/
Автор: Зевеке Г.В. Ионкин П.А. Нетушил А.В. Страхов С.В.
Теги: электротехника электроэнергетика электроника постоянный ток электрические цепи
ISBN: 5-283-00523-2
Год: 1989
Текст
Г.В.Зевеке
П.А.Ионкин
А.В.Нетушил
С. В. Страхов
основы
ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
5-е издание, переработанное
Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования
СССР в качестве учебника для студен-
тов электротехнических и электро-
энергетических специальностей
вузов
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1989
Scan AAW
ББК 31.211
0-75
УДК 621.3.011,7 (075.8)
Авторы: Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов
Рецензент кафедра ТОЭ ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина)
Основы теории цепей: Учебник для вузов/Г. В. Зевеке,
0-75 П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов.— 5-е изд.,
перераб.— М.: Энергоатомиздат, 1989.— 528 с.: ил.
ISBN 5-283-00523-2
Рассмотрены цепи постоянного тока и цепи переменного тока с со-
средоточенными и распределенными параметрами в гармоническом и
переходном режимах, нелинейные цепи. В сравнении с четвертым изда-
нием, которое вышло в 1975 г., книга существенно переработана за счет
включения вопросов применения вычислительной техники для анализа и
синтеза электрических цепей, упорядочения структуры разделов книги и
рассмотрения цепей с периодически изменяющимися параметрами.
Предназначен для студентов электротехнических и энергетических
специальностей вузов.
Q 2202020000-031
051(01)-89
128-89
ББК 31.211
Учебник
Зевеке Георгий Васильевич
Ионкин Петр Афанасьевич
Нетушил Анатолий Владимирович
Страхов Сергей Владимирович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
Редакторы Б. Я. Жуховицкий и А. С. Анисимов
Редактор издательства Н. Б. Фомичева
Художественные редакторы В. А. Г о з а к-Х о з а к,
Г. И. Панфилова
Технические редакторы Н. П. Собакина, В. В. Хапаева
Корректор 3. Б. Драновская
ИБ № 459
Сдано в набор 23.11.88. Подписано в печать 10.11.89. Формат 70х lOOVie. Бумага
кн.-журн. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 42,9. Усл. кр.-отт.
85,8. Уч.-изд. л. 45,74. Тираж 50 000 экз. Заказ 1839. Цена 1 р. 90 к.
Энергоатомиздат. 113114 Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
ское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горь-
кого при Госкомпечати СССР. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр., 15.
ISBN 5-283-00523-2
© Энергоатомиздат, 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Новое, переработанное издание учеб-
ника по курсу теоретических основ
электротехники (основы теории цепей)
подготовлено к печати на основе ма-
териала четвертого издания, опублико-
ванного в 1975 г.
При переработке учебника для пято-
го издания авторами была поставлена
цель привести содержание учебника в
соответствие с разделом «Теория элект-
рических цепей» новой программы дис-
циплины «Теоретические основы элект-
ротехники» и дать по возможности
краткое и ясное изложение основных
свойств и методов расчета линейных
и нелинейных электрических цепей с
иллюстрацией практическими примерами
наиболее важных вопросов теории.
Четвертое издание книги подверглось
всестороннему обсуждению электротех-
нической общественностью на чита-
тельских конференциях, на которых был
высказан ряд замечаний и пожеланий
по изменению содержания учебника. Ряд
отзывов был получен авторами от уче-
ных советов различных вузов. Перевод
книги на английский язык дважды вы-
ходил в издательстве «Мир».
В связи с многочисленными отзы-
вами и пожеланиями в настоящее, пя-
тое издание книги по сравнению с
предыдущим изданием внесен ряд изме-
нений и дополнений. При сохранении
в целом структуры книги в ней произ-
ведено некоторое перераспределение ма-
териала в целях лучшей систематизации
изложения.
В книге уделено больше внимания
применению ЭВМ для расчета электри-
ческих цепей, в частности в материале
гл. 1, 14, 17, 24 и 27.
Введено понятие обобщенной ветви,
дополнительно рассматриваются рас-
ширенные узловые уравнения. Иначе из-
ложен принцип компенсации и введено
понятие зависимых источников. Теорема
об эквивалентном генераторе рассмат-
ривается как принцип, применимый
только для линейных цепей и являю-
щийся следствием принципов наложе-
ния и компенсации; приведен аналог
принципа эквивалентного генератора
для нелинейных цепей. Расширен ана-
лиз явления резонанса в электрических
цепях.
В гл. 8, посвященной четырехполюс-
никам и многополюсникам, больше
внимания уделено схемам с управляе-
мыми источниками (активным неавто-
номным четырехполюсникам) и их па-
раметрам. Круговые диаграммы рас-
сматриваются как частный случай го-
дографов, отдельно выделен материал
о частотных годографах, входных и пере-
даточных комплексных функциях. Све-
дения о сигнальных графах и их при-
менении собраны в отдельной главе.
Применение переменных состояния
к анализу переходных процессов допол-
нено численными методами решения
дифференциальных уравнений; введены
дискретные модели для расчета переход-
ных процессов. Показано применение
интеграла Фурье для определения спект-
ров различных непериодических сигна-
лов, дана их связь со спектрами периоди-
ческих функций.
В новое издание книги помещена
гл. 17, посвященная линейным цепям
с переменными параметрами. При ана-
лизе свойств частотных фильтров ос-
новное внимание уделяется их реализа-
1
3
ции при известных рабочих параметрах.
Дополнительно рассмотрен синтез филь-
тров Баттерворта и Чебышева по за-
данным передаточным функциям.
Цепи с электронными и полупро-
водниковыми приборами перенесены из
первой части книги, где рассматрива-
ются только линейные цепи, во вторую
(нелинейные цепи) и рассматриваются
с учетом нелинейности характеристик
этих приборов во всех главах этой
части. Больше внимания уделено эле-
ментам вычислительной техники, в част-
ности аппроксимации нелинейных ха-
рактеристик при помощи сплайнов рас-
сматриваются как метод подготовки
задачи к ее решению на ЭВМ.
В главах, посвященных нелинейным
цепям переменного тока, дополнительно
рассмотрены транзисторный усилитель,
триггер и условно-нелинейная схема за-
мещения трансформатора с ферромаг-
нитным магнитопроводом. При исследо-
вании работы автогенераторов кроме
концепции отрицательного сопротивле-
ния для анализа частоты и амплитуды
колебаний применяется также модель
усилителя с обратной связью. Дано
представление о непериодических хао-
тических колебаниях, возникающих в
нелинейных цепях, описываемых уравне-
нием Дуффинга.
В книге много примеров, что помо-
жет студентам разобраться в материале
всех глав, в частности в вопросах, не
затронутых на лекциях, читаемых по
курсам ТОЭ и теории цепей.
Работа над новым изданием книги
была осложнена безвременной кончиной
проф. П. А. Ионкина и проф. С. В. Стра-
хова. В связи с этим к написанию
отдельных глав был привлечен
доц. Б. Я. Жуховицкий. Значительная
часть материала, написанная П. А. Нон-
киным и С. В. Страховым, осталась без
существенных изменений.
Работа над учебником была распре-
делена следующим образом: введение,
гл. 1, 2, 13 (за исключением § 1.6, 1.7,
1.10, 1.11, 2.4, 2.8, 13.4), § 23.5, 24.2, 24.5,
24.6 написаны проф. П. А. Нонкиным,
гл. 3 — 7, 9—11 (за исключением § 4.7,
4.8, 5.4, 6.8, 9.4) — проф. Г. В. Зевеке,
гл. 14—16, 19, 20 (за исключением
§ 14.14, 14.20-14.22, 15.3, 15.5, 16.2, 19.2),
§ 17.3, 17.4 написаны проф. С. В. Стра-
ховым, гл. 12, 21—28 (за исключением
§ 22.8, 23.5, 24.2, 24.5, 24.6, 27.8), § 2.4,
2.8, 9.4 — проф. А. В. Нетушилом, гл. 8,
18, § 1.6, 1.7, 1.10, 1.11, 4.8, 5.4, 6.8, 13.4,
14.14, 14.20-14.22, 15.3, 15.5, 16.2, 17.1,
17.2, 17.5, 19.2 написаны доц. Б. Я. Жухо-
вицким, § 22.8, 27.8 — доц. П. В. Ерму-
ратским, пример 24.4 составил доц.
С. А. Левитан.
Авторский коллектив считает своим
приятным долгом выразить благодар-
ность рецензентам проф. Л. В. Дани-
лову и доц. Ю. А. Бычкову, вниматель-
но просмотревшим рукопись пятого из-
дания учебника и сделавшим ряд весьма
полезных замечаний.
Выражаем также сердечную благо-
дарность и глубокую признательность
доц. Б. Я. Жуховицкому за большую
помощь в переработке, редактировании
и подготовке рукописи к печати.
Все замечания, пожелания и отзывы
о книге просим направлять в Энерго-
атомиздат по адресу: 113114, Москва,
М-114, Шлюзовая наб., 10.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
Электрическая энергия, как известно,
широко применяется во всех отраслях
промышленности, на транспорте, в сель-
ском хозяйстве и в быту.
Гениальный создатель Советского
государства Владимир Ильич Ленин го-
ворил: «Коммунизм — это есть Совет-
ская власть плюс электрификация всей
страны... Только тогда, когда страна
будет электрифицирована, когда под
промышленность, сельское хозяйство и
транспорт будет подведена техническая
база современной крупной промышлен-
ности, только тогда мы победим окон-
чательно» (В. И. Ленин. Поли. собр. соч.
Изд. 5-е, т. 42, с. 159).
Электротехникой в широком смысле
слова называется обширная область
практического применения электромаг-
нитных явлений.
Поскольку все отрасли электротех-
ники связаны между собой, то в систе-
ме высшего электротехнического обра-
зования возникла необходимость созда-
ния курса «Теоретические основы элект-
ротехники» (ТОЭ), являющегося базой
для изучения различных электротехни-
ческих дисциплин.
В настоящее время специальные
электротехнические дисциплины ставят
перед курсом ТОЭ задачи расчета
и исследования процессов, характеризуе-
мых токами, напряжениями, мощностя-
ми, магнитными потоками и т. д., а
также задачи расчета и исследования
явлений, которые характеризуются на-
пряженностью электрического и индук-
цией магнитного полей, потоком мощ-
ности и т. д. Задачи первого вида от-
носятся к расчету и исследованию це-
пей, а задачи второго вида — к расчету
и исследованию электромагнитных по-
лей.
* *
*
Развитие электротехники потребовало
больших работ в области изучения и раз-
работки электромагнитных явлений и их
практического приложения.
Много открытий.и изобретений прихо-
дится на долю русских ученых и инженеров,
которые совместно с выдающимися ино-
странными учеными положили начало важ-
нейшим отраслям электротехники.
М. В. Ломоносов создал оригинальную
теорию атмосферного электричества, открыл
закон сохранения массы и движения.
После изобретения А. Вольта гальвани-
ческого столба появилась возможность полу-
чать электрический ток. Исследуя процессы
в электрической цепи, В. В. Петров открыл
(1802 г.) электрическую дугу и указал на
возможность практического применения ее
для освещения, плавки и сварки металлов.
Весьма важную роль в развитии учения
об электромагнитных явлениях сыграл анг-
лийский ученый М. Фарадей, который в
1831 г. открыл явление и закон электро-
магнитной индукции.
В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц
открыл закон, устанавливающий связь меж-
ду направлениями индукционных токов и их
электромагнитными и электродинамически-
ми взаимодействиями. В частности, им был
установлен принцип электромагнитной инер-
ции. В 1844 г. Э. X. Ленц независимо от
английского исследователя Джоуля устано-
вил, что количество тепла, выделяющегося
в проводнике при прохождении тока, прямо
пропорционально сопротивлению проводни-
ка и квадрату тока.
Первый в мире электромагнитный теле-
граф был построен в 1832 г. в России
П. Л. Шиллингом.
В 1845 г. немецким физиком Г. Кирхг
гофом были сформулированы основные за-
коны разветвленных электрических ц^пей,
которые названы его именем и имеют огром-
ное значение для развития теоретической
и практической электротехники.
Изобретенная русским ученым П. Н. Яб-
лочковым электрическая свеча (1876 г.) поло-
жила начало электрическому освещению.
Первая лампа накаливания с угольным
стерженьком была создана русским инжене-
ром А. Н. Лодыгиным.
Из других русских ученых второй по-
ловины XIX столетия необходимо отме-
тить А. Г. Столетова, который впервые
подробно исследовал магнитные свойства
железа, и Н. А. Умова, заложившего основы
для вывода уравнений движения электро-
магнитной энергии в телах.
Таким образом, за период с 1800 по
1880 г. в тесной связи с развитием прикла-
дной электротехники и, в частности, с те-
леграфией, гальванопластикой и техникой
электрического освещения развивалась тео-
рия цепей постоянного тока. За этот период
5
были установлены основные понятия теории
электрических цепей и разработаны первые
методы их расчета.
Начало применению переменных токов
положил в 1876 г. П. Н. Яблочков. Пере-
менный ток обеспечил равномерность сго-
рания углей в свече Яблочкова и позволил
легко осуществить питание многих ламп от
одного источника электрической энергии.
Расширение потребления электрической
энергии выдвинуло проблему передачи ее
на значительные расстояния. Решение этой
проблемы требовало применения различных
напряжений для передачи и распределения
электрической энергии. Эта задача была ре-
шена для переменного тока при помощи
трансформаторов, изобретенных также
П. Н. Яблочковым.
Переменный ток получил всеобщее при-
знание и широчайшее применение в элект-
роэнергетике благодаря изобретениям рус-
ского инженера и ученого М. О. Доливо-
Добровольского. Им была разработана трех-
фазная система, получившая повсеместное
распространение. В 1889 г. он построил пер-
вый трехфазный двигатель, разработал все
остальные звенья трехфазной цепи й в 1891 г.
осуществил передачу электрической энергии
трехфазным током на расстояние 175 км.
Применение переменного тока потребо-
вало решения многих теоретических вопро-
сов и практических задач, что послужило
основанием для разработки целой области
теоретических основ электротехники, полу-
чившей в начале XX столетия название
теории переменных токов. Особенно значи-
тельным в развитии переменных токов было
введение американским инженером
Ч. П. Штейнметцем метода комплексных
величин для расчетов цепей.
Наряду с необходимостью решения тео-
ретических задач, относящихся к электри-
ческим и магнитным цепям, практическая
электротехника поставила задачи по расчету
электромагнитных полей. Конструирование
электрических машин и электромагнитных
аппаратов потребовало расчета магнитных
полей; создание надежной изоляции токове-
дущих частей выдвинуло задачу расчета
электрических полей. Учет распределения
переменного тока по сечению проводов по-
требовал решения задач по расчету электро-
магнитного поля.
В 1873 г. английский ученый Д. К. Макс-
велл в классическом труде «Трактат об
электричестве и магнетизме» изложил в
математической форме основы теории элект-
ромагнитного поля, представляющей расши-
рение и дальнейшее развитие идей Фарадея
о физической реальности электромагнитного
6
поля. Экспериментальное подтверждение и
развитие теории электромагнитного поля,
разработанной Максвеллом, было осуще-
ствлено немецким физиком Г. Герцем в
1887—1889 гг. в его опытах по получению
и передаче электромагнитных волн, а также
в работах русского физика П. Н. Лебедева,
доказавшего наличие давления световых
волн.
В 1895 г. А. С. Попов изобрел радио-
связь, открывшую новую эру в культурной
жизни человечества. Развитие радиотехники
послужило мощным толчком к разработке
как теории электрических цепей, так и тео-
рии электромагнитного поля.
В 1904 г. в Петербургском политехни-
ческом институте проф. В. Ф. Миткевич
начал читать курс «Теория электрических и
магнитных явлений». В 1905 г. в Москов-
ском высшем техническом училище проф.
К. А. Круг начал читать курс «Теория
переменных токов», который был издан в
1906 г. Первой книгой в России, охватываю-
щей основные вопросы курса теоретических
основ электротехники, явилась напечатанная
в 1916 г. книга К. А. Круга «Основы
электротехники».
Следовательно, в развитии электротех-
ники можно отметить второй этап (1880 —
1917 гг.), когда формировалась самостоя-
тельная дисциплина «Теоретические основы
электротехники».
Несмотря на работы выдающихся рус-
ских ученых и изобретателей, внесших круп-
нейший вклад в мировую электротехнику,
электротехническая промышленность России
вследствие ее экономической отсталости в
дореволюционное время не получила долж-
ного развития. Лишь после Великой Ок-
тябрьской социалистической революции в
нашей стране была создана мощная электро-
техническая промышленность.
В настоящее время применение электри-
чества достигло огромного размаха во всех
областях народного хозяйства. Строитель-
ство электрических станций, создание новых
машин, внедрение автоматизации во все тех-
нологические процессы, освоение новой тех-
ники — выполнение всех этих задач возмож-
но только при наличии глубокой теорети-
ческой базы на современном научном уровне.
* *
*
Во всех современных электротехни-
ческих устройствах, предназначенных
для различных технических целей, про-
исходят те или иные энергетические
преобразования. Электрические генера-
торы и двигатели служат для рзаим-
ного преобразования механической и
электрической энергии. При помощи
трансформаторов электрическая энергия
одного напряжения преобразуется в
электрическую энергию другого напря-
жения. В электрической лампе проис-
ходит процесс преобразования электри-
ческой энергии в световую. Во многих
электротехнических устройствах элект-
рическая энергия перераспределяется
между отдельными элементами этих
устройств.
Для канализации электрической энер-
гии в заданных направлениях широко
применяются проводниковые материалы
с высокой удельной проводимостью,
которые без значительных потерь элект-
рической энергии проводят электриче-
ский ток. Для концентрации энергии
и уменьшения объема электрического
поля обычно используются конденса-
торы, заполненные диэлектриком с вы-
сокой диэлектрической проницаемостью.
Для концентрации энергии и уменьше-
ния объема магнитного поля, как пра-
вило, пользуются ферромагнитными ма-
териалами с высокой магнитной прони-
цаемостью.
Применение указанных материалов
для конентрации электромагнитной
энергии в очень малых объемах позво-
ляет во многих случаях исследовать
протекающие в них физические про-
цессы при помощи известных интеграль-
ных понятий: электрического тока, на-
пряжения, ЭДС, магнитного потока,
МДС и т. п.
Исследования электромагнитных яв-
лений и процессов, протекающих при
различных энергетических преобразова-
ниях в электротехнических устройствах,
привели, начиная с 20-х годов текущего
столетия, к стремительному развитию
курса ТОЭ. В частности, чрезвычайно
широкое развитие получили общие воп-
росы теории электрических цепей, имею-
щие большое значение почти для всех
прикладных отраслей электротехники.
В практической деятельности инже-
нера основная трудность часто возни-
кает на стадии составления математи-
ческой модели для исследуемой электро-
технической установки, поскольку одна и
та же установка может иметь разные
математические описания в зависимости
от задачи исследования. Так, резко раз-
личными могут быть математические
модели, применяемые для анализа ра-
боты изоляции электрической установки
и оценки экономичности ее рабочих ре-
жимов. В значительной мере выбор
подходящей математической модели свя-
зан с требуемой степенью точности
выполнения исследований и расчетов,
при этом понятие точности приходится
считать в известной мере условным, оно
более определенным оказывается при
уже выбранной модели, с которой свя-
зано соответствующее математическое
описание исследуемых процессов и явле-
ний. Только при наличии уравнений
можно говорить о точности их реше-
ния.
Существенно подчеркнуть, что тео-
рия электромагнитного поля оперйрует
с дифференциальными понятиями, кото-
рыми являются напряженности электри-
ческого и магнитного полей, индукция
магнитного поля, плотность тока, плот-
ность энергии и т. п. Эти величины
относятся к отдельным точкам среды
или к конструктивным деталям; они
могут быть как постоянными, так и
переменными во времени. Для исследо-
вания процессов и получения необхо-
димых представлений часто пользуются
картиной поля.
Наряду с этим значительное число
электротехнических задач, как это уже
отмечено, решается при помощи инте-
гральных понятий, к которым относятся
напряжение, ЭДС, электрический ток,
магнитный поток, мощность, энергия,
сопротивление, емкость, индуктивность
и т. п. При этом следует иметь в виду,
что интегральные величины являются
не менее обоснованными и показатель-
ными, чем дифференциальные. Так, они
легче контролируются в конкретных
установках, их применение значительно
упрощает экспериментальные проверки.
Сравнительно просто могут быть опре-
делены и допустимые значения по тем
или иным условиям. В качестве основы
математического описания цепей приме-
няются законы Ома и Кирхгофа.
Как при исследовании физических
процессов в цепях, так и при изучении
7
электромагнитных полей различных уст-
ройств единственным научным методом
познания является диалектический ме-
тод: «От живого созерцания, — говорит
Ленин, — к абстрактному мышлению и
от него к практике — таков диалекти-
ческий путь познания истины, познания
объективной реальности» (В. И. Ленин.
Поли. собр. соч. Изд. 5-е, т. 29, с. 151 —
153).
Это основное положение теории
познания лежит в основе всего курса
теории цепей, содержание которого и
изложено в данной книге.
* *
*
При изложении основ теории цепей
предполагается, что учащийся знаком
с основными понятиями теории электро-
магнитного поля, излагаемыми в курсе
физики (см., например, учебное пособие
И. В. Савельева «Общий курс физики.
Электричество и магнетизм». М.: Нау-
ка, 1982, т. 2) и с взаимосвязью между
векторными величинами, выражающими
основные понятия теории электромаг-
нитного поля, и скалярными величина-
ми теории электрических цепей.
Так, при пользовании скалярными
понятиями ток i, ЭДС е, напряжение и
или разность потенциалов <р, магнитный
поток Ф предполагается, что учащемуся
известны выражения этих величин в слу-
чае неподвижных устройств через век-
торы электромагнитного поля:
ь
i' = J J dS; ^стор = J ЕСТОр dl,
S а
b b
^инд — f Еинд dl*, Ф? — Фь = f Епот dl*,
а а
b
иаь — J (Епот + Еинд) dl; Ф = J ВdS,
a S
где пространственные векторы: J — плот-
ность тока; Естор — сторонняя напряжен-
ность электрического поля, обусловлен-
ная силами неэлектромагнитного проис-
хождения; Еинд — напряженность элект-
рического поля, обусловленная измене-
нием электромагнитной индукции; ЕпОТ —
потенциальная напряженность электри-
ческого поля, создаваемого распределе-
нием электрических зарядов и выражае-
мая законом Кулона; dl и dS — прост-
ранственные векторы направления инте-
грирования по контуру dl и по поверх-
ности dS.
При этом направление интегрирова-
ния, выражаемое вектором dl (от а к Ь),
на схемах соответствует стрелке, обозна-
чающей ЭДС или напряжение, а элемент
поверхности, по которой ведется интег-
рирование dS, соответствует стрелке,
обозначающей ток или магнитный по-
ток.
В зависимости от направления ин-
тегрирования значение ЭДС или напря-
жения записывается со знаком плюс
или минус.
В теории цепей в качестве известных
параметров R, С, L, М будут приме-
няться величины, расчет которых может
быть осуществлен только методами тео-
рии поля, а первое и второе уравнения
Максвелла будут применяться только
в интегральной форме (законы полного
тока и электромагнитной индукции)
$Hdl = £/w и еинд = + d'¥/dt, где знак
производной зависит от направления ин-
тегрирования dl при определении ЭДС.
Предполагается также, что из курса
высшей математики читателю известны
основы алгебры комплексных чисел,
методы решения обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений и уравнений с
частными производными, тригонометри-
ческие и степенные ряды (см., например,
Н. С. Пискунов «Дифференциальные и
интегральные исчисления». М.: Наука,
1985, т. I).
Так как в теории цепей не приме-
няется понятие напряженности электри-
ческого поля, то обозначение постоян-
ных и действующих значений синусои-
дальных ЭДС (в соответствии с требо-
ваниями ГОСТ) не отличается от обо-
значения напряженности электрического
поля (Е).
При изображении комплексных вели-
чин на комплексной плоскости эти
изображения называются «векторами»,
однако следует иметь в виду, что изо-
бражаемые переменные являются ска-
лярными, а не векторными простран-
ственными величинами.
8
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
1.1. Элементы электрических цепей
и схем
Электрической цепью на-
зывается совокупность устройств, пред-
назначенных для передачи, распределе-
ния и взаимного преобразования элект-
рической (электромагнитной) и других
видов энергии и информации, если
процессы, протекающие в устройствах,
могут быть описаны при помощи поня-
тий об электродвижущей силе (ЭДС),
токе и напряжении.
Основными элементами элек-
трической цепи являются источ-
ники и приемники электрической энер-
гии (и информации), которые соединя-
ются между собой проводами.
В источниках электрической
энергии (гальванические элементы, ак-
кумуляторы, электромашинные генера-
торы и т. п.) химическая, механическая,
тепловая энергия или энергия других
видов превращается в электрическую,
ав приемниках электрической энер-
гии (электротермические устройства,
электрические лампы, резисторы, элект-
рические двигатели и т. п.), наоборот,
электрическая энергия преобразуется в
тепловую, световую, механическую и др.
Электрические цепи, в которых по-
лучение электрической энергии в источ-
никах, ее передача и преобразование в
приемниках происходят при неизменных
во времени токах и напряжениях, назы-
вают цепями постоянного то-
ка. При постоянных токах и напряже-
ниях магнитные и электрические поля
электрических установок также не изме-
няются во времени. Вследствие этого в
цепях постоянного тока не возникают
ЭДС индукции и отсутствуют токи сме-
щения в диэлектриках, окружающих про-
водники.
Вместо термина «приемник электри-
ческой энергии» в дальнейшем будем
применять более краткие и равнознач-
ные термины — «приемник» или «потре-
битель», а вместо термина «источник
электрической энергии» — «источник
энергии», «источник питания» или «ис-
точник».
На рис. 1.1 условно изображена
простейшая электрическая установка с
источником энергии — аккумуляторной
батареей и с приемником — группой
электрических ламп. Выводы (заяСимы)
источника и приемника энергии соедине-
ны между собой двумя проводами. Ис-
точник энергии, провода и приемник
образуют замкнутый проводящий кон-
тур. В этом контуре под действием
ЭДС источника энергии происходит
непрерывное и односторонне направлен-
ное упорядоченное движение электри-
ческих зарядов. Совокупность этих трех
элементов — источника энергии, двух
проводов и приемника — представляет
собой простейшую электрическую цепь
постоянного тока. Практически чаще
встречаются более сложные электри-
ческие цепи с несколькими источниками
и большим числом приемников энергии,
с измерительными приборами и вспомо-
гательными элементами (переключателя-
ми, предохранителями и т. п.).
9
Источник
Рис. 1.1
Электрические
Приемник
Чтобы облегчить изучение процессов
в электрической цепи, ее заменяют рас-
четной схемой замещения, т. е.
идеализированной цепью, которая слу-
жит расчетной моделью реальной цепи.
При решении задач расчета режима
работы цепи и других задач анализа
и синтеза каждый реальный элемент
цепй заменяется элементами схе-
мы, математическое описание каждого
из которых (математическая модель)
должно отражать главные (доминирую-
щие) процессы в элементе цепи, или,
точнее, все, которые необходимо учесть
при анализе или синтезе.
Для цепи постоянного тока пользу-
ются понятиями двух основных элемен-
тов схемы: источника энергии с ЭДС
Е и внутренним сопротивлением гвт
(рис. 1.2, а) и резистивного элемента —
приемника (нагрузки) с сопротивлением
г (рис. 1.2,6). Таким образом, применяя
в дальнейшем термин «схема замеще-
ния», или, короче, «схема», будем подра-
зумевать и соответствующую цепь. В
дальнейшем, если нет специальных ука-
заний, сопротивление соединяющих про-
водов не будет учитываться, так как
оно должно быть много меньше сопро-
тивления приемников.
Электродвижущая сила Е (рис. 1.2, а)
численно равна разности потенциалов ф
или напряжению U между положитель-
ным и отрицательным выводами 1 и 2
источника энергии при отсутствии в нем
тока, т. е. как говорят, в режиме холос-
того хода, независимо от физической
природы ее возникновения (контактная
ЭДС, термо-ЭДС и т. д.):
Е = Ф1х - 4>2х = и12х. (1.1)
Рис. 1.4
Электродвижущую силу Е можно
определить как работу сторонних (не-
электрических) сил, присущих источнику,
затрачиваемую на перемещение едини-
цы положительного заряда внутри ис-
точника от вывода с меньшим потенциа-
лом к выводу с большим потенциалом.
Направление действия ЭДС (от отри-
цательного вывода к положительному)
указывается на схеме стрелкой.
Если к выводам источника энергии
присоединить приемник (нагрузить), то
в замкнутом контуре этой простейшей
цепи возникает ток I (рис. 1.3), при этом
напряжение или разность потенциалов на
выводах 1 и 2 уже не будут равны ЭДС
вследствие падения напряжения
L/BT внутри источника энергии, т. е. на
его внутреннем сопротивле-
нии гвт:
^вт == вт^ •
На рис. 1.4 представлена одна из
10
наиболее типичных, так называемых
внешних характеристик
U(I) = (Л т- е- зависимость напря-
жения на выводах нагруженного источ-
ника энергии от тока. Как показано
на рисунке, при увеличении тока от
нуля до I % Ц напряжение на выводах
источника энергии убывает практически
по линейному закону:
Ul2 = U = Е - UBT = Е - гвт7.
Иначе говоря, при Е = const падение
напряжения внутри источника энергии
С/вт в указанных пределах растет про-
порционально току. При дальнейшем
росте тока нарушается пропорциональ-
ность между его значением и падени-
ем напряжения* внутри источника энер-
гии — внешняя характеристика не оста-
ется линейной. Такое уменьшение напря-
жения вызвано у одних источников
энергии уменьшением ЭДС, у других
увеличением внутреннего сопротивле-
ния, а у третьих одновременным умень-
шением ЭДС и увеличением внутренне-
го сопротивления.
Развиваемая источником энергии
мощность определяется равенством
Ри = EI. (1.2)
Здесь следует указать на установив-
шееся в электротехнике неточное при-
менение термина «мощность». Так, на-
пример, говорят о генерируемой, от-
даваемой, передаваемой, потребляемой
мощности. В действительности генери-
руется, отдается, получается не мощ-
ность, а энергия. Мощность характе-
ризует интенсивность энергетического
процесса и измеряется количеством ге-
нерируемой, отдаваемой, передаваемой
и других видов энергии в единицу
времени. Поэтому правильно было бы
говорить о мощности генерирования
энергии, о мощности передачи энергии
и т. д. Следуя традициям электротех-
ники, будем применять приведенные
выше краткие выражения.
Сопротивление приемника
г (см. рис. 1.2,6) характеризует потреб-
ление электрической энергии, т. е. прев-
ращение электрической энергии в дру-
гие виды, при мощности
Р = rl2. (1.3)
В общем случае сопротивление при-
емника зависит от тока в этом прием-
нике г (7).
По закону Ома напряжение на со-
противлении приемника, которое назы-
вается еще сопротивлением нагрузки,
U = rl. (1.4)
Отметим, что к открытию этого
закона довольно близко подошел еще
в 1801 —1802 гг. акад. В. В. Петров.
Позднее, в 1826 г., этот закон был
сформулирован Омом.
Наряду с сопротивлением для рас-
чета цепей вводят понятие проводи-
мости
д = 1/г-
Единица измерения тока (силы тока)
называется ампер (1 А), ЭДС и напряжения —
вольт (1 В), сопротивления — ом (1 Ом),
причем 1 Ом = 1 В/1 А, проводимости —
сименс (1 См = 1 / Ом), мощности — ватт
(1 Вт = 1 В-1 А). При измерении всех
величин можно применять кратные и доль-
ные единицы, например килоампер (1 кА =
= 103 А), милливольт (1 мВ — 10“3 В), мега-
ом (1 МОм = 106 Ом), микроватт (1 мкВт =
= 10”6 Вт) и т. д. (см. приложение 1).
На практике часто бывает задана
не зависимость сопротивления от тока
г (I) приемника или резистивного эле-
мента, представляющего приемник на
схеме, а зависимость напряжения на
резистивном элементе от тока Uab (/) =
= U (/) или обратная зависимость тока
от напряжения I(U). Характеристики
U (I) и I(U) получили распространенное,
хотя и не совсем точное название
вольт-амперных (ВАХ).
На рис. 1.5 представлены ВАХ лампы
с металлической нитью U1(I) и лампы
с угольной нитью U2 (7). Как показано
на рисунке, связь между напряжением
и током каждой лампы — нелинейная.
Сопротивление лампы с металлической
нитью растет с увеличением тока, а
сопротивление лампы с угольной нитью
с увеличением тока падает.
Электрические цепи, содержащие
элементы с нелинейными характеристи-
ками, называются нелинейными.
Если принять ЭДС источников энер-
гии, их внутренние сопротивления и
сопротивления приемников не завися-
11
лен двумя основными схема-
ми замещения (эквивалентными
схемами).
Как уже указывалось, с одной сто-
роны, напряжение на выводах источ-
ника энергии меньше ЭДС на падение
напряжения внутри источника:
С = Ф1 - Ф2 = Е - l/BT = Е - гвт/, (1.5а)
с другой стороны, напряжение на сопро-
тивлении г
щими от токов и напряжений, то внеш-
ние характеристики источников энергии
U! 2 (/) = и (/) и ВАХ приемников
Uab(I) = U (1) будут линейными (рис. 1.6).
Электрические цепи, состоящие толь-
ко из элементов с линейными характе-
ристиками, называют линейными.
Режим работы большого числа ре-
альных электрических цепей дает воз-
можность отнести их к линейным. По-
этому изучение свойств и методов рас-
чета линейных электрических цепей пред-
ставляет не только теоретический, но и
значительный практический интерес. Эти
свойства и методы расчета рассматри-
ваются в ч. I книги.
1.2. Схемы замещения источников
энергии
Простейшая электрическая цепь и ее
схема замещения, как указывалось, со-
стоят из одного источника энергии с
ЭДС Е и внутренним сопротивлением
гвт и одного приемника с сопротивле-
нием г (см. рис. 1.3). Ток во внешней
по отношению к источнику энергии
части цепи, т. е. в приемнике с сопро-
тивлением г, принимается направленным
от точки а с большим потенциалом
Фа = Ф1 к точке Ъ с меньшим потен-
циалом (рь = <р2.
Направление тока будем обозначать
на схеме стрелкой с просветом или ука-
зывать двумя индексами у буквы I, та-
кими же, как и у соответствующих то-
чек схемы. Так, для схемы рис. 1.3 ток
в приемнике I = 1аЪ, где индексы а и b
обозначают направление тока от точки
а к точке Ь.
Покажем, что источник энергии с
известными ЭДС Е и внутренним со-
противлением гвт может быть представ-
U = ц>а-<рь = г1. (1.56)
Ввиду равенства Ф1 = фа и <р2 = Фь
из (1.5а) и (1.56) получается Е — rBJI = rl
или
Е = rBTI + rl = rBTI + U = Свт + U (1.6а)
и
I = Е/(гвт + г). (1.66)
В частности, при холостом ходе
(разомкнутых выводах а и Ь) получается
Е = Ux, т. е. ЭДС равна напряжению
холостого хода. При коротком замыка-
нии (выводов а и Ь) ток
/к = Е/гвт= Сх/гвт (1.7а)
или
Сх = гвт/к. (1.76)
Из (1.76) следует, что гвт источника
энергии, так же как и сопротивление
приемника, ограничивает ток.
На схеме замещения можно пока-
зать элемент схемы с гвт, соединенным
последовательно с элементом, обозна-
чающим ЭДС Е (рис. 1.7, а). Напряже-
ние U зависит от тока приемника и
равно разности между ЭДС Е источни-
ка энергии и падением напряжения гвт/
(1.6а). Схема источника энергии, пока-
занная на рис. 1.7,а, называется пер-
Рис. 1.7
12
Рис. 1.8
вой схемой замещения или схе-
мой с источником ЭДС.
Если гвт г и напряжение UBr U,
т. е. источник электрической энергии
находится в режиме, близком к холос-
тому ходу, то можно практически пре-
небречь внутренним падением напряже-
ния и принять UBr = гзт1 = 0. В этом
случае для источника энергии получа-
ется более простая эквивалентная схема
только с источником ЭДС, у которого
в отличие от реального источника
исключается режим короткого замыка-
ния (U = 0). Такой источник энергии без
внутреннего сопротивления (гвт = 0),
обозначенный кружком со стрелкой
внутри и буквой Е (рис. 1.7,6), назы-
вают идеальным источником
ЭДС или источником напряже-
ния (источником с заданным напряже-
нием). Напряжение на выводах такого
источника не зависит от сопротивления
приемника и всегда равно ЭДС Е. Его
внешняя характеристика — прямая, па-
раллельная оси абсцисс (штриховая пря-
мая ab на рис. 1.4).
Источник энергии может быть пред-
ставлен и второй схемой заме-
щения (рис. 1.8, а). Чтобы обосновать
эту возможность, разделим правую и
левую части уравнения (1.7а) на гвт.
В результате получим
Е/Гвт = I + и/г,„ = I + д^и,
где 0ВТ = 1/гвт — в ну тре нн я я про-
водимость источника энергии, или
J = I + /вт, (1.8)
где J = Е/гът — ток при коротком замы-
кании источника энергии (т. е. ток при
сопротивлении г = 0); ZBT = C//rBT = g3TU —
некоторый ток, равный отношению на-
пряжения на выводах источника энер-
гии к его внутреннему сопротивлению;
I = U/г = gU — ток приемника; д = 1/г —
проводимость приемника.
Полученному уравнению (1.8) удов-
летворяет схема замещения с источ-
ником тока, состоящая из источни-
ка с заданным током J = Е/гът (рис. 1.8, а)
и соединенного с ним параллельно
элемента гвт (общие выводы 1 и 2).
Если двг д или гвт » г и при од-
ном и том же напряжении U = U12 =
= Uab ток /вт «с I, т. е. источник энер-
гии находится в режиме, близком к
короткому замыканию, то можно при-
нять ток /вт = gBTU = 0. В этом случае
для источника энергии получается более
простая схема замещения только с ис-
точником тока (рис. 1.8, б). Такой источ-
ник с внутренней проводимостью дът =
= 0 (гвт = оо), обозначенный кружком
с двойной стрелкой с разрывом внутри
и буквой J, называют идеальным
источником тока (источником с
заданным током). Ток идеального ис-
точника тока J не зависит от сопро-
тивления приемника г. Его внешняя
характеристика — прямая, параллельная
оси ординат (штриховая прямая cd на
рис. 1.4). Для идеального источника то-
ка исключается режим холостого хода
(/ = 0).
В дальнейшем, если нет специальных
указаний, терминами «источник ЭДС
(напряжения)» и «источник тока» обоз-
начаются часто идеальные источники.
Источники ЭДС и источники тока
называются активными элемен-
тами электрических схем, а резистив-
ные элементы — пассивными.
При составлении электрической схе-
мы замещения для той или иной ре-
альной цепи стремятся по возможности
учесть известные электрические свой-
ства как каждого участка, так и в целом
всей цепи.
В зависимости от электрических
свойств цепи и условий поставленной
задачи важно правильно выбирать
электрические схемы замещения и поль-
зоваться ими для исследования ре-
жимов в реальных электрических
цепях.
13
1.3. Закон Ома для участка цепи
с ЭДС
Для однозначного определения по-
тенциала любой точки электрической
цепи необходимо задать (произвольно)
потенциал какой-нибудь одной точки.
Выберем для схемы, представленной на
рис. 1.7, а, ф2 = const = С. По определе-
нию потенциал точки 3 больше ф2 на
значение ЭДС:
Фз = Ф2 + Е = С 4- Е. (1.9)
Ток I во внешней части простейшей
электрической цепи, а в общем случае
в любом пассивном элементе цепи, а
значит, и схемы, направлен, как указы-
валось, от точки с более высоким по-
тенциалом (3) к точке с более низким
(7). Поэтому потенциал ср3 больше по-
тенциала фх:
Фз = <Р1 + г„1. (1-10)
Из (1.9) и (1.10) имеем
ф2 + Е = фх + гвт/, (1.11а)
откуда ток
^-ф- + д. (1.116)
^ВТ
Аналогично можно написать форму-
лу для тока участка сложной электри-
ческой схемы, состоящего из любого
числа последовательно соединенных ис-
точников, представленных схемами за-
мещения на рис. 1.7, и приемников при
заданной разности потенциалов на кон-
цах этого участка (рис. 1.9). Ток I на
участке схемы, содержащем источники
ЭДС, может быть направлен от точки
а к точке b или наоборот. Если направ-
ление тока заранее не известно, то для
составления выражений, подобных (1.11),
нужно выбрать направление тока про-
извольно. Такое произвольно выбранное
направление тока условились называть
положительным направлени-
ем и обозначать (как и выше дей-
Рис. 1.9
ствительное направление) стрелкой с
просветом или отмечать индексами у
буквы I.
Если принять за положительное
направление тока I направление от
точки а к точке Ь, то потенциал фь
определяется через потенциал фа выра-
жением
ФЬ = Фа “ ГГ1 + El - Г21 + Е2 - Г31 -
- £3 - г4/.
Из этого равенства следует
фа ~ Ф» + £1 + - Ез
Г1 + г2 + г3 + г4
ь
Uab + ^E
а
?ab
9аЬ
(1.12а)
или
ь
Фа - Фо = иаЬ = rabIab - £ Е, (1.126)
а
где гаЬ = Г1 + г2 + г3 4- г4 — суммарное
сопротивление участка схемы; ф0 — фь =
= 0аЬ — разность потенциалов или на-
пряжение между выводами рассматри-
ваемого участка, взятые по выбран-
ft
ному направлению тока; £E = Ei4-
а
4- Е2 — Е3 — алгебраическая сумма ЭДС,
действующих на том же участке, при-
чем каждая ЭДС, направление дей-
ствия которой совпадает с положитель-
ным направлением тока, записывается
с положительным знаком, а в против-
ном случае — с отрицательным.
Формула (1.12а) представляет собой
закон Ома для участка цепи
(схемы) с ЭДС (обобщенный закон
Ома).
Если в результате расчета по (1.12а)
для тока получается отрицательное зна-
чение, то это значит, что действитель-
ное направление тока не совпадает с
выбранным положительным направле-
нием (противоположно произвольно
выбранному направлению).
Для напряжения между любыми
точками цепи также может быть про-
извольно выбрано положительное на-
правление. Положительное направление
напряжения указывается индексами у
14
буквы U или обозначается на схемах
стрелкой, которую, например, для на-
пряжения Uab = <ра — срь будем в даль-
нейшем ставить от точки а к точке Ь.
Таким образом, напряжение, как и ток,
при расчетах надо рассматривать как
алгебраическую величину.
Для ЭДС источников напряжения
и токов источников тока, если их дей-
ствительные направления не известны,
также выбираются произвольные поло-
жительные направления, которые указы-
вают двойными индексами или обозна-
чают стрелками.
На участках схемы с пассивными
элементами положительные направле-
ния напряжения и тока будем всегда
выбирать совпадающими. В этом случае
отдельную стрелку для напряжения
можно и не ставить.
1.4. Баланс мощностей для простой
неразветвленной цепи
Рассмотрим энергетические соотно-
шения для электрической цепи, состоя-
щей, например, из одной машины по-
стоянного тока с ЭДС Ei и внутренним
сопротивлением rBTi и аккумуляторной
батареи с ЭДС Е2 и внутренним сопро-
тивлением гвт2 (рис. 1.10). ЭДС машины
и аккумуляторной батареи направлены
навстречу друг другу. Пусть ЭДС Ег
машины больше ЭДС Е2 аккумулятор-
ной батареи. При этом условии дей-
ствительное направление тока I совпа-
дает с направлением ЭДС Et. Напря-
жение U на выводах обоих источников
меньше ЭДС Ег на внутреннее падение
напряжения гвтД в машине и больше
ЭДС Е2 на падение напряжения гвт2/
в батарее.
Действительно, по (1.11а)
Ф1 = ф2 + Ei - гвт1/ (1.13а)
и
Ф1 = ф2 + Е2 + гвт2Д (1.136)
так как ф1 > ф4. Напряжение U = U12 =
= Ф1 — ф2, поэтому
U = E.- гвт1/ (1.14)
U = Е2 + гът21.
(1.15)
После умножения обеих частей (1.14)
на I и перестановки слагаемых полу-
чаем
ЕД = rBTi72 + UI. (1.16)
Левая часть этого уравнения пред-
ставляет собой мощность, развиваемую
машиной; первое слагаемое правой час-
ти определяет мощность тепловых по-
терь (в обмотке машины), а второе
слагаемое правой части — мощность, от-
даваемую машиной аккумуляторной ба-
тарее.
Умножив правую и левую части
выражения (1.15) на ток 7, получим
С77 = гвт272 + Е21. (1.17)
Из этого уравнения непосредствен-
но вытекает, что мощность UI, полу-
чаемая аккумуляторной батареей, со-
стоит из мощности тепловых потерь
0*вт2^2) и мощности, необходимой для
зарядки аккумуляторов (Е21).
Полученные соотношения для балан-
са мощностей применимы не только
к цепи зарядки аккумуляторов, но и.
к любым другим цепям. Отличие со-
стоит лишь в том, что в приемниках
другого рода электрическая энергия рас-
ходуется не на зарядку аккумуляторов,
а на другие процессы, например в
электрических двигателях — на механиче-
скую работу, в резисторах — только на
тепловые потери.
Если представить источник энергии
другой эквивалентной схемой (рис. 1.11),
то окажется, что мощность, развиваемая
источником тока, не равна мощности,
развиваемой источником ЭДС. Действи-
тельно, мощность, развиваемая источни-
ком тока, определяется произведением
15
Рис. 1.11
тока Jx и напряжения U на выводах
источника тока, т. е. равна J^U. Так как
Ji = Дп1 + 4 а 7Вт1 = и/гти то после за-
мены тока Jr и простых преобразова-
ний получим
JiU = (ZBT1 + I) U = C/2/rBT1 + UI. (1.18)
Из сравнения выражений (1.18) и
(1.16) непосредственно следует, что при
одинаковом напряжении на выводах
обоих источников и одинаковом токе I
тепловые потери гвт1/2 при схеме по
рис. 1.10 не равны в общем случае теп-
ловым потерям l72/rBTi при схеме по
рис. 1.11, вследствие чего и мощность,
развиваемая источником ЭДС E^I, не
равна мощности, развиваемой источни-
ком тока JYU. Это следует иметь в виду
при замене реального источника энергии
источником ЭДС или источником тока.
Пример 1.1. К выводам последователь-
но соединенных источников энергии (ЭДС
Ех = 12 В и Е2 = 48 В; внутренние сопро-
тивления rBTi = 0,4 Ом и гвт2 = 0,6 Ом)
подключен приемник — резистор с изменяю-
щимся сопротивлением (рис. 1.12). Опреде-
лить значение сопротивления г, при котором
мощность резистора максимальна. Найти
мощность приемника и источников энергии
при этом значении сопротивления.
Решение. Для определения сопротив-
ления г, при котором мощность резистора
максимальна, воспользуемся выражением
мощности Р = rl2.
Так как ток
I = (Ei + E2)/(rBT| + гвт2 + г),
ТО
Р = г (Е| + Е2)2/(гвт1 + гВТ2 + Г)2.
Вычислив производную от Р по г и
приравняв ее нулю, найдем искомое сопро-
тивление
г = ГВТ| + ГВТ2 = 1 Ом.
Рис. 1.12
Это соотношение показывает, что мощ-
ность приемника максимальна при равенстве
суммарного внутреннего сопротивления ис-
точников и сопротивления приемника.
Значения остальных величин определяют-
ся по формулам:
ток
= (Et + Е2)/2г = (12 + 48)/2 = 30 А;
мощности, развиваемые первым и вто-
рым источниками ЭДС,
ри1 = Е\1 = 12-30 = 360 Вт;
ри2 = Е21 = 48-30 = 1140 Вт;
мощность приемника
р = г/2 = 1.302 = 900 Вт;
мощность тепловых потерь в обоих ис-
точниках
ДР = ('вт! + гвт2> I2 = Р«1 + Р„2 - р = 900 Вт,
т. е. мощность приемника равна мощности
потерь в обоих источниках (так как мощ-
ность резистора максимальна при г = гВТ| +
+ гвт2)«
1.5. Законы Кирхгофа и их
применение
Для расчета разветвленной сложной
электрической цепи существенное значе-
ние имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее
схемы называется участок, состоящий
только из последовательно включенных
источников ЭДС и приемников с одним
и тем же током. Узлом цепи и схемы
называется место или точка соединения
трех и более ветвей (узлом иногда на-
зывают и точку соединения двух вет-
вей).
При обходе по соединенным в узлах
ветвям можно получить замкнутый
контур электрической цепи; каждый
контур представляет собой замкнутый
путь, проходящий по нескольким вет-
16
вям, при этом каждый узел в рассмат-
риваемом контуре встречается не более
одного раза.
На рис. 1.13 в качестве примера
показана схема электрической цепи с
пятью узлами и девятью ветвями. В
частных случаях встречаются ветви толь-
ко с резистивными элементами без ис-
точников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопро-
тивлениями, практически равными нулю
(ветвь 2 — р). Так как напряжение между
выводами ветви 2 — р равно нулю (сопро-
тивление равно нулю), то потенциалы
точек 2 и р одинаковы и оба узла можно
объединить в один.
Режим электрической цепи произ-
вольной конфигурации полностью опре-
деляется первым и вторым законами
Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа
применяется к узлам и формулируется
следующим образом: алгебраическая
сумма токов в узле равна нулю:
Х/ = 0. (1.19а)
В этом уравнении одинаковые знаки
должны быть взяты для токов, имею-
щих одинаковые положительные направ-
ления относительно узловой точки. В
дальнейшем будем в уравнениях, состав-
ленных по первому закону Кирхгофа,
записывать токи, направленные к узлу,
с отрицательными знаками, а направ-
ленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен
источник тока, то ток этого источника
также должен быть учтен. В дальнейшем
будет показано, что в ряде случаев
целесообразно писать в одной части
равенства (1.19а) алгебраическую сумму
токов в ветвях, а в другой части ал-
гебраическую сумму токов, обусловлен-
ных источниками токов:
= (1.196)
где I — ток одной из ветвей, присоеди-
ненной к рассматриваемому узлу, a J —
ток одного из источников тока, при-
соединенного к тому же самому узлу;
этот ток входит в (1.196) с положитель-
ным знаком, если направлен к узлу,
и с отрицательным, если направлен от
узла.
Второй закон Кирхгофа
применяется к контурам электрической
цепи и формулируется следующим об-
разом: в любом контуре алгебраическая
сумма напряжений на всех элементах
и участках цепи, входящих в этот
контур, равна нулю:
£ U = 0, (1.20а)
при этом положительные направления
для напряжений на элементах и участ-
ках выбираются произвольно; в уравне-
нии (1.20а) положительные знаки при-
нимаются для тех напряжений, положи-
тельные направления которых совпада-
ют с произвольно выбранным направ-
лением обхода контура.
Часто применяется другая формули-
ровка второго закона Кирхгофа: в лю-
бом замкнутом контуре алгебраическая
сумма напряжений на всех участках
с сопротивлениями, входящими в этот
контур, равна алгебраической сумме
ЭДС:
£г1 = %Е. (1-206)
В этом уравнении положительные
знаки принимаются для токов и ЭДС,
положительные направления которых
совпадают с произвольно выбранным
направлением обхода рассматриваемого
контура.
В теории электрических цепей реша-
ются задачи двух типов. К первому
типу относятся задачи анализа
электрических цепей, когда, например,
известны конфигурация и элементы це-
пи, а требуется определить токи, напря-
жения и мощности тех или иных участ-
ков. Ко второму типу относятся об-
ратные задачи, в которых, например,
17
заданы токи и напряжения на некото-
рых участках, а требуется найти конфи-
гурацию цепи и выбрать ее элементы.
Такие задачи называются задачами
синтеза электрических цепей. Отме-
тим, что решение задач анализа намно-
го проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике до-
вольно часто встречаются задачи анали-
за. Кроме того, для овладения приема-
ми синтеза цепей необходимо предва-
рительно изучить методы их анализа,
которые преимущественно и будут в
дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены
при помощи законов Кирхгофа. Если
известны параметры всех элементов цепи
и ее конфигурация, а требуется опре-
делить токи, то при составлении урав-
нений по законам Кирхгофа рекомен-
дуется придерживаться такой последо-
вательности: сначала выбрать произ-
вольные положительные направления
токов во всех ветвях электрической цепи,
затем составить уравнения для узлов на
основании первого закона Кирхгофа и,
наконец, составить уравнения для кон-
туров на основании второго закона
Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит
В ветвей и У узлов. Покажем, что на
основании первого и второго законов
Кирхгофа можно составить соответ-
ственно У — 1 и В—У+1 взаимно не-
зависимых уравнений, что в сумме дает
необходимое и достаточное число урав-
нений для определения В токов (во всех
ветвях).
На основании первого закона Кирх-
гофа для У узлов (рис. 1.13) можно
написать У уравнений:
Л2 + Лз + •••+Лр+---+Лу=0;
^21+^2з + --- + ^2р + --- + ^2у = 0; ?
+ /у2 + ... + /ур + ... + /у-1>у —0.
Так как любая ветвь связывает меж-
ду собой только два узла, то ток каж-
дой ветви должен обязательно войти
в эти уравнения 2 раза, причем /12 =
= -/21; Лз = -/31 и т. д.
Следовательно, сумма левых частей
всех У уравнений дает тождественно
18
нуль. Иначе говоря, одно из У уравне-
ний может быть получено как следствие
остальных У — 1 уравнений или число
взаимно независимых уравнений, состав-
ленных на основании первого закона
Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу
меньше числа узлов. Например, в случае
цепи по рис. 1.14, а с четырьмя узлами
для узла 1 Ц + /2 + /3 = 0; )
для узла 2 —13 —14 +J6 = 0; У (1.21а)
для узла 3 — Ц — /6 + /5 = 0. J
Добавим к этим У — 1 = 3 уравне-
ниям уравнение
для узла 4 —12 + Ц — Ц — 0. (1.216)
' Суммируя четыре уравнения, получа-
ем тождество 0 = 0; следовательно, из
этих четырех уравнений любые три не-
зависимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление
электрических зарядов не может проис-
ходить как в отдельных узлах электри-
ческой цепи, так и в любых ее частях,
ограниченных замкнутыми поверхностя-
ми, то первый закон Кирхгофа можно
применить не только к какому-либо
узлу, но и к любой замкнутой поверх-
ности — сечению.
Например, для поверхности S
(рис. 1.14, а), как бы рассекающей элект-
рическую схему на две части, справед-
ливо уравнение /4 — Л — /2 — /6 = 0,
что можно также получить из уравне-
ний (1.21) для узлов 3 и 4.
Чтобы установить число взаимно
независимых уравнений, вытекающих
из второго закона Кирхгофа, напишем
для всех В ветвей схемы (рис. 1.13) В
уравнений на основании закона Ома
(1.11а):
Ф2 — Ф1 + ^21 = г21^21?
ФЗ — Ф1 + Ез1 — г31^31»
................................ (1.22)
ФР - Ф1 + Ер1 = гр1/р1;
Фр Фу 3" ЕрУ = Гру!ру>
где гру = гур — сопротивление ветви, со-
единяющей узлы р и у; Еру — суммар-
ная ЭДС, действующая в ветви р — у
Рис. 1.14
в направлении от р к у; <рр и <ру —
потенциалы узлов р и у.
В этих уравнениях суммарное число
неизвестных токов В ветвей и потен-
циалов У узлов равняется В -I- У.
Не изменяя условий задачи, можно
принять потенциал одного из узлов
равным любому значению, в частности
нулю. Если теперь из системы В урав-
нений (1.22) исключить оставшиеся не-
известными У — 1 потенциалов, то число
уравнений уменьшится до В — (У — 1).
Но исключение потенциалов из уравне-
ний (1.22) приводит к уравнениям, свя-
зывающим ЭДС источников с напряже-
ниями на резистивных элементах, т. е.
к уравнениям, составленным на осно-
вании второго закона Кирхгофа.
Таким образом, число независимых
уравнений, которые можно составить
на основании второго закона Кирхгофа,
равно В — (У — 1).
В качестве примера напишем урав-
нения, связывающие потенциалы узлов
с токами и ЭДС для схемы рис. 1.14, а
по (1.126):
ф1-ф2 = г3/3-Е3; ф1-ф3 = г1/1-£1;
Ф1-Ф4 = г272-Е2; ф4-ф2 = г4/4 + Е4;
Фз-ф4 = »-5/5; Фг —Фз = г6^б —^6-
(1.22а)
Сложив третье и четвертое уравне-
ния и вычтя полученную сумму из пер-
вого, получим
г2/2 + ^4/4 - г313 = Е2- Е4 — Е3. (1.23)
Если применим второй закон Кирх-
гофа (1.206) к контуру 1-4-2-1 (при об-
ходе вдоль контура по направлению
движения часовой стрелки), то получим
это же уравнение.
Аналогичным путем можно полу-
чить уравнения для других контуров:
19
для контура 1-3-2-1
rJi - Г616 - r3I3 = El - E6- E3- (1.24a)
для контура 2-4-3-2
-r5I5- r6I6 = E4 - E6. (1.246)
Совместное решение любых пяти
уравнений (1.21), (1.23) и (1.24) дает значе-
ния токов во всех ветвях электрической
цепи, показанной на рис. 1.14, а. Если
в результате решения этих уравнений
получится отрицательное значение для
какого-либо тока, то это значит, что
действительное направление противо-
положно принятому за положительное.
При записи уравнений по второму
закону Кирхгофа следует обращать осо-
бое внимание на то, чтобы составлен-
ные уравнения были взаимно независи-
мыми. Контуры необходимо выбрать
так, чтобы в них вошли все ветви
схемы, а в каждый из контуров — воз-
можно меньшее число ветвей. Контуры
взаимно независимы, если каждый по-
следующий контур, для которого сос-
тавляется уравнение, имеет не меньше
одной новой ветви и не получается из
контуров, для которых уже написаны
уравнения, путем удаления из этих кон-
туров общих ветвей. Например, контур
1-3-4-2-1 (рис. 1.14, а) можно получить
из контуров 1-3-4-1 и 1-4-2-1 путем
удаления ветви 1-4. Поэтому уравнение
для контура 1-3-4-2-1 является следстви-
ем уравнений (1.23), (1.24а) и получается
путем их суммирования. Далее будет
дано наиболее общее правило выбора
контуров, обеспечивающих получение не-
зависимых уравнений.
Вторым законом Кирхгофа можно
пользоваться для определения напряже-
ния между двумя произвольными точ-
ками схемы. В этом случае необходимо
ввести в левую часть уравнений (1.20)
искомое напряжение вдоль пути, как бы
дополняющего незамкнутый контур до
замкнутого. Например, для определения
напряжения U52 (рис. 1.14, а) можно
написать уравнение для контура 2-1-5-2
^52 ~ гзЛ = Е2 — Е3
или для контура 5-4-2-5
г212 + г4/4 — U52 = — Е4,
откуда легко найти искомое напряжение.
Пример 1.2. Пользуясь законами Кирх-
гофа, написать два выражения для тока /0
в ветви с гальванометром (рис. 1.15), приняв
известным в одном случае ток /, а в другом
напряжение U.
Р е ш е н и е. На основании законов Кирх-
гофа напишем для заданной схемы с шестью
неизвестными токами уравнения:
Ii + /3 — I = 0 (для узла /);
12 + /0 - Ii = 0 (для узла 2);
I - 12 — /4 = 0 (для узла 3);
г Ji 4- r0I0 - г 31 з = 0 (для контура 1-2-4-1);
г212 — r^4 — rolo = 0 (Для контура 2-3-4-2);
Гз/з+г4^4 = Е — rBTI = U (для контура 1-4-3-1).
Решив совместно эти уравнения, полу-
чим выражения для тока /0 при заданном
напряжении U
J =_____________(г^Гз - nr-t) и________
° ro(ri + г2)(гэ + г4> + 'Vzta + »•♦) +
+ Г3Г4. (п + г2)
и при заданном токе I
J = ____________(^з ~ '’ifjl___________
° '•о(г1+г2 + гз + г4) + (г1+гз)(г2 + г4)
I
Для полной характеристики электри-
ческого состояния цепи надо знать не
только токи и напряжения, но также
мощности источников и приемников
энергии.
В соответствии с законом сохране-
ния энергии развиваемая всеми источ-
никами мощность равна суммарной
мощности приемников и мощности по-
терь в источниках (из-за внутренних
сопротивлений)
+ = (1.25)
h к i
20
В левой части (1.25) суммы алгебраи-
ческие. Это значит, что если при за-
данных направлениях действия источни-
ка ЭДС (см. рис. 1.7) или тока (см.
рис. 1.8) для тока I в источнике ЭДС
или напряжения С/12 на выводах источ-
ника тока получится отрицательное
численное значение, то этот источник
в действительности не разовьет мощ-
ность, а получит ее от других источни-
ков. Соответствующее слагаемое в ле-
вой части (1.25) получится со знаком
минус. Если требуется найти необходи-
мую мощность источников питания це-
пи, тог такие слагаемые следует запи-
сать с обратным знаком в правой
части (1.25).
1.6. Топологические графы
При изложении методов расчета
электрических цепей иногда целесооб-
разно применять некоторые топологи-
ческие понятия, к числу которых отно-
сятся, в частности, направленные и не-
направленные топологические
графы.
Как следует из первого закона Кирх-
гофа (1.19), вид уравнений зависит не
от элементов ветвей, соединенных в уз-
лах, а от геометрической структуры
самих соединений. Аналогичный смысл
имеет уравнение (1.20а), выражающее
второй закон Кирхгофа. Но, конечно,
токи и напряжения зависят не только
от геометрической структуры цепи, но
и от элементов соответствующих ветвей,
что непосредственно следует из закона
Ома для участка цепи с ЭДС (1.12а).
Для характеристики геометрической
структуры схемы цепи можно пользо-
ваться графом, части которого, назы-
ваемые ветвями (ребрами), изобра-
жают ветви схемы, а точки их соедине-
ния, называемые узлами (вершина-
ми), изображают узлы схемы.
На рис. 1.14,б показан ненаправ-
ленный (неориентированный) граф
для схемы, изображенной на рис. 1.14, а,
где каждая из ветвей этого графа
(рис. 1.14,6) соответствует определенной
ветви схемы (рис. 1.14, а).
Направленным (ориентирован-
ным) топологическим графом называ-
ется такой, у которого каждая ветвь
имеет определенное направление (ориен-
тацию). Для графов схем электрических
цепей направление ветви будем выби-
рать совпадающим с положительным
направлением тока в ветви, что и пока-
зано на рис. 1.14,в.
Граф заданной схемы можно изоб-
разить по-разному, но каждое изобра-
жение должно иметь одинаковое со
схемой число узлов, а соединяющим
их ветвям можно дать различное на-
чертание (рис. 1.14,6 — 6).
Для направленного графа (рис. 1.14, в)
можно записать уравнения на основании
первого (1.19) и второго (1.20а) законов
Кирхгофа в следующем виде:
/1 + /2 + /з = 0; 16-13-14 = 0;
/5-Л-/6 = 0 (1.19в)
СЛ4+^42-t/12 = 0;
^13- ^23- С/12 = 0;
и 23 + ^34 + ^42 = 0, (1.20в)
при этом три уравнения (1.19в) совпа-
дают с уравнениями (1.21а), а последние
три уравнения можно преобразовать в
уравнения (1.23) и (1.24) при помощи
закона Ома для участка цепи с ЭДС
(1.126). Например, из схемы (рис. 1.14, а)
следует, что
£/14 = — Е2 + Г2^2 J ^42 = Е4 + Г4/4; .
1/12 = — Е3 + г 313;
после замены напряжений 1/14, С/42 и
£/12 в уравнениях для контура 1-4-2-1
(рис. 1.14, в) их правыми частями полу-
чается выражение, совпадающее с урав-
нением (1.23).
Чтобы выбрать независимые конту-
ры, введем еще для графа понятия де-
рева, пути и ветви связи.
Деревом называется совокуп-
ность ветвей, соединяющих все узлы,
но не образующих ни одного контура.
Например, для графа рис. 1.14, в два из
возможных деревьев показаны толсты-
ми линиями на рис. 1.14, г и 1.14,6.
Непрерывная последовательность ветвей
между какими-либо двумя узлами графа
при условии, что любой другой узел
встречается не более 1 раза, образует
путь. Для части графа, составляющей
21
дерево, между каждой парой узлов су-
ществует только один путь. Например,
путь между узлами дерева 2 и 3
(рис. 1.14, г) состоит из ветвей 3 и 1.
Совместно два пути между теми же
узлами графа образуют уже контур,
т. е. замкнутый путь. Так, добавление
второго пути между узлами 2 и 3,
состоящего из ветви 6, образует вместе
с ветвями первого пути контур из ветвей
3, 1 и 6. Число ветвей дерева равно
У— 1, т. е. числу независимых уравне-
ний, составляемых по первому закону
Кирхгофа (два узла можно соединить
одной ветвью, три узла — двумя вет-
вями и т. д.). При добавлении еще од-
ной ветви образуется уже контур.
Ветвью связи (связью, хордой)
называется любая из ветвей, не входя-
щая в дерево. Все ветви связи допол-
няют дерево до графа схемы. На
рис. 1.14, г и д ветви связи показаны
тонкими линиями. Так как общее число
цетвей графа равно В, то граф содер-
жит В — (У — 1) ветвей связи, т. е. как раз
столько, сколько необходимо составить
независимых уравнений по второму за-
кону Кирхгофа. Например, у графов
рис. 1.14, г и д число ветвей В = 6,
число узлов У = 4, ветвей дерева У — 1 =
= 3, ветвей связи В — (У — 1) = 3. Если
в каждый контур кроме ветвей дерева
войдет одна из ветвей связи, не входя-
щая в другие контуры, то для таких
В —(У—1) главных контуров
получится независимая система контур-
ных уравнений. Например, для графа
рис. 1.14, г можно записать следующие
три независимых уравнения по второму
закону Кирхгофа: первое для ветвей
дерева 3, 2 и ветви связи 4, второе для
ветвей дерева 3, 1 и ветви связи 6,
третье для ветвей дерева 2, 1 и ветви
связи 5.
Как указывалось, вместо уравнений
по первому закону Кирхгофа для узлов
можно составить уравнения для сечений.
Для упрощения выбора независимых се-
чений целесообразно проводить их так,
чтобы каждое сечение разрезало только
одну ветвь дерева — было главным
сечением. Число главных сечений рав-
но числу ветвей дерева У — 1, т. е. числу
независимых уравнений, которые необ-
ходимо составить по первому закону
Кирхгофа. На рис. 1.14, д показаны
штриховой линией три главных сечения
Sb S3 и S4. Нормаль к поверхности
сечения или ее положительное направле-
ние выбирают совпадающим с положи-
тельным направлением соответствую-
щей ветви дерева.
1.7. Законы Кирхгофа в матричной
форме
Для записи законов Кирхгофа в
матричной форме необходимо составить
топологические матрицы схемы.
Матрица соединений, или
узловая А,— это таблица коэффициен-
тов независимых уравнений, составлен-
ных по первому закону Кирхгофа для
У — 1 узлов. Строки (i) соответствуют
узлам (их число равно У— 1), столбцы
(у) — ветвям (их число равно В). Элемент
матрицы aij = 4-1, если ветвь j графа
соединена с узлом i и направлена от
узла i (положительное направление то-
ка в ^етви j выбрано от узла i). Эле-
мент матрицы = —1, если ветвь j
графа соединена с узлом i и направлена
к узлу i. Элемент матрицы аи = 0, если
ветвь j не присоединена к узлу i.
Например, для схемы и графа по
рис. 1.14 с У = 4 узлами и В = 6 ветвя-
ми для первых трех узлов
Ветви
1 2 3 4 5 6
1 1110 0 0
А = 2 0 0 -1 -1 0 1 ,
3 -1 0 0 0 1 -1
Узлы
что соответствует первым трем уравне-
ниям (1.21а).
Так как матрица А определяет, какие
ветви присоединены к каждому узлу и
как направлены токи в этих ветвях, то
произведение матрицы соединений на
матрицу-столбец токов ветвей I дает
совокупность левых частей уравнений,
составленных по первому закону Кирх-
гофа, и, следовательно, равно нулю:
AI = 0 (1.26а)
— это первый закон Кирхгофа в мат-
22
ричной форме. Для схемы и графа по
рис. 1.14
I = || 1{1213Ш6 ||т
и после выполнения умножения матриц
получаем первые три уравнения (1.21а).
Под матрицей соединений иногда
понимают матрицу А, записанную для
всех узлов схемы.
Матрица сечений Q — это таб-
лица коэффициентов, составленных по
первому закону Кирхгофа для сечений.
Строки i матрицы соответствуют сече-
ниям (их число равно У — 1), столбцы
j — ветвям (их число равно В). Элемент
матрицы qtj =4-1, если ветвь j содер-
жится в сечении i и направлена соглас-
но с направлением сечения. Элемент
матрицы qtj = — 1, если ветвь j содер-
жится в сечении i и направлена проти-
воположно направлению сечения. Эле-
мент матрицы Qij = 0, если ветвь j не
содержится в сечении i. Для главных
сечений составляется матрица глав-
ных сечений.
Например, для графа рис. 1.14, д при
показанных трех главных сечениях
Ветви
1 2 3 4 5 6
1 1110 0 0
Q = 3 1 0 0 0 -1 1 .
4 0-101-10
Сечения
В матричной форме первый закон
Кирхгофа можно записать и с матрицей
сечений
QI = 0v (1.266)
После умножения матрицы Q на
матрицу-столбец токов I получаются
первое и третье (с обратным знаком)
уравнения (1.21а) и уравнение (1.216),
т. е. независимая система уравнений по
первому закону Кирхгофа.
Матрица контуров В — это
таблица коэффициентов независимых
уравнений, составленных по второму
закону Кирхгофа для К = В — (У — 1)
независимых контуров. Строки к соот-
ветствуют контурам (их число равно К),
столбцы j — ветвям (их число равно В).
Элемент матрицы bkj =4-1, если ветвь
j входит в состав контура к и ее направ-
ление совпадает с направлением обхода
контура. Элемент матрицы bkj = — 1,
если ветвь j входит в состав контура к
и ее направление противоположно на-
правлению обхода контура. Элемент
матрицы bkj = 0, если ветвь j не входит
в состав контура к.
Матрица В, составленная для глав-
ных контуров, приводит непосредствен-
но к независимой системе уравнений
по второму закону Кирхгофа. Например,
для графа рис. 1.14, д с контурами,
состоящими из ветвей 2-4-3 (а), 5-6-4 (б)
и 1-6-3 (в) матрица главных контуров
при их обходе по направлению движе-
ния часовой стрелки
Ветви
1 2 3 4 5 6.
а
В = б
в
01-1 1 о о
0 0 0 -1 -1 -1
10-1 0 0-1
Контуры
Умножив матрицу В на матрицу-
столбец напряжений ветвей, получим
матричное уравнение по второму закону
Кирхгофа в формулировке (1.20а)
ви = о,
(1.27)
так как каждая строка матрицы В опре-
деляет, какие ветви входят в соответ-
ствующий контур и с какими знаками
должны быть записаны напряжения
ветвей.
Для схемы по рис. 1.14, а и ее графа
по рис. 1.14, в после умножения на
матрицу-столбец напряжений ветвей
и =11 и13и14и12и42и34и23 ||т
получим систему трех независимых
уравнений вида (1.20а):
и14 - и12 + и42 = 0;
-и42- и34- 1/23 = 0;
- и12 - и23 = 0.
Эта система с учетом равенства
Uki = Ф* ” Ф* и соотношений (1.22а)
совпадает с ранее полученной системой
(1.23), (1.246), (1.24а), т. е. с системой вида
(1.206).
23
Для любой планарной схемы,
т. е. схемы, которую можно изобразить
на листе без пересекающихся ветвей и
проводов, в качестве независимых кон-
туров можно выбирать элементарные
контуры-ячейки. Например, для схемы
рис. 1.14, а это ячейки 7, II, III. Если
выбрать направление обхода каждой
ячейки по направлению движения стрел-
ки часов, то
В =
0 1—1 .1 о о
1-10010
0 0 0 -1 -1 -1
После умножения на матрицу-стол-
бец напряжений ветвей U получим
другую независимую систему уравнений
по второму закону Кирхгофа в форме
(1.20а):
^14-
С713-С/14
+ ^42
+ ^34
= 0;
= 0;
-^42- t/34- ^23 = 0,
которая после подстановки соотноше-
ний (1.22а) приводится к виду (1.206).
Если схема цепи кроме источников
ЭДС, как на рис. 1.14, а (и далее
рис. 1.20—1.22), содержит и источники
тока, то для записи матричных урав-
нений (1.27) можно рекомендовать пре-
образование источников тока в источни-
ки ЭДС (см. § 1.9 и рис. 1.23) или
введение понятия обобщенной ветви (см.
§ 1.10 и рис. 1.25).
1.8. Метод узловых потенциалов
Как было показано, режим любой
цепи полностью характеризуется уравне-
ниями, составленными на основании
первого и второго законов Кирхгофа,
причем для определения токов во всех В
ветвях необходимо составить и решить
систему уравнений с В неизвестными.
Число уравнений, подлежащих реше-
нию, можно сократить, если пользовать-
ся методом узловых потенциа-
лов, основанным на применении пер-
вого закона Кирхгофа и закона Ома
(1-12).
Для выяснения сущности этого
метода рассмотрим, например, электри-
ческую схему, показанную на рис. 1.16.
Пусть потенциал одного из узлов,
например узла 3, принят равным нулю,
т. е. (рз = 0. Такое допущение не изме-
няет условий задачи, так как ток в каж-
дой ветви зависит не от абсолютных
значений потенциалов узлов, к которым
присоединена ветвь, а от разности по-
тенциалов между концами ветви.
Запишем уравнения на основании
первого закона Кирхгофа для узлов 1 и
2 этой схемы при выбранных положи-
тельных направлениях токов
h — Ц — h + ^6 = 0; { п
—/5 — 76 — 72 + 73 = 0. J
Токи в ветвях согласно закону
Ома (1.12а)
1б = (Ф1 - <P2)06i h = (“Ф1 + £i)0ii
/4 = -Ф104; /5 = (Ф1 - Ф2 + Е5)д5;
Л = ( — Ф2 + Е2)д2> h = (Ф2 + Е3)д3,
(1.29)
где фх и ф2 — потенциалы узлов 1 и 2.
После подстановки (1.29) в (1.28) и
группировки членов получим
Ф1 (06 + 05 + 04 + 01) “ Ф2 (06 + 0б) —
= Erfi - Е5д5;
~ Ф1 (06 + 0б) + Ф2 (06 + 05 + 02 + 0з) =
= Е5д5 + Е2д2 - Е3д3,
или
011Ф1 -012ф2 = Е£0;
1
-021Ф1 + 022<Р2 = ХЕ9-
2
(1.30)
24
В этих уравнениях дп = д6 + д5 +
+ 04 + 01J 022 = 06 + 05 + 02 + 03 — СУМ-
МЫ проводимостей ветвей, присоеди-
ненных соответственно к узлам 1 и 2;
012 = 021 = 05 + 06 - сумма проводи-
мостей ветвей, соединяющих эти узлы.
Правая часть каждого из уравне-
ний (1.30) равна алгебраической сумме
произведений ЭДС в каждой ветви на
проводимость ветви, присоединенной к
рассматриваемому узлу. Произведение
вида Ед записывается с положительным
знаком в том случае, если ЭДС на-
правлена к узлу, для которого записы-
вается уравнение, и с отрицательным,
если ЭДС направлена от узла.
Уравнения (1.30) не зависят от
выбранных положительных направлений
токов в ветвях.
Чтобы подтвердить это положение, рас-
смотрим опять схему, показанную на
рис. 1.16, и для каждого узла примем
положительные направления токов рт узла.
Для узлов 1 и 2 справедливы урав-
нения
Л+Л + /5 + /6 = 0; | (1з1)
/2 + Л + Л + 1'6 = 0. J
Принимая, как и раньше, <р3 = 0, напишем
выражения для токов ветвей:
для узла 1
Л = (Ф1 - ^1)01;’Л = Ф104; 1
h = (Ф1 - Ф2 + Е5)д5; > . (1.32а)
Ц = (Ф1 - ф2)06; J
для узла 2
Л = (ф2-£2)02; /з = (ф2 + £з)0з; 1
/б = (ф2-Ф1)0б; Л = (ф2-Ф1-£5)05- J
токи источников тока. При составлении
уравнений вида (1.30) токи заданных
источников тока учитываются для каж-
дого узла в виде слагаемых в правой
части, причем, как было отмечено выше,
с положительными знаками должны быть
взяты токи источников тока, направ-
ленные к узлу, с отрицательными — от
узла.
Например, для узлов 1, 2 и 3 схемы,
показанной на рис. 1.17, при ф4 = 0 по-
лучим соответственно следующие урав-
нения:
011Ф1 — 012Ф2 — 01зФз = J + ^-101?
“- 021Ф1 + 022Ф2 — 023ФЗ = ^202;
— 031Ф1 — 032Ф2 + 033Фз = ^404?
где
011 = 01 + 05 + 035 022 = 02 + 03 + 0б5
033 = 04 + 05 + 06? 012 = 021 = 03?
013 = 031 = 05? 023 = 032 = 06 И
9 k = l/rk-
Если электрическая схема имеет в
своем составе У узлов (У — любое целое
число), а потенциал, например, У-го узла
принят равным нулю, то для определе-
ния У — 1 потенциалов остальных узлов
получается У — 1 уравнений:
0иФ1 - 012Ф2 - ... - 01рФр - ...
••• - 01 (у- 1)Ф(У- 1) =
= Ji+ tEij9u = J^;
j = 2
(1.326)
После подстановки (1.32) в (1.31) и груп-
пировки слагаемых получаются уравнения,
совпадающие с (1.30).
Таким образом, можно написать
уравнения для определения потенциалов
узлов произвольной электрической цепи,
не задаваясь положительными направле-
ниями токов в ветвях, при этом по-
тенциал одного из узлов надо принять
равным нулю.
Если электрическая схема содержит
не только источники ЭДС, но и источни-
ки тока, то в уравнения, составленные
по первому закону Кирхгофа, войдут и
~дР1<Р1 — 9p2<?2 —... — 0РРФр —.. .
• • • — 9p(y- 1)ф(у- 1) =
= p + X Epj9pj = ^py)?
j*p
......................... (1.33)
— 0(у-1)1Ф1 — 9(y-П2Ф2 —
• • • — 9(y- 1)рФр — • • • + 9(y- l)(y- 1)Ф(у- 1) =
У
= J(y- 1) + E(y_ l)j9(y- 1)J = J(y- 1),
j= 1
j*y
25
или в более общей форме для любого
узла р при = О
У У
Yapj^p- Yapj<?j =
j = 1 j = 1
j*p j*p
= JP+t Epj9pJ = W (133a)
J=i
j*p
В этих уравнениях, так же как и в
уравнениях (1.30), проводимость дрр (с
двумя одинаковыми индексами) пред-
ставляет собой суммарную проводи-
мость ветвей, присоединенных к узлу р,
и называется собственной узло-
вой проводимостью этого узла;
проводимость gjp = gpj с двумя различ-
ными индексами равна сумме проводи-
мостей ветвей, соединяющих между со-
бой рассматриваемые узлы j и р, и
называется общей узловой про-
водимостью этих узлов. Правая
часть каждого из уравнений содержит
алгебраические суммы произведений
ЭДС на соответствующие проводимос-
ти для всех ветвей, присоединенных
к узлу р, ток Jp равен алгебраической
сумме токов всех источников тока,
присоединенных к тому же узлу. В свою
очередь, ток — узловой ток —
равен алгебраической сумме Jp и токов,
определяемых источниками ЭДС, кото-
рые присоединены к узлу р, при этом
следует иметь в виду, что для замкну-
тых поверхностей сумма всех узловых
токов, как это вытекает из первого
закона Кирхгофа, равна нулю. К узло-
вым токам можно отнести и уже из-
вестные в каких-либо ветвях токи. Про-
водимости таких ветвей в выражения
вида дрр и gjp не входят.
Решив уравнения (1.33), можно опре-
делить потенциалы узлов, а зная по-
тенциалы, найти токи во всех ветвях
по закону Ома (1.12а).
Если в цепи имеются ветви с идеаль-
ными источниками ЭДС и сопротивле-
ниями этих ветвей можно пренебречь,
то при составлении уравнений (1.33)
получается неопределенность, поскольку
проводимости таких ветвей бесконечно
большие. Такое затруднение преодоле-
вается путем переноса заданной ЭДС
из ветви с нулевым сопротивлением
через соответствующий узел в другие
ветви, присоединенные к тому же узлу
и имеющие конечные значения сопротив-
лений. В результате такого преобразо-
вания токи во всех ветвях заданной
схемы не изменяются.
Для иллюстрации рассмотрим схему
(рис. 1.18, а), у которой сопротивление
ветви 2-4 равно нулю, а ЭДС равна
Е. Если в каждую ветвь, присоединен-
ную, например, к узлу 2, включить ис-
точник напряжения с ЭДС, равной Е
и направленной от узла 2 (на рис. 1.18, а
эти ЭДС изображены штриховой линией),
то токи во всех ветвях останутся без
изменения, поскольку разности потенциа-
лов между точками Г, 3'9 4' будут,
так же как и в заданной схеме,
равны нулю. Теперь потенциалы узлов
2 и 4, очевидно, одинаковы и их
можно объединить в одну точку
(рис. 1.18,6). Для полученной схемы с
Рис. 1.18
26
тремя узлами (вместо четырех) можно
составить два независимых уравнения
вида (1.33), из которых определяются
искомые потенциалы двух узлов, а затем
по закону Ома токи во всех ветвях
схемы (рис. 1.18,6), после чего легко
найти ток в ветви с сопротивлением
г = 0 (рис. 1.18, а) по первому закону
Кирхгофа.
Рассмотренную и аналогичные ей
задачи можно решить и без предвари-
тельного переноса ЭДС через узел в
другие ветви. Действительно, если при-
нять в заданной схеме (рис. 1.18, а)
ф4 = 0, то потенциал <р2 узла 2, очевид-
но, будет равен Е. Для определения
двух неизвестных потенциалов и ф3
нужно составить уравнения (1.33), кото-
рые полностью совпадут с уравнения-
ми, составленными для тех же узлов
эквивалентной схемы (рис. 1.18,6).
Полезно еще рассмотреть примене-
ние уравнений (1.33) для частного слу-
чая схемы с двумя узлами и произ-
вольным числом ветвей, все или часть
которых содержат источники ЭДС. Тре-
буется определить напряжение между
этими узлами.
Пусть между узлами 1 и 2 вклю-
чено т ветвей (рис. 1.19). Найдем напря-
жение U12, записав уравнение (1.33) для
первого узла
(01 + 02+03 + •••+0h + •••+0т)ф1 “
“ (01 + 92 + 93 + • • • + 9h + • • • + 9т) Ф2 =
h — т
= Е E»9h,
h=l
откуда
h=m h=m
^12 = Ф1-<Р2= Е Eh9h/ Е 9h, (1-34)
h=l h=l
где числитель представляет собой ал-
гебраическую сумму произведений ЭДС
на проводимость для всех ветвей, со-
держащих ЭДС (с положительным зна-
ком записываются ЭДС, направленные
к узлу 1), а знаменатель — арифме-
тическую сумму проводимостей всех
ветвей, включенных между узлами.
Если между узлами 1 и 2 вклю-
чены еще источники тока, то их значе-
ния следует добавить в числитель (1.34),
причем со знаком плюс записываются
токи, направленные к узлу 1.
Пример 1.3. На рис. 1.20, а изображена
электрическая схема с шестью неизвестны-
ми токами; ЭДС источников: = 6 В,
Е2 = 12 В, Е3 = 18 В; сопротивления ветвей:
= г2 = г3 — 2 Ом и г4 = г5 = г6 = 6 Ом.
Пользуясь методом узловых потенциалов,
определить токи во всех ветвях.
Решение. Пусть потенциал точки О
равен нулю. Запишем уравнения для узлов
с потенциалами фь ф2 и ф3:
(91 + 02 + 0з)ф1 — 0гФг — 0зФз =
= -E1gi - Е2д2 - Е3д3;
“02Ф1 +(02 +05 + 0б)ф2 “05Фз = Е2д2'->
-0зФ1 “ 05Ф2 + (0з + 04 + 05)Фз = Е3д3,
или после подстановки численных значений
проводимостей и ЭДС
3 11
_ф1 ___ф2 __фз = _18;
15 1
+тФ2--гФз = 6;
Zoo
1 1.5
--Х-Ф1 --Г<₽2 +-7-ФЗ =9.
Zoo
Решив совместно эти уравнения, найдем
искомые потенциалы: Ф1= —9 В; ф2 = 3 В;
Фз = 6 В. Для определения токов в ветвях
следует задаться их положительными направ-
лениями. При выбранных положительных
направлениях токов (рис. 1.20, а)
Л = (Фо - Ф1 - £1)01 = 1,5 А;
11 = (Ф1 - Ф2 + Е2)д2 = 0;
h = (Ф1 - Фз + £з)3з = 1,5 А;
Л = (Фз - Фо)04 = 1 А;
Л=(Фз-Ф2)Зз = 0,5 А;
16 = (Фз - Фо)0в = 0,5 А.
27
Матричные уравнения узловых потен-
циалов. Уравнения узловых потенциалов
(1.33) можно записать в матричной
форме:
g<y)<P = J(y\ (1.35)
где
9и ~912~ — — 9ку-1)
~921 922 ~ ~ 92(у- 1)
- 9(у- 1)1 ~9(у- 1)2 - ••• + 9(у- 1)(у- 1)
(1.36)
— Матрица-столбец потенциалов узлов и
матрица-столбец узловых токов, причем
по (1.33а) = Л + при этом
алгебраическое суммирование, выпол-
няемое с учетом знаков, распростра-
няется на все ветви с источниками
токов и с источниками напряжений,
присоединенные к i-му узлу.
Умножив слева уравнение (1.35) на
|| g°° ||-1, получим уравнение для опре-
деления потенциалов узлов схемы в виде
(p = ||g(y)r1j(y)5 (138)
где If g(y) || ~1 — матрица, обратная мат-
рице g(y).
Ниже показано, что матрицу узловых
проводимостей можно составить не-
посредственно по соответствующей схе-
ме цепи по формуле
g(y) = AgAT, (1.39)
где А — матрица соединений (узловых
проводимостей ветвей схемы) или ее на-
правленного графа; g — диагональная
матрица проводимостей ветвей; Ат —
транспонированная матрица соединений.
Для иллюстрации применения фор-
мулы (1.39) рассмотрим схему рис. 1.20, а,
для которой на рис. 1.20,6 построен
направленный граф. Поскольку у задан-
ной схемы четыре узла, то для нее
можно составить три независимых урав-
нения, чему и соответствует матрица
соединения узловых проводимостей вет-
вей из трех строк и шести столбцов
(для узлов 1, 2, 3):
-1 1 10 0 0
0-1 0 0-11
0 0-11 10
Диагональная матрица проводимос-
тей ветвей
дх 0 0 0 0 0
0 д2 0 0 0 0
0 0 0з 0 0 0
0 0 0 04 о о
0 О 0 0 05 о
0 0 0 0 0 06
Произведение матриц А и g
-Qi 92 0з 0 0
0 -02 0 0 -05
0
9в
0
0 0 -0з 04 05
Рис. 1.20
28
Матрица узловых проводимостей
цепи (1.39) получается после перемно-
жения матриц Ag и Ат:
gw = AgAT =
-9i 92 9з О О О
о -92 0 0 — д5 9б
О 0 -д3 д4 д5 О
-10 0
1 -1 О
1 0 -1
О 0 1
О -1 1
О 1 О
(91 + 91 + 9з) ~92
— 92 (02 + 05 + 0б)-
столбцу, то и в этом случае полу-
чается определенная квадратная матрица,
соответствующая независимой системе
уравнений. Однако определитель такой
матрицы уже не имеет симметрии
относительно главной диагонали.
Здесь следует особо подчеркнуть, что
если принять равным нулю потенциал
того же узла схемы, который соответ-
ствует вычеркнутой строке матрицы А,
то напряжения на всех ветвях схемы
определяются через потенциалы узлов
по формуле
U = АТФ, (1.40)
где положительное направление напря-
жения Ujp совпадает с положительным
направлением тока в ветви. Это не-
посредственно получается из формул для
напряжения на каждой ветви. Например,
“03 “05
“03
“05
(03 + 04 + 05)
Матрица-столбец потенциалов узлов
Ф = II <Р1Ф2<РЗ 1Г-
Матрица-столбец узловых токов
Ф1
Ф2
Фз
№ =
— Е191 —^292
^292
Ез9з
~Ез9з
Пользуясь выражением (1.35), легко
получить систему уравнений, приведен-
ную в примере 1.3.
Если матрицу А дополнить четвер-
той строкой, соответствующей узлу О, то
по (1.39) получится неопределен-
ная матрица узловых прово-
димостей цепи, для которой сумма
элементов по всем четырем строкам и
четырем столбцам равна нулю; опреде-
литель такой матрицы также равен нулю.
После вычеркивания любой строки и
соответствующего этой строке столбца,
например четвертой строки и четвертого
столбца, получается определенная квад-
ратная матрица третьего порядка.
Определитель неопределенной
матрицы симметричен относительно
главной диагонали. Если вычеркнутая
строка не соответствует вычеркнутому
-Ф1
Ф1 “ Ф2
Ф1“Фз
Фз
“Ф2 + ФЗ
Ф2
Из этого выражения следует
<Л)1 = “Ф1» U12 = Ф1 “ Ф2»
U13 — Ф1 “ Фз; ^зо = Фз;
U32 — Фз “ Ф2; U20 = Ф2,
как и должно быть.
1.9. Метод контурных токов
Для расчета режима сложной элект-
рической цепи можно ограничиться сов-
местным решением лишь К = (В — У + 1)
независимых уравнений, составленных
на основании второго закона Кирхго-
фа методом контурных токов;
29
здесь В, как и ранее, — число ветвей
и У — число узлов, при этом первый
закон Кирхгофа, конечно, всегда удов-
летворяется.
Для иллюстрации применения мето-
да контурных токов рассмотрим схему
на рис. 1.21,а с шестью ветвями и
четырьмя узлами. Прежде чем состав-
лять уравнения по второму закону
Кирхгофа, надо выбрать взаимно не-
зависимые контуры.
При выборе независимых контуров
можно применять то же правило, что и
при записи уравнений по второму за-
кону Кирхгофа. Например, для схемы
рис. 1.21,а ветви с токами 14, 15 и /6,
соединяющие узлы /, 2, 3, 4, можно
выбрать в качестве ветвей дерева
(рис. 1.21,6); поэтому ветви с токами
/1? 12 и 13 будут ветвями связи. На
рис. 1.21,6 элементы ветвей дерева изоб-
ражены сплошными линиями, а элемен-
ты ветвей связи — штриховыми.
Для схем на рис. 1.21, о и 6 по
первому закону Кирхгофа
Л - Л - h = 0; I5 + I2 - h = 0;
/6 + h - 12 = 0. (1.41)
На основании второго закона Кирх-
гофа для трех контуров, каждый из
которых включает только одну ветвь
связи,
7*111 + + 7*4/4 — Ei — Е4; 1
7*2/2 + Г6^6 — г5^5 = —Е2; ? (1.42)
ГзЛ "" г4^4 — гбЛ = £4 + Е3. )
Пользуясь уравнениями (1.41), исклю-
чим из уравнений (1.42) токи /4, /5 и
/6 всех ветвей дерева, общих для не-
скольких контуров; в результате получим
(7*1 + 7*4 + г5)/1 - r5I2 - r4I3 = El - Е4;
— + (г2~^гбЗ-г5)12 — г613= —Е2, ?
-r4Ii-r6I24\r3 + r4 + r6)I3 = E3 + E4. J
(1.43)
В соответствии с уравнениями (1.43)
можно принять, что каждый из токов
11, 12 и 13 замыкается через соответ-
ствующую ветвь связи в одном из
контуров (рис. 1.21, а и 6), и назвать
такие токи контурными: 11к = Ц;
Лк = /2; Лк =/3. Напряжения на ре-
зистивных элементах любого контура
равны алгебраической сумме напряже-
ний, обусловленных токами своего и
смежных контуров. Например, в конту-
ре из элементов 74, г5 и г4 разность
ЭДС Ei — Е4 равняется сумме трех
напряжений: от собственного контур-
30
ного тока 11К на всех сопротивлениях
этого контура и от токов Лк и Лк
соответственно на сопротивлениях г5 и
г4. Токи в ветвях дерева, общих для
нескольких контуров, равны алгебраи-
ческим суммам контурных токов:
Л = Лк Лк, Л = Лк Лк,
Л = Лк - Лк. (1.44)
Для этой же схемы можно полу-
чить и другие взаимно независимые
уравнения. Например, выберем другое
дерево из первой, пятой и шестой
ветвей (рис. 1.21, в), так что вторая,
третья и четвертая ветви будут ветвями
связи, токи в которых совпадают с
контурными. Применив в этом случае
второй закон Кирхгофа для контуров
2-3-4-2, 3-1-2-4-3 и 2-4-1-2, получим
уравнения с контурными токами Лк,
Лк и Лк, замыкающимися через ветви
деревьев по ветвям связи. Токи в вет-
вях дерева однозначно определяются
через токи ветвей связи (совпадающие
с контурными) по формулам
Л = Лк + Лк, Л = Лк Лк и
Л = Лк + Лк — Лк.
Выражение для тока 15 получено по
первому закону Кирхгофа для токов в
ветвях, примененному к главному сече-
нию Ss, след которого показан на
рис. 1.21, в штриховой линией.
Таким образом, система взаимно не-
зависимых уравнений k определяется
структурой выбранного дерева и соот-
ветствующими ветвями связи.
Схема рис. 1.21, а имеет 16 деревьев,
поэтому для такой схемы можно напи-
сать 16 систем независимых уравнений,
каждая из которых содержит в качестве
неизвестных три тока, замыкающихся
по ветвям связи через ветви выбранного
дерева.
Из приведенных примеров следует,
что для определения токов в ветвях
этим методом нужно ввести в расчет
контурные токи и решить совместно
систему уравнений, составленных по вто-
рому закону Кирхгофа; число этих
уравнений меньше числа неизвестных
токов ветвей В на число узлов схемы
без одного (У — 1). При замене токов
в ветвях контурными токами первый
закон Кирхгофа удовлетворяется для
каждого узла, так как каждый контур-
ный ток в одной из ветвей контура
направлен к узлу, а в другой — от того
же узла. Например, для узла 4
(рис. 1.21, а) по первому закону Кирхго-
фа для токов ветвей получим: 14 —
— 15 — 16 = 0, или для контурных токов
(Лк - Лк) - (Лк - Лк) - (Лк - Лк) = 0.
Если схема содержит не только
источники ЭДС, но и источники тока,
то можно принять ток каждого из
источников тока замыкающимся по лю-
бым ветвям дерева, составляющим с
ветвью источника тока — ветвью свя-
зи — замкнутый контур. Падение напря-
жения, вызванное током такого источ-
ника на каждом из сопротивлений
контура, учитывается при записи левой
части уравнений по второму закону
Кирхгофа. Эти напряжения можно также
учесть с обратным знаком в правой
части уравнений.
В качестве примера рассмотрим схе-
му на рис. 1.17. На основании второ-
го закона Кирхгофа
Г111 + Г515 - г4Ц = Ej - Е4; ]
г212 - Г616 - г4Ц = Е2- Е4; > (1.45)
гз^з — гб1б ~ гзЛ = 0- J
Пользуясь первым законом Кирхго-
фа, исключим из этих уравнений токи
15, 14 и 16; в результате после груп-
пировки слагаемых получим
(г1 + Г5 + Г4)11 - г513 +
+ г412 + r4-J + г5^ = Е1~Е4',
0*2 + r6 + ^*4-) Л + гбЛ +
+ г4Ц + r4J = Е2 - Е4;
(гз + Г6 + гз)1з + r6h —
- Г51! - r5J = 0.
(1.46)
Из этих уравнений следует, что в рас-
сматриваемом случае ток J как бы замы-
кается по ветвям с сопротивлениями г5
и г4, дополняющими ветвь с источником
тока J до замкнутого контура.
Обозначив в уравнениях (1.46) состав-
ляющие напряжений r4J и r5J соот-
ветственно через Ет4 и Ет5, можно пере-
31
писать их иначе:
(гх + г5 + + г412 - г513 =
= Е± Е4 Ет4 Ет5;
r4/i + (г2 4- r6 + r4)I2 4- r6I3 =
— E2 E4 Eti',
(1-47)
~г5/14-Гб724_(гз + гб4-г5)7з — Er$. 1
Здесь следует отметить, что перенос
слагаемых r4J и r5J из левой в правую
часть уравнений (1.47) и замена этих
напряжений на схеме ЭДС Ет4 и Ет5
иллюстрируют применение так называе-
мого принципа компенсации, изложен-
ного более подробно в § 2.4.
Уравнениям (1.47) соответствует эк-
вивалентная схема (рис. 1.22, а), на кото-
рой источник тока J заменен источни-
ками ЭДС Ет4 = r4J и Ет5 = r5 J, при
этом токи в ветвях с сопротивлениями
г4 и г5 не равны соответствующим
токам в ветвях заданной схемы (см.
рис. 1.17) и отличаются от них на ток
J источника тока. Иначе говоря, после
определения контурных токов 12к
и /Зк необходимо для вычисления токов
/4 и 15 в ветвях заданной схемы
(рис. 1.17) записать уравнения по пер-
вому закону Кирхгофа именно для задан-
ной схемы: 14 = — Цк — Лк — J и 15 =
= Лк Лк 4" <7.
Аналогично можно показать, что
если принять ток J замыкающимся по
ветви с сопротивлением г1? то получит-
ся новая эквивалентная схема (рис. 1.22, 6);
контурный ток Лк в эквивалентной схе-
ме не равен току Ц в ветви с сопро-
тивлением заданной схемы (см.
рис. 1.17) и отличается от него на ток J.
Замена источника тока J двумя экви-
валентными источниками напряжения
Ет4 и Ет5 (рис. 1.22, а) основана на
предварительном преобразовании одно-
го источника тока, включенного к узлам
1 и 4 (см. рис. 1.17) двумя источника-
ми тока, включенными к узлам 1 и 3,
3 и 4. Покажем справедливость такого
преобразования для более общего слу-
чая.
На рис. 1.23, а изображена часть
разветвленной схемы с одним источни-
ком тока J, присоединенным к узлам
1 и 4. Режим в этой схеме, очевидно,
не изменится, если вместо одного источ-
ника тока J, присоединенного к выво-
дам 1 и 4, включить три источника
тока соответственно к узлам 1 и 2, 2 и 3,
3 и 4, поскольку токи /22 и Ьз в ветвях
присоединения к узлам 2 и 2', 3 и 3'
равны нулю (рис. 1.23,6). Переход от
схемы рис. 1.23,6 к эквивалентной схе-
ме рис. 1.23,в, где Ен = TiJ; Ет2 = r2J;
Етз = r3J, уже не требует особых пояс-
нений.
Таким образом, при расчете режима
цепи методом контурных токов можно
предварительно заменить источники то-
ка эквивалентными источниками ЭДС,
а затем ввести контурные токи и на
основании второго закона Кирхгофа
составить систему уравнений для их
определения. Токи в ветвях без экви-
валентных источников ЭДС, заменяю-
щих источники тока, определяются по
первому закону Кирхгофа суммирова-
нием контурных токов; р ветвях задан-
ной схемы, в которых на эквивалент-
ной схеме включены источники ЭДС,
Рис. 1.22
32
Рис. 1.23
учитываются и токи источников тока.
При расчете электрических цепей из-
ложенным методом всегда стремятся к
тому, чтобы число контурных токов,
замыкающихся через каждуй) из ветвей,
было по возможности минимальным. С
этой целью обычно выбирают каждый
контур в виде ячейки (на рис. 1.21,а
три ячейки с контурными токами 11к,
12к и /зк), руководствуясь указанным вы-
ше правилом выбора независимых кон-
туров (дерева и ветвей связи) при
составлении уравнений на основании вто-
рого закона Кирхгофа, что возможно
для любой планарной схемы.
Положительные направления контур-
ных токов можно выбирать и произ-
вольно, т. е. независимо от положитель-
ных направлений токов в ветвях.
Установим теперь более общие, не-
обходимые для дальнейших выводов
соотношения между контурными токами,
сопротивлениями и ЭДС цепи произ-
вольной конфигурации.
Для схемы, имеющей К независи-
мых контуров, уравнения, аналогичные
(1.43), запишутся в виде
г11Дк + ^12^2к + ... + H/Z/k + • • . '
.. . + кк = -^1 >
г21Лк + г22^2к + • • •
• • • + Г2///к + . . . + Г2к1кк = Е2,
Гц11к + ГпЬк + • • •
... -Ь Гц11к + ... + rlkIkK — Ef, (1.48)
ЛнЛк + ПйЬк 4- ...
• • • 4- rkiliK 4- ... 4- rkkIkK = Ек. <
В этих уравнениях сопротивление
вида Гц (с двумя одинаковыми индек-
сами) называется собственным со-
противлением контура /, а со-
противление вида rtk = гы (с двумя раз-
личными индексами) — общим со-
противлением контуров I и к.
Правые части уравнений (1.48) называют-
ся контурными ЭДС. Каждая из
контурных ЭДС вида Et равна алгебраи-
ческой сумме ЭДС всех источников в
ветвях контура /. Положительные знаки
в каждом уравнении (1.48) должны быть
взяты для токов и ЭДС, положитель-
ные направления которых совпадают с
произвольно выбранным направлением
обхода соответствующего контура.
В более общем случае для электри-
ческой цепи, которая содержит как источ-
ники ЭДС, так и источники тока, контур-
ное уравнение для /-го контура записы-
вается в виде
(1.48а)
= Е( + ХпЛ = ^
j
2 Основы теории цепей
33
где । £ г и I = Гц обозначает собственное
\ j /
сопротивление контура /; Гц — общее
сопротивление двух контуров: I и у;
Ju — ток источника тока, замыкающий-
ся по ветви с сопротивлением г0-;
$к) — контурная ЭДС (алгебраическая
сумма ЭДС в контуре).
Решив систему уравнений (1.48) при
помощи определителей относительно
любого из токов, например Л, полу-
чим
т __ р । ^12 р । । р ।
- рбо + pW + ••• +
• • • + + • • • + (1-49)
где 1Ук) — определитель системы урав-
нений (1.48), т. е.
Гц Г12 ... Ги ... Г1к
Г21 Г22...Т21... Г2к
2/к) =
Гц Г12 ... ти ... Пк
(1.50)
гк1 гк2 ... Гк1 ... гкк
Dn, • • •, , Dlk — алгебраические
дополнения определителя 1Ук), причем
Dlq получается из 1УК) путем вычерки-
вания 1-го столбца и q-й строки и
умножения полученного определителя на
(-1Г9.
Необходимо отметить, что сопротив-
ления вида Гц и гк1 нужно записывать
в выражении (1.50) с тем знаком, кото-
рый стоит перед соответствующим
напряжением в уравнениях (1.48).
Методом узловых потенциалов целе-
сообразно пользоваться, если число узлов
схемы, уменьшенное на единицу, меньше
числа независимых контуров У — 1 < К,
а методом контурных токов — при
У - 1 > К.
Матричные уравнения контурных то-
ков. Уравнения контурных токов (1.48)
с учетом (1.48а) можно записать в
матричной форме:
= (1.51)
где Нк) — квадратная матрица контурных
сопротивлений; 1^к) — матрица-столбец
контурных токов; Е(к) — матрица-стол-
бец контурных ЭДС, учитывающая ис-
точники ЭДС и эквивалентные ЭДС от
источников тока.
После умножения уравнения (1.51)
слева на || ?к) || ”1 получим
!(*)= || jOO ||(1.52)
Покажем, что матрицу контурных
сопротивлений Нк) можно получить не-
посредственно по схеме при помощи
матрицы контуров В:
Нк) = ВгВт, (1.53)
где г — диагональная матрица сопротив-
лений ветвей; Вт — транспонированная
матрица контуров.
Направление обхода каждого конту-
ра примем совпадающим с положи-
тельным направлением соответствую-
щего контурного тока, а направления
ветвей — с положительными направле-
ниями токов в ветвях. Чтобы получить
независимые контуры, следует сначала
выбрать дерево схемы, что в свою
очередь определяет ветви связи, а следо-
вательно, и контурные токи.
Для иллюстрации рассмотрим схему
на рис. 1.21, а с выбранным деревом
из четвертой, пятой и шестой ветвей
(рис. 1.21,6). В этом случае независи-
мые контуры содержат контурные токи
Лк, Лк и Лк, что соответствует пер-
вой, второй и третьей ветвям связи.
Матрица контуров В состоит из трех
строк и шести столбцов:
100 1 1 0
0 10 0-1 1
0 0 1-1 0-1
(1-54)
Диагональная матрица сопротивле-
ний
И 0 0 0 0 0
0 г2 0 0 0 0
г- 0 °” 0 00 (1.55)
0 0 0 г4 о о
0 0 0 0 г5 о
0 0 О 0 О г6
34
I
Рис. 1.24
Произведение матриц Виг равно:
Например, для схемы рис. 1.21, а
Вг =
В 0 г4 г5 О
О г2 0 0 -г5 г6
О О г3 — г 4 О — г6
Квадратная матрица контурных со-
противлений определяется по (1.53):
Ик) = ВгВт =
П 0 0 г4 г5 О
О г2 0 0 -г5 г6
О 0 г3 -г4 0 -г6
1 О О
О 1 О
О О 1
1 0 -1
1 -1 О
О 1 -1
(П+Г4 + Г5) ~г5 -г4
~г5 (г2 + г5 + г6) -г6
~Г4 ~Г6 (Г3+Г4 + Г6)
Матрица-столбец контурных токов
= II Ш 11т. (1.56а)
Матрица-столбец контурных ЭДС
Е5К) = || (Е1—Е2) ( —Е2) (Е3 + Е4) ||т.
(1.566)
Пользуясь уравнением (1.51), матри-
цами i*K), 1(к) и Е5к), можно получить
уравнения (1.43).
Подчеркнем, что матрица токов
ветвей I определяется через матрицу
контурных токов по формуле
1 = ВТ^. (1.57)
Л
^2
h
ц
ц
It
Из этого матричного уравнения сра-
зу получаем равенства, определяющие
токи ветвей через контурные токи:
Л = Лк; Л = Лк; Л = Лк;
Л = ii* — Лк; Л = Лк — Лк; Л = Лк — Лк-
В дальнейшем индекс «к» у контур-
ных токов, как правило, будем опускать.
В заключение подчеркнем, что все
соотношения между токами ветвей и
контурными токами для схем, показан-
ных на рис. 1.21, а —в, можно получить
из графов, построенных соответственно
для этих схем на рис. 1.24, а —в, при
этом деревья графа изображены на
рис. 1.24,6 и в толстыми линиями, а
ветви связи — тонкими.
1.10. Уравнения цепи
в матричной форме
Пользуясь матрицей соединений А и
матрицей контуров В, а также закона-
ми Кирхгофа, можно получить узловые
и контурные уравнения, определяющие
режим цепи, в матричной форме, при
этом получаются и выражения для
определения матрицы узловых проводи-
мостей (1.39), и матрицы контурных
сопротивлений (1.53).
2‘
35
Рис. 1.25
Запишем еще раз в матричной форме
первый и второй законы Кирхгофа
(1.26) и (1.27):
AI = 0; BU = 0, (1.58)
где I — матрица-столбец токов ветвей;
U — матрица-столбец напряжений меж-
ду концами ветвей.
Подставив (1.57) в (1.58), получим
АВТ1К) = 0. (1.59)
Это выражение справедливо при всех
значениях ^к), поэтому АВТ = 0 для лю-
бой заданной электрической цепи.
Уравнения цепи в матричной фор-
ме, в том числе с узловыми потен-
циалами и контурными токами, полу-
чаются наиболее коротким путем при
введении понятия обобщенной вет-
ви — двухполюсника общего вида
(рис. 1.25). Для такой ветви Г = I 4- J и
U — гГ — Е, откуда следует, что
I = g(U + E)-J (1.60)
или
U = r(I + J) — Е. (1.61)
Это так называемые компонент-
ные уравнения (связывают напря-
жение и ток ветви).
В матричной форме для всех ветвей
схемы вместо (1.60) и (1.61) получим
обобщенный закон Ома
I = g(U + E) —J (1.62)
или
U = г(1 + J) - Е, (1.63)
где g — диагональная матрица проводи-
мостей ветвей; г — диагональная матри-
ца сопротивлений ветвей.
Уравнения Кирхгофа (1.58) - топо-
логические уравнения — вместе
с компонентными уравнениями (1.62) или
(1.63) составляют полную систему урав-
нений линейной электрической цепи в
матричной форме.
Для получения узловых уравнений
в матричной форме умножим (1.62) на
матрицу А
AI = AgU 4- AgE — AJ = 0
и после замены по (1.40) U = Ат<р
AgATcp = AJ - AgE, (1.64)
где AgAT = g(y) — квадратная матрица
узловых проводимостей; AJ — AgE =
= J(y) — матрица-столбец узловых токов,
т. е. (1.64) совпадает с (1.38).
Для получения контурных уравнений
в матричной форме умножим (1.63) на
матрицу В
BU =±= Вг! 4- BrJ - BE,
и так как BU = 0 (второй закон Кирх-
гофа) и I = Вт1<к) (1.57), то
ВгВт1<к) = BE - BrJ, (1.65)
где ВгВт = г* — квадратная матрица кон-
турных сопротивлений; BE — BrJ = ЕЯ—
матрица-столбец контурных ЭДС, т. е.
(1.65) совпадает с (1.51).
При расчетах режимов сложных
электрических цепей с применением ЭВМ
предварительно должна быть составлена
ее эквивалентная схема — математичес-
кая модель цепи, состоящая из типо-
вых элементов. Для цепей, которые
рассматриваются в этой главе, это ре-
зистивные элементы с сопротивлениями
г, идеальные источники ЭДС Е и
идеальные источники тока J. В общем
случае добавляются зависимые или
управляемые источники (см. гл. 8), ин-
дуктивные и емкостные элементы (для
цепей переменного тока) и др.
При выборе метода расчета следует
сопоставить число решаемых уравнений,
которое влияет на необходимые объем
памяти ЭВМ и машинное время, слож-
ность формирования задания и програм-
мы для ЭВМ, ограничения на типы
элементов схемы, которые допускают
задание и программа.
В случае расчета с применением
уравнений Кирхгофа (1.58) число решае-
мых уравнений равно 2В, т. е. число
решаемых уравнений больше, чем при
расчете методами узловых потенциалов и
контурных токов, но ограничений на ти-
пы элементов нет, программа решения
36
Рис. 1.26
системы уравнений не требует перемно-
жения матриц. Чтобы получить систему
независимых уравнений, нужно выбрать
независимые контуры, т. е. в общем
случае выбрать дерево ч и ветви связи
(обратиться к топологическим понятиям).
Число узловых уравнений (метод
узловых потенциалов) меньше 2В, а имен-
но У — 1. Топологические матрицы
составлять не нужно, и перемножения
матриц не требуется, так как (см. § 1.8)
матрицы узловых проводимостей g(y) и
узловых токов /у) можно составить не-
посредственно для заданной схемы [см.
(1.33а), (1.36), (1.37)]. Без преобразования
схемы метод узловых потенциалов в
матричной форме нельзя применять,
если между какими-либо узлами включе-
ны ветви с идеальными источниками
ЭДС, поскольку проводимость такой
ветви бесконечно большая.
Число контурных уравнений (метод
контурных токов) тоже меньше 2В, а
именно В — (У—1). Но задача выбора
системы независимых контуров остается.
Перемножения матриц не требуется,
так как (см. § 1.9) матрицы контурных
сопротивлений ?к) и контурных ЭДС
EJK) можно составить непосредственно
для заданной схемы [см. (1.48а)].. Без
преобразования схемы метод контурных
токов в матричной форме нельзя при-
менять, если схема содержит ветви с
идеальными источниками тока, так как
сопротивление такой ветви бесконечно
большое.
При расчете режима цепи с при-
менением ЭВМ, особенно в том случае,
если схема содержит и управляемые
источники, для устранения отмеченных
недостатков применения уравнений
Кирхгофа, узловых уравнений и контур-
ных уравнений можно рекомендовать
метод расширенных узловых уравнений
(метод смешанных величин).
1.11. Расширенные узловые уравнения
При составлении расширенных
узловых уравнений все ветви схе-
мы разделим на два подмножества:
д-ветви и r-ветви (рис. 1.26, а и б) —
частные случаи обобщенной ветви (см.
рис. 1.25).
Для 0-ветви компонентное уравнение
I = gU-J,
и в матричной форме для всего под-
множества 0-ветвей
Ig = gUg - J, (1.66)
где g — диагональная матрица проводи-
мостей 0-ветвей. Ветвь с идеальным
источником тока следует считать д-
ветвью, у которой проводимость 0 = 0.
Для r-ветви компонентное уравнение
U = rl - Е,
и в матричной форме для всего под-
множества г-ветвей
Ur = rlr - Е, (1.67)
где г — диагональная матрица сопротив-
лений г-ветвей.
Ветвь с идеальным источником ЭДС
следует считать r-ветвью, у которой
сопротивление г = 0.
При составлении топологических
уравнений по первому закону Кирхгофа
AI = 0 выберем первые номера для д-
ветвей. Поэтому запишем первое уравне-
ние Кирхгофа в виде
II АдАг ||
(1.68а)
или
АЛ + АДГ = 0. (1.686)
Напряжения ветвей рвязаны с по-
тенциалами узлов матричным уравне-
нием (1.40) U = Ат<р или при выбранной
37
нумерации ветвей
I I = II АЛ 1Г-Ф =
т. е.
Ug = AJq>;
U, = А?<р.
(1.69а)
(1.696)
Заменив в (1.66) U0 по (1.69а) и в
(1.68) 1д по (1.66), получим
A,gA;<p + ArIr = A,J. (1.70)
В (1.67) подставим Ur по (1.696) и
получим
-А,тф + г1г = Е. (1.71)
Уравнения (1.70) и (1.71) определяют
потенциалы узлов ф и токи г-ветвей
1Г при заданной конфигурации схемы и
значениях ее элементов д, J, г и Е. В (1.70)
AggAJ = g(y) — узловая матрица проводи-
мостей, но не всех ветвей, а только
0-ветвей; ASJ = Jy) — узловой ток.
Уравнения (1.70) и (1.71) можно
объединить в матричное расширенное
узловое уравнение:
S'” Л, ♦
-л; г 1, | е ' ’ ’
Решение системы уравнений (1.72) на
ЭВМ или без применения ЭВМ не тре-
бует перемножения матриц, снимает ог-
раничения, которые необходимо учиты-
вать при расчете режима цепи с при-
менением метода узловых потенциалов,
но количество совместно решаемых
уравнений увеличивается на число
г-ветвей.
Пример 1.4. Составить матричное урав-
нение методом расширенных узловых урав-
нений для схемы по рис. 1.27 при пара-
метрах 7*1 = 1 Ом, г2 = 2 Ом, г3 = 3 Ом,
Е4 = 4 В, Л = 4 А.
Решение. Схема состоит из трех д-
ветвей: 1) с источником тока и сопро-
тивлением г 1?т. е. с проводимостью = 1 См;
2) с сопротивлением г2, т. е. с проводи-
мостью д2 = 1/2 См; 3) с сопротивлением
г3, т. е. с проводимостью д3 = 1/3 См, и
одной r-ветви с ЭДС Е4 и сопротивлением
г4 = 0. При этом методом расширенных
узловых уравнений определяются потенциалы
узлов (р! и (р2 и ток /4 в г-ветви. Послед-
ние две 0-ветви можно было бы считать
г-ветвями с ЭДС Е2 = 0 и Е3 = 0, но при
этом число совместно решаемых уравне-
ний увеличится (добавятся токи в сопротив-
лениях г2 и г3).
Составим матрицы, входящие в матрич-
ное уравнение (1.72). Квадратная матрица
узловых проводимостей второго порядка
(узлы 1 и 2)
g(y) =
9» II = [1/3 + 1/2
~021 022 II || ~1Д
= 11 5/6 ~ 1/2 II
11-1/2 3/2 |Г
-1/2
1 + 1/2
Матрица соединений г-ветвей (одна ветвь
с током /4, который направлен к узлу 1)
и -а; = ||1 -ill.
В r-ветви сопротивление равно нулю,
т. е. г = 0. Матрица-столбец узловых токов
(два узла) = || 0 -4 ||т. Матрица-столбец
ЭДС г-ветвей Е = 4 (одна ветвь).
В результате получаем матричное урав-
нение (1.72)
5/6 —1/2’;—1
-I/?...?#’ 1
1 -1 : о
Ф1
Ф2
h
о
-4
4
X
после решения которого находим = 0,
ф2 = — 4 В и 14 = 2 А. Остальные токи
определяются по закону Ома и первому
закону Кирхгофа после выбора их положи-
тельных направлений.
После формирования матриц любого
из рассмотренных выше общих методов
расчет режима цепи сводится к задаче
решения системы линейных алгебраи-
ческих уравнений, которая входит в ма-
тематическое обеспечение ЭВМ.
38
1.12. Преобразования в линейных
электрических схемах
Расчет и исследование сложных
электрических цепей во многих случаях
можно значительно упростить и сделать
более наглядными путем преобра-
зования электрических схем
одного вида в схемы другого вида.
Целесообразное преобразование элект-
рической схемы приводит к уменьшению
числа ее ветвей или узлов, а следо-
вательно, и числа уравнений, опреде-
ляющих ее режим.
Рассмотрим, например, сйему заме-
щения трехпроводной линии (рис. 1.28, а).
Пусть заданы ЭДС Е2 и внутрен-
ние сопротивления rBTi и гвт2 источни-
ков энергии, сопротивления проводов
линии г, г0 и сопротивления приемни-
ков Г12, Г23 И г31.
Для определения токов в шести
ветвях этой схемы необходимо по мето-
ду контурных токов или узловых по-
тенциалов решить систему уравнений с
тремя неизвестными.
Однако можно упростить схему, на-
пример, так, чтобы она содержала толь-
ко три ветви с тремя неизвестными
токами и всего два узла. Новая схема
получится, если три приемника с сопро-
тивлениями г12, г23 и г31, присоеди-
ненных к узлам 1, 2 и 3, заменить
тремя резистивными элементами с со-
противлениями г2, г3 (рис. 1.28,6),
включенными соответственно между точ-
ками 1, 2 и 3 заданной схемы и новой
узловой точкой О'. После такой замены
токи Z2, 13 в ветвях, не затронутых
преобразованием, и напряжения Ul2, U23
и U31 между точками 1, 2 и 3
должны быть такими же, как и в задан-
ной схеме замещения.
В новой, эквивалентной схеме с дву-
мя узлами О и О' можно сразу найти
напряжение между узловыми точками по
формуле (1.34), а затем определить токи
12 и 13 по закону Ома. После
этого можно вычислить напряжения CJ12,
U23 и U3l между точками 1, 2 и 3
и токи 112, 123 и J31 в приемниках с
сопротивлениями г12, г23 и г31 заданной
схемы, т. е. решить задачу достаточно
просто. Во всех случаях замены заданных
электрических схем эквивалентными схе-
мами другого вида необходимо выпол-
нять условие неизменности токов и
напряжений участков схемы, которые
не затронуты преобразованиями.
Если преобразуется часть электри-
ческой схемы, не содержащая источни-
ков энергии, то, как будет видно из
дальнейшего, неизменность токов и
напряжений в остальной части схемы
обеспечивает и неизменность мощностей
элементов всех ветвей. В случае пре-
образования электрических схем, со-
держащих источники энергии, суммарные
мощности источников и приемников в
исходной схеме не равны в общем
случае соответствующим мощностям в
эквивалентной схеме.
Рассмотрим теперь наиболее ха-
рактерные, чаще всего встречающиеся на
практике случаи преобразования электри-
ческих схем как при отсутствии в пре-
образуемых ветвях источников ЭДС и
тока, так и при их наличии.
Рис. 1.28
39
Рис. 1.29
Преобразование соединения многолу-
чевой звездой в соединение многоуголь-
ником; преобразование треугольника в
звезду. Рассмотрим сначала преобразо-
вание соединения резистивных элемен-
тов (сопротивлений) многолучевой звез-
дой (с числом лучей более трех) в
эквивалентный многоугольник, т. е. пре-
образование пассивных (не содержащих
источников энергии) многополюсников.
Покажем, что соединение резистивных
элементов n-лучевой звездой преобра-
зуется в эквивалентную схему много-
угольника с числом ветвей, равным
п(п - 1)/2.
На рис. 1.29,а изображено соеди-
нение элементов в виде и-лучевой
звезды. Для этой схемы
/1 = (Ф1 - (?0)д1; 12 = (ф2 - фо)02;... ;
4 = (ф* - Фо)я*;...; 4 = (фя - Фо)0я;
Л + ^2 + ... + Л + ... + Л = (ф1 “ Фо)01 +
+ (ф2 — Фо)02 + ... + (ф/г “ Фо)0л + ...
... + (фя - Фо)0л = 0, (1.73)
где фх, ф2,..., Фл,..., Фл — потенциалы со-
ответствующих точек схемы.
Из последнего уравнения найдем по-
тенциал точки О:
_ Ф101 + Ф202 + ... + <Ph9h +... + фи0я
01 +02+ -+0й + - + 0л
(1.74)
После подстановки ф0 в первое из
выражений (1.73) получим
Т Л. Ф101 +Ф202 +...
\ 01
• • • Фй0й + ... + Фл0л\
+ ---------"-------- Р1 =
01 /
= —Е(Ф1 - Фг)0102 + (Ф1 “ Фз)010з + -
01
- + (ф 1 - ф*)310* + ••• + (Ф1 - Фп)я ig„],
где
h = n
= Е 9h-
/1 = 1
В полученном выражении разности
потенциалов между точками 1, 2,
3,..., h,..., п заменим через напряжения по
формуле Uhi = <рл - <р(:
/1 = и12^1£1+ и13^з. + ...
0Е 01
...+ Uih^-+ ...+ (1.75)
01 02
Аналогично для любого тока
т т т 9h9 1 । г г 0Й0 2 ।
I/» — '-'hl--г uh2--г ...
01 01
... + Uhih_1e-^-+... + Uhne-^. (1.76)
01 01
Из этих уравнений видно, что ток
каждой ветви n-лучевой звезды можно
представить в виде суммы п - 1 частич-
ных токов, пропорциональных напряже-
ниям между соответствующими точками
звезды. Например, ток /1=Л2 + Лз + -
40
- + Iih + ••• + I in, гДе I12 — U129191/9^
713 = U 13g1g3/gTt... Аналогично для лю-
бой ветви
4 = 41 +Л2 + ••• + A,h-i + - + Лл-
Выражениям (1.76) удовлетворяет эк-
вивалентная схема в виде полного много-
угольника (рис. 1.29,6) с числом ветвей,
равным п(п — 1)/2. Действительно, для
схемы рис. 1.29,6
Л = 12012 + ^13013 + • • •
• • • + С7 Ih91h + • • • + 1л01л,
^2 = ^21021 + ^23023 + •••
••• + ^2h02h + ••• + ^2и02и»
(1.77)
Л = Uhl9hl + Uh29h2 + ...
••• + Uh,h-19h,h-l + ••• + Uhn9hn',
.................................J
Для того чтобы схема, показанная
на рис. 1.29,6, была эквивалентна схеме
на рис. 1.29, а, необходимо равенство
токов (11? I2, h и т. д.) в обеих схемах
при одинаковых напряжениях (С/12, ^13,
Ulh и т. д.), что выполняется при
012 = 0102/01 = 021; ] ,
. > (l.'o)
013 — 010з/0£ — 031- J
Поскольку число узлов многоуголь-
ника равно и, число токов, связанных
с каждым узлом, равно и — 1 и каждая
ветвь присоединена к двум узлам много-
угольника, то число его ветвей как раз
равно п (и — 1)/2.
Из приведенного доказательства сле-
дует, что простая математическая опе-
рация исключения потенциала ф0 из
системы уравнений для схемы, имеющей
форму n-лучевой звезды, приводит к
эквивалентной схеме в виде многоуголь-
ника. Обратная задача о преобразова-
нии многоугольника в эквивалентную
n-лучевую звезду в общем случае при
п > 3 неразрешима, так как число иско-
мых сопротивлений (или проводимостей)
ветвей эквивалентной звезды меньше
числа п (п — 1)/2 условий, которым они
должны удовлетворять. При и = 3 число
условий п(п — 1)/2 = 3 и, следовательно,
треугольник сопротивлений всегда мож-
но преобразовать в эквивалентную
звезду.
Из (1.78) при и = 3 сразу получают-
ся формулы для преобразования трех-
лучевой звезды в эквивалентный тре-
угольник в следующем виде:
для эквивалентных проводимостей
_ 0102 0203
12 01 +02 + 0з’ 23 01 + 02 + 03 ’
0301 (
031 = ------------, 1
01 + 02 + 03 J
(1.79а)
или для эквивалентных сопротивлений
Г12 = 1/012 - Г1 + г2 + Г1Г2/г3;
г2з = r2 + r3 + r2r3/ri; ? (1.796)
г31 = г3 + Г1 + г3Г1/г2. 7
Чтобы получить формулы преобра-
зования треугольника с заданными со-
противлениями Г12,7*23 и r3i в эквивалент-
ную звезду, примем в (1.796) в качестве
неизвестных сопротивления г2 и г3.
В результате получим
ri=b/r23; r2 = b/r31; r3 = b/r12, (1.80)
где
b = Г1г2 + г2г3 + г3Г1. (1.81)
Выразим попарные произведения
искомых сопротивлений в виде
Г1Г2 = ь2/г23г31; г2г3=Ь2/г31г12;
7V1 = Ь2/г12г23
и, подставив полученные выражения в
(1.81), найдем
У — Г12г23г31
7*12 + 7*23 + Г31
После подстановки этого выражения
в (1.80) получим
Г1 = r12r31/^r; г2 = г23г12/£г;
г3 = гз1Г2з/£г, (1-82)
где £г = г12 + г23 + г31.
Последние формулы позволяют оп-
ределить эквивалентные сопротивления
звезды по заданным сопротивлениям
треугольника.
Аналогично можно получить форму-
лы преобразования многолучевой звез-
ды с источниками ЭДС (активной)
(рис. 1.30, а) в эквивалентный активный
многоугольник (рис. 1.30,6). Действи-
41
Рис. 1.30
тельно, для схемы, показанной на
рис. 1.30, а, можно записать
/1 =(ф1 -Фо-Е^дс,
Ъ=(Ф2-Фо--Е2)»2---;
4 = (ф*-Фо-£»)з»-
In = (Ф. - Фо - Еп)д„-,
(1.83)
- Фо(01 + 02 + -+0я) + Ф101 +
+ Ф202 + - + фп0п =
= Е1в1 + Е2д2 + ... + Е„д„.
Выразив фо из последнего уравне-
ния и подставив его, например, в
первое из выражений (1.83), после эле-
ментарных преобразований получим
11 = — Е(Ф1 - Фг + ^2-£1)0102 +
+ (Ф1 - Фз + ^3 “ £1)0103 + •••
... + (Ф1-ФЯ + Е„-Е1)010П]. (1.84)
Аналогичные уравнения можно соста-
вить для токов Z2, Л, • •, 4- Выраже-
ниям вида (1.84) соответствует эквива-
лентная схема, показанная на рис. 1.30,6.
Проводимости ветвей многоугольника
определяются по-прежнему по (1.78), а
эквивалентные ЭДС при указанных по-
ложительных направлениях (рис. 1.30, а
и 6)
£i2 = £2-£i; £1з = £з “£i5-• •»
= En-Ev (1.85)
Преобразование параллельного соеди-
нения ветвей с источниками ЭДС и
источниками тока. Если сложная электри-
ческая схема имеет одну или несколько
групп параллельно соединенных ветвей
с источниками ЭДС, то расчет и иссле-
дование такой схемы можно значитель-
но упростить, заменив каждую группу
параллельных ветвей одним источником
с эквивалентной ЭДС и эквивалентным
внутренним сопротивлением. В част-
ности, так можно преобразовать схемы
со смешанным соединением активных
и пассивных элементов в схемы с по-
следовательным соединением.
На рис. 1.31, а показана группа из
т параллельно соединенных ветвей, вы-
деленная из электрической схемы.
Остальная часть схемы условно обозна-
чена прямоугольником. Требуется заме-
нить т параллельных ветвей
(рис. 1.31, а) одной эквивалентной ветвью
(рис. 1.31,6) так, чтобы на выводах 1 и
2 ток I и напряжение U в экви-
валентной схеме, а значит, все токи и
напряжения в остальной части схемы
были такими же, как и в заданной.
С учетом (1.116) для токов ветвей сум-
марный ток I схемы рис. 1.31, а
^ = Л+Ъ + -- - + Л + ... + Ли=:
= (Е1-СУ)^14-(-£2-1/)02 + ...
... + (£Л — 17)0й + •.. + (£m — U)gm =
= £i0i - £202 + • • • + £/»0л + ...
• • • + £m0m ~ Щ01 + 02 + ••• + 0й + ••• + 0m),
(1.86)
где дк = 1/гк.
В схеме рис. 1.31,6 ток
I = (E-U)g, (1.87)
где д = 1/г.
42
Рис. 1.31
Так как условия эквивалентности
должны быть выполнены при любых
токе I и напряжении U, то, приравняв
правые части выражений (1.86) и (1.87),
нужно положить
и(в1 + 92 + • • • + 9h + • • • + 9т) ~ U9 j
Ei9i ~ Е2д2 4-... 4- Ehgh + ... + Етдт = Ед,
откуда
9 — 91 4-#2 4" ••• 4-4-... + дт> (1.88)
_ E^ch — Е2д2 4-... 4- Ehgh 4-... 4- Етдт __
91 + 92 4-... 4- gh 4-... 4- дт
j h = m
= - Z Ehgh. (1.89)
У h = i
При вычислении эквивалентной ЭДС
Е с положительным знаком записы-
ваются те ЭДС Eh, которые направ-
лены к тому же узлу, что и экви-
валентная ЭДС Е, и с отрицательным
знаком — направленные к другому узлу.
Если какая-либо из параллельных вет-
вей, например третья, не содержит
источника ЭДС Е3, то в (1.89) слагае-
мого Е3д3 не будет, но в состав
проводимости д входит проводимость
этой ветви д3.
Из (1.88) следует, что эквивалент-
ная проводимость д не зависит от
ЭДС, а эквивалентная ЭДС Е (1.89)
зависит не только от ЭДС ветвей, но
и от их проводимостей.
Выше было отмечено, что энергия,
потребляемая сопротивлениями ветвей
до преобразования схемы с активными
элементами, не равна энергии, потреб-
ляемой эквивалентными сопротивления-
ми ветвей после преобразования.
Для иллюстрации этого положения
сравним, например, мощности источ-
ников и потребителей заданной схемы
(рис. 1.31, а) и схемы после преобразо-
вания (рис. 1.31,6) при разомкнутой
ветви с током I. В схеме рис. 1.31, а
при I = О токи 11? 12... могут и не быть
равными нулю. В результате суммарная
энергия источников ЭДС будет расходо-
ваться на покрытие тепловых потерь
в сопротивлениях ветвей. В схеме
рис. 1.31,6 при 1 = 0 потери в эквива-
лентном сопротивлении отсутствуют.
Следовательно, несмотря на неизмен-
ность токов и напряжений в той части
схемы, которая не затронута преобра-
зованием, мощность, развиваемая источ-
никами ЭДС до преобразования, не рав-
на мощности, развиваемой эквивалент-
ным источником ЭДС после преобразо-
вания схемы. Однако это обстоятельст-
во не мешает широко пользоваться
понятием эквивалентной ЭДС для расче-
та электрических цепей, так как после
определения тока I и напряжения U в
эквивалентной схеме можно вернуться к
исходной и найти токи и мощности
во всех ее ветвях.
Если к узлам 1 и 2 (рис. 1.31, а)
присоединены кроме т ветвей с источни-
ками ЭДС еще п ветвей с источни-
ками тока, то при вычислении эквива-
лентной ЭДС (1.89) нужно учесть токи
заданных источников тока:
h=m р=п
£ 41^-41-'' ,1-9о)
Й=1 Р=1
43
причем с положительным знаком запи-
сываются токи, направленные к тому же
узлу, что и эквивалентная ЭДС Е, а с
отрицательным знаком — направленные
к другому узлу.
Преобразование схемы с источниками
ЭДС в эквивалентную схему с узло-
выми токами (источниками тока). Выше
(см. § 1.2) было показано, что источ-
ник энергии с известным значением
ЭДС и заданным внутренним сопро-
тивлением можно представить источни-
ком тока, причем режим приемника
энергии останется неизменным. Такую
замену можно произвести и в том слу-
чае, если ветвь с источником ЭДС и
внутренним сопротивлением имеет доба-
вочное сопротивление, включенное по-
следовательно с внутренним сопротив-
лением.
Пусть к выводам 1 и 2 (рис. 1.32, а)
присоединена ветвь с источником ЭДС
Е и сопротивлением г, которое вклю-
чает и внутреннее сопротивление источ-
ника энергии.
Обозначим напряжение между пер-
вым и вторым выводами Ui2 = U. По
(1.116) ток
E-U_ Е
г г
и
(1.91)
г
где E/r = J.
Из этого выражения следует, что ток
I источника ЭДС может быть представ-
ление виде разности тока J источника
тока, который определяется только пара-
метрами ветви с источником ЭДС, и тока
Zu = Уравнению (1.91) соответст-
вует эквивалентная схема, показанная на
рис. 1.32,6, в которой напряжение U и
Рис. 1.32
ток I те же, что и в схеме на
рис. 1.32, а. Ток J источника тока направ-
лен так же, как и ЭДС Е (от вывода 2
к выводу 1).
Такую замену можно провести в
схеме как для одного, так и для всех
или части источников ЭДС.
Рассмотрим, например, схему, пока-
занную на рис. 1.33, а, с источниками
ЭДС в трех ветвях. Эквивалентная
схема с источниками тока приведена
на рис. 1.33,6, где
A — Eig 1J А = £г02 > J3 = £з0з-
На схеме рис. 1.33,6 ветви с источ-
никами тока J2, J3 присоединены
попарно к одним и тем же узлам
1, 2 и 3. Поэтому можно объединить
в каждом узле два тока источников
в один (рис. 1.33, в). Суммарные или
узловые токи и опреде-
ляются по первому закону Кирхгофа:
№ = J3 ~ Ji = Е3д3 — E^i;
№ = J1 + J 2 — £101 + £г02>
“ А — А = ~~Е3д3 ~ в2д2-
Следовательно, электрическая схема
с источниками ЭДС в ветвях может
быть заменена эквивалентной схемой с
узловыми токами, причем потенциалы
узлов и токи в непреобразованных вет-
вях остаются неизменными. Так, токи
Z4, 15 и 16 заданной схемы (рис. 1.33, а)
равны токам в тех же ветвях экви-
валентной схемы (рис. 1.33,6 или в), но,
конечно, токи в преобразуемых ветвях
с источниками ЭДС не равны соответ-
ствующим токам в ветвях эквивалент-
ной схемы. Например, в сопротивлении
гх заданной схемы (рис. 1.33, а) ток
Ц = (Ei 4- (pt — Фг)0ь а в эквивалентной
схеме (рис. 1.33, в) ток Аг = (Ф1 ~ Фг)01-
В общем случае справедливость
преобразования схемы с источниками
ЭДС в ветвях в эквивалентную схему
с узловыми токами непосредственно сле-
дует из уравнений узловых потенциалов
(см. § 1.8). Действительно, для схемы
рис. 1.33, а на основании уравнений
(1.33) при ф4 = 0 получим
Ф10п — Ф201 “ Фз0з = (£з0з — £i0i) =
— Ф101 + Ф2022 ~ Фз02 =
= (Е2д2 + Е101) = Л>;
44
“Ф103 - Ф202 + Ф3033 =
= “ (Eifh 4- Е3д3) =
где^ц = gi + д3 + g^Qn — 0i + 02 + 9s\
9зз = 92 + 9з + 94-
Этим уравнениям удовлетворяет эк-
вивалентная схема (рис. 1.33, в).
Обратная замена электрической схе-
мы с заданными узловыми токами эк-
вивалентной схемой с источниками ЭДС
не является однозначной. Это объясняет-
ся тем, что число узловых токов или
число узлов всегда меньше числа ветвей,
т. е. количество уравнений, которое мож-
но составить на основании первого
закона Кирхгофа, меньше числа искомых
ЭДС. Поэтому можно задаться произ-
вольными значениями ЭДС источников
в любых ветвях в количестве, равном
числу недостающих уравнений. Осталь-
ные неизвестные ЭДС могут быть опре-
делены после совместного решения не-
зависимых уравнений, составленных по
первому закону Кирхгофа.
Пример 1.5. Определить токи во всех
ветвях и составить уравнения баланса мощ-
ностей для схемы рис. 1.34, а, если Ег =48 В,
Е2 = 24 В, Е3 = 12 В, Е = 12 В, = 3 Ом,
г2 = 6 Ом, г3 = г4 = 2 Ом, г = 6 Ом.
Решение. Для определения токов Ц и
13 (эти токи одинаковы) заменим каждую
группу параллельно соединенных ветвей од-
ной эквивалентной. Эквивалентную ЭДС £12
для первой и второй параллельных ветвей
и эквивалентное сопротивление г12 определим
по (1.89) и (1.88):
Е12 = (£101 - £г02)/(01 + 0г) = 24 В;
012 = 1 Ai 2 = 01 + 02 = 1/Г1 + 1/г2
ИЛИ Г12 = Г1Г2— = 2 Ом.
Г1 + Г2
45
Аналогично находим эквивалентное со-
противление и эквивалентную ЭДС для трех
параллельных ветвей, присоединенных к
третьему и четвертому узлам:
£4з = ^ = £=12 В; 343 = 3^
3/г
или г43 = г/3 = 2 Ом.
В результате таких преобразований по-
лучается схема, показанная на рис. 1.34,6.
В этой схеме ток
13 = Ц = £з+£12-£43 = 3 А
г3 + г12 + г4 + г43
и напряжения на участках
И21 = ^12 — ^12^3 = 18
U $4 — Е43 + г43^3 ~ 18 В.
Токи в ветвях заданной схемы
Л=(Е1- 1,21)01 = 10 А;
/2 = (Е24-1/21)^2 = 7 А.
Трки в ветвях с одинаковыми ЭДС Е
равны друг другу и направлены навстре-
чу ЭДС:
7 = (1/з4-Е)0=1 А-
Суммарная мощность всех источников
ЭДС
Е1Л + Е2/2 + Е3/3-ЗЕ/ = 648 Вт.
Мощность в сопротивлениях, конечно,
равна суммарной мощности источников ЭДС:
rJi 4- г 212 + (r3 4- г4) /3 + Зг/2 = 648 Вт.
Отметим, что источники ЭДС Е рабо-
тают в режиме приемников, потребляя
энергию от других источников.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Принцип наложения
(суперпозиции)
Каждая ЭДС Ef в уравнении (1.49)
представляет собой алгебраическую сум-
му ЭДС во всех ветвях контура I. Если
в (1.49) заменить все контурные ЭДС
алгебраическими суммами ЭДС ветвей,
то после группировки слагаемых полу-
чится выражение для контурного тока
Ц в виде алгебраической суммы состав-
ляющих токов, вызванных каждой из
ЭДС ветвей в отдельности, при этом
каждая составляющая тока равна произ-
ведению ЭДС ветви на алгебраическую
сумму коэффициентов, входящих в (1.49).
Это чрезвычайно важное свойство
называется принципом наложе-
ния и непосредственно следует из ли-
нейности уравнений, описывающих ре-
жим цепей с линейными элементами.
Принцип наложения справедлив не
только для контурных токов 1Ь но и
для токов Ih ветвей, так как систему
независимых контуров можно всегда
выбрать так, что рассматриваемая ветвь
войдет только в один контур, т. е.
контурный ток Ц будет равен току Ih
в ветви.
В качестве примера, иллюстрирую-
щего принцип наложения, рассмотрим
электрическую схему, показанную на
рис. 2.1, для которой, пользуясь мето-
дом контурных токов, запишем следую-
щие уравнения:
Г11Л — г 12Л ~ Г13Л = £1;
~Г21Ц + r22^2 — г23^3 — Е2 J
“Г31Л ~ г32^2 + г3з1з — 0,
(2.1)
Г11=Г1 + г5 + г4; г12 = г21=г5;
Пз = г31 = г4; r22 = r2 + r6 + r5;
г2з = г32 = г6; г33 = г34-г4 + г6;
Е1 = Е12 —Е42; Е2 = Е23 4-Е42.
Из (2.1)
Л = ^-е1+^£2=г1+г;, (2.2)
46
где
=
Гц Г12 -r13
— 7*21 r22 “r23
“7*31 “7*32 7*33
D
r22 “7*23
“Г32 Г33
D12=(-l)1 + 2
“7*12 “7*13
“7*32 7*33
1! = e2d12/iF>.
Аналогично определяются токи I2 и
Из-
вели в (2.2) контурные ЭДС заменить
ЭДС в ветвях, то получим
т -Diir ^11-D12p , E>i2
11 = ----pW—h42 + 23’
откуда и следует, что контурный ток Ц
равен алгебраической сумме составляю-
щих токов, вызываемых каждой из ЭДС
в отдельности. Кроме того, этот контур-
ный ток равен току ветви с сопротив-
лением и ЭДС Е12, так как по
этой ветви другие контурные токи не
замыкаются.
Таким образом, при определении
токов ветвей при помощи принципа
наложения можно поочередно оставлять
в схеме по одной ЭДС, считая все
остальные ЭДС источников равными
нулю, но сохраняя в схеме их внутрен-
ние сопротивления. Ток ветви равен
алгебраической сумме токов, вызывае-
мых каждой ЭДС. Если схема содержит
не только источники ЭДС, но и источ-
ники тока, то следует найти состав-
ляющие токов ветвей, вызываемые каж-
дым источником ЭДС и каждым источ-
ником тока, после чего определить токи
ветвей путем алгебраического суммиро-
вания этих составляющих.
Так как принцип наложения следует
из общих свойств линейных уравнений,
то его можно применять для определе-
ния любых физических величин, которые
связаны между собой линейной зависи-
мостью. В применении к электрическим
цепям можно определять не только токи
при заданных сопротивлениях, ЭДС и
токах источников, но и напряжения при
заданных токах и известных сопротив-
лениях. Однако этим принципом нельзя
пользоваться для вычисления мощ-
ностей, так как мощность - квадратич-
ная функция тока или напряжения.
Например, мощность в сопротивлении
Tt (рис. 2.1) определяется по формуле
г Л = т*! (EiDn/D<K) + E2D12/W =
= т*1(Л + Л')2.
Если мощность того же элемента
с сопротивлением можно было бы
считать равной сумме мощностей,
обусловленных частичными токами
и 1J, то получилось бы совсем дру-
гое значение: гДЛ)2 + 7*1(Л')2-
Пример 2.1. На рис. 2.2, а показана
мостовая схема с источником ЭДС Е = 5 В
и источником тока J = 1 А. Сопротивления
элементов указаны на схеме. Пользуясь
принципом наложения, определить токи во
всех ветвях.
Решение. Для определения токов в
ветвях с применением принципа наложения
надо рассчитать токи в двух схемах, изобра-
женных на рис. 2.2, б и в. В схеме
рис. 2.2, б J = 0 (точки b и d разомкнуты),
а в схеме рис. 2.2, в Е = 0 (точки а и с
соединены проводником без сопротивления).
Токи в ветвях схемы (рис. 2.2,6)
Токи в ветвях схемы по рис. 2.2, в, где
сопротивления и г4, а также г2 и г3
соединены параллельно,
Токи в ветвях заданной схемы (рис. 2.2, а)
равны алгебраическим суммам токов в соот-
ветствующих ветвях схем рис. 2.2,6 и в:
11=11- И = (Я - т*4<1)/(т*1 + Г4) = 0,4 А.
Аналогично
12 = Г2 + 1'1 = 1,4 А;
13 = 1'1 - Г3 = -0,4 А;
14 = Л + 1J = 1,4 А.
47
2.2. Свойство взаимности
Пользуясь методом контурных токов,
установим еще одно важное свойство
линейных электрических цепей — свой-
ство взаимности, или, как его еще
называют, принцип взаимности.
Сущность этого свойства заключает-
ся в следующем. Пусть в схеме произ-
вольной конфигурации единственный ис-
точник ЭДС Eq действует в ветви с
сопротивлением rq в направлении от точ-
ки b к. точке а (рис. 2.3, а) и создает
в ветви с сопротивлением rt ток Il9
направленный от точки d к точке с.
Такой же единственный источник ЭДС
Et = Eq, включенный в ветвь с сопротив-
лением rt и действующий в направ-
лении от d к с (рис. 2.3,6), создаст
в ветви с сопротивлением rq ток Iq9
направленный от b к а и равный току
4
На рис. 2.3 изображены ветви ab и
cd с сопротивлениями rq и гь а осталь-
ная часть схемы, не содержащая источ-
ников энергии, условно показана в виде
прямоугольника с буквой П (пассивная).
Для доказательства свойства взаим-
ности обратимся к выражению (1.49),
определяющему ток в любом контуре.
Рис. 2.2
Пусть ветвь cd является частью конту-
ра /, а ветвь ab входит в состав
другого контура q (рис. 2.3, а), и, как
указано, других источников, кроме источ-
ника ЭДС Eq, эта цепь не содержит.
Контуры выберем так, чтобы ветви ab
и cd вошли каждая в один контур,
соответственно q и I.
Ток в контуре /, равный току ветви
de,
It = EqDlql&\ (2.3)
Если источник ЭДС Eq переставить
в ветвь cd контура I (рис. 2.3,6), то
согласно (1.49) ток Iq в контуре q9 т. е.
ток в ветви ab9
Iq = EtDqi/l№ = EqDql/r№. (2.4)
Алгебраическое дополнение вида Dtq
получается из определителя путем
вычеркивания в нем столбца I и строки
q и умножения получаемого определи-
теля на (—1/+*, а алгебраическое до-
полнение вида Dql — вычеркиванием
столбца q и строки I и умножением
получаемого определителя на ( —1)*+/.
Так как в контурных уравнениях об-
щие сопротивления rqt и rlq равны друг
другу, т. е. г12 = г21, г23 ~ г32 и т. д.» то и
= Dqi (отличаются только тем, что
строки Dlq являются столбцами Dqb и
наоборот). Следовательно, при равенстве
ЭДС Eq = Et токи в ветвях cd
(рис. 2.3, а) и ab (рис. 2.3,6) равны друг
другу.
Отметим, что свойство взаимности
справедливо не только для токов, но и
для напряжений, и его можно также
48
Рис. 2.3
обосновать, пользуясь законами Кирхго-
фа или методом узловых потенциалов.
2.3. Входные и взаимные
проводимости, коэффициенты
передачи
Пользуясь принципом наложения, на-
пишем уравнение для тока в любой
ветви, например h, линейной электри-
ческой цепи в виде
h = dhlEl + 9h2^2 + — + 9hh^h + —
••• + 9hmEm — Л1 + Л2 + ••• + Ihh + ••• + Aim,
(2.5)
где Ihi — частичный ток в ветви h,
обусловленный действием ЭДС Et.
В этом уравнении, составленном
согласно указаниям в § 2.1, ток Ih в
отличие от (1.49) обозначает ток ветви Л,
а Еь Е2 и т. д.-ЭДС соответственно
в первой, второй и так далее ветвях,
при этом, если положительное направ-
ление для тока Ih выбрано совпадаю-
щим с направлением ЭДС Eh, то
1Й1 >0, но составляющие токов в той же
ветви вида дмЕь создаваемые ЭДС дру-
гих ветвей, могут быть и отрицатель-
ными.
В (2.5) множители при ЭДС имеют
размерность проводимости. Каждый из
множителей с двумя одинаковыми ин-
дексами вида ghh называется вход-
ной проводимостью ветви h.
Любой из множителей с двумя раз-
личными индексами ghm называется
взаимной проводимостью
ветвей h и т. При заданных на-
правлениях действия ЭДС и выбранном
положительном направлении тока Ih
взаимные проводимости могут полу-
читься либо положительными, либо от-
рицательными величинами.
Численные значения входных и
взаимных проводимостей могут быть
определены следующим путем. При-
равняем в рассматриваемой схеме все
ЭДС, кроме Ей, нулю, при этом ток
hh = Ehghh, откуда
9hh — Ihh/Eh-
(2.6)
Следовательно, входная проводи-
мость любой ветви определяется отно-
шением тока к ЭДС в этой ветви
при равных нулю ЭДС в остальных
ветвях.
Электродвижущая сила Eh, включен-
ная в ветвь h, вызывает в общем
случае токи во всех ветвях и, в част-
ности, в ветви т. Ток в ветви т
определяется по уравнению, аналогично-
му (2.5), при равных нулю всех ЭДС,
кроме Eh, т. е. Imh = gmhEh, откуда
дт„ = Imh/Eh- (2.7)
Отметим, что ghm = дтк, как это не-
посредственно следует из ч свойства
взаимности.
Таким образом, взаимная проводи-
мость двух любых ветвей определяется
отношением тока в одной ветви .к
ЭДС в другой при равных нулю ЭДС
в остальных ветвях.
Входные и взаимные проводимости
можно рассчитать или определить экспе-
риментально. Определение входных и
взаимных проводимостей расчетом по-
кажем на примере схемы рис. 2.4, а.
Приравняем ЭДС Е2 и Е3 нулю
(рис. 2.4,6), при этом токи в ветвях
П + г2г3/(г2 + Г3)
= £1 (Г2 + Гз) Е Г2 + Г3 .
ПТз + гзГа + гзП 1 Р ’
/21 = Е1Г3/р; 131 = -Е1Г2/р,
49
Рис. 2.4
Рис. 2.5
где р = rrr2 + r2r3 + r3rY.
Из (2.8) определим:
= =(г2 + г3)/р;
921 = ^21/^1 = Гз/Р>
931 — ^31/^1 — —Ti/P-
Аналогично рассчитываются вход-
ные и взаимные проводимости второй
и третьей ветвей:
922 = От + г3)/р; д33 = (г2 + гх)/р;
923 — Г1/Р = 032;*012 == 021J
913 — 9з1-
Если взаимные проводимости найде-
ны, то легко определить токи во всех
ветвях при любых значениях ЭДС. Так,
для схемы рис. 2.4, а
11 = 911^1 + 912^2 + 913^39
Ъ — 921^1 + 922^2 + 92зЕ3‘,
1з — 9з1Е1 + 932^2 + 9ззЕз>
Экспериментальное определение
входных и взаимных проводимостей и
сопротивлений рассмотрим на примере
произвольной цепи, из которой предва-
рительно исключены все источники ЭДС
и источники тока (рис. 2.5). Три ветви
этой цепи выделены, а остальная часть
условно показана в виде прямоуголь-
ника. В каждую ветвь включен ампер-
метр. Чтобы определить входную про-
водимость первой ветви дц и взаимные
проводимости второй и первой д21 и
третьей и первой д31 ветвей, надо вклю-
чить в первую ветвь источник ЭДС
Измерив вольтметром напряжение U х =
= на выводах источника ЭДС и ам-
перметрами токи I19 12 и 13 в трех
ветвях, нетрудно вычислить входную
и взаимные проводимости ветвей по
формулам gtl = g2l = 12/U^
9з1 = Л/^i.
Аналогично определяются входные
и взаимные проводимости других ветвей.
Пример 2.2. Определить входные и вза-
имные проводимости ветвей схемы рис. 2.6, а,
если = г2 = г4 = г5 = 4 Ом; г3 = 2 Ом.
Решение. Для определения входной
проводимости gY1 и взаимных проводимо-
стей между первой и остальными ветвями
положим Е3 = Е5 = 0 (рис. 2.6, б). Затем мож-
но задаться и найти все токи. Однако
для данной схемы проще задать ток в ветви
с сопротивлением г4 или г5, например =
= 1 А, и найти необходимую ЭДС Ех и
токи в остальных ветвях.
Так как г4 = г5, то /41 = I5i и /31 =
= — (151 + 141) = —2 А. На выводах элемен-
та с сопротивлением г2 напряжение 1/21 -
= г5/51 — r3I31 = 4 + 4 = 8 В; ток Z21 =
= Un/r2 ~ ~ 2 А; ток /ц = 72i — Z31 =
= 2 + 2 = 4 А, и ЭДС, при действии которой
ток l5i = 1 А, а остальные токи равны най-
денным значениям, Ег = 1721 + г1711 = 8 +
+ 4 • 4 = 24 В.
Входная проводимость первой ветви
9 и = Л1/£1= 4/24 =1/6 См.
Взаимные проводимости между первой
и остальными ветвями
912 — 921 = ^2i/Ei = 1/12 См;
91з = 9з1 — hi/^i — —1/12 См;
914 = 941 — hi/Ei — 1/24 См;
915 = 9si = hi/Ei = 1/24 См.
Аналогично определяются входные и
взаимные проводимости остальных ветвей:
922 = 9зз — 944 = 9ss = 1/6 См;
923 — 9з2 = 1/12 См;
924 = 942 — 925 — 952 = 945 = 954 = — 1/12 См.
50
Рис. 2.6
ZOm
ZOm
Рис. 2.7
При определении проводимостей #12,
922. 9з2, 942, 952 следует включить ЭДС Е2
в ветвь 2, направленную так же, как и ток
12, а при определении #14, д24, д34, д44, д54-
ЭДС Е4 в ветвь 4.
Пример 2.3. В условиях предыдущей за-
дачи (см. пример 2.2) определить токи во
всех ветвях, если ЭДС = 24 В, Е3 — 12 В
и Е5 = 24 В.
Решение. Зная входные и взаимные
проводимости ветвей, легко определить в них
токи, пользуясь принципом наложения:
Л = 911^1 + 91з^з + 915^5 —
= (1/6) • 24 + (-1/12) • 12 + (1/24) • 24 = 4 А;
/2 = 921^1 + 923Е3 + 925Е5 =
= (1/12). 24 + (1/12) -12 + (-1/12) -24 = 1 А
и т. д.
Если кроме источников ЭДС схема
содержит и источники тока, то по прин-
ципу наложения к частичным токам, обус-
ловленным действием источников ЭДС,
добавятся частичные токи, обусловлен-
ные каждым из источников тока:
h = Е дШЕк + £ khiJt. (2.5а)
k=l i=l
При определении входных и взаим-
ных проводимостей все токи следует
считать равными нулю (источники тока
не действуют), а ветви с источниками
тока разорвать (идеальные источники
тока). При расчете коэффициентов пере-
дачи км следует считать все ЭДС Ек = 0.
Пример 2.4. Составить зависимость 12 =
= f (Еь при = г2 = г3 = 2 Ом в схеме
рис. 2.7, а.
Решение. Ток /2 = Г2 + I2 = g21Et +
+ k21J i. Проводимость д21 определяется рас-
четом режима в схеме рис. 2.7,6. Ток Г2 —
— EJ4, т. е. g2i = 0,25 См. Коэффициент к21
определяется расчетом режима в схеме
рис. 2.7, в. Ток Г2 = — <71/2, т. е. fc21 = —0,5.
51
2.4. Принцип компенсации. Зависимые
источники
В уравнениях (1.20), составленных
по второму закону Кирхгофа, напряже-
ние на любом сопротивлении = г Ji
можно всегда из левой стороны пере-
нести в правую со знаком минус и рас-
сматривать как эквивалентную ЭДС
Ei = Uh направленную противоположно
току в ветви i. Это положение носит
название принципа компенса-
ции. Его иллюстрируют рис. 2.8, а и б,
на которых прямоугольником с буквой
А (активный) обозначены все участки
цепи, кроме элемента с сопротивлением
г£. Очевидно, что обе схемы эквивалент-
ны, если Et = г Ji, при этом следует
иметь в виду, что эквивалентная ЭДС
Ei прямо пропорциональна току в вет-
ви (закон Ома), т. е. зависит от тока.
Таким образом, источник ЭДС, которым
можно заменить любой резистивный
элемент цепи, соответствует простейше-
му идеальному зависимому источнику,
ЭДС которого зависит от тока по из-
вестному закону. Понятие о зависимом
источнике широко применяется при ана-
лизе как линейных, так и нелинейных
цепей. Сопротивление может быть и
входным сопротивлением любого пас-
сивного двухполюсника (см. § 2.5).
Любую ветвь с известным током Ц
можно заменить источником тока =
= Zf, при этом режим цепи не изменится.
2.5. Общие замечания
о двухполюсниках
и многополюсниках
При исследовании процессов в слож-
ных электрических цепях часто интере-
суются током, напряжением и мощ-
ностью только одной ветви. Однако
отдельные ветви могут быть выделены
из сложной цепи не только для иссле-
дования процессов именно в этих ветвях,
но и для установления связи, например,
между одной частью цепи с источника-
ми электрической энергии и другой с
приемниками. Во всех этих случаях вы-
деляют ветвь, присоединенную к слож-
ной цепи в двух точках (двумя вывода-
ми). Часть электрической цепи произ-
вольной конфигурации с двумя выделен-
ными выводами или полюсами назы-
вается двухполюсником.
Двухполюсники, содержащие источ-
ники электрической энергии, называют-
ся а к т и в н ы м и, а двухполюсники, не
содержащие источников электрической
энергии, — пассивными. Всякий пас-
сивный двухполюсник является потреби-
телем электрической энергии и харак-
теризуется одной величиной — сопро-
тивлением гвх. Поэтому на эквивалент-
ной схеме пассивный двухполюсник мо-
жет быть представлен одним резистив-
ным элементом с сопротивлением гвх,
называемым входным сопротив-
лением пассивного двухполюсника.
Если известна схема пассивного двух-
полюсника, то для определения входно-
го сопротивления гвх нужно тем или
иным способом ее «свернуть» относи-
тельно двух заданных выводов.
Рассмотрим, например, схему на
рис. 2.9, а. Если выделить в этой схеме
ветвь с источником ЭДС Е{ и сопро-
тивлением Г1, то остальную часть схемы
(обведенную штриховой линией) можно
рассматривать относительно выводов
1-Г как пассивный двухполюсник (без
источников энергии). Часть той же схе-
мы относительно выводов 2-2' ветви с
сопротивлением г2 (рис. 2.9, б) можно
рассматривать как активный двухполюс-
ник (обведен штриховой линией).
В дальнейшем все активные двух-
полюсники (рис. 2.10, а) будем обозна-
чать прямоугольниками с буквой А (ак-
тивный), а пассивные (рис. 2.10,6) — пря-
моугольниками с буквой П (пассивный).
Относительно выводов а и b осталь-
ная часть схемы на рис. 2.8 является
активным двухполюсником и поэтому
обозначена буквой А.
52
Предположим, что ЭДС первого ис-
точника Ех может изменяться, а ЭДС
остальных источников Е2, Е3 и т. д.
неизменны. Так как входные (ghh) и вза-
имные (ghm) проводимости не зависят от
значения ЭДС Е15 то, обозначив,
012^2 + 013^3 + ••• = const = aY;
022^*2 + 023^3 + • • • = COnSt *= U2,
Если в электрической цепи выделено
более двух выводов, то соответствую-
щий участок цепи называется много-
полюсником, например многолуче-
вая звезда и эквивалентный многоуголь-
ник на рис. 1.29, а и б с выводами 1, 2,
3, ..., h, ..., и, в частном случае трех-
лучевая звезда и эквивалентный тре-
угольник, т. е. трехполюсники, с четырь-
мя или двумя парами выводов, как на
рис. 2.3, а и б, т. е. четырехполюсник
(см. гл. 8).
2.6. Линейные соотношения между
напряжениями и токами
В активном четырехполюснике с вы-
водами 1-Г и 2-2' на рис. 2.11 кроме
ветви 1-Г с источником ЭДС Ег выде-
лена еще ветвь 2-2' с источником ЭДС
Е2 и сопротивлением г2. Пользуясь
принципом наложения, напишем выра-
жение для токов и 12 в ветвях схе-
мы рис. 2.11, я в виде
/1 = — gltEi + ^12^2 + <7i з^з + ••«;
Ъ = 021^1 +022^2 +023^3,+ •••>
где ЭДС Е3, Е4 и т. д. находятся внутри
четырехполюсника и знак минус перед
проводимостью поставлен, так как поло-
жительное направление тока Ц противо-
положно направлению действия ЭДС ЕР
(2.9)
получим
Ii = —дцЕх + I2 = g2iEY 4- а2, (2.10)
илц, заменив в (2.10) ЭДС Ег через U15
11 — “011^1 + а1 9
h = 021^1 + а2
(2.И)
Как следует из принципа компенса-
ции, изменение ЭДС Ег в схеме рис. 2.11, а
равносильно изменению напряжения Ur
при изменении сопротивления в экви-
валентной схеме рис. 2.11,6, при этом
входная gtl и взаимная д21 проводи-
мости не зависят от сопротивления
так как определяются для схемы
рис. 2.11, а, где нет сопротивления гх.
Следовательно, при изменении со-
противления токи Ц и 12 связаны
с напряжением Uг линейными со-
отношениями.
Для определения постоянных а19 а2,
0U и g2i расчетом или опытным путем
необходимо, как следует из (2.11), рас-
считать или измерить токи Ц, 12 и
напряжение при двух режимах пер-
вой ветви (двух значениях сопротивле-
ния гД Наиболее наглядно и просто
эти постоянные определяются из режи-
мов короткого замыкания (74=0) и ре-
жима холостого хода (rt = оо).
При коротком замыкании U х = 0,
токи Ц = /1к = ai и 12 = Ьк = Ф- При раз-
53
Рис. 2.11
мыкании первой ветви ток Ц = 0. Обо-
значив разность потенциалов между
точками разрыва через Ulx, а ток 12 =
= 12х, получим согласно (2.11) в режиме
холостого хода
0 = — guUix + JikJ
hx — 021 Ulx + Ьк,
откуда входная проводимость дп =
= Iix/Uix и взаимная проводимость
git = (hx - /2к)/С/1х.
После замецы постоянных в первом
из уравнений (2.11) получается
Л = /1к(1- СЛМх). (2.12)
Отметим, что изменение напряжения
Ut в пределах от С7Х = 0 до Ur = Ulx
соответствует изменению сопротивления
rt от нуля до бесконечности.
Токи Ц и 12 рассматриваемых вет-
вей также связаны линейными соотно-
шениями. Действительно, исключив из
(2.11) напряжение U ъ получим
/2 = a2 + ai ^-I1=b2 + blI1, (2.13)
011 011
где bt = —021/011 и Ь2 = а2 4- «1021/011~
постоянные, которые определяются из
двух любых режимов первой ветви или
вычисляются при известных значениях
входных и взаимных проводимостей.
Аналогично можно показать, что при
одновременном изменении сопротивле-
ний в двух ветвях напряжения и токи
любых трех ветвей связаны линейным
соотношением вида
z = а -I- Ьх 4- су,
где а, b и с — постоянные, определяемые
опытным или расчетным путем; z, х
и у — изменяющиеся токи или напряже-
ния.
Пример 2.5. На рис. 2.12, а изображена
схема с резистором, сопротивление г кото-
рого изменяется от 0 до оо. Найти зависи-
54
мость тока в каждой ветви от напряжения
U на выводах резистора с сопротивлением
г, если Г1 = г2 = г3 = г4 = 4 Ом и Ег = Е3 =
= Е4 = 100 В.
Решение. Сначала найдем предельные
значения напряжения U и тока I при корот-
ком замыкании (г = 0) и холостом ходе
(г = оо) рассматриваемой ветви.
При г = оо ток 1Х = 0, а напряжение
U = Ux. Для схемы рис. 2.12, б Е3 = г313х +
+ UX + г211х, откуда Ux = Е3 - r3I3x - r2Iix.
Так как токи Ilx = 4- г2) — 100/8 =
= 12,5 А; 13х = (Е3 - Е4)/(г3 + г4) = 0, то [7Х =
= 100 - 50 = 50 В.
Для определения тока 1К (рис. 2.12, в)
предварительно найдем напряжение на вы-
водах параллельных ветвей по (1.34):
у = £101 + Е3д3 + Е4д4 ?5 в
01 4" 02 4" 03 + 04
а затем токи в ветвях
/1к = (£1-^01 = 6,25 А;
Лк = иаЬд2 = 18,75 А;
Лк = (£з-^)0з = 6,25 А;
Лк = (£4 — Uab) 04 = 6,25 А
и ток
Л = Лк + Лк = Лк ~ Лк = ^2,5 А.
Зависимость тока I в резисторе от на-
пряжения U на его выводах определяется
линейным уравнением типа (2.11): I = а +
+ bU. Коэффициенты а и b найдем по ре-
зультатам расчета режимов холостого хода
и короткого замыкания. При г = 0 напряже-
ние U = 0, а ток I = /к = а = 12,5 А. При
г = оо ток 7 = 0, напряжение U = Ux и 0 =
= Л 4- bUx, откуда b = -IK/UX = -12,5/50 =
= — 0,25 См. В результате получаем I =
= 12,5 - 0,25 U.
Зависимость тока Ц в первой ветви
от напряжения U определяется уравнением
прямой Л = + bit/. Для того чтобы най-
ти коэффициенты ах и blf целесообразно и
в этом случае пользоваться результатами
расчета режимов холостого хода и короткого
замыкания ветви с переменным сопротивле-
нием г. При г = 0 напряжение U = 0, ток
Ц = ai = Лк = 6,25 А; при г = оо (рис. 2.12,6)
Ilx — hx = 12,5 А. Кроме того, Цх = Лк +
-I- biUx, откуда bi = (Лх — hK)/Ux = 0,125 См.
Следовательно, Ц = 6,25 4- 0,12517. Аналогич-
но определяются токи 12 = 18,75 — 0,12517;
13 = /4 = 6,25 - 0,125 U.
Пример 2.6. В схеме, показанной на
рис. 2.13, а, сопротивление резистивного эле-
мента изменяется в пределах от г4 = 0 (ко-
роткое замыкание) до г4 = оо (размыкание
ветви). Пользуясь законами Кирхгофа, выра-
зить токи 12, 13 и 14 через параметры
схемы и напряжение U4 и построить най-
денные зависимости.
Решение. Из уравнения Е = 4- U4
непосредственно находим ток Ц = Е/гх —
— tZ4/ri = 2,5 — 0,5 U4. Ток 14 определим по
первому закону Кирхгофа:
Л = ц + J = 2,5 - 0,5 U4 + 1 = 3,5 - 0,5 U4.
Для определения токов 12 и 13 запишем
уравнения Е = r2I2 — г313 и J = 12 4-13.
Из этих уравнений находим токи
12 = Гз^ ~*~ ^ = 1,125 А = const;
Г2 + г3
13 — —— = —0,125 А = const.
Г 2 + г3
Оказалось, что токи 12 и 13 не. зависят
от сопротивления г4 (при любых его значе-
ниях остаются неизменными).
Для построения найденных зависимостей
определим предельные значения напряжения
б)
В
55
U4 при изменении сопротивления г4. При
г4 = О напряжения (74 = 0; при г4 = оо напря-
жение U4 = U4x. Это напряжение найдем из
уравнения Е = гх11х 4- <74х, откуда U4x = E —
— г Д1х. Так как при г4 = оо (при размыка-
нии ветви с сопротивлением r4) Ilx = — J,
то напряжение U4x = Е 4- rrJ = 54-21=7 В.
Таким образом, при изменении сопротивле-
ния г4 от нуля до бесконечности напряже-
ние U4 увеличивается от 0 до 7 В. На
рис. 2.13, б показаны искомые зависимости.
2.7. Теорема о взаимных приращениях
токов и напряжении
Пользуясь (2.11) и (2.12), установим
связь между приращениями токов
Д12 и приращением напряжения AUi
при изменении сопротивления первой
ветви в пределах от нуля до Дгь если
= Ei = г Ji (см. рис. 2.11).
Если п = 0, то напряжение Ui = 0
и согласно (2.11) ток Ц = = ZiK; при
сопротивлении первой ветви, равном Дгь
напряжение на ее выводах Д171 = Дг1/1,
а ток Ii = -ga^Ui + Z1K.
Следовательно, при изменении со-
противления первой ветви на Дт*! изме-
нение тока этой ветви
АЛ = /1к — Ii = дц MJi = АгД^ц.
(2.14)
Аналогично можно показать, что при
изменении сопротивления первой ветви
на Дг^ изменение тока во второй
Д^2 = 021 = ДГ1Л021- (2.15)
Из (2.14) и (2.15) легко найти вход-
ную и взаимную проводимости ветвей
через отношение приращений:
9и = gii Д/г/Д1Л.
Согласно (2.12), где при новых
обозначениях надо заменить на &Ui9
получим
Д1/Л /
U1J 1к\
= Лк — Дп тт^Л = Лк — ДП0иЛ,
<-Лх
откуда
h = 1----1г-----• (2-16)
1 + &rign
После подстановки этого выражения
в (2.14) и (2.15) получаются формулы
для определения приращений токов:
<217’
,218>
Выражения (2.17), (2.18) для прираще-
ний токов называют теоремой ва-
риации или теоремой о вза-
имных приращениях. Ес!ли' со-
противление первой ветви изменяется
не от нуля до Дгь а от rt до г\ =
= Ti 4- Ari, то для определения прира-
щений токов AZj и Д12 можно поль-
зоваться теми же формулами (2.17) и
(2.18), при этом входная дц и взаимная
g2i проводимости, а также ток 1^ име-
ют другие значения, определяемые, как
и раньше, при Д^ = 0.
2.8. Принцип эквивалентного
генератора
Очень важным принципом эквива-
лентности, широко применяемым при
анализе линейных электрических цепей,
является принцип эквивалентного
генератора (теорема об активном
двухполюснике, или теорема Гельмголь-
ца - Тевенена). Он формулируется сле-
дующим образом: любая линейная
электрическая цепь, рассматриваемая
относительно двух выводов (активный
двухполюсник), эквивалентна реальному
источнику с ЭДС, равной напряжению
между этими выводами при размыкании
внешнего участка цепи, подключенного
к этим выводам (режим холостого
хода), и внутренним сопротивлением,
равным входному сопротивлению пассив-
ного двухполюсника, получающегося при
равенстве нулю всех ЭДС для источни-
ков ЭДС и токов для источников тока
рассматриваемого двухполюсника. При-
менимость этого принципа к любой
линейной электрической цепи доказыва-
ется на основании принципов компенса-
ции и наложения.
Пусть в электрической цепи выделен
активный двухполюсник и ветвь с сопро-
тивлением г (рис. 2.14, а), которое может
56
быть и изменяющимся. Применив прин-
цип компенсации, получим эквивалент-
ную схему (рис. 2.14, б), для которой
Е = U = rl. (2.19)
Теперь применим принцип наложе-
ния и составим две схемы с двумя
частными режимами: в первой из них
(рис. 2.14, в) действуют только источни-
ки внутри активного двухполюсника, а
ЭДС, полученная по принципу компен-
сации, полагается равной нулю, а во
второй (рис. 2.14, г) действует только
ЭДС компенсации (2.19), а двухполюсник
считается пассивным. Его входное со-
противление гвх.
Ток в ветви с сопротивлением г по
принципу наложения равен сумме час-
тичных токов I = Г 4- Г = /к — U/rBX, т. е.
1/ = Гвх(/К-Л
В частности, в режиме холостого
хода I = 0 и U = Ux = гвх1к. Следова-
тельно,
U =UX- гт1. (2.20)
Последнее уравнение соответствует
эквивалентной схеме, показанной на
рис. 2.14, д с ЭДС ЕЭк = выражающей
сформулированный выше принцип. Со-
гласно (2.20) ток
/ = Еэк/(гъх + г) = [7х/(гвх + г). (2.21)
Если источник ЭДС преобразовать
в источник тока, то схема эквивалент-
ного генератора получится такой, как на
рис. 2.14, е. Вольт-амперная или внешняя
характеристика эквивалентного генера-
тора по рис. 2.14, д или е показана на
рис. 2.14, ж.
Следует заметить, что обе схемы
эквивалентного генератора применимы
только для расчета токов и напряжений
в участке цепи, подключенном к рас-
сматриваемому активному двухполюс-
нику. Для мощностей, развиваемых ис-
точниками, и мощностей потерь внутри
активного двухполюсника схемы заме-
щения, полученные на основании прин-
ципа эквивалентного генератора, неадек-
ватны.
Применение принципа эквивалентно-
го генератора позволяет упростить ре-
шение многих задач, и поэтому его при-
менение иногда относят к методам рас-
чета, хотя он и носит более общий
характер.
Применение принципа эквивалентно-
го генератора весьма удобно при рас-
смотрении пассивного четырехполюсни-
ка, к одной паре выводов которого
подключен источник ЭДС Еь а к дру-
гой паре выводов — приемник с сопро-
тивлением г (рис. 2.15, а). Такую схему
со стороны выводов 1-Г можно рас-
сматривать как пассивный двухполюс-
ник с сопротивлением пвх (рис. 2.15,6),
а со стороны выводов 2-2' — как актив-
ный двухполюсник с входным сопротив-
лением г2вх и ЭДС Еэк (рис. 2.15, в).
Если, например, пассивный четырех-
полюсник имеет схему, показанную на
рис. 2.15, г, то параметры эквивалентной
57
схемы
Пвх = П + Г3 (г + Г2)/(г3 + Г2 + г);
Г2вх = Г2 + ПГз/Оч + Г3);
Еэк = ГзЕ^Г! + Гз).
Представление четырехполюсника в
виде эквивалентной схемы, изображен-
ной на рис. 2.15, в, применяется при
рассмотрении электронных схем. Для
приемника с сопротивлениями г схемы
рис. 2.15, а и в полностью эквивалентны.
Однако если рассчитать мощность пас-
сивного четырехполюсника (в сопротив-
лениях Г19 Г2 и г3) и мощность потерь
в эквивалентной схеме (сопротивление
г2вх), то эти мощности могут оказаться
равными только в редких частных слу-
чаях.
Интересно сопоставить принцип эк-
вивалентного генератора с принципом
компенсации. И тот и другой дают воз-
можность представить двухполюсник в
виде эквивалентного источника, однако
принцип компенсации приводит к идеаль-
ному источнику ЭДС (без внутреннего
сопротивления), а принцип эквивалент-
ного генератора — к реальному источни-
ку (с внутренним сопротивлением гвх).
ЭДС источника, полученного на осно-
вании принципа компенсации, зависит от
тока, а параметры источника, получен-
ного на основании принципа эквивалент-
ного генератора, не зависят от режима
работы подключенного к активному
двухполюснику участка цепи. Принцип
компенсации применим как к линейным,
так и к нелинейным цепям. Принцип
эквивалентного генератора применим
только к линейным цепям.
Пример 2.7. По принципу эквивалентно-
го генератора найти выражение для тока /0
в ветви с измерительным прибором
(рис. 2.16, а), если ток источника тока J —
= 10 мА, сопротивление г = 100 Ом, сопро-
тивление измерительного прибора. г0 = 50 Ом,
а сопротивления г\ двух противоположных
плеч моста изменяются одновременно от
нуля до 2г; построить график изменейия то-
ка 10 в зависимости от сопротивления rv
Решение. Разомкнем ветвь с измери-
тельным прибором (рис. 2.16,6), отключив
прибор, и найдем токи Zlx = 12к — J/2.
Напряжение UK (рис. 2.16,6) определим
из уравнения r^J/2 + t/x — rJ/2 = 0, откуда
Uх = (г -ri) J/2.
Входное сопротивление двухполюсника
относительно выводов ветви с измеритель-
ным прибором (рис. 2.16, в) Гвх = (Г1 + г)/2.
По принципу эквивалентного генерато-
ра (2.21)
'•вх + Го 2г0 + Г + Г!
58
Рис. 2.16
После подстановки в это выражение
численных значений получим
I ю 100 - П
0 100+ 100 +п ’
На рис. 2.16, г показан график измене-
ния тока 10 в зависимости от сопротивления
Из рисунка видно, что зависимость тока
от сопротивления нелинейная (в отличие от
линейных соотношений между ЭДС, напря-
жениями и токами при изменении сопротив-
ления) и что при изменении сопротивления
изменяется не только значение тока 70,
но и его направление.
2.9. Передача энергии от активного
двухполюсника к пассивному
Для исследования передачи энергии
от активного двухполюсника к пассив-
ному вернемся к эквивалентной схеме,
показанной на рис. 2.14, Э, и будем счи-
тать, что гвх - входное сопротивление
активного двухполюсника (источника
энергии) и Езк = Ux — эквивалентная
ЭДС остаются постоянными, а г — вход-
ное сопротивление пассивного двухпо-
люсника может принимать любое зна-
чение.
Прежде всего установим соотноше-
ние между сопротивлениями гвх и г, при
выполнении которого мощность пассив-
ного двухполюсника максимальна.
Мощность пассивного двухполюс-
ника определяется выражениями
Р = £эк/ - rMI2 = UJ - гт12 (2.22)
и
Р = г!2, (2.23)
где Еэк/ = UХ1 — мощность, развиваемая
эквивалентным активным двухполюсни-
ком; гвх/2 — мощность потерь в этом
двухполюснике (в сопротивлении гвх).
Для определения тока I, при кото-
ром мощность Р максимальна, найдем
производную от Р по I из уравнения
(2.22) и приравняем ее нулю:
dP/dl = UX- 2гзх1 = 0,
откуда искомый ток I = С7Х /2гвх [урав-
нением (2.23) пользоваться нельзя, так
как его правая часть содержит две пере-
менные: г и 1].
В общем случае (рис. 2.14, д) ток
I = С7х/(гвх + г). Значит, мощность мак-
симальна при
г = гвх, (2.24)
т. е. при равенстве входных сопротивле-
ний пассивного и активного двухполюс-
ников.
По (2.23) при г = гв мощность
Рмакс = С/х/4гвх.
Отношение мощности Р пассивного
двухполюсника к мощности РА = UXI,
развиваемой эквивалентным активным
двухполюсником, называется КПД эк-
вивалентного активного
двухполюсника:
Р С/х/ - гвх/2
Ра
Из (2.25) следует, что при макси-
мальной мощности пассивного двухпо-
люсника КПД равен 0,5. Более высокие
значения КПД будут при г > гвх.
КПД реального активного двухпо-
люсника равен КПД эквивалентного
59
только при выполнении определенного
условия. Если при отключении пассив-
ного двухполюсника от реального ак-
тивного в ветвях последнего не будет
токов и потерь, так же как и в экви-
валентной схеме на рис. 2.14,0, то КПД
реального и эквивалентного активных
двухполюсников равны. При невыпол-
нении этого условия КПД реального
активного двухполюсника меньше КПД
эквивалентного двухполюсника.
Полученные результаты применим,
например, для характеристики режима
линии передачи электрической энергии
небольшой длины, у которой утечкой
тока (между проводами) можно пре-
небречь.
Если в начале линии передачи на-
пряжение UY поддерживается неизмен-
ным (рис. 2.17, а), то линию можно
представить в виде последовательного
соединения активного двухполюсника с
источником ЭДС Еэк = Ux = U i (без
внутреннего сопротивления), резистив-
ного элемента, учитывающего сопротив-
ление проводов гл, и пассивного двух-
полюсника — приемника с сопротивле-
нием г (рис. 2.17, а). По (2.22) и (2.25)
найдем мощность Р2 приемника и КПД
линии передачи:
Р2 = VJ - гл12; | .
П = 1 - r„I/U! = г/(гл + г). J V"2®
Мощность, развиваемая источником,
Pi = UJ;
напряжение на выводах приемника
U 2 = - гл1.
По полученным уравнениям на
рис. 2.17,6 построены зависимости U2,
Р19 Р2 и т| от тока Z, полностью ха-
рактеризующие режим линии.
При г = оо (холостой ход линии) ток
1 = 0 (на рис. 2.17, б —точка в начале
координат), при г = гл ток определяется
отрезком Оа и при г = 0 (короткое за-
мыкание линии) значение тока макси-
мально и равно 1к. Кроме того, при
г = гл мощность Р1? определяемая отрез-
ком ас, равна удвоенной мощности при-
емника (ас = 2ab = 2Ьс), и КПД т| = 0,5.
По эквивалентной схеме (рис. 2.17, а)
установим еще связь между потерями
в проводах линии (в сопротивлении гл)
и мощностью приемника Р2:
21 / Р V
Рп = гл12 = р — , (2.27)
О у U2 /
где I — длина линии; S — сечение каждо-
го провода.
Из (2.27), в частности, следует, что
при Р2 — const с повышением напряже-
ния U2 требуется меньшее значение тока
I и, следовательно, уменьшаются поте-
ри в проводах, что в свою очередь
позволяет уменьшить сечение проводов.
Конечно, при этом надо усилить изо-
ляцию проводов линии.
В случае передачи по линии электри-
ческой энергии при большой мощности
стремятся получить возможно больший
КПД, для чего необходимо, как непос-
редственно следует из (2.26), иметь
гл г. При передаче сигналов по линии
связи стремятся получить максималь-
60
ную мощность в приемнике, что при-
водит к низкому значению КПД.
Первые опыты передачи электриче-
ской энергии при постоянном токе осу-
ществил русский инженер Ф. А. Пироц-
кий. В 1874 г. вблизи г. Петербурга
Ф. А. Пироцкий создал линию передачи
энергии при мощности около 6 л. с. на
расстояние до 1 км. Затем он проводил
опыты передачи электрической энергии
по рельсам конно-железной дороги. На
основании своих опытов Ф. А. Пироц-
кий установил, что можно передавать
электрическую энергию при большой
мощности на большие расстояния. В
качестве источников энергии для первич-
ных двигателей он предложил пользо-
ваться энергией водных потоков. Теоре-
тические основы передачи электрической
энергии по линии разработал Д. А. Ла-
чинов. В 1880 г. он опубликовал в пер-
вом номере журнала «Электричество»
свой труд «Электромеханическая рабо-
та».
Опыты Ф. А. Пироцкого остались
совершенно незамеченными. И лишь
этим можно объяснить, что инициато-
ром передачи электрической энергии счи-
тался Марсель Депре. В своем докладе
в Парижской академии наук (1881 г.) он
провозгласил тезис, установленный поч-
ти за год до этого Д. А. Лачиновым,
а именно: повышая напряжение, можно
передавать электрическую энергию при
любой мощности на большое расстоя-
ние с минимальными потерями (2.27).
В следующем году (1882 г.) Депре осу-
ществил на постоянном токе передачу
энергии при мощности в 2 л. с. на рас-
стояние 57 км (при напряжении 1500 —
2000 В).
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ЦЕПЯХ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
3.1. Переменные токи
Познакомимся с основными поня-
тиями, относящимися к переменным то-
кам.
Переменным током называ-
ют ток, изменяющийся во времени.
Значение тока в любой данный момент
времени называют мгновенным и
обозначают строчной (малой) буквой i.
Для одного из двух возможных направ-
лений тока через поперечное сечение
проводника мгновенное значение тока i
считают положительным, а для противо-
положного направления — отрицатель-
ным. Направление тока, для которого
его мгновенные значения положитель-
ны, называют положительным
направлением тока. Ток опреде-
лен, если известна его зависимость от
времени i — F (t) и указано положитель-
ное направление тока.
Токи, мгновенные значения которых
повторяются через равные промежутки
времени в той же самой последователь-
ности, называют периодическими,
а наименьший промежуток времени, че-
рез который эти повторения наблюда-
ются, — периодом Т. Для периодиче-
ского тока
i = F(t) = F(t+ Т).
На рис. 3.1 показан участок АВ
электрической цепи и дан пример зави-
симости i — F (t) для периодического то-
ка. Стрелка на схеме указывает поло-
жительное направление тока. Штриховы-
ми стрелками показаны действительные
направления тока в моменты времени,
когда i > 0 и когда i < 0. Отрезки кри-
вой между точками а и b или О и С
охватывают один полный цикл измене-
ния тока за один период.
Величина, обратная периоду, назы-
вается частотой f — 1/Т. Частота из-
меряется в герцах. Частота равна
1 Гц, если период равен 1 с, т. е.
1 Гц = 1 с’1.
Постоянный ток можно рассматри-
вать как частный случай периодическо-
го тока, период изменения которого
бесконечно велик, т. е. частота равна
нулю.
Термин «переменный ток» обычно
применяют в узком смысле, а именно
для такого периодического тока, у ко-
торого постоянная составляющая равна
нулю, т. е.
1 т
1 о
61
и особенно часто для гармониче-
ского или синусоидального
тока.
Широкое применение переменного
тока в электротехнике началось со вре-
мени решения задачи централизованно-
го производства электрической энергии
и ее передачи на значительные рас-
стояния.
Передача и распределение энергии
требуют по экономическим соображе-
ниям и по условиям безопасности при-
менения различных напряжений: высо-
кого — для передачи энергии и сравни-
тельно низкого — для ее распределения
потребителям.
Преобразование напряжения пере-
менного тока возможно при помощи
относительно простого аппарата —
трансформатора, который в 1876 г.
изобрел П. Н. Яблочков. В 1889 г.
М. О. Доливо-Добровольский изобрел
трехфазный асинхронный двигатель и
разработал все звенья передачи и рас-
пределения энергии трехфазным током
(см. гл. 10). После этого переменный
ток получил преимущественное распро-
странение.
Диапазон частот переменных токов,
применяемых в электротехнике, весьма
широк — от десятков до миллиардов
герц. В электроэнергетике в СССР и
в Европе принята стандартная частота
50 Гц, в США 60 Гц. В различных
областях промышленного применения
переменных токов встречаются частоты
от 10 до 2,5-109 Гц, в радиотехнике
и электронике — до 3 • Ю10 Гц.
В электроэнергетике применяются
токи, являющиеся синусоидальными
функциями времени, так как при не-
синусоидальных токах могут возникнуть
нежелательные явления, как-то: увеличе-
ние потерь энергии, появление на от-
дельных участках цепи значительных
напряжений и возникновение помех,
влияющих на работу устройств электро-
связи.
Для передачи информации (связь,
радиовещание, телемеханика) также ши-
роко применяются синусоидальные токи.
Передаваемая информация (сигнал) из-
меняет амплитуду, частоту или фазу
тока.
Периодические несинусоидальные то-
ки могут рассматриваться как совокуп-
ность синусоидальных токов различных
частот (см. гл. 12).
Все это обусловливает первоочеред-
ную необходимость основательного
изучения цепей синусоидального
тока.
Все определения, введенные выше
для токов, и те новые определения,.
которые будут введены в дальнейшем,
применимы и для напряжений и, ЭДС
е, магнитных потоков, а также для лю-
бых других электрических и магнитных
величин, изменяющихся во времени.
Некоторые пояснения требуются лишь
в отношении знака переменных напря-
жений и ЭДС.
У переменного напряжения и между
двумя точками А и В, определяемого
по заданному пути /, знак периодически
изменяется. При этом, если в данный
момент времени напряжение между А
и В, определяемое в направлении от
А к В, т. е. иАв9 положительно, то в тот
же момент времени напряжение uBAi
определяемое в обратном направлении
от В к А, отрицательно. Поэтому для
однозначного суждения о напряжении
необходимо указать направление пути,
которое принято для его определения.
Это направление назовем положи-
тельным направлением на-
пряжения и будем отмечать либо
стрелкой на схеме, либо порядком ин-
дексов у буквы и.
Аналогично вводится понятие о по-
ложительном направлении для ЭДС.
62
3.2. Понятие о генераторах
переменного тока
Познакомимся с устройством гене-
раторов переменного тока, применяе-
мых в электроэнергетике. Генератор
состоит из неподвижной части — ста-
тора и подвижной части — ротора.
Обычно на роторе располагаются элект-
ромагниты с полюсами N и S (рис. 3.2).
Их обмотка, называемая обмоткой воз-
буждения, питается через кольца и щет-
ки от источника постоянного тока. В
пазах статора, собранного из стальных
листов, находятся проводники обмотки
статора. Они соединены друг с другом
последовательно поочередно с передней
и с задней сторон статора (эти соеди-
нения показаны на рис. 3.2 соответ-
ственно сплошными и штриховыми ли-
ниями).
Рисунок 3.2 дает лишь схематическое
представление об устройстве генератора.
В действительности на статоре имеются
еще две аналогичные обмотки (см.
§ 10.1), и каждая из трех обмоток рас-
полагается в большем числе пазов, чем
это показано на рисунке.
При вращении ротора изменяется
магнитный поток, сцепленный с обмот-
кой статора, и в ней наводится ЭДС.
Генераторы конструируют таким обра-
зом, чтобы ЭДС была близка к сину-
соидальной.
За один оборот ротора происходит
р полных циклов изменения ЭДС, где
р — число пар полюсов ротора. Если
частота вращения ротора равна п обо-
ротов в минуту, то получается рп пе-
риодов в минуту, следовательно, частота
Рис. 3.2
ЭДС
f = рп/60).
При частоте f = 50 Гц ротор гене-
ратора с одной парой полюсов должен
вращаться с частотой 3000 об/мин, а
с двумя парами полюсов 1500 об/мин.
Для обеспечения механической прочно-
сти ротора при таких больших частотах
вращения его выполняют без выступаю-
щих полюсов. Еще существеннее отли-
чаются по конструкции высокочастот-
ные машинные генераторы. Они изго-
товляются для частот от 800 до 8000 Гц
и применяются наряду с ламповыми
генераторами в электротермических ус-
тановках. Переменные токи еще более
высоких частот получают исключитель-
но от электронных генераторов (гене-
раторов с электронными лампами, по-
лупроводниковыми приборами и др.).
3.3. Синусоидальный ток
Мгновенное значение синусоидально-
го тока определяется выражением
—t + \|/L (3.1)
где 1т — максимальное значение или
амплитуда тока. Аргумент синуса
+ \|/ называется фазой. Угол \|/
равен фазе в начальный момент време-
ни (t = 0) и поэтому называется н а-
чальной фазой. Фаза с течением
времени непрерывно растет. После ее
увеличения на 2п весь цикл изменения
тока повторяется. Поэтому, когда гово-
рят о фазе для какого-либо момента
времени, обычно отбрасывают целое
число 2п так, чтобы значение фазы на-
ходилось в пределах + я или в преде-
лах. от 0 до 2п. В течение периода Т
фаза увеличивается на 2я. Величина 2п/Т
показывает скорость изменения фазы
и обозначается буквой со. Принимая
во внимание, что f — Л/Т, можно напи-
сать
со = 2л/Т=2л/. (3.2)
Это выражение, связывающее со и /,
послужило основанием называть со уг-
ловой частотой. Измеряется со чис-
63
лом радианов, на которое увеличивается
фаза в секунду. Так, например, при
f = 50 Гц имеем со » 314 рад/с. Введя
в (3.1) обозначение со для угловой час-
тоты, получим
i = Im sin (cot 4- ф).
На рис. 3.3 построен график сину-
соидальных токов одинаковой частоты,
но с различными амплитудами и на-
чальными фазами:
it =/mlsin(®t + A|/i);
i'i = Im2 sin (rat + О
По оси абсцисс отложены время t
и пропорциональная времени величина
cot.
Начальная фаза отсчитывается всег-
да от момента, соответствующего на-
чалу синусоиды (нулевое значение сину-
соидальной величины при переходе ее
'от отрицательных к положительным
значениям), до момента начала отсчета
времени t = 0 (начало координат). При
\|/! > 0 начало синусоиды тока ц сдви-
нуто влево, а при ф2 < 0 для тока i2 —
вправо от начала координат.
Мгновенное значение синусоидаль-
ного тока можно представить и в виде
косинусоидальной функции времени
i = Im cos (cot 4- 3),
где 3 = ф — л/2.
Если у нескольких синусоидальных
функций, изменяющихся с одинаковой
частотой, начала синусоид не совпада-
ют, то говорят, что они сдвинуты
относительно друг друга по фазе.
Сдвиг фаз измеряется разностью фаз,
которая, очевидно, равна разности на-
чальных фаз. На рис. 3.3, например,
Ф1 — ф2 > 0, т. е. ток ц опережает
по фазе ток i2 на угол ф1 — ф2, или,
что то же самое, ток i2 - отстает
по фазе от тока на угол Ф1 — ф2.
Если у синусоидальных функций од-
ной и той же частоты одинаковые на-
чальные фазы, то говорят, что они
совпадают по фазе, если разность
их фаз равна ±л, то говорят, что они
противоположны по фазе, и,
наконец, если разность их фаз равна
+ л/2, то говорят, что они находят-
ся в квадратуре.
3.4. Действующие ток, ЭДС
и напряжение
Для суждения о периодическом токе
вводится понятие о среднем квадратич-
ном значении тока за период, которое
называется действующим значе-
нием тока, или, короче, действу-
ющим током:
(3.3)
За один период переменного тока
в проводнике с сопротивлением г вы-
деляется тепловая энергия:
Т 1 т
I ri2 dt = rT— $ i2 dt = rI2T.
о 1 о
Отсюда следует, что действующий
ток численно равен такому постоянно-
му току, при котором за один период
в проводнике с тем же сопротивлением
выделяется такое же количество тепла,
как и при переменном.
Установим связь между действую-
щим значением и амплитудой Im сину-
соидального тока:
I2 - ^4 '2 dt = sin2 (at + ф) dt =
.о ‘о
I2 т Г2
= 27Н1-с°5(2®г + адл=^.
64
Следовательно,
I = /тД/2. (3.4)
Среднеквадратичные значения лю-
бых других периодических величин за
период тоже называются действующи-
ми. Так, например, действующие ЭДС
и напряжение
Е = 1/1[е2^;
Г т1
В частности, для синусоидальных
ЭДС и напряжения
Е = Em/|/2; U = Um/]/2.
Если речь идет о периодических
напряжениях и токах, обычно подразу-
мевают действующие напряжения и токи
и ради краткости просто говорят: на-
пряжение столько-то вольт, ток столько-
то ампер.
В электротехнике приходится встре-
чаться как с очень малыми, так и с
очень большими напряжениями и тока-
ми. Напряжение на входе радиопри-
емника, при котором еще возможен
прием радиосигналов, бывает порядка
единиц микровольт. Напряжение между
проводами линий электропередач мо-
жет быть 500, 750 и 1150 кВ. Токи
в электроплавильных печах достигают
десятков тысяч ампер, а в транзисторах
могут быть меньше 1 мА.
Возьмем прямоугольную систему
осей M0N (рис. 3.4). Расположим под
углом \|/ относительно горизонтальной
оси ОМ вектор Vm, длина которого
в выбранном масштабе равна амплиту-
де Vm (положительные углы \|/ отклады-
ваются против, а отрицательные — по
направлению движения часовой стрелки).
Представим себе, что вектор Vm с мо-
мента t = 0 начинает вращаться вокруг
начала координат О против направле-
ния движения часовой стрелки с посто-
янной угловой скоростью, равной угло-
вой частоте со. В момент времени t век-
тор составит с осью ОМ угол cot + \|/.
Его проекция на ось N'N равна в выб-
ранном масштабе мгновенному значе-
нию рассматриваемой величины v.
Мгновенные значения v как проек-
ции вектора на ось N'N можно полу-
чить и другим путем, оставляя вектор
Vm неподвижным и вращая, начиная с
момента t = 0, ось N'N по направлению
движения часовой стрелки с угловой
скоростью со. В этом случае вращаю-
щуюся ось N'N называют линией
времени.
Таким образом, между мгновенным
значением v и вектором Vm можно ус-
тановить однозначную связь. На этом
основании вектор Vm называют век-
тором, изображающим сину-
соидальную функцию време-
ни, или, кратко, вектором вели-
чины v. Так, например, говорят о век-
торах напряжения, ЭДС, тока, магнит-
ного потока и т. д. Конечно, эти век-
торы имеют смысл, отличный от смыс-
3.5. Изображение синусоидальных
функций времени векторами
и комплексными числами
Расчет цепей переменного тока об-
легчается, если изображать синусоидаль-
но изменяющиеся токи, напряжения,
ЭДС и т. д. векторами или комплекс-
ными числами.
Предположим, что некоторая вели-
чина (ток, напряжение, магнитный по-
ток и т. п.) изменяется по синусоидаль-
ному закону:
v = Vm sin (cot 4- \|/).
3 Основы теории цепей
65
ла векторов, определяющих физические
величины в пространстве, к которым
относятся векторы скорости, силы, уско-
рения, напряженности электрического
поля и т. п.
Векторы, изображающие синусои-
дальные функции времени, будем обозна-
чать подчеркнутыми прописными (боль-
шими) буквами. Совокупность векторов,
изображающих рассматриваемые сину-
соидальные функции времени, называ-
ется векторной диаграммкой.
Если считать оси ММ' и NN' ося-
ми действительных и мнимых величин
на комплексной плоскости, то вектор
Vjn соответствует комплексному числу,
модуль которого равен Vm и аргумент —
углу ф. Это комплексное число Vm на-
зывается комплексной амплиту-
дой рассматриваемой величины.
Комплексную амплитуду можно за-
писать в полярной, показательной, три-
гонометрической и алгебраической фор-
мах:
К, = vm ф = vme* =
= К, (cos ф + j sin ф) = V'm + jE", (3.5)
где j = j/^l.
Если вектор Km, начиная с момента
времени t = 0, вращается против направ-
ления движения часовой стрелки с уг-
ловой скоростью со, то ему соответству-
ет комплексная функция времени, кото-
рая называется комплексной мгновен-
ной величиной:
v = + =
= Fmcos(cor 4- ф) 4- jVm sin (cor 4- ф).
Значение ее мнимой части равно
рассматриваемой синусоидально изме-
няющейся величине v.
Таким образом, величина v и ее
изображение — комплексная амплиту-
да — однозначно связаны следующим
равенством:
v = Im[Fwe/^+^] =
= Im = Im [ЕЛ (3.6)
где символ Im обозначает, что от комп-
лексной функции времени, записанной в
квадратных скобках, берется только зна-
чение мнимой части.
66
Если гармонически изменяющуюся
величину представить в виде косинусои-
дальной функции времени, то ее мгно-
венное значение
v — Vm cos (cor 4- 3) =
= Re[Km cos (cor 4- 3) 4- jVm sin (cor 4- 3)] =
= Re[Fw?^ + d)]=Re[Fwe>q, (3.7)
где символ Re обозначает действитель-
ную часть комплексной функции време-
ни, записанной в скобках. В этом слу-
чае мгновенное значение v определя-
ется графически как проекция вращаю-
щегося вектора на ось действи-
тельных величин.
Метод расчета цепей синусоидаль-
ного тока, основанный на изображении
гармонических функций времени комп-
лексными числами, называется мето-
дом комплексных величин,
методом комплексных ампли-
туд или комплексным мето-
дом расчета.
Комплексный метод был введен в
электротехнику американским ученым и
инженером Ч. П. Штейнметцем.
Пример 3.1. Написать комплексную амп-
литуду тока i — 10 sin (cor — я/6) А.
Решение. Комплексная амплитуда
[т = 10 z. -л/6 А.
Заданный ток равен мнимой части
комплексной функции времени
I„e>r = = ю z- (cor - л/6) А.
Пример 3.2. Комплексная амплитуда
напряжения Ц_т = —100 4- J100 В, частота
f = 1 кГц. Написать выражение для мгновен-
ного напряжения.
Решение. Угловая частота ш = 2nf =
= 2я • 103 = 6280 рад/с, амплитуда Um =
= ]/(-100)2 + 1002 = 1001/2 В; tg ф =
= 100/(-100) = -1; так как действительная
часть комплексной амплитуды отрицатель-
ная, а мнимая часть положительная, то
вектор Um находится во второй четверти
и, следовательно, ф = Зя/4.
Таким образом, мгновенное значение
напряжения
и = 1001/2 sin (6280t + Зя/4) В.
3.6. Сложение синусоидальных
функций времени
При исследовании цепей синусои-
дального тока приходится алгебраиче-
ски суммировать гармонические функ-
ции времени одинаковой частоты, но
с различными амплитудами и с различ-
ными начальными фазами. Непосред-
ственное суммирование гармонических
функций времени связано с трудоемки-
ми и громоздкими тригонометрически-
ми преобразованиями. Значительно про-
ще эта задача решается графически при
помощи векторной диаграммы или ана-
литически путем суммирования комп-
лексных амплитуд.
Пусть требуется найти сумму двух
гармонических функций времени vr =
= Vlm sin (cor + \|/i) и v2 = V2m sin (cor + ф2).
Сначала рассмотрим решение, вы-
полняемое при помощи векторной диа-
граммы. Отложим векторы Vlm =
= Flm и V2m = V2m ф2 и графи-
чески определим вектор Vm — V„ z. v|/,
равный геометрической сумме векторов
Eim и Eim (рис. 3.5). Эта векторная
диаграмма построена для случая, когда
ф! > 0 и ф2 < 0.
Представим себе, что векторы Vlm9
Eim и Em с момента г = 0 начинают
вращаться вокруг начала координат О
против направления движения часовой
стрелки с постоянной угловой скоростью
со. Проекция вращающегося вектора
Vm zl (cor + ф) на вертикальную ось N'N
в любой момент времени равна сумме
проекций на эту же ось вращающихся
векторов Vlm zl (соГ 4- ф1) и V2m zl (<or +
+ ф2), т. е. мгновенных величин Vi и v2.
Следовательно, проекция вектора
Vm zl (cor + ф) на вертикальную ось рав-
на искомой сумме t?i + v2, а вектор
Ет = Ут Ф изображает искомую сину-
соидальную функцию времени v = +
+ v2.
Таким образом, определив из диа-
граммы длину вектора Vm и угол ф,
можем написать выражение искомой ве-
личины v = Vm sin (<or + ф).
Теперь перейдем к аналитическому
методу. Рассматривая векторы как ком-
плексные амплитуды, на основании вы-
полненного построения (рис. 3.5) можно
написать
Elm + Elm = Ет*
Чтобы произвести суммирование
комплексных чисел, их надо предста-
вить в алгебраической форме:
Elm = У1т + )У1т! Elm = У'1т + Мт-
Выполнив суммирование, получим
У 1т + jK + У 1т + jV 1т = У'т + jV'm =
= Еп,
где
V’m = Vlm + V'lm\ V'm =Е'{т +
Отсюда находим
Vm = ]/(V'm)2 + (V”m)2;
tg*= VmIV'm.
Так как tgф = tg(ф ± я), то для оп-
ределения ф нужно еще знать, в какой
четверти располагается вектор Это
легко устанавливается по знакам дей-
ствительной и мнимой частей Ет- В рас-
четах начальную фазу ф выражают
или в радианах, или в градусах.
Рассмотренные способы можно при-
менить для сложения любого числа
синусоидальных функций времени одина-
ковой частоты.
Обычно при расчетах цепей синусо-
идального тока необходимо знать
только действующие величины для си-
нусоидальных функций времени и их
сдвиг по фазе относительно друг друга.
В этих случаях при построении вектор-
ных диаграмм нужно точно соблюдать
углы сдвига фаз между векторами, а
положение осей координат можно вы-
3
67
брать произвольно или оси совсем не
изображать. Кроме того, длины векто-
ров часто берут равными не амплитуд-
ным, а действующим величинам.
Соответственно при аналитическом
расчете начальные фазы можно изме-
нить на один и тот же угол, например
так, чтобы начальная фаза одной из
рассматриваемых функций стала равной
нулю. Вместо комплексных амплитуд
часто берут значения, в |/2 раз мень-
шие, так называемые комплексные
действующие величины:
Z = £m/)/2.
Пример 3.3. Даны токи = 6 sin (cot +
+ 120°) А и i2 = 1,5 sin (cot + 30°) A.
Определить ток i3, равный разности
токов — i2-
Решение. Zlm = 6 120° = — 3 + J5,2 A;
l_2m = 1,5 zl 30° = 1,3 + JO,75 A;
= -4,3+j4,45 = 6,19 z_ 134° A.
Следовательно, i3 = 6.19 sin (cot + 134°) A.
3.7. Электрическая цепь и ее схема
Электрический ток неразрывно свя-
зан с магнитным и электрическим по-
лями. При переменном токе эти поля
изменяются во времени. Изменяющееся
магнитное поле наводит ЭДС, измене-
ние электрического поля сопровождает-
ся изменением зарядов на проводниках.
В проводниках, в резисторах, а часто
и в окружающей их среде электромаг-
нитная энергия преобразуется в тепло.
В различных машинах, аппаратах, при-
борах и других устройствах электро-
магнитная энергия преобразуется и в
другие виды энергии (в механическую,
химическую и т. д.); часть электромаг-
нитной энергии излучается. В электри-
ческой цепи нельзя выделить какой-либо
участок, с которым не были бы связа-
ны эти явления.
Для того чтобы упростить исследо-
вание процессов в реальной электри-
ческой цепи переменного тока, ее, как
и цепь постоянного тока, заменяют схе-
мой замещения, или, короче, просто
схемой (математической моделью), со-
ставленной из элементов, каждый из
которых учитывает одно из этих явлений.
К пассивным элементам схемы при
Рис. 3.6
переменных токах относятся резистив-
ный элемент с сопротивлением г, или,
короче, сопротивление г, индуктивный
элемент с индуктивностью L, или, коро-
че, индуктивность L, и емкостный эле-
мент с емкостью С, илщ короче, емкость
С. Их условные обозначения на схемах
показаны на рис. 3.6, а —в,
Взаимная индуктивность между от-
дельными частями электрических уст-
ройств учитывается как взаимная индук-
тивность М между индуктивными эле-
ментами (рис. 3.6, г). Таким образом,
взаимная индуктивность не является
самостоятельным элементом схемы (см.
также гл. 6).
В первой части книги рассматрива-
ются линейные цепи, т. е. такие цепи,
сопротивления, индуктивности, емкости
и взаимные индуктивности которых не
зависят от токов и напряжений.
В резистивном элементе с сопротив-
лением г электромагнитная энергия пре-
образуется в тепло при мощности пре-
образования ri2. Резистивные элементы
вводят в схему также и для учета не-
обратимого преобразования электромаг-
нитной энергии в другие формы энер-
гии (например, в механическую) и для
учета излучаемой энергии.
Напряжение между выводами резис-
тивного элемента и ток в элементе
(рис. 3.6, а) связаны законом Ома:
ur = ri. (3.8)
Индуктивный элемент схемы с ин-
дуктивностью L (рис. 3.6,6) учитывает
энергию Ы2/2 магнитного поля и явле-
ние самоиндукции. При изменении тока
в индуктивности возникает ЭДС само-
индукции eL. По закону Ленца она пре-
пятствует изменению тока. Поэтому при
выборе положительных направлений для
68
тока i и ЭДС eL одинаковыми (как на
рис. 3.6,6 и как это обычно принято
делать) знаки eL и di/dt противоположны
и eL= —L di/dt. Для того чтобы через
индуктивность проходил переменный
ток, на ее выводах должно быть напря-
жение, равное и противоположное наве-
денной ЭДС. При одинаковых положи-
тельных направлениях напряжений и
ЭДС они противоположны по знаку:
= — eL = L di/dt, (3.9)
а при противоположном положитель-
ном направлении ЭДС
uL = eL = Ldi/dt
(элементы цепи и элементы схемы, об-
ладающие взаимной индуктивностью,
рассматриваются в гл. 6).
Емкостный элемент схемы с ем-
костью С (рис. 3.6, в) учитывает энергию
Си2с/2 электрического поля. На электро-
дах емкости заряды равны и противо-
положны по знаку: qA = — qB, причем
qA = C (фл - фв); qB = С (фв - фл).
Для указанных на рис. 3.6, в поло-
жительных направлений тока i и напря-
жения на емкости ис заряд qA и напря-
жение ис = Фл ~ Фв имеют одинаковые
знаки, т. е. qA — Cue.
Ток в ветви с емкостью равен ско-
рости изменения заряда на электродах,
и при указанном положительном на-
правлении тока знак тока совпадает
со знаком производной по времени от
заряда qA. Действительно, приросту за-
ряда q4 соответствует положительное
значение тока, убыли заряда qA — отри-
цательное значение тока. Поэтому, обо-
значив qA = q, можно написать
i — dq/dt = С duc/dt, (3.10а)
или
uc = -±r^idt. (3.106)
Схема зависит от частоты перемен-
ного тока. Так, при достаточно низкой
частоте резистор может быть представ-
лен сопротивлением, индуктивная ка-
тушка — последовательным соединением
индуктивности и сопротивления, а кон-
денсатор при хорошей изоляции между
электродами — емкостью. С ростом час-
тоты, как будет показано в следующих
параграфах, увеличиваются ЭДС, обу-
словленные индуктивностями, и токи,
обусловленные емкостями. Поэтому
при высоких частотах приходится учи-
тывать индуктивность проволочных ре-
зисторов и межвитковую емкость кату-
шек. Кроме того, с увеличением часто-
ты растут потери в изоляции конден-
саторов. Для учета всех этих явлений
приходится резисторы, индуктивные ка-
тушки и конденсаторы заменять более
сложными схемами (подробнее — см.
§ 3.21 и 3.22). При высоких частотах
приходится также учитывать емкости
между проводами, соединяющими раз-
личные элементы реальной электриче-
ской цепи, и вводить их в схему.
Если схема получается с ограни-
ченным (конечным) числом элементов,
то говорят, что реальная цепь рассмат-
ривается как цепь с сосредото-
ченными параметрами. Если же
приходится пользоваться схемой, содер-
жащей неограниченно большое (беско-
нечное) число элементов, говорят, что
цепь рассматривается как цепь с распре-
деленными параметрами.
Теперь рассмотрим вопрос о приме-
нимости к схемам цепей перемейного
тока законов Кирхгофа. На проходах
и в узлах схемы не могут накапли-
ваться заряды (единственными накопи-
телями зарядов являются емкостные
элементы). Поэтому для любого узла
схемы справедлив первый закон Кирх-
гофа:
алгебраическая сумма мгновенных
значений токов в проводах, соединенных
в узел, равна нулю:
D = 0. (3.11а)
Напряжение между двумя точками
цепи переменного тока в общем случае
зависит от пути, вдоль которого оно
определяется. Выясним, например, како-
во различие в напряжениях между точ-
ками А и В двух проводов цепи пере-
менного тока (рис. 3.7), определяемых
по двум различным путям. Между точ-
ками А и В включены два вольтметра
69
Рис. 3.7
для измерения напряжения. Соедини-
тельные провода от первого вольтметра
идут по пути АтВ, от второго вольт-
метра — по пути АпВ.
Согласно закону электромагнитной
индукции напряжение вдоль замкнутого
контура АпВтА равно ЭДС, индуктиро-
ванной в этом контуре магнитным по-
токам Ф, пронизывающим поверхность,
ограниченную контуром:
и АпВтА = € = -d<&/dt.
Заметим, что знак минус перед d®/dt
ставится в том случае, если положи-
тельное направление магнитного потока
и положительное направление ЭДС (на-
правление обхода контура) согласованы
по правилу правого винта. В рассмат-
риваемом случае положительное направ-
ление Ф выбрано , от читателя за плос-
кость чертежа. Напряжение
^АпВтА ~ ^АпВ + ^ВтА = ^АпВ ^АтВ-
Подставив это равенство в преды-
дущее выражение, получим
UAnB ~ UAmB — е = -d®/dt.
Следовательно, напряжения между
двумя точками, определенные вдоль
двух различных путей, отличаются друг
от друга на ЭДС, индуктированную
в замкнутом контуре, образованном эти-
ми двумя путями. При согласовании
положительного направления ЭДС (на-
правления обхода контура) и положи-
тельного направления магнитного по-
тока по правилу левого винта перед
производной d<S>/dt следует поставить
не знак минус, а знак плюс.
Напряжения, определяемые вдоль
различных путей, будут одинаковы толь-
ко в том случае, если замкнутые кон-
туры, образованные этими путями, не
пронизываются переменным магнитным
потоком.
В схеме замещения напряжения меж-
ду различными ее точками от пути не
зависят. Так, напряжения на выводах
элементов схемы г, Ln С связаны с то-
ком приведенными выше соотношения-
ми (3.8) —(3.10) вне зависимости от путей
(взятых вне элементов), по которым эти
напряжения определяются. Поэтому точ-
ки схемы переменного тока можно, так
же как и точки цепи постоянного тока,
характеризовать потенциалами, а напря-
жения рассматривать как разности по-
тенциалов. Имея это в виду, говорят,
что схемы или идеализированные цепи
потенциальны. Изменение потенциала
по любому замкнутому контуру такой
цепи равно нулю. Поэтому справедли-
ва следующая формулировка второго
закона Кирхгофа:
алгебраическая сумма мгновенных
напряжений на всех элементах любого
замкнутого контура схемы равна нулю:
£м = 0, (3.116)
или, иначе, алгебраическая сумма мгно-
венных ЭДС всех источников напряже-
ния в любом замкнутом контуре схемы
равна алгебраической сумме мгновенных
напряжений на всех остальных элемен-
тах того же контура.
Выберем произвольный узел т из
общего числа У. Ток в /с-й ветви, соеди-
няющей узел т с другими узлами,
обозначим ik. По первому закону Кирх-
гофа (3.11а) для каждого m-го узла
Фт Е 4 = 0-
к
Составим такие же равенства для
всех У узлов и найдем их сумму:
Ф1 + Фг + • • • + фуЕ ik — о.
к к к
В это тождество ток ветви ik входит
2 раза и с разными знаками (ток ветви
направлен от одного из узлов к дру-
гому). Поэтому тождество, которое на-
70
зывается теоремой Телледжена, можно
записать и так:
в
u„i„ = 0, (3.12)
п= 1
где ип — напряжение или разность по-
тенциалов между узлами той из В вет-
вей, ток в которой in.
Произведение unin = рп — это мгно-
венная мощность и-й ветви, и из тож-
дества (3.12) следует баланс мощностей:
суммарная мгновенная мощность всех
ветвей равна нулю (закон сохранения
энергии). Для цепи синусоидального то-
ка мощности потребителей и источни-
ков, а также баланс мощностей рас-
смотрены в § 3.14 — 3.17.
Так как теорема Телледжена полу-
чена из законов Кирхгофа, то она спра-
ведлива для каждого момента любого
режима (установившегося и неустано-
вившегося) и любых цепей [линейных,
параметрических (см. гл. 17), нелинейных
(см. гл. 22 — 28)]. Можно показать, что
тождество (3.12) остается справедливым
при напряжении ип и токе in, которые
определяются для двух разных цепей
(с разными параметрами), если у этих
цепей одинаковы графы. Конечно, в
последнем случае тождество (3.12) не
соответствует балансу мощностей.
Здесь рассматриваются линейные це-
пи, содержащие источники энергии с
синусоидальными ЭДС. Если в цепи
действуют несколько источников энер-
гии, то рассматриваются только те слу-
чаи, когда частоты ЭДС всех источни-
ков одинаковы. Заметим, что именно
этот случай имеет место при нормаль-
ном режиме в электрических цепях энер-
гетических систем.
Наконец, здесь рассматриваются так
называемые установившиеся ре-
жимы цепей, которые наступают после
некоторого промежутка времени (обыч-
но от долей секунды до нескольких
секунд) после окончания всех коммута-
ций (переключений) в цепи. При уста-
новившемся режиме токи и напряжения
во всех ветвях и участках линейных
цепей также синусоидальные и изме-
няются с той же частотой, что и ЭДС
источников энергии.
Таким образом, в уравнения, выра-
жающие законы Кирхгофа, входят , ал-
гебраические суммы синусоидальных
функций времени, суммирование кото-
рых, как указывалось, целесообразно
заменить суммированием изображаю-
щих их комплексных величин.
После такой замены получаются
законы Кирхгофа для комплексных
амплитуд или для комплексных дей-
ствующих токов, напряжений и ЭДС:
алгебраическая сумма комплексных
токов в проводниках, соединенных в
узел, равна нулю. Алгебраическая сумма
комплексных напряжений на всех эле-
ментах любого замкнутого контура схе-
мы равна нулю, или, иначе, алгебраиче-
ская сумма комплексных ЭДС всех ис-
точников напряжения в любом замкну-
том контуре схемы равна алгебраиче-
ской сумме комплексных напряжений
на всех остальных элементах того же
контура.
3.8. Ток и напряжения при
последовательном соединении
резистивного, индуктивного
и емкостного элементов
Пусть в ветви (рис. 3.8), состоящей
из последовательно соединенных эле-
ментов г, L и С, т. е. в последователь-
ном контуре или rLC-цепи, известен ток
i = Im sin (of -I- ф().
Выясним, каковы напряжения на от-
дельных элементах и на входе.
На основании второго закона Кирх-
гофа
щ -I- uL -I- ис = и, (3.13)
где
ur = ri = rlm sin (of -I- \|/f); (3.14)
uL = L di/dt — (&LIm cos (of -I- \|/f) =
= ®LZW sin (or 4-^4- л/2); (3.15)
uc = 4- idt = —%-cos (or 4- ф() =
C J coC
= sin for 4- ф, - (3.16)
71
—в--- Uf
Рис. 3.8
Ординаты кривой напряжения
и = Um sin (сиг + \|/м)
согласно (3.13) равны алгебраической
сумме ординат кривых ur, uL и ис.
Определение напряжения и сводится
к вычислению амплитуды Um и началь-
ной фазы фм, которые могут быть най-
дены непосредственным суммированием
трех синусоидальных функций времени
щ, uL и ис с последующими тригоно-
метрическими преобразованиями. Од-
нако, как указывалось, проще всего за-
дача решается комплексным методом.
Запишем комплексный ток и комп-
лексные напряжения на основании вы-
ражений для их мгновенных значений:
= (3.17)
U, = г/е7*1' = г/; (3.18)
uL —i£>LieJ^i+nl2) =
— (dLIe^'e1*12 = jaU;
(3.19)
л - 1 1 ,
Uc “ ©cT e - ^c'
Постоянная интегрирования в выра-
жении для ис принята равной нулю,
так как в установившемся режиме, как
уже указывалось, напряжение на любом
участке цепи синусоидальное.
Из полученных выражений для иг,
uL и ис видно, что напряжение на со-
противлении совпадает по фазе с током,
напряжение на индуктивности опережа-
ет ток по фазе на угол л/2, а напряже-
ние на емкости отстает по фазе от то-
ка на угол л/2.
На рис. 3.9 показаны кривые мгно-
венных значений тока и напряжений в
случае, если амплитуда напряжения на
индуктивности <яЫт больше амплитуды
напряжения на. емкости 1т/(йС и v|/f > 0.
Синусоида иг совпадает по фазе с сину-
соидой тока, а синусоиды uL и ис сдви-
нуты относительно синусоиды тока на
угол п/2 соответственно влево (опереже-
ние) и вправо (отставание). Таким об-
разом, напряжения на индуктивности
и на емкости сдвинуты относительно
друг друга по фазе на угол п (нахо-
дятся в противофазе).
= (320)
U = (3.21)
В выражениях для U± и Uc учтено,
что
;_/9 Л . . Л
ejn/ = cos — 4- j sin — = j,
a
e M2
= cos
Л \ . . / л
— + J sin--------
2 ) J \ 2
= -j = !//•
Сопоставив выражения для мгновен-
ных напряжений uL и ис (3.15), (3.16)
с комплексными напряжениями Uj, и Ц_с
(3.19), (3.20), можно установить простое
правило перехода от производной и ин-
теграла синусоидальной функции време-
ни к изображающим их комплексным
величинам: синусоидальная функция за-
меняется изображающей ее комплекс-
ной величиной, дифференцирование заме-
12
няется умножением на j($, а интегри-
рование — делением на j<£>.
Сумме синусоидальных напряжений
(3.13) соответствует сумма изображаю-
щих цх векторов или комплексных дей-
ствующих напряжений:
Ur+U±+Uc = U, (3.22)
Это соотношение представляет со-
бой уравнение по второму закону Кирх-
гофа, записанное в комплексной или
векторной форме; оно представлено на
векторной диаграмме (рис. 3.10). Напря-
жение иг совпадает по фазе с током i,
поэтому вектор Ц, направлен одинаково
с вектором L Напряжение uL опережает
по фазе i на л/2, поэтому вектор
сдвинут относительно вектора I на угол
тс/2 «вперед» (против направления дви-
жения часовой стрелки). Напряжение ис
отстает по фазе от i на тс/2, поэтому
вектор Ujc сдвинут относительно векто-
ра I на угол тс/2 «назад» (по направле-
нию движения часовой стрелки).
Соображения о взаимном располо-
жении векторов напряжения и тока
непосредственно следует и из записи
выражений комплексных напряжений
Ur, Uc и Uc.
Вектор Ur (3.18) получается умноже-
нием I на действительную величину г.
Аргумент комплексной величины г£ та-
кой же, как и комплексного тока I,
поэтому направление вектора и, совпа-
дает с направлением вектора I. Вектор
Uг (3.19) получается умножением I на
jcoL. Умножение тока I на действитель-
ную величину coL не изменяет аргумен-
та, а умножение на j = &п/2 увеличивает
аргумент на тс/2. Следовательно, вектор
Ur повернут относительно вектора £ на
угол л/2 «вперед». Вектор С7с (3.20)
получается делением / на jcoC. Деление
комплексной величины на соС не изме-
няет аргумента, а деление на у, что
равносильно умножению на — j = e~jn,29
уменьшает аргумент на тс/2. Следова-
тельно, вектор Uc повернут относи-
тельно вектора [ на угол тс/2 «назад».
Так как умножение и деление век-
тора на j приводят к повороту вектора
на тс/2 соответственно «вперед» и
«назад», то множитель j часто называ-
ют оператором поворота на
л/2.
Сложив векторы Uj., UT и Uc, по-
лучим вектор U. Его длина определяет
действующее напряжение U = 17т/|/2,
а положение относительно координат-
ных осей — начальную фазу фи.
Решим ту же задачу аналитически.
Теперь уравнение (3.22) будем рассмат-
ривать как соотношение между комп-
лексными числами. Подставив в него
значения комплексных напряжений, по-
лучим
г[ 4- jcoLZ 4- I/jtoC = U,
или
U = [г + j (coL - 1/coQ] L (3.23а)
Это соотношение между комплекс-
ным напряжением и током называют
законом Ома в комплексной
форме. Записав комплексные величи-
ны в показательной форме, получим
где
coL— 1/соС
Ф = arctg-----—1-----;
и = ]/r2 + (®L- 1/®С)2 I;
+ <р. (3.236)
Так как Um = ]/2 U и Im = ]/21, то
Um = ]/г2 + (<»L—1/<вС)2/т.
Таким образом, амплитуда Um и
начальная фаза фи напряжения на выво-
73
Дах1 контура определены и можно запи-
сать выражение для мгновенного напря-
жения:
и = Um sin (cor + \|/f + ф). (3.24)
В заключение отметим, что уравне-
ние для комплексных токов и напряже-
ний и векторные диаграммы взаимно
связаны. Уравнения можно рассматри-
вать как запись геометрических сумми-
рований векторов, выполняемых на век-
торной диаграмме, и, наоборот, вектор-
ную диаграмму можно рассматривать
как графическое представление соотно-
шений между комплексными величина-
ми в уравнении.
3.9. Сопротивления
Введем теперь ряд величин, харак-
теризующих цепь синусоидального тока.
Отношение комплексного напряже-
ния к комплексному току называется
комплексным сопротивлени-
е м:
и LLn
Z=— — —— = ze74> = z z. ф,(3.25a)
L Lm
где z = U/I = Um/Im - отношение дей-
ствующего или амплитудного напряже-
ния соответственно к действующему или
амплитудному току называется пол-
ным сопротивлением. Полное
сопротивление равно модулю комплекс-
ного сопротивления. Аргумент комп-
лексного сопротивления равен разности
фаз напряжения и тока, т. е. ф — — \|/f.
Комплексное сопротивление можно
представить в виде
Z = ze7<₽ = z cos ф + jz sin ф = г + jx,
(3.256)
где г = z cos ф — действительная часть
комплексного сопротивления, называет-
ся активным сопротивлением;
х = z sin ф — значение мнимой части
комплексного сопротивления, называет-
ся реактивным сопротивлени-
ем.
Очевидно, что
z = ]/r2 -I- х2; ф = arctg—. (3.26)
Из (3.23а) следует, что для последо-
вательного контура (см. рис. 3.8) комп-
лексное сопротивление
Z = г + jx = г + j (coL — 1/соС),
причем реактивное сопротивление
х = coL — 1/соС = xL — хс, (3.27)
где
xL — wL; хс — 1/соС
называются соответственно индук-
тивным и емкостным сопро-
тивлениями.
Из (3.15) и (3.19) видно, что индук-
тивное сопротивление связывает между
собой амплитуды или действующие
значения напряжения на индуктив-
ности и тока:
U Lm —
xL = aL=ULm/Im=UL/I.
Индуктивное сопротивление прямо
пропорционально частоте тока. Это
объясняется тем, что напряжение на
индуктивном элементе пропорциональ-
но скорости изменения тока: uL —
— Ldi/dt.
Емкостное сопротивление, как сле-
дует из (3.16) и (3.20), связывает между
собой амплитуды или действующие зна-
чения напряжения на емкости и тока:
Хс = 1/СОС = Ucm/Im = UC/L
Емкостное сопротивление обратно
пропорционально частоте тока. Эту за-
висимость от частоты легко пояснить,
если считать заданным напряжение на
емкостном элементе, а искомой величи-
ной ток: i — dq/dt = С duc/dt. Ток гГрямо
пропорционален скорости изменения на-
пряжения на емкостном элементе, и,
следовательно, емкостное сопротивле-
ние обратно пропорционально частоте
напряжения.
Напряжения на последовательно
соединенных индуктивности и емкости
противоположны по фазе; поэтому в
(3.27) для реактивного сопротивления х
74
сопротивления xL и хс входят с раз-
личными знаками. Напряжения на ин-
дуктивности и на емкости сдвинуты по
фазе относительно напряжения на со-
противлении соответственно на л/2 и
— л/2. Поэтому эти сопротивления вхо-
дят в Z как г, jxL и — jxc.
Следует обратить внимание на то,
что индуктивное и емкостное сопротив-
ления являются величинами арифмети-
ческими — положительными, а реактив-
ное сопротивление х = xL — хс — величина
алгебраическая и может быть как боль-
ше, так и меньше нуля.
Для ветви, содержащей только ин-
дуктивность, реактивное сопротивление
х равно индуктивному сопротивлению
xL, а реактивное сопротивление х ветви,
содержащей только емкость, равно ем-
костному сопротивлению, взятому со
знаком минус, т. е. — хс.
Заметим также, что для ветвей, каж-
дая из которых содержит только сопро-
тивление г, только индуктивность L
или только емкость С, комплексные
сопротивления соответственно равны:
z, = г; ZL = JaL; Zc = -j~-.
соС
, Если ветвь содержит несколько по-
следовательно соединенных резистивных,
индуктивных и емкостных элементов,
то при вычислении сопротивления и
тока их можно заменить тремя элемен-
тами г = L= 1/C = £ 1/C*.
k k k
ЗЛО. Разность фаз напряжения и тока
Условимся под разностью фаз ф
напряжения и тока всегда понимать
разность начальных фаз напряжения фм
и тока \|/f (а не наоборот):
ф = - к (3.28)
Поэтому на векторной диаграмме
угол ф отсчитывается в направлении от
вектора / к вектору U (рис. 3.10). Имен-
но при таком определении разности фаз
угол ф равен аргументу комплексного
сопротивления. Угол ф положителен при
отстающем токе (фм > \|/f) и отрицателен
при опережающем токе (фм < ф^.
Разность фаз между напряжением
и током зависит от соотношения ин-
дуктивного и емкостного сопротивле-
ний. При xL > хс имеем х = xL — хс >
> 0 и ток отстает по фазе от напря-
жения, ф = arctg (х/г) > 0. При xL = хс
имеем х — 0, ф = 0, z = г, ток совпадает
по фазе с напряжением, rLC-цепь в це-
лом проявляет себя как активное сопро-
тивление. Это случай так называемого
резонанса в последовательном контуре,
который подробно рассматривается в
§ 5.2. Наконец, при xL < хс имеем х < 0,
Ф < 0, ток опережает по фазе напряже-
ние.
Векторные диаграммы для трех воз-
можных соотношений xL и хс даны на
рис. 3.11. При построении этих диаграмм
начальная фаза тока ф/ принята равной
нулю. Поэтому ф и фм равны друг другу.
Рассматривая при заданной частоте
цепь по рис. 3.8 в целом как пассивный
двухполюсник, можно ее представить
одной из трех эквивалентных схем: при
xL > хс как последовательное соедине-
ние сопротивления и индуктивности (г
и x'L — xL — хс\ при xL = хс как сопро-
тивление г и при xL < хс как последо-
вательное соединение сопротивления и
емкости (г и х'с — хс — xL). При задан-
ных L и С соотношение между xL и хс
зависит от частоты, а потому от часто-
ты зависит и вид эквивалентной схемы.
Выше, в § 3.8, было принято, что
задан ток, а определялись напряжения
на элементах и на входных выводах
цепи. Однако часто бывает задано на-
пряжение на выводах, а ищется ток.
Решение такой задачи не представляет
труда. Записав по заданным величинам
комплексное напряжение U и комплекс-
ное сопротивление Z, определим комп-
лексный ток
L=ujz
и тем самым действующий ток и на-
чальную фазу тока.
Часто равной нулю принимается
начальная фаза заданного напряжения:
фм = 0. В этом случае, как следует из
(3.28), начальная фаза тока \|/f равна и
противоположна по знаку разности фаз
Ф, т. е. ф< = — ф.
75
>''UL=j*Ll
и L
о---------—*—1>
r£
''UtT-jtcL
X=O
6)
Рис. 3.11
Установленные выше соотношения
между амплитудами и действующими
токами и напряжениями, а также выра-
жение для сдвига фаз (р позволяют
вычислить ток и не прибегая к записи
закона Ома в комплексной форме.
Подробно этот путь решения показан
в примере 3.4.
Пример 3.4. К цепи, состоящей из
последовательно соединенных конденсатора
и катушки, приложено напряжение и —
= 100 sin 5000г В. Емкость конденсатора
С — 5 мкФ, сопротивление катушки г =
= 15 Ом, индуктивность L= 12 мГн. Найти
мгновенные значения тока в цепи и напря-
жений на конденсаторе и на катушке.
Решение. Схема замещения цепи по-
казана на рис. 3.8.
xL = coL = 5000• 12• 10"3 = 60 Ом;
хс = 1/<оС = 1/(5000 -5 • 10'6) = 40 Ом;
х = xL — хс = 60 — 40 = 20 Ом;
z ]/г2 4- х2 = ]/152 4- 202 = 25 Ом;
Im = Um/z = 100/25 = 4 А;
tgq> = 20/15; ф = 53°О8';
i = 4 sin (5000г — 53° 08') А;
Ucm = xcIm = W 4= 160 В.
Напряжение на емкости отстает от тока
по фазе на 90°, следовательно,
ис = 160 sin (5000г - 143° 08') В.
Комплексное сопротивление катушки
Zjcax — r + jxL = 15 4- /60 = 61,8 zl 75° 58' Ом.
Комплексная амплитуда напряжения на
выводах катушки
Улалт = ^катЬи = 61,8 75° 58'. 4 Z. — 53°08'=
= 247,2 22° 50' В.
Мгновенное напряжение на катушке
мкат — 247,2 sin (5000t + 22° 50') В.
Пример 3.5. В цепи, состоящей из после-
довательно соединенных конденсатора и ка-
тушки, ток I = 2 А, его частота f — 50 Гц.
Напряжение на выводах цепи U = 100 В,
катушки 1/кат =150 В и конденсатора Uc =
= 200 В. Определить сопротивление и ин-
дуктивность катушки и емкость конденсато-
ра.
Решение, со = 2itf = 2л • 50 = 314 рад/с;
хс = Uc/1 = ЮО Ом и С = 1/сохс = 31,8 мкФ.
Полное сопротивление цепи z = U/I =
= 50 Ом.
Полное сопротивление катушки zKaT =
= ^катД = 75 Ом;
Z2 = г2 + (xL - Хс)2 = г2 4- х2l- 2xLXc 4- *с;
?кат = г2 + x2l; Z2 - z2aT = -2xlxc 4- %с;
XL — (2кат + ХС — z2)/^xC = 65,6 Ом;
L = xl/cd = 0,209 Гн.
3.11. Напряжение и токи при
параллельном соединении
резистивного, индуктивного
и емкостного элементов
Пусть к цепи, схема которой со-
стоит из параллельного соединения эле-
ментов г, L и С (рис. 3.12), приложено
напряжение и = Um sin (сог 4- ф J.
Рис. 3.12
76
От значения аргумента комплексной
величины в квадратных скобках, на ко-
торую умножается комплексное напря-
жение, зависит разность фаз напряжения
и тока. Так как под разностью фаз
понимается значение Ф = фм — Фв и, сле-
довательно, ф/ = Фи — Ф, то аргумент
комплексной величины в квадратных
скобках следует обозначить — ф:
Определим токи во всех ветвях.
По первому закону Кирхгофа
k + Il + U
2 e-jvUeJ^tt=IeJ\
(3.30)
( 1/coL—cd С \
где — Ф = arctg I--------—------] > или
1/coL - соС
Ф = arctg ----—------.
Из (3.30) следует, что
или
L + Ll + Lc = L
Вводя для заданного синусоидаль-
ного напряжения изображающее его
комплексное напряжение U = (7eJlk“, при-
меним для каждой ветви закон Ома
в комплексной форме. В результате по-
лучим
г
LL U /(||гм-л/2)ф
LL — ~F е ’
J&L &L
1С = = jaCU = <oCUej^u+nl2\
~ 1/jaC J ~
Из полученных выражений видно,
что ток в сопротивлении совпадает по
фазе с напряжением, ток в индуктив-
ности отстает по фазе от напряжения
на угол я/2, а ток в емкости опережает
напряжение по фазе на угол я/2. Вектор-
ная диаграмма напряжения и токов при
фм < 0 и IL> Ic показана на рис. 3.13.
Подставив выражения комплексных
токов в уравнение первого закона Кирх-
гофа, найдем, что
СУ/г + UJjaL + jcaCU = I
или
[ 1/r - j (1/coL - (DC)] U = L (3.29)
- <р-
На основании этих данных
i = Im sin (cot + фи - ф).
3.12. Проводимости
Комплексной проводи-
мостью называется отношение комп-
лексного тока к комплексному* напря-
жению
У = //L7 = 1/Z = 1Де7ф = уе~™ = у х. -ф,
(3.31а).
где у = 1/z — величина, обратная полно-
му сопротивлению, называется пол-
ной проводимостью.
Комплексная проводимость и комп-
лексное сопротивление взаимно обрат-
ны. Комплексную проводимость можно
представить в виде
У — уе-7ф = у cos ф — jy sin ф = g — jb,
(3.316)
где g — у cos ф — действительная часть
комплексной проводимости, называется
активной проводимостью; Ь —
= у sin ф — значение мнимой части комп-
лексной проводимости, называется ре-
77
Рис. 3.14
Ъь<Ъс9 У&>о
активной проводимостью;
У = ]/#2 + b2; <p = arctg—. (3.32)
9
Из (3.30) и (3.29) следует, что для
схемы, представленной на рис. 3.12,
комплексная проводимость
Y = i/r — j(1/(dL — шС) = д —j(bL—bc),
где
9 = 1/r; bL — 1/(dL = l/xL; Ьс = cdC = 1/хс
и называются соответственно актив-
ной, индуктивной и емкост-
ной проводимостями.
Реактивная проводимость
b = bL-bc. (3.33)
Индуктивная bL и емкостная Ьс
проводимости — арифметические величи-
ны, а реактивная проводимость b — ал-
гебраическая величина и может быть
как больше, так и меньше нуля. Реак-
тивная проводимость b ветви, содержа-
щей только индуктивность, равна индук-
тивной проводимости bLi а реактивная
проводимость b ветви, содержащей толь-
ко емкость, равна емкостной проводи-
мости с обратным знаком, т. е. — Ьс.
Сдвиг по фазе между напряжением
и током зависит от соотношения ин-
дуктивной и емкостной проводимостей.
Для схемы по рис. 3.12 на рис. 3.14
представлены векторные диаграммы для
трех случаев, а именно bL > bc, bL = bc
nbL< bc- При построении этих диаграмм
начальная фаза напряжения принята
78
равной нулю, поэтому ф и фь как это
следует из (3.28), равны й противополож-
ны по знаку (ф, — -- ф).
Рассматривая схему на рис. 3.12 в це-
лом как пассивный двухполюсник, мож-
но заметить, что при заданной частоте
она эквивалентна в первом случае па-
раллельному соединению сопротивления
и индуктивности, во втором — сопротив-
лению и в третьем — параллельному
соединению сопротивления и емкости.
Второй случай называется резонансом
и рассматривается в гл. 5. При задан-
ных L и С соотношение между bL и Ьс
зависит от частоты, а поэтому от часто-
ты зависит и вид эквивалентной схемы.
Обратим внимание на то, что в схе-
ме рис. 3.12 каждая из параллельных
ветвей содержит по одному элементу.
Поэтому получилось такое простое вы-
ражение для У, в которое проводимости
элементов входят как отдельные слагае-
мые.
Заметим, что обозначения Z, У, г, х,
xL, 9* b, bL и Ьс применяются не толь-
ко для сопротивлений и проводимостей,
но и для элементов схемы, характери-
зуемых этими величинами. В таких слу-
чаях элементам схемы дают те же самые
наименования, какие присвоены величи-
нам, которые обозначаются этими бук-
вами. Комплексные сопротивления или
проводимости как элементы схемы име-
ют условное обозначение в виде прямо-
угольника (см. рис. 3.1). Точно так же
обозначают реактивные сопротивления
или проводимости, если хотят отметить,
что они могут быть как индуктивными,
так й емкостными сопротивлениями или
проводимостями.
3.13. Пассивный двухполюсник
Ток и напряжение на входе любого
пассивного двухполюсника (рис. 3.15)
связаны законом Ома
U = Zj и [=YU,
где Z и Y — входные комплексные со-
противление и проводимость двухпо-
люсника.
Входному комплексному сопротивле-
нию Z = г 4- jx соответствует эквива-
лентная схема двухполюсника, состоя-
щая из последовательного соединения
активного сопротивления г и реактив-
ного сопротивления х. Последнее в за-
висимости от знака следует рассматри-
вать либо как индуктивное, либо как
емкостное сопротивление. Поэтому на
эквивалентной схеме (рис. 3.16, а) сопро-
тивление х показано условно прямо-
угольником.
Комплексная проводимость
—= 1 r-jx
Z г +jx г2 + х2
= Я-jb, (3.34)
и, наоборот,
г = gz2 = д/у2; х = bz2 = b/y2. (3.36)
Из полученных соотношений видно,
что b и х всегда имеют одинаковый знак.
Например, для схемы на рис. 3.8
получаем для g и b довольно сложные
выражения, причем не только Ь, но и g
зависят от частоты:
_ г
9 г2 4- (coL - 1/соС)2 ’
._______coL- 1/соС
г2 4- (coL — 1/шС)2 ’
Наоборот, для схемы на рис. 3.12,
состоящей из параллельного соедине-
ния элементов, получаются простые вы-
ражения для проводимостей, но относи-
тельно сложные выражения для сопро-
тивлений, причем и эквивалентное ак-
тивное сопротивление зависит от часто-
ты. По (3.36)
___________Я________.
Г g2 + (l/fi)L — (ОС)2 ’
_ 1/coL—coC
Х д2 4- (1/coL - соС)2 ’
откуда
g — r/z2; b = x/z2, (3.35)
Переход от сопротивления Z = г 4- jx
к проводимости Y = д —jb и обратно
соответствует замене схемы цепи с по-
следовательным соединением элементов
г и jx эквивалентной схемой с „ парал-
лельным соединением элементов д и —jb
и обратно (рис. 3.16, а и б).
Напряжение U можно разложить на
составляющие:
U = Z£ = (r + jx)I_ =
= rl + jxl_ = U* + U у,
где LLa = rL~ составляющая, совпадаю-
щая по фазе с током, называется
Рис. 3.16
79
активной составляющей на-
пряжения; U_p— ixL ~~ составляющая,
сдвинутая по фазе относительно тока
на угол я/2, называется реактив-
ной составляющей напряже-
ния.
Составляющие 11я и С/р можно рас-
сматривать как напряжения на элемен-
тах г и х эквивалентной схемы.
На рис. 3.16, в представлена вектор-
ная диаграмма двухполюсника при ф >
> 0, т. е. если х — индуктивное сопро-
тивление. Треугольник, образованный
векторами L7, С/я. и С/р со сторонами,
пропорциональными z, г и | х |, называ-
ется треугольником напряже-
ний. Подобный ему треугольник, сто-
роны которого в произвольно выбран-
ном масштабе равны сопротивлениям z,
г и | х |, называется треугольником
сопротивлений. Из треугольника
напряжений следует, что
Ua= U cos <р; С/р = U | sin ф |;
и = 1М2 + с/р2.
Входной комплексной проводимости
Y — д — jb соответствует эквивалентная
схема двухполюсника, состоящая из па-
раллельного соединения проводимостей
д и —Jb. Последняя в зависимости от
знака либо индуктивная, либо емкост-
ная. Поэтому на эквивалентной схеме
(рис. 3.16,6) проводимость Ь, показана ус-
ловно прямоугольником. Ток на входе
двухполюсника можно разложить на
составляющие:
L=YU = (g-jb)u =
= gU-jbu = L + Lp
где 1Я — gU — составляющая, совпадаю-
щая по фазе с напряжением, называется
активной составляющей то-
ка; /р = —jbU — составляющая, сдвину-
тая по фазе относительно напряжения
на угол я/2, называется реактивной
составляющей тока.
Составляющие 7а и 7Р можно рас-
сматривать как токи в элементах д и
—jb эквивалентной схемы.
Треугольник, образованный вектора-
ми 7, 1Я и 7Р, со сторонами, пропор-
циональными у, д, | b |, называется
треугольником токов. Подоб-
80
ный ему треугольник, стороны которого
в произвольно выбранном масштабе
равны проводимостям у, д и | b |, назы-
вается треугольником прово-
димостей.
Из треугольника токов имеем
7а = I cos ф; /р — 11 sin ф |;
I = //а2 + Ь
Пример 3.6. Цепь состоит из конденса-
тора емкостью С = 10 мкФ и резистора
с сопротивлением г — 100 Ом, включенных
параллельно. Определить, каковы должны
быть емкость конденсатора и сопротивление
резистора, чтобы при их последовательном
соединении получилась цепь, эквивалентная
данной при частоте со = 103 рад/с.
Решение. Проводимости данной цепи
^=1/г=Ю-2 См; Ь=-Ьс=-о)С =
= -103-10-10~6= -10"2 См; у2 = д2 +
+ Ь2 = 2-10-4 См2.
Сопротивления данной цепи г = д/у2 -
= 50 Ом; х = b/у2 = — 50 Ом.
Эквивалентная цепь должна иметь такие
же сопротивления. Таким образом, искомое
сопротивление резистора 50 Ом, а емкость
конденсатора С = — 1/сох = 20 мкФ.
Пример 3.7. Напряжение и ток на входе
пассивного двухполюсника (см. рис. 3.15)
и = 100 sin (314г — 15°) В, i = 10 sin (314г+
+ 45°) А.
Определить параметры двух эквивалент-
ных схем двухполюсника, активные и реак-
тивные составляющие напряжения и тока.
Решение.
и^ = 100 z. -15° В; 7m=10z.45°A;
Z= C7w/7m= 100^ -15°/10 z. 45° =
= 10zl -60° = 5— /5 |/з Ом;
Y = 1/Z = 1/(10 z. -60°) = 0,1 60° =
= 0,05 + j'0,051/3 Cm;
r = 5 Ом; x = — 5 |/з Ом;
g = 0,05 Cm; b = -0,05/з См;
Ф = arg Z = \|/u - \|/f = -15 -45 = - 60°;
Uam = Um cos <p = 100 cos z. — 60° = 50 B;
l/pa, = I sin <p | = 1001 sin z. -60°| = 50)/з В;
7am = 7m cos <p = 10 cos z. 60° = 5 A;
/p„ =/„ | sin <p | = 101 sin .z —60° | = 51/3 A;
wa = 50 sin (314t + 45°) B;
np = 501/3 sin (314t - 45°) B;
i„ = 5 sin(314t - 15°) A;
ip = 5|/3sin(314t + 75°) A.
3.14. Мощности
Рассмотрим энергетические соотно-
шения в цепи синусоидального тока (о
термине «мощность» см. § 1.1).
Положим, что за элементарный про-
межуток времени dt через поперечное
сечение провода в направлении, приня-
том за положительное для тока i (см.
рис. 3.15), проходит электрический заряд
dq. Перемещение заряда в направлении,
совпадающем с положительным направ-
лением ЭДС источника, сопровождается
элементарной работой dA = edq источ-
ника. Такая электромагнитная энергия
отдается источником во внешнюю цепь
и затрачивается на работу dA = udq по
перемещению заряда dq в положитель-
ном направлении напряжения и через
пассивный двухполюсник.
Мгновенная мощность, про-
изводимая и отдаваемая источником
ЭДС и получаемая двухполюсником,
равна скорости совершения работы в
данный момент времени:
р = dA/dt — ui.
Напряжение и ток на входе пассив-
ного двухполюсника в общем случае
сдвинуты по фазе на угол ф. Примем
начальную фазу напряжения = О и
найдем из (3.28) начальную фазу тока
ф. = — ф. При таком условии мгновен-
ные значения напряжения и тока
и = Um sin cor; i = Im sin (cot — ф).
Мгновенная мощность
p = ui = UmIm sin cot • sin (cot — ф) =
= — [cos ф — cos (2cot — ф)] =
= UI cos ф — UI cos (2cot — ф). (3.37)
Мгновенная мощность имеет посто-
янную составляющую и гармоническую
составляющую, частота которой в 2 раза
больше частоты напряжения и тока
(рис. 3.17). Мгновенная мощность, полу-
чаемая двухполюсником и отдаваемая
источником напряжения (ЭДС), положи-
тельна, когда у напряжения и и тока i
одинаковые знаки, т. е. когда действи-
тельные направления напряжения и тока
Рис. 3.17
в двухполюснике одинаковы и одинако-
вы действительные направления ЭДС и
тока источника (см. рис. 3.15); она отри-
цательна, когда у напряжения и тока
разные знаки, т. е. когда действитель-
ные направления напряжения и тока
в двухполюснике противоположны и
противоположны действительные на-
правления ЭДС и тока источника.
Действительные направления и и i
в течение отдельных интервалов време-
ни показаны на рис. 3.17.
Когда мгновенная мощность отри-
цательна, энергия поступает не в двух-
полюсник, а возвращается из двухполюс-
ника источнику ЭДС. Такой возврат
энергии источнику питания возможен,
так как энергия периодически запасается
в магнитных и электрических полях
элементов цепи, входящих в состав
двухполюсника. Энергия, отдаваемая ис-
точником и поступающая в двухполюс-
t
ник в течение времени t, равна J р dt.
о
На графике она соответствует площади,
ограниченной кривой р и осью абсцисс
на интервале времени t. Знаками плюс
и минус отмечены заштрихованные пло-
щади, соответствующие энергии, посту-
пающей в двухполюсник и возвращае-
мой источнику.
Если двухполюсник состоит только
из резистивных элементов, энергия на-
копляться в нем не может. В этом
случае нет сдвига фаз между напряже-
нием и током (ф — 0). Знаки тока i и
81
напряжения и в любой момент времени
одинаковы и р > 0 (см. далее рис. 3.18, а),
и нет таких моментов времени, когда
энергия возвращалась бы из двухполюс-
ника источнику питания.
Среднее значение мгновенной мощ-
ности за период называется актив-
ной мощностью, или иногда прос-
то мощностью, и, как следует из (3.37),
т
Р = у j р dt = UI cos <p. (3.38)
О
Активная мощность, получаемая
пассивным двухполюсником, не может
быть отрицательной (иначе двухполюс-
ник не потреблял бы энергию, а гене-
рировал ее), поэтому всегда cos ф > О,
т. е. на входе пассивного двухполюсни-
ка — л/2 < <р < л/2. Случай Р = 0, ф =
Рис. 3.18
= | л/2 | теоретически возможен для двух-
полюсника, не имеющего резистивных
элементов, а содержащего только ин-
дуктивные и емкостные.
Электрические машины и аппараты
конструируют для работы при опреде-
ленных значениях напряжения и тока.
Поэтому их характеризуют не активной
мощностью, зависящей от сдвига фаз ф
между напряжением и током, а пол-
ной мощностью
5 = UI, (3.39)
равной произведению действующих на-
пряжения и тока.
Очевидно, что полная мощность рав-
на наибольшему значению активной
мощности при заданных напряжении
и токе. Отметим также, что амплитуда
гармонической составляющей мгновен-
ной мощности (3.37) численно равна
полной мощности. Размерность полной
и активной мощностей одинаковая, од-
нако единицу измерения мощности в
применении к полной мощности назы-
вают вольт-ампер (В А). Это поз-
воляет при численном выражении пол-
ной мощности кратко говорить: мощ-
ность столько-то вольт-ампер, так как
наименование единицы (вольт-ампер)
сразу указывает, что речь идет о пол-
ной мощности.
Отношение активной мощности к
полной, равное косинусу угла сдвига
фаз между напряжением и током, назы-
вается коэффициентом мощно-
сти:
P/S = UI cos ф/1/Z = cos ф. (3.40)
Для лучшего использования элект-
рических машин и аппаратов желатель-
но иметь возможно более высокий
коэффициент мощности или возможно
меньший сдвиг по фазе тока относитель-
но напряжения, т. е. стремиться полу-
чить cos ф = 1. Так, например, для пита-
ния приемника мощностью 10 000 кВт
при cos ф = 0,7 источник питания дол-
жен быть рассчитан на мощность
14 300 кВ • А, а при cos ф = 1 — на
10000 кВ А.
Высокий коэффициент мощности же-
лателен также для уменьшения потерь
при передаче энергии по линиям. При
82
данной активной мощности Р приемни-
ка ток в линии тем меньше, чем боль-
ше значение cos ср:
I — P/U cos ф.
При расчетах электрических цепей
находит применение так называемая
реактивная мощность:
Q = UI sin ф. (3.41)
Она положительна при отстающем
токе (ф > 0) и отрицательна при опере-
жающем токе (ф < 0). Единицу мощно-
сти в применении к измерению реак-
тивной мощности называют вар (на-
звание происходит от сокращения слов
«вольт», «ампер» и «реактивный»). Это
отдельное наименование позволяет го-
ворить вместо реактивная мощность
просто мощность, равная стольким-то
вар.
Активная, реактивная и полная мощ-
ности связаны соотношениями
S2 = Р2 + Q2; S = ]/p2 + Q2; Q/P = tg q>.
(3.42)
Для увеличения коэффициента мощ-
ности (совф) приемника нужно, очевид-
но, уменьшать его реактивную мощ-
ность.
В то время как активная мощность
определяет (в среднем) совершаемую
работу или передаваемую энергию в
единицу времени, полная и реактивная
мощности не определяют ни совершае-
мой работы, ни передаваемой энергии
за единицу времени. Однако в электро-
энергетике по аналогии с понятием
активной мощности приписывают реак-
тивной мощности аналогичный смысл,
а именно ее рассматривают как мощ-
ность отдачи, получения или передачи
некоторой величины, которую, хотя она
и не является энергией, условно назы-
вают реактивной энергией
wp = Qt.
Размерность этой величины одина-
кова с размерностью энергии. Единицу
измерения реактивной энергии называ-
ют вар-час; напомним, что энергия
в электроэнергетике обычно измеряется
в ватт-часах. Если наряду с энергией
нужно рассматривать и реактивную
энергию, то во избежание путаницы для
внесения четкого различия этих двух
понятий энергию называют активной.
На практике реактивная энергия, как
и активная, измеряется счетчиками. При
изменяющейся с течением времени на-
грузке по показаниям счетчиком можно
определить средний коэффициент мощ-
ности (cos ф)ср, предварительно вычислив
(tg Ф)с₽ = ^Р/Жа = Qcpt/Pcpt = еср/рср,
(3.43)
где Жа — активная энергия; Рср и <2ср —
средние значения активной и реактивной
мощностей.
Рассмотрим теперь простой прием,
позволяющий найти активную и реак-
тивную мощности при известных комп-
лексных напряжении и токе. Он заклю-
чается в том, что нужно взять ‘ произ-
ведение комплексного напряжения _U
*
и комплекса 1, сопряженного с комплекс-
ным током 1. Это произведение назы-
вают комплексной мощностью,
которую обозначают S.
Пусть U = U <4 фм, I = I z_ \|/£, так
что 1 = I — ф,- и 5=L71=L7zl\|/mx
х I -\|/f = UI \|/м — \|/f = UI Z_ ф =
= UI cos ф + jUI sin ф, т. е.
5 = Щ = р + jQ. (3.44)
Отсюда видно, что действительная
часть комплексной мощности равна ак-
тивной мощности, а мнимая часть —
реактивной. Модуль комплексной мощ-
ности равен полной мощности 5.
Из приведенных выше основных вы-
ражений для мощностей 5, S, Р и Q
получается ряд других выражений, в ко-
торые входят параметры пассивного
двухполюсника или активные и реактив-
ные составляющие тока и напряжения:
s = m = zn = zi2;
♦ * * *
S=Ul=UYU = YU2;
5 = UI = zI2 = yU2;
P = UI cos ф = UaI = UIa = zl2 cos ф =
= ri2 = yU2 cos ф = gU2;
Q— UI sin ф = zl2 sin ф = xl2 =
= yU2 sin ф = bU2.
83
Для абсолютного значения реактив-
ной мощности справедливы также выра-
жения
\Q\ = UPI=UIP.
Из равенств S = UI9 Р = UJ = UI&
и I Q | — Upl — UIP следует, что стороны
треугольников напряжений и токов (см.
§ 3.13) пропорциональны мощностям S,
Р и | Q |. Подобный им треугольник,
стороны которого в произвольно вы-
бранном масштабе равны мощностям S,
Р и |2|, называется треугольни-
ком мощностей.
3.15. Мощности резистивного,
индуктивного и емкостного элементов
Вся энергия, поступающая в резис-
тивный элемент, преобразуется в тепло.
Принимая во внимание, что и = п, мгно-
венную мощность можно представить
в следующем виде:
р — ui — ri2.
Ток совпадает по фазе с напряже-
нием, ф = 0, cos ф = 1, и в соответствии
с (3.37)
L/7 (1 — cos 2сос). (3.45)
Мгновенная мощность колеблется в
пределах от 0 до 2UI и не бывает
отрицательной (рис. 3.18, а). Активная
мощность равна полной мощности, а
реактивная мощность равна нулю
(sin ф — 0).
Мгновенные мощности поступления
энергии в индуктивный и в емкостный
элементы равны скоростям прироста
энергии соответственно магнитного и
электрического полей.
Действительно, для индуктивности
т di .
р = ui — L ~i
r dt
d / Li2 \
dt\ 2 )
и для емкости
du d
р = ui — иС = -т-
r dt dt
Так как для индуктивности ф — л/2,
а для емкости ф == — л/2, то для обоих
случаев из (3.37) получаем
/ л \
р — — UI cos I 2cof + — -1 = ip UI sin 2coL
(3.46)
Здесь верхние знаки относятся к ин-
дуктивности, а нижние — к емкости.
Площади, ограниченные кривыми
мгновенных мощностей и осями абсцисс
(рис. 3.18,6 и в), пропорциональны энер-
гии, которая поступает в индуктивный
или емкостный элементы (отмечены зна-
ком плюс) и возвращается источнику
питания (отмечены знаком минус); эти
площади равны друг другу. Происходит
непрерывный обмен энергией между ис-
точником питания и соответственно
между магнитным или электрическим
полями.
Активные мощности у индуктивного
и емкостного элементов равны нулю.
Реактивная мощность, получаемая ин-
дуктивным элементом, положительна,
а получаемая емкостным — отрицатель-
на [sin ф = sin (± л/2) = ± 1]. Отрица-
тельная потребляемая реактивная мощ-
ность соответствует положительной от-
даваемой. Следовательно, индуктив-
ность можно рассматривать как потре-
битель реактивной энергии, а емкость —
как ее генератор.
Реактивные мощности, получаемые
индуктивным и емкостным элементами,
можно выразить как произведения уг-
ловой частоты со и максимальных зна-
чений энергии, периодически запасаемых
соответственно в магнитном и электри-
ческом полях:
wumax = LI2m/2 и PF3max = CU2m/2.
Действительно, для индуктивного
элемента
eL= (7/sin у = <oLIl =
= <оЫ2/2 = ®PFMmax (3.47)
и для емкостного
2с = UI sin (- л/2) = - UaCU =
= -<оС^/2= -(Мэтах. (3.48)
Отметим, что источники питания
могут либо отдавать, либо получать
реактивную мощность. Так, источник,
84
питающий индуктивный элемент, отдает,
а источник, питающий емкостный эле-
мент, получает реактивную мощность.
3.16. Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии сле-
дует, что в любой цепи соблюдается
баланс как мгновенных, так и активных
мощностей. Сумма всех отдаваемых
(мгновенных и активных) мощностей
равна сумме всех получаемых (соответ-
ственно мгновенных или активных) мощ-
ностей. Покажем, что соблюдается ба-
ланс и для комплексных, и, следова-
тельно, для реактивных мощностей.
Пусть общее число узлов схемы рав-
но и. Здесь будем под узлом понимать
и место соединения любых двух элемен-
тов схемы (источников и приемников),
а под ветвью — каждый участок схемы,
содержащий один из ее элементов.
Напишем для каждого из п узлов
уравнения по первому закону Кирхгофа
для комплексов, сопряженных с комп-
лексными токами:
* * *
Ln + 113 + • • • + 11и = 0;
L11 + 1.23 + • • ’ + 1.2п — 0;
* * *
Lnl + 1п2 + • • • + Ln, п- 1 — 0.
Эти уравнения записаны в общей
форме в предположении, что каждый
узел связан со всеми остальными п — 1
узлами. При отсутствии тех или иных
ветвей соответствующие слагаемые в
уравнениях выпадают. При наличии
между какой-либо парой узлов несколь-
ких ветвей число слагаемых соответ-
ственно увеличивается. Так, например,
если между узлами 1 и 2 включены две
ветви, то вместо 112*и /21 *в уравнения
войдут суммы Г12 + 112 И Г21 + Ill-
Умножим каждое из уравнений на
комплексный потенциал узла, для кото-
рого составлено уравнение, и затем все
уравнения просуммируем. Учтем, что
комплексы, сопряженные с комплексны-
ми токами, входят в эти уравнения
дважды (для д^вух различных направле-
ний), причем 121 = ~112, 1з1 = “113 и
т. д. В результате получим
* *
(ф1 ~ Фг) Li 2 + (ф 1 “ Фз) L1 з + • • •
... + (фЛ-1 - фя)/л-1,л = 0,
т. е. сумма комплексных получаемых
мощностей во всех ветвях цепи равна
нулю. Здесь все слагаемые представля-
ют комплексные получаемые мощности,
потому что они вычисляются для оди-
наковых положительных направлений
напряжений (разностей потенциалов) и
токов.
Полученное равенство выражает ба-
ланс комплексных мощностей. Из него
следует равенство нулю в отдельности
суммы получаемых активных мощно-
стей и суммы получаемых реактивных
мощностей. Так как отрицательные по-
лучаемые мощности представляют со-
бой мощности отдаваемые, то можно
утверждать, что суммы всех отдаваемых
и всех получаемых реактивных мощно-
стей равны друг другу.
Аналогичную формулировку можно
придать и балансу комплексных мощ-
ностей. Перенеся часть слагаемых в пра-
вую часть уравнения с противополож-
ным знаком, т. е. рассматривая их как
мощности отдаваемые, убедимся в ра-
венстве сумм комплексных получаемых
и отдаваемых мощностей:
У Уполуч = У УтД’
При равенстве сумм комплексных
величин суммы их модулей в общем
случае не равны друг другу. Отсюда
следует, что для полных мощностей 5
баланс не соблюдается.
Получаемая пассивным двухполюс-
ником реактивная мощность должна
равняться сумме реактивных мощно-
стей, получаемых индуктивными и ем-
костными элементами, которые состав-
ляют его схему:
Пользуясь соотношениями (3.47) и
(3.48), получаем
Q = £ wMmax - £ w;max). (3.49)
Часто вместо (3.48) принимают для ре-
активной мощности емкостного элемен-
85
ха
Qc - UaCV = vCU2m/2 = uW3max,
при этом
Q = YQl-YQc,
но формула (3.49) не изменяется.
Заметим, что положения этого па-
раграфа могут быть распространены и
на цепи, между элементами которых
имеются взаимные индуктивности, так
как подобные цепи, как будет показано,
можно свести путем преобразования к
схемам, не содержащим взаимных ин-
дуктивностей.
3.17. Знаки мощностей и направление
передачи энергии
Пусть два активных двухполюсника
и А 2 соединены друг с другом
(pnq. 3.19, а). Предположим, что переда-
ча энергии в зависимости от режима
работы может происходить в любом
направлении - и от Аг к Л2, и от А2
к Лр
Выбранные положительные направле-
ния напряжения, и тока (рис. 3.19, а)
совпадают друг с другом в двухполюс-
нике А 2 и противоположны друг другу
Рис. 3.19
в двухполюснике At. Поэтому мощ-
ности
р — ui и S = Ш = Р + jQ
являются мощностями, получаемыми
двухполюсником А 2 и отдаваемыми
двухполюсником ЛР Если р > 0, то в
данный момент времени энергия пере-
дается от двухполюсника Ал к двух-
полюснику Л2. Если Р > 0, то за каждый
период Т двухполюсник Л2 получает,
а двухполюсник А{ отдает энергию,
равную РТ. При Q > 0 двухполюсник
Ai отдает, а двухполюсник Л2 получает
реактивную энергию. При р < 0 энергия
в данный момент передается в обрат-
ном направлении, при Р < 0 энергия за
.каждый период поступает из двухпо-
люсника А2 в двухполюсник Лр При
Q < 0 реактивную энергию отдает двух-
полюсник Л2.
Для рассматриваемой цепи на
рис. 3.19, б приведена векторная диаграм-
ма напряжения и тока. При выбранном
направлении вектора U в зависимости
от режима цепи вектор тока / может
находиться в любом квадранте диаграм-
мы. На диаграмме выделены области
расположения вектора /, соответствую-
щие положительным и отрицательным
значениям активной и реактивной мощ-
ностей. Так, для положения вектора Z,
показанного на диаграмме штриховой
линией, Р > 0 и б < 0. В этом режиме
работы активная мощность передается
от к Л2, а реактивная — от Л2 к ЛР
Рассмотрим теперь, как определя-
ется направление передачи энергии по
кривым мгновенных значений напряже-
ния и тока, полученным эксперимен-
тально. На рис. 3.20, а показана схема
включения осциллографа — прибора, на
экране которого наблюдают эти кривые.
Ординаты кривых пропорциональны
мгновенным значениям напряжений,
подводимых к выводам осциллографа
с надписями «Напр.» и «Ток». Ток в
цепи между двухполюсниками А{ и Л2
регистрируется осциллографом косвен-
но, как напряжение на резисторе с не-
большим сопротивлением, который
включен в соединительные провода.
Напряжение на этом сопротивлении
пропорционально току и совпадает с ним
86
Рис. 3.20
по фазе. Знаками + и — отмечена
полярность выводов осциллографа, при
которой ординаты кривых положитель-
ны.
Пусть наблюдаются кривые, или, как
их называют, осциллограммы и и иг =
= ri, показанные на рис. 3.20, б.
Для решения вопроса о направлении
передачи энергии укажем на схеме поло-
жительные направления напряжения и
тока в соответствии с разметкой + и —
выводов осциллографа. Положительные
направления напряжения и тока, удов-
летворяющие этому условию, совпада-
ют для двухполюсника А2 и противо-
положны для двухполюсника Аг. Сле-
довательно, по кривым тока и напря-
жения, показанным на рис. 3.20, б, опре-
деляется мощность, получаемая двух-
полюсником Л2, или мощность, отдавае-
мая двухполюсником Лр В те проме-
жутки времени, когда ординаты кривых
и и иг одного знака, энергия передается
от Л! к Л2, когда же знаки и и иг раз-
личны, энергия передается от Л2 к ЛР
Из осциллограммы видно, чточр « 2я/3,
следовательно, Р = UI cos <р < 0 и Q =
= UI sin ф > 0. Таким образом, активная
мощность передается отгЛ2 к Ль а
реактивная — от At к Л2. Ясно, что
направление передачи энергии может
быть установлено по осциллограммам
тока и напряжения только в том случае,
если известна полярность выводов ос-
циллографа и схема его подключения
к цепи.
Активная мощность измеряется
ваттметром, который имеет две цепи,
или, как принято говорить, две обмот-
ки — напряжения и тока. Два вывода,
один — обмотки напряжения и один —
обмотки тока, обозначают одинаковыми
значками, обычно звездочками
(рис. 3.21, а).
Ваттметр устроен так, что измеряет
значение
L7cos(z U, I),
где U и I — действующие напряжение
и ток, подведенные к ваттметру, а л. U>
I — угол сдвига фаз между ними, кото-
рый соответствует одинаковым поло-
жительным направлениям U_ и I отно-
сительно выводов, отмеченных звездоч-
кой (например, на рис. 3.21, а — от выво-
дов, отмеченных звездочкой, к выводам,
не отмеченным звездочкой). Стрелка
ваттметра отклоняется по шкале, если
I JL LI < я/2, Т. е. cos (z. U, I) > 0. Если
же | z. I/, 11 > л/2 и, следовательно,
cos(z. U, I) < 0, то стрелка отклоняется
не по шкале, а в противоположную
сторону.
На рис. 3.21,6 показаны два ватт-
метра, у которых обмотки тока вклю-
чены различно. У ваттметра 1 вывод
токовой обмотки, отмеченный звездоч-
Рис. 3.21
87
кой, находится слева, а у ваттметра
2 — справа. Как уже отмечено, ваттмет-
ры дают показания (стрелки отклоня-
ются по шкале), если | z I/, Z | < я/2. Для
ваттметра 1 это будет при передаче
энергии от Ai к Л2, а для ваттметра
2 ~ от А2 к Таким образом, по
показаниям ваттметра можно опреде-
лить не только мощность, но и направ-
ление передаваемой энергии, нужно толь-
ко знать разметку выводов ваттметра
и как он включен в цепь.
3.18. Определение параметров
пассивного двухполюсника при
помощи амперметра, вольтметра
и ваттметра
Существуют различные эксперимен-
тальные методы определения парамет-
ров пассивных двухполюсников. Рас-
смотрим метод, основанный на измере-
нии тока, напряжения и активной мощ-
ности на входе двухполюсника.
Определив по приборам U, I и Р,
найдем
z = U/Ц у - Z/L7; г - Р/Z2; д = P/U2.
Затем вычислим абсолютные значе-'
ния реактивных сопротивления и про-
водимости [см. (3.26) и (3.32)]:
I X I = + ]/z2 - г2; I h I = + ]/у2 -д2.
Для определения знака х и b необ-
ходимо провести дополнительные изме-
рения в измененных условиях. Можно,
например, последовательно с двухпо-
люсником включить конденсатор с ем-
костным сопротивлением хс и, проведя
заново измерения, определить по при-
веденным выше формулам новое абсо-
лютное значение реактивного сопротив-
ления | х — хс |. Если реактивное сопро-
тивление двухполюсника положительно
и емкостное сопротивление конденсато-
ра хс < | 2х |, то очевидно, что | х —
— хс | < -| х |; если же реактивное сопро-
тивление х двухполюсника отрицатель-
но, то | х — хс | > | х |. Таким образом,
выбирая хс < | 2х | и сопоставляя абсо-
лютные значения х и (х — хс), можно
определить знак х (знак b совпадает
со знаком х).
88
Можно включить конденсатор па-
раллельно двухполюснику и, проведя
измерения, вычислить новое значение
| b — Ьс |. Если выбрать bc < 12Ь |, то при
I b — Ьс | < I b | проводимость h > 0, а при
I Ь — Ьс | > | b I проводимость b < 0.
Во многих случаях последовательное
или параллельное включение конденса-
тора практически не изменяет актив-
ного сопротивления или активной про-
водимости цепи. Поэтому увеличение
или уменьшение абсолютного значения
реактивного сопротивления или прово-
димости приводит соответственно к уве-
личению или уменьшению полного со-
противления или проводимости и по из-
менениям их значений можно судить
о знаке х и Ь.
Надо помнить, что параметры реаль-
ных цепей зависят от частоты и, будучи
определены при одной частоте, не могут
применяться для расчетов при других
частотах.
3.19. Условия передачи максимальной
мощности от источника энергии
к приемнику
Представим источник энергии с ЭДС
Е и внутренним сопротивлением =
= гвт 4- jxBT схемой замещения (рис. 3.22).
Выясним, каково должно быть сопро-
тивление Z — г 4- jx приемника, чтобы
передаваемая ему активная мощность
была максимальной.
Мощность приемника
(г + Гвт)2 + (х + ХВ1)2 ’
Очевидно, что при любом г мощ-
ность достигает наибольшего значения
при х = — хвт. В этом случае
Р = гЕ2/(г + гвт)2.
Взяв от полученного выражения про-
изводную по г и приравняв ее нулю,
найдем, что Р имеет наибольшее значе-
ние при г — гвт (см. также § 2.9).
Таким образом, приемник получает
от источника наибольшую активную
мощность, если его комплексное сопро-
тивление является сопряженным с комп-
лексным внутренним сопротивлением
Рис. 3.22
источника:
(3.50)
При этом условии
Ртах = Е2/4гвт (3.51)
и коэффициент полезного действия
г/2
n = v .7Ур=0>5- (3-52)
(г + гвт) 1
В электроэнергетических установках
режим передачи максимальной мощно-
сти невыгоден вследствие значительных
потерь энергии. В различного рода
устройствах автоматики, электроники и
связи мощности сигналов весьма малы,
поэтому часто приходится специально
создавать условия передачи приемнику
максимально возможной мощности.
Снижение КПД часто никакого значения
не имеет, так как передаваемая энергия
мала.
Согласование сопротивлений прием-
ника и источника питания в соот-
ветствии с (3.50) можно получить и до-
бавлением в цепь элементов, обладаю-
щих реактивными сопротивлениями (см.
далее пример 4.6).
Иногда сопротивление приемника
можно изменять не произвольно, а толь-
ко с сохранением соотношения между
активным и реактивным сопротивления-
ми, т. е. при ср = const. Анализ, который
здесь не приводится, показывает, что в
этом случае мощность Р максимальна,
если равны друг другу полные сопротив-
ления приемника и источника (z = zBT),
при этом
Р- =_________^2212________(353)
тах 2zBI [1 + cos (<рвт — (р)] ’
Согласования полных сопротивле-
ний приемника и источника питания
можно добиться, включив приемник че-
рез трансформатор (см. § 7.2). В общем
случае приемника — разветвленной пас-
сивной цепи Z — это ее входное сопро-
тивление.
3.20. Понятие о поверхностном
эффекте и эффекте близости
Познакомимся с некоторыми явле-
ниями, оказывающими влияние на па-
раметры электрической цепи.
На рис. 3.23 схематически показаны
магнитные линии в плоскости попереч-
ного сечения уединенного провода с то-
ком. Представим себе этот провод в
виде совокупности нитей, параллельных
его оси. Чем ближе нить расположена
к оси провода, тем с большим числом
магнитных линий она сцеплена.
При периодическом изменении тока
изменяется магнитное поле и в нитях
наводятся ЭДС, противодействующие
изменениям тока. Это противодействие
тем значительнее, чем больше ЭДС (чем
больше магнитных линий сцеплено с
нитью), т. е. чем ближе нить провода
расположена к оси провода. В резуль-
тате плотность тока в различных точ-
ках поперечного сечения получается не-
одинаковой: наибольшая на периферии
провода и наименьшая на его оси.
Рассмотренное явление концентра-
ции переменного тока в поверхностном
слое проводника называют поверх-
ностным эффектом. Резкость про-
явления его возрастает с увеличением
частоты /, диаметра провода J, отно-
сительной магнитной проницаемости
и удельной проводимости а материала
провода. Это объясняется тем, что уве-
личение цг приводит к возрастанию
Рис. 3.23
89
магнитного поля внутри провода, увели-
чение d создает большую разницу в
сцеплениях с магнитными линиями осе-
вых и периферийных нитей провода,
а повышение f и ст увеличивает роль
наводимых в нитях ЭДС, противодей-
ствующих изменению тока в них. Так,
в предельном случае ст = оо весь ток
должен концентрироваться на поверх-
ности провода в бесконечно тонком
слое.
Вследствие поверхностного эффекта
поперечное сечение провода при пере-
менном токе используется хуже, чем при
постоянном токе. При одинаковых зна-
чениях переменного и постоянного то-
ков (равенстве значения постоянного
тока и действующего значения пере-
менного тока) тепловые потери больше
при переменном токе. Поэтому сопро-
тивление провода переменному току
(активное сопротивление) выше, чем
сопротивление провода постоянному то-
ку.
Другим следствием поверхностного
эффекта является некоторое уменьше-
ние индуктивности цепи ввиду ослабле-
ния магнитного поля во внутренней
части провода. В предельном теорети-
ческом случае ток концентрируется на
поверхности провода в бесконечно тон-
ком слое и магнитное поле внутри про-
вода отсутствует.
При высоких частотах переменного
тока внутренняя часть провода практи-
чески не используется, поэтому часто
применяют пустотелые провода в форме
труб. Применяют также высокочастот-
ные многожильные провода. Они состо-
ят из тонких изолированных друг от
друга жил, перевитых таким образом,
чтобы каждая из жил поочередно за-
нимала в поперечном сечении провода
различные положения от его оси до
периферии. При такой конструкции каж-
дая из жил находится в одинаковых
условиях и токи в жилах равны друг
другу. Кроме того, в пределах каждой
жилы вследствие малого ее диаметра
поверхностный эффект проявляется не-
резко и плотность тока по сечению
жилы различается незначительно. При
очень больших частотах емкостная про-
водимость между жилами становится
настолько значительной, что жилы ока-
зываются как бы замкнутыми между
собой, и поверхностный эффект проявля-
ется так же, как и в сплошном прово-
де. Кроме того, становятся весьма за-
метными потери энергии в изоляции
между жилами. Поэтому при частотах
выше 106 Гц многожильные провода
не применяются. При частоте 50 Гц
поверхностный эффект заметен только
в проводах (шинах) достаточно большо-
го поперечного сечения. В медных про-
водах с диаметром меньше 1 см при
частоте 50 Гц увеличением сопротивле-
ния вследствие поверхностного эффекта
практически можно пренебречь.
На распределение переменного тока
в проводе оказывают влияние токи со-
седних проводов. Это явление называют
эффект ом близости. Как показано
на схематических картинах магнитных
полей двух проводов с токами (рис. 3.24),
различные части сечений проводов сцеп-
лены с неодинаковым числом магнит-
ных линий. На основании рассуждений,
аналогичных приведенным для одиноч-
ного провода, можно прийти к заклю-
чению, что наибольшая плотность тока
будет в тех частях сечения проводов,
которые сцеплены с наименьшим чис-
лом магнитных линий.
Если токи в проводах направлены
одинаково (рис. 3.24, а), наибольшая
плотность тока наблюдается в наиболее
удаленных друг от друга частях сечений;
при различных направлениях токов
(рис. 3.24, б) наибольшая плотность тока
получается в наиболее близких друг к
другу частях сечений проводов. Области
наибольших плотностей тока отмечены
90
на рис. 3.24 толстыми линиями. Вызы-
ваемая эффектом близости неравномер-
ность распределения тока по сечению
проводов приводит к увеличению по-
терь энергии, к увеличению разницы
в сопротивлениях проводов переменно-
му и постоянному токам. Расчеты
распределения тока по сечению провод-
ника с учетом поверхностного эффекта
или эффекта близости и сопротивления
проводника относятся к задачам теории
поля.
3.21. Параметры и эквивалентные
схемы конденсаторов
При низких частотах конденсаторы
можно рассматривать как емкостные
элементы. При высоких частотах играют
существенную роль потери энергии в
изоляции. Эти потери растут с увеличе-
нием частоты тока и зависят от мате-
риала изоляции. Например, бумажная
изоляция, которая применяется для кон-
денсаторов, устанавливаемых в цепях
низких и звуковых частот, оказывается
непригодной при высоких частотах, так
как потери энергии в ней приводят к
недопустимому нагреву.
Энергия, преобразуемая в тепло в
изоляции конденсаторов, подводится от
источника питания, поэтому ток в кон-
денсаторе опережает по фазе напряже-
ние на его выводах на угол | ср |, мень-
ший к/2 (рис. 3.25). Угол, дополняющий
| <р | до л/2, обозначают буквой 5 и на-
зывают углом потерь.
Для конденсатора, как и для любого
двухполюсника, можно составить две
схемы замещения (рис. 3.26), в которых
Рис. 3.26
д и г учитывают потери энергии в ди-
электрике.
Обычно угол потерь 5 очень мал.
Величина tg 8 для различных частот и
диэлектриков лежит в пределах от 10“4
до 10“ Ч При таких условиях д соС
и г « 1/шСр Поэтому практически мож-
но считать
у = соС и z = 1/соСь
и так как yz — 1, то С = т. е. емко-
сти С и Ci обеих схем практически
одинаковы.
Связь между гид найдем из
общих соотношений между сопротивле-
ниями и проводимостями (3.36):
г = д/у2 « £/®2с2.
На практике конденсатор характери-
зуют параметрами С и tg 8. Для парал-
лельной эквивалентной схемы (рис. 3.26, а)
tg 8 = 1Л/1Р = gU/aCU^ g/bc. (3.54)
Для последовательной эквивалентной
схемы (рис. 3.26,6)
Величину, обратную tg 8, называют
добротностью конденсатора:
Q = 1/tg 8 = аС/д == = | tg <р |. (3.55)
3.22. Параметры и эквивалентные
схемы катушек индуктивности
и резисторов
При низкой частоте, например при
50 Гц, эквивалентная схема катушки
индуктивности (рис. 3.27, а) состоит из
последовательно соединенных резистив-
91
Рис. 3.27
ного и индуктивного элементов (эту
схему можно, конечно, заменить схемой,
состоящей из параллельно соединенных
активной и реактивной проводимостей).
Из векторной диаграммы (рис. 3.27, б)
следует, что
tg 6 = L7a/I7p = rl/aLI = г/coL. (3.56)
Добротность катушки
g = 1/tg 5 = coL/г = tg ф. (3.57)
Сопротивление катушки увеличивается
с ростом частоты вследствие поверх-
ностного эффекта и главным образом —
эффекта близости. Поэтому в общем
случае добротность катушки не пропор-
циональна частоте. В некотором диапа-
зоне изменения частот можно считать,
что значение Q остается почти постоян-
ным.
При высоких частотах нельзя пре-
небрегать емкостями между витками.
Эти так называемые межвитковые ем-
кости условно показаны на рис. 3.28
штриховой линией. Чем выше частота,
тем меньше емкостные сопротивления
между витками. Токи в витках катушки
получаются неодинаковыми. Найти рас-
пределение тока в катушке при высо-
кой частоте нелегко. При достаточно
высоких частотах из-за межвитковых
емкостей эквивалентное реактивное со-
Рис. 3.28
противление катушки может даже стать
емкостным.
Применяемые на практике проволоч-
ные резисторы обладают всегда неко-
торой индуктивностью, и, кроме того,
между отдельными витками имеется
емкость. При достаточно низких часто-
тах индуктивности и емкости практи-
чески никакого влияния не имеют и
в расчетах не учитываются.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПРИ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ
4.1. О применимости методов расчета
цепей постоянного тока к расчетам
цепей синусоидального тока
Уравнения, выражающие законы
Кирхгофа в комплексной форме для
цепей синусоидального тока (см. § 3.7),
имеют совершенно такой же вид, как
и соответствующие уравнения для цепей
постоянного тока:
Ц -0; (4.1)
ХИ = 0, или £ZZ = £E (4-2)
только токи, напряжения, ЭДС и сопро-
тивления входят в уравнения (4.1), (4.2)
в виде комплексных величин.
Все методы расчета цепей постоян-
ного тока получены на основе законов
Кирхгофа. Если повторить все рассужде-
ния и выводы, взяв за основу уравне-
ния Кирхгофа в комплексной форме, то
для цепей синусоидального тока можно
92
обосновать те же методы, которые бы-
ли получены для цепей постоянного
тока (такая полная аналогия расчетов
цепей постоянного и синусоидального
токов имеется только при отсутствии
взаимной индуктивности, см. гл. 6).
В частности, должна быть выполнена
та же подготовка уравнений цепи для
расчета режима на ЭВМ.
Для того чтобы установить связь
между токами и напряжениями (ЭДС),
нужно на схеме указать положительные
направления заданных и выбрать поло-
жительные направления для искомых
токов, напряжений или ЭДС. При рас-
четах цепей постоянного тока искомые
токи и напряжения получаются отрица-
тельными, если действительные направ-
ления тока или напряжения не соответ-
ствуют выбранным для них положитель-
ным направлениям. При расчетах цепей
синусоидального тока действительные
направления токов и напряжения перио-
дически изменяются, поэтому произ-
вольность выбора положительных на-
правлений отражается только на их фа-
зах. При изменении выбранного поло-
жительного направления на противопо-
ложное получается новое значение фазы,
отличающееся на' я, что соответствует
изменению знака комплексного тока или
напряжения и изменению направления
вектора на векторной диаграмме на 180°.
Несмотря на общность методов рас-
чета цепей синусоидального и постоян-
ного токов, расчеты цепей синусоидаль-
ного тока значительно сложнее и обла-
дают рядом особенностей. Показать
специфику расчетов цепей синусоидаль-
ного тока проще всего на конкретных
достаточно простых примерах, которые
и приводятся в последующих парагра-
фах этой главы.
4.2. Последовательное соединение
приемников
При последовательном соединении
п приемников энергии с комплексными
сопротивлениями Zb Z2, ..., Z эквива-
лентное или общее комплексное сопро-
тивление цепи
Z = r+jx^YZ]l, (4.3а)
1
причем
г = (4.зб)
1 1
Порядок расчета цепи с последо-
вательным соединением элементов зави-
сит от того, какие величины заданы
и какие нужно найги.
Пример 4.1. На рис. 4.1, а показана схе-
ма замещения линии электропередачи с при-
соединенным к ней приемником. Линия пред-
ставлена последовательным соединением ре-
зистивного и реактивного элементов с сопро-
тивлениями гл и хл, а приемник — пассивным
двухполюсником. Индексами 1 и 2 обозначе-
ны величины, относящиеся соответственно
к началу и концу линии. Дано: гл = хл =
= 6 Ом; U 2 = 5500 В; Р2 = 500 кВт;
cos <р2 = 0,91; (р2 > 0. Определить напряжение
в начале линии U х.
Решение. Представим пассивный двух-
полюсник эквивалентной схемой, состоящей
из последовательного соединения элементов
г2 и х2 (рис. 4.1,6).
Ток в двухполюснике (и в линии) I =
= P2/^2COS(p2 - ЮО А.
Сопротивления
Z2 = и2/1 -55 Ом; г2 = Р2/12 = 50 Ом;
х2 — j/z2 ~ г2 — 22,9 Ом;
= г2 + гл = 56 Ом;
Xt = х2 + хл — 28,9 Ом;
zi = + Xj - 63 Ом.
Искомое напряжение — ztI — 6300 В.
На рис. 4.1, в показана векторная диа-
грамма напряжений и тока (заметим, что
в курсе электрических сетей приводятся
удобные для расчета формулы, позволяющие
просто определять разность — U2 — AC
и находить Сх = U2 + AC).
Пример 4.2. Для той же цепи, что и
в примере 4.1, дано: Ct = 6300 В; =
= 560 кВт; U2 = 5500 В; Р2 = 500 кВт; I =
= 100 А; (рх > 0, ф2 > 0. Определить гл и хл.
Решение. Сопротивление гл = (Рх —
— Р2)Д2 = 6 Ом. Сопротивление хл опреде-
ляется по аналогичной формуле, но предва-
рительно надо найти Qx и Q2‘>
= с/j = 630 кВ A; S2 = U2I = 550 кВ • А;
Qi = = 288 квар;
Q2 = - Pl =- 228 квар;
= «21 - Q2VI2 = 6 Ом.
Пример 4.3. Для той же цепи, что и
в примере 4.1, дано: гл = хл = 6 Ом; Ur —
93
Рис. 4.1
= 6300 В; и2 = 5500 В; Р2 = 500 кВт; <р2 > 0.
Определить ток в линии I.
Решение. Для решения задачи соста-
вим уравнение
Uy = U 2 4- ZnL (а)
Примем начальную фазу напряжения
U_2 равной 0, т. е. U_2 — 5500 В. Начальная
фаза тока ф, = фи2 ~ Фг = - Фг, и, следова-
тельно, 1 = I — ф2. Комплексное напряже-
ние Щ = 6300 zi фи1.
Подставим в уравнение (а) известные
величины
6300 z. = (6 + j6)I -ф2 4- 5500
или
6300 cos фм1 -I- J6300 sin \|/м1 =
= 61 cos ф2 4- 61 sin ф2 + j6I cos ф2 -
— j6I sin ф2 4- 5500.
Из этого уравнения с комплексными
величинами получаем два уравнения (для
действительных и мнимых величин):
6300 cos фи1 = 61 cos ф2 + 61 sin ф2 4- 5500; (б)
6300 sin фм1 — 61 cos ф2 — 61 sin ф2. (в)
Эти два уравнения С геометрической
точки зрения представляют равенства проек-
ций вектора Ц_г суммам проекций векторов
_U2 и Ил/ на две взаимно перпендикулярные
оси (ось действительных и ось мнимых ве-
личин).
Находим: I cos ф2 = /а = P2/U2 — 91 А.
Подставив значение I cos ф2 в уравнения
(б) и (в), получим
1050 cos фц1 = 1008 4- / sin ф2;
1050 sin фм1 = 91 - I sin ф2
или
10502 = (1008 + I sin ф2)2 4- (91 - I sin ф2)2,
откуда
I sin ф2 = 1р % 42 А;
I = ]/;2 4- /2 = }/912 4- 422 « 100 А.
4.3. Параллельное соединение
приемников
При параллельном соединении п
приемников энергии с комплексными
проводимостями Ух, У2, ..., X, эквива-
лентная или общая комплексная прово-
димость
1
(4.4а)
причем
д = ^9к', Ь = £Ьк. (4.46)
1 1
В случае двух параллельных ветвей
их эквивалентное или общее. комплекс-
ное сопротивление определяется по фор-
муле
7 —___ — =
I X + х
1 /±1^2
1/Zt + 1/Z2 = Zx +Z2 ’
(4.5)
Пример 4.4. Резистор с сопротивлением
и катушка с сопротивлением г2 и индук-
тивностью Ь2 соединены параллельно
(рис. 4.2, а). В цепь включены амперметры.
Дано: = 20 Ом, показания амперметров
Ц = 2 А, 12 = 3 А, I — 4 А. Определить пара-
метры катушки г2 и х2 = соЬ2. Сопротивле-
нием амперметров пренебречь.
94
Рис. 4.2
Решение. Сначала рассмотрим графи-
ческое решение задачи.
Найдем напряжение, приложенное к це-
пи: 17 = — 40 В. Выберем масштабы для
напряжения ту, В/мм, и для тока А/мм.
Отложим векторы [7 и Ц (рис. 4.2, б). Они
совпадают по направлению, так как фазы
тока /j и напряжения U одинаковые. По-
строение векторов 7 и [2 основывается на
том, что 7 = /1 + [2 и что ток Li отстает по
фазе от напряжения С7. Проводим из начала
и конца вектора Ц дуги, радиусы которых
в выбранном масштабе т7 равны токам I
и 12. Точка В пересечения этих дуг опре-
деляет положение концов векторов 1 и /2.
Отметим, что существует еще одна точ-
ка пересечения этих дуг — выше вектора U
(на рис. 4.2, б эта точка не показана). Она
не может служить для определения положе-
ния концов векторов / и 12, так как вектор
72, проведенный в эту точку, опережал бы
вектор напряжения 17, в действительности
же он отстает от вектора 17.
Разложим вектор напряжения U на два
составляющих вектора, один из которых
(77а) совпадает по направлению с вектором
72, а другой (17р) ему перпендикулярен. Это —
векторы активной и реактивной составляю-
щих напряжения на катушке.
Находим действующие значения 17а =
— mu (OD) и ир — тц (DG) и, наконец, вы-
числяем г2 - ил/12, х2 = [7р/72.
Теперь рассмотрим аналитический спо-
соб решения на основе векторной диаграм-
мы.
Векторную диаграмму (рис. 4.2, б) стро-
им качественно — не в масштабе. Она нуж-
на только для того, чтобы наглядно пред-
ставлять тригонометрические соотношения
между ее отрезками. Из треугольника ОАВ
имеем
I2 = /2 + J2 _ 2/1/2 cos (180° - ф2)
или
42 = 22 + З2 + 2 • 2 • 3 cos ф2,
откуда
cos ф2 = 0,25; ф2 = 75° 32'; sin ф2 — 0,969;
г2 = = 77 cos ф2/72 = 3,3 Ом;
х2 — 77р/72 — U sin ф2//2 = 12,9 Ом.
4.4. Смешанное соединение
приемников
Токи в цепях со смешанным соеди-
нением приемников проще всего рассчи-
тываются путем преобразования схем
или методом подобия (методом пропор-
циональных величин). Ниже иллюст-
рируется первый метод. Второй метод
поясняется в § 4.6.
Пусть заданы сопротивления всех
элементов схемы (рис. 4.3) и напряже-
ние U на ее входе; требуется опре-
делить токи во всех ветвях.
Заменим параллельно соединенные
Дриемники энергии одним эквивалент-
ным с проводимостью Y' — Y2 + Уз 4- У 4
или сопротивлением Z' = 1/У'. После
этого преобразования схема состоит из
двух последовательно соединенных со-
противлений Zt и Z'. Ее общее или
эквивалентное сопротивление Z =
= Zi + Z'.
Ток в неразветвленной части цепи
11 — И/?- Напряжение на разветвлении
U' ж Z'7i. Токи в параллельно соеди-
ненных приемниках 72 = У'IZn\ 1з =
На практике встречаются задачи и
по расчету параметров цепи, удовлетво-
95
ряющих различным поставленным усло-
виям.
Пример 4.5. Даны сопротивления
(рис. 4.4) Zi = 200 4- J1000 Ом и Z2 =
= 500 4- J1500 Ом. Определить, при каком
сопротивлении г3 ток 12 отстает по фазе
от напряжения U на угол п/2.
Решение. Сначала наметим ход реше-
ния.
Положим начальную фазу напряжения
U равной нулю, т. е. U = U. Затем мето-
дом, указанным в начале параграфа, найдем
в общем виде выражение для тока 12- Ток
12 будет отставать по фазе на тс/2 от
напряжения U = U в том случае, если комп-
лекс 12 будет отрицательной мнимой вели-
чиной. Это и является условием для опре-
деления сопротивления г3.
В соответствии с намеченным планом
решения находим эквивалентное сопротивле-
ние цепи
Z = Zi 4- Z2r3/(Z2 4- г3).
ток в неразветвленной части цепи
/1 = ?/?>
напряжение на разветвлении
Uab — ?2гз/1/(?2 + гз)
и, наконец, ток
т Uab
= Гз g
?2 + r3 + ?2Гз/(?2 + Гз)
= г3С/[700гз - 1400000 4-Д800000 + 2500г3)].
Числитель этого выражения - действи-
тельная величина. Комплекс 12 будет отри-
цательным мнимым, если знаменатель —
положительный мнимый, т. е. при условии
700г 3 — 1400000 = 0 или при г3 = 2000 Ом.
К расчету цепи со смешанным
соединением приводит решение многих
практически важных задач, в частности
получение максимальной мощности при-
емником (см. § 3.19), составление усло-
вий равновесия моста переменного тока.
Определим реактивные сопротивле-
ния х3 и х4 (рис. 4.5, а и б), при
которых приемник с сопротивлением
Z2 = r2 + jx2 получает максимальную
мощность от источника с внутренним
сопротивлением Z} — rr + jxA.
Вся активная мощность, отдаваемая
источником, потребляется в приемнике
(в сопротивлении г2), так как остальные
сопротивления — реактивные. Поэтому
необходимо (см. § 3.19), чтобы входное
сопротивление каждого пассивного двух-
полюсника (на рис. 4.5 обведены штри-
ховой линией) было равно сопряженному
комплексному внутреннему сопротивле-
нию источника' - jxl9 т. е. для
схемы рис. 4.5, а нужно, чтобы
;х4(г2 + jx2)
г 2 +j(x2 + х4)
= Г1
-jXi
96
и для схемы рис. 4.5,6
[r2 + j(x2 + x3)]jx4 = _
г2+у(х2 + х3 + Х4)
Каждое из полученных уравнений
для комплексных величин можно запи-
сать в виде двух уравнений — для дейст-
вительных и для мнимых величин, из
которых и определяются х3 и х4.
Реальные элементы . цепи обладают
не только реактивными, но и активны-
ми сопротивлениями, поэтому приведен-
ный расчет согласования сопротивлений
приемника и источника питания являет-
ся приближенным.
Найдем соотношение между сопро-
тивлениями Zb Z2, Z3 и Z4 мосто-
вой схемы (рис. 4.6), при выполнении
которого мост находится в равновесии,
т. е. ток 10 в диагонали моста равен
нулю.
Заметим, что в качестве инди-
катора, по которому судят об отсутст-
вии тока в диагонали моста, приме-
няют телефон, вибрационный гальвано-
метр и различные электронные при-
боры.
Ток в диагонали моста отсутствует,
если Ubd = 0, т. е. при = Z2L2 и
?з/1 =
Разделив эти равенства друг на
друга, имеем Z1/Z3 = Zz/Z^ ил11
— ^(ф! - ф3)= — ^(ф2 - <р4), ИЛИ
Z3 z4
Zi/z3 = z2/z4; Ф1 + Ф4 = ф2 + ф3.
Зная три комплексных сопротивле-
ния, при которых наблюдается равно-
весие моста, можно определить чет-
вертое.
4.5. Разветвленные цепи
Выбор наиболее рационального ме-
тода расчета разветвленной цепи осно-
ван на учете особенностей схемы и
поставленной задачи. Все соображения
по выбору расчетных методов для цепей
постоянного тока применимы и к выбору
расчетных методов для цепей сину-
соидального тока.
В этом параграфе показаны некото-
рые особенности применения преобразо-
вания соединения элементов треуголь-
ником в соединение звездой, принципа
эквивалентного генератора и метода
узловых потенциалов в цепях сину-
соидального тока.
Следует иметь в виду, что после
преобразования соединения пассивных
элементов треугольником в эквивалент-
ное соединение звездой или обратно
комплексные сопротивления преобразо-
ванной схемы могут получиться с отри-
цательными действительными частями,
т. е. отрицательными активными сопро-
тивлениями. Эти сопротивления имеют
чисто расчетный смысл. Активная мощ-
ность rl2 такого сопротивления отри-
цательна, следовательно, электромагнит-
ная энергия в нем не поглощается,
а генерируется. Суммарная активная
мощность во всех ветвях преобразован-
ной схемы пассивной цепи, конечно, не
отрицательна и равна активной мощ-
ности в исходной схеме.
Пример 4.6. На рис. 4.7, а показана часть
разветвленной цепи, в которой две одинако-
вые катушки и конденсатор соединены^
треугольником. Дано: г = Х£=1 Ом и
хс = 3 Ом. Преобразовать схему соединения
треугольником в звезду.
Решение. Комплексные сопротивления
звезды
2 — Z12Z31 _ (1 +J1)(1 + J1) _
” Z12 4- Z23 4- Z31 2—jl
= -0,4 4- JO,8 Ом;
2 — -12 -23 _ ~J3(1 4-jl) _
“ Z12 + Z23 + Z31 2—jl
— 2,25 — J0,6 Ом; Z3 = Z2.
Эквивалентная схема представлена на
рис. 4.7,6, в которой = — 0,4 Ом; г2 —
= г3 = 2,25 Ом; хт = 0,8 Ом и х2 = х3 =
4 Основы теории цепей
97
релейной защите (фильтр-реле обратной по-
следовательности). Дано: xci = *с4 = 260 Ом;
г2 = 450 Ом; г5 = 150 Ом; г3 — 173 Ом;
хи = 300 Ом.
Известны напряжения Uab = Ucb = 10 В,
причем напряжение Ucb отстает по фазе от
напряжения Uab на угол я/3. Определить
напряжение Ude (напряжение на выводах реле).
Решение. Рассмотрим ветвь de как
приемник, а остальную цепь как активный
двухполюсник.
Входное сопротивление активного двух-
полюсника
zm = -Jxcir2/(r2 -jxCl) -jXC4rs/(r5-jXC4) =
= 225 — J260 Ом.
Определим напряжения холостого хода:
Udb* = r2[ix = r2Uab/(r2 -jxCi) = 7,5 +J4,33
Ueb* = -jXCdhx = -jxC4) =
= — J8,66 B;
В;
Ude* = Udb* ~ Ueb* = 7,5 +J13 = 15,0 60
Искомое напряжение (по принципу
В.
эк-
Бивалентного генератора)
Tr z , . w ('з+У*1з) [Atex
Ude = (Гз + Jxi3) h = -—;--------
?вх + Гз+УХи
= 12,96 zl 114° 50' B.
Пример 4.8. На рис. 4.9 представлена
схема цепи, встречающаяся в релейной защи-
те (фильтр-реле обратной последователь-
ности). Дано: 1*1 = г4 = 185 Ом; хц — хСз =
= 320 Ом; = Хед- Известны напряжения
Uac = Ubd = Ю В, причем Uac отстает по фазе
от Ubd на угол л/3. Определить напряже-
ние Ucd.
Решение. Проще всего задача решается
методом узловых потенциалов. Полагаем
Ubd = Е5 = Ubd = 10 В, так что Uac = Е6 =
= 10zi-60o В. Выбрав = 0, получим
(рь = 10 В, (рв = (рс + Е6 = <Рс + Ю z. ~ 60°. Нуж-
но составить одно уравнение для опреде-
ления срс.
Будем исходить из следующего урав-
нения для токов:
/2 + [4 — Is — [з + Zi,
98
или
<Pa-<Pd | <Рс ~$d=
jX[2 r4+j(xM-XC4)
= <Pb ~ фс фь ~ фа
-j*C3 rY
или
(pc + 10 z. -60° <pc
J32O + 185"=
10 - фс 10 - (<pc + 10 -60°)
= -j320 + 185 ’
откуда искомое напряжение:
LZcd == фс = 10 zl 60° В.
4.6. Топографические диаграммы
Для суждения о напряжениях между
различными точками схемы полезны
топографические ди а г р а м м ы.
Они представляют собой диаграммы
комплексных потенциалов, причем каж-
дой точке схемы соответствует опреде-
ленная точка на топографической диа-
грамме. Точке отсчета, потенциал кото-
рой принят равным нулю, на топогра-
фической диаграмме соответствует нача-
ло координат.
Построим качественно топографичес-
кую диаграмму сначала для неразветв-
ленной схемы, представленной на
рис. 4.10. Отложим вектор тока I в
произвольно выбранном направлении
(рис. 4.11, а). Примем потенциал точки д
равным нулю (фв = 0) и определим
потенциалы остальных точек.
Будем обходить схему, начиная от
точки д, навстречу положительному
направлению тока. Потенциал точки f
больше потенциала точки д на падение
напряжения на индуктивности: фу =
Рис. 4.11
= Фз + j&LL Так как фй = 0, то потен-
циал фу изобразим вектором усоП.
Конец этого вектора обозначим буквой
/, так как он определяет потенциал
точки /. Потенциал точки d выше по-
тенциала точки f на падение напряжения
на сопротивлении г: <pd = фу + rl. Откла-
дываем от конца вектора фу вектор
rl. Конец вектора rl обозначим буквой
J, так как он определяет потенциал
точки d. Действительно, если провести
вектор из начала координат к концу
вектора rl, то он будет равен сумме
векторов j&LI + rl, а эта сумма равна
Ф</.
Аналогично находим фь = (pd — Ц/ыС.
В соответствии с этим равенством про-
водим из конца вектора rl (точка J)
вектор — Л/соС. Конец вектора — ;7/(оС
обозначим буквой Ь, так как он опре-
деляет потенциал точки Ь. От конца
вектора — j7/coC откладываем вектор RI
и получаем последнюю точку а топогра-
фической диаграммы, определяющую
потенциал фа = Ф& + RI или напряжение
Uag = Фа “ фд = Фа- ЭлвКТрОДВИЖущаЯ СИ-
ла источника Е = Uag.
Необходимо обратить особое внима-
ние на направления векторов напря-
жений на топографических диаграммах.
Векторы напряжений направлены отно-
сительно точек топографической диа-
граммы противоположно положитель-
ным направлениям напряжений относи-
тельно соответствующих точек схемы.
Так, например, вектор напряжения Udf
(положительное направление на рис. 4.10
от d к /) направлен на топографи-
ческой диаграмме (рис. 4.11,6) от точки
f к точке d, а вектор напряжения
Ufd (положительное направление от f к
4'
99
Рис. 4.12
d) направлен на топографической диа-
грамме (рис. 4.11,6, штриховая линия)
от точки d к точке /. Это соответст-
вует известному правилу вычитания
векторов, согласно которому вектор Udf,
представляющий разность векторов <pd —
— Фу, направлен от конца вектора Фу к
концу вектора Фа, а вектор Ufd9 пред-
ставляющий разность векторов Фу —Фа,
направлен от конца вектора фа к кон-
цу вектора фу. Учитывая сказанное, на
топографической диаграмме можно не
указывать направлений векторов напря-
жений, а ограничиться только обозна-
чением точек.
По топографической диаграмме
можно определить напряжение между
любыми точками схемы. Для этого
достаточно соединить соответствующие
точки топографической диаграммы от-
резком прямой и придать этому отрезку
надлежащее направление. Так, вектор
напряжения Ubf представлен на топогра-
фической диаграмме (рис. 4.11, а) отрез-
ком прямой между точками f и Ь, взя-
тыми в направлении от f к Ь.
В отличие от векторов напряжений
векторы ЭДС направлены относительно
точек топографической диаграммы оди-
наково с положительными направления-
ми ЭДС относительно соответствующих
точек схемы. Так, вектор ЭДС Е (по-
ложительное направление на рис. 4.10
от точки д к точке а) направлен на
топографической диаграмме (рис. 4.11, а)
тоже от точки д к точке а.
Рассмотрим пример построения то-
пографической диаграммы для раз-
ветвленной схемы (рис. 4.12) при задан-
ных параметрах ее элементов и напря-
жения U на ее выводах. Требуется
найти токи в ветвях и построить топо-
графическую диаграмму.
Эта задача может быть решена ана-
литически обычным путем: сначала схе-
ма преобразуется к простейшему виду и
определяется ток /3, затем находятся
токи и 12, и, наконец, вычисляют-
ся потенциалы всех точек и строится
топографическая диаграмма. Однако
расчет значительно упрощается, если
воспользоваться методом подобия.
Задавшись произвольным значением
комплексного тока Il9 например поло-
жив Ii = 1, вычислим напряжения riZx и
jaLih. Затем отложим на диаграмме
векторы rj! и jcoLi/i (рис. 4.13).
Сумма векторов равна
вектору напряжения Ubd. Затем найдем
ток I2 = Ubd/ja)L2. Вектор 12 отстает от
вектора Ubd на угол л/2. Ток 13 =
= /i -|-12 определим или аналитически,
или графически. Из точки b диаграм-
мы проводим вектор напряжения
—;73/соС2 под углом п/2 к вектору /3
в сторону отставания. Конец этого векто-
ра определяет на топографической
диаграмме точку а. Проводим из точки
d вектор — r3Z3, его конец определяет на
топографической диаграмме точку /, так
как Фу = Фа — г313. Вектор напряжения
Uaf может не совпадать по значению с
заданным напряжением U. Чтобы при-
вести в соответствие построенную диа-
грамму с заданным напряжением, до-
статочно изменить масштабы напряже-
ний и токов в отношении U/Uaf.
4.7. Дуальность электрических
цепей
Если сравнить между собой структу-
ры и методы решения уравнений узло-
вых потенциалов и контурных токов, то
100
обнаружится много общего. Все матема-
тические выражения получаются сходны-
ми по форме записи, причем прово-
димостям в уравнениях узловых потен-
циалов соответствуют сопротивления в
уравнениях контурных токов. Отмечен-
ное сходство можно обобщить и при-
менить, например, для целесообразной
замены схем при расчетах режймов
сложных электрических цепей.
Пусть электрическая схема произ-
вольной конфигурации планарного ви-
да (без пересекающихся ветвей, располо-
женных на плоскости) имеет в своем
составе У узлов и К независимых
контуров и пусть положительные направ-
ления контурных токов выбраны так, что
падения напряжений в общих ветвях
входят в контурные уравнения с отри-
цательными знаками1. Предположим,
что число независимых узлов У — 1 рав-
но числу независимых контуров К, и
сравним комплексное уравнение контур-
ных токов для любого s-ro контура:
к к
1ZSJIS- =
J=1 j=l
j*s
к
= Es + YZsjJsj = E'9 (4.6)
j=i
к
где £ ZSj — собственное контурное co-
J=i
противление s-го контура, с уравнением
узловых потенциалов для любого s-ro
узла;
>1 ; = 1
У
~ J.S "Ь XsjEsj = J.S9 (4.7)
J=1
у
где £ Xsj — сумма проводимостей всех
J =1
j*s
ветвей, присоединенных к s-му узлу.
1 Если контурные токи в общих ветвях имеют
одинаковые направления, то соответствующие со-
ставляющие напряжений входят в контурные урав-
нения с положительными знаками.
Легко установить полное сходство в
записи уравнений (4.6) и (4.7). Из сход-
ства уравнений следует, что для любой
заданной планарной схемы можно соста-
вить другую электрическую схему, для
которой узловые уравнения типа (4.7)
будут идентичны контурным уравнениям
(4.6) первой схемы. Такие две схемы на-
зываются дуальными. Контурные
токи для первой схемы идентичны
потенциалам соответствующих узлов
второй схемы; общие сопротивления
контуров первой схемы идентичны про-
водимостям ветвей, включенных между
соответствующими узлами второй; сум-
марные ЭДС в контурах первой схемы
идентичны узловым токам второй; токи
в ветвях, обусловленные источниками
тока первой схемы, идентичны ЭДС
в соответствующих ветвях второй. Ина-
че говоря, справедливы следующие
взаимные соответствия:
Is ^Фя j — sj Xsj'9 Es^ is 'i Isj Esp
при этом общее число узлов второй
дуальной схемы на единицу больше
числа независимых контуров первой
схемы.
Поскольку возможности преобразо-
вания «узловой» схемы несколько боль-
шие, чем для «контурной» (например,
можно преобразовать многолучевую
звезду в эквивалентный многоугольник,
но не наоборот), то иногда * проще
произвести расчет режима узловой схе-
мы, а затем полученное решение пред-
ставить через режим (токи, напряжения)
контурной схемы.
Рассмотрим в качестве примера схе-
му на рис. 4.14, а. Для этой схемы
при выбранных положительных направ-
лениях контурных токов запишем урав-
нения
(Е1 + Ев + Z4 + Z'JIi — (Z4-^Z4)I2 —
“ 2б1з = Ei + Е49
— (?4 + ?4)11 + (Г2 + Z4+ *
+ Z4 4- Z5)I2 — Z5I3 =
— Z5I2 4- (Z3 + Z5 4- Z6)I3 = E3, t
(4.8)
где Z6 = jcoL и Z4 = l/jaC.
101
Рис. 4.14
Заменим в (4.8) сопротивления про-
водимостями, контурные токи потенциа-
лами, а ЭДС токами источников тока.
Тогда получим систему уравнений
(11 +У6 +У4 +У10Ф1-
~ (У 4 + УУф2 — УбФз = 21
— (У4 -I- У4)ф1 + (#2 + У4 +
+ У4 + У5)ф2 — У5Ф3 = -Jl-J*)
~ Убф1 “ У5Ф2 + (Уз + У5 + Уб)фз = 2з>
(4.9)
где У6 = ушС и У4 = 1/jcdL.
Этой системе уравнений соответст-
вует электрическая схема, показанная
на рис. 4.14,6, и дуальная схеме,
изображенной на рис. 4.14, а.
Таким образом, при выполнении от-
меченных выше соответствий и числен-
ных равенств можно, например, найти
потенциалы в схеме с проводимостями,
которые будут равны контурным токам
в схеме с сопротивлениями, и наоборот.
Кроме того, соответствие У <=* Z озна-
чает, что если у первой схемы сопро-
тивление некоторой ветви Z = r+jxb
причем г и xL включены последова-
тельно, то соответствующая проводи-
мость второй ветви Y = g+jbc, причем
д и Ьс включены параллельно и ем-
костная проводимость Ьс численно рав-
на индуктивному сопротивлению xL
(рис. 4.15, а и б).
Для построения дуальной схемы
(например, для показанной на рис. 4.14, а)
можно пользоваться графическим спо-
102
Рис. 4.15
собом. Внутри каждого независимого
контура отмечается узловая точка дуаль-
ной схемы (на рис. 4.14, а отмечены
узлы 1, 2 и 3), общее число которых
равно числу независимых контуров. За-
висимый узел указывается во внешней
(по отношению к заданной схеме) об-
ласти (на рис. 4.14, а узел 4). Затем между
узлами проводятся линии (штриховые
на рис. 4.14, а), каждая из которых
пересекает один элемент заданной схе-
мы. Например, на рис. 4.14, а четвер-
тая ветвь состоит из последовательно
соединенных двух сопротивлений и одно-
го источника ЭДС, поэтому между узла-
ми 1 и 2 проведены три штриховые
линии.
Для определения направлений токов
источников тока дуальной схемы обра-
тимся к уравнениям (4.8) и (4.9). Из
сопоставления уравнений видно, что ес-
ли при обходе контура заданной схе-
мы (рис. 4.14, а) по направлению контур-
ного тока ЭДС входит в уравнение
(4.8) с положительным знаком, то ток
источника тока в соответствии с урав-
нением (4.9) в дуальной схеме (рис. 4.14, 6)
будет направлен к узлу, отмеченному
внутри этого контура.
Следует особо подчеркнуть, что
после графического преобразования по-
лученной дуальной схемы (рис. 4.14,6)
должна получиться исходная схема
(рис. 4.14,а); это позволяет проверить
правильность построения дуальной схе-
мы (рис. 4.14,6).
Изобразим для большей наглядности
все ветви заданной мостовой схемы
(рис. 4.14, а) отрезками линий (рис. 4.14, в);
дуальная схема, изображенная на
рис. 4.14, в штриховыми линиями, получи-
лась такой же конфигурации. Такие
схемы называются самодуальными. На
рис. 4.14, г изображены две самодуаль-
ные схемы с восемью ветвями, для
которых можно написать четыре незави-
симых контурных и четыре независимых
узловых уравнений.
4.8. Комплексные частотные
характеристики
К частотным характеристикам цепи
в комплексной форме, или к комп-
лексным частотным характе-
ристикам, относятся входные и пере-
даточные функции, записанные в комп-
лексной форме.
Входная комплексная функ-
ция цепи — это зависимость от частоты
комплексного сопротивления
Z(Jo) = z((o)eJ<p(ta) = г (со) + jx(co) (4.10)
или комплексной проводимости .
У (/со) = у(со)е"^(ю) = 0(со) - ;6(со) (4.11)
относительно двух выделенных или за-
данных выводов.
В качестве примера построим зави-
симости от частоты модуля z(co) и аргу-
мента ср (со) входного комплексного со-
противления параллельной схемы заме-
щения реального конденсатора (см.
рис. 3.26, а) с заданными параметрами
д и С, считая их в рассматриваемом
диапазоне частот неизменными.
Входное сопротивление
у _________J___1 _ 9-j^C
У(/<о) g+ja>C д2 + (<аС)2
(4-12)
И
Z (со) = 1 -; tg <р (со) = - (йС/д.
]/д + (®с)2
(4.13)
Зависимости z(co) и ср (со) показаны
на рис. 4.16, а и 6.
Передаточная комплекс-
ная функция (коэффициент передачи,
системная функция) цепи определяет
реакцию цепи на внешнее воздействие
и равна отношению выходной величины
(напряжение, ток) к входной величине
(напряжение, ток), выраженных в комп-
лексной форме. Предполагается, что в
цепи действует одно внешнее воздейст-
103
Рис. 4.16
вие, т. е. цепь содержит один источник
воздействия, а другие независимые ис-
точники напряжения или тока отсут-
ствуют или не действуют.
Различают четыре вида передаточ-
ных функций:
передаточная функция по напряже-
нию
Ки (/со) = С/вых ОЖх (/со); (4.14)
передаточная функция по току
^(/со) = 1вых(/со)/1вх(/со); (4.15)
передаточное сопротивление
Kz(/co)= С/вых(/со)//вх(/со); (4.16)
передаточная проводимость
^у(7<о) = 1вЫх(/(о)/1/вх(/со). (4.17)
Передаточные функции
К (/со) = К (со) е7^^ (4.18)
могут определяться для различных пар
выбранных входных и выходных выводов
цепи.
В частном случае обе пары выводов
совпадают, так что Kz (/со) = Z (/со) и
Ку(/со) = У (/со), а Ки (/со) = К, (/со) = 1,
т. е. для них получается тривиальное
решение. Зависимость модуля передаточ-
ной функции К (со) от частоты назы-
вается амплитудн о-ч астотной
характеристикой (АЧХ), зависи-
мость аргумента передаточной функции
ф(со) — фазо-частотной характе-
ристикой (ФЧХ). На комплексной
плоскости можно построить геометри-
ческое место конца вектора К (/со) при
изменении частоты — амплитудно-
фазовую характеристику
(АФХ), или годограф вектора К (jo)
(см. гл. 9).
В качестве примера определим АЧХ
и ФЧХ передаточной функции по напря-
жению простейшего rC-фильтра (см.
гл. 18), схема которого дана на рис. 4.17,
в режиме холостого хода. Входные
выводы фильтра 1-Г, т. е. С/Вх = Уь
выходные выводы 2-2', т. е. L/BbIX = U2.
Передаточная функция
Ky(jo) =
(/со) = -Л/шС
(Л (/со) r/2-jl/oC
1 1 —joCr/2
1 + joCr/2 ~ 1 + (oCr/2)2 9
т. е. амплитудно-частотная и фазо-
частотная характеристики
(о) = 1/]/1 + (соСг/2)2;
ф (со) = arctg( —соСг/2).
(4.19)
Зависимости (4.19) аналогичны (4.13),
т. е. графики Ки(о) и ф(со) такие же,
как и на рис. 4.16, но с Ки(0) = 1.
Для цепей с сосредоточенными па-
раметрами передаточная функция может
быть представлена в виде отношения
двух полиномов относительно р = jo с
действительными коэффициентами:
К (jo) =
PW
ьж + b^r^
a„(j(£>)n + ап _ i (»" "1 +... + а0
(см. также гл. 19).
Рис. 4.17
104
Если К — безразмерная величина
[Кс/(/со) и Kj (До)], то можно составить
логарифмическую амплитудно-фазовую
характеристику
In К (/со) = In [К(со)е^(ю)] = In 1С(со) + /ф(со).
(4.20)
В (4.20) единице действительной со-
ставляющей логарифмической АФХ, т. е.
безразмерной логарифмической ампли-
тудной характеристике, In К (со) дано
название непер (Нп), мнимая состав-
ляющая \|/(со) должна быть записана в
радианах. Для логарифмической ампли-
тудной характеристики применяют и
другую единицу — децибел (дБ). В
этом случае вычисляется 201g К (со).
Непер и децибел связаны соотношением
1 Нп » 8,686 дБ.
ГЛАВА ПЯТАЯ
РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ
5.1. Вынужденные и свободные
колебания
Наименование «резонанс» для режи-
ма цепи заимствовано из теории ко-
лебаний. Как известно, резонансом на-
зывается процесс вынужденных колеба-
ний с такой частотой, при которой
интенсивность колебаний при прочих
равных условиях максимальна. Но ха-
рактеризовать интенсивность колеба-
тельного процесса можно по различным
проявлениям, максимумы которых на-
блюдаются при различных частотах.
Поэтому нужно условиться о критерии
резонанса.
В электрической цепи колеблются
заряды. Для цепей, содержащих L и С,
можно было бы взять за критерий
резонанса максимум амплитудного зна-
чения заряда конденсатора, что соот-
ветствует максимальной амплитуде
напряжения на конденсаторе. Этот кри-
терий определяет амплитудный резо-
нанс. Далее примем в качестве крите-
рия режима «резонанс» в пассивных
двухполюсниках, содержащих катушки
индуктивности и конденсаторы, совпа-
дение по фазе тока (считая, что он не
равен нулю) и напряжения на входных
выводах, т. е. так называемый фазо-
вый резонанс. Ток совпадает по
фазе с напряжением, если входное
реактивное сопротивление или входная
реактивная проводимость двухполюсни-
ка равны нулю.
Если заряженный конденсатор замк-
нуть на катушку индуктивности, то в
такой цепи при достаточно малом
сопротивлении катушки наблюдается
процесс затухающих колебаний напря-
жений и тока (см. гл. 14). Частота
этих колебаний называется частотой
собственных или свободных колебаний.
Отметим, что частоты, при которых
наблюдаются фазовый и амплитудный
резонансы, не совпадают с частотой
собственных колебаний (они совпадают
только в теоретическом случае катушки
и конденсатора без потерь). Принятый
здесь критерий резонанса применим и
при больших потерях, при которых
собственные колебания невозможны.
5.2. Резонанс в последовательном
контуре
Рассмотрим последовательное соеди-
нение резистивного, индуктивного и ем-
костного элементов (см. рис. 3.8). Такую
цепь часто называют последова-
тельным контуром или rLC-цепью.
Для нее наступает резонанс v при
х = xL — хс = 0 или xL = хс, т. е.
coL = 1/соС. (5.1)
При xL = хс значения противополож-
ных по фазе напряжений на индуктив-
ности и емкости равны (см. рис. 3.11,6),
поэтому резонанс в рассматриваемой
цепи называют резонансом напря-
жений.
Напряжения на индуктивности и ем-
кости при резонансе могут значительно
превышать напряжение на входных вы-
водах цепи, которое равно напряжению
на активном сопротивлении. Полное
сопротивление цепи z при х = 0 мини-
мально: z = ]/г2 4- х2 — г, а ток I при
заданном напряжении U достигает наи-
большего значения U/г. В теоретическом
случае при г = 0 полное сопротивление
105
цепи в режиме резонанса также равно
нулю, а ток при любом конечном
значении напряжения U бесконечно
велик. Так же бесконечно велики напря-
жения на индуктивности и емкости.
Из условия coL = 1/соС следует, что
резонанса можно достичь, изменяя либо
частоту напряжения питания, либо пара-
метры цепи — индуктивность или ем-
кость. Угловая частота, при которой
наступает резонанс, называется резо-
нансной угловой частотой
®0 = i/]/LC, (5.2а)
а частота, при которой наступает ре-
зонанс — резонансной частотой
/о = 1/2л]/1с. (5.26)
Индуктивное и емкостное сопротивления
при резонансе
cooL = 1/сооС = ]/l/C = р. (5.3)
Величина р называется характе-
ристическим сопротивлением
контура или rLC-цепи.
Отношение напряжения на индук-
тивном или емкостном элементе к напря-
жению питания при резонансе обозна-
чают буквой «ку»
VJU =UC/U = pl/rl = p/r = Q (5.4)
и называют добротностью кон-
тура или коэффициентом резонанса.
Добротность контура указывает, во
сколько раз напряжение на индуктив-
ном . или емкостном элементе при ре-
зонансе больше, чем напряжение на вход-
ных выводах: Q > 1, если р > г.
Для уяснения энергетических про-
цессов при резонансе определим сумму
энергий магнитного и электрического
полей цепи в произвольный момент
времени w = wM + w3. При резонансе ток
в контуре i = Im sin сооГ. Напряжение на
емкости
«С = UCm sin (toot - П/2) = - UCm COS СООГ.
Суммарная энергия
Ы2 Си2с
w = wM + W3 = — + =
LIm • 2 CU2Cm 2
= -— sin2 сооГ н-2—cos2
Ho
UCm = TTr
CO0C
откуда
CU2Cm/2 = LI2m /2,
и, следовательно,
w = W’M + w3 = Lll/2 = CU2cm/2 = const,
т. e. сумма энергий магнитного и
электрического полей с течением време-
ни не изменяется. Уменьшение энергии
электрического поля сопровождается уве-
личением энергии магнитного поля, и
наоборот. Таким образом, наблюдается
непрерывный переход энергии из элект-
рического поля в магнитное поле и
обратно.
Энергия, поступающая в контур от
источника питания, в любой момент
времени целиком переходит в тепло.
Поэтому для источника питания контур
эквивалентен одному резистивному эле-
менту.
5.3. Частотные характеристики
и резонансные кривые
последовательного контура
Предположим, что к контуру (см.
рис. 3.8) приложено синусоидальное
напряжение и = Um sin cor, амплитуда ко-
торого неизменна, а частота может из-
меняться в пределах от 0 до оо.
Изменение частоты приводит к из-
менению параметров контура, изменяет-
ся его реактивное, а следовательно, и
полное сопротивление, а также угол ср
(аргумент комплексного сопротивления).
Зависимости от частоты параметров
цепи назовем частотными харак-
теристиками цепи, зависимости
действующих или амплитудных значе-
ний тока и напряжения от частоты —
резонансными кривыми.
На рис. 5.1 построены частотные
характеристики xL(co), — хс (со) и х (со) =
= xL(co) — хс (со). Изменение реактивного
сопротивления приводит к изменению
режима цепи. На рис. 5.2 приведен
примерный вид резонансных кривых
I (со), t/L(co), Uс (to) и кривой ср (со) для
цепи, добротность которой Q « 1,25. При
106
со = О напряжение, приложенное к цепи,
во времени не изменяется, поэтому ток
в цепи отсутствует. При изменении час-
тоты от 0 до соо реактивное сопро-
тивление х = xL — хс имеет емкостный
характер и изменяется от — оо до 0 (см.
рис. 5.1). Вследствие этого ток возрастает
от 0 до максимального резонансного
значения Ip = U/г, а угол сдвига фаз
между напряжением и током изменяет-
ся от — л/2 до 0. При изменении
частоты от соо до оо результирующее
реактивное сопротивление возрастает от
0 до оо и имеет индуктивный характер.
Вследствие этого ток уменьшается от
наибольшего значения до 0, а угол ф
возрастает от 0 до л/2. Напряжение
Ur = ri изменяется пропорционально то-
ку.
В выражении напряжения на ин-
дуктивности UL=xJ оба сомножителя
зависят от частоты. При со = 0 сопро-
тивление xL = 0, ток 1 = 0, и, следова-
тельно, UL=0. При изменении частоты
от 0 до <оо °ба сомножителя увели-
чиваются и UL возрастает. При дальней-
шем увеличении частоты (со > соо) ток
I уменьшается, но за счет роста coL
напряжение UL продолжает возрастать.
Анализ, который здесь не приводится,
показывает, что для цепи с добротностью
е < 1/|/2 это возрастание UL продол-
жается непрерывно до значения U, а для
цепи с добротностью Q > l/j/2 напря-
жение UL при некоторой частоте coL > со0
достигает максимума ULmax > 1/, а затем
уменьшается. При со -► оо и coL -► оо,
следовательно, UL-> U.
Теперь рассмотрим зависимость
напряжения на емкости Uc = хс1 от
частоты. При со = 0 тока в цепи нет,
поэтому Uс = U. При возрастании со,
начиная от нуля, хс непрерывно умень-
шается. Анализ показывает, что для цепи
с добротностью Q < 1/]/2 напряжение
Uс непрерывно уменьшается, а при
Q > 1/|/2 напряжение сначала из-за воз-
растания тока 1 увеличивается, Дости-
гает при некотором значении частоты
сос < соо максимума UCmax > U, а затем
уменьшается.
Уменьшение напряжения Uc = xcI с
ростом частоты начинается при частоте
сос, меньшей соо, вследствие непрерыв-
ного уменьшения хс- При со = оо как 7,
так и хс равны нулю, поэтому Uc = 0.
Заметим, что UCmax = ULmax. При со = соо,
как было отмечено, Uc = UL = QU.
График зависимости тока от часто-
ты показывает, что рассматриваемая
цепь обладает «избирательными свойст-
вами». Цепь обладает наименьшим со-
противлением для тока той частоты,
которая наиболее близка к ее резо-
нансной частоте.
Избирательными свойствами таких
цепей широко пользуются в электро-
107
связи и радиотехнике, при этом режим
резонанса является нормальным режи-
мом работы. Наоборот, в устройствах,
где резонансный режим не предусмот-
рен, появление резонанса нежелательно,
так как возникающие значительные
напряжения на катушке и конденсаторе
могут оказаться опасными для изоляции.
Выясним влияние параметров цепи
на форму резонансной кривой I (со). Для
удобства сравнения резонансных кривых
друг с другом будем строить их в
относительных единицах:
7/7р = Г1((о*),
где 7Р = U/г — действующий ток при ре-
зонансе; со* = со/соо — относительная час-
тота.
Преобразуем выражение полного со-
противления цепи:
z = ]/r2 + (coL — 1/соС)2 =
= ]/г2 4- coqL2 (со/соо - l/cocooLC)2 =
= г/1 + е2(<о* - 1/®ж)2.
Разность со* — 1/со* характеризует
расстройку контура относительно ре-
зонансной частоты. Произведение
Q (со* — 1/со*) = £ называется обоб-
щенной расстройкой. С учетом
этих обозначений сопротивление
Z = г|/1 +' £2.
Ток в цепи
I=U/z = 17/г]/1 + е2(®»-1/<0*)2 =
=/р/|/1+е2(^-1/ш»)2=/рд/i+p.
(5.5)
Выражение (5.5) показывает, что
влияние параметров цепи на вид резо-
нансной кривой полностью учитывается
добротностью Q.
На рис. 5.3, а представлен ряд ре-
зонансных кривых. Чем больще Q, тем
острее резонансная кривая, тем лучше
«избирательные свойства» цепи, что и
послужило одной из причин назвать Q
добротностью контура. Заметим, что
наибольшие достигаемые на практике
значения Q контуров, состоящих из
катушек индуктивности и конденсаторов,
лежат в пределах 200—500.
Для оценки избирательных свойств
цепи вводят условное понятие ширины
резонансной кривой или полосы про-
пускания контура (а\в — соФН), кото-
рую определяют как разность верхней
и нижней частот, между которыми от-
ношение 1/1р превышает l/j/2. На
рис. 5.3, а проведена горизонтальная
линия, соответствующая 7/7р = 1/]/2. Ее
пересечение с резонансными кривыми
определяет граничные частоты полосы
пропускания соответствующих контуров.
Из рисунка видно, что чем выше доб-
ротность, тем уже полоса пропускания
контура.
108
Высшая соев и низшая относи-
тельные частоты показаны на рис. 5.3,6
для контура с известной добротностью
Q. На этом же рисунке построена
идеальная резонансная кривая, для кото-
рой вне полосы пропускания ток равен
нулю, т. е. у которой идеальные изби-
рательные свойства. На рис. 5.3, а также
проведена горизонтальная линия, соот-
ветствующая 1/1р = 1Д/2. Ее пересечение
с резонансными кривыми определяет
полосы пропускания соответствующих
контуров. Из рисунка видно, что чем
выше добротность, тем уже полоса
пропускания контура.
Если диапазон изменения частоты
составляет несколько порядков, то часто
выбирают для частоты логарифмический
масштаб, т. е. Igo или Igo*. Интервал
частот CDi - со2, для которого lg (co2/coi) =
= 1g (Л/Л) = Ig(®*2/®*1) = 1, называют
декадой (десятикратное изменение час-
тоты). Число декад ид = 1g (ш2 /coi). Интер-
вал частот, для которого log2(o)2/a)1) = 1,
называют октавой (удвоение частоты),
причем 1 декада « 3,32 октавы.
Пример 5.1. Определить добротность
контура по известной резонансной кривой
/Др = / (<ош).
Решение. На границах полосы про-
пускания 1//р = 1/J/2, т. е. как следует из
(5.5), |/р + е2(®. - i/ш.)2 = |/г и е2(®. -
- 1/со*)2 = 1, откуда
о>*в ~ 1/«*в = 1/6; (а)
®*Н ~ 1/®*Н ~ ~ 1/6» (б)
так как с\в > 1 и со^н < 1 (рис. 5.3,6).
Сложим (а) и (б):
0>*в + - Жв + 1/°>*н) = О,
или
0>*в + ®*н “ (0>*в + <*>*н)/(О>*вО)*н) = О,
т. е должно быть со^вО^н = 1, т. е. соо =
= )/(»вмн.
Вычтем (б) из (а):
®*В ~ ^*Н — (1/®*В ~ 1/®*н) = W
или
2соФВ ~ 20*,, = 2/Q,
откуда
6 = 1/(«)*в ~ g>*h).
5.4. Резонансные явления
при изменении параметров контура
Как было указано в § 5.2, резо-
нанса можно достичь не только изме-
нением частоты напряжения питания, но
и изменением индуктивности или ем-
кости. Практически контур настраивают
в резонанс чаще при помощи конден-
сатора переменной емкости.
Предположим, что у последователь-
ного контура (см. рис. 3.8) емкость
изменяется. Рассчитаем и построим резо-
нансные кривые тока и напряжений на
индуктивности и емкости. Ток
I=U/z = U/]/r2 + (<»L- i/<»C)2 (5.6)
равен нулю при С = 0, растет с уве-
личением емкости до резонансного зна-
чения 1р = U/г при С = Ср (рис. 5.4, а),
удовлетворяющего условию резонанса
cdL = 1/шСр, затем уменьшается при
дальнейшем увеличении емкости и стре-
мится к значению
= U/]/г2 + (coL)2 при С -* оо.
Добротность контура, как и ранее
(5.4), равна отношению индуктивного
или равного ему емкостного сопро-
тивления при резонансе к активному
сопротивлению контура:
Q = 1/шСрГ = coL/r. (5.7)
Напряжение на индуктивности UL =
= cdLZ, т. е. форма кривой UL(C) такая
же, как и /(С). Максимальное значение
= (1/оСр) U/r = QU. При
С -> оо напряжение = cdLZ^ < С
(рис. 5.4,6).
Напряжение на емкости Uc =
= (1/шС) I = U при С = 0, достигает мак-
симального значения при С < Ср (если
Q > 1), равно U^nax = QU при С = Ср и
стремится к нулю при С -> оо (рис. 5.4,6).
При Q > 10 с погрешностью менее 1 %
можно считать, что максимальное зна-
чение напряжения на емкости получает-
ся при С = Ср, т. е. равно QU.
Измерив значения емкостей Ct и С2,
при которых ток в ]/2 раз меньше
резонансного, можно рассчитать пара-
метры контура: г, L, Q. Для этого
109
Рис. 5.4
перепишем (5.6) в виде
U/r
]/l+(a>L/r-l/(x>Cr)2
]/i + (е - i/cocr)2 ‘
При С = Ci и С = С2 подкоренное вы-
ражение равно 2, т. е. (Q — 1/соС1>2г)2 = 1
или
Q-\/wCir= -1; Q- 1/соС2г= 1.
(5.8)
После вычитания из второго усло-
вия (5.8) первого получим (l/corXl/Ci —
- 1/С2) = 2, откуда
г = (1/2со)(1/С1-1/С2). (5.9)
Сложив первое и второе условия (5.8),
найдем, что (1/сог) (1/Сх + 1/С2) = 2Q, от-
куда после подстановки (5.8) доброт-
ность
е = У51 + У52 • (5.Ю)
1/С1 — 1/С2
Индуктивность определяем из (5.7):
L = (1/2cd2)(1/C1 + 1/C2). (5.11)
5.5. Резонанс в параллельном контуре
Рассмотрим цепь с двумя парал-
лельными ветвями: параметры одной —
сопротивление и индуктивность L,
а другой — сопротивление г2 и емкость
С (рис. 5.5). Такую цепь часто назы-
вают параллельным контуром.
Резонанс наступает, если у входной
проводимости
Y = g-jb=Yl + Y2 =
_ 1 1
ri+ja>L r2—jl/(aC
реактивная составляющая
b = bi + b2 = 0 или Ь2 = -Ьъ (5.12)
где
, _ coL _ — 1/соС
1 ~ ri + (a>L)2 И 2 “ ri -4- (1/соС)2
— реактивные проводимости ветвей.
При b2 = —bi противоположные по
фазе реактивные составляющие токов
равны (рис. 5.6, а), поэтому резонанс в
рассматриваемой цепи получил название
резонанса токов. Из векторной
диаграммы видно, что при резонансе ток
I на входных выводах контура может
быть значительно меньше токов в ветвях.
Рис. 5.5
ПО
Рис. 5.6
В теоретическом случае при = г2 = О
токи h и 12 сдвинуты по фазе отно-
сительно напряжения на углы +л/2 и
— л/2 (рис. 5.6,6) и суммарный ток
I — h + /2 = 0. Входное сопротивление
цепи при этом бесконечно велико.
Подставив в соотношение (5.12), т. е.
в условие резонанса, значения 6t и Ь2, вы-
раженные через параметры цепи и часто-
ту, получим
г? + (coL)2 rj + (1/соС)2
Изменением одной из величин (со, Ц
С, Г1, г2) ПРИ остальных четырех по-
стоянных не всегда может быть достиг-
нут резонанс. Резонанс отсутствует, если
значение изменяемой величины при ее
определении из уравнения (5713) полу-
чается мнимым или комплексным. Для
L или С могут получаться и по два
различных действительных значения,
удовлетворяющих уравнению (5.13). В
таких случаях изменением Ln С можно
достичь двух различных резонансных
режимов.
Решив уравнение (5.13) относительно
со, найдем следующее значение для ре-
зонансной угловой частоты:
, _ 1 ]/L/C-rl _
VlcV yc-rl~
(5.14)
Резонанс возможен, если сопротив-
ления и г2 оба больше или оба
меньше р. Если же это условие не
выполнено, получается мнимая частота
со'о, т. е. не существует такой частоты,
при которой имел бы место резонанс.
При Ti — г2 / р резонансная частота
со'о = соо, т. е. такая же, как и при ре-
зонансе в последовательном контуре.
При Ti = г2 = р резонансная частота
со'о= 0/0 имеет любое значение, т. е.
резонанс наблюдается на любой частоте.
Действительно, при = г2 — р входное
сопротивление контура
Z = -1—2 _
-“Zi+Z2“
(r+jcoL)(j-7 —
2r+;(coL-1/соС) Р’
т. е. входное сопротивление контура
активное и не зависит от частоты.
Следовательно, ток совпадает по фазе с
напряжением при любой частоте и его
действующее значение равно U/p.
Заметим, что в радиотехнике и
электросвязи часто применяются конту-
ры с малыми потерями, т. е. в них
и г2 малы по сравнению с р. В
таких условиях резонансную частоту
можно вычислять по формуле
со'о = 1 ]/lC = соо.
Анализ, который здесь не приводит-
ся, показывает, что в общем случае
сумма энергий электрического и магнит-
ного полей при резонансе не остается
постоянной. Эта сумма постоянна толь-
ко в теоретическом случае, т. е. при
Г1 = Г2 = 0.
Пример 5.2. Угловая частота со и дей-
ствующее значение I синусоидального тока,
подводимого к цепи (рис. 5.7, а), поддер-
живаются неизменными. Емкость конденсато-
ра без потерь изменяется до тех пор, пока
при некотором значении С напряжение U,
измеряемое вольтметром, не достигнет макси-
мального значения Umax. По известным ве-
личинам со, 1, С, Umax и R требуется опре-
делить параметры coL и г катушки, при-
соединенной к выводам 1 и 2.
111
Рис. 5.7
Решение. Проще всего задача ре-
шается путем преобразования схемы в экви-
валентную, состоящую из переменного ем-
костного элемента с проводимостью
двух параллельно соединенных элементов —
активной д, индуктивной проводимостей
(рис. 5.7, в) и с источником тока 71у под-
соединенным к выводам 3 и 4.
В этой схеме при неизменном дейст-
вующем токе и изменении емкости макси-
мум напряжения, измеряемого вольтметром,
будет наблюдаться при резонансе токов,
так как входное сопротивление цепи при
этом максимально.
В соответствии с намеченным путем
решения приступаем к преобразованию схе-
мы. Питание цепи (рис. 5.7, а) заданным
током I может рассматриваться как пита-
ние от источника тока J = I (показан штри-
ховой линией). Заменим источник тока источ-
ником ЭДС Е = RI (рис. 5.7, б), а от источ-
ника ЭДС перейдем к новому источнику
тока, подключенному к выводам 3 и 4.
Ток этого источника
Ji = Е/z = RI/z,
TRQ z = j/(r + R)2 + (ooL)2.
Последовательное соединение элементов
R, г и ooL заменим параллельным (рис. 5.7, в)
с проводимостями
д = (г + R)/z2\ bL = (SiL/z2. (а)
Максимум напряжения между выводами
3 и 4 наблюдается при резонансе токов,
т. е.
bL=bc = ^C (б)
и
Umax = = m/gZ'
Из последнего равенства найдем связь
между неизвестными д и z:
V* = gUmax/Ri = да, (в)
где для сокращения записи отношение из-
вестных величин Umax/RI обозначено а.
Подставив (б) и (в) в выражение
д2 + b2L = 1/z2, получим
д2 + (ооС)2 = 02а2,
откуда
д = (оСД/а2 - 1;
z2 = 1/д2а2 = (а2 - 1)/(ооС)2а2.
Наконец, из (а) найдем, что
1 а2 - 1 .
coL = 6Lz2 =
ооС а2
г = gz2 - R =
|/а2 — 1
ооСа2
-К.
5.6. Частотные характеристики
параллельного контура
Построим резонансную кривую тока
I (со) в неразветвленной части параллель-
ного контура при неизменном напряже-
нии U источника питания для идеального
случая гг = г2 — 0 (рис. 5.8, а).
На рис. 5.8,6 показаны частотные
характеристики проводимостей ветвей
bi — bL = 1/&L и b2 = — bc = — соС и
входной проводимости цепи b = bi + b2 =
= 1/coL — ®С. Ток I = | b | U, поэтому
кривая 16 | = F(co) в соответствующем
масштабе и есть резонансная кривая
тока 7 (со).
При изменении частоты от 0 до
со0 = 1/]/ьС эквивалентная проводи-
мость b > 0, т. е. индуктивная, и из-
меняется от оо до 0. При со = со0
наступает резонанс токов, 6 = 0, 7 = 0,
Ц = U/a)0L = U/p и I2 = со0СС/ = U/p,
При возрастании частоты от со0 до оо
входная проводимость b < 0, т. е. ем-
костная и изменяется от 0 до — оо.
112
Рис. 5.8
В общем случае при сопротивлениях
ri и г2, не равных нулю (см. рис. 5.5),
входная активная проводимость цепи
отлична от нуля при любой частоте,
поэтому ток I ни при одном значении
частоты не равен нулю. Анализ, кото-
рый здесь не приводится, показывает,
что при условии гх < р и г2 < р зависи-
мость I = F(co) при U = const имеет
минимум, причем этот минимум наблю-
дается при частоте, отличающейся от
резонансной частоты. Последнее объяс-
няется тем, что максимум полного
входного сопротивления получается при
частоте, для которой дг/дю = 0, а резо-
нанс имеет место при частоте, для ко-
торой b = 0 или х = 0. Чем меньше п
и г2, тем меньше минимальное значение
тока /, тем ближе значение частоты,
при которой наблюдается минимум тока,
к резонансной частоте и тем меньше резо-
нансная кривая тока отличается от кри-
вой I (со) при = г2 = 0 (рис. 5.8).
При условии Гг = Г2 = Р и U — const
ток I, как было показано в § 5.5, при
любой частоте одинаков. Зависимость
I = F(co) не имеет ни максимума, ни
минимума и графически представляется
прямой, параллельной оси абсцисс.
Анализ показывает, что при условии
> р и г2 > р резонансная кривая тока
при некотором значении частоты дости-
гает максимума.
5.7. Понятие о резонансе
в сложных цепях
Условия фазового резонанса b = 0
или х = 0 для разветвленной цепи с
несколькими катушками индуктивнос-
ти и конденсаторами дают для часто-
ты со уравнения, которые могут иметь
несколько действительных корней. Дру-
гими словами, у разветвленной цепи
может быть несколько резонансных
частот.
Рассмотрим, например, цепь на
рис. 5.9, а, потерями в которой можно
пренебречь. Входное сопротивление цепи
реактивное:
Z — j(nL3 +
jcoLi (-j/roC2)
ycoL, —J/coC2
coLi
m2LiC2 - 1
= j*-
= j\ ®L3 -
Резонанс наступает при b = 0 или
x = 0, причем если х = 0, то b = оо, и,
наоборот, если b = 0, то х = оо. Это
справедливо всегда, если пренебречь по-
терями в ветвях. Следовательно, резо-
нансными будут частоты, обращающие
х в нуль или в бесконечность. В рас-
сматриваемом случае х = оо при
113
(j)2L1C2 — 1=0 или
co = 1/|/l1C2 = cOf.
При этой частоте наступает резо-
нанс токов в параллельных ветвях с
LY и С2. Полагая х = 0, получаем
(Он = ]/(Li + L3)/LiL3C2.
При этой частоте имеет место ре-
зонанс напряжений в последовательном
контуре с индуктивностью L3 и ем-
костью, эквивалентной двум параллель-
ным ветвям. Таким образом, у рас-
сматриваемой цепи две резонансные
частоты: И (Он.
На рис. 5.9,6 приведены частотные
характеристики проводимостей и сопро-
тивлений для рассматриваемой цепи.
Кривые = 1/coLi и b2 = — (оС2 пред-
ставляют характеристики проводимостей
ветвей 1 и 2. Суммируя ординаты
этих кривых, получаем характеристику
Эквивалентной проводимости Ь' двух па-
раллельных ветвей 1 и 2. Кривая
х' = 1/6' представляет эквивалентное со-
противление параллельных ветвей. Сум-
мируя ординаты кривых х' и х3 = (oL3,
построим характеристику входного со-
противления цепи х. Эта характеристи-
ка имеет две особые точки при
со = (резонанс токов) и со = сон (ре-
зонанс напряжений).
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ
ИНДУКТИВНОСТЬЮ
6.1. Индуктивно связанные
элементы цепи
Если изменение тока в одном из
элементов цепи приводит к появлению
ЭДС в другом элементе цепи, говорят,
что эти два элемента индуктивно
связаны, а возникающую ЭДС назы-
вают ЭДС взаимной индукции.
Степень индуктивной связи двух
элементов цепи характеризуют коэф-
фициентом связи к, под которым
понимают отношение
к = M/]/l^L2, (6.1)
где М — взаимная индуктивность эле-
114
Рис. 6.1
ментов цепи; Lr и L2 — индуктивности
элементов цепи.
Покажем на частном примере, что
коэффициент связи всегда меньше еди-
ницы, и выясним, при каких условиях
он мог бы быть равен единице.
Пусть две катушки изготовлены в
виде тонких колец большого диамет-
ра (рис. 6.1). При указанной форме
катушек с большой степенью точности
можно считать, что все витки каждой
катушки сцеплены с одинаковым магнит-
ным потоком. На рис. 6.1 показана
картина магнитного поля при наличии
тока ii в первой катушке. Витки
первой катушки сцеплены с магнитным
потоком самоиндукции Фп, а витки
второй катушки — с магнитным пото-
ком взаимной индукции Ф21. Потоко-
сцепления самоиндукции и взаимной
индукции первой и второй катушек
Ч'ц = и^Фц; Ч'г! = w2O21,
где Wi и w2 — числа их витков.
По определению индуктивность пер-
вой катушки и взаимная индуктивность
катушек
Ч1!! ^Фи
М = M2i =
и>2Ф21
h
По поводу этих отношений сделаем
некоторые пояснения.
Положительные направления тока и
магнитного потока самоиндукции усло-
вимся всегда выбирать согласованными
по правилу правого винта, поэтому,
когда ii > 0, то Тц > 0, а когда
Рис. 6.2
одной и той же катушки, пронизы-
ваются неодинаковыми магнитными по-
токами, и поэтому всегда к < 1.
Изменения индуктивной связи между
двумя катушками можно достигнуть
перемещением одной катушки относи-
тельно другой. Приборы, состоящие
из двух взаимно перемещающихся ка-
тушек, называются вариометрами.
6.2. Электродвижущая сила
взаимной индукции
ii < О, то и Тц<0, и, следовательно,
отношение Тц/ц всегда положительно.
Что же касается положительного на-
правления для потока взаимной индук-
ции Ф21, то его выбор произволен,
поэтому отношение 'Рц/ц может иметь
любой знак. Так как в этой книге
взаимная индуктивность считается по-
ложительной величиной, то выражение
для М записано как абсолютное зна-
чение I *Р21 /ii |.
На рис. 6.2 показана схематическая
картина поля при наличии только тока
i2 во второй катушке. По определению
^22 _ W2O22
. . j
M = Mi2 =
^1Ф12
h
Равенство М12 = М21 = М может
быть доказано на основании условия
независимости энергии магнитного поля
токов ii и i2 от порядка их возрастания
от нуля до своих конечных значений.
Составим отношение
M12M2j _ УУХУУ2Ф12Ф21 _
LiL2 и^1и^2Ф11Ф22
Так как | ФХ2 I < I Ф22 I и |Ф2Х|<
< | Фи |, то k2 < 1. Коэффициент связи
двух катушек мог бы равняться единице,
если бы | Ф12 | = | Ф22 I и | Ф211 = | Фц |,
т. е. весь поток, создаваемый током в
одной катушке, полностью (без рассея-
ния) сцеплялся бы с витками другой
катушки, что возможно лишь при совме-
щении катушек. Практически витки двух
катушек, так же как и различные витки
При изменении тока в одном из
индуктивно связанных элементов цепи
(см. рис. 6.1 и 6.2) в другом элементе
возникает ЭДС взаимной индукции и
между его разомкнутыми выводами
появляется напряжение. Абсолютные
значения ЭДС и напряжений, обуслов-
ленных взаимной индукцией (закон
электромагнитной индукции),
I U\M I = I I =
I Ы2М I = I е2М I =
^12 =
dt
М21
dt
м^г
dt
di л
dt
Для облегчения решения вопроса о
знаке этих величин прибегают к спе-
циальной разметке выводов индуктивно
связанных элементов цепи.
Два вывода, принадлежащих двум
разным индуктивно связанным элемен-
там цепи, называют одноименными и
обозначают одинаковыми значками, ру-
ководствуясь следующим правилом: при
одинаковом направлении токов относи-
тельно одноименных выводов магнит-
ные потоки самоиндукции и взаимной
индукции в каждом элементе должны
суммироваться.
Применим это правило для размет-
ки выводов катушек, показанных на
рис. 6.3, а. При направлении тока ii от
вывода а к выводу b и тока i2 от
вывода с к выводу d магнитные потоки
самоиндукции Фц (или Ф22) и взаимной
индукции суммируются. Поэтому вывод
а одноименен с выводом с и аналогич-
но вывод b одноименен с выводом d.
Для катушек, показанных на рис. 6.3,6,
одноименными являются выводы 01 и 4
а также Ьг и сх. Разница с предыду-
115
Рис. 6.3
щим случаем обусловлена другим на-
правлением намотки витков второй ка-
тушки.
Одну из двух пар одноименных
.выводов обозначают специальными знач-
ками, например точками, звездочками,
треугольниками и т. п.
Установить взаимное расположение
катушек и направление намотки их вит-
ков так просто, как на рис. 6.3, не
всегда представляется возможным. Но
найти одноименные выводы можно на
основании простого опыта, для которо-
го требуются гальванический элемент
(или аккумулятор) и гальванометр. Одна
из катушек соединяется с гальвано-
метром, другая подключается к гальва-
ническому элементу (рис. 6.4). При замы-
кании ключа S кратковременно возни-
кает ток i2, ослабляющий магнитное
поле, созданное током Следова-
тельно, в момент включения источника
питания токи ц и i2 направлены от-
носительно одноименных выводов про-
тивоположно. Направление тока ц опре-
деляется полярностью источника пита-
ния. О направлении тока i2 судят по
кратковременному отклонению стрелки
гальванометра. Если стрелка отклоняет-
ся в сторону шкалы (имеется в виду
гальванометр с односторонней шкалой),
то ток i2 направлен к положительному
выводу гальванометра (рис. 6.4), при
этом выводы катушек, присоединенные
к положительным выводам гальваномет-
ра и источника питания, одноименны,
точно так же одноименны и выводы
Рис. 6.4
катушек, присоединенные к отрицатель-
ным выводам гальванометра и источни-
ка питания; заметим, что в момент
отключения источника питания стрелка
гальванометра вновь отклоняется, но
уже в обратном направлении, так как
ток противодействует уменьшению маг-
нитного поля.
Перейдем теперь к решению вопроса
о знаке в выражениях для ЭДС и
напряжения, обусловленных взаимной
индукцией.
Рассмотрим две катушки (рис. 6.5).
Пусть катушка 1 разомкнута, а в ка-
тушке 2 протекает синусоидальный ток
i2. Выберем положительные направле-
ния для ЭДС е[М и напряжения щм
в катушке 1 и для тока i2 в катушке 2
относительно одноименных выводов
одинаковыми, например от а к b и
соответственно от с и d.
Прежде всего отметим, что при
одинаковых положительных направле-
ниях напряжения и ЭДС их
значения численно равны, но противо-
положны по знаку: щм = — еш. Действи-
тельно, когда е{М > 0, потенциал вывода
b больше потенциала вывода а, и,
следовательно, щм < 0.
Электродвижущая сила на осно-
вании закона Ленца должна иметь такое
1 2
i|W, гяш
Рис. 6.5
116
направление, при котором вызываемый
ею ток препятствовал бы изменению
магнитного потока взаимной индукции.
Поэтому, если di2/dt > 0, то ЭДС еш
должна иметь действительное направ-
ление от Ь к а, т. е. < 0. Если
di2/dt < 0, то ЭДС еш должна иметь
действительное направление от а к Ь,
т. е. еш > 0.
Таким образом, при выбранных по-
ложительных направлениях (рис. 6.5)
знаки и di2/dt всегда противо-
положны, поэтому
Щм =
dt
Для комплексных величин получим
Uim = ~~Ё1м = j&MI2. (6.2)
Если бы положительные направления
для е1М и щм в катушке 1 и тока i2
в катушке 2 относительно одноимен-
ных выводов были выбраны различны-
ми, то аналогичные рассуждения пока-
зали бы, что знаки еш и di2/dt всегда
были бы одинаковы:
di*
Щм — ~е1м = —М
U хм — —Eim — —j®MI2.
(63)
Из (6.2) и (6.3) видно, что напря-
жение Uim, обусловленное взаимной ин-
дукцией, сдвинуто по фазе относительно
тока 12 на угол п/2 или — п/2. Знак
этого угла зависит от выбора положи-
тельных направлений UiM и 12 отно-
сительно одноименных выводов.
Величина соМ имеет размерность
сопротивления, называется сопротив-
лением взаимной индукции и
обозначается хм> Величина усоМ назы-
вается комплексным сопротивлением
взаимной индукции и обозначается ZM-
Таким образом,
ZM =j(»M = jxM-
Если индуктивно связаны между со-
бой не два, а несколько элементов цепи,
надо у каждого из них отметить
выводы, одноименные с выводами ос-
тальных элементов, при. этом в общем
случае приходится прибегать к разным
условным обозначениям. Поясним это на
примере трех катушек, расположенных,
как указано на рис. 6.6.
Верхний вывод первой катушки од-
ноименен с нижними выводами второй и
третьей катушек, но эти последние не
являются одноименными по отношению
друг к другу, поэтому их нельзя обозна-
чить одинаковыми значками. На рис. 6.6
одноименные выводы первой и второй
катушек обозначены звездочками, пер-
вой и третьей — треугольниками, а вто-
рой и третьей — точками. В частных
случаях для разметки одноименных вы-
водов нескольких катушек можно обой-
тись одним условным обозначением.
Убедиться в этом можно на примере
нескольких катушек, расположенных
вдоль одной оси (аналогично рис. 6.3).
При большом числе индуктивно
связанных элементов цепи указанная вы-
ше система разметки одноименных вы-
водов получается недостаточно нагляд-
ной, так как приходится вводить много
различных обозначений. В таких случаях
удобнее другая система разметки, при
которой взаимные индуктивности счи-
тают алгебраическими величинами.
Сначала совершенно произвольно
указывают направления обхода каждого
индуктивно связанного элемента цепи,
например ставят букву н у вывода, от
которого начинается обход, и букву к
у другого вывода. Затем указывают
знаки взаимных индуктивностей,. руко-
водствуясь следующим правилом. Если
при совпадении направлений токов с
выбранными направлениями обходов по-
токи взаимной индукции и потоки само-
индукции суммируются, то соответст-
вующая взаимная индуктивность поло-
жительна, если же они вычитаются, то
соответствующая взаимная индуктив-
ность отрицательна.
117
Примем, например, для катушек,
показанных на рис. 6.6, за начала
обхода верхние выводы и за концы
обхода — нижние выводы, при этом
взаимные индуктивности будут отрица-
тельны (М12 < 0, М23 < 0 и М31 < 0).
Знаки в выражениях для напряже-
ний, обусловленных взаимной индуктив-
ностью, получаются, конечно, такими же,
как и при первой системе разметки
выводов; при совпадении положитель-
ных направлений щм и i2 с принятыми
направлениями обходов получаем
UiM = ja>Ml2I29 при несовпадении полу-
чаем Uim = —jtoMuLi, ПРИ этом взаим-
ная индуктивность считается величиной
алгебраической и берется с тем знаком,
который для нее указан при разметке
выводов.
Вторая система разметки при нали-
чии только двух индуктивно связанных
элементов менее удобна, так как тре-
бует не только маркировки выводов, но
и указания знака взаимной индуктив-
ности. В дальнейшем применяется толь-
ко первая система разметки.
6.3. Последовательное соединение
индуктивно связанных
элементов цепи
Предположим, что две катушки или
два каких-либо элемента цепи с сопро-
тивлениями гг и г2, индуктивностями
Li и L2 и взаимной индуктивностью
М соединены последовательно. Возмож-
ны два вида их включения — соглас-
ное (рис. 6.7, а) и встречное
(рис. 6.7,6). При согласном включении
токи в обоих элементах в любой мо-
Рис. 6.7
мент времени направлены одинаково
относительно одноименных выводов,
поэтому магнитные потоки самоиндук-
ции Фц (или Ф22) и взаимной ин-
дукции Ф12 (или Ф21), сцепленные с
каждым элементом, складываются. При
встречном включении токи в обоих
элементах цепи в любой момент вре-
мени направлены противоположно отно-
сительно одноименных выводов, поэто-
му магнитные потоки самоиндукции и
взаимной индукции, сцепленные с каж-
дым элементом, вычитаются.
Индуктивность двух последователь-
но соединенных индуктивно связанных
элементов
Т _ Ух +Т2
i i
(6.4)
где Ti и Т2 — потокосцепления первого
и второго элементов, причем =
= Lxi ± Mi; Т2 = L2i ± Mi. Знак плюс
относится к согласному, а знак минус
к встречному включению. Следова-
тельно,
L = Li + L2 ± 2М. (6.5)
В предельном случае идеальной свя-
зи (при к = 1)___имеем L = Lr + L2 ±
± 2]/LiL2 = (|/lx + |/l2)2. Если, кроме
того, Li = L2, то при согласном вклю-
чении L = (2|/Lt)2 = 4Lb а при встреч-
ном L = 0 (при к < 1 всегда L > 0).
Полное сопротивление при соглас-
ном включении больше, чем при встреч-
ном. Этим можно пользоваться для оп-
ределения опытным путем одноименных
выводов индуктивно связанных элемен-
тов цепи, например, по показаниям
вольтметра и амперметра.
Напряжения на элементах имеют по
три составляющие:
и 1 = rd + ;<oLJ ± jwMI; )
> (6.6)
U2 = r2I + jd)L2I ± j&MI. )
Если индуктивность одного из эле-
ментов меньше взаимной индуктивности,
то при встречном включении наблю-
дается своеобразный «емкостный» эф-
фект. Пусть, например, L2 < М, при этом
в выражении
СУ2 = r2I + jco(L2 - М)1
118
имеем co(L2 - Af) < О, и, следовательно,
напряжение U2 отстает по фазе от тока
/, как в случае емкостного сопротивле-
ния. Конечно, реактивное сопротивление
всей цепи в целом индуктивное, так как
L = Ц 4- L2 — 2М > 0 и ток I отстает
по фазе от напряжения U.
На рис. 6.8 показаны векторные
диаграммы для согласного и встречного
включений при одинаковом значении
тока в обоих случаях.
Входное комплексное сопротивление
цепи получаем, учитывая (6.6):
Z = U/I = (Ui + U2)/l = Zi 4- Z2 ± 2ZM,
(6.7)
где Zi = ri 4- jcoLi; Z2 = r2 4- jcoL2; ZM =
=
именные выводы присоединены к одно-
му и тому же узлу (рис. 6.9).
При выбранных положительных на-
правлениях токов и напряжения
Z = /i+72; (6.8)
U = ZiI_i + ZMI2; (6.9)
U = ZMh 4- Z2I2i (6.10)
где Zi = rj +j(oLi; Z2 = r2 4-jcoL2; ZM =
= j($M.
В этих уравнениях комплексные
напряжения ZMIi и ZMI2 взяты со зна-
ком плюс, так как положительные
направления этих напряжений (выбран-
ные сверху вниз) и тех токов, от ко-
торых эти напряжения зависят, ориенти-
6.4. Параллельное соединение
индуктивно связанных
элементов цепи
Предположим, что две катушки или
два каких-либо элемента цепи с сопро-
тивлениями ri и г2, индуктивностями
Li и L2 и взаимной индуктивностью
М соединены параллельно, причем одно-
Рис. 6.9
119
рованы относительно одноименных вы-
водов одинаково.
Решив уравнения, получим
Zi — Zm _ r Zi~Zm
Z1Z2 — М “1“2 —М
Zi -h Z2 — 2ZM
Z ZZi ZZm
(6.И)
откуда следует, что входное комплекс-
ное сопротивление рассматриваемой
цепи
и ztz2-z2M
I Z1 Z2 ZZm
(6.12)
При ZM — 0, т. e. при отсутствии ин-
дуктивной связи между ветвями, это
выражение принимает знакомый вид:
7 — Z1Z1
- “ Z1+Z1
Рассмотрим теперь включение, при
котором одноименные выводы присоеди-
нены к разным узлам, т. е. Lt и L2
присоединены к узлу разноименными
выводами, а не как указано на рис. 6.9.
В этом случае положительные направле-
ния напряжений взаимной индукции
(выбранные сверху вниз) и тех токов,
от которых они зависят, ориентированы
относительно одноименных выводов не-
одинаково и комплексные напряжения
ZMIr и ZMI2 войдут в уравнения (6.9)
и (6.10) со знаком
I15 h и I получатся
гичные (6.11), с тем
заменяется на — ZM
тивление цепи
минус. Для токов
выражения, анало-
отличием, что ZM
и входное сопро-
2 _
~ Zi Zi +
(6.13)
6.5. Расчеты разветвленных
цепей при наличии
взаимной индуктивности
Расчеты разветвленных цепей можно
вести, составляя уравнения по первому
и второму законам Кирхгофа или ме-
тодом контурных токов. Метод узловых
потенциалов непосредственно неприго-
ден. Объясняется это тем, что ток в
любой ветви зависит не только от ЭДС
находящегося в ней источника и от
потенциалов тех узлов, к которым ветвь
присоединена, но и от токов других
ветвей, которые наводят ЭДС взаимной
индукции. Поэтому нельзя простым пу-
тем выразить токи ветвей через потен-
циалы узлов и ЭДС источников, как в
цепях без индуктивно связанных эле-
ментов.
Применение метода узловых потен-
циалов требует особых приемов и здесь
не рассматривается.
Принцип эквивалентного генератора
можно применять, если внешняя по от-
ношению к двухполюснику часть цепи
не имеет индуктивных связей с той
частью цепи, которая входит в состав
двухполюсника. Разумеется, что нельзя
пользоваться выведенными ранее форму-
лами для преобразования треугольника
сопротивлений в эквивалентную звезду
и обратно.
Чтобы обойти указанные выше огра-
ничения в применении расчетных мето-
дов, в ряде случаев целесообразно
исключить индуктивные связи, перейдя к
эквивалентным схемам без индуктивных
связей (см. § 6.6).
При составлении уравнения по вто-
рому закону Кирхгофа ЭДС взаимной
индукции обычно учитываются как соот-
ветствующие напряжения. Знак комплекс-
ного напряжения +j($MksIs на элементе
к определяется на основании сопостав-
ления направления обхода элемента к и
положительного направления тока в эле-
менте s. Если эти направления отно-
сительно одноименных выводов одина-
ковы, то напряжение равно j($MksIs. В
противном случае напряжение равно
—j(dMksIs. Это правило знаков вытекает
из обоснований, приведенных в § 6.2.
В качестве примера запишем урав-
нения по законам Кирхгофа для схемы,
представленной на рис. 6.10. Для боль-
шей ясности напряжения в уравнениях
выпишем в порядке расположения эле-
ментов контура без приведения подоб-
ных членов:
la + lb + 1с — 0?
Г ala "I” j^EaIa j^^aclc
-jaMadId - rbIb +j[b/(tiCb -jaLtlb =
= Ea - Eb ;
120
Рис. 6.10
j«>LbIb — jIb/a>Cb + rbIb — j<oLcIc +
+ jaMocIa ~ j<nMcdId - rcIc = Eb + Ec;
fdld + jnLdLl ~ juMadLa + j(oMcdL. = Ej.
Приведем также уравнения, состав-
ленные по второму закону Кирхгофа
для контурных токов:
К + rb +j((f)La + <f)Lb - 1/соСь)] Л +
4- [ — 4- j (— 4- 1/<х>С7ь 4- coMflC)] 12 ~
-j®MadI_3 = ЕЛ- Ejb\
[“ rb + j(~c0^b + 1/Ю^Ь + Ю^ас)]11 +
+ [rb 4- Гс + j (aLb + coLc - l/coCb)] l2 -
-j(£)Mcd[3 = Ej, + E^
- jmMadh - j(bMcdI_2 4- (rd -I- jcoLd) /3 = Ед.
Сокращенно последние уравнения мож-
но записать так:
2и11 + Z12I2 + 21з1з = 21>
22111 + ZliiLi + 2гз!з ~ Ё.2 >
2з111 + Zl31Lz + 2зз1з — Е3,
где Zn, Z22, Z33 — комплексные сопро-
тивления контуров 1, 2 и 3;
212 ~ 2г1, 2гз = 2зг, 2з1 = 213
— комплексные взаимные (общие) сопро-
тивления контуров 1 и 2, 2 и 39 3 и 1;
21, 2г, 2з — комплексные контурные
ЭДС. Например,
211 = ra + rb +j(toLa 4- coLb - 1/соСь);
212 = ~rb + j( — <nLb 4- l/coCb 4- coMJ;
213 = -j®Mad; 2i = 2a - 2ь-
Заметим, что в комплексные сопро-
тивления контуров и в комплексные
взаимные сопротивления двух контуров
слагаемые jwMks входят со знаком плюс
или минус в зависимости от того, сов-
падают или не совпадают по отноше-
нию к одноименным выводам элемен-
тов цепи к и s направление обхода
контура через элемент к и положитель-
ное направление тока через элемент s.
Для цепей, содержащих индуктивно
связанные элементы, справедливо свой-
ство взаимности. Доказательство этого
положения ничем не отличается от при-
веденного для цепей постоянного тока.
Пример 6.1. К выводам 1-Г цепи
(рис. 6.11) подведено питание. Определить
напряжение между разомкнутыми выводами
2-2'. Дано: г2 = г3 = 3 Ом; g)L2 = coL3 =
= 4 Ом; шМ = 2 Ом; = 10 В.
Решение. Полагаем = 10 В.
Находим:
Ii = 21/(гз + кяЪ3) =
= 10/(3+j4)=l,2-jl,6 А.
Напряжение t/2 определяем, обходя схе-
му от вывода 2 к выводу 2'\
U2 = jaMli + Uг = 13,4 л. 10° 18' В.
121
Рис. 6.12
Если бы нижний вывод индуктивности
L2 был одноименным с верхним выводом
индуктивности L3, то направление обхода
элемента L2 и направление тока в элементе
L3 относительно одноименных выводов были
бы различными. Поэтому перед слагаемым
jcnMh следовало бы поставить знак минус,
и напряжение CJ2 было бы равно
7,21 л. -19° 26' В.
Пример 6.2. Определить входное сопро-
тивление цепи, показанной на рис. 6.12.
Дано: гь г3, oL3 и &М.
Решение. Зададимся напряжением U_i9
определим ток и затем найдем Z*x =
= Заметим, что если бы не было
взаимной индуктивности, то /3 = 0 /2 = h
и Zbx = Г1 +j<oLi.
Для контура 1-3-2-2'-Г
(n + >Li) Zt 4- jcoMZ3 = Ui. (a)
Для контура 3-3'-2'-2-3
(r3 4- >L3) [3 4- jtoMh = 0, (6)
откуда
Z3 = -jG)Mh/(r3 4jcoL3). (в)
Подставив (в) в (а), получим
/ . _ co2M2 \ .
I ri + 4----. IЛ
\ r3+joL3J
и19
откуда
^ = LLi/L =
= Tj 4-joLi 4- со2Л12/(г3 4->L3) (г)
(см. также пример 6.3).
6.6. Эквивалентная замена
индуктивных связей
Анализ и расчет электрических це-
пей в ряде случаев упрощаются, если
часть схемы, содержащую индуктивные
связи, заменить эквивалентной схемой
без индуктивных связей. Этот прием
называют эквивалентной заменой, уст-
ранением или развязкой индук-
тивных связей.
Найдем схему без индуктивных свя-
зей, эквивалентную двум индуктивно
связанным элементам цепи, присоеди-
ненным к общему узлу 3 (рис. 6.13, а),
при этом учтем два возможных случая:
1) в общем узле элементы цепи соеди-
нены одноименными выводами и 2) раз-
ноименными.
Введем дополнительную ветвь без
сопротивления, соединяющую индуктив-
но связанные элементы цепи с узлом 3
(рис. 6.13,6). Если в узле 3 соединены
только три ветви, введение такой до-
полнительной ветви не требуется.
Напишем выражения для напряже-
ний между выводами 1, 3 и 2, 3:
LL13 ~± 2м/г;
U 23 — ZliLz i ZMIi •
(6.14)
Верхние знаки относятся к первому
случаю (в узле элементы цепи соедине-
ны одноименными выводами), а ниж-
ние — ко второму случаю. Этого поряд-
ка расположения знаков будем придер-
живаться и во всех последующих выра-
жениях.
Пользуясь соотношением h 4- [2 —
—13 = 0, исключим из первого уравне-
ния (6.14) ток а из второго уравне-
ния ток Zx, тогда получим
^1з = (21+2м)11±2мЬ;
IZ23 = (2з + + ?м1з-
Кроме того, имеем
IZ12 = (21 + 2м) Ii — (2з + ZM)l2.
Эти три уравнения справедливы и
для схемы, показанной на рис. 6.14, ко-
торая, таким образом, и является иско-
мой эквивалентной схемой без индуктив-
ных связей.
122
Итак, при устранении индуктивной
связи к сопротивлениям Zt и Z2 добав-
ляется zpZM, вывод 3 перестает быть
узлом для ветвей 1 и 2, а между вы-
водом 3 и новым узлом 3' появляется
элемент + Zm-
Если индуктивно связанные элемен-
ты соединены трехлучевой звездой или
треугольником, то, применив последова-
тельно рассмотренный способ эквива-
лентной замены, можно перейти к схе-
мам без индуктивных связей. Развязка
индуктивных связей в четырехлучевой
звезде труднее, так как на промежуточ-
ном этапе получается схема, в которой
индуктивно связанные элементы распо-
ложены в ветвях, не имеющих общего
узла.
Две любые индуктивно связанные
ветви, не присоединенные к общему уз-
лу, также можно заменить эквивалент-
ной схемой без индуктивной связи, од-
нако эта схема в достаточной мере
сложна и пользоваться ею нецелесооб-
разно.
Рис. 6.15
Пример 6.3. Найти входное сопротивле-
ние цепи (см. рис. 6.12), применив при ре-
шении эквивалентную замену индуктивных
связей.
Решение. Учитывая, что индуктивно
связанные элементы присоединены к узлу 3
разноименными выводами, получаем эквива-
лентную схему, представленную на рис. 6.15,
для которой
Zbx — ri + (М 4- М) 4-
+ [Гз + j'rn (L3 + М)] (- )
r3 -I- jco (L3 4- М) - j&M
= гi 4-joLi +
(й2М2
г3 4- jcoL3 ’
6.7. Передача энергии между
индуктивно связанными элементами
цепи
Рассмотрим, как передается энергия
между двумя индуктивно связанными
элементами разветвленной цепи. Всю
цепь, за исключением этих двух элемен-
123
тов, представим в виде активного четы-
рехполюсника (рис. 6.16).
В течение каждого полупериода из-
менения токов ii и i2 энергия, посту-
пающая в магнитное поле индуктивно
связанных элементов, возвращается об-
ратно. Однако это не означает, что
равны количества энергии, поступающей
в поле и возвращаемой из поля обратно
для каждого элемента в отдельности.
Покажем, что при сдвиге фаз между
токами и i2, отличающимися от 0 и
л, от одного из элементов в магнитное
поле поступает больше энергии, чем
возвращается, а от другого элемента,
наоборот, в магнитное поле поступает
меньше энергии, чем возвращается. В ре-
зультате энергия передается от одного
элемента к другому.
Пусть известны токи
1-! = !^ и Ь = 12^2.
Составим выражения для комплекс-
ных мощностей первого и второго эле-
ментов, обусловленных взаимной ин-
дукцией:
Sim = LLimLi — =
= j(oMI2I^^2'^} = -аМ12Ц sin (ф2 -
- Ф1) + cos (ф2 - фО;
^2м = Lhwli—
откуда
Р\М = -Р2М = <йМЦ12 sin (фх - ф2).
При указанных на схеме положи-
тельных направлениях токов и напряже-
ний положительные значения мощностей
соответствуют притоку энергии к рас-
сматриваемым элементам от активного
четырехполюсника, а отрицательные
значения мощностей — передаче энергии
из рассматриваемых элементов в четы-
рехполюсник.
Суммарная активная мощность, обу-
словленная взаимной индукцией и посту-
пающая в оба элемента, равна нулю,
т. е. Р\М + Р1м — 0.
Если л > фх — ф2 > 0, то Р1м > 0, а
Р2М < 0. В этом случае энергия пере-
дается из активного четырехполюсника
в магнитное поле через первый элемент
и возвращается через второй элемент.
Если л > ф2 ~ > 0, то Р1м >0, а
Рш < 0. В этом случае энергия посту-
пает через второй элемент и возвра-
щается обратно через первый.
Пример 6.4. Цепь состоит из двух ин-
дуктивно связанных катушек, включенных
параллельно (рис. 6.17, а). Дано: = 20 Ом;
xli — 80 Ом; г2 = 30 Ом; х^2 = 50 Ом;
&М = 40 Ом; 1/ = 120 + J20 В. Требуется
определить мощности, измеряемые ваттмет-
рами, и провести анализ энергетических про-
цессов в цепи.
Решение. Подставив численные дан-
ные Zj = 20 + J80 Ом, Z2 = 30 + J50 Ом,
^и=;40 Ом и U = 120 + J20 В в (6.11),
получим
Zi — ZM г-
12 = —----=4-1/ = 1 - J1 = 1/2 z. -45° А;
—z 7 7 7^ — J "
<2 —
/ = Л + 72 = 1 -j2 А.
Схемы включения ваттметров таковы,
что они измеряют поступающие мощности
Р, Рх и Р2 во всю рассматриваемую цепь
и в каждую катушку в отдельности:
Р = Re [UГ] = Re [(120 + J20) (1 + J2)] = 80 Вт;
Pi = Re [C/ZJ = Re [(120 + J20) (+J1)] =
= -20 Вт;
P2 = Re [C7Z2] = Re [(120 + J20) (1 + jl)] =
= 100 Вт.
Результаты подсчета показывают, что
поступающая от источника питания мощ-
ность Р < Р2, поступающей во вторую ка-
тушку. Зато первая катушка отдает мощ-
ность (Рх < 0). Стрелка первого ваттметра
должна отклониться в обратную сторону —
не по шкале. Чтобы измерить мощность,
отдаваемую первой катушкой, надо изменить
схему включения ваттметра Можно,
124
Рис. 6.17
например, изменить у него подключение
цепи напряжения, присоединив вывод со
звездочкой к нижнему проводу, а вывод
без звездочки к верхнему проводу, так как
это показано на рис. 6.17,6. В этом случае
он будет измерять мощность, отдаваемую
катушкой,
Р1 — ^вт^вт cos (//вт, /вт),
где С7ВТ = — 17 = —120 — J20 В; 1^ — h или
*
Pi = Re [-17/1] =
= Re [(-120 - J20) (+ j 1)] = 20 Вт.
Сумма мощностей, отдаваемых источни-
ком питания и первой катушкой, равна
мощности, поступающий во вторую катушку.
Из всей мощности Р2 = 100 Вт, поступаю-
щей во вторую катушку, часть ее, равная
г212 = 30 (]/2)2 = 60 Вт, преобразуется в теп-
ло. Оставшаяся часть Р2 — г212 — 100 — 60 =
= 40 Вт, очевидно, отдается в магнитное
поле и затем из магнитного поля в первую
катушку. Покажем это:
ихм = jt»MI_2 = J40 (1 - j • 1) = 40 4- J40 В;
U2M = J40(-jl) = 40 В.
Мощность, отдаваемая второй катушкой в
магнитное поле,
*
Р2М = Re 1У2М1_2] = Re[40(1 +jl)] = 40 Вт,
т. е. Р2М = Р2~ r2I22-
Мощность, отдаваемая первой катушкой
в магнитное поле,
Р1М = BWi] =
= Re [(40 + j40)(+jl)] = -40 Вт.
Таким образом, < 0, т. е. эта мощ-
ность не отдается, а получается из магнит-
ного поля и численно равна мощности Р2м,
отдаваемой в магнитное поле второй катуш-
кой. Часть поступившей мощности преобра-
зуется в тепло в первой катушке rJl =
= 20 • I2 = 20 Вт, а остальная часть ( —Рш)~
— г= 20 Вт возвращается в цепь.
Мощность, поступающая в цепь от ис-
точника питания, равна мощности, преобра-
зуемой в тепло:
р = nil 4- г2122 = 20 4- 60 = 80 Вт:
Для рассматриваемой цепи на рис. 6.17, в
приведена векторная диаграмма токов и
напряжений. Сдвиг фаз U_ и Li превышает
п/2, поэтому Рг <0. На диаграмме показаны
активные составляющие напряжений, обу-
словленные взаимной индукцией U_im& и
//ама- Составляющая (/ама совпадает по
фазе с /2, а составляющая С7Ша находится
в противофазе с /х, поэтому Р2м >0, а
Рш < 0.
6.8. Резонанс в индуктивно связанных
контурах
В устройствах электроники и радио-
техники наряду с одиночными последо-
вательными и параллельными контура-
ми применяются и связанные контуры.
Контуры могут иметь индуктивную
связь (трансформаторную или авто-
трансформаторную) или емкостную раз-
личного вида.
Рассмотрим резонансные явления для
случая двух одинаковых последователь-
ных контуров (в целях упрощения ма-
тематического описания), имеющих ин-
дуктивную (трансформаторную) связь
(рис. 6.18, а). Режим цепи определяется
двумя уравнениями:
(г 4- jx) h - j(f}ML2 = U_i;
(г 4- jx)L2 -jaMLi = 0,
(6.15)
где x = coL — 1/coC.
125
При частоте cot = со2 = 1/]/Ес = соо
у каждого контура х = 0 (каждый на-
строен в резонанс) — так называемый
«полный резонанс». Из (6.15) следует,
что ток = г L7x/(r2 + (ОоМ2), т. е. сов-
падает по фазе с напряжением Uu и
цепь настроена в резонанс. Ток
Ьр = усооЛ/11р/г = jaQMUi/(r2 + cogM2).
При любой другой частоте из (6.15)
ток
/2 = JoML/x/Qr + jx)2 4- со2М2].
В относительных единицах
Ь _ со г2 + (о^М2
Ьр ~ ®о (Г + А)2 + со2М2
_ 1-1- (HqM2/г2
Ю* (1 + jx/r)2 + со2М2/г2
1 + №
(1 + Л)2 + (kQ)2 ’
(6.16)
так как (ь^М/г =----------— = Qk. Здесь
Г Lt
= со/соо — относительная частота; Q —
добротность каждого из контуров; к =
= М/|/L1L2 = M/L — коэффициент связи
и
х _ coL — 1/соС _ а\сооЕ — 1/софшо^ _
г г г
= е(<вш-1/(М = £
— обобщенная расстройка. В (6.16) при-
нято, что при построении резонансной
кривой контура с достаточно большой
добротностью можно принять множи-
тель со/(оо = 1 и при вычислении доброт-
ности Q считать coL^ cooL. Это, конеч-
но, справедливо при достаточно малых
расстройках (например, при £ = 3 и
Q = 20 получается со « 1,07соо).
Резонансная кривая
— = 1 (6.17)
Ър /[1 - V + (kQ)2]2 + 4S2
Если kQ « 1 — слабая связь контуров, то
h/hp = 1/|/(1 - ¥)2 + 4^2 = 1/(1 + V)-
Резонансная кривая имеет один мак-
симум при £ = 0, т. е. при со = соо. Ток
12 меньше J2p в |/2 раз (границы поло-
сы пропускания) при £ = ± 0,64, а у
последовательного контура 1/1р =
= 1/j/l + V [см. (5.5)] и на границах
полосы пропускания = ± 1. Следова-
тельно, полоса пропускания связанных
контуров при слабой связи меньше, чем
у последовательного контура.
При kQ = 1 — критической связи
h/hp = 1д/1 + ем и на границах по-
лосы пропускания £ = ± |/2, т; е. полоса
пропускания больше, чем у последова-
тельного контура.
При kQ > 1 — сильной связи полу-
чается резонансная кривая с двумя мак-
симумами (рис. 6.18, б). Если считать, что
на границе полосы пропускания значе-
ние тока /2, как и у последовательного
контура, в |/2 раз меньше максималь-
ного, то получится полоса пропускания
®*в ~ ю*н в 3,1 раза шире и ближе к
прямоугольной, чем у последовательно-
го контура при той же добротности
контуров, что может быть важным
достоинством цепи при построении си-
стем с большой полосой пропускания
(широкополосных).
126
Значение тока 12р зависит от коэф-
фициента связи кбнтуров. Наибольшее
значение можно найти обычным иссле-
дованием на максимум. Оно получается
при (ОоМ = г и 12ртах = Ui/2r.
Аналогично исследуются «частные
резонансы». Первый частный резонанс
достигается изменением емкости (или
индуктивности) первого контура.
При резонансе Ц = 11тах, 12 = 12тах
и ток совпадает по фазе с напряже-
нием L/p Для получения второго част-
ного резонанса добиваются максималь-
ного значения тока 12 изменением
емкости (или индуктивности) второго
контура. «Сложный резонанс» получа-
ется при изменении параметров одного
из контуров и коэффициента связи.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ЦЕПИ С ТРАНСФОРМАТОРАМИ
7.1. Трансформатор без стального
магнитопровода (воздушный
трансформатор)
В электротехнике широко применя-
ется передача энергии из одного кон-
тура цепи в другой при помощи транс-
форматоров. Они могут иметь различ-
ные назначения, но чаще всего пред-
назначаются для преобразования пере-
менного напряжения. Отсюда возникло
и само название аппарата, происходящее
от латинского слова transformare — пре-
образовывать. Такое преобразование
необходимо, например, в том случае,
если напряжение источника энергии от-
личается от напряжения, которое требу-
ется для приемника энергии.
Трансформаторы состоят из двух
или нескольких индуктивно связанных
катушек или обмоток. Ограничимся
здесь рассмотрением простейшего двух-
обмоточного трансформатора без сталь-
ного (ферромагнитного) магнитопрово-
да. Такие трансформаторы применяют-
ся при высоких частотах, а в ряде
специальных измерительных устройств
и при низких частотах переменного
тока.
Обмотка трансформатора, к кото-
рой подводится питание, называется
первичной, обмотка, к которой при-
соединяется приемник энергии, — вто-
ричной. Напряжения между вывода-
ми обмоток и токи в этих обмотках
называются соответственно первич-
ными и вторичными напря-
жениями и токами трансформа-
тора. Цепи, в состав которых входят
первичная и вторичная обмотки транс-
форматора, называются соответственно
первичной и вторичной цепя-
м и трансформатора.
Если пренебречь распределенной
емкостью между витками обмоток
трансформатора, то цепь, состоящая из
двухобмоточного трансформатора и
приемника, имеет схему, представлен-
ную на рис. 7.1.
Введем обозначения: coLx = хь г2 +
+ Гн = Г22, ®L2 + Хн = Х22, где гн И Хн -
активное и реактивное сопротивления
приемника, г22 и х22 — активное и ре-
активное сопротивления вторичного кон-
тура.
Запишем уравнения по второму за-,
кону Кирхгофа для первичного и вто-
ричного контуров:
rji + JXili - jcoMI2 = Ut ; )
> (7.1)
r2iLi +7^22X2 — foMLi = О- J
Построим векторную диаграмму то-
ков и напряжений для первичной и
вторичной цепей. Для этого зададимся
током 12 и отложим векторы Z2, гн/2,
jXuLi, Ггкг и ;cdL2/2 (рис. 7.2), где при-
нято хн > 0. Соединив конец вектора
jcoL2Z2 с началом векторной диаграммы,
получим, как следует из второго урав-
нения (7.1), вектор —jwMh. Разделив
напряжение &МЦ на свМ, определим
Рис. 7.1
127
значение тока 1Х. Вектор отложим
под углом л/2 (в сторону опережения)
к вектору —jcnMh. Затем построим век-
торы rjli, jcoLili и — j<nMI2. Их сумма
равна вектору напряжения U_i,
Решив уравнения (7.1) относительно
тока h, получим
Ui
Ц = т---------------------------г» (7-2)
(П + гвн) + j (xi + хвн)
где обозначено
со2М2
гвн — ~2 . 2 Г22»
г22 “Г х22
со2М2
Хвн = — ~2 । „2 Х22-
г22 + х22
(7.3)
(7.4)
ление имеет знак, противоположный
знаку х22.
Пользуясь схемой эквивалентного
двухполюсника, решим вопрос об усло-
виях передачи максимальной активной
мощности во вторичную цепь, т. е. пе-
редачи максимальной мощности в со-
противление гвн. Для этого (см. § 3.19)
должны удовлетворяться следующие со-
отношения между сопротивлениями:
гвн = Г1 и X! + хвн = О,
или
со2М2
Г1 =
г22 + х22
С02М2
Х1= d2 + xh
(7.5)
(7.6)
Последние соотношения можно по-
лучить, если предусмотреть возмож-
ность изменения параметров контуров.
Для изменения хх и х22 в первичный
и вторичный контуры можно включить
конденсаторы переменной емкости
(рис. 7.3), для изменения М применить
трансформатор с подвижными обмот-
ками (вариометр) или трансформатор
с подвижной магнитной системой. От-
метим, что для выполнения соотноше-
ний (7.5) и (7.6) достаточно предусмот-
реть изменение только двух из трех
параметров xl9 х22 и М.
Все приведенные выше выражения
справедливы для схемы по рис. 7.3,
если положить
Xi = ©Lt — 1/coCi;
х22 = coL2 + хн - 1/соС2.
Сопротивления гвн и хвн называют
вносимыми (из второго контура в
первый) активным и реактивным сопро-
тивлениями. Из структуры выражения
(7.2) следует, что со стороны первичной
обмотки вся схема может рассматри-
ваться как двухполюсник с сопротивле-
ниями ri + гвн и Xi + хвн.
Вносимое активное сопротивление
всегда больше нуля. В нем поглощает-
ся энергия, которая в реальной цепи
передается из первичной цепи во вто-
ричную. Вносимое реактивное сопротив-
Рис. 7.3
128
jco(LrM) ja>(L2~M)
Рис. 7.4
Из (7.5) получаем
x22 ~
C02M2r22 - ^1^22
причем x22 имеет действительное зна-
чение при условии, что соМ > |/ViT22-
Если М < ]/г 1Г22/со, то ни при каких
значениях х22 и хх не может быть
получена максимальная мощность.
Схема двух контуров с индуктивной
связью (см. рис. 7.1) может быть заме-
нена эквивалентной схемой без индук-
тивной связи. Для этого соединим меж-
ду собой два нижних вывода схемы
(режим при этом не изменится). Части
контуров с элементами и r2, L2
рассмотрим как две индуктивно связан-
ные ветви, присоединенные к одному
узлу своими одноименными выводами,
и применим для них эквивалентную
схему (см. рис. 6.14). В результате для
рассматриваемой цепи получим эквива-
лентную схему по рис. 7.4.
7.2. Идеальный трансформатор
Идеальный трансформа-
тор представляет собой элемент схемы
(рис. 7.5), которому приписывается сле-
дующее свойство: при любых сопротив-
лениях нагрузки отношение первичного
и вторичного комплексных напряжений
и отношение вторичного и первичного
комплексных токов равны друг другу и
равны постоянному действительному
числу:
U.1/LL2 = L2/L1 = п. (7.7)
Это число п называется коэффи-
циентом трансформации иде-
ального трансформатора.
При расчетах идеальный трансфор-
матор часто применяется в качестве
составного элемента эквивалентных схем
трансформаторов и автотрансформато-
ров со стальными магнитопроводами,
а также в задачах синтеза электриче-
ских цепей и др.
Познакомимся с другими свойства-
ми идеального трансформатора.
Пусть к вторичным (выходным) вы-
водам идеального трансформатора при-
соединен приемник с комплексным со-
противлением Z2. Входное сопротивле-
ние со стороны первичных выводов
Zlm = =±- = ^-=n2Z2, (7.8)
Zi Zz/n
т. е. оно в п2 раз больше сопротивле-
ния Z2.
Если к первичным выводам присо-
единен приемник с комплексным сопро-
тивлением Z15 а питание осуществляет-
ся со стороны вторичных выводов, то
аналогичным путем можно показать,
что
Z2bx = Z{/n2. (7.9)
Эти соотношения характеризуют
трансформацию сопротивлений. Если
вторичные выводы разомкнуты, то
Z1BX = оо, если они коротко замкнуты,
ТО Z1BX = 0.
Установим связь между комплексны-
ми мощностями на входе и выходе
идеального трансформатора. Комплекс-
ная мощность на входе
$i = U di = nU2l2/n = S2. (7.10)
Реальный трансформатор приближа-
ется по своим свойствам к идеальному,
если коэффициент магнитной связи об-
моток стремится к единице, а мощность
потерь в трансформаторе и ток при
холостом ходе (отключенном приемни-
ке) стремятся к нулю.
5 Основы теории цепей
129
7.3. Простейшие приближенные
эквивалентные схемы
трансформатора со стальным
магнитопроводом
Стальной магнитопровод у транс-
форматора значительно уменьшает ток
трансформатора при отсутствии нагруз-
ки (ток холостого хода) и увеличивает
коэффициент магнитной связи между
обмотками. Это приближает свойства
трансформатора к свойствам идеально-
го трансформатора, но в магнитопрово-
де трансформатора наблюдаются поте-
ри энергии, обусловленные вихревыми
токами и гистерезисом. Вследствие не-
линейной зависимости между магнитной
индукцией и напряженностью магнитно-
го поля ток в трансформаторе при
синусоидальном приложенном напряже-
нии может быть и несинусоидальным.
ВсеА эти явления подробно рассматри-
ваются в гл. 25. Сейчас важно отметить,
что заметное отклонение формы кривых
тока в трансформаторе от синусоидаль-
ной наблюдается только в режимах,
близких к холостому ходу. В нагрузоч-
ных режимах эти отклонения настолько
незначительны, что ими можно пре-
небречь и считать трансформатор со
стальным магнитопроводом линейным
элементом цепи.
Эквивалентную схему трансформа-
тора можно получить, подробно про-
анализировав все происходящие в нем
явления. Именно такой способ ее полу-
чения приводится в курсах электриче-
ских машин и трансформаторов или в
специальных монографиях, посвящен-
ных трансформаторам.
Опыты показывают, что при хо-
лостом ходе трансформатора со сталь-
ным магнитопроводом отношение ком-
плексных первичного и вторичного на-
пряжений практически одинаково неза-
висимо от того, осуществляется пита-
ние трансформатора со стороны первич-
ных или со стороны вторичных выво-
дов. Опыты показывают также, что
отношение этих комплексных напряже-
ний практически можно считать равным
отношению их действующих значений.
Отношение действующих значений пер-
вичного и вторичного напряжений
трансформатора при холостом ходе на-
зывается его коэффициентом трансфор-
мации п.
На рис. 7.6 и 7.7 показаны простей-
шие приближенные эквивалентные схе-
мы трансформатора со стальным магни-
топроводом.
В эквивалентных схемах при холос-
том ходе (к одной паре выводов при-
соединен источник питания, а другая
пара выводов разомкнута) нет токов.
Применение этих схем допустимо в
расчетах режимов трансформаторов, при
которых токи в его обмотках значитель-
но превышают токи в них при холостом
ходе трансформатора.
В схеме рис. 7.6 сопротивление Z1K
равно входному сопротивлению транс-
форматора при питании его со стороны
первичной обмотки и короткозамкну-
той вторичной обмотке. В схеме рис. 7.7
сопротивление Z2K равно входному со-
противлению трансформатора при его
питании со стороны вторичной обмотки
и короткозамкнутой первичной обмотке.
Сопротивления Zu и Z^ принято обозна-
чать соответственно Z'K и Z'K' и называть
сопротивлением короткого замыкания
трансформатора, приведенным к первич-
ной обмотке (Z'K), и сопротивлением,
приведенным к вторичной обмотке (Z"),
причем Z£ = n2Z*. Коэффициенты транс-
формации идеальных трансформаторов
в этих схемах должны быть равны
коэффициенту трансформации реально-
го трансформатора.
Рис. 7.6
/О------------q г------CZZJ-----02
/о------------JL----------------02'
Рис. 7.7
130
7.4. Расчеты электрических цепей
с трансформаторами
Приведем два примера, иллюстри-
рующих применение эквивалентных схем
трансформаторов в расчетах электри-
ческих цепей. В обоих примерах будем
пользоваться упрощенными эквивалент-
ными схемами.
Цепь с каскадным соединением
трансформаторов. Рассмотрим цепь, со-
стоящую из линии 1, трансформатора
а, линии 2, трансформатора b и при-
емника. На рис. 7.8 линии и приемник
учтены комплексными сопротивлениями
?2 и Z3, а трансформаторы —
простейшими эквивалентными схемами,
содержащими сопротивления Z*a и Z'Kb
и идеальные трансформаторы с коэф-
фициентами трансформации па и пь.
Пусть заданы сопротивления всех эле-
ментов схемы, коэффициенты трансфор-
мации и напряжение U в начале первой
линии, а требуется определить токи и
напряжения на отдельных участках цепи.
Перейдем к схеме без идеальных
трансформаторов, сохранив входное со-
противление всей схемы неизменным
(рис. 7.9). Для этого все сопротивления
элементов, которые раньше находились
за идеальными трансформаторами (счи-
тая от входа схемы), следует изменить,
умножив их на квадраты коэффициентов
трансформации тех трансформаторов,
которые находились между элементами
и входом схемы. Так, сопротивления Z2
и Z'vh следует умножить на и*, а сопро-
тивление Z3 на ПдПь.
Ток Zi в этой схеме определить лег-
ко. Затем по схеме рис. 7.8 находим
Li — naLi и 1з = nbLi = nanbh и рассчиты-
ваем напряжения на ее отдельных участ-
ках.
Параллельное соединение трансфор-
маторов. Рассмотрим цепь (рис. 7.10),
состоящую из линии /, двух параллель-
но соединенных трансформаторов а и b
и приемника. На практике, как правило,
параллельно включаются трансформа-
торы с одинаковыми коэффициентами
трансформации, однако для общности
будем считать, что коэффициенты транс-
формации различные. Пусть, как и в
первом примере, заданы сопротивления
элементов цепи, коэффициенты транс-
формации и напряжение в начале пер-
вой линии, а требуется определить токи
и напряжения на отдельных участках
цепи.
Для их определения нужно совмест-
но решить четыре уравнения:
u-zl(iJ, + b)=ul;
u^-z^ v2-
Ui/nb - = U_2;
U.2 — Z3 (Иа/j +
Трансформатор а
Трансформатор Ъ
Рис. 7.8
па?кЪ
Пп2г
Рис. 7.9
Па n2bZ3
5
131
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ и многополюсники
8.1. Четырехполюсники и их
уравнения
Ранее были рассмотрены общие ме-
тоды расчета линейных электрических
цепей, например методы наложения, кон-
турных токов, узловых потенциалов.
Применив эти методы, можно найти
режим работы любой линейной цепц.
Однако во многих случаях анализа
и синтеза электрических цепей важно
знать токи только некоторых ветвей и
напряжения только между некоторыми
узлами. В этом случае расчет цепи
упрощается, если цепь разделить на
отдельные части, каждая из которых
соединена с остальной двумя, тремя,
четырьмя или большим числом выво-
дов — полюсов. Так, например, при опре-
делении режима в одной единственной
ветви всю остальную часть цепи можно
рассматривать как двухполюсник (см.
гл. 2). При расчете методом преобра-
зования иногда полезно выделить тре-
угольник сопротивлений (см. гл. 1), т. е.
трехполюсник, который можно заменить
трехлучевой звездой сопротивлений (так-
же трехполюсником). Анализ сложных
электрических цепей нередко можно вы-
полнить проще, если выделить много-
полюсники.
В различных областях электротех-
ники особенно часто применяются ап-
параты и устройства с двумя парами
выводов, при помощи которых они
соединяются с другими участками
электрической цепи, т. е. четырех-
полюсники (см. также гл. 2).
На практике четырехполюсники и
цепи, которые целесообразно предста-
вить состоящими из нескольких четы-
рехполюсников, применяются прежде
всего для передачи и преобразования
электрических сигналов, несущих инфор-
мацию. Тракт передачи информации,
или канал связи, как правило, состоит
из ряда четырехполюсников, включен-
ных между генератором (передатчиком)
сигналов и приемником сигналов. В
тракт передачи обычно входят: линия
связи генератора и приемника, находя-
щихся часто на значительных расстоя-
ниях один от другого (см. гл. 20);
усилители, в которых увеличивается
мощность или, как говорят, уровень
сигналов; аттенюаторы (ослабители) для
снижения уровня сигналов; фильтры для
разделения сигналов (см. гл. 18); коррек-
тирующие контуры, включаемые для
устранения искажений сигналов; транс-
форматоры, при помощи которых изме-
няются сопротивления отдельных участ-
132
Рис. 8.1
ков тракта передачи информации и
устраняется гальваническая связь между
этими участками (см. гл. 7). К четырех-
полюсникам относятся также некоторые
цепи обратной связи электронных ге-
нераторов и усилителей, участки линий
передачи электрической (электромагнит-
ной) энергии, цепи регулирования раз-
личных параметров машин (скорости,
давления, напряжения) и т. д.
Таким образом, теория четырехпо-
люсников дает возможность единым ме-
тодом анализировать системы, самые
различные по структуре и принципу
действия. Кроме того, сложная цепь
расчленяется на более простые части,
характеристики которых дают полное
представление о режиме работы всей
цепи.
Условное изображение четырехпо-
люсника показано на рис. 8.1. Одну па-
ру выводов из четырех (четырех полю-
сов) назовем первичной, а другую —
вторичной и обозначим соответст-
венно цифрами 1-Г и 2-2'. Для расчета
режима выберем положительные направ-
ления напряжений и токов, показанные
на рис. 8.1.
Будем считать, что источники пита-
ния, приемники, двухполюсники, четы-
рехполюсники и вообще любые участки
цепи с парными выводами могут при-
соединяться только к выводам четы-
рехполюсника, которые обозначены оди-
наковыми цифрами. Такие четырехпо-
люсники называют проходными.
Все четырехполюсники подразделя-
ются еще на две группы: пассивные
и активные. В пассивных четырех-
полюсниках нет зависимых или незави-
симых источников напряжения (ЭДС)
или тока, активные четырехполюс-
ники содержат зависимые или незави-
симые источники. Пассивными четырех-
полюсниками являются, например, линии
передачи сигналов, трансформаторы, ат-
тенюаторы, корректирующие контуры.
К активным относятся усилители, со-
бранные на транзисторах или электрон-
ных лампах, в том числе операционные
усилители, лампы бегущей волны и др.
Активные четырехполюсники, содер-
жащие только зависимые источники,
называются неавтономными, а
включающие и независимые источни-
ки, — а в т о н о м н ы м и. Для пассивных
проходных четырехполюсников выпол-
няется принцип взаимности. Поэтому
они называются обратимыми. Для
активных четырехполюсников принцип
взаимности выполняется только в част-
ном случае.
Далее предполагается, что напряже-
ния и токи источников питания, кото-
рые могут подключаться к выводам
1-1’ и 2-2', а значит, и напряжения, и
токи на всех участках цепи синусоидаль-
ные.
На практике устройства, которые
анализируются как четырехполюсники,
чаще работают в цепях несинусоидаль-
ного тока, хотя могут быть и в цепях
синусоидального, и в цепях постоянного
токов. Для применения рассматривае-
мой здесь теории к цепям несинусои-
дального тока необходимо исследовать
частотные зависимости параметров четы-
рехполюсников, как это сделано далее
в гл. 18 и 2Q для фильтров и длин-
ных линий. Все расчетные формулы и
соотношения могут быть отнесены и к
цепям постоянного тока, если положить
частоту равной нулю.
Для исследования четырехполюсни-
ков необходимо прежде всего устано-
вить зависимости между четырьмя ве-
личинами, определяющими режим его
работы: напряжениями и токами на
первичных и вторичных выводах.
Рассмотрим сначала режимы рабо-
ты неавтономных активных и пассивных
проходных четырехполюсников.
Зависимости между двумя напряже-
ниями и двумя токами, определяющи-
ми режим на первичных и вторичных
выводах, могут быть записаны в раз-
личной форме. Если считать две из ука-
занных величин заданными, то две дру-
гие величины будут связаны с ними
системой двух уравнений, которые назы-
133
Рис. 8.2
ваются уравнениями четырех-
полюсника.
Например, если к вторичным выво-
дам четырехполюсника подключен при-
емник с сопротивлением нагрузки Z2H,
а к первичным — источник ЭДС Ег
(рис. 8.2, а), то при заданном напряже-
нии на выводах приемника С72 (в част-
ности, при номинальном напряжении
приемника) и токе Г2 = Ui/Zzh можно
определить необходимое напряжение ис-
точника питания на первичных выводах
иг = Ei и ток источника по уравне-
ниям типа А:
Всего можно записать шесть различ-
ных по форме, но по существу экви-
валентных, т. е. математически равно-
сильных, пар уравнений (число сочета-
ний из четырех по два).
Уравнения типа Y
Ii= I11H1 + I12II2;
12 = 121111 + I22H2,
LLi
U.2
(8.2)
где все коэффициенты — проводимости.
Уравнения типа Z
Hi = Zuli + Z12Z2;
Ц_2 = ^±2111 + 222I2,
ИЛИ
П1
LL2
11 II
Ь I
(8.3)
с коэффициентами — сопротивлениями.
Уравнения типа Н
Ui=Hidi^Hi2U2;
L2^H2di + H22u29
или
Hi = 411112 +412b;
Ll = A.21LL1 + А22^2
или в матричной форме
II-М л
I Li I II Ь
(8.16)
где
— матрицы-столбцы
напряжения и тока соответственно на
первичных и вторичных выводах; А =
II 4п 4121|
= I . - квадратная матрица
|| 4г 1 412 ||
коэффициентов.
В этих уравнениях коэффициенты
411, 412, 4г1, 4гг определяют сам
четырехполюсник и зависят от схемы
соединения и параметров составляюще-
го четырехполюсник элементов электри-
ческой цепи; А и и 412 ~ безразмерные
коэффициенты; Л12 имеет размерность
сопротивления, а Л21 — проводимости.
с коэффициентами, размерность кото-
рых, как и в первых трех системах
уравнений, непосредственно следует из
самой записи уравнений.
Уравнения типа G
Li = GidLi + G12I2;
U.2 = <221LL1 + &2Z2,
или
(8.5)
Уравнения типа В
П2 = BidLi + 51211;
I2 = S.21LL1 + 522Г1,
или
(8.6)
134
8.2. Режимы четырехполюсников
При расчете режима работы четы-
рехполюсника с применением различ-
ных типов уравнений принято выбирать
положительные направления токов не-
одинаковыми, как и показано на рис. 8.1.
Положительные направления токов по
рис. 8.2, а (/х и Г2) часто выбирают для
пассивных четырехполюсников с источ-
ником питания на первичных — входных
выводах и приемником с сопротивле-
нием Z2H на вторичных выходных вы-
водах и записи уравнений типа Я, а об-
ратные положительные направления — с
источником питания на вторичных и
приемником с сопротивлением Zin на
первичных по рис. 8.2, б (/2 и 1\) и запи-
си уравнений типа В. В этом случае
вторичные выводы становятся входны-
ми, а первичные — выходными. Уравне-
ния типа Н с симметричными относи-
тельно первичных и вторичных выводов
положительными направлениями токов
выбирают, например, при анализе не-
автономных активных четырехполюсни-
ков, содержащих полупроводниковые
приборы.
Входные сопротивления. Отношение
напряжения U_i к току h при питании
четырехполюсника со стороны первич-
ных выводов и сопротивлении нагрузки
Z2H на вторичных (рис. 8.2, а) называ-
ется входным сопротивлением
четырехполюсника со стороны первич-
ных выводов ZiBX. При питании четырех-
полюсника со стороны вторичных вы-
водов и сопротивлении нагрузки ZiH на
первичных (рис. 8.2, б) отношение напря-
жения С72 к току /2 — это входное со-
противление четырехполюсника со сто-
роны вторичных выводов Z2BX. Входное
сопротивление четырехполюсника опре-
деляет режим работы источника питания
и зависит от структуры и параметров
составляющих четырехполюсник элемен-
тов, т. е. коэффициентов четырехполюс-
ника, а также от сопротивления на-
грузки, т. е. сопротивления приемника.
Для определения входных сопротив-
лений ZiBX ц Z2BX можно воспользовать-
ся любым из типов уравнений, однако
наиболее простые выражения получа-
ются, если соответственно выбрать урав-
нения типов А и В:
LLi 411^ + 4121'2
~ 11 4211^2 + 422^2
41142м +412
4г 142м +422
„ _ i-2 _ B.11LL1 + B.12L1
1.2 j?21—1 + &2Г1
В.1141н + В12
&141н + В.22
В частном случае при отключенном
или закороченном приемнике входные
сопротивления характеризуют только
сам четырехполюсник, а следовательно,
зависят только от его коэффициентов.
При питании со стороны первичных
выводов и коротком замыкании вторич-
ных (рис. 8.3, а), т. е. при = 0, вход-
ное сопротивление
41 к = z1k Фи = Удк/Zix = 412/422 (8.8а)
и с учетом соотношений табл. 8.1, ко-
торые обсуждаются в следующем пара-
графе,
41к = VI11 = Az/422 =
= ZZu = G22/Ag = B12/B11. (8.86)
При холостом ходе на вторичных
выводах (рис. 8.4, а), т. е. при 7^ = оо,
входное сопротивление
Zlx = zlx Ф1х = ИлхИлх = 411/421 =
= 122/Ду = 4u = Ан/Н22 = 1/Glt =
= В22/В21. (8.9)
Рис. 8.3
135
Таблица 8.1. Коэффициенты уравнений четырехполюсника
Тип
урав- А Y Z H G в
нения
А.. А.~ zbz _z£ ?11 &Z -ffl. 1 -22 B22 B12
А -11 -12 Z2I ^21 Zf2l ?21 ^21 -21 ®21 -21
Ат А*)') —Ду -Ун 1 ?22 -H22 “I "11 -G ?21 ?11
12> Ь. — 21 ?21 H21 H2l "21 -21 l> to l> to
к> к> 1 |> Y Y Z22 ~?12 1 -H12 Дс —12 "n -1
1 — II ! .1
Y ^12 ^12 _ 11 £12 Az Az "11 "11 ^22 ^22 ^12 ^12
~ 1 ^11 ~^21 ?11 Я21 — j/21 1 ~Дв ^22
^12 ^12 ±21 ±22 &Z &Z "11 "11 ^22 ^22 B12 ?12
411 — А Х22 ~Y12 A" "12 1 -P12 ?22 *
Z 411 421 Д у — 11 — 12 -22 -22 "11 "11 #21 #21
1 412 Уп 7 7 -"21 1 IQ) 112 '>
421 421 Ду Ду — 21 -22 H22 //22 "11 "и #21 #21
412 — А 1 -112 Az ?12 <±22 ~0.12 #12 1
422 422 Ill Ill Z22 Z22 £41 £42 &G 4g #11 #11
н ~ 1 ^21 I21 Ay __L_ H'y-i ~<£21 fill ~Дд #21
422 422 In In -22 -22 !> I> Q> #11 #11
G -21 ~-А 4ц 411 Ar I12 I22 — 22 1 ~ 112 -11 -11 H22 ~^412 "11 "12 "21 -1 "22 "22
1 -12 -11 -11 zb. _£_ Y Y -22 - 22 N <1 Ni n7n7 -H21 ^4 "21 "22 Ав "12 ?22
4 22 412 -Ill -1 ^22 4z 1 "11 ~4g -<±22
В Ал Ал 112 112 112 I12 "12 "12 "12 "12 #11 #12
^21 —11 -Ar -I22 1 In "22 Ая ""I -1 Вт B^
&А 112 112 -12 ?12 "12 "12 "12 "12 -21 P22
Примечание. Aj = л4цЛ22 — A 12Л21; Ау=У] 1I22-I12I21; A7 = ZX1Z22 — Zi2Z2i; A/y =
— НиЯ22 — Ag — бцб22 ~ G12G21; Ад — ВцВ22 — В12В21.
136
Рис. 8.4
При питании со стороны вторичных
выводов и коротком замыкании первич-
ных (рис. 8.3,6), т. е. при Zih = 0, вход-
ное сопротивление
^2к = ^2к ф2к = L^kZGk — =
— Х12 ~ Xz/ZlW = = 0.22 =
= в12/в22. (8.10)
Наконец, при холостом ходе на пер-
вичных выводах (рис. 8.4, б), т. е. при
Z1H = оо, входное сопротивление
Z2x — Z2x Ф2х = I/lx/Ilx —
— 412/421 = Т11/Дг ~ 4.22 — 1/Я22 =
= ^10„=^В21. (8.11)
Сопротивления короткого замыка-
ния и холостого хода четырехполюс-
ника однозначно определяются его ко-
эффициентами. Между четырьмя сопро-
тивлениями короткого замыкания и хо-
лостого хода существует простая зави-
симость. Нетрудно проверить, что
Zu/Zix^JZ^ (8.12)
Режим работы четырехполюсника,
как и любой электрической цепи, мож-
но характеризовать передаточными
функциями при заданном сопротивле-
нии приемника, т. е. в отличие от ко-
эффициентов четырехполюсника переда-
точная функция зависит не только от
структуры и параметров составляющих
четырехполюсник элементов, но и от
параметров приемника (как в общем
случае и входные сопротивления). Если,
например, источник питания подключен
к первичным выводам (см. рис. 8.2, а),
то при сопротивлении приемника Z^H
можно составить различные передаточ-
ные функции, например Ki = Г2/11;
Ki = C2/L7i; К7 = U2/I_, и т. д.
8.3. Коэффициенты четырехполюс-
ников
Коэффициенты уравнений (8.1) —(8.6)
постоянны (при заданной частоте) и
определяются только структурой четы-
рехполюсника и параметрами состав-
ляющих его элементов, а не парамет-
рами источника питания и приемника.
С точки зрения режима на первичных
и вторичных выводах четырехполюсни-
ки, имеющие одинаковые значения ко-
эффициентов, неотличимы, т. е. эквива-
лентны, хотя их внутренняя структура
может быть совсем различной.
Таким образом, можно утверждать,
что четырехполюсник задан, если из-
вестны его коэффициенты.
Уравнения четырехполюсника (8.1) —
(8.6) показывают, что проходной актив-
ный неавтономный или пассивный че-
тырехполюсник задается четырьмя ко-
эффициентами любого из типов уравне-
ний. Поэтому матрица коэффициентов
одного из типов уравнений может быть
выражена через матрицу коэффициентов
любого другого типа уравнений.
Определим, например, связь коэффи-
циентов уравнений типа У с коэффи-
циентами уравнений типа Z, выразив
токи из (8.3)
412 _£
l/2 Z22 Az
-12 и
4ы и. _i_
Z.21 U 2 Xz
где- А/ = 4ы422 — Z12Z21.
Из сравнения полученных уравнений
с (8.2) следует, что Уп = Z22/&z; Xi2 =
= -Z12/Az; X2i= ~Z21/Az-, У22 =
= Zn/Дг. В табл. 8.1 приведены форму-
лы связи коэффициентов всех систем
уравнений. Коэффициенты уравнений че-
тырехполюсника называют еще его
первичными параметрами.
137
Каждый из первичных параметров
имеет простой физический смысл. На-
пример, по (8.3) Z\ х = при l2 = О
(в режиме холостого хода на вторич-
ных выводах), т. е. Zlt = Zix — входное
сопротивление, измеренное на первич-
ных выводах при разомкнутых вто-
ричных; по (8.2) Y22 = L2HL2 при Ui = О,
т. е. Х22 = Х2к — входная проводимость
со стороны вторичных выводов при
коротком замыкании первичных; по (8.4)
Ни = Li/U 1 при U2 = 0, т. е. Яп = У1К,
и т. д.
Если известны схема четырехполюс-
ника и значения составляющих его эле-
ментов, то любой из коэффициентов
может быть определен расчетом.
Пример 8.1. Определить коэффициенты
уравнений типа А и передаточную функцию
Kj для пассивного четырехполюсника по
рис. 8.5.
Решение. Выразим напряжение и
ток Zn через напряжение U_2 и ток £2 ПРИ
помощи уравнений Кирхгофа:
Z,
£1=ь +
h = Ui/2Z2 + r2 =
= U2/2Z2+(Z1/4ZI + i)r1.
Сравнив эти зависимости с уравнениями
типа А (8.1), найдем
4n = l;di2 = Z1/2;421 = l/2Z2;
Л22 = 1 + Zj/4Z2.
Передаточная функция определяется пос-
ле подстановки во второе уравнение (8.1а)
2 — ShI'i, т- е- Li — 421^2н12 + Л22Г2, от-
куда Kj = I2/L1 = 1/(^21?2н + А22)-
Пример 8.2. На рис. 8.6 представлена
эквивалентная схема однокаскадного усили-
теля с транзистором, включенным по схеме
с общим эмиттером. Заданы сопротивления
гб — базы, гэ — эмиттера, гк — коллектора и
коэффициент Р передачи тока базы (/б =
= ZJ. Составить матрицу Z-параметров.
Рис. 8.5
Рис. в.о
Решение. Режим неавтономного ак-
тивного четырехполюсника по рис. 8.6 опи-
сывается уравнениями
Ui = П>/1 + гэ (Li + РЬ);
U2 = гк (12 - ₽Л).
Сравнив эти зависимости с уравнениями
типа Z (8.3), найдем
|| ГБ + ГЭ (1 + Р) 0 ||
Z || ~ Рп< Ис II *
Пассивные четырехполюсники. Для
пассивных четырехполюсников выполня-
ется принцип взаимности и число не-
зависимых коэффициентов каждого ти-
па уравнений уменьшается до трех.
В качестве примера найдем зависи-
мость между коэффициентами матрицы
Y. Предположим, что выходные выводы
четырехполюсника замыкаются накорот-
ко сначала при питании со стороны
первичных выводов, а затем со сторо-
ны вторичных. В первом случае U2 = О
(см. рис. 8.3, а) и из второго уравнения
типа У получим = _K2iIZi, во втором
случае = 0 (см. рис. 8.3, б) и из пер-
вого уравнения типа У имеем =
= Yi2U2- Если выбрать напряжение U_2
во втором случае равным напряжению
Ut в первом, то из принципа взаим-
ности следует, что ZiK = Ьк- Это равен-
ство выполняется при условии
I21 = Гн- (8.13а)
Полученный результат не является
неожиданным. Коэффициенты У12 и
У21 — это по сути дела взаимные (пе-
редаточные) проводимости выходной и
входной ветвей четырехполюсника при
источниках ЭДС El = U_l и Е2 = У_2,
подключенных соответственно к первич-
ным и вторичным выводам.
При помощи табл. 8.1 или непосред-
ственно можно найти зависимости меж-
ду коэффициентами каждой из матриц
138
Ал — 411422 — 412421 — 1 j
Z21 ~ Z12;
£12 = ”^.2b £12 = —S.219
&В = J?11J?22 “ ^12^21 = 1-
(8.136)
В примере 8.1 были определены
коэффициенты уравнений типа А самого
простого пассивного несимметричного
четырехполюсника по рис. 8.5, который
называется Г-образным. Нетрудно убе-
диться, что условие Ал = 1 выполня-
ется. В примере 8.2 составлена матрица
Z-параметров активного неавтономного
четырехполюсника. Условие Z21=Z12
для этого четырехполюсника не выпол-
няется, как и должно быть.
Симметричный четырехполюсник. Че-
тырехполюсник, у которого при взаим-
ной замене первичных и вторичных
выводов режимы источника питания и
приемника не изменяются, называется
симметричным. У такого активно-
го неавтономного четырехполюсника не
четыре, а три независимых коэффи-
циента (первичных или основных пара-
метров), а у пассивного два. Например,
как было показано выше, при питании
четырехполюсника со стороны первич-
ных выводов и разомкнутых вторич-
ных Zlx = Zu. При питании со стороны
вторичных выводов и разомкнутых
первичных у симметричного четырех-
полюсника должно быть такое же вход-
ное сопротивление Z2x=Zlx. Из урав-
нений (8.3) при Ii = 0 получаем Z22 =
= U.2IL2 = Zl2^ и, следовательно,
Z22 = Z1P (8.14а)
Такие же рассуждения приводят к ра-
венствам
Дс = 1; ВП=В22. (8.146)
Если два Г-образных четырехполюс-
ника (см. рис. 8.5) соединить соответ-
ственно друг с другом выводами 1 и Г,
то получится симметричный Т-образный
четырехполюсник (рис. 8.7, а), а при со-
единении выводами 2 и 2' — симметрич-
ный П-образный (рис. 8.7, б) — две к а-
нонические схемы пассивных сим-
метричных четырехполюсников, кото-
рые содержат минимально возможное
число двухполюсников (элементов).
Пример 8.3. Найти коэффициенты урав-
нений типа А симметричного Т-образного
четырехполюсника (рис. 8.7, а).
Решение. Коэффициенты могут быть
найдены тем же методом, что и в приме-
ре 8.1. Однако для рассматриваемого че-
тырехполюсника (как и многих других) вы-
числения упрощаются при выполйении мыс-
ленных опытов холостого хода и короткого
замыкания.
При холостом ходе на вторичных вы-
водах (Г2 — 0) из рис. 8.7, а следует, что
Ьх = £i/(Zi/2 + Z2); U2x = Z2/lx или £2х =
= t/iZ2/(Zt/2 -I- Z2). Сравнив эти выражения
с уравнениями (8.1а) при Г2 = 0, определим
А21 = 1/Z2; Ап = 1+^/2^.
При коротком замыкании вторичных
выводов ((У2 = 0) из рис. 8.7, а следует,
ЧТО 12к = 11к?2/(?2 “Ь ?1/2) ИЛИ 11к = (1 +
zt Zi
/ zi z, ;
= Л7-+ ‘Т-+ “
\ 4Z2 2
Сравнив эти выражения с уравнениями
(8.1а) при 1/2 = 0, найдем
4п — 422> Хи — Х229 Ан = 1;
412 = Zi (1 + Zi/4Z2); А22 = 1 + Zi/2Z2i
Рис. 8.7
139
т. е. А22 = Лц, как и должно быть у сим-
метричного четырехполюсника (8.7).
Пример 8.4. Найти коэффициенты мат-
рицы Y для П-образного симметричного
четырехполюсника (рис. 8.7,6).
Решение. Для пассивного симметрич-
ного четырехполюсника должны выполнять-
ся условия (8.13) и (8.14). Поэтому запишем
уравнения (8.2) в виде
L = 111^1 + 112^2; Ь = 112^1 + I11C/2.
В частности, при коротком замыкании
вторичных выводов
Z1K= YidLl; Ьк = 112^1.
Для четырехполюсника по рис. 8.7, б
// Zx 2Z2
Лк = ^1/ —---—
-1К -4\zx + 2Z2
h* = C/l/Zp
Следовательно,
Z^ + 1Z2
In = hi = ~ ~ ; Ii2 = bi = i/z,.
ZZ, jZL 2
Из последних двух формул можно найти
параметры Zj и Z2 при заданной матрице
Y;
Zi = l/y2i; Z2 = l/2(yn- У21).
Для симметричного пассивного че-
тырехполюсника должны выполняться
и условия (8.13), и условия (8.14), т. е.,
как было указано, остается два незави-
симых параметра. Например, для сим-
метричного Т-образного четырехполюс-
ника (рис. 8.7, а) в примере 8.3 получе-
но Лц = А22 и, как нетрудно убедиться,
Дл = 1 (см. приложение 2).
Экспериментальное определение коэф-
фициентов и входных сопротивлений.
Первичные параметры каждого данного
четырехполюсника могут быть определе-
ны экспериментально при измерении
режима (напряжений и токов) на пер-
вичных и вторичных выводах. Напри-
мер, при питании четырехполюсника
со стороны первичных выводов (напря-
жение U_i) и холостом ходе на вторич-
ных (напряжение U2„ токи = 11х,
Г2 = Zix = 0) из (8.1а) находим
An = U1/U2.; 421 = L1JU2., (8.15а)
а при коротком замыкании вторичных
(напряжение U2 = U2* = 0, токи h =
Il = Z2k),
412 = С/1//2К; 422 = Ш- (8.156)
При работе четырехполюсника в це-
пи постоянного тока для вычисления
коэффициентов достаточно измерить
вольтметрами напряжения и ампермет-
рами токи. В цепи синусоидального
тока необходимо еще определить угол
сдвига фаз между соответствующими
величинами, например U1 и U2* при
определении коэффициента Ли-
С ростом частоты эксперименталь-
ное определение большинства коэффи-
циентов становится все более трудным,
так как измерение напряжений, токов
и особенно сдвига фаз усложняется.
У четырехполюсников — линий переда-
чи сигналов (см. гл. 20) — эксперимен-
тальное определение коэффициентов по
результатам двух опытов практически
вообще невозможно, так как требует
включения прибора, измеряющего сдвиг
фаз (ваттметр, осциллограф, фазометр),
одновременно к входным и выходным
выводам линии.
Сопротивления холостого хода и
короткого замыкания могут быть изме-
рены теми же методами, что и любые
другие сопротивления, например при
помощи измерительного моста или ам-
перметра, вольтметра и ваттметра,
включенных только со стороны первич-
ных или только со стороны вторичных
выводов. Поэтому для большинства
четырехполюсников измерение сопро-
тивлений Zlx, Z1K, Z?x и Z2K можно
выполнить точнее и проще, чем изме-
рение коэффициентов четырехполюсни-
ка, особенно на высоких частотах.
Однако в общем случае по найден-
ным экспериментально или расчетом
сопротивлениям холостого хода и ко-
роткого замыкания нельзя определить
четыре независимых коэффициента ка-
кого-либо типа уравнений. Действитель-
но, эти сопротивления связаны соотно-
шением (8.12), т. е. у четырехполюсника
три независимых сопротивления холос-
того хода и короткого замыкания.
У пассивных четырехполюсников ко-
эффициенты каждой из матриц первич-
ных параметров связаны дополнительно
условиями (8.13), т. е. число независимых
коэффициентов равно трем. Поэтому
коэффициенты можно выразить через
сопротивления холостого хода и корот-
140
кого замыкания. В качестве примера
свяжем коэффициенты уравнений типа
А с одной из троек независимых сопро-
тивлений: Zix, Z2x, Z2K. Подставив в
соотношение 4иЛ22 — 412421 = 1 зна-
чения коэффициентов Л12, Л21 и Л22 из
(8.9) —(8.11), получим
4iiZ2x/Zix — = 1,
откуда
Лц-Лце* =
(8.16)
Аналогично можно получить форму-
лы для коэффициентов Л12, Л21 и Л22.
Но при вычисленном уже коэффициенте
Лп (8.16) и известных сопротивлениях
Zix, Z2x и Z2k коэффициенты Л12, Л21
и Л22 проще найти из (8.9) —(8.11).
Если задана (измерена или рассчи-
тана) другая тройка сопротивлений, то
можно пользоваться этими же выраже-
ниями, предварительно вычислив четвер-
тое сопротивление из (8.12).
Следует обратить внимание на то,
что выражение (8.16) дает два значения
коэффициента Ап. При извлечении квад-
ратного корня из комплексного числа
получаются два комплекса, аргументы
которых отличаются на 180° (л) или
знаком минус перед модулем:
4'1'1 = Л'ц z. 180° = -Л'ц.
Соответственно получаются два зна-
чения и для других коэффициентов. Вы-
бор того или иного значения коэффи-
циента Лц зависит от разметки вторич-
ных выводов. После того как выбрана
разметка первичных выводов, представ-
ляются две возможности при разметке
вторичных: а) верхний вывод 2, нижний
2', как на рис. 8.1, и положительное
направление напряжения С/2 от 2 к 2';
б) верхний вывод 2', нижний 2 и поло-
жительное направление напряжения
опять от 2 к 2', т. е. противоположно
первому случаю.
Изменение положительного направ-
ления напряжения Ц_2 равносильно из-
менению его фазы на 180°. Такое из-
менение фазы и получается, если вместо
первого значения коэффициента Лц
(т. е. Л'ц) выбрать второе значение (Лц),
что видно, например, из (8.15а): С/2х =
= t/i/Лц. При изменении разметки вто-
ричных выводов сопротивления холос-
того хода и короткого замыкания оста-
ются неизменными. Поэтому опыты хо-
лостого хода и короткого замыкания
не Дают возможности выбрать одно из
двух значений коэффициента Лц, т. е.
провести разметку вторичных выводов.
Аналогичное замечание нужно учесть
и при расчете коэффициентов уравне-
ний других типов.
8.4. Эквивалентные схемы
четырехполюсников
Четырехполюсники эквивалентны,
если при замене одного четырехполюс-
ника другим режимы источника питания
и приемника не изменяются. *
Режим любого проходного четырех-
полюсника задается одной из систем
двух уравнений (8.1)-(8.6), каждая из
которых содержит в общем случае че-
тыре независимых коэффициента. По-
этому наиболее простая эквивалентная
схема или схема замещения четырех-
полюсника должна состоять не менее
чем из четырех элементов, параметры
которых зависят от коэффициентов
уравнений. Для четырехполюсника, за-
данного одной из матриц коэффициен-
тов, можно составить несколько эквива-
лентных схем, состоящих из минималь-
но необходимого числа элементов.
Для пассивных четырехполюсников
(три независимых коэффициента) чаще
выбирают Т- или П-образную схему
замещения (рис. 8.8, а или б), сопротив-
ления элементов которой зависят от
значений коэффициентов заданной мат-
рицы.
Для пассивных симметричных четы-
рехполюсников обычно выбирают одну
из трех канонических схем замещения:
Т-образную (см. рис. 8.7, а), П-образную
(см. рис. 8.7, б) или мостовую (рис. 8.9, а),
каждая из которых задается значениями
двух сопротивлений Zi и Z2. У Т- и
П-образных схем соединены накоротко
выводы Г и 2'. Такие четырехполюсни-
ки называются неуравновешен-
ными и применяются на практике
в цепях, для которых нужно иметь об-
141
о
1
Рис. 8.8
щую точку. К этой точке присоединя-
ются корпуса приборов, оболочки коак-
сиальных кабелей, заземляющая шина и
т. д. Мостовая или Х-образная схема
(рис. 8.9,а) уравновешенная, у нее
взаимная замена соответственно выво-
дов 1 и Г, 2 и 2' не приводит к изме-
нению режима в участках электрической
цепи, присоединяемых к первичным и
к вторичным выводам. Т- и П-образные
схемы можно сделать и уравновешен-
ными, составив продольные элементы
с сопротивлением Zt из равных частей,
присоединенных так, как показано на
рис. 8.9,6 и в. Все коэффициенты урав-
новешенных Т- и П-образных схем та-
кие же, как и у неуравновешенных.
Такими же расчетами, как и в при-
мере 8.4, сопротивления ZA и Z2 можно
выразить через коэффициенты уравнений
любого типа. Например, для мостовой
схемы (рис. 8.9, а) получается
Zi = 1/(Уп + У21); Z2 = 1/(Уп - У21).
Симметрию относительно первич-
ных и вторичных выводов называют
еще симметрией относительно попереч-
ной оси (мысленно проведенной верти-
кально через центр на рис. 8.7 —8.9).
Уравновешенные четырехполюсники на-
зывают еще симметричными относи-
тельно продольной оси (горизонталь-
ной, проведенной через центр на рис. 8.9).
Мостовая схема выбирается как ос-
новная для предварительного проекти-
рования (синтеза) симметричных четы-
рехполюсников (см. гл. 19); Т-, П-образ-
ные и мостовые схемы, состоящие из
резистивных элементов, применяются
для изменения уровня сигналов и назы-
ваются аттенюаторами или удли-
нителями.
Симметричные перекрытые Т-образ-
ные четырехполюсники (рис. 8.9, г) при-
меняются в качестве амплитудных кор-
ректоров, т. е. четырехполюсников, ко-
торые включаются в цепь передачи
сигналов для требуемого изменения ее
амплитудно-частотной характеристики.
Управляемые (зависимые) источ-
ники напряжения и тока. В предыдущих
главах при анализе электрических цепей
было принято, что идеальные и реаль-
ные источники напряжения (ЭДС) и тока
задаются не зависящими от режима
цепи параметрами (Е, J, гвт в цепи
постоянного тока или Е, J, ZbT в цепи
синусоидального тока). Только при по-
142
яснении принципов компенсации и экви-
валентного генератора (теоремы об ак-
тивном двухполюснике) было введено
понятие о простейшем зависимом ис-
точнике — двухполюснике, ЭДС которо-
го зависит от тока двухполюсника.
При исследовании цепей с много-
полюсниками, в частности с четырех-
полюсниками, содержащими, например,
транзисторы, гираторы, идеальные
трансформаторы, операционные усили-
тели, нельзя построить эквивалентную
схему, состоящую только из резистив-
ных, индуктивных, емкостных элемен-
тов и идеальных или реальных источ-
ников напряжения и тока с постоянны-
ми параметрами. Для построения экви-
валентных схем дополнительно нужно
ввести управляемые (зависимые) источ-
ники.
Управляемый источник—
это элемент с двумя парами выводов
(входной и выходной), т. е. четырех-
полюсник. Он содержит идеальный ис-
точник напряжения (ЭДС) или тока, ко-
торый управляется напряжением между
какими-либо двумя выводами цепи или
током в какой-либо ветви.
Различают четыре типа управляемых
источников, у которых выходная вели-
чина не влияет на входную:
1) источник напряжения,
управляемый напряжением
(ИНУН, рис. 8.10, а), с матрицами ко-
эффициентов четырехполюсника
1/G21
о
о ||
01
; G =
о
g21
(8.17)
и напряжением на выходных выводах,
пропорциональным напряжению на вы-
водах, которые рассматриваются как
входные;
2) источник напряжения,
управляемый током (ИНУТ,
рис. 8.10,6), с матрицами
0
1/Z2i
0 о 011
0 ’ Z21 ОII
(8.18)
т. е. с напряжением на выходных выво-
дах, зависящим от тока ветви, которая
считается входной у четырехполюсника;
3) источник тока, управля-
емый напряжением (ИТУН,
рис. 8.10, в), с матрицами
0 -1/Г21
0 0
(8.19)
г)
в) 12^21^1 Zz^2lll
Рис. 8.10
143
т. е. выходной ток является заданной
функцией напряжения на входных вы-
водах ;
4) источник тока, управля-
емый током (ИТУТ, рис. 8.10,г),
с матрицами
о
Я21
0
-1/Н21
0
0
; н =
о
О ’
(8.20)
т. е. выходной ток пропорционален вход-
ному.
Другие матрицы у таких четырех-
полюсников не существуют, и их сле-
дует рассматривать как частного вида
активные неавтономные четырехполюс-
ники. Управляемые источники напряже-
ния и тока применяются, например, при
построении эквивалентных схем уст-
ройств с транзисторами. Так, в экви-
валентной схеме однокаскадного усили-
теля (см. рис. 8.6) есть ИТУТ, у кото-
рого ток источника Р?б пропорционален
току базы /Б-
Для активного неавтономного четы-
рехполюсника две простейшие схемы
замещения общего вида получаются до-
бавлением к Т- или П-образной схеме
(см. рис. 8.8) четвертого элемента —
управляемого (зависимого) источника
напряжения (ЭДС) или тока (рис. 8.11, а
и б). Возможны и другие схемы заме-
щения, одна из которых показана на
рис. 8.11, в.
Пример 8.5. Выразить параметры элемен-
тов схемы замещения по рис. 8.11, а через
коэффициенты матрицы Z.
Решение. Запишем уравнения для двух
контуров схемы по рис. 8.11,а:
£1 = г1ь + г3(/1+Ы =
= (zx + z3)h + z3/2;
l/2 = pir4-Z2/2 + Z3(/1+72) =
= (P+z3)/1 +(Z2+Z3)Z2.
Сравнивая составленные уравнения с
(8.3), находим
Zu = Zi 4- Z3; Z12 = Z3; Z21 = 0 4- Z3;
Z22 = Z2 4- Z3,
откуда определяем искомые параметры
Zi = Zn — Z12; Z2 = Z22 — Z12;
Z3 = Z12; P = Z21 — Z12.
Рис. 8.11
Параметры схемы на рис. 8.11,6 проще
всего определяются через коэффициенты мат-
рицы Y, а схемы на рис. 8.11, в — через ко-
эффициенты матрицы Н. В результате полу-
чается для схемы на рис. 8.11,6
Г1=У11 + Г12; y2 = y22 + y12;
Г3= -Il2; Р = 121-112
и для схемы на рис. 8.11, в
Z! = Hn; Z2 = l/H22, а = Н12; Р = Я21.
При составлении схем замещения
некоторые резистивные сопротивления
могут получиться и отрицательными,
как и при замене схемы соединения
треугольником эквивалентным соедине-
нием звездой (см. гл. 4). Такие сопро-
тивления не препятствуют расчету ре-
жима четырехполюсника, но в реальной
цепи должны быть заменены источни-
ками.
Гиратор или инвертор сопротивления.
К активным невзаимным четырехпо-
люсникам частного вида относится
гиратор — четырехполюсник, который
задается любой из следующих четырех
144
матриц:
О 1/0 О д
00’ -00
где д — действительная величина, назы-
ваемая коэффициентом гирации. Матри-
цы G и Н не существуют. Это невзаим-
ный четырехполюсник, так как =
= —1/1; У12 = 9 / Ун — ~~ 9 \ 212 =
= -l/^/Z2i = 1/^; Дв =-1/1. Ус-
ловное графическое изображение гира-
тора показано на рис. 8.12, а.
Для практического осуществления
гиратор требует применения двух уп-
равляемых источников. На рис. 8.12,6
представлена эквивалентная схема с
двумя управляемыми источниками то-
ка, на рис. 8.12, в —с двумя управляе-
мыми источниками напряжения.
Из любой системы уравнений гира-
тора можно определить его входное
сопротивление
= Y2Jg2, (8.21а)
т. е. входное сопротивление инвертора
пропорционально проводимости нагруз-
ки. Важно отметить, что при емкостном
сопротивлении - — j/wC„ получается
входное индуктивное сопротивление
Zibx = 7®СН/^2, т. е. можно реализовать
индуктивный элемент при помощи ак-
тивного четырехполюсника и емкост-
ного элемента (и наоборот). Гиратор
выпускается в интегральном исполнении
как один из элементов электрических
цепей.
Возможно построение инверторов
сопротивления и с другими параметра-
ми, например дг и д2 вместо д.
Конвертор сопротивления. Как и ин-
вертор сопротивления, конвертор — это
активный неавтономный четырехполюс-
ник. Он задается, например, матрицей
91
0
0
1/02
Zibx 9\92^2н9
(8.216)
его входное сопротивление пропорцио-
нально сопротивлению нагрузки. При
действительных коэффициентах д{ и д2,
отрицательном значении одного из них
и резистивном сопротивлении нагрузки
Z2h = гн входное сопротивление Z1BX =
= Пвх = 9\92Гн < 0, т. е. получается ре-
зистивный элемент с отрицательным
145
сопротивлением. Как и для гиратора,
реализация требует применения управ-
ляемых источников (рис. 8.12, г).
Идеальный трансформатор. Управ-
ляемые источники содержит схема за-
мещения идеального трансформатора
(см. § 7.2): ИТУТ в первичной цепи
и ИНУН во вторичной (рис. 8.12, д).
Такое представление трансформатора
требуется, например, для электронных
устройств с микросхемами (интеграль-
ная технология).
8.5. Характеристические (вторичные)
параметры пассивных
четырехполюсников
Довольно часто на практике между
источником питания (генератором) и
приемником бывает включена цепь,
состоящая из нескольких четырехполюс-
ников, а в самом простом случае вклю-
чается один симметричный пассивный
четырехполюсник. Например, индивиду-
альная телевизионная приемная антенна
(источник сигналов для телевизора) при-
соединяется к телевизору (приемник
сигналов) не непосредственно, а при
помощи симметричного четырехполюс-
ника — телевизионного кабеля. Отрезок
кабеля имеет два входных вывода 1-Г,
которыми он соединен с источником
питания (антенна), и два выходных вы-
вода 2-2', к которым присоединяется
приемник (телевизор). Очень важно пра-
вильно выбрать сопротивление прием-
ника Z2H = Z#. Его выбирают так, чтобы
входное сопротивление ZiBX = четы-
рехполюсника-кабеля на выводах 1-Г
было одинаковым и равным Zh неза-
висимо от длины кабеля. При одина-
ковых входных сопротивлениях кабе-
лей разной длины все генераторы —
антенны, к которым присоединены ка-
бели, оказываются одинаково нагружен-
ными. Следовательно, конструкция всех
антенн может быть одинаковой незави-
симо от длины кабеля.
Аналогичные задачи правильного
выбора сопротивления нагрузки возни-
кают и в других установках с четырех-
полюсниками — аттенюаторами, цепны-
146
ми схемами, фильтрами (см. гл. 18)
и т. д.
Поставим вопрос о том, как же
надо нагрузить симметричный четырех-
полюсник, чтобы его входное сопротив-
ление равнялось сопротивлению нагруз-
ки?
У симметричного четырехполюсни-
ка любую пару выводов (1-Г или 2-2')
можно принять за входную, при этом
режимы источника питания и приемни-
ка не изменяются. Предположим для
определенности, что источник питания
присоединен к первичным выводам 1-Г
(см. рис. 8.2, а). Найдем входное сопро-
тивление ZiBX = Zbx по (8.7а), учитывая,
что для симметричного четырехполюс-
ника Лц = А22-
LLi 4111^2 + 4i 2Z2
“ЗХ = 1Г= 421ZL2 + 4111'2 =
4П2Й + 412
4nZH + 4ц
Необходимо иметь ZRX = 2^, т. е.
должно быть
4н = (4hZh + 4i2)/(42iliH + 4ii)«
Последнее выражение определяет
значение сопротивления нагрузки Z„,
при котором и входное сопротивление
Zbx равно сопротивлению нагрузки. Пре-
образовав последнее выражение, найдем,
что
& = |/Л12/Л21.
Итак, если выбрать вполне опреде-
ленное сопротивление приемника, а
именно равное ]/4i 2/421, то и входное
сопротивление четырехполюсника равно
этому значению. Входное сопротивле-
ние четырехполюсника при такой на-
грузке зависит только от его коэффи-
циентов (А12 и A2i) и, значит, может
быть принято одним из параметров
четырехполюсника (как и коэффициенты
уравнений любого типа).
Новый параметр нужно знать, если
возникает задача о выборе нагрузки
(2^) для готового четырехполюсника
или, наоборот, если проектируют четы-
рехполюсник для совместной работы
с заданным приемником.
Этот параметр обозначают Zf и на-
зывают характеристическим
сопротивлением симметричного
четырехполюсника:
Zc = zc z. е = |/а12/Л21. (8.22)
Режим четырехполюсника при ZH =
= Zr = Zbx называют режимом согла-
сованной нагрузки. Если у ис-
точника питания нужно учитывать
внутреннее сопротивление ZbT (рис. 8.13)
и оно равно Zo то и источник питания
считают согласованным с четырехпо-
люсником. В режиме согласования ис-
точника
U г = Е/2 и Л = E/2ZbT = E/2Z,. (8.23)
Этот режим совпадает с режимом
максимальной активной мощности ис-
точника только при резистивных со-
противлениях источника питания и при-
емника.
В качестве второго параметра сим-
метричного четырехполюсника выбира-
ют величину, которая позволяет весьма
просто сравнивать напряжения и токи
на входе и выходе четырехполюсника
при согласованной нагрузке.
Для сравнения напряжений на входе
и выходе составим их соотношение при
согласованной нагрузке
U1/U.2 = и1е*и1/и2е*и2 = М = те*
(8.24)
где т = U JU2 — модуль отношения, ха-
рактеризует изменение значения напря-
жения; В = фМ1 — фм2 — аргумент отно-
шения (радиан или градусов), показы-
вает сдвиг фаз между напряжениями
на входе и выходе. Этот угол назы-
вается (собственной или характеристи-
ческой) постоянной фазы.
Рис. 8.13
Комплексную величину 1/М не следует
путать с передаточной функцией по напря-
жению Ку = Ц_2/У_^ которая определяется
при любой заданной нагрузке четырехполюс-
ника. Передаточную функцию (см. § 4.8)
нельзя считать параметром четырехполюс-
ника, так как ее модуль и аргумент зави-
сят от сопротивления приемника. Комплекс-
ная величина М определяется обязательно
при согласованной нагрузке, т. е. при сопро-
тивлении нагрузки, равном одному из пара-
метров четырехполюсника — характеристиче-
скому сопротивлению. Поэтому комплекс-
ная величина М — параметр четырехполюс-
ника. В случае согласованной нагрузки
Ku = 1/М.
Напряжение на выходе четырехпо-
люсника нередко значительно отлича-
ется от значения напряжения на входе.
Например, на выходе фильтра радио-
приемника напряжение U2 на частоте
принимаемого сигнала может практи-
чески равняться напряжению на входе
Ul9 а на частоте другого сигнала быть
в тысячи раз меньше. Поэтому отноше-
ние напряжений на входе и выходе
принято оценивать в логарифмическом
масштабе, для чего вместо отношения
напряжений т вводится (собственная
или характеристическая) постоян-
ная ослабления
А = In т = In (UJU2) (8.25а)
или
Ut/U2 = еА. (8.256)
Постоянная ослабления — физиче-
ская безразмерная величина. Поэтому
ее единицей измерения служит непер
(Нп). Постоянной ослабления А = 1 Нп
обладает четырехполюсник, у которого
при согласованной нагрузке напряжение
на выходе в е ~ 2,72 раза меньше, чем
на входе.
При согласованной нагрузке
z„ = 1/2/12 = ^ И ^ = ^1/11=^.
Следовательно,
U1/U.2 = ЫЬ
(8.26)
и постоянная ослабления характеризует
как отношение напряжений, так и отно-
шение токов на входных и выходных
выводах:
А = 1п(71/Г2),
(8.27)
147
а постоянная фазы В — сдвиг по фазе
между токами, который равен сдвигу
фаз между. напряжениями.
Постоянную ослабления можно вы-
числить и по известным полным или
активным мощностям на входе и вы-
ходе. Действительно,
а А А 1 , U. 1 , Л
А “ 2 + 2 “ 2 П U 2 + 2 П Г2
-41"
. 1 i„ II,
и2Г2 2 S2 ’
(8.28)
или
1 t/JiCosG __1^ Pi
2 П и2Г2 cos 0 “ 2 1П Р2 ’
(8.29)
так как сдвиг фаз 0 между напряжени-
ем и током на входе и на выходе один
и тот же (Zbx — ZH = Zc — zc л. 0).
Запишем выражение (8.24) с постоян-
ной ослабления А
Ua/LLi — mQ,B ~ еАе/В = е~,
откуда
Л
Г = А+7В = 1п^=± = 1п =- =
AL2 L2
Г Г 1 Udi
2 + 2 2 П и2Г2 '
(8.30)
Комплексная безразмерная величина
Г характеризует изменение напряжения
и тока при согласованной нагрузке как
по значению, так и по фазе и назы-
вается (собственной или характеристи-
ческой) постоянной передачи
четырехполюсника. Постоянная переда-
чи — второй параметр симметричного
четырехполюсника.
Постоянная передачи в (8.30) выра-
жена через напряжения и токи на входе
и выходе четырехполюсника, но она, как
и характеристическое сопротивление,
полностью определяется структурой че-
тырехполюсника и параметрами состав-
ляющих его элементов. Постоянную
передачи, как и Zc, можно, например,
определить через коэффициенты матри-
цы А.
По (8.30) с учетом согласованной
нагрузки и2/Г2 = ZH = Zc и (8.22)
1'2 1'2
= ln(A21Zc + А22) =
= 1п(А21 ]/А12/А21 + А22),
или
Г = 1п(4п +]/а12421), (8.31)
так как у симметричного четырехпо-
люсника А22 = Ац.
Характеристическое сопротивление и
постоянную передачи называют вто-
ричными параметрами симмет-
ричного четырехполюсника.
Постоянную ослабления часто вычисля-
ют не через натуральный логарифм, а через
десятичный в децибелах (см. § 4.8):
А = 201g 41 = 201g 4k=
V 2 12
= 101g ^-= 101g 41.
о2 г2
Не следует забывать, что при вычисле-
нии постоянной передачи по формуле
Г = А + )В следует подставлять значение А в
неперах и В в радианах.
Уравнения с гиперболическими функ-
циями. Вторичные параметры — характе-
ристическое сопротивление и постоянная
передачи — полностью определяют сим-
метричный пассивный четырехполюсник
как устройство, входящее в тракт пере-
дачи и преобразования сигналов. Поэто-
му такой четырехполюсник часто задает-
ся вторичными параметрами. В этом
случае при исследовании режима целе-
сообразно пользоваться уравнениями, в
которых напряжения и токи связаны
между собой при помощи вторичных
параметров.
Чтобы составить такие уравнения,
выразим коэффициенты матрицы А через
вторичные параметры и подставим в
(8.1а). Из (8.31) следует, что
Лп+]/1^ = еГ. (8.32)
^роме того, известно уравнение свя-
зи коэффициентов Д4 = 1 или для сим-
метричного четырехполюсника А2п —
— А12А21 = 1, что дает после деления на
148
(8.32)
4и “ 1/411421 = е -. (8.33)
Решив уравнения (8.32) и (8.33) отно-
сительно 4и и уAi242ь получим
А- Г
4и = -~---------=chf; (8.34а)
------pi — e-i
/412421 ~ —— shr.
Умножив и разделив последнее вы-
ражение на /412/421 — Zc, найдем, что
Л12 = Zcshf; 421 = shf/Zc. (8.346)
Наконец, подставив (8.34) в (8.1а), по-
лучим уравнения симметричного четы-
рехполюсника с гиперболическими функ-
циями
С/i = t/zchr + A^eShF;
Ii = ^2 sh Г/Z,+ Г2 ch Г.
(8.35)
Входное сопротивление симметрич-
ного пассивного четырехполюсника
ZBx
/1
ZH + Zc th Г
~с Zc + ZHthr’
(8.36)
В частности, при коротком замыкании
(ZH = 0)
ZK = ZcthT (8.36а)
и при холостом ходе (ZH -► оо)
Zx = ZccthF. (8.366)
Из (8.36) определяем вторичные пара-
метры :
Zc = |/z^; (8.37а)
th Г = |/ZK/ZX. (8.376)
Несимметричные пассивные четырех-
полюсники определяются тремя незави-
симыми коэффициентами любого типа
уравнений. Поэтому и вторичных пара-
метров у пассивного несимметричного
четырехполюсника три: характеристи-
ческое сопротивление со стороны первич-
ных выводов Zcl, характеристическое
сопротивление со стороны вторичных
выводов Zc2 и постоянная передачи Г.
Характеристическое сопротивление
Zc2 равно такому сопротивлению прием-
ника Z2h, подключенного к вторичным
Рис. 8.14
выводам, при котором входное сопро-
тивление со стороны первичных выводов
равно Zcl (рис. 8.14, а). Короче говоря,
при Z2h = Zc2 имеем Z|BX = ZH. Анало-
гично при обратном питании и сопро-
тивлении приемника на первичных вы-
водах Zih = Zfl получим Z2bx = Zc2
(рис. 8.14,6).
Постоянную передачи определим при
питании со стороны первичных выводов
Г = А+;В = 4,ПТТТ"’ (8.38а)
и постоянная ослабления
А = (8-386)
2 С/212
Они не могут быть выражены толь-
ко через напряжения или только через
токи, как у симметричного четырех-
полюсника. Точно так же постоянная
фазы В не показывает сдвиг фаз между
напряжениями или между токами.
Хотя четырехполюсник и несиммет-
ричен, постоянная передачи при питании
со стороны вторичных выводов (и
согласованной нагрузке на первичных)
равна постоянной передачи при питании
со стороны первичных выводов (и согла-
сованной нагрузке на вторичных). Это
можно показать на основании принци-
па взаимности.
Связь между вторичными парамет-
рами и коэффициентами матрицы А (или
другими коэффициентами) сложнее, чем
у симметричного четырехполюсника.
Расчеты, аналогичные приведенным в
149
Рис. 8.15
§ 8.5, дают следующие зависимости:
= ]/АцАц/^21^22 = l/Z'lK^ix ;
г?с2 — |/^22^12М21^11 = |/^2к^2х J
(8.39а)
Г = 1п(|//411Л22 + ]/^12^21)j
ch Г = |/-^11^22 >
th Г = j/zlr/Zlx = |/Z2k/Z2x,
(8.396)
откуда можно получить значения коэф-
фициентов уравнений типа А и записать
уравнения с гиперболическими функ-
циями, подставив найденные значения в
(8.1а).
Постоянной ослабления можно дать
и другое толкование. Предположим, что
требуется выяснить, какую полную мощ-
ность получил бы приемник с сопро-
тивлением Z2h от заданного источника
питания (Е, ZBT) при непосредственном
подключении приемника к заданному
источнику (рис. 8.15, а) с выполнением
условия согласования источника Z2h =
= ZBT.
Напряжение и ток приемника в схе-
ме на рис. 8.15, а при Z2h = Zbt
UQ = Е/2; /0 = tZo/Z2H = £/2ZBT.
(8.40)
Эти напряжение и ток получаются
такими же, как и напряжение U t и
ток Ji на входе четырехполюсника при
согласованной нагрузке на вторичных
выводах Z2h = Zc2 и согласованном ис-
точнике, т. е. ZBT = Zcb а именно
^1 = Уо; Ь=/о и С/о/о=У1Ь и
SQ = St. Поэтому
Г-|1п
У1/1 1 . Uolo
U2I'2 2 и2Г2’
(8.41)
и постоянная ослабления
а С/ 2
1 U0I0 1 So
= — In -77-77-=—1П -77-.
2 U212 2 S2
(8.42)
8.6. Цепные схемы
Четырехполюсники соединяются раз-
личными способами. Чаще всего встре-
чается каскадное соединение, при кото-
ром входные выводы одного четырех-
полюсника соединяются с выходными
выводами другого. Так, например, можно
составить Т- или П-образный четырех-
полюсник из двух Г-образных, о чем уже
упоминалось в § 8.3. В каскад соеди-
няют несколько фильтров-звеньев, чтобы
увеличить постоянную ослабления уст-
ройства для сигналов, которые нужно
подавить. Да и сам тракт передачи
сигналов (канал связи) обычно состоит
из каскадного соединения различных
четырехполюсников.
Если в каскад соединяют несколько
одинаковых четырехполюсников, то кас-
кадное соединение называют одно-
родной цепной схемой, или,
короче, однородной цепочкой. Цепочкой
одинаковых четырехполюсников заменя-
ют, например, линии передачи сигна-
лов или электроэнергии при лабора-
торных исследованиях процессов, проис-
ходящих в реальных линиях; из одина-
ковых четырехполюсников собирают
цепные схемы для получения коротких
импульсов и для увеличения времени
движения сигнала от источника к прием-
нику (линия «задержки»); цепочку состав-
ляют из нескольких одинаковых фильт-
ров.
На рис. 8.16 представлена цепочка
из п одинаковых четырехполюсников.
150
Рис. 8.16
Каждый четырехполюсник этой цепочки
называют ее элементом, или звеном.
Цепная схема, состоящая из одина-
ковых симметричных пассивных четырех-
полюсников, также является симметрич-
ным пассивным четырехполюсником.
Следовательно, ее свойства определяют-
ся двумя коэффициентами или пара-
метрами, например характеристическим
сопротивлением Zn и постоянной пере-
дачи Гц, как и у всякого симметрич-
ного четырехполюсника. Уравнения це-
почки с вторичными параметрами ана-
логичны (8.35):
Ui =U2chru + r2Zushru; 'I
h = ^-shr„ + Г2сЬГц. С (8.43)
_ц J
Выясним прежде всего, как найти
параметры цепочки Zu и Гц, если из-
вестны параметры каждого звена Zc и Г.
По определению характеристическое
сопротивление симметричного четырех-
полюсника равно сопротивлению нагруз-
ки ZH, при котором и ZBX = ZH. Если
для цепочки выбрать ZH = Zc, то и-е
звено окажется согласованным с ZH и
его входное сопротивление тоже будет
равно Zc. Но входное сопротивление
и-го звена служит сопротивлением на-
грузки (и — 1)-го звена, т. е. (и — 1)-е
звено тоже имеет согласованную на-
грузку, и его входное сопротивление
равно Zc. Определяя последовательно
входные сопротивления остальных звень-
ев, получаем, что входное сопротивление
любого звена, в том числе и первого,
равно Zc. Значит, входное сопротивле-
ние цепочки также равно Zc, т. е. при
ZH = Zc цепочка согласована с сопро-
тивлением нагрузки и характеристи-
ческое сопротивление цепочки
Zu = Zc. (8.44)
Постоянная передачи цепочки, как
и всякого симметричного пассивного
четырехполюсника, определяется вы-
ражением (8.30):
Гц = 1п1/1/[/2 = 1п71/Г2.
Отношение напряжений или токов на
входе и выходе цепочки можно выразить
через напряжения или токи на входе и
выходе промежуточных звеньев» т. е.
Un-itn
U2 9
г ь
и1Л U2.3
или
Гц = In -^-+ In 7—+... + In
kl,2 k2,3
Un-l,n
U2 9
причем сумма состоит из п слагаемых.
Каждое слагаемое суммы по опреде-
лению есть постоянная передачи звена
Г, так как при согласованной нагрузке
цепочки ZH = Zu = Zc и каждое звено
имеет согласованную нагрузку. Следо-
вательно,
Гц = иГ. ' (8.45)
Заменив в (8.43) Zu через Zc и Гц
через иГ, получим уравнения, связы-
вающие режим на входе и выходе
цепочки при заданных вторичных пара-
метрах звена:
171 = U2 ch иГ + I'2ZC sh иГ;л
h = |н2 sh иГ + 1'2 ch иГ. ( (8'46)
Zc )
Если нужно найти напряжение на
входе (к 4- 1)-го промежуточного звена,
то все звенья справа от к-го звена
(к 4- 1, к 4- 2,..., и) можно рассматривать
как четырехполюсник с характеристи-
ческим сопротивлением Zc и с постоян-
ной передачи (и — к) Г или тГ. Оче-
видно, что т = п — к — число звеньев от
выбранного звена до сопротивления
нагрузки. Поэтому напряжение и ток на
151
входе (к + 1)-го звена можно вычислить
по (8.46), заменив п на т.
При соединении цепочкой (в каскад)
пассивных несимметричных четырехпо-
люсников возможны два различных ре-
жима работы. В первом случае соеди-
нение выполняется по принципу согла-
сования (рис. 8.17). Это значит, что
характеристическое сопротивление со
стороны вторичных выводов
предыдущего (к — 1)-го четырехполюсни-
ка равно характеристическому сопротив-
лению со стороны первичных выводов
Z$ последующего /с-го четырехполюс-
ника. Последний, п-й четырехполюсник
имеет согласованную нагрузку Z2h =
= Z($, и входное сопротивление всего
соединения ZiBX равно характеристичес-
кому сопротивлению со стороны пер-
вичных выводов 1-го четырехполюсника
Zc7- Нетрудно установить, что у всей
схемы характеристические сопротивле-
ния соответственно и Z$. Постоян-
ная передачи каскадного соединения
определяется по (8.38а). Так как все
звенья имеют согласованную нагрузку,
то постоянная передачи каскадного
соединения равна сумме постоянных
передачи всех четырехполюсников, но,
конечно, постоянные передачи отдель-
ных звеньев могут быть различными:
Гц = Г1 + Г2 + Гз + • • • + Гл- (8.47)
По принципу согласования соеди-
няются два Г-образных четырехполюс-
ника, составляющие Т- или П-образный
четырехполюсник. Действительно, Т- и
П-образная схемы получаются при соеди-
нении одноименных выводов (первичных
для Т-образной и вторичных для П-
образной), т. е. выводов, со стороны
которых характеристические сопротивле-
ния одинаковы у обеих Г-образных
схем. Так как каскаднр соединяются
два одинаковых четырехполюсника, то
постоянная передачи Т- или П-образ-
ной схемы вдвое больше, чем у Г-
образной. По этой причине Г-образный
четырехполюсник часто называют еще
полузвеном, считая звеном Т- или П-
образную схему.
Во втором случае каскадное соеди-
нение состоит из четырехполюсников,
для которых не выполняются условия
согласования. Найти параметры схемы
в этом случае по известным вторич-
ным параметрам звеньев значительно
сложнее. Проще определяются коэффи-
циенты уравнений типа А.
При других схемах соединения от-
дельных четырехполюсников также про-
ще проводить расчет с коэффициентами
уравнений других типов (см. гл. 13).
8.7. Эксплуатационные параметры
четырехполюсников
Режим согласованной нагрузки необ-
ходим, прежде всего, в тех устройствах,
например воздушных и кабельных ли-
ниях передачи сигналов (см. гл. 20),
в которых должны отсутствовать отра-
жения сигналов и их искажения, вызван-
ные отражениями. Расчет передачи сигна-
лов получается наиболее простым также
при согласованной нагрузке: при задан-
ных характеристических сопротивлениях
Zcl и %с2 условия передачи сигналов
полностью определяются постоянной
передачи Г. ’
На практике четырехполюсники час-
то имеют несогласованную нагрузку. В
этом случае для сравнения режимов
работы при различных несогласованных
нагрузках вводятся удобные для расче-
тов и измерений эксплуатацион-
ные параметры, которые далее
152
получены для пассивных четырехпо-
люсников.
Полной мощности = Uill в числи-
теле (8.28) можно дать и другое толко-
вание. Такая же мощность So =
= U0Iq = Si получается и при непосред-
ственном подключении приемника к
источнику питания (см. рис. 8.15,6?) при
выполнении условия согласования источ-
ника ZBT = Z2h. Таким образом, можно
считать, что постоянная ослабления
(8.42) характеризует отношение полной
мощности приемника при его непосред-
ственном подключении к источнику и
согласовании приемника с источником
к полной мощности S2 = U2/2 прием-
ника при включенном четырехполюсни-
ке (см. рис. 8.15,6) и согласовании на
входе и на выходе, т. е. при Z2h = Zc2
и ZBT = Zcj.
При отсутствии согласования на вы-
ходе или на входе условия передачи
сигналов изменяются. Изменение сигна-
ла по-прежнему оценивают отношением
полной мощности при его непосредст-
венном подключении к источнику (см.
рис. 8.15, а) и ZBT = Z2h к полной мощ-
ности приемника при включенном четы-
рехполюснике (см. рис. 8.15, б) и заданном
сопротивлении Z2h, при этом # So
и полная мощность приемника S2 = U2I'2
иная, так яак нагрузка несогласованная.
При отсутствии согласований вместо
постоянной ослабления вводится пара-
метр
а₽41п^-41п|’ <8-48>
который называется рабочей по-
стоянной ослабления (рабочим
затуханием).
Если вместо модулей напряжений и
токов взять их комплексные значения
Но = Uo z_ v|/m0 ; 10 = Iq л. ф/0; I/2 =
= U2 Z- \|/M2; II = I2 Ф/2, TO по формуле,
аналогичной (8.48), определяется рабо-
чая постоянная передачи, ко-
торая характеризует изменение полной
мощности из-за влияния четырехполюс-
ника и отличия сопротивления нагруз-
ки от внутреннего сопротивления источ-
ника питания:
Гр = Ар+7-Вр = 11п^ф (8.49)
Z U21 2
(в числителе и знаменателе, конечно, не
комплексные мощности).
Мнимую часть рабочей постоянной
передачи
Вр = -уЕОк-о - кг) + (ко - М62)] (8.50)
называют рабочей постоянной
фазы.
Для расчета постоянных передачи и
ослабления введем понятие о приведен-
ном сопротивлении Znp = Е//2, где Е —
ЭДС источника и Г2 — ток приемника
в схеме на рис. 8.15,6. Подставив в
уравнение для входного контура
ZBT/1 + Ui = Е напряжение Ut и ток
Ii по (8.1а), получим
?втЛ21П2 "Ь ?bt^22[2 +-411^2 +
+ 412/2
откуда с учетом равенства U2 = Z2hZ'2
найдем приведенное сопротивление
Znp = _е/г2 -
= 411^2н + Л12 + ^421Z2hZbt + ^22ZBT.
(8.51)
Отношение U2 /Е = Z2h /Znp = К (/со) —
это одна из передаточных функций цепи
на рис. 8.15,6.
Так как по (8.40) Со/о == £2/4ZBT,
а У2Г2 = Z2„(/'2)2 = Z2HE2/Z2np, то рабо-
чая постоянная передачи
1 / F2 72
Г =--1п ____~-пР-
-р 2 \4ZBT E2Z2h
= In -^=
2 |/:?вт?2н
(8.52)
и рабочая постоянная ослабления (в
неперах и децибелах)
Ар = In
2 |/^btZ2h
ИЛИ
Ар = 201g—
2 ]/ ^вт^2н
(8.53)
Ясно, что в отличие от постоянных
передачи и ослабления рабочие величины
зависят не только от параметров четы-
рехполюсника, но и параметров источни-
ка и приемника. Один и тот же четырех-
полюсник при совместной работе с раз-
153
личными источниками и приемниками
вызывает неодинаковые ослабления
сигналов.
Если четырехполюсник задан не коэф-
фициентами уравнений типа А или дру-
гого типа (для перехода к коэффи-
циентам матрицы А можно воспользо-
ваться табл. 8.1), а вторичными пара-
метрами, то в (8.51) для приведенного
сопротивления следует заменить коэффи-
циенты Л12, Л21, А22 из (8.39).
Формула (8.53) для рабочей постоян-
ной ослабления после преобразований
приводится к виду
тивная мощность, которую может полу-
чить приемник с сопротивлением г2н от
данного источника. Следовательно, мак-
симальное напряжение приемника опре-
деляется из равенства
£2/4Гвт = Ulmax/riH, Т. в.
и2 max = ]/^2н Авт ^/2.
Рабочей передаточной
функцией называют величину
Кр(/ш)=
(8.57а)
+ yln
1
1-£г
+ In
Ар = А + у In
Ее модуль
1- £1£2е"2Г
, (8.54)
где
2_ ^вт ~^с! . _ ^2н ~ Zicl /«
•21 у । 7 ’ £2 у । у (8.55)
—вт • ^2н "Г 4с2
— коэффициенты несогласованности
(«отражения») на входе и выходе четы-
рехполюсника.
Если постоянная ослабления
А > 1,5 Нп, то последним слагаемым
в (8.54) можно пренебречь. Действитель-
но, в этом случае | е“2^ | 0,05, и так
как pi 1 и р2 1, то последнее сла-
гаемое меньше 0,046 Нп.
На практике часто сопротивления
нагрузки и источника резистивные:
Z2h = Г2н и ZBT = гвт. В этом случае
и010 = Е2/4г„ = Ртах - максимальная
активная мощность, которую можно по-
лучить от источника (см. § 2.9), а
17212 = 172/г2н — активная мощность
приемника, включенного в качестве на-
грузки четырехполюсника (см.
рис. 8.15,6) и рабочая постоянная ослаб-
ления по (8.48)
2U2 r„ U2
^р(®) = -=- / —= у---------
& ! Г2н V 2 max
— это рабочая амплитудно-частотная
характеристика и
Ар = 1п г'7'7 или ар = тДт-
р Кр(со) р еКр(ш)
(8.58)
(8.576)
Рабочие параметры, передаточные
функции и входные параметры нагру-
женных четырехполюсников называют
еще внешними характеристи-
ками четырехполюсника.
или
Ар = 201g
(8.56)
Если четырехполюсник не имеет по-
терь, то и1/г2н — это максимальная ак-
8.8. Активные автономные
четырехполюсники
У неавтономных активных четырех-
полюсников сигнал (напряжение С/2, ток
12) на выходе появляется только при
поступлении сигнала на входные выво-
ды, чем и объясняется их название.
У активных автономных
четырехполюсников могут быть напря-
жения и токи на первичных и вто-
ричных выводах и при отсутствии
источников, подключенных к первичным,
вторичным или тем и другим выводам
(при отсутствии поступающих от таких
внешних источников сигналов). Си-
стемы уравнений (8.1) —(8.6) не удов-
летворяют этим условиям. Например,
при коротком замыкании соответственно
первичных 1 -Г и вторичных 2-2' выво-
дов, т. е. Ui = 0 и 172 = 0, из (8.2)
следует, что токи Ц = 0 и 12 = 0.
154
Рис. 8.18
Следовательно, каждая из систем уравне-
ний должна быть дополнена слагаемы-
ми, учитывающими наличие независимых
источников у четырехполюсника.
Запишем уравнения типа А, дополнив
их для получения наиболее простых
эквивалентных схем постоянными сла-
гаемыми
Ц1 = Лц1}2 + А12Г2 4- М; |
> (О.ЭУ)
h = A2iU2 + Л221'2 4- N. J
В частности, в режиме короткого
замыкания на первичных и вторичных
выводах (Ui = 0, U2 = 0) вместо (8.59) по-
лучим 0 = Л12/2к 4- М и Ju = Л22Г2к 4- N,
т. е. М=-Л12г2к; N = - Л22Г2к, и,
следовательно,
Ц1 = 411^2 + 412 (/1 — /Z2k)J | (8 60)
11 ~ /1к = A21U2 4- 422 (I2 ~ /2к)4
На рис. 8.18, а изображен активный
автономный четырехполюсник с напря-
жениями 1/1 и U2 и токами h и
Г2 соответственно на первичных и вто-
ричных выводах. На рис. 8.18,6 показа-
но, что активный автономный четырех-
полюсник можно заменить неавтоном-
ным с теми же коэффициентами Allf
Л12, Л21, А22, что и у активного,
но с токами Ii — и Г2 — Г2к вместо
h и Г2 и двумя источниками тока IiK и
Г2к (направление Г2к изменить на
обратное). Неавтономный можно пред-
ставить любой схемой замещения, в
частности показанными на рис. 8.10. Ес-
ли для неавтономного четырехполюсни-
ка справедливо уравнение связи Дл = 1
(обратимый четырехполюсник), то оно
выполняется и для активного автоном-
ного четырехполюсника.
Постоянные слагаемые (8.59) можно
определить и из опыта холостого хода
на первичных и вторичных выводах
(Ii = 0, Г2 = 0). В результате получим
М = Uix - AilU2x; N = -421^2х, И урав-
нения типа А автономного четырех-
полюсника приводятся к виду
У1-У1х=411(У2“[/2х) + А12Г2;
/1=421(^2 -1/2х)+ 422/2-
(8.61)
Этим уравнениям соответствует экви-
валентная схема активного четырехпо-
люсника с источниками ЭДС Eix = Uix
и ^2х = Угх» показанная на рис. 8.18, в.
Из полученных уравнений следует,
что активные четырехполюсники с не-
зависимыми источниками характери-
зуются в общем случае шестью пара-
метрами. Конечно, можно найти связь
между токами 12х и ЭДС Eix, Е7х
и ввести другие коэффициенты четырех-
полюсника.
8.9. Многополюсники
Если у четырехполюсника не выде-
лены пары выводов, то он не отно-
сится к проходным и его можно рас-
сматривать как частный случай много-
полюсника.
Обозначение многополюсника (одно
из возможных) с выбранными положи-
тельными направлениями токов показа-
но на рис. 8.19, причем согласно пер-
155
Рис. 8.19
вому закону Кирхгофа
"ХА = 0. (8.62)
к = 1
* В качестве такого многополюсника
будем рассматривать любой участок
электрической цепи без независимых ис-
точников.
Кроме токов режим на выводах
определяется напряжениями, которые
можно задать между каждым из п
выводов и базовым (п 4- 1)-м, т. е.
ик = <Рк -ф„+1- (8.63)
Из (8.62) и (8.63) следует, что у
многополюсника п независимых токов
и п независимых напряжений.
Уравнения связи напряжений и токов,
как и у четырехполюсника, можно за-
писать в матричной форме, например
1= YU,
(8.64)
где Y — квадратная матрица проводи-
мостей; и и I — матрицы-столбцы на-
пряжений и токов. Для любого /с-го
вывода (к = 1, 2,..., п)
Ik — YklUl + XklUl + ••• + XknUrv
т. е. Гк1=Л°/у{--взаимная проводи-
мость относительно выводов к, (п 4 1) и
i, (п 4- 1) определяется при всех = О,
кроме Ui (все выводы, кроме f-го, со-
единены с п 4- 1-м). Аналогично Ykk =
= 1(к}/Ук ~ входная проводимость отно-
сительно выводов к и п 4- 1.
Уравнение (8.64) можно записать в
виде
У = ZI, (8.65)
где Z = Y“1 -- квадратная матрица со-
противлений. Для любого /с-го вывода,
кроме (и 4- 1)-го,
и к = Zfcl/l + Zikll-2 + — + ZknUv
где Zki — U(k} Hi — взаимное сопротив-
ление выводов к, (и + 1) и /, (п 4- 1), оп-
ределяется при всех 1к = 0, кроме 1Ь
т. е. отсоединенных от цепи, частью ко-
торой служит многополюсник, всех вы-
водов, кроме i-ro. Аналогично Zkk =
— Чк}Ик — входное сопротивление отно-
сительно выводов к и п 4- 1.
У пассивных многополюсников
матрицы Y и Z симметричные, у ак-
тивных неавтономных в общем случае
несимметричные.
У некоторых многополюсников
матрицы Y или Z или Y и Z могут не
существовать (как, например, у четырех-
полюсников — управляемых источников).
В этом случае все выводы делятся
на две группы и уравнения записы-
ваются с матрицей Н-параметров.
Напряжения многополюсника могут
определяться относительно базового уз-
ла, не совпадающего с одним из вы-
водов. Выбор уравнений (8.64) для опи-
сания режима многополюсника целе-
сообразен при дальнейшем анализе цепи
с применением метода узловых потен-
циалов. При анализе цепи методом
контурных токов выбирается другая
система напряжений и токов много-
полюсника. На пары делятся напряжения
и токи у 2и-полюсника.
8.10. Операционный усилитель
К активным неавтономным много-
полюсникам относится и операционный
усилитель (ОУ), имеющий дифферен-
циальный вход с очень большим вход-
ным сопротивлением, малое выходное
сопротивление и высокий коэффициент
усиления. ОУ изготовляются в виде ин-
тегральных микросхем и применяются
во многих электронных устройствах раз-
личного назначения, в том числе для
156
Рис. 8.20
реализации управляемых источников,
гираторов и для выполнения мате-
матических операций.
Обозначение ОУ и выбранная раз-
метка выводов показаны на рис. 8.20, а,
а на рис. 8.20, б — эквивалентная схема
при уровнях сигналов, для которых ОУ
можно рассматривать как линейный
многополюсник. У ОУ два входных
вывода 1 и 3, которые обозначают еще
знаками — и + и соответственно
называют инвертирующим и неинверти-
рующим (см. также гл. 23). ЭДС управ-
ляемого источника Е = — /свСвх =
= к3 (С/3 — U J, где к3 — внутренний коэф-
фициент усиления, достигающий практи-
чески значений порядка 105. Входное
сопротивление Явх больше выходного
Явых на два-три порядка. У идеального
ОУ считают Явх бесконечно большим,
Явых = 0 и к3 -► оо. У такого усилителя
/вх = 0, и при любом Свых можно счи-
тать (7ВХ = U1 - U з = 0.
Схема замещения ОУ справедлива
в широкой полосе частот. Этот диапа-
зон ограничен частотой, при которой
необходимо уже учитывать паразитные
емкости реального устройства.
Операционный усилитель можно счи-
тать линейным многополюсником, пока
напряжения UY и U3 не превышают
некоторых предельно допустимых зна-
чений. В противном случае необходимо
учитывать нелинейность характеристик
ОУ (см. гл. 23).
Пример 8.6. Составить матрицу Y ОУ
со схемой по рис. 8.20,6.
Решение. Будем считать заземленный
вывод 4 базовым. Для остальных выводов
можно сразу записать уравнения, связываю-
щие напряжения и токи.
Для входного контура (рис. 8.20, б)
Il== -I3 = (U1-U3)/RBx, т. е.
/1=(1/Квх)(/1+(-1/Квх)С/3;
/з = (-1/Явх)С1+(1/Квх)С3.
Для выходного контура — Квых/г + С2 =
= E = k3(U3- U.), т. е.
Ь = (/Св/Явых) U1 + (1/Явых) U2 + ( - /Св/Явых) Уз.
Следовательно, матрица
1/Явх 0 -1/Лвх
^в/^вых 1/Явых ^в/^вых
-1/«вх 0 1/Явх
Операционные усилители часто при-
меняются в схемах активных неавто-
номных четырехполюсников, т. е. в уст-
ройствах с двумя входными и двумя
выходными выводами, в частности ги-
раторов, конверторов сопротивлений, ак-
тивных фильтров, зависимых источников.
Например, на рис. 8.21 представлена
схема реализации с идеальным ОУ уп-
равляемого источника ИТУТ * (см.
рис. 8.11, г). Действительно, при идеаль-
ном ОУ (Квых = 0) и U3 = 0
Е = -k3U3X =
r1=z1/1+z2(/1-z2).
Так как внутренний коэффициент
усиления очень велик (к3 -► оо), то
Ui -► 0 и передаточная функция по току
Kz = H21=/2//i = 1+Zi/Z2.
157
Пример 8.7. Для активного неавтоном-
ного четырехполюсника, схема которого при-
ведена на рис. 8.22, а, составить переда-
точную функцию по напряжению К, считая,
что' у ОУ Квх — 00, -^вых — О, 1» При
условии гг = 2г построить амплитудно-час-
тотную и фазо-частотную характеристики.
Решение. На рис. 8.22, б показан четы-
рехполюсник после замены ОУ эквивалент-
ной схемой, где
Е = + - U-). (а)
Ток I — (Е - Ui)/(r + ri + 1/jcoC). Напряжения
L/_ =E-rJ = E-
(E-UJrj
г + Г1 + 1Ц(йС
и+ =
С/1
2 ’
(б)
После подстановки (б) в (а) найдем, что
& _ Uiij®) _ _ jcoC(r-r1)4- 1
“ Ui (/co) Ui (/co) 2(/coCr 4-1)
При rt = 2r передаточная функция
К = = — 1 ~>Cr,
2 1+ )<oCr
т. e. K(w)= 1/2, tg x|/(co) = -
1 — (coCr)2
Это фазовращатель, так как К(со) = const.
Фазо-частотная характеристика дана на
рис. 8.22, в; со' = 1/гС.
8.11. Обратная связь
Резистивный элемент т\ в схеме
рис. 8.22 связывает выходной вывод ОУ
с одним из входных. Поэтому сопро-
тивление Гх можно назвать сопротивле-
нием обратной связи.
Обратной связью могут быть охва-
чены различные активные неавтономные
четырехполюсники, в которых передача
идет только от входа к выходу, в
частности служащие в качестве усили-
телей, в том числе и ОУ. Наличие
обратной связи представлено на струк-
турной схеме рис. 8.23, где стрелками
показано направление передачи сигна-
лов. На вход усилителя с передаточ-
ной функцией К = U2/U,1 поступают
напряжение U х (входной сигнал) и через
четырехполюсник обратной связи с пере-
даточной функцией § = U0'C/U2 напряже-
ние обратной связи С70.с, т. е.
и\ = Ui + UOtC = Ui + $U2.
Напряжение на выходе
U2 = KU'i = KUi 4- КРУ2,
т. e. U2(l — Kg) = KUi, и передаточная
функция усилителя с обратной связью
Ко = U2/Ui = К/(1 - К&.
Рис. 8.23
158
Рис. 8.24
Обратная связь, показанная на
рис. 8.23, - это связь по напряжению.
Аналогично исследуются и другие типы
обратной связи (по току, смешанные).
Идеальный ОУ с обратной связью
(рис. 8.24) входит в простую схему
реализации управляемого источника
ИНУТ (см. рис. 8.11,6). Для схемы
рис. 8.24
Если KQ < К, то обратную связь
называют отрицательной (уменьшение
усиления), а при Ко > К — положитель-
ной. Если на какой-либо частоте
= 1, то KQ оо, выходное напряже-
ние стремится к бесконечности и при
сколь угодно малом входном сигнале,,
т. е. усилитель самовозбуждается (не-
устойчивость).
Е = U^Zh + Ui
И при /Св -* 00 МОЖНО принять U1 = 0.
Поэтому передаточное сопротивление
Kz = Z2i = U2/It = -Z.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ГОДОГРАФЫ
9.1. Комплексные уравнения
прямой и окружности
Многие практические задачи требуют
исследования зависимости цепи от раз-
личных факторов. Для таких исследова-
ний наряду с аналитическими методами
прибегают к графическому методу — к
построению геометрических мест концов
векторов, изображающих различные ве-
личины. Эти геометрические места, на-
зываемые годографами (диаграмма-
ми), могут иметь сложную форму. В
простейших случаях получаются прямые
линии и дуги окружности, которые и
называют соответственно линейны-
ми и круговыми диаграм-
мами.
При исследовании электрических це-
пей часто какая-нибудь комплексная
величина определяется уравнением вида
L=A + N, (9.1)
где А = aeJ“ = const, a N = neJV — изме-
няющаяся комплексная величина с не-
изменным аргументом v и непостоянным
в пределах от 0 до оо модулем и.
Геометрически L представляет собой
сумму двух векторов (рис. 9.1), один из
которых А постоянен, а у другого
N сохраняется неизменное направление
(v = const), но изменяется длина. Конец
вектора L совпадает с концом векто-
ра N. Следовательно, геометрическим
местом конца вектора L служит полу-
прямая, проходящая через конец векто-
ра А. Таким образом, при указанных
условиях уравнение (9.1) является комп-
лексным уравнением полупрямой. Если
же п рассматривать не как модуль
комплексной величины (который всегда
положителен), а как действительное
число, изменяющееся от — оо до + оо, то
уравнение (9.1) будет представлять комп-
лексное уравнение прямой, проходящей
через конец вектора А. Часть прямой,
соответствующая отрицательным значе-
159
ниям и, показана на рис. 9.1 штриховой
линией.
Теперь рассмотрим другой тип урав-
нения, который очень часто встречается
при анализе электрических цепей:
М = В/(А + N), (9.2)
где А — aej* = const; В = bejp = const, а
2V — nejv — комплексная величина с неиз-
менным аргументом v = const и модулем
п, изменяющимся в пределах от 0 до оо.
Покажем, что геометрическим мес-
том концов векторов М является дуга
окружности. Для этого разделим числи-
тель и знаменатель выражения (9.2)
на А:
М =
- 1+7У/Л 1+Ле7.+ ’
а
(9.3)
где Мо = В/Л (Mo = М при п = 0);
\|/= v — а, и перепишем (9.3) в следую-
щем виде:
п
М + М-е7* = Мо. (9.4)
При всех значениях п сумма двух
изменяющихся векторов М и М (n/a)ej*
равна неизменному вектору Мо. На
рис. 9.2 векторы показаны для одного
частного значения п при условии \|/ > 0.
При всех значениях и от 0 до оо вектор
М повернут относительно векто-
ра М на угол ф, а угол при вершине
М треугольника ОМ К равен постоянной
величине к — ф.
Рис. 9.2
Отсюда следует, что конец вектора
М лежит на дуге ОМК окружности,
для которой вектор Мо является хор-
дой. Ниже будет дан простой способ
построения этой окружности, а сейчас
покажем, как найти вектор М для лю-
бого значения п.
Отложим от точки О по направле-
нию хорды ОК отрезок ОА, равный в
некотором (произвольном) масштабе а.
Затем через точку А проведем прямую
AN' под углом — ф = а — v к вектору
Мо и продолжим линию ОМ до пересе-
чения в точке N с линией AN'. По-
лучились два подобных треугольника
О AN и ОМК (z. КОМ = zl AON,
zl ОМК = z_ О AN = я —. ф). Из подобия
следует, что
AN/О А = МК/ОМ = п/а. (9.5)
Таким образом, если отрезок ОА
соответствует а, то отрезок AN в том
же масштабе определяет модуль п изме-
няющейся комплексной величины N.
Линия AN' называется линией из-
меняющегося параметра. От-
кладывая на ней отрезки AN, соот-
ветствующие различным значениям п,
и соединяя их концы с точкой О,
можно для любого значения п опре-
делить положение вектора М. При уве-
личении п точка . М приближается к
точке О. В пределе при п -► оо длина
вектора М согласно (9.3) должна стре-
миться к нулю, следовательно, точка М
сольется с точкой О, т. е. секущая ON
станет касательной ОТ, и так как точка
N уйдет в бесконечность, то прямая
ОТ будет параллельна линии изменяю-
щегося параметра AN', поэтому перпен-
дикуляр OD к линии изменяющегося
параметра является вместе с тем пер-
пендикуляром к касательной в точке
О и, следовательно, совпадает по направ-
лению с диаметром окружности, про-
веденным через точку О. Отсюда выте-
кает следующий прием построения кру-
говой диаграммы:
1) откладываем вектор Мо это хор-
да ОК окружности;
2) от начала вектора MQ по его на-
правлению откладываем отрезок ОА,
равный в произвольном масштабе а;
3) под углом — \|/ = а — v к вектору
160
Мо проводим линию изменяющегося
параметра AN';
4) проводим прямую 0D перпенди-
кулярно линии AN'; прямая 0D прохо-
дит через центр окружности;
5) из середины вектора Мо восста-
навливаем перпендикуляр и продолжаем
его до пересечения в точке С с линией
OD. Точка С — центр искомой окруж-
ности.
Заметим, что «рабочая часть» окруж-
ности, т. е. та дуга, по которой пере-
мещается точка М, расположена отно-
сительно хорды ОК с той же сто-
роны, где находится линия изменяющего-
ся параметра.
9.2. Круговые диаграммы
неразветвленной цепи
и активного двухполюсника
Рассмотрим схему неразветвленной
цепи (рис. 9.3), состоящую из последо-
вательно соединенных элемента с неиз-
менным сопротивлением ZK = гке/Фк и
приемника с сопротивлением Z2 = z2&^,
аргумент которого неизменен, а модуль
z2 изменяется в пределах от 0 до оо.
Положим для определенности, что фк >
> Ф2 > 0. Найдем геометрическое место
конца вектора тока при заданном не-
изменном напряжении Ut.
Ток
_ I/1/Zk
Zk + Z2 l-i- (г2/гк)е/(<Р2-<Рк)
ничем не отличается от выражения
(9.3), в котором М соответствует I;
Мо соответствует Ui/ZK = IK; n^>z2;
a-^zK и ф -► (ф2 - фк).
Следовательно, конец вектора I пере-
мещается по дуге окружности.
Построение круговой диаграммы мо-
жет быть выполнено в следующем
порядке:
1. Выбираем масштаб тш для напря-
жения U i и откладываем вектор U i
(рис. 9.4).
2. Вычисляем ток при z2 — 0, т. е.
при коротком замыкании на выводах
приемника (п = 0).
3. Выбираем масштаб для тока пу
и откладываем вектор /к. Он предста-
вится отрезком ОК — повернутым
относительно на угол — фк. Отрезок
ОК является хордой круговой диаг-
раммы.
4. Выбираем масштаб сопротив-
лений mz и вдоль прямой ОК откла-
дываем отрезок О А = zK/mz.
5. Из точки А под углом — \|/ =
= фк — ф2 к вектору /к проводим ли-
нию изменяющегося параметра AN'.
6. Из начала координат проводим
прямую OD 1 AN'.
7. Находим центр С круговой диаг-
раммы как точку пересечения прямой
OD и перпендикуляра, восстановленно-
го из середины хорды ОК.
8. Проводим дугу круговой диаграм-
мы. Эта дуга ограничена хордой ОК
и лежит с той же стороны относи-
тельно хорды, где расположена линия
AN'.
Ток I для любого значения z2 на-
ходим из диаграммы простым построе-
нием. Откладываем отрезок AN = z2/mz
и точку N соединяем прямой с точкой
О. Отрезок ОМ этой прямой от точки О
до пересечения с окружностью и пред-
ставляет вектор тока I. При изменении
Рис. 9.4
Рис. 9.3
6 Основы теории цепей
161
z2 от 0 до оо точка М (конец векто-
ра I) перемещается от точки К до
точки О.
Покажем, как из круговой диаграм-
мы можно получить различные вели-
чины, характеризующие режим цепи.
При заданном напряжении U х на вы-
водах цепи ток пропорционален полной
проводимости цепи I = у17ь поэтому от-
резок ОМ может служить мерой полной
проводимости цепи. Масштаб для про-
водимости определим по режиму корот-
кого замыкания, при котором проводи-
мость измеряется отрезком ОК:
1ДК
ту ~ В этом же масштабе можно
ОК
определить активную и реактивную про-
водимости цепи как проекции отрезка
ОМ на ось, совпадающую с вектором
Ui, и ось ОР, ей перпендикулярную.
Если 17 i = U19 т. е. иг считается
действительным числом (на рис. 9.4 ось
действительных величин направлена
вверх), то I и У имеют одинаковые
аргументы и круговая диаграмма для
тока в масштабе ту является круговой
диаграммой комплексной проводимости
цепи.
Из диаграммы имеем
МК = ОК - 0М = — (/к -1) =
m,v-
(У1 - UK) =
m/Z.
где 0K~= Ui/mIZK; OM = C7K/m;ZK; MK =
Длины отрезков, OK, ОМ и MK
пропорциональны напряжениям 17 b UK и
U2- Напряжения UK и U2 можно опреде-
лять по отрезкам ОМ и МК, поль-
зуясь масштабом ти* — mU2 — U JOK.
Направления векторов С7К и 1/2 (на
диаграмме не показаны) отличаются от
направлений векторов ОМ и МК на угол
Фк.
Длина перпендикуляра MF, опущен-
ного из точки М йа линию ОР, опре-
деляет активную мощность Р^ на входе
цепи. Действительно,
Pi — l/Jcoscp! = UrmiOM coscpi =
= U^ifMF = mPMF,
где mPi — U iWi; — масштаб мощнос-
ти
Отрезок OF прямой ОР пропорцио-
нален реактивной мощности Qa на входе
цепи. Действительно,
Qa = UtI sin <px = UiKiiOM sin <рх —
— U inijOF = mPi0F.
Покажем еще, что полную (S2), актив-
ную (Р2) и реактивную (02) мощности
можно определить отрезком MG пер-
пендикуляра MF к линии ОР или длиной
перпендикуляра МН, опущенного из точ-
ки М на хорду ОК. Опустим из точки
К перпендикуляр КВ на прямую ON.
Площадь треугольника ОМ К равна:
у ом • КВ = 7- ом • MK sin (z. КМ В) =
1 I У2
2 mj mU2
sin(z.KMB) =
sin (z, KMB)C
2mImU2 2‘
Угол z_ KMB — | ф | = | <p2 ~ Фк I не
зависит от положения точки М. В полу-
ченном выражении для площади тре-
угольника ОМК все сомножители, кро-
ме S2, постоянны. Следовательно, пло-
щадь треугольника пропорциональна S2.
Так как ф2 = const, то площадь треуголь-
ника пропорциональна также Р2 =
= S2 cos ф2 и б2 = S2 sin ф2. У треуголь-
ника ОМК сторона ОК постоянна,
поэтому его площадь пропорциональна
высоте МН (ОК принята за основание
треугольника) или отрезку МG, который
пропорционален МН.
Масштабы mS2, тРг и mQ2 можно опре-
делить, вычислив мощности S2, Р2 и Q2
для любого частного режима и разде-
лив полученные значения на длину от-
резка MG.
Например, исходя из режима, от-
меченного на диаграмме точкой М,
имеем
mS2 = S2/MG=U2I/MG =
— mU2MKmiOM/MG;
тр2 — S2cos<p2/MG — т$2С08ф2;
= S2 sin <p2/MG = mS2 sin ф2.
Пользуясь круговой диаграммой,
можно определить зависимости I, UKi
и2, Ф1, Р1, Р2, Q1 и Q2 от z2.
162
Для этого, задавшись значением z2,
отложим соответствующий отрезок AN
и определим положения точки М —
конца вектора I. Затем проведем от-
резки МК, MF и MG и замерим их
длины; наконец, пользуясь масштабами,
вычислим соответствующие этим отрез-
кам величины. Вообще же по круговой
диаграмме можно найти зависимость
всех перечисленных выше величин от
любой из них, принятой за независи-
мую переменную. Вычерчивая ряд отрез-
ков, изображающих величину, которая
принята за независимую переменную,
нетрудно построить отрезки, определяю-
щие остальные величины.
Рассмотренная круговая диаграмма
для неразветвленной цепи применима к
любому активному двухполюснику, со-
противление нагрузки которого из-
меняется так, что угол <р2 = const. Это
утверждение следует из принципа экви-
валентного генератора, согласно которо-
му активный двухполюсник с сопротив-
лением нагрузки Z2 можно представить
схемой по рис. 9.3, в которой ZK —
входное сопротивление активного двух-
полюсника, a U х = — напряжение на
выводах двухполюсника при холостом
ходе.
Пример 9.1. Построить круговую диаг-
рамму для тока I в неразветвленной части
цепи рис. 9.5 при изменении емкости С,
считая, что остальные параметры цепи гь
г2 и L, а также частота и напряжение
питания неизменны.
Решение. Ток Z — li + Iz- Ток h =
= y/(ri 4- jxj) неизменный, а ток 12 =
= У/(г2 — j*c) изменяется по круговой диаг-
рамме. Заметим, что г2 и — jxc в схеме
рис. 9.5 соответствуют сопротивлениям ZK
и Z2 в схеме рис. 9.3 и комплексным
величинам А и N в (9.2).
Выбрав масштабы ту и ту, отложим
векторы U и h (рис. 9.6). Конец вектора
Ii примем за начало Oi для построения
круговой диаграммы тока 12. Вычислим ток
12 при коротком замыкании изменяющегося
сопротивления, т. е. при хс = 0, получим
/2к = С//г2. Ток /2к совпадает по фазе с
напряжением U. Отложив вектор /2к из
конца вектора получим хорду OiK круго-
вой диаграммы тока 12. Выбрав масштаб
mz, отложим отрезок OiA = r2/mz. Затем из
точки А под углом —ф = а — v = 0 — ( — л/2) =
= л/2 проведем линию изменяющегося пара-
метра AN'. Перпендикуляр OiD, проведен-
ный из начала диаграммы Oi к линии изме-
няющегося параметра AN\ совпадает с хор-
дой OiK. Поэтому перпендикуляр, восста-
новленный из середины хорды ОХК (по-
казан штриховой линией), пересекается с
OiD в середине хорды. Эта точка пере-
сечения — центр С круговой диаграммы. Та-
ким образом, в рассматриваемом случае
хорда OiK является диаметром окружности.
Круговая диаграмма тока 12 — это половина
дуги окружности, лежащей слева от ОГК
(на той стороне, где находится линия изме-
няющегося параметра). На круговой диаграм-
ме показано положение вектора 12 для неко-
торого частного значения хс- Так как
I = h + /2, то> как видно из построения,
конец вектора I перемещается по той же
полуокружности, по которой перемещается
конец вектора 12.
На диаграмме отмечены два резонанс-
ных режима (токи I = Го и I — [о совпа-
Рис. 9.5
Рис. 9.6
6
163
Рис. 9.7
дают по фазе с напряжением U): первый
резонансный режим (Го) получается при
хс = х'с и второй (/о) — при хс = х"с. Из
круговой диаграммы следует, что минимум
тока Imin получается вблизи первого резонанс-
ного режима, но не при резонансе.
Если Ц sin ф! = U/2г2, то круговая диаг-
рамма расположится, как указано на
рис. 9.7, а и, очевидно, возможен только
один резонансный режим. При ^sincpi >
> U/2г2 (рис. 9.7,6) резонанс не получается
ни при каком значении емкости С.
9.3. Круговые диаграммы
разветвленных цепей
Если в разветвленной цепи сопро-
тивление одной из ветвей, например
сопротивление второй ветви, изменяется,
а все остальные сопротивления и ЭДС
(токи) источников энергии неизменны,
то, как было показано в § 2.6, токи и
напряжения любых ветвей связаны ли-
нейными зависимостями. Это справедли-
во и для цепей синусоидального тока.
В частности, для тока /х в первой
ветви и тока 12 во второй справедливо
соотношение
Л = А + В/2, (9.6)
где А и В — комплексные числа.
На рис. 9.8 показана разветвленная
цепь, в которой выделены источник
напряжения в первой ветви и одно
Рис. 9.8
из сопротивлений Z2, входящее в состав
второй ветви. Остальная часть цепи,
которая может содержать источники
питания (активная цепь), показана в виде
активного четырехполюсника А.
Пусть z2 (модуль сопротивления Z2)
изменяется, а аргумент <р2 остается не-
изменным; тогда, рассматривая всю цепь
относительно сопротивления Z2 как ак-
тивный двухполюсник, придем к заклю-
чению, что конец вектора [2 переме-
щается по дуге окружности. Покажем,
что bi этом случае диаграммой тока
Л также является дуга окружности.
Пусть дуга ОК2 (рис. 9.9) представ-
ляет круговую диаграмму тока 12. Умно-
жение 12 на В = Ье7р приводит к изме-
нению длины вектора 12 в b раз и к по-
вороту его на угол р.. Поэтому диаг-
рамма вектора В12 представляется ду-
гой окружности ОК', проходящей через
точку О, повернутой относительно дуги
ОК2 на угол Р и имеющей радиус, в b
раз больший радиуса дуги ОК2. Перенеся
дугу ОК' параллельно вектору А на от-
резок, равный длине вектора А, получим
дугу ОГКГ. Конец вектора /х = А 4- В12,
как это следует из построения, нахо-
дится на дуге окружности ОХКЪ т. е.
дуга OiKi — круговая диаграмма тока
/х. Итак, если в какой-либо ветви раз-
ветвленной цепи изменяется только мо-
дуль одного из сопротивлений и остают-
ся неизменными ЭДС (токи) всех источ-
ников питания, то годографом вектора
тока любой из ветвей служит круговая
диаграмма. Так как напряжения и токи
любых ветвей связаны линейными за-
висимостями, то и для всех изменяю-
щихся напряжений получаются годогра-
фы — круговые диаграммы.
164
Чтобы определить комплексы А и В
линейного соотношения (9.6), нужно знать
токи /1 и 12 для каких-либо двух ре-
жимов при двух различных значениях
z2, например при z2 — 0 и z2 = оо.
При z2 = оо (т. е. при разомкнутой
ветви 2) 12 — 0 и ток h = /Jx. Согласно
(9.6) /1х = Л+В-О, откуда А = /1х, т. е.
коэффициент А равен току в ветви 1
при разомкнутой ветви 2. При z2 = О
(т. е. при коротком замыкании ветви 2)
обозначим токи I2 = h* и /1 = 1^; Под-
ставив эти значения в (9.6), получим
[\к = А + В12к = 4- В12к,
откуда
2? (Лк /1х)/Лк>
и, следовательно,
I1 = A + BZ2 = Zl> + /-l-x-~/l-x/2. (9.7)
±2к
Обозначим через U2x напряжение на
разомкнутых выводах ветви 2 и через
Z2k входное сопротивление всей осталь-
ной цепи, рассматриваемой как актив-
ный двухполюсник относительно вы-
водов ветви 2. По принципу экви-
валентного генератора
I _ ^х
^2к + %2 Z2k(1 + Z2/Z2k)
Ьк
1 + —?*
^2к
(9.8)
где ф = <р2 - ф2к.
Подставив (9.8) в (9.7), получим
/!=/|х+ (9.9)
1 + — е'*
^2к
Второе слагаемое имеет такой же
вид, как и (9.3), и, следовательно, графи-
чески может быть представлено круго-
вой диаграммой с хордой 1[к — Iix.
Для построения круговой диаграммы
тока Ii нужно предварительно опреде-
лить /1х, /1К и Z2k. ...
Построение круговой диаграммы вы-
полняем в следующем порядке:
1) выбираем масштаб тщ и откла-
дываем вектор (рис. 9.10);
Рис. 9.10
2) выбираем масштаб тп и отклады-
ваем векторы /1х (отрезок ООГ) и
11к (отрезок ОК). Построение круговой
диаграммы приводится для случая
Ф1Х < о и ф1к > 0;
3) соединяем точки Oi и К, получаем
хорду ОГК;
4) выбираем масштаб т2 и отклады-
ваем на хорде OYK отрезок О^А =
= z2k/w=;
5) проводим прямую изменяющегося
параметра AN' под углом — ф = ф2к — Ф2
к хорде OiK, рассматриваемой как от-
резок, имеющий направление от точки
01 к точке К (построение круговой
диаграммы приведено для случая
ф2к — ф2 > 0, и поэтому на рис. 9.10
этот угол отложен относительно OiK
против направления движения часовой
стрелки);
6) проводим прямую OiD ± AN';
7) на пересечении перпендикуляра к
середине хорды с линией OiD находим
центр С круговой диаграммы.
Для любого значения z2 можно отло-
жить отрезок AN = z2/mz и на пересе-
чении линии OiN с круговой диаграм-
мой в точке М найти положение конца
вектора тока h.
Из сказанного выше следует, что дуга
OiMK, рассматриваемая относительно
точки 01, представляет пропорциональ-
но измененную и повернутую на не-
который угол круговую диаграмму ак-
тивного двухполюсника. Под активным
двухполюсником здесь подразумевается
165
вся цепь, представленная на рис. 9.8, за
исключением сопротивления Z2. Поэто-
му ток 12, напряжение U2, мощности
52, ?2 и Q2 определяются теми же
отрезками прямых, которые служили для
этой цели в круговой диаграмме двух-
полюсника. Ток 12 определяется отрезком
OtM, напряжение U2 — отрезком МК,
а мощности S2, Р2 и Q2 — отрезком
МН, или, что удобнее, пропорциональ-
ным ему отрезком MG.
Для определения масштабов U2, 12,
Р2 и Q2 нужно вычислить значения
этих величин для каких-либо частных
режимов и затем разделить эти значе-
ния на длины соответствующих им от-
резков диаграммы. Например, вычислим
12к и U2x. На диаграмме току 12к и
напряжению U2x соответствует хорда
OiK. Следовательно, масштаб т/2 =
= h*IOiK и масштаб mU2= U2x/OtK.
Пример 9.2. В цепи, показанной на
рис. 9.11, Е = 10 В; Zt = 103 Om;Z3=j103 Ом;
хс изменяется от 0 до ср. Построить
Рис. 9.11
Рис. 9.12
круговую диаграмму тока 12 и определить
по ней значения 7Ь 12, ^2 и хс в ДВУХ
режимах при 12 = 12тах и при U2 = U2max.
Решение. Находим величины, необхо-
димые для построения круговой диаграммы
и для определения масштабов:
Iix = 1зх = ^/(?1+^з) = 7,07 z.-45° мА;
/1К = i2k = e/Zi = 10 мА;
Z2k = ZiZa/fZi + Z3) = 707 z. 45° Ом;
l/2x= Z3_Z3x = 7,07z.45° В;
-Ф. = Ф2к ~ Ф2 = 45° - (-90°) = 135°.
Выбираем масштаб тп и откладываем
векторы /1Х и 11к (рис. 9.12). Обратим вни-
мание, что на рис. 9.12 система координатных
осей повернута на 90° против движения
часовой стрелки по сравнению с ее обыч-
ным расположением. Ось положительных
действительных величин направлена вверх,
а ось положительных мнимых — влево. Такое
расположение осей применяют часто, желая
направить вектор напряжения или ЭДС
вертикально при нулевой начальной фазе.
Заметим, что такое расположение вектора
напряжения Ui было и на рис. 9.4 и 9.10.
На рис. 9.12 вектор ЭДС не изображен,
поскольку он не нужен для решения задачи.
Проводим хорду ОГК. Выбираем масш-
таб mz и откладываем отрезок О^А =
= z2k/wz = 707/mx. Из точки А под углом
— ф = 135° проводим линию изменяющегося
параметра AN'. Опускаем перпендикуляр
OrD на линию AN' и восстанавливаем пер-
пендикуляр к середине хорды ОгК. Полу-
чаем точку С — центр круговой диаг-
раммы.
Ток 12 измеряется отрезком ОМ, ток
12 — отрезком ОгМ, напряжение U2 - отрез-
ком КМ, сопротивление хс — отрезком AN.
166
Масштабы тц и т2 были выбраны, масшта-
бы ги/2 = IiiJOiK = Ю/ОГК мА/см и mu2 =
= U2^IOtK = lffl/O.K В/см. Ток I2 = I2max,
если отрезок 0гМ имеет наибольшую дли-
ну, т. е. если точка М занимает положе-
ние Мр Напряжение U2 = U2tnax, если отрезок
КМ имеет наибольшую длину, т. е. если точка
М занимает положение М2, совпадающее с
точкой О. Значения переменных величин,
соответствующих точке Ми обозначим одним
штрихом, а точке М2 — двумя штрихами.
Найдем
Л = mi\OMt = mnOOi = /jx — 7,07 мА;
1'2 = mnOiMi = -^-OiKj/2 = 10)/2 mA;
OtK
7 07
U2 = m^KM. = -~^-ОгК = Ifil B;
(J^K
x'c = nigANi = m2 —-/^-= = 500 Ом.
J/2 J/2
В проведенном подсчете учтены следую-
щие соотношения между длинами отрезков,
очевидные из рассмотрения диаграммы:
OMt = OrMj = Огк/2;
KMi = OtK и ANt = OtA/]/2.
Ток /'{=0; Г^ = т12О1М2 =
= ^О2М2 = 10 мА;
U1-К.
Щ = mV2KM2 = ^-КМ2 = 7,07]/2 = 10 В;
О ±к
хс = m2AN2 = mgOiA^l = Z2k]/2 = 1000 Ом.
Точка М2 соответствует резонансу токов.
Так как рассматривается теоретический слу-
чай отсутствия потерь в ветвях 2 и 3, то
Ц = 0 и U2 = Е.
Пример 9.3. Для той же цепи (см.
рис. 9.11) построить при изменении хс кру-
говую диаграмму для тока 13 и отметить
на ней точки Мг и М2, соответствующие
12 тах й U2max. Найти для этих режимов
значения тока Z3.
Решение. При хс = 0 имеем 13к = 0.
Все остальные параметры, необходимые для
построения круговой диаграммы тока Z3,
вычислены в предыдущем пример^
Выбрав масштаб т13, откладываем вектор
/зх = Iix (рис. 9.13). Так как. Z3k = 0, то
конец вектора /Зк — точка JK'— совпадает с
точкой О. Выбрав - масштаб тв, отклады-
ваем отрезок OiA = Z2nJms — lfil/m2. Из точки
А под углом -ф=135° проводим линию
переменного параметра AN'. Затем опреде-
ляем центр С окружности и строим кру-
говую диаграмму. Отрезками ОМ, OiM,
КМ и AN измеряются соответственно 13,
I2, U2 и хс. Масштабы т13 и т2 были
выбраны, масштабы т/2 = 12^/0tK и ти2 =
= U2JOiK. Ток 12 = 12тах в точке Mt.
Напряжение U = U2tnax в точке М2. Из
диаграммы находим Г3 = = 7,07 мА и
Z3 = ]/2Z3x = 10 мА.
9.4. Частотные годографы
Рассмотренные выше круговые диаг-
раммы являются частным случаем
геометрических мест концов векторов,
изображающих различные физические ве-
личины при изменении одного из пара-
метров цепи. Если изменяемым парамет-
ром является не сопротивление или
емкость элемента цепи, как это было
рассмотрено, а частота источника пи-
тания цепи переменного тока, то годо-
граф называют частотным. В этом
случае форма диаграммы более слож-
ная и только в простейших случаях
изображается окружностью или прямой.
К числу таких простейших случаев
относится последовательное соединение
резистивного, индуктивного и емкостно-
го элементов (последовательный контур),
для которого частотный годограф комп-
лексного сопротивления Z имеет вид
прямой, а проводимости — окружность.
Действительно, построив геометри-
ческое место концов векторов Z =
= г + j ((&L— 1/соС) или У = 1/Z для
цепи, изображенной на рис. 3.8, получим
прямую и окружность, изображенные на
рис. 9.14, а и б. Здесь точка а на годо-
графе соответствует резонансу напряже-
ний при резонансной частоте а>0 =
= i/|/lc.
Более сложную форму имеет частот-
ный годограф для комплексных сопро-
тивления и проводимости параллельного
соединения индуктивного и емкостного
элементов при учете активного сопротив-
ления 4 одного из элементов параллель-
ного контура. Так, например, цепь,
изображенная на рис. 5.5, имеет частот-
ный годограф,"существенно отличающий-
ся от прямой или окружности. На
рис. 9.15, а изображен частотный годо-
граф при г2 = 0 для комплексной прово-
167
димости цепи
У = усоС + l/(r i + ycoL).
На рис. 9.15,6 и в построены частот-
ные характеристики активной и реактив-
ной составляющих комплексной про-
водимости цепи:
Ке-У(ю) = ^ю)=^Ьу;
Интересно отметить, что резонанс
b (со'о) = 0 наступает при частоте со = со'о =
168
= 1/1 — rjC/L[cM. (5.14)], отличной
]/lc
от частоты, при которой имеет место
минимум полной проводимости цепи у:
^min ~
+ 2Crl/L-Crl/L> со'о.
Частотные годографы получили ши-
рокое распространение в автоматике
при описании частотных характеристик
передаточных функций различных элект-
рических, электронных и электромехани-
ческих четырехполюсников.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
10.1. Понятие о многофазных
источниках питания и
о многофазных цепях
На рис. 10.1 схематично показано
устройство генератора переменного тока
с тремя обмотками на статоре. Ради
упрощения каждая обмотка показана
состоящей только из двух проводов,
заложенных в диаметрально противо-
положные пазы статора. Эти провода
на заднем торце статора соединены
друг с другом (соединения показаны
штриховой линией). На переднем торце
статора они оканчиваются зажимами Л,
X, В, У, С, Z, которые служат для
подсоединения внешней цепи.
Наводимые в обмотках ЭДС макси-
мальны, когда ось полюсов ротора
пересекает проводники статора. Для раз-
ных обмоток это происходит в различ-
ные моменты времени. Поэтому наводи-
мые ЭДС не совпадают по фазе.
Генераторы с несколькими обмот-
ками, в которых наводятся ЭДС оди-
наковой частоты, но сдвинутые отно-
сительно друг друга по фазе, называют-
ся многофазными генератора-
ми. Соответственно любые источники
питания, имеющие несколько выводов
(полюсов), между которыми создаются
напряжения одной и той же частоты,
сдвинутые относительно друг друга по
фазе, называются многофазными
источниками питания. Совокуп-
ность электрических цепей с много-
фазными источниками питания назы-
вается многофазной системой
электрических цепей. Отдельные
ее части называются фазами, напри-
мер отдельные обмотки генератора назы-
вают фазными обмотками, или, кратко,
фазами генератора. Таким образом, в
электротехнике термин «фаза» имеет два
различных значения: он является, с од-
ной стороны, понятием, характеризую-
щим стадию периодического процесса,
и, с другой стороны, наименованием
составной части многофазной системы
электрических цепей.
По числу фаз многофазные источ-
ники питания и системы цепей под-
разделяются на двух-, трех-, четырех-
фазные и т. д. В соответствии с этой
классификацией генератор с тремя об-
мотками (рис. 10.1) — т р е х ф а з н ы й,
а цепи переменного тока, рассмотрен-
ные в предыдущих главах, можно
назвать однофазными.
Впервые многофазные системы цепей
и многофазные генераторы были при-
менены на практике П. Н. Яблочковым
для питания изобретенных им электри-
ческих свечей. В его установках обмот-
ки многофазных генераторов присоеди-
нялись к электрически не соединенным
друг с другом линиям, питавшим от-
дельные группы свечей. Такого рода мно-
гофазные системы цепей получили назва-
ние несвязанных. В настоящее вре-
мя вследствие существенных преиму-
ществ применяются многофазные систе-
мы цепей, соединенные друг с другом.
Такие многофазные системы цепей назы-
ваются связанными. Способы соеди-
нения или связывания цепей рассматри-
ваются ниже (см. § 10.2). Связанная
многофазная система цепей, по существу,
образует одну сложную разветвленную
169
цепь, поэтому обычно она называется
просто многофазной цепью.
В электроэнергетике вследствие наи-
большей экономичности и технического
совершенства применяются почти исклю-
чительно трехфазные цепи. Все звенья
трехфазной цепи, начиная от генератора
и кончая двигателем, были изобретены
и разработаны известным русским инже-
нером и ученым М. О. Доливо-
Добровольским.
В установках, преобразующих пере-
менный ток в постоянный, встречают-
ся шести- и, реже, двенадцатифазные
цепи. В автоматике и телемеханике
применяются двухфазные цепи.
Выводам фазных обмоток генерато-
ров дают наименования «начало» и «ко-
нец». В трехфазных генераторах «нача-
ла» обозначим первыми буквами латин-
ского алфавита А, В и С, а «концы» —
последними буквами X, Y и Z (более
сложные обозначения по ГОСТ здесь не
рассматриваются). При разметке руко-
водствуются следующим условием: при
одинаковых положительных направле-
ниях ЭДС во всех обмотках от «кон-
цов» к «началам» (или от «начал» к
«концам») ЭДС должны быть сдвинуты
по фазе относительно друг друга сим-
метрично. Исключение в этом отноше-
нии составляют двухфазные генераторы
(см. ниже). Поясним сказанное на при-
мере трехфазного генератора.
Покажем, что разметка концов фаз-
ных обмоток на рис. 10.1 удовлетво-
ряет принятому условию, т. е. что ЭДС
в фазах А, В и С сдвинуты относи-
тельно друг друга симметрично на 1/3
периода. Выберем положительные на-
правления ЭДС во всех обмотках от
концов к началам. В момент времени,
соответствующий положению ротора,
показанному на рис. 10.1, ЭДС в обмот-
ке А максимальна и имеет направле-
ние, которое принято положительным,
т. е. в этот момент ЭДС в обмотке А
достигает положительного Максимума.
Положительный максимум ЭДС в об-
мотке В наступит позже, когда ротор
повернется на 1/3 оборота. Так как один
оборот ротора двухполюсного генера-
тора соответствует одному периоду из-
менения ЭДС в любой обмотке, то
170
Рис. 10.2
поворот ротора на 1/3 оборота соот-
ветствует 1/3 периода и, следовательно,
ЭДС в обмотке В отстает по фазе от
ЭДС в обмотке А на 1/3 периода.
Рассуждая аналогично, можно убедиться,
что ЭДС в обмотке С отстает по
фазе от ЭДС в обмотке В также на
1/3 периода.
На рис. 10.2 показаны график мгно-
венных значений и векторная диаграмма
ЭДС трехфазного генератора.
При построении графика мгновенных
значений (рис. 10.2, а) у ЭДС выбрана
начальная фаза = 0, т. е. еА —
= Ет sin cot, соответственно
ев = Ет sin (cot - Т/3) = Ет sin (cot - 2л/3)=
= sin (cot - 120°);
ec = Emsinco(t —2Т/3) = sin (cor — 4я/3) =
= Emsinco(t - 240°) = Em sin (art + 120°).
Им соответствуют комплексные дей-
ствующие значения:
Рис. 10.3
На диаграмме рис. 10.2,6 вектор
Еа направлен вертикально, так как при
расчете трехфазных цепей принято на-
правлять вертикально вверх ось действи-
тельных величин.
Порядок, в котором ЭДС в фазных
обмотках генератора проходят через оди-
наковые значения, например через поло-
жительные максимумы, называют по-
следовательностью фаз или
порядком чередования фаз.
При указанном на рис. 10.1 направле-
нии вращения ротора получаем после-
довательность фаз АВСА и т. д. Если
изменить направление вращения ротора
на противоположное, то последователь-
ность фаз получится обратной. У гене-
раторов роторы вращаются всегда в
одном направлении, поэтому последо-
вательность фаз никогда не изменяется
и может быть раз навсегда установлена
и обозначена. Ее обозначение связывают
с наименованием фаз. Наименования
устанавливаются первыми буквами ла-
тинского алфавита, причем таким об-
разом, чтобы нормальный порядок букв
(Л, В и С) соответствовал последо-
вательности фаз.
Рассмотренная совокупность ЭДС в
обмотках трехфазного генератора назы-
вается трехфазной системой
ЭДС. Совокупности ЭДС (напряжений,
токов) в многофазных цепях называют
многофазными системами
ЭДС (напряжений, токов). Эти системы
называют симметричными, если все ЭДС
(напряжения, токи) равны по амплитуде
и если каждая ЭДС (напряжение, ток)
отстает по фазе от предыдущей ЭДС
(напряжения, тока) на один и тот же
фазный угол, равный 2п/т, где т —
число фаз.
На рис. 10.3, а в качестве примера
приведена векторная диаграмма сим-
метричной системы ЭДС шестифазного
генератора.
Двухфазные генераторы изготов-
ляются таким образом, чтобы ЭДС в од-
ной из обмоток была сдвинута по фазе
относительно ЭДС другой обмотки на
1/4 периода. Векторная диаграмма систе-
мы ЭДС двухфазного генератора при-
ведена на рис. 10.3,6, эта система ЭДС
несимметрична.
10.2. Соединения звездой
и многоугольником
Существуют два основных способа
соединения обмоток генераторов, транс-
форматоров и приемников в много-
фазных цепях: соединение звездой и
соединение многоугольником. Например,
соединение генератора и приемника
звездой показано на рис. 10.4, а соеди-
нение треугольником — на рис. 10.5.
При соединении звездой (рис. 10.4)
все «концы» фазных обмоток генератора
и ветвей звезды приемника называют
нейтральны ми (нулевым и) точ-
ками, а соединяющий их провод —
нейтральным (нулевым) про-
водом. Остальные провода, соединяю-
щие обмотки генератора с приемником,
называют линейными.
При соединении треугольником
(рис. 10.5) или многоугольником фаз-
ные обмотки генератора соединяются
последовательно таким образом, чтобы
«начало» одной обмотки образовало с
«концом» другой обмотки общую точку.
Общие точки каждой пары фазных об-
моток генератора и общие точки каж-
дой пары ветвей приемника соединяют-
Рис. 10.4
171
Рис. 10.5
ся линейными проводами. На первый
взгляд может показаться, что соедине-
ние обмоток генератора треугольником
(многоугольником) равносильно корот-
кому замыканию, как это было бы при
подобном соединении, например, гальва-
нических элементов. На самом деле
при симметричной системе ЭДС сумма
ЭДС, действующих в контуре треуголь-
ника (многоугольника), в любой момент
времени равна нулю. Убедиться в этом
можно хотя бы из рассмотрения вектор-
ной диаграммы и кривых мгновенных
значений ЭДС трехфазного генератора
(см. рис. 10.2).
Заметим, что схемы рис. 10.4 и 10.5
можно представить получающимися из
схем несвязанных трехфазных цепей,
показанных на рис. 10.6, путем объеди-
нения друг с другом проводов, вычер-
ченных рядом.
Схемы соединения обмоток источни-
ков питания и приемников не зависят
друг от друга. В одной и той же цепи
могут быть источники питания и прием-
ники с разными схемами соединений.
Лучи звезды или ветви многоугольника
приемника называют фазами при-
емника, а сопротивления фаз прием-
ника — фазными сопротивле-
ниями. ЭДС, наводимые в фазных
обмотках генератора или трансформа-
тора, напряжения на их выводах,
напряжения на фазах приемниках и то-
ки в них называют соответственно
фазными ЭДС, напряжениями
и токами (Еф, l/ф, /ф). Напряжения
между линейными проводами и токи в
них называют линейными напря-
жениями и токами (1/л, /л). При
соединении фаз звездой линейные токи
равны фазным 1Л = /ф. При соединении
фаз многоугольником линейное напря-
жение между проводами, присоеди-
ненными к одной и той же фазе
приемника или источника питания, равно
соответствующему фазному напряже-
нию ил = 1/ф.
Положительные направления токов
во всех линейных проводах выберем
одинаковыми от источника питания к
приемнику, а в нейтральном проводе —
от нейтральной точки приемника к
нейтральной точке источника питания.
Положительные направления напряже-
ний в ветвях звезды источника пита-
ния выберем от начал обмоток к нейт-
ральной точке: UA = UAN; UB = UBN;
Uc = UCn (см. рис. 10.4), у приемника —
также от начал обмоток к нейтральной
точке: Ua = Uan; Ub = Ub„- Uc = Ucn. По-
ложительные направления ЭДС и токов
в ветвях треугольника источника пи-
тания будем обычно выбирать в направ-
лении АСВА, а напряжений и токов в
Рис. 10.6
172
ветвях треугольника приемника — в на-
правлении abca (см. рис. 10.5).
Многофазную цепь и многофазный
приемник называют симметричны-
м и, если комплексные сопротивления
всех фаз одинаковы. В противном слу-
чае их называют несимметрич-
ными.
Если к симметричной трехфазной
цепи приложена симметричная система
напряжений, то получается симметрич-
ная система токов. Режим многофазной
цепи, при котором многофазные системы
напряжений и токов симметричны, назы-
вается симметричным.
10.3. Симметричный режим
трехфазной цепи
На рис. 10.7 приведены топогра-
фическая диаграмма и векторная диаг-
рамма токов при симметричном режи-
ме для схемы на рис. 10.4 и индуктив-
ном характере нагрузки (ср > 0).
Ток в нейтральном проводе отсут-
ствует :
In — [а + [в + 1с — 0,
поэтому при симметричном приемнике
нейтральный провод не применяют.
Линейные напряжения определяются как
разности фазных напряжений:
ЦАВ = UA- UB; UBC = UB- Uc;
UCA — Uc — UA. (10.1)
Из равнобедренного треугольника
ANB имеем
UAB = 2UA cos NAB = 2UA cos 30°,
Рис. 10.7
или
1/л = |/31/ф. (10.2)
На рис. 10.8 приведены векторные
диаграммы напряжений и токов при
симметричном режиме и (р > 0 для схе-
мы рис. 10.5. Линейные токи опреде-
ляются как разности фазных токов:
Ia lab lea, 1в Ibc lab,
IC = lea ~ Ibc, (Ю.З)
причем
(Ю.4)
Активная мощность симметричного
трехфазного приемника
Р = ЗС/ф/фсо8(р. (10.5)
Принимая во внимание, что при
соединении ветвей приемника звездой
Щ = (7л/|/з и /ф = /л, а при соеди-
нении ветвей приемника треугольником
U^ = ил и /ф = /л/|/з, получим незави-
симо от вида соединения
Р = ]/з С/л/л cos (р. (10.6)
Следует помнить, что в этом вы-
ражении (р — сдвиг по фазе между фаз-
ным напряжением и фазным током.
Аналогично для реактивной и пол-
ной мощностей симметричного трехфаз-
ного приемника имеем
Q = 317ф7ф sin <р = ]/з UnI„ sin <р; (10.7)
S = ЗС/ф/ф = |/з ил1п. (10.8)
Определим суммарную мгновенную
мощность трехфазного приемника при
симметричном режиме. Запишем мгно-
173
венные значения фазных напряжений
и токов, приняв начальную фазу напря-
жения иА равной нулю:
иА= иф]/2 sin cot; iA = 7Ф j/2 sin (cot - ср);
и выражения для мгновенных значений
мощностей каждой фазы приемника:
Ра = uAiA = ^Ф7Ф cos ср -
- иф1ф cos (2cot - ср);
Рв = uBie = Уф!ф cos ср -
/ 4 \
— иф1ф cos I 2cot — — л - ср I;
Pc = udc = ^ф/ф cos ср -
( 4 \
- С7ф7ф cos I 2cot + ул - ср I.
При суммировании мгновенных зна-
чений мощностей отдельных фаз вто-
рые слагаемые в сумме дадут нуль.
Поэтому суммарная мгновенная мощ-
ность
Р = Ра + Рв + Рс = cos ср = Р
не зависит от времени и равна актив-
ной мощности.
Многофазные цепи, в которых мгно-
венное значение мощности постоянно,
называются уравновешенными.
Заметим, что в двухфазной симмет-
ричной цепи (рис. 10.9) с несимметрич-
ной системой ЭДС источника питания
(см. рис. 10.3,6) система токов также
несимметрична, однако цепь является
уравновешенной, так как сумма мгно-
венных значений мощностей в фазах
постоянна. Это можно показать тем же
путем, каким была показана уравнове-
шенность симметричной трехфазной це-
пи.
Постоянство мгновенных значений
мощности создает благоприятные усло-
вия для работы генераторов и двига-
телей с точки зрения их механической
нагрузки, так как отсутствуют пульса-
ции вращающего момента, наблюдаю-
щиеся у однофазных генераторов и дви-
гателей.
Рассматривая симметричные режимы
связанных трехфазных цепей, легко
показать преимущество последних в
экономическом отношении по сравне-
нию с несвязанными трехфазными си-
стемами цепей. У несвязанной трехфаз-
ной системы цепей шесть проводов с
токами 1Л = 1ф. Трехфазная цепь без
нейтрального провода, которая питает
те же самые приемники, соединенные
звездой, имеется только три провода
с теми же токами 1Л = 7Ф и линейными
напряжениями, в |/з раз большими ли-
нейных напряжений в несвязанной трех-
фазной системе цепей, для которой
ил = иф. В случае соединения приемни-
ков треугольником также получается
вдвое меньше проводов, чем в несвя-
занной трехфазной системе цепей (три
вместо шести), при этом токи в линей-
ных проводах больше фазных токов не
в 2 раза, а только в |/з раз. Это*
позволяет уменьшить затраты материа-
ла на провода.
10.4. Некоторые свойства трехфазных
цепей с различными схемами
соединений
В трехфазных цепях, питающих од-
нофазные приемники (электросвароч-
ные аппараты, однофазные двигатели,
электрические лампы и различные бы-
товые электроприборы), при изменении
174
Рис. 10.10
числа включенных приемников напряже-
ние на их зажимах не должно по воз-
можности изменяться. Это условие вы-
полняется как при соединении прием-
ников звездой с нейтральным прово-
дом, так и при соединении их треуголь-
ником.
На рис. 10.10 в качестве примера
приведены соответствующие схемы
включения электрических ламп. Если
принять, что напряжения на выводах
источника питания (А, В, С и N) под-
держиваются неизменными, и пренеб-
речь падением напряжения в проводах,
то в обеих схемах напряжения на лам-
пах не отличаются от напряжений на
выводах источника питания и неизмен-
ны независимо от числа и мощности
включенных в каждой группе ламп.
Если оборвать нейтральный провод в
схеме на рис. 10.10, а, то между нейт-
ральной точкой п приемника и нейт-
ральной точкой N источника питания
появится напряжение. Фазные напряже-
ния на лампах будут зависеть от со-
отношения их сопротивлений во всех
трех группах и будут изменяться при
изменениях числа ламп, включенных в
какой-либо группе. Поэтому соединение
групп ламп звездой без нейтрального
провода не применяется. При наличии
нейтрального провода в случае перего-
рания предохранителя в одном из про-
водов магистральной линии, например
в проводе А (рис. 10.10, а), гаснут лам-
пы, присоединенные только к этому
проводу, остальные лампы имеют нор-
мальный накал. В этом же случае в
схеме треугольника (рис. 10.10,6) под
нормальным напряжением останется
только одна группа ламп в ветви ВС.
Две другие ве!ви треугольника окажутся
соединенными последовательно, пита-
ются эти ветви по-прежнему от ма-
гистральных проводов В и С. Лампы
в этих ветвях треугольника будут иметь
неполный накал. Напряжения между
ветвями АВ и С А распределятся про-
порционально их сопротивлениям. Чем
больше включено ламп в одну из вет-
вей, например в АВ, тем ярче будут
светить лампы в другой ветви С А (уве-
личение числа включенных ламп умень-
шает сопротивление ветви).
Трехфазная цепь с нейтральным про-
водом обладает тем преимуществом,
что может питать приемники, рассчи-
танные для работы при различных
напряжениях. Приемники в такой цепи
можно включать между линейными про-
водами на линейное напряжение и меж-
ду линейными проводами и нейтраль-
ным проводом на фазное напряжение.
Низковольтные трехфазные цепи с нейт-
ральными проводами, обычно встречаю-
щиеся на практике, имеют напряжения
1/л = 380 В, 1/ф = 220 В или 1/л = 220 В,
1/ф = 127 В.
Пример 10.1. Источник питания и при-
емник, состоящий из трех одинаковых ре-
зисторов с сопротивлениями гА = гв — гс,
соединены по схеме звезда с нейтральным
проводом (рис. 10.11, а). Фазные напряжения
источника питания симметричны и не изме-
няются при переключениях рубильников и
175
Рис. 10.11
изменениях нагрузки, указанных в задании.
Дано: ил = 220 В и IA = IB = Ic = 1 А.
Требуется построить топографические диа-
граммы цепи и векторные диаграммы токов
для следующих режимов:
1. Симметричный режим (рубильники 1
и 3 замкнуты, рубильник 2 разомкнут).
2. Положение рубильников то же, что
и в п. 1, но резистор с сопротивлением гА
заменен конденсатором с равным гА емкост-
ным сопротивлением.
3. Рубильники 1 и 2 разомкнуты, а ру-
бильник 3 замкнут.
4. Все рубильники (7, 2 и 3) разомкнуты.
5. Рубильники 1 и 2 замкнуты, а ру-
бильник 3 разомкнут.
Решение. 1. Для симметричного ре-
жима цепи ее топографическая диаграмма
и векторная диаграмма токов показаны на
рис. 10.11,6 и в, фазные напряжения прием-
ника и источника питания одинаковы и
равны 220/]/з — 127 В. Векторы фазных токов
имеют одинаковые направления с вектора-
ми соответствующих фазных напряжений
(активная нагрузка). Ток в нейтральном про-
воде отсутствует.
2. При замене сопротивления гА равным
емкостным сопротивлением напряжения на
фазах приемника не изменяются. Токи и
/с остаются прежними, а у тока [А сохра-
няется прежнее действующее значение 1 А,
но он теперь опережает по фазе напряжение
U_An на угол п/2. Топографическая диаграм-
ма цепи для этого случая прежняя
(рис. 10.11,6), а векторная диаграмма токов
показана на рис. 10.11, г. Ток в нейтральном
проводе равен сумме фазных токов [ц =
— La + Lb + Lc, причем получается IN = j/2 А.
Заметим, что если дополнительно ра-
зомкнуть рубильник 3, то IN = 0, однако
при этом потенциалы точек N и п станут
различными, фазные напряжения U_An, UBn
и U_Cn не будут равны соответствующим
фазным напряжениям источника питания
LLan> Ubn и LLcni действующие значения
токов во всех фазах изменятся. Рассчитать
их для этого режима проще всего методом
узловых потенциалов, как указано дальше,
в § 10.6.
3. После размыкания рубильника 1 по-
тенциал точки а становится равным потен-
циалу точки п. Других изменений в топо-
графической диаграмме (рис. 10.11,6) не про-
исходит. Векторная диаграмма токов для
этого случая приведена на рис. 10.11,6. Из
нее находим = 1 А.
4. Если дополнительно разомкнуть ру-
бильник 3, то потенциалы точек и и N ста-
новятся различными. Резисторы в фазах В и
С получаются соединенными последователь-
но. На каждый из этих резисторов прихо-
дится половина линейного напряжения
На топографической диаграмме точки п и а
располагаются на середине отрезка ВС
(рис. 10.11,е).
Из топографической диаграммы нахо-
дим напряжения между нейтральными точ-
ками N, и и между разомкнутыми концами
фазы А :
UNn = Uan/2 = 63,5 В;
UAn = (3/2) UAN = 190,5 В.
176
Напряжения на резисторах гв и гс умень-
1Л./1/3 2
шаются в ------—= ——- раз, во столько же
и»/2 ]/з
раз уменьшаются токи в резисторах 1В =
= 1с — ]/з/2 А. Векторная диаграмма токов
для этого случая показана на рис. 10.11, ж.
5. При замкнутых рубильниках / и 2
и разомкнутом рубильнике 3 потенциалы
точек Л, а и п одинаковы (рис. 10.11,з).
Напряжения на резисторах гв и гс равны
линейным напряжениям: = Uba и LLcn —
— Ujca- Вследствие этого токи 1В и 1С в ]/ 3
раз больше, чем в симметричном режиме,
т. е. 1В = 1с — |А А. Ток [А находим из век-
торной диаграммы (рис. 10.12, и): 7д—
= ~(1_В + /с); /д = 3 А.
Пример 10.2. Три одинаковых резистора
соединены треугольником (рис. 10.12; а). Сим-
метричная система линейных напряжений
Uab - Uвс = Уса = 220 В не изменяется при
отключении рубильников 1 и 2 и изменении
нагрузки. При замкнутых рубильниках 1 и 2
линейные токи /л = 1 А.
Требуется построить топографические
диаграммы цепи и векторные диаграммы
токов для следующих режимов:
1. Симметричный режим (рубильник 1
и 2 замкнуты).
2. Рубильник 1 разомкнут, рубильник 2
замкнут.
3. Рубильник 2 разомкнут, рубильник 1
замкнут.
4. Рубильники 1 и 2 замкнуты, и резистр
в фазе Ьс заменен конденсатором с емкост-
ным сопротивлением, равным сопротивле-
нию резистора.
Решение. 1. Для симметричного ре-
жима топографическая диаграмма цепи и
векторная диаграмма токов показаны на
рис. 10.12, б и в. Токи в фазах приемника
в ]/з раз меньше линейных токов: 1аЬ =
= 1Ьс = Ica= 1 /|/з А. Векторы фазных токов
Lab, 1ьс и Lea совпадают по направлению с
векторами напряжений Uab, Ubc и Uса (актив-
ная нагрузка). Линейные токи определяются
как разности фазных токов: La = Lab ~ Lea',
Lb Lbc Zafe, Lc Lea Lbc’
2. При разомкнутом рубильнике 1 ток
Ibc = 0. Потенциал точки Ь' одинаков с по-
тенциалом точки с. Токи 1аЬ и 1са ос-
таются без изменения, поэтому прежнее
значение имеет и ток La = Lab — Lea- Токи I#
и Lc изменяются: Lb — ~ Lab и Lc = La-
Векторная диаграмма токов приведена
на рис. 10.12, г.
3. При разомкнутом рубильнике 2 и
замкнутом рубильнике 1 резисторы в ветвях
са и ab соединены последовательно. На
каждый цз этих резисторов приходится по-
ловина линейного напряжения Ubc. На то-
пографической диаграмме (рис. 10.12, д) точ-
ка а располагается на середине отрезка Ьс.
Напряжение между разомкнутыми концами
фазы Л, т. е. U Аа = Uддсоз 30° = 220 ]/з/2 =
= 190,5 В.
Напряжения на резисторах ветвей са и
ab по сравнению с симметричным режимом
уменьшаются в 2 раза. Во столько же раз
Рис. 10.12
177
уменьшают токи в этих ветвях: Ica — 1аЬ —
= 0,5 (1//5) = 0,289 А. Токи 1в и 1_с находим
по векторной диаграмме (рис. 10.12, е):
Lc — Lea — Lbc’i Lb = Lbc “ Labi IС = IВ = 0,866 A.
4. Топографическая диаграмма цепи та
же, что и в первом случае. Векторная
диаграмма токов приведена на рис. 10.2, ж.
Из нее находим 1А — 1 А; 1В = 21 bc cos 75° =
= 2 (1/]/3) 0,259 = 0,299 А; /с = 2/Mcos 15° =
= 2(1/|/3)0,966 = 1,15 А.
Пример 10.3. Определить, во сколько раз
изменятся линейные токи, если резисторы
предыдущего примера (рис. 10.12, а) соеди-
нить звездой и включить на* те же линейные
напряжения (звезда без нейтрального про-
вода).
Решение. В случае треугольника ре-
зисторы находились под линейным напряже-
нием ил и токи в них были 1Л/\^3. При
соединении звездой резисторы находятся под
напряжением 1/л/]/з, и, следовательно, токи
в них уменьшаются в ]/3 раз и станут рав-
ными /л/3, где 1Л — прежнее значение линей-
ного тока. В случае соединения звездой то-
ки в линии и фазах приемника одинаковы;
таким образом, линейные токи в схеме
соединения звездой в 3 раза меньше линей-
ных токов в схеме соединения треуголь-
ником.
10.5. Расчет симметричных режимов
трехфазных цепей
Для ознакомления с расчетами сим-
метричных режимов рассмотрим поря-
док расчета токов в симметричной цепи
рис. 10.13. Пусть напряжения на выво-
дах источника питания симметричны и
заданы и пусть известны сопротивления
всех элементов цепи 1, 2, 3 и 4. Для
выполнения расчета проще всего преоб-
разовать схему, заменив соединения тре-
угольниками источника питания и эле-
ментов 4 на соединении звездами. Со-
противления фаз симметричной звезды
в 3 раза меньше сопротивлений фаз
эквивалентного симметричного тре-
угольника (см. § 1.12). Фазные напряже-
ния эквивалентного источника питания,
соединенного звездой, в ]/з раз меньше
заданных линейных напряжений. Таким
образом, получается схема, показанная
на рис. 10.14.
Все нейтральные точки в симметрич-
ном режиме имеют одинаковый потен-
циал. Поэтому, не нарушая режима,
соединим их проводом без сопротив-
ления (показан штриховой линией). За-
тем удалим из схемы две фазы, напри-
мер В и С, и перейдем к схеме на
рис. 10.15. Это не изменит режима ос-
тавшейся фазы А.
Действительно, уравнения, состав-
ленные по законам Кирхгофа, для узла
А' и для контуров AA'r^N и А'п2п1А'
для схем, показанных на рис. 10.14 и
10.15, одинаковы, а следовательно, токи
и напряжения в фазе А обеих схем
также одинаковы. Токи в фазе А легко
рассчитываются по однофазной схеме
(рис. 10.15), например, методом ее даль-
нейшего преобразования — заменой па-
раллельного соединения ветвей А'п2 и
A'ni эквивалентным сопротивлением. То-
ки в фазах В и С по модулю такие же,
что и в фазе А. Токи в ветвях тре-
угольника 4 в ]/з раз меньше токов в
элементах 3 (в каждом из элементов
любой из групп ток сдвинут по фазе
по отношению к токам в других элемен-
тах той же группы на равные углы
± 120°).
Для расчета симметричных режимов
в сложных разветвленных трехфазных
Рис. 10.14
178
Рис. 10.15
цепях широко применяют моделирование
соответствующих однофазных схем.
10.6. Расчет несимметричных режимов
трехфазных цепей со статической
нагрузкой
При расчете симметричных режимов
трехфазных цепей двигатели можно за-
менять эквивалентными схемами, со-
стоящими из трех одинаковых сопротив-
лений, соединенных звездой или тре-
угольником. Падения напряжения в фа-
зах генератора, если это необходимо,
могут учитываться как напряжения на
трех одинаковых сопротивлениях.
Такие простые эквивалентные схемы
для двигателей и такой простой учет
падений напряжения в генераторах ока-
зываются непригодными для расчета
несимметричных режимов. Анализ про-
цессов в трехфазных электрических ма-
шинах (двигателях и генераторах) при
несимметричных режимах показывает,
что для них справедливы более слож-
ные эквивалентные схемы, не удовлетво-
ряющие принципу взаимности. В настоя-
щее время для расчета несимметричных
режимов в трехфазных цепях с трехфаз-
ными двигателями почти исключитель-
но пользуются специальным методом
расчета — методом симметричных со-
ставляющих, который рассмотрен в сле-
дующей главе.
В этом параграфе ограничимся ис-
следованием несимметричных режимов
цепей при следующих двух условиях:
1) имеется только статическая на-
грузка (нет электродвигателей);
2) падения напряжения в фазах гене-
ратора не учитываются.
При двух указанных ограничениях
расчеты несимметричных режимов трех-
фазных цепей не содержат ничего прин-
ципиально нового и могут выполняться
любыми методами, известными из пре-
дыдущих глав. Последующее содержа-
ние параграфа иллюстрирует это поло-
жение на ряде частных примеров.
Пусть заданы несимметричные фаз-
ные напряжения Ua, У_в и U_c на выво-
дах несимметричного приемника
(рис. 10.16). Определим токи. Заданные
напряжения можно всегда приписать
источникам ЭДС (показаны штриховой
линией) Еа = = Ив и Ёс = U_c-
В схеме два узла, поэтому целесооб-
разно применить для расчета метод
узловых потенциалов.
Обозначив напряжение между нейт-
ральными точками приемника и источ-
ника питания через 1^, найдем сме-
щение нейтрали
XaLLa + ХвИв + XcLLc
Ха + Хв + Хс + Xn
(10.9)
где Ya, Yb, Y& Xn ~ проводимости вет-
вей, и токи
L< = Xa(Ua-Uj,n);
Ь = Хв(Цв-и^);
Lc = Xc(LLc-LLn);
(10.10)
Ln = XnILin = La + Lb + Zc-
В предельном случае при YN = оо,
т. е. ZN = 0, имеем = 0 и, следова-
тельно, напряжения на фазах приемника
равны фазным .напряжениям источника
питания. При этом условии ток в каж-
дой фазе может быть вычислен по
закону Ома независимо от токов осталь-
ных фаз.
При отсутствии нейтрального прово-
да расчет можно вести в таком же
179
порядке. Изменится лишь выражение
для напряжения UjjN, поскольку YN = О,
а именно
LJ nN
XaLLa + XbUj; + XcUc
Ха + Хв + Хс
(10.11)
Однако обычно при отсутствии нейт-
рального провода бывают заданы не
фазные, а линейные напряжения на вы-
водах цепи. Сумма линейных напряже-
ний равна нулю как сумма напряжений
вдоль замкнутого контура, соединяю-
щего выводы Л, В и С:
LLab + LLbc + LLca =? 0.
Учитывая эту связь, достаточно за-
дать два линейных напряжения. Можно,
например, их задать двумя источниками
напряжения (рис. 10.17) с ЭДС ER =
— Uba к Ес = LLca- Так как в схеме
рис. 10.17 потенциалы точек N и А оди-
наковы, то
_ XbLLba + XcLLca
= Ха+Хв + Хс ;
(10.12)
La= -XaLLn^
1я = Хв(Ел- UnN) = Хв(йвА - L^n);
Lc = Хс(Ес - и^ы) = Yc(Uca - =
= -La-L
Рассмотрим простейшую схему с не-
симметричным приемником, соединен-
ным треугольником (рис. 10.18). Если
известны линейные напряжения между
выводами Л', В', С', к которым при-
соединены фазы приемника, то задача
определения токов элементарно проста.
Ток в каждой ветви треугольника оп-
ределяется по закону Ома, а затем
находятся токи в проводах питающей
линии.
Однако обычно бывают известны
напряжения не на выводах приемника,
Рис. 10.17
Рис. 10.18
а на выводах Л, В, С источника пита-
ния, поэтому расчет несколько услож-
няется. Проще всего его провести, за-
менив треугольник сопротивлений экви-
валентной звездой. В результате полу-
чается схема на рис. 10.17, и токи в ней
рассчитываются, как указано выше. По
найденным токам определяются напря-
жения на выводах треугольника в исход-
ной схеме (рис. 10.18) и затем токи
в ветвях треугольника.
К преобразованию схемы следует
прибегать и в случае цепи с несколь-
кими приемниками, имеющими различ-
ные схемы соединений. Так, например,
при расчете токов в цепи, представ-
ленной на рис. 10.19, звезду 2 следует
преобразовать в эквивалентный тре-
угольник, ветви которого будут парал-
лельны ветвям треугольника 3. После
замены каждой пары параллельных вет-
вей треугольников одной ветвью полу-
чается рассмотренная выше схема
(рис. 10.18).
Заметим, что преобразование тре-
угольника 3 в звезду не дало бы воз-
можности продолжить упрощение схе-
мы. Потенциалы нейтральных точек по-
лучившейся звезды и звезды 2 в общем
случае различны, и нейтральные точки
этих звезд нельзя соединять друг с дру-
гом.
Если элементы цепи индуктивно свя-
заны друг с другом, то расчет может
180
быть выполнен, например, путем реше-
ния уравнений Кирхгофа, составленных
для токов в ветвях или же для контур-
ных токов. В ряде случаев целесооб-
разно исключить индуктивные связи,
перейдя к эквивалентным схемам (см.
§ 6.6).
10.7. Напряжения на фазах приемника
в некоторых частных случаях
Пусть приемник соединен звездой
(см. рис. 10.17). Проводимости фаз
Ха = l/(zA ZL Фл) = уА ZL - Фл; Хв =
— Ув ~ фв > Хс — Ус ~ Фо-
Фазные напряжения при заданных
линейных напряжениях определяются на
топографической диаграмме положени-
ем нейтральной точки и, для определе-
ния положения которой обратимся к вы-
ражению (10.12).
Рассмотрим некоторые частные слу-
чаи.
Симметричный приемник при несим-
метричных линейных напряжениях. При
Ул = Хв = Хс вектор напряжения
_ XbUja + XcLLcА _ Ола + иСА
~"А ~ Уа+Ув + Хс 3
равен одной трети диагонали параллело-
грамма (рис. 10.20). Отсюда следует, что
нейтральной точке п на топографиче-
ской диаграмме соответствует центр тя-
жести треугольника линейных напряже-
ний.
Приемник с однородными сопротив-
лениями фаз (фл = Фв = Фс), одно из
которых изменяется. При проводимости
Ул, изменяющейся от 0 до оо, получим
U/1A — (vbLLba + УсИса)/(Уа + У в + Ус)-
В этом выражении все величины
постоянны, кроме уА. При изменении уА
аргумент UjjA остается неизменным; сле-
довательно, направление вектора LXa
сохраняется, а длина его изменяется.
Конец вектора UjiA описывает прямую
линию (получается линейная диаграмма).
Для построения этой прямой достаточ-
но найти любые две точки, через ко-
торые она проходит. При уА = оо (zA =
= 0) имеем С^л = 0 и точка п совпадает
на топографической диаграмме с точкой
А (рис. 10.21). При ул = 0 (zA = оо) по-
лучим 1А = 0; 1В = — 1с- Поэтому
LLfrilLLcn — ZbLb/ZlcLc = ~zb/zC, т- е- Овп
И LLcn отличаются по фазе на 180°;
следовательно, точка и находится на
отрезке, соединяющем точки В и С. Ее
положение на этом отрезке определяется
отношением zB/zc (на рис. 10.21 поло-
жение точки п при ул = 0 показано для
случая zB/zc = 2). Прямая, соединяющая
точки А и и (уА = 0), — это годограф,
описываемый точкой и при изменении
уА от оо до 0.
Приемник с неоднородными сопротив-
лениями фаз, одно из которых изменя-
ется. Пусть YB = Хс = в, Ха = jbc, при-
чем Ьс изменяется от 0 до оо. Напря-
жение
и_пА = (дОвА + gU_cA)/(ig + jbc) —
= LbA^+jbM,
где Орл = (Ола + С/сл)/2-
Выражение для U_nA совпадает по
своей структуре с выражением
М =? Мо/[1 + (п/а) z. ф],
Рис. 10.20 Рис. 10.21
181
Л(АС=«>)
Рис. 10.22
которое рассматривалось в § 9.1. Там
было показано, что при изменении п
конец вектора М описывает дугу окруж-
ности. Следовательно, годографом по-
тенциала точки п при изменении Ьс бу-
дет круговая диаграмма. Выполним ее
построение при симметричных линей-
ных напряжениях.
На топографической диаграмме
(рис. 10.22) эти напряжения представле-
ны равносторонним треугольником АВС.
Отложим хорду диаграммы ЦПА. Нача-
лом круговой диаграммы является точ-
ка А, она соответствует Ьс = оо, при
этом вектор UjtA обращается в нуль.
Конец хорды находится в точке D. Хор-
да AD соответствует вектору и^А при
значении переменного параметра Ьс = 0
аналогично тому, как вектор Мо пред-
ставляет собой М при п = 0. Выбрав
масштаб для проводимостей ту, отло-
жим от начала хорды (точка А) по
направлению к ее концу (точка D) от-
резок AF, равный 2д, и затем из точки
F под углом — ф = — 90° к хорде AD
проведем линию изменяющегося па-
раметра FL Перпендикуляр, опущен-
ный из начала диаграммы (из точки А)
на линию изменяющегося параметра,
совпадает с хордой и пересекается с
перпендикуляром, восстановленным к се-
редине хорды, в середине хорды. Таким
образом, центр круговой диаграммы на-
ходится в середине хорды, которая в
данном случае является диаметром. На
топографической диаграмме показано
положение точки п в частном случае
при Ьс = д.
182
Напряжения UBn и Ucn на одинако-
вых резистивных элементах в фазах В
и С получаются неодинаковыми. Если
в качестве этих элементов взять лампы,
то лампа в фазе В будет светить ярче,
чем в фазе С. Поэтому две лампы и
конденсатор, включенные по схеме
рис. 10.23, а, применяют как указатель
последовательности фаз. Напряжение на
лампе, которая светит ярко, опережает
по фазе напряжение на лампе, которая
светит тускло.
Можно вместо конденсатора вклю-
чить катушку (рис. 10.23, б). Накал ламп
будет также неодинаковым. Однако в
этом случае больший накал наблюдается
у лампы, на которой напряжение отста-
ет по фазе от напряжения на лампе,
светящейся тускло. Показать это можно,
заменив в фазе А (см. рис. 10.17) пере-
менный емкостный элемент переменным
индуктивным. Г одографом потенциала
точки п будет дуга окружности, пока-
занная на диаграмме (см. рис. 10.22)
штриховой линией.
10.8. Эквивалентные схемы
трехфазных линий
Чтобы упростить задачу составления
эквивалентной схемы линии, рассмотрим
отдельно различные стороны электро-
магнитного процесса. Сначала обратим
внимание только на магнитное поле,
а поле электрическое и преобразование
электромагнитной энергии в тепло учи-
тывать не будем (примем активные
сопротивления всех участков линии рав-
ными нулю).
На рис. 10.24 представлен попереч-
ный разрез трехфазной линии. Роль
нейтрального провода выполняет земля.
40 'wr>------------О А'
go OB'
L(p
С СУ rwr\----------QC'
Ток в земле обычно учитывают токами
в трех фиктивных проводах, оси кото-
рых находятся на расстоянии D3 от осей
проводов линии. Это расстояние называ-
ют эквивалентной глубиной протекания
обратного тока. Оно зависит от часто-
ты переменного тока и от удельной
проводимости грунта. В качестве сред-
него значения при частоте f = 50 Гц
принимают D3 = 1000 м.
При таком учете тока в земле по-
лучаются три петли, каждая из которых
состоит из реального и из фиктивного
проводов. Индуктивности петель про-
вод — земля одинаковы: LA = LB = Lc =
= L, а взаимные индуктивности петель
МАВ, Мвс И Мса различны. Для того
чтобы линии были симметричными эле-
ментами трехфазной цепи и не обуслов-
ливали несимметричного режима, их
выполняют с круговой перестановкой
или с так называемой транспозицией
проводов. Вся длина линии делится на
кратные трем равные части (на рис. 10.25
длина линии разделена на три части).
Каждый провод на трех участках зани-
мает три различных возможных поло-
жения, и, таким образом, все провода
находятся в одинаковых условиях, при
этом МАВ — Мвс = Мса — М.
Чтобы установить, как в эквивалент-
ной схеме линии следует учитывать
индуктивности L и взаимные индуктив-
ности М, рассмотрим связь между то-
ками и напряжениями в линии, когда
все провода на одном конце линии
М
Л/О
Рис. 10.26
линии между проводами и землей вклю-
чены три источника напряжения U_a,
Ub и Uc.
По второму закону Кирхгофа
СТл = jaLLi + jaMIji + ja)M[c.
Ток в земле Ln = La + Lb + Lc, отку-
да Lb + Lc — Ln — La-
Подставив последнее соотношение
в выражение для Ц_а, получим
(Ул =j(dLLA - La) ~
= jco (L - M) La +
Аналогично
Ub = j®(L-M)Lb +
Uc = Joo (L — M) Lc “Ь
Из этих уравнений видно, что для
учета магнитного поля рассматриваемой
симметричной линии справедлива схема,
показанная на рис. 10.26, в которой
Ьф = L — М называется индуктив-
ностью фазы симметричной
трехфазной линии.
Рассмотрим теперь электрическое
поле линии. С электрическим полем
линии связаны заряды на поверхностях
проводов линии и на поверхности зем-
ли. Для их учета вводят между всеми
проводами и землей частичные емкости,
показанные на рис. 10.27 штриховой
линией. Частичные емкости зависят от
замкнуты на землю, а на другом конце
размеров проводов, их расположения
183
I • I ££ I 33
Рис. 10.27
относительно друг друга и относитель-
но земли. Для линии с транспозицией
проводов Си = С22 — £33 = £о» £12 =
= £23 = £31 = £т-
Таким образом, для учета электри-
ческого поля справедлива эквивалент-
ная схема, приведенная на рис. 10.28.
Составим теперь общую эквивалент-
ную схему, учитывающую магнитное и
электрическое поле, а также активное
сопротивление линии.
Для любого сколь угодно малого
участка линии на схеме нужно ввести
частичные емкости, индуктивности, вза-
имные индуктивности и сопротивления,
а также учесть проводимость изоляции.
В результате получится схема с беско-
нечно большим числом элементов. Объ-
Ьф
ясняется это тем, что параметры линии
распределены вдоль всей ее длины.
Линия как цепь с распределенными
параметрами рассматривается в гл. 20.
Для практических расчетов при частоте
тока 50 Гц, длине воздушной линии,
не превышающей 300 км, а кабельной
линии 50 км, вполне пригодны упро-
щенные расчетные схемы, в которых
частичные емкости предполагаются со-
средоточенными либо в середине линии,
либо разделенными поровну между ее
концами. Проводимостью изоляции
обычно пренебрегают.
На рис. 10.29 представлена полная
эквивалентная схема симметричной ли-
нии с учетом частичных емкостей линии
на ее концах. В этой схеме соединения
треугольниками частичных емкостей
между проводами Ст/2 преобразованы
в соединения звездами с емкостями в
лучах ЗСш/2, г — активное сопротивле-
ние провода, г3 — активное сопротивле-
ние земли.
Для симметричных' режимов можно
пользоваться эквивалентной схемой
для одной фазы (рис. 10.30). Если счи-
тать все частичные емкости сосредото-
ченными в середине линии, то для сим-
метричного режима получается схема,
показанная на рис. 10.31. В этих схемах
в проводах NN' элементы г3 и М от-
сутствуют, так как в симметричном
режиме тока в земле нет. Емкость
£ф = £0 + 3CW называется емкостью
фазы линии.
В воздушных линиях электропере-
дачи с напряжением ниже 35 кВ влия-
ние емкостей линии на режим цепи
невелико, и их обычно не учитыва-
ют. В некоторых типах линий низкого
г
184
Рис. 10.30
Рис. 10.31
напряжения можно ограничиться учетом
только активного сопротивления про-
водов.
10.9. Измерение мощности
в трехфазных цепях
Выясним, сколько ваттметров нужно
включить для измерения активной мощ-
ности в трехфазной цепи при любом
несимметричном режиме.
На рис. 10.32 прямоугольником ус-
ловно показана сколь угодно сложная
цепь, питаемая трехфазной линией с
нейтральным проводом. Фазные напря-
жения на входе линии с нейтральным
проводом всегда можно приписать трем
источникам напряжения (показаны штри-
ховой линией). Из этого следует, что
для измерения активной мощности в
трехфазной линии с нейтральным про-
водом нужно включить три ваттметра,
как. показано на рис. 10.32 (ваттметры
измеряют активные мощности источни-
ков напряжения).
Рис. 10.33
В цепи без нейтрального провода
(рис. 10.33) линейные напряжения на
входных выводах всегда можно рассмат-
ривать получающимися от двух источ-
ников напряжения, например, включен-
ных так, как показано штриховой ли-
нией на рис. 10.33. Следовательно, ак-
тивная мощность передачи энергии по
линии без нейтрального провода может
быть измерена двумя ваттметрами. Сле-
дует иметь в виду, что возможны та-
кие режимы работы цепи, при которых
стрелка того или иного ваттметра от-
клоняется в обратную сторону, несмотря
на правильное включение ваттметра в
цепь. Тогда, чтобы сделать отсчет по
шкале, нужно изменить подключение
обмотки напряжения или обмотки тока
соответствующего ваттметра на проти-
воположное. Измеренную после этого
мощность следует считать отрицатель-
ной. Пример подобного случая приво-
дится ниже.
Выясним зависимость мощности, из-
меряемой каждым из ваттметров в схе-
ме рис. 10.33, от сдвига фаз между
напряжениями и токами в частном слу-
чае симметричного режима. На рис. 10.34
показана векторная диаграмма токов
и напряжений. Линии, соединяющие
центр тяжести треугольника напряже-
ний с его вершинами, можно рассматри-
вать как фазные напряжения эквива-
лентного приемника, соединенного звез-
дой.
На основании схемы включения од-
ноименных выводов ваттметров и руко-
водствуясь векторной диаграммой, мож-
но записать
Р1 = UacIa cos LI асу Ia =
= ил1л cos (30° - ф);
Pi = Uвс!в cos Uвс, [в —
= ил1л cos (30° + ф);
185
Рис. 10.35
Pi 4- р2 = ил1л • 2 cos 30° • cos ф =
= |/з ил1л cos ф.
Как следует из этих выражений,
показания ваттметров одинаковы толь-
ко при ф = 0. При ф = 60° получаем
Р2 = 0, а при ф = —60° имеем Pi — 0.
При ф > 60° имеем Р2 < 0, а при ф <
< —60° получаем Р{ < 0. При ф = ±90°
имеем Р2 = -РР Таким образом, при
| Ф | > 60° стрелка одного из ваттметров
отклоняется в обратную сторону.
10.10. Вращающееся магнитное поле
Одним из основных преимуществ
многофазных токов является возмож-
ность получения вращающихся магнит-
ных полей, лежащих в основе принци-
па действия наиболее распространенных
типов двигателей переменного тока.
Вращающееся магнитное поле было по-
лучено физиком Г. Феррарисом в 1884 г.,
однако он пришел к ошибочному заклю-
чению о невыгодности его применения
для создания электродвигателей.
186
В 1887—1888 гг. инженер-физик
Н. Тесла сконструировал двухфазный
асинхронный двигатель (наименование
«асинхронный» будет пояснено в сле-
дующем параграфе), а в 1889 г. М. О. До-
ливо-Добровольский изобрел и построил
трехфазный асинхронный двигатель.
Н. Тесла в последующие годы вел ра-
боты по внедрению двухфазных двига-
телей, генераторов и электропередач
в США. Одновременно М. О. Доливо-
Добровольский разрабатывал все звенья
трехфазной системы и внедрял ее в
Европе. Подлинным триумфом трехфаз-
ной системы токов явилась установка
по передаче энергии на расстояние 175 км
от Лауфенского водопада до Франкфур-
та-на-Майне, осуществленная М. О. До-
ливо-Добровольским в 1891 г. Преиму-
щества трехфазной системы были не-
сомненны, и она быстро получила общее
признание и повсеместное применение.
Ознакомимся на простейшем при-
мере с получением вращающегося маг-
нитного поля посредством трехфазной
системы токов.
Расположим три одинаковые катуш-
ки 7, 2 и 3 под углом 120° относитель-
но друг друга. На рис. 10.35, а они по-
казаны в поперечном разрезе. Подклю-
чим катушки 7, 2 и 3 соответственно
к фазам А, В и С источника питания
таким образом, чтобы токи были сим-
метричны (рис. 10.35,6) при показанных
на рис. 10.35, а положительных направле-
ниях токов. Рассмотрим схематические
картины магнитного поля для различ-
ных следующих друг за другом момен-
тов времени. Пусть первый из рассмат-
риваемых моментов времени соответ-
ствует совпадению линии времени с
вектором h, при этом ц > 0, i2 < 0 и
i3 < 0. Направления токов в катушках
и схематическая картина магнитного по-
ля показаны на рис. 10.36, а, где штри-
ховой линией изображены две магнит-
ные линии. Для момента времени, соот-
ветствующего положению линии време-
ни, отмеченному цифрой 2, > 0, i2 =
= 0 и i3 < 0. Направления токов в ка-
тушках и схематическая картина поля
даны на рис. 10.36, б. Далее на
рис. 10.36, в и г показаны направления
токов и схематические картины поля для
Рис. 10.36
моментов времени, соответствующих по-
ложениям 3 и 4 линии времени. Со-
поставление схематических картин маг-
нитного поля, приведенных для различ-
ных следующих друг за другом момен-
тов времени, наглядно показывает вра-
щение магнитного поля. Продолжив ана-
лиз, можно убедиться, что в течение
одного периода переменного тока маг-
нитное поле таких катушек совершает
один полный оборот.
Направление вращения магнитного
поля зависит исключительно от после-
довательности фаз токов в катушках.
Если сохранить подключение катушки 1
к фазе А источника питания, катушку 2
подключить к фазе С, а катушку 3 —
к фазе В, то направление вращения поля
изменится на противоположное. В этом
можно убедиться, построив схематиче-
ские картины магнитного поля для раз-
личных моментов времени аналогично
тому, как это было показано выше.
Движущиеся в пространстве магнит-
ные поля, частным случаем которых
является рассмотренный пример, широ-
ко применяются в различных областях
электротехники. Для получения движу-
щегося магнитного поля нужно иметь
минимум две пространственно смещен-
ные обмотки с несовпадающими по
фазе токами.
10.11. Принципы действия
асинхронного и синхронного
двигателей
Поместим между неподвижными ка-
тушками (рис. 10.37) в области вращаю-
щегося магнитного поля укрепленный
на оси подвижный металлический ба-
рабан. Если магнитное поле вращается
по направлению движения часовой стрел-
ки, то барабан относительно поля вра-
щается в обратном направлении. Приняв
это во внимание, по правилу правой
руки найдем направление наведенных
в барабане токов (на рис. 10.37 указаны
крестиками и точками). Затем, применив
правило левой руки, убедимся, что взаи-
модействие этих токов с магнитным
полем дает силы, приводящие в движе-
ние барабан в том же направлении,
в каком вращается магнитное поле.
Частота вращения барабана меньше
частоты вращения магнитного поля от-
носительно катушек, так как при одина-
ковых угловых скоростях прекратилось
бы наведение токов в барабане и, сле-
довательно, не было бы сил, создающих
вращающий момент.
Рассмотренное простейшее устрой-
ство поясняет принцип действия трех-
фазных асинхронных двигате-
лей. Слово «асинхронный» заимство-
вано из греческого языка и означает
неодновременный. Этим словом подчер-
кивается различие в частотах вращения
поля и ротора — подвижной части дви-
гателя.
Поместим между неподвижными ка-
тушками (рис. 10.38) в область вращаю-
Рис. 10.37
187
Рис. 10.38
щегося магнитного поля укрепленный
на оси подвижный электромагнит, пи-
таемый постоянным током. На электро-
магнит действует вращающий момент,
направление которого изменяется 2 раза
за каждый оборот магнитного поля.
Вследствие периодического изменения
направления вращающегося момента и
инерции подвижной системы электро-
магнит остается неподвижным. Однако
если его привести во вращение посред-
ством какого-либо приспособления с уг-
ловой скоростью, близкой к угловой
скорости вращающегося поля, то он бу-
дет продолжать вращаться и достигнет
частоты вращения, одинаковой с часто-
той вращения поля.
Рассмотренное устройство поясняет
принцип действия трехфазных син-
хронных двигателей. Греческое
слово «синхронный» означает одновре-
менный. Этим словом подчеркивается
одинаковая частота вращения поля и
ротора.
В электрических машинах для вра-
щающегося магнитного поля создается
магнитная цепь. Статор — неподвижная
часть машины, выполняется в виде по-
лого цилиндра, собранного из отдельных
изолированных друг от друга стальных
листов. Ротор — подвижная часть маши-
ны — в асинхронных двигателях выпол-
няется в виде стального цилиндра,
обычно также собранного из стальных
листов с обмоткой, размещенной в па-
зах на его поверхности.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ
11.1. Симметричные составляющие
трехфазной системы величин
Для анализа и расчетов несиммет-
ричных режимов в трехфазных цепях
широко применяется метод сим-
метричных составляющих. Он
основан на представлении любой трех-
фазной несимметричной системы вели-
чин (токов, напряжений, магнитных по-
токов) в виде суммы в общем случае
трех симметричных систем величин. Эти
симметричные системы, которые в сово-
купности образуют несимметричную си-
стему величин, называются ее с и м-
метричными составляющими.
Симметричные составляющие отлича-
ются друг от друга порядком следо-
вания фаз, т. е. порядком, в котором
фазные величины проходят через мак-
симум, и называются системами пря-
мой, обратной и нулевой по-
следовательностей.
Обозначим трехфазную систему ве-
личин (токов, напряжений, магнитных
потоков) для общности буквами А, В
и С. Величины, относящиеся к системам
прямой, обратной и нулевой последова-
тельностей, отметим соответственно ин-
дексами 1, 2 и 0. На рис. 11.1 показан
пример векторных диаграмм симмет-
ричных составляющих всех трех после-
довательностей.
Система прямой последовательности
имеет порядок следования фаз А, В, С.
Система обратной последовательности
имеет порядок следования фаз А, С, В.
Система нулевой последовательности
состоит из трех одинаковых величин,
188
совпадающих по фазе. Для этих трех
систем можно записать
Bj = А^-'2*13; С2 = A1e+j2"/3; ^ll.l)
В, = A2e+j2"/3; С2 = A2e_J2,t/3; О'1.2)
Ao = Во = Со. ,(Ц.З)
Комплексное число е>2*13 называется
фазным множителем и сокра-
щенно обозначается буквой а:
а = &2п/3 = е“Лл/3 =
= cos (2я/3) + j sin (2я/3) = -1/2 -F j |/з/2.
(11.4)
Умножение вектора на а соответ-
ствует повороту его против направле-
ния движения часовой стрелки (вперед)
на 120° или повороту по направлению
движения часовой стрелки (назад) на
240°:
^2 _ gj2n/3gj.2n/3 _ gj‘4n/3 _ Q~j2n/3 _
= —1/2 — j |/з/2. (11.5)
Умножение вектора на а2 соответ-
ствует повороту его вперед на 240° или
повороту-назад на 120°.
При помощи фазного множителя
выражения (11.1) й (11.2) можно записать
так:
Вл =a2Al; Ci = аА^ (11.6)
В2 = аА2; С2 = а2А2. (1L7)
Кроме того,
аз = е/2Я=1 (П8)
Пользуясь соотношением (11.8), мож-
но исключать из формул множитель а
в степени выше второй:
4 3 5 3 2 2
а = а а = а; а — а а = а и т. д.
Как следует из (11.4) и (11.5), 1, а
и а2 образуют симметричную систему
единичных векторов (рис. 11.2). Их сум-
ма
1+а + а2 = 0. (11.9)
Докажем теперь, что любую несим-
метричную систему векторов А, В и С
можно разложить на симметричные
системы прямой, обратной и нулевой
последовательностей. Если это имеет
место, то
л = Л1 + д2 + 4о; (И.Ю)
В = В, 4Г1В24-В0; (11.11)
С = Ci + С2 + Со. (11.12)
Выразим р этих предполагаемых ра-
венствах все векторы симметричных си-
стем через векторы Л2 и Ло, поль-
зуясь соотношениями (11.3), (11.6) и (11.7):
А = Л1 + А2 + Ло; (ПЛЗ)
В = а2А1 + аА2 +Ао; (11.14)
С = aAi + а2А2 + Ао. (11.15)
Получены три уравнения, из кото-
рых однозначно можно определить век-
торы Л1? Л 2 и Л о, что и доказывает
возможность разложения заданной не-
симметричной системы векторов Л, В
и «С* на три симметричные системы,
"УПосле сложения уравнений (11.13) —
(11.15) получим
Л 4~ В 4~ С = (1 4- а2 4- а) Л1 4-
4- (1 4- а 4- а2) Л2 4- ЗЛо,
откуда с учетом (11.9) найдем, что
4о = у(4+В + С). (11.16)
Умножая (ПЛ4) на а и (11.15) на а2
и затем складывая уравнения (11.13)—
(11.15), находим, что
41 = у(А + «В + а2С). (11.17)
Умножая (14.14) на а2 и (11.15) на а
и затем складывая уравнения (11.13) —
(11.15), получаем
А2=у(А + а2В+аС). (11.18)
11.2 . Некоторые свойства трехфазных
цепей в отношении симметричных
составляющих токов и напряжений
В нейтральном проводе ток равен
сумме линейных токов и, следователь-
но, тройному значению составляющей
тока нулевой последовательности [см.
(11.16)].
Сумма линейных напряжений равна
нулю, поэтому линейные напряжения
не содержат составляющих нулевой
последовательности.
Симметричные составляющие пря-
мой и обратной последовательностей
фазных напряжений приемника, соеди-
ненного звездой, однозначно связаны
с соответствующими симметричными
составляющими подведенных к нему
линейных напряжений. Отсюда следует,
что фазные напряжения различных при-
емников, соединенных звездой, при од-
них и тех же линейных напряжениях
имеют одинаковые симметричные со-
ставляющие прямой и обратной после-
довательностей и могут отличаться
друг от друга только за счет сим-
метричных составляющих нулевой по-
следовательности.
Если при несимметричном режиме
ток в одной или двух фазах цепи от-
сутствует, сумма симметричных состав-
ляющих токов в этих фазах равна нулю.
Поясним сказанное примерами.
В схеме, показанной на рис. 11.3,
фазы В и С разомкнуты, = /с = 0.
Применяя (И. 16)-(11.18), получаем
£41=4(Ь + а-0 + а2-°) = уЬ;
1л2 = у(1л + а20 + а0) = у1А-,
Ьо = 4(Ь< + О + О) = у14.
На рис. 11.4 изображен вектор тока
£4 и построены векторные диаграммы
190
Рис. 11.4
для систем симметричных составляю-
щих токов всех трех фаз. Там же про-
ведено геометрическое суммирование
векторов симметричных составляющих
токов, показывающее, что £41 +£42 +
+ Lao — La j Lbi + + 1во = 0; Ici + Lei +
+ Leo — 0.
В схеме рис. 11.5 токи £4 = 0;
1в = ~Lc- По формулам (11.16)—(11.18)
получим
Lao — 0;
1 /—
Lai = у (а1в + a2Lc) = -у(а - a2) =JLe/j/3;
о
Iai
Рис. 11.6
1 Lb
LA2 = -y (a2 Lb + aLc) — ~з"(а2 ~ а) =
= -Jb/l/з.
На рис. 11.6 показаны векторная
диаграмма токов и 1С и векторные
диаграммы симметричных составляю-
щих токов всех трех фаз. Геометриче-
ское суммирование векторов показыва-
ет, что /л = /л 1 + Iai = 0; [в — 1в\ + 1в2',
Lc — Lc\ + Lc2-
Симметричные составляющие токов
и напряжений могут быть не только
вычислены, но и измерены при помощи
специальных электрических измеритель-
ных схем, называемых фильтрами сим-
метричных составляющих токов и на-
пряжений. Эти фильтры получили ши-
рокое применение в релейной защите
электроэнергетических цепей.
11.3 . Сопротивления симметричной
трехфазной цепи для токов различных
последовательностей
Если к выводам симметричной трех-
фазной цепи приложена симметричная
система напряжений прямой, обратной
или нулевой последовательностей, то
в цепи возникает симметричная система
токов соответственно той же самой
последовательности, какую имеют при-
ложенные напряжения. Отношения при-
ложенных комплексных фазных напря-
жений прямой, обратной и нулевой
последовательностей к соответствую-
щим комплексным фазным токам назы-
вают соответственно комплексными со-
противлениями цепи прямой (ZJ, обрат-
ной (Z2) и нулевой (Zo) последователь-
ностей.
В любых симметричных трехфазных
статических цепях (цепях, не содержа-
щих вращающихся машин) изменение
порядка следования фаз приложенных
симметричных напряжений с прямого
на обратный не изменяет значения то-
ков (изменяется только их последова-
тельность с прямой на обратную). По-
этому для таких цепей сопротивления
прямой и обратной последовательностей
одинаковы (Zt = Z2).
Рассмотрим, например, трехфазную
симметричную цепь (рис. 11.7), в кото-
рой Z^ = ZB = Zc = Z. Очевидно, что
для этой цепи Zx = Z2 = Z.
Определим для нее Zo.
Пусть к выводам цепи приложена
симметричная система фазных напряже-
ний нулевой последовательности =
= Ц_в = Ц_с = Ujh ПРИ этом система то-
ков также симметрична и имеет нуле-
вую последовательность /4 = = Zc =
= 70. Ток в нейтральном проводе Tjy =
= я0.
Составим для контура AnNA уравне-
ние
Ел = ZaLa + ZaLv
и, подставив = U_Q; = 70; = 310
191
/У О * NO
Рис. 11.8 Рис. 11.9
и = Z, получим Ц_о = (Z + 3ZN) /0,
откуда
Zo = C/o/Io = Z + 3Zj4.
При отсутствии нейтрального про-
вода токи нулевой последовательности
протекать не могут: Zo = оо и /0 = 0.
При расчетах цепей методом сим-
метричных составляющих рассматрива-
ют отдельно схемы для токов и напря-
жений различных последовательностей.
Сопротивление в нейтральном проводе
не оказывает влияния на симметричные
системы токов прямой и обратной
последовательностей, поэтому в схемах
для токов этих последовательностей
сопротивления в нейтральном проводе
не указывают (рис. 11.8). В схеме для
симметричных токов и напряжений ну-
левой последовательности вместо сопро-
тивления Zjv в нейтральном проводе
вводят утроенные значения этого сопро-
тивления в каждую фазу (рис. 11.9).
Легко проверить, что сопротивления ну-
левой последовательности для схем,
представленных на рис. 11.7 и 11.9, оди-
наковы.
Все расчеты ведут для одной фазы,
которую называют основной. Обычно
за основную фазу принимают фазу А,
и в этом случае для сокращения запи-
си в обозначениях токов и напряжений
различных последовательностей индекс
А не пишут. Так, для рассматриваемо-
го примера (см. рис. 11.7) на рис. 11.10
показаны три однофазные схемы для
токов и напряжений различных последо-
вательностей. Эти схемы сокращенно
называются схемами прямой, об-
ратной и нулевой последова-
тельностей.
В качестве схем прямой и обратной
последовательностей для трехфазных
линий можно применять любую из
двух схем, показанных на рис. 10.30 и
10.31. В схему нулевой последователь-
ности должны быть введены утроенные
значения сопротивления г3 и индуктив-
ности М (см. рис. 10.29) в каждую фа-
зу. В зависимости от того, разнесены
частичные емкости поровну по концам
линии или сосредоточены в середине,
получатся две разновидности схем ну-
левой последовательности для трехфаз-
ной линии, не отличающиеся по струк-
туре от схем, показанных на рис. 10.30
и 10.31. Только в этих схемах вместо
г, и Сф следует взять г0 = г + Зг3,
Lo = Ьф + ЗМ = L + 2М и Со (через час-
тичные емкости Ст токи нулевой после-
довательности протекать не могут).
В электрических машинах не только
Zo отличается от Z15 но Z2 / Zt.
Причину этого поясним на примере
асинхронного двигателя. >В нормальном
режиме работы к обмоткам статора
двигателя приложена симметричная си-
стема напряжений прямой последова-
тельности, магнитное поле и ротор дви-
гателя вращаются в одну и ту же сто-
рону (см. § 10.11). Частота вращения
ротора обычно всего на 1,5 — 4% мень-
ше частоты вращения магнитного поля.
Иные условия получаются в симметрич-
ном режиме для токов и напряжений
обратной последовательности. Обеспе-
чим вращение ротора двигателя с той
же скоростью и в том же направлении,
какие были в нормальном режиме ра-
боты (например, вращая его посред-
ством другого двигателя), но изменим
последовательность фаз напряжений,
подведенных к обмоткам статора, с пря-
мой на обратную. При этом в обмотках
двигателя будет симметричная система
Рис. 11.10
Z п
До--CZ3—О EZ?
No—...... ..
192
токов обратной последовательности,
которая создаст магнитное поле, вра-
щающееся с той же скоростью, как и
в нормальном режиме работы, но толь-
ко в обратную сторону (навстречу дви-
жению ротора). В результате вращаю-
щееся магнитное поле относительно ро-
тора будет иметь скорость, почти в 2 ра-
за превышающую скорость движения
поля относительно статора и во много
раз превышающую скорость поля от-
носительно ротора при нормальном
режиме работы. По сравнению с нор-
мальным режимом резко возрастут то-
ки, индуктированные в роторе. По за-
кону Ленца они будут ослаблять наво-
дящее их магнитное поле в большей
мере, чем в условиях нормального ре-
жима. Это приведет к уменьшению
ЭДС, наводимых магнитным полем в
обмотках статора. А так как приложен-
ные к обмоткам статора напряжения
в основном уравновешиваются этими
ЭДС, то их уменьшение вызовет уве-
личение токов в статоре.
Таким образом, при одинаковых
значениях приложенных симметричных
напряжений прямой и обратной после-
довательностей и при неизменных часто-
те и направлении вращения ротора то-
ки обратной последовательности полу-
чаются больше токов прямой последо-
вательности. Следовательно, полное со-
противление двигателя для токов обрат-
ной последовательности меньше его
сопротивления для токов прямой после-
довательности: z2 < zP
Токи нулевой последовательности
не создают вращающегося магнитного
поля (для получения движущегося маг-
нитного поля, как было указано в § 10.10,
нужно иметь не только пространствен-
но смещенные обмотки, но и сдвинутые
по фазе токи в них). Значит, условия
протекания в двигателе токов нулевой
последовательности отличаются от усло-
вий протекания токов прямой и обрат-
ной последовательностей, поэтому Zt /
Zp Ф 72-
В расчетах методом симметричных
составляющих двигатели, как и стати-
ческие цепи, представляют тремя от-
дельными схемами прямой, обратной и
нулевой последовательностей, состоящи-
ми соответственно из сопротивлений
Zp Z2 и Zo. Генераторы имеют такие
же схемы, но с тем отличием, что
в схеме прямой последовательности кро-
ме сопротивлений 7± включены источ-
ники фазных ЭДС.
Отметим, что неравенство сопротив-
лений Zj и Z2 приводит к тому, что
трехфазные цепи, содержащие вращаю-
щиеся машины, не обладают свойством
взаимности.
11.4 . Определение токов
в симметричной цепи
Для того чтобы определить токи
в симметричной цепи (рис. 11.11), к ко-
торой приложена несимметричная систе-
ма напряжений, прежде всего найдем
по (11.16) —(11.18) симметричные состав-
ляющие приложенных напряжений. Сим-
метричные составляющие токов опре-
делим на основании закона Ома:
Zi = 1/^; /2 = 172/Z2; /о = I/o/Zo.
(11.19)
Затем по (11.13) —(11.15) находим то-
ки £4, Ь и 7С.
Итак, расчеты методом симметрич-
ных составляющих основываются на
применении принципа наложения. По-
этому этот метод можно применять
только к линейным цепям или к цепям,
которые приближенно рассматриваются
как линейные.
Пример 11.1. Линейные напряжения на
обмотках двигателя U^b = Uca — 365 В и
Uвс = 312 В, сопротивления двигателя (в
рассматриваемом режиме) Zr — 3,6 + J3,6 Ом
и Z2 = 0,15 + j0,5 Ом. Нейтральный провод
отсутствует. Требуется определить линейные
токи.
7 Основы теории цепей
193
Генератор Линия Симметричная
Рис. 11.13
Решение. Фазные напряжения источ-
ника питания могут быть взяты любыми,
лишь бы их разности были равны заданным
линейным напряжениям. Для расчетов удоб-
но выбрать фазные напряжения, как пока-
зано на рис. 11.12, где вектор Ц_А направлен
под прямым углом к векторам UB и U_c-
Напомним, что указанный произвол в
выборе фазных напряжений не отражается
на их симметричных составляющих прямой
и обратной последовательностей (см. § 11.2),
а сказывается лишь на симметричных со-
ставляющих нулевой последовательности,
которые в данной задаче для расчета не
нужны, так как токи нулевой последователь-
ности протекать не могут.
Из треугольника АВС (рис. 11.12) нахо-
дим
Uc = Uв = 312/2 = 156 В; UA = 330 В.
Положим = 330 В, так что UB =
= -jl 56 В и Uc = J156 В.
По (11.17) и (11.18) определим
LL1 = у (LLt + aUj) + a2Uc) =
= у [330+;156( —а + а2)] = 200 В;
U2 = у {Ua + а2Цц + aUc) = 20 В.
Находим симметричные составляющие
токов по закону Ома:
Li = £1/^1 = 39,3 zl -45° А;
Li = LL2/Z2 = 38,3 zl -73° 18' А.
По найденным симметричным состав-
ляющим токов и формулам (11.13) —(11.15)
194
находим линейные токи:
£4 =/i +/2 = 38,8 -/64,5 А;
I_B = а2^ + а1_2 = -11,7 +Д7,7 А;
1с= -1л- Lb= -27,1 4-/46,8 А.
Их Действующие значения 1А = 75,2 А;
1В = 21,2 А и 1С = 54,1 А.
11.5. Симметричные составляющие
напряжении и токов в несимметричной
трехфазной цепи
Рассмотрим пример трехфазной не-
симметричной цепи (см. рис. 11.7), у ко-
торой 7л # ZB Ф Zc. Если к такой цепи
приложить симметричную систему на-
пряжений любой последовательности, то
в ней возникнет несимметричная си-
стема токов, которая в общем случае
содержит симметричные составляющие
всех трех последовательностей. Спра-
ведливо и обратное положение: сим-
метричная система токов любой после-
довательности вызывает в такой цепи
систему напряжений, которая в общем
случае содержит составляющие всех трех
последовательностей. Если к цепи при-
ложена несимметричная система напря-
жений, то симметричные составляющие
токов любой последовательности оказы-
ваются зависящими от симметричных
составляющих напряжений всех трех по-
следовательностей.
$61
1
XHHhHdiowwHO xacli илиньохэи кэхкйох
-EH ^cXdlEH KEHhHdlQHHH99H ElfWg 91/1
‘ИИНЭ1Г01Э01О 0 W9hHdn ‘(ti ll эиб) Хи
-9X9 OlXHhHdl9WHH9 WHhXlfOH 91El<IIfXE9d
g снХноонэо ec у ХсЕф 00HHdn <O77 и
г7Т Ч/Э ЭИ1ПО101Г0Е1ЭОЭ Э1ЧНЬИС11ЭИИИЭ ЕН
Э7Т н ^ТТ ‘^ТТ кинэжт^нЕн иижоЕЕЕд
'^п и
‘*7Т иивинэж^пЕн иинныкГхэиииэ
-ЭН Э ИЛИННО19И XH)Kd9irOO Э1/С ион
-Э19И9 HOHhHdl9HWH9 Э EdOlEdOHQJ ОИИИ
-OH KEdOlOM ‘ХиЭХЭ OlXHhHdl9WWH9 НИИ
-XlfOH И И HIAIKHHOSCKdiIEH ИИ
-1ЧН19Э0ЕИЭН Э ИИЕЛИНЬОХЭИ KWOdx
XxcXdlEH OiXHhHdlQHWHOQH ИИНЭИЕ£
ннжХн эн
ИНО E19h9Ed ЭНЕ1Е HO0d9H ЕН ЛЕЯ ЛЕХ
‘1ЧНЕСЕЛОН ЭН ИЛ£XdJEH HOHhHdl9HWH99H
0HH9E0H!OduO9 И ЕИЭХ9 £ГЦ ’OHd ЕН
КИНЭЖ1К1цЕН И ИЛО1 И1ИЕН 0919Xg9djj
1ЧИЭХ9 0О1НЭИЭ1ГЕ 0HH9If0HXOduO9 И 0od
-OXEd9H9J □!/€ WHEtfEE ЧХЭХц HXCXdlEH
СяХлЭЭНИХЕХЭ 0{XHhHdX9HHH09H и (оо =
= 0/Z ‘5z 4/Z) СЯХлЭЭЬИИЕНИГГ (HXHhHdX9H
-ИИЭ ИЭIПEЖdэITOЭ ‘£Г11 OHd 1ЧИЭХ9 9d9H
-Hdu EH EX9h9Ed 1ТО1ЭИ HHdlOH99EJ
'ЭЭН1/ЕОЦ 09101/000 ‘H9Hdl9HHH99H Э1ЧННЭ1Г
-0OiroXgO ‘ИЭ19ОНЧ1ГЭ1Е0О1ТЭ1Г9ОЦ XHHhHIf
-CEd ИИHЭЖ0dЦEH И 0ОЛО1 ИИИПТО10Е0Е1
-909 HWI4HhHdl9HHH9 Xl/ЖЭИ ЭЖ ИЕ00Э
ElXdlT 10 iXdtr 109И0ЕЕ ЭН ИИHЭЖ0dUEH
И 0ОЛО1 ЭИШО101Г0Е1ЭОЭ 9I0HhHdl9HHH9
9I4HH9HH0H£Ed ЭЭН 01ftf И H0HhHdl9HHH9
091И0ОНЕ19 ЧНЭП 1ЧНЭИЕС ИОЛЕ1 Э1ГЭ0Н
Olh ‘ИО1 0 091ЭЕНОШЛЕ£ EH9Hdn OJO1C
0X9OHCEdgOO991f9tl 'ИИ1ЧН19Э0СИЭН 09101
-E190 E19h0Ed О1Э90 0ИНЕННОЛО 01/ XI4d
-О1ОЛ 0ИНЭНЕНС ‘(ИИHЭЖ0dПEH) Э1/С
-ЕЛИНЬОХЭИ ИИНИ1/ 0 ЛОЮЕьХ HI0HhHdl9H
-ИИ9ЭН И1ГИ ЛИHИЭИdu HHHhHdl9HHH99H
00НЭИЕС ‘ИИЙЕЭНЭПИОЛ WOUHlIHHdn 09Ч1Е0
-0СЧ1ЮП OHgoT/X ИЭНЭП XI4H€E(|)X9dl 0ОИ
-ижэd XI0HhHdX9WHH99H 0O19h9Ed 0Lf‘p'
•(ИИНИ1Г ЛОЮЕьХ HI4HhHdl9HHH99H)
ool/ooodu xXorz hi/и oioHl/o 90iqdgo Hdn
И1ГИ HH0HH9If0HlodHO9 ИИ1Ч0ОЛЕНИГ/ОЭН 9
1Ч1НЭИЭ1ГС 091О1ЕЬОШЛ0 ИИНИ1Г ЕЕф ХЛЬЭЭ
-9Ed 0 И1Г9Э ‘1ЭЕЛИНЕО0 0Hdl9HHH99H 0EH
-HlfOt/odlJ (ОШИЭЕ EH ЕЕф xXotf И1ГИ ИОН
-I/O ЭИНЕЛ1ЧИЕЕ ‘ИИЕЕЕф Xl/ЖЭИ 0ИНЕЛ1ЧИ
-ЕЕ) ИИНЕЛ1ЧИЕЕ XИЛlOdOЛ XI0HhHdl9HHH9
-ЭН 1Ч1/И0 9HHhHIfEEd 09109OH1O ‘И190Н
-XOEh 0 ‘ИЭН Я ^EXdjEH HOHhHdl9WHH99H
Hdn 1ЭЕЛИНЕО0 ИНЭП ИOHEEфxэdl ИОН
-hHdl9HHH9 X 0Hdl3WHH99H 0EHh9d9HOH
*oi X н я if о IT о d ц и oiXHh9d9nou
— HHdl9HHH99H Е1ТИ0 E0IT XOIEhHIfEEJ
’0Hdl9HHH99H 0919
-0LTH0OH ИНЭП Одигг-ИОЛЕЛ 0 Е1/10Л ‘Х0И0
-OI/эХ XI4HHHdE0E 0 091OIEhXlfOU Iчнижэd
9I0HhHdl9HHH99H ОНЫЧдО (ИИ0ЕЭХЕЛИ01Т
ИИIЧ0OJ01OdlЛЭLfe ИИ1ЧНЕЕфоН1ТО И ИИ
-Еьэп ииннqIfИ0EIfuodxлэIfe ииноолХг/ э
Х0НЭП 0 OHH90199lnXHH9dH) oлIZэd он
-Ч1ГЭ1И9ОН1О 091OIEh9dl90 Х0НЭП ХННЕЕф
-X9dx Х1ЧН1Ч1ГО0ОЛО9100 0 IЧИИЖЭd 9I4HhHd
-1ЭИИИ9ЭН Х0И0О1Г9Х XI4H0IfEHdOH д
HOMfXdiEH
ионьискакииээн э ипэП хэизед *9*11
систем напряжений прямой, обратной
и нулевой последовательностей.
В симметричной цепи симметричная
система напряжений какой-либо после-
довательности вызывает симметричную
систему токов той же самой последо-
вательности. Следовательно, можно со-
ставить три независимые схемы, пока-
занные на рис. 11.15, а — в. Для упроще-
ния в этих схемах не учтены частич-
ные емкости линии (см. § 10.8).
Режим фазы А исходной схемы
(см. рис. 11.13) определим путем нало-
жения режимов этих трех схем.
Конфигурации схем прямой и об-
ратной последовательностей всегда оди-
наковы. Схема нулевой последователь-
ности обычно существенно отличается.
В данном примере она не имеет раз-
ветвления, так как в правой части трех-
фазной цепи (см. рис. 11.13) токов ну-
левой последовательности не может
быть. Следует обратить особое внима-
ние на то, что сопротивление в нейтраль-
ном проводе вводится в схему нулевой
последовательности утроенной величи-
ной (см. § 11.3).
Из рассмотрения составленных схем
видно, что наибольшие значения сим-
метричных составляющих напряжений
обратной и нулевой последовательно-
стей наблюдаются в месте подключе-
ния несимметричного приемника, так
как в схемах именно там находятся
источники ЭДС обратной и нулевой
последовательностей.
Для дальнейшего расчета целесооб-
разно преобразовать схемы отдельных
последовательностей к простейшему ви-
ду, не затрагивая при этом ветвей с
источниками неизвестных напряжений
Ct, U2 и Со-
В схеме прямой последовательности
заменим ветви генератора и симмет-
ричного приемника эквивалентным ге-
нератором (рис. 11.16, а):
£эк1 = Ь£1/(11 +1'1); Гж1 = 11 +1'1,
(11.20)
где Yy = 1/(7^ 4- Z^); Y\ = \/Z\; Ei = Ед.
В схеме обратной последовательно-
сти объединяем ветви генератора и
симметричного приемника (рис. 11.16,6):
(^2 + ^2)^2
~ЭК2 Zr2 + 2л2 + ?2
Схема нулевой последовательности
в данном примере в преобразовании
не нуждается, так как она имеет простей-
ший вид.
Для каждой из трех схем напишем
уравнения по второму закону Кирхгофа:
2эК1/1 + Ci = Еэк1; + LLi = 0;
Z3KO/o + ^o = 0, (11.21)
где 2эко = 2>ло Н- ^-то “Ь 3Zn.
В этих трех уравнениях шесть не-
известных: 12, Io, JZi, С2, Со- До-
полнительные три уравнения, связываю-
щие эти шесть неизвестных величин,
могут быть составлены на основании
заданной схемы и параметров несим-
метричного приемника.
Составим дополнительные уравне-
ния для некоторых видов несиммет-
ричных приемников. Для приемника,
Рис. 11.15
Рис. 11.16
196
Рис. 11.17
представленного на рис.
11.17, а,
На = 2Ла\ Ь = Н Lc = H
или
Hi + и 2 + Но = 2Л1л+11 + Lo)\
#2£i ~ь aLi "Ь Lo = «£1 "Ь ^2£з Lo ~ О*
Для приемника, показанного на
рис. 11.17,6,
Ь = 0; Сд = ТвЬ; Нс = zczc,
или
£i + £2 + Lo =
и2Hi “I- aHi Но =
= Zg (д2£1 + я£2 + £o)i
^£ii “I- ^2Hi “Ь Но =
= Zc (ah 4- a2L2 + Lo)-
При отсутствии соединения несим-
метричного приемника с землей, на-
пример, для схемы, приведенной на
рис. 11.17, в,симметричные составляю-
щие токов нулевой последовательности
равны нулю и составление схемы цепи
нулевой последовательности на преды-
дущих этапах расчета выпадает. Полу-
чаются два основных уравнения с че-
тырьмя неизвестными, и нужно соста-
вить только два дополнительных урав-
нения, а именно: 14 = 0; UB — С/с =
= Z/g, или
£i+£2 = 0;
a2U_i + аНг ~ (“Hi + a2Hi) =
= Z(a2Li^-aL2)-
Аналогично составляют дополни-
тельные уравнения и при других видах
статической несимметричной нагрузки.
При совместном решении уравнений
Кирхгофа для схем различных последо-
вательностей с дополнительными урав-
нениями определяются симметричные
составляющие тока фазы А в ответвле-
нии к несимметричному приемнику. За-
тем находят распределение этих состав-
ляющих по отдельным ветвям схем
прямой, обратной и нулевой последова-
тельностей. Зная составляющие токов в
любой ветви, вычисляют действитель-
ный ток в каждой фазе и составляю-
щие падений напряжения различных
последовательностей, а затем и фазные
напряжения на отдельных участках схе-
мы.
Приведем расчет режима схемы (см.
рис. 11.13) для случая несимметричной
нагрузки, представленной на рис. 11.17, а
при условии, что Z4 = 0 (однофазное
замыкание на землю). Составим допол-
нительные уравнения
На = Hi+Н2+Но = Ъ
Lb = ^2£i + ^£2 + Lo = 0;
£с = ^£1 “I- ^2Li + Lo =
(И.22)
(11.23)
(11.24)
Вычитая (11.24) из (11.23), получаем
(а2 - a) Li + (а — a2)Li = 0, или /2 = £i-
Подставляя этот результат в (11.23);
имеем (а2 + a) Li + Lo = 0, откуда £0 = £i-
Заменяем в (11.21) /2 и £о на £ь
затем их суммируем и с учетом (11.22)
получим
(Z3K1 “Ь Z)k2 И- Z3Kg) £1 = Еэк\,
откуда
Li ~ Li — Lo — £3Ki/(Z3Ki 4- Z3k2 4- Z3k0).
(11.25)
Симметричные составляющие на-
пряжений (в месте замыкания на землю)
197
определяются из (11.21): СТд = E3Ki —
73к111 , ^2 = ^0 = Z9KoIo-
Для схем рис. 11.15, a Li = Hi/Z'i и
[r\ = h + I\; рис. 11.15,6 b = U_2/Z/2 и
Zr2 = I2 + ^2; рис. 11.15, e Iro = Io-
Симметричные составляющие напря-
жений на выводах генератора могут
быть найдены по тем же схемам на
рис. 11.15:
Cri = Е{ -Z^x
Нг2 — — Zrtlrt. — Hl + J
C/rO — — (3Zjv + Zj-o) IrO = Ho + ZjioItO-
11.7. Расчет цепи с несимметричным
участком в линии
Рассмотрим метод расчета на при-
мере цепи, представленной на рис. 11.18.
Пусть заданы ЭДС генератора и все
сопротивления элементов схемы. Требу-
ется найти токи и напряжения.
Заменим несимметричный участок
схемы тремя источниками ЭДС с неиз-
вестными напряжениями Ha’a", Нв'в" и
U_cc№- Разложим неизвестные напряже-
ния на симметричные составляющие Ць
U2 и Но, приняв фазу А за основную,
и составим три независимые схемы
(рис. 11.19, а, 6, в) прямой, обратной и
нулевой последовательностей. Напишем
для этих схем уравнения по второму
закону Кирхгофа:
(Zri +7д1 H-Z'OL + 1/1 = Ei;
(^ + ^2 + 7'2)72+=
(3Zjv + Zro + Тдо + Z'q) Io + Но = 0*
В этих трех уравнениях шесть не-
известных. Дополнительные три уравне-
ния составляются на основании схемы
и параметров несимметричного участка
цепи.
Составим дополнительные уравне-
ния для некоторых видов несимметрич-
ных участков цепи.
Для схемы, представленной на
рис. 11.20,а,
На'а- = 7л1я; Ивв" = 0; UCC" = 0;
на рис. 11.20,6,
1л = 0; Свв" = 0; U_cc- = 0;
на рис. 11.20, в,
На'а" = 7л!л; Нвв" = Z^h; Нс с = 0.
В этих дополнительных уравнениях
нужно напряжения и токи выразить
через их симметричные составляющие.
Решив совместно основные и до-
полнительные уравнения, найдем сим-
метричные составляющие токов, а затем
определим и все остальные искомые
величины.
В специальных курсах, в которых
рассматривают несимметричные режимы
трехфазных цепей, дают обоснования
комплексным расчетным схе-
мам. При этом схемы отдельных
последовательностей соединяют друг с
другом в одну сложную (комплексную)
схему таким образом, чтобы удовлетво-
рялись условия, вытекающие из особен-
ностей того или иного вида поперечной
или продольной несимметрии. Расчет ве-
дут непосредственно по этим схемам,
без привлечения дополнительных урав-
Рис. 11.18
198
Рис. 11.20
нений, зависящих от вида несиммет-
рии, так как условия несимметрии учи-
тываются особыми способами соедине-
ния схем различных последовательно-
стей друг с другом. Для расчета не-
симметричных режимов сложных раз-
ветвленных цепей широко применяются
моделирование схем и вычисления на
ЭВМ.
Пример 11.2. Провод фазы А линии,
питающей трехфазный асинхронный двига-
тель, оборвался (рис. 11.21, а). При опреде-
ленных условиях, рассмотрение которых вы-
ходит за рамки данного курса, двигатель
может продолжать работать, получая пита-
ние по двум фазам.
Пусть в рассматриваемом режиме ли-
нейные напряжения Uab = Ubc = Uca =
= 380 В и двигатель работает, имея сопро-
тивления Zi = 3,6 + j‘3,6 Ом и Z2 = 0,15 4-
4- j’0,5 Ом. Определить токи в питающих
проводах и напряжения U_aa', LLa'^ Upn,
U_Cn и U#n-
Решение. Примем, что линейные на-
пряжения между выводами 4, В и С созда-
ются тремя источниками симметричных фаз-
ных ЭДС с Et = 380/]/з = 220 В.
Заменим несимметричный участок схемы
(обведенный на рис. 11.21, а штриховой ли-
нией) источниками ЭДС и составим схемы
прямой, обратной и нулевой последователь-
ностей (рис. 11.21,6). Схема нулевой после-
довательности разомкнута, так как отсут-
ствует четвертый провод.
Запишем основные уравнения для схем
прямой и обратной последовательностей
ZiIi + Ul = El; (а)
Z2[2 + У.2 = 0
(б)
и добавочные уравнения La = 0; Ubb1 - 0;
Ucc = 0.
Выразив в этих уравнениях токи и на-
пряжения через их симметричные составляю-
щие, получим
Л + Li = 0 или 12 = —Л; (в)
a2Ut + aU_2 + £о = 0; (г)
at/i 4- a2U2 + С/о = 0- (д)
Решив уравнения (г) и (д), найдем, что
U_2 = LLi = U.0- Подставив U.2 — LLi и Li =
= — Zi в (б), получим — Z2Li 4- С/i = 0. За-
Рис. 11.21
199
тем вычтем последнее уравнение из (а) и
получим (Zt + Z2)Ii = 2ki-
Следовательно,
Л = Ei/fZi + Z2) = 39,6 zi -47° 33' А;
Lb = a2Li + а1г = (“2 - л) Л =
= 68,5 zl -137°33' А;
U2 = -Z2/2 = 20,67 zi 25°45' В;
Uaa' = U1 + с2 + и о = = 62 25° 45' В;
C4'n = Z1Z1+Z2Z2 = (Z1-Z2)Z1 =
= 183,5 -5° 36' В;
UjB n = a2Zili + aZzlz = (a2Zr - aZ2) h =
= 203 zi -116°43' В;
IZc'n = aZJ^ 4- u2Z2/2 = (aZr — c<i2Z2) /1 =
= 219 zi 114° 26' B;
UNn = UQ = 20,67 zi 25° 45' B.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
12.1. Несинусоидальные ЭДС,
напряжения и токи
'В предшествующих главах рассмат-
ривались линейные цепи с неизменными
параметрами г, L, С и М при действии
источников постоянных или синусоидаль-
ных ЭДС или токов.
На практике ЭДС, напряжения и
токи обычно в большей или меньшей
степени отличаются от постоянных или
синусоидальных, причем зависимость
от времени может быть периодической,
почти периодической и непериодической.
В машинных генераторах перемен-
ного тока вследствие отличия кривой
распределения магнитной индукции
вдоль зазора от синусоиды кривые на-
водимых в обмотках ЭДС отличаются
от синусоидальных. В цепях, содержа-
щих элементы с нелинейными сопро-
тивлениями, индуктивностями или ем-
костями (например, вентиль, электри-
ческую дугу, катушку со стальным
магнитопроводом), даже при синусо-
идальных ЭДС возникают несинусо-
Рис. 12.1
идальные токи и несинусоидальные
напряжения. Так, на рис. 12.1 показа-
ны примеры кривых тока в цепи с
насыщающимся реактором (рис. 12.1, а)
и в цепи управляемого вентиля
(рис. 12.1,6).
Генераторы периодических импуль-
сов применяются в различных устройст-
вах радиотехники, автоматики, телемеха-
ники, вычислительной техники, обра-
ботки данных, в автоматизированных
системах управления. Форма импульсов
может быть различной: пилообразной
(рис. 12.2, а и б), ступенчатой (рис. 12.3, а)
и прямоугольной (рис. 12.3,6). При про-
хождении этих импульсов через различ-
ные электрические цепи их форма су-
щественно изменяется.
На рис. 12.1 — 12.3 все кривые строго
периодичны (период повторения Т) и
представляют собой примеры десину-
соидальных периодических
токов.
При передаче, например, радио-
телеграфных и телефонных сигналов
встречаются кривые тока, которые не
строго периодичны, но имеют периоди-
чески изменяющуюся огибающую с пе-
риодом То и на малом интервале
времени могут считаться синусоидаль-
ными с периодом Тн. При несоиз-
меримости То и Тн нет такого перио-
да Т, через который эти кривые в
точности повторяются. Поэтому их нель-
зя назвать периодическими, но они очень
близки по своим свойствам к периоди-
ческим кривым и могут быть названы
200
Рис. 12.2
почти периодическими (в част-
ном случае, когда То — кТп, где к —
целое число, эти кривые периодические
с периодом То). Примером почти
периодической кривой является ток в
цепи динамика радиоприемника при
передаче периодически изменяющегося
звука.
Кроме указанных типов несинусо-
идальных кривых с явно выраженным
периодом повторения мгновенных зна-
чений или огибающей часто прихо-
дится иметь дело с непериоди-
ческими кривыми, т. е. с кривыми,
у которых нет периода повторения.
Эти кривые могут быть вполне опре-
деленными, как, например, при передаче
последовательности импульсов, но могут
быть и случайными, например, в слу-
чае шумов и помех.
Во всех задачах, где приходится
иметь дело со сложными несинусоидаль-
ными кривыми токов и напряжений,
очень важно уметь свести сложную
задачу к более простой и приме-
нить методы расчета более простых
задач. В настоящей главе рассматри-
ваются методы расчета линейных цепей
при несинусоидальных периодических
или почти периодических токах и
напряжениях, которые можно разложить
на гармонические составляющие.
12.2. Разложение периодической
несинусоидальной кривой
в тригонометрический ряд
Явления, происходящие в линейных
цепях при периодических, но несинусо-
идальных ЭДС, напряжениях и токах,
проще всего поддаются исследованию,
если кривые ЭДС, напряжений и токов
разложить в тригонометрические ряды
Эйлера — Фурье.
Как известно, всякая периодическая
функция f (cot), удовлетворяющая усло-
виям Дирихле, т. е. имеющая на всяком
конечном интервале конечное число раз-
рывов первого рода и конечное число
максимумов и минимумов, может быть
разложена в тригонометрический ряд:
f (cot) = Л о + A lm sin (cot + фД +
+ Л2т sin (2cot + ф2) + ... =
= Ло + X 4kmsin(/cwt + ФО- (12.1)
к = 1
Первый член ряда Ао называется
постоянной составляющей
или нулевой гармоникой, второй член
A lm sin (cot + \|/Д — о с н о в н о й сину-
соидой или 1-й гармоникой, а
все остальные члены вида Акт sin (kart +
+ \|/Д при к > 1 носят название в ы с-
201
ш и х гармоник; со = 2я/Т — основ-
ная частота (угловая); Т — период
несинусоидальной периодической функ-
ции.
Тригонометрический ряд после рас-
крытия синуса суммы для каждой из
гармонических составляющих, или, коро-
че, гармоник, записывается и в иной
форме:
f (cot) = Ло + В1ш sin cot + B2m sin 2cot +...
... -I- Bkmsinkcot +... + Clmcoscot +
+ C2mcos2cot+ ... + Cfcmcos/ccot + ... =
00
= Aq -I- £ (Bkm sin kcot -l- Ckmcos kcot).
k= 1
(12.2)
Здесь Bkm = Akm cos \\fk; Ckm = Tkmsin\|/k.
'Коэффициенты Ao, Bkm и Ckm могут
быть вычислены при помощи следую-
щих интегралов:
। Т/2
Ао=— j f(t)dt =
1 -Т/2
= 2“ f
2 Т/2
Bkm = -= j f(t) sin katdt =
1 — T/2
1 n.
= — f / (cot) sin kcot d (cot);
л Д
(12.3)
2 772
= f f(t)coskatdt =
1 -T/2
1 n
= — - f f (cot) cos kcot d (cot).
Постоянная составляющая Ао равна
среднему значению функции f (t) за ее
период Т = 2л/со.
Зная коэффициенты ряда (12.2), легко
перейти к форме (12.1), подсчитывая
Акт — ]/&кт + Скт
И ф* = arctg
&кт
Вводя условно отрицательные часто-
ты, т. е. переходя к суммированию по
к от — оо до + оо, можно ряду (12.2) при-
дать более компактный вид (где, по су-
ществу, каждая гармоника, кроме нуле-
вой, входит под знак суммы дважды):
1 00
f (®t) = -г X (Вкт sin fcojt + Ckm cos /соя).
к = - oo
(12.2a)
Постоянная составляющая в этом
выражении получается при к = 0, что
соответствует выражению (12.3), так как
Ао ~
Выражению (12.2а) можно придать
несколько иной вид, если воспользо-
ваться формулами Эйлера для тригоно-
метрических функций времени:
sinkcot = y(ejka)t — e-jk(Ot);
cos kcot = -^-(e7fcm -l- e~jhot),
и вместо (12.2a) получим
00
/(cot) = l ^(FtmeA“' + £me->n (12.26)
к = - oo
где согласно (12.3)
Ekm ""2 (Ckm j^km)
n
= I /(оя)е~*“'</(ом).
ZTt J
— n
(12.3a)
* *
Учитывая, что E-km = Ekm, a E-km =
= Ekm и что сумма двух комплексно-
сопряженных величин равна их удвоен-
ной действительной части, выражение
(12.26) можно упростить. Оно принимает
вид
/И)= Z Fkm^‘- (12.2b)
к = - оо
Комплексная форма ряда Фурье
[(12.2в) и (12.3а)] имеет большое зна-
чение при переходе от дискретного
спектра к непрерывному (см. гл. 16).
202
Значительное число непериодических
функций времени, с которыми прихо-
дится встречаться в электротехнике
(рис. 12.4, а), удовлетворяет условию
/(cot) = -/(cot + л). (12.4)
Функции, удовлетворяющие этому
условию, называются симметрич-
ными относительно оси аб-
сцисс. Они раскладываются в ряд, ко-
торый не содержит четных гармоник и
постоянной составляющей:
/ (cot) = A lm sin (cot + ф1) +
+ А Зт sin (3cot + фз) + A 5m sin (5cot + ф5) + -
(12.5)
В схемах выпрямления переменного
тока (см. гл. 25) часто приходится
встречаться с функциями, которые при
соответствующем выборе начала коорди-
нат удовлетворяют условию (рис. 12.4,6)
/(cot) =/(-cot). (12.6)
Такие функции называются сим-
метричными относительно
оси ординат.
В этом случае ряд не содержит
синусов:
/(cot) = Ао + Almcoscot + T2mcos2cot +
+ T3mcos3cot -|- ... (12.7)
В схемах умножения частоты встре-
чаются функции, которые при выборе
начала координат в точке нуля функ-
ции удовлетворяют условию (рис. 12.4, в)
/(cot) = -/(-cot). (12.8)
Такие функции называются сим-
метричными относительно
начала координат и расклады-
ваются в ряд, не содержащий коси-
нусов и постоянной составляющей:
/ (cot) = Л lm sin cot + T2msin2cot +
+ T3msin3cot -I-... (12.9)
Примеры разложения в ряд некото-
рых простейших из наиболее часто
встречающихся в электротехнике кривых
приведены в приложении 3.
Если начало отсчета времени сдви-
гается, то соответственно изменяется
вид ряда, в котором амплитуды гар-
моник остаются прежними, но изме-
няются их начальные фазы. Например,
если перейти от функции / (cot), выра-
жаемой рядом (12.1), к /t (cot) =
= /[co(t — t0)], т. е. сместить начало от-
счета времени на t0, то получим ряд
/1(<о0 = /[co(f - to)] =
= Ао + Amsin(cot + ф1) +
+ А2т sin (2cot + ф'2) + ... =
= Г sin (к<Ы + \|4), (12.10)
fc = 0
где
44 = - Ьиь. (12.11)
Совокупность гармонических состав-
ляющих несинусоидальной периодичес-
кой функции называется ее дискрет-
ным частотным спектром.
Спектр можно характеризовать не-
которой зависимостью Акт (спектр
амплитуд) и \|/fc (спектр фаз)
от частоты /ссо.
203
f(t)
Пример 12.1. Построить спектр для не-
синусоидальной функции в виде ряда прямо-
угольных импульсов продолжительностью
т с высотой атах, следующих один за
другим через интервалы времени Т = 2т
(рис. 12.5, а). Напряжения такой формы встре-
чаются в различных схемах телеграфии,
телемеханики и автоматики.
Решение. Найдя коэффициенты разло-
жения по формулам (12.3) или выписав
их из таблицы (приложение 3), представим
рассматриваемую функцию в виде ряда
/(<ot) = sin cot +
2 п \
1 • о 1 . С \
4-----sin 3cot 4----sin 5cot 4- ...
3 5 J
где со = л/т.
Дискретный спектр амплитуд этих им-
пульсов представлен на рис. 12.5,6. Там же
показан спектр фаз, изображенный в виде
непрерывной функции. Эта функция реально
существует только в тех точках, где
Акт 0.
Пример 12.2. Построить спектр той же
функции, что в примере 12.1, при начале
отсчета времени, сдвинутом на t0 — т/2
(рис. 12.6, а).
Решение. Эта функция симметрична
относительно оси ординат, и ее разложение
в тригонометрический ряд имеет вид:
/i(cot) = f(at - сот/2) =
— cOSCOt---—COs3cOt 4-
2 л \ 3
Спектры амплитуд и фаз этой функции
показаны на рис. 12.6,6. Естественно, что
спектр амплитуд остался прежним.
Рассматривая каждую гармонику как
сумму членов ряда для к — ± | к | и пере-
ходя от записи (12.2) к (12.2а), можно этому
выражению придать следующий вид:
+ 00
г 1 X «max X1 * 3 Sin(fat/2) .
j\ (cot) = ) —L-LJ. cos kt.
я 4j к
k= -oo
Действительно, при к — О
,. sin (/сл/2) л
hm —-——-= —,
fc->o k 2
т. е. получаем постоянную составляющую;
при четных значениях к члены ряда об-
ращаются в нуль, а при к нечетных
sin (/сл/2) = ± 1 и при суммировании членов
для положительных и отрицательных к дают
амплитуду, равную 2атах/\ к | л.
Спектр амплитуд в этом случае имеет
симметричный вид (рис. 12.6, в).
Такое рассмотрение гармонических со-
ставляющих как совокупности колебаний
положительных и отрицательных частот во
многих случаях позволяет получить более
простое общее выражение. Отрицательная
204
частота, конечно, не имеет физического
смысла, и составляющие ряда при к < О
являются не чем иным, как удобным мате-
матическим выражением гармоник, имеющих
положительную частоту, соответствующую
модулю к.
Пример 12.3. Построить спектр последо-
вательности прямоугольных импульсов про-
должительностью т с периодом повторения
Т, причем Т / 2т и т может принимать
любое значение в интервале 0 < т < Т.
Решение. Выпишем из таблицы при-
ложения 3 разложение этой функции в триго-
нометрический ряд:
У ((Of) (lmax
2 ХЛт/сал-cosfccot
а + — /----------------
л / 4 к
где а = т/Т = тсо/2л.
Раскладывая каждую из гармоник на
сумму двух синусоид, соответствующих поло-
жительным и отрицательным значениям к
[см. (12.2а)], придадим выражению f (cor)
иную форму:
+ оо
/(«0 = ^ У Sinto-costo
я / 7 к
к = - оо
где постоянная составляющая получается при
раскрытии неопределенности:
sin кап
пт------------= ал.
к
Обозначив (оо = 2л/т = co/а, получим для
/(cot) следующее выражение:
f(tot) = аа,я°х У sinfc«n cosfcaa>0t
J' ' л A fcot
к = - оо
На рис. 12.7, а — в видно, что вне зависи-
мости от периода повторения импульсов Т
спектр имеет (с точностью до множителя а)
одну и ту же зависимость амплитуд от
частоты (огибающую). Чем больше период
повторения импульсов, тем большее число
гармонических составляющих укладывается
на одном и том же участке огибающей
и тем медленнее уменьшаются амплитуды
гармонических составляющих с увеличением
номера гармоники. Кроме того, чем больше
период Т, тем меньше амплитуды гармо-
нических составляющих.
Для исследования непериодических про-
цессов большое значение имеет предельный
переход при Т -► оо. Непериодические сигна-
лы рассмотрены в гл. 16.
Пример 12.4. Найти спектр последова-
тельности очень коротких импульсов, дли-
тельность которых значительно меньше пе-
риода их повторения Т. Изучение последо-
вательности таких импульсов очень важно в
различных задачах электротехники, в част-
ности при рассмотрении импульсных и релей-
ных систем автоматики.
Решение. Частотный спектр такой по-
следовательности импульсов получается из
А кт*
-7 -У -3-10 1
ос, = 0,5
-тмшмПУ
-Ч- -3 -I -1 о
ot = О,125
клПЪлПКлгтгу—______
1 2 3 ¥ кос.
Рис. 12.7
205
выражения (12.12), приведенного в предыду-
щем примере, при т « Т:
/(wt)«
cos Accot.
(12.12а)
Таким образом, спектр периодической
последовательности кратковременных им-
пульсов приближенно может быть выражен
бесконечным множеством равных по ампли-
туде гармоник с частотами, кратными основ-
ной частоте импульсов со = 2л/Т. Амплиту-
да гармоник в Т/т раз меньше, чем высота
импульсов. Это соответствует среднему
участку спектра, представленного на рис. 12.7,
при стремлении периода огибающей, которая
изображена на этом рисунке штриховой
линией, к бесконечности (при а -► 0), если,
конечно, по оси абсцисс откладывать не
Асос, а просто к или кю.
12.3. Максимальные, действующие
и средние значения
несинусоидальных периодических
ЭДС, напряжений и токов
Периодически изменяющаяся неси-
нусоидальная величина f (cot) помимо
своих гармонических составляющих ха-
рактеризуется тремя значениями:
максимальным значением за
период атах, средним квадратичным за
период или действующим значе-
нием
(12.13)
передним по модулю значением
т
о
(12.14)
Если кривая У' (cot) симметрична от-
носительно оси абсцисс и в течение
половины периода функция f (cot) ни разу
не изменяет знака, то среднее по мо-
дулю значение равно среднему зна-
чению за половину периода:
Т/2
2 Г
Л? = у f{a)t)dt,
о
(12.14а)
причем в последнем выражении начало
отсчета времени должно быть выбрано
так, чтобы f (0) = 0. Если за весь период
функция ни разу не изменяет знака (см.,
например, рис. 12.4,6), то среднее по
модулю значение равно постоянной
составляющей Ао.
При несинусоидальных периодичес-
ких процессах, как и при синусоидаль-
ных, обычно под значением ЭДС, тока
или напряжения понимают действующее
значение.
Если кривая периодически изменяю-
щейся величины разложена в тригоно-
метрический ряд, то действующее зна-
чение может быть найдено следующим
образом:
Akm sin (kot + фк) dt =
Акт sin2 (kart + фк) dt +
оо т
i = 0 о
fc=0
i*k
х sin (kot + tyk)dt (12.15)
(такое возведение ряда в квадрат вполне
допустимо, так как ряд абсолютно
сходится при любом значении со).
Каждый из интегралов в последней
сумме равен нулю, и, следовательно,
равно нулю среднее за период значе-
ние от црризведений мгновенных зна-
чений различных гармонических состав-
ляющих функции У (cot). Учитывая это,
для действующего значения получим
А2
Akmsin2(k(nt + tyk)dt
(12.16)
206
и
(12.17)
Таким образом, действующее значе-
ние периодической несинусоидальной ве-
личины зависит только от действующих
значений ее гармоник и не зависит от
их начальных фаз
Если, например, напряжение и со-
стоит из ряда гармоник Uo, и19 и2
и т. д., действующие значения которых
170, U2 и т. д., то действующее
напряжение
и = ]/и^+и21 + и22 + .... (12.18)
Аналогично для тока i
I = //g + ^ + Л+ .... (12.19)
Часто среднее по модулю и дейст-
вующее значения несинусоидальной ве-
личины могут быть рассчитаны не-
посредственно на основании интеграль-
ных соотношений (12.14) и (12.13). В
этих случаях нет необходимости в пред-
варительном разложении функции на
гармонические составляющие.
Пример 12.5. Найти средние по модулю и
действующие значения функций, изображен-
ных на рис. 12.8.
Решение. Для функции, изображенной
на рис. 12.8, а, непосредственно из определе-
ния действующего и среднего по модулю
значений следует, что Л = Лср = дшах.
В случае рис. 12.8,6 по (12.13)
и по (12.14)
Т/4
а _ A f а — атах
^Cp— гр “max pUL — 2 *
О
В случае 12.8, в по (12.13)
и по (12.14)
^ср = ®тах®“
Расчет действующего значения по (12.17)
приводит к тем же результатам.
12.4. Коэффициенты,
характеризующие форму
несинусоидальных периодических
кривых
При оценке несинусоидальных пе-
риодических кривых в электроэнергети-
ке, где кривые преимущественно сим-
метричны относительно оси абсцисс,
пользуются коэффициентом формы кри-
вой кф, коэффициентом амплитуды /са,
коэффициентом искажения &и.
Коэффициент формы определяется
как отношение действующего значения
к среднему по модулю значению:
кф = Л/Лср. (12.20)
Для синусоиды кф = л/2]/2= 1,11.
Коэффициент амплитуды равен от-
ношению максимального значения к
действующему значению:
К = атах/А. (12.21)
Для синусоиды k.d = ]/2 = 1,41.
Коэффициент искажения определяет-
ся как отношение действующего зна-
чения основной гармоники к действую-
щему значению всей кривой:
k^AJA. (12.22)
207
Для синусоиды кц = 1.
В электронике и радиотехнике для
оценки искажений пользуются коэффи-
циентом гармоник, который определяет-
ся как отношение действующего зна-
чения высших гармоник к действующе-
му значению основной гармоники:
‘ - 7,-1/
711 к = 2
При отсутствии постоянной состав-
ляющей
к = ^-|/1 -к2и. (12.23)
ки
Для синусоиды к = 0.
Пример 12.6. Определить коэффициенты
кф, ка, кп и к для кривых, изображенных
на рис. 12.8, а и б.
Решение. Для кривой на рис. 12.8,а
по известным действующему и среднему по
модулю значениям находим, что кф = ka = 1,
и по разложению функции на гармоники
(см. приложение 3, п. 4)
к„ = 2]/2/тг « 0,9 и к = —]/1 - кя2 = 0,49.
ки
Аналогично для кривой на рис. 12.8,6
получаем кф = 2/|/з % 1,15; ка = |/з % 1,73;
/си = 4|/б/л2 «0,995 и fc«0,l.
Кривые напряжения промышленных
сетей обычно отличаются от идеальной
синусоиды. В электроэнергетике вводят
понятие о практически синусо-
идальной кривой. По стандарту
напряжение промышленной сети счи-
тается практически синусоидальным, ес-
ли действующее значение всех высших
гармоник не превышает 5 % действую-
щего значения напряжения основной
частоты. Коэффициент искажения такой
кривой с точностью до долей процента
равен единице.
Значения кф, ка и /си простейших
кривых приведены в приложении 3. Со-
поставляя значения коэффициентов пер-
вых четырех кривых, можно установить,
что чем острее кривая, тем больше
значения кф и /са.
Измерение несинусоидальных токов
и напряжений приборами различных
систем может давать неодинаковые ре-
зультаты.
208
Приборы электродинамической,
электромагнитной и тепловой систем
реагируют на действующее значение
измеряемой величины. Магнитоэлектри-
ческие приборы сами по себе измеряют
постоянную составляющую, а с выпря-
мителями — среднее по модулю значение.
Амплитудные электронные вольтметры
реагируют на максимальные значения.
Так как обычно этими приборами
пользуются для измерения действующих
значений синусоидальных величин, то их
шкалы часто градуируют на U = 1,1 Шср
в приборе выпрямительной системы и
на U = итах!\^2 в амплитудном электрон-
ном.
Отношения U к 1/ср и итах при
несинусоидальных напряжениях нередко
сильно отличаются от коэффициентов
1,11 и 1/J/2, и соответственно приборы
выпрямительной системы и амплитуд-
ные электронные приборы дают боль-
шую погрешность при измерении дей-
ствующих значений таких несинусоидаль-
ных величин.
Пример 12.7. Найти показания вольт-
метров различных систем, подключенных к
источнику ЭДС с максимальным значением
напряжения 100 В, для различных случаев
формы кривой, представленных на рис. 12.8.
Решение. В первых двух случаях
магнитоэлектрический прибор, реагирующий
на постоянную составляющую, покажет нуль.
Показания же приборов остальных систем
будут различными.
В случае кривой на рис. 12.8, а электро-
динамический прибор покажет 100 В, прибор
выпрямительной системы 111 В, а амплитуд-
ный электронный прибор 100/]/2 = 71 В.
В случае кривой на рис. 12.8,6 электро-
динамический прибор покажет 100/|/з = 58 В,
прибор выпрямительной системы 50-1,11 =
= 55,5 В, а амплитудный электронный при-
бор lOO/j/2 = 71 В.
В случае кривой на рис. 12.8, в при т =
= 0,2Тэлектродинамический прибор покажет
100 ]/0 2 = 45 В, прибор выпрямительной си-
стемы 20-1,11 = 22,2 В, а амплитудный
электронный прибор 71 В. Магнитоэлектри-
ческий прибор покажет постоянную состав-
ляющую Uо = 20 В.
Таким образом, вольтметры разных
систем могут показывать совершенно различ-
ные значения напряжений и зависимости от
формы кривой напряжения.
12.5. Несинусоидальные кривые
с периодической огибающей
Кроме несинусоидальных периоди-
ческих функций, разлагаемых в тригоно-
метрический ряд на гармонические со-
ставляющие с частотами, кратными ос-
новной частоте, в электротехнике встре-
чаются несинусоидальные кривые с пе-
риодическими или почти периодически-
ми огибающими (см. § 1251), также раз-
лагаемые на гармонические составляю-
щие.
Период напряжений или токов, опи-
сываемых такими кривыми, обычно во
много раз превышает период любой из
составляющих и может стремиться к бес-
конечности. К числу явлений, характе-
ризуемых такими кривыми, относятся
биения и модуляция.
Биения. Простейший случай биений
получается в результате сложения двух
синусоид с равными амплитудами и
близкими, но не равными частотами
(Oi и ю2, причем (Oi > со2:
f (t) = Ат (sin соi t + sin w2t). (12.24)
Преобразуя сумму синусов, получаем
ч , (Oi - со2 . (Oi 4- (о2
f (t) = 2Ат cos -1 2 Г • sin-—-t.
Будем считать, что кривая f (t) пред-
ставляет собой синусоиду с угловой
частотой (о = ((Oi + (о2)/2, амплитуда ко-
торой изменяется по косинусоиде со
значительно меньшей угловой частотой
Q = ((Oi - (о2)/2:
f (t) = 2Ат cos Qt • sin (ot. (12.25)
Частотой биений называется
частота /б = П/л, равная числу максиму-
мов огибающей кривой .в единицу вре-
мени (рис. 12.9).
Период биений Тб = л/Q в общем
случае не равен периоду кривой f (t).
Действительно,
/ (О \
f(t + Тб) = 2^mcos(Qt + Jt)-sin( (ot + л— ).
(12.26)
Очевидно, что только при (o/Q =
— 2к — 1 (целое нечетное число) период
биений совпадает с периодом кривой
/(t). Во всех остальных случаях кривая
f (t) на участках двух соседних периодов
биений не повторяется и период кривой
f (t) превышает период биений. При
несоизмеримости угловых частот (о и Q
их отношение является иррациональным
числом, т. е. не существует такой часто-
ты, на которую без остатка делятся
частоты (о и Q. Следовательно, период
функции f (t) равен бесконечности и
кривая f (t) не периодическая, хотя она
и разлагается на две синусоиды.
Модулированные колебания. Синусо-
идально (гармонически) изменяющаяся
величина f (t) = Ат sin ((ot + ф) задается
тремя параметрами: амплитудной Лт,
угловой частотой (о и начальной фазой
ф. Все эти величины постоянны и не
зависят от времени.
Однако для передачи различного
рода сигналов применяются генераторы,
в которых одна из этих величин
сравнительно медленно изменяется по не-
которому заданному закону. Изменение
во времени одного из параметров Ат9
(9 или ф называют модуляцией.
Изменение амплитуды Ат называется
амплитудной модуляцией, измене-
ние частоты (о — частотной модуля-
цией, изменение начальной фазы ф —
фазовой модуляцией (последние два
вида модуляции в книге не рассмот-
рены).
Рассмотрим простейший пример
функции, изменяющейся с частотой (оо
и с амплитудой Лт(г), модулированной
гармоническим сигналом с частотой
Q < (оо относительно среднего значения
АОт9 т. е. с законом изменения Am(t)
Рис. 12.9
209
(рис. 12.10, а):
/(t) = 4„(t)sincoot =
= ЛОт(1 + т cos Qr) • sin (oot. (12.27)
Частота coo называется несущей
частотой, частота Q — модули-
рующей частотой, а т — коэф-
фициентом модуляции. Коэффи-
циент модуляции характеризует степень
отличия максимальной и минимальной
амплитуд от среднего значения АОт.
Обычно т меньше единицы.
Амплитудная модуляция широко
применяется в радиовещании и радио-
связи, где несущая частота соо — это
частота радиосвязи, а модулирующей Q
служит, например, одна из звуковых
частот передаваемой речи или музыки.
При определении токов или напря-
жений в цепях, схемы которых содер-
жат источники ЭДС, модулированных
по амплитуде, последние могут быть
разложены на синусоидальные состав-
ляющие. Действительно, после преобра-
зования произведения cosQt-sinco0* =
= -^-sin(coo “ ЭД* + -ysin(coo + ЭД* в
выражении (12.27) получим
f (t) = A0msin<Oo* + A2w(sinco1t 4- sinco2t),
(12.28)
где А2т = гиЛот/2; сох = ш0 ~ ЭД ю2 =
= соо + Q и начальная фаза каждой из
трех гармонических составляющих ф* = 0.
Таким образом, простейшие моду-
лированные по амплитуде колебания
могут быть представлены в виде суммы
трех синусоидальных колебаний с несу-
щей частотой соо, б о к о в ы м и часто-
тами <»!, со2 и постоянными ампли-
тудами.
Дискретный спектр амплитуд функ-
ции (12.28) представлен на рис. 12.10,6.
При иррациональности отношения
несущей а>0 и модулирующей Q частот
они несоизмеримы, а следовательно,
кривая f(t) не периодическая. Тем не
менее эта кривая совершенно точно
может быть представлена в виде суммы
трех синусоидальных составляющих раз-
личных частот.
Представляет интерес сопоставить
спектр модулированных колебаний со
спектром огибающей колебаний Ат (f) =
= ЛОш(1 + mcosQr) (рис. 12.11, а). Спектр
огибающей содержит постоянную со-
ставляющую АОт и 1-ю гармонику с
амплитудой Alw = mAQm. Учитывая, что
cos Qt = 4- cos (— Qt), запишем огибаю-
щую (по аналогии с примером 12.2)
в виде
4»(0=-у—cos(-£lr) +
+ АОт + ^p-cos(Qt)
и представим спектр в виде трех
спектральных линий: на нулевой часто-
те (постоянная составляющая) и на
частотах — Q и ЭД расположенных сим-:
метрично относительно постоянной со-
ставляющей (рис. 12.11,6). Сопоставляя
210
спектр модулированных колебаний
(рис. 12.10,6) и симметричный спектр
огибающей Лт (г), легко заметить, что
они отличаются только сдвигом по оси
частот на интервал, равный несущей
частоте соо.
Это соотношение между частотными
спектрами огибающей и модулирован-
ных колебаний имеет большое значе-
ние, когда рассматривают различные
случаи амплитудной модуляции.
Модулированные импульсы. Передача
сигналов может производиться как при
помощи изменения параметров сину-
соиды, так и путем изменения пара-
метров последовательности импульсов
(см. пример 12.3).
Изменение во времени амплитуды
импульсов носит название амплитудно-
импульсной модуляции (АИМ), измене-
ние продолжительности импульсов т —
широтно-импульсной модуляции
(ШИМ), изменение частоты импульсов
соо = 2 л/Т — частотно-импульсной моду-
ляции (ЧИМ), а изменение фазы им-
пульсов — фазо-импульсной модуляции
(ФИМ).
Рассмотрим простейший пример
амплитудно-импульсной модуляции при
т То (см. пример 12.4), если ампли-
туда импульсов изменяется во времени
(рис. 12.12, а) по закону
@тах (Г) = Лот (1 + rncosQt). (12.29)
Согласно (12.12а) спектр модулиро-
ванных импульсов приближенно описы-
вается уравнением
т 00
/(<x>t) = —AOm(l+mcosQt) Y coskco0t.
1 k=~ao
(12.30)
После преобразования произведения
косинусов cos а • cos Р = “у cos (а — Р) +
+ -|-cos(a + Р) получим
/(<О1) = Л0ту
+ — cos(/cco0 — Q)t+ yCos(/cco0 + Q)t .
(12.31)
Таким образом, спектр модулиро-
ванных импульсов (рис. 12.12,6) пред-
ставляет собой периодическую функцию,
повторяющую с периодом соо симмет-
ричный спектр модулирующей огибаю-
щей (рис. 12.11,6). Чтобы спектр мо-
дулированных колебаний на каждом из
интервалов частот (к — 0,5) соо < со <
< (к + 0,5) соо без искажений воспроиз-
водил спектр модулирующей огибаю-
щей, необходимо выполнить условие
2Q < соо.
Рис. 12.12
211
Это очень важное в практике радио-
техники, телемеханики и автоматики не-
равенство было получено акад. В. А. Ко-
тельниковым.
12.6. Действующие значения ЭДС,
напряжений и токов
с периодическими огибающими
Несинусоидальные функции, полу-
чающиеся в результате биений и моду-
ляции, являются либо периодическими,
либо при несоизмеримости частот почти
периодическими. Хотя в последнем слу-
чае период кривой возрастает до бес-
конечности и говорить о действующем
значении не имеет смысла, формула
(12.17) дает значение, близкое к дейст-
вующему за период огибающей функ-
ции. (Строго говоря, действующие зна-
чения за различные периоды огибаю-
щей при несоизмеримости частот ока-
зываются различными, так как одной и
той же фазе огибающей соответствуют
различные фазы несущей частоты. Од-
нако при cd0 » Q это различие на-
столько ничтожно, что им можно пре-
небречь.)
Под действующим значением коле-
баний с периодической огибающей,
описываемых функцией
f (t) = F (Qt) • sin coot,
обычно понимают действующее значе-
ние огибающей, деленное на |/2:
где Т = 2ti/Q.
Соответственно для модулирован-
ных по амплитуде импульсов дей-
ствующее значение огибающей умно-
жается на |/а.
Выражением (12.32) можно пользо-
ваться, если исследуется непериодичес-
кий процесс в электрической цепи за
достаточно большой промежуток вре-
мени.
Покажем, что для рассмотренных
случаев биений и модуляции расчет
по (12.17) и (12.32) дает одинаковые
результаты. Действительно, в случае
биений получим по (12.17)
А = |/(Лт//2)2 + (Лт/|/2)2 = Ат
и по формуле (12.32) Л = (1/]/2)х
х 2Лw/]/2 = Ат.
В случае амплитудной модуляции
получим по формуле (12.17)
л _ л ]/ 1 , _АЬт\11 .
А АОт 2 + 4 |/ + 2 >
то же получается и по (12.32).
12.7. Расчет цепей
с несинусоидальными
периодическими ЭДС,
напряжениями и токами
Если в линейной цепи действует
один или несколько источников несину-
соидальных периодических ЭДС и токов,
то расчет такой цепи распадается на
три этапа.
1. Разложение ЭДС и токов источни-
ков на постоянную и синусоидальные
составляющие (получение дискретного
спектра).
2. Применение принципа наложения
и расчет токов и напряжений в цепи
для каждой из составляющих в от-
дельности.
3. Совместное рассмотрение реше-
ний, полученных для каждой из состав-
ляющих.
Суммирование составляющих в об-
щем виде часто бывает затруднительно
и далеко не всегда необходимо, так
как уже на основании дискретного
спектра можно судить о форме кривой
и об основных величинах, ее характе-
ризующих.
Рассмотрим второй этап, представ-
ляющий собой основную часть расчета.
Если, например, несинусоидальная
ЭДС представлена в виде суммы по-
стоянной и синусоидальных составляю-
щих, то источник несинусоидальной ЭДС
можно рассматривать как последова-
тельное соединение источника постоян-
ной ЭДС и источников синусоидаль-
ных ЭДС с различными частотами.
212
в Eq 6^
^Q ° ° 0 О 0 0
a) 5)
Рис. 12.13
Так, если ЭДС (рис. 12.13, и)
е = Ео + Etm sin (со^ + \|/i) +
+ E2msin(w2t + ф2), (12.33)
то действие источника такой ЭДС
аналогично действию трех последова-
тельно соединенных источников ЭДС
(рис. 12.13,6):
ео = EoJ 1
?! = E^sin^r + фО; > (12.34)
<?2 = £2msin(a>2t + ф2). J
Применив принцип наложения и
рассмотрев действие каждой из состав-
ляющих ЭДС в отдельности, можно
найти составляющие токов во всех
участках цепи.
Мгновенное значение тока в цепи
равно сумме мгновенных значений
составляющих токов. Если, например,
в какой-либо ветви токи, создаваемые
ЭДС Ео, ег и е2, соответственно равны
70, Ч и i2, то общий ток
i — Iq + ii + 12-
Таким образом, расчет линейной
цепи с несинусоидальными ЭДС сво-
дится к решению п задач с синусоидаль-
ными ЭДС, где п — число синусоидаль-
ных составляющих ЭДС различных
частот, и одной задачи с постоянными
ЭДС.
При решении каждой из этих задач
необходимо учитывать, что для различ-
ных частот индуктивные и емкостные
сопротивления неодинаковы. Индуктив-
ное сопротивление для /с-й гармоники
в к раз больше, а емкостное, наобо-
рот, в к раз меньше, чем для первой:
= /ccoL = кхы;
Хс/с = 1ДсоС = хС\/к,
Активное сопротивление также зави-
сит от частоты — увеличивается с ростом
последней вследствие поверхностного
эффекта. Если расчет ведется для гар-
моник невысоких частот и относительно
малых сечений проводов, можно не
учитывать изменения сопротивления с
частотой и считать, что при всех
частотах активное сопротивление равно
сопротивлению при постоянном токе.
Если источник несинусоидальной
ЭДС подключен непосредственно к ем-
костному элементу, то для /с-й гармо-
ники тока
jk = ^sin ( kat 4- + 4 ), (12.35)
Хк \ — /
где хк = 1//ссоС.
Чем больше к, тем меньше значе-
ние емкостного сопротивления для этой
гармоники. Следовательно, высшая гар-
моника ЭДС или напряжения, даже если
ее амплитуда составляет незначительную
долю амплитуды основной гармоники,
может вызвать ток в емкости, соизме-
римый с током основной гармоники и
даже его превышающий. Поэтому и
при напряжении, близком к синусоидаль-
ному, ток в емкости может быть резко
несинусоидален из-за высших гармоник.
При подключении источника сину-
соидальной ЭДС к индуктивному эле-
менту ток /с-й гармоники
ik = ^-sin(/ccot + ф* — (12.36)
хк \ 2 /
где хк = /ccoL.
С увеличением порядка /с-й гармони-
ки индуктивное сопротивление для этой
гармоники возрастает. Поэтому в токе
индуктивного элемента высшие гармо-
ники всегда имеют относительно мень-
шее значение, чем в напряжении; даже
при резко несинусоидальной кривой на-
пряжения форма кривой тока нередко
приближается к синусоиде.
Если задача поставлена иначе, зада-
ны не ЭДС, а токи несинусоидальных
источников, то принцип решения задачи
остается тем же.
Источник несинусоидального тока
всегда можно представить в виде парал-
лельного соединения ряда источников,
синусоидальный ток каждого из которых
равен соответствующей составляющей
несинусоидального тока. Так, если к
узлам ветви или выводам двухполюс-
213
ника подводится несинусоидальный ток
(рис. 12.14, а)
i = Iq 4- Iim sin (сохГ + aj 4-
4- /2m(sinco2t 4- a2), (12.37)
то источник такого тока действует
подобно параллельному соединению
трех источников (рис. 12.14,6):
*о —
h = 4- at);
i2 = l2msin(co2t 4- a2).
(12.38)
Рассчитав напряжения на сопротив-
лении от каждой из составляющих
тока, легко найти мгновенное значе-
ние полного напряжения как сумму
отдельных составляющих.
При расчете каждой из гармоник
можно пользоваться комплексным мето-
дом и строить векторные диаграммы
для каждой из гармоник в отдель-
ности. Однако недопустимы суммиро-
вание векторов и сложение комплексных
напряжений и токов различных гармо-
ник. Действительно, при определении
мгновенных значений тока по комплекс-
ному необходимо вектор, изображаю-
щий комплексную амплитуду каждой
гармоники, вращать со своей угловой
скоростью к(£> и строить зависимость
от времени его проекции на ось мни-
мых величин. Так как для различных
гармоник частоты вращения различны,
то геометрическое суммирование векто-
ров, изображающих комплексные ампли-
туды, дает возможность определить
мгновенное значение их суммы только
в момент времени t = 0 и в общем
случае не имеет смысла. При вычерчи-
вании кривых отдельных гармоник сле-
дует всегда иметь в виду, что период
гармоники обратно пропорционален ее
номеру. Следовательно, если по оси аб-
сцисс отложено cot, то, соблюдая один
и тот же масштаб, вместо углов afc надо
откладывать углы ак/к.
Пример 12.8. В схеме высокочастотного
лампового генератора, изображенного на
рис. 12.15, а, известны анодный ток i электрон-
ной лампы Л, и ЭДС Ео = 1 кВ источника
питания. Этот ток при заданных напряже-
ниях на сетке и аноде электронной лампы
(в амперах)
i = 8 + 12 cos cot + 4cos2cot.
Найти ток f в источнике питания и
ток Г в конденсаторе Сл.
Рис. 12.15
214
Решение. Для определения токов и
напряжений необходимо независимо рассчи-
тать три схемы, изображенные на рис.
12.15,6-?. На схемах показаны ЭДС Ео,
токи источников различных частот /0 = 8 А;
Ц = 12Д/2 А; 12 = 4/1/2 А и значения пара-
метров.
Рассчитав токи в каждой из схем, по-
лучаем округленно для постоянной состав-
ляющей /'о = 8 А и Iq = 0, для 1-й гармо-
ники = 6 z_ 177/2 А и !'[ = 12 л. 1207/2 А,
для 2-й Iармоники /2 =0,15zi — 88°/|/2 А и
Г2 =4.15x190'7/2 А.
Просуммировав мгновенные значения
различных гармонических составляющих, по-
лучим
f = [8 -I- 6 sin (cot 4-17°) 4- 0,15 sin (2cor — 88°)] A;
Г = [12sin(cor + 120°) 4-4,15sin(2cot 4-90°)] A.
На рис. 12.16 построен график состав-
ляющих и результирующего тока Г. Так как
по оси абсцисс отложено сог, то при построе-
нии синусоиды 2-й гармоники начальная
фаза (90°) разделена на номер гармоники
(90°/2 = 45°).
Пример 12.9. Определить напряжения и"
на вторичных выводах четырехполюсника в
режиме холостого хода при известном
напряжении на первичных выводах и'
(рис. 12.17).
Для четырехполюсника теоретически или
экспериментально получена зависимость
передаточной функции от частоты
Х(/ш) = ^р,
где /сир — модуль и аргумент комплексной
функции К (/со).
Напряжение на первичных выводах пред-
ставляет собой сигнал, модулированный по
амплитуде, спектр которого задан уравнением
(12.28).
Решение. Напряжение и' на первичных
выводах четырехполюсника согласно (12.28)
u'(t) = C^omSincOot 4- l/'^sinoM 4- C/^sina^,
причем U'lm = U'2m, и будем искать напря-
жение на вторичных выводах в виде суммы
u"(t) = U’Om sin (<o0t + Фо) + [/„sinfcojt + ф'() +
+ ^„sin(<o2t + ф'П,
где U'km = к (со*) U'km; ф(' = ф) + р (со*).
Для рассматриваемого четырехполюсни-
ка при холостом ходе
Рис. 12.17
215
где т = гС; к = 1/|/1 + 1/(сот)2 ; p = arctg—
На рис. 12.18, а, б построены графики
к (со) и 3 (со).
Чтобы рассматриваемый сигнал про-
ходил через четырехполюсник без сущест-
венных искажений, т. е. и" мало отличалось
от и', необходимо выбрать параметры четы-
рехполюсника, удовлетворяющие условию
coil > 10.
Как следует из рис. 12.10 и 12.18,
при этом условии напряжения на входе и
выходе четырехполюсника практически не бу-
дут отличаться, так как для всех трех
составляющих сигнала к (со) % 1 и Р (со) % 0.
12.8. Резонанс в цепи
несинусоидального тока
При несинусоидальных напряжениях
и токах явление резонанса усложняется,
так как возможны отдельные резонансы
гармонических составляющих.
Предположим, что источник не-
синусоидального напряжения, состояще-
го из трех гармоник, подключен к
последовательному контуру (рис. 12.19).
Ток каждой из гармоник
1к = —==_~4==. (12.39)
у г2 -I- (kcoL — 1/kcoC)2
Если, например, индуктивность L
изменять от нуля до бесконеч-
ности, то действующее значение каж-
дой из составляющих тока будет
изменяться по резонансной кривой от
Ло — ^к/]/г2 + 1Д2<о2С2 при L = 0 до
Uk/r при L = Lk = 1//с2со2 С и далее
будет снижаться до нуля при L—>ос.
На рис. 12.19 штриховой линией
построены резонансные кривые для трех
гармонических составляющих периоди-
ческого несинусоидального тока. Значе-
ния индуктивности L при резонансах
(Lk) обратно пропорциональны квадрату
номера гармоники:
Lk = 1//с2со2С. (12.40)
Кривая общего действующего тока
I = |Л1 + /2 + /з (12.41)
при достаточно малом г имеет три
резко выраженных максимума, соответ-
ствующих резонансным значениям ин-
дуктивности.
Аналогичные зависимости получают-
ся и при изменении емкости или
частоты, если, конечно, в последнем слу-
чае форма кривой напряжения остается
неизменной.
В цепях, содержащих источники не-
синусоидальных ЭДС и токов, резонанс-
ные явления могут применяться для
выделения требуемых частот и, наобо-
рот, для подавления нежелательных
частот.
Пример 12.10. Несинусоидальное напря-
жение и' на выводах 1-Г четырехполюсника
(рис. 12.20, а) получено в результате двух-
полупериодного выпрямления синусоидаль-
ного напряжения с угловой частотой со
(см. приложение 3, строка 9).
216
Последовательный контур и парал-
лельный L2C2 настроены в резонанс на
2-ю гармонику 2со, т. е. 2cDLi = 1/2cdCi и
2cdL2 = 1/2соС2.
Найти действующее значение напряже-
ния и" на выводах 2-2' и коэффициент
искажения в режиме холостого хода при
следующих параметрах: =coL2 = 10 Ом;
= 1000 В.
Решение. В напряжении и" выделяется
2-я гармоника, так как для нее сопротив-
ление последовательного контура LrCi и про-
водимость параллельного контура Ь2С2 рав-
ны нулю, в то время как для всех осталь-
ных гармоник соответствующие сопротивле-
ние и проводимость конечны и растут с
номером гармоники.
В режиме холостого хода, как следует
из рис. 12.20, а, для каждой гармоники
Щ = V'kZ2l(Zi + Z2), где
Zx = jikiuLx — l/ZccoCi);
z ь2/с2
~2 /(/cwL2 - l//cwC2)
Разложив напряжение и' в ряд по фор-
муле, приведенной в строке 9 приложения 3,
получим, что постоянная составляющая и"
равна нулю (постоянного тока в последо-
вательном контуре нет), 1-й гармоники и"
нет, так как ее не содержит напряжение
и' (нет и всех высших нечетных гармоник).
Для 2-й гармоники Zx = 0, a Z2 = оо,
поэтому напряжения на входе и выходе
четырехполюсника одинаковы: U2m = U2m =
= 4нтах/2л = 425 В.
Для 4-й гармоники Zr = /30 Ом,
Z2 = -/13 Ом, (7'4ni = 4ншях/15л = 85 В, и,
следовательно, (74ш = 85-13/17 = 65 В.
Для 6-й гармоники Z{ = /53 Ом,
Z2 = —/7,5 Ом, (7'6и1 = 4ишях/35тс = 36 В и
Щт = 36- 7,5/45,5 = 6 В.
Восьмой и более высокими гармони-
ками можно пренебречь.
Таким образом, действующее напряже-
ние на вторичных выводах
U" = ]/(4252 + 652 + 62)/2 = 320 В,
действующее напряжение основной (2-й) гар-
моники U2 = 425/]/2 = 300 В, и коэффициент
искажения кИ = 0,94.
В целях улучшения формы кривой и"
целесообразно включить параллельно конту-
ру Zi конденсатор С3 и обеспечить для
напряжения 4-й гармоники резонанс токов
в контуре при 1/4соС3 = 30 Ом.
В этом случае для 4-й гармоники Zt = oo,
и, следовательно, U^m = 0.
Рис. 12.20
Для 6-й гармоники Zv = —/32 • Ом,
Z2 = —/7,5 Ом и получается U'^m =
= 36-7,5/39,5 %7 В.
Действующее напряжение U' =
= |/(4252 + 72)/2 % 300 В, и коэффициент ис-
кажения /си % 1 (рис. 12.20,6).
Такая схема представляет собой частный
случай полосового фильтра (см. гл. 18) и
может быть применена для увеличения
частоты вдвое (умножитель частоты). На
аналогичном принципе основываются ут-
роители частоты и умножители частоты
большей кратности.
12.9. Мощность в цепи
несинусоидального тока
Активная мощность периодического
тока произвольной формы определяется
как средняя мощность за период
Т
„ 1 f ’J
Р = — I uidt.
TJ
о
(12.42)
Если мгновенные значения напряже-
ния и тока выразить в виде тригоно-
метрических рядов, то получим
Ukm sin (кая + фцЬ)
X
£ Ikm sin (fcojr +
.k = 0
dt.
217
Так как среднее за период значение
произведения мгновенных значений сину-
соид различной частоты равно нулю (см.
§ 12.3) и тригонометрические ряды абсо-
лютно сходятся при любых частотах со, то
т 00
Р = У j sin (kcot + фик) X
0 fc = 0
х sin (kcot +
или после интегрирования
D гт , л \^UkmIkmcos<pk
Р = U0I0 + 2^---------2------=
fc = l
= ^l/k7tcoSq>b (12.43)
fc = 0
где <р* = - ф.к.
Из этого выражения следует очень
важный вывод, что средняя мощность
несинусоидального тока равна сумме
средних мощностей отдельных гармоник
(постоянная составляющая рассматри-
вается как нулевая гармоника с ср0 = 0):
Р= Z Л (12.44)
к = 0
(равенство Парсеваля).
Полученная таким образом мощ-
ность представляет собой активную
мощность или энергию, необратимо пре-
образуемую в единицу времени в данном
участке цепи в тепловую, механическую
или какую-либо иную форму энергии.
Кроме понятия активной мощности
Р по аналогии с синусоидальными
токами вводится понятие полной мощ-
ности S, определяемой как произведение
действующих значений тока и напря-
жения :
S = UI = (12.45)
' к=0 к=0
Активная мощность меньше полной;
исключение составляет только мощность
в цепи, сопротивление которой — чисто
активное, т. е. Uk = rlk, и, следовательно,
S = Р.
Отношение активной мощности к
полной называют коэффициентом
мощности и иногда приравнивают
косинусу некоторого условного угла В:
X = P/S = cos$. (12.46)
Можно дать геометрическую интер-
претацию углу В, пользуясь понятием
эквивалентных синусоид тока
и напряжения, действующие значения
которых равны действующим значениям
несинусоидальных величин. Если между
эквивалентными синусоидами напряже-
ния и тока будет такой угол сдвига
фаз, при котором мощность, выделяемая
в цепи, равняется мощности несину-
соидального тока, то этот угол сдвига
и равен условному углу В.
Формально можно ввести понятие
реактивной мощности, определяемой как
сумма реактивных мощностей отдель-
ных гармоник:
6 = tukIkSinVk. Н2-47)
Для несинусоидальных токов в отли-
чие от синусоидальных квадрат полной
мощности обычно больше суммы квадра-
тов активной и реактивной мощностей:
S2 > Р2 + Q2.
В цепях передачи сигналов (неси-
нусоидальные функции) отсутствуют
искажения, если сопротивление приемни-
ка Z (см. рис. 3.22) равно внутреннему
сопротивлению источника ZBT, так как
в этом случае при любой частоте
напряжение приемника U равно половине
ЭДС Е источника.
Пример 12.11. Вычислить Р, Q и S,
если напряжение и ток состоят из двух
гармоник: 1-й и 3-й. Известны действую-
щие значения гармоник напряжения (Ur и 1/3)
и тока (Ц и 13\ а также углы сдвига фаз
между гармониками напряжения и тока (фх
и Фз)-
Решение. В этом случае мощности
Р— UlI1cos(^l + L73Z3cos(p3;
Q = U Ji sin (pi + l/373sin(p3;
218
s = l/(U2t + Ul)(H + Ц);
S2-(P2 + Q2)^U21Ii + U23li-
— 2U1/10T373(cos(p1-cos(p3 + sincpi-sin<p3) =
= (l/1/3)2-2L71/1U3/3cos(<p1-<p3) + (l/3/1)2.
Очевидно, что S2 = P2 + Q2 только при
условиях <pi = <p3 и 171Д1 = Оба эти
условия выполняются только при чисто
активном сопротивлении приемника, т. е. при
одинаковых формах кривых тока и напряже-
ния.
12.10. Высшие гармоники
в трехфазных цепях
В трехфазных цепях кривые напря-
жения во второй и третьей фазах со
сдвигом на треть периода обычно в
точности воспроизводят форму кривой
напряжения в первой фазе. Так, напри-
мер, если напряжение иА в фазе А
может быть представлено некоторой
функцией времени иА = f (f), то ив =
= /(t-T/3); wc = /(t+T/3), где Т-
период основной частоты.
Рассмотрим гармонику порядка к
функции f (t) во всех трех фазах.
Пусть иАк = Ukm sin (кем + фк).
Учитывая, что соТ = 2л и подстав-
ляя вместо t соответственно t — Т/3 и
t + Т/3, получаем иВк = Ufcmsin(/ccot +
+ — 2/сл/З); иск — Ukm sin (kent + \|/k +
+ 2/сл/З).
Сравнивая полученные выражения
для различных значений /с, можно
заметить, что напряжения гармоник по-
рядка, кратного трем (к = Зи), где п —
любое целое число, во всех фазах в
любой момент времени имеют одно и то
же значение и направление. При к — Зп + 1
гармоники трех фаз образуют симмет-
ричную систему напряжений, последо-
вательность которой совпадает с после-
довательностью фаз 1-й гармоники. При
к = Зп 4- 2 гармоники образуют сим-
метричную систему напряжений с по-
следовательностью, обратной основной.
Таким образом, гармоники порядка
1, 4, 7, 10, 13 и т. д. образуют
системы напряжений прямой последова-
тельности, гармоники 2, 5, 8, И, 14
и г. д. образуют системы напряжений
обратной последовательности. Наконец,
гармоники 3, 6, 9, 12 и т. д. обра-
зуют системы напряжений нулевой по-
следовательности. При наличии постоян-
ной составляющей в напряжении каждой
из фаз она может рассматриваться как
нулевая гармоника порядка, кратного
трем (к — 0), т. е. образующая нулевую
последовательность.
В большинстве практически важных
случаев в напряжениях отсутствуют как
постоянная составляющая, так и все чет-
ные гармоники, поэтому в дальнейшем
ограничимся исследованием только не-
четных гармоник.
Рассмотрим различные схемы соеди-
нения трехфазных цепей.
Если фазы генератора соединены
звездой, то при несинусоидальном фаз-
ном напряжении линейные напряжения,
равные разностям напряжений двух
смежных фаз, не содержат гармоник
напряжений порядка, кратного трем,
так как последние образуют системы
нулевой последовательности.
Отсутствие гармоник порядка, крат-
ного трем, в линейных напряжениях
приводит к тому, что при несинусоидаль-
ных напряжениях отношение линейного
напряжения к фазному меньше |/3. Дей-
ствительно, фазное напряжение
(7ф = + l/j + I/5 + 1/7 + ...,
а линейное напряжение
ил = ]/3]/u2i + U2s + Ui +
Отсюда следует, что
(12.48)
При симметричной нагрузке фазные
токи основной частоты и все высшие
гармоники, за исключением высших гар-
моник порядка, кратного трем, образуют
системы прямой и обратной последо-
вательностей и дают в сумме нуль.
Гармоники же порядка, кратного трем,
образуют систему нулевой последова-
тельности, т. е. имеют в любой момент
времени одинаковые значения и направ-
ления. Поэтому ток в нейтральном
проводе равен утроенной сумме токов
высших гармоник нулевой последова-
219
тельности:
iN = з/zi + + /h +.... (12.49)
При отсутствии нейтрального про-
вода токи в каждой из фаз не могут
содержать высших гармоник порядка,
кратного трем, так как в этой схеме
сумма токов в любой момент времени
должна равняться нулю, что невозмож-
но при наличии высших гармоник по-
рядка, кратного трем. Поэтому в прием-
нике нет напряжений от токов нулевой
последовательности и между нейтраль-
ными точками генератора и симметрич-
ного приемника может появиться зна-
чительное напряжение, содержащее толь-
ко гармоники, кратные трем.
Если фазы генератора соединены
треугольником, то при несинусоидаль-
ных ЭДС в фазах сумма ЭДС, дейст-
вующих в замкнутом контуре генера-
тора, не равна нулю, как при сину-
соидальных ЭДС, а равна тройной сумме
высших гармоник порядка, кратного
трем. Если включить вольтметр в рас-
сечку треугольника (рис. 12.21), то вольт-
метр измерит гармоники ЭДС порядка,
кратного трем, так как остальные в
сумме дадут нуль, т. е.
и = 3 \/е23 + Е% + Е215 + 77.. (12.50)
Открытый треугольник с ЭДС, со-
держащими высшие гармоники, приме-
няется как утроитель частоты (см.
гл. 25).
Если фазы соединены в замкну-
тый треугольник, то ЭДС гармоник
порядка, кратного трем, вызывают
внутренний ток в генераторе. Этот ток
протекает в замкнутом треугольнике
генератора даже и в режиме холостого
Рис. 12.21
хода генератора. Составляющая фазной
ЭДС, содержащая гармоники порядка,
кратного трем, однако, не выявляется
между выводами фаз, так как она компен-
сируется падением напряжения на внут-
реннем сопротивлении фазы генерато-
ра. Фазное напряжение, равное в данном
случае линейному,
С/ф = + +£? + .... (12.51)
Поэтому во внешней цепи, подклю-
ченной к генератору, обмотки которого
соединены треугольником, токи не со-
держат гармоник порядка, кратного
трем.
Фазный ток генератора при симмет-
ричной нагрузке
/ф = j/li -I- /3 +15 4-17 +...,
а линейный ток во внешней цепи
1Л = |/3(/| + Д + Н + -) < ]/з/ф. (12.52)
Пример 12.12. Найти показания прибо-
ров при разомкнутом и замкнутом ключе 5
в трехфазной цепи (рис. 12.22, а), имеющей
соединенную звездой трехфазную систему
источников (вторичные обмотки трехфазного
трансформатора) с фазными ЭДС (в вольтах):
еА — 2201/2 sin сое 4- 50 ]/2 sin (3со14- 90°) 4-
+ 30 j/2 sin (Scot + 90°);
ев = 220 j/2 sin (cot - 120°) +
+ 5O|/2sin(3cot + 90°) + 30|/z2sin(5cot — 150°);
ec = 220|/2sin(cot — 240°)+
+ 50 j/2 sin (3<ot + 90) + 30]/2sin(5wt - 30°).
Сопротивление источника для 1-й гар-
моники ZH1 == г 4-7'coL »/1 Ом. Приемником
служат три конденсатора, соединенных
звездой. Для 1-й гармоники Zni = l//coC =
= — 7IO Ом.
Решение. Найдем показания прибо-
ров (индексы токов и напряжений соответ-
ствуют обозначениям приборов в схеме).
Для случая звезды без нейтрального
провода (ключ 5 разомкнут)
Л = /ф = /л = ]/(£1Д1)2 + (£5/<,)2 =
= ]/И4т’+“1б7 = 26,2 А;
U3 = (/(Щ/о/ +710^2 » 244 В;
1/4 = 50 В;
220
Рис. 12.22
Ut = \/и23 + Ui = 250 В;
U2 = U5 = ]/3 U3 = 423 В.
Для случая звезды с нейтральным про-
водом (ключ 5 замкнут)
/1 = /ф = /л = V(El/zl)2 + (E3/z3)2 + (E5/z5)2 =
= |/24,42 + 1502 + 102 = 152 А;
U3 = U г = /(24,4 • 10)2 +(150-3,33)2 + (Ю-2)2 =
= 556 В;
U2 = С5 = 423 В;
12 = 3(50/0,33) = 450 А.
Близость к резонансу на 3-й гармонике
привела к очень большому значению тока
3-й гармоники в нейтрали. В этом случае
оказалось, что линейное напряжение, которое
не содержит 3-й гармоники, меньше фазного,
так как вследствие почти резонансного
режима 3-я гармоника фазного напряжения
больше основной.
Пример 12.13. Найти показания приборов
при тех же фазных ЭДС и сопротивлениях,
что и в примере 42.12, но при соединении
фаз источника и приемника треугольни-
ком (рис. 12.22,6).
Р е ш е н и е. В этом случае 3-я гармоника
замыкается в контуре генератора и
Ц >3 = 50/3 = 16,7 А.
Так как остальные составляющие те же,
что и в примере 12.12, то
Л = jAl, 1 + ^1,з + П,5 =
= 1/24,42 + 16,72 + 102 = 31 А;
h = jAi, i + 5 =
= ]/24,42 + 102 = 26,6 А;
/2 =/3 j/з = 45,5 А;
Сл = ]/ul + Ul = 244 В.
Таким образом, 3-я гармоника влияет
только на внутренние токи источника и не
сказывается на распределении токов и напря-
жений приемника.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
13.1. Основные понятия
и определения
В гл. 1 были даны основные по-
нятия, относящиеся к топологическим
графам, которые показывают геометри-
ческую структуру электрической цепи.
Применение топологических графов по-
лезно, например, для выбора системы
независимых контуров при расчете ре-
жима цепи методом контурных токов
(см. § 1.9) и вообще при составлении
топологических уравнений (см. § 1.10).
Для исследования сложных электри-
ческих систем, в особенности цепей с
обратной связью, существенное сокраще-
ние объема вычислений дает применение
сигнальных графов, которые по-
казывают графически соотношения меж-
ду неизвестными и заданными перемен-
ными величинами (токами, напряжения-
ми, потенциалами, ЭДС) системы урав-
нений, определяющих режим цепи.
Сигнальный граф, как и топологический,
состоит из ветвей, которые соединяются
в узлах. Однако узлы сигнального
графа соответствуют не узлам электри-
ческой схемы, а переменным величи-
нам; направленные ветви сигналь-
ного графа отображают причинно-
следственные связи между величинами,
представленными в виде узлов, которые
называют сигналами.
Достоинство сигнальных графов со-
стоит не только в их наглядности;
применение сигнальных графов во мно-
гих случаях позволяет определить зави-
симость любой переменной величины —
сигнала от других переменных не-
посредственно по конфигурации графа.
В качестве примера рассмотрим по-
строение сигнального графа системы
уравнений, составленных для контурных
токов схемы на рис. 13.1,а:
Zu/i ~ Zli — \
-Zh^Z12l2= -Z33L (ВЛ)
где Zu ~ Zi + Z\ Z22 ~ Z + Zi Zi-
Из (13.1) следует, что
7 7
(13.2)
_22 412
Последним уравнениям соответст-
вует сигнальный граф (рис. 13.1,6).
Пользуясь методом узловых потен-
циалов и принимая фз — 0, составляем
для той же схемы (рис. 13.1, а) выра-
жения, определяющие потенциалы ф! и
ф2 узлов 1 и 2 в виде
Ф1 — у—ь -у— Ф1»
Ф2 = + /-Ф1, (13.3)
222 222 -
где Уц = У1 + У+У2 и У22=У2 + Уз.
Этим уравнениям удовлетворяет
сигнальный граф, изображенный на
рис. 13.1, в. Легко заметить, что урав-
Рис. 13.1
222
нения (13.2) и (13.3), представленные
на рис. 13.1 сигнальными графами,
записаны в форме «причинно-следст-
венных» отношений, так как каждая
переменная выражена в явном виде
через другие переменные.
Введем дополнительные термины,
применяемые для сигнальных графов.
Истоком сигнального графа (исто-
ком) называется узел, от которого
направлены все примыкающие к нему
ветви. Истоку (обозначен жирной точкой)
соответствует независимая переменная,
представляющая обычно физическую
причину. На рис. 13.1,6 и в изображены
истоки для источника ЭДС и
источника тока J,
Стоком сигнального графа назы-
вается узел, к которому направлены
все примыкающие ветви и который
изображает зависимую переменную (сиг-
нал).
Передача ветви характеризует
интенсивность передачи сигнала по этой
ветви и в общем случае выражается
в виде ajk = *j/xk или Xj = ajkxk
(рис. 13.2), где хк и Xj — сигналы в
узлах к и j, a ajk — передача сигнала
из узла к в узел j.
Истоки содержат только выходящие
ветви, а стоки — только входящие.
На рис. 13.1,6 и в нет стоков,
так как в (13.2) и (13.3) каждый ток
и потенциал выражены не только через
независимые переменные (ЭДС и ток
источника), но и через ток другого
контура и потенциал другого узла. В
этом случае, чтобы, например, для
потенциала узла 1 получить сток, сле-
дует добавить ветвь с передачей, равной
единице (штриховая линия и узел, обозна-
ченный кружком на рис. 13.1, в). Такое
изменение графа называется удлинением
узла.
Любой другой узел, кроме истоков
и стоков, соответствует, как уже отме-
чено, одной из зависимых переменных
системы уравнений и может быть назван
Рис. 13.2
промежуточным узлом. Передача ветви
может быть размерной или безразмерной
величиной. Например, в сигнальном гра-
фе на рис. 13.1,6 передача от источ-
ника ЭДС Ег имеет размерность про-
водимости; все остальные передачи без-
размерные. В сигнальном графе на
рис. 13.1, в передача от источника тока
J имеет размерность сопротивления, а
остальные передачи безразмерные.
Узловой сигнал в любом узле, кро-
ме узлов истока, равен сумме сигналов,
поступающих по ветвям, направленным
к этому узлу. Ветви, направленные от
узла, не влияют непосредственно на его
узловой сигнал, но создают сигналы
в других узлах, к которым они направ-
лены.
В дальнейшем будем пользоваться
без специальных оговорок более кратким
термином «граф» вместо «сигнальный
граф».
13.2. Применение топологических
уравнений для построения
сигнальных графов
Для построения графа на основании
законов Кирхгофа следует придержи-
ваться определенной последователь-
ности. Сначала выбирается дерево, со-
держащее ветви с источниками ЭДС или
без источников ЭДС, но не содержащее
источников тока. Так, для построения
графа схемы рис. 13.3, а на рйс. 13.3,6
выбрано дерево из трех ветвей с произ-
вольными положительными направле-
ниями напряжений Ui9 U2 и U3. Затем
напряжения ветвей связи выражаются
через напряжения ветвей дерева, а токи
ветвей дерева — через токи ветвей связи;
в результате получаются уравнения
U4 = - U!-U3- и5 = и2 + и3,
U6 = -Ui + U2, (13.4)
токи ветвей связи
Ь = [/4У4; 1.5 = U5Y5;
1б = U6Y6, (13.5)
и токи ветвей дерева
/1 = /4 + /б» h — “/5 —
l3=h-[5- (13.6)
223
Рис. 13.3
Наконец, напряжения на ветвях дере-
ва выражаются через сопротивления,
токи и ЭДС ветвей:
Ui =Zxli - Et; U2 = Z2[2-E2-,
U3 = Z3I3. (13.7)
Последовательность построения уз-
лов и ветвей графа соответствует по-
следовательности записи уравнений
(13.4) —(13.7). На рис. 13.3, в изображен
граф для заданной мостовой схемы,
полностью удовлетворяющей приведен-
ным системам уравнений.
Если в схеме есть ветви, содер-
жащие только идеальные источники
ЭДС, и естъ^ ветв^ содержащие только
идешнгНыесисточникитекЕ^Зго первые
должны! быть 1рключены в & лево,
а
Для иллюстрации построения графов
методом узловых потенциалов и мето-
дом контурных токов выберем схему,
показанную на рис. 13.4, а.
Пользуясь методом узловых потен-
циалов, записываем для этой схемы
уравнения
Ф11111 “ Ф2^4 —
- Ф1У4 + Ф.2_^22 “ Ф3У5 = 0;
— Ф2Г5 + ФзУзз = £У6,
(13.8)
где Ь1 = Ь + Г4; У22 = У2 + У4 4- У5;
Хзз = 1з + Г5 + У6.
Из (13.8) потенциалы узлов
1 , 14
Ф1 = V—+ V—^2’
J 11 J. 11
Ф2 = А<Р1 + #Чз; (13.9)
±22 ±22
ФЗ = + У ~~Ф2*
±33 ±33
Y^/YiZ Ys/Y33
у)3
I/Zin Z3/Z55 ig
Уравнениям (13.9) удовлетворяет
граф, показанный на рис. 13.4,6.
Пользуясь методом контурных токов,
записываем для схемы рис. 13.4, а урав-
нения
Z44I4 — Z2I5 = JZ^;
-Z2I4 + Z55I5 - Z3I6 = 0; > (13.10)
— Z3/5 + Z66/6 = — E, J
где Z44 — Zj + Z4 4- Z2\ Z55 = Z2 4-
+ Z5 + Z3; Z66 = Z3 4- Zg,
Из этих уравнений контурные токи
B)
Рис. 13.4
- Д-J +
Z-44 Z-44
224
г - ~2 I 4- ~3 Z
Is — ---i4 + 7 L6,
^55 _55
l - 1 F 4- ~3 I
16 — “ £- + _5*
£"66 ~66
(13.11)
На рис. 13.4, в построен граф,
удовлетворяющий (13.11).
Таким образом, в зависимости от
выбранного метода расчета и составле-
ния уравнений получаются различные
графы для одной и той же схемы.
При этом легко убедиться, что графы,
построенные на основании законов Кирх-
гофа, сложней графов, построенных на
основании уравнений для контурных
токов или узловых потенциалов.
Преобразования графов и их связь
с преобразованиями электрических схем.
Для получения правил преобразования
графов рассмотрим ряд примеров.
Исключим из системы уравнений
(13.2) ток /2, а из системы уравнений
(13.3) потенциал ф2; в результате после
элементарных преобразований получим
щий из петли с передачей, равной
произведению передач ветвей Z/Zn и
Z/Z22, И ветви от источника тока J
с передачей, равной произведению пере-
дач ветвей — Z3/Z22 и Z/Zn. Исклю-
чение потенциала ф2 в графе на
рис. 13.1, в приводит к аналогичному
результату, что непосредственно следует
из сравнения графов на рис. 13.1, в
и рис. 13.5,6.
Таким образом, решению уравнений
методом последовательного исключения
неизвестных величин соответствует пре-
образование графа. Такие простейшие
преобразования уравнений и графов по-
казаны в табл. 13.1. Исключение неиз-
вестных из системы уравнений авто-
матически приводит к исключению соот-
ветствующих узлов в графе.
Например, исключив из системы
уравнений (13.8) или (13.9) для схемы
рис. 13.4, а и графа, показанного на
рис. 13.4,6, потенциал ф2 получим
Z2 Е ZZ3 J
^il?22 1 211 ^11^22
<Р1 = i +
Yl Y4Y5
~Y--+ V—V------?3’
.1222 211222
Ф1 =
Xi
+ Е^~ +
———J.
YltY22~
Гб y25 y5y4
Фз = V - + у v ^3 + v v 21-
2 33 2 222 33 2 222 33
(13.12)
Полученным уравнениям соответст-
вуют графы, показанные на рис. 13.5.
Из сравнения первых из уравнений
(13.2) и (13.12), а также из сопоставления
графа, приведенного на рис. 13.1,6, с
графом, показанным на рис. 13.5, а,
следует, что операция исключения кон-
турного тока 12 из системы контурных
уравнений приводит к устранению кон-
тура в заданной схеме (рис. 13.1, а)
и узла с током 12 в графе на
рис. 13.1,6. В результате исключения
этого узла получается в графе на
рис. 13.5, а простейший контур, состоя-
Этим уравнениям соответствует граф,
изображенный на рис. 13.6, не имею-
щий узла с потенциалом ф2. При этом
исключение второго узла привело к
тому, что в узлах с потенциалами
epi и фз появились петли с передачами,
равными произведениям передач ветвей,
которые непосредственно примыкают к
первому и третьему узлам, а также
изменились передачи ветвей между узла-
ми фх и ф3.
Прежде чем перейти к расчету ре-
жимов в линейных цепях при помощи
графов, необходимо дать определения
пути, передачи пути, контура, передачи
контура, определителя и минора прямого
пути сигнального графа.
Рис. 13.5
8 Основы теории цепей
225
Таблица 13.1. Простейшие преобразования графов
Путь — непрерывная последова-
тельность ветвей (в указанном направ-
лении) между двумя узлами, вдоль ко-
торой. каждый узел и каждая ветвь в
этой последовательности встречаются не
более 1 раза; прямой путь —путь,
начинающийся в истоке и заканчиваю-
щийся в стоке; передача пути П -
произведение передач ветвей вдоль этого
пути (имеющего определенное направ-
ление); контур — замкнутый путь
(имеющий определенное направление),
который начинается и заканчивается
Рис. 13.6
в одном и том же узле и вдоль
которого любой другой узел этого
контура и любая ветвь этого контура
встречаются не более одного раза (в
частном случае контур может состоять
из одной ветви — петли); передача
контура L — произведение передач
ветвей этого контура; определитель
г р а ф a D — определитель системы урав-
нений, для которой построен граф;
минор прямого пути D' — определи-
тель части графа, получающейся из
исходного при исключении ветвей пря-
мого пути и ветвей, имеющих общие
узлы с ветвями прямого пути (опреде-
литель части графа, не соприкасаю-
щийся с прямым путем).
В приведенных выше примерах были
показаны некоторые преобразования
графов, вытекающие преимущественно
из простых преобразований системы
контурных и узловых уравнений схемы.
Поскольку метод графов может быть
226
применен для анализа и других систем
(не электрических), то рассмотрим еще
один случай преобразования в более
общей форме.
На рис. 13.7, а изображен граф с
четырьмя ветвями и одним контуром,
истоком Xi и стоком х4. Исключая из
этого графа узел с сигналом х2 при
помощи равенства х2 = ах{ + сх3, полу-
чаем для узлов х3 и х4 уравнения
х3 = Ьх2 = аЬх^ + Ьсх3;
х4 = dx3. (13.13)
Этим уравнениям соответствует
граф, приведенный на рис. 13.7,6. После
подстановки значения х3 из первого
уравнения системы (13.13) во второе
определяется сигнал
abd
= rzrrX1-
Таким образом, исключение
приводит к графу (рис. 13.7, в) с
ветвью, передача которой
abd/(l — be), где произведение abd равно
передаче пути П14 между узлами с
сигналами xt и х4, а произведение Ьс
равно передаче контура L.
(13.14)
петли
одной
равна
13.3. Применение сигнальных графов
для расчета передаточных функций
Прежде чем получить общую форму-
лу для определения передаточных функ-
ций линейной электрической цепи про-
извольной конфигурации при помощи
графов, рассмотрим несколько доста-
точно общих примеров.
На рис. 13.8 изображен четырех-
контурный граф, часть узлов которого
для упрощения рисунка обозначена
цифрами, с контурными передачами
Li = bi; L2 = ch; L3 = dg и L4 = ef9 исто-
ком x0 и стоком x6. Требуется опре-
делить передаточную функцию — пере-
дачу графа между узлами х0 и х6.
Для узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 спра-
ведливы уравнения Xi = ах0 + ix2; х2 =
= bxi 4- hx3; х3 = сх2 + дх4; х4 = dx3 +
4- Asi *5 = *6 = kXi.
Искомую передачу графа определим,
постепенно исключив остальные неиз-
вестные, начиная с х5, из системы
уравнений.
Иначе говоря,
х4 = dx3 4-/х5 = dx3 4-/ех4,
откуда
х4 = dx3/(l — L4).
Затем из уравнения
, gdx3 , L3x3
i "'"’ ГТ?
определим
х3 — с (1 “ ^4.) ^1/(1 “ Ьз — ^4.)
и т. д. В результате получим связь
между Xi и х0 в виде
1 ~ (^i + L2 + L3 4- L4)
1 — (L2 4- L3 4- L4) 4- L2L4
LjL3 4- LjL4 4- L2L4 _
1 1 - (L2 4- L3 4- L4) + L2L4 °’
откуда
Xj __ a [1 — (L2 4- L3 4- L4) 4- L2L4]
Xo 1 — (Li 4- L2 4- L3 4- L4) 4-
4- LtL3 4- LiL4 4- L2L4
8'
227
Искомая передаточная функция
к = Хб - кХ1
Xq Xq
_ ак [1 — (L2 + L3 + L4) + L2L4]
1 — (Li + L2 + L3 + L4) + (13.15)
+ LiL3 + -L1-L4 + L2L4
Числитель этого выражения равен
произведению передачи прямого пути
IT = ак на определитель D' = 1 — (L2 +
+ L3 + Ь4) + L2L4, который получается
вычитанием из единицы передачи всех
контуров, не касающихся пути с переда-
чей ГТ, и суммированием произведения
контурных передач не касающихся друг
друга контуров L2 и L4 и пути с пере-
дачей П'. Знаменатель в этом случае
равен определителю графа на рис. 13.8,
который получается вычитанием из еди-
ницы всех передач контуров графа и
суммированием с полученной разностью
попарных произведений передач всех не
соприкасающихся друг с другом кон-
туров.
В качестве второго примера рас-
смотрим граф, показанный на рис. 13.9,
для которого нужно найти передаточ-
ную функцию между узлами хг и х6.
Запишем уравнения для узлов 2, 3, 4,
5 и 6: х2 = лх1 + ^хз; х3 = Ьх2 + дх4;
х4 = сх3 + fx5;x5 = dx4;x6 = ех5. Исклю-
чив из этих уравнений неизвестные
сигналы в узлах графа, начиная от его
конца, получим
х2 _ а(1 — L2 — L3)
х^ 1 — (Li + L2 + L3) + LiL3
Поскольку x6 = edx4 и x4 = cx3 + fdx4,
TO
_ edcx3 _ edcb (1 — L3) _
Хб = (1 - L3)(l -L2- L3)X2 “
_ edcbx2
~ 1 - L2 — L3
Наконец,
_ abcdeXi
1 — (Lj + L2 + L3) + L^L3
или окончательно
. (Шб)
Xi 1 — (Li + L2 + L3) + LtL3
Числитель полученного выражения
(13.16) равен произведению передачи
прямого пути от истока хг к стоку х6
на определитель £>', т. е. П' = abcde на £>'.
Поскольку путь с передачей П' прохо-
дит через все узлы схемы, то опреде-
литель числителя получается равным
единице (£>' = 1). Знаменатель выражения
(13.16) определяется аналогично знаме-
нателю (13.15) и получается вычитанием
передач всех трех контуров из единицы
и суммированием с полученным выра-
жением произведения передач двух не-
соприкасающихся контуров (Li и L3).
Рис. 13.9
228
Рис. 13.10
При определении передачи от истока
к любому узлу графа можно, не приме-
няя преобразований, непосредственно
пользоваться общим решением уравне-
ний, определяющих режим цепи. Однако
прежде чем дать общее решение этой
задачи, рассмотрим еще граф в виде
полного треугольника (рис. 13.10, а).
Можно показать, что такой граф полу-
чается для электрической схемы, имею-
щей форму полного пятиугольника, у
которого потенциал одного из четырех
независимых узловых уравнений исклю-
чен.
Для этого графа справедливы урав-
нения
Х1 = *0 + tllxl + 121*2 + 1з1*3»
х2 ~ 122*2 + 112*1 + 1з2*3»
*3 = 1з3*3 + 113*1 + 123*2»
ИЛИ
(1 “ 111)*1 ~ 121*2 ~ 1з1*3 = *0»
“112*1 + (1 ~ ^22) *2 ~ 1з2*3 = Qi
“113*1 ~ ^23*2 +(1 “ 1зз)*3 — 0,.
(13.17)
где t12 =/= I2H I23 =/= I32 и Из =/= 1з1-
Определить любой из узловых сиг-
налов, например х2, считая его стоком
*2 = 1*2 (штриховая линия на рис. 13.10),
можно, записав решение системы уравне-
ний (13.17) при помощи определителей
x2 = x0D20/D, (13.18)
где главный определитель системы
уравнений
(l-lii)
“112
“113
D =
“I21 “I31
(1 “ 122) “132
“123 (1“1зз)
(13.19)
и
(1 “ 1ц) 1 “1з1
D20 — “112 0 “I32
(13.20)
“113 0 (1 “ 1зз)
Определитель (13.19) можно предста-
вить состоящим из отдельных групп
слагаемых
к к к
(13.21)
где, как нетрудно проверить,
= tn + I22 + 1зз + I12I21 + I13I32 +
к
+ 123132 + 113I32I21 + 112123131 (13.22)
— сумма передач всех (восьми на
рис. 13.10) контуров графа;
£Z$fc)==111122 +1ц1зз + 1221зз + 111(12з1з2) +
к
+ I22 (I13I31) + I33 (I12I32) (13.23)
— сумма произведения передач попарно
не соприкасающихся друг с другом кон-
туров графа (не имеющих общих точек);
= I11I22I33 (13.24)
к
229
— сумма произведений передач троек не
соприкасающихся контуров графа (у гра-
фа на рис. 13.10 одна тройка).
Как следует из (13.21), сумма произ-
ведений передач четного числа контуров
входит в определитель со знаком плюс,
а нечетного — со знаком минус.
Определитель
Dio = hiO ^зз) + ^13^32 = П1Р1 4- П'2Р2,
(13.25)
где Щ = г12 и П'2 = ti3t32 - передачи
прямых путей от истока к стоку
(рис. 13.10,6); D'i = (1 — t33) — определи-
тель части графа, не касающейся пути
с передачей П i; D'2 = 1, поскольку путь
с передачей П'2 проходит через все узлы
графа.
Обобщив результаты приведенных
примеров, получим, что в общем слу-
чае передаточная функция (передача гра-
фа) между заданным истоком и выбран-
ным стоком определяется по формуле
Мезона (записана при расчете комплекс-
ным методом)
IIKPi
к
Епж
к
= 1-ЕД1) + Е^>-^Д3, + -’ (13‘26)
k k к
где суммирование выполняется для всех
прямых путей.
Если схема цепи содержит несколько
источников ЭДС и тока, т. е. у графа
несколько истоков, то для определения
какой-либо неизвестной величины, кото-
рую следует представить в виде стока,
необходимо применить метод наложе-
ния.
Пример 13.1. Пользуясь графом (см.
рис. 13.4,6), определить ток в сопротивле-
нии Z3 схемы, показанной на рис. 13.4, а.
Решение. Так как в схеме два источ-
ника (ЭДС Е и тока J), то для определения
тока /3 найдем потенциал ф3 = U3i поль-
зуясь методом наложения.
Потенциал ф'3, создаваемый ЭДС Е,
определяется по (13.26) и
ю==21 = (Уб/Ьз)(1-Ь4)
Е 1 - L4 - Ls ’
где передачи контуров графа L4 = У4/У11У22;
Ls = У5/У22Т33. В числитель полученного
выражения входит передача L4 контура, не
касающегося пути с передачей Y6/Y33.
Потенциал ф3, создаваемый источником
тока J, находится по той же формуле (13.26) и
К" = 21 = —1зР1з
- ” J ” 1 - ь4 - l5 ’
где передача пути Щз У4У5/У11У22У33 и
Р'13 = 1.
Потенциал ф3, создаваемый обоими
источниками, равен:
Фз = Фз + Фз = К'Е 4- K"J = U3.
Искомый ток I3 = Y3U3 (положительное
направление от узла 3).
В заключение полезно подчеркнуть,
что, пользуясь графами и формулой
(13.26), можно во многих случаях сразу
определять искомые величины, не решая
совместно систему топологических урав-
нений цепи, как и показано в примере
13.1. При некотором навыке можно со-
ставить граф непосредственно по схеме
цепи без записи системы уравнений.
13.4. Применение матриц
и сигнальных графов к расчету
соединений четырехполюсников
При каскадном соединении пассив-
ных и неавтономных активных четырех-
полюсников без соблюдения принципа
согласования, при параллельном, после-
довательном и других видах соединений
параметры соединения или эквивалент-
ного четырехполюсника проще рас-
считываются при матричной форме
записи уравнений или с применением
сигнальных графов.
Для расчета параметров четырехпо-
люсника, эквивалентного каскадному
соединению двух четырехполюсников
(рис. 13.11), следует пользоваться систе-
мой уравнений типа А (8.1).
.230
Рис. 13.11
Будем считать известными матрицы
коэффициентов первого Ая и второго Аь
четырехполюсников. Согласно (8.16)
уравнения в матричной форме каждого
четырехполюсника
что
А = А°АЬ, (13.30)
откуда по правилу умножения матриц
(строка на столбец) получаем
Ца1
Ii
ич
Г1
tzs
1'2
иь2
I2
(13.27)
4n — 4ii4ii
412 = 411412
4г1 = 451411
422 = 451412
+ 412451;
+ 4124 22»
+ 45г451;
+ 4524 22-
(13.31)
Из рис. 13.11 ясно, что U2 = Ubi и
[2 = I*. Поэтому в первой системе урав-
нений (13.27) можно заменить Ua2 и
[2 равными им величинами из второй
системы, т. е. записать
Uai
Ii
= А°АЬ
Ub2
Г2Ь
(13.28)
Запишем еще уравнения в матричной
форме для эквивалентного четырехпо-
люсника
и,
Л
= А
и2
1'1
(13.29)
причем, очевидно, что Lfi = LZi; Ь = 1";
С/2 = U 2', I2 — Ii- Сравнение систем
уравнений (13.28) и (13.29) показывает,
В случае каскадного соединения не-
скольких, т. е. цепочки, четырехполюсни-
ков нужно, применяя это правило, по-
следовательно заменять эквивалентными
соседние пары заданных четырехпо-
люсников. Перемножаемые матрицы,
которые называют цепочечными, должны
быть записаны в том же порядке, в ко-
тором соединены четырехполюсники.
Рассмотрим параллельное соедине-
ние двух четырехполюсников (рис. 13.12);
в этом случае U1 = Ual = Ubl; U2 = Ua2 =
= и2; Ii = 15 + Ii; I2 = 15 +15 и для
расчета параметров эквивалентного че-
тырехполюсника проще воспользоваться
системой уравнений типа Y. Действи-
тельно, в матричной форме для задан-
ных четырехполюсников аналогично (8.2)
Рис. 13.12
231
а для эквивалентного
I*
ll U2
(13.32)
и для эквивалентного четырехполюсника
= Y “ .
12 U2
Сложив левые и правые части
ний (13.32), получим
Г1 + 1Л
Г1 + 1Ь2
/1
11
= (Yfl 4- Y*)
(13.33)
уравне-
Ui
U2 ’
(13.34)
где учтено равенство напряжений.
Из сопоставления (13.33) и (13.34)
следует, что матрица проводимостей
эквивалентного четырехполюсника равна
сумме* матриц проводимостей парал-
лельно соединенных четырехполюс-
ников :
Y = Yfl + Y*.
(13.35)
При последовательном соединении
двух четырехполюсников (рис. 13.13) для
расчета параметров эквивалентного че-
тырехполюсника проще всего применить
уравнения типа Z. Для заданных четы-
рехполюсников согласно (8.3)
Uai
Ua2
ЦЬ2
(13.36)
Ui
U2
h
I2
(13.37)
Так как U, = + U\- U2 = Ua2 + Ub2 и
11=Г1=Л; I2 = r2 = lb2, то
Z = Za + Zft. (13.38)
Аналогично можно показать, что при
последовательном соединении первич-
ных выводов (как на рис. 13.13) и парал-
лельном соединении вторичных (как на
рис. 13.12) суммируются матрицы На и
Нь, т. е. для эквивалентного четырехпо-
люсника Н = На + Нь. При параллель-
ном соединении первичных (как на
рис. 13.12) и последовательном соедине-
нии вторичных выводов (как на рис. 13.13)
суммируются матрицы Ga и Gft, т. е. для
эквивалентного четырехполюсника G =
= Ga + Gb.
Применение матриц возможно при
каскадном соединении любых пассивных
и неавтономных активных четырехпо-
люсников. Для всех остальных типов
соединений должно выполняться так на-
зываемое условие регулярно с-
т и. Это значит, что после соединения
четырехполюсников через оба первичных
(1 и Г) и оба вторичных (2 и 2')
вывода каждого четырехполюсника
должны протекать соответственно рав-
ные по значению и обратные по на-
правлению токи. Например, у верхнего
из четырехполюсников на рис. 13.13 через
оба первичных вывода должен прохо-
дить ток Ji, через вторичные — ток Г2, у
Рис. 13.13
232
Рис. 13.14
нижнего — токи и 12, что и показано
на рисунке.
Всегда регулярны параллельные сое-
динения уравновешенных четырехполюс-
ников, «подобных» четырехполюсников
(схемы одинаковы, значения параметров
соответственно пропорциональны), че-
тырехполюсников, у которых выводы Г
и 2' соединены накоротко (например,
Т- и П-образные неуравновешенные).
Всегда регулярно последовательное сое-
динение четырехполюсников, у которых
соответственно выводы Г и 2' первого
и 1 и 2 второго соединены накоротко
(например, неуравновешенных Т- или
П-образного и перевернутого Т- и П-
образного).
Матричная форма записи уравнений
применяется и для определения парамет-
ров четырехполюсников со сложной
структурой, если можно такой четырех-
полюсник представить в виде сочетания
двух или нескольких простых.
Для каждой системы уравнений че-
тырехполюсника можно составить сиг-
нальный граф. Например, для уравнений
типа А (8.1) и типа Н (8.4) получаем
графы, показанные на рис. 13.14, а и б.
При расчете коэффициентов четырехпо-
люсника, эквивалентного регулярному
соединению двух четырехполюсников,
можно объединить их графы по правилу:
сток напряжения и (или) тока одного
объединяется соответственно с истоком
напряжения и (или) тока другого для
образования связи, которая получается
при соединении четырехполюсников.
Рассмотрим в качестве примера кас-
кадное соединение двух четырехполюс-
ников (см. рис. 13.11), заданных уравне-
ниями типа А (8.1) или уравнениями
типа Н (8.4). В первом случае объеди-
няем истоки первого четырехполюсника
/2 и U2 со стоками второго I* и 171, так
как по рис. 13.11 Г2 = Ii = /1,2; U2 =
= Ubr = U 1>2. Граф соединения изображен
на рис. 13.15. Коэффициенты Л1Ь Л12,
^2ь А22 эквивалентного четырехполюс-
ника можно найти либо преобразова-
нием графа, либо по формуле Мэзона.
В первом случае надо устранить
узлы /1>2 и 171>2, сохранив все пути
между истоками 172, 1'2 и стоками 17ь Ji.
Граф на рис. 13.15 не имеет контуров,
и его называют каскадным. На рис. 13.16
показан граф после устранения узлов
Ui>2 и /1>2 и объединения параллель-
ных ветвей. По графу на рис. 13.16
сразу могут быть записаны коэффици-
енты Л1ЬЛ12, Л21, Л22 (13.31).
По формуле Мэзона (13.26) любой
из коэффициентов записывается сразу,
так как контуров нет и D = D\ = D'2 = ...
... = 1, т. е. передаточная функция равна
Например, коэффициент Л12 =
к
= и 1/Г2 = Аа! i Л12 + Л12Л22 (между исто-
ком Г2 и стоком U! на рис. 13.15 два
Я1 4 л 4 л+ —°12 ^21 Яг
Рис. 13.16
Hl tfz ^,2 !ltz Uz
Рис. 13.17
233
сквозных пути с передачами АацАь12 и
А12А22)’
Во втором случае (уравнения типа Я)
объединяются те же истоки и стоки
(рис. 13.17). Коэффициенты матрицы Н
эквивалентного четырехполюсника, как
и в первом случае, проще рассчиты-
ваются по формуле Мэзона. Граф имеет
один контур с передачей НьпНа22, т. е.
Р = 1 ~НЬцНа22.
Вычислим, например, коэффициент
Ни = Ui/lv Между истоком и сто-
ком Ui два сквозных пути: первый с пе-
редачей П1 = Я] i и с определителем
Pi = 1 — НЬцНа22 (контур не касается
первого пути) и второй с передачей
П'2 = H2lHbllHal2 и Df2 = 1 (нет ^сопри-
касающихся контуров). Итак,
Н — —1 П2Р2 _
-В * * 11 D
_Н‘и(1 -НиН^+Н^Н^ВЧг
i — ньцН22
Определение коэффициентов матри-
цы Н эквивалентного четырехполюсника
при заданных матрицах Н° и Нь двух
каскадно соединенных четырехполюсни-
ков без применения графов требует
довольно длинного совместного реше-
ния двух систем уравнений типа Я (для
первого и второго четырехполюсников).
Объединение графов предъявляет
определенные требования к форме гра-
фа каждого четырехполюсника, так как
объединяются сток и исток.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
14.1. Возникновение переходных
процессов и законы коммутации
В электрических цепях могут проис-
ходить включения и отключения пассив-
ных или активных ветвей, короткие за-
мыкания отдельных участков, различ-
ного рода переключения, внезапные
изменения параметров и т. д. В резуль-
тате таких изменений, называемых часто
коммутационными или просто комму-
тациями, которые будем считать
происходящими мгновенно, в цепи возни-
кают переходные процессы, за-
канчивающиеся спустя некоторое (теоре-
тически бесконечно большое) время
после коммутации. Если нет специаль-
ного указания, будем считать, что начало
отсчета времени переходного процесса
t = 0 начинается с момента коммутации.
Этот момент времени непосредственно
перед мгновенной коммутацией обозна-
чим 0 —, а сразу после мгновенной
коммутации 0 + .
Сформулируем два закона коммута-
ции.
1. В индуктивном элементе ток (и
магнитный поток) непосредственно
234
после коммутации в момент, который
и назван моментом коммутации t = 0 + ,
или, короче, t — 0, сохраняет значение,
которое он имел непосредственно перед
коммутацией, т. е. при t = 0 —, и дальше
начинает изменяться именно с этого
значения:
il(0 + ) = /l(0) = L(0-).
Так, при включении ветви с катушкой,
в которой не было тока, ток в этой
ветви в момент коммутации равен нулю.
Если для такой ветви допустить, что
в момент коммутации ток изменится
скачком, то напряжение на индуктивном
элементе uL = LdiL/dt будет бесконечно
большим, и в цепи не будет выпол-
няться второй закон Кирхгофа.
2. На емкостном элементе напря-
жение (и заряд) сохраняет в момент
коммутации то значение, которое оно
имело непосредственно перед коммута-
цией, и в дальнейшем изменяется, на-
чиная именно с этого значения:
ис (0 + ) = ис (0) = ис (0 —).
Так, при включении ветви с конденса-
тором, который не был заряжен, напря-
жение на конденсаторе в момент комму-
тации равно нулю. Если допустить, что
в момент коммутации напряжение на
емкостном элементе изменяется скачком,
то ток ic = Cduc/dt будет бесконечно
большим, и в цепи не будет выпол-
няться опять-таки второй закон Кирх-
гофа.
С энергетической точки зрения невоз-
можность мгновенного изменения тока
iL и напряжения ис объясняется невоз-
можностью скачкообразного изменения
запасенной в индуктивном и емкостном
элементах энергии (энергии магнитного
поля Lil/2 и энергии электрического
поля Сис/2). Действительно, скачкооб-
разное изменение энергии требует бес-
конечно больших мощностей, что ли-
шено физического смысла, так как
реальные источники питания не обла-
дают бесконечно большой мощностью
и не могут ее обеспечить.
В этой главе рассматриваются пере-
ходные процессы в линейных электри-
ческих цепях с сосредоточенными пара-
метрами. Поэтому исключается из рас-
смотрения нелинейный элемент — элект-
рическая дуга, которая может возник-
нуть при коммутациях. Чтобы исклю-
чить влияние дуги, будем считать, что
длительность коммутации по сравнению
с продолжительностью переходного про-
цесса очень мала, т. е. теоретически
мгновенная.
Записанные выше законы коммута-
ции для тока iL и напряжения ис в вет-
вях, содержащих реактивные элементы,
при некоторых коммутациях не выпол-
няются. Такие коммутации называют
«некорректными» (приводят к требова-
нию скачкообразных изменений токов iL
и напряжений wc). Расчет переходных
процессов в таких цепях рассматрива-
ется в § 14.23.
14.2. Переходный, установившийся
и свободный процессы
Рассмотрим сначала некоторые об-
щие вопросы расчета переходных про-
цессов на достаточно простом приме-
ре — включении последовательного кон-
тура (rLC-цепи) к источнику ЭДС е9
которая изменяется во времени непре-
рывно и задана каким-либо аналити-
ческим выражением.
Запишем второй закон Кирхгофа для
произвольного момента времени
ri + Ldi/dt + ис = е, (14.1)
где i - ток переходного процесса, кото-
рый в дальнейшем будем называть
переходным током, или просто
током;
t
«c = uc(0) + ^ (14.1а)
С/ I
о
Когда с переходным процессом мож-
но уже не считаться, наступает при-
нужденный режим. Принужденный
режим, создаваемый источником произ-
вольной периодически изменяющейся
ЭДС (или тока), называют устано-
вившимся. После окончания переход-
ного процесса источник ЭДС, изме-
няющейся, например, по экспоненциаль-
ному закону, создает принужденный
режим. Источники постоянной и изме-
няющейся по гармоническому закону
ЭДС (или тока) создают принужденный,
или установившийся, режим.
Когда наступит установившийся ре-
жим, уравнение (14.1) примет вид
riy + Ldiy/dt + ucy = е, (14.2)
где iy и иСу — ток и напряжение уста-
новившегося режима, или просто уста-
новившиеся ток и напряжение.
Вычитая почленно уравнение (14.2)
из уравнения (14.1) и обозначая
i - iy = U (14.3)
получаем
ricB + bdi^/dt + wccb = 0, (14.4a)
или
Ц-СВ + mLcb + Uc св = 0- (14.46)
Разности токов и напряжений пере-
ходного процесса и принужденного ре-
жимов называются соответственно то-
ка и напряжением свобод-
ного процесса, или просто сво-
235
бодными током и напряже-
нием.
Уравнения (14.4) показывают, что
при переходе цепи от одного устано-
вившегося состояния к другому напряже-
ния на всех элементах, создаваемые
свободными составляющими токов,
взаимно уравновешиваются, но свобод-
ные напряжения зависят, конечно, от
ЭДС е источника.
Уравнение (14.3) показывает, что
процесс, происходящий в цепи, можно
рассматривать состоящим из двух
накладывающихся друг на друга про-
цессов — установившегося, который как
бы наступил сразу, и свободного, имею-
щего место только во время переходного
процесса. Благодаря свободным состав-
ляющим и достигается в переходном
процессе непрерывное приближение к
установившемуся режиму. Следователь-
но, во время переходного процесса токи
и напряжения могут быть разложены
на слагающие в общем случае при-
нужденного, а при постоянных и перио-
дических ЭДС или токах источников
установившегося режима и свободного
процесса:
i = + /св» Ц- = Цу "Ь UrcB?
Ml = MLy + MlcbJ Me = MCy + Mccb-
Так как принцип наложения приме-
ним лишь к линейным цепям, то это
разложение допустимо для линейных
цепей. Конечно, физически существуют
только переходные токи и напряжения,
и разложение их на установившиеся и
свободные составляющие является удоб-
ным математическим приемом, облег-
чающим расчет переходных процессов
в линейных цепях. Разложение переход-
ных токов и напряжений соответствует
правилу решения линейных неоднород-
ных дифференциальных уравнений, со-
гласно которому общее решение таких
уравнений равно сумме частного реше-
ния неоднородного уравнения и общего
решения однородного уравнения.
Действительно, свободный ток пред-
ставляет собой общее решение однород-
ного дифференциального уравнения
(14.4а), и, следовательно, в его выраже-
нии должны быть постоянные интегри-
236
(14.5)
рования, число которых равно порядку
дифференциального уравнения. Устано-
вившийся ток представляет собой част-
ное решение неоднородного Дифферен-
циального уравнения (14.1), а именно
такое, которое получается из общего
решения неоднородного дифференци-
ального уравнения при равных нулю по-
стоянных интегрирования. Иными сло-
вами, в составе принужденного тока не
должно быть слагающих свободного
тока. Поэтому переходный ток i = iy +
и будет общим решением того же са-
мого неоднородного дифференциального
уравнения.
Начнем изучение переходных про-
цессов с исследования процессов в
простейших цепях так называемым
классическим методом. Этот
метод заключается в интегрировании
дифференциальных уравнений, связы-
вающих токи и напряжения цепи, в
результате чего появляются постоянные,
и в определении постоянных из началь-
ных условий, вытекающих из законов
коммутации.
Начальными условиями на-
зовем значения переходных токов в
индуктивных элементах и напряжений на
емкостных элементах при t = 0, т. е.
те значения, которые в момент комму-
тации не изменяются скачком. Иногда
эти условия ^зываются еще независи-
мыми начальными условиями. В отли-
чие от них начальные значения всех
остальных токов и напряжений назы-
вают зависимыми начальными усло-
виями. Зависимые начальные условия
определяются по независимым началь-
ным условиям при помощи уравнений,
составленных по первому и второму
законам Кирхгофа. Отметим, что основ-
ная трудность классического метода
исследования переходных процессов в
сложных цепях как раз и состоит в
определении зависимых начальных усло-
вий.
14.3. Короткое замыкание rL-цепи
Ветвь с сопротивлением и индуктив-
ностью, например реальная катушка,
внезапно замыкается ключом накоротко
(рис. 14.1). Ток в катушке до коммутации
R с — - c»-
Рис. 14.1
был ПОСТОЯННЫМ
u = i(0-) = E/(K + r). (14.6)
Найдем закон изменения тока в
катушке.
Установившийся ток в катушке после
коммутации равен нулю. Следовательно,
i = ice*
Свободный ток удовлетворяет одно-
родному дифференциальному уравнению
первого порядка
ri + Ldi/dt = 0, (14.7)
общее решение которого, как легко
проверить подстановкой,
i = Ae~^‘. (14.8)
В (14.8) А — постоянная интегриро-
вания и -r/L= р - корень характеристи-
ческого уравнения
Lp + г = 0, (14.9)
соответствующего однородному диффе-
ренциальному уравнению (14.7).
При 1 = 0 из (14.8) следует, что
i(0) = 1(0+) ?= Л, и, так как по первому
закону коммутации iL(0+) = к(0—), т. е.
при i = iL имеем i(0+) = i(0 —), то А =
= ь(0+) = Е/(К + г).
Рис. 14.2
Таким образом, после коммутации
F Е
*= 4в = RT7e~{r/L}t = ЁТ7е’'/т
(14.10)
(рис. 14.2).
Величина т = L/r, имеющая размер-
ность времени, называется постоян-
ной времени rL-цепи и может быть
определена как время, в течение кото-
рого свободный ток уменьшится в е раз
по сравнению со своим начальным
значением fcB(0 + ). В самом деле,
. /_\ _ . /п I \ л - 1 ^СВ (0 + ) А
кв \ ч кв (0 + ) е — — .
е с
Для графического определения т
проведем касательную к кривой iCB в
любой ее точке С. Значение подкаса-
тельной BD может быть найдено из
треугольника CBD, а
т = -------= mtBD,
i^/t -di^/dt mtgptgP
где mi9 mtg p, mt — масштабы, т. e. по-
стоянная времени численно равна длине
любой подкасательной. В частности, она
численно равна длине подкасательной
OBQ для касательной С0В0, проведенной
в начальной точке Со.
Величина, обратная постоянной вре-
мени,
а = 1/т = r/L
называется коэффициентом за-
тухания rL-цепи. Свободный ток зату-
хает тем медленнее, и, следовательно,
новый принужденный режим не уста-
навливается тем дольше, чем больше
постоянная времени т или чем меньше
коэффициент затухания а, т. е. чем боль-
ше индуктивность L и чем меньше
сопротивление г.
Электродвижущая сила самоиндук-
ции
et__LA=£_L_e-.»=_„t (14.11)
равна при 1 = 0 напряжению на сопро-
тивлении г и в момент коммутации
поддерживает значение тока на началь-
ном уровне.
237
С энергетической точки зрения про-
цесс короткого замыкания rL-цепи ха-
рактеризуется тем, что вся энергия, за-
пасенная до коммутации в магнитном
поле катушки,
Жм = и2 (0 - )/2 = Li2 (0 + )/2 = Li2 (0)/2
(14.12)
в течение переходного процесса превра-
щается в сопротивлении г в тепло:
f i2r dt = i2 (0) г f е L dt = Li2 (0)/2.
о о
Заметим, что теоретически процесс
исчезновения тока в короткозамкнутой
катушке длится бесконечно долго, чем
и объясняется необходимость в каче-
стве верхнего предела у интеграла взять
бесконечность. Однако практически для
многих катушек этот переходный про-
цесс закончится весьма быстро. Посто-
янная времени rL-цепи обычно лежит в
пределах от нескольких микросекунд до
долей секунды. Последнее значение отно-
сится к большим катушкам со сталь-
ным магнитопроводом и значительным
числом витков.
Если до короткого замыкания в ка-
тушке был переменный ток, то характер
переходного процесса нисколько не из-
менится, но i(0) равно значению тока
в катушке i(0 —) в момент короткого
замыкания.
С переходным процессом в rL-цепи
приходится считаться во многих случаях
электротехнической практики, например
при измерении сопротивления г обмотки
трансформатора с большой индуктив-
ностью (рис. 14.3), которая питается от
источника постоянной ЭДС Е через до-
Рис. 14.3
Рис. 14.4
полнительный резистор с сопротивле-
нием R. Напряжение на обмотке изме-
ряется милливольтметром. Если после
отсчета показаний амперметра и милли-
вольтметра отключить обмотку транс-
форматора от источника напряжения,
то ее ток замкнется через милливольт-
метр. Так как ток обмотки трансфор-
матора может быть достаточно боль-
шим и в момент отключения рубильни-
ка не изменяется скачком, то милли-
вольтметр можно сжечь.
Обмотку возбуждения мощной элект-
рической машины при необходимости
быстро снять возбуждение не отключают
от цепи питания (постоянное напря-
жение), а замыкают на разрядное со-
противление, в котором энергия магнит-
ного поля превращается в тепло (рис.
14.4). Если просто разомкнуть цепь об-
мотки возбуждения, то даже при нали-
чии электрической дуги ток очень быстро
уменьшится до нуля ( — di/dt будет очень
велико). Так как обмотка возбуждения
имеет большую индуктивность LB, то
в ней возникает весьма значительная
ЭДС самоиндукции eL = — LB di/dt, кото-
рая может пробить изоляцию на корпус
машины или изоляцию между витками.
14.4. Включение rL-цепи
на постоянное напряжение
Дифференциальное уравнение при
включении rL-цепи (рис. 14.5) на по-
стоянное напряжение (к источнику ЭДС
Е = U) неоднородное
ri + Ldi/dt = U (14.13)
и имеет решение в виде суммы уста-
новившейся и свободной составляющих
i — iy + /Св-
238
Рис. 14.5
Рис. 14.7
Установившаяся составляющая тока
iy = U/r.
Однородное уравнение совпадает с
(14.4), и его решение — с (14.8). Ток в
цепи
i = iy + iCB = u/r 4- Ae~t/x, (14.14)
где т = L/r.
Постоянная интегрирования А опре-
деляется с учетом известного начального
условия. До коммутации тока в цепи не
было, поэтому согласно первому закону
коммутации при г = О
О = U/г 4- Л, т. е. А = - U/r.
Напряжение на индуктивности
ul=Ulcb = L~= Ue~‘l\ (14.15)
Поскольку до включения напряжение
на индуктивном элементе было равно
нулю, а момент коммутации uL — U,
то переходное и свободное напряжения
на индуктивности изменяются скачком.
Кривые изменения i, iy, и uL при-
ведены на рис. 14.6. Как и следовало
ожидать, они показывают, что ток в
цепи не устанавливается мгновенно и
что требуется известное время (теорети-
чески бесконечное) до наступления уста-
новившегося режима со значением тока
U/r. Ток i возрастает тем медленнее, чем
больше постоянная времени цепи т, т. е.
чем медленнее затухает свободный ток.
Энергия, получаемая от источника,
идет частично на увеличение энергии
магнитного поля катушки, а частично
переходит в тепло.
Пример 14.1. В цепи с параметрами
Ti = 20 Ом, L= 0,6 Гн, подключенной к
источнику постоянной ЭДС с напряжением
U = 220 В (рис. 14.7), происходит внезапное
уменьшение сопротивления от значения rY до
г2 = 12 Ом (ключ замыкает некоторую часть
резистора с сопротивлением гг — г2 = 8 Ом).
Найти закон изменения тока в цепи.
Решение. На основании (14.8) и (14.5)
напишем сразу выражение для свободного
тока
iCB = Ле"^г = Ле“^0,05
и для переходного тока
i = iy 4- iCB = U/r2 + Ae~th = 18,3 4- Ae't/0’05.
Из условия отсутствия скачка тока i
при t = 0 получаем
i(0 -) = U/rY = 11 = i(0) = 18,3 4- Л,
откуда А = —7,3.
239
Следовательно, i = 18,3 - 7,3e-'/0’05 A.
Отметим, что постоянная времени цепи
после коммутации определяется параметрами
L и г2. Кривые’ токов I и iCB показаны на
рис. 14.8. Из них видно, что ток i посте-
пенно возрастает от меньшего значения
U/rt = 11 А до большего U/r2 = 18,3 А.
Переходный процесс при внезапном уве-
личении сопротивления аналогичен рассмот-
ренному, только ток будет постепенно
уменьшаться.
Окончательно получаем
ит
i =-----sin (cot + ф — ср) —
z
- ---sin (ф — (р) е~'/т. (14.16)
z
Напряжение на индуктивности
(я \
cot + ф —ф + —1+
14.5. Включение г£гцепи на
синусоидальное напряжение
При включении rL-цепи (см. рис. 14.5)
на синусоидальное напряжение и =
= Um sin (tot + ф) установившийся ток
также синусоидальный:
Um .
iy = sin (^t + ф — ср),
где z = |/r2 + (coL)2; tg ф = &L/r, а сво-
бодный ток определяется равенством
(14.8), так как однородное дифферен-
циальное уравнение прежнее.
Переходный ток i равен:
Um
i = iy + iCB =-sin (cot + ф - ф) + Ле /T.
В рассматриваемой цепи до включе-
ния тока не было. Поэтому при t = О
ит
имеем 0 = -----sin (ф — ф) + Л и
z
ит
А =------sin (ф — ср).
z
-I-cos <р • sin (ф — (р) е t/x . (14.17)
При t = 0 для напряжения на индук-
тивности получим иДО) == Um sin ф, что
легко установить и непосредственно.
Действительно, в момент включения
напряжение на индуктивном элементе
равно напряжению источника, так как
напряжение на резистивном ur = ri равно
нулю.
Кривая тока i изображена на
рис. 14.9, а. Она показывает, что по
мере затухания тока /св переходный ток
стремится к значению установившегося
тока. Однако через промежуток времени
от Т/4 до ЗТ/4 после включения, что
зависит от угла ф, ток может достигать
значений, превышающих амплитуду
установившегося тока.
Наибольшего возможного значения
ток достигает, если в момент включе-
ния цепи установившийся ток равен
амплитуде, т. е. ф — ф = я/2 (или — я/2),
а постоянная времени цепи весьма ве-
лика (г « О, т -> оо и ф % я/2), т. е. iCB
затухает очень медленно. При этих
условиях ф « я и приложенное напряже-
Рис. 14.9
240
Рис. 14.10
ние в момент коммутации проходит
через нулевое значение. Кривая тока при
ф — ср = тг/2 и достаточно больших зна-
чениях т приведена на рис. 14.9,6. При-
мерно через половину периода после
включения цепи ток достигает почти
удвоенной амплитуды установившегося
тока | imax | % 2/уш.
Итак, при включении rL-цепи к ис-
точнику синусоидального напряжения
переходный ток ни при каких условиях
не может превысить удвоенной ампли-
туды установившегося тока.
Начальное значение свободного тока
равно абсолютному значению и про-
тивоположно по знаку начальному зна-
чению установившегося тока. Поэтому,
если в момент включения установив-
шийся ток проходит через нуль, то
начальное значение свободного тока
также равно нулю. Свободный ток вооб-
ще не возникает, и в цепи сразу уста-
навливается установившийся режим. Это
будет, как показывает формула (14.16),
при ф — ф = 0 или ф — ф = я.
В разветвленной цепи с одним ин-
дуктивным элементом постоянная вре-
мени свободной составляющей любого
из токов
т = L/(r + гвх), (14.18)
где гвх — входное сопротивление цепи по
отношению к выводам ветви с индуктив-
ным элементом, например для цепи
рис. 14.10 после коммутации
_________J_______
Г“х 1Л1 + Г/г2 + 1/г3 ’
14.6. Короткое замыкание гС-цепи
Предположим, что конденсатор ем-
костью С был заряжен от источника
постоянной ЭДС (рис. 14.11) до напря-
жения UQ — Е, а затем замкнулся ключ
и конденсатор разряжается через ре-
зистор г.
Ветвь с резистором и конденсатором
в дальнейшем будем называть сокра-
щенно гС-цепью.
Исследуем возникающий переходный
процесс.
Установившееся напряжение на кон-
денсаторе и установившийся ток i равны
нулю. Ток и напряжение равны сво-
бодным составляющим.
Выберем положительные направле-
ния напряжения на конденсаторе и тока
совпадающими (как и при расчете ре-
жимов в цепях переменного тока), так
что ток
i — *св = dq/dt — С duc/dt. (14.19)
Запишем уравнение второго закона
Кирхгофа для цепи после коммутации
ri + и с = 0. (14.20а)
На основании (14.19) и (14.20а) соста-
вим дифференциальное уравнение для
напряжения:
rCduc/dt + uc = 0. (14.206)
Это однородное уравнение первого
порядка. Соответствующее характерис-
тическое уравнение
rCp + 1 = 0 (14.21)
имеет корень р = — \/гС.
Общее решение
мс = ^ссв = Az~tlrC = Ле-'/т = Ае~™.
Величина т = гС, имеющая размер-
ность времени, называется постоянной
времени rC-цепи. Обратная ей величина
а = 1/т = l/гС называется коэффициен-
том затухания rC-цепи. Постоянная вре-
мени т тем больше, чем больше емкость
и сопротивление. Следовательно, чем
241
i,u,
с
Рис. 14.12
Если конденсатор в цепи рис. 14.11
до включения рубильника питался от
источника синусоидальной ЭДС, то
ис (0) — значение напряжения на конден-
саторе в момент коммутации.
Если положительное направление
тока i (рис. 14.11) выбрать противо-
положным положительному направле-
нию напряжения uCi то знаки в форму-
лах (14.19) и (14.23) изменятся на
обратные.
больше емкость С и сопротивление г,
тем медленнее в цепи затухают свобод-
ные ток и напряжение, тем медленнее
происходйт разрядка конденсатора.
Постоянную интегрирования А опре-
делим из начальных условий. Согласно
закону коммутации напряжение на ем-
кости в момент коммутации (т. е. при
t = 0) не может измениться скачком,
поэтому
мс (0) = Мссв (0) = Л = UQ.
Для напряжения на конденсаторе
получим:
ис = Uoe~t/X, (14.22)
и ток согласно (14.19)
i = ic,= -^- = (14.23)
Кривые изменения ис и i приведены
на рис. 14.12.
С энергетической точки зрения про-
цесс короткого замыкания rC-цепи ха-
рактеризуется переходом энергии, запа-
сенной до коммутации в электрическом
поле конденсатора, в тепло в резисторе
[ i2rdt = f е-2'/гСЛ =
J r J 2
о 0
14.7. Включение гС-цепи
на постоянное напряжение
Рассмотрим переходный процесс при
включении rC-цепи на постоянное на-
пряжение U (рис. 14.13).
Уравнение, составленное по второму
закону Кирхгофа, ri + ис = U или с уче-
том (14.19) rCduc/dt 4- ис - U. Соответ-
ствующее однородное уравнение, т. е.
уравнение для свободного процесса, сов-
падает с (14.20). Поэтому свободное
напряжение на емкости
иСсв = Ле-г/гС = Ле"^. (14.24)
Переходное напряжение на емкости
иС = иСу + иСсз = U + Aq t/x.
Так как конденсатор не был заря-
жен, т. е. при t = 0 напряжение ис (0) = 0,
то А = — U и
ис= 1/(1 -е-'/т). (14.25)
Для тока получим
i = C~- = — е-"’. (14.26)
dt г
Начальное значение тока i(0+) мо-
жет быть получено и непосредственно.
Отметим, что практически ветвь с
сопротивлением и емкостью всегда
имеет и какую-то индуктивность, хотя
бы и очень малую. Поэтому и в данном
случае ток начнется с нуля (т. е. не
изменится скачком), но очень быстро
достигнет значения, весьма близкого к
U0/r9 и затем будет уменьшаться прак-
тически экспоненциально (14.23).
Рис. 14.13
242
Рис. 14.14
пряжение на емкости
Um . ( , 7С
где z — ]/г2 4- (1/соС)2; tg ф = — 1/соСг.
Изменение свободного напряжения
на емкости по-прежнему определяется
соотношением (14.24), и переходное на-
пряжение на емкости
иС = wCy + мСсв =
= -^~-sin(cot + \|/ — ф — я/2) + Ле”г/Т,
zcoC
Так как и€ (0) = 0, то все напряжение
источника U при t = 0 равно напряже-
нию ur = ri.
Кривые изменения ис, иСу, иСсв и i
(рис. 14.14) показывают, что напряжение
на емкости и ток в цепи не устанав-
ливаются мгновенно. Напряжение воз-
растает, и ток спадает тем медленнее,
чем больше постоянная времени цепи т,
т. е. чем медленнее затухает свободное
напряжение иСсв.
Отметим аналогию законов измене-
ния тока iL в rL-цепи и напряжения
ис в rC-цепи при включении их на
постоянное напряжение. Она следует из
сравнения равенств (14.14) и (14.25) и
кривых на рис. 14.6 и 14.14. Аналогично
также изменение величин uL и i в тех
же цепях. Аналогия распространяется
и на случаи включения rLr и гС-цепей
на синусоидальное напряжение.
К исследованию процессов зарядки
и разрядки конденсатора через резистор
сводятся многие важные практические
задачи, возникающие при расчете пере-
ходных процессов в цепях автоматики,
телемеханики, электроники и связи.
Как будет показано ниже, энергия,
переходящая в тепло при включении
rC-цепи, не зависит от значения г.
14.8. Включение гС-цепи
на синусоидальное напряжение
При включении rC-цепи (см. рис.
14.13) на синусоидальное напряжение
и = Um sin (cot + ф). Установившееся на-
где постоянная времени цепи т = гС.
Начальные условия дают ис = 0 при
t = 0. Отсюда
А =------sin (\|/ — ф — тс/2)
zcoC
и напряжение на емкости
Um
Uc = z®C"Sin^ + “ ф “ ~
U / л \
- sinh/- <р_Л е-'/\ (14.27)
zcoC V ж 2 I
Ток
. _ dUr Um . . . ч
i = ~dT~ ~ cosф’Sin+ ^ “ ф)
— sin ф • sin (\|/ — <р — — 1 е t,x
(14.28)
При t = 0 ток i (0 + ) = Um sin ф/г.
Действительно, в момент включения
цепи емкость как бы закорочена [ис (0) =
= 0] и напряжение питания равно на-
пряжению на резисторе.
Полученное выражение для тока
объясняет возникновение больших толч-
ков тока при включении ненагруженной
кабельной сети, т. е. сети, в которой
распределение энергии происходит по
кабелям. На рис. 14.15 приведена экви-
валентная схема ненагруженной кабель-
ной сети, где С — эквивалентная емкость,
учитывающая емкость каждой фазы на
землю и емкость между фазами. Если
сеть достаточно мощная, то поперечные
сечения кабелей значительны и сопро-
тивления г малы. Поэтому при вклю-
чении сети в момент, когда напряжение
одной из фаз проходит через амплитуд-
243
Рис. 14.15
14.9. Переходные процессы в rLC-цепи
(последовательном контуре)
По второму закону Кирхгофа сво-
бодные напряжения на всех элементах
неразветвленной цепи взаимно уравнове-
шиваются. Поэтому в последовательном
контуре при отсутствии источников,
т. е. при i = iCB, ис = иСсв (рис. 14.16),
ri + Ldi/dt -I- uc = 0, (14.30)
где
i = dq/dt = C duc/dt. (14.31)
ное значение, наблюдаются весьма зна-
чительные толчки тока.
Кривая изменения напряжения ис
аналогична кривой тока на рис. 14.9, а.
Спустя время от Т/4 до ЗТ/4 после
включения напряжение ис может дости-
гать значений, превышающих амплитуду
установившегося режима. Максимальное
значение ис получается, если в момент
включения цепи установившееся напря-
жение равно амплитудному значению
(ф — ф = к или 0), а постоянная времени
цепи т —> оо. Кривая Для ф — ф = я
аналогична кривой тока на рис. 14.9,6.
Примерно через половину периода после
включения цепи напряжение ис дости-
гает почти удвоенной амплитуды уста-
новившегося режима, т. е. истах « 2С7Суш.
Итак, в этом случае переходное на-
пряжение на емкостном элементе ни при
каких условиях не может превышать
удвоенной амплитуды установившегося
режима.
Если в момент включения устано-
вившееся напряжение на емкостном эле-
менте проходит через нуль, то началь-
ное значение его свободной составляю-
щей также равно нулю, т. е. свободного
напряжения на емкостном элементе
вообще нет и в цепи сразу возникает
установившийся режим.
Совершенно так же, как и для цепи
на рис. 14.10, но заменяя индуктивность
емкостью, можно показать, что в раз»
ветвленной rC-цепи с одним конденса-
тором постоянная времени
т = (г + гвх)С. (14.29)
Подставляя значение i в уравнение
(14.30), после дифференцирования полу-
чаем для ис дифференциальное уравне-
ние второго порядка:
d2uc
dt2
г duc
L dt
1
+ LC “c = °'
(14.32)
Заряд на конденсаторе удовлетворяет
такому же дифференциальному урав-
нению :
d2q
dt2
г dq
~L~dt
+ Тс“-<>-
Дифференцируя это уравнение по
времени, с учетом (14.31) получаем ана-
логичное дифференциальное уравнение
для it
d2i
dt2
г di 1 .
H—7- ——F 7— 1 = 0.
L dt LC
(14.33)
Tождественность дифференциальных
уравнений указывает на одинаковый за-
кон изменения Uc, q и i.
Для решения любого из этих диффе-
ренциальных уравнений составим харак-
теристическое уравнение
г* 1
р2+тр + -г-=0. (14.34)
Рис. 14.16
244
Характер свободного процесса зави-
сит только от параметров rLC-цепи,
т. е., иначе говоря, от вида корней ха-
рактеристического уравнения. Так как
эти корни определяются равенством
Pi.2= ~r/2L+ ]/r2/4L2 - i/LC, (14.35)
то характер свободного процесса зависит
от знака подкоренного выражения, ко-
торый и определяет, будут ли корни
действительными или комплексными.
14.10. Апериодическая разрядка
конденсатора
Апериодической разряд-
кой конденсатора, заряженного до на-
пряжения (70, через резистор и катушку
индуктивности называется разрядка, при
которой напряжение на конденсаторе
монотонно спадает от значения Со до
нуля, т. е. не происходит перезарядки
конденсатора. С энергетической точки
зрения это означает, что при разрядке
конденсатора отдаваемая им энергия
лишь в малой доле переходит в энер-
гию магнитного поля катушки, а боль-
шая ее часть поглощается в резисторе.
Начиная с некоторого момента времени,
в тепло переходит не только оставшаяся
энергия электрического поля конденса-
тора, но и энергия, которая запаслась
в магнитном поле катушки.
Апериодическое решение однородно-
го дифференциального уравнения, т. е.
в рассматриваемом случае апериодиче-
ский характер свободного процесса
(разрядки конденсатора), имеет место,
если корни характеристического уравне-
ния (14.35) действительные, т. е. если
r2/4L2 > 1/LC
или
г >2]/L/C. (14.36)
Назовем критическим сопро-
тивлением контура такое его наи-
меньшее значение, при котором свобод-
ный процесс имеет еще апериодический
характер:
гкр = 2 (/L/C. (14.37)
Корни pi и р2 действительные и
различные, если выполняется неравен-
ство г > гкр.
Общее решение однородного диффе-
ренциального уравнения второго поряд-
ка, и в частности (14.32), при различ-
ных корнях записывается в виде
«Сев = Ле^' + Л2е^, (14.38)
где при условии (14.36) At и Л2 —
действительные постоянные интегриро-
вания, определяемые из начальных усло-
вий, a pi и р2 — действительные и
различные корни характеристического
уравнения.
Заметим, что корни обязательно
отрицательные, так как свободный про-
цесс должен быть затухающим во вре-
мени.
Согласно (14.31) ток
iCB = С duCc3/dt = C(AiPiCPit + Л2р2еР2').
(14.39)
При разрядке конденсатора устано-
вившееся напряжение на нем и ток равны
нулю, поэтому их переходные значения
равны свободным: ис — иСсз, i = iC3.
Из начальных условий ис (0) = Uo и
i (0) = 0 определим значения постоянных
интегрирования. Подставив начальные
условия в (14.38) и (14.39), получим
Со = Ai + Л2; 0 = AiPi + А2р2,
откуда
Я1=р2^о/(Р2-Р1); А1 = -P1UO/(P2-P1).
При этих значениях постоянных ин-
тегрирования напряжение (14.38) и ток
(14.39)
Uc = «Сев = —(p2e₽,t - Pie'’2');
Р2-Р1
(u _ £№£1 (е„, _e,„)
Pl — Pl
Так как произведение корней рг и р2
характеристического уравнения равно
его свободному члену, т. е. pYp2 =
= 1/LC, то
i = ,, V°—Не'’1' - е'’2'). (14.40)
М₽2 — Р1)
245
Рис. 14.17
Напряжение на индуктивности
uL = Wlcb = Ldi/dt =
- Рге’’2')- (14.41)
P2 ~ Pi
Ток и напряжения на емкостном и
на индуктивном элементах состоят из
двух экспоненциальных составляющих,
коэффициенты затухания которых равны
I Pi I и | р21 и определены равенствами
(14.35).
Кривые изменения ис, иь i и их со-
ставляющих приведены на рис. 14.17 и
14.18. Они показывают, что напряжение
ис монотонно уменьшается с начального
значения UQ, а ток, возрастая от нуля,
достигает максимума, а затем также
уменьшается. Касательная к кривой ис
в начале координат горизонтальна, так
как производная напряжения пропор-
циональна току и в начальный момент
равна нулю.
Поскольку i = С duc/dt, максимум
кривой тока и точка перегиба кривой
напряжения ис получаются в один и тот
же момент времени Это время tr
можно найти, приравняв нулю произ-
водную di/dt.
Напряжение на индуктивном эле-
менте изменяется от значения — Uo, так
как при t = 0 и ток, и напряжение
ur = ri равны нулю, и, следовательно,
напряжения ис и uL равны по абсолют-
ному значению. Напряжение uL по абсо-
лютному значению сначала уменьшается,
затем проходит через нуль в момент,
когда ток максимален (что следует из
соотношения uL = Ldi/dt), и возрастает
до некоторого положительного макси-
мума, после чего уменьшается и стре-
мится к нулю. Пока ток алгебраически
уменьшается (в интервале от нуля до
tx), ЭДС самоиндукции еь поддерживая
его, будет согласно закону Ленца по-
ложительной, а напряжение uL— —eL —
отрицательным. Когда ток начинает
алгебраически возрастать, ЭДС самоин-
дукции противодействует ему и будет
отрицательной, а напряжение uL — поло-
жительным.
Максимум кривой uL и точка пере-
гиба кривой i получаются в один и тот
же момент времени t2, что следует в
свою очередь из равенства uL = Ldi/dt.
Этот момент времени г2 можно найти,
приравняв нулю производную dui/dt.
Отметим также влияние индуктив-
ности на протекание процесса. Из выра-
жений (14.35) следует, что увеличение
индуктивности L приводит к уменьше-
нию абсолютных значений р{ и р2 и,
стало быть, к замедлению нарастания
тока и спада напряжения на конден-
саторе. Наоборот, при малой индуктив-
ности L ток растет быстро и быстро
спадает напряжение на конденсаторе.
Такой случай фактически получается
при разрядке конденсатора через ре-
зистор (см. § 14.6).
14.11. Предельный случай
апериодической разрядки
конденсатора
Предельный случай апериодической
разрядки конденсатора имеет место,
если сопротивление контура г = гкр, т. е.
корни характеристического уравнения
(14.34) действительные и равные:
Pi=P2 = P= — r/2L. (14.42)
Общее решение однородного диффе-
ренциального уравнения (14.32) дается
в этом случае формулой
uCc* = uc = (Ai + A2t)ept. (14.43)
[в случае цепи с тремя равными кор-
нями (Ai + A2t + A3t2/2l)ept и т. д.].
246
На основании (14.31) для свободного
тока icB получим
iCB = i = С(А2 + рАг + pA2t)ept. (14.44)
При начальных условиях ис (0) = UQ
и i (0) = 0 находим постоянные интегри-
рования AY = UА2= —pU0. Подста-
вив значения At и А2 в (14.43) и (14.44),
получим напряжение на емкостном эле-
менте и ток:
uc=U0(l-pt)ept; (14.45)
i= -Cp2U0te'”= (14.46)
Определим также напряжение на ин-
дуктивном элементе:
uL = Ldi/dt = - U0 (1 + pt) ept. (14.47)
Кривые изменения i, ис и uL по
форме не отличаются от приведенных
на рис. 14.17 и 14.18.
14.12. Периодическая (колебательная)
разрядка конденсатора
Разрядка будет периодической или
колебательной, если сопротивление кон-
тура меньше критического: г < гкр, т. е.
корни характеристического уравнения
(14.34) комплексные и сопряженные.
Обозначим в (14.35)
а = r/2L; (14.48)
аьв = |/l/LC - г2/41} = 2л/Тсв, (14.49)
так что
|/а2 + <0с2в = 1/l/fc, (14.50)
где cotB — угловая частота и Тсъ — период
собственных или свободных колебаний
контура.
Для корней pi и р2 получим
Р1.2=-а±Мв- (14.51)
Решение дифференциального уравне-
ния (14.32) при комплексных корнях его
характеристического уравнения удобно
записать в виде
«с = “Сев = Ае~ш sin (®cBt + ф) (14.52)
(но можно и в виде суммы двух экс-
понент с комплексными показателями).
Ток
i = kb = САе~“ [ —asin(ow + ф) +
4- (Осв cos (aw + Ф)] • (14.53)
Так как переходные напряжение и
ток по-прежнему равны их свободным
значениям и начальные условия такие
же, как и в двух предыдущих случаях,
то по формулам (14.52) и (14.53) получим
Uо = A sin ф;
0 = С А (— a sin ф + a)CB cos ф).
Из последних соотношений находим
Асозф = —170; tg ф = сйев/а;4
«св ___
А = с/ о/Юе, j/LC;
sin ф = (Осв/|/ а2 + <о?в;
cos ф = а/)/а2 + со2в.
Подставив значения Л, sin ф и cos ф
в (14.52) и (14.53) и обозначив для
краткости
иCm = ULm = U0/mCB ]/LC = l/o/sin ф;
Im = q/(£>cbL,
получим окончательные выражения:
uc = sin (ow + xjz); (14.54)
i = Ime~’u sin (<OcBt + it); (14.55)
uL = sin (a^Bt - ф). (14.56)
247
Кривые изменения ис и i даны на
рис. 14.19. Ток и напряжения пред-
ставляются затухающими синусоидаль-
ными функциями с угловой частотой
собственных колебаний контура <осв и
коэффициентом затухания а, причем как
сосв, так и а определяются только пара-
метрами контура г, L и С. Начальная
фаза ф зависит также только от пара-
метров контура, в то время как UCw,
ULm и 1т зависят и от параметров
контура, и от начального напряжения
на конденсаторе.
Быстроту затухания рассматрива-
емых колебаний характеризуют отноше-
нием напряжений в моменты времени
t и t + Тсв :
ис (О
Uc (t + Тсв)
= sin + М = е<хтсв
UCme ~ a(l + Tqb) sin [шсв (t + TCB) + ф]
Это отношение, называемое декре-
ментом колебания, — постоянная
величина, не зависящая от времени t,
а зависящая лишь от параметров rLC-
контура.
Часто быстроту затухания колебаний
характеризуют натуральным логариф-
мом этого отношения
Д = In “cJf) = аТсв, (14.57)
Uc (t + тсв)
который называется логарифмиче-
ским декрементом колеба-
ния. Если кривая затухает медленно,
то отношение ее значений, отстоящих на
время Тсв друг от друга, близко к
единице, логарифмический декремент
близок к нулю. На рис. 14.20 представ-
лены кривые изменения отношения
амплитуд колебаний в конце 1, 2, 3-го и
т. д. периодов к начальной амплитуде,
построенные для разных значений лога-
рифмического декремента А.
Сопротивление г оказывает суще-
ственное влияние на скорость затухания
колебательной разрядки конденсатора.
Кроме того, как показывает равенство
(14.49), по мере увеличения сопротивле-
ния г уменьшается частота собственных
колебаний сосв и увеличивается их пе-
риод 7^в. Когда г достигнет значения
гкр, частота собственных колебаний бу-
дет равна нулю, период — бесконечности,
что соответствует апериодической раз-
рядке.
При колебательной разрядке конден-
сатора через идеальную катушку (г = 0)
получим
0>св = «о = 1/)/lC; tg ф = со;
ф = я/2; а = О, (14.58)
т. е. затухание процесса равно нулю, а
частота собственных колебаний имеет
наибольшее возможное значение и равна
резонансной частоте последовательного
контура.
Из равенств (14.54) —(14.56) следует,
что ис, i и uL будут изменяться гармо-
нически с угловой частотой соо:
ис = UQ sin (coot 4- л/2);
248
L/o . ,
i =_______sin (coot + it);
/L/C
= L/o sin (oV — 7t/2).
Tok i отстает по фазе на я/2 от
напряжения на индуктивном и опережает
на я/2 напряжение на емкостном эле-
ментах. Поскольку сопротивление отсут-
ствует, первоначальный запас энергии
остается неизменным и энергия попе-
ременно переходит из электрического
поля в магнитное, и наоборот.
14.13. Включение rLC-цепи
на постоянное напряжение
Условимся называть последователь-
ный контур (рис. 14.21) апериодическим,
если каждая из составляющих его сво-
бодного тока изменяется по экспонен-
циальному закону.
Сравнивая включение апериодиче-
ского контура на постоянное напряже-
ние U с апериодической разрядкой кон-
денсатора (см. § 14.10), заключаем, что
установившийся ток по-прежнему равен
нулю, а установившееся напряжение на
емкостном элементе теперь равно не
нулю, a U. Поэтому в отличие от апе-
риодической разрядки конденсатора те-
перь иСсв (0) = — U, т. е. знаки коэффи-
циентов и А 2 изменяются на обрат-
ные. Переходные напряжения и ток
ис = и + —-—(р2е"‘‘ - р1еР2'); (14.59)
Pl — Р1
i = у——-(е₽’‘ - еР2‘); (14.60)
МР1 — Pi)
uL= (р^' - р2еР2‘). (14.61)
Pi - Р2
Кривые wc, i и uL даны на рис. 14.22.
Напряжение ис монотонно возрастает
от нуля до напряжения источника U,
Рис. 14.21
^UL‘
Рис. 14.22
причем точка перегиба кривой при t = tr
получается в момент, когда ток дости-
гает максимального значения. Касатель-
ная к кривой ис в начальный момент
t = 0 горизонтальна, так как ток. в на-
чальный момент равен нулю. Кривые
тока i и напряжения uL по характеру та-
кие же, как и в § 14.10.
Включение rLC-цепи на постоянное
напряжение при г = гкр исследуется ана-
логично рассмотренному в § 14.11.
Сравнивая включение колебательно-
го контура с колебательной разрядкой
конденсатора, заключаем, что свободные
напряжения и ток в рассматриваемом
случае изменяются так же, как и при
колебательной разрядке, только теперь
wccb (0) = — U и знак коэффициента А
изменяется на обратный. Поэтому, как
было показано выше, знаки свободных
249
напряжений на емкостном (14.54) и на
индуктивном (14.56) элементах и тока
(14.55) тоже изменяются на обратные:
Uc = иСу + иСсв = и - UCme “sin (оМ + ф);
(14.62)
i = /св = /те"“ sin (14.63)
uL= ulm = - ULme~'“sin (oy - ф). (14.64)
Кривые uc и i даны на рис. 14.23.
Ток совершает затухающие колебания
относительного нулевого значения. На-
пряжение ис колеблется около своего
установившегося значения U и не может
превзойти 21/. Оно достигает наиболь-
шего значения примерно через поло-
вину периода после включения цепи.
Этим пользуются в импульсной технике
для получения напряжения на конден-
саторе, равного двойному значению на-
пряжения источника питания.
Так же как и при колебательной
разрядке конденсатора, заслуживает
внимания случай включения на постоян-
ное напряжение идеального колебатель-
ного контура (г = 0). В этом случае вы-
полняются равенства (14.58). Поэтому
из (14.62) —(14.64) для тока и напряже-
ний на емкости и индуктивности имеем
ис = U — U cos (Dot;
U •
i = ____sm (Dot; uL= U cos (Dot.
у LC
Ток и напряжения изменяются гар-
монически с частотой свободных коле-
баний а>сВ = (Оо, при этом напряжение ис
колеблется в пределах от 0 до 2U.
С энергетической точки зрения про-
цесс включения rLC-цепи на постоянное
напряжение интересен тем, что при лю-
бых г, L, С половина энергии, полу-
ченной от источника за время переход-
ного процесса, перейдет в тепло, а дру-
гая половина запасется в электрическом
поле конденсатора.
Действительно, энергия, поступаю-
щая от источника,
f Ui dt = J (Uri + uo + UcO dt =
о о
oo о и
= j ri2 dt + J Li di + f Cue duc
ooo
или
и
U^Cduc = CU2 =
о
Как частный случай, из доказанного
следует, что те же самые энергетические
соотношения будут иметь место и при
L= О, т. е. при включении rC-цепи на
постоянное напряжение.
Аналогично рассматриваются явле-
ния, возникающие при включении апе-
риодического и колебательного контуров
на синусоидальное напряжение и =
= Um sin (cot + ф).
14.14. Общий случай расчета
переходных процессов
классическим методом
В предыдущих параграфах был дан
анализ переходных процессов в нераз-
ветвленных цепях. Порядок анализа пе-
реходных процессов в разветвленных
цепях рассмотрим на достаточно прос-
том примере расчета тока ix в цепи
рис. 14.24, чтобы нетрудно было про-
следить путь анализа и все его этапы.
Далее будут даны необходимые пояс-
нения.
1. Для цепи после коммутации со-
ставим систему дифференциальных урав-
нений по первому и второму законам
Кирхгофа:
- i + ii + i2 = 0; (14.65а)
ri + Ldi/dt + ис = Е; (14.656)
ri2 - uc = О, (14.65в)
250
где ii — С duc/dt или uc = — h dt. После
подстановки uc в (14.65) и дифферен-
цирования уравнений (14.656 и в) полу-
чим систему уравнений для трех не-
известных токов:
— i 4- i*i 4- I2 = О»
rdi/dt 4- Ld2i/dt2 4- ii/C = 0;
— ii!С + r di2/dt = 0.
(14.66)
2. Независимые начальные усло-
вия - ток в индуктивном элементе iL(04-)
и напряжение на емкостном элементе
ис (0 + ) — неизвестны. Поэтому опреде-
лим их из расчета режима цепи до
коммутации с применением законов
коммутации.
Считая, что до коммутации в левом
контуре был установившийся режим,
при постоянной ЭДС Е конденсатор
был заряжен до напряжения ис = Е,
т. е. uc(O-) = uc(0 + ) = uc(0) = Е, а ток
был равен нулю, т. е. i(0 —) = i(0 + ) =
= i (0) = 0. Это и есть независимые
начальные условия.
3. Запишем искомую величину в виде
суммы установившейся и свободной со-
ставляющих: ii = йу + йсв-
4. Установившуюся составляющую
найдем, рассчитав режим цепи по-
стоянного тока (ЭДС в цепи постоянная)
после коммутации.
В установившемся режиме после
коммутации ток есть только во внешнем
контуре, а йу = 0.
5. Составим характеристическое урав-
нение и найдем его корни.
Из системы трех уравнений (14.66)
с тремя неизвестными i, ц, i2 можно
исключить токи i и i2 и для получен-
ного дифференциального уравнения
записать характеристическое уравнение.
Однако для определения корней можно
составить главный определитель систе-
мы (14.66) и приравнять его к нулю:
А(р) =
-1
гр + Lp2
0
1
1/С
-1/С
0 =0
гр
или rLp3 + (L/C + г2)р2 + -~-р = 0.
Корень р = 0 соответствует устано-
вившемуся режиму, который уже найден.
Два других корня определяются из ха-
рактеристического уравнения rLCp2 4-
+ (L+ г2 С) р 4- 2г = 0. Они могут быть
действительные разные pi и р2, равные
Pi = р2 или комплексные сопряженные
Р1.2 = ~а ±Мв при а > 0 (действитель-
ная часть корней не может быть по-
ложительной, так как в рассматрива-
емых цепях переходные процессы за-
тухают).
6. Запишем свободную составляю-
щую с постоянными интегрирования,
обращая внимание на вид корней (дей-
ствительные различные, равные, комп-
лексные сопряженные):
йсв = Ai< 4- A2ePit или
йсв = (А + A2t) ePlt,
или йсв = Ae~at sin (ajcBt 4- ф).
Далее для определенности будем
предполагать случай действительных
разных корней.
7. Искомое решение с двумя посто-
янными интегрирования
/1 = 0 4- AiCPS + Л2е-рЛ
8. Для определения двух постоянных
интегрирования запишем полученное ре-
шение и его производную для началь-
ного момента времени
ii (0) = Ai 4- А2;
dii/dt |f=0 = Р1А1 + P2A2.
Это два алгебраических уравнения,
из которых можно найти постоянные
Ai и А2 при известных значениях ц (0)
и dii/dt \t=0. Начальное значение тока
ii (0) определим из системы дифферен-
циальных уравнений цепи (14.65), запи-
санной для момента t = 0:
— i(0) 4-и (0) 4-i2(0) = 0;
ri (0) 4- Ldi/dt |t = 0 4- uc (0) = E;
n2(0)-uc(0) = 0.
В этой системе алгебраических урав-
нений с тремя токами, производной
тока и напряжением две величины i(0)
и ис(0) были уже найдены с примене-
нием законов коммутации. Следователь-
251
но, остальные три величины ц (0), i2 (0)
и di/dt \t = 0 можно вычислить.
Для определения начального значе-
ния производной dijdt |t=0 дифференци-
руем систему уравнений Кирхгофа (14.65)
и подставляем t = 0:
— di/dt |,=о + dijdt |f=0 + di2/dt |t=0 = 0;
r di/dt |t=0 4- Ld2i/dt2 |t = 0 + h (0)/C = 0;
rdi2/dt |f=0 - ix (0)/C = 0.
Это система трех алгебраических урав-
нений с тремя неизвестными dijdt |t = 0,
di2/dt |f = o и d2i/dt2 |t=0, которые и можно
вычислить. В рассматриваемой задаче
достаточно найти dijdt |f^0.
При трех корнях характеристиче-
ского уравнения потребовалось бы еще
раз продифференцировать уравнения
Кирхгофа для определения третьего на-
чального значения — второй производ-
ной искомой величины при t = 0, и т. д.
9. После определения постоянных
и Л 2 остается подставить их в искомое
решение, и расчет закончен.
Для определения других токов и
напряжений не требуется заново выпол-
нять все этапы расчета. Действительно,
t
ис = uc(0) 4--^-Jijdt; i2 = uc/r; i = G + i2.
0
О системе дифференциальных уравне-
ний. Необходимое число уравнений, со-
ставляемых по первому и второму зако-
нам Кирхгофа, определяется так же,
как и при расчете установившихся режи-
мов в цепях постоянного и переменного
токов. Независимые контуры выбирают-
ся по тем же правилам, что и для
цепей постоянного и переменного токов.
Независимые начальные условия. В
цепи рис. 14.24 ЭДС Е постоянная.
Если ЭДС синусоидальная е = Ет х
х sin (cot 4- а), то ток до коммутации
I = E/(r + j&L— j/юС) = / z. Р, т. е. i =
= lm sin (cot 4- р) и i (0 —) = Im sin Р, на-
пряжение Uс = z у, т. е.
соС
Uc = Ucm sin (cot 4- у) и Wc(O-) = sin у.
Установившийся режим после комму-
тации. При синусоидальной ЭДС в цепи
рис. 14.24 ток 1У = E/\r + j(f)L+ —
_У \ г—j/coC
= 1У z РУ, т .е. iy = Iym sin (cot 4- РУ) и ана-
логично ily.
Характеристическое уравнение диффе-
ренциального уравнения n-го порядка,
как известно, составляется алгебраиза-
цией соответствующего однородного
уравнения. Например, у дифференциаль-
ного уравнения тока
andni/dtn + ап_ ^п~ 4/dtn~1 + ...
... + a1^/c/t + a0=/(t) (14.67)
характеристическое уравнение
япрл+ яп-1Рл-1 + ... + а1р + ао = 0 (14.68)
имеет п корней, среди которых могут
быть действительные и комплексные со-
пряженные, различные и одинаковые.
Степень п называется порядком
цепи. Так были получены характерис-
тические уравнения цепей, рассмотрен-
ных в § 14.3 — 14.13.
Однако, как указывалось выше, при
анализе переходных процессов классиче-
ским методом в цепи, для которой
составлена система уравнений Кирхгофа,
можно получить характеристическое
уравнение, составив главный определи-
тель системы дифференциальных урав-
нений. Для понижения порядка опреде-
лителя, при помощи которого находятся
корни характеристического уравнения,
можно записать уравнения цепи с кон-
турными токами. Например, для цепи на
рис. 14.24, выбрав контуры с токами
ia и составим систему уравнений
ria + Ldia/dt 4-
i6 dt = Е;
1 Г. . . 1 | , а
— dt 4- пб 4- Иб dt = 0,
главный определитель которой
Д(к) (р) =
г 4- pL+ 1/рС
-i/pC
-1/рС
г + 1/рС
. (14.69)
Уравнение Д(к)(р) = 0 имеет те же корни,
что и характеристическое уравнение
(14,68), т. е. также является характеристи-
ческим.
Нетрудно заметить, что элементы
определителя Д(к)(р) [в отличие от эле-
252
ментов А (р)] — это собственные и общие
комплексные сопротивления контуров
той же самой цепи при замене усо
оператором р: Zj j (р) = (г + /coL +
+ 1//<оС)|> = р, Z12(p) = — 1//<»С |J0) = р и
т. д.
Таким образом, определитель (14.69)
можно записать сразу без составления
дифференциальных уравнений.
Составив комплексное входное со-
противление цепи для источника сину-
соидальной ЭДС Е (вместо источника
ЭДС Е в цепи рис. 14.24) после замены
/со оператором р получим
Z„x (р) = г + pL+
Как будет показано в гл. 15, урав-
нение
ZBX (р) = 0 (14.70)
— это тоже характеристическое.
Источник ЭДС можно считать вклю-
ченным в любую из ветвей цепи, т. е.
Z1 вх (р) — “Ь
рС
(Г + рЬ) г
г + pL+ г
И
и
Z2bx (р) = Г +
(г + pL)(l/pC)
г + pL+ 1/рС
— это тоже характеристические уравне-
ния.
Характеристическим является и урав-
нение
Д(у)(р) = 0, (14.71)
где Д(у) (р) — главный определитель си-
стемы, составленной методом узловых
потенциалов с заменой усо оператором р.
Например, для цепи на рис. 14.24 (с дву-
мя узлами) определитель (первого по-
рядка)
Д<>'> (р) = l/(r + pL) + рС + 1/г.
Число корней характеристического
уравнения не может быть больше числа
накопителей энергии в цепи после ком-
мутации, т. е. числа ее индуктивных и
емкостных элементов. Если схема заме-
щения цепи не содержит особых конту-
ров, состоящих только из емкостных
элементов и источников ЭДС, и особых
сечений, у которых в каждой ветви есть
индуктивные элементы или источники
тока, то число корней характеристиче-
ского уравнения равно числу накопите-
лей энергии. На рис. 14.25, а и б штри-
ховой линией показаны особые контур
и сечение. Число корней для цепи на
рис. 14.25, а равно не 4, а 3 (один
емкостной контур), для цепи на рис.
14.25,6 оно равно не 5, а 4 (одно
индуктивное сечение).
Рис. 14.25
253
Наличие индуктивных связей не уве-
личивает числа корней характеристиче-
ского уравнения. Например, для цепи
на рис. 14.26, а запишем характеристи-
ческое уравнение, составив входное
сопротивление для источника ЭДС после
развязки индуктивной связи (рис. 14.26,6):
Z (р) = Г + pL3 +
(К + pMYpLj = 0
R 4- рМ 4- pL4
или
(г 4- pL3)(R + рМ + pL4) 4- (R 4- pM)pL4 = О,
у которого два корня. Для цепи на
рис. 14.26, а при отсутствии индуктивной
связи характеристическое уравнение
Z (р) = г + pLi +
RpL2 0
R 4- pl>2
или
(г 4- pLi) (R 4- pL2) + ЯрЬ2 = О,
т. е. тоже второго порядка (корни, ко-
нечно, другие).
Корни характеристического уравне-
ния определяются только топологией
цепи после коммутации и значением ее
параметров. В общем случае они одина-
ковы для любого из токов и напряже-
ний цепи. Но следует обратить внима-
ние на то, что в частных случаях,
например в цепях на рис. 14.27, а и б,
общее правило не выполняется. В цепи
на рис. 14.27, а после замыкания рубиль-
ника задано напряжение между узлами
1 и 2. Поэтому на переходный процесс
в каждой из ветвей с индуктивным
и емкостным элементами не влияет
вторая ветвь. Цепь на рис. 14.27,6 после
коммутации распадается на две отдель-
ные цепи.
Рис. 14.28
Корни характеристического уравне-
ния, как указывалось, имеют отрицатель-
ные действительные части (свободные
составляющие процесса затухают). Это
справедливо для всех цепей с потерями,
в которых действуют только независи-
мые источники ЭДС и тока. Следова-
тельно, на комплексной плоскости р =
= ст 4- усо точки, изображающие корни,
располагаются на левой полуплоскости.
В цепях с зависимыми источниками,
например четырехполюсники — опера-
ционные усилители с обратной связью,
возможно самовозбуждение (см. § 8.11).
В этом случае характеристическое урав-
нение имеет хотя бы один корень (полюс
передаточной функции) с положительной
действительной частью, изображающая
точка которого находится на правой
полуплоскости (неустойчивость). Суще-
ствуют критерии (Гурвица, Михайлова,
Найквиста), дающие возможность судить
об устойчивости без вычисления корней
характеристического уравнения, т. е. по-
люсов [5].
Пример 14.2. Найти ток ц в цепи на
рис. 14.28 при параметрах г = 10 Ом, L—
= 0,1 Гн, С = 100 мкФ, Ei = 10 В, Е2 = 5 В.
Выбранные положительные направления то-
ков и напряжения на конденсаторе показаны
на рисунке.
Решение. 1) Дифференциальные урав-
Рис. 14.27
254
нения цепи после коммутации
— i\ + 4" I3 = 0; lOi’i 4~ O^ldi^/dt == 10;
— — i-2 4” ic ~ 0; — O,ldi[Jdt 4- uc 4- IO13 = 0;
10i2 4- uc = 5.
2) Независимые начальные условия
iL(0-) = iL(0 + ) = iL(0) = E1/r=l A;
uc(0-) = Wc(04-) = i/c(0) = £2 = 5 B.
3) Искомый ток i*i = и у 4- Йсв-
4) После коммутации ток г1у = EJr —
= 1 А (замыкается в вегви с индуктивным
элементом; источник ЭДС Е2 не создает
тока в вегви с ЭДС гак как ток вто-
рого источника тоже замыкается в ветви
с индуктивным элементом).
5) Входное сопротивление для источника
ЭДС, включаемого в ветвь
ZBX(p) = r+ -~- +
pL4- г
с ключом,
r-i/pC
г 4- 1/рС
Характеристическое уравнение ZBX (р) =
= 0 имеет корни = —142 с-1, р2 =
= -1408 с"1.
6) Свободная составляющая тока при
различных действительных корнях /1св =
. . p2t
= 4- ^2e
7) Искомое решение записывается в ви-
де
ii = i'iy + i,CB = 1 + X,e 1421 + A2e 1408'.
8) Для определения постоянных интегри-
рования составим систему уравнений
1’1 (0) = 1 4- Ai -Ь А2;
Ж’1Ж=о = -142Ai - 1408А2.
Для решения этой системы необходимо
найти начальные значения тока ц и его
производной из системы уравнений Кирх-
гофа с учетом независимых начальных усло-
вий. При t = 0
-G(0)4-il(0) + /3 (0) = 0;
-G (0)-i2 (0) + ic(0) = 0;
10/i (0) 4-O,ldrL/</t Uo = 10;
-OAdiL/dt |t = 0 4- uc(0) 4- Ю/3 (0) = 0;
10i2 (0) 4- uc (0) = 5.
Так как уже найдены независимые начальные
условия, то это система пяти алгебраических
уравнений с пятью неизвестными. После
решения находим it (0) = 0,75 A; i2 (0) = 0;
i3(0) = -0,25 A; гс(0) = -0,25 A; diL/dtlt=0 =
= 25 А/с.
Для определения dii/dt]tss0 дифференци-
руем систему уравнений Кирхгофа и под-
ставляем t = 0:
— dijdt |f = 0 4- dic/dt |r = 0 4- di3/dt |r = 0 = 0;
-di3/dt |t = 0 - di2/dt |r=0 4- dic/dt |r=0 = 0;
Wdijdt |t=0 4- 0,ld2i[Jdt2 — 0;
— 0ild2iL/dt2 |r=0 4- ic(0)/C 4- 10Ji3/Jr |r=0 = 0;
10di2/dt |f = o 4- if(0)/C = 0.
Здесь пять неизвестных, любую из которых
можно найти. Чтобы вычислить производ-
ную dijdt |г=0, проще всего сложить третье
и четвертое уравнения. Их сумма и первое
уравнение — это два уравнения с двумя не-
известными, откуда находим dii/dt|t = o =
= 137,5 А/с. Теперь из системы уравнений
относительно и А2 определяем Аг =
= -0,169; А2 = -0,081.
9) Ответ: ц = 1 — 0,169е-142г —
— 0,081е"1408г А.
Пример 14.3. Для цепи на рис. 14.29
заданы параметры: г = 4 Ом, L = 0,l Гн,
J = 2 А. Найти ток i2 после коммутации.
Решение. 1) — J 4- h 4- i2 = 0; ri2 —
— Ldii/dt — riY — 0.
2) (0) = J = 2 A.
3) i2 = l*2y + Г*2св-
4) i2y = J/2 = 1 A.
5) Входное сопротивление для источни-
ка ЭДС, включаемого в ветвь ключа ZBX =
= г 4- pL 4- г (источник тока идеальный). Из
характеристического уравнения pL 4- 2г — 0
находим Pi = —80 с-1.
6) i2cB = Ле-80'.
7) i2 = 1 + Ле-80'.
8) i2 (0) = 1 4- А. При t = 0 из первого
уравнения Кирхгофа i2 (0) = J - (0) = 0,
т. е. А = — 1.
9) i2 = 1 - 1е"80г А.
Рассмотренный метод расчета пере-
ходных процессов применим и к цепям,
схемы замещения которых содержат
управляемые источники.
Пример 14.4. К выходным выводам
гиратора, схема замещения которого приве-
дена на рис. 8.12, присоединена гС-цепь.
Рис. 14.29
255
Гиратор подключается к источнику с по-
стоянной ЭДС Е и внутренним сопротив-
лением гв, (рис. 14.30). Определить напря-
жение ис.
Р е ш е и и е. Дифференциальные уравне-
ния цепи
Гвт'1 = Е + i2/g; ис - ri2 = ijg,
где i2 = — С duc/dt.
После исключения токов получим диф-
ференциальное уравнение для напряжения
rCk duc/dt 4- ис = E/gr3V
где к = (1 + 1/<?2гВ1).
Начальное условие ис (0) = 0. Напряже-
ние иС = иСу + Нс СВ' 1Де иС \ = const (источник
постоянной ЭДС), г. е., как следует из урав-
нения, иСу = Е/gr^. Свободная составляю-
щая wCcB = AePlt, где корень рг находится из
характеристического уравнения гСкр +1=0,
т. е. pi = — 1/гСА', и ис = Е/дГы + AePlt. Так
как ис (0) = 0, то А = —Е/дгпх.
14.15. Переходные процессы в цепях
с взаимной индуктивностью
Рассмотрим переходный процесс в
цепи на рис. 14.31, п, у которой две
катушки для упрощения вычислений
с одинаковыми сопротивлениями /д =
= г2 = г и одинаковыми индуктивностя-
ми = L2 — L имеют индуктивную
связь. Вторая катушка замкнута нако-
ротко, а первая подключается к источ-
нику постоянного напряжения U.
Токи д и i2 в катушках связаны
уравнениями Кирхгофа
ri{ + Ldijdt + М di2/dt = U; (14.72)
ri2 + Ldi2/dt + M dii/dt = 0. (14.73)
Начальные условия нулевые, т. е. ц (0) =
= г2 (0) = 0. Установившиеся значения
токов ily = Ui2y = 0.
Для определения корней характери-
стического уравнения составим главный
определитель и приравняем его к нулю:
г + pL рМ
г =0,
рМ Г + pL
откуда находим два корня р{ = — r/(L +
+ М), р2 = —r/(L— М). Напомним, что
учет индуктивной связи не увеличивает
числа корней характеристического урав-
нения.
Токи
ц = U/r + А1ег'< + А2е1'2'; (14.74)
i2 = В^'' + В2е'’2'. (14.75)
Чтобы вычислить постоянные Al9
А2, кроме начального значения (0)
нужно найти dijdt |, = 0.
Умножим (14.72) на L и (14.73) на
М и вычтем (14.73) из (14.72) при t = 0:
L2 di^dt |, = 0
М1 dii/dt |, = 0 = LU,
Рис. 14.31
256
откуда находим
/J.l LU LU
dh/dt I,=о L2_M2 ~ {L+ (L_My
При t = 0 из (14.74) следует
h (0) = U/r + Л + A2;
dii/dt\t^Q =PiAt + p2A2.
Отсюда определяем постоянные инте-
грирования At = А2 = — U/2г. Аналогич-
но находим Вх = — В2 = — U/2г и токи
катушек
= _^.(2 - Q~rt^L+M> _ Q-rt/{L-M)y
i2 = _£L(_e-^/(b+M) +
2r 7*
(14.76)
На рис. 14.31,6 построены кривые
изменения токов it и i2. Одна из сво-
бодных составляющих токов затухает
медленнее, т. е. имеет большую посто-
янную времени, определяемую суммой
индуктивности L и взаимной индуктив-
ности М, а вторая затухает быстрее, так
как ее постоянная времени определяется
разностью L — М. Для сравнения на
рис. 14.31,6 показано, как изменялся бы
ток первой катушки при ее включении,
если бы вторая была разомкнута (штри-
ховая кривая). В первые моменты после
включения ток первой катушки увели-
чивается быстрее, чем он возрастал бы
при разомкнутой второй катушке. В этом
можно убедиться, подсчитав начальные
значения производных dix/dt в обоих
случаях. При замкнутой второй катушке,
как было найдено,
di^/dt\t — Q = ^2 __ ’
а при разомкнутой второй катушке
(см. § 14.4)
dijdt \t=0 = U/L.
В первом случае производная боль-
ше, поэтому ток ij растет быстрее.
Начиная с t = ток i2 по абсолют-
ному значению уменьшается и знак его
производной изменяется на обратный.
Кроме того, как показано на рис. 14.31,6,
ток начиная с некоторого момента
времени, растет медленнее, чем при
разомкнутой второй катушке.
Попутно отметим, что, поскольку
при включении токи катушек имеют
противоположные направления, механи-
ческие силы их взаимодействия стре-
мятся оттолкнуть катушки друг от дру-
га.
Рассмотрим энергетические соотно-
шения.
Для этого умножим на it dt обе части
уравнения (14.72) и на i2 dt обе части
уравнения (14.73) и представим их в виде
п’1 dt 4- Lit dii 4- Mit di2 = rij dt 4-
4- d (Lil/2) 4- Md (iii2) - Mi2 dit = Ui.dt;
- Mi2 dix = n*2 dt 4- Li2 di2 =
= rz*2 dt 4- d (Li2/2).
Подставив —Mi2di1 в предыдущее
уравнение, получим
n*i dt 4- ri2 dt 4- d (Lil/2) 4- d (Lil/2) 4-
4- Md (i]i2) = Uix dt.
Проинтегрировав в пределах от 0
до г, будем иметь
* 1 I i2 I i2
j rij dt + f ri% dt + ~+ + Mixi2 =
0 0 L 1
= f l/ij dt.
0
Отсюда следует, что получаемая от
источника энергия преобразуется частич-
но в тепло — джоулевы потери обеих
катушек (первые два слагаемых левой
части последнего равенства), а частично
запасается в магнитном поле обеих ка-
тушек (три последних слагаемых левой
части этого равенства). Так как знаки
токов it и i*2 различны (рис. 14.31,6), то
последний член 4-Mi1/2 отрицателен.
Более подробный анализ показывает,
однако, что знак суммы трех последних
членов всегда положителен, так что за
любой промежуток времени от 0 до t
энергия источника частично переходит
в тепло, а частично расходуется на
увеличение энергии магнитного поля
катушек.
9 Основы теории цепей
257
14.16. Включение пассивного
двухполюсника к источнику
непрерывно изменяющегося
напряжения (интеграл Дюамеля)
Пусть произвольный пассивный ли-
нейный двухполюсник подключается к
источнику непрерывно изменяющегося
с момента t = 0 напряжения и
(рис. 14.32, а). Требуется найти ток i (или
напряжение) в любой ветви двухполюс-
ника (рис. 14.32, б) после замыкания
ключа.
Задачу решим в два приема. Снача-
ла искомую величину найдем при вклю-
чении двухполюсника на единичный ска-
чок напряжения (напряжение постоян-
ное и численно равно единице).
Единичный скачок (единичное
ступенчатое воздействие) задается еди-
ничной ступенчатой функцией — функци-
ей Хевисайда 1 (г), изображенной на
рис. 14.33, которая и представляет собой
с точки зрения теории электрических
цепей единичное постоянное напряже-
ние (или ток), действующее на входе
цепи с момента t = 0+, так что
1 (г) = 0 при t < 0;
1 (Г) = 1 при t > 0. (14.77)
Функция h (t), численно равная иско-
мому току (или напряжению), при дей-
Рис. 14.32
ствии единичного скачка называется
переходной функцией или пе-
реходной характеристикой.
Это реакция цепи на единичный скачок.
Например, для rL-цепи переходная
функция тока h (t) = (1 — e"t/T) (см.
§ 14.4), для rC-цепи переходная функция
напряжения на емкостном элементе (см.
§ 14.7) Л(0 = 1 - e"t/T. Если определя-
ются и ток, и напряжение, можно со-
ответственно обозначить hi(t) и hu(t).
Переходную функцию h(t) при лю-
бой схеме пассивного двухполюсника
можно найти классическим методом
(или операторным методом, или мето-
дом интеграла Фурье — см. ниже). Таким
образом, в дальнейших расчетах функ-
цию h(t) будем считать известной.
Так как включается пассивный двух-
полюсник, то при t < 0 токи и напря-
жения в любой ветви равны нулю.
Поэтому при t < 0 следует считать
h(f) = O.
Все дальнейшие рассуждения прове-
дем для случая, когда нужно рассчи-
тать ток.
Непрерывно изменяющееся напряже-
ние u(t) заменим ступенчатой функцией
с элементарными прямоугольными скач-
ками Au (см. рис. 14.32, а). Тогда про-
цесс изменения напряжения можно пред-
ставить как включение при г = 0 посто-
янного напряжения и(0), а затем как
включение элементарных постоянных
напряжений Au, смещенных относитель-
но друг друга на интервалы времени Ат
и имеющих знак плюс для возрастаю-
щей и минус для падающей ветви за-
данной кривой напряжения.
Составляющая искомого тока в мо-
мент t от постоянного напряжения и(0)
равна u(Q)h(t). Составляющая тока в
1(t)
1
Рис. 14.33
258
момент t от элементарного скачка на-
пряжения Ди, включаемого в момент
времени т, равна Au/z (t — т). Здесь аргу-
ментом переходной функции служит вре-
мя (t — т), поскольку элементарный ска-
чок напряжения Ди начинает действо-
вать на время т позднее замыкания клю-
ча, или, иначе говоря, поскольку про-
межуток времени между моментом т
начала действия этого скачка и момен-
том времени t равен t — т.
Элементарный скачок напряжения
Ди « Дт • m tg а = Дт = Дти' (т),
dt t-x
где т — масштабный коэффициент.
Поэтому искомая составляющая то-
ка
Ди h (г — т) = и' (т) Дт h (t — т).
Элементарные скачки напряжения
включаются на интервале времени от
t = 0 до момента t, для которого опре-
деляется искомый ток. Поэтому, сумми-
руя составляющие тока от всех скачков,
переходя к пределу при Дт -> 0 и учи-
тывая составляющую тока от начально-
го скачка напряжения и(0), получаем
i (t) = и (0) h (t) + f и' (т) h (t - т) dx. (14.78)
о
Последняя формула для определе-
ния тока при непрерывном изменении
приложенного напряжения называется
формулой или интегралом Дюамеля
(первой формой записи интеграла Дюа-
меля). Аналогично решается задача при
подключении цепи к источнику тока.
Учитывая теорему свертки двух
функций /1 (t) и f2 (t)
f fl (t - т)/2 (t) dr = f fl (t)/2 (t - t) dr,
0 0
(14.79)
преобразованием (14.78) можно полу-
чить и другие формы записи.
14.17. Включение пассивного
двухполюсника к источнику
напряжения произвольной формы
В дальнейшем под произвольной
формой напряжения будем понимать
его изменение, определяемое кусочно-
аналитической функцией, т. е. функцией,
аналитически заданной на каждом ко-
нечном интервале и имеющей в точках
стыка интервалов разрывы непрерывно-
сти первого рода.
Пусть произвольный пассивный
двухполюсник подключается к источ-
нику напряжения, кривая изменения ко-
торого дана на рис. 14.34. Для вычис-
ления тока определим, как и выше,
переходную функцию h(t).
Так как в промежутке 0 < t <
включаемое напряжение задано функ-
цией ux (t), то, воспользовавшись фор-
мулой (14.78), можем написать для этого
промежутка времени
i (0 = «1 (0) МО + f u'i СО М* - *) dx.
о
(14.80)
В следующем промежутке tt < t < t2
напряжение задано другой функцией
и2 (0» причем в момент tr оно изменя-
ется скачком от значения и2 (tj до зна-
чения u2(fi)- Для учета скачка напряже-
ния в точке t = ti будем считать, что
в этот момент к двухполюснику прикла-
дывается отрицательное постоянное на-
пряжение, равное и2 (tj — (tj. Кроме
того, учтем составляющие тока от на-
чального скачка напряжения иг (0) и от
элементарных скачков напряжения, оп-
ределяемого кривой (t) и действую-
щего от t = 0 до t =
В результате получим
Ч
i (0 = Wi (0) h (t) + f ui (т) h (t - x) dx +
о
+ [M2 (*1) ~ W1 (*1)] Й(Г — h) +
+ \u2(x)h(t-x)dx. (14.81)
9’
259
В этом равенстве в третьем члене
аргументом переходной функции служит
величина t — G, так как напряжение
н2 (^i) — Hi (Г1) включается в момент
Аргумент t — т переходной функции в
обоих интегралах один и тот же, по-
скольку он имеет смысл промежутка
времени, прошедшего от включения эле-
ментарного скачка напряжения Au до
рассматриваемого момента времени t
(см. рис. 14.32, а). Однако, разумеется,
пределы изменения t в обоих интегра-
лах различны.
Наконец, для промежутка времени
t2 < t < оо учтем, что в момент t = t2
включается постоянное напряжение
— ^2(^2) и что элементарные скачки, оп-
ределяемые кривой напряжения и2 (Г),
действуют до момента времени t = t2.
Поэтому
Ч
i (t) = щ (0) h (г) + J (т) h (t - т) dx +
о
'2
+ [«2 (tl)-Ml (tl)] f u'2(t)/i(?-
'1
- т) dr - u2 (t2) h (t - f2). (14.82)
Рассмотрим еще переходные про-
цессы при включении произвольного
активного двухполюсника к источнику
напряжения любой формы.
Найдем ток i в любой ветви актив-
ного двухполюсника (в частности, и в
ветви ключа). Расчет проведем по прин-
ципу наложения. Сначала будем считать
двухполюсник пассивным, т. е. учтем
только включаемый источник напряже-
ния и (г). Расчет тока при этом прове-
дем по формулам Дюамеля. Затем уч-
тем только источники активного двух-
полюсника, т. е. найдем ток в той же
ветви, считая, что источник напряжения
не действует и что его внутреннее
сопротивление равно нулю. Расчет тока
в этом случае выполним, например,
классическим методом (см. § 14.14). Сум-
мируя найденные составляющие токи,
получаем искомый ток.
Отметим еще, что при подаче на
вход активного двухполюсника ряда им-
пульсов напряжения (рис. 14.35) расчет
токов в любой ветви также можно про-
вести при помощи формулы Дюамеля.
При действии последовательности
прямоугольных импульсов расчет мож-
но вести и без применения формулы
Дюамеля. В самом деле, для учета
действия любого прямоугольного им-
пульса можно считать, что в момент
начала его действия включается источ-
ник постоянного напряжения, равный
численно напряжению импульса, а в мо-
мент окончания действия импульса
включается такой же источник с напря-
жением противоположного знака.
Пример 14.5. Найги ток iL (рис. 14.36)
для промежутков времени 0 < t < 2,5 мс и
t 2,5 мс, если = 2 Ом, г2 — 5 Ом,
L= 4 мГн при и (г), показанном на рис. 14.37.
Решение. Переходная функция тока
Л (1) = hy (t) + Лсв (1),
где hy (t) = 1/ri = 0,5 A, /iCB (t) = 4е~,/т (цепь
с одним индуктивным элементом) и по (14.18)
260
Рис. 14.38
постоянная времени
357
При t = 0 по первому закону коммута-
ции 1/ (0) = 0, т. е. и h (0) = 0, следовательно,
А = — 0,5 и h (t) = 0,5(1 — e- 357f) См.
Уравнение напряжения источника
(рис. 14.37)
и (г) = 100 (1 - 800г) В.
Применяя формулу Дюамеля (14.80) для
промежутка 0 t 2,5 мс. получаем
iL(t) = и (0) h (t) + f и' (т) h (t - т) dr =
О
= 162 - 4- 104t - 162e" 357f A.
Проверив, убедимся, что ц (0) = 0.
Для промежутка времени t 2,5 мс со-
гласно (14.81)
iL(t) = и (0) h (f) + J и' (т) h (t — т) dx —
о
- м(П)/1(Г-G)= — lie-357' А.
При t = ti ток it измениться не должен,
несмотря на скачок напряжения источника.
Проверив, убедимся, что
iiAti - 0) = iL(ti + 0) = -4,5 А.
Кривая тока iL приведена на рис. 14.38.
14.18. Переходная и импульсная
переходная характеристики
В линейной теории цепей автома-
тического управления и в других дис-
циплинах часто пользуются понятиями
переходной характеристики и импульс-
ной переходной характеристики какой-
либо системы или цепи. Первая из них
введена в § 14.16 для двухполюсника.
Аналогично вводят понятие переход-
ной характеристики любой цепи или
системы, например для четырехполюс-
ника переходной характеристикой назы-
вается реакция (напряжение или ток)
на выходе при единичном ступенчатом
воздействии на входе.
Понятие переходной характеристики
h (t) как реакции (отклика) системы (или
как выходной величины, за которую
может быть принята любая из функций
системы) на единичное ступенчатое воз-
действие, приложенное к ее входу (при-
чем, за вход системы может быть при-
нята любая ветвь или два вывода), при-
менимо не только к электрическим це-
пям, но и к любым физическим систе-
мам — механическим, пневматическим,
гидравлическим, электромеханическим
и т. д. Так, переходные характеристики
rL-, г С- и /LC-цепей, если, например,
в качестве выходной величины выбраны
токи, даются формулами (14.14), (14.26),
(14.60), (14.63) при U = 1, а если выбраны
напряжения на емкостных элементах,
то формулами (14.25), (14.59), (14.62)
также при U = 1.
Переходная характеристика введена
в основном по двум причинам.
1. Единичное ступенчатое воздей-
ствие 1 (г) — скачкообразное, и поэтому
довольно тяжелое для любой системы
внешнее воздействие. Следовательно,
важно знать реакцию системы именно
при таком воздействии. Иные, например,
всевозможные плавные воздействия бу-
дут для системы легче.
2. Если определена характеристика
h(t), то при помощи интеграла Дюаме-
ля (см. § 14.16 и 14.17) можно опреде-
лить реакцию системы при любой фор-
ме внешних воздействий.
Существует еще один вид внешнего
воздействия, называемый единич-
ным импульсом, дельта-функцией
6(f) или функцией Ди-
рака, которое опреде-
ляется как производная
по времени единичной *(*)♦
функции /
S(t) = dl(t)/dt (14.83) \
и представляет собой /
предельный случай им- /
пульса очень большого '
Рис. 14.39 о t
261
значения и очень малой продолжитель-
ности (рис. 14.39), когда его длительность
стремится к нулю, но площадь сохра-
няется равной единице.
Действительно, оставляя сейчас в
стороне вопрос о законности операций
дифференцирования разрывной функции
1 (г), но отметив, что в теории обобщен-
ных функций эти операции достаточно
строго обоснованы, найдем площадь
единичного импульса:
+f 5(ол = Т^ (o = /(oi::is =
- оо - 00
= /(оо)-/(-оо)= 1-0=1.
Импульсной переходной
функцией или характеристи-
кой (весовой функцией) системы (на-
пример, четырехполюсника) к (t) называ-
ется реакция на выходе, если на входе
действует внешнее возмущение в виде
единичного импульса 5 (г). Поскольку
внешние возмущения 1 (г) и 3 (г) связаны
равенством (14.83), то при А(0+) = 0
получаем, что подобным же равенством
связаны и их реакции на выходе систе-
мы, т. е.
k(t) = dh(t)/dt. (14.84)
В справедливости (14.84) можно убе-
диться непосредственно, вычислив h(t\
k(t) и dh(t)/dt для любой цепи.
Если же Л(0+)/0, то соотношение
(14.84) обобщается:
к (г) = dh (t)/dt + h (0 4-) 8 (t). (14.85)
Например, если при включении гС-
цепи на единичный импульс напряжения
в качестве выходной величины рассмат-
ривается ток, то
|!(() = уе-"’ и й(0+) = 7
Так как при t = 0 в составе прило-
женного напряжения имеется дельта-
функция и в этот момент по второму
закону коммутации ис(0+) = 0, то дель-
та-функция должна быть и в составе
тока, что и объясняет наличие второго
слагаемого в правой части (14.85).
Импульсная. переходная характери-
стика к (t) введена по тем же двум
причинам, что и h (t).
1. Единичный импульс — скачкооб-
разное и поэтому довольно тяжелое
возмущение для системы или цепи; оно
тяжелее, чем плавное возмущение. Сле-
довательно, важно знать реакцию си-
стемы или цепи на это возмущение.
2. При помощи некоторого видо-
изменения интеграла Дюамеля можно,
зная к (г), вычислить реакцию системы
или цепи на любое внешнее возмущение
(см. § 14.19).
Реализацию внешнего воздействия
в виде единичного импульса напряжения
8 (t) обычно представляют как экспо-
ненциальное воздействие с очень боль-
шой начальной ординатой (1/0) и очень
малой постоянной времени т, так что
lim (170т)=1, (14.86)
С70-> оо
т-0
где UqT — площадь, ограничиваемая экс-
поненциальным импульсом, т. е.
lim f UQe~t,x dt = UQx.
о
' 14.19. Запись интеграла Дюамеля
при помощи импульсной переходной
характеристики
Пусть на входе пассивной системы
или цепи действует источник непрерыв-
но изменяющегося напряжения иг (г)
(или тока) (рис. 14.40). Определим реак-
цию на выходе, например ток в момент
времени г.
Разобьем кривую (г) на отдельные
импульсы шириной dx и высотой иг (т)
для момента времени t = т. Для еди-
ничного импульса, действующего в мо-
мент времени т, реакция на выходе по
определению равна импульсной пере-
ходной характеристике к (г — т), где t —
262
— т — промежуток времени от момента
т действия импульса до момента Г.
Но площадь рассматриваемого импуль-
са не равна единице, а равна и^т)^.
Поэтому реакция от него на выходе
в момент t будет равна k(t — т)^ (x)dx.
Суммируя действия всех импульсов,
каждый из которых имеет бесконечно
малую площадь, от т = 0 до т = г, по-
лучаем реакцию на выходе
i(t) = f/c(r-T)u1(T)t/T, (14.87)
о
или с учетом (14.79)
i (t) = J /с (т) (г - т) dx. (14.88)
о
При напряжении произвольной фор-
мы (см. рис. 14.34) по формулам (14.87)
или (14.88) определяется ток в интервале
времени 0 < t < В промежутке h <
< t < t2
i (t) = J к (t — t) Ui (t) dx +
о
4- J к (t - t) u2 (t) dx, (14.89)
или
i (t) = f к (т) (t - t) dx +
о
+ f (t) u2 (r - t) dx. (14.90)
'i
При t > t2 нужно, очевидно, заменить
верхний предел t у второго интеграла
на t2.
Реакции цепи h(t) и k(t) на действие
единичного скачка и единичного импуль-
са, а значит, и применения интегралов
Дюамеля предполагают нулевые началь-
ные условия. В противном случае не-
обходимо воспользоваться методом на-
ложения.
Если переходная или импульсная
переходная характеристика известна
(найдена), то интегралы Дюамеля мож-
но найти при помощи стандартных
программ на ЭВМ.
14.20. Метод переменных состояния
Уравнениями состояния
можно назвать любую систему уравне-
ний, определяющих режим цепи. В бо-
лее узком смысле — это система диф-
ференциальных уравнений первого по-
рядка, разрешенная относительно про-
изводных.
Методом переменных состояния на-
зовем анализ цепи, основанный на ре-
шении уравнений состояния (первого
порядка), записанных в форме Коши.
Таким образом, метод переменных со-
стояния — один из методов расчета
прежде всего переходных процессов. Да-
лее предполагается, что цепь имеет
только независимые источники и не
содержит индуктивных сечений и ем-
костных контуров. В противном случае
составление уравнений становится на-
много сложнее.
Для линейной цепи с постоянными
сосредоточенными параметрами ток
каждой ветви, напряжение между вы-
бранными выводами, заряд на обклад-
ках конденсатора и т. д. всегда можно
найти как решение составленного для
этого тока, напряжения, заряда и т. д.
дифференциального уравнения (напри-
мер, исключением других токов и на-
пряжений из системы уравнений Кирх-
гофа):
andnx/dtn 4- a„_ rdn~ lx/dtn~1 + .. г
... + аох = F (г).
Введением переменных xt = х; х2 =
= dx/dt', х3 = d2x/dt2\...; x„ = ^"“1x/^t"~1
это уравнение сводится к эквивалентной
системе дифференциальных уравнений
первого порядка:
dxjdt = х2; dx2/dt = х3; ...;
dxn_ i/dt = хи,
j /j «О
dxjdt =------xt-----х2 — ...
Здесь переменными, которые назы-
ваются переменными состоя-
ния, служат переменная х и ее произ-
водные.
263
Как известно, переходный процесс
в любой цепи, кроме ее параметров
(значений г, L, С, М) и действующих
источников [е (t) и определяется
независимыми начальными (t = 0) усло-
виями — токами в индуктивных элемен-
тах iL и напряжениями на емкостных
элементах ис, которые должны быть
известны или рассчитаны. Через них
выражаются искомые величины во
время переходного процесса. Они же
определяют энергетическое состояние
цепи. Поэтому в качестве переменных
состояния целесообразно выбирать токи
iL и напряжения ис. Действующие ис-
точники можно назвать входными ве-
личинами [Ft (г), ..., Fm (t)], искомые
величины — выходными (t),..., wz (г)].
Для цепи с п независимыми токами iL
и напряжениями ис должны быть зада-
ны еще п независимых начальных ус-
ловий.
Сокращенно дифференциальные
уравнения состояния запишем в мат-
ричной форме так:
4- X (t) = АХ (t) + BF (t) (14.91а)
at
или короче
X = АХ + BF, (14.916)
где X матрица-столбец (размера п х 1)
переменных состояния (вектор перемен-
ных состояния); F — матрица-столбец
(размера т х 1) ЭДС и токов источни-
ков (внешних возмущений); А — квадрат-
ная матрица порядка п (основная); В —
матрица размера пхт (матрица связи).
Элементы этих матриц определяются
топологией и параметрами цепи.
Для выходных величин (если опре-
деляются не токи в индуктивных и
напряжения на емкостных элементах)
в матричной форме система алгебраи-
ческих уравнений имеет вид
W (t) = MX (t) + NF (Г) (14.92а)
или короче
W = MX + NF, (14.926)
где W — матрица-столбец (размера I х 1);
М — матрица связи (размера /хи); N —
матрица связи (размера I х т).
Элементы матриц зависят от топо-
логии и параметров цепи. Для уравне-
ний состояния разработаны и машин-
ные алгоритмы формирования на осно-
ве топологии и значений параметров.
Уравнения в матричной форме (14.91)
можно составить, например, с примене-
нием метода наложения. Для получения
зависимостей между производными пе-
ременных состояния, т. е. diL/dt, duc/dt,
и переменными состояния iL, ис, а также
ЭДС и токами источников, действую-
щими в цепи, будем считать, что пере-
менные состояния заданы. Рассматривае-
мую цепь, например на рис. 14.41, а,
заменим после коммутации эквивалент-
ной (рис. 14.41,6), у которой каждый
заданный ток iL представлен источником
тока iL, а каждое заданное напряжение
ис — источником напряжения (ЭДС) ис.
Применив метод наложения (положи-
тельные направления выбраны), запишем
напряжения uL и токи ic (сначала учи-
тываем действие источников iL, затем
ис и далее источников, действующих
в цепи):
UjL = 0 -|-
ici = —i*l 4" 0 4- 0 4- J; / (14.93а)
/с2 = к, 4- 0 — исг/г + 0. J
Так как uL= Ldijdt и ic — С duc/dt, то
Рис. 14.41
264
dijdt = 0 4" Uq\/1j— 1/(72/^ 4~ 0;
duc\jdt~—ijJC 1 4“0 4" 0 4“ J/С j; ►
ducz/dt = i£/C24"0—Uc2A*£24"0, >
(14.936)
e.
0
-1/Ci
1/C2
BF =
uCi J
UC2
1/L -1/L
0 0
0 - l/rC2
0
J/Ci •
0
Конечно, уравнения (14.93) можно
получить и из уравнений Кирхгофа
исключением токов и напряжений ре-
зистивных элементов. Однако совмест-
ное решение уравнений Кирхгофа с уве-
личением числа ветвей цепи становится
все более громоздким.
Уравнения состояния можно форми-
ровать и сразу в матричной форме[3].
Если источников тока и ЭДС нет,
т. е. F = 0, то уравнения (14.91) упро-
щаются
4-X(t)-AX(t) = 0 (14.91в)
dt
и характеризуют свободные процессы
в цепи. Решение запишем в виде
X (t) = X (0) еАг, (14.94)
где X (0) — матрица-столбец начальных
значений переменных состояния; eAf —
матричная экспоненциальная функция.
Подставив (14.94) в (14.91в), убедим-
ся, что получается тождество.
При F # 0 решение уравнения (14.91)
представим в виде
Х(г) = еА'Ф(г), (14.95)
где Ф (г) — некоторая матричная функ-
ция цепи. После дифференцирования
(14.95) получим
£х (0 = АХ (о + е* -£-Ф (t) (14.96)
dt dt
Сравним (14.96) с (14.91а)
eA'^-0(t) = BF(t)
dt
и, умножив на е~Аг, после интегриро-
вания найдем, что
Ф(г) = f e-A0BF(O)dO,
- 00
где 0 — переменная интегрирования, или
о t
Ф(0 = f e-A9BF(0)d0 + f e~A9BF(0)d0.
- 00 О
Подставим это выражение в (14.95):
о
X(t) = eAf f e“A0BF(O)dO +
- 00
+ eA'fe_AeBF(0)d0.
О
В частности, при t = 0 имеем X (0) =
о
= f e~AeBF(0)d0.
- 00
Следовательно, решение для пере-
менных состояния записывается в виде
/
X (t) = е^Х (0) + е* j eA9BF (0) J0 (14.97)
О
(реакция цепи равна сумме реакций при
нулевом входе и при нулевом началь-
ном состоянии).
Это решение можно получить и при-
менив операторный метод расчета пе-
реходных процессов, рассматриваемый
в гл. 15.
Выходные величины можно найти
по (14.92).
Если состояние цепи задано не при
t = 0, а при 0 < т < г, то в (14.97) первое
слагаемое записывается так: еА('“т)Х(т),
а нижний предел интеграла не 0, а т.
Главная трудность расчета заклю-
чается в вычислении матричной экспо-
ненциальной функции. Один из путей
такой: сначала находим собственные
значения X матрицы А, т. е. корни урав-
нения
det (А —11) = 0, (14.98а)
где 1 — единичная матрица порядка п,
265
которые определяются из уравнения
0ц — X а12 а13 . . . а1и
021 а22 ~ а23 • • • а2л _ Q
0И1 Ои2 . Опп X
(14.986)
где aik — элементы матрицы А.
Собственные значения совпадают с
корнями рк характеристического урав-
нения цепи.
Матричная экспонента, аргумент ко-
торой — матрица Аг, имеющая порядок
и, представима конечным числом п сла-
гаемых. Если собственные значения раз-
личны, то
еАг = ос01 4- ocjA + а2А2 + ... + ая_ 1А"“ \
(14.99)
где а* — функции времени; А2 = АА,
А3 = ААА и т. д.
Далее для определения а* составля-
ем алгебраическую систему п уравнений
oio 4"Xi<Xi 4-Х2ос2 4-...4-Х" 1otn-i=e 1 ;
+ X2at 4-Х2а2 4-... 4-Х2 1ал_1=е2;
а0 4- X„a i 4- X2 а2 +... 4- XJ ~1 ал _ i = еп\
(14.100)
Наконец, определив ак из (14.100), по
(14.99) находим еАг и затем X (t) по (14.97).
Пример 14.6. Определить ток iY в цепи
на рис. 14.42 после коммутации при 74 =
= г2 = 20 Ом, = 0,1 Гн, L2 = 0,4 Гн, Е =
= 20 В.
Решение. Выбираем положительные
направления токов ц и i2 в индуктивных
элементах, т. е. переменных состояния, и тока
i3. Независимые начальные условия: ц (0) =
= Е/ri = 1А; i2 (0) = 0. Дифференциальные
уравнения цепи
ii — i2 — G = 0; 1-1 dijdt 4- rti3 = Е;
Д2 di2/dt + r2i2 - rYi3 = 0.
Исключив ток i3 = ix — i2, получим урав-
нения относительно производных перемен-
ных состояния:
= —2001! + 200i2 4- 200;
т. е. согласно (14.91)
II -200 200 II II 200II
А = • BF =
И 50 -1001|’ || 0 ||
и матрица-столбец начальных значений
Вычислим собственные значения; по
(14.98)
-200-Х 200
50 -100-X =°’
откуда Xi = —38,20; Х2 — —261,80; Xt — Х2 =
= 223,61. Если приравнять нулю главный
определитель уравнений с переменными со-
стояния, то получим те же значения Pi = Хх
и Р2 = ^2-
Находим коэффициенты at по (14.100),
т. е. из системы уравнений
а0 4- Хх»! = е*1*; а0 4- X2at = е2\
откуда
_ - Х2е4', еЧ‘ -
a° Xj - х2 ’ а* - Х2
и по (14.99)
-Аг _ А ~ Х21 _ x2r А — Xtl
X, - Х2 X, - х2 ~
. || 0,276 0,8941| . ||-0,724 0,8941
= еХ1Ч — еХ2Ч
|| 0,224 0,724|| || 0,224 — 0,27б|
еА'Х (0) =
0,276
0,224
-0,724
0,224
eA'j e~A9BF(O)</0 =
О
Рис. 14.42
266
Таблица 14.1.
к 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t, с 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050
1,079 1,213 1,343 1,455 1,550 1,628 1,692 1,746 1,790 1,827
Продолжение табл. 14.1
к 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t, с 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,100
'!,*> А 1,857 1,882 1,902 1,919 1,933 1,945 1,954 1,962 1,970 1,974
Ток
it = 0,276ех,г + 0,724е’11' +
+ ех,( f 55,28е-м de +
О
+ ?2'| 144,72е’М</0 =
О
= 2,000 - 1,171?*' + 0,171ех<
Значения тока il9 вычисленные в мо-
менты tk = kh = 0,005/с секунд для интервала
времени 0 — 0,1 с, в конце которого ток от-
личается от установившегося fly менее чем
на 1,5%, приведены в табл. 14.1. При вы-
числениях цифры записывались с 8 разряда-
ми, а во всех приведенных в примере фор-
мулах и в табл. 14.1 указаны с округлением.
Если среди п собственных значений
матрицы А есть q кратных то для
п — q разных корней составляется си-
стема (14.100), а для q кратных урав-
нения получаются после вычисления
первых q — 1 производных по от обе-
их частей уравнения с корнем Xf, т. е.
oti + 2Xfa2 + ЗХ2ос3 + ... = te4*;
2а2 + 6Xfa3 + ... = t2eif;
Если в цепи действует только один
источник ЭДС (или тока), представляю-
щий единичный скачок 1 (г), т. е. F (г) —
= 1 (г), и начальные условия нулевые, то
решение (14.97) запишется в виде
X (t) = еА' f е“А0В t/О = (еА? - 1) А" 1В.
о
Для выходных величин по (14.92а)
получим
W(t) = M(eAf - 1) А-1В + N.
Это будут переходные функции це-
пи h(t). Импульсные переходные функ-
ции к (Г) определяются по (14.84) или
(14.85).
Более общим путем вычисления мат-
ричной экспоненциальной функции слу-
жит ее представление бесконечным ря-
дом
eAf = 1 + At + A2t2/2! + A3t3/3! + ...,
но ряд при больших t медленно схо-
дится. При ограничении конечным чис-
лом слагаемых вычисление сводится к
умножению и суммированию матриц.
Такие операции есть в математическом
обеспечении ЭВМ. Известен метод вы-
числения матричной экспоненциальной
функции, основанный на критерии Силь-
верста [12].
Уравнения состояния цепей, порядок
которых больше двух-трех, проще ре-
шаются не аналитическими, а числен-
ными методами, дающими возможность
автоматизировать расчет в случае при-
менения ЭВМ.
14.21. Численные методы решения
уравнений состояния
Интегрирование дифференциальных
уравнений, составленных методом пере-
менных состояния в форме Коши (14.91),
чаще выполняется численными метода-
ми на ЭВМ с применением циклических
программ. Интервал времени, в течение
267
которого необходимо найти значения
искомых величин, разделяется на малые
равные (или неравные) промежутки —
шаги At = h, и в результате расчета
получаются значения этих величин в
отдельные (дискретные) моменты вре-
мени tk = kh, где к = 1, 2, 3... Предпола-
гается, что значения искомых величин
в начальный момент времени = 0
известны (начальные условия задачи).
Математиками разработаны различ-
ные методы численного решения урав-
нений, записанных в форме Коши, из
которых далее рассматриваются более
простые — одношаговые. В одношаго-
вых методах искомые величины в мо-
мент времени tk определяются по уже
найденным значениям на предыдущем
одном шаге.
Наиболее простой из одношаговых
методов — явный метод Эйлера
или алгоритм Рунге-Кутта
первого порядка — записывается
гак:
Xk = Xk-r + hXk_1, (14.101)
где Хк матрица-столбец переменных
состояния для к-го шага; Xk_j — то же
для (к — 1)-го шага (в момент
Хк-! - матрица-столбец производных
(точнее, угловых коэффициентов каса-
тельных) переменных состояния в мо-
мент tk-i (в начале предыдущего шага).
Метод основан на разложении каждой
переменной состояния в ряд Тейлора
X (tk) = х (tk_ 0 + ~dx/dt
‘='к-
+ -^-d2x/dt2
t-ik-
и учете его первых двух членов. Метод
назван явнььм, так как искомое решение
для /с-го шага не входит в правую
часть алгоритма (14.101), связывающего
значения на последующем и предыду-
щем шагах.
После подстановки (14.916), записан-
ного для (к — 1)-го шага, в (14.101) по-
лучим
Хк = (1 + /1А) Xk_ i + /iBFk_ р (14.102)
Формула (14.102) — это рекуррентное
соотношение, которое дает возможность
непосредственно определять последую-
щие значения переменных состояния по
найденным на предыдущем шаге. Чем
меньше шаг /?, тем точнее расчет, но
больше объем вычислений. Погреш-
ность расчета пропорциональна h2.
В алгоритмах Рунге-Кутта более вы-
сокого порядка искомые величины для
к-го шага определяются с учетом их
значений в нескольких промежуточных
точках предыдущего (к — 1)-го шага, так
что точность расчета увеличивается.
Применение таких алгоритмов показано
в § 27.8.
Если в правой части (14.101) произ-
водные для предыдущего (к — 1)-го ша-
га заменить производными для данно-
го к-го шага, то получим
Хк = Хк^ + hXk. (14.103)
Алгоритм называется неявным
методом Эйлера, так как правая
часть (14.103) содержит производные для
того же шага, для которого определя-
ются переменные состояния.
После подстановки (14.916), записан-
ного для момента tk, в (14.103) получим
(l-/7A)Xk = Xk_1+//BFk,
откуда
Xk = (l-hA)~'Xk_l +
+ (1 - /1А)"1 hBFk. (14.104)
Погрешность расчета того же поряд-
ка, что и для явного метода Эйлера.
Лучшую точность обеспечивает м е-
тод трапеций (относится к неяв-
ным), так как в правой части содержит
средние значения производных (к — 1 )-го
и к-го шагов:
Xk=Xk_1 + ~Xk~l + yXk. (14.105)
После подстановки (14.916), записанных
для моментов и tk, в (14.105) по-
лучим
Xk = Xk_ j + — A (Xk_ i 4- Xk) +
+ ~2”B (Fk_1 4- Fk),
268
откуда
x^i-Aa) х(1 + Aa)x*_! +
Ь / h X”1
+ у(1-уА) вд^х + гд (14.106)
Погрешность расчета пропорциональна
Л3.
Полная погрешность зависит не
только от выбранного метрда расчета,
т. е. от методической погрешности (ал-
горитмической), но и от погрешности
округления из-за ограниченного коли-
чества разрядов цифровых значений ве-
личин, что относится, конечно, к любым
расчетам электрических цепей.
С ростом числа шагов погрешность
интегрирования может увеличиваться,
т. е. численное решение может давать
значения, все более отличающиеся от
истинных. В этом случае получается
численно неустойчивый алгоритм, кото-
рый нельзя использовать для расчета
переходного процесса. Устойчивость яв-
ного метода Эйлера зависит от шага h.
Для цепей с одним накопителем алго-
ритм получается устойчивым при h < 2т,
где т — постоянная времени цепи. Для
цепи с несколькими накопителями при
действительных корнях характеристиче-
ского уравнения необходимо выбрать
л < 2Ттй, =Т 2/0^,,, где ami„ - минималь-
ный коэффициент затухания, а при на-
личии и комплексных корней рм =
= — am+j<nm шаг h должен быть еще
и меньше минимального значения
-2%/IPj2-
Неявный метод Эйлера и метод
трапеций устойчивы при любом шаге.
Поэтому выбор шага диктуется только
необходимой точностью расчета, кото-
рая, однако, при уже выбранном шаге
еще неизвестна, что относится и к явным
методам. Подробно вопросы устойчи-
вости рассмотрены в [10].
Пример. 14.7. Для цепи примера 14.6
(рис. 14.42) сравнить результаты расчета
тока явным методом Эйлера, неявным
методом Эйлера и методом трапеций с
данными аналитического расчета, приведен-
ными в примере 14.6, при шаге h = 0,005 с.
Решение. Обозначим переменные со-
стояния ir = х и i2 = у, так что х0 = х (0) =
= 1 А, уо = у(0) = 0.
Явный метод Эйлера. Согласно (14.102)
11**11 • /II 1 0II 11-200 2001|\
ЫЧ|о lr0’005 ! 50 -1оо|)*
||*^i || , || 200 II.
х + 0,005 Л ,
||л-1|| II 0 II
и после выполнения операций сложения и
умножения матриц получим
Ъ = Л-i + 1; Ук = 0,25xw + 0,5yk_i.
Результаты расчета приведены в
табл. 14.2.
Неявный метод Эйлера. В (14.104) вхо-
дит обратная матрица .
-0,005
/II 1 0 II
(1”hA)’1==(|o 1|-
-200 2Q0||x-i
50 -100 У
2
-0,25
2
-0,25
-‘r’-il1’5 Ч-
1.5 I л|о^5
где А =
= 2,75. После подста-
новки матриц
(1 ~ ЛА), (1 - ЛА)’1 и ЛВЕЛ = | J
Таблица 14.2
к i\,k == хк> А. 1 1,000 2 1,250 3 1,375 4 1,500 5 1,594 6 1,672 7 1,734 8 1,785 9 1,826 10 1,859
Продолжение табл. 14.2
к 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
h,k = xk, А 1,886 1,908 1,925 1,939 1,951 1,961 1,968 1,974 1,979 1,983
269
Таблица 14.3
к H,k = xk, А 1 1,091 2 1,207 3 1,321 4 1,424 5 1,514 6 1,591 7 1,656 8 1,711 9 1,757 10 1,796
Продолжение табл, 14,3
к 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
•1,к = Хк, а 1,823 1,856 1,879 1,899 1,911 1,928 1,940 1,950 1,958 1,964
Таблица 14.4
к ii,k = Xk, А 1 1,070 2 1,209 3 1,342 4 1,456 5 1,551 6 1,629 7 1,694 8 1,747 9 1,792 10 1,828
Продолжение табл, 14.4
к 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
i\,k = xk, А 1,858 1,882 1,903 1,920 1,934 1,945 1,955 1,963 1,969 1,975
в (14.104) получим
х* = 0,5454х*_1 + 0,3636y^i + 0,5454;
ук « 0,0909xfc_1 + 0,7273y*-i + 0,0909.
Результаты расчета приведены в
табл. 14.3.
Метод трапеций, В (14.106) входят мат-
рицы
/ h \ II • °,5 0,5 II
I 1 + А I =
\ 2 J I 0,125 0,751|*
/л VII 1,5 “°’5||.
V 2 / ~ ||—0,125 1,25 II:
/ Л у* 110,6897 0,2759 Ц
V “ ~2 / =|| 0,0690 0,8276 ||
и yB(F*_1+F*)-|J|.
После подстановки Этих матриц в (14.106)
получим
хк - 0,3793xk_1 + 0,5517yfc_ i + 0,6897;
ук = 0,1379xk_i + 0,6552yk _ i + 0,0690.
Результаты расчета приведены в
табл. 14.4.
Сравнение значений тока it, рассчи-
танных аналитическим методом (см.
табл. 14.1) и численными методами
(табл. 14.2—14.4), показывает, что, как
и должно быть, наиболее близкие к при-
веденным в табл. 14.1 значения тока
получаются методом трапеций (отличие
не более 1%, а начиная с к = 3 не
более 0,2%).
Для устойчивых методов точность
решения повышается при уменьшении
шага h, однако при этом возрастает
время решения и увеличивается погреш-
ность, связанная с округлением резуль-
татов вычисления на ЭВМ, так как
растет общее количество вычислений.
Поэтому существующие стандартные
программы решения дифференциальных
уравнений снабжаются автоматическим
выбором шага интегрирования: шаг уве-
личивается, если обеспечена заданная
точность решения, в противном случае
он дробится до тех пор, пока не будет
достигнута заданная точность.
При решении задач с применением
ЭВМ часто нецелесообразно разделять
270
задачи по признаку установившихся и
переходных процессов. Программа ре-
шения задачи в случае переходных про-
цессов всегда по истечении определен-
ного времени приводит к решению для
установившегося режима. Поэтому все
соображения по расчету с применением
ЭВМ, приведенные в данном параграфе,
в равной степени могут быть отнесены
как к переходным, так и к установив-
шимся процессам.
—О
a)
14.22. Дискретные модели
электрической цепи
Рис. 14.43
-o
f)
С применением любого неявного
метода интегрирования дифференциаль-
ных уравнений можно составить экви-
валентную схему электрической цепи,
содержащую только действующие в це-
пи источники, резистивные элементы
и зависимые источники, заменяющие
индуктивные и емкостные элементы. Ре-
жим такой схемы описывается не систе-
мой дифференциальных уравнений, а
системой алгебраических уравнений, ко-
торые составляются и решаются теми
же методами, что и для цепей посто-
янного (см. гл. 1 и 2) и переменного
(см. гл. 3 и 4) токов (с уравнениями
Кирхгофа, контурными токами, узловы-
ми потенциалами).
Рассмотрим замену индуктивного и
емкостного элементов. Для индуктив-
ного элемента (рис. 14.43, a) uL =
= dW/dt = LdiL/dt, откуда следует, что
в момент tk ток
kh
*1(4) = *l(^- i) + J dt
(k-l)h
Рис. 14.44
получим
II,к = Jt,k-i + uL,k- (14.108)
или с применением среднего значения
интеграла (метод трапеций)
1 h (
lL,k = ^L,k—l + + uL,k) =
h h
= lL,k-i + ’2LU^k~i + 2LULfk'
Обозначив
2L/h = RjJ> JL,k-1 ~ ib,k- 1 + uL,k-l,
(14.107)
Этому соотношению между током
и напряжением индуктивного элемента
для /с-го шага соответствует эквивалент-
ная схема или дискретная модель на
рис. 14.43,6. При постоянном шаге h
сопротивление RL не изменяется от шага
к шагу; ток источника зависит от зна-
чений тока и напряжения элемента на
предыдущем шаге. Источник тока мож-
но по известному правилу заменить
источником ЭДС Ецк-i =
(рис. 14.43, в).
Для емкостного элемента
271
(рис. 14.44, a) ic = dq/dt = С duc/dt, отку-
да следует, что в момент tk напряжение
kh
ис(tk) = ис (tk-1) + -q J ic(t)dt
(k-l)h
или с применением среднего значения
интеграла
h
ис,к = Uc,k-i + (1с,к- \ + 1сУк)-
Обозначив
h/2C = Яс; £сл-1 = ис,к- \ + Яс*сл-ь
(14.109)
получим
исУк — Ec,k-i + Rcic,k- (14.110)
Эквивалентная схема или дискрет-
ная модель показана на рис. 14.44, б.
Источник ЭДС можно заменить источ-
ником тока Jc,k-i = ECtk-i/Rc
(рис. 14.44, в).
В системе уравнений, составленной
после замены индуктивных и емкостных
элементов, например методом контур-
ных токов r(k)I(k) = E(k) (1.51) или мето-
дом узловых потенциалов g(y)<p = J(y)
(1.35), матрицы r(k) и g(y) при постоянном
шаге достаточно вычислить 1 раз, что
упрощает составление программ для
ЭВМ.
Отметим, что формирование урав-
нений с переменными состояния (см.
§ 14.20) более трудоемко по сравнению
с получением уравнений для дискретной
Чтобы составить дискретные моде-
ли для момента времени t0 = 0, необ-
ходимо знать начальные значения всех
величин, входящих в составляемую си-
стему уравнений.
На рис. 14.45, а представлена диск-
ретная модель с зависимыми и неза-
висимыми источниками тока для цепи
на рис. 14.28. Модель имеет три узла.
Расчет целесообразно выполнить мето-
дом узловых потенциалов.
Матрица проводимостей
g(y> =
2д + Gl — д
-д 2д + Gc
— const,
где д = 1/r; GL = 1/KL; Gc = 1/RC. Неза-
висимые начальные условия (см.
рис. 14.28) iL Q = Е Jr; uc 0 = Е2. Для вы-
числения начальных значений потенциа-
лов необходимо заменить индуктивный
и емкостный элементы источниками iL>0
и ис о (рис. 14.45,6). Как следует из
рис. 14.45, б, потенциалы фб 0 = ис,0 = Е2;
фа,о = Фб,0 - По, где <0 = «с,о/2г + iLio/2-
- Et/2r = E2/2r.
Для расчета режима дискретной мо-
дели можно, когда это целесообразно,
выбрать и метод расширенных узловых
уравнений (см. § 1.11), в том числе
и для цепей с управляемыми источни-
ками.
Дискретные модели (см. рис. 14.43,6,
в и 14.44,6, в) составлены с применени-
ем метода трапеций. Как указывалось,
дискретные модели можно получить и
на основе иных неявных алгоритмов, но,
272
Рис. 14.46
Пример 14.8. Для цепи примера 14.6
составить дискретную модель с источника-
ми ЭДС. Записать уравнения для расчета
токов ii и i2 методом контурных токов.
Решение. Дискретная модель цепи по-
казана на рис. 14.46. Выбрав в качестве
контурных токи и = i'[д, запишем
уравнения
(K'l + п)^ - ПЛ = Е +
4- (R'L + q + r2)yk = E"L к_
где согласно (14.107) — R"L=2L2/h;
E'l, к-\ = R'bxk -1 + 11'l, к -1J Е'ц к -1 — В”ьУк -1 +
4- ы"/д-1-
Из той же схемы на рис. 14.46 находим
для предыдущего inai а 1 = Е — Г| (х\_ i —
-Я-1) (левый контур);
- Ук-i) - r2yk-i (правый контур).
После подстановки этих выражений и
численных значений в уравнения контурных
токов получаем систему уравнений
60х* - 20уц = 40 + 20.x* _) - 20у*_ j;
— 20.x* + 200у* = 120y*-i + 20.x*.*.
Решение совпадает с результатами, приведен-
ными в примере 14.7 при расчете методом
трапеций (табл. 14.4), так как дискретные
модели на рис. 14.43 и 14.44 были состав-
лены также с применением метода трапе-
ций.
14.23. Переходные процессы при
«некорректных» коммутациях
До сих пор рассматривались такие
цепи и режимы их работы, для которых
удовлетворялись законы коммутации
*Д0 + ) =k(0-); wc(0 + ) = Wc(O-),
(14.111)
i де t = (0 —) — момент времени непос-
редственно перед коммутацией, a t =
= (0 + ) — момент времени сразу после
коммутации.
Рассмотрим теперь такие цепи и их
режимы, для которых законы коммута-
ции (14.111) не соблюдаются («некор-
ректные» коммутации). Пусть в цепи,
питаемой от источника постоянного
напряжения U (рис. 14.47), мгновенно
отключается ветвь с резистором г3.
Токи во всех ветвях непосредственно
перед коммутацией ^(О —), /2(0 —) и
*з(0 —) легко определяются. После ком-
мутации ток i в контуре, составленном
из первой (гь Li) и второй (r2, L2) вет-
вей, удовлетворяет дифференциальному
уравнению
* (П +r2)f + (Li + L2) di/dt = U, (14.112)
решение которого
i = L + Ле-'/т = —-—+ Ае-"\ (14.113)
У П + г2
где т = (Lt + L2)/(rt + г2).
Для определения постоянной /Г нель-
зя воспользоваться первой из формул
(14.111), так как до отключения ветви
с сопротивлением г3 токи
f\r2 + r2r3 + r3fi
^2 + 'V3 +
были различны, а после ее отключения
они, очевидно, одинаковы, и, в частно-
сти, в первый момент после коммута-
ции ij (0-h) = i2 (0 + ) = i (0 + ). Значит, то-
ки ij и i2 в момент разрыва третьей
ветви ключом (мгновенного) должны
Измениться скачком, что приведет к воз-
никновению бесконечно больших напря-
жений па индуктивных элементах. Но
так как токи во всех ветвях схемы на
273
рис. 14.47 конечны, то для промежутка
коммутации (от t — 0— до t = 0+) ал-
гебраическая сумма бесконечно больших
напряжений на индуктивных элементах
и напряжений на резистивных элемен-
тах должна уравновеситься приложен-
ным напряжением U:
r di 1 т di 2
ul\ + wL2 = bj + L2 =
= U — i(rr + r2) при 0— t 0 + .
Интегрируя это равенство за проме-
жуток коммутации, т. е. от t = 0— до
t = 0 +, и учитывая, что ввиду конеч-
ности правой части при t = 0 и стрем-
ления промежутка интегрирования к ну-
лю интеграл от правой части равен
нулю, получаем
г=о+ ч<о+)
т Г ^*1 J Т Г J*
1-ц I —з—dt = Lii I dli —
J dt J
r = o- ii(O-)
t = 0+ »2(° + )
r I di2 , r Г..
— ~ ^2 ~^2 di2.
J dt J
t = o- i2(0~)
(14.114)
Перепишем (14.114) так:
M [<i (0+) —(0-)] =
= М [i(0+)-M0-)] =
= ~ L2 [i2 (0 +) — i2 (0 —)] =
= -L2 P (O4-) - G(0-)],
или
Li Aii + L2 &i2 = 0, или ДЧ\ + ДЧ^ = 0,
или
(Lх 4- L2) i (0 +) = Lx ix (0 -) + L2i2 (0 -).
(14.115)
Из (14.115) следует, что потокосцеп-
ление контура 4х, составленного из пер-
вой и второй катушек (иначе говоря,
сумма потокосцеплений с обеими катуш-
ками), до и после отключения ветви
осталось неизменным:
4х (0 + ) = (Li + L2) i (0+) = 4х (0—) =
= Liii(0-)^L2i2(0-).
Отсюда находим
i (0 4-) = (Q~~) + ^2*2 (0~)
Lx + L2
далее из (14.113) находим постоянную
А = ________Ц(Цг2 - L2ri)r2________
(ri + r2) (Lx + L2) (rxr2 + r2r3 + r3rx) ’
Следует иметь в виду, что бесконеч-
но большие напряжения на индуктивных
элементах uLi(0+) и 1^2 (0+) противо-
положных знаков (рис. 14.48, построен
в предположении, что А > 0) появились
вследствие предположения о том, что
коммутация произошла за бесконечно
малый промежуток времени: Дг -► 0. Эти
импульсы напряжения имеют бесконеч-
но малую длительность. Но интегралы
от этих импульсов (14.114) имеют ко-
нечные значения и равны приращениям
ДЧХ1 и ДЧХ2 потокосцеплений каждой из
катушек. На том же рис. 14.48 показано,
что токи в катушках при t — 0 изменя-
ются скачком и ток i в катушках после
отключения ветви с сопротивлением г3
изменяется в соответствии с постоянной
времени т и стремится к значению
i (00) = и/(г! + г2).
Подчеркнем, что разность энергий,
запасенных в магнитных полях обеих
катушек до коммутации,
ИЧ0-) = ЦЦ (0—)/2 + L2i22 (0—)/2
274
и после коммутации
wqo+) = (L, + l2)
т. е.
АЖ = Ж(0-)~ Ж(0+) =
___________LjL2f2_________у 2
“ 2 (Li + L2)(rir2 + r2r3 + r3ri)2
положительна и расходуется на выделе-
ние тепла в сопротивлении искры или
дуги, которая может появиться между
контактами выключателя, и на возмож-
ное излучение энергии. При решении
задачи была принята идеализация про-
цесса выключения, т. е. мгновенная ком-
мутация. На самом деле она происходит
хотя и весьма быстро, но за конечное
время Аг. При этом в сопротивлении
возникающей между контактами выклю-
чателя электрической искре и расходу-
ется часть энергии ДЖ Кроме того,
катушки индуктивности обладают рас-
пределенной емкостью между витками
и между расходящимися контактами
выключателя существует емкость, что
приводит к образованию сложного ко-
лебательного контура, который может
излучать энергию (на высокой частоте),
на что расходуется другая часть энер-
гии ДЖ Если учесть все эти процессы,
то никакие бесконечно большие напря-
жения на индуктивных элементах не
возникнут и токи в них не будут из-
меняться скачком, т. е. будут справед-
ливы законы коммутации (14.111), сфор-
мулированные выше, в § 14.1.
И в других цепях с катушками ин-
дуктивности при «некорректных» комму-
тациях, приводящих к скачкам токов в
индуктивных элементах, постоянные ин-
тегрирования следует определять с при-
менением обобщенного первого закона
коммутации — неизменности в момент
коммутации потокосцеплений контуров,
или более подробно: потокосцепление
любого замкнутого контура в первый
момент после коммутации (г = 0 + )
равно алгебраической сумме потокосцеп-
лений всех входящих в него индуктивных
элементов, которые последние имели
непосредственно перед коммутацией (t =
= 0—); некоторые из этих индуктивных
Рис. 14.49
элементов перед коммутацией могли и
не составлять замкнутого контура, а
образовали его лишь после коммутации.
Рассмотрим теперь процессы, возни-
кающие, например, при одновременном
включении двух заряженных до разных
напряжений конденсаторов С2 и С3 к
заряженному до напряжения U конден-
сатору Ci (рис. 14.49). Полагаем, что
сопротивления проводов, соединяющих
конденсаторы Ci9 С2, С3, пренебрежимо
малы. Поэтому постоянные времени,
обусловленные ими, также ничтожны.
При этих условиях напряжения на всех
трех конденсаторах в момент замыка-
ния ключа могут изменяться скачком
и через них могут проходить бесконеч-
но большие токи. Все три конденсатора
до включения рубильника были заряже-
ны до различных напряжений иС1 (0—) =
= У; «С2(О-); «сз(О —) и имели заряды
^ci(0—)=CIucl(0—); <?c2(0“-) = C2wc2(0“);
Ясз (0—) = С3иСз (0—)• Tоки конденсато-
ров будут существовать только в те-
чение бесконечно малого промежутка
времени перезарядки от г = 0— до
t = 0 + . Так как напряжение источника
U и сопротивление последовательного
участка цепи г конечны, то суммарный
ток i должен оставаться конечным и
импульсы токов в трех параллельно
соединенных конденсаторах должны
взаимно уравновешиваться, т. е.
, Г duC2 Г duC3 п.
Cl~dT+C2-dr + C3~dT = 0’
о- < t < о+.
(14.116)
Интегрируя это равенство по време-
ни t = 0— до t = 0+
t = 0 +
t = 0 —
duci , г
~dTdt + C1
dUc2 ,
+
dt
275
t = 0 +
+ C3 f ^-dt = O,
3 J dt
t = 0-
ИЛИ
UC1(°+) U£2(0+)
Cl J duel + C2 J duc2 +
“Cl (°-) uC2(0“)
“C3 (°+)
+ C3 j duC3 = 0,
“C3 (°-)
или
Ci [ucl(0+) — uCi(0—)] + C2 [wc2(0+) —
— uC2 (0—)] + C3 [uC3 (0+) — uC3 (0—)] = 0,
(14.117)
или
Ci Auci + C2 &Uq2 + C3 Диез =* 0,
приходим к равенству
A#i + Дд2 + Д<?з = 0.
Отсюда следует, что изменение за-
рядов на всех параллельно включенных
конденсаторах за время коммутации
равно нулю, т. е. сумма зарядов конден-
саторов перед коммутацией (Г = 0—)
равна сумме их зарядов непосредствен-
но после коммутации (/ = ()+) —закон
сохранения заряда или второй обоб-
щенный закон коммутации. Этот же
результат пойучается, если учесть, что
после коммутации (г = 0+) напряжения
на всех параллельно включенных кон-
денсаторах равны:
иС1 (0 + ) = иС2 (0 + ) = исз (0 + ) = ис (0 + ).
(14.118)
На основании (14.117) и (14.118) по-
лучаем.
CiUci (0—) + С2иС2(0“) + Сзмсз (0—) =
= (Ci + С2 + С3) ис (0+),
откуда определяется ис (0+).
Все три конденсатора заменяются
одним с емкостью С = С1 + С2 + С3,
и напряжение ис на нем после комму-
тации определяется дифференциальным
276
уравнением
duc
гС -г- + ис= U,
at
решение которого известно:
ис = U + Ae~t!\
где т = гС.
На основании сказанного выше
ис(0+) = U + А и А = uc(0+) — U, по-
этому
ис = и + [ис(0+) - I/] е-,/т
и ток
U-uc _ U-uc(0+)
I — ’ и •
г г
Легко показать, что энергия, запа-
сенная в конденсаторах до коммутации,
з
Ж(0-) = £
i=l
больше энергии электрического поля
эквивалентного конденсатора С после
коммутации
FK(O+) = Си* (0+)/2,
а избыток ее
ДРУ = РУ(О-)- РУ(О+)
перейдет в тепло в сопротивлениях кон-
тактов ключа, сопротивлениях проводов
и в энергию излучения сложного коле-
бательного контура, который получится,
если учесть, что соединительные прово-
да всегда имеют индуктивность, хотя
и очень малую.
Подчеркнем, что при наличии сопро-
тивлений во всех трех ветвях с конден-
саторами напряжения на них в момент
коммутации скачком не изменяются,
токи в них остаются конечными, т. е.
выполняется второй закон коммутации,
сформулированный в § 14.1.
14.24. Определение переходного
процесса и установившегося режима
при воздействии периодических
импульсов напряжения или тока
Для определения переходных про-
цессов и установившихся режимов в
линейных цепях при воздействии перио-
дических импульсов напряжения или то-
ка известно много методов. Некоторые
из них основаны на суммировании то-
ков или напряжений, созданных отдель-
ными импульсами. В других методах
для этой цели вводится периодическая
импульсная реакция цепи. Третьи ме-
тоды для той же цели вводят другую
специальую характеристику цепи, так
называемую эшелонную функцию.
Рассмотрим метод* основанный на
непосредственном суммировании токов
или напряжений, созданных отдельными
импульсами, что реализуется учетом
запаздывания последующих импульсов
относительно предыдущих.
Поясним суть метода на примере
расчета тока i в простейшей гС-цепи
(рис. 14.50, а), которая в момент t = 0
подключается к источнику, создающему
бесконечную последовательность им-
пульсов напряжения, представленную на
рис. 14.50,6.
Найдем сначала ток в цепи от воз-
действия первого импульса напряжения
ut = U(1 — t/t0) при 0<tO0 и Ui = 0
при t t0.
Переходная функция цепи находится
известными методами:
h(t) =—e~,/rC.
Применяя интеграл Дюамеля при
0 t < to, получаем
i = Uh (t) 4- f u\ (x) h (t — x) dx =
о
=£e-'/rc-—ie-i,-t>/rcdr=
r rt0 i
= -[-rC + (t0 + rC) e~'/rC]. (14.119)
rfo
Для t tQ получаем
ro
i = Uh (t) 4- f u'i (x) h (t — x) dx =
= -e-'/rC - — f = Ke~'/rC,
r rt0 Jo
(14.120)
где
К = —(t0 + rC - rCe,o/rt?). (14.121)
^0
Перейдя к поставленной задаче, на-
пишем формулу для тока i в проме-
жутке времени, когда действует (п 4- 1)-й
импульс напряжения, т. е. при пТ
С t ^пТ4-10.
Как было указано выше, ток i пред-
ставим в виде суммы токов, каждый
из которых создается одним отдельно
взятым импульсом напряжения. Первый
импульс напряжения дает составляю-
щую тока, определяемую формулой
(14.120). Второй импульс запаздывает
по отношению к первому на время Г,
и ток от него равен Ke“(t-T)/rC. Для
учета составляющей тока от третьего
импульса напряжения нужно в (14.120)
вместо t подставить t — 2Т и т. д.
Составляющая тока от n-го импуль-
са равна Ке^“(',’"1)тЗ/гС. Кроме того,
следует учесть действие (п 4- 1)-го им-
пульса напряжения, который на рассмат-
риваемом промежутке времени еще не
закончился. Созданную им составляю-
щую тока найдем по формуле (14.119)
с учетом запаздывания во времени пТ,
т. е. вместо t подставим в (14.119) t — пТ.
277
Результирующий ток
Для (14.122) получим
i = Ке гС + Ке гС + ...
_L-(g.-.D.T Гт
... + Ке гС + —Г-гС +
rt0
_ *~пТ
+ (t0 + гС) е гС ].
Суммируя первые п слагаемых, пред-
ставляющих собой геометрическую про-
грессию со знаменателем ег/гС, для ин-
тервала пТ t пТ + t0 получаем
е^т/гс _ i
ет/гС - 1
е~'/гС +
i = X
U -
+ — [ - гС + (to + гС) е гС ]. (14.122)
rto
Далее запишем ток в промежутке
времени, соответствующем (п 4- 1)-й пау-
зе, т. е. при пТ + to t (п 4- 1) Т:
t-пТ
i = Ke гС+Ке гС 4-...4-Ке гС =
е(« + 1) T/rC 1 _ _L
= К ——-—е гС
ет/гС — 1
(14.123)
Для определения тока установивше-
гося режима преобразуем (14.123) и
(14.122), введя замену t = пТ+ t', где
t' — время, отсчитываемое от начала
действия (п 4- 1)-го импульса напряже-
ния.
-nTjrC _ 1 _ лТ-Ы
i=Kv^re гС +
+ — [ - гС + (to + гС) е_,/гС]. (14.124)
rt0
Для (14.123) будем иметь
рТ/гС _ е-пТ/гС
Полагая в (14.124) и (14.125), что
п оо, находим установившийся ток.
В течение действия импульса
+ — [-гС + (ГО + гС) е_,'/гС]; (14.126)
rt0
в течение паузы
(14.127)
Если источник напряжения, начиная
с момента t = 0, создает бесконечную
последовательность импульсов без пауз,
т. е. to = Т, то ток и для этого случая
получим из (14.119), (14.120), (14.121),
(14.122) и (14.126), положив в них t0 = Т.
При более сложной форме напряже-
ния источника иногда целесообразнее
рассматривать его как наложение им-
пульсов на некоторое постоянное или
какое-либо иное напряжение.
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
15.1. Применение преобразования и Для определения постоянных интегри-
Лапласа к расчету переходных
процессов
Классический метод расчета пере-
ходных процессов требует в общем
случае многократного решения систем
алгебраических уравнений для нахожде-
ния начальных значений функции и ее
производных, что и представляет основ-
ную трудность расчета этим методом,
278
рования по начальным условиям.
Так как дифференциальные уравне-
ния переходных процессов в линейных
цепях с сосредоточенными параметра-
ми представляют собой линейные урав-
нения с постоянными коэффициентами,
то их можно интегрировать также опе-
раторным методом, основанным на пре-
образовании Лапласа. Это было впервые
показано русским математиком М. Е. Ва-
щенко-Захарченко в его монографии
«Символическое исчисление и приложе-
ние его к интегрированию линейных
дифференциальных уравнений» (Киев,
1862). В конце XIX в. английский уче-
ный О. Хевисайд независимо пришел
к операторному методу и впервые при-
менил его к расчету электромагнитных
переходных процессов. Однако Хевисайд
не приводил математических обоснова-
ний метода. Дальнейшему развитию
операторного исчисления способствова-
ли своими трудами советские и зару-
бежные ученые В. С. Игнатовский,
Д. Р. Карсон, Б. Ван-дер-Поль, А. М. Эф-
рос, А. М. Данилевский, К. А. Круг,
А. И. Лурье и др.
М. Е. Ващенко-Захарченко показал
также, что операторный метод приме-
ним не только к обыкновенным линей-
ным дифференциальным уравнениям с
постоянными коэффициентами и их си-
стемами, но также к линейным уравне-
ниям с переменными коэффициентами
и к линейным уравнениям с постоян-
ными коэффициентами в частных про-
изводных, т. е., говоря на языке электро-
техники, к расчету переходных процес-
сов в цепях с распределенными пара-
метрами.
Сущность операторного метода за-
ключается в том, что некоторой задан-
ной однозначной ограниченной функции
f(t) действительной переменной (напри-
мер, времени г), называемой ориги-
налом, удовлетворяющей условиям
Дирихле на любом конечном проме-
жутке времени и равной нулю при t < О,
сопоставляется другая функция F (р)
комплексного переменного р = s + jco,
называемая изображением.
Это сопоставление производится по
формуле
F(p) = f/(Г)е-₽'Л, (15.1)
О
которая представляет собой прямое
преобразование Лапласа функ-
ции f(t) и обозначается так:
F(p) = L{/(t)}, (15.2)
где F (р) называется лапласовым изобра-
жением функции /(г).
Обратно: если нужно по имеющему-
ся изображению F(p) найти оригинал
f (г), то это может быть выполнено
в общем случае при помощи обратного
преобразования Лапласа (интеграла
Бромвича)
СУ +>00
/(0 = ^- f F№p‘dP> (15-3)
п->00
которое представляет собой решение
интегрального уравнения (15.1) относи-
тельно неизвестной функции f (г) и может
быть получено методами теории функ-
ций комплексного переменного. Интег-
рал (15.3) вычисляется по прямой на
плоскости комплексного переменного
р = s + уев, параллельной мнимой оси
и расположенной правее всех особен-
ностей (в частности, простых и кратных
полюсов) функции F (р).
Интеграл (15.3) обозначается еще
так:
/(t) = L-1 {F (р)}. (15.4)
Переходные процессы, как было по-
казано в гл. 14, описываются системой
интегродифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Для пре-
образования их по Лапласу в соответ-
ствии с (15.1) приходится находить
изображения производных и интегралов
от оригинала. При этом оказывается,
что изображения производных и ин-
тегралов от оригинала выражаются ал-
гебраическими функциями от изображе-
ния и от начальных значений самой
функции, ее производных и интегралов.
Поэтому система интегродифференци-
альных уравнений относительно ориги-
налов заменяется системой алгебраи-
ческих уравнений относительно их изо-
бражений, т. е. производится алгебраи-
зация исходной системы интегродиффе-
ренциальных уравнений.
При решении полученной системы
алгебраических уравнений определяются
изображения искомых функций, а затем
при помощи обратного преобразования,
вытекающих из него формул или специ-
альных таблиц — оригиналы, т. е. иско-
мые функции времени.
279
Ряд таких функций и их изображе-
ний приведен в приложении 4. Подроб-
ные таблицы оригиналов и соответ-
ствующих им изображений приводятся
в справочниках.
Необходимость вычисления постоян-
ных интегрирования по начальным ус-
ловиям отпадает, поскольку все началь-
ные условия учитываются при переходе
от системы интегродифференциальных
уравнений к системе алгебраических
уравнений.
Приведем (без вывода) формулы для
изображений производных и интегралов
от оригинала. Если L {/(t)} = F (р), то
(15.5 >
и т. д.
Отметим, что если функция f (t) и ее
производные f' (t), f" (t), ... при t = О
изменяются скачком, то в (15.5) нужно
подставлять их значения с учетом этих
скачков, т. е. справа от нуля, что и от-
мечено в их аргументах знаком 0 + .
Если начальные значения функции и
ее производных при t = 0+ равны нулю,
то изображения первой и последующих
производных находятся особенно прос-
то:
L{f'(t)}=pF(p), L {f" ft)} = p2F (р)
(15.6)
и т. д.
Изображения интегралов от ориги-
нала имеют вид
ьЛ/(гЦ=^;
to J Р
L И f (О 4 = + 4 7Л0 dt,a < 0.
la J Р Ра
(15.7)
0 +
Если интеграл j f (t) dt при t = 0
a
изменяется скачком, то нужно брать его
значение справа от нуля, что и обозна-
чено в его верхнем пределе знаком 0 + .
Итак, если начальные (т. е. при t = 0
или в случае скачков при г = 0 + ) зна-
чения функции, ее производных и ин-
тегралов равны нулю, то комплексное
переменное р можно рассматривать как
оператор; умножая на оператор изобра-
жение данной функции, получаем изо-
бражение ее производной (15.6), деля на
оператор изображение этой функции,
получаем изображение ее интеграла
(15.7). В частности, изображения посто-
янной величины А и экспоненты e~at
соответственно равны
L {Л} = Л/р; L {e~ar} = 1/(р + а). (15.8)
Нужно иметь в виду, что при рас-
чете переходных процессов оператор-
ным методом необходимо не только
находить изображения функций, их про-
изводных и интегралов, но и решать
обратную задачу — находить функции
(оригиналы) по их изображениям. Для
этого, как указывалось, можно пользо-
ваться таблицей, приведенной в прило-
жении 4, или справочником.
Часто изображение имеет вид рацио-
нальной дроби
Flip) = bmpm + bm-lpm-1+... + b0
F2(p) апрп + a„_lpn~i + ... + a0
при m < n, причем дробь Fi (p)/F2 (p) =
= F (p) несократимая, т. e. многочлены
Fi (p) и F2 (p) общих корней не имеют,
и ак, Ьк — действительные числа.
Оригинал f (t) изображения (15.9)
можно найти по формуле, называемой
теоремой разложения:
= У (15.10)
F2 (Рк)
к=1
которая представляет собой сумму вы-
четов подынтегральной функции F(p)ept
выражения (15.3) относительно всех ее
полюсов рк. Здесь рк — простые корни
характеристического уравнения F2 (р) =
= 0, причем один из них может рав-
няться нулю; F' (р) = dF (p)/dp.
Часто встречается другая форма
записи разложения, применяющаяся в
том случае, когда в составе знамена-
теля (15.9) есть множитель р, т. е. зна-
менатель (15.9) имеет один нулевой
280
корень. Необходимо найти оригинал
для изображения Fr (p)/pF2 (р), где в со-
ставе F2 (р) уже нет множителя р. Пред-
полагая, что уравнение F2 (р) = 0 имеет
п различных и не равных нулю корней
рк (к = 1, 2, ..., и), получаем другую
форму теоремы разложения:
т-1И1(р)
\pF2(p).
Л(0) V Fi(pt)ePfct
F2(0) Li РШ ’
(15.11)
Если уравнение F2 (p) = 0 имеет ком-
плексные сопряженные корни, то нет
необходимости вычислять слагаемые
суммы, стоящей в правых частях ра-
венств (15.10) или (15.11) для каждого
из комплексных сопряженных корней
в отдельности. Известно, что функции
с действительными коэффициентами от
комплексных сопряженных значений не-
зависимого переменного — сами комп-
лексные сопряженные. Поэтому если
корни pi и р* — комплексные и сопря-
женные, то достаточно вычислить сла-
гаемое сумм (15.10) или (15.11) только
для корня ph а для корня р* взять
значение, сопряженное этому слагаемо-
му, т. е.
Fi(Pt) ep,t F1(p*)epf> _
FHP.) F'2(pf)
то, применяя формулу вычета в крат-
ном полюсе, получаем
—+
^[F2 (p)(p - Pn+i)’]p=Pj
1 d*-1 Гг1(р)ер'"
+ (ос- 1)! dp''1 [ F2(p) Jp=Pn+1
(15.12)
Это соотношение позволяет учесть
кратные корни характеристического
уравнения.
Если нужно вычислить начальное
(при г = 0+) и установившееся (при
t = оо) значения оригинала, т. е. /(0 + )
и f (оо), то можно, конечно, пользовать-
ся формулами (15.10) или (15.11). Одна-
ко начальное и установившееся значе-
ния оригинала в случае, если устано-
вившийся процесс непериодический, опре-
деляются гораздо проще по так назы-
ваемым предельным соотношениям:
/(0 + )= limpF(p) (15.13)
р -> 00
И
/(оо) = lim pF (р). (15.14)
Р-0
Дополнительно отметим, что теоре-
ма разложения применима не только
к рациональным дробям, но и для (р)
и F2 (р), содержащих трансцендентные,
например экспоненциальные, круговые
и гиперболические функции.
Если среди корней многочлена F2 (р)
есть кратные, то можно записать теоре-
му разложения аналогично формулам
(15.10) или (15.11), но с двойной суммой
в правой части (одна сумма — по числу
корней, а вторая — для каждого корня
по порядку его кратности). Однако эта
формула довольно сложна и здесь не
приводится.
Если изображение Г(р) наряду с п
простыми полюсами в точках рь ...
..., рк,..., рп имеет, например, еще один
полюс кратности а в точке ри + 1, т. е.
. Л(Р)
W F2(p)(p-pn+1r’
15.2. Законы Кирхгофа
в операторной форме
Рассмотрим rLC-цепь (рис. 15.1), ко-
торая была подключена к источнику
ЭДС ех (t) и в момент t = 0 переклю-
чается к источнику ЭДС e(t).
Дифференциальное уравнение цепи
после коммутации
ri + L^y-+ ис = e(t), (15.15)
где напряжение ис и ток при выбранных
положительных направлениях (рис. 15.1)
связаны соотношениями
i = С duc/dt
281
и
wc = uc(O) + -^f idt.
C 0
Напряжение wc(0), а также ток i(0),
как и при расчете переходного процес-
са классическим методом, должны быть
определены расчетом режима цепи до
коммутации, т. е. при действии источ-
ника ЭДС eY (t).
Перейдем в (15.15) от оригиналов
к изображениям. С учетом (15.5), изо-
бражения постоянной величины (15.8)
и (15.7) получим алгебраическое уравне-
ние
r/(p) + L|>/(p)-i(0)] +
+ «с (О)/Р+ ——=£(?), (15.16)
С р
где / (р) = L {i (t)}; Е (р) = L {е (f)}.
Из (15.16) определим ток:
E(p) + Li(0)-«c(0)/p
r + pL+l/pC k 7
Заметим, что в соответствии со
сказанным выше нужно было бы писать
i (0-4-) и нс(0 + ). Но так как ток в ин-
дуктивности и напряжение на емкости
не изменяются скачком при t = 0, бу-
дем писать короче: i(0) и нс(0).
Выражение, стоящее в знаменателе,
назовем полным сопротивлением rLC-
цепи в операторной форме или опе-
раторным сопротивлением:
Z (р) = г 4- pL 4- 1/рС =
= (LCp2 4- гСр 4- 1)/рС. (15.18)
Сопротивление в операторной форме
уже встречалось в § 14.14 и теперь
получено вполне строго. Напомним, что
сопротивление rLC-цепи в операторной
форме построено так же, как и комп-
лексное сопротивление, если в послед-
нем заменить усо через р. Величина,
обратная операторному сопротивлению,
называется операторной прово-
димостью:
K(p) = l/Z(p).
Операторная ЭДС цепи, стоящая в
числителе (15.17), состоит не только из
операторного изображения ЭДС источ-
ника, т. е. Е (р), но и еще из двух
282
слагаемых, которые определяются на-
чальными условиями, т. е. током в ин-
дуктивности i (0) = iL(0) и напряжением
на емкости ис (0). Иными словами, нали-
чие двух дополнительных ЭДС Ы (0)
и wc(0)/p, которые можно назвать внут-
ренними или расчетными ЭДС, указы-
вает на то, что в магнитном поле
катушки и в электрическом поле конден-
сатора в момент коммутации была за-
пасена энергия. Положительное направ-
ление ЭДС Li(0) совпадает с положи-
тельным направлением тока ветви, а
направление ЭДС ис (0)/р противопо-
ложно направлению тока. При этом,
как и ранее, положительные направле-
ния тока и напряжения на конденса-
торе считаются совпадающими. На-
пример, при синусоидальной ЭДС е (t) =
= Ет sin cor, изображение которой (см.
приложение 4) Етсо/(р2 4- со2), для тока
получим изображение
LCi(0)p3 — Cuc(typ2 4- [соСЕт 4-
( = 4-co2LCi(0)]p-Cco2uc(0) =
р " (р2 + со2) (LCp2 4- гСр 4- 1) ~
f2 (pY
т. е. рациональную дробь (15.9), у кото-
рой корни pt 2 = ±усо уравнения р2 4-
4- со2 = 0 определяют установившуюся
составляющую тока (синусоидальный
ток), а корни уравнения LCp2 + rCp +1 =
= 0, т. е. согласно (15.18) Z (р) = 0 —
характеристического уравнения последо-
вательного контура, и определяют сво-
бодную составляющую тока.
Особенно просто выглядит выраже-
ние (15.17) при нулевых начальных
условиях, т. е. при iL(0) = 0 и wc(0) = 0:
/ (р) = Е (p)/Z (р), (15.19)
оно аналогично закону Ома в комплекс-
ной форме.
Для любого узла разветвленной цепи
h +1’2 4- ... 4- in = 0,
поэтому, обозначив изображения токов
Zfc(p) = L {ifc(t)}, на основании (15.1) полу-
чим первый закон Кирхгофа
в операторной форме:
Л (р) + Ъ (/>) + ... + /„(/>) = £/*(р) = 0,
к = 1
(15.20)
причем некоторые из токов могут быть
изображением токов источников тока.
Для любого замкнутого контура,
состоящего из п ветвей,
Ёг“'* + Ул*'
k= 1 к-1 к= 1 k= 1
Переходя к изображениям, получаем
второй закон Кирхгофа в
операторной форме:
п п
rkIk (р) + ^Lk [plk (р) - ik (0)] +
k= 1 k= 1
что можно переписать и так:
k= 1
= J E*(p) + L*it(0)-
k= 1
(15.21)
В последних выражениях ik (0) и
ua (0) — начальные значения токов в ка-
тушках индуктивности и напряжений на
конденсаторах в соответствующих вет-
вях.
Особенно просто запишется второй
закон Кирхгофа при нулевых начальных
условиях, т. е. при ik (0) = 0 и иск (0) = 0:
п п
^Zk(p)Ik(p)= ^£»(р), (15.22)
к=1 к=1
он полностью аналогичен второму зако-
ну Кирхгофа в комплексной форме.
Итак, закон Ома, первый и второй
законы Кирхгофа в операторной форме
аналогичны по форме записи тем же
законам в комплексной форме. Нужно
только иметь в виду, во-первых, что
в каждой /с-й ветви при ненулевых
начальных условиях, т. е. при ik (0) # 0 и
иСк (0) # 0, действуют не только внешняя
ЭДС Ек(р), но еще и внутренние ЭДС
Lkik(0) и uc/t(0)/p, и, во-вторых, что в
качестве сопротивления ветви берется ее
операторное сопротивление.
Изображение каждого из токов си-
стемы уравнений (15.22), так же как и
тока в цепи на рис. 15.1, получается
в виде (15.9) — отношения двух полино-
мов с действительными коэффициента-
ми. При этом предполагается, что рас-
сматриваются, как и ранее, линейные
цепи с сосредоточенными параметрами,
в которых действуют источники ЭДС
(и тока), изображения которых записы-
ваются (см. приложение 4) в виде
отношения полиномов (например, по-
стоянные, синусоидальные и экспонен-
циальные ЭДС, единичный скачок и еди-
ничный импульс).
Если изображение равно сумме не-
скольких рациональных дробей (15.9), то
теорема разложения применяется от-
дельно к каждой из дробей.
Отношение изображений искомой
величины к заданной называется пере-
даточной или схемной функцией в опе-
раторной форме К(р), причем К(р) =
= L{k(t)} и составляется так же, как
для цепей переменного тока К (р) =
= К Осо)|>=р.
Так как корни характеристического
уравнения цепи зависят только от ее
топологии и параметров, то их можно
найти, сделав предположение, что в цепи
283
действует только один источник ЭДС.
Наиболее простое изображение имеет
единичный импульс L{5(r)} = l. При
действии такой ЭДС изображение тока
в ветви с источником
I (р) = 1/ZBX (р) = Fi (p)/F2 (р), (15.23)
где ZBX (р) — входное операторное сопро-
тивление цепи относительно выводов
источника. Входное операторное сопро-
тивление составляется так же, как вход-
ное комплексное сопротивление, т. е.
ZBX(p) = Z„x(/®)|»=p. Из (15.23) следует,
что уравнение ZBX (р) = 0 — это характе-
ристическое уравнение цепи, на что было
указано в § 14.14.
Аналогично можно показать, что,
приравняв нулю входную проводимость
цепи относительно двух ее любых
узлов Увх (р) = 0, также получаем ха-
рактеристическое уравнение.
15.3. Эквивалентные
операторные схемы
При расчете переходного процесса
операторным методом желательно сразу
записывать уравнения Кирхгофа в опе-
раторной форме, а также уравнения с
применением методов расчета, которые
основаны на уравнениях Кирхгофа (кон-
турные токи, узловые потенциалы и
т. д.). Каждую из этих систем уравнений
можно записать, составив для заданной
цепи эквивалентную операторную схему.
Как следует из (15.17) и (15.21),
в каждой ветви с параметрами г, L и С
должны быть при ненулевых начальных
условиях учтены две дополнительные
внутренние ЭДС LI (0) и ис (0)/р, а в це-
пях с индуктивно связанными элемента-
ми еще и ЭДС М/(0). На рис. 15.2
показан переход от индуктивных и ем-
костных элементов с мгновенными зна-
чениями (оригиналами) токов и напря-
жений к элементам операторной схемы
(учитываются внутренние ЭДС). Сопро-
тивления элементов операторной схемы
записаны в соответствии с (15.18). Источ-
ники ЭДС (рис. 15.2) могут быть по
известным правилам (см. гл. 1) заменены
источниками тока.
Для расчета переходного процесса
после коммутации в цепи рис. 15.1 опе-
раторная схема показана на рис. 15.3.
При расчете тока сразу можно записать
выражение (15.17). Далее для краткости
аргумент р у изображений будем опус-
^с(р)
Мр)
иг(Р)
Рис. 15.2
284
Рис. 15.3
Рис. 15.4
кать, если это не мож^г вызвать недо-
разумений.
Отметим, что применение оператор-
ного метода для расчета переходного
процесса в сложных цепях на ЭВМ не
дает преимуществ по сравнению с клас-
сическим методом.
Пример 15.1. Определить ток i в цепи
на рис. 15.4, а после размыкания рубильника,
если г = 3,67 Ом, R — 10,0 Ом, С = 37 мкФ,
е= 100 sin (2670г — 30°) В.
Решение. Операторная схема показана
на рис.- 15.4,6. Операторное изображение
ЭДС (см. приложение 4)
, , = 10„ р sin (- 30°) + 2670 cos (- 30°) =
'Р> р2 + 27602
= — 50р + 2,31 10s
р2 + 27602 ’
Для определения напряжения ис (0) нужно
рассчитать режим в цепи рис. 15.4, а до
коммутации. Комплексная амплитуда тока
1т = Ет/ Г +
К(-//оС)
R - ЦоС
напряжение на конденсаторе
и Ст = Im = 70,7 Л -45° В,
- - К-У/соС
г. е. до коммутации
ис = 70,7 sin (2670г - 45°) В и при t — 0
Мс(0-) = uc(0 + ) = uc(0) = 70,7 sin (-45°) =
= -50 В.
Ток в схеме на рис. 15.4,6
£(р)-ис(0)/р
г + 1/рС
= 8,55р — 1320 =Fi(p)
(140р+ 1)(р2 + 26702) F2(p) '
Функция F2(p) имеет три корня: рг =
= —7,36 • 10-3 с“1 и р2 = р* = J2670 с" \ По
теореме разложения (15.10) с учетом заме-
чания о комплексных сопряженных корнях
получаем оригинал
i = 9,4 sin (2670г+ 40°)-6,0е’736 10~3‘ А.
Пример 15.2. Найти ток ц в цепи на
рис. 15.5, а после коммутации. Параметры
цепи: гг = 30 Ом, г3 = 10 Ом, L— 0,1 Гн,
С = 10"3 Ф, £ = 100 В, U = 50 В.
Решение. На рис. 15.5,6 показана опе-
раторная схема, при составлении которой
учтено, что до коммутации ток в индук-
тивном элементе G (0 —) = Е/(гг + г3) = 2,5 А =
= i(0) и uc(0) = — U = -50 В (отрицательное,
так как полярность напряжения конденсато-
ра до коммутации обратна принятому на
рис. 15.5, а положительному направлению
«с)-_
Составим уравнения по методу контур-
ных токов:
(30 4- 0,1р + 10) Л - 10/2 = 100/р 4- 0,25;
- ЮЛ 4-(1/р-10"3 4- 10)/2 = 50/р.
Решив эти два алгебраических уравне-
ния относительно тока Л, получим
, = 2 5Л + 300 \ =
1 \ Р Р2 + 400р 4- 4 • 104 /
= 2,5 750
р + (р + 200)2 '
Согласно (15.8) оригинал первого сла-
гаемого равен 2,5. Для второго слагаемого
оригинал есть в приложении 4:
' L {ге“®*} = 1/(р 4-а)2,
т. е. ток — 2,5 4- 75Оге-200* А.
Если параметры отдельных элемен-
тов цепи зависят от частоты, то ана-
литический расчет переходного процесса
также целесообразно выполнить опера-
285
Рис. 15.5
Zc(p) = ~~—
рс (Р)
Ток
торным методом (или с применением
преобразования Фурье — см. гл. 16).
Пример 15.3. Определить ток в гС-цепи
(рис. 14.13) при ее подключении к источнику
постоянного напряжения U = 10 В. Запазды-
вание поляризации в диэлектрике конденса-
тора задано частотной характеристикой
С = Со 4- ZcC0/( 1 4- jm), где Со = 100 пФ, к = 9,
т = 1 мс. Сопротивление резистора г — 1 МОм.
Решение. В операторной форме ем-
кость С (р) = Со + /сС0/(1 + рт). Операторное
сопротивление конденсатора
тр 4- 1_____
тСор2 4- (1 4- /с)Сор ’
С7/Р
r4-Zc(p)
= С___________тр + 1 + /с________= Ft(p)
гт р24-[(1 4-/с)/т+ 1/гС0]р4- 1/гСот F2(р)
и по теореме разложения (15.10)
F'2(Pi) + F'2(p2) ’
где />! = -1,949• 104 c'1, p2 = -0,051 • 104
с'1 — корни характеристического уравнения
p2 + [(1 + fc)/x + 1/rCo] p + l/rCox = 0.
После подстановки численных значений
получается
i = 0,500 -10"5 (е"19,49f 4-е"0,51') А,
где t — в миллисекундах.
15.4. Сведение расчета
переходного процесса
к нулевым начальным условиям
При изучении переходных процессов
в электрических машинах, в схемах
автоматического регулирования и в дру-
гих случаях часто сводят их расчет при
ненулевых начальных условиях к расчету
при нулевых начальных условиях сле-
дующим приемом.
Пусть к выводам 1—2 активного
двухполюсника ключом Р подключается
ветвь с операторным сопротивлением
Z12 (р) (рис. 15.6, а). Если в подключа-
емой ветви есть источники ЭДС и тока
или заряженные конденсаторы, то отне-
сем их в состав активного двухпо-
люсника.
Для расчета тока в подключаемой
ветви (в ветви ключа) или в какой-либо
иной ветви активного двухполюсника
определим прежде всего напряжение
и12 (0 на выводах 1—2 ключа до его
включения, обусловленное всеми источ-
никами ^активного двухполюсника. В
ветвь ключа включим (рис. 15.6,6) два
источника с противоположно направлен-
ными ЭДС e(t) = и 12 (О- При этом режим
в цепи не изменится.
Теперь рассмотрим включение клю-
ча. Так как система линейна, будем
вести расчет методом наложения.
Прежде всего найдем токи при действии
всех источников активного двухполюс-
ника и той ЭДС, которая действует
противоположно напряжению и12 (г)
(рис. 15.6, в). В этой схеме включается
ветвь с источником ЭДС е(г), равной
и противоположной по направлению
эквивалентной ЭДС активного двухпо-
люсника. Поэтому в этой схеме ток в
ветви ключа после его замыкания оста-
ется равным нулю, а значит, для всей
схемы в целом это будет режим до
коммутации. Остается учесть послед-
нюю ЭДС е(г), действующую в ветви
ключа в том же направлении, что и
напряжение и12(1) (рис. 15.6, г), т. е. рас-
считать переходный процесс при вклю-
чении ветви с источником ЭДС е (г)
к пассивному двухполюснику или, иначе
говоря, при нулевых начальных усло-
виях.
286
Рис. 15.6
Если при включении рубильника
определяется ток в какой-нибудь ветви
активного двухполюсника, то нужно
в соответствии со сказанным учесть,
что он состоит из тока, существо-
вавшего в этой ветви до коммутации,
и тока, который возникает в этой ветви
после включения историка ЭДС e(t) к
пассивному двухполюснику (рис. 15.6, г).
Если, в частности, рассчитывается ток в
ветви ключа (равный нулю до комму-
тации), достаточно рассчитать режим в
схеме на рис. 15.6, г.
Свести расчет переходных процессов
в цепи с ненулевыми начальными
условиями к расчету при нулевых на-
чальных условиях можно, применяя как
классический, так и операторный метод.
Сопротивление Z12(p) может быть в
общем случае входным сопротивлением
другого пассивного двухполюсника, под-
ключаемого к выводам 1—2.
Аналогично можно показать, что
отключение любой ветви, не содержащей
индуктивного элемента, можно свести к
включению в нее источника тока с то-
ком, равным и противоположным по
направлению току в этой ветви до
коммутации.
Пример 15.4. Найти ток в конденсаторе
(рис. 15.7) после включения ключа, если
ri = г2 = Ю Ом, L= 0,1 Гн, С — 1000 мкФ,
17 = 200 В, Uo = 100 В.
Решение. Будем считать активным
двухполюсником всю схему, кроме ключа,
т. е. согласно рис. 15.6 Z12 = 0. Выбрав
положительное направление напряжения на
Рис. 15.7
ключе, как указано на рис. 15.7, найдем
это напряжение:
Wob = Фа - Фь = ^0 + —-—г2 = 200 В.
П +г2
Входное сопротивление активного и со-
ответствующего пассивного двухполюсника
(рис. 15.6, г)
z_____1 r2 (ri + pL) _ р2 + 200р 4- 20000
ВХ рС rt+r2+pL 0,1р2 4- 20р
Изображение искомого тока найдем по
закону Ома в операторной форме (15.19):
j = £«ь.= 200(0,1р 4-20) F, (р)
ZBX р2 + 200р + 20 000 F2 (р) *
Приравнивая F2 (р) нулю, находим корни
характеристического уравнения: pt = -1004-
4- J100; р2 = -100 - J100. Оригинал (ток 0
найдем по теореме разложения (15.10).
В соответствии с замечаниями, сделанными
о применении теоремы разложения при комп-
лексных корнях,
Л(Р1)с<м
i=*2Re I
^.Ггоое^-чол^ + го)
= Z IxC -------------
2pi + 200 J
= 20 |/2е" 100‘ sin (100t + 45°) А.
287
15.5. Определение свободных
составляющих по их изображениям
В § 15.3 операторные схемы состав-
лялись для расчета переходных токов и
напряжений, состоящих из установив-
шихся (принужденных) и свободных
составляющих. После расчета изображе-
ний этих токов и напряжений и пере-
хода к оригиналам определяются суммы
установившихся и свободных составляю-
щих токов и напряжений. Но устано-
вившиеся составляющие могут быть
найдены непосредственно известными
методами расчета цепей постоянного и
переменного токов. В этом случае опе-
раторным методом нужно рассчитать
только свободные составляющие, для
которых операторные схемы и изобра-
жения, конечно, более простые, чем для
токов и напряжений, содержащих и
установившиеся, и свободные состав-
ляющие.
Операторные схемы для свободных
составляющих содержат только внутрен-
ние (расчетные) ЭДС LiCB(0), A/iCB(0) и
«ссв(0)/р (или соответственно источники
тока).
Пример 15.5. Определить ток i в цепи
примера 15.1.
Решение. Операторная схема для рас-
чет а свободной составляющей тока показана
на рис. 15.8. Она не содержит источника
Рис. 15.8
ЭДС Е (р), изображение которого было
найдено в примере 15.1.
Рассчитаем установившиеся ток и на-
пряжение на конденсаторе после комму-
тации:
Iym = Em/(r - j/ыС) = 9,4 zL 40° А, т. е.
iy = 9,4 sin (2640г + 40°) А;
исут = Iym (-J/coC) = 94 z. - 50° В, г. е.
иСу = 94 sin (2670г - 50°) В.
Так как ис = иСу + ыссв, то «ссв(0) =
= ис (0) - иСу (0). Напряжение ис (0) = - 50 В
определяется расчетом цепи до коммутации
(см. пример 15.1) и wCcB(0)=—50 —
-94 sin (-50°) = 22 В.
По закону Ома
J = -ИСсв(0)/Р _ «Сев (0)_______1_
св г + 1/рС г р + а
где а = 1/гС.
Оригинал [см. (15.8)]
(св = - = —б.Ое-7,36'10 3( А.
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
16.1. Преобразование Фурье
и его основные свойства
В § 12.2 было дано разложение
периодической функции с периодом Т,
удовлетворяющей условиям Дирихле,
в ряд Фурье:
f(t) = Ао+ X (Вкт sin к<М + Скт cos к<м),
k = 1
(16.1)
где к<л = <лк = к2п/Т принимает дискрет-
ные значения: oil = 1-2л/Т;*о)2 =2-2я/Т
и т. д.;
+ Т/2
Ло = у f У(т)ат;
— Т/2
+ Т/2
2 С
Вкт=~ /(T)sinovdT;
-Т/2
288
+т/2
Скт = ~ /(т) cos <окт dx.
-T/2
Подставляя значения Ao, Bkm и Ckm
в (16.1) и обозначая интервал между
соседними частотами
Дсо = ®к+1 -®* =
= (к + 1)2л/Т— к-2я/Т = 2it/T,
получаем
+ Т/2
f(t) = y |/(т)</т +
-Т/2
оо + Т/2
+ J /(т) (COS (Okt COS <0tT +
к = 1 - т/2
+ Т/2
+ sin cokt sin сокт) dx = -у J fix) dx +
-T/2
1
+ —
7Г
fix) cos [cok (t - t)] dx.
k=l -T/2
Здесь | cos cok (t — t) | 1, поэтому
+ T./2
J f(x) cos cok (t - t) dx
-T/2
+ T/2
f l/(T)|^T.
-T/2
Устремляя T к бесконечности, за-
ключаем, что если функция fix) абсо-
лютно интегрируема в бесконечных пре-
делах (т. е. если конечен интеграл
+ оо
f l/СО | dx), то конечное значение имеет
— 00
+ оо
также интеграл J f (т) cos cok (t — т) dx
— оо
при любых cok и t. При этом же
условии
+ Т/2
lim 4; |/(т)</т = О,
Т^ оо Г J
-Т/2
т. е. приближенно
до»
/(т)сО8<0к(Г — x)dx.
к — 1 — оо
(16.2).
Но так как Асо = 2л/Т-> О при Т^> оо,
сумма в правой части (16.2) переходит
в интеграл, а приближенное равенство
(16.2) — в точное (при этом Асо заме-
няется на dco, а дискретные значения
частоты сок — на непрерывно изменяю-
щуюся частоту со):
оо + оо
/(t) = — dco /(т) cos со (t — т) dx. (16.3)
7Г J J
О — оо
Поскольку Т->оо, функция /(f), за-
данная на промежутке — оо t +оо,
является уже непериодической функцией.
Поэтому можно утверждать, что фор-
мула (16.3) представляет собой сумму
бесконечно большого числа гармониче-
ских функций с непрерывно изменяющи-
мися частотами со и бесконечно малыми
амплитудами. В самом деле, выражение
f (т) cos со (t — т) dx
представляет собой бесконечно малую
по амплитуде гармонику частоты со.
Конечно, эта бесконечно малая гармо-
ника частоты со может быть найдена
только по заданной функции fit). Сум-
мируя затем гармонические составляю-
щие (внешний интеграл по со) при
изменении со от 0 до оо (т. е. учиты-
вая все бесконечное множество гармоник
с непрерывно изменяющимися часто-
тами со), получаем заданную функцию
/(О-
Иными словами, непериодическая
функция характеризуется непрерывным
спектром частот, в то время как перио-
дическая функция — дискретным.
Формула (16.3) называется инте-
гралом Фурье в тригонометриче-
ской форме. Отметим, что абсолютная
интегрируемость функции fit) в беско-
нечных пределах является для вывода
10 Основы теории цепей
289
формулы (16.3) достаточным условием,
но не необходимым.
Ввиду четности cos со (t — т) относи-
тельно со формулу (16.3) перепишем еще
в виде
+ 00
J f (т) cos со (t — т) dx.
(16.4)
Подчеркнем, что при решении элект-
ротехнических задач гармоники с отри-
цательными частотами физического
смысла не имеют (см. также гл. 12).
Однако введение их позволяет предста-
вить функцию /(г) вместо формулы (16.3)
более симметричной формулой (16.4).
Далее в силу нечетности функции
sin со (t — т) относительно со аналогично
(16.4) найдем, что
+ оо 4- оо
с/со J /(т) sin со (t — т) с/т. (16.5)
— 00 — 00
Умножив (16.5) на j и сложив с (16.4),
получим интеграл Фурье в комплексной
форме, который часто имеет преиму-
щества при расчетах:
4- оо 4- оо
= Uco I (16.6)
271 I I
Если функция f(t) задана на про-
межутке от 0 до оо, а на промежутке
от —оо до 0 равна нулю, то соответ-
ственно
с/со /(т) cos со (t — т) dx;
(16.7)
4- 00 00
/(t)=2_ | e>'dco |/(т)е“>Чт. (16.8)
2тс J J
— оо О
Внутренний интеграл с заменой т
на t (значение определенного интеграла
не зависит от того, как обозначена
переменная интегрирования) может быть
290
переписан так:
F (/со) = J/(t) е">‘ dt = F (со) е^0». (16.9а)
о
Комплексная функция частоты F (/со)
дает закон изменения комплексных амп-
литуд гармоник в зависимости от час-
тоты со и называется спектральной
плотностью (спектральной или
амплитудно-фазовой характеристикой;
годографом) или, короче, спектром за-
данной функции /(г), Г(со) называется
амплитудно-частотной характеристикой
(четная функция частоты), \|/ (со) — фазо-
частотной характеристикой (нечетная
функция частоты). Само соотношение
(16.9 а) называется односторонним пря-
мым преобразованием Фурье.
Если при t < 0 функция f(t) / 0, то
вместо одностороннего преобразования
Фурье следует найти спектральную плот-
ность при помощи двустороннего пре-
образования
F (/<») = f/(t)e->'dt. (16.96)
— 00
С учетом (16.9 б) перепишем (16.8) так:
4- оо
I F№)^'d<s>. (16.10)
271 J
- 00
Таким образом, функция F (/со) по
модулю и фазе характеризует гармони-
1
ку частоты со, а выражение -т— х
2тс
х F (jcn) е** day представляет собой гар-
монику с частотой со функции /(г). Эта
гармоника выражена в комплексной
форме, имеет бесконечно малую ампли-
туду и называется элементарной. Соот-
ношение (16.10) называется обратным
преобразованием Фурье:
Сравнивая формулы прямого и
обратного преобразований Лапласа
(15.1) и (15.2) с формулами прямого
(16.9) и обратного (16.10) преобразований
Фурье, заключаем, что преобразование
Фурье является частным случаем пре-
образования Лапласа, получается из него
при р =jay и применимо для более
узкого класса функций /(г), что и было
отмечено выше. Следовательно, частот-
ный спектр F(/cd) функции /(t) получа-
ется из ее лапласова изображения F (р)
по формуле
F(/<o) = F(p)|p=>. (16.11)
Выше было показано, что оператор-
ный метод, основанный на преобразо-
ваниях Лапласа, применим для расчета
переходных процессов. Поэтому и час-
тотный метод, основанный на преобра-
зованиях Фурье, может быть как частный
случай операторного метода применен
для тех же целей.
16.2. Спектры
непериодических функций
Применение прямого преобразова-
ния Фурье (16.9) дает возможность
определить, в частности, спектры вход-
ных воздействий — сигналов электриче-
ской цепи.
Рис. 16.2
В качестве примеров определим
спектральные плотности некоторых сиг-
налов — функций /(г).
На рис. 16.1 построен прямоуголь-
ный импульс длительностью т, высотой
атах. По (16.96) спектральная плотность
7 7
F (/СО) = amaxe->'dt = -^sin
CD 2
-х/2
(16.12)
т. е. амплитудно-частотная характерис-
тика
F(co)= sin
CD 2
и значение фазы \|/ (cd) равно 0 при
положительных значениях синуса и п
при отрицательных. Амплитудно-час-
тотная и фазо-частотная характеристики
показаны на рис. 16.2.
Теоретически спектр прямоугольного
импульса неограничен, но удельный вес
гармоник с ростом частоты уменьша-
ется (рис. 16.2).
Если атах = 1/т, то при т -► 0 полу-
чаем дельта-функцию 5(t) или единич-
ный импульс (см. рис. 14.39). Спектраль-
ная плотность единичного импульса
(2 CDT \
----sin = 1
CDT-2 /
или F (cd) = 1 и \|/ (cd) = 0, т. е. в отличие
от импульса конечной длительности у
дельта-функции удельный вес всех со-
ставляющих спектра одинаковый.
При другой форме импульса полу-
чается и иной спектр. Так для косину-
соидального импульса f (t) = атах cos CDot
длительностью т (рис. 16.3) спектральная
10*
291
плотность
тика
т/2
F (/«О = J атах COS dt
-т/2
или, так как
cos <not = + е-7“0'),
т/2
F(/®) = Г +
-т/2
CD — CD0 2
_|---2^—sin (со + соо) —. (16.13)
со 4- C0q 2 •
В частности, при т = Т/2 = тт/со0 получим
ч С00 71 со
F (/®) = 2атах -у—-г cos — —.
C0q — со 2 C0q
Амплитудно-частотная характерис-
с/ \ о юо л 0)
F (со) — 2атах 2 2 I cos э
I юо — ю I 2 соо
показана на рис. 16.4. С ростом частоты,
как и у прямоугольного импульса,
удельный вес гармоник уменьшается, но
распределение спектральной плотности
иное.
Если на интервале т укладывается
целое число периодов Т, т. е. т = пТ
(рис. 16.5), то, преобразуя в (16.13) синус
суммы и синус разности двух углов и
учитывая равенства
т 2тг пТ
COS С00 — = COS = COS пп =
= (-1)" и sincoOy = 0,
получаем
F(/®)=( -^-+-^-\-l)"sin®^’=
у CD — CDq CD 4- CDq J 2
(1614)
CD2 — CDq CDq
и амплитудно-частотная характерис-
тика
F(co)=. 22атах<й
I ® - ®0 I
. 7? 71CD
sin--------
CDq
Эта характеристика представлена на
рис. 16.6 для случая п = 2. Спектральная
плотность равна нулю при частотах cd,
для которых sin (2тгсо/со0) = 0, т. е. при
cd = /ccd0/2 (к = 0, 1, 3, ...). Наибольшее
значение F(cd) получается при частоте
cd = cd0, а именно F (cd0) = патахТ/2. Если
частота cd0 остается постоянной, а дли-
тельность импульса растет, т. е. за время
Рис. 16.5
Рис. 16.6
292
т укладывается большее число периодов
Т, то максимальное значение F (соо)
становится все более заметно выражен-
ным (увеличивается пропорционально
числу периодов п). В пределе при т -* оо
вместо импульса (рис. 16.5) получается
гармоническая функция частотой соо, в
спектре которой остается одна спект-
ральная линия на частоте соо.
Единичный скачок 1 (Г) (см. рис. 14.33)
не относится к абсолютно интегри-
руемым функциям. Поэтому следует
сначала найти спектральную плотность
функции е-аЧ (Г), которая относится к
абсолютно интегрируемым, а затем
устремить а к нулю. Согласно (16.9а)
00
F(/co) =
J а + j<b
О
и в пределе получим F (/со) = 1//со и
F (со) = 1/со, т. е. удельный вес составляю-
щих спектральной плотности уменьша-
ется с ростом частоты, а ф = —90° =
= const.
Тот же результат, как следует из
(16.11), получается после замены в опе-
раторном изображении 1/р единичного
скачка [см. (15.8)] оператора р на усо.
Чтобы определить спектральную
плотность гармонического колебания
f(t) = Fm cos coot, начинающегося с мо-
мента t = 0, которое также не относится
к абсолютно интегрируемым, сначала
найдем спектральную плотность для
затухающего колебания f(t) = Fme~nt х
х cosco0t. Согласно (16.9а)
00
F (/со) = JFme~at cos co0te-Jon dt =
о
= F °* +№
m (а + ;<в)2 + «о
В пределе при ос —► О
F(/“)==fm(0g-(02
и
F (со) = Fm . 2 Ю 2| ;
I СОо - со I
\ 90° при со < соо;
Ф (со) = < _
1 — 90 при со > соо.
Спектральная плотность бесконечно
большая при частоте гармонического
колебания соо.
Между спектрами непериодической
функции и периодической функции, кото-
рая получается повторением непериоди-
ческой, существует связь. В качестве при-
мера сравним спектр одиночного пря-
моугольного импульса (см. рис. 16.1) и
периодической последовательности им-
пульсов (см. рис. 12.6, а).
Спектральная плотность импульса
(16.12)
т/2
F (/со) = j a^e^dt,
-т/2
а комплексные амплитуды последова-
тельности импульсов (12.3а) при периоде
Т и частоте соо = 2п/Т
т/2
Fi — —— I a At
L_km 2ft I uwaxc UL
-т/2
и постоянная составляющая
Из сравнения последних выражений
ясно, что при всех частотах со = /ссоо
амплитуды спектра периодической функ-
ции отличаются от значений спектраль-
ной плотности непериодической только
постоянным множителем соо/2л = 1/Т,
Рис. 16.7
293
т. е.
Fkm = F(ja>)/T.
Иначе говоря, дискретный спектр
амплитуд периодической функции впи-
сывается в график амплитудно-частот-
ной характеристики, соответствующей
непериодической функции, как показано
на рис. 16.7 для случая Т=2т. Если
период Т растет, т. е. импульсы следуют
все реже, то дискретный спектр стано-
вится все гуще, так как уменьшаются
частота соо и расстояние между сосед-
ними спектральными линиями, равное
соо. В пределе при Т-> ос дискретный
спектр сливается в сплошной, а ампли-
туды гармоник становятся бесконечно
малыми.
Точно так же для импульсов другой
формы по спектральной плотности
F (Jen) можно найти комплексные ампли-
туды Fkm гармоник ряда Фурье для
периодической последовательности им-
пульсов при любом периоде Т.
16.3. Теорема Рейли
Умножим обе части равенства (16.10)
на /(г), проинтегрируем по t от — оо
до 4-оо и изменим порядок интегри-
рования:
1
2л
F (/co) F (— yco) Jco =
1
2л
F2 (co) dco.
Считая, что f (t) = 0 при t < 0, запи-
шем в левой части у интеграла пре-
делы от 0 до оо. Ввиду четности
функции частоты F2 (со) заменим нижний
предел у интеграла правой части на О
и удвоим результат. В итоге получим
00 00
f2(t)dt = —\F2(a)d&. (16.15)
J я J
о о
Полагая, что f (t) = и (t) - напряже-
ние, приложенное к резистору сопро-
тивлением 1 Ом, получим, что левая
часть (16.15) - это энергия, выделяющая-
ся в этом резисторе за время от О
до оо. Следовательно, интеграл правой
части (16.15), представляющий собой
площадь, ограниченную квадратом
амплитудно-частотной характеристики
F (со), дает энергию, выделяющуюся в
резисторе сопротивлением 1 Ом при
напряжении и (t). В этом и заключа-
ется физический смысл теоремы Рейли.
16.4. Дифференцирующие и
интегрирующие цепи
F (/со) e>tor Jco
1
2л
00
F(/co) j/We^'dtpco.
— 00
Составим передаточную функцию по
напряжению
Kv (ja) = К (/со) = К (со) № =
= ^OWiO'co) (16.16)
для четырехполюсника рис. 16.8, считая,
что сопротивление нагрузки настолько
На основании (16.96)
F(-»= +f f(t)^'dt.
- 00
Поэтому
+ 00
j f2(t)dt =
- 00
Рис. 16.8
294
велико, что ток Г2 (/со) = 0 (например,
к выводам 2 — 2' подключен усилитель).
Из схемы рис. 16.9 следует, что
к (/со) =-----f—— = - , (16.17)
v г 4- 1/jcoC 1 4- jcoCr
т. e.
К (co) = coCr/j/1 + (coCr)1 2
И
ф (co) = n/2 — arctg coCr.
При выборе параметров С, г и
области изменения частоты со таких,
что coCr с 1, имеем
К (со) « coCr; ф (со) « п/2, (16.18)
т. е.
К (/со)« jcnCr
и
(16.19)
Так как j&Ui (j®i) — спектральная ха-
рактеристика производной dUi (t)/dt (см.
гл. 3), то цепь рис. 16.8 осуществляет
дифференцирование (и одновременное
ослабление) входного напряжения щ (t).
Проводя аналогичные расчеты для
цепи на рис. 16.9, получим
к (16.20)
v г 4- 1/jtoC 1 4- jcnCr
т. е.
К (со) = 1/|/1 + (coCr)2,
И
ф (со) = — п/2 — arctg coCr.
Выбрав параметры г, С и область
изменения частоты со так, что coCr » 1,
получим
К (со) % 1/соСг; ф (со) % -п/2, (16.21)
1 г 2
о------EZ3— ————о
т. е.
К(/со)«1//соСг
и
U2 (/со) = (/со)//соСг. (16.22)
Так как U х (/со)//со — спектральная ха-
рактеристика интеграла от напряжения
Ui (t) (см. гл. 3), то цепь рис. 16.9 осу-
ществляет интегрирование (и одновре-
менно ослабление) входного напряже-
ния Ui (t).
16.5. Расчет переходных процессов
Рассмотрим rLC-цепь (рис. 15.1), ко-
торая была подключена к источнику
ЭДС ех (г) и в момент t = 0 переклю-
чается к источнику ЭДС e(t).
Найдем согласно (16.9а) частотный
спектр ЭДС e(t):
Е(/со)= P(t)e-»dt = E(p)|p=Jto.
О
Закон Ома для частотных спектров
при ненулевых начальных условиях по-
лучим из (15.17) при р = jayz
ню- (16Г)
г 4- l/jwC
Знаменатель этого выражения
Z (/со) = Z (р) |р=> = г + j<oL+
представляет собой комплексное сопро-
тивление rLC-цепи, применявшееся ранее
для расчета установившихся (гармони-
ческих) процессов. Как показывает
(16.23), оно находит применение и для
расчета переходных процессов, когда
токи и напряжения изменяются во вре-
мени не гармонически, а по самым раз-
личным законам.
В самом деле, при помощи Z(/co)
по (16.23) найдем частотный спектр
тока /(/со), а далее по формуле, анало-
гичной (16.10), — и ток переходного про-
цесса
Рис. 16.9
+ 00
i(t) = 4- /(/со)е*'Жо. (16.24)
2тс |
295
Из (16.24) заключаем, что ток также
может быть представлен в виде суммы
элементарных гармоник с частотами,
непрерывно изменяющимися от — оо до
до 4-оо, а величина (/со) dco
представляет собой элементарную гар-
монику с частотой со функции i (е).
Аналогичен расчет для любой линейной
цепи.
Пример 16.1. Найти ток при включении
rC-цепи на экспоненциальное напряжение
(Ue~at при t 0;
w (0 = S
I 0 при г < О,
где а > 0. Построить годограф входного
напряжения.
Решение. Прежде всего убедимся, что
функция и (г) представима интегралом Фурье.
Действительно, функция и (г) абсолютно инте-
грируема в бесконечных пределах, так как
интеграл
f | и (t) I dt =
=; i«wiA+j i«(oiA=
— оо О
0° ГТ
= 0 4- f Ue~atdt = —
о а
конечен при любом а / 0.
По (16.9a) или по известному лапласову
изображению функции u(t) найдем ее час-
тотный спектр:
С/(/о) =
—-—= С/(о)е^*(<в),
а 4- /со
откуда получаем амплитудно- и фазо-час-
тотную характеристики напряжения на входе:
U (о) = U/]/а2 4- о2; ф (о) = -arctg (со/а).
Отсюда следует, что включение апе-
риодического напряжения u(t) можно рас-
сматривать как включение бесконечно боль-
шого числа элементарных гармонических
колебаний, частоты которых изменяются
непрерывно от нуля до бесконечности.
На рис. 16.10 даны амплитудно- и фазо-
частотные характеристики U (со) и ф (со). На
рис. 16.11 построен годограф напряжения
U (/со) при изменении со от 0 до оо, который
представляет собой полуокружность, что
следует из выражения для U (/со).
Комплексное сопротивление цепи
Z (/со) = г 4- 1//соС = (14-
Так как начальные условия нулевые,
то на основании закона Ома для частотных
спектров
/(/G))=C/(/G))/Z(/G)) =
= UjodC/dod 4- a)(/corC 4- 1)
и соответствующее операторное изображение
тока
I (р) = UpC/(p 4- a) (prC + 1).
Применяя для вычисления тока i(t) тео-
рему разложения (15.10), обозначим
F. (р) = рСС7; Г2 (р) = (р 4- а)(ргС 4- 1)
и найдем корни характеристического урав-
нения F2 (р) = 0:
Pi = а и р2 = — 1/гС.
Вычислив значения множителей обоих
слагаемых теоремы разложения
F^^-vCU-, Л (р2) = — U/r;
F'2 (Pl) = 1 - rCa; F2 (р2) = -1 4- гСа,
296
после простых преобразований получим
•z\ U С f -at 1 - Г/гбА
к агС - 1 \ гС J
Тот же результат можно получить при по-
мощи обратного преобразования Фурье
(16.10).
Этот и другие примеры показывают,
что расчеты переходных процессов опе-
раторным и спектральным методами
весьма похожи друг на друга. Но в
отличие от реальных спектров оператор-
ные изображения — это абстрактные ма-
тематические величины, которые, правда,
упрощают расчет. Преимущества спект-
рального метода сказываются при экспе-
риментально найденных входных сиг-
налах и входных или передаточных
функциях цепи.
16.6. Приближенный метод
определения оригинала
по действительной
частотной характеристике
Для любой линейной электрической
цепи по законам Кирхгофа можно
составить систему интегродифферен-
циальных уравнений, описывающих про-
цессы в этой цепи. То же самое можно
сделать для любой динамической систе-
мы : электромагнитной, механической
или электромеханической. В электриче-
ских цепях и динамических системах
любую величину можно рассматривать
как входную и считать ее изменение
во времени заданным. Любую другую
величину можно рассматривать как вы-
ходную и определять ее изменение.
Переходя в уравнениях, характеризую-
щих эти системы, от оригиналов к
изображениям, можно исключить изо-
бражения всех остальных величин, кроме
входной Xi(p) и выходной X2 (р), и
составить передаточную функцию
К(р) = Х2(р)/Х1(р). (16.25)
Например, для четырехполюсника
на рис. 16.9 передаточная функция была
найдена в § 16.4 [см. (16.20)], т. е.
после перехода к операторному изоб-
ражению
U2<P) к(. 1
и, (р) (р) 1 + гСр •
Пусть входная величина (t) задана
в виде единичного скачка xr (t) = 1 (t)
(рис. 14.33). Операторное изображение
согласно (15.8)
ATi (р) = 1/р. (16.26)
При действии на входе единичного
скачка 1 (t) выходная величина — это
переходная функция h (t) (см. § 14.6), т. е.
х2 (t) = h(t) = L~1 {Х2 (р)} = L-
(16.27)
Будем рассматривать такие цепи или
системы, для которых h (0) — 0, т. е.
dh/dt - L"1 {рХ2 (р)} = L"1 {К (р)} = к (t)
(16.28)
[см. (14.84)].
Таким образом, изображением про-
изводной передаточной функции цепи,
т. е. импульсной передаточной функции
цепи, является передаточная функция
К (р). Заменив в правой части (16.28) р
на усо, получим в соответствии с обрат-
ным преобразованием Фурье (16.10)
00
= (16.29)
2л J
— 00 *
где К (/со) = К (со) или с учетом
формулы Эйлера
00
к (t) — К (со) cos [cot 4- ф (со)] d<n 4-
2л J
— 00
00
4- К (со) sin [cot 4-ф (со)] dco.
2л J
— 00
У четырехполюсника с К (со) — К =
= const и линейной фазовой характе-
ристикой ф (со) = — со0, где 0 = const, при
напряжении на входе U г (/со) получается
на выходе напряжение U2 (fo) —
— KUi (/co) Зависимость выходного
напряжения от времени определим по
297
(16.10):
00
u2 (t) = ~ KUi №) е><'’9) da =
2л J
— 00
= Kui(t — Q).
Следовательно, напряжение и2 (г) по-
вторяет по форме напряжение на входе
Ui (г), но с запаздыванием на время 9,
которое зависит от скорости изменения
фазовой характеристики четырехполюс-
ника с ростом частоты:
9 = — dty(cn)/dcn = — ф(со)/со.
Поэтому четырехполюсник с по-
стоянной амплитудной и линейной фа-
зовой характеристиками не вносит ни
амплитудных, ни фазовых искажений.
Амплитудно-частотная характерис-
тика. К (со) — четная функция частоты, а
фазо-частотная характеристика ф (со) —
нечетная.
Докажем это в общем случае для
цепи или системы с сосредоточенными
параметрами, у которых К (р) пред-
ставляет собой частное от деления двух
многочленов. Полагая р — jw, убежда-
емся, что действительные части числи-
теля и знаменателя будут содержать
только четные, а мнимые — только
нечетные степени со. Поэтому функция
К (со), равная частному от деления
квадратных корней из суммы квадратов
действительных и мнимых частей числи-
теля и знаменателя, будет четной функ-
цией со, а функция ф (со), равная раз-
ности арктангенсов от отношений мни-
мой к действительной части числителя
и соответственно знаменателя, будет не-
четной функцией частоты со.
На основании сказанного заключаем,
что подынтегральная функция второго
интеграла — нечетная, а так как пределы
этого интеграла равны по абсолютному
значению и противоположны по знаку,
то этот интеграл равен нулю. Подынте-
гральная функция первого интеграла —
четная. Поэтому
00
k (г) = J К (со) cos [cor + ф (со)] с/со.
о
(16.30)
Но, во-первых, до момента t = 0 в
цепи не была запасена энергия и не
действовали источники. Во-вторых,
функция к (г) определяется как ориги-
нал — формулами обратного преобразо-
вания Лапласа или Фурье и в силу усло-
вий этих преобразований, как было
указано выше, равна нулю при t < 0.
Следовательно, заменив t на — t, из
(16.30) получим
00
О = — К (со) cos [\|/ (со) - сог] dco. (16.31)
я J
о
Обозначим
К (со) cos ф (со) = D (со);
К (со) sin ф (со) — М (со),
следовательно,
К (/со) - D (со) + jM (со),
где D (со) — действительная, а М (со) —
мнимая частотные характеристики сис-
темы. Заметим, что действительная час-
тотная характеристика D (со) — четная
функция со, а мнимая М (со) — нечетная.
Из последнего соотношения следует, что
передаточная функция К (/со) может быть
найдена, если задана какая-либо пара
частотных характеристик: амплитудная
и фазовая или действительная и мнимая.
Перепишем (16.30) и (16.31) так:
00
к (t) = — [Z> (со) cos cot — M (co) sin cor] dco;
л J
о
00
0 = — [Щсо) cos cor + M (co) sincor] dco.
л J
0
(16.32)
Складывая почленно последние ра-
венства, получаем
00
2 Г
к (г) = — \ D (со) cos cor dco.
л J
о
Наконец, интегрируя г и учитывая
298
условие h (0) = 0, находим, что
х2 (0 = h (t) = \h' (t) dt = \k (t) dt =
о о
2 f Г
— D(co)Jco coscotdt
7Г I I
00
2 f D(co) . 7 ...
— ----------^-smcotdco. (16.33)
тг co
о
Полученное соотношение дает воз-
можность по действительной частотной
характеристике системы D (со) опреде-
лить ее передаточную функцию h (t), т. е.
переходный процесс х2 (t) при воздей-
ствии на цепь или систему единичного
скачка напряжения (или тока).
Интеграл (16.33) вычисляют, огра-
ничив верхний предел частотой, при
которой подынтегральная функция
D(co)/co становится малой. Составлены
программы вычислений не только для
ЭВМ, но и для микрокалькуляторов.
Возможно применение графоаналитиче-
ского метода [12].
Расчет по действительной характе-
ристике рассматривался при действии
на входе цепи или системы единичного
возмущения. Если же на входе цепи
действует возмущение, изображение кд-
торого Л\(р), то аналогично (16.27)
х2 (t) = L-1 {Х2 (р)} = L-1 {К (р) X, (р)}
и производная
dx^dt^-^pK^Xtlp)},
так что вместо (16.29) получаем
00
dx2 /dt = Г усоК (усо) X t (;co) ej(Ot dm.
2n J
- 00
Введем обобщенную частотную ха-
рактеристику цепи
Ф (/со) = jmK (jm) Xr (jm) = D (co) + jM (co),
которая учитывает как саму цепь, так
и внешнее воздействие.
Так как внешнее воздействие %х (г)
известно, то известна и его частотная
характеристика Х{ (/со). Поэтому можно
найти обобщенные амплитудную и фа-
зовую характеристики цепи
Ф (со) = тК (со) Хг (со);
О (со) = ти/2 + ф (со) 4- фх (со)
и переходный процесс.
Итак, переходный процесс в линей-
ной электрической цепи однозначно
определяется ее частотными свойствами,
т. е. амплитудно-частотной и фазо-час-
тотной характеристиками. И, наоборот,
по переходной функции цепи можно рас-
считать ее частотные характеристики.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
17.1. Элементы и уравнения цепи
с переменными параметрами
В этой главе рассматриваются ли-
нейные цепи, у которых хотя бы один
из параметров резистивных, индуктив-
ных или емкостных элементов зависит
от времени. Параметры элементов r(t),
L(t), С (t) могут изменяться периоди-
чески, в частности по гармоническому
или по какому-либо другому закону
(экспоненциальному, линейному и т. д.).
Получить зависимость параметра от
времени можно различными путями.
Приведем некоторые примеры.
Периодическое скачкообразное изме-
нение сопротивления резистивного эле-
мента можно получить, например, при
помощи электронного ключа, включаю-
299
щего в цепь попеременно два резистора
с различными значениями сопротивле-
ния. Зависящим от времени может быть
сопротивление между контактами ру-
бильника, подключающего цепь к источ-
нику питания. У двух последовательно
включенных катушек будет зависеть от
времени суммарная индуктивность, если
положение одной из них относительно
другой изменяется в пространстве.
Барьерная емкость электронно-дыроч-
ного перехода, управляемая напряже-
нием смещения, представляет собой
емкостный элемент с переменным пара-
метром.
В цепи с переменными параметрами
напряжение и ток резистивного элемен-
та связаны соотношением и — г (t) i, пото-
косцепление и ток индуктивного эле-
мента — соотношением Т = L(t) i, напря-
жение и ток этого элемента — соотно-
шением
uL= dV/dt = L(t) di/dt + [dL(t)/dt] i,
(17.1)
заряд и напряжение емкостного элемен-
та — соотношением q = С (t) ис, а ток и
напряжение — соотношением
i = dq/dt = С (t) duc/dt 4- [dC (t)/dt] ис.
(17.2)
Поэтому режим линейной цепи с
переменными параметрами (параметры
зависят, от времени, но не от токов и
напряжений) описывается системой ли-
нейных дифференциальных уравнений с
переменными коэффициентами.
Общего аналитического метода ре-
шения системы дифференциальных урав-
нений с переменными коэффициентами
нет. Режим некоторых достаточно прос-
тых цепей может быть определен не-
посредственным интегрированием диф-
ференциальных уравнений. Исследование
установившегося режима в цепи с гармо-
ническими источниками питания и пе-
риодически изменяющимся параметром
возможно методом комплексных ампли-
туд или гармонического баланса. Для
численного расчета применяются те же
методы, что и при расчете переходных
процессов в линейных цепях с посто-
янными параметрами (гл. 14).
300
17.2. Интегрирование
дифференциальных уравнений цепи
В качестве примера расчета уста-
новившегося режима и переходного про-
цесса непосредственным интегрирова-
нием дифференциальных уравнений рас-
смотрим процессы в цепи на рис. 17.1, а
с источником постоянной ЭДС Е и
внутренним сопротивлением гВ1. Сопро-
тивление резистора изменяется периоди-
чески скачками.
С целью упрощения выкладок за-
меним ЭДС Е источником тока J =
= Е/Гъч (рис. 17.1,6) и изменение сопро-
тивления от значения Г! до значения г2 —
изменением общего сопротивления R =
= ггвт/(г 4- гвт) от значения Rx до значе-
ния К2, начиная с момента времени
t = 0 (рис. 17.2). Наиболее просто опре-
деляется напряжение конденсатора,
после чего можно найти токи ic =
= Cduc/dt; ir = uc/r.
В установившемся режиме, выбирая
начало отсчета времени t' = 0 при изме-
нении сопротивления от значения R2 до
значения R{, получаем напряжение uCi =
= U1A-Aqp^\ где U1=R1J и =
= — 1/KjC. В частности, при t' = 0 и
t' = Т/2 напряжение иС\ (0) = 4- А и
uCi (Т/2) = Uj 4- Ааь где щ — ер^т/2.
Выбирая начало отсчета времени
Г" = 0 при изменении сопротивления от
значения К} до значения К2, получаем
^с2 = С2 4- В&*"9 где U2 = R2J и р2 =
= — 1/К2С. В частности, при г" = 0 и
Г" = Т/2 напряжение иС2 (0) = U2 4- В и
иС2(Т/2) = U2 + Ва2, где а2 = &>2Т/2.
Согласно второму закону коммута-
ции должно быть
пС1 (0) = UC2 (Т/2) и ис2 (0) = uCi (Т/2)
или
UI 4~ А — U2 + Ва2 j U 2 А- В — U ± А- Аа^.
(17.3)
Из (17.3) определяются постоянные
интегрирования
А = -MJ(a2-l) . в = ДЩ^-1)
1 — ’ 1 — ^1^2
(17.4)
где \U = U2 - Uv
17.1
Рис.
Рис. 17.2
Во время переходного процесса в
интервале времени (рис. 17.2) 0 t Т/2
(п= 1)
ис — Ucy 4- «сев = С/2 4- B1eP2t.
При t = 0 начальное условие ис(0) =
= R^J = Ui и получаем Ui = U2-}-Bl,
т. е. Вг = — U2 = — АС/ и ис = U2 —
— АС/ ер^1.
В интервале времени Т/2 < t Т
(и = 1)
= C/i 4- Аг ер1‘.
При t = Т/2 из условия отсутствия
скачкообразного изменения напряжения
следует равенство С/2 — АС/а2 = С/1 4-
+ из которого определяется по-
АС/
стоянная —-------(1 — а2).
В интервале времени Т<Г<ЗТ/2
(и = 2)
ис = U2 4- В2с^.
При t = Т должно быть С/х 4- =
= С/2 + В2а2, откуда В2 = - 1) х
В интервале времени ЗТ/2 < 2Т
(п = 2)
ис = С/i 4- А2 ер'!.
При t = ЗТ/2 должно быть С/2 4-
4- В2а2 = Ur 4- Л2Я1, откуда А2 =---у- х
ai
X («2 - 1) [«2^1 + 1]-
В интервале времени 2T^t^5T/2
(п = 3)
U(j = С/2 4" В3 е^2\
При t = 2Тдолжно быть Uх 4- A2aj =
= С/2 4- В3а2, откуда
АС/ Г — a2aj
Вз = —4“(«1 — 1) ------7Т 4-я2Д1 4- 1 .
^2 L (а1 “ И J
В интервале времени 5T/2^t^3T
(м = 3)
ис = С/1 4- Л3еР1'.
При t = 5Т/2 должно быть С/2 4-
4- В3а2 = C/i 4- A3al, откуда
А3 = - ^~(а2 - 1) [ajaj + a2at + 1].
а1
Продолжив аналогичные вычисле-
ния, получим для любого n-го периода
в интервалах времени соответственно
(и — 1) 7Х t (п — Т и 7Х
t пТ
uc=U2+ BneP2t и ис = Щ + AnePitf
где
_ АС/^-1)
~ zi2h-2
ап2 lani 1
ai - 1
к к
а2а{
+ 1
В частности, при п -► оо, т. е. для
установившегося режима, получается
(17.4), как и должно быть.
301
Рис. 17.3
и(0) = U = Ле1/оп, т. е.
ц _ е~Г/т + (coscot-1)/сот
При линейном изменении сопротивления
дифференциальное уравнение можно решить
методом подстановки. Дифференциальное
уравнение заряда q конденсатора в цепи на
рис. 17.4, а с линейно нарастающим сопро-
тивлением резистора
(а + bt) dq/dt + q/C = U,
где dq/dt = i и q/C - ис, имеет решение
q = CU + А (а + bt)'tlbC.
Постоянная интегрирования А определя-
ется из начальных условий. При t = 0 заряд
q = 0, т. е. А = -CUax/bc.
На рис. 17.4,6 построена зависимость 1
заряда от времени при численных значениях
а = b = С = U = 1, т. е. при q = t/(\ 4- t). Для
сравнения на том же рисунке построена
кривая 2 изменения заряда при а = С = U = 1
и b — 0, т. е. при постоянном сопротивлении.
Конечно, в первом случае конденсатор за-
ряжается медленнее.
Аналогично можно найти решение
при периоде Т, состоящем из двух не-
равных интервалов.
Аналитическое решение дифферен-
циального уравнения rC-цепи можно
найти и при некоторых других законах
изменения сопротивления.
В качестве примера рассмотрим разрядку
конденсатора (рис. 17.3), заряженного до
напряжения 17, через резистор, сопротивле-
ние которого изменяется периодически по
закону г — R/(\ -|- 1 sin cot).
Определим закон изменения напряжения
ис = иг = м-
Решение дифференциального уравнения
цепи ис = ri, где i = — С duc/dt, т. е. и =
= —rCdu/dt, можно найти методом разделе-
ния переменных. Так как
du/u = — dt/гС = - -lsln(af) dt,
т
где т — RC, то т du/u = (— 1 — 1 sin cot) dt и
после интегрирования т In u = — t + cos cot /со +
+ const или
м е ~ t/т + cos соt/oor
При t = 0 согласно начальным условиям
302
17.3. Установившийся режим в цепи
с периодически изменяющейся
индуктивностью при гармоническом
напряжении источника питания
Рассмотрим режим в последователь-
ном контуре при гармоническом напря-
жении на его выводах, начальную фазу
которого выберем такой, что
и = Um sin (coot + я/2) =
Индуктивность контура изменяется
по закону
L(t) = Lo [1 + m cos (cot 4- a)] = Lo + AL,
(П.6)
где co — частота изменения индуктив-
ности, am — глубина модуляции.
Дифференциальное уравнение цепи
ri+тг ’J+
i dt — и
(17.7а)
или
dL(t) Т di if,
r+ i + L(t) — +—\idt = u,
dt J dt C j
(17.76)
где L(t) i — потокосцепление.
Периодическое изменение потоко-
сцепления L(t)i можно трактовать как
одновременное периодическое изменение
не только его индуктивности L(t), но и
сопротивления г + dL(t)/dt = г — m($L0 х
х sin (cor + а), где учтено, что dL(t)/dt =
= — mcoLo sin (cor + а).
Напомним, что при постоянной ин-
дуктивности в установившемся режиме
ток изменяется гармонически с частотой
со0 приложенного напряжения и резонанс
в контуре наблюдается при совпадении
частоты приложенного напряжения с
частотой свободных колебаний сосв =
= 1/|/LC при г = 0.
В случае периодического изменения
индуктивности с частотой со при гармо-
нически изменяющемся напряжении и
установившийся ток состоит из беско-
нечного числа гармонических колебаний
с так называемыми комбинационными
частотами со0 + /ссо. Такую цепь можно
рассматривать как генератор высших
гармоник, одна из которых может
совпасть с частотой свободных колеба-
ний, т. е. вызвать резонанс. Устано-
вившийся ток будем искать в виде
суммы членов бесконечного ряда
оо
Ikm sin [(со0 + /ссо) г + \|/к + л/2] =
— -J—0/Wof
-I—— е
2
(17.8)
где Ikm = Ikme№; 1кт = IkmQ-^k - сопря-
женные комплексы, а первое и второе
слагаемые (17.8) представляют собой
сопряженные комплексные функции вре-
мени. Поэтому в дальнейшем будем рас-
сматривать только первое слагаемое
правой части (17.8) и искать решение
(17.7а) или (17.76) по действительной
части (17.8), которая равна удвоенной
действительной части первого слагаемо-
го правой части (17.8).
Переписав (17.6) в виде
L(t) = Lo + у [е>(ш,+в) + е-Лш'+а)] J,
найдем
00
L(t) iy = Re Lo | Ikm +
k = - oo
Ikm e/^t°o+(^- l)®]t-a} I'
(17.9)
Во второй сумме правой части (17.9)
номер к слагаемого с на единицу
меньше, чем множитель к + 1 при со в
показателе степени, а в третьей сумме —
на единицу больше. А так как индекс
суммирования к во второй и третьей
суммах пробегает последовательно все
значения от — оо до +оо, то можно
(17.9) переписать так:
L(r) iy = Re Lo
m v
±km
*
+ ( (17Л0)
*
где m = me7®; m = me-7®.
Подставим в (17.7а) выражение для
тока iy в виде первой суммы из (17.8)
и выражение для L(r)iy из (17.10). После
дифференцирования и интегрирования
получим
•о + /ссо) Lq +
1
+ нХ -кт + 7(юо +
j (соо + /ссо) С _
303
*
, ч r f т r m T
+ км) Lol — 4- I? x
X Ql^o + k^t = Umo№0t)' (17.11)
При этом, как и выше для тока
iy, вместо правой части (17.8) записана
только действительная часть, т. е. удво-
енная действительная часть ее первого
слагаемого.
Система уравнений (17.11) должна
удовлетворяться при произвольных зна-
чениях г, а значит, для любого зна-
чения к при к= — оо, ..., —1, 0, 1, ...
..., оо, т.е. она распадается на бес-
конечное число рекуррентных уравнений
вида (записаны далее для действую-
щих значений)
т ,Т т ,т г
+ 7^о +
2 |_ соо + к(£>
*
1 т । m ,г т _
+ + М2с” -* * + ~2J ° к+1~
и,
соо 4- /ссо ’
(17.12)
где Uk / 0 только при к = 0.
Перепишем линейную систему алгеб-
раических уравнений (17.12) в развер-
нутом виде:
4- ----Г—-1 + тЛо/2 — 0;
j (соо 4- со)2 С J 2
ГП -г т Г-г г
+ jLo + “Т_5~ +
2 соо 4- 2со
*
1 1 г W .г г
+ 7(£o0 + 2£o)2cJ/2+T7Lo-/3-0;
В пяти выписанных уравнениях име-
ется семь неизвестных комплексов тока,
так что в них нет равенства коли-
чества уравнений и числа неизвестных.
Баланс, строго говоря, может быть,
если рассматривать бесконечное число
уравнений и неизвестных.
Отметим, что поскольку цепь линей-
ная, амплитуды гармоник тока пропор-
циональны амплитуде напряжения пи-
тания.
При решении практических задач
комплексными значениями высших гар-
моник начиная с некоторого к пре-
небрегают так, чтобы получить в остав-
шихся уравнениях баланс числа уравне-
ний и неизвестных, после чего они
могут быть решены однозначно.
В частном случае при со = исоо, где
п — целое число, вместо системы (17.12)
получается бесконечное число рекуррент-
ных уравнений вида
m -y т
у7^о/-з +
7’Ь0 +--------
соо — 2со
m
"у7^о/1+(к-1)« + 7^о +
1
*
I-2 + ^j^ol -i = 0;
7 (соо - 2со)2 С
ГП .г г Г.г
—7L0I-2 + 7^о +
г
--------Ь
со0 — со
*
m
I-l+^jLoIo=0;
г 1
соо >оС
1
j (соо - w)2 С
-1 + Ло 4-----------Ь
2 |_ соо
*
m ,r т U
+ -yjLoL 1 =
2 соо
/о +
у7^о/о + Ло +
г
COq 4" СО
(1 4- /си)соо + 7(1 + /си)2сОоС_ ~1+кп +
*
m ;т r _ Uk
+ -ylb0_1+(t+1)n - -ц~+кп)Ыо
Эти уравнения, так же как и уравне-
ния (17.12), могут быть переписаны в
развернутой форме, и замечания об их
решении были даны выше.
В итоге заключаем, что в рассмат-
риваемом частном случае, когда частоты
приложенного напряжения и изменения
параметра AL связаны между собой со-
отношением со = исоо, будут иметь место
принужденные колебания с комбина-
ционными частотами сок = соо (1 41 кп),
где к = 0, 1, 2, ..., оо.
304
Отметим, что с энергетической точки
зрения энергия, выделяемая в резистив-
ном элементе контура, покрывается не
только за счет энергии внешнего источ-
ника, но и за счет работы, производи-
мой при изменении параметра AL.
Аналогичным образом рассматри-
вается и более общий случай при
изменении индуктивности по периоди-
ческому закону:
L(t) = Lq + cos cot + ... + L^cosmcor + ...
Все вышеизложенное относилось к
простому последовательному колеба-
тельному контуру. Однако приведенная
методика применима и для цепи, в ко-
торой контур включен последовательно
с любым пассивным двухполюсником
с заданным входным сопротивлением
^ВХ (М)«
В этом случае окончательные урав-
нения будут иметь вид, аналогичный
уравнениям простого колебательного
контура, с той лишь разницей, что
к слагаемым (17.11), учитывающим паде-
ния напряжения на резистивном и
индуктивном элементах, должно быть
добавлено падение напряжения на вы-
водах двухполюсника.
в развернутом виде (далее — для трех его
строк, соответствующих к = — 1, /с = 0 и
к = + 1) может быть записан следующим
образом:
т т*
• •
m m*
• • , dlr •) ~ , •
2 0 ~k 2
m m*
• • —k+l’
r 1
где (1ъ— i — Lq + ~ I- \ 2z^ ’
k 1 u X - jcd (X-jco)2C
_ r r
ak - Lo + - + Vc ;
r 1
ak+1 = + + (TTJ^pc ’
(17.14)
17.4. Свободный процесс в цепи
с периодически изменяющейся
индуктивностью
Для последовательного контура с
гармонически изменяющейся индуктив-
ностью значения комплексных собствен-
ных частот X можно получить из урав-
нений (17.12) после деления на у, полагая
в них jcd0 = X и приравнивая нулю их
правые части:
Из (17.13) и (17.14) следует наличие
зависимости частот свободных колеба-
ний X, т. е. характера свободных коле-
баний в контуре с периодически изме-
няющейся индуктивностью, от аргу-
мента ос в соотношении (17.6).
Представляет также интерес прибли-
женный анализ процессов в последо-
вательном колебательном контуре (рис.
17.5), закон изменения индуктивности
которого дан на рис. 17.6. Пусть при
t = 0 и L= Lq + Li начинается разрядка
конденсатора. Допустим также, что доб-
I
2 L-'OLk- 1
+ 3°+
*
+ ₽.+ЛтРс1'>+ У'-«-'‘--0- <17|3>
Бесконечный определитель A (X) для
системы однородных уравнений (17.13)
Рис. 17.5
305
L(t\
Lq^Li
LO~L1
0
Рис. 17.6
ротность контура велика. В течение пер-
вой четверти периода разрядка конден-
сатора приводит к нарастанию тока
(рис. 17.6), который при прохождении
через максимум получает скачкообразное
приращение вследствие уменьшения ин-
дуктивности L. При прохождении тока
через нуль индуктивность скачком воз-
вращается к исходному значению, и да-
лее процесс повторяется. Каждый раз
при скачкообразном уменьшении индук-
тивности ток получает приращение.
Если это приращение больше, чем умень-
шение максимального значения тока за
половину периода разрядки конденса-
тора, то процесс в контуре становится
нарастающим. Поступление энергии в
колебательный контур происходит из
цепи, которая обусловливает такое изме-
нение (модуляцию) индуктивности. Из
рис. 17.6 ясно, что частота модуляции
параметра вдвое превышает собствен-
ную частоту контура.
Аналогично можно рассмотреть на-
растание колебательных процессов в
контуре и при скачкообразном измене-
нии емкости [10].
17.5. Численные методы расчета
переходных процессов
Как было показано в § 17.2, не-
посредственное интегрирование диффе-
306
ренциальных уравнений цепи с пере-
менными параметрами возможно только
при некоторых законах изменения пере-
менного параметра в достаточно простых
цепях. Поэтому для решения большин-
ства задач расчета переходных процес-
сов необходимо обратиться к численным
методам, в том числе и к тем, ко-
торые были рассмотрены в гл. 14.
Чтобы сравнить результаты расчета
переходного процесса разными мето-
дами, в качестве примера выберем цепь
на рис. 17.4, а, для которой возможно
и непосредственное интегрирование диф-
ференциального уравнения.
Пример 17.1. Построить зависимость
заряда q конденсатора от времени t для
цепи на рис. 17.4, а при 17 = 1 В = const,
г = 1 + 1г Ом и С = 1 Ф.
Решение. Явный метод Эйлера. В на-
чальный момент времени постоянная време-
ни цепи Tmi„ = гС = 1 с. Выберем шаг h =
= 0,25 с, что удовлетворяет условию h <
< 2zmin (см. § 14.21).
Дифференциальное уравнение цепи r(t)i +
+ ис = U или г (t) dq/dt + q/C = U и при
заданных параметрах (1 + It) dq/dt + q = 1.
Для момента времени tk- х = (к — 1)/1
[1 + (к - +qk-i = 1 (а)
и по (14.101)
4к = <lk-i + Mi-i- (6)
После подстановки из формулы (а)
в формулу (б) получаем рекуррентное со-
Таблица 17.1
г, с 0 1 2 3 4 5 6
к 0 4 8 12 16 20 24
2 0 0,500 0,667 0,750 0,800 0,832 0,857
3 0 0,571 0,727 0,800 0,842 0,864 0,889
Як, Кл 5 0 0,444 0,615 0,706 0,762 0,800 0,828
6 0 0,506 0,671 0,754 0,803 0,836 0,859
отношение
_ й+ [! + (<:-2)*]^
9‘- 1+(й-1)Л
Зависимость q(t) построена на рис. 17.7
(кривая 3) совместно с аналитически полу-
ченной (кривая 2), которая была уже показана
на рис. 17.4,6. Значения qk в моменты вре-
мени t = 1, 2, 3, 4, 5, 6 с приведены
еще в табл. 17.1.
На рис. 17.7 построена еще зависимость
q(t), полученная явным методом Эйлера при
h = 0,5 с (кривая 4). Видно, что с увеличе-
нием шага точность полученных результатов
падает.
Неявный метод Эйлера. Для момента
времени tk — kh вместо уравнения (а) запишем
уравнение
(1 + kh)qk + qk = 1 (в)
и по (14.103)
Як = <?и-1 + hqk. (г)
После подстановки qk из формулы (г)
в формулу (в) получаем
_ h 4- (1 + kh)qk_i
qk i+(k + i)h
Зависимость q(t) показана на рис. 17.7
(кривая 5). Значения qk в те же моменты
времени, что и для кривой 3, приведены
в табл. 17.1.
Метод трапеций. Согласно (14.105)
h . h .
Qk — Qk- 1 + ~^~Qk — 1 + (Д)
После подстановки i из (б) и qk из (г)
получим
2 1 + kh J 2 1 Л- kh
ь 1-^-1 . .
2 1 +(fc- 1)й +4‘ *’
Зависимость q(t) показана на рис. 17.7
(кривая 6). Значения qk в те же моменты
времени, что и для кривых 3 и 5, приведены
в табл. 17.1. Как и должно быть, методом
трапеций получен более точный результат,
чем методами Эйлера.
Пример 17.2. Определить методом тра-
пеций напряжение в rC-цепи, подключаемой
к источнику постоянной ЭДС Е — 2 В, при
г = 1 МОм и C(t) = Ci + (С2 - Ci)e"t/e, где
Ci = Cmin = 100 МкФ, С2 = Сmax ~ 200 МКФ.
0 = 200 с и h = 10 с.
Решение. Согласно (17.2)
i=[Ci +(С2-С1)е-;еЖ/^-(С2 , C1)e-V
и
и ri + ис = Е или
(100 + 100е" '/200) duc/dt +
+ (1 -0,5e-‘/2OO)uc = 2. (е)
По (14.105)
h . h .
иС,к = Uc,k-1 + у мС,/с— 1 + у ис,ь (ж)
307
где
^C,k-1 =
2 ~f2uC,k-\ .
lOQfi ’
2 —ftUc.k ,
100Л '
fi = 1 -0,5e-°’1<‘-1);/2 = 1 +
/3 = 1- O.Se-0’1*; /4 = 1 + le-01*.
После подстановки всех значений полу-
чаем рекуррентное соотношение
0.2//1 + 0,2//з + (1 - ОДЛ/Л) ис,к _,
и с L = --------------------------•
1+0,Ш/з
При С = Стах = const конденсатор заря-
жается, естественно, медленнее. Например,
при t = 200 с напряжение не 1,613 В, а
1,264 В.
Если в цепи скачком изменяется
индуктивность или емкость, то, как было
указано в гл. 14, следует пользоваться
обобщенными законами коммутации и
выбирать в качестве искомых величин
потокосцепление или заряд.
Результаты расчета для некоторых зна-
чений к приведены ниже
к ... 0 2 4 6 8 10 15 20 25 30
Z, с ... 0 40 80 120 160 200 300 400 500 600
Uc,k> В ... 0 0,396 0,769 1,103 1,386 1,613 1,960 2,082 2,097 2,077
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ЧАСТОТНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
18.1. Полосы пропускания
и задерживания
В электрических, радиотехнических и
телемеханических установках и устрой-
ствах связи часто ставится задача: из
многих сигналов, занимающих широкую
полосу частот, выделить один или
несколько сигналов с более узкой по-
лосой частот.
Сигналы (напряжения и токи) задан-
ной полосы выделяют при помощи
электрических фильтров. Так,
в радиоприемнике из сигналов многочис-
ленных радиостанций фильтры выде-
ляют сигнал одной принимаемой стан-
ции. В энергетических системах при
передаче сигналов телеуправления, теле-
измерения и автоконтроля по линиям
электропередачи высокого напряжения
фильтры отделяют эти сигналы от тока
промышленной частоты (50 Гц). В уста-
новках частотного телеуправления мно-
гими объектами, например на газо-
проводе, фильтры выделяют сигналы
управления, предназначенные каждому
объекту. При организации по воздуш-
ным линиям электропроводной связи
одновременно нескольких телефонных
разговоров (высокочастотная телефонная
связь) на приемной станции устанавли-
ваются фильтры для разделения теле-
фонных сигналов отдельных абонентов.
Один из простейших фильтров
состоит из катушки и конденсатора,
включенных последовательно или па-
раллельно, т. е. представляет собой по-
следовательный или параллельный кон-
тур (см. гл. 5). Однако в качестве
пассивных фильтров чаще применяются
четырехполюсники (см. гл. 8) из катушек
индуктивности и конденсаторов и кас-
кадные соединения четырехполюсников.
К электрическим фильтрам различ-
ной аппаратуры предъявляются неодина-
ковые и даже противоречивые требо-
вания. В одной части полосы частот,
которая называется 'полосой про-
пускания, сигналы не должны ослаб-
ляться, а в другой, называемой п о-
лосой задерживания (непропус-
кания), ослабление сигналов не должно
быть меньше определенного значения.
Дополнительно могут накладываться
определенные условия на вид фазовой
характеристики фильтра. К фильтрам
308
предъявляются и конструктивные требо-
вания в отношении их габаритов, массы,
используемых материалов. Эти требова-
ния moi ут оказать решающее влияние
на выбор одного из вариантов схем
с аналогичными частотными характе-
ристиками.
Филыр следует считать иде-
альным, если в полосе пропускания
отсутствует ослабление сигналов и фазо-
частотная характеристика линейная (нет
искажения формы сигналов), а вне по-
лосы пропускания сигналы на выходе
фильтра отсутствуют. Практически, ко-
нечно, создать идеальный фильтр нельзя,
но можно получить в полосе пропус-
кания достаточно малое (теоретически
равное нулю) ослабление сигналов, по
крайней мере на некоторых частотах,
если фильтр составлен из конденсаторов
и катушек с малыми потерями. Если
применяются конденсаторы и катушки с
достаточно большими добротностями
(соответственно больше 1000 и 50), то
при анализе работы таких фильтров по-
терями в конденсаторах и катушках
часто пренебрегают.
В зависимости от диапазона частот,
относящихся к полосе пропускания,
различают низкочастотные, вы-
сокочастотные, полосовые и
заграждающие (режекторные)
фильтры. Полоса пропускания низко-
частотного фильтра — от со! = 0 до гра-
ничной со2 = cOj, высокочастотного — от
граничной со2 = со, до со-* со, полосо-
вого — от со2 = со2[ /0 до со3 = С03г / 0
и заграждающего — от СО) = 0 до со2 =
= со2г и от со3 = со31 до со4 оо. На
рис. 18.1 для этих четырех типов фильт-
ров показаны частотные характеристики
коэффициента затухания
a = 201g-^ (18.1)
U вых
в предположении, что фильтры идеаль-
ные.
18.2. Расчет фильтров по заданным
характеристическим параметрам
У симметричного фильтра с согла-
сованной нагрузкой коэффициент затуха-
ния а — это постоянная ослабления А
(см. гл. 8). Характеристика А (со) не
получается идеальной, как на рис. 18.1,
даже если принять, что потери в ка-
тушках и конденсаторах отсутствуют.
Простейший симметричный фильтр
имеет Т- или П-образную схему (рис. 8.7)
и коэффициент _^11 = 1+Z1/2Z2 (для
Т-образной схемы его значение найдено
в примере 8.3; то же значение полу-
чается и для П-образной схемы). Извест-
но также [см. (8.34а)], что для всех
симметричных четырехполюсников
ch (А + JB) = Ли. Следовательно, для Т-
и П-образных фильтров при согласо-
0^=0
си
си
ш3
в)
0)^0 0)2
Рис. 18.1
г)
309
ванной нагрузке
ch(A+jB) = 1 + ZX/2Z2.
У низкочастотных Т- и П-образных
фильтров (рис. 18.2, а и б), которые на-
зываются фильтрами типа к9 сопротив-
ления Zi = JcoL и Z2 = 1//соС, т. е.
ch A cos В + j sh A sin В = 1 — co2LC/2
— действительная величина и
ch A cos В = 1 — co2LC/2; sh A sin В = 0.
Полосой пропускания считают диа-
пазон частот, в котором А = 0, а поло-
сой задерживания — диапазон частот, в
котором А / 0. Поэтому в полосе про-
пускания ch А = 1 и cos В = 1 — co2LC/2.
Косинус изменяется в пределах от -1-1
до — 1, т. е. нижняя граничная частота
полосы пропускания = 0 и ufiLC/l =
= 2 и верхняя граничная частота полосы
пропускания
со2 = сог = 2/J/LC. (18.2)
Так как в полосе задерживания
А / 0, то sh А / 0 и sin В = 0, а
cos В = -1-1 или cosB=—1. В первом
случае ch А = 1 — co2LC/2 и для ch А
получается невыполнимое условие:
ch А < 1. Во втором случае ch А =
= co2LC/2 - 1 = 2со2/со2 — 1 или
ch= со/сог. (18.3)
Характеристическое сопротивление
симметричного четырехполюсника [см.
(8.22)] Zc = J/ai2/421. Для Т-образной
схемы после подстановки Л12 и Л21 (см.
пример 8.3) получается Zc = ZT =
= |/1 + Z,/4Z2 и аналогично
для П-образной сопротивление Zc = Zn =
= }/z1Z2/]/l+Zi/4Z2. Заменив Zi и
Z2 их значениями для низкочастотного
фильтра, получим, что характеристичес-
кие сопротивления зависят от частоты:
ZT = к\/1 — со2/со?;|
Zn = к/]/1 - со2/й)2 J
(18.4)
где
к = ]/l/C. (18.5)
При со < сог, т. е. в полосе пропуска-
ния, ZT и Zn — активные сопротивления,
которые изменяются с ростом частоты
от значения к до 0 у Т-образного
и до оо у П-образного фильтров. При
со > сог, т. е. в полосе задерживания, ZT
и Zn — реактивные сопротивления, кото-
рые изменяются с ростом частоты от О
до оо у Т-образного и от оо до 0 у
П-образного фильтров. Следовательно,
добиться работы фильтра на согласо-
ванную нагрузку невозможно. Измене-
ние сигнала при несогласованной на-
грузке оценивают коэффициентом зату-
хания а (18.1).
При расчете индуктивности и ем-
кости фильтра задают граничную час-
тоту (18.2) и сопротивление нагрузки,
которое выбирают равным параметру к
(18.5).
Пример 18.1. Для низкочастотного П-об-
разного фильтра (рис. 18.2,6) заданы гра-
ничная частота /г = 20 кГц и параметр
к = 600 Ом. Считая, что фильтр работает
на согласованную нагрузку, построить зави-
симость А (со).
Решение. Расчет выполним по (18.3)
Рис. 18.3
310
Таблица 18.1
/ кГц 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
А, дБ 0 0 0 0 0 0 49,59 46,76 52,09 54,15 55,98
а, дБ 0 10,40 22,08 29,08 34,07 37,95 41,11 43,79 46,11 48,16 49,99
с переходом от А в неперах в (18.3) к А
в децибелах. Результаты расчета приведены
в табл. 18.1 и показаны на рис. 18.3
(кривая 1).
Пример 18.2. Для фильтра примера 18.1
при постоянном сопротивлении нагрузки гн —
= к (рис. .18.4) рассчитать частотную ха-
рактеристику коэффициента затухания а (со).
Решение. Напряжения Ur и U2, как
следует из рис. 18.4, связаны соотношением
Ur = (1 - ^2LC/2 + JcoL/rH) U2.
После подстановки численных значений
получим
а = 20 lg /(1 - 62/2)2 + Ь\
где Ъ = 0,2л/ и / — в килогерцах.
Результаты расчета приведены в
табл. 18.1 и показаны на рис. 18.3 (кривая 2).
Сравнение кривых 1 и 2 на рис. 18.3
показывает, что в реальных условиях
работы фильтра при постоянном сопро-
тивлении нагрузки (кривая 2) наблю-
дается подавление сигналов и в полосе
пропускания, а их подавление в полосе
задерживания меньше, чем было бы при
согласованной нагрузке (кривая 1).
Если при некоторой частоте в полосе
задерживания задается требуемая посто-
янная ослабления А3 или необходимый
коэффициент затухания а3, которые
больше, чем у одного Т- или П-образ-
ного фильтра — звена (рис. 18.2), то при-
меняется каскадное соединение звеньев.
Аналогично анализируется работа и
рассчитываются элементы высокочас-
тотных, полосовых и заграждающих
фильтров типа к. Высокочастотный Т-
или П-образный фильтр получается при
замене продольных индуктивных эле-
Рис. 18.4
ментов низкочастотного фильтра ем-
костными и поперечных емкостных —
индуктивными, у полосового фильтра
продольные элементы — последователь-
ные LC-контуры и поперечные — парал-
лельные LC-контуры, а у заграждаю-
щего фильтра наоборот.
Для увеличения постоянной ослаб-
ления каскадное соединение фильтров
типа к можно заменить более сложны-
ми Т- или П-образными схемами —
фильтрами типа т [12] или мостовыми
[6].
Так как добиться согласованной
нагрузки фильтра в требуемой полосе
пропускания нельзя, то на практике
элементы фильтра рассчитывают по за-
данным рабочим параметрам или пере-
даточным функциям при известном
постоянном сопротивлении нагрузки.
18.3. Расчет фильтров
по заданным рабочим параметрам
Рассмотрим часто применяемый на
практике синтез полиномиальных
фильтров с передаточной функцией
вида
IX / \ _ ________Ьр___________
+V,/-1 + ... + ь1Р + ь0
по заданной частотной характеристике
рабочей постоянной ослабления Ар.
Для таких фильтров в полосе про-
пускания задается максимально допус-
тимое значение Ар, а в полосе непро-
пускания, начиная с некоторой часто-
ты, — минимально допустимое значение.
Расчет элементов фильтра выполня-
ется при нормированных параметрах
для так называемого низкочастот-
ного (НЧ) прототипа с последу-
ющим переходом к необходимым пара-
метрам и требуемому типу фильтра:
высокочастотному, полосовому, заграж-
дающему. Наиболее простое решение
задачи синтеза получается, если сопро-
311
Лр
лз
4Ар -------------
Рис. 18.5
тивление нагрузки и внутреннее сопро-
тивление источника считать, как и бы-
вает часто в реальных цепях передачи
сигналов, одинаковыми резистивными
с нормализацией к значению г', = 1 Ом.
У полосы пропускания граничное зна-
чение частоты выбирается равным 1,
т. е. вводится относительная частота
= со/со,, 1де со, — заданная граничная
частота, так что со*, = 1. Для НЧ-про-
тотипа можно поэтому считать задан-
ной характеристику, представленную на
рис. 18.5. На этом рисунке ДАр — мак-
симально допустимое ослабление в по-
лосе пропускания, со+! — граничная часто-
та полосы эффективного непропускания
или полосы задерживания, начиная с
которой ослабление не должно быть
меньше требуемого значения А,. В поло-
се частот от cjo*i до значение Ар
не задается и может быть любым.
Для аналитического решения задачи
реализации фильтра, отвечающего по-
ставленным требованиям, необходимо
выбрать функцию, которая с достаточ-
ной точностью аппроксимирует зависи-
мость, показанную на рис. 18.5. Эта
характеристика часто аппроксимируется
полиномами Баттерворта Fn (х) = х2п
или Чебышева Тп (х) = cos (и arc cos х)
при | х | < 1 и Тп (х) = ch (п Ar ch х) при
| х | > 1. В обоих случаях получаются
полиномиальные фильтры, имеющие
цепную (лестничную) схему (продольные
индуктивные и поперечные емкостные
элементы у НЧ-прототипа).
У фильтров Баттерворта рабочая
постоянная ослабления монотонно рас-
тет с увеличением частоты:
Ар = 101g [1 + e2F„ (и.)] =
= lOlgfl + £2(0.2"), (18.6)
где п — порядок фильтра (суммарное
число индуктивных и емкостных эле-
ментов). Коэффициент 82 определяет не-
равномерность характеристики Ap(cdJ в
полосе пропускания и может быть най-
ден из (18.6) при (D* = со*, = 1 и Ар =
= ААр:
£2 = Ю01ААР - 1,
где ААр — заданная неравномерность в
децибелах.
При обычно выбираемом значении
8=1 у фильтра любого порядка на
граничной частоте (со* = 1) постоянная
ослабления Ар = 10 1g 2 = 3 дБ, т. е. не-
равномерность затухания сигналов у
фильтров любого порядка в полосе
пропускания ААр = 3 дБ (рис. 18.6).
Чем выше единственный параметр
филыра — порядок и, тем круче нараста-
ет Ар вне полосы пропускания и мень-
ше значения Ар в полосе пропускания
(лучшее приближение к характеристике
идеального фильтра, но фильтр состоит
из большего числа элементов).
При помощи фильтров Чебышева
можно получить более резкое нараста-
ние Ар в полосе задерживания, т. е.
лучшие фильтрующие свойства. У этих
фильтров рабочая постоянная ослабле-
ния
Ар = 101g [1 + 82T2(cdJ], (18.7)
где полином Чебышева можно запи-
сать и в форме
Т„ (<0.) = у [(CD, + I/O)2. - 1)" +
+ (о. - |/гоГ- 1)"], (18.8)
так что 7\ = о\, Т2 = 2 со 2 — 1 и при
312
полосы задерживания — при значениях
о)3 и А, и равных резистивных сопро-
тивлениях нагрузки и генератора гн =
= rB1 = R.
Прежде всего определим порядок
фильтра Баттерворта из (18.6). При
частоте со5
А5 = 101g (1 + со;") или Ю°’1А’— 1 = со;",
откуда
2nlg<o,3 = 1g (10°1Л’ - 1),
любом порядке п^З полином Тп+1 =
= 2<о,Т„ - T„_t.
При со„ = 1 и любом п полином
Тп (со*) = 1, г. е. на граничной частоте
у фильтров Баттерворта и Чебышева
одинаковые значения Ар (при равных 8).
В полосе пропускания характеристи-
ка Ар(со*) фильтров Чебышева имеет
колебательный характер с наименьшими
значениями Ар = 0 и наибольшими Ар =
= ДАр, причем число наибольших и
наименьших значений (не считая значе-
ния на границе полосы пропускания)
равно порядку п. На рис. 18.7 показа-
на характеристика при 8=1 и ААр =
= 3 дБ. Вне полосы пропускания ха-
рактеристика Ар (со*), как и у фильтра
Баттерворта, монотонно нарастает.
Как указывалось, фильтры Чебыше-
ва обеспечивают по сравнению с фильт-
рами Баттерворта более быстрый рост
рабочей постоянной ослабления вне по-
лосы пропускания, но в полосе про-
пускания нелинейность фазо-частотной
характеристики у них больше. У фильтра
Баттерворта рабочая постоянная ослаб-
ления приближается к значению ААр
только вблизи граничной частоты и
нелинейность фазо-частотной характе-
ристики меньше. Поэтому в полосе
пропускания фильтры Баттерворта соз-
дают меньшие амплитудные и фазовые
искажения сигналов (при тех же значе-
ниях п и е), чем фильтры Чебышева.
18.4. Реализация низкочастотных
фильтров
Рассмотрим реализацию фильтров
при заданных для полосы пропуска-
ния значениях сог и ААр = 3 дБ, а для
т. е.
п lg(100IA) - l)/21g®.,. (18.9)
Так как п — целое число, а правая часть
(18.9) — любое положительное число, то
вместо знака равенства поставлен знак
Выбрать п меньше правой части
нельзя, поскольку не будет обеспечено
требуемое значение А}.
Аналогично для фильтра Чебышева
из (18.7) получается
п > W100^3 ~ 1 +
lg(C0.3 + ]/с0^ - 1)
(18.10)
Фильтр НЧ может быть составлен
по одной из двух цепных схем на
рис. 18.8 с нормированными значениями
L и С' индуктивностей и емкостей.
Для определения параметров фильт-
ра необходимо составить передаточную
или входную функцию, которая будет
содержать искомые значения всех L и
С.
Значения L и С' при заданном ААр
зависят только от порядка фильтра п.
Поэтому составлены табл. 18.2 и 18.3
значений нормированных параметров
НЧ-прототипа, из которых можно сра-
зу выписать эти значения после того,
как найден порядок фильтра.
Для фильтров Чебышева в табл. 18.3
указаны только нечетные значения по-
рядка и, так как при четных п в начале
координат (со* = 0) значение полинома
не равно 0, а рабочая постоянная ос-
лабления при г„ = rBT = R должна быть
равна 0. Более подробные таблицы да-
ны в [8].
Чтобы найти истинные значения
параметров, необходимо вычислить де-
313
нормирующий множитель
m = r„/r'„ = R/r'„, (18.11)
который численно равен R при r'H = 1.
Параметры:
corL=mL'; 1/согС = т/С'. (18.12)
Пример 18.3. Задано: fr — 100 кГц, ААр =
= 3 дБ, /3 — 120 кГц, А3 — 20 дБ, гвт — гн —
= 600 Ом. Реализовать фильтр Чебышева
и при частоте /3 сравнить полученное зна-
чение Ар с А3.
Решение. Частота соФЗ — со3/сог —f3/fr —
= 1,2. По (18.10) находим п 4,81, т. е.
нужно принять п = 5. Такое же значение п
получается и из (18.8).
Выберем схему фильтра по рис. 18.8,6
с гн — 1, У которой меньше катушек индук-
тивности. Из табл. 18.3 выписываем норми-
рованные значения параметров: Ci = С'5 —
= 3,481; 14 = 14 = 0,762; С'3 = 4,538. По форму-
лам денормирования Q = С5 = Ci /2 л/г m =
— 9,23 нФ; L2 — = 0,728 мГн;
С3 = 12,04 нФ. Рабочая постоянная ослабле-
ния по (18.7) Ар = 10 [lg 1 + Т$ (соФЗ)], где
Т5 — 16со*3 — 2Осо^3 + 5соФЗ = 11,25 и Ар =
= 21,06 дБ, что, как и должно быть, больше
А3, так как п > 4,81.
18.5. Реализация высокочастотных
и полосовых фильтров
Для реализации высокочастотного
фильтра (ВЧ) при заданных согв и ДАР,
созв и rBT = rH = R сначала определяют-
ся параметры НЧ-прототипа. При нор-
мированных значениях частот фильтра
ВЧ софГ в = 1 и соФ35 в = со3,в/сог,в норми-
рованные частоты НЧ-прототипа со,г =
= 1/со,г в = 1 и со,3 = 1/со,з в. Для перехо-
да к фильтру ВЧ индуктивные элемен-
Таблица 18.2. Фильтры Баттерворта при ДАр = 3 дБ
Схема на рис. 18.8, а 1Л С\ С'2 С 2 С'з С'з С'4 Z-4 С'5 С'5 С'б С'б L7 С'7
Схема на ] рис. 18.8, б
п 1 2 3 4 5 6 2,000 1,414 1,000 0,765 0,618 0,518 1,414 2,000 1,848 1,618 1,414 1,000 1,848 2,000 1,932 0,765 1,618 1,932 0,618 1,414 0,518
7 0,445 1,247 1,802 2,000 1,802 1,247 0,445
Таблица 18.3. Фильтры Чебышева при ДАр = 3 дБ
Схема на рис. 18.8, а Схема на рис. 18.8,6 С'| С'1 С'2 С'2 С'з С'з С'4 Г 4 С'5 С'5 С'б С'б с? С'7
1 3 п 5 7 1,995 3,349 3,481 3,519 0,712 0,762 0,772 3,349 4,538 4,639 0,762 0,804 3,481 4,639 0,772 3,519
314
ты в схеме полученного НЧ-прототипа
заменяются емкостными и наоборот.
Нормированные значения параметров
фильтра ВЧ рассчитываются по форму-
лам
Гв = 1/С'; С'в = 1/27, (18.13)
после чего проводится денормирование.
Пример 18.4. Задано: /г в = 100 кГц;
ДАр = 3 дБ; /з,в = 75 кГц; А3 = 10 дБ;
гвт = гп = 600 Ом. Реализовать высокочас-
тотный фильтр Баттерворта и построить
частотную характеристику Ар(со*в).
Решение. Частота со*зв = 75/100 и у
НЧ-прототипа со*3 = 1/со*зв = 4/3. По (18.9)
п 3,82, т. е. нужно принять п = 4. Число
катушек и конденсаторов одинаково, т. е.
можно выбрать любую из схем рис. 18.8.
Выберем прототип по рис. 18.8, б и найдем
по табл. 18.2 нормированные значения па-
раметров С\ =0,765; Lf2 = 1,848; С'3 = 1,848;
Ь'4 — 0,765. Нормированные значения пара-
метров фильтра ВЧ: = 1/CJ = 1,307; Св2 =
= 1/L'2 = 0,541; Ц3 = 0,541; С'4 = 1,307. По
формулам денормирования LB1 = 1,25 мГн;
Св2 = 1,44 нФ; Lb3 = 0,52 мГн; Св4 = 3,47 нФ.
Схема фильтра ВЧ показана на рис. 18.9, а.
По (18.6) Ар = 101g (1 + coj) для НЧ-прото-
типа. Чтобы построить график Ар (со*в),
надо заменить в полученной по (18.6) зави-
симости Ар (со*) частоту со* частотой со*в =
= 1/со*. Зависимость Ар(со*в) построена на
рис. 18.9,6.
У полосового фильтра с «симмет-
ричной характеристикой» задаются две
граничные частоты согЬ сог2 и две часто-
ты соз1 и соз2, начиная с которых ослаб-
ление не может быть меньше требуемо-
го значения А3 (рис. 18.10). Для НЧ-про-
тотипа с со*г = 1 по заданным частотам
определяется нормированная частота
С0*3 = (®з2 ~ ®31)/(®r2 “ ©и), после чего,
как и ранее, реализуется НЧ-прототип.
При переходе к схеме полосового
фильтра индуктивные элементы заме-
няются последовательным LC-конту-
ром, а емкостные — параллельным. При
денормировании индуктивность после-
довательного контура определяется из
соотношения (сОр2 — C0ri)L = mE, а емкость
С = 1/copL, где соо = ]/®ri®r2, емкость
параллельного контура — из соотноше-
ния (сОг2 — C0ri)C = С/т, а индуктивность
L= 1/со§С.
Частотную характеристику Ар (со) по-
лосового фильтра можно построить по
характеристике НЧ-прототипа, заменяя
каждое значение частоты со двумя зна-
чениями со' = ]/(со/2)2 + сор — со/2 и со" =
= |/(со/2)2 -I- сор + со/2, причем |/со'со" =
= соо.
Аналогичны приемы построения за-
граждающего фильтра, который практи-
чески применяется реже.
Из-за потерь в катушках и конден-
саторах реальная характеристика Ар(со)
отличается от характеристики фильтра
из чисто реактивных элементов. Если
315
добротность катушек достаточно вели-
ка (> 50), порядок фильтра не слиш-
ком большой (п < 10) и добротность
конденсаторов много больше, чем у ка-
тушек, что для реальных фильтров
всегда выполняется, то потерями можно
пренебречь.
При источнике питания, который
можно считать идеальным источником
ЭДС или тока, для расчета вместо ра-
бочей постоянной ослабления выбирают
одну из передаточных функций (по на-
пряжению, по току и т. д.). Синтез та-
ких фильтров рассмотрен в гл. 19.
18.6. Активные гС-фильтры
Активным элементом гС-фильтров
обычно служит операционный усилитель
(ОУ), охваченный отрицательной обрат-
ной связью (см. § 8.11).
На рис. 18.11 приведена схема од-
ного из простейших активных гС-фильт-
ров низких частот первого порядка.
Считая, что у ОУ бесконечно большое
входное сопротивление и равное нулю
выходное сопротивление, составим пере-
даточную функцию по напряжению
К (/со) = где и = и О).
Для ОУ по определению
СВЬ1Х = /свСС+ - С_), (18.14)
где кв — внутренний коэффициент усиле-
ния ОУ (т. е. без учета обратной связи
через сопротивление г0 с).
Так как входной ток ОУ равен 0,
то ток в сопротивлениях и го с одина-
ков и из уравнения по внешнему кон-
туру го с/ + rj - Uem = 0 с учетом
обозначения U _. = г{1 получаем U_ =
= pt/вых, где р = г1/(г1 + го,с). Для вход-
ной (интегрирующей) rC-цепи гЦ +
-I- (1//оэС) I! — Свх = 0 и с учетом равен-
ства U+ получаем U+ =
= Свх/(1 + /согС). После подстановки
U + и U_ в (18.14) находим, что
Гвь,х = 7-Т-^Г ~ Р^’Ь.Х
1 + ](£ГС
и
к (/со) = Ан/< ‘ , (18.15)
1 + jarC 1 + /сот
где т = гС — постоянная времени инте-
грирующей цепи, и амплитудно-частот-
ная характеристика, если считать гра-
ничной частотой со, = 1/гС,
К (со.) = К0Д/1 + (оэ/со, )2 = Ко//1 + йН,
где со* = со/со, — относительная частота.
Обратная величина в логарифмиче-
ском масштабе определяет коэффициент
затухания фильтра
а= - 201g К (со.) = 101g^~r =
А (СО*)
= Wlg-J^l+со2.), (18.16)
^0
т. е. это фильтр Баттерворта первог о
порядка.
Фильтр второго порядка содержит
два резистора г и два конденсатора С.
Фильтры более высокого порядка полу-
чают каскадным соединением фильтров
первого и второго порядков. Высоко-
частотный фильтр с той же граничной
частотой, что и у низкочастотного, по-
лучается, если поменять местами вклю-
чения резисторов г и конденсаторов С.
Для создания простых полосового или
заграждающего фильтров соединяют со-
ответственно последовательно или па-
раллельно фильтры НЧ и ВЧ.
При (7ВЬ1Х = 1/вх передаточная функ-
ция К (со*) =1 и а = 0, при а < 0 полу-
Рис. 18.11
Рис. 18.12
316
чается К(о\)>1, т. е. усиление сигна-
лов, а при а > 0 — ослабление.
Пример 18.5. Построить зависимости
a (со*) для /С-фильтров НЧ первого и вто-
рого порядков с ОУ, у которых Квх = ос,
Квых — О и А'в = 104, при т = 0,002 с (со, =
= 500 рад/с), р = 0,1. Схема фильтра второ-
го порядка приведена на рис. 18.12.
Решение. Передаточная функция при
нулевой частоте по (18.15)
Ко = Ав/( 1 + р/св) - 104/( 1 4- 0,1 • 104) % 10.0
и по (18.16)
а = 10 1g * + <0*- = -20 + 10 lg (1 + w2,).
100 6
Зависимость я(о\) показана на рис. 18.13
(кривая /).
Для схемы второю порядка (рис. 18.12)
расчетом, аналог ичным приведенному для
фильтра первого порядка, получается
к О) =----------------------
1 - со2т2 4- j (3 - К о) (ВТ
и
]/(1 - со2)2 + (3 - ко)2 О)2
так что по (18.16)
а = 10 1g - =
6 100
= -20+ 10lg(l +47(о2 + <ot).
Зависимость п((вД показана на рис. 18.13
(кривая 2). У фильтра второго порядка в по-
лосе пропускания (при со* от 0 до 1), усиле-
ние сигнала меньше, чем у фильтра первого
порядка, а в полосе задерживания больше
ослабление сигнала, чем у фильтра первого
порядка.
На рис. 18.14 показана еще одна
схема низкочастотного rC-фильтра, у
которого конденсатор включен в цепь
обратной связи. Считая ОУ идеальным,
получим при обозначениях Ко = го с/г
и т = го сС такое же значение затуха-
ния, как и для фильтра на рис. 8.11.
Аналогично составляются и схемы
высокочастотных, полосовых и заграж-
дающих фильтров.
Пример 18.6. Найти полосу пропускания
фильтра по рис. 18.15, считая, что ОУ
идеальный и граничной со, выбрана частота,
при которой затухание равно 3 дБ.
Решение. Для схемы рис. 18.15 U + = 0
и СВЬ1Х = kRU_ ,
С- = Свх 4-(г —//(вС)/;
Свых = 4- го с/.
Исключив из этих соотношений ток I
и напряжение 17 _ и считая kt
KL (со) = Косвт/|/1 4- (сот)2,
где Ко = го с/г, т = гС. Затухание а = 3 дБ
при KLj (со,)/К0 = 1/|/2, т. е. со, = 1/т.
Так как а = 101g 101g -’г[1 +
K-t: (СО) К2
4- 1/(сот)2], то этот фильтр ВЧ с полосой
пропускания от оо, до бесконечности.
ос, получим
317
ГЛАВА ДЕВЯТИАДЦАТАЯ
СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
19.1. Общая характеристика задачи
синтеза
В предыдущих главах рассматрива-
лись методы анализа линейных электри-
ческих цепей, а именно при заданных
структуре цепи и ее параметрах опре-
делялись различные свойства и процессы
в цепи.
Однако часто приходится решать и
обратную задачу для линейной пассив-
ной цепи: так подобрать структуру и
параметры, чтобы при заданном законе
изменения во времени входной величи-
ны xBX (t) получить заданный закон изме-
нения во времени выходной величины
^вых(О*
Переходя к лапласовым изображе-
ниям Хт (р) = L {хвх (г)} и Хвых(р) =
= L {хВЬ1Х (г)}, получим, что задана пере-
даточная функция цепи К (р) =
= ^вых (р)/^вх (р)- Поэтому задачу син-
теза цепи поставим так: по заданной
передаточной функции цепи К (р) или
(переходя к преобразованиям Фурье) по
заданной частотной характеристике цепи
найти структуру (схему) цепи и
ее параметры.
При синтезе пассивных двухполюс-
ников в качестве выходной величины
возьмем напряжение на выводах двух-
полюсника U i (/со), а в качестве выход-
ной — ток на входе Ц (усо). При этом
К (/со) = Kz (/со) = U. (jco) = Z (jco).
Таким образом, для двухполюсника
в качестве передаточной функции мож-
но выбрать входное сопротивление
Z (/со) или обратную величину — вход-
ную проводимость Y (/со). Они могут
быть заданы аналитически или графи-
чески (в виде частотных характеристик).
На рис. 19.1, а и б приведены две
различные дифференцирующие цепи.
Они имеют одинаковые передаточные
функции
r _ J, _ ^2 (р) _ тр
К(Р) Kl/(P) Ui(p) тр+Г
где для цепи рис. 19.1, а т = L/r, а для
цепи рис. 19.1,6 т = гС.
Этот пример показывает, что одну
и ту же передаточную функцию или
частотную характеристику могут иметь
различные цепи, т. е. задача синтеза це-
пи по заданным К (р) или К (/со) имеет
неоднозначное решение. В некоторых
случаях она вообще может не иметь
решения, если для цепей, состоящих из
резисторов, катушек и конденсаторов,
параметры г, L или С получаются от-
рицательными. Поэтому решение задачи
синтеза распадается обычно на два
этапа.
На первом этапе следует установить,
реализуема ли физически цепь, задан-
ная передаточной или входной функци-
ей при помощи пассивных линейных
элементов с параметрами г, L и С.
Если же для цепи заданы частотные
характеристики JC(/co), Z(/co) или Y (/со),
то их следует с достаточной точностью
аппроксимировать функциями, которые
заведомо допускают физическую реали-
зацию цепи.
Для решения задачи, которая ста-
вится на первом этапе, следует рассмот-
реть свойства входных и передаточных
функций и их частотные характеристики.
На втором этапе следует реализо-
вать требуемую функцию цепи мето-
дами, разработанными в теории синте-
за цепей, т. е. определить ее структуру
и параметры, причем часто стремятся
к уменьшению числа элементов синте-
зируемой цепи и выбирают метод син-
теза, учитывающий неоднозначность ре-
шения в смысле структуры синтезируе-
мой цепи.
Важно отметить, что функции цепи
К (р), Z (р) и Y (р) являются функциями
318
комплексного переменного или комп-
лексной частоты р = ст + усо. Как извест-
но из теории функций комплексного
переменного, функции цепи однозначно
определяются распределением их нулей
и полюсов.
И
F(t) = у
19.2. Энергетические функции
Рассмотрим электрическую цепь,
схема замещения которой содержит ре-
зистивные, индуктивные и емкостные
элементы и источники ЭДС (источники
тока будем считать преобразованными
в источники ЭДС). Выберем систему
независимых контуров так, чтобы ис-
точники ЭДС находились в ветвях свя-
зи. Схему с источниками ЭДС, которые
включены и в ветви дерева, можно
привести к указанному виду переносом
ЭДС (возможность переноса была по-
казана в § 1.8).
Запишем в матричной форме урав-
нения для п главных контуров
ri* + L || dik/dt || + || 1/C || q* = е7, (19.1)
где ik — контурный ток, равный току
в ветви связи, qk = $ikdt; ?j — ЭДС в
ветви связи.
Чтобы составить баланс мощностей,
умножим (19.1) слева на и просумми-
руем по всем п контурам:
j=i
где правая часть — мгновенная мощ-
ность всех источников ЭДС.
Обозначив
получим
2F (г) + dT(t)/dt + dV(t)/dt = £ Pj, (19.2)
j= i
где F(r), T(r), V(t) называются энер-
гетическими функциями.
В цепи синусоидального тока ik —
= Ikm sin (cor + ф* + 90°) = (!^< +
*
+ Ье (начальная фаза тока, как и
при любых расчетах цепей, выбрана
произвольно), ij = Ijm sin (cor + \|/j + 90°) =
1/2
= и F(t) =
= [(^ + + W2" +
j = 1 к = 1
Яс *
+ 1Ле->2“')].
Среднее значение F (г) за период F =
п п
= (вторая сумма — гар-
j = 1 к = 1
моническая двойной частоты, и ее сред-
нее значение равно нулю). Удвоенное
значение 2F — активная мощность, т. е.
F>0.
Аналогично средние значения Т(г) и
п п
НО: Т= - среднее зна-
j = 1 к = 1
чение энергии, накапливаемой в маг-
нитном поле, т. е. 0, а >2Т— макси-
п п
V V i 1
мальное значение; V— 2 > —т х
Zj Zj 2 со2
j = 1 к = 1
п п
j = 1 к = 1
х ——Zj/fc — среднее значение энергии,
накапливаемой в электрическом поле,
319
т. е. К^О, а 2И—максимальное зна-
чение.
Функции Fo = IJrl* = 2F > 0; То =
= IJLI* = 2Т^ 0; Уо = IJ II 1/C II Ц =
= 2со2И > 0 называются обобщенными
энергетическими, хотя Уо не имеет раз-
мерности энергии или мощности.
Составим еще баланс мощностей
в комплексной форме. Уравнения для
главных контуров:
rh+jcoLb + ^-H 1/С || Ь =ЕУ.
*
Умножив слева на IJ, получим
Fo +jm0T0 + Vo/jm =
= 2F +>(2T-2K) =
= P + Jco(Tmax - Vmax) = P + jQ=S.
В частности, для двухполюсника S' =
= Ш и входное сопротивление
Z = Z (/со) = U/1 = и*Ц12 =
= jr(Fo +j(t>T0 + К>/»-
Для любого реактивного двухпо-
люсника
Z=jx = ^2-(jmT0 -jV0/a,),
т. е. х=~(аТ0- Го/со)
И
dx/d<o = ~(Т0+ И0/ю2) > 0 (19.3)
— теорема о реактивном со-
противлении.
В операторной форме (заменив усо
на р) входное сопротивление
Z(p)=~(F0 + pT0 + V0/p), (19.4)
*
где Fo — Г (р) rl (р) и аналогично записы-
ваемые две другие функции теряют
физический смысл, но применяются при
решении задач синтеза.
При действительном значении р = о
сопротивление
Z (ст) = р-(Л> + стТ0 + К>/ст),
т. е. действительное. Действительная
часть сопротивления в операторной
форме
ReZ(p) = p-(F0 + То Rep + K0/Rep).
Следовательно, при Re р = су 0 и
Re Z (р) 0. Функции с такими двумя
свойствами называются положительны-
ми действительными (вещественными)
функциями (см. также § 19.3). Те же
свойства и у проводимости двухпо-
люсника Y (р) = 1/Z (р).
19.3. Входные функции.
Положительные действительные
функции
Как известно из предыдущего (§ 4.8,
15.4 и др.), входные операторные со-
противления Z (р) и проводимости У(р)
двухполюсников представляются рацио-
нальными дробями, т. е. отношением
двух многочленов:
71 ' G(P>
(Р) Я(р)
= Д-Р" + Дп-iP""1 + • + До ,/у( }
bmpm + bm-lPm-1 + ... + h0 1 [р’
(19.5)
и обладают четырьмя важными свой-
ствами.
1. При действительных значениях р
(р = s) функции Z (р) и У(р) — действи-
тельные, так как коэффициенты полино-
мов G (р) и Н (р), т. е. ак и Ьк, — дей-
ствительные. Коэффициенты ак и Ьк по-
лучаются суммированием, умножением
или делением действительных величин —
параметров ветвей г, L, М и С.
2. Синтез будем проводить для пас-
сивных двухполюсников, у которых все
нули и полюсы входных функций Z (р)
и У(р) расположены в левой полуплос-
кости комплексного переменного р (пе-
реходный процесс затухает) или на мни-
мой оси этой плоскости, причем в
последнем случае все полюсы и нули
простые. Если хотя бы один мнимый
корень рк = jcofc был бы, например, крат-
ности т, то соответствующее ему реше-
ние характеристического уравнения име-
320
ло бы вид
•хсв — (Со + с it + c2t2 +...
... + Cw-ir"’"1)sinGV. (19.6)
Это приводило бы к нарастающему
свободному процессу, что невозможно
в пассивном двухполюснике.
При сформулированных выше усло-
виях оказывается, что все коэффициенты
ак и Ьк полиномов G (р) и Н (р) должны
быть положительными.
Убедиться в этом можно, предста-
вив, например, полином G(p) в следую-
щем виде:
G (р) = а„рп + а„_ 1Рп~1 + ... + а0 =
= а„(р - pi)(p - р2)---(р ~ Рп)- (19-7)
Для каждой пары комплексных и
сопряженных корней рк — <зк + jcofc и
pk+i = <зк — jwk будем иметь
(Р - Рк) (Р - Рк+ 1) = (Р - СТ* -
- М) (р - ст* + >*) = (р - ст*)2 + <0*.
Для действительных корней pf будем
иметь множители р — р, — р — ст,. Следо-
вательно, при <зк < 0 и Oj < 0 все коэф-
фициенты при р в множителях (р — сгл)2 +
+ со* полинома G(p) неотрицательны, а
поэтому, выполнив в (19.7) перемноже-
ние всех множителей, получим положи-
тельные коэффициенты ц0, а1? ..., ап.
3. Действительные части входных
функций Z(p) и У(р) положительны или
равны нулю, т. е. Re Z (р) > О или
Re У(р) > 0, при условии, что Rep =
= Re (ст + jco) = а > 0.
Докажем это свойство, т. е. что
Re Z (р) > 0, если ст > 0 для чисто реак-
тивной цепи. Например, для LC-цепи
Z(p) = pL+4r =
= (а + JCD) L + -—-Д-д-тт =
(с + jco) С
= crL+ jcoL -I-— —- ——.
сгС + jcoC
Это выражение для Z(p) по форме
полностью совпадает с комплексным
Рис. 19.2
сопротивлением цепи, приведенной на
рис. 19.2:
Z (/со) = г +jaL+ 1/(д +jaC).
Очевидно, что Re Z (/со) > 0 при г > 0
и р > 0. Таким образом, для любой
чисто реактивной цепи, состоящей из
элементов L и С, может быть при
р = ст + усо построена аналогичная цепь,
но уже содержащая резистивные эле-
менты г и д. Так как для аналогичной
цепи Re Z (/со) > 0, что ясно из физиче-
ских соображений, то получаем, что и
для исходной чисто реактивной цепи
Re Z (р) > 0 при су > 0. Сказанное тем
более справедливо, если исходная цепь
содержит резистивные элементы.
4. Степени пит полиномов G (р)
и Н (р) числителя и знаменателя не
должны отличаться друг от друга
больше чем на единицу.
Нетрудно убедиться непосредствен-
но, что для любого двухполюсника
это правило выполняется (требование
размерности).
Функции, обладающие этими свой-
ствами, относятся к положитель-
ным действительным функ-
циям (ПДФ).
Таким образом, для того чтобы ра-
циональная дробь (19.5) была оператор-
ным выражением входных функций Z (р)
или У(р) и, следовательно, могла быть
реализованной в виде электрической це-
пи, она должна быть положительной
действительной функцией.
Сказанное относится к любым пас-
сивным двухполюсникам, содержащим
не только реактивные, но и резистив-
ные элементы.
19.4. Реактивные двухполюсники
В частном случае реактивных двух-
полюсников входные функции Z (р) и
У(р) — ПДФ и обладают рядом допол-
нительных свойств.
11 Основы теории цепей
321
1. В соответствии со сказанным
выше степени пит полиномов <7(р)
и Н (р) числителя и знаменателя в (19.5)
не должны разниться больше чем на
единицу. Но в данном частном случае,
кроме того, степень р каждого из
последующих членов G(p) и Н (р) мень-
ше степени предыдущего на две еди-
ницы.
Для доказательства этого положения
выразим входной ток /х реактивного
двухполюсника через его входное напря-
жение Ui = Ei, пользуясь методом кон-
турных токов (§ 1.9). Согласно (1.49)
Zl = = £i/Zxl = UJZ, (19.8)
где Z = Zn = Dw/Dn — входное сопро-
тивление двухполюсника; D(K) — опреде-
литель цепи, состоящей из п контуров
(и, следовательно, имеющий п строк и п
столбцов); D1X — его алгебраическое до-
полнение, т. е. определитель п — 1-го по-
рядка.
В каждом элементе Р(к) и РХ1 со-
держатся (в случае реактивного двух-
полюсника) реактивные сопротивления
вида
Zjck = j%kk = fa^Lkk 4" ^JfaCkk =
= ^-(®2Lu- \/Скк)
со
и
?Lkn ~ №кп ~ ““(СО Екл 1/С\и),
СО
т. е. в каждом элементе определителя
есть мнимый множитель j/со и дей-
ствительный (записан в скобке). Вынесем
j/co за скобки из всех элементов опре-
делителей Р(к) и РХ1 и получим
£(к) _ (//со)" Do = j Do
Z=ix=Dii (//со)""1 D110 ®Duo’
ИЛИ
1 Po
X —--------,
CO P110
где Po и Pllo — действительные вели-
чины, а элементы этих определителей
имеют вид co2Lfcfc — 1/Скк и co2Lk„ — 1/Cfc„.
Раскрывая определители Ро и Р110
и группируя в них члены с одинако-
выми степенями со, получаем
х(со) =
±Д2„Ю2" + Д2я_2(Р2" 2±...
со( ± Ь2п - 2<о2" -2 + Ь2п - 4®2" - 4 ±
... + я2со2 ± а0
... + Ь2со2 ± Ьо) ’
(19.9)
откуда и следует утверждение, что для
реактивного двухполюсника наивысшие
степени полиномов числителя и знаме-
нателя разнятся на единицу (2п и 2м — 1)
и что степень со у каждого из по-
следующих членов полиномов числителя
и знаменателя меньше, чем у предыду-
щего, на две единицы.
Переписав (19.9) в операторной фор-
ме, вместо х(со) получаем
Z(p) =
G(P)
Н(р)
а2пРгп + Qin-iP2” 2 + ...
Р(Ь2п-2р2я-2 + Ь2п-4Р2"-4 + •••
... + а2р2 + д0
• • • + Ь2р2 + Ьо)
(19.10)
Найдем корни полиномов числите-
ля и знаменателя х относительно со2 и
обозначим их со2, со2, ..., со2л_! для
числителя и со2, coj, ..., со2л_2 для зна-
менателя. В результате получим
, х _ (®2-®2)(®2-®2)---(®2-®t-l)
со(со2 — со|)(со2 — СОд)... (со2 — С02л _ 2) ’
(19.11)
где с = а2п/Ь2п_2.
Эта формула известна под названием
теоремы Фостера. При значениях со2,
равных корням знаменателя, у входной
функции будут полюсы (аналогично ре-
зонансу токов в простейшей цепи), а при
значениях со2, равных корням числителя,
у входной функции — нули (аналогично
резонансу напряжений в простейшей
цепи).
Переписав (19.11) в операторной
форме, получим
х_ (Р2+®2)(Р2+®з)---(Р2+®2"-1)
W ~ СР (Р2 + ®1) (Р2 + <4) • •. (®2 - ®L - 2) '
(19.12)
2. Как было показано, у всех реак-
тивных двухполюсников х (со) возрастает
322
с ростом частоты, так как dx/d® > О
(19.3), откуда вытекает свойство чередо-
вания полюсов и нулей х(со). Простей-
ший пример чередования был уже по-
лучен в § 5.7 для кривой х(со): вслед
за полюсом (при со = сот) следовал нуль
(при со = сон); кроме того, для всех со
(О со оо) выполнялось неравенство
dx/du > 0. Для всех схем, которые рас-
сматриваются ниже, это положение бу-
дет подтверждено.
Сопротивление х, увеличиваясь, на-
пример, от —оо (полюс функции), про-
ходит через нуль (нуль функции) и,
продолжая увеличиваться, возрастает до
Ч-оо (снова полюс функции). Затем х
скачком изменяется от 4- оо до — оо
и процесс повторяется, так что dx/dco > 0.
Те же рассуждения остаются справед-
ливыми, если х начинает увеличиваться
с нуля. Отметим, что изменяется знак х
при каждом переходе через нуль и через
полюс.
Таким образом, в силу чередования
нулей и полюсов функции х для корней
ее числителя и знаменателя имеем
0<COi <со2 <со3 < ... <С02„-2 < <х>2и-1-
Соответствующая функция Z(p) на-
зывается реактансной.
19.5. Частотные характеристики
реактивных двухполюсников
В зависимости от расположения ну-
лей и полюсов возможны четыре типа
частотной характеристики многоэле-
ментного реактивного двухполюсника,
состоящего из последовательно и па-
раллельно соединенных индуктивных и
емкостных элементов.
1. Частотная характеристика с двумя
внешними полюсами (рис. 19.3), назы-
ваемая характеристикой оо —оо. В этом
случае при со = со0 = Оисо->оо входное
сопротивление двухполюсника бесконеч-
но велико, т. е. через него не может
проходить ни постоянный ток (со = 0),
ни переменный ток бесконечно большой
частоты.
2. Частотная характеристика с двумя
внешними нулями (рис. 19.4), называ-
11
323
емая характеристикой 0 — 0. В этом слу-
чае При СО = COj = 0 и со = со2л _ t-> оо
входное сопротивление двухполюсника
равно нулю, т. е. через него может про-
ходить как постоянный ток, так и пере-
менный ток бесконечно большой час-
тоты.
3. Частотная характеристика с внеш-
ним нулем при со = cot = 0 и внешним
полюсом при со -»оо (рис. 19.5), назы-
ваемая характеристикой 0—оо. В этом
случае через двухполюсник может про-
ходить постоянный ток и не может
проходить переменный ток бесконечно
большой частоты.
4. Частотная характеристика с внеш-
ним полюсом при со = соо = 0 и внешним
нулем при со = со2л -1 оо (рис. 19.6),
называемая характеристикой оо—0. В
этом случае через двухполюсник не
может проходить постоянный ток и мо-
жет проходить переменный ток бес-
конечно большой частоты.
На рис. 19.3—19.6 частоты, соот-
ветствующие нулям функции х (со), обо-
значены нечетными индексами, а соот-
ветствующие полюсам — четными. На
тех же рисунках частоты, соответствую-
щие нулям функции х (со), обозначены
на оси абсцисс кружками, а соответ-
ствующие полюсам — крестиками. Значе-
ния х (со) при со = 0 и со = оо опреде-
ляются по схемам, приведенным на тех
же рисунках.
Из тех же рисунков следует, что
общее число нулей и полюсов на
Рис. 19.7
единицу больше общего числа элемен-
тов L и С реактивного двухполюсника
или, что то же самое, общее число
частот последовательного и параллель-
ного резонансов на единицу меньше
числа последних. Это правило не вы-
полняется, если все ветви, сходящиеся
в каком-либо узле схемы двухполюс-
ника, имеют индуктивности или емкости,
а также если есть емкостные контуры
и индуктивные сечения. У таких двух-
полюсников число частот резонансов
может быть меньше, чем число элемен-
тов двухполюсника без одного. Напри-
мер, у двухполюсника на рис. 19.7
характеристика при четырех элементах
имеет не три, а две резонансные час-
тоты (CDi И С02).
И, наконец, следует отметить, что
чем больше нулей и полюсов имеет
частотная характеристика х (со), тем
более многочисленной будет группа
реактивных двухполюсников с различ-
ными схемами, но с одинаковыми по
виду частотными характеристиками х (со).
19.6. Синтез реактивных
двухполюсников. Метод Фостера
Пусть входная функция реактивного
двухполюсника, например Z (р) или
Z(/co), задана выражениями (19.12) и
(19.11). Требуется составить его схему
и найти параметры, т. е., как говорят,
реализовать двухполюсник по частотной
характеристике Z (/со) = jx (со).
324
Co
Рис. 19.8
Как было указано выше, задачи син-
теза неоднозначны, т. е. целый ряд схем
могут иметь один и гот же вид час-
тотной характеристики х (ш). Поэтому
обычно выбирают типовые схемы, к
которым прежде всего относятся так
называемые канонические схемы.
При реализации по методу Фостера
различают два вида канонических схем
реактивных двухполюсников.
Первая каноническая схема состав-
ляется из последовательно включенных
параллельных LC-контуров, причем один
или два из них могут быть неполными
из-за отсутствия в них либо индуктив-
ности, либо емкости. На рис. 19.8, а
приведена схема с двумя неполными
контурами L, и Со. Вторая канони-
ческая схема составляется из параллель-
но включенных последовательных кон-
туров, причем один или два из них
могут быть неполными. На рис. 19.8,6
приведена схема с двумя неполными
контурами Lo и Сда.
Для синтеза первой канонической
схемы запишем комплексное сопротив-
ление i-ro контура схемы (рис. 19.8,а):
j (wLj — 1/wCi)
= ___________
(w2 - со2) ’
где cof = — резонансная частота
i-ro контура.
В операторной форме
где Ai = l/С,. Заметим, что полюсы Z,—
комплексные сопряженные ±jcof, т. е.
лежат на мнимой оси.
Таким образом, для синтеза первой
канонической схемы нужно представить
Z (р) в виде суммы простых дробей вида
Z (р) = рЛос 4---- 4-
Р
(19.13), дополненной слагаемым pL^ —
= рА^ если схема имеет неполный кон-
тур с индуктивностью Loo, и дополнен-
ной еще слагаемым 1/рС0 — AQ/p, если
схема имеет неполный контур с ем-
костью Со. Иными словами, для син-
теза первой канонической схемы задан-
ную равенством (19.10) функцию Z(p)
следует представить в виде
pAj
Р2 + и2 ’
(19.14)
причем число слагаемых суммы равно
числу точек параллельного резонанса
у частотной характеристики х(ш) или,
что то же самое, числу пар полюсов
у сопротивления Z (р), не считая полю-
сов при со = 0 и ш = ос.
Первое слагаемое рА^ будет в (19.14),
если в (19.10) для Z(p) коэффициент
а2п отличен от нуля. В этом случае
до разложения Z(p) на простые дроби
из него нужно выделить целую часть
рАх. Второе слагаемое А0/р будет в
(19.14), если в знаменателе Z(p) есть
множитель р, который можно вынести
за скобки.
Если в схеме рис. 19.8, а есть не-
полный контур с индуктивностью Lx, то
это обеспечивает условие х -> оо при
со -► оо для характеристик типа 0 — оо и
оо — оо. Если в схеме рис. 19.8, а есть
неполный контур с емкостью Со, то это
обеспечивает условие х -> — оо при ш -> О
для характеристики типа оо — 0 и оо — оо.
Значения всех коэффициентов А на-
ходятся из простых соотношений:
Ах = lim
Р-00 р
Ао = lim pZ(p);
Р-0
Л;= lim /2 + Ю‘г(р).
Р2 -» -СО,2 Р
(19.15)
325
Отсюда следует, что для определе-
ния Ai следует предварительно найти
все корни знаменателя относительно со2,
т. е. представить его в виде (19.12).
Переходя ко второй канонической
схеме, записываем комплексное сопро-
тивление z-го контура (рис. 19.8,6):
1 со? — со2
Zi (До) = >L( - j—^~ = Lt---—----,
coCf jco
где cof = l/j/LfCi — резонансная частота
i-ro контура.
Поскольку все ветви в схеме рис.
19.8,6 соединены параллельно, проще
иметь дело с входной проводимостью
Y(p) = 1/Z (р). Запишем YJ- (р) в оператор-
ной форме:
(1916)
где At = \/Ц. Как и для первой схемы,
нули Zf (р), т. е. полюсы Yt (р), — комп-
лексные сопряженные ±/cof, т. е. лежат
на мнимой оси.
Для синтеза второй канонической
схемы нужно проводимость У(р) раз-
ложить на простые дроби вида (19.16),
дополнив разложение слагаемым рС^ =
= рЛоо, если степень многочлена чис-
лителя У(р) на единицу больше степени
его знаменателя, и дополнив результат
еще слагаемым 1/рЬ0 = Ао/Р> если зна-
менатель дроби У(р) имеет корень р = 0.
Формула для У(р) совпадает с (19.14),
а значения коэффициентов А находятся
по формулам, аналогичным соотноше-
ниям (19.15).
Пример 19.1. Дана входная функция реак-
тивного двухполюсника
Z (р) = (109р3 + 16 • 1021р)/(р4 + 37 - 1012р2 +
+ 36-1024).
Построить частотную характеристику и
реализовать двухполюсник в виде первой
и второй канонических схем.
Решение. Поскольку решение прово-
дится методом Фостера, находим корни р2
и pl знаменателя Z (р). В данном случае
их легко найти, решив биквадратное урав-
нение р4 + 37-1012р2 + 36-1024 = 0, откуда
pl = -1012; р2 = -36.1012.
Сопротивление Z (р) представим в виде
Z(p) = 109р(р2 + 16- 1012)/(р2 +
+ 1 • 1012)(р2 + 36-1012).
Подставив р = jco и обозначив со2 =
= 1-1012, соз = 16-1012, со4 = 36-1012, будем
иметь
Z(/co) =
jo) 109 (со2 — о2)______
(й)2 - со2) (С04 - СО2)
= jx(co).
По выражению х(со) на рис. 19.4 по-
строена частотная характеристика реактив-
ного двухполюсника, относящаяся к типу
0 — 0. В самом деле, легко видеть, что при
со —* 0 и со —> оо сопротивление х -» 0, т. е.
характеристика х (со) имеет два внешних нуля.
Кроме того, х(со) имеет две точки парал-
лельного резонанса (при со — со2 и со = со4) и
одну точку последовательного резонанса при
со = со3.
Разумеется, все полюсы и нули Z (р)
лежат на мнимой оси.
Отметим, что задачу можно было бы
поставить несколько иначе. Реактивный двух-
полюсник можно было бы прямо задать
частотной характеристикой вида
______Ксо(со^ - со2)
Ю (со| - со2)(со4 — со2) ’
где со2, со3 и со4 определены данными выше
значениями, а К может быть найдено, если
задано значение х(со) для одной из нере-
зонансных частот. Например, при со — 0,3 • 106
рад/с задано х = 146 Ом, откуда получаем
К = 109 Ф’1.
Для реализации двухполюсника в виде
первой канонической схемы, что задает
структуру искомой схемы (рис. 19.4), пред-
ставим Z(p) в виде
Z(p) =
РА2 + pAj
р2 + со2 р2 + со4 ’
откуда
Я2 —
1 1- ч Р +
— = hm Z(p)-*-----------------2- =
С 2 р2-*-м22 р
3 7
= 4-109 Ф’1; С2 = нФ
7 3
и L2 — 1/С2со2 — 3/7 мГн.
Аналогично находим остальные пара-
метры :
л 1 1" rzz ч Р2 +
Л4 = —- = 11Ш Z (р) --------=
С4 р2->-ш! р
4 7
= —109 Ф"1; С; = — нФ
и L4 = 1/С4со4 = 1/63 мГн.
Для реализации двухполюсника в виде
второй канонической схемы, что также за-
дает его искомую структуру (рис. 19.9),
представим У(р) в виде
рАз
р2 + й>3 '
У(Р) = м» + — +
р
326
Рис. 19.9
Из схемы рис. 19.9 следует, что Y(p)
имеет два внешних полюса (при р — 0 и
р — оо) и один внутренний полюс (при р2 —
— — col). В силу ранее доказанного свойства
dx/da > 0 между тремя полюсами входной
функции У(р) должны располагаться два ее
нуля, что и приводит к тому же виду
частотной характеристики х (со), которая при-
ведена на рис. 19.4.
Найдем постоянные и параметры:
= Соо = lim ^-=1 нФ;
Р->00 Р
Ло = -—= lim pY(p) = -^-103 Гн-1;
L0 р -»о 4
г 4 Г- л 1
Lo =— мГн; А3 = — =
9 Ьз
р2-+-<023 р 4
L3 = 4/75 мГн; С3 = 1/L3coi = 75/64 нФ.
19.7» Синтез реактивных
двухполюсников. Метод Кауэра
Метод Кауэра выгодно отличается
от метода Фостера тем, что для его
применения не требуется отыскания
корней знаменателя (19.5) входной функ-
ции Z(p) или числителя (19.5) для У(р).
По методу Кауэра реактивный двухпо-
люсник реализуется в виде так назы-
ваемых первой или второй цепных схем.
Первая из них составляется из продоль-
ных индуктивных и поперечных емкост-
ных элементов (рис. 19.10), вторая, нао-
борот, — из продольных емкостных и по-
перечных индуктивных элементов (рис.
19.11). Первая цепная схема может начи-
наться с индуктивного элемента, причем
в последней (самой правой) ветви могут
быть либо индуктивный и емкостный
элементы, включенные последовательно
(рис. 19.10, а и б), либо только один
индуктивный элемент (рис. 19.10, в и г).
То же касается и второй цепной схемы
(рис. 19.11, а-г).
Алгоритм метода Кауэра заключа-
ется в постепенном выделении слага-
емых вида Ар или В/p сначала из
входной функции Z(p) или У(р), а затем
из всех последующих остатков, полу-
чающихся после выделения предыдущей
части, и в реализации выделяемых час-
тей при помощи индуктивных или
емкостных элементов. Алгоритм приме-
няется до тех пор, пока остаток не
будет равен нулю.
Переходя к реализации первой цеп-
ной схемы, выбираем сначала в каче-
стве входной функции Z(p) такую, ко-
торая имеет полюс при р = оо. Это
означает, что степень числителя G (р)
на единицу больше степени знаменателя
Н(р) [см. (19.5)]. Разделив числитель
327
G (p) на знаменатель H (р), выделяем
целую часть рЛь соответствующую по-
люсу Z(p) при р = оо. Получим
(рис. 19.12, а)
Z(p)=pA1 + Z1(p),
где Zi (р) — остаток от деления, пред-
ставляющий собой правильную дробь,
степень. числителя которой на единицу
меньше степени знаменателя. Это сле-
дует из отмеченного выше свойства
полиномов G (р) и Н (р), у которых
степень р каждого из последующих чле-
нов на две единицы меньше степени
предыдущего (§ 19.4). У проводимости
У1 (р) = 1/Zi (р), степень числителя кото-
рой, как и у Z(p), на единицу выше
степени знаменателя, аналогично выде-
лим целую часть (рис. 19.12,6):
У1(р) = рЛ2+ У2(р).
Аналогично поступим с Z2 (р)
(рис. 19.12, в):
Z2(p) = l/y2(p) = p43 + Z3(p),
и так продолжаем до тех пор, пока
остаток не будет равен нулю.
Легко видеть, что описанный алго-
ритм реализуется в виде цепной дроби
Z(p) = pAi 4- ----------—1----------. (19.17)
Р^2 +-------------j-----
рЛ3 +-------------
+ —5—
pAt + О
Отсюда следует, что входная функ-
ция Z (р) реализуется в виде схемы,
у которой первый продольно включен-
ный элемент — индуктивный (Lj = ЛД
второй поперечно включенный — емкост-
ный (С2 = А2), третий продольный —
снова индуктивный (L3 = Л3) и т. д.
(рис. 19.10, а). Если число i — нечетное,
то последний элемент справа будет
индуктивный (Ц = Ai), а если четное,
то емкостный (Cf = 4f).
При составлении первой цепной схе-
мы слагаемые полиномов числителя и
знаменателя следует располагать по
убывающим степеням р, т. е. выделяемые
целые части рЛ, получаются в резуль-
328
тате деления члена с наивысшей сте-
пенью р в числителе на такой же
член в знаменателе.
Если Z (р) имеет нуль при р = оо,
т. е. степень его числителя меньше
степени знаменателя на единицу, то
нужно применить вышеприведенный
алгоритм по отношению к обратной
величине 1/Z(p) = У(р). В результате де-
ления в качестве первого члена полу-
чится поперечная емкостная проводи-
мость рАх = pCi, в качестве второго —
продольная индуктивная и т. д., т. е.
в этом случае схема начинается с по-
перечного емкостного элемента Сх
(рис. 19.10,г и б) и заканчивается либо
индуктивным (Ц — либо емкостным
= Ад.
При реализации второй цепной схе-
мы надо выбрать в качестве входной
функции операторную проводимость
У(р), если степень многочлена ее знаме-
нателя нечетная, т. е. входная функция
имеет полюс при р = 0. В этом случае
У(р) представляется также в виде цеп-
ной дроби, но последовательным деле-
нием выделяются части, имеющие по-
люсы при р = 0, т. е. члены вида AJp.
При этом получаем Y(p) = AJp + yt (р);
Z1 (р) = А2/р + Z2 (р); У2(р) = Л3/р + Z3(p)
и т. д. до тех пор, пока остаток не
будет равен нулю. Этот алгоритм по-
казан на рис. 19.13. Соответствующая
ему цепная дробь имеет вид
у(р) = ±_ +---------------—-------------. (19.18)
Р Аг 1__________
Р 11 + 1
Р .................
мов числителя и знаменателя по воз-
растающим степеням р.
Если же степень знаменателя вход-
ной проводимости У(р) четная (а сте-
пень числителя — нечетная), то алгоритм
построения цепной дроби нужно приме-
нить к обратной величине, т. е. от
входной проводимости Y(p) перейти к
входному сопротивлению Z (р).
Пример 19.2. По тем же данным, что
и в примере 19.1, реализовать методом
Кауэра двухполюсник в виде первой и вто-
рой цепных схем.
Решение. Представим в виде первой
цепной схемы входную операторную про-
водимость:
vz ч р4 + 37 • 1012р2 + 36-1024
Выделим первое слагаемое рСг делением
числителя У(р) на знаменатель:
_ р4 + 37- 1012р2 + 36-1024 1109р3 + 16- 1021р
р4 + 161012р2________10-9 р
211012р2 + 36 1024
Первым элементом первой цепной схемы
будет поперечный емкостный Ct = 10"9 Ф =
= 1 нФ (рис. 19.14). В соответствии с ранее
введенными обозначениями запишем
У(р) = рСг +
21 1012р2 + 36 1024
109р3 + 16 1021р
= 1(Г9р+ У1(р),
т. е.
Zt (р) =
109р3 + 16 1021р
21 1012р2 + 36-1024
= Р^-2 + Z2 (р).
Слагаемое pL2 выделяем делением чис-
лителя Zi (р) на знаменатель, иначе говоря,
делителя первой операции на остаток:
_ 109р3 + 161021р 121 1012р2 + 36 1024
109р3 + —1021р — 10“3р
г 7 21 и
(100/7)-1021р
Для построения цепной дроби (19.18)
следует расположить слагаемые полино-
Рис. 19.13
329
Рис. 19.14
делим слагаемые вида А/р:
36 • 1024 4- 37 • 1О12р2 4- р4 * * 7 * | 16 • 1021р + 109р3
- 9 9 1
36-1024 + —1012р2 —103 —
4 4 р
(139/4) Ю12^^
Вторым элементом схемы рис. 19.14
будет продольный индуктивный L2 = (1/21) х
х 10“3 Гн = 1/21 мГн; поэтому
УТ10-*'’ + <₽>•
21 • 10’2р2 + 36-1024
т. е.
v . . 21 • 1012р2 + 36 -1024 _ _ v. ,
2^ (100/7). 1021р Р 3 зР’
Слагаемое рС3 выделяем делением чис-
лителя У2 (р) на знаменатель, иначе говоря,
делителя второй операции на остаток:
_ 21-1012р2 + 36-1024 100 1П21~
21-1012р2__________
36-1024 147
----10 р
100 р
—1021р
7
Третьим элементом схемы рис. 19.14
будет поперечный емкостный С3 =(147/100) х
х 10“9 Ф = 1,47 пФ, поэтому
v , > _ 147 ,п_9 36-1024
2^ 100 1 Р + (100/7). 1021р
147
= — Ю~9р + У3(р),
100
т. е.
7 (100/7). 1021р _ 25 1О_з„_п7
Z3(p)- 36. ю24------Т?° p~pL>-
Четвертым, и последним, элементом схе-
мы рис. 19.14 будет продольный индуктив-
ный L4 = (25/63)-10“3 Гн = 25/63 мГн.
Для реализации двухполюсника в виде
второй цепной схемы расположим полиномы
числителя и знаменателя У(р) по возрастаю-
щим степеням р и, выполняя деление, вы-
Первым элементом второй цепной схемы
будет поперечный индуктивный = (4/9) х
х 10“3 Гн = (4/9) мГн (рис. 19.15). В соот-
ветствии с введенными выше обозначениями
запишем
уЫ= 1 . (139/4)-1012р2 4-р4
pLv 16 -1021р 4-109р3
= (4/9М + Г*
т. е.
.Zl(p) =
161021р + 109р3 1
(139/4)-1012р2 + р4 рС2 2{Ph
Слагаемое 1/рС2 выделяем делением числи-
теля Z1 (р) на знаменатель, иначе говоря,
делителя первой операции на остаток:
16- 1021р + 109р3
i6io21p + -^.ioV
(75/139) 10V
139 1Л12 2
----1012р2 4- р
4
— ю9—
139 р
Вторым элементом схемы рис. 19.15 будет
продольный емкостный С2 = (139/64) х
х 10“9 Ф = 139/64 нФ; поэтому
7 Гп1 - 1 4. (75/139)- 109р3
рС2 (139/4). 10*2р2+р4
= (139/64) - Ю-’р' + 7,2 <Р>’
т. е.
у /м - (139/4) - 1О12Р2 + р4 1 .
2Р (75/139) 109р3 pL3 3<Р’
Как и выше, слагаемое \JpL3 выделяем
делением числителя У2 (р) на знаменатель,
иначе говоря, делителя второй операции на
остаток:
Рис. 19.15
— 1012р2 +р‘
4
— 1012р2
4
1^109р3
10з1
300 р
р’
Третьим элементом схемы на рис. 19.15
будет поперечный индуктивный L3 =
= (300/1392)-10“3 Гн = 300/1392 мГн.
330
Согласно предыдущему запишем
1 р^
Yi = рЦ+ (75/139) • 109р3 =
(300/1392)-10*3р
т. е.
7 \ 75 ~ q 1 1
z3 (р) = Юу- = .
139 р рС4
Четвертым, и последним, элементом
схемы на рис. 19.15 будет продольный емкост-
ный С4 = (139/75)-10~9 Ф = 139/75 нФ.
Отметим в заключение, что все четы-
ре схемы, изображенные на рис. 19.4,
19.9, 19.14, 19.15, имеют одинаковые
частотные характеристики, подобные
приведенной на рис. 19.4, и реализуют
одну и ту же входную функцию, за-
данную в виде операторного сопротив-
ления Z(p) или операторной проводи-
мости Y(p) = 1/Z (р). У всех схем одина-
ковое (минимально необходимое) число
элементов — четыре (два индуктивных и
два емкостных). Для всех четырех схем
Z (0) = 0 и Z (оо) = 0 или, что то же
самое, У(оо) = оо и У(0) = оо. Однако
структура этих схем и их параметры
различны, что и подтверждает отмечен-
ную выше многозначность решения за-
дачи синтеза. Выбор той или другой
схемы определяется удобством реализа-
ции ее индуктивных и емкостных эле-
ментов, в одних схемах индуктивности
получаются больше, в других — емкости.
19.8. Синтез двухполюсников
с потерями. Метод Фостера
В § 19.3 было указано, что для реали-
зации входных функций Z(p) или У(р)
двухполюсника с потерями они должны
быть заданы как положительные дей-
ствительные функции. Там же были
сформулированы свойства, которым
должны удовлетворять функции Z(p) и
У(Р).
Первое свойство проверяется легко и
обеспечивается тем, что коэффициенты
многочленов G(p) и Н (р) в (19.5)
задаются действительными.
Второе свойство проверяется приме-
нением, например, критериев Гурвица
или Рауса к каждому из многочленов
G (р) и Н (р) в отдельности. Эти кри-
терии рассматриваются в курсе высшей
математики (в разделе «Линейная алгеб-
ра»). Они позволяют установить отсут-
ствие или наличие хотя бы одного нуля
у этих многочленов в правой полу-
плоскости.
Третье свойство проверяется приме-
нением теоремы Штурма, которая сво-
дится к установлению наличия или
отсутствия нулей у вспомогательных
функций при изменении со2 ат нуля до
бесконечности. Теорема Штурма рас-
сматривается в курсе высшей алгебры.
Четвертое свойство устанавливается
непосредственно, поскольку полиномы
G(p) и Н (р) задаются.
В дальнейшем будем считать, что
входные функции Z (р) или У(р) — по-
ложительные действительные (ПДФ).
Рассмотрим сначала в качестве вход-
ной функции сопротивление Z (р). Отме-
тим, что корни многочлена Н (р) могут
лежать на мнимой оси, на отрицатель-
ной действительной полуоси и в любых
точках левой полуплоскости. Здесь обра-
щается внимание на корни знаменателя
Z (р) потому, что метод Фостера осно-
вывается на разложении Z (р) на про-
стейшие дроби.
Для реализации Z(p) выделим сна-
чала все слагаемые, соответствующие
корням Н (р), расположенным на мни-
мой оси, т. е. реактивное сопротивле-
ние Zlp(p). Учитывая разложение, сде-
ланное в § 19.6, получим
Z1(p) = Z(p)-Zlp(p) = Z(p)-
- м"+~л+1лМ(1’л9)
причем Zj (р) — ПДФ, все полюсы кото-
рой лежат на отрицательной действи-
тельной полуоси и в любых точках ле-
вой полуплоскости.
Далее найдем частоту со', при которой
Re [Zj (/со')] = Amin имеет минимум, оп-
ределим Amin и вычтем Amin из Zr (р),
т. е. составим выражение
Z10(p) = Z1(p)- Amin. (19.20)
Эта операция называется приведе-
нием функции Zj (р) к виду минималь-
ного активного сопротивления, т. е. к та-
кой функции Z2 (/со), для которой при
частоте со' получаем Re [Z10 (/со')] = 0.
331
Подчеркнем, что, приводя (р) к виду
минимального активного сопротивле-
ния, нельзя вычитать произвольное А.
Если, например, взять А > Amin, то
Re [Z10 (/<»')] < 0 и не будет соблюдено
условие положительности действитель-
ной части функции Zlo(/(o).
Таким образом, приведение к виду
минимального активного сопротивления
вытекает из требования, чтобы рассмат-
риваемые функции были ПДФ.
У ПДФ Z10(p) в общем случае
полюсы лежат на отрицательной дей-
ствительной полуоси и в любых точках
левой полуплоскости. Поэтому она мо-
жет быть разложена на совокупность
дробей вида
z10(p)=y-^-+y-^-+
ZjP + а/ +
i к
Cjp + Di
(p + a,)2 + cof *
(19.21)
Каждая простая проба первой суммы
реализуется схемой из параллельно сое-
диненных элементов С, и rf (рис. 19.16, а).
В самом деле,
_ i/Cj Aj
р + 1/riCi р + Ъ
где I/Ci = Ai t = l/rfCf и постоянная
находится аналогично (19.15):
Ai= lim [(р + af)Z10(p)].
Каждая простая дробь второй суммы
реализуется схемой из параллельно сое-
диненных элементов Lk и гк (рис. 19.16,6):
zk(p) =
pLkrk.
Ph + rk
prk pBk
P + rk/Lk p + ak ’
где rk = Bk; ak = rk/Lk, а постоянная Bk
находится также аналогично (19.15):
Bk = iim (p + ott)z10(p)
p^-aA|_ p
Каждая дробь третьей суммы реали-
зуется, например, схемой, приведенной
на рис. 19.16, в. Однако следует заме-
тить, что в общем случае не все пара-
метры г,, Lb Ci схемы рис. 19.16, в
получаются положительными, т. е. дроби
третьей суммы, а значит, и входное
сопротивление Z (р) двухполюсника в
целом не всегда реализуемы этим ме-
тодом.
Рассмотрим далее в качестве функ-
ции проводимость У(р). Отметим, что
ее реализация методом разложения на
простые дроби производится в том же
порядке, что и функции Z(p).
Получив функцию Y10 (р), аналогич-
ную Z10(p), т. е. ПДФ, и считая, что
ее полюсы расположены на отрица-
тельной действительной полуоси и в лю-
бых точках левой полуплоскости, пред-
ставим ее аналогично (19.21) совокуп-
ностью простых дробей вида
Р + а< /_,р + ак
к
+ У ~2-----------5Г- (19.22)
£_iP + 2а(р + ₽?
332
а)
Гг‘ 1, Гк Н4
- p j Ц
Li = -
<! Ь Г1
1 C)
Рис. 19.17
Простая дробь первой суммы реали-
зуется схемой рис. 19.17, а, так как
X (р) = —-— = ——— = А‘ ,
rt + pLt р + fj/Lj р + а,-
где 1/L, = Л(; af = и постоянная Л,
находится аналогично (19.15):
Л, = lim [(р + а,) У10(р)].
-а,-
Простая дробь второй суммы
лизуется схемой рис. 19.17.6, так как
Y Ы = 1 = РС* =
гк+^/рСк ГкСкР + 1
= Р/Гк = рВк
Р + 1/гкСк Р + ^к’
реа-
Пример 19.3. Дана ПДФ
G(p) _ р5+6р4 + 6р3 + 21р2+4р + 10
Н(р) Р4 + 5р3 + р2 + 5р
Требуется реализовать Z (р) методом
Фостера.
Решение. Корни уравнения Н (р) = О
находим любыми известными методами:
Pi=0; р2>з = ±Л; р4=-5; т. е. Н (р) =
= р (р2 + 1) (р + 5).
Выделяем слагаемые, соответствующие
полюсам Z(p), расположенным на мнимой
. Ао AiP „
оси: рЛда ч---1——-—. По формулам
р р2 + 1
(19.15) находим
где 1/гк = Вк; %к = 1/гкСк, а постоянная
Вк находится также аналогично (19.15):
(Р + «*)у
-------чо (Р) •
-ч\_ р J
Дробь третьей суммы реализуется схе-
мой рис. 19.17, в, так как
ri + pLi+VpCi
= pCi_______=
p2LtCi + riCip + 1
p/Lz pDt
Вк = lim
р
Аа> = L.fj = lim
р -+ оо
Ло = 1/Со = lim [pZ(p)]=2;
р->о
р2 + 1
Р
р J
Лг. = 1/C. = lim
р2-* -
cof = 1 и Lt = 1.
Поэтому
Z(p) =1;
Р2 + -ц-р +
р2 + 2а(р + Р? ’
Однако и здесь в
не все параметры rb Lb Ct (рис. 19.17, в)
получаются положительными, т. е. дроби
третьей суммы, а значит, и входная
проводимость У(р) двухполюсника в
целом не всегда реализуемы этим ме-
тодом.
общем случае
= р + 2
р + 5'
Найдем минимальное активное сопро-
тивление. Для этого определим
о _ , jw + 2 10 + го2
Re Zj (/о) = Re J-—— = ——т
jco + 5 25 + со2
и, приравняв нулю производную
d „ ч d 10 +и2 n
—ReZi(/w)= — ——г=0,
d(d d(a 25 + co2
найдем, что при частоте со' = 0 минималь-
ное активное сопротивление Amin — R = 2/5.
Выделяем R из состава Zt(p):
z10(p) = z1(p)-r = -^±|-A=
р + 5 5 р + 5
оно реализуется схемой рис. 19.16,6 с па-
раметрами гк = Вк = 3/5 и Lk = гк/ак = 3/25.
2
Z1(p) = Z(p) — р + - +
L р р + 1J
Р
333
На рис. 19.18 представлена полученная
схема двухполюсника.
19.9. Синтез двухполюсников
с потерями. Метод Кауэра
Для реализации ПДФ Z (р) методом
Кауэра, т. е. методом разложения в цеп-
ную дробь, выделим сначала, как и
раньше, совокупность всех слагаемых
Zlp, которые соответствуют полюсам,
расположенным на мнимой оси
AQ/p9 Aip/(p2 + cof). Далее выделим из
Zi (р) = Z (р) — Zlp (р) минимальную дей-
ствительную часть Л1т1Л — гг и получим
функцию Z10 (р) = Zi (р) — которая
уже не имеет полюсов на мнимой оси.
Но возможно, что они есть у обратной
функции У1о(р) = 1/Z10 (р). У проводи-
мости Ую(р) выделим, как и раньше,
все слагаемые Y2p(p)9 соответствующие
ее полюсам, расположенным на мнимой
оси. Далее выделим из У2 (р) =
— Ую (р) ~ У1р (р) минимальную действи-
тельную часть A2min = д2 и получим
функцию У20 (р) = Y2 (р) — д2, которая
уже не имеет полюсов на мнимой оси.
Однако возможно, что их имеет обрат-
ная функция Z20 (р) = 1/У20 (р) = Z3 (р) +
+ Z3p(p) и т. д. Продолжив этот про-
цесс, получим цепную дробь вида
Z(p) = Zlp4-r1 +----------------------,
Г2р + д2 4----------г------
Z3p + r3 +------т---
1'‘p+»‘+zSi>+rj+.;:
(19.23)
которой соответствует цепная схема
двухполюсника, представленная на рис.
19.19.
Конечно, у этой цепной схемы от-
дельные элементы или даже контуры
могут отсутствовать.
Вполне возможно, что на отдель-
ных этапах расчета у рассматриваемых
сопротивлений или проводимостей по-
люсы на мнимой оси могут отсутство-
вать. Но, следуя методу Бруне, их можно
ввести искусственно, применяя, напри-
мер, отрицательные индуктивности. Эти
индуктивности в окончательную схему
двухполюсника не войдут, если их заме-
нить трансформаторами без потерь с
надлежащим образом подобранными
положительными индуктивностями пер-
вичной и вторичной обмоток и с коэф-
фициентом связи, равным единице.
19.10. Передаточная функция
пассивного четырехполюсника.
Цепи минимальной фазы
Для четырехполюсника передаточная
функция может быть, например, задана
как отношение лапласовых изображений
выходного и входного напряжений, т. е.
Ки(р) = К(р) = U^/U.ip).
Полагая р = усо, получаем передаточ-
ную функцию в комплексной форме,
т. е. частотную характеристику четырех-
полюсника, которая равна отношению
частотных спектров выходного и вход-
ного напряжений:
K(ja)= С/20со)ДЛ(М (19.24)
Составим отношение напряжений U2
и Ui четырехполюсника (см. рис. 8.1
и 8.2, а). Из второго уравнения (8.2)
= Y21Ui Л-Y22U2 при сопротивлении
нагрузки Z2h получим
-u2=Y2lz2ttu{ + y22z2hu29
так как U2 = — I2hZ2h, откуда определим
U2/Ui=(-Y2tZ2Ml + Y22Z2„).
Zip(p) r-1 z3p(p) r3 z5p(p) r5
Рис. 19.19
334
В гл. 15 было показано, что сопро-
тивления ветвей, а также входные и
взаимные проводимости в операторной
форме представляют собой отношения
многочленов относительно р (иначе го-
воря, рациональные дроби). Поэтому
передаточная функция К (р) также пред-
ставляется отношением многочленов:
bmpm + bm-lpm 1 + ... + ь0
апР" + а„-1Р"~ 1 + ... + о0’
(19.25)
где тип — целые положительные чис-
ла, причем т < п.
Обозначим полюсы К (р), т. е. корни
знаменателя (19.25), через р100, р2оа, ...
..., рпоо, а нули К(р), т. е. корни ее
числителя,—через р10, р20, Рто и
перепишем К (р) так:
К(р) =
F2(P)
C(p-Pio)(p-P2o)---(P-Pmo)
(Р - Р1оо)(Р - Р2со)-(Р - Риоо) ’
где с = Ьт/а„.
Для частотной характеристики К (/со)
будем иметь
Х(/Ю) = ~ Р10^Ю ~ Р2о)-(/® ~ Рто) =
О® - P1J0® -Р2оо)---(/® - Рпоо)
= K(®)ew’<“’,
где амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-
частотная (ФЧХ) характеристики четы-
рехполюсника
10® — Ploo) I• • -I (j® — Рпоо) I
Ф(®) = argO® - Рю) + ••• + argO® + рт0)~
- arg(/<n - Pi о.) - • • • - arg (/® - рпао). (19.27)
Выясним свойства передаточной
функции К (р) по расположению ее по-
люсов и нулей на комплексной плос-
кости.
Отметим, что при учете резистивных
элементов четырехполюсника или при-
емника все корни знаменателя F2 (р)
[т. е. все полюсы К (р)] лежат в левой
полуплоскости. Выше уже обращалось
внимание на то, что при учете резис-
тивных элементов (потерь) все корни
характеристического уравнения действи-
тельные и отрицательные или если они
комплексные, то у них отрицательные
действительные части. Только при этих
условиях все свободные составляющие
токов и напряжений затухают. При
отсутствии потерь все корни знамена-
теля будут чисто мнимыми.
Иначе обстоит дело с нулями К (р),
т. е. с корнями его числителя Fr (р). При
учете потерь они могут располагаться
в любой части комплексной плоскости
(их положение никак не связано с ха-
рактером изменения во времени сво-
бодных составляющих токов и напряже-
ний). При отсутствии резистивных эле-
ментов все корни числителя (как и зна-
менателя) К (р) находятся на мнимой
оси.
Рассмотрим АЧХ К (со) и ФЧХ \|/ (со)
при изменении частоты со от — оо до -I- оо.
На рис. 19.20 показаны пара нулей и
пара полюсов передаточной функции,
расположенных в левой полуплоскости.
Модули выражений | (/со — pm0) I и | (/со —
— рпао) | геометрически представляют со-
бой расстояния от нулей и полюсов
до точки М, перемещающейся по мни-
мой оси снизу вверх, что соответствует
изменению частоты со от — оо до Ч-оо.
Аргументы выражений (/со — рт0) и
(/со — рпоо) обозначены соответственно
буквами фт0 и <pnco.
335
Рисунок показывает, что если ни
один из нулей не лежит на мнимой оси,
т. е. если четырехполюсник имеет потери,
то ни один из модулей | (/со — рт0) |, а
значит, согласно (19.26) и К (со), не
обращается в нуль при изменении со
от —оо до +оо.
Физически это означает, что если на
вход четырехполюсника подано гармо-
ническое напряжение, то при любой его
частоте со на выходе будет какое-то
напряжение. Это утверждение справед-
ливо, если ни одна ветвь между выво-
дами выхода не является чисто реак-
тивной.
Рисунок показывает также, что если
ни один из полюсов не лежит на
мнимой оси, то К (со) ни при какой час-
тоте не обращается в бесконечность.
Как следует из (19.24), обращение К (со)
в бесконечность означало бы, что при
входном' напряжении, равном нулю, на
выходе могло бы быть некоторое ко-
нечное напряжение. Но при учете потерь
в четырехполюснике и при отсутствии
напряжения на его входе не будет
напряжения и на его выходе.
Вообще говоря, если корни числите-
ля и знаменателя К (/со) расположены
в левой или правой полуплоскости,
но вблизи мнимой оси, то при про-
хождении М вблизи нулей функция
К (со) будет иметь минимумы, а при
прохождении вблизи полюсов функция
К (со) будет иметь максимумы.
Вблизи точек, где расположены ми-
нимумы (максимумы) К (со), фазовая ха-
рактеристика увеличивается (уменьша-
ется) на + я. В самом деле, если точка
L— нуль К (/со), то при движении из
точки М' в М" аргумент ф (со) увели-
чится почти на -I- п. Если же L— полюс
К (/со), то поскольку двучлен (/со — рпоо)
относится к знаменателю К (р), прира-
щение ф (со) будет равно — я, т. е. при
прохождении точки М вблизи максиму-
ма К (со) аргумент ф (со) уменьшится на я.
При перемещении хотя бы одного
нуля из левой в правую полуплоскость
в симметричное положение относитель-
но мнимой оси (из точки L в точку L)
АЧХ К (со) не изменится, а ФЧХ изме-
нится, так как теперь при прохожде-
нии точки М вблизи Е приращение
аргумента ф(со) будет равно не 4-я,
а —я. Значит, одной и той же АЧХ
К (со) соответствуют две различные ФЧХ
ф(и).
Рисунок 19.21 показывает, что при
переходе любого нуля из левой полу-
плоскости в правуЪо аргумент двучлена
(/со — рю) увеличивается при положитель-
ном значении частоты со (см. последо-
вательные положения точек А, А', А",
А'", А""). Следовательно, при со > О
сумма аргументов двучленов (/со — рт0),
если они лежат в правой полуплос-
кости, больше, чем при расположении
нулей в левой полуплоскости. Более
подробное исследование показывает, что
для заданной АЧХ минимальное зна-
чение аргумента ф (со) при любом
выбранном положительном значении
частоты со будет у передаточной функ-
ции, все нули которой расположены в
левой полуплоскости.
В соответствии с этим электриче-
ская цепь, все нули передаточной функ-
ции которой лежат в левой полу-
плоскости и, значит, аргумент ф (со) имеет
наименьшее возможное значение, назы-
вается минимально-фазовой
цепью. Если хотя бы один нуль пе-
редаточной функции электрической цепи
расположен в правой полуплоскости, она
называется неминимально-фазовой
цепью.
Из сказанного вытекает, что для не-
минимально-фазовых цепей однозначной
связи между К (со) и ф (со) не существует.
Как было указано, причиной этого явля-
ется расположение хотя бы одного нуля
функции К (/со) в правой полуплоскости.
336
А так как все нули функции К (/со)
для минимально-фазовых цепей распо-
ложены в левой полуплоскости, то для
них ФЧХ может быть однозначно опре-
делена по АЧХ.
Выше (см. § 16.6) были получены
соотношения (16.31) и (16.32). Они кос-
венно подтверждают, что между АЧХ
К (со) и ФЧХ ф (со), а также между
действительной D (со) и мнимой М (со)
частотными характеристиками электри-
ческой цепи при некоторых условиях
может быть определенная связь, так что,
зная одну из них, можно найти другую
и наоборот. Выражения (16.31) и (16.32)
можно рассматривать как особого рода
интегральные уравнения, из которых,
зная К (со), можно найти ф (со), а также,
зная D(co), можно найти М (со) и на-
оборот.
Наконец, из сказанного вытекает, что
две электрические минимально-фазовые
цепи, имеющие одинаковые АЧХ, имеют
и одинаковые ФЧХ. Такого утверждения
нельзя сделать для неминимально-фазо-
вых цепей.
Пример 19.4. Определить относится ли
цепь рис. 19.22 к минимально-фазовым.
Решение. Составим изображения тока
/ (опуская аргумент р)
Г1 4- Г2 4- 1/рС
и напряжения на выходе
и2
U1 ____
ri + + 1/рС
(г2 + 1/рС).
Передаточная функция
г, + г2 4- 1/рС
Функция К (р) имеет нуль при р =
= — 1/г2С, т. е. он лежит в левой полу-
плоскости, поэтому цепь рис. 19.22 мини-
мально-фазовая.
Пример 19.5. Определить, относится ли
к минимально-фазовым цепь рис. 19.23. Она
называется фазовращателем на том осно-
вании, что при неизменной амплитуде вход-
ного напряжения и изменении его частоты
амплитуда выходного напряжения остается
неизменной, а фаза изменяется.
Решение. Найдем изображения токов
/1 и 12:
Ii=h = U ./(г 4- 1/рС) = U.pCKrCp 4- 1).
Определим изображения потенциалов
точек с и d:
1 , и.
Ч>с = <Ра~ = Фе ~
рС гСр 4- 1
, UYrCp
4>d = 4>a~ П2 = фв - ' .
гСр 4- 1
Найдем изображение выходного напря-
жения:
и 2 = фс - Фа = ^7 , (гСр - 1).
гСр 4- 1
Передаточная функция
Х(р) =
U2 _ гСр — 1
~гСр 4- 1
р — l/гС _ р — а
р 4- l/гС р 4- а’
Функция К (р) имеет нуль при р = а =
= l/гС, т. е. в правой полуплоскости, и фа-
зовращатель является примером немини-
мально-фазовой цепи.
Далее
К (/со) =
/со — а
/со 4- а ’
К (со) =
1>-а| = j
|Jw + а|
И
ф (со) = arctg
= arctg
2сол
со2 - а1 ’
т. е. цепь на рис. 19.23 — действительно фа-
337
зовращатель: ее АЧХ не зависит от часто-
ты, а ФЧХ от частоты зависит.
Упомянем, наконец, о цепи, которая
является так называемым запаздываю-
щим звеном, встречающимся, например,
в системах автоматического управления.
Ее передаточная функция
К (р) = ке-^ и К (/со) = ке~*°\
АЧХ цепи постоянна (К (со) = к) и
никак не зависит от ФЧХ ф (со) =
= —сот. Таким образом, запаздывающее
звено также является примером неми-
нимально-фазовой цепи.
19.11. Синтез мостовых
четырехполюсников
Как и для двухполюсников, синтез
четырехполюсников производится по за-
данной передаточной функции К ip) или
частотной характеристике К (/со). При
этом вместо К (jay) могут быть заданы
в отдельности АЧХ К (со) и ФЧХ ф(со).
Как и для двухполюсников, задача син-
теза может быть поставлена для реак-
тивных четырехполюсников и для четы-
рехполюсников с потерями. Аналити-
чески передаточная функция К (р) четы-
рехполюсника обычно задается отно-
шением двух полиномов Fi (р) и F2 (р)
с действительными коэффициентами
К(р) =
Fi(p) = *ВЫХ(Р)
F2(P) Хзх(р) ’
т. е. отношением лапласовых изображе-
ний двух величин, одна из которых при-
нята за выходную, а другая — за вход-
ную.
Для передаточной функции четырех-
полюсника необязательно должны вы-
полняться все условия, необходимые
для входных функций двухполюсника
Z (р) или Y(р) [т. е. К (р) необязательно
ПДФ], а именно:
1) наивысшие степени многочленов
Fi ip) и Г2 (р) могут отличаться больше
чем на единицу;
2) действительная часть К (/со) может
быть отрицательной;
3) нули К (р)9 т. е. нули многочлена
Fi (р), могут располагаться не только в
левой, но и в правой полуплоскости
в случае неминимально-фазовой цепи.
Вместе с тем полюсы К ip) могут
располагаться, как и у двухполюсников,
только в левой полуплоскости и на мни-
мой оси. Если бы это было не так, то
система была бы неустойчивой.
Любопытно отметить, что у некото-
рых четырехполюсников неминимально-
фазового типа постоянная ослабления
не зависит от частоты. Это получается,
если нули функции К (/со) располагаются
в правой полуплоскости и являются
зеркальными отображениями относи-
тельно мнимой оси полюсов функции
К (/со), расположенных в левой полу-
плоскости.
Сказанное вытекает из (19.26) и
(19.27), так как при указанных условиях
К (со) остается постоянной, а ф (со) зави-
сит от частоты. Например, такими
свойствами обладают симметричные
мостовые (Х-образные) четырехполюсни-
ки (см. рис. 8.9, а). Отметим, что эти
четырехполюсники применяются в цепях
проводной и радиосвязи для коррек-
ции фазы выходных напряжений или
токов.
Для синтеза четырехполюсника в
ряде случаев могут применяться изло-
женные выше общие методы синтеза
двухполюсников.
Рассмотрим реализацию реактивно-
го симметричного мостового четырех-
полюсника по одной из заданных его
передаточных функций К (р) = KYip) =
= I2 (p)/Ui(p) = Fi ip)/F2 ip) (питание от
источника напряжения) при заданном
резистивном сопротивлении нагрузки гн.
Разложим полином F2 ip) на нечет-
ную Hi (р) и четную Н2 (р) составляю-
щие:
К = _______F1(P) =
w н, (р) + н2 (р)
Fi (РУН, (р)
1 + Н2 (р)/Н, (р) • (19.28)
Запишем второе уравнение (8.2) че-
тырехполюсника в операторной форме,
опуская аргументы р у изображений:
/2 = Y2iUi + Y22U2 = Y2iUi - Y22I2rHi
(19.29)
338
так как U2 = — ги12 (см. гл. 8).
Из уравнения (19.29) найдем
/2 = П1С/1/(1 + Г22гн)
Z2 = 1/(Уц - У21) = 1/0,25 - IO" 9р = 1/Ср;
С = 0,25 пФ.
и
К(р) = 12/и. = У21/(1 + У22гн), (19.30)
где для симметричных мостовых четы-
рехполюсников У22 — У1Р
Приравняв правые части (19.28) и
(19.30), получим
У21
1 + Упгн l + H,/^’
откуда следует
По У21 и Уп найдем Zj и Z2 схемы
рис. 8.9, а (аналогично расчетам в при-
мере 8.4):
Уи + У21
z- ‘ Й," (19'31)
Пример 19.6. Дана передаточная функция
K(p) = I2(p)/Ul(p) = Fi (p)/f2 (р) =
= (1 —0,510“ 12р2)/(0,510“1Ор2+ 410“3р + 100)
реактивного четырехполюсника. Реализовать
его в виде симметричной мостовой схемы,
если сопротивление нагрузки гн = 100 Ом.
Решение. В соответствии с (19.28)
Fj(p) = 1 - 0,5• 10“ 12р2; Hi =410“3р;
Н2 = 0,5 • 10“ 10р2 4- 100.
Находим:
= Zl_= 1 ~ 0,5 -10~ 12р2 .
21 “ Hi ~ 410-3р
у = Н2 = 1 + 0,5- 10“12р2
4-10*3р
Далее по (19.31) найдем элементы иско-
мой схемы (рис. 19.24):
Zj = 1/(Уи + У21) = 2-10“3р = Lp; L = 2 мГн;
19.12. Синтез фильтров Баттерворта
и Чебышева по передаточным
функциям
Синтез фильтров Баттерворта и
Чебышева может быть выполнен по
различным передаточным функциям.
Будем далее считать, что заданы нор-
мированная передаточная функция
Kz (/со) = К (/со) = К (со) =
= U 2 (М)
при питании от источника тока и
сопротивление нагрузки гн.
По этой функции определяется коэф-
фициент затухания (не постоянная ослаб-
ления)
а= - 201g К (mJ = 201g=
К (СО*)
'1932)
где со* — со/сог — относительная частота,
сог — граничная частота полосы пропу-
скания.
У идеального фильтра должно быть
а = 0 в полосе пропускания и беско-
нечно большое а в полосе задержива-
ния, т. е. К (со*) = 1 в полосе пропускания
и К (со*) = 0 в полосе задерживания.
Передаточная функция идеального филь-
тра показана на рис. 19.25.
Так как построить фильтр с иде-
альной характеристикой невозможно, то
как и при расчете фильтров по рабо-
чим параметрам, идеальную характе-
ристику необходимо аппроксимировать.
При аппроксимации полиномом Баттер-
339
ворта Fn (со*) = со*п получится зависи-
мость, аналогичная (18.6):
а = 101g (1 4-со*л), (19.33)
где принято е = 1, т. е. неравномер-
ность в полосе пропускания равна 3 дБ.
Коэффициенту затухания (19.33) соответ-
ствует согласно (19.32) передаточная
функция Баттерворта
К(®*) = 1Д/1 + <.
В качестве примера на рис. 19.25 пока-
заны передаточные функции при п = 2
и п = 3. Зависимости а (со*) при тех же
п такие же, как на рис. 18.6.
В операторной форме К (р) =
= ^(р)/Л(р) и K(ja>) = K(p)\ а
К2 (со*) = К (р)К (-р) |р =><) так как при
усо* и —ja* это сопряженные комп-
лексные функции.
В операторной форме получим пере-
даточную функцию после заменыjco* на р,
т. е. со* на -jp:
где Fi (~р2) = 1 и
F2(-p2) = 1 + (-1)"р2". (19.35)
Все корни уравнения F2 (—р2) = 0
расположены в плоскости р = о + jco*
на окружности единичного радиуса — в
так называемой квадратной симметрии
(рис. 19.26 для случая п = 4), причем они
ни при каком п не лежат на мнимой
оси. Корни р1} р2, ..., рп функции
Fit—p)2, лежащие в левой полуплоскос-
ти, принимаются за полюсы функции
Рис. 19.26
К (р) на том основании, что рассматри-
вается пассивный фильтр, у которого
не может быть корней с положитель-
ной действительной частью о. Поэтому
К(р) можно представить в виде
к (р) = ------—----Ц----------г =
__________________1 _______________
~ Рп + а„-1рл~1+а11-2Рп~2 + ...+а1р+1'
(19.36)
где корни знаменателя, лежащие в левой
полуплоскости, после решения уравнения
F2( — р2) = 0 определятся из соотноше-
ний
Рк = ок +jto*k = -sin(2k + 1) ^-4-
+ jcos(2/c+1)^- (19.37)
при к = 0, 1, 2, ..., п — 1.
Определив по (19.37) при заданном п
все корни р1? р2, ..., можно найти по
Таблица 19.1
п ai «6 а5 а4 «з а2 а\
2 1,414
3 2,000 2,000
4 2,613 . 3,414 2,613
5 3,236 5,236 5,236 3,236
6 3,864 7,464 9,141 7,464 3,864
7 4,493 10,103 14,606 14,606 10,103 4,494
8 5,126 13,138 21,848 25,691 21,848 13,138 5,126
340
(19.36) все коэффициенты полинома зна-
менателя. Их значения приведены в
табл. 19.1.
Пример 19.7. Найти функцию Баттер-
ворта, аппроксимирующую нормированную
характеристику К (со*) фильтра низкой час-
тоты так, чтобы при со* = со/сог 5 она
составила не более 3 % от ее значения
при со* = 0.
Решение. Найдем и. По условиям
задачи
if Ст 1 / 1
- 5 ' 1 + со*л 5^ и,иЭ , ок = 5
т. е. 1 + 52л 104/9; 52л 1109, п = 3 и функ-
ция Баттерворта К (со*) = 1/]/1 + со*.
У фильтра Чебышева аналогично
(18.7) коэффициент затухания
а= 101g [1 ±82Т2(со*)], (19.38)
где в полосе пропускания полином
Чебышева
Тп (со*) = cos (п arccos со*). (19.39)
Для передаточной функции Чебы-
шева получим
«(©♦) = 1/|/1 + е2ТЖ)- (19.40)
Как указывалось в гл. 18, от значе-
ния 8 зависит неравномерность затуха-
ния сигналов в полосе пропускания (не-
равномерность тем слабее, чем меньше
8) и, например, при 8 = 1 получается
Аа = 3 дБ.
Вместо (19.34) у фильтра Чебышева
К(р)К(-р)
p=j^
1
1 + е2Т2(со*)
Fi (~Р2)
f2(-p2)
(19.41)
и для нахождения полюсов следует
решить уравнение F2 (~р2) — 0, т. е.
уравнение
Ш) = ± j/е при со* = -jp. (19.42)
Обозначим со* = cos Ф, и вместо
(19.39) запишем
Тп (со*) = cos пФ. (19.43)
Считая Ф комплексным числом (Ф =
= Фх + /Ф2), вместо (19.43) получим
?„((&*) = cos п (О»! + ;Ф2) =
= СОЗиФ! -сЬиФ2 — уыпиф! -5ЬпФ2 = ±//8,
(19.44)
где учтено, что cosjx = ch х и sin jx —
— j sh x.
Приравняем действительные и мни-
мые части в (19.44):
cos мФ1 -ch пФ2 = 0; (19.45)
sin пФх • sh иФ2 = ±1/8. (19.46)
Уравнение (19.45) удовлетворяется
только при cos пФг = 0 (так как
ch иФ2 >1), т. е.
Ф, = (2k + 1) (19.47)
2п
при к = 0, 1, 2, ..., 2п — 1.
Следовательно, из (19.46) получаем
sh иФ2 = 1/8 или
Ф2=—Arsh—. (19.48)
п 8
Корни уравнения F2 ( — р2) = 1 +
+ 82Т2 (~р2) = 0:
Pi = di +j(f)*i = j cos (Фх + /Ф2)
= sin Фх • sh Ф2 + jcos Фх • ch Ф2. (19.49)
Эти корни, попарно симметричные
относительно оси мнимых величин, ле-
жат на вычерченном в плоскости р =
= и + /со* эллипсе, уравнение которого
( ¥ = 1
\8ЬФ2/ \сЬФ2/
К полюсам функции К (р) относятся
только лежащие в левой полуплоскости
р, т. е. с учетом (19.47)
Рк = <4 + Мк = -sin(2к + 1) ^-sh Ф2 +
+ j cos (2к + 1) ch Ф2 (19.50)
при к = 0, 1, 2, ..., п — 1.
341
Таблица 19.2
п &7 *6 *4 Ь3 Ь2 *1 *0
1 1,002
2 0,645 0,708
3 0,597 0,928 0,251
4 0,581 1,169 0,405 0,177
5 0,575 1,415 0,549 0,408 0,063
6 0,571 1,663 0,691 0,699 0,163 0,044
7 0,568 1,911 0,831 1,052 • 0,300 0,146 0,016
8 0,567 2,161 0,972 1,467 0,472 0,321 0,056 0,011
Следовательно,
к = („~ nWn Zn n> =
\P — Pl) (P ” P2)- • -(P — Pn)
___________________bQ________________
P"+bn-ip"~1+b„-2p',~2 + ...+bip+b0'
(19.51)
В табл. 19.2 приведены значения ко-
эффициентов bOf bi9..., bn-1 знаменателя
К (р) для некоторых значений п при 8 = 1.
в [8] помещены таблицы коэффициен-
тов и при других значениях 8. Коэффи-
циент Ьр введен в числитель (19.51) для
того, чтобы иметь К (0) — 1, как и
должно быть.
Пример 19.8. Составить функцию Чебы-
шева для фильтра НЧ при заданной мак-
симальной неравномерности в полосе про-
пускания Да = 3 дБ. Граничная частота fr =
= 2 кГц. Максимально допустимый коэффи-
циент затухания в полосе задерживания
а3 = 40 дБ при частоте со#3 = 4со+г = 4. Фильтр
подключается к источнику тока. Сопротивле-
ние нагрузки rH-R — 100 Ом; его нормиро-
ванное значение = 1 Ом.
Решение. При Да = 3 дБ находим
сначала коэффициент неравномерности 8 = 1,
что следует из (19.38).
Из той же формулы (19.38) при соф3 = 4
и а3 = 40 имеем
40 = 101g [1 + Т2„ (4)],
Так как п должно быть целым числом,
берем п = 3. По габл. 19.2 найдем коэф-
фициенты b0, bl9 b2 для функции К(р):
Ьо = 0,251; bi = 0,928; b2 = 0,597
и с учетом условия К (0) = 1 запишем
функцию Чебышева:
К(.______________0,251 _
[Р р* + 0,597рГ+ 0,928р + 0,251 ’
Для пассивного четырехполюсника
(рис. 19.27), в том числе и для фильтра,
согласно уравнению (8.3)
и 2 (p)^Z2X(p)Il(p)^Z22(p)I2(p)
или
и2 (p) = z21 (р) Ц (р) - Z22 (р) U2 (p)/Z2н (р),
откуда находим, что
Л (р)/и2(р) =
Z21 (р) Z2tt(p)
Z22 (р) + ^2н (р)
Нормированное значение передаточ-
ной функции при Z2h = г н = 1
K(p,-z^T' 115521
Для нахождения по К (р) в отдель-
ности сопротивлений Z21 (р) и Z22(p)
следует при четной степени полинома
откуда
Тл(4)« 100.
Теперь найдем п из (18.8):
2-100 = (4 + - (4 + 1/15)" «
« (4 + /15)" = 7,873",
откуда п = 2,568.
Рис. 19.27
342
Рис. 19.28
числителя (у функций Баттерворта и
Чебышева — это полином нулевой степе-
ни) разделить числитель и знаменатель
К (р) на нечетную часть знаменателя,
т. е. привести к виду (19.52).
Из (8.3) следует, что Z22 (р) —
— U2 (р) ~ это входное сопротивле-
ние четырехполюсника со стороны вто-
ричных выводов при разомкнутых пер-
вичных (/j = 0), т. е. сопротивление двух-
полюсника с выводами 2 — 2' (четырех-
полюсник на рис. 19.27 подключен к
источнику тока).
Так как реализуется фильтр НЧ без
потерь, имеющий цепную схему (рис.
18.8), то следует применить синтез двух-
полюсника методом Кауэра (§ 19.7) с
разложением в цепную дробь.
Пример 19.9. Найти параметры фильтра
примера 19.8, порядок которого п = 3.
Решение. На рис. 19.28 показаны две
схемы фильтра с тремя элементами (и = 3).
Однако должна быть выбрана схема рис.
19.28,6, так как на входе фильтра включен
источник тока, т. е. индуктивный элемент L'3
не участвует в работе фильтра.
После деления числителя и знаменателя
передаточной функции, полученной в приме-
ре 19.8, на нечетную часть знаменателя
получим
к (} = 0,251/(р3+0,928р)
W [(0,597р2 + 0,251 )/(р3 + 0,928р)] +1 ’
т. е. Z22 (р) = (0,597р2 + 0,251)/(р3 + 0,928р).
Для определения параметров схемы
рис. 19.28,6 разложим проводимость 1/Z22(p)
в цепную дробь (см. также пример 19.2):
_р3+0,928р | 0,597р2 4-0,251
р34-0,421р pl,676-pCi
0,597р2 4-0,251 [0,507р
0,597р2 pl,177 = pL2
0,507р | 0,251
р2,020 = рС'з
Денормирующий множитель R/r'H = 100,
и по (18.12) Сг = 1,334 мкФ; L2 = 9,336 мГн;
С3 = 1,607 мкФ.
Для высокочастотных, полосовых и
заграждающих фильтров сначала прово-
дится синтез НЧ-прототипа, как и при
реализации фильтров по рабочим пара-
метрам (гл. 18).
В этой главе были рассмотрены
только некоторые задачи синтеза по
заданным входным функциям или вход-
ным частотным характеристикам и пере-
даточным функциям. Алгоритмы реше-
ния достаточно простые и могут быть
запрограммированы для вычисления па-
раметров схем на ЭВМ.
Частотные характеристики и переда-
точные функции у рассматриваемых
цепей однозначно связаны с реакцией
h(t) или к (г) на единичный скачок или
единичный импульс (см. гл. 14 и 16).
Поэтому синтез во временной области
можно свести к синтезу в частотной
области.
Для четырехполюсников возможна
постановка задачи синтеза не только по
передаточной функции в режиме холос-
того хода, при согласованной или про-
извольной нагрузке, но и по заданным
коэффициентам той или иной системы
уравнений, по вторичным или рабочим
параметрам, как, например, при реализа-
ции фильтров (см. гл. 18).
Синтез цепей применяется для созда-
ния фильтров, фазовращателей и все-
возможных корректирующих устройств
в измерительной технике, проводной и
радиосвязи и в системах автоматиче-
ского управления. Применение синтеза
позволяет создавать такие цепи, которые
в совокупности с уже заданными цепями
должны обеспечить желаемые переда-
точные функции и частотные характе-
ристики всей системы в целом.
343
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ
УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ
ПАРАМЕТРАМИ
20.1. Токи и напряжения
в длинных линиях
В предыдущих главах книги уже рас-
сматривались линии электропередачи
при частоте 50 Гц и напряжениях до
35 кВ небольшой длины, в которых
можно пренебречь токами, обусловлен-
ными емкостью между проводами (то-
ками смещения) и проводимостью изо-
ляции (токами утечки через гирлянды
изоляторов и токами, обусловленными
коронным электрическим разрядом
вблизи поверхности проводов).
При больших напряжениях, встре-
чающихся в электроэнергетике, и при
больших частотах, с которыми имеет
дело электросвязь, а также при значи-
тельной длине линий пренебрегать то-
ками смещения и утечки недопустимо.
Следовательно, ток в проводах не оди-
наков в разных сечениях линии.
Ток в проводах линии вызывает
падение напряжения в активном сопро-
тивлении проводов и создает перемен-
ное магнитное поле, которое в свою
очередь наводит вдоль всей линии ЭДС
самоиндукции. Поэтому напряжение
между проводами также не остается
постоянным вдоль линии.
Чтобы учесть изменение тока и
напряжения вдоль линии, нужно считать,
что каждый сколь угодно малый элемент
линии обладает сопротивлением и индук-
тивностью, а между проводами — прово-
димостью и емкостью, т. е. рассматри-
вать линию как цепь с распре-
деленными параметрами. Та-
кую линию называют длинной.
Будем считать сопротивление, индук-
тивность, проводимость и емкость рав-
номерно распределенными вдоль линии,
что является некоторой идеализацией
действительных условий. Такую линию
условимся называть однородной.
Об идеализации надо говорить пото-
му, что в реальных воздушных линиях
электропередачи (ЛЭП) и связи утечку
тока через гирлянды изоляторов нужно
рассматривать как совокупность ряда
344
В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
сосредоточенных процессов. Кроме того,
провес проводов на длине пролета ЛЭП
изменяет равномерность распределения
их емкости, индуктивности и сопротив-
ления. У линии связи — двухпроводного
кабеля со скрученными проводами,, стро-
го говоря, также есть неравномерность
распределения параметров.
20.2. Уравнения однородной
двухпроводной линии
Составим дифференциальные уравне-
ния, которым удовлетворяют напряже-
ния и токи в любом сечении двух-
проводной линии.
Условимся называть верхний провод
(рис. 20.1) двухпроводной линии пря-
мым, а нижний — обратным. Поло-
жительные направления тока и напряже-
ния выберем, как показано на рис. 20.1.
Пусть известны первичные па-
раметры однородной линии,
отнесенные к единице ее длины: г0 —
сопротивление прямого и обратного
проводов; Lq — индуктивность петли,
образуемой прямым и обратным про-
водами; gQ — проводимость (утечка)
между проводами; Со — емкость между
проводами.
Длинную линию можно представить
в виде множества соединенных в це-
почку бесконечно малых элементов
длиной dx, каждый из которых имеет
сопротивление r0 dx и индуктивность
Lq dx, проводимость д0 dx и емкость
CQdx (рис. 20.1). Сопротивление rodx
и индуктивность Lq dx будем считать
включенными в один провод.
Обозначим через х расстояние от
начала линии до текущего элемента ее
длины. Мгновенные значения напряже-
ния и тока в начале выбранного эле-
мента линии dx обозначим через и и i,
а в начале следующего — через и +
du di ,
-F —dx и i -F dx.
дх дх
t'odx Lodx l_ & rodx Lodx
Для элемента линии длиной dx на
основании законов Кирхгофа
и — I и + ^dx 1 = rodxi + Lo dx -т~;
\ dx J ct
/ di . \ f du . \ .
i — \ i + -—dx = \ и + ——dx Qq dx +
у ox \ dx j
+ CQdx — и + -г— dx
dt \ dx
Приводя подобные члены, пренебре-
гая величинами второго порядка ма-
лости и сокращая на dx, получаем
дифференциальные уравнения
— du/dx = г Qi + Lq di/dt', (20.1)
— di/dx = QqU + CQdu/dt. (20.2)
Решение полученной системы урав-
нений в частных производных при опре-
деленных начальных и граничных усло-
виях дает возможность определить ток
и напряжение Как функции расстояния
от начала линии и времени. Эти урав-
нения справедливы при любых измене-
ниях тока и напряжения во времени.
20.3. Установившийся режим
в однородной линии
Рассмотрим установившийся режим
в длинной линии при синусоидальном
напряжении источника питания. Перепи-
сывая уравнения (20.1) и (20.2) для
установившегося режима и вводя комп-
лексные напряжения, токи, сопротивле-
ния и проводимости, получаем
— dU/dx = (г0 + j(^L0)I — ZqI ; (20.3)
- di/dx = (^о + jeoCo) U = Yo U, (20.4)
где Zq = r0 + ycoLo ~ комплексное сопро-
тивление и Yq — д0 + jcdC0— комплексная
проводимость линии единичной длины.
Подчеркнем, что Zo и Уо не явля-
ются величинами, обратными друг
ДРУГУ-
Продифференцируем уравнения (20.3)
и (20.4):
- d2U/dx2 =Z0 di/dx;
- d2I/dx2 = YqdU/dx
и заменим di/dx и dU/dx согласно (20.4)
и (20.3). В результате получим
d2U/dx2 = ZqYqU; (20.5)
d2I/dx2 = ZqYqI. (20.6)
Дифференциальные уравнения (20.5)
и (20.6), определяющие изменения комп-
лексных напряжения и тока вдоль ли-
нии, одинаковы. Поэтому достаточно
найти, например, закон изменения нап-
ряжения U, а ток можно получить из
(20.3).
Решение (20.5) — линейного диффе-
ренциального уравнения второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами —
имеет вид
U = А1е~ух + А2еух =
= + Д2еахе/рх, (20.7)
345
где коэффициент распростра-
нения
у = а + jp = |/zoj^ =
= ]/(ro + >L0) (до + >С0) J (20.8)
Ai, А2 — комплексные постоянные ин-
тегрирования.
Ток I согласно уравнению (20.3)
'1 dU у
(20.9)
Знаменатель (20.9), имеющий размер-
ность сопротивления, называют вол-
новым сопротивлением ли-
нии ZB. Для однородной линии, рас-
сматриваемой между ее входными и
выходными выводами как четырехпо-
люсник, волновое сопротивление совпа-
дает с характеристическим, т. е.
ZB = ZC = Zce^|/zo/ro =
Г° +^° = /—е*, (20.10)
до + j<oCo у Уо
где
0 = 1 arctg ю(^о£° ~2Г^ .
2 годо + со LqCq
(20.11)
Волновое сопротивление и коэффи-
циент распространения называются
вторичными параметрами од-
нородной линии.
Подставив Zc в (20.9), запишем
I = (20.12)
Выразив комплексы Ах и А2, имею-
щие размерность напряжения в пока-
зательной форме
А1 А2 =
запишем мгновенные значения напряже-
ния и тока:
и = ]/2Ate~ах sin (cor - Рх + +
+ |/2A2e“x sin (cor + рх + ф2), (20.13)
i = е «*sin (м _ рх _ 0) _
— sin (cor + рх + \|/2 — 0). (20.14)
Каждое из слагаемых правой части
двух последних выражений можно рас-
сматривать как бегущую Волну,
движущуюся в направлении возрастания
или убывания координаты х и зату-
хающую в направлении движения. В са-
мом деле, каждое из слагаемых в любой
фиксированной точке х = хх представ-
ляет собой периодическую функцию
времени. В любой же фиксированный
момент времени г = tr каждое из слага-
емых представляет собой затухающее
колебание вдоль линии (т. е. с измене-
нием х).
Основными характеристиками бегу-
щей волны являются фазовая скорость
и длина волны.
Фазовой скоростью волны с
называется скорость перемещения фазы
колебания, которая в течении времени г
и по мере увеличения расстояния х,
пройденного волной, остается постоян-
ной, т. е.
<х>Г — рх + ф1 = const,
откуда следует, что -^-(сог — рх + vl/J =
at
= 0 и
dx/dr = c = со/р. (20.15)
Аналогичное исследование второго
слагаемого правой части равенства
(20.13) дало бы для фазовой скорости
такое же значение, но с обратным
знаком. Отсюда заключаем, что эти сла-
гаемые могут рассматриваться как вол-
ны, движущиеся в противоположных
направлениях.
Длиной волны X называется рас-
стояние между ближайшими двумя точ-
ками, взятое в направлении распростра-
нения волны, фазы колебания в которых
различаются на 2л. Следовательно, для
первого слагаемого равенства (20.13)
получим
cor — р (х + X) + \|/i = wr — рх + ф1 — 2л,
откуда х = 2пур (20,16)
346
и
с = со/р = 2я//р = Х/ = X/7J
т. е. за время, равное периоду, волна
пробегает расстояние, равное длине
волны.
Условимся волну, движущуюся от
начала линии, называть прямой, а
движущуюся от конца линии — обрат-
ной (встречной).
Затухающая прямая волна представ-
лена на рис. 20.2. Для ее изображения
строят огибающие +]/2Л1е”ах и впи-
сывают волну в область, ограниченную
огибающими.
Выберем теперь положительные на-
правления напряжений и токов отдель-
ных волн. Так как оба слагаемых
в правой части равенства (20.7), опреде-
ляющие напряжение U, входят с поло-
жительными знаками, то вполне естест-
венно выбрать положительные напра-
вления напряжений прямой и обратной
волн совпадающими с положительным
направлением напряжения U, т. е. от
прямого провода линии к обратному
(см. рис. 20.1).
Для тока существуют две возмож-
ности. Можно оставить оба слагаемых
в правой части равенства (20.12) с раз-
личными знаками или же поставить
между слагаемыми знак плюс, а минус
включить в состав второго слагаемого.
Будем определять ток I как разность
токов прямой и обратной волн, т. е.
положительное направление тока прямой
волны выберем совпадающим с поло-
жительным направлением тока /, а по-
ложительное направление тока обратной
Рис. 20.2
волны — противоположным положи-
тельному направлению тока I.
В соответствии с этим можно запи-
сать
и = ипр + ио6-, (20.17)
где
t/np = Uo6 = Л2еГ;
/пр = /об = ^еГ.
"с
(20.18)
Из (20.18) вытекает, что токи и на-
пряжения как прямой, так и обратной
волны связаны между собой законом
Ома:
/пр = Unp/Zc; 1об = Uo6/Zc. (20.19)
Введенные понятия о прямых и
обратных волнах в линиях при уста-
новившемся синусоидальном режиме об-
легчают представление и анализ про-
цессов. Однако нужно иметь в виду,
что физически существуют в линии
только результирующие ток I и напря-
жение U и что разложение их на пря-
мые и обратные волны следует считать
лишь удобным приемом.
Кривые распределения мгновенных
значений напряжений и токов также
имеют волнообразный характер (рис.
20.3). Они показывают, что в каждый
данный момент времени как результи-
рующие токи и напряжения, так и токи
и напряжения прямой и обратной волн
в различных точках линии могут разли-
Рис. 20.3
347
чаться не только по значению, но и по
знаку.
Отметим, наконец, что все получен-
ные результаты применимы и к трех-
фазным симметричным или несиммет-
ричным, но транспонированным линиям.
В этом случае напряжение U и ток I —
это фазное напряжение и ток, а пара-
метры r0, Lo, Со и gQ должны быть
отнесены к одной фазе.
Пример 20.1. Трехфазная линия передачи
электроэнергии Куйбышев — Москва длиной
/ = 900 км в начальном периоде ее эксплуа-
тации работала при напряжении (7Л = 400 кВ
и частоте f = 50 Гц. Согласно одному Из
вариантов проекта первичные параметры ли-
нии имеют следующие значения: г0 = 0,08
Ом/км; Lo = 1,336-10"3 Гн/км; Со = 8,6-10“9
Ф/км; потери Ро в изоляции и на корону
составляют 2000 Вт/км на одну фазу.
Определить вторичные параметры, длину
волн|»1 и фазовую скорость.
> Решение. Из формулы Ро — 17ф^0
цдйдем проводимость:
до = Ро/и2ф = 2000/(400/|/3)2 106 =
= 3,75-IO’8 См/км.
Комплексные сопротивление и проводи-
мость на 1 км:
?о = г о + = 0,427 z. 79° 13' Ом/км;
Jo = 9о + JwCo = 2,7-10“6 zl -90° См/км.
Характеристики линии:
Zc = ]/z0/y0 = 397 - 5°23' Ом;
X = ZioFo = 1,073 10~3 zl 84°37' км -1;
а % 0,8-7-10“3 дБ/км; 0 — 1,068-10“3 рад/км;
X = 2л/0 = 5880 км; с = Xf = 294000 км/с.
20.4. Уравнения однородной линии
с гиперболическими функциями
В (20.7) и (20.12) постоянные Ах и А2
можно определить, если известны гра-
ничные условия.
Пусть заданы напряжение Ux и ток
1Х в начале линии (х = 0). Отметим,
что выбрать произвольно и Ui и —
значит задать определенное сопротивле-
ние нагрузки ZH в конце линии. Если
же, наоборот, задано сопротивление на-
грузки ZH, то выбрана может быть
только одна из величин Ui или
Из (20.7) и (20.12) при х = 0 получим
= 4i + 4?; h?c = 41 “ 4з, откуда
=у(У1 +hzcy,
i42=y(U1-/1Zc). (20.20)
Подставив 4i и А2 в (20.7) и (20.12),
для напряжения U и тока I в любой
точке линии (на расстоянии х от ее
начала) получим
U=^(U1+I1Ze)e~lx +
-'4(W
е~!х -
Группируя члены в правой части и
вводя гиперболические функции ch ух. и
shyx, будем иметь
= Ux ch ух — IxZcshyx;
r Ui elx-e~lx T elx + e~lx
z, z "'1 ~------------------
I/, .
= — sh ух + 11 ch yx.
"C
(20.21)
Эти формулы позволяют определить
ток и напряжение в любой точке линии
по их значениям в начале линии.
Пусть теперь заданы значения напря-
жения U2 и тока 12 в конце линии,
т. е. задан режим приемника, а значит,
и сопротивление ZH = U2/I2.
В этом случае целесообразно отсчи-
тывать расстояние текущей точки от
конца линии. Обозначив его через х', по-
лучим х = / — х', где I — длина всей ли-
нии. При новом обозначении из, (20.7)
и (20.12) найдем
U = 41е“1/еГ' + 42е7/е-^';
IZC = 41е-1'еГх' - 42е//е-1х'.
348
Обозначим еще А3 = I1; Л4 =
= А2&1 и условимся, отсчитывая рас-
стояния от конца линии, обозначать их
для упрощения записи снова через х.
При этом никакой путаницы внесено не
будет, так как в каждом конкретном
случае по заданным напряжениям и
токам Uu h или U2, Z2 видно, откуда
отсчитываются расстояния. Следова-
тельно,
С/ = Л3еР + Я4е-Р; )
IZC = A3elx - А^-1Х, J
где А3е1х — напряжение прямой волны,
a А^~1Х — обратной.
Из (20.22) при х = 0 получим
U2 = А3 4- Л4; Z2ZC = А3 ~~ А^
откуда
==“2"(Lf2 + 1.2? с) > A±= — (U2 — I_2ZC\
(20.23)
Подставляя (20.23) в (20.22), груп-
пируя члены и вводя гиперболические
функции ch ух и shyx, получаем
U = (Z2chyx 4- Z2Zcshyx; 'J
U2 ~ ~ Г (20-24)
[ = ——sh ух 4- Z2 ch ух. J
К (20.24) относятся все замечания,
сделанные выше относительно (20.21).
Соотношения для линий постоянного
тока, у которых сопротивление про-
водов и утечка между проводами, обус-
ловленная несовершенством изоляции,
равномерно распределены вдоль линии,
могут быть получены как частный
случай из выведенных соотношений
(20.24) при со = 0. В самом деле,
со = 0 означает, что при постоянных во
времени токах и напряжениях отсут-
ствуют ЭДС самоиндукции (но не маг-
нитное поле между проводами) и токи
смещения между проводами (но не
электрическое поле между ними). Поэто-
му, положив в (20.8) и (20.10) со = 0,
получим для линий постоянного тока
Y = а = ]/годо; Zc = гс = ]/г0/д0. (20.25)
Кроме того, для линий постоянного
тока не приходится говорить ни о каких
фазовых соотношениях, т. е. ни о каких
сдвигах по фазе между напряжениями и
токами. Поэтому, например, формулы
(20.24) для линии постоянного тока
перепишутся так:
U = l/2chax + Z2rcshax;
ц [ (20.26)
I = ——sh ax 4-12 ch ax. J
rc
Пример 20.2. По результатам примера
20.1 определить: 1) ток в Москве (конец
линии); 2) напряжение и ток на Волжской
ГЭС им. В. И. Ленина в Куйбышеве (на-
чало линии); 3) сдвиг фаз между напря-
жениями в начале и в конце линии;
4) КПД линии, если в конце линии (в
Москве) известны:
Р2 — 300 МВт; и2л — 1/3 -220 кВ; cos<p2 = l.
Решение. Положим U2 = С72ф =• ^2ф —
= 220 кВ.
1) Ток в Москве при активном сопро-
тивлении нагрузки (cos<p2 = 1)
/2 = I2 = ^/(З^фСОБфг) = 455 А.
2) Значения гиперболических функций от
комплексного аргумента у/ = 0,0906 4-J0,962
можно найти, например, по таблицам или
при помощи микрокалькулятора по форму-
лам
sh у/ = ~(е1/ — е~^) =
= —1,0947 55° -—0,914 -55° =
2 2
= 0,824 zl 86°23';
еЬ yl = + е~*') = 0,581 zl 7°22'.
Напряжение и ток на ГЭС найдем
по (20.24):
U = CJ2ch у/ 4- Z2Zcsh у/ = 222 z. 47°30' кВ;
и2
Ц —-----sh у/ 4- Z2 ch у/ = 548 z. 63° 10' А,
т. е. ток в начале линии опережает по
фазе напряжение на угол 15°40'.
3) Так как U2 — U2, то сдвиг фаз между
напряжениями в начале и в конце линии
равен 47°30'.
4) Активная мощность, отдаваемая ГЭС
в линию,
Pi =3U1Z1cos<p1 = 3-222 • 548 cos (47°30'—
- 63° 10') = 352 МВт,
349
и КПД линии
ц = p2/Pj = 300/352 = 0,853.
/
20.5. Характеристики однородной
линии
В связи с тем что напряжения
и токи в линиях можно получить на-
ложением прямых и обратных волн,
принимают определенные наименования
введенные выше величины. Комплексная
величина у называется коэффициен-
том распространения, а -
коэффициентом ослабления,
р — коэффициентом фазы (иног-
да добавляют на единицу длины).
В,сам ом деле, из формул (20.13), (20.14)
и последующих видно, что а характери-
зует ослабление (затухание) амплитуд
прямой и обратной волн, а р, входящее
в аргумент синуса, характеризует из-
менение фазы волны в зависимости от
координаты х точки линии. Коэффициент
ослабления определяют в децибелах (или
неперах) на единицу длины (см. при-
мер 20.1), а коэффициент фазы — в ра-
дианах на единицу длины.
Для подсчета ос и р и для по-
строения их частотных характеристик
можно обратиться к формулам
а =
+ rogo - &2LqCq) ;
(20.27)
+ q^LqCq —
₽ =
которые получены из (20.8). В частности,
в отношении коэффициента фазы надо
сделать вывод, что он монотонно воз-
растает с увеличением частоты.
Сопротивление Zc определяет токи
прямой и обратной волн по соответ-
ствующим напряжениям (20.19). Средние
значения модуля Zc для воздушных ли-
ний 300 - 400 Ом, а для кабелей
60—80 Ом. У кабелей емкость Со зна-
чительно больше, а индуктивность Lq
меньше, чем у воздушных линий, так
как провода кабеля расположены ближе
друг к другу, а относительная ди-
электрическая проницаемость изоля-.
ции — порядка 4 — 5. Поэтому zc кабелей
в 6 — 8 раз меньше, чем воздушных
линий.
350
Построение частотных характерис-
тик для zc и 0 может быть выполнено
по 00.10) и (20.11). На рис. 20.4 даны
кривые изменения модуля zc и аргумента
0 волнового сопротивления для воздуш-
ных и кабельных линий. Из (20.10) вид-
но, что при со = 0
= V^ig0, (20.28)
а при со = оо
ze = j/Lo/Co. (20.29)
Как для воздушной, так и для ка-
бельной линии всегда r0/g0 > L0C0, что
объясняется в отношении всех линий
незначительным значением проводимос-
ти утечки д0 и дополнительно в отно-
шении кабельных линий — довольно
большой емкостью Со.
Поскольку практически соСо »до,
аргумент комплекса д0 + ;соСо в знамена-
теле выражения (20.10) близок к 90°
и больше аргумента комплекса г0 +
в числителе. Поэтому аргумент 0 волно-
вого сопротивления обычно отрицателен.
Из (20.11) следует, что 0 = 0 при
со = 0 и со = оо.
Фазовая скорость волн в линиях
определяется, как следует из (20.15),
коэффициентом фазы р.
Ниже (см. § 20.9 и 20.11) будет
показано, что для линий без искажений
(г0 /до = Lo /Со) и для линий без потерь
Оо = 0; во = 0)
с (20.30)
YLqCq \/wr
где с0 — скорость света в вакууме;
бг и — относительные диэлектрическая
Рис. 20.5
и магнитная проницаемости диэлектри-
ка, окружающего провода.
У воздушных линий 8Г» 1 и « 1
и при отсутствии потерь скорость волн
с практически равна с0- В кабелях с
ег« 4 4- 5 скорость волн в 2 — 2,5 раза
меньше с0- В воздушных линиях с по-
терями фазовая скорость, хотя и не-
много, но все же меньше с0.
На рис. 20.5 показаны зависимости
фазовой скорости от частоты для
однородных воздушных и кабельных
линий связи. Из них видно, что при
f 1000 Гц фазовая скорость в воздуш-
ных линиях с медными и биметалли-
ческими проводами почти достигает с0,
в то время как в линиях со стальными
проводами и кабельных линиях она при
f « 1500 Гц еще примерно вдвое мень-
ше cQ.
В воздушных ЛЭП, для которых
скорость с близка к с0 при f = 50 Гц,
длина волны
X = сТ » с0// = 6000 км.
Например, строительство Волжских
гидростанций потребовало сооружения
линий длиной около 1000 км для переда-
чи энергии этих гидростанций в Москву.
Даже на таких линиях укладывается
сравнительно небольшая доля длины
волны и нельзя наблюдать волнооб-
разного изменения тока или напряже-
ния по длине, а можно наблюдать
лишь их монотонное изменение.
Волнообразное изменение напряже-
ния и тока вдоль линии можно наблю-
дать в устройствах связи, где линии
соединяют, например, радиопередатчик с
антенной. Для передатчиков, рабохаю-
щих в диапазоне коротких волн, длина
линии может быть во много раз больше
длины волны.
20.6. Входное сопротивление линии
При исследовании процессов в ли-
нии часто важно знать входное
сопротивление линии. Под вход-
ным сопротивлением линии ZBX пони-
мают сопротивление двухполюсника, ко-
торым можно заменить линию вместе
с приемником на ее конце при расчете
режима в начале линии. По определе-
нию и с учетом (20.24) получим
L/i U2chyl 4- /2Zcshy/
- “ = 1 11
—sh yl + I_2 ch yl
Z„ + zcthyl
7 ____________
~c ZHthy/ + Z/
(20.31)
Входное сопротивление при любом
сопротивлении нагрузки ZH можно выра-
зить через входные сопротивления ли-
нии при холостом ходе Zx и коротком
замыкании ZK. Из (20.31) находим при
Рис. 20.6
351
холостом ходе (ZH — оо; 12 = 0)
GTlx U2chyl
Т~= (UJZJshVl =
Zc
"?'ah-’" = S7 ,2ft321
и при коротком замыкании (ZH = 0;
U 2 = 0)
1Л|К J2Zcshv/
Zk = = - = = Zc th yl. (20.33)
Zik /2chy/
Разделив числитель и знаменатель
правой части (20.31) на th у/, с учетом
(20.32) и (20.33) получим
ZH 4- Z
ZBX = Zx = ^вхе/Фвх. (20.34)
Zll ' Zx
Этой формулой удобно пользоваться,
если известны Zx и ZK, которые могут
быть определены, например, из опытов
холостого хода и короткого замыкания
линии.
Анализ показывает, что zBX и срвх
изменяются волнообразно как при из-
менении длины линии /, так и при
изменении частоты/. Сказанное иллюст-
рируют рис. 20.6 — 20.8.
На рис. 20.6 показано изменение
zK и zx для медной двухпроводной
воздушной линии связи при диаметре
проводов 3 мм и при частоте
f = 800 Гц (X = 375 км) в зависимости от
длины линии /. На рис. 20.7 дано
изменение zBX, а на рис. 20.8 — изме-
нение срвх медной линии связи в функ-
ции частоты при zH = zc/2 и при
zH = 2zc (в обоих случаях фн = 9).
Отметим также, что через входные
сопротивления линии при холостом ходе
и коротком замыкании легко выразить
Zc и у. Перемножив, а затем разде-
лив почленно (20.32) и (20.33) и извлекая
корень, получим
Zc = ]/Z^; (20.35)
thY( = l/z?/Zx. (20.36)
20.7. Коэффициент отражения волны
В § 20.4 было показано, что при
произвольном сопротивлении нагрузки
ZH в конце линии коэффициент Л4 / 0
[см. (20.23)], т. е. в линии возникает
обратная волна. Это можно учесть,
введя так называемый комплексный
коэффициент отражения волны
и определив его в общем случае как
отношение комплексов напряжений или
токов обратной и прямой волн в любой
точке линии:
//об £об у446 -Х
О = -----=---=-----------—
~~ V. пр /пр _^Зе
//2 - LiZc ,
-----------Q-2yx
и 2 + [2ZC
Zn - Zc э
Г-^-е-2^x. (20.37)
В более узком смысле слова коэф-
фициент отражения определяется в точ-
ках, где есть какая-либо неоднородность
(конец или начало линии).
Отсутствие обратной волны имеет то
преимущество, что вся мощность, пере-
носимая прямой волной к концу линии,
поглощается сопротивлением нагрузки.
При наличии обратной волны часть
мощности прямой волны возвращается
источнику обратной волной. Поэтому
мощность в сопротивлении нагрузки
будет меньше, если считать, что мощ-
ность источника остается неизменной.
352
20.8. Согласованная нагрузка линии
Если в конце линии включено
сопротивление нагрузки, равное волно-
вому: ZH = Zc = С2//2, обращаясь к
формулам (20.23), находим
А3 = U2; Л4 = 0, (20.38)
т. е. отраженная волна не возникает.
Такую нагрузку называют согласо-
ванной нагрузкой или нагруз-
кой без отражения. При этом,
как следует из (20.37), коэффициент
отражения р = 0.
Из написанных выше соотношений
с учетом (20.38) получим
U = Unp = U2^x; Uo6 = 0; (20.39)
L = Znp =
//пр и2
= y-eyx = /2eYX;
/об = 0. (20.40)
(20.41)
отноше-
Отсюда следует
U //2 Ci
т-г-т-г-
т. е. для любой точки линии
ние комплексов U и / равно волно-
вому сопротивлению Zc. Поэтому режим
работы генератора, питающего такую
линию, не изменится, если в любом
сечении линии ее разрезать и вместо
отрезанной части линии включить волно-
вое сопротивление. Режим работы остав-
шегося участка линии также не изме-
нится.
Из (20.31) следует, что для согласо-
ванной линии (ZH = Zc) входное сопро-
тивление ZBX = Zc.
Полагая начальную фазу напряжения
в конце линии равной нулю, т. е.
U2 = П2, запишем на основании (20.39)
и (20.40) мгновенные значения напря-
жения и тока в любой точке линии:
u = t/2me“xsin(cor + 0х);
i = ^"Leax sin (cof + — 0).
(20.42)
Полученные соотношения изображе-
ны на рис. 20.9. Точки пересечения оси
абсцисс с кривыми напряжения и тока
сдвинуты на расстояние 0/0, причем
согласно сказанному в § 20.5 угол 0 < 0.
Рис. 20.9
Поэтому, применяя термины, справедли-
вые, строго говоря, только для синусо-
идальных величин, можно сказать, что
ток опережает по фазе напряжение на
угол 101. Напряжение и ток в раз-
личных точках линии различаются не
только по амплитуде, но и по фазе.
Мощность в любом сечении линии
IJ2
Р = L//COS0 = ——e2axcos0.
Zc
(20.43)
Эта мощность уменьшается по мере
удаления от начала, так как на каждом
элементе длины линии
U2
dP = 2a —^-e2axcos0dx =
Zc
= (r0I2 + g0U2)dx, '(20.44)
мощность потерь равна сумме потерь в
сопротивлении проводов и в проводи-
мости изоляции на элементе линии dx.
Равенство средней и правой частей
соотношения (20.44) можно показать
после преобразований.
Мощность, передаваемая по согласо-
ванной линии, называется естественной
или натуральной. Режим передачи ес-
тественной мощности может иметь
место в линиях, если сопротивление
нагрузки равно волновому сопротивле-
нию. Средние значения естественной
мощности для линий 500, 400, 220,
110 и 35 кВ соответственно равны
600, 360, 120, 30 и 3 МВт. Отсюда
видно, как сильно увеличивается естест-
венная мощность с увеличением напря-
жения линии.
12 Основы теории цепей
353
Мощность, получаемая линией, Pi =
= C1Z1cos0, мощность в конце линии
Р2 = L/272 cos0.
На основании (20.39) и (20.40)
Pi = UJi cos 0 = С272е2а/ cos 0 = P2e2a/
(20.45)
и КПД линии
n =р2/р1 =e-2a/. (20.46)
Все сказанное здесь о согласованной
линии применимо и к бесконечно длин-
ной линии, поскольку в последней не
может возникнуть отраженная волна.
20.9. Линия без искажении
Если считать токи и напряжения
линии связи и телемеханики неси-
нусоидальными, но периодическими, то,
разлагая их в тригонометрические ряды
(дискретные спектры), можно к каждой
гармонике применить полученные ре-
зультаты. Однако токи и напряжения
таких линий, соответствующие переда-
ваемым по ним речи и музыке и
другим сигналам, — непериодические
функции времени. В этом случае най-
денные соотношения можно применить,
разлагая непериодические токи и напря-
жения в непрерывный спектр (см.
гл. 16).
Подчеркнем некоторые особенности
линий связи. У кабельных линий связи
из-за близкого расположения проводов
относительно друг друга индуктивное
сопротивление х0 = мало по сравне-
нию с активным rQ и им в первом
приближении можно пренебречь. Точно
так же активной проводимостью gQ
между проводами можно пренебречь по
сравнению с реактивной проводимостью
Ьо = соСо. Поэтому, полагая LQ = 0 и
д0 = 0 и, следовательно, Zo — ro5 Yo =
= jcoCo, из общих формул (20.27) и
(20.10) получим
а = ₽ =
у^оюСо;
Из этих соотношений видно, что
коэффициент ослабления а и коэффи-
циенты фазы р пропорциональны квад-
ратному корню из частоты. Поэтому
гармоники более высоких частот зату-
хают сильнее, что приводит к искаже-
нию речи, музыки и других сигналов,
т. е. к так называемым амплитудным
искажениям. Фазовая скорость также
зависит от частоты. Зависимость фазо-
вой скорости от частоты приводит к
изменению формы кривых токов и на-
пряжений в конце линии по сравне-
нию с их формой в начале линии.
Эти искажения называются фазо-
выми. Амплитудные искажения также
изменяют форму кривых. Подчеркнем
особо, что при высоких частотах
г0 coLp; д0 <$с о)Со и согласно (20.27)
Р = со]/LqCq. Поэтому фазовая скорость
не зависит от частоты и фазовые иска-
жения практически отсутствуют. Далее
отметим, что из-за амплитудных и фазо-
вых искажений кабельные линии связи
без особых приспособлений непригодны
для передачи речи, музыки и других
сигналов на большие расстояния.
Воздушная или кабельная линия свя-
зи, не снабженная специальными усили-
телями, пригодна для передачи сигналов,
если коэффициент ослабления а не зави-
сит от частоты и невелик. Так как
сохранение тембра звука, разборчивости
речи и формы сигнала определяется
высшими гармониками, то исследование
выражения а на минимум как для ка-
бельных, так и для воздушных линий
связи надо проводить, полагая частоту со
достаточно большой, а следовательно,
выражения rQ/<£)LQ и д^/^С^ достаточно
малыми.
При этих условиях из (20.27) после
некоторых преобразований будем иметь
— у (го ]/^о /^о + до /Со).
Рассматривая а как функцию отно-
шения z — Lq/Со, найдем минимум а в
функции z. Приравняв du/dz = 0, получим
значение z, при котором а минимально:
Lo/Co = ro/c/o. (20.47)
Любопытно отметить, что это усло-
вие было получено Хевисайдом еще в
1893 г.
354
Значение amin и коэффициент фазы 0
найдем из общих формул (20.27) для а
и Р с учетом условия (20.47):
&min ~~ ]/Го9о j
Р — (0 |/ZqCo
(20.48)
Линию, удовлетворяющую условию
(20.47), у которой, следовательно, коэф-
фициент ослабления не зависит от часто-
ты и минимален, называют линией
без искажений.
При тех же условиях согласно (20.10)
волновое сопротивление
Zc = ]/LJC~0 = ; 0 = 0. (20.49)
Иначе говоря, волновое сопротивле-
ние линии без искажений не зависит
от частоты и активное.
Фазовая скорость в линиях без
искажений также не зависит от часто-
ты:
с = со/р = 1/]/Цс~0. (20.50)
20.10. Холостой ход, короткое
замыкание и нагрузочный
режим линии с потерями
Рассмотрим холостой ход линии.
Если в нагрузочном режиме напряже-
ние и ток в конце линии были U2 и
12, то после отключения приемника
(/2 = 0) напряжение на конце ее при
неизменном напряжении Ui в начале
линии изменится. Изменив напряжение
в начале линии так, чтобы напря-
жение в конце линии осталось равным
U2, из (20.24) при холостом ходе по-
лучим
ch ух; IK — -^^-shyx. (20.51)
4с
Если теперь, не изменяя напряжения
в начале линии, закоротить ее на кон-
це, ток на конце уже не будет равен
/2 и в ряде случаев возрастет. Изме-
нив напряжение в начале линии так,
чтобы ток в конце короткозамкнутой
линии стал равным 72, из (20.24) по-
лучим
Uк = /2 Zc sh ух; 7К = /2 ch ух. (20.52)
На основании соотношений (20.24),
(20.51) и (20.52) можно при этих усло-
виях написать
U = UK + UK; I = /х + /к. (20.53)
Полученные формулы показывают,
что действительные ток и напряжение
в любой точке линии могут быть разло-
жены на составляющие холостого хода
и короткого замыкания, чем иногда
удобно пользоваться в расчетах. Напри-
мер, при расчете распределения тока и
напряжения вдоль нагруженной линии
с потерями можно сначала найти состав-
ляющие напряжений и токов при хо-
лостом ходе и коротком замыкании
в отдельности, а затем, геометрически
суммируя их, получить действительные
токи и напряжения.
При холостом ходе напряжения и
токи в любой точке линии можно
определить, заменив ch ух и shyx их
модулями:
Ux = | C/2ch(ax + jpx) I
и
2 2 ch 2ax + cos 2рх
с' х — с/2 ------~--------j
и2
— sh(ax +jpx)
и
2 _ U2 ch2ax — cos2Px
х ~~zT 2 ’
На рис. 20.10 построены кривые
ch2ax и cos2px в зависимости от х,
Рис. 20.10
12
355
а также кривые ch2ax + cos2px, орди-
наты которых пропорциональны U\ и
/2Х. Эти кривые показывают, что
и /2Х изменяются с чередующимися
максимумами, причем значения их по-
степенно увеличиваются, а отношение
максимума к минимуму стремится к
единице. В конце линии ток равен
нулю, а напряжение имеет максимум.
Характер изменения кривых 1/х и /х тот
же, что и кривых U\ и /2Х, но с
меньшими пульсациями.
Входное сопротивление линии при
холостом ходе было найдено выше
(20.22). С изменением длины линии I
мнимая часть комплекса th yl изменяет
знак, т. е. реактивная составляющая Zx
имеет то емкостный, то индуктивный
характер.
Подобным же образом зависит вход-
ное сопротивление линии при холостом
ходе и от частоты. При изменении
частоты изменяется не только значение,
но и знак аргумента входного сопро-
тивления.
Отметим, что при холостом ходе
коэффициент отражения (20.37) в конце
линии р = 1. Это значит, что комплекс-
ные напряжения (и ток) прямой и об-
ратной волн в конце линии равны по
абсолютному значению и по знаку
(находятся в фазе), т. е. отражение вол-
ны от разомкнутого жонца линии про-
исходит без перемены знака.
На рис. 20.11 и 20.12 приведены
для некоторого момента времени кри-
вые напряжения и тока прямой и об-
ратной волн при холостом ходе, а также
кривые результирующих напряжения и
тока холостого хода.
Аналогично может быть найдено
распределение токов и напряжений при
коротком замыкании линии.
На основании (20.52) значения напря-
жений и токов в любой точке линии
могут быть определены по формулам
тт2 т2 2 ch 2ах — cos 2рх
к == -<2^с 2 ’
2 2 ch 2ах -I- cos 2рх
7 к = 7 2------------•
Полученные соотношения показы-
вают, что кривая I/2 аналогична кри-
X
Рис. 20.12
вой 7 2 на рис. 20.10, а кривая 7 2
аналогична кривой L/2X.
Входное сопротивление линии при
коротком замыкании было найдено
выше (20.33). Отметим, что и в этом
случае реактивная составляющая ZK в
зависимости от длины линии и от
частоты изменяет знак.
Как следует из соотношения (20.47),
при коротком замыкании коэффициент
отражения в конце линии р = — 1. Это
означает, что комплексные напряжения
(и ток) прямой и обратной волн равны
по абсолютному значению и противо-
положны по знаку (находятся в противо-
фазе), т. е. отражение волны от коротко-
замкнутого конца линии происходит с
переменой знака. Кривые прямой и об-
356
ратной волн напряжения и тока, а также
кривые результирующих напряжения и
тока при коротком замыкании аналогич-
ны соответственно кривым тока и напря-
жения при холостом ходе.
Пример 20.3. По данным примера 20.2
определить напряжение в конце линии (в
Москве) и ток в начале линии (на ГЭС)
при сбросе всей нагрузки в конце линии и
сохранении фазного напряжения на ГЭС,
равного 220 к£.
Решение:
С/2х = t/ix/chy/ = 220/0,581е/7°22' =
= 382^ —7°22' кВ;
У2х,л = |/3- 382 = 661,5 кВ.
Повышение напряжения при холостом
ходе
ди = 3822~0220 100 = 73,6 %;
иг
/1Х = —sh fl = 792 zc 84°23' А.
1 '
Интересно отметить, что и ток в начале
линии при холостом ходе получился на
45 % больше того же тока в режиме
нагрузки: 71х = (792/548)Ц = 1,45/ь хотя на-
пряжение в начале линии во втором случае
(17!= 220 кВ) почти равно напряжению в
первом случае (Ur — 222 кВ).
20.11. Линии без потерь
Если положить равными нулю сопро-
тивление проводов линии rQ = 0 и про-
водимость утечки между проводами
д0 = 0, то получим так называемую
линию без потерь.
Для высокочастотных коротких ли-
ний, применяемых в радиотехнике, часто
с достаточно большой точностью мож-
но пренебречь сопротивлением г0 и
утечкой gQ по сравнению с <oLo и
<оСо. Поэтому в радиотехнике очень
часто рассматривают двухпроводные
воздушные линии и коаксиальные ка-
бели как линии без потерь. Вообще же
говоря, линию без потерь следует рас-
сматривать как идеализацию действи-
тельной линии.
Из (20.8), (20.10), (20.15) й (20.16)
для такой линии получим
а = 0; р = ю]/Е^; (20.54)
Zc = l/Lo/Co = zc; 0 = 0; (20.55)
с = со/p = 1/j/Z^Q; (20.56)
, X = 2я/р, (20.57)
т. е. в лйнии без потерь нет ослабления
волн, а волновое сопротивление актив-
ное и не зависит от частоты. Точно
так же й фазовая скорость в линиях без
потерь йе зависит W частоты. Заметим,
что Р, Zc, с, X ДЛЯ линйи без йОТёрь
такие же, как и для неискажающей
линии с потерями.
Преобразуем формулу (20.56) для
фазовой’скорости к другому виду. Это
преобразование проведем, например, для
двухпроводной линии. Емкость единицы
длины двухпроводной линии, Ф/км,
= Я£г£0
° 1п(4/г0)’
(20.58)
а индуктивность той же линии, Гн/км,
Lo = ^ln(d/ro); (20.59)
It
здесь г0 ~ радиус провода; d — расстоя-
ние между осями проводов.
Подставив значения Lq и Со в
(20.56), получим
с = 1/]/£г£оРгЦо = (20.60)
где £а и ца — абсолютная диэлектри-
ческая и магнитная проницаемости фе-
ды между проводами.
Но, как известно, скорость света в
вакууме
; со = 1Д/£оРо, (20.61)
и для фазовой скорости можно запи-
сать
с = с0/|/£грг. (20.62)
Для воздушных линий £г = |ir = 1 и
фазовая скорость в вакууме совпадает
со скоростью света. Для кабельных
линий £г > 1 и с < с0.
Аргумент волнового сопротивления
линии без потерь 0 = 0, т. е. токи пря-
мой и обратной волн совпадают по
фазе с напряжениями.
Уравнения длинной линии с гипербо-
лическими функциями от комплексного
аргумента (20.21) и (20.24) для линии
357
без потерь переходят в уравнение с
круговыми функциями от действитель-
ного аргумента. Если заданы напря-
жение U х и ток /i в начале линии, то
U = L/iCospx — jliZfSinpx;
I = - j -=“-sin px -h cos px.
(20.63)
Если заданы напряжение U2 и ток I2
в конце линии, то
U — U.2 cos рх 4- jl2zcsin рх; I
и ’ > (20.64)
I — j -=^-sin + Ii cos рх. J
Входное сопротивление линии со-
гласно (20.31) и (20.54) - (20.57)
ZH +jzctg^-l
Zn = zc---------------. (20.65)
__ . Z7t
* 2, н/ 1g I 4" zc
Переходя в (20.64) к мгновенным
значениям при U2 = U2; I2 = I2e~j92,
получаем
u = и2m cos рх sin (Ы +
(7t \
cot 4- -у - Ф2 1; (20.66а)
[/2т . / к i
i = ----sin Рх sin I cot 4- ) 4-
4- I2m cos px sin (cot — cp2)- (20.666)
Кривые распределения мгновенных
значений тока и напряжения вдоль линии
на расстоянии, равном длине волны,
при ф2 > 0 для трех моментов времени
представлены на рис. 20.13. Кривые и
выражения (20.66) показывают, что рас-
пределение напряжения и тока вдоль
линии в каждый данный момент яв-
ляется синусоидальным. Из рис. 20.13
видно, как изменяются кривые распреде-
ления тока и напряжения в линии на
протяжении трети периода. Разумеется,
изменение тока или напряжения во вре-
мени в любой фиксированной точке
линии также будет синусоидальным.
Остановимся еще на свойствах ли-
ний без потерь длиной в четверть и
в половину длины волны. При I = 1/4
и р/ = (2я/1) 1/4 = я/2 из уравнений (20.64)
получим
Ui=j[2Zc; h=jU2/zc. (20.67)
В этом случае напряжение (ток) в
начале линии пропорционально току
(напряжению) в конце и опережает его
по фазе на 90°. Для поддержания
постоянного напряжения в конце линии
U2, которое может изменяться вследст-
вие изменения нагрузки на конце линии,
необходимо в начале линии поддержи-
вать постоянным не напряжение Ui9
а ток /р
Для линии длиной в половину волны
I = 1/2 и р/ = п из (20.64) имеем
= ~U2\ h = “Ь, (20.68)
т. е. напряжение и ток в начале линии
равны по абсолютному значению и про-
тивоположны по фазе напряжению и току
в конце линии. Если не считать из-
менения фазы на 180°, питание прием-
ника от источника энергии происходит
таким образом, как будто бы самой
линии передачи нет.
20.12. Стоячие волны
Рассмотрим режимы, при которых
активная мощность в конце линии без
потерь равна нулю. Это может быть
358
при холостом ходе, коротком замыка-
нии и чисто реактивной нагрузке.
При холостом ходе (12 =0, ZH = оо)
из (20.64) следует
СЛ
и = и2 cos Рх; I = j -—sin рх. (20.69)
Zc
При U2 — U2 мгновенные значения
напряжения и тока
н — C72mc°s рх sin cor;
[К
i= -----sin px cos cor (20.70)
Zc
и представляют собой уравнения стоя-
чих волн. Математически уравнение
стоячей волны представляется произве-
дением двух функций, причем аргумент
одной зависит только от времени, а дру-
гой — только от координаты.
Стоячей волной называется
процесс, получающийся от наложения
прямой и обратной волн с одинако-
выми амплитудами.
Действительно, при холостом ходе
(ZH = оо) р = 1 и, как следует из (20.37),
А3 = 44. Выражение для напряжения
(20.70) можно представить в виде суммы
(а для тока - в виде разности) напря-
жений (токов) прямой и обратной волн
с одинаковыми амплитудами:
u = -^—-sin (cor -I- рх) -I- -^у1 sin (cor - рх);
(20.71а)
i = sin (cor -I- рх) - -^^-sin (cor — px).
2zc 2zc
(20.716)
При холостом ходе на конце линии
(х = 0) и в точках, отстоящих от конца
на расстояниях х == /сл/р = /сХ/2, где к —
целое число, имеем в любой момент
времени максимумы напряжения, назы-
ваемые пучностями, и нули тока,
называемые узлами (рис. 20.14). На
расстояниях же от конца линии
х = (2/с + 1) л/2р = (2к -I- 1) Х/4 наблю-
даются узлы напряжения и пучности
тока. Узлы и пучности тока и напря-
жения неподвижны. Узлы тока совпа-
дают с пучностями напряжения и на-
оборот. Ток опережает по фазе напря-
жение на 90° на участках, для которых
Рис. 20.15
знаки sin рх и cos рх одинаковы
(0 х X/4; Х/2 х ЗХ/4 и т. д.), и от-
стает по фазе на 90° от напряжения,
если знаки sin рх и cos рх противополож-
ны (Х/4 х X/2; ЗХ/4 х < Z и т. д.).
Входное сопротивление разомкнутой
линии без потерь
Zx = “J^ctg рх = -Jzcctg —х, (20.72)
л
т. е. число реактивное, и характер его
определяется длиной линии и частотой
(или длиной волны). Изменение абсо-
лютного значения и характера входного
сопротивления в зависимости от длины
линии показано на рис. 20.15. От х = 0
до х = Х/4, от х = Х/2 до х = ЗХ/4 и т. д.
линия представляет собой емкостное
сопротивление, а от х = Х/4 до х — Х/2,
от х = ЗХ/4 до х = X и т. д. — индук-
359
LL,i
u(t)
Рис. 20.16
тивное сопротивление. При х — 0; X/2; X
и т. д. линия может быть представ-
лена параллельным резонансным конту-
ром, а при х — Х/4; Зк/4; 5Х/4 и т. д. —
последовательным резонансным конту-
ром.
При коротком замыкании (U2 — 0,
ZH = 0) из (20.64) получим
U = jl2zcsin Рх; I = /2 cos Рх. (20.73)
Мгновенные значения
и = I2mzc sin рх cos cot; i = I2m cos px sin cot,
т. e. напряжение и ток представляют
собой также стоячие волны. Для любо-
го момента времени на конце линии
(х = 0) и в точках, отстоящих от него
на целое число полуволн (ZcX/2), имеем
узлы напряжения и пучности тока, а в
точках, отстоящих от конца линии на
расстояния, равные нечетному числу
четвертей длин волн (2к + 1) Х/4, полу-
чаются пучности напряжения и узлы то-
ка (рис. 20.16). При этом пучности
напряжения и пучности тока, а также
узлы напряжения и узлы тока сдвинуты
на четверть длины волны относительно
друг друга. Напряжение опережает по
фазе ток на 90° на участках линии,
на которых знаки sin Рх и cos Рх одина-
ковы (0 х < X/4; Х/2 < х ЗХ/4 и т. д.),
и отстает на 90° от тока, если знаки
sin рх и cos рх противоположны (Х/4
х X/2; ЗХ/4 ^х^Х и т. д.).
Входное сопротивление коротко-
замкнутой линии без потерь
2п
ZK = jzc tg рх = jzc tg — х (20.74)
Л
также чисто реактивное и в зависи-
мости от длины линии и частоты может
быть индуктивным или емкостным. Из-
менение входного сопротивления в зави-
симости от длины короткозамкнутой
линии показано на рис. 20.17. Из него
видно, что от х = 0 до х = Х/4, от
х = Х/2 до х = ЗХ/4 и т. д. линия пред-
ставляет собой индуктивное сопротивле-
ние, а от х = Х/4 до х = Х/2, от
х = 3^/4 до х = X и т. д. — емкостное
сопротивление. При х = 0; X/2; X и т. д.
линия может быть заменена последо-
вательным резонансным контуром, а
при х = X/4; ЗХ/4; 5Х/4 и т. д.— парал-
лельным резонансным контуром.
Для получения линии, согласованной
с нагрузкой (см. § 20.8), приходится
включать индуктивные или емкостные
элементы параллельно и последователь-
но приемнику. В качестве такого эле-
мента при высоких частотах может слу-
жить короткозамкнутая или разомкнутая
линия без потерь. Но, воспользовавшись
линией для согласования, разумно взять
ее наименьшей длины, т. е., как пока-
зывают рис. 20.15 и 20.17, вместо
емкостного элемента выбрать разомкну-
тую линию длиной менее л/4, а вместо
индуктивного — короткозамкнутую дли-
ной менее Х/4. Длину разомкнутой ли-
нии без потерь х можно определить
при заданном хс из формулы
1 2тс
—— = хс = zc etg —х. (20.75)
соС к
360
Эту же длину х можно найти и из
кривой zx, приведенной на рис. 20.15,
если построение выполнено достаточно
точно. Длину короткозамкнутой линии
без потерь х можно определить при
заданном xL из формулы
O)L = xL = zctg —— х. (20.76)
л
Длину х можно также найти прямо
из кривой zK, приведенной на рис. 20.17.
При чисто реактивном сопротивле-
нии нагрузки ZH = ±jxH в линии также
будут стоячие волны. Действительно,
как было только что показано, емкост-
ный и индуктивный элементы могут быть
заменены отрезками разомкнутой или
короткозамкнутой линии. Следователь-
но, линия с реактивным сопротивле-
нием нагрузки ничем не отличается от
разомкнутой или короткозамкнутой ли-
нии большей длины. Только в конце
линии с реактивным сопротивлением
нагрузки не будет ни пучности, ни
узла тока или напряжения (рис. 20.18).
В узлах юк или напряжение равны
нулю в любой момент времени, поэто-
му мощность в них всегда равна нулю
и энергия через эти точки проходить
не может. Следовательно, передачу энер-
гии по линии осуществляют только
бегущие волны. В случае стоячих волн
движение энергии вдоль линии возможно
только на участках между двумя смеж-
ными узлами тока и напряжения и
связано с обменом энергией между
электрическим и магнитным полями на
каждом из таких участков. В ра-
зомкнутой или короткозамкнутой линии
длиной несколько меньше четверти вол-
ны движение энергии (обмен энергией
между генератором и линией) происхо-
дит вдоль всей линии, так как только
на конце линии есть узел тока (разомк-
нутая линия) или узел напряжения
(короткозамкнутая линия).
Предположим теперь, что у линии
без потерь активное сопротивление на-
грузки ZH = гн. Обозначив zc/rn = К и
подставив в выражения (20.64), после
простых преобразований получим
U = U2 [Ке*х + (1 - К) cos рх];
I = +Д1 - K)sin0x]
и при U2 = U2
u = l/2wKsin(cot -F Рх) +
+ H2m(l — К) cos Рх sin cot;
i = sin (cot + Px) +
zc
H2w(l-K) . o . ( n\
-I----------sin Px sin I cot + — L
В этих уравнениях напряжение и ток
представлены суммами двух слагаемых.
Первое из них — бегущая волна, а вто-
рое — стоячая волна. Таким образом,
если линия не согласована с нагрузкой
(К ф 1), то напряжение и ток в линии
можно представить суммой бегущих и
стоячих волн. Чем сильнее К отличает-
ся от единицы в ту или другую сторо.-
ну, тем резче выявятся стоячие водны.
При К = 0 (холостой ход) и К = оо
(короткое замыкание) в линии наблю-
даются только стоячие волны. Чем бли-
же К к единице, тем резче проявляют-
ся бегущие волны. Стоячие волны от-
сутствуют при К = 1 или rH = zC9 т. е.
при согласованной нагрузке.
20.13. Применение линий без потерь
Линия без потерь длиной в четверть
волны применяется в качестве согласую-
щего элемента между какой-либо линией
без потерь и приемником с резистив-
ным сопротивлением на ее конце ZH = гн,
не равным волновому сопротивлению
линии. Например (рис. 20.19), при по-
мощи линии длиной в четверть волны
можно согласовать линию (без потерь),
361
Линия, питающая Антенна,
zci 2вх
о
антенну
о—------
2н=г„
питающую антенну, с самой антенной,
входное сопротивление ZH которой чисто
активное.
Найдем входное сопротивление чет-
вертьволновой линии (/ = Х/4), нагружен-
ной на антенну, при ZH = гн на осно-
вании (20.65):
2л X
'•H+^tgTT
-вх -Zc; 2л х
jn.tg —— + zc
Так как tg л/2 = оо, то
= ?с Ан = ^вх*
Для согласования питающей линии с
антенной необходимо, чтобы ZBX = zcl,
где zcl — волновое сопротивление пи-
тающей линии.
Отсюда требуемое значение волно-
вого сопротивления
Zc =]ЛС1Г„.
В этом случае четвертьволновая
линия без потерь называется четверть-
волновым трансформатором, так как она
как бы приводит (трансформирует) вол-
новое сопротивление питающей линии
к сопротивлению нагрузки.
Линия без потерь длиной в четверть
волны, замкнутая в конце подогревате-
362
лем термопары, т. е. практически на-
коротко, применяется (как вольтметр)
для измерения распределения напряже-
ния в двухпроводной линии, питаемой
генератором с длиной волны X
(рис. 20.20). Термопара присоединяется
к милливольтметру, измеряющему ее
ЭДС. Кроме того, дается специальная
градуировочная кривая, т. е. зависимость
ЭДС термопары от тока 12 нагрева
ее спая.
Соотношение между напряжением в
пучности Щ (начало короткозамкнутой
линии) и током в пучности 12 (ее конец) оп-
ределяется из (20.64): Ui =72zjsin(pX/4),
т. е. Ui = I2zc.
Определив по показаниям милли-
вольтметра ток в пучности четверть-
волновой линии, при помощи последней
формулы вычисляют напряжение в ее на-
чале, т. е. напряжение между проводами
исследуемой линии. Перемещая место
присоединения четвертьволновой линии
вдоль исследуемой линии, можно изме-
рить распределение напряжения вдоль
последней.
Как видно из рис. 20.17, входное
сопротивление короткозамкнутой линии
без потерь длиной Х/4 бесконечно ве-
лико, поэтому ее подключение не влияет
на распределение напряжения вдоль ис-
следуемой линии.
В сантиметровом и дециметровом
диапазонах волн для измерения комп-
лексного входного сопротивления како-
го-нибудь приемника применяют так на-
зываемую измерительную ли-
нию в виде отрезка коаксиальной ли-
нии без потерь. В коаксиальной линии
прорезают щель, в которую вводят
зонд, представляющий собой небольшой
стерженек (или рамку). Щель вырезается
параллельно линиям поверхностного то-
ка в оболочке коаксиальной линии.
Как показывают анализ и опыт, нали-
чие щели изменяет лишь в слабой
степени первоначальную конфигурацию
поля в измерительной линии. Зонд,
который извлекает небольшую часть
энергии, проходящей по измерительной
линии, соединяется с индикатором. По-
казания индикатора пропорциональны
напряженности электрического поля, а
следовательно, и напряжению в данном
сечении измерительной линии. Переме-
щая зонд вдоль щели, можно иссле-
довать поле внутри измерительной ли-
нии. В конце линии присоединяют
приемник, комплексное входное сопро-
тивление ZH которого измеряется. По
распределению напряжений вдоль изме-
рительной линии можно определить со-
противление нагрузки (рис. 20.21).
Распределение напряжения и тока
вдоль линии определяется уравнениям
(20.7) и (20.9). При отсчете координаты
от начала линии
= Aie"7₽x + A2e^x;
/ = — (41е - 42еЛ‘х)-
Комплексный коэффициент отраже-
ния
А2е*х _ _
Р“ ~ Ахе"^ A^e-J'^ ~
= pe/W* + Фз - ФО, (20.77)
где р = А2/Ах - его модуль.
Модуль р коэффициента отражения
можно вычислить, определив коэффи-
циент бегущей волны напряжения:
= min№шах 9
где Umin и Umax ~ минимальное и мак-
симальное напряжения в линии, измеряе-
мые непосредственно индикатором. В
точке х = I — х0> где прямая и обратная
волны находятся в противофазе, имеем
Umini так что Umin = Ai - А2,
В точке, где они совпадают по
фазе, напряжение максимально: Umax =
= Ai + А2. Следовательно,
к. = (Ai - A2)/(Ai + А2) =
=(1-р)/(1 + р),
откуда
р = (1 - М/(1 + м.
С учетом (20.77) запишем U и I:
U = А1е-Л*х [1 + ре'Р^ + *1 - Ф.)];
Л
I = =±-е-7₽х [1 - + Ф1 - ФО].
zc
Найдем сопротивление нагрузки
(х = /):
U 2 1 + реР₽' + Ф2 - Ф1)
ZH = “Т = Zc -1 .
£2 1 — рф @0/ + Фз ~ Ф1)
Так как в точке х = I — х0 мини-
мума напряжения векторы А.2^х и
Ахе"7₽х находятся в противофазе, то
ф2 + Р(/-х0)-[\|/1-Р(/-х0)]=п и
ф2 - х|/1 = П - 2₽(/ - х0).
Подставив значение этой разности
в выражение для Zw получим
1 4- ре> (* + 20хо)
ZH = zc =
1 _ ре/(я + 20хо)
1 — ре/20х°
— zc •
1 4- ре/20*о
Учитывая, что
е/2₽х° = (1 + jtg рх0)/(1 -j tg Рх0),
и выражая р через /сб, после преоб-
разований находим, что
_ к6 -jtgPxp
-н Zc l-jfc6tgPx0-
Таким образом, для вычисления ZH
необходимо измерить Umin и Umax, т. е.
коэффициент бегущей волны напряжения
к6 и расстояние х0 от приемника до
ближайшего минимума напряжения.
Пример 20.4. Найти входное сопротив-
ление короткозамкнутой двухпроводной ли-
363
нии длиной I = 35 м для генератора, рабо-
тающего на волне длиной X = 50 м. Диа-
метр проводов линии 2г = 4 мм, расстояние
между проводами d = 13,54 см. Найти ин-
дуктивность катушки, . эквивалентной по
сопротивлению этой линии.
Решение. Пренебрегая потерями, най-
дем волновое сопротивление линии:
Lol/МгЦо, d ln(d/r)
/ —Мп---------
Со у Л Г £г£оп
= 11пА1/^=5О5 Ом.
Я Г у £,£0
Входное сопротивление ZK = jzc tg 0/ =
Этт
= jzctg^/=J1554 Ом.
Л
Линия представляет для генератора ин-
дуктивную нагрузку, что ясно уже из того, что
X/2 < I < ЗХ/4. Индуктивность эквивалентной
катушки L = xL/($ = zK/co — zkX/2tcc0 =
= 41 мкГн.
20.14. Линия как четырехполюсник
Сравнивая основные уравнения длин-
ной линии (20.24) с уравнениями типа А
четырехполюсника (8.1), можно заклю-
чить, что длинная линия является пас-
сивным симметричным четырехполюсни-
ком, коэффициенты которого
4п = 422 = ch у/; Л12 = Zcsh у/;
Л21 = sh yl/Zc. (20.78)
Но,. как известно, симметричный
четырехполюсник может быть представ-
лен симметричной схемой замещения,
например Т- или П-образной (см. § 8.3).
Определим сначала сопротивления
Zi и Z2 симметричной Т-образной
схемы (рис. 8.7, а), которой можно за-
менить длинную линию при заданной
частоте.
Симметричная Т-схема является схе-
мой замещения симметричного четырех-
полюсника, если равны какие-либо два
коэффициента (например, Лц и Л21)
четырехполюсника и Т-схемы, так как
пассивный симметричный четырехпо-
люсник задается двумя независимыми
параметрами.
Для Т-образной схемы в примере
8.3 было получено
4n = 1 + Zx/2Z2; Л21 = 1/Z2. (20.79)
Приравняв значения Ап и Л21 для
длинной линии (20.78) и для Т-схемы
(20.79), получим
_ 2(chy/ — 1)
-1 shy/ -с’
~2 = shyf’
(20.80)
Теперь найдем сопротивления Zr и
Z2 симметричной П-образной схемы
(рис. 8.7, б), приравняв коэффициенты
4ii и 412 линии и схемы.
Таким же расчетом, как в примере
8.3, для П-схемы получается (Приложе-
ние 2)
4ii = 1 + Zx/2Z2; Л12 = ZP (20.81)
Приравняв значения Лп и Л12 для
линии (20.78) и для П-схемы (20.81),
получим
Zi = Zc shy/;
(20.82)
7 gcShy/
-2 2(chy/—1)’
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
21.1. Возникновение переходных
процессов в цепях
с распределенными параметрами
В цепях с распределенными пара-
метрами, например в длинных линиях,
обмотках электрических машин и транс-
форматоров и т. п., включение и отклю-
чение какого-либо участка сопровож-
даются переходными процессами (так же
как и в цепях с сосредоточенными
параметрами). При большой протяжен-
ности линий изменение внешних электри-
ческих и магнитных полей, например
при грозовых разрядах, также вызы-
вает переходные процессы. Переходные
процессы в линиях возникают и при
передаче телеграфных и телефонных
сигналов, импульсов телемеханики или
специальных импульсов телеконтроля
для проверки линий и выявления места
их повреждения.
Во всех случаях при анализе переход-
ных процессов в цепях с распреде-
ленными параметрами необходимо исхо-
дить из общих закономерностей и диф-
ференциальных уравнений, рассмотрен-
ных в гл. 20. Так как линия является
наиболее распространенным примером
цепи с распределенными параметрами,
в дальнейшем изложении речь будет
идти о переходных процессах в ли-
ниях.
21.2. Общее решение уравнений
однородной линии
Для изучения переходных процессов
в цепях с распределенными парамет-
рами рассмотрим дифференциальные
уравнения, полученные в § 20.1 для
однородной двухпроводной линии:
— du/dx = roi 4- L^di/dt;
— di/dx = gou 4- C^du/dt,
где r0, Lq, g0 и Co — параметры едини-
цы длины линии, а х — координата
выбранной точки, отсчитываемая от на-
чала линии.
(21.1)
Если можно пренебречь потерями в
линии, т. е. считать, что г0 = 0 и д0 = 0,
то уравнения (21.1) принимают вид
— du/dx = LQdi/dt',
- di/dx = CQdu/dt.
(21.2)
В общем случае решение этих урав-
нений для однородной линии (т. е. при
Lq и Со, не зависящих от х) записы-
вается так:
u = /1 (* - ct) 4- f2 (х 4- ct) = unp 4- uo6;
(21.3a)
\ (* - c0 - /г (* + cOJ =
К ь0
= «пр - »об, (21.36)
где c = 1/j/LqCo называется с к о-
ростью волны и численно равна
фазовой скорости (гл. 20).
Здесь функции J\(x) и /2(х) пред-
ставляют собой распределения вдоль
линии напряжений прямой и обратной
волн (ипр и иоб) в момент времени
t = 0.
Напряжение и ток волны связаны
между собой законом Ома для водц:
^пр ^<4пр> ^об ^об, (21.4)
где
zc = j/Lo/Co (21.5)
— характеристическое или волновое со-
противление линии без потерь (гл. 20).
Рассмотрим каждую из составляю-
щих выражения (21.3а) в отдельности и
проследим, как зависят от времени t
и координаты х составляющие напря-
жения ипр и иоб.
Допустим, что в некоторый момент
времени t = tx распределение напряже-
ния ипр вдоль линии может быть
представлено кривой
uap(t1) = f1(x-cti), (21.6)
365
изображенной на рис. 21.1, а. Тогда в
момент времени t = tr 4- At распределе-
ние напряжения вдоль линий может
быть записано так:
ипр («! + At) = ft (х - с At - ctj) =
= ft (х - Ах - cti),
где Ах = с At.
Из последнего выражения видно, что
кривая unp(ti 4- At) по отношению к кри-
вой unp(t) смещена вправо на расстоя-
ние Ах = cAtp т. е. увеличение t приводит
к перемещению кривой мпр в направ-
лении возрастания х. Иными словами,
ипр выражает напряжение волны, дви-
жущейся в сторону возрастания коор-
динаты х, т. е. прямой волны.
Точка линии с координатой хф, для
которой справедливо условие, что мпр = О
при х > Хф и ипр / 0 при х < хф, назы-
вается фронтом прямой волны. Фронт
прямой волны движется в сторону
возрастания координаты х со ско-
ростью с.
Если в точке х19 совпадающей с
фронтом волны Хф в момент t1? уста-
новить прибор, записывающий мгновен-
ное значение напряжения, то он запишет
кривую 1 (рис. 21.1,6). Эта кривая
представляет собой зеркальное изобра-
жение кривой ипр(х) при соответствую-
щем изменении масштаба вдоль оси
абцисс. Прибор, установленный в точке
х2 (рис. 21.1, а), запишет аналогичную
кривую 2, которая, однако, смещена в
сторону возрастания времени на вели-
чину
(х2 - Х1)/с = /12/с,
где /12 — расстояние между точками
Xi и х2.
При исследовании изменения напря-
жения волны в зависимости от време-
ни целесообразно выражению (21.6) при-
дать следующий вид:
«пр = <Р1 (t - х/с). (21.7)
В точке с координатой х 4- Ах напря-
жение волны описывается ,той же функ-
цией фь но с запаздыванием во вре-
мени на Ах/с.
Рассуждая совершенно аналогично,
можно показать (рис. 21.1, в и г), что
составляющая моб представляет собой
366
напряжение волны, движущейся в сто-
рону убывания координаты х, т. е.
обратной волны:
Иоб = fi (х + ct) = ф2 (t 4- х/с). (21.8)
Координата фронта обратной волны
характеризуется условием моб = 0 при
х < Хф и иОб / 0 при х > Хф. Фронт
обратной волны движется в сторону
убывания координаты х со скоростью с.
Скорость движения волн в воздуш-
ных линиях примерно равна скорости
света в вакууме: с « cQ « 300000 км/с.
В кабелях скорость, распространения
волн меньше (примерно вдвое), чем в
воздушных линиях (гл. 20).
Если известны зависимости unp(t) и
uo6(t) в какой-либо точке линии и ско-
рость волны с, то по уравнению (21.3а)
подобно тому, как это сделано на
рис. 21.1, легко построить кривые
мпр(х) и иоб(х) в любой момент вре-
мени.
Так как между напряжением и то-
ком волны существует прямая пропор-
циональность (21.4) и коэффициент про-
порциональности (21.5) зависит только
от параметров линии, то в дальнейшем
часто будем рассматривать только на-
пряжение волны.
При исследовании волн в линиях
иногда удобно выражать каждую из
волн только в функции времени, находя
эту функцию в какой-либо точке линии,
например хь и принимая за начало от-
счета времени момент, когда фронт
волны дойдет до этой точки. Так, на-
пример, для unp(t) и «об (0, изобра-
женных на рис. 21.1 черными ли-
ниями, такими точками соответственно
являются Xt для wnp и х2 для иоб.
Если известны функции unp(t) и
uo6(t) в точках Xi и х2, то переход
к общему выражению каждой из волн
выполняется согласно (21.3а) так:
^пр (я, t) — Unp I t
^об 0 — ^об 1^4"
\ С
(21.9)
В любой момент времени напряже-
ние и ток в линии можно рассматри-
вать как сумму напряжений и токов
Рис. 21.1
только двух волн — прямой и обратной.
Каждую из двух волн в свою очередь
иногда целесообразно представить на ос-
новании принципа наложения в виде
суммы отдельных волн более простой
формы.
При анализе отражения волн оказы-
вается недостаточным подразделение
волн на прямые и обратные. Пусть,
например, прямая или обратная волна
движется по линии и падает на узел
соединения с линией, имеющей другие
параметры. В месте соединения двух
линий эта волна распадается на две,
одна из которых проходит из первой
линии во вторую, а другая отражается
от места соединения двух линий. По
аналогии с оптикой первую, исходную
волну называют падающей (пад), а
две другие — соответственно отражен-
ной (отр) и преломленной или
проходящей.
При отражении волны от конца
линии преломленной волны, естественно,
нет.
Так как скорость волны в линии
конечна (у воздушной линии с«cQf у
кабеля с«с0/|/е,), то линию можно при-
менить для задержки передачи сигна-
лов.
21.3. Возникновение волн
с прямоугольным фронтом
Включение источника. Для выяснения
физической стороны возникновения и
движения волны рассмотрим незаряжен-
ную линию, которая в момент вре-
мени t = 0 присоединяется к источнику
постоянного напряжения Uo (внутреннее
сопротивление источника равно нулю).
Для источника синусоидального напря-
жения промышленной частоты (X %
« 6000 км) в воздушной линии за вре-
мя прохождения волной расстояния в
пределах нескольких десятков километ-
ров его напряжение также можно счи-
тать постоянным.
После подключения источника к ли-
нии возникает волна с напряжением
«пр = С7о, которая заряжает последова-
тельно один элемент линии за другим до
напряжения UQ.
Предположим, что в момент t вол-
на достигла сечения тп (рис. 21.2). В
этот момент во всех точках х левее
367
Рис. 21.2
сечения напряжение между проводами
равно UQ, а правее этого сечения
напряжение равно нулю.
На поверхности верхнего провода
происходит накопление положительного
заряда, и левее сечения тп заряд на
единицу длины q0 = C0UQ, а правее он
раврн нулю. За время dt волна пере-
местится правее сечения тп на расстоя-
ние dx = с dt? При этом элемент линии
dx получит заряд dq — qQdx = CoUodx,
который должен пройти по верхнему
проводу через сечение тп и через лю-
бое сечение верхнего провода левее тп.
Распространение заряда создает на всем
протяжении верхнего провода от источ-
ника до сечения тп ток
i = dq/dt = qodx/dt = CQUQc = Io. (21.10)
Одновременно с накоплением поло-
жительного заряда на поверхности верх-
него провода линии происходит накоп-
ление отрицательного заряда на поверх-
ности нижнего провода. Распростране-
ние отрицательного заряда вдоль ниж-
него провода слева направо связано с
электрическим током в нижнем проводе,
направленным в противоположную сто-
рону, т. е. справа налево.
Процесс распространения зарядов
можно представить себе таким образом,
что по мере перемещения волны слева
направо элементы верхнего провода
один за другим приобретают некоторый
положительный заряд и такой же поло-
жительный заряд отнимается от элемен-
тов нижнего провода. Противоположные
заряды образуют электрическое поле
между проводами на всей длине участ-
ка линии, по которому уже прошла
волна. При возникновении электрическо-
го поля у фронта волны между вновь
заряжаемыми элементами проводов (тр
и nq на рис. 21.2) протекает ток
смещения. Получается замкнутая цепь
тока. От положительного полюса источ-
ника ток идет по верхнему проводу,
замыкается у фронта волны током сме-
щения между проводами и затем идет
по нижнему проводу к отрицательному
полюсу источника. По мере движения
волны цепь удлиняется, но ток в цепи
остается неизменным: /0 = CQUQc.
В контуре, образуемом этой цепью,
возникает магнитный поток, линии кото-
рого лежат в плоскостях, перпенди-
кулярных осям проводов. При переме-
щении волны на расстояние dx = с dt
магнитный поток увеличивается на ве-
личину d<& = LoIodx = Lolocdt. При воз-
никновении потока d<& в контуре mpqn
наводится ЭДС самоиндукции
dФ/dt = LQI0dx/dt = L0cI09 (21.11)
действующая против направления дви-
жения стрелки часов. Таким образом,
ЭДС самоиндукции у фронта волны,
направленная по линии qp9 равна и
противоположна напряжению:
UQ = LqcI^ (21.12)
откуда
До ~ Lqc — LqCq = |/Lq/Cq = zC9
что соответствует (21.5).
Энергия, отдаваемая в единицу вре-
мени источником, равна UQI0. В едини-
цу времени волна перемещается на рас-
стояние, равное с. На каждом единичном
отрезке линии, пройденном волной, за-
пасается энергия CqUq/2 в электрическом
поле и LqIq/2 в магнитном поле. На
основании закона сохранения энергии
^o/o=c(Col/g/2 + LoZg/2).
Подставив в левую часть этого
уравнения Io — CQUoc9 получим соотно-
шение
C0U20/2 = Loll/2, (21.13)
368
т. е. для волны значения энергии
электрического и магнитного полей на
участке линии, пройденном волной, рав-
ны между собой.
Рассмотренная волна имеет прямо-
угольную форму
wnp(t — х/с) = 0 при t <х/с\
wnp(t - х/с) = UQ при t > х/с
и называется волной с прямо-
угольным фронтом.
Если к линии подключается источник
с резистивным внутренним сопротивле-
нием гЬ7, ток и напряжение волны ста-
новятся меньше. В этом случае
^пр ^0 ^вт^'пр
и по-прежнему
^пр ^np/zc, (21.14)
откуда
МПр — “Ь **вт)>
^пр = ^о/(^с “Ь 7*вт)*
(21.15)
При подключении генератора с ин-
дуктивным внутренним сопротивлением
фронт волны искажается и волна пере-
стает быть прямоугольной (см. § 21.4).
Включение нагрузки. Волны прямо-
угольной формы возникают и при под-
ключении к заряженной линии премника
с резистивным сопротивлением.
Рассмотрим линию с волновым со-
противлением zc, заряженную до напря-
жения Uo. Если в момент времени t = О
в конце линии включается приемник с
сопротивлением нагрузки гн (рис. 21.3),
то в конце линии возникает обратная
волна, движущаяся от конца линии к ее
началу.
Напряжение и ток этой волны могут
быть легко рассчитаны при помощи
уравнений, составленных по закону Ома
для волны и для сопротивления на-
грузки:
Моб = 2<Л>6, Мн ~ ^0 Моб ~
= Опр ^об) ~ ^н^об>
откуда
Моб = - UqZc/(zc + Гн); | (21 16)
«об = -^o/(zc + Гн). J
Рис. 21.3
На рис. 21.3 показаны прямоуголь-
ные волны напряжения и тока, возни-
кающие в этом случае.
Отключение источника. При отключе-
нии линии от источника питания в ней
также возникают волны.
Пусть в линии с сопротивлением
нагрузки гн установился ток ZH = Uo /гн =
= Uц/гЕсли в момент f = 0 отключить
источник энергии (рис. 21.4), то ток в
начале линии мгновенно спадет до нуля
и возникнет волна с напряжением и
током
Мцр — ^с/н> ^пр — Ди (21.17)
В результате наложения этой волны
на предшествующий режим ток в линии
i — /н + /1]р = 0, а напряжение и = U„ +
мПр — UH zcIH.
Если ток нагрузки 1Н меньше заряд-
ного тока 10 при включении линии
к источнику постоянного напряжения
UQ = UH9 т. е. /н < UJzc, то напряжение
и = UH — zcIH > 0 и на пройденном вол-
ной участке сохранится после отклю-
чения некоторая доля напряжения того
Рис. 21.4
369
Рис. 21.5
же направления (рис. 21.4). Если же
IH > UJzv то линия на участке, прой-
денном волной, зарядится в противо-
положном направлении.
Отключение приемника. При отклю-
чении приемника (рис. 21.5) в линии
возникает такая же волна, как и при
отключении источника. Разница заклю-
чается только в том, что эта волна
имеет противоположный знак и распро-
страняется в обратном направлении.
В результате наложения этой волны
на предшествующий режим ток в линии
/н + ^об = 0, а напряжение и = UH 4- иоб =
= 17н + zcIH.
При отключении приемника обрат-
ная волна вызывает повышение напря-
жения в линии, которое тем больше,
чем больше волновое сопротивление ли-
нии. В случае отключения приемника
от воздушных линий перенапряжения
могут быть весьма значительными.
При помощи аналогичных рассужде-
ний могут быть найдены волны, возни-
кающие в более сложных случаях.
Пример 21.1. Найти волны, возникающие
при подключении в произвольной точке
нагруженной линии дополнительного прием-
ника с сопротивлением гд (рис. 21.6).
Решение. При подключении приемни-
ка справа и слева от места подключения пой-
дут волны с равными значениями напряжений
и токов: иПр — nogp, inp = iO6p*
Ток в приемнике равен сумме токов
обеих волн и по закону Кирхгофа
(а = 2inp = — 2/Об,
а напряжение на приемнике с сопротивле-
нием гд равно сумме 1/н и напряжения
этих волн:
wд Гд*д = 4- МПр = 1/н + ^об-
Учитывая, что нпр — zcinp, из выражений
для 1д и «д получаем
*пр = *об = ~ ин/(2гд 4- zc),
wnp = wo6 = ингс/(2гд 4“ zc).
На рис. 21.6 показано распределение
тока и напряжения в линии после подклю-
чения дополнительного приемника. Справа от
места включения ток inp складывается с
током /н, и так как inp < 0, то суммарный
ток меньше /н. Слева от места включения
ток /об направлен противоположно току /н,
т. е. вычитается из тока /н, и так как
*об < 0» то суммарный ток больше /н. На-
пряжения мпр справа и слева склады-
ваются с С7Н, и так как мпр = < 0, то
напряжение на линии уменьшается.
Полученные токи и напряжения волн
можно рассматривать как результат нало-
жения на предшествующий режим токов и
напряжений, получающихся при подключении
к незаряженной линии источника с ЭДС
Е — Un и внутренним сопротивлением гд.
Так как этот источник подключается одно-
временно к двум одинаковым линиям (спра-
ва и слева от места подключения), то при
расчете напряжения волны сопротивление zc
делится на два.
Пример 21.2. Найти волны, возникающие
при отключении нагруженной линии посреди-
не (рис. 21.7).
Решение. После отключения от места
размыкания пойдет прямая волна с током,
равным — 7Н, и напряжением нпр = - zcIH и
обратная волна с током /н и напряжением
моб = 4-zcZH.
В результате наложения этих волн на
предшествующее распределение напряжения
и тока на участках слева и справа от
Рис. 21.6
370
места отключения ток уменьшается до нуля,
а напряжение на участке слева от места
отключения повышается до U„ 4- zcIH, а
справа от этого места уменьшается до
21.4. Общие случаи нахождения волн,
возникающих при переключениях
Рассмотренные выше примеры воз-
никновения волн могут быть при по-
мощи принципа наложения сведены к
случаю включения источника заданной
ЭДС или заданного тока в пассивную
цепь. Этот метод может быть распро-
странен на многие случаи расчета волн,
возникающих при всякого рода переклю-
Если, например, к линии, в общем
случае заряженной, подключается не-
который в общем случае активный
двухполюсник А (рис. 21.8, а), то для
нахождения возникающих волн необхо-
димо определить напряжение Uo на
разомкнутом рубильнике и рассчитать
токи в схеме с сосредоточенными
параметрами, изображенной на
рис. 21.8,6, при нулевых начальных
условиях (П — соответствующий пассив-
ный двухполюсник). Так как напряжения
волн в первой и второй линиях отли-
чаются от токов постоянными множи-
телями zcl и zc2, то при расчете токов
в схеме с нулевыми начальными усло-
виями обе линии могут быть заменены
сосредоточенными сопротивлениями,
равными zcl и zc2, и токи, рассчи-
танные в этих сопротивлениях, будут
равны токам волн, возникающих в ли-
ниях.
Если рубильник не включается, а
отключается (рис. 21.8, в), то задача
решается еще проще. В этом случае,
зная ток в размыкаемом рубильнике,
необходимо рассчитать токи в линиях
при подключении источника тока про-
тивоположного знака непосредственно к
концам отключаемой ветви. Токи в
чениях.
сосредоточенных сопротивлениях zcl и
^oS . ^лр
-О------------ 1 -о
Рис. 21.8
371
zc2 схемы, изображенной на рис. 21.8, г,
равны искомым токам волн в линиях.
Таким образом, расчет волн, возни-
кающих при переключениях, может быть
сведен к расчету эквивалентных схем
с сосредоточенными параметрами.
Пример 21.3. Найти волну, возникаю-
щую в линии (провод — земля) с волно-
вым сопротивлением zc при подключении к
ней источника с ЭДС е = Ео, внутренними
сопротивлением г и индуктивностью L
(рис. 21.9, а).
Решение. Составив эквивалентную
схему с сосредоточенными параметрами,
(рис. 21.9,6) и, рассчитав токи волн в ли-
нии, находим для тока волны в начале
линии (х = 0) выражение, аналогичное (14.14):
i = -^-(1 - е-'Ч
г 4- zc
где т = Цг + zc).
В любой точке линии при t > х/с в соот-
ветствии с (21.7) ток прямой волны
цпр _ Ер (।
zc г +
zc
е - (г - Х/с)/Т)
Ток волны для этого случая показан
на рис. 21.9, а.
Пример 21.4. Найти волну, возникаю-
щую в линии с волновым сопротивлением
zc при подключении к ней источника с
синусоидальной ЭДС е = Ет sin (cot 4- ф), внут-
ренним сопротивлением г и индуктивностью
Ь(рис. 21.9, в).
Решение. Эквивалентная схема та же,
что и в предыдущем примере (рис. 21.9,6).
Рассчитаем ток в этой схеме:
i = —— [sin (cot 4- \|/ - ср) — sin (\|/ — <р)е г/т],
где
z = ]/(г 4- zc)2 4- co2L2 ;
coL
Ф = arctg ——-.
(г + zc)
В произвольной точке линии с коорди-
372
натой х при t > х/с
и Е
ilip = 41R = -—[sin (cot - сох/с 4- \|/ - ср) -
— sin (ф — ф)е-(,-х/с,/т].
Ток волны показан на рис. 21.9, в.
21.5. Отражение волны
с прямоугольным фронтом
от конца линии
Отражение от резистивного элемен-
та. Рассмотрим волну с прямоуголь-
ным фронтом
^пад = ^0, 1*пад = Л) = ^о/^с> (21.18)
движущуюся по однородной линии и
падающую на приемник с резистивным
сопротивлением г2н = г„ (рис. 21.10, а и б).
Когда волна дойдет до конца
(рис. 21.10, в), она частично отразится.
В рассматриваемом случае падающая
волна движется в направлении воз-
растания х (в прямом направлении) и
может называться прямой. Отраженная
волна движется в обратном направлении
и может называться обратной. Однако
при исследовании отражения волны удоб-
нее пользоваться понятиями «падающая
и отраженная» волны, а не «прямая и
обратная».
Для определения условий отражения
волны найдем ток в сопротивлении гн.
Напряжение в конце линии и2 = мпад +
+ иотр, а ток i2 = /Аад - *отр- Поэтому
ток отраженной волны iOTp = *пад *2i£xs
= 10 — i2 и напряжение uOTp =
= zc(I0 - i2) = Uо - zci2. Напряжений
«2 = rui2 = UQ-huorp = 2U0-zci2, (21.19)
откуда
i2 = 2и0/(гИ + zc);
u2 = 2U qT H/(r H 4- zc).
(21.20)
Из (21.20) следует, что ток в сопро-
тивлении гн равен току, который полу-
чился бы в схеме с источником
напряжения 2U0 и сопротивлениями гн
и zc, включенными последовательно.
Напряжение в конце линии и2 зави-
сит от значения и знака отраженной
волны (рис. 21.10, г). Из (21.19) и (21.20)
находим
«отр=<Л>-гЛ = —U0 = pU0; (21.21)
<21'22>
“С ' Н « к
где р = (гн — zc)/(rH 4- zc) — коэффициент
отражения.
Следовательно,
и2 = 1/0 + «оТР = (1 + р)С/о; (21.23)
h = /o-*oTp = (l-p)/o. (21.24)
Если линия на конце разомкнута
(гн = оо), то р = 1 (см. также гл. 20) и
иотр = Uo, i0Tp = 10, т. е. волна отражается
полностью без перемены знака. Напря-
жение в конце удваивается: и2 =2UQi
а ток 1*2 = 0.
Если линия на конце короткозамкну-
та (гн = 0), то р = -1 и uOTp = - Uo,
*отр = ~ /о, т. е. волна отражается пол-
ностью с переменой знака. Напряжение
в конце линии и2 = 0, а ток i2 = 27О.
Вообще можно сказать, что если
сопротивление приемника энергии боль-
ше волнового сопротивления линии
373
rH > zc, т. e. p > 0, то падающая волна
встречает в конце линии большее сопро-
тивление. Ее заряды не успевают стекать
через это сопротивление и напряжение
в конце линии, обусловленное зарядами,
приносимыми волной, возрастает: и2 =
= (1 + р) Uo > Uo. Отраженная волна
имеет тот же знак, что и падающая.
Если же rH < zc, то, наоборот, через
сопротивление гя стекает большее коли-
чество зарядов, чем приносится волной;
требуется дополнительное поступление
зарядов из заряженной линии, что при-
водит к снижению напряжения в линии.
Отраженная волна имеет знак, противо-
положный знаку падающей, и на конце
линии напряжение понижается.
Если rH = zc, то р = 0, цотр = 0, готр = 0
и отраженной волны нет. Как только
волна дойдет до конца, в цепи сразу
установится неизменный ток, и вся энер-
гия, доставляемая падающей (бегущей)
волной, поглощается в сопротивлении
гн (согласованная нагрузка).
При падении отраженной волны на
начало линии она должна рассматри-
ваться как падающая, движущаяся в
обратном направлении. Волна, отражен-
ная от начала линии, будет прямой.
Рассмотрение таких многократных отра-
жений приведено в конце главы.
Отражение от неоднородности. Если
в конце линии имеется узел соединения
различных линий или разветвление, то
этот узел следует рассматривать как
неоднородность, аналогичную некоторо-
му сопротивлению гн, включенному в
конце линии. Если, например, в конце
линии с волновым сопротивлением zcl
параллельно подключены две линии с
волновыми сопротивлениями zc2 и zc3
(рис. 21.11, я), то по этим линиям пойдут
волны, сумма токов которых равна току,
направленному к узлу по первой линии;
такой узел подобен сопротивлению
Гн = Zc2Zc3/(zc2 + Zc3).
Все выводы об отражении волны
от резистивного элемента, сделанные
выше, могут быть распространены и
на рассматриваемое разветвление линий.
21.6. Общий метод определения
отраженных волн
Как видно из рассмотренных при-
меров, на практике часто однородность
линии нарушается — в линию включают-
ся элементы с сосредоточенными пара-
метрами, присоединяются линии с раз-
личными волновыми сопротивлениями,
причем могут встретиться узлы па-
раллельного включения нескольких ли-
ний. Для определения переходных режи-
мов при падении волны на узел, так же
как и при переключениях (§ 21.4), разра-
ботан общий метод, который применим
при любой схеме соединения линий и
цепей с сосредоточенными параметрами.
Пусть вдоль линии с волновым
сопротивлением zcl движется волна про-
извольной формы ипад и 1пад, причем
мпад == Эта волна может быть и
прямоугольной формы (см. рис. 21.2), и
в виде импульса (см. рис. 21.1), и любой
иной формы (см., например, рис. 21.9).
Волна падает на узел 2 — 2' соединения
или разветвления, схема которого может
быть также любой (см. например,
рис. 21.11, а и б).
Во всех случаях часть цепи, при-
соединенную к линии в точках 2 — 2'
справа, можно рассматривать как пас-
сивный двухполюсник (рис. 21.12, а),
Рис. 21.11
374
напряжение и2 и ток i2 которого пред-
ставляют собой некоторые функции вре-
мени.
Так как выводы двухполюсника 2—2'
относятся и к линии с волновым
сопротивлением zcl, то напряжение на
этих выводах равно сумме напряжений
падающей и отраженной волн, а ток —
разности токов волн:
1/2 = мпад 4- w0Tp, (21.25)
^2 = 1*пад ^отр= ^пад/^cl ^отр/^cl* (21.26)
Решив совместно два эти уравнения,
получим
2Цгад = + zcl^2- (21.27)
Последнее выражение является основ-
ным расчетным уравнением для опреде-
ления напряжения и тока в месте
отражения волны.
Из (21.27) следует, что ток и напря-
жение в линии в месте отражения
волны такие же, как и при замене ли-
нии, по которой движется волна, экви-
валентной схемой с сосредоточенными
параметрами, состоящей из последова-
тельно включенных источника с ЭДС
2ипад и волнового сопротивления zcl
(рис. 21.12,6).
Вся часть цепи справа от узла
2—2' может быть также представлена
эквивалентной схемой из элементов с
сосредоточенными параметрами. Напри-
мер, при падении волны ипад на узел
соединения двух линий справа от узла
еще нет зарядов и могут возникнуть
только преломленные волны, движущий-
ся от узла в прямом направлении.
Поэтому между токами и напряжения-
ми в линиях справа от узла существует
зависимость и = zci. Следовательно, при
расчете волны, отраженной от узла,
каждая линия, примыкающая к узлу,
может быть заменена резистивным эле-
ментом с сопротивлением, равным вол-
новому zc.
Таким образом, решение задачи о
переходном режиме в длинной линии
при падении волны на узел разветвления
может быть сведено к расчету переход-
ного процесса в схеме замещения с
сосредоточенными параметрами при по-
мощи одного из описанных в предыду-
щих главах методов (например, класси-
ческого или операторного).
На основании сказанного можно
сформулировать следующее правило.
При падении на узел волны с напря-
жением ипад, движущейся по линии с \
волновым сопротивлением zc, напряжение
и ток в этом узле будут такими же,
как и при подключении источника с ЭДС,
равной напряжению 2ипад, и внутренним
сопротивлением zc непосредственно к рас-
сматриваемому узлу.
Схемы замещения для расчета напря-
жения и2 и тока i2 в узлах цепей,
показанных на рис. 21.11, приведены на
рис. 21.13, а и 6.
Зная напряжение и2 и ток i2, легко
375
определить отраженную волну:
^отр = ^2 ^пад? ^отр = ^пад G* (21.28)
По известным значениям напряже-
ний и токов падающей и отраженной
волн, а следовательно, прямой и об-
ратной волн можно найти распределе-
ние напряжения и тока вдоль линии в
любой момент времени при помощи
выражений (21.9) и построить графики,
аналогичные приведенным на рис. 21.1.
При решении задачи операторным
методом зависимость между U2(p) и
/2(р) представляется в виде
U2(p) = ZH(p)I2(p),
где ZH (р) = Z2h (р) — входное сопротив-
ление пассивного двухполюсника в
схеме замещения (рис. 21.12,6).
Уравнение (21.27) и формулы (21.28)
принимают вид
2UnsM=U2(p) + zclI2(p) =
= l/2(p)[l+zcl/ZH(p)] (21.29)
и
t/отр (р) = и2 (р) - С/пад (р). (21.30)
Исключая U2(p) из этих уравнений,
получаем
tfoTP(p) = ~~z~un.dA(P) =
^н(Р) + ZC1
= р(р)^пад(р) (21.31)
и соответственно
/0Тр (₽) = = Р(Р);пад(р),
(21.32)
где р(р) — коэффициент отраже-
ния в операторной форме:
Р(Р) = [ZH(р) - Zd]/[ZH (р) + Zci], (21.33)
Пример 21.5. Волна прямоугольной фор-
мы, напряжение которой UOt переходит с
линии с волновым сопротивлением zci на
линию с волновым сопротивлением zc2
(рис. 21.14, а). Найти напряжение и ток от-
раженной волны.
Решение. Составим эквивалентную
схему (рис. 21.14,6). Напряжение и2 и ток i2
определим непосредственно из схемы:
и2 = 2Uozc2/(zcl + Zc2);
G = 42/zc2 = 2l/0/(Zci + zc2);
волна, которая пойдет по линии с zc2
(преломленная волна), имеет напряжение и2.
Как видно из выражения для и2, в
случае, если zc2 > zcii напряжение преломлен-
ной волны больше, чем падающей. Такое
возрастание напряжения имеет место при
переходе волны с кабельной линии на воздуш-
ную. Если, например, волновое сопротивле-
ние кабельной линии 50 Ом, а воздушной
600 Ом, то при переходе волны с кабель-
ной линии на воздушную напряжение волны
увеличивается почти в 2 раза [2zc2/(zcl +
-I- zc2) = 1,84]. Поэтому при подключении
потребителя к кабельной питающей линии
между кабелем и приемником избегают
включать воздушную линию. Наоборот, с
целью снижения напряжения волны, прихо-
дящей к потребителю по воздушной линии,
между линией и приемником можно вклю-
чить участок кабеля.
Волна, отразившаяся от узла 2 — 2',
т т Zc2 - Zci
мотр = м2 мпад = U 0 ; >
zc2 + zcl
*отр —
мотр _ • zc2 zcl
~ *пад
zcl zc2 + Zci
Таким образом, волна отражается от
места перехода на линию с другим волно-
вым сопротивлением точно так же, как и от
резистивного элемента, включенного в конце
линии. Если zc2 < zcli то отраженная волна
имеет обратный знак. Если zc2 > zcl, то от-
ражение происходит без перемены знака.
При zc2 = zcl волна переходит с одной ли-
нии на другую без отражения.
Пример 21.6. Волна прямоугольной фор-
мы с напряжением Uo падает на катушку
с индуктивностью L и сопротивлением г,
включенную в конце линии (рис. 21.15, а).
376
Построить распределение напряжения и тока
после отражения волны от конца линии.
Решение. Составим схему замещения
для этого случая (рис. 21.15, б) и запишем
дифференциальное уравнение по закону Кирх-
гофа:
Ldi2/dt 4- (г 4- zcl) i2 = 2U0.
Его решение дает для t > 0 при нулевых
начальных условиях
,-2 = -2£о__(1 _
Г + ZC1
+ zcle~’rt),
Г + Zci
где т — L/(r 4- zcl), а время t отсчитывается
с момента прихода волны к концу линии.
На рис. 21.16 и 21.17 построены зави-
симости и2 и i2 от времени для случая
г < zcl и нанесены значения иотр и i0Tp,
определенные по (21.28):
мотр ~ w2 ~ *отр ~ ^0 ~ G*
Г рафик распределения падающей и отра-
женной волн вдоль линии и суммарное зна-
чение тока и напряжения в линии для
момента времени, когда отраженная волна
пройдет расстояние /ь представлен на
рис. 21.18.
Так как напряжение и ток падающей
волны не зависят от времени (постоянные),
то в результате отражения напряжение и2
распространяется влево от узла со скоростью
с. Закон распределения тока и напряжения
в линии после отражения волны может быть
получен непосредственно из выражений для
i2 и и2 путем замены t на t — xjc:
i — п — e-WT-xi/CT)].
Г + zcl
2Uq r -(f/T-Xi/ст),
w=—---------[r 4-zcle J.
r 4-zcl
Эти выражения справедливы для интер-
вала времени, когда волна уже отразилась
от конца, но вторично отраженная от нача-
ла линии волна еще не дошла до рассмат-
риваемой точки, т. е.
xjc <t <(21 — Xi)/c;
здесь Xj отсчитывается от узла 2 — 2' влево,
а за начало отсчета времени принят момент
падения волны на узел 2 — 2'.
Как видно из рис. 21.18, в первый мо-
мент падения волны на индуктивный элемент
последний подобен разрыву линии и волна
отражается с таким же знаком, как и от
разомкнутого конца линии. По мере нараста-
ния тока в индуктивном элементе напряже-
ние и ток отраженной волны уменьшаются,
приближаясь асимптотически к тем значени-
ям, которые получаются при отражении
волны от конца линии, замкнутого на ре-
зистивный элемент г. Если г < zcl, то в не-
который момент времени отраженная волна
изменяет знак (рис. 21.18).
377
Рис. 21.18
Таким образом, в момент падения вол-
ны на катушку индуктивности напряжение
удваивается, создавая опасность пробоя ее
изоляции. С этим явлением приходится
часто встречаться на практике, если линия
подключена к трансформатору.
Пример 21.7. Волна прямоугольной фор-
мы с напряжением Uo (рис. 21.19, а) пере-
ходит с линии с волновым сопротивлением
zcl на линию с волновым сопротивлением
zc2. В месте соединения двух линий (узел
2—2') параллельно линии включен конденса-
тор емкостью С. В конце второй линии
(узел 3 — 3') включен индуктивный элемент
L.
Построить распределение напряжения и
тока вдоль линии, когда волна, проходящая
во вторую линию, еще не достигла ее конца.
Решение. Составим для узла 2 — 2'
схему замещения (рис. 21.19, б). Включение
источника с ЭДС 2U0 и сопротивлением zcl
создает на узле 2 — 2' напряжение
и2 = 2U0 —--------(1 - е-'Ч (а)
Zcl + ZC2
где т = гэкС; гж = zclzc2/(zcl + zc2).
Зависимость и2 (t) для случая zc2 < zci
представлена на рис. 21.20. Как видно из
графика, напряжение на узле нарастает
плавно до значения 2Uozc2/(zcl 4- zc2) и, сле-
довательно, вправо от этого узла пойдет
волна с пологим фронтом, напряжение ко-
торой равно и2.
Одновременно от узла 2-2' отразится
волна с напряжением
мотр = и2 ~ мпад — ^0 '
?с2 + Zcl
- 2U0 ——е-"’.
Zc2 + Zei
Таким образом, слева от узла 2-2'
существуют две волны, движущиеся одна
навстречу другой, — падающая и отраженная,
а справа идет одна преломленная волна.
На рис. 21.21 представлены в отдельности
напряжения и токи падающей, преломлен-
ной и отраженной волн, а также результат
их наложения.
Из приведенного расчета очевидно, что
в момент падения волны на конденсатор
напряжение на нем остается равным нулю,
а ток равен удвоенному току волны. Таким
378
Illllllllllllllllllllllllllllllllll"
о
^пад
. О
‘”р»
i
О
р- - у
Рис. 21.21
образом, емкостный элемент в момент па-
дения волны производит такое же действие,
как и короткое замыкание. Только по мере
зарядки конденсатора его действие умень-
шается, и по истечении времени, в несколько
раз превышающего постоянную времени т,
в узле 2—2' устанавливается такое же
напряжение, как если бы конденсатора не
было вовсе. Ток слева от узла 2 — 2' больше,
чем справа, на ток зарядки конденсатора.
Как видно из всех приведенных расчетов,
индуктивный элемент L, включенный в конце
второй линии, не оказывает влияния ни на
составление эквивалентной схемы, ни на
распределение токов и напряжений. Действи-
тельно, до тех пор, пока волна не дойдет
до конца второй линии, распределение токов
и напряжений в линии не зависит от нагруз-
ки в конце второй линии. Только после
того как волна во второй линии дойдет до
узла 3 — 3', начинает сказываться его влияние.
Отражение волны от узла 3 — 3' может
быть рассмотрено аналогично предыдущему
при помоши схемы замещения для этого
узла. На рис. 21.22 изображена схема заме-
щения для определения напряжения на узле
3 — 3' при падении на него волны, прошед-
шей уже через узел 2 — 2' (мимо емкости).
В этом случае напряжение источника ЭДС
в схеме замещения уже не постоянно, а
плавно нарастает по закону 2и2. Решение
задачи производится так же, как и в случае
изменения напряжения по произвольному
закону в цепи с сосредоточенными парамет-
рами (см. § 14.16).
21.7. Качественное рассмотрение пе-
реходных процессов в линиях,
содержащих сосредоточенные
емкостные и индуктивные элементы
Как видно из рассмотренных при-
меров, конденсатор и катушка, вклю-
ченные в цепь с распределенными пара-
метрами, производят различное дей-
ствие.
В момент падения волны индуктив-
ный элемент подобен разрыву в месте
его включения, но по мере нарастания
тока его действие все более соответству-
ет короткому замыканию. Емкостный
элемент, наоборот, в первый момент
оказывает действие, подобное короткому
замыканию между точками его включе-
ния. По мере того как конденсатор
заряжается, ток уменьшается. При пол-
ной зарядке конденсатор аналогичен раз-
рыву между точками его включенйя.
Основываясь на этих рассуждениях,
можно рассмотреть прохождение прямо-
угольной волны через узлы схемы, в
которых емкостный и индуктивный эле-
менты включены различным образом.
Пусть в месте перехода с одной ли-
нии на другую с такими же парамет-
рами параллельно линии включен индук-
тивный элемент (рис. 21.23, а). Сначала,
пока ток в элементе не достиг замет-
ного значения, процессы происходят так,
как будто бы элемента нет вовсе, и ток
и напряжение волны при переходе с
одной линии на другую не изменяются.
Однако по мере нарастания тока в ин-
дуктивном элементе его влияние стано-
вится все больше и ток и напряжение
волны во второй линии уменьшаются.
По истечении достаточно большого вре-
379
Рис. 21.23
мени волна от индуктивного элемента
отражается полностью, как от коротко-
замкнутого конца линии, а напряжение
и ток проходящей волны становятся
равными нулю. Таким образом, с первой
линии во. вторую поступает импульс с
крутым фронтом, затухающий по экспо-
ненциальному закону.
Если в месте перехода с одной ли-
нии на другую последовательно с лини-
ей включен конденсатор (рис. 21.23,6),
то в первый момент, пока он не заря-
жен, волна проходит так, как если бы
две линии были включены последова-
тельно. По мере зарядки конденсатора
он как бы отключает вторую линию от
первой и делает невозможным переход
волны с первой линии на вторую.
Если назвать переход волны с одной
линии на другую при последовательном
включении емкостного или индуктивно-
го элемента переходом «через емкость»
или «через индуктивность», а при па-
раллельном включении — «мимо емко-
сти» или «мимо индуктивности», то
380
можно заметить следующие закономер-
ности.
При прохождении волны мимо ин-
дуктивности или через емкость фронт
волны сохраняется крутым и в первый
момент при равенстве волновых сопро-
тивлений линий максимум напряжения
(тока) проходящей волны равен напря-
жению (току) падающей волны. С тече-
нием времени напряжение (ток) проходя-
щей волны убывает, снижаясь до нуля.
При прохождении волны через ин-
дуктивность или мимо емкости фронт
волны сглаживается и напряжение (ток)
волны лишь с течением времени при
равенстве волновых сопротивлений ли-
ний достигает значения напряжения (то-
ка) падаюшей волны.
Графики распределения напряжений
и токов для двух последних случаев
представлены на рис. 21.23, в и г.
Отраженные волны имеют характер,
обратный характеру проходящих волн.
Если фронт проходящей волны стано-
вится пологим, то фронт отраженной
77 TV TV ////// ////// /// /// /// ///////// ///
Рис. 21.24
волны остается крутым и наоборот —
проходящей волне с крутым фронтом
соответствует отраженная волна с по-
логим фронтом.
Если волна прямоугольной фор-
мы имеет ограниченную длину /в
(рис. 21.24, а), то ее можно рассматри-
вать как сумму двух волн ипад1 = Uq
и Ыпад2 = — бесконечной длины, рав-
ных по абсолютному значению, но про-
тивоположных по знаку, сдвинутых одна
по отношению к другой на расстояние
/в. Прохождение такой волны через ин-
дуктивность может рассматриваться как
наложение токов и напряжений, подоб-
ных изображенным на рис. 21.23, в для
положительной и отрицательной волн
(рис. 21.24, б). Аналогично можно постро-
ить кривые напряжения и тока для
прохождения импульса мимо индуктив-
ности или мимо емкости, а также через
емкость.
21.8. Многократные отражения волн
с прямоугольным фронтом
от резистивного элемента
Включение источника. Для исследо-
вания многократных отражений волн
при наличии поглощения энергии на
концах линии рассмотрим включение
линии, замкнутой на приемник с рези-
стивным сопротивлением г2н = г2- Пита-
ющий генератор с постоянной ЭДС Ео
имеет чисто резистивное внутреннее
сопротивление гвт = В общем случае
г2 # zc и rY / zc.
Вычислим коэффициенты отражения
pi и р2 в начале и конце линии:
Pi = (Г, - zc)/(r! + zc); |
P2=(r2-Zc)/(r2+Zc). J
Первая прямая волна в соответствии
с § 21.4 имеет напряжение unpi =
= EqZc/{zc 4- rj, а первая отраженная об-
ратная волна в соответствии с § 21.6 —
напряжение uo61 = p2unpi-
Аналогично определяются отражен-
ные ВОЛНЫ. Wnp2 P1WO61> ^об2 Р2^пр2>
^прЗ = Р1^об2 И Т. Д.
Таким образом, для /с-й волну
»обк = (Р1Р2)*' 1 P2Unpl, (21.35)
а для к + 1-й соответственно
^пр (к+ 1) = (P1P2) ^прЬ (21.36)
Наложение этих волн дает значение
напряжений (и токов) в любой момент
времени.
Пример 21.8. Найти распределение напря-
жения и тока в линии с волновым сопро-
тивлением zc, подключаемой к генератору
с постоянным напряжением Uo (внутреннее
сопротивление =0). Сопротивление нагруз-
ки г 2 = 4zc.
Решение. По формулам (21.34) полу-
чаем pi = — 1 и р2 = 0,6. Рассмотрим систе-
му многократных отражений волн от начала
и конца линии и результаты запишем в виде
табл. 21.1, где щ и обозначают напря-
жение и ток в начале линии, а и2 и i2 —
в конце линии.
Пример 21.9. То же, что в предыдущем
примере, но сопротивление r2 = zc/3.
Решение. В этом случае из (21.34)
получаем рх = — 1 и р2 = —0,5.
Аналогично предыдущему, рассматривая
систему многократных отражений, можно
решение задачи записать в виде табл. 21.2.
На рис. 21.25, а и б показано изме-
нение тока ц, поступающего в линию
от источника, в зависимости от времени
для двух случаев, рассмотренных в при-
мерах 21.8 и 21.9: a) r2 > zc (r2 = 4zc);
б) r2 < zc (r2 = zc/3). На тех же рисунках
показано изменение напряжения и2 в
381
Таблица 21.1
Промежуток времени h/A) Напряжение волны ^/4
0 — //с 1 1 мпр1 = Ц) 0 0
1/с — 21/с 1 1 Мобр1 = Р2мпр1 = 0,6 Uq 4— 1,60 0,40
21/с — 31/с 1 -0,20 wnp2 = Р1 мобр1 = “ 0,6 Uq —♦ 1,60 0,40
31/с — 41/ с 1 -0,20 мобр2 = Р2«пр2 = ”0,36 Uq 4— 0,64 0,16
41/с — 51/с 1 0,5? мпрЗ = Pl W06p2 = 0,36 Uq 0,64 0,16
51/ с -61/ с 1 0,52 мобрЗ = Р2мпрЗ = 0,216 Uq «— 1,216 0,304
ei/c-71/c 1 0,088 мпр4 = Р1мобрЗ = “0,216 Uq —♦ 1,216 0,304
2к1 (2к+\)1 с с 1 0,25 МПР(£ + 1) = 0 1 0,25
при к -► оо
Таблица 21.2
Промежуток времени «1/^0 Л Напряжение волны »2/Ц>
0 4 1/с 1 1 мпр1 ~ Uq —♦ 0 0
l/б - 21/с 1 1 мобр1 = Р2мпр1 = —0,5 Uq 4— 0,50 1,50
21/ с — 31/с 1 2,0 мпр2 = pl «обр! = + 0,5 Uq -► 0,50 1,50
31/с - 41/с 1 2,0 мобр2 = P2«np2 = -0,25t/0 0,75 2,25
41/с — 51/с 1 2,5 мпрЗ = Р1мобр2 = -4-0,25 Uq -► 0,75 2,25
51/с - М/с 1 2,5 мобрЗ = Р2мпрЗ = — 0,125 Uq 4— 0,875 2,625
М/с - 71/с 1 2,75 wnp4 = Р1мобрЗ = 4-О,125С/о -♦ 0,875 2,625
2kl (2к + 1)/ с с 1 3 wnp(fc+l) = 0 1 3
при к -> оо
конце линии. Повышение напряжения
в сравнении с установившимся значени-
ем наблюдается, только если r2 > zc,
и наибольшее значение напряжения по-
лучается, когда первая волна дошла до
конца линии.
382
Рис. 21.26
Рис. 21.27
В случае а) напряжение и ток со-
вершают колебания вокруг некоторых
установившихся значений напряжения
UQ и тока I2 = U0/r2, приближаясь с
течением времени к этим значениям.
При г2 = оо, что соответствует холосто-
му ходу (р2 = 1), колебания не затуха-
ют. Период таких колебаний Т = 2 • 21/с.
На рис. 21.26 показано, как при этом
изменяются ток в начале линии и напря-
жение в конце линии.
Время Т называется периодом соб-
ственных колебаний длинной линии, а
f = 1/Т — ее собственной частотой:
В реальных линиях | pi | < 1 и коле-
бания всегда затухают.
В случае б) напряжение и ток апе-
риодически нарастают до установив-
шихся значений 170 и Л =
Если сопротивление г2 равно нулю,
то pi = pi = — 1 и каждая волна, при-
ходящая к началу линии, увеличивает
ток на 21 о = 2U/zc. График изменения
тока в начале линии для этого случая
представлен на рис. 21.27. При Uo =
= const (т. е. при бесконечно мощном
источнике) и при отсутствии потерь ток
в линии возрастал бы до бесконечности.
В реальных линиях скачки тока посте-
пенно уменьшаются и он приближается
к некоторому предельному значению —
току короткого замыкания линии.
Для приближенного рассмотрения
процессов в реальных линиях с поте-
рями сопротивление проводов гл может
быть условно разделено пополам и от-
несено: гл/2 - к началу линии; гл/2 — к
ее концу. Эти сопротивления могут быть
при расчетах включены в и г2-
Включение нагрузки. Если линия, за-
ряженная до напряжения UQi разряжа-
ется с одного из концов через резистив-
ный элемент с сопротивлением г
(рис. 21.28), то изменение напряжения
и тока в линии может быть определено
аналогично предыдущему.
Так как напряжение на рубильнике
перед его включением равно — Uo, то
в соответствии с § 21.4
inpi = - ^о/А + zc) = )
> (2137)
Unpl = - U^c/(r + zf) = -zcI. J
Находим коэффициенты отражения
для начала и конца линии в соответ-
ствии с (21.34): pi = (г - zc)/(r + zc) и
р2 = 1. Токи волн
io6pi = inpi = inp2 = Piio6pi Pi^»
io6p2 = inp2 == Pl^> inp3 Plio6p2 Pi-^
И T. Д., = Pl Д io6p/c “ inpfc*
Учитывая равенство inpk = /обрь мож-
но заметить, что каждая последующая
обратная волна тока компенсирует пре-
дыдущую прямую волну и ток в нача-
ле линии всегда равен току последней
прямой волны. Ток в сопротивлении г
по абсолютному значению такой же
и противоположен по знаку.
Таким образом, ток в сопротивлении
ir = — inpfc = Pi-1/ и напряжение ur = rir.
На рис. 21.28, а — в показаны кривые
изменения ir (или иг) во времени для
383
случаев: а) г > zc; б) г < zc; в) г — zc.
В нервом случае напряжение и ток
уменьшаются скачкообразно через каж-
дые 2//с, не изменяя знака; во втором
случае Pi < 0 и эти изменения знако-
переменные. Если же г = zC9 то первая
прямая волна снимает с линии полови-
ну напряжения, а первая обратная вол-
на — вторую половину и процесс закан-
чивается через 21/с. Все это напоминает
случаи апериодической, колебательной
и предельной апериодической разрядок
конденсатора.
Последний случай имеет большое
практическое значение, так как анало-
гичный принцип применяется в радио-
технике для получения импульсов пря-
моугольной формы, продолжительность
которых зависит от длины линии.
Выше были рассмотрены некоторые
простейшие примеры многократных от-
ражений волн от концов линии. Во всех
примерах прямая и обратная волны
представлялись как результат наложе-
ния многократно отраженных волн. Те
же результаты можно получить, если
рассматривать только результирующие
значения прямой и обратной волн не-
посредственно, анализируя уравнения
(21.9) и граничные условия на концах
линии. Такой метод позволяет свести
задачу к решению уравнений в конеч-
ных разностях, что упрощает расчет
сложных случаев многократных отраже-
ний волн.
21.9. Блуждающие волны
Помимо появления волн при вклю-
чении, отключении, коротком замыка-
ний или изменении нагрузки, а также
при случайных заземлениях возможны
еще волны под действием атмосферных
явлений. Соседство грозовых туч, снег,
дождь, движение воздуха, особенно во
время восхода и заката солнца,— все это
может привести к накоплению на изоли-
рованных проводах статических зарядов.
Значительные заряды могут образовать-
ся, если по соседству с линией нахо-
дятся грозовые тучи. Грозовая туча,
имеющая, предположим, отрицательный
заряд, действует таким образом, что
разделяет в проводах на соответствую-
щей длине линии положительные и
отрицательные заряды (электростатиче-
ская индукция). Положительные заряды
в проводах находятся в связанном со-
стоянии с зарядами тучи и могут быть
сосредоточены на небольшой длине ли-
нии, а свободные отрицательные заряды
распространяются по всей длине линии
и через несовершенную изоляцию сте-
кают на землю; благодаря малой плот-
ности этих зарядов их влиянием на
процессы в линии можно пренебречь.
Когда грозовая туча внезапно раз-
рядится с соседними облаками или с
землей, бывшие до этого в связанном
состоянии положительные заряды на про-
384
бгчг эиа
иэнэп иийоэх няонэо £1
/// ////// ////////////////// //////////////,
’63’13 OHd ан ОНВЕаЛОН Лая ‘ЭИ
-adxoa ndn axXdtt ан xXdtf чэкаанКаклан
‘XxXdir xXdtf Xh9dxoaan кэхХжиаК ннкоа
кинэж^хо экзон ox ‘алане HHawsdsn
еэд и oi4iooHifoii mtfoxoHodu ииник
аопнол X 9HH9»Bdxo и (j = zd = Td) ax
-XHXwoead аоПнол хиодо о киник ‘dawndn
-ан ‘икэд нкоа xi4H4KOxXowKdn иэинэж
-adxo wi4HxadxoxoHW эппча wiaHHsdxowo
-□ad оньихокана XHttoxonodu Hiroa хигп
-огеКжХкд эинэж1к1хо эонх^лохондо
•ииник гмаПнол л
axXdK хо xXdtr омиэиааеэн Koxcuarnswad
-эй WHiroa эннниаокоп ихе мэшиэнчкагг
д кэхогехиыча илох и кэхснванКаклэ
хвлкох xHtnoiXaxoxaaxooo а кинаж^пвн
‘KOxXtfHOEPd эн никое влоц э oiaxood
-олэ оэ (63’13 ЭИФ HHodoxo эгчнжоконоа
-Hxodu a K04xaln9W9d9H хогениьвн тчнкод
иинэж^ивн итинэьвнс ижчнниаокон э
никое эгеаолвниКо эаК ан Koxoiattauoad
(икХх HoaoEodx кинкика хо) киэ хиГп
-o^aяижdэtrX хо (о = ;) кинэйжодоаэо хи
эьгэон ИИНИ1Г a latfKdac энннэкполац
7/(0 ‘х) п = (о ‘х) з°п = (о ‘х) dun
‘ончкэхааоГГэкэ ‘и
3Z
0 ~ (0 ‘х) 9°П - (о ‘х) dun ~~ (0 ‘
t(o ‘х) 9°и 4- (Q ‘X) dun = (о ‘X) п
:ошКн
H9aad ИИНИ1Г а лох ‘ннжиаКонэн larndaE
аКхол ‘(о = ;) хнэигогс итчнчптьан д
i4Hiroa
хХкиоп Xnodoxo oiXxXdtf и Хх a aoKHdac
кинэкнолан ахээго хо Хмохеоц иьХх
HwatfKdat кэxo^aaижdэtfX эн эжХ хагоа
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ И МЕТОДОВ ИХ
РАСЧЕТА
22.1. Нелинейные электрические
и магнитные цепи
В предыдущих главах рассматрива-
лись только линейные элементы элект-
рических цепей, для которых зависимо-
сти между напряжениями, токами, заря-
дами и магнитными потоками (или
потокосцеплениями) выражаются линей-
ными функциями
и = Ri; Т = Li; q = Си, (22.1)
и параметры резистивных, индуктивных
и емкостных элементов R, L и С посто-
янные или изменяются во времени по
заданному закону.
Нелинейные цепи содержат элемен-
ты, которые не могут быть описаны
при помощи постоянных коэффициен-
тов, а характеристики являются нелиней-
ными функциями одной или нескольких
переменных. В этом случае зависимости
(22.1) — это нелинейные вольт-амперные
и (0, вебер-амперные Т (0 и кулон-вольт-
ные q(u) характеристики, причем они
часто бывают справедливы только при
постоянных (не зависящих от времени)
токах и напряжениях. В более общих
случаях характеристики зависят от ско-
рости изменения переменных, т. е. выра-
жаются функциями двух (или большего
числа) переменных, например
u(i, di/dt); T(i, di/dt); )
q(u, du/dt). J (22'2)
Так, например, вольт-амперная харак-
теристика германиевого диода для на-
пряжения прямой полярности оказыва-
ется разной при постоянном или мед-
ленно изменяющемся токе и при его
быстрых изменениях. На рис. 22.1 пока-
заны статическая для германиево-
го диода при постоянном токе (I) и
динамическая характеристики при
импульсе тока i продолжительностью
1 мкс. Из графика видно, что эти ха-
рактеристики очень сильно различаются.
Статические характеристики применимы
только при импульсах с пологим фрон-
том продолжительностью не менее не-
скольких миллисекунд.
Резко различаются статические и ди-
намические характеристики ламп нака-
ливания, терморезисторов и других не-
линейных резисторов, в которых изме-
нение свойств обусловлено изменением
температуры. На рис. 22.2 показаны
характеристики терморезистора, снятые
О 10 20 30 W 50 60 70(1>и,В
Рис. 22.1
Рис. 22.2
386
при медленном изменении тока I(U),
при настолько быстром изменении тока
(прямая) i(u), что температура термо-
резистора сохраняется, и при наложении
на постоянный ток переменного (кривые
вблизи рабочей точки А) при высокой
частоте тока (сплошная линия) и при
низкой частоте переменного тока малой
амплитуды (штриховая линия).
Существенно отличаются одна от
другой характеристики магнитопрово-
дов, снятые при разных частотах. Даже
для феррита, структура которого обес-
печивает отсутствие влияния вихревых
токов, с изменением частоты тока изме-
няется зависимость между индукцией
В и напряженностью Н или между по-
током Ф и током i. На рис. 22.3 пока-
заны половины петли гистерезиса, полу-
ченные для феррита при переменном
синусоидальном токе различных частот.
Для диапазона частот 0—250 Гц харак-
теристики практически совпадают, одна-
ко дальнейшее повышение частоты при-
водит к большему отставанию индук-
ции от внешнего магнитного поля, и
петля гистерезиса расширяется.
Все перечисленные особенности ха-
рактеристик нелинейных элементов при
переменных токах крайне затрудняют
расчет и исследование нелинейных це-
пей. При расчете нелинейных цепей
переменного тока необходимо учиты-
вать зависимость характеристик нелиней-
ного элемента от динамики процесса
и вводить динамические параметры
(сопротивления, индуктивности, емко-
сти). Только при относительно низких
частотах можно пользоваться статиче-
скими характеристиками и соответствен-
но дифференциальными параметрами и,
основываясь на них, производить расчет
цепей переменного тока.
В дальнейшем ограничимся рассмот-
рением относительно малых скоростей
изменения напряжений и токов, при
которых характеристики, полученные
для постоянных токов, (7(1), Ф(1), Q ((7)
совпадают с характеристиками для
мгновенных значений u(i), Ф(0, q(u).
При рассмотрении нелинейных элект-
рических и магнитных цепей существен-
но различаются методы подхода и ха-
рактер решаемых задач. Нелинейные
элементы электрических цепей обычно
представляют собой известные резистив-
ные или емкостные устройства, харак-
теристики u(i) или q(u) которых заданы
на основании экспериментально полу-
ченных зависимостей. Так, например,
для нелинейных резистивных двухполюс-
ников, таких как полупроводниковый,
вакуумный или ионный диод, бареттер,
лампа накаливания, могут быть заданы
экспериментальные характеристики, сня-
тые при постоянном токе — статические
(табл. 22.1). При этом для одних эле-
ментов, например полупроводниковых
и электронных диодов, эти характери-
стики справедливы и при достаточно
высоких скоростях изменения токов, т. е.
статические характеристики совпадают
с динамическими. Такие элементы (при
заданных ограничениях на скорость из-
менения тока) будем называть безы-
нерционными.
Для других нелинейных элементов,
например лампы накаливания, баретте-
ра и др., нелинейность характеристик
которых обусловлена тепловым действи-
ем и изменением сопротивления при
нагреве, приведенные характеристики
справедливы только при постоянном
токе или для действующих значений
переменных токов. Такие элементы (при
заданных ограничениях на частоту пере-
менного периодического тока) будем на-
зывать инерционными.
Нелинейные элементы магнитных
цепей далеко не всегда имеют заранее
заданные вебер-амперные характеристи-
ки. Обычно они синтезируются и рас-
считываются на основе известных ха-
13
387
Таблица 22.1. Характеристики нелинейных резистивных элементов
388
Наименование
Обозначение
рактеристик стали или других материа-
лов, из которых выполнены магнито-
проводы рассматриваемых магнитных
цепей. Расчет магнитных цепей обычно
основывается на известных зависимо-
стях между магнитной индукцией и
напряженностью магнитного поля
В (Я) — в общем случае векторными ве-
личинами. Но в большинстве задач, ре-
шаемых в теории магнитных цепей,
можно не учитывать анизотропию
свойств стали и, переходя от вектор-
ных понятий теории поля к скалярным
понятиям теории цепей, считать, что
вектор, выражающий элемент пути ин-
тегрирования d\ в определении магнит-
ь
ного напряжения UM = f Н Л, совпадает
а
с положительным направлением вектора
Н, а вектор, выражающий элемент по-
верхности dS в определении магнитного
потока Ф = j В dS, совпадает с положи-
5
тельным направлением вектора В.
Таким образом, расчет нелинейной
электрической цепи является чистой за-
дачей теории цепей, в то время как
расчет магнитной цепи обычно включа-
ет понятия теории поля. Элемент маг-
нитной цепи задается его вебер-ампер-
ной характеристикой, которая может
быть рассчитана на основании свойств
стали магнитопровода. Эта характе-
ристика в зависимости от необходи-
мости учитывать гистерезис может быть
как однозначной, так и неоднозначной,
и при числе п обмоток магнитопровода
магнитный поток представляет собой
функцию п токов
Ф = ф(£1киД (22.3)
\к=1 /
где ik и wfc — ток и число витков об-
мотки с номером к. При этом если ток
ift с магнитным потоком Ф составляет
правовинтовую систему, то он записыва-
ется со знаком плюс, а если левовин-
товую — то со знаком минус.
При постоянном токе не имеет прин-
ципиального значения, является ли ха-
рактеристика нелинейного элемента сим-
метричной или несимметричной. В цепях
переменного тока зависимость характе-
ристики от полярности приложенного
напряжения или.направления тока очень
существенна, так как только при не-
симметрии характеристики можно полу-
чить постоянную составляющую и чет-
ные гармоники тока при синусоидаль-
ном напряжении источника.
Симметричными характеристиками
обладают терморезисторы, например
бареттер (табл. 22.1), некоторые типы
газоразрядных приборов, катушки со
стальными магнитопроводами при от-
сутствии постоянного или остаточного
подмагничивания, конденсаторы с сег-
нетодиэлектриками и др. Для нелиней-
ных элементов с симметричными ха-
рактеристиками справедливы следую-
щие равенства: для резистивных u(i) =
= — и (— г), для индуктивных Ф (0 =
= — Ф (— i) и для емкостных q (и) =
= -«(-«)•
389
Несимметричными характеристика-
ми обладают электронные лампы, по-
лупроводниковые диоды и транзисто-
ры, многие типы газоразрядных при-
боров и ряд других нелинейных ре-
зисторов. Для резисторов с несиммет-
ричными характеристиками и (0 /
/ — н( —0, причем это неравенство
весьма существенно. Несимметричная
характеристика может быть получена
и искусственно — путем введения в цепь,
содержащую элемент с симметричной
характеристикой, дополнительного ис-
точника постоянной ЭДС.
22.2. Нелинейные двухполюсники
и четырехполюсники
Все рассмотренные выше нелиней-
ные элементы могут быть представлены
в виде резистивных и(0, индуктивных
Ф(0 и емкостных q(u) двухполюсников.
Характеристики резистивных
двухполюсников приведены в
табл. 22.1.
Каждый нелинейный резистивный
двухполюсник или элемент (НЭ) обозна-
чается на схеме так, как показано на
рис. 22.4. Он характеризуется предельно
допустимой рассеиваемой мощностью
(Рдоп = tWaon), которая зависит от ус-
ловий его охлаждения. Установкой
специальных теплоотводящих устройств
предельно допустимая мощность может
быть увеличена. Нелинейный резистив-
ный двухполюсник характеризуется со-
противлениями, зависящими от напря-
жения или тока:
статическим
= U/I (22.4)
и дифференциальным
Ядиф = dU/dl. (22.5)
В зависимости от участка характе-
ристики, на котором работает нелиней-
ный резистор, применяются различные
схемы замещения резистора, справедли-
вые только для данного участка харак-
теристики.
Вблизи рабочей точки характеристи-
ки (точка А на рис. 22.5, а) с коорди-
натами UА и 1А нелинейную зависимость
I(U) можно разложить в ряд Тейлора:
dl
dU
(U - UA) +
A
d2I (U - UA)2
+ dUTA~^. +-
(Ц - UaT
*” dUn A n!
(22.6)
Если рабочая точка находится на ли-
нейном участке, как на рис. 22.5, а, то
можно ограничиться только первыми
двумя членами ряда и вблизи рабочей
точки характеристики описать уравнени-
ем
/и~и^ (227)
U - U, - К,.,, (< - Л). (22.8)
Нелинейный резистивный элемент
имеет для этого линейного участка
характеристики в качестве схемы заме-
щения линейный активный двухполюс-
ник (рис. 22.5,6) с входным сопротив-
лением RBX = Ядифл = dU/dl |л и источни-
ком ЭДС Е = иА Е-аифА^А*
В отличие от линейных резистивных
четырехполюсников (см. гл. 8) у нелиней-
ных четырехполюсников параметры не
могут быть заданы тремя или четырьмя
постоянными величинами, а задаются
390
двумя семействами экспериментальных
характеристик. Для нелинейных резис-
тивных четырехполюсников наибольшее
распространение получило задание па-
раметров семействами входных и вы-
ходных характеристик, снимаемых при
различных значениях тока или напряже-
ния на второй паре выводов четырех-
полюсника. В отличие от проходных
линейных четырехполюсников, у кото-
рых к первичным выводам подключа-
ется источник, а к вторичным — прием-
ник, у нелинейных четырехполюсников
большей частью как к первичным, так
и к вторичным выводам подключаются
источники и выбираются указанные на
рис. 22.6 положительные направления
токов ii9 i2 и напряжений ul9 и2. Один
из первичных и вторичных выводов
четырехполюсника (например, Г и 2')
обычно является общим, и по существу
четырехполюсник является трехполюс-
ником, что показывает штриховая ли-
ния на рис. 22.6).
Входные характеристики выражают-
ся семейством функции (nJ при раз-
личных значениях и2 или i2, а выход-
ные — семейством i2 (u2) при различных
значениях или iv В табл. 22.2 при-
ведены семейства таких характеристик
для различных нелинейных четырехпо-
люсников. Наибольшее значение имеют
выходные характеристики. Входные ха-
рактеристики часто мало зависят от
напряжения или тока на выходе, а
иногда сливаются с одной из осей ко-
ординат, так как токи или напряжения
на входе весьма малы. К нелинейным
четырехполюсникам условно можно от-
нести фотодиоды и фототранзисторы,
ток которых зависит от управляющего
светового потока Ф.
Электронная лампа, транзистор и
тиристор по существу являются трех-
полюсниками. Однако один из этих
♦ •
Рис. 22.6
полюсов можно считать общим и от-
носительно этого полюса определять
напряжения двух других полюсов, т. е.
нелинейный элемент рассматривать как
четырехполюсник. В табл. 22.2 в качестве
общего полюса приняты: катод для
электронной лампы и тиристора, эмит-
тер для биполярного транзистора и
исток для полевого транзистора.
Все приведенные в табл. 22.2 нели-
нейные четырехполюсники пассивные,
так как они не обладают источниками
электроэнергии и напряжение на входе
и выходе равно нулю, если к этим вы-
водам не подсоединены источники.
Режим нелинейного четырехполюс-
ника при равенстве нулю токов на
входе и выходе называется режимом
двойного холостого хода. Для фотодио-
дов и фототранзисторов таким режимом
является равенство нулю светового по-
тока Ф, освещающего элемент, и тока
на выводах. Обычно нелинейные четы-
рехполюсники рассматриваются сов-
местно с источниками питания постоян-
ного напряжения, включаемыми в пер-
вичную и вторичную цепи, и в этом
случае их называют неавтономными
активными элементами цепи. Характе-
ристики — безынерционные (не завися-
щие от частоты в допустимом диапа-
зоне частот).
Каждый из нелинейных четырех-
полюсников характеризуется предель-
ным значением напряжения 17доп, кото-
рое допустимо подводить из условия
пробоя изоляции, и предельными по
условиям нагрева значениями тока 1аоп
и мощности потерь Рдоп в элементе.
Рабочая область выходной характе-
ристики четырехполюсника ограничива-
391
Таблица 22.2. Характеристики нелинейных четырехполюсников и управляемых
двухполюсников
Биполяр-
ный тран-
зистор
К — кол-
лектор
А— база
Э — эмит-
тер
W1 = иБ
и2 = ик
z’i = h
h. =
*Б1 < 1Б2 < *БЗ < *Б4
Полевой
транзистор
С — сток
3 — затвор
И — исток
W1 = и3
z’i = z3 % О
«2 = МС
*2 = z*c
Тиристор
(тринистор)
щ = иу % О
i\ = Zy
и2 = и
Z2 = Z
392
Продолжение табл. 22.2
Наиме-
нование
Обозначение
Пример характеристик
Фотодиод
М,1 Ф
*1 J
и2 = и
i2 = i
Фототран-
зистор
M1 I ф
zi J
U2 = UK
*2 =
0 < Ф! < ф2 < Ф3 < ф4
ется значениями С7ДОП, 7ДОП и Рдоп = UI
(рис. 22.7).
Нелинейные двухполюсники и четы-
рехполюсники часто включаются в цепь
с источниками как постоянного, так и
переменного . напряжения. При этом
амплитуды переменных токов и напря-
жений бывают достаточно малы, поэто-
му можно линеаризовать нелинейную
характеристику так, как это сделано
для двухполюсников на рис. 22.5.
Таким образом, при малых откло-
нениях от рабочей точки для перемен-
ных составляющих токов, напряжений,
магнитных потоков и зарядов в нели-
нейных цепях могут быть построены
эквивалентные линейные схемы, даю-
щие возможность для некоторой об-
ласти переменных составляющих при-
ближенно провести расчет цепи.
Анализ нелинейной цепи в этом
случае распадается на три этапа: 1) оп-
ределение рабочих точек на характе-
ристиках нелинейных элементов; 2) оп-
ределение дифференциальных парамет-
ров нелинейных элементов и составле-
ние эквивалентной линейной схемы за-
мещения; 3) определение переменных
составляющих режима, которое произ-
водится методами теории линейных
цепей.
22.3. Определение рабочих точек
на характеристиках нелинейных
двухполюсников и
четырехполюсников
Если для нелинейного двухполюс-
ника нелинейная характеристика задает-
ся функцией одного переменного i (и), то
характеристика нелинейного четырехпо-
люсника, как указывалось, описывается
393
Рис. 22.8
двумя функциями двух переменных. Од-
на из этих переменных обычно явля-
ется аргументом, а вторая — парамет-
ром, и функция задается семейством
кривых, полученных для различных по-
стоянных значений параметра.
При описании нелинейного четырех-
полюсника эти две функции и их аргу-
менты и параметры могут быть выбра-
ны различно. Так, для нелинейного
четырехполюсника, показанного на
рис? 22.8, его характеристики можно
задать уравнениями для входа иг (и2,1’2)
и ii (и2, i2), Для выхода и2 (ub it) и
*1), Для напряжений щ (ii9 i2) и
и2 Оь Для токов ii Oh, **2) и h 0*i, мз)-
Здесь в скобках первая величина явля-
ется аргументом, а вторая — парамет-
ром. Выбор той или иной пары урав-
нений и аргументов и параметров обус-
ловлен удобством решения поставлен-
ных конкретных задач.
Теория нелинейных четырехполюсни-
ков получила наиболее широкое раз-
витие в' связи с применением тран-
зисторов. В качестве характеристик та-
кого четырехполюсника обычно приме-
няются зависимости напряжений от то-
ков для входа и выхода, причем в ка-
честве параметра для характеристик
входа принимается напряжение на вы-
ходе и2, а для характеристик выхода —
ток на входе it.
Такие характеристики
U1 = (ilt и2) И и2 = и2 (i2, ii) (22.9)
называются смешанными. При помощи
этих характеристик могут быть легко
найдены рабочие точки на нелинейных
характеристиках в любых схемах вклю-
чения четырехполюсников и определены
параметры их линейных схем замещения
вблизи рабочей точки.
Рассмотрим наиболее общий случай
включения нелинейного резистивного
четырехполюсника (рис. 22.8), когда его
первичная и вторичная цепи подключе-
ны к активным нелинейным двухполюс-
никам с нелинейными характеристика-
ми it (uj и i2 (и2). При этом входная
и выходная характеристики четырехпо-
люсника заданы семействами характе-
ристик при значениях параметров и2, и2
и ис2 для входа и i}1}, i}2} и для
выхода.
Входную и выходную характеристи-
ки построим в третьем и первом квад-
рантах, как показано на рис. 22.9. Че-
тырехполюсник, к вторичным выводам
которого подключен двухполюсник
U2 0г), можно со стороны первичных
выводов рассматривать как некоторый
двухполюсник, характеристику которого
(1\) получим простым построением.
Для этой цели, начертив в первом
квадранте внешнюю характеристику I
активного двухполюсника i2 (и2) (см.
гл. 1), представляющую собой нагру-
зочную характеристику на вторичных
выводах четырехполюсника, найдем точ-
ки пересечения 1, 2, 3 этой характе-
ристики с соответствующими выходны-
ми характеристиками четырехполюсника
при ii(1), i/2) и i/3). По этим точкам на
оси i2 находим токи i2(1), ij2) и i2(3).
По найденным токам во втором квад-
ранте построим вспомогательную харак-
теристику i2(ii) (кривая II).
По значениям параметра (и2, и2, и2)
на характеристиках I и II найдем соот-
ветствующие значения i", i* и ii и для
них на входных характеристиках (ix,
и2) — точки а, b и с. Соединив эти точки,
получим входную характеристику III
четырехполюсника, к вторичным выво-
дам которого подключен двухполюсник
h (и2).
Таким образом, четырехполюсник с
подсоединенным к вторичным выводам
двухполюсником эквивалентен двухпо-
люснику с характеристикой III. Рабочую
точку А определим как точку пересече-
ния внешней характеристики ii (их) (кри-
вая IV) двухполюсника, подсоединенно-
го к первичным выводам четырехпо-
люсника, с входной характеристикой III.
Зная рабочую точку, можно опреде-
394
лить дифференциальные параметры ли-
неаризованного четырехполюсника в
этой точке, составить эквивалентную
схему замещения для переменной сос-
тавляющей и решать линейную задачу
для малых отклонений от рабочей точ-
ки. При этом на характеристиках
рис. 22.9 процесс изображается некото-
рой замкнутой кривой или участком
прямой, расположенной вблизи точки А,
подобно тому как это показано на
рис. 22.2.
Изменяя параметры двухполюсни-
ков, подключенных к нелинейному че-
тырехполюснику, можно изменять по-
ложение рабочей точки А на характе-
ристике четырехполюсника и таким об-
разом управлять параметрами эквива-
лентной линейной цепи, преобразую-
щей переменный сигнал, как, например,
395
в различного рода электронных усилите-
лях переменного тока.
При построении цепи с нелинейными
четырехполюсниками обычно исходят
из желаемой рабочей точки на харак-
теристике и соответствующим выбором
сопротивлений резисторов и постоянных
ЭДС источников питания обеспечивают
требуемый режим.
Пусть, например, для нелинейного
четырехполюсника известны семейства
входных характеристик (wj при задан-
ных и2 и выходных i2 (и2) при заданных
ii (рис. 22.10, а). Если к выводам четы-
рехполюсника подключены источники
(рис. 22.10,6) с ЭДС Ег и Е2 и сопро-
тивлениями R} и R2, то для входной
и выходной цепей уравнения Кирхгофа
имеют вид
U1=Ei- RJi', U2 = E2- R2I2. (22.10)
На рис. 22.10, а эти уравнения вы-
ражаются прямыми, проходящими через
рабочую точку А на входной и выход-
ной характеристиках. При анализе цепи,
задаваясь ЭДС Ех и Е2 и сопротивле-
ниями Rr и R2, по точкам пересечения
прямых с характеристиками определяют
рабочую точку А. При синтезе, наоборот,
выбрав рабочую точку А на входной
и выходной характеристиках и подста-
вив значения l/u, U2A и 11А, 12А для
рабочей точки Л, по формулам (22.10)
определяют необходимые значения Rx
и R2 (считая, что ЭДС Ег и Е2
известны).
22.4. Схема замещения нелинейного
четырехполюсника для переменной
составляющей тока и ее параметры
Из табл. 22.2 видно, что для всех
нелинейных четырехполюсников и уп-
равляемых двухполюсников задаются
семейства входных и выходных харак-
теристик. Входные характеристики при-
водятся только для электронных ламп
и биполярных транзисторов, а для ос-
тальных элементов они не имеют су-
щественного значения в силу малых
значений токов или напряжений на
входе. То же относится и к электрон-
(22.12)
ным лампам в режиме отрицательного
сеточного напряжения.
Для четырехполюсника (например,
биполярного транзистора в схеме с об-
щим эмиттером) характеристики описы-
ваются функциями двух переменных
^1об ^1об 01 об? M2og),
^2об ^*2об 0*1об> ^2об), (22.11)
где индексом «об» обозначены общие
токи и напряжения, состоящие из по-
стоянных и переменных составляющих
(рис. 22.11, а и б):
М1Об = + М]; м2об = ^2А + м2;
Ооб — 1\А + 0? ^2об — hA + h'
В рабочей точке А эти функции
можно разложить в ряд Тейлора и,
пренебрегая более высокими членами
ряда, записать
wio6 ~ + дщ/dix |л +
4- дщ/ди21А &u2,
*2об » Ьа + L Aij 4- (
4- di2/du2|л Aw2
или
Aiii = «юс - UiA « 6мi Ж |4 Ai\ 4- 1
4-6wi/6w2 \a Awo;
A. • r । a- . ' (22-14)
Ai2 — 12об ~ hA 6i2/6h U Aii +
4- di2/du2 |л Aw2.
Переходя к рассмотрению только
переменных составляющих и обозначая
их вместо Aub Aib Au2, Ai2 соответ-
ственно Ui, u2, i19 i2, получаем
Ui = Haii 4- H12u2;
i2 = H2lii 4- H22u2.
Здесь параметры четырехполюсника
Ни = dujdii L; Н12 = диг/ди2 \А,
^21 = 6i2/6i! |л; Н22 = di2/du2 |л
(22.15)
должны быть определены для заданной
рабочей точки А.
Параметр Нц имеет размерность
сопротивления (см. также гл. 8) и пред-
ставляет собой входное сопротивление
биполярного транзистора Ки. Безраз-
мерный коэффициент Н12 выражает об-
ратную связь по напряжению. У бипо-
396
Рис. 22.11
лярных транзисторов он пренебрежимо
мал, и в практических расчетах прини-
мается Н12 * 0. Безразмерный коэффи-
циент H2i выражает передачу по току,
а параметр Н22 имеет размерность
проводимости и выражает выходную
проводимость транзистора при посто-
янном токе базы.
Для биполярных транзисторов зна-
чения параметров обычно лежат в сле-
дующих пределах: Яп = 10-г 100 Ом;
Я21 =20-г200; #22 = 10"3ч-10"7 См.
Для переменных составляющих то-
ков и напряжений уравнению (22.14)
соответствует схема замещения с управ-
ляемым источником (ИНУН), показан-
ная на рис. 22.12. Здесь
*11=#!!,
7°~—1
4Ui fy/L
/о——I
Рис. 22.12
k2i г-ди2/ди1 |л — — Н21/Н11Н22,
R22 = 1/Н22. (22.16)
Аналогичная схема замещения мо-
жет быть применена для электронный
ламп и полевых транзисторов, для па-
раметров которых приняты несколько
иные обозначения.
Для электронных ламп
du2/di2 |л = R22 = Кь
|л = S; к21 = -ц = -RfS
и соответственно при < 0
Rn = оо.
Для полевых транзисторов
du2/di2 |л = Rc; dijdui |л = S
и соответственно аналогично электрон-
ным лампам
/c2i = — RCS и R22 = Rc.
Все рассмотренные в табл. 22.2 эле-
менты характеризуются направленным
действием от входа к выходу, т. е.
397
относятся к невзаимным четырехполюс-
никам.
22.5. Явления в нелинейных цепях
постоянного и переменного токов
В некоторых случаях нелинейность
не приводит к существенно новым яв-
лениям, отсутствующим в линейных це-
пях, но усложняет расчет цепи. Однако
в большинстве электротехнических уст-
ройств с нелинейными элементами не
только возникают явления, принципи-
ально неосуществимые в линейных це-
пях, но на нелинейности цепи основы-
вается принцип действия устройства.
Такие явления, как выпрямление и
стабилизация напряжения, умножение и
деление частоты, усиление мощности,
преобразование различных сигналов, по-
лучение модулированных колебаний раз-
личной формы, скачкообразное измене-
ние тока при плавном изменении на-
пряжения питания (релейный эффект),
запоминание сигнала, основаны на прин-
ципиально нелинейных эффектах.
В нелинейных цепях, питаемых толь-
ко от источников с синусоидальными
ЭДС или токами одной частоты, воз-
никают токи различных частот. Из
спектра частот тока можно выделить
постоянную составляющую и использо-
вать ее в качестве источника постоян-
ного тока. На этом принципе основано
устройство выпрямителей. Из спектра
частот тока могут быть выделены те
или иные высшие гармоники и исполь-
зованы в качестве источников более
высоких частот. Это является основой
построения умножителей частоты. Нели-
нейность характеристики цепи может
обеспечить неизменность постоянного
напряжения или амплитуды основной
гармоники на одном из участков цепи
при значительных изменениях напряже-
ния источника, т. е. дает возможность
получить стабилизаторы напряжения.
Еще большие возможности откры-
ваются применением нелинейных эле-
ментов в цепях, питаемых от источни-
ков различных частот. Применение ис-
точников постоянного тока наряду с
источниками переменного синусоидаль-
ного тока дает возможность управлять
398
переменным током, воздействовать на
его значение. В нелинейных цепях мож-
но получить переменный ток значитель-
ной мощности за счет энергии источни-
ков постоянного тока и, наоборот, цо-
лучить мощный сигнал постоянного тока
за счет энергии переменного тока. Это
является основой построения различных
усилителей сигналов.
Включение нескольких источников
синусоидальных напряжений различных
частот в нелинейную цепь приводит
к появлению кроме гармонических со-
ставляющих токов каждой из этих
частот еще ряда боковых частот — к
получению модулированных колебаний.
В цепях с нелинейными элементами
получают самые различные переходные
процессы, которые применяются для
формирования различных импульсов в
устройствах автоматики и радиотехни-
ки.
Особое значение для практики име-
ют гистерезисные характеристики нели-
нейных элементов, которые дают воз-
можность запоминать сигналы. Приме-
нение быстродействующих элементов,
обладающих этими свойствами, явилось
основой цифровой вычислительной тех-
ники.
В нелинейных цепях, питаемых толь-
ко от источников постоянного напряже-
ния, возможно возникновение периоди-
ческих автоколебательных режимов с
токами, по форме более или менее
близкими к синусоидальным. Подобные
режимы наблюдаются и в цепях, питае-
мых от источников переменного напря-
жения. В этих случаях амплитуда тока
может изменяться с некоторой частотой
автоколебаний (см. гл. 28).
Все перечисленные явления получи-
ли широкое применение в самых раз-
личных технических устройствах совре-
менной электротехники, и их анализ
очень важен, хотя и сопряжен с матема-
тическими трудностями.
22.6. Методы расчета нелинейных
цепей
В теории линейных электрических
цепей с постоянными параметрами весь
анализ сводится к решению системы
линейных дифференциальных или алгеб-
раических уравнений. Математический
аппарат для решения подобных уравне-
ний был полностью разработан еще в
начале прошлого века. Задача теории
в последнее время сводилась к тому,
чтобы найти наиболее экономичный и
наглядный метод инженерного расчета,
анализа или синтеза цепи, в том числе
и численных методов. При этом для
решения широко применяются принци-
пы наложения и взаимности.
Значительно сложнее обстоит дело с
расчетом нелинейных электрических це-
пей. Сама теория нелинейных диффе-
ренциальных уравнений, описывающих
процессы в нелинейных электрических
цепях, разработана значительно меньше.
Для нелинейных уравнений каждого ти-
па существуют свои методы подхода
и решения, причем многие нелинейные
уравнения не имеют аналитических ре-
шений, требуют построения специаль-
ных функций или применения численных
методов. Особенно усложняется расчет
нелинейных цепей тем, что в большин-
стве задач характеристики нелинейного
элемента заданы графически и отсут-
ствует достаточно простое и точное
математическое описание этих характе-
ристик. Однако инженерная практика тре-
бует получения хотя бы грубо ориенти-
ровочных расчетных соотношений, кото-
рые дают количественную оценку процес-
сов, происходящих в нелинейных цепях.
Именно поэтому в отличие от теории
линейных цепей, где может быть полу-
чено решение задачи с любой точностью,
основой теории нелинейных цепей яв-
ляется получение приближенных реше-
ний, дающих в основном качественную
оценку процессов.
Развитие теории нелинейных элект-
рических цепей относится в основном
к нынешнему веку. В этой области
ведущее значение имеют работы русских
и советских ученых А. М. Ляпунова,
Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси,
А. А. Андронова, Н. М. Крылова,
Н. Н. Боголюбова и многих других.
Из зарубежных работ большое значение
для развития нелинейной электротехни-
ки имели исследования Пуанкаре, Ван-
дер-Поля, Рюденберга и др.
Можно назвать следующие методы
приближенного расчета установившихся
и переходных процессов в нелинейных
цепях, получившие преимущественное
распространение в практике инженерных
расчетов.
1. Методы малого параметра и услов-
ной линеаризации. Одним из методов
расчета нелинейной цепи является такое
ее упрощение, основанное на пренебре-
жении относительно малыми величина-
ми, чтобы можно было применять ме-
тоды расчета линейных цепей, но при
решении «квазилинейной» задачи вво-
дить некоторые коррективы, обусловлен-
ные нелинейностью. Например, при ана-
лизе нелинейных цепей переменного то-
ка, в которых значение высших гармо-
ник относительно невелико, несинусои-
дальные токи заменяют эквивалентны-
ми синусоидальными и применяют ком-
плексный метод расчета, но с учетом
нелинейной зависимости между дей-
ствующими значениями и фазами экви-
валентных синусоид тока и напряжения.
Разновидностью метода малого па-
раметра является метод гармонического
баланса. При расчете цепи этим мето-
дом рассматривают амплитуды основ-
ных гармонических составляющих токов
и напряжений в нелинейной электри-
ческой цепи и пренебрегают действием
всех высших гармоник. При этом иногда
полагают, что амплитуды гармонических
составляющих медленно изменяются, но
нет необходимости учитывать спектр
гармоник, связанных с изменением амп-
литуды. Такое упрощение задачи по
существу является заменой нелинейной
зависимости линейной, справедливой
только для определенного значения
амплитуд тока или напряжения. Поэто-
му метод условной линеаризации иног-
да называется методом гармонической
линеаризации. Он был применен в рабо-
тах Л. И. Мандельштама и Н. Д. Па-
палекси, затем в работах Н. М. Крыло-
ва и Н. Н. Боголюбова и получил
дальнейшее развитие в работах
Л. С. Гольдфарба, Е. П. Попова и дру-
гих применительно к задачам теории
автоматического регулирования.
При расчете переходных процессов
метод условной линеаризации основы-
399
вается на приближенной замене нели-
нейной функции линейной и применении
решений линейного уравнения с после-
дующим уточнением результата введе-
нием поправок. Этот метод дает очень
приближенное решение задачи, однако
он наиболее прост и поэтому применя-
ется для ориентировочного расчета про-
цессов, анализ которых более точными
методами представляет значительные
трудности.
2. Метод аналитической аппроксима-
ции нелинейной характеристики. Сущ-
ность метода заключается в прибли-
женном выражении нелинейной харак-
теристики некоторой аналитической
функцией такого вида, чтобы достаточ-
но просто решалось нелинейное диффе-
ренциальное уравнение цепи. Успешное
применение метода зависит от того,
насколько точно удалось подобрать
аналитическое выражение для нелиней-
ной характеристики и насколько просто
решается полученное дифференциальное
уравнение. При решении дифференци-
ального уравнения иногда пренебрегают
некоторыми членами ввиду их относи-
тельной малости, рассматривая их как
своего рода малый параметр. Этот
метод при расчете нелинейных цепей
переменного тока применяется в соче-
тании с методом гармонической линеа-
ризации и дает возможность аналити-
чески найти первую гармонику тока или
напряжения в нелинейной цепи.
3. Метод кусочно-линейной аппрок-
симации характеристики и припасовыва-
ния линейных решений. Сущность мето-
да заключается в замене нелинейной
характеристики некоторой ломаной ли-
нией и решении задачи методами ли-
нейной электротехники. Решения, полу-
ченные для каждого из участков лома-
ной, «припасовываются» одно к дру-
гому соответствующим выбором посто-
янных интегрирования. Метод получил
широкое применение для решения самых
различных задач.
4. Итерационный метод. Применяя
этот метод, сначала находят приближен-
ное решение или задаются им, а затем
его уточняют путем многократной под-
становки каждого решения в исходное
уравнение цепи. Итерационные методы
400
применяются и для численного решения
задачи при помощи ЭВМ.
5. Графический метод. Сущность ме-
тода заключается в сведении дифферен-
циальных уравнений цепи к системе
нелинейных уравнений и получении ре-
шения графическими построениями.
Этим методом просто и точно рас-
считывают переходные процессы в цепях
с постоянными ЭДС, описываемых диф-
ференциальными уравнениями первого,
а в несколько измененном виде — вто-
рого порядка. Для установившихся ре-
жимов в цепях с переменными ЭДС
этот метод применяется в сочетании
с методом малого параметра и услов-
ной линеаризации.
Применительно к расчету переход-
ных процессов графические методы ка-
чественного анализа процессов получили
развитие в работах А. А. Андронова,
С. Э. Хайкина и А. А. Витта и известны
под названием метода фазового про-
странства.
6. Метод последовательных интерва-
лов. Сущность метода заключается в
замене дифференциального уравнения
алгебраическим, содержащим прираще-
ния исследуемых величин за соответ-
ствующие интервалы времени. Решение
задачи получается в результате мно-
жества элементарных расчетов, выпол-
няемых обычно при помощи ЭВМ.
С применением этого метода может
быть проведено численное решение тех
же задач, что и графическим методом.
Метод последовательных интервалов
менее нагляден, чем графический, одна-
ко он хорошо сочетается с применением
цифровых вычислительных машин, что
делает этот метод наиболее распростра-
ненным.
Из перечисленных методов графиче-
ский метод нагляден и часто дает
удовлетворительную точность решения
задачи. Аналитический метод обычно
менее нагляден, иногда громоздок, од-
нако при помощи аналитического рас-
чета удается получить общие расчетные
зависимости. Численные итерационные
методы и метод последовательных ин-
тервалов при малой наглядности позво-
ляют получить наиболее точный резуль-
тат.
В практических задачах обычно при-
меняют то или иное сочетание различ-
ных методов расчета. При решении
задач надо иметь в виду приближен-
ный характер задания нелинейных за-
висимостей, которые могут существенно
изменяться с течением времени, а осо-
бенно при замене деталей устройства.
Поэтому простота и наглядность реше-
ния часто более желательны, чем точ-
ность математического описания нели-
нейного элемента и полнота исходных
уравнений.
В гл. 23 — 28 рассматриваются раз-
личные технические задачи нелинейной
электротехники и для расчета приме-
няются перечисленные выше методы.
Все перечисленные методы приобре-
тают особое значение в связи с приме-
нением ЭВМ. Применение ЭВМ для ре-
шения конкретных задач при заданных
параметрах и характеристиках электри-
ческих цепей дает возможность рассчи-
тывать режим в сложных линейных
и нелинейных цепях практически с лю-
бой требуемой точностью. При этом ме-
тоды решения линейных и нелинейных
задач различаются значительно меньше,
чем при аналитических расчетах.
В связи с этим при рассмотрении
явлений в нелинейных электрических
цепях далее предпочтение отдается
простоте и наглядности метода расчета
и возможности суждения о явлении
без era точного количественного ана-
лиза, который в случае необходимости
всегда может быть произведен при
помощи ЭВМ.
22.7. О применимости методов
расчета и принципов линейной
электротехники к нелинейным цепям
Все методы, основанные на законах
Кирхгофа в форме £ Z = О и £ I/ = 0,
применимы к расчету нелинейных цепей,
постоянного тока. Они применимы и для
мгновенных значений переменных i и и.
Все методы и принципы, основанные
для резистивных элементов на пропор-
циональности напряжения току (закон
Ома), неприменимы к нелинейным це-
пям. Вместо закона Ома необходимо
пользоваться нелинейной зависимостью
I (U) или U (7), поэтому невозможно
использовать принцип наложения и вы-
текающий из него принцип эквивалент-
ного генератора в формулировке, при-
веденной в § 2.8.
Для нелинейной цепи принцип экви-
валентного нелинейного генератора
можно формулировать следующим об-
разом: любая резистивная нелинейная
активная цепь, рассматриваемая отно-
сительно двух выводов, эквивалентна
нелинейному активному двухполюснику,
который состоит из источника ЭДС,
равной напряжению между этими выво-
дами при размыкании присоединенного
к ним внешнего участка цепи (режим
холостого хода), и последовательно с
источником включенного пассивного не-
линейного двухполюсника.
Характеристика этого пассивного не-
линейного двухполюсника зависит и' от
источников ЭДС и токов рассматри-
ваемого активного двухполюсника.
В справедливости принципа легко
убедиться, если расчетным путем или
экспериментально определить характе-
ристику рассматриваемого нелинейного
активного двухполюсника. Точка пере-
сечения характеристики с осью напря-
жения (при токе, равном нулю) дает
значение ЭДС эквивалентного источни-
ка Еэк = а перенесение начала коор-
динат в эту точку дает характеристику *
пассивного нелинейного двухполюсника, *
включенного последовательно с экви-
валентным источником ЭДС.
Полностью применим при расчете
нелинейных цепей принцип компенсации,
являющийся следствием выполнения
уравнений Кирхгофа. Неприменим для
нелинейных цепей принцип взаимности.
Даже в случае линеаризации нелинейных
характеристик, при которой для малых
сигналов возможно применять принцип
наложения, нельзя применять принцип
взаимности.
Электрическая цепь, содержащая не-
линейные и линейные элементы, долж-
на быть разделена на линейную и
нелинейную части, для каждой из кото-
рых применимы свои методы и принципы
расчета.
Для цепей, содержащих безынерци-
онные нелинейные элементы, неприме-
401
ним комплексный метод описания и
расчета цепей переменного тока.
Для цепей, содержащих инерционные
нелинейные элементы, в которых мгно-
венные значения токов и напряжений
связаны линейной зависимостью с ко-
эффициентом пропорциональности, за-
висящим от действующих значений то-
ков или напряжений, комплексный ме-
тод применим с учетом зависимости
комплексных величин Z или Y от дей-
ствующих значений токов или напря-
жений.
22.8. Аналитическое описание
нелинейных характеристик
Характеристики нелинейных элемен-
тов обычно задаются (в результате
проведения экспериментов) в виде таб-
лиц значений аргумента и функции или
в виде графиков, которыми часто ил-
люстрируются таблицы эксперименталь-
ных значений.
Для анализа нелинейных цепей часто
необходимо иметь аналитическое описа-
ние нелинейных характеристик в виде
одной или нескольких функций, опре-
деляемых для каждого из участков ха-
рактеристики.
Если из физических соображений
можно предложить аналитическую фор-
му описания нелинейной функции, то
входящие в эту функцию постоянные
могут быть найдены по правилам ап-
проксимации при помощи известных
математических программ, обычно ос-
новывающихся на минимизации модуля
или среднеквадратичного расхождения
между аналитической функцией и экспе-
риментальными данными. Стандартные
программы для решения таких задач
имеются в программном обеспечении
ЭВМ.
Далеко не всегда при помощи одной
аналитической функции с достаточной
точностью удается описать всю задан-
ную характеристику. Более точным и
универсальным методом аналитического
описания нелинейной характеристики
является кусочно-аналитическое описа-
ние функции на отдельных участках.
Будем считать, что характеристика
задана рядом точек
х: хь х2, хз, • • ч хк, • • > хп,
У- У\, У2, Уз, - -Ч Ук, - -Ч Уп-
Наиболее грубо аппроксимация не-
линейной характеристики может быть
выполнена при помощи кусочно-посто-
янных или кусочно-линейных функций.
В первом случае на участке xk — xk+i
эта функция постоянна, например
У = Ук или у = у (у» + №+ О,(22.17)
и полученная характеристика представ-
ляет собой ступенчатую функцию.
Во втором случае на этом участке
У = Ук + Л+1~ Л (X - хк) (22.18)
* Хк + 1 Хк
и полученная характеристика имеет вид
ломаной линии с точками излома в за-
данных точках характеристики (как,
например, далее, на рис. 27.4).
Более точным описанием экспери-
ментальной зависимости является ее
задание в виде совокупности отрезков
квадратичных или кубических парабол,
коэффициенты которых определяются из
условия отсутствия разрыва производ-
ных в точках сопряжения. Метод ап-
проксимации экспериментальных зави-
симостей квадратичными полиномами
называют параболическими сплайнами,
а кубическими полиномами — кубиче-
скими сплайнами (от английского слова
spline, что значит обшивать гибкой рей-
кой углы в строительных конструкциях).
Для параболического сплайна ап-
проксимация на участке от (х*-!+х*)/2
до (хк + хк+1)/2 выражается функцией
Ук (х) = Ук +Як (X - хк) + Ьк(х - хк)2,
(22.19)
где коэффициенты ак и Ьк определяются
из условия непрерывности функции и
ее производной в точках сопряжения:
/ хк 4- хк +1 \ / хк •+• хк -|-1 \
Ук I --------I — Ул+11 ----}
(22.20)
402
и
/ / Хк “Ь Хк + 1 \ "Ь ^к + 1 |
Ук I 2-------) ~~ Ук +11--2-----/ ’
(22.21)
Таким образом, при п заданных
точках имеется 2 (п — 1) уравнений в
точках сопряжения и требуется еще два
дополнительных условия для однознач-
ного определения 2п коэффициентов па-
рабол (22.19). Обычно эти два условия
задаются в виде значений первой и вто-
рой производных функции у(х) или их
линейной комбинации на одном или
обоих концах интервала описания функ-
ции. Поэтому они называются краевыми
условиями.
При аппроксимации кубическими
сплайнами узлы аппроксимации и узлы
сопряжения совпадают. Поэтому для
нахождения коэффициентов кубических
полиномов используют условия: про-
хождение сплайна через узлы
Ук (**) = У к, (22.22а)
равенство в узлах первых производных
У*(**) = У*+1(х*); (22.226)
равенство в узлах вторых производных
Ук(Хк) = У^Лхк). (22.23)
Как и в случае параболического сплай-
на, для однозначного определения ко-
эффициентов необходимо задать еще
два краевых условия.
Кубические сплайны выражают через
значения вторых производных в узлах
Мк = у к (хк)
/к (хк — х)3 (х — Xk_i)3
Ук (х) — A/k_ ! -— к Мк 77 F
Опк ОИк
( Мк— ]hk \ ...
+ I У к- 1----7----I (хк ~ x)/hk +
\ О /
+ (Ук - Mkh2k/6) (х - хк_ J/hk, (22.24)
где hk = xk — хк_1? или через значения
первых производных тк = ук (хк), т. е.
наклоны нелинейных характеристик
Ук(х) = тк_!
(хк - х)2 (х - xk-t)
hk
_ (х - xk_i)2(xk - х) (
~ к ~hl
(хк - х)2 [2 (х-хк~ J + hJ
Р(>.-») + М (2225)
"к
Для определения коэффициентов Мк
или тк требуется решить систему п — 1
линейных уравнений
-к 2тк -к Хктк+1 = ск, (22.26)
где к = 1, 2, ..., п - 1;
ск — Зрк(ук — у к- i)/hk -F ЗХк(ук+! — yk)/hk+1;
^к = hk/(hk 4- hk+ J;
Рк = 1 — ^к = hk+ i/(^k + hk+1)-
Для решения системы уравнений
(22.26) дополнительно должны быть за-
даны краевые условия по первым про-
изводным то=у'оит„ = у'„ или по вто-
рым производным Мо = Уо и = у".
В последнем случае система (22.26) до-
полняется уравнениями
2то + т1=3^^-^-Мо;
v _lv , h (22.27)
т„-1 + 2тп = 3Уя £ +fMn.
Так как объем вычислений для пара-
болических и кубических сплайнов при-
мерно одинаков, но последние облада-
ют более высокой точностью и более
широкими возможностями, на практике
преимущественное распространение по-
лучили кубические сплайны. Можно из-
бежать необходимости решения системы
(22.26), если одновременно со значения-
ми функции ук в узлах аппроксимации
задавать значение первой тк или второй
Мк производных или вычислять эти ко-
эффициенты по отношению (ук —
- Ук-l)/(Xk - Хц-1).
Достоинствами сплайн-аппроксима-
ции являются высокая гибкость и точ-
ность описания при достаточно редком
расположении точек.
Таким образом, в случае применения
ЭВМ нетрудно получить аналитически
с необходимой точностью значение пе-
ременной у при заданном х или об-
403
ратной функции х( у), так как строки х и у
равноправны (см. начало параграфа).
Если известны п линейных уравне-
ний для линейной части цепи и п не-
линейных характеристик в виде аппрок-
симирующих функций, то решение за-
дачи анализа или синтеза нелинейной
электрической цепи может быть произ-
ведено при помощи ЭВМ по одной из
стандартных программ решения систе-
мы алгебраических уравнений. В про-
граммах широко применяется метод
итераций, рассмотренный в следующих
главах.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
23.1. Электрические цепи
с нелинейными двухполюсниками
и методы их анализа и синтеза
При постоянных токах в качестве
нелинейных могут рассматриваться
только цепи с резистивными элемен-
тами. Участок с нелинейным индуктив-
ным элементом для постоянного тока
должен рассматриваться как место за-
мыкания цепи накоротко (R = 0), а с
емкостным элементом — как разрыв це-
пи (R = оо).
Если характеристика нелинейного
двухполюсника пересекает ось тока или
напряжения в точке, не совпадающей
с началом координат, то двухполюсник
является активным. Для него всегда
может быть составлена схема замеще-
ния в виде нелинейного пассивного
двухполюсника, характеристика которо-
го проходит через начало координат,
и последовательно с ним включенного
идеального источника напряжения или
параллельно с ним включенного иде-
ального источника тока.
Параметры первой схемы определя-
ются по точке пересечения характеристи-
ки с осью абсцисс (рис. 23.1, а и б),
а второй — с осью ординат (рис. 23.1, в
и г). В первом случае нелинейный ак-
тивный двухполюсник с характеристи-
кой I (U) эквивалентен последователь-
ному соединению источника ЭДС Ео —
= Uо и пассивного нелинейного двух-
полюсника с характеристикой I ([/')• При
этом U = Uq + U'. Во втором случае он
эквивалентен параллельному соедине-
нию источника тока Jo — Io и пассивно-
го нелинейного двухполюсника с харак-
теристикой Г (17). При этом I — 10 + Г.
Таким образом, любая электриче-
ская цепь, содержащая п нелинейных
двухполюсников, может быть представ-
лена в виде активного многополюсника
с числом пар полюсов п и подключен-
ных к его выводам п нелинейных двух-
полюсников. Для п = 3 схема изображе-
на на рис. 23.2.
Типичные примеры пассивных нели-
нейных резистивных двухполюсников
представлены в табл. 22.1.
При анализе и синтезе цепей с не-
линейными двухполюсниками применя-
ются различные методы. Выбор анализа
цепи существенно зависит от формы
задания нелинейной характеристики. Ес-
ли она задана в аналитической форме,
то решение задачи сводится к решению
системы алгебраических уравнений, со-
стоящих из п нелинейных уравнений
вида Ik(Uk), и п линейных уравнений
вида
Ik = 4о + Gki i + GkiUi + . •. + GknUn
(23.1)
или
— Uko + Rkili + Rkih + ... + Rknl.
(23.2)
При n = 1 простое решение может
быть получено аналитически или гра-
фически. При п > 1 решение более слож-
но и выполняется обычно при помощи
ЭВМ.
Если нелинейные характеристики за-
даны в виде таблицы эксперименталь-
ных данных, то решение требует графи-
ческих построений или итерационных
404
Рис. 23.2
интерполяционных процедур, выполняе-
мых для п > 1 при помощи ЭВМ.
Синтез электрических цепей с нели-
нейными двухполюсниками обычно про-
ще, чем анализ. В этом случае зада-
ются рабочие точки А на всех п не-
линейных характеристиках и для реше-
ния задачи требуется решить линейную
задачу синтеза (см. гл. 19), в которой
все нелинейные резистивные элементы
заменяются линейными резистивными
двухполюсниками с сопротивлениями
RkA = UkA/IkA* где с индексом А обозна-
чены величины, относящиеся к рабочим
точкам.
Если рабочие точки не фиксированы,
а заданы только области, прилегающие
к рабочим точкам, то в этих случаях
применяется линеаризация нелинейных
характеристик на определенных их
участках (см. § 22.2). В этом случае
как анализ, так и синтез выполняется
средствами теории линейных цепей и
все нелинейные элементы заменяются
линейными активными двухполюсника-
ми. После решения задачи обязательно
требуется проверить принадлежность
полученных решений принятым линей-
ным участкам нелинейных характерис-
тик. В случае нарушения этого условия
требуется корректировка линейных схем
замещения нелинейных резистивных
элементов и повторное решение задачи.
Если в цепи имеются участки с
последовательным или параллельным
соединением различных нелинейных ре-
зистивных двухполюсников, то эти
участки можно заменить эквивалентны-
ми нелинейными двухполюсниками с
характеристиками, получающимися пу-
тем суммирования напряжений или то-
ков исходных нелинейных двухполюсни-
ков. Таким образом, количество не-
405
линейных элементов цепи может быть
существенно уменьшено.
Пример 23.1. На рис. 23.3, а изображена
схема последовательного соединения двух
нелинейных резисторов с характеристиками
Л (^i) и I2 (U2), представленными на
рис. 23.3, б. Построить характеристику I (17)
нелинейного двухполюсника, эквивалентного
последовательному соединению.
Решение. Так как по второму закону
Кирхгофа U = 17j + U2, то, построив для
выбранных значений I = —12 соответ-
ствующие значения 17, получим (рис. 23.3, б)
требуемую характеристику 1 (U).
Рис. 23.5
Пример 23.2. Для схемы рис. 23.3, а
при заданных (рис. 23.3, б) характеристиках
Ц (1Л), h(U2) и значении ЭДС Е найти ток
и напряжения их и U2.
Решение. Записав уравнение по вто-
рому закону Кирхгофа в форме U2 = Е —
— 17ь построим на одном графике (рис. 23.4)
зависимости 12 (С72) и Ц (Е - 17J. Последняя
строится по характеристике (17J смеще-
нием на значение ЭДС Е (точка а на
рис. 23.4) и зеркальным отражением относи-
тельно вертикальной оси (I7t со знаком
минус). По точке пересечения b двух зави-
симостей находим I « Ц = I2i U2 и Ulf
сумма которых равна Е (рис. 23.3, а).
Пример 23.3. Для параллельного соеди-
нения двух нелинейных резисторов (рис. 23.5, а)
с известными характеристиками /х ((7J и
/2(^2) построить эквивалентную характе-
ристику I (U).
Решение. Так как по первому закону
Кирхгофа I = + I2, a Ux = U2 = 17, то,
суммируя токи на графике при выбранных
значениях U = = U2 (рис. 23.5, б), получим
характеристику I (U).
23.2. Электронные стабилизаторы
напряжения
Одним из простейших нелинейных
электронных устройств является ста-
билизатор напряжения, выпол-
ненный на основе полупроводникового
стабилитрона (см. табл. 22.1). Схема
стабилизатора изображена на рис. 23.6, а,
а характеристика стабилитрона I (17) при
406
Рис. 23.6
принятой (обратной по сравнению с
табл. 22.1) полярности напряжения и
тока — на рис. 23.6,6. На схеме Rx —
балластное сопротивление, RH — сопро-
тивление нагрузки, подключенной к вы-
ходным выводам стабилизатора, на
входе которого известно напряжение
питания Up
Как видно из рис. 23.6, б характе-
ристика нелинейного двухполюсника на
значительном участке может быть за-
менена прямой линией, пересекающей
ось абсцисс в точке UQ. Уравнение
этой прямой U = UQ + ЯдифД где ЯДИф =
= dU/dI на линейном участке характе-
ристики. Линейная схема замещения
стабилитрона для этого участка пред-
ставлена на рис. 23.6, в при Ео = Uo,
а схема стабилизатора — на рис. 23.6, г,
где ЭДС Ег = иР
Напряжение на выходе стабилиза-
тора U2 = U может быть рассчитано
по формуле (1.34) для схемы с двумя
узлами:
U = U = + ^о/^диф _
2 ~ 1/R, + 1/Кдиф + 1/Яи
_п _____Кх^о______________ 03 3}
Н Кн(Кдиф + К1) + КдифЯ1 ' 1
Практическое значение имеет отно-
шение малого приращения напряжения
на входе dUJU^ к малому приращению
напряжения на выходе (в относительных
единицах) dU2/U2
dUr/Ui _ dU1 U2
dU2/U2 ~ dU2 Ui *
(23.4)
Это отношение называется коэф-
фициентом стабилизации и
характеризует стабилизирующие свой-
ства нелинейного четырехполюсника.
У линейного четырехполюсника кст = 1,
т. е. нет стабилизации.
Определив
dU2__________^н^диф_______
rfUi RH (ЯДИф + KJ 4- RдифRl ч
и
У2 Rh^-V^q/UJRhR!
^i Ян(ЯдИф + RJ + R4^Ri ’
получим
= и2/и,: dU2/dU1 = 1 + U0R1/U1Rfl^.
(23.5)
Таким образом, коэффициент стаби-
лизации тем больше, чем больше Uo
и Ri и чем меньше RflW|). При Uo = О
или при Ri = 0 четырехполюсник не
стабилизирует напряжение, так как
/сст=1.
Из выражения (£3.5) может сложить-
ся впечатление, что стабилизирующие
свойства схемы не зависят от сопротив-
ления нагрузки. Однако это справедли-
во только при условии, что рабочая
407
точка находится на линейном участке
характеристики стабилитрона. Для про-
верки этого условия следует по (23.3)
определить значение U2 при заданном
иг. Если полученное значение U2 лежит
на прямой линии выше границы b ли-
нейного участка характеристики стаби-
литрона (рис. 23.6,6), то схема стабили-
зирует и формула (23.5) справедлива.
Если же это значение окажется ниже
границы — точки Ь, то применение фор-
мулы (23.5) недопустимо.
23.3. Электрические цепи
с нелинейными четырехполюсниками
и методы их анализа и синтеза
Нелинейные резистивные четырех-
полюсники различной физической при-
роды приведены в табл. 22.2. На опре-
деленных участках их характеристик для
нелинейных четырехполюсников могут
быть составлены линейные схемы за-
мещения. Однако для этих схем, как
правило, не выполняется принцип взаим-
ности и диапазон изменения входных
и выходных величин, для которого
справедливы линейные уравнения, быва-
ет ограничен. Эти ограничения иногда
настолько существенны, что именно они
являются основой для построения четы-
рехполюсников, обладающих требуемы-
ми особыми свойствами.
Общий случай построения рабочей
точки на характеристике нелинейного
четырехполюсника был рассмотрен в
§ 22.3. Было принято, что как к входу,
так и к выходу четырехполюсника
подключены источники постоянного
напряжения, и определялись токи в
первичной и вторичной цепях, соответ-
ствующие рабочей точке.
Для суждения о четырехполюснике
как преобразователе входного сигнала
важно знать, как изменяется напряжение
на сопротивлении нагрузки во вторич-
ной цепи при изменении напряжения
в первичной цепи. Такой нелинейной
характеристикой четырехполюсника яв-
ляется его проходная характеристика,
выражающая нелинейную зависимость
напряжения на выходе от напряжения
или тока на входе. Эта характеристика
может быть получена путем графическо-
го построения. Она может быть также
определена приближенно расчетом пара-
метров четырехполюсника в линейной
области с определением границ этой
области, вне которой предполагается
насыщение.
Пусть, например, для нелинейного
пассивного четырехполюсника — бипо-
лярного п-р-п транзистора, выделенно-
го на рис. 23.7, а штриховой линией
abed, заданы семейства характеристик,
построенных на рис. 23.7,6 в первом
и третьем квадрантах. Четырехполюс-
ник невзаимный, так как характеристи-
ка 7К(17К) зависит от тока 1Б, а харак-
теристика /Б(1/Б) не зависит (практиче-
ски) от значений 1К и UK. Таким обра-
зом, это четырехполюсник направлен-
Рис. 23.7
408
ного действия, поскольку /Б и [/Б влия-
ют на зависимость 7К(1/К), а обратное
влияние отсутствует. Питание к коллек-
тору К транзистора подведено от источ-
ника ЭДС Ек через резистор с сопро-
тивлением RK, так что ток 1К и напря-
жение Uк между коллектором К и эмит-
тером Э связаны уравнением линейной
части схемы
UK + RKIK = Ек. (23.6)
На рис. 23.7, б эта зависимость
изображена прямой линией. Точки пе-
ресечения прямой с характеристиками
IK(UKi /Б) дают значения UK = U2 при
выбранных значениях тока базы /Б (на
рисунке ток /Б отложен в относитель-
ных единицах /Б/Д/Б, где в качестве
единицы измерения принят интервал из-
менения тока базы Д/Б). Так как харак-
теристика /Б(С/Б) задана, то можно
найти значения С/Б для всех точек пере-
сечения и для каждого значения UK =
= U2 определить соответствующее зна-
чение иБ = Ux. Проходная характеристи-
ка активного четырехполюсника U2 (Ui),
выделенного на рис. 23.7, а штриховой
линией aefg, приведена в четвертом
квадранте рис. 23.7, б. Она построена по
точкам 0 — 6, найденным описанным ме-
тодом.
На рис. 23.8 приведено условное
обозначение этого активного нелиней-
ного четырехполюсника.
Если на выходе четырехполюсника
сопротивление нагрузки равно RH, то
характеристика может быть получена
аналогичным построением. Применяя
принцип эквивалентного генератора,
можно определить параметры линейной
части цепи между коллектором и эмит-
тером
R^RH RH
RK3 = R + R И Екэ = R "+ R~Ek
Кк + Кн Кк + Кн
(23.7)
и, производя аналогичное построение
для Екэ и Rjo, определить проходную
характеристику нагруженного четырех-
полюсника. Приближенно проходная
характеристика в виде отрезков прямой
может быть получена путем линеари-
зации характеристик транзистора и оп-
ределения Н-параметров (см. § 22.4) в
некоторой рабочей точке А. Найдя зна-
чения Ни, //2ь Н22 (Н12 = 0) в этой
точке по характеристикам рис. 23.7,6,
получим для переменных составляющих
Ui, it, и2 и i2 схему замещения, отли-
чающуюся от рис. 22.12 только подклю-
чением резистивного элемента RK3 к
выходным выводам 2 — 2' схемы.
В этом случае, как следует их схемы
рис. 22.12, в соответствии с (22.16)
W1 21 Якэ + ^22 #11 0 +КкЭ#2г)
(23.8)
Эта зависимость, выражаемая прямой
линией с отрицательным наклоном и
проходящая через точку Л, изображена
на рис. 23.9. Границы этой прямой
определяются точками а и b на
рис. 23.7,6. При значениях иг и ul9
выходящих за пределы наклонного
участка, который ограничен точками а
и 6, напряжения U2 и и2 остаются
постоянными.
Если требуется в задаче синтеза
определить параметры линейной части
цепи, обеспечивающие выбранную рабо-
чую точку Л, задаются значениями UKA
и 1КА и для этой точки по уравнению
(23.6) определяют RK при заданной ЭДС
Ек или £к при заданном RK.
Рис. 23.8
409
23.4. Усилители постоянного
напряжения
Одной из весьма важных областей
применения нелинейных четырехполюс-
ников является построение усилителей
постоянного напряжения, которые име-
ют линейную характеристику в доста-
точно большом интервале изменения
напряжения входа Ui и выхода U2:
U2 = kvU 19 (23.9)
где к и — коэффициент усиления.
Нелинейность характеристики ска-
зывается при значениях напряжения L7i
за пределами интервала Uimin < Ur <
Ulmax*
Для усилителей постоянного напря-
жения весьма существенно обеспечение
«нуля», т. е. выполнение условия U2=0
при U i = 0. Одна из простейших схем
усилителя постоянного напряжения
представлена на рис. 23.10, а. Здесь два
делителя напряжения Rb R2 и R3, К4
обеспечивают равенство U2=0 при
Ut = 0, а значения сопротивлений R'Bi
R'z и R3 рассчитываются так, чтобы
входное сопротивление RBX = 1ЩЦ было
максимальным, а выходное Квых =
= (U2x — U 2)/12 минимальным. При
этом усилитель имеет отрицательный
коэффициент усиления (при выбранной
полярности напряжений), который прак-
тически неизменен в диапазоне — U2b <
< U2 < U2a (рис. 23.10,6).
Для решения ряда задач вычисли-
тельной техники и электронного мо-
делирования получили широкое распро-
странение операционные усилители по-
стоянного тока, у которых на участке
линейности характеристик RBX -* оо и
внутренний коэффициент усиления /св->
-► оо (см. гл. 8), особенно в микро-
электронном исполнении — как элемент
интегральной схемы.
23.5. Логические элементы
дискретной техники
На основе применения нелинейных
двухполюсников и четырехполюсников,
характеристики которых с достаточной
для практики точностью могут быть
описаны кусочно-линейными функция-
ми, создаются логические элементы
дискретной техники. При помощи логи-
ческих элементов производится преобра-
зование двоичных сигналов, уровень
которых имеет два четко выраженных
диапазона. Если напряжение сигнала U
лежит в пределах 0 < U < Ua9 то сигна-
лу присваивается значение 0, а если
в пределах Ub < U < Umax = Е, то 1.
В промежутке Ua < U < Ub считается,
что сигнал отсутствует. Преобразова-
ние двоичных сигналов описывается
логическими операциями, выполненны-
ми между входными переменными хь
х29 ..., хп и выходной переменной у.
Основных элементарных логических
операций три:
операция типа ИЛИ (дизъюнкция).
Она записывается так:
у = Хх v х2
и выражает логическое сложение. Если
хотя бы одна из входных переменных
(Xi или х2) равна единице, то и у = 1.
410
Если обе переменные равны нулю, то
и у = 0;
операция типа И (конъюнкция). Она
записывается так:
У = Xi Л Х2 = XiX2
и выражает логическое умножение. Ес-
ли хотя бы одна из входных перемен-
ных (xi или х2) равна нулю, то их
произведение у = 0. Если обе перемен-
ные равны единице, то у = 1;
операция типа НЕ (отрицание). Она
записывается так:
У = х
и выражает логическое отрицание. Если
х = 0, то у = 1, и, наоборот, если х « 1,
то у = 0.
Более сложные логические операции
представляют собой сочетание последо-
вательно производимых элементарных
логических операций.
Реализация логических операций ти-
па И или ИЛИ осуществляется при
помощи полупроводниковых диодов, а
типа НЕ — при помощи усилителей
постоянного напряжения.
Рассмотрим электронные схемы, вы-
полняющие каждую из названных ло-
гических операций.
Наиболее просто реализуется эле-
мент типа ИЛИ (рис. 23.11, а). Если
напряжения и1вх и и2вх подаются к ре-
зистору R через диоды-вентили, то
напряжение на выходе ивых равно боль-
шему из этих напряжений, что соответ-
ствует операции типа ИЛИ. Условное
обозначение элемента типа ИЛИ пока-
зано на рис. 23.11,6, а напряжение на
выходе при различных сочетаниях на-
пряжений на входах иллюстрируется
графиком, показанным на рис. 23.11, в.
Так, например, при и1вх > и^х диод
VD1 пропускает ток, а диод VD2 заперт
и напряжение на нем отрицательное.
Напряжение на выходе равно м1вх. Это
соответствует Xj = 1, х2 =0 и у = 1.
Здесь предполагается, что диоды обла-
Рис. 23.11
411
Рис. 23.13
дают идеальными характеристиками
(см. рис. 25.1, г).
Для получения элемента типа И
требуется вспомогательный источник
напряжения, значение ЭДС Е которого
немного выше, чем напряжение на вхо-
де при х = 1. Схема такого элемента
показана на рис. 23.12, а. Напряжение
на выходе равно меньшему из напряже-
ний на входе и только при и1вх = и2вх,
соответствующих xr = х2 = 1, его значе-
ние соответствует у = 1. Условное обо-
значение элемента типа И показано на
рис. 23.15,6, а напряжение нвых при раз-
личных сочетаниях напряжений на вхо-
дах иллюстрирует рис. 23.12, в.
Элементом типа НЕ является одно-
элементный усилитель постоянного на-
пряжения (см. § 23.4), отрицательный
коэффициент усиления которого задает-
ся делителем напряжения на входе, реа-
лизуемым при помощи резисторов
и R2 (рис. 23.13, а). Его условное обозна-
чение показано на рис. 23.13,6, а зави-
симость wBbIX от wBX иллюстрируется
графиком на рис. 23.13, в.
Каскадным соединением элементов
типа ИЛИ и И с элементом типа НЕ
получают более сложные логические эле-
менты типа ИЛИ —НЕ, И —НЕ и др.
Они достаточно просто выполняют-
ся в интегральных схемах, и для
таких элементов приняты условные
обозначения, приведенные на рис.
23.13, г и 6.
23.6. Расчет нелинейных цепей
методом итераций
Распространенным методом peuie-
ния нелинейных алгебраических уравне-
ний является метод итераций,
т. е. последовательного применения од-
них и тех же математических операций,
приводящих в результате их многократ-
ного повторения к получению требуемо-
го точного решения.
Метод итераций имеет несколько
разновидностей, основанных на приме-
нении различных линейных схем заме-
щения нелинейных элементов. В зависи-
мости от принятых схем замещения для
получения решения требуется повторе-
ние большего или меньшего числа од-
них и тех же математических операций
(итераций).
Рассмотрим каждую из этих разно-
видностей на примере расчета произ-
вольной электрической цепи с одним
нелинейным элементом I (U)
(рис. 23.14, а), линейная часть которой
может быть представлена в виде экви-
валентного генератора с ЭДС Еэк и
входным сопротивлением Квх
(рис. 23.14,6). Характеристика нелиней-
ного элемента I (U) может быть задана
аналитически, в виде графика или таб-
лицы значений Uk и Ik. По этой харак-
теристике для каждого значения U или
I может быть найдено соответствую-
щее значение I или U,
Расчет начинается с задания началь-
412
ного или нулевого приближенного зна-
чения I (U) — точки на характеристике
с координатами Uo и 70. Вблизи окрест-
ности этой точки характеристика I (U)
может быть описана различными линей-
ными функциями.
Наиболее просто и в то же время
грубо на основании принципа компенса-
ции нелинейный элемент можно заме-
нить источником ЭДС Е — Uq или ис-
точником тока J = 70. Такая замена
приводит к методу простых итераций.
Несколько более сложно применение
линейной схемы замещения нелинейно-
го элемента в виде пассивного линей-
ного элемента с сопротивлением Яст 0 =
= и0/10. Такая замена приводит к ме-
тоду итераций по статическому сопро-
тивлению. Еще более сложно примене-
ние линейной схемы замещения нелиней-
ного элемента в виде активного линей-
ного элемента с ЭДС Е = Uo, сопро-
тивлением КДИфо = dU/dI\UoJo и источни-
ком тока J = 10. Такая замена приво-
7|
дит к методу итераций по дифферен-
циальному сопротивлению.
Рассмотрим каждый из методов ите-
раций на примере монотонной характе-
ристики нелинейного элемента I(U), по-
казанной на рис. 23.15, а. Графическое
решение задачи получается, как и в при-
мере 23.2, пересечением характеристики
7(17) и прямой, выражаемой уравнением
U = Езк — Квх7 (точка а на рис. 23.15, а).
При решении задачи методом прос-
той итерации можно, например, задав-
шись начальным приближением в точке
Ро с координатами Uo и 70, заменить
нелинейный элемент источником тока
J = 70. В этом случае решение линей-
ного уравнения U = Езк — 7?ВХ7О дает в
точке q0 первое приближение для напря-
жения U = UY и по характеристике
7(17) в точке рг находится первое при-
ближение для тока 7 = 7Р Так последо-
вательно, применяя уравнение Uk+1 =
= Езк — RBXIk для k = 1, 2, 3, ..., полу-
чаем итерационный процесс, который
на рис. 23.15, а изображается последо-
вательностью точек р0 (Uq, Iq), qQ(Ui, 10),
P1(U1, /1), 41(^2, Л), /2), «2(^3,
72) и т. д. При определенных соотно-
шениях параметров он сходится и при-
водит в точку а, дающую решение
нелинейного уравнения, которое выра-
жается условием 7k+1 » Ik, Uk+1& Uk.
Приведенная итерационная процедура
характеризуется схемой замещения не-
линейного элемента источником тока
J = Jk = 1к (рис. 23.15,6) на каждом ша-
ге итерации.
Сходимость простейшей итерацион-
ной процедуры обеспечивается далеко
не всегда. Можно доказать, что усло-
вием сходимости такого итерационного
процесса является неравенство
\dlk+1/dlk\<l ,„1ПХ
Рис. 23.15
413
или
\dUk+1/dUk\<l,
которое должно выполняться вблизи
точки а.
Если начальное приближение Uo, 10
далеко от этой точки, то могут встре-
титься задачи, при решении которых
итерационный процесс не приводит в
точку а, а завершается циклом расчетов,
При КОТОРЫХ Ik + 2=h и t^k + 2 = а
Л+1 Ik И Uk+! / Uk.
Для процедуры, рассмотренной на
рис. 23.15, а, условие сходимости при-
нимает вид
^Лс+1 _ ^Лс+1 п ____ ^ВХ <
17Г|“ du^T вх ’
(23.11)
А это значит, что крутизна прямой
I/ = ЕЭК — Raj в координатах I (U) долж-
на быть больше, чем крутизна касатель-
ной к нелинейной характеристике I (U)
в точке а.
Невыполнение этого условия ил-
люстрируется точкой а' на рис. 23.15, а,
для которой наклон прямой U = Езк —
— R'BXI меньше, чем наклон касательной
к характеристике I (U), и итерационный
процесс расходится даже при очень
близком к точке а начальном прибли-
жении (точка р'о).
Иные условия сходимости итераци-
онной процедуры получаются, если не-
линейный элемент заменить не источ-
ником тока, а источником ЭДС Ек =
= Uk (рис. 23.16,6). В этом случае ите-
рационный процесс на графике выража-
ется переходами не в положительном
направлении (против направления дви-
жения часовой стрелки на рис. 23.15, а),
а в противоположном направлении
(рис. 23.16, а). Теперь уравнение итера-
ции имеет вид
Л+1Н£эк-^)/ЯВх (23.12)
и каждое следующее приближение оп-
ределяется по точке пересечения прямой
U = ЕЭК — RBXI с вертикальной прямой,
выражающей характеристику источника
напряжения Ек = Uk.
В этом случае условие сходимости
dUk+i = dUk + 1 1
dUk dlk + i RBX
= ^иф_<1 (2313)
R*x
противоположно условию, справедливо-
му для предыдущего примера. Точка а,
которая на рис. 23.15, а характеризова-
лась устойчивым итерационным процес-
сом, теперь не может быть найдена
методом итераций с Ек = Uk9 так как
итерационный процесс расходится
(рис. 23.16, а), а точка а' соответствует
сходящейся итерационной процедуре.
414
Более легкие условия сходимости
дает применение итераций при замене
нелинейного элемента пассивным ли-
нейным элементом со статистическим
сопротивлением RCT для точки соответ-
ствующего приближения (рис. 23.17,6).
Такая итерационная процедура иллюст-
рируется построением, показанным на
рис. 23.17, а. В этом случае каждое
следующее приближение находится из
уравнения
Uk + l = IqUk/Ik = Езк - КвЛ, (23.14)
или после исключения тока Iq
У _____ E3KUk______ E3KRCT k_ (2з |3)
Л + 1 Uk + ^вхЛ &ст,к + &вк ’
где Кст tk = Uk/Ik. Последовательность
расчетных точек:
Ро (С/о, /о), <7о (Ui9 Л), Р1 (U19 ZO, q. (U2i Г2)
и т. д.
Условие сходимости итерационного
процесса в этом случае имеет следую-
щий вид:
ЯвХ I Ядиф — Ест I < Г9Д 1 61
Ядиф ' (Явх + *ст) “ ’ 1
где ЯДИф и Rcr определяются в точке а.
Это условие легче выполняется, чем
условия (23.11) и (23.13), и итерацион-
ный процесс сходится быстрее.
Аналогично может быть построена
итерационная процедура, если переход
из точки qk в точку рк + 1 осуществлять
не при U = const, а при I = const. В этом
случае уравнение итерации принимает
вид
(231”
+ ^ст,к + Квх
и условие сходимости записывается так:
-11ДИФ ~Б~~ < L (23.18)
Явх 4” Rcr
Еще быстрее сходится итерационная
процедура, если в точке каждого при-
ближения нелинейную характеристику
заменить касательной в этой точке. Так,
в точке начального приближения р0
(рис. 23.18, а) характеристика линеаризо-
ванного участка кривой описывается
уравнением
1 ~ /0 = (U - 1/о)/Ядифо, (23.19)
Рис. 23.18
где КдИфо = d U/dl |^о>/о, а в точке А-го
приближения - уравнением
7-/, = (С/-С/к)/Ядиф,, (23.20)
где Ядиф/с = dU/di
Схема замещения для этого участка
характеристики показана на рис. 23.18,6.
Зная координаты точки начального (ну-
левого) приближения Uo и /о, можно
найти значение напряжения точки сле-
дующего (первого) приближения, решив
линейную задачу, для которой
L7i = Еэк —- R3KI =
= ^о + Ядиф,о(7-/о), (23.21)
откуда, исключив ток 7, получаем
т т ЯдИфоЕэк + ЯВХ(С'О — R дифО^о)
и i ----------——--------------
Квх т КдифО
и соответственно
U ____ЕдифкЕЭк +RM-R днфк^к)
ЯВх 4" Ru^k
(23.23)
Итерационный процесс, соответст-
вующий этому уравнению, на рис. 23.18, а
показан точками Po(UQ, Io), qo(Uo,Ii),
Pi (СЛ, Л), <7i (^i, 12) и т. Д- Сопоставив
рис. 23.18, а с рис. 23.15, а и рис. 23.17, а,
можно заметить, что теперь итерацион-
ный процесс сходится значительно быст-
рее, чем в ранее рассмотренных случа-
ях итераций. Улучшение сходимости
достигнуто за счет дополнительной ин-
формации о значении производной, для
определения которой, однако, необходи-
мо иметь аналитическое выражение
dUk/dIk нелинейной характеристики в
415
каждой из точек к-го итерационного
процесса.
Выше были рассмотрены различные
итерационные процедуры для расчета
нелинейных цепей с одним нелинейным
элементом. Описанные приемы могут
быть распространены на системы с
многими нелинейными элементами.
Алгоритм, основанный на последнем
из описанных приемов, известный под
названием метода Ньютона — Рафсона,
имеется в математическом обеспечении
ЭВМ.
В следующих примерах расчет цепи
с применением метода итераций сравни-
вается с графическим решением.
Пример 23.4. Задан нелинейный активный
двухполюсник (АН на рис. 23.19, а), для
которого схема замещения состоит из по-
следовательного соединения пассивного ре-
зистивного элемента, статическое сопротив-
ление которого Ri(I)=Ul/I, и источника
ЭДС (рис. 23.19, б). К выводам двухполюс-
ника подключен нелинейный пассивный двух-
полюсник, статическое сопротивление кото-
рого R2 (7) = U2/I.
Характеристики нелинейных пассивных
двухполюсников l(Ui) и I(U2) заданы гра-
фически (рис. 23.20), ЭДС Е — 10 В. Требу-
ется определить ток в цепи и напряжения
на ее участках. Решение выполнить графи-
чески и методом итераций.
Решение.
Графическое решение. Записав по второ-
му закону Кирхгофа уравнение
Ur (7) + U2 (7) = Е,
построим на рис. 23.20 график I~[E — U2 (7)].
Точка пересечения этого графика с характе-
ристикой I(Ur) дает решение задачи: 7 =
= 0,94 A; Ur = 2,4 В; U2 = 10 - 2,4 = 7,6 В.
Решение методом итераций. При замене
нелинейных элементов их статическими со-
противлениями (см. рис. 23.17,6) аналогично
формуле (23.17) получаем
^i(7J + R2(7fc)'
Расчет по этой формуле при помощи
заданных характеристик и выбранном зна-
чении 70 = 0,400 А приведен в табл. 23.1.
Из расчета видно, что после пятого
шага при возможной точности расчета по
заданным характеристикам Ik+l = 7к; следо-
вательно, итерационный процесс завершился,
дав результат, совпадающий с решением
графическим методом.
Пример 23.5. На рис. 23.21 изображена
схема нелинейного моста, для которой ток
в диагонали с сопротивлением R5 представ-
ляет знакопеременную функцию ЭДС Е, т. е.
обращается в нуль при определенном зна-
чении Е, соответствующем условию баланса
моста. Такая схема применяется для контро-
ля отклонений ЭДС от некоторого заданно-
го значения.
В общем случае все сопротивления R3,
К4, Я 5, R и нелинейные характеристики
Ur (Ir) и U2(I2) могут быть различными.
Рис. 23.19
416
Таблица 23.1
Номер прибли- жения к 4> А U2b В из рис. 23.20 R# = Uiklik* , Ом 1 В из рис. 23.20 Ru= У\кЧь Ом ^2к + Ом 4+ь А
0 0,4 5,3 13,25 0,75 2,00 15,25 0,65
1 0,65 6,55 10,00 1,35 2,06 12,06 0,83
2 0,83 7,25 9,00 1,95 2,36 11,36 0,88
3 0,88 7,4 8,41 2,15 2,44 10,85 0,92
4 0,92 7,5 8,15 2,3 2,50 10,65 0,94
5 0,94 7,55 8,04 2,4 2,56 10,60 0,94
При симметричном мосте R3 =? R4, R1(Z1) =
= #2 (Ъ) и Ц = 12. Определить зависимость
/5 (Е).
Р е ш е н и е. По методу контурных токов,
принимая в качестве двух первых контурных
токов два тока нелинейных элементов Ц
и /2, запишем уравнения
(Лэ + Я5) Ц + к5/2 - (Кэ + Rs) hr - Ui);
RJi + (К* + Rs) h - (К* + Л5) /6 = - U 2 (12);
—(*з +Rs)Ii — (R4 + Rs) /2 + (R3 + R4 +
+ R5+R)Z6 = E,
где Ц, 12 и /б — контурные токи, a <7x(Zi)
и U2 (/2) — напряжения на нелинейных эле-
ментах.
Выразив контурный ток 16 из третьего
уравнения и подставив его в первые два,
получим
*11^ + W2 = M-СМЛ);
R21Z1 "Ь ^-22^2 = &2-^ — U2 (^2),
где
^h=G(R3 + R5)(R4 + R);
Я12 = G (RRs ~ Е3Е4) = R2i;
R22 = G (R4 + Е3)(Е3 + R)'t
kY — G (R3 4- R3); к2 == G (R4 + R5);
G = 1/(R + R3 + R4 + Я5).
Ток I6 = GE + kJi + к212.
Графическое решение. Построив в коор-
динатах Ц и 12 зависимости
Л (Ъ) = - и2 (I2) - R22I2]
К21
и
h (Л) = -=^-[М - U2 (h) - RltIt],
К12
по точке пересечения находим токи Ц и I2i
затем вычисляем токи /6 и /5 =/б - Ц —12
для каждого значения ЭДС Е.
Решение методом ufneраций. Задавшись
в качестве начального приближения томами
Л, о и ^2,о и, следовательно, напряжениями
С/1,0 и U2,0, по формулам
11,к+1 ~----(^2^ — ^2,к ~ R22I2,к)
К21
и
^2,*+1 = ~-----(klE “ Ut,k — Rill 1,к)
R12
находим первое приближение /1(1. и 12>1 и
все последующие (Ilt 2,12t2..Ilt 3, I2, 3, ...,
и т. д.) до выполнения условия =
= Ii к и I2 k+i = Ькз а далее вычисляем 16,
If
Пример 23.6. Для примера 23.5 найти
зависимость I5 (Е), если R = R3 = R4 = R5 =
= 2 Ом> Ui = all и V2 = al2, где a = 10 Om/A,
Ii > 0 и I2 > 0.
Решение. Так как в этом случае
R12 = R21 = 0, то из условия симметрии
ц = 12 = Ц Ui = U2 = U и, следовательно,
I = 1/R [кЕ - U (/)], где к = ki = к2 = 1/2;
R = Rn =±= R22 = 2 Ом. Подставив числен-
ные значения, найдем ток I = (1/4) Е — 5I2,
где ток — в амперах, ЭДС — в вольтах или
I2 + 0,21 — 0,05Е = 0, откуда для I > 0
I = -0,1 + /0,01 + 0,05£.
Так как ток в диагонали 15 = Ц - Ц - 12,
то, подставив Ц I2 — I и выражение для
16 из примера 23.5, получим
I, = у Е + 0,1 - |/о,О1 + 0,05£,
откуда при Is = 0 получаем Е = 1,6 В. При
большем значении ЭДС 15 > 0, а при мень-
шем 15 < 0.
14 Основы теории цепей
417
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ПОТОКАХ
24.1. Основные понятия и законы
магнитных цепей
Совокупность устройств, содержа-
щих ферромагнитные тела и образую-
щих замкнутую систему, в которой
существует магнитный поток и вдоль
которой замыкаются линии магнитной
индукции, называется магнитной
цепью.
Магнитное поле в вещественных сре-
дах описывается тремя векторами:
1) вектором магнитной ин-
дукции В, характеризующим силовое
действие магнитного поля на ток по
закону Ампера, а при изменении маг-
нитного поля — возбуждение электриче-
ского поля по закону электромагнит-
ной индукции (Фарадея);
2) вектором намагниченно-
сти материала М, выражающим
магнитный момент единицы объема
намагниченного вещества или сумму
магнитных моментов элементарных маг-
нитных диполей в единице его объема;
3) вектором напряженности
магнитного поляН, который вы-
ражается через первые два вектора как
разность этих векторов, взятых с соот-
ветствующими коэффициентами, завися-
щими от выбранной системы единиц
измерения. В системе СИ
Н = В/ц0 — М, (24.1)
где ц0 = 4л • 10“7 Гн/м — магнитная
постоянная.
При расчете магнитных цепей ос-
новными скалярными величинами, ха-
рактеризующими магнитную цепь, явля-
ются:
1) магнитный поток Ф, кото-
рый определяется как поток вектора
магнитной индукции через поверхность
поперечного сечения магнитопровода:
Ф = /ВЛ8; (24.2)
s
2) магнитодвижущая сила
(МДС) F, которая выражается через
418
электрический ток i в проводах, обмот-
ках и т. д., создающий магнитное поле:
F = iw, (24.3)
где w — число витков катушки.
В качестве положительного направ-
ления магнитного потока через элемент
поверхности выбирается направление
вектора dS, а в качестве положитель-
ного направления МДС — направление
вектора поверхности S, ограниченной
контуром тока i, при правовинтовой
системе координат или по правилу пра-
вого винта. Направление магнитного
потока относительно тока определяется
тем же правилом. В основе расчета
магнитной цепи лежат два закона:
1) закон непрерывности линий маг-
нитной индукции
fBJS = O (24.4)
5
или при охвате поверхностью 5 несколь-
ких сечений магнитопровода
£ф = о. (24.5)
Этот закон аналогичен первому закону
Кирхгофа для электрической цепи;
2) закон полного тока
fHtfl = £F. (24.6)
/
Этот закон аналогичен второму закону
Кирхгофа, так как интеграл по контуру
I можно представить в виде суммы кри-
волинейных интегралов на участках це-
пи, например от точки а к точке Ь,
каждый из которых можно по аналогии
с электрической цепью назвать маг-
нитным напряжением
ь
= (24.7)
а
В результате уравнение (24.6) может
быть записано аналогично уравнению
второго закона Кирхгофа для нелиней-
ной электрической цепи
£UM = £F. (24.8)
Единицы магнитных величин в системе
СИ: магнитный поток — вебер (1 Вб =
= 1 Вс), магнитная индукция — тесла
(1 Тл = 1 В • с/м2), намагниченность и напря-
женность магнитного поля — ампер на метр
(1 А/м), магнитное напряжение — ампер (1 А).
Роль вольт-амперных характеристик
элементов нелинейных электрических
цепей в магнитных цепях играют ампер-
веберные характеристики 17М(Ф), кото-
рые чаще принято выражать в виде
вебер-амперных характеристик Ф(С/М).
При построении этих характеристик
для каждого из участков магнитной
цепи необходимо знать свойства мате-
риала, выражаемые зависимостью В (Я).
Для немагнитного участка магнитной
цепи (воздух, диэлектрик, немагнитные
проводящие материалы) намагничен-
ность М = 0 и В = ц0Н- Для ферро-
магнетиков эта зависимость значитель-
но сложнее и задается эксперименталь-
но полученными характеристиками маг-
нитных материалов.
24.2. Ферромагнитные материалы
и их характеристики
Зависимость В (Я) для ферромагнит-
ных материалов не имеет точного ана-
литического выражения, поэтому для
каждого ферромагнитного материала
эту зависимость изображают в виде
кривой намагничивания В(Н), опреде-
ляемой экспериментально.
Впервые зависимость магнитной про-
ницаемости от напряженности магнит-
ного поля была установлена в 1871 г.
русским физиком А. Г. Столетовым и
опубликована в его докторской диссер-
тации «Исследование о функции намаг-
ничивания мягкого железа». Эта работа
послужила основой для расчета электри-
ческих машин и сыграла громадную
роль в развитии электротехники.
Если ток в обмотке кольцевого
магнитопровода, изготовленного из фер-
ромагнитного материала, плавно изме-
нять в пределах от положительного
максимального значения +lwax до отри-
цательного максимального значения
-1тах и от -1тах до +1таХ9 то зависи-
мость индукции от напряженности маг-
нитного поля получается в виде петли,
называемой петлей магнитного
гистерезиса. Эта петля в первом
цикле намагничивания и размагничива-
ния не замкнута. При повторных из-
менениях тока в тех же самых преде-
лах получается ряд петель, которые сна-
чала отличаются друг от друга. После
ряда циклов перемагничивания получа-
ется симметричная петля (рис. 24.1).
Каждый из отрезков, отсекаемых
петлей гистерезиса на оси ординат, оп-
ределяет остаточную индукцию
(Вг и — Вг), а каждый отрезок, отсекае-
мый той же петлей на оси абсцисс,—
коэрцитивную (задерживающую)
силу (Нс и — Нс). Часть петли, лежащая
во втором квадранте, ограниченная из-
менением индукции от + Вг и Н = 0 до
В = 0 и Н = — Нс, называется кривой
размагничивания или спинкой
кривой намагничивания. Этой кривой
пользуются при расчете постоянных маг-
нитов. Основной кривой на-
магничивания называют геометри-
ческое место вершин замкнутых симмет-
ричных гистерезисных петель при различ-
ных максимальных значениях тока 1тах
(штриховая линия на рис. 24.2).
14'
419
Рис. 24.2
На рис. 24.3 показаны основные кри-
вые намагничивания В (Н) различных
марок электротехнических сталей.
Для расчета цепей с постоянными
магнитами имеют большое значение так
называемые частные гистерезис-
ные циклы, одна из вершин которых
лежит на кривой размагничивания
(рис. 24.1). Обычно петли этих циклов
очень узки и в расчетах могут быть
заменены прямыми линиями, проходя-
щими через вершины частных гистере-
зисных циклов. Отношение магнитной
420
Рис. 24.4
индукции ДВ к напряженности ДН част-
ного гистерезисного цикла называется
коэффициентом возврата
/свз = ДВ/ДН. (24.9)
Для характеристики свойств стали
пользуются еще понятием абсолютной
ца = В/Н или относительной = ца/ц0
магнитной проницаемости, представ-
ляющей собой нелинейную функцию
напряженности магнитного поля. При-
меры характеристик В(Н) и цг(Н) для
магнитно-мягких материалов приве-
дены на рис. 24.4. Графики даны для
пяти материалов: 1 — особо чистое же-
лезо; 2 — 99,98 % Fe; 3 — пермаллой
(78 % Ni); 4 — технически чистое железо
(99,92 % Fe); 5 — никель. Примеры спин-
ки характеристик В(Н) для магнитно-
твердых материалов приведены на
рис. 24.5. Графики даны для шести ма-
териалов: /-ЮНДК-25 БА [А1 +
+ Ni + Си + Со(25%) + Nb]; 2 -
ЮНДК 35 (Т5БА); 3 - ПЛК78; 4-
РгСо5; 5 — SmCo5; 6 — 25БА.
24.3. Анализ и синтез
неразветвленных магнитных цепей
В неразветвленной магнитной цепи
на всех ее участках один и тот же
магнитный поток и, следовательно, раз-
личные участки цепи оказываются со-
единенными последовательно. Примеры
неразветвленной магнитной цепи, цели-
ком состоящей из ферромагнитных ма-
териалов (без воздушных зазоров или
диэлектрических участков), приведены
на рис. 24.6, а и б. В первом случае
(рис. 24.6, а) магнитный поток создается-
одной обмоткой с числом витков w
и током I. Магнитная цепь состоит
из двух ферромагнитных участков с по-
перечными сечениями и S2 и средни-
ми длинами /i и 12. Во втором случае
(рис. 24.6,6) магнитный поток создается
тремя обмотками с числами витков wi9
w2 и w3 и токами Ц, /2, h- Предпо-
лагается, что магнитопровод состоит
из ферромагнитного материала и имеет
поперечное сечение S и длину /.
Зная магнитные характеристики ста-
ли, можно построить для магнитной
цепи вебер-амперную характеристику
Ф(П
В первом случае
Ф = BYSi = B2S2; UMi -I- Um2 = Iw = F,
(24.10)
где UMl = Um2 = H212>
Во втором случае
Ф = BS; UM = F = IrWi 4- I2w2 — I3w3,
(24.11)
где = Hl.
По аналогии с электрической цепью
для каждого из участков магнитной
цепи можно ввести понятие статическо-
го магнитного сопротивления
RM = t/м/Ф' = Hl/BS = //ца5. (24.12)
Так как ца = цоцг зависит от Н, то и
сопротивление RM не постоянное, пред-
ставляет собой функцию Н или UM.
В неразветвленных магнитных цепях
могут содержаться воздушные участки —
зазоры, в которых магнитное поле воз-
действует на проводники с токами,
производя, таким образом, механическое
действие на магнитоэлектрическую си-
стему. В этих случаях строгий учет
влияния воздушного участка магнитной
цепи требует изучения неоднородного
поля в воздушном зазоре. В прибли-
женных расчетах обычно для этого
участка вводятся некоторые средние
эквивалентные размеры «площади сече-
ния» воздушного зазора SB и его длины
/в. Так, в магнитной цепи электромаг-
нита, показанной на рис. 24.7, а, для
воздушных зазоров можно принять в
качестве /в действительное значение каж-
дого из зазоров, а в качестве 5В —
величину на 15 — 20% большую, чем
площадь торцов П-образной части маг-
нитопровода.
421
Рис. 24.7
Уравнение этой магнитной цепи
L/m1 + Cm24-2L/m,b = F = /w, (24.13)
где им1=Н^, UM2 = H2l2; С/М.в = Нв/в
и значения Н15 Н2 определяются по
характеристике стали В(Н) при Вг =
= Ф/5Х, В2 = Ф/В2, а Яв = Ф/Ио5в.
Для каждого из ферромагнитных
участков цепи по известным характе-
ристикам стали могут быть построены
вебер-амперные характеристики Ф(17м),
а для воздушных промежутков опреде-
лены магнитные сопротивления RM B =
= /в/цо5в. Дальнейшее исследование це-
пи аналогично графическому расчету
электрической цепи, схема которой пред-
ставлена на рис. 24.7, б. Здесь каждому
участку магнитной цепи соответствует
аналогичный участок электрической це-
пи с указанием его обозначения.
Аналогично расчету нелинейной
электрической цепи (см. рис. 23.4) мож-
но построить графики Ф(17мст) и Ф =
F - UM,CT
= ———— и по точке пересечения А
2ВМ в
определить соответствующие значения
ф и (7М,СТ = UMl + 17м2 (рис. 24.8).
Построение, выполненное на рис. 24.8,
соответствует задаче анализа: заданы
геометрические размеры магнитопрово-
да, его материал, МДС и требуется
определить значение магнитного поля
в воздушных зазорах Вв = Ф/5В.
При решении задачи синтеза обычно
задают требуемое значение магнитной
индукции Вв в зазоре и магнитный по-
ток Ф = Вв5в. Для каждого участка
магнитопровода определяются значения
индукции, а по характеристике стали —
соответствующие значения Н на каждом
из участков магнитной цепи и Нв = Вв/у,0.
По уравнению (24.13) находится требуе-
мая МДС.
Пример 24.1. Определить требуемый ток
в обмотке электромагнита (рис. 24.7, а) для
обеспечения в воздушном зазоре магнитной
индукции Вв = 0,7 Тл. Геометрические раз-
меры цепи заданы: = 2 см2, S2 = 1,2 см2,
SB = 1,4 см2, Zi = 18 см, /2 = 5 см, 2/в = 0,1 см.
Материал магнитной системы — электро-
техническая сталь 1561. Число витков об-
мотки w = 1000.
Решение. Магнитный поток
ф = Вв5в = 0,7 • 1,4 • 10’4 = 0,98 • 10"4 Вб,
индукции
= Ф/Si = 0,49 Тл, В2 = Ф/$2 = 0,82 Тл.
По характеристике 4 на рис. 24.3 находим
Нг =41 А/м, Н2 = 115 А/м,
а Нв = 0,7/(4л • IO'7) = 0,56 • 106 А/м.
По (24.13) находим МДС
F = 41 0,18 + 115 • 0,05 4-0,56 • 106 • 10“3 =
= 7,38 4- 5,75 4- 560 % 573 А
и искомое значение тока
I = F/w = 573/103 = 0,573 А.
В рассмотренных задачах предпола-
галось, что во всех участках магнитной
цепи один общий магнитный поток Ф,
который нигде не разветвляется. Такое
допущение является достаточно грубым.
В действительности ток в обмотке соз-
дает не только рассмотренный выше
основной поток, но и поток рассеяния,
замыкающейся частично через изоляцию
обмотки и окружающий обмотку воздух.
Кроме того, часть магнитного потока,
422
например в магнитной системе, изобра-
женной на рис. 24.7, а, замыкается через
воздух между стержнями П-образного
участка магнитопррвода и магнитный
поток в сечении S2 оказывается меньше,
чем внутри намагничивающей обмотки.
Все это приводит к необходимости рас-
смотрения разветвленных и распреде-
ленных магнитных цепей, расчет кото-
рых требует применения методов теории
поля.
24.4. Примеры магнитных цепей
электрических машин
и измерительных приборов
Выше были рассмотрены простей-
шие магнитные цепи. В реальных маг-
нитных и электромеханических системах
магнитные цепи значительно сложнее —
разветвленные и распределенные. Неко-
торые примеры магнитных цепей пред-
ставлены на рис. 24.9: на рис. 24.9, а
изображена трехстержневая магнитная
цепь трансформатора, собранная из
Ш-образных листов; на рис. 24.9,6 схе-
матически изображена магнитная цепь
электрической машины постоянного то-
ка; на рис. 24.9, в показана магнитная
система электромагнитного реле, контак-
ты которого замыкаются при притяже-
нии якоря (подвижной части) к сердеч-
нику электромагнита; на рис. 24.9, г и д
показаны магнитные системы магнито-
электрического измерительного прибора
и магнето (устройства зажигания газо-
вой смеси двигателей внутреннего сго-
рания), в которых магнитное поле
создается постоянными магнитами (N —
S). Во всех конструкциях магнитная
цепь более сложная и ее только прибли-
женно можно описать нелинейной маг-
нитной цепью с параметрами, соответ-
ствующими участкам разветвленного
магнитопровода, и аналогичной нелиней-
ной резистивной цепью.
24.5. Расчет разветвленных
магнитных цепей
Расчеты разветвленных магнитных
цепей основаны на применении законов
Кирхгофа для магнитных цепей. Вслед-
ствие нелинейной связи между индукцией
и напряженностью магнитного поля для
ферромагнитных материалов расчеты та-
ких цепей обычно ведутся графическими
и итерационными методами аналогично
Рис. 24.9
423
Рис. 24.10
методам расчета нелинейных электри-
ческих цепей.
При расчете магнитной цепи, как и
при расчете электрической цепи, прежде
всего нужно указать на схеме направле-
ния МДС, если известны направления
токов и расположение обмоток, или
задаться положительными направления-
ми МДС, если их нужно определить.
Затем необходимо задаться положитель-
ными направлениями магнитных пото-
ков, после чего можно переходить к
составлению эквивалентной схемы и ее
расчету.
Пример 24.2. На рис. 24.10, а изображен
разветвленный магнитопровод, выполненный
из электротехнической стали 1512 (см.
рис. 24.3).
Определить значения магнитной индук-
ции во всех участках магнитной цепи, если
сечения участков = $2 = 5 см2, S3 = 10 см2,
длины участков = 30 см, 12 = 40 см, /3 =
= 10 см и МДС Fi = ZjWi = 440 A, F2 =
= I2w2 = 280 А.
Решение. Эквивалентная схема для
заданной магнитной цепи представлена на
рис. 24.10,6. Составим для этой схемы урав-
нения по законам Кирхгофа
Фз = Ф1 + Фг5 + УмаЬ —
H2l2 -I- УмаЬ = /2W2J H3I3 = УмаЬ-
Чтобы решить полученную систему
уравнений, надо построить характеристики
для всех участков магнитной цепи:
O1(Z1w1 -Н1/1) = Ф1(С/Мй/,);
Ф2 U2W2 — Н2^2) = Фг (Умаь)'>
Ф“5 (^зУ = Фз (УMab)-
С этой целью зададимся рядом значений
магнитных потоков Ф1? Ф2, Ф3 и найдем
индукции в различных участках Вг = Ф1/5Ь
В2 = Ф2/52, В3 = Ф3/53, а затем по кривой
намагничивания определим напряженности
магнитного поля. По известным значениям
напряженности магнитного поля вычислим
магнитные напряжения на участках для раз-
личных потоков. Результаты вычислений
представлены в табл. 24.1.
По данным таблицы построим
(рис. 24.10, в) кривые Фх (С/м<,/>)> ф2 (UMah) и
Фз (Умаь)’ Так как значения магнитных по-
токов должны удовлетворять уравнению
Ф1 + ф2 = Ф3, то построим еще одну вспо-
могательную кривую имаь (Ф1 4- Ф2). Для
этого суммируем ординаты кривых Ot (Умаь)
и Ф2 (Умаь) ПРИ одних и тех же значениях
магнитного напряжения Умаь. Ординаты точ-
ки т3 пересечения кривых [Ф1 + Ф2](Пма/,)
с кривой Ф3 (У^аь) определяет поток Ф3 =
= 130- 10“5 Вб, так как для этой точки спра-
424
Таблица 24.1
Фр ф2, Вб В, = В2; Тл W, = w2, А/м //,/, /.«,-^'р А я2/2, А /л-я2/2, А Ф3, Вб Тл "з. А/м ЯЛ А
0 0 0 0 440,0 0 280 0 0 0 0
25 • 10~5 0,5 55 16,5 423,5 22,0 258 70-10—5 0,7 90 9
зою-5 0,6 70 21,0 419,0 28,0 252 БОЮ"5 0,8 120 12
35-Ю-5 0,7 90 27,0 413,0 36,0 244 90-Ю-5 0,9 155 15
40-Ю-5 0,8 120 36,0 404,0 48,0 232 100-КГ5 1,0 200 20
45-Ю-5 0,9 155 46,5 393,5 62,0 218 ПОЮ-5 1,1 350 35
50-10~5 1,0 200 60,0 380,0 80,0 200 120-Ю-5 1,2 500 50
55-10~5 1,1 350 105,0 335,0 140,0 140 130-Ю-5 1,3 800 80
вою-5 1,2 500 150,0 290,0 200,0 80 140-Ю-5 1,4 1200 120
ведя ивы уравнения
/jWi — Hill ~ ^2^2 — Н212 ~ Н313
и Ф1 4- Ф2 = Фз.
Чтобы найти потоки Ф! и Ф2, проведем
через точку т3 прямую, параллельную оси
ординат, до пересечения с кривыми Фх (UMab)
и Ф2 (UMab) в точках тг и т2; отрезки mmj
и тт2 определяют потоки Ф! = 70-10"5 Вб
и Ф2 = 6010~5 Вб. Зная потоки, легко оп-
ределить магнитные индукции:
Bl = Ф^ = 1,4 Тл; В2 = Ф2/52 = 1,2 Тл;
В3 = Ф3/$3 = 1,3 Тл.
Пример 24.3. На рис. 24.11, а изображе-
на магнитная система, выполненная из
электротехнической стали 1512. Пользуясь
методом итерации, определить значения маг-
нитной индукции во всех участках магнит-
ной цепи, если сечения участков = S2 =
= 5 см2, $3 = 10 см2; длины участков Ц =
= 30 см, /2 » 10 см, Z3 — 40 см; МДС =
= ZiWj = 400 A, F2 = 300 А.
Решение. При помощи эквивалент-
ной электрической схемы, показанной на
рис. 24.11,6, получим для магнитных напря-
жений C7Mi, UM2 и 17м3 следующие расчетные
уравнения:
тт - (9м2к+9мЗк) —?29м2к .
^Mlfc+l— ; ; •>
9м1к + вм2к + 9мЗк
U 2 к । ^9м1к дм3 к) F 10м1 к ,
9м1к + 9м2к + gM3k
тт __ Г19м1к + F20M2k
и м3 к +1 - ---;-----;-----,
9м1к + дм2к + 9мЗк
где 0м1Ь дм2к и дм3к - статические магнит-
ные проводимости соответствующих участ-
ков магнитной цепи, определяемые по фор-
мулам
= Фн/^Mlfc; 9м2к = ®2k/UM2k',
9мЗк = ®3k/UM3k-
Все расчеты по этим уравнениям све-
дены в табл. 24.2.
425
Таблица 24.2
Номер прибли- жения = */м!Ь А В\к$\ = = ФИ 10~5, Вб (из характе- ристики) #м1£» Вб/А H2kh = = Ум2к* А B2kS2= = Ф2*10-5, Вб (из характе- ристики) 2м2Ь Вб/А НзкЬ = = </мЗЬ А B3kS3 = = ФЗГ1О-5, Вб (из характе- ристики) ЯмЗЬ Вб/А ^м1Л+Ь А ^м2*+Ь А ^мЗ*+Ь А
0 2-30=60 10,0-5 = 50,0 0,834 2-10=20 10-5 = 50,0 2,50 5-40=200 12-10= 120 0,600 124,8 23,9 276
1 124,8* 11,5-5 = 57,5 0,465 23,9* 10,6-5 = 53,0 2,22 276* 12,7-10 = 127 0,460 131,5 34,6 268
2 131,5 11,6-5 = 58,0 0,440 34,6 11,0-5 = 55,0 1,59 268 12,6-10= 126 0,480 140 39,8 256
3 140 11,7-5 = 58,5 0,418 39,8 11,4-5=57,0 1,43 256 12,55 • 10 = 125,5 0,490 145 44,8 255
4 145 11,8-5 = 59,0 0,407 44,8 11,7-5 = 58,5 1,31 255 12,5-10= 125 0,490 149 48,9 252
5 149 12,0-5 = 60,0 0,402 48,9 11,8-5 = 59,0 1,21 252 12,5-10=125 0,495 152 52,0 249
6 152 12,2-5 = 61,0 0,400 52,0 12,0-5 = 60,0 1,15 249 12,45-10= 124,5 0,496 154 55,4 246
7 154 12,3-5 = 61,5 0,392 55,4 12,2-5 = 61,0 1,10 246 12,4-10= 124,0 0,504 156 56,1 244
* По известному магнитному напряжению и известной длине для каждого участка магнитной цепи определяется напряженность магнитного поля, а затем
по кривой намагничивания — магнитная индукция.
24.6. Расчет магнитной цепи
с постоянным магнитом
На рис. 24.12 схематически показан
стальной магнитопровод' в виде кольца
с воздушным зазором. Определим маг-
нитный поток в воздушном зазоре,
если магнитопровод предварительно на-
магничен до насыщения. Размеры маг-
нитопровода и кривая размагничивания
В(Н) для материала заданы.
Если в магнитопроводе нет воздуш-
ного зазора, что соответствует введению
в воздушный зазор пластины из магнит-
ного материала с очень большим значе-
нием цг, то после намагничивания маг-
нитная йндукция в магнитопроводе рав-
на остаточной индукции Вг, а напря-
женность магнитного поля равняется
нулю. Это непосредственно следует из
закона полного тока f Н Л = 0, посколь-
ку намагничивающий ток отсутствует.
На петле гистерезиса такое состояние
соответствует верхней точке кривой раз-
магничивания (см. рис. 24.1 и 24.5).
При наличии воздушного зазора
напряженность поля не равна нулю, что
легко показать, пользуясь законом пол-
ного тока. Магнитная цепь в этом слу-
чае состоит из двух участков: стально-
го магнитопровода, в котором напря-
женность поля Яст можно считать оди-
наковой во всех точках средней линии,
и воздушного зазора, напряженность
магнитного поля в котором связана
с магнитной индукцией известной зави-
симостью Яв = Вв/ц0.
Рис. 24.12
При незначительной длине воздуш-
ного зазора можно принять сечение
воздушного зазора SB равным сечению
магнитопровода 5СТ, т. е. считать индук-
цию во всех точках магнитной цепи
одинаковой:
Вст = Ф/5СТ = Ф/5В = Вв.
Выбирая путь интегрирования вдоль
средней линии по направлению вектора
магнитной индукции = Вв, напишем
следующее выражение:
f Н Д = Н„1„ + Нв1„ = 0, (24.14)
откуда
яст= -нв _Nb
ст Ио ‘с Ио
(24.15)
где Nв = /в//ст называется коэффици-
ентом размагничивания по ин-
дукции.
Следовательно, в этом случае не-
смотря на отсутствие намагничиваю-
щих токов напряженность магнитного
поля во всех точках кольцевого магни-
топровода не равна нулю. В воздуш-
ном промежутке направление вектора
напряженности поля совпадает с направ-
лением вектора магнитной индукции,
а внутри магнитопровода, как следует
из (24.14), они направлены противопо-
ложно (рис. 24.12).
Отрицательное значение напряжен-
ности магнитного поля внутри сердечни-
ка означает, что при наличии воздушно-
го зазора магнитная индукция В^ = Вв
меньше остаточной индукции Вг = ц0М9
т. е. В = |10М + ц0Я при Я < 0.
Так как отрицательному значению
напряженности магнитного поля Яст
соответствуют положительные значения
индукции Вст = Вв, то магнитное состоя-
ние магнитопровода определяется одной
из точек кривой размагничивания (вто-
рой квадрант петли гистерезиса).
Для расчета рассматриваемой маг-
нитной цепи построим зависимость
магнитного потока Фст = B^S^ от маг-
нитного напряжения Ям>сг = UMab =
= Яст/ст, взятого в направлении вектора
Яст между точками а и b концов маг-
нитопровода; эта зависимость получа-
ется из кривой размагничивания путем
простого умножения ее ординат на SCT
427
и абсцисс — на /ст (рис. 24.13). На том же
рисунке построим зависимость магнит-
ного потока воздуха Фв от магнитного
напряжения, взятого в направлении Нв
между теми же точками а и b магнито-
провода. Это напряжение
С/м,В = UMab — ~ Нв/в =
= Я?-/ = ф _ А__
Цо ° “ HoScl ’
откуда
ф ___ м, в __ м, в
^М.В ^в/Ц(А1
Из последнего выражения следует,
что магнитный поток Фв пропорциона-
лен магнитному напряжению в (пря-
мая линия на рис. 24.13). Отметим, что
магнитное сопротивление воздушного
зазора в действительности несколько
меньше определяемого по формуле
Км в = ^в/Цо^ст? так как магнитный поток
в воздушном зазоре распределяется по
большей площади, чем поперечное се-
чение магнитопровода (SB > Scl).
Так как магнитный поток в магни-
топроводе равен потоку в воздушном
зазоре, т. е. Фсг = Фв, и магнитное напря-
жение L/м ет — ^м.в, ТО магнитный поток
определится ординатой точки тг пересе-
чения кривой ФСг(^мст) и прямой Фв =
= С/м,в/Ям.в (рис. 24.13).
Опустив из точки mi перпендикуляр
т^т на. ось абсцисс, получим отрезок
От, определяющий магнитное напряже-
ние между точками а и Ь.
Рис. 24.13
Определим теперь магнитный по г ок
в воздушном зазоре в гом случае, если
после намагничивания стального магни-
топровода длина воздушно! о зазора бу-
дет уменьшена введением феррома! нит-
ного диска с площадью SCI. Магнитную
проницаемость материала диска будем
считать такой высокой, что магнитным
сопротивлением диска можно пренеб-
речь.
В этом случае длина зазора станет
меньше, а значит, уменьшится его маг-
нитное сопротивление до величины
К'м.в = ^b/Po^ci- Зависимость магнитного
потока в воздушном зазоре от напря-
жения (7М в представится прямой Фв =
= ^м,в/^м,в с большим углом наклона
к оси абсцисс, чем у прямой Фв —
= ^м,в/^м.в (рис. 24.13). Но гготок в сталь-
ном магнитопроводе будет расти не по
кривой размагничивания ФС( (1/МЛ1), а по
кривой т}ат2 частного цикла, т. е.
Фет (^м,ci), которую можно заменить
приближенно прямой линией. Точка пе-
ресечения т2 с прямой Фв = в
и определяет искомое значение потока
в воздушном зазоре Фв = Ф^.
Если магнитопровод намаг нитить
при вставленном стальном диске, то
магнитный поток будет значительно
больше и определится ординатой точ-
ки т2. При удалении диска из воздуш-
ного зазора магнитопровод будет раз-
магничиваться и поток уменьшится до
значения, определяемого ординатой точ-
ки т{. При введении стального диска
в зазор магнитный поток возрастет
только до значения, определяемого ор-
динатой точки т2.
Из графического построения, приве-
денного на рис. 24.13, видно влияние
параметров магнитной цепи на значение
магнитного потока. В частности, увели-
чение длины магнита и применение ма-
териала с большей коэрцитивной силой
Нс приводит к относительному увели-
чению абсцисс кривой Фсг(^м), а увели-
чение сечения магнита SCT и применение
материала с большей остаточной индук-
цией Вг при той же коэрцитивной силе
приводит к увеличению ординат кривой
ФС1(17М). И увеличение абсцисс, и увели-
чение ординат приводит к возрастанию
магнитного потока Ф.
428
фх/0’5 вг
25
20
15
10
5
Um,kA 4 3 2 1 0
Пример 24.4. Определить магнитную ин-
дукцию в воздушном зазоре гальванометра
в двух случаях:
1. Магнитная цепь подковообразного
магнита (рис. 24.14), состоящая из постоянно-
го магнита 7, полюсных наконечников 2
и сердечника 3, была намагничена до насы-
щения в собранном виде.
2. Намагничивание до насыщения произ-
водилось при вынутом цилиндрическом сер-
дечнике, и сердечник был вставлен после
намагничивания.
Магнитным рассеянием, а также маг-
нитным сопротивлением сердечника и по-
люсных наконечников пренебречь. В первом
случае расчетные размеры: длина средней
линии магнита /м = 24 см; сеченйе маг-
нита 5М = 3 см2; длина воздушного зазора
/в = 2 • 0,6 = 1,2 см; сечение воздушного зазо-
ра 5В = 7,5 см2. При вынутом сердечнике
/в = 3,25 см, 5В = 7,5 см2. Кривая размагни-
чивания магнита (спинка) характеризуется
следующими данными
В, Тл . . . 0,9 0,7 0,54 0,28 0
Ям,кА/м. . 0 -8 -12 -16 -19
Кривую возврата считать прямой с наклоном
&В/&Н = 12,5 • 10"6 Тл/А.
Решение. Строим зависимость
Фм гДе = Нм/М
Фм, В6 27-10"5 21 • 10 ~ 5 16,2-10 ~ 5 8,4-10 ~ 5 0
t/M, кА 0 - 1,92 -2,88 -3,84 -4,56
Строим зависимость Фв= ^м,в/Вм,в=^м,в^м,в
(рис. 24.15).
Рис. 24.15
При вставленном сердечнике
SB _ 4л -10~7-7,5-10“4 _
Зм’в-Мо/В_ 1,2-10-2
= 78,5-10-’ Гн.
При вынутом сердечнике
, _ S' _ 4л- 10-7-7,5- 104 _
Й'М,В~И° Ч, “ 3,25 - 10“2
= 29 -10-’ Гн.
Прямые Фв = —0м,в^м,в и Фв = — £7м,в^м,в
на рис. 24.15 соответственно 0 — 3 и 0 — 1.
Из графика находим при вставленном
сердечнике Фм = Фв = 18,4-10"5 Вб (точка 3).
Индукции
Вв = Фв/$в = 18,4 -10"5/7,5 • 10"4 = 0,245 Тл;
Вм = Фм/5м = 18,4 • 10" 73 • 10"4 = 0,612 Тл.
При вынутом сердечнике Ф^ = Фв = 10,3 х
х 10”5 Вб (точка 1).
Наклон кривой возврата
АФМ/А17М = (АВ/АН) (5М//М) =
= 1,56 10"5 Вб/кА.
При вынутом и вновь вставленном сердеч-
нике (точка 2 на кривой возврата) находим:
Ф" = 13,2 • 10”5 Вб; Вв = 13,2 • 10”77,5 -10”3 =
= 0,176 Тл.
По сравнению с индукцией в зазоре
при намагничивании в собранном виде ин-
дукция уменьшилась на Вв — Вв = 0,245 —
- 0,176 = 0,069 Тл.
429
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЯТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА
ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ
25.1. Общая характеристика цепей
с источниками напряжения одинаковой
частоты
Простейшие электрические нелиней-
ные цепи с источниками постоянных
ЭДС и токов были рассмотрены в гл. 22
и 23, там же были приведены статиче-
кие характеристики некоторых нелиней-
ных резисторов.
Применение источников синусои-
дального напряжения (даже только од-
ной частоты) в цепях с нелинейными
резисторами значительно расширяет чис-
ло практических задач, решаемых при
помощи нелинейных резисторов. Во-пер-
вых, появляется возможность применять
в электрических цепях наряду с нели-
нейными резистивными элементами так-
же нелинейные реактивные элементы —
индуктивные катушки и конденсаторы,
и, во-вторых, к задаче воздействия на
значение напряжения или тока добавля-
ется задача изменения формы кривой
напряжения или тока.
В цепях с нелинейными резистив-
ными элементами, имеющими несиммет-
ричные характеристики, можно осу-
ществить выпрямление напряжения и
тока. В цепях с нелинейными реактив-
ными элементами, имеющими обычно
симметричную характеристику, можно
получить утроение частоты. В цепях
с нелинейными резистивными и реак-
тивными элементами возможна стаби-
лизация тока или напряжения.
Рассмотрим примеры решения каж-
дой из этих трех задач и особенности
возникающих явлений.
25.2. Форма кривой тока в цепях
с вентилями
Нелинейный резистивный элемент с
наиболее резко выраженной несиммет-
рией характеристики (относительно на-
чала координат), т. е. элемент с одно-
сторонней проводимостью, называется
430
электрическим вентилем. Односто-
ронней проводимостью обладают мед-
нозакисные, селеновые, германиевые,
кремниевые и другие полупроводнико-
вые вентили, ртутные вентили, тран-
зисторы, газотроны, тиратроны и элек-
тронные лампы всех типов.
Статическая вольт-амперная харак-
теристика для мгновенных значений и
и i таких элементов показана на
рис. 25.1, а. В зависимости от реальных
параметров цепи ее можно приближен-
но представить в виде ломаных линий,
изображенных на рис. 25.1, бив. Харак-
теристики полупроводниковых и элект-
ронных (кенотроны) вентилей ближе к
изображенной на рис. 25.1,6, а характе-
ристики ртутных вентилей и газотро-
нов — к показанной на рис. 25.1, в. Огра-
ничимся процессами при таких скоростях
изменения тока, для которых можно
считать, что динамическая характеристи-
ка элемента совпадает со статической.
Такие элементы будем называть
безынерционными.
Элементы с характеристиками, пока-
занными на рис. 25.1,6 и в, можно
представить схемами замещения, состоя-
щими из идеального вентиля
и последовательно с ним включенного
резистивного элемента с сопротивлени-
ем гв или источника ЭДС Е. Под
идеальным вентилем понимается такой
элемент, сопротивление которого при
одной полярности напряжения равно
нулю, а при другой полярности равно
бесконечности. Характеристика идеаль-
ного вентиля представляется положи-
тельным участком оси i и отрицатель-
ным участком оси и (рис. 25.1, г).
Расчет цепи графическим методом.
Чтобы построить кривую тока в цепи
с односторонней проводимостью и про-
верить допустимость идеализации ха-
рактеристики вентиля, рассмотрим схе-
му выпрямителя (рис. 25.2), состоящего
из последовательно соединенных источ-
ника синусоидального напряжения =
Рис. 25.1
= Um sin cot, вентиля с характеристикой
i(u), представленной на рис. 25.1, а, и
линейного сопротивления нагрузки г.
Так как
иг = и + иг = и 4- ri = Um sin cot, (25.1)
то, зная зависимость i(u) и параметр г,
можно построить кривую i(ui) путем
суммирования абсцисс кривой i (и) и
прямой i = ur/r (рис. 25.2). На этом же
рисунке внизу построена зависимость
напряжения иг от времени t при трех
различных амплитудах Um (кривые 1, 2,
5). Находя по характеристике Ци^ для
каждого мгновенного напряжения
соответствующее значение тока, нетруд-
но по точкам построить зависимость
тока i от времени t (справа на рис. 25.2).
Как видно из построения, кривая i (t)
состоит из чередующихся положитель-
ных и отрицательных полуволн. Так как
угол наклона характеристики i(ux) при
положительных значениях напряжения
их во много раз больше, чем при
отрицательных, то положительные полу-
волны тока значительно больше отри-
цательных. Различие в абсолютных зна-
чениях полуволн тока тем заметнее, чем
больше амплитуда Um напряжения ис-
точника. При достаточно большой ам-
плитуде (например, кривая 1) отрица-
тельной полуволной тока можно пренеб-
речь и считать, что кривая тока состо-
ит только из положительных полуволн,
каждая из которых имеет форму поло-
вины синусоиды (однополупериодное
выпрямление). При выпрямлении малых
напряжений (например, кривая 5) ток
обратной полуволны может оказаться
одного порядка с током положитель-
431
ной полуволны. В этом случае выпрям-
ляющее действие вентиля сказывается
значительно меньше.
Часто выпрямитель работает в та-
ком режиме, при котором ток положи-
тельной полуволны много больше тока
отрицательной полуволны и последним
можно пренебречь. В этом случае с
вполне допустимой для практики точ-
ностью характеристику реального вен-
тиля (рис. 25.1, а) можно заменить ха-
рактеристикой идеального вентиля
(рис. 25.1, г) и рассчитывать цепь мето-
дом кусочно-линейной аппроксимации
нелинейной характеристики.
25.3. Простейшие выпрямители
Рассмотрим теперь простейшие схе-
мы, предназначенные для выпрямления,
т. е. преобразования переменного тока
в постоянный. Расчет проведем методом
кусочно-линейной аппроксимации нели-
нейной характеристики.
Для однополупериодного выпрями-
теля с резистивным сопротивлением
нагрузки гн, питаемого от источника
синусоидального напряжения и
(рис. 25.3, а), на рис. 25.3, б построены
кривые токи i и напряжения на сопро-
тивлении нагрузки мн в предположении,
что вентиль идеальный.
Напряжение на сопротивлении на-
грузки несинусоидальное и имеет наряду
с постоянной составляющей UQ, равной
Um/n (см. приложение 3), еще первую
и все четные гармоники. Если схему
с вентилем применяют для получения
постоянного напряжения, то перед по-
требителем с сопротивлением гн включа-
ют фильтр низкой частоты, пропускаю-
щий только постоянную составляющую
и не пропускающий все гармоники,
начиная с первой.
Рассмотрим, каковы значения тока,
напряжения и мощности источника в
цепи (рис. 25.3, а) при отсутствии фильт-
ра.
Действующее напряжение питания
U = 17т/]/2. Действующий ток, как и в
цепях синусоидального тока,
но интеграл, стоящий под знаком корня,
в 2 раза меньше его значения при от-
сутствии вентиля, когда протекает сину-
соидальный ток. Поэтому
, (25.2)
т. е. действующий ток зависит от дей-
ствующего напряжения источника по
линейному закону. Действующее напря-
жение на сопротивлении нагрузки
ин = г„1 = ит/2 = и/]/2. (25.3)
Активная мощность в сопротивлении
нагрузки в 2 раза меньше мощности,
выделяемой при отсутствии выпрями-
теля:
Р = UHI = UmItn/4. (25.4)
Полная мощность источника пита-
ния
= (25.5)
|/2 2
и, следовательно, коэффициент мощно-
сти выпрямителя
l = p/s = ]/2/2 = 0,707. (25.6)
То обстоятельство, что коэффици-
ент мощности не равен единице, объяс-
няется в рассматриваемом случае не
наличием реактивных элементов, а иска-
жением формы кривой тока по отно-
шению к форме кривой напряжения
источника питания.
Для сопротивления нагрузки гн дей-
ствующее напряжение в [/2 раз меньше,
чем для источника, и, следовательно,
Ж = 1. (25.7)
432
Рис. 25.4
Реактивная мощность источника
2 = f UJksin<p* = 0, (25.8)
к = 1
так как напряжение содержит только
основную гармонику, а 1-я гармоника
тока ii (см. приложение 3 и рис. 25.3)
совпадает по фазе с синусоидальным
напряжением питания и.
На аналогичном принципе построе-
ны и более сложные схемы выпрями-
телей двух, трех и большего числа фаз.
На рис. 25.4, а изображена схема
двухполупериодного выпрямителя со
средней точкой. Токи, проходящие через
оба вентиля-диода \ в сопротивлении на-
грузки гн совпадают по направлению.
В течение одного полупериода ток про-
ходит через верхнюю часть вторичной
обмотки трансформатора и первый диод
по пути О-а-1-0'-О, а в течение другого
полупериода — через нижнюю часть об-
мотки и второй диод по пути O-b-2-O-O.
Если принять характеристику диода
идеальной, то постоянная составляющая
напряжения на сопротивлении нагрузки
UQ в я/2 раз меньше максимального
значения напряжения и, питающего один
1 В дальнейшем термины вентиль и диод
применяются как синонимы.
диод, однако, так же как и в схеме
однополупериодного выпрямителя, по-
стоянная составляющая в я раз меньше
амплитуды общего напряжения на вто-
ричной обмотке трансформатора (меж-
ду выводами а и Ь). Выпрямленное
напряжение (рис. 25.4,6) теперь не со-
держит основной гармоники (с частотой
питающего напряжения). Действующее
значение выпрямленного напряжения
(рис. 25.4, б) равно действующему на-
пряжению между точками а и О или
О и Ь.
Фильтр, не пропускающий высшие
гармоники, применяемый для сглажива-
ния напряжения ин, в этом случае дол-
жен быть рассчитан на частоты, начиная
со 2-й гармоники и выше.
Для двухполупериодного выпрямле-
ния широко применяются мостовые
схемы. На рис. 25.4, в изображена прин-
ципиальная схема мостового выпрями-
теля. К выводам а — b моста, составлен-
ного из четырех диодов, подведено
синусоидальное напряжение и. В течение
первой половины периода (рис. 25.4, г)
напряжение и положительное, ток про-
текает через диод 1 в направлении от
а к п, через сопротивление нагрузки гн
и диод 3 в направлении от р к Ь.
Напряжение на диодах 1 и 3, пропускаю-
433
щих ток в этом направлении, практи-
чески равно нулю, и, следовательно,
оно полностью ложится на каждый из
диодов 2 и < не проводящих ток
в направлении от п к b и от а к р.
Таким образом, в течение первой поло-
вины периода ипЬ иар = иаЬ = и, а ирЬ =
= иап — 0 (штриховая линия на рис. 25.4, г).
Во время второй половины периода
напряжение и < 0. Теперь проводят ток
диоды 2 и 4, а напряжение и ложится
полностью на непроводящие диоды 1 и
3. Таким образом, во время второй
половины периода ипЬ = иар = 0, а ирЬ =
= ^ап ~ ^ab ~
Напряжение на сопротивлении на-
грузки иИ = ипр = unh - upb = I и I, так как
при и > 0 ин — ипр — ипЬ, а при и < 0
ин ~ ипр = — “ph- Зависимость ин от вре-
мени показана на рис. 25.4,?. Макси-
мальное значение выпрямленного на-
пряжения равно амплитуде Um перемен-
ного напряжения питания, и, следова-
тельно, постоянная составляющая вы-
прямленного напряжения на сопротивле-
нии нагрузки Uo в п/2 раз меньше
амплитуды Um напряжения питания.
Трехфазные выпрямители различа-
ются в зависимости от включения ней-
трального провода в питающей сети.
Схема трехфазного выпрямителя для
сети с выводом нейтрального провода
(N) (рис. 25.5, а) содержит три диода,
каждый из которых пропускает ток
только тогда, когда напряжение данной
фазы (относительно нейтрали) выше, чем
напряжение на двух других фазах (рис.
25.5, б). Каждый из диодов пропускает ток
в течение одной трети периода, и напря-
жение на приемнике ин пульсирует с
частотой в 3 раза большей, чем частота
сети. Оно кроме постоянной состав-
ляющей содержит гармоники, кратные
трем (см. приложение 3).
При идеальных диодах (см. рис. 25.1, г)
постоянная составляющая
Т/6
I
С о = ----COS cot dt =
-T/6
3]/3
= Пф^1,17Сф,
где U$m — амплитуда фазного напряже-
ния; Сф — его действующее значение.
434
Выпрямленное напряжение содержит
меньше высших гармоник, чем в рас-
смотренных однополупериодных и двух-
полупериодных схемах выпрямителей.
Еще меньше пульсации напряжения
в трехфазной мостовой схеме выпрями-
теля (рис. 25.6, а). Напряжение на сопро-
тивлении нагрузки равно разности по-
тенциалов между точками 1 и 2:
“н = Ф1 ~ Ф2«
Диоды включены так, что потенциал
точки 1 равен большему, а потенциал
точки 2 — меньшему из потенциалов
трех фаз. Включение аналогично схемам
логических элементов (см. § 23.5), где
вентилями выбирается большее или
меньшее из напряжений цепей входа.
Напряжение на приемнике пульсиру-
ет с частотой в 6 раз большей, чем
частота сети, и кроме постоянной со-
ставляющей UQ содержит гармоники,
кратные шести (рис. 25.6,6).
При этом постоянная составляющая
в 2 раза больше, чем в схеме с ней-
тральным проводом:
31/з 3
и=-^—ифт = ~илт^1,35ип,
П 71
где илт и ил — амплитуда и действую-
щее значение линейного напряжения се-
ти.
Выше были рассмотрены только
простейшие выпрямители с резистивным
сопротивлением нагрузки. На практике
при рассмотрении цепей с выпрямите-
лями обычно необходимо учитывать
кроме сопротивления гн также индук-
тивность и емкость фильтра. В этих
случаях при расчете токов можно поль-
зоваться методами расчета переходных
процессов и производить «припасовыва-
ние» решений, полученных для каждого
из линейных участков характеристики
вентиля.
Рассмотрим включение цепи, пред-
ставленной на рис. 25.7, а, при нулевых
начальных условиях. Характеристику
диода примем идеальной.
Пусть напряжение
u = Um sin cot (25.9)
и замыкание рубильника происходит
при t = 0. Тогда сразу же после вклю-
чения рубильника в сопротивлении на-
грузки и в конденсаторе фильтра воз-
никают токи
u U „
— = —^sincot; (25.10)
ic = С CUma cos cot, (25.11)
at
через диод проходит ток
i = iH + ic = Um( — sin cot 4- coC cos cot
\
(25.12)
В некоторый момент времени tx
диод перестает пропускать ток (i = 0),
так как напряжение на нем становится
отрицательным, и конденсатор начинает
разряжаться через сопротивление на-
грузки. Для этого момента времени
0= Um( — sin cot i 4- coCcos cot Л, (25.13)
\ 7*н /
откуда
ti = — arctg (- corHC). (25.14)
co
Начиная с момента t1(
i„ = -ic = -^2Lsina>t1e_<,_,1)/rHC. (25.15)
435
Разрядка конденсатора происходит
до того момента, когда отрицательное
напряжение на диоде ив = и — ис сни-
зится до нуля и диод начнет пропус-
кать ток. Этому соответствует момент
времени t2, для которого
О = Um sin еог2 — Um sin со^е4*2"^.
(25.16)
Последнее уравнение аналитически
не решается, и значение t2 можно оп-
ределить графически по точке пересече-
ния кривых и и ис (рис. 25.7,6) или
решением уравнения (25.16) относитель-
но t2 методом итераций.
Начиная с момента времени t2 диод
опять пропускает ток до тех пор, пока
в момент времени г3 диод снова не
перестанет пропускать ток. Таким об-
разом, в цепи почти сразу устанавли-
вается периодический процесс с перио-
дом Т. В интервале времени t2 — ti
сопротивление диода бесконечно велико,
а в течение времени Т — (t2 — = t3 —
— t2 его сопротивление равно нулю. Чем
больше емкость С и больше сопротив-
ление гн, тем меньше переменная со-
ставляющая тока в сопротивлении на-
грузки. В случае гн = оо напряжение на
конденсаторе устанавливается постоян-
ным и равным Um.
Рассмотренная простейшая схема
выпрямителя с конденсатором часто
применяется в электронной технике. На
этом. принципе, например, основано
амплитудное выпрямление, при котором
выпрямленное напряжение равно макси-
мальному значению переменного напря-
жения. На принципе амплитудного вы-
прямления основана работа электрон-
ного вольтметра, реагирующего на мак-
симальное значение переменного напря-
жения (см. § 12.4).
Вентильные элементы широко при-
меняются при обратном преобразова-
Рис. 25.8
нии модулированных колебаний (детек-
тировании) с целью выделения модули-
рующего сигнала. Если, например, к це-
пи, изображенной на рис. 25.4, а, подвес-
ти модулированное по амплитуде напря-
жение (рис. 12.10, а), то в составе спектра
выпрямленного напряжения иИ будет ос-
новная гармоника, изменяющаяся с час-
тотой Q (штриховая линия на рис. 25.8).
Применением фильтра можно выделить
эту гармонику и не пропустить ни по-
стоянной составляющей, ни высших гар-
моник.
25.4. Цепь с электрической дугой
Если нелинейность вентиля дает воз-
можность создать выпрямляющие уст-
ройства, то нелинейность электрической
дуги редко используется для получения
новых явлений. Большей частью в
электрических устройствах нелинейность
электрической дуги приводит к неже-
лательным высшим гармоникам в систе-
ме, вызывающим дополнительные по-
тери и затрудняющим расчет цепи.
Рассмотрим электрическую цепь, со-
стоящую из источника синусоидального
напряжения «и, электрической дуги и
катушки индуктивности с параметрами
L и R (рис. 25.9, а).
Вольт-амперные характеристики
электрической дуги для различных ско-
ростей изменения тока неодинаковы и
различаются тем больше, чем выше
скорость изменения тока. Однако при
малых частотах (например, 50 Гц) для
приближенных расчетов можно считать
характеристику дуги не зависящей от
скорости изменения тока. Характеристи-
ка электрической дуги большой мощ-
ности (например, дуги электросталепла-
вильной печи) представлена на рис. 25.9, б.
На рис. 25.9, в показана приближенная
кусочно-линейная аппроксимация этой
характеристики в виде ломаной линии.
До тех пор пока напряжение на
дуге не достигнет величины С7Х, дуга
не горит и цепь разорвана. При повы-
шении напряжения на дуге до значения
Ur дуга зажигается и на ней устанав-
ливается напряжение U2. Снижение на-
пряжения со значения Ux до U2 обычно
не происходит мгновенно, однако при
436
малых частотах тока и упрощенном
рассмотрении задачи без учета инерци-
онности дуги можно пренебречь этим
временем и считать, что сразу же после
зажигания на дуге устанавливается на-
пряжение С/2- Напряжение на дуге U2
остается неизменным вплоть до мо-
мента, когда ток в цепи проходит через
нуль и дуга гаснет.
Выбирая за начало отсчета времени
момент зажигания дуги, переходный про-
цесс в цепи можно выразить так же,
как и при включении напряжения ии =
= Um sin (cor + ан) - U2 к KL-цепи, при-
чем угол осн = arcsin UJUm. Решение этой
задачи по методу наложения дает при
i > 0:
i = ^-[sin (cor + ан — ср) — e"t/T sin (ан —
(25.17)
К
437
где
и, следовательно,
Ф = arctg coL/Я; z = ]/R2 + co2L2;
т = L/R.
В момент, когда i = 0, дуга гаснет.
Дальнейший режим в цепи существенно
зависит от напряжения источника | ии I =
= U01 в момент этого первого погаса-
ния дуги (рис. 25.9, г). Если L70i <
то после первого зажигания дуги сразу
же наступает установившийся режим.
После первого погасания дуги она не
горит до тех пор, пока напряжение на
ней не достигнет — Up Начиная с мо-
мента, когда ии = — Up дуга снова горит
и ее ток меняется по тому же закону,
что и ранее, только имеет отрицатель-
ный знак.
Графики зависимости напряжения
источника ии, напряжения на дуге и и
тока i представлены на рис. 25.9, г.
Как видно из графика, при UOi < Ui
установившийся режим тока в цепи сла-
гается из ряда импульсов разной по-
лярности, описываемых уравнением
(25.17). Интервалы между двумя импуль-
сами составляют участки оси абсцисс
1 —2, Г—2' и т. д.
При достаточно больших значениях
Um и L перерыва в токе может и не
быть. Если при i = 0 напряжение | ии | =
= U01 > Ub то дуга горит без переры-
вов и ток изменяет знак не при |ии| =
= Ub.a при |ми| = ^01>^1- В этом
случае установившийся режим наступит
не сразу и, следовательно, угол а из-
меняется от начального значения осн
до некоторого наибольшего значения
ау, соответствующего установившемуся
режиму. Напряжение источника, при ко-
тором изменяется полярность тока дуги,
также увеличивается от начального зна-
чения UQi до установившегося UOy.
Значение Оу может быть определено
из условия, что время между моментами
зажигания дуги и прохождения тока
через нуль равно половине периода.
Тогда
[sin (осу — ф + я) — е"я/(<от) sin (Оу — ф)]—
- -^-(1 - = О
U2z , л
Оу = ф - arcsin th -—.
ж UmR 2шт
При этом иОу = Um sin осу. Очевидно,
что условием непрерывного горения ду-
ги является неравенство UOy > Up
Рассмотренное решение является
простейшим примером определения то-
ков в цепях, содержащих мощные элек-
трические дуги. Аналогично при помощи
метода кусочно-линейного выражения
характеристики дуги и припасовывания
отдельных решений могут быть решены
значительно более сложные задачи для
цепей, содержащих катушки и конден-
саторы.
25.5. Формы кривых тока
и напряжения в цепях с нелинейными
реактивными элементами
В катушках со стальными магнито-
проводами при синусоидальных напря-
жениях на выводах токи обычно ока-
зываются несинусоидальными, и, наобо-
рот, при синусоидальных токах в напря-
жениях появляются высшие гармоники.
Рассмотрим форму кривой тока при
синусоидальном напряжении и =
= Um sin (cot 4- л/2) на выводах катушки
со стальным магнитопроводом. Допус-
тим, что сопротивление обмотки катуш-
ки ничтожно мало и им, так же как
и потоком рассеяния, при расчёте на-
пряжения на катушке можно прене-
бречь. В этом случае между потоком
в магнитопроводе и напряжением на
выводах катушки существует простая
зависимость
и = Um sin (cot + л/2) = (№/dt = w йФ/dt,
где w — число витков обмотки. Отсюда
0=-^-sincot. (25.18)
cow
Здесь и в дальнейшем мгновенные
значения потока и потокосцепления сле-
довало бы обозначать Ф(0 и T(t), так
как строчные буквы для потока и пото-
косцепления писать не принято. Однако
для упрощения записи будем иногда
писать короче: Ф и Т.
Таким образом, при синусоидальном
438
напряжении магнитный поток также
синусоидален и отстает по фазе от
напряжения на угол л/2, его амплитуда
Фт = (25.19)
Первоначально рассмотрим магни-
топровод, выполненный из магнитно-
мягкой стали с малыми потерями, для
которой петлей гистерезиса можно пре-
небречь и считать, что зависимости
Ф(0 и соответственно /(Ф) однозначны.
Зная зависимость Ф(0 и имея кривую
1*(Ф), легко найти зависимость i(t).
Расчет графический. Для рассматри-
ваемого случая кривая i(t) построена
на рис. 25.10. Как видно из построения,
кривая тока имеет заостренную форму.
Чем больше амплитуда магнитного по-
тока, тем сильнее сказывается насыще-
ние стали, острее кривая тока и резче
в ней выступают в первую очередь
третья, а затем и пятая гармоники.
Основная гармоника тока (рис. 25.10)
совпадает по фазе с магнитным пото-
ком и отстает от напряжения на чет-
верть периода. Активная мощность,
потребляемая от источника синусоидаль-
ного напряжения, равна нулю.
Расчет аналитический. К тем же вы-
водам можно прийти, выражая харак-
теристику намагничивания, например,
в виде
i = ахФ + ^Ф3. (25.20)
Подставив Ф = Фт sin cot, находим
i — агФт sin cot 4- Ь^3 sin3 cot. (25.21)
Учитывая, что
. , 3 sin a —sin За
sm3 а = --------------, (25.22)
после преобразований получим
i == Ilm sin cot — I3m sin 3cot. (25.23)
Это выражение показывает, что криг
вая i (t) имеет в сравнении с синусоидой
заостренную форму, так как максимумы
1-й и 3-й гармоник совпадают при
cot = л/2, 3cot — Зл/2 и т. д., следователь-
но, tmax ~ 1т + I Зт*
439
Рис. 25.11
'Рассмотрим теперь случай, когда
катушка со стальным магнитопроводом
питается от источника синусоидального
тока i = Im sin cot и петлей гистерезиса
можно пренебречь.
Графический расчет. Аналогично пре-
дыдущему по известным кривым i(t) и
характеристике Ф(0 на рис. 25.11 по-
строена кривая магнитного потока Ф (t).
Полученная кривая имеет тупую (при-
плюснутую) форму. Кривая напряжения
на катушке, построенная путем графи-
ческого дифференцирования кривой маг-
нитного потока, имеет заостренную
форму.
Расчет аналитический. То же можно
показать, пользуясь приближенным ана-
литическим выражением кривой намаг-
ничивания
ф = a2i - b2i3. (25.24)
Подставив i = Im sin cot, получим
Ф = a2Im sin cot - b2I3 sin3 cot (25.25)
или после преобразований, учитывая
(25.22),
Ф = Ф1т sin cot 4- Ф3ш sin 3cot. (25.26)
Напряжение
u = w йФ/dt = итоФ1т cos cot +
4- Зи>соФ3ш cos 3cot = Ulm cos cot 4-
+ (73mcos3cot. (25.27)
Последнее выражение показывает,
что кривая и (t) имеет заостренную фор-
му, так как максимумы 1-й и 3-й гар-
моник совпадают (итах = Ulm 4- U2m при
cot = 0), а отношение амплитуды 3-й гар-
моники к 1-й для напряжения в 3 раза
больше, чем для потока. Таким образом,
при синусоидальном намагничивающем
токе относительно небольшая несинусо-
идальность кривой магнитного потока
приводит к более значительному отли-
чию от синусоиды кривой напряжения
на катушке.
Сложнее расчет при учете потерь
стали, если нельзя пренебречь гистере-
зисом и необходимо учитывать неод-
нозначность зависимости между i и Ф.
Эта зависимость — петля гистерезиса —
показана на рис. 25.12. Графическое
построение для расчета тока катушки
выполняется по точкам аналогично
рис. 25.10 и для случая питания катушки
от источника синусоидального напряже-
ния показано на рис. 25.12. Как видно
из построения, максимумы тока и маг-
нитного потока во времени совпадают,
но ток проходит через нуль несколько
раньше, чем магнитный поток достига-
ет нуля, что обусловлено гистерезисом.
При аналитическом решении этой
задачи обычно ток в катушке со сталью
представляют в виде суммы двух со-
ставляющих. Зависимость одной из них
от магнитного потока выражается одно-
440
значной функцией, подобной (25.20), а
зависимость второй от магнитного по-
тока изображается эллипсом, оси кото-
рого соответствуют максимальной ин-
дукции в стали и коэрцитивной силе.
Все большее применение в технике
получают сегнетоэлектрики.
Конденсаторы с сегнетоэлектриками
имеют нелинейную характеристику q(u).
Эта зависимость аналогична кривой
Ф(0 у катушек со стальным магнито-
проводом. Если учесть, что ток в кон-
денсаторе i — dq/dt выражается подобно
тому, как и напряжение на катушке и (t),
то, выполняя построения, аналогичные
рис. 25.10 или 25.11, легко установить
характер кривых тока и напряжения для
конденсатора с сегнетодиэлектриком.
При достаточно большом синусоидаль-
ном напряжении на конденсаторе кри-
вая тока имеет заостренную форму
[аналогично u (г) на рис. 25.11], а при
синусоидальном токе в конденсаторе на
нем возникает несинусоидальное напря-
жение заостренной формы [аналогично
i(t) на рис. 25.10]. В обоих случаях
в несинусоидальных кривых наиболее
резко выступает 3-я гармоника.
При последовательном соединении
линейного и нелинейного или несколь-
ких различных нелинейных индуктивных
элементов и питании такой цепи от
источника синусоидальной ЭДС как ток,
так и напряжение на различных участ-
ках оказываются обычно несинусоидаль-
ными. В этих случаях токи и напряже-
ния можно определять также на осно-
вании графических построений или ана-
литических расчетов.
Пример 25.1. Цепь состоит из линейного
Li и нелинейного 4х! (О индуктивных элемен-
тов, включенных последовательно; напряже-
ние питания гармоническое: и = Um cos cor
(рис. 25.13, а). Зависимость 4х2 (0 задана гра-
фически (рис. 25.13,6). Построить зависи-
мости 4х! (г) и 4*2 (г).
Решение. Потокосцепление первой ка-
тушки 4х! = Ld и, следовательно, общее
потокосцепление
4x = 4x1+4x2 = L1i + 4x2(i).
Так как общее напряжение
t/4x d .... ... . гт
и = —— = -, (4/i + 4Х2) = Um cos cor,
dt dt
то кривая 4х (г) также синусоидальная: 4х =
= 4'm sin cor, где 4xm = Um/w (рис. 25.13, 6).
На этом же рисунке построены прямая
4^ (/) и суммарная кривая 4х (i) = 4хь 4- 4х2
для положительных значений этих величин.
Зная для любого момента времени зна-
чение 4х (например, точки 1 и 2), графически
определим соответствующие значения 4х] и
4х2 и построим графики 4х j (г) и 4Х2 (f). Это
построение выполнено на рис. 25.13,6. Как
видно из построения, при данном значении
4хт график 4х! (г) имеет в сравнении с сину-
соидой заостренную форму, а 4Х2 (г), наобо-
рот, притупленную. Если теперь определить
путем графического дифференцирования на-
пряжения Ui = d^Vi/dt и и2 = d'Vjdt, то легко
убедиться в том, что оба напряжения не-
синусоидальные: напряжение их имеет при-
тупленную форму, а напряжение и2 — заост-
ренную.
Пример 25.2. Катушка со стальным маг-
нитопроводом в ее номинальном режиме
441
питается от источника синусоидального на-
пряжения 17ном —127 В, ток в катушке
/ном — 1 А. При этом амплитуда магнитной
индукции Вт — 1 Тл. Определить максималь-
ное значение тока при ошибочном включе-
нии катушки на напряжение 220 В. Мате-
риал магнитопровода - сталь 1561.
Решение. По характеристике стали
1561 (см. рис. 24.3) при Вт = 1 Тл определяем
Нтах = 180 А/м. При увеличении напряжения
в 220/127 = ]/з раз магнитный поток, а сле-
довательно, и амплитуда магнитной индук-
ции увеличатся в |/з раз и составят В'т —
= 1,73 Тл. По характеристике стали для
этого значения индукции Н'тах — 6000 А/м
и, следовательно, максимальное значение
тока возрастет в Н'тах/Нтах = 6000/180 =
— 33,3 раза и составит i'max — 33,3 |/2 /ном =
= 47 А. Из этого примера видно, что при
ошибочном включении катушки на напряже-
ние в |/з раз больше номинального, мак-
симальное значение тока может возрасти
более чем в 30 раз и форма кривой тока
вместо практически синусоидальной при но-
минальном режиме станет резко несинусои-
дальной с острыми пиками i'max.
Рассматривая форму несинусоидаль-
ных кривых, получаемых в цепях с ре-
активными нелинейными элементами,
можно заметить, что во всех случаях
кривые симметричны относительно оси
абсцисс и, следовательно, не содержат
четных гармоник. Отсутствие четных
гармоник — следствие симметрии нели-
нейных характеристик реактивных эле-
ментов (рис. 25.10^25.11 и 25.13).
25.6 . Утроители частоты
Как было показано выше, при пита-
нии цепей с нелинейными элементами
от источника синусоидального напряже-
ния на отдельных участках возникают
резко несинусоидальные напряжения, в
которых при симметрии нелинейных ха-
рактеристик обычно наиболее резко вы-
деляется 3-я гармоника. Это явление по-
ложено в основу устройства различных
типов утроите л ей частоты.
Схема одного из типов утроителей
частоты изображена на рис. 25.14. Утро-
итель частоты состоит из трех одина-
ковых однофазных трансформаторов,
первичные обмотки которых соединены
в звезду, а вторичные — в открытый
(разомкнутый) треугольник.
В токах симметричного приемника,
соединенного звездой, при отсутствии
нейтрального провода, как известно,
отсутствуют гармоники, кратные трем
(см. § 12.10). Следовательно, токи в пер-
вичной цепи каждого из трансформато-
ров могут состоять только из 1-й, 5-й,
7-й и других нечетных гармоник, не
кратных трем. Если в первом прибли-
жении пренебречь более высокими гар-
мониками, чем 3-я, то можно считать,
что токи в первичных цепях синусои-
дальны. Трансформаторы работают в
режиме насыщения магнитопроводов,
поэтому магнитные потоки, а следова-
тельно, и напряжения на вторичных
обмотках несинусоидальны и в числе
прочих гармоник содержат гармоники,
кратные трем.
При соединении вторичных обмоток
в разомкнутый треугольник сумма на-
пряжений всех гармоник, не кратных
трем, обращается в нуль, а 3-я, 9-я и
так далее гармоники суммируются и на-
пряжение на вторичных выводах и2 рав-
но утроенной сумме гармоник, кратных
трем.
442
Рис. 25.15
Рис. 25.16
Если звезда, составленная из нели-
нейных элементов, подключена к трех-
фазному источнику питания с выведен-
ной нейтральной точкой, то утроение
частоты можно получить, не прибегая
к трансформации напряжения. На
рис. 25.15 изображена схема утроителя
частоты, который состоит из трех кату-
шек с ферромагнитными магнитопрово-
дами, соединенных звездой. Так как в
токах системы без нейтрального прово-
да отсутствуют гармоники, кратные
трем, и, следовательно, токи в катушках
практически синусоидальны, то в пото-
ках и, следовательно, в напряжениях на
катушках содержатся гармоники, крат-
ные трем. При синусоидальных ЭДС
источника питания с частотой со между
нейтральными точками N — n возникает
напряжение, изменяющееся с частотой
Зсо, амплитуда которого тем больше,
чем сильнее сказывается насыщение
стали. Вместо насыщающихся катушек
со стальными магнитопроводами в ка-
честве нелинейных сопротивлений могут
быть включены нелинейные конденсато-
ры или нелинейные резисторы. Во всех
случаях между точками N и п возникает
напряжение тройной частоты.
Трехфазные цепи с нелинейными эле-
ментами, имеющими симметричные ха-
рактеристики, применяются и при осу-
ществлении иных задач. В этих случаях
появление высших гармоник может но-
сить паразитный характер. Так, напри-
Рис. 25.17
443
мер, в дуговой сталеплавильной печи,
схема которой подобна рис. 25.15, а
сопротивлениями нагрузки zH являются
мощные электрические дуги с нелиней-
ными характеристиками, между точками
N и п может возникнуть напряжение трой-
ной частоты с таким максимальным зна-
чением, которое может представлять
опасность для обслуживающего персо-
нала.
Утроение частоты получают не толь-
ко в трехфазных, но и в однофазных
системах. На рис. 25.16 изображена мос-
товая схема с конденсаторами, два из
которых имеют одинаковую линейную
характеристику q — Сиа, а два других —
одинаковую нелинейную характеристику
q(u6) сегнетодиэлекгрика. Если к одной
из диагоналей моста подключить источ-
ник синусоидального напряжения =
= UAm sin cot, то при соответствующем
выборе параметров цепи на выводах
второй диагонали получится напряжение
и2 тройной частоты.
Пример 25.3. Построить график напря-
жения и2 (Г) в цепи (рис. 25.16) при известном
синусоидальном напряжении питания ur (t)
и заданных характеристиках q (иа) и q (uq)
конденсаторов (рис. 25.17).
Решение. Для мгновенных значений
напряжений справедливы следующие равен-
ства:
Ui=Ua + иб; и2 = иб- иа.
Так как при отсутствии тока во второй
диагонали заряды обоих включенных после-
довательно конденсаторов в любой момент
времени равны, то, имея характеристику
иб (q) и зная, что иа = q/C, построим (q)
и и2 (q) как сумму и разность прямой иа (q)
и кривой иб (q) (рис. 25.17). По характеристи-
кам (q) и и2 (q) для заданного ur (t)
построим зависимость и2 (г) (рис. 25.17).
25.7 . Формы кривых тока
и напряжения в цепях
с терморезисторами
Выше были рассмотрены цепи, в
которых нелинейная зависимость связы-
вала мгновенные значения тока и напря-
жения, тока и Mai нит кого потока или
напряжения и заряда (безынерционные
элементы). Предполагалось, чго нели-
нейная характеристика не зависит ни
от времени, ни от скорости процесса.
444
Однако существуют сопротивления,
для которых эти допущения несправед-
ливы. К их числу в первую очередь
относятся терморезисторы, в ко-
торых нелинейность характеристики
обусловлена тепловыми процессами,
происходящими достаточно медленно.
При частоте 50 Гц и выше за четверть
периода (промежуток времени, за кото-
рый ток нарастает от нуля до наиболь-
шего значения) температура терморе-
зистора вследствие инерционности обыч-
но изменяется так мало, что прибли-
женно можно считать температуру по-
стоянной. Таким образом, в пределах
периода тока сопротивление можно рас-
сматривать как неизменное, т. е. между
мгновенными значениями и и i сущест-
вует линейная зависимость при постоян-
ной температуре. При изменении дей-
ствующего значения тока изменяется
температура терморезистора, а следова-
тельно, и сопротивление. Поэтому меж-
ду действующими значениями тока и
напряжения существует нелинейная за-
висимость.
Такие элементы, как терморезисто-
ры, для которых зависимость между
действующими или амплитудными зна-
чениями основных величин (например,
в случае терморезисторов напряжения
и тока) нелинейна, а зависимость между
мгновенными значениями этих величин
остается линейной, называют услов-
но-нелинейными.
В качестве примера рассмотрим
лампу с угольной нитью накаливания,
подключенную к источнику синусоидаль-
ного напряжения и = Um sin cot. На
рис. 25.18 слева показана нелинейная
характеристика I (U), связывающая дей-
ствующие значения тока I и напряжения
U. Эта характеристика одинакова для
постоянного и переменного токов. Для
холодной лампы зависимость между
мгновенными значениями тока i и напря-
жения и изображается прямой, касатель-
ной к кривой 7(17) в начале координат.
По мере увеличения действующего зна-
чения тока I возрастает температура
нити и соответственно уменьшается со-
противление. Теперь уже зависимость
между i и и выражается прямой, про-
ходящей через начало координат и пере-
Рис. 25.18
секающей кривую I (U) в точке с коор-
динатами U и 19 т. е. действующими
значениями напряжения и тока при дан-
ной температуре нити.
На рис. 25.18 построены кривые i(t),
получающиеся при одном и том же
значении u(t) в первый момент включе-
ния, когда сопротивление лампы равно
сопротивлению холодной лампы г = г0,
и при установившемся режиме нагрева
нити лампы, когда г = ry = U/I. Так как
зависимость между мгновенными значе-
ниями тока и напряжения терморезисто-
ров линейная, то при синусоидальном
напряжении ток также синусоидальный.
Отсутствие высших гармонических
в кривых тока и напряжения весьма
облегчает расчет цепей с терморезисто-
рами. При отсутствии катушек индук-
тивности и конденсаторов расчет схемы
с терморезисторами на переменном то-
ке ничем не отличается от расчета
нелинейных цепей при постоянном токе.
25.8 . Замена реальных нелинейных
элементов условно-нелинейными
У терморезисторов условную нели-
нейность их характеристик вносит теп-
ловая инерция. У конденсаторов и ка-
тушек условная нелинейность может
быть следствием инерционного измене-
ния взаимного расположения пластин
конденсаторов или обмоток катушек
индуктивности, происходящего под вли-
янием электростатических или электро-
динамических сил. Так, некоторые элек-
тромеханические системы (например,
конденсаторы электростатических вольт-
метров или катушки электродинамиче-
ских амперметров) являются условно-
нелинейными емкостными или индуктив-
ными элементами. Для них зависимости
между мгновенными значениями заряда
q и напряжения и или потока Ф и тока
i остаются линейными при нелинейности
характеристик, связывающих действую-
щие значения Q(U) или Фд(/).
Для нелинейных индуктивных и ем-
костных элементов, не содержащих дви-
жущихся частей, таких примеров нет.
Однако простота расчета цепей с термо-
резисторами и сложность точного рас-
445
чета нелинейных цепей заставляют ис-
кать приближенные методы анализа
электрических цепей, содержащих нели-
нейные элементы L и С, подобные рас-
чету цепей с терморезисторами. Таким
приближенным методом является расчет
с допущением, что при нелинейной за-
висимости между действующими значе-
ниями I и Фд или U и Q сохраняется
прямая пропорциональность между
мгновенными значениями i и Ф или и
и q. При этих допущениях реальные
нелинейные элементы заменяются услов-
но-нелинейными и расчет ведется без
учета высших гармоник или с заменой
несинусоидальных кривых i (г), Ф (г), и (г)
или q(t) эквивалентными синусоидами.
Разумеется, что анализ цепей с ус-
ловно-нелинейными элементами спра-
ведлив только в тех случаях, когда
высшие гармоники не играют существен-
ной роли, а более важна нелинейная
зависимость между действующими зна-
чениями. Такой анализ относится к ме-
тодам условной линеаризации.
25.9 . Учет реальных свойств
стальных магнитопроводов
Выше в большинстве примеров рас-
сматривались характеристики катушек
со сталью без учета потерь в стали,
т. е. той части энергии, которая расхо-
дуется на нагрев стали, обусловленный
гистерезисом и вихревыми токами.
При инженерных расчетах техниче-
ских устройств, содержащих стальные
магнитопроводы и работающих при пе-
ременном токе, такое допущение делать
нельзя, так как именно этими явления-
ми и обусловлены потери энергии, зна-
чение которых определяет тепловой ре-
жим работы устройств.
Вихревые токи возникают в
стальном магнитопроводе под влиянием
электрического поля, наводимого в маг-
нитопроводе переменным магнитным
потоком. На рис. 25.19, а распределение
вихревых токов в массивном магнито-
проводе схематически показано штри-
ховыми линиями.
Кроме потерь энергии вихревые то-
ки производят размагничивающее дей-
ствие, которое сильнее сказывается в
Рис. 25.19
середине магнитопровода и меньше у его
поверхности. Это объясняется тем, что
средние участки магнитопровода охва-
тываются большими вихревыми токами,
чем участки, близкие к поверхности
магнитопровода. Поэтому распределе-
ние магнитного поля по сечению маг-
нитопровода оказывается неравномер-
ным. Индукция больше у поверхности
магнитопровода и меньше внутри него.
Внутренние участки магнитопровода как
бы экранируются вихревыми токами.
Для уменьшения потерь энергии от
вихревых токов и их экранирующего
действия магнитопровод собирают из
отдельных электрически изолированных
один от другого листов (рис. 25.19,6).
В таком магнитопроводе вихревые то-
ки уменьшатся, так как будут замыкать-
ся по узким вытянутым путям, пред-
ставляющим большое сопротивление.
Кроме того, уменьшится экранирующее
действие, так как весь магнитопровод
разделен на отдельные листы, находя-
щиеся в одинаковых условиях. Неравно-
мерность распределения магнитного по-
тока в пределах каждого листа при
достаточно малой его толщине незначи-
тельна. Применяются также магнито-
проводы, собранные из электрически
изолированных тонких стальных прово-
лок.
Для уменьшения вихревых токов
листы и проволоку, из которых собира-
ется магнитная цепь, изготовляют из
специальных сортов электротехнической
стали, содержащей различные присадки
(примеси), снижающие удельную прово-
димость. Чтобы потери энергии от вих-
ревых токов не были чрезмерно велики,
толщину листов берут тем меньше, чем
выше частота. При частоте f = 50 Гц
446
применяют листы толщиной 0,25 —
0,5 мм, при звуковых частотах порядка
сотен и тысяч герц применяют листы
толщиной 0,02 — 0,05 мм. При более вы-
соких частотах применяют магнитопро-
воды из более тонких лент. Для частот
до 30—50 МГц применяют магнито-
проводы, выполненные из магнито-
диэлектриков— ферритов. Магни-
тодиэлектрики состоят из ферромагнит-
ного порошка с размерами частиц по-
рядка нескольких микрон и связываю-
щего эти частицы диэлектрика.
Расчет распределения магнитного
потока в стальных магнитопроводах и
подсчет потерь от вихревых токов
рассматриваются в теории электромаг-
нитного поля. Если можно пренебречь
неравномерностью распределения маг-
нитного потока в поперечном сечении
листов, из которых собран магнито-
провод, то для мощности потерь
от вихревых токов получается
следующая зависимость:
Рв = aB/2B2G,
где ов — коэффициент, зависящий от
сорта стали и размеров стальных лис-
тов; Вт — амплитуда магнитной индук-
ции; G — масса рассматриваемой части
магнитопровода.
Периодическое перемагничивание
стали сопряжено с потерями энергии,
обусловленными гистерезисом. Мощ-
ность потерь от гистерезиса
пропорциональна частоте f и определя-
ется по различным эмпирическим фор-
мулам, например
Рг =
где стг — коэффициент, зависящий от
сорта стали; и = 1,6 при значениях Вт
в пределах от 0,1 до 1 Тл и и = 2 при
значениях Вт в пределах от 1 до 1,6 Тл.
То обстоятельство, что потеря энер-
гии от вихревых токов и от гистерезиса
имеют различную зависимость от час-
тоты, позволяет отдельно рассчитать
или измерить их, если известны сум-
марные потери в магнитопроводе для
двух (или более) значений частоты, но
при одном и том же значении индук-
ции Вт,
Рассмотрим простейшую магнитную
цепь, представленную на рис. 25.20, а,
допуская, что активным сопротивлением
обмотки и индуктивностью рассеяния,
обусловленной частью магнитного по-
тока катушки, замыкающейся через воз-
дух, можно пренебречь. При этих допу-
щениях и синусоидальном напряжении
магнитный поток в стальном магнито-
проводе синусоидальный (25.18), а ток
в катушке имеет несинусоидальную
форму (рис. 25.20,6).
На практике при расчете режима
катушки со стальным магнитопроводом
целесообразно заменить реальный сталь-
ной магнитопровод некоторым услов-
но-нелинейным элементом, в котором
синусоидальный магнитный поток воз-
никает под действием также синусои-
дального тока 1*эк (рис. 25.20,6), в из-
вестной степени эквивалентного дей-
ствительному несинусоидальному току
г. Условием эквивалентности является,’
во-первых, равенство действующих зна-
чений токов 1эк и i и, во-вторых, равен-
ство потерь, обусловленных токами i3K
и i.
Замена реальной кривой тока эк-
вивалентной СИНУСОИДОЙ ПОЗ-
447
воляет при расчете цепи пользоваться
комплексным методом и векторными
диаграммами. Векторная диаграмма рас-
сматриваемой простейшей цепи изобра-
жена на рис. 25.20,в, а соответствую-
щая ей эквивалентная схема — на
рис. 25.20, г.
Для определения параметров экви-
валентной синусоиды — действующего
значения 1ЭК и угла сдвига фаз 5 отно-
сительно магнитного потока Ф или ак-
тивной 1п (потерь) и реактивной 1Ф
(намагничивающей) составляющих
(рис. 25.20, в) — обычно пользуются ре-
альными характеристиками стального
магнитопровода, снятыми при перемен-
ном токе заданной частоты. Значения
1п и 1Ф зависят от числа витков катуш-
ки w, от размеров стального магнито-
провода и от максимального значения
магнитной индукции в стальном маг-
нитопроводе.
При расчете таких цепей в качестве
характеристик магнитопровода удобнее
пользоваться не непосредственно значе-
ниями 1п и /ф, а не зависящими от
числа витков катушки величинами: реак-
тивной мощностью
Q = cos 8 = 1Лф = Ьфи2, (25.28)
которую называют намагничива-
ющей, и активной мощностью
Р = UI3K sin 6 = UIn = gnU2, (25.29)
соответствующей потерям в стали
и равной сумме потерь, обусловленных
вихревыми токами и гистерезисом:
Р = Рв + Рг.
Все эти мощности относят к единице
массы стального магнитопровода G, и
в качестве характеристик стали прини-
мают
So = Q/G и Ро = P/G,
выражающие удельную намагничиваю-
щую и удельные потери, обусловленные
гистерезисом и вихревыми токами.
Значения Qo и Ро зависят от марки
(сорта) стали, способа ее намагничиваг
ния (ток или магнитный поток синусои-
дальный) и особенно от максимального
значения индукции Вт. Так как магнит-
ная система обычно рассчитывается для
Рис. 25.21
практически синусоидальной формы кри-
вой магнитного потока, то значения
бо и Ро определяют для синусоидаль-
ного магнитного потока.
На рис. 25.21 приведены полученные
экспериментально зависимости QOi Ро
и tg 5 = PJQq от максимального значе-
ния индукции Вт для электротехнической
стали с толщиной листов 0,5 мм марки
1512 (электротехническая высоколегиро-
ванная сталь с низкими потерями, при-
меняемая в трансформаторах) при часто-
те f = 50 Гц. Аналогичные графики или
таблицы есть и для других марок стали.
Зная величины Qo и Ро, легко пе-
рейти к составляющим тока 1Ф и 1П и
проводимости Ьф и дп в эквивалентной
схеме катушки. Действительно, по зако-
ну электромагнитной индукции напряже-
ние U связано с максимальным значе-
нием магнитного потока соотношением
(25.19):
ТТ
и = = аВт,
1/2
или в комплексной форме
(25.30)
|/2
где а — 4,44/wS, S — сечение магнитопро-
вода, а коэффициент 4,44 = 2я/|/2.
Подставив это выражение в (25.28)
448
и (25.29), получим составляющие тока
1ф = Q/a^m = CQs/aBm’, |
/п = Р/аВт = GP0/aBm J (2 ’ }
или составляющие проводимости в эк-
вивалентной схеме (рис. 25.20, г)
ЬФ = Q/(aBm)2 = GQ0/(aBm)2; |
дп = Р/(аВт)2 = GP0/(aBm)2. J ( ’ }
Как видно из полученных выраже-
ний, при заданных постоянных значени-
ях частоты /, числа витков катушки w,
сечения S и массы G стального магни-
топровода составляющие тока /ф и 7П
пропорциональны QQ/Bm и Ръ/Вт, а про-
водимости Ьф и ди пропорциональны
Qo/B2 и Pq/B2.
Таким образом, построив зависи-
мости этих величин от средней по сече-
нию индукции Вт, в свою очередь про-
порциональной напряжению U, можно
судить о характере нелинейности рас-
сматриваемого элемента.
На рис. 25.22 построены зависимости
Qo/Bm, /’o/Bm, Q0/Bm И Р0/Вт ОТ Вт ДЛЯ
стали 1512. Из графика видно, что ток
/п увеличивается с изменением напряже-
ния по закону, близкому к прямолиней-
ному, и соответственно эквивалентная
активная проводимость дп изменяется
мало. Во многих случаях проводимость
дп можно считать постоянной. Как уже
было указано, потери от вихревых то-
ков пропорциональны квадрату магнит-
ной индукции и, следовательно, состав-
ляющая дп, обусловленная вихревыми
токами, постоянна. Потери же от гисте-
резиса зависят от магнитной индукции
по более сложному закону и только
в ограниченном диапазоне изменения
индукции пропорциональны квадрату
индукции. Некоторая зависимость дп от
Вт обусловлена изменением формы
гистерезисной петли с увеличением ин-
дукции. Так как для стали 1512 при
малых значениях индукции отношение
высоты к ширине петли гистерезиса
меньше, чем для больших значений
индукции, то с ростом индукции значение
ди убывает.
Кривая зависимости 1Ф от Вт зна-
чительно отличается от прямой и анало-
гична кривой намагничивания стали.
Некоторое различие форм кривой 1Ф (Вт)
и кривой намагничивания imax (Вт) вызва-
но различными значениями коэффици-
ента амплитуды кривой тока ка = imax/I<&
при разных степенях насыщения стали.
Если при малых значениях индукции
этот коэффициент близок к значению,
характеризующему синусоиду /са = ]/2 =
= 1,41, то при насыщении стали он
сначала увеличивается до двух и даже
несколько выше, а при сильном насы-
щении может несколько снизиться. По-
скольку зависимость /Ф(ВЖ) нелинейна,
то проводимость Ьф значительно изме-
няется с изменением напряжения U.
Таким образом, при расчете катушек
и трансформаторов со стальными маг-
нитопроводами необходимо считаться
с нелинейностью реактивной проводи-
мости в схемах замещения (рис. 25.20, г).
25.10 . Расчет тока в катушке
со стальным магнитопроводом
Рассмотрим катушку со стальным
магнитопроводом при достаточно низ-
кой частоте переменного тока, так что
емкостью между витками катушки мож-
но пренебречь.
На рис. 25.23, а схематически пока-
зана картина магнитного поля катушки.
Часть магнитных линий замыкается по-
мимо магнитопровода, через воздух, и
449
15 Основы теории цепей
°)
определяет индуктивность рассеяния и
индуктивное сопротивление хв. Катушка
имеет активное сопротивление обмот-
ки г.
Так как эти сопротивления при си-
нусоидальном токе I вызывают падение
напряжения A U = (г + jxB) I, то эквива-
лентная схема катушки отличается от
схемы, рассмотренной в предыдущем
параграфе, только наличием последова-
тельно включенного сопротивления Z =
= г -F jxB (рис. 25.23, б). Соответственно
векторная диаграмма (рис. 25.23, в) от-
личается от диаграммы, изображенной
на рис. 25.20, в, только составляющими
падения напряжения А1/.
Если задано напряжение питания U,
то из-за падения напряжения АС7 не-
посредственно нельзя найти Вт и экви-
валентные нелинейные проводимости
дп и Ьф, соответствующие данному ре-
жиму.
В этом случае необходимо вести
расчет либо итерационным методом,
либо графически, преобразовав схему
к более удобному для расчета виду.
Рассмотрим примеры расчета этими
методами.
Пример 25.4. Магнитопровод катушки
имеет сечение S — 6 см2, массу G = 1,4 кг
и выполнен из стали марки 1512. Число
витков обмотки w = 1200. Сопротивление
Z = г 4- jxB — 30 4- J60 Ом. Напряжение пита-
ния U = 220 В. Рассчитать ток в катушке
итерационным методом.
Решение. Первоначально — в нулевом
приближении (индекс 0) — задаемся иФ0 =
= /200 В. Индукция
В^ = Uw/4A4wJS = 1,25 Тл.
По графику рис. 25.21 находим Роо —
= 2,2 Вт/кг и Qo о = 12 вар/кг (для большей
точности следует пользоваться не графиками
Ро и Qo, а соответствующими таблицами).
Далее рассчитываем
Ado = боо^ФО — 0,084А;
/по = Роо^/^фо = 0,0154 А
и, следовательно, /0 = 0,084 4- /0,0154 А.
Напряжение
С/о = C/фо 4- ZI0 = /200 + (30 4- /60) х
х (0,084 4- /0,0154) = 1,6 + /205,5 В,
т. е. Uо « 205 В.
Так как действительное значение U от-
личается от Uо, то для определения следую-
щего приближения, применяя метод пропор-
циональных величин, получаем
иф{ = 200(220/205) = 214 В.
Теперь, задавшись {7Ф1 = /214 В, повто-
ряем аналогичный расчет и получаем
Вт1 — 1,34 Тл, Р01 = 2,4 Вт/кг,
6oi = 20 вар/кг, /Ф1 — 0,13 А, /П1 = 0,0157 А,
Gi = 223 В.
Следующее приближение
иф2 = 214(220/223) = 211 В
дает еще более близкое решение. Так, после
ряда последовательных приближений получа-
ем иФк+1 ® иф к и, следовательно, итераци-
онный процесс закончен. Для заданной ка-
тушки Gф = 213 В, Вт = 1,33 Тл, Ро =
= 2,4 Вт/кг, Qo = 18 вар/кг, 1Ф = 0,177 А,
1п = 0,0156 А.
Пример 25.5. Произвести графический
расчет катушки примера 25.4.
Решение. Для этой цели преобразуем
источник напряжения 220 В в источник тока
J, подключенный параллельно нелинейному
450
Рис. 25.24
участку с проводимостью дп 4- у‘6ф
(рис. 25.24, а). Кроме того, последовательное
соединение элементов г и хв преобразуем
в параллельное с проводимостями
(рис. 25.24, б) д = г/(г2 + х|) = 0,0066 См;
b = xB/(r2 + х2) = 0,0133 См.
Теперь схема имеет вид включенных
параллельно двух линейных (д и Ь) и двух
нелинейных (#п и Ьф) элементов, к которым
подведен ток
J =U/z = 220/|/302 + 602 = 3,28 А.
Зависимости дп и Ьф от напряжения иф
могут быть найдены по известным харак-
теристикам стали (рис. 25.22) и формулам
(25.32). На основании этих зависимостей и
известных значений д и b можно построить
зависимость полной проводимости уАВ =
= ]/(0п + в)2 4- (Ьф -I- Ь)2 между точками А
и В от напряжения иф = UAB. Такое построе-
ние выполнено на рис. 25.25. Кроме того,
между полной проводимостью и напряже-
нием U АВ существует зависимость, опреде-
ляемая законом Ома: уАВ = J/UАВ.
Точка пересечения двух графиков
0 40 80 120 160 200\240 ОАВ=ОФ , В
21JB
Рис. 25.25
Уав(^ав) и Уав = ^/^ав Дает искомое зна-
чение иАВ.
По графику рис. 25.25 получаем UAB =
= иф = 213 В. Дальнейший расчет токов
ничем не отличается от расчета, проведен-
ного в примере 25.4.
Сравнивая оба метода расчета, мож-
но заметить, что метод последователь-
ных приближений дает более точное
решение задачи, а графическое решение
более наглядно; на основании получен-
ного графического построения легко су-
дить о влиянии отдельных параметров
схемы на результаты расчета. Для рас-
четов при помощи ЭВМ метод после-
довательных приближений (итераций)
является основным.
25.11 . Понятие о расчете
условно-нелинейных магнитных цепей
Применяя аналогичную методику,
можно рассчитывать и магнитные цепи
переменного тока. Так же как и в маг-
нитных цепях постоянного тока, в OvHo-
ве расчета магнитной цепи переменного
тока лежит заданная зависимость меж-
ду индукцией и напряженностью маг-
нитного поля. Однако теперь эти вели-
чины характеризуются не только моду-
лем, но и фазой. Так как комплекс
напряженности магнитного поля связан
с комплексом МДС равенством
Н = 1э^/Ц (25.33)
где I — длина средней магнитной линии
в стали, а = Фт/S, где 5 — сечение
стали, то от векторной диаграммы /эк
и Ф, изображенной на рис. 25.20, в,
легко перейти к векторной диаграмме
Н и В в стали, показанной на том же
рисунке.
Отношение комплексов действую-
щих значений магнитной индукции и
напряженности магнитного поля пред-
ставляет собой комплексное число
В/Н = ИоНг = Но (Нм - укг) =
(25.34)
где называется комплексной
относительной магнитной
проницаемостью.
15
451
Понятие комплексной проницаемо-
сти было введено профессором Мос-
ковского университета В. К. Аркадьевым
в 1913 г. и получило широкое примене-
ние при расчете магнитных цепей пере-
менного тока.
Значение может бйть непосред-
ственно рассчитано на основании извест-
ных удельных мощностей Qo и Ро. Вы-
разив U и /эк через и Н, согласно
(25.28) —(25.30) и (25.33) получим с уче-
том (25.34) для сопряженной комплексной
мощности магнитной цепи
* * * HI
S = UI3K = P-jQ = —jaBm -=- =
w
= 4,44/VB^
|/2цоНг
где V — объем стали.
Решив последнее уравнение относи-
тельно и учитывая, что отношение
массы стали G к ее объему V представ-
ляет собой ее плотность d, получим
Я/Вт
Hr = Мп - JHr2 = ~-;/г Т -Р W =
Ho(2o+jBo)d
^(бо-уРо)
Но(2о + РоИ
(25.36)
Действительная часть цг1 комплекс-
ной магнитной проницаемости пропор-
циональна реактивной мощности намаг-
ничивания Qo, а мнимая часть цг2 —
потерям в стали Ро.
Наряду с комплексной проницае-
мостью иногда целесообразно поль-
зоваться “понятием комплексного маг-
нитного удельного сопротивления
Р = Pi+Л>2 = —, (25.37)
где
Pi = Qod/nfBl,-, р2 = PodlnfB*. (25.38)
При параллельном соединении участ-
ков магнитной цепи удобнее пользо-
ваться понятием цг, а при последова-
тельном соединений более простые вы-
ражения получаются с р.
Рассмотрим теперь простейшую маг-
нитную цепь, состоящую из стального
магнитопровода длиной /м и сечением
5М, с воздушным зазором длиной /в и
(25.40)
сечением SB. Определим магнитный по-
ток в цепи, создаваемый МДС F.
Расчет магнитного потока в цепи
можно произвести аналогично расчету
магнитной цепи постоянного тока:
Ф = £/ZM = F/(ZM,M + ZM,B), (25.39)
где магнитные сопротивления
2м = Rm +JXM;
7 _ (Qo + JR о) W '
-M’M - В s - ’
2м, в = ^б/Но^в-
Из (25.40) видно, что действительная
составляющая м пропорциональна
реактивной мощности намагничивания,
а мнимая — потерям в стали. В полу-
ченном выражении р зависит от магнит-
ной индукции в стали.
Для решения задачи воспользуемся
методом последовательных приближе-
ний. Задавшись приближением (Вт)0 и
определив по графику или по таблице
соответствующие ему (0о)о и (Ро)о> по
(25.38) рассчитаем нулевое приближение
(р)0. Подставив полученное значение (р)0
в" (25.40) и (25.39), найдем первое при-
ближение магнитного потока (Ф)ь а сле-
довательно, и магнитной индукции
(Bw)i = (Фт)1/5М- Для нового значения
Вт определим по графику или таблице
соответствующие ему (20)i и (Ро)ь по
(25.38) получим первое приближение (р)ь
а по (25.39) — второе приближение для
магнитного потока. Так, после ряда по-
следовательных приближений можно по-
лучить решение задачи с необходимой
точностью.
Аналогичным путем могут быть рас-
считаны и более сложные разветвлен-
ные магнитные цепи, содержащие не-
сколько намагничивающих обмоток.
При решении этих задач может быть
также применен графический метод.
Пример 25.6. Магнитопровод катушки
выполнен из стали 1512 (толщина листа
0,5 мм), характеристики которой приведены
на рис. 25.21, 25.22. Требуется определить
значение магнитной индукции в магнито-
проводе при МДС F = 1000 А. Размеры:
1М = 220 мм, SM = 600 м2, /в = 1 мм, 5В =
= 600 мм2. Частота f = 50 Гц. Плотность
стали d = 7,8 • 103 кг/м3.
452
Таблица 25.1
Номер при- ближения 5 oq (ля • _if I )/dpa W°d) CQb Тл
0 1,20 7 1,5 1,61 - j 0,030
1 1,61 27 1,5 1,3 -j 0,019
2 1,30 9,3 1,5 1,58 -j 0,028
16 1,45 16 1,5 1,455 —y 0,024
17 1,455 16,3 1,5 1,455 —j 0,024
Решение. Для удобства расчета после-
дующего приближения по предыдущему фор-
мулы (25.38) —(25.40) преобразуем следую-
щим образом:
в =___________________fkl______________
‘+1 sM [/м (q0 +jp0) +/„/(моад;
Направив вектор F по действительной
оси и подставив числа, получим
о =________________1.77___________
-" ‘+1 1 +1,36 • 10“ 2 (Qo/B* +jP0/B*)k ‘
По этой формуле при помощи графика,
изображенного на рис. 25.22, произведем
расчет ряда приближений. Результаты рас-
чета приведены в табл. 25.1. Как видно из
расчета, в данном случае ряд последова-
тельных приближений сходится весьма мед-
ленно и потребовалось 17 приближений для
получения удовлетворительной точности ре-
зультата.
Однако расчет можно значительно уп-
ростить, если, рассмотрев первые два при-
ближения, начать процесс сначала, задавшись
в качестве нулевого приближения средним
значением индукции, полученным в результа-
те первых двух приближений.
Так, задавшись вначале Вт>0 = 1,2 Тл и
получив Вт>1 = 1,61 Тл и Вт2 = 1,3 Тл
(табл. 25.1), можно начать расчет снова,
принимая в качестве нулевого приближения
Bm = (Bw.1+Bm.2)/2«l,45 Тл.
Ряд последовательных приближений для
этого случая совпадает с приближениями 16
и 17 предыдущего случая (табл. 25.1). Оче-
видно, что теперь достаточно двух прибли-
жений для получения удовлетворительной
точности.
25.12. Условно-нелинейная схема
замещения трансформатора
Рассмотренная в § 25.9 схема заме-
щения катушки со стальным магнито-
проводом может быть основой для
построения схемы замещения трансфор-
матора с ферромагнитным магнитопро-
водом (рис. 25.26). Первичная обмотка
трансформатора имеет витков, сопро-
тивление Ri и индуктивность рассеяния
LB1, а вторичная обмотка w2 витков,
сопротивление R2 и индуктивность рас-
сеяния Lb2. Магнитный поток в сталь-
ном магнитопроводе Фст создается МДС
F = Fi - F2 = ijWi - i2w2. (25.41)
Положительные направления токов
и i2 выбраны в соответствии с
рис. 25.26.
Уравнения электрических цепей об-
моток и1! и w2 при выбранных положи-
тельных направлениях всех величин име-
ют следующий вид:
«1 = Rtii 4- LB1 dijdt 4- d^fCT/dt; 'I
u2 = w2 d®Cy/dt - R2i2 - Lb2 di2/dt. )
(25.42)
Переходя к эквивалентным синусои-
дам токов, напряжений и магнитного
потока в стали, получим в комплексной
форме следующие уравнения:
F = w1/1-w2I2;
LLi =(^i 4->LBi)Z1 4->™1Фст; > (25.43)
U2 = >и>2Фст - (Я2 4-jcoLb2)/2. J
453
Для составления электрической схе-
мы замещения трансформатора вводят
приведенные к первичной обмотке зна-
чения напряжений, токов и параметров
вторичной обмотки:
и2 = ~и2; Ii = —Ь;
W2 Wi
— (Я 2 + JO)Lb2)
= ^2 + JCOL'2.
(25.44)
С учетом обозначения Fr = w^o первое
и третье уравнения (25.43) после преоб-
разования принимают следующий вид:
Lo = Li ~ Li 'y
U'2 =jc0WiOCT - Z'Z'2.
Электрические схемы замещения, со-
ответствующие уравнениям (25.42) и
(25.44), представлены на рис. 25.27, а и б.
Условно-нелинейная комплексная прово-
димость
Xo=go-jbo = Lo/Uo, (25.45)
Так как для магнитной цепи
wJo
OC1=F/ZM = —^-, (25.46)
~.м
ТО
Io = ZM/jmw2i,
где ZM определяется согласно (25.40) и
зависит от амплитудного значения маг-
нитной индукции, характеристик стали
и геометрических размеров магнито-
провода.
Для магнитной цепи трансформато-
ра, подобно тому как это делалось для
магнитных цепей постоянного тока (см.
§ 21.3), также может быть построена
эквивалентная схема или электрическая
схема замещения магнитной цепи
(рис. 25.27, в).
Здесь ФС1 соответствует уравнению
(25.46), а
Wi/i w2Z2
где Uo =
где Ям В1 и RM в2 — магнитные сопротив-
454
ления рассеяния обмоток 1 и 2, через
которые могут быть выражены индук-
тивности рассеяния
LBi = и Lt2 = wj/RMtt2-
Аналогично однофазному трансфор-
матору могут быть составлены схемы
замещения для трехфазного трансфор-
матора (рис. 25.28). Магнитная система
трансформатора представляет собой
трехфазный магнитопровод, на каждом
из стержней которого расположены пер-
вичная и вторичная обмотки фаз А, В
и С. Для каждой из фаз трансформа-
тора справедливы уравнения (25.43) и
электрическая схема замещения
(рис. 25.27, в). Однако выражение для
магнитного потока в стали (25.46) будет
справедливо только при равенстве маг-
нитных потенциалов точек 1 и 2 маг-
нитной цепи (рис. 25.28, а). Последнее
выполняется только при условии
Ф/у — Ф^ “h Фд + Фс = О,
где Ф/v — магнитный поток, замыкаю-
щийся помимо магнитопровода, или
полной симметрии трехфазной системы,
длякоторой/^ + FB + Fc = OnFa + Fb +
+ Fc = 0.
В общем случае, особенно для трех-
фазной цепи с нейтральным проводом,
необходимо рассчитывать разветвлен-
ную магнитную цепь, для которой
электрическая схема замещения показа-
на на рис. 25.28,6. На рисунке не по-
казаны цепи магнитных потоков рассея-
ния (см. рис. 25.27, в), так как они не
влияют на распределение магнитных
потоков в стальном магнитопроводе.
Сопротивление ZN представляет со-
бой сопротивление магнитному потоку,
который замыкается между точками 1
и 2 магнитопровода через воздух и
стальной кожух трансформатора. Так как
при этом в кожухе трансформатора воз-
никают потери на вихревые токи и
гистерезис, то это сопротивление содер-
жит мнимую составляющую и выража-
ется комплексным числом. Рассмотре-
ние аналогичных схем замещения маг-
нитной цепи трансформатора имеет
большое значение при расчете несину-
соидальных магнитных потоков транс-
форматора, для которых составляющие
частот, кратных трем, совпадают по
фазе и замыкаются через кожух транс-
форматора.
25.13. Феррорезонанс
В цепях с нелинейной катушкой
индуктивности и конденсатором плавное
изменение напряжения может вызывать
скачки фазы и амплитуды основной
гармоники тока и наоборот — плавное
изменение тока может сопровождаться
скачкообразным изменением фазы и
амплитуды основной гармоники напря-
жения на некоторых участках цепи.
Явление изменения знака угла сдвига
фаз между основными гармониками
напряжения и тока при изменении на-
пряжения или тока источника питания,
обусловленное нелинейностью катушек
со сталью, носит название ферро-
резонанса. В линейных цепях по-
добные явления принципиально невоз-
можны.
Точный анализ феррорезонанса с уче-
том несинусоидальности формы кривых
455
Рис. 25.29
представляет значительные трудности.
Поэтому в дальнейшем применяется
упрощение, при котором напряжение,
ток и магнитный поток заменяются
эквивалентными синусоидами, а индук-
тивность принимается условно-нелиней-
ной и зависящей от тока. Кроме того,
предполагается, что катушки со сталью
не имеют потерь, т. е. угол сдвига фаз
между эквивалентными синусоидами
напряжения и тока катушки ср = л/2,
и что зависимость между их действую-
щими значениями задана.
Феррорезонанс напряжений. Рассмот-
рим последовательное соединение ка-
тушки со стальным магнитопроводом
и конденсатора (рис. 25.29). Напряжение
на катушке без потерь UL опережает
ток / на я/2, напряжение на конденса-
торе Uc отстает от тока на п/2. Напря-
жение питания U = UL -I- Uc. Так как
напряжения UL и Uc имеют противо-
положные фазы, то U = \UL — Uc\. За-
висимость напряжения на катушке от
тока задана кривой UL(I) (рис. 25.30, а).
Зависимость напряжения на конденсато-
ре от тока UC(I) представлена на том
же рисунке наклонной прямой линией,
проходящей через начало координат.
Емкость С можно всегда выбрать
такой, чтобы прямая Uc (/) пересекла
кривую UL(I). Разность ординат кривой
UL(I) и прямой Uс (Г) дает кривую U' (/),
определяющую значения общего напря-
жения при разных значениях тока. Точ-
ка пересечения кривой U' (Z) с осью
абсцисс (ток /0) соответствует фер-
рорезонансу напряжений (U/=
= UcY
В данном случае, как и в некоторых
линейных цепях, резонанс напряжений
достигается из-за изменения индуктив-
ности, однако в отличие от линейных
цепей это изменение индуктивности
происходит не независимо от тока в
цепи, а как следствие зависимости эк-
вивалентной индуктивности катушки со
сталью L3K = UL/wI от действующего
значения тока I (рис. 25.30, а). Так как
действующее напряжение U — положи-
тельная величина, то кривая U (7) сов-
падает с кривой U' (/) только при I < 10.
При I > Iо кривая U (/) представляет
собой зеркальное изображение кривой
U' (Л-
Участки графика U (/) вблизи точки
10 чисто теоретические. Практически
из-за потерь в стали и в сопротивле-
нии обмотки, а особенно из-за искаже-
ния формы кривых тока и напряжения
кривая U (/) имеет несколько иной вид
(рис. 25.30,6).
Если цепь питается непосредственно
от источника напряжения, то при изме-
нении напряжения возможны скачкооб-
разные изменения тока. При плавном
изменении напряжения питания U от
456
нуля до Ur (рис. 25.30,6) ток по фазе
отстает от напряжения (UL> Uc), изме-
нение его значения происходит по участ-
ку характеристики 01. В точке 1 проис-
ходит скачок, при котором ток возрас-
тает до значения 12, соответствующего
точке 2; по фазе теперь ток опережает
напряжение (UC>UL, как видно из
рис. 25.30, а), т. е. происходит опрокиды-
вание фазы. Дальнейшее возрастание
напряжения сопровождается плавным
увеличением тока. Уменьшение напряже-
ния до значения U3 снова вызывает
скачок тока, соответствующий переходу
из точки 4 в точку 5.
Угол сдвига фаз между напряжени-
ем и током в точках 1 и 5 носит
индуктивный характер, в точках 2 и 3 —
емкостный, а в точке 4 он близок к
нулю.
График изменения тока I и напря-
жений UL и Uс в зависимости от об-
щего напряжения U показан на рис. 25.31.
На участке U{ > U > U3 значения 7, UL
и Uс различны в зависимости от того,
происходит ли увеличение напряжения
от значения U 3 или уменьшение от
значения
Некоторому значению напряжения
источника U2 на характеристике U (7)
соответствуют три значения тока 7а, 1Ь
и 1С (рис. 25.30,6). Точке а соответству-
ет ток, получающийся в цепи при по-
вышении напряжения от значения мень-
шего, чем U39 до значения U2. Точке с
соответствует ток, получающийся при
снижении напряжения от значения боль-
шего, чем U19 до значения U2. Точка 6,
лежащая в промежутке между точками
скачкообразного изменения тока (точки
1 и 4), не может быть достигнута при
питании цепи от источника напряжения.
Характеристику U (1) при всех значе-
ниях тока можно получить в случае
питания цепи не от источника задан-
ного напряжения, а от источника задан-
ного тока. Если, например, последова-
тельно с источником напряжения, намно-
го превышающего UL и Uc, включить
резистор с достаточно большим сопро-
тивлением, то, изменяя его сопротивле-
ние, можно задавать любое значение
тока I. Таким образом, плавно изменяя
ток, можно снять всю кривую U (7),
показанную на рис. 25.30,6.
Сравнивая кривые UL(U) и UC(U)9
представленные на рис. 25.31, заметим,
что при U > Ui наклон кривой UL(U)
много меньше, чем наклон кривой
UC(U). Малый наклон характеристики
UL(U) в области больших насыщений
стали позволяет осуществить ферро-
резонансные стабилизаторы напряжения
(см. § 25.14).
Феррорезонанс токов. Если катушка
со стальным магнитопроводом и кон-
денсатор соединены не последователь-
но, а параллельно (рис. 25.32), то в цепи
также могут возникнуть резонансные
явления. Однако в этом случае при
питании цепи от источника заданного
напряжения не происходит скачков тока
и наоборот — при питании цепи от ис-
точника заданного тока возможны скач-
ки напряжения, сопровождающиеся из-
менением знака угла сдвига фаз между
напряжением и током.
Так же как и в предыдущем случае,
построим зависимости IL и 1С от напря-
жения источника U (рис. 25.33). Так как
при отсутствии потерь ток в конденса-
торе опережает напряжение на угол п/2,
а эквивалентная синусоида тока в ка-
тушке отстает от напряжения на я/2,
то общий ток 7 = | IL — Iс |. Разность
Рис. 25.32
457
абсцисс графиков IL(U) и Ic(U) дает
кривую Г (I/), абсциссы которой опреде-
ляют общий ток при различных значе-
ниях напряжений (рис. 25.33).
Из построения видно, что при не-
котором значении напряжения U ток
в катушке IL компенсирует ток 1С в
конденсаторе и наступает ф е р р о р е-
зонанс токов.
На рис. 25.34 построена зависимость
/ (17) — штриховая линия. Полученная
кривая носит теоретический характер.
Практически из-за потерь в стали и
несинусоидальности тока в катушке даже
при равенстве действующих значений
IL и 1С общий ток не равен нулю.
На практике зависимость между общим
током и напряжением имеет вид сплош-
ной кривой на рис. 25.34.
Можно подобрать такое значение
напряжения U, при котором реактивная
составляющая первой гармоники IL рав-
на току /с. В этом случае общий ток
содержит только активную составляю-
щую первой гармоники и высшие гар-
моники тока в катушке. Обычно ампли-
туда активной составляющей значитель-
но меньше амплитуд высших гармоник,
причем наибольшую амплитуду имеет
третья, так что общий ток изменяется
с тройной частотой.
Если питать цепь не от источника
заданного напряжения, а от источника
заданного тока, то наблюдаются скачки
напряжения. Плавное увеличение тока
от нуля до Ц приводит к изменению
напряжения по участку характеристики
01 (рис. 25.34). Дальнейшее увеличение
приводит к резкому возрастанию напря-
жения и изменению знака угла сдвига
фаз между U и / (переход из точки 1
в точку 2). При малых токах реактивное
сопротивление цепи емкостное, а при
больших токах — индуктивное. Последу-
ющее увеличение тока сопровождается
увеличением напряжения по участку 2 — 3.
Уменьшение тока приводит к плавному
уменьшению напряжения по участку
3 — 4. При снижении тока до значения
13 происходит скачкообразное уменьше-
ние напряжения, сопровождающееся из-
менением знака угла сдвига фаз.
Явления, аналогичные феррорезонан-
сам тока и напряжения, могут наблю-
даться в случае линейной индуктивно-
сти и нелинейной емкости или нелиней-
ных индуктивности и емкости.
25.14. Стабилизаторы переменного
напряжения
Стабилизаторы напряжения (см.
§ 23.2) представляют собой такие че-
тырехполюсники, в которых значитель-
ное изменение напряжения на входе
вызывает лишь незначительное измене-
ние напряжения на выходе. Ранее (§ 23.2)
был рассмотрен электронный стабили-
затор в цепи постоянного тока.
Аналогичные стабилизирующие цепи
могут быть осуществлены и при по-
мощи реактивных элементов (сочетания
нелинейных и линейных индуктивных
или емкостных элементов). Так, цепь,
изображенная на рис. 25.16, при соот-
ветствующем выборе ее параметров яв-
ляется стабилизатором напряжения.
Зависимость между действующими
значениями напряжения и тока для не-
линейной емкости, рассматриваемой как
условно-нелинейный элемент, выражает-
458
Рис. 25.37
ся кривой I(U6) (рис. 25.35), а для
линейной емкости — прямой I(Ua). При
этом Ur = Ua 4- (Уб, a U2 = U6 — Ua. По-
строив (при отсутствии нагрузки) зави-
симость тока в одной из ветвей моста
от суммы напряжений Ua и U6 [кривая
/(l/i)], можно, зная и^ и ДС71, опре-
делить графически U2 и А (Уз-
Как видно из рис. 25.35, на парал-
лельных участках кривых I(Ua) и I(U6)
изменение Ut на величину &UY практи-
чески не приведет к изменению U2 и,
следовательно, коэффициент стабилиза-
ции /сС1 очень велик. Наличие высших
гармоник несколько снижает его зна-
чение.
В качестве второго примера стаби-
лизирующего устройства рассмотрим
простейший феррорезонансный стабили-
затор напряжения (рис. 25.36). В цепи
феррорезонанса напряжений (см. § 25.13)
при напряжении питания U большем,
чем напряжение опрокидывания фазы
(Ui на рис. 25.31), изменение напря-
жения питания от U' на значительную
величину AU (рис. 25.37) сопровождается
незначительным изменением напряжения
на катушке от U2 до U2 + А172- Таким
образом, в цепи, представленной на
рис. 25.36, получается стабилизация
напряжения U2.
Сущность явления стабилизации
заключается в таком изменении пара-
метров последовательно включенных
элементов нелинейной цепи с изме-
нением напряжения питания, при кото-
ром относительное изменение напряже-
ния на одном из участков цепи ока-
зывается значительно ниже, чем на входе.
Так, в цепи, изображенной на рис. 25.36,
с увеличением напряжения питания ток
резко возрастает и его увеличение
приводит к уменьшению индуктивности
катушки со стальным магнитопроводом,
в то время как емкость конденсатора
остается без изменения. Таким образом,
относительное изменение напряжения на
катушке (выводы 2 — 2') оказывается зна-
чительно меньшим, чем на выводах
1-1'.
Вместо конденсатора в цепь можно
включить и линейный резистор или
катушку с линейной характеристикой,
однако эффект стабилизации будет мень-
ше, так как изменение тока в катушке
со стальным магнитопроводом, а сле-
довательно, и в ее эквивалентной ин-
дуктивности при изменении напряжения
питания в этих случаях меньше.
Присоединение приемника к вторич-
ным выводам стабилизатора создает
ветвь, параллельную нелинейной катуш-
ке, в результате ток в катушке умень-
шается. С изменением напряжения пита-
ния полное сопротивление между выво-
дами 2—2' изменяется меньше, чем при
отсутствии нагрузки, а следовательно,
ухудшаются стабилизирующие свойства
цепи. Коэффициент стабилизации нагру-
женного стабилизатора обычно ниже,
чем при холостом ходе.
Из-за несинусоидальности форм кри-
вых токов и напряжений в нелинейных
цепях напряжение U2 обычно содержит
высшие гармоники даже при питании
стабилизатора от источника синусои-
дального напряжения U. Только у
мостовых стабилизаторов с терморе-
зисторами напряжение на выходе близко
по форме к синусоиде.
Так, например, если мостовая схема,
показанная на рис. 25.16, выполнена не
на конденсаторах, а на терморезисторах
с различными нелинейными характе-
ристиками Ua(l) и [7б(7), то при соот-
ветствующем выборе этих характеристик
можно получить стабилизацию напряже-
ния U2 и практическую независимость
459
его от напряжения источника пита-
ния Ur.
Построением зависимостей Ua(I) и
U6(I) как на рис. 25.35 можно пока-
зать, что если эти характеристики на
участке вблизи некоторого значения тока
в ветвях 1А параллельны и U6> Ua, то
при напряжении питания Ur = U6(IA) +
+ УаУл) напряжение U2 = U6(IA) —
— УаЦл) не изменяется при изменении
тока 1А. Таким образом, вблизи зна-
чения тока 1А изменение напряжения
источника питания Ut не сопровождает-
ся изменением напряжения U2 и условие
его стабилизации выполняется. Токи в
ветвях цепи синусоидальные, напряже-
ние и2 также имеет синусоидальную
форму и частоту синусоидального напря-
жения источника питания иг.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ШЕСТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ ЭДС (НАПРЯЖЕНИЯ)
И ТОКА РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТ
26.1. Общая характеристика
нелинейных цепей
с источниками ЭДС
различных частот
Выше были рассмотрены нелиней-
ные цепи с однородными источниками
питания: либо постоянными ЭДС, либо
синусоидальными ЭДС определенной
частоты со. Применение наряду с источ-
ником ЭДС частоты со источника
постоянной ЭДС, источника переменной
ЭДС другой частоты или последова-
тельности импульсов расширяет область
технического применения цепей с нели-
нейными параметрами.
Включение источника постоянной
ЭДС в нелинейную цепь позволяет
смещать участок характеристики, в пре-
делах которого происходит изменение
переменного тока, — так называемый ра-
бочий участок характеристики. Измене-
ние рабочего участка характеристики
может происходить непроизвольно в ре-
зультате действия постоянных ЭДС,
присущих данной цепи, или устанавли-
вается специально, например для полу-
чения несимметричных зависимостей в
цепях с нелинейными элементами, имею-
щими симметричные характеристики.
Последнее дает возможность применять
нелинейные элементы с симметричны-
ми характеристиками для получения не-
синусоидальных токов, содержащих чет-
ные гармоники.
Изменяя постоянную ЭДС, можно
воздействовать на значение переменной
составляющей тоца, возникающего под
действием переменной ЭДС. Таким об-
разом, при помощи напряжения одного
источника питания можно воздейство-
вать на ток второго источника питания —
управлять этим током.
Рассмотрим основные явления в це-
пях с источниками питания различных
частот.
26.2. Вентили в цепях
с постоянными и переменными ЭДС
В цепях с вентильными элементами
при наличии постоянных и переменных
ЭДС кривая тока может очень значи-
тельно отличаться от кривых токов
простейших выпрямителей.
Рассмотрим цепь однополупериодно-
го выпрямителя, в которой наряду с
переменной ЭДС е = Ет sin art действует
постоянная ЭДС Ео (рис. 26.1).
На рис. 26.1 построена характе-
ристика z(w) последовательного соедине-
ния идеального вентиля и линейного ре-
зистивного элемента с сопротивлением
г. Внизу показана зависимость напря-
жения и = — Ео + Ет sin art от времени
для двух случаев Ео = 0 и Ео / 0.
Справа построена зависимость тока от
времени для этих двух случаев. При
Ео = 0 кривая тока а ничем не от-
личается от полученной в § 25.3.
460
При Ео / 0 кривая тока b также
представляет собой ряд импульсов, од-
нако форма их другая. Аналитически
зависимость тока от времени может
быть выражена так:
Ет sin (ot — Ео
г
при Ет sin cot > Ео;
О при Ет sin cot < Ео.
(26.1)
Обычно импульсы тока характери-
зуются углом отсечки 0, который
определим из соотношения
cos 0 = Ео /Ет. (26.2)
Продолжительность каждого из им-
пульсов т найдем из условия сот = 20,
откуда
т = 20/со.
(26.3)
чен точками 3 и 4. Рассмотренный
пример соответствует зарядке аккумуля-
торной батареи с ЭДС Ео от одно-
полупериодного выпрямителя.
В качестве второго примера цепи
с вентилями рассмотрим устройство,
применяемое для преобразования напря-
жения синусоидальной формы в напря-
жение трапециевидной формы. На
рис. 26.2 представлена схема замещения
для газоразрядного стабилитрона, под-
ключенного к источнику переменного
напряжения иг. Такие преобразователи
формы кривой применяются в устройст-
вах электронной автоматики. При напря-
жении иг = L/msin(ot в резисторе с сопро-
тивлением г ток ii протекает только
тогда, когда | | > Ео. При этом напря-
жение между точками А и В по абсолют-
ному значению оказывается равным Ео
В зависимости от направления дей-
ствия и значения ЭДС Ео угол 0 может
изменяться в пределах от 0 до п.
Напряжение на сопротивлении на-
грузки ur = ri равно напряжению и в
течение интервалов времени т.
Как видно из графика, введение ЭДС
Ео привело к изменению рабочего
участка нелинейной характеристики. Если
при Ео = 0 рабочий участок характе-
ристики ограничен точками 1 и 2, то
при Ео / 0 он смещен влево и ограни-
461
(вентили в схеме замещения идеаль-
ные). При токе fi = 0 напряжение на
выводах А и В равно ur.
Таким образом, для напряжения и2
может быть записано следующее4 выра-
жение:
[ Umsin(M при | L/msincor | < Ео;
и2 = \
[ ±Е0 при | Ums\n(£)t | > Ео.
(26.4)
Зависимости ir и и2 от времени
показаны на рис. 26.2 справа.
Если Um » Ео, то кривая напряжения
и2 приближается к прямоугольной форме.
Из рассмотренных примеров видно,
что при помощи включения вентилей
и источников постоянных ЭДС в цепь,
состоящую из источников синусоидаль-
ных ЭДС и резисторов, можно получить
различные кривые напряжения, имеющие
форму отрезков синусоид. Так могут
быть получены и кратковременные им-
пульсы (см., например, z\), и прямо-
угольные продолжительностью около
половины периода — и2.
Сложнее решаются задачи при нали-
чии реактивных элементов в . цепи,
содержащей вентили. Предположим, что
в схеме, изображенной на рис. 26.1,
вместо сопротивления нагрузки г вклю-
чен индуктивный элемент с индуктив-
ностью L. Тогда с момента времени
t2, определяемого из условия Emsincor2 —
— Ео = 0, напряжение u = Emsincor — Ео —
это напряжение на индуктивном эле-
менте, т. е. uL (рис. 26.3). Ток опре-
деляется из уравнения uL= Ldi/dt, и,
следовательно,
t
z = 1 j (Ет sin cot — Ео) dt =
*2
E Eq
= —^(coscot2 — cos cor)--^-(r —12).
(£)L L
(26.5)
Этот ток (рис. 26.3) будет в цепи
до момента времени г3, когда ток равен
нулю и вентиль запирается. Из по-
строений видно, что при наличии в цепи
индуктивного элемента ток протекает
значительно дольше, чем при резистив-
ном элементе (см. рис. 26.1), напряжение
на индуктивном элементе изменяет знак
и в момент г3 скачком спадает до
нуля.
26.3. Управляемые вентили
в простейших выпрямителях
и преобразователях постоянного
тока в переменный
Выше (в гл. 25 и § 26.2) рас-
сматривались двухэлектродные неуправ-
ляемые вентильные элементы. На прак-
тике большое распространение получи-
ли трехэлектродные управляемые венти-
ли. К их числу относятся ртутные
вентили с управляющим электродом
(игнитроны и экзитроны) и управляемые
полупроводниковые приборы — тирис-
торы.
Упрощенно управляемый вентиль
можно представить себе в виде ключа,
который замыкается в тот момент,
когда на управляющий электрод посту-
пает положительный импульс (при усло-
вии, что в этот момент напряжение
на аноде положительно), а размыкается
в тот момент, когда ток вентиля сни-
жается до нуля. Изменяя момент поступ-
ления управляющего импульса, можно
изменять интервал времени т, в течение
которого через вентиль проходит ток, и,
следовательно, управлять постоянной
составляющей выпрямленного напряже-
ния.
Простейший однополупериодный вы-
прямитель с управляемым вентилем-
тиристором VS и активным сопротив-
лением нагрузки г показан на рис. 26.4, а.
Изменяя фазу а управляющих импуль-
462
Рис. 26.4
сов иу, можно изменять момент воз-
никновения тока в цепи и, таким об-
разом, управлять выпрямленным напря-
жением. Временная диаграмма процес-
сов в выпрямителе показана на
рис. 26.4, б и в. Из графика видно,
что в случае однополупериодного
выпрямления, изменяя фазу а от нуля
до я, можно изменять выпрямленное
напряжение ur = ri от Um/n (см. § 25.3)
до нуля.
Аналогично можно управлять значе-
нием выпрямленного напряжения в слу-
чае двухполупериодного, трехфазного и
многофазного выпрямления.
При помощи управляемых вентилей
можно не только изменять значение
выпрямленного напряжения, но и пре-
образовывать постоянный ток в пере-
менный.
Пример простейшего однофазного
преобразователя постоянного тока в
переменный показан на рис. 26.5, а. Здесь
на управляющие электроды тиристоров
VS1 и VS2 попеременно с частотой f
и сдвигом во времени на т = 1/2/
поступают положительные импульсы
Д4у1 и иу2, по очереди отпирающие
тиристоры VS1 и VS2. В каждый мо-
мент отпирания последующего тиристо-
ра конденсатор С начинает разряжаться
через тиристор, ранее проводивший ток,
и снижает его ток до нуля, приводя к
отключению тиристора.
Временная диаграмма поочередной
работы тиристоров (токи iBl и ib2),
463
управляемых импульсами wyl и wy2,
схематично показана на рис. 26.5,6 — е.
Если при t < 0 тиристор VS1 проводит
ток и напряжение на нем <7В, а ти-
ристор VS2 заперт и напряжение на
нем примерно равно Ео, то конден-
сатор С заряжен до напряжения
ис » Ео — UB. В момент t = 0 на управ-
ляющий электрод тиристора VS2 посту-
пает отпирающий импульс wy2 (рис.
26.5, в). Разрядка конденсатора С через
последовательно включенные тиристоры
VS1 и VS2 практически мгновенно
приводит к уменьшению до нуля тока
в тиристоре VS1 и нарастанию тока
в тиристоре VS2.
По мере перезарядки конденсатора
С ток 1в2 уменьшается до установивше-
гося значения. Переходный процесс из-
менения тока тиристора VS2 можно
рассчитать по схеме рис. 26.5, ж, где
гэк — эквивалентное сопротивление от-
пертого тиристора VS2. После заверше-
ния переходного процесса перезарядки
конденсатора С через резисторы г19 г2
и тиристор VS2 напряжение на конден-
саторе ис = — Ео + UB (рис. 26.5, е).
В момент t = т в цепь управления
первого тиристора поступает импульс
иу1, тиристор VS1 отпирается, а тиристор
VS2 запирается; процесс повторяется, но
теперь первая и вторая ветви меняются
ролями. Так, поочередно с периодом
Т = 1/f = 2т отпираются и запираются
тиристоры VS1 и VS2 и через ре-
зисторы rY и г2 и тиристоры VS1 и
VS2 протекают импульсы переменного
тока (рис. 26.5, г и Э).
Разность токов и i2 определяет-
ся из уравнения «с = rih — rih (рис.
26.5, а) и при = г2 = г изменяется по
тому же закону, что и напряжение
«С 0’1 - 12 = «С /г).
Вместо резисторов rY и г2 могут
быть включены две секции первичной
обмотки трансформатора, вторичная об-
мотка которого может служить источ-
ником переменного напряжения с часто-
той /. В этом случае МДС трансфор-
матора пропорциональна — i2 и вслед-
ствие индуктивности обмотки трансфор-
матора и цепи источника Ео имеет
кривую, более близкую к синусоиде, чем
в цепи рис. 26.5, а.
464
Такого рода схемы (инверторы) при-
меняются для получения переменного
тока от источника постоянной ЭДС.
На аналогичном принципе основаны
трехфазные инверторы, преобразующие
постоянный ток источника в трехфаз-
ный переменный ток.
26.4. Транзисторные усилители
переменного напряжения
В § 22.4 был рассмотрен нелиней-
ный четырехполюсник, на вход которого
подается сумма постоянного и изме-
няющегося синусоидального перемен-
ного напряжения. Было показано, что,
если переменная составляющая тока и
напряжения не выходит за пределы
области, прилегающей к рабочей точке
(см. рис. 22.10), для переменных токов
и напряжений справедливы линейные
уравнения (22.15). Это дает возможность
при помощи транзисторов (или электрон-
ных ламп) построить усилители перемен-
ного напряжения. Схема простейшего
усилителя переменного напряжения с би-
полярным транзистором изображена на
рис. 26.6, а. Для постоянных состав-
ляющих токов цепей базы 1БА и
коллектора 1КА соответствующим выбо-
ром ЭДС источника постоянного тока
Ек и сопротивлений КБ и RK резисто-
ров может быть задана рабочая точка Л,
лежащая в области, где справедливы
линейные уравнения (22.15) и получается
схема замещения транзистора для пере-
менных составляющих токов и напряже-
ний по рис. 22.12. При этом пред-
полагается, что коэффициент Н12=0
и схема является неавтономным ак-
тивным четырехполюсником.
Для постоянных составляющих урав-
нения, составленные по второму закону
Кирхгофа, имеют вид
£к = ) ПДА1
> (26.6)
Ек = УБА + Еб1ба J
и дают возможность по характеристи-
кам транзистора найти необходимые
значения сопротивлений резисторов
усилителя К к и КБ при выбранных
значениях Ек и координат рабочей
точки А.
Кроме постоянной составляющей на
a)
Рис. 26.6
Рис. 26.7
передачи к21 определяются уравнения-
ми (22.16).
Заменяя параллельное соединение
и КБ одним сопротивлением Квх
и преобразуя цепь выхода с примене-
нием принципа эквивалентного генера-
тора, можно упростить схему замеще-
ния (рис. 26.6, в). Здесь
вход транзистора через разделительный
конденсатор достаточно большой
емкости поступает входной сигнал, в
простейшем случае синусоидальный,
wBX = Um sin Он вызывает на выходе
усилителя переменный сигнал ивых той
же частоты со, амплитуда которого
может быть определена на основании
схемы замещения усилителя для пере-
менных составляющих. С учетом схемы
замещения транзистора (см. рис. 22.12)
она показана на рис. 26.6,6. Значения
сопротивлений Rn, R22 и коэффициента
_ ЯПКБ _ &22&К .
Квх ~ Р I р ’ Квых — п । р ’
К11 + КБ к22 "Г КК
fex = fc2! , (26.7)
Як + К22
где кх — коэффициент передачи в режиме
холостого хода.
Значения емкостей разделительных
конденсаторов Q и С2 выбираются так,
чтобы при частоте со их реактивными
сопротивлениями можно было пре-
небречь по сравнению со значениями
Двх и Квых. Таким условием могут
16 Основы теории цепей
465
служить неравенства
1/coCi < 1ОЯВХ и 1/соС2 < ЮКВЫХ. (26.8)
Коэффициент усиления напряжения
при сопротивлении нагрузки усилителя
Ян
& = wbmx/wbx = W(*H 4- Явых). (26.9)
Все сказанное справедливо только
в том случае, если сигнал мвх мал и
рабочие участки на характеристиках не
выходят за пределы допустимости их
линеаризации и выполнения линейных
уравнений (22.15). При больших сигна-
лах усилитель выходит за пределы ли-
нейной зоны и выходной сигнал иска-
жается. В этом случае амплитуда
сигнала на выходе практически не из-
меняется с изменением амплитуды сигна-
ла на входе.
Для рассматриваемой схемы усили-
теля передаточная характеристика
Ывых(Ивх) схематически показана на
рис. 26.7, а.
На рис. 26.7, б показана форма сигна-
ла на выходе при двух различных
сигналах на входе; зависимость 1 соот-
ветствует малому сигналу, лежащему в
линейной зоне характеристики uBbIX (ивх),
а зависимость 2 — сигналу большой
амплитуды, выходящей за пределы ли-
нейной зоны усилителя. Штриховой
линией показан сигнал, который был бы
при отсутствии нелинейных амплитудных
искажений, т. е. при ивых = /сывх.
26.5. Катушки со стальными
магнитопроводами в цепях
с постоянными и переменными ЭДС
В цепях с нелинейными катушками
смещение рабочего участка характе-
ристики может явиться результатом
как появления постоянной составляю-
щей тока в основной обмотке, так и
применения добавочной обмотки по-
стоянного подмагничивания с постоян-
ным током /0.
Питание от источника тока. Рас-
смотрим замкнутый стальной магнито-
провод с двумя обмотками w0 и Wi
(рис. 26.8). Ток в обмотке w0 постоян-
ный (Zo)« Зависимость магнитного пото-
ка в стали Ф от МДС F задана кривой
намагничивания.
Пусть в обмотке ток синусоидаль-
ный: ix = Im sin at. В таком случае МДС
F = IqWq 4- = I0Wq 4- ImWi sin cot.
(26.10)
На рис. 26.8 внизу построена зави-
симость F(t); справа путем графического
построения, ясного из рисунка, получена
Рис. 26.8
466
кривая Ф(г). Напряжение на обмотке
найдено графическим дифференци-
рованием кривой Ф(г):
= ^^Ф/^. (26.11)
Как видно из построения, кривые
Ф(г) и ul(t) наряду с нечетными гар-
мониками содержат и четные. Кривая
Ф(г) имеет постоянную составляющую
т
Фо1=4|ф«Л- (26.12)
О
Значение Ф01 меньше постоянного
магнитного потока Фо, создаваемого
током IQ при ii =0, что является ре-
зультатом несимметрии кривой Ф (F)
относительно точки 3. Таким образом,
переменный ток в обмотке изменяет
постоянную составляющую магнитного
потока, оказывая своего рода размагни-
чивающее действие.
Если произвести построения, анало-
гичные рис. 25.10, для различных зна-
чений 70, то можно заметить, что чем
больше /0, тем в меньших пределах
при одном и том же значении Im из-
меняется Ф и соответственно меньше
Up Таким образом, постоянная состав-
ляющая /0 существенно влияет на зави-
симость между напряжением их и пере-
менной составляющей тока ip
Питание от источника напряжения.
Пусть теперь обмотка Wi подключена
не к источнику синусоидального тока, а к
источнику синусоидального напряжения
ui = C/mcoscot. В этом случае при
достаточно малом сопротивлении обмот-
ки vvx магнитный поток в стали из-
меняется по синусоидальному закону,
а ток ii отличается от синусоиды
(рис. 26.9). Интегрируя выражение (26.11),
получаем
Ф = Ф01 + Ф^втсог, (26.13)
где
Ф1т = UJWiU. (26.14)
Поток Ф01 в данном случае является
неопределенной постоянной интегриро-
вания. Очевидно, что чем больше ток
подмагничивания IQi тем больше поток
ФОр однако простой зависимости между
этими величинами нельзя усмотреть.
Если при известных значениях ц и /0
поток Ф01 можно было найти путем
16'
467
графического построения Ф (t), то при пи-
тании обмотки от источника напря-
жения и19 зная ток /0, затруднительно
определить Ф01. Задачу приходится ре-
шать обратным путем: задаваться неко-
торым значением Ф01, строить кривую
Ф(Г) по Ф01 и Wi(t) и затем находить
ток IOi создающий магнитный поток
Ф01 при заданном переменном напря-
жении иДе).
Для решения этой задачи необхо-
димо учесть, что ток в катушке со
стальным магнитопроводом при пита-
нии цепи от источника напряжения, не
содержащего постоянной составляющей,
не может иметь постоянной составляю-
щей. Действительно, обмотка катушки со
стальным магнитопроводом имеет ак-
тивное сопротивление г, а напряжение,
ток и магнитный поток связаны урав-
нением
Wi = n’i + Wi d&/dt.
Если в напряжении их нет постоян-
ной составляющей, а в производной от
периодической функции d&/dt принци-
пиально не может быть постоянной
составляющей, то, следовательно, нет
постоянной составляющей и в токе il9
как бы ни мало было сопротивле-
ние г.
Эти соображения позволяют, зада-
ваясь значением ФОь найти соответ-
ствующее значение /0. На рис. 26.9 для
заданного значения т. е. Ф1т (26.14),
и некоторого значения Ф01 в нижней
части рисунка построена кривая F (Г).
Среднее значение F(r) за период как раз
равно IqWq:
т
Л) Wo
о
Так же как и в предыдущем слу-
чае, значение магнитного потока Фо
при том же 10 и = 0 (Um = 0) боль-
ше, чем постоянная составляющая маг-
нитного потока Ф01 при Um / 0.
На рис. 26.9 штриховой линией вы-
полнено построение кривых магнитного
потока Ф и тока при том же
напряжении но для /0 = 0. Из построе-
ния видно, что постоянный ток 10
оказывает существенное влияние на
максимальное значение переменного
тока iimax'- с увеличением постоянного
тока 10 может значительно возрасти и
переменный ток iv
Влияние постоянного тока /0 на пере-
менный ток ii имеет большое практи-
ческое значение, например для построе-
ния магнитных усилителей (см. § 26.11).
Все приведенные выше выводы были
сделаны на основании графического
решения задачи. Совершенно аналогич-
ные выводы можно сделать, решая
задачу аналитически (применяя соответ-
ствующую аппроксимацию характерис-
тики катушки со стальным магнито-
проводом).
Пример 26.1. Найти закон изменения
магнитного потока в магнитопроводе, на-
магничиваемом током ц = Im sin art в обмотке
с числом витков wb при постоянном под-
магничивании IqWq. Кривая намагничивания
на ограниченном участке вблизи точки /0,
Фо (рис. 26.8) задана полиномом
ДФ = - bii (26.15)
Решение. Подставив в выражение
(26.15), получим
Дф = alm sin со£ — bl™ sin2 сог.
Преобразовав квадрат синуса, находим,
что
ДФ = — ДФ0 4- Ф1тзтсог 4- Ф2тсоз2сог,
где ДФ0 = Ф2т = blm/2't Ф1т = л/т.
Таким образом, чем больше Imf тем
больше 2-я гармоника Ф2т и больше изме-
нение постоянной составляющей магнитного
потока Ф01 = Фо - ДФ0-
Этот вывод справедлив только для
ограниченного диапазона изменения /т, в
котором справедлива аппроксимация (26.15).
Так как действительная зависимость ДФ(0
не имеет максимума, то Im должно быть
заведомо меньше а/2Ь, что соответствует
максимуму функции (26.15).
Пример 26.2. Найти закон изменения
магнитного потока в магнитопроводе, к од-
ной обмотке которого с числом витков
подведено напряжение иг — (7m cos сог, а ко
второй (с числом витков w0) — постоянный
ток 10. Кривая намагничивания на участке
вблизи точки 3 (рис. 26.9) задана полиномом
ii = аДФ 4- ЬДФ2. (26.16)
Решение. Подставив в (26.16) ДФ =
= ДФ0 4- Ф1тзшсог, где Ф1т = l/m/w!co, нахо-
468
дим, что ii = /]0 + /imSinot — 12тcos 2сог, где
/io = я ДФо + ЬЛФо + ЬФ1т/2.
Решив уравнение /10 = 0, получим
Дфо = _
2b
Легко заметить, что ДФ0 имеет от-
рицательный знак и по абсолютному зна-
чению тем больше, чем больше Ф1т.
Это решение справедливо только для
ограниченного диапазона изменения Um.
Действительно, у зависимости Ц (ДФ), опре-
деляемой реальной кривой намагничивания,
нет точек экстремума, а уравнение (26.16)
дает экстремум в точке, где dii/d<& =
= а 4- 2Ь ДФ = 0. Таким образом, рассмотрен-
ный расчет пригоден только для таких
пределов изменения Um, при которых | ДФ | <
< а/2Ь.
26.6. Удвоитель частоты
Рассмотренное в предыдущем па-
раграфе возникновение четных гармоник
в магнитном потоке при постоянном
подмагничивании положено в основу
магнитного удвоения частоты.
Удвоитель частоты состоит из двух
стальных магнитопроводов а и б с тремя
обмотками каждый. Схема соединения
обмоток представлена на рис. 26.10.
Каждая пара обмоток с числами
витков w0, и w2 соединена после-
довательно, однако если в цепи обмоток
wt потокосцепления складываются, то
в цепях обмоток w0 и w2 они вычитаются.
При отсутствии тока в обмотках w0 и
любом напряжении питания uY в обмот-
ках w2 наводятся равные и противопо-
ложные по знаку ЭДС и, следовательно,
и2 = 0.
Постоянный ток /0 обмоток w0
нарушает симметрию схемы. При IQ 0
Рис. 26.10
на выводах обмоток w2 появляется
напряжение и2, изменяющееся с частотой,
в 2 раза большей, чем основная
частота — частота напряжения Напря-
жение и2 при постоянном подмагничи-
вании /0 можно определить графи-
чески, пользуясь характеристиками
стальных магнитопроводов.
Ток 70 в обмотках w0 создает
дополнительные МДС Fo = /owo- В
магнитопроводе а МДС Fo = IqWq скла-
дывается с МДС Fi = ijWi, а в магнито-
проводе б она вычитается из F1=ilwl.
Таким образом, току ц соответствуют
различные суммарные МДС в магнито-
проводах а и б:
Fa = IqWo + hWj; F6 = -IowQ +
(26.17)
На рис. 26.11 изображена кривая
намагничивания стальных магнитопро-
водов и показаны изменения магнит-
ных потоков ДФа и ДФб при изменении
fiWi в обмотках ид от нуля (точки 1
и 2) до 4-Fi (точки 3 и 4). Как видно
из рисунка, из-за нелинейности характе-
ристики равные изменения МДС FY
вызывают различные изменения магнит-
ных потоков ДФа и ДФб в магнито-
проводах а и б. Вследствие насыще-
ния стали увеличение МДС вызывает
меньшее изменение потока, чем ее умень-
шение | ДФа | < | ДФб |.
Сложность определения напряжения
и2 существенно зависит от того, питает-
ся ли цепь обмоток ид от источника
синусоидального тока ii или от источ-
ника синусоидального напряжения
469
Питание от источника тока. В этом
случае, зная токи и /0, найдем
закон изменения потока в магнитопро-
водах а и б, выполнив построения,
аналогичные показанным на рис. 26.8.
На рис. 26.12 представлены зависимости
Фа и Фб от времени. Для определения
напряжения
ЛФа йФб d
(26.18)
на рис. 26.12 построена зависимость
Фо — Фб от времени. Графическое диффе-
ренцирование этой кривой дает ы2 (г).
Как видно из построения, напряжение
и2 содержит только четные гармоники
и, следовательно, основная частота на-
пряжения на вторичных выводах в 2 раза
выше частоты напряжения источника
питания.
Последнее можно показать и анали-
тически, представив потоки Фа и Фб
в виде гармонических рядов и учиты-
вая идентичность магнитных систем а и б:
Фа = Ф01 + Ф1тС08СОГ + Ф2тС08 2соГ +
4- Ф3ш cos Зсог 4-...; (2.19а)
Фб = -Фа(14- Т/2) = -Ф01 4- Ф1тсозсог -
— Ф2тсо8 2соГ4-Ф3тсо8 3аИ-... (2.196)
Очевидно, что Фа — Фб, а следо-
вательно, и напряжение и2 содержат
только четные гармоники, а Фа 4- Фб
и соответственно мь наоборот, только
нечетные.
Напряжение, пропорциональное и2,
наводится также и в цепи обмоток
w0. Это напряжение может создать зна-
чительный дополнительный переменный
ток двойной частоты в обмотках w0,
что приведет к уменьшению и2 и
мощности на вторичных выводах. Поэто-
му в цепь включена катушка индуктив-
ности Ц представляющая большое сопро-
тивление для переменного тока.
Питание от источника напряжения.
Несколько сложнее решается задача,
если, как это обычно имеет место
на практике, к цепи обмоток wx под-
ведено синусоидальное напряжение. В
этом случае первоначально не известен
закон изменения напряжения на каждой
из обмоток vvx систем а и б, но
по аналогии с построением, выполнен-
ным на рис. 26.9, можно полагать,
что напряжения на этих обмотках не
будут синусоидальными.
Для нахождения токов и напряже-
ний удобно оперировать не с потоками
каждой из систем а и б, а с потоко-
сцеплениями первой
= Wi (Фо 4- Фб) (26.20)
и второй
*р2 = ™2(фа-фб) (26.21)
цепей или их приращениями ДЧ^ и ДТ2.
Построим зависимости приращений
потоков ДФа и ДФб от тока
(рис. 26.11 и 26.13). Для магнитопро-
вода а кривая подобна кривой намагни-
470
чивания, сдвинутой в направлении от-
рицательных Ф и F (начало координат
совмещается с точкой 1), а для магнито-
провода б — в сторону положительных
Ф и F (начало координат совмещается
с точкой 2).
На рис. 26.14 показана зависимость
приращений потокосцеплений АЧ^ об-
моток Wi и АТ2 обмоток w2 от тока
ip Построение выполнено для случая
Wi = w2. Для первой пары обмоток (wj
потокосцепления складываются:
A4S = МАФа +АФб), (26.22)
а для второй пары обмоток (w2) вы-
читаются :
АТ2 = w2 (АФа - АФД (26.23)
Таким образом, зависимости А'Рх (fx)
и АТ2 (ii) для обеих цепей не одинаковы.
Если к цепи обмоток приложено
напряжение и19 изменяющееся по коси-
нусоиде ut = C7lmcoscot, то АТх изме-
няется синусоидально:
= \U1dt = —sin cot, (26.24)
I СО
а ток несинусоидален.
По графику ATiO’i) и A^O’J и по
известной зависимости АТДг) на
рис. 26.14 построена зависимость AT2(t).
Продифференцировав графически ДТ2 (t)
по времени, определим и и2 (t)> так
как
u2=JT2/Jr. (26.25)
Как видно из построения, АЧ'г и
и2 изменяются с двойной частотой,
Рис. 26.14
причем кривая AT2(t) симметрична от-
носительно оси ординат, а кривая
u2(t) симметрична относительно начала
координат.
Пример 26.3. Рассчитать напряжение и2,
если удвоитель (рис. 26.10) питается от
источника тока it = cos cot при подмагни-
чивании 10, а нелинейная характеристика
стального магнитопровода может быть
аппроксимирована полиномом
Ф = aF - bF\ (26.26)
Решение. Учитывая, что МДС в
магнитопроводах а и б выражаются урав-
нениями (26.17), а потокосцепления вторичной
цепи
^=^(0.-0,), (26.27)
найдем зависимость ^2 от токов ц и IQ:
Т2 = w2 {2a70w0 - 2b [(70w0)3 +
+ 370w072w2 cos2cot]}. (26.28)
По (26.25) напряжение u2 определяется
дифференцированием:
u2=JT2/Jt =
= 12w2w0vv27o72bcosina)tcoscot =
= 6co2wow27o72bco sin 2cot. (26.29)
Интересно заметить, что изменение на п
фазы тока и напряжения первичной цепи не
изменяет фазы напряжения и2 на выводах
вторичной цепи. Это вытекает как из по-
строений, проведенных на рис. 26.11 и
26.12, так и из расчета.
При расчете по (26.26) - (26.29) следует
иметь в виду, что аппроксимация (26.26)
пригодна только при ограниченных пределах
изменения МДС. Легко показать, что МДС
в каждом магнитопроводе не должна пре-
вышать значение, соответствующее экстрему-
му функции (26.26) в точке, где d&/dF =
= а — 3bF2 = 0. Следовательно, 1т должно
быть таким, чтобы максимальное значение
МДС каждого магнитопровода не превышало
Итак, удвоитель частоты (рис. 26.10)
дает возможность преобразовать элект-
рическую энергию при частоте со в
энергию при частоте 2со. Поскольку
такая трансформация обусловлена нели-
нейностью системы, а для нелинейных
систем неприменим принцип взаимности,
следовательно, это устройство не может
быть непосредственно применено для об-
ратной трансформации электроэнергии
при частоте 2со, подводимой к вторич-
471
ным выводам, в энергию при частоте со
на первичных выводах.
Однако при наличии в первичной
цепи резонансного контура колебания
во вторичной цепи с частотой 2со могут
привести к возникновению в первичной
цепи незатухающих колебаний с часто-
той со, причем фаза этих колебаний
при одном и том же токе i2 в зави-
симости от начальных условий может
измениться на угол тс. Это явление
носит название параметрического резо-
нанса, оно было впервые исследовано
Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Па-
палекси еще в 1934 г. и получило
применение в запоминающих устройст-
вах, которые называют параметро-
нами.
26.7. Метод гармонического баланса
При анализе периодических процес-
сов в нелинейных цепях широкое рас-
пространение получил метод гармо-
нического баланса. Основой этого
метода являются разложение неси-
нусоидальных величин в нелинейных
элементах на гармонические составляю-
щие и анализ уравнений системы для
основной гармоники.
Рассмотрим применение метода гар-
монического баланса на примере анали-
за установившихся режимов в парамет-
роне.
Простейшая схема индуктивного па-
раметрона может быть получена из уд-
воителя частоты (рис. 26.10), если его
питание производить от цепи 2 — 2', а в
цепь 1 — Г кроме резистора г включить
конденсатор емкостью С, которая выби-
рается так, чтобы в этой цепи возникал
ток с частотой в 2 раза меньшей, чем
частота напряжения источника питания.
Обозначим частоту напряжения источ-
ника питания 2со и будем искать усло-
вия, при которых в цепи 1—Г может
возникнуть ток с частотой со.
Если к выводам 2 — 2' удвоителя
частоты (рис. 26.10) подвести синусои-
дальный ток с частотой 2со, а цепь
обмоток 1 разомкнуть, то в обмотках
цепи 1 наведутся равные по значению
и противоположные по направлению
ЭДС, сумма которых даст напряжение
иь равное нулю. Однако при наличии
в цепи 1 тока с частотой со влияние
цепи 2 на цепь 1 уже начинает сказы-
ваться и при определенных условиях
может сопровождаться передачей энер-
гии из цепи 2 в цепь 1. Это не-
посредственно вытекает из уравнения
цепи 1, если к выводам 2 — 2' подклю-
чен источник тока, изменяющегося с
частотой 2со.
Решим задачу методом аналити-
ческой аппроксимации в сочетании с
методом гармонического баланса.
При наличии токов во всех трех
обмотках МДС магнитопроводов а и б
соответственно
Fa = + i2^2 + А)Ж 1 (263())
Fo = И - i2wi ~ A)W0. J
Зависимость между потоком и МДС
выражается уравнением (26.26). Потоко-
сцепление цепи 1
=МФи + Ф6). (26.31)
Составим дифференциальное уравне-
ние цепи 1 по второму закону Кирх-
гофа
+ iidt = O (26.32)
at С J
и будем искать решение для устано-
вившегося тока в цепи 1 в виде
i i = A sin cot + В cos cot = I i m sin (cot 4- cp),
(26.33)
считая, что
i2 = Iim 2cot = 212m sin cot cos cot. (26.34)
В соответствии с методом гармо-
нического баланса пренебрегаем всеми
высшими гармониками в цепи 1.
Выразим в (26.31) Фа и Фб через
(26.26) и (26.30). После преобразований
получим
T1=2w1[uF1-b(F? + 3F1Fi)], (26.35)
где Fi = irwY; F2 = i2w2 4- Iowo.
Подставив ii и i2 из (26.33) и (26.34)
в (26.35) и преобразовав степени синуса
и косинуса по известным тригонометри-
ческим формулам, для первой гармони-
ки получим
Ti = [аЛ - рВ - уА(А2 4- В2)]sincot 4-
4- [аВ - рЛ - у В (А 2 4- В2)] cos cot,
472
где а = 2wj (а - З/oWob - -^^т^Ь);
3
₽ = Uol2mWoW2b; 7 =~^b.
Подставим 4х! и в (26.32). После
дифференцирования, приравняв нулю
коэффициенты при sin cot и coscot, по-
лучим
mA + (и — к)В -I- qA(A2 -I- В2) = 0; )
тВ + (и + к) А + qB(A2 + В2) = 0, J
(26.36)
где
т = 1 -2Cco2vv1(-3/oWob-yl2mW2b + a);
п = 3<й2С1о12т™о™2Ь', к = <огС;
q = ЗСсо2Ь/4.
Из (26.36) находим
11. - Лг + В1 . ~"'±^2-|‘Д (26.37)
4-+Жт-18ф- (М38)
Так как 11т — величина действитель-
ная, то корень в выражении (26.37)
следует брать со знаком плюс и соот-
ветственно со знаком минус выраже-
ние (26.38).
Из (26.37) непосредственно следует,
что колебания в цепи 1 возникают
при условии
п2 — к2 > т2.
(26.39)
Для уяснения физического смысла
отдельных членов (26.37) преобразуем
его к следующему виду:
п2 = к2 + (т + qljm)2
и, разделив на со2С2, подставим зна-
чения т, п, q и к. В результате
получим
Z2 = г2 +
-~v - 2c0Wi (а - 31о^оЬ -
соС
3
- 3/2^2^) + -у со/?/2
(26.40)
где z = Зс$1012mwQw2h, а Ц и 12 —
действующие значения токов в цепях
1 и 2.
Величина 2wt (а — З^м^Ь — З/^2^)
имеет размерность индуктивности и мо-
жет рассматриваться как та часть (Lo)
собственной индуктивности цепи 1, кото-
рая не зависит от тока Ц. Величина
3
-уЫ2 есть та часть (Ц) собственной
индуктивности цепи 1, которая зависит
от тока Ц. В целом z можно рас-
сматривать как эквивалентное полное
сопротивление цепи 1:
z2 = г2 + (1/соС — coL)2,
где L = Lq -
Чем больший ток Ц требуется по-
лучить, тем больше должно быть z,
а следовательно, и произведение 1012.
Минимальное значение для этого произ-
ведения, при котором колебания в цепи
1 прекращаются, находится из условия
Л = 0. Если обозначить собственную
частоту \/LqC = о>о, то т = (1 — со2/соо) и
представляет собой расстройку собствен-
ной частоты соо относительно задаю-
щей со, а к является коэффициентом
затухания. Коэффициент п выражает
связь между контурами 1 и 2. Чем
больше п, тем соответственно больше
Л.
Расчет в этом примере, так же как
и в других случаях аналитической
аппроксимации, нуждается в проверке
соответствия принятой аппроксимации
реальной характеристике магнитной си-
стемы. При подстановке 11т, 12т и
70 в (26.30) значения Fa и F6 не должны
выходить за пределы применимости
формулы (26.26).
Рассмотренный расчет соответствует
упрощенной схеме параметрона, в кото-
ром под влиянием тока в цепи 2
с частотой 2со в цепи 1 возникает ток
с частотой со, причем фаза этого тока
в зависимости от начальных условий
может быть либо ср, либо п -I- ср.
473
26.8. Влияние постоянной ЭДС
на переменную составляющую
тока в цепях с нелинейными
безынерционными резистивными
элементами
Как уже указывалось, к нелиней-
ным цепям неприменим принцип нало-
жения. Если в нелинейной цепи дейст-
вуют два источника ЭДС с различными
частотами, то составляющие тока каждой
из частот зависят не только от ЭДС
своей частоты, но и от ЭДС другой
частоты.
Рассмотрим, как влияет постоянная
ЭДС на ток, создаваемый переменной
ЭДС, если переменная составляющая
тока много меньше постоянной.
Для решения этой задачи восполь-
зуемся методом линеаризации нелиней-
ной кривой на определенном ее участке
и заменим реальную характеристику
касательной в точке, определяемой по-
стоянной составляющей тока или напря-
жения.
Предположим, что задана характе-
ристика нелинейного резистивного без-
ынерционного сопротивления (диод, гер-
маниевый вентиль и т. д.) i — i (и) и
известны постоянные составляющие на-
пряжения на нем Uo и тока 10. Разло-
жив функцию i(u) в ряд
i = /0 + (di/du)0 4- (d2i/du2)0 &и2/2 4-...
и обозначив — и — Uq — a Ai —
= i — Iо = ii, получим
— (di/du)oui 4- (d2i/du2)ou2/2 4-...
Пренебрегая квадратом и более вы-
сокими степенями и19 окончательно по-
лучаем
Ч =(di/du)oul = gw$(U0)u1. (26.41)
Таким образом, зависимость между
малыми изменениями тока и напряже-
ния может быть принята линейной,
аналогичной закону Ома, в котором
дифференциальная проводимость
0диф(^о) или дифференциальное сопро-
тивление гДИф = 1/дДИф представляет собой
нелинейную функцию постоянной состав-
ляющей напряжения или тока.
Пример 26.4. Нелинейный резистивный
элемент имеет характеристику, приближенно
описываемую выражением i = аи2. Последо-
вательно с этим элементом включены
источники постоянной ЭДС Ео и переменной
ЭДС е — Ет sin cot, причем Ет Ео. Найти
амплитуду переменной составляющей тока
и дифференциальное сопротивление.
Решение. Общий ток в цепи
i = a(EQ + е)2 » аЕо 4- 2аЕ0Ет sin cot =
- Iо 4- Im sin cot
(величиной e2 пренебрегаем ввиду ее ма-
лости).
Амплитуда переменной составляющей
тока
1т = 2аЕ0Ет (26.42)
зависит не только от Ет, но и от £0.
Если нелинейную характеристику вбли-
зи точки с координатами 10, Ео заме-
нить касательной, то амплитуда переменной
составляющей тока 1т может быть выражена
через дифференциальное сопротивление:
==
где с учетом (26.42) гциф = (du/di)Q = 1/2аЕ0.
26.9. Принцип получения
модулированных колебаний
В цепях с нелинейными безынер-
ционными резистивными элементами
при помощи двух источников перемен-
ных ЭДС с различными частотами
(одна низкая, а другая высокая) можно
получить высокочастотные колебания,
огибающая которых изменяется с низ-
кой частотой, т. е. амплитудную мо-
дуляцию (см. § 12.5).
Рассмотрим цепь, изображенную на
рис. 26.15. Пусть безынерционный не-
линейный резистивный элемент имеет
характеристику, описываемую выраже-
нием i = аи2, напряжение и2 =
а закон изменения напряжения иг во
времени может быть произволен.
На рис. 26.15 построены токи ia и ib
при двух различных постоянных на-
пряжениях их (на чертеже и1а и и1Ь).
Как видно из графика, чем больше
их, тем больше переменная состав-
ляющая тока. Таким образом, изменяя
напряжение и1? можно изменять ампли-
туду переменной слагающей тока в цепи.
Пусть теперь их = Uo 4- l/imsinQt, где
Q со (рис. 26.16).
474
Рис. 26.16
Покажем, что в токе в этом случае
содержится составляющая частоты со,
амплитуда которой изменяется с часто-
той Q. Ток
i = аи2 = а(иг + и2)2 =
= a(U0 + C7lmsinQt + U2msinG)t)2.
Возведя в квадрат и преобразовав
квадрат синуса, получим
i = Io + ZlwsinQt - I2mcos2£lt +
+ 2a U2m (UQ + Ulm sin ПО sin cor — I3m cos cot,
(26.43)
где
Zo = aUl + a(U2m + l/D/2;
Z1M = 2aC/ot/iw; Z2w = at/?w/2;
/з« = aU22m/2.
Если в цепь включить фильтр,
выделяющий только частоты, близкие к
со, то можно получить переменный ток
с частотой со, амплитуда которого мо-
дулирована частотой П [4-е слагаемое
в выражении (26.43)].
Совершенно аналогично получаются
модулированные колебания при помощи
электронной лампы — триода или тран-
зистора с переменной крутизной выход-
ной характеристики.
Если характеристика может быть
выражена уравнением
i2 = а(и2 + ки^2,
где щ и и2 — напряжения на входе и
выходе четырехполюсника, то расчет
тока i2 на выходе полностью аналогичен
произведенному выше расчету модули-
рованных колебаний в цепи с нелиней-
ным безынерционным резистивным
элементом.
После выпрямления (детектирования)
полученных модулированных колебаний
(см. § 25.3) в спектре выпрямленного
тока содержится составляющая с часто-
той П, которая может быть выделена
фильтром низких частот.
Амплитудную модуляцию можно по-
лучить и в цепи с переменными
параметрами.
Модуляция колебаний несущей час-
тоты, излучение этих колебаний, прием
колебаний, их детектирование и фильтра-
ция лежат в основе одного из видов
радиосвязи.
26.10. Влияние постоянной
составляющей на переменную
в цепях с нелинейными
индуктивными элементами
В цепях с нелинейными индуктив-
ными элементами при постоянном под-
магничивании магнитопровода зависи-
475
Рис. 26.17
Мость между магнитным потоком и
током вследствие остаточных явлений
носит сложный неоднозначный характер.
При расчете таких цепей недостаточно
знать только характеристики, снятые
при постоянном или переменном токе.
Рассмотрим стальной тороид с дву-
мя обмотками, первая из которых
подключена к источнику постоянного
тока /0, а вторая — к источнику пере-
менного тока ip Пусть числа витков
обеих обмоток равны: w0 = wx = w.
При токе ix = 0 зависимость магнит-
ного потока от тока задается кривой
первоначального намагничивания ОО'А,
представленной на рис. 26.17.
Каждой точке на характеристике
соответствует определенное значение
статической индуктивности
LCT = илФ/i (26.44)
и дифференциальной индук-
тивности
L^ = wd<I>/di. (26.45)
Если от магнитного потока перейти
к индукции, а от тока — к напря-
женности поля, то статической и диф-
ференциальной индуктивностям соответ-
ствуют абсолютная статическая
476
магнитная проницаемость
ЦоНгс, = Ь = —кл. (26.46)
£1 W д
и абсолютная дифференциальная
магнитная проницаемость
_
М-0 Мт лиф ~ '1ИФ’ (26.4/)
где I — длина средней магнитной линии
в тороиде; S — площадь его попереч-
ного сечения.
Проницаемости ц/ст и цГЛИф пропор-
циональны тангенсам углов ах и а2,
показанных на рис. 26.17.
Если теперь включить переменный
ток ii с амплитудой Ilm /0, то при
увеличении тока ir от 0 до + 71ш
магнитный поток первоначально будет
изменяться по характеристике, снятой
при постоянном токе (О'а на рис. 26.17).
При уменьшении тока от + /1ш до
— 11т изменение магнитного потока бу-
дет происходить уже по верхнему
участку петли частного гистерезисного
цикла, наклон которого меньше (кривая
ab). Следующая положительная полу-
волна тока приведет к некоторому
увеличению магнитного потока (кривая
Ьс) и т. д. В итоге установится не-
который режим, при котором постоянная
составляющая магнитного потока увели-
чится, а наклон характеристики умень-
шится (ef на рис. 26.17).
Переменный ток в намагничиваю-
щей обмотке вызывает как бы «встряс-
ку» магнитных диполей, при которой
большее их число ориентируется соот-
ветственно постоянному магнитному по-
лю. Поэтому после включения пере-
менного тока точка О' начальной кри-
вой намагничивания заменяется точкой
О". Таким образом, в действительности
зависимость постоянной составляющей
магнитного потока от переменной со-
ставляющей сложнее, чем в примерах,
рассмотренных выше.
Приращение магнитного поля в точ-
ке О" под влиянием переменного тока
ii меньше, чем под влиянием постоян-
ного тока в О' (на начальной кривой
намагничивания), т. е.
d<b/dii < d®/dIQ.
Рис. 26.18
следовательно, и переменного тока в
обмотке wj.
При изменении переменного тока в
больших пределах уже нельзя говорить
о синусоидальности тока и магнитного
потока. Однако и в этом случае, изме-
няя постоянный ток, можно изменять
переменный ток — управлять перемен-
ным током.
26.11. Магнитные усилители
мощности
Тангенс угла наклона а3 характе-
ристики, соответствующей установивше-
муся режиму изменения тока ii9 вы-
ражает так называемую обратимую
проницаемость
цгобрЦо = АВ/ДН, (26.48)
которой необходимо пользоваться при
расчете магнитных цепей с малыми
переменными составляющими магнитно-
го потока, например магнитных цепей
телефонов и динамиков радиоприем-
ников.
Зависимости относительных стати-
ческой и обратимой магнитных прони-
цаемостей от постоянной напряжен-
ности поля представлены на рис. 26.18.
Как видно из графика, цгст с рос-
том Н вначале увеличивается, а затем
по мере приближения к насыщению
уменьшается, а цгобр с ростом Н все
время убывает.
В тех случаях, когда изменение
переменного тока во второй обмотке
приводит к незначительному изменению
магнитного потока, можно считать, что
при синусоидальном напряжении иг ток
ii также синусоидален. В этом случае
Wi = L^dir/dt + п‘1 (26.49)
и, следовательно, в комплексной форме
Zi = [/i/(^+>Lo6p). (26.50)
Индуктивность Lo6p представляет со-
бой функцию Цгобр* Например, для
кольцевого сердечника
^обр = МтобрРо^^ 1 //, (26.51)
где Wi — число витков обмотки с то-
ком ip
Изменяя постоянный ток в обмотке
w0, можно изменять значение Еобр, а
В ряде практических задач бывает
необходимо при помощи статических
устройств, затрачивая небольшую мощ-
ность, управлять большими мощностя-
ми. К такого рода устройствам, кото-
рые называются усилителями мощности,
относится рассмотренный в § 26.4 тран-
зисторный усилитель переменного напря-
жения. Принцип действия усилителей
мощности может основываться как на
линейных, так и на нелинейных явле-
ниях.
К нелинейным усилителям относит-
ся так называемый магнитный уси-
литель мощности. Схема одного
из простейших магнитных усилителей
мощности представлена на рис. 26.19.
Управляющей цепью магнитного усили-
теля служат две последовательно соеди-
ненные обмотки постоянного тока w0
на магнитопроводах а и б. Рабочая цепь
усилителя состоит из двух последова-
тельно соединенных обмоток переменно-
го тока Wj на тех же магнитопро-
водах. Полярность включения обмоток
vv0 и Wi такая же, как и в рассмот-
ренном ранее удвоителе частоты (рис.
26.10).
Если ток в управляющей цепи
10 = 0, то зависимость между прираще-
Рис. 26.19
477
Рис. 26.20
ниями потокосцеплений ДЧ^, ДЧ^ и
ДЧ/1 = ДЧ/а + ДЧ'б от тока задается обыч-
ной характеристикой магнитной системы
[на рис. 26.20 кривая ДЧ/1(/1) при
/о = 0].
Наличие тока в управляющей цепи
приводит к изменению кривой ДЧ/1(/1).
Так же как и при построении кривой
ДЧ'хО’х) на рис. 26.14, в рассматри-
ваемом случае ДЧ/1(/1) представляет
собой сумму двух кривых ДЧ/а(/1) и
ДЧ'Д/Д каждая из которых является
характеристикой магнитной системы с
началом координат, перенесенным в
точку с координатой +7oWo для первой
кривой и в точку с координатой
— 10ю0 для второй (см. построения на
рис. 26.11, 26.13, 26.14).
Таким образом, в зависимости от
значения тока IQ характеристика ДЧ^ (ix)
выразится одной из кривых семейства,
изображенного на рис. 26.20. Чем больше
ток намагничивания, тем положе идет
характеристика. Поэтому с увеличением
тока IQ наклон характеристики при
it = 0 меньше и кривая идет ниже.
Если к обмоткам wx подключить
источник напряжения изменяющегося
по синусоидальному закону, то, пренебре-
гая индуктивностью рассеяния, потеря-
ми в стали и сопротивлением обмо-
ток можно считать, что и потоко-
сцепление ДЧ/1 изменяется по синусои-
дальному закону [кривая ДЧ/1(г) на
рис. 26.20]. В зависимости от тока 10
данной кривой ДЧ/1(г) соответствуют
различные кривые ix (t), максимумы ко-
торых тем больше, чем больше /0.
Как видно из построений, ток ix (t) не-
синусоидальный.
Если через обмотки пропустить
синусоидальный ток ix, то ДЧ/1 и
Uj = d4fl/dt несинусоидальные и макси-
мум напряжения их тем больше, чем
меньше ток 10.
На практике и ток i19 и напряжение
ил несинусоидальные, так как последо-
вательно с источником напряжения и
и обмотками в рабочей цепи магнит-
ного усилителя включено сопротивление
нагрузки г. Точный расчет цепи в этом
случае представляет значительные труд-
ности. Вполне достаточная для практики
точность может быть получена, если, так
же как и ранее, обмотку рассматри-
вать как элемент с условно-нелиней-
ной индуктивностью LjK, значение кото-
рой зависит не только от перемен-
ного, но и от постоянного тока.
На рис. 26.21 изображены кривые
Ux(rlx) для различных значений 10, где
Ui Эти кривые имеют такой же
характер, как и ДЧ/1(г1). По оси абсцисс
отложен не ток 7Х, а произведение тока
Ц на сопротивление нагрузки г. При
таком построении облегчается определе-
ние тока Ц для различных значений
тока 10 при заданном напряжении ис-
точника питания U.
Действительно, считая, что напряже-
ние сдвинуто по фазе по отношению
к току 1Х на угол л/2, можно написать
Ul + (гЦ)2 = и2. (26.52)
478
Если известны U и /0, то, выбирая
соответствующую кривую (гЦ) и про-
водя окружность радиуса U с центром в
начале координат, найдем Ur и гЦ как
координаты точки пересечения окруж-
ности с кривой (71 (riJ (на рис. 26.21
такое построение выполнено при /0 = 0)-
Таким образом, для каждого зна-
чения 10 можно найти соответствую-
щие ТОК Ц И МОЩНОСТЬ Р = г/1,
выделяемую в рабочей цепи. Чем боль-
ше 10, тем выше значение Р. При этом
мощность, затрачиваемая в цепи по-
стоянного тока, в десятки и сотни раз
меньше мощности Р.
Магнитные усилители применяются
в самых различных областях техники,
например для плавного автоматического
управления двигателями и другими пре-
образователями энергии, для плавного
регулирования освещения.
На аналогичном принципе могут
быть осуществлены усилители с нелиней-
ными емкостными элементами — ди-
электрические усилители мощности.
Магнитные усилители являются ос-
новным звеном так называемых изме-
рительных трансформаторов постоянно-
го тока. Принцип действия этих уст-
ройств заключается в следующем. По-
стоянное подмагничивание магнитных
систем а и б (см. рис. 26.19) осу-
ществляется шиной постоянного тока,
проходящей через обе магнитные систе-
мы. Соответствующим подбором харак-
теристики стали достигаются условия,
при которых ток Ц мало зависит от
питающего напряжения U и в доста-
точной мере точно пропорционален току
IQ. Коэффициент пропорциональности
между токами Ц и /0, так же как и в
обычных трансформаторах, зависит от
отношения чисел витков Wo/wp
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ СЕДЬМАЯ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
27.1. Общая характеристика
переходных процессов
в нелинейных цепях
Переходные процессы в нелинейных
цепях существенно отличаются от пере-
ходных процессов в линейных цепях.
Нелинейность характеристики какого-
либо из элементов электрической цепи
может привести как к чисто количест-
венному изменению переходного про-
цесса, так и к качественно новым
явлениям.
В первом случае нелинейность ха-
рактеристики может увеличить скорость
процесса в одном из промежутков
времени и уменьшить скорость в дру-
гом промежутке, при этом может воз-
расти максимальное значение тока пере-
ходного процесса, однако качественно
процесс остается без существенных из-
менений. Во втором случае из-за не-
линейности характеристики возникают
новые явления, принципиально недости-
жимые в линейных цепях.
Если в линейных цепях включение
источника постоянной или синусоидаль-
ной ЭДС (или тока) сопровождается
некоторым затухающим переходным
процессом и переходный процесс пере-
ходит в установившийся режим, частота
которого равна частоте напряжения
источника, то в нелинейных цепях
переходный процесс, может привести к
возникновению колебаний с частотой,
отличной от частоты напряжения ис-
точника. Такие колебания носят название
автоколебаний.
Примером автоколебаний могут слу-
жить рассмотренные в § 26.7 колебания
с частотой со в цепи параметрона,
питаемого от источника с частотой
2со. Автоколебания в цепях, питаемых от
источника постоянного напряжения, рас-
сматриваются в гл. 28.
Нелинейные цепи с неоднозначными
нелинейностями могут быть применимы
для запоминания импульсов, поступаю-
щих в цепь. В этом случае переход-
ный процесс сопровождается переходом
479
цепи из одного устойчивого состояния
в другое.
Если в линейных цепях напряжения
и токи переходного процесса обычно
можно представить состоящими из двух
составляющих: установившейся и сво-
бодной, то в нелинейных цепях прин-
цип наложения неприменим и нельзя
раскладывать величины на свободные и
установившиеся составляющие.
В зависимости от вида ЭДС, дей-
ствующих в цепи, расчеты переходных
процессов в нелинейной цепи различны
по сложности. Расчет цепей с постоян-
ными ЭДС значительно проще, чем цепей
с переменными ЭДС.
Для переходных процессов в нелиней-
ных цепях нельзя указать общий ана-
литический метод, позволяющий рассчи-
тать процесс в цепи любой слож-
ности. В зависимости от вида цепи и
действующих в ней ЭДС для расчета
переходных процессов применяются раз-
личные, часто очень приближенные ме-
тоды. Задача сводится к решению не-
линейных дифференциальных уравнений,
для которых в математике существует
множество различных методов решения.
Общая характеристика этих методов
была дана в гл. 24. Рассмотрим теперь
применение различных методов расчета
переходных процессов на примерах ис-
следования достаточно простых цепей.
27.2. Включение катушки
со стальным магнитопроводом
на постоянное напряжение
При включении катушки с замкну-
тым стальным магнитопроводом на
постоянное напряжение переходный про-
цесс качественно происходит так же, как
и при включении линейной rL-цепи.
Однако количественно он несколько
иной и уже не может быть точно
описан разностью постоянной величины
и экспоненты (см. § 14.4).
Если пренебречь гистерезисом и
вихревыми токами, возникающими в ста-
ли при изменении магнитного потока,
то анализ процессов при включении
катушки со стальным магнитопроводом
на постоянное напряжение можно свести
к расчету схемы, изображенной на
Рис. 27.2
рис. 27.1, где обозначено: Т — потоко-
сцепление катушки; г — сопротивление
катушки; U — напряжение источника. За-
висимость Т(0 задана кривой, изобра-
женной на рис. 27.2 сплошной линией,
которая для любой катушки со сталь-
ным магнитопроводом может быть
построена, если известна кривая на-
магничивания стали.
Запишем уравнение по второму зако-
ну Кирхгофа для схемы по рис. 27.1:
d4/dt + ri = U. (27.1)
В установившемся режиме dW/dt = О
(при t = оо) и, следовательно, 1 = 1^ —
= U/г, а Ч/ = КРОО и определяется в
соответствии с /ж по кривой намагни-
чивания (точка Яда на рис. 27.2).
Рассмотрим решение этой задачи при
помощи различных методов.
Метод условной линеаризации. Заме-
нив нелинейную характеристику Т (0
прямой линией, проходящей через точку
А оо и выражаемой уравнением = L^i,
перепишем уравнение (27.1) следующим
образом:
d4 г
-^-+7-Ч'=[Л (27.2)
где L)K — некоторая статическая индук-
тивность, соответствующая точке
480
Рис. 27.4
тока при малых токах происходит
медленнее, а при больших токах, на-
оборот, быстрее, чем при постоянном
значении L —
В данном примере зависимость Т(г)
получена в результате весьма прибли-
женного решения задачи, однако полу-
ченная при этом кривая i (г) имеет такой
же характер, как и в решениях,
выполненных более строгими методами.
Метод аналитической аппроксимации
нелинейной характеристики. Наиболее
просто задача решается, если для i(T)
принять
i = Ь^2. (27.4)
Считая, что аналитическое выраже-
ние соответствует заданной характе-
ристике, в точке (рис. 27.2) полу-
чаем
/оо = Ь^2Х, (27.5)
откуда
=/ооЛ=г/12эКС/. (27.6)
Кривая (27.4), т. е. Ч* = пока-
зана на том же рисунке.
Подставив i в (27.1), получим
Уравнение (27.2) решаем так же, как
в линейной задаче (см. § 14.4). Для
потокосцепления получаем
¥ = Тда(1 - е-г/т), (27.3)
где т = Цк/г.
График зависимости Ч'(г) показан на
рис. 27.3. Для каждого значения *Р по
кривой Т(0 (рис. 27.2) определяем зна-
чение i. Полученная зависимость i (г)
изображена на рис. 27.3.
Как видно из графика, кривая i(t)
отличается от закона (1 — e-t/T). В пер-
вые моменты времени кривая идет бо-
лее полого, а приближаясь к установив-
шемуся значению, ток нарастает быстрее,
чем в линейной цепи. Отличие полу-
ченной кривой от экспоненты можно
уяснить, рассматривая зависимость диф-
ференциальной индуктивности Lot тока
i (рис. 27.4,6). Так как при малых токах
дифференциальная индуктивность L =
= dW/di больше, чем £эк, а при больших
токах меньше, то процесс нарастания
Решая уравнение относительно вре-
мени и интегрируя, находим, что
т
1 f dV rT
f- uj 1-Г2Т2/£2к1/2- r
О
’ После преобразования получим
vp=Z2^th— (27.7)
Г т
и соответственно
i= — th2—, (27.8)
Г т
где т = LJr.
Выражения (27.7) и (27.8) приближен-
но описывают переходный процесс вклю-
чения катушки со стальным магнито-
проводом. Точность решения задачи тем
выше, чем ближе аналитическое выраже-
ние соответствует нелинейной характе-
ристике.
481
Применение иных зависимостей
позволяет получить более точное анали-
тическое выражение нелинейной харак-
теристики, однако решение задачи зна-
чительно усложняется.
Метод кусочно-линейной аппроксима-
ции нелинейной характеристики. Если
характеристику Т (0 заменить некоторой
ломаной линией 0—1—2—3 (рис. 27.4, а),
то решение задачи представляется в
виде трех различных выражений в соот-
ветствии с тремя участками линеари-
зации.
Для первого участка (0 — 1) зависи-
мость между током и потокосцепле-
нием имеет вид = L{i при 0 < i < Ц;
для второго участка (1—2) Т = 'Pi + L2i
при 1г < i < 12 и для третьего участка
(2-3) Т = Т2 + L3i при I2 < i < 1^
Потокосцепления и находим
графически (рис. 27.4, а). Дифференциаль-
ную' индуктивность L определяем как
величину, пропорциональную тангенсу
угла наклона ломаной на соответст-
вующем участке: Ц : L2: L3 = tg : tg а2 •
:tga3. Изменение L при переходе от
одного участка ломаной к другому
показано на рис. 27.4,6.
Разбив все время переходного про-
цесса на три промежутка в соответ-
ствии с участками ломаной, для раз-
личных промежутков времени вместо
одного уравнения (27.1) получим три
дифференциальных уравнения:
Li di/dt + ri = U
при 0 < i < Ц и 0 < t < tr;
L2 di/dt + ri = U
при Ц <i < I2 и tx < t < t2;
L3 di/dt + ri = U
при I2 < i < и t2 < t < oo.
(27.9)
Обозначив xl=Li/r; x2 = L2/r и
т3 = L3/r, запишем решение этих уравне-
ний для каждого из участков:
i = Ло +
при 0 < i < Ц и 0 < t < tr;
i = До + А2е-«-^2
при Ц < i < 12 и ti < t < t2;
i = In + Л3е-('-'2)/ъ
при I2 < i < In и t2 < t < oo.
(27.10)
Из условия невозможности измене-
ния тока скачком в точках 0, 1 и 2 (при-
пасовывание) находим
А. = -/«,; A2^(h-In)\ А3^(12-1п\
(27.11)
Значения r15 t2 определяем из усло-
вий
i(h)^I^I^-^^
i(ti) = 12 = /оо + (Ii -(27.12)
Решив первое из уравнений относи-
тельно ti, а второе относительно f2,
получим
G — т 1 In - ;
7 00 “ 71
t2 = т21п ~ + ti>
(27.13)
На рис. 27.5 построена зависимость
i (t) для всех трех участков характе-
ристики.
Полученная зависимость, так же как
и рассмотренное ранее решение, показы-
вает, что нелинейность характеристики
стали замедляет процесс нарастания
тока в начале и ускоряет его в конце.
Приведенный расчет основан на при-
менении метода припасовывания, пред-
ложенного Н. Д. Папалекси в 1912 г.
Метод последовательных интервалов.
Разобьем промежуток времени процесса
на ряд малых равных интервалов
(шагов) Дг и для каждого интервала на
основании дифференциального уравне-
ния (27.1) запишем равенство
ATk/At « (d4/dt)k =U- п\ср, (27.14)
482
Таблица 27.1
к t "к V-rik ДТк+1 %+1
0 0 0 и им ATi
1 Аг ri\ U-ri (U-гПМ 'Fi + Д^2 '2
2 2Az ч U-ri2 (U-riJM Ч2 + Д^з л 1ъ
к k&t rik U-rik (U-rik)M ъ + дЧ+1 ’*+1
где к — номер интервала; ikcp — средний
ток за время интервала времени с
номером к; ДЧ\ — приращение потоко-
сцепления за время этого интервала.
Приращение потокосцепления
(27.15)
Зная ikcp9 &t и можно найти
ДТ* и а затем и i\+lcp по
характеристике Т(0. Переходя от точки
к к точке к + 1, можно построить
весь переходный процесс.
Начнем с t = О, То » 0, iQ = 0 и к = 0.
Для ДТ i по (27.15), полагая чСр^*о—
получаем
ДЧ^ =Tt = UAt. (27.16)
По заданному графику Т (0 (рис. 27.6)
найдем ii и, подставив его в (27.15)
для упрощения расчета вместо i2cp для
к = 1, получим
ДТ2«(С/-п1)Дг. (27.17)
По графику Т(0 для Т2 = + ДТ2
определим i2.
Так последовательными интервала-
ми, переходя от ik к ДТЛ+1, а затем к
Tfc+1 и ik+19 находим i и Т для любого
момента времени.
Решение задачи сведем в табл. 27.1.
Для зависимости Т (0, изображенной
на рис. 27.6, графики Т (0 и i(t) построены
на рис. 27.7. Чем меньше интервал
времени Дг, тем точнее решение задачи.
Приведенный пример решения задачи
основан на применении рассматриваемо-
го в курсе математики приближенного
решения дифференциальных уравнений,
предложенного Эйлером (явный метод
Эйлера).
Недостатком данного метода, как и
других численных методов, является за-
висимость дальнейшего решения от
погрешности при вычислении всех пре-
дыдущих значений искомой величины и
замены ikcp величиной Так, погреш-
ность в вычислении ДЧ^ сказывается
при вычислении всех ДТ* для к > 1.
Явный метод Эйлера является наибо-
лее простым и при выбранном шаге
наименее точным в группе методов
численного интегрирования дифферен-
циальных уравнений, которые рассмот-
рены в гл. 14 и которые можно
применять для расчета переходных про-
цессов в нелинейных цепях. В совре-
менных ЭВМ имеются стандартные
программы для этих методов (см. также
§ 27.8).
483
27.3. Включение катушки
со стальным магнитопроводом
на синусоидальное напряжение
При включении катушки со сталь-
ным магнитопроводом на синусоидаль-
ное напряжение решение задачи сопря-
жено со значительно большими труд-
ностями.
Рассмотрим дифференциальное урав-
нение цепи
d'V/dt + ri = L7m sin (cot + a). (27.18)
Наличие в правой части уравнения
гармонической функции времени значи-
тельно затрудняет применение некото-
рых из рассмотренных методов решения
задачи. Так, аналитическое выражение
кривой намагничивания приводит к нели-
нейному дифференциальному уравнению
с правой частью, представляющей гар-
моническую функцию времени, которое
не имеет достаточно простого решения.
Замена характеристики ломаной приво-
дит к необходимости на протяжении
периода изменения напряжения несколь-
ко раз (более пяти) сопрягать (припасо-
вывать) решения, получаемые для раз-
личных участков ломаной. Так как пере-
ходный процесс обычно продолжается
несколько периодов, то такое решение
сопряжено с очень большими труднос-
тями.
Таким образом, пригодными для ре-
шения. задачи можно считать только
метод условной линеаризации и методы
численного интегрирования.
Пример 27.1. Решение методом
условной линеаризации. В (27.18)
падение напряжения ri обычно значительно
меньше, чем d'V/dt. В установившемся ре-
жиме (см. гл. 25) при определении зави-
симости 4х (t) обычно пренебрегают падением
напряжения ri. Во время переходного про-
цесса этой величиной пренебречь нельзя,
однако ее можно рассматривать как
малый параметр и согласно методу
условий линеаризации считать, что
ri = r'P/L.,, (27.19)
где LjK = - отношение максимальных
значений потокосцепления и тока в устано-
вившемся режиме.
Уравнение (27.18) заменим приближен-
ным
d^/dt + Т/т = Um sin (cot + a), (27.20)
где т = Z^k/г.
Так как в (27.20) коэффициент 1/т
постоянен, то 'P(t) определим совершенно
так же, как и при включении линейной
цепи на синусоидальное напряжение (см.
§ 14.5).
Принимая, что остаточного намагничи-
вания нет, т. е. 'Р (0) = То = 0, получаем
'P(t) = 'Р^ sin (cot + a — ср) — 'Pmsin(a — <p)e ~t/T,
(27.21)
где
= U^/^r2 + <o2L23K; <p = arctg(<oLMt/r).
Обычно coLjk » г и ср » л/2. В этом слу-
чае Ч'и = Um/&.
Наибольшее значение магнитного пото-
ка получается при включении катушки в
момент времени, соответствующий * a = 0.
Тогда
'Р (t) = -Tmcoscot + Тгое-'/т = Ту + Тсв. (27.22)
На рис. 27.8 построен график T(t), а на
рис. 27.9 по кривой намагничивания стали
Т (0 построена соответствующая зависимость
i(t). Если при включении линейного индук-
тивного элемента наибольшее значение тока
не может превысить удвоенйую амплитуду
его установившегося значения, то, как видно
из графика, при включении катушки со
стальным магнитопроводом наибольшее зна-
чение тока imax может во много раз пре-
вышать амплитуду 1т его установившегося
значения.
Пример 27.2. Решение методом
последовательных интервалов.
Интегрируя уравнение (27.18) по времени от
0 до t, запишем потокосцепление:
t
'P(t) = 'Ро - —cos (cot + a) + —cosa - r idt.
co co J
?27.23)
Заменив интеграл суммой п произведе-
ний тока в начале интервала времени на
длительность этого интервала At, получим
'P(nAt) « 'Ро - ^-cos(ncoAt + a) +
со
я
Н---—cos a — г At / ik- Р (27.24)
СО
fc= 1
Таким образом, потокосцепление катуш-
ки в любой момент времени п At можно
484
i
представить в виде суммы четырех величин.
Первые три из этих величин определяем
непосредственно для любого момента вре-
мени, а четвертую находим методом по-
следовательных интервалов по заданной кри-
вой T(i).
Решение задачи методом последова-
тельных интервалов может дать значи-
тельно большую точность, чем при
условной линеаризации характеристики.
Однако несмотря на элементарность
вычислений этот метод сопряжен с боль-
шой счетной работой. Применение ЭВМ
и стандартных программ интегрирова-
ния обыкновенных дифференциальных
уравнений дает возможность быстро
получить решение методом последова-
тельных интегралов с необходимой сте-
пенью точности.
Переходный процесс при решении за-
Рис. 27.10
дачи обоими методами был найден без
учета гистерезиса. На практике даже при
включении катушки с Магнитопроводом,
выполненным из мягкой стали, прихо-
дится считаться с неоднозначностью ха-
рактеристики T(i).
Если остаточный поток в стали
имеет обратное направление в сравне-
нии с установившимся значением потока
в момент включения, то влияние оста-
точной намагниченности может привести
к еще большему нарастанию тока при
включении.
На рис. 27.10 схематически построе-
на зависимость T(i) для переходного
процесса при включении катушки со
стальным магнитопроводом на перемен-
ное напряжение. В начальный момент
Т (0) = То (точка 1 на характеристике).
С нарастанием тока в течение первой
половины периода изменение происходит
по участку характеристики 1—2'. Из
(27.23), пренебрегая последним членом,
при а % 0 получаем
ит
« То + 2>Р0 + 2ТМ. (27.25)
СО
В действительности из-за потерь зна-
чение Tmex несколько меньше.
Дальнейший ход зависимости между
током и потоком характеризуется гра-
фиком 2—3—4—5—6 и т. д. вплоть до
установившегося режима, соответствую-
щего гистерезисной петле ABCDEFA.
Так как TmflX возрастает с увеличением
То, то, следовательно, и бросок тока
тем больше, чем больше То.
Со значительным возрастанием тока
в момент включения (пусковой ток) не-
обходимо считаться при включении не-
нагруженных трансформаторов.
485
27.4. Импульсное воздействие
в цепях с неоднозначными
нелинейностями
Рассмотрим переходные процессы
при импульсном воздействии и (г) на
катушку со стальным магнитопрово-
дом, выполненным из жесткой стали с
прямоугольной характеристикой на-
магничивания. Малый постоянный нак-
лон характеристики стали в области
насыщения или прямых возврата можно
описать некоторой линейной индуктив-
ностью L, объединенной с индуктив-
ностью рассеяния и включенной после-
довательно с неоднозначным нелиней-
ным индуктивным элементом с прямо-
угольной характеристикой Т(0.
Схема замещения цепи показана на
рис. 27.11,а. Здесь г и L — линейные
параметры цепи, а Т (0 — нелинейная
характеристика, изображенная на
рис. 27.11,6. Из характеристики видно,
что в зависимости от предшествую-
щего режима, задаваемого сигналом
и (t), потокосцепление Т при — ic < i < ic
может иметь любое значение, лежащее
между — То и Tq, и магнитопровод
может запоминать некоторую инфор-
мацию, которую несет сигнал u (г).
Пусть напряжение на входе цепи
и (г) имеет форму прямоугольного им-
пульса высотой U и продолжитель-
ностью т (рис. 27.12, а). Исследование
переходного процесса в магнитопроводе,
характеристика которого (рис. 27.11,6)
имеет прямоугольную форму, проведем
методом кусочно-линейной аппроксима-
ции, описывая характеристику магнито-
провода уравнениями
Т = -То при -оо < i < ic;
i = + ic
при -To < T < To и d4/dt > 0;
T = +T0 при — ic < i < оо;
i = ~ic
при -To < T < To и d4/dt < 0;
T = const
при — ic < i < ic и -To < T < To.
Переходный процесс при этом рас-
считывается путем припасовывания ре-
шений дифференциальных уравнений для
каждого из линейных участков характе-
ристики.
Рассмотрим случай перемагничива-
ния магнитопровода по кривой 1 — b —
2 — 3. В этом случае
L di/dt + ri = U
при 0 < i ic, Т = — То и 0 t
для участка 1—Ь характеристики;
t/T/dt + ri = U при i = ic,
-То^Т^и^Кт
для участка b — 2 характеристики;
L di/dt 4- ri — 0 при 0 i ic,
~ max И 1(Т) = 1С И t>T
для участка 2 — 3 характеристики.
Решение линейного дифференциаль-
ного уравнения для каждого из трех
участков получим в следующем виде:
i = Z(l и Т = -То
при 0 t G, (27.26)
Рис. 27.11
486
для участка 1—b;
i^ic; Т = -То + (^
при ti t < т (27.27)
для участка Ь—2;
i = ice“^“T)/T;
Т-Ттвх=-Т0 + (17-п;)(х-^) (27.28)
при г>х для участка 2 — 3.
Полученное решение соответствует
линии 1 — & — 2 — 3 характеристики T(i)
на рис. 27.11,6 для случая Twex<T0,
tt<x и I > ic. Зависимости T(t) и i(t)
для этого случая показаны на
рис. 27.12,6 и в.
Если в полученном решении Twex >
> То, то это соответствует выходу на
насыщение и линии 1 — 6—с —d—4 на
характеристике. В этом случае нужно
рассматривать четыре участка характе-
ристики, для которых имеем следую-
щие уравнения:
для участка c — d;
Ldi/dt + ri = 0 при i О,
Г > х и Т = То
для участка d — 4.
Решения для этого случая имеют вид
i = 7(l -е-'/?) и Т = -То
при 0 t < ft (27.29)
для участка 1—Ь;
i = ic- Т = -Т0 + (С7-ri^t-t^
при h < t < Г2, (27.30)
где
t2 = h + 2ТО/(С7 - нс), (27.31)
для участка Ь — с;
i = ic + (j _ fc)(i - e-o-t,)/?)
и T = To при t2 t < x (27.32)
для участка c—d;
i = и T = To при t > x, (27.33)
Ldi/dt + ri= U при 0 i < iC9
и T = -To
для участка 1—b;
dW/dt + ri = U при i = iC9
-To^T^To и tr^t^t2
для участка b — c;
Ldi/dt + ri = U при i iC9
t2 < t x и T = To
где
Ц = ic + (I - Q(1 - e~(T“fj)/7)
для участка d—4.
Зависимости и (г), Т (г) и i (t) для этого
случая показаны на рис. 27.12, г — е.
Два случая намагничивания магнито-
провода с прямоугольной петлей гисте-
резиса рассмотрены весьма упрощенно.
Здесь не учитывались вязкости ферро-
магнетика, распределенность обмотки,
отличие характеристики от прямоуголь-
487
ной. Однако даже такое упрощенное
рассмотрение дает достаточное пред-
ставление о процессах и позволяет
сделать вывод о возможности примене-
ния магнитопроводов в качестве запо-
минающих устройств вычислительной
техники.
27.5. Понятие о триггере
Распространенным запоминающим
устройством цифровой вычислительной
машины является электронный элемент
с двумя устойчивыми состояниями, по-
лучивший название триггер. Он пред-
ставляет собой два нелинейных обычно
одинаковых четырехполюсника направ-
ленного действия (см. § 23.3), каждый
из выходов которых подключен к входу
другого. Схематически такое соединение
представлено на рис. 27.13, а. Здесь
Хх и х2 — дополнительные сигналы, по-
ступающие на входы четырехполюсни-
ков. Для каждого из четырехполюсни-
ков зависимость между ивх и мвых
выражается кривой, приведенной на
рис. 23.9, и отличается от характе-
ристики усилителя постоянного тока
(рис. 23.10) только положением начала
координат. На рис. 27.13,6 в коорди-
натах ивх1, мвх2 построена передаточная
характеристика каждого из усилителей
При Х| = Х2 = 0, !4ВХ| = Цвых2 И UBX2 = МВых1*
Характеристики представлены тремя от-
резками прямых 1—1 [иВых1 (мвх1)] и 2 —2
[иВых2(Ивх2)1 Они пересекаются в трех
точках а, Ь, с, которые соответствуют
трем возможным состояниям равновесия.
Точки а и с являются точками устой-
чивого равновесия, а точка в — неустой-
чивого. В точке а напряжение uBbIX । = Ua
и иВых2 = U с- Если напряжениям Ua и
Uc присвоить значения 1 и 0, то для
точки а имеем ивых1 = 1, ивых2 = 0, а для
точки с, наоборот, мвых1 = 0, мвых2 = 1.
Если на вход ивх2 второго четырех-
полюсника кроме напряжения цвых1 по-
ступит дополнительно сигнал х2, то
характеристика ubxi(wbx2) сместится на
488
значение сигнала х2, так как теперь
мвх2 = мвых1 + х2 и имеет вид ломаной,
изображенной штриховой линией в верх-
ней части рис. 27.13,6. Эта характе-
ристика 2 — 2' — 2 имеет только одну точ-
ку пересечения с характеристикой 1—1
(точка с).
Таким образом, если до прихода
сигнала триггер находился в состоянии,
соответствующем точке а, то теперь он
перейдет в состояние, выражаемое точ-
кой с. Переход из точки а в точку с
на рис. 27.13,6 показан штрихпунктир-
ной линией. После снятия сигнала х2
триггер останется в состоянии с, запом-
нив, таким образом, поступивший сиг-
нал.
На рис. 27.13,в схематически пока-
зана временная диаграмма перехода
триггера из точки а в точку с при
поступлении импульса х2. Второй им-
пульс той же полярности не приведет
к каким-либо изменениям. Возврат из
точки с в точку а возможен только
после поступления отрицательного им-
пульса х2 или положительного импуль-
са Хр
На рис. 27.14 представлена схема
триггера, выполненная на двух биполяр-
ных транзисторах с п-р-п переходами.
Здесь конденсаторы Q и С2 повышают
быстродействие перехода триггера из од-
ного состояния в другое, а диоды
VD1 и VD2 не пропускают импульсы
хг и х2 отрицательного знака. Дейст-
вие конденсаторов емкостью Сг и С2
проявляется при переключении триггера
из состояния а в состояние с (см.
рис. 27.13,6) и наоборот. Переключение
сопровождается переходным процессом,
показанным штриховыми линиями на
рис. 27.13,в.
27.6. Изображение переходных
процессов на фазовой плоскости
В предыдущих параграфах опреде-
лялись переходные процессы в нелиней-
ных цепях, описываемых дифференциаль-
ным уравнением первого порядка.
С повышением порядка уравнения
расчет существенно усложняется. Тре-
буется применение новых методов рас-
чета. Одним из таких методов являет-
ся изображение переходных процессов
в пространстве состояний или в фазо-
вом пространстве.
Переходные процессы можно рас-
сматривать в различных системах коор-
динат. До сих пор переходные про-
цессы рассматривались в координатах
i и г, 4х и г, q и t или и и г. По оси
абсцисс откладывалось время, а по оси
ординат — исследуемая величина.
Однако те же явления исследуются
и в другой системе координат.
Так например на рис. 27.10 показано
изображение переходного процесса в
координатах Т и i.
Для переходного процесса, описы-
ваемого нелинейным дифференциальным
уравнением порядка п или п нелиней-
ными дифференциальными уравнениями
первого порядка, всегда можно выбрать
п таких переменных, называемых коор-
489
динатами состояния (см. § 14.20), что
система уравнений принимает вид
*1 =/1 (*1, *2, Xi.Хи, Ul, w2)ut,um);
Х2 =/2(хь х2,хь..., x„, ut, и2,..., иь.... ит);
Xi =ft(xi, х2,..., xt,..., хп, Ul, и2,..., щит);
х„ =/.(хь Х2,..., Xi.х„, иъ и2,..., Ui,..., ит),
(27.34)
где Xi — координата состояния; xt =
= dxi/dt — ее производная по времени;
щ — внешнее воздействие на электри-
ческую цепь; fi — некоторая нелинейная
функция в отличие от линейных цепей,
где f — линейная алгебраическая функ-
ция. Решение (27.34) для последнего
случая рассматривалось в § 14.20.
Ёсли электрическая цепь не подвер-
жена каким-либо внешним переменным
воздействиям, то щ = 0. Для этого слу-
чая пространство состояний называется
фазовым пространством.
Наиболее широкое распространение
изображение переходных процессов в фа-
зовом пространстве получило для систем
второго порядка. В этом случае пере-
ходный процесс изображается на плос-
кости координат хх и х2, называемой
фазовой плоскостью, некоторой
кривой, которая лежит в области,
ограниченной по обеим осям коорди-
нат, а уравнения (27.34) имеют вид
Х1 =/1 (Xi, х2); х2 = f2(xt, х2). (27.35)
Исследование переходных процессов
в электрических цепях на фазовой
плоскости впервые было проведено
академиками Л. И. Мандельштамом и
Н. Д. Папалекси и получило дальней-
шее развитие в работах А. А. Андро-
нова, С. Э. Хайкина, А. А. Витта й их
учеников.
Изображение процессов на фазовой
плоскости может дать представление
о характере процесса без решения диф-
ференциального уравнения в конечном
виде.
При выборе координат хх и х2 для
описания переходного процесса возмож-
ны различные варианты. Обычно отдает-
ся предпочтение такому выбору коорди-
нат, при котором Хх = х2. В этом случае
обычно обозначают хх = х; хх = х2 = у
и записывают уравнения (27.35) в виде
dx/dt = у; dy/dt = Дх, у). (27.36)
Каждому состоянию цепи соответ-
ствует точка на фазовой плоскости,
которую называют изображающей
или представляющей точкой.
Всякое изменение состояния цепи на
фазовой плоскости изображается некото-
рой кривой, которую называют фазо-
вой траекторией.
Если процесс описывается уравнения-
ми (27.36), то в верхней полуплоскости
у » dx/dt > 0 и представляющая точка
может перемещаться только направо —
в направлении возрастающих значений х.
Для нижней полуплоскости, наоборот,
у < 0 и представляющая точка может
перемещаться только влево. Таким об-
разом, движение представляющей точки
происходит только по направлению
движения часовой стрелки.
Если процесс описывается дифферен-
циальным уравнением первого порядка,
то все фазовые траектории лежат на
одной кривой и представляющая точка
может перемещаться только по этой
кривой. Если процесс описывается диф-
ференциальным уравнением второго по-
рядка, то в зависимости от началь-
ных условий представляющая точка
может оказаться в любом месте фазо-
вой плоскости.
Рассмотрим фазовые траектории
простейших процессов в линейных и не-
линейных цепях.
Пусть rL-цепь с током i0 переклю-
чается без разрыва тока к источнику
постоянного напряжения U (рис. 27.15, а).
Переходный процесс описывается диф-
ференциальным уравнением
L di/dt + ri = U
или при обозначении i через х, а
di/dt — через у уравнением
у = (U - rx)/L. (27.37)
На рис. 27.15, б изображена фазовая
траектория переходного процесса в виде
прямой, проходящей через точки (0, U/L)
и (17/г, 0). Для верхней полуплоскости
490
у = dx/dt > 0 и, следовательно, представ-
ляющая точка перемещается в направ-
лении возрастающих значений х. Для
нижней полуплоскости у < 0 и представ-
ляющая точка перемещается в направ-
лении отрицательных значений х. Точка
равновесия А лежит на оси х и соот-
ветствует установившемуся режиму.
В зависимости от начального значе-
ния тока i0 (в момент t = 0) фазовая
траектория может начаться в различных
точках прямой — в верхней или в ниж-
ней полуплоскости. С течением времени
(вне зависимости от начальных усло-
вий) движение представляющей точки
происходит в направлении точки А со
скоростью, которая уменьшается по мере
приближения к точке А. Если rL-цепь
замыкается накоротко (U = 0), то фазовая
г) срокус
Рис. 27.17
траектория проходит через начало коор-
динат (на рис. 27.15,6 изображена штри-
ховой линией).
Аналогичные фазовые траектории по-
лучаются и для переходных процессов
в rC-цепях, рассмотренных в § 14.6 и
14.7.
Если индуктивность нелинейная и
характеризуется графиком Т (0 или i (*Р),
то, полагая Т = х, a cM/dt = у, получаем
нелинейное уравнение
у + п(х) = U, (27.38)
которое выражает на фазовой плоскости
все возможные переходные процессы в
схеме рис. 27.1. Фазовая траектория
для данного случая показана на
рис. 27.16.
В последовательном контуре, т. е.
в rLC-цепи (рис. 27.17, а), фазовые
траектории переходных процессов слож-
нее. Рассмотрим случай контура без
потерь (г = 0), который подключается
к источнику постоянного напряжения U.
Начальные значения тока в индуктив-
ности i0 и напряжения на емкости
и0 могут быть любые.
Дифференциальное уравнение пере-
ходного процесса в этом случае из-
вестно (§ 14.9):
d2i 1
-+_1 = 0. (27.39)
Обозначив i = х, di/dt = у и 1/LC = о>о,
запишем (27.39) в виде
dy/dx = — соо*/У>
и после интегрирования получим
у2 + ©о*2 = к2, (27.40)
491
где к — постоянная интегрирования, за-
висящая от начальных условий.
Уравнение (27.40) на фазовой плос-
кости изображается семейством эллип-
сов (рис. 27.17,6), причем вертикальные
оси эллипсов равны 2/с, а горизон-
тальные 2/с/со0. Полученные эллипсы
соответствуют незатухающим синусои-
дальным колебаниям. Амплитуда коле-
баний тока равна полуоси эллипса,
направленной по оси абсцисс, а частота
равна отношению вертикальной полуоси
к горизонтальной.
Так как при t = 0 задано i = i0 и
ис = и0, то фазовая траектория проходит
через точку с координатами х ~ i0 и
у = di/dt = (U — uq)/L и амплитуда коле-
баний тока
1т = к/ы0 = 0g + [(I/ - u0)/<o0L]2. (27.41)
В реальном колебательном контуре
всегда есть некоторые потери и сопро-
тивлением г нельзя пренебречь. За период
колебаний амплитуда тока уменьшается
и фазовые траектории имеют вид спи-
ралей, завивающихся вокруг начала
координат.
При малых потерях за один период
колебаний То = 2тг/соо ~ 2п]/LC в конту-
ре теряется энергия
Го
J(I„sm<>)0t)2rdt = ~I2rT0,
о
а общая энергия, запасенная в контуре,
W = U%J2, причем APT Ж. Отноше-
ние радиусов двух соседних витков равно
W + Тр)
(27.42)
Полученное выражение справедливо
только при г ]/L/C (малых потерях),
когда при подсчете потерь APT можно
пренебречь уменьшением амплитуды ко-
лебаний за один период. В общем слу-
чае колебательный процесс описывается
уравнениями (14.55) и (14.56), которые
являются параметрическими уравнения-
ми спирали. Отношение lm(t + TQ) к
Im(t) представляет собой величину, об-
ратную декременту колебания (см.
§ 14.12).
По мере увеличения сопротивления
шаг спирали увеличивается и при
г > 2|/ L/C — гкр семейство спиралей вы-
рождается в семейство параболических
кривых, проходящих через начало коор-
динат. Фазовые траектории при г < гкр и
г > гкр изображены на рис. 27.17, в и г.
Если сопоставить фазовые траекто-
рии для трех различных значений г
(рис. 27.17), то можно отметить некото-
рые общие свойства этих кривых. Все
кривые пересекают ось х под прямым
углом с переменой знака dy/dx. Во всех
трех рассмотренных случаях имеется
только одна точка равновесия, лежащая
в начале координат, однако характер
равновесия различный.
При г = 0 равновесие наименее устой-
чивое. Достаточно бесконечно малого
отклонения от точки равновесия, чтобы
начался незатухающий колебательный
процесс с бесконечно малой амплиту-
дой колебания. При этом представ-
ляющая точка совершает периодические
движения по орбите с центром в точке
равновесия. Точка равновесия такого
типа называется центром.
При г < гкр все процессы, возни-
кающие в цепи, — колебательные зату-
хающие и представляющая точка после
любого принужденного отклонения от
равновесия возвращается в исходное
положение равновесия, совершая при
этом несколько оборотов вокруг точки
равновесия. Такого рода точка равнове-
сия называется устойчивым фо-
кусом.
Если г > гкр, то представляющая
точка, возвращаясь апериодически в
состояние равновесия, движется по пара-
боле и не совершает более полуоборота
вокруг начала координат. Точка равно-
весия такого типа называется устой-
чивым узлом.
При построении фазовых траекторий
процессов, описываемых дифференциаль-
ным уравнением второй степени, удоб-
но пользоваться методом изоклин.
Изоклиной называется геометри-
ческое место точек, в которых каса-
тельные ко всем интегральным кривым
492
(возможным фазовым траекториям)
имеют одинаковый наклон. Если извест-
но семейство изоклин, то фазовые
траектории могут быть построены гео-
метрическим путем без дополнительного
анализа процессов в цепи.
Пример 27.3. Построить фазовые траек-
тории rLC-цепи (рис. 27.17, а) при г < гкр
методом изоклин.
Решение. Дифференциальное уравне-
ние цепи (см. § 15.9)
d2i г di 1 .
-тт + т-г+тт:1 = °- 27.43)
dt2 Ldt LC
Обозначив r/L = 2а и применив ранее
принятые обозначения i = х, di/dt = у и
1/LC = (Оо> получим
dy/dt + 2ау + со§х = 0. (27.44)
Если dy/dt заменить (dy/dx)dx/dt =
= (dy/dx) у, то, исключив время в (27.44),
получим уравнение
dy_= _ 2gy + coqx (27 4
dx у
Так как во всех точках изоклин должно
выполняться равенство dy/dx = const = 0, то
уравнением изоклины является уравнение
прямой
у =-----х. (27.46)
7 0 + 2а 7
Изоклины представляют собой семейство
лучей, проходящих через начало координат.
Наклон этих лучей зависит от параметров
контура и наклона 0 касательных к интеграль-
ным кривым в точках их пересечения с
данной изоклиной.
Из последнего уравнения следует, что
ось х является изоклиной с 9 = оо, а ось у
совпадает с изоклиной 0= —2а. Уравнение
изоклины 0 = 0, называемой изоклиной гори-
зонтальных касательных, имеет вид у =
= — (Оо*/2а; следовательно, она лежит во
втором и четвертом квадрантах.
Полагая 0 = ±2па, где п — целое число,
получим семейство изоклин, представленных
на рис. 27.18. Здесь короткими штрихами
показан наклон интегральной кривой к изо-
клинам.
Проводя интегральные кривые так, что-
бы они пересекли каждую изоклину под
соответствующим углом, получаем фазовые
траектории переходных процессов. На
рис. 27.18 показаны две фазовые траекто-
рии для разных начальных условий (точки
аг и а2)-
Зная фазовые траектории, т. е. имея зави-
симость
у = dx/dt = y(x), (27.47)
можно путем графического интегрирования
найти соответствующие зависимости x(t) в
обратном виде:
t =
о
(27.48)
Затруднение при вычислениях интеграла
(27.48) вблизи точек у = 0, связанное с об-
ращением подынтегральной функции в бес-
конечность, можно обойти, заменив участок
фазовой траектории дугой окружности с
центром, лежащим на оси х, и выполнив
аналитическое интегрирование.
27.7. Колебательный процесс
разрядки конденсатора
через нелинейный
индуктивный элемент
Если в rLC-цепи содержатся нели-
нейные элементы, то аналитический рас-
чет переходного процесса очень услож-
няется. В этих случаях целесообразно
пользоваться графическим построением
процесса на фазовой плоскости, которое
может быть произведено относительно
просто.
Рассмотрим цепь, содержащую ли-
нейные элементы г, С и нелинейный
493
Рис. 27.20
индуктивный элемент с заданной ха-
рактеристикой Т (i). В этом случае
уравнение (27.43) принимает вид
d24 di 1 . Л
+ — 1 = 0. 27.49)
at at С
Обозначив Т = х; d^V/dt = у, получим
Д+Леюу + /2W = 0, (27.50)
dx
где
Л (Т) = rdi/dV и f2 (Т) = i(Т)/С -
известные функции Т или х, показанные
на рис. 27.19.
Уравнение изоклин получается после
замены dy/dx постоянной величиной 0
и имеет следующий вид:
у Z.?,W (27.51)
У + J1 W
Семейство изоклин, построенных по
этому уравнению, схематически показано
на рис. 27.20. Там же построена одна
фазовая траектория переходного процес-
са разрядки конденсатора в цепи с не-
линейным индуктивным элементом.
27.8. Применение численных
методов для расчета
переходных процессов
в нелинейных цепях
По существу задача расчета переход-
ных процессов в нелинейной цепи, как и
в линейной цепи, сводится к решению
обыкновенного дифференциального
уравнения или системы уравнений с
заданными начальными условиями (за-
дача Коши). Если для линейных цепей
решение многих задач может быть по-
лучено аналитически (см. гл. 14—17),
то нелинейные задачи аналитически
обычно не решаются. Поэтому здесь,
как правило, нужны численные методы
решения дифференциальных уравнений.
Одним из таких методов является про-
цедура, рассмотренная в примере 27.2.
Как и в случае линейных цепей,
метод называется явным, если хк вы-
числяется непосредственно по той или
иной формуле. В неявных методах для
нахождения хк требуется решить нели-
нейное уравнение или систему нелиней-
ных уравнений.
Рассмотрим для простоты нелиней-
ную цепь, которая описывается диф-
ференциальным уравнением первого по-
рядка, составленным относительно про-
изводной координаты состояния (иско-
мой величины),
dx/dt = f (х, t), (27.52)
где f (х, г) — нелинейная функция коор-
динаты состояния и времени (если от
времени зависит внешнее воздействие),
зависящая от решаемой задачи. Будем
считать, что известно начальное зна-
чение х0 и существует единственное
решение уравнения (27.52). В дискретные
494
моменты времени значения хк можно
получить из (27.52), если для производ-
ной считать, что
dx/dt = (xfc — хк- i)/h,
где h - шаг интегрирования по времени.
В этом случае
х* = х*_! + hf(xk_ь 1к-о, (27.53)
что соответствует явному методу Эйлера
или Рунге-Кутта первого порядка (см.
§ 14.21). Как указывалось, этот метод
наиболее прост, но дает значительную
погрешность, так как производная
f (хк, tk) в начале k-ro интервала интегри-
рования принимается неизменной для
всего интервала. Уточнения можно до-
биться, повышая порядок метода, кото-
рый определяет, сколько раз на каждом
шаге вычисляется значение производной.
В методе Рунге-Кутта второго по-
рядка учитываются два значения произ-
водной: в начале интервала
mi = hf(xk.!, tk—2) (27.54)
и внутри него при t = tk-1 + ah,
О < а 1
т2 = hf(xk-1 + ать tk_ i + а/z). (27.55)
Вместо (27.53) получается
2a-1 1
x* = x*_1 + T-m1 + -m2)
(27.56)
что соответствует при a = 0,5 модифи-
цированному, а при a = 1 — исправлен-
ному методам Эйлера.
В практике вычислений на ЭВМ
наиболее широкое распространение по-
лучил метод Рунге-Кутта четвертого
порядка, сочетающий относительную
простоту вычислений с высокой точ-
ностью полученного решения, так как
учитываются четыре значения производ-
ной:
хк = хк_ i + —(frii + 2т2 + 2m 3 + m4),
о
(27.57)
где
mi = ^-i);
т2 = hf(xk. 1 + Ш1/2, tk. i + h/2);
m3 = hf(xk-1 + m2/2,tk.1 + h/2y, ( ’ }
= hf(xk.! + т39 tk_! + h).
Таблица 27.2
Точка 1 2 3 4 5 6
/, А 0 0,5 2,4 12 24 240
Т, Вб 0 0,2 1,1 1,5 1,63 1,97
di/dV, А/Вб 6 1,4 6,25 60 240 2400
Применяются и неявные методы
Рунге-Кутта, в которых значения гн,
входят в обе части (27.58) и требуется
их совместное решение.
Пример 27.4. Для цепи, схема которой
изображена на рис. 27.1, при помощи
ЭВМ рассчитать переходный процесс, если
цепь подключается: а) к источнику постоян-
ного напряжения I/, б) к источнику синусои-
дального напряжения.
Для аппроксимации нелинейной характе-
ристики катушки со стальным магнитопро-
водом применен кубический сплайн (см.
§ 22.8), построенный по 6 точкам характе-
ристики, приведенным в табл. 27.2.
Ток в интервале значений т < Т < Т*
i т = ik.tz2 (2у + 1) + iky2 (1 + 2z) +
+ <pn*- 1JZ2 - nky2<pz,
где
У = OF - 'F*_1)/(4'* - 4',_1); z=l-y;
<p = T*-4'*_1; n = di/dV.
В расчете переходного процесса при
синусоидальном воздействии принимается во
внимание нечетность кривой намагничивания
i(-'F)= —i('F).
Уравнение цепи d'V/dt + ri = и приведем
к виду
d'V/dt = и- гЦЧ).
Рис. 27.21
495
Оно решено методом Рунге-Кутта вто-
рого порядка с шагом /i = 5-10“4 с при
помощи ЭВМ. На рис. 27.21 приведены
кривые Т (г) и i (f), полученные при
и = U = 150 В и г = 150 Ом. Следует от-
метить существенное отличие этих кривых
от экспонент, получающихся для линейной
цепи.
На рис. 27.22 приведена кривая i (t)
при и = 300 sin 314? В и г = 3 Ом. Как следует
из полученного решения, в начальный период
наблюдается более чем десятикратное превы-
шение максимального значения тока устано-
вившегося режима.
Для решения уравнений высокого
порядка вводят дополнительные пере-
менные х, чтобы получить систему
уравнений первого порядка. Отметим,
что при описании нелинейной цепи в
пространстве состояний непосредственно
получается система дифференциальных
уравнений первого порядка, как и для
линейной цепи. Решение системы урав-
нений получают применением (27.53) —
(27.58) для каждой из переменных.
При итерационном решении нелиней-
ных дифференциальных уравнений наря-
ду с точностью, которая определяет
близость полученного дискретного реше-
ния хк к точному непрерывному x(tk)9
следует также иметь в виду устойчи-
вость вычислительных процессов. Реше-
ние дифференциального уравнения воз-
можно, если при уменьшении шага h
полная погрешность х (tk) — хк может
быть сделана как угодно малой.
Система дифференциальных уравне-
ний dx/dt = f (х, г) называется жесткой,
если якобиан ее правых частей имеет
собственные числа с резко различаю-
щимися по значению отрицательными
действительными частями.
Так, например, для нелинейной систе-
мы уравнений
dx/dt = ft (х, у) =
= — х2 4- 1000х — у2 + 2000у — 2;
dy/dt = f2 (х, у) =
= 0,5 (х2 + у2) - 1000х - 2000у + 1
матрица Якоби в точке, соответствую-
щей начальным условиям х(0) = у(0)=1,
1 II 1 998 1998 •
d/2/dx д/г/дуЦ ~ || -999 -1999
имеет действительные собственные числа
Xj = -1 и Х2 = -1000.
Для жестких систем, как правило,
явные методы оказываются неустойчи-
выми, а неявные — устойчивыми. Для ре-
шения жестких систем разработан ряд
специальных методов.
130
При задании характеристик нелиней-
ных элементов, необходимых для вы-
числения правых частей уравнения типа
(27.52), в случае расчета на ЭВМ и
табличном задании нелинейности целе-
сообразно применить сплайн-аппрокси-
Рис. 27.22
496
Для расчета переходных процессов
в нелинейных цепях можно также при-
менять аналоговые вычислительные ма-
шины, непосредственно предназначенные
для решения дифференциальных урав-
нений. В этом случае нелинейные ха-
рактеристики набираются в блоке нели-
нейности путем их кусочно-линейной
аппроксимации при помощи диодов,
резисторов и источников ЭДС.
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВОСЬМАЯ
АВТОКОЛЕБАНИЯ
28.1. Нелинейные резисторы
со спадающим участком
характеристики
При рассмотрении переходных про-
цессов в нелинейных цепях особый
интерес представляют процессы в цепях
с резистивными элементами, имеющими
спадающий участок характеристики, на
котором дифференциальное сопротивле-
ние отрицательно: гдиф = du/di < 0.
Все характеристики элементов, обла-
дающих отрицательными дифферен-
циальными сопротивлениями, можно
разделить на две группы: характе-
ристики типа S и типа N. Наимено-
вание типа соответствует начертанию
характеристики при горизонтальном
расположении оси напряжения и верти-
кальном расположении оси тока
(рис. 28.1, а и б).
Характеристиками типа S обладают
газоразрядные электровакуумные прибо-
ры (газотрон, неоновая лампа) и
электрическая дуга, у которых спадаю-
щий участок характеристики обусловлен
ионизацией междуэлектродного прост-
ранства. Характеристики типа N имеют,
например, туннельные диоды (см.
табл. 22.1).
Малые колебания тока вокруг неко-
торой точки, лежащей на спадающем
участке характеристики, соответствуют
отрицательному потреблению или отда-
че мощности нелинейным резистором.
Эта отдача мощности происходит за
счет преобразования энергии источников
постоянного тока в энергию перемен-
ного тока, отдаваемую нелинейным ре-
зистором во внешнюю цепь.
В качестве примера искусственного
получения спадающей характеристики
рассмотрим вольт-амперную характе-
ристику триода, на сетку которого кро-
ме постоянного напряжения UcQ подает-
ся дополнительное напряжение хиа/про-
порциональное и противоположное по
знаку напряжению между анодом и
катодом (рис. 28.2):
«с = Uc0 - ии„ (28.1)
где х = — dujdu* называется коэффи-
циентом обратной связи.
При определенных значениях коэф-
фициента обратной связи характеристи-
17 Основы теории цепей
Рис. 28.1
497
Рис. 28.2
ка лампы может иметь значительный
участок с отрицательным дифферен-
циальным сопротивлением. Для иллюст-
рации на рис. 28.2 построена характе-
ристика электронной лампы — триода
при напряжении на сетке (в вольтах)
ис = 40 — 0,2иа. Построение выполнено на
основании заданного семейства характе-
ристик za(ua) ПРИ различных ис.
При исследовании процессов, возни-
кающих в цепях с нелинейными резисто-
рами, имеющими спадающий участок
характеристики, первоначально будем
считать заданной вольт-амперную ха-
рактеристику нелинейного резистора. За-
тем, определив частоты гармонических
составляющих, возникающих в цепи в
переходном и установившемся процес-
сах, будем судить о том, какими
средствами может быть получена тре-
буемая нелинейная характеристика (за-
дача синтеза).
28.2. Понятие об устойчивости
режима в цепи с
нелинейными резисторами
В электрических цепях с источни-
ками постоянных ЭДС и нелинейными
резисторами, имеющими спадающий
участок характеристики, при определен-
ных условиях невозможен установивший-
ся режим с постоянным током. Не-
которые значения токов, найденные при
помощи общих методов расчета цепей
постоянного тока, не могут быть по-
лучены, так как они соответствуют не-
устойчивому режиму. Достаточно нич-
тожно малого отклонения от этих зна-
чений, чтобы начался переходный про-
цесс, приводящий к новому устойчиво-
му значению постоянного тока или к
возникновению переменного тока. По-
этому даже при расчете цепи постоян-
ного тока с нелинейными резисторами
типов S и N необходимо решить
вопрос об устойчивости полученного
режима.
Основы математической теории ус-
тойчивости были заложены трудами вы-
дающегося русского ученого, профессора
Харьковского университета А. М. Ля-
пунова. Исследуя нелинейные задачи не-
бесной механики, А. М. Ляпунов пока-
зал, что правильное суждение об
устойчивости при малых отклонениях
от состояния равновесия может быть
получено на основании линеаризации
нелинейного уравнения, т. е. замены
нелинейной характеристики касательной
в точке предполагаемого состояния
равновесия.
Предположим, что исследуется со-
стояние равновесия цепи с нелинейным
резистором при токе 1У и напряжении
иу. Раскладывая характеристику и(0 в
ряд вблизи точки равновесия и пре-
небрегая высшими степенями, получаем
“ - Uy = (л)/' -1у)'
Обозначая приращения тока и напря-
жения относительно 1У и Uy через А/ и
Ди, дифференциальное сопротивление в
точке равновесия (du/di)y — через ру, по-
лучаем закон Ома для приращений тока
и напряжения
Ди = руД/, (28.2)
причем на спадающих участках характе-
ристики ру < 0.
Составив дифференциальное уравне-
ние цепи, содержащей нелинейный ре-
498
зистор со спадающим участком характе-
ристики, для приращений Az и Au вблизи
точки равновесия получим однородное
уравнение. Его решение содержит толь-
ко свободную составляющую. Но в
отличие от реальных линейных цепей,
для которых все корни характеристи-
ческих уравнений имеют отрицательную
действительную часть и свободные
составляющие затухают, в цепях с не-
линейными резисторами типа S или N
характеристические уравнения могут
иметь корни с положительной дейст-
вительной частью. Такие корни свиде-
тельствуют о наличии нарастающих
свободных составляющих переходного
процесса, т. е. о неустойчивом режиме.
Следовательно, критерием устойчивости
состояния равновесия является отсут-
ствие в характеристическом уравнении,
составленном при линеаризации нели-
нейной характеристики в точке равно-
весия, корней с положительной дейст-
вительной частью.
При анализе устойчивости режима
большое значение имеют малые пара-
зитные емкости и индуктивности не-
линейных элементов, которыми пре-
небрегают при исследовании линейных
цепей. Опыт показал, что при анализе
устойчивости цепей, содержащих нели-
нейные резисторы типа 5, необходимо
учитывать элемент с малой индуктив-
ностью, включенный последовательно
с резистором. Для резисторов типа N,
наоборот, необходимо учитывать эле-
мент с малой емкостью, включенный па-
раллельно нелинейному резистору.
На значение малых параметров при
анализе устойчивости нелинейных цепей
впервые обратили внимание А. А. Андро-
нов и С. Э. Хайкин.
Рис. 28.3
Рис. 28.4
Пример 28.1. Исследовать устойчивость
режима в точке 3 на характеристике неоно-
вой лампы (кривая 0-1-3-2-4 на рис. 28.3)
при подключении цепи, изображенной на
рис. 28.4, к источнику ЭДС Е для двух
случаев:
а) г > | ру |; ру < 0 и б) г < | ру |; ру < 0;
здесь ру - дифференциальное сопротивление
неоновой лампы в точке 3; Lo — ничтожно
малая паразитная индуктивность, а г И С —
сопротивление резистора и емкость конден-
сатора, включенных в цепь. В обоих
случаях точка предполагаемого установив-
шегося режима (точка 3) получена в резуль-
тате пересечения кривой i (и) и прямой
i = (Е - и)/г.
Решение. Заменив нелинейное сопро-
тивление отрицательным линейным сопро-
тивлением ру и применив обычные методы
теории переходных процессов, составим ха-
рактеристическое уравнение
или после преобразования
LorCp2 + (груС + Lq)p + (г + Ру) = 6
или
р2 + 2ар + со? = 0,
где
а = (груС + Lo)/(2LorC) « py/2Lo;
«о = О* + ру)/(ЬогС).
Корни характеристического уравнения
Р1.2 = -а ± /а2 - со?.
Так как Lo ничтожно мало, ру < 0, то для
обоих случаев (рис. 28.3, а и б) а < 0.
Следовательно, по крайней мере один из
корней характеристического уравнения поло-
жителен.
Таким образом, вне зависимости от
соотношения между г и ру режим в точке 3
при ру < 0 оказывается неустойчивым.
Иной вывод получается, если пренебречь
малой индуктивностью Lq. В этом случае
17
499
Pl =
характеристическое уравнение
^-’^ттйг-0
имеет единственный корень
= - (г + ру)/(груС).
. Рассматривая полученное выражение,
можно сделать ошибочный вывод, что при
| ру | > г [вариант б на рис. 28.3 и соответ-
ствующая ему прямая i = (Eg — и)/г на
рис. 28.3] равновесие будет устойчивым.
В неустойчивых цепях с отрицатель-
ными дифференциальными сопротивле-
ниями при действии только постоянных
ЭДС могут возникать переходные про-
цессы, приводящие к колебательному
режиму — автоколебаниям.
Автоколебания, возникающие в не-
линейных цепях, можно подразделить
на: а) резко несинусоидальные или ре-
лаксационные и б) близкие к синусои-
дальным или, как их условно называют,
синусоидальные, хотя этот термин не
совсем соответствует действительности.
Рассмотрим примеры автоколебаний
каждого типа.
28.3. Релаксационные колебания
в цепи с отрицательным
резистивным сопротивлением
Возникновение релаксационных коле-
баний рассмотрим на примере цепи с
неоновой лампой (см. рис. 28.4).
Характеристика неоновой лампы ти-
па S (см. рис. 28.3) имеет область
с отрицательным дифференциальным
сопротивлением, лежащую между точка-
ми 1 и 2 при напряжении U2 < и < Ut.
Так как ток в конденсаторе ic =
= С du/dt, то, пренебрегая паразитной
ийдуктивностью, получаем следующее
уравнение:
r(i 4- С du/dt) + и = Е
или
^-=-L(E-u-ir).. (28.3)
dt rC
При постоянном токе в цепи
du/dt = 0 и
i = (Е - и)/г. (28.4)
Если параметры цепи таковы, что
прямая, выражаемая этим уравнением,
пересекает характеристику неоновой
лампы в одной точке, для которой диф-
ференциальное сопротивление отрица-
тельно (точка 3 на рис. 28.4 при
Е = Еа), и устойчивое равновесие невоз-
можно, то переходный процесс приво-
дит к возникновению незатухающих
колебаний, значительно отличающихся
от синусоидальных.
Рассмотрим последовательно раз-
личные этапы возникновения этих ко-
лебаний.
После включения цепи до тех пор,
пока конденсатор не зарядился до
напряжения U 1? ток неоновой лампы
равен нулю и конденсатор С заряжает-
ся через резистор г, как и в линейной
rC-цепи (см. § 14.7), по закону
/ ис = Еа(1-^/гС).
Когда напряжение на конденсаторе
в момент t — ti достигает значения Ui
(рис. 28.3), неоновая лампа зажжется и,
так как напряжение на ней из-за
параллельно подключенного конденсато-
ра не может измениться скачком, ток
лампы практически мгновенно увеличит-
ся от нуля до значения Л (точки 1 и Г
на рис. 28.3).
С этого момента времени tr процесс
описывается нелинейным дифферен-
циальным уравнением (28.3). Скорость
изменения напряжения на неоновой лам-
пе du/dt, которая пропорциональна го-
ризонтальному отрезку между прямой
i = (Еа — и)/г и кривой i (и) (на рис. 28.3
эти отрезки показаны штриховкой), ста-
новится отрицательной. Конденсатор на-
чинает разряжаться через неоновую лам-
пу. Зависимость напряжения и от вре-
мени при разрядке конденсатора можно
качественно оценить графическим ин-
тегрированием непосредственно из урав-
нения (28.3):
и
Г rCdu
t = ti 4- —--------—•
J Ea — и — ir
Напряжение на конденсаторе убы-
вает до тех пор, пока не снизится
в момент времени t2 до значения U2 и
500
неоновая лампа не погаснет (точки 2 и
2' на рис. 28.3).
Дальнейшая зарядка конденсатора от
напряжения погасания до напряжения
второго зажигания неоновой лампы
происходит аналогично первоначальной
зарядке.
Итак, в цепи устанавливается пе-
риодический процесс попеременной за-
рядки и разрядки конденсатора; этот
процесс представлен на рис. 28.5.
Для получения линейного изменения
напряжения при зарядке конденсатора
вместо резистора г включают насы-
щающийся диод, а для ускорения раз-
рядки конденсатора вместо неоновой
лампы применяют тиратроны с больши-
ми значениями тока зажигания Л, кото-
рые обеспечивают большую скорость
разрядки конденсатора С (отрезок Г —Г
на рис. 28.3). Так могут быть полу-
чены напряжения пилообразной формы,
необходимые, например, для развертки
луча на экране электронно-лучевого ос-
циллографа.
28.4. Близкие к синусоидальным
колебания в цепи
с отрицательным резистивным
сопротивлением
Для уяснения условий получения не-
затухающих синусоидальных колебаний
рассмотрим колебательный контур, под-
ключенный к источнику постоянной
ЭДС Е (рис. 28.6) через нелинейный
резистивный элемент с сопротивлением
типа N (рис. 28.7). При анализе устой-
чивости этой цепи паразитная емкость
может считаться включенной в емкость
С конденсатора.
Так как в рассматриваемой цепи
напряжение на конденсаторе ис — Е — и,
а ток ic = Cdu( /dt = — Cdu/dt, то по
второму закону Кирхгофа получаем сле-
дующее уравнение:
к d2u du r di
LC -г-^+гС ——I- и 4- L— 4- ir = E. (28.5)
dt2 dt dt v
При постоянном токе в цепи все
производные должны обратиться в
нуль и
i = (Е - и)/г. (28.6)
Допустим, что параметры цепи по-
добраны так, что прямая, описываемая
этим выражением, пересекает характе-
ристику нелинейного элемента в одной
точке (точке равновесия Л), для которой
дифференциальное сопротивление отри-
цательно (рис. 28.7). Пусть в момент
включения цепи напряжение на конден-
саторе и ток в катушке равны нулю.
Тогда сразу же после замыкания ключа
напряжение и на нелинейном резисторе
равно ЭДС источника Е и по мере
зарядки конденсатора напряжение и =
= Е — ис убывает, казалось бы, прибли-
жаясь к значению UА, соответствующе-
му точке равновесия^
Для анализа переходного процесса
рассмотрим условие равновесия, соответ-
ствующего точке Л. Заменив нелиней-
ный элемент дифференциальным сопро-
тивлением рл в точке Л, составим
характеристическое уравнение для при-
ращений и и i относительно этой
точки:
Z (р) = г 4- pL 4-
Рл/рС =0
рл + 1/рС
или после преобразований
р2 4- 2ар 4- соо = 0, (28.7)
1 / г 1 \ 2 1 А
где а = — —+— ; <ot = — 1+ — •
2 \ L pACJ LC\ pAJ
Корни уравнения (28.7)
Pi, 2 = - а ± /а2 - «о = - а ± jcoCB, (28.8)
где сосв = ]/а>о - а2.
Предположим, что корни комплекс-
ные (а>о > а2) и свободные колебания в
501
цепи могут быть выражены формулой
(14.54). Поскольку рА < 0, коэффициент
затухания а может быть как положи-
тельным, так и отрицательным. Если
О > рА > — L/rC, то а < 0, режим в точке
А неустойчив и свободные колебания,
возникающие в цепи с частотой сосв,
нарастают.
Таким образом, в цепи не устанав-
ливается, как можно было бы предпо-
ложить, постоянный ток, а возникают
автоколебания, амплитуда которых по-
степенно увеличивается до тех пор,
пока значения тока и напряжения на
нелинейном элементе не выйдут за преде-
лы спадающего участка характеристики.
Переход на участок характеристики с
положительным дифференциальным со-
противлением ограничивает амплитуду
колебаний, в цепи устанавливаются прак-
тически синусоидальные колебания с
частотой, близкой к сосв.
28.5. Фазовые траектории процессов
в цепи с отрицательным
резистивным сопротивлением
Если в колебательный контур
(рис. 27.17, а) вместо резистора г вклю-
чен нелинейный элемент с отрицатель-
ным дифференциальным сопротивле-
нием, который в определенном диапа-
зоне изменения тока может быть за-
менен источником постоянной ЭДС и
элементом с отрицательным сопротив-
лением г = гДИф < 0, то коэффициент
затухания а = r/2L оказывается отрица-
тельным. В этом случае переходный
процесс не затухает, а нарастает.
На рис. 28.8 представлены фазовые
траектории для 0 > г > — гкр и г < — гкр,
где гкр = 2]/L/C ; здесь так же как и при
положительных значениях г (см. § 27.6),
точка равновесия одна, однако теперь
она неустойчива. При 0 > г > — гкр эта
точка называется неустойчивым
фокусом, а при г — гкр — неус-
тойчивым узлом. В обоих случаях
достаточно ничтожного отклонения от
положения равновесия для возникнове-
ния лавинообразного процесса, уводя-
щего представляющую точку далеко от
положения равновесия в область, где
дифференциальное сопротивление уже
перестает быть отрицательным и пере-
ходный процесс затухает.
Фазовые траектории могут быть
построены методом изоклин так же,
как это сделано в § 27.6. На рис. 28.9
показано семейство изоклин для г > — гкр
и нанесены две возможные фазовые
траектории. Построение полностью ана-
логично выполненному на рис. 27.18.
В цепях с нелинейными резисто-
рами, имеющими спадающие характе-
ристики, устанавливается режим, изобра-
жаемый на фазовой плоскости либо
точкой (устойчивый фокус или узел),
либо замкнутой кривой, которую назы-
вают предельным циклом. Эта
замкнутая кривая состоит из участков
Рис. 28.8
502
развивающихся спиралей или парабол
(рис. 28.8, а и б), соответствующих
нарастающим процессам в областях с
отрицательным дифференциальным со-
противлением, и участков свивающихся
спиралей или парабол (рис. 27.17, в и г),
изображающих затухающие процессы в
областях с положительным дифферен-
циальным сопротивлением.
Изучение замкнутых фазовых траек-
торий кроме простоты их графического
анализа и возможности качественной
оценки протекающего процесса полезно
еще потому, что их легко получить
опытным путем при помощи электронно-
лучевого осциллографа.
Простейшая схема наблюдения фазо-
вой траектории периодического про-
цесса на экране электронно-лучевой
трубки приведена на рис. 28.10. Здесь
исследуемая величина представлена в
виде напряжения и. Это напряжение
непосредственно подается на горизон-
тальные отклоняющие электроды элект-
ронно-лучевого осциллографа ЭО и дает
отклонение луча по оси х, пропор-
циональное и. Для получения верти-
кального отклонения луча, пропор-
ционального у = du/dt, применяется диф-
ференцирующая цепочка, состоящая из
конденсатора С и резистора г, причем
сопротивление г выбирается так, чтобы
напряжение на нем было много меньше
напряжения на конденсаторе. При этом
ток в резисторе г, а следовательно,
и напряжение на нем пропорциональны
du/dt. Это напряжение усиливается при
помощи усилителя и подается на вер-
тикальные отклоняющие электроды
электронно-лучевого осциллографа ЭО.
Таким образом, оказывается, что го-
ризонтальное отклонение луча пропор-
ционально исследуемому напряжению и,
а вертикальное отклонение луча про-
порционально du/dt, и кривая, очерчен-
ная лучом на экране электронно-лу-
чевой трубки, представляет собой фазо-
вую траекторию изучаемого предельного
цикла.
28.6. Фазовые траектории
процесса в генераторе
синусоидальных колебаний
Рассмотрим на фазовой плоскости
процессы, которые возникают в цепи,
изображенной на рис. 28.6, применив
для анализа метод кусочно-линейной
аппроксимации характеристики.
Выразив нелинейную характеристику
i(u) (рис. 28.7) в виде четырех прямо-
линейных участков (рис. 28.11, а) и при-
нимая в качестве координат фазовой
плоскости х = и = Е — ис и у = du/dt =
= —duc/dt, можно и фазовую плоскость
разбить на четыре области (рис. 28.11,6).
Запишем линейное уравнение участка
характеристики i (и) и дифференциальное
уравнение (28.5) для каждой из этих
областей:
d2u du
область 7: i = 0;LC-rT-FrC—= E
dt dt
при u < 0; (28.9)
и d2u /
область II: i =LC—^+lrC +
Pi dt2 \
503
Рис. 28.11
L\du / r\
4---— 4- 14-----]u = E при
Pi J dt \ Pi/
0<u< Ut;
(28.10)
TTT U — ^2 T d2u
область III: i —---------; LC -7^-
P2 dt
( „ L\ du A r \ TT r
+ I rC 4-I -j—h I 1 4-) и — E+U 2
\ P2/ dt \ p2/ p2
при Ci <u < U2; (28.11)
d2u du
область IV'. i =0; LC-r?+rC—-+u = E
dt2 dt
при и > U2. (28.12)
Здесь для прямой 0 — 1 сопротивле-
ние pi = du/di > 0, а для прямой 2 — 1
сопротивление р2 = du/di < 0.
Находя корни характеристического
уравнения для каждой из областей,
получаем, что для контура с высокой
добротностью (г <$: ]/L/C) параметры
цепи можно выбрать так, чтобы во
всех четырех областях переходные про-
цессы были колебательными.
При этом в областях 7, II и IV
коэффициент затухания а всегда поло-
жителен и, следовательно, колебания
затухают, а в области III он стано-
вится отрицательным и колебания на-
растают.
Таким образом, в областях I, II и IV
фазовые траектории аналогичны гра-
фику на рис. 27.17, в, причем центры
спиралей являются устойчивыми фоку-
сами и соответствуют значениям и — Е
для областей I и IV и и = piE/(pi 4-г) =
= Uв для области II (см. точки а и
В на рис. 28.11), что следует из
уравнений (28.10) при du/dt — d2u/dt2 = 0.
В области III фазовые траектории
аналогичны показанным на рис. 28.8, а,
центр спиралей является неустойчивым
фокусом; его координата соответствует
условию
u = (р2Е + rU 2)/(р2 + г) = иА,
и он лежит в области III (рис. 28.11).
На границе двух областей должны
выполняться условия «припасовывания»
или «сшивания» фазовых траекторий
соседних областей. Так как напряжение
ис по закону коммутации не может
измениться скачком, то, следовательно,
не может измениться скачком и
и = Е — ис. В таком случае не может
изменяться скачком и ток i в нелиней-
ном элементе, представляющий собой
непрерывную функцию напряжения и.
Также остается непрерывным и ток
конденсатора ic = Cduc/dt, являющийся
суммой тока i и тока в катушке
индуктивности, который по закону ком-
мутации не может измениться скачком,
а следовательно, не может измениться
скачком и du/dt = —duc/dt. Итак, усло-
вием «сшивания» фазовых траекторий
является непрерывность и и du/dt, т. е.
непрерывность движений изображающей
точки при переходе из одной области
в другую.
На рис. 28.11,6 изображены фазо-
вые траектории процессов в рассматри-
ваемой цепи. Из построения видно, что
центр спиралей фазовых траекторий в
областях I и IVлежит вне этих областей
(точка а), так же как и центр спиралей
фазовых траекторий области II (точка В
вне области II). В области III центр
504
Рис. 28.12
На рис. 28.12 дана фотография
осциллограммы нарастания колебаний и
предельного цикла с экрана электронно-
лучевого осциллографа, включенного по
схеме рис. 28.10. Амплитуда напряже-
ния на конденсаторе ис определяется как
горизонтальная полуось эллипса, а час-
тота сосв в соответствующем масштабе
равна отношению отрезков вертикаль-
ной и горизонтальной осей (рис. 28.11,6).
28.7. Автоколебания в электрической .
цепи с положительной
обратной связью
развивающихся спиралей соответствует
неустойчивой точке равновесия типа
фокуса и находится внутри области в
точке А. Точка А — единственная точка
равновесия рассматриваемой цепи — не-
устойчивый фокус; следовательно, в цепи
не может установиться постоянный ток.
Путем построения ряда фазовых
траекторий для различных начальных
условий можно убедиться, что при лю-
бых начальных условиях включение цепи
приводит к периодическим колебаниям,
изображаемым на фазовой плоскости в
виде предельного цикла. Так, если на-
чальные условия соответствуют точке,
лежащей внутри области, ограниченной
предельным циклом (точка а'), то" коле-
баний» в цепи нарастают, пока не
достигнут значения, соответствующего
предельному циклу. Если же точка,
характеризующая начальные условия, ле-
жит вне этой области (точка Ь), то
возникшие колебания затухают до зна-
чения, соответствующего предельному
циклу. В обоих случаях фазовая траек-
тория как бы наматываете^ на пре-
дельный цикл.
Предельный цикл установившегося
колебательного процесса относительно
мало отличается от эллипса, т. е. воз-
никают колебания вокруг точки равно-
весия 4, близкие к синусоидальным.
В реальной цепи плавные переходы
характеристики вместо изломов в точ-
ках О, 1 и 2, принятых при кусочно-
линейной аппроксимации (рис. 28.11, а),
еще более приближают действительный
предельный цикл к эллипсу.
Ранее были рассмотрены автоколе-
бания в цепи с нелинейным резисто-
ром, имеющим на характеристике учас-
ток с отрицательным наклоном.
Для расчета автоколебаний, блйзких
к синусоидальным, более распространен
иной подход с рассмотрением авто-
колебательной системы как нелинейного
усилителя, выход которого подключен
к его входу через четырехполюсник
с соответствующей передаточной функ-
цией. Структурная схема такой цепи
показана на рис. 28.13. Здесь усилитель
преобразует напряжение входа ивх в
напряжение выхода ивых, а четырех-
полюсник обратной связи преобразует
сигнал выхода ивых в сигнал ивх, посту-
пающий на вход усилителя.
Если на вход усилителя поступает
синусоидальный сигнал uBX = sin art, то
после прохождения через нелинейный
усилитель форма его искажается и кро-
ме 1-й гармоники с частотой а) появятся
высшие гармоники. Сигнал на выходе
усилителя может быть записан следую-
505
щим образом:
W.«x = ^lmSin((Bt + l|fi) +
+ £ l/*msin(ka>t + W. (28.13)
к = 2
Основное значение для возбуждения
автоколебаний имеет первый член выра-
жения (28.13), представляющий собой 1-ю
гармонику сигнала на выходе. Учиты-
вая, что звено обратной связи является
фильтром низких частот и при про-
хождении сигнала ивых через четырех-
полюсник обратной связи высшие гар-
моники существенно уменьшаются, мож-
но ограничиться рассмотрением только
первой гармоники сигнала на выходе.
В таком случае для комплексных вы-
ражений синусоидальных сигналов (7ВХ и
Увых можно записать следующую зави-
симость :
[/вых == KU3K9 (28.14)
где К представляет собой комплексный
коэффициент усиления нелинейного уси-
лителя (для первой гармоники):
К = = KeN-.; (28.15)
здесь К — модуль комплексного коэф-
фициента К9 представляет собой не-
линейную функцию амплитуды входного
сигнала:
K = Uim/Um = K(Um). (28.16)
Для электронных усилителей в зави-
симости от схемы аргумент комплекс-
ного коэффициента усиления = 0 или
\|/i = п и соответственно К = К или
К = — К. Цепь обратной связи обычно
линейная и передаточная функция этой
цепи
х = ^вх/1/вых = хе^х (28.17)
представляет собой функцию частоты со,
т. е. х = х(со).
Рассматривая совместно (28.15) и
(28.17), найдем условия существования
автоколебаний:
K(t/Jx(co)= 1. (28.18)
Комплексное уравнение (28.18) дает
возможность определить амплитуду Um
и частоту соо колебаний, возбуждаемых
в цепи. Оно может быть представлено
в виде двух уравнений, выражающих
связь между модулями и аргументами
комплексов К и х.
Уравнение для модулей (баланс
амплитуд)
K(l/W)x(co) = l; (28.19)
уравнение для аргументов (баланс фаз)
+ Фх = 0; 2ия. (28.20)
В зависимости от характера кривой
K((/w) различают два различных усло-
вия возбуждения автоколебаний в цепи.
На рис. 28.14, а показаны два варианта
характеристик нелинейного усилителя, а
на рис. 28.14,6 — соответствующие им
зависимости модуля коэффициента уси-
ления К от амплитуды сигнала на входе
Um. Для этих двух вариантов на
рис. 28.15, а и 28.16, а показаны точки на
характеристике K(Um)9 получающиеся в
результате решения уравнения (28.19). В
первом случае имеет место одна точка
устойчивого решения. Этот вариант
(рис. 28.15, а) носит название условий
мягкого возбуждения автоколебаний.
При любом сколь угодно малом началь-
ном импульсе в цепи возбуждаются
автоколебания, амплитуды которых Uma
определяются по точке пересечения ха-
рактеристики K(Um) и прямой 1/х.
Во втором случае (рис. 28.16, а)
получаются две точки (а и Ь). Первая
из них —’ на нисходящем участке характе-
ристики, а вторая — на восходящем. Точ-
506
Рис. 28.16
ка а соответствует устойчивым, а точка
b — неустойчивым колебаниям. Этот ва-
риант носит название жесткого возбуж-
дения автоколебаний. При малом на-
чальном импульсе колебания не возбуж-
даются. Для их возбуждения необ-
ходимы начальные условия, при которых
получается амплитуда сигнала на входе
больше Umb. Только в этом случае
автогенератор возбудится и амплитуда
сигнала на входе достигнет Uma.
Наглядное представление о мягком
и жестком возбуждениях автоколеба-
ний дает изображение процесса на фазо-
вой плоскости. Обозначив ивх = х и
duBX/dt = у, можно построить в коорди-
натах х, у переходные процессы воз-
буждения автоколебаний. Такие построе-
ния выполнены на рис. 28.15,6 и
28.16,6. Предельные циклы установив-
шихся автоколебаний на рисунках пока-
заны сплошной линией, а граница воз-
никновения автоколебаний в случае
жесткого возбуждения на рис. 28.16,6
показана штриховой линией.
Рассматриваемые явления в элект-
ронных цепях имеют множество анало-
гов в механических, тепловых и других
системах. Типичными примерами жест-
кого возбуждения автоколебаний могут
служить часы с маятником, требующие
для их пуска начального отклонения
маятдика, превышающего некоторое
критическое значение, автомобильный
двигатель, требующий включения стар-
тера для его пуска, и др.
Механические аналоги позволяют,
как это было сказано Максвеллом,
«понять какие-либо представления или
закон одной отрасли науки с помощью
представления или закона, взятых из
другой отрасли науки».
Пример 28.2. Определить частоту авто-
колебаний и коэффициент усиления тран-
зисторного усилителя в низкочастотном КС-
автогенераторе, схема которого представлена
на рис. 28.17.
Решение. Для рассматриваемой схемы
К = Свых/Свх имеет действительное отрица-
тельное значение, т. е. \|/! = п. Следовательно,
для возбуждения автоколебаний необходимо,
чтобы аргумент коэффициента передачи \|/х
был равен п (или любому нечетному числу,
умноженному на л). Запишем для цепи обрат-
ной связи — фазосдвигающей цепочки, со-
стоящей из трех резисторов сопротивлением
R и трех конденсаторов емкостью Сг = С2 =
= С3 = С, уравнения по первому и второму
законам Кирхгофа: U2 = KZ3, Z3 = усоССсз,
С2 4- С(7з = K/2> /з 4- [1 = j®CUc2> U2 4"
4- и_сз + У.С2 ~ ^/1, /з 4* [1 “Ь /1 = JCOCCci,
U। = U2 4" Ucl 4" Uci 4* Ссу (Емкость С' в
цепи обратной связи выбрана такой, чтобы
сопротивление 1/соС' было мало.) После их
совместного решения получим
х= ^2_=_________________1______________
- Ur 1 4-6/усоКС 4-5/(/соКС)2 4-1/0'соКС)3 ’
507
Рис. 28.18
Из условия \|/х = л находим со = соо —
= l/]/f>RC и соответственно к (соо) = —1/29.
Отсюда следует, что для возбуждения авто-
колебаний с частотой соо необходимо, чтобы
коэффициент усиления усилителя был боль-
ше, чем 29.
После построения зависимости K(Um)
по точке а при К — 29 можно найти ампли-
туду автоколебаний генератора Uma (см.
рис. 28.15, а и 28.16, а).
Пример 28.3. Определить частоту автоко-
лебаний, ток катушки индуктивности L и
амплитуду переменного напряжения в цепи
сетки электронной лампы для высокочас-
тотного лампового генератора, схема кото-
рого изображена на рис. 28.18, а.
Решение. Для переменных составляю-
щих напряжений и токов схема замещения
рассматриваемой цепи представлена на
рис. 28.18,6. Здесь имеется в виду, что для
переменного тока <oL6 очень велико, а
1/соСб « 0, 1/соСк « 0, схема замещения элект-
ронной лампы представлена согласно
рис. 22.12, а зависимость коэффициента
усиления электронной лампы от амплитуды
сигнала на сетке ц(171ш) известна. Рабочая
точка задается значением сопротивления RK.
По закону электромагнитной индукции
— Ur* — И по формуле двух
узлов (см. § 1.8) напряжение на конденсаторе
ТТ _гг ____________Ж___________F
-С -3 1/Я, + 1/(R + >L) + >С эк‘
Выразив U3 через ток в катушке I =
= U3/(R + jaL), получим
х=-^ =
^эк
_ —jwM
~ (R + R^ + > (L + CRiR) + (j<d)2RiLC'
Коэффициент усиления электронной лам-
пы в рассматриваемой схеме
К = -р = -К = Kejn.
Поэтому для выполнения баланса фаз
требуется, чтобы аргумент коэффициента
обратной связи \|/х = п при Кх = 1.
Это обеспечивается соответствующим
включением катушек в анодной цепи и в
цепи сетки, начала которых показаны точ-
ками на рис. 28.18, а. При частоте, удовлет-
воряющей условию (a2RiLC = R + Ri или
со = соо — j/(R + RJ/RiLC, в выражении х
508
должен быть знак минус и
х (соо) = -M/(L+ CRRi).
Амплитуда колебаний Um определяется
по характеристике K(Um) при К = 1/х (соо) =
= (L+ CRRi)/M. Амплитуда тока катушки
в анодной цепи при этом Im — VJoqM.
Так определяются все параметры авто-
колебаний в схеме генератора.
Для суждения об устойчивости ав-
токолебаний, амплитуда и частота кото-
рых определяются точками а и Ь, можно
рассмотреть близкие к гармоническим
колебания с медленно меняю-
щейся амплитудой. Обозначим
Um амплитуду автоколебаний, соответ-
ствующих точкам а или Ь; колебания
вблизи этих точек с медленно меняю-
щейся амплитудой могут быть выраже-
ны следующим образом:
«вых = ите‘ sin (rot + ф),
где | а | oi
Затухание или нарастание колебаний
характеризуется знаком коэффициента а.
При ос > 0 амплитуда растет и точка
выражает неустойчивые колебания (Ь),
а при ос < 0 амплитуда уменьшается и
точка характеризует устойчивые колеба-
ния (а).
При медленно меняющихся колеба-
ниях передаточная функция линейной
части вблизи автоколебательного ре-
жима
х = х (ос 4- j(o).
В окрестности точки, определяющей
автоколебательный режим, уравнение
(28.18) имеет вид
l/K(Um) = XH(Um) +jYH(Um) = х (ос + » =
= Хл(а,со)+уУл(ос,ш), (28.21)
где индекс «н» относится к нелинейной
части цепи, а индекс «л» — к линейной.
Отсюда следует, что а и со являются
функциями амплитуды колебаний Um.
В автоколебательном режиме ос = 0.
Если при отклонении системы от уста-
новившегося режима с ростом ампли-
туды напряжения wBbIX (t) коэффициент а
возрастает и становится положитель-
ным, то амплитуда UmeM возрастает и,
следовательно, автоколебания неустой-
чивы. Если же, наоборот, с ростом
амплитуды коэффициент а убывает и
становится отрицательным, то колеба-
ния устойчивы, так как их амплитуда
с течением времени уменьшается, возвра-
щая систему к первоначальному режиму.
Условия устойчивости автоколеба-
ний в точке сводятся к выполнению
неравенств: da/dUm < 0, если колебания
устойчивы, и, наоборот, da/dUm > 0, если
они неустойчивы.
Условие устойчивости автоколеба-
ний может быть получено на основании
дифференцирования уравнения (28.21) по
Um и приравнивания действительных
и мнимых частей:
dXK _ дХл da
dUm да dUm
dYH _ дУл da
dUm да dUm
дХл do
do dUm9
аул do
do dUm ’
(28.22)
Учтем, что на основании условий
Коши — Римана для аналитических
функций комплексного переменного
ахл _ аУл , дУл = дхл
да до 9 да до 9
подставим (28.23) в (28.22) и решим
уравнения относительно da/dUm\
da _(dYJl/do)dXH/dUm—(dXJl/do)dYH/dUm
dUm~ {дХл/до)2+ {dYn/do)2
Так как знаменатель полученного
выражения всегда положителен, то усло-
вия устойчивости автоколебаний могут
быть сформулированы следующим не-
равенством:
(dYn/do)dXn/dUm - (дХл/до) dYH/dUm < 0.
(28.24)
Если коэффициент усиления К (Um) =
= — K(Um), т. е. не имеет мнимой со-
ставляющей (Ун = 0), то вместо (28.24)
получаем
(aYJdo) dXJdUm < 0. (28.25)
На основании полученных неравенств
можно подтвердить приведенное ранее
суждение об устойчивости автоколеба-
ний в точках а и b (см. рис. 28.15, а
и 28.16,а).
509
Пример 28.4. На основании метода мед-
ленно меняющихся амплитуд составить суж-
дение об устойчивости автоколебаний в
примерах 28.2 и 28.3, если зависимость
коэффициента усиления нелинейного усили-
теля К имеет вид кривой 2 (рис. 28.14,6)
и при этом К = — К.
Решение. Для примеров 28.2 и 28.3
частотные годографы х = Хл (со) + ;УЛ (со) по-
строены на рис. 28.19, а и б. В обоих слу-
чаях при частоте соо производная дУл/дю > 0.
Для того чтобы автоколебания были устой-
чивы в соответствии с неравенством (28.25),
должно выполняться неравенство dXJdUm <
< 0, т. е. зависимость Хп (U^ должна иметь
отрицательный наклон (dK/dUm < 0) (см.
точку а на рис. 28.15, а и 28.16, а).
28.8. О хаотических колебаниях
в нелинейных цепях
Во всех главах настоящей книги
были рассмотрены только детермини-
рованные явления, при которых урав-
нения, описывающие электрическую цепь
и внешние воздействия на нее в виде
известных функций при заданных началь-
ных условиях, предопределяли совершен-
но определенное, однозначное решение
задачи.
Такие явления наблюдаются практи-
чески во всех электротехнических
устройствах.
Однако в последние годы приобре-
тает все возрастающее значение изуче-
ние хаотических, случайных явлений,
которые не имеют периодического уста-
новившегося решения и не могут быть
полностью описаны детерминированны-
ми функциями.
В теории связи и управления наряду
с детерминированными внешними воз-
510
действиями изучаются сигналы, описы-
ваемые случайными функциями времени
[17]. Рассмотрение линейных и нелиней-
ных электрических цепей со случайными
внешними воздействиями выходит за
пределы курса ТОЭ, но и при извест-
ных, чисто детерминированных внешних
воздействиях в некоторых нелинейных
цепях возможно возникновение сложных,
хаотических, непредсказуемых процес-
сов. Исследование подобного рода
явлений в последнее десятилетие пред-
ставляет особый интерес в связи с боль-
шими возможностями, которые дает вы-
числительная техника для изучения по-
добных явлений [19].
Для того чтобы дать понятие о
такого рода явлениях, рассмотрим по-
следовательный контур с нелинейным
конденсатором при известной характе-
ристике ис (q) и с источником сину-
соидального напряжения и = Um sin cot.
Уравнение для заряда конденсатора
имеет вид
L^-+K-^-+uc (<?) = «. (28.26)
Казалось бы, что решение этого
уравнения при любых параметрах, за-
данных начальных условиях и известной
функции uc(q) должно дать определен-
ную функцию времени q(t). Исследова-
ние этого уравнения при помощи ана-
литических методов не представляется
возможным, и его решение требует
численных методов и применения анало-
говой или цифровой вычислительной
техники. Такое исследование приводит
к неожиданным результатам. Оказыва-
ется, что только при определенных
диапазонах значений параметров цепи
в ней возникают детерминированные
периодические процессы. Характер этих
процессов зависит от области простран-
ства параметров электрической цепи.
При этом существуют такие области
значений параметров цепи, при которых
в ней возникают хаотические неперио-
дические колебания, вид которых зависит
от начальных условий.
Приведем некоторые результаты ис-
следований таких процессов, выполнен-
ных при помощи ЭВМ в случае
конденсатора с нелинейной характе-
ристикой
ис = aq3, (28.27)
так что уравнение (28.26) принимает вид
ьЙ- + R~ + aq3 = Um sin cot. (28.28)
at at
Переходя к безразмерному времени
т = cot и относительной координате х =
получим
d^x dx
-тт + ос — + х3 = Л sin т, (28.29)
с/т2 с/т v 7
где параметр диссипации а = R/^L и
относительная амплитуда Л = (C7m/co3L) х
х ]/o/L
Уравнение (28.29) носит название
уравнения Дуффинга, его решение при
правой части, не зависящей от времени,
дает однозначный результат и может
быть легко исследовано при помощи
фазовой плоскости. Наличие функции
времени в правой части существенно
усложняет его решение, и для решения
каждой конкретной задачи требуется
аналоговая или цифровая вычислитель-
ная техника. Зная начальные условия и
параметры цепи, описываемой уравне-
нием (28.29), при помощи ЭВМ можно
найти решение для любого интервала
времени, начинающегося с t = 0.
Пример 28.5. Найти установившиеся ко-
лебания в цепи, описываемые уравнением
(28.29), если 0 < А < 12 и а = 0,35.
Решение. При помощи описанного
в § 27.8 метода Рунге — Кутта были рас-
считаны различные переходные процессы
для х (0) = 0 и х (0) = 0. Расчеты (см.
«Электричество». 1987. № 7) показали, что
только для ряда относительно узких диапа-
зонов изменения А в цепи существуют
511
Рис. 28.21
периодические установившиеся колебания,
частота которых равна со, со/2, со/4, со/8, со/3.
Вне этих диапазонов колебания носят хао-
тический характер и не наступает регуляр-
ный установившийся режим. На рис. 28.20
показана зависимость периода колебаний Т
от амплитуды при неизменном параметре а.
Области, для которых Т->оо, соответ-
ствуют хаотическим колебаниям, не завер-
шающимся периодическим установившимся
режимом.
При 0 < А < Л5 в цепи устанавливаются
периодические колебания, период которых
соответственно Т = То = 2тг/со, Т= 2Т0, Т=
= 4Т0, Т=8Т0 и т. д. Он удваивается
при А = А = Л2, А = Л3 и т. д. Далее
при А > А5 наступают хаотические колебания,
для которых Т-> оо. При А = А6 в цепи
снова возникают периодические колебания с
периодом Т= ЗТ0. Эти колебания с утроен-
ным периодом происходят в диапазоне
изменения А от А6 до Л7. Далее с изме-
нением А чередуются области хаотических
и периодических колебаний и при А > Л12
снова возникают периодические колебания
с Т= То.
На рис. 28.21 показаны некоторые фа-
зовые траектории х (х), а именно для колеба-
ний с периодом То (А = 6,5 на рис. 28.21, а),
2Т0 (Л = 8,0 на рис. 28.21,6) и 4Т0 (А =
= 8,5 на рис. 28.21, в).
В нелинейных цепях, описываемых
уравнениями более высокой степени,
переходы от порядка к хаосу и обратно
наблюдаются и при постоянном напря-
жении источника питания.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенные в книге основы теории
цепей представляют собой две части
курса «Теоретические основы электро-
техники». Этот курс кроме теории це-
пей включает третью часть курса —
теорию электромагнитного поля, кото-
рая основана на широком практическом
применении векторного анализа, изуча-
емого в курсе высшей математики.
В теории электромагнитного поля на
основе более глубокого, чем в курсе
физики, изучения физических основ
электротехники и электродинамики и
применения дифференциальных форм
уравнений Максвелла рассматриваются
электромагнитные поля в самых различ-.
ных электромагнитных и электромеха-
нических устройствах электротехники и
приводятся аналитические и численные
методы расчета электромагнитных полей
как в неподвижных, так и в движу-
щихся системах. При этом в отличие
от общего курса физики и теории цепей,
где закон электромагнитной индукции
применяется только в интегральной
форме (см., например, § 3.7), на основе
понятия векторного потенциала может
быть рассчитана напряженность Еинд
в любой точке, определяемая как част-
512
ная производная по времени от век-
торного потенциала для любой практи-
ческой задачи.
В настоящей книге рассматривались
только детерминированные задачи, в ко-
торых все внешние источники ЭДС и
токов были заданы в виде определен-
ных аналитических функций, а параметры
элементов электрических цепей были
однозначно заданы в виде численных
значений, функций времени или нелиней-
ных характеристик. Эти задачи не
исчерпывают всех возможностей поста-
новок практических вопросов. Может
быть сформулирован ряд задач, носящих
неопределенный, вероятностный ха-
рактер. Внешние воздействия и пара-
метры цепей могут быть заданы случай-
ными или вероятностными функциями.
Решение таких задач осуществляется
методами статистической электродина-
мики, изучение которых выходит за пре-
делы курса теории цепей. Предпола-
гается, что в зависимости от учебного
плана каждой специальности вопросы
применения методов статистической
динамики рассматриваются в профили-
рующих курсах «Радиотехнические цепи
и сигналы» или «Теория автомати-
ческого управления» (см., например,
[17, 21]).
Предполагается также, что эти курсы
основываются на знании основ теории
цепей, изложенных в настоящем учеб-
нике.
Список литературы
Основной
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы
электротехники. Электрические цепи. М.: Выс-
шая школа, 1984. 559 с.
2. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теорети-
ческие основы электротехники, Т. 1,2. Л.: Энер-
гоиздат, 1981, 536 с. (т. 1), 416 с. (т. 2).
3. Теоретические основы электротехни-
ки/Под ред. проф. П. А. Нонкина. Т. I. Основы
теории линейных цепей. М.: Высшая школа,
1979. 544 с. Т, II. Нелинейные цепи и основы
электромагнитного поля. М.: Высшая школа,
1976. 383 с.
4. Сборник задач и упражнений по теорети-
ческим основам электротехники/Под ред. проф.
П. А. Нонкина. М.: Энергоиздат, 1982. 768 с.
Дополнительный
5. Белецкий А. Ф. Теория линейных элект-
рических цепей. М.: Радио и связь, 1986. 544 с.
6. Гиллемин Э. А. Синтез пассивных цепей.
М.: Связь, 1970. 720 с.
7. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошни-
ченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука,
1980. 352 с.
8. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез.
М.: Связь, 1973. 368 с.
9. Манаев Е. И. Основы электроники. М.:
Радио и связь, 1985. 504 с.
10. Матханов П. Н. Основы анализа элект-
рических цепей. Линейные цепи. М.: Высшая
школа, 1981. 333 с. Нелинейные цепи. М.: Выс-
шая школа, 1986. 352 с.
11. Матханов П. Н. Основы синтеза линей-
ных электрических цепей. М.: Высшая школа,
1976. 208 с.
12. Основы теории цепей/Г. В. Зевеке, П. А.
Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов. М.:
Энергия, 1975. 752 с.
13. Поливанов К. М. Ферромагнетики.
М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958. 254 с.
14. Попов В. П. Основы теории цепей. М.:
Высшая школа, 1985. 496 с.
15. Расчет электрических цепей и электро-
магнитных полей на ЭВМ/Под ред. Л. В. Дани-
лова, Е. С. Филиппова. М.: Радио и связь, 1983.
344 с.
16. Тафт В. А. Электрические цепи с пере-
менными параметрами. М.: Энергия, 1968.
328 с.
17. Теория автоматического управле-
ния/Под ред. проф. А. В. Нетушила. М.: Выс-
шая школа, 1983. 432 с.
18. Толстов Ю. Г. Теория линейных элект-
рических цепей. М.: Высшая школа, 1978. 279 с.
19. Хакин Г. Синергетика. Иерархия неу-
стойчивостей в самоорганизующихся системах и
устройствах. М.: Мир, 1985. 420 с.
20. Чуа Л. О., Пен-Мин-Лин. Машинный
анализ электронных схем. М.: Энергия, 1980.
640 с.
21. Баскаков С. Н. Радиотехнические цепи и
сигналы. М.: Высшая школа, 1983. 536 с.
22. Лосев А. К. Теория линейных электри-
ческих цепей. М.: Высшая школа, 1987.
512 с.
513
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Единицы электрических и магнитных величин (Международная система)
Наименование величины Наименование единицы Выражение через единицы СИ Обозначение единицы
русское между- народное
Сила электрического тока ампер А А А
Количество электричества, кулон А-с Кл С
заряд
Потенциал, напряжение, вольт кг • м2/(А • с3) В V
ЭДС
Напряженность электриче- * вольт на метр кг-м/(А-с3) В/м V/m
ского поля
Абсолютная диэлектриче- фарад на метр А2-с4/(кг-м3) Ф/м F/m
ская проницаемость
Электрическое смещение кулон на квад- ратный метр А-с/м2 = Кл/м2 Кл/м2 C/m2
Поляризованность кулон на квад- ратный метр А-с/м2 = Кл/м2 Кл/м2 C/m2
Электрическая емкость фарад А2 • с4/(кг • м2) = с/Ом Ф F
Плотности тока ампер на квад- ратный метр А/м2 А/м2 A/m2
Электрическое сопротивле- ом кг • м2/(А2 • с3) = В/А Ом Q
ние
Электрическая проводи- сименс А2-с3/(кг-м2) = 1/Ом См S
мость
Удельное электрическое со- противление* ом-метр кг • м3/(А2 • с3) = = Омм Омм Qm
Удельная электрическая проводимость** сименс на метр А2-с3/(кг-м3) = = 1/(0м-м) См/м S/m
Полная мощность вольт-ампер кг-м2/с3 ВА V-A
Реактивная мощность вар кг • м2/с3 вар var
Активная мощность ватт кг • м2/с3 Вт W
Магнитный поток вебер кг-м2/(А-с2) = Вс Вб Wb
Магнитная индукция тесла кг/(А-с2) = В-с/м2 Тл T
Абсолютная магнитная про- генри на метр кг-м/(А2-с2) Гн/м H/m
ницаемость
Намагниченность ампер на метр А/м А/м A/m
Напряженность магнитного ампер на метр А/м А/м A/m
поля
Индуктивность, взаимная индуктивность генри кг-м2/(А2-с2) = = Ом-с Гн H
Магнитодвижущая сила ампер А А A
Магнитное сопротивление ампер на ве- бер с2-А2/(м2-кг) = = 1/Гн А/Вб A/Wb
Магнитная проводимость вебер на ам- пер м2-кг/(с2-А2) = Гн Вб/А Wb/A
* 1 Ом см=Ю 2 Ом м; 1 Ом'мм2/м=10 6 Ом м=1 мкОм м.
** 1 Ом-1см-1 = 100 См/м; 1 м/Ом-мм2 = 10$ См/м= 1 МСм/м.
514
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Коэффициенты и параметры симметричных четырехполюсников
Схема Коэффициенты Параметры Сопротивления.
А у z H
А U TlZ О 1 —о IX IX IX ММ W II II II йЛ + l6|[N “ n> Iм IX 111=122 = 2Zt4-4Z2 ~~Z1(Z14-4Z2) 121=112 = -4Z2 Z1(Z1+4Z2) IN || IN ~i "i IN 4- [N “ IN “ II w 11 IN M 2 \2Z2 + Zj H12= -H21 = b 2Z2 2Z2 4- Zi -11~2Z2 + Z1 £ & kN 101H T || II II ' ~ |N| '^|ln| iKiin Д и- _ im|in Zi _ An - 1 _ 2 A21 сЬГ-1 Г = ZC ~ =Zcth~^ ~c shr ~c 2 Z . 1 = A_ 2 A2i chT
о—*—CZ1—т—о П П U2Z2 U2Z2 O—l "1—о <4 х*****х JZ 1 ^1 м + i n" 4ki и о и •н <Я ^1 ^1 Ini 11 Ini II СЧ 4_ 2 1 " *' "--la1 t N| II I In = z22 = _Z2(2Zt4-4Z2) 4Z2 + Zt I21 = I12 = = 4-2* 4Z2 4- Zi II ItH l| 113 1Й: IM S «О M - и LN и и IM + W 1 IN NJ '£> IM IS “ ‘N + + " * IN LN IN IN II - Zi = A i2 = Zcsh Г 2Z2 = ^H_= An-1 ZcshT Г = w;—г=cth — chT—1 2
г--^'г-.+г,/4г1 chl:-, + S7 .ьЬ=Ж 2 К 4Z2
О О к Им ) X N / - U Zd 1к / to X А о (Ч <ч II Ni Ni bj Ni Ni + 1 s? 1 1 Ni Ni oi Ni Ni 11 « 11 ’’Ji ’’Ji ll И Ni mJ mi - м 1 « >q +1 nj n, ' ni II t Nl II Ni 04 - Nl 04 - 1 II >L II II ‘N II IN ’N ~ IN ~ w И M || м 1 im nj 4- im |N E in К II ” 11 ? 11 ? ? IN IN “ ~ 11 LN - 11 11 IS in in i 1; iK + ‘ * in LN ’N II ? &• IN N>|n M 11 II И IN IN LN inTni “ + |N| 1 ININ An-1 tT Zi = — =ZC th — л21 2 , ^u + 1 , tr Z2 = = Ze cth — 4ai 2
04 Разложение периодических функций в ряд Фурье
№ п/п. График /(со/) Разложение в ряд /(со/) A
1 0* r Am К 2л U)t / (cor) = Ат sin cot Ell Г4 4^-
2 /V «« O-max 2xuxt 4д / / (cot) — - 1 sin a sin cot 4- an \ 4 sin3asin3cot 4- 9 + — - sin 5a sin 5cot 4- ... 25 ... 4- Д-sin /easinkwt 4-... ) /с2 / ^max I 3n
3 LXXfff глия ° / (cot) = sin cot - 712 \ 1 . o 1 • c sin 3cot 4 sin 5cot —... 9 25 ... 4- Ц sin/ecot...) /с2 / ^max /3
4 t Q Л 2л tot 1—Г 4/7 / /(cot) = ^i sin cot+ 71 \ 4- -y sin 3cot 4- ~sin 5<ot 4-... 1 . , \ ... 4 sin/ccot 4-... ) /с / ^max
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
^ср
2Ат Л Л 1\/2 1 /2 1
а S & и 1 Я |« !_ Зл 1 - — Л 1 г^. / Зл 2 ал /2 sin а /1-^ / Зл
^тах 2 2 /з А 4]А л2
атах ] 1 1 2]/2_ Л
алтах 1 ]/а 1 ]/а 2j/2sin^ тс |/а
@тах 2 2 1/3 /з 1/й л
Al Л л т 2 -
2Ат п л 2|/2 1/2 -
3|/3 4л з^зл, 2л ' /2 1 л — + -= К 27 Зл]/3 2 —
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица оригиналов и изображений (по Лапласу)
Оригинал Изображение Оригинал Изображение
e-a/ sinco0Z Up
(р + a)2 + wo
еа< J e-afCos cooz (р + «)
p-a (р + a)2 + со?
1 - e~at a t 1
p(p + <*) Р2
^(содг + ф) tn, где n — целое положи- тельное число п\
p ->o pn+i
cosco0z p ze~a' 1
P2 + c>o (p + a)2
sin o)Qt Wq tne~at, где n — целое по- ложительное число л!
P2 + <l>0 (p + a)"+1
sin (co0z + \|z) psin\|z + co0cos\|z 1
pz -f- co? (a - 1)! (р-Рп)а
cos(co0z + \|z) pcos\|z - co0sin\|/
Р2+<«0
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 497, 505
Активные и реактивные составляющие напряже-
ния и тока 80
Алгебраизация уравнений 282, 345
Алгоритм Рунге —Кутта 268
Амплитуда 63
— комплексная 66
Аппроксимация 312
Баланс мощностей 15, 71, 85, 319
Векторная диаграмма 66, 93, 111, 128
Вентиль 430, 460
Вершины (узлы) графа 21
Ветвь дерева 22
— обобщенная 36
— связи 36
— сигнального графа 222
— электрической цепи 16
Включение индуктивных элементов встречное и
согласное 118
Волна бегущая 346
— отраженная 367
— падающая 367
— преломленная 367
— стоячая 358
— прямая и обратная 347, 366
Выводы первичные и вторичные 133
Выпрямитель 433, 434, 462
Гармоники периодической функции 201
Генератор многофазный 169
— переменного тока 63
— трехфазный 169
— эквивалентный 56
Гиратор 144
Гистерезис 419
Годограф 159, 167
Граф направленный 21
— ненаправленный 21
— сигнальный 222
— топологический 21
Графа исток, сток 223
— контур 226
— путь 21, 226
Двигатели асинхронный и синхронный 187
Двухполюсник активный 52, 59
— нелинейный 386
— пассивный 52, 59, 79, 81
— реактивный 321
— резистивный 390
Действующие значения тока, напряжения и ЭДС
64, 206, 212
— — комплексные 68
Декремент колебаний 248
Диаграмма круговая 159
— линейная 159
— топографическая 99
Диод полупроводниковый 388
Дискретные модели 271
Длина волны 346
Добротность конденсатора, катушки 91
— контура 106, НО
Емкость 69, 184, 344
— единицы длины линии 344
Закон Ома 14, 68
— — в комплексной форме 73, 75
— — для частотных спектров 295
— электромагнитной индукции 115
Законы Кирхгофа 17, 69
Законы Кирхгофа в матричной форме 23
— — в операторной форме 281
— коммутации 234, 275
— полного тока и непрерывности линий магнит-
ной индукции 418
Измерение мощности 87, 185
Изображение операторное 279
Изоклины 492
Импульс единичный 261
— модулированный 292
— прямоугольный 291
Импульсы периодические 200
Инвертор сопротивления 144
Индуктивная связь 114
Индуктивность 68, 183, 344, 476
— взаимная 114
— статическая и динамическая 476
Интеграл Бромвича 279
— Дюамеля 258
- Фурье 289
Источник зависимый 52
— идеальный 13
— питания многофазный 169
— тока 13
— — идеальный 13
— управляемый 142, 397
— ЭДС или напряжения 13
— электрической энергии 9
Катушка индуктивности 91
— со стальным магнитопроводом 449, 466
Колебания вынужденные и свободные 105
— затухающие 248
— модулированные 209, 474
— релаксационные 500
— с медленно меняющейся амплитудой 509
— синусоидальные 501
— хаотические 510
Коммутация 234, 273
Комплексный метод расчета 66
Конвертор сопротивления 145
Контур замкнутый 16, 31
— колебательный ПО
— параллельный 110
— последовательный 71, 105
— с малыми потерями 111
— цепи 16
Контуры связанные 125
Корни характеристического уравнения 237, 241,
244, 251
Короткое замыкание 53
— — линии 351
— — трансформатора 130
— — четырехполюсника 135
Коэрцитивная сила 419
Коэффициент амплитуды 207
— бегущей волны 363
— возврата 420
— гармоники 207
— затухания переходного процесса 237, 241
— искажения 207
— модуляции 210
— мощности 218
— обратной связи 82, 497
— ослабления 350
— отражения 352, 376
— передачи 49
— полезного действия 59
— размагничивания 427
— распространения для линии 346
— связи 114
— стабилизации 407
519
Коэффициент трансформации 129
— уравнений четырехполюсника 136, 140
— усиления 157
— фазы для линии 350
— формы 207
Кривая резонансная 106
Кривые намагничивания основная и размагничи-
вания 419
Линейные соотношения 53
Линия без искажений 354
— — потерь 357
— воздушная 351, 357
— длинная 344
— искусственная 364
— кабельная 351, 357
— как четырехполюсник 364
— трехфазная 182
Магнит постоянный 427
Магнитная индукция 418
— постоянная 418
— проницаемость дифференциальная 476
— — комплексная 451
— — обратимая 477
— — статическая 476
- цепь 418, 421, 429, 451
Магнитное поле вращающееся 186
— потокосцепление 118
Магнитно-мягкий и магнитно-твердый материалы
421
Магнитный поток 418
— усилитель 477
Магнитодвижущая сила 418
Магнитопровод 421
Мгновенное значение 61
Метод аналитический 402, 439
— аналитической аппроксимации 481
— гармонического баланса 472
— графический 422, 430, 439
— двух узлов 27
— итераций 412
— Кауэра 327, 334
— комплексных величин 66
— контурных токов 29
— кусочно-линейной аппроксимации 482
— операторный 278
— переменных состояния 263
— последовательных интервалов 482
— разделения переменных 302
— расчета переходных процессов классический
231
— расширенных узловых уравнений 37
— симметричных составляющих 188
— сплайнов 403
— трапеций 268, 307
— узловых потенциалов 24, 27, 179
— условной линеаризации 399, 480
— Фостера 324, 331
— частотный 295
Методы расчета нелинейных цепей 398
— синтеза электрических цепей 318
— численные 267, 494
— расчета переходных процессов 306
— Эйлера явный и неявный 268, 306, 483
Многополюсник 52, 155
Многоугольник 40
Модуляция амплитудная 209
— амплитудно-импульсная 211
— импульсная 211
— фазовая 209
— фазо-импульсная 211
— частотная 209
— частотно-импульсная 211
— широтно-импульсная 211
520
Мощность 11, 59
— активная (средняя за период) 82
— активного двухполюсника 59
— в цепи несинусоидального тока 217
— источника 60
— максимальная 84, 88
— мгновенная 81
— намагничивающая 448
— полная 82
— потерь от вихревых токов и от гистерезиса 447
— приемника 11
— трехфазной цепи 173
Мощности реактивная и комплексная 83
Напряжение вторичное, первичное 127
— магнитное 418
— мгновенное 68
— несинусоидальное 206, 212
— линейное и фазное 172
Напряженность магнитного поля 418
Начальные условия 236
— — нулевые и ненулевые 286
Оператор поворота 73
Опережение и отставание по фазе 72
Падение напряжения 10
Параметры вторичные линии 346
— — четырехполюсников 146
— первичные линии 344
— — четырехполюсника 137
— рабочие 311
— распределенные 344
— эксплуатационные четырехполюсника 152
Передача ветви 223
— графа 230
— контура, пути 226
— максимальной мощности 59, 88, 96
— энергии 123
Период несинусоидальной периодической функции
202
— переменного тока 61
Положительные направления тока, напряжения,
ЭДС 14, 61, 62
Полоса непропускания (задерживания) фильтра 308
— пропускания контура 108
— — фильтра 308
Постоянная времени цепи 237, 241
— ослабления 147, 149, 153
— составляющая периодической функции 201
— передачи 147, 149, 153
- фазы 147, 153
Постоянные интегрирования 237, 239, 245, 251, 345
Потенциал 10, 18, 28
Потери в стали 448
Предельный цикл 502
Преобразование графа 226
— многоугольников 40
— параллельного соединения ветвей с источника-
ми 42
— соединений звездой и треугольником 40
— схемы с двумя узлами 42
— Фурье 288
Преобразования электрических схем 39
Преобразователь постоянного тока в переменный
463
Приемник энергии 9
Принцип (свойство) взаимности 48
— компенсации 52
— наложения (суперпозиции) 46
— эквивалентного генератора 56
Провод линейный 171
— нейтральный 171
Проводимость 11
— активная 77
— взаимная 49
Проводимость внутренняя 13
— входная 49
— единицы длины линии 344
— индуктивная, емкостная 78
— комплексная 'll
— общая узловая 26
— операторная 289
— полная 77
— реактивная 77
— собственная узловая 26
— эквивалентная 41
— переходные 234
— — в линии 365
— — в нелинейной цепи 479
Процессы переходный, установившийся и свобод-
ный 235
Развязка индуктивных связей 122
Разметка выводов индуктивно связанных катушек
116
Разность фаз напряжения и тока 75
Резистор нелинейный 497
Резонанс в индуктивно связанных контурах 125
— в цепи несинусоидального тока 216
— напряжений 105
— токов ПО
— фазовый 105
Ротор 63
Ряд тригонометрический (Фурье) 288
Сдвиг фаз 64, 72
Сечение 18, 22
Симметричная система ЭДС 170
Симметричные составляющие трехфазной системы
188
Синтез двухполюсников без потерь (реактивных)
324, 327
— — с потерями 331
— четырехполюсников 338
— фильтров по передаточным функциям 339
— электрических цепей 318
Синусоида эквивалентная 218, 447, 453
Скорость волны 365
— — фазовая 346, 350, 357
— света 350, 357
Смещение нейтрали 179
Согласованная нагрузка линии 353
— — четырехполюсника 147
Соединение графов 233
Сопротивление активное 74
— взаимной индукции 117
— вносимое 128
— внутреннее 10
— волновое 346
— входное двухполюсника 52, 57
— линии 351
— — трансформатора 129
— — четырехполюсника 135, 140
— дифференциальное 390
— единицы длины линии 344
— индуктивное, емкостное 74
— комплексное 74
— контурное общее 33
— — собственное 33
— короткого замыкания и холостого хода 130,
135, 351
— критическое 245
— магнитное 452
— операторное 289
— полное 74
— приведенное 130
— приемника 11
— реактивное 74
— резистивное отрицательное 502
— статическое 390
— характеристическое контура 106
Сопротивление характеристическое четырехполюс-
ника 147
Спектр амплитуд 203
— дискретный периодической функции 203
— непериодической функции (сигнала) 291
— фаз 203
Среднее значение периодической функции 206
— квадратичное 65
— по модулю 206
Стабилизатор феррорезонансный 459
— электронный 406
Статор 63
Схема замещения трансформатора с ферромагнит-
ным магнитопроводом 453
— — четырехполюсника 139
— мостовая (Х-образная) 142
— планарная 24
— цепная 150
— эквивалентная без индуктивных связей 122
— — катушки индуктивности 91
— — конденсатора 91
— — операторная 284
— — с идеальными трансформаторами 130
— — трансформатора со стальным магнитопро-
водом 130, 453
— — трехфазной линии 182
Схемы прямой, обратной и нулевой последова-
тельностей 192
Теорема вариации (о взаимных приращениях) 56
— о реактивном сопротивлении 320
— разложения 280
— Рейли 294
— свертки функций 259
— Тел лен джена 71
— Фостера 322
Ток гармонический 62
— действующий 64
— комплексный 72
— контурный 30
— линейный 172
— мгновенный 63
— несинусоидальный 200
— переменный 61
— переходный 235
— периодический 201
— постоянный 9
— свободный 235
— синусоидальный 62
— узловой 26, 28, 44
— установившийся 235
— фазный 172
Токи вихревые 446
Трансформатор воздушный 127
— идеальный 129
— со стальным магнитопроводом 453
— четвертьволновый 362
Треугольник мощностей 84
— напряжения 80
— проводимостей 80
— сопротивлений 80
— с тремя ветвями 41, 171
— токов 80
Трехлучевая звезда 41, 171
Трехфазная система 171
Триггер 488
Угол потерь конденсатора, катушки 91
— сдвига фаз 74
Удвоитель частоты 469
Узел (вершина) графа 21
— неустойчивый 502
— устойчивый 491
— электрической цепи 16
Уравнение характеристическое 252
Уравнения в форме Коши 263, 267
— дифференциальные линии 344, 365
521
Уравнения независимые 19
— топологические 36, 223
Усилитель операционный 156
— переменного напряжения транзисторный 464
— постоянного напряжения 410
Устойчивость режима 498
Утроитель частоты 442
Фаза 63
— начальная 63
Фазовая плоскость 489, 503
Феррорезонанс напряжений 456
— токов 457
Фильтр 308
— активный 316
— Баттерворта 312
— высокочастотный 309
— заграждающий 309
— идеальный 309
— низкочастотный 308
— полиномиальный 311
— полосовой 309
— Чебышева 312
Формула Мэзона 230
Фронт волны 366
Функция времени комплексная (мгновенное значе-
ние) 66
— входная 103, 320
— единичная (Хевисайда) 258
— нечетная 298
— передаточная 103, 227, 334
- - графа 228
— переходная 258
— реактансная 323
— четная 298
Функции энергетические 319
Характеристика амплитудно-фазовая, амплитудно-
частотная, фазо-частотная 104
— вебер-амперная 421
— внешняя источника 11, 57
— — четырехполюсника 154
— вольт-амперная И, 386
— динамическая 386
— импульсная переходная 261
— нелинейная 388, 392
— статическая 386
— фазовая 296
— цепи 258
— частотная 103, 106, 112
Характеристики типа S и N 497
Холостой ход 53, 57
— — линии 351
— — трансформатора 130
— — четырехполюсника 135
Цепная дробь 328
Цепь дифференцирующая 294
— дуальная 100
— интегрирующая 281
Цепь линейная 12
— нелинейная 11, 386
— несвязанная многофазная 169
— постоянного тока 9
— связанная многофазная 169
— синусоидального тока 61
— с взаимной индуктивностью 114
— — переменными параметрами 299
— — распределенными параметрами 344
— — сосредоточенными параметрами 69
— трехфазная 169
— многофазная несимметричная 173, 178
— — симметричная 173, 178
— — уравновешенная 174
— электрическая 9, 68, 404
Цепи минимальной фазы 334
— с переменными параметрами 299
Частота биений 209
— боковая 210
— граничная фильтра 309, 312
— периодического тока 61
— резонансная 106, 111
— свободных колебаний 250
— угловая 63
Чередование фаз 171
Четырехполюсник 132
— автономный 133
— активный 133, 154
— неавтономный 133
— нелинейный 392, 408
— неуравновешенный 141
— пассивный 133, 138
— проходной 133
— симметричный 139
— уравновешенный 142
Электродвижущая сила 10
— — взаимной индукции 115
— — контурная 33
— — самоиндукции 68
— — фазная 172
— — эквивалентная 43
Элемент активный 13
— нелинейный 386
— пассивный 13
— схемы 10
— — безынерционный 387, 430, 474
— — емкостной 71, 76
— — индуктивный 71, 76
— — инерционный 387
— — резистивный 71, 76, 388
— условно-нелинейный 444
— электрической цепи 9
Элементы логические 410
Энергия активная, реактивная 83
Эффект близости 89
— поверхностный 89
Ячейки 23
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию .... 3
Введение............................... 5
Часть первая
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 9
Глава первая. Основные законы и
методы расчета электрических цепей
постоянного тока................... 9
1.1. Элементы электрических цепей
и схем.......................... 9
1.2. Схемы замещения источников
энергии ....................... 12
1.3. Закон Ома для участка цепи с
ЭДС......................- 14
1.4. Баланс мощностей для простой
неразветвленной цепи .... 15
1.5. Законы Кирхгофа и их примене-
ние............................ 16
1.6. Топологические графы .... 21
1.7. Законы Кирхгофа в матричной
форме.......................... 22
1.8. Метод узловых потенциалов 24
1.9. Метод контурных токов ... 29
1.10. Уравнения цепи в матричной
форме............................. 35
1.11. Расширенные узловые уравнения 37
1.12. Преобразования в линейных
электрических схемах .... 39
Глава вторая. Основные свойства
электрических цепей постоянного
тока.............................. 46
2.1. Принцип наложения (суперпози-
ции) ............................. 46
2.2. Свойство взаимности .... 48
2.3. Входные и взаимные проводи-
мости, коэффициенты передачи 49
2.4. Принцип компенсации. Зависи-
мые источники..................... 52
2.5. Общие замечания о двухполюс-
никах и многополюсниках . . 52
2.6. Линейные соотношения между
напряжениями и токами ... 53
2.7. Теорема о взаимных приращени-
ях токов и напряжений ... 56
2.8. Принцип эквивалентного генера-
тора ............................. 56
2.9. Передача энергии от активного
двухполюсника к пассивному 59
Глава третья. Основные понятия
о цепях синусоидального тока ... 61
3.1. Переменные токи.............. 61
3.2. Понятие о генераторах перемен-
ного тока......................... 63
3.3. Синусоидальный ток .... 63
3.4. Действующие ток, ЭДС и напря-
жение ............................ 64
3.5. Изображение синусоидальных
функций времени векторами и
комплексными числами ... 65
3.6. Сложение синусоидальных функ-
ций времени....................... 66
3.7. Электрическая цепь и ее схема 68
3.8. Ток и напряжения при последо-
вательном соединении резистив-
ного, индуктивного и емкостно-
го элементов.................. 71
3.9. Сопротивления ............... 74
3.10. Разность фаз напряжения и то-
ка ............................... 75
3.11. Напряжение и токи при парал-
лельном соединении резистивно-
го, индуктивного и емкостного
элементов......................... 76
3.12. Проводимости................ 77
3.13. Пассивный двухполюсник . . 79
3.14. Мощности.................... 81
3.15. Мощности резистивного, индук-
тивного и емкостного элемен-
тов .............................. 84
3.16. Баланс мощностей............ 85
3.17. Знаки мощностей и направление
передачи энергии.................. 86
3.18. Определение параметров пассив-
ного двухполюсника при помо-
щи амперметра, вольтметра и
ваттметра......................... 88
3.19. Условия передачи максимальной
мощности от источника энергии
к приемнику....................... 88
3.20. Понятие о поверхностном эф-
фекте и эффекте близости . . 89
3.21. Параметры и эквивалентные
схемы конденсаторов .... 91
3.22. Параметры и эквивалентные
схемы катушек индуктивности и
резисторов........................ 91
Глава четвертая. Расчет цепей
при синусоидальных токах .... 92
4.1. О применимости методов расче-
та цепей постоянного тока к рас-
523
четам цепей синусоидального то-
ка .......................... 92
4.2. Последовательное соединение
приемников .................. 93
4.3. Параллельное соединение при-
емников .......................... 94
4.4. Смешанное соединение приемни-
ков .............................. 95
4.5. Разветвленные цепи......... 97
4.6. Топографические диаграммы 99
4.7. Дуальность электрических це-
пей ............................. 100
4.8. Комплексные частотные харак-
теристики ....................... 103
Глава пятая. Резонанс в электри-
ческих цепях...................... 105
5.1. Вынужденные и свободные коле-
бания ........................... 105
5.2. Резонанс в последовательном
контуре ......................... 105
5.3. Частотные характеристики и ре-
зонансные кривые последова-
тельного контура................. 106
5.4. Резонансные явления при изме-
нении параметров контура . 109
5.5. Резонанс в параллельном конту-
ре ............................... ПО
5.6. Частотные характеристики па-
раллельного контура .... 112
5.7. Понятие о резонансе в сложных
цепях ........................... 113
Глава шестая. Цепи с взаимной
индуктивностью................... 114
6.1. Индуктивно связанные элемен-
ты цепи......................... 114
6.2. Электродвижущая сила взаим-
ной индукции.................... 115
6.3. Последовательное соединение
индуктивно связанных элемен-
тов цепи........................ 118
6.4. Параллельное соединение индук-
тивно связанных элементов це-
пи ............................. 119
6.5. Расчеты разветвленных цепей
при наличии взаимной индуктив-
ности .......................... 120
6.6. Эквивалентная замена индуктив-
ных связей...................... 122
6.7. Передача энергии между индук-
тивно связанными элементами
цепи............................ 123
6.8, Резонанс в индуктивно связан-
ных контурах.................... 125
Глава седьмая. Цепи с трансфор-
маторами ..................... 127
7.1. Трансформатор без стального
магнитопровода (воздушный
трансформатор)............... 127
7.2. Идеальный трансформатор . 129
7.3. Простейшие приближенные эк-
вивалентные схемы трансформа-
тора со стальным магнитопро-
водом ..................... 130
7.4. Расчеты электрических цепей с
трансформаторами .............. 131
Глава восьмая. Четырехполюс-
ники и многополюсники.......... 132
8.1. Четырехполюсники и их уравне-
ния ........................... 132
8.2. Режимы четырехполюсников 135
8.3. Коэффициенты четырехполюс-
ников ......................... 137
8.4. Эквивалентные схемы четырех-
полюсников .................... 141
8.5. Характеристические (вторичные)
параметры пассивных четырех-
полюсников .................... 146
8.6. Цепные схемы............... 150
8.7. Эксплуатационные параметры
четырехполюсников............. 152
8.8. Активные автономные четырех-
полюсники ..................... 154
8.9. Многополюсники ............ 155
8.10. Операционный усилитель . . 156
8.11. Обратная связь............ 158
Глава девятая. Годографы . . 159
9.1. Комплексные уравнения прямой
и окружности................... 159
9.2. Круговые диаграммы неразвет-
вленной цепи и активного двух-
полюсника ..................... 161
9.3. Круговые диаграммы развет-
вленных цепей............. 164
9.4. Частотные годографы .... 167
Глава десятая. Трехфазные цепи 169
10.1. Понятие о многофазных источ-
никах питания и о многофазных
цепях.......................... 169
10.2. Соединения звездой и многоу-
гольником ..................... 171
10.3. Симметричный режим трех-
фазной цепи.................... 173
10.4. Некоторые свойства трехфаз-
ных цепей с различными схема-
ми соединений.................. 174
10.5. Расчет симметричных режимов
трехфазных цепей.............. 178
10.6. Расчет несимметричных режи-
524
мов трехфазных цепей со стати-
ческой нагрузкой............ 179
10.7. Напряжения на фазах приемни-
ка в некоторых частных слу-
чаях .......................... 181
10.8. Эквивалентные схемы трехфаз-
ных линий...................... 182
10.9. Измерение мощности в трех-
фазных цепях................... 185
10.10. Вращающееся магнитное поле 186
10.11. Принципы действия асинхрон-
ного и синхронного двигате-
лей ........................... 187
Глава одиннадцатая. Метод
симметричных составляющих ... 188
11.1. Симметричные составляющие
трехфазной системы величин 188
11.2. Некоторые свойства трехфаз-
ных цепей в отношении сим-
метричных составляющих то-
ков и напряжений.............. 190
11.3. Сопротивления симметричной
трехфазной цепи для токов ра-
зличных последовательностей 191
11.4. Определение токов в симмет-
ричной цепи.................... 193
11.5. Симметричные составляющие
напряжений и токов в несим-
метричной трехфазной цепи 194
11.6. Расчет цепи с несимметричной
нагрузкой...................... 195
11.7. Расчет цепи с несимметричным
участком в линии............... 198
Глава двенадцатая. Несину-
соидальные токи................ 200
12.1. Несинусоидальные ЭДС, на-
пряжения и токи................ 200
12.2. Разложение периодической не-
синусоидальной кривой в три-
гонометрический ряд .... 201
12.3. Максимальные, действующие и
средние значения несинусои-
дальных периодических ЭДС,
напряжений и токов .... 206
12.4. Коэффициенты, характеризую-
щие форму несинусоидальных
периодических кривых . . . 207
12.5. Несинусоидальные кривые с пе-
риодической огибающей . . 209
12.6. Действующие значения ЭДС,
напряжений и токов с периоди-
ческими огибающими ... 212
12.7. Расчет цепей с несинусоидаль-
ными периодическими ЭДС,
напряжениями и токами . . 212
12.8. Резонанс в цепи несинусоидаль-
ного тока...................... 216
12.9. Мощность в цепи несинусои-
дального тока.................. 217
12.10. Высшие гармоники в трехфаз-
ных цепях...................... 219
Глава тринадцатая. Элемен-
ты теории графов и ее применение 222
13.1. Основные понятия и определе-
ния ........................... 222
13.2. Применение топологических
уравнений для построения сиг-
нальных графов................. 223
13.3. Применение сигнальных гра-
фов для расчета передаточных
функций ....................... 227
13.4. Применение матриц и сигналь-
ных графов к расчету соедине-
ний четырехполюсников . . 230
Глава четырнадцатая. Клас-
сический метод расчета переходных
процессов...................... 234
14.1. Возникновение переходных
процессов и законы коммута-
ции ....................... 234
14.2. Переходный, установившийся и
свободный процессы .... 235
14.3. Короткое замыкание г£-цепи 236
14.4. Включение г£-цепи на постоян-
ное напряжение................. 238
14.5. Включение rZ-цепи на синусои-
дальное напряжение .... 240
14.6. Короткое замыкание гС-цепи 241
14.7. Включение rC-цепи на постоян-
ное напряжение................. 242
14.8. Включение rC-цепи на синусои-
дальное напряжение .... 243
14.9. Переходные процессы в rLC-
цепи (последовательном кон-
туре) ..................... 244
14.10. Апериодическая разрядка кон-
денсатора ..................... 245
14.11. Предельный случай апериоди-
ческой разрядки конденсатора 246
14.12. Периодическая (колебательная)
разрядка конденсатора . . . 247
14.13. Включение rZC-цепи на посто-
янное напряжение.............. 249
14.14. Общий случай расчета переход-
ных процессов классическим
методом ....................... 250
14.15. Переходные процессы в цепях с
взаимной индуктивностью . 256
14.16. Включение пассивного двухпо-
люсника к источнику непрерыв-
но меняющегося напряжения
(интеграл Дюамеля) .... 258
525
14.17. Включение пассивного двухпо-
люсника к источнику напряже-
ния произвольной формы . 259
14.18. Переходная и импульсная пере-
ходная характеристики ... 261
14.19. Запись интеграла Дюамеля при
помощи импульсной переход-
ной характеристики .... 262
14.20. Метод переменных состояния 263
14.21. Численные методы решения
уравнений состояния .... 267
14.22. Дискретные модели электриче-
ской цепи..................... 271
14.23. Переходные процессы при «не-
корректных» коммутациях . 273
14.24. Определение переходного про-
цесса и установившегося режи-
ма при воздействии периодиче-
ских импульсов напряжения
или тока...................... 276
Глава пятнадцатая. Опера-
торный метод расчета переходных
процессов..................... 278
15.1. Применение преобразования
Лапласа к расчету переходных
процессов..................... 278
15.2. Законы Кирхгофа в оператор-
ной форме..................... 281
15.3. Эквивалентные операторные
схемы......................... 284
15.4. Сведение расчета переходного
процесса к нулевым начальным
условиям...................... 286
15.5. Определение свободных состав-
ляющих по их изображениям 288
Глава шестнадцатая. Спект-
ральный (частотный) метод анализа
электрических цепей........... 288
16.1. Преобразование Фурье и его
основные свойства...... 288
16.2. Спектры непериодических
функций .................... 291
16.3. Теорема Рейли.............. 294
16.4. Дифференцирующие и интегри-
рующие цепи................... 294
16.5. Расчет переходных процессов 295
16.6. Приближенный метод опреде-
ления оригинала по действи-
тельной частотной характери-
стике ...................... 297
Глава семнадцатая. Линей-
ные цепи с переменными парамет-
рами ..................... 299
17.1. Элементы и уравнения цепи с
переменными параметрами . 299
17.2. Интегрирование дифференци-
альных уравнений цепи . . . 300
17.3. У становившийся режим в цепи
с периодически изменяющейся
индуктивностью при гармони-
ческом напряжении источника
питания......................... 302
17.4. Свободный процесс в цепи с пе-
риодически изменяющейся ин-
дуктивностью ................... 305
17.5. Численные методы расчета пе-
реходных процессов .... 306
Глава восемнадцатая. Час-
тотные электрические фильтры • . 308
18.1. Полосы пропускания и задер-
живания ........................ 308
18.2. Расчет фильтров по заданным
характеристическим парамет-
рам ............................ 309
18.3. Расчет фильтров по заданным
рабочим параметрам .... 311
18.4. Реализация низкочастотных
фильтров................... 313
18.5. Реализация высокочастотных и
полосовых фильтров .... 314
18.6. Активные гС-фильтры ... 316
Глава девятнадцатая. Син-
тез пассивных двухполюсников и че-
тырехполюсников ................ 318
19.1. Общая характеристика задачи
синтеза.................... 318
19.2. Энергетические функции . . 319
19.3. Входные функции. Положи-
тельные действительные функ-
ции ....................... 320
19.4. Реактивные двухполюсники 321
19.5. Частотные характеристики ре-
активных двухполюсников . 323
19.6. Синтез реактивных двухполюс-
ников. Метод Фостера . . . 324
19.7. Синтез реактивных двухполюс-
ников. Метод Кауэра .... 327
19.8. Синтез двухполюсников с поте-
рями. Метод Фостера ... 331
19.9. Синтез двухполюсников с поте-
рями. Метод Кауэра .... 334
19.10. Передаточная функция пассив-
ного четырехполюсника. Цепи
минимальной фазы.............. 334
19.11. Синтез мостовых четырехпо-
люсников ....................... 338
19.12. Синтез фильтров Баттерворта
и Чебышева по передаточным
функциям........................ 339
Глава двадцатая. Установив-
шиеся режимы в цепях с распреде-
ленными параметрами............. 344
20.1. Токи и напряжения в длинных
линиях ......................... 344
526
20.2. Уравнения однородной двух-
проводной линии................. 344
20.3. Установившийся режим в одно-
родной линии.................... 345
20.4. Уравнения однородной линии с
гиперболическими функциями 348
20.5. Характеристики однородной
линии........................ 350
20.6. Входное сопротивление линии 351
20.7. Коэффициент отражения во-
лны ......................... 352
20.8. Согласованная нагрузка линии 353
20.9. Линия без искажений .... 354
20.10. Холостой ход, короткое замы-
кание и нагрузочный режим ли-
нии с потерями.................. 355
20.11. Линии без потерь............ 357
20.12. Стоячие волны ....... 358
20.13. Применение линий без потерь 361
20.14. Линия как четырехполюсник 364
Глава двадцать первая. Пе-
реходные процессы в цепях с распре-
деленными параметрами.............. 365
21.1. Возникновение переходных
процессов в цепях с распреде-
ленными параметрами . . . 365
21.2. Общее решение уравнений од-
нородной линии.................. 365
21.3. Возникновение волн с прямоу-
гольным фронтом................ 367
21.4. Общие случаи нахождения
волн, возникающих при пере-
ключениях ...................... 371
21.5. Отражение волны с прямоу-
гольным фронтом от конца ли-
нии ............................ 373
21.6. Общий метод определения от-
раженных волн.................. 374
21.7. Качественное рассмотрение пе-
реходных процессов в линиях,
содержащих сосредоточенные
емкостные и индуктивные эле-
менты .......................... 379
21.8. Многократные отражения
волн с прямоугольным фрон-
том от резистивного элемента 381
21.9. Блуждающие волны .... 384
Часть вторая
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Глава двадцать вторая. Об-
щая характеристика нелинейных це-
пей и методов их расчета........... 386
22.1. Нелинейные электрические и
магнитные цепи.................. 386
22.2. Нелинейные двухполюсники и
четырехполюсники............... 390
22.3. Определение рабочих точек на
характеристиках нелинейных
двухполюсников и четырехпо-
люсников ....................... 393
22.4. Схема замещения нелинейного
четырехполюсника для пере-
менной составляющей тока и ее
параметры ...................... 396
22.5. Явления в нелинейных цепях
постоянного и переменного то-
ков ............................ 398
22.6. Методы расчета нелинейных
цепей........................... 398
22.7. О применимости методов рас-
чета и принципов линейной
электротехники к нелинейным
цепям........................... 401
22.8. Аналитическое описание нели-
нейных характеристик . . . 402
Глава двадцать третья. Не-
линейные электрические цепи пос-
тоянного тока.................... 404
23.1. Электрические цепи с нелиней-
ными двухполюсниками и ме-
тоды их анализа и синтеза 404
23.2. Электронные стабилизаторы
напряжения...................... 406
23.3. Электрические цепи с нелиней-
ными четырехполюсниками и
методы их анализа и синтеза 408
23.4. Усилители постоянного напря-
жения .......................... 410
23.5. Логические элементы дискрет-
ной техники..................... 410
23.6. Расчет нелинейных цепей мето-
дом итераций ................... 412
Глава двадцатьчетвертая. -
Нелинейные магнитные цепи при
постоянных потоках............... 418
24.1. Основные понятия и законы
магнитных цепей................. 418
24.2. Ферромагнитные материалы и
их характеристики.............. 419
24.3. Анализ и синтез неразветвлен-
ных магнитных цепей ... 421
24.4. Примеры магнитных цепей
электрических машин и измери-
тельных приборов............... 423
24.5. Расчет разветвленных магнит-
ных цепей....................... 423
24.6. Расчет магнитной цепи с посто-
янным магнитом ...... 427
Глава двадцать пятая. Не-
линейные цепи с источниками напря-
жения и тока одинаковой частоты 430
25.1. Общая характеристика цепей с
источниками напряжения оди-
наковой частоты..................... 430
527
25.2. Форма кривой тока в цепях с
вентилями ....................... 430
25.3. Простейшие выпрямители 432
25.4. Цепь с электрической дугой 436
25.5. Формы кривых тока и напряже-
ния в цепях с нелинейными ре-
активными элементами . . 438
25.6. Утроители частоты .... 442
25.7. Формы кривых тока и напряже-
ния в цепях с терморезистора-
ми ....................... 444
25.8. Замена реальных нелинейных
элементов условно-нелинейны-
ми ........................ 445
25.9. Учет реальных свойств сталь-
ных магнитопроводов . . . 446
25.10. Расчет тока в катушке со сталь-
ным магнитопроводом . . . 449
25.11. Понятие о расчете условно-
нелинейных магнитных цепей 451
25.12. Условно-нелинейная схема за-
мещения трансформатора 453
25.13. Феррорезонанс............. 455
25.14. Стабилизаторы переменного
напряжения....................... 458
Глава двадцать шестая.
Нелинейные цепи с источниками
ЭДС (напряжения) и тока различ-
ных частот........................... 460
26.1. Общая характеристика нели-
нейных цепей с источниками
ЭДС различных частот . . . 460
26.2. Вентили в цепях с постоянны-
ми и переменными ЭДС . . 460
26.3. Управляемые вентили в про-
стейших выпрямителях и пре-
образователях постоянного то-
ка в переменный.................. 462
26.4. Транзисторные усилители пере-
менного напряжения .... 464
26.5. Катушки со стальными магни-
топроводами в цепях с постоян-
ными и переменными ЭДС . 466
26.6. Удвоитель частоты........ 469
26.7. Метод гармонического балан-
са ........................ 472
26.8. Влияние постоянной ЭДС на
переменную составляющую то-
ка в цепях с нелинейными без-
ынерционными резистивными
элементами...............
26.9. Принцип получения модулиро-
ванных колебаний............... 474
26.10. Влияние постоянной составля-
ющей на переменную в цепях с
нелинейными индуктивными
элементами....................... 475
26.11. Магнитные усилители мощнос-
ти ............................ 477
Глава двадцать седьмая.
Переходные процессы в нелинейных
цепях .......................... 479
27.1. Общая характеристика пере-
ходных процессов в нелиней-
ных цепях...................... 479
27.2. Включение катушки со сталь-
ным магнитопроводом на по-
стоянное напряжение .... 480
27.3. Включение катушки со сталь-
ным магнитопроводом на сину-
соидальное напряжение 484
27.4. Импульсное воздействие в це-
пях с неоднозначными нелиней-
ностями ....................... 486
27.5. Понятие о триггере .... 488
27.6. Изображение переходных про-
цессов на фазовой плоскости 489
27.7. Колебательный процесс раз-
рядки конденсатора через нели-
нейный индуктивный элемент 493
27.8. Применение численных мето-
дов для расчета переходных
процессов в нелинейных цепях 494
Глава двадцать восьмая.
Автоколебания .................. 497
28.1. Нелинейные резисторы со спа-
дающим участком характери-
стики ......................... 497
28.2. Понятие об устойчивости ре-
жима в цепи с нелинейными ре-
зисторами ................ 498
28.3. Релаксационные колебания в
цепи с отрицательным рези-
стивным сопротивлением 500
28.4. Близкие к синусоидальным ко-
лебания в цепи с отрицатель-
ным резистивным сопротивле-
нием .......................... 501
28.5. Фазовые траектории процессов
в цепи с отрицательным рези-
стивным сопротивлением . . 502
28.6. Фазовые траектории процессов
в генераторе синусоидальных
колебаний ..................... 503
28.7. Автоколебания в электрической
цепи с положительной обрат-
ной связью..................... 505
28.8. О хаотических колебаниях в не-
линейных цепях................. 510
Заключение .................... 512
Список литературы.................. 513
Приложение......................... 514
Предметный указатель............... 519
Ip. 90 к.