = 9(x, —/г/12) для z?H. Тогда rj (—l/z) = V"zjlr\ (z).
(a) Докажите, что fj (z+ 1) = е2Ш'/24г] (z) и что rj24G5i2 (Г).
(b) Докажите, что rj(z) = r](z).
(c) Запишите равенство из пункта (Ь) в виде равенства формальных сте-
степенных рядов по q. (Замечание. Это равенство есть, по существу, пента-
гональная теорема Эйлера. Обсуждение комбинаторного смысла этого тож-
тождества и два других доказательства см. в работе [Andrews 1976, Corolla-
Corollaries 1.7 и 2.9]).
Найдите /-инвариант эллиптической кривой, связанной с обобщенной за-
задачей о конгруэнтных числах (см. задачу 3 (Ь), § 1.2). Чему равен /
в классическом случае Х=1? Докажите, что ни для какого другого k?Q
соответствующий /-инвариант не может быть целым. Известно, что эллип-
эллиптическая кривая с нецелочисленным / не может обладать комплексным
умножением.
§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп
Пусть v = (^)er = SL2(C), пусть /(z) —функция на Я =
==:Яи0и{00} со значениями в Си{°°}, и пусть k?Z. Череа
/1 [y]k мы будем обозначать функцию, значение которой в точке z
равно (cz + d)"kf ((az + b)/(cz + d)). Значение функции f\[y]k в точке г
мы будем обозначать через f (z) \[y]k:
(° )r. C.1)
Более общо, пусть GL$ (Q) — подгруппа в GL2(Q), состоящая из
матриц с положительным детерминантом. Тогда положим
def /n h\
f B) | [у]к = (det у)"* (cz + d)~* / (yz) для у = ^ JJ 6 GLi (Q). C.2)

154 Гл. III. Модулярные формы
Например, если у = ( q J — матрица, кратная единичной, то
/|[Y]fc = f, за исключением случая, когда а<0 и k нечетно.
В этом случае f\[y]k=—f-
С этим обозначением нужно обращаться с осторожностью.
Например, / Bz) | [y]k равно, по определению, значению функции
f\[y]k в точке 2г, т. е. Bcz + d)~kf (Baz+b)/Bcz + d)). Это не то
же самое, что g(z)\[y]k, где функция g определена формулой
() = /Bz). В самом деле, g(z) | [y]k= (cz +d)~kg(yz) = (cz + d)~kx
2( b)/( d)
(( )( ))
В этих обозначениях любая модулярная функция веса k отно-
относительно Г удовлетворяет соотношению f\[y]k=f для всех у ? Г.
Некоторые функции инвариантны относительно [у]к, для других
y?GL?(Q). Например, вспомним тэта-функцию, определенную ра-
равенством Э(/)= 2 e~ntn2 ПРИ Re/>0 (см. § 4 гл. II). Мы ви-
дели, что она удовлетворяет функциональному уравнению Э (t) =
= t~1/2Q(l/t) (где V—та ветвь, для которой [/Т = 1). Определим
функцию, также называемую тэта-функцией, формулой в (г) =
= 9 (—2/2), г€#, т. е.
в(г)= 2 ?2JX^2= 2 <Г2 Для z^Hi q = e2Jliz. C.3)
Подставляя —2iz вместо t в функциональное уравнение для 0,
получаем
в (z) = Bz/0/a в (—l/4z). C.4)
Возводя обе части в квадрат и используя обозначение C.2), за-
запишем это равенство в видех)
@21 [Y]i = - <6» для Y= (J ~J) € GL+ (Q). C.5)
Заметим, что
/1 \ъуг\к=(/1М») I [v.]*; vi, ъ е gl? (q). C.6)
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно записать (dety)fe/2x
x(cz + d)~k в виде (dyzldz)kl2 и воспользоваться цепным правилом.
Теперь мы можем дать определение модулярных функций,
модулярных форм и параболических форм относительно конгруэнц-
подгруппы Г'сГ. Обозначим еш1гШ через qN.
Определение. Пусть f (z) — мероморфная функция на Я, и пусть
Г'сГ — конгруэнц-подгруппа уровня N, т. е. T'z)T(N). Пусть
х) Здесь еще не предъявлена функция, инвариантная относительно [у]к
для некоторого k. Такой функцией может служить в8: в8|[у]4 = в8. — Прим.
перев.

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 155
k ? Z. Функция / (z) называется модулярной функцией веса k отно-
относительно Г', если
f\[y]k = f для любого у?Г C.7)
и если для любого Yo € Г = SL2 (Z)
функция /(z)|[vob разлагается в ряд
в котором ап=^0 для n<^0 v • /
Мы называем такую функцию /(г) модулярной формой веса /г
относительно Г', если она голоморфна в Я и если а„ = 0 в раз-
разложении C.8) при всех я<0 для любого уо?Т. Мы называем
модулярную форму параболической формой, если к тому же а0 = 0
в C.8) для любого 7о€Г.
Таким образом, как и в случае Г' = Г, обсуждавшемся в §2,
модулярная функция может иметь полюсы конечного порядка,
модулярная форма должна быть голоморфной во всех точках,
включая параболические, а параболическая форма должна обра-
обращаться в нуль во всех параболических точках. Эта интерпретация
условия C.8) (как условия на поведение в параболических точ-
точках) объяснена ниже.
Первое условие C.7) есть очевидный аналог первого условия
B.1) для модулярных функций относительно Г. Второе условие
C.8) называется условием мероморфности в параболических точ-
точках (голоморфности, если ап = 0 для п < 0; обращения в нуль>
если ап = 0 для п^.0). Объясним это подробнее.
Пусть g = f\[yo]k для некоторого yo?GL% (Q). Если f инва-
инвариантна относительно группы Г', т. е. если f\[y]k==f для всех
у ? Г', то из C.6) следует, что g инвариантна относительно группы
YjtT'yo- Действительно, для всех VoY7o € YcTT'Yo имеем g-| [YoYYo]fe=
= (/1 [Yob) I [Yo^YYob = f I [YYob = (/1 Ш I [Yo]. = / I [To]* = ?• В част-
ности, пусть Yo€T и T'zdT(N). Тогда YcTT'Yo также содержит
T(N) (так как Т(N) нормальна в Г), и поэтому g=:f\[yo]k инва-
инвариантна относительно T(N). Поскольку TN=( q j )^Г(Л^), мы
видим, что g(zJrN)=g(z), и поэтому g = f\[yo]k раскладывается
в ряд Фурье по степеням переменной qN = e2niz/N. Условие C.8)
заключается в том, что это разложение содержит лишь конечное
число членов отрицательной степени по qN (не содержит таких
членов в случае голоморфности; содержит члены только положи-
положительной степени в случае обращения в нуль).
Может оказаться, что функция g = /|[Yob инвариантна отно-
относительно сдвигов Т7*, где h\N, т. е. что g(z+h) = g(z). В этом
случае разложение Фурье будет содержать только кратные числу
N/h степени переменной q^y т. е. степени переменной 9/г = ^/Л-
Например, если уо = 1 и Г' = Г0(Л^), то Т ? Г и g(z+l) = g(z).

156 Гл. III. Модулярные формы
Отсюда следует, что g = f раскладывается по степеням перемен-
переменной q = q1 = q%. С другой стороны, если Tf = T0(N) и yo = S =
1 о)' т0 YiT^'Yo = Г° (N) = I (# )modN> . Таким образом,
если / — модулярная функция относительно Го (N) и g = f\ [S]kf
то, вообще говоря, g(z + h)=g(z) лишь для h = N.
Любая параболическая точка s?Q(j{o°} может быть записана
1 (а Ъ\ - n t
в виде s = a~1 оо для некоторого а = ( л/С* (для этого нужно
записать s в виде дроби s = — d/c с наименьшими возможными d
и с и найти а и 6 из уравнения ad—bc= 1). Если мы положим
Yo^a в C.8), то поведение функции g = f\ [^~г]к около оо (т. е.
при qN = 0) отражает поведение функции / около точки s, поскольку
g (г) = (— сг + a)~kf((dz—b)/(— cz + a)).
Предложение 16. Условие C.8) зависит только от класса Т'-экви-
валентности точки s = y0oo. Точнее говоря, если 7i °° ^т'Тг00
для некоторого у' б Г', то наименьшие степени переменной qNt
возникающие в разложениях Фурье функций f \ [уг]к и f \ [у2]ь совпа-
совпадают. Более того, в случае, когда разложения Фурье начинаются
с постоянного члена, значения функций /|[ViL и ЛМ* в точке
qN = 0 совпадают, если k четно; если же k нечетно, то эти зна-
значения отличаются не более чем знаком.
Доказательство. Если ух оо = у'у2 оо, то элемент ТГ^'Тг^Г
сохраняет оо, поэтому он должен иметь вид ± TJ. (Действительно,
(а ь\ п
условие \с ^ )оо = оо эквивалентно тому, что c = U; но это усло-
условие для элемента из Г означает, что этот элемент равен ± Тк)
Таким образом, уг1у'у2 = ±Т^ и поэтому у2 = ±у'~1у1Т'. Пусть
g(^)=f(z)\[y1]k = ±anq%. Поскольку / | [-/], = (- 1)*/ и
/|[Y'b = / (так как Y'€r')> мы видим, что f\[] l)k
X (/ | [Yi]*) I [T']k = (± 1)*g | [7V]*. Поэтому
f (z) | [y2]k = (± 1)*g (z + /) = (± l)fe 2 a
Таким образом, коэффициенты ^-разложения, отвечающего y2t
отличаются от коэффициентов, отвечающих у1у лишь на корни из
единицы. Отсюда немедленно следует предложение. ?
Пусть функция / мероморфна на Я и инвариантна относительно
[y']k для у'^Т\ и пусть s6Q(J{o°}, причем s^Yo00» 7обГ. Мы
говорим, что / мероморфна (голоморфна, обращается в нуль)
в параболической точке s, если разложение Фурье функции
Л [Yob содержит лишь конечное число отрицательных членов (не
содержит отрицательных членов, содержит только положительные
члены). В предложении 16 утверждается, что понятия мероморф-
мероморфности, голоморфности, обращения в нуль в точке s не зависят от

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 157
элемента yQ, для которого s = y0oo, а зависят только от класса
Г'-эквивалентности точки s.
Таким образом, условие C.8) представляет собой на самом
деле набор условий, по одному для каждой параболической точ-
точки s относительно Г'. (Напомним, что под параболической точкой
относительно Г' подразумевается класс Г'-эквивалентности пара-
параболических точек.) Например, если р — простое число иГ" = Г0(р),
то, как мы видели в задаче 18 из § III. 1, имеется только две
параболические точки оо, 0. Таким образом, условие C.8) равно-
равносильно следующим двум условиям:
= 2 «Ж» Ч = е2ли сй„ = 0 для п<0; C.9)
= 2М5. Цр = е™ы*> с Ьп==о дЛЯ п<^о. C.10)
Мы называем ряд Фурье из C.9) ^-разложением функции /
в оо, а ряд Фурье из C.10) ^-разложением функции f в пара-
параболической точке 0. Если f голоморфна, то можно писать / (оо)
вместо а0 и /@) вместо Ьо. Заметим, что f @) не есть предел функ-
функции / (z) при г —> 0.
Пусть Mk(T')—множество модулярных форм веса k относи-
относительно Г', a Sk (Г')— множество параболических форм веса k отно-
относительно Г'. Так же как и в случае Г' = Г, обсуждавшемся в пре-
предыдущем параграфе, легко видеть, что это С-векторные простран-
пространства, что если /6ЛГЛ1(Г) и g?Mkt(r), то fg€Mki+Ht(T'), и что
векторное пространство модулярных функций веса нуль относи-
относительно Г' является полем. Заметим также, что если —/ ? Г', то
не существует модулярных функций нечетного веса относитель-
относительно Г', так как f\[—I]k = — /.
Из определения немедленно следует, что если Г"с:Г', то моду-
модулярные функции (модулярные формы, параболические формы)
относительно Г' являются также модулярными функциями (моду-
(модулярными формами, параболическими формами) относительно Г".
Имеются более интересные способы строить модулярные формы
относительно конгруэнц-подгруппы Г" из форм относительно дру-
другой подгруппы Г'. Например, если f (z) = ^cinqn? Mk (Г), то ока-
оказывается, что функции f (Nz) == ^ anQNn и f% (z) = 2 a«% (n) Чп (СКРУ"
чивание ряда для / с помощью характера Дирихле %) являются
модулярными формами, хотя и относительно меньшей конгруэнц-
подгруппы, чем Г. Следующее предложение дает два важных
класса конструкций этого типа. В пункте (Ь) предложения мы
используем обозначение Mk(N, %), где %—характер Дирихле
mod N, для подпространства в Mk(T1(N)) (см. A.5)), состоящего
из тех / (z), для которых /1 [y]k = %(d)f при всех У = (с ^) € Го (Af).

158 Гл. III. Модулярные формы
В частности, если %triv—тривиальный характер, то Mk(N, %iTly) =
M(T(N))
Предложение 17. (а) Пусть Г'— конгруэнц-подгруппа в Г, и пусть
а? GLJ (Q). Положим Г// = а~1Г/аПГ. Тогда Г"—конгруэнц-под-
Г"—конгруэнц-подгруппа в Г, и отображение f¦—> f \ [a]k переводит Mk (Г") в Mk (Г"),
a Sk(T') в Sk(T"). В частности, если f€Mk(T) и g(z) = f(Nz)>
то g€Mk(T0(N)), причем g(oo) = /(oo), g@) = N-*f@).
(b) Пусть % и %i—характеры Дирихле modM и mod N соот-
" def »
ветственно. Если f(z)=Z anQn € Щ (М, у) и f%1 (z)= Z anti (n) Яп>
n=0 n=Q
mo fXl ^ Mk (MN2, xxl). Если f — параболическая форма, то такова
же fXt. В частности, если f?Mk(T0(M)) и характер %г квадра-
квадратичен (т. е. принимает значения ±1), то fXl? Mk(T0(MN2)).
Доказательство, (а) Нам понадобятся две леммы.
Лемма 1. Предположим, что элементы матрицы a ?GL% (Q) цело-
численны. Пусть D = deta. Если Г'=)Г(Л^), то а^Т'а^эТ(ND).
Доказательство леммы 1. Предположим, что y?T(ND)9 т. е.
det у = 1 и y=1 + ND$ для некоторой 2 х 2-матрицы Р с цело-
целочисленными элементами. Мы должны показать, что -у€аГ'а>
т. е. что Г' Э осуос-^ос A + ND$) а= 1 + NDafba'1. Но a'^Da —
целочисленная матрица. Поскольку detaYa^ det y= 1 и aYa"x=
= 1+Na$a\ мы заключаем, что aya~l?T(N)aT', что и утверж-
утверждалось. ?
Лемма 2. Предположим, что f (z) обладает свойством C.8) для
всех ТоСГ, m. e. f(z)\[yo]k= 2 апФк (где по = О, если f(г) голо-
морфна во всех параболических точках, и п0 = 1, если f (z) обра-
обращается в нуль во всех параболических точках). Тогда f (z) обла-
обладает этим свойством и для всех a^GLJ(Q), m. e. f (z) \ [a]k =
= 2 bnqnND для некоторых положительных целых чисел а и Df
п— ап0
зависящих от а.
Доказательство леммы 2. Умножение матрицы а на положи-
положительное число не меняет [a]k. Поэтому мы можем без потери
общности предположить, что элементы матрицы а целочисленны.
При помощи линейной алгебры легко показать, что существует
Y0^r==SL2(Z), для которого Yo"la==f о d) » где а и ^~~положи"

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 159
тельные целые числа. Тогда
" к
где
Это
= (,
bn-
доказывает
aid)'
т 2
о,
(a/d)k/2
лемму. ?
^= 2 bnqU
если а\п,
ctn/a, если а\п.
Вернемся к доказательству предложения. Первое утверждение
из пункта (а) следует из леммы 1. Далее, предположим, что
f?Mk(T'). Тогда для а^у'а^Т" (где у' ? Г) мы имеем (/|[a]*)l
[a-^'a]^ = (f | [y']k) [ [a]k = /1 [a]k. Пусть, кроме того, Yo € Г.
Используя равенство (f \ [a]k) \ [yo]k = f \ [ау0]^, мы заключаем на
основании леммы 2, что для /|[a]fe выполнено условие C.8).
Таким образом, f\[a]k? Mk(T"). Если / обращается в нуль во
всех параболических точках, то по лемме 2 то же самое справед-
справедливо для f | [a]k. Чтобы получить последнее утверждение из
пункта (а) предложения 17, запишем а = (д 1)» g — N~k/2f | [a]ft,
и заметим, что a^Taf] Г = Г0 (N). Значения в параболических
точках оо и 0 получаются из приведенной выше формулы для Ьп
(N 0^
(при п = 0), если положить в ней a = lo \) в случае параболи-
параболической точки оо и a = ^ ^S = s(\ °N} в случае параболиче-
параболической точки 0. Это завершает доказательство пункта (а) предложе-
предложения 17.
(Ь) Пусть Н = e2ni/N, и пусть ^=2 Xi(/)?7—гауссова сумма.
/=о
Тогда
п=0 \ v=0
41х. (v) Xi (/v) Г ? о
/0 0

160 Гл. III. Модулярные формы
Пусть теперь У = (с ^)^T0(MN2). Мы хотим исследовать функ-
функцию /хДу2)- Обозначим через yv матрицу fg ~Vj J. Тогда
б ' O^ ' N
j J для
любых v и v', O^v, v' < N, получаем, что
, fa—cv/N b+(v'a—vd)/N—cvv'/N2\
YvYYv'1^ c d + cv'/N )'
Для. каждого v выберем v' так, что v'a = vd{modN) (это можно
сделать единственным способом, поскольку and взаимно просты
с N). Тогда VvYYv'1 G Го (Л4) и поэтому
N-1
fxt №) = "F H Xi (v) / (YvYYv^v-z)
v=0
Л/-1
= -jf L Xi (v) X (d) (cyv,z + d + cv'/NY f (yv,z)
v=0
N-l
= X (d) (сг + d)ft-^ Ц Xx M f (z-v'/N).
v=0
Ho xr(v) = Xi (v') Xi (fl)/X! D) = Xi W2 Xi (v')« Таким образом,
Л/-1
, G2) - XX1 (d) (cz + d)^ X Xi (v') / (z-v'/N)
Поэтому fXi имеет закон преобразования, справедливый для функ-
функций из Mk(MN\ х%1).
Условие голоморфности в параболических точках проверяется
способом, аналогичным тому, который был применен в доказа-
доказательстве пункта (а) предложения. А именно, для всех у б Г функ-
функция fXl (z) I [y]k есть линейная комбинация функций f (z) \ [YvY]/?»
поэтому условие голоморфности в параболических точках следует
из леммы 2. ?
Следующее предложение служит обобщением предложения 9 (а)
из предыдущего параграфа. Подобно предложению 9 (а) оно полезно
в тех случаях, когда надо доказать равенство двух модулярных
форм, располагая информацией об их нулях.
Предложение 18. Мо (Г') = С для любой конгруэнц-подгруппы Г" с:Г.
Иными словами, не существует непостоянных модулярных форм
веса нуль.
Доказательство. Пусть /?Л40(Г"), и пусть a = f(z0) для не-
некоторого го?#. Пусть Г= U О/Г' — разбиение группы Г в объе-

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 16?
динение непересекающихся смежных классов. Положим
def _ _
? = Ш|[«/-Ч.-в).т-е-
g(z) = U(f^i1z)-a). C.11)
Функция g (z) голоморфна в Я и удовлетворяет условию C.8),
так как ему удовлетворяет функция /. Фиксируем произвольный
элемент у-^Т. Имеем g\ [у~1]0 = Д(/| [(у^П-а). Но/Цог1],,
не меняется при замене элемента а на ау'баГ', и левое умно-
умножение на у переставляет смежные классы осуГ". Поэтому набор
{/1 [(Y0^)^} получается просто перестановкой из набора {/ | [а/'1]0}.
Таким образом, g" | [Т"х]о = S"» и мы заключаем, что g^M0(T). Из
предложения 9 (а) следует, что g—константа. Смежному клас-
классу /Г' отвечает член /(г)— а в C.11), равный нулю в точке z = z0.
Отсюда следует, что g = 0. Но тогда один из сомножителей в C.11)
должен быть тождественным нулем (так как функции, мероморф-
ные в Я, образуют поле). Поэтому / (a/^z)— а = 0 для некоторо-
некоторого / и для всех г б Я. Заменяя z на а;г, получаем, что f (z) = a
для всех г б Я, что и утверждалось. Q
Вот пример применения предложения 18. Пусть положитель-
положительные целые числа N и k таковы, что (N -\-l)k = 2i и k четно.
Покажем, что любая параболическая форма веса k относительно
Го (N) пропорциональна форме (r\ (z) ц (Nz))k. Здесь ц (z) =
= ?2яй/24 Д A—Gя), q = e2niz, как в § 2.
Предложение 19. Пусть N >1, а пусть f (z)—ненулевой элемент
в Sk(TQ(N))y причем k{N + 1) = 24, т. е. N = 2,3, 5, 11, a k = 8,
6, 4, 2 соответственно. Тогда f (z) пропорциональна форме
Доказательство. По предложению 17 (а), форма g(z)N+1 =
= A(z)A(Nz) лежит в 824(Г0(Ы)). Кроме того, g(z)N+1 не при-
принимает значения 0 на Я, так как А (г) Ф 0 на Я. В бесконечно-
бесконечности g(z)N+1 = qN+1U(l— qn)™{\ — qNnf\ т. е. ^(г)^1 имеет нуль
порядка N +1 в своем ^-разложении. Найдем ^-разложение в па-
параболической точке 0:
8 (z)N+11 [S]u = г~24 Д (-1/z) A (- Nlz)
= 2~24г12 А (г) (г/iVI2 А
Мы видим, что ^-разложение имеет нуль порядка Л/+1. С дру-
другой стороны, поскольку f?Sk(T0(N))9 ^-разложение функции /
в оо делится на q, а ^-разложение функции /1 [S]k делится

162 Гл. III. Модулярные формы
на qN. Функция {flg)N+1, как отношение двух элементов из
524 (Го (N)), является модулярной функцией веса нуль относи-
относительно TQ(N). Поскольку ё{г)фО на Я, это отношение голо-
голоморфно на Н. Более того, (/-разложение функции fN+1 делится
по крайней мере на qN+1, а ^"Разложение эт°й функции для
параболической точки 0 делится по крайней мере на q%+1. Поэтому
сомножители qN+1 в gN+1 и q%+1 в g"^+1|[S]84 сокращаются.
Отсюда мы заключаем, что отношение (//gJ4 голоморфно в пара-
параболических точках, т. е. (f/g)N+1 ? Мо (Го (N)). По предложению
18, (f/g)N+1 — константа, и, следовательно, fig—тоже константа.
Это завершает доказательство. ?
Заметим, что на самом деле мы не можем утверждать, что
функция g(z) = (г](г)v)(Nz))k лежит в Sk(T0(N)): для этого необ-
необходимо, чтобы существовал ненулевой элемент f ?Sk(T0(N)). На-
Например, те же рассуждения показывают, что любой ненулевой
элемент / ? S3 (Го G)) может отличаться от (г\ (z) г\ Gг)K лишь на
постоянный множитель; но S3 (Го G)) = 0, так как 3 нечетно
и —/?Г0G). Однако можно показать, что для значений N и &,
указанных в теореме, dimSk (Го (N)) = 1 (см. теорему 2.24 и пред-
предложение 1.43 книги [Shimura 1971]х)). Таким образом, предло-
предложение 19 содержательно. Для N=2, k = 8 это можно проверить
непосредственно, поскольку мы знаем, что Т и ST2S = l 2 1 )
порождают ГоB) (см. задачу 13 (Ь) из § III.1).
Предложение 20. (т| (г) т| Bz))8? S8 (Г0B)).
Доказательство. Ясно, что функция g (z) = (v\ (z) r\ Bz))8 голо-
голоморфна в Н. Вот ее ^-разложение в оо: (?2^2/24+2*122/24)8 JJ (i _
— qn)8 (I —q2n)8 = q Ц A —qn)8 A —q2n)8. Используя соотношение
т](—l/z) = j/"z/tT)(z), легко убедиться, что в параболической
точке 0 функция g (z) также обращается в нуль. Остается пробе-
пробегу—1 °М
рить инвариантность относительно ( 2 1 у '
Положим ^ = B о)' ^огда ( 2 1/ "
g (z) [а]8 = 24 Bz)~8 (тИ—1/2г) т| (-
= Bг2)-^ (V2z/i т| Bг) Vz/i ф))в = (ч (г
Поскольку g\[T]8 = g, sl преобразование -j^ всегда триви-
тривиально, мы заключаем,
что и требовалось. ?
ально, мы заключаем, что g инвариантно относительно у
См., кроме того, пример 2.28 там же.— Прим. перев.

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 163
Ряды Эйзенштейна. Пусть N—положительное целое число. Пусть
a = (af, а2)— пара целых чисел по модулю N. Мы будем рассма-
рассматривать а{ либо как элементы в Z/NZ, либо как целые числа
в интервале 0^.а{ < N. Пусть k^3 — целое число, и пусть
т=(т1, т2)— пара целых чисел. Мы будем представлять себе
а и т как вектор-строки. Пусть г?Я. Каждым a, k отвечает
ряд Эйзенштейна уровня N. Он определяется следующей фор-
формулой:
def
т_=^а mod N
При_а=@, 0) мы пропускаем пару m = @, 0) в сумме C.12).
Но случай а— @, 0) не содержит ничего нового: полагая тх = Nm>
m2 = Nn, мы получаем, что
G\(z) = N-b 2
Это ряд Эйзенштейна относительно Г, который мы изучали в § 2.
Впредь мы будем предполагать, что аФ@, 0).
Заметим, что число k^3 может быть как четным, так и не-
нечетным.
Предложение 21. G|mod" ? Мк (Г (АО) и G{k*>a*)modN ? Mk(T1 (N)).
Доказательство. Прежде всего, ряд C.12) сходится абсолютно
и равномерно по г в любом компактном подмножестве в Я, так
как k^3 (см., например, задачу 3 из § 1.5). Следовательно,
а о \
с d)^' Т°Гда
ч^ 1
^ Л ( az + b ,
m=amodN Щ\ г-7 + т2
1
= a mod Л/ u
Пусть mf = (m1a + m2c9 m1b+m2d) = (m1m2)(^ ^J={^Y- Заметим, что
по модулю Af мы имеем т' ^ ау. Пусть а' — редуцированная по мо-
модулю N вектор-строка ау. Тогда отображения т*—>т' = ту,
т' к-» m = mry~l задают взаимно однозначное соответствие между
парами т^ТЛу для которых т== amodN, и парами m'gZ2, для

164 Гл. III. Модулярные формы
которых m' = a'modN. Поэтому последняя сумма равна
2 (jn[z + m'2)'~k = G| (г). Таким образом,
m' = a' mod N
, Yer. C.13)
Если у ? Г (W), то, по определению, у === / mod Л/" и поэтому
aY = amodXf. Таким образом, равенство C.13) показывает, что
функция G| инвариантна относительно [у]кУ если y?Y(N). Ана-
Аналогично, если y € 1\ (#) и ах = 0, то @, а2) у ^ @, а2) mod N,
и поэтому функция G^°'a2)mod ^ инвариантна относительно [y]k.
Остается проверить условие голоморфности в параболических
точках. Если -уо^Г, то на основании C.13) мы заключаем, что
преобразование [70]^ переставляет функции QZmodNt Поэтому до-
достаточно проверить, что каждая функция G| имеет конечное зна-
значение в бесконечности. Но
^, @, если агф0,
lim Gf(z)= lu mik = \ у -к если а -О
— — _ I п = а2 mod ./V
Сумма 2 n~k сходится, так как k^3. Это, по существу,
гг = а2 mod N
часть дзета-функции. Точнее говоря,
где?в(*)= 2 гг-К C.14)
д = а mod iV
Это завершает доказательство предложения. ?
В частности, положив у = — /в C.13), получим, что
G;^ = (-1)*G?. C.15)
Это можно увидеть и непосредственно из определения C.12).
Поэтому, например, G| = 0, если k нечетно и 2а===0 mod Af.
Исходя из рядов Эйзенштейна G|modiv, нетрудно построить
модулярные формы для любой конгруэнц-подгруппы Г', ГзГ'з
uT(N). Фиксируем вектор-строку а. Элементы у?Т' действуют
перестановками на множестве рядов Эйзенштейна G|', где а' ле-
лежит в орбите элемента а относительно действия группы Г', т. е.

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 165
Обозначим через г число элементов в этой орбите, г = #(аГ').
Пусть F(Х1у ..., Хг) — однородный симметрический полином от
г переменных, полная степень которого равна d. Подставим
в него Xj = Gj?/, где элементы ayf пробегают орбиту аГ". Легко
проверить, что получающаяся функция г ( щ , ..., 0^ j явля-
является модулярной функцией веса kd относительно Г'. Например,
выбирая в качестве F полиномы Хг-\-... +ХГ или Хг.. ,ХГ, по-
получаем модулярные функции
2
(Z!NZ)* /3
П GVa>)mo*N ()€MFAN)h
(
Вычислим теперь ^"Разложение функции G|. В основном нам
будут интересны случаи ^ = 0 или а2 = 0. Напомним формулу,
которую мы использовали в предыдущем параграфе для нахожде-
нахождения ^-разложения функции Gk (см. доказательство предложения 6):
пТ!z bf±x] C.17)
для й>2, z?H.
Положим
def
о o,k \?я2 (?)_|_(—l)kZ~a2(k)j если ах = О.
Тогда
2 2
i=ai mod Л^ m2 =a2 mod Л^
Ш! ф 0
fti= — #i mod N yi с
2 2 f-
ai mod N j =>\
2 2 /*-i*4.
~aimod Л'/ = 1 у
т>0 /

166 Гл. III. Модулярные формы
В этом вычислении мы разбили сумму на две: первую по поло-
положительным ти вторую по отрицательным. Во второй сумме мы
заменили тх на —ти поскольку для применения равенства
C.17), в котором вместо z стоит (m1z±u2)/NJ необходимо, чтобы
(m^z ± a2)/N ? Н9 т. е. чтобы тх > 0. Пусть
def
1 = е2Ш/Ы9 qN==ze2mz/N C.19)
Тогда
\=ai mod N j = \
Ш!>0
+ (-!)* 2 %ik-1l-'-<№l\ C.20)
m± == - ai mod Л/ / = 1 у
mt>0 '
Чтобы найти коэффициент &и при qft, остается собрать вместе
члены с \тх = п. Мы сделаем это только в случаях ах = 0 или
а2 = 0. В результате получим следующее предложение.
Предложение 22. Пусть ck> b%f k, L ^ такие же, как в C.18) —
C.19). При ?>3 пусть G?™'6N (z) — ряд Эйзенштейна C.12).
Тогда q^-разложение функции
1
C-21)
может быть вычислено с помощью формулы C.20). EcAuaL=(a1, 0)
, то
^Л-^ 2 /*-» + (~1)* 2 /*-Л. C.22)
\/i// г ах mod Л^ п// г - at mod Л^
Если а=@, а2) w д^1, то
b~n,k = 0> е<>ли N{n; t%H9h = ck 2 /*-J^ + (-l)*6-^). C.23)
/|/г
Таким образом, если а = @, а2), то
+ с* 2 f 2 Z* E/аг + (—1)*6-/П0^ <Л <7 = ^ш>- C-24)
Предложение 23. Пусть для набора {k, а) выполнено условие
2а = @, 0)modW и k нечетно. Тогда Gfm0d N = 0. Предполо-
Предположим теперь, что это условие не выполнено. Тогда функция G*.0' а'}

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 167
не равна нулю в оо, а функция G[au 0) имеет нуль порядка
min^i, N— ^х), где аг мы выбираем из интервала 0<at<N.
Иными словами, если aL=(a1, 0), то младшая степень qNy входя-
входящая в C.21) с ненулевым коэффициентом, есть либо </$, либо
JV-at
Доказательство. Первое утверждение мы уже доказали (оно
следует из формулы C.15)). Проверим теперь, что C.14) неравно
нулю, если N \2аъ или k четно. Если k четно, то это сумма по-
положительных членов. Если k нечетно и 0 < а2 < N, то сумма
в C.14) равна
> 0, когда а2 < N/2,
\(ai+nN)(Nai + nN)) \ < 0, когда а2 > N/2.
Наконец, найдем первое значение номера п в C.22), для которого
одна из двух сумм в C.22) не равна нулю. Это значение равно
min^j, N—аг). Действительно, при п = тт (аи Ы — аг) перемен-
переменная / может принимать значение 1 в одной из сумм. Таким обра-
образом, b(n!'k0) = ±?& при n = mln(a11 N — ax). Это завершает дока-
доказательство. ?
В качестве приложения мы покажем, что некоторые произве-
произведения функций Gf modN выражаются через г]-функцию. Этот ре-
результат понадобится нам в следующем параграфе, когда мы будем
выводить, следуя Гекке, закон преобразования функции G(z).
Напомним, что ^-функция Вейерштрасса и ее производные
(см. гл. I) имеют вид
f (г; ©J, <о2) = -р-+ ? / —
т, п € Z \
ф'(г\ сох, со2)==—2 2 (г
^(*-»)(z; сох, со2) = (— 1)*(Л— 1)! 2
Если аф@у 0), то мы можем выразить G|mo N через ^(fe~2) сле-
следующим образом:
(
В это выражение входит значение функции g>(fe~2) (построенной
по решетке L2={mz + n}) в точке порядка N по модулю решетки,

168 Гл. III. Модулярные формы
а именно в точке (а^ + а2)/Ы. Таким образом, ряды Эйзенштейна
относительно Г (N) связаны со значениями производных ^-функ-
^-функции в точках конечного порядка по модулю решетки.
Предположим теперь, что k = 3. Из C.25) следует, что G^ (z)
может обращаться в нуль только тогда, когда ^'((а^+а^/Ы; г, 1)^0.
Но $' может обращаться в нуль только в точках решетки у Lz
(см. конец § 1.4). Если 2а5==@, 0)modAf, т. е. если точка
2 (a±z+ a2)/N лежит на решетке L2, то, по предложению 23,
функция Gj тождественно равна нулю. В противном случае
!?' ((axz+a2)N\ г, 1) отлично от нуля. Мы доказали следующее
Предложение 24. Если 2a^0modNJ то G|mod N (г) Ф 0 для всех
z?H.
Пусть р—нечетное простое число. Положим
Л (?) = П GC0' аг) mod p (г). C.26)
Предложение 25. h (z) б УИ3 {р__г) (Го (р))\ единственный нуль этой
функции—это (р2—I)/4-кратный нуль в 0, и она может отли-
отличаться от функции (r\P (z)/r\ (pz)N лишь на постоянный множитель.
Доказательство. Первая часть следует из C.16) при N = pt
k = 3. Функция h (z) не обращается в нуль на Н по предложению 24
и не равна нулю в бесконечности по предложению 23. Для того
чтобы найти порядок нуля этой функции в 0, нам нужно иссле-
исследовать ^-разложение функции
h I [S], ,„_„ = Д G<°- °2) mod р | [S], = II G[a- 0) mod "
а2=1 а2=\
(здесь мы использовали C.13)). На основании предложения 23 мы
заключаем, что первая степень переменной qpj появляющаяся
в Gifl2'0)modp, есть qf*i*»p-**\ Таким образом, порядок нуля
функции h (z) в 0 равен
Р-Л (Р-О/2
2 min(a2, p—a2) = 2 2 а2 = (р2—1)/4.
аг = 1 а2- 1
Теперь положим h (z) = (r\P (z)/r\(pz)N. Тогда функция ft (гL =
*=Д (z)p/A (pz) голоморфна и не обращается в нуль на Я, поскольку
Д (г) голоморфна и не обращается в нуль на Я. Исходя из того„
что A(z)?S12(T)czS12(r0(p)) и Ajpz) ? S12 (Го (р)) (по предложе-
предложению 17(а)), мы заключаем, что Л (гL есть модулярная функция
веса 12 (р—1) относительно Г0(р). В бесконечности эта функция

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 169
имеет следующее ^-разложение:
qp П A -<7я)я4/7<7* П A -ГРГ = П (A -<7ЯУ7A -Япр)У*.
Поэтому функция A(zL голоморфна и не равна нулю в бесконеч-
бесконечности. В параболической точке 0 имеем
h{zy | [S]12 (,el) = z-» <*-» А (-1/г^/Д (-/?/*)
д (г)Р/((г/рI2 Д
= р11^ П A - дпГр/ь П A - #I4-
Главный член в этом разложении есть p12qpp2~l. Итак, обе функ-
функции /г4 и Я4 принадлежат Af12(P-D (Го!/7)) и не имеют нулей, за
исключением (р2— 1)-кратного нуля в 0. Значит, по предложению 18,
их отношение равно константе. Но из того, что (А/АL= const,
следует, что А/Л = const. Это завершает доказательство предложе-
предложения 25. ?
Заметим, что по C.15) каждый сомножитель в определении
C.26) функции Л (г) встречается дважды.
Поэтому определим следующую функцию:
(р-1)/2
/W = П GC°'a2)modp(z). C.27)
a2=l
Используя C.15), мы находим, что
ft(z) = (— 1)(p-d/«/(z)«. C.28)
Из предложения 25 следует, что квадрат отношения функций / (z)
и (xf (z)/t) (/?2)K равен константе. Значит, отношение этих двух
функций само должно быть константой. Этим доказано следующее
Предложение 26. Функция /(г), определенная формулой C.27),
может отличаться лишь на постоянный множитель от функции
По предложению 21, каждая из функций GC0' a*\ входящих
в формулу C.27), принадлежит М3 (Гх (/?)). Отсюда следует, что
/€ М3 (P-D/2 (Гх (/?)). Однако, в отличие от А (г), функция /(г) не
является, строго говоря, модулярной формой относительно боль-
большей подгруппы Го(/?).
Предложение 27. Пусть f (г)—функция, определенная формулой
C.27), и пусть у = (^ ^ ?Г0(р). Тогда f\ [у]3 (р_1)/2 = A) ff
где ( — )—символ Лежандра (он принимает значения ±1, в зави-
зависимости от того, является ли число d квадратом по модулю р).

170 Гл. III. Модулярные формы ^
Доказательство. Поскольку @, а2)(с ^J = @, da2) mod /?, из
C.13) следует, что
(Р~1)/2
с | г -I TT r>@, da2) mod р
/I LYJ3 (P-D/2 = 11 "з
а2=1
Ha основании формулы C.15) мы заключаем, что члены этого
произведения могут отличаться от членов произведения C.27)
только знаками, причем знак «минус» возникает каждый раз,
когда наименьшее положительное число, сравнимое с da2 па
модулю р, попадает в множество {(/?+1)/2, (р + 3)/2, ...,/?—1}.
Предположим, что это случается nd раз. Таким образом,
/1 [у]з (р -D/2 = (—l)ndf. Применяя легко доказываемую лемму
Гаусса из элементарной теории чисел (см., например, [Hardy,
Wright I960]), мы получаем, что (—1)л<* = (— j. Это доказывает
предложение. ?
Предложение 27 доставляет нам пример скрученной модуляр-
модулярной формы относительно Го(#), или модулярной формы, обладаю-
обладающей нетривиальным характером. Мы обсудим общую взаимосвязь
между такими формами и модулярными формами относительна
Тг(Ы). Начнем с нескольких весьма общих наблюдений.
Пусть Г" — подгруппа в Г', и пусть f (г)— модулярная форма
веса k относительно подгруппы Г" (но не обязательно относительна
всей группы Г'). Если у ? Г', то мы можем утверждать лишь, что
/llT]^ зависит только от смежного класса элемента у по под-
подгруппе Г". Иначе говоря, если у"?Г", то /1 [(wO~1]/e==/l[Y~1]ie-
Теперь предположим, что подгруппа Г" нормальна в Г'. Каж-
Каждому смежному классу уГ" отвечает линейное отображение
/•—»/| [у]/?, которое, по предложению 17, переводит пространства
Mk(T") в себя (в предложении 17 нужно подставить Г" и у'1
вместо Г' и а; тогда уГ"? пГ = Г", так как у б Г' и Г" нормальна
в Г'). Это задает гомоморфизм р группы Г'/Г" в группу линейных
автоморфизмов векторного пространства Mk (Г"), так как если
Г', то
s)]* = (/ I [Y2-1]*) I [Yf1]* = P (Yi) (p Ы /)•
Иными словами, мы построили представление группы Г'/Г" в век*
торном пространстве Mk(T").
Пусть %: Г'/Г7—>С*—характер факторгруппы. Определим про-
пространство МЛ(Г", %) как такое подпространство в М^Г"), на ко-
котором представление р действует как скалярное умножение на %, т. е*
del
М*(Г\ х)= {/<ЕМ&(Г")|Р(?)/ = Х(?)/ для всех У?Г).

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 171
Если группа Г'/Г" абелева, то в соответствии с основными фак-
фактами о представлениях конечных абелевых групп мы заключаем,
что пространство Mk (Г") распадается в прямую сумму подпро-
подпространств Mk(T\ у) для различных характеров % группы Г'/Г".
Мы вскоре напомним простое доказательство этого факта приме-
применительно к интересующему нас случаю.
Вернемся теперь к случаю T/f = T1(N)y T' = T0(N). Поскольку
I\ (N) служит ядром сюръективного гомоморфизма группы Го (N)
в (Z/NZ)*, переводящего^ А в d, мы заключаем, что под-
подгруппа 1\(Л/) нормальна в Г0(Л/"), а соответствующая факторгруппа
абелева и изоморфна (Z/NZ)* (см. задачи 1—2 в § III. 1). Пусть
% — некоторый характер Дирихле по модулю N, т. е. некоторый
характер группы (Z/NZ)*. В этом контексте подпространство
Mk(Го (N), x)czMk (Г\ (N)) обычно сокращенно обозначают Mk(N', %).
Таким образом,
C.29)
В частности, если %=1—тривиальный характер, то Mk(N, 1) =
M(T(N))
Предложение 28. Mk (T1 (N)) = 0Mft (Л^, х)» г&е сумма берется
по всем характерам Дирихле по модулю N.
Доказательство. Как упомянуто выше, это предложение яв-
является, по существу, частным случаем основной теоремы из теории
представлений абелевых групп, гласящей, что любое представле-
представление конечной абелевой группы распадается в прямую сумму одно-
одномерных представлений. Тем не менее мы дадим прямое доказа-
доказательство.
Прежде всего ясно, что если функция / удовлетворяет соот-
соотношению / | [y]k = %(d)f для двух различных характеров %, то она
должна быть равна нулю; поэтому достаточно показать, что любая
функция / ?Mk (I\ (N)) может быть записана в виде суммы функ-
функций f%?Mk(N, x). Пусть
где yd—любая матрица из Го (Л^), нижний правый элемент кото-
которой сравним с d по модулю N. Пусть У=[с л') € Го (Л/'). Имеем

172 Гл. III. Модулярные формы
Заменяя переменную суммирования d на dd\ мы немедленно по-
получаем, что fx\[y]k = %(d')fx, т. е. что jx?Mk(Ny у). Наконец,
суммируя fx по всем характерам % по модулю N и меняя поря-
порядок суммирования по d и %, мы получаем, что
2/*= Ц ^
Это выражение равно /, поскольку внутренняя сумма равна 1,
если d=l, и 0 в противном случае. Итак, функция / может быть
записана в виде суммы функций, принадлежащих Mk(N, %), что
и утверждалось. П
Заметим, что Mk(N, %) = 0, если четность характера % отли-
отличается от четности числа k, т. е. если %(—1)ф(—l)fe- Это сле-
следует из определения C.29), если положить там у =— /и учесть,
что /|[_/]д = (_1)*/.
Предложение 28 в сочетании с этим замечанием приводит, на-
например, к следующему утверждению.
Предложение 29.
( МЛ4, 1), k четно,
ь\ iv // |^ Л1ЛD, х)» * нечетно,
где через 1 обозначен тривиальный характер, а через %—един-
%—единственный нетривиальный характер по модулю 4.
Заметим, что соотношение f\[y']k==%(d)f из C.29) мультипли-
мультипликативно по у; иными словами, если оно выполнено для уг и у2Г
то оно выполнено и для их произведения. Поэтому, так же как
в случае обычных модулярных форм, при проверке того, что / (г)
принадлежит Mk(N, %), можно ограничиться проверкой законов
преобразования при действии некоторого набора образующих груп-
группы Г„(Л0.
Вот еще один пример. Рассмотрим функцию в2 (г) = / 2 Я*1*Y •
\neZ J
Коэффициент при qn в ^-разложении этой функции равен числу
способов, которыми число п может быть записано в виде суммы
двух квадратов.
Предложение 30. в2 б Мг A\ D)) = Л11 D, %), где % (d) = (— 1)«*-и/я.
Доказательство. Достаточно проверить закон преобразования
при действии элементов —/, Т и ST*S =( ^ jj, порождаю-
порождающих группу Г0D) (см. задачу 13 из § III.1). Для Т проверка
очевидна, так как в2 имеет период 1. Далее, соотношение /1 [— 1]^
^—/ = х (—1) / выполнено, по определению, для любой функции /¦

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 173
Поэтому остается исследовать случай ST*S. Пусть
def/0 —1\ 1 1
а^= \N О/' так что а*1=— -дг«^
C-30)
Запишем ST*S = — a4Ta^1 = -j-a4kTaA. Используя соотношение
В2|[а4]1 = — i®2 (см. C.5)), мы получаем, что
j! = - /в* | [aJx = - в»
(напомним, что скалярная матрица -^-/ действует тривиально на
все функции, т. е. [1/4]х — тождественное преобразование).
Для того чтобы закончить доказательство предложения, нам
нужно проверить условие голоморфности в параболических точках,
т. е. проверить, что для каждого уо^Т функция ©21 [То]± имеет
конечное значение в бесконечности. Рассмотрим квадрат функции
®2|[Yo]i> т- е. функцию в4|[у0]2. Ниже, в задаче 11, будет пока-
показано, что Э4? М2 (Го D)); отсюда, в частности, следует, что зна-
значение в бесконечности функции ©4|[y0]2» а тем самым и функции
®2|[To]i» конечно. Это завершает доказательство. Q
В пространствах Mk(N, %) содержатся многие весьма важные
модулярные формы. Эти пространства будут основным предметом
нашего изучения в нескольких следующих параграфах. Введем
также обозначение Sk(N, %) для подпространства параболических
def
форм: Sk(N, X) = Mk(N, Х) П S» (I\
Преобразование Меллина модулярной формы. Предположим, что
/ (z)s=ySian4N (гДе qjv^e2*112^) есть модулярная форма веса k отно-
относительно конгруэнц-подгруппы Г' уровня N. Далее, предположим,
что \ап\ = О (пс) для некоторой константы c?R, т. е. что после-
последовательность ап/пс ограничена. Нетрудно убедиться, что коэф-
коэффициенты ^-разложения ряда Эйзенштейна G|mod N обладают
этим свойством с константой c = k—1 + е для любого е > 0. На-
Например, в случае Г'= Г коэффициенты отличаются на постоянный
множитель от ок_г (п), и нетрудно показать, что ak^1 (n)/nk'l+e —> 0
при п—>оо. Позже мы покажем, что если /—параболическая
форма, то можно взять c — k/2 + E. На самом деле, используя до-
доказанные Делинем гипотезы Вей ля, можно улучшить эту оценку
и взять c—(k—1)/2 + е.
В гл. II мы использовали преобразование Меллина функции
® @==: ^e~nin2 и родственных ей функций для изучения различ-
различных важных рядов Дирихле, таких, как дзета-функция Римана,
L-функция Дирихле и L-функция Хассе—Вейля эллиптических

174 Гл. III. Модулярные формы
кривых Еп: у2 = х3 — п2х. Обсудим теперь преобразование Мел-
лина модулярных форм.
Мы используем сейчас не переменную /, а переменную z из
верхней полуплоскости. Положительная вещественная полуось
переходит в верхнюю полуплоскость, например, при замене
/ = —2iz, и мы определяем преобразование Меллина с помощью
интегрирования по положительной части мнимой оси.
Наиболее важен случай V = T1(N). Предположим на время,
ее
что /(оо) = 0. Таким образом, пусть / (z) = 2 апЯп ? Mk A\ (N)).
(Напомним, что, поскольку T^T1(N)i функция /(г) расклады-
раскладывается по степеням q = e2niz, а не qN.) Положим
def
*-*dz. C.31)
Пусть теперь коэффициенты ап в ^-разложении функции f (z) та-
таковы, что \ап\ = О (пс). Покажем, что тогда интеграл в C.31)
сходится при Res>c+1:
6?„
f
0
n=l
/2=1
00
= (—2ni)-sT(s) 2 ann-s (cm. D.6) гл. II) C.32)
(использование буквы Г для обозначения гамма-функции Г (s)
никак не связано с использованием этой буквы для обозначения
конгруэнц-подгрупп; но на практике это не приводит к путанице).
Поскольку |awn| = 0(nc-Res), последняя сумма сходится абсо-
абсолютно (и законна перестановка порядка интегрирования и сум-
суммирования).
Если / (z) = 2 апЦп € Mk (Гх (N)) и ао=т^=О, то мы заменяем
f(z) на f(z)—aon~B C.31). В любом случае g(s) = (—2я/)Г (s)
xLf(s), где
def »
Lf (s) = 2 ann~8 Аля Res>c+lf
n=l ^ (з.зз)
если / (z) = 2 anq»9 где | an \ = 0 (n<).
/i=0

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 175
В дополнение к инвариантности относительно [y]k для y^T
модулярные формы часто хорошо преобразуются относительно
[aN]k, где aN = []\j о)> как в C.30). В упражнениях, напри-
например, будет показано, что любая функция из Mk(N, %), где % —
вещественный характер (т. е. % принимает значения ±1), может
быть записана в виде суммы двух функций, удовлетворяющих
соотношению
/1Kb = «"*/, С=1 или -1, C.34)
причем одна из этих функций удовлетворяет соотношению C.34)
с С=1, а другая — с С = —1. Нам уже встречалась функция,
удовлетворяющая C.34). Это в2: соотношение C.5) есть частный
случай соотношения C.34) при й=1, С=1, N = 4.
Покажем теперь, что если выполняется C.34), то соответст-
соответствующее преобразование Меллина g(s) удовлетворяет функцио-
функциональному уравнению, связывающему g(s) с g(k—s). Для про-
простоты предположим снова, что /(z) = 2a«?"» гДе cto = O. По on ре-
делению, соотношение C.34) означает, что
/ (—l/Nz) = CN-u* (—INzYf (z). C.35)
Разобьем интеграл в C.31) на две части, одну от 0 до i/V,
вторую—от ilV~N до /оо. Появление точки i/]/"N связано с тем,
что это неподвижная точка отображения aN: 2*—^—l/Nz в Я.
Используя C.35), получаем
i/VN
ice
i/VN
loo
i/VN
Прежде всего заметим, что этот интеграл сходится к целой
функции от s. Действительно, f(z) экспоненциально убывает при
z-^ioo, а поведение /(г) в окрестности нуля нам не важно, по-
поскольку в результате наших преобразований нижний предел
интегрирования уже не равен нулю. (Сравните с доказательст-
доказательством предложения 13 гл. II. Там мы с помощью аналогичных рас-
рассуждений нашли быстро сходящийся ряд для критического значения
L-функции Хассе—Вейля; см. замечание после уравнения F.7)
в § II.6.)

176 Гл. III. Модулярные формы
Далее, заменяя s на k — s в последнем интеграле и вынося
множитель ikCN~k^{ — N)s, мы получаем
— N)~s f (z) zk~s+f (z)zs)^
~N
ice
i/VN
(последний интеграл совпадает с полученным ранее выражением
для g(s)). Это равенство можно записать в следующем виде:
Определим функцию Л (s) при Res > с+ 1 формулой (см. C.32)—
C.33))
Л (s) = (-1 VN)Sg (s) = (VN/2n)s Г (s) L, (s). C.36)
Мы показали, что Л (s) продолжается до целой функции от s и
удовлетворяет функциональному уравнению
s). C.37)
Пусть, например, f (z) = Д (г) ? S12 (Г). Эта функция удовлет-
удовлетворяет соотношению C.35) при Л/=1, fe=12, C=l. Тогда A(z)
со со
= 2 т (л) ?". la (s) - 2 т {">) n~s и функция Л (s) = Bя)-5 Г (s) LA(s)
n= 1 п=1
удовлетворяет уравнению A(s) = AA2 — s).
Вывод уравнения C.37) из C.34) указывает на тесную связь
между рядами Дирихле, удовлетворяющими функциональным
уравнениям, и модулярными формами. Ряды Дирихле, удовлет-
удовлетворяющие функциональным уравнениям, встречались нам в совсем
другом контексте в гл. II. А именно, L-функция Хассе—Вейля
эллиптической кривой Еп: y2 = xs — п2х удовлетворяет C.36)—
C.37) при й = 2, N = 32n2 для нечетного п и 16д2для четного п9
С = — для нечетного п и —к для четного п (см. формулы
\ п ; \п/2 j \ -г г j
E.10) — E.12) гл. II). Мы видели также, что L-функция Хассе—
Вейля эллиптической кривой у2 = х3+16 удовлетворяет C.36) —
C.37) при й = 2, iV = 27, C=l (см. задачу 8 (d), § II.5).
Поэтому возникает естественный вопрос: любой ли ряд Ди-
Дирихле, имеющий надлежащий тип функционального уравнения,
связан с некоторой модулярной формой, т. е. имеет вид Lf (s)
для некоторой модулярной формы /? В частности, можно ли по-
получить L-функцию Хассе—Вейля, которую мы изучали в гл. П,

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 177
с помощью преобразования Меллина подходящей модулярной
формы веса 2? Иначе говоря, если мы запишем L(En1 s) в виде
00
2 bmm~s (см. формулу E.3) гл. II), то существует ли модуляр-
т = 1
со
ная форма веса 2, ^-разложение которой имеет вид 2 bmqm?
т- 1
Гекке [Неске 1936] и Вейль [Weil 1967] показали, что с не-
некоторыми оговорками ответ на этот вопрос положительный. Мы
не будем вдаваться в детали (их можно найти в работе [Ogg 1969]),
а лишь опишем в общих чертах ситуацию и сформулируем отно-
относящуюся к ней фундаментальную теорему Вейля.
Предположим, что L (s) = ^ann~s удовлетворяет C.36)—C.37)
(и подходящим предположениям о сходимости). Используя обрат-
обратное преобразование Меллина, можно проделать в обратном на-
направлении те шаги, которые привели нас к C.36) — C.37). Мы
найдем, что функция / (z) = 2a«9" удовлетворяет C.34). Предпо-
Предположим на время, что N = Х2 — точный квадрат и что C = /fe, где k
def
четно. Тогда, если /(г) удовлетворяет C.35), то f1(z) = f(z/X)
—^jan4K удовлетворяет уравнению /г (—l/z) = zkf1(z). Поэтому /^
инвариантно относительно [S]k и [Tl]k и, следовательно, отно-
относительно группы, порожденной S и Тк. Гекке обозначил эту
группу через ®(к). С группой © B) мы уже встречались.
Этим способом можно показать, например, что L(E2no, s)
отвечает модулярной форме (на самом деле параболической фор-
форме) веса 2 относительно @(8л0).
К сожалению, с группами Гекке © (к) не очень удобно рабо-
работать— они недостаточно велики. Они, вообще говоря, не являются
конгруэнц-подгруппами (случай © B) id Г B) представляет собой
исключение).
Но можно поступить гораздо лучше. Рассмотрим ряд Дирихле
^anti~s. Вейль показал, грубо говоря, что если для достаточ-
достаточного количества характеров % скрученные ряды y^%(n)ann~s
удовлетворяют функциональным уравнениям, аналогичным
C.36) — C.37), то соответствующее д~Разложение лежит в
Mk(T0(N)). Дадим более точную формулировку теоремы Вейля.
Пусть Хо — фиксированный характер Дирихле по модулю iV
(Хо может быть и тривиальным характером). Пусть % — перемен-
переменный характер Дирихле с кондуктором т, где m — либо нечетное
простое число, не делящее iV, либо т = 4 (мы допускаем т = 4
лишь в случае, когда iV нечетно). Большим множеством целых
чисел мы будем называть множество, содержащее по крайней
мере по одному числу из каждой арифметической прогрессии вида
{M+M/€Z» где и и v взаимно просты. В соответствии с теоре-
теоремой Дирихле, любая такая арифметическая прогрессия содержит

178 Гл. III. Модулярные формы
простое число; таким образом, большое множество простых чи-
чисел— это множество, которое удовлетворяет (ослабленной) теореме
Дирихле. Большим множеством характеров % мы будем называть
объединение всех нетривиальных характеров % по модулю т,
когда т пробегает некоторое большое множество.
Пусть С =4=1. Для любого характера х с кондуктором т
положим
C-38>
т
гДе ё(%) = 2 %(j)e2ni^N — гауссова сумма. Пусть функция f (z)
имеет ^-разложение / (г) = 2 апЦп> Я = e2niz, такое, что | ап | = О (пс).
Определим Lf(s) формулой C.33) и A(s) формулой C.36). Пусть,
кроме того,
s)=2l(«)апп;
п~\ (О.ОУ/
Л (х, s) = (т VN/2n)sГ (s) L, (X, s).
со
Теорема Вейля. Предположим, что q-разложение f(z)— 2 апЯп,
гс=0
^ = ^2Л1'2, таково, что \ап\ = 0(пс), c?R. Допустим, что для С = 1
или —1 функция A(s), определенная формулой C.36), обладает
следующими свойствами: а) функция A(s) + ao(l/s + C/(k—s)) про-
продолжается до целой функции, ограниченной на каждой вертикаль-
вертикальной полосе в комплексной плоскости; Ь) выполнено функциональ-
функциональное уравнение A(s) = CA(k — s). Предположим далее, что для
большого множества характеров % (в смысле, объясненном выше)
функция Л(%, s), определенная формулой C.39), продолжается до
целой функции, ограниченной на каждой вертикальной полосе и
удовлетворяющей функциональному уравнению А (%, s) =
СХЛ(%, k — s), где Сх определено формулой C.38).
Тогда f?Mk(N, %0) и f удовлетворяет C.34). Если, кроме
того, Lf(s) сходится абсолютно при Res>&—е для некоторого
8 > 0, то f—параболическая форма.
Можно показать, что L-функции Хассе—Вейля эллиптических
кривых, изучавшиеся в гл. II, удовлетворяют условиям теоремы
Вейля (с Хо= !)• Это доказывается так же, как и теорема в § II.5.
Нужно только рассматривать все ряды, получающиеся из L-ряда
Гекке (E.6), гл. II) заменой %пA) на характер %пA)%{Ш), где
%—произвольный характер по модулю т, как в теореме Вейля.
Например, сделав это для L(EU s), где Ег—эллиптическая кри-
кривая у2 = х3—х} мы можем заключить на основании теоремы Вейля,

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 179
что функция
fEi(z) = q — 2q* — 3q9 + 6q13-\-2q11 + 2 bmqm C.40)
m>25
(см. E.4), гл. II) является параболической формой веса 2 отно-
относительно Го C2).
Образуем ^-разложение, отвечающее L-ряду кривой Еп:
у2 = х3 — п2х\ а именно, пусть fEn (г) = 22С« (m)bmqm- Оказывается,
что fEn ? М2 (Го C2п2)) для нечетного я и /б^^^оСИ) Для
четного п. Заметим, что в случае, когда n=lmod4, так что
%п — характер с кондуктором л, это, по предложению 17 (Ь), не-
немедленно следует из того, что fEl ? М2 (Го C2)).
Можно доказать более общее утверждение. А именно, можно
доказать, что L-функция Хассе —Вейля любой эллиптической
кривой с комплексным умножением удовлетворяет условиям тео-
теоремы Вейля при k = 2 и, значит, отвечает модулярной (на самом
деле параболической) форме веса 2 относительно Го (N) (где
N—так называемый кондуктор эллиптической кривой).
Известно, что многие эллиптические кривые, не имеющие
комплексного умножения, также обладают этим свойством. Та-
нияма и Вейль высказали гипотезу, что L-функция любой эллип-
эллиптической кривой, определенной над рациональными числами, удов-
удовлетворяет условиям теоремы Вейля для некоторого N. Параболи-
Параболические формы веса 2 геометрически можно рассматривать как
голоморфные_дифференциальные формы на римановой поверхно-
поверхности T0(N)\H (т. е. на фундаментальной области с отождествлен-
отождествленными Го (^-эквивалентными граничными точками и с присоеди-
присоединенными параболическими точками). Тогда можно показать, что
гипотеза Таниямы—Вейля звучит следующим образом: любая
эллиптическая кривая над Q есть фактор якобиана некоторой
такой римановой поверхности.
Дальнейшую информацию о соответствии между модулярными
формами и рядами Дирихле можно найти в работах [Неске 1981]*
[Weil 1967], [Ogg 1969] и [Shimura 1971].
ЗАДАЧИ
1. Пусть a?GL+(Q), и пусть g{z) = f(az). Пусть у=(п rf)€r- Напомним,
что функцию f(az)\[y]k мы определяем как (caz-{-d)~R f (yaz). Это не
то же самое, что g (z) | fv]% = (c2 + rf)"A:/ (ayz). Покажите, что если
a==(n ib т* е* если az = nz, то g(z)\[y]k = f(az)\laya'1]k
\1 а пЬ\ 1
= f (nZ) III , л •
L \ с'п " / J k
2. Пусть Г' —конгруэнц-подгруппа уровня N группы Г, и пусть Г^ = {у
?Г' | ys = s] для s?Q(J{°°}. Пусть 5 = а-]оо, а^Г,

Гл. III. Модулярные формы
(a) Докажите, что аТ'8а~1 = (аГ'а-1HО.
(b) Докажите, что существует единственное целое положительное число h
(оно называется индексом ветвления подгруппы Г' в точке s), такое, что
(i) если — /?Г", то
(ii) если —/ ф Г', то либо
Г; = а-ЧГ*»}пб2а, (Па)
либо
. (ПЬ)
Покажите, что /i делит TV.
(c) Покажите, что целое число h и тип (I, Па или ПЬ) точки s не зави-
зависят от выбора элемента а?Г, для которого s = a~1oo; покажите, что они
зависят только от класса Г'-эквивалентности точки s.
(d) Предположим, что a~Yoo имеет тип I или Па, и пусть /?М&(Г').
Покажите, что тогда /lla]^ раскладывается в ряд Фурье по степеням
величины qh. Параболическая точка подгруппы Г' называется регулярной,
если она имеет тип I или Па, и иррегулярной, если она имеет тип ПЬ.
(e) Предположим, что а»}—иррегулярная особая точка, и пусть
/gM/j(r"). Покажите, что тогда /ifa]^ раскладывается в ряд Фурье
по степеням переменной q2h, причем в этом разложении встречаются
только нечетные степени, если k нечетно, и только четные степени, если k
четно. Заметим, что в случае нечетного k это означает, что при доказа-
доказательстве того, что /?М#(Г") — параболическая форма, необходимо иссле-
исследовать ^-разложения только в регулярных параболических точках.
3. Пусть h — любое положительное целое число, и пусть число N^4 таково,
что 2h | iV, Обозначим через Г" следующую конгруэнц-подгруппу уровня N:
Г" = < ( //) ^ ( о 1 ) шо(* ^ для некотоРого / \ • Покажите, что
оо является параболической точкой типа ПЬ.
4. (а) Покажите, что параболические точки групп Гх (N) и Го (N) совпадают
при N = 3, 4.
(Ь) Заметим, что — /?Гх(ЛО при N > 2. Имеют ли группы Гх C) и Гх D)
иррегулярные параболические точки, и если да, то какие?
5. Найдите индексы ветвления группы Г' во всех параболических точках
в случаях, когда
(a) Г' = Г0(р) {р — простое число);
(b) Г = Г0(^);
(c) Г' = ГB).
6. Докажите, что если Г'd Г —нормальная подгруппа, то все параболиче-
параболические точки имеют один и тот же индекс ветвления, равный [Т^ : ±Г^].
7. (а) Покажите, что любая модулярная форма веса нуль относительно
Г'сГ служит корнем полинома степени [Г : V] с коэффициентами в поле
С (/) модулярных функций веса нуль относительно Г.
(Ь) Пусть Г' — нормальная подгруппа. Покажите, что если f (z) Г'-инва-
риантна, то такова же / (az) для любого а?Г. Покажите далее, что поле
модулярных функций веса нуль относительно Г' является расширением
Галуа поля ©(/), причем группа Галуа этого расширения есть фактор-
факторгруппа группы Г/Г". В практически важных случаях (например, в случае,
когда Г' — конгруэнц-подгруппа) оказывается, что группа Галуа совпадает
с Г/Г.
8. Используя разложения в степенные ряды и в произведения, зависящие от
переменной q^emizy докажите следующие тождества (они будут полезны
в задачах ниже и в следующем параграфе):

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 181
(a) 0
(b) t
(c) Ek (z) — (\ -\-pn~]
p — простое число);
нечетные
п > О
(d) ?2(г)-3?2Bг) + 2?2D2)=-1 (^Е2 (г)
9. Пусть k — четное число, и пусть f (z) имеет период 1 и удовлетворяет
уравнению / (— 1/4г) = (—4z2)kl2f(z). Докажите, что тогда / | [y]k = f для
всех у^Г0 D).
10. (а) Докажите, что rf Dz)/r]4 Bг)?М2 (Го D)), и найдите значения этой
формы во всех параболических точках.
(b) Пусть agz. Докажите, что Е2 (ST~aSz) = {az-\-\J E2 (z) — (аг + 1).
def 1
(c) Пусть F(z)=—<n(E2(z) — 3E2Bz) + 2E2Dz))= \ o1(n)qn (см.
нечетные
п > О
задачу 8 (с)). Докажите, что F (г)?М2 (Го D)), и найдите значения этой
формы во всех параболических точках.
(d) Докажите, что F (z) =rf Dz)/rf Bz). Выведите отсюда тождество
00
/2=1 нечетные
п>0
(e) Снова убедитесь в том, что функция —24F (z)=-^(E2(z) — ?2(г + 1/2))
z
лежит в М2(Г0D)), доказав, что верно следующее, более общее утвержде-
N - 1
ние: функция Е2 (z) jt ^ E2 (z + j/N) лежит в M2(T0(N2)).
/ = о
11. (а) Докажите, что в (гL^М2 (Го D)), и найдите значения этой формы во
всех параболических точках.
(b) Покажите, что функции 0 (гL и F (z) (см. предыдущую задачу) линейно
независимы.
(c) Докажите, что ц20 Bz)/r\8 (г) rf Dz)gM2 (Го D)), и найдите значения этой
формы во всех параболических точках.
(d) Докажите, что в (г) = т\ъ Bz)/rf (г) rf Dг).
(e) Докажите, что в (z)=e~2ni/2*r\2 ( г+-^ )/т| Bг).
12. Пусть N = 7 или 23, и пусть k = 24/(N ~\-1). Определим характер % с по-
помощью символа Лежандра Х(Л) = ("Т7) • Докажите, что любой ненулевой
элемент из Sk(N, %) имеет вид с (r\ (z) r\ (Л^г))л, где с—константа.
13. Используя предложения 25—27, докажите, что (r\ (z) r\ Cz)N?S6 (Го C)) и
что (г](г)г]Gг)K€5зG, X), где

182 Гл. III. Модулярные формы
14. Пусть фB)= 2 етгп2 = В B/2). Обозначим через % единственный нетри-
виальный характер группы ®B)/ГB), имеющей два элемента. Покажите,
что Ф4?М2(®B), х).
15. Пусть f?Mk(N, х), и пусть ^N( ~"
(a) Докажите, что f\ [<x>N]k?Mk (N, х) и что отображение /н-» / |
задает изоморфизм векторных пространств М^ (N, х) и М^ (N, %). Дока-
Докажите, что композиция двух таких отображений, первого—из M#GV, x)
в Mk(N,%) и второго — из Mk (N, х) в М# (N, х), равна отображению
/н->(—1)*/ пространства Mk(N, %) в себя.
(b) Предположим, что % = %, т. е. что значениями характера % могут быть
только ±1. Докажите, что тогда Mk (N, х) = М? (N, %) 0MjT (N, x), где
def
М* (N> X) = {f€Mk(N> X)\ f\[^N]k=±l~kf}- Другими словами, любая
модулярная форма из Mk(N, %) может быть записана в виде суммы двух
форм, первая из которых инвариантна относительно t* [^N\ky a вторая ме-
меняет знак при этом отображении.
(c) Пусть N = 4. Ниже, в задаче 17 (d), мы увидим, что функции в4 и F
порождают пространство М2 (Го D)) = М2 D, 1) /здесь F= V ог (п) qn,
\ нечетные п
как в задаче 10, а 1 в М2 D, 1) обозначает тривиальный характер J . Пред-
Предположив, что это уже доказано, найдите матрицу отображения [а4]2 в ба-
базисе, состоящем из функций G4 и F; покажите, что пространства М? D, 1)
и Мг~ D, 1) одномерны; найдите базис в М2 (Го D)), состоящий из собствен-
собственных векторов отображения [а4]2. Можно нормализовать эти собственные
векторы требованием, чтобы коэффициент при q в их ^-разложении был
равен 1; тогда они определены однозначно.
16. (а) Пусть /г^ 2 —четное число, и пусть f(z)= ^-Ek=
+ 2 o*fc-i (n)Qn- Выразите Lj(s) (см. C.33)) через риманову дзета-функцию.
(b) Выпишите эйлерово произведение для Lf(s).
00
(c) Пусть fx (z)= 2 Gk-i (n)l(n) Я-п Для некоторого характера Дирихле %.
л=1
Выпишите эйлерово произведение для L* (s).
л
17. Пусть F B) — фундаментальная область группы Г B), построенная в § 1
(см. рис. III.3). Тогда F'=aFB), где «=B о)' есть ФУнДаментальная
область группы Го D) = аГ B) а -г (см. задачу 10, § III.1). Граница обла-
области F' состоит из двух вертикальных линий, идущих от точек (—3 + *"|/1з)/4
и (l+f }/ )/4 к бесконечности; двух дуг окружностей радиуса 1/2, центр
одной находится в точке —1/2, а другой — в точке 0; дуги окружно-
окружности радиуса 1/6 с центром в точке 1/6, которая соединяет точки 0 и
(Э + ^'^З)^, и дуги окружности радиуса 1/10 с центром в точке 4/10,
соединяющей точки (9 + t V^3 )/28 и 1/2. Будем отождествлять Го ^-экви-
^-эквивалентные точки на границе области F'.

§ 3. Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп 183
(a) Найдите все эллиптические точки в F' (т. е. точки, Г-эквивалентные
точкам / и со = (—1 —{— / Уз )/2). Какие из них лежат на границе, а какие —
внутри области Р?
(b) Пусть f (z) — ненулевая модулярная функция веса k {k^%—четное
число) относительно Г0D). Обозначим через vp(f) порядок нуля или по-
полюса функции f (г) в точке Р. Если Р = а оо — параболическая точка,
то через vp (/) обозначим номер первого ненулевого коэффициента в раз-
разложении Фурье функции /Ка]^ по переменной qh (здесь h — индекс
ветвления; см. задачу 2 выше). Докажите, что 2 vp(f) = k/2, где сум-
ре F'
мирование ведется по всем точкам фундаментальной области F', включая
три параболические точки, но из каждого множества Го D)-эквивалентных
I \ 3 . • 1 , • \ / 3 . УЗ
граничных точек (например, <—Т~Н#» "Т + ^г или \ — T"bi~T~>
1 . .УЗ 9 . .УЗ{\ ^
___|_г__, __j_f__v i берется только одна.
(c) Опишите нули функций в (гL и F (г) (см. задачи 10—11 выше).
(d) Докажите, что в4 и F порождают Л42 (Го D)).
(e) Докажите, что пространство М^ (Го D)) тривиально при k < 0 и содер-
содержит только константы при & = 0.
(f) Пусть k = 2k0 — неотрицательное четное число. Докажите, что любая
функция /?Affc(roD)) может быть записана в виде однородного полинома
степени k0 от F и G4.
(g) Докажите, что пространство SQ (Го D)) одномерно и порождено формой
в8/7 —1664F2.
(h) Докажите, что т]12 Bг) Ф S6 (Го B)), но т]12 Bг) gS6 (Го D)). Выведите
отсюда, что г]12 Bz) = 68F— 1664/72.
(i) Пусть ^ = 2/го^6. Докажите, что любая функция /€5ИГ0D)) может
быть записана в виде однородного полинома степени k0 от F и G4, деля-
делящегося на e4FF4—16F).
(а) Пусть f^Mkl(N, %{) и g?Mk2(N, %2). Покажите, что
?M(N )
?kx+k2( XX)
(b) Пусть %~~ единственный нетривиальный характер группы (Z/4Z)*.
Покажите, что любой элемент из Ali D, ^) имеет вид сб2, где с—кон-
с—константа.
(c) Пусть % — характер из пункта (Ь). Найдите формулу для dimS/г A*1D))==
diSD *
fe(, x)
(d) Пусть / (г) = (г| (г) г\ Bг))8, и пусть g B) =/ Bг). Покажите, что простран-
пространство S8 (Г1 D)) порождено функциями / и g. _
19. Пусть Г' cz Г —конгруэнц-подгруппа, и пусть Г= \JajT'— разложение на
непересекающиеся смежные классы; тогда F' — [Jocf1!? — фундаментальная
область для Г'. Для каждой функции f?Mk(T') положим /у=/| [ау]^.
00
Предположим, что f^Sk(Tf), так что //(г) = 2 ап, jQh » Где ^/~~ инДекс
/2=1 У'
ветвления подгруппы Г' в параболической точке sy- = a/oo. В частности,
00
f(z)= 2 а-Й в параболической точке оо.
п=1
(а) Покажите, что существует константа С, не зависящая от / и я, та-
такая, что
I /у (* + iy) I < Се~2Лу/Н; при у > е.

184 Гл. III. Модулярные формы
(b) Пусть g (z) = (Im zf2 | / (z) |. Покажите, что g (yz) = (Im z)k/2 \f(z)\ [y]k |,
где у?Г.
def
(c) Покажите, что функция gj (г) = (Im z)k{2 \ fj (z) | ограничена в области F%
(d) Покажите, что g(z) ограничена в области F'.
(e) Покажите, что g(z) ограничена в Н.
(f) Покажите, что для любого фиксированного у выполнено равенство
h
о
(g) Покажите, что существует константа Сь такая, что для всех у спра-
справедливо неравенство
(h) Взяв у — \\п в пункте (g), покажите, что
2, где С2 = С
(i) Покажите, что подобным же образом ограничены последовательности
\пп> j\n"k^2 для каждого /.
§ 4. Закон преобразования для тэта-функции
Сперва введем некоторые обозначения. Пусть d—нечетное,
с—произвольное целое число. Символ квадратичного вычета
-jj определен стандартным способом, когда d—(положительное)
простое число: он равен 0, если d\c\ 1, если с есть ненулевой
квадратичный вычет по модулю d, и —1 в остальных случаях.
Распространим это определение на случай произвольных нечет-
нечетных d следующим образом. Прежде всего, если Н.О.Д. (с, d)> 1,
то всегда f ^-J = 0. Далее, если d положительно, то запишем d
в виде произведения (не обязательно различных) простых чисел,
d = IJ/?y, и положим (~ ) = JJ f~j . Еслий = + 1 и с— 0, при-
примем соглашение, что Г—-Н = 1. Наконец, если d отрицательно, то
положим ^^ = (^-~jt когда с > 0, и ^j= — (jjy) , когда
Легко проверить, что этот символ квадратичного вычета би-
мультипликативен, т. е. что он мультипликативен по с при фик-
фиксированном d и по d при фиксированном с. Кроме того, если d по-
положительно, то он периодичен по с с периодом d:
при d > 0. Однако нужно соблюдать осторожность, поскольку
периодичность теряется в случае, когда d отрицательно, а с я
€ + d имеют разные знаки: (c—j- J = — (~ J при с > 0 > с + d.

§ 4. Закон преобразования для тэта-функции 185
Это происходит из-за нашего соглашения о том, что( -j ) = — ( ТТГ )г
если end отрицательны. С другой стороны, это соглашение обес-
обеспечивает нам то, что обычная формула fzl\ = {—iyd-iy2 остается
справедливой и при отрицательных йЛ '
Под Vz при z?C мы всегда будем подразумевать ту ветвь,
аргумент которой лежит в интервале (—я/2, я/2]. Определим,
далее, величину ed для нечетных d формулой erf = у (^j), т. е*
1, если d= I mod 4,
. Л О АЛ D-1)
I, если d = 3mod4. v '
С этими обозначениями определим, наконец, множитель авто-
автоморфности j (y, z), зависящий от у == ( ) g Го D) и 2 ё И:
7) «г I^Td, где у = (^ J) € Г, D), z € Я. D.2)
Напомним наше определение тэта-функции: в (z) = 2 ?"' ^
Цель этого параграфа заключается в доказательстве (по [Не-
ске 1944]) следующей теоремы.
Теорема. Пусть у б Го D) и z?H. Тогда
в(Т2)«/(т, *)в(г), D.3)
где / (y, 2:) определено формулой D.2).
Возведем это равенство в квадрат и заметим, что квадрат вели-
величины /(y, z) равен (-g-J^z + d). Тем самым квадрат равенства
D.3) составляет содержание уже доказанного нами предложе-
предложения 30. Таким образом, при фиксированном Y€roD) отношение
левой части равенства D.3) к правой есть голоморфная функция
от 2^Я, квадрат которой тождественно равен 1. Значит, само
отношение равно ±1. В теореме утверждается, что / (y, z) вы-
выбрано правильно, т. е. так, что это отношение равно +1.
Как ни просто звучит это утверждение, его доказательство
отнюдь не тривиально. На первый взгляд может показаться, что
его нужно доказывать так же, как предложение 30, а именно
проверять справедливость равенства D.3) для образующих группы
Г0D). Однако тогда пришлось бы доказывать, что если равен-
равенство D.3) выполнено для Yi и Для ?2» то оно выполнено и для
» т- е- чт0 / (У> z) имеет определенное мультипликативное свой-

186 Гл. III. Модулярные формы
ство. Было бы довольно сложно доказывать это непосредственно.
В действительности мы выведем это свойство величины / (у, z)
в качестве следствия из теоремы (см. задачу 3 в конце этого
параграфа).
При доказательстве теоремы оказывается более удобным рабо-
def
тать с функцией ф (z) = в {г 12) = 2и enin*z\ мы уже встречались
с ней в задаче 14, § II 1.3. Эта функция удовлетворяет очевид-
очевидному уравнению (p(T2z) = (p(z), вытекающему из ее определения,
и уравнению q>(Sz) = V—izq>(z), немедленно следующему из C.4).
Значит, при работе с функцией ф можно использовать группу
@B), порожденную элементами S и Г2. Это большая группа —
она имеет индекс 3 в Г — и именно поэтому иногда бывает удоб-
удобнее работать с ф, а не с в. Соответствующая группа, связанная
с в (г) = ф (аг) (где а = (q j jj , есть а® B) а (см. задачу 1,
§ II 1.3). Но группа а® B) а не содержится в группе T = SL2(Z)\
ее пересечение с Г есть подгруппа Г0D), имеющая индекс 6 в Г.
Таким образом, работая с Ф(г), а не с 6(z), мы получаем воз-
возможность использовать большую подгруппу (т. е. подгруппу мень-
меньшего индекса) группы Г. В следующей лемме дана переформули-
переформулировка теоремы в терминах функции ф(г).
Лемма 1. Теорема будет доказана, если мы докажем, что для
функции ф (z) справедлив следующий закон преобразования:
ф (уг) = /A-0/2 ^ \Г—Цсг + О)ч (г) D.4)
для элементов у G Г, таких, чтоу = (а ,/) — ( i q) (moc'^y nPu'
чем с1фО.
Доказательство. Предположим, что мы знаем закон преобра-
преобразования функции ф(г). Мы должны показать, что в удовлетво-
удовлетворяет D.3) для всех у = Га л)^Г0 D). Заметим сперва, что при
с = 0 равенство D.3) очевидно, поскольку в этом случае ®(yz) =
= ®(z), a j (у, z) = Ea1Vd=l (так как d = ±l). Поэтому в даль-
дальнейшем мы будем считать, что сфО.
Для любого у = ( ,)?Г0D), для которого сфО, запишем
где Т/==(^ —%) и У'^[ 1 о)^тос^^' Так как ^1С" Приме-

§ 4. Закон преобразования для тэта-функции 187
ним равенство D.4) с у' вместо у и (—l/2z) вместо z. Используя
то, что (Z5^) = (х) (т) ' П0ЛУчаем
=?) f^-l V-i(d(-l/2z)-c/2)V(-l/2z).
Далее, в соответствии с C.4) имеем ф(—l/2z.) = 6(—1/4г) =*
=)/"—2izQ(z). Произведение двух квадратных корней равна
±Vcz+ d (заметим, что У' хУ~у = ±:Уху вследствие нашего согла-
соглашения о ветви квадратного корня; например, У—1 У—1 = —У !)•
Но, поскольку все три функции У—i(d(—l/2z)—с/2), У—2iz9
У cz + d голоморфны в Я, знак ± должен быть одним и тем же
для всех г\ поэтому достаточно найти его хотя бы для одного
значения переменной- г, например для z = i. Но в этом случае
У—2iz =--}/ 2 и равенство УxV y= +Уху справедливо при любом
вещественном положительном у. Таким образом, произведение двух
квадратных корней равно У cz + d, и мы получаем, что
Чтобы завершить доказательство леммы 1, остается проверить,
— J =-. е^1; это легко делается перебором случаев
d=l, 3, 5, 7 (mod8). Q
Остаток этого параграфа посвящен доказательству равенст-
равенства D.4).
Фиксируем нечетное простое число р и обозначим
Ъ(г) = хГ(г)/1\(рг), D.5)
где r\(z) есть эта-функция Дедекинда, встречавшаяся нам в § 2
и 3. В соответствии с предложениями 26—27 имеем i|)8?
fiH3(P.i)/2 р, \ ))' т' е' ^3 есть м°ДУляРная форма относи-
относительно Го(/?) с характером %(d) = (—). Это замечание послу-
послужит основой доказательства равенства D.4). Нам потребуется
несколько лемм, чтобы связать г^3 и ф.
Лемма 2.
Доказательство. Используя задачу 11(е) предыдущего пара-
параграфа с г/2 и pz/2 вместо г, мы находим, что левая часть равен-

188 Гл. III. Модулярные формы
ства D.6) равна
НО, ПОСКОЛЬКУ Г}BГ+ l) = ^2m/24TlB:) И /7 «2Г + 1)/2) = (/7Z + 1)/2 +
4- (р-—1)/2, мы заключаем, что последний член в правой части
равен е~(р~1JЯ*/24. Это доказывает D.6). П
Лемма 3. Пусть р — нечетное простое число, пусть у =
()®B)nr°^)> и пУсть fW^r^)- Тогда
Доказательство. Пусть а = ( q 2 ) » так что "Ф ((z + 0/2) =
= г|)(а2:). Тогда г|)((у;г+ 1)/2) = \|}(ауг) = \|)((ауа")а2:). Далее, если
Y — матрица, такая, как в условии леммы, то
(Заметим, что b + d—а — с делится на 2, так как y€®B).) Сле-
Следовательно, по предложениям 26—27, имеем
г|K (Щ^-) = (^) Bcaz + d—б'K ^)/2 г|K (аг)
(в последнем равенстве использовано, что d—CE==d(mod /?)). Это
и есть утверждение леммы. ?
Лемма 4. Пусть р—нечетное простое число, пусть у = ( ,
B) П Го (/?), и пусть г(г) = ф(/?2)/ф*(г). ^ог^а g| [v](i-P)/2 =
Доказательство. Прежде всего мы утверждаем, что g"8 преобра-
преобразуется тривиальным образом под действием матрицы у. Пусть
а===(о 1у' и ПУСТЬ Т/ = а7а. Тогда обе матрицы, и у, и у'
лежат в ©B); используя задачу 14 предыдущего параграфа, мы
можем вычислить, что
ё* (г) I [?]4 а-р)
s v h

§ 4. Закон преобразования для тэта-функции
как и утверждалось. В то же время преобразование девятой сте-
/ d \
пени функции g относительно у сводится к умножению на ( — ] .
Действительно, возводя обе части равенства D.6) в девятую сте-
степень и используя предложения 26—27 и лемму 3, получаем (здесь
функция f(z)—такая же, как в лемме 3):
( d\
Взяв отношение этих двух равенств, получаем
i-P) = (j)g- ?
В следующей лемме мы обобщаем лемму 4, заменяя простое
число р из условия леммы на произвольное положительное нечет-
нечетное число п.
Лемма 5. Пусть п—положительное нечетное число, пусть
* € ® B) П Го (п), и пусть g{z) = <p{m)/<pn (z). Тогда
Доказательство. Запишем число п в виде произведения (не
обязательно различных) простых чисел, п — рх ... рг, и применим
индукцию по числу г простых множителей. В лемме 4 доказан
случай г=1. Предположим, что лемма 5 доказана для п\ дока-
докажем соответствующее равенство для числа п' = я/7, в разложении
которого содержится г + 1 простых множителей. Напишем
Ф(г) ф»(агДф*B)/ '
где а*=({| J). Если Y = (^ J) € roK) П ® B), то у^ауа-
\ л )€ Г0(я) П ® B), и по предположению индукции
\с/р а )
<р (nayz)f<pn {ayz) = ф (пт'аг)/фи (y'dz)
= f -j) (cz + d)<x -")/2ф (паг)/фи (az).

190 Гл. III. Модулярные формы
Кроме того, по лемме 4 имеем
"P)/2
Собирая вместе эти два соотношения, мы видим, что замена точки
z на yz в D.7) приводит к умножению на величину
Y
Это доказывает шаг индукции, а вместе с ним и лемму. ?
Теперь мы готовы к доказательству равенства D.4). Заметим
сперва, что обе части равенства не меняются при замене матрицы
7 на —у (см. задачу 2 ниже). Следовательно, без потери общно-
/а Ь\ /0 1\ Jo
сти мы можем предположить, что у = I «) = ( ) mod 2,
причем с > 0.
Применяя теперь лемму 5, в которой вместо п стоит положи-
положительное нечетное число с, получаем
)»-^. D.8)
В конечном счете нас интересует отношение ФG2)/ф(г). Выделяя
его из D.8), запишем
(?) ?М, D.9)
\ Ф (*) У V ^ У V ^ Ф (сг)
С другой стороны, имеем (используя то, что ad—l = bc):
az + b 1
' cz -f- d cz-\-d
Поскольку а—четное число и ф имеет период 2, мы заключаем,
что
D.10)
Собирая D.9) и D.10), получаем
V- D.11)
В то же время в задаче 14 предыдущего параграфа мы видели,
что функция ф8 инвариантна относительно [у]4 для у б © B). Иными

§ 4. Закон преобразования для тэта-функции 191
словами,
{^y для любого *€Z. D.12)
Возведем теперь обе части равенства D.11) в степень с и разделим
на равенство D.12), в котором k подобрано так, что c2 = 8k+ 1
(так как с нечетно, то, конечно, с2 = 1 mod 8). В результате по-
получим
«-**(— ? (cz + d))«-u/« К—
Но с (с—1)/2 —4ft + (с—1)/2 = (с2—1)/2 — 4ft = 0. Следовательно,
Это и есть закон преобразования D.4), который мы хотели дока-
доказать. Это завершает также и доказательство основной теоремы. ?
Если в законе преобразования модулярных форм веса ft мы
положим ft= 1/2, то получим формулу, напоминающую закон пре-
преобразования тэта-функции. Действительно, за исключением степени
числа i, множитель автоморфности равен (cz + dI/2. В следующей
главе мы увидим, что имеется общая теория модулярных форм,
вес которых равен полуцелому числу; закон преобразования для
B(z) играет фундаментальную роль в описании таких функций.
ЗАДАЧИ
1. Докажите, что обобщенный символ квадратичного вычета ( -г ) » опреде-
определенный в этом параграфе, удовлетворяет следующей форме квадратичного
закона взаимности: если с и d — целые нечетные числа, то
(—\)(c-D(d-i)/* | — J , когда с или d положительно,
±\ , когда cud отрицательны.
2. Покажите непосредственно, что обе части равенства D.4) не меняются при
замене матрицы у на — у.
3. (а) Используя C.4), дайте прямое доказательство того, что теорема D.3)
выполнена для образующих —/, Т и ST-*S группы Го D).
(b) Покажите, что эта теорема следовала бы из пункта (а), если бы мы до-
доказали, что
/(ар, z) = /(a, N/(P, г) для всех а, Р€Г0D). D.13)
(c) Обратно, покажите, что из теоремы, доказанной в этом параграфе, сле-
следует соотношение D.13).

192 Гл. III. Модулярные формы
§ 5. Модулярная интерпретация
и операторы Гекке
Основным свойством модулярных форм является то, что их
можно интерпретировать как функции решеток. Точнее говоря,
рассмотрим следующие наиболее важные случаи конгруэнц-под-
групп Г': Г' = Г, 1\(А0, T0{N) или T(N). (Конечно же, Г =
= Г1A)=Г0A) = ГA), и поэтому все, что известно о случаях Г'=
= T1(N)J T0(N) или Г (Л/"), можно применить и к случаю Г' = Г,
положив N = 1.) Модулярной точкой относительно Г' называется:
(i) в случае Г' = Г — решетка LczC;
(ii) в случае Г' = I\ (N) — пара (L, t), где L — решетка в С, а
t^C/L — точка точного порядка N\
(Hi) в случае Г'= Г0(А^) —пара (L, S), где L—решетка в С, а
SczC/L—циклическая подгруппа порядка N, т. е. S = Zt,rj\e
t^C/L — некоторая точка точного порядка N.
(iv) в случае Г' = Г(Л0— пара (L, {tl4 t2})9 где точки tl9 t2?C/L
таковы, что любая точка t^-jj-L/L имеет вид t = mt1 + nt2;
другими словами, tx и t2 образуют базис в пространстве точек
порядка N (в частности, точный порядок точек tx и t2 должен
быть равен N).
С каждой решеткой L можно, вообще говоря, связать несколько
модулярных точек вида (L, t), (L, S) или (L, [tl9 t2}). Однако при
Л^ = 1 с каждой решеткой L связана только одна модулярная точка,
и мы отождествляем ее с модулярной точкой L относительно Г.
Пусть k?Z. В каждом случае (i) — (iv) рассмотрим комплекс-
нозначные функции F на множестве модулярных точек, имеющие
вес k в следующем смысле: при умножении модулярной точки на
ненулевое комплексное число X значение функции F должно умно-
умножаться на %~k. Иными словами, возьмем А,?С* и рассмотрим ре-
решетку XL={M\l?L}9 M?C/IL, lS={lt\teS}czC/KL. По опре-
определению, функция F есть функция веса k, если для всех А,?С*
в случае (i): F (KL) = 'k~kF(L) для всех модулярных точек L;
в случае (ii): F(XLi Xt) = 'k~kF(L1 t) для всех модулярных точек
(L, 0;
в случае (Hi): F (XL, XS) = A, kF (L9 S) для всех модулярных точек
(L% S);
в случае (iv): F(kL, {Ml9 W2}) = 'k'kF(LJ [tit t2}) для всех моду-
модулярных точек (L, {tl9 t2}).
Вот пример функции веса k\
G*(L)= 2 l~k (k>2—четное число). F.1)

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 193
Заметим, что если дана функция F для случая (i), такая, как Gk%
то по ней автоматически строится функция для остальных случаев;
например, для случая (ii) нужно положить F(Ly t) = F(L).
С каждой функцией F веса k свяжем две функции F и / сле-
следующим образом: F(co) есть комплекснозначная функция вектор-
столбца ® = ( 1\ такого, что (pi/cog 6 Я; / (г) есть функция на
верхней полуплоскости Н. Пусть L^ — решетка с базисом {(ol5 @2}>
и пусть Lz — решетка с базисом {г, 1}. Для функции F, такой
как выше, определим
в случае (i): f (co) = F(LQ);
в случае (ii): F^((a) = F(L(ii9 oyW);
в случае (Hi): F(co) = /:1(LO,, Zco2/jV);
в случае (iv): ^(o) — /7^, {щ/N, aJN}).
Во всех случаях положим f(z) = F( j ). Например, функция/ (г),
отвечающая Gk(L) (см. E.1)), есть ряд Эйзенштейна, который мы
обозначили через Gk(z) в § 2 (см. B.5)).
Пусть У = (с ^y€r = SL2(Z). Зададим действие матрицы у
на функцию вектора о формулой yF((o) = F(yo)), где уо — обычное
произведение матрицы на вектор-столбец.
Предложение 31. Пусть &?Z, и пусть Г' = Г, T1(N), T0(N)
или Г (N). Сопоставление функции F функций F и f задает вза-
взаимно однозначное соответствие между следующими множествами
комплекснозначных функций:
A) множеством функций F веса k от модулярных точек;
B) множеством таких функций F от вектор-столбцов о, кото-
которые инвариантны относительно преобразований у € Г' и удовлет-
удовлетворяют уравнению F (Хо) = *k~kF (о);
C) множеством функций f на Я, инвариантных относительно
[y]k, где y€ Г'.
Доказательство. Мы разберем только случай (ii), оставив осталь-
остальные случаи в качестве упражнений. Предположим, что y^iT1(N)
и F—функция веса k от модулярных точек (L, t). Используя то,
что La(Ol+b(i>2, c(ul+rfco2 = Leo,. <о2 (так как у € Г), и то, что (сщ d#
^ @2/iV mod L (так как у?Тг (N)), вычислим
Кроме того, имеем

194 Гл. III. Модулярные формы
Далее, так как F имеет вес k, то
п f т 1 \ / I j\b п ( т czJrd\
= t L(az + b)/( + d) -77 ) = {сг+а)*Г I Laz + b cz + d —тт—
Но решетка с базисом {az + b, cz + d] совпадает с Lz, и (cz + d)/N =a
== 1/Л/" mod Lz\ следовательно,
/ (yz) = (cz + d)kF (LZJ \/N) = (cz + d)kf (z).
Таким образом, функции F и /, соответствующие F, имеют тре-
требуемые свойства.
Построим теперь обратное отображение. Функции / сопоста-
сопоставим функцию F по формуле F(a))=-(i)~kf ((oj(o2). Далее, выберем
базис со решетки L так, что gJ/7V = t (mod L). Функцию F опреде-
определим форги[улой F (L, /) = F((o). Для того чтобы это определение
имело смысл, нужно проверить, что такой базис существует и что
значение функции F не зависит от выбора такого базиса. Суще-
Существование такого базиса тривиально следует из того, что точный
порядок элемента t в C/L равен N, а независимость от выбора
базиса очевидна, так как любой другой такой базис имеет вид уо,
где y^^iiN). Кроме того, легко проверить, что если функция /
инвариантна относительно [y]k, где y^T1(N)J то функция F инва-
инвариантна относительно у и имеет вес ky и что если функция F имеет
вес k, то этот же вес имеет отвечающая ей функция F. Ясно, что
построенные соответствия — от FkFh/hot[kF и F—вза-
F—взаимно обратны. Это завершает доказательство. ?
Мы говорим, что функция F есть модулярная функция (моду-
(модулярная форма, параболическая форма), если отвечающая ей функ-
функция / есть модулярная функция (модулярная форма, параболиче-
параболическая форма) в смысле § 3.
Обсудим теперь операторы Гекке, действующие на модуляр-
модулярные формы веса k относительно T±(N). Мы могли бы определить
их действие непосредственно на функции f{z)? Mk(T1 (N)). Однако
их определение в терминах соответствующих функций F модуляр-
модулярных точек выглядит более естественным.
Пусть 2? обозначает Q-векторное пространство формальных
конечных линейных комбинаций модулярных точек; иначе говоря,
J? =0Q?l, t — прямая сумма бесконечного числа одномерных про-
пространств, по одному для каждой пары (L, t), где L — произволь-
произвольная решетка в С, a t^C/L — произвольная точка точного порядка
N. Линейное отображение Г: J? —>J? можно задать, описав образ
TeL,t = ^anepn всех базисных элементов (здесь {Рп}—конечное
множество модулярных точек).
Для каждого положительного целого числа п определим линей-
линейное отображение Тп\ 3? —+2?. Образ базисного вектора eL, t при

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 195
отображении Тп задается формулой
Тп(еь. /H-J-]>>'•'• E.2)
где суммирование производится по всем решеткам Z/, таким, что
a) L содержится в U и имеет там индекс п\ b) (Z/, t) — модуляр-
модулярная точка (здесь мы сохраняем символ / для обозначения образа
элемента t?C/L в факторгруппе по большей решетке L'). Эти
условия означают, что L'/LaC/L—подгруппа порядка п и что
элемент t должен иметь точный порядок N как по модулю ре-
решетки L, так и по модулю решетки L'. Последнее условие экви-
эквивалентно тому, что пересечение группы V/L с группой элементов,
кратных /, тривиально. В случае N=1, т. е. когда Г' = Г, это
условие отсутствует и мы суммируем по всем решеткам Z/, таким,
что [V : L] = n. Условие на / пусто и в том случае, когда числа
п и N не имеют общего делителя. Для того чтобы убедиться
в этом, предположим, что Н.О.Д. (я, 7V) = 1 и что N't^L'/L.
Тогда порядок элемента N't делит N (так как N'Nt?L) и п
(так как #L'/L = n). Отсюда следует, что он делит и Н.О.Д.
(N, л)=1. Поэтому N4 = 0 в C/L.
Заметим, что сумма в E.2) конечна, поскольку любая решет-
решетка L', участвующая в сумме, должна содержаться в решетке
— L = < — l\l?L\ (так как порядок любого элемента из L'/L делит
п = # L'/L). Таким образом, каждая решетка L' из суммы отве-
отвечает подгруппе порядка п в группе — L/L ж (.
п
Заметим, что 7\=1—тождественное отображение.
Далее, для любого положительного целого числа п, взаимно
простого с N, определим еще одно линейное отображение
Tiun' ??-+<2; формулой
e E.3)
Заметим, что / имеет точный порядок N по модулю — L, так как
Н.О.Д. (jV, п)= 1. Мы снова используем один и тот же символ t
для обозначения элемента в C/L и соответствующего элемента
в U/ — J
п
Легко проверить, что эти операторы коммутируют друг с другом:
«l.fti ¦* n2tn2 ==: ¦* «1^2»«i^2 === п2,п2 ¦* п1}пх » * п,п ¦* m == 1 m * п, /?•
E.4)
Кроме того, хотя это и не так очевидно, операторы Тm при раз-
различных m тоже коммутируют друг с другом. Это вытекает из
следующего предложения.

196 Гл. III. Модулярные формы
Предложение 32. (а) Если Н.О.Д. (m, /z)=l, то Ттп = ТтТп\
в частности, Тт и Тп коммутируют друг с другом.
(b) Если р—простое число, делящее N, то Tpi=Tlp.
(c) Если р—простое число, не делящее N, то при /^2 спра-
справедливо равенство
ТР1 =Tpi-iTp — pTpi-2TP) p. E.5)
Доказательство, (а) Пусть V— одна из решеток, участвующих
в сумме E.2) для Ттп. Ей отвечает некоторая подгруппа S' по-
порядка тп в группе — L/L, имеющая тривиальное пересечение
с подгруппой ZtczC/L. Из того, что Н.О.Д. (т, л) = 1, следует,
что S' имеет единственную подгруппу S" порядка п. Пусть L"z)L—
решетка, отвечающая подгруппе S". Тогда S'/S"—подгруппа по-
порядка т в —L"/L". И S", и S'/S" имеют тривиальное пересечение
с Z/1). Обратно, пусть дана группа S" = L"/Lcz — L/L порядка п
и группа S' = L'/L"cz— L"/L" порядка m, и пусть эти группы
имеют тривиальное пересечение с Zt. По ним однозначно стро-
строится группа L'/Lcz—L/L порядка m/г, имеющая тривиальное пе-
пересечение с Z/. Это показывает, что в Ттп (еь, t) = — jLueLf, t и
Тт (Тп (еь, t)) ^-j^Tm (eL", t) встречаются одни и те же модуляр-
модулярные точки.
(Ь) Используя индукцию, мы видим, что достаточно показать,
что Tpi-xTp = Tpi для /^2. Пусть /' = — t. Тогда Tpi(eL,t) =
= р~1 ^еь>, t, где суммирование ведется по всем решеткам L'zdL,
таким, что группа L'/Lczp~lL/L имеет порядок рг и не содержит
V. Заметим, что группа Lf/L должна быть циклической, посколь-
поскольку в противном случае она содержала бы (/?, /?)-подгруппу груп-
группы p~lL/L. Но имеется только одна такая (/?, р)-подгруппа,
а именно — L/L, и t'^ — L/L, так как pt' = Nt?L. Раз мы зна-
знаем, что группа L'/L циклическая, мы можем рассуждать так же,
как в пункте (а). А именно, каждой решетке Z/, участвующей
в сумме для Tpi(eLtt), сопоставим единственную циклическую
подгруппу порядка р в L'/L\ соответствующая решетка L" участвует
в сумме для Tp(eL,t)i и L' — одна из решеток, участвующих в
сумме для Tpi-i(eL», t)- Это доказывает равенство из пункта (Ь).
г) Напомним, что t обозначает как элемент из C/L, так и образ этого эле-
элемента в С/L]. для любой решетки Llt содержащей L, — Прим. перев.

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 197
(с) Поскольку p\N, элемент t из C/L' всегда имеет нужный
порядок. Имеем Tpi -iTp(eL, t) = /?~'22е*л и где первая сумма
берется по всем решеткам L", таким, что порядок группы S" = L"/L
равен /?, а вторая — по всем решеткам L', таким, что порядок
группы S' = L'/L" равен р1'1. С другой стороны, Tpi(eL,t)
= р~/2^'. *» гДе сумма берется по всем решеткам Z/, таким,
что порядок группы L'/L равен рК Ясно, что любая L' во вну-
внутренней сумме для Tpi-iTp участвует в сумме для Tpi, и наобо-
наоборот. Но мы должны посчитать, сколько различных пар L", L'
в двойной сумме приводят к одной и той же Z/. Прежде всего,
если группа L'/L— циклическая, то имеется только одна возмож-
возможность для L". Но если группа L'jL не является циклической,
т.е. если L'/Lzd—L/L, to U может быть произвольной решеткой,
содержащей L, такой, что порядок группы UjL равен р. Имеется
р + 1 такая решетка (действительно, множество таких решеток
находится во взаимно однозначном соответствии с точками проек-
проективной прямой над полем из р элементов), поэтому двойная сум-
сумма для Tpi-xTp содержит р избыточных членов, равных eL\ t-
Таким образом,
Tpi(eL.t) = Tpi-iT (eL, t)— P'P~l 2 eL\ t-
L'/L
[L':
Ho
[L'l
Это завершает доказательство пункта (с). П
Пусть п = р?1 ... р? — разложение положительного целого
числа п в произведение простых сомножителей. Тогда, по предло-
предложению 32 (а), Тп = Трах ... Траг. Пункты (Ь) и (с) показывают,
что каждый Т а. есть полином от То и TD o . Отсюда и из
«у р/ РГР]
E.4) легко заключить, что все Тп коммутируют между собой.
Таким образом, операторы ТПчП (п — положительное целое число,
взаимно простое с N) и Тт (т — любое положительное число)
порождают коммутативную алгебру Ж линейных отображений
из 2 в J?; на самом деле Ж порождается операторами Тр^р
(р \N — простое число) и Тр (р—любое простое число).
Соотношения из предложения 32 можно изящно переформули-
переформулировать, привлекая формальные степенные ряды с коэффициентами
из Ж» Прежде всего, при p\N мы можем переписать пункт (Ь)

198 Гл. III. Модулярные формы _
предложения 32 следующим образом:
со
Е P\N> E-6)
т
т.е. (%Тр1Х1)A — ТрХ)=\ в SV[[X]]. Действительно, прирав-
приравнивая коэффициенты при X1, /^1, мы получаем тождества
ТР1—Tpi~tTp = 0, равносильное тождеству из пункта (Ь) предло-
предложения 32. Подобным же образом, при p\N пункт (с) предложе-
предложения 32 эквивалентен тождеству
/=0
P\N. E.7)
Действительно, умножая обе части соотношения E.7) на 1 — ТрХ
+ pTj,, p X2 и приравнивая коэффициенты при степенях перемен-
переменной X, мы видим, что E.7) эквивалентно равенствам
Перейдем к пункту (а) предложения 32. Введем новую пере-
переменную s, положив X = p~s для каждого р в равенствах E.6) и
E.7). Далее, перемножим равенства E.6) по /?, делящим N, и
E.7) по р, не делящим N:
со
всер/=0 p\N ~~ PP pJ(N ~~~ РР ' Я' РР
Но из пункта (а) предложения 32 следует, что левая часть этого
равенства равна ^Тпп~'\ где суммирование производится по всем
положительным целым числам п. Здесь нужно рассуждать так
же, как при выводе эйлерова произведения для дзета-функции
Римана; а именно, нужно использовать разложение п = р^ . . .р^г
и соотношение Tnn~s = (TpaipiaiS) ... (Tparp^arS). Следовательно*
мы .заключаем, что
-=П5 • E-8)
Пусть d—целое число, взаимно простое с N, и пусть [d]: 2? —*•
—+3?—линейное отображение, заданное на элементах базиса
формулой [d]eL, t — еь, dt- Заметим, что точный порядок элемента
dt в C/L равен Л^, так как И.О. Д. (d, N) =1. Заметим также^
что оператор [d] зависит только от вычета числа d по модулю N;
другими словами, этой формулой задается действие группы (Z/NZ)*
на 3.

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 199
Рассмотрим теперь функции F модулярных точек и соответст-
соответствующие функции f(z) на Н. Мы снова ограничимся случаем
Г'=Г1(Л^). Каждому линейному отображению Т\ J? —+ 3?, задан-
заданному на элементах базиса формулой вида Т (еь, t) = 2 апеРп^ соот-
соответствует линейное отображение (которое мы тоже обозначим
через Т) на векторном пространстве комплекснозначных функций
модулярных точек: TF(L, t) = ^anF(Pn). Например:
[d]F(L, t) = F(L, dt) (здесь Н.О.Д. (d, tf) = l);
Tn.nF{L, /) = /i"«fAl, *) (Н.О.Д. (Л, ЛО = 1); E.9)
TnF(L, 0=t
где последнее суммирование производится по всем модулярным
точкам (Z/, t), таким, что [L':L] = n, как в E.2).
Предложение 33. Предположим, что F (L, /) соответствует функ-
функции f(z) на Я, лежащей в М^Г^УУ)). Тогда [d]F9 TninF и TnF
также соответствуют функциям (которые мы обозначим через
[d]f9 TntJ и TJ), лежащим в Mk(T1(N)). Если f — параболиче-
параболическая форма, то таковы же [d] /, Tn> J и TJ. Таким образом,
можно рассматривать [d], Г„, „ и Тп как линейные отображения
пространств Mk(T1 (N)) или Sk(T1(N)) в себя. Пусть %—харак-
%—характер Дирихле по модулю N. Тогда f?Mk(N, %) в том и только
том случае, если [d]F—%(d)F, т.е. тогда и только тогда, когда
F(L, dt) = %{d)F(L, t), где d?{ZlNZ)*. E.10)
Доказательство. Для того чтобы показать, что [d]f, TntJ
и TJ инвариантны относительно [y]k, где y^T1(N)9 достаточно,
по предложению 31, показать, что [d]F(L, t), Tn nF(L, t) и
TnF(L, t) имеют вес k, т.е. что [d]F(lL, M) = Klk[d]F(L, t),
TninF(KL, M) = K-*TntnF(L9 t) и TnF(lL, U) = ^TnF(L, t);
но все это тривиально следует из определения. Изучим теперь
поведение в параболических точках.
'а «Л
Заметим, что если а = ( j$GLJ(Q) и если f (г) соответст-
\с a J
вует F(L, /), то
/ (*) I W* = (det а)*/« (cz + d)" V (La2, 1
В частности, если a 6 Г, то это равно F(LZ, (cz + d)lN). Далее,

200 Гл. III. Модулярные формы
fl/d 0
для каждого d?(Z/NZ)* выберем od?T так, чтобы od^=\ ~
modN. (Это возможно, поскольку Н.О.Д. (d, jV)=1 и отобра-
отображение Г—>SL2(Z/NZ) сюръективно (см. задачу 2, § II 1.1).) Имеем
99 jr) = [d]f(z),
т.е. [d]f = f\ [od]k. Таким образом, условие C.8) для [d]f можно
проверить следующим образом: пусть у0 ? Г; тогда [d] f \ [yo]k
= f\[ody0]ki и эта функция имеет ^-разложение требуемого типа,
т.е. [d\f удовлетворяет условию C.8), если ему удовлетворяет /•
Далее, мы находим, что ТПч nf (z) = n~2 F f — L2i — \=nk~2x
Zi ^¦) = /г/е"?[/г]/(г), и тем самым этот случай сводится к
предыдущему.
Перейдем к исследованию поведения функции TJ(z) в пара-
параболических точках. Эта функция есть сумма функций вида
— F(L\ jj-j, где I! — решетка, содержащая Lz, причем индекс
[L:LZ] равен п. Возьмем такую решетку Z/, и пусть (со^ со2) —
ее базис. Поскольку LzaL' и индекс равен /г, существует цело-
целочисленная матрица т с детерминантом, равным п, такая, что
) = то) (через со мы обозначили вектор-столбец с элементами
i и со2). Мы можем выбрать множество Т этих матриц т (неза-
(независимо от г) так, чтобы
Х6Г
/ 1 \ I z\ (®l\
Рассмотрим теперь FfL©, ^-1 , где ( - J== % I J. Найдем мат-
целые числа
рицу y?I\ такую, что ут 1 = —\0 dj' ГДе п* Ь' d~
и ad = n (легкое упражнение показывает, что это можно сделать).
/соЛ 7г\
Решетка, порожденная I )==г xl i )» совпаДает с решеткой, по
/соЛ ! fab\fz\
рожденной у{ ) = Т\0 н1\ ] 1' ^аким образом,

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 201
Но если f (г) удовлетворяет условию C.8), то ему удовлетворяет
и f ((az-\-b)/d)\ как показано выше, отображение [а] также сохра-
сохраняет условие C.8). Тем самым, мы проверили условие C.8) для
TJ-
Наконец, пусть Yrf € Го (Л/') — любая матрица, правый нижний
элемент которой равен d. Как показано выше, / (z) | [yd]k=F[ Lz, -тт
= [d]F(LZ9-fi]. Таким образом, /||/у*Ь соответствует [d]Fy и
поэтому /1 \yd\k = X (d) f тогда и только тогда, когда [d] F = х (d) F.
Это завершает доказательство предложения. ?
Раньше (предложение 28) мы видели, что функция f ?Mk (Гх (N))
может быть записана в виде суммы функций из Mk (N, %) для
различных характеров Дирихле %. Таким образом, используя
взаимно однозначное соответствие из предложения 31, мы можем
записать модулярную форму F (L, f) в виде суммы форм F, удов-
удовлетворяющих соотношению E.10) при различных %.
Предложение 34. Операторы Тп и Тп^п коммутируют с [d] и со-
сохраняют пространство функций F(L, t) веса k, удовлетворяющих
E.10). Если F(Ly t) имеет вес k и удовлетворяет E.10), то
Доказательство. То, что операторы Тп и Tnt n коммутируют
с [d\, следует непосредственно из определения. Далее, если [d]F
= %(d)Fy то [d]TnF^Tn[d]F = x(d)TnF и [d\Tn,nF = Tn§n[d\F
= %(d)Tn, nF. Это не что иное, как хорошо известный из линей-
линейной алгебры факт, заключающийся в том, что собственное под-
подпространство оператора [d], отвечающее данному собственному
значению, инвариантно относительно любого оператора, коммути-
коммутирующего с [d]. Наконец, если F(L, t) удовлетворяет соотношению
E.10), то Tn (
xF(Ly t) = nk~*%(n)F(L$ t). П
Если перенести действие операторов Тп, ТПч п и [d] с функ-
функций F(L, t) на функции /(г), то предложение 34 превращается
в следующее
Предложение 35. Операторы Тп и Тп% п сохраняют пространства
Mk(Ny %) и Sk(N, x)- Действие оператора ТПуП на функцию
f ?Mk (N, х) задается формулой ТПу J = nk~2% (n) f.
Предложение 36. Операторы Тп на Mk(N', х) удовлетворяют
следующему тождеству:
2 тап-= П A-
п=1 веер

202 Гл. III. Модулярные формы
Доказательство. Нужно просто использовать E.8) и учесть,
что если p\N, то ТРл pf = pk~2%(p)f, а если p\N, то %(/?)= О
и соответствующий член в правой части равенства E.11) превра-
превращается в A — Tpp~s)~x. ?
В качестве примера к этим предложениям рассмотрим случай,
когда %—тривиальный характер группы (Z/NZ)*. Тогда Mk(N, %) —
= Mk (Го (N)) и модулярные формы / ? Mk (N, %) соответствуют
тем F(L, t), на которые [d] действует тривиально, т.е. темF(L, t),
для которых F(L4 t) = F(L, dt) для всех d? (Z/NZ)*. Такие F(L, t)
находятся во взаимно однозначном соответствии с функциями
F (L, S), где S — циклическая подгруппа порядка N в C/L. Дейст-
Действительно, пусть t — любая образующая группы S. Положим
F(L, S) = F(L, t). Тот факт, что F(L, t) = F(L, dt), означает,
что это определение не зависит от выбора образующей группы S.
Обратно, по данной функции F (L, S) определим F (L9 t) = F (L, St)t
где St = Zt — подгруппа в C/L, порожденная элементом t. Таким
образом, мы просто проверили, что функции модулярных точек
в случае (Ш) (см. начало этого параграфа) соответствуют моду-
модулярным формам относительно Г0(УУ).
Исследуем теперь, что происходит с ^-разложением в оо моду-
модулярной формы f(z)?Mk(N, %) при действии операторов Гекке Тт.
Другими словами, пусть / (z) = 2 anqn и Tmf (z) = 2 bnqn, где
q = e2niz. Мы хотим выразить коэффициенты Ьп через ап.
Сперва введем некоторые обозначения. Если /€ С [[#]],
/ = 2а«?"» то положим
где последнее суммирование производится только по тем п, которые
делятся на /п. Заметим, что и1 = Vt = тождественное отображение,
Um oVm = тождественное отображение, аУйо Uт есть отображение
степенных рядов, оставляющее только те члены ряда, номера
которых делятся на /п. Предположим, что ряд f {z) = ^ianqnf
q = e2niz, сходится при z?H. Ясно, что тогда
т-\
VJ(z) = f(mz); Uj(z)=-L ^ffl±L\ E.13)
00
Предложение 37. Пусть f(z)=^anqnf q = e2niz, f?Mk(N, %)>
А2= О
и пусть Tpf(z)= 2 bnqn. Тогда
E.14)

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 203
мы принимаем здесь, что ап/р = 0, если п не делится на /?; на-
напомним, что %{р) = ^> если p\N. Иначе говоря,
Tp = Up + x(p)pk-iVp на Mk(N, х). E.15)
Доказательство. Имеем Tpf (z) = — V F (Z/, -^- j, где F —
функция модулярных точек, соответствующая f, и суммирование
ведется по всем решеткам Z/, содержащим Lz с индексом р
и таким, что 1/N имеет порядок N по модулю V'. Такие решетки V
содержатся в решетке — Lz с базисом < — , — >; они находятся
во взаимно однозначном соответствии с точками проективной
прямой Рр над полем fp = Z/pZ из р элементов. А именно,
точке в Рр с однородными координатами (а1у а2) отвечает ре-
решетка, порожденная Lz и (axz + a2)/p. Таким образом, число
возможных решеток равно р+1\ они отвечают точкам A, /), где
/ = 0, 1, ..., р—1, и @, 1). Если p\N, то все решетки участ-
участвуют в сумме; если p\N9 то решетка, отвечающая точке @, 1)
(порожденная Lz и 1/р), должна быть опущена, поскольку в этом
случае 1/N имеет порядок N 1р. Заметим, что решетка, порожден-
порожденная Lz и (z + j)/p9 есть LB+/)/p. Таким образом, если p\Nt то
( ^i^ Если
p\, то к этой сумме добавляется еще один член, соответствую-
соответствующий решетке, порожденной Lz и —; это решетка — Lpz. Поэтому
в этом случае
Ту (г) = Upf (z) +1F {}Lpz, ^yupf (z) + p^
= Upf (z) + />ft"lX (P) F [Lpz, -Jr) = Vpf B) + P*-lK (P) f (рг).
Это совпадает с E.15). Учитывая выражение E.12) для операто-
операторов Vp и Upj мы немедленно получаем из E.15) выражение E.14)
для Ьп. ?
Из предложения 37 следует, что справедливо разложение
*-WpX) E.16)
(здесь обе части рассматриваются как полиномы от X с коэффи-
коэффициентами в алгебре операторов на подпространстве в С [[#]], по-
порожденном ^-разложениями элементов f(z)?Mk(N, %)). Действи-
Действительно, коэффициенты при X в обеих частях равны в силу

204 Гл. III. Модулярные формы
формулы E.15), а коэффициенты при X2 тоже равны, так как
UpoVp=l.
Предложение 38. Справедливо следующее формальное тождество:
2 ^-^lixWn'-'^-'Yil U»n-'\ E-17)
п-\ \п=\ J \п=\ J
или, эквивалентно,
Tn=^l{d)db-WdoUnld. E.18)
d | п
Доказательство. Используя E.11) и E.16), мы находим, что
левая часть E.17) равна
Операторы Uр и Vр не коммутируют, поэтому мы должны пом-
помнить о порядке сомножителей. Операция взятия обратного эле-
элемента обращает порядок сомножителей, и мы получаем
Заметим, что при ргФр2 операторы UPi и VPi коммутируют;
это немедленно следует из E.12). Это дает возможность перенести
все члены A — Upp-s)'1 направо, переставляя их с членами
A—X (Aj) fft^VpiPs8)'1 Для РъФР- Таким образом, произведения
с Vp и с Up разделяются:
^ 9 l
9
Разложим каждый член в геометрическую прогрессию и восполь-
воспользуемся тем, что Vmn = VmoVn и Umn = UaoUn. В результате
получается E.17). ?
Предложение 39. Пусть, в условиях предложения 37, Tmf(z)
00
= 2 cnqn. Тогда
с„= 2 l(d)d^amnld,. E.19)
d\ Н.О.Д. (m, n)
Доказательство. Согласно E.18), имеем
Тт 2 а„<7»= 2 %(d)d*-WdoUmld 2 anq»
/г=0 d | т п=0
= 2 X (d) d"-1 2 ап<рыт.
d | m m/d | n

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 205
Если мы положим r = d2n/m, то внутренняя сумма превратится
в 2 агт1д.Щг', где суммирование производится по всем г, делящимся
на d. Заменяя г на п и собирая вместе коэффициенты при qn>
мы получаем выражение E.19) для n-го коэффициента. ?
В большинстве случаев наиболее важные модулярные формы
оказываются собственными векторами (собственными формами) для
всех операторов Тт, действующих на данном пространстве моду-
модулярных форм. Из того что f?Mk(N, %)—такая собственная
форма, можно извлечь много информации о коэффициентах ее
^-разложения.
Предложение 40. Предположим, что f (z) ? Mk (N, %)—собственная
форма для всех операторов Тт с собственными значениями Хт,
т=\, 2, ...: Tmf = Xmf. Пусть ат — коэффициенты q-разложения
этой формы: f(z)= 2 атЯт- Тогда ат = Хта1, т=\, 2, ... .
Кроме того, аг Ф О, за исключением случая, когда k = 0 и функ-
функция f постоянна. Наконец, если а0ф0, то Хт дается формулой
2(). E.20)
d\m
Доказательство. Используя E.19) при /г=1, мы находим, что
коэффициент при первой степени переменной q в Tmf равен ат. Если
Tmf = Xmf, то этот коэффициент равен также 'кта1. Это доказывает
первое утверждение. Если бы аг было равно нулю, то отсюда бы
следовало, что все ат = 0, и функция / была бы постоянной.
Наконец, предположим, что а0ф0. Сравнивая постоянные члены
в обеих частях равенства Tmf = 'kmf и используя E.19) при п = 0,
мы получаем, что Хта0 = Ь0= 2 х(^)^"ао- Деля на а0У приходим
d\m
к формуле для Хт. Q
Пусть / — собственная форма, как в предложении 40, и пусть
0 Тогда коэффициент при q не равен нулю, и умножением
на подходящую константу мы можем добиться того, чтобы он
стал равным 1. Такая собственная форма называется нормализо-
нормализованной, и в этом случае предложение 40 гласит, что ат = Хт
есть просто собственное значение оператора Тт. Применяя опе-
операторное тождество E.11) к собственной форме f, мы получаем
тождества для коэффициентов ^-разложения формы /. А именно,
применяя обе части тождества E.11) к нормализованной собст-
собственной форме f?Mk(N, %), мы получаем, что
2 «»«-•¦= П О - v~'+х 00/»*~х~м)~х-

206 Гл. III. Модулярные формы
Примеры. 1. Пусть Af=l, и пусть &^4— четное число. Предпо-
Предположим, что f = 2 anqn € Mk (Г) — собственная форма для всех Тт\
предположим, что а0ф0 и что f нормализована (т. е. ^=1).
Тогда предложение 40 гласит, что f = ao + 2 Gk_1 (n) qn. Вспомним
ряды Эйзенштейна Ek=l—-g-^^-i (п) Яп (см- B-И)). Таким
образом, f и —2F^ft—два элемента из Mft (Г), отличающиеся
на константу. Но Mk(T) не содержит ненулевых констант, поэтому
эти два элемента должны совпадать, т.е. ао = — Bk/2k. Следова-
Следовательно, с точностью до постоянного множителя, любая собствен-
собственная форма веса k относительно Г, не являющаяся параболической
формой (т. е. такая, для которой а0ф0), должна быть равна Ек.
Обратно, нетрудно показать, что Ек действительно является
собственной формой для всех операторов Тт. Это можно доказать,
используя ^-разложение и формулу E.14) (достаточно показать,
что Ek является собственной формой для операторов Т р, где
р — простое число, поскольку любой оператор Тт можно записать
в виде полинома от операторов Тр). Можно воспользоваться дру-
другим способом, вспомнив исходное определение действия опера-
оператора Тт на модулярные точки и применяя его к функции
0 Ф UL
2. Пусть N =\, k=\2. Из того что пространство 512(Г) одно-
00
мерно и порождено формой Bя)"~12 Д (z)= 2 v(n)qn (см. предло-
п- 1
жения 9 (d) и 15), а операторы Тт сохраняют 5Й(Г), следует, что
/ = 2Т(П)<Г есть собственная форма для Тт. Эта форма норма-
нормализована, поскольку тA)=1. Отсюда, по предложению 40, сле-
следует, что Tmf — x(m)f для всех т. Таким образом, соотношение
E.11) в применении к / приводит к равенству
все р
Эта формула дает разложение преобразования Меллина формы
f — ^ix(n)Qn B эйлерово произведение. Она эквивалентна следую-
следующей цепочке тождеств (см. предложение 32):
= т(т)т(я), где тип взаимно просты;
Рамануджан высказал гипотезу, согласно которой обратные вели-
величины к корням квадратного полинома 1—т (р) X + рг1Х2 из зна-
знаменателя правой части равенства E.21) (где X = p~~s) комплексно
сопряжены. Обозначая обратные величины к корням через ар
и ару мы можем переписать эту гипотезу в виде 1—т (р) Х-\-рг1Х2 =

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 207
= A—а,рХ)A—арХ), или в виде т(р) = ар + ар, \ар\ = р^^.
Отсюда легко вывести неравенство \х(р)\^2р11/2 и более общее
неравенство | т (п) К о0 (п) п11/2 (см. доказательство предложе-
предложения 13, § II.6). Гипотеза Рамануджана и ее обобщение, гипотеза
Рамануджана — Петерсона для параболических форм, явля-
являющихся собственными формами для операторов Гекке, были дока-
доказаны Делинем; он вывел их из гипотез Вейля (см. [Katz 1976a]).
Эйлерово произведение E.21) напоминает L-ряды Хассе — Вейля
эллиптических кривых. Более подробно об этом написано в книге
[Shimura 1971].
3. Пусть Af = 4, % (п) = (— ) = (—l)^-1)^ для нечетного п.
Мы видели, что пространство Ml(N, %) одномерно и порождено
функцией в2. Применяя предложение 40 к -j в2 = -—-)-^+ ...
• • • + ^тЯт + • • •» мы находим, что Хт = ^ (^- J , где суммиро-
суммирование ведется по всем нечетным d, делящим /п. Например,
_1\ |0, если р = 3 (mod 4);
) = \2, если p^l(mod4). E2)
Величина Хт равна одной четверти числа способов, которыми
т может быть записано в виде суммы двух квадратов. Тем самым
мы пришли к хорошо известному результату о том, что р может
быть представлено в таком виде восемью способами, если
/? = 1 (mod 4), и не может быть представлено в таком виде, если
р = 3 (mod 4). Обычно этот факт доказывается с помощью разло-
разложения на множители в кольце гауссовых целых Z[i]. Гауссово
поле Q (i) имеет дискриминант —4 и соответствует характеру %
кольца Z с кондуктором 4: х (^) = (~~-) • Пусть 1—тривиальный
характер группы (Z/4Z)*; обозначим через р двумерное представ-
представление (* j группы (Z/4Z)*. Тогда мы можем записать E.22)
в виде Хр = Ттр(р). Оказывается, что это очень частный случай
следующего общего факта: коэффициенты ^-разложения нормали-
нормализованной собственной формы из M±(N, %) определяются следом
некоторого двумерного представления некоторой группы Галуа.
Дальнейшие подробности можно найти в работе [Deligne, Serre
1974].
Другой подход к операторам Гекке. Пусть Тг и Г2—две под-
подгруппы некоторой группы G.
Определение. Подгруппы 1\ и Г2 называются соизмеримыми, если
их пересечение имеет конечный индекс в каждой из нихз
[Г1:Г1пГ2]<оо, [Г2:Г1пГ2]<оо.

208 Гл. III. Модулярные формы
Основной пример. Пусть Г'—конгруэнц-подгруппагруппыГ=512B),
и пусть а ? G = GL% (Q). Тогда подгруппы Г" и а-Т'а соизмеримы.
Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что Г'зГ(Л^).
По лемме 1 из доказательства предложения 17, имеем Г' Г|а~1Г/а Z)
z>T(ND) и Г'ПаГ'а z> T(ND) для некоторого D. Пусть
Г = Г П а-Т'а. Тогда Г" з Г (ND), аГа z> Г (AAD). Таким обра-
образом, [Г:Г"]<[Г:Г(Л^I < оо, а также [аГ/а:Г|'] = [Г/:аГа-1]<
<[ГГ(ЛШ)]
Определение. Если 1\, Г2 с G и а? G, то двойной смежный класс
1\аГ2—это множество всех элементов группы G вида YiaY2» где
Yi^Ii, 72€Г2. Заметим, что множество 1\аГ2 содержит правый
смежный класс 1\а; вообще говоря, оно является объединением
правых смежных классов вида Тгау2.
Предложение 41. Пусть G —некоторая группа, Г" с G—ее под-
подгруппа и a?G—ее элемент. Предположим, что подгруппы Г'
и сгТ'а соизмеримы. Пусть Г" = Г'Па-Т'а, [Г:Г"] = Л и
d d
Г'= и Г"уу. Тогда Г"аГ'= и Г'ау/ ^ть объединение d непересе-
кающихся правых смежных классов. Обратно, если Г'аГ" = U Г'ау/
объединение d непересекающихся смежных классов, то
Доказательство. Рассмотрим элемент yxoiy2, где у15 72€Г'#
Найдем 7"бГ" и /, такие, что y2 = y"yj. Поскольку у"^а~хТ'а,
имеем у" = a~Va» так что YiaY2 = Yia (а'^'а) у/ = (YiY') aY/ € Г'ау/.
Мы должны показать, что правые смежные классы Г'ау/ различны
для разных /. Предположим, что Угоьу) = у2ау'к. Тогда y'j-y'k1 =
= a~1yi1y2a?a~1T'a. Из того что Y/Y&-16 Г', следует, что
T/Yife^^, т.е. что у/бГ1^; значит, / = Л. Проверка обратного
утверждения также не представляет никаких трудностей, поэтому
мы опускаем детали. ?
Для многих конгруэнц-подгрупп, в частности для подгрупп
1\(УУ), Г0(УУ) и T(N), можно определить операторы Гекке в тер-
терминах двойных смежных классов. Мы сейчас дадим это опреде-
определение и проверим, что в случае I\ (N) оно совпадает с данным
раньше определением операторов Тп, действующих на простран-
пространствах Mk(T1(N)).
Пусть S+ — ненулевая подгруппа аддитивной группы целых
чисел; такая подгруппа имеет вид S+ = MZ, где М — некоторое
положительное целое число. Пусть Sx — подгруппа группы
(Z/NZ)*. Через Sx мы будем обозначать также прообраз множе-
множества Sx в Z. (Если N=1, то мы будем считать, что SX = Z.)

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 209
Например, если SX = {1}, то через Sx мы будем обозначать также
подмножество 1+NZaZ. Пусть п—любое положительное число,
и пусть, по определению,
def ( [п Ь^
An(Nl Sx, S+) = < целочисленные матрицы (
I \c a
a^Sx, b?S+, N\c, detr d) = /l}- E-23)
Если-/У=1 и SX = S+ =Z, то А" есть просто множество всех
матриц 2x2 с определителем, равным п. Легко проверить, что
Am(N, Sx, S+).An(N, Sx, S+)cAw"(iV, Sx, S+) E.24)
и что A1 (N, Sx, S+) является группой. Ясно, что A1 (N, Sx, S+) —
конгруэнц-подгруппа, поскольку она содержит подгруппу Г(ЛГ),
где N' — наименьшее общее кратное чисел М и N (напомним, что
S+ = MZ). Вот привычные нам примеры в этих обозначениях:
T1(N) = ^(N, {1}, Z);
&(N, (Z/NZ)*, Z);
A1(^, {1}, NZ).
Определение. Пусть Г' — конгруэнц-подгруппа группы Г, и пусть
a€GLJ(Q). Положим Г' = Г'ПаГ'а и Л=[Г':Г"], Г = и Г"у).
Пусть f (z)—функция на Я, инвариантная относительно [y]k для
у? Г'. Тогда
def ^
/B)|[Г'аГ'Ь=2/B)|[ат;Ь. E.25)
Предложение 42. /(z)| [Г'аГ']й я^ изменится, если мы заменим а
на любой другой представитель а' того же двойного смежного
класса, Г"аТ' = Г'аГ". Эта величина не зависит и от выбора
представителей у) смежных классов группы Г' по модулю под-
подгруппы Г. Если /€Л1Л(Г'), то f\ [ГаГ]Л€ Mk (Г).
Доказательство. Докажем сперва второе утверждение, т. е.
докажем, что E.25) не изменится, если мы заменим у} на y'jyj
где y"j?T". Поскольку ГЛгсаГ/а, имеем y'j = a~1yja для некото-
некоторого уубГ'. Тогда f\[ayf;y)]k==f\[yjayi]k = f\[ay)]ki так как
f\[yj]k = f» Далее заметим, что, по предложению 41, сумма в пра-
правой части формулы E.25) может быть записана в виде
2/(гI [а/]/г> ГДе aj — любой набор представителей смежных клас-
классов, содержащихся в Г'аГ': Г'аГ' = и T'aj. Отсюда немедленно
следует, что определение не зависит от выбора представителя а;
оно зависит только от двойного смежного класса Г'аГ'. Наконец,

210 Гл. III. Модулярные формы
предположим, что f?Mk(Y'). Если у ? Г', то (/1 [Г'аГ']Л) | [у]к
= 2 /I [аТ/ТЬ = / I [Г'аГ']Л, так как умножение справа на у сво-
сводится к перестановке правых смежных классов Г'ау). Если функ-
функция / удовлетворяет условию C.8), то, по лемме 2 из доказательства
предложения 17, ему удовлетворяют и функции /|[aT/]ft Для
всех /. Это завершает доказательство предложения 42. ?
Определение. Пусть Г/ = А1(Л^, Sx, S+), и пусть п—положительное
целое число. Пусть f?Mk(T'). Определим
T']k, E.26)
где сумма берется по всем двойным смежным классам по группе
Г', содержащимся в An(N, Sx, S+).
По предложению 42, имеем Tnf? Mk (Г').
Эквивалентным образом можно определить
7y = n<*/2>-i2f|[a.b) E.27)
где Г'ау- пробегает множество правых смежных классов по группе
Г', содержащихся в Ап (N, Sx, S+).
Предложение 43. В случае T/ = T1(N) определение E.26) совпадает
с данным раньше определением операторов Гекке Тп.
Доказательство. Пусть A" = A"(Af, {I}, Z). Для каждого
fl/a 0\
a?(ZlNZ)* выберем оа?Г так, чтобы ва = [ 0 jmodN.
Лемма. Ап можно представить в виде следующего объединения
непересекающихся множеств:
( b} E.28)
где а пробегает множество положительных чисел, делящих п и
взаимно простых с N\ d = n/a и 6 = 0, 1, ..., d—1.
Доказательство леммы. Ясно, что множества из правой части
равенства E.28) содержатся в А". Докажем, что эти множества
fa b\
не пересекаются. Действительно, из равенства У1аа[ о r4)==z
(а! Ъ'\ (а Ь\(а' b'\~l
= У2аа' I о d' У следУет'что Г с°ДеРжит матрицу 'odJvOd'J =
fa/a' « \ fa b\
= 1 0 м'У н0 тогда а' = а> d' = d и, значит,! 0 J =

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 2Г1
/1 ]\[а bf\
vn i \ п й') для некотоРого /» т- е- b = b' + jd. Если 0<Ь,
?' < d, то отсюда следует, что b = br.
Для того чтобы закончить доказательство леммы, нам осталось
(а1 Ь'\
проверить, что любой элемент а = ( , „ ]? А" содержится в одном
из множеств из правой части равенства E.28). Найдем взаимно
простые числа g и h, такие, что ga' -\-hcf = О, и дополним строку
(е f\ (* *\
(g-, /г) до матрицы y = 1 и)^' Тогда уа—матрица вида i n )
\g а) \\) *у
с детерминантом п. Заменяя в случае необходимости v на
/1 /\
d=( JY, мы можем без потери общности считать, что уа =
а Ь\
, ), где а > 0, ad = n, 0^fr<d. Рассматривая равенство
dj П° МОДУЛЮ ^' П0ЛуЧаеМ V0 пГ\ 0 аДо
Это означает, что Y" имеет вид ухEа для некоторого Yi^r!^).
(а Ь\ (а Ь\
Таким образом, а = угEа I п ] ^ Гх (Л^) аа ( п ], что и требова-
требовали а/ \и а/
лось. Это завершает доказательство леммы. ?
Вернемся к доказательству предложения. Пусть 7^ew — линей-
линейное отображение на пространстве Mk(T1(N)), определенное
формулой E.26) (или E.27)), a T°ld — оператор Гекке в первона-
первоначальном определении. Поскольку Мк (Г1 (N)) = (^xMk (N, х), до-
достаточно доказать, что T^ew = Т%ы на Мк (N, х). Пусть / ? Мк (Nу %).
По лемме имеем
Но /1К]^ = х(а)/» так как f€Mk(N, %)• Кроме того, для вся-
всякого а > 0 и d, такого, что ad = n, имеем
d — l r/ u\ ~i d — l
(см. E.13)). Таким образом,
™f » д(*/2>-12 х (a)
а | я

212 Гл. III. Модулярные формы
(мы должны были бы брать сумму по а > 0, делящим п и взаимно
простым с N\ но слагаемые, для которых Н.О. Д. (a, N) > 1, не
дают вклада в сумму из-за члена %(а)). Значит, по E.18),
?TW = 2 X(i) a*-lVaoUn/a = T°ld.
a I n
Это доказывает предложение 43. ?
Во многих ситуациях определение операторов Тп в терминах
двойных смежных классов оказывается более удобным, чем опре-
определение в терминах модулярных точек. Например, ниже мы будем
пользоваться определением в терминах двойных смежных классов
для того, чтобы показать, что операторы Тп эрмитовы по отно-
отношению к скалярному произведению Петерсона. Более того, подход
с использованием двойных смежных классов может быть обобщен
на ситуации, для которых не найдена хорошая интерпретация в
терминах модулярных точек. Пример такой ситуации встретится
нам в следующей главе, когда мы будем определять операторы
Гекке для форм полу целого веса. Подробное обсуждение в более
общем контексте подхода, использующего двойные смежные клас-
классы, можно найти в книге [Shimura 1971].
Скалярное произведение Петерсона. При интегрировании по обла-
областям в верхней полуплоскости приходится часто использовать
замены переменных вида z н-> az = —тгг > где а=={ j ) € GLJ (Q).
Оказывается, величина dxdy/y2 инвариантна относительно таких
замен. Действительно, вычислим
daz det a # Im azdet a ,r ^q\
; (О2У)
Imz
При общей дифференцируемой замене комплексной переменной
гх = и (z) элемент площади dx dy около точки z умножается на

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 213
\а (z)\2 (см. рис. III.5). Поэтому, используя первое равенство из
E.29), мы получаем, что при замене гн-»аг элемент площади
около точки г умножается на \daz/dz\2 = (det aJ/\cz-\- d|4. Учиты-
Учитывая второе равенство из E.29), мы получаем, что величина
dxdy/y2 инвариантна относительно такой замены.
Предложение 44. Пусть Г'с:Г — конгруэнц-подгруппа, и пусть
F'а#—любая фундаментальная область группы Г'. Положим
def n dx dt/
И1 ) = J -рг~ • E-30)
Тогда
(a) интеграл E.20) сходится и не зависит от выбора фундамен-
фундаментальной области Ff\
(b) [Г:Г/] = (г(Г/)/н-(Г);
(c) если a€GL+(Q) и а'Т'асГ, то [Г:Г'] = [ТгогТ'а].
— — — d __
Доказательство. Пусть [Г: Г'] = d, и пусть Г = и ауГг. Положим
F' = ijay/7. Заметим, что интеграл, определяющий jx (Г), сходится,
так как
Й1 Ьтт
F -1/2 V Г/2
Делая для каждого / замену переменных гь-^а^г, мы находим, что
dxdy/y2 = ^ dxdy/y2) следовательно, интеграл E.30) по выбран-
ной нами фундаментальной области сходится к d-\i(T). Пусть
Fx — другая фундаментальная область группы Г'. Разобьем Fx на
части, каждая из которых переводится в F1 некоторым преобра-
преобразованием из группы Г'. Пусть R — одна из таких частей и эле-
элемент а?Г' таков, что aRczFf. Снова используя инвариантность
величины dxdy/y2 относительно замены гн-^az, мы получаем, что
интеграл по RaF1 равен интегралу по aRaF'. Наконец, для
того, чтобы доказать пункт (с), заметим, что а/7' есть фунда-
фундаментальная область группы а'ЧГ'а. Формула
С dxdy _ С dx dy
a-*F' * р> *
показывает, что \i(a~1T'a) = \i(T')t и после этого пункт (с) сле-
следует из пункта (Ь). ?

214 Гл. III. Модулярные формы
Предположим теперь, что функции f (z) ug(z) лежат в Mk (Г').
Рассмотрим функцию f(z)g(z)yk, где черта обозначает комплекс-
комплексное сопряжение и y=lmz. Сделаем замену переменной гн-»аг,
Где agGLJ(Q). Используя E.29), мы получим, что эта функция
переходит в функцию f (az) g (az) ук (det a/1 cz + d \2)k. Но это в
точности равно (/ (z) \ [a]k) (g (z) \ [a]k)yk. Таким образом, замена
переменной г«-^аг сводится к замене / на /|[a]ft и g H|[]
Определение. Пусть Г'сГ— конгруэнц-подгруппа, F' — фундамен-
фундаментальная область группы Г' и /, g? Мк(Т'), причем по крайней
мере одна из форм /, g является параболической. Тогда положим
</, Я> = ^щ I f (гIСг) У*^ ¦ E-31)
Из определения немедленно следует, что </, g> линейно по /,
антилинейно по g (т. е. </, cg> = 6'</, g>, эрмитово симметрично
(т. е. <g, /> = </, g» и, кроме того, что </, /> > 0, если /=^0.
Это те свойства, которые входят в определение эрмитова скаляр-
скалярного произведения. Мы вернемся к этому позже.
Предложение 45. Интеграл в E.31) абсолютно сходится и не
зависит от выбора фундаментальной области F'. Если /,
ggM^F") для другой конгр у энц-под группы Г", то величина
</» ?>> построенная по Г", совпадает с величиной </, g>, пост-
построенной по Г".
Замечание. Член 1/[Г:Г'] в E.31) необходим для того, чтобы было
выполнено второе утверждение предложения. Требование парабо-
личности одной из форм jF или g необходимо, как мы увидим*
для того, чтобы обеспечить сходимость интеграла.
Доказательство. Пусть сначала /7'= Lla/^» гДе элементы ay
таковы, что F= Ua/Г'. В каждой из областей ajxF перейдем от
переменной z к переменной аугг. После этого интеграл примет
вид
/ F
Используя то, что f9 g?Mk(T')y мы можем записать: f\[aj1]k =
— 2 ап4м, ёг1Кг1Ь= 2 ЬпЯЪ, где либо ао = О, либо Ь0 = 0, так
как либо /, либо g—параболическая форма. На основании того,
что \qN\ = \e2niz/N\ = en^N и #>}/~3/2 в F, и того, что а„ и
йЛ имеют только полиномиальный рост (см. задачу 19, § 3), не-

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 215
трудно заключить, что интеграл сходится абсолютно. Далее, пусть
Z7!—другая фундаментальная область. Поступим так же,
как при доказательстве предложения 44, и сравним интегралы
f (z)g{z) i/k~2dxdy и j f(z) g(z) yk~2dxdy, где R — подобласть в
R aR
Fx и aR (a? Г") — соответствующая подобласть в Z7'. Делая замену
переменных zf-»o&z и используя то, что f\[a]k = f, g\[a]k = gr
находим, что эти два интеграла равны.
Наконец, предположим, что /, g? Mk(Y"). Пусть сперва
ГсГ. Запишем Г = U 6,Г, Z7"- U 67х/7'. Тогда
[Г:Г] [Г7: Г
Но все слагаемые в правой части равны, так как /1 [Sj]^ ==^
"Z* g"I [^7х]л;=== S"' ' пробегает [Г':Г"] значений. Таким образом,
мы получаем правую часть формулы E.31).
Если Г"<?Г', то положим просто Г'" = Г"Г) Г'; мы знаем, что
величина </, g>, построенная по Г'"', совпадает с величинами
</, g>, построенными по Г' и по Г". Это завершает доказатель-
доказательство предложения 45. ?
Предложение 46. Пусть /, g€Mk(T'), причем одна из форм, f
или g, параболическая. Пусть agGLj(Q). Тогда
<Л ff> = </|[a]*. gI [«]*>• E.32)
Доказательство. Пусть Г"==Г/ ПаГ'а. Тогда /, ggM^r")
и, по предложению 17 (а), /| [a]k, g\ [a]k g Mk (a"Tr/a). Здесь
аГЛга = аГ'аПГ/. Пусть Т7" — фундаментальная область группы
Г"; выберем a~1F" в качестве фундаментальной области группы
а"хТ"а. Тогда правая часть формулы E.32) равна
Но, по предложению 44 (с), [Гга^] = [Г:ГГ/], и мы получаем
формулу E.32). ?
Заметим, что при умножении матрицы agGL^(Q) на положи-
положительное вещественное число преобразование [a]k не меняется.
Поэтому в дальнейшем мы можем считать без потери общности,

216 Гл. III. Модулярные формы
(а Ъ\
что матрица а = ( , ) целочисленна. Пусть D = ad—be = det а.
f d ~b\
Положим ar = Da = ( j. Тогда [a]k = [a/]k.
Предложение 47. Пусть f9 g и а—такие же, как в предложе-
предложении 46. Тогда
]*>• E-33)
Кроме того, </|[а]*, g> зависит только от двойного класса
смежности элемента а по модулю группы Г'.
Доказательство. Заменяя в формуле E.32) g" на ^[[а]^ и
Г' на Г'ПаГ'а, мы получаем формулу E.33). Заменим теперь а
на Y^ в выражении </|[a]ft, g>. Получим </|7iaYab» ё>
= <f I [Yi«]*. Я|[72~1]^> = </|[аЬ, g">, так как у19 у^^Г и, сле-
следовательно, / инвариантно относительно [уг]к и g—относительно
Предложение 48. Пусть Г = T1(N)i An = An(N, {1}, Z) (см. E.23)).
Пусть /, g-g/Wft(r'), причем f или g—параболическая форма.
Для каждого d?(Z/NZ)* выберем некоторый элемент оа?Г, та-
такой, что od = ( q .Jmod^V. Пусть п — положительное целое
число, взаимно простое с N. Тогда <TJ, g> = <f\[on]fc9 Tng>.
В частности, есЛи f?Mk(N9 %), то <JJ, g> = %(n)<f9 Tng> для
п, взаимно простых с N.
Доказательство. Если а = ( ,)gAw, то а = (п )modN,
\с а) \\) п)
а'=(^ ~~jjmod^, Gnaf = (Q ~ ^jmodN. Таким образом,
апа' g Aw. По определению,
где сумма берется по всем двойным смежным классам группы
Г/ = А1, содержащимся в А". Обозначим через da число правых
смежных классов, содержащихся в Г'аГ'. Тогда, по предложе-
предложению 41, da = [T': Г'ПсГТ'а]. По E.26), E.25) и второму утверж-
утверждению предложения 47, имеем
<TJ, g> = n^-i%da<f\[a}k, gr>.
Здесь в сумме участвует по одному а из каждого двойного смеж-
смежного класса. Отображение Г'аГ'н-^Г' (опаг) V переставляет двой-
двойные смежные классы. Действительно, предположим, что элементы
опа[ и опа'2 попадают в один и тот же двойной смежный класс.

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 217
Переходя к обратным и умножая на п, получаем
т. е. аг = у2а2 (oy^YitfJ • Поскольку о~1Г1 (N) оп = I\ (N), имеем
а^Г'о^Г', т. е. ах и а2 лежат в одном смежном классе. Далее,
заметим, что dGna' = da. Действительно,
и мы получаем, по предложению 44 (с), что
4 = [Г': Г'Па-1Г'а] = [Г: Г'п(аиа')-1
Таким образом, по предложению 47,
Это равно <f\[on]b, Tng>, что и требовалось. Наконец, если
f?Mk(N, %)» то /|[стд]=х(л)Л и мы получаем последнее равен-
равенство. ?
Базис из собственных форм. Заметим, что С-векторное простран-
пространство Мк (Гг) конечномерно для любой конгруэнц-подгруппы Г' и
любого целого числа к. Один из способов доказать это заключается
в следующем. Пусть F' — фундаментальная область группы Г' вида
F'= и осу1/7, и пусть f?Mk(T'). Интегрируя f'(z)lf (z) по границе
фундаментальной области, как в доказательстве предложения 8,
§ II 1.2, мы получаем оценку полного числа нулей функции /
в фундаментальной области. Но если бы пространство Мк (Г'}
было бесконечномерным, то мы могли бы, взяв подходящую ли-
линейную комбинацию, построить функцию f?Mk(T')9 обращаю-
обращающуюся в нуль в любом наперед заданном конечном множестве
точек из F'. Другой способ доказывать конечномерность, и даже
получать формулы для размерности, основан на теореме Римана —
Роха (см. [Shimura 1971, § 2.6]).
Скалярное произведение Петерсона E.31) задает эрмитово ска-
скалярное произведение на конечномерных С-векторных пространст-
пространствах Sfc(T'). Как мы уже отмечали, это означает, что </, g> ли-
линейно по f и антилинейно по g, эрмитово симметрично и </, /> > О
при f фО.
Предложение 50. Пусть п—положительное целое число, взаимна
простое с N, и пусть %—характер Дирихле по модулю N. Пусть
сп—любой из двух квадратных корней из %(п). Тогда оператор
спТп на Sk(N, х) эрмитов, т. е. <cnTnf, g> = <f, cnTng>.

218 Гл. III. Модулярные формы
Доказательство. _ <cnTJ, g> = сп <TJ, g> = сп% (п) </, Tng> =
= cnc2n<f1Tngy = cn<fy Tng> = <f, cnTng>y что и утверждалось. ?
Мы уже видели, что собственные формы для операторов Тп
обладают замечательными свойствами: коэффициенты ^-разложе-
^-разложений этих форм выражаются через собственные значения операто-
операторов Тр, и соответствующие ряды Дирихле раскладываются в эйле-
эйлеровы произведения. Предложение 50 позволяет найти базис, со-
состоящий из таких форм.
Предложение 51. Существует базис С-векторного пространства
Sk(N, %), состоящий из собственных форм для операторов Тп
с такими п, что Н.О.Д. (п, N)—l.
Доказательство. Пусть SaSk(N, %) — подпространство, инва-
инвариантное относительно одного из операторов Тп при п, взаимно
простом с N. Тогда существует базис подпространства S, состоя-
состоящий из собственных форм для оператора Тп. Для того чтобы
доказать это, нужно применить к эрмитову оператору спТп сле-
следующий фундаментальный факт, известный из линейной алгебры
(см. [Lang 1984, § XIV. 12]). Пусть Г —произвольный эрмитов
оператор, действующий на конечномерном С-векторном простран-
пространстве S. Тогда существует базис пространства S, состоящий из собст-
собственных векторов оператора Т. Заметим далее, что собственное
подпространство оператора ТпУ отвечающее любому собственному
значению, инвариантно относительно всех Тп,\ это следует из
того, что операторы Тп и Тп. коммутируют: если TJ = hj, то
Tn(Tn,f) = Tn,TJ = XnTn,f. (В этом месте не требуется, чтобы п
или п' были взаимно просты с JV.) Таким образом, для того,
чтобы доказать предложение, составим список всех Тп для п,
взаимно простых с Af (на самом деле достаточно работать с опе-
операторами Тр, где р — простое число, не делящее Af; действительно,
форма, собственная для всех таких Тру будет собственной и для
всех ТПУ где п взаимно просто с N). Разложим пространство
^/г(^> X) в прямую сумму подпространств S, отвечающих раз-
различным собственным значениям первого оператора Тп в списке.
Далее, каждое S разложим в прямую сумму подпространств,
отвечающих различным собственным значениям следующего Тп\
с каждым из получившихся подпространств (они являются
собственными для первых двух Тп) произведем ту же процедуру
по отношению к третьему Тп, и т. д. Пространство Sk(N, %)
конечномерно, и поэтому после конечного числа шагов этот про-
процесс перестанет давать новые подпространства. К этому моменту
пространство Sk(N, %) оказывается разложенным в прямую сумму
подпространств, на каждом из которых любой из операторов Тп
(п взаимно просто с N) действует умножением на число. Любой

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 219
базис, полученный объединением базисов этих подпространств^
удовлетворяет требованиям теоремы. ?
Предложение 51 — это не совсем то, что нам нужно, из-за
ограничения на п (Н.О.Д. (п, N)=l). Для того чтобы строить
эйлеровы произведения (как, например, в формуле E.21)), мы
хотели бы, чтобы базисные формы были собственными и для опе-
операторов Тр при p\N. Это так, например, в случае, когда каждое
подпространство, собственное относительно всех Тп для п, взаимно
простых с N, одномерно; действительно, поскольку операторы Тр
при p\N коммутируют со всеми Тп, они сохраняют эти одномер-
одномерные собственные подпространства. В этом случае мы говорим, что
выполнена теорема об однократности, поскольку каждому набору
собственных значений операторов Тп для я, взаимно простых
с Л\ отвечает не более одной собственной формы в базисе, по-
построенном в предложении 51. В общем случае теорема об одно-
однократности не имеет места; однако, она справедлива, если мы
ограничимся рассмотрением форм, которые не сводятся к формам
низшего уровня. Объясним, что это значит.
Если dxd2 = N и / ^Mk(T1 (dj), то / лежит также и в Mk (I\ (N))\.
кроме того, g(z) = f (d2z) ? Mk (I\ (N)) (см. предложение 17). Подпро-
Подпространство в Sk(T1(N)), порожденное формами, полученными этими
двумя способами из форм / ? Sk A\ (d))> когда d пробегает множество
собственных делителей числа N, называется пространством ста-
старых форм. Нетрудно показать, что это пространство инвариантно
относительно всех операторов Гекке. Ортогональное дополнение
к пространству старых форм по отношению к скалярному про-
произведению Петерсона называется пространством новых форм. Дру-
Другими словами, f?Sk(T1(N)) — новая форма тогда и только тогда,
когда </, g> = 0 и (/, g|jj*2 °\]к) = ° Для всех ?€s*(ri№)), где
d^^N, I < dx < N. Можно показать, что для пространства
новых форм выполнена теорема об однократности; таким образом,
для пространства новых форм предложение 51 справедливо и без
предположения о том, что п взаимно просто с А^. Подробности
можно найти в гл. VIII книги [Lang 1976].
Другой вопрос, на который предложение 51 не дает ответа,—
это вопрос о существовании базиса, состоящего из собственных
форм, во всем пространстве Mk(T1(N)). Мы не можем рассматри-
рассматривать < , > как скалярное произведение на Mk (I\ (Af)), поскольку
</, g> имеет смысл только тогда, когда/ или g—параболическая
форма. Вместо этого можно явно строить собственные формы,
используя конструкцию рядов Эйзенштейна из § II 1.3 выше. Про-
Пространство, порожденное рядами Эйзенштейна (являющимися
собственными формами), ортогонально пространству Sfe(I\ (Af)); их
прямая сумма есть всё пространство Mk(T1(N)). (В действитель-

220 Гл. III. Модулярные формы
ности внутреннее определение рядов Эйзенштейна, обобщающееся
на многие другие ситуации, таково: это модулярные формы, орто-
ортогональные ко всем параболическим формам.) Размерность про-
пространства рядов Эйзенштейна оказывается равной числу г регу-
регулярных параболических точек относительно T±(N). Грубо говоря,
для того, чтобы модулярная форма была параболической, она
должна удовлетворять г условиям (обращение в нуль постоян-
постоянного члена в ^у-разложении), по одному для каждой регулярной
параболической точки; тем самым Sk (I\ (N)) имеет коразмерность
г в Mk(T1(N)). Дальнейшие сведения о рядах Эйзенштейна можно
найти, например, в работе [Gunning 1962].
ЗАДАЧИ
1. Докажите предложение 31 в случаях (iii) —(iv), т. е. Г' = Г0(М), Г (N).
2. (а) Пусть aj\f=(xj ^ J . Мы видели в задаче 15, § III.3, что [ал^/г
сохраняет М^(Г0 (N)). Докажите, что операторы Гекке Тп коммутируют
с ajv при я, взаимно простом с N.
(b) Пусть F = 2 Qi <я) Чп> 04 = 2 аг$п € М2 (Го D)) (где ап равно
нечетные п п
числу способов, которыми п может быть записано в виде суммы четырех
квадратов). Запишите матрицу оператора Т2 в базисе 04, F и найдите
базис из нормализованных собственных форм для Т2.
(c) Покажите, что Т2 не коммутирует с а4 (см. задачу 15 (с), § II 1.3).
(d) Предположим, что п нечетно. Поскольку оператор Тп коммутирует
с а4 и Т2, он сохраняет каждое собственное подпространство из части (Ь)
и каждое собственное подпространство из задачи 15 (с), §111.3. Покажите,
что оператор Тп на двумерном пространстве М2 (Го D)) есть просто опе-
оператор умножения на ог(п).
(e) Выведите следующую знаменитую формулу (см., например, гл. 20 книги
[Hardy, Wright I960]) для числа способов, которыми п может быть запи-
записано в виде суммы четырех квадратов:
8о1(п), если п нечетно;
24ах (п0), если п = 2гп0 четно, 2 )( п0.
Пусть f?Mk(N, %). Покажите, что из f (оо) = 0 следует, что Г„/(оо) = 0,
но для других параболических точек s из / (s) = 0 необязательно следует,
что Tnf(s) = O (дайте пример).
(а) Покажите, что если f?Mk(N, %) и g (z) = / (Mz), то g?Mfr(MN, у/),
где %' определено формулой %' (п) = % (п mod N) для n?(Z/MN%,)*. Пусть
Тп — оператор Гекке, действующий на Mk(N, yw), и Т'п— оператор Гекке,
действующий на М^ (MN, у;). Предположим, что п взаимно просто с М. По-
Покажите, что для f?Mk(N, %)<z.Mk(MN, %') и g (z) = f (Mz)gM# (MN, %')
справедливы равенства
) = (Tnf)(Mz).
={
(b) Пусть /(z) = (ri(z)riBz))8, ffB) = /B2)gS8(r0D)) (см. задачу 18 (d),
§ III.3). Покажите, что при нечетном п оператор Тп действует умноже-
умножением на скаляр на двумерном пространстве 58(Г0D)).
(c) Найдите матрицу оператора Г2, действующего на пространстве
58(Г0D)), в базисе /, g; лалее, найдите базис, состоящий из нормализо-
нормализованных собственных форм для всех операторов Тп%

§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 221
б. Пусть /, g?Mfr(N, %), причем f или g — параболическая форма. Пусть
p\N. Заметим, что Т р~{] р. Покажите, что <Tpf, g> = /?*</, Vpg>.
6. Пусть /1 = Bя)-24д2> /2 = Bjt)-12A?6, где Bл;)-1? А = ? Д A — qn)** и
Е6=\—504 2j o (n) qn. Мы знаем, что пространство S24 (Г) двумерно и
порождено формами f1 и /2 (см. § III.2).
(a) Дайте простое объяснение того, что f1 не является собственной формой
для операторов Гекке.
(b) С помощью калькулятора найдите матрицу оператора Гекке Т2 в ба-
базисе /ь /2.
(c) Выразите через /х и /2 элементы базиса 524(Г), состоящего из норма-
нормализованных собственных форм для всех операторов Тп.
(d) Выразите через f1 и /2 -параболическую форму, /z-й коэффициент
^-разложения которой равен следу оператора Тп на 524 (Г).
(e) Найдите Тг Т3, используя пункт (d), а также непосредственным вычис-
вычислением матричных элементов.
В этой задаче мы сталкиваемся с довольно большими числами: например,
в пункте (с) коэффициенты лежат в <Q ()A 144169)• Хотя предложение 51 обес-
обеспечивает существование базиса из нормализованных собственных форм, оно не
гарантирует, что вычисления при нахождении этого базиса будут легкими.
7. Пусть (L, ?) —модулярная точка относительно Ti(N). Пусть agA" (W,
{1}, Z), и пусть y?Ti(N). Для каждых а .и у рассмотрим решетку
L' = —<xyL. Покажите, что V содержит L, причем индекс [Z/: L] равен п\
что V зависит только от правого смежного класса по группе I\ (Af)
в A" (Af, {I}, z), содержащего а-у, и что t имеет порядок N в C/Z/. По-
Покажите, что решетки L' в E.2) находятся во взаимно однозначном соот-
соответствии с правыми смежными классами по группе Гх (Af), содержащимися
в A" (N, {1}, Z). Используя это и сравнивая E.9) и E.27), дайте другое
доказательство предложения 43.
8. Пусть /€М*(Го (/>))•
1 / ) > 0 < У^/7» образуют
полный набор представителей правых смежных классов группы Г по под-
подгруппе Го (/?).
р
(Ь) Определим Тг (/) формулой Тг (/) = 2 /I tV/lft- Покажите, что Тг (/)
/=о
Если оказалось, что / лежит в Mk(T), то покажите, что Тг (/)
(|[(j! J)]j

Глава IV
Модулярные формы полуцелого веса
Пусть k—положительное нечетное число, и пустьА, = (&—1)/2.
В этой главе мы будем рассматривать модулярные формы веса
ft/2 = A,+ 1/2. Грубо говоря, такая модулярная форма / должна
удовлетворять соотношению / ((az + b)l(cz + d)) = (cz + d)l+1/*f(z)>
где ( A— матрица из группы T = SL2(Z) или какой-либо кон-
груэнц-подгруппыГ'сГ. Однако такое бесхитростное функциональ-
функциональное уравнение приводит к противоречиям (см. ниже), связанным,
в основном, с выбором ветви квадратного корня. Поэтому в этой си-
ситуации требуется более тонкое определение. Нужно ввести квадра-
квадратичный характер, соответствующий некоторому квадратичному рас-
расширению поля Q. Грубо говоря, именно это скручивание с квад-
квадратичным характером приводит к тому, что получающиеся формы
имеют интересные взаимосвязи с арифметикой квадратичных полей
(например, с L-рядами и с числами классов). Более того, вспом-
вспомним, что L-ряды Хассе—Вейля для нашего семейства эллиптиче-
эллиптических кривых Еп: y2 = xs — п2х, возникающего в задаче о конгру-
конгруэнтных числах, содержат скручивания с квадратичными характе-
характерами при меняющемся п (см. гл. II). Оказывается, что критиче-
критические значения L(En, 1) этих L-рядов тесно связаны с некоторыми
модулярными формами полуцелого веса.
Модулярные формы очень полезны в задаче о числе способов,
которыми целое число т может быть представлено квадратичной
k
формой: т= 2 Ajinjni — [nYА[п], гДе ^==[^/гЗ—данная сим-
симметрическая матрица, [п] — вектор-столбец и [п]г — соответствую-
соответствующая вектор-строка. Эта задача послужила одной из причин
изучения модулярных форм в классическую эпоху. Например,
число способов, которыми т может быть представлено в виде
суммы k квадратов, равно коэффициенту ат ^-разложения функ-
функции в*:
е* = П 2 яп<= 2 <72"'?=2Хт-
/=1 п.— — оо пх п^= —оо

§ 1. Определения и примеры 223
В гл. III мы видели, что если & четно, то 8/гбМй/2D,й2), где %__i —
характер по модулю 4, заданный формулой %_1(п) = 1 — ) =
=(—\уп-и^. При четном k для построения модулярных форм веса k/2
можно использовать и более общие функции ^ qW* A W. Свойства
п
этих модулярных форм оказываются полезными для исследования
числа способов, которыми т можно записать в виде т = [п]гА [п].
Например, в задаче 2, § III.5, мы использовали действие операто-
операторов Гекке на М2 (Го D)) для того, чтобы вывести простую формулу
для числа способов, которыми т может быть записано в виде
суммы четырех квадратов. Более подробную информацию о связи
между квадратичными формами от k переменных и модулярными
формами веса k/2 можно найти, например, в работах [Gunning
1962] и [Ogg 1969].
Естественно спросить, существует ли аналогичная теория для
квадратичных форм от нечетного числа переменных. Это была бы
теория модулярных форм веса k/2, где k — нечетное число. Мы
хотели бы, чтобы функция Qk для нечетного k была бы приме-
примером такой формы. Ранние исследователи представимости целого
числа в виде суммы нечетного числа квадратов—Эйзенштейн и
позже Г. X. Харди — понимали желательность такой теории. Но
лишь совсем недавно —начиная со статьи Шимуры 1973 г.
в Annals — были достигнуты основные успехи на пути создания
систематической теории таких форм: по изяществу и красоте эта
теория может соперничать с предшествовавшей ей теорией форм
целого веса.
В этой главе мы дадим основные определения и докажем эле-
элементарные свойства форм полуцелого веса, следуя, в основном,
статьям [Shimura 1973a, 1973b], но со слегка измененными обо-
обозначениями. Примеры мы будем обсуждать довольно подробно.
Однако фундаментальные теоремы Шимуры и Вальдспургера мы
дадим без доказательств; эти доказательства выходят за рамки
вводного курса. Вместо этого мы дадим мотивировки этих теорем
на наших примерах. В заключение мы вернемся к задаче о кон-
конгруэнтных числах и теореме Туннелла — теме, которая в гл. I
послужила мотивом для изучения эллиптических кривых.
§ 1. Определения и примеры
Мы всегда будем выбирать ту ветвь квадратного корня, аргумент
которой лежит в (—я/2, я/2]. Таким образом, функция J/z голо-
голоморфна на комплексной плоскости с выброшенной отрицательной
частью (—оо, 0] вещественной оси; отображение z н-> V z перево-
переводит положительную часть вещественной оси в себя, верхнюю
полуплоскость — в первый квадрант, а нижнюю полуплоскость —

224 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
в четвертый. Для любого целого числа k через zk/2 мы будем
обозначать функцию (У z)k.
Всякий раз, когда нам будет встречаться закон преобразова-
а *Л
ния вида f(yz)=(cz+d)kf(z) 1 где у=[ , yz=(az+b)/(cz+d) ,
мы будем называть член (cz + a)K множителем автоморфности.
Он зависит от у и от z. Таким образом, множитель автоморф-
автоморфности J (у, z) для ненулевой функции /—это такая величина,
что /G2) = J G, z) f (z) для z?H и для матриц 7 из некоторой
группы. Из равенства fz^ = /(Х) ' Ш~ следует, что любой
множитель автоморфности должен удовлетворять соотношению
J (aft, z) = J(a, Рг)-/(Р, г). A.1)
fa Ь\
Например, величина /G, z) = cz-\-d, где 7=i A €r=SL2(Z),
f — \ О
удовлетворяет соотношению A.1). Если матрица — 1=(
принадлежит нашей группе, то величина J G, z) должна удовлет-
удовлетворять также соотношению J(—1, z) = \. Другой пример достав-
00
ляет множитель автоморфности для функции ®(z)= 2 9, 9=з
• П— — 00
_ р2шг- R этом случае J G, z) = / G, z) == (¦?-) e^1 Vcz + d, у ==
^ Го D) (см. § 111.4).
( )
Попытаемся определить модулярные формы веса fe/2, где k
нечетно, наиболее очевидным способом исходя из закона преобра-
преобразования / (yz) = (czJr d)-k/2 f (z). Однако, как мы сейчас увидим,
величина /G, z) = (cz + d)k/2 не может быть множителем авто-
автоморфности ни для какой конгруэнц-подгруппы Г'с:Г и ни для
какого нечетного k. Действительно, предположим, что Г'зГ(УУ),
N>2. Пустьа=^^ {N j , Р=(^ j J . Тогда а, Ре Г,
и если бы A.1) было верно, то выполнялась бы k-я степень сле-
следующего равенства, обе части которого суть голоморфные функ-
функции на Н:
+l—N = \/~—Nz/(—Nz+\)+l — N У—Nz+l. A.2)
Ясно, что квадрат этого равенства справедлив. Поэтому левая
часть в A.2) равна правой с точностью до знака. Найдем этот
знак. Подкоренные выражения в правой части лежат в нижней
полуплоскости. Поэтому правая часть есть произведение двух

§ 1. Определения и примеры 225
комплексных чисел из четвертого квадранта. Но величина в ле-
левой части лежит в первом квадранте, поскольку (N2 — 27V) г+1 —
—N?H. Итак, левая часть отличается знаком от правой, и ра-
равенство A.2) неверно. Но тогда неверно и A.1): если k нечетно,
то k-я степень левой части в A.2) также отличается знаком от
k-я степени правой. Таким образом, мы не можем взять J (у, г) =
dyi2
( y
Естественный способ обойти эту трудность и добиться выпол-
выполнения равенства A.1) заключается в том, чтобы выбрать множи-
множитель J (у, г) в виде: J (у, z) = (j(y, z))ky где
def / х (а Ь\
j G, г) = 9 (уг)/в (z) = (-? J в,1 Vcz + d, y = ^ dJ € Го D).
A.3)
Итак, по определению, модулярная форма веса k/2 относительно
конгруэнц-подгруппы Г'с:Г0D)— это такая голоморфная функ-
функция на Я, которая преобразуется как k-я степень функции 9 (г)
при дробно-линейных преобразованиях из группы Г' (и которая
голоморфна в параболических точках; ниже будет объяснено, что
это значит).
Напомним определение символа Лежандра (-т). Для поло-
положительных нечетных простых d это обычный символ квадратич-
квадратичного вычета; он продолжается по мультипликативности на все
положительные нечетные d\ наконец, для отрицательных нечет-
нечетных d он равен (т-тт ) , если с > 0, и —(ттг ) » если с < 0- (Кро-
(Кроме того, (—-) = 1.) Далее, напомним, что ed=l, если d=l
(mod 4), и 8rf = i, если d = —1 (mod 4). Таким образом, г\ =*
= Х-1 (d) = (—l)(d"~1)/2 (заметим, что это справедливо как для поло-
положительных, так и для отрицательных d).
Итак, положим /(z)| [y]*/2 = /(y» z)~kf(yz)> гДе Y^roD). Мы
требуем, чтобы модулярная форма веса k/2 относительно Г' не
менялась при преобразованиях [y]*/2, где y€T'. Как и в случае
целого веса, мы хотим определить [a]k/2 для произвольных мат-
матриц a^GLJ(Q) с рациональными элементами и положительным
детерминантом. Но множитель автоморфности /(y> z) определен
только для матриц Y€roD), и мы не располагаем способом вы-
выделить одну из ветвей квадратного корня для произвольного
a?GZ4(Q). В связи с этим нахМ приходится работать с большей
группой, нежели GLJ(Q). Любой элемент а?вЦ (Q) должен со-
содержаться в этой большей группе (обозначим ее через G) в двух
«экземплярах», по одному для каждой ветви квадратного корня
из cz-\-d. Кроме того, пример множителя автоморфности j(y, z),

226 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
равного квадратному корню из ( -j-J (cz + d), показывает, что мы
должны также допустить квадратные корни из —(cz + d). Таким
образом, в действительности G будет четырехлистным накрытием
группы GLJ(Q). Дадим теперь точное определение группы G.
Обозначим через Тс С группу корней четвертой степени из
единицы: Т1={±1, ±/}. Обозначим через G множество всех упо-
(а Ь\
рядоченных пар (а, q>(z))f гдеа = 1 ? GL+(Q) и ф (г)-такая
\с aj
голоморфная функция на Я, что
/ \о j. cz-4-d
для некоторого/ ? Т- = {±1}. Таким образом, для данных a ?GL+ (Q)
и / == ± 1 имеется два возможных элемента (а, ± ф (z)) g G,
Определим произведение двух элехментов G следующим образом:
(а, ф(г))(Р, г|)(г)) = (ар, Ф(рг)Ч'(г)). A.4)
Замечание. Мы могли бы дать те же определения, взяв
вместо Т группу всех корней из единицы, или даже (как в работе
[Shimura 1973a]) группу всех комплексных чисел с единичным
модулем. Однако для наших целей достаточно взять группу кор-
корней четвертой степени из единицы.
Предложение 1. Множество G образует группу относительно
операции, заданной формулой A.4).
Доказательство. Проверим сперва, что множество G замкнуто
относительно умножения, т. е. что величина, стоящая в правой
fa b\ fe f
части формулы A.4), принадлежит G. Пусть ос=! , ], р=1 ,
Тогда
(Ф фг) у (г)J - tx (фг + d) t2 (gz + /t)/Kdetadetp
= t,t2 (с(ez + f)
= t,t2 ((ce + dg)
Это показывает, что (сф, ty(fiz)ty(z)) ? G. Ассоциативность прове-
проверяется немедленно. Кроме того, очевидно, что \[ п ), 1
есть единичный элемент. Наконец, найдем обратный элемент к
а ?Л
(a, <p(z)), где а = ( ). Запишем D^deta, a'-=
\с и j
d — b\
. Обратный элемент должен иметь вид (a,
.—с

§ 1. Определения и примеры 227
где ф(а~1г)г|)(г)= 1. Таким образом, положим i|)(z)= l/<p(a~x2).
Мы должны проверить, что (а, г|)(г))?С Вычислим
Итак, функция ty(z) имеет требуемый вид. Это завершает дока-
доказательство. ?
Проекция на первый элемент пары (a, (p(z))i—*a задает гомо-
гомоморфизм
Р: G-»GL2+(Q).
Ядро гомоморфизма Р состоит из элементов A, <p(z))GG. Но
если A, <p(z))?(/i то ф(-гJ = /. Отсюда следует, чтоф(-г) — посто-
постоянная функция, равная корню четвертой степени из единицы.
Отобразив группу Т в группу G формулой fr-*(l, /), мы полу-
получаем точную последовательность:
Иначе говоря, ядро гомоморфизма Р совпадает с образом группы Т
при отображении /ь~»A, /).
A Л
Аналогично, если a = al ^ - ), где agQ» то прообраз эле-
элемента а относительно Р есть множество всех пар (а, /), t?Tf
так как в этом случае мы снова находим, что ф (гJ должно быть
равно ± 1.
Пусть G1 = P~1 (Г) — множество всех пар вида (а, ф(г))?О,
где а б Г = SL2 (Z). Ясно, что G1—подгруппа. Если ?=(а, ф (г)) ^ G,
то иногда вместо аг, где z?#, мы будем писать |г.
Пусть 5 = (а, ф(г))?С Для любого целого числа k определим
оператор [5]*/2, действующий на функции / на верхней полупло-
полуплоскости по правилу
| -*. A.6)
Используя A.4), мы видим, что эта формула задает действие
группы G на пространстве таких функций; иначе говоря,
Пусть теперь Г' — подгруппа группы Г0D). Для элементов
у ? Г' определена величина j(y, z) (см. A.3)). Положим
~ def
Г'-Kv, /(V. г))|т€Г'}. A.6)

228 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Ясно, что Г" — подгруппа в G (см. формулу D.13), § III.4), изо-
изоморфная группе Г' относительно проекции Р. Обозначим через L
отображение из ГоD) в G, переводящее элемент у в элемент
Y = (Y. /(Y. z))€G.
Отображения Р и L —взаимно обратные изоморфизмы групп
ГоD) и ГоD). Мы называем L подъемом или сечением проекции Р.
Подъем элемента из ГоD) в G мы обозначаем с помощью тильды:
L: yh->y = (y, /(y. г));
Р- (Y' /(?> г))*~*У-
Пусть Г' — подгруппа конечного индекса в ГоD). Предполо-
Предположим, что f(z)— мероморфная функция на Нч инвариантная отно-
относительно [y]/?/2 Для у?Т'. Объясним, что означает мероморфность,
голоморфность или обращение в нуль функции / (г) в параболи-
параболической точке sgQ(j{o°}. Сперва рассмотрим параболическую
точку оо. Подгруппа Г' имеет конечный индекс в ГоD), а, сле-
следовательно, и в Г. Поэтому ее пересечение с подгруппой
U1 Л1
( fl h/) i/{ h\J\
должно иметь вид \ +' , ) г » если —1 € Г', и либо и 0 if»
1 / V
|/ /1 /Л VI
либо ч ¦ —( п 1 ) j ( » если —' С ^'- (^Ы всегДа выбираем h > 0.)
/V1
^ /V1 ft\ N
Поскольку [—1L/2 есть тождественное отображение и j\ [ r f , 2 =
= 1, функция / во всех случаях инвариантна относительно пре-
преобразования z*-*>z-\-h. Поэтому ее можно разложить в ряд по
степеням переменной qh^e2nizlh. Как и в случае целого веса, мы
говорим, что / мероморфна в оо, если это разложение содержит
лишь конечное число членов отрицательной степени по qh, и мы
говорим, что / голоморфна в оо, если это разложение не содержит
членов отрицательной степени по qh. В случае когда f голоморфна
в бесконечности, мы полагаем, по определению, что / (оо) есть
постоянный член в этом разложении.
Пусть теперь s?Ql){°°}. Предположим, что s = aoo, а?Г, и
пусть ? = (ос, ср(г)) — любой прообраз элемента а в группе G1,
РA) = а. Пусть f; = {Y€f'|YS=s} и Gi^jii G G1 |т]оо=оо}. Имеем

§ 1. Определения и примеры 229
так как Г^ = ! db ( ^ « U и, как отмечено выше, для матрицы
I ) функция ф(г) постоянна, ф(г) = Л Группа l~~lTrsl содер-
содержится в С1 и оставляет неподвижной точку оо, т. е. ^"TjIciG^.
Более того, Р задает изоморфизм группы ^Т^; с группой
~ э. Из того что Г' имеет конечный индекс в Г, следует,
что группа а~45а совпадает с одной из групп ^ ±
(/1 h\'\ If (\ AW\
1\ | > или \l —! 1 j j ( # *аким °бразом, для некоторого
t g T имеем
*\,yi
Если s и Е заданы, то число h > 0 определяется требованием,
/1 h\
чтобы элемент ( п был образующей группы а'Ф^х по модулю
Hh 1. Далее, отображение Р взаимно однозначно на i!1^; поэтому
/" 1 h\
мы можем найти /, поднимая элемент ±al n . la x G П с по-
мощью отображения L.
(Iх h\ \
Предложение 2. Элемент l ( ^ . ¦: , / ' G G« зависит лить от клас-
класса Г'-эквивалентности параболической точки s.
Доказательство. Сперва заменим ? на другой элемент ^ =»
= (a,, «Pi^GG1, такой, что s = a1oo. Тогда элемент t'^^G1
оставляет неподвижной точку оо и, следовательно, имеет вид
. Тогда
Но ! ( . j, t 1 коммутирует с I I п .),/), поэтому присопря-
.VI /г\ \
жении с помощью | '^х элемент i t „ . J, t ) не меняется.

230
Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Теперь предположим, что s1 = ys = (yl) оо, где у ? Г', у =
= (у, j(vv z))gf'. Заметим, что FSl = уГ5у1, и поэтому fSl =
= yFsV. Таким образом,
± (vS)-t ;^ - ± Е-у-1 (у r'sy- i)~yt=± i- т si,
I А\
и мы снова получаем тот же самый элемент ( ( ~ ,),/). Это за-
завершает доказательство. ?
Теперь мы можем объяснить, что означает, что функция меро-
морфна (голоморфна, обращается в нуль) в параболической точке s
относительно Г'. Предположим, что функция / инвариантна отно-
относительно [у]к/ч для у?Т'. Пусть s = ?oo. Положим g = f\[l]k/2-
Тогда для любого элемента ± 1~ху1 € dzE!^ имеем . ,
g\[± l-fyfo* = /1 [v?]*/2 = /1IIU = g.
инвариантна относительно
Это означает, что функция
1 K\
11 3
Запишем tk = e27lir, где г = 0, -г»'т или Т*
функция
^(г) инвариантна относительно преобразования
и мы можем разложить ее в ряд Фурье, e-2nir2/hg(z) =
таким образом,
Мы говорим, что / мероморфна в точке s^ если ап^=0 для всех,
кроме конечного числа, п < 0. Мы говорим, что / голоморфна
в точке s, если ап = Ь для всех п < 0. Пусть / голоморфна
lf
clef
то автоматически
в точке s; положим /(s) = lim g(z). Если г
/(s) = 0, поскольку в этом случае первый член разложения есть
a0e2nizr/h. Если г = 0, то f(s) = a0. Легко видеть, что условие меро-
мероморфности (голоморфности, обращения в нуль) зависит только от
класса Г'-эквивалентности точки s, т. е. оно не изменится, если
мы заменим g = f\[l]h/2 на g"i = /| [y?i]*/2, где ygf' и Ех оо = s
.(см. доказательство предложения 2, а также доказательство пред-
предложения 16 из § II 1.3).
Следует отметить, что в определении значения / (s) модулярной
формы в параболической точке присутствует некоторая неоднознач-

§ 1. Определения и примеры 231
\[ )/ 1
кость. А именно, при замене элемента l^G1 на \[ п t ,/t b,
где /х^Г, функция g —/|[?]>/2 умножается на ?ffe. Если fe/2—•
полуцелое число, то при этом значение в параболической точке
может измениться на степень числа г, если й 2 — нечетное целое
число, то / (s) может быть определено ли ль с точностью до ± 1
(сравните с доказательством предложения 16, § II 1.3); если же
k2 — четное целое число, то f(s) определено однозначно.
Пусть s — параболическая точка относительно Г' и к — целое
число. Мы говорим, что точка s k-иррегулярна, если г Ф О, и мы
говорим, что точка s k-регулярна, если л —О, т. е. если tk = \.
Таким образом, если функция f голоморфна в параболических
точках, то она автоматически обращается в нуль во всех fe-ирре-
гулярных параболических точках.
Отметим, что ^-регулярность или ^-иррегулярность параболи-
параболической точки s относительно Г' зависит лишь от вычета числа k
по модулю 4. Таким образом, при t = ±i параболическая точка
А-иррегулярна, если к/2 не равно четному целому числу; при t==
= — 1 она fe-иррегулярна, если k2 не равно целому числу, а при
t=l она всегда fe-регулярна. В случае когда к,2 равно нечетному
целому числу, эта терминология согласуется с определением регу-
регулярных и иррегулярных параболических точек, данным в задаче 2,
§ П1.3.
Определения. Пусть к — любое целое число, и пусть Г"сГ0D) —
подгруппа конечного индекса. Пусть f (z)—мероморфная функция
на верхней полуплоскости Я, инвариантная относительно [y]k/2
для всех Y^f'. Мы говорим, что f(z)—модулярная функция веса
k 2 относительно Г', если / мероморфна во всех параболических
точках относительно Г'. Мы говорим, что f(z) — модулярная форма,
и пишем /? М/г/2 (fr), если она голоморфна на Я и в каждой пара-
параболической точке. Модулярная форма / называется параболической
формой, если она обращается в нуль в каждой параболической
точке. В этом случае мы пишем f ?Sk/2(Vf).
Пусть теперь Л^ = 4/, где />0 — целое число, так что Го (N) сг
сГ0D). Пусть % — характер группы (Z/A/'Z)*. Обозначим через
Mk'2 (Г0(Л/), х) подпространство в Mk>2 (I\ {N)), состоящее из таких
(а Ъ\
форм f, что для каждого элемента у = [ , }^ГО(ЛГ) выполнено
\с aj
равенство
f\[y]k/2 = %(d)f. A.7)
Положим Sk/2 (Го (N), х) - Sk/2 (J\ (N)) П Mk/2 (f, (N), x). В точности

232 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
те же рассуждения, что и в случае целого веса, показывают, что
Более того, из определения немедленно следует, что если %i
и %2 — характеры Дирихле по модулю N и /? ? Mk./2 (Го (Ю> id
0"=1, 2), то
Заметим, что если % — нечетный характер, то Mk/2 (fo(iV), x) = 0
для любого &?Z; в этом легко убедиться, подставив —1 вместо у
Например, единственный четный характер группы (Z/4Z)*—это
тривиальный характер %=1, и поэтому
М,/2 (Гj D)) = М*/2 (Г0 D), 1) = М,/2 (Го D)).
Напомним, что если 4|iV, то через x~i мы обозначили харак-
характер по модулю N, заданный формулой %__1(п) = (—l)^-1)/2 для
(ZVZ)
()
Заметим, что в наших определениях целое число k произ-
произвольно; оно не обязательно нечетно. Сравним в случае четного k
данные только что определения пространств Mk/2 (f'), Sk/2 (f'),
М/г/з (fo(yV), x)> Sk/2 (Г0(Л^), х) с определениями пространств
М*/а(Г), S,/2(r'), Mk/2(N, x), S,/2(yV, x) из гл. III. Прежде
всего для всякого ?=(а, ф(г))^С, а^= f а , j , ф (zJ = / (сг + ^)
X (Vdeu)-1 заметим, что/ (г) | [?]Л/Я = ср (г)"Л/ (аг) = /-*/»/ (г) | [а]Л/1,
так что для k/2 G Z оператор [^]Л/2 отличается лишь на корень из
единицы от оператора [a]&/2, определенного в предыдущей главе.
Отсюда немедленно следует, что для А/2 € Z условие на пове-
поведение в параболических точках, сформулированное в предыдущей
главе, эквивалентно условию на поведение в параболических точ-
точках, сформулированному только что.
Однако имеется небольшое различие между условием инвариант-
инвариантности функции / относительно [y]*/2 для у = (а л)?Г' и усло-
условием инвариантности функции / относительно [v]/?/2. А именно,
((i))i/) A)*/
Таким образом, если к/2 нечетно, то [у]*/а отличается от [у]к/*
на Х-1 (<0- В результате мы получаем следующее предложение.

§ 1. Определения и примеры 233
Предложение 3. Пусть 4|iV, &/2?Z. Тогда
Sk/2 (Го (N), %) = Sk/2 (N9 x-ix).
Теперь нетрудно описать структуру пространства Mk/2 (Го D)).
Если мы рассматриваем полиномы Р (Х1У . . ., Хт) ? С [Хх, ..., Хт]
и приписываем каждой переменной Х{ некоторый вес wA то вес
монома II Xt-' равен, по определению, до = 2 п№\- Мы говорим,
что полином Я имеет чистый вес до, если каждый моном, входя-
входящий в Я с ненулевым коэффициентом, имеет вес до.
00
Предложение 4. Пусть 0 (г) = 2 qni>F(z) = 2 ol(n)qntq = e^niz.
п— — со нечетные
Припишем функции 0 вес 1/2, а функции F вес 2. Тогда
Mfc/2(f0D)) есть пространство всех полиномов из С[0,/7], имею-
имеющих чистый вес k/2.
Доказательство. В гл. III мы доказали, что для k/2 € Z
пространство Mfe/2 (/V, x-7i) состоит из полиномов от 0 и F,
имеющих чистый вес k/2 (см. задачи 17—18, § III.3). Это
доказывает предложение 4 в случае, когда k/2 ? Z. Далее, по
определению оператора [v]/?/2 имеем в| [у]1/2 = 0 для 7^Г0D).
Функция 0 голоморфна в параболических точках. Действитель-
Действительно, мы проверили голоморфность функции 02 в параболиче-
параболических точках, и если бы 0 была сингулярной в точке s, то 02
тоже была бы сингулярной. Таким образом, 0 ? /М1/2 (ГоD)).
Используя A.8), мы заключаем, что любой полином от 0 и F,
имеющий чистый вес k/2, лежит в М^/2(Г0D)). Обратно, предпо-
предположим, что / ? Mk/2 (f 0 D)), где k нечетно. Тогда функция /0 лежит
в M{k + i)/2 (f0 D)). Поэтому мы можем записать ее в виде /0 =
= aF(fe + 1)/4 + 02Я @, f), где P(Q,F) — полином с чистым весом
(k—1)/2 и а?С — константа (а = 0, если 4^й+1). Тогда
/_ОР @, F) = aFib + wi/Q € Мш (Го D)).
Но 0 обращается в нуль в параболической точке —1/2, a F от-
отлично от нуля в этой точке. Поэтому эта форма удовлетворяет
условию голоморфности в точке —1/2 только тогда, когда а = 0.
Таким образом, / = вР@, F), и доказательство завершено. ?
Следствие. Dim Mk/, (f0 D)) - 1 + [fe/4].

234 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
ЗАДАЧИ
1. Пусть y=( V )€гоD),ипустьр = ( (Jf1. }, т~1/4 ). Проверьте, что
\ с а) ^ \\\j i j j
(a) Вычислите рур.
(b) Если у ? гв Dт)' то элемент ух = ( ™ ) у I ™ ) принадлежит Го D).
Сравните элементы рур и у^. Покажите, что они совпадают в случае, когда
т — квадрат; в противном же случае найдется элемент у?Г0Dт), такой,
что pvp и 7i отличаются знаком.
2. Пусть у=(^ J)eroD), и пусть P=((J ~"J) > N'U V"*) • Проверьте,
что p?G.
(a) Вычислите рур.
(b) Предположим, что 4\N и что у^Г0(Л^). Тогда уг = ( \х
л/ о ) ёГо(А^)- Сравните элементы рур и уг.
3. Найдите h и t для каждой параболической точки относительно Го D).
4. Пусть Г'с:Г0 D) —подгруппа конечного индекса. Пусть &/2?^. Покажите^
что если Г'сгГ1! D), то Mk/2 (f') = Mk/2 (Г'). Если r'^Tj D), то пусть
X — единственный нетривиальный характер группы Г'/Г'[}ГхD). Покажите,
что Mkj% (Г') = Мki2 (Г', х^2) в обозначениях из § III.3 (см. обсуждение
после предложения 27).
5. (а) Опишите пространство Sk,2 (Го D)) и найдите его размерность.
(b) Пусть &;^5. Покажите, что коразмерность пространства Sfe/2 (Го D))
в ^k/2 (^о (^)) равна числу ^-регулярных параболических точек.
(c) Найдите элемент 2 апЯп в ^i3/2^oD)), такой, что ах=1 и а2 = 0 (су-
(существует только один такой элемент)»
6. Пусть 4 | W. Положим %N (d) = ( -т- ) , если Н.О.Д. (#, d)= 1, и XtvW^0-
если Н.О.Д. (TV, d) > 1.
(a) Покажите, что %у—характер Дирихле по модулю N.
(b) Пусть р —такое, как в задаче 2, и пусть %— произвольный характер
Дирихле по модулю N. Предположим, что /f^2(f0(^), X)- Покажите,
7. Найдите значения функции 6? М1/2 (Го D)) во всех трех параболических
точках относительно Го D).
§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса
относительно Г0 D)
В § III .2 мы определили функции Gk (z) и Ек(г). Эти функция
принадлежат Mk (Г) при любом четном &>4. Напомним, что
Gft(e) = 2 (mz-f п)"Л, где суммирование распространяется на все
m, ^6Z» не равные одновременно нулю. Функция ?^ (г) полу-
получается из функции Gk (г) делением на G*(f'oo) = 2?(?).' Можно

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно foD) 235
определить Ek (г) иначе (см. задачу 1, § II 1.2):
—7ТТ7- B-1)
где суммирование ведется по парам т, n?Z, таким, что
Н.О.Д. (т, /i)=l, и из (т, я), (— т, — п) берется только одна
пара. В § III.2 мы получили ^-разложение
' п=\
Мы хотим дать аналогичную конструкцию, в которой вместо
целого числа k участвует полуцелое число k/2, а вместо группы
Г — группа Г0D). Для этого нам нужно дать более глубокое
описание суммы B.1), проясняющее ее внутреннюю структуру,
j G Г (это возможно,
поскольку Н.О.Д. (т, п)=\). Заметим, что тогда соответствую-
соответствующее слагаемое в B.1) есть величина, обратная к множителю
автоморфности Jk(y, z) функций из Mk (Г) (напомним, что функ-
функции / из Mk (Г) удовлетворяют соотношению f(yz) = Jk(y, z)f(z),
где Jk(y, z) = (mz + n)k). В B.1) мы суммируем величины \lJk(y, z)
по всем классам эквивалентности элементов у?Т, где Yi ~ 7г»
если нижние строки элементов Yi и Y2 совпадают с точностью
до знака, т. е. если у2 = ±:(() |)yi для некоторого элемента
±(q (убГ^,. Другими словами, рассмотрим Jk(y, z) как функ-
функцию на множестве Г^ХГ правых смежных классов. Тогда мы
можем переписать B.1) следующим образом:
Eki2)^ 2 Jk(y> z)* &>4 — четное число. B.2)
Теперь можно дать другое доказательство инвариантности
функции Ek (г) относительно [yx]k для Yi € Г; оно легко обобщается
на другие суммы множителей автоморфности. А именно, по опре-
определению оператора [Yi]fe имеем
*
= ^*(Yi.z)-1 2 Л(У Y
I) 6 1оо\Г
Здесь мы воспользовались общим соотношением A.1), которому
удовлетворяет любой множитель автоморфности. Но умножение

236 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
справа на ух просто переставляет правые смежные классы Г^у.
Таким образом, члены последней суммы получаются перестанов-
перестановкой из членов суммы B.2) для Ek. Поскольку эта сумма абсо-
абсолютно сходится при k > 2, мы заключаем, что Ek\[y1]k = Ek.
Перенесем эту процедуру на случай полу целого веса k/2 и
группы ГоD). Наши ряды будут абсолютно сходиться только при
k/2 >2, т. е. при &>5.
Заметим, что Г
о
Определение. Пусть k^b — нечетное число. Положим
Еш(г)= 2 /G.2)-*. B.3)
ГХГН)
Выберем по одной матрице ( ) для каждой пары (т, п),
такой, что 4|ш, Н.О.Д. (т, п)=1 (отсюда, в частности, следует,
что п нечетно) и п > 0. Эти матрицы образуют множество пред-
представителей всех правых смежных классов группы Го D) по под-
подгруппе Г^. Таким образом,
4 | т п>0 х ч '
т, nel>, 4 | т, п>0
Н.О.Д. (т, п)~ 1
Подставим сюда определение величины / (у, г) и заметим, что
[ _^ \ = / —. j э так как k нечетно. Получим
п)-ик B.4)
4 \m, n>0
Н.О.Д. (m, n)=J
Те же самые рассуждения, что и в случае рядов Эйзенштейна
целого веса относительно Г, показывают, что Ek/2 ? Mk/2 (f0 D)).
А именно, Ek/2(z)\[y1]k/2 = j(yu z)~kEk/2(y1zI и это сводится
к перестановке членов суммы B.3). Наконец, проверка условия
голоморфности в параболических точках не вызывает затрудне-
затруднений, и мы оставляем ее в качестве упражнения (см. ниже).
В отличие от случая группы Г, когда имеется лишь один ряд
Эйзенштейна данного веса, у ряда Ek/2{z) есть партнер—ряд
Эйзенштейна FkB (г), определенный формулой
О
Существование двух рядов Эйзенштейна каждого полуцелого веса
k/2 связано с тем обстоятельством, что группа Го D) имеет две

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно ГоD) 237
регулярные параболические точки (см. задачу 3 из § 1 и обсуж-
обсуждение в самом конце § II 1.5). Для того чтобы проверить, что
Fk/2 € M-k.2 (Го D))i можно использовать задачу 6 из § 1 в случае
Для того чтобы выписать Fk/2 в явном виде, вычислим
nk/2 \"^ /
* > | ___ j g«
Н.О.Д. (m, лг)=1
jL*\n J n (_
Здесь мы воспользовались тем, что п > 0, и поэтому V^z х
X к — m/4z -\- n = V— т + 4/гг. Заменим теперь m на —4т и будем
суммировать соответственно по таким т ? Z, что Н.О.Д.Dт, я)= 1,
т.е. по таким m, ngZ, что Н.О.Д. (т, л)= 1 и /г — нечетное
положительное число. Мы получаем
т, п € Z
п>0 нечетно
Н.О.Д. (т, п)=)
Вычислим теперь ^-разложения функций Ek/2 и Fk/2. Мы будем
действовать так же, как при выводе ^-разложения функции Ек
в § III.2; при этом, однако, появятся некоторые усложнения.
Вывод ^-разложения для Fkjt (г) оказывается несколько менее
утомительным, чем для Ek/2 (г). Поэтому мы дадим только этот
вывод и опустим аналогичное доказательство формулы для q-раз-
ложения функции Ek/2 (г).
Чтобы найти ^-разложение функции Fk/2 (г), начнем со сле-
следующего соотношения, которое было доказано для любых а> 1,
г^Н в задаче 8(с) из § II.4 (мы заменили a, s на г, а):
B.6)
(Замечание: для г?# мы определяем га = еа]0%г, где через log2
обозначена та ветвь логарифма, мнимая часть которой лежит
в @, я) при 2? Н.)
Поскольку сумма B.5) для Fk/2 (z) сходится абсолютно, мы
можем расположить члены в любом порядке. Пусть / = 0, 1, ...,
п—1. Запишем /л = — /-\-nh, h?Z. Заменяя в формуле B.6)

238 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
z на г—j/n и а на fe/2, мы получаем
е (т)
нечетные 0</<гс * /i=-oo
о</<я ^ n '
X
ао
Таким образом, fk/2(z)= 2 ^» q — e%niz% где
В важном частном случае, когда число/ свободно от квадратов,
выражение B.7) можно упростить. Покажем, как это делается.
Пусть т ? Z свободно от квадратов. Для нечетных / > 0 обо-
обозначим (-?-) через xm{j)> Таким образом, если / простое, то
%тA)—это та величина, которая показывает, что происходит с
j в поле Q iVm); / расщепляется, остается простым или развет-
разветвляется, если Хт (/) равно 1, —1 или 0 соответственно. Имеется
единственный характер, также обозначаемый через хот, кондуктор
которого равен |т|, если m=lmod4, и |4т|, если т^2 или
3mod4, и который задается формулой хт (/) = (-?-] для нечетных
/ > 0. Мы можем выразить хт чеРез обычный символ Лежандра
следующим образом:
если т ^ 1 mod 4;
если т ^ — 1 mod 4;
если т = 2m0 ^
где по определению f^-J=(—i)(/-D/a для нечетных / и (^А=0
B \ / о \
— J = (—l)(/2-D/8 для нечетных / и f— J=0 для
четных /.
Заметим, что
Г« (—1)= 1, если ап>0, и Хя(—1) = —1, если т < 0. B.8)
Напомним, что мы ввели обозначение к = (к—1)/2.

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно ГоD) 239
Предложение 5. Пусть I свободно от квадратов. Коэффициент bl
q-разложены я ряда Эйзенштейна Fk/2 равен произведению величины
L(%(_!)*/, 1—h) на множитель, зависящий только от X и от вы-
вычета числа I по модулю 8, но не от самого I. Этот множитель
дается выражением B.16) ниже.
СперЕа докажем лемму.
Лемма. Пусть I свободно от квадратов, и пусть п = nQn\, где
п0 свободно от квадратов. Тогда внутренняя сумма в B.7) обра-
ищется в нуль, если пг не делит /; если п1 | I, то она равна
где [л — функция Мёбиуса (равная О, если пх не свободно от квад-
квадратов, и (—1)г, если п1 есть произведение г различных простых
чисел).
Доказательство леммы. Прежде всего, если пг=1, то (— ]
имеет кондуктор n = nQ. Если I и п имеют общий делитель d, то
собирая вместе члены с индексами /, отличающимися на величины,
кратные nd, мы видим, что внутренняя сумма в B.7) равна
нулю. С другой стороны, если /? (Z/nZ)*, то, делая замену пере-
переменных /' = — //, мы приходим к сумме ( — )^( — ) e2nii'/n. Хорошо
известно, что эта гауссова сумма равна &nVn (см., например, § 5.2 и
5.4 книги [Боревич и Шафаревич 1985]). Это доказывает лемму в
случае п1 = 1.
Далее, покажем, что внутренняя сумма равна нулю, если
Н.О.Д. (n0, ^i) — d > 1. Заметим, что
i-)= I L)f если Н.О.Д. (/, л)=1,
v 0 в противном случае.
Отсюда следует, что (~ ) = (-~72) • Соберем члены с индексами/,
отличающимися на величины, кратные n/d2. Пользуясь тем, что
(так как / свободно от квадратов), так что 2^Я17(/+/'/г/^2)//г==0,
мы находим, что внутренняя сумма равна нулю в этом случае.
Теперь предположим, что пх > 1 взаимно просто с п0. Пусть
pv—простые числа, делящие nt, ^1 = IJ/7vv. Положим qv = Pvv.
Пусть еще 8V (/) = 0, если pv \ j, и 6V (/) == 1, если /?v|/. Тогда ^ J =
= Г — j JJ 6V (/). Любой элемент j^Z/nZ можно однозначно за-

240 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
писать в виде
/ = /o«i + S /vi/<7v. 0 < /о < Ло, 0 < /v < tfv-
Тогда
V
Далее, заметим, что
т)==(?)П^(/) = (я;)Пву(ь).
После этого перепишем внутреннюю сумму в B.7) в виде
'V (Ь.) е-^Ч^\ П ? 8V (/v) e-««/X- B.10)
Согласно первой части доказательства (для случая п = п0), пер-
первая сумма равна &n(^jVnQ. Сумма, стоящая под знаком про-
произведения, есть
/v=0 /v=°
Здесь первая сумма равна нулю, поскольку q\\l. Вторая сумма
также равна нулю, если q% не делит lpv; но это может случить-
случиться, только если qv — pv и pv\l. Таким образом, выражение B.10)
равно нулю, за исключением случая, когда все qv = pv,T. e. когда
tii свободно от квадратов и п1\1. Если пх \ /, то каждая сумма,
стоящая под знаком произведения в B.10), равна —/?v, и мы
получаем следующее выражение для требуемой суммы:
(Заметим, что еИо = еи.) Последнее произведение равно
Это завершает доказательство леммы. Ц
Теперь все готово для вычисления коэффициентов bt в случае,
когда / свободно от квадратов.
Заменим внутреннюю сумму в B.7) на ее значение, вычислен-
вычисленное в лемме, и выделим сумму по всем п с фиксированным /г0.
Согласно лемме, мы получаем
«о>0 нечетно /it | /
и свободно от Azt нечетно
квадратов

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Г0D) 241
Поскольку ело/22 = ел0, выражение под знаком суммы по п0 равно
нечетные пх \ I
Сумма по пх | / равна Ц A—Рх~к)\ поскольку это выраже-
нечетные р\1
ние не зависит от я0, мы можем вынести его за знак суммирования
по п0. Кроме того, используем соотношение (напомним, что X =
12
Y4VWMY
В результате получаем
р нечетно нечетно и свобод-
свободно от квадратов
Выражение ( —] ( — ) мы обозначили через %,ла,(п0). Как мы
отмечали, %(-i)Mno) —это значения в точках п0 (где п0 — нечет-
нечетные свободные от квадратов положительные числа) примитивного
характера X(_d^ с кондуктором N = 1, если (—1L= 1 mod 4,
и N = 41, если (—1L = 2 или 3mod4.
Таким образом, сумма в B.11) чрезвычайно похожа на выра-
выражение для значения L-ряда Дирихле в точке s = K:
def "
п— 1
Различие между этими двумя суммами заключается в том, что
суммирование в B.11) ведется только по нечетным свободным от
квадратов числам п. Но, записывая произвольное число п в виде
п = поп\, где п0 свободно от квадратов, мы видим, что х(_1)я.Дл) =
= Х(_!)>«/(по)> если ni взаимно просто с iV, и %(_1)Я|/(п) = 0, если
Н. О. Д. (я, N) > 1, где N = 1 или 4/ — кондуктор.
Сперва предположим, что N = 41. Тогда, если бы мы умножи-
умножили сумму в B.11) на
>r i ч*^!/ "— 11 V Р / — ц!^Л} II 11 и )у
nt > 0 взаимно P^/V /? ^ /V
просто с Л'
то мы бы получили значение L-ряда B.12) в точке s = A,. Дру-
Другими словами, имеем

242 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Все сомножители в произведениях сокращаются, за исключением
сомножителя в левой части, отвечающего p = 2\N, и мы получаем
h
°* - I Bл) 1 - 2-2А
для (—1)Л/ = 2 или 3mod4
(мы заменили здесь k на 2К-\- 1).
Если, с другой стороны, N = 1, т.е. если (—1)*7==1 mod4, то
для того, чтобы получить L(x(_1}kiA), мы должны умножить сум-
сумму в B.11) на
1 тт }
где первый сомножитель A—Х(_1)я/BJ-^) необходим для того,
чтобы получить члены с четным п в B.12). Поскольку 1—2~2>- = A +
+ Х(-1)^BJ-Л)A — х(_1}Я/)BJ-я), мы можем переписать послед-
последнее произведение в виде
Это приводит к равенству
'~ СBЯ) i+
() i+x^i BJ
для (—1)я/^ 1 mod4.
Формулы B.13) и B.14) выражают 1-й коэффициент ^Р
жения функции Fk/2 через значения L-функции и римановой дзе-
дзета-функции в положительных целых точках. Эти формулы содер-
содержат сомножители, которые выглядят довольно сложно. Однако,
по большей части они исчезнут, если мы воспользуемся функцио-
функциональными уравнениями для L(% лп s) и ?(s) и выразим bl через
значения этих функций в отрицательных целых точках.
А именно, по теореме из § П.4, имеем
Далее, задачи 3(е) и 5(е) из § II.4 дают нам функциональное
уравнение для L(%{_ fy, s); функциональные уравнения для чет-
четного и для нечетного характеров слегка различаются. Из B.8)
следует, что характер Уч^1)л/ — четный, если К четно, и нечетный,

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно ГоD) 243
если к нечетно. Таким образом, мы имеем
если X четно,
/0 1 ?\\
Г (l— у^)/г(~+4^), если к нечетно. ' '
Подставляя эти равенства в B.14) и используя соотношения
A^(|40^ (см> Ф°рм>гл>; D-4)' § IL4) и
Г(х)ГA — x) = n/s'mnx (см. формулу D.3) в § II.4), получаем
(детали мы оставляем читателю):
( 2^~1/2
—, если (—1)^ = 1 mod 4,
B.16)
если(-1ч1/ п '
()
1_2~2А'' или 3 mod 4.
Заметим, что значение L-функции зависит от самого числа /, а
другие сомножители либо не зависят от /, либо зависят только
от вычета числа / по модулю 8. Это завершает доказательство
предложения 5. ?
Если к — фиксированное четное число, то характер %, ^ че-
четен, и когда / пробегает множество свободных от квадратов по-
положительных целых чисел, х(-1)^ пробегает множество характе-
характеров всех вещественных квадратичных полей Q{\/T). Дискрими-
Дискриминант D поля Q {УI) равен /, если /=lmod4, и 4/, если 1 = 2
или 3mod4. Если к — фиксированное нечетное число, то X(_ufy
пробегает множество (нечетных) характеров, соответствующих
всем мнимым квадратичным полям Q(|/ —/). .Дискриминант D поля
Q (V—0 равен —/, если —/^Imod4, и —4/, если —/~2
или 3 mod 4.
Таким образом, для (—l)//^lmod4 формула B.16) выража-
выражает | D\-Pi коэффициент ^-разложения ряда Эйзенштейна Fx + l?2 через
значение в точке 1—к L-функции с квадратичным характером
с кондуктором \D\.
С помощью аналогичных вычислений нетрудно показать, что
|0|-й коэффициент ^-разложения для (—1)к1 = 2 или 3 mod 4,
| D | = 4/ дается формулой
B.17)

244 Гл. IV. .Модулярные формы полуцелого веса
Обратимся теперь к коэффициентам g-разложения другого ряда
Эйзенштейна — ряда ?\+i 2- Используя рассуждения, аналогичные
тем, которые привели нас к B.16) — B.17), нетрудно показать,
что если / свободно от квадратов, то 1-й коэффициент (/-разложе-
(/-разложения функции Ek/.j, = 2 atql равен
(—l)x/= 1 mod 4,
— 1, если (—1L = 2 или 3 mod 4, B'18)
( 1 1+Х(_пл,<2J-*
I оч i -^ ¦—- , если (—lr/=
; J ^ 1 +x > B) 2~Л
^, если (—1)Л/ = 2 или 3mod4.
B.19)
Кроме того, нетрудно показать, что для (—1)*7 = 2 или 3mod4
(так что D=(—1)М/—дискриминант квадратичного поля) имеем
i—2Я.) 2—г1-2
B.20)
Таким образом, мы обнаружили, что \D\-e коэффициенты ^-раз-
^-разложений функций Ек/2 и Fk/2 имеют вид произведения числа
^ C/d» 1—^) на множитель, который зависит только от К и, в слу-
случае когда D=^ (—1)я/ == 1 mod 4, or %DB). Величина %D B) равна 1,
если (—l)A/^lmod8, и —1, если (—l)A/^5mod8. Мы будем
временно сокращенно писать % вместо %DB).
То же самое верно и для любой линейной комбинации функ-
функций Ek/2 и Fk/2. Попробуем найти такую линейную комбинацию,
\D\-Pi коэффициент ^-разложения которой в точности равен
L(%D, 1—К). Точнее говоря, попробуем найти коэффициенты а и р,
такие, что \D\-ih коэффициент ^-разложения функции
равен L(%D, 1—Я), где D пробегает множество дискриминантов
всех вещественных квадратичных полей, если X четно, и всех мни-
мнимых квадратичных полей, если л нечетно. Мы включили множи-
множитель ?A—2Х) из соображений простоты, для того чтобы сократить
член ?A—2%) в знаменателях всех коэффициентов ^-разложений
функций Ek/2 и Fk/2. Таким образом, мы требуем, чтобы

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Г0D) 245
для D=(— 1L=== I mod 4;
(- 1
для D = (— 1L/, (—1L = 2 или 3 mod 4. Разделив на L(xD, l—k),
мы получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными <х
и р. Поскольку х зависит от вычета числа / по модулю 8, a priori
не очевидно, что а и р, для которых ая| о | -f- Pfy о I =
= L(xD, I —?v)/?(l—2A), не будут зависеть от /. Однако, решая
эти уравнения относительно аир, мы обнаруживаем, что реше-
решение действительно не содержит %, и поэтому не зависит от L
А именно, мы получаем
<х=1, р = A + (—1)ЧJ-*-1/8.
Итак, мы приходим к следующему предложению.
Предложение 6. Пусть K = (k—1)/2>2, и пусть функции Ek/2r
Fk/2 € Mk/2 (Го D)) определены формулами B.4)—B.5). Тогда функция
+ A + /*) 2-u*Fk/2) е Мш (Го D))
обладает следующим свойством: если D = (—1)я/ w^i/ (—1)Л4/Г
/>0, есть дискриминант квадратичного поля и %D — соответ-
соответствующий характер, то \ D \-й коэффициент q-разложения функ-
функции Я^ равен L(%D, 1-Я).
Это предложение принадлежит X. Коэну [Cohen 1975]. (Обозна-
(Обозначения Коэна слегка отличаются от наших.) Его можно рассматривать
как прототип теоремы Вальдспургера—Туннелла, которую мы будем
обсуждать позже. В теореме Вальдспургера — Туннелла строится мо-
модулярная форма веса 3/2 (в предложении 6 этому отвечало бы Я = Г)
относительно Го A28), квадрат п-ro коэффициента ^-разложения
которой отличается некоторым множителем от L(En, 1), где L(E, s}
есть L-функция Хассе—Вейля эллиптической кривой Е (см. § 11.5}
и Еп — эллиптическая кривая у2 = х* — п2х. Таким образом, коэф-
коэффициенты ^-разложения этой конкретной формы полу целого веса
тесно связаны с критическими значениями L(EU, 1), которые мы
обсуждали в гл. II.
Если бы мы могли взять X— 1 в предложении 6, то | D \-ш
коэффициент ^-разложения был бы равен L (xD, 0). Благодаря функ-
функциональному уравнению эта величина отличается несложным
отличным от нуля множителем от МХо> 0 и равна, по существу,.
числу классов мнимого квадратичного поля Q (J/D) (здесь D = — /
или —4/). Ниже мы остановимся на случае Х=\ более подробно.

246 Гл. ТУ. Модулярные формы полуцелого веса
Другое доказательство предложения 6, использующее так на-
называемые якобиевы формы, имеется в работе [Eichler, Zagier 1984].
Обсудим теперь некоторые интересные следствия предложения 6.
По предложению 4, функцию Hk/2 ? Mk/2 (f 0 D)) можно выразить
в виде полинома от в= 2 Qn' и ^= 2 °i(n)Qn- Отсюда
п— — аю п > 0 нечетно
следует, что существуют формулы, выражающие L(%D, 1—к) через
<51(п) и число способов, которыми число п может быть записано
в виде суммы г квадратов. Проиллюстрируем это на простом при-
примере k — 5, к = 2. В этом случае пространство Mb/2 (f0 D)) порож-
порождено формами в5 и в/7, и сравнение коэффициентов при нулевой
и первой степенях переменной ^ показывает, что Я5/2 = щв5—
—r6F (см. упражнения ниже). Это приводит к следующему
предложению.
Предложение 7. Обозначим через sr (n) число способов, которыми
п может быть записано в виде суммы г квадратов; таким обра-
зом, в5 = 2 s5 (п) ЦПщ Пусть D—дискриминант вещественного
квадратичного поля, и пусть iD—соответствующий характер.
Тогда
I /1 < i 7>
D — /2 нечетно
Можно вывести много других соотношений того же типа,
используя структуру пространств модулярных форм. По существу,
это тот же способ, который мы использовали в упражнениях к § II 1.2
для вывода различных соотношений между ог(п). Подробности
можно найти в работе [Cohen 1975]. Эти соотношения можно рас-
рассматривать как обобщение на случай X > 1 так называемых соот-
соотношений между числами классов Кронекера и Гурвица. (Форму-
(Формулировку и доказательство соотношений между числами классов
можно найти, например, в приложении Цагира к книге [Lang 1976]
и в его исправлениях к статье [Zagier 1977].) Соотношения между
числами классов отвечают случаю X = 1, когда L (%D, 1—X)=L (%D, 0).
Но случай- h= 1 не входит в область применимости предложения 6.
Для того чтобы получить соотношения между числами клас-
классов, исходя из форм полуцелого веса, нужно ввести более слож-
сложную функцию #з/2. ORa преобразуется как форма веса 3/2 отно-
относительно ГоD), но не является аналитической. Ее \D\-n коэффи-
коэффициент равен, по существу, числу классов мнимого квадратичного
поля Q(\rD). Функцию H6/z изучал Цагир [Zagier 1975a].

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно ГоD) 247
В некотором смысле ситуация с Я3 2 аналогична ситуации с Е2Г
обсуждавшейся в § II 1.2. И в том, и в другом случае, когда вес
становится меньше минимального веса, необходимого для абсо-
абсолютной сходимости, возникают затруднения, и мы не можем полу-
получить настоящую модулярную форму. Функции Е2 и //32 требуют
более тонкого обращения, нежели функции Ек и Нк2 при k > 2
и k/2 > 2 соответственно. Но в обоих случаях эти ряды Эйзен-
Эйзенштейна, хотя и не оказываются модулярными формами, пред-
представляют особый интерес: мы видели, что функциональное урав-
уравнение для Е2 приводит к функциональному уравнению для дис-
дискриминанта A (z) g S12 (Г), а Н3/2 в качестве своих коэффициентов
имеет числа классов всех мнимых квадратичных полей.
Перейдем теперь к совсем другому Еопросу — о том, как устроены
остальные коэффициенты функций ?&/2, Fk/2 и Hk/2, коэффициен-
коэффициенты, индекс которых не свободен от квадратов. Мы снова подробно
рассмотрим лишь случай функции FkrZ, опуская аналогичные вы-
вычисления для Ek/2.
Мы будем добавлять каждый раз по одному простому числу.
Иначе говоря, для / = /?2V/0, р2 \ /0 мы выразим bt через Ь[о. В ре-
результате, собирая различные /?, мы сможем выразить bt через Ь/о>
где l=-l<J\ и /0 свободно от квадратов. Позже мы увидим, что
полученные соотношения удобно записать в виде формулы для
00
разложения ряда 2 b Mis B эйлерово произведение.
/j= I ° 1
Простейший случай — это /7 = 2. Предположим, что / = 4%, 4 \ 1^
Вернемся к нашей исходной формуле B.7) для bt. Формула B.7)
справедлива для всех /, не обязательно свободных от квадратов.
Если мы заменим / на 4/ в B.7), то двойная сумма не изменится.
Действительно, эта замена эквивалентна замене индекса суммиро-
суммирования / во внутренней сумме на 4/; но, поскольку п нечетно, 4/
пробегает множество Z//zZ, когда его пробегает /. Поэтому для
/ = 4v/0 имеем
b/==2<*-a>v&/e. B.21)
Этот результат мы можем переформулировать следующим образом:
для любого /0 выполнено равенство
B.22)
Действительно, сравнение коэффициентов при 2~sv в левой и пра-
правой частях равенства B.22) показывает, что оно эквивалентно
равенству B.21). (Заметим, что на самом деле мы могли не пред-
предполагать, что 4^/0.)

248 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Теперь предположим, что р нечетно. Пусть l = p2vlQi где р2 \ /0.
Снова используем формулу B.7) и разберем отдельно два случая.
Случай (i): p\lQ. Пусть lo = plo.
Запишем двойную сумму в B.7) в виде 2 ^«> гДе $п—
п > 0 нечетно
отвечающий п член в B.7). Пусть n = nQp2h, где/?2|"д0. Фиксируем
п0 и рассмотрим сумму величин Sn по всем п = пор2Ну й = 0, 1,
2, .... Заметим, что zn = en<i и n~k/2 == n^kllp~kh. Вычислим теперь
внутреннюю сумму по /?Z/rtZ.
Предположим сперва, что р \ п0. В качестве представителей
элементов из Z/nZ в Z выберем числа / = jop2h + jinQ, где /0 ме-
меняется от 0 до nQ—1, a j1 — от 0 до p2h—1. При заданном р
введем обозначение
( 0, если р\ /,
«(/)= , I B.23)
v 7 [1, если p-f/.
Тогда для /г ^ 1 имеем
(
Кроме того,
Таким образом, S^ для n = n0p2h равно произведению величины
О < /о < «о
на величину
2 8 (Л) е-8*'
В последней сумме заменим —/Jo на /\; тогда она становится
равной
( ii = pj2)- Первая сумма равна нулю при h > v и равна р2Л
при /z^v; вторая сумма равна нулю при /z>v+l и равна
p2h'1 при /z<v+ 1.
Мы заключаем, что члены внешней суммы в B.7), соответствую-
соответствующие индексам n = n0p2h с фиксированным nOi дают вклад
2/

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Г0D) 249
Далее, предположим, что р\п0У по = phQ. В качестве представи-
представителей элементов из Z/nZ в Z выберем
J — !оР "г /i"o> и^/о\до»
Имеем
Тогда Sn есть произведение величины
^ ~ \ -о /
О < /о < 
ла величину
Но легко видеть, что для любого А последняя сумма равна нулю.
* 1 ^ Vs (Jl. l = 0- рггти h ^> v
А именно, если A^v, то мы получаем Z*l\p) ' ^ J
то сумма по любому заданному классу вычетов по модулю р, т. е.
сумма по /i = /2 + /?/з с заданным /2, равна
/ /о \ .. j 2(V-h) ^^ . - 2(V-fl)+l
^je-2mj2oP ^ е-™!**
0</3< P2h
а последняя сумма равна нулю, поскольку 2 (v — А) + I < 0 и
р\\* Таким образом, Sn = 0, если п делится на нечетную степень
числа р.
Мы заключаем, что для р \ /0 выполнено равенство
nk/2 ^ „ х_^ V ЛB~ )
' "" Г (k/2) enikl*' ' п ^ . Я° ~Р 7?0Р
п0 > 0 нечетно, р/[ п0 n—v
Здесь Sno зависит только от /0, но не от / = /0/?2V, поскольку при
р\пъ имеем
\* (J— ] e-2niij/n0
^"^ \ ^0 / ^* V ^0 /
0 <^ / ¦< п0 0 -^ / < п0
Таким образом,
V V
Л=0 /i=0
Это соотношение может быть записано в виде следующего тож-
тождества, справедливого для любого /0, делящегося на р, но не де-

250 Гл. IV. Модулярные Формы полуцелого веса
лящегося на р'2:
L *,.„«/>-" = */. A_/,-<)(i_/>t-.-J) ¦ B-24)
Чтобы проверить эквивалентность равенства B.24) и выведенной
выше формулы для bllbi9t нужно разложить A—p~s)~l и
{1—pk-2-s^-i в геометрические прогрессии и найти коэффициент
при /?-VS в правой части равенства B.24). Нетрудно видеть, что
он равен
Случай (ii): p \ lQ. Снова фиксируем такое п0, что рг \ п^, и
рассмотрим во внешней сумме в B.7) члены Sn с номерами n = nop2h9
А = 0, 1, 2, ....
Сперва предположим, что р \ п0. Как и раньше, выберем
J = ioP2h + lino и определим б (/) формулой B.23). Имеем
Как и раньше, эту сумму можно переписать в виде
Это выражение равно нулю, если h > v, и равно /?2Л — p2h~l, если
h^v. Таким образом,
( Д B.25)
/i=0
Предположим теперь, что p\nQ, nQ = ph0. В этом месте изменим
наши обозначения и будем писать п0 вместо Яо. Иначе говоря, мы
должны исследовать величину 2^оР2/г + 1> гДе теперь п0 не де-
h
лится на /?. Как и раньше, положим / = jQp2h + l + /л и найдем,
что Sn, где n = nop*h+1f равно произведению величины
р ° ^^ \ по J B.25)
0</.</1о
на величину
\ Р J jLu \ р ) (Z.Z/)
Легко видеть, что последняя сумма равна нулю и при h < v, и
при h > v. Поэтому Sn не равно нулю только при h = v, т. е.
нри п = р*х+1п0. Сумма выражений B.27) по Л = 0, 1, 2, ..., v

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Г0D) 251
равна
(после замены переменной / = — loji), и сумма в этом выражении
равна произведению числа p2v на гауссову сумму, равную spV"p.
В то же время выражение B.26) равно
В результате имеем (n = n0p2v+1)
Рассматривая четыре случая р, «0=±lmod4, можно проверить,
что e/,(e;4Ie/eJ*^J(^) = ^)X+1. Следовательно,
Это выражение вместе с B.25) показывает, что полный вклад
во внешнюю сумму в B.7) членов с номерами п вида п0р2/г или
nQp2h+1 (где д0 — фиксированное число, не делящееся на р) равен
Р%-1)и(Р) 2, p
В случае / = /0, v = 0 этот вклад сводится к
-p^-1)^. B.28)
Мы будем временно писать % вместо %{_1}Ki (p)- Вычислим
/г—l У /го>0 нечетно, p^f n0
2
по>0 нечетно,
Используя соотношение у? —\ п производя простые алгебраичес-
алгебраические выкладки, находим, что
&А.= 2 Рш~*} -IP1" 2 /(*-2)- B.29)
Л0 й0
2
Л=0

252 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Соотношения B.29) для v = 0, 1, ... можно выразить в виде
тождества
hp**p-«> = bh (l _?;?_„*—^ , B.30)
v=0
которое легко проверить, собирая, как обычно, коэффициенты
при p~sv в правой части. Заметим, что соотношение B.24), ко-
которое мы вывели в случае (i), охватывается формулой B.30),
поскольку Х(_1)ъо (/0 = 0 при р\10. Таким образом, формула B.30)
справедлива во всех случаях.
Тождества B.30) для всех нечетных р и тождество B.22) для
р = 2 можно объединить в одну формулу.
Предложение 8. Пусть /0—свободное от квадратов положитель-
положительна е целое число, и пусть X = (k—1)/2. Обозначим через bt коэф-
коэффициенты q-разложения ряда Эйзенштейна Fkj%. Тогда
la but*lr* = {2,2s П A*(ГЛа*) ¦ B.31)
u {2 П Aр)(Гр)
/1==1 нечетные p V ' ; V И '
Доказательство. Пусть 1г = р^ .. .pvrr. Обозначим через fp(s)
сомножитель в правой части формулы B.31), соответствующий р
(здесь /., (s) = (l— 21')). Тогда мы должны показать, что
bl(il* равно произведению числа blo на коэффициент при /fs = p^SVx...
...p^SVr в /Р].../Р/.. Будем вести доказательство индукцией по г.
Для г=1 требуемые соотношения —это в точности соотношения
B.22) и B.30). Пусть г> 1, и пусть /а ==/7i'1-•-Pr-V- пРеДП0Л°-
жим, что результат верен для г—1. Тогда, по B.22) или B.30)
(в которых вместо /0 стоит /0/|) и по предположению индукции,
имеем
bt fi^vr^b^i -(коэффициент при pysvr в fPr)
= bt -(коэффициент при /.7s в fPi. . -fpr~i) (коэффициент при
PFSVr в fPr).
Но произведение этих двух коэффициентов равно коэффициенту
при /fs в fPi...fPr. Это завершает доказательство. (Сравните с
тождеством E.8), § II 1.5, для операторов Гекке.) ?
Аналогичным образом можно вывести тождества для коэффи-
коэффициентов at ^-разложения ряда Эйзенштейна Ek/2, 1 = IJI. Так же
как и для А>/2, эти тождества связывают между собой коэффи-
коэффициенты al p с фиксированной свободной от квадратов частью /0.
Мы ограничимся формулировкой результата. Снова будем добав-
добавлять каждый раз по одному простому числу. В сл}чае нечетного

§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно ГоD) 253
р справедливо то же тождество, что и для Fk/2:
1-Х, п?/ (Р)Р1-1-*
^vp--^A_;-:;(t^-a.v B.32)
где /0 фиксировано, р* \ /0. В случае р = 2 соответствующее тож-
тождество для Ek/2 оказывается чуть более сложным, чем для Fk/ft.
Наиболее интересный ряд Эйзенштейна относительно Го D) —
это линейная комбинация Hk/2 = ?A — 2K)(Ek 2 + A + ikJ-ki'2Fk 2)
из предложения 6. Обозначим 1-й коэффициент ^-разложения
функции Hk/2 через cv Используя формулы B.30) и B.32), мы
получаем, что коэффициенты ct для /=/0/?2v, р2 <[ 10, где р — не-
нечетное простое число, удовлетворяют такому же тождеству, как
Ь
v=0
B-33)
В случае /7 = 2 имеем b, 4V = 2v{k~2)b[Q; можно вывести формулы,
выражающие a 4V через b 4v (см. [Cohen 1973]). Собирая эти
выражения в случае р^=2, можно получить следующий резуль-
результат. Пусть /0 — положительное целое число, такое, что либо
{—1)*70— 1 mod 4, либо (—l)*70 = 4m, где т = 2 или 3mod4.
Тогда коэффициенты с х) v = 0, 1, 2, ..., удовлетворяют тому
же тождеству B.33) с /7 = 2. Таким образом, в случае функции
Hk2 тождество B.33) справедливо для всех простых р, включая 2.
Тождества B.33) для всех простых р приводят к соотноше-
соотношению, подобному B.31), где либо /0 свободно от квадратов и (—1L»^
EEElmod4, либо /0/4 свободно от квадратов и (—1)^/4^2 или
3mod4. Кроме того, можно показать (см. упражнения ниже), что
с{ -=^ 0, если / не может быть получено из такого /0 умножением
на квадрат. Коэффициенты с1л в этих случаях в точности раины
^]}я/» 1—^), и мы получаем следующее предложение.
Предложение 9. Коэффициенты cL q-разложения функции Я/г/2 =
= С A — 2Я) (Ek/2 + A + ih) 2-k^Fk/2) e Mk/2 (f D)) можно опреде-
определить из тождества
—X 1 (p)p
1-1^___, B.34)
где либо /0 свободно от квадратов и (—l)>u/o^ I mod 4, либо /0/4
свободно от квадратов и (—l)V0/4 = 2 млм 3med4. ?сла / «е
произведению квадрата на такое /0, то <^~0. Наконец^
l2l

254 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Таким образом, коэффициенты g-разложения функции Hkfz
обладают двумя совсем различными изящными свойствами. Пер-
Первое состоит в том, что если число D есть дискриминант некото-
некоторого квадратичного поля, то коэффициент с\о\ равен значению в
точке 1—А=C—k)j2 L-функции для соответствующего квадра-
квадратичного характера. Второе—в том, что коэффициенты сг с за-
заданной свободной от квадратов частью (равной некоторому диск-
дискриминанту) удовлетворяют тождеству с эйлеровым произведением.
Оба эти свойства очень близки тем свойствам форм полуцелого
веса, которые понадобятся нам ниже при описании результатов
Туннелла, касающихся задачи о конгруэнтных числах. Аналогу
первого свойства функции Hk/2 посвящена теорема Вальдспур-
гера. В ней доказывается существование модулярной форхмы
полуцелого веса, /0-й коэффициент ^-разложения которой тесно
связан с L(Elo, 1). Второе свойство служит примером очень общего
соответствия, принадлежащего Шимуре [Shimura 1973a], между
формами полу целого веса и формами целого веса.
Рассмотрим снова эйлерово произведение B.34) для Hk/2. От
/0 зависит только числитель 1 — Х(-х)Я/ (p)pk~1~s- Остальная часть
эйлерова произведения
зависит только от Hk/2 (и не зависит от /0). Заметим, что мы
уже встречались с этим эйлеровым произведением: это эйлерово
произведение для функции Lf(s) (см. C.33)), где /—нормализо-
/—нормализованный ряд Эйзенштейна
00
__ —Bk-i « V а (п\п
- + G* {П) q
— 2 (k- 1) ^fc-1 - 2 (k- ?
(см. задачу 16, § II 1.3). Мы говорим, что функция Hk/2 ? Nlk/2 (f0 D))
соответствует функции (— Bk_1/B (k— 1))) Ek_x g Mk_% (Г) при
отображении Шимуры.
Позже мы обсудим отображение Шимуры более подробно.
Отображение Шимуры применяется к формам полуцелого веса,
имеющим эйлеровы произведения, подобные B.34). Как и в слу-
случае целого веса, существование эйлерова произведения связано со
свойством формы быть собственной для операторов Гекке. Ока-
Оказывается, что когда вес равен полуцелому числу, нетривиальны
только те операторы Гекке, индексы которых равны полным квад-
квадратам, т. е. операторы Тп*\ все остальные Тп тождественно равны
нулю. Вот почему в случае полуцелого веса мы имеем более сла-
слабый вариант эйлерова произведения; оно связывает только те

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 255
коэффициенты, индексы которых отличаются множителем, равным
полному квадрату. Операторы Гекке на формах полуцелого веса
составляют предмет следующего параграфа.
ЗАДАЧИ
1. Для ряда Эйзенштейна ?/г/2 проверьте условие голоморфности в параболи-
параболических точках; найдите значения функций Ek /2 и F ц во всех трех пара-
параболических точках относительно ГоD)?
2. Выведите B.16) из B.15).
3. Выведите B.17).
4. Проверьте, что константы а и Р, выписанные в доказательстве предложе-
предложения 6, являются решениями двух уравнений, из которых следует, что
c.D.= L(yD, I — )у) во всех случаях.
5. Попробуем найти линейную комбинацию а?"/г/2 + Р^/г/2, /-и коэффициент
^-разложения которой равен L (/ . , 1—Яг) для всех /, свободных от
(~* я.
квадратов. (Это означает, что в случае, когда (—1) /=2 или 3mod4, со-
соответствующее значение L-функции равно сг, а не с4/.) Покажите, что ни-
никакая линейная комбинация не обладает этим свойством для всех /, сво-
свободных от квадратов.
?. Покажите, что если (—1)* А== 2 или 3 mod 4, то коэффициент сг ^-разложения
функции ///г/2 равен нулю. (Замечание. Обозначим через М^/2 (Го D)) под-
подпространство в Mk/z (Го D)), состоящее из форм, коэффициенты ^-разложе-
^-разложения которых обладают этим свойством. Можно показать [Kohnen 1980],
что отображение Шимуры задает изоморфизм пространства М?/2 (Го D)) с
7. Чему равен постоянный член в Я/г/2? Чему равен коэффициент при # в///г/2?
Для каких k коэффициент при q равен нулю?
8. Покажите, что Нь/2 =—- в5— ~ SF, и покажите, как отсюда выводится
предложение 7.
9. Покажите, что для нечетного ^5 и для подходящих а и Ь имеем в/г —
— aEk/2—bFkjz^Sk/z (Го D)). Найдите а и Ь. Выразите в5 и в7 через Ek/z
И Fk/2.
§ 3. Операторы Гекке на формах полу целого веса
Напомним, как определяются операторы Гекке на формах це-
целого веса. Нам понадобится определение в терминах двойных
смежных классов. Сначала мы рассмотрим случай полной моду-
модулярной группы Г.
Пусть п — положительное целое число, и пусть f?Mh(Y). Мы
можем определить TJ следующим образом. Обозначим через А"
множество всех целочисленных 2х2-матриц с детерминантом п.
Для любого двойного смежного класса ГаГаА", где а?А", по-
положим /| [ГаГ]А= 2/|[aY,-]ft, где сумма берется по всем правым
смежным классам ГауусзГаГ; или, что эквивалентно, Y/ пробе-
пробегает множество представителей всех правых смежных классов
группы Г по подгруппе а~1ГаГ|Г (см. предложение 41, § III.5).

256 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Тогда
Т f =
где сумма берется по всем двойным смежным классам по груп-
группе Г, содержащимся в А".
Множество Д" содержит не так много двойных смежных клас-
классов; в действительности, если п свободно от квадратов, то Д"
содержит только один двойной смежный класс. Точнее говоря,
имеет место следующее предложение.
Предложение 10. Рассмотрим всевозможные матрицы вида
пг 0 \
п ), где п0, пг — положительные числа, такие, что п = п«п\.
0 пгп0 J
Эти матрицы образуют множество представителей всех двойных
смежных классов по группе Г, содержащихся в А". В частности,
/1 0\
если п свободно от квадратов, то &п = Т1 )Г; с другой сто-
(\ 0\
роны, если п = р2—квадрат простого числа, то Ар2 = Г( п 2 )Г U рТ
ра
[где р[ . ) = I ' ,
V н\с d) \pc pd
Доказательство. Рассмотрим абелеву группу Z2, и пусть ег =
= [ \ е2 = [ . —ее стандартный базис. Любая матрица а?Д*
задает подгруппу индекса п в Z2, порожденную аег и ае2, т. е.
столбцами матрицы а; обозначим эту подгруппу через aZ2. Об-
Обратно, любая подгруппа индекса п в Z2 имеет вид aZ2 для неко-
некоторого а. Фиксируем теперь любой элемент а б А". По теореме
об инвариантных множителях (см., например, [ван дер Варден
1976, § 85]), существует базис е[, е2 группы Z2, такой, что под-
подгруппа aZ2 порождена элементами пхе[ и пхп^е'г для некоторых поло-
положительных целых чисел п0, пг, таких, что п = поп\. Пусть уг^ Г—
матрица перехода от базиса еи е2 к е[, е'2, и пусть у~^?Т—мат-
у~^?Т—матрица перехода от базиса аег, ае2 к пхе[, п^е'2. Тогда [
I} '• «¦ - ")
скольку элемент agA" выбирался произвольным, мы заключаем,
что указанные двойные смежные классы исчерпывают Д". Далее,
нетрудно видеть, что эти двойные смежные классы не пересека-
пересекаются. Действительно, а^Г^^ ° ^Г^^Г^ ° ) Г тогда и
только тогда, когда наибольший общий делитель всех элементов
матрицы а равен п1. Это очевидно: если а=^ухау2, где Yi» ?2бГ

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 257
и d делит все элементы матрицы а', то d делит все элементы
матрицы а; обратно, а =уГ1а7гГ1» и если d делит все элементы
матрицы а, то d делит все элементы матрицы а'. Это завершает
доказательство. ?
В § II 1.5 мы обсуждали операторы Гекке на формах целого
веса относительно конгруэнц-подгруппы Тх (N). В этом случае мы
выбирали № = An(N, {I}, Z) (см. E.23), § III.5). Иначе говоря,
Ап—это множество матриц с детерминантом /г, сравнимых с
* ) по модулю N. Если f ? Mk(T1(N))i то, по определению,
где сумма берется по всем двойным смежным классам по под-
подгруппе I\ (jV), содержащимся в Ап.
Предложение 11. Предположим, что Н.О.Д. (n,N)=l. Для
каждого делителя т числа п выберем матрицу от ? Г, такую,
/1//72 0 \ . ~
что от == ( q т)по модулю N. 1 огда множество представите-
представителей всех двойных смежных классов по группе I\ (iV), содержащихся
в A" = A'2(iV, {1}, Z), можно выбрать в виде \^ni q1 п п )\ , где
/г0, пг—такие же, как в предложении 10.
Доказательство. Если а?Лп, то, по предложению 10, а =
п )^2> Где У19 'УгСГ и пх — наибольший общий дели-
делитель элементов матрицы а. Мы должны показать, что матрица а
может быть записана в виде п^ОпА q n )?2, где Yi, ТгбГ^М),
или, что эквивалентно, в виде tti<JniYilo п У^2» где ^ ^
= On^yloni € Г1! (Л^). Предположим, что пг = 1, т. е. что п = я0;
общий случай рассматривается совершенно аналогично.
Лемма. Если Н.О.Д. (/г, N)=l, то множество {ту} представи-
представителей правых смежных классов группы Г по подгруппе Т± (N)
можно выбрать так9 что Ту^Г0(Л^).
Доказательство леммы. Пусть х==К d)^ — представитель
некоторого смежного класса. Мы хотим найти элемент f g ) € 1\ (Л/'),
такой, что x' = f 5)т€Г0(/г); тогда мы сможем просто заменить
т на т'. Легко видеть, что существуют взаимно простые и и у,

258 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
такие, что п делит au + cv. Пусть y='UJr(j1-\-j2N)n, 6 = v-\-ln,
где ]\ и / выбраны таким образом, что и Л- l\n = 6modNy v-\-ln =
^lmodJV (это возможно, поскольку Н.О.Д. (n, УУ)=1). Нам
нужно выбрать /2 так, чтобы у и б оказались взаимно простыми;
тогда мы сможем найти такие а, Р, что ( gjgr^Af). Это нуж-
нужная нам матрица: ( g ]т? Г0(/г), так какуа+Ьс=аи^ж = 0 mod я.
Но если и + \хп ~r i2Nn и v^-ln имеют общий делитель, то он
должен быть взаимно прост с N (так как v-r ln= I modiV) и с п
(так как Н.О.Д. (и, v)= 1). Обозначим через Р произведение всех
простых делителей числа v-Yln, не делящих Nn. Тогда найдется
такое /2, что и + /i/i + /2^^ ^ 1 m°d ^- Это и есть требуемое /2
/2
Вернемся к доказательству предложения. Имеем а = yt f q Jy2,
где Yx, 72бГ. Используя лемму, запишем элемент уг g Г в виде
гДе Yi'€ro(n) и Y^r^iV). Из того что у[?Т0(п)9 сле-
1 Х1 /1 0\
дует, что ^q nJ Yi^o я/^Г' Запишем
где Тг = (о n) Yi'(o п) ^ € Г. Остается показать, что y^Tj (Л/').
/1 \
Но а? Дп сравнимо с ( q п ) по модулю N. Поэтому по модулю N
имеем
о J = lo 1 До
Отсюда немедленно следует, что yf2^^i(^)- Это завершает дока-
доказательство. ?
Теперь займемся аналогичной конструкцией для форм полу-
полуцелого веса. Напомним, что в этом случае мы имеем дело с груп-
группами foD)cG1cG, где
0 = {(а, ф(г))|а = (? *) € GL+(Q), Ф (гJ = / (« + d)\VШ^
для некоторого / = ± 1 \;
^ = {(а, Ф(г))бС|аеП;
Го D) = {(а, / (а, г)) | а = (J J) 6 Го D), / (а, г) =

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 259
Предположим, что 4\N и f ?Mk/2(Tl(N)). Пусть п—любое по-
положительное целое число, взаимно простое с АЛ При определении
операторов Тп в случае целого веса мы рассматриваем двойные
смежные классы вида T1(N)on( ^ )T1(N)J где n-=nQn\. По ана-
логии, для определения операторов Тп в случае полуцелого веса
рассмотрим двойные смежные классы вида Г1 (N)onilnori(N). Здесь
lno€G — любой подъем элемента (п ), т. е. Ъпо = ( ( о „ ) » tnl1}
для некоторого / = ±1, ±i- При изменении элемента / в наших
определениях может возникнуть лишь постоянный множитель tk\
поэтому для простоты мы всегда будем выбирать t=l. Кроме
того, ограничимся случаем n1=lt nQ = n\ общий случай рассмат-
рассматривается совершенно аналогично. Итак, исследуем действие двой-
двойного смежного класса f x (N) lnft (N) на /, где
Иначе говоря, вычислим
def
C-1)
где сумма берется по всем различным правым смежным классам
по группе f^/V), содержащимся в нашем двойном смежном классе,
т. е. по множеству {уу} представителей правых смежных классов
группы Г! (/V) по подгруппе Г" = Н^ (N) ?п П f 1 (N) (см. предло-
предложение 41, § III.5).
Предложение 12. Пусть п—положительное целое число, взаимно
простое с N. Если п не является полным квадратом, то
f
Доказательство. Пусть даны элементы a ^GLJ(Q) и 1=(а, ф) ? G.
def
Построим по ним отображение из Г/ = а~1Г1(Л/г)аA ^i(N) в Т =
— {±1, dz 0 следующим образом. Если 7 = а~1у1а и у, Yi € ^(Af),
то элементы у и ?~1у1Е ^ Gx проектируются в один и тот же эле-
мент из Г и, следовательно, отличаются на элемент вида ( L j I, /
т. е.
Рассмотрим отображение, сопоставляющее элементу у число I.
Можно проверить (см. упражнение ниже), что отображение y*—>t (у)
задает гомоморфизм группы Г' в группу Т и что этот гомомор-
гомоморфизм зависит только от а (и не зависит от выбора функции ф(г)

260 Гл. IV. Модулярные формы пол у цел ого веса
в Е = (а, ф)); кроме того, можно проверить, что для a = f q n)
имеем
D) ( ^Г^а-Т^^аПГ,^). C.2)
Обозначим через К с Г' ядро отображения t.
Мы утверждаем, что К = Г, где Р = ^^i (Лг) Ъп П ft (ЛГ).
Иными словами, если элемент 7бГ\(^) имеет вид \п1уЛп, гДе
Y^F^tV), to у?К, и обратно. Чтобы проверить это, предполо-
предположим сперва, что у, Yi^^N) и Y = Sn1Yi^n- Применяя проекцию
Р: G — GLJ(Q), получаем Y = (o 2) ^(о л)- т-е- 7?Г' =
= а~1Г1 (TV)ос П Г1! (Л^). Поскольку ^1Yi^/i = Y = Y('» 0» мы ВИДИМ»
что yGKer/. Обратно, если у^АсГ', так что Y^a^Yi06» и
Sn]Yi5n = Y 0» 0» гДе ^ = 1, то мы немедленно получаем, что у ? Г".
Таким образом, группа Г" = Л', вообще говоря, меньше, чем Г',
т. е. пересечение группы In^i (N) \п с группой f 1 (N) есть неко-
некоторая подгруппа, лежащая в подъеме группы Г'=а~1Г1(Л^) а nI\(Af).
Эта подгруппа Г" совпадает со всей группой Г' тогда и только
тогда, когда отображение t тривиально. В нашем случае t(y) — ( — ) ,
так что t тривиально тогда и только тогда, когда п есть полный
квадрат. (Здесь мы всюду предполагаем, что п взаимно просто
с /V; случай, когда n = p\N, изучается в задаче 3 ниже.) Если п
не является квадратом, то Г" имеет индекс 2 в Г'. В этом случае
пусть Г' = Г"иГ"'т—разложение на правые смежные классы; таким
образом, т = ат1а и т = ^1т1|„-A, —1). Пусть T1(N)= LJF'y/ —
разложение группы Тх (N) на правые смежные классы по под-
подгруппе Г'. Тогда
есть разложение группы Г\ (Л^) на правые смежные классы по
подгруппе Г" = 1~1Т1 (N) ln n ГХ(Л^). По определению и по предло-
предложению 41, § III.3, имеем
/1 [Г, (AT) ln f, (N)]k/t = 2 f\ [1пЪ\ш + 2/1 [5bty/]*/,.
Но для каждого / имеем

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 261
поскольку / инвариантно относительно [xj^ для T1^f1(N). По
определению, [A, —1)]*/2 = (—1)* = — 1, и мы получаем
/1 [Ъ»У;]к/* + f I [ЪпЧ/]и* = f I [5«Y/W* — /1 [ЪпУ/]к/1 = 0.
Это завершает доказательство предложения 12. ?
С помощью тех же рассуждений можно показать, что
f\[Ti(N)oni?)nXi(N)]k/2 = 0j если п0 — положительное число, вза-
взаимно простое с N и не являющееся полным квадратом.
Итак, по предложению 12, среди операторов Гекке с индек-
индексами, взаимно простыми с N, только те действуют нетривиально
на Mk/2 (fI (N)), индекс которых есть полный квадрат; остальные
тождественно равны нулю. Напомним, что в случае целого веса
все операторы Гекке можно построить из операторов Тр, где р—
простое число (см. предложение 32, § II 1.5). Аналогично, в слу-
случае полуцелого веса все операторы Тп*у Н.О.Д. (/г, N)=l, мож-
можно построить из операторов Тр*, p\N.
Изучим подробно операторы Гекке Трг. Действие такого опе-
оператора на функцию / б Mk/2 (f х (jV)) определяется следующим
образом:
fi»4\[f(Nrt?(N)]t, где EP- =
, V~p). C.3)
Это определение не является непосредственным аналогом опре-
определения оператора Тр*, действующего на пространстве Mk(T1(N)).
Оператор Трг переводит функцию f?Mk(N, ^) B функцию
(ll)\ ) так так, по предложе-
предложению 11, Др"(Л^, {l},Z) = (i °)
и f\\
°p\O dI^1^)] ^XC/7)/- Кроме того, что мы заменяем^
на k/2, a rx(A^) и f q 2 ) — на их подъемы f\(Af) и \рг, мы также
не включаем в определение тривиальный двойной смежный класс
F1(N)op(q JTl(N). В случае целого веса все строится из Тр1
а не из Тр*у и в определении оператора Тр% участвуют два двой-
двойных смежных класса; но для полуцелого веса мы будем вклю-
включать в определение только нетривиальный двойной смежный класс.
Как и в случае целого веса, при изучении пространства
№ki% (f 1 (АО) удобно разложить его на %"компоненты- Напомним

262 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
(см. § 1), что если х — любой характер Дирихле по модулю N, то
def {
Mk/t(T0{N), Х)= \f?Mk/2(l\(N))\ /1 [у]*/, = х(d)/
для всех y =
и имеет место разложение
где сумма берется по всем четным характерам Дирихле по мо-
модулю N (конечно, Mk/2(T0(N)y %) = 0, если х — нечетный харак-
характер, так как f = f\[-^\]k/2 = 1(—l)f).
С помощью рассуждений, полностью аналогичных тем, которые
мы исполизовали в случае целого веса, можно показать, что опе-
оператор ТР2 переводит пространство Mk/2(T1(N)) в себя; более того,
этот оператор сохраняет х-компоненты (см. задачу 5 ниже).
Пусть х—некоторый характер Дирихле по модулю N, и пред-
предположим, что / ? Mk/2 (f 0 (N), %). Вычислим явно выражение C.3) для
Tpif. Наша цель состоит в том, чтобы выразить коэффициенты Фурье
функции Tp*f через коэффициенты Фурье функции /.
По лемме из доказательства предложения 43, множество
&p2(N, {I}, Z) есть объединение непересекающихся правых смеж-
смежных классов I\ (N), представители которых можно выбрать в виде
1 Ъ
Р2
р К
Р
О
ч0 1
где через ап для п, взаимно простого с N, обозначен фиксиро-
(\1п 0\
ванный элемент группы Г, такой, что оп=\ ImodN. Три-
Тривиальный двойной смежный класс совпадает с правым смежным
классом, имеющим представитель |30. Таким образом, мы имеем
следующее разложение в объединение непересекающихся правых
смежных классов:
1 - ¦¦ -
о
Для того чтобы, используя определение C.1), вычислить C.3),
нам нужно знать разложение множества f\ (N)^>P2ti(N) в правые

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 263
смежные классы, т. е. представление этого множества в виде
U T1(N)lp2yf. Если бы мы могли записать каждый из элементов
/ 1 О \
аь, РЛ> т в виде i 2JY, где Y^r^iV), то соответствующие
элементы у были бы представителями правых смежных классов
/1 0 у1 / 1 0 \
группы 1\(А0 по подгруппе ( Q \ T1(N)\ Q JnT^N). Тог-
Тогда их подъемы у были бы представителями правых смежных
классов группы fx (N) по подгруппе S^1f\ (N) ?Р2 п f x (N) (см. за-
задачу 1 (Ь) ниже) и C.3) было бы равно 2/|[^2vb/2-
V
Мы можем умножать аь, РЛ, т слева на любые элементы
Y'-^F^jV)—такое умножение приводит просто к смене пред-
представителей правых смежных классов по группе Tl (N), содержа-
/1 0\
щихся в Tl (N) ( 2 )T1(N). Другими словами, достаточно за-
/1 0 \
писать каждый из элементов аь, РЛ, т в виде у'[ „ 2 )у, где у,
у' € Гх (N), и вычислить
ТР4(г) = рЫ*-*%!(г)\[1р*у]ш. C.4)
V
В результате мы получим следующее предложение. Мы про-
проведем подробное вычисление величины Tpzf после формулировки
этого предложения.
Предложение 13. Предположим, что A\N. Пусть % — харак-
характер Дирихле по модулю N, р\N — простое число и k = 2X\
00
положительное нечетное число. Пусть f (г) = 2
Л1*/а(Г0(Л0, Х)- Тогда
^•/(z)= S Ьпе*"<™,
где
Ъп = ар.п + 1 (Р) (-Цг^ ) Р1-^п + 1 (Р2) Pk-2anlP* C.5)
(мы принимаем здесь, что ап/Р2 — 0> если рг\п).
Доказательство. Как объяснено выше, мы должны записать
каждый из элементов а6, РЛ, т в виде у'\ ~ )у, где Y> Y €

264 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
(\ Ь\ /1 0 \(\ Ъ\
€l\(iV). Прежде всего, аь = ^0 р2у = ^0 р2 j^o Л т" е- для
/1 Ь\
аь мы можем взять у' — 1, у = [ „ . j. Таким образом, вклад в
C.4) от всех аь равен
b-Q b=0
Поскольку
PV1 2яш г + b * i 0) еСЛИ Р2^П'>
^=o ~~ I p2e2Ttinz/p\ если /?21 /г,
мы видим, что этот вклад есть 2<vn?2mV?2. Таким образом, эле-
п
менты аъ дают первый член в правой части формулы C.5).
Вычислим теперь вклад от т. Поскольку И.О. Д. (/?2, N)=\,
мы можем найти два целых числа и, v, таких, что up2-\-vN = I.
Имеем
Р2 °\ (Р2 ~v\(l ®\{р2и v
и J \0 p2j
(р2 —v\
т. е. мы можем выбрать у/ = ар2у//, где у" = ( j и у
р2и v
iv
; тогда у', y^T1(N), Имеем
//p? O
Произведение в [ ]кц вычисляется просто; оно равно ( (
, /(V, 2){(J
X(Y, /(V, 2))I .
p? ON
п ],

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 265
/?~1/2 J. Таким образом, Еклад в C.4) от т равен
I, р~1^
J*/2
= Р*"г~ 21 (Р2) Рк'Ч (Р2*) = Рк~Ч (Р2) 2 апе^^.
Следовательно, т дает третий член в правой части формулы C.5).
Наконец, вычислим вклад от |3Л, 0 < h < р. Как и прежде, мы
' Р h\
хотим записать каждый из элементов ph = o0'\ _. ) в виде
р\0 р/
1 0\
2 )у, где у и ару принадлежат Гх (/V). Итак, нам нужно
'fa b\ fp
найти у = \ \?Yl(N) и у"€Г0(Л^), такие, что (^
J\ 0\fa b\
= Y A 9 J . !, т. е. такие, что
\0 p2j\c dj
fp h\fa b\-Wl 0 y1 fp h\f d —b/p*\
Ясно, что p\at поэтому запишем a = pa\ c = Ncr. Таким обра-
образом, нам нужно, чтобы —b/p-{- ha'/p?Z. Выберем сперва любое
целое число а', взаимно простое ери такое, что а=--ра'=\
(mod/V). Тогда любой элемент ( )?Г, где а = ра'у c—Nc\
\ С CL I
будет принадлежать Т1(М). Далее, выберем любое число Ь, вза-
взаимно простое с а' и такое, что b = ha' (mod p) (ясно, что это
возможно). Поскольку Н. О. Д. (Mb, ра)=\, мы можем найти
fa b\
с' и d, такие, что dpa —c'Nb—\. Таким образом, ', , !=>
\с а)
pa' b\^
,Nc dj
'р h\ fpd—hc (a'h — b)lp\f\ 0 \/pa' b\
40 pj^\ —pc а у1ч° P2J\ с d}
(\ 0 \
что мы и обозначим через у'М 2 ]у. Как и в предыдущем аб-
абзаце, в котором мы вычисляли вклад от т, получаем
71 о

266 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Вычислим
—г
х(—l)(a'-i)(p-D/4( поскольку d/?a'—c'Nb=\. Таким образом,
Можно проверить, что [ -4-т ) = (— ) и что га-га — ^Р( —г 1 X
7 № /e^= [? f- 7Ь [=? (-1Г-™-™
так как b = ha' (mod/?); ho6ce=—1 (mod/?), поэтому окончательно
мы получаем элемент
Таким образом, вклад от всех РЛ в C.4) равен
Ъ,— 1
Далее,
()()t (
(т); (г+т)=t e
&=1 n = 0 n=\ *P
/1=0

§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 267
(здесь мы сделали обычную замену переменных (заменили nh на
К) и подставили значение гр Vр гауссовой суммы). Таким образом,
„-О
Поэтому вклад в п-й коэффициент функции Tpzf(z) равен
Pl"ll{p)\— )ап- Это средний член в правой части формулы
C.5). Доказательство предложения 13 закончено. ?
Отметим, что можно показать (см. задачу 3 ниже), что фор-
формула из предложения 13 справедлива и в случае, когда p\N.
При этом 5с(р) = х(Р2) = О> и мы имеем просто Ьп = аР2П.
Отметим далее, что, как и в случае целого веса, можно пока-
показать, что различные операторы Гекке Тпг коммутируют, что Тпгтг =
= ТпгТтг, когда И.О. Д. (т, /г)=1, и что Т рчх есть полином
от ТР2. Таким образом, операторы Т рг для различных р порож-
порождают алгебру операторов С [{Т^}^].
В случае целого веса мы применили формулу, аналогичную
C.5), для изучения форм, собственных для всех операторов Гекке.
В результате мы получили формулу для отношения величины ап
к аг, которую можно записать в виде ^ ann~s=--a1 -(эйлерово
произведение). (См. предложения 36 и 40, § II 1.5.)
Рассмотрим теперь модулярные формы полуцелого веса, соб-
собственные для всех операторов Гекке. Поскольку нетривиальны
лишь операторы Тп2, мы можем получить формулу только для
отношения величины а, л к щ , т. е. мы можем связать только те
la /| °
коэффициенты, индексы которых отличаются множителем, равным
полному квадрату.
Как и в случае целого веса (см. конец § III.5), пространство
M&/2(f0(/V), x) обладает базисом, состоящим из форм, собствен-
собственных для всех операторов Гекке с индексами, взаимно простыми
с /V, и некоторые важные подпространства обладают базисом из
форм, собственных для всех операторов Гекке, т. е. для опера-
операторов ТП2 при Н.О.Д. (/г, /V)=l и операторов Тр при p\N.
Итак, предположим, что форма f € Mk/2(Y0(N)f %) является соб-
собственной для всех операторов Гекке Тпг.
со
Предложение 14. Пусть f(z)= 2 ane2Ttinz g Mk/2 (T0(N), %)—соб-
н = 0
ственная форма для всех операторов Гекке Трг. Пусть кр—соб-
кр—собственное значгние, отвечающее оператору Гр*, т. е. Трг[ = \pf.

268 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Предположим, что число 10 не делится ни на один квадрат, вза-
взаимно простой с N (т. е. р2 может делить /0, только если р де-
делит N). Тогда
<3-6>
(Замечание. Использование буквы X для обозначения числа (k — 1J
и той же буквы, но с индексом, для обозначения собственного
значения не должно приводить к путанице.)
Доказательство. Если TP2f = Xpfy р \ N, то для любого /1Г
взаимно простого с /?, получаем по формуле C.5), что
C-7)
(^ilP™^ C.8)
v= 1, 2, .... Если р\ N, то мы можем не предполагать, что 1г вза-
взаимно просто с р\ соотношения C.7) — C.8) справедливы во всех
случаях, и при p\N только первые члены в правых частях от-
отличны от нуля.
С другой стороны, рассмотрим в C.6) члены а{ /2 2v(l1px)~\
где простое число р и взаимно простое с ним число 1Х фиксиро-
фиксированы, a v = 0, 1,2, ... . Положив Х = p~s, мы находим, что C.6)
формально эквивалентно следующему набору тождеств для всех р
и всех llt взаимно простых с р (если p-{N):
Умножая обе части соотношения C.9) на знаменатель 1— крХ+
+ Х(Р2) Pk~2X2 и сравнивая коэффициенты при А>+1, мы полу-
получаем C.7) для v = 0 и C.8) для v=l, 2, ... . Таким образом,
равенство C.9) справедливо, и мы установили справедливость
равенства C.6). ?
Предложение 14 объясняет появление эйлеровых произведений
того типа, с которым мы встречались в предыдущем параграфе
(сравните C.6) с B.31)).
Следующий параграф мы начнем с формулировки теоремы
Шимуры; эта теорема дает более глубокое понимание эйлерова про-
произведения из предложения 14. Эйлерово произведение C.6) ока-
оказывается тесно связанным с эйлеровым произведением для моду-
модулярных форм целого веса k—1.

^ § 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 269
ЗАДАЧИ
1. Пусть ? = (а, Ф(г))^О, пусть Г' с Го D) — конгруэнц-подгруппа, и пусть
Г" = Г'Г|аГ/а. Для у?Г" определим число /(у) соотношением ?у§~] =
Y((y)) Y Y
(a) Покажите, что отображение / зависит только от а (и не зависит от
выбора элемента ф (г)). Докажите, что t есть гомоморфизм группы Г"
в группу Т.
(b) Пусть, как обычно, тильда обозначает подъем элемента или подгруппы
группы Г0D) в G, т.е. пусть y = (Y> / (Y> z)) Для Y€roD), Г' = {у|у?Г'}
для Г'CZ Го D). Пусть К а Т"—ядро гомоморфизма /. Покажите, что
Л = Г' П ?-1Г'ь- Таким образом, если / тривиально, то отображение у\—> у
задает изоморфизм группы Г" с группой Г'' = f'fl l'1^'I-
(c) Предположим, что / нетривиально. Пусть f?Mk,2(T'). Докажите, что
/|[Г'|Г']А/,=0. Напомним, что / | [f'gf']A/, = 2 f I [Sy/1*/,. гДе V/ про-
/
бегает множество представителей всех правых смежных классов по груп-
группе Г', содержащихся в Г'|Г'.
2. Докажите, что <(Y)= (JL j для a= (J °), Y= (" J) €Г0 D)Пв-'Г0 D) a.
3. (а) Пусть Г' = Г1(Л^), 4 | TV, и пусть а=Гл о) • Покажите, что ^ триви-
тривиально тогда и только тогда, когда 8 | N.
(b) Пусть r' = r!(iV), 4p\N, и пусть а=(~ J . Покажите, что t три-
тривиально.
(c) Пусть Г', р и a — такие, как в пункте (Ь). Пусть f (z) = 2jane2ninz?
?Mk2(T\(N)). Покажите, что Tpvf(z) = ^a v^e2ninz, v=l, 2, ... . По-
Покажите, что если /7 = 2, 8^jV, то та же формула верна для четных v,
В частности, предложение 14 справедливо и для р|Л^.
4. Сравните формулу для коэффициентов Ьп ^-разложения функции Tp2f в слу-
случае, когда f?Mkj2 (fo(N), у), с соответствующей формулой для Tp2f в слу-
случае, когда f^MfrlN, x).
5. Мы отмечали в тексте, что оператор Тр2 переводит пространство Mfe/2 (fi (N))
в себя. Покажите, что Т 2 сохраняет пространство М^2 (Го (Л^), у) для
любого характера Дирихле % по модулю N.
§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла
и задача о конгруэнтных числах
Сформулируем фундаментальную теорему Шимуры, задающую
соответствие между формами полуцелого веса k/2 и формами
(четного) целого веса k — 1.
Теорема ([Shimura 1973а]). Пусть k^3—нечетное число, Х =
= (k—1)/2, 4|#, х—характер Дирихле по модулю N. Пусть

270 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
00
/ (z) = 2 апе2ПШ ? S/e/2 (Го (Л^), х)—собственная форме относи-
п- 1
тельно операторов Трг для всех простых чисел р. Пусть Хр —
собственное значение, отвечающее оператору TP2f TP2f — XpK On-
Once
ределим функцию g{z)= 2 bne27linz с помощью формального ра-
/z= 1
еенства
»-'-» ' DЛ)
Тогда g ? Mk-\ (ЛГ, %2) Зля некоторого целого числа N', деля-
делящегося на кондуктор характера %2. Если й^5, mo g"—парабо-
g"—параболическая форма.
Заметим, что определение D.1) коэффициентов Ьп можно пе-
переписать следующим образом:
A) ^ = 1;
B) b =Хр для всех простых чисел р\
C) bpv = X,Jbpv-i-%(pyp*-*bpV-2 при v>2;
D) brnn = bmhn9 если тип взаимно просты.
В исходной теореме Шимуры определение уровня N' формы g
было немного сложным. Однако с тех пор было показано ([Niwa
1975]), что всегда можно взять N' = N/2. Следует также отме-
отметить, что Шимура на самом деле доказал несколько более общую
теорему, применимую к формам /, не обязательно являющимся
собственными формами для всех Тр2.
В качестве простого численного примера разберем случай,
когда iV = 4 и х—тривиальный характер. Первая ненулевая па-
параболическая форма полуцелого веса появляется при й = 9, т.е.
при Х = 4 (см. задачу 5, § IV.1). С точностью до постоянного
множителя это форма f = @F (в4— 16F) == 2 anqn (мы выбрали /
так, что Д! = 1; из задачи 17(h), § II 1.3, следует, что f равна
также г]12 Bг)/в3 (z)). Ясно, что /—собственная форма для всех 7>,
поскольку пространство S9/2 (Го D)) одномерно. Тогда теорема
Шимуры справедлива с N' = 2. Далее, пространство S8 (Го B))
одномерно и порождено нормализованной формой g (z) =
GO
= (т) B) г] Bz))8 = q П (!— 9")8A— <72")8 = 2Ж*?" (см. предложения
П = 1
19 и 20, § III.3); следовательно, эта g (z) должна совпадать с g{z)
из теоремы. Теперь легко связать коэффициенты Ьп функции g"
с коэффициентами ап функции /. А именно, используя C.7)
с 4 = ^=1, Х = 4 и замечая, что ах = 1, х/==Х (это тривиальный
характер mod 2, принимающий значение 1 на нечетных числах и

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 271
значение 0 на четных числах), мы получаем
bp = Xp = aP2 + /?3, еслир>2; fta = a4. D.2)
Несмотря на то что соотношение D.2) немедленно следует из
теоремы Шимуры, оно представляет собой замечательное числовое
тождество: коэффициент с номером р в разложении в ряд функ-
функции qYI(l—Qn)s(l — Q2n)8 равен p's плюс коэффициент с номером
р2 в разложении в ряд функции ^ПО — Я2пI2/(^ qll*Y\ Подобно
многим другим числовым соотношениям, которые следуют из тео-
теории модулярных форм, этот результат выглядит диковинно, когда
он сформулирован в элементарном виде, вне теоретического кон-
контекста.
Если задан набор линейно независимых форм ft ? Sk/2 (f 0 (N)y %),
удовлетворяющих условиям теоремы Шимуры, то мы можем про-
продолжить отображение Шимуры по линейности на подпространство,
порожденное этими формами. Заметим, что образы gt форм f{ суть
нормализованные собственные формы, принадлежащие Sk_1(N/2y х2)-
Если мы выберем другое множество {/[•} форм, также удовлетво-
удовлетворяющих условиям теоремы Шимуры и образующих базис в том
же подпространстве, что и {/J (например, мы можем умножить
каждую форму ft на число), то отображение Шимуры, конечно,
изменится. Когда мы говорим об образе одной собственной формы
относительно отображения Шимуры, мы всегда подразумеваем
нормализованную собственную форму g из теоремы Шимуры. Но
если мы имеем дело с пространством модулярных форм с базисом,
состоящим из собственных форм fh и Shimura (fi) = gi, то мы
определяем Shimura (^ aifi) = 2 aiSo и последняя форма необя-
необязательно является нормализованной собственной формой. Поэтому
образы и прообразы элементов относительно отображения Шимуры
загисят от контекста.
Вообще говоря, может случиться, что несколько различных
форм f е Sk/2 (Г0 (/V), х) переходят в одну форму g ? Mk. г (Го (ЛГ), х2)
или же что существует форма f ?Sk/2 (fQ(N), /'), переходящая в g,
где % —характер, отличный от х> но имеющий тот же квадрат,
Х2 = х2- Однако, в случае когда 7V = 4, Конен описал ситуацию
более точно. Его главный результат заключается в следующем
([Kohnen 1980]).
Обозначим через М?/2 (Го D)) подпространство в Mk/2 (Го D)),
состоящее из тех форм f(z) = ?anqn, для которых ап = 0 всякий
раз, когда (—1)кп^2 или 3 по модулю 4. Конечно, a priori не
очевидно, что существуют формы с таким свойством, требующим
обращения в нуль половины коэффициентов. Однако мы знаем из
предложения 9, что форма Hk/2 такова. Кроме того, легко про-
проверить (используя предложение 17 (а), § II 1.3, и формулу A.8),

272 Гл. IV. Модулярные формы полу целого веса
§ IV. 1), что в(г)/Dг)?М?+/2(Г0D)) для любой формы
/6 M{k-1)/2{SL2(Z)). Оказывается, пространство М^2(Г0D)) есть
прямая сумма одномерного подпространства, порожденного рядом
Эйзенштейна Hk/2, и подпространства S&/2 (f0 D)), состоящего из
параболических форм:
SZ/2 (Гв D)) = {/ = 2 anqn € S*/2 (foD)) |ая —О,
если (—1)Лл = 2 или 3mod4}. D.3)
Нетрудно показать, что пространство Л1дГ/2 (Г0D)) инвариантно
относительно всех операторов Гекке Гр2, кроме Т4. Согласно
определению Шимуры оператора Г4, имеем 7*42 anQn=z 2 a*nQn-
Возвращаясь к § IV.2, мы видим, что /v2 есть собственная форма
для оператора Т4 (с собственным значением 2*~2, см. B.21)), а Я^/2
нет. Действительно, легко видеть, что Г4#?/2 (? М^/2 (Г0D)). По
этой причине Конен заменяет оператор Т4 на слегка отличаю-
отличающийся от него оператор Т?, такой, что m-й коэффициент функции
T?^\anqn равен нулю, если (—1)Лга=2 или 3mod4, и равен
если (—1)кт = 0 или 1 mod 4.
Поскольку %(/?) = О, когда p\N (даже если %— тривиальный
характер группы (ZWZ)*), в определении Шимуры второй и тре-
третий члены выражения
<*ш + ХХ(_ x)im B) 2l-i ат + х D) 2* ат/4
обращаются в нуль. В определении Конена тривиальный харак-
характер попросту отбрасывается. Именно Т?у а не Т4, сохраняет про-
пространства М^/2(Г0D)) и Sfe"/2 (Г0D)). Заметим, что Я^/2 является
собственной формой для оператора Г^ с собственным значением 2k~2.
Далее Конен показывает, что пространство M/J2 (foD)) обла-
обладает базисом, состоящим из собственных форм для Трг(рф2) и
для Т?у и любые два таких базиса могут отличаться лишь пере-
перестановкой элементов и умножением элементов на числа. Не су-
существует никакого очевидного способа нормализовать собственную
форму / = 2а«9"» например, умножением на число мы не всегда
можем добиться того, чтобы #1=1, поскольку ах = 0 для всех
/6 Mk/2 (Го D)), если X нечетно. Но можно потребовать, чтобы все
коэффициенты лежали в возможно меньшем расширении поля Q.
Оказывается, что при соответствии, построенном в теореме
Шимуры, образы g форм f ? S^2 (f0 D)) этого собственного базиса
содержатся в Sk_1(Y), T = SL2(Z) (результаты Шимуры —Нивы
гарантируют лишь то, что они содержатся в Sfe_1(roB)); эти об-
образы являются нормализованными собственными формами для всех

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 273
операторов Гекке Гп, действующих наЗ^^Г); все они различны
и образуют базис пространства S^^F) (в частности, dim S^/2 (foD)) =
= dimS/j_1 (Г)). Таким образом, продолжая по линейности ото-
отображение, переводящее элементы нашего базиса пространства
Sk/2 (ГоD)) в их образы относительно соответствия Шимуры, a Hk/2—
в нормализованный ряд Эйзенштейна ^-—-bk_lt мы получаем
изоморфизм пространства М^/2(Г0D)) с пространством Mk_1(T)
(и пространства S^/2(roD)) с пространством S^^F)). Этот изо-
изоморфизм коммутирует с операторами Гекке; точнее говоря, комму-
коммутативны следующие диаграммы:
мЪЛГoD))эf>-*geмk_1(Г) f^g
Доказательство теоремы Шимуры основывается на теореме
Вейля, которую мы обсуждали вкратце в конце § II 1.3. Теорема
Вейля гласит, что если функция ^bnn~s и ее «скручивания»
2&гЛ> (п) п~s Для определенных характеров Дирихле \|? удовлет-
удовлетворяют функциональным уравнениям надлежащего типа, связы-
связывающим значение в точке s со значением в точке k—1—s, то
g = f]?bnqn€ Mk_1(T0(Nf), x2)- Но доказательство того, что все
эти функциональные уравнения удовлетворяются, отнюдь не просто;
около двадцати страниц статьи [Shimura 1973a] посвящены иссле-
исследованию тонких аналитических свойств рядов Дирихле, отвечающих
функции g и ее скручиваниям.
Соответствие Шимуры кажется слишком окольным. Действи-
Действительно, мы должны взять ^-разложение подходящей формы
/€«Sfe/2 (Г0(М), %), рассмотреть коэффициенты ап этого ^/-разложе-
^/-разложения, когда п пробегает множество целых чисел с фиксированной
свободной от квадратов частью п0> и образовать из этих коэффи-
коэффициентов ряд Дирихле; оказывается, его можно разложить в эйле-
эйлерово произведение; после этого нужно взять ту часть эйлерова
произведения, которая не зависит от п0, и разложить ее в новый
ряд Дирихле ^bnn~sf и, наконец, перейти от этого нового ряда
Дирихле к <7-Разложению 2&м<7"> которое и является нужной
модулярной формой целого веса.
После появления статьи Шимуры многие стали искать более
прозрачную конструкцию соответствия Шимуры. Некоторые более
прямые аналитические конструкции были предложены Шинтани
([Shintani 1975]) и Нивой ([Niwa 1975J). Далее, было обнаружено,
что идейной основой этого соответствия может служить теория
представлений групп (см. [Gelbart 1976], [Flicker 1980]). Сверх
того, использование теории представлений привело к поразитель-

274 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
ным новым результатам о формах полу целого веса; в особенности,
это относится к работам Дж.-Л. Вальдспургера.
Используя теорию представлений, Вальдспургер [Waldspurger
1980, 1981] доказал замечательную теорему, устанавливающую
тесное соответствие между критическими значениями L-рядов мо-
модулярных форм g веса k— 1 ? 2Z и коэффициентами ^-разложений
форм / полу целого веса k 2, отвечающих формам g при соответ-
соответствии Шимуры. Грубо говоря, теорема гласит, что критическое
значение равно произведению квадрата соответствующего коэффи-
коэффициента ^-разложения на некоторый ненулевой множитель, который
может быть явно описан. Общий результат Вальдспургера форму-
формулируется довольно сложно, поэтому мы лишь опишем, что он дает
в применении к двум важным частным ситуациям.
Как было упомянуто, Конен [Kohnen 1980J показал, что ото-
отображение Шимуры задает изоморфизм
(пространство S^/2(f0D)) определено, как выше, см. D.3)). Пусть
g(z) = ^jbnqn ? S/t,_1 (Г) — нормализованная собственная форма для
всех операторов Гекке, и пусть yD — характер, соответствующий
квадратичному полю с дискриминантом D. Предположим, что
(—1)^0 > 0, т. е. что квадратичное поле вещественно, если к =
= (k— 1)/2 четно, и мнимо, если X нечетно. Напомним, что Lg(yD, s)
обозначает аналитическое продолжение функции, заданной рядом
ос
2 %D(n)bnn~s (который, как можно показать, сходится абсолютно
при Res>&/2). Пусть / (z) = ^anqn € S*/2 (foD)) — единственный
прообраз формы g относительно отобрал<ения Шимуры D.4), т. е. g=
= Shimura (/). Пусть </, /> и <g,g> — скалярные квадраты форм fug
по отношению к скалярному произведению Петерсона (для форм
полуцелого веса используется то же самое определение скалярного
произведения, что и для форм целого веса (см. E.31), § II 1.5):
где F0(A) — фундаментальная область группы ГоD)).
Теорема ([Kohnen — Zagier 1981]). В тех же предположениях, что
и выше, и с теми же обозначениями, имеем
<4-5)
Базис, состоящий из собственных форм /gS^"/2 (f0 D)), может
быть выбран таким образом, что все коэффициенты ^"Разложений
лежат в некотором вполне вещественном числовом поле. Однако

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 275
не существует никакого естественного способа нормализовать их:
мы можем умножить каждую форму / на произвольную константу с,
лежащую в этом поле. Но правая часть формулы D.5) не ме-
меняется при умножении формы / на с, поскольку при этом и a\D\*
и </, /> умножаются на с2. Поэтому D.5) не зависит от выбора
базиса, требующегося для определения изоморфизма Шимуры D.4).
Значение D.5) L-ряда является критическим значением в сле-
следующем смысле. Напомним, что функциональное уравнение для
дзета-функции Римана связывает ?(s) с 1A —s); область 0 < Res< 1
называется критической полосой для ?(s). Аналогично, функцио-
функциональное уравнение для L-функции Хассе — Вей л я эллиптической
кривой Е = Еп из гл. II связывает L(?, s) с L (?, 2 —s), и об-
область 0<Res<2 называется критической полосой. Значение
функции в целой точке из соответствующей критической полосы
называется критическим значением; в случае функции L(E, s)
критическое значение есть L(E, 1). Такие критические значения
важны в арифметике. (Общий контекст для изучения критических
значений описан в работе [Deligne 1979].) Функциональное урав-
уравнение для L-функции, отвечающей модулярной форме g веса k — 1,
связывает Lg(%, s) с Lg(%, k—1—s). (Конечно, % = x в случае
квадратичных характеров % = %D) Таким образом, критическая
полоса для Lg(%Dy s) — это полоса 0 < Res < k—1, а критические
значения — это значения Lg(%D, /) для / = 1, 2, ..., k — 2. Кри-
Критическое значение Lg(%D, X) при / = А, = (й—1)/2, стоящее в фор-
формуле D.5),— это значение точно в центре критической полосы,
т. е. в неподвижной точке отображения s<->&—1—s.
Первый численный пример к теореме Конена — Цагира возни-
возникает при k =13, А, = 6, так как 512(Г) — СЛ есть первое ненулевое
пространство параболических форм относительно Г. В этом случае
# = Д = 2т(л)<7п и / = 0F@4 — 16F)F4 — 2F), где F- ^(
п нечетно
нечетно
0 = 2 ?л2 (см- заДачУ ^(с)» § IV. 1; имеются другие удобные вы-
выражения для формы / ? S^/2 (Г0D)), например ее можно выразить
через в и ?4). Более подробные вычисления, связанные с этим
примером, см. в работе [Kohnen — Zagier 1981].
Наш второй пример к теореме Вальдспургера— это пример,
изучавшийся Туннеллом в связи с применением к задаче о кон-
конгруэнтных числах. В § III.3 мы объяснили, что L-функция Хассе—
Вейля L(Elt s) = 2 bnn~s Для эллиптической кривой Ех: у2 = х3 — х
соответствует параболической форме 2 bnqn веса два. Оказывается,
форма g{z) = ^bnqn лежит в 52(Г0C2)) и является нормализован-
нормализованной собственной ф°Рм°й для всех операторов Гекке; в действи-
действительности, форма g является единственной такой новой формой
(т. е. формой, не сводящейся к формам низшего уровня N < 32).
Предположим, что п свободно от квадратов. Пусть D= — /г,
если — я =5 1 mod 4, и D = — 4/г, если — п = 2 или 3 mod 4. Та-

276 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
ким образом, D — это дискриминант мнимого квадратичного поля
Q (у — п). В гл. II мы видели, что L(En, s) = ^%D(m)bmm~s
есть скручивание ряда L(Elt s). (На самом деле в формуле E.7),
§ II.5, мы писали %п(т), а не %D(m); но Ьт = 0, если тф 1 mod 4,
а в случае, когда т=\ mod 4, имеем %D(m) = [-^) = \~^) ^Хп(т)у
поэтому мы можем писать как %D, так и %п. Поскольку мы будем
исследовать критическое значение при Х=1, мы хотим работать
с квадратичными характерами мнимых квадратичных полей, т. е.
мы хотим, чтобы (—1)*D =— D>0.)
Итак, запишем
т (р г\—1 (с\ — V h m~s •
Мы видели, что критическое значение L(EU, l)=Lg(%D, 1) обра-
обращается в нуль тогда и только тогда, когда число п конгруэнтно
(часть «только тогда» выполнена в предположении справедливости
гипотезы Бёрча — Суиннертон-Дайера). Теорема Вальдспургера
предоставляет средства для описания именно этого критического
значения.
Обозначим через р «вещественный период» кривой Ех\ у2 = х3—ху
который равен интегралу от dx/y по лучу [1, оо), на котором у
вещественно:
def r* stv
= 2.622...
aei n
И
Теорема ([Tunnell 1983]). Существуют форма f=^amqm(z
€S3/a(f0A28)) и форма f = 2 a'mqm € S3/2 (Г0A28), х2), такие, что
Shimura (/) = Shimura (/') = g =^pmqM и
a,n, если п нечетно,
—7=
4 У п
CLn/2 , если п четно.
4 У п
р „ D-6)
—т= CL если п четно
2
—т=^
2у п
В частности, L(En, l)=0 тогда и только тогда, когда ап=0
(п нечетно) или ап/2 = 0 (п четно).
Перед тем как обсуждать принадлежащую Туннеллу явную
конструкцию форм / и /', объясним, почему эту теорему можно
рассматривать как аналог утверждений о ряде Эйзенштейна Hk/2,
которые мы доказали в § IV.2 (см. предложение 6).
Мы видели, что при отображении Шимуры функции Hk/2 =
= 2 °пЦп € Mk/2 (Fо D)) соответствует функция

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 277
В задаче 16, § III.3, мы видели, что Lg(s) = l(s)-l(s — (k—2))
и что Lg(%, s) = L(%, s)L(%, s—(k — 2)), где L-функции в правой
части — это L-функции Дирихле. В частности, полагая % = %D и
s = 'k=^(k—1)/2, мы получаем
l)L(lD, l-K). D.7)
Используя функциональное уравнение для L(%D, s), мы можем,
как в B.15), выразить L(%D, X) через L(%D, 1—К). При этом
MXd> fy имеет вид произведения #-L(%D, 1—к), где * обозначает
ненулевэй множитель, который содержит гамма-функцию и степени
числа л. Подставляя это выражение в D.7) и используя предло-
предложение 6, получаем
После того как мы переформулировали результаты § IV. 2
таким образом, мы видим, что они очень похожи на предыдущие
два примера к теореме Вальдспургера. Как и в формуле Конена—
Цагира, в левой части формулы D.8) стоит значение L-функции.
(скрученной с характером %D) для некоторой формы g? Мк_г (Г)г
взятое в центре критической полосы; в правой части стоит квад-
рат соответствующего коэффициента g-разложения формы f = Hk/2 €
? М^/2 (foD)), переходящей в g при отображении Шимуры. Од-
Однако теорема Конена — Цагира не охватывает этот случай, по-
поскольку ни g, ни / = Hki2 не являются параболическими формами
(в формуле Конена — Цагира мы не можем даже определить ска-
скалярные квадраты </, /> и <g, g>, если формы / и g не парабо-
параболические). Случай D.8) не включается даже в общую теорему
Шимуры, которая также применима только к параболическим
формам. Однако мы можем считать, что результаты § IV.2, кото-
которые были доказаны элементарным способом, служат прототипом
таких теорем, как теоремы Вальдспургера, Конена—Цагира, Тун-
Туннелла.
Напомним, что если бы мы могли положить Х= 1 в предложении 6,.
то коэффициенты с, D , = L (%D, 0) функции Н3/2 были бы равны, с точ-
точностью до мелочей, числам классов мнимых квадратичных полей
Q (]/ D). На самом деле имеется аналогия между этими критическими
значениями и критическими значениями L{En, 1)в D.6). По-видимо-
По-видимому, аналогом группы классов идеалов поля Q (У D) для эллиптиче-
эллиптических кривых является так называемая группа Тэйта — Шафаре-
вича Ш. Порядок именно этой группы появляется в предположи-
предположительной формуле Бёрча — Суиннертон-Дайера для L(En, 1) (или
в формуле для lim (s— l)~rL(En, s), если L(En, s) имеет нуль
порядка г в точке s—1). Имеются предположительные формулы
для «среднего» значения порядка группы Ш', аналогичные клас-

278 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
сическим формулам аналитической теории чисел для среднего
значения числа классов мнимых квадратичных полей. Дальнейшие
сведения об этом можно найти в статьях [Goldfeld et al. 1979,
1982].
Вернемся теперь к теореме Туннелла и обсудим явную кон-
конструкцию, принадлежащую Туннеллу, форм f и f веса 3/2, /2-й
или (л/2)-и коэффициент которых дает значение L(En, 1).
Туннелл сперва находит все формы / ? S3/2(f0 (N), %), которые
при отображении Шимуры переходят в модулярную форму g?
?52(Г0C2)), соответствующую L(E11 s). Согласно работе [Niwa
19751, если /€S8/2(f0(^), х)> то Shimura (/) ? S2(T0 (N/2), х2)-
Поэтому можно попробовать взять N = 64. Однако мы не имеем
гарантии, что Shimura (/) не лежит в S.2(T0(N'), %2) для некото-
некоторого собственного делителя N' числа Л/72. Например, мы знаем,
что для любой формы / ? S^2 (Го D)) форма Shimura (/) лежит
в Sk_l (T) = Sk_1 (Го A)). Поэтому нужная нам форма / может ле-
лежать в S3/2 (Го (ЛО, %) для N, кратного 64. Туннелл вычислил,
что в действительности ни одна форма / уровня 64 не отобра-
отображается в g, и все прообразы формы g относительно отображения
Шимуры имеют уровень 128.
Характер % должен быть четным, поскольку Sk/2 (Г0(Л/), %)=0
для нечетного %; его кондуктор должен делить 128, а %2 должен
быть тривиальным, т. е % должен быть квадратичным. Имеется
два таких %: тривиальный характер yw=l и характер %2, задан-
заданный формулой X2(/) = ("^j Для нечетных /. Туннелл вычислил,
что Shimura (g) состоит из двух форм из S3/2 (Го A28)) и двух
форм из S3/2 (Го A28), х2). Сверх того, он обнаружил, что эти
четыре формы веса 3/2 могут быть построены совсем простым
способом: умножением определенной формы fl веса 1 на формы
типа ®(mz) веса 1/2.
С точностью до постоянного множителя форма ®(mz) равна
~ 'т 0\ ]
п 1 , т1/4 , поэтому из задачи 1, § IV.1, сразу сле-
U V J 1/2
дует, что ®(mz) ? Ml/2 (Го Dm), %m) (см. также предложение 17,
§ III.3). Если Л(г)еЛ11(Г0A28), х)> то произведение Л(г).в(тг)
лежит в М3/2 (Го A28), %%_гп), когда 4m | 128. (Напомним, что, по
предложению 3, § IV.1, ЛМГ0A28), х) = М2/2 (Го A28), x-X-i),
и поэтому форма fl(z)O(mz) имеет характер x*%-i'7«-)
Форму /х выберем в виде

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла 279
Легко проверить, что
U (г) = (в (г) - в Dг)) (в C2г) - \ в (8г)),
следовательно, /^ /И1/2 (Го A6))-М1/2 (Г0A28), i^czM, (Г0A28),
%_2). На самом деле fx обращается в нуль в параболических
точках относительно группы Го A28), и поэтому f1 ? S1 (Го A28),
%_2). Таким образом, для т|32 имеем
Заметим кстати, что ft может быть записано также в виде
следующего произведения:
h (г) = Л (8г) П
Простое доказательство этого равенства, использующее формулу
тройного произведения Якоби, можно найти в работе [Moreno
1980].
Предложение ([Tunnell 1983]). Модулярные формы f1(z)@ Bz)f
/i (г) в (8г) € S3/2 (Го A28)) w f, (z) в Dz), /t (г) в A6z) 6 S3/a (Го A28),
X2) образуют максимальное множество линейно независимых собст-
собственных форм для всех ТР2, которые при отображении Шимуры пере-
переходят в модулярную форму g = ^ bnqn € S2 (Го C2)), соответствую-
соответствующую L(Elt s).
После этого Туннелл доказывает свою теорему, тщательно
анализируя результаты Вальдспургера в очень специальных
обстоятельствах задачи о конгруэнтных числах. В этом случае
теорема Вальдспургера сводится к следующим утверждениям:
A) существует линейная комбинация / = 2а«?" прообразов, лежа-
лежащих в S3/2 (f0 A28)), такая, что для всех нечетных свободных от
квадратов чисел /0 имеет место равенство
для некоторой константы с; B) существует линейная комбинация
/г/=2алЧ['1 прообразов, лежащих в S3/2 (f0 A28), х2)> такая, что
для всех нечетных свободных от квадратов чисел /0 имеет места
равенство
МХ-2/„, 1) = с'аи
для некоторой константы с. Туннелл вычислил, что можно взять
/(г) -h (г) в Bг), с = Р/41/"/о и Г (г) = Л (г) вDг), c' = fL/2\fW
Поскольку Lg(%_ni s) = L(Eny s), это дает его теорему с
= (в{г)-в(Аг))(вC2г)-±в{8г))вBг)9

280 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
Численное тождество D.6) в теореме Туннелла выглядит до-
довольно причудливо. Вспоминая формулу F.8), § II.6, мы можем
записать его для нечетного и свободного от квадратов числа п
в виде
dx
где L(E1, s) = ^bmm~s и ап есть п-й коэффициент ^-разложения
функции, заданной формулой D.9) ниже!
Заметим, что в формуле D.6) нам важны только коэффициенты
с нечетными номерами п форм f и /'. Но если п нечетно, то /2-е
коэффициенты форм / и /' совпадают с п-ми коэффициентами
соответственно форм
в (г) (в C2г) — у в (8*)) в Bг)
= 1L л2л:2+«/2+32г2 L V g2X2 + y2+8z2 /4.9)
х, у, г 6 Ъ х, у, г б Z
вB)(вE22)—g-)
^ д**Ч-уЧ.32г>_^ ^ qW + y'- + 8z\ D.10)
х, у, г eZ х, у, г 6 Ъ
(Очевидно, что коэффициент при ql* в D.9) и D.10) равен
нулю, если /0 = 5 или 7 mod 8 в D.9), /0 = 3mod4 в D.10); но
это не дает нам ничего нового, поскольку в предложении 12,
§ II.6, мы доказали, что L(En, lJ^O, если п = 10= 5 или 7 mod 8
или я = 2/0 = 6 mod 8.)
Собирая коэффициенты при q1* в D.9) и D.10), мы приходим
к тому варианту теоремы Туннелла, формулировку которого при-
приводили в начале гл. I.
Теорема ([Tunnell 1983]). Если п — нечетное {соответственно чет-
четное) свободное от квадратов положительное число, равное пло-
площади некоторого прямоугольного треугольника с рациональными
сторонами, то
у, z€Z\n = 2x* + y* + Z2z*}
-^#{х, У, zeZ\n = 2x*+y*+8z*}

§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла
281
соответственно
Обратно, если слабая гипотеза Берна — Суиннертон-Дайера верна
для эллиптических кривых Еп: у2 = х*— п2х9 то из этих равенств
следует, что п — конгруэнтное число.
число п конгруэнтно
элементарная часть
(гл.1)
кривая Еп:у2~хъ- п2х имеет
бесконечно много рациональных точек
- гипотеза Бёрча—
Суиннертон - Дайера
Коутс-Уайлс
Теоремы Шимуры,
Вальдспургера,
Туннеллд
л-и коэффициент q-разложения
произведения Туннелла тэта-функций
равен нулю
Рис. IV.1
На рис. IV. 1 мы схематически изобразили основные этапы
рассуждений.
Отметим, что совсем недавно Б. X. Гроссу и Д. Цагиру
([Gross, Zagier 1983]) удалось показать, что слабая гипотеза
Бёрча—Суиннертон-Дайера верна для кривых Еп для широкого
класса чисел п. Для таких п теорема Туннелла становится полно-

282 Гл. IV. Модулярные формы полуцелого веса
правным утверждением о том, что свойства числа п быть конгруэнт-
конгруэнтным эквивалентно определенным равенствам; это равенства между
количествами способов, которыми число п (или п 2) может быть
представлено некоторыми простыми квадратичными формами от
трех переменных.
Как упоминалось в гл. I, практическое значение теоремы
Туннелла состоит в том, что она дает эффективный и быстрый
алгоритм для определения того, конгруэнтно ли данное число п.
К тому же, можно дать новые простые доказательства некон-
неконгруэнтности числа п в определенных условиях. Например, если
п — простое число, сравнимое с 3 по модулю 8, то Туннелл по-
показывает, что an = 2mod4 и, следовательно, число п не кон-
конгруэнтно. Это и другие следствия можно найти в статье Туннелла.
Только в одном смысле теорема Туннелла все еще остается
не полностью удовлетворительным решением древней задачи о кон-
конгруэнтных числах: в одном направлении она опирается на слабую
гипотезу Бёрча—Суиннертон-Дайера для некоторых эллиптиче-
эллиптических кривых. Но за последнее время были достигнуты значитель-
значительные успехи в доказательстве этой гипотезы для достаточно широ-
широкого класса кривых, включающего кривые Еп. В дополнение
к работе Гросса и Цагира, упомянутой выше, Р. Гринбергу ([Green-
berg 1983]) удалось доказать, что если бы эта гипотеза была
неверна для таких кривых, как Еп, обладающих комплексным
умножением, то отсюда вытекали бы весьма неправдоподобные
следствия для групп Тэйта — Шафаревича этих эллиптических
кривых.
Замечательно, что полученное теперь близкое к полному реше-
решение такого старого и наивного вопроса, как задача о конгруэнт-
конгруэнтных числах, потребовало привлечения самых мощных и изощрен-
изощренных средств из разнообразных областей математики двадцатого
века.

Ответы, наброски решений
и литературные указания
к избранным упражнениям
§ 1Л
1. См. [Hardy, Wright 1960, pp. 190 — 191]. 3. (b) Следуйте доказательству
неразрешимости уравнения x4-f у* = и2 на с. 191 — 192 указанной книги Харди
и Райта1). 4. Фиксируем п и х (так что 2 фиксировано). Тройки, отвечаю-
отвечающие х, получаются в результате пересечения двух конических сечений X2 +
-\-Y2 = Z2 и XY = 2n в плоскости XY. Если (X, Y) — одна из точек пересече-
пересечения, то остальные три суть (— X, —Y), (Y, X), (-Y, — X); они не дают
других троек. 5. (а) 1681/144; (Ь) 25/4; (с) 841/4, 1369/4. 7. Из того что х2, у2 = 0,
1 или 4 (d 8) 22\2\82 б
числу
это 41
р () () () /
4 (mod 8), следует, что 2х2-\-у2-\-8z2 не может быть равно целому
п^Ъ или 7 (mod 8). Первое конгруэнтное число я=1 или 3 (mod8) —
о
сторонами 6—,.
; оно равно площади прямоугольного треугольника со
nil
60*
§ 1.2
1. Замените у на у/п? и х на х/п. 2. (с) х = — nY/(X + Z), y = 2n2/(X-\-Z);
(е)
X
3
4
—3
—4
Y
4
3
—4
—3
Z
5
5
5
5
X
—3
—2
12
18
У
9
8
36
72
X
3
4
—3
—4
Y
4
3
—4
—3
Z
—5
—5
—5
—5
X
12
18
—3
—2
У
—36
—72
— 9
— 8
3. (а) Пусть Z — сторона, лежащая напротив угла 0, и пусть X, Y—две дру-
другие стороны. По теореме косинусов, X2-\-Y2 — 2AXY = Z2. Тогда точка м =
= (X — AY)/Zi v=Y/Z лежит на эллипсе u2-^B2v2 = l. Снова используем
тангенс угла наклона прямой, соединяющей точки (—1, 0) и (и, и), для того
чтобы параметризовать эллипс. Покажите, что и = (\ — ВЧ2)/(\ -\-ВЧ2), v =
1 R
= 2tl{\-\-B2t2). Площадь треугольника равна -^ XY sin^ = -^-XY, и поэтому
мы получаем п = -^ BZ2 (Y/Z) (XJZ)=— BZ2v {u + Av) = BZ4 A + 2At —
— B2t2)/(\+B2t2J. Наконец, положим x = —Bt, y = (\+B42)jZ, так что
Пу2 = х (х2 + 2— х— 1 ) . (Ь) Поскольку А = A — Л,2)/A + ^2) и В = '<
правая часть кубического уравнения из пункта (а) превращается в xlx2-jr
х) См. также книгу; Эдварде Г. Последняя теорема Ферма.—М.: Мир,
1980, с. 22—-23. — Прим. перев.

284 Ответы и наброски решений
§ 1.3
1. Контрпример для случая К=-^р=- Z/pZ: F (х, у, z) = xP—x. 3. 1; 0; 2.
5. (b) $от контрпример. Пусть char /С = р. Пусть d кратно р, F (х, у, г) =*
= xd + #rf-f zd-{-xaybzc, где 0 < a, ft, с, a + ft + c = d. Тогда все частные про-
производные обращаются в нуль в точках @, 0, 1), @, 1, 0), A, 0, 0), но эти
точки не лежат на кривой. Действительно, если p — d — 3, a = b — c=ly то
кривая гладкая во всех своих точках, несмотря даже на то, что все три частные
производные обращаются в нуль в трех точках из (Р>^; (d) Пусть/(—R или С.
Рассмотрите F как отображение F: /С3 -> /С. Тогда условие гладкости равно-
равносильно тому, что градиент этого отображения отличен от нуля. После этого
примените цепное правило к сложной функции: (пространство с координатами
Д —1 р
х\ у\ г') > (пространство с координатами х, у, г) _> /С. 6. (Ь) Сведите все к слу-
чаю, когда zx = z2 = 1, положите Д# = —— (х2 — х{), так что /' (хх) ^x = j— X
Х(Уъ-У\). Тогда 0=J~(X! + Ax, yx + f (хг) Ах + ат/±х™ + ..., 1) = F (Xl + Ax,
XF (Xi-\-x2t, У\-\-у<?, Zi-\-z2t)-\-(некулевая константа) tm + высшие члены.
§ 1.5
2. (a) f (z) = (e"nia, е*п&) для г = аоох + ftaJ, а, ft^tR; (b) ^/2. (с) Положите
a=j/p, b—kjp в пункте (а); тогда отображение (/, k) <~> {подгруппа, порож-
порожденная (e2Jll'//p, g2nife//?)j( где элементы /, ^^F^ не равны нулю одновременно,
задает требуемое взаимно однозначное соответствие; число подгрупп равнор-\-\,
3. (а) Если s = 2, сведите все к случаю, когда f (т, п) =^ 1 при т, п^т\>
пх (mod N), f (m, л) = — 1 при m, n^m2, n2 (mod /V), f (m, л) = 0 в остальных
случаях (где /гг/, л/ — фиксированные пары); после этого соберите вместе члены
с (т, п) = (jN-{-тг, kN-\-п{) и (т, n) = UN 4- ma, ^УУ + л2); (b) V ' .. X
(s— 1)!
0 <т,
п < N
-eb+lLvb; (ОЬ (О2
§ 1.
2. ^-27^. 3. ^(г)-6^(гJ-у^2. 6. С(8) = я8/9450. 7. 4/3, 8/27. 10. По-
Положите v (z) = f" ($> B)), найдите (dv/dzJ и покажите, что dv/dz=±\.
14. (а) Подставьте ^ = sin2B и проинтегрируйте по частям. (Ь) Используйте
задачу 12 (Ь); подставьте x = (t — e1)/{e2 — e1) и приведите выражение под зна-
знаком корня к виду х (х—1) (л:—X). (Замечание. Эллиптическая кривая, запи-
записанная в виде у2 — х(х—1) (л: — Л,), называется эллиптической кривой в форме
Лежандра.) После этого сделайте подстановку t=\/x. (с) В выражении для
со2, полученном в пункте (Ь), разложите A — М)~1/2 в биномиальный ряд и
используйте пункт (а).
§ 1.7
2. (a) ((*2-f n2)/2yJ; (с) обозначим через ord2 разность между степенью двойки,
делящей числитель, и степенью двойки, делящей знаменатель; рассмотрите три
случая: ord2 x<ord2n\ orda x = ord2n; ord2* > orda/i;B каждом из них определите

Ответы и наброски решений 285
ord2 (х2-\-п2) и используйте соотношение у2 = (х2 — п2) х для того, чтобы найти
ord2*/ и доказать, что ord2 у^ ord2 (х2-\-п2). (Конечно, ord2rt = 0 или 1, так
как п свободно от квадратов.) 3. (а) 0 и три точки пересечения с осью х\
(Ь) точки перегиба; (с) через каждую точку пересечения с осью х можно про-
провести 4 прямые, касающиеся кривой в точках четвертого порядка; (d) рас-
рассмотрим конфигурацию, состоящую из трех прямых, пересекающихся с тремя
другими прямыми. Тогда, если эллиптическая кривая проходит через 8 из 9 то-
точек пересечения, то она проходит и через девятую точку. 4. (а) восемь; дважды про-
продифференцируем равенство y2 = f(x), положим у"~0 и умножим обе части на
2у2. Мы получим Byy'J = 2y2f" (x). Отсюда следует, что f'(xJ — 2f(x)f(x) = 0.
(b) x= ± nV \ ±2}Н$/3 . 5. четыре; нарисуйте прямые, проходящие через
— Q и касающиеся кривой. 7. 4; 3; 8. Четыре точки порядка, равного 4, но
не равного 2, можно найти, проведя прямые, которые проходят через точку
(/г, 0) и касаются кривой. 8. Две точки порядка 2 (бесконечная точка и
(а1/3, 0)); три точки порядка 3 (бесконечная точка и (DаI/3, ± (ЗаI/), если
а положительно, @, ± (—аI2), если «отрицательно); четыре точки порядка 4,
г именно, две точки порядка 2 и две точки (a1/3 (l -f- yT), ± (За C-(-2}/"з )I/2)
(если а положительно; замените оба знака « + » на знаки «—», если а отри-
отрицательно).
§ 1.8
— Таё\у гДе * —S? (z)- 3. Рассмотрите нули и полюсы функции ^ (Л^г)—^ (г);
константа (равная —1) определяется из сравнения коэффициентов при г~2
(см. [Lang 1978b, с. 34 — 35]). 4. Рассмотрим действие элемента а на точки
~т щ-\- дт- со2 в г-плоскости; при этом каждая такая точка либо остается на
месте, либо меняет знак (по модулю L). Выбирая (/, ?) = A, 0) или @, 1) для
нахождения матричных элементов, мы получаем сперва матрицу (
но рассмотрение других (/, k) показывает, что знаки совпадают. Аналог этой
ситуации для круговых полей заключается в следующем. Положим Q^ =
2л\ .. _
cos-^-J, т. е. присоединим х-координату точки порядка N. Тогда
Gal (Qn/Qn) есть подгруппа {± 1} в (Z/NIi)*. 5. Образ претерпевает сопря-
сопряжение с помощью матрицы замены базиса. 6. (а) подгруппа порядка 2; (Ь) три-
тривиальная подгруппа; (с) вся группа; (d) подгруппа порядка 2. (Замечание.
В этой и в следующей задачах подгруппы определены лишь с точностью до
сопряжения; см. задачу 5.) 7. (а) 48; (Ь) ^-координаты точек порядка 3 най-
найдены в задаче 4 (Ь), § 1.7; г/-координаты найдем из уравнения у2 — Xs — п2х.
Окончательно, Кз порождено ±V \ ±2Y~3/3 и такими у, что у2 =
= ш2B/13/3) = 4- Щ-У 3 ± 2/1* . (с) Используя пункт (а), получаем, что
о
[Кз'-Щ делит 48. Поскольку /Сз получено последовательным присоединением
квадратных корней, степень поля /Сз в действительности делит 16. С другой
стороны, используя пункт (Ь), нетрудно получить, что /Сз содержит t, а также
корень четвертой степени из 4я2C + 2 У 3), который служит корнем полинома
Xs — 24п2х* — 48/г4. Этот полином неприводим (по критерию Эйзенштейна для
простого числа 3, если 3\ п; если 3\п, то можно использовать обобщение

286
Ответы и наброски решений
критерия Эйзенштейна). Таким образом, поле F, полученное присоединениехг
этого корня, имеет степень 8. Но FaR, в то время как /СзЭ?• Поэтому
[/С3:С2] ^ 16. Следовательно, степень расширения равна 16, и образ группы
Галуа есть 2-силовская подгруппа в GL2 (Z/3Z). Имеется два различных спо-
способа показать, что [/C3:Q] равно по меньшей мере 16: (i) /С3 имеет степень, не
меньшую 2, над полем Q у у 2п У 3 ± 2 У~3 Jd^-, поэтому достаточно доказать
неприводимость над
полинома 11
8 способов расста-
расстановки знаков ±
Но если бы этот полином был приводим, то нашлись бы 4 корня, произведе-
произведение которых лежало бы в %. Можно непосредственно проверить, что это не
так. (ii) Сперва нужно показать, что [ Q (У 3 ± 21/^3^):QJ == 4. После этого
достаточно доказать, что Q (|/2л У~Ъ ± 2 / ) Ф Q (К 3±2/"з). Предпо-
Предпо3 ±2 УН) для некоторых
ложим противное. Тогда 2п У 3 ± 2 У~3 = I
a, b?Q (У~3); поскольку У 3 ± 2У~3 (=? Q (У~3), отсюда следует, что 0 =
= а2 + Ь2 {3-\-2У~3), и мы приходим к противоречию, так как a, b?R*.
, т. е. Zi = (?>i/3, z2 = (сох 4-щ)/3. 8. (с) Покажите, что а есть соб-
%0 1,
ственное значение матрицы 2x2 с целочисленными элементами. 9. (а) 3, (Ь) 4Г
(с) 6, (ф 7, (е) 8, (f) 5, (g) 7.
§ «.9
1. Возможные условия на р и /: 8\f или же 2|/ и /?s= — 1 (mod 12).
2. (а)
11
13
17
19
23
тип
B, 2) B, 4) B, 4) B, 2, 3) B, 4) D, 4) B, 2, 5) B, 4, 3)
(Ь) D, 4); (с) B, 2, 7); (d) B, 4, 9); (е) B, 2, 9, 37). Для q= 17 и 9 нужно
проверить, что если Р —любая из 12 точек порядка, не равного 2, то х-коорди-
ната точки 2Р равна 0, 1 или — 1; это означает, что все эти точки имеют
порядок 4. Отметим, что все эти ответы можно получить также из задачи 11
ниже. 3. Ответы те же, что в задаче 2, за исключением: р=\3, B, 2, 5);
р=\7, B, 2, 5). 4. Заметим, что когда х пробегает F^, величина х3 — а,
стоящая в правой части, также пробегает ?д. Поэтому число точек равно
числу точек на кривой у2 = х (плюс бесконечная точка). 5. См задачу 10 ниже.
6.
тип
11
13
17
19
23
B, 3) B, 2) D, 3) B, 2, 3) B, 9) B, 2, 7) (8, 3)
7. Рассмотрим подгруппу точек порядка т в группе Е (Q). Покажите, что для
всех, кроме конечного числа, простых чисел /?г=—1 (mod 6) гомоморфизм
этой подгруппы в Е (?р) инъективен. Покажите, что отсюда следует, что все

Ответы и наброски решений 287
точки конечного порядка могут быть получены из двух точек порядка 2 и/или
трех точек порядка 3. После этого исследуйте, когда точки порядка 2 или 3
имеют рациональные координаты. 9. (а) Покажите, что при автоморфизме комп-
комплексного умножения точка порядка N переходит в доутую точку порядка /V;
но если координаты обеих точек (х, у) и (— х, —\ — 1 у) лежат в lq, то
V — 1 ? ?д. 10. Нужно действовать так же, как в задаче 9 (а), используя
комплексное умножение (х, у) н-> (?*, «/), где ? —нетривиальный кубический
корень из единицы, лежащий в ?qK П. Предположим, что а < р. Обозначим
теперь через G факторгруппу гр\ппы точек порядка Z13 по подгруппе точек по-
порядка 1а. Тогда G ^ Ъ',1 %. Покажите, что комплексное умножение, кото-
которым мы пользовались в задаче 9 (а), задает автоморфизм группы G с квадра-
квадратом, равным —1 (—1—автоморфизм, при котором каждый элемент группы
%1$~аЪ меняет знак). Покажите, что если / = 3(mod4), то такого автомор-
автоморфизма не существует, так как — 1 не является квадратом в (JZ//JZ)*. Если
1 = 2, используйте то, что —1 не является квадратом в (JZ/4JZ)*.
§ П.1
4. Z(T) = (l — Г2)-*/*; 2(Г) = A — Г2)-1; рассмотрите уравнение х2 — а = 0,
где а —любой квадратичный невычет mod/?. 5. Z (Т) = 1/A — Т) A — Г2) . , .
. . . (i-_r*-i). 6. (a) Z (Г) = 1/[A—71)' A-ГО'-1 A— Tt2y-i ... (l—Г^1)'-!];
(Ь) дзета-функция есть бесконечное произведение, равное пределу функции
Z (Т) из пункта (а) при М, стремящемся к бесконечности; она не рациональна.
7. (b)-(c) Z(^j?q; T) = \/(\-T)(l-qT)(\-q*T). ..A-^7). 9. Запи-
Запишите V в виде объединения непересекающихся аффинных многообразий и ис-
используйте задачу 1. Для того чтобы свести все к случаю одного уравнения,
используйте индукцию и следующее наблюдение: число общих нулей функций /
и g равно сумме числа нулей функции / и числа нулей функции g минус число
нулей функции fg. 10. 1/A — Т) (\—qT). 11. A —qT)/(\ -q*T) A ~q3T). 12. 1/A —
— T)(\ — qT){\ — q*T)*(\—q*T)(\-q*T). 13. Следуя задаче 13 из §1.9, не-
нетрудно убедиться в том, что расширение, порожденное точками порядка /^+1,
содержится в F /м. Остается показать, что только точки порядка Iм (но не
точки точного порядка lM + 1) имеют координаты в F /M-i. Докажите это с
помощью вычисления точной степени числа /, делящей Л^М-i. Рассмотрите
отдельно случаи (i) / остается простым в квадратичном расширении Q (a); (ii)
идеал (l) — LL расщепляется в произведение двух простых идеалов. Покажите,
например, что если Le — наибольшая степень числа L, делящая а— 1, то Le+J —
наибольшая степень числа L, делящая а1 —1. Используя то, что точная сте-
степень числа /, делящая Nlt есть /2, докажите этим способом, что точная сте-
степень числа /, делящая N м_±} есть /2^. 16. Запишите Z (Т) = 1 -\-C\T -J-
+ c2T2+... = Pv(T)/Q(T),lQ(T) = b0+b1T+..., где Р (Т) и Q (Т) не имеют
общих делителей и все коэффициенты целочисленны. Проверьте, что полином
Q (Т) примитивен. Используйте алгоритм Евклида и запишите PU-\-QV = m,
где U, 1/gZ [T], mgZ,m^0. Запишите m/Q = U (P/Q) + l/ = do-f-^i71+ •. • .
Поскольку m = Q (T) (do-\-diT-\-...) и Q (Т) примитивен, отсюда следует по
лемме Гаусса, что m\dj. В частности, m\d0. Это означает, что постоянный
член Ьо равен ± 1. Отсюда немедленно следует, что постоянный член полинома
Р (Т) также равен ± 1.

288 Ответы и наброски решений
§ п.2
1. Например, для того, чтобы доказать C), замените х на х/у, а затем у на
х-\-у в двойной сумме для J (ул, %2) g (уу/^)- Доказательство свойства B) см.
в задаче 2 (а) ниже. 4. / у/Т, /5, i VT, 3. 5. 1 ± 2/, 3, —3 ± 2i, —I ± 4/.
6. ХD)-Мх, X)-Sx(^-4x2) = 2x(l-B^-lJ) = 2]x(l--^2) (заменяем
2х~1 на *) = 2 A+Х2_(У))ХA—#)» (где */ = *2, если х2(у)=\), и это равно
J (Ул> ОС)- 7- О ±3/1/Г3)/2, ( — 5 ± 3/ ]/3~)/2. 8. (а) Используйте пункт (Ь) с
гп, равным квадратному корню из \/п в ?q*; (b) замените х на х/пг2 я у на
у/т3 в уравнении у2 = х3~п2х. 9. (а) Замените х на */а. (Ь) Выберите в ка-
качестве J идеал, состоящий из таких элементов х, для которых ax?/. Покажите,
что сумма по каждому смежному классу группы (/?//)* по подгруппе элемен-
элементов, сравнимых с 1 по модулю J, равна нулю. (Для тренировки рассмотрите
пример /?=Z, I=(N).). (с) Проверьте,_что_?(х, ф) = ? (Х»_^) = Х (—1) ? (X» *Ф).
Далее имеем | g(x, чр) |2 = g (x, if) g (х, чр) = S S X W X (#) * (* — У)
x€(R/I)* г/€ /?//
(здесь безразлично, суммируем ли мы по R/I или по (R/I)*). Замените у на
^f/ во внутренней сумме; при этом каждое слагаемое принимает вид % (у) if (х A—г/)).
Рассмотрим элемент х, не взаимно простой с /. Обозначим через J идеал, со-
состоящий из элементов, произведение которых с х лежит в / (таким образо:л,
J строго больше, чем /). Используя рассуждения из пункта (Ь), мы видим,
что внутренняя сумма обращается в нуль. Поэтому мы можем заменить внешнюю
сумму 2j на 2 • П°сле этого изменим порядок суммирования. Мы
xe(R/D* xeR/l __
получим |g(x, ^)|2= 2 Х(#) 2 <Ф(^A— У))- Если У=1> т0 внутренняя
г/ eR/I xeR/I
сумма равна N/. Но если уф\, то она обращается в нуль, поскольку, со-
согласно предположению, if нетривиален на подгруппе (\—y)R-{-I/I в /?//.
10 — 17. См. статью Вейля [Weil 1949] или же [Ireland, Rosen 1982, § 4, ch. 11].
20. (b) Используя пункт (а) и взяв вычет по модулю 3, мы получаем
J(%s, X8) MS Ха(*)*(*))8^ 2x8 (*)*»(*)= 2 *C*)=-1. (с) /fo, Хз)
xef*Q
есть элемент кольца % [со], норма которого равна р и который сравним с
— 1 mod 3. (е) Поскольку J (%3, Хз) имеет норму р и удовлетворяет правиль-
правильному сравнению, достаточно показать, что он лежит в идеале (а + /?со) (а не в
(а-\-Ь(й)). Профакторизовав по а+6со, замените Хз (*) на jc(p"i)/3 иХзA— х)
на A — х)^р~г^3 в определении величины J (Хз, Хз) и используйте то, что ^J x-f=0,
если /?—1 не делит /. 21. (а) Используйте задачу 6 и соотношение Хассе—
Дэвенпорта. 22. (а) а ф 0 и char /( ?? 3; (b) используйте то, что отображение
х\—> х3 взаимно однозначно на /(, и поэтому уравнение х3 = и имеет ровно одно
решение, (с) Имеется одна бесконечная точка. Для каждого фиксированного у
число таких х, что хд = у2-\-ау, равно 1+Хз (#2 + я#) + Хз (#2 + я#). Напишите
сумму по у?К и сделайте замену переменных у = ах, так что %з(у2-\-аУ) =
="ха (а) Хз (* — *2)и= х"з W Хз (*) Хз A —*) (напомним, что — 1 = 1 в К), (d) В слу-
случае г=1 проделайте непосредственные вычисления, затем примените соотноше-
соотношение Хассе —Дэвенпорта. Z (C/F2; Г)==A -(-2Г2)/A-~Г) A — 27). (е) Дополняя
до полного квадрата левую часть уравнения у2-\-у = х* и подставляя у' =
= ^ + "» *' = *, получаем г/'2 = д:'3-(--т-, т. е. (8г/'J = Dд:'K-}-16. После этого
положите у — 8у', х = 4х'. 23. (с) Следующие таблицы дают разложения на
простые множители чисел точек. Задача 10 из § ИЛ позволяет определить тип
группы во всех случаях, кроме тех, когда число точек делится на квадрат

Ответы и наброски решений
289
простого числа /= 1 (mod 4). Эти случаи помечены звездочкой и обсуждаются
ниже.
г
1
3
5
7
NT
23
23-13
23-401
23-29-337
N7
22
22-37
22-761
22-29-673
г
2
4
6
8
25
27-5
25-13-37
29-32.5.17
10
12*
14*
25-401.761
27-5.132.37-61
25-292.337.673
г
1
3
5
23
Л^ез
23
23-277
•101-461
22
22-
N7
22
-5
52-
-5
109
3701*
25-5
27-32-52
25-5-109-277
г
8*
10*
25
2».
.5?
32.52
• ЮЬ
.73-
461-
97
3701
Разберем случаи, помеченные звездочкой. Предположим, что Еп (?д) содержит
ровно / точек порядка /; пусть это будут точки /Р, 0^/ < /. Предположим
еще, что Еп(? Л содержит ровно /2 точек порядка /2; пусть это будут точки
/Q; 0<:/< /2. Пусть ?дГ, a ftqr — расширение полей, порожденное координа-
координатами точки Q. Следуя задаче 12 из §11.1, используйте отображение о\—>
i—>o(Q) — Q, где a?GaWFqr'ftq)> для того 1ГГ°бы показать, что г' = /. После
этого покажите, что /-компонента имеет тип (/, /) во всех случаях, кроме
дг ?г и Nlo из пункта (d). В этих двух случаях покажите, что /-компонента
имеет тип (/2). Это делается следующим образом. Предположим, что нашлось
бы /2 F r-точек порядка /. Пусть ? г,— расширение поля F^, которое они по-
порождают. Подходящим образом выбирая базис {Р, Q) двумерного F^-вектор-
ного пространства точек порядка /, получите вложение группы Gal (Fqr'ftq\
в группу матриц вида (~ ) « F*. Таким образом, г'\1—1.
§
4. По C.11) имеем gff — ^ =
?-l /7-1
L
а, Ь=0, 1, ..., р-1
( j e2ma/p. Заменяя b на ab во внутренней сумме, получаем
/7-1
?/?^ I д:г/= 1} (после замены переменных х = а-\-Ь, у = а — Ь\
{х—у)/2). Следовательно, g Ц —• J J = 2р— 1 — (р— 1) = р.
= (х-]-у)/2, Ь =

290 Ответы и наброски решений
§ 11-4
2. (Ь) Представьте L (%, s) в виде L (x, s) = ?j % (b) fs (b)\ используйте пункт
b в G
(а) и задачу 9 (a), (b) из § II.2; (с) L fa, 1) = — -jj- g (X) ? X (a) log A -l~a);
a eG
(d) L(X. 2)=ig(x) ? x(fl)'F"e)- 3- Wt-^e™^-^». (e) я/2 х
в пункте (e); (h) L ' (X, -2Л) - 1 (-1)^! л~2/г /а^^ (х) Г (^ + у) Х
L (x, 2^-f-l). 5. (а) Проинтегрируйте по частям преобразование Фурье функ"
ции р (х)\ (b) -.iyt-*l*e™iay-*y%lt\ (е) я"E+1)/2 Г (^") М*1 ^ s) =
( —^-Н(х. !—s); (h) для х(л) = ("т) мы полУчаем
\ 2 у \ d у
g(x)(
?.'(Х> -1)=^(/(в~2Ш/3)-/(в2ш73)), где /(х)-функция из задачи 2 (d).
7. Используйте пункт (a) (Hi) задачи 4. 8. (а) Складывая выражение для
/(а, 1 — sL-l A — а, 1— s) из задачи 3 (с) с выражением для I (a, I —s) —
^-S +l/2p /5Ю)
/A—а, 1 —s) из задачи 5 (d), получаем I (a, I —s)= 9Г п гтогЧС (я, «)+
Z1 (A—S)/Z)
§ П.5
00
1
I б
Так же как в § II.4, покажите, что ср (s)— целая функция и что при Res >1
00
v ^.Cit.li 1 1, 1 , ot-i/\ ^. i i О в
онаравна j
О
а— [_- [-л'^Г (s) 4?^(s). Подставляя 1/^ вместо ^ в интегралы для cp(s),
S 1 — S
покажите, что фA—s) = <p(s) и, следовательно, я~5Г (s) ?^(s) =
л<5~1Г A — s) ?/(-A — s). Наконец, покажите, что функция 4?^(s) = -=г7
. j аналитична всюду, за исключением точки s=l, и что
S 1 ~""~ S J
lim (s— 1) 4t>K(s)==lim ns/T (s) = n. 3. Преобразование Фурье функции g(x) =
l l
l' есть §(у) = |г2лг»<!'-<"в-(я/''-с|'. Поэтому Qvu (t)
.vQtJiy 4.(a) pnto-VVfW- Ф) ^)'1еЛ^

Ответы и наброски решений 291
(с) Он, k (t)^i~kt~fi~1Qa^ к I -г- J. (d) Пусть а-\-Ы пробегает множество пред-
представителей смежных классов по модулю / = (я'). Запишем переменную сумми-
суммирования х в виде (а-\-Ы) + п' (m1-\-m2i), так что сумма становится равной
2 5L (й5 Вну-
тренняя сумма есть, по существу, преобразование Меллина функции 9а, # (/).
Функциональное уравнение из пункта (с) приводит тогда к линейной к'омби-
00
нации членов вида \ tk + 1~s Qa>k (/) —, и эта линейная комбинация может
о
быть выражена через гауссову сумму и нашу исходную сумму, в которой s
нужно заменить на k-\-\ — s. (e) Предположим, что (а0, ах) для нашего харак-
характера Гекке 5с есть (k1, k2) (эта пара целых чисел называется типом харак-
характера 5с «а бесконечности). Рассмотрим % как функцию на элементах кольца
Ъ [/], положив х W = X(W)' Пусть k=\ki — k2 \. Если ki > k2, то легко ви-
видеть, что отображение х\—> %{х) — x(x)/xk(f^x)k* есть характер группы (Z [^]/f)*I
если k9 > klt то %(#) = x(x)/xk(f*4x)kl есть характер группы (Z[t]//)*. Тог-
1
1 Х^ ~
да, например, в случае k\ > k2 L-ряд Гекке есть — 2^ X W
Т ^\ xkX(x) (Nx)k2~s- 5. (а) Делая замену переменных х' = Мх, получаем g (у) =
(b) L' = M*Z"; пусть g (x) = f (Мх). Тогда, используя пункт (а), получаем
2 / |/з"/2 О \ 2/ —
¦ ( r *" ); L'= % [со] как решетка в С. Заметим, что Тг ху = 2х*у,
где слева хну рассматриваются как элементы из С, а справа —как элементы
из R2. (Ь) В задаче 5 (Ь) пусть f (x) = e"nt^x^\ g (x)=f (Мх), где М — матрица
из пункта (а); после этого примените формулу суммирования Пуассона, (с) Пусть
Э @ — сумма, стоящая в левой части равенства из пункта (Ь). Пусть ср (s) =
оо 2/VI
Г ts(Q(t)—l)-^-+ С ts (Q(t) \=-\^-. Для Res>l покажите,
(—(-- )+я-5Г (sN^(s). Вычет в точке s=l равен
\ s а — s /
У Наконец, замена переменной / на 4/3/ в интегралах для ср (s) приво-
приводит к соотношению ф (s) = B/V^3J<s~1 ф A — s); отсюда A(s) = A(l — s), где
Л (s)= (У^/2лMГ (s) ^(s). (d) Используйте разложение в эйлерово произве-
произведение ?ff(s)=H(l —(N^)""*). Для простого идеала Р с нормой р = 1 (mod 3)
что
вклад от Р и Р равен A — р~5)""?; для Р=(р), где /?H=2(mod3), вклад ра-

292 Ответы и наброски решений
вен A— р-^)-1 = (\ — р-*)-1 (l — x(p)p-s)-1; для Р = (/"^3) вклад равен
A—3~<s)~1(l — % C) З*) (так как )(C) = 0). Поэтому это эйлерово произве-
произведение равно эйлерову произведению для ? (s), умноженному на эйлерово произ-
произведение для L (%, s). (е) Перемножая функциональные уравнения для ? (s)
и для L(x, s), получаем A(s) = A(l —s), где Л (s)=JiTs/ar (-|Л ? (s) C/яM/2 X
Г ((s+ l)/2) L (х, s) = (]//я)* &r (s) Г (д) Г ((s + 1)/2) = const-(У~3/2л)*х
Г (s) ?# (s) (здесь мы использовали формулу D.4)). 7. См. задачи 20 — 22, §11.2;
(d) g (%, г|}) = 3. 8. (а) Согласно пункту A) предложения 9, g (у) равно произ-
произведению функции ет1и'У на преобразование Фурье от (x-w) e~7it\x'w I2; заметим,
что X'W — Мх-(\, /), где М — матрица из задачи 6 (а); после этого, действуя так
же, как в задаче 6 (Ь), получите g (у) = -^-у-{~w, I) e27liu •^-<4л/з/)|;/-(-со,1)|2>
(b) Используя задачу 7 (с), получите (р (s) = 32s~1n~sV (s) 6L (Et s). (d) Заме-
Заменяя t на 4/3/ в интегралах для ф (s), можно получить, что ф (s) =
D/3M 2j X (aJr b<?>)- \ t2~sQu (/) —-, где суммирование ведется по
о
2
b<3; u = (a/3, b/3) и 0« (/) = 2 m-(—со, 1) ^лш-т^-я/|т-(-со, 1)|^ После
m€Z2
этого используйте D.6), задачу 2 иь § II.2 ( заметим, что u-m = -~- Тг((а + ^со)Х
{—comi4-/722)// )/" 3) и оценку гауссовой суммы из задачи 7 (d). В результате
<р (s) = D/3)tS~1 3ns~2F B — sNL(E, 2 — s). Приравнивая это к выражению, по-
полученному в пункте (Ь), приходим к требуемому уравнению.
§ н.б
2. Функция / (s) = A (s+1) — четная в первом случае (поэтому в ее разложении
в ряд Тейлора около точки s = 0 содержатся только члены четной степени по s)
и нечетная во втором. 3. (с) Воспользуйтесь тем, что Ьре— аер-\- ар~1а/7+...
* . 5 — 6.
несколько первых ненулевых
L(En, 1)
оценка остатка
2
3
10
t=l, Ь6 = 2, bQ = — 3
!=1, 6б = 2, /7i3 = 6, Ь17 = — 2
1=1, Ь9 = — 3, /7i3 = 6, Ь17=— 2
0.92707
1.5138
1.65
|< 0.00027
|< 0.00123
К 0.289
7. Нужно найти такое М, чтобы |#m + i| было меньше с/2. Для этого доста-
достаточно оценить М из неравенства с/2 > 4A —е"л' f" е^л^м + 1)' N\ При
больших л правая часть асимптотически равна — y~W е~лМ' \ поэтому
выберите М > —- V^T7 log (8 УТ^/яс) » ~ YW logn, т. е. Bл}/2/я) log л
для нечетного п и Bл/я) log п для четного л. 8. (а) Воспользуйтесь задачей 3
для того, чтобы найти Ьшъ nt (b) См, задачу 7, § 1,1.

Ответы и наброски решений
293
§ Ш.1
1. ^ Гх (W) С Го (N), но STS-* ? Го (N), следовательно, ни Гг (N), ни Го (N)
нг являются нормальными подгруппами в Г. 2. (а) Фиксируйте матрицу "Д?
Выберите матрицу А так, чтобы А = Л mod W. Найдите 5, С?
Л
2), такие, что матрица В АС диагональна, ВАС = (q Л , где ad = det Л^з
е= 1 (mod Л/). После этого достаточно найти матрицу А = у pf Z^ ) , такую,
что det Д = 1, поскольку тогда B-1AC-1?SL2(Z) и B~1AC'1^B (% ^\ С~1 =
= А = A (mod N). Для этого нужно решить уравнение 1 = det A = + ((
— \)/N-\-xd) N — zN2\ сперва найдите х, такой, что xd^= — (ad—\)/N (mod N);
после этого легко подобрать г, для которого det Л — 1. 3. (a) (q2 — 1) (q2 — q);
{Центры
граничных дуг~
в точках
-1/2,0,1/6,4/10.)
(b) q (q2 — 1). 4. (b) Ядро гомоморфизма из пункта (а) содержит р4^-1) эле-
элементов и #GL2(Z/pZ)=(p2— \){p*-p). Поэтому #GL2(ZlpeIs) =
= р4*-3(р2_ 1) (р— 1). (с) Разделите порядок группы из пункта (Ь) на ф (ре);
получится р3е~2 (р2—1). 5. Воспользуйтесь китайской теоремой об остатках.
6. 7V3 JJ A-р-2). 7. 7V3 Л A-р-2); N;N Л A-р); N* Д A-р);
р | Л/ р | Л/ р\ N р\ N
N JJ (I +P). 8. Сопряжение с помощью матрицы ( ^ q J переводит группу
Г (jV) в подгруппу группы ro(W2), состоящую из матриц, верхний левый эле-
элемент которых гэг 1 (mod W). 10. и 14 (Ь). См. рис. А.1—А.2. 12. Кроме групп
Г и Г B) имеется еще четыре подгруппы, а именно, прообразы (относительно
отображения Г —> SL2 (Z/2Z) « S3) трех подгрупп порядка 2 в 53 и одной
подгруппы порядка 3. (i) Го B) = HJ * ) mod 2i , Fo B) = правая половина
f
области FB); (ii) Г°B) =
, F« B) = F[)T-iF\jSF; (in) ©B) =f

Ответы и наброски решений
= i(ajC\==I или 5 mod 2j .фундаментальная область = F\jT^1F(jTSF;
(iv) Uac ^) = Л ST или ErJmod2J , фундаментальная область = F\jT~lF.
-1/2 0 1/2
Рис. А.2. Две возможные фундаментальные области группы Го D):
I. Пусть F B) — построенная в тексте фундаментальная область группы Г B).
Тогда а/7 B), где а =
, является фундаментальной областью группы
Г0D) = аГB)а-1 (см. рис. А.1.).
II. Пусть F — построенная в тексте фундаментальная область группы Г — SL2 B),
и пусть а/ — представители смежных классов группы Г по подгруппе Го D).
G
Тогда U ajlF — фундаментальная область группы Г0D). Выберем 0^=1,
aa = S, ag^T-1^, 064=^-25, ab = T~3S, ae = S7-2S. (Области на рис. А.2
помечены цифрами; цифра соответствует индексу / в а//*; центры окруж-
окружностей, на которых лежат граничные дуги, нарисованные сплошной линией,
находятся в точках 1, —1/7, —3/8; пунктирные дуги лежат на окружно-
окружностях с центрами в точках 0, —1, —1/3, — 2/3, —1/5; Р = (—7 + *l/3)/26.)
13. (а) Это можно доказать, используя фундаментальную область, как в дока-
доказательстве предложения 4 в основном тексте. Вот другой метод доказательства.
Обозначим через G подгруппу группы ®B), порожденную элементами S, Т2.
Ясно, что G cz © B). Для доказательства обратного включения запишем элемент
g?®B) в виде слова ± SaiTblSTb\ . .STb\ где аг = 0 или 1 и bj^O, j =
= 1, ..., /—1. Используя индукцию по /, покажем, что g?G. Будем делать
все вычисления mod ± /, так что S2 = (STK = \. Без потери общности мы мо-
можем предположить, что ax=0, Ьгф0, поскольку левое и правое умножения
на элемент 5 не влияют на принадлежность элемента g группе G. По той же
причине мы можем предположить, что 6х = Ьг=1, поскольку T2gG. Заметим,
что / не может быть равно 1 или 2, так как Т, TST ?$) B). Пусть / > 2.
Запишем g = TSTb2... . Поскольку (STS){TST) = \, имеем TST = (STS) =
= ST~1S. Поэтому T2Sg = TSTb2S... . Это слово отличается отелишь тем,
что в нем вместо Ьг стоит Ь2— 1. Если Ь2 > 0, то для того, чтобы закончить

Ответы и наброски решений 295
доказательство, используйте индукцию по Ь2. Если Ь2 < О, то запишите ST~2g =
= ST-1STb2... =TST*>2 + 1... и снова используйте индукцию по I b2 I. (b) Вос-
Воспользуйтесь тем, что РB) = 71©BO1-1, Го B) -= ST® B) EГ)-1. (с) Пусть
G —подгруппа группы Г, порожденная Т2 и ST~2S. Поскольку GcTB),
достаточно показать, что [Г : G] = §. Например, можно показать, что для вся-
всякого g?T найдется g^G, такой, чтоgg1 = а}, где а,- — один из элементов, исполь-
использованных в основном тексте в качестве представителей смежных классов. Запи-
Запишите g в виде слова от 5 и Т, используйте соотношения S2 = (ST)S = 1 и такую
же индукцию, как в пункте (a), (d) Используйте пункт (с) и изоморфизм из
задачи 8. 14. (с) Fo (р) ограничена вертикальными прямыми, проходящими через
точки 1/2 и — 1/2; дугой окружности, одним из диаметров которой служит отрезок
[О, 2J; дугой окружности с диаметром [—2/B/?—1), 0] и дугами окружностей
с диаметрами [—1/(& —2), — 1/&], где 6 = 3, ..., р. Например, FoC) есть
объединение областей, помеченных цифрами 1, 2, 3 и 4 на рис. А.2. 15. Контр-
Контрпримеры можно построить с помощью задач 12 и 14 (с). 16. (b) (i) 2; (ii) 2;
(in) 2; (iv) 1.
§ Ш.2
1. В сумме для G& сгруппируйте вместе индексы (т, п) с данным Н. О. Д.
2. Подставьте г = / в формулу из предложения 7 и получите Е9 (/) = 3/л-
3. (а) Обе части каждого равенства лежат в соответствующем пространстве
Мд. (Г). По предложению 9 (с), эти пространства одномерны для рассматривае-
рассматриваемых к. Поэтому достаточно проверить совпадение свободных членов. (Ь) При-
Приравняйте коэффициенты при qn в левой и правой частях равенств из пункта (а)
гс-1
и получите а7 (п) = о3 (п) + 120 2 аз(/)аз (« — /); Па9(я) =— 10а3(я) +21а5(л) +
я-1 я-1
+ 5040 2 ^я(Ла5(л-/);а13(л)=21аб(л)-20о7(л) + 10 080 2 а5 (/)°т (n — f).
/ = 1 / = 1
4. (а) Левая часть лежит в 512 (Г). Поэтому, согласно предложению 9(d), доста-
достаточно проверить совпадение коэффициентов при q. (b) т (м)==^ оп (я) +
-\—— а5 (п) 5~ А-* а5 (/) °5 (п — /)• (с) Рассмотрите равенство, полученное
756 ' о f~~
1 =1
в пункте (Ь), по модулю 691. 5. Предположим, что F(X, К) —неприводимый
полином, такой, что F (?» Ев) = 0. Подставляя z = i в E±(z), E6(z), мы при-
приходим к противоречию, поскольку Е6 (i)—0, E^(i) Ф 0. 6. (b) Используйте пункт
(а) сх = е-*71 = е2пМ) и соотношение 0 = Ва + 1Еа + 1 (i) = Щ^Ги ва +1 —
— 2L аа (д) ^ с q = e2niii). 7. Используйте предложение 7 и продифференци-
л=1
руйте тождество f(— l/z) = znf (г). 8. (а) Согласно задаче 7, правые части лежат
в М6 (Г) и М8 (Г) соответственно. Теперь рассуждайте, как в задаче 3 (а).
п- 1
(Ь) 21(хб (л) = Ю (Зд- 1) а3 (л) +ai (л) +240 2 *i (/) ^з (л-/); 20^7 (л) = D2д -
гс-1
— 21) аб (д) — ах (д) + 504 2 ai (/) аб (л—/) • 9- (а) Воспользуйтесь тем, что

296
Ответы и наброски решений
n2==i (mod 24), если п взаимно просто с 12. (Ь) Используя предложение 9 (d),
со
докажите, что 24-е степени левой и правой частей равны, (с) ДA — Яп) =
/2=1
я — Zt ч
п 5 ± I mod 12 п зе ± 5 mod 12
-f- Я2K/^-^J; /=1728, если Я=1; если Х — а/Ь с наименьшими возмож-
возможными а и b (а и 6 положительны) и /?Z, то а464 (а2 +б2J делит 256 (а4 +
_|_ а2?2_|_?4K. н0 ни одно из чисел а, b, a2-\-b2 не имеет общих делителей
с a4_j_a2^2_j_^4. поэтому а2^2 (а2 + ^2) делит 16. Теперь легко исключить все
возможности, кроме a=b=l.
§ ш.з
4. (а) В этих случаях T0(N)=± Ti(N)\ поэтому понятия Го (^-эквивалентно-
(^-эквивалентности и Гх (Л/)-эквивалентности совпадают. (Ь) —1/2 —иррегулярная параболи-
параболическая точка относительно Го D).
5. Группа
Параболиче-
Параболическая точка
Индекс
Го
00
1
р)
0
Р
00
1
Го<
0
р2
р2)
— \/kp, k =
= 1, . .. ,р—1
1
Г B)
00
2
0
2
—1
2
7. (а) См. доказательство предложения 18; замените а на X в C.11). 8. (а) За-
Заменяя г на 2+1/2 в сумме 2je2Jlizn\ получаем сумму 2(—\)ne2Jlizn2\ в то
же время правая часть равна 2 2 е2ШгBпJ. (Ь) Используйте аналогичные рас-
рассуждения, (с) Ясно, что постоянный член в левой части равен нулю; коэффи-
коэффициент при qn равен (—2k/Bk) а/г_х (п) если р \ п; если р\п, но /?'f n2, то
этот коэффициент равен числу —2k/Bk, умноженному на aft_! (я)— A +р/г~1)Х
Xdfc-i (п/р) = О; если п — ртп0, где т>\ и р ^( п0, то коэффициент при с/д
равен числу ~2k/Bk, умноженному на ok_1{pmn0) — (\-\-pk~l)ok_l(pm~1n0)-i-
рЬ-^н-г^-^^Оъ^п^-г^—^+р*-^
= 0. (d) Используйте пункты (b) и (с) при р=г^=_-2. (е) Используя тож-
тождество 1 -\-qn = A — q2n)l{\ — qn), перепишите бесконечное произведение в виде
Д • JJ / П (где Добозначает Д A —9")).Но это
п четно п -удвоенное нечетное число/ п нечетно
р-но д1 П / П П =П3/П П 9 См «>«¦
А2 четно п четно/ все л «-удвоенное четное число 2 |л ' л 4 | л
зательство предложения 30. 10. (а) По предложению 20, г]8 (z) r\8 Bz)?S8 (Го B)).
Поэтому для того, чтобы доказать инвариантность функции rf Dг)/г]4 Bz) относи-
относительно [у]2 для 'у^Го D), достаточно доказать инвариантность функции г]8 Dz)X
Xtis (г) л4 B2) относительно [у]10 для у^Г0D); это можно сделать с помощью
вадачи 9. Мы видим, что в параболической точке оо функция rf Dz)/rf Bz) =
= Я Д A—-<74/г)8/A — q2n)* имеет нуль первого порядка; для того чтобы найти
т)@), применим [5]8; тогда z'V (— 4/2)/г]4 (— 2/z) = z (z/4L r]8 (z/4)/(— (г/2Jх
ХП4 (г/2)) = — 54 П ^ —^)8/A — ^ГL; это выражение стремится к — 1/64 при

Ответы и наброски решений 297
г—> оо. Для того чтобы найти значение в параболической точке —1/2 (эта
точка эквивалентна параболической точке 1/2 = 7" (—1/2)), применим I (о 1 ) I. •
Получим
42 \ /22 + 1V / 1 1
64г2 T)8(=l]tl8(lN)e-^/«tl4(=i\ 16ч» (г) I,
(мы воспользовались формулой из задачи 8 (е)). Это выражение стремится к 1/16
приг —оо.
6ш' , |ч / _ / 1
(az + 1) ( в третьем равенстве мы воспользовались тем, что ?2 ( —а
Е2[ ) ). (с) Очевидно, что F\\T]2 = F. Используя задачи 1 и 10 (Ь), имеем
-24F (г) | [5r-*S]2 = ?2 (г) | [ST-*S\2-3E2 Bг) |
га Dг + 1) V (+)У V ( + O
—24F(z). Перейдем к параболическим точкам. Прежде всего, ясно, что /7(оо) = 0.
При вычислении величины F \ \S]2 отбросьте те члены, которые стремятся
к нулю при z—*оо; после этого, используя предложение 7, получите F(z)\\S]2~
^D)A).-^A-4+^) = -^. Это
()()()
F @). Найдем F (—1/2). Отбрасывая, как и раньше, члены, стремящиеся
к нулю, получаем — 24F(z) | \ST~*S\2 = E2 B) | [5Г-25]2 — ЗЕ2 Bг) \ [ST~lS]2 +
D2 \
^ j 1(см. задачу 1 выше); используя предложение 7 и пункт
(Ь) и отбрасывая члены, стремящиеся к нулю, перепишем это выражение в виде
(см. задачу о (а)); снова
используя предложение 7 и пренебрегая бесконечно малыми, получаем Е2 (г) —
8 8 2
так что F I —^ J =*— — ( _ J =-_ (d) Поскольку функция rj8 Dz)/rj4 Bz)
имеет простой нуль в оо и отлична от нуля в других точках, из предложе-
предложения 18 следует, что F(z)/(r\8 Dz)/r]4 Bz))gM0 (Гр D)) — постоянная функция.
Чтобы получить требуемое тождество, воспользуйтесь соотношением A — q*n)l
A — q2n) = (\ -{-q2n). (e) С помощью рассуждений того же типа, что в доказа-
тельстве предложения 17 (Ь), покажите, что Д Д (z + i/N)?S12tf(Y0 (N2)),
/-0

298 Ответы и наброски решений
Далее, положите / (z) = Д (z)^/J"J Д (г + //М) и возьмите логарифмическую
производную от равенства !{yz) = f(z) для 7?Г0(Л/2). П. (а) Инвариантность
относительно [у]2 для у?Г0 D) докажите с помощью предложения 30. Ясно, что
О4 (оо)= 1; чтобы вычислить значение в точке 0, запишем 04 (г) | [S]2 = z~204X
(—1/Dг/4)) — г~2 (— 22/4) 04 (г/4); это выражение стремится к —1/4 при г—> оо.
Чтобы вычислить значение в точке 1/2, запишем 04 (г) | [5Т1~25]2= Bг+0~2Х
О4 (г/Bг+ 1)) = Bг+ 1)04 ( -1/D ( —1/4г— 1/2))) = - Bг) 04 ( —1/4г— 1/2)
(здесь использована формула C.4)); по формуле из задачи 8 (а) это равно
— Bг)-2B0(— 1/г)-0(— 1/4г)L = — i- B Bi)~1/2 0 (г/4)- //i" 0 (г)L =
@ (г/4) — 0 (г)L, и это выражение стремится к нулю при г—*• оо. (Ь) Еосполь-
вуйтесь тем, что 04(оо) ф 0—F (оо). (с) Можно действовать непосредственно,
как в задаче 10 (а). Второй способ состоит в том, чтобы записать эту функцию
в виде /о us s / и использовать предложения 17, 20 и задачу 10 (а).
(г| (г) rj(zz)) Y) Dг)
Еще более простой способ заключается в следующем. Пусть fx (г) = г]4 Bг)/г]8Dг),
и пусть /2 (г) = гJ0 Bг)/г|8 (г) г]8 Dг). При решении задачи 10 (а) мы видели, что
/2= 16/х | [а]2, где a = ST~2S = —(^ i). Функция fi инвариантна относи-
относительно [у]2 для у?Г0D); отсюда следует, что /2 инвариантна относительно [у]2
для у€а~1Г'о D) ос; легко проверить, что а~хГ0 D) а= Го D). Наконец, а остав-
оставляет неподвижной точку 0 и меняет местами классы эквивалентности парабо-
параболических точек оо и —1/2. Отсюда мы заключаем, что /2 @) = 16/! @) = —-т-,
l6M°°) = 0, fa(oo)=16/1f —i-Wl. (d) Используйте те же
\ z J
приемы, что и в задаче 10 (d). (e) Используйте задачу 8(е). 12. Следуйте дока-
доказательству предложения 19. 13. Запишите (г) (г) г\ (Зг)N = Д (г) (г) (Зг)/г|3 (г)N,
(г) (г) г] Gг)K = Д (г) (г| Gг)/г|7 (г)K. 14. Докажите инвариантность относительно
образующих Т2 и S (используя C.4), получите ф Eг) = У z/i ф (г)); чтобы ис-
исследовать поведение в параболической точке —1 =(Т'5Т1)~1оо, запишите
ф4(г)|[Г5Г]2=:04(г/2)| [ П °Л ] (см. задачу 1). 15. (а) Заметим, что
если У=(ас ^)бГ0(ЛО> то aNyaN1=^Nb~Cla J g Го W, и поэтому
(/ I l<x<Nh) I [y]k = (/ I [«WOW1]*) I [ocN]k = %(a)f\ [aN]k. Ho x (a) = 1 (d).
(b) Функцию f?Mk(N, x) запишите в виде f = f+ -\-f-t где /^ =
-jif± ikf\ \<x>N\h)- (c) Используя 10(d), получите F(г) \ [a^2 = ~^r\8(z)/r\^Bz) =
~~~к + ~1д+''-=~~~Тбв* + Г; матРица Равна (~~о "^l16I ^2D' 1)==
С|в4, Af-D, l)=:C^i-F-l04). 16. ^
p x p
рЛ-1-*)]-1в Д (ихЙамйГ' + кИУ'21)-1. I7- W Любая точка,
Г-эквивалентная точке i, должна быть Го D)-эквивалентна одной из точек атЧ,

Ответы и наброски решений
299
где Г= U ауГ0 D). Используя это замечание, найдите, что точки /, B-f-i
Int/7' Г-эквивалентны точке i\ точки со и E + i"|/^)/l4gInt F' Г-эквивалентны
точке со; две Го D)-эквивалентные граничные точки (—1 —|— г)/2 и C + /)/10
Г-эквивалентны точке i и граница не содержит точек, Г-эквивалентных точке со.
(Ь) Следуйте доказательству предложения 8; однако вычисления здесь немного
сложнее. Заметим, что три вершины (—3 + * V~3)/4, (l +i ]АЗ )/4, (9 + i ]/)/28
Го D)-эквивалентны и сумма углов в этих трех вершинах равна 360°. Для
иллюстрации вычислим интеграл Bш)~1\ f'(z) dz/f (г) по контуру ABCDEF,
изображенному на рис. А.З, где мы предполагаем, что / (г) не имеет нулей
или полюсов на контуре (но может иметь нуль или полюс в параболической
SC
о
Рис. А.З.
1/2
SD
Рис. А.4.
точке 0), и в конечном счете берем предел при 8—> 0. Здесь ВС — дуга окруж-
окружности радиуса 8 с центром в точке 0. Элемент а1 = К j J ^ Го D) переводит
дугу, соединяющую точки А и 0, в дугу, соединяющую точки D и 0. Образ
точки В расположен очень близко от точки С, и поэтому интеграл от D до
а^В можно приблизить интегралом от D до С. С помощью преобразования S
переведем дугу ВС в горизонтальный отрезок между прямыми Rez = —3 и
Re2=1 (см. рис. А.4). По формуле B.24) имеем
SC
J
sb
Последний интеграл стремится к нулю при 8 —^ 0 (поскольку угол, образо-
образованный дугой ВС, стремится к нулю), а первый интеграл в правой части
стремится к —1>0 (/) (как в доказательстве предложения 8; но здесь мы ис-
используем отображение q^ = e2niz^ для того, чтобы перевести полосу в единич-
единичный круг). Далее, по формуле B.24) имеем
ахВ

300 Ответы и наброски решений
в о 1/4
— *J г + 1/4 -А3 7+174"-"Л J Т-
Л А T
3
А
Аналогично, используя элемент а2— ( л Hi ) ё^о D) для того, чтобы перевести
дугу DE в дугу EF, мы находим, что сумма интегралов по этим двум дугам
равна произведению числа —k на интеграл от dz/z, взятый по пути, соеди-
соединяющему точки B + / Уз)/28 и 1/4. Таким образом, нам нужно выбрать ветвь
логарифма, непрерывную вдоль этого пути, и взять разность значений в концах
пути. В результате мы находим, что сумма этих двух интегралов равна произ-
произведению числа —k на логарифм числа
1/4 1/4 {
_ {
(-2-М УЗ)Ц B + ? У3I28
Выбирая ветвь, непрерывную вдоль пути, мы видим, что нужно взять In (—1)
= — ш. Таким образом, произведение величины Bя/)~1 на сумму этих двух
интегралов равно k/2. Формулы для суммы порядков нулей модулярной формы
относительно конгруэнц-подгруппы систематически изучаются в гл. 2 книги
[Shimura 1971]. (с) Функция 04 имеет единственный нуль —простой нуль в па-
параболической точке —1/2; функция F имеет единственный нуль — простой
нуль в оо. (d) Пусть f?M2 (Го D)). Примените формулу из пункта (Ь) к функ-
функции /— / (оо) 04—16/| ^ ) F?M2 (Го D)), которая обращается в нуль в точ-
точках —1/2 и оо и, следовательно, тождественно равна нулю, (е) —(f) См. дока-
дока9 () Ий б точках
Далее,
ках / и и, следоаельн, одестео ра улю, (е) (f) См
зательство предложения 9. (g) Исследуйте значения в параболических точках
функции /=a012-f- be*F + cS*F2-\-dF*: /(оо) = а, / (—1/2) = d/163.
()
a = d = 0; тогда /@)= [- ~J|)( — щ Д ~\] , и поэтому с=-166.
(h) Пусть /(z)=r]12 Bz). Поскольку / (zJ = A Bz)gM12 (Го B)), мы немедленно
заключаем, что эта функция обращается в нуль в параболических точках. Пусть
а = ( о 1 ) • Записав 2аг = —1/A — l/2z), покажите, что /|[ос]6 = —/, и поэтому
/ ? Мб (Го B)). Но группа Го D) порождена элементами Т и а2. Далее,
^6 (Го D)) = С @s/7— 1604/72). Поэтому, чтобы проверить последнее равенство
в пункте (h), достаточно проверить совпадение коэффициентов при q. 18. (b) Пусть
/?MiD, %). Вычитая функцию, пропорциональную в2, мы можем предполо-
предположить, что /(оо) = 0; тогда М2 D, 1)Э/2 — а\Я2~\~ • • • • Эта функция имеет крат-
кратный нуль в оо, что противоречит задаче 17 (Ь), если / не равна нулю, (с) Сперва
покажите, что SkD, x)^ 65/г+1 D, 1) для нечетного &^>5; далее, используя
задачу 17 (i), получите, что dim S^ D, %*) = [(&—-3)/2] (где \х] обозначает целую
часть числа х). (d) Используйте предложение 20, задачу 17
и пункт (с)-
§ III.4
2. Покажите, что У — /(cz + d) IУ — i (— cz — d) = i~ s^n d (достаточно проверить
это для z = 0); в зависимости от знаков чисел cud возникает четыре случая;
рассмотрите их по отдельности. 3. (Ь) — (с) Используйте соотношение ^ =
к) (г)
в(арг) 6(рг)
6(Рг) ' 6(г)*

Ответы и наброски решений 301
§ Ш.5
2. (а) По формулам E.27) и E.28), Тп (/1 [aN]k) = п^2^1 ? / | \aNaa (g
6
а,
Пусть aa,b = GnaNoa (q Л ajj1^^(N, {1}, %). Покажите, что элементы айчЬ
принадлежат различным смежным классам по группе Ti(N), содержащимся
в А" (Л/, {1}, Z), и, следовательно, образуют множество представителей таких
смежных классов; поэтому, по формуле E.27), (Тп/) | [a^\k = nk/2"х X
2/|[аа1ба^]Л = /1Л/2-1^/|[^а^ав (g ^)]ft = Ги (/ | [aN]k) (так как
flWpf). (b) r2f-0, 7204=04+16F, поэтому if, .1 F + ± e4l-базис
из нормализованных собственных форм, (с) (Т^) I [а4]2 = 0 Ф ^2 (^ | [о^Ь)-
(d) Любой собственный вектор для Т2 или для [a4b должен быть собственным
вектором для оператора Т п\ значит, среди собственных векторов оператора Тп
2 1
содержатся векторы F, -^-F-f-94 ®4> в4, и тем самым любой вектор простран-
пространства УИ2(Г0D)); по предложению 40, примененному к F, имеем Х1 = о1(п)
(п нечетно), (е) Пусть 04 (г) = 2 ап4п- Если п нечетно, то, по предложению 40,
ап =Gi (n) a1 — 8o*i (п). Пусть п равно удвоенному нечетному числу, /г = 2я0;
тогда сравните коэффициенты при qno в левой и в правой частях равенства
Г264=04+ 16F и получите ап = аПо-{- \6о1 (/го) = 24а1 (п0). Если n = 2nt делится
на 4, то, сравнивая коэффициенты при qni в левой и в правой частях равенства
Г204=64+ 16F, получите по индукции, что an = aniJr0==24o1(n0). 3. Первая
часть следует из формулы E.19) с /г = 0. Контрпримером для остальных пара-
параболических точек может служить функция ©4 -f- 16F (см. задачу 2(Ь)), которая
не обращается в нуль в точке s = —1/2. 4. (а) И Tnf, и T'nf равны
л/г/2-1\^Н а« (о d) I ' Где сУмма беРется по одним и тем же a, b, d, по-
поскольку Н.О.Д. (я, М)=1. Заметим, что g=M~k/2f\ [^ Т)]^ ТакиМ
образом,
Пусть оа в сумме для TJ равно (^ ty Оа^ j). Тогда Mkl2T'ng
(М OWfl 6\ /Ж 0\-i-| N I Г/М
= {Tnf) ^Q jJJ^, так как элемент ЬМ матрицы ^Q d J = D0 \) \0 d)
x(q j) пробегает множество всех вычетов mod d. (b) S8 (Го B)) = С/,
и поэтому / — собственная форма для Тп\ далее, согласно пункту (a), g есть
собственная форма с тем же собственным значением, (с) T2g— U2V2f = f\ срав-
сравнивая коэффициенты, получите, что T2f = — 8/. Следовательно, {f, 8g + f} —
базис из нормализованных собственных форм. 5. <Т pfy gy =
/=0 /=0

302 Ответы и наброски решений
E.33). Поскольку g| [(g -{)~]k=pk/iig(pz-j) = pk/2g(pz), имеем <Tpf,g> =
= р</, pk~1g(pz)y = pR </, Vjp^>. 6. (а) Коэффициент ax для этой формы равен
нулю, (b) f1 = q2 — 48<73 + 8.27.5?4 — 64.5.47^+4-9.5.17.47^+...; /2=^—24х
Х43^2 + 4.9.49.139G3 + 64.171337G4+...; T2tf1^=q-\-1 080</2+.. .=/2 + 2 112/1;
7У2=—24-43^+F4.171 337+ 223) ?2 + ... = —1 032/2+293672/1. (с) Тг Т2=\ 080,
Det723= —210-32.2221; собственные значения := 540 ± 12 /~144 169; нормали-
нормализованные собственные формы: /2 + (l31 ± /~144 169) 12/х. (d) 2/2 + 3 144/х.
(е) Используя пункт (d), получаем 2 D-9.49-139) — 48-3 144 = 8-9-5.23-41.
Непосредственное вычисление: 73/i = — 48/2 + 36.2б19/ь 73/2 = 36.6811/2 + */!
(нам не важно, чему равен коэффициент, обозначенный *); тогда Тг Т3 =
= 36 B619 + 6811) = 8-9-5-23.41. 8. В случае затруднений см. § 3.1 (с) в ра-
работе [Serre 1973].
§ IV.1
по формуле A.4). (b) Ti =
(a mb\ (clm\ 4l/——,// /\
поэтому Yi = ((c/m dj. (-2-)erfy«/m + dj=pvp-^@1j, (Tj).
Таким образом, эти элементы равны, если m есть квадрат mod d. Если m не
равен квадрату, то, чтобы найти элемент у, для которого у1 = рур~1 A, —1),
* . / m \ 1
достаточно найти число d, взаимно простое с 4т и такое, что f —г- 1 =—1;
тогда можно будет найти элемент у вида y%m d)^°^m^' ^Усть т = 2е mtmOj
где т0 свободно от квадратов. Выберите d так, чтобы d^= 1 mod 8 и d^d0 mod m0,
где число с@ таково, что [ —) = —1. После этого легко проверить, что
(—г ) = ( —— ) = [ — ] =— 1, что и требовалось. 2. Заменяя, если необходимо,
d J \ d ) \moj p
(
J \ ) \oj
у на —у, мы можем предположить без потери общности, что либо Ь > 0, либо
• Заметьте, что /(az + &)/(« +d)x
X V^cz +^ = T]i )/^аг + 6, где r]i = — 1, если a < 0, с^ 0, и г)г= 1 в остальных
случаях. Таким образом, рур~1 = [ ( ), jV174 (
\\ — No a )
(b) Имеем Vi= ( (_^ ~ С/^) . (—^) 8"~1 К—Л^йг + а^ . Поскольку

Ответы и наброски решений 303
ad—bc=\ и 41 с, имеем а ^== d mod 4, и поэтому еа = е^. Таким образом,
остается сравнить ( ) с т]х f -—- J . Предположим, что с^О (аналогичные
рассуждения приводят к тому же результату и при с < 0). Тогда ( } [ | =
\ a J \ d J
Nb \ 1 I 1\ ( 1\
— Nb\fc\ (N\(\ — ad\ fN\ fN\
~d~) \&)\&) IT"; \tJsgna= ~T Г11*Таким обРазом> Ti =
= pYp f f q j j , ( "T") ) • Снова элементы ух и рур равны, если N — квад-
квадрат; в противном случае существует у, для которого соответствующие элементы
различаются на A, —1). 3. Точка оо: р=1, Л=1, t—\. Точка 0: возьмите
р ( ) р, , е
P=((l ""о) ' ^"^) ' тогда р~1 = ((—1 о) ' ¦—' У"~*) » и нам нужно, чтобы
U !)• -«»^7ГРЕ.Г5)в((_> 0), -ulm=l). этот
элемент лежит в Го D), если /i = 4, /=1. Наконец, перейдем к параболической
( ^) ((?) 0
точке —1/2. Возьмите а=(__2 ^) , Р=((__2?) » ^"~ 2z+0 » тогда Р===
2 1 ) ' ^2г+ 1 ) . Поскольку а ( q j j а~1^Г0 D), мы можем взять h= 1.
Чтобы найти /, вычислите Р ((q }) . 0 Р = ((_4 —}) » ' "/"— 4z—l) ;
это выражение равно /((„4 —1) » z) » если * = 1'- 5* (а) 5^/2 (^о D)) =0,
если k < 9. Если ^^9, то это пространство состоит из элементов вида
6F A6/7 —в4) Р (в, F), где Р —полином чистого веса (k — 9)/2. Таким образом,
если &^=г5, то dim5^/2 (f0 D)) = [(& — 5)/4]. (b) /=1 для параболических точек
оо и 0; поэтому эти две параболические точки регулярны. Поскольку / = / для
параболической точки — 1/2, эта параболическая точка ^-регулярна тогда
и только тогда, когда i*=l, т. е. 4 | k. Но 1 -\-[k/4] — [{k — 5)/4] = 2, если k^5,
4\k, и =3, если &^-5, 41 к, что можно проверить, рассматривая случаи
& = 5, 6, 7, 8, а затем используя индукцию для того, чтобы перейти от k
к ? + 4. (с) 6F (в4— 16F) (в4 —2Т7). 6. (а) Если d' ^ d mod ;V и 7V/4 нечетно, то
(т) = (^) - (-
/ N \
= ( — J . Если N/4 четно, то d'^ d mod 8, и проходит то же самое доказатель-
ство, если заметить дополнительно, что ( — ]=:( — ]. (Ь) Условие голоморф-
V d) \& )
ности в параболических точках для функции f \ [р]^/2 проверяется так же, как
в доказательстве предложения 17, § III.3. Пусть теперь у= ( A g Го (N),
и пусть 7i=( 6А/ ~а )' ^огласно заДаче 2 выше, имеем pvp =
= A, XN (d)) Ti. Таким образом, (/ | [p]k/2) | [y]k/2 = (/ | [pVP]^^ | [p]k/2 =
^ ^)/|[p]ft/a- Но поскольку ad^ \ mod N,

304 Ответы и наброски решений
имеем х(а)=Ц(й). Таким образом, (/| [р]л/а) | ly]k/2 = M& (Ф f I [р1л/я. что
и требовалось. 7. в(оо) = 1, 0(—1/2) = 0, в @) = A—0/2.
§ IV.2
1. ЕЛ/1(оо)=1, ?Л/я@) = ЯЛ/а(-1/2) = 0; Ffe/2 @) = (, ^)"*; Ffe/2 (oo) =
= /^/2 (— 1/2) = 0. 5. Используя B.16) и B.19) вместо B.17) и B.20), мы по-
получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными; решения а и Р этой
системы содержат величину %, зависящую от /. 6. По предложению 8, это до-
достаточно проверить для случая, когда / свободно от квадратов. В этом случае
используйте B.16) и B.19) для вычисления /-го коэффициента ^-разложения
функции ЯЛ/я+A+/*J-*/2^/а. 7. Hk/2==i(\-2X) + t(\-X)q+...;
5A— Х) = 0 тогда и только тогда, когда ^^3 —нечетное число. 9. Используя
задачу 1 выше и задачу 7 из § IV. 1, найдите а и Ь, такие, что функция вЛ —
— #?fc/2 — &Fk/2 обращается в нуль в параболических точках: а=1, Ь —
§ IV.3
2. Вычисления практически совпадают с вычислениями из задачи 1, § IV. 1.
3. (с) По лемме из предложения 43, § III.5, в качестве представителей правых
смежных классов группы Гг (N) по подгруппе 1\ (А^)Псб~1Г1 (N) а, где а =
0 <; Ь < pv. Согласно за-
зару г () ру \ (
f 0 v ) , можно выбрать элементы а& — f v j ,
чам 1 (b) и 3(b), можно использовать элементы а
дачам 1 (b) и 3(b), можно использовать элементы аь, чтобы найти множество
представителей смежных классов группы Т\ {N) по подгруппе fj (W)f|
nijv1 f, (N) lpV. Поскольку aft = (J °v) (J, ^ , имеем Г v/w=pv(ft/t-i).
2Л1 П
)
Те же рассуждения годятся для Т1^, поскольку соответствующее / тривиально
даже тогда, когда 8 \ N. 4. Формула C.5) дает выражение для коэффициентов Ьп
в случае полуцелого веса k/2; в случае целого веса k по формуле E.19) из
§ 111.5 с т = р2 имеем Ьп = ар*п + хф) pM~lan+x {р2) Р2*~*ап/р2. Если заменить
здесь формально k на k/2, то средний член в правой части отличается на мно-
множитель % л № V~P 0T среднего члена в правой части формулы C.5).
5. Пусть элемент У=(? d)^r°^N) таков» что Р2 \ ь- ТогДа Для V/€ri(^)
имеем l^y/y^i^yl^lp^y^^/y- Согласно задаче 2, имеем ^ус"*1 ==yi, где
( bfoW- Пусть ту-у-Ч/Уе^С^). Тогда
У

Ответы и наброски решений 306
Но можно проверить, что соответствие j\ (N) g^Y/н-»ГХ (W) lp*ij переставляет
правые смежные классы в Гх {N) 1р*Гч (N), и поэтому полученное выражение
равно х№ /1 [fi (Л^) 1р*Гл (^)]fe/2. ^Проверьте, что если ту и т/' принадлежат
одному правому смежному классу группы Fi(N) по подгруппе Г^ЛОПа^ГПЛО а»
где a=^Q 2j , то таковы же yj — yify и y/v = yt//V". J Таким образом,
Tp*f\ [y\k/2 — X № ^?2/- Остается заметить, что Го (Л^) порождено Y\ (N) и у =
^Г0(ЛО где р2\Ь. Следовательно, Г^/ | [-у]Л/1 = % (d) Tp*f для всех

Литература
Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. 3-е изд.— М.: Наука, 1986.
Манин Ю. И. Круговые поля и модулярные кривые.— УМН, 26, № 6A971),
/ — /1.
Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии.— М.: Наука, 1972.
Alter R. The congruent number problem.—Amer. Math. Monthly 87 A980),
43 — 45.
Andrews G. E. The theory of partitions.—Addison-Wesley, 1976. [Имеется пе-
перевод: Эндрюс Г. Теория разбиений.— М.: Наука, 1982.]
Arthaud N. On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with
complex multiplication.—Compositio Math. 37A978), 209 — 232.
Artin E. The Gamma Function.—Holt, Rinehart & Winston, 1964.
Artin E. Collected Papers.— Addison-Wesley, 1965.
van Asch A. G. Modular forms of half integral weight, some explicit arithme-
arithmetic—Math. Ann. 262 A983), 77 — 89.
Atkin A. O. L., Lehner J. Hecke operators on Г0(т).—Math. Ann. 185A970),
134- 160.
Bellman R. A Brief Introduction to Theta Functions.— Holt, Rinehart & Win-
Winston, 1961.
Birch B. J. Conjectures on elliptic curves.— Amer. Math. Soc. Proc. Symp.
Pure Math. 8A963), 106—112.
Birch B. J. Heegner points on elliptic curves.— Symp. Math. 1st. d. Alta Mat.
15 A975), 441-445.
Birch B. J., Swinnerton-Dyer H. P. F. Notes on elliptic curves I and II.—
J. Reine Angew. Math. 212A963), 7 — 25; 218 A965), 79—108.
Brumer A., Kramer K. The rank of elliptic curves.— Duke Math. J. 44 A977),
715-742.
Cassels J. W. S. Diophantine equations with special reference to elliptic curves.—
J. London Math. Soc. 41 A966), 193 — 291. [Имеется перевод: сб. Матема-
Математика, 12:1A968), 113-160; 12:2A968), 5 — 48.]
Cassels J. W. S., Frolich A.', eds. Algebraic Number Theory.— Academic Press,
1967. [Имеется перевод: Алгебраическая теория чисел. Под ред. Дж. Кас-
селса и А. Фрёлиха.— М.: Мир, 1969.]
Coates J. The arithmetic of elliptic curves with complex multiplication.— Proc.
Int. Cong. Math. Helsinki A978), 351-355.
Coates J., and Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer.— In-
Invent. Math. 39 A977), 223—251.
Cohen H. Sommes de carres, fonctions L et formes modulaires.— С R. Acad.
Sc. Paris 277 A973), 827 — 830.
Cohen H. Sums involving the values at negative integers of L-functions of
quadratic characters.—Math. Ann. 217 A975), 271 — 285.
Cohen H. Variations sur un Theme de Siegel et Hecke.— Acta Arith, 30 A976),
63—93,

Литературу 307
Cohen H., Oesterle J. Dimensions des espaces de formes modulaires.— Springer-
Verlag Lecture Notes in Math. 627 A976), 69—78.
Davenport H., Hasse H. Die Nullstellen der Kongruenz-zetafunktionen in gewissen
zyklischen Fallen.—J. Reine Angew. Math. 172 A935), 151—,183.
Deligne P. Valeurs de fonctions L et periodes d'integrales.— Amer. Math. Soc
Proc. Symp. Pure Math. 33 A979), Part 2, 313 — 346. [Имеется перевод:
Делинь П. Значения L-функций и периоды интегралов. В сб.: Автоморф-
ные формы, представления и L-функции.— М.: Мир, 1984.]
Deligne P., Serre J.-P. Formes modulaires de poids 1.— Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. 7 A974), 507 — 530.
Dickson L. E. History of the theory of numbers.— Chelsea, 1952.
Dirichlet P. G. L. Werke.— Chelsea, 1969.
Dwork B. On the rationality of the zeta function.—Amer. J. Math. 82 A960),
631-648. [Имеется перевод: сб. Математика, 5:6 A961), 55 — 71.]
Eichler М., Zagier D. On the Theory of Jacobi forms.— Birkhauser, 1984.
Flicker Y. Automorphic forms on covering groups of GL B).— Invent. Mattu
57 A980), 119—182.
Gelbart S. Weil's Representation and the Spectrum of the metaplectic group.—
Lecture Notes in Math. 530, Springer-Verlag, 1976.
Goldfeld D. Sur les produits partiels euleriens attaches aux courbes elliptiques.—
С R. Acad. Sc. Paris 294 A982), 471—474.
Goldfeld D., Hoffstein J., Patterson S. J. On automorphic functions of half-
integral weight with applications to elliptic curves. In: Number Theory Re-
Related to Fermat's Last Theorem.—Birkhauser, 1982, 153—193.
Goldfeld D., Viola C. Mean values of L-functions associated to elliptic, Fermat
and other curves at the center of the critical strip.— J. Number Theory
11 A979), 305 — 320.
Goldfeld D., Viola С Some conjectures on elliptic curves over cyclotomic fieds.—
Trans. Amer. Math. Soc. 276A983), 511—515.
Greenberg R. On the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures.— Invent. Math.
72A983), 241—265.
Gross В. Н. Arithmetic on Elliptic Curves with Complex Multiplication.— Lecture
Notes in Math. 776, Springer-Verlag, 1980.
Gross B. H., Zagier D. On the critical values of Hecke L-series.— Soc. Math.
de France Mem. No. 2 A980), 49 — 54.
Gross B. H., Zagier D. Points de Heegner et derivees de fonctions L.— C. R.
Acad. Sc. Paris 297 A983), 85 — 87.
Gunning R. C. Lectures on modular forms.— Princeton Univ. Press, 1962. [Име-
.ется перевод: сб. Математика 8:6 A964), 3- 68.]
Guy R. К. Unsolved Problems in Number Theory.— Springer-Verlag, 1981.
Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of
squares, and in particular of five or seven.— Proc. Nat. Acad. Sci. 4A918),
189—193. (Collected Papers, Vol. 1, 340, Clarendon Press, 1960.)
Hardy G. H. On the representation of a number as the sum of any number of
squares, and in particular of five.— Trans. Amer. Math. Soc. 21 A920),
255 — 284. (Collected Papers, Vol. 1, 345, Clarendon Press, 1960.)
Hardy G. H., Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers.—4th
ed., Oxford Univ. Press, 1960.
Hartshorne R. Algebraic Geometry.—Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод:
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия.— М.: Мир, 1981.]
Hasse H. Number Theory.—Springer, 1980. [Имеется перевод: Хассе Г. Лекции
по теории чисел.— М.: ИЛ, 1953.]
Hecke E. Uber die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalglei-
chung.—Math. Ann. 112A936), 664 — 699. (Math. Werke, 591—626.)
Hecke E. Herleitung des Euler-Produktes der Zetafunktion und einiger L-Reihen
aus ihrer Funktionalgleiehung.— Math. Ann. 119 A944), 266 — 287. (Math.
Werke, 919 — 940.)

308 Литература
Неске Е. Lectures on the Theory of Algebraic Numbers.— Springer-Verlag, 1981.
[Имеется перевод: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел.—
М.— Л.: Гостехиздат, 1940.]
Hecke E. Lectures on Dirichlet Series, Modular Functions and Quadratic Forms.—
Vandenhoeck and Ruprecht, 1983.
Ireland K-, Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory.—
Springer-Verlag, 1982. [Готовится русский перевод.]
Katz N. An overview of Deligne's proof of the Riemann hypothesis for varieties
over finite fields.—-Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. 28 A976),
275 — 305.
Katz N. p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series.— Ann. Math.
104A976), 459—571.
Koblitz N. /7-adic numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed.—
Springer-Verlag, 1984. [Имеется перевод: Коблиц Н. р-адические числа,
р-адический анализ и дзета-функции.— М.: Мир, 1982.]
Koblitz N. p-adic Analysis: a Short Course on Recent Work.— Cambridge Univ.
Press, 1980.
Koblitz N. Why study equations over finite fields?—Math. Magazine 55 A982),
144—149.
Kohnen W. Modular forms of half integral weight on Го D).— Math. Ann. 248
A980), 249 — 266.
Kohnen W. Beziehungen zwischen Modulformen halbganzen Gewichts und Modul-
formen ganzen Gewichts.—Bonner Math. Scriften, 131 A981).
Kohnen W. Newforms of half-integral weight.— J. Reine und Angew. Math.
333 A982), 32 — 72.
Kohnen W., Zagier D. Values of L-series of modular forms at the center of the
critical strip.—Invent. Math. 64 A981), 175—198.
Lang S. Algebraic number Theory.— Addison-Wesley, 1970.
Lang S. Elliptic Functions.— Addison-Wesley, 1973. [Имеется перевод: Ленг С.
Эллиптические функции.— М. Наука, 1984.]
Lang S. Introduction to Modular Forms.— Springer-Verlag, 1976. [Имеется пе-
перевод: Ленг С. Введение в теорию модулярных форм.— М.: Мир, 1979.]
Lang S. Sur la conjecture de Birch — Swinnerton-Dyer (d'apres J. Coates et
A. Wiles).—Sem. Bourbaki No. 503, In: Springer-Verlag Lecture Notes
in Math. 677 A978), 189—200.
Lang S. Elliptic Curves Diophantine Analysis.— Springer-Verlag, 1978.
Lang S. Units and class groups in number theory and algebraic geometry.—
Bull. Amer. Math. Soc. 6 A982), 253 — 316.
Lang S. Algebra.— Benjamin/Cummings, 1984. [Имеется перевод: Ленг С. Ал-
Алгебра.—М.: Мир, 1968.]
Le Veque W. J. Fundamentals of Number Theory.— Addison-Wesley, 1977.
Manin Yu. I. Modular forms and number theory.— Proc. Int. Cong. Math»
Helsinki A978), 177—186.
Marcus D. Number Fields.— Springer-Verlag, 1977.
Modular Functions of One Variable IV.— Lecture Notes in Math. 476, Springer-
Verlag, 1975.
Moreno C. J. The higher reciprocity laws: an example.—J. Number Theory
12 A980), 57 — 70.
Mumford D. Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties.— Springer-
Verlag, 1976. [Имеется перевод: Мамфорд Д. Алгебраическая геометрия I:
Комплексные проективные многообразия.— М.: Мир, 1979.]
Niwa S. Modular forms of half-integral weight and the integral of certain theta-
functions.— Nagoya Math. J. 56 A975), 147—161.
Ogg A. Modular Forms and Dirichlet Series.— W. A. Benjamin, 1969.
Rankin R. A. Modular Forms and Functions.— Cambridge Univ. Press, 1977.
Schoeneberg B. Elliptic Modular Functions: an Introduction.— Springer-Verlag,
1974.

Литература 309
Serre J.-P. Formes modulaires et fonctions zeta /7-adiques.— Springer-Verlag
Lecture Notes in Math. 350 A973), 191—268.
Serre J.-P. A Course in Arithmetic.— Springer-Verlag, 1977. [Имеется перевод:
Cepp Ж--П. Курс арифметики.—М.: Мир, 1972.]
Serre J.-P., Stark Н. М. Modular forms of weight 1/2.— Springer-Verlag Lecture
Notes in Math. 627 A977), 27 — 67.
Shimura G. Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphis Functions.—
Princeton Univ. Press, 1971. [Имеется перевод: Шимура Р. Введение в ариф-
арифметическую теорию автоморфных функций.— М.: Мир, 1973.]
Shimura G. On modular forms of half-integral weight.—Ann. of Math. 97 A973),
440-481.
Shimura G. Modular form? of half-integral weight.— Springer-Verlag Lecture
Notes in Math. 320 A973), 59 — 74.
Shintani T. On construction of holomorphic cusp forms of half-integral weight.—
Nagoya Math. J. 58 A975), 83—126.
Siegel C. L. On Advanced Analytic Number Theory.— Tata Institute (Bom-
(Bombay), 1961.
Stephens N. M. Congruence properties of congruent numbers.— Bull. London
Math. Soc. 7 A975), 182—184.
Swinnerton-Dyer H. P. F. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and of
Tate.— In: Proc. Conf. Local Fields, Springer-Verlag, 1967. [Имеется пере-
перевод: сб. Математика, 13:5 A963), 3—25.]
Tate J. The arithmetic of elliptic curves.—Invent. Math. 23 A974), 179 — 206.
Tunnell J. A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2.—
Invent. Math. 72 A983), 323 — 334.
Vigneras M.-F. Valeur au centre de symmetrie des fonctions L associees aux for-
formes modulaires.—Sem. Delange —Pisot —Poitou, 1980.
van der Waerden B. L. Algebra B vols.).— Frederick Ungar, 1970. [Имеется
перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра.—М.: Наука, 1976.]
Waldspurger J. L. Correspondance de Shimura.— J. Math. Pures et Appl. 59
A980), 1 — 132.
Waldspurger J. L. Sur les coefficients de Fourier des formes modulaires de poids
demi-entier.— J. Math. Pure et Appl. 60 A981), 375 — 484.
Walker R. J. Algebraic Curves.— Springer-Verlag, 1978. [Имеется перевод:
Уокер Р. Алгебраические кривые.— М.: ИЛ, 1952.]
Washington L. Introduction to Cyclotomic fields.—Springer-Verlag, 1982.
Weil A. Number of solutions of equations in finite fields.— Bull. Amer. Math.
Soc. 55 A949), 497 — 508. (Collected Papers, Vol. I, 399 — 410.)
Weil A. Jacobi sums as «Grossencharaktere».— Trans. Amer. Math. Soc. 73
A952), 487 — 495. (Collected Papers, Vol. II, 63 — 71.)
Weil A. On a certain type of characters of the idele-class group of an algebraic
number field.— Proc. Intern. Symp. on Alg. Num. Theory, Tokyo—Nikko
A955)д 1—7. (Collected Papers, Vol. II, 255 — 261.)
Weil A. Uber die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichun-
gen.— Math. Ann. 168 A967), 149—156.
Weil A. Review of «The mathematical career of Pierre de Fermat» by M. S. Ma-
honey.—Bull. Amer. Math. Soc. 79 A973), 1138—1149. (Collected Papers,
Vol. Ill, 266 — 277.)
Weil A. Basic Number Theory, 3rd ed.—Springer-Verlag, 1974. [Имеется пере-
перевод: Вейль А. Основы теории чисел.— М.: Мир, 1972.]
Weil A. Sur les sommes de trois et quatre carres.— L'Enseignement Math. 20
A974), 215 — 222. (Collected Papers, Vol. Ill, 303 — 310.)
Weil A. La cyclotomie jadis et naguere.—Sem. Bourbaki No. 452. In: Springer-
Verlag Lecture Notes in Math. 431 A975), 318 — 338, and: l'Enseignement
Math. 20 A974), 247 — 263. (Collected Papers, Vol. Ill, 311—327.)
Weil A. Sommes de Jacobi et caracteres de Hecke.— Gott. Nachr. Nr, 1A974),
14pp. (Collected Papers, Vol. Ill, 329 — 342.)

310 Литература
Weil A. Number Theory: an Approach through History from Hammurapi to
Legendre.— Birchauser, 1983.
Whittaker E., Watson G. A Course of Modern Analysis, 4th ed.— Cambridge
Univ. Press, 1958. [Имеется перевод: Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс
современного анализа, том 1.—Л.— М.: Гостехиздат, 1933; том 2.— Л. — М.:
Гостехиздат, 1934.]
Zagier D. Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2.— C. R. Acad.
Sc. Paris 281 A975), 883 — 886.
Zagier D. Modular forms associated with real quadratic fields.— Invent. Math.
30 A975), 1 — 46.
Zagier D. On the values at negative integers of the zeta function of real quad-
quadratic fields.—Enseignement Math. 22 A976), 55 — 95.
Zagier D. Modular forms whose Fourier coefficients involve zeta-functions of
quadratic fields.—Springer Lecture Notes in Math. 627 A977), 105—169.

Именной указатель
Бёрч (Birch В. J.) 113
Боревич 3. И. 111, 239
Коэн X. (Cohen H.) 245
Кронекер (Kronecker L.) 246
Вальдспургер (Waldspurger J. L.)
274, 279
Вейль A. (Weil A.) 57, 68, ИЗ, 177,
288
Гекке (Hecke E.) 110, 167, 177
Гринберг (Greenberg R.) 282
Гросс (Gross В. Н.) 116, 281, 282
Гурвиц (Hurwitz A.) 246
Делинь (Deligne P.) 68, 69. 152, 207
Диофант 9
Евклид 9
Зигель (Siegel С. L.) 110
Ленг (LangS.) 110
Лефуолл (Lofwall С.) 16
Мамфорд (Mumford D.) 37
Морделл (Mordell L.) 57
Нива (Niwa S.) 270, 272, 273
Пифагор 9
Райт (Wright E. М.) 283
Рамануджан (Ramanujan) 152, 206
Серр (SerreJ.-P.) 122, 137
Суиннертон-Дайер (Swinnerton-Dyer
Н. P. F.) 113
Танияма (Taniyama) 113
Коблиц (Koblltz N.) 5 Туннелл (Tunnell J.) 5, 9, И, 254,
Конен (Kohnen W.) 271, 272, 274, 275 275, 276, 278, 279, 282
Коутс (CoatesJ.) 115 Тэйт (TateJ.) 110

312
Именной указатель
Уайлс (Wiles A.) 115
Уокер (Walker R. J.) 44
Ферма (Fermat P.) 10, 121
Фоменко А. Т. 7
Харди (Hardy G. Н.) 223, 283
Хартсхорн (Hartshorne R.) 37
Хигнер (Heegner К.) 116
Цагир (Zagier D.) 14, 115, 116, 246,
275, 281, 282
Шафаревич И. Р. 37, 111, 239
Шимура (Shimura G.) 223, 254, 269,
270, 272, 273
Шинтани (Shintani Т.) 273
Эйзенштейн (Eisenstein) 223
Эйлер (Euler L.) 10
Якоби (Jacobi С.) 139

Предметный указатель
Алгоритм построения конгруэнтных
чисел 12, 13, 282
Ассоциативность 45, 47
Безу теорема 44
Бернулли полиномы 70
— числа 137
Берна — Суиннертон-Дайера гипоте-
гипотеза 11, 60, 113—116, 277, 281, 282
Вальдспургера теорема 245, 254, 274
279
Вейерштрасса ^-функция 26, 167
— — дифференциальное уравнение
33—35
Вейля гипотезы 68—69, 152, 207
— параметризация 113
— Таниямы гипотеза 113, 179
— теорема 177—179, 273
Верхняя полуплоскость 123
Вес 135, 192—193
— полинома 233
— полуцелый 222
Ветвления индекс 180
Гамма-функция 89
Гаусса лемма о квадратичных выче-
вычетах 170
Гауссовы суммы 72, 79, 85, 239
— целые 23, 55, 56, 82, 207
Гекке операторы 192, 255
— — действие на ^-разложение
202—205, 263—268
для форм полуцелого веса
212, 254, 255
— — и эйлеровы произведения 198
— — определение через двойные
смежные классы 210, 257
след 221
— — эрмитовость 212, 217
— характер 102
— L-ряд 102
Гипергеометрический ряд 41
Гиперповерхность 71
Гладкая кривая 18, 22—23, 68
Грассманиан 71
Двойной смежный класс 208
Двойственная проективная плос-
плоскость 22
Двоякопериодичность 23
Дедекинда г]-функция 99, 150, 151
— ^-функция 72, 110, 112
Диагональная гиперповерхность 72
Дилогарифм 96, 98
Дирихле ряды 100, 176
и модулярные формы 176—179
— теорема 59
— L-ряд 95, 239, 241
Дискриминант многочлена 38
— A (г) 139, 151, 206
Дифферента 112
Дробно-линейное преобразование 122

314
Предметный указатель
Задача о конгруэнтных числах 9,
10, 281, 282
— — обобщенная 18, 153
Закон сложения 17, 41—49
Квадратичный закон взаимности 83,
103, 191
Комплексное умножение 56, 64, 115,
153, 179, 282
Конгруэнтное число 9, 11, 13—14, 60,
88, 115, 281—282
Конгруэнц-дзета-функция 66, 67
— эллиптической кривой 68, 76
Конгруэнц-подгруппа 123—124
— главная 123
Кондуктор характера 85
— эллиптической кривой 179
Конена плюс-подпространство 272
— Цагира теорема 274
— Шимуры изоморфизм 255, 271
Конечное поле 53
Координатное кольцо 71
Корневое число 88, 106, 115, 121
Коутса—Уайлса теорема 115, 121,
281
Критическое значение 113, 119, 245,
274, 275, 276
Круговое поле 49
Лежандра символ 77, 82, 103, 169,
184, 225, 238
Лиувилля теорема 25
Максимальный идеал 71—72
Мёбиуса функция 239
Меллина преобразование 89, 106—
107, 173—175
— — обратное 177
Многообразие аффинное 67
— проективное 67
Множитель автоморфности 185, 191?
224—225
Модулярная группа 123
— кривая 113
— форма 121, 135, 153, 194
L-функция 176—178, 275
— — новая 219
— — полуцелого веса 11, 176
— — старая 219
— — эйлерово произведение 205
— точка 192
— функция 135, 148, 155, 194, 231
Морделла теорема 57
— Вейля теорема 57
Однократность 219
Однородный полином 19
Параболическая точка 129, 133, 134,
157
— — иррегулярная 180, 231
регулярная 180, 220, 231
— форма 135, 155, 157, 194, 231
Пентагональная теорема Эйлера 153
Петерсона скалярное произведение
212, 274
Пифагорова тройка 9—10, 12, 13, 17
— — примитивная 13, 15
Подгруппа изотропии 127
— кручения 49, 57
Поле вычетов 57, 71
Полная линейная группа 50, 122
Порядок касания 23
Проективная кривая 68—69
— плоскость 19, 20
— прямая 20, 122, 131
Проективное пополнение кривой 20
— пространство 20
Прямая на бесконечности 20
Пуассона формула суммирования 91,
105
Рамануджана гипотеза 152, 206—207
— Петерсона гипотеза 206—207

Предметный указатель
316
— т-функция 152, 206—207
Ранг эллиптической кривой 57, 60,
66, 114
Редукция mod р 56, 57
Решетка 23, 32, 192
— дуальная 111
Риманова поверхность 69, 179
— сфера 19, 32, 123, 131, 148—149
— ^-функция 38, 66, 81, 88
Род 69
Собственные формы для операторов
Гекке 205, 218—219, 254
— — — — — эйлерово произведе-
произведение 205
— — нормализованные 205
— — _ _ — в случае полуцелого
веса 267—268, 272
Соизмеримые подгруппы 207
Соотношение Хассе — Дэвенпорта
77, 79, 88
Соотношения между числами клас-
классов 246
Специальная линейная группа 122
Теорема об инвариантных множите-
множителях 256
— о вычетах 25, 42, 144—145
Тип конечной абелевой группы 53
Тор 24, 32, 35
Точки ветвления 32, 36
— на бесконечности 19, 20, 128
— эллиптической кривой на беско-
бесконечности 21, 22
Туннелла теорема 9, 11, 14, 245,
276—282
Тэйпха—Шафаревича группа 277,
282
Тэта-функции 92, 96—98, 106, ПО—
111, 121, 154, 222—223
— — закон преобразования 184
Уровень 123—124
Ферма кривая 72
— последняя теорема 10, 14
Форма квадратичная 222—223
Фундаментальная область 124, 128,
131 — 132, 182, 293—295
Фундаментальный параллелограмм
23
Функциональное уравнение для L-
ряда Дирихле 96—98
— — — — модулярной формы
175—177, 275
Хассе— Вейля, 99, 106,
113
— — — г|-функции Дедекинда 99,
150
— — — ^-функции Дедекинда ПО,
112
— — — ^-функции Римана 93
6-функции 92, 96—98, 107,
111, 154
Фурье преобразование 90, 104
Характер аддитивный 73, 79
— группы 78
— Дирихле 79, 95
— квадратичный 103, 222, 237, 243
— мультипликативный 73, 78
— примитивный 79
— тривиальный 73
Хассе — Вейля L-функция 11, 77,
81, 95, 99, 113, 176
— — — и модулярные формы 179
Хорошая редукция 56, 112
Число классов 222, 245, 377
Шимуры отображение 254, 271
— теорема 269
Эйзенштейна ряд 136—137, 152-
153, 193, 206, 219—220

316
Предметный указатель
— — L-функция 182
— — нормализованный 138
— — полуцелого веса 234
— — уровня N 163
Эллиптическая кривая 18
— — аддитивное вырождение 48
— — в форме Вейерштрасса 33, 46
— — — — Лежандра 284
— — закон сложения 41
— — комплексное умножение 56,
64, 115, 153, 179, 282
— — мультипликативное вырожде-
вырождение 48
— — над конечным полем 53—54,
56
— — подгруппа кручения 49, 57, 64
ранг 57, 60, 66, 114
— — точки перегиба 23, 46
— порядка N 32, 49
— точка 127, 183
— функция 24, 28
Эллиптические интегралы 39—41, 276
Якоби суммы 72—73
— тройное произведение 279
— формы 246
/-инвариант 131, 148
^-разложение 129, 135, 157

Оглавление
Глава I. От конгруэнтных чисел к эллиптическим кривым .•».... 9
§ 1. Конгруэнтные числа , 11
Задачи 13
§ 2. Одно кубическое уравнение 15
Задачи 17
§ 3. Эллиптические кривые , . 18
Задачи 22
§ 4. Двоякопериодические функции 23
§ 5. Поле эллиптических функций 28
Задачи 32
§ 6. Эллиптические кривые в форме Вейерштрасса 33
Задачи 38
§ 7. Закон сложения 41
Задачи 47
§ 8. Точки конечного порядка 49
Задачи 55
§ 9. Точки над конечными полями и задача о конгруэнтных числах 56
Задачи 63
Глава П. L-функция Хассе — Вейля эллиптической кривой 66
§1. Конгруэнц-дзета-функция • # • * • 66
Задачи 69
§ 2. Дзета-функция кривой Еп 72
Задачи 78
§ 3. Зависимость от р * • 81
Задачи 88
§ 4. Прототип: дзета-функция Римана ¦»•»• °°
Задачи ^
§ 5. L-функция Хассе — Вейля и ее функциональное уравнение # * » 99
Задачи 1Ю
§ 6. Критическое значение ,..,••»•»•••• * ^
Задачи • • ^1
Глава III. Модулярные формы *»»*»»•*' * **
§ 1. Группа SL2{Z) и ее конгруэнц-подгруппы . . , • •
Задачи • 133

318 Оглавление
§ 2. Модулярные формы относительно SL2 (Ъ) 135
Задачи 152
§ 3. Модулярные формы относительно конгрузнц-подгрупп 153
Задачи 179
§ 4. Закон преобразования для тэта-функции 184
Задачи 191
§ 5. Модулярная интерпретация и операторы Гекке 192
Задачи 220
Глава IV. Модулярные формы полуцелого веса 222
§ 1. Определения и примеры 223
Задачи 234
§ 2. Ряды Эйзенштейна полуцелого веса относительно Го D) . . . . 234
Задачи 255
§ 3. Операторы Гекке на формах полуцелого веса 255
Задачи 269
§ 4. Теоремы Шимуры, Вальдспургера, Туннелла и задача о конгру-
конгруэнтных числах 269
Ответы, наброски решений и литературные указания к избранным уп-
упражнениям 282
Литература 306
Именной указатель 311
Предметный указатель 313

МОНОГРАФИЯ
Нил Коблиц
ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
Ст. научный редактор Н. И. Плужникова
Мл. научный редактор Т. А. Денисова
Художник С. М. Гончаров
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Е. С. Потапенкова
Корректор В. И. Киселева
ИБ № 5989
Сдано в набор 25.09.86. Подписано к печати 5.11.87.
Формат 60X90Vie- Бумага кн.-журн. сыкт. Печать высокая.
Гарнитура литературная. Объем 10 бум. л. Усл. печ. л. 20.
Усл. кр.-отт. 20,00. Уч.-изд. л. 18.89. Изд. № 1/4895.
Тираж 2900 экз. Заказ № 121. Цена 3 р. 20 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» 129820, ГСП, Москва, И-110,
1-й Рижский пер., 2
Набрано и сматрицировано в ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первой
Образцовой типографии» имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудо-
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техни-
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 191126, Ленинград, Социалис-
Социалистическая ул., 14