/
Автор: Чернышев Э.П. Бычков Ю. А.. Золотницкий В. М.
Теги: электроэнергетика электротехника электрические цепи
ISBN: 5-9511-0009-7
Год: 2002
Текст
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ. ИМЕНИI К УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
ю. А. БЫЧКОВ, В. М. ЗОЛОТНИЦКИЙ, Э. П. ЧЕРНЫШЕВ
основы
ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ
«Санкт-Петербург® 2002 ®Москва®Краснодар®
ББК31.2Н
Б 95
Бычков Ю. А.. Золотницкий В. М., Чернышев Э. П.
Б 95 Основы теории электрических цепей. Учебник для ву-
зов _ СПб.: Издательство «Лань». 2002. — 464 с. —
(Учебники для вузов. Специальная литература).
ISBN 5-9511-0009-7
Содержание учебника соответствует программе Министерства об-
разования РФ по разделам теории линейных и нелинейных электриче-
ских цепей курсов «Основы теории цепей» и «Теоретические основы
электротехники». Предназначается для студентов электротехнических и
радиотехнических специальностей высших учебных заведений.
ББК 31.211
Рецензенты:
кафедра Теоретической и прикладной электротехники
Санкт-Петербургского государственного университета аэрокосмического
приборостроения;
д-р техн. наук. проф. Л. А. Ланнэ.
Оформление
С. Л. ШАПИРО. А. 10. ЛАПШИН
кик-1 UC.IXU
ТОЭ ОТЦ ТЛЭЦ Электротехника
Генеральный директор А. Л. Кноп
Директор издательства О. В. Смирнова
Главный редактор Ю. /1. Сандулов
Художественный редактор С. Л. Шапиро
Подготовка иллюстраций В. В. Воскресенская
Корректор Л. К. Райхчин
Верстка в ЬТЕХ Л. С. Сигов. ЛЕ 10. Сторожей
Выпускающие О. В. Шилкова. Н. К. Белякова
Л Р № 065466 от 21.10.97
•то л. Гигиенический сертификат
8.01.07.953.П.001665.03.02 от 18.03*2002, выдан ЦГСЭН в СПб
Охраняется законом РФ
об авторском праве.
Воспроизведение всей книги
или любой ее части
запрещается без письменного
Разрешении издателя,
люоие попытки нарушения закона
будут преследоваться
о судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2002
© 10. А. Бычков
В. М. Золотницкий
Э. П. Чернышев, 2002
© Издательство «Лань»,
художественное
оформление, 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник обобщает преподавательский опыт авторов за по-
следнее десятилетие. Предложенный в нем курс содержит
краткое и доступное изложение материала, выполненное со
строгих математических позиций, но с обязательной физиче-
ской трактовкой результатов. Учебник ориентирован на актив-
ное овладение студентами второго и третьего курсов навыками
самостоятельной работы, когда опыт рационального и эффек-
тивного изучения учебной литературы у них еще мал. Курс
начинается с изучения функциональных свойств цепей как
преобразователей сигналов, в начале в более физичной и по-
нятной временной, а затем в частотной области. После этого
изложены классические и современные приложения теории
цепей — дискретные цепи, теория фильтров, активные цепи,
синтез двухполюсников, теория чувствительности, машинно-
ориентированные методы расчета, релейные цепи, магнитные
цепи, цепи высокой добротности, синтез четырехполюсников.
Авторы благодарят рецензентов, профессора А. А. Ланнэ и ка-
федру Теоретической и прикладной электротехники Санкт-Петер-
бургского государственного университета аэрокосмического при-
боростроения (заведующий кафедрой — профессор А. К- Явлен-
ский), за их советы и замечания, которые способствовали методи-
ческому совершенствованию учебника.
Авторы признательны преподавателям кафедры ТОЭ Санкт-
Петербургского государственного электротехнического универси-
тета «ЛЭТИ» А. Е. Завьялову и Д. А. Морозову, подготовившим
рукописи глав 18 и 21 соответственно.
Замечания и предложения просим присылать в издательство.
Предисловие
Список использованных сокращении
МУП — метод узловых
AM — амплитудно- модулнрованныи; мц — напряжений; магнитная цепь;
А К — автоколебания; мчх — мнимая частотная
АФХ АЧХ ВАХ вд R4 — амплитудно-фазовая характеристика; — амплитудно-частотная характеристика; — вольтамперная характеристика: — векторная диаграмма; — высокие частоты; НФ — НФУ — НЧ — нэ — характеристика; врастающая функция; 1елннейное функциональное уравнение; шзкие частоты; юлиненный элемент;
U 1 вчх — вещественная ОКИ — основная кривая
частотная ОМ — намагничивания;
характеристика; операторный метод;
ГС — главное сечение; ОУ — операционный
ГК — главный контур; ПЗ — усилитель;
дл — длинная линия; полоса задерживания;
дп — двухполюсник; ПЗФ — юлосовой
дц — дискретная цепь; за граждающий
зи — зависимый источник; ПП — фильтр;
зн — зона неискаження; юлоса пропускания;
знк — закон напряжений ППФ — полосовой
Кирхгофа; пропускающий
зтк — закон токов Кирхгофа; ПС — фильтр;
ид — идеальный диод; юременные состояния;
ин — источник напряжения; ПФ — передаточная функция;
ИНУН — источник напряжения, ПХ — переходная
управляемый ПЦ — । характеристика;
напряжением; фисоединенная цепь;
ИНУТ — источник напряжения. PH — резонанс напряжении;
управляемый током; РТ — резонанс токов;
ипн — источник постоянного РФ — ряд Фурье;
ИС напряжения; РЦ — релейная цепь;
— индуктивно связанный; РЭ . — релейный элемент;
ИТ — источник тока; СЧ — средние частоты;
ИТУТ — источник тока. УПР — установившийся
ИТУН управляемый током; ФАЧ — <j периодический режим;
— источник тока, >ункция абсолютной
управляемый ФВЧ — d чувствительности;
ИХ напряжением; жльтр верхних частот;
— импульсная ФК — ( шльтр Котельникова;
КЗ характеристика; ФНЧ — < шльтр нижних частот;
— короткозамкнутый ФЧХ —с )азочастотная
кл кпд участок цепи; — ключ; — коэффициент характеристика; ХП- —характеристический полином;
лс лч мдс полезного действия; — линия связи; — линейная часть; — магнитодвижущая сила; • метод комплексных амплитуд; — метод контурных токов; метод токов дерева и напряжений хорд; XX — холостой ход; П — цепь; ЦВМ — цифровая вычислительная
МКА мкт мтднх машина; ЧП — четырехполюсник; ЧХ — частотная характеристика; ЭДС — электродвижущая сила.
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ
§ 1.1. ТОК, НАПРЯЖЕНИЕ, ЭНЕРГИЯ
И МОЩНОСТЬ ЦЕПИ
1.1.1. Ток в электрической цепи
Током i(t) называется направленное движение электрических
зарядов, как положительных д+(£), так и отрицательных <?_(£)•
Символ i нс только качественная, но и количественная ха-
рактеристика: ток численно равен скорости прохождения элек-
трических зарядов через поперечное сечение проводника, так что
ад = ^. «и=«+(о+»_(«), н.п
Civ
причем ток i измеряется в амперах (А), заряд g(t) в куло-
нах (Кл), время t — в секундах (с), и размерность А = Кл/С.
К моменту времени t заряд, прошедший через поперечное
сечение проводника, таков:
t t
q(t) = l\t)dt = q(t0)+ (1.2)
—oo fo
то есть, предполагается, что при t—> —оо ток в цепи отсутствовал.
Условимся малыми (строчными) буквами обозначать значе-
ния переменных как функций времени, т. е. мгновенные значения
переменных, г(£) = г, q(t) = q. Тогда формулы (1.1), (1.2) в
сокращенной записи имеют следующий вид:
t
i=q’, q — J idt.
—00
Основы теории электрических цепей
6
Рис. 1.1
О направлении (знаке) тока мож-
но говорить только, когда указано его
условно положительное направление.
Два эквивалентных способа обозначе-
ния условно положительного направ-
ления тока между двумя узлами (по-
люсами) двухполюсника (ДП) изобра-
жены на рисунке 1.1 я, причем i = 2’12-
Таким образом, условно положитель-
ное направление тока можно указать
либо «стрелкой», либо двумя индекса-
ми, соответствующими номерам узлов
цепи.
Значение тока принято увязывать с направлением движе-
ния положительных зарядов q+y поэтому, если при решении
задачи получено 212(f) = -2А, то движение отрицательных
зарядов <?_ в этот момент времени t происходит от узла 1
к узлу 2, а положительных q+ — от узла 2 к узлу 1.
Следствие: i 12(f) = -221(f).
1.1.2. Напряжение
Движение зарядов связано с потреблением энергии. Для харак-
теристики этого явления вводят понятие — напряжение 22(f).
Однако tiff) не только качественная, но и количественная ха-
рактеристика: напряжение 2212(f) между узлами 1 и 2 цепи чис-
ленно равно энергии Hzi2 (работе А12), затраченной на перенос
единичного положительного заряда q = +1 Кл от узла 1 к узлу 2
цепи:
«12(0 = Uj(f) - iz2(f) = 1Г12(/)|7=+1 =
= -412(f)|Q=+i = -U21(f)-
Следствия:
1. Напряжение 221(f) узла 1 цепи численно равно работе по
переносу заряда q = +1 Кл из узла 1 в тот узел це-
пи,^ напряжение которого условно принято нулевым: та-
кой базисный узел с нулевым напряжением выбирается
произвольно.
Гл а на I
7.
2. Если осуществляется перенос бесконечного малого заря-
да dq. то затраченная энергия
dW(l) = u(t)dq(l), (1.3)
причем энергия измеряется в джоулях (Дж), а напряже-
ние— в вольтах (В).
О знаке напряжения можно говорить, если указана (зада-
на) его условно положительная полярность. Два эквивалентных
способа обозначения условно положительной полярности при-
ведены на рисунке 1.16, причем и = «12. Таким.образом мож-
но условно положительную полярность указать либо разметкой
«плюс-минус» узлов ДП, либо двумя индексами, соответствую-
щими номерам этих узлов. Если при решении задачи получено
U12 = - 10 В, то энергетический уровень узла 2 выше, чем узла 1.
1.1.3. Согласованная полярность
Условимся полярность напряжения R-, L-, С-элементов, т. е.
так называемых пассивных элементов цепи, всегда согласовы-
вать с выбранным направлением тока этих элементов, как пока-
зано на рисунке \.2а. Полярность u(t) элемента (или ДП) цепи
называют согласованной с направлением тока i(t) этого же эле-
мента (или Д! I), если ток на схеме направлен к элементу от узла,
которому присвоена положительная полярность (см. рис. 1.2а).
Очень часто разметку полярности напряжения (±) указыва-
ют непосредственно у выводов обозначения элемента на схеме
(см. рис. 1.2б,в,г). В этом случае полярность элемента называ-
ют согласованной (строго — полярность напряжения элемента
называют согласованной с направлением тока), если ток на схе-
ме направлен к выводу элемента, помеченному знаком «плюс»,
от ближайшего узла, к которому элемент присоединен.
а) о) в) г) + д _
L
+•
Рае. 1.2
Основы теории электрических цепей
у источников напряжения «о или тока г0 полярность в об-
щем случае можно выбирать как согласованной (рис. 1.26),
так несогласованной (рис. 1.2в). Несогласованная полярность
характерна (следует из физических соображении) для цепей с
ечинственным источником. В качестве примера на рисунке 1.2а
изображена схема последовательной цепи с двумя источника-
ми напряжения (соответствующая практической схеме зарядки
аккумулятора); ток элементов цепи одинаков; при выбранном
его направлении у источника «02 согласованная полярность, а у
источника uoi — несогласованная.
Примечание. Двухполюсником (ДП) называют любую часть цепи, имею-
щую два внешних вывода (узла, зажима, полюса), относительно которых и
рассматриваются се характеристики; условное обозначение ДП приведено
на рисунке 1.1.
1.1.4. Энергия и мощность
Пусть через ДП током г(4) переносится заряд а поляр-
ность напряжения ДП «(4) согласована с направлением тока.
Тогда, согласно (1.3), затраченная при этом элементарная энер-
гия будет dlV(i) = «(t) dq(t).
Мощностью ДП р(4) называют скорость поступления энер-
гии вДП:
р(4) = = u(t)^ = u(t)i(t). (1.4)
Измеряется мощность в ваттах (Вт).
На основании (1.4) энергия, поступившая в ДП к моменту
времени 4, будет
t
и'(0= У p(t)dt. (1.5)
-оо
Примечания:
ИЛИ э,пемснт цспи 1|азь|вают пассивным, если в любой момент вре-
мени его энергия неотрицательна, т. е
И’пас(Г)>0 (1.6)
и^заМпасйэт'Ь1Э;,еМе,,Та > °’тоэлемент в этот момент потребляет
(^ивозвра^ХТассчшую^ < °’Т0Э'1емС1,тгс^РиРУ^ энергию
Глава I
9
3. По закону сохранения энергии сумма мощностей всех элементов цепи
равна нулю, т е. в цепи имеет место баланс мощностей
52pfc(t) = O, I,?-
(к)
где к —номер элемента.
4. Если полярность напряжения ДП несогласована с направлением тока
(см. например, рисунок 1.2п,г), то в отличии от (1.4) формула мощности
ДП имеет следующий вид:
p(l) = . 18i
§ 1.2. РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.2.1. Определение резистивного элемента
В курсе теории электрических цепей единый электромагнит-
ный процесс генерирования, передачи, преобразования и по-
требления электромагнитной энергии идеализируют и услов-
но разбивают на отдельные составляющие, которые учиты-
вают обычно в виде следующих элементов (см. рис. 1.2а,б):
R-элемент учитывает необратимое потребление электро-
магнитной энергии; L-элемент учитывает запасание энер-
гии электрического поля; С-элемент учитывает запасание
электрического поля; для учета процесса генерирования
электромагнитной энергии за.счет других видов энергии
вводят идеальные источники напряжения uo(t) и тока
Рассмотрим подробно характеристики каждого из указанных
элементов.
Резистивным элементом, или
7?-элементом цепи называют идеали-
зированный, пассивный, двухполюс-
ный элемент, который отражает только
одну сторону единого электромагнит-
ного процесса — необратимое преоб-
разование электромагнитной энергии в
другие виды энергии (тепловую, свето-
вую, механическую, химическую и др.).
Условное обозначение R-элемента
с указанием согласованной полярности
приведено на рисунке 1.3а.
Основы теории электрических цепей
10
По своим характеристикам к Л-элементу приближаются ре-
альные резисторы и нагревательные приборы на низких часто-
тах (НЧ) Однако уже на средних частотах схема замещения
□сального резистора усложняется и обычно имеет вид, близ-
кий к приведенному на рисунке 1.36, где Л-элемент отража-
ет необратимые потери электромагнитной энергии; L -элемент
учитывает наличие магнитного поля, обусловленного протекани-
ем тока г в реальном резисторе; С-элемент учитывает наличие
электрического поля, обусловленного напряжением и на выво-
дах реального резистора. Вопросы составления схем замещения
реальных электротехнических устройств достаточно сложны и
рассматриваются в спецдисциплинах.
1.2.2. Вольт-амперные характеристики
резистивного элемента
Связь между током и напряжением линейного 2?-элемента
определяется законом Ома
uR(t) = RiR(€),
следовательно, символ R не только качественная, ио и коли-
чественная характеристика: величина R.называется сопротив-
лением резистивного элемента и является коэффициентом про-
порциональности между его напряжением uR и током iR, т. е.
R =
iR(t) ’
(1.9)
обратная величина
G = - = —
R uR
(1.Ю)
резистивного элемента, причем
измеряют в Омах (Ом), а прово-
называется проводимостью
в (1.9), (1.Ю) сопротивление
димость — в сименсах (См).
РактеХтиНки7вАХ)РлйУН^ ГрафиК польт~ампеРной ха“
чая линия ппг v линейного резистивного элемента — пря-
угла наклона a °'1^ЯЩая чеРез начало координат, причем тангенс
противлению элемещ^Л К.0СИ .аб^цисс пропорционален со-
’фопорционалк1.ЛА ' (в формуле поставлен символ
ональности, так как необходимо учитывать масштабы
для in, ип на графике). Следует отметить, что характеристики
большинства реальных резистивных элементов нелинейны: ли-
нейность — это обычно идеализация реальных ВАХ в ограни-
ченном диапазоне токов-напряжений элемента. Так, на рисун-
ке 1.46 качественно показана ВАХ диода, являющаяся суще-
ственно нелинейной.
ВЫВОД'. ВАХ линейного Л-элемента описываются линей-
ными алгебраическими уравнениями (1.9), (1.10).
1.2.3. Энергетические характеристики Л-элемента
Согласно (1.7) мгновенная мощность, т. е. скорость поступления
энергии в R-элемент, будет следующей:
Рл(0 = un{t)iR(t} — Ri2n(t) = Gu2n(t) >0. 11.11»
ВЫВОД: согласно формуле (1.Г1) Я-элемент, действи-
тельно, необратимо потребляет энергию в любой момент
времени.
Энергия, поступившая в Я-элемент к моменту времени t-
будет t
WR(t) = J pn(t)dt^O. H.12i
как интеграл от положительной функции.
ВЫВОД: из сравнения формул (1.6) и (1.12), следует, чтс
R-элемент, действительно является пассивным элементом
Основы теории электрических цепей
12
§ 1.3. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ
ИСТОЧНИКИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ
1.3.1. Источник напряжения
Источником напряжения (ИН) называют идеализированный
двухполюсный элемент, напряжение которого ?z0(t) является
заданной функцией времени и не зависит от протекающего через
ИН тока.
Условное обозначение ИН приведено на рисунке 1.5а.
Направление тока ИН может быть произвольным, как со-
гласованным, так и несогласованным с полярностью напря-
жения.
Примечание. Для цепей с единственным ИН характерна (логична) несо-
гласованная полярность, как показано на рисунке 1.56, где ДП — пас-
сивный двухполюсник: действительно, при резистивном ДП его мощность
согласно формуле (1.11) рдп > 0, а мощность ИН при несогласованной
полярности будет на основании формулы (1.8) рт = -ио? < 0, что
соответствует физическим процессам генерирования энергии в цепи. При
этом в соответствии с формулой (1.7) имеет место баланс мощностей, т. е
Рин + Рдп = 0.
Рис. 1.5
Независимость напряжения ИН оттока отражается на ВАХ
источника, как показано на рисунке 1:5в, для некоторого момен-
та времени t = ti; следовательно, дифференциальное сопротив-
ление ИН
» du
Лдиф — ~тт — 0.
аг
' Частный случай источника напряжения с пулевым напря-
жением uq _ о эквивалентен короткозамкнутому участку цепи
ин*' ’ кото^ы^ 0пРеделяется как идеализированный двухполюс-
элемент, условно изображенный на рисунке 1.5а, причем
Глава I
13
сопротивление и напряжение идеального КЗ-элемента являются
нулевыми, т. е.
— о,
^КЗ — 0<
@КЗ ~ ^-/ДкЗ —* ОО •
(ток КЗ-элемента зависит от вида остальной цепи).
Идеальный ИН является источником бес-
конечной мощности. Действительно, при ко-
ротком замыкании ИН, как показано на ри-
сунке 1.6а, ток ИН гин = uq/Rm —> оо, а
мощность с учетом (1.8) из-за несогласованной
полярности ИН рИц = — «о^ин —* —оо. Одна-
ко этот предельный случай в теории цепей не
рассматривается (действительно, относитель-
но узлов 1, 2 имеем параллельное соединение
ИН и КЗ, т. е. uq = -uK3), поскольку в схеме
рисунка 1.6а:
1. Нарушаются согласно формуле (1.13)
определения ИН и КЗ (-ио 0, uK3 = 0).
2. Нарушается закон напряжений Кирхгофа,
так как сумма напряжений в контуре не равна
нулю.
Нормальными режимами работы идеально-
го ИН являются:
1. Нагрузка его, например, пассивным ДП.
как было показано на рисунке 1.56.
2. Холостой ход (XX), т. е. обрыв нагрузки,
как изображено на рисунке 1.66.
По своим характеристикам к ИН прибли-
жаются, например, мощные аккумуляторные
батареи на НЧ в режиме малых отдаваемых
гоков. Обычно схема замещения реально-
го ИН на НЧ имеет вид, изображенный на
ВАХ реального ИН представлена схематично на рисун-
ке 1.6г (в предположении ио > 0, i > 0 для некоторого мо-
мента времени t =?= t\); сопротивление Ro в этом случае часто
называют внутренним или выходным.сопротивлением реального
источника. >.
(1.13)
а) * гИН
+ )ио
КЗ
2
б)
+ )«о
'XX
в) Ro i
+ )UO U
г)
и‘
«о
и = uq — /?ог
О
Рис. 1.6
рисунке 1.6в:
Основы теории электрических цепей
14
и 1 Источник тока
1 .„пкп (ИТ) называют идеализированный двух-
Источником которого ;0(t) описывается заданной
—“"времен Й не зависит от напряжения ИТ.
Уловное обозначение ИТ приведено па рисунке 1.7а.
Полярность напряжения ИТ может быть выбрана произволь-
но, как согласованной, так и несогласованной с направлением
тока ИТ.
Примечание. Для цепей с единственным ИТ характерна (логична) несо-
гласованная полярность, как показано на рисунке 1.76, где ДП — пассив-
ный двухполюсник; действительно, при резистивном ДП его мощность, со-
гласно формуле (1.11) рдд > 0, а мощность источника с учетом =
= «яг и несогласованной полярности ИТ Рит = -«итг’о < 0- причем
Рп +Рит =0.
Независимость тока ИТ от напряжения отражается на ВАХ
источника, как показано на рисунке 1 Лв для некоторого момента
времени t — ti, следовательно, дифференциальное сопротивле-
ние ИТ = du/di —> оо.
Частный случай источника тока с нулевым током io — & эк-
вивалентен разомкнутому(разорванному)участку цепи, который
иначе называют холостым ходом (XX), т. е. обрывом в цепи.
Холостой ход это идеализированный двухполюсный эле-
.мент цепи, условное изображение которого приведено на рисун-
ке 1.7г, причем у такого идеального элемента ток и проводимость
являются нулевыми:
«хх = 0. Gxx = 0. Лхх = Д-=-* оо, (1.14)
б* XX
а напряжение зависит от вида остальной цепи.
<^°РМУ;1Ы (1-13),(1.14) намеренно имеют одинаковую фор-
' / 1 11°Ачеркнуть фундаментальное в теории цепей свойство анало-
меХовТВе""0СТИ) -Р^ристик элементов, называемое дуальностью
Глава 1
15
Идеальный ИТ является источником бес-
конечной мощности. Действительно, при об-
рыве его выводов, как показано на рисун-
ке 1.8а, напряжение ИТ уит = гоДхх —» оо,
мощность с учетом несогласованной полярно-
сти рит = -Мит?о -о°- Однако этот пре-
дельный случай в теории цепей не рассматри-
вается (действительно, схему на рисунке 1.8а
можно трактовать как последовательное со-
единение ИТ и XX, т. е. го = г?.х), поскольку
здесь:
1. Нарушаются согласно формуле (1.14) определения ИТ и
ХХ.(го0О,гхх = О).
2. Нарушается закон токов Кирхгофа (ток, втекающий, на-
пример, в узел 1, не равен вытекающему).
Нормальными режимами работы идеального ИТ являются:
1. Нагрузка его, например, пассивными ДП (см. рис. 1.76).
2. Короткое замыкание его выводов (см. рис. 1.86).
§ 1.4. ИНДУКТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ЦЕПИ
И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.4.1. Определение индуктивного элемента цепи
Индуктивным элементом, или L-элементом называют идеали-
зированный двухполюсный пассивный элемент цепи, единствен-
ным электромагнитным процессом в котором является запаса-
ние энергии магнитного поля.
Условное обозначение L-элемента приведено на рисунке 1,9а,
причем полярность напряжения принято согласовывать с на-
правлением тока элемента. Символ L не только качественная,
но и количественная характеристика: величина L, называемая
Рис. 1.9
Основы теории электрических цепей
16
индуктивностью, является коэффициентом пропорциональности
между потокосцеплением самоиндукции Ф и током , обус.-ю-
вившим это потокосцепление.
Ь = <115)
где потокосцепление Ф — E(/v) $к — -^Фср, т. е. ь катуш-
ке индуктивности, являющейся на НЧ близким реальным про-
тотипом L-элемента, потокосцепление равно сумме элементар-
ных потоков Фк, пронизывающих все N витков катушки (здесь
Фер — средний поток, сцепленный с каждым из витков катушки).
В формуле (1.15) потокосцепление Ф измеряют в веберах (Вб),
L — в генри (Гн).
Вебер-амперная характеристика линейного L -элемента —
это прямая линия (см. рис. 1.96), причем tg7~L. Однако
у реальных катушек индуктивности с магнитным сердечни-
ком вебер-амперная характеристика нелинейна, неоднозначна
и обладает гистерезисом (см. рис. 1.9в). В случае отсутствия
магнитного сердечника зависимость Ф(г'ь) близка к линейной.
1.4.2. Вольт-амперная характеристика L -элемента
Изменение тока приводит согласно формуле (1.15) к изме-
нению потокосцепления, пронизывающего витки катушки ин-
дуктивности. А изменение Ф/, приводит по закону электромаг-
нитной индукции к появлению напряжения самоиндукции ul, на
выводах катушки, которое равно скорости изменения потоко-
сцепления. что применительно к идеализированному линейному
L-элементу записывается следующим образом:
“l(') = (1Л6)
Формула (1.16) записана для случая согласованной полярно-
сти (см. рис. 1.9а).
Примечания:
1 . Согласно формуле (1.16) в цепях постоянного тока при iL = const на-
пряжение uL = 0, т. е. в соответствий с формулой (1.13) L-элемент
эквивалентен КЗ. действительно, при г/, = const магнитный поток,
пронизывающий катушку индуктивности, неизменен, поэтому напряже-
ние индукции равно нулю.
2 nu°u,3aK0"y элсктР°маг|,и™ой индукции напряжение (ЭДС) индук-
‘U’L. создаваемое током . наводится такой полярности (такого
Глава I
17
знака), что как бы препятствует вызвавшей это напряжение причине;
например, при убывании тока (i'L < 0) согласно формуле (1.16) по-
лучим ui, < 0, т. е. истинная полярность uj, обратна указанной на
рисунке 1.9а условно положительной и, если рассматривать L-элемент
условно как источник напряжения, то такой ИН как бы «стремится
поддержать убывающий ток».
Согласно формуле (1.16) мгновенное значение тока L-эле-
мента будет ’
с С
i f if
iL^=L J UL^dt=LjUL^dt + iL^°~^ (117)
-OO to
причем во второй части формулы (1.17) ток й(£о-), предше-
ствующий рассматриваемому интервалу t > to, строго следова-
ло записать г/, (to — е), по бесконечно малую е обычно в теории
цепей опускают.
ВЫВОД: вольт-амперные характеристики линейного //-эле-
мента описывают простейшими дифференциальными или ин-
тегральными линейными уравнениями (1.16), (1.17).
1,4.3. Энергетические характеристики L-элемента
Согласно рисунку 1.9а мгновенная мощность L-элемента такова:
Pb(t) = uLiL =
Тогда энергия, запасенная в L-элементе к моменту време-
ни t, записывается как
WL(t)= I dt = lLiLdiL = ^^->0, (118)
—оо 0
где произведена замена переменных при интегрировании, причем
учтено, что при времени t ток в цепи равен г л, а при t —> —оо ток
в цепи отсутствовал (й = 0).
ВЫВОД: согласно формулам (1.6), (1.18) //-элемент, дей-
ствительно, является пассивным элементом цепи.
С учетом формулы (1.15) преобразуем формулу (1.18) к еле-
дующему вида: №Ф? (<)
ИШ = ^ = -2Г~
(1.19)
гь-нплы теории электрических испей
П\ Ток й и магнитный поток - это две стороны одного и того же явле-
‘ ния что отражено в выражениях (1.15), (1.19), следовательно, на осно-
вании формул (1-18), (IJ9) L-элемеиг, действительно характеризует
запасание энергии магнитного поля.
2 L-элемент является идеализированным элементом реальной электри-
ческой цепи, поскольку, например, схему замещения (модель катуш-
ки индуктивности) даже на НЧ обычно изображают в виде последова-
тельного соединения L-н /1-элементов, причем Л-элемент отражает
сопротивление активных потерь в проводах катушки.
1.4.4. Принцип (закон) непрерывности
потокосцепления L -элемента
При условии ограниченности значений токов и напряжений цепи
потокосцепление Фь(£) является непрерывной функцией време-
ни и не может изменяться скачком:
Фь(г-) = ад+), (1.20)
. где, как указано ранее, бесконечно малая е опущена.
Докажем равенство (1.20) от противного. Допустим, что в
момент времени t = to потокосцепление Фл(£) изменилось
скачком на АФ^, Как показано на рисунке 1.9г (строго: функ-
ция описывающая потокосцепление, претерпевает при to
разрыв первого рода). Тогда, согласно формуле (1.16) и опреде-
лению производной, напряжение L-элемента стремится при to
к бесконечно большому значению:
и (t0) =
dt
t=to
lim
At-*0
АФ£
At
— oo,
t=to
(1-21)
поскольку приращение функции АФ/, конечно, а приращение
аргумента At является бесконечным малым. Значение uL в
формуле (1.21) противоречит условию ограниченности уровней
токов и напряжений в цепи, т. е. Фь^) — непрерывная функция.
ледствие. при условии неизменности значения индуктивности
в цепи ток L -элемента также является непрерывной функцией
времени и не может изменяться скачком, т. е.
• ^(t-)=iL(t+), (1.22)
причем равенство (1.22) вытекает из равенства (1.201 с учетом
выражения (1.15). у
Глава I
19
Энергетическая трактовка равенства (1.22)такова:
И7(«“) = 0,5L<l(t-) = WL(t+) = O,5Lil(t+),
т. е. энергия, запасенная L-элементом, не может изменяться
скачком (в произвольный момент t = t0), иначе согласно фор-
муле (1.4) мощность L -элемента pL (t0) = W'L (f0) становится
бесконечной, что реально осуществить невозможно.
Математическая трактовка выражения (1.20) следует также
из формул (1.15), (1.17): интеграл от ограниченной по уровню
функции
Фь(0= У uL(fydt (1.23)
—оо
является непрерывной функцией (площадь под кривой, огра-
ниченной по уровню, не может измениться скачком). Из фор-
мулы (1.23) следует также вариант физической трактовки вы-
ражения (1.20): если иъ(1} считать скоростью движения, то
$L(£) — координата, которая не может измениться скачком,
если скорость небесконечна.
§ 1.5. ЕМКОСТНОЙ ЭЛЕМЕНТ ЦЕПИ
И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
1.5.1. Определение С-элемента цепи
Емкостным элементом, или С-элементом цепи называется
идеализированный двухполюсный пассивный элемент цепи, ко-
торый отражает лишь процессы запасания энергии электриче-
ского поля.
Условное обозначение С-элемента приведено на
рисунке 1.10, причем полярность напряжения при- +__С
нято согласовывать с направлением тока. «с --С
Символ С не только качественная, но и коли-
чественная характеристика: величина С, называе-
мая емкостью, является коэффициентом пропорцио-
нальности между зарядом qc емкостного элемента и напряже-
нием элемента: ...
С = (1.24)
«(7 (О’
причем емкость С в (1.24) измеряется в фарадах (Ф).
20
Основы теории электрических цепей
Кулон-вольтная характеристика ли-
нейного С-элемента это прямая ли-
ния (см. рис. 1.11); tg7 ~ с. К емкост-
ному элементу по своим характеристикам
достаточно близок на НЧ высококаче-
ственный конденсатор, однако у некото-
рых типов конденсаторов (варикапов, ва-
рикондов) вебер-амперная характеристика
нелинейна даже в небольшом диапазоне
изменения переменных qc(uc)-
1.5.2. Вольт-амперные характеристики
С-элемента
Изменение напряжения ис емкостного элемента согласно фор-
муле (1.24) приводит к изменению заряда qc, но на основании
выражения (1.1) изменение заряда свидетельствует о протека-
нии через С-элемент тока:
. _ dqc _ „duc(t)
lc(t) _ — (1.2о)
при этом соотношение (1.25) записано для согласованной по-
лярности (см. рис. 1.10).
Примечание. Согласно формуле (1.25) в цепях постоянных токов и напря-
жений при ис = const ток ic = 0, т. е. в соответствии с (1.16) С-элемент
эквивалентен XX.
На основании формулы (1.25) напряжение С-элемента в мо-
мент времени t будет
1 4 4
Uc^=C j I ic(t)dt + uc(tQ-). (1.26)
to
ВЫВОД-, вольт-амперные характеристики линейного С-эле-
мента описываются простейшими дифференциальными и ин-
тегральными соотношениями (4.25), (1.26).
1.5.3. Энергетические характеристики С-элемента
^г"овенная мощность С-элемента с учетом (1.25) записывает-
ся как
Pc(t) = = Cuc(t)u'c(t).
Глава /
21
следовательно, энергия, запасенная С-элементом к моменту
времени t будет
t «с
1КС(() = / pc(i) dt = С [ UC due = > 0. (1.27)
</ «/
—оо О
При интегрировании в формуле (1.27) произведена замена
переменных, причем учтено, что в момент времени t на-
пряжение С-элемента равно ис, а при £ —> оо напряжение
ис = 0.
ВЫВОД-, согласно формулам (1.6), (1.27) емкостной эле-
мент, действительно, является пассивным элементом.
С учетом формулы (1.24) преобразуем (1.27) к следующему
виду:
lVc(t) = о».
С/
(1.28)
Примечание. Заряд, напряжение и электрическое поле — это различные
стороны одного и того же явления, что отражено в выражениях (1.24), (1.28):
следовательно, С -элемент действительно характеризует запасание энергии
электрического поля.
Необходимо отметить, что линии
тока, как известно из курса физики,
непрерывны. Так, на рисунке 1.12, где
схематично изображены обкладки кон-
денсатора, ток ic(t) в подводящих
проводах и обкладках (линии тока изоб-
ражены пунктиром) — это ток прово-
димости, обусловленный в основном
движением свободных зарядов в про-
водниках. В пространстве между обкладками конденсатора ток
проводимости переходит в ток смещения. Действительно, при
изменении на обкладках конденсатора заряда <7с(0 и напря-
жения uc(t) между обкладками создается переменное электри-
ческое поле, под воздействием которого в атомах диэлектрика,
находящегося между обкладками, как бы перемещаются центры
положительного и отрицательного зарядов атома (т. е. в любом
поперечном сечении между обкладками существует ток). Одна-
ко указанный ток поляризации атомов — это’только часть тока
22
Основы теории электрических цепей
смещения, который имеет место и в вакууме. В последнем слу-
чае переменный заряд qc(t) создает между обкладками пере-
менное электрическое поле, которое по законам электромаг-
нетизма создает вокруг себя переменное ма!нитное поле. Как
указано ранее, магнитное поле и ток — это две стороны од-
ного и того же явления, следовательно, в вакууме роль тока
смещения, протекающего через конденсатор, играет переменное
магнитное поле.
Примечание. Как известно, напряжение, разность потенциалов между
узлами цепи, электродвижущая сила измеряются одинаково — в воль-
тах; напряжение элемента определяется разностью потенциалов между
узлами, к которым ои присоединен; ЭДС элемента (источника на-
пряжения или, например, ЭДС индукции L-элемента) обеспечивает
разность потенциалов между узлами элемента; поэтому в теории це-
пей при анализе вольт-амперных характеристик элементов и расчете
процессов целесообразно использовать в указанных случаях одну пе-
ременную— напряжение u(t), обращаясь к терминам ЭДС и «разность
потенциалов» преимущественно при физической трактовке изучаемых
явлений.
1.5.4. Принцип (закон)
непрерывности заряда С-элемента
При условии ограниченных по уровню значений токов и напря-
жений цепи заряд дс(£) является непрерывной функцией време-
ни и не может измениться скачком:
?с(«-) = qc(t+)-
(1-29)
at
Докажем (1.29) от обратного. До-
пустим, что в момент времени t =
= to заряд С-элемента из-
менился скачком на Лг/с, как пока-
зано на рисунке 1.13. Тогда соглас-
но (1.25) и определению производ-
ной, ток С-элемента при t = to будет
иметь бесконечно большое значение
= lim ~~
t=t0 At—»о kt t=t0
оо.
что противоречит условию ограниченности уровня токов
Глава 1
23
Следствие: при условии неизменности значения емкости в цепи
напряжение С-элемента также является непрерывной функци-
ей времени и не может измениться скачком, т. е.
МН=М*+)> (1.30)
причем равенство (1.30) вытекает из равенства (1.29) с учетом
формулы (1.24).
§ 1.6. ГЕОМЕТРИЯ ЦЕПЕЙ
1.6.1. Основные понятия геометрии цепей
Электрическая цепь — это идеализированная модель реаль-
ного электротехнического устройства. Схема цепи — это гра-
фическое изображение электрической цепи в виде различных
соединений элементов цепи (из которых ранее рассмотрены
R-, L-, С-элементы, ИН, ИТ, КЗ, XX). Геометрия схем простых
цепей в основном характеризуется нижеследующими понятиями.
Ветвь — в общем случае любая часть цепи, соединяющая
два у;;ла. В частном случае, ветвь может состоять из одного
элемента; при этом КЗ- и ХХ-элементы рассматриваются как
устранимые ветви, поскольку их можно на схеме и не изобра-
жать (как показано ниже).
Узел — это место соединения двух и более ветвей. Место
соединения только двух ветвей называют устранимым узлом, по-
скольку в этом случае имеем дело с последовательным соеди-
ненном элементов, которое при решении многих задач можно
рассматривать как одну общую ветвь (однако при детальном
машинном задании схемы цепи устранимые узлы широко ис-
пользуются).
Контур обычно рассматривают как замкнутую последова-
тельность ветвей схемы (причем эти ветви не пересекаются и
дважды не повторяются). Если рассматривается контур, содер-
жащий разомкнутый элемент цепи (XX), то такой контур ого-
варивается особо и обычно используется для расчета напряже-
ния холостого хода tzXx» когда напряжения остальных элемен-
тов этого контура известны. Ячейка — это простейший контур
плоской цепи, который изображается в схеме без пересечения
другими ветвями (не входящими в контур). Путь это непре-
рывная последовательность ветвей, связывающая пару узлов.
Основы теории электрических цепей
24
Сечение — это замкнутая линия, пересекающая некоторые вет
ви схемы цепи (в случае пространственной схемы сечение — это
замкнутая поверхность). Более строго сечение определяется как
множество ветвей, устранение которых разбивает схему на две
несвязанные части.
Обычно говорят о следующих соединениях (структурах со-
единений) элементов (или ДП) в схеме цепи:
Рис. 1.14
Рис. 1.15
1. Последовательное соединение —
это соединение элементов один за дру-
гим через устранимые узлы; ток г та-
ких элементов одинаков, если одинако-
вым выбрано его направление во всех
последовательно соединенных элемен-
тах (см., например, рисунок 1.14а), че-
му и рекомендуется следовать в прак-
тике расчета цепей.
2. Параллельное соединение обра-
зуется присоединением элементов к од-
ной и той же паре узлов, как показа-
но, например, на рисунке 1.146; напря-
жение параллельно соединенных эле-
ментов одинаково, если положительная
полярность напряжения всех элемен-
тов выбрана одинаково, т. е. простав-
лена у одного из указанных углов, а от-
рицательная — у другого (чему также
рекомендуется следовать в расчетах).
3. Смешанное соединение — это
последовательно-параллельное соеди-
нение (см., например, рис. 1.14в); цеп-
ное (лестничное) соединение — это
многократное последовательно-парал-
лельное соединение (см., например,
рис. 1.14а).
4. Соединение, например, 7?-эле-
ментов звездой представлено на ри-
сунке 1.15а, соединение треугольни-
ком на рисунке 1.156, мостовое
соединение — на рисунке 1.15в.
Г лава /
25
Рис. 1.16
Следствие: в практических расчетах узлы, соединенные КЗ-эле-
ментами, обычно рассматривают как один общий узел. Так, схе-
ма, представленная на рисунке 1.146, может быть эквивалентно
преобразована, как указано на рисунке 1.16а. А при расчете, на-
пример, входного сопротивления Яаъ относительно узлов а, b
схемы, приведенной на рисунке 1.166, проще воспользоваться эк-
вивалентной схемой, изображенной на рисунке 1.1 6g, производя
разметку узлов исходной схемы (рис. 1.166) и считая коротко-
замкнутые узлы одним общим узлом (узлом с), что и отраже-
но в схеме на рисунке 1.1 бе, из рассмотрения которой очевидно
следует, что _ RlR2 ЯзЯл
Kab~ Rx+R2 + R3 + R4
1.6.2. Основные понятия топологии цепей
Топология изучает неметрические свойства геометрических фи-
гур. Так, граф схемы — это геометрический образ схемы це-
пи. Узлы (вершины) графа соответствуют узлам схемы, а ветви
(ребра) графа, изображаемые линиями, которые соединяют узлы,
соответствуют ветвям схемы. Так, граф схемы, изображенной на
рисунке 1.17а, представлен на рисунке 1.176 (кривизна ветвей
графа произвольна).
Рис. 1.17
Псновы теории электрических цепей
26
Рис. 1.18
Дерево графа получают, соединяя узлы графа ветвями без
образования замкнутых контуров. Ветви, вошедшие в дерево,
называют ветвями дерева. Ветви, не вошедшие в дерево, назы-
вают хордами (или ветвями связи). Присоединение какой-либо
хорды к дереву приведет к образованию замкнутого контура.
У графа может быть несколько деревьев; так, некоторые дере-
вья графа, изображенного на рисунке 1.176, представлены на
рисунке 1.18а: ветви дерева изображены сплошными линиями,
а хорды — пунктиром. Очевидно, что число ветвей дерева
Т^В.Д = % 1
(где Пу —число узлов), а число хорд
12х = Tig — 72в.д — Tig ~ Г2.у + 1,
где пв —число ветвей; при этом пЗЛ соответствует числу неза-
висимых уравнений цепи, которые можно составить по закону
токов Кирхгофа (ЗТК), т. е. пв.д = пэтк; пх соответствует чис-
лу независимых уравнений цепи, которые можно составить по
закону напряжений Кирхгофа (ЗНК), т. е. пх = пЗНк-
Цепь называется плоской (планарной), если ее граф можно
изобразить без пересечения ветвей; в противном случае цепь на-
зывают пространственной (непланарной). Так, на рисунке 1.186
представлен граф плоской цепи, поскольку ее можно эквива-
лентно преобразовать к виду (рис. 1.18в), графу (рис. 1.18г)
соответствует пространственная цепь.
Следствие: кроме рассмотренных простых топологических гра-
фов, в теории электрических цепей широко используются и
другие варианты графов, например, полных (учитывающих все
элементы цепи), направленных топологических (учитывающих
направления токов и полярности напряжений) и др., которые
преимущественно используют при машинных и аналитических
расчетах сложных цепей.
Глава /
27
§ 1.7. ЗАКОНЫ КИРХГОФА
1.7.1. Закон токов Кирхгофа
Первый закон Кирхгофа, называемый также законом токов
Кирхгофа (ЗТК), отражает закон сохранения зарядов в цепи: '
алгебраическая сумма токов в любом узле или сечении цепи в
любой момент времени равна нулю, т. е.
Z>(t) = O, (1.31)
(*)
причем для определенности вытекающие из узла (сечения) токи
берут в уравнении (1.31) со знаком «плюс», а втекающие — со
знаком «минус»; здесь к — номера ветвей, присоединенных к
рассматриваемому узлу.
Следствия:
1. Сумма токов, втекающих в узел (се-
чение), равна сумме вытекающих
токов, что поясняется на рисун-
ке 1.19а, где г3 = +г2, поскольку
на основании уравнения (1.31) по-
лучены *з — ii - «2 = 0; ЗТК для
показанного пунктиром на рисун-
ке 1.196 сечения имеет вид ii 4- «2 +
+ «з = 0.
2. В последовательно соединенных
элементах цепи ток одинаков, если
одинаковым выбрано его направле-
ние во всех элементах, как показа-
но, например, на рисунке 1.19в, где
уравнения для устранимых узлов 1, 2
имеют вид iR = гИ||, гШ1 = ic •
Рис, 1.19
1. 7.2. Число независимых уравнений ЗТК
Максимальное число независимых уравнений, составляемых по
ЗТК, равно
Пзтк = Пу — 1 = 74в.Д.
(1.32)
Для доказательства (1.32) вначале покажем, что уравнение ЗТК
для узла с номером пу является зависимым, если составлены
уравнения ЗТК для всех пу узлов схемы. Действительно, ток
28
Основы теории электрических цепей
каждой ветви (например, ikm на рисунке 1.20а) входит лишь в
2 уравнения ЗТК, составленных для тех двух узлов, к которым
присоединена рассматриваемая ветвь (например, г3 + м - ikm =
= 0, _г:х _ г2 4- ikm = 0 лпн схемы рисунка 1.20а). При этом
в одно из уравнений этот ток входит со знаком «плюс», а в дру-
гое — со знаком «минус», следовательно, сумма всех т?у урав-
нений ЗТК равно нулю (поскольку токи сокращаются). Таким
образом уравнение ЗТК для узла с номером пу равно взятой со
знаком «минус» сумме остальных (пу — 1) уравнений и поэтому
Для обоснования независимости остальных (пу — 1) урав-
нений ЗТК рассмотрим граф некоторой цепи (см. рис. 1.206), в
котором выделим сплошными линиями какое-либо дерево
и пронумеруем узлы и ветви дерева «от краев к основанию
дерева». ,
При такой нумерации каждое «новое» уравнение ЗТК, со-
ставленное для узла с последующим номером (вплоть до номе-
ра (пу — 1), содержит хотя бы одну «новую» переменную (кото-
рой не было в предыдущих уравнениях) — ток ветви дерева с тем
же последующим («новым») номером. Известно, что составлен-
ная подобным образом система уравнений независима (ни одно
из уравнений невозможно получить из других).
В качестве узла, уравнение ЗТК для которого считаем зави-
симым, выбирают любой узел цепи; для остальных узлов уравне-
ния ЗТК независимы. Действительно, например, в схеме на ри-
сунке 1.20в уравнение ЗТК для узла 1 имеет вид г2-Ноз’—й = 0»
а для второго узла ti — — г0з =0, т. е. является зависимым.
Глава I
29
1. 7.3. Закон напряжений Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа, называемый также законом напря-
жений Кирхгофа (ЗНК), отражает закон сохранения энергии в
замкнутом контуре: алгебраическая сумма напряжений в любом
замкнутом контуре равна нулю в любой момент времени, т. е.
£>*(*) = О, (1.33)
(fc)
причем в уравнении (1.33) символом к обозначены номера эле-
ментов схемы цепи, вошедших в контур. Правило знаков: если,
например, обход контура согласован с полярностью напряжения
элемента к, то это напряжение берут в (1.33) со знаком «плюс»,
если не согласован — со знаком «минус». Обход контура мо-
жет быть выбран произвольно. Так, например, уравнения ЗНК
для указанных пунктиром контуров I, II, III схемы, изображен-
ной на рисунке 1.20в, имеют вид ur + ис + «02 - «ох = О,
ис + пог - поз = 0, uoi — «оз - ur = 0. Как видно из приведен-
ны.х уравнений, правило знаков одинаково как для напряжений
источников, так и для напряжений пассивных элементов.
Следствия:
1. У параллельно соединенных элементов (или двухполюс-
ников) напряжение одинаково, если полярность напря-
жения всех элементов выбрана одинаково, как показано,
например, на рисунке 1.146, где иит = иъ = ur, посколь-
ку уравнения ЗНК ячеек схемы при их обходе по часовой
стрелке иъ — иит — 0, ur - иъ = 0.
2. Напряжение uab между любыми узлами А, В цепи рав-
но алгебраической сумме напряжений по любому пути из
точки А в точку В; при этом правило знаков остает-
ся вышеизложенным (если направление пути из узла А
к узлу В согласованно с полярностью напряжения эле-
мента цепи, по которому проходит путь, это напряжение
учитывают в уравнении ЗНК со знаком «плюс»).
Использовав следствие 2 для анализа схемы, изображенной
на рисунке 1.20в, можно написать tti2 = —«л+«ох = uc+uq2 =
= uqs , что, естественно, вытекает из уравнений ЗНК схемы,
приведенных ранее.
Основы теории электрических цепей
30
1.7.4. Число независимых уравнений ЗНК
Максимальное число независимых уравнений, содержащих толь-
ко напряжения ветвей, которые можно составить по ЗНК, равно
П3нк = «в - («у - 1) = пх- (I -34)
Для доказательства (1.34) составим в соответствии с изло-
женным ранее уравнений ЗНК для всех Пв ветвей схемы це-
пи. Для произвольной ветви ктп (см. рис. 1.20л), напряжение
двухполюсника (или элемента) ветви
Wjtm = 1 -Зо)
где Uk, Um— напряжения узлов к, т относительно базисно-
го, причем каждое из этих узловых напряжений входит минимум
в два уравнения вида (1.35). Поэтому все («у — 1) узловые на-
пряжения могут быть исключены из составленной системы из пя
независимых уравнений вида (1.35) для напряжений всех вет-
вей (система независима, поскольку напряжение каждой ветви
как переменная системы входит лишь в одно из уравнений и не
встречается в других). В результате останется лишь (пп - tiy + 1)
независимых уравнений, составленных по ЗНК и содержащих
только напряжения ветвей.
На практике’рекомендуется «независимые контуры» вы-
брать так, чтобы уравнение ЗНК, составленное для каждого
последующего контура, содержало хотя бы одну «новую» пере-
менную. В случае цепей сложной структуры (например, непла-
нарных) выбирают какое-либо дерево графа схемы цепи и, при-
соединяя по очереди хорды, получают «независимые контуры».
Если цепь планарна, «независимыми контурами» могут служить
ячейки схемы, число которых ПяЧ также, очевидно, равно числу
хорд, т. е. •
Язик = ЯЯц. (1.36)
Так, в схеме, приведенной на рисунке 1.20в, на основании ра-
венства (1.36) получим пзпк = пЯ1( = 2. Считая составленные в
п. 1.7.3 уравнения ЗНК для двух ячеек (контуров I, II) незави-
симыми, получим третье уравнение ЗНК для «большого» конту-
ра схемы («зависимого контура»), вычитая из второго уравнения
первое.
Глава I
31
§ 1.8. ДУАЛЬНОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ И ЦЕПЕЙ
1.8.1. Дуальность элементов цепи
Дуальность переводится как двойственность и вытекает из сим-
метрии уравнений, описывающих электромагнитные процессы.
Два элемента дуальны, если вольт-амперные характеристики
одного математически аналогичны ампер-вольтным характери-
стикам другого. Очевидно, элементы L и С, R и G, ИН и ИТ,
КЗ и XX дуальны. Действительно, уравнения ul = Li’L и ic =
— Сир, "Мд = Ri л и i(j = Guq, Uhii 7^ f (^ин) и ^ин 7^ f (^ит),
uK3 = 0 и г’хх = 0 имеют однотипную форму математического
описания. Поэтому широко используется и иное определение:
два элемента дуальны, если уравнения одного преобразуются
к уравнениям другого при использовании в них замен.согласно
таблице дуального перехода, когда заменяют и на i, R на G, L
на С, ИН па ИТ, XX на КЗ и наоборот.
Примечание. У дуальных элементов дуальны и энергетические характери-
стики, т. е. рп = и pg — Guq, W/, = 0,5Li^ и IVc — 0,5Cuq.
1.8.2. Дуальность контура и узловой пары
Последовательную и параллельную цепи часто называют, соот-
ветственно, контуром и узловой парой. На рисунке 1.21а пред-
ставлены примеры дуальных указанных простых соединений,
уравнения которых, очевидно, также дуальны, т. е. математиче-
ски аналогичны. Так, уравнения ЗТК и ЗНК последовательного
соединения г = in = гд = ic = *ин» — «о + ur + v-l + uc=0
дуальны уравнениям ЗНК и ЗТК параллельного соединения
и = нс = ис = и£, = 1/ит» ~~io + iG + ic + ib = 0.
Рис. 1.21
32
Основы теории электрических цепей
Эти цепи удовлетворяют общему принципу дуальности це-
пей: две цепи дуальны, если уравнения ЗТК одной дуальны урав-
нениям ЗНК другой и наоборот. У дуальных цепей дуальны не
только уравнения, но также элементы и их соединения: после-
довательное соединение дуально параллельному, независимые
узлы одной цепи дуальны независимым контурам дуальной цепи.
1.8.3. Разветвленные дуальные цепи
Правила построения планарных дуальных цепей: внутри ячеек
(независимых контуров) исходной цепи намечают независимые
узлы дуальной цепи (см. для примера точки 1, 2 на схеме рисун-
ка 1.216); зависимый узел дуальной цепи располагают вне схемы
исходной цепи (см. точку 3 на рисунке 1.216); дуальные узлы со-
единяют ветвями, проходящими через элементы исходной схемы
(см. пунктирные линии на рисунке 1.216), и «помещают» туда
дуальные элементы. В результате в рассматриваемом примере
получают дуальную цепь, изображенную на рисунке 1.21».
Правило знаков для согласования токов и напряжений в ду-
альных цепях (возможный вариант): если при обходе ячейки ис-
ходной цепи по часовой стрелке обход согласован с полярностью
напряжения (направлением тока) элемента, то в дуальной цепи
ток дуального элемента следует направить от дуального (исход-
ной ячейке) узла, а положительную полярность напряжения ду-
ального элемента поставить у дуального узла, что и показано на
примере схемы на рисунке 1.21».
Независимые уравнения схемы рисунка 1.216 имеют вид:
Ч-г'яс-г'ит = 0, ~uW)+un+uc+uL = 0, -uL+um = О,
а уравнения схемы на рисунке 1.21» им дуальны:
«с-иС£(-иИ11 = 0, -im+iG+iL+ic = 0, -ic+?iiii = 0.
Глава 2
АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
§ 2.1, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СТРУКТУРЫ ЦЕПИ
Анализ резистивной цепи часто можно упростить, если предва-
рительно произвести эквивалентные преобразования цепи или
ее части. При этом эквивалентность понимается в том смысле,
что режим работы непреобразованной части цепи сохраняется,
т. е. токи и напряжения ветвей остаются прежними. Из всего
многообразия эквивалентных преобразований рассмотрим лишь
те, которые необходимы при изложении последующих разделов.
Некоторые из преобразований являются элементарными и оче-
видными. К ним относятся объединение последовательно соеди-
ненных R-элементов в один элемент и параллельно соединен-
ных R-элементов в один элемент. Сюда же можно отнести и
объединение в один источник напряжения нескольких источни-
ков, соединенных последовательно, и объединение в один источ-
ник тока нескольких источников, соединенных параллельно.
2.1.1. Эквивалентные преобразования источников
Пусть произвольная цепь подключена к источнику напряжения
с последовательно включенным Ro -элементом (рис. 2.1а).
а) По i ------------------ б)
2-1810
Рис. 2.1
Основы теории электрических цепей
34
Поставим следующую задачу: заменить источник напря-
жения и0 с последовательно включенным сопротивлением /?0
(рис 2 !а) на источник тока ix с параллельно включенным со-
противлением Rx (рис. 2.16) так, чтобы режим необразованной
части цепи сохранился. Спрашивается, чему при этом равны ix
и Я,?
Для решения поставленной задачи найдем и и г непреобра-
зованной части обеих схем. Для цепи (рис. 2.1а) по второму за-
кону Кирхгофа находим urq + и - «о- Отсюда и = - R{]i, а
i = ио/Ro ~ и/Ro •
Для цепи (рис. 2.16) по первому закону Кирхгофа находим
iRi -р i = ix. Отсюда i = ix—u/Rx>a и = Rxix — R^.i.
Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что
эквивалентное преобразование возможно, если выполняются
следующие соотношения:
. _ wo D _ о
tx — Д’ **<Х — •*^0’
• Такие преобразования часто позволяют многоконтурную
цепь привести к эквивалентной одноконтурной, в которой сохра-
няется ток какой-либо ветви. Найдя его, можно шаг за шагом,
восстанавливая схему цепи, найти остальные токи.
ПРИМЕР /. Проиллюстрируем изложенное для цепи
(рис. 2.2а), где R. = 1 Ом, Я2 = = 2 Ом, «01 = 4 В,
г*О2 = 4 В.
Рис. 2.2
J>eo разуем источник напряжения ц02 в источник тока
мтии 2 ~ = 2 А. При этом сохраняются неиз-
Отмети^ Т°КИ 21 и В результате получим цепь (рис. 2.26).
сяот J;4TOTOK4epe3 П0ЛУченн°й цепи будет отличать-
ИСХ?ЛНОЙ цспи'Теперь объединим элементы Л2
Яз в одни элемент Л23 = я2Йз/ (д2 + дз) = j Ом, а
Глава 2
35
затем преобразуем источник тока ?02 в источник напряже-
ния поз — ^23^02 = 1 • 2 = 2 В. Из одноконтурной цепи
(рис. 2.2в)', легко определяется сохранившийся неизменным
ток й = («от -«оз)/(Л1 + 7?з) = (4 — 2)/(1 + 2) = 2/3 А.
Далее из цепи (рис. 2.26) по второму закону Кирхгофа нахо-
дим:
п . , ,, . . 4-2/3 .
•fti ' i Н- «з«з — «01» *з =-5--= —z— = 5/3А.
113 *
Из цепи (рис. 2.2а) по первому закону Кирхгофа находим
ток 12 = ?з — й = 1,5 - 1 = 0,5 А.
2.1.2. Преобразование соединения звездой
в соединение треугольником
и обратное преобразование
Такое преобразование позволяет трансформировать цепь мо-
стовой структуры в цепь более простой лестничной структу-
ры. представляющей собой общий случай последовательно-
параллельного соединения.
На рисунке 2.3а изображен участок
цепи, представляющий собой трехлуче-
вую звезду. Преобразуем ее в соеди-
нение треугольником так, чтобы режим
во внешней цепи остался неизменным
(рис. 2.36). Другими словами, при за-
данных проводимостях (91, G2 и (7з
«звезды» требуется определить G12,
G13, G23 «треугольника», при котог
рых напряжения (потенциалы) узлов 1,
2, 3 и токи й, i-2, *з внешней • части
цепи не изменятся.
Обозначим 9?i, <р2, <£з и <£>о напря-
жения (потенциалы) узлов «звезды».
Найдем выражение тока й «звезды»
через напряжения узлов. Очевидно, что
Рис. 2.3
выполняется
= (<£i — ^о) Oi, й = (</>2 — ^о) Ог. — (у’з — !Ро) G3.
2*
36
Основы теории электрических цепей
Так как гТ 4- *2 4- *з — 0, то получим
4- (p2G2 .4- <Рз<?з = <£о (pi + ^2 + G3).
Отсюда следует, что
G\<pi + ^2^2 + G3<p3
У’о Qi
Тогда имеем
/ 4- £2^2 4- п _
'* = - G1+G2 + G3—J G1 -
G\G2 t ч , G\G3 , 4 _
= .G1+ G2 + G3 (”‘ ~ ”2) + Gi + G2 + G3 (Vl *”) -
64G2 Л G'lG'3
" Gi 4- G2 4- G3U12 + Gx+G2 + G3U13'
где ui2 — напряжение между узлами 1 и 2, гцз — напряжение
между узлами 1 и 3.
Аналогично найдем ток Л для «треугольника»:
*1 = *12 4- йз = G12U12 4- Gi3Ui3.
Приравнивая ток г\ «звезды» току ii «треугольника», получим:
- —gl<?2 _ г - G1G3 /он
G!+G2 + G3’ °13 " Gx + G2 + G3‘ <21)
Перестановкой индексов можно получить следующее выра-
жение:
^23 = - (2.2)
e^i 4- О2 4- Оз
Решая систему уравнений (2.1), (2.2), находим следующие
формулы обратного эквивалентного преобразования:
—______^12^13 _ ^12^23
. . Я124-К134-Я23’ 2 Я124-Я13 + Я23’
’ Л3 = -;r--£l3R-____
^x2^Jii3 + ft23 ’
raefl1 = i/G1,..., д12 = 1/с12,...
Глава 2
37
ПРИМЕР 2. Применим рассмотренное преобразование для
определения входного сопротивления цепи (рис. 2.4а), счи-
тая Ri = R2 = 40м, Я3 = 80м, R4 = R5 = 20м.
Рис. 2.4
Преобразуем «треугольник», образованный элемента-
ми Ri, R2, R-j,, в «звезду». В результате получим схему
(рис. 2.46), в которой
12 RL+R2+R3
п R1R3
Я13 =
16
4 + 4 + 8 = 1 °М’
_________= — = 2 Ом
^+^2 + ^3 16
_ R2R3 _ 9 п
R'a~ Rl+R2 + R3 Oli-
Далее находим входное сопротивление цепи:
Rhx — R13 +
(Т?4 + Я(з) (Я5 + Д03)
R‘i + Ris + Rs + R23
= 3 0м
2.1.3. Теорема замещения
После определения тока (напряжения) какой-либо ветви (на-
пример так, как это было сделано в п. 2.1.1), для вычисле-
ния токов (напряжений) остальных ветвей полезно пользо-
ваться теоремой замещения, согласно которой любая ветвь
цепи (см. рис. 2.5а) с током ik и напряжением для расчетных
целей может быть заменена либо источником тока (рис. 2.56)
с током ik, либо источником напряжения (рис. 2.5в) с напря-
жением Uk', при этом режим в непреобразованной части цепи
сохраняется прежним.
38
Основы теории электрических цепей
Рис. 2.5
Справедливость теоремы замещения очевидна, так как урав-
нения Кирхгофа для цепей, изображенных на рис. 2.оа,б,в оди-
наковы.
§ 2.2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ
Анализ Л-цепи произвольной структуры может быть осуще-
ствлен на основе законов Кирхгофа. При этом для нахожде-
ния токов всех ветвей цепи часто необходимо составить и ре-
шить систему из пй независимых алгебраических уравнении, где
пв — число ветвей цепи. Зная токи, можно найти и все напряже-
ния ветвей. Размерность такой системы уравнений может ока-
заться очень большой. Решение системы большой размерности
связано с известными вычислительными трудностями, поэтому
для практики для анализа сложных цепей используют другие
методы, приводящие к системе меньшей размерности.
2.2.1. Метод узловых напряжений
В методе узловых напряжений (МУН) неизвестными принима-
ются напряжения.узлов относительно одного из них, напряже-
ние которого считается известным и равным нулю. Этот узел
называется базисным, или опорным узлом. Предполагается, что
другие узлы имеют напряжения выше, чем напряжение базисно-
го. Так как напряжение (потенциал) базисного узла принимает-
ся равным нулю, то разность, напряжений между любым узлом
и опорным совпадает с напряжением (потенциалом) этого уз-
ла, поэтому этот метод называют методом узловых напряжений
(иногда — методом узловых потенциалов).
Таким образом, число неизвестных напряжений равно пу-1,
где Пу число узлов цепи. В общем случае Пу — 1 < пй. Зная
напряжения узлов, можно легко найти токи всех пв ветвей цепи.
Глава 2
39
Для уяснения алгоритма формирования системы узловых
уравнений рассмотрим конкретную цепь (рис. 2.6).
Один из трех узлов цепи примем за базисный и присвоим ему
последний номер. Выразим токи ветвей через напряжения узлов:
ii = GiUj, i-2 ='G2V-2, is = (uy — г^), где u\, uy2 — напря-
жения первого и второго узлов относительно базисного.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для перво-
го и второго узлов:
Л 4- гз = ioi — гоз> h — h = *02 - Фз>
НЛИ ГGiuyi + G3 (и\ - иЦ = ioi - Фз>
1/'3 Н ” иг) ~ = *02 - *03-
После преобразования получим следующую систему:
Г (Gi + G3) — G3U2 = ?oi — ?оз>
—G3U1 + (С?2 + G3) ~ ~г02 + гоз-
Переобозначим коэффициенты при неизвестных потенциа-
лах и правые части:
< Gu^i + Gi2^2 = гт»
G21U1 + G*22^2 = ^2-
Двойной индекс у вновь введенных коэффициентов при неиз-
вестных определяет их место в матрице этих коэффициентов.
Первый индекс определяет строку, второй — столбец.
Для того, чтобы систему узловых уравнений составить непо-
средственно по схеме, раскроем смысл входящих в систему ко-
эффициентов и правых частей:
Gn = Gi +G2 — сумма проводимости ветвей, сходящихся в
первый узел, которую будем называть собственной проводимо-
стью первого узла;
40
Основы теории электрических цепей
G22 = <72 + <73 — сумма проводимости ветвей, сходящихся
во второй узел, которую будем называть собственной проводи-
мостью второго узла;
(712 = -Сз — проводимость ветви, соединяющей первый
узел со вторым, взятая со знаком минус, которую будем назы-
вать взаимной проводимостью между первым и вторым узлами;
<721 = -С3 — взаимная проводимость между вторым и
первым узлами (очевидно, что 6*12 = G21);
?у = г’о1 - г’оз — сумма токов источников тока, сходящихся
в первый узел, которую будем называть узловым током (токи
источников, направленные к узлу, входят в эту сумму со знаком
плюс, а направленные от узла — со знаком минус);
г2 = г’оз - г02 —узловой ток второго узла.
Полученные результаты можно распространить на цепь с
произвольным числом независимых узлов п = тгу — 1:
f+6^12«2 ------------+ GinUn = i\;
I 6^21^1 +6^22^2 ----Ь GlnUn — i2i
(G’ni'Wi Ч-Стпг'Д'? 4- • • + GnnUn =
Приведенная в примере закономерность определения коэф-
фициентов Gjj, Gjk(j / fc) и правых частей позволяет легко
составить систему узловых уравнений для произвольной цепи.
Введем в рассмотрение следующие матрицы:
[«у] = вектор неизвестных узловых на-
пряжений;
[гу] = [грг2,..., — вектор правых частей;
Gu G’i2 ... 'Gin
[СУ] = ^21 ^22 • * • __матрица узловых
................... проводимостей.
Gni Gn2 ... Gnn_
Запишем узловые уравнения в матричной форме:
И И = [гУ].
1ак как Gjk - Gkj (k / j), то матрица узловых про-
водимостей симметрична относительно.главной диагонали что
упрощает ее формирование. ’
Глава 2
41
После решения системы узловых уравнений будут опреде-
лены п неизвестных напряжений, зная которые, можно легко
найти токи и напряжения всех ветвей цепи.
Как видим, для получения правых частей системы узловых
уравнений необходимо, чтобы в цепи действовали только ис-
точники тока. Поэтому, если в исходной цепи действовали ис-
точники напряжения, то они должны быть предварительно пре-
образованы в источники тока. Может оказаться, что исходная
цепь содержит элементарно непреобразуе.мый источник напря-
жения, последовательно с которым (см. для сравнения рис. 2. la i
нет включенного Я-элемента. В этом случае можно поступить
следующим образом. Базисным узлом следует выбрать один из
узлов, к которым этот источник подключен. Тогда напряже-
ние другого узла становится известным и равным напряжению
(с учетом полярности) этого источника. Число неизвестных со-
кращается на единицу и из системы уравнений следует исклю-
чить уравнение для узла, напряжение которого таким образом
найдено.
Однако таких непреобразуемых источников может быть
несколько. В этом случае выбор базисного узла указанным об-
разом не позволяет сформировать систему уравнений. Тогда
можно произвести следующие преобразования, показанные на
рисунке 2.7. Исходная цепь (рис. 2.7а) и'цепь, изображенная на
рисунке 2.76, эквивалентны, так как напряжения точек к, п, и /
одинаковы и точки п и I можно замкнуть накоротко.
Рис. 2.7
Ветвь jm на рисунке 2.76 содержит два источника одина-
ковой величины и противоположной полярности, т. е. сумма их
напряжений равна нулю. В этом случае ветвь jm можно замкнуть
накоротко, в результате чего получится цепь (рис. 2.7в), в которой
источники напряжения можно преобразовать в источники тока.
42
Основы теории электрических цепей
ПРИМЕР 3. Определить токи всех ветвей цепи на рисун-
ке 2.8 при R\ = Т?2 = = 1 Ом, Rs = 0,5 Ом, и0 = 6 В,
г’о = 5 А.
Цепь содержит 4 узла и один непреобразуемый источник
напряжения. За базисный примем узел, к которому этот ис-
точник подключен и присвоим ему четвертый номер. Тогда
напряжение первого узла будет и{ = uq = 6 В, и пер-
вое уравнение в системе из трех уравнений формировать не
нужно. Уравнения для второго и третьего узлов:
021^1 + ^22^2 + СдЗ^З = ^2’
(^31^1 + ^32^2 + <?33^ = «3-
Собственные и взаимные проводимости узлов запишутся
как:
^22 = 7Г + 4" + 4- = 4 См, G33 = ~ + = 3 См,
Я] ^Я2 Яз R3
^21 — См. (723 = G32 = —-^- = -2 См,
ч R-з
G31 = = -1 См.
Я4
Правые части уравнений будут следующими:
«2 = О А, «з = —г0 = —5А.
Система уравнений с учетом переноса в правую часть
известных первых слагаемых преобразуется к виду:
< - 2и3 = 6;
—2г^ 4- Зи3 — 1.
Глава 2
43
Решив эту систему, находим: = 2,5 В, иу3 = 2 В. Тогда
токи ветвей будут:
у у v
Д = ^-^ = 3,5 А; г2 = ^- = 2,5А.
R-i R2
u\-v^ . uj - uy3 .
= 1 А; г4 = -1- 3 = 1 A:
Jt3 II4
is = ii + i<i = 3,5 + 4 — 7,5 A.
При анализе этой цепи по уравнениям Кирхгофа потребо-
валось бы составить и решить систему из 5 уравнений вместо
двух, полученных методом узловых потенциалов.
2.2.2. Метод контурных токов
В методе контурных токов (МКТ) неизвестными принимаются
условные токи, которые замыкаются внутри контуров, не выхо-
дя за их пределы. Эти токи называются контурными. Если найти
пв — Пу 4-1 контурных токов (где пй — число ветвей, а Пу — чис-
ло узлов цепи), то реальные токи легко через них выражаются.
В общем случае па — пу + 1 < пв. Если через ветвь прохо-
дит ток лишь одного контура, то ток ветви будет определяться
этим контурным током. Если же через ветвь проходит несколько
контурных токов, то реальный ток будет равен алгебраической
сумме контурных токов.
Для уяснения алгоритма формирования системы уравнений
контурных токов рассмотрим конкретную цепь (см. рис. 2.86).
Цепь содержит 3 ветви и 2 узла. Следовательно, достаточно
определить 2 контурных тока и i%. Зная их, реальные токи
определим следующим образом: ii = г*, г2 = г* — *з = *2-
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для перво-
го и второго контуров. Получим:
(Rlil + i?2^2 = ?<01 — u02>
У Д-3^3 ~ -^2*2 = ^02 ~ Моз-
Выражая токи ветвей, входящих в систему, через контурные
токи, получим:
(Ri + Я2) - R2$ = ^01 ~ “02;
—R2i“ + (R2 + R3) i2 = u0‘2 ~ ^03-
44
Основы теории электрических цепей
Переобозначим коэффициенты при неизвестных контурных
токах и правые части:
~ wl’
( /?21г1 "F ^22 ?2 = W2>
где двойной индекс у вновь введенных коэффициентов опреде-
ляет их место в матрице этих коэффициентов.
Для того, чтобы систему уравнений контурных токов соста-
вить непосредственно по схеме, раскроем смысл входящих в нее
коэффициентов и правых частей:
дпч = /?! + Д2 —сумма сопротивлений ветвей, образующих
первый контур, которую будем называть собственным сопротив-
лением первого контура;
Д22 = R2 + R3 —сумма сопротивлений ветвей, образующих
второй контур, которую будем называть собственным сопротив-
лением второго контура;
/?12 = -Т?2 —сопротивление ветви, одновременно принад-
лежащей первому и второму контуру, взятое с отрицательным
знаком, так как контурные токи через это сопротивление про-
текают навстречу друг другу. Будем называть это сопротивление
взаимным сопротивлением между первым и вторым контурами;
/?2i = -R2 — взаимное сопротивление между вторым и
первым контурами (очевидно, что R^ = R21);
«1 = «01 -1*02 —алгебраическая сумма напряжений источ-
ников, входящих в первый контур (эти напряжения берутся со
знаком плюс, если контурный ток выходит из плюсового полюса
источника и со знаком минус в противном случае);
и2 = w02 - ^оз —алгебраическая сумма напряжений источ-
ников, входящих во второй контур.
Полученные результаты можно распространить на цепь с
произвольным числом контурных токов п = пи — пу 4-1.
1^11^1 +/?12«2 -1-----F =«*;
^21^1 +7?22^2 + ” ’ + ^2n^n = U2;
ftnlii +#n2*2 -1----F Rnnin =un-
Приведенная в примере закономерность определения R^ и
Kik{3 t k) и правых частей uKj позволяет составить систему
контурных уравнений непосредственно по схеме любой цепи.
Глава 2
45
Введем в рассмотрение следующие вектора и матрицы:
[гк] = [г“, , г„] — вектор неизвестных контурных токов,
[uK] = [u$,,ад*]7 — вектор правых частей;
#11 R\o ••• Rin
[OKI _ #21 R22 ••• #2» _ матрица контурных
J ~ .................. сопротивлений.
#nl #п2 • • • #лп_
Тогда контурные уравнения в матричной форме будут:
[#к] [iK] = М .
Так как Rjk = Rkj (к j), то матрица контурных со-
противлений симметрична относительно главной диагонали, что
упрощает ее формирование.
После решения системы уравнений будут найдены п неиз-
вестных контурных токов, зная которые, можно легко найти токи
всех ветвей цепи.
Как видно, для получения правых частей системы необхо-
димо, чтобы в цепи действовали только источники напряжения.
Если в исходной цепи действовали источники тока, то перед на-
чалом анализа они должны быть преобразованы в источники на-
пряжения. Может оказаться, что в исходной цепи есть непре-
образуемый источник тока, параллельно которому нет включен-
ного Я-элемента (см. для сравнения рис. 2.16). В этом случае
нужно так выбрать контурные токи, чтобы через непреобразуе-
мый источник тока проходил только один контурный ток. Тогда
этот контурный ток определяется сразу: он равен току источника
и. следовательно, из системы уравнений можно исключить урав-
нение для этого контура. Имеется и другая возможность сфор-
мировать систему уравнений в данной случае. Поясним ее на
примере цепи (рис. 2.9).
Рис. 2.9
46
Основы теории электрических цепей
Режим цепи рисунка 2.9д не изменится, если вместо одного
источника i0 мы включим два равных по величине источника то-
ка ?о (рис. 2-96). ТепеРь можно соединить источники тока так,
как это показано на рисунке 2.9в. Такое соединение не изменя-
ет режим работы, так как ток в соединении «аЬ» равен нулю.
Источники тока цепи (2.9а) можно эквивалентно преобразовать
в источники напряжения.
ПРИМЕР 4. Определить токи ветвей цепи рисунка 2.10а,
если = Т?2 = Лз = Ri = 1 Ом, г'о = 4 A, uq = 5 В.
Рис. 2.Ю
В цепи есть непреобразуемый источник тока. Выбираем
контурные токи так, чтобы через источник тока проходил
лишь один контурный ток ?*, который будет равен току ис-
точника if = г0 = 4 А.
Поэтому формируем уравнения только для второго и тре-
тьего контуров:
Г ^21^1 + ^22^2 + 7?23*3 = ^2»
[#31*1 + ^32*2 + #33«3 = ^2»
-on22 о A1 + R2 + R'3 = 30м’ "33 = Я3 + =
2Ом, Я21 - -R1 = -1 Ом, R,23 = R32 = -Лз = _] Ом;
"31 = -^1 = -1 Ом; = ОВ; ц* = «о = -5 в.
Система уравнений с числовыми коэффициентами:
f-4 + З^-г^ =0;
[-4-^ + 2?* =-5.
i, =РTTLC“™My' "аХТМ * = МЛ; »5 = 0,2 А,тогда
iA--K -к2 “Л6лА; г2 =г2 = МА;гз =г§-г§ = 1,2 А;
«4 ?! - г3 - 3,8 А; г5 = i* — g.2 А
Глава 2
47
Выбирая метод решения задачи (метод контурных токов
или метод узловых напряжений), предпочтение следует отдать
тому из них, который приводит к системе уравнений меныпей
размерности.
§2.3. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ИСТОЧНИКАХ
Пусть имеется изображенная на рисунке 2.106 произвольная
цепь, в которой требуется найти ток в одной из ветвей с со-
противлением Rk, причем источники цепи (для определенно-
сти их взято два) вынесены наружу. Выясним, нельзя ли всю
цепь по отношению к двухполюснику Rk заменить одним ис-
точником с напряжением ио и последовательно включенным со-
противлением Ro так, чтобы режим работы Rk не изменил-
ся (см. рис. 2.10в).
Если такая замена возможна, то = ио/ (Ro + Rk), a uq
и ??0 образуют эквивалентный источник напряжения, который
заменяет действие всей цепи по отношению к Rk.
Цдя доказательства сформулированной теоремы выполним
следующие преобразования. Режим работы цепи не изменится,
если в ветвь с сопротивлением Rk включить два одинаковых по
величине источника напряжения противоположной полярности,
как показано на рисунке 2.11д, где и'о = и'о = uq.
Рис.2.П
Будем определять ik методом наложения, как сумму
двух токов: ik = ik\ +«*:2> где iki — ток, обусловленный дей-
ствием всех источников цепи и источником «о (рис. 2.116),
a iki — ток, вызываемый действием только источника Uq
(рис. 2.11в).
Основы теории электрических цеп
48
Для цепи (рис. 2.116) ток «и = (ад - Ио) /я» .Выберем та-
кое значение < чтобы ток гм равнялся нулю. Это возможно,
если «' = ад- Но если ik' = °’ Т° №ТВЬ М0Ж"° |>а30‘
мкнуть.°и тогда очевидно, что Wq должно равняться напряжению
холостого хода между полюсами ab, т. е. Uq = ихх •
’ Тогда в цепи (рис. 2.11в) получим:
_ цо _ Цхх
гк = гк2 - J{o + Rk Rq + Rk ’
Рис. 2.12
личину источника тока
где Rq — сопротивление цепи относительно полюсов (узлов)
ab при закороченных источниках напряжения и разомкнутых’
источниках тока.
Доказанную теорему часто называют теоремой Тевенена, или
теоремой об эквивалентном источнике напряжения.
Можно аналогичным образом
доказать дуальную теорему об экви-
валентном источнике тока (теорему
Нортона). Однако проще восполь-
зоваться уже доказанной теоремой.
Для этого преобразуем источник на-
пряжения (рис. 2.1 Off) в изображен-
ной на рисунке 2.12д источник тока
?о = uxx/Ro •
Тогда напряжение ветви ик =
= го/ (Go + Gk), где 6*о = 1//?о,
Gk = \/Rk. Для того, чтобы ве-
можно было определить по исходной .
цепи, раскроем его смысл. Как следует из цепи рисун-
ка 2.126, ток, текущий через короткозамкнутые полюсы ab,
будет равен uxx/Rq = ?о = г’кз •
Итак, окончательно имеем
uk — ?кз/ (Go + Gk).
Доказанные теоремы целесообразно применять для рас-
четных целей лишь в том случае, когда требуется опреде-
лить только один ток в какой-либо ветви. В этом случае
определение напряжения холостого хода или тока корот-
кого. замыкания осуществляется обычно в более простой, чем
исходная, цепи.
Глава.2
49
ПРИМЕР 5. В цепи (рис. 2.13а) найти ток «з, если Ri =
= Л2 = 2 Ом, R% — Лд = 1 Ом, Uq = 8 В, to = 1 А.
Для определения ихх размыкаем ветвь с сопротивле-
нием Rq. В результате образуется другая, более простая
цепь (рис. 2.136). В этой цепи согласно второму закону
Кирхгофа запишем uxx 4- R.iib - Rvia = 0, причем гъ =
= г'о = 1 A, ia = uq/ (Ri 4- Rq) = 2 A.
Тогда напряжение холостого хода будет uxx = Rtfa —
- R.\ib = 4 - 1 = 3 В.
Рис. 2.13
Разомкнув в цепи рисунка 2.136 источник тока г’о и за-
мкнув накоротко источник напряжения uq, находим Rq:
Rq — R4 4~ R1R2/ {Ri 4~ R2) = 20м.
Тогда ток гз исходной цепи определяется по теореме об
эквивалентном источнике напряжения:
• = Цхх = 3 _
Rq 4- Rq 2 4~ 1
§ 2.4. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
2.4.1. Определение проводимостей передачи
на основании метода контурных токов
В качестве примера найдем второй контурный ток, решая систе-
му и раскрывая определитель числителя по элементам второго
столбца:
Л11 . W1 Л13 • • • Ли Л12 Л13 .. •
к _ 2 — Л21 U2 R23 • • ♦ Лд Л22 Л23 • • •
50
Основы теории электрических цепей
где Д’ = |7?fc| — главный определитель системы уравнений
метода контурных токов (МКТ); п — число независимых урав-
нений МКТ; = >(-1)у+2А>2 — алгебраическое дополне-
ние элемента, стоящего в строке j и столбце 2 определите-
ля числителя^ или знаменателя); Д}2 — минор (определитель),
полученный из Д вычеркиванием строки j и столбца 2.
Пусть единственный.в цепи источник напряжения и$ входит
только в контур j так, что u* = Uj, а ток ?2 ветви 2 является
контурным током, так что = i? (так всегда можно выбрать
контуры). Тогда
•2=»2~-д7.
и, следовательно, проводимость передачи от источника Uj к то-
ку г2 будет
_ 22 _ Aj2
— — A ’
uj A
Аналогично, используя метод узловых напряжений, можно
вычислить сопротивление передачи Rm-j от единственного в
. цепи источника тока ij, включенного между узлом j и базисным
узлом к узловому напряжению узла т:
~3~ ij ~ Д’
где Д главный определитель системы уравнений метола узло-
вых напряжений.
2.4.2. Принцип взаимности
(обратимости, пассивности)
Проводимости передачи с одинаковыми (но переставленными)
индексами должны быть равны, то есть
Gm—j Gj—m> Rm-j Rj—m-
Действительно, на основании данных 2.4.1 имеем
р _ Aj-ni _ (“1)J
^m-j - -д----------------------
р _ A-m-j (~
J~m Д~ ~ "д
ит-j
д
Глава 2
51
т. е. фактически необходимо доказать равенство получаемых
из А миноров с одинаковыми (но переставленными) индекса-
ми. Как показано в 2.2.2 главный определитель А симметри-
чен относительно главной диагонали, поскольку у цепей, со-
ставленных из пассивных .R-элементов и независимых источни-
ков, взаимные сопротивления двух контуров одинаковы: Ryi =
= T?2iv, Rjm = ,• • • • Для получения определителя AJTn
необходимо из симметричного определителя А исключить стро-
ку j и столбец т, а для Amj — строку т и столбец j. Но при
таком исключении получим транспонированные определители,
которые, как известно, равны.
Аналогично обосновывается взаимность (обратимость) со-
противлений передачи: Rm-j = Rj-m-
2.4.3. Теорема взаимности
Если единственный в цепи источник напряжения Uj, стоящий в
ветви j, вызывает в ветви т ток im (см. рис. 2.14а), то будучи
перенесенным в ветвь т этот источник вызовет в ветви j тот же
самый ток (см. рис. 2.146).
Рис. 2.14
Действительно, всегда можно выбрать контуры так, чтобы
источник uj входил только в контур j, а ток im был контурным
током контура т. Тогда получим в цепи на рисунке 2.14а ток
im = GmjUj, а в цепи рисунка 2.146 аналогично ij = Gj-mum.
Но ПО УСЛОВИЮ Uj = Ujn И ПО ПрИНЦИПу ВЗаИМНОСТИ Gj-m —
= Gm-j, следовательно, выполняется ij = im.
Следует отметить, что может быть доказана и дуальная
теорема.
Глава 3
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
§ 3.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОСТИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
3.1.1. Уравнения линейных цепей
Цепь, содержащая хотя бы один накопитель, т. е. L -или С'-эле-
мент, называется динамической цепью.
ПРИМЕР /. Уравнения цепи, схема которой приведена на
рисунке 3.1а могут быть записаны по-разному.
Рис. 3.1
Вариант 1: Ri(t) + £ i(t) dt = u0(f), т, е. uR +
+ ис=и0.
Вариант 2: Ri(t) + uc(t) = u0(t), i(t) = Cu'c(t).
Вариант 3: RCu'c(t) + izc(t) = i/o(i); при этом характе-
ристический полином (ХП) RCp+ 1 = 0, откуда его корень
Р1 = -1/(ЯС).
Вариант 4: получим дифференцированием уравнений ва-
рианта 1: Ri'(t)+i(t)/C = u'0(ty, при этом ХП Rp + 1/С = 0
и ею корень pi = —1/(7?С) не изменился.
В общем случае RLC -цепи можно описать системами диф-
ференциальных, интегральных, интегродифференциальных и
Глава 3
53
алгебраических уравнений. При этом характеристическое урав-
нение (характеристический полином) системы является един-
ственным для любой из переменных системы. Коэффициенты
уравнений таких цепей с сосредоточенными параметрами по-
стоянны, т. е. стационарны. Дифференциальное уравнение, свя-
зывающее реакцию цепи /2(f) (т. е. выходную переменную) с
воздействием /i(t) (т. е. входным сигналом), можно записать
следующим образом (если исключить из системы остальные
переменные):
+ • • • + о-х/гСО + ®о/г(О =
= 6m/!’n)(t) + + i>i/i(t) + (3.1)
где ао, • • • > &о — коэффициенты; при этом для реше-
ния (3.1) должно быть известно п начальных условий: /2(0),
Л(о)..../in’”(o).
3.1.2. Первое свойство линейности
уравнений цепи — принцип
пропорциональности
(однородности)
Если воздействие изменить в к раз, реакция изменится во столь-
ко же раз. Обоснуем свойство на примере цепи (рис. 3.16) диф-
ференциальное уравнение которой
Li’(t} + Ri(t) = uQ(t). (3.2)
Умножая левую и правую части (3.2) на постоянный
коэффициент к и учитывая коммутативность (перемести-
тельность) операций дифференцирования и умножения на
постоянный коэффициент, получим:
L(ki)' + R(ki) = (кио). (3.3)
Уравнения (3.2) и (3.3) удовлетворяют общей математиче-
ской форме
ьЛ(«) + ади = ли, (3.4)
л. е. если fi = ио, то /г = 0 если же /1 = A:uo. то /г =
54
Основы теории электрических цепей
Свойство справедливо.*
1. В общем случае (3.1).
2. Только при единственном в цепи воздействии.
3. Только при нулевых начальных условиях.
3.1.3. Второе свойство линейности — принцип
дифференцируемости (стационарности)
Если новое воздействие является производной или интегралом
от предыдущего, то новая реакция является производной или
интегралом от предыдущей реакции. Действительно, продиффе-
ренцировав (3.2), получим с учетом коммутативности операций
дифференцирования и умножения на постоянный коэффициент:
+ Ri! = («'),
at
что также удовлетворяет общей форме (3.4), т. е. при воздей-
ствии /1 = и'о реакцией будет /2 = г'.
• Свойство справедливо:
1. В общем случае (3.1).
2. Только при единственном в цепи воздействии.
3. Только при нулевых начальных условиях.
4. Только при постоянных (стационарных) коэффициентах
и bk уравнения (3.1), поскольку в случае переменных ко-
..эффициентов коммутативность операций дифференцирования и
умножения, на нестационарный коэффициент не справедлива,
т.е. [«(t)f(O]^g(O/(0.
ПРИМЕР 2. Известна реакция /2/ при воздействии Д/ = 1
при t > 0, причем fa == 0 при t < 0. Найти реакцию fan,
• если fUI = 5t2 при t > 0 и fui = 0 при t < 0.
•Поскольку в любой момент времени t имеем
го и fan является двойным интегралом от f2I, увеличенным
в k = 10 раз.
Г лава3
55
3.1.4. Третье свойство линейности — принцип
наложения (суперпозиции, аддитивности)
При нескольких воздействиях реакция равна сумме элементар-
ных реакций от каждого из воздействий в отдельности. Обоснуем
свойство на примере цепи (рис. 3.1в).
Если при «0 = «01 реакция i = ii, а при «о = «02 реакция
i — i-2, то соответствующие уравнения цепи имеют вид
Li'i + Ril — «01 > ^2 + ^2 =: «02*
Просуммировав эти уравнения с учетом переместительности
операций суммирования, дифференцирования и умножения на
постоянный коэффициент, получим
L (^1 + + R (ii + ?г) = («oi + «ог) ,
что также удовлетворяет общей форме (3.4), т. е. при воздей-
ствии Л = и0 = izoi + «02 реакцией будет f2=i = ii+i2.
Свойство справедливо:
1. В общем случае, если уравнение (3.1) при наличии, на-
пример, еще одного воздействия /3(t), дополнить в правой части
слагаемыми вида + • • • + di/з + do/з-
2. Только при нулевых начальных условиях.
На свойстве базируется расчет цепей методом наложения, в
котором в промежуточных расчетах (в данном случае — при рас-
чете элементарных реакций от каждого из источников в отдель-
ности) рекомендуется изменять некоторые из исходных направ-
лений реакций (токов, напряжений) таким образом, чтобы мож-
но было использовать со знаком «плюс» простейшие формулы
практического анализа: закон Ома для входного сопротивления,
формулы делителей напряжений и токов. Однако при измене-
нии исходного направления элементарные реакции суммируются
алгебраически.
Примечание. Свойство позволяет воздействия . S'
произвольной формы приближенно представ- /
лить суммой воздействий простой стандартной Д(г) Z-------
формы, например, вида односторонних лостоян- —
ных функций (показаны на рисунке 3.2 тонкими
линиями). /
ВЫВОД: целесообразно изучать реак-
ции цепи при воздействии единичного
постоянного уровня. Рис-32
Основы теории электрических цепей
56
8 3 2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
КЛАССИЧЕСКОГО МЕТОДА АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
3.2.1. Понятие о коммутации
и переходных процессах
Коммутацией называют какое-либо переключение в цепи с по-'
мощью идеального ключа К, условное обозначение которого
приведено на рисунке 3.3а. Идеальный ключ — это элемент,
обладающий следующими свойствами: в замкнутом состоянии
он эквивалентен короткозамкнутому участку (КЗ), а в разомкну-
том — обрыву, т. е. холостому ходу (XX); переключение осуще-
ствляется мгновенно; рядом с обозначением ключа указывают
момент переключения: как правило, это t = 0 (см. рис. 3.3а).
Рис. 3.3
Обычно в цепи до коммутации (при t < 0) и через некото-
рое время после нее (при t 0) наблюдаются установившиеся
режимы. Режим в цепи в интервале времени, следующем за ком-
мутацией (при t > 0), до наступления установившегося называ-
ют переходным режимом, а процессы при этом — переходными
процессами.
Пример подключения некоторой цепи Ц к источнику посто-
янного напряжения uq(1) = Uq — const приведен на рисун-
ке 3.3а, там же показан график изменения напряжения u(t) на
входе цепи Ц.
^Но коммутация это не только переключение: если воз-
действие или какая-либо его производная’ изменилась скачком
(т. е. описываются функцией с разрывом первого рода), тоже го-
ворят© коммутации. Так, если в схеме (рис. 3.36) закон измене-
ния напряжения источника uo(t) определяется графиком,- при-
веденным на рисунке 3.3а, т. е. uo(t) = u(t), то процессы в одной
и той же цепи Ц будут одинаковы в обоих случаях рисунка 3.3а,б.
Глава 3
57
3.2.2. Общая характеристика свободной
составляющей решения уравнений цепи и
свободных режимов в цепи
Как указано ранее, процессы в цепи можно' описать неодно-
родным дифференциальным уравнением (3.1). Во многих прак-
тически важных случаях математика рекомендует искать реше-
ние (3.1) в виде суммы двух составляющих:
Л(0 = /2св(^) + /2вын(^)> (3.5)
где /зев И /2вын — соответственно, свободная и вынужденная
составляющие решения уравнений цепи.
Свободная составляющая УгсвЮ — это общее решение од-
нородного уравнения
an/^n)(t) + • • • + ai^(t) + а0/2(«) = 0, (3.6)
соответствующего неоднородному дифференциальному уравне-
нию (3.1).
Свободный режим (процесс) в цепи — это режим (процесс)
в цепи без источников, т. е. в цепи, «свободной от источников».
Следовательно, свободный режим описывается тем же однород-
ным уравнением (3.6), так как в (3.1) = 0.
Таким образом, математическая форма описания свободного
процесса и свободной составляющей решения одинакова и, как
известно, обычно имеет вид
• п
(3.7)
К-1
где Ak — постоянные интегрирования; рк — корни характе-
ристического полинома (характеристического уравнения) цепи,
который получают по формуле (3.6):
апрп -I----F аур 4- ао = 0- (3-8)
Утверждение: корни ХП цепи располагаются строго в ле-
вой полуплоскости комплексной плоскости, т. е.
Rep*; < 0. (3.9)
Обоснование: свободная составляющая решения и сво-
бодный процесс в цепи описываются математически одинако-
во —выражениями (3.6), (3.7); но свободный процесс в цепи без
Основы теории электрических цепей
58
источников происходит за счет начальной энергии в накопите-
лях и с течением времени затухает до нуля из-за необратимых
потерь энергии в Я-элементах, следовательно,
lim /2cbG) —* (3.10)
что может быть лишь при отрицательных показателях экспонент
в (3.7), т. е. при выполнении (3.9).
Примечания:
1. Если в цепи или динамической системе любой физическом природы
выполняется условие (3.9) или (3.10), то такая система называется
устойчивой.
2. Формула (3.7) записана для случая простых (некратных) корней
ХП (3.8): если же, например pi, является трехкратным корнем (3.8),
то (3.7) имеет вид
/2со(0 = + А21е?^ + Д3«2е₽1е + ^Аке^*. (3.11)
А.— 1
3.2.3. Вынужденная составляющая
Вынужденная составляющая /2вын(0 — это частное решение
неоднородного уравнения (3.1). Как известно, во многих прак-
тически важных случаях ее рекомендуется искать в математиче-
ской форме воздействия.
Так, если воздействие /i(t) = Ае~&ь, то вынужденную со-
ставляющую записывают в виде /гвын(0 — если f\ —
= AcoscPot, то /гвын = acoso/o^ + bsinwt; если j\ = At2, то
Лвын = at2 + bt + d (тоже полином второго порядка).
Выражение /гвын(^) с неизвестными коэффициентами a, b, d
«математика рекомендует» поставить в дифференциальное урав-
нение (3.1), после чего, приравнивая левые и правые части (3.1),
находят a, b, d.
Примечания:
1. Вынужденный режим в цепи — это режим после практического за-
тухания свободной составляющей, т. е. после практического затуха-
ния переходного процесса, когда решение уравнений цепи фактически
определяется только вынужденной составляющей.
2. Термин «вынужденный» объясняется тем, что /2оын(<) как бы
«вынуждена» иметь математическую форму воздействия и нм
обусловлена.
3. При постоянных и периодических воздействиях вынужденный ре-
жим также называют установившимся, а /гвын(0 установившейся
составляющей.
Глава 3
59
3.2.4. Законы коммутации,
начальные условия и порядок цепи
Для отыскания п постоянных интегрирования в (3.7) необхо-
димо знать п начальных условий сразу же после коммутации
при t = 0+. Начальные условия находят на основании законов
коммутации, т. е. принципов непрерывности:
ц6’(0+) = uc(0-), гь(0+) = й(О-), . (3.12)
причем начальные значения ис(0+) и гДО-Ь) называют незави-
симыми начальными условиями, поскольку на основании (3.12)
они не зависят от места коммутации и величины воздействия в
момент t = 0+, а определяются лишь значениями t4c(0—),
гь(0—) в последний момент перед коммутацией. Значения
остальных переменных ur(Q+), гд(0+), иь(0+), гс(0+) на-
зывают зависимыми начальными условиями; они в общем случае
не равны значениям этих переменных при t = 0—.
Порядок цепи п — это максимальная степень дифференци-
ального уравнения цепи (3.1). Порядок цепи, также определяю-
щий количество постоянных интегрирования и требуемое для их
отыскания число начальных условий, во многих случаях равен
суммарному числу накопителей:
п = пс + П£,
поскольку каждому накопителю соответствует простейшее диф-
ференциальное уравнение первого порядка и одно независимое
начальное условие.
Порядок цепи понижается, если в цепи имеются контуры, со-
стоящие из С-элементов, или узлы, у которых все присоединен-
ные к ним ветви содержат L-элементы. Так, цепи, изображен-
ные на рисунке 3.4, имеют второй порядок, поскольку напряже-
ние одной из емкостей (рис. 3.4а) определяется алгебраической
Рис. 3.4
Основы теории электрических цепел
60
суммой напряжений двух других С-элементов, а в цепи на ри-
сунке 3.46 значение тока одной из индуктивностей Ui(0+) =
= г 2(0+) + из(0+) является зависимым. В случае «L-кон--
туров» и «(7-узлов» порядок цепи обычно также понижается.
Цепи на рисунке 3.5а,б, содержащие по 2 накопителя, име-
ют второй порядок, в то время как на рисунке 3.5в изображена
цепь первого порядка, поскольку в свободном режиме (рис. 3.5г)
L -элементы цепи соединены последовательно и могут быть за-
менены эквивалентной индуктивностью L3 = Li + L2 •
Рис. 3.5
ВЫВОД: порядок цепи целесообразно определять по схеме
свободного режима.
§ 3.3. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЯХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3.3.1. Свободная составляющая
В цепи первого порядка свободная составляющая имеет вид
Лев = AePlt = Ae~t/T, (3.13)
где достоянная времени г = L/R3y или т = CR3y причем
э это эквивалентное сопротивление цепи в свободном режиме
относительно выводов (узлов) единственного в цепи накопителя,
действительно, свободная составляющая решения уравне-
нии цепи и описание процессов в свободном режиме имеют,
согласно 3.2.2, одну и ту же математическую форму (3.13).
Глава 3
61
Рис. 3.6
Поэтому в случае цепи первого порядка, например с L-эле-
ментом (рис. 3.6а), перейдем к рассмотрению’свободного ре-
жима (рис. 3.66). Эквивалентная схема цепи в этом случае имеет
простейший вид рисунка З.бв и описывается уравнением Li'(t) +
+ 7?эг(0 =0, которому соответствует характеристический по-
лином Lp + R3 = 0, откуда pi = -R3/L, следовательно,
согласно (3.7) /2св(0 = AePlt = Ae~RitlL = Ae-t/r, что
соответствует (3.13).
Примечания:
1. Дуально обосновывается, что в цепи первого порядка с С-элементом
т = C/G-, = СИ,.
2. Можно показать, что размерность [т] = [t] =с.
3. Свободная составляющая имеет одну и ту же математическую фор-
му (3.13) для любой из рекций цепи, поскольку линейные операции с
экспонентой (например, «дсв = Li'LcB в схеме рисунка 3.8в) изменяет
лишь величину постоянной интегрирования А.
3.3.2. Расчет
вынужденного
(установившегося) режима
При постоянных воздействиях в цепи этот расчет проводят по
эквивалентной схеме цепи, в которой L-элементы заменяют КЗ,
С-элемент — XX.
Действительно, согласно п. 3.2.1, вынужденная составляю-
щая решения уравнений цепи должна иметь математическую
форму воздействия, т. е. должна быть постоянной. Таким об-
разом, 'ЦДвын = ^Бвын = 0. ^Свын = С^Свын ^СЛИ
*ьвын = const, адсвын = const; отсюда по теореме замещения
переходим к указанной выше эквивалентной схеме.
Примечание. Условное обозначение (t —» оо) объясняется полным за-
туханием свободной составляющей (3.13) при t —» оо, когда в цепи
устанавливаются постоянные токи и напряжения;, отсюда и название
вынужденного режима в этом случае— установившийся режим.
Основы теории электрических цепей
62
3 3 3. Расчет независимых начальных условий
Непосредственно перед коммутацией при t < 0 (точнее, при
расчет производится при постоянных воздействиях по
эквивалентной схеме, описанной в 3.3.2. Таким образом, если в
условии задачи нет оговорок, режим в цепи при t < 0 считают
установившимся и, рассчитав эквивалентную Я-цепь, находят
все ?£,(0—) и «с(0“)»т- е- все независимые начальные условия.
3.3.4. Расчет зависимых начальных условий
В первый момент после коммутации (i = 0+) расчет произво-
дят по эквивалентной схеме цепи, в которой все С-элементы
заменяют источниками напряжения значения ис(0—), L-эле-
менты — источниками тока ?ь(0—).
Действительно, на основании законов коммутации извест-
ны напряжение емкости «с(0+) = ис(0—) и ток индуктивно-
сти г-£,(0+) = й(О-), что позволяет на основании теоремы за-
мещения перейти к описанной ранее эквивалентной Я-цепи с
замещающими накопители источниками.
Следствие: при нулевых независимых начальных условиях
«с(О-) = 0, гд(О-) = 0 в эквивалентной схеме при t = 0+
заменяют С-элементы на КЗ, L-элементы — на XX.
3.3.5. Определение постоянной интегрирования,
запись решения и построение его графика
Согласно (3.5), решение уравнений цепи первого порядка имеет
МО = /гвын + Асв(0 = Лвын + Ae~tl'r.
Постоянную интегрирования А определяют, зная /2(0+) на
основании п. 3.3.4: /2(0+) = /2вы„ + Л, откуда
Л(4) = Лаын + (/2(0+) - /2оЫ1|| е~ЧТ. (3.14)
Для построения временной диаграммы процесса (см. рис. 3.7),
LauSr ВЫ₽а1кеиия (3-14), необходимо знать характерные
значения экспоненты: exp(-t/r) = 1 при t = 0; e’> « 2Л «
~ 005 -иоГ Т; Г °44 ~ 1/7 "Р" * = 2г; «
~ 0,05 - 1/20 при t = Зт; е-~ = о при 1 •_ оо, а также
Глава 3
63
свойство — любая подкасательная к экспоненте равна постоян-
ной времени т (касательные указаны на рисунке 3.7 штрихпунк-
тиром, подкасательные — отрезками величины т).
Хотя экспонента
затухает до нуля при
t —> оо, однако прак-
тическая точность ее
построения обычно не
превышает 5%, поэто-
му практической дли-
тельностью переход-
ного процесса в цепях
первого порядка счи-
тают обычно времен-
ной интервал в 3 постоянных времени: tnn = Зт. При построе-
нии временной диаграммы переходного процесса (см. рис. 3.7)
составляющую /гсв(0 обычно не показывают: график процесса
строят, соединяя экспонентой начальное значение /з(0+) с ко-
нечным значением Ьвын = /2(00) и указывая характерные точки
экспоненты.
ВЫВОД', описанный в § 3.3 анализ переходных процессов
практически сводится к расчету эквивалентных резистивных
схем замещения цепи в различных режимах; составлять, пре-
образовывать и решать систему дифференциальных уравне-
ний цепи не требуется.
§ 3.4. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ЦЕПЯХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
ПО УРАВНЕНИЯМ СОСТОЯНИЯ
3.4.1. Общая характеристика уравнений состояния
Системой уравнений состояния обычно называют эквива-
лентную запись дифференциальных уравнений цепи п-го
порядка в виде уравнений в нормальной форме Коши, т. е.
в форме системы п уравнений (каждое—первого порядка)
следующего вида:
(Лей! = [A] [/nc(t)] + [Bl [Л(0], (3.15)
Основы теории электрических цепей
64
где Г/1 — матрица переменных состояния, т. е. некоторых пе-
ременных цепи или их линейных комбинаций; [Л] — матрица
воздействий; [Л], [5] - матрицы коэффициентов.
Если искомые реакции не являются переменными состояния,
используют систему алгебраических уравнений связи реакций с
переменными состояния и воздействиями
(Л(01 = И И«(()1 + w 1Л («)] > (3.16)
где [М], [ЛГ] — матрицы коэффициентов.
3.4.2. Методика составления уравнений состояний
Переменными состояния удобно выбрать напряжения С-эле-
ментов и токи L-элементов, т. е. непрерывные переменные це-
пи. Таким образом, в соответствии с (3.15) необходимо составить
систему дифференциальных уравнений вида
Г = Fk (• • • uCk UOm ... гОп ... ) , f Q 17\
1 zLj (0 = Fj .(• • • uCk ‘ - ijjj ... UQm ... • • • ) ,
где k, j, m, n — номера, соответственно, С-элементов,
L-элементов, источников напряжения и тока; F — линейные
функционалы. .
Для получения (3.17) используют уравнения вольт-амперных
характеристик накопителей:
“с = £. 4 = ^, (3.18)
С/ Lt
причем вначале формируют вспомогательную систему
(zCk(t) = Фк (... иск -i Lj ...uQm... iOn),
luw) = (... иСк • • • iLj ... uQin ... ?On),
(3.19)
где Ф линейные функционалы, а затем, подставляя (3.19)
в (3.18), записывают уравнения состояния (3.17).
Наиболее просто получить (3.19) методом вспомогательных
замещающих источников, когда в исходной схеме рисунка 3.8а
замещают все С-элементы источниками -напряжения величи-
ны uc(t), а все L-элементы — источниками тока й(£), как
показано на рисунке 3.86. В составленной таким образом цепи,
используя методы расчета Я-цепей, находят токи С -элементов
и напряжения L-элементов как функции независимых источ-
ников «От» ion И вспомогательных ИСТОЧНИКОВ Uck, ibj т. с.
формируют систему (3.19).
ПРИМЕР 3. Составить уравнения состояния цепи рисун-
ка 3.9а для t > 0 при г/0 = 2 В; го = 10 А; 7? = 2 Ом;
С = 2 Ф; L = 2 Гн.
По схеме со вспомогатель-
ными источниками ?zc(*),
изображенной на рисунке 3.96,
несложно записать систему(3.19)
ic = if, — io,
ul — -uc -Ь «о ~ Kir„
и далее с учетом уравнений на-
копителей (3.18) — систему урав-
нений состояния (3.17) в упоря-
доченном виде:
Гu'c(t) — 0 4- <Mz,(i) + 0 - ^г’о;
i'M = ~Tuc(t) ~ ^l(0 + 7/io +0,
или в матричной форме (3.15)
«с(*)1 _ Г о
А(0J"
А ГМ*)’
“fj 1Л(0.
'О
1
«о
*0 ’
__1_
. L
С
О
т. е. с учетом численных значений можно записать:
«с
L4.
1 '
2
-1
«С
г л
-5
1
О
1
2
+
3-1810
66
Основы теории электрических цепей
3.4.3. Аналитическое решение
уравнений состояния
Аналитическое решение уравнений состояния наиболее просто
осуществлять в последовательности, аналогичной изложенной
в § 3.3:
1. Находят свободную составляющую решения уравне-
ний цепи, для чего в начале записывают характеристиче-
ский полином, используя известную из курса- математики
формулу
ХП = det([A] - р[В]) = О,
т. е. из элементов главной диагонали матрицы [А] вычитают р
(здесь [В] — единичная матрица) и вычисляют определитель
полученной таким образом матрицы. Найдя корни рь характе-
ристического полинома (ХП), записывают усв(£) для любой из
переменных состояния (ПС) в виде (3.7).
2. Определяют вынужденную (установившуюся) состав-
ляющую решения /вын либо по эквивалентной схеме уста-
новившегося режима, описанной в п. 3.3.2, либо непосред-
ственно по уравнениям состояния (3.15), учитывая, что при
постоянных воздействиях Д(£) = const вынужденная со-
ставляющая реакции тоже постоянна, т. е. производные в
левой части системы (3.15) в вынужденном (установившемся)
режиме равны нулю:
[0] = [А] [/ВЫц] + [В] [/J . (3.20)
Решая (3.20), находят [/вы„] = -[А]-1[В] [Д], где [А]-1 —
обратная к [А] матрица. В случае цепи второго порядка, это
простейшая система двух линейных алгебраических уравнений,’
которая, например, для уравнения примера 3, сразу дает гдВЫн =
10 А, исвын = —18 В.
3. Расчет независимых начальных условий, т. е. всех зна-
чении цс(0-) и й(О-), осуществляют, как описано в п. 3.3.3.
оскольку ис, ii, являются переменными состояния, то по за-
конам коммутации начальные значения переменных состояния
известны: [/„с(0+)] = [/пс(0-)].
4. В соответствии с замечанием к (3.1) в цепях высокого
порядка необходимо найти начальные значения производных
Глава 3
67
переменных состояния. Их определяют непосредственно по
уравнениям состояния (3.15) при t = 04-:
([/|',е(0+)1 = И] [/..е(0+)] + [В] |/1(0+)]
Ш(о+)! = И [Лс(о+)1 + [в] 1Л(о+)], ' ’
причем для получения второго и последующих уравнений в (3.21)
вначале дифференцируют (3.15), а затем подставляют t = 0+,
очевидно, что выполняются /((04-) = 0 в (3.21), если воздей-
ствие /i(t) = const.
5. Записывают решения для соответствующих переменных
состояния в виде
/»с(0 — /выи + /св(0 — /выи + AiePlt+Л2еР2£+ ..., (3.22)
и осуществляют дифференцирование (3.22) (п — 1) раз:
^/icG) = 0 + piAiCPl£H-p2^2ePa£ + •••
Зная начальные значения переменной состояния и ее
производных, отыскивают постоянные интегрирования
решая систему, полученную при t = 0+ из вышезаписанных
уравнений:
f /нс (0+) — /выи 4- + Л2 4-...,
1/пс(^"Ь) = 0 4- pMi 4- Р2^2 4-....
6. Далее находят искомые реакции, не являющиеся пе-
ременными состояния, для чего используют уравнения свя-
зи (3.16), фактически записанные ранее при составлении урав-
нений состояния при анализе схемы с вспомогательными ис-
точниками, учитывая, однако, что значения uc(i) и ib(t) теперь
уже найдены. Так, в примере 3 уравнениями связи являются пер-
вые два уравнения, если ic, иь — искомые реакции; контроль
осуществляют по формулам ic = Си'с, ul = Li'L.
Примечания:
1. При наличии кратных корней характеристического уравнения pi,2 сле-
дует использовать запись типа (3.11).
2. В случае комплексных корней, например pi>2 = — а ± ju>, урав-
нение (3.22) справедливо, однако во многих случаях целесообразнее
использовать иную форму записи свободной составляющей:
/сп(<) = Aie~at cosuit 4- A2C~at sin иЯ 4-... (3.23)
3*
Основы теории электрических цепей
6о _________ -____________________________________________
§ 3.5. ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
3.5.1. Понятие о численном решении
уравнений состояния
В системе уравнений состояния
[<О)М1 = И1/2(0] + де 1/1(01 > (3.24)
где для простоты через [/2(0) обозначена матрица переменных
состояния, переходят к малым конечным приращениям перемен-
ных на k-м шаге численного расчета:
[A/sd/at = ([/2*1 - [/2(*-1)]) /д<- (3.25)
С учетом (3.24), (3.25) можно записать матрицу переменных
состояния на к-м шаге численного расчета следующим образом:
[/2fcJ = [/2(fc-l)] + ДгИ] [Л(А:-1)] + MS] [/1(А-1)] • (3.26).
Примечания:
1. Выражение (3.26) называют явной формой алгоритма Эйлера.
2. Чтобы погрешность численного решения системы (3.26) на вычисли-
тельных машинах была не велика, временной интервал (шаг) At дол-
жен быть достаточно малым, например, меньшим 0,2 от наименьшего
характерного интервала переходного процесса — минимальной посто-
янной времени -rmin = 1/огтах или минимальной четверти периода
синусоиды 0,25Тп,|П, где Т = 2тг/о> в соответствии с (3.23).
Для уменьшения накопления ошибки при численном реше-
нии уравнений состояния используют более сложные, чем (3.26),
алгоритмы (которые, кроме того, обеспечивают устойчивость
численного расчета) или вводят поправки. Так, одним из удачных
вариантов считают так называемое билинейное преобразование
уравнений (3.24), в котором, в отличие от алгоритма (3.26) явной
формы (когда значения переменных состояния на интервале № к
вычисляли поданным предыдущего шага), применяют формулу
[/2*1 - [/2(*-1)] =
+ + [Л(*-»)] , (3.27)
где в правой части используют средние значения переменных на
том же шаге № А:.
Примечание. Уравнение (3.27) записано в неявной форме, так как его еще
необходимо решить относительно [/2к] •
Глава 3
69
расчета.
(3.28)
(3.29)
(3.30)
б)+ 1 1Ск
Пл9с = д*/С
UCJ; У
fp)«C(k-l)
3.5.2. Численный расчет переходных процессов
по дискретным резистивным
схемам замещения
От уравнений накопителей
,,ч Tdih . duett)
_ L dt , гс($- C dt ,
переходим к приближенным уравнениям численного
Для шага расчета № к имеем
L . L .
. _ „иСк - «0(1-1)
гск - С----дё------•
Преобразовав (3.29) к виду
At.
иск = ~0гСк + иС(к-Гт
трактуем алгебраическую сумму напряжений в (3.28), (3.30)
как формулу последовательного соединения в эквивалентных
схемах, изображенных, соответственно, на рисунке 3.10а,б,
где R3l, Rgc называют дискретными сопротивлениями L- и
С-элементов.
вывод-.
1. Дискретные резистив-
ные схемы замещения, в ко-
торых накопители заменяют
R-элементами и источника-
ми, как показано на рисун-
ке 3.10, позволяют произво-
дить численный расчет пе-
реходных процессов вообще
без составления и решения
дифференциальных уравне-
ний — достаточно использо-
вать методы анализа R-цепей
2. На каждом шаге численного расчета кроме отыскания
реакций нужно находить также значения i^k и иск для учета
их в эквивалентных резистивных схемах на следующем шаге.
Рис. ЗАО
Основы теории электрических цепей
70
6 3.6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ПРОСТЫХ RC- И Я£-ЦЕПЯХ
3.6.1. Свободный режим в ЯС-цепи
Проанализируем процессы в простых цепях с позиций клас-
сической математики, дадим им физическую трактовку и срав-
ним результаты с данными расчета по эквивалентным схемам
замещения, описанным в § 3.3.
Свободный процесс в ЯС-цепи происходит за счет началь-
ных запасов энергии в С-элементе Wc(0~) = Wc(0+) =
= Cu£(0+)/2. Пример такой цепи приведен на рисунке 3.11а.
При этом начальное напряжение С-элемента считаем положи-
тельным: Цс(0+) = «с(О-) = исо > 0-
Рис. 3.11
Используя для t > 0 уравнения цепи ur + uc = 0, ur = Ri,
i = Си'с, составляем дифференциальное уравнение относитель-
но непрерывной переменной:
RCuc^t") + uc^t') — 0.
Решение такого однородного уравнения цепи без источников
содержит только свободную составляющую ис = мсевСО =
= AePlt = Ле~4/Т,1где pi = —(ЯС)”1 —корень характеристи-
ческого полинома (уравнения) ЯСр+1 = 0; постоянная времени
т = ЯС = |Р1Г‘.
Используя начальные условия w<?(0+) = u<-o. находим по-
стоянпую интегрирования wc(0+) = А, откуда решение урав-
нений цепи Uc(t) = «сое~^т > 0 при t > 0. Далее находим
закон изменения тока z(t) = Си'с = - (ttco/Я) е~^Т < 0 и
контролируем полученный результат: ur = —ис, г = ur/R.
Физическая трактовка:
1. При t > 0 направление движения положительных заря-
дов при разряде емкостного элемента указано на рисунке 3.1 la
пунктиром, т. е., действительно, i(t) < 0.
71
Глава 3
2. Начальная энергия С-элемента с течением времени необ-
ратимо потребляется R-элементом, причем полная энерия будет
следующей:
оо со
= J Ri2(t) dt = Jr(u2co '/r2) e~2tRRC>> dt =
0 ° oo
= -0s5C^oe-2t/<fiC)t" = C^o/2 = VVC(O+).
3. Составленная на основании теоремы замещения эквива-
лентная схема цепи при t = 0-Ь приведена на рисунке 3.116;
она позволяет найти начальные значения переменных ид(0 + ) =
= — «со> г(Оч-) = 14д(0+)/7? = —ucq/R < 0, которые соответ-
ствуют выше полученным решениям.
Диаграммы мгновенных значений для ис(Ь), i(t) приведе-
ны на рисунке 3.11#,г, где при t = 0, т, 2т, Зт выделены ха-
рактерные значения экспоненциальных функций, равные, соот-
ветственно, 1; 0,37; 0,14; 0,05 от начального значения экспо-
ненты, а также пунктиром показаны касательные к экспонен-
там при t = 0, пересекающие временную ось в момент t = т.
Практическая длительность переходного процесса £пп = Зт =
= 37?С определяется только параметрами цепи и от значения
«со не зависит.
3.6.2. Подключение
последовательной ЛС-цепи
к источнику постоянного напряжения
Схема цепи приведена на рисунке 3.12л; предполагаем и0 =
= const > 0, 14(7(0+) = 14с(0—) = 14(70 > 0, ПрИЧСМ 140 > 14(70-
Рис. 3.12
72
Основы теории электрических цепей
Дифференциальное уравнение цени, составленное относи-
тельно непрерывной переменной на основании преобразования
очевидных отношений -«о + ад + «с = 0. = Яг, г = Си'с
является неоднородным:
RCu'c(t) + «с(0 = «о-
Свободная составляющая как общее решение однородного
уравнения RCu'c(t) + uc(t) = 0 имеет математическую фор-
му, совпадающую с решением уравнений цепи в свободном ре-
жиме ucca(t) = Aep,t = Ae~t/T, где т = RC — постоянная
времени.
Вынужденную составляющую как частное решение неодно-
родного уравнения отыскиваем в математической форме воздей-
ствия, т. е. «свын = const. Подставляя испын в неоднородное
дифференциальное уравнение цепи, получим
+ Псвын = «о,
откуда с учетом ц^вын = 0 находим исвын = и0, а также
»вын = С^свын = 0. идвын = ЯгВЫц = 0, что соответствует
изображенной на рисунке 3.126 эквивалентной схеме цепи
для расчета вынужденного (установившегося) режима при
t —* оо.
Постоянную интегрирования в решении уравнений цепи
= М(7ВЫ11 + иссвСО = uq 4- Ае
находим по начальному условию u<?(0+) = исо = wo + А, т. е.
решение имеет вид
нс(0 = ио - (ио - иСо) е tlT,
откуда uR = ио - ис = (и0 - иС0) е~^т > 0, г = uRfR =
— [(uo ~ ^со)/Я] е > 0; контроль осуществляем по форму-
ле i — .
Графики uc(t), i(t) приведены на рисунке 3.12в. Изобра-
женные пунктиром касательные к временным диаграммам uc(t)
при различных начальных значениях исо пересекают горизон-
таль «Свыи в одной точке — при t = т. График uc(t) описы-
вается непрерывной функцией, график i(t) изменяется скачком
функциейКОММ^тации ПРИ = 0. т. е. описывается разрывной
73
Физическая трактовка:
1 При t -* оо в установившемся режиме постоянных то-
ков и напряжений емкостной элемент эквивалентен разорван-
ному участку цепи (XX, см. рис. 3.126), постоянный ток через
С*-элемент не протекает.
2. Поскольку по условию задачи исо < «о, то при t > 0 про-
исходит заряд С-элемента до значения и0, т. е. движение по-
ложительных зарядов в цепи соответствует указанному условно
положительному направлению тока i(t) > 0.
3. Составленная на основании теоремы замещения эквива-
лентная схема цепи при t = 0+ приведена на рисунке 3.12г;
она позволяет найти начальные значения переменных wr(0 + ) =
= ио- исо, г(0+) = ur/R = (uo — wco)/ R, которые соответ-
ствуют вышеполученным решениям.
3.6.3. Свободный режим в UL-цепи
Он наблюдается при коммутации, например в цепи, схема кото-
рой приведена на рисунке 3.1 За. Свободный процесс происходит
за счет начальной энергии L-элемента WZ(O-) = Wl(0+) =
= £«l(0+)/2. Для определенности считаем гДО-) = й(0+) =
= гьо > 0.
Рис.3.13
Используя уравнения цепи для t > 0: uL+uR = 0, uR=Ri,
U ’ соста™яем Дифференциальное уравнение относи-
тельно непрерывной переменной:
1л'(t) + Ri(t) = 0.
соде^СттолГЛ? ОД"ородноГО Уравнения цепи без источников
одержит только составляющую i(t) = = Ае™ = Де-«/г
погтлс корень хаРактеристического полинома Lp + R - о*
постоянная времени г = L/R = 1/jpJ и.
Основы теории электрических цепей
74
Используя начальные условия г(0+) = й(0+) = tL0. на-
ходим постоянную интегрирования £(0+) = А - г £,о» откуда
решение уравнений цепи i(t) = W t,T > 0 пр" t > 0.
Далее находим u/?(t) = Яг = Rilo^ т » откуда закон
изменения напряжения L-элемента
uL(t) = -ur = -RiLoe~t/T < 0;
контроль осуществляем по формуле uL = Li'.
Физическая трактовка:
1. Начальная энергия L-элемента с течением времени необ-
ратимо потребляется R-элементом, причем полная энергия будет
следующей
ОО
W/?s = J Ri2L0e 2Rt^L dt —
о °°
= -О,5Дг1ое-2Л‘/Л = Дг20/2 = 1Уь(0+).
о
2. Мощность L-элемента рл(£) = ггд(О*ь(О < 0, мощ-
ность Я-элемента ?/?(£) = Яг2(£) = -рл(<), т. е. //-эле-
мент поставляет в цепь запасенную ранее энергию, Я-элемент
потребляет ее.
3. Составленная на основании теоремы замещения эквива-
лентная схема цепи при t — 0+ приведена на рисунке 3.136;
она позволяет найти начальные значения переменных и/г(0+) =
= Ыю, ul(0+) = -Ьг^о» которые соответствуют выше полу-
ченным решениям.
4. Полярность напряжения самоиндукции (го, <0) обратна
условно положительной, поскольку ЭДС самоиндукции как бы
«стремится поддерживать убывающий ток».
Диаграммы мгновенных значений переменных i(t) и ui(t) —
- Li'(t) = -uR(t) приведены на рисунке 3.1 Зе.
3.6.4. Подключение последовательной RL-цепи
к источнику постоянного напряжения
Схема цепи приведена на рисунке3.14а; считаем и0 = const >0,
*£(0—) = 0. Дифференциальное уравнение цепи, составленное
относительно непрерывной переменной ф) = является
неоднородным:
Дг (t) 4- Ri(t) — uq.
75
Рис. 3.14
Свободная составляющая как общее решение однородного
уравнения + Ri(t) = 0 имеет математическую форму,
совпадающую с решением уравнений цепи в свободном режи-
ме: гсв(*) = AePlt = Ае~^т, где т = L/R — постоянная
времени.
Вынужденную составляющую как частное решение неодно-
родного уравнения отыскиваем в математической форме воз-
действия, т. е. гвын = const. Подставляя гВЫц в неоднородное
уравнение цепи, получим
^^вып 4“ R^blih ’Но»
откуда с учетом г'ып = 0 находим гвын = uq/R, а также
«ьвын = Ьг'ыи = 0, «вын - йгВын = wo, что соответству-
ет изображенной на рисунке 3.146 эквивалентной схеме це-
пи для расчета вынужденного (установившегося) режима при
t —+ оо.
Постоянную интегрирования в решении уравнения цепи
«(О = гвын + гсв(г) = Uo/R + Ае~11т
определяем, используя начальное условие: г(0+) = гг,(0+) =
= 0 = uq/R + А, т. е. решение имеет вид
ф) = uq/R (1 - e~t/T^
далее находим uR = Ri = „„(j _ Ul = щ _ цд =
“ОС > 0; контроль осуществляем по формуле иь = И'
кеЗ 1Р4в№ННЫе ДИаГ₽аммы приведении на рисун-
описывается непрерывной функцией, график
омсы»,А коммутации при t = 0 изменяется скачком, т. е
1вается разрывной функцией.
76
Основы теории электрических цепей
Физическая трактовка:
1. При t —» оо в установившемся режиме постоянных токов
и напряжений индуктивный элемент эквивалентен короткозамк-
нутому участку цепи (КЗ), поскольку постоянный магнитный по-
ток не создает напряжение индукции, т. е. и/,вын = 0.
2. Ток и энергия L-элемента не могут измениться скачком,
поэтому ток цепи i(t) плавно возрастает по экспоненте от на-
чального значения г(0) = 0 к конечному г(оо) = гвын = uq/R.
3. Напряжение самоиндукции uL(t) > 0, поскольку ЭД С
самоиндукции как бы «препятствует возрастанию тока».
4. Составленная с учетом гь(0+) = it, (О—) = 0 эквива-
лентная схема замещения цепи при t = 0+ приведена на рисун-
ке 3.14г; она позволяет найти начальные значения переменных
цд(0+) = 0, ul(0+) = uq, которые соответствуют полученным
решениям.
§ 3.7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ ЛЕС-ЦЕПИ
3.7.1. Уравнения последовательного КЬС-контура
Рассмотрим схему цепи,
представленную на рисун-
ке 3.15(2 при Uq — const.
Считаем независимые на-
чальные условия следую-
щими: г£(0+) = гь(О-) =
= 0, мс(0+) — ис(® — } —
= исо > 0, причем исо < «о •
Решение отыскиваем для
тока.
Уравнения состояния
для t > 0 находим по схе-
ме с вспомогательными ис-
точниками рисунка 3.156.
Имеем ic — ib> ul =
= -RiL + uq - ис, от-
куда, используя уравнения
накопителей гс = Си'с,
ul = Li'L, находим
77
Глава 3
ис(О = ^ь(О; »£(О = -|«с-^й + |«о, (3.31)
или, записывая уравнения состояния (3.31) в матричной форме,
> =[°.
L4 L_r, TJ L-^J Lr-J
после чего определяем согласно п. 3.4.3 характеристическое
уравнение
det f"? J = Р2 + уР+ -^ = 0. (3.32)
L— т ~z~Pj ь
Этот же результат можно получить непосредственно по ин-
тегродифференциал ьному уравнению цепи рисунка 3.15а, со-
ставленному на основании закона напряжений Кирхгофа (ЗНК)
t
i J i(t)dt
о
Ri(t) + L/(t) + neo +
= «o>
(3.33)
дифференцируя которое, получим однородное уравнение, так как
и'о = 0 при uq = const:
+ Ri'(t) + li(t) = 0. (3.34)
Примечания:
1. Характеристический полином, составленный согласно (3.34), соответ-
ствует (3.32).
2. Из однородного уравнения (3.34) следует, что в установившемся режиме
ток в цепи отсутствует, т. е. iDlJH = 0.
3. Из (3.33) следует, что ток i(t) в цепи при «со = 0 будет таким же,
как в свободном режиме (т. е. при «о = 0) при независимом начальном
условии «со» численно равном значению «со = —«о; это замечание
предваряет важный вывод о том, что независимое начальное условие
всегда можно для t > 0 заменить эквивалентным воздействием (ис-
точником постоянного напряжения значения «со> включаемым после-
довательно с как бы незаряженным С-элементом, и источником тока
значения Ilq, включаемым параллельно L -элементу без начального
запаса энергии).
Корни характеристического уравнения (3.32)
R / / о \ 2 j ,—————
Pl>2 = ~Тг±\ \Тг) ~ Тс = ~а± vq2 “wo> (3-35)
у \^Li J LAj v
78
Основы теории электрических цепей
где а = — так называемый коэффициент затухания; о>0 =
= —1=, — резонансная частота, или частота свободных (соб-
ственных) колебаний контура без потерь.
Используя обозначения (3.35), запишем (3.32) в виде
р2 + 2ар + ojq = 0. (3.36)
Примечание. В технической литературе встречаются и другие формы запи-
си (3.32), (3.36):
р2 + 2£о>ор + Wq — 0,
(3.37)
где < = a/ио — коэффициент демпфирования;
Р2 + ~р + <^о~О, (3.38)
где Q = О,5шо/а = —добротность RLC -цепи.
3.7.2. Общая характеристика свободных режимов
и частот собственных колебаний в цепи
В зависимости от соотношения параметров цепи можно полу-
чить различные варианты корней ХП (3.32), (3.37), (3.38):
R
Pl>2 ~ 2L
= w0(-< ± V<2 - 1) = wo ( - 0,5/Q ±
/ 1 \2 ч
U -1)- <3-39>
I. Незатухающий колебательный режим. Контур без
потерь, т. е. R = 0, а = 0, С, = 0, Q —> оо; тогда корни
характеристического уравнения — мнимые:
Р1,2 = ±J
V л-'С'
(3.40)
=
т. е., согласно (3.22), (3.23), процессы в свободном режиме яв-
ляются незатухающими колебательными
iCB(i) = Ai cosw0t + Л2sinuot = BxePlt + B2eP2t (3.41)
Примечания:
1. Из (3.41) следует объяснение различных названий wq — частота соб-
ственных (свободных) колебаний контура без потерь, частота незату-
хающих колебаний.
2. Режим цепи в этом случае называют незатухающим колебательным
режимом.
79
Глава 3
3. Отсутствие затухания процесса (3.41) объясняется отсутствием актив-
ных потерь в цепи, так как R — 0.
2. Колебательный режим. В контуре потери R относи-
тельно невелики, что соответствует соотношениям в (3.39) <
< , а < о>о» С < 1» Q > О,5»т0ГДа корни ХП-комплексные:
Р1.2 = -a±juj, (3.42)
причем величину w = ” q2 называют частотой собствен-
ных (свободных) колебаний контура с потерями, поскольку, со-
гласно (3.22), (3.23), свободная составляющая имеет вид
гсв(£) = A\e~at coscut+A2e“at sinwt = BiePlt+B2eP2t > (3.43)
т. e. процессы в цепи являются колебательными затухающими.
Примечания:
1. Из (3.43) следует объяснение названия а — коэффициент затухания,
поскольку его значение, как и значение постоянной времени т = 1/а,
определяет скорость затухания экспоненты в (3.43), т. е. практическую
длительность переходных процессов в цепн tnn — Зт = 3/а.
2. Корин ХП в случае (3.40) определяются частотой собственных колеба-
ний; кроме того, из (3.42) следует, что размерности и а, и pi>2 равны
размерности частоты ш, поэтому очень часто сами корни ХП по анало-
гии называют частотами собственных колебаний, или обобщенными соб-
ственными частотами цепи, или, сокращенно, собственными частотами.
3. Режим цепи в этом случае называют’затухающим колебательным режи-
мом, или, сокращенно, колебательным режимом, поскольку из-за от-
носительно небольших потерь процессы затухают медленно, а колеба-
тельный процесс обмена энергией между L- и С-элементами выражен
достаточно ярко.
3. Апериодический режим. Потери относительно велики,
если в (3.39) ,a>wo,C>l,Q< следовательно,
собственные частоты — вещественые:
Pi — —а + у/ос2 — ajn = — ai,
г~2----------------5 <3-44)
Р2 = -ос - v а - w0 = -а2;
Процессы в свободном режиме описываются суммой двух
экспонент:
гСв(0 = Axe~ait + A2e~a2t = Aie“t/T1 + А2е"</тз. (3.45)
Примечание. Из (3.45) следует, что решение не содержит периодических
(колебательных) составляющих, поэтому режим в цепи называют в этом
случае апериодическим.
80
Основы теории электрических цепей
4. Критический режим. Случай кратных корней имеет ме-
сто при ,a = <Po>C=l>Q = 2» когда собственные
частоты являются одинаковыми вещественными:
Р1.2 = -« = -^о, (3.46)
как известно, при этом
гсв(£) = Aie~at + A2te~at. (3.47)
Примечание. Из (3.47) следует, что решение при этом (т. е. в случае крити-
ческого режима)также не содержит периодических составляющих.
Траектория положения собственных частот (3.39) на ком-
плексной плоскости при изменении сопротивления потерь R и
неизменной резонансной частоте cvo = показана на ри-
сунке 3.15в: корни ХП при увеличении R от значения R = о
вначале «двигаются» в левой полуплоскости по полуокружно-
сти радиуса а>о, затем становятся кратными согласно (3.46), и
далее — отрицательными вещественными согласно (3.44), од-
нако произведение их длин (модулей) в соответствии с (3.35)
равно cpq .
3.7.3. Расчет
вынужденной составляющей
и начальных условий
Из уравнений (3.31) или по эквивалентной схеме замещения це-
пи (для t —> оо) нетрудно установить гвын = 0, что также следует
из (3.34).
Независимые начальные условия г(0+) = гь(0+) = О,
ис(0+) = исо указаны в исходных данных.
Начальное значение производной тока находим из уравнений
состояния (3.31) при t = 0+
г'(0+) = *2(0+) = ^±1 =
L/
— Цс(0+) _ ^l(0+) Uq Uq — Исо
Ь + Т = -Г~ ’
по*эюп<»ааЧеНИе“Иг'^'*'^ = и° “ Uc0 можно проконтролировать
по эквивалентной схеме для t = 0+.
81
Глава 3
3.7.4. Подключение идеальной LC-цепи
к источнику постоянного напряжения
Используя (3.41) и данные 3.7.3. записываем решение:
?.(£) = гСв(0 = Л1 caswoi 4- A? sinwot (3.48)
Начальное условие г(0+) = 0 = Лг. Дифференцируем с
учетом этого (3.48):
г'(£) = сиоЛг coswot
Учитывая начальное значение производной, полученное в
• п. 3.7.3, находим:
г'(0+) = (и0 — иСоУЬ = wo А%,
откуда решение
•/.ч «о ~ «со . ,
г(т) =------------—sin wot
(3.49)
В случае нулевых независимых начальных условий (исо = 0)
получим (с учетом R = 0 в идеальной LC-цепи):
«о .
г =—r-smwot ис = uq—ul — uq — Li = uo-uocosa>ot 0.
Качественные графики этих переменных приведены на рисун-
ке 3.16а, где То = 2тг/шо — период незатухающих колебаний.
Примечание. При t = 7Ь/2 напряжение выполняется «с = 2«о. что ис-
пользуется на практике в схеме удвоения напряжения, показанной на ри-
сунке 3.166, где VD —диод, т. е. элемент, который в идеале эквивалентен
КЗ при £ > 0 и эквивалентен XX при £ < 0; диаграммы uc(t), i(t) такой
идеальной цепи приведены на рисунке 3.16«.
4-1810
82
Основы теории электрических цепей
3.7.5. Свободный режим
в идеальном LC-контуре
Схема цепи изображена на рисунке 3.17а, а в предположении,
как и раньше, wc(0+) — исо > О, й,(0+) = 0- Результаты ее
расчета соответствуют (3.49) при н0 = 0:
-исо . .
г(£) =----— smwot,
u’ob
(3.50)
Диаграмма мгновенных значений тока приведена на рисун-
ке 3.176.
Рис. 3.17
Физическая трактовка:
1. В начале процесса направление движения положитель-
ных зарядов при разряде С-элемента указано на рисунке 3.17а
пунктиром, что соответствует i(t) < 0 на графике рисунка 3.176
при 0 < t < 7о/2;
2. Процесс незатухающий колебательный, поскольку нет
потерь (R — 0): накопители обмениваются энергией, так что
их суммарная энергия в идеальной LC-цепи неизменна и равна
начальной энергии С-элемента VVc(0+) = Си^0/2. Действи-
тельно, используя (3.50), находим
ис = -ul — -Li' = исо cosujt,
следовательно,
+ WL(l) = cos2Wot +
с учетом о/q = 1/LC.
Глава 3
83
3.7.6. Подключение последовательной
TlLC-цепи к источнику
(случай комплексных собственных частот)
Используя схему рисунка 3.15а, (3.43) и данные п. 3.7.3, можем
записать:
?.(t) = icn(i) = Лхе at coswt + A2e atsinwi, (3.51)
что с учетом г(0+) = 0 дает Л1 = 0. В этом случае, дифферен-
цируя (3.51), получим
i'(t) = — aA2e~at sin wf + wA2e~at coswi,
откуда при г'(0+) = - «со)/Ь находим А2,т. е. решение
г(£) = ——^%-atsinwt. (3.52)
CUjL
График выражения (3.52), со-
ответствующего затухающему
колебательному режиму в це-
пи, приведен для случая Т =
= т на рисунке 3.18, где Iq =
= (гщ — «со)/wL; пунктиром
также показаны экспонен-
ты ±Ioe~at = ±7ое-д/т, кото-
рых касается график г(£) в мо-
менты экстремальных значений
синусоиды sin cat, т. е. при t = ... .
Примечание. Для характеристики затухания процесса на рисунке 3.18 ис-
пользуют следующие величины:
1. Коэффициент затухания а.
2. Постоянную времени т = 1/а.
3. Декремент затухания 0, определяемый отношением значений функции
через период:
_ i(t)___________Ipe~at sin wt
~ i(t + T) “ /ое-°,(‘+'г> sin w(t + T)
4. Логарифмический декремент затухания In 0 = aT.
= еаТ
По снятому экспериментально графику процесса, типа
отображенного на рисунке 3.18, можно вначале определить
период Т и декремент затухания 0, а затем рассчитать 1п0, а,
г, Р1.2, ^’о. Q-
4*
84
Основы теории электрических цепей
3.7.7. Свободный режим в jRZC-контуре
(случай комплексных корней ХП)
Схема цепи соответствует показанной на рисунке 3.15а при от-
сутствии воздействия, а расчет — приведенному в п. 3.7.6 при
ио = 0:
z(t) =-----—е sinivt
График процесса (для случая Т = т) изображен на рисун-
ке 3.19а, который аналогичен рисунку 3.11в с учетом инверсии
знака.
а) б) в) г)
Рис. 3.19
Примечание. В интервале 0 < t < Т/2 ток i(t) < 0, что соответствует
фактическому направлению движения положительных зарядов при разряде
С-элемента в начале процесса.
3.7.8. Подключение последовательного
RLC-контура к источнику
(случай простых вещественных корней ХП)
Схема приведена на рисунке 3.15а; необходимые для получения
решения данные указаны в (3.44), (3.45) и в п. 3.7.3:
(i(t) = = Aie~ait + A2e~a2t,
l/W = - a2A2e“ft2t.
Учитывая начальные значения
г(0+) = 0, г'(0+) =
находим
Ai = -А2 = (ио - исоУ [£ (о2 — »1)].
Глава 3
85
причем, согласно (3.44), (3.45) и рисунку 3.15в, следует учи-
тывать, что а2 > Л1, л. > Т2. Итак, решение оказывается:
Ф) = ио - исо / _t/Tl _ e_t/T2\
L(a2-ai)\ /
График процесса, описываемого разностью экспонент (3.53),
изображен на рисунке 3.196 для случая ту = 2т2 (использовано
обозначение /о = Ai = -Л2; пунктиром показаны отдельные
составляющие решения).
Примечание. График, приведенный на рисунке 3.196, действительно имеет
апериодический характер.
3.7.9. Свободный режим
в последовательной ЛЬС-цепи
(случай простых вещественных корней ХП)
.Решение уравнений цепи в этом случае получаем из (3.53) при
«о = 0:
i(i) =
Uco - е"^Т2
Ь(а2 - он) \
<0.
(3.54)
График апериодического свободного процесса (3.54), пока-
занный на рисунке 3.19в, аналогичен рисунку 3.196 с учетом ин-
версии знака. На рисунке 3.19в изображены также временные
диаграммы напряжений ur = Li', ис = исо + fo^^’ ПРИ"
чем диаграмма г/д получена качественным дифференцировани-
ем графика i(t), а график ис также построен качественно с уче-
том wc(0+) = исо, ис(оо) -> 0, f*idt < 0; кроме того, из
п. 3.7.3 следуют, что в данной цепи г/.д(0+) = -исо < 0-
Физическая трактовка:
1. Ток г(£) < 0, что соответствует фактическому направле-
нию движения положительных зарядов при разряде С-элемента.
2. Из рассмотрения рисунка 3.19в следует, что мощность
элементов p(t) — u(t)i(t) в интервале 0 < t < to положитель-
на у Л- и L-элементов, но рс <0. т. е. С-элемент поставляет
(отдает запасенную) энергию в цепь, К-элемент необратимо по-
требляет энергию, L-элемент запасает энергию, т. е. тоже явля-
ется потребителем; в интервале t > to мощность pt, = u^i < 0,
рс = uci < 0, pu = Ri2 > 0, т. e. оба накопителя питают
энергией Л-элемент.
86
Основы теории электрических цепей
3.7.10. Подключение последовательной RLC-цепи
к источнику
(случай кратных собственных частот)
Схема цепи приведена на рисунке 3.15а, данные, необходи-
мые для отыскания решения, указаны в (3.46), (3.47), а также
в п. 3.7.3:
= Aie~at 4-
(г'(0 == — ocAie~at 4- Аге"** — aA2te~at.
Откуда с учетом г(04-) = 0, г'(04-) = (и0 -исоУ L получим
Л1 = 0, А2 = (и0 - исо)/ L, т. е.
i(0 = 2»^»^-'. (3.55,
Jb
График выражения (3.55) построен на рисунке 3.19г прибли-
женно-качественным умножением линейной функции и экспо-
ненты (см. пунктир).
Примечания:
1. График напоминает данные рисунка 3.195; колебательных составляю-
щих в процессе нет, т. е. в цепи, действительно — критический режим.
2. Изусловня г'(to) = 0 следует, что в данном случае момент экстремаль-
ного значения тока to = 1/а = г определяется постоянной времени
цепи.
Глава 4
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
§ 4.1. ЕДИНИЧНАЯ СТУПЕНЧАТАЯ ФУНКЦИЯ
4.1.1. Определение
Единичной ступенчатой функцией <5i (t - to) = 1 (t - to)’ назы-
вается обобщенная функция, равная 0 при t < t0 (т. е. при
отрицательном аргументе) и равная 1 при t > to (т. е. при
положительном аргументе).
Существуют различные варианты формирования единич-
ной ступенчатой функции: будем рассматривать ее как предел
последовательности указанных слева на рисунке 4.1 кусочно-
линейных функций <p(t), изменяющихся от 0 до 1 в окрестно-
сти t0, когда эта окрестность At сжимается к 0.
На основании рисунка 4.1 можем записать для смещен-
ной и несмещенной единичных ступенчатых функции соответст-
венно:
(О t<to Г о t<Q
<5i(t-to) = < 0,5 t = t0: <51(0 0,5 t = °
[1 t>t0 11 *>0
88
Основы теории электрических цепей
Среди других видов последовательностей ^?(i), формирую-
щих 61 (t), укажем две:
<p(0 = O,5+iarctg±|^o,
^(f) =
t > О,
(4.1)
(4-2)
при этом достоинство функций (4.1) в том, что они являются
абсолютно гладкими, допускающими многократное дифферен-
цирование, а недостаток функций (4.2) в том, что они являются
односторонними в сравнении с изображенными на рисунке 4.1.
4.1.2. Применение единичной ступенчатой функции
Укажем следующие случаи использования функции <5i(t).
I. Приближенное представление воздействия произвольной
формы суммой элементарных воздействий стандартной ступен-
чатой формы (рис. 4.2а).
2. Описание коммутации без использования идеального
ключа (так,-в «остальной цепи», показанной на рис. 4.2б,я,
процессы в обоих случая одинаковы).
Рис. 4.2
«с
«о = Uq$i (t)
3. Описание односторонних функций и функций с разрыва-
ми первого рода.
ПРИМЕР /. Прямоугольный импульс u(t), изображенный
на рисунке 4.3а, может быть в интервале —оо < t < оо
описан суммой двух ступенчатых функций, представленных
на рисунке 4.3а внизу, т. е.
«(О = 1 + 11 = Ю<51(*) - Ю51 (t - 2).
Глава 4
89
Рис. 4.3
На рисунке 4.36 изображены графики функций /i(t) =
= 104, /2(4) = 1045]. (4), /з(4) = 10(4 - 2)5] (4 - 2), /4 =
= 10451(4 - 2), а функция /(4) = |104| может быть записана
в виде /(4) = -1О451(-4)4-1О45](4),еслиучесть, что единич-
ная ступенчатая функция равна 1 только при положительном
аргументе.
Примечание. Функция <5i (t — to) является обобщенной, поскольку с ее
помощью запись разрывных и односторонних функций иа различных ин-
тервалах заменяется обобщенной записью для любого момента времени
— oo<t<oo.
§ 4.2. ЕДИНИЧНАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ
(ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)
4.2.1. Определение
Единичной импульсной функцией (или дельта-функцией)
5 (4 — 4о) называется обобщенная функция единичной площади,
равная 0 при 4 7^ 4о и стремящаяся к бесконечности при 4 = 4q.
Эту функцию удобно трактовать как предел последователь-
ности производных от последовательности функции <р(4),
с помощью которых была сформирована 5] (4 — 4о), что от-
ражается на рисунке 4.4. Из рассмотрения левой части ри-
сунка 4.4 следует, что площадь под графиком </(4) остается
равной 1, поскольку высота прямоугольника, описывающе-
го <р'(4), равна 1/Д4 —> оо, а основание равно Д4—>0.
90
Основы теории электрических цепей
lim
о
Д<р 1
де де
Рис. 4.4
В центре рисунка 4.4 дополнительно приведено символическое
объяснение бесконечной высоты дельта-функции, которая обо-
значается стрелкой, «устремленной в бесконечность», как ука-
зано на рисунке внизу справа.
На основании приведенного на рисунке 4.4 способа фор-
мирования дельта-функции можем записать для смещенной и
несмещенной дельта-функций соответственно:
at 'Jj
• 5(0 = 51(0 = {~’
t = /-о,
£ 7^ Лъ
£ = 0,
t £ 0.
(4.3)
4.2.2. Свойства дельта-функций
Рассмотрим следующие широко используемые свойства.
1. Интегралы от дельта-функций на основании (4.3)
оо
J 5(t-to)dt=l, (4.4)
—ОО
t
I 3(t-t0')dt = 51(t-tQ), (4.5)
— ОО
причем интеграл (4.4) определяет площадь единичной импульс-
ной функции.
Глава 4
91
2. Свойство выборки, или фильтрующее свойство дельта-
функции
/(t)<5(t-to) = /(to)<5(t-to) (4.6)
следует из того, что произведение слева в (4.6) равно 0 при лю-
бых t, кроме t = to, когда /(t) = f (t0), т. e. из всех значений
/(t) выбирается (фильтруется) лишь одно значение /(t0).
Следствие для интегралов с учетом (4.4) — (4.6):
ОО оо
f(t)8(t - t0) dt = J /(t0)5(t- to) dt = /(to),
—oo —oo
t t
J f^S^-to) dt= J / (to) <5 (t -10) dt = /(t0)<5i(t-t0).
oo —oo
3. Симметрия (четность) несмещенной единичной ступенча-
той функции J(t) = <5(—t) следует из рассмотрения рисунка 4.4,
где при t0 = 0 производная <p'(t) является четной функцией
^'(t) = <p'(-t).
4. Использование дельта-функции для
описания «коротких» импульсов. Так, им-
пульс прямоугольной формы /(t), имеющий
высоту А, длительность At, действующий
в момент to (см. рис. 4.5), по виду анало-
гичен импульсу <^'(t), из которого сформи-
рована дельта-функция (см. рис. 4.4), т. е.
« 8 (t —10) при At —* 0. В связи с этим
приближенное соотношение f(t)/6 (t - t0) « A/(1/At) при
At —» 0 позволяет приближенно описать «короткий» импульс
дельта-функцией
/(t) « AAt8 (t - to), (4-7)
причем площадь импульса AAt рассматривается как коэффи-
циент при дельта-функции.
Примечания:
1. Импульс (рис. 4.5) должен быть «коротким» в сравнении с длительно-
стью переходных процессов.
2. Импульс не обязательно должен иметь прямоугольную форму; важно,
чтобы он был «коротким».
/ю
‘° \
to +
I At l
Рис. 4.5
92
Основы теории электрических цепей
4.2.3. Применение дельта-функций
Здесь рассмотрим лишь следующие приложения.
1. Приближенное описание воздействия произвольной фор-
мы суммой элементарных воздействий стандартной формы вида
«коротких» прямоугольных импульсов, т. е. с помощью суммы
дельта-функций (рис. 4.6а).
2. Введение понятия о производной от функции, имеющей
разрывы первого рода. Пример такой функции и производной от
нее дан на рисунке 4.66, где разрывная функция /(4) =
= at - Wi(i) задана в диапазоне -оо < t < оо, а производная
от такой функции f'(t) = a - b5(t).
Puc. 4.6
в)
/(0 = 2<5(t) + 3<5(t-4)
_______f I ,
О 4t
J fdt |~f
-ос r 1 I 5
ВЫВОД: на функции с разрывом первого рода (когда суще-
ствуют пределы слева и справа от точки разрыва) обобщается
понятие производной. Производная в точке разрыва (скачка)
функции равна дельта-функции, умноженной на коэффици-
ент, равный величине скачка (что аналогично свойствам клас-
сических непрерывных функций: если функция изменилась в
несколько раз то производная изменилась во столько же раз).
Указанный коэффициент определяет площадь дельта-функ-
ции, поэтому при обратной операции (интегрировании такой
дельта-функции) получим скачок, величина которого равна
площади дельта-функции (пример данной операции приведен
на рисунке 4.6в). Если же исходная функция непрерывна (не
имеет скачков), то при ее дифференцировании дельта-функция
появиться не может, т. е. неопределенность
О • 5(4) = 0. (4.8)
3. Описание особых случаев коммутации в идеализиро-
ванных цепях.
'Глава 4
93
4.2.4. Особые случаи
коммутации
К ним относятся:
1. Особые случаи коммутации по
условию задачи.
а) Параллельная ЯС-цепь подклю-
чается к источнику постоянно-
го напряжения (см. рис. 4.7а).
Очевидно, здесь ttc(O-) = О,
wc(0+) = wo, т. е. не выполня-
ется принцип непрерывности на-
пряжения С-элемента, которое
при t = 0 изменяется скачком за
счет бесконечного (в идеале) то-
ка заряда. Действительно, как по-
казано на рисунке 4.7а, wcr(t) =
= wo<Vi (t), где uq = const, тогда
ic = Cu'c = Cuq6(1).
б) Заряженный С-элемент замыка-
ется накоротко (см. рис. 4.76) и,
следовательно, мгновенно полно-
стью разряжается за счет проте-
кания бесконечного тока в этой
идеализированной цепи, т. е.
wc(0 —) = иС0 7^ «g(0+) = 0.
в) Последовательная ДБ-цепь от-
ключается от источника постоян-
ного напряжения (см. рис. 4.7а),
ток в индуктивности мгновенно
уменьшается до нуля: гд(О-) =
= / г'дО+ = 0, т. е. zL(i) =
= iro — (t) = (“0.тог-
да uL(t) = Li'L(t) = -LiLQ8(t) ->
—> —оо при t = 0. Поскольку
Uq = const И Ur = Rib T0=
же ограничено, то по ЗНК бес-
конечно большое напряжение при
t=0 будет в этой идеализирован-
ной цепи на ключе (в этом причина
т
ио
2!______>
t
о
UL = —
Рис. 4.7
94
Основы теории электрических цепей
преждевременного выхода из строя выключателей многих
реальных электротехнических устройств, так как их цепь
питания аналогична показанной на рисунке 4.7в).
2. Особые случаи коммутации с изменением скачком значе-
ний индуктивностей и емкостей в момент коммутации.
а) Схема цепи изображена на рисун-
ке 4.8а. Очевидно, uci(O-) =
= uq = const 0 «С2(0-)=0,
но uci(0+) = ^сг(0+) т. е.
в момент коммутации происходит
мгновенное выравнивание напря-
жений С-элементов за счет про-
текания бесконечно большого то-
ка перезаряда; принцип непрерыв-
ности напряжения С-элементов
нарушается; емкость цепи в мо-
мент коммутации изменяется, по-
скольку 0(0-) = Ci 0(0+) =
= С'1+С'2.
б) Схема цепи приведена на рисун-
ке 4.86; при t = 0 происходит
мгновенное выравнивание токов
L-элементов, т. е. не выполня-
ется принцип непрерывности то-
ка z'l(O-) = 2l(0+); индуктив-
ность цепи при t = 0 изменяется:
^(О-) — Li L(0+) = L\ 4- 1>%.
3. Особые случаи коммутации с
изменением порядка цепи в момент
коммутации.
а) Схема цепи приведена на рисун-
ке 4.8в. В момент размыкания
ключа нарушается принцип не-
прерывности тока L-элемента,
поскольку iL1(0+) + ?l2(0+) =
= го / *м(0—) + *L2(0 —) < io; в
результате |«l| = —* сю при t = 0. Указанная цепь
при t < 0 имела второй порядок, а при t > 0 — пер-
вый, так как в 'цепи свободного режима при t > О
Глава 4
95
L-элементы соединены последовательно и могут быть
заменены эквивалентной индуктивностью.
Примечание. При решении задач в случаях 2,3 можно использовать обоб-
щенные законы коммутации:
52<7Cfc(O“) = 52<7Cfc(O+), 52Фгл(О-) = 52Фгд;(О+).
при этом правило знаков при вычислении сумм в первом уравнении соот-
ветствует правилу знаков закона напряжений Кирхгофа (ЗНК), а во вто-
ром — закона токов Кирхгофа (ЗТК).
ВЫВОД', таким образом, дельта-функция — не только ма-
тематическая абстракция, с помощью которой обобщается
понятие производной на функции с разрывами первого ро-
да. Кроме того, дельта-функция необходима при описании
сверхтоков и сверхнапряжений, имеющих место в особых
случаях коммутации в идеальных цепях.
§ 4.3. ПЕРЕХОДНАЯ И ИМПУЛЬСНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ
4.3.1. Переходная характеристика
Переходная характеристика /ц(4) численно равна реакции цепи
при нулевых независимых начальных условиях на единственное
в цепи воздействие вида единичной ступенчатой функции /1(4) =
= Гю<51 (4), где jFio = 1 В или 1 А — коэффициент, выравниваю-
щий размерность.
Примечание. Единичная ступенчатая функция 51(f) безразмерна, единич-
ная импульсная функция <5(f) = 5J(t) имеет размерность 1/с.
По принципу пропорциональности при указанном воздей-
ствии /i = jFio<5i(4) реакция будет равна /2 (4) = F^hi(4), отку-
да размерность переходной характеристики [/^] = [/2]/ [^10] =
= 1Л)/[Л).
Способ отыскания переходной характеристики 4ii(4) выте-
кает из ее определения: необходимо цепь при нулевых незави-
симых начальных условиях как бы подключить к источнику еди-
ничного постоянного уровня и рассчитать переходный процесс.
По условию физической осуществимости (следствие не может
возникнуть раньше причины, а реакция раньше воздействия)
96
Основы теории электрических цепей
переходную характеристику можно записать следующим обра-
зом для -оо < t < оо
О
>1(0
t < о
t>Q,
(4.9)
где hilt) — аналитическое продолжение переходной характе-
ристики в область t < 0, т. е. обычная непрерывная
функция, у которой
/iJ(O-) = ЩО) = hi(0+). (4.10)
4.3.2. Импульсная характеристика
Импульсная характеристика 7i(t) численно равна реакции це-
пи при нулевых независимых начальных условиях на единствен-
ное в цепи воздействие вида единичной импульсной функции
fi(t) = Fl05(t), где Fj q = 1 В • с или 1 А • с — коэффициент,
выравнивающий размерность.
. По принципу пропорциональности реакция в этом случае
f2(t) = FiOh(t), откуда размерность импульсной характеристи-
киН = [/2]/[^о1 = (/2]/((Л]И).
По условию физической реализуемости
Способ отыскания импульсной характеристики вытекает из
принципа дифференцируемости: так как в интервале -оо < t <
< оо стандартные воздействия связаны соотношениями (4.3),
т. е. 5(t) = то и реакции связаны аналогично:
ВД = М(О, ’ (4.11)
т. е. импульсная характеристика является производной от пере-
ходной характеристики.
Раскроем детально (4.11), использовав (4.9) и (4.3):
С4 С
Глава 4
97
при этом второе слагаемое на основании (4.6) и (4.10) можно при
вести к виду /?*(0)5(t) = /гД0+)5Д), т. е.
Л(г) = + Л1 (0+Ж0- (4.12)
иь
Примечания:
1. Если в основную формулу (4.11) подставлять переходную характери-
стику в форме (4.10), то запись в виде (4.12) будет получена непо-
средственно в процессе численного расчета при учете свойства выбор-
ки (4.6).
2. Второе слагаемое в (4.12) отражает то, что hi (t) при t = 0 может из-
мениться скачком от значения hi(0—) = 0 до /ц(0+) 0, следо-
вательно, при дифференцировании hi(t) появляется дельта-фуикция с
коэффициентом hi(0+).
3. Если Л1(«) — непрерывная функция (не имеющая скачка при t=0),
то последнее слагаемое в (4.12) должно отсутствовать, поскольку пред-
ставление h(t) в форме (4.9) возможно в этом случае только при усло-
вии h\ (t) = 0.
§ 4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
4.4.1. Интеграл свертки
(интеграл наложения, выраженный
через импульсную характеристику цепи)
Для простоты считаем воздействие = 0 при t < 0. Необ-
ходимо найти реакцию /2(t) при известной импульсной характе-
ристике цепи h(t).
Воздействие приближенно заменя-
ем суммой «коротких прямоугольных»
импульсов, как изображено на рисун-
ке 4.9, где /1(т) — высота элемен-
тарного импульса, действующего в мо-
мент г, Дт —длительность импульса.
На основании (4.7) указанный «ко-
роткий» импульс прямоугольной фор-
мы можно описать дельта-функцией с рис 4 9
коэффициентом, равным площади им-
пульса, т). Такой импульс к моменту t даст эле-
ментарную реакцию /Дт^Дт/гД—т), причем величина /Дт)Дт
учитывается как коэффициент (по свойству пропорциональности).
98
Основы теорий электрических цепей
Тогда по принципу наложения реакция от всех импульсов будет
приближенно
Л(0 = 52 А(г)Лг,г(* “ г)’
причем суммирование ведется по всем Дт от 0 до t.
Считая длительность импульсов бесконечно малой (Дт -> dr),
получим интеграл свертки, т. е. интеграл наложения, выражен-
ный через импульсную характеристику цепи:
t
/2 (О = / - т) dr. (4.13)
о
Примечания:
1. Заменой переменных можно получить вторую форму ннте!рала свертки
/2 (О = Jo h & ~ T)h(T)dT
2. В (4.13) рассматривается интервал t > 0, поэтому под интегралом все
51 — функции равны 1.
3. Интегрирование в (4.13) ведется по г. т. е. t под интегралом рассмат-
ривается как параметр.
4. Если воздействие приложено при t < 0, нижннй предел в (4.13) можно
расширить до t = —00. учитывая при этом, однако, под интегралом все
51 —функции.
5. Трудности взятия интеграла (4.13) возникают, если импульсная харак-
теристика содержит дельта-функцию (в случае hi (0+) / 0)
Л(«) = ^^51(О + /11(°+)5(0 = /го(О + Л1(°+)5(0, (4.14)
где ho(t) — часть импульсной характеристики, не содержащая
дельта-функцию.
Выведем расчетную формулу для указанного случая, подста-
вив (4.14) в (4.13):
Л(0 = у Л(т)/го(«-т)йт+ / /1(т)/г1(О+)5(4 —т) dr; (4.15)
о о
с учетом свойства выборки (4.6) второе слагаемое можно преоб-
разовать к виду
г t
J A(0/ii(O+)5(t-r)dr = /i(0/ii(O+)Jstt-rjdr = fl(t)hl(O+\
поскольку переменная t под интегралом является параметром.
Глава 4
99
В результате расчетная формула интеграла свертки оказывается:
t
fift) = fa (r)ho(t - т) dr + fa (t)hi (0+).
(4.16)
о
Интеграл от дельта-функции согласно(4.4), rv
(4.5), равен 1, если дельта-функция нахо- ——
дится внутри интервала интегрирования, что I
в (4.13) неочевидно. Поэтому подтвердим Пд2
справедливость (4.16) примером процессов | т “
в простейшей R-цепи, изображенной на ри- _____________|
сунке 4.10, где реакция /?(0 = ищ причем
Ri = Т?2 • В такой цепи очевидно следующее: Рис-4-10
hi(t) -- O,55i(0; h(t) = 0,55(0; /г(0 = О,5Л(0. Сравнивая по-
следние два соотношения с (4.13), (4.16), заключаем, что в цепи
7to(0 = 0, Л-1(0+) = 0,5, т. е. формула (4.16) правомерна.
4.4.2. Интеграл Дюамеля
(интеграл наложения, выраженный
через переходную характеристику цепи)
Пусть, воздействие /1(0 = 0 при t < 0, а при t = 0. из-
меняется скачком. Дана переходная характеристика цепи /ii(0.
Необходимо найти реакцию /г(<
Воздействие приближенно
заменяем суммой ступенчатых
функций, как показано на ри-
сунке 4.11. Первое воздействие
ступенчатой формы fa(0+)5i(0
даст к моменту t реакцию
fa (0 + )hi (0. Последующие эле-
ментарные воздействия, дей-
ствующие в момент т и имею-
щие малую высоту Д/Дт) = /((т)Дт (последнее выражение
вытекает из определения производной как предела отношения
приращения функции Д/Дт) к приращению аргумента Дт),
можно записать в виде Д/1(т)51(£—т) = Д(т)Дт51(£—т), при-
чем /{(т)Дт рассматривается как коэффициент при единичной
ступенчатой функции. Тогда элементарная реакция к моменту t
100
Основы теории электрических цепей
будет /{(т)ДтЛ1(«-т), причем величина /{(т)Дт учитывается
по принципу пропорциональности как коэффициент.
По методу наложения находим приближенно реакцию
/2(t) Л (0+)/ц(t) + $2 (т) ДтЛ1 (t - г),
где суммирование ведется по всем Дт от 0 до t.
Считая интервал между элементарными ступенчатыми воз-
действиями бесконечно малым (Дт -» dr), получим интеграл
Дюамеля: t
h® = /1(О+)Л1(0 + j /{(r)Mi - t) dr. • (4.17)
0
Примечания:
1. Заменой переменных и интегрированием (4.17) по частям можно по-
лучить еще 3 формы интеграла Дюамеля, одна из которых фактически
совпадает с расчетной формулой интеграла свертки ($>. 16).
2. Взятие интеграла (4.17) усложняется, если воздействие изменяется
скачком, например на A/i(io) в момент to, однако из вышеприве-
денного доказательства следует, что в этом случае реакция должна со-
держать слагаемое A/i(io)^i(t — to), а дифференцировать в (4.17)
нужно только непрерывную часть fi (т).
4.4.3. Семейства стандартных воздействий
и соответствующих характеристик цепи
Назовем функцией единичного наклона <5г(0 одностороннюю
линейную функцию, равную интегралу от единичной ступенчатой
функции:
t
ад = М1(«)= [ 5i(t)<a = (‘> t>0 (4.18)
*/ I 'J? c 'J*
—00
График 5г(0 приведен на рисунке 4.12, причем при t > 0 линей-
ная функция <5г(£) = at имеет единичный коэффициент наклона,
т. е. а = 1.
По аналогии с § 4.3 назовем Лг(О характеристикой цепи,
численно равной реакции цепи на воздействие вида /i(i) =
= -£*io<52(£) = Fiot5i(t), где Fjo = 1 в/с или I а/с —. коэф-
фициент, выравнивающий размерность. На основании (4.18) по
свойству дифференцируемости /^(i), называемая также весовой
Глава 4
101
Рис. 4.12
характеристикой второго порядка, может быть найдена интегри-
рованием переходной характеристики:
t. t t
h2(t) = J h\(t)dt — J h'[(t)61(t)dt = 8i(t) Jh*i(t)dt =
—oo —oo 0
(4.i9)
(M*)» t > 0,
где h^t) —аналитическое продолжение h2(t).
Осуществляя многократное интегрирование (4.18), (4.19)
можем продолжить как семейство стандартных воздействий
вида 1 п 1 _
«з(0 = 5<2«1(0, «4(0 = гЛ>(0......
О
так и семейство соответствующих реакций h$(t) = /гг(О dt,
h^[t) — ...
Однако, чтобы продолжить семейство в другую сторону пу-
тем многократного дифференцирования (как показано на рисун-
ке 4.12), необходимо иначе задать последовательность функций
9?(t), с помощью которых в § 4.1 была сформирована функция
<5i(0> а в § 4.2 — дельта-функция; функция (pit) должна быть
абсолютно гладкой, допускающей многократное дифференциро-
вание, например, имеющей вид (4.1): ip(t) = 0,5 + | arctg(t/At)
при At —> 0.
102
Основы теории электрических цепей
Вид функции <р(£) и ее производных, экстремумы которых
становятся бесконечными при > 0, указан справз нз ри-
сунке 4.12. При -» 0 «формируются» тзким обрззом произ-
водные от дельтз-функции: =
= .... называемые соответственно числу выбросов р",
рш, ...дуплетом, триплетом, ...и обозначаемые, соответствен-
но, стремящейся к бесконечности «двойной стрелкой», «трой-
ной стрелкой», как указано слева на рисунке 4.12. При указан-
ных стандартных воздействиях говорят о соответствующих стан-
дартных реакциях h-i(t) = /i_2(t) = ...,
называемых, соответственно, весовыми характеристиками «ми-
нус первого», «минус второго»,... порядков. ’
Примечание. В центре семейства стандартных воздействий и реакций
находятся дельта-функция и импульсная характеристика, что в на-
стоящее время является общепринятым для всех дисциплин технико-
кибернетического направления.
4.4.4. Определение реакции
при воздействии кусочно-линейной формы
Воздействие кусочно-линейной формы /i(t), например, пока-
занное на рисунке 4.13, можно описать суммой смещенных од-
носторонних линейных функций, т. е. смещенных стандартных
воздействий 62 с некоторыми коэффициентами (см. на рис. 4.13
справа):
/1(0 = 1 + 11 + III = 52 (t — tk) =
= (4.20)
следовательно, реакция при таком воздействии
/2(0 = 52 Akh2 (t -tk) = ^2 Akh*2 (t - tk) (t - tk). (4.21)
Процедура отыскания коэффициентов Ak в (4.20), (4.21)
полностью формализуется при использовании метода двойного
. дифференцирования, отраженного на рисунке 4.13 слева. Первая
производная fi(t) описывается кусочно-ступенчатой функцией,
причем
<H4/i(M-/i(Ml/(*2-ti),
«2 = 1/1 (t3) - /1 (t2)]/ (t3 - t2) .
Глава 4
103
Вторая производная — это сумма смещенных дельта-функций:
(4.22)
коэффициенты Ak при которых определяются только величины
соответствующих скачков /{(£), т. е. в рассматриваемом приме-
ре Л! = ai - 0, Аг = Л2 т -^з = 0 - аг- Двойное инте-
грирование (4.22) для получения Д (£), естественно, дает (4.20).
Глава 5
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ
ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Большой класс цепей получает возбуждения от источников си-
нусоидального напряжения или тока. При этом интересуются
лишь установившимся режимом в цепи, расчет которого удобно
производить не во временной, а в частотной области, используя
для этого метод комплексных амплитуд, основанный на алгебре
комплексных чисел.
§ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
СИНУСОИДАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ТОКОВ
5.1.1. Основные определения
Синусоидальным (гармоническим) напряжением или током на-
зываются напряжение или ток, изменяющиеся по следующему
закону:
u(t) = Um cos (wt + au) = Um sin (wi + a'u). (5.1)
Для записи синусоидального напряжения или тока мож-
но использовать, согласно (5.1), тригонометрическую функ-
цию как косинуса, так и синуса. Очевидно, что а'и =
= «и + 7г/2. На практике оказалась удобнее косинусная фор-
ма записи. На рисунке 5.1 приведен график синусоидального
напряжения.
Приведем величины, характеризующие синусоидальное на-
пряжение (ток).
1. Амплитуда Um — максимальное из мгновенных-значений.
2. Фаза 7(f) = wt + au — аргумент функции.
Глава 5
105
3. Угловая частота ш — скорость увеличения фазы, т. е.
ш = drf/ dt.
4. Период Т — наименьший временной интервал повторе-
ния периодического синусоидального сигнала, т. е.
Um cos (wt + ctu) = Um cos [w(t + Т) + ,
следовательно, шТ = 2%, откуда период Т = 2тг/ол
5. Циклическая частота f — число периодов в секунду, т. е.
f = 1/Т. Циклическая частота измеряется в герцах; очевидно,
что о? = 2п/Т = 2тг/. Так, промышленной частоте соответствует
f = 50 Гц, а ш = 314 рад/с.
6. Начальная фаза аи определяет значение фазы при t = 0
(часто ее для удобства записывают в градусах). Она определя-
ет положение ближайшего положительного максимума (в коси-
нусной форме записи) относительно оси ординат (рис. 5.1): при
аи > 0 этот максимум будет смещен влево от оси ординат на
величину аи.
7. Разность фаз, или сдвиг по фазе двух синусоидальных
функций одинаковой частоты — это разность их начальных фаз.
Так, если u(t) = Um cos (ait + ctu), a i(t) = Imcos(ujt + cti),
то сдвигом по фазе между током и напряжением будем называть
Если аи > сц, то > 0 (рис. 5.2), тогда максимум на-
пряжения наступает раньше, чем максимум тока. В этом случае
говорят, что ток отстает по фазе на угол от напряжения или
напряжение опережает по фазе ток на угол <р.
Если аи < cti, то tp < 0» тогда максимум тока наступает
раньше, чем максимум напряжения. В этом случае говорят, что
ток опережает напряжение по фазе на угол |<р| или напряжение
отстает по фазе на угол |<р| от тока. При <р = 0 имеем аи = а,,
и тогда ток и напряжение совпадают по фазе.
106
Основы теории электрических цепей
5.1.2. Среднее и действующее значения
синусоидальных токов и напряжений
Среднее за период значение любой периодической функции
определяется в соответствии с теоремой о среднем следующим
образом: т
(5.2)
О
Для гармонически изменяющихся токов и напряжений сред-
нее значение (5.2) за период равно нулю, так как площадь за пе-
риод равна нулю. Иногда говорят о среднем значении положи-
тельной полуволны
2 Г 2
иСр = — / Um SinUjtdt = -Um, (5.3)
1 J 7Г
О
причем полученное в (5.3) значение часто называют средним
выпрямленным значением.
Очень важной характеристикой периодических напряжений
и токов является действующее, или эффективное значение. Дей-
ствующее значение периодического тока численно равно тако-
му значению постоянного тока, который за время, равное пе-
риоду, выделит в Л-элементе одинаковое количество энергии.
Пусть г(£) — периодический ток R-элемента. Тогда энергия,
расходуемая за период, определяется
т
W~ = j Ri\t) dt. (5.4)
о
При протекании постоянного тока энергия, расходуемая за
это же время, будет • Т
W= = у RI2 dt = RI2T. (5.5)
о
Приравнивая (5.4) и (5.5), получим действующее значение
периодического тока
т
У* & dt.
о
(5.6)
[лава 5
107
Для синусоидального тока, согласно (5.6), выполняется
у cos2 wt dt =^ = 0J07Zm.
о
(5.7)
Приборы, применяемые для измерения синусоидальных на-
пряжений и токов, за немногими исключениями, показывают
действующее значения.
5.1.3. Задача анализа
установившегося синусоидального режима
В § 3.2 было показано, что реакция цепи на заданное воздействие
состоит из свободной и вынужденной составляющих. Свободная
составляющая не зависит от вида воздействия и при t —* оо.
стремится к нулю, так как корни характеристического уравне-
ния линейной пассивной цепи всегда отрицательны, либо име-
ют отрицательную вещественную часть, если они комплексные.
Вынужденная составляющая определяется видом правой части
дифференциального уравнения, а при периодическом воздей-
ствии понятия вынужденной и установившейся составляющих
совпадают. При действии источников синусоидального напря-
жения и тока одинаковой частоты в правой части дифферен-
циального уравнения- будет синусоидальная функция, так как
суммирование и дифференцирование синусоидальных функций
одной частоты дают синусоидальную функцию той же часто-
ты. Из математики известно, что частным решением в этом
случае будет синусоидальная функция, т. е. вынужденная (или
установившаяся) составляющая искомого тока будет
гв = г‘у = Im cos (wt + oti}, (5.8)
где ш — заданная частота источников; 1т и оц — неизвестные
амплитуда и начальная фаза установившегося тока.
Если определить 1т и подстановкой (5.8) в исходное
дифференциальное уравнение, то для их отыскания пришлось
бы решать тригонометрические уравнения, что привело бы к
большим трудностям. Поэтому ддя расчета установившегося
синусоидального режима (определения 1т и а,) используется
108
Основы теории электрических цепей
специальный метод комплексных амплитуд, в основе которого
лежит представление (5.8) через экспоненту с мнимым аргу-
ментом, что позволяет определить 1т и оц из алгебраических
уравнений с комплексными коэффициентами. Кроме этого метод
комплексных амплитуд позволяет использовать методы расчета
R-цепей для анализа установившегося синусоидального режима.
§ 5.2. метод КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД
В последующих параграфах будем считать (если это специально
не оговаривается), что цепь находится в установившемся сину-
соидальном режиме, т. е. гСв(£) = 0, a i(t) = гвьж(£) = *уст(£)-
5.2.1. Представление синусоидальных функций
через экспоненты с мнимым аргументом
Из тригонометрии известно, что синусоидальную функцию вре-
мени можно получить как проекцию вектора, вращающегося
против часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой ча-
стоте функции, причем длина вектора равна амплитуде функции,
а начальное положение вектора при t = 0 определяется началь-
ной фазой. Проекция такого вектора на ось абсцисс комплекс-
ной плоскости дает косинусную форму записи синусоидальной
функции, а на ось ординат — синусную форму записи этой функ-
ции. Для аналитической записи вращающегося вектора удобно
использовать комплексные числа.
Комплексное число А можно записать в алгебраической,
тригонометрической и показательной формах:
А — a + jb — Acos7 + j Asin 7 = Ае77, (5.9)
где а = Re А — вещественная (реальная), a b = Im А — мнимая
составляющие комплексного числа А; А —модуль, 7 —аргу-
мента (угол, фаза) комплексного числа A; j = .
Очевидны также следующие соотношения между компонен-
тами комплексного числа:
А = \/а2 + Ь2 = Mod А; . .
b . (5.10)
7 = arctg- = Arg А.
cl
109
.Глава 5
С помощью комплексного числа можно определять радиус-
вектор, начинающийся в начале координат и заканчивающий-
ся в точке, определяемой комплексным числом на комплекс-
ной плоскости (рис. 5.3а). Длина вектора А = Mod А, а фаза
7 = Arg А. *
Сопряженным комплексным числом А
называется число, отличающееся лишь
знаком мнимой части:
А = а — jb = A cos 7 — J Asin 7 = Ae“J0.
(5.H)
На комплексной плоскости сопряжен-
ному числу будет соответствовать вектор
той же длины, на расположенный под уг-
лом —7.
Если положить, что 7 = cot + а, то
это будет означать, что угол 7 с течени-
ем времени будет увеличиваться, т. е. век-
тор А будет вращаться вокруг начала ко-
ординат с угловой скоростью со против
часовой стрелки, а вектор А точно так
же — по часовой стрелке. При этом по-
ложение вектора при t = 0 будет опреде-
ляться углом а (рис. 5.36).
Тогда для 7 = cot + a из (5.9) — (5.11)
получим:
А = Ае^ш1+а) = A cos(wt + а) + j A sin(u>£ + а), (5.12)
А = Ae~j(aJt+a> = A cos(wt + а)~ jAsin(wt + а). (5.13)
Сложив (5.12), (5.13) и переходя к принятым для синусои-
дальных напряжений (токов) обозначениям, находим:
Um cos (ut + au) = Re p7,neJM+au)] =
= J [W(wt+“M) + C7,ne~j(wt+au)] , (5.14)
£» L
т. e. получаем аналитическое описание проекции вращающего-
ся вектора на ось абсцисс в виде косинусной формы записи
синусоидального напряжения (тока).
ПО
• Основы теории электрических цепей
Аналогично, вычитая (5.13) из (5.12), получим аналитическую
запись проекции вращающегося вектора на ось ординат, т. е.
синусную форму записи синусоидального напряжения (тока):
Um sin (cot + а„) = Im =
= Л kmej(wt+au) - ^e4(aJi+au)l . (5.15)
2j L J
Преобразуем (5.14):
Um cos (cot + au) = Re [Ume?a«e?ut] =
= 7, =
= Re [^^'"‘1 = i , (5.16)
причем &m = ите^аи будем называть комплексной амплетудой.
Как видно, модуль комплексной амплитуды равен амплиту-
де синусоидального? напряжения (тока), а аргумент — начальной
фазе. На комплексной плоскости комплексная амплитуда изоб-
ражается вектором, длина которого равна амплитуде напряже-
ния (тока), повернутым на угол, равный углу начальной фазы.
Аналогично, для (5.15)
ите?ш1 - йте-^'.
(5.17)
Таким образом, задача анализа электрической цепи в устано-
вившемся синусоидальном режиме может быть сведена к поиску
комплексной амплитуды, так как комплексная амплитуда опреде-
ляет обе неизвестные величины — амплитуду и фазу реакции.
ПРИМЕР /. Если в результате анализа найдена комплекс-
ная амплитуда im = 3 4- J4, то амплитуда тока 1т =
= Mod Im = а/З2 + 42 = 5 А, начальная фаза а» =
= ArgZm = arctg4/3 = 53’, следовательно, ток i(t) =
= 5 cos(wi + 53°).
. Таким образом, существует однозначное соответствие между
комплексной амплитудой и синусоидальной функцией времени.
Um sin (cot 4- аи) = Im Ume?ut = —
Глава 5
111
ПРИМЕР 2. Напряжению tt(t) = 10 cos(wt + 60’) соответ-
ствует комплексная амплитуда Um = Юе760 = 10cos60’ +
+ J10sin60° = 5 + j'8.6.
Сопряженная комплексная амплитуда в (5.16) и-(5.17) не
несет никакой новой информации. Множитель e?ut в (5.16)
и (5.17) превращает неподвижный вектор комплексной ам-
плитуды во вращающийся, и его часто называют оператором
вращения.
Рассмотрим возможный способ опре-
деления установившегося синусоидаль-
ного тока в последовательной ДЬ-цепи
(рис. 5.4), где ua(t) = Um cos (cut + au).
Дифференциальное уравнение, полу-
ченное по закону Кирхгофа при обходе
контура, di
L— + Яг = tz0(i)-
(Z V
Представим заданное воздействие и искомый установившийся
ток в соответствии с (5.16):
«о(О = 0,5
г(0 = 0,5
Um^ + Ume-^] ,
где Um = ит&а" — комплексная амплитуда заданного напря-
жения, a Im — Im^ai — комплексная амплитуда искомого тока,
которую надо найти.
Для ее определения можно подставить в дифференциаль-
ное уравнение приведенные выражения для uo(t) и i(t), но в
этом случае получим два уравнения для определения 1т и 1т.
Поскольку, как уже отмечалось, сопряженная комплексная ам-
плитуда не несет новой информации по сравнению с im, то для
того, чтобы сразу получить уравнение только относительно ком-
плексной амплитуды, целесообразно подставить в дифференци-
альное уравнение условные представления:
»(0 =
(5.18)
112
Основы теории электрических цеп
После подстановки получим
ju>Lim(jwt + Rtme?ut = Ume?wt.
Экспонента с7'ш* будет входить в левую и правую части диф-
ференциального уравнения любого порядка, и ее всегда можно
сократить. Получим алгебраическое уравнение (R 4- jwL)i -
= Um, откуда
г Umeiau - Um
т R+jwL y/R2 \/Л2 4- uj2L^ ’
где <р = arctg(wL/7?). ________
Следовательно, Im = Um /VR2 4- w2Z2 , = аи - Тогда
искомый ток
i(<) = ^wpcos(b,t+Q,"~y)-
5.2.2. Законы Кирхгофа
в комплексной форме записи
Первый закон Кирхгофа (ЗТК) для токов, сходящихся в узел,
£»*(«)= О, (5.19)
< (fc)
где ifc(£) = Imk cos (wi 4- a^) — синусоидальные токи одинако-
вой частоты. Подставим в (5.19) условные равенства вида (5.18)
для каждого тока:
Тогда, вынося за знак суммы, запишем:
^"‘£д»*=о,
(Л)
откуда получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме
Y,tmk = O, (5.20)
. (fc)
т. е. .сумма комплексных амплитуд синусоидальных токов; схо-
дящихся в узел, равна нулю.
113
Глава 5
Второй закон Кирхгофа (ЗНК) для напряжений замкнутого
контура = й
(fc)
где •Ufc(t) = Umk cos (wt 4- aUfc) —синусоидальные напряжения
одинаковой частоты.
Проводя аналогичные рассуждения, придем к выводу, что
Vl7mfc=0. (5.21)
(fc)
Таким образом, второй закон Кирхгофа в комплексной форме
утверждает, что сумма комплексных амплитуд синусоидальных
напряжений замкнутого контура равна нулю.
Следует обратить внимание на то, что полученные законы
Кирхгофа в комплексной форме справедливы именно для ком-
плексных амплитуд и не справедливы для амплитуд токов и на-
пряжений. Это обстоятельство отражает тот факт, что длина
суммарного вектора не равна сумме длин слагаемых векторов.
На практике часто пользуются аналогично (5.7) понятиями
комплексных действующих значений напряжения и тока
и = ^,
х/2
2 __ * УП
~ 7^
(5.22)
С учетом (5.20) — (5.22) законы Кирхгофа для комплексных
действующих значений
52^=О; 52%=0.
(fc) (fc)
5.2.3. Элементы электрической цепи
в установившемся синусоидальном режиме
Прежде чем приступить к анализу RLC-цепей в установившемся
синусоидальном режиме, необходимо изучить поведение отдель-
ных элементов электрической цепи в этом режиме. Рассмотрим
вольт-амперные и энергетические характеристики, считая, что к
элементу приложено напряжение u(t) — йпг cos(wt 4- au) и про-
текает ток i(t) = Im cos (cui 4- а»). Будем интересоваться соотно-
шениями между амплитудами и начальными фазами напряжения
и тока элемента: Um = UmejcCu и 1т — 1т&а*
5-1810
114
Основы теории электрических цепей
1. Резистивный элемент. Подставим в вольт-амперную ха-
рактеристику элемента и = Ri синусоидальные напряжение и
Т0К' Um COS (wi.+ au) = Rim COS (ut + n,).
Отсюда следует, что в Л-элементе Um = RIm, аи =
Угол.сдвига по фазе между напряжением и током =
= аи - = 0, т. е. ток и напряжение Л-элемента совпадают по
фазе (рис. 5.5а).
Подставив в вольт-амперную характеристику условные пред-
ставления u(t) = йте?ш1, i(t) = получим йт&>ш* =
= 1йте^1, или после сокращения
Um = RIm’ (5.23)
Из (5.23) видно, что векторы комплексной амплитуды напря-
жения и комплексной амплитуды тока сонаправлены, так как
R — вещественный коэффициент (рис. 5.56).
Введем понятие комплексного сопротивления элемента как
отношения комплексных амплитуд напряжения и тока:
(5.24)
причем из (5.24) следует, что аргумент у комплексного сопротив-
ления равен углу фазного сдвига между током и напряжением.
Будем называть комплексной проводимостью элемента отно-
шение комплексной амплитуды тока к комплексной амплитуде
напряжения:
1т = Imeiai
Um итеза»
Um
(5.25)
причем из (5.25) очевидно, что Y = 1/Z, -ф = - аи
Глава 5
115
Тогда для R-элемента комплексное сопротивление будет
Zn = \ZR\ei* = ^ = R, (5.26)
а комплексная проводимость
= I = £ =4 = G. (5.27)
Из (5.26), (5.27) следует, что
< ZR = \ZR\ = R, ip=zau-oii = 0;
\Уд = |Уя| = 1/Л = С, -^ = -^ = 0.
Мгновенная мощность
Prt(t) = Ri2 = RI2n cos2 (cut + oti) =
RI2
= -^[1 +cos 2 (cut+ <*)] =
= RI2 [1 = cos2 (cut + at)) 0. (5.28)
Из (5.28) следует, что график мощности колеблется с двой-
ной частотой вокруг своего среднего значения, оставаясь по-
ложительным. Среднее значение мощности за период называют
активной мощностью. Для Д-элемента активная мощность
т т
Ра = Pep = pMdt = I RI2 dt+
о о
т
+ J RI2 cos 2 (cut + оД dt = RI2,
о
или, используя очевидные соотношения, получим
Ра = RI2 = GU2 = UI, (5.29)
Примечание. (5.29) совпадает по форме записи с формулой мощности
Л-элемента при протекании через него постоянного тока, но в (5.29) опре-
деляется среднее значение мощности прн протекании через Я-элемент
синусоидального тока с действующим значением I = Im/y/2.
5*
.116
Основы теории электрических цепей
2. Индуктивный элемент. Подставим в вольт-амперную
характеристику L-элемента и = L^t синусоидальные напря-
жение и ток:
Um cos (ut + аи) .= -шЫт sin (art + а») =
=uLIm cos (u)t + Oii + 7г/2) . (5.30)
Из (5.30) следует, что в L-элементе Um = шЫт, а аи =
= а, + тг/2. Угол фазного сдвига </? = аи - а, = тг/2, т. е. ток-
элемента L отстает по фазе от напряжения на тг/2 (рис. 5.6а).
Коэффициент пропорциональности между амплитудой напря-
жения и амплитудой тока имеет размерность сопротивления. Его
называют индуктивным сопротивлением Хъ, т. е.
Xl = ^.=uL. (5.31)
Индуктивное сопротивление (5.31) зависит от частоты. Так,
при = 0 (постоянный ток) Xl = 0, а при ш — > сю сопротивле-
ние Xl —> оо. Это обстоятельство позволяет заменять для рас-
четных целей L-элемент короткозамкнутым участком (КЗ) при
uj = 0 и разрывом (XX) при ш —> оо.
Индуктивной проводимостью Bl, называют величину, обрат-
ную индуктивному сопротивлению:
d 1 Im 1
L~ XL~
Если в вольт-амперную характеристику подставим u(t) =
— Ume3ut и i = Ime3ut, получим соотношение для комплексных
амшштуд
или после сокращения
t/m = (5.32)
Из (5.32) видно, что вектор йт повернут относительно вектора
1т на тг/2, так как j = eJ7r/2, т. е. ток.отстает от напряжения на
тг/2 (рис. 5.66).
Из (5.32) получили комплексное сопротивление L -элемента
.. •
Zl = \ZL\ е3* = & = ju;L = coLe3^2 = XLe?*l2. (5.33)
’ Зт
Глава 5
117
Комплексная проводимость будет
16 = 1^1^ = 42- = ^ =
ит З^Ь
= -j-^r = Ле”7^2 = BLe-jn/2. (5.34)
cuL cuL '
Из (5.33), (5.34) следует, что
(ZL—jujL, {ZL\ = Xl=wL, <p = 7г/2, <w\
(П = ~3^> in| = BL = Ф = -p = -7Г/2.
Энергия, запасенная в индуктивности, оказывается
tn(t) = "V' = cos2 (cut + а,) =
* С/
Г r2 1
= £~-Hl+coS2(wt + a,)] =
£f
LI2
= —- [1 + cos2 (cut + cti)],
Zi
колеблется с двойной частотой относительно среднего значения
LI2
>ПсР =
Zt
дважды за период тока происходят накопление энергии в маг-
нитном поле L -элемента и ее возврат в остальную цепь.
Мгновенная мощность L -элемента будет
pL(t) = ui = = -cuL/2 sin 2 (cut + а,). (5.36)
llv
118
Основы теории электрических цепей
Как следует из (5.36), мощность изменяется с двойной часто-
той по синусоидальному закону, следовательно, среднее значе-
ние мощности за период (т. е. активная мощность) L-элемента
равна нулю. Это отражает тот факт, что энергия в L-элемен-
те не потребляется, т. е. £-элемент является реактивным эле-
ментом. Будем называть реактивной мощностью экстремальную
скорость поступления энергии в элемент, у которого ток и на-
пряжение сдвинуты на угол |</?| = 7г/2. Ей присваивается спе-
циальная единица измерения — вольт-ампер реактивный (вар).
Реактивная мощность //-элемента
Pq = Pl max = wLI2 = XL12 = UI = BLU2.
3. Емкостной элемент. Подставим в вольт-амперную ха-
рактеристику С-элемента i = синусоидальные ток и на-
пряжение:
Im cos (cut + он) = —u)CUm sin (cut + otu) =
= wCUm cos (cut + otu + тг/2).
Отсюда следует, что Im = uCU,n, а ац = cvu + тг/2. Угол
фазного сдвига оказывается ip = = —тг/2, т. е. ток эле-
мента С опережает по фазе напряжение на угол тг/2 (рис. 5.7а).
Емкостное сопротивление
у- __ Um __ 1
зависит от частоты. При си = 0 выполняется Хс = оо, а при
си —♦ оо, соответственно, Хс —> 0. Это обстоятельство позво-
ляет заменить для расчетных целей С-элемент разрывом (XX)
при си = 0 (постоянный ток) и короткозамкнутым участком (КЗ)
при си —♦ оо.
Емкостная проводимость будет
'т
В комплексной форме Imejut = j^CUmejut, откуда
im = jwCUm. (5.37)
Из (5.37) видно, что вектор 1т повернут относительно векто-
ра Um на тг/2,т. е. ток опережает напряжение на тг/2 (рис. 5.76).
Вс =
Глава 5
119
Из (5.37) получим комплексное сопротивление С-элемента
I
Zc = |2У = ^2. = -А- = =
im З^С
= = Xce-J>..2 (538)
cuG
Комплексная проводимость будет
Ус = |*с| = 4^- = JwC = wCJK/2 = Все>”'2. ' 5.39)
Из (5.38), (5.39) следует: ’
( \Zc\ = Хс — Р = ~f-
|У6. = >С, |ГС| = Вс = ыС, Ф = f.
Энергия, запасаемая в емкости,
лч,.2 сп2 СП2
Wc(t) = -Z- = —7^ cos2(wt+QU) = (l+cos2(~-r+au))
Л Л
колеблется с двойной частотой вокруг своего среднего значения
WCcp = CU2/2;
дважды за период приложенного напряжения происходят на-
копление энергии в электрическом поле С-элемента и ее воз-
врат в остальную цепь.
Мгновенная мощность С-элемента
pc(t) = иг = dW/dt = -yjCU2 sin 2 (cuf - au), < 5.40)
120
Основы теории электрических цепей
как и в L-элементе, изменяется с двойной частотой-по сину-
соидальному закону. Таким образом, РСр = 0, а реактивная"
мощность С-элемента.
|Pq| = Pcmax = vCU2 = BCU2 = VI = ХС12
т. е. С-элемент является реактивным элементом.
Аналогия выражений, полученных для L- и С-элементов,
объясняется дуальностью этих элементов.
5.2.4. Комплексное сопротивление
произвольного двухполюсника.
Закон Ома в комплексной форме
Понятие комплексного сопротивления, введенное дня элементов
цепи, можно распространить на произвольный RLC -двухполюс-
ник:
1те ’ (5.41)
Z = = \Z\ cos<р + j\Z\ sin <p = r + jx.
Из (5.41) следует, что модуль комплексного сопротивления
\Z\ определяет отношение амплитуды напряжения к амплитуде
Т0Ка; 171- Um_U
Z I г
Jrn 1
Аргумент (угол, фаза) комплексного сопротивления <р опре-
деляет сдвиг по фазе между током и напряжением:
ср = аи-аг.
Вещественную составляющую комплексного сопротивления
называют активной, или резистивной составляющей
z = \Z\ cos 92,
мнимую часть комплексного сопротивления называют реактив-
ной составляющей . ,
х = \Z\ sin <р.
Аналогично, комплексная проводимость произвольного двух-,
полюсника будет
. У = fc = ifeS = = |У|<^,
Л = |У|е’* = |У |cos Ф + ;|У| sin Ф = g + jb,
Глава 5
121
где 1И = = X; ф = а. _au = д= |у|cosФ—актив-
ная составляющая комплексной проводимости; b = |У| sin Ф —
реактивная составляющая.
Очевидно, что можно записать
Z r + jx r2+x2 jr2+x2~9 + jb-
Аналогично, записывается
7--- 1 - д _ b _ . •
У в+jb д2 + Ь2 3 д2 + Ь2~Г + ЗХ'
Введение понятия комплексного сопротивления, как коэффи-
циента пропорциональности между комплексной амплитудой на-
пряжения и комплексной амплитудой тока, и означает введение
закона Ома в комплексной форме:
= Ztm, U = ZI; г ~
im = YUm, i=YU. '
По форме записи закон. Ома в комплексной форме (5.42)
аналогичен закону Ома для R-цепей, однако, здесь он устанав-
ливает связь не между током и напряжением двухполюсника, а
между комплексными амплитудами синусоидального напряже-
ния и тока двухполюсника.
§ 5.3. АНАЛИЗ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ
8 УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ.
КОМПЛЕКСНАЯ СХЕМА ЗАМЕЩЕНИЯ
После введения комплексного сопротивления для элементов це-
пи, законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме можно урав-
нения относительно комплексный амплитуд получать не из диф-
ференциальных уравнений, а из так называемой комплексной
схемы замещения. Комплексная схема может быть получена из
исходной, если элементы цепи заменить их комплексными со-
противлениями, а имеющиеся в цепи токи и напряжения сину-
соидальной формы — их комплексными амплитудами. Так как
законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме аналогичны зако-
нам R-цепей, то все методы расчета Л-цепей можно применить
для анализа комплексной схемы замещения.
122
Основы теории электрических цепей
5.3.1. Установившийся синусоидальный режим
в последовательной jRLC-цепи
На рисунке 5.8а приведена последовательная jRZC-цепь, где
a0(t) = Um cos (cut+au), а на рисунке 5.86 —
ее комплексная схема замещения, где
Zc = -J* с =
ZR = R, Um = ите*с
Рис. 5.8
Входное комплексное сопротивление бу-
дет ZBX = Zr+Zl+Zc = R+j (Xi, — Xq) =
= R + j (uL - , следовательно, ком-
плексная амплитуда тока оказывается
т ZBX R + j(XL-Xc)
y/R2 + (XL - Xcfe^ y/R2 + (XL - Xcf
где угол фазного сдвига ip = arctg .
Амплитуда синусоидального тока в цепи (рис. 5.8а) будет
у/№+ (X'i, — Хс)2'
а начальная фаза тока записывается как а, = аи — р =
= аи — arctgХс — Xc/R. Таким образом ток в цепи будет
Ф) — ~ г— т — cos (cut + аи — р).
j№ + (Xi. - Хс)2
Аналогично можно найти комплексные амплитуды напряже-
ний элементов цепи
UniR ZRIm = RIin‘^
UmL ~ Z[^Im = jXLim\’
UmC = Zcim = —jXcim-
Глава 5
123
Рассмотрим следующие возможные случаи.
. 1. Может оказаться, что XL >
> Хс, т. е. ujL > 1/(саС), следо-
вательно, UmL = XLIm > UmC =
= Xclm • На рисунке 5.9а построена
векторная диаграмма для этого случая:
ток i(t) отстает по фазе от напряжения
uo(t), так как угол > 0. Цепь имеет
индуктивный характер.
2. При Х{, < Хс выполняется
UmL — < UmC — В
этом случае входное комплексное со-
противление оказывается (рис. 5.96)
ток цепи опережает напряжение, так
как угол < 0; цепь имеет емкостной
характер.
3. Если Xl = Хс, то UmL = ' в)
= UmC* В этом случае = R, а
9? = 0. Напряжения на L-и С-эле-
ментах полностью компенсируют друг
друга, так как ul +«с = 0, а напряже-
ние на Л-элементе становится равным
напряжению источника (рис. 5.9в). =
Этот режим называют резонансом
напряжений.
5.3.2. Установившийся синусоидальный режим
в параллельной ЯЬС-цепи
На рисунке 5.10а приведена параллельная 7?£С-цепь, питае-
мая от источника синусоидального тока io(t) = Im cos (cat + a,),
а на рисунке 5.106 — ее комплексная схема замещения, где
Yr = G, Yl = -jBL = d>Yc= jBc = З^С, L = 1т^а' •
Puc. 5.10
124
Основы теории электрических цепей
Входная комплексная проводимость
Гвх = Yr + Yc + Yc = G + j(Bc -BL) = G + j (wC - >
следовательно, комплексная амплитуда напряжения цепи
_ Лп__________£т________
Um~ Ym~ G+jlBc-Bi.)
^G2 + (Вс _ Вь)2е^ x/G2 + {Bc-BLy'
где угол проводимости Ф = arctg {{Вс — Bl}/G) = —<р.
Таким образом, напряжение цепи (рис. 5.10а)
«(<) =. 1'п ---— cos (wi + а, - Ф).
y/G2 + {Вс - BLf
Аналогично можно найти комплексные амплитуды токов эле-
ментов цепи, а по ним и сами токи:
An/? = Т/?^Лп = GUmi hiL = ^L,Utn ~ ~jBcUm>
ImC = YcUm = jBcUtn-
Здесь также можно рассмотреть 3 случая, которые иллю-
стрируются векторными диаграммами на рисунке 5.11:
1. Если Вс > Вс, т. е. 1/(о>Л) > иС,
то /,„Л = BLUm > I,nc = BcUm. В этом
случае Ф<0, а > 0 и напряжение ?z(i)
опережает ток источника г'о(£), т. е. цепь имеет
индуктивный характер (рис. 5.11а).
2. При Вс < Вс токи соответствуют
Лпь = BcUm < ImC = BcUm. В этом случае
Ф>0,а<р<0и напряжение и{1) отстает от
тока г‘о(О (рис. 5.116); цепь имеет емкостной
характер.
3.. Если Вс = Вс, то выполняется 1тс =
= 1,пс. В этом случае получим KIiX = G, а узел
проводимости будет Ф = 0. Токи L- и О'-эле-
ментов полностью компенсируют друг друга,
так как ic+ic = 0, в результате чего ток через
R-элемент равен току источника (рис. 5.11в).
Этот режим называют резонансом токов.
Глава 5
125
5.3.3. О расчете
установившегося синусоидального режима
в разветвленных jRLC-цепях
На рисунке 5.12, приведен при-
мер разветвленной цепи с двумя
источниками одинаковой частоты:
uo(t) = Um cos (a>t + au), i0(t) =
= Im cos (cut 4- «j). Для определе-
ния токов в ветвях необходимо об-
разовать комплексную схему заме-
щения (рис. 5.13а), в которой Uq =
= (7т/ч/2; 10 = Zt =
= —Z? = Jwb, Z3 = R,
Z.t = -J/(wC2).
Ptic.5.13
После преобразования источника тока Iq в источник напря-
жения Uoi = Z4io можно применить для анализа цепи рисун-
ка 5.136, например, метод контурных токов:
(znit + zl2i$ = ut,
1ЗД 4- Z22/2K =
где
Zu = Z\ 4- Z2; Z22 = Z2 4* Z3 4* -£-ii ^12 = ^21 = ~Z2\
U$ = Uo; U2 = -Uoi-
После решения этой системы уравнений с комплексными ко-
эффициентами будут найдены «комплексные» токи, а по ним и
истинные синусоидальные токи цепи рисунка 5.12.
126 Основы теории электрических цеп^л
§ 5.4. МОЩНОСТЬ В УСТАНОВИВШЕМСЯ
СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ
5.4.1. Мгновенная, активная,
реактивная и полная мощности
пассивного двухполюсника
Пусть (см. рис. 5.14а), через RLC-двухполюсник (ДП) проте-
кает синусоидальный ток г(£) = Im cos (wi 4- а,) и приложено
синусоидальное напряжение u(t) = Um cos (wt 4- au).
Рис. 5.14
Для определенности положим, что ток отстает от напряжения
на.угол (р = аи - (рис. 5.146).
Мгновенная мощность будет
p(t) = ui = Uin cos (cut 4- au) Im cos (wt 4- Qi) =
= —2— cos (qu - Qi) 4-----— cos (2cut 4- Q« 4- Qi) = •
= UIcosp 4- UIcos 4- qu -h Qi). (5.43)
Из (5.43) следует, что p(t) совершает периодические колеба-
ния с двойной частотой относительно постоянной составляющей
(рис. 5.14в).
Положительной мгновенной мощности соответствует про-
цесс потребления электрической энергии, часть которой необра-
тимо расходуется в R-элементах, а часть — запасается в
электрическом и магнитном полях реактивных элементов ДП.
Отрицательной мгновенной мощности соответствует процесс
возврата двухполюсником энергии.
Активная (средняя) мощность, или просто мощность запи-.
сывается как
т т
P = Pa = Pcp = L j UIcos<pdt +
о о
Глава 5
127
т
+ J и I cos (2^t + 0^ +Qi) = UI cos (р, (5.44)
о
поскольку второй интеграл в (5.44) равен нулю как интеграл от
синусоидальной функции за время, кратное периоду.
Таким образом, активная мощность, измеряемая в ваттах,
произвольного двухполюсника оказывается
Р = Pa = UI cos <р.
В пассивном двухполюснике среднее значение мощности не
может быть отрицательным, следовательно, угол фазного сдвига
не может выходить за пределы
—тг/2 -р тг/2;
это основное свойство, отличающее пассивные цепи от активных.
Выражение (5.44) можно преобразовать, пользуясь соот-
ношениями для составляющих комплексного сопротивления и
комплексной проводимости произвольного двухполюсника:
Z = IZje™ = |Z|cos<p + j|Z|sin<p = r + jx,
Y = |Y|e^ = |Y|cosV' + ДУ | sin = g'+ jb. ’
Так как U = ]Z]I, a I = |У|[Д то можно записать
P = Pa = UI cos <p = \Z\I2 cos <p =
= |Y|£/2cos<p = ri2 = gU2. (5.46)
Реактивная мощность произвольного двухполюсника вво-
дится по аналогий с тем, как это было сделано для L- и С-эле-
ментов, где она определялась произведением действующих зна-
чений напряжения и тока, сдвиг по фазе между которыми |<Д =
= тг/2. Разложим вектор тока / на две составляющие 1а и /р
(см. рис. 5.146). Составляющая 1а совпадает по фазе с напря-
жением U и называется активной составляющей тока, а со-
ставляющую /р, перпендикулярную вектору U, называют ре-
активной составляющей тока. В общем случае разложение тока
на активную и реактивную составляющие не имеет физического
смысла. Очевидно, что /р = 7sin<р. Тогда реактивная мощность
произвольного двухполюсника будет
pQ = UIP = Ulsintp.
Основы теории электрических цепей
Можно получить другие выражения для реактивной мощно-
сти через компоненты комплексного сопротивления и комплекс-
ной проводимости (5.45):
PQ = UI sniff = |Z|/2siny? =
= |yj(/2siny? = xl2 — -bU2. (5.47)
Реактивная мощность (5.47) измеряется в вольт-амперах ре-
активных, она не имеет того же физического смысла, что актив-
ная мощность, и является чисто расчетной величиной, исполь-
зуемой на практике. Следует отметить, что реактивная мощность
может быть как положительной, так и отрицательной величиной.
Если цепь имеет индуктивный характер, то <р >0 и Pq >0. Если
цепь имеет емкостной характер, то у? < 0, и тогда Pq < 0. Так, для
L-элемента <рь = f и PqL > 0, а для С-элемента tpc =
и Pqc < 0. Таким образом, если в цепи есть L-и С-элементы,
то реактивные мощности могут взаимно компенсироваться, что
необходимо учитывать, составляя баланс мощностей в цепи.
Как видно из (5.46), активная мощность зависит от cosy?.
При cosy? = 1 активная мощность равна произведению действую-
щих значений напряжения и тока. Поэтому это произведение
называют полной, или кажущейся (располагаемой) мощностью
и измеряют в вольт-амперах [ВА]:
Ps = UI = |Z|Z2 = | Y\U2. (5.48)
Очевидным являются следующие соотношения между актив-
ной, реактивной и полной мощностями:
Ps = Ур2 + Pq-, Pa = Pscosy?; Pq = Ps sin <р. (5.49)
5.4.2. Коэффициент мощности
и его технико-экономическое значение
Коэффициентом мощности называют cosy?. Только при cosy? = •
= 1 вся располагаемая мощность реализуется как активная.
Из (5.48), (5.49) следует
Ра Ра Ра
cos у? = — = —- - = —.
Ps у/р* + fg UI
Чем больше cosy?, тем больше степень использования полной
мощности, тем меньшим током при заданном напряжении можно
129
Глава 5
доставить к потребителю активную мощность. Действительно,
• действующее значение тока .
j- _ •* а
U cos <р '
При заданной активной мощности Ра и напряжении U ток
I обратно пропорционален cosip, а от значения I зависят се-
чения подводящих энергию проводов, кабелей, линий переда-
чи, которые, как правило, изготавливаются из дорогостоящих
цветных металлов. Кроме того, потери энергии в подводящих
энергию проводниках пропорциональны квадрату действующего
значения тока. Таким образом, увеличивая cosip, мы не только
снижаем потери в подводящих энергию проводниках, но можем
использовать проводники меньшего сечения.
Для увеличения cosip необходимо уменьшать реактивную
мощность. При Pq — 0 имеем cosip ~ 1. Так как Pq^ > О,
a Pqc < 0, то для компенсации реактивной мощности парал-
лельно нагрузке, имеющей, как правило, индуктивный харак-
тер, подключают компенсирующую емкость, значение которой
выбирают из условия Pq = PqL + PqC — 0.
5.4.3. Комплексная форма записи мощности
Так как расчет установившегося синусоидального режима ве-
дется в комплексной форме, целесообразно получить выражения
мощности через комплексные значения тока I и напряжения U.
Для этого умножим U на сопряженный комплекс тока I:
Ul = UejauIe~jcti = и1^аи~а^ =
— Ule™ = t/7 cos <р + jUI sin tp = Pa + jPQ;
это произведение называют комплексной мощностью Ps:
PS = UI = Pa+jPQ. (5 50)
ПРИМЕР U = 30*+ j40, I = 2 + J2. Тогда на основа-
нии (5.50) Ps = Ul = (30 + J40)(2 - j2) = 140+J20.
Активная мощность оказывается Ра = 140 Вт, реактивная
мощность Pq = 20 вар, полная мощность Ps = у/Р2 + Pk =
= 141,4 BA. а Q
130
Основы теории электрических цепей
5.4.4. Условие передачи максимума
активной мощности
в нагрузку
. Zm В ряде практических задач необходимо
а получить в нагрузке = rH + jxu мак-
симальную активную мощность. По теореме
z" Тевенена об эквивалентном источнике на-
пряжения цепь, к которой подключена на * •*
грузка, можно (см. рис. 5.15) заменить ис-
Рис.5.15 точником U с внутренним (выходным, экви-
валентным) сопротивлением Z8H = Гвн + у’яВн-
Активная мощность нагрузки будет
Ран — Тн^ t
причем ток оказывается
г- - U
\Z\ V (Гвн + Г,,)2 + (Жвн + Ян)2
тогда получим
р г"и2
•* °Н . 2 , .о '
(Гвк + Гн) + (явн + ян)
Для того, чтобы Ра11 была максимальной, необходимо при-
нять жн = —жвн, а потом взять производную по г„ от
р .. г"с/г
Ген — - “J-
(гвн + Гц)
Из условия (dPaH/drH) = 0 получим, что г1( = гв11. При этом
р
•«антах — .
4гн
Таким образом, для получения максимальной активной мощ-
ности необходимо, чтобы
^н — Тн + у'Яц = ГВ11 — уЯвн-
Очевидно, что в этом случае такая же мощность будет вы-
деляться и во внутреннем сопротивлении источника, так как
гвн = гн. Это означает, что максимальную активную мощность
можно получить только при КПД, равном 50%.
Глава 5
131
§ 5.5. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Как отмечалось в § 5.3, емкостные и индуктивные сопротивления
(проводимости) могут взаимно компенсироваться, так что вход-
ное сопротивление (проводимость) становится чисто резистив-
ным, несмотря на наличие реактивных элементов. Это приводит
к тому, что ток и напряжение, приложенное к цепи, совпадает
по фазе. ’
Такое состояние электрической цепи или ее части называют
резонансом. Если в произвольном режиме пассивного двухпо-
люсника Z = г + jx, а = arctgz/r, то в режиме резонан-
са будет Z = г, а = 0. Аналогично получим, что проводи-
мость в произвольном режиме Y = g + jbw'fy = arctgd/#. При
резонансе будет Y = д и Ф = 0. •
Таким образом, условие резонанса можно описать любым из
следующих соотношений:
Im Z = 0,
Im У = 0.
Z — R + j
5.5.1. Резонанс
в последовательном RLC-контуре
В 5.3.1 уже упоминалось о режиме резонанса в последователь-
ном RLC-контуре (рис. 5.7в), входное сопротивление которого
записывается как
uL-^c
Из условия (5.51) получим, что цепь будет в состоянии резо-
нанса, если ojL — 1/шС = 0 или ш2ЬС = 1. Настройку в ре-
зонанс можно обеспечить изменением параметров L- и С-эле-
ментов или изменением частоты источника. Значение частоты,
полученное из указанного выше равенства, называется резо-
нансной частотой 1
CVn = —.
VLC
Сравним характеристики последовательного RLC-контура
ПрИ Ш OJq И ПрИ (jJ = u>o.
132
Основы теории электрических цепей
ш tA wq
1
ш = о>о = —:----
VLC
Входное сопротивление
Z = R + j(XL-Xc) ' Z0 = R
|Z| = л//?2 -r (Xl - Хс)2 l^ol = R = min
Угол фазного сдвига
= arctg -—— V>o = 0
rl
Действующее значение тока
и и г и и
= — = Io = 7Z-7 = — = max
|ZI y/R2 + (Xl- Хс)2 ,Zo1 R
Активная мощность
Ра = UIcos<p ' РаО = и Io = max
Действующие значения напряжения на элементах цепи
Ur = RI, Uro = RIq = R~=U,
ГЪ
Ul = wLI, Ulo = wqLIq = y/L/CIo = plo,
Uc = U/wC)I / Ul Uco = Ulo
Так как при резонансе Ul = Uc, то резонанс в последова-
тельном контуре часто называют резонансом напряжений.
При резонансе может оказаться, что напряжение на L- и
С-элементах во много раз больше, чем напряжение источника.
Для оценки этого превышения вводят понятие добротности
О _ Ulo _ Uco _ plo _ ДДС _ Р
4 U ~ U ~ RI0~ R ~ R'
где р = wpL = \fLjC — характеристическое сопротивле-
ние. Если yjL/C > R,to Q > 1. В идеальном контуре при
R = 0 добротность получим, что Q —> оо. В общем случае на-
пряжение на реактивных элементах в Q раз больше напряжения •
источника:
Ulo — Uco — QU.
Все соотношения для резонанса в параллельном ЛЛС-кон-
туре при резонансе токов, о котором уже упоминалось в 5.3.2,
можно получить на дуальной основе, так как параллельный и
последовательный контуры дуальны.
Глава 5
133
5.5.2. Частотные характеристики
последовательного RLC -контура
Из приведенного в 5.5J анализа видно, что при изменении ча-
стоты изменяются действующее значение (амплитуда) тока и
угол фазного сдвига.
Так как I = YU, то поведение тока зависит от проводимости:
|УУи.)| = - 1 (5.52)
+ (w£ - 1/(о>С))
Ф(ы) = - arctg ——. (5.53)
•* V
.Действительно,
I = /е*»* = |Г(»|е’'*<">(7е’““;
тогда / = |Г0ш)|у; а, = Ф(ш) + а„. (5.54)
В соответствии с (5.54) зависимость |K(jw)| называют ам-
плитудно-частотной характеристикой (АЧХ) входной проводи-
мости, а Ф(со) —фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) вход-
ной проводимости. На рисунке 5.16 приведены АЧХ и ФЧХ,
Как следует из АЧХ, последовательный RLC-контур об-
ладает избирательной способностью, так как он имеет относи-
тельно большую проводимость (малое сопротивление) на часто-
тах, близких к резонансной, и малую проводимость (большое
134
Основы теории электрических цепей
сопротивление) на частотах, далеких от резонансной. Для оцен-
ки избирательной способности вводят понятие полосы пропус-
кания, которую определяют по уровню половинной мощности.
Так как Ра = Л/2, то уменьшение тока в \/2 раз эквивалентно
уменьшению мощности в 2 раза. Поэтому полоса пропускания
может быть найдена по АЧХ входной проводимости по уровню
' |Г(»|тах/\/2 = о, 707|y(ja;)|max (см. рис. 5.16).
Как следует из ФЧХ, в последовательном RLC-контуре из-
меняется знак Ф с изменением частоты. Для частот со < соо име-
ем Ф(о?) > 0, ток опережает по фазе напряжение, т. е. контур
имеет емкостной характер. Если со > wq, то Ф(щ) < 0 и ток
отстает от напряжения, т. е. контур имеет ицдуктивный характер.
5.5.3. Нормировка частотных характеристик
Для того чтобы частотные характеристики имели минимальное
число параметров, удобно вводить нормировку по уровню и по
частоте, выбирая базисные значения сопротивления Za (про-
водимости Уб) и частоты ^б- Тогда нормированные значения
сопротивления (проводимости) и частоты
z -£• V-Y. ш
~ 7 > У* — ТГ) W* — --------.
Z6 Гб W6
co^CJ
!\/LC, то
1
Проведем нормировку Y(jco) последовательного RLC-контура:
У* 0^») = 1J|Уб R + j -
Если принять Уб = 1/Л, а о?б = wo = 1 ?
У* О.) -------------*----------= _ _________
1+ У _ __1\ 1 + jQ (ш, _ 1/о>.) •
Тогда АЧХ и ФЧХ, соответственно, будут
|К о.)| = — 1
[Ф (w,) = - arctg [Q - 1/Ww)]•.
(5.55)
На рисунке 5.17 построены АЧХ в соответствии с (5 55) пои
х:гх₽отиостQ-Как ввдн°из ^фика'
м^ше пХ. ДОбрОГНОСТИ-Чем больше добротность, тем
пропускания, т, е. выше избирательность контура.
Глава 5
135
Можно доказать, что
Q = —— = —
Aw* Aw’
где Aw* —полоса пропускания в относительных единицах.
Частотные характеристики параллельного контура анало-
гичны характеристикам последовательного контура, а в нор-
мированных единицах при z$ = R и wg = wo = -^==5 они
полностью совпадают:
|Z* ~
Ч> (w*) = - arctg [Q (w* - 1/w*)].
5.5.4. Комплексные функции
и частотные характеристики
Исследовать поведение той или иной реакции цепи с изменением
частоты источника, можно исследуя частотные свойства соот-
ветствующих функций. Если на цепь действует синусоидальный
источник напряжения с Ui = Uie>au, то реакцией может быть
входной ток, ток или напряжение какой-либо к-й ветви. Тогда
для этих случаев можно записать:
< 4 =
\Uk = Hu(juJ')U1,
где — комплексная функция входной проводимости,
n-i(jw) — комплексная функция передаточной проводимости,
Hu(jcJ) — комплексная функция передачи по напряжению.
Основы теории электрических цепей.
136
Fcjik воздействием является синусоидальный источник тока
т __ г gjon tq реакцией может быть входное напряжение, на-
пряжение или ток какой-либо к -й ветви. Тогда для этих случаев
можно записать:
Г йвх. —
< йк =
I ik =
где ZBX(» — комплексная функция входного сопротивления,
Zfc-iO’w) — комплексная функция передаточного сопротивле-
ния, — комплексная функция передачи по току.
Каждая из шести приведенных функций может быть записа-
на через модуль и аргумент или через вещественную и мнимую
составляющие:
= |УвхСМ I
ZBx(iw) = |Zbx(»| = r(w) + ja;(w),
Hu(jco) = \Ни(jw)I = B(w) + jM(w), и т. д.
Модули всех функций определяют отношение действующих
значений (амплитуд) соответствующих реакций и воздействий
(при изменении частоты) и являются амплитудно-частотными
характеристиками соответствующих функций. Аргументы (фа-
зы) всех функций определяют разность начальных фаз соответ-
ствующих реакций и воздействий при изменении частоты и яв-
ляются фазо-частотными характеристиками соответствующих
функций. Следует отметить, что АЧХ и ФЧХ — это функции
вещественной переменной со. Кроме АЧХ и ФЧХ комплексные
функции могут характеризоваться вещественными частотными
характеристиками соответствующих функций д(со), r(w), В(со)
и мнимыми частотными характеристиками Ь(щ), х(оо), М(со).
Например, для последовательной ЛС-цепи функция вход-
ной проводимости УвхО’^) — 1/(Л — j/соС). Ее амплитудно-
частотная и фазо-частотная характеристики: |VBX(jcu)| =
— 1/уй 4-l/(cvC')2, Ф(а?) = arctg^/wKC). Вещественная
= Р//р2Я ^аРактеРистика входной проводимости д(ш) =
„'' /v*^) )• Снимая частотная характеристика вход-
ной проводимости Ь(ц>) = 1/(^0/(JR? + l/(wC)2).
Глава 5
137
Кроме рассмотренных функ-
ций на практике используется
амплитудно-фазовая характери-
стика (АФХ), которая представ-
ляет собой траекторию (годо-
граф), которую описывает век-
тор, определяемый соответствую-
щей функцией = B(w) +
+jM(w) на комплексной плос-
кости при изменении частоты
(см. рис. 5.18). Амплитудно-фа-
зовая характеристика в неявном виде
ФЧХ, а также вещественную и мнимую частотные характеристики.
включает в себя АЧХ и
5.5.5. Обобщенная экспонента
и комплексная частота
Рассмотренный метод комплексных амплитуд для синусоидаль-
ных напряжений и токов легко распространить на некоторые
другие сигналы.
Для синусоидальных напряжений было получено следующее
представление через экспоненты с мнимым аргументом:
Um cos + ли) = Re (йте?ш1>\ = 0,5 (ume?ut + Ume~jut} .
Умножим левую и правую части этого равенства на множи-
тель eat, где а — вещественное число. Тогда
Umeat cos (wt + au) = Re [йпе<а+^Ч =
= | + йте^-^'.
Будем называть комплексной частотой s = а + juj и сопря-
женной комплексной частотой з = а — jw. Тогда
«(О = Umeat
cos (wt + «и) = -Re Umest =
= | + Ume’‘
64
. (5.56)
Выражение Umest называют обобщенной экспонентой.
138
Основы теории электрических цепей
Как видно, с помощью обобщенной экспоненты одинаковым
образом описываются разные сигналы в зависимости от ком-
плексной частоты s.
Возможные случаи сведены в таблицу:
Комплексная частота
s = -0 + ju>
s = 0 + jw
s = ju>
з = -0
s = а
з = 0
Синусоидальное напряжение-
u(t) = Ume~ot cos (cut + Ou)
«(t) = Ume0t cos (cut + Ou)
u(t) = Um COS (cut + ftu)
u(t) = Ume'°l
u(t) = Umeot
u{t) = Um = Const
Как видно из таблицы, синусоидальное напряжение (ток) яв-
ляется частным случаем обобщенного воздействия (5.56) при
s = jaj.
Анализ вынужденного режима при действии обобщенного
воздействия вида (5.56) не усложняется по сравнению с синусо-
идальным воздействием: лишь в место ja> надо везде записать з,
т. е. • 1
ZR(s~) = R, ZL(s) = sL, Zc(s) = -г-—.
(sC) .
На обобщенные воздействия (5.56) вида экспоненциальных
колебаний может быть также распространено понятие ком-
плексной функции как отношение комплексной амплитуды ре-
акции Fmi к комплексной амплитуде единственного в цепи
воздействия FmX: •
Я(в) =
* ml
причем при 8 = jaj, Т. е. в установившемся синусоидаль-
ном режиме, получим описанные в 5.5.4 комплексные функ-
ции обобщенные частотные характеристики H(jw):
Я(» = Я(5)|
Глава 6
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ
§6.1. СВЯЗЬ ФОРМЫ СИГНАЛОВ С ПОЛЮСАМИ
ИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ЛАПЛАСУ
6.1.1. Общая характеристика
преобразуемых по Лапласу сигналов
Если сигнал (т. е. переменная в цепи)
f(t) = 0 при t < 0, а при t > 0 рост /(t)
ограничен в сравнении с нарастающей
экспонентой (рис. 6.1а), т. е. |/(t)| <
< Me°At, где М > 0, то функция /(£)
может быть преобразована по Лапласу:
ОО
F(«) = dt = -И/W], (6.1)
О
причем несобственный интеграл (6.1)
абсолютно сходится (т. е. площадь
|/ехр(—st)j ограничена) и F(s) явля-
ется регулярной функцией (т. е. непре-
рывной и дифференцируемой) в правой
полуплоскости s = a + jb) правее пря-
мой Res = а а >0, где а а —абсцисса
абсолютной сходимости (рис. 6.16).
Действительно,
в)
Me~(cr-aA)t
dt =
СТ - СТА
(6.2)
М
т. е. последний интеграл в (6.2) отражает при a > а а площадь за-
тухающей экспоненты, а эта площадь ограничена (см. рис. 6.1а).
140
Основы теории электрических цепей
Условимся использовать обозначение соответствия
ДО-^(*), где ДО — оригинал, т. е. сигнал (точнее — функ-
ция, описывающая сигнал); F(s) — изображение /(<) по
^^Примечание. С позиции теории цепей одностороннюю функцию необ-
ходимо записывать в форме ДО = /*(0^1 (О» ,,0> обычно, оговари-
вая t > О не указывают <5i (0, если в этом нет необходимости, напри-
мер, coswot 4- s/(s2 + хотя, строго говоря, необходимо записывать
coswo^i(0 4- а/(а2 +^о)-
Формула обратного преобразования Лапласа имеет вид
c+joo
/(t)=2^ / F^W‘ds, (6.3)
С—JOO
причем интегрирование в (6.3) ведется вдоль прямой Re $ = с в
правой полуплоскости, так-чтобы все особые точки Sk изобра-
жения F(s) лежали слева от этой прямой (по определению осо-
бой точки F(sjt) —> оо). В теории цепей в качестве особых то-
чек в основном рассматривают полюсы (т. е. корни знаменателя)
дробно-рациональной функции
F(s) = h bis + Ьр _ 1 В($)
D(s) dnS' + '-' + diS + do ~ dn П(5-5Л); ( }
(п)
однако на практике для перехода к оригиналу используют не (6.3),
а таблицу соответствия оригиналов и изображений или теорему
разложения.
6.1.2. Применение теоремы разложения
для отыскания оригиналов
К оригиналу от изображения по Лапласу (6.4) переходят на
основании теоремы разложения по следующей формуле:
F(s) = — _ V'' ^k
^nlKs-Sfc) +A)-j-/(O =
(n) *i = l
n
= £Л*е®*%(0 +A)<5(£), (6.5)
fc=i
Глава б.141
при этом коэффициенты разложения F(s) на простейшие дроби
вычисляются методом неопределенных коэффициентов или по
формулам
^ = (s-St)F(s)| =Ж
e* D'(s) S=8k’ (6.6)
Ло = F(oo),
причем первый вариант расчета Ак по формуле (6.6) более
прост, а величину Ло называют целой частью F{$).
Примечания:
1. Формула (6.5) приведена для случая любых некратных корней (в том
числе комплексных, мнимых, нулевого).
2. В (6.4) степень полинома знаменателя не ниже степени полинома чис-
лителя, т. е. п > ттг, причем До = 0 при п > т и До = bn/dn при
п = т.
3. Функция F(s) в (6.5) должна быть дробно-рациональной, как указано
в (6.4).
Рассмотрим примеры расчета по теореме разложения, в том
числе расширяющие возможности ее стандартного примене-
ния (6.5).
ПРИМЕР 1. Рассмотрим случай п = т.
х 10s* 1 2 * * * +10 Л2 . .. .
f(s) = -(7W = 772 + T + >1»^ =
= (Л1б 2г + Л2)<У1(<) + Ло<£(£),
где
^ = (S + 2)F(S) =-10*2 + 10 =10L-2)2 + 10 = -25;
s=—2 S з=—2 —2
. t лх rv J 10 s2 + 10
Л2 = (s + O)F(s) = —-у- =5;
<8=0 3 “Ь 2 8=0
Ло = F(oo) = 10.
Примечания:
1. Нулевой полюс 32 = 0 дал в оригинале Яге04 = Яг.
2. Трактовка-использованного выше варианта формулы (6.6) при расче-
те Ак очевидна — при сохранении равенства F(s) слева и справа при-
менен вариант преобразования, исключающий все коэффициенты Ак,
кроме искомого.
Основы теории электрических цепей
142
ПРИМЕР2. Рассмотрим случай кратных полюсов, например
А , ^2 . J_________1. f(t} _
= (s + 2)3 “ (s + 2)3 (s + 2)2 S + 2
/ /2 \ .,
= ( Al— + A^t + Аз j e t6i(t') + ...
\ Li J
Формулы, в которых использована описанная выше про-
цедура исключения всех коэффициентов, кроме искомого, в
данном случае, очевидно, имеют вид
= (в + 2)3.Р(в)|в__2,
4i = -r [(s + 2)3f(s)]L=-2> (6.7)
\JL&
^ = ^[^+3)3f«]L=_2-
Примечания:
1. На практике, однако, часто вместо формул типа (6.7) лрименяют'метод
неопределенных коэффициентов, в котором разложение F(s) справа
приводят к общему знаменателю и находят , приравнивая коэффи-
циенты числителя F(s) слева и справа при одинаковых степенях з.
2. Иногда один из коэффициентов (Аз в примере 2) находят, используя
теорему о начальном значении /(0+) = sF(s) при з —♦ оо (поскольку
в этом случае в примере 2 составляющие с коэффициентами Ai, А2
исключаются как в s-, так и в t -областях).
3. Наличие кратного корня в знаменателе F(s) аналогично появлению
кратного корня ХП при расчете переходных процессов, т. е. при экс-
поненте появляется сомножитель t или t2 ....
ПРИМЕР 3. Если F(s) не является дробно-рациональной
функцией, то на простейшие дроби разлагают только ее
дробно-рациональную часть, например,
F(s) = 10s + 10е-з« = _10_ 10 , _ Ю
s(s + 2) s + 2 + s(s + 2) ' “s + 2 +
(5 — 5 \ о г _
V+T+2Г *Л0 = 10е-21.51(()+[5 - 5e-2<‘-3>]
Примечание. При записи смещенных (запаздывающих) друг относительно
другаодностороиних функций использование единичных ступенчатых функ-
ции обязательно.
Глава б
143
ПРИМЕР 4. Рассмотрим подробно случай комплексных по-
люсов, например,
= юо _______________________100___________
5 (s2 + 6s + 25) s (s + 3- J4)(s + 3+ J4)s “
_ ^1 , ^2 4
S + 3-J4 S + 3 4J4 + s’
где
Ai
100
100
s=-3+j4 (s + 3 + J4)s 's=-3+J4
_____________=_______122____= 2 5e-j217*'
j'8(—3 + J4) 8e^°W127*
A2 = A = 2, бе7217*,
/(t) = [2,5е^21Ге(-3+^4 + 2,5^217*е<-3-^4] + 4 =
= 2,5e~3t |e>(4f-217’) + e-5(4t+2ir)l+4 = 5e“3t cos(4t-2ir)+4.
Примечания-.
1. Сопряженность коэффициентов A2 = А математически следует из ва-
рианта формулы (6.6) Ак — B(s)/D'(s) при s — Sk, поскольку оди-
наковые действия над сопряженными комплексными числами si,2 =
= —3 ± J4 дают сопряженный результат; с другой стороны, суммиро-
вание сопряженных функций приводит к вещественному ответу.
2. Аналогично следует действовать, если полюсы F(s) мнимые.
6.1.3. Свойства и теоремы
преобразования Лапласа
Рассмотрим некоторые из свойств и теорем.
1. Свойство линейности:
524- 52 akFk(s). (6.8)
2. Теоремы о дифференцировании интегрировании оригинала,
г F(s)
f'(t) - sF(s) - /(0-); J ftf) dt - (6.9)
о
Основы теории электрических цепей
144
3. Теорема свертки (изображение интеграла наложения):
/2(«) = J fi(r)h(t-T)dT-7-F2(s) = F1(s)H(s). (6.10)
о
4. Теорема сдвига (смещения изображения в s-области):
F(s + 0) 4- /(()<'’'• (6.11)
5. Теорема запаздывания (смещения оригинала в t-области):
/(i-i3)-rF(s)e-st3. (6.12)
6. Теорема подобия (нормировки, т. е. масштабирования):
/(ai)4--F(-).
а \а/
7. Теоремы о предельных значениях — начальном и конечном:
/(0+) = Дт sF(s), (6.13)
/(оо) = limsF(s). (6.14)
Примечание. Теорема (6.14) справедлива только в том случае, если по-
люсы F(s) находятся в левой полуплоскости или, в крайнем случае, один
полюс — в начале координат.
8. Свойство коммутативности преобразования Лапласа
с операциями взятия вещественной или мнимой части (ес-
ли не раскрывать сущности аргумента s): Re/(t) 4-ReF(s),
bn f(t) 4- Im F(s).
9. Свойство дифференцирования и интегрирования по пара-
МСТ|"" df(t,k) dF(s,k)
dk
k2
У f(t,k)dk
ki
dk ’
10. Теорема о дифференцировании изображения:
dF(s) .
ds
Глава б
145
6.1.4. Связь формы оригинала
с полюсами изображения
(таблица соответствия
оригиналов и изображений)
Найдем на основании (6.1) изображение дельта-функции:
оо оо
F(s) = У 8(t)e~at dt = у <5(t)dt = l. (6.15)
о- о-
Прчмечания:
1. В (6.15) нижний предел в сравнении с (6.1) расширен до t = 0-,
чтобы интервал интегрирования «захватил» дельта-функцию, площадь
которой равна единице.
2. При записи второго интеграла в (6.15) использовано свойство «выбор-
ки», т. е.
6(l)e~st = <5(«)е°.
3. В отличие от (6.1), в теории цепей в основном используется так называе-
мое расширенное преобразование Лапласа, обозначаемое
ОО
о-
Зная лишь изображение дельта-функции, можно на основа-
нии результатов п. 6.1,3 составить таблицу соответствия ориги-
налов и изображений /(£) 4- F(s). Приведем их значения для
основных единиц:
1. Изображение дельта-функции будет 8(t) 4-1.
2. Изображение единичной ступенчатой функции имеет вид:
^i(t) -i- 1/з, поскольку ^i(t) = Jo 8(t) dt, а на основании (6.9)
интегрирование оригинала соответствует делению изображения
на з.
ВЫВОД’, из сравнения (см. рис. 6.2а) графика сигнала <51(0
и диаграммы расположения полюса изображения з; = 0 в
комплексной плоскости, следует, что полюсу F(s) в начале
координат соответствует наличие постоянной составляющей
в оригинале при t > 0.
3. Изображением постоянной величины является: Л 4- A/s,
поскольку'на основании 6.1.1 фактически по‘Лапласу преобра-
зуется функция A8i(t} для t > 0.
Основы теории электрических цепей
146
а)
I
О *
Рис. 6.2
4. Изображение линейной функции будет 14- 1/з2, посколь-
ку фактически находим изображение /(t) = £<5i (t) = /0_oi(t) dt
при учете теоремы интегрирования (6.9).
ВЫВОД', кратному полюсу в начале координат si,2 = 0 со-
ответствует появление множителя t в оригинале (см. также
рис. 6.26).
Аналогично выводятся формулы t2/24-l/s3, tn/n!4-l/sn+1.
5. Изображение затухающей экспоненты имеет вид е~^ 4-
4-1/(з + /3), поскольку фактически преобразуется функция
при учете теоремы сдвига (6.11).
ВЫВОД: отрицательному полюсу (si = -(3) соответствует
затухающая экспонента в оригинале (см. также рис. 6.2г?).
6. Изображение нарастающей экспоненты будет efl£ 4-
4-1/(з - /3) на основании теоремы сдвига (6.11).
ВЫВОД: положительному полюсу si = (3 в изображении
F(s) соответствует неограниченно нарастающая экспонен-
та в оригинале /(t) (см. также рис. 6.2г), т. е. имеет место
неустойчивый процесс при t > 0, что противоречит условиям
устойчивости (3.9), (3.10).
7. Произведение линейно нарастающей функции и затухаю-
щей экспоненты имеет изображение te~^ 4- 1/(з -Ь /З)2 на осно-
вании использования теоремы сдвига (6.11) при f(t) = 14-1 /з2.
ВЫВОД: кратному полюсу si^ = —(3 изображения соответ-
ствует наличие множителя t в оригинале (см. также рис. 6.3а).
Аналогично выводится формула 0,5i2e_/3t 4-.1/(з 4- /З)3.
Глава 6
147
Рис. 6.3
8. Изображение синусоиды будет sincvot -ь w/(s2+^) ,
поскольку sincvoi = ImeJWot 4- Im 1 /($ - jw0).
ВЫВОД'. Мнимым полюсам $1,2 = ±jwo изображения соот-
ветствуют незатухающие гармонические колебания в ориги-
нале (см. также рис. 6.36).
9. Изображение косинусоиды
cos шо14- $/($2 + CUq)
обосновывается аналогично предыдущему.
10. Произведение косинусоиды и затухающей экспоненты
имеет изображение
e~0t cos wot 4- (s + /?)/(($ + /3)2 + ^o))
на основании теоремы сдвига (6.11).
ВЫВОД', комплексным полюсам изображения находящимся
в левой полуплоскости $1,2 = ~t3±jwo (см. также рис. б.Зв),
соответствуют затухающие по экспоненте гармонические ко-
лебания.
11. Произведение синусоиды и нарастающей экспоненты
имеет изображение
sino>o£ -г шо/(($ — ft)2 + Wq)
на основании теоремы сдвига (6.11).
ВЫВОД', комплексным полюсам изображения находящимся
в правой полуплоскости (см. также рис. 6.3г), соответствует
неустойчивый (неограниченно нарастающим) колебательный
процесс.
6*
148
Основы теории электрических цепей
§6 2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
6.2.1. Законы Кирхгофа в операторной форме
Метод расчета переходных процессов с использованием
преобразования Лапласа обычно называют операторным
методом.
Уравнения законов Кирхгофа £**(*) = = О
преобразуем по Лапласу с использованием свойства линейности
из 6.1.3:
£Ш = о, £ад = о.
Примечание. При использовании метода комплексных амплитуд (МКА)
для анализа установившегося синусоидального режима уравнения 52Д=О,
£ Uk = 0 имели аналогичный вид.
6.2.2. Операторная схема замещения Л-элемента
Преобразуем по Лапласу уравнение Л-элемента uR(t) =
= Ягд(0, использовав свойство линейности из 6.1.3:
С7л(з) = RIr(s),
при этом операторное сопротивление резистивного элемента
Ид(а) = R такое же, как сопротивление Л-элемента и выпол-
няется t-области и при использовании МКА (UR = RiR).
6.13. Операторная схема замещения L -элемента
Уравнения индуктивного элемента во временной области
,. Л
о
преобразуем по Лапласу, использовав из 6.1.3 свойство ли-
нейности, теоремы дифференцирования и интегрирования (6.9),
а также формулу изображения постоянной составляющей из
и. 6.1.4:
UL(s) = LsIl(s) - LiL(0~), (6.16)
_ ul(s) , гд(О-)
i()~ +• (6.17)
Глава 6
149
< Zf, = sL
UW(O-)
Алгебраическую сумму напряжений в (6.16) трактуем как
уравнение последовательного соединения элементов, а (6.17) —
как уравнение параллельного соединения: операторные схемы
замещения L-элемента, соответствующие уравнениям (6.16),
(6.17), приведены на рисунке 6.4, где ZL(s) = sL — оператор-
ное сопротивление L -элемента (Y), =
проводимость).
ВЫВОД', операторные схемы
(рис. 6.4) эквивалентны; они соот-
ветствуют правилам эквивалентно-
го преобразования источника на-
пряжения и источника тока, удо-
влетворяют законам Кирхгофа (на-
пример, Il = Л +^2) и закону Ома
(например, Л = Ul/Zl}\ неза-
висимое начальное условие учи-
тывается либо источником напря-
жения величины Lzl(O-), либо
источником тока h. = ib(0-)/s.
Примечание. В МКА аналогично было
Ul = sL • Л,, где Zl = JwL в установив-
шемся синусоидальном режиме (s = jw):
дополнительные источники отсутствовали.
l/(sL) —операторная-
Il(s) his)
UL(s) 5 <
т ТШ
Puc. 6.4
6.2.4. Операторная схема замещения С-элемента
Уравнения емкостного элемента в t-области
t
uc(t) = 77 /
О J
о
преобразуем по Лапласу:
Ic{s) = CsUc{s)-Cuc^-)-
ic(t) = Cu'c(t)
(6.(8)
(6.19)
Трактуем (6.18) как операторное уравнение последовательного
соединения, (6.19)— как уравнение параллельного соединения,
соответствующие операторные схемы замещения С-элемента
Основы теории электрических цепей
150
приведены на рисунке 6.5а, где Zc(s) - V(^) . оператор-
ное сопротивление емкостного элемента (Ус = 1/^с =
= SC — операторная проводимость).
ВЫВОД-, как операторные урав-
нения (6.18), (6.19), так и опера-
торные схемы замещения экви-
валентны; схемы соответствуют
правилам преобразования источ-
ников, отвечают законам Кирхго-
фа (например, Ic = h — h) и
Ома (например, Zi = Uc!Zc}\
независимое начальное условие
учитывается введенным в опе-
раторную схему дополнительным
источником.
Примечание. В МКА аналогично было
Ic = sCUc' где комплексная прово-
димость Yc — ju)C в установившем-
ся синусоидальном режиме (s = ju);
дополнительные источники отсутство-
вали.
Формально перейдем от опера-
торных схем замещения (рис. 6.5а)
к приведенным на рисунке 6.56
схемам во временной области (ко-
торые, однако, фактически спра-
ведливы лишь для t > 0-). В этих
схемах С — незаряженный к мо-
менту t = 0- емкостной элемент,
а независимое начальное усло-
вие 1x0(0-) учтено дополнитель-
ным источником, описываемым ли-
бо ступенчатой, либо импульсной
функциями.
/р(з) J2(s)
+ ' h(e) „
Uc(s) 4= ZC ( f
Сис(0-)
«c(t)
uc(0-)<5i(t)
Cuc(0-)<5(t)
Рис. 6.5
ВЫВОД, для t > 0 независимое начальное условие всегда
можно учесть, задавая эквивалентное воздействие.
Обобщая полученные в п. 6.2.1-6.2.4 результаты, сделаем
заключения:
Глава б
151
выводы-.
1. Анализ цепей операторным методом (ОМ) можно про-
водить по эквивалентным операторным схемам замеще-
ния, используя аналогию расчету /1-цепей или расчету на
основании МКА.
2. Для перехода от операторных уравнений и схем к уравне-
ниям и схемам МКА достаточно исключить дополнитель-
ные источники и провести формальные замены ’У(з) 4- U,
. /(«) -г Д «ом -г- «мка = № в установившемся синусои-
дальном режиме.
6.2.5. Расчет переходных процессов в цепях
операторным методом
Обычно используют один из двух вариантов анализа.
Последовательность расчета по эквивалентным оператор-
ным схемам замещения:
1. Анализируют режим в цепи при t < 0 (перед комму-
тацией) и находят независимые начальные условия исл-(О-),
^Lk(fi-) .
2. Для t > 0 составляют эквивалентную операторную схе-
му, рассчитывают ее аналогично Л-цепям (или МКА), находят
изображение реакции FBWX(«),а затем оригинал /Вых(0-
Последовательность расчета по операторным уравнениям:
1. Как указано ранее, находят иск(®~). Va-(O-) .
2. Для t > 0 составляют по законам Кирхгофа систему
независимых интегродифференциальных уравнений цепи: пре-
образуют ее по Лапласу; решая полученную таким образом си-
стему алгебраических уравнений находят изображение реакции,
а затем ее оригинал.
Примечания:
1. Расчет по операторным схемам менее трудоемок, так как возможно ис-
пользование мепыиего числа уравнений, однако при анализе, например,
индуктивно-связанных цепей, часто приходится применять расчет но
операторным уравнениям.
2. Для контроля полученных результатов широко используют теоре-
мы (6.13), (6.14).
3. Поскольку в теории цепей используется расширенное преобразование
Лапласа (начиная с t = 0—), то все дельта-функции. появляющиеся
при t = 0 в особых случаях коммутации (см. 4.2.4), при решении задач
выявляются автоматически.
152
Основы теории электрических цепей
ПРИМЕР 5 (особый случай коммутации с мгновенным
перезарядом емкостей). Схема приведена на рисунке 6.6а,
причем мо = 10 В, = Т?2 = 1 Ом, Ci - 1 Ф, G - 4 Ф,
Найти t/ci, гС1 при t > 0 операторным методом.
Рис. 6.6
По эквивалентной схеме цепи при t = 0—, изображенной
на рисунке 6.66, находим «ci(O-) = uq = 10 В, кроме того
из анализа рисунка 6.6а очевидно, что «С2(О—) = 0.
Операторная схема замещения цепи для t > 0 показана
на рисунке 6.6s, где Uq(s) = 10/s, zci = zc2 = l/(4s).
Уравнения метода узловых напряжений имеют вид:
Ul(s) = t70(s) = Ю/s;
O£(s) = izCi(0-)/s = 10/s;
(Oi + Vci + Усг + Ог)Оз - GxU{ — YciU^ = О,
или в численном виде (1 + $ + 4s + 1)и% = Ю/s + 10, откуда
тт (тгу/ \ 10 + 10s 5 —3 . п А.
UCl(s) = UM = = _+__^С1(0 = 5_3е-о,4<
Далее находим:
ZCi(s) = Ук~и2 = _10 +10s
Zci 5(s + 0,4)
= 2 + l,2/(s + 0,4) - 10 4-
-10 =
ici(t) = -85(t) + l,2e-°>4t.
Как видим, выявлены как дельта-функция, описываю-
щая ток мгновенного разряда емкости Сг ; так и нарушение
ZZ‘"a неп^Рь|“"ости напряжения емкостного элемента,
поскольку uci(O-) = 10 UC1(O+) = 2.
Глава 6
153
§ 6.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ
ЗАПАЗДЫВАНИЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ИМПУЛЬСНЫХ СИГНАЛОВ
6.3.1. Изображение периодических сигналов
На рисунке 6.7 изображен для t > 0
график некоторого периодического сиг- ___/
нала /п G); при этом Т — период сигна- -qv|; jp \
ла, /i(t) —описание fn(t) в интервале 'A(t)
О < t < Т (строго говоря, периодиче- рис 67
ский сигнал рассматривается как пери-
одический в интервале —оо < t < оо, поэтому сигнал fn(t)
является квазипериодическим).
Используя теорему запаздывания (6.12)
= У S1 («- У Ч- F(s}e~M, (6.20)
найдем изображение сигнала, показанного на рисунке 6.7:
Ш = Л(<) + Л (t - Т) + A (ti - 2Т) + • • • 4- Fn(s) =
= Fi(s)(l + e~sT + e~2sT + ...)= Fl (s)/(l - e~sT), (6.21)
причем при выводе (6.21) использована формула убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем e~sT.
Примечание. Прогрессия в (6.21) убывает, если модуль ее знаменателя
|e~sT| = |е“(<7+зш)'г| = е~аТ < 1; следовательно, а = Res > 0 и
изображение (6.21) следует рассматривать в области сходимости в правой
полуплоскости аргумента s = а + jw.
6.3.2. Получение изображений
путем описания сигнала
суммой простейших составляющих
Рассмотрим два примера.
ПРИМЕР 6. Импульс u(t) прямоугольной формы, показан-
ный на рисунке 6.8а, можно эквивалентно описать суммой
двух ступенчатых функций (1 и 2):
u(t) = UrMt} - Um5i (t -I 4- U(s) --------------•
Основы теории электрических цепей
154
б) и{1)___
Г\ ^Um.__________>
О 1
Рис. 6.8
ПРИМЕР 7. Импульс u(t) синусоидальной формы, изобра-
женный на рисунке 6.86, эквивалентно описывается суммой
двух односторонних синусоидальных функций (1 и 2):
w(t) = VmSin(a}ot)8i(t) + Um sin[wo (t — tn]) — ^и) ~
Ь *r U/Q
где wo = 2тг/То = 7r/tt(.
Примечание. Запись ступенчатых функций <$i (t — tH) при использовании
смещенных (запаздывающих) друг относительно друга составляющих в при-
веденных примерах обязательна, поскольку они показывают «начало дей-
ствия» каждой составляющей.
6.3.3. Определение изображений
сигналов кусочно-линейной формы
методом двойного дифференцирования
Естественно, импульс кусочно-линейной формы /(t), приведен-
ный ранее на рисунке 4.13, можно описать суммой односторон-
них линейных функций (1,2, 3). т. е. можно действовать анало-
гично способу в п. 6.3.2. Однако изложенный в п. 4.4.4 метод
двойного дифференцирования позволяет упростить процедуру
решения задачи.
Действительно, очевидны как простота получения второй
производной кусочно-линейной функции:
Г лава 6
155
так и простота записи изображения (с учетом 5(t) 4-1 к
По теореме интегрирования оригинала (6.9) находим искомое
изображение
О О
Примечание. В случае разрывных кусочно-линейных функций уже при пер-
вом дифференцировании появляются дельта-функции, т. е.
где /{(t) —кусочно-постоянная составляющая в описании /{(t), которую
и рекомендуется далее дифференцировать, получив
/7(0 = 5>М(*-«л);
в этом случае по теореме интегрирования оригинала оказывается
§ 6.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕПИ
И ЕЕ СВЯЗЬ С
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ,
ИМПУЛЬСНОЙ, ПЕРЕХОДНОЙ
И ЧАСТОТНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЦЕПИ
6.4.1. Изображение интеграла наложения,
выраженного через
импульсную характеристику цепи
На основании теоремы свертки изображение интеграла <4.13)
имеет вид
t
f2(t) = J /i(r)A(t - r) dr 4- F2(s) = /7(s)Fi(s). (6.22)
о
где /^-^(s), /2(t)4-F2(s), h(t)+H(s) -воздействие, реак-
ция, импульсная характеристика цепи и их изображения (неза-
висимые начальные условия цепи предполагаются нулевыми)
Основы теории электрическах цепей
156
Из (6 22) следует метод определения переходной характе-
„„стики цепи ЫО. «ак Р« "а ади"и.ч1,“е ступен-
чатое воздействие Ш = W) - ЯЮ = V’ (° сравпе-
НИИ с 4.3.1 здесь единичный коэффициент F10, выравнивающий
размерность, для простоты записи опущен):
Я1(з) = +
(6.23)
причем выражение (6.23) соответствует как формуле (4.11)
t
ад = Л1(«)|(>0= /ад<й.
о
так и теоремам интегрирования и дифференцирования оригина-
ла (6.9) при нулевых начальных условиях.
6.4.2. Передаточная функция цепи
и ее свойства
Отношение изображения реакции к изображению единствен-
ного в цепи воздействия при нулевых независимых начальных
условиях называют передаточной функцией цепи:
/ед+(6.24)
ВЫВОД', из сравнения (6.22) и (6.24), следует, что переда-
точная функция цепи — это изображение по Лапласу им-
пульсной характеристики цепи:
Я(з) 4- h(t). (6.25)
Рассмотрим основные свойства передаточной функции (6.24),
1. Из сравнения (6.24) с (6.23) вытекают как метод опреде-
ления переходной характеристики по передаточной функции, так
вязь изо ражений импульсной и переходной характеристик:
'“(t)" H|(s> = Н(3) = SH1W 4- Л(4).
Глава 6
157
2. Поскольку при нулевых начальных условиях все урав-
нения и схемы замещения оперзторного методе (см. выводы в
п. 6.2.4) соответствуют урзвнениям и схемэм зэмещения МКА
при формальных заменах sqm^smka, U(s)+U, пе-
редаточная функция цепи и комплексная функция цепи — одно и
тоже: Я(«)|здм= Н(з)|здкд.
3. Так как в установившемся синусоидальном режиме обоб-
щенная частота в МКА s = ja>, то комплексная частотная
характеристика цепи связана с передаточной функцией
формулой нуа,) = Я(«)|
4. Таким образом, виды, свойства и методы вычисления
комплексной функции цепи справедливы и для передаточной
функции (как входные функции ZBX, Увх ,так и функции передачи
Zk-o, Yn-o, Нит_о, #л-о определяются только параметрами
цепи; ZBX = 1/Увх, но Zk-o / l/YJt-o)•
Примечание. строго H(s) называют функцей цепи, поскольку наряду с
собственно передаточными функциями (функциями передачи) существуют и
входные функции.
5. Знаменатель любой передаточной функции цепи является
характеристическим полиномом (характеристическим уравнени-
ем) цепи.
Действительно, в общем случае дифференциальное уравне-
ние, связывающее реакцию /г(0 с воздействием /i(t), имеет
вид (3.1) в t-области:
-----1- «1/2 + ао/2 = bmf™ +--1- + bofi- (6.26)
Преобразуем (6.26) по Лапласу, считая нулевыми как неза-
висимые начальные условия, так и воздействие при t < 0. Тогда
по теореме дифференцирования (6.9) при /(0—) = 0 получим
(апзп + ... + ^з + а0) р2(3) = (bmsm 4-. • • + bis - &о)
откуда передаточная функция будет
K№_n(x bmsm + --- + bls + bv. (6271
Fi(s) { ansn+ -.' +ais + а0
т. е. ХП, соответствующий (6.26), находится в знаменателе (6.27».
Основы теории электрических цепей
158
А 4 3 Связь собственных частот с нулями
* и полюсами входного сопротивления цепи
_________, Рассмотрим некоторый изображенный на
+А рисунке 6.9 пассивный двухполюсник (ДП).
С)и И111 подключенный к источнику (рассматривать
будем как источник напряжения, так и источ-
ник тока, поэтому конкретный тип источника
Рис'б * В'9 на рисунке 6.9 не указан).
В t-области напряжение и ток ДП в общем случае связаны
уравнением
апи^ 4-----F 4- аои = Ьтг^ 4---------h biir + boi. (6.28)
Преобразовав (6.28) по Лапласу при нулевых независимых
начальных условиях, найдем операторное входное сопротивле-
ние ДП:
U(s) _ . . _ bmsm 4------F 4- &о _ ^пП(тп)(3 ~ 5°fc)
Z(s) ~ ' ОпЗп 4------Fais + ao ап “ sk)
(6.29)
где в (6.29) sofc, Sk —соответственно, нули (корни числителя) и
полюсы (корни знаменателя) дробно-рациональной функции .?(.$).
Из сравнения (6.28) и (6.29) заключаем:
I. Если воздействием является источник тока, то инфор-
мация о характеристическом полиноме цепи находится слева в
уравнении (6.28) и в знаменателе входного сопротивления (6.29),
т. е. полюсы Sk являются собственными частотами (корнями
ХП) цепи в так называемом режиме холостого хода (поскольку
источнику тока в схеме свободного режима соответствует XX).
2. Если воздействием является источник напряжения, то
информация о характеристическом полиноме находится спра-
ва в (6.28) и числителе (6.29), т. е. в данном случае нули sok
входного сопротивления это корни ХП цепи в так называемом
режиме короткого замыкания (поскольку источнику напряжения
в схеме свободного режима соответствует КЗ).
Следствие, чтобы найти собственные частоты цепи, достаточ-
но схему свободного режима «разорвать» в любом месте и, при-
своив накопителям сопротивления ZL = sL и Zc = 1/(зС),
найти нули входного сопротивления Z(s) относительно «разо-
рванных» выводов.
Глава 6
159
6.4.4. Матрицы передаточных функций
и импульсных характеристик цепи
(использование преобразования Лапласа
для решения уравнений состояния) •
Уравнения состояния (3.24)
(/2(0) = [А] №(0) + (В) [/1(01
преобразуем по Лапласу, считая нулевыми как независимые на-
чальные условия, так и воздействия при t < 0:
s[F2(S)] = [A][F2(5)] + [B][F1(s)],
откуда (s[B) - [A]) [ТЭД] = (В) [F1 (о)], (6.30)
где [2?] — единичная матрица, введенная здесь для выравнива-
ния размерности матриц.
По аналогии с определением передаточной функции (6.24) и
теоремой свертки (6.22) найдем матричное уравнение:
[Г2(з)] = [Н(з)][К1(з)], (6.31)
в котором [Я(з)] называют матрицей передаточных функций от
всех воздействий [-Fi(s)] ко всем реакциям [F2(s)],t. е. в данном
случае — ко всем переменным состояния.
Для получения (6.31) умножим (6.30) слева на обратную мат-
рииу («[£)- [А])-1:
[ВД] = (sW-lAir'IWiM).
т. е. матрица передаточных функций и соответствующая ей мат-
рица импульсных характеристик [h(t)] описываются уравнением
[Я(з)] = ДО] - [А])-1^] - (/i(t)], (6.32)
где в (6.32) элементы матриц Яц($) 4- Лц(<) используется для
обозначения импульсной характеристики первой переменной
состояния от первого воздействия Я12(з) 4- /ii2(0 от второго
воздействия и т. д.
Глава 7
АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЦЕПЯХ
§ 7.1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ
7.1.1. Периодические сигналы и условия Дирихле
Примеры .периодических сигналов приведены на рис. 7’Ла,б,в.
-з -2 -1 6 i % з 4 >
Рис. 7.1
Как известно, периодические сигналы обладают свойством
где Т — период, т. е. наименьший интервал повторения функции.
^словно считаем, что периодическое воздействие приложе-
но к цепи при t -» -оо, т. е. к моменту времени, t переходные
процессы в цепи затухли и в цепи наблюдается установивший-
ся (вынужденный) периодический режим (УПР). Для простоты
индекс «вын», или «уст», при записи переменных опускаем.
Реальные периодические сигналы (точнее, описывающие их
функции) удовлетворяют условиям Дирихле:
1. В/пределах периода сигналы непрерывны или имеют раз-
рывы первого рода.
2. В пределах периода сигналы ограничены по уровню и
;имеют конечное число максимумов и минимумов,-
ю I
Глава 7
7.1.2. Тригонометрические формы
рядов Фурье
Периодический сигнал /(£), удовлетворяющий условиям Ди-
рихле, может быть разложен в сходящийся гармонический ряд
Фурье (РФ) в диапазоне —оо < t < +оо, причем частоты гар-
моник (т. е. синусоид) ряда си к = , где fc = 1, 2, 3,..., крат-
ны частоте первой (основной) гармоники wi = 2тг/Т1 = 2тг/Т.
Это означает, что период основной гармоники Т\ =Т равен пе-
риоду сигнала. Число гармоник бесконечно, при этом сумма РФ
равна f(t) в точках непрерывности и равна полусумме пределов
f(t) слева и справа в точках разрыва первого рода (следова-
тельно, вблизи разрывов f(t), да и разрывов f'(t), график сум-
мы РФ отличается от f(t), если не учитывать всю бесконечную
совокупность гармоник РФ).
Синусно-косинусная форма РФ имеет вид
оо
f(t) = + X2(gfc cosfccjit 4- bksinkwxt), (7.1)
fc=i
где
to+T1
2 Г
ак~Т / /W cos(7.2)
to
to+T1
2 Г
Ьк~т / (7.3)
«о
Значение to произвольно, а нулевая гармоника (постоян-
ная составляющая) РФ
~2" у J* ~ /ср (7.4)
to
соответствует среднему значению /(<) за период (т. е. высо-
те прямоугольника, имеющего равновеликую f(t) площадь за
период).
__ Например, для сигнала Д(е) на рисунке 7.1 oq/2 = 6 • 1/2 =
= 3, а для сигнала /2(0 имеем ао/2 = 6 • 1/3 = 2.
162
.Основы теории электрических цепей
преобразуем синусно-косинусную форму (7.1) к косинусной
форме РФ. Для гармоники получим, используя преобра-
зование к комплексным амплитудам (для синусоид одинаковых
частот):
ak cos fupi t + bk sin 1 = ak cos kuJi t + bk cos (kwi t - 90°) 4-
+ ak+ bke~j90' = ak - jbk = Ake?*k = Ak, (7.5)
Puc. 7.2
причем в соответствии с рисунком 7.2
Ak — Va k 4- bk,
Фк - arctg (-bjt/ajt),
т. е. Ак определяет амплитуду, а Фь — на-
чальную фазу результирующей гармоники.
Таким образом, РФ в косинусной форме будет
ОО
f(t) = ^ + y/Akcos(ku>lt + ^t). (7.6)
2 Л-1
Очевидны следующие свойства РФ симметричных сигналов.
1. РФ четных сигналов (см., например, рис. 7.3а), когда
т = /(-«),
(7.7)
не содержат синусоид в разложении (7.1), т. е. все коэффициен-
ты Ьк = 0, поскольку синусоида sinujkt не обладает свойством
четности (7.7). Следовательно, в соответствии с формулой (7.5)
и рисунком 7.2 у четных сигналов начальные фазы Фд. гармоник
в выражении (7.6) равны либо 0,либо 180° (если ак < 0).
Рис. 7.3
Глава?
163
2. РФ нечетных сигналов (см. рис. 7.36), когда
/(О = /(-<), (7 8)
не содержат в разложении (7.1) косинусоид, т. е. = 0, по-
скольку cos kuit не обладает свойством (7.8). В соответствии
с формулой (7.5) и рисунком 7.1г у нечетных сигналов началь-
ные фазы Ф* гармоник в выражении (7.6) равны либо 90° ли-
бо -90°.
3. РФ сигналов, симметричных относительно оси t при
сдвиге на половину периода (см. рис 7.3в), когда
/(t) = -/(t±T/2), (7.9)
не содержат гармоник четных номеров (к = 0,2,4,...), по-
скольку эти гармоники (см. показанную пунктиром на рисун-
ке 7.3в гипотетическую вторую гармонику) не обладает свой-
ством (7.9).
На рисунке 7.3г в качестве примера приведен сигнал /(£),
у которого на основании формулы (7.4) среднее значение /ср =
= ао/2 = 3. Если рассмотреть график сигнала за вычетом сред-
него значения ( / — 3), то он обладает свойствами (7.8), (7.9),
т. е. исходный сигнал f(t) не содержит косинусоид и гармоник
четных номеров, кроме к = 0.
7.1.3. Ряд Фурье в комплексной форме
Преобразовав с помощью формул Эйлера РФ в форме (7.1),
получим
«о ejfcW1t + e-jfcW1t ejk^t _ e-jk^t\
№=2 + £ ------2-------* bk-------У------) =
= V + | Ё - A) + + А)]. (7.10)
Л-1
Чтобы использовать в разложении (7.10) комплексные ам-
плитуды из выражения (7.5), учтем, что на основании фор-
мул (7.2), (7.3) следует, что
t0+T ' to+т
dk~— J f(t) cos k(jj\tdt = У f(t)<x>s(-ka>it)dt = а-ь,
to fo (7.11)
Основы теории электрических цепей
164
to+T -2 Г
bk = £ [ f(t) sin колt <Й = у / f(t) sin(-W) dt = -6_fc.
T I * (7.12)
Подставив формулы (7.11), (7.12) в (7.10), получим
y(t) = 2» + | V - jib) + ^<-fc>“‘‘(a-t - #-*)];
2 2 L
откуда, обозначив А-к = «-л — 3^-к и переходя к суммирова-
нию от к = -оо до к = +оо, запишем с учетом выражения (7.5)
РФ в комплексной форме:
1 00
/(0 = 5 Г (7.13)
ОО
причем во/2 = Aq/2, Ак = Л^е*** = ajt - jbk-
7.1.4. Дискретные спектры периодических сигналов
Множество комплексных амплитуд {Ль} РФ в комплексной
форме (7.13)’называют дискретным спектром периодическо-
го сигнала /(£); соответственно множества амплитуд {Л*} и
начальных фаз {Фа-} называют дискретными амплитудным и
фазовым спектрами.
• С учетом формул (7.11), (7.12) амплитудный спектр
Ак = у/Ок + = а/«-А: 4- Ык = Л-А;
является четной функцией к, а фазовый спектр
Ф* = arctg —— = — arctg - ~fc = —Ф-к
dk a-к
является нечетной функцией к.
В качестве примера рассмотрим спектр периодического сиг-
нала f(t) в виде последовательности экспонент (см. рис. 7.4а),
например, в интервале 0 < t < Т равных /(t) = -e“2t 4- F(s) =
= l/(s 4- 2). Тогда можно записать F(Joa) = 1 /(Jc^ 4- 2), причем
If (»l = 1/\/йА+¥,
arg F(jco) = - arctg(w/2).
Глава 7
165
Рис. 7.4
На рисунке 7.46 пунктиром построены графики |F(jw)l
и arg F(jw), которые в определенном масштабе являются оги-
бающими, соответственно, спектров и Ф;., показанных на
рисунке 7.46 вертикальными отрезками прямых линий, причем
для определенности частота первой (основной) гармоники wi =
= 1с-1, т. е. период сигнала Т = Ti = 2тг/о>1 « 6,28 с.
Примечания:
1. Расстояние по оси частот между гармониками спектра будет Дсо = a>i,
т. е. равно частоте первой гармоники.
2. Спектр периодического сигнала называют дискретным, поскольку он
существует лишь для дискретных значений частоты: 0, ±o>i, ±2u>i,
±3o>i.....
3. Часто спектр называют линейчатым, так как его принято изображать
отрезками прямых линий.
Перейдем к трактовке дискретных спектров. Преобразуем,
использовав формулу Эйлера, запись РФ в комплексной фор-
ме (7.13) для вещественной функции /(£):
1 00 1 00
= i £ А^‘ = |£л1.^',+Ф‘,=
Z к=-оо -°°
= - Ak + Фл) + JO, (7-14)
2 -оо
где равенство нулю мнимой части объясняется тем, что по усло-
вию /(£) — вещественная функция и, кроме того, sin(fc...) +
+ sin(-A:...) =0.
166
Основы теории электрических цепей
Таким образом, согласно (7.14), дискретный спектр харак-
теризует представление периодического сигнала суммой гармо-
ник; при этом амплитудный дискретный спектр {ЛА-} определяет
амплитуды гармоник, а фазовый спектр {Фа-} — их начальные
фазы.
Примечания:
1. В (7.6) была приведена иная, чем (7.14), косинусная форма описанная
РФ: ап 00
/(«) = V + 53 Ak + фкУ,
2 к=1
однако выражения (7.6) и (7.14) тождественны, поскольку Л« = <ю =
= 2/сР, и, кроме того,
cos(fcu>it + Фа) = cos((—k)u>it + Ф-а) =
= 0,5[cos (kwit + Фа) + cos((—k)uit + Ф-а)]-
2. Графики спектра синусоиды i(t) = 1т соз(о>о£ + а») как частного слу-
чая периодического сигнала содержат одну составляющую амплитудно-
го спектра Ai = 1т и одну — фазового спектра Ф1 = на частоте
wi = шо (для о; > 0).
7.1.5. Использование
преобразования Лапласа
для отыскания коэффициентов РФ
• На основании (7.2), (7.3), (7.5) комплексная амплитуда гармо-
ники будет
Ak = Аке?Фк = ак - jbk =
to +т
jsin/xvjt) dt =
to
где в (7.15) момент tQ выбран равным нулю. Описание периоди-
ческого сигнала внутри интервала интегрирования 0 < t < Т
кр7 r/JCJ10BH0 НЭ30ВеМ ПерВЫМ импУльс°м Л(<) (на рисун-
ке 7.5а он заштрихован). Таким образом, оказывается
АО) =
(7-16)
Глава 7
Рис. 7.5
С учетом (7.16) можно верхний предел в (7.15) расширить
до оо, если заменить /(<) на /i(t). Далее очевиден переходи
формуле прямого преобразования Лапласа:
Ak
ОО
£ [ dt =
О
оо
о
следовательно,
Л* = Аке^ = ак -jbk = ^i(s)|,=rt„,. (7.17)
ВЫВОД’, коэффициенты РФ периодического сигнала /(t)
можно найти, зная изображение по Лапласу Fits') условного
первого импульса сигнала /i(t).
В качестве примера рассмотрим изображенные на рисун-
ке 7.56 сигналы Д и fa, у которых первый импульс Д оди-
наков, а периоды различны: Тц = 27}. На основании (7.17)
имеем:
2 >2
Aki — ’ Аки
т. е. амплитудный спектр второго сигнала fa, у которого им-
шульсы следуют вдвое реже, уменьшился в 2 раза, расстоя-
ние между гармониками дискретного спектра =
= 0,5wi/ = 0,5До7 тоже в 2 раза уменьшилось, следовательно,
спектр стал гуще (частота заполнения спектра в 2 раза воз-
росла). В пределе при Т —* оо амплитудный спектр fa(t)
станет бесконечно «малым; Ди»// —♦ оо, т. е. спектр из дис-
кретного превращается в сплошной, что соответствует переходу
от периодического сигнала к одиночному импульсу и от РФ к
интегралу Фурье.
Основы теории электрических цепей
168
6 7.2. МОЩНОСТЬ И ДЕЙСТВУЮЩИЕ
ЗНАЧЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ .
В УСТАНОВИВШЕМСЯ ПЕРИОДИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
7.2.1. Мощность в У ПР
Пусть пассивный двухполюсник (ДП), изображенный на рисун-
ке 7.6а, находится в УПР, а его напряжение и ток разложены в
РФ:
u(t) = Up ~Ь у Umk cos(fccvit 4~ (7.18)
fc=l
i(t) = I0 + ^Imkcos(ka)it + aik), (7.19)
k=l
причем в обозначениях (7.6) имеем в (7.19) Ip = а-р/%, Imk =
Рис. 7.6
Мгновенная мощность в ДП записывается как p(t) = .
Средняя мощность за период (она же активная мощность,
или просто — мощность) есть
т т
р = Ра = Рср = 11p(t) dt = i f u(t)i(t) dt. (7.20)
0 0
При подстановке (7.18), (7.19) в (7.20) учтем следующее:
1-,Для (7.20) выполняется, что все интегралы ви-
да fQ cos(kw1t 4- Qk)dt = 0, поскольку площадь синусои-
ды за время, кратное ее периоду, равна нулю (см. например, на
рисунке 7.66 график второй гармоники с частотой о>2 = 2cui )•
2. На основании формулы
cos0cqs6 = O^[cos(/3-6) + cos(0 + 6)] (7.21)
в (7.20) все интегралы от произведения гармоник (7.18), (7.19) с
различными индексами к ф п тоже равны нулю:
Глава 7
169
cos (тш^ 4- an) dt = 0,
о
причем геометрическая трактовка этого тоже соответствует ри-
сунку 7.66.
3. В (7.20) необходимо учитывать только произведения гар-
моник (7.18), (7.19) с одинаковыми номерами.
В результате, с учетом (7.21) получим
Umk^mk COS (Qfufc — Q^tfc)
2
Umk^mk COS (2fccVit -f- Qfufc + Qfjfc)
2
Интеграл от последнего слагаемого в этом выражении равен
нулю (см. рис. 7.66), поэтому, используя переход от амплитудных
значений гармоник к действующим: Umk/y/2 = Uk, Imk/'/‘2 =
= Ik, можем, в итоге, записать:
оо оо
P = U0I0 + '£ukrka>s4>k = '£Pk. (7'22)
fc=l fc=o
ВЫВОД-, мощность в УПР равна сумме мощностей от каж-
дой гармоники в отдельности (комбинированные мощности
от гармоник с различными номерами отсутствуют).
7.2.2. Действующее значение в УПР
Как известно, действующее значение переменной это средне-
квадратичное значение, имеющее энергетическую трактовку, т. е.
о
и =
(7.23)
Рассматривая в (7.23) w2(i) = и используя из 7.2.1
формулы (7.20), (7.22) с заменой ?(t) на u(t), можем записать:
и =
(7.24)
Основы теории электрических цепей
170
и аналогично, действующее значение периодического тока (7.19)
ВЫВОД'. ИЗ рассмотрения (7.24), (7.25). Действующее зна-
чение переменной в УПР равно корню квадратному из сум-
мы квадратов действующих значений отдельных гармоник
разложения этой переменной в РФ.
Примечания:
1. Формулы (7.22), (7.24), (7.25) являются вариантами известного в мате-
матике равенства Парсеваля.
2. У постоянного тока (см. рис. 7.6в) мгновенное, среднее, амплитудное,
максимальное и действующее значения одинаковы, поскольку
т
*Ч0=5 = £ f 5dt =
о
§ 7.3. АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕЖИМОВ В ЦЕПИ
7.3.1. Приближенный расчет УПР
с использованием РФ
Основная идея расчета: РФ воздействия можно трактовать как
сумму элементарных воздействий и по методу наложения, ис-
пользуя метод комплексных амплитуд, найти реакцию от каждой
гармоники воздействия в отдельности.
Рассмотрим детально последовательность анализа.
1. Периодическое воздействие fm(t) раскладываем в РФ.
Он быстро сходится (т. е. амплитуды гармоник быстро убыва-
ют с ростом №fc), поэтому на практике обычно ограничивают-
ся несколькими п-первыми гармониками и записывают таким
образом «укороченный» ряд Фурье (отрезок ряда Фурье):
/вх(0 = Fobx + 52 FmkwiCOs(J&Jit + QfcBx)- (7.26)
fc=l
Метод Расчета c использованием «укороченного»
Ф (n оо) является приближенным.
Глава 7
171
2. Находим передаточную функцию цепи Н(з) =
== Fbux(5)/-^bx(*') и заменой s = jv — частотные характеристи-
ки цепи H(jw), а затем амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики (АЧХ и ФЧХ): У
(7.27)
с другой стороны, выполняется
= Апвых/Апвх = Ртъых(^а™ / Fmmeiaa (7.28)
при изменении частоты а> = var в установившемся синусои-
дальном режиме.
3. Используя (7.27), (7.28), определяем амплитуды и на-
чальные фазы отдельных гармоник РФ реакции:
Ртквых ~ 7Гт^вхА(а»)1 , ,
а1вых = ОДи + ФМХ <7-29>
затем по аналогии с (7.26) записываем «укороченный» РФ ре-
акции:
п
/вых(^) — Т'Ьвых + * T^njfceuxCOS^Wii + й^-вых)1 (7.30)
fc=l
Примечания:
1. Спектральный состав реакции (7.30) полностью соответствует спек-
тральному составу воздействия (7.26), т. е. гармоник иных частот, кроме
wjt = kw\, нет.
2. Различные гармоники проходят через цепь, согласно (7.27)-(7.29), с
различными коэффициентами передачи, зависящими от значения ча-
стоты kcai; так, при резонансе некоторые гармоники могут исчезнуть,
а амплитуды и начальные фазы других могут измениться, т. е. форма
периодической реакции может совершенно ие соответствовать форме
воздействия (но период Т будет одинаков).
Необходимо отметить также очевидные свойства некоторых
сигналов в УПР:
1. Если постоянная составляющая1 (Ао/2 = ао/2 = /ср) на
входе отсутствует, то она отсутствует и на выходе.
2. Если воздействие симметрично относительно оси време-
ни t при сдвиге на половину периода, то и реакция удовлетворяет
свойству (7.9).
3. Если воздействие непрерывно, то и реакция непрерывна.
172
Основы теории электрических цепей
7.3.2. Точный расчет реакции в УПР
(РФ в «замкнутой форме»)
В некоторых цепях убыль гармоник воздействия с ростом
полностью компенсируется ростом АЧХ цепи (в так называе-
мых «дифференцирующих цепях»). В этом случае на основа-
нии (7.29) на выходе приходится учитывать десятки (и даже сот-
ни) гармоник и метод, базирующийся на использовании РФ, ста-
новится неэффективным.
Основная идея рассматриваемого точного расчета УПР:
свободная составляющая решения определяется корнями ха-
рактеристического полинома (ХП) цепи, а вынужденная состав-
ляющая имеет математическую форму воздействия.
Последовательность расчета:
1. Предполагаем, что входной периодический сигнал /BX(t)
приложен к цепи, начиная с t = 0 (см. рис. 7.7). Используя
условно первый импульс воздействия аналогично (7.16)
и рисунку 7.5а, находим изображение по Лапласу воздействия в
целом:
/вх(0 = /вх1(0 + fexl(t — Т) + Axi(i — 2Т) + •••<-
* FM(S)[1 + е-т + е™ + ...] =
Рис. 7.7
2. Определяем передаточную функцию цепи и ее полюсы
(корни знаменателя), т. е. корни ХП цепи n-го порядка:
^вых(з) _ v _ B(s) _ _____________B(s)________' _
Fbx(s) D(s) dnSn + • • • + dis 4- do
= ~ n B<3} . (7.32)
" П (» "
fc=l
3. Используя (7.31), (7.32), находим изображение реакции:
F.ux(s) = H(s)F0X(s) = (7.33)
dn П (» - «)(1" e >
k=l
Глава 7
173
Выделяем в (7.33) изображения свободной и вынужденной
составляющих решения уравненийцепи:
7*вых(®) = -^BMXCb(s) 4* -2*ВЫХ вын(в) = ---|- —?ЫХ1
fes-Sfc Tl-e-sT’
(7.34)
где свободная составляющая определяется указанными в (7.32)
корнями ХП цепи з/., а вынужденная составляющая имеет ма-
тематическую форму воздействия (7.31), т. е. должна быть пери-
одической функцией Увыхвын(^) с периодом Т и искомым опи-
санием первого импульса /Вых1(0 = /выхвын(0 в интервале
первого периода при 0 < t < Т.
Коэффициенты Ак находят на основании теоремы разложе-
ния преобразования Лапласа, как обычно:
= (s-sfc)FBbIX(s)|3=Sfc,
причем Fbwx(s) на основании (7.33) известно.
4. Используя (7.33), (7.34), определяем изображение иско-
мого описания периодической реакции в интервале 0 < t < Т:
^BUXlfs) = (7*вых(5) ~ 7*выхсв($)](1 — е ) =
_ 1 Гв»1(«)В(») (7 35)
**" П(»-»*) ^s~Sk
k=l
а затем переходим к оригиналу первого импульса /вых1(0; СТР°~
им его график в пределах первого периода 0 < t < Т и, пери-
одически продолжая график, получаем искомую периодическую
реакцию/вых вын(0 •
Примечания:
1. На практике переход к оригиналу от (7.35) может быть упрощен, так
как в интервале 0 < t < Т составляющие (7.35) с сомножителем е
можно не учитывать. .
2. Полученный аналитический результат называют РФ в «замкнутой»
форме, поскольку он определяет точно всю сумму членов перно
' дическойреакции.
Глава 8
СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД
АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
§ 8.1. АПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ
8.1.1. Переход от рядов к интегралу Фурье
и от дискретных спектров к сплошным
Примеры апериодических (т. е. непериодических) сигналов при-
ведены на рисунке 8.1.
Основная идея приведенных ниже преобразований в том, что
апериодический сигнал можно условно считать периодическим с
периодом Т —> оо.
Периодический сигнал f(t) опишем рядом Фурье в ком-
плексной форме:
1 1 00
к=-ео к=-ео
°о Т/2
= / /(*)(cos^i£ — jsinkwitydt,
-T/2
причем-пределы интегрирования выбраны так, чтобы при Т ->
оо перейти к интегрированию во всем временном диапазоне.
Очевидно, имеем
1 00 к=—оо Т/2 xt f dt. (8.1) -Т/2
Глава 8
175
Устремляя период Т ->оо, переходим к апериодическому
сигналу. При этом частотный интервал между гармониками ряда
Фурье периодического сигнала становится бесконечно малым,
так как = 2тг/Т du, следовательно, дискретный
спектр превращается в сплошной, и в (8.1) можно произвести
следующие замены:
1/Т —> dw/(27r), kuji —> w,
В результате переходим к интегралу Фурье для апериодического '
сигнала: ©° оо
Ж = 7^ J / f(t)e~jutdt,
—со —оо
причем второй интеграл описывает прямое преобразование
Фурье:
оо
= (8.2)
—ОО
а первый — обратное преобразование:
ОО
Л0 = Л [ (8.3)
—оо
Условно обозначают: /(£) 4- F(jcv), где /(t) — оригинал, .
или сигнал (точнее, функция времени, описывающая сигнал);
F(jw) — спектр, или изображение по Фурье.
Примечание. Для сходимости несобственного интеграла (8.2) подынте-
гральная функция должна быть абсолютно интегрируемой
оо со
f f \f(t)\dt = Sin,
_ —oo —oo
t. e. площадь S\f । модуля оригинала должна быть конечной.
ВЫВОД-, спектр F(jw) имеют только абсолютно интегрируе
мые функции /(£).
176
Основы теории электрических цепей
Следствие: поскольку дельта-функция <5(t) имеет конечную
площадь (равную 1), то можно найти спектр: 8{t) 4- =
= /Г 8{t)e~jut dt, откуда по свойству «выборки»: =
= = 1 т> е> спектР Дельта-
функции равен единице на любой частоте ш.
8.1.2. Одностороннее преобразование Фурье
как частный случай преобразования Лапласа
Если сигнал /(t) = 0 при t < 0, то от формул (8.2), (8.3)
двухстороннего преобразования Фурье можно перейти к одно-
стороннему преобразованию:
ОО
F(ju) = f dt, (8.4)
О
оо
т = (8.5)
<&7Г J
— ОО
Для преобразования Лапласа имеем
ОО
F(s) = У f(t)e~9tdt, (8.6)
°
C+joo
= f F(jco)e9tds. (8.7)
27FJ J
C-joo
I • ,, • »
‘ВЫВОД: из сравнения (8.4), (8.5) с (8.6), (8.7) следует,
что одностороннее преобразование Фурье является частным
случаем преобразования Лапласа, если аргумент (оператор)
преобразования Лапласа изменяется вдоль мнимой оси, т.- е.
’ 5 = (следовательно, (7 = 0):
FV") = (8.8)
Следствие, все формулы, таблицы, теоремы, методы расчета,
схемы» замещения операторного метода распространяются на
преобразование Фурье при замене з = jaj. : •
Глава 8
177
Возникает вопрос: если преобразование Фурье справедливо
для более узкого класса функций, чем преобразование Лапласа,
то в чем его преимущества? Отметим следующие достоинства
преобразования Фурье:
1. От изображения по Лапласу перейти к оригиналу можно
не всегда, а от изображения по Фурье — всегда (хотя и прибли-
женно); например в случае полюсов дробной или комплексной
кратности д
Fl^ = (s +2)3/4’
F^ = (s + 2)3+M(s + 2)3-j4’
аналитически найти оригинал невозможно.
2. По сигналу можно многое сказать о спектре (и наоборот).
3. Сравнивая спектр сигнал с полосой пропускания цепи,
можно предсказать изменение формы сигнала на выходе.
4. В цепях высокого порядка спектральный метод расчета пе-
реходных процессов во многих случаях не уступает операторному.
8.1.3. Спектральные характеристики
апериодического сигнала
Спектр — это комплексная функция частоты:'
оо оо
= У f(t)e~Jutdt= У /(i)(coswi-jsinw0ctt,
—оо —оо
следовательно, его можно представить в показательной или ал-
гебраической формах:
F(jw) = B(w) 4-;M(w) = .
Вещественный спектр сигнала
оо ОО
B(w) = у /(i)coswidi = у/(t)cos(-w)i^ = S(-^) (8.9)
— ОО — ОО •
является четной функцией частоты ш. Очевидно, нечетные сиг-
налы вещественного спектра не имеют.
7.1 Й1 л
178
Основы теории электрических цепей
Мнимый спектр
оо
M(w) = - j /(t)sinwZdt =-M(-w) (8.10)
— ОО
является нечетной функцией uj.
Примечания:
1. Формулы (8.9), (8.10) называют тригонометрическими формами прямо-
го преобразования Фурье.
2. Четные сигналы /(0 = /(-0 не имеют мнимого спектра, т. е. наблю-
дается полная аналогия со свойствами рядов Фурье четных (bk = 0)и
нечетных (ак = 0) периодических сигналов.
3. Дельта-функция была введена нами как четная функция, следователь-
но, она мнимого спектра не имеет; действительно, выполняется 6(0 -ь.
= 1 •
Амплитудный спектр
A(w) = \F(juj)\ = + M2(<v) = Ж-w)
является четной функцией, а фазовый спектр
Ф(о>) = arctg[A/(w)/B(w)] = -<I>(-w)
— нечетной функцией частоты uj.
Дадим трактовку спектральным характеристикам, используя
формулу обратного преобразования Фурье для вещественной
функции /(£):
ОО ОО
/(0 = ^ У F(ju)e?“‘du = у Л(оОе3'М+*<"))</а,=
~оо — ОО
оо
А(о>) cos[wt + Ф(си)] duj +
—ОО
оо
+ .?2^ У Д(^) sinful 4- Ф(си)] duj; (8.11)
—ОО
однако второе слагаемое (мнимая часть) в (8.11) равно нулю, так
как во-первых, /(0 — вещественная функция ио условию, а во-
вторых, интеграл от нечетной функции в симметричных пределах
равен нулю.
Глава 8
179
ВЫВОДЫ (из анализа первого слагаемого в (8.11)):
1. Спектр сигнала F(ju>) — это представление сигнала /(t)
совокупностью элементарных гармоник (синусоид), при-
чем амплитудный спектр определяет амплитуды этих гар-
моник, а фазовый спектр — их начальные фазы.
2. Строго, в (8.11) амплитуды гармоник равны Л(о>)сйи/(2тг),
т. е. являются бесконечно малыми, а следовательно, ам-
плитудный спектр Л(со) характеризует относительное
распределение бесконечно малых амплитуд гармоник в
функции от частоты; поэтому правильнее называть и
F(jcu) и А(щ) спектральными плотностями.
Примечание. Из (8.Н) следует, что размерность спектра (F(joj)j =
— = [/) • (4) = [S/] равна размерности площади сигнала.
Найдем начальное значение спектра:
оо оо
F(jO)=. I = (8.12)
—оо —оо
ВЫВОД: Значение спектра на нулевой частоте равно площа-
ди сигнала.
8.1.4. Связь спектральных и частотных
характеристик
Как известно, частотные характеристики цепи связаны
с передаточной функцией H(s), которая является изображе-
нием по Лапласу импульсной характеристики h(t), следующей
формулой: оо
НЫ = =•/ (8.13)
О
Поскольку h[t) = 0, при t < 0 нижний предел в (8.13) можно
расширить до —оо и перейти к двухстороннему преобразованию
Фурье: ©о
нуо,)= у еде->"‘лн-ад. (8.(4)
— ОО
ВЫВОД: из (8.14) следует, что частотные характеристики
являются спектром импульсной характеристики цепи.
7
180
Основы теории электрических цепей
Следствие: все свойства четности спектральных характеристик
справедливы и для частотных характеристик цепи, т. е. -А(си) ==
= 4(-cv), Ф(о/) = -Ф(-^),...
• ’ Отметим различия между спектральными и частотными ха-
рактеристиками:
1. Спектр сигнала — это представление сигнала бесконеч-
ной суммой гармоник (синусоид).
2. Частотные характеристики определяют, как синусои-
дальные сигналы различных частот «проходят» через цепь в
установившемся синусоидальном режиме.
8.1.5. Связь спектра одиночного импульса
со спектром периодического сигнала
той же формы
Считаем, что периодический сигнал в пределах условно
«первого» периода (0 t Т) описывается одиночным им-
пульсом J\(t), как показано, например на рисунке 8.2.
Рис. 8.2
Как известно, дискретный спектр Ak = Аке^к = ak-jbk
периодического сигнала fn(t) связан с изображением по Лапла-
су Fi(s) «первого» импульса /i(t) формулой
2
= . (8.15)
Производя в (8.15) замену s = jw, переходим к спектру
, (8.16)
где/i(i);4- F1(s) = F1(yw).
ВЫВОД-, сплошной спектр Fi(» = одиноч-
ного импульса Л(() с точностью до коэффициента 2/Т яв-
ляется огибающей дискретного спектра Ак сигнала /„(£),
составленного из периодической последовательности ука-
занных одиночных импульсов.
Глава 8
181
Следствие: из (8.16) получим:
$k = $i(w)
W—kwi
(8.17)
т. e. зная графики амплитудного Ai(ui) и фазового 4>i(u) спек-
тров одиночного импульса, можно по их значениям на частотах
и = fcwi определить.на основании (8.17) значения амплитудно-
го и фазового дискретных спектров (Ак и Фк) периодического
сигнал а/п (О-
§ 8.2. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ
’ АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИГНАЛОВ
8.2.1. Спектр импульса прямоугольной формы
График «прямоугольного» им-
пульса u(t) и его эквивалентное
описание суммой смещенных сту-
пенчатых функций (I и II) приведе-
ны на рисунке 8.3. Находим изоб-
ражение по Лапласу сигнала
u(t) =
= 2^.(1
5
а затем заменой s = jw спектр
= ^-(1 -е"^м) =
J О’
= ?^2e-0-5>^sin(0,5^t„),
cu
Далее определяем амплитудный спектр
•A(w) = |C7(jw)| = -^|з1п(0,5а>£н)1 (8.18)
182
Основы теории электрических цепей
и фазовый спектр (учитывая, что фаза произведения комплекс-
ных функций равна сумме фаз сомножителей)
Ф(о>) = Arg£/(;w) = Фаза U(jw) =
= -0,5wiH + Arg [(sin (0,5w£(1)], (8.19)
причем
1. (8.18), (8.19) записаны только для ш > 0.
2. Аргумент (т. е. фаза) второго слагаемого в (8.19) равна
я- 4-180°, если комплексная функция sin (0,5cuiH) < 0.
Начальное значение амплитудного спектра (с учетом замены
sin/? -> /? при малых /?) А(0) = 2Um(Q,5tH) = Umttt = Sn, т. е.
равно площади прямоугольного импульса, как указано в (8.12).
Найдем узлы (нули) амплитудного спектра — значения wy*.,
в которых А(а>) = 0 и происходит смена знака сомножителя
спектра sin(0,5wiH), т. е. Ф(и») скачком изменяется на 180° в
соответствии с (8.19):
sin (0,5wyfciH) = 0,
откуда 0,5wyfciH = /стг, следовательно, Щу& = /с2тг/£и при к =
= 1, 2, 3..., как показано на графиках амплитудного и фазо-
вого спектров, изображенных на рисунке 8.46. Так, на частоте
первого узла wyi = 2тг/£н линейная составляющая (первое сла-
гаемое) в (8.19) принимает значение —тг 4- -180’, но здесь же
sin(0,5u>tH) изменяет знак, т. е. Ф(о?) изменяется скачком от
—180 до 0’ и т. д. при к = 2,3,...
Посередине между узлами, т. е. при значениях частоты тг/£и,
Зл-Дц, 57гДн, ... , имеем |sin(0,5w£H)| = 1 и амплитуд-
ный-спектр 2Um/w равен, соответственно, 2(7гп£и/тг « 0,64Sn;
0,21 Sri; 0,13Sn; OjOOS'n • • • , как показано на рисунке 8.4.
Рис. 8.4
Глава 8
183
ВЫВОДЫ (из анализа спектров (рис. 8 4)-
1. Л(0) = 5п.
2. Если длительность импульса уменьшить в 2 раза,
спектр в 2 раза расширится (по оси ш).
3. Огибающая спектра 2Um/u убывает пропорционально
частоте ш.
4. Ширина спектра по грубому критерию «первого лепест-
ка» (узла) составляет Дсип = 2тг/^и для w > 0, а по ам-
плитудному «десятипроцентному» критерию (0,15п) по-
чти в 3 раза больше, т. е. Acjn ~ 6тг/£н.
Примечание. Графики спектров на рисунке 8.46 приведены лишь для по-
ложительных значений частоты ш > 0, при продолжении графиков в об-
ласть ш < 0 следует учитывать свойства четности: А(о>) = А(—о>),
Ф(о>) = — Ф(-и>).
8.2.2. Спектр импульса треугольной формы
График рассматриваемого симметричного «треугольного» им-
пульса tz(i) приведен на рисунке 8.5а, причем Um —амплитуда.
Рис. 8.5
Используя отраженный на рисунке 8.5а метод двои кого диф
ференцирования и формулу 5(i — to) Iе 3*° • находим изо ра
жение по Лапласу треугольного импульса.
IZ(s) = TT-f1 - +
$41
Основы теории электрических цепей
184
а затем спектр сигнала (заменой s Jw).
, \ _ 2^m - 2 4- e~jutu/2) =
UO ) -cu2t„
~UJ2tn
ИЛИ
2ГЛ, . cu£l( \2 8Um
Далее определяем амплитудный спектр:
ЛН = [(/(»| = ^81П2 —
и фазовый спектр (для си > 0):
Ф(си) = Argl7(jcu) = -си^,
£
sin2
(8.20)
(8.21)
(8.22)
причем (8.22) в отличие от (8.19) содержит только линейно изме-
няющуюся составляющую, поскольку в (8.20) sin2 (сЛн/4) > 0 и,
следовательно, фаза Arg(sin2(cuiH/4)) = 0.
Из (8.21) находим, что начальное значение амплитудного'
спектра (с учетом sin2 (3 (З2 при (3 -* 0) будет
/ \ 2
т. е. равно площади сигнала.
Определяем узлы (нули) амплитудного спектра из усло-
вия = ^тг, откуда cuyfc = k4ir/tH при k = 1,2,3,...
Посередине между узлами при значениях си, равных 2тг/£и,
6тг/!и,..., имеем sin2= 1, т. е. значения огибающей ам-
плитудного спектра соответственно приближен-
но равны 0,405д; 0,045д; ..., как показано на рисунке 8.55.
Фазовый спектр (8.22) можно изображать (см. рис. 8.55) ли-
бо непрерывной линейной функцией I, либо, например, разрыв-
ной 11 с величиной скачка в 360е 4- 2тг.
ВЫВОДЫ-.
1. А(0) = 5Д;
2. Приуменьшении iH спектр становится шире.
Глава 8
185
3. Огибающая амплитудного спектра Wm/(tK<S) убывает
пропорционально о?, т. е. быстрее, чем у прямоугольного
импульса.
4. Ширина спектра по критерию «первого лепестка* и по
10%-му амплитудному критерию приблизительно одина-
кова и составляет Дсид « far/ty.
§ 8.3. ШИРИНА СПЕКТРА
И ЕЕ СВЯЗЬ С ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ
И КРУТИЗНОЙ СИГНАЛА
8.3.1, Формула Релея
и критерии ширины спектра
Найдем энергию сигнала
ОО
W,= j
—оо
• 8.23)
действительно, если считать, что f(t) = i(t) — ток, протекаю-
щий по сопротивлению R = 1 Ом, то под интегралом Ri2 — по-
требляемая в R-элементе мощность.
Преобразуем (8.23), используя обратное преобразование
Фурье
оо оо оо
Wf= J У У (L>.
—оо —оо —оо
далее изменяем последовательность интегрирования, учитывая,
что t во втором интеграле можно считать параметром:
ОО °°
Wf = -^l du) У dt =
—oo
оо
= J- [ F(ju>)F(-ju>)<L>,
27Г J
—co
причем здесь F(—jcu) — прямое преобразование $УРье
менту (—jw). Произведение сопряженных функций F(ju> №
186
Основы теории электрических цепей
равно квадрату модуля функции; т. е. в данном случае - квадра-
ту амплитудного спектра. В результате получим формулу Релея
Wf= I = J (8.24)
-ос -oo
ВЫВОД-, квадрат амплитудного спектра А2(сд) характеризует
относительное распределение энергии сигнала в спектре.
На (8.24) базируется энергетический критерий ширины спек-
тра сигнала: шириной спектра Аси называется диапазон частот
около максимума А2 (си), причем в этом диапазоне сосредоточе-
но п% энергии сигнала (обычно, п = 90 или 95%).
В качестве примера на рисунке 8.6 изображены график «пря-
моугольного» импульса и график квадрата его амплитудного
спектра (качественно).
Рис. 8.6
Для определения граничных частот curp ширины спектра при-
ходится решать интегральное уравнение
Wrp
У A2(cu)dcu = 0,01nV7z.
-Wrp
Энергетический критерий является строгим, но трудоемким,
поэтому на практике применяют нестрогий, но простой ампли-
тудный критерий ширины спектра сигнала, фактически исполь-
зованный в § 8.2: шириной спектра Аси называют диапазон ча-
стот в районе максимума амплитудного спектра А(си),- причем
вне этого диапазона А(си) < пАтлх (обычно, п = 0,05 или 0,1).
На практике также широко используют самый простой, но
очень грубый критерий ширины спектра по значению первого
лепестка (первого узла) амплитудного спектра сигнала. Однако
в ряде случаев (см. § 8.2) этот критерий противоречит данным
Глава 8
187
других критериев, кроме того, амплитудные спектры некото-
рых сигналов не имеют узлов (т. е. нулей), например =
= e'10t5i(t)-r-F(s) = 1/(з + Ю),азначит, F(jw) = 10)
т. е. амплитудный спектр A(w) = 1/^2 + 102 _ 0 лишь
U) —> оо.
Примечания:
1. Если в практических расчетах учитывать только диапазон частот, отно-
сящийся к ширине спектров сигналов, ошибки расчетов обычно будут
небольшими.
2. Поскольку спектр одиночного импульса является огибающей дискрет-
ного спектра периодического сигнала аналогичной формы, все крите-
рии ширины спектра могут быть использованы и для периодических
сигналов.
3. Спектр дельта-функции Д(уо>) = 1, следовательно, квадрат ампли-
тудного спектра A2(w) = 1 на любой частоте, т. е. ширина глектра
дельта-функции бесконечна, энергия дельта-функции
ОО
W$ = — f А2(л>) du) —* ос
2тг J
—оо
и дельта-функцию физически реализоватьневозможно.
8.3.2. Связь ширины спектра
с длительностью сигнала
Рассмотрим (рис. 8.7) некоторый одиночный импульс fi\t) дли-
тельностью tH, спектр которого Fi(jw) имеет ширину Дл» ^для
простоты считаем f\(t) — четной функцией).
Рис. 8.7
Пусть имеется второй сигнал /з(^) подобной формы, но ином
длительности: /2(t) = /х(at), причем для определенности на
рисунке 8.7 принято а = 2, следовательно, импульс /2 Р
короче, чем /1 (действительно, /2 в момент t равен значению i
при 2t).
188
Основы теории электрических цепей
По теореме подобия находим спектр F2(jw) = ^F^jaj/a),
т е на рисунке 8.7 у второго сигнала значения амплитудного
спектра уменьшились в 2 раза, но спектр стал в 2 раза ши-
ре (действительно, значение F% на частоте ш пропорционально
значению F\ на частоте cv/2).
выводы-.
1. Чем короче сигнал, тем шире его спектр.
2. Для сигналов подобной формы произведение длительно-
сти сигнала на ширину его спектра есть величина посто-
янная:
= const. (8.25)
Примечания:
1. Дельта-функция — самым короткий сигнал (с нулевой длительно-
стью)— имеет спектр бесконечной ширины.
2. Чем шире полоса пропускания цепи, тем быстрее в ней вдут переход-
ные процессы (действительно, частотная характеристика Н(jw) —это
спектр импульсной характеристики /i(t), которая, в свою очередь,
определяет продолжительность свободных процессов в цепи, а полоса
пропускания — это в некотором смысле аналог ширины спектра).
3. Значения const в (8.25) для сигналов различной формы и различных
критериев ширины спектра приведены в справочниках; так, const для
«прямоугольного и треугольного» импульсов будут, соответственно,
2,96л- и 1,84тг при 90%-эпергетическом критерии.
8.3.3. Понятие о связи ширины спектра
с крутизной сигнала
Допустим, имеем два сигнала треугольной формы, одинаковой
длительности и высоты, но один из «тругольников» равнобед-
ренный, а второй — нет. Оказывается у неравнобедренного тре-
угольного импульса ширина спектра больше, так как один из
«фронтов» сигнала круче, чем «фронты» у равнобедренного тре-
угольника.
Рассмотрим (рис. 8.8) три сигнала одинаковой длительности,
но различной крутизны (различной степени гладкости), и найдем
их изображения по Лапласу, а затем — спектры: /1(4) -i- F(s),
F(jw).
Для наиболее крутого из рассматриваемых сигналов (кусочно-
постоянного) имеем
- Fi(s) - 1[..F^jut) = 2-[..
- О/.» *
Глава 8
189
Рис. 8.8
где в квадратных скобках выделена неанализируемая здесь
часть изображения и спектра сигнала.
Для сигнала кусочно-линейной формы получим
Л(0 4- ВД = 1[..ВДа) = -L[..
Для наиболее гладкого сигнала кусочно-параболической
формы имеем
= Рз(» = ^[...1.
Примечания:
1. /\мплитудный спектр самого гладкого сигнала /з(4) имеет сомножи-
тель, убывающий пропорционально о>3 (т. е. быстрее, чем у остальных
сигналов), а самого негладкого (самого крутого)— /i (t) —пропорцио-
нально ш (т. е. наиболее медленно).
2. Даже у самого крутого сигнала /i(t) амплитудный спектр убывает до-
статочно быстро, что в явной форме свидетельствует о высокой сходи-
мости спектра (преобразования Фурье).
3. Поскольку спектр одиночного импульса является огибающей дискрет-
ного спектра периодического сигнала, то ряд Фурье тоже быстро схо-
дится.
4. Степень гладкости сигнала оценивается по степени разрывности его
производной; очевидно, /з(С — самый гладкий сигнал из рассматри-
ваемых, так как у него разрывной будет /3 (t), а /1 (£) — самый крутой
сигнал, поскольку у него разрывной является нулевая производная, т, е.
сам сигнал.
ВЫВОДЫ:
1. Чем круче сигнал, тем шире его спектр.
2. Самым крутым из рассматриваемых в теории цепей сиг-
налов является дельта-функция <5(t)4-A(yw) = 1; шири-
на ее спектра бесконечна.
Пгнапы теории электрических иепел
8 8 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
’ ОТЫСКАНИЯ СИГНАЛА ПО СПЕКТРА
8.4.1. Приближенный расчет сигнала
по его амплитудному
и фазовому спектрам
Из формул (8.17)
Ak = ? -V ^l(W)|w=kW1=A-27r/T’
Фк = ^l(w)|w=fcwi=fc27r/T’
связывающих спектр Fi(ju) = неизвестного оди-
ночного импульса /i(t) с дискретным спектром Ак ~ Аке^Фк
сигнала /п, составленного из периодической последовательно-
сти импульсов /1(0, вытекает простой метод приближенного
вычисления сигнала /1(0 по его спектру:
1. Строят графики амплитудного Л1(си) и фазового Ф1(о>)
спектров искомого одиночного импульса /1 (0.
2. Выбрав произвольно достаточно большой период Т, по
указанным формулам определяют на частотах ka>i = к'2я/Т
амплитуды и начальные фазы Ак и Фк гармоник ряда Фурье
сигнала /п(0, составленного из периодически повторяющихся
импульсов/1(0.
3. Записывают ряд Фурье, ограничиваясь обычно тремя-
семью первыми (наиболее значительными по амплитуде) гармо-
никами:
Лп 3"'7
/п(0 = Ак cos + ф^)’
А-=1
и затем вычерчивают график /п(0 в пределах условно «первого
периода», т. е. в интервале 0 <5 t < Т. Это и будет искомый
одиночный импульс /1(0.
Отметим, что если в пределах периода Т построенный гра-
фик /1(0 практически затухает, то значение Т выбрано пра-
вильно, если же не затухает, необходимо увеличить Т и повто-
рить расчет.-
Описанный метод является простым в использовании и до-
статочно точным.
Г л о в Д &
191
8.4.2. Связь сигнала
с его вещественным
и мнимым спектрами
Пусть сигнал /(£) = 0 при t < 0. По обратному преобразова-
нию Фурье для вещественной функции имеем
ОО
Л‘) = ^ /
—ОО
оо
= 2?г У + JM(w)](coswt-<- jsinwt)dw =
— ОО
30
= У coswi - М (cu) sin cut] <L? 4- JO, (8.26)
—oo
причем мнимая часть в (8.26) равна нулю, во-первых, так как
/(£) — по условию вещественная функция, а во-вторых, под ин-
тегралом при записи мнимой части находится нечетная функция,
которая интегрируется в симметричных пределах.
По условию имеем
оо
/(-£) = 0 =-!- / [B(w)cosu,t + Af(x>)sinwt]dw, (8.27)
2л* J
—оо
тогда получим, суммируя (8.26), (8.27)
/(£) = 1 у В(cu) cos (Lj, (8.28)
— OO
и, вычитая,
у(2) = — ~ I М(cu) sin jrfclw. (8.29)
— OO
Поскольку в (8.28), (8.29) интегрируются четные функции, пре-
делы интегрирования можно сократить вдвое.
о
ОО 9
f B(cu)coscuJ<b = -Tj №)sincutdiu. (8.30)
о
Основы теории электрических цепей.
192
ВЫВОД- если сигнал f(t) s 0 при t < 0, то на основа-
нии (8 30) он обязан иметь и вещественный и мнимыи спск-
тоы- они жестко связаны соотношением (8.27), т. е. один
спектр однозначно определяет другой. Жесткой является
также связь между амплитудными и фазовыми спектрами
(для сигналов, изображение которых не содержит нулей и
полюсов в правой полуплоскости). Поскольку частотные
характеристики' — это спектр импульсной характеристики,
то АЧХ-ФЧХ-ВЧХ-МЧХ также жестко связаны. Поэтому
при синтезе цепей и сигналов нельзя произвольно задавать
какие-либо два спектра независимо друг от друга.
Примечания:
1. Выражения (8.30) называют тригонометрическими формами обратного
преобразования Фурье.
2. Дельта-функция 6(t) была введена ними как четная функция /(«) =
= Д-t), поэтому ее спектр A(jw) = 1 нс содержит мнимой
составляющей. •
8.4.3. Использование преобразования Лапласа
при отыскании сигнала
по его вещественному или мнимому спектрам
Формулу (8.30) преобразуем к виду
оо оо
/(() = - [ в(ш) cos ojtdoj = — Re [ dw\
7Г J 7Г J '«-Jt
о о
где интеграл соответствует преобразованию Лапласа Jz? от ве-
щественного спектра, т. е.
/(t) = ;Re^[B(w))| (8.31)
7Г •
Аналогично, преобразовав по Лапласу мнимый спектр, мож-
но получить формулу
/(l) = ;Im^[M(w)I| '. (8.32)
7Г 1 * —J <•
I • •
На практике производят кусочно-линейную аппроксимацию
графиков В(ц>) или М(ш), методом двойного дифференци-
рования находят их изображения по Лапласу: J5f[2?(c<))] или
(w)], а затем производят операции, указанные в (831), (8.32).
Г лава 8
193
Метод является приближенным так как:
1. Используется аппроксимация графиков.
2. 11а практике не учитывают высокочастотную зону спек-
тра, следовательно, на основании теоремы
f(0+) = lim jajF(jw)
w—+оо 4 1
максимальная погрешность будет иметь место в начале процесса.
8.4.4. Невозможность реализации
идеального фильтра нижних частот (ФНЧ)
Рассмотрим идеальный ФНЧ, простейший вариант частотных
характеристик которого приведен на рисунке 8.9а, где частота
Рис. 8.9
Таким образом, обобщенную частотную характеристику ФНЧ
можно записать так:
1, |о>| < wCp,
0, |w| > о>ср.
Примечания:
1. Частотные характеристики ЛЬС-цепей описываются дробно-рацио-
' нальными функциями частоты jw, в то время как (8.33) не является
дробно-рациональной функцией, следовательно, RLC-целями нельзя
реализовать идеальный ФНЧ.
• .2, Импульсная характеристика h(t) = 0 при t < 0, следовательно, на
.. .основании 8.4.2 составляющие частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ,
ВЧХ.МЧХ) должны быть жестко связаны, н задавать АЧХ A(w) иеза-
висимо.от ФЧХ Ф(о>), как это сделано на рисунке 8.9а, нельзя.
194
Основы теории электрических цеш>п
Выясним, к чему приводит такое независимое задание АЧХ
и ФЧХ. Найдем импульсную характеристику идеального ФНЧ,
используя обратное преобразование Фурье от (8.33):
оо -
Л(4) = А у Н0а,)еМ Ли = — у W"1 dw =
-ОО -W«P
= — • (8.34)
2тг;Г я- wcpt '
Очевидно, Л(0) = wcp/7r, если раскрыть в (8.34) неопреде-
ленность. Узлы (нули) в (8.34) имеют место при sinwcptfc = О,
т. е. в моменты tk = Лтг/смср при к = ±1, ±2, ...График вы-
ражения (8.34), справедливого для любого момента времени t
приведен на рисунке 8.96.
ВЫВОД (из анализа рис. 8.96): реакция, т. е. импульсная
характеристика будет h(t) 0 при t < 0, хотя воздействие
5(t) приложено к цепи при t = 0; следовательно, наруше-
но условие физической осуществимости и идеальный ФНЧ
реализовать невозможно.
§ 8.5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ
8.5.1. Основные положения расчета
и оценки переходных процессов
в цепях спектральным методом
Рассмотрим следующие приложения метода.
1. Приближенный расчет переходных процессов спек-
тральным методом. На основании теоремы свертки находят
спектр реакции:
FbuxCM = Ш»), (8.35)
где FbxQw) спектр воздействия, — обобщенная ча-
стотная характеристика цепи.
Обычно на практике на основании (8.35) определяют ампли-
тудный и фазовый спектры реакции:
ЛвЫХ(и>) = ABX(w)A(w), $bmx(w) = $BX(w) + $(w), (8.36)
Глава 8
а затем, если необходимо, но графикам ABbIX(w) и $ лл
считывают вещественный и мнимыи спектры*
-Явых(^) = Лвых(о;) cos[$BbIX(w)],
Л^вых(<^) = Л(а2)81п[ФВЬ1х(а;)])
причем очень часто (в цепях высокого порядка) вычисления (8.36)
выполняют, используя графики амплитудного ABX(w) и фазово-
го ФвхО^) спектров воздействия /вх(£), а также графики АЧХ и
ФЧХ цепи.
• Далее одним из трех приближенных методов, описанных
в § 8.4, по спектру реакции (по Авых и Фвых, или по Ввых, или по
Мвых) находят саму реакцию /вых(0-
2. Приближенный расчет импульсной характеристики
спектральным методом. Если частотные характеристики це-
пи = А(и>)е^ф^ = —являются спектром
импульсной характеристики цепи h(t), то, зная график АЧХ
и ФЧХ, или ВЧХ, или МЧХ, можно одним из трех указанных
в § 8.4 методов приближенно определить h(t\.
3. Приближенная оценка реакции по значению АЧХ це-
пи на нулевой частоте. Спектр сигнала при ш = 0 равен пло-
щади сигнала. Поэтому на основании (8.35), (8.36) Авых(0) =
= Авх(0)Л(0), т. е. если начальное значение АЧХ Д(0) = О,
то суммарная площадь реакции равна нулю; если А(0) = к,
то площадь реакции в к раз отличается от площади воздей-
ствия.
4. Приближенная оценка реакции по значению АЧХ
цепи на бесконечной частоте.
С учетом (8.35) на основании теоремы о начальном значении
имеем:
/вых(0+) = lim = /bx(0+)#(Jw)Iw-»oo’
W—>оо
следовательно, если значение АЧХ на бесконечной частоте
А(оо) = 0, то скачок воздействия /Вх(0+) на выход не пройдет,
если А(оо) = к, то скачок реакции /Вых(0+) в к Раз о™ичается
от скачка воздействия.
5. Оценка изменения формы сигнала, прохо ящего че
рез цепь, путем сравнивания спектра воздействия с ча
статными характеристиками (ЧХ) цепи.
196
Основы теории электрических цепей
Обычно ЧХ цепи можно приближенно разбить на частотные
зоны (интегралы) неискажения, дифференцирования, интегри-
рования, двойного дифференцирования, двойного интегрирова-
ния и т.д. Если спектр входного сигнала располагается в основ-
ном в одной из этих зон, можно предсказать изменение формы
реакции на выходе цепи. Далее этот вопрос рассматривается
подробнее.
8.5.2. Характеристики идеальных неискажающих,
дифференцирующих и интегрирующих цепей
Идеальная неискажающая цепь реализует операцию
/вых(^) = *Ах(* ~ ^з), (8.37)
т. е. условие пропускания сигналов без искажения допускает
изменение уровня проходящих сигналов в к раз и их сдвиг на
t3 — время запаздывания.
Преобразуем (8.37) по Лапласу: FBbiX(s) = kFox(s)e~3ti,
откуда передаточная функция идеальной неискажающей цепи
Н(«) = 4^4 =
-^вх(^)
обобщенная частотная характеристика H(jw) = ке"^*3, АЧХ
A(w) = = к, ФЧХФ(си) = -ut3.
Графики АЧХ и ФЧХ-идеальной неискажающей цепи приве-
дены на рисунке 8.10а.
Рис. 8.10
ВЫВОД. АЧХ неискажающей цепи — постоянна (не зависит
от частоты), а ФЧХ линейна, причем наклон ФЧХ определяет
время запаздывания t3 проходящих сигналов t3 = |ДФ|/Да>
(приращение ДФ измеряют в радианах).
Главой
197
Идеальная дифференцирующая цепь реализует операцию
/вых (0 = &/вх(0-
Преобразовав по Лапласу условиедифференцировапияГпри
нулевых начальных условиях) имеем: 'при
Fbux(s) — ksFBX(s),
откуда получаем передаточную функцию идеальной дифЛе-
ренцирующей цепиi Н(з) = ks, частотнуюя характеристику
H(jw) = jfcw, АЧХ A(w) = fc|w|, ФЧХ $(w) = -да для
области ш > 0 и Ф(о>) = -90° для о < 0.
Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 8.106.
ВЫВОД, при ш > 0 АЧХ идеальной дифференцирующей
цепи линейно возрастает, а ФЧХ равна +90’.
Идеальная интегрирующая цепь реализует операцию
t
= k j /вх(0^.
О
Преобразовав по Лапласу при нулевых начальных услови-
ях операцию идеального интегрирования, находим передаточную
функцию 7/(s) = k/s, затем обобщенную частотную характери-
стику = k/(ju), АЧХ А(ш) = fc/kl и ФЧХ Ф(у) = -90’
(для w > 0). Графики АЧХ и ФЧХ идеальной интегрирующей
цепи приведены на рисунке 8.1 Ов.
ВЫВОД', при w > 0 АЧХ идеальной интегрирующей цепи .
описывается гиперболой, а ФЧХ равна -90’.
Примечания:
1. При двухкратном дифференцировании и интегрировании сигналов пе-
редаточные функции, соответственно, кз2 и к/з2.
2. При построении графиков частотных характеристик и спектров на
практике обычно ограничиваются диапазоном положительных частот
(со > 0).
3. Очень часто АЧХ цепей удается приближенно разбить на частотные ин-
тервалы (зоны, диапазоны), в которых график асимптотически прибли
жается к функциям к (т. е. const), или Ла/, или к/ы. что соответствует
зонам иеискажения (т. е. пропускания), или дифференцирования, или
интегрирования; при этом передаточные функции, приближенно они
сывающие цепь в этих зонах, будут, соответственно, равны •, или s,
или k/s.
198
Основы теории электрических цепей
8 5.3. Характеристики „
реальной дифференцирующей КС-цепи
Схема цепи, называемой на практике а) .-----1|---
дифференцирующей КС-цепью, при- ± J
ведена на рисунке 8.Па. Проведем об- (j;**’ I
щий анализ передаточных (передаю- |--------------1
тих) свойств этой цепи в t-области б)ивхщ___
при условиях: 1) цВых(0 < «вх(Ф
2)uc(0-) = 0-
Очевидно, что сигнал на выходе
цепи
^вых(^) = = Ki(t)
= RCu'c^t) ~ KCwBX(t) = ™BX(t),
поскольку на основании первого усло-
вия uc(t) « Мвх(0-
выводы-.
1. При малых уровнях выходного
сигнала цепь приближенно ре-
ализует операцию дифференци-
рования.
2. Чем меньше постоянная вре-
мени цепи г, тем ярче эффект
дифференцирования.
Проведем вначале в частотной, а затем во временной об-
ластях анализ прохождения прямоугольного импульса wBX(£)
(рис. 8.116) через исследуемую цепь. Передаточная функция
цепи будет
Рис. 8.11
H(s) = ^вых(я) _ Д _ RCs _ s
R + Zc RCs +1 s + 1/т’
откуда обобщенная частотная характеристика H(ju) = jco/(jw+
+ 1/т), АЧХ А(ш) = |K(jw)| = -f-(1/т)2 при > 0.
Приближенно разобьем АЧХ на частотные интервалы lj<1/t
и w > 1/т. При этом учитываем, что в приближенных расчетах,
для качественной (грубой) оценки результатов широко исполь-
зуется соотношение Уа2 + Ь2 = шах{а, Ь}, поскольку уже при
< а/2 имеем Уа2 + b2 «ас погрешностью меньше, чем 12%.
Глава 8
199
Низкочастотная (ИЧ) зона и <1/г
Пренебрегая w в сравнении с 1/т в приведенных формулах
получим: АЧХ А(о>) « п>, что соответствует полосе дифферен-
цирования (ПД) с передаточной функцией Н(з) « та.
Высокочастотная (ВЧ) зона w > 1/т.
Пренебрегая 1/т в сравнении с w, получим АЧХ цепи
А(о>)« 1, что соответствует зоне неискажения (полосе пропус-
кания) с передаточной функцией Н(з) « 1.
На рисунке 8.11в АЧХ, построенная приближенно по частот-
ным интервалам, показана тонкой линией, а уточненная —жир-
ной линией.
Примечание, полоса пропускания (ПП) цепи, рассчитанная по «критерию
0,707/шах »> в точности соответствует зоне неискажения, а частота среза
wep = 1/т — частоте «стыка» частотных интервалов.
Сравним АЧХ цепи с амплитудным спектром прямоугольного
импульса для и > 0, как показано на рисунке 8.1 \в. Рассмотрим
два вида импульсов: «короткий» (£и <£т) и «длинный» (»3т);
данные о спектре прямоугольного импульса были получены в
п. 8.2.1 (см. рис. 8.4).
ВЫВОДЫ (на основании анализа рисунка 8.11в):
1. Спектр «длинного» импульса (6тг/£и < 1/т, т. е.
£н > 6<тт та 18т) располагается в полосе дифферен-
цирования, поэтому на выходе цепи будет ярко выражен
«эффект дифференцирования» входного прямоугольного
импульса.
2. Спектр «короткого» импульса (<и т) в основном рас-
полагается в полосе пропускания, следовательно, изме-
нение формы реакции в сравнении с воздействием будет
незначительным.
Примечании:
1. Поскольку значение АЧХ на нулевой частоте Л(0) = 0, суммарная
площадь реакции должна быть нулевой.
2. Поскольку А(оо) = 1, скачки (разрывы) воздействия полностью прой-
дут на выход.
3. Кроме того, при А(0) = ’ 0 реакция не может содержать постоян-
ную составляющую, т. е. на выходе будет наблюдаться «спад полок
(горизонтальных участков) воздействия».
Сравним полученные данные частотного анализа с непосред
ственным рассмотрением процессов в цепи во временной о а
сти (рис. 8.12).
200
Основы теории электрических цепей
Рис. 8.12
Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие, приве-
денная в нижней части рисунка 8.12а, общеизвестна: при t = 0+
С-элемент эквивалентен короткозамкнутому участку (КЗ), по-
этому скачок воздействия полностью проходит на выход; при
t —> оо, т. е. в установившемся режиме при постоянном воз-
действии С-элемент эквивалентен холостому ходу (XX), т. е.
разомкнутому участку цепи, поэтому сигнал на выход не про-
ходит; переходный процесс описывается уравнением wBUX(t) =
= exp(-t/r)5i(£).
Прямоугольный импульс на входе цепи можно представить
суммой двух сигналов ступенчатой формы (1 и 2), как показа-
но в верхней части рисунка 8.126. График «идеальной» произ-
водной входного сигнала ti^(t) описывается двумя смещенными
во времени дельта-функциями, т. е. двумя бесконечно коротки-
ми (узкими) импульсами. Используя метод наложения и изобра-
женную на рисунке 8.12а реакцию на ступенчатое воздействие,
строим графики выходного сигнала (заштрихованы в нижней ча-
сти рисунка 8.126, где тонкими линиями также показаны эле-
ментарные реакции Iх и 2х от ступенчатых воздействий 1 и 2.
Как видим, при 4И Зт, т. е. при действии «длинного» прямо-
угольного импульса на входе, на выходе ярко выражен «эффект
дифференцирования», поскольку реакция имеет форму двух ко-
ротких импульсов. Если же tH т, т. е. при действии «корот-
кого» (в сравнении с постоянной времени т) импульса на вхо-
де, форма сигнала на выходе незначительно отличается
от nBX(t). Следует обратить внимание, что суммарная площадь
Глава 8
201
реакции равна нулю, а скачки воздействия полное^ п
на выход, что и было «предсказано» ранее Ю пРоходят
SSBb,e В₽еМеНН0Г° И а,,ализ°в хорошо
8.5.4. Характеристики
реальной интегрирующей ЯС-цепи
Схема интегрирующей ЯС-цепи при-
ведена на рисунке 8.13а. Проведем вна-
чале общий анализ передаточных свойств
этой цепи при условиях: 1) «вых(<) <£
<?С «вх(0‘» 2) ^с(0—) = 0. Очевидно,
сигнал на выходе цепи будет
t
ивык(1) = uc(t)~ i J i(t)dt =
о
поскольку на основании первого усло-
вия uBK(t)
ВЫВОДЫ-.
1. При малых уровнях реакции цепь
приближенно реализует опера-
цию интегрирования воздействия.
2. Чем больше постоянная време-
ни т, тем ярче эффект интегри-
рования.
Рис. 8.13
Проведем анализ прохождения прямоугольного
(рис. 8.136) через интегрирующую ЯС-цепы алуч* >
даточная ф^.Хя
+ 1/т), частотная характеристика аг^„11ГГ
АЧХ АН = (1/т)/х/^^^ g
202
Основы теории электрических цепей
Приближенно разобьем АЧХ на частотные интервалы со <
< 1/т и со > 1/т. В НЧ-зоне, пренебрегая со в сравнении с 1/т,
получим АЧХ А(со) « 1, что соответствует зоне неискажения
(полосе пропускания) с передаточной функцией Н(з) « 1.
В ВЧ-зоне (со > 1/т), пренебрегая 1/т в сравнении с со,
получим АЧХ цепи А(со) = 1/(тсо), что соответствует полосе
интегрирования (ПИ) с передаточной функцией Я(а) = 1/(т$).
На рисунке 8.1 Зе АЧХ, построенная по частотным интерва-
лам, показана тонкими линиями, а уточненная — жирной линией.
Примечание. Полоса пропускания (ПП), рассчитанная по «критерию
Атвх/у/2», полностью соответствует зоне неискажения Д^Пп=^ср = 1/т.
Сравним АЧХ цепи А(со) с амплитудным спектром ABX(w)
прямоугольного импульса, показанным на рисунке 8.1 Зе. Как
и ранее, рассматриваем «длинный» (продолжительный во вре-
мени) сигнал прямоугольной формы (£и Зт) и «короткий»
сигнал на входе (tH «С т).
ВЫВОДЫ:
1. Спектр «длинного» импульса в основном располагается
в полосе пропускания (До>п = 6тг/£и < Дсд1п = 1/т;
tH > 18т), следовательно, изменение формы сигнала на
выходе будет незначительным.
2. Спектр «короткого» импульса (tH т) воздействия в
основном располагается в полосе интегрирования, поэто-
му на выходе цепи будет ярко выражен эффект интегри-
рования проходящих сигналов.
Примечания:
1. Поскольку Д(0) = 1, площадь реакции равна площади воздействия.
2. Поскольку Д(оо) = 0, выходной сигнал обязан быть непрерывным.
3. Время запаздывания t3 проходящего через цепь сигнала, спектр ко-
торого располагается в полосе пропускания (т. е. «длинного» импуль-
са), оценивается в соответствии с п. 8.5.2 по наклону ФЧХ Ф(о>) =
= — arctgwr на низких частотах (см. рис. 8.13г); уравнение касатель-
ной к ФЧХ при ш = 0, очевидно, имеет вид —шт — — шЬ3, т. е. t3 — т,
а при оценке t3 в целом по полосе пропускания на основании рисун-
ка 8.13г получим оценку времени запаздывания t3 £ |ДФ|/ДщПп =
= 0,25тг/(1/т) £ 0,75т.
Сравним данные анализа в частотной области с данными анализа
процессов непосредственно во временной области (рис. 8.14).
Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие приве-
дена в нижней части рисунка 8.14а: при t = 0+ С-элемент
Глава 8
203
эквивалентен КЗ, скачок воздействия на выход не проходит, ре-
акция uc{t} действительно описывается непрерывной функци-
ей, при t > оо С -элемент эквивалентен XX, следовательно,
^вых = ив>. = 1 \ переходный процесс описывается уравнением
г*вых(С = [1 -exp(-t/r)]<5i(t).
Прямоугольный импульс и8х представляем суммой смещен-
ных ступенчатых функций 1 и 2, как показано в верхней части
рисунка 8.146. Затем на рисунке 8.146 приведен график «иде-
ального интеграла» от «8Х: это кусочно-линейная функция, по-
стоянная при t > tH. Используя метод наложения и изобра-
женную на рисунке 8.14а реакцию на ступенчатое воздействие,
строим графики выходного сигнала (заштрихованы в нижней
части рисунка 8.146, где тонкими линиями также изображены
элементарные реакции 1' и 2' от воздействий 1 и 2). Как ви-
дим, при действии на входе «длинного» прямоугольного импуль-
са («и Зт) реакция претерпевает незначительные искажения:
если же на входе действует «короткий» импульс (tH т), гра-
фик реакции «напоминает» график «идеального интеграла», но
уровень сигнала на выходе невелик.
ВЫВОД', данные временного и частотного анализов хорошо
согласуются.
Примечание. Время запаздывания tj сигналов, проходящих через цепи с
незначительными искажениями, часто оценивают по окончании переход-
ных процессов (на действие элементарной составляющей входного сигнала),
т. е. по смещению во времени вынужденной составляющей реакции, однако
для импульса прямоугольной формы этот вариант оценки непригоден, ее
ли использовать здесь оценку t3 по достижению иеых половинного уровня
нарастания (спада) «фронта» реакции, то 6 — 0,7т.
204
Основы теории электрических цепей
§ 8.6. СПЕКТРЫ ЕДИНИЧНОМ
СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ
АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
8.6.1. Спектр Ji (t). Понятие об особых спектрах
Единичная ступенчатая функция <5i(£), график которой изобра-
жен на рисунке 8.14а, не является абсолютно интегрируемой
функцией, так как площадь под графиком бесконечна. Поэтому,
используя изображение по Лапласу <5i(£) ~ Д1(в) = 1/s, нахо-
дить спектр заменой s = jw нельзя. Однако полюс изображе-
ния (si = 0) находится в начале координат и правую полуплос-
кость не переходит, поэтому спектр 8i(t) все же существует, но
является особым и отыскивается по формуле
Дю(» = Inn Ai(s)|5=a+>. (8.38)
Используя (8.38), получим, избавляясь от мнимости в знаме-
нателе:
Дю CM = lim —i-:
= lim -5——?
ст-»о + <л>г
- lim -л------х -
ст-»о а2 4-
= + jM(co).
Очевидно, мнимый спектр
1
ju
= lim — _
ст—»0 + СРг
1
S s=jai
как раз получается из изображения путем указанной выше про-
стой замены s = jco. Однако в соответствии с п. 8.4.2 лю-
бой сигнал, начинающийся с момента t = 0, обязан иметь и
вещественный, и мнимый спектры.
Перейдем к отысканию вещественного спектра:
= limn = (°’ " 0
ст—»0 (Г2 + о/2 loo, СО = 0.
Предположим, что выражение В (со) — это дельта-функция
в частотной области, т. е. B(w) = К8(со). Тогда коэффици-
ент К определяет площадь дельта-функции, т. е. площадь под
графиком вещественного спектра. Найдем эту площадь:
т. е. наше предположение оказалось правильным.
ВЫВОД-, спектр единичной ступенчатой функции является
особым и определяется формулой
Aio(jw) = 7r5(w) + 1
s
s=jw
Примечания:
1. Спектр абсолютно интегрируемых сигналов (имеющих конечную
площадь) получают из их изображений по Лапласу F(s) заменой з -
= JU-
Z' У незатухающих иеабсолютно интегрируемых сигналов, например вида
51 (i)-rl/s, t5i(t)-i-l/s2, sinwo^i(t)-rwo/(s2+o>o)>визображении
которых нет полюсов в правой полуплоскости, но хотя бы один из полю-
сов находится на мнимой оси, спектр является особым и отыскивается
по формуле, аналогичной (8.38).
3. Расходящиеся, неограниченно нарастающие сигналы, изображение по
Лапласу которых имеет хотя бы один полюс в правой полуплоскости,
спектра не имеют; к таким, например относятся сигналы вида
8.6.2. Спектры
амплитудно-модулированных сигналов
(связь спектра радиоимпульса
со спектром видеоимпульса)
Амплитудно-модулированный (AM) сигнал описывается выра-
Жен“ем = +
где /ам — амплитудно-модулированный сигнал, или радиоим-
пульс; /(г) — видеоимпульс, т. е. огибающая радиоимпульса,
о>о. — несущая (частота AM-сигнала), т. е. частота заполнения
видеоимпульса.
Примеры видеоимпульсов приведены)на,рисунке 8.15л, а со
ответствующих радиоимпульсов — на рисунке 8.15о.
206
Основы теории электрических цепей
Найдем изображение по Лапласу AM-сигнала (для простоты
считаем а = 0):
/ам(0 = Л0
4- -Fam(s) = 0,5[F(s — jwo) + F(s + jwo), (8.39)
где использованы формулы Эйлера и теорема сдвига преобразо-
вания Лапласа.
Если видеоимпульс является абсолютно-интегрируемым сиг-
налом, то заменой з = jw в (8.39) получим спектр АМ-сигнала:
/ам(*) ^amO’w) =
= 0,5[F(;(w - wo)) + F(J(w + w0))]. (8.40)
На рисунке 8.15e изображены амплитудный спектр прямо-
угольного импульса /i(t), представленного на рисунке 8.15а, и
построенный в соответствии с (8.40) амплитудный спектр соот-
ветствующего АМ-сигнала Лам(^), представленного на .рисун-
ке 8.156.
ВЫВОД', если спектр |Fi(jw)| видеоимпульса группируется
относительно нулевой частоты (т. е. в основном сосредоточен
в области НЧ), то спектр |Fiam(.?w)| радиоимпульса, имея ту
же форму, группируется относительно несущей ±wo.
Примечание. Эффект переноса спектра в частотной области широко ис-
пользуется в радиотехнике, когда видеоимпульсы с одинаковой шириной
спектра Деи удается «разделить» в частотной области путем использова-
ния различных несущих еио у различных передающих станций; на приемной
станции используют полосовой пропускающий фильтр с полосой пропуска-
ния Деи, перестраиваемый на желаемую частоту приема еио; далее выде-
ленный AM-сигнал выпрямляют(т. е. «отсекают» /AM(t) < 0 )и, используя
ФНЧ (или «фильтр пробку», т. е. полосовой заграждающий фильтр, настро-
енный иа еио), выделяют огибающую /(t), т. е. восстанавливают исходный
видеоимпульс передающей станции.
Глава 9
ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
§ 9.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
До сих пор рассматривались цепи, в которых отсутствовали эле-
менты, связанные общим магнитным потоком. Если в цепи есть
такой элемент, то цепь называют цепью с взаимной индукцией,
или индуктивно связанной цепью. Простейший индуктивно свя-
занный элемент состоит из двух идеальных катушек индуктив-
ности, так близко расположенных друг к другу, что магнитный
поток (или его часть) одной катушки пересекает витки другой.
9.1.1. Явление взаимной индукции.
Взаимная индуктивность
и индуктивность рассеяния
В соответствии с законом электромагнитной индукции на за-
жимах катушки индуктивности возникает напряжение, если ее
витки пронизываются переменным во времени магнитным пото-
ком Ф(£). При этом неважно, каким током вызван этот поток:
собственным или током соседней катушки.
Если считать, что усредненный магнитный поток Ф(£) пере-
секает все N витков катушки (рис. 9.1а), то напряжение
.. (W rdi
и®~ dt ~LdV
где Ф(£) = ?/Ф(£) = Li(t) — потокосцепление самоиндукции;
w(i) — напряжение самоиндукции; L индуктивность.
Если к такой катушке поднести другую так, что часть маг
нитного потока Ф21(£) будет пересекать витки второй катуш-
ки (рис. 9.16), то на ее зажимах наведется напряжение uaiw»
208
Основы теории электрических цепей
Рис. 9.1
которое называют напряжением взаимной индукции. Потоко-
сцепление взаимной индукции Фг1(£) = -NAi(0» так же как
и потокосцепление самоиндукции, пропорционально току *i(t),
т. е. Ф21.(0 =
Коэффициент пропорциональности М21, измеряемый в ген-
ри, называют взаимной индуктивностью:
М21
Фг1(0
«1(0 ’
тогда напряжение взаимной индукции будет
<^21 dii
Та часть потока первой катушки, которая не пересекает вит-
ки второй, называется потоком рассеяния $si(t) (см. рис. 9.16),
а соответствующее ему потокосцепление Ф51(£) — потокосцеп-
лением рассеяния: Ф51(*) = , причем ко-
эффициент пропорциональности Lsi называют индуктивностью
рассеяния первой катушки:
•• L3l = ^^0-.
«1(0
Таким образом, магнитный поток самоиндукции первой ка-
тушки оказывается
Ф11(0=Фз1(0+Ф21(0,‘
а потокосцепление самоиндукции будет
Фп(0 = МФц(0 = Ь1г1(0. (9.1)
Глава 9
209
Из (9.1) индуктивность первой катушки оказывается
М$п Mi , л^1Ф91
xsLi = —г— = —;--------+ -4-^ =
«1 ?i
_ г ^21 r Nt ,
^V = L>1 + wT21- (9-2>
Если магнитный поток будет создаваться током второй ка-
тушки, а ток первой катушки будет равен нулю (рис. 9.1в), то в
этом случае магнитному потоку взаимной индукции Ф12(^ будет
соответствовать потокосцепление взаимной индукции ф12(г) =
= МФ12(£) = A/12i2(t) • Тогда напряжение взаимной индукции
бУ№Т *2
Wiaft)------тт~ —
dt dt
где М12 — коэффициент взаимной индукции.
Потокосцепление рассеяния второй катушки записывается
как Ф52(0 = Ar2^s2(i) = Ьз2г2(*),где Ls2 — индуктивность
рассеяния второй катушки. Таким образом, магнитный поток са-
моиндукции второй катушки будет Ф22(0 = Фаг(0 + $12(0. а
соответствующее ему потокосцепление самоиндукции ока-
зывается
Ф22(0 = АГ2Ф22(<) = ^2^2(0’ (9.3)
Из (9.3) аналогично (9.2) можно получить для индуктивности
второй катушки
L2 = La2 + ^Mn. О»)
Можно доказать, что взаимные индуктивности М21 — ЛАг —
= М. Тогда, решая совместно (9.2) и (9.4), получим
М = x/(Li -Lsh)(L2-W (9-5)
Из (9.5) видно, что максимальное значение взаимной индук-
тивности будет при отсутствии потоков рассеяния, т. е. когда
ФЯ1 = Фя2 = 0, а следовательно, и Lsi — LS2 — 0.
Л/щах =
210
Основы теории электрических цепей
Если ток будет протекать по обеим катушкам, то напряже- •
ние первой ui(t) и второй u2(t) катушек будут складываться из
напряжений самоиндукции и взаимной индукции:
«1(0 = un(0 + wi2(0 = Li-^- + (9.6) •
u2(t) = iZ22(t) + w2i(t) = L2-^ + м~^- (9.7)
Для установившегося синусоидального режима imeqim^ut,
итецйте>ш* уравнения (9.6) и (9.7) преобразуются к виду
йх = jwLiti +j<jjMI2 = Zbih + ZmI2,
U2 =-ja>L2i2 + jwMIi = Zl272 + Z^Ix,
где комплексное сопротивление взаимной индукции Zm — jcoM.
9.1.2. Коэффициент связи,
согласное и встречное включения
' индуктивно связанных элементов
Для оценки степени связи индук-
тивно связанных катушек исполь-
зуют понятие коэффициента связи
- М - М <
•Л^тах y/L\L2
В общем случае коэффици-
ент связи меньше единицы. Если
^’св = 1, то М = Мтах, и тогда индуктивную связь назы-
вают совершенной. Для достижения такой степени связи, как
уже отмечалось, необходимо добиться того, чтобы потоки рас-
сеяния равнялись нулю. Для этого, например, можно распола-
гать катушки на ферромагнитном сердечнике, наматывая одну
на другую (см. рис. 9.2). При такой намотке поток, создавае-
мый одной катушкой, практически весь пересекает витки дру-
гой. Поток рассеяния близок к нулю, а коэффициент связи будет
ксв = 0,9 4- 0,95.
Изменяя коэффициент связи, можно изменять взаимную ин-
дуктивность М = kCR\/LiL2, а следовательно, и напряжение
взаимной индукции. Для этого можно, например вращать одну
Глава 9
211
катушку относительно другой, тогда напряжена , г
меняться от максимального (рис 9 За\ Jn 6 2 будет из"
(рис. 9.36). Р За) Д° пРак™ески нулевого
Рис. 9.3
Потоки самоиндукции и взаимной индукции Фи и Ф12 (или
же Ф22 и Ф-21) могут пересекать витки катушки как в одина-
ковых, так и в противоположных направлениях (в предполо-
жении наличия положительных токов: > 0, г2 > 0). Если
потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены одина-
ково, то говорят о согласном включении (рис. 9.4а), в противном
случае включение называют встречным (рис. 9.46). Очевидно,
что при согласном включении напряжения самоиндукции и вза-
имной индукции имеют одинаковую полярность, т. е. склады-
ваются, а при встречном — противоположную, т. е. вычита-
ются. Поэтому удобно считать взаимную индуктивность вели-
чиной алгебраической М = ±|М| и полагать М = |Л/| >
>0 — при согласном включении, М = -|Af| <0 — при
встречном.
Рис. 9.4
8
212
Основы теории электрических цепей
Рис. 9.5
Тогда и для согласного, и для встречного включений выполняется
„ у • / I I > zl •/
ui = ин 4- «12 = Li ± |AT|г2,
_ Г / 1 I 1 Г1 •/
U2 = U22 +г421 = ^2"5Г + = ^2г2
Uv Uv
Для условного обозначения характера включения удобно
пользоваться маркировкой так называемых однополярных за-
жимов «звездочками»:’если выбранные направления токов ори-
ентированы одинаково по отношению к однополярным зажимам
.(рис. 9.5а), то это — согласное включение, в противном случае
(рис. 9.56) — встречное (в этом случае отпадает необходимость
задавать направление намотки катушек). На рисунке 9.5а при-
ведено обозначение согласного, а на рисунке 9.56 — встречного
включений.
§ 9.2. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ
. С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
9.2.1. Последовательное соединение
индуктивно связанных катушек
Для расчета цепи рисунка 9.6а, находящейся в установившемся
синусоидальном режиме, будем рассматривать оба вида вклю-
чения — согласное (М > 0) и встречное (М < 0).
Рис. 9.6
Глава 9
213
Тогда для комплексной схемы замещения (оис 9 7
= >М. причем ZM = ^|М| при согласном включен и
ZM = ->|М| при встречном включении. Для .определения
тока в цепи при заданных параметрах составим уравнения
по второму закону Кирхгофа: ZRj+(ZLj+ZMi)+(ZL /+
+ Zm I) + = ^0 •
• Отсюда получим
j =_____________Uo___________
(Ri 4- Rz) + jw(Li + Lz + 2M)i
Входное комплексное сопротивление будет
ZBx = — (Ri+R2)+jw(Li + Lz + 2M) = Rs + jwL^ (9.8)
где jR3 = Ri + R2, L3 = Li + L2 + 2|M| — при согласном
включении и L3 = Li + L% - 2|M| — при встречном. На ри-
сунке 9.6в приведена цепь, эквивалентная цепи рисунка 9.6а.
Так как |2Вх|согл > |^вх|встр, то при одинаковом напряжении
ток в цепи при встречном включении будет больше, чем при со-
гласном. На этом основании можно опытным путем определить
согласно или встречно включены катушки.
При отсутствии индуктивной связи (М = 0) из (9.8) получим
известное соотношение для последовательного соединения двух
. На рисунке 9.7а приведена векторная диаграмма для соглас
ного, а на рисунке 9.76—для встречного включении.
214
Основы теории электрических цепей
9.2.2. Параллельное соединение
индуктивно связанных катушек
На рисунке 9.8л приведена цепь, со-
стоящая из параллельного соединения
сопротивлений и индуктивно связан-
ных катушек, а на рисунке 9.86 — ее
комплексная схема замещения для
установившегося синусоидального ре-
жима. В случае согласного включе-
ния имеем Zm = а в слу--
чае встречного включения Zm =
= .
Для определения трех токов в вет-
вях цепи составим уравнения по зако-
нам Кирхгофа:
f ii + h - i = о,
j 4- (ZliZi 4- ZmI?) = Uq.
(Z^h 4- (ZlzLz 4- ZmIi) = Uq,
(9.9)
и обозначим.
Zi — Zm -t- ZjA = 4-
Z2 = Zr2 4- Z^2 = T?2 4- 3WL2.
Тогда второе и третье уравнения
системы (9.9) записываются как-
Ziti 4- Z^i2 = С70;
•Zjv/Zi 4- Z2I2 — Uq.
Рис. 9.8
находим:
Л =
%2 - :
ZA-zl,’'’
^1 — Zm -
^2-^ °’
тогда выполняется
j — А 4- /2 =
4- Z2 - 2ZM r.r
Z1Z2-ZI Uo
(9.10) .
Глава 9
Рассмотрим частный случай (рис. 9.8в), когда R, = r _ п
Из (9.10) при Z, =>£,,. Z2=juL2 „ Z;, = JwM полу„2и“0
= MLi+L2~2M) . • (jQ ц
1 uj2M2 — uj2LiL2 Uq~~------------------U°
J'iL-г—М2 \ т '
J b!+L2-2M) J 3
.Эквивалентная индуктивность (рис. 9.8г)'оказывается пои
согласном включении н
г _ L1L2 — М2
^эсогл---г--------— -
L\ 4- L2 — 2]М]
а при встречном включении
• т _ L1L2 — М2
л-'э вето — т--------— ;
М + ^2 + 2| М\
(9.11)
(9.12)
следовательно, как и при последовательном соединении, £эвстр <
< ^эсогл • При отсутствии индуктивной связи (М = 0) выраже-
ния (9.11) и (9.12) превращаются в хорошо известное соотноше-
ние для эквивалентной индуктивности параллельного соедине-
ния двух идеальных L-элементов L3 —LyL^/iLi + L2).
9.2.3. Расчет разветвленных цепей
с взаимной индукцией
Расчет разветвленных цепей при наличии индуктивно связан-
ных элементов, как правило, осуществляют по уравнениям
Кирхгофа либо методом контурных токов. Применение мето-
да узловых напряжений (потенциалов) в этом случае требует
специальных приемов и на практике редко используется.
В некоторых задачах можно преобразовать исходную цепь
с индуктивной связью в эквивалентную цепь без индуктив-
ной связи, к которой уже легко применить все известные
методы расчета.
В качестве примера составим уравнения по законам Кирхго-
фа’для цепи, комплексная схема замещения которой представ-
лена на рисунке 9.9. Как следует из рисунка 9.9, первая и вто-
рая катушки включены согласно (токи входят в однополярные
зажимы), а первая и третья — встречно (токи входят в разнопо-
лярные зажимы). Следовательно, выполняется Z12 = jw|A/i2|,
^13 = -уо>|М1з|.
Система уравнений для рассматриваемой цепи для нагляд-
ности записана в порядке обхода контуров:
ГZmh 4- (ZiAli 4- И12/2 4- Z13/3) + (W3 + 2цзЛ) == 61,
< Zch + (ZL2h + Z12I1) + (^£3^3 + ^13 А) = ^21
(/14-72-/з = 0. (9.13)
После приведения подобных членов система (9.13) может
быть решена и по найденным комплексным значениям токов
определены токи установившегося синусоидального режима.
.При использовании преобразования «Лапласа для расчета
переходных процессов в цепях с взаимной индукцией уравнения
индуктивно связанных катушек = Lxi'L1 (t) 4-
UL2(t) = L2i’L2(t') 4- Л/г'Ь1(£) преобразуют к виду
f^Li(s) = [sLiZli(s) - LiUi(O-)] 4- [sMIL2{s) - M«L2(0-)];
l^£2(s) = [sI/2Zl2(s) - b2i«L2(0-)] 4- [sM/li(s) - Min(0-)],
при этом Zm(s) = sM = ±s|M| называют операторным сопро-
тивлением взаимной индуктивности.
9.2.4. Исключение индуктивной связи
На рисунке 9.10а приведены две индуктивно связанные катуш-
ки, имеющие общий узел, к которому они подключены однопо-
лярными зажимами.
Рис. 9.10
Глава 9
217
На рисунке 9.106 показана цепь без индуктивной связи
Необходимо определить значения £ч, г и т
рых токи в ветвях и напряжения между » будрт такими же'
как и в исходной цепи. Система уравнений для цепи (рис 9 1S
записывается как элиа'
Ч + «2 — г3 = 0;
^1*1 + ^2 = ^1з;
^2 + = д2з-
(9.14)
Исключим из второго уравнения ток i2 = i3-ix, а из третьего
?i = г3 - ?2 • Тогда уравнения (9.14) можно записать следующим
образом:
Л + *2 — г3 = 0,
< (Li — + Mi'3 = щ3, (9.151
k (£2 ~ ЛТ)^2 + ЛТг'з ~ и23‘
Для цепи (рис. 9.106) имеем систему уравнений
Л + г2 - «з = 0;
£э1^1 + £эзгз = и1з j
£э2^2 Т* £эЗ«з = W23*
(9.16)
Сравнивая (9.15) и (9.16), приходим к заключению, что цепи
(рис. 9.10а,б) будут эквивалентны, если £эх = £1 — |М|, £Э2 =
= £2 — (Л£|, £эз = |М|. Взаимная индуктивность записана по
модулю, так как полученные выражения для эквивалентных ин-
дуктивностей не зависят от характера включения и будут такими
при подключении индуктивно связанных катушек к общему узлу
однополярными зажимами и при'М > 0, и при М < 0.
Если элементы будут подключены к общему узлу разнопо-
лярными зажимами, то аналогичным образом можно доказать,
что в этом случае £Э1 == £1 + |Л/|, £32 = £2 + |^Т| > ^эз =
= —|М|. Отрицательная индуктивность,’ включаемая в третью
ветвь, является чисто расчетной величиной, не имеющей физи-
ческого смысла. В установившемся синусоидальном режиме в
этом случае Z33 = —
Если индуктивно связанные катушки не имеют общего узла,
то такое исключение индуктивной связи невозможно.
218
Основы теории электрических цепей
Рис. 9.11
Для примера на рисунке 9.11а приведена цепь с индуктивной
связью, а на рисунке 9.116 — ей эквивалентная без индуктивной
связи.
§ 9.3. ТРАНСФОРМАТОР В ЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ
9.3.1. Основные соотношения
Трансформатором называют индуктивно связанную цепь, пред-
назначенную обычно для изменения уровней напряжения и то-
ка. Трансформатор представляет собой две индуктивно связан-
ные катушки, называемые обмотками, которые распложены, как
правило, на ферромагнитном сердечнике. Будем предполагать,
что сердечник работает на линейном участке кривой намагничи-
вания либо трансформатор выполнен без ферромагнитного сер-
дечника («воздушный» трансформатор). По определению иде-
альный трансформатор должен при любой нагрузке и на любой
частоте иметь отношение комплексов напряжений первичной и
вторичной обмоток и отношение комплексов токов вторичной и
первичной обмоток равными друг другу и равными постоянной
величине, которая называется коэффициентом трансформации:
Ui h
— = — = п.
U2 h
Выясним, при каких условиях возможно выполнение (9.17).
Если трансформатор работает на не очень высоких частотах, то
можно пренебречь емкостью между обмотками и между витками
обмоток. Тогда двухобмоточный трансформатор можно предста-
вить схемой (рис. 9.12). Обозначим Zi = Ri+jujLi, Z2 = =
= R2 + jwL2, ZM = = -jXM = -j|ZM|.
Уравнение трансформатора имеют вид
(9.17) .
-JXA//2 = {/i; -jXMh + (Z2 + ZH)i2 = o. (9.18)
Глава 9
219
Из системы (9.18) находим токи:
Ё =____/ = зхмих
Zi (Z2 4- Z„) + Х2М ’ 2 ZY (Z2 + ZH) + X2M'
Тогда функции передачи будут
Н — 11 —
< 1 ii Z2 + Zu R2 4- juL2 4- Zlt’
] Hr = ih = z„/2 = jxMzn (yjy)
I Ui Ui Zi(Z2 + ZH)+XM
Как видно из (9.19), полученные функции в общем случае за-
висят от нагрузки и от частоты и не соответствуют требовани-
ям (9.17).
9.3.2. Совершенный трансформатор без потерь
Будем полагать, что в трансформаторе Ri = R2 = 0 и потоки
рассеяния отсутствуют, т. е. он обладает совершенной магнитной
связью, при которой Lsi = Ls2 = 0 и коэффициент связи А*св =
= -4^-1= = 1 выполняется, этом случае имеем
VbiL2
ГТ = ________jbj\M\Zn_____ =
U jaiLi (juL2 4- zn) 4- uj2M2
juj\M\ZH
____________=м
jwLiZn — uj2LiL2 4-со2Л/2 Li
При совершенной связи из (9.2) получим Li = Тогда
оказывается, что
и&_ — — = — = const,
Ни ~ Й Li Nt п
где N2 — число витков вторичной, а М число витков первич-
ной обмоток.
220
Основы теории электрических цепей
Таким образом, совершенный трансформатор без потерь
удовлетворяет требованиям (9.17), предъявляемым к функции
передачи по напряжению.
Функция передачи по току в этом случае зависит от частоты
и сопротивления нагрузки:
Z2 _ А/1 _ 1
Hl h ju)L2 + Ztt +
и лишь при |ZH| С она удовлетворяет предъявляемым
в (9.17) требованиям. Поэтому такой трансформатор иногда на-
зывают трансформатором напряжения.
При |ZH| <w|M|, учитывая(9.4), что Ь2 = ^|М|, находим
rr h |М| М
Hj = — = ^-7—= — = п = const.
Zi l2 n2
Для приближения к полученным результатам на практике
необходимо выполнять обмотки проводом с малым удельным
сопротивлением (медь) и располагать обмотки одну на другой
(см. рис. 9.4а) для того чтобы уменьшить поток рассеяния и тем
самым приблизить коэффициент связи к единице.
9.3.3. Идеальный трансформатор
Будем полагать, что в совершенном трансформаторе без потерь
взаимная индуктивность М —>• оо. Но тогда верно и Lx =
= —* оо, и 1/2 = —> 00. В этом случае будет
- Ни = 41 Ui 1 = п’
Hi = h Л = п,
или, иначе, Ui = 11
U2 А = п.
Для достижения полученных результатов на практике необ-
ходимо, чтобы индуктивности обмоток были как можно больше.
Так как индуктивность пропорциональна магнитной проницаемости
Глава 9
и квадрату числа витков К, п необходимо
тавливать из ферромагнитного материала с высоким значе™и'
ем магнитной проницаемости, а обмотки - с числом в"тк0в
T/N -Г”'” “ ®ескО1гечнос™.'оставляя их отношена
/Vl/iV2 — 74.
Особый интерес представляет входное сопротивление иде-
ального трансформатора: д
7 _Ui
•^вх---
h
• 2v
• — п Zn,
т. е. в данном случае происходит трансформация (преобразова-
ние значения сопротивления). Это свойство часто используется
на практике для целей согласования сопротивления нагрузки с
эквивалентным сопротивлением источника питания, так как ис-
точник воспринимает сопротивление нагрузки увеличенным в п2
раз, где п = N1/N2 •
г лава 10
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
Выделение трехфазных цепей в самостоятельный класс объяс-
няется их широким распространением на практике. В настоящее
время практически все электроснабжение промышленных и бы-
товых объектов осуществляется с помощью трехфазных цепей.
Это обусловлено рядом достоинств трехфазной системы напряже-
ний, к которым относятся: 1) возможность передавать энергию от
трехфазного генератора к трехфазной нагрузке по трем проводам
вместо шести при питании потребителей от отдельных источников;
2) трехфазное напряжение позволяет получать вращающееся маг-
нитное поле, которое лежит в основе действия асинхронных трех-
фазных двигателей, самых простых и надежных в работе; 3) при
симметричной нагрузке мгновенная мощность трехфазного источ-
ника не зависит от времени и не пульсирует с двойной частотой,
как это имеет место при однофазном питании.
§ 10.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ,
ОТНОСЯЩИЕСЯ К ТРЕХФАЗНЫМ ЦЕПЯМ
10.1.1. Трехфазная система напряжений,
трехфазный генератор
Симметричная трехфазная система напряжений (трехфазное на-
пряжение) представляет собой систему из трех синусоидаль-
ных напряжений одинаковой частоты и одинаковой амплитуды,
сдвинутых по фазе на 120’. Если условие равенства амплитуд
(или условие сдвига по фазе на 120°) не выполняется, то такая
система называется несимметричной.
Глава 10
223
в этой главе будем рассматривать только симметричные
трехфазные источники, генерирующие симметричную систему
напряжений, график мгновенных значений которых приведен на
рисунке 10.1о. Если одно из этих напряжений, например с на-
чальной фазой, равной нулю, обозначить uA(t), то отстающее
от него на 120° напряжение обозначается uB(t), а отстающее от
uB(t) на 120 обозначается нс (£). Такой порядок следования
напряжений (А-В-С) называют прямым.
Мгновенные значения этих напряжений можно записать, на-
пример, следующим образом:
uA(t) = C/mOOSWt,
ив (t) = Um cos(wt - 120°), (10.1)
nc(i) = Umcos(wt - 240°).
Соответствующие (10.1) комплексы напряжений UA = U,
UB = Uc = Umc/'/i = Ue-*m', v = Um/^
На рисунке 10.16 приведена векторная диаграмма (ВД) этих
напряжений.
Основное свойство симметричной трехфазной системы на-
пряжении заключается в том, что сумма этих напряжений в лю-
бой момент времени равна нулю. т. е. uA(t) + ив(1) + uc(t) = 0.
В этом легко убедится, сложив напряжения или соответствую-
щие векторы (рис. 10.16): UA + Ub + Uc = 0.
Трехфазное напряжение получают с помощью специаль-
ного трехфазного генератора, на Статоре которого распола-
гаются три обмотки, сдвинутые друг относительно друга на
120°, витки которых пересекаются постоянным магнитным по-
лем ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью.
Схематически трехфазный генератор можно представить в виде
трех источников синусоидального напряжения, которые можно
соединить звездой (рис. 10.2а) или треугольником (рис. 10.26),
причем точка 0 при соединении генератора «звездой» называет-
ся нейтральной точкой.
Следует отметить, что ток внутри треугольника (см. рис. 10.26)
отсутствует, так как сумма напряжений «дв(£) -I- ивсй) +
+ «сд(0 = 0.
10.1.2. Соотношение между фазными
и линейными напряжениями
симметричного трехфазного генератора
Напряжения на обмотках трехфазного генератора называют
фазными напряжениями, а напряжения между линейными про-
водами, которыми генератор соединяется с нагрузкой, назы-
вают линейными напряжениями. Так, при соединении генера-
тора звездой напряжения (7д, йв, Uc — фазные напряже-
ния, а напряжения йлв, Ubc, Uca — линейные. При этом
иав = Ua - йв, йвс — йв — йс, йсл = йс — йд.
Если обмотки генератора соединены треугольником, то ли-
нейные и фазные напряжения равны друг другу (С7Л = С7ф), что
видно из схемы на рисунке 10.26.
На рисунке 10.3 приведена ВД линейных и фазных напряже-
ний трехфазного генератора при соединении его обмоток звездой
(рис. Ю.За) и треугольником (рис. 10.36).
Эти диаграммы построены в соответствии с геометрией (то-
пографией) цепи без указания осей комплексной плоскости. Из
диаграммы рисунка 10.3а следует: UA = UB = Uc =
Uab = Ubc — Uca = Un, а из диаграммы рисунка 10.36 бу-
дет. Uaв = Ubc — Uca = Un = С7ф; при этом, если Uab = йл,
то Ubc = 1/ле^120’ и йСЛ = иле>™>'.
Соотношение между линейным и фазным напряжениями ге-
нератора, соединенного звездой, легко установить из элементар-
ных тригонометрических рассуждений, рассматривая равнобед-
ренный треугольник АОВ на рисунке 10.3а.
Учитывая, что два угла в этом треугольнике равны 30’,
получим = cos 30» = ^/3^. (Ю.2)
В соответствии с (10.2) при (7ф = 127 В имеем Un —
= \/3 • 127 = 220 В, а при Щ — 220 В получим Un = 380 В.
Теперь легко установить связь между комплексами фазных
и линейным напряжений. Из диаграммы на рисунке 10.3а и с
учетом (10.2) получим
йлв = г>л\/Зе’30’,
йвс = ив^3е’м', (10.3)
Уел = Усг/Зе3'30’.
Таким образом, симметричный трехфазный генератор, соеди-
ненный звездой, при расчетах, легко может быть преобразо-
ван в эквивалентный генератор, соединенный треугольником, и
наоборот в соответствии с (10.2) и (10.3).
10.1.3. Трехфазная цепь
и основные схемы соединения
Трехфазный источник вместе с нагрузкой и соединительными
проводами образует трехфазную цепь. Нагрузку так же, как
и генератор, можно соединить звездой или треугольником.
Для расчетных целей удобно считать, что если нагрузка
соединена звездой, то и генератор соединен звездой, если
нагрузка соединена треугольником, то и генератор соединен
226
Основы теории электрических цепей
треугольником. Если в исходной цепи генератор соединен
треугольником, а нагрузка звездой, то перед расчетом можно
преобразовать его в эквивалентный генератор, соединенный
звездой, в соответствии с (10.2) и (10.3). Аналогично можно
поступить и в случае, если нагрузка соединена треугольни-
ком, а генератор звездой. Таким образом, все возможные
случае можно свести к двум (рис. 10.4).
Токи, текущие в линейных проводах, называют линейными,
а токи, текущие по сопротивлениям нагрузки, называют фазны-
ми. Провод, соединяющий узловые точки генератора и нагрузки
при соединении их звездой, называют нейтралью или нулевым
проводом. Если сопротивление нулевого провода Zy равняется
нулю, то точки 0 и 01 становятся однопотенциальными и такое
соединение называют «звезда — звезда с нулевым проводом» и
обозначают а/д0. Если Zo равняется бесконечности, то такое
соединение называют «звезда-звезда без нулевого провода» и
обозначают д/д.
Три составных части трехфазной цепи принято называть фа-
зами. Таким образом, в трехфазной цепи передача энергии от ис-
точника в нагрузку осуществляется с помощью трех или четырех
проводов, что с экономической точки зрения более выгодно по
Глава 10
227
сравнению с передачей от трех несвязанных источников, так как
в этом случае потребовалось бы шесть проводов.
Как следует из схемы на рисунке 10.4а, при соединении на-
грузки звездой линейные и фазные токи равны (7Л = Л), а ток
нулевого провода будет Zo = tA + 1в + tc. При соединении
нагрузки треугольником линейные и фазные токи (рис. 10.46)
связаны в соответствии с ЗК.Т следующим образом:
1а — Ль - Ла, 1в = Лс — Ль, ic — ica ~ Ас-
Очевидно, что выполняется + 1В + 1С = 0.
Трехфазная нагрузка называется симметричной, если Za =
— Zb — Zc = |2Гф|е7<рф при соединении звездой, а при
соединении треугольником, если
zab = zbc = Zca = Z^ = |2ф|е^.
§ 10.2. РАСЧЕТ
ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ
10.2.1. Расчет трехфазной цепи
при соединении нагрузки звездой
Анализу подлежит цепь (рис. 10.4а) при заданных фазном на-
пряжении симметричного генератора Цф и комплексных сопро-
тивлениях Zn, Zb, Zc, и Zq. Определению подлежат токи в
нагрузке в нулевом проводе.
Трехфазная цепь на рисунке 10.4а является цепью с
двумя узлами и поэтому ее расчет целесообразно осуще-
ствить методом узловых потенциалов (напряжений). Считаем
узел 0 базисным (опорным) узлом, потенциал которого ра-
вен нулю. Найдем потенциал C7oi узла 01 из уравнения
^ii^Oi ~ Л’ гДе собственная проводимость узла Уп = У» +
+ Yb + Yc + Уо = 1/Уа + 1/Zb + i/Zc + 1/ZO, а — сумма
источников тока, подключенных к узлу 0/. Преобразовав ис-
точники напряжения UA, йв,^ Uc в источники тока, получим
= YaUA + YbUB + YcUc- Тогда имеем
. YaUA 4- YbUe Ч- YcUc (10.4)
~ ’ уи + Уь + Ус + УГ’
где йА = Цф, йв = П-фе->120*, Uc = ^е7’120’-
228
основы теории электрических цепей.
Определив потенциал узла 01, можно теперь найти токи,
учитывая, что точки А, В и С генератора однопотенциальны
с соответствующими точками л, Ъ и с нагрузки.
Г v'aOi ____ уд vQi
= ~zT "" za
г _ — йс-Uoi
ис " ис
Т ___ УЪ01 __ ^01
uZb ~й Zb ’ (Ю-5)
f __ Vq10 __ VQt ' /
Ио ~ Ио •
Рассмотрим возможные режимы работы.
1. Режим симметричной нагрузки. В этом случае имеет
место Za = Zb = Zc = Z§ = т. e. Ya = Yb = Yc =
_ Уф _ [Уф[е^Ф. Тогда в соответствии с (10.4) запишем
. Y^Ua 4- frg 4- Ус) _ „
^01 ЗУф + Уо
так как йд 4- йв 4- йс = 0 (основное свойство трехфазного
симметричного напряжения). Следовательно, узлы 0 и Ох стано-
вятся однопотенциальными и ток нулевого провода будет Iq =
= UqJZq = 0. В этом случае отпадает необходимость в нуле-
вом проводе и генератор с нагрузкой может быть соединен тре-
мя линейными проводами. Многие трехфазные потребители по
своей природе являются симметричными, например, трехфазные
двигатели.
Таким образом, в этом случае токи симметричной трехфазной
цепи в соответствии с- (10.-5) оказываются
II а = — = Ъе-Жф
А z* |Иф|е^*Ф Ф ’
/в = Ф1 = ^-~J.12° = /же_^*’Ф+120’)
В zb |Иф|е,*’Ф Ф6 ’
1с = Цр- = —^е,12° = Г e-J(^-120’)
° ZC |Иф|е,*’Ф Фе ’
(10.6)
причем отсюда следует, что при симметричной нагрузке 1а •—
= = 1с = = 1$ = ?7ф/|2ф|. Расчет в этом случае
можно выполнить для одной фазы,- токи в других фазах будут
иметь такую же амплитуду,- а начальные фазы будут отличаться
сдвигом на 120°.
На рисунке 10.5а приведена векторная диаграмма для рас-
смотренного режима, «Звезда» токов нагрузки получается сим-
метричной, повернутой относительно «звезды» фазных напря-
жении на угол фазного сдвига <рф.
Глава Ю
229
2. Режим несимметричной нагрузки при отсутствии
нулевого провода. В этом случае Za zb Zc, a Yo = О
Тогда потенциал узла 01 в соответствии с (10.4) оказывается
а _ YaUA + YbUB + YcUc
UQl------v , v , v----/ °,
т. е. потенциал узла 01 отличается от потенциала узла 0 и на
векторной диаграмме эти точки не совпадают. Это значит, что
напряжения на фазах нагрузки будут различными, не равными
напряжениям фаз генератора. Токи в фазах определяются по
выражениям (10.5), а так как нулевой провод отсутствует, то
Тд + 1в + ic — 0.
На рисунке 10.56 приведен вариант ВД напряжений этого
режима. Такой режим работы называют зависимым, так как при
изменении сопротивления одной из фаз изменяется потенциал
узла 01 и, следовательно, изменяются напряжения на всех фазах
нагрузки.
3. Режим несимметричной нагрузки при наличии ну-
левого провода с нулевым сопротивлением. Так как в этом
случае Zq = 0, то потенциалы узлов 0 и 01 становятся равны-
ми при любой нагрузке, т. е. каждой фазе нагрузки параллельно
подключен источник. Для наглядности схему, соответствующую
рисунку 10.5а, можно изобразить так, как показано на рисун-
ке 10.6а. Режим работы фаз становится независимым, т. е. при
любой нагрузке
UaQl = Ua, Ubot = Ub, U<*h = Uc-
Токи в фазах будут 1д — YaUA, je ~ YbUp, ic = YcUc*
а ток нулевого провода оказывается io — Za + 1в + Ic-
230
Основы теории электрических цепей
Рис. 10.6
Нулевой провод с Zq = 0 обеспечивает независимый режим
работы фаз нагрузки. Напряжение на фазах нагрузки не зависит
от режима работы фаз, так как узлы 0 и 01 соединены друг с
другом нулевым проводом. По такой четырехпроводной схеме
питается вся бытовая нагрузка. К потребителю подводится одна
из фаз генератора и нулевой провод.
На рисунке 10.66 приведен пример ВД такого режима.
«Звезда» токов в этом случае будет несимметричной, и поэтому
в нулевом проводе ток / 0.
10.2.2. Расчет трехфазной цепи
при соединении нагрузки
треугольником
Анализу подлежит цепь (рис. 10.46) при заданных линейном на-
пряжении генератора Un и комплексах сопротивлений Zab, ZbC,
Zca. Определению подлежат токи в фазах нагрузки и линейных
проводах.
Направим на ВД одно из напряжений генератора, напри-
мер Uав по вещественной оси комплексной плоскости, т. е. бу-
дем считать, что Uab = ил (рис. 10.7а). Тогда имеем йвс =
= <7ле^120’, йСА = С/Ле^20’.'
Как видно из схемы на рисунке 10.46, здесь осуще-
ствляется независимый режим работы фаз, потому что, как
показано на рисунке 10.76 к каждой фазе нагрузки парал-
лельно подключен «свой» источник. Так как в этом случае
Uab = Uab, Ubc = Ubc, Uca = Uca, to токи в фазах на-
грузки будут: 1аЬ = илв/Za!,, ibe = VBC/Z,JC, ica = UCA,'Zm.
Линейные токи в схеме на рисунке 10.46 определяются
Глава Ю
231
через фазные в соответствии с первым законом Кирхгофа
= lab ^са , 1в = Ibc ~ ^abi = Да ~ Дс-
На рисунке 10.8а приведен пример ВДдля несимметричного
режима, т. е. когда Zab Zbc^ Zea-В этом случае lab / Де /
0 1са . 1а 1с-
Рассмотрим симметричный режим при соединении нагрузки
треугольником. Такой режим будет в цепи при Zab = Zbc =
= Zea = z$ = 12ф|е^^. Токи в фазах нагрузки записываются
как
= <10-7)
/ _ Й2Л = = Ле-Л’ф-120').
I/™ _ z„ IZjle’"» ф
Рис. 10.8
232
Основы теории электрических цепей
Из (10.7) следует, что в этом случае 1аь = Дс = 1са =
= 1ф. Расчет можно выполнить для одной фазы, токи в дру-
гих фазах будут иметь такую же амплитуду, а начальные фазы
будут отличаться сдвигом на 120 в соответствии с (10.7). На
рисунке 10.86 приведена ВД симметричного режима. Для опре-
деленности взято 9?ф > 0. Установим связь между действую-
щими значениями линейных и фазных токов /д = 1аЬ — 1са =
= /фе-*(1 - eJ12°) = /фЛе-Л”*+30'), т. е. 1Л = Л/ф.
Из условий симметрии (рис. 10.86) следует, что в этом режиме
Ia = Zb = Ic — Iя — V^I^ •
§ 10.3. МОЩНОСТЬ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ
Сумму активных мощностей всех фаз называют активной мощ-
ностью трехфазной цепи. Так, при соединении звездой имеем
Р = Ра + Рв + Рс =
= Ua(h Ia cos <ра + Uba,, Iв cos <pb + UcQl Ic cos <^c.
Аналогично сумму реактивных мощностей всех фаз называ-
ют реактивной мощностью трехфазной цепи:
Pq = PqA + PqB + PqC ~
= UaOi I a sin <pa + UbOt Iв sin + Uc01 Ic sin <pc.
Полная мощность трехфазной цепи записывается как
р, = Vp2 + р*.
В комплексной форме мощность трехфазной цепи ока-
зывается
А = UaIa + UbIb + Uclc = Р + jPq-
Если нагрузка симметрична, то имеем
- 1^ 3£7ф2ф соэсрф,
Pq = ЗС7ф/ф sin 9?ф,
Ра = ЗС/ф/ф.
При соединении симметричной нагрузки звездой U$ = Un/\fi
и = Zn • При соединении симметричной нагрузки треугольни-
ком выполняется Z$ = 1л/\/Ъ и 11ф = ил. Тогда независимо
от способа соединения нагрузки для симметричной трехфазной
Глава Ю
233
системы получим следующие выражения для мощностей чеоез
линейные напряжения и токи: н
Р = х/ЗС/п/дсоз^ф,
Pq — л/ЗС7л7л8т^ф,
Р3 = Vwnin.
Определим мгновенную мощность трехфазной цепи при сим-
метричном режиме работы:
p(t) = ua^a -г ивгв + ucic =
СО8й?£2щф cos(wt — (р)
+ /7тф cos(wt - 120°)2,пф cos(wt - 120° -<р) +
+ cos(wt + 120°) х /тф cos(wt +120° - ip) =
= ЗС/ф 7ф соз<рф = Р = const.
Таким образом, мгновенная мощность трехфазной цепи при
симметричной нагрузке не зависит от времени (т. е. постоянна)
и равна активной мощности всей.системы. Это свойство создает
благоприятные условия для работы трехфазного генератора, так
как вал генератора работает с постоянным моментом нагрузки.
Глава 11
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
И АКТИВНЫЕ ЦЕПИ
§11.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
11.1.1. Общие сведения
и классификация четырехполюсников
Рассмотренные в предыдущих главах
электрические цепи состояли из двухпо-
люсников, поведение которых полностью
определялось двумя величинами — то-
ком и напряжением. Четырехполюсни-
ком (ЧП) называется цепь, имеющая две
пары внешних выводов (четыре полюса),
с помощью которых он может присоеди-
няться к другим цепям или к источни-
кам. В теории четырехполюсников инте-
ресуются лишь токами и напряжениями
на внешних выводах и не рассматривают
Ui =Ьс с=$= и2
токи и напряжения внутри ЧП. Матема-
. J? тическое описание ЧП (математическая
+ г-р + модель) связывает между собой четыре
Ui [\z2 U2 величины, характеризующие его поведе-
Т ние относительно внешних выводов.
На рисунке 11.1а изображен четы-
Рис. 11.1 рехполюсник, выводы которого 1, 1' на-
зывают входом, а выводы 2, 2' —выходом. Четыре величины:
^i(s) = Ui, l\(s) = 7i, 1/2(9) = U2, /2(9) = I2 — это напряже-
ния и токи входа и выхода. Если рассматривается установивший-
ся синусоидальный режим, то вместо изображений напряжений
и токов следует взять комплексные величины напряжений и то-
ков. Иногда целесообразно применять другое направление токов:
h = “А и Из четырех величин две принимаются
Глава И
235
заданными, а две другие выражаются через заданные. Таким
образом, один и тот же ЧП можно описать шестью способами
(число сочетаний из четырех по два).
Четырехполюсники можно классифицировать по целому ря-
ду признаков. Приведем лишь основные из них. Как и другие це-
пи, четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные, пас-
сивные и активные, обратимые и необратимые. Обратимым на-
зывается ЧП, для которого справедлива теорема обратимости
(взаимности). Линейные пассивные четырехполюсники всегда
обратимы. Различают также симметричные и несимметричные
ЧП. Симметричными называют такие четырехполюсники, у ко-
торых перемена мест внешних выводов не приводит к изменению
режима работы остальной цепи. На рисунке 11.16 изображен
симметричный, а на рисунке 11.1s несимметричный ЧП.
11.1.2. Уравнения четырехполюсников
через у-параметры
Пусть известны напряжения на входе Ui и на выходе U2 четы-
рехполюсника. Необходимо выразить неизвестные токи Л и 12
через эти напряжения. По методу наложения имеем
~ IMu2=o + I12\u1=o = y^Ul+yi2U^
пеун — входная проводимость ЧП при.закороченном выходе,
з У12 — передаточная проводимость при закороченном входе.
Аналогично можно получить выражение и для тока 12.
Тогда уравнения ЧП через ^/-параметры записываются как
{Il =ynUi+yi2Uz, (111)
/2 = 2/21 Ui + У22^2.
Рассмотрим подробнее коэффициенты системы (11.1):
Уи = ly 0 — входная проводимость со стороны выводов 1,
1' при закороченном входе;
2/12 = |(/ -о — передаточная проводимость от выхода к входу
при закороченном входе;
2/21 = щ\и2=о — передаточная проводимость от входа к выходу
при закороченном выходе;
2/22 = “ вх°Дная проводимость со стороны выводов 2,
2' при закороченном входе.
236
Основы теории электрических цепей
Все у-параметры определяются в режиме короткого замы-
кания либо входа, либо выхода, поэтому их иногда называют па-
раметрами короткого замыкания. Если структура ЧП неизвест-
на, то эти параметры можно определить опытным путем, про-
делав опыты короткого замыкания входа и выхода и измеряя
соответствующие токи и напряжения.
Очевидны следующие свойства у-параметров. У обратимых
ЧП г/12 = 2/21, а у симметричных j/ц = у22 и yi2 = y2i.
Напомним, что линейные пассивные четырехполюсники всегда
обратимы. Таким образом, у линейных пассивных ЧП независи-
мыми являются три параметра, а у симметричных—два.
Систему (11.1) удобно записать в матричной форме:
2/11
.2/21
2/12
2/22
Vi
U2
Ui
U2
= Ы
Рис. 11.2
В качестве примера рассмотрим
определение у-параметров П-образ-
ного ЧП, схема которого изображена
на рисунке 11.2а.
Из опыта короткого замыкания вы-
хода (U2 = 0), по схеме рисунка 11.26
находим входную проводимость уи =
= 1/Zi 4- 1/Z2 = (Zi 4- Z2)/(ZiZ2).
По второму закону Кирхгофа соста-
вим уравнение для внешнего контура:
Z2I2 4- Ui = 0. Отсюда y2i = I2/Ui =
= -W
Аналогично по схеме цепи рисун-
ка Г1.2в находим у22 = 1/Z2 4- I/Z3 =
= (Z2 4- Z^j/^ZiZ^, yl2 = Ii/U2 =
= —1/Z2. Следовательно, матрица
у-параметров П-образного ЧП будет
Ы =
^1+^2
H1Z2
____1_
И2
__1_
5>2
Z2Z3
При Zi — Z3 четырехполюсник будет симметричным и тогда
выполняется уп = у22. Параметр yi2 можно было не опреде-
лять, так как 2/12 = 2/21 •
Глава II
237
• 11.1.3. Уравнения четырехполюсника
через z -параметры
Если необходимо выразить напряжения на входе и выходе че
рез заданные токи 7Х и /2, можно поступить аналогично тому
как это было сделано при выводе уравнений через у -параметры’
Но проще разрешить систему уравнений (11.1) относительно 1А
и U2. Тогда имеет место 1
Ui =
у2 =
h У12
h У22
Ду
2/11 Zi
2/21 h
Ду
ЩА - fth,
— — 4- У11 Го
Ду*1 ‘ Ду*2>
(Н-2)
где &у — главный определитель системы (11.1).
• Переобозначив коэффициенты, стоящие перед токами в си-
стеме (11.2) и имеющие размерность сопротивления, получим
систему уравнений через г-параметры:
U2 — Z2\I\ + *22^2-
Система (11.3) в матричной форме записывается как
1711 Г^и *12] [71
/г.'
=и
U2 *21 г22
Из (11.2) следует связь между г - и у-параметрами:
Ду
У31
- Ду
Ду
ан
Ду
Г 1 Zu Z12
z =
1 J p21 Z22
Раскроем смысл z-параметров: •
zn = I — входное сопротивление относительно выво-
JI 1/2=0
дов 1, 1' при разомкнутом выходе,
г12 = |/1=о — передаточное сопротивление от выхода к вхо-
* ду при разомкнутом входе;
* 21 = |/2=о — передаточное сопротивление от входа к выхо-
• Ду при разомкнутом выходе;
*22 = ^|^=о _ входное сопротивление относительно выво
дов 2/2' при разомкнутом входе.
238
Основы теории электрических цепей
Рис. 11.3
Все z-параметры определяются в режиме холостого хода
(XX) либо входа, либо выхода, поэтому г-параметры иногда на-
зывают параметрами холостого хода. Они могут быть определе-
ны либо опытным путем, если структура ЧП неизвестна, либо
рассчитаны при заданной структуре.
Свойства г-параметров аналогии-,
ны свойствам у-параметров, т. е. ^i2 =
= 221 Для обратимых ЧП, а для сим-
метричных ЧП 2ц = 222, Z12 = Z21-
Для примера определим 2-пара-
метры Т-образного ЧП, изображенно-
го на рисунке 11.3а.
Для цепи на рисунке 11.36 име-
ем Zm — + Z2, a L>2 — Z^I\.
Следовательно, выполняется 2ц =
= Zi + Z2, 221 = Z2. Для цепи
на рисунке 11 .Зе ZBX = Z2 + Z$, а
Ui = Z2I2. Следовательно, получим
222 = Zi2 + Z3, 212 — Z'2
Таким образом, 2-параметры Т-об-
разного ЧП (матрица [2]) записывают-
ся как
Zi + ^2 ‘ ^2
Z2 ^2 4;
11.1.4. Уравнения .четырехполюсника
через а-параметры
Уравнения через a-параметры устанавливают связи между
входными напряжением и током (Ui, Д) и выходными напря-
жением и током (U2,1'2).
Найдем Ui и Ц из системы (11.1). Из второго уравнения
этой системы при 1'2 = —Z2 получим
Ui =
3/21 У21
а из первого уравнения:
Г. - , УПУ22 ~ 3/123/21 ГТ 3/11 т/ _ &УТТ УП т/
1 W2 i2 ~------------б<2------Д-
3/21 ?/21 ?/21 3/21
Глава
239
таким образом, вводя новые обозначения, получим систем»
внении '•п'мУ
ftfi =ai1l/2 + ai2^,
= a2lU2 + а221^. <и-4)
Система (11.4) в матричной форме имеет вид:
Ui' _— <*11 <*12 — [л1 U2
h _<*21 <*22 j2. —1<*1 k •
Элементы матрицы [а]
следующим образом:
связаны с элементами матрицы [у]
_ 1 ‘
«21
_«U_
«21
«22
«21
У21
<*11
<*21
<*12 •
<*22
Раскроем смысл а-параметров:
[«] =
<*ii — и^|/2=о безразмерный коэффициент, обратный функ-
ции передачи по напряжению при разрыве выхода;
<*12 — тНуз-о — имест размерность сопротивления и явля-
ется величиной, обратной проводимости передачи при
короткозамкнутом выходе;'
a2i = |у2-о — имеет размерность проводимости и являет-
ся величиной, обратной передаточному сопротивлению при.
разомкнутом выходе;
а22 = 1^ 0 — безразмерный коэффициент, обратный функ-
ции передачи по току при короткозамкнутом выходе.
Укажем свойства a-параметров ЧП. Для обратимых ЧП
Да = ацй22 — <*12<*21 — (У22У11 ~ ^У)1У21 ~ У^/У21 — 1
(так как у12 = y2i), а для симметричных ЧП кроме того ап =
= <*22 (так как уп = у22). Это значит, что только три параметра
являются независимыми для обратимых четырехполюсников и
только два — для симметричных.
Определим для примера a-параметры четырехполюсни-
ка, изображенного на рисунке 11.1s. Из опыта холостого
хода (/2 = 0) найдем ац, а2\:
_ Ui Ii(Zi + &) _ , х gi
““ U2 Л^2
_ л _ л_________L
a2l~u^~hz2 z2
240
Основы теории электрических цепей
Из опыта короткого замыкания (U2 — 0) найдем а12 =
= 1.
Таким образом, матрица а-параметров ЧП:
Запишем уравнения (11.4) для режима холостого хода выхо-
да (Z2 = 0): t^lxx = а11 ^2; Лхх = °21^2 •
Эти же уравнения для режима короткого замыкания выхода
(772 = 0), будут: UiK3 = Акз = ^22^2 •
Следовательно, напряжение Ui представляет собой сумму
напряжений холостого хода и короткого замыкания выхода, а
ток Л — сумму токов при холостом ходе и коротком замыкании
выхода: Ui — СЛхх ^Лкз» Л = -Лхх 4~ Акз-
11.1.5. Уравнения четырехполюсников
через Ъ-, h- и д-параметры
Не делая подобных выводов, приведем оставшиеся три вида
уравнений четырехполюсника, которые могут быть получены из
предыдущих =
< U2 = buUi 4- &12/1
I2 — b2\U\ 4- &22^1 >
< U\ = hull 4- /112^2
I2 = /121 Ii 4- ^22^2,
< Ii = 9uUi + 912I2
U2 = 921U1 4- 022 A*
(11.5)
(П.6)
(H.7)
. Смысл коэффициентов в (11.5), (11.6) и (11.7) можно рас-
крыть, рассматривая холостой ход и короткое замыкание соот-
ветствующих выводов.
и .-. Так как один из 6 способов описания четырехполюсников
можно получить из другого, то, естественно, можно установить
связь между параметрами, что позволяет находить одну матрицу
параметров из другой.
Глава If
241
11.1.6. Эквивалентные Т- и П-образные
схемы замещения пассивных четыре^попюсниио,
Два ЧП называются эквивалентными по отношению к внешним
выводам, если соответствующие параметры у них ОдивХы
Это значит, что при замене одного ЧП другим не должен “ме-
няться режим работы остальной части схемы. Целесообоазно
использовать эквивалентные схемы четырехполюсников с ми
нимальным числом элементов. Для пассивных ЧП часто иГ
пользуют эквивалентные Т- и П-структуры, состоящие из трех
элементов. . 1
Пусть у четырехполюсника произ-
вольной структуры (рис. 11.4а) извест-
на матрица [?/]. Требуется заменить его
эквивалентным П-образным четырех-
полюсником, изображенным на рисун-
ке 11.46, т. е. определить значения Ух,
У2, и Y3 по заданным у-параметрам
исходного четырехполюсника.
Матрица [?/] П-структуры была по-
лучена ранее в примере 11.1.2. Тогда
У1+У2 -*2 ] = Гз/и 3/12‘
-У2 У2 + *з] L^i У22.
Следовательно, четырехполюсники
Рис. 11.4 будут эквивалентны, если Ух + У2 =
- Уи, 2/12 = -У2, У2 + Уз = У22- Отсюда находим: У2 = -yi2,
~ Уи — .^2 = Уп 4- 3/12, Уз = ?/22 - У2 = Z/22 + У12» ЧТО
отражено на рисунке 11 Ав.
Получим по известной матрице [г] произвольного четырех-
полюсника (рис. 11.5а) эквивалентный ему Т-образный четы-
рехполюсник .(рис. 11.56). Для определения неизвестных
значений , Z2 и Z3 приравниваем матрицы [z] обоих ЧП
(см. 11.1,3):
Г^П 2121 _ ^1 + ^2 ^2
^21 ^22. ^2 ^2 +
Из равенства коэффициентов находим: Z2
- 1 — z12 , Z3 = ^22 ~ ^12 •
9-1810
Естественно, что параметры эквивалентного четырехпо-
люсника можно выразить и через элементы других матриц.
Так, на рисунке 11.5в приведен тот же Т-образный ЧП, со-
противления которого выражены через элементы матрицы [а]
исходного ЧП.
§ 11.2. ВХОДНЫЕ
И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
НАГРУЖЕННОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
11.2.1. Входные функции
Четырехполюсник часто используется в режиме, когда к его вы-
ходу подключена нагрузка с сопротивлением ZH(s) = ZH, а
на вход подается сигнал напряжения или тока (см. рис. 11.6а).
В этом режиме легко определить такие важные характеристи-
ки, как входное сопротивление, функции передачи по напряже-
нию и по току, если известны те или иные матрицы параметров
четырехполюсника.
Для нагруженного четырехполюсника уравнения нагрузки
• имеют вид 172 = Z,, Г2 = уци2-
Определим входное сопротивление со стороны выводов 1,1'
через элементы матрицы [а]:
„ Оц?72-f-д12Д ®11^н+О12
"ВХ1 — ~г~-----—-------- = -----------.
Ч Я21С/2 + а22^2 O2iz^j| + 022
Рис. 11.6
Глав0 //
243
(Н.9)
Z21
Если использовать уравнения через г-параметры, то
7 _ Л +Z12/2 Д
ПХ1 " Л Л--------------- = «и +«12-~-
1 Л
Из второго уравнения системы (11.3) имеем
Г, _ _1_ГГ г22 Т
U2------12.
221
Подставим (11.9) в (11.8)
7 _ ~ । ~ 2:21/2 2:12221
"8X1 — 2:11 4- 2:1277---— =2ц--------.
U2 — 222/2 ZH 4- Z22
Аналогично можно получить выражение для входной прово-
димости через ^-параметры:
Y - 1
*8X1 — —
"ВХ1
3/122/21
= Уп ~ ТГ—-----------•
*Н + У22
Если нагрузка подключена к выводам 1, 1', а сигнал пода-
ется к выводам 2, 2' (см. рис. 11.66), то, учитывая, что Ui =
= ZH/J, а /{ = YHUi, можно получить выражение для входного
сопротивления со стороны выводов.2, 2':
U2 _ bnUi 4- 612/1 •_ а22^Л 4- G12/1 _ «22^н 4- «12 .
/2 621^/1 4-622Л «21^/1 4" «11/{ «21^ц4-«Ц
здесь учтено, что элементы матрицы [6] связаны с элементами
матрицы [а] следующим образом: 6ц = «22. 612 = «12. 621 =
= «21 , 622 = «11 • -
Входное сопротивление ZBX2 через элементы матриц [2] и [у]
будат 7 Y _v
ZBX2 = Z22 — А7 . ; гвх2 — У22 у , •
ZH 4-2ц zh -r yu
Тогда получим для частного случая короткого замыкания
. (ZH = 0) «12
"8X1 —
«22
7 - g12
^вх2 — п
«И
и для режима холостого хода
7 ап
"8X1 - >
«21 •
7 -
Aix2 — п
«21
9
244
.Основы теории электрических цепей
11.2.2. Передаточные функции
Функция передачи ЧП по напряжению через а-параметры будет
следующей: Ц2 _ 1
Ui (I11U2 + «12-^2 «11+УЙ«12
Эта же функция через у-параметры записывается как
_ U2 = 2/21^2 _ ~ 2/21 .
U U1 /2 — 2/22^2 Ун 4- 2/22 ’
здесь Ui выражено через I2 и U2 из второго уравнения систе-
мы (11'. 1) с учетом того, что h = “Ун #2 •
Не делая подобных выводов, приведем выражение функции
передачи по напряжению через z-параметры.
и — 41 — Z2X
U~U, ” zn + Д^,’
где Д2 — главный определитель матрицы [я].
Функция передачи по току через a-, z- и 3/-параметры сле-
ДУЮЩаЯН/ = 11= 1 = *21 = -2/21
Л «22 + ^н«21 ^н+^22 2/11 +Ду^н’
где —главный определитель матрицы [у].
В режиме холостого хода (ZH = 00, Ун — 0) имеем
нихх = -^~ = -р1- = ~> HiXX = О,
«11 2/22 г11
а в режиме короткого замыкания (ZH = О, К = оо)
Лукз = 0, И,кз = — = —.
«22 2/11
§ 11.3. СОЕДИНЕНИЯ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Четырехполюсники можно соединять друге другом, врезультате
чего образуется более сложный четырехполюсник. Различают
следующие виды соединений.
1. Последовательное, когда^ входы (выходы) соединены по-
следовательно.
Глава 1 /
245
2. Параллельное, когда входы (выходы) соединены парал-
лельно.
3. Каскадное, когда выход одного четырехполюсника соеди-
нен с входом другого.
4. Последовательно-параллельное, когда входы соединены
последовательно, а выходы — параллельно.
5. Параллельно-последовательное, когда входы соединены
параллельно, а выходы — последовательно.
Если структура ЧП известна, то его можно в общем случае
разбить на более простые четырехполюсники, соединенные тем
или иным способом. Поэтому целесообразно выяснить, каким
образом может быть определена та или иная матрица парамет-
ров сложного ЧП, если известны матрицы техчетырехполюсни-
ков, из которых образован сложный ЧП.
11.3.1. Последовательное соединение
четырехполюсников
На рисунке 11.7а представлен ЧП, образованный последова-
тельным соединением двух ЧП с матрицами [г]1 и [z]2 •
Если в результате соединения режим работы четырехполюс-
ников не нарушается, т. е. остаются та-
кими же, как и до соединения, при протекании указанных на
рисунке 11.7а токов Ii и 1%, то такое соединение называется
регулярным. В этом случае
Ur'
.^2.
и™\ + [и^
Таким образом, матрица [z] четырехполюсника равна сумме
матриц [z] соединяемых последовательно четырехполюсников.
Если последовательно будет соединено п четырехполюсни
ков и это соединение регулярно, то
[z] = [z]i + И2 + Из + • • • + И«-
Для выяснения регулярности соединения необходимо со
единить последовательно входы .и измерить или расе
246
Основы теории электрических цепей
Рис. 11.7
напряжение между, подлежащими соединению выходными вы-
водами, не соединяя их. Это напряжение для регулярного соеди-
нения должно равняться нулю. Такие же измерения или расчет
нужно повторить соединив выходы последовательно, и опре-
делить напряжение между подлежащими соединению входны-
ми выводами. Это напряжение тоже должно равняться нулю.
На рисунке 11.76 приведен пример нерегулярного, а на рисун-
ке 11.7в регулярного последовательного соединения. При регу-
лярном соединении матрица параметров каждого из ЧП долж-
на оставаться такой же, какой она была до соединения. Так, в
результате нерегулярного соединения (см. рис. 11.76) сопротив-
ления Z4 и Zs в схеме второго ЧП оказались соединенными
параллельно, что приводит к изменению матрицы [я] этого ЧП;
кроме того Ц Ц, т. е. нарушено требование неизменности то-
ка 71, протекающего со стороны выводов 1, 1' каждого из ЧП
на рисунке 11.7а.
11.3.2. Параллельное соединение
четырехполюсников
На рисунке 11.8 представлен четырехполюсник, образован-
ный параллельным соединением двух ЧП с матрицами [т/]х
и [у]г-
Если в результате соединения режим работы четырех^
полюсников не нарушается, т. е. токи остают-
ся такими же, как и до соединения при действии напряжений Ui
и U2, то такое соединение называется регулярным.
Глава t!
Рис. П.8
В этом случае
т. е. матрица [?/] четырехполюсника.равна сумме матриц [у] со-
единяемых параллельно четырехполюсников. Если параллельно
соединено п четырехполюсников и это соединение регулярно, то
М = Mi + М2 + • • • + Мп-
Для ответа на вопрос, является ли соединение регулярным,
необходимо входы ЧП соединить параллельно, а выходы каж-
дого четырехполюсника замкнуть накоротко. Далее следует из-
мерить или рассчитать напряжение между короткозамкнутыми
выходами. При регулярном соединении это напряжение долж-
но равняться нулю. Такие же опыт или расчет надо повторить,
поменяв местами входы и выходы.
11.3.3. Каскадное соединение четырехполюсников
Каскадное соединение четырехполюсников представлено на ри-
сунке 11.9а. Как видно из схемы, каскадное соединение всегда
обладает следующими свойствами:
_/(>)=/И = (11.10)
248
Основы теории электрических цепей
Рис. П.9
Уравнения через a-параметры первого и второго четырехпо-
люсников следующие
Л
И
(2)
z{2)
= [«12
и2
Ji.
С учетом (11.10) запишем:
Таким образом, матрица [а] каскадного соединения ЧП
равна произведению матриц [а] отдельных четырехполюс-
ников. Если каскадно соединено п четырехполюсников, то
общая матрица [а] будет:
[а] = [а]1 [а]2... [а]п.
Так как условие (11.10) всегда выполняется, то каскадное
соединение регулярно. Полученные результаты целесообразно
использовать также для определения матрицы [а] сложных че-
тырехполюсников, разбивая их на’ простейшие каскады, как это
показано, например, на рисунке 11.96. Найдя матрицы простей-
ших четырехполюсников, далее определяют общую матрицу:
Н = [а]1[а]2[а]3.
Глава //
249
11.3.4. Последовательно-параллельное
соединение четырехполюсников
Рис. 11.10
Последовательно-парал-
лельное соединение четырех-
полюсников приведено на ри-
сунке 11.10а. Уравнения че-
рез /г-параметры отдельных
четырехполюсников:
При регулярном соедине-
нии режим работы не изме-
няется, и тогда Ui = 4-
+ С/1(2)Д2 = 41)+42), сле-
довательно,
Таким образом, матрица [Л] при последовательно-парал-
лель ном соединении ЧП равна сумме матриц [/г] отдельных
четырехполюсников. Если таких четырехполюсников будет п, то
[/г] = [A]i + [Л]г 4--Ь [^]п-
11.3.5. Параллельно-последовательное
соединение четырехполюсников
На рисунке 11.106 представлен четырехполюсник, образо-
ванный параллельно-последовательным соединением двух
четырехполюсников с известными матрицами [<?]i и [р]з-
Не делая очевидных теперь выводов, отметим, что в этом
25Q Основы теории электрических
случае будут складываться матрицы [р] отдельных четы-
рехполюсников.
Таким образом, [#] = [<?] 1 + [р]г + • • • + [g]n, если п четы-
рехполюсников соединены параллельно-последовательно и это
соединение регулярно.
§ 11.4. ЦЕПИ С ЗАВИСИМЫМИ ИСТОЧНИКАМИ
И НЕОБРАТИМЫМИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКАМИ
11.4.1. Зависимые источники
и их свойства
У рассмотренных ранее пассивных RLCM-цепей выпол-
няется принцип взаимности (обратимости, пассивности):
Yn_m = Ym-n, т. е. указанная функция передачи цепи в прямом
и обратном направлениях одинакова. Однако на практике пре-
обладают цепи преимущественно с односторонним направлени-
ем передачи сигналов. Это так называемые активные (необрати-
мые) цепи, у которых принцип обратимости несправедлив, а схе-
ма замещения содержит хотя бы один необратимый элемент, т. е.
зависимый источник (ЗИ).
Существует 4 типа зависимых источников.
1. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ), — это
ЧП, схема которого приведена на рисунке 11.11а, причем ЗИ,
в отличие от независимых источников, изображают «ромби-
ком». Очевидно, что уравнения z-формы ЧП и, соответственно,
матрица z -параметров имеют вид
ft/i(s)=O + O ГО О’
p2(s) = ^7i(5) + 0-Z2(s), . 0J ’
т. е. условие обратимости ЧП не выполняется: zi% 221 •
2. Источник напряжения, управляемый напряжением
(ИНУН), — это ЧП, изображенный на рисунке 11.116, имею-
щий уравнения а-формы:
(/i(s) = (j^W) + 0(-z2)
Zi(s) = o + o,
^7
О
[а] =
О’
0] ’
т. е. условие обратимости не выполняется: 1.
3. Источник тока, управляемый током (ИТУТ), — это ЧП
вида рисунка 11.11 в.
Глава И
4. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) — это
ЧП, изображенный на рисунке 11.11г.
Свойства ЗИ:
1. Необратимость.
2. Входная мощность px(t) = ui(Z)ii(t) = 0.
3. Способность в некоторые моменты времени генери-
ровать энергию, например, в схеме ИТУН (см. рис. 11.11г),
PM = Wi(Z)ii(t) + u2(t)i2(t) = 0 + ^н(-гн) = < 0-
Элемент, энергия которого в некоторый момент времени ta
может быть отрицательна, называется активным элементом:
И'акт(^а) < 0.
Примечание. С рассмотренных позиций независимые источники в цепи яв-
ляются активными элементами, однако на практике, когда говорят об актив-
ных цепях, имеют в виду цепи с необратимыми ЧП, т. е. цепи с ЗИ.
11.4.2. Схемы замещения необратимых ЧП
У необратимых ЧП независимы все 4 параметра, поэтому экви-
валентная схема замещения необратимого ЧП должна содержать
4 элемента, из которых хотя бы один — зависимый источник.
На основании z -формы уравнений ЧП составим схему заме-
щения необратимого ЧП с двумя ЗИ. Уравнения
Ui(S) = ZnAts) + Z12I2(s), = 22J1(s) +
трактуем как уравнения закона напряжений Кирхгофа (ЗНК) в
схемах последовательно соединенных цепей, которые изображе-
ны на рисунке 11.12а и содержат два ИНУТ.
252
Основы теории электрических цепей
Рис. 11.12
Уравнения у -формы ЧП
Л(«) = З/li («) + 2/i2t/2(s),
Л(«) = 2/21&Л («) +?/22^Л(в)
трактуем как уравнения
закона токов Кирхгофа
(ЗТК) параллельного со-
единения элементов в эк-
вивалентных схемах заме-
щения, которые изобра-
жены на рисунке 11.126
и содержат два ИТУН.
Примечание. Указанные схемы могут быть использованы и для опи-
сания пассивных ЧП, однако для пассивных ЧП проще использо-
вать Т- или П-образные эквивалентные схемы замещения с тремя
элементами.
В качестве примера также
рассмотрим распространенную
линеаризованную схему замеще-
ния транзистора на НЧ в режи-
ме малых приращений перемен-
ных в окрестности рабочей точки.
Транзистор (рис. 11г13а) удоб-
но рассматривать как четырех-
полюсник, поэтому изображения
приращения токов базы Б, кол-
лектора К, эмиттера Э ДгвЛ),
•Aii<(t). Д*э(0 и напряжений
Au&(t), Д17к(0 запишем, ис-
пользуя стандартные обозначе-
ния четырехполюсника (в дан-
ном частном случае — трехпо-
люсника). Т-образная схема за-
мещения, приведенная на рисун-
ке 11.136, содержит 3 пассивных
Рис. 11.13
элемента, которые обычно условно называют сопротивлениями
базы /?б, эмиттера и коллектора R^, и один ЗИ типа ИТУТ,
коэффициент передачи у которого 0 < а < I (обычно параметр
а близок к 1). На практике очень часто сопротивление нагрузки
Глава II
253
транзисторной схемы Л„ « rKi д, „
этому, пренебрегая сопротивлениями элементов р р ' S’"
получим часто используемую в оценочных расчетах ппДЪ К'
ягьтажа-те:
й .is-*
г / \ /
11.4.3. Расчет схем с зависимыми источниками
Основная идея расчета: необратимый ЧП представляют.эквива-
лентной схемой с ЗИ, далее применяют любой метод" расчета,
уравнения используемого метода дополняют уравнениями для ЗИ.
Для примера приведем схему (рис. 11.14а) некоторой цепи,
содержащей транзистор Т (т. е. необратимый ЧП). Необходимо
найти функцию передачи по напряжению Ни = Двых/Увх-
Используя эквивалентную схему замещения транзистора
(см. рис. И. 136), переходим к эквивалентной схеме, представ-
ленной на рисунке 11.146.
Используем для расчета, например, метод контурных токов
(МКТ). Поскольку число независимых уравнений пд\кт = пяч =
= 4, будем иметь 4 уравнения МКТ для схемы рисунка 11.146:
(J?i + Дб 4- Дэ)^1 + Лэ^2 + 0 ’ ^з + -^1^4 ~ ^bxj
+ (Лк. + + -Rh)^2 — ^К^з ~ = О,
< Лк = <*h,
иа* - ад + о • + (Ri + л2 + ад4к = ит,
(Тзи = а1з = + /2)>
причем пятое уравнение—это дополнительное уравнение для ЗИ.
Рис. 11.1^
254
Основы теории электрических цепей
11.4.4. Формализованный метод контурных токов
для расчета цепей с необратимыми ЧП
Используем следующий порядок расчета, рассматривая в каче-
стве примера схему, представленную на рисунке 1 1.14а:
I. Используя уравнения г-формы необратимого ЧП, заме-
няем его (см. рис. 11.12а) эквивалентной схемой с двумя ЗИ
типа ИН УТ.
В рассматриваемом примере получим цепь, представленную
на рисунке 11.15а.
Примечание Если z-параметры необратимого ЧП неизвестны, их необ-
ходимо определить, используя известные параметры ЧП или схему заме-
щения ЧП (например, необходимо найти z -параметры схемы замещения,
изображенной на рисунке 11.136).
2. Записываем уравнения МКТ, но напряжения ЗИ остав-
ляем в левой части уравнений, используя, следовательно, для
них обычное правило знаков ЗНК. В матричной форме имеем
+ р7зи] = .(11.11)
где [2Гд] и обычные матрица сопротивлений МКТ и мат-
рица контурных токов, [£7ЗИ] и [£7К] — матрицы напряжений
зависимых и независимых источников.
Рис. UJ5
Глава И
255
рекомендации:
а)
б)
на практике выгоднее не использовать
записи уравнений МКТ;
матричную форму
целесообразно выбрать независимые контуры так, что-
бы токи ЧП были контурными, и присваивать им первые
номера.
Так, в схеме рисунка 11.15а имеем пмкт =
соответствии с рекомендациями составляем систему:
f ((ft + *11)ЛК +0 II + + 2|2/ЧП =
< [0 Я 4 (z22 + - ЗД + Z21 /;|П = О,
t [^1-^1 ~~ Т" (7?1 + + 7?н)7з] 4- 0 = 7/вх.
3. Выражаем напряжения ЗИ [С7ЗИ] .через токи ЧП [7ЧП],
а токи ЧП — через контурные токи [7К]; получаем уравнения
[77зи] = [Zb] [7к] , подставляя которые в (11.11), находим обоб-
щенные уравнения формализованного МКТ:
([^а] + [Zb]) [7к] = [С/к].
В рассматриваемом примере напряжения [С7ЗИ] уже вы-
ражены через токи [7ЧП]. Осталось использовать уравнения
7[!П = Ц, 7з!П = 7£ и привести подобные члены:
Г (7?i + znVi + Z12I2 + 7?17з = С7ВХ,
\ ^211* + (-222 + Rit)^2 ~~ R»^3 =
[ 7717* — 7?ц72 + (7?i R2 + 7?н)7з = С7»х-
11 .4.5. Формализованный метод
.узловых напряжений
для расчета цепей с необратимыми ЧП
Последовательность расчета дуальна изложенной ранее. В ка
честве примера рассматриваем схему, приведенную на рисун
ке!Г.14а.
1. Используя уравнения у -формы необратимого 411 заме-
няем его (см. рис. 11.126) эквивалентной схемой с двумя ЗИ типа
ИТУН.
256
Основы теории электрических цепей
В рассматриваемом примере при этом получим схему, изоб-
раженную на рисунке 11.156.
Примечание. Если у-параметры необратимого ЧП не заданы, их необхо-
димо определить по известным параметрам иной формы уравнений ЧП (на-
пример, рассчитать у-параметры по z-параметрам) либо по известной схе-
ме замещения необратимого ЧП (в примере — по схеме, изображенной на
рисунке 11.136).
2. Записываем уравнения МУН, но токи ЗИ оставляем в ле-
вой части уравнений, используя для них обычное правило знаков
ЗТК(вытекающиеиз рассматриваемого узла токи ЗИ записыва-
ем со знаком «плюс»):
[гурт] + [Гзи] = [Р], (11.12)
причем в (11.12) [Уд] и [С7у] — обычные матрицы проводимо-
стей МУН и узловых напряжений (отсчитываемых относитель-
но базисного узла); [/зи] и [Zy] — матрицы токов зависимых и
независимых источников токов.
Рекомендации:
а) на практике выгоднее вместо матричной формы (11.12)
использовать обычную систему уравнений МУН;
б) целесообразно базисный узел цепи выбрать так, чтобы
напряжения необратимых ЧП по возможности были уз-
ловыми напряжениями, и присваивать им первые номера.
В схеме, изображенной на рисунке 11.156, выбрав указанную
нумерацию узлов, получим следующие уравнения МУН:
Г (G’i + G2 + — G2U2 — + т/12^21Л -- О»
< [~G2U* + (G’2 + G„ + У22)и% + о • U%] + У2Х {/[!П = о,
t ~ ^вх-
(11.13)
3. Выражаем токи 314 (1ЗИ ) через напряжения необрати-
мых ЧП (U ,п ), а напряжения ЧП — через узловые напряже-
ния (С7у). Получаем уравнение [7ЗИ] = [У^][[/У], подставляя
которое в (11.12), записываем обобщенное матричное уравнение
формализованного МУН:
ИУа] + [МИ = [/У].
Глава //
257
В уравнениях (11.13) примера токи ЗИ выражены через на-
пряжения необратимого ЧП; осталось осуществить подстановку
#чп _ и?' [/ЧП _ [/У после чего получаем:
((71 + (?2 + + (—(?2 + 2/12)172 — (?11/вх = О,
(—(?2 + 2/21 )17| + (<?2 + (7н + 2/22)1^2 = 0.
11.4.6. Использование формализованных МКТ и МУН
для расчета индуктивно связанных цепей
Уравнения индуктивно свя-
занной цепи, схема которой
приведена на рисунке 11.16,
подобны z-форме уравнений
ЧП:
(Ui = sLih + sMI2;
= "Ь sL2l2t
A(s) Zm — sM
ui(s) S <! ' ад
Zia = sLi j C ZlzIs) = sLz
Рас. 11.16
(11.14)
где Z\ 1 = Zli , Z22 = %L2» 212 = 221 = •
'Запишем уравнения (11.14) в матричной форме:
или, сокращенно,
Ui] _ c \Li М] [I/
у2] “ 5 [М L2j |Z2J ’
М = s[L][Zl],
где так называемая матрица индуктивностей
Ьц Ll2 _ Li М
L21 L22 М L2
(И.15)
(11.16)
ВЫВОД’, для расчета индуктивно связанных цепей можно
использовать формализованный МКТ, если рассматривать
схему, приведенную на рисунке 11.16, как ЧП с параметрами
211 = sLu , Z22 — SL22» 212 — 221 = sLi2 = sL2i = sM.
Для применения формализованного МУН при расчете ин-
дуктивно связанных цепей необходимо найти У-параметры схе-
мы (рис. 11.16). Для этого необходимо решить^ 11.14) относи-
тельно токов либо обратить уравнение (11.15):
и=iA-ш-та.
(11.17)
258
Основы теории электрических цепец
Записав транспонированную (11.16) матрицу
и используя ее алгебраические дополнения, находим обратную
матрицу:
щ-1 =-1 [ "Ь121 = [г“ г121=(г]. (11.18)
1 1 Д^ [—7^21 Ml J L 21 22J '
где Г — матрица обратных индуктивностей, Al = Mi £22 -
- L12L21 — главный определитель матрицы [L].
. Таким образом, в соответствии с (11.17), (11.18) найдены
г/-параметры ИС-цепи как ЧП:
Гц _ L2
ш = V - ЙТ’
Г22 Li
’Л2 = т = те;:
Г12 -М
У\2 = --- = —7-----2/21
$ sAl
Примечание. При совершенной машитной связи, т. е. при fcCB =
= \М\/у/L1L2 — 1, имеем Дь = L1L2 — Л/2 — 0, следователь-
но, матрица обратных индуктивностей не существует и применить МУН
невозможно.
§ 11.5. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ
С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ
11.5.1. Идеальный операционный усилитель
и его свойства
Идеальный операционный усилитель (ОУ) — это ИНУН,
схема которого, приведена на рисунке 11.17а, условное
обозначение — на рисунке 11.176, а предельно упрошен-
ное, но часто используемое условное обозначение — на
рисунке 11.17в.
Свойства идеального ОУ очевидны из анализа рисунка 11.17:
1. Входные токи отсутствуют, т. е. 7^у(з) = 0.
2. Коэффициент усиления бесконечен, т. е. А?оу = 00 (ес“
ли fcoy 7^ 00, его значение указывают внутри «треугольников»,
изображенных на рисунке 11.17б,е, вместо знака «оо»).
Глава II
259
з. iff = 0, поскольку и™ = C/B°y/fcoy , следовательно,
входы 1 и 2 у ОУ эквипотенциальны.
Примечание. Достоинство обозначения ОУ на рисунке 11.17в— простота,
недостаток — не очевиден «путь» протекания выходного тока ОУ
11.5.2. Использование простейших схем на ОУ
для реализации математических операций
и решения уравнений состояния
Основная, так называемая «решающая схема на ОУ» изобра-
жена на рисунке 11.18а.
Примечания (к рис. 11.18а):
1. Вход « 4-» ОУ непосредственно соединен с базисным узлом цепи (обыч-
но, это корпус реального прибора —«земля»).
2. Очень часто этот базисный узел вообще не показывают на схеме, опус-
кают и знак « +» в обозначении ОУ (т. е. используют так называемый
Рис. 11.18
260
Основы теории электрических цепей
ОУ с одним входом, в отличие от приведенного выше ОУ с двумя входа-
ми, так называемого дифференциального ОУ).
3. Проводимость Уо(«) часто называют проводимостью обратной связи,
поскольку элемент Уо соединяет вход и выход ОУ.
Для схемы рисунка 11.18а уравнение ЗТК имеет вид •
f>(s) = /(>(»),
ИЛИ л=1
£y„(s) [ад - уО-0] = ад .
k=l
Поскольку входные узлы ОУ эквипотенциальны, то U^. = 0,
следовательно, формула «решающей схемы на ОУ»
-1 п
^BUx(s) = £адад. (И.19)
ВЫВОД: схема реализует операции инверсии (т. е. обра-
щения знака), независимого суммирования входных сигна-
лов и умножения на передаточные функции Y};(s)/lo(s) по
каждому входу.
Рассмотрим частные случаи.
1. Схема, изображенная на рисунке 11.186, в соответствии
с (11.19) описывается уравнением г,
ТТ f \ “б'вхСг!
^вых(в) = —,
т. е. реализует умножение на постоянный коэффициент с инвер-
сией знака.
2. Схема, указанная на рисунке 11.18в, описывается урав-
нением ' t
Gi Gt
^bux(s) = ^bx(s) -г-г4выХ(£) = - —- /uBX(t)rft,
Ь'О5 Cq J
т. e. реализует операцию интегрирования с умножением на по-
стоянный коэффициент и инверсией знака (если же входов
несколько, то реализуется и независимое суммирование).
3. Схема, изображенная на рисунке 11.18г, в идеале описы-
вается уравнением
^ых(з) = -гщвых(«) = _£i.u' (4),
^0 Go
Глава И
261
однако на практике операцию дифференцирования реализовать
невозможно, поскольку АЧХ схемы |Сг jw/G0| -» оо пои w ™
оо, т. е. высокочастотная помеха неограниченно усиливается
и нормальный режим работы ОУ нарушается
Примечание. При решении уравнений состояния
«[%«(«)] = [А][С7вых(з)] + [#J({7BX(s)J, ц j 20)
систему (11.20) можно преобразовать к виду
[С/оых(»)] = - ((A][UbuX(s)] + (B][CJBX(s))), (11.21)
а для решения (11.21) необходимо, как видно, реализовать операции инте-
грирования и независимого суммирования с умножением на различные ко-
эффициенты, что и обеспечивает на основании (11.19) «решающая схема иа
ОУ», показанная на рисунке 11.18а.
11.5.3. Особенности применения МУН
при расчете схем с ОУ
При расчете цепей с ОУ необходимо иметь в виду следующее:
1. Составляют обычные уравнения МУН для всех незави-
симых узлов цепи, кроме выходных узлов ОУ (так как выходные
токи ОУ /^(s) неизвестны — см рис. 11.17).
2. В качестве дополнительных уравнений МУН использу-
ют третье свойство идеального ОУ — эквипотенциальность его
входов при /соу = оо.
Примечание. Если &оу оо, в качестве дополнительного уравнения МУН
используют уравнение ОУ как ИНУН, указанное на рисунке 11.17а:
= *ОУ (t®(«) " •
11.5.4. Использование схем с ОУ
для преобразования сопротивлений
Среди задач современной электроники отметим две:
1. Реализацию отрицательных сопротивлений (R < ).
необходимых, например для компенсации активных потерь в ре
альном LC-контуре, что позволяет создать генератор незатухаю
щих синусоидальных сигналов.
2. Реализацию характеристик идеальною элемента
без использования реальных катушек индуктивности (ооычно
262
Основы теории электрических цепок
имеющих большие габариты и активные потери, слож-
ных в изготовлении, обладающих значительным разбросом
значений L, нелинейностью и недостаточным диапазоном
Исходная схема решения ука-
занных задач приведена на ри-’
сунке 11.19а. Уравнения МУН
схемы имеют вид: U3X = U^;
(Г1 + Уо1)£/2У-1г^з=0,адо-
полнительное уравнение: U% =
= U\ = С/вх.
В результате получим: (Yj 4-
+ YOi)(/Bx = УЬ1#з, откуда Ul =
= (1 + Yi/YoiMx- Тогда входной
ток цепи будет /вх = Уо2(^вх -
-Ul) = Yo2U^-l-Yi/Yoi) =
= -Уо2У1С/вх/Го1 •
Таким образом, входная. •
проводимость цепи записыва-
ется как
Твх(з)
^вх(з)
— YBX(s) —
ГО2(3)У!(3)
-Уо1(з)
(11.22)
Рассмотрим частные случаи (11.22).
1. При 1о2 = Gw, Yi = Gi, Yoi = <?oi получим YBX =
= —Gq2Gi/Gqi = — Gэкв, т. о. схема реализует характеристики
Я-элемента с отрицательным сопротивлением.
2. При У02 = <?02, У! = Gi, Yqi = Cqis , получим
£*02^1 _ 1
Cois L3si
т. е. схема реализует характеристики L -элемента с отрицатель-
ной индуктивностью. Чтобы получить положительную индуктив-
ность, необходимо реализовать отрицательную проводимость
= —Gi с помощью рассмотренной схемы частного случая 1,
как показано на рисунке 11.196.
Глава II
263
11.5.5. Об устойчивости цепей с ОУ
Если во всех рассмотренных ранее схемах с ОУ поменять ме-
стами входы « + » и «-» у ОУ, то при fcOy = оо полученные
результаты формально не изменяются. Однако у реальных ОУ
fcoy / 00 <хотя fcoy очень велико), и в этом случае наличие
малых «паразитных параметров» цепи, например входной емко-
сти Сп, может привести к потере цепью устойчивости, т. е. к по-
явлению положительных корней характеристического полинома
(ХП)цепи.
Действительно, рассмотрим простейшие схемы с ОУ, изоб-
раженные на рисунке 11.20 и соответствующие в целом рисун-
ку 11.1 86.
Рис. 11.20
Уравнения МУН имеют вид Ul = С4х»(Gi + Go + CnsjUl -
- qjj? _ = о. Дополнительное уравнение для схемы,
показанной на рисунке 11.20 будет a, U% = (0 — t^)^oy'» в
результате получим (Gi + Go + CnsjCZj + ^oyGo^a = GiU^,
т. е. ХП цепи является (Gi + Go + &oyGo) + Gns = 0, корень
ХП — (Gi + Go + kGo)/Cn < О
расположен в левой полуплоскости и цепь устойчива.
В то же время дополнительное уравнение для схемы, пока
занной на рисунке 11.206, С7з = G^oyJ откуда имеем
(Gi + Go + Cas)Ul - ko^GoUl = GiUx,
т. e. ХП цепи (_fcoyG0 + Go + Gi) + Gns = О,
корень ХП si = (fcoyGo - Go - Gi)/Gn > 0 при~боль
значениях А?оу > 0 и, следовательно, цепь неУс1^ НРОбходимо
Поэтому в общем случае сложных схем с устойЧН-
анализировать влияние паразитных параметр
вость цепи.
г лава 12
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРОВ
§ 12.1. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
12.1.1. Определение резонансных частот
реактивных двухполюсников
Считаем, что R-элементы отсутствуют. Следовательно, в уста-
новившемся синусоидальном режиме входное сопротивление
(проводимость) идеального LC-двухполюсника (ДП) содержит
только мнимую (реактивную) составляющую
ZLc(ju) = YLC(jw) =
причем очевидно, что _i
= (12.1)
На частоте резонанса напряжений о>рН, когда = О,
из (12.1) имеем , . п м ч /юоч
я(а>рН) = 0, &(а>рН) = оо, (12.2)
т. е. LC-двухполюсник эквивалентен короткозамкнутому участ-
ку цепи (КЗ), а на частоте резонанса токов а>рт, когда ImYic =
Ь(^рт) = 0, а^Цуг) = оо, (12.3)
при этом LC-двухполюсник эквивалентен разорванному участ-
ку цепи — холостому ходу (XX).
Чтобы найти резонансные частоты, вначале записывают опе-
раторное сопротивление Zlc(s). Нули SQk (т. е. корни числите-
ля Zlc ) и полюсы Sk (т. е. корни знаменателя Zi,c) определяют
резонансные частоты о>рН и а>рт (здесь к — номер корня).
Действительно, как показано в § 6.4, нули и полюсы вход--
ного сопротивления двухполюсника — это собственные частоты
ДП (корни характеристических уравнений ДП) соответственно
в режимах его КЗ и XX. Поскольку активных потерь в LC-ДП
Глава 12
265
нет, собственные частоты располагаются на мнимой оси ком
плексной плоскости, т. е. имеем нули зОл = >04 = По-
скольку при этом ^LcO^ofc) = 0, что соответствует^ 122)
Аналогично, полюсы будут sk = j„k = так как
Zlc(M-) = 00» что соответствует (12.3).
12.1.2. Свойства частотных характеристик
реактивных двухполюсников
1. Мнимые частотные характе-
ристики х(ш) и Ь(ш) являются на-
растающими функциями, т. е. их про-
изводные будут
^)>0, ^>0. (12.4)
дм ом '
Докажем (12.4) по крайней-ме-
ре для ДП лестничной структуры.
У простейших LC-двухполюсни-
ков, изображенных на рисун-
ке 12.1а и 12.2а, соответственно
имеем х(и>} = ImZ(jcu) = ozL -
- 1/(сЛ7) , &(cv) = Im Y(ju) = шС-
-l/(u;L).
На рисунке 12.16 (и соответ-
ственно 12.26) представлены мнимые
частотные характеристики (МЧХ) ре-
активного ДП, которые связаны со-
отношением (12.1). Из анализа МЧХ
следует, что свойство (12.4) спра-
ведливо, как для L-, С-элементов,
так и для их простейших соединений.
Также очевидны следующие свойства
нарастающих функций (НФ): а) сум-
ма НФ дает НФ; б) функция, обрат-
ная НФ по значению и знаку, также
НФ. При расчете -т(с^) или Ь(со) реактивных Д лестни шои
структуры реализуются именно указанные операции, суммируют
сопротивления (проводимости), либо их обращают.
266
Основы теории электрических цепей
2. У реактивных ДП частоты резонансов напряжений и токов
чередуются.
Доказательство — от противного. Допустим, имеем подряд
два резонанса напряжений на частотах a?pHi, а?Рц2, где х = О
согласно (12.2). Тогда график х(ш) обязан иметь вид. представ-
ленный иа рисунке 12.3а. Однако в этом случае имеем зону ча-
стот, где а/(о?) < 0, что противоречит свойству 1. Таким образом,
на основании свойства 2 график МЧХ или должен
соответствовать рисунку 12.36.
3. Если на частотах, меньших резонансной, LC-ДП
имел индуктивный (емкостной) характер, то па частотах,
больших резонансной, ДП имеет емкостной (индуктивный)
характер, т. е. «характер реактивности» LC-ДП меняется
на противоположный.
Действительно, у LC-двухполюсника ReZ = г = 0, т. е.
угол сдвига фаз между синусоидами тока и напряжения ДП
9?(w) = arctg = ±90\
а х(ш) согласно рисунку 12.36 изменяет знак «после прохожде-
ния» резонансной частоты при изменении частоты из.
4. На нулевой и бесконечной частотах Zlc имеет либо нуль,
либо плюс.
Действительно, при ш = 0 сопротивления Zl — jwL =
= 0, Zc = —> op, т. e. L-элемент эквивалентен КЗ,
а С-элемент эквивалентен XX; при со —> оо С-элемент экви-
валентен КЗ, a L-элемент —XX, т. е. либо Zlc —> 0, либо
Zlc —* оо.
Глава 12
§ 12.2. СИММЕТРИЧНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
В СОГЛАСОВАННОМ РЕЖИМЕ
12.2.1. Характеристическое сопротивление
четырехполюсника и согласованная нагрузка
Если входное сопротивление Z^{s) симметричного четырехпо-
люсника (ЧП) равно сопротивлению его нагрузки ZH(s), такой
режим называется согласованным (режимом характеристической
нагрузки), а сопротивление Zn — характеристическим сопротив-
лением Zc, т. е. „ __________„ ____
zc - zBX = zH- (12.5)
Найдем Zc, используя уравнения ЧП с «-параметрами:
(71 = 4- «12(—7г), 11 = «21IZ2 Ч-«22(—7г), (12.6)
где U = U(s), I = I(s). Уравнение нагрузки записывается как
(72 = Zh(-72). (12.7)
Использовав (12.6), (12.7), находим входное сопротивление
симметричного ЧП _ a1iZ„(-Z2) + a12(-.r2)
вх 71 «21^н(—7г) + «22 (~7г)
С учетом (12.5) и условий симметрии ЧП
«11 = «22, «11«22 - «12«21 = 1 (12.8)
получим z _ Q11Zc + ai2
С «21 Zc + «22
откуда формула для расчета характеристического сопротивле-
НИЯ имеет вид , _/an V/2 (129)
Zc~w •
12.2.2. Передаточная функция
симметричного четырехполюсника
в согласованном режиме
С учетом (12.5)-( 12.7) и (12.9) функция передачи ЧП по напря-
жению
HnCs} = -_______U'2 = i3£=____5------.
171(e) «11(72 + «12(72/Zc «11 + («12«21)
( I * V У
268
Основы теории электрических цепей
Аналогично находим передаточную функцию по току:
_ _/2(з)____________________________= 1
Hi(s) — aziZcfj-Ii) + ^22(—12) Zza2\+a-2,2
откуда с учетом (12.8), (12.9) тоже получим (12.10).
ВЫВОД', у симметричного ЧП в согласованном режиме пе-
редаточные функции по напряжению и току одинаковы
^) = Я^5) = а11 + («,г«2-.)^=СЛ
при этом так называемая характеристическая мера передачи
симметричного ЧП будет следующей
7(3) = In ап + (^г^гг)1^2 • (12.12)
Примечание. Формулы согласованного режима (12.9), (12.11) описываются
иррациональными соотношениями, в то время как входные и передаточные
функции RLCM-цепей описываются дробно-рациональными выражени-
ями; поэтому точное согласование RLCM -четырехполюсников возможно
лишь на конкретной частоте в установившемся синусоидальном режиме.
Рассмотрим частотные характеристики симметричного ЧП
в установившемся синусоидальном режиме (при s = juj).
Характеристическая мера передачи (12.12) при этом является
комплексной функцией
7(jw) = «(w)+W), (12.13)
а обобщенные частотные характеристики в (12.11) записывают-
ся как
Hy(jw) = Hi(juj) = = e-7C?w) = e-«(w)e-^(w),
т. е. амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) будет
A(w) = = Й = 41 = 4 (12.14)
|171| Ui IV
а фазочастотная характеристика (ФЧХ) будет
Ф(си) = -/3(w) = аи2 - aui.
В (12.13) величину а называют коэффициентом затухания
(иногда затуханием или-характеристическим затуханием) и из-
меряют в неперах (Нп), а величину (3 — коэффициентом фазы.
Глава 12
269
Из (12.14) следует, что а = Ыи/и 1
синусоидальном режиме: если а = \ м 2 В установивщемся
же ос == 3 Нп, то = е3 20 = е’ еслн
циент затухания очень часто измеряют й 2TKTHKe КОЭФФИ~
= 2016(^/(72): если а =.20 дБ S (дБ) * =
имеем Ui/U2 = 100. ’ 1/С?2 ~ 10; при а = 40 дБ
12.2.3. Гиперболическая форма уравнений
симметричного четырехполюсника
Величины Zc, 7 называют вторичными параметрами симмет-
ричного ЧП, так как с их помощью можно описать уравне-
ния ЧП. Для этого вначале второе из соотношений (12.8) рас-
смотрим как разность квадратов:
(«п«2г)'/2 - («12«21)1/2 (аца22)1/2 + («i2«2i)1/21 = 1.
(12.15)
Поскольку на основании (12.11) второй сомножитель
в (12.15) с учетом ап = а22
«и + («12«21)1/2 = е7, (12.16)
то первый сомножитель •
<41 ~ («12«21)1/<2 = е~7; (12.17)
кроме того, на основании (12.8), (12.9) имеем
/ \1/2
(512) =ZC, ац=аи. ' (12.18)
\ «21 /
Далее с использованием (12.-16)-( 12.18) и формул для
описания гиперболических функций (гиперболических коси-
нуса и синуса) выражаем a-параметры симметричного ЧП:
1 (е7 + е-7) = ch7 = «и = «22, _ g-'y) = sh7 = (ai2«2i)5, 2 (12.19)
откуда 8117 _ Zcsh7 = «i2, а'21' (12.20)
270
Основы теории электрических цепег.
В результате с учетом (12.19), (12.20) можно записать гипер-
болическую форму уравнений симметричного ЧП:
/Л($) = U2{s) ch7(.s) -
ш = ад^-Шсь7(*).
(12.21)
12.2.4. Использование сопротивлений
холостого хода
и короткого замыкания четырехполюсника
для расчета характеристических параметров
У симметричного ЧП сопротивления его короткого замыкания
(при U2 = 0) и холостого хода (при /2 = 0) будут
zK3 = y-| =1/уи,
11 1С72=0
7 U'
= ~Г Т = 2ц,
Л /2=0
(12.22)
а характеристическое сопротивление с учетом (12.8), (12.9)
можно формально преобразовать к виду
=(211.2Н) . (12.23)
\О21/ \О21 022/
Находим сомножители в последнем варианте (12.23) с уче-
том (12.22) и уравнений ЧП (12.6):
Qu _ U1/U2 -
021 I\/U2 /2=0
012 _ ЕЛ/(~~/2)
022 Л/(-/2) У2=0
откуда получаем характеристическое сопротивление
/ \ V2
^ = (ZXxZR3)1/2=(^) .
\2/и/
= ^хх;
(12.24)
= ^кз,
(12.25)
•. Можно доказать, что второй характеристический пара-
метр характеристическая мера передачи
«т _ (zxx + ^сх 1/2
—— I ““ I
k^xx-Zc
(12.26)
Глава /2
271
Действительно,^образуем(12.26)сучетом( 12.24) (!2231
и соотношении (12.16), (12.17):
/011/021 + (012/021 )1/2
у оц/021 — (012/021)42
au + (ai2a2i)1/2
аи ~ (012021)42
§12.3. РАСЧЕТ КЛАССИЧЕСКИХ
СИММЕТРИЧНЫХ РЕАКТИВНЫХ ФИЛЬТРОВ
ПО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМ
12.3.1. Понятие о фильтрах
Фильтром называется ЧП, у которого в некоторой полосе частот,
находящейся обычно в районе максимума АЧХ A(w) и называе-
мой полосой пропускания (ПП) или зоной неискажения (зоной
прозрачности), сигналы проходят на выход с малым затухани-
ем а, а в остальной полосе частот, называемой полосой задер-
живания (ПЗ), сигналы на выход практически не проходят или
проходят с большим затуханием.
При идеализации частотных характеристик фильтров часто
используют понятие идеальных фильтров, у которых в ПП АЧХ
A(w) = k = const или A(cu) = 1 (т. е. согласно (12.14) коэф-
фициент затухания а = 0), а в полосе задерживания A(w) =
= 0, т. е. а = оо. Идеальные фильтры физически не реализу-
емы, так как их частотная характеристика не является
дробно-рациональной функцией частоты jw.
Классическим фильтром будем называть находящийся в со-
гласованном режиме реактивный ЧП, у которого в полосе про-
пускания затухание а = 0 (т. е. АЧХ постоянна), а в полосе
задерживания а 0. Граничные частоты полосы пропускания
называют частотами среза.
Изложение материала начнем с классических симметрич
них фильтров типа к, у которых как схемы, так и физическая
трактовка режимов наиболее просты.
Обычно фильтры классифицируют следующим о разом.
1. Фильтры нижних частот (ФНЧ) имеют П во асти
низких частот (НЧ) 0 и < а ПЗ-в области высоких
272
Основы теории электрических цепм
частот (ВЧ) wcp и < оо. На рисунке 12.4а приведена АЧХ
идеального ФНЧ, на рисунке 12.46 — АЧХ так называемого
классического фильтра типа к, на рисунке 12.4в — его коэффи-
циент затухания; на рисунке 12.5а,б изображены соответственно
Т-образная и П-образная схемы ФНЧ типа к.
a) Li/2 L1/2
4= С2 4= С2/2 4= С2/2
Рис. 12.5
Очевидна физическая трактовка этих схем при со —> 0 и
при со —> оо. Так, на рисунке 12.6а приведена эквивалентная
схема цепи, изображенной на рисунке 12.5а, при со —> 0, а на
рисунке 12.66 — при w —> оо. Как видно, при оо —> 0 сигналы
к нагрузке Ztt проходят без затухания, а при to —> оо сигналы к
нагрузке не проходят.
а) Li/2 Li/2
.....Г
С2
_______t_____
Рис. 12.6
2. Фильтры верхних частот.(ФНЧ) имеют ПП на ВЧ, а
ПЗ на НЧ. АЧХ идеального ФВЧ изображена на рисун-
ке 12.7а, АЧХ фильтра типа к — на рисунке 12.76, а на ри-
сунке 12.7в его коэффициент затухания. На рисунке 12.8а
приведена Т-образная схема ФВЧ, а на рисунке 12.86,а — эк-
вивалентные схемы ФВЧ при со -> 0 и при со -> оо.
3. Полосовой пропускающий фильтр (ППФ) пропускает
сигналы в некоторой полосе между частотами среза wCpi и о>Ср2 •
АЧХ идеального ППФ приведена на рисунке 12.9а, характери-
стики ППФ типа к — на рисунке 12.96,в. Т-образная схема
tHI—• - У* 20i e>. 2C1 2C1
Puc. 12.8
ППФ типа k изображена на рисунке 12.10a, причем резонанс-
ные частоты «продольного» и «поперечного» плеч ППФ одина-
ковы: wo = 1/= 1/x/L-iC^. Эквивалентные схемы ППФ
при w—»0, w —»oo,w = wq изображены соответственно на ри-
сунке 12.105,г. Поскольку на частоте резонанса напряжений
(PH) последовательная LC-цепь эквивалентна КЗ, а на частоте
резонанса токов(РТ) параллельная — XX, условия пропускания
сигналов на указанных частотах очевидны.
Рис. 12.9
1---j——и
ПЗ ПП
I J L
о
а) Lx/2 2(71. 2(7i Li/2
в)
Рис. 12.10
274
Основы теории электрических цеплУ
а)
ПП
о? о ^ср! ^ср2
Рис. 12. И
1
ПП ПЗ
О <^ср1 “’срг
б)
A(w)i
4. Полосовой заграждающий фильтр (ПЗФ) в идеале не
пропускает сигналы в некоторой области частот между cuepi и
о;Ср2 (см..рис. 12.11а). Характеристики ПЗФ типа к приве-
дены на рисунке 12.116,в, а схема на рисунке 12.12,а, причем
резонансные частоты одинаковы:
ц?рт = 1/ у/L>iCi = 0>рн = ^/ y/laC-z’-
Примечание. Кроме приведенных простых схем фильтров типа к, суще-
ствуют классические фильтры типа т, у которых на дополнительной резо-
нансной частоте в ПЗ вблизи от а>ср АЧХ «проваливается» до нуля, благо-
даря чему АЧХ «лучше приближается» к идеальной (так, на рисунке 12.126
приведена схема ФНЧ типа т, а на рисунке 12.12#— его АЧХ).
12.3.2. Достаточные условия работы
классического фильтра в полосе пропускания
Ограничимся рассмотрением условий достаточности.
1. Если у симметричного реактивного фильтра в согласо-
ванном установившемся синусоидальном режиме сопротивле-
ние нагрузки положительно, то фильтр работает в полосе прр-
пускания.
Тлава 12
275
Действительно, внутри LC-фильтра активных’ потеоь
нет; следовательно, потребляемая па входе фильтоа ак
тинная мощность полностью расходуется н указанной хя’
рактеристической нагрузке, т. е. Р„ = р„ или с учстад
ZH = ^ВХ — — lie > о
• llC lie
тогда Л — 1-2, — U2, АЧХ A(w) = 1, затухания нет (а = 0),
частота работы фильтра соответствует полосе пропускания.
ВЫВОД-, классический фильтр предполагается нагружен-
ным согласованно на любой частоте.
2. Если сопротивления симметричного ЧП Zxx и ZK3 «раз-
нореактивны»-(т. е. одно имеет чисто индуктивный характер, а
другое — чисто емкостной), то такой фильтр работает в полосе
пропускания.
Действительно, с учетом (12.25) и условия 1 имеем в полосе
пропускания для £(7-фильтра:
= [^xxO’w)^K3(jw)]1/2 = fex М.ЖзН]1/2 = Дс > 0,
следовательно, чтобы подкоренное выражение было положи-
тельным, значения жхх и ЖКЗ должны быть различными по зна-
ку (т. е. «разнореактивными»).
Следствия:
1. Если Zxx и Zks имеют одинаковый характер реакции, то
фильтр работает в полосе задерживания.
2. Классический фильтр не может состоять из реактивных
элементов одного вида (например, из L -элементов).
На практике полосу пропускания классического фильтра
определяют следующим образом:
1. Находят операторные сопротивления Zxx(s) и ZX3(s),a
затем их нули зол и полюсы Sk-
2. Размечают sok и Sk на мнимой оси и на каждом ча
стотном интервале между ними определяют характер реакции
(«реактивности») двухполюсника отдельно для ZXX и ДДЯ КЗ •
как указано в 12.1.2; зоны, где характер реакции ZXx и КЗ
различен, определяют ПП.
1П*
276
Основы теории электрических цепей
12.3.3. Фильтр нижних частот типа к
Классический реактивный фильтр называется фильтром
А;-типа (рис. 12.4-12.12), если произведение сопротивле-
ний его продольного Z\(jw) и поперечного плеч на
любой частоте равно постоянному положительному числу,
обозначаемому к2.
Так,'для ФНЧ типа к. схемы которых приведены на рисун-
ке 12.5, выполняется
1
Zi (jw) Z2 (зш) =
= Ly/C2 = к2.
(12.27)
a) Li/2 Lj/2
6) Lx/2 Ly/2
в) L\/2 Li/2
Puc. 12.13
Далее будем рассматривать
лишь Т-схему ФНЧ в согласо-
ванном режиме (см. рис. 12.13а).
В соответствии с методикой, из-
ложенной -в 12.3.2, найдем по-
лосу пропускания. Схемы ФНЧ
в режимах XX и КЗ приведены
на рисунке 12.136’ и 12.1 Зе. Им
соответствует
2хх.(з) = ^ + ^= "
= -2£2‘с + 2. <12-28)
2зС2
откуда нули s0i)2 - ^^/(^Сг), ПОЛЮСЫ 31 = О, S2 = 00.
Затем находим’’
ZK3(s) = £y- + (sC2 + 7^-) 1 = Л1»уйС,2 + 4)
• . 2...Д . Lis) 2 (з2/^ н- 2)
(12.29)
откуда нули 3qi — 0, зо2,з = ±J2/\/LiC2, полюсы si2 =
-±jvWr^)',s3 = oo:'• ••
Укажем нуЯи и полюсы на мнимой оси' комплексной
плоскости отдельно для Z^x и для Z^', как показано на ри-
сунке 12.14а, где в соответствии со свойством 3 из 12.1.2 про-
изведена-также разметка частотных диапазонов с различным
характердм рёакции ДП=(чисто индуктивным или емкостным).
центре рисунка 12.14а заштрихована полоса пропускания
Глава 12
277
Рис. 12.14
фильтра, в которой Zxx и ZK3 «разнореактивны». Итак
частота среза ФНЧ будет
^ср = 2/х/£1С'2. (12.30)
Покажем, использовав (12.28), (12.29), что характеристиче-
ское сопротивление ФНЧ существенно зависит от частоты уста-
новившегося синусоидального режима (5 = jw):
ZcW = (zxxW/2 = ( М.-^+4))1/2 ,
откуда с учетом (12.27), (12.30) окончательно получим
ЗДш) = к\/1 - (w/wcp)2. (12.31)
Построенный на основании (12.31) график зависимо-
сти |Zc(yw)| от частоты изображен на рисунке 12.146, при этом
= Яс > 0 в полосе пропускания, а в полосе задержива-
ния характер Zc(jw) чисто индуктивный, что вытекает как из
рисунка 12.14а, так и из трактовки ZBK = Zz = ZH на ри-
сунке 12.14а при ш —> оо (см. пунктирную прямую ujLi/2 на
рисунке 12.146). •
ВЫВОД', характеристическое сопротивление Zc — ZBX — Z}i
классических фильтров не является дробно-рациональной
функцией от частоты ju), вследствие чего невозможно со-
гласовать нагрузку фильтра в бесконечном диапазоне частот,
что является одним из основных недостатков классических
фильтров (второй недостаток —сильная зависимость |Zc| от
частоты в ПП),
278
Основы теории электрических цепей
Поэтому обычно обеспечивают согласование нагрузки
фильтра на наиболее характерных частотах, например, для
ФНЧ — при а> = 0, когда на основании (12.31), (12.27)
Zc(0) = R„ = k = у/ЩС2\ (12.32)
далее, зная сопротивление нагрузки ФНЧ 7?п и граничную
частоту полосы пропускания о>Ср, определяют параметры
элементов фильтра L\ и С2 согласно (12.30), (12.32).
§ 12.4. РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ
МЕТОДОМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТЫ
s = ju>
-jwCp
6)
“'jk'cp
Ju’cp
jOcp p = j’Q
= ju>
jX-p
-J^cp2
зЪ
p = j'Q
P = jQ
Рис. 12.15
jw =
С помощью методики, из-
ложенной в п. 12.3.3, можно
рассчитывать любые классиче-
ские фильтры. Однако целесо-
образно, зная параметры ФНЧ,
находить параметры фильтров
остальных типов методом пре-
образования частоты.
Сравним характеристики ФНЧ
и ФВЧ, показанные на рисун-
ке 12.15а. Необходимо в устано-
вившемся синусоидальном режи-
ме обобщенную частоту ФНЧ s =
= juj преобразовать в обобщен-
ную частоту ФВЧ р = при
этом характерная частота ФНЧ
w = 0 должна преобразоваться
в характерную частоту ФВЧ £2 —>
—> оо, а частота среза ФНЧ
±JwCp — в частоту среза ФВЧ
• Формула такого преобра-
зования можег быть записана в
любом из следующих вариантов:
Р ’ 2
Q ’
S = —
^0
jfi’
(12.33)
Глава 12
причем кривая, которая описывается уравнением (12 33) тзкжо
„оказана на рисунке 12.15а. Из условия пересчета частогХ
находим коэффициент 2 ш (-Реза
wo-WcpQcp, (12.34)
а,затем на основании (12.33) определяем параметры CRU = С
Ьвч = Лз схемы ФВЧ (см. рис. 12.8а)„о известным параметрам
= /тцч а ^2 = Снч схемы ФНЧ:
Шл _ 1 , ,2 ,
sLH4 = —^нч = > sCm = —Снч = —,
Р Р°ВЧ Р НЧ р£вч’
откуда
Свч = (^о^нч) 1 > Ьвч = М^нч)'1 (12.35)
Таким образом, по формулам (12.34), (12.35), зная парамет-
ры фильтра-прототипа wcp, Ьнч» С^нч и частоту среза ЛсР,
можно рассчитать параметры ФВЧ. Аналогично можно опреде-
лить и другие характеристики ФВЧ по данным ФНЧ.
Рассмотрим далее преобразование характеристик ФНЧ и
ППФ (см. рис. 12.156). Обобщенная частота s = ju ФНЧ
должна пересчитываться к частоте р = JQ ППФ, характер-
ная частота uj —> оо к характерным частотам Q = 0 и Q -> оо,
частота среза |сиср| к |QCpi| и |QCp2| • Формула преобразования
частоты имеет вид
s=P_±^o> (12.36)
ар
соответствующий указанному требованию: s —» оо и при р -»О,
и при р —> оо.
Для отыскания коэффициентов ujq и а необходимо, как ука-
зано на рисунке 12.156, обеспечить преобразование частоты
s = к частоте р = JQCp2, a s = -jwep к Р = J^cpi • ^огда
из (12.36) получим
-Я?р2+ИО • +^0
или 2
оПСр2^ср = ^СР2 - > oficplU'cp = -“cpl + W0 >
откуда
au>cP(Sicp2 + ficpi) = f»?P2 - !1?pi' “Jcp!!cf 1 + = U’8'
280
Основы теории электрических цепей
Окончательно находим
а = Пс"2 ^-1; <4 = ПсрЛр2, '(12.37)
а>ср
т. е. характерная частота ФНЧ s = 0 преобразуется соглас-
но (12.36), (12.37) к частоте ППФ р = = ±jV^cpiQc^
и, как показано на рисунке 12.156, находится между частотами
среза QCpi, ^ср2 •
Параметры £1ПФ, С1ПФ продольного плеча полосового
пропускающего фильтра (см. рис. 12.10а) определяют из оче-
видного соотношения
Р2+^0г Р^нч , ^о^нч _г . 1
з£нч =-------ьнч =--------1----~ Р^шф + ,
ар а ар РЬшф
откуда 11ПФ = £нч/а, С1ПФ = а(Ц)^нч) Аналогично
находят параметры поперечного плеча ППФ.
Характеристики ПЗФ определяют по данным ФНЧ, как ука-
зано на рисунке 12.15в, на основании преобразования
s = -v^"2> (12.38)
Р2+^о
Причем а — (^ср2 ^cpl)^cp j — ^cpl^cp2 •
Примечание. Формулы преобразования частоты (12.33), (12.36), (12.38)
справедливы не только для классических фильтров, но и для фильтров дру-
гих типов; сопротивление нагрузки 7?» нс изменяется.
§ 12.5. ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА
12.5.1. Сравнение характеристик
идеальных и полиномиальных фильтров
Как указано в п. 12.3.3, классические фильтры согласован-
ны с нагрузкой лишь на конкретных (характерных) частотах.
В остальном частотном диапазоне режим работы фильтра ока-
зывается несогласованным. В результате требуемые характе-
ристики фильтра в ПП (а = 0, АЧХ А = const) существен-
но искажаются. Поэтому в современной теории фильтров ши-
роко используется иной подход, когда задают сопротивление
нагрузки и требуемую передаточную функцию (или частотную
характеристику) фильтра. В дальнейшем будем рассматривать
Глава Г2
281
лишь ФНЧ, так как остальные типы фильтров можно получить
методом преобразования частоты по ФНЧ-прототипу.
Как указано в п. 12 .3.1, при проектировании фильтров стре-
мятся приблизиться к ЧХ идеального ФНЧ (см. рис. J2 4
которого ' ’ •
|адо)| = лто(<о) = * 1|ад
и, [w| > WCp
не может быть реализована RLCM -цепями. Поэтому прихо-
• дится использовать аппроксимацию (12.39) такими выражения-
ми, которые можно реализовать цепью (решив тем самым задачу
синтеза фильтра).
Рассмотрим наиболее простые из таких фильтров — поли-
номиальные, передаточная функция (ПФ) которых имеет вид
Н(з) = --------------9 Ь° „------------, (12.40)
4 ' 1 + ais + ага2 + аза3-4---bansn v *
причем ниже для определенности будем анализировать лишь
ПФ по напряжению. Наиболее простыми (и вместе с тем фун-
даментальными с позиций теории) являются следующие 2 типа
аппроксимации идеальной АЧХ при использовании ПФ (12.40):
фильтры Баттерворта (рис. 12.16a), когда используют моно-
тонную так называемую максимально плоскую аппроксимацию
А(о>) идеальной АЧХ, и фильтры Чебышева (рис. 12.166), когда
применяют так называемую равномерную аппроксимацию А(и>)
идеальной АЧХ в полосе пропускания. На рисунке 12.16a_ис-
пользован критерий ширины ПП по уровню 0,707 от Атах —
а на рисунке 12.166 в ПП А(ы) не выходит из зоны между к
а)
6)
Лид(<*>)
k
Л(ц;)
0,707k
П2 < П1
k
A(l-A.i- -
Л(о>)
п = 3
. о
о
о>ср ш
Рис. 12.16
282
Основы теории электрических цепей
и £(i _ д), причем А —заданная достаточно малая величина
{называемая неравномерностью АЧХ), п — порядок ПФ (12.40)
определяет число экстремумов в ПП на рисунке 12.166.
' С ростом порядка п АЧХ фильтра приближается к идеаль-
ной, однако реализация усложняется.
12.5.2. Передаточные функции фильтров Баттерворта
Найдем АЧХ полиномиальных фильтров (12.40):
- (1 _ + (ai _ a3a>2) 4-... ’
откуда
A(co) = |Я(»| =
________'____________________bo___________________________
\/(l — 2агсо2 4- ala;4 4-...) 4- (afw2 — 2aia3a;4 4- f/'-ca6 4-...)
(12.41)
\
У фильтров Баттерворта (см. рис. 12.16a) используется ап-
проксимация АЧХ идеального фильтра монотонно убывающей
функцией вида л
A (а;) = __________=, (12.42)
\/1 + (W/Wcp)2»
т. е. на границе ПП будет A(a>Cp) = k/y/2.
Применяем нормировку (масштабирование) по частоте и со-
противлению нагрузки, считая базисными значения = о?Ср.
Rd = Нн- Тогда нормированные значения согласно п. 5.5.3
R — — — 1 • — ш т го
•**6 о?ср
(12.43)
в результате вместо (12.42) получим
А(м.) = - k , (12.44)
vl4-a.'*2n
т. е. нормированная частота среза a/cp* = 1.
В дальнейшем для простоты опускаем индекс нормирова-
ния (»), считая записанные выражения нормированными; при
необходимости можно вернуться к ненормированным значени-
ям, используя формулы (12.43).
Глава 12
283
Приравнивая (12.41) и ( 12 441
= 3 :Ь„ = к, а, = а2 = 2 1’- пример, при п =
= 0; al ~ 2а,а3 = 0; а3 = 1’ Д, “ ’ (п0СКад«У -2а2 + а? =
а'/4 - 201 = 0, т. е. а? = 8’). Итак.п^и п’Д’пф л'™™
Баттерворта (12.40) будет следующей ₽ 3 ПФ *ильт₽3
к
H(s) =_________________
1 + 2s + 2s2 + sa-
il 2.45)
Примечание. Полиномы знаменателя (12.40) в случае(12.44) называют по-
линомами Баттерворта; они приведены в справочниках для фильтров раз-
личного порядка, например, (1 + з) при n = 1, (1 + 72з + з2) при п = 2
(1 + 2s + 2s2 + s3) при n = 3.
12.5.3. Реализация фильтров Баттерворта
Рассмотрим некоторые варианты реализации фильтров Баттер-
ворта на примере ПФ (12.45). Задача реализации имеет мно-
жество решений. Однако, поскольку ПФ (12.45) не имеет ну-
лей, кроме трехкратного нуля при s —» до, структура фильтра
Баттерворта должна быть во многом аналогична схемам ФНЧ,
приведенным на рисунке 12.5.
Для случая к = 1 на рисунке 12.17а приведен вариант схемы
фильтра, ПФ которого, найденная, например, методом пропор-
циональных величин, имеет вид
тт/ \ _ ^вых(з) _ _______________1_______________
UBx (s) LiL2Cs3 + С L^s2 + (Li + L^s +1
Из сравнения с (12.45)
имеем: L\L2C = 1, СЦ =
= 2 (откуда L2 = 1/2),
Li 4- L2 = 2; следователь-
но, Li =3/2, С = 4/3.
Если выходное сопро-
тивление эквивалентного
источника должно быть со-
гласовано с сопротивлени-
ем нагрузки (т. е. к = 0,5),
может быть использова-
на схема, изображенная на
о) Li ь2
Рис. 12.17
284
Основы теории электрических цепей
рисунке 12.176, расчет которой аналогично предыдущей дает
L\ = L2 — 1» С* = 2.
Примечание. На практике порядок п фильтра Баттерворта часто опреде-
ляется по требуемому затуханию на нормированной частоте си» = 2 в поло-
се задерживания, где согласно (12.42) ЛЧХ Л(2) = fc/x/1 4- 22n Si fc/2n;
так, при п = 3 имеем Л(2) £ к/8, т. е. входной сигнал ослабляется в 8 раз
в сравнении с входным.
§ 12.6. ФИЛЬТРЫ ЧЕБЫШЕВА
12.6.1. Частотные характеристики
фильтров Чебышева
Общий вид АЧХ фильтра Чебышева 3-го порядка описан в § 12.4
и представлен на рисунке 12.166. Нормированные АЧХ филь-
тров 3-го и 2-го порядков в предположении к = 1 изображены,
соответственно, на рисунке 12.18а,б.
Фильтр Чебышева как полиномиальный имеет НФ ви-
да (12.40) с АЧХ (12.41), которая обычно аппроксимирует АЧХ
идеального фильтра следующей нормированной функцией:
Л(щ) = -^^4 =, (12.46)
где Dn —полином Чебышева порядка п, причем
/Do = l. Di=o;, L>2=2w2-1,
>^3 ~• • • > -^п(щ) = (w) — Т)п_2(си),....
Следует отметить, что полиномы Чебышева описываются со-
отношениями _
Вп\л) = ch(narcchw), (12.48)
Глава 12
которые для ФНЧ в ПП (при 0 < ш < 1) приводятся к виду
= cos(narccosw), (12.49)
поскольку соьпасно (12.19) графику «гиперболического коси-
нуса», приведенному на рисунке 12.19,а, при 0 < w < 1
имеем в (12.48) у = arcchw = j/3, ch(j/?) = cos/? = w.
Отсюда несложно получить (12.49) и полиномы (12.47) при
п = 1,2,3,.... Так как при 0 < w < 1 имеем |Dn(w)| =
= |cos??7| 1, то графики квадратов полиномов Чебышева в
ПП изменяются от 0 до 1 (как качественно показано на рисун-
ке 12.196), а при w > 1 возрастают с увеличением частоты w и
порядка п, откуда и вытекает вид АЧХ фильтров Чебышева на
рисунке 12.18 при малых е2 в (12.46).
Из рисунка 12.196 следует, что на границе ПП полиномы
Чебышева Pn(l) = 1; следовательно, АЧХ фильтра (12.46) при
этом 1 Р2
А(1) = -=^911-^=1-Д, (12.50)
5/1 4- F. Д
причем в записи (12.50) использованы в предположении малых е2
первые два члена разложения функции в ряд Тейлора в окрестно-
сти е2 .== 0, т. е. приближенные соотношения V1 + /? - 1 + /3/2,
1/(1 4- 5) = 1 — 5 при малых /?, 5. Таким образом, задаваясь
требуемой неравномерностью Д в ПП, находим е~ = 2Д..
Порядок п полинома Чебышева находят, как и у фильтров
Баттерворта, по требуемому затуханию в полосе задерживания
обычно при = 2, т. е. при ш = 2о;Ср, с учетом (12.48) из
. 1 .1____________}---(12.51)
Vl + e2£>2(2) £В»(2) есЬС1-32”)
1
286 Основы теории электрических цепей
причем при одинаковом порядке п спад АЧХ фильтра
Чебышева в ПЗ больше, чем у фильтра Баттерворта. Так,
ПрИ п = 3 и неравномерности Д = 0,1, соответствующей
е = у/0^ имеем согласно (12.47) D3(2) = 4о>3 - За» = 26,
откуда на основании (12.51) А(2) = (26\/0,2) 1 < 1/8, т. е.
сигналы ослабляются сильнее, чем в аналогичном примере в
п. 12.5.3. При этом из анализа рисунка 12.16 (при Д = 0,1)
следует, что и в ПП отличие АЧХ фильтра Чебышева от
идеальной АЧХ представляется меньшим, чем у фильтра
Баттерворта.
12.6.2. Реализация
фильтров Чебышева
Определив параметр е2 и полином Dn, записываем ПФ
фильтра Чебышева в виде (12.40) и по ней реализуем схему
фильтра.
Рассмотрим простейший пример реализации фильтра
порядка п = 2 при неравномерности Д = 0,05, откуда
согласно (12.50) е2 = 2Д = 0,1. Использовав (12.47), опре-
деляем на основании (12.46) выражение для квадрата АЧХ
фильтра
А2(о») =---------------=----------—__________ (19 52)
k ’ 1 + 0,1(2о»2 — I)2 1-0,36^ + 0,36^'
С другой стороны, согласно (12.40) для полиномиального
фильтра второго порядка можем записать
= гт—^Т----2 '• НМ =-----------—т-,
l+ais + a2s2 w 1 + juai - a?a2
откуда квадрат АЧХ получаем аналогично (12.41)
AV) = |Я(;а)|2 =
fc2_____________
1 + a»2 (a2 — 2a2) + a»4a2
(12.53)
Из равенства i12.52) и (12.53) находим k 0,95; а2 = 0,6;
di — 0.9. Итак, приближенно ПФ фильтра Чебышева будет
0,95
1 + 0,9s + 0,6s2 *
Глава 12
287
a) L\ 0,05/1
б> 0,05/1 Li
+
Них
С2 0.95/?
Рис. 12.20
Таким образом, фильтр должен быть реализован цепью вто-
рого порядка, которая обеспечивает два нуля передачи на беско-
нечной частоте, а на нулевой частоте имеет коэффициент пере-
г---
нечной частоте, а на нулевой частоте имеет коэффициент пере-
дачи Н(0) — 0,95. Два очевидных варианта схемы приведены на
рисунке 12.20/1,6. Использовав, например указанную в п. 12.5.3
методику, несложно найти параметры схем.
Глава 13
НАЧАЛА СИНТЕЗА ЦЕПЕЙ
§ 13.1. СИНТЕЗ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
Как известно, в задаче синтеза необходимо при заданных /Вх(0
и /вых(<) найти структуру цепи и ее параметры. Задачу синтеза
обычно делят на две:
1. Задачу аппроксимации заданной передаточной или
входной Z(s) функций цепи таким выражением, котороеможно
практически реализовать.
2. Собственно задачу реализации ПФ цепью.
13.1.1. Основное свойство
реактивных двухполюсников
С позиции синтеза Zlc{s) важнейшим свойством являет-
ся следующее: • входное сопротивление реактивных двух-
полюсников описывается дробно-грациональной функцией
(с положительными коэффициентами) обобщенной часто-
ты з, причем нули и полюсы Zlc{s) располагаются на
мнимой оси, они чередуются и являются простыми (некрат-
ными). .
Очевидно, что это свойство полностью следует из 12.1.2
Таким образом, возможны лишь 2 варианта записи Zlc(s) :
1. В началежоординат располагается полюс Zl,c(s) , т. е.
Zlc(s) =
fe(s2+w^) (s2 + w§2) ...
“S(S2+W2)(S2+W2)... ’
(13.1)
где wo . 0 < Wo, < w, < wq2 < W2 < ...; k — коэффициент.-
Глава 13
2. В начале координат — нуль, т. е
zlc(5) =
(•52+w?)(32+W2) . ,
(13.2)
где woo = О < wi < woi < < w02 < ....
Следует отметить, что в (13.1), (13.2) порядок полинома чие.
лнтеля отличается от порядка знаменателя нй единицу, что выте-
кает из требования некратное™ полюса или нуля «в бесконечно-
сти» (при $ —> оо).
13.1.2. Условие реализуемости Z(s)
в виде реактивного двухполюсника
Если некоторое входное сопротивление Z(s) удовлетворяет
основному свойству Zlc(s), то Z(s) можно реализовать
LG-двухполюсником.
Для доказательства этого условия реализуемости вначале
преобразуем (13.1) и (13.2):
1. Если в начале координат—полюс, то согласно (13.1)
(зг+о&) (s2+bfe)...
s2(s2+w?)(«2+«i)...
=fe[w)l,(13-3)
причем значения w2i < w2 < о$2 < w2 < определя-
ют отрицательные корни числителя и знаменателя выражения в
квадратных скобках (при замене з2 = р):
з2! > 4 = > so2 =.~w02 > • • • •
кроме того, выражение Bi(p)/Bi(p) ПРИ P = s имеет еще
полюс в начале координат ро = so = 0*
2. Если же преобразуется (13.2), то
^г(«) = ks
.(s2 +OJQ1) (s2 +^02)>‘,<
(з2 4-w2) (s2 + ^2) • .
где значения s2 = -w2 > Soi “ > 82
деляют отрицательные чередующиеся нули и
В2(р)/Р2(р) при р = s2.
-wl > ••• опР6-
полюсы функции
290
Основы теории электрических цепей
Заменяя условно s2 = р. разложим выражения в квадрат-
ных скобках в (13.3), (13.4) на простейшие дроби на основании
теоремы разложения преобразования Лапласа:
ВДз2)
A(s2)
W)
A>(s2)
- Aoo + J2s2+w2-
(13.5)
6)
Очевидно, что коэффи-
циенты Лоо и Ло положи-
тельны (возможно, ЧТО Лоо =
= 0, если степень числителя
ниже степени знаменателя).
Докажем, что остальные ко-
эффициенты Ак в (13.5) то-
же положительны. Для этого
качественно построим графи-
ки полиномов В(.$2), D(s2),
как показано на рисунке 13.1
с учетом чередования нулей и
полюсов в функциях (13.1),
(13.2), а следовательно, и
в (13.5).
Из теоремы разложения
преобразования Лапласа из-
вестно, что коэффициенты Ak
можно находить по формулам
В(»2)
ds2
з2=—<*>%
Воспользовавшись второй формулой, заключаем, что
Аь > 0, поскольку из рисунка 13.1 следует, что в полюсах
р = з2 = — Wfc значения В('з2) и <£D(s2)/<Zs2 имеют одинаковые
знаки.
Доказанная положительность коэффициентов в разложени-
ях (13.5) фактически обосновывает ‘реализуемость реак-
тивным ДП, как показано ниже, в п. 13.1.3.
Глава !3
13J-3- яв»«"°^"иков
|ла>эд1М/т\сплсМ "^/713)
на простейшие составляющие
Пусть подлежащее реализации сопротивление Z(s) удовле
творяет основному свойству Ztc(s). Рассмотрим самХ-
щии случаи, когда ZLC(S) имеет полюсы и «в нуле» (ппи , -
= 0) и «в бесконечности» (при а _ оо). Тогда palLVe
Z(s) на nP°CTbfe дроби имеет вид с учетом (13.5) ^вынесенного
множителя *' в (13.3), (13.4):
Z(s) = ZLC(s) = ^ocs + у + 52^4^2 =
zzZoo + Ze + ^Zb, (13.6)
пргГэтом коэффициенты разложения (13.6) отыскиваем по ана- •
логии с формулами преобразования Лапласа ‘
л _ Zlc($)
Дос " 7] ’
Is-» 00
Aq = sZlc(s)|s_0,
s2 +а>1 . >
Ak = ——-Zlc(s)\s2=_„2.
О *
причем все коэффициенты, как доказано 13.1.2, положительны.
Схема, соответствующая (13.6),— это последователь-
ное соединение сопротивлений (см. рис. 13.2а), причем
Zlc —►
Рис. 13.2
292
Основы теории электрических цепей
Zoo = Лоо5 = LooS определяет индуктивный элемент, ZQ =
= Ло/« = 1/(СЬ«) определяет С-элемент, а сопротивление
_ _ Лм> _ 1 1 = 1 = 1
k s2+w2k Yk + CkS+ih Y^+Yk2
определяет параллельное соединение элементов Ск и Lk.
Сопротивление ДП ZLc(s) можно реализовать по выраже-
нию его проводимости, использовав схему параллельного соеди-
нения проводимостей (как показано на рисунке 13.26), значения
которых определяются дуально (13.6):
1 / \ А I -^0 J V"* —
—^. = YLC(s) = Axs + — + ^-^--
= У«+Уо + £П. (13-7)
Примечание. Реализация реактивных ДП разложением z>lg(s) на про-
стейшие дроби (13.6), (13.7) называется реализацией по Фостеру.
13.1.4. Множество вариантов реализации
LC-двухполюсников
Операторное сопротивление Z(s), удовлетворяющее основному
свойству Zlc(s), может быть реализовано по-разному:
1. Разложением на простейшие дроби (13.6), т. е. схемой
последовательного соединения простых ДП.
2. Разложением (,13.7), т. е. схемой параллельного соедине-
ния.
3. Часть Zlc(s) реализуется схемой Zj(s) последователь-
ного соединения простых ДП, остальная часть Zn(s), т. е. оста-
ток Zlc(s) , обращается и реализуется как параллельное соеди-
нение Уц(з) = 1/Zh(s) , например,
г£с(з)Цл„з+^) + (£_4^) =г, + г,ь (13.8),
причем подобное разделение Zu? на «укрупненные» составляю-
щие, можно совершать по-разному и многократно на любой
стадии реализации.
Глава 13
4 Можно реализовать отдельные составляющие в (13.6),
ч 7) частично (т. е. не полностью), а остаток обращать, реали-
вывать частично и далее повторять эту процедуру, например,
„ /1. О,5Ло
Zlc — ( 4------
\ о s
(2 . О,5.4о % AfcS \
+ I ~Лоо$ 4---------hyj- ) = Zj 4-zn.
\3 s
Примечание. Большое распространение получила так называемая реализа-
ция по Кэуэру, которая фактически является вариантом (13.8), когда в виде
Zi реализуется только составляющая (13.6), соответствующая, например,
д s, т- е- полюсу «в бесконечности» (или Ao/s, т. е. полюсу «в нуле»);
остаток Zu, естественно, имеет теперь «в бесконечности» нуль (см. свой-г
ство 4 из п. 12.1.2), т. е. после обращения остатка проводимость Уц =
_ j /2ц будет иметь «в бесконечности» опять полюс, который выделяется
как проводимость = Аоо$: остаток Уд — 1г = Ущ вновь обращает-
ся и т. д. процедура повторяется до полной реализации остатка; в результате
формируется схема лестничной структуры.
ПРИМЕР /. Для примера реа-
лизуем Z(s) = 0,5s(s24-2)/(s24-
+1).
Поскольку нули и полюсы
Z(s) расположены на мнимой
оси, чередуются и являются про-
стыми, как показано на рисун-
ке 13.3а, то Z(s) = Zlc{s).
Используем вариант реали-
зации по Кауэру с выделением
полюса «в бесконечности».
Процедура реализации часто
называется «делением по стар-
шим степеням» с многократным
обращением остатка и поясняет-
ся нижеприведенным расчетом:
б)
h = 0,5 Ьз = 0,5
Zlc •*
Й1 Уг
Рас. 13.3
0,5s3 + s _______________1 — =
s2 + 1 ~ °’JS + (s2 + l)/(0.5e) j
= °>5s+2s + V(0>)'
Основы теории электрических цепел
I________________________—‘ *
После первого деления Zlc «п» старшим степеням»
выдХа составляющая Z> = 0,5л, соответствующая схе-
ме Последовательного соединения как показано „а ри-
сунке 13.36. Остаток Иц = 0,5s/(s +1) обращен, т. е.
сделан переход к проводимости Yj, = 1//ц и вновь де-
лением «по старшим степеням» выделена составляющая
у'= 2», соответствующая теперь уже схеме параллель- -
нога соединения. Остаток Гщ = Ун ~ W.os) вновь
обращен и в результате последнего деления получена
составляющая Zyi = 0,5s.
§ 13.2. СИНТЕЗ ЯС-ДВУХПОЛЮСНИКОВ
13.2.1. Соответствие сопротивления
RC- и LC-двухполюсников
Рассмотрим ЯС-двухполюсник произвольной структуры,
подключенный к источнику напряжения который вхо-
дит только в контур № I. Тогда изображение входного тока
будет
6(a) = Ci Зга 2Г13 ... 0 Z22 #23 • • • 0 Z32 Z33 ... / Zu Z12 Z13 ... £21 ^22 ^23 • • • ^21 Z32 Z33 . . . _ [7iAnt Дмкт
Отсюда получим входное сопротивление RC -двухполюсника
Zrc{s) =
UW) _ Дмктяс(з)
/1(з) Дикс(з)
(13.9).
При этом взаимные и собственные сопротивления в опреде-
лителях (13.9) имеют вид
Zficro„(s) = 113.10)
где Rmn и Стп результирующие сопротивления и емкости
во взаимных или собственных операторных сопротивлениях
контуров.
Глана /3
295
Заменим s = р2 и преобразуем (13.10):
ZnCmn(^)\ 2 = - ( RmnP —А =
р \ СтпР)
= -\LmnP+ ~~
Р \ {'тпР
. (13.11)
Подставляем (13.11) в (13.9) и, вынося множители 1/р из
каждой строки, получим:
Z/?c(s)| ,^р2
'Ъ=Ч
^•Дмктьс(р),
^=T^LCll(p)
Формула (13.12) устанавливает связь между сопротивлени-
ями RC-\\ Л(7-двухполюсников одинаковой структуры, в кото-
рых резисторы Rj заменены на индуктивности Lj.
13.2.2. Условие реализуемости Z(s)
в виде RC-двухполюсника
С позиции синтеза Zrc(s) основным является следующее свой-
ство: входное сопротивление RC -двухполюсников описывается
дробно-рациональной функцией (с положительными коэффици-
ентами) обобщенной частоты з, причем нули и полюсы Zrc($)
располагаются на отрицательной полуоси, они чередуются, явля-
ются простыми и ближайшим к началу координат является полюс.
Для доказательства вначале рассмотрим (Переход к Zrc(s)
от функции Z£c(p), имеющей полюс в начале координат, как
указано в (13.1):
Zrc(s) = -ZLC(p)\ Р2-« =
Р
(13.13)
к (р2 + о&) (р2 + и>р2) • •1 _
p(p2 + u^)(p2 + w2)... J p2=s
k(s +' <tqi)(s + <tq2)---
где а0 = 0 < aoi = < °* = < а°2 “
< а2 = w2 < ...; при этом (13.13) полностью соответствует
296
Основы теории электрических цепей
а)
б)
S2 — —<72 51 = —<71
—*------о------*—
501 — —<701
Рис. 13.4
основному свойству и ближайшим к началу координат
является полюс so = <то = 0 (см. рис. 13.4а).
Далее проанализируем второй вариант, когда ^дс(р) имеет
в начале координат нуль, как указано в (13.2):
_ _ 1 |~ fcp(p2+cvgi)... 1 = k(s -F-aoi)...
RC^S Р (p2+^i)(p2+^2)--- (s + <Zi)(s + a2)...’
(13.14)
где cn = Wj < ooi = Woi < a2 = w2 < • • •, т. e. ближайшим
к началу координат в (13.14) опять-таки является полюс si =
= —Ci < 0 (см. рис. 13.46).
Очевидно, если входная функция Z(s) удовлетворяет основ-
ному свойству Zrc(^), то Z(s) можно реализовать -двухпо-
люсником, поскольку на основании (13.12) может быть реализо-
вана соответствующая функция Zlc(p), после чего заменой Lj
на Rj осуществляется переход к искомому RC -двухполюснику.
13.2.3. Реализация АС-двухполюсников
Для реализации АС-двухполюсников проще всего использо-
вать (13.12) и описанную ниже последовательность действий.
1. Проверяют, что подлежащая реализации входная функ-
ция Z(s) удовлетворяет основному свойству Zrc(s}.
•2. На основании (13.12) •переходят к соответствующему со-
противлению ад: = (1з.15)
3. Изложенными в § 13.1 способами реализуют LC-двух-
полюсником найденную на основании (1.3.15) функцию Zlc(p)’
заменяя индуктивности Lj на резисторы Rj, получают искомый
АС -двухполюсник.
Рекомендуется у реалйзованной цепи проконтролировать
значения 7лс(0) и Znc(oo).
§ 13.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕПЕЙ
С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ
ДЛЯ РЕАЛИЗАЦИИ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
13.3.1. Реализация передаточных функций
с отрицательными нулями и полюсами
Для реализации передаточных функций (ПФ) с отрицатель-
ными нулями и полюсами проще всего использовать так
называемые «решающие схемы» на операционных усилите-
лях (ОУ). Схема, изображенная на рисунке 13.5а, реализует
операцию [7Bblx(s) y1(s)
C/.x(s) H(s)_ ВД’ <1316)
а схема с четным числом каскадов, приведенная на рисун-
ке 13.56, соответствует
(13.17)
^вых(з) _ н(ч\ = -^11 ^111 (3)
%x(s) U VoiWKollW
Чтобы реализовать ПФ H(s) с отрицательными ну-
лями и полюсами, ее необходимо преобразовать к ви-
ду (13.16) или (13.17) таким образом, чтобы отдельные про-
водимости Yifc(s),yofc(s) удовлетворяли основному свойству
Удс(з) — имели отрицательные, простые, чередующиеся
нули и полюсы, причем ближайшим к началу координат
должен быть нуль. Каждая из проводимостей реализуется
RC-двухполюсником, как описано в 13.2.3.
ПРИМЕР 2. Для примера реализуем ПФ
^вых(з) 2(s+1)2(s+J)S
Я(5) = W = 5W(^W
298
Основы теории электрических цепей
Преобразуем Н(з) к виду( 13.17), например, следующим
образом:
Я(») =
2(s4-l)(s-H) s4-l
(s+2)(«+5) з+2
£±2 1 ’
s+4
причем операторные сопротивления
^ll(s) =
Zni(s) =
(s + 2)(s + 5)
2(s + l)(s + 4)’
s 4* 2
s+T;
Z0|(5) -
.$ 4- 4
s 4-3'
Zoii = 1
реализуются TIC-двухполюсниками.
Примечания:
1. У заданных ПФ могут быть кратные и нсчередуютнеся нули и полюсы.
2. Иногда приходится использовать большее, чем на рисунке 13.5. число
каскадов схем на ОУ.
13.3.2. Реализация описанных уравнениями состояния
передаточных функций
с произвольными нулями и полюсами
Как указано в п. 11.5.2, уравнение показанной на рисунке 13.6
«решающей схемы» на ОУ с п — резистивными входами (с про-
водимостями Gk) и емкостью в цепи обратной связи (с опера-
торной проводимостью Yo = Cos) описывается соотношением
УзыхИ = -^^-Ц'(..(з),
Л=1 C°* s
(13.18)
которое соответствует любому из уравнений состояния следую-
щей системы, записанной в матричной форме:
5К4ых(з)] = (А][[7ВЬ1Х(з)] 4- [В][ВД]. (13.19)
Действительно, (13.19) можно преобразовать к виду
[17ВЫх(з)] = | ([А][[7ВЬ1Х(з)] 4- [В][17вх(а)]) =
= (13.20)
S
Глав^ 13
299
что соответствует (13.18), поскольку в каждой строке матрично-
го уравнения (13.20) имеем справа выражение ££№(з), где
Dk — элементы матрицы коэффициентов [£>].
Связь воздействия 'Uex(i) и реакции 'иВых(0 можно опи-
сать, естественно, как передаточной функцией (в общем слу-
чае с произвольными нулями и полюсами), так и эквивалент-
но— системой уравнений состояния. Переход от уравнений сос-
тояния (13.19) к ПФ изложен в п. 6.4.4, а обратный переход
рассматривается в п. 13.3.3.
Таким образом, если искомая цепь задана уравнениями сос-
тояния (13.19) или (13.20), то каждое из этих уравнений мож-
но реализовать схемой, показанной на рисунке 13.6 и описанной
соотношением (13.18). Остается лишь соединить входные и вы-
ходные «клеммы» подобных схем в соответствии с нумерацией
переменных в уравнениях (13.19), (13.20).
13.3.3. Переход от передаточной функции
к уравнениям состояния
Передаточной функции общего вида
TTf \ - ^(s) _ bmsm + + ♦ - • + М (1321)
Щ (s) “ ansn + an-i3n~l + • • • + «is + °0
соответствует следующее дифференциальное уравнение.
а»4П)(*) + an-.iu^4i) + • * ‘ + + °°W2W = ..
= (0 + bm- ”(0 + • •+ + ',°“1|322)
300
Основы теории электрических цепей
Процедура перехода от (13.22) к уравнениям состояния
неоднозначна и достаточно сложна. Рассмотрим один из наи-
более общих приемов, когда степени числителя и знаменате-
ля (13.21 ) одинаковы (ш = п). Преобразуем (13.22), группируя
члены при производных одного и того же порядка:
{... [(Оп«2 " + («n-lU2 - + •••+ '
+(aiU2 — 6i'Ui)}/ + (oow2 ~ Mi) = 0- (13.23)
Комбинации переменных в фигурных, квадратных, «специаль-
ных» скобках (13.23) считаем переменными состояния ...........
.гп_1, хп. В результате получаем искомую систему уравнений
состояния:
х{ = bo^i “
o?2 = + (Ь1Щ ~ аг^г)»
< ....................................
<-1 = Хп-2 + (&п-2^1 - ап-2«2)?
, Д'Л—1 "1“ 1^1 О'П—1Д2)-
(13.24)
Реализация каждого из уравнений состояния в п. (13.24)
описана в 13.2.2. Кроме этого, необходимо реализовать, как
показано, например, на рисунке 13.7, уравнение связи, полу-
чается в соответствии с принятыми обозначениями для членов
соотношения (13.23): ,
а?п — bnUi,
откуда уравнение связи будет следующим:
(13.25)
U2 = 1/апхп + bn/anui.
Рис. 13.7
В схеме, реализующей (13.25), имеется два операцион-
ных усилителя, причем второй каскад (на ОУ2) используется
в соответствии с (13.16) лишь для обращения знака выходной
переменной. -
Г лава 14
ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 14.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ
14.1.1. Общая характеристика цепей
с распределенными параметрами
Рассмотренные ранее цепи являются цепями с сосредоточенны-
ми параметрами и состоят из соединений R-, L-, С-элементов.
Процессы в таких цепях зависят только от времени и не зависят
от протяженности цепи; ток, втекающий в отдельный элемент и
вытекающий из него, является одинаковым; считается, что элек-
тромагнитное поле мгновенно распространяется по цепи.
Однако в ряде электротехнических устройств, в частности, в
длинных соединительных кабелях ЭВМ, в линиях связи при ана-
лизе процессов необходимо учитывать размеры (т. е. протяжен-
ность, длину) устройства. Например, рассмотрим кабель длиной
£ = 100 м, по которому распространяются сигналы, допустим, со
скоростью света v = 3 • 108 м/с, причем частота их равна fi =
= 50 Гц (период 2Т = 0,02 с) и /2 = 3 • 106 Гц = 3 МГц (Т2 =
= 10“6/3 с). Тогда длины волн в линии составляют Ai = vT\ =
= 6-106 м = 6000км > I и А2 = -уТ2 = ЮОм = £,т. е. в послед-
нем случае длина кабеля соизмерима с длиной волны и протяжен-
ность кабеля нужно учитывать при анализе передачи сигналов.
В линиях связи, коаксиальных кабелях, волноводах, пред-
назначенных для передачи высокочастотных сигналов, актив-
ные потери, электрическое и магнитное поля распределяются
по всей длине устройства. Такие цепи называют цепями с рас-
пределенными параметрами или длинными линиями (ДЛ). Если
же А-’»’ т. е. длина волны передаваемого сигнала много
больше протяженности устройства, то схему замещения такого
устройства можно рассматривать как цепь с сосредоточенными
параметрами.
302
Основы теории электрических цепей
14.1.2. Однородная линия
и ее первичные параметры
Обычно элемент длины Дж цепи с распределенными парамет-
рами изображают в виде схемы замещения, приведенной на ри-
сунке 14.1а. Будем отсчитывать координату х от конца длинной
линии, а выходной ток ДЛ «2 = направлять к сопротивлению
нагрузки ZH.
Примечание. Изображенный на рисунке 14.1а элемент Ах линией пра-
вильнее представлять симметричной Т- или П-схемой, но рассматриваемый
вариант также допустим, если пренебречь малыми высшего порядка.
Тепловые потери в схематично изображенных на рисун-
ке 14.1а проводах линии приводят к учету элементарного
продольного сопротивления Rq&x. Несовершенство изо-
ляции между жилами — к учету элементарной поперечной
проводимости Go Дж; емкость между жилами и по отноше-
нию к внешним предметам — к учету элементарной емкости
СоДж, магнитное поле, сцепленное с жилами, — к учету
элементарной индуктивности Lq&x.
Линия, у которой погонные параметры /?() (с размерно-
стью Ом/мХ Gq (См/м), Со (%), Lq (Гн/у) постоянны по
длине, называется однородной линией. Примеры однородных
линий линия связи, коаксиальный кабель — изображены схе-
матично на рисунке 14.16,в соответственно. Погонные парамет-
ры Rq, Go, Go, Lo часто называют первичными параметрами
линии.
Рис. 14.1
Глава 14
303
14.1.3. Телеграфные уравнения однородной линии
Из рисунка M.la следует; что элементарное изменение тока в
линии будет . *в
Дг® = AiG + Дгс = СоДх^ + С0&х—
dt ’
а элементарное изменение напряжения оказывается
Дих = Aur 4- Дг/£ = Т^Дх^ + Дг ) + /'-0Лх^гд +
dt
при этом использование частных производных обусловлено тем,
что переменные их = u(x,t), ix = i(x,t), т. е. зависят и от
координаты, и от времени.
Переходя к бесконечно малым приращениям координаты
(Дх — dx) и пренебрегая бесконечно малыми высших по-
рядков, приходим к так называемым телеграфным уравнениям
однородной линии:
Z4 , ✓-» ^их
дих р . _ dix
— = ^ + £0—,
где ix = ix(t) = i(x,t), их = ux(t) = u(x,t).
Примечания:
I. Уравнения (14.1) симметричны й дуальны.
2. Уравнения (14.1), определяющие элементарные изменения тока и на-
пряжения, являются исходными дифференциальными уравнениями для
описания происходящих в линии процессов, которые зависят как от
времени t, так и от координаты х.
(14.1)
§ 14.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛИНИИ
И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
14.2.1. Решение телеграфных уравнений
Преобразуем по Лапласу уравнения линии (14.1), считая на-
чальные условия нулевыми:
• (Яо + 1о$)АМ
dI*(sl = (Go + Cos)Ux(s),
(14.2)
304
Основы теории электрических цепей
(14.3)
при этом Zo(s) — Ro + Ros, Yq(s) — Go + Gqs операторные
погонные сопротивление и проводимость. Дифференцируя одно
из полученных уравнений (14.2) иподставляя в другое, получим
(£чД/
^4^ = ададм»).
ах*
t
Характеристический'полином, естественно, от выбора пере-
менной не зависит: р2 — ZqYq = 0; далее находим собствен-
ные частоты pi,2 = ZqYq = ±7о> при этом коэффициентом
распространения называют величину
7о («) = x/Zo(s)yo(s) • (14.4)
Таким образом, решение дифференциальных уравнений (14.2)
в области изображений по Лапласу имеет вид
их(з} = Аю™ + А2е~'Г0Х,
• l.dUx А^х - А2е~УоХ
ZB
(14.7)
(14.5)
(14.6)
где ZB —волновое(или характеристическое) сопротивление ли-
нии, введенное с учетом (14.4)
• ’ 7 (si = — /^°(g)
. в( } 7о(«) V W)
Примечания:
1. Величины то. Zq часто называют вторичными (или характеристиче-
скими) параметрами линии.
2. Решения (14.5), (14.6) содержат только свободную составляющую, по-
. скольку уравнения (14.3) являются однородными.
Постоянные интегрирования в (14.5), (14.6) определяют по
начальным условиям при х = 0 (т. е. в конце линии): U2 = Ai +
+ А2; I2 = (Ai - A2)/Zb , откуда находим А! = 0,5(172 4г ZBh),
А2 = 0,5(172 — ZBI2). Таким образом,^решение уравнений линии
будет следующим
|°®.= °>5([;2 + + 0,5(172 - 2’в/2)е“7оа:,
1Л = 4 + ZBI2)e^x - 0,5(172 - ад)е“7оа:].
(14.8)
Глава !4
305
14.2.2- Понятие
о падающей и-отраженной волнах
с линии
- Первые слагаемые в уравнениях (14.8) называют падающими
волнами в линии (Unx, 1пх), а вторые слагаемые — отраженны-
ми (иох, /ох X ПРИ этом (14.8) записывают в виде
Ux(s) = UuM + 1701($) = Un2(s)ey°x + Uo2(s)e~yox, (14.9)
/x(s) = /пх(5) ~ /ох($) = /п2($)е7ох — Zo2(s)e-7oX, (14.10)
где Un-2 = 0,5(172 + Ив/2), Uo2 - 0,5(172 - ZBI2), In2 = Un2/ZB,
Л>2 = 17o2/2b значения падающей и отраженной волн напря-
жения и тока при х = 0, т. е. в конце линии (см. рис. 14.1а),
так что согласно (14.9) получаем U2 = Un2 + Uo2, а на основа-
нии (14.10) оказывается 12 = 1п2 - 1й2.
Из (14.8)—(14.10) следует, что в любой точке линии отно- .
шение волны напряжения к соответствующей волне тока равно
волновому сопротивлению:
^44 = ад, = <|4Л1>
lnx\s) *ox\s)
Отношение отраженной волны к падающей в конце линии
называют коэффициентом отражения
Uo2 Л)2 ^2 ~ ZBI2 _ Z„ — ZB ... .о,
П ~ Un2 ~ /П2 U2 + ZBI2 + Zo'
причем в (14.12) учтено уравнение U2 = ZtJ2, которое следует
из рисунка 14.1а.
Рассмотрим частные случаи:
1. При холостом ходе (XX) нагрузки, т. е. при и °°
из (14.12) следует, что п = 1, Uo2 = Ub2 , откуда 2 - п2
. + <7о2 = 2С7П2, т. е. падающая волна напряжения удваивает-
ся; кроме того, 1о2 = Лт2. следовательно, при х - е
но (14.10) 12 = 1п2 - /о2 = 0, т. е. ток в конце линии отсутству ,
что и имеет место в режиме XX нагрузки.
2. При коротком замыкании (К3р<агрузки^^ьно<
ZB = 0 и коэффициент отражения п
11-1810
306____________________________Основы теории электрических цеп^л
Uq2 = -17n2. Л>2 = -Л12, откуда согласно (14.9), (14.10) в конце
линии 72 = 27п2 , Uz = 0.
Примечание. Смысл терминов «падающая и отраженная волны» приведен
ниже (в § 14.4 н§ 14.5), однако и здесь просматривается определенная ана-
логия выражения Unx = ии2^оХ с графиком экспоненты, как бы убываю-
щей (падающей) с уменьшением координаты х (см. рис. 14.1 а), а выражения
Сох = (/о2е_т°х — с графиком экспоненты, как бы убывающей в обратном
направлении (в направлении отражения —см. рис. 14.1а)
§ 14.3. ЛИНИЯ
КАК СИММЕТРИЧНЫЙ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК
14.3.1. Сравнение уравнений линии
и симметричного четырехполюсника
В решении уравнений линии (14.8) используем формулы Эйлера
для гиперболических функций
Jjjx _ и2+гй12 (ch7оЖ + sh 7оа.) + и2 zti2 (с}17од. _ «ж7оЖ)}
Jx = ^^2Ц^(с117о® + sh7o®) - (ch 70S - sh70s),
далее после очевидных преобразований получим
Ux = U2 ch 70s + /2ZB sh 70s,
Zx = 172^ + /2ch7os.
(14.13)
Сравним (14.13) с гиперболической формой уравнений сим-
метричного четырехполюсника (12.21):
171 = 172 ch 7 + (-/2)^с sh7,
Л = <72^ + (—Z2) ch 7;
(14.14)
учтем при этом, что в (14.13) у линии (см. рис. 14.1а) ток нагруз-
ки /,,(5) = /2(5), в то время как в (14.14) у четырехполюсника
ад = -ад.
ВЫВОД', однородная линия и любая ее часть являются сим-
метричным ЧП, причем характеристические параметры ли-
нии как ЧП Zc = Zb,t. е. характеристическое сопротивление
равно волновому, а характеристическая мера передачи всей
линии 7 = 7о£ьт. е. коэффициент распространения 70 = 7/^
является погонной мерой передачи линии.
глав0 14
307
Следствия:
1. Для линии справедливы все свойства симметричного ЧП
в том числе находящегося в режиме характеристической
(согласованной) нагрузки.
2. Справедливы формулы (14.25), (14.26) расчета характе-
ристических параметров с использованием сопротивле-
ний холостого хода и короткого замыкания линии как ЧП
_ ?то* — Мхх + Z3 (14.15)
V ^хх - Za ‘
На основании (14.15), зная сопротивления XX и КЗ линии,
можно найти ее характеристические параметры в установив-
шемся синусоидальном режиме (s = jw), а далее, используя
формулы (14.4), (14.7) и получив
z‘ = \V^ = \ctZc' 70 =
V ^oljw) V Go + jwCo
можно определить первичные параметры линии До, Lq, Go, Cq
из решения уравнений Zq = ZB7o» Yo = 7o/Za.
14.3.2. Линия без отражения
Линия без отражения — это линия в согласованном режиме,
когда Zit = Zc = ZB. При этом коэффициент отражения со-
гласно (14.12) п = 0, т. е. отраженных волн в линии нет; соглас-
но (14.9), (14.10) напряжение и ток на входе линии (при х - £)
будут (1416>
поскольку Uo2 = о, 1о2 = 0» - ^п2> h ^2- ...
Передаточные функции в этом случае согласно (
зываются
v U2(s) Ш _ е-то(^ = •
а входное сопротивление линин записывается в виде
z (s} = 4i. = ^.^z^za = zc,
11
308
Основы теории электрических цепей
что, естественно, соответствует формулам ЧП в режиме согла-
сованной нагрузки.
Выясним, искажает ли линия без отражения. Для этого рас-
смотрим АЧХ и ФЧХ. В установившемся синусоидальном режиме
коэффициент распространения 70 является комплексным числом:
7o(iw) = V(Ro + + jwCo) = a(w) 4-(14.17)
а сопротивление нагрузки
Ro 4- jojLo
Go 4- juCo
не является дробно-рациональиой функцией обобщенной часто-
ты s = ja), т. е. согласование линии без отражения возможно
лишь на конкретной частоте ш.
Определим частотные характеристики линии из функции пе-
редачи, например,
Hu(ju>) = -4 = е-7о(^)« = e-aoee-j{3o^ (14 18)
(Л
отсюда АЧХ линии будет А(ш) = (Я[/( = е~а^е const, т. е.
зависит от частоты, а ФЧХ будет Ф(ш) = -/?о(^Х / — ^з, т. е.
не является линейной-функцией.
ВЫВОД-, линия без отражения искажает проходящие по ней
сигналы.
Из (14.18) и из сравнения с (12.13) следует, что
а° = |1п^“ (Нп/м)
является погонным коэффициентом затухания, а /Зо =
— (<*ui — погонным коэффициентом фазы линии в
согласованном режиме.
14.3.3. Линия без искажения
Однородная
параметров:
линия со следующим искусственным сочетанием
Ьо _ Cq
Я6- Go
(14.19)
называется линией без искажения, поскольку в режиме согла
сованнои нагрузки она не искажает.
ГлаваУ4
Действительно, при выполнении (14.19) имеем '
. =v® - Vew - - ™,St,
Ь» = JZ°Yo = = +
т. е. согласно (14.16). (14.20) в согласованном режиме буй'20’
f/2(s) = {/l(s)e-'»' =
U1[S)e • w2(0 = b!(t-txl), (14.21)
где k — е Узл— b/L0C0 — время запаздывания прохо-
дящих по линии сигналов, форма1которых на основании (14.21)
не искажается.
Об этом же свидетельствуют и частотные характеристики
линии без искажения:
7o(Jw) — \/RqGq 4- LqCq = »о + j/?o;
_____ __________
Hu(jw) = e~7°e = e~^* ^oGoQ—jiutvLoCo {•Q—jut»,
т. e. получили АЧХ A(w) = |Я[/| = к = const и ФЧХ
Ф(о>) = -wt3Ji.
Скорость движения сигналов (волны) вдоль линии будет
v = £/Гзл — 1/'/LqCq.
Примечание. Линия без искажения довольно сложное искусственное об-
разование, поскольку в отличие от (14.19) у реальных однородных линий
обычно
£о//?о < Cq/Gq.
§ 14.4. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ
14.4.1. Основные характеристики линии без потерь
Однородная линия, у которой активными потерями можно пре
небречь (т. е. Ro -> О, Go -> 0), называется линией оез потерь.
Отметим ее следующие свойства и характеристики.
1. Волновое сопротивление .
Z„ = Zc = у/ZqIYq = /sIo/(sCo) = 114‘22)
постоянно и не зависит от частоты.
310
Основы теории электрических цепей
2. Коэффициент распространения
•7о = \/ад = sy/L^Co (14.23)
не является иррациональной функцией обобщенной частоты s.
3. Передаточная функция в согласованном режиме сле-
дующая:
н (s\ = 4^L = е-то€ = е-^ч/Е^о = e-stM ? (j 4.24)
Ui (s)
т. е. сигналы проходят к нагрузке без искажения и не изменяются
по амплитуде, а значит, -игСО ~ ^i(t — ^зл), причем Huis') =
= Я/(з).
4. Частотные характеристики в согласованном режиме еле- .
дующие:
Hu(jw) = e-y°U^e = = ke~jut”,
т. е. АЧХ A(w) = k = 1, ФЧХ Ф(си) — -wc^,, коэффици-
ент распространения в установившемся синусоидальном режиме
7о = оо + Ро — j^>y/LoCo, cto = 0» fio — wy/LoCo’.
’ 5. Скорость прохождения сигналов по линии будет
v = e/t^ = 1/^LqCq. (14.25)
Примечание. На практике многие линии имеют малые потери и прибли-
женно описываются соотношениями (14.22)-( 14.25); условия wLq » Но
и шСо Go выполняются также обычно, если спектр передаваемых по
линии сигналов содержит в основном высокочастотные составляющие.
14.4.2. Трактовка падающей и отраженной волн
в линии без потерь
Рассмотрим уравнение (14.9) для линии без потерь
Ux(s) = Un2es'/^x + t/o2e“s'/Z°S°:c -j- ux(t) =
— 4- <зх) + Wo2(i — t3x), (14.26)
где t3x = ху/LqCq время прохождения волны по участку
линии длиной ж.
ВЫВОД-, (из (14.26)) процессы в линии без потерь можно
представить во временной области как взаимодействие па-
дающей и отраженной волн, причем отраженная волна
Глава 14
Voz(^) = Uo2^ “ t3*) ПРИХ°ДИТ в точку х линии с запазды-
ванием на время t3x относительно момента пребывания ее
в конце линии (см. рис. 14.1а), а падающая волна «nz(£) =
= Mn2(i + *зх). что соответствует un2(t) = unx(t - t3z),
приходит из точки х в конец линии с запаздыванием на .
Коэффициент отражения п = показывает
какая часть падающей волны отражается от нагрузки и движется
назад к началу линии, искажая сигналы в линии. Если выход-
ное сопротивление источника Z8blx = ZH не согласовано (7аых 4
5^ ZB), то эта отраженная волна вновь отражается от источника
с коэффициентом отражения Z - Z
<14-27>
а такая новая отраженная волна «идет» к концу линии ит. д.
14.4.3. Подключение линии без потерь
к источнику постоянного напряжения
Схема рассматриваемой цепи приведена на рисунке 14.2а. Необ-
ходимо найти напряжение U2(t) на сопротивлении нагрузки ли-
нии ZH = 7?н и выяснить картину распределения напряже-
ния вдоль линии длиной € при включении цепи к идеальному
Рис. 14.2
312
Основы теории электрических цепей
источнику напряжения «i(i) = «ю - const, имеющему, есте-
ственно, внутреннее (выходное) сопротивление = ZBbiX = о.
В линии без потерь согласно (14.23)- (14.24) будет Za =
= VLq/Cq, 7q = sx/ZqCq, а время прохождения волны вдоль
ЛИНИИ t-зл ~ ZVLqCo .
Для анализа процессов в линии без потерь используем, на-
пример, решение (14.9) и (14.26) при х = Л т. е. рассматриваем
связь напряжений на входе и выходе линии:
t/i(s) = t/n2(5)e7o(s)< + t/o2(s)e"7o(s)£ =
= ^n2(s)esti'(l +пе 2tv,s
Поскольку выполняется [/2(5). = Un2 + Uo2 = £А12(1 + n),
где n = UO2/Un2 — коэффициент отражения, то (7n2(s) —
= t/2(s)/(l + w), откуда
СЛ(з) = + ne~2tuS).
1 4- п
Таким образом, передаточная функция цепи будет
Hv(s) = = (1 +n)e-‘“s-----Цт-. (14.28)
UM l + ne~2t“s
Трактуя последний сомножитель в (14.28) как сумму беско-
нечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
(-ne~2tuS), получим с учетом ui(i) = «ю -? UM = uiq/s
тт / ч ttio(l +п) „
U2 ($) = ——----- е tuSx
S
х (1 — ne~2t“s + n2e-4t"s - n3e-6t“s + ...)-? u2(t) =
= «ю(1 + n) [<5i (t — ^зд) — n6\(i — 3£зл)+
4-n2<5i(i-5t^)(14.29)
График сигнала на выходе линии, соответствующий (14.29),
приведен на рисунке 14.26 в предположении, что коэффициент
отражения п = 0,5, а входной сигнал щ = м10 = 1 имеет
единичный уровень.
Картина распределения напряжения по линии с учетом падаю-
щей и отраженной волн изображена на рисунке 14.2в для момен-
тов времени t = 0+, ^+, 2^+, 3^4-,..При t = 0+ падаю-
щая волна, обусловленная включением источника и = ищ = 1»
Глава !4
313
имеет место лишь на входе линии (пои т - о\
пространяться в сторону нагрузки. В момент =“™"ает рас-
щая волна достигает нагрузки (вдоль всей линия уХзХ
напряжение их = 1), отражается от narnvovu п у а»овилось
п = 0,5 (т. е. И2 = н„2 : па„ ™ Г!X“ 1' “°*™
волна ад - пим - 0,5 начинает раснростр’ан'яться^ачату
линии. При I - 24м+ отраженная волна и„ = «02 = о 5 дост?
гает источника (вдоль лини установилось напряжение « = 1 51
отражается от источника согласно (14.27) с коэффициентом от-
ражения п;сг = (0 - Z„)/(0 + Z.) = -1 (т. е. значение «новой
отраженной — второй падающей волны» пи„ио2 = (—1 )п =
= -п = -0,5 Ji результате па входе ui = н„2 + а02 + „и„„о2 =
— 1,5 — 0,5 — 1 — uoi = const), и вторая падающая волна
(-п — _0>5) начинает распространяться к нагрузке. В момент
t = 3<зл+ эта волна достигает нагрузки, отражается с коэффи-
циентом отражения п = 0,5 и новая отраженная от нагрузки
волна, имеющая значение п(—п) = — п2, начинает вновь рас-
пространяться к источнику и т. д. Естественно, напряжение на
входе при t > 0 постоянно и равно = и10. а на выходе
соответствует (14.29) и рисунку 14.26.
§ 14.5. ЛИНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ
СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ
14.5.1. Общая характеристика
процессов в линии
Уравнения процессов в линии (14.9) запишем для комплексов
действующих значений в установившемся синусоидальном ре-
жиме (s = jw)
йх = йп2еоох^х + Uo2e'aoxe~jpox. (И30)
где аналогично (14.18) коэффициент распространеш1я /Уо _
= ^o+j/?o, а действующие значения Un2 - № ,02
= Uo2e^. На основании (14.30) описание процессов
t-области имеет вид
u^t) = Un2V2e^xcos(ujt + PQx^a:^+ •
[/o2v^e“Q0®c°sM-&x + aj’0 •
314
Основы теории электрических цепей
Рассмотрим слагаемое в (14.31), характеризующее падаю-
щую волну в точке линии на расстоянии х от нагрузки,
ад/) = С7П2>/2еаоХ cos(cvt + 30х 4- аПад), (14.32)
причем а» = 2тг/Т — частота графика косинусоиды в (14.32),
т. е. последнего сомножителя, построенного в функции от вре-
мени t в некоторой фиксированной точке х линии; /30 =
= 2%/А — частота графика косинусоиды в (14.32), построенного
в функции от координаты х линии в некоторый фиксированный
момент времени t (здесь А —период по координате).
На рисунке 14.3а приведен график падающей волны (14.32)
как функции координаты х линии для фиксированного момента
времени t = ii.
Оценим расстояние Дх, на которое сдвинется через интер-
вал At точка падающей волны (14.32), имеющая неизменную
суммарную фазу. При этом
vt’ii + x(3q 4- апад _ uj(ti + At) 4- (z 4- Дх)/?0 4- апад,
или 0 = u>At 4- Дз;^0, откуда
Az =-u>At/0o < О, (14:33)
т. е. падающая волна ипх через промежуток времени At дей-
ствительно сдвинется к концу линии, как показано пунктиром и
стрелками на рисунке 14.3а.
Г.юва
14.5.2. Фазовая скорость, длина волны
н движение волн в линии
Фазовой скоростью оф называется скорость движения вдоль
линии точки волны, например (14.32), суммарная фа^а ко“е6 -
НИЙ в которой неизменна. Из (14.33) имеем
lim — =
At-o Аг з0 ’
откуда, отбрасывая знак «минус», который зависит от начала
отсчета координаты и вида волны, получим
w
= <’4-34)
Примечания:
I. В общем случае в-однородной линии погонный коэффициент фазы
/?о(щ) согласно (14.17) является нелинейной функцией частоты, т. е.
волны различных частот щ проходят по линии с различной скоростью и
даже в согласованном режиме «линия работает с искажениями».
2. 3 линии без потерь 7о(» = ар + jfa = juy/fiffi, следова-
тельно, согласно (14.34) г>ф = т. е. фазовая скорость не
зависит от частоты сигналов, время движения волны по линии- tx, =
= £/?’ф = (.sJLqCq соответсвует (14.25); в результате в согласованном
режиме линия без потерь не искажает — сигналы на выход проходят с
запаздыванием относительно входа.
Длина волны Л в линии —это минимальное расстояние меж-
ду точками волны (см. рис. 14.3л), суммарная фаза колебании в
которых отличается на 2тт радиан. На примере падающей вол-
ны (14.32) в этом случае имеем для момента t = t\\
[cvix + f3Q(x + А) + аПад] ~ +&х + = 27Г’
откуда /30Х = 2тг, т. е. длина волны в линии (период по коорди-
нате) Л=—• (14.35)
Ро
С учетом (14.34), (14.35) найдем временный интервал, за ко-
торый волна проходит расстояние, равное длине волны. «ф
= 2тг/а» = 71, откуда д = УфТ. (14.36)
ВЫВОД: (на основании (14.36)) длина волны и линии 1
на произведению фазовой скорости на р
(см. п. 14.1.1).
316
Основы теории электрических цепей
14.5.3. Стоячие волны в линии без потерь
Как известно, в линии без потерь волновое сопротивление ZR =
= \/2о/Со. а коэффициент распространения 70 = =
= jfio. т. е. оо = О и затухание амплитуд волн в линии отсут-
ствует. Поэтому в случае равенства амплитуд падающей и отра-
женной воли, (если коэффициент отражения |n| = 1) эти вол-
ны в некоторой точке линии могут оказаться в противофазе, что
приведет к их полной компенсации.
Рассмотрим частный случай КЗ линии (ZH = О, U2 = О,
n = -1, Л = Лп - Ло = 2Лп )• Тогда уравнения линии как
четырехполюсника (14.13) имеют вид в установившемся сину-
соидальном режиме для комплексов действующих значений
йх = Л ZR sh 70х; tx - Л ch 70.Г,
причем в линии без потерь с учетом (14.35) 70 = — fl-n/X,
т. е. ch(J^o^) = cosmos, sh(j^o^) = j sin/3o.r, откуда уравнения
линии будут
т*г • г гт • 2тгх * * 2tvx г\гг\
Ux=jI2ZRsm-—, Ix = I2cos ——. (14.37)
Л Л
Примечание. Из (14.37) с учетом Zo = т/Lo/Co = const > 0 следует,
что в любой точке линии синусоиды напряжения и тока сдвинуты па 90’, т. е.
мощность Рх = UXIX С03<Рх = 0.
Находим распределение действующих значений этих синусо-
ид в функции от координаты линии:
Ux — hza
. 2тгж
Sin -‘т—
Л
lx = h
2кх
cos ——
(14.38)
графики, соответствующие (14.38), приведены на рисунке 14.36.
ВЫВОД', существуют точки линии, называемые узлами (на-
пряжения, если Ux = 0, и тока, если 1Х = 0), в которых
падающая и отраженная волны полностью компенсируются;
имеются также точки максимумов, называемые пучностями,
в которых падающая и отраженная волны находятся в фазе
(т. е. амплитуда результирующей синусоиды волн удваивает-
ся), пучности отстоят от узлов на расстоянии четверть длины
волны, амплитуда тока (напряжения) в каждой точке линии
неизменна, т. е. похожие на волны гоагЬики и, „
как бы «стоят» (стоячие волны). РисУ‘>ке 14.36
Примечание. Режим стоячих волн в линии без
отражая |п| =
В заключение рассмотрим характеристики отрезка линии в
^Т,Ь7?™'Ы РСЖ“е К3 '“И*™ <“' Р"с- Н.36)
Из (14.37) при х = ХЦ следует, что входное сопротивление ли-,
нии в этом случае бесконечно, т. е. ZA/4 = Ux/Jt -»
Практическое применение такого закороченного чтер^вад-
нового отрезка линии разнообразно: высокодобротный резона-
тор, узкополосный фильтр для устранения помех, металлический
изолятор волноводов и др.
Глава 15
ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И ЦЕПИ
§ 15.1. ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ
И ТЕОРЕМА ДИСКРЕТИЗАЦИИ
-15.1.1. Аналоговые и дискретные сигналы
В учебной литературе в основном рассматривают непрерывные во
времени, т. е. аналоговые сигналы, существующие для любых t;
анализируют процессы в аналоговых цепях из RLCM-элементов
и источников аналоговых сигналов.
Вместе с тем, в технике широко используются дискретные
цепи и сигналы. На рисунке 15.1а приведен пример дискретного
сигнала /1Д(4), который соответствует некоторому аналоговому
сигналу /i(t), показанному на рисунке 15.1а пунктиром. При
этом выполняется /in(t) = /1(пТ) в интервалах времени от пТ
до пТ + At (где Т — период дискретизации, п = 0, 1,2,...) и
/1Д(4) = 0 для остальных t.
Если докажем, что по /1Д(4) может быть восстановлен ис-
ходный непрерывный сигнал, то очевидны преимущества дис-
кретных сигналов:
Рис. 15.1
1 Во время пауз можно передавать дртю „„форчаиию
(телефон Котельникова). • * ’цию
2. Во время пауз помеха не действует.
3. Если дополнительно использовать квантование (дискре-
тизацию) сигналов по уровню, т. е. перейти к цифровым сигна
лам и передавать их в двоичном коде(0; 1), помехоустойчивость
резко возрастает.
Пример цепи для формирования и передачи дискретных сиг-
налов приведен на рисунке 15.16. где КЛ — идеальный ключ,
ЛС линия (канал) связи, ФК фильтр Котельникова, назна-
чение которого восстановить исходный аналоговый сигнал.
15.1.2. Идеализация
дискретных сигналов
Так как на практике интервалы Т и At очень малы, дискретный
сигнал можно приближенно описать суммой дельта-функций с
коэффициентами, равными.площади отдельных импульсов:
ОО
п=0
Примечания:
1. Считаем /i(t) = 0, /1д(0 = 0 при t < 0; в противном случае нижний
предел может быть расширен до « —оо ».
2. Верхний предел п — это целая часть t/T. но запись (15.1) также
справедлива, так как 5(t — пТ) = 0 при t < пТ.
В дальнейшем, ограничимся рассмотрением идеализирован-
пых дискретных сигналов вида
00
п=0
(15.2)
считая, что каскадно с ключом (рис. 15. ) по Д0каза-
с коэффициентом усиления 1/At (этоогранич
тельстве теоремы Котельникова будет снято).
С учетом свойства выборки преобразуем < о.
Лд(0 = А(О Е =
п=-оо
(15.31
320
Основы теории электрических цепей
л<<> ft t f t 1
-T о Т 2Т
Рис. 15.2
следовательно, схема для передачи дискретных сигналов мо-
жет быть представлена в виде рисунка 15.2, где f$(t) — пе-
риодическая последовательность дельта-функций, БП — блок
- произведения.
1S.1.3. Теорема Котельникова (Найквиста, Шеннона)
Аналоговый сигнал /1(0» имеющий ограниченный по частоте
спектр, так что Fi(jiw). = 0 при |w| > wrn, может быть пол-
ностью восстановлен по дискретным значениям этого сигнала
/1(п7’о)» которые считываются с частотой wo = 2x-m •
Рассмотрим доказательство в частотной области. В (15.3)
периодическая последовательность дельта-функций /<$(£) =
= Е^°оо - пТо) с частотой UQ = 2тг/7Ь = 2wm имеет ком-
плексный дискретный спектр Ak - 2^l6(t)\/T0 = 2/Т0, где
& — символ прямого преобразования Фурье. Таким образом,-
ряд Фурье в комплексной форме записывается как
1 °° I °0
•МО = « = — V е-'7-'"»'.
fa-oo 7»
1огда спектр дискретного сигнала, т. е. преобразование
Фурье (15.3) будет
оо
*1д(» = [
—ОО
оо
1 г оо
= yr J /1(0 52 dt =
-оо ~°О
1 оо
= Е Fi0(w-M)), А; = 0,1,2, • • • .
к=—оо
(15.4}
Глава-15
321
ВЫВОД: спектр дискретного сигналя /о
циеита 1/То) имеет ту же форму, что J Хк™ Xtro
„епрерыпиого сигнала, н0 является ₽и’“ч^
продолжением с периодом Wn = одическим
рисунке 15.3. 1
'т, как показано на
Рис. 15.3
Теперь очевидны требования к частотной характеристике
фильтра Котельникова Она должна соответствовать
идеальному ФНЧ, имеющему АЧХ вида: |HK(jw)| = 7b при
М < w,n, |ЯкСМ| = 0 при М > т. е. на выход ФК
гармоники с частотами |w| > win не проходят.
Примечание. В принципе в отличие от (15.2) можно было рассматривать
исходный дискретный сигнал (15.1 )с множителем Д<: в этом случаеу филь-
тра Котельникова |НкО'0)| = To/At.
Таким образом, спектр выходного сигнала
F2(jw) = FiA(ja>)HK(j) = Fi0‘w)’
т. е. /2(i) = ^(t), и исходный входной аналоговый сигнал вос-
становлен.
322
Основы теории электрических цепей
15.1.4. Практика применения теоремы Котельникова
Очевидны причины несоблюдения условий теоремы:
1. Идеальный ФНЧ невозможно реализовать, поскольку его
передаточная функция Н(з) не является дробно-рациональной.
АЧХ реальных ФНЧ (см., например, кривую 2 на рисунке 15.4а
в сравнении с характеристикой 1 идеального ФНЧ) «пропустит»
на выход фильтра Котельникова часть спектра дискретного сиг-
нала из области и> > и>т, что вызовет искажения.
2. Спектр реальных сигналов не ограничен частотой а)т,
например, <F(expi) = 1/(1 + jw) —» 0 лишь при ш > оо.
Поэтому на практике (см. рис. 15.46), ограничившись частотой
так, что при ш > а>т амплитудный спектр [^(jca)!. пре-
небрежимо мал, тем не менее увеличивают частоту дискрети-
зации в 2—5 раз и больше в сравнении с требованиями теоре-
мы Котельникова. Например, если принять wq = то в
соответствии с (15.4) амплитудный спектр дискретного сигна-
ла будет иметь вид, изображенный на рисунке 15.46. При этом
реальный ФНЧ, характеристика которого показана на рисун-
ке 15.4в, практически решает задачу восстановления исходного
непрерывного сигнала.
§ 15.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
- ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
15.2.1. Дискретные последовательности
(решетчатые функции)
Множество дискретных значений {f(nT)}^LQ непрерывного
сигнала называется дискретной последовательностью или
решетчатой функцией и обычно записывается сокращенно в виде
ДпТ) = /*(п). (15.5)
Глава /5
Примечания:
1. Часто_(15.5) называют дискретным сигналом, но строго говоря это не
соответствует (15.1), (15.2).
2. Часто (15.5) называют цифровой последовательностью, но для этого
необходимо дополнить (15.5) квантованием по уровню; поскольку у со-
временных ЦВМ интервал квантования по уровню очень мал, отли-
чие (15.5) от цифровой последовательности невелико.
Дискретные сигналы обрабаты-
вают средствами цифровой тех-
ники в ЦВМ или процессорах с
целью получить новую последова-
тельность с желаемыми свойства-
ми. Цепь, преобразующая вход-
ную последовательность дискретных
сигналов /1(пТ) в некоторую вы-
ходную последовательность fzlnT),
как указано на рисунке 15.5а, на-
зывается дискретной цепью (ДЦ)
или дискретным фильтром (или
цифровым фильтром, если прене-
бречь особенностями квантования
по уровню).
а)
ЫпТ)
б> Я(пТ)
Л(пТ)
в)
Л(пТ)
ДЦ
\Ж)
/з(пТ)
г)
Л(пТ)г2 /2(пГ)
Рис. 15.5
15.2.2. Элементы линейных дискретных цепей
Будем рассматривать только линейные дискретные цепи, кото-
рые можно составить из трех простейших элементов, обозначе-
ние которых дано на рисунке 15.5б,в,г:
1. Элемент суммирования (см. рис. 15.56), у которого
/з(») = /?(”) +Д(")-
2. Элемент масштабирования (рис. 15.5в), уравнение кото-
рого /2 (п) = а/i (п), где а — коэффициент.
3. ’ Элемент сдвига или задержки сигнала на один (z ) или
несколько (z~m) дискретных интервалов (рис. 15.5г):
f2(nT) = f1(nT-T);
Ш = Л*(п - 1),
при этом должно быть обязательно задано предн^^Н°^ ное
вие /(*(—1), которому в данном случае соответст у
324
Основы теории электрических цепоа
значение /2*(0) = /Г(—1),т- е. значение /2* при п = 0. Если ис-
пользуется элемент «г"2», необходимо знать два предначаль-
ных условия и /Г(-1).
Очевидно, элементы линейных ДЦ отражают простейшие
операции ЦВМ или процессоров.
15.2.3. Схемы дискретных цепей
и разностные уравнения
Рассмотрим пример простейшей ДЦ, схема которой приведена
на рисунке 15.6а. Это ДЦ первого порядка, которая описыва-
ется так называемым разностным уравнением первого порядка:
/2(пТ) = 2Д(пТ) - 0,5/2(пТ - Г), (15.6)
причем должно быть задано предначальное условие /2(—Т).
Примечание. Разностное уравнение может быть получено на осно-
вании использования формул численного решения дифференциальных
уравнений.
ПРИМЕР 1. Решить методом Эйлера уравнение состояния
первого порядка ft(t) = -15f2(t) + 20Ji(tj. Переходя к
конечным малым приращениям; находим для п-го интервала
численного расчета с шагом Т = Ai:
А/2(п) = /2(п) - /2(п - 1) = + 20At/i(n),
откуда получим уравнение, которое по форме
разностному уравнению (15.6):
соответствует
f-2(n) — bo/l(n) al/2(n-l) =
= 20Д4Л(„> - (-1 +
В общем случае ДЦ N-порядка описывается разностным
уравнением порядка N вида:
/2* (n) + ai/2* (п - 1) + a2/2*(n - 2) + •. •.
• • • + aNft (n — N')= bofftn) + biffin -1) +...
---ЬЬм/1(п-М), (15.7)
причем должны быть заданы предначальные условия ft(-l)
......................../Г(-М).
Примечания:
1. Уравнение (15.7) имеет так называемую приведенную форму, поскольку
ао = 1.
2.
ВЫВОД', по разностному уравнению (15.7) всегда можно со-
ставить схему дискретной цепи, например, в варианте, пока-
занном на рисунке 15.66.
§ 15.3. АНАЛИЗ ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
15.3.1. Численное решение
разностных уравнений
Используем непосредственную подстановку в разностные урав
нения значений реакции и воздействия на каждом шаге числен
ного расчета.
ПРИМЕР 2. Уравнение /2*(п) + 0,5/2*(п - 1) = 2/i
Л(пТ) = 2пТ,- при предначальном условии /2( )
преобразуем к виду
/2*(7г)^2пТ-0,5/2(п-1)-
Основы теории электрических цепей
Численные значения реакции будут
/2*(0) = 0 - 0,5/2*(-1) = О; А*(1) = 2Т - 0,5/2 (0) = 2Т-
/2 (2) = 2 • 2Т - 0,5/2 (-1) = 4Т - 0,5 • 2Т = ЗТ:
/2 (3) = 2 • ЗТ - 0,5/2 (—2) = 6Т - 0,5 • ЗТ = 4,5Т: ...
Графики входной и выходной дискретных последовательно-
стей, т. е. решетчатых функций, приведены на рисунке 15.7.
б)
а)
Рис. 15.7
1.5Г
ЗТ
27’
Т 2Т ЗТ *4
Примечание. Численный расчет соответствует процедуре вычислений в
ЦВМ. Однако хотелось бы получить решение «в замкнутой форме» для
любого шага п расчета. Математика во многих случаях позволяет найти та-
кое аналитическое решение разностного уравнения ДЦ в I-области в виде
суммы двух составляющих — свободной и вынужденной:
/2(пТ) = /2со(пТ) + /2вЫ.(пТ). (15.8)
15.3.2. Свободная составляющая
решения уравнений ДЦ
Свободная составляющая /гсв(^Т) — это обшее решение одно-
родного разностного уравнения
Z2’(^)+ ai/2*(^-1) + •+ aN/2‘(n-Лг) =0. (15.9)
В большинстве случаев свободная составляющая отыскива-
ется в следующей форме:
N N
ЯМ = ^Akpl = 52A..eQ‘‘nT; Pk = (15.10)
*=1 А:=1
Глава 15
327
где р* - корни характеристического полинома (ХП)уравнений
ди гЛ -L л ,JV-1 ,
Р + <цр +...+ая=0 ([5||)
XZXЕсли ко₽снь и ~ к₽а"“- ™ *
f2cu(nT) = А1Р? + Л2пТр^ 4- Дз(пТ)2Ру +... _
= S1P1 + В2пр% + Взп2ру +...,
причем Ак в (15.10) - неизвестные коэффициенты, определяемые по пред-
начальным условиям. к
Решение в форме /2*(п) = Арп подставляем в (15.9):
A (pn + aiPn~l + • • • + aNpn~N) = о, ’
откуда .4p"-V(p-v+Olp«-i + ... + aN)a0>
что приводи г к (15.11) и далее к (15.10).
ПРИМЕР 3. Уравнению /2(п) + 0,5/2(n- 1) = 2Д*(п) со-
ответствует ХПр + 0,5 = 0, корень которого Р\ = -0,5, т. е.
/2*св(п) = Ai(-0,5)”. .
ПРИМЕР 4. Разностному уравнению второго порядка
/2 (п) - 0,25/2 (п - 2) = /^(п) соответствует XПр2 -0,25 =
= 0; корни будут pi)2 = ±0,5, следовательно, /2св(п) = х
х 0,5” + А2(-0,5)”.
Примечание. Очевидно, чтобы ДЦ была устойчива, т. е. решение не расхо-
дилось, необходимо выполнение условия
Ы < 1,
тогда /2сп(пТ) -+ 0 при п -+ оо.
15.3.3. Вынужденная составляющая
решения уравнений ДЦ
Вынужденная составляющая /2вын(п^) это частное реше
если Л = a(nT)2, то /2вын = ^(пГ)2 + + D ’’
328
Основы теории электрических цеп
если /1 = арп, то /гвын — &Рп I
если /i = asin(n7), то. /2вын = Л sin (717) + В cos(n7),
причем /гвын с неизвестными коэффициентами А, В, D
подставляют в неоднородное уравнение (15.7); приравнивая его
левую и правую части, находят Л, В, D.
ПРИМЕР 5. Разностному уравнению /2 (п) 4-0,5/2 (п -1) =
= 2пТ при начальном условии /2(-1) = 0 соответствует
вынужденная составляющая решения в форме аналога по-
линома первого порядка /гВын = Ап? 4- В. Подставляя ее в
уравнение ДЦ, получим
(АпТ 4- В) 4- 0,5[А(п - 1)Т 4- В] = 2пТ.
Приравнивая слева и справа коэффициенты при (пТ)1 и
(пТ)°, получим соответственно уравнения:
А 4- 0,5Л = 2; В - 0,5ЛТ 4- 0,5В = 0,
откуда А = 4/3; В = 4Т/9. Используя данные примера 3,
находим согласно (15.8)
/2(пТ) = /2св 4- /гвын = Д1(-0,5)п 4- 4пТ/3 4- 4Т/9.
Неизвестный коэффициент в свободной составляю-
щей определяем по предначальным условиям:
/2*(-1) = о = Аг(-0,5)—1 - 4Т/3 4- 4Т/9; Аг = -4Т/9.
Итак, /2(пТ) = (—47/9)(—о,5)п + '4пТ/3 4- 4Т/9, что
полностью соответствует данным численного решения при-
мера 2.
15.3.4. Переходная характеристика ДЦ'
Переходной характеристикой ДЦ /гЦп) называют реакцию це-
пи при нулевых предначальных условиях на единственное в це~
пи воздействие вида единичной последовательности импульсов,
изображенной на рисунке 15.8а:
!•(«) = ед = ”<о (15ЛЗ)
[1, n>0. v
Глава 15
а)
1*(п)
1111
О Т 2Т ЗТ
1 5)
—*t 1—1—1
£ -г о
Рис. 15.8
t
Способ отыскания
уравнения ДЦ.
(пТ) обычное решение разностного
ПРИМЕР 6. ДЦ описывается уравнением /2*(п) + 0,5/2*(п -
- 1) = 2Л* (п). Для расчета дискретной переходной ха-
рактеристики ЛЦп) принимаем /Цп) = 1, /2*(-1) =
= 0. На основании примера 2 имеем hJCB(n) = /2*св(п) =
— Л1(-0,5)п. Вынужденная составляющая должна быть
постоянной /11ВЫН(п) = /2вын(п) = Д> подстановка кото-
рой в уравнение ДЦ дает: В + 0,5В = 2, т. е. В = 4/3.
Таким образом, решением будет /2*(п) = Л1(-0,5)п + 4/3.
Поскольку выполняется /2(-1) = 0 = Л1(-0,5)“1+4/3,то
Л1 = 2/3. Итак, для любых п (начиная с п = -оо) имеем
/гЦп) = [(2/3)(-0,5)п + 4/3]1*(п).
15.3.5. Импульсная характеристика ДЦ
Дискретной импульсной характеристикой h*(n) называют ре-
акцию ДЦ при нулевых предначальных условиях на единствен-
ное в цепи воздействие вида одного импульса единичной высоты
(см. рис. 15.86), которое называют 6q -последовательностью
,;(„) = 5o(„T) = {J; ^°0. (15Л4)
Способ отыскания h(nT) следующий: так как из рисун
ка 15.8 и формул (15.13), (15.14) очевидно, что -последо-
вательность является разностью двух смещенных единичн
последовательностей
<50(пТ) = 1(пТ)-1(пГ-Т). (15-15)
то по принципу наложения получаем
h(nT) = hi(nT)-hi(nT-T); (15J6>
330
Основы теории электрических цепей
причем очевидно, что _ bo ( 15ду)
Следует отметить, что для дискретных линейных цепей спра-
ведливы при нулевых предначальных условиях свойства линей-
ности — принципы пропорциональности и наложения.
если А"х(п) = »Л1(«) + вРп(п),
то и»)=лям+вл-н(п),
где Ди /211 —реакции ДЦ на воздействия /ц и Дц.
ПРИ МЕР 7. Найти 7г* (п) для ДЦ примера 6. В соответствии
с (15.15), (15.16) находим
/г*(п) =
что для п 1 дает
Г(п)-
Поскольку, на основании (15.17). и примера 6 имеем
. ^i(O) = /г*(0) = 2, то, объединяя результаты, можем для
любых п записать /г*(п) = 2(-0,5)п1*(п).
15.3.6. Дискретная свертка
импульсной характеристики
с дискретным воздействием
Дискретный входной сигнал Д(п) можно представить сум-
мой смещенных функций 55(п — к) с коэффициентами Д*(п).
Элементарное воздействие Д*(&)<?о(п — к) даст к моменту t =
= пТ реакцию Д (fc)/i*(n — к)\ причем здесь величина Д*(/с)
играет роль коэффициента, учитываемого в линейных ДЦ по
принципу пропорциональности.
Глава 15
Таким образом, по принципу наложения суммарная реакция
‘ совокупности элементарных воздействий имеет вид
Л(п) = Е Л MbTn-k)- (15.18)
fc=0
иочание Дискретная свертка (15.18) по форме согласуется с записью
"Хала h W = Я /1(T>(t ’ Т) dT •
Основной недостаток (15.18) заключается в том, что с ростом
п число слагаемых возрастает и получить аналитическую запись
/*(п) «в замкнутой форме» сложно. В то же время в отличие
от 15.3.1 расчет значения /2*(п) по формуле (15.18) не требует
предварительного вычисления /2 (п -1).
ВЫВОД, рассмотренный в § 15.3 анализ дискретных це-
пей во временной области в целом подобен расчету пере-
ходных процессов в аналоговых цепях в t-области; достоин-
ство анализа физичность, недостаток— разноплановость
и трудоемкость расчетов во многих случаях.
§ 15.4. ПРИМЕНЕНИЕ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
В ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЯХ
15.4.1. Понятие о прямом z-преобразовании
Используем из 15.1.2 представление дискретных сигналов сум-
мой дельта-функций: оо
n=0
Преобразовав(15.19)поЛапласусучетом пТ)~ е
переходим к так называемому дискретному преобразованию
Лапласа: «-—г „т /1коп\
Ш^Л(5) = £/(пТ)е-"Г (15-20)
п=0
Введя в (15.20) замену переменных езТ = z, получим z -пре-
образование дискретного сигнала:
п=0
332
Основы теории электрических цспрг,
однако обычно формулу (15.21) прямого z-преобразования за-
писывают в сокращенной условной форме:
ОО
/(пТ) = /‘(nJ -S- F(«) = £ (15.22)
n=0
Итак, z-преобразование целиком вытекает из преобразова-
ния Лапласа.
15.4.2. Основные свойства
и теоремы z -преобразования
Запишем основные свойства и теоремы г-преобразования.
I. Свойство линейности:
ЕалА(пТ) 4- T,akFk{z).
(15.23)
(15.24)
2. Свойство коммутативности с операциями взятия веще-
ственной и мнимой частей:
Re /(пТ) 4- Re Г(г),
Im/(nT)4-ImF(z).
3. Теорема о дифференцировании г-преобразования выте-
кает из теоремы преобразования Лапласа о дифференцировании
изображения: якуи
os
аналогично с учетом (15.21), (15.22) при г-преобразовании
получим
пТ/(пТ) -т- -—4^ I
ds \etT=z
_ dzdF(z) dF(z)
-~d-S~ = -Tz—
(15.25)
4. Теорема запаздывания для непрерывных сигналов, начм-гр
кающихся с момента t0. имела вид f(t - t6)h (t - i0)+F(s)e~st°.
Аналогично для дискретных сигналов имеем
f(nT - тТ}ЦпТ - тТ)+
^(s)e“mTs|e,T=s = z~mF(z). (15.26)
5. Теорема о начальном и конечном значениях: *
/*(0) = lim Г(г)
г-юо 4 '» (15.27)
чтослслуетиз(15.22): F(z) = /•(0)+Г(1)г'1+Г(2)2-2+... •
/ (оо) = hm if(z), (|5 28)
что согласуется с формулой ЛГ(п) -=- Az/(z - 1), которая будет
обоснована в п. 15.4.3 J
6. Теорема свертки:
п
/2 (п) = 52 A* (k)h* (n-k) + F2{z) = ВДЛ (z), (15.29)
fc=O
где Л(пТ) 4- #(z). Таким образом, необходимо доказать, что в
правой части (15.29)
п=0
= (15.30)
Определим в (15.30) величины слева и справа при одинако-
вых степенях z, например, при z-n:
/2*(п) - Л* (0)л*(п) + /ГЖ(п -!) + ••• + /1W(O)>
что полностью соответствует левой части (15.29).
7. Теорема об учете ненулевых предначальных условий.
Пусть /2 (п) = /Г(п “ 1)» пРичем на основании (15.22) имеем
ВД = /Г(0) + + Л’(2)г-2 + • • • •
Тогда будет
F2(z) = /2*(0) + + /2*(2К2 + -^2 (3)z 3 + ’ • • =
= л*(-1)+aw1+ж1)*-2+f^z'3+’ ’ ’=
_ /*(-1) + z^Fi^z) 4- fi(n- i)-
334 __________________Основы теории электрических ир™ц
Аналогично получаем /*(п-2)4-/*(-2)+г-1/*(-1)+х;“2Г(г)>
и в общем случае записываем
/*(п - т) 4- + z~lf*(-m + !) + •••
... + ^-пг4-1Г(_1)+г-п1г(г)) (1531)
причем (15.31) отличается от теоремы запаздывания (15.26), где
благодаря множителю 1*(п — т) предначальные условия были
нулевыми.
15.4.3. Таблицы z-преобразования
1. Одиночный дискретный сигнал в виде <$о -последователь-
ности (см. (15.14) и рисунок 15.16) по определению прямого
z -преобразования (15.22):
6%(п) 4-1 • z° + 0 • z-1 + 0 • z~2 + — = 1. (15.32)
2. Единичная последовательность (см. (15.13) и рису-
нок 15.1а)
1*(п) 4-1 + 1 • z~* + 1 • z~2 + 1 - z~3 ч-
= * (15.33)
1—Z1 z—1
что следует из формулы суммы убывающей геометрической про-
грессии в области |г| > 1, которая на основании (15.21) со-
ответствует правой полуплоскости аргумента s преобразования
Лапласа.
На основании (15.23) А • Г(п) 4- Az{(z - 1).
3. Линейно нарастающая последовательность (аналог (£))•
Используя (15.25), получим
„т.1(пГ)ч._Тг^[г(1.(п))| =
= ... (15.34)
dz \.z - 1) (г - I)2 k
Аналогично имеем
(nT)2l(nT) - -Г Л ' Гг ' .
OZ - I)2
Глава /5
4. Степенная решетчатая функция (яНЯпап.
Т е еапТ = оп) пункция (аналогэкспоненты
an+a0 + alz 1 + a2z~2 -i---- 1 z
1 - Q2-1 z~(i (15.35)
что следует из формулы убывающей
при \z/a\ > 1.
геометрической прогрессии
5. Произведение линейно нарастающей и степенной после-
довательностеи (аналог teat).
На основании (15.25) находим
пТап -г -Tz~
UZ
Taz
(z-af’
(15.36)
что легко запомнить, прочитав «по-русски» числитель и учиты-
вая по аналогии с непрерывными сигналами, что двукратному
полюсу F(z) соответствует появление пТ в оригинале.
6. Аналог синусоиды. На основании (15.24)
sin сопТ = Im е^шпТ = Im ап| ,ыТ ч- Im —— I
,a=cJwT Z ~ а'\а=е>"т
Примечание. Фактически важны лишь три формулы (15.32), (15.35),
(15.36), поскольку (15.33), (15.34) получают из (15.35), (15.36) при а — 1.
15.4.4. Понятие об обратном z-преобразовании.
Численный расчет оригинала
Формула обратного г-преобразования имеет вид
7
причем интегрирование ведут по контуру 7 так, что ы все
бые точки F(z) лежали внутри контура. п-
Однако на практике для перехода к оригиналу мето-
дробно-рациональной функции F(z) используют о{|
ды. Иногда используют метод численного расч
последовательности по z-преобразованию^ (у- t +
Действительно, по определению F(z)-М > степеНях
+ /*(2)^"2 + ..., т. е..коэффициенты при убывают
Основы теории электрических цепей
336 ______________________—--------------------------—
этого ряда (ряда Лорана) определяют значения дискретного
этого ряд гр — дробно-рациональная функция, для
Хенн» - разложений в ряд Лорана достаточно осуще-
ствить деление числителя Г(г) на знаменатель по старшим
степеням z.
15.4.5. Использование теоремы разложения
для обратного z-преобразования
По аналогии с теоремой разложения преобразования Лапласа,
зная полюсы zjt дробно-рациональной функции F(z), можно
для перехода к оригиналу использовать разложение F(z) на
простейшие составляющие:
p(z\ = Ьм*М + -“ + biz + b0 _ B(z) _
' a^zN 4--------4- aiz 4- ао A(z)
B(z)/aN AkZ , A '
~ ~n-------= (15.37)
П(*-**) A
fc=l
= 52AkZ% + Ao^(n),
k=l
4o = lim F(z), Afc = iim £Z^lF(z) (15.38)
z-*0 z-*zk Z
причем достоинство и наглядность структуры каждой формулы
в (15.38) в том, что ее использование «исключает» все коэффи-
циенты кроме искомого, сохраняя равенство левой и правой
частей в (15.37).
ПРИМЕР 8.
_____2г____
(2~i) (2 + 1)
AlZ . A2Z мл
------------------j- 4------------------------—j- 4- Aq.
Z~2
Ao = F(0) = О,
Глава 15
337
Проведем контроль оригинала
(15.28):
на основании (15.27).
r(o)=MF(2)=Oi
/•(oo) = lim^-+F(«) = 0.
ПРИМЕР 9.
F(*> = -
= л» + -тг-+-^
г + 1- J z + H
Ло = F(0) = 2. А, = , . . 4...—
4
4
= х/267135’;
А2 = = \/2e~jl35‘,
т. е. коэффициенты At и Л2, как и полюсы zi,2 = -1 ± J,
являются сопряженными. Решетчатая функция (дискретная
последовательность, оригинал) записывается как
/*(«) = 2<50*(п)+
+ [-/2г’1ю'(-1 + + - j)» =
= 250(п)+
+ [х/2<=2135' (v^^)" + ^е->136' (^е-^)”] =
= 2<5q(га) + 2У2 (\Z2)"cos (yti +135’) .
Контроль: /(0) = lim2_oo = 0 = 2 + 2\/2cosl35’,
формула (15.28) в данном случае неприемлема, поскольку
при \zk\ > 1 оригинал расходится, ДЦ неустойчива, что
соответствует (15.12).
Примечания:
I. Теорема разложения (15.37) приведена для случая простых полюсов
Zk • При наличии кратных полюсов функции F(z) ее разложение про
изводится аналогично (15.37), но с учетом (15.34), (15.36), например
F(z) =______—_____= + А*г - ........
(z+ 0,5)2... z + 0,5 (z + 0,5)2
• Д-i
+ Г(п) = Att-OW + ^п(-о,5)п +
12-1810
338
Основы теории электрических цепей
причем А2 можно найти по аналогии с (15.38) по формуле
(z -f- 0,5)2
л2 = lim ------------F(z),
Z
a — методом неопределенных коэффициентов.
2. Если в знаменателе F(z) содержится множитель z~™, то прн исполь-
зовании теоремы разложения (15.37) необходимо учитывать и теорему
запаздывания (15.26), например,
F(z) = z~,nFi(z) +
причем для отыскания оригинала Fi(z) применяют (15.37).
15.4.6. Передаточная функция ДЦ
и связь ее с разностным уравнением цепи
Передаточной функцией Я(г) дискретной цепи называют г-пре-
образование дискретной импульсной характеристики при ну-
левых предначальных условиях, а также отношение г-преоб-
разований реакции и воздействия при нулевых предначальных
условиях:
h\n) + H(z) = -±+ (15.39)
7'1 (г)
Отыскивать дискретную передаточную функцию можно на
основании (15.39), но проще использовать связь H(z) с раз-
ностным уравнением ДЦ:
/г (п) + «1/2 (п - 1) Н--Ь un/i (n - N) =
= ЬоК(п) + 61Д*(п - 1) + • • • + ЗД(п - М). (15.40)
Найдем г-преобразование (15.40), учитывая нулевые пред-
начальные условия и формулы (15.26), (15.31) для запаздываю-
щих сигналов
^2(г)(1 4-fliz 1 4- • • • 4- aNz~N) =
= Fi(z)(bQ 4- biz~l 4- • • • 4- bMz~M),
откуда на основании (15.39) получим
Я (г) = 1 4---4- b^z м
F\(z) 14-ai2-14----^-aNZ-N'
(15.41)
ВЫВОД-, по разностному уровню ДЦ (15.40) может быть
' просто найдена передаточная функция ДЦ (15.41) и наоборот.
Глава 15
339
Следствие: из сравнения (15.11) и (15 4 n Пк.тл
Р Л1(пТ)4-Н1(г) = _^н{г)
________ £ 1
ПР^Р 'О. fi{n) + О,5Л-(П _ ц = 2/1.(п) На
нии (15.41) получим
2 2г
Я(г) = Г+’адРГ = ТТОЛ -''(«)= 2 (-0,5)»1. (п),
что совпадает с результатом примера 7.
§ 15.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ДИСКРЕТНОЙ ЦЕПИ
ПО ПРОТОТИПУ-АНАЛОГУ
Необходимо спроектировать дискретную цепь, которая преоб-
разовывала бы дискретные сигналы точно так же, как соответ-
ствующая ей аналоговая цепь, для которой известны требования
к обработке непрерывных входных сигналов.
Существуют различные методы перехода от аналогового
фильтра-прототипа к соответствующей ДЦ. Некоторые из этих
методов базируются на численных алгоритмах решения урав-
нений состояния (см., например, пример 1). Наиболее удачной
считается так называемая билинейная форма перехода от неяв-
ного алгоритма Эйлера. В этом случае от уравнений состояния в
матричной форме
df2
dt
= [*(*)] >
(15.42)
где [Ф(0] = [А][/2(0] + [В][Л(0], переходят к численному рас-
чету путем приближенной записи (15.42) в следующем виде дл
n-го шага расчета
1/2(")| - Щ(П- 1)1 _ 1Ф*(»)1+-[фЧйгЧ1. (15.43)
Т 2
причем в (15.43) шаг численного интегрирования принят рав
ным Дс = Т. и, главное, в правой части берут среднее .
12*
340
Основы теории электри ческих
Цепей
значение на данном шаге расчета, а не значение [/2*(п _
предшествующего шага, как в алгоритме явной формы метода!
Эйлера.
Преобразуем (15.42) по Лапласу при нулевых начальных
условиях: л[Г2(л)] = (Ф(л)], (15.44)
возьмем г-преобразование от (15.43):
(1 -г-1)^)] _ (1 + *-*)[$(*)]
Т 2
или
. ^Z^[F2(2)] = (Ф(г)]. (15.45)
ВЫВОД-, из сравнения (15.44), (15.45) следует, что для опре-
деления параметров передаточной функции ДЦ H(z) необ-
ходимо в передаточной функции Я(з) аналогового фильтра-
прототипа произвести следующую замену:
Я(л) = Д(л)1 (15.46)
При использовании явной формы алгоритма Эйлера получим
вместо (15.46) формулу
Я(г) = #(5)|а=(г_1)/т4
кроме того, применяют метод полного соответствия переходных
характеристик аналоговой цепи h\(t) и ДЦ h-ДпТ) при t = пТ.
г лава 16
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
§ 16.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЦЕПЕЙ
16.1.1. Понятие о нелинейной цепи
Рассматриваемые выше линейные аналоговые и дискретныеце-
пи описывались линейными алгебраическими или дифферен-
циальными уравнениями. Параметры линейных цепей не за-
висели от интенсивности электромагнитных процессов, т. е.
от величин токов и напряжений. Однако линейные аналого-
вые RLCM-цепи — это идеализация реальных цепей, которые
в широком диапазоне изменения переменных являются нели-
нейными. Характеристики нелинейных элементов описываются
нелинейными уравнениями, т. е. ur = ur(:r), V't =
Чс = Чс(цс) •
Цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, назы-
вается нелинейной. Параметры нелинейного элемента (НЭ) за-
висят от значений его токов или напряжений, например, ЛнэО)
или Снэ(г).
16.1.2. Статические и дифференциальные
параметры НЭ
Статический параметр обычно характеризует рабочую т°чку
НЭ по постоянному току, а дифференциальный — ра оту
в окрестности этой рабочей точки.
Обозначение нелинейных R-, L-, С-элементов сук
полярности напряжения, согласованной с направле
приведено на рисунке 16.la. vua-
Пусть Л-НЭ имеет вольт-амперную характер * ^го
занную на рисунке 16.16- Тогда графики ег
342
Основы теории электрических цепей
л)
4 ►
+
н дифференциального сопротивлений, определяемых в каждой
рабочей точке характеристики по формулам
ц о । _ dup
= i/dPT ~ tg71’ Лд11ф = й pt" tg72’
имеют вид, изображенный на рисунке 16. U (где РТ-рабочая
точка).
Аналогично для накопителей будет
г -
гь РТ
V'CT — ~ >
ис РТ
Г - d^L
Ьлиф“ dt РТ’
_ d(lc
Слиф" dt pt
При расчете процессов в накопителе в окрестности некото-
рой рабочей точки, например, при анализе напряжения
<tyLdiL ,
L~ dt ' diL dt ~
приходится работать с дифференциальными параметрами.
16.1.3. Классификация нелинейных элементов и цепей
Существует множество признаков классификации. Рассмотрим
некоторые.
1. Нелинейные резистивные цепи и нелинейные динами-
ческие цепи. Первые описываются нелинейными алгебраически-
ми уравнениями, вторые — нелинейными дифференциальными.
2. Нелинейные цепи с одним НЭ и с несколькими. Осо-
бенность цепи о одним НЭ заключается в том, что ее можно рас-
считать методом эквивалентных источников, что существенно
Глава 16
343
Рис. 16.2
упрощает задачу. Например, эквивалентную схему нели
войной я-цепи можно представить в виде, указанием на
рисунке 16.2а.
3. НЭ с неуправляемой (рис. 16.26) й управляемой
(рис. 1о.2в) характеристикой. В случае рисунка 16.26, где
для примера представлена характеристика полупроводникового
диода, НЭ является двухполюсником, а в случае рисунка 16.2в,
где приведена зависимость тока коллектора ц. транзистора от
напряжения при различных токах базы , приходится иметь
дело с активным трехполюсником. Здесь имеется в виду зависи-
мость (управляемость) характеристики от электрического фак-
тора г’в: при различных температурах на рисунке 16.26 тоже
будет семейство характеристик.
4. НЭ с положительными дифференциальными пара-
метрами (рис. 16.25) и НЭ, имеющие падающие участки
характеристик. На рисунке 16.2г представлена для примера
характеристика туннельного диода, где Яднф < 0 на участке АБ,
что, в частности, может быть использовано в генераторах, для
компенсации активных потерь.
5. НЭ с однозначной (рис. 16.26) характеристикой и
НЭ с неоднозначной характеристикой. Последнему соот-
ветствует, например, характеристика катушки индуктивности с
сердечником, изображенная на рисунке 16.3а, где стрелками
указано движение по частным петлям гистерезиса в зависимости
от начальных условий г’д(О), фь{^) н знака производной
в исходной рабочей точке. Кстати, характеристика ’
го диода (рис. 16.2г) неоднозначна для напряжении
токов от 2g до гд. ’
6. НЭ с несимметричными
м етр и ч ными характерис т и к а
(рис. 16.26) и НЭ с сим-
ми. Примеры последних
344
Основы теории электрических цепей
приведены на рисунке 16.36 (лампа накаливания), а также
на рисунке 16.3в (реле), причем’здесь выходное напряжение
ивых ИНУТ, т. е. источника напряжения управляемого током,
зависит только от знака входного тока гвх. Если в цепи присут-
ствуют НЭ только с симметричными характеристиками, то при
симметричном периодическом воздействии, обладающем свой-
ством /(f) =’ -/(f ± 0,5Т), где Т — период, реакции будут
обладать таким же свойством.
Следует отметить, что каждому классу нелинейных цепей,
как правило, соответствует специфичный аппарат приближен-
ного расчета, поскольку общих точных аналитических методов
анализа нелинейных цепей не существует.
16.1.4. Общие свойства
нелинейных цепей
1. Справедливы уравнения, составляемые по законам
Кирхгофа, т. е. уравнения соединений.
2. Остаются справедливыми принципы непрерывности по-
токосцепления в L-элементах и заряда в (7-элементах.
3. Несправедливы в общем случае все свойства линейно-
сти (пропорциональности, т. е. однородности; дифференцируе-
мости и интегрируемости, т. е. стационарности; наложения, т. е.
аддитивности, суперпозиции).
Действительно, пусть в цепи, изображенной на рисунке 16.3г,
вольт-амперная характеристика Л-НЭ имеет вид zr = our-
Тогда iR = aziQ = a^oi 4- Ц02)2 au^ + auQ2, т. e. принцип
наложения не выполняется.
4. Нелинейные цепи в общем случае обладают свойством
преобразовывать спектр входного периодического сигнала.
глава 16
345
У линейных цепей спектр выхолипгп nQ„
определяется по формуле риодического сигнала
= ЛохЯ(3Ъ)|„вМ1
т. с. частоты гармоник ряда Фурье реакции „ я
одинаковы. На выходе „линейных цепей при нериХ™.
воздействии могут появиться гармоники новых частот „X
тральный состав периодического сигнала на выходе можст „ё
соответствовать спектральному составу на входе.
a) .1
R
Л б)
Ивх1 Alax = U„
Л e)
Ak«n
' ^(hux = <x[/2 = 2tc?
^loux = 0.5a(/^
О ^6 jJ
Рис. 16.4
0 x>o 2cvo w
Действительно, пусть в простейшей цепи, изображенной на
рисунке 16.4ц, воздействие будет uBX = Um coswot, i — ре-
акция, причем г л = au2R. Тогда выполняется г = аи^х =
= aU2n cos2 wot = 0,5al/£[l 4- cos2w0t]. Спектральные соста-
вы воздействия и реакции, представленные соответственно на
рисунке 16.46,в, различны.
§ 16.2. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ
16.2.1. Графический расчет нелинейных Я-цепей
Основные черты метода будут очевидны из рассмотренного ниже
примера.
ПРИМЕР /. Схема цепи приведена на рис. 16.5а, вольт-ам-
перные характеристики (ВАХ) резистивных элементов указа
ны на рисунке 16.56, где также отражены все графические
построения. Вначале находят результирующую < M23‘:i
двухполюсника Дгз. соответствующего параллельному сое
нению Я2 и Я3. Поскольку й = *23 = *2 + *з. то вал23
на рисунке 16.56 получена графически суммиро
ВАХ Я2 и 7?3 при одинаковых напряжениях.
346
Основы теории электрических цепей
Рис. 16.5
Далее находят результирующую ВАХ Я123 последователь-
ного соединения 7?i и Я23, суммируя напряжения ВАХ R± и
Т?2з пРи одинаковых токах, поскольку ийХ = щ 4- U03 • •
Последовательность определения рабочих точек на всех
ВАХ при некотором значении им = uq указана на рисунке 16.56
пунктиром со стрелками. Таким образом могут быть найдены все
искомые реакции.
Если необходимо найти передаточную характеристику це-
пи, например «23(^0). то задаются рядом значений -ио, находят
соответствующие значения U23, затем строят требуемый график.
Метод имеет множество вариантов, описанных в литературе.
Он эффективен при расчете простых цепей, в частности, с одним
нелинейным элементом.
ПРИМЕР2. В' цепи, приведенной на рисунке 16.6а, ио —
= 80 В, Ri = R2 = 20 Ом. ВАХ нелинейного резистора
мнэ(* *) изображена на рис. 16.66. Необходимо найти &нэ»
*нэ-
На основании теоремы Тевенена аналогично рис. 16.2а
переходим к эквивалентной схеме рисунка 16.6а, где
о
1 2 3 4 г.А
Рис. 16.6
Глава 16
W
т = «0я2/(я1 + л2) = 4о в, © = » р //D
= 10 Ом. Поскольку "зуравиеиийсхемы=
дует, что «нэ = «хх - R3i = 4о _ ,о У ‘деле-
на рисунке 16.66 точка пересечения ray ’ то "оказа™ая
S Ъ5 АЯМЯСТСЯ Раб0"еЙ Т0ЧК01'
16.2.2. Аналитический расчет
нелинейных Я-цепей
при аппроксимации ВАХ НЭ полиномами
Последовательность расчета здесь такая же, как и в ряде других
аналитических методов. -
1. Аппроксимируют ВАХ нелинейных элементов удобным
аналитическим выражением, в данном случае степенным мно-
гочленом. По формуле ряда Тейлора для ВАХ, например Ци).
имеем
г(«) •-= г(«о) + Ц^(« - «о) + М^(« - «о)2 + • • • =
JL • 4W*
= ЙО + «1« + «2«2 + • " + «п«П + •... (16.1 I
т. е. ВАХ в данном случае должна быть непрерывной, однознач-
ной и абсолютно гладкой (должна иметь производные любого
порядка).
В практических расчетах обычно ВАХ не дифференцируют,
а требуют, например, чтобы аппроксимирующая кривая (16.1)
прошла через заданные точки. В так называемом методе трех
точек необходимо, чтобы некоторые 3 точки ВАХ. (?i, щ),
(г2, «2), (г3 / «з), “ отвечали полиному (16.П 'Из уравнении
= а0 + «1«1 + «2«1
г2 = ао + «1^2 + а2и2
г3 = а0 + «1«з + а2^
116.2)
несложно найти искомые коэффициенты «о» °- < °2’ п0
относительно их система (16.2) линейна. ос0-
’ Если ВАХ сильно изрезана и требуется и^то^очек ВАХ.
бенности, необходимо учитывать 6ол^“!е ’' № решение
Система типа (16.2) становится сложной, однако ее ре
348
Основы теории электрических цепей
может быть найдено по формуле Лагранжа, определяющей
уравнение полинома, проходящего через п точек:
. А- Ак(и)
г~ыг11Акм' 6'3
где Ак(и) = (« — wi)... (w — — wfc+i) • • • (и ~ ип) •
2. Составляют систему независимых уравнений Кирхгофа,
т. е. записывают уравнения соединений.
3. Исключают из системы промежуточные переменные и на-
ходят нелинейное функциональное, уравнение (НФУ) для отыс-
кания реакции:
Ф(а’) = Ьо + bix + &2^2 + • • • + Ъпхп — 0, (16;4)
где х = /2 — /вых — искомая реакция.
4. Решают НФУ (16.4) для каждого момента времени t и
находят искомые значения реакции.
выводы-.
1. Необходимо знать методы решения НФУ.
2. Сложным также является исключение переменных. На-
пример, имея уравнение «5(^5) = 2г*5 + Зг| + 4г|, ис-
ключить переменную U5 несложно, однако, если требу-
ется исключить i5, необходимо обратить это уравнение,
получив на основании (16.3) зависимость i$(u5) в виде
полинома (с целыми степенями).
Следует отметить, что аппроксимировать нелинейную ВАХ
можно и иными удобными в каждом конкретном случае ана-
литическими выражениями. Например, если ВАХ проходит че- "
рез точки {(г, и) := (0,0), (1,1), (.4,2)}, возможны следующие
аппроксимирующие уравнения:
г = и2- u = i0’3; и = 2sin(7rz/8),
однако в конце расчета необходимо в любом случае решать
ПРИМЕР 3. Решить задачу примера 2, учитывая, что в экви-
валентной схеме нелинейной цепи рисунка 16.6в цХх = 40 В,
-- Я, = 10 Ом.
Потребуем, чтобы аппроксимирующий степенной много-
силен прошел через следующие точки ВАХ НЭ (рис 16.66):
Глава 16
----------349
- {(инэ,* *нэ) := (0,0),(Ю, 1),(40,2) (50 ЧН т
вании (16.3) получим ’’)}• Тогда на осно-
.. .ИНэ=о+x
.. „ О - °)(1 - 2)(1 - 3)+
+ 40 —---— 4G ~ 3) , гп (i - 0)(i - П(; _ 2'1
40 (2=0И(2^3) + 50 (ЗГо^В4 =
V I/ . - ~6,7г3 + 30г2 - 13,3г.
Уравнение Кирхгофа для цепи рисунка 16.6в имеет вид
-WXX + Яг + иНэ(г) « 0, т. е. -40 + 10г + (-6 7г3 +
+ 30г- - 13,3г) - 0. Таким образом, для отыскания тока цепи
необходимо найти корни следующего НФУ:
6,7г3 - 30г2 + 3,3г + 40 = 0.
16.2.3. Решение нелинейных
функциональных уравнений цепей
Для решения НФУ используют методы последовательных при-
ближений, т. е. итерационные методы. Среди них самым бы-
стрым по сходимости является метод Ньютона-Рафсона.
НФУ Ф(ж) = 0 в окрестности некоторого приближения хь
раскладываем в ряд Тейлора:
ф'(Жх.) Ф" 0
Ф(ж) = Ф(хк) + ^--(s “ ж*) + ~у(х ~ Хк> + • • • •
Необходимо найти такую поправку на очередном шаге рас-
чета, чтобы Ф(з?хн-1) = 0. Подставив х = zfc+i в ряд н ограни-
чившись двумя его первыми членами, получим
Ф(а^) + Ф'(®л)' (x*+i “ Хк> = °’
откуда расчетная формула метода Ньютона-Рафсона
(16.5)
Хк+1-Хк ф>(Хку
' ПРИМЕР 4. Решить НФУ примера 3 '
Имеем Ф(0 = 6,7? - 30? + 3,3. + 40 = 0_ Наедим
ф/— 2Ог2 — 60г + 3,3. Считая нулевым приближениел
• t ^оТп^учим на ос’новзвн» (16,5) первое приближение
350
Основы теории электрических цепей
j. = io — Ф(г’о)/Ф'(го) — 0 — 40/3,3 — 13,3. Поскольку в
цепи рисунка 16.6аток г > 0, прекращаем расчет и выбираем
новое значение г0 = 1. Тогда на первом шаге расче-
та ц = 1 - (6,7 - 30 + 3,3 + 40)/(20 - 60 + 3,3) = 1,55.
Следующий шаг итерационного расчета дает значение г2 =
= 1,55 - (6,7 • 1,553 - 30 • 1,552 + 3,3 • 1,55 + 40)/(20 • 1,552 -
- 60 • 1,55 + 3,3) = 1,502, что практически соответствует
данным графического расчета в примере 2.
Как видим, при расчете большое значение имеет удач-
ный выбор-исходного приближения. В относительно про-
стых задачах нулевое приближение очень часто опреде-
ляют на основании данных приближенного графического
расчета.
16.2.4. Аналитический расчет
нелинейных Я-цепей
методом кусочно-линейных схем
Последовательность действий:
1. Производится кусочно-линейная аппроксимация ВАХ
всех НЭ. Тогда на каждом интервале аппроксимации нелиней-
ному Л-элементу соответствует линейное уравнение у — ах + Ъ,
т. е. в нашем случае, например, анэ = , где к — но-
мер интервала. Таким образом, эквивалентная схема Я-НЭ
имеет вид последовательного соединения линейного резистора
Rk и источника постоянного напряжения wofc-
2. Составляется эквивалентная схема всей цепи и на осно-
вании любого метода анализа линейных цепей выводится в об-
щем виде формула для расчета искомой реакции.
3. Перебором и UOfc Для всех интервалов аппроксима-
ции всех нелинейных элементов находят по выведенной формуле
значения реакции и проверяют их соответствие рассматривае-
мым интервалам аппроксимации.
ПРИМЕР 5. Используем данные примера 2, указанные на
• рисунке 16.7а, где цХХ = 40 В, Яэ=10Ом.
В качестве узлов аппроксимации /?-НЭ выбираем точки
ВАХ {(«нэ,*нэ) := (0,0),(1,1),(40,2),(50,3)}. На участ-
ке I уравнение прямой имеет вид цнэ = 10гНэ + 0, т. е.
Глава 1б
Rx - 10 Ом, -uoi =0. На участке 2 уравнение анэ =
= ЗОг’нэ ~ 20, т. е. R? = 30 Ом, 1/02 = —20 В. На участке3
иНЭ ~ 4- 20, т. е. R$ = 10 Ом, = 20 В. Схема це-
пи с учетом эквивалентной замены Я-НЭ кусочно-линейион
схемой приведена на рисунке 16.76, причем ее ток очевид-
но г = г'нэ = (WXX “ Ж-)/(#э 4- Kfc) = (40 - uofc)/(10 +
4- Rk). На первом участке it = (40 - 0)/(10 4-10) = 2 А
не соответствует диапазону изменения тока на участке I ри-
сунка 16.11 а, где 0 < ii < 1 А. На втором участке г2 =
= (40 4- 20)/(10 + 30) = 1,5 А соответствует 1 < г2 < 2 А
на рисунке 16.7а. На третьем участке г$ = (40 - 20)/(10 4-
4-10) = 1 А не соответствует 2 < i < 3. Итак, получили
i = гНэ = г2 = 1,5 А, далее из схемы рисунка 16.76, находим
Щ\Э = ^ХХ “ = 40 - 10 • 1,5 = 25 В, что соответствует
данным примера 2.
§ 16.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ
РЕЗИСТИВНЫЕ ЦЕПИ С ДИОДАМИ
16.3.1. Идеализация диодных характеристик
Одна из типовых ВАХ диодов была приведена иа рис. 16.26.
Реальные диоды обладают ярко выраженным вентильным эф-
фектом, т. е. односторонней проводимостью. Их резко
несимметрична: как показано на рисунке 16.2с?, даже при малом
положительном напряжении ток велик и диод открыт,а
рицательном напряжении ток крайне мал и диод закР“т(за"^'
В связи с аналогичными свойствами все диоды част
вентилями. _ „эпитет-
При расчете схем с диадам»г вотак назы'ваемый-
ся идеализация диодных характерней .
352
Основы теории электрических цепей
идеальный диод (ИД), обозначение (аналогичное полупроводни-
ковому диоду) и ВАХ которого приведены на рис. 16.8а.
Если идеальный диод открыт (г > 0), то он эквивалентен ко-
роткозамкнутому участку цепи (КЗ) Говорят, что при этом на-
пряжение (которое в идеале при КЗ равно нулю) приложено в
прямом направлении.
Если напряжение приложено в обратном направлении, т. е.
и < 0 на рисунке 16.8а, то идеальный диод эквивалентен холо-
стому ходу (XX), т. е. обрыву.
Дуальным элементом к идеальному диоду является сам иде-
альный диод в обратном включении. Его ВАХ и обозначение
с указанием условно положительной полярности напряжения
изображены на рисунке 16.86. Таким образом введены два новых
идеализированных двухполюсных элемента.
16.3.2. Реализация ВАХ нелинейных Л-элементов
кусочно-линейными диодными моделями
Для реализации нарастающих кусочно-линейных ВАХ (напри-
мер, показанной на рисунке 16.7а) используют 4 типа кусочно-
линейных диодных моделей:
Модель 1: последовательное соединение источника постоян-
ного напряжения (ИН), линейного Я-элемента и ИД в прямом
включении, как показано на рисунке 16.9а. Там же изображена
(пунктиром) результирующая ВАХ соединения (ВАХ-1), полу-
ченная графическим методом путем суммирования напряжений
ВАХ элементов при одинаковых токах.
ВЫВОД: модель 1 реализует вогнутую ВАХ в верхней полу-
плоскости.
Модель 2 (рис. 16.96): последовательное соединение ис-
точника постоянного напряжения, линейного Л-элемента
Рис. 16.9
и идеального диода в обратном включении. При получении ре-
зультирующей ВАХ (ВАХ-2) для удобства построений принято,
что «о < 0.
ВЫВОД: модель 2 реализует выпуклую ВАХ в нижней полу-
плоскости.
. Модель 3 (рис. 16.10а): параллельное соединение источника
постоянного тока (ИТ), Л-элемента и иДеальн°го в пря-
мом включен и и. При построении результирующей В АХ (В - )
принято io < 0.
ВЫВОД: модель 3 реализует вогнутую характеристику в ле-
вой полуплоскости.
Модель 4 (рис. 16.106): параллельное с0^н®^ие
постоянного тока, Д-элемента и идеального ди
включении. Результирующая ВАХ обозначена • _
ВЫВОД- модель 4 реализует выпуклую ВАХ в правой полу
плоскости.
Вс Следует иметь в виду, что ИН и .Я-элемент, ИТ и R-элемент
Да-можно в схемах эквивалентно преобразовать, что важно
“РИ практической реализации.-. .
ПРИМЕР 6. Подлежащая реализации кусочно-линейная
ВАХ изображена на рисунке 16.11а, сплошной линией.
Там же пунктиром показано представление ее составляю-
щими (1), (2), (3). Поскольку результирующая ВАХ (1,2)
соединения (1) и (2) получается суммированием напря-
жений при одинаковых токах, а затем к ней добавляется
(3) суммированием токов при одинаковых напряжениях,
то общая схема нелинейной цепи соответствует показан-
ной на рисунке 16Л16, причем двухполюсники (1) и (3)
реализуются кусочно-линейными диодными моделями 1,
а двухполюсник (2)—моделью 4. На рисунке 16.11а
Рис. 16.11
.с 355
----------------------------—
азаны значения напряжений и токов источников, ис-
пользуемых в типовых моделях и определяемых изломами
заданной кусочно-линейной ВАХ (см. пунктирные линии
со стрелками).
§ 16.4. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
16.4.1. Численный расчет по уравнениям состояния
Для расчета переходных процессов в нелинейных динамических
цепях составляют уравнения состояния и решают их численно
на ЦВМ, используя варианты алгоритма Эйлера или дискрет-
ные резистивные схемы замещения или иные методы численного
анализа. В отличие от линейных цепей решаемые уравнения яв-
ляются нелинейными, в связи с чем процедура их составления и
решения может быть более сложной.
ПРИМЕР 7. Схема цепи, взятой в качестве примера, и основ-
ная кривая намагничивания нелинейной индуктивности при-
ведены на рисунке 16.12. Необходимо при «о = const чис-
ленно рассчитать переходный процесс, пренебрегая эффек-
том гистерезиса и считая независимые начальные условия
нулевыми.
Уравнение состояния очевидно
= ио - RiW-
at
Отсюда формулы численного расчета при использовании,
например, явной формы алгоритма Эйлера имеют вид
'&Фк = - ЯЦФк-1)]
* фк — Фк-1 + &фк. Фо —
Рис. 16.12
356
Основы теории электрических цел ц
Как видим, внешне все аналогично анализу линейных
пей, однако в данном случае в память ЦВМ должна быть вве-
дена нелинейная характеристика г(ф), причем она должна быть
определена для каждой точки диапазона токов.от г = 0 д0
iycr ~ uq/R-
Следует отметить, что могут быть составлены различные ва-
рианты уравнений состояния. Например, если в примере 7 в
качестве переменной состояния выбрать ток, то, учитывая, что
йф <%ф di __ . .. di
И = Им " Ьт*{г)м’
получим уравнение состояния вида
di _ uq — Ri
dt Ддяф (О
т. е. в памяти ЦВМ должна быть зависимость дифференциаль-
ной индуктивности нелинейного £-элемента от тока.
16.4.2. Метод припасовывания
(кусочно-линейной аппроксимации)
Общая характеристика расчета переходных процессов:
1. Производится кусочно-линейная аппроксимация харак-
теристик нелинейных элементов. На каждом участке аппрокси-
мации НЭ заменяется линейным уравнением или эквивалентной
кусочно-линейной схемой, как, например, для 77-НЭ показано
на рисунке 16.76.
2. Определяются независимые начальные условия и соот-
ветствующие им участки аппроксимации, характеристики кото-
рых необходимо учитывать на начальном этапе анализа переход-
ных процессов.
3. Любым методом рассчитывают переходный процесс в по-
лучившейся таким образом линейной цепи, причем на стыке
участков аппроксимации должны выполняться принципы непре-
рывности. = г£(^+), UC(f) = UC(t+),
или в общем случае
М*”) = qc(t~) = qc(t*y
Глав о & —
357
4. Получаемые на каждом участке решения «сшиваются»
друге другом, т. е. стыкуются —припасовываются.
В качестве примера рассчитаем переходный процесс в це-
пи, изображенный на рисунке 16.13, где также приведена ха-
рактеристика У?-НЭ. Независимое начальное условие считаем
‘ нулевым, т. с. й(0+) = г^(0~) = 0.
Поскольку воздействие постоянно, то в установившемся ре-
жиме L-элемент эквивалентен КЗ, тогда «дуст = uq и графи-
ческое определение значения установившегося тока густ = г(оо)
показано на рисунке 16.13 (см. пунктир со стрелками).
«Линейное уравнение для первого участка аппроксимации
ВАХ 7?-НЭ(0 < in < ii', 0 < Ur < uri ) имеет вид ur = RiiR,
где Ri = URi/ii, а для второго участка
Ur = Uri 4- (uq — Uri)t^---r- = #22д + «02,
2уст ^1
ГДе „ Uq - URI , *1
R\. — ------UQ2 = URi - {Uq - Uri)~.----------
2yCT ~ 21 гУСТ ~ 21
Поскольку г(0) = 0, при расчете переходного процесса вна-
чале учитываются параметры первого участка аппроксимации,
затем — второго. Непосредственный расчет в t -области очевид-
но дает при учете эквивалентных схем замещения Л-НЭ: i(i) =
= [l-exp(-t/ri)]«0/-Ri, причем постоянная времени будет ri =
— L/R\. На первом интервале 0 < t < t\ момент оконча-
. ния интервала t\ находят на основании полученного уравнения
из условия перехода на второй участок аппроксимации: 2*(ti) =
= *! = [1 _ exp(-ii/Ti)]w0/-Ri. Решение на втором интервале
< t < оо имеет вид i(t) = 2уст + («1 — 2уст) ехр[— (t — h)/^],
где Т2 _ £/д2. Очевидно, на стыке интервалов выполняется
принцип непрерывности 2i(ii—) = Л (ti+).
Основы теории электрических цепей
16.4.3. Метод гармонического баланса
Метод обычно используется при расчете установившихся
периодических режимов в нелинейных цепях при симмет-
ричных характеристиках НЭ. Последовательность анализа
следующая:
1. Характеристики НЭ аппроксимируют нечетным степен-
ным многочленом (полиномом нечетных степеней).
2. Составляют систему нелинейных дифференциальных
уравнений цепи.
3. Предполагая, что периодические реакции в основном
определяются своими первыми гармониками, подставляют
их в систему уравнений и осуществляют баланс (равен-
ство) левых и правых частей уравнений только по первым
гармоникам.
4. Решают полученную систему тригонометрических урав-
нений (с применением, например, метода комплексных ампли-
туд) и таким образом приближенно определяют параметры пер-
вой гармоники искомой реакции. При необходимости далее
можно осуществить баланс по следующим гармоникам и при-
ближенно найти их.
ПРИМЕР 8. Рассчитать первую гармонику установившегося
периодического тока в цепи схемы’, приведенной в п. 16.4.1
(рис. 16.12), если u0(t) = Um cos(wt + аи).
Приближенно аппроксимируем нелинейную вебер-
амперную характеристику нелинейного L-элемента куби-
ческим полиномом -0(?) = a\i—a^i3, причем здесь а\ > О,
аз > 0. Уравнение цепи имеет вид иъ + иц = uq или ip1 +
+Ri = UQ. Считая, что периодический ток в основном
определяется первой гармоникой, т. е. i(t) = Im cos(w£ +
+Oi), и используя формулу cos3 7 = 0,75 cos7+0,25 cos З7,
находим
= axIm cos(wt + oci) - 0,75a3Z^ cos(wt + at) -
- 0,25аз/^ cos(3w£ + 3cvj).
Подставляя полученное выражение в уравнение цепи
и ограничиваясь только гармониками частоты ш, получим
rjaoaJ6---------------------------------------------359
приближенно уравнение гармонического баланса по первой
гармонике
w/m (gi “ cos (wt + cti + 90е) +
+ Шт cos(wt + аг) = ит cos(wt 4- an). (16.6)
Нелинейное тригонометрическое уравнение решаем, ис-
пользуя метод комплексных амплитуд:
vim (<И ~ 0,75а3т£) е^а<+90’) + RIme?ai = ит^а\
откуда получаем
[ш1т (ai - 0,75a3l3i) j + Шт] e?ai = Ume?Qu,
ИЛИ А(1т)е^а*+^ = Umeja“.
Таким образом, нелинейное функциональное уравнение
баланса амплитуд имеет вид
Л(1т) = y/<si2m (Й1 - 0,75азЛУ 2 + й24 = ит
и может быть решено относительно искомой амплитуды тока
1т графически или, например, методом Ньютона-Рафсона.
Затем определяется начальная фаза первой гармоники
тока ”. г9ч
bjlm 0,7503/^)
arctg — о г
1и£тп
Следует отметить, что в (16.6) амплитудой напряже-
ния L-элемента является UmL — ^т - 0,75а37^) =
= wZ/3KB7m, т. е. эквивалентная индуктивность нелинейного
L-элемента будет
7/экв(Лп) ~ 0,75аз7т
действительно зависит от интенсивности электромагнитных
процессов в цепи и падает с ростом амплитуды тока.
Г лава ]7
НАЧАЛА СИНТЕЗА
ПАССИВНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
§17.1. НОРМИРОВАНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Рассмотрим основные прин- •
ципы реализации (т. е. заключи-
тельного этапа синтеза) простых
пассивных четырехполюсников
лестничной структуры, наиболее
часто использующихся при про-
ектировании фильтров, а также
в качестве корректирующих це-
пей в устройствах автоматики и
радиотехники.
Для вывода передаточных фу-
нкций (ПФ) четырехполюсников
(ЧП) запишем вторые уравнения
Z- и Y-форм (см. рис. 17.1«):
.U2 = Zzih + ^22 7г,
7г = ^21 Ui + Y22U2,
причем в (17.1) имеем I = 1($),
U = U(s), Z = Z(s), Y =
= У(з) — операторные токи,
напряжения, сопротивления и проводимости.
В случае резистивной нагрузки ЧП, когда Za = ис-
пользуя уравнения закона Ома U2 = Ztl(-I2), I2 = -YHU2,
можно (17.1) преобразовать к виду
Z21I1 = — h(Zn + Z22), = —U2(Yn 4- ^22)- (17.2)
Глава 17
361
На‘основании (17.2) находим ПФ с учетом свойств Zu =
- Z21, У12 = Y21 У пассивных ЧП:
ИМ = £ = Я„(з) = ^ = -h 71 и2 _ ^21 - ^12 4- Z22 ’ -У12 (17.3) (17.4)
4- Z22 -Y21
Ul Ун + Y22 Yu 4- Y22 ’
Z2-1 (s) = ~Г = *1 Z>i(— _ 7 ГТ — %н**1 _ ^H^12 (17.5)
II + Z22 ’
У2-М = ^ = —12 Я1 .W2 v - Ul ~Y' rz _ -^12 ' " K + Yia’ (17.6)
причем в (17.3)—(17.6) рассматриваются ПФ потоку Я/, по на-
пряжению Ни, передаточное сопротивление Z2-1 и проводи-
мость У2-1 •
При нормированной нагрузке Z* = R* = 1 формулы норми-
рованных ПФ упрощаются:
я; = и2*_х =
Z12
1 4* Z22
тт* __ xz* ___
““ У2-1 ““
-У12
1 + ^22
(17.7)
В режиме короткого замыкания (КЗ) или холостого хо-
да (XX) нагрузки (т. е. при Ztt = 0 или Ytt = 0) можно на
основании (17.3), (17.4) записать еще две ПФ:
Я,кз(з) = ^; = (17.8)
^22 *22
ВЫВОД', (из (17.7), (17.8)) при синтезе ЧП фактически необ-
ходимо реализовывать только 2 его параметра (Z22 и Z\2,
либо У22 и У12).
§ 17.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
РЕАКТИВНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
ЛЕСТНИЧНОЙ СТРУКТУРЫ
17.2.1. Свойство о нулях и полюсах Z22 и Y22
У>22 и Y22 удовлетворяют основному свойству Zi,c(s),m.e.
их нули и полюсы мнимые, простые и чередуются соглас-
но^ 12.1.
Обоснование свойства базируется на (17.1): при Я =0
(т. е. при XX на выводах 1-1 рисунка 17.1а), Z22 =
Основы теории электрических цепей
<50^ ____—— —.
при Ui =0 (т. е. при КЗ выводов 1—1 на входе ЧП) У22 = /г/С/г.
Таким образом, Z22(s) —это входное сопротивление ЧП со сто-
роны 2-2 при XX на 1—1, У22(з) — это входная проводимость со
стороны 2-2 при КЗ на 1-1. Поскольку рассматриваются реак-
тивные ЧП, то Z22 — это ZLC, Y22 — это Удс,т. е. они должны
удовлетворять основному свойству ZLc •
17.2.2. Свойство о полюсах Zi2 и Z22 (У12 и У22)
Полюсы Zi2 совпадают с полюсами Z22, полюсы УХ2 —с по-
люсами У22.
Обоснование аналогично предыдущему и вытекает из сле-
дующих формул: при /1=0 (т. е. при XX* на выводах 1—1, как
показано на рисунке 17.16) Z22 = t/2/^2, что следует из (17.1),
a Zi2 = СЛ/Лг, что вытекает из первого уравнения Z-формы
(£71 = Z11Z1 4- Zi2Z2). Таким образом, Z22(s) и Zi2(s) — это
различные ПФ одной и той же цепи (рис. 17.16). Согласно § 6.4
знаменатель любой ПФ определяет один и тот же характеристи-
ческий полином (ХП) цепи, следовательно, полюсы (т. е. кор-
ни знаменателя) Zi2 совпадают с полюсами Z22. Вторая часть
свойства доказывается аналогично.
Использование этого и предыдущего свойств при син-
тезе: реализуют ЧП no-Z22 (или У22) со стороны 2—2 по пра-
вилам синтеза входного сопротивления ДП Zlc{$) лестничной
структуры (т. е. выделяют, например, некоторый полюс Z^c в
виде Zi, остаток Z\\ = Z^c — Z\ обращают и выделяют полюс
Уц = 1/Zn в виде У2; остаток Ущ = Уц — У2 опять обращают
и т. д.; процедуру повторяют до полной реализации ZLc, как по-
казано на рисунке 17.1в). При этом полюсы Zi2 (или yi2) будут
реализованы автоматически.
17.2.3. Свойство о частных полюсах Z22 (и У22)
Частные полюсы Z22 это такие, которых нет среди полюсов
Zi2, т. е. речь идет об исключении из предыдущего свойства.
Если при синтезе ЧП по Z22 первым элементом со сто-
роны 2 2 (см. рис. 17.1а) будет продольное сопротивле-
ние Z\(s), то его полюсы являются частными полюсами
Z22(s) и их нет у гу2{з);если при синтезе ЧП по У22 первым
Глав0 17.
363
Рис. 17.2
элементом со стороны 2—2 является поперечная прово-
димость Yo (см. рис. 17.2a), то ее полюсы отсутствуют
среди полюсов У12.
Для обоснования первой части свойства рассмотрим ри-
сунок 17.26, где выделены продольное сопротивление Z\(s) и
остальной четырехполюсник ЧП, параметры которого Z^s) и
Z(2(s) имеют совпадающие полюсы.
Из уравнений Z -формы при Zi = 0 (т. е. при XX на выводах
1 — 1) получаем
Z22 =
— ^22 +
#2 4~ Z\l2
h
следовательно, полюсы Zj находятся только среди полю-
сов Z22. Аналогично обосновывается вторая часть свойства.
17.2.4. Свойство о нулях ПФ четырехполюсника
Нули Sot- передаточной функции ЧП
=
kB(s) _
А(а) "
_ jSm + bm-iSm 1 -1----1-&1S + &0
зп + art-isn-1 4---Ь а\8 4- ао
*П(гп)(*-*О*)
П(п)(3”3*)
(17.9)
т, е. корни числителя (17.9) определяются нулями Z\> и
частными полюсами Z22 (или нулями У12 « частными по-
люсами I22/
364
Основы теории электрических цепей
Действительно, согласно (17.7), (17.8) ПФ ЧП имеют вил
. ггКЗ _ £12
Hl ~
rrXX _ ~^12
HV " У22 ’
•Z12
(17.10)
И- - ~У12
Ни 1 + Г22’
где параметры Z(s) и K(s) - это тоже дробно-рациональные
функции, как и (17.9). Следовательно, полином числителя В{з)
в (17.9) формируется (в случае двух первых формул (17.10)) из
полинома числителя ^ia(s) и из несократившейся части знаме-
нателя Z22, т. е. нули Sbfc определяются нулями Z12 и част-
ными полюсами ^22- Аналогично обосновывается вторая часть
свойства.
Использование этого и предыдущего свойств при син-
тезе: если среди нулей ПФ ЧП есть самая легкая категория
нулей — частные полюсы Z22,их необходимо сразу же реализо-
вать (выделить как полюсы) в виде продольного сопротивления
Zi (как показано на рисунке 17.1 в и 17.25; если же есть част-
ные полюсы Y22, их реализуют в первую очередь как поперечную
проводимость Уо (как показано на рисунке 17.2а).
17.2.5. Свойство о формировании нулей ПФ
реактивных ЧП лестничной структуры
Маркировка элементов ЧП лестничной структуры фактически
показана на рисунке 17.2: продольные сопротивления обозна-
чают Zik(s) или Zi(s), а поперечные проводимости — Vbfc(a)
или У0(з).
Нули ПФ ЧП формируются полюсами Zlk и Yok, причем
они должны быть мнимыми (так как рассматриваются
LC-ЧП).
Действительно, пусть, Z±k и Y$k имеют полюсы при
s = ±jw0, т. е.
= /.2+w2v ^bfc(s) =------ 2\ •
...(з •••(л+^о)
Тогда на частоте этих полюсов Zifc(jw0) -» 00, УоЦ;и;о)
-* 00, т. е. продольное сопротивление Zik, например,
Плава /7 L-. 365
на рисунке 17.2а эквивалентно XX, а-поперечная проводимость
Yok эквивалентна КЗ. Следовательно, входной сигнал на этой
частоте на выход ЧП не пройдет и полюс s'= jujQ — это нуль
ПФ ЧП согласно (17.9).
Поскольку Zifc и Yok у ZC.-ЧП удовлетворяют основному
свойству Zlc(s) , то нули ПФ должны быть мнимыми.
Использование этого свойства при синтезе: вторая ка-
тегория нулей ПФ (17.9) — это те нули, которые совпадают с
нулями остатков от реализации Z22 (или У22), как показано, на-
пример, в форме остатков Z\\ или Ущ, как показано, на рисун-
ке 17.1в; такие нули ПФ следует реализовывать, обратив остатки
(переходом к Уп или Zm на рисунке 17.1в) и полностью выделив
полюсы s = jcuo в виде Уо/с (или Zifc).
Примечание. Осталось рассмотреть самые трудные в реализации-нули
ПФ, которые не совпадают с нулями остатков от реализации Z22
(или У22 )•
17.2.6. Свойство об отсутствии нуля ПФ
при частичном выделении полюса
(Исключение из предыдущего свойства): если при синтезе
остатка от реализации Z22 или У22 какой-то полюс это-
го остатка выделен частично (т. е. не полностью) в виде
Уоь или Zik, то этот полюс не является нулем ПФ.
Для пояснения свойства допустим, что при синтезе Z22
(или У22 ) получили на какой-то стадии остаток от реализации,
например
у" = ...(s2+4?)’
и решили полюс s = ijcu* выделить не полностью, т. е. частич-
но в виде yOfc = k4s/(s2 + ч?)» “ только часть коэф-
фициента кп '(причем 0 < кч < кп), соответствующего полно-
стью выделенному полюсу при s = jan в обычном разложении
yn(s) по полюсам. Тогда остаток от такой реализации тоже будет
содержать этот полюс:
. Yn+^Y„-Yok = ^-^-y (>71|>
что отражено схематично на рисунке \7.3а,б, где для опреде-
ленности-предполагается, что «вх(0» «вых (О эт0 воздействие
366
Основы теории электрических цепей
и реакция ЧП. Очевидно, на частоте s = проводимости
Yok —> оо, Yn+i —> оо и, следовательно, эквивалентны КЗ.
Поэтому в формуле делителя напряжений в схеме на рисун-
ке 17.3а на частоте s = будет неопределенность, которая
не равна нулю, т. е. з = не является нулем ПФ.
Примечание. Лестничная структура ЧП (рис. 17.36), в общем случае,
многократным эквивалентным преобразованием источник напряже-
ния (ИН) — источник тока (ИТ)-ИН — ...может быть приведена к
рассмотренной на рисунке 17.3« схеме.
Использование данного свойства при синтезе: допу-
стим, необходимо в остатке Yn+i в (17.11) получить нуль на
частоте s = ±ja>o; тогда приравниваем Yn и УЬа.- в (17.11) на
этой частоте (при частичном выделении полюса з = ) и,
следовательно, получим
Г„+1 = У„ - Y0k = + (17.12)
... (s2 + w/)
затем находим, обращая остаток (17.12):
Z - 1
2>п+1 — —----—--------- =
Гп+1 ~ 7^+4)
Аз
— (s2 4-0)2} + ^п+2 = Zik 4- Zn+2, (17.13)
т. е. полюс з = полностью выделен в (17.13) и реали-
зован в виде последовательного сопротивления Z\k, чем будет
обеспечен нуль ПФ ЧП на частоте s = ±jwo.
ВЫВОД: частичное выделение полюсов позволяет реализо-
вать нули ПФ (нули третьей категории), которые не совпада-
ют с нулями остатков от реализации Z22 (или Y22X
Глава 17
367
17.2.7. Условие Фиалкова об ограничении
коэффициентов передаточной функции
Коэффициенты ПФ (17.9) положительны, причем коэффи-
циенты числителя при одинаковых степенях з не превы-
шают соответствующих коэффициентов знаменателя.
Поясним свойство на примере ЧП лестничной структуры
(см. рис. 17.36). При использовании метода пропорциональ-
ных величин при выводе ПФ первое действие обычно имеет
следующий вид: допустим, ГВЫх(з) = 1, а последнее: Гвх(з) =
= ) 4- V(s)/IV(s) = 14- У(з)/1У(з), что для примера
на рисунке 17.36 очевидно из рассмотрения закона напряже-
ний Кирхгофа (ЗНК) для большого контура, или закона токов
Кирхгофа (ЗТК) для «нижнего» узла при расчете Я/. Таким
образом, ПФ будет
— ^Bbix(s) _ _____1______ ТУ(з)
FBX(.s) 1 + V(s)/W(s) W(s)4-V(s)’ 1 '
где V(s)/W(s) —дробно-рациональная функция.
Из анализа (17.14) следует справедливость условия
Фиалкова, рассматриваемая ниже.
Использование этого свойства при синтезе:
1. Если в числителе ПФ имеются степени з, которых нет в
знаменателе, то такую ПФ синтезировать невозможно.
2. При реализации ПФ (17.9) коэффициент к не контро-
лируется; он автоматически получит такое значение, что будет
выполнено условие Фиалкова а, > kbi.
17.2.8. Свидетельство
правильного окончания синтеза
Если реализацию вели по Z22 >то последним элементом син-
теза, т. е. первым со стороны 1—1, должна быть попе-
речная проводимость Yok (если реализацию вели по К>2>
то последним элементом должно быть последовательное
сопротивление Zik)-
Доказательство от обратного. Пусть при синтезе по Z22
последним элементом оказалось Z\k, как показано на ри-
сунке 17.4а. Но на основании уравнений Z-формы имеем
368
Основы теории электрических цепог,
Z22 = U2/I2, ZZX2 = U1/I2 При II = О, т. е. при XX со
стороны 1-1. Следовательно, Zik «не работает» и не влияет
на параметры Z22 и Z12, по которым реализуется ЧП в этом
случае.
Использование данного свойства при синтезе: если при
реализации ЧП,'например, по Z22 И ^12 последним элементом
оказалось ZXk, то синтез закончен неверно и на какой-то его
стадии нужно изменить процедуру реализации.
§ 17.3. УСЛОВИЯ РЕАЛИЗУЕМОСТИ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
РЕАКТИВНОГО ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
17.3.1. Определение параметров по Н,3 и Н*х
Задана подлежащая реализации ПФ (17.9) вида H(s) =
= kB(s)/A(s), причем согласно (17.10) это H,(s) = Z12IZ22
ИЛИ HjX(s) = -712/722-
1. Вначале осуществляют общую проверку ПФ на реализуе-
мость:
а) условие Фиалкова должно выполняться;
б) нули и полюсы ПФ должны быть мнимыми, причем по-
люсы простыми.
Примечание. Мнимость нулей была обоснована в свойстве 17.2.5; вторая
часть проверки следует из (17.9) и (17.10), поскольку полином Д($) форми-
руется числителем функций Z22 или Y22. которые должны удовлетворять
основному свойству ZLC(s), указанному в 17.2.1.
2. Далее определяют параметры ЧП. Так как из об-
щей проверки на- реализуемость следует, что полиномы
369
4(s) и B(s) — четные, то делят числитель и знаменатель ПФ на
произвольный нечетный полином О(з), корни которого мнимые
простые и чередуются с корнями Л($), т. е.
КЗ/ 1 - Zl2 НХХ1Л
Я;Ю(^) = ~ z22 - Н" W = - ЛЕГ = (17.15)
D(s) D(s) 22
И таким образом согласно (17.15) определяют параметры ЧП.
Примечания:
1. Для страховки тут же проверяют, что Z22 и У22 удовлетворяют основ-
ному свойству т. е. их нули и полюсы мнимые, простые и
чередуются.
2. Нередко в качестве D(s) выбирают дробно-рациональную функ-
цию— главное, чтобы Z22 и У22 соответствовали Z^cis).
17.3.2. Определение параметров ЧП по Н/ и Ну
Задана подлежащая реализации ПФ (17.9), причем соглас-
но (17.10) это 1Ц(з) = Zi2/(1 4- Z22) или Hy(s) = -У12/(1 4-
4-У22), т. е. к ЧП подключена нормированная нагрузка Ян- = 1.
1. Вначале осуществляют предварительную проверку ПФ
на реализуемость:
а) условие Фиалкова должно выполняться;
б) нули ПФ должны быть мнимыми (могут быть кратными).
2. Определяют параметры ЧП, для чего сначала разбива-
ют полином Л($) на сумму Л(з) = Ачт(з) 4- Д1Чт(з), где
Лчт — полином четных степеней s, ЛцчТ полином нечетных
степеней. Затем, если B(s) — полином четных степеней, делят
числитель и знаменатель ПФ на Анчт и определяют параметры.
„ , ч _ Z12 _
- 77~таг ~ i + Za/
1 АнчгЫ
k-Г-
= ГТЗГ = Ttt
1 Лнчг
если же В($) — нечетный полином, то делят
ь Д 5/ к ~г~
н, = = -Л12-, = =
1 + + %22 1
А чт
(17.16)
на /1цт(^) *
-У12
1 4- Y22
(17.17)
04 Л
370
Основы теории электрических цеп^
Тут же Z22 или Y22. найденные на основании (17.16)
17.17), проверяют на соответствие основному свойству z м*
Примечание. Если эта проверка на соответствие Zzc(s) «щ; ’
ходит», то заданную ПФ невозможно реализовать реактивными”^'
лестничной структуры.
ПРИМЕР /. Задана ПФ фильтра Баттерворта 3-го порядка.
„ . . _ к _ А-В(а) _ -У12 =
HiAs)- s3 + 2s2 + 2s + 1 Л(а) 1 4- Y22 14^-'
Предварительная проверка на реализуемость выполняет-
ся при условиях:
1. При достаточно малых к (здесь при к 1) коэффи-
циенты числителя ПФ не превышают соответствующих
коэффициентов знаменателя.
2. ПФ имеет трехкратный нуль передачи на бесконечной ча-
стоте. Очевидно, что Ап- = 2s2 4-1 = 2(s2 + 0,5); Л11ЧТ =
= s34-2s = s(s24-2); B(s) = 1 —полином четных степе-
ней s. Расчет параметров очевиден: —У12 = l/[s(s2 4-2)],
У22 = 2(s2 4- 0,5)/[s(s2 4- 2)], т. е. У22(з) удовлетворяет
основному свойству Zlc{s) и заданная ПФ может быть
реализована.
§ 17.4. РЕАЛИЗАЦИЯ РЕАКТИВНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
ЛЕСТНИЧНОЙ СТРУКТУРЫ
Строго процедура синтеза состоит из двух этапов: 1. Подбора
ПФ, которую необходимо синтезировать (этот этап изучается
в спецдисциплинах). 2. Собственно реализации ПФ цепью, что
фактически и рассматривается здесь.
17.4.1. Три положения,
лежащие в основе реализации ЧП
1. Что синтезируют? Синтезируют ЧП по найденным
параметрам Z12 и Z22 (или “^12 и У22). Фактически реа-
лизуют Z22 (или У22)в виде лестничной структуры Zrc(s)>
как указано на рисунке 17.1/3 и в 17.2.2. При этом полюсы Z12
Глава !7
371
(или —У12) синтезируются автоматически и в процессе реали-
зации не контролируются.
2. В чем специфика реализации? При синтезе Z22 (или Yn,)
стремятся попутно синтезировать нули Z12 (или -У12 ), т. е. реа-
лизовывать нули ПФ Н(з) — кВ(з)/А(з) и, следовательно, всю
ПФ. Вначале синтезируют первую категорию нулей ПФ — част-
ные полюсы Z22 в виде первого со стороны 2—2 продольного со-
противления Zi (или частные полюсы У22 в виде первой со сто-
роны 2—2 поперечной проводимости Уо), как указано в 17.2.4.
Затем реализуется вторая категория нулей ПФ — это нули ПФ
(Z12 или —У12 ), которые совпадают с нулями остатков от реа-
лизации Z22 (или Y22 )• Их реализуют как полностью выделен-
ные полюсы обращенных остатков в виде продольных сопро-
тивлений Z\k или поперечных проводимостей Уо&, как описано
в 17.2.5.
3. Как реализуется третья категория нулей ПФ, которая не
совпадает с нулями остатков? «Пытаются» частично выделить
какой-либо полюс остатка (или обращенного остатка), чтобы
в новом остатке получить нуль, совпадающий с нулем третьей
категории, как описано в (17.11)—(17.13) в 17.2.6.
17.4.2. Обоснование возможности
получения нуля остатка
на любой частоте
при частичном выделении полюса
Рассмотрим простой пример. Допустим, в результате синтеза
получили остаток вида
„2 . , .2 1 , ,2 1
Z = —t±l- = Ls + ^L = zl+Z2 = Lxs + —, (17.18)
as . a as c2s .
т. e. в (17.18) остаток Z представлен эквивалентно в виде суммы
составляющих.
Изобразим на рисунке 17.46 мнимые частотные характери-
стики (ЧХ) остатка Z(jw) и его составляющие Zx = jwLi и
Z2 = -j7(wC2), причем в (17.18) Zx и Z2 — это полностью
выделенные полюсы при з = оо и з = О соответственно.
Если первая составляющая выделена частично, т. е. не
полностью, в виде пунктирно показанной на рисунке 17.46
Основы теории электрических цепей
прямой то нуль нового остатка (Z - Z14) будет на ча-
стоте'си0 > си,-. Если частично выделена вторая составляющая
240’^)'’ т0 НУЛЬ остатка будет на частоте си0 < ^. Таким об-
разом; «перекрыт» весь частотный диапазон 0 < си < оо для
получения нуля остатка на требуемой частоте.
В общем случае:
1. Анализируют мнимую ЧХ остатка Z(jw) или Y(Jw) =
= 1/Z и выясняют, за счет частичного выделения какого из по-
люсов Z. или Y можно получить нуль нового остатка на требуе-
мой частоте.
2. Поскольку частотный анализ трудоемок, то на практике
обычно.используют «метод проб и ошибок»; выясняют, между
какими корнями остатка находится требуемый нуль ПФ па ча-
стоте сро (точнее, s = ±jcuq); сначала пытаются выделить ча-
стично полюс, соответствующий одному из этих корней; если
не получилось (т. е. частично выделенная составляющая ока-
залось больше полной — полностью выделенной — или ока-
залась отрицательной), то пытаются частично выделить полюс,
соответствующий второму ближайшему корню.
• • • ‘
17.4.3. Последовательность действий
при реализации нуля третьей категории
В общих чертах процедура реализации нуля третьей катего-
рии была описана в п. 17.2.6. Рассмотрим вопрос детальнее.
Допустим, в результате синтеза ЧП получили остаток, например
^ni(s), корни которого не совпадают с еще нереализованными
нулями ПФ. Предположим, что «методом проб» решили полу-
чить в новом остатке Ziv — Zm — Z$ нуль на частоте s = ±jcuo
за счет частичного выделения полюса Zm на некоторой частоте
s = ±jui, т. е.
zni(«) = ——2Т =
...(s2+cu?)
fc4S . . . (в2 + CUn)
. ~ ~.(«2+ч?) + .'.(s2+4?) =Z3(S) + Z'VW’ <17Л9)
причем в (17.19) составляющую Z3 = fc4s/(s2 + си?) называ-
ют обычно «частичной» в отличие от «полной» fcns/(s2 + си?)
Глава /7
373
соответствующей полностью выделенному полюсу, когда кп =
= (s2 + wf)Zni(s)/s при s2 -» -а;?.
Чтобы в новом остатке Z[\j(s) получить нуль на частоте s =
= ±jcuo, приравнивают в (17.19) Z\[\ и Z% на этой частоте и
находят «частичный» коэффициент кЧу который должен быть
меньше «полного» коэффициента кЦу т. е.
О < кч <кп. (17.20)
Реализуют /3(5) в виде продольного сопротивления Zut(s),
как показано на рисунке 17.5,я. В «новом» остатке Ziy(s), как
указано в (17.19), обязательно будет нуль на требуемой частоте
s = ±jwo- Реализуем этот нуль ПФ как полностью выделенный
полюс обращенного остатка:
V — 1 — —12___ — ^п5 д_ v •
ZjV . ..(s24-O?q) s2+o>§
т. е. Yjv = Y4 + Yy, и составляющая Y^s) реализуется в ви-
де поперечной проводимости Ybfc (см. рис. 17.5л), обеспечивая
требуемый нуль третьей категории.
Если условие (17.20) не выполняется, необходимо изменить
процедуру реализации, как указано в п. 17.4.2.
17.4.4. Общая последовательность синтеза ЧП
Необходимо реализовать ПФ (17.9) одного из вариантов (17.10).
1. Осуществляют общую проверку на реализуемость, как
описано в§ 17.3.
2. ' В соответствии с указаниями § 17.3 определяют парамет-
ры ЧП Z12 и Z22 (или “^12 и Y22).
Основы теории электрических цепей
374
3 Записывают нули ПФ ЧП на основании найденных пара-
метров ЧП. В соответствии с п. 17.2.3-17.2.5 необходимо запи-
сать нули Z12 И частные полюсы Z22 (или нули -У'12 и частные
полюсы 5 22).
Примечание. Среди записанных могут быть и так называемые лишние нули,
которых нет в исходной ПФ Щв) вида (17.9).
4. Синтезируют Z22 («ли У22)со стороны 2-2, причем
сначала реализуется первая категория нулей НФ — частные
полюсы (в виде Zi при синтезе Z22 или в виде Yo при
синтезе Y22 )•
5. Затем рекомендуется реализовывать вторую категорию
нулей ПФ — те, которые совпадают с нулями остатков от ре-
ализации Z22 или Y>2 (путем полного выделения полюсов об-
ращенных остатков в виде поперечных проводимостей Y^ или
продольных сопротивлений Zu-).
6. Далее рекомендуется реализовывать третью категорию
нулей ПФ, как описано в 17.4.3, до полной реализации всех
записанных нулей ПФ.
7. Проверяют, что синтез закончен правильно (как указано
в 17.2.8), рассчитывают ПФ схемы и находят k.
Примечание. Очередность реализации нулей второй и третьей категорий •
можно изменять (в частности, если «условие правильного окончании син-
теза» оказалось нарушенным).
ПРИМЕР 2. Синтезировать фильтр Баттерворта 3-го по-
рядка. Первые 2 пункта реализации выполнены в приме-
ре 1 в п. 17.3.2, т. е. осуществлена полная проверка на
реализуемость и определены параметры ЧП: — У12($) =
— 1/[s(s* 2 3 4 5 + 2)]; У22($) = 2(s2 + 0,5)/[s(s2 + 2)]. Формально
опишем остальную процедуру синтеза.
3. Записываем нули ПФ на основании параметров ЧП:
а) нули «—У12» это soi,2,3 = оо, т. е. трехкратный
нуль «в бесконечности»;
б) частные полюсы Y22 —отсутствуют.
4. Нулей первой категории ПФ не имеет.
5. Остаток от реализации У22 (т. е. в данном примере
сама проводимость Y22 — Yj) имеет нуль, совпадаю-
щий с нулем ПФ sqi =00, который является, таким
образом, нулем второй категории. Реализуем его как
Глава 17
375
полностью выделенный полюс (при s = oo) обратной
функции:
71 = — = —+ _ 7 _1_ ? _ Л к । 0,75s
' Г( У22 2(з* 4- 0,5) " Zl+Zu ~ °’5s+^TO5’
что отражено на рисунке 17.56 в виде продольного сопро-
тивления Z\k = Z\= 0,5s, т. е. элемента = 0,5.
Новый остаток Z\[ = Z\ — Z\ тоже имеет нуль на
частоте $о-2 = оо (еще -один нуль второй категории).
Реализуем его как полностью выделенный полюс обратной
функции: j я2 + 05 4 2
'и — "тг" — п — = 7s+r' = 7г + Уц[,
Z[[ 0,7os 3 3s
что отражено на рисунке 17.56 в виде поперечной прово-
димости Уод.- = Уг = 4s/3, т. е. элемента С2 = 4/3.
Следующий остаток Ущ = Уи — У2 = 2(3s) опять
имеет нуль на требуемой частоте нуля ПФ з03 = оо (нуль
второй категории). Реализуем его как полностью выделен-
ный полюс обратной функции: Zm = 1/Ущ = 3s/2 = Z3,
что отражено на рисунке 17.56 в виде элемента L3 = 3/2.
6. Реализация завершена — ПФ ЧП не имеет нулей третьей
категории.
7. Синтез схемы ЧП закончен правильно, так как при реа-
лизации ЧП по У22 последним элементом (первым — со
стороны 1—1) должно быть продольное сопротивление
= Z3.
Примечание. По условию нормированная нагрузка фильтра Баттерворта
будет Ли = 1.
§ 17.5. СИНТЕЗ
РЕЗИСТИВНО-ЕМКОСТНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
17.5.1. Свойства ЯС-четырехполюсников
1. Функции Z22 И У-22 удовлетворяют основному свойству
Znc(s). Т. е. их нули и полюсы отрицательные простые, череду-
ются и ближайшим к началу координат у Z!{c является полюс.
2. Полюсы Z12 совпадают с полюсами Z22, полюсы -У12
совпадают с полюсами У22.
376
Основы теории электрических цепей
3. Исключение из свойства 2: полюсы первого со стороны
2—2 продольного сопротивления Z\ являются частными полю-
сами Z>2 \ полюсы первой со стороны 2-2 поперечной проводи-
мости У о являются частными полюсами Y-12-
4. Нули ПФ ЧП — это нули Zi2 и частные полюсы Z22
(или —нули -У12 и частные полюсы Уц).
5. Полюсы продольных сопротивлений Zik и поперечных
проводимостей Yok ЧП лестничной структуры — это нули ПФ
ЧП, которые должны быть отрицательными.
6. Исключение из свойства 5: если при синтезе ЧП какой-
либо полюс остатка выделен частично (т. е. не полностью) в виде
Zik или Ybfc. то этот полюс не является нулем ПФ ЧП.
7. Условие Фиалкова должно выполняться, т. е. коэффи-
циенты числителя ПФ не должны превышать соответствующих
коэффициентов знаменателя.
8. Свидетельство правильного окончания синтеза должно
выполняться.
9. Новое свойство в сравнении со свойствами LC-ЧП: по-
люсы ПФ ЯС-ЧП должны быть отрицательными и простыми.
Действительно, если ПФ ЧП II (s) = kB(s)/A(s) имеет вид
Л,кз = Z12/Z22 или = -Y12/Y22, то полином Л(.$) — это
числитель Z22 и У22, а они должны удовлетворять основному
свойству ZRc(s)- Если ПФ имеет вид Hj = Z12/(l + Z22)
или Ну = —У12/(1 + У22), то знаменатель Hi можно тракто-
вать как последовательное соединение единичного сопротивле-
ния и сопротивления ZRc = Z22, т. е. такое соединение должно
удовлетворять основному свойству Zne- Знаменатель Ни ду-
ально трактуется как параллельное соединение 1 и Уде! чис-
литель проводимости такого соединения имеет отрицательные и
простые корни на основании с учетом свойства ZRc •
17.5.2. Условие реализуемости
и определение параметров ЯС-ЧП по Н*3 и
Задана подлежащая реализации ПФ II (s) = kB(s)/A(s) вида
Я/К3 = Z12/Z22 или II™ = -У12/У22.
1. Вначале осуществляют проверку И(з) на реализуемость:
а) условие Фиалкова должно выполняться (т. е. при до-
статочно малом к > 0 коэффициенты числителя ПФ
Глава /7________———— - —.— *^77
не превысят коэффициентов знаменателя при одинако-
вых степенях .<?);
б) нули и полюсы ПФ отрицательные, причем полюсы про-
стые.
2. Далее находят параметры ЧП: делят числитель н зна-
менатель //(<•>) на такую произвольную дробно-рацнональную
функцию Dfs), чтобы Z22 удовлетворяло основному свой-
ству Zrc> а *22 — основному свойству Yrc (у бли-
жайшим к началу координат должен быть нуль), т. е. опре-
деляют Zw — kB(s)/D(s), Z22 = A(s)/D(s) = Zrc', или
-У12 = kB(s)/D(s), Y22 = A(s)/D(s) = Yrc.
Примечание. В простейшем случае D(s) — это полином, корни которого
отрицательные, простые и чередуются с корнями полинома А(з), но такие,
что И22 = Zпс, У22 = Упс •
17.5.3. Определение параметров ЧП
по и Hu(s)
Подлежит реализации ПФ H(s) = kB(s)/A(s) вида Hi =
= ^22/(1 4- ^22) или Нц = -У12/(1 4- Y22) при нормированной
нагрузке /?н = 1.
1. Вначале осуществляют проверку ПФ па реализуемость
(см. 17.5.2).
2. Затем определяют параметры ЧП. Для этого полином зна-
менателя ПФ раскладывают на сумму двух полиномов Л(в) =
= Aip(s) 4- Ллз(з), причем корни A,p(s) выбирают правее, а
корни >lfln(s) —левее корней полинома Л(«). т. е.
A(s) — oq + aiS + <z2s2 4- • • • ~ dn-is 4- $
= П(5"3<)’
«=1
dnp(s) = fcnp(OOiip 4" °lnpS — • • • 4- s 1.’ =
n
= IB* 5<np)>
1=1
Ллв(з) = Ллв(оолв 4- aiaaS 4-. • • + s” < =
n
= kna J J($ S/.ib)>
i=!
(17.21)
(17.22)
(17.23)
где at = A’npOnip 4- kmatnp, 0 < ^’np 1.0 < A.jB < 1.
378
Основы теории электрических цепей
Обычно выбирают (в общем случае — произвольно) корни
з,п полинома (17.22). Тогда корни з,Л0 полинома (17.23) ав-
томатически будут «формироваться» левее корней з, полинома
знаменателя (17.21).
Обоснование этого вытекает из рассмотрения схематично
представленных на рисунке 17.6а графиков полиномов при s,- <
< 0. График полинома А(з) при вещественных отрицатель-
ных значениях аргумента з считаем исходным; очевидно, что
д(0) = а0 = ПГ=1(-^)>0.
Правее з, произвольно намечаем корни sinp полинома Апр(з)
и ,схематично показываем график полинома, учитывая,
ЧТО Лцр(О) = fcnpOQnp = ^пр — s<np) > 0, но А[1р(0) <
< Л(0). После этого графическим вычитанием несложно разме-
тить характерные значения полинома АЛв(з) = A(s) — Апр(з) и
указать его корни з^в, которые «автоматически оказываются»
левее корней s,.
Дальнейшая процедура определения параметров ЧП оче-
видна, если учесть, что Z^z = Zrc и ближайшим к началу
Глава 17
379
координат должен быть полюс, а У22 = yRC и ближайшим к
началу координат должен быть нуль:
„,м =_________________=. z” = *g/AP
Arp(s) + Л-1в(в) 1 + z22 i + л18/дП0
„ , , -У.г/Д» р 1-24)
/г()“ 1 + .4г.р/.1„,’
т.е. значения Z12 и Z22 определяются первой формулой* 1“ 24),
а параметры — Yi2 и Y22 —второй формулой.
17.5.4. Реализация RC-четырехполюсников
Последовательность действий очевидна:
1. Осуществляют проверку ПФ на реализуемость
(см. п. 17.5.2, 17.5.3).
2. Определяют параметры ЧП Zi2, Z22 или -У12, У22
(см. п. 17.5.2, 17.5.3).
3. Переходят к параметрам соответствующего LC-четы-
рехполюсника по формулам
Zlc(p) =pZnc(s)l 3=pa .
*17.25)
Упс(р') = -Удс(в) я=рг •
4. Синтезируют £С’-четырехполюсник(как описано в § 17.4)
и, заменяя индуктивности резисторами (численно Я* = 7**),
получают искомый RC-четырехполюсник.
5. Выводят ПФ синтезированного ЧП H(s) = kB(s)/A(s) и
находят коэффициент к, не контролировавшийся при реализации.
17.5.5. Примеры синтеза ЯС-четырехполюсников
ПРИМЕРЗ. Реализовать ПФ H$\s) - k(s 4- 2)/(s - 1) =
= kB(s)/A(s) = -Yvi/Yzi- Рассмотрим детально все пунк-
ты формального расчета.
1 . Проверка на реализуемость выполняется, так как нули и
полюсы ПФ отрицательные, причем полюсы простые, а
условие Фиалкова справедливо при к < 0.5.
380
Основы теории электрических цепей
2 Делением числителя и знаменателя на D(s) находим па-
’ раметры ЧП -У12 = kB/D, Y22 = А/D, причем необ-
ходимо, чтобы У22 = Yrc(s), т.с. ближайшим к началу
координату У22 должен быть пуль. Возможны варианты:
a) B(s) = s+2;тогда -У12 = k, Y22 = (s+l)/(s4-2),и
этот вариант является удачным, поскольку Y22 явно
имеет частный полюс;
б) D(s) = (s + l)/s; тогда -У12 = ks(s + 2)/(s +
+ 1), Y22 = s = Yue. "о этот вариант нереализу-
ем, так как не выполняется свойство 2 (по которому
параметр Y22 должен содержать все полюсы У12);
в) D(s) = s + 3;тогда -Yi2 = k(s + 2)/(s + 3), Y22 =
= (s + l)/(s + 3) = Ync(s); данный вариант неуда-
чен, поскольку явно просматривается, что у ПФ бу-
дет самый трудный в реализации нуль III категории.
Тем не менее рассмотрим реализацию вариантов а)
и в).
3. В варианте а) переходим, используя (17.25), к па-
раметрам соответствующего ДС-четырехполюсника:
-Vi2fa) = к/p, У22(р) = (р2 4- 1)/[р(р2 + 2)].
4. Записываем пули ПФ LC-ЧП по параметрам ЧП: — У12
имеет нуль при 7?01 = 00; У22 имеет частные полюсы при
Р02.3 = ±/\/2.
5. Переводим непосредственно к синтезу схемы ЧП. Вначале
реализуем частный полюс Y22, т. е. нуль ПФ на частоте
Р02.3 '
р2 +1
р(р2 + 2)
= У1+Уц
0,5р 0,5
р2 + 2 р ’
причем очевидно, что У = 0,5р/(р2 + 2) = 1 /(2р +
+ 4/р)> т- с- поперечная проводимость ЧП «состоит» из
последовательного соединения = 2иС1 = 1/4.
Остаток Yu = Y22 - У, = 0,5/р имеет нуль на ча-
стоте еще не реализованного нуля ПФ при pOi = 00 (т. е.
это нуль II категории). Реализуем его как полностью вы-
деленный полюс обратной функции: = 1/Уп = 2р =
= Z2 = Д2р, т. е. реализуем нуль ПФ продольным со-
противлением Z2 в виде Ь2 = 2, как показано на рисун-
ке 17.66. Синтез закончен правильно, так как выполнено
свойство 8.
Гл qua !7
381
6. Схема искомого ЯС-ЧП приведена на рисунке 17.6в
(после замены Rk = Lk в схеме на рисунке 17.66
с учетом (17.25)). Расчет ПФ схемы дает =
= U2(s)/Ui(s) = 0,5(s 4- 2)/($ 4- 1),т. е. к = 0,5.
Рассмотрим также реализацию варианта в) параметров
ЧП. Переходи LC-ЧП дает: -У12(р) = /с(р24-2)/[р(р24-3)],
^22 (р) = (Р2 + 1)/[Р(Р2 + 3)].
Записываем нули ПФ LC-ЧП по параметрам: — У12 име-
ет нули при р01 = оо и при ро2,з = ±j>/2; У22 не имеет
частных полюсов.
Реализуем LC-ЧП. Поскольку У22 имеет нуль на часто-
те Poi = оо, реализуем этот нуль II категории как полностью
выделенный полюс обратной функции: Zt = 1/У22 = р(р2 4-
4- 3)/(р2 + 1) = Zi + Z\\ = р 4- 2р/(р2 + 1). Продольное
сопротивление Zj = р, т. е. Li = 1, как показано на рисун-
ке 17.7а.
Рис. 17.7
Остаток Zu = 2р/(р2 4- 1) не имеет нуля, совпадающего
с еще нереализованным нулем ПФ при рог.з = ±jV2, кото-
рый «находится» между корнями Z\\ при «оо» и при «±j».
Методом «проб» пытаемся один из них выделить частично
в виде полюса. Естественно для простоты начать «пробу» с
полюса Уу = 1/Zn = (р2 4- 1)/(2р) при р = оо (крометого,
полюс р2 4- -1 выделять частично здесь бесполезно, так как
он соответствует простейшей составляющей).
Итак, имеем
п2 4- 1
Уц (р) = 2 - = кчр 4- Уш = V2 4- Ущ,
прячем необходимо в новом остатке Уш получить нуль при
Ро2,з = ±jx/2- Поэтому приравниваем Ун = У2 на этой ча-
стоте: (р2 4- 1)/2р = кчр\ р2 = -2, откуда кч = 1/4 < кп =
_ j/2 = Уц(р)/р при р = эо, т. е. частичный коэффициент
Основы теории электрических цепей
382
(вычет) Ач меньше полного (что и требуется на основании
п. 17.4.3). Итак, оказывается Y2 = 0,25р = С2р, что отра-
жено на рисунке 17.7а.
Остаток Ущ = Ун ~ ^2 — (р + 1)/(2р) — 0,25р = (р +
_ 2)/(4р) имеет нуль на требуемой частоте рог.з = ±j\/2.
Реализуем его как полностью выделенный полюс функции:
4р _ 1_______________1______
Z1H = р? + 2 ~ 0,25р + 1/(2р) С3р + 1 /(£зр)’
что отражено на рисунке 17.7а.
Переходим к схеме искомого ЛС-ЧП (см. рис. 17.76) и,
определяя ее ПФ в режиме XX Я$х = 0,5(s 4- 2)/(s + 1),
находим к = 0,5, причем элемент Ri из схемы исключен,
так как рассматривается режим XX.
ПРИМЕР 4. Необходимо при единичном сопротивлении на-
грузки синтезировать ПФ
„ (,1 = A'(s + * 1 2 3) = -уи = =
’ (S+1) 1 + г22 Л(») 1 + 4=г«'
Проверка на реализуемость выполняется (см. пример 3).
Разбиваем знаменатель ПФ на сумму полиномов Л(з) =
= Лпр(з) + Алв(з), как описано в п. 17.5.3. Делим числи-
тель и знаменатель на Алв($), чтобы проводимость У2г(з)
соответствовала Yrc(s)- Возможны различные варианты.
1. Если Л(ф = s, то А™ = 1. Тогда —= k(s + 2),
Y22 = s. Однако этот вариант нереализуем, так как при
дополнительной проверке у ПФ = — Yl2/Y22 не
выполняется условие Фиалкова.
2. Если Лпр = s+0,5,to Алв = 0,5; следовательно, —У12 =
= 2k(s + 2), Y22 — 2(s + 0,5). Но это не лучший вариант,
поскольку явно «просматривается» трудно реализуемый
нуль 111 категории.
3. Вопреки рекомендациям (см. п. 17.5.3), пытаемся вы-
брать в качестве исходного полином Алв = о,5(з + 2);
следовательно, получаем Anp = 0,5s. Тогда -У12 = 2к,
Y22 - s/(s + 2). Однако этот вариант, в котором-у ПФ
явно нет нулей III категории, реализовать невозможно,
Глава /7
383
поскольку дополнительная проверка = -Yl2/Y22
на выполнение условия Фиалкова «не проходит».
4. Видоизменяя предыдущий вариант, выбираем .4.1В =
= 0,25(з 4- 2), тогда Лпр = 0,75($ 4- 2/3). При этом
—У12 = Y22 = 3(з 4- 2/3)/($ 4- 2), т. е. нет нулей
Ш категории. Реализуем этот вариант.
Находим параметры LC-четырехполюсника:
у -Л1/„ V
УЯ - w + 2)| .
Определим нули ПФ LC-четырехполюсника по пара-
метрам ЧП: —У12 имеет нуль при poi = оо; Y22 имеет част-
ный полюс на частоте рог.з = ±j>/2.
Реализуем вначале частный полюс:
3(Р2 + 2/3) _ 2,, 1
/ 2 । о \ ““ о .o'* ““ »
р(р2 4-2) р~ 4- 2 р
Остаток Уц = У22 — Yj = 1/р имеет нуль при poi =
= сю. Синтезируем этот нуль ПФ как полностью выделенный
полюс обратной функции 7ц = 1/Уц = р = L2p = Z2. как
указано на рисунке 17.8л.
Рис. 17.8
После формальной замены Rk — L* получим показан-
ную на рисунке 17.86 схему ЯС-четырехполюсника. Расчет
ПФ по схеме дает Hu(s) = 0,25(з4-2)/($4-1),т. е. к = 0,25.
Обобщим полученные результаты.
ВЫВОД: при синтезе ЯС-ЧП важно так подбирать £>(з),
Znp(s), Aib(s)> чтобы среди нулей ПФ соответствующего
LC-четырехполюсника оказалось побольше легко реализуе-
мых нулей I и П категорий.
Г лава 18
СВЯЗАННЫЕ КОНТУРЫ
С БОЛЬШОЙ ДОБРОТНОСТЬЮ
§18.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
18.1.1. Виды связи
Рис. 18.1
Связанным контуром на-
зывают 2 последовательных
или параллельных колеба-
тельных RLC-контура, со-
единенных между собой ре-
активным элементом связи.
На рисунке 18.1 приведены
электрические схемы свя-
занных контуров некоторых
типов. В зависимости от ти-
па элемента, с помощью ко-
торого осуществляется вза-
имосвязь между контурами,
различают контуры с транс-
форматорной (рис. 18.1а),
индуктивной (рис. 18.16) и
емкостной (рис. 18.1е) свя-
зями.
Схема, изображенная на
рисунке 18.1п, может быть
приведена к структуре схе-
мы на рисунке 18.16, если
воспользоваться эквивалентной схемой замещения без индук-
тивной связи (рис. 18.1г). На рисунке 18.1 воздействием яв-
ляется ИИ, подключенный ко входу первичного контура, а реак-
цией считается напряжение «2 вторичного контура.
Глава 18
385
Степень связи между контурами характеризуют коэффици-
ентом связи, равным fccp|M—для трансформаторной
связи, fccU = Ьсв/х/(й + £св)(£г + Ьсв) — для индуктивной
связи, А^в = Сев/'/С[кСик — для емкостной связи, причем
параметры 1/С[к = 1/Ci + 1/CcbI 1/Сик = 1/Сг + 1/Сса
определяют общие емкости в контурах.
Примечания:
1. Схемам на рисунке 18Лб.в могут быть поставлены а соответствие ду-
альные с параллельными RLC-цепями и питанием от источников тока.
2. Схемы на рисунке 18.1 с учетом рисунка 18.1г имеют одинаковую струк-
туру; в связи с этим можно ограничиться рассмотрением характеристик
только последовательных связанных контуров.
Поскольку связанные контуры имеют улучшенные частот-
ные характеристики по сравнению с характеристиками оди-
ночных /?Ь(7-контуров, их широко используют в частотно-
избирательных устройствах.
18.1.2. Общие соотношения
связанных контуров
Всем типам последовательных связанных контуров (рис. 18.1)
соответствует общая эквивалентная схема, представленная
на рисунке 18.2а, где полное операторное сопротивление
первичного контура: Z\ = Ri + 1/(sCi) + sLi — для транс-
форматорной связи; Zi = 7?i + l/(sCi) + s(Li + ZCB) — для
индуктивной связи; Z\ = R\+l/(sCik)+sLi —для емкостной
связи.
Аналогично, имеем полное сопротивление вторичного конту-
ра: Z2 = Т?2 + sL2 + 1/(зС2) — для трансформаторной связи;
Z2 = R2 + l/(sC2) + s(L2 + £Св) — для индуктивной связи;
Z2 = R2 4- 1/(зСпк) + sL2 —для емкостной связи.
Рис. 18.2
Ос ноны теории электрических цепей
386
Сопротивление связи следующее: ZCB = sM — для транс-
форматорной связи; ZCB = sLcb ~ Д™ индуктивной связи;
z = 1 /(зСсв) — для емкостной связи.
"уравнения введенной общей эквивалентной схемы имеют вид
Ul(s) = 2iZi(-*>) — 2св^2(5),
О = —ZCB/i(*‘) + ^2^2(5)-
(18.1)
(18.2)
Решая систему (18.1), определяем токи:
Z2Uy
71 Z^-Z^'
- _2СВ г _ ZqDU\
12 ~ 2^2-22/
Из (18.3) находим входное сопротивление
контуров:
U\{s) Z\Z2 - Z%a 22
2вх = -Т -, ч =-— £ 1 + ^вн2* > (1
n(s) Z2 Z2
(18.3)
(18.4)
связанных
которое равно сумме сопротивлений первичного контура Zt и
вносимого сопротивления ZBll2l = — Z^JZ2, учитывающего
влияние вторичного контура на первичный.
Выражению (18.5) можно поставить в соответствие схему за-
мещения связанных контуров, приведенную к первичному конту-
ру (рис. 18.26).
Аналогичную схему замещения, приведенную ко вторичному
контуру, составляют, используя метод эквивалентного источни-
ка напряжения, т. е. ток во вторичном контуре рассчитывают по
схеме, изображенной на рисунке 18.2е.
Напряжение холостого хода f/xx = находят из схемы,
представленной на рисунке 18.3а, a Z3KB — на рисунке 18.36.
Рис. 18.3
Глав0
387
Таким образом, i/j — fZxx — ^А^св/^i, а ^экв — Z2 —
— Zcb ~ Z„ + (^i ~ Ztb)Zcti/Z\ = Z2 — Z„ — Z^/Z\, отку-
да на основании схемы, представленной на рисунке 18.2в, по-
лучают схему замещения, приведенную ко вторичному контуру
(рис. 18.3е), т. е. аналогично (18.5) представляют входное со-
противление, приведенное ко вторичному контуру ZBX,, в виде
Z2
^вха — Z2 —= Z2 + ZBHx2, (18.6)
где вносимое сопротивление £ВцХ2 учитывает влияние первично-
го контура на вторичный.
Из выражений (18.3)-( 18.5) находят передаточные функции
связанных контуров по току H/(S) _ h ~ /1 Zcn " z2 (18.7)
и по напряжению _ и2 _ z„z2 _ ZHZCB (18.8)
Zmh “ ztz2-zcY
ВЫВОД', общие соотношения для последовательных связан-
ных контуров подобны формулам для линейного трансфор-
матора.
Примечания:
1. Соответствующие выражения для параллельных связанных контуров
могут быть получены дуальным путем.
2. Соотношения записаны в операторной форме; для перехода к форму-
лам установившегося синусоидального режима достаточно выполнить
формальные замены:
U(s) -> U, I(s) -*/, s — jw.
§ 18.2. РЕЗОНАНС В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ
18.2.1. Общая характеристика видов резонанса
Настройкой колебательных контуров в резонанс называют из-
менение параметров контура при неизменной частоте и амплиту-
де входного сигнала с целью получения максимального значения
тока во вторичном контуре.
Примечание. При настройке изменяют только реактивные параметры кон-
туров (L и С), а сопротивления R оставляют постоянными.
388
Основы теории электрических
Цепей
По определению, в установившемся синусоидальном режи-
ме резонанс в цепи на частоте и>рез с учетом выражения (18.5)
наблюдается при выполнении следующего условия:
г21
А'охО^рез) — ^вхО^рез) — Im Z\ —0. (18.9)
Введем следующие обозначения:
Zi = и + jxi, Z2 = r2 + jx2,
Zen —
т. e. представим сопротивления контуров в алгебраической фор-
ме (очевидно ri = 7?i, r2 — R2 в схемах на рисунке 18.1). Тогда
с учетом (18.5), (18.6) вносимые сопротивления будут
ZBH21 —
72 т2
^св _ Асв _
z2 r2+jx2
_ r2x*a -z2Zcb
„2 , „2 ' J „2 . „2
r2 + X2 r2 + X2
= r'i + jxi;
7 — %ca ___ Г1Жсв , „• ^I^cb _ / . • t
ZbH12" Zx ~ rl + xl+3rl + xi~ i+3X2’
(18.10)
(18.11)
В связанных контурах обычно различают 4 вида резонансов
и соответствующие способы настройки:
1. Частный резонанс.
2. Индивидуальный резонанс.
3. Сложный резонанс.
4. Полный резонанс.
18.2.2. Частный резонанс
Различают первый и второй частные резонансы. В первом слу-
чае, изменяя только реактивные параметры первичного контура,
не изменяя ZCD, добиваются выполнения условия (18.9), которое
применительно к введенным обозначениям (18.10) будет иметь
ВИД'. Т 7 , •/ «
Im zBX = a?i + ж, = 0,
или „ 9
Ж2ЖСВ _
a?i о , о — 0.
Из (18.2.2) видно, что равенство нулю может быть достигну-
то, например; изменением реактивного сопротивления первичного
Глава IS
389
контура xi = xLct +xCa. причем изменением только составляю-
щей xlc< определяемой элементами и Gj.
При возникновении первого частного резонанса входное со-
противление контуров минимально: ZCB = п + г2^в/(г| + ж2),
следовательно, входной ток, а потому и ток 12 максимальны:2 ’
г _ т —
(18.12)
г2+х2
причем с учетом (18.7) имеем
1% — Лгшахчр. = |ВД гпахЧр —
Второй частный резонанс возникает при равенстве нулю
мнимой части (18.6):
Im ZBX2 = О,
т. е. при выполнении условия:
2
Х2 + ii = х-2 - 41^5 = 0. (18.14)
г1+ж1
Равенство (18.14) достигается путем изменения только ре-
активных параметров элементов Li и Ci вторичного контура,
без изменения ZCB. При этом, как следует из схемы замещения
(см. рис. 18.3а), ток во вторичном контуре будет максимален:
72 max, р.
^ВХ2
(18.15)
Г2 + (7?+хП
где (18.15) записано с учетом (18.6), (18.11) и (18.14).
18.2.3. Индивидуальный резонанс
Настройку на индивидуальный резонанс выполняют, изменяя
параметры реактивных элементов обоих контуров (без регули-
ровки ZCB) так, чтобы -д., = 0 (18.16)
При этом, как видно из (18.2.2) и (18.14), одновременно реа-
лизуются первый и второй частные резонансы.
390
Основы теории электрических цепей
Максимальные токи найдем из (18.12), (18.13) с учетом
(18.16):
(г Л' = и\ ,
J Umax*, — ri+xf./ra
(Zirnax,, = ~ 2<,+г1 г2/з:с, ’
(18.17)
Настройку на данный резонанс осуществляют, обеспечивая
поочередно резонанс в каждом из контуров при отключенном
другом контуре.
18.2.4. Сложный резонанс
Настройку на сложный резонанс выполняют в несколько
этапов. Сначала, изменяя Z\, добиваются выполнения усло-
вия (18.9), обеспечивая максимальное значение тока Zimax.
Далее, изменяя ZC8, находят максимально возможное зна-
чение тока h (при этом условие (18.9) нарушается). Затем
вновь подстраивают Z\ до выполнения условия (18.9) и т. д.
Так итерационным путем обеспечивают последовательное
приближение к максимально возможным значениям (макси-
муму максиморуму) токов. Zimaxmax» Zjmaxinnx И напряжения
НЭ Нагрузке fA? max max-
Найдем эти максимальные значения, учитывая, что при ре-
зонансе ZH = р2 (так как по определению характеристиче-
ское сопротивление 7?£С-контура р = w0L = 1/(ш0С) =
= vLjG — это сопротивление емкости или индуктивности на
резонансной частоте о?о )•
Анализируя (18.13), види.м, что максимум макснмо-
рум тока достигается при минимуме его знаменателя.
Приравнивая нулю первую производную знаменателя по
хсв, получаем
Ti Г?
—Г + ~2"Г~2 = 0>
Г2 + х2
откуда находим оптимальное значение модуля сопротивления
связи
св opl,
(18.18)
где |Z2|2 = г$ + х%.
Глава 18
391
При таком оптимальном значении (18.18) токи (18.12)
(18.13), (18.15) будут максимально возможными:
Лшахтах = О,5С71/Г1, (18.19)
h max max = 0,5171 /^, (18.20)
а максимально возможное напряжение на нагрузке имеет вид
U2 max max ~ ^2 max max = P20>5Ui/y/rlT2. (18.21)
18.2.5. Полный резонанс
Настройка на полный резонанс выполняется в 2 этапа. На пер-
вом этапе контуры настраиваются на индивидуальный резонанс,
а на втором этапе подбирают оптимальное значение ZCB до по-
лучения Л1 max max, -^2 max max, ^2 max max-ТаКИМ ОбрЗЗОМ OCy-
ществляется оптимальная настройка, причем наиболее простым
способом.
Анализируя (18.17), находим, что максимально возможное
значение тока 12 достигается при минимуме его знаменателя. Из
равенства нулю первой производной знаменателя по жсв нахо-
дим оптимальное значение модуля сопротивления связи:
XCBopta₽. = yfab (18.22)
причем согласно (18.18), (18.22) оказывается, что значение
Хсв„р. < ХСВср, так как Т2 < \Z2\. Прн этом в (18.17) токи
•Amaxmax = 0,5(7i/ri, Amaxmax = 0,5(71/х/Г1Г2, Т. е. ДОСТИ-
гают точно таких же значений (18.19), (18.20), как при сложно.м
резонансе.
Коэффициент связи при настройке на полный резонанс и
одинаковых контурах будет
_ Жсв = = * = S = —,
В \/Р1Р2 y/plP-2 VQ1Q2 р Q
где Q —добротность RLC-контура.
выводы-.
1. Значения максимально возможных токов в случае слож-
ного резонанса и в случае полного резонанса одинаковы,
однако полный резонанс реализовать проще.
392
Основы теории электрических цепей
2. Из(18.22) и (18.18) следует, что Хсвор(п^ < XCBopt^. т. е.
оптимальная связь при полном резонансе обеспечивает-
ся проще особенно при трансформаторной связи, так как
требуется меньшее значение взаимной индуктивности Л/.
18.2.6. Энергетические соотношения
Рис. 18.4
При резонансе в первичном контуре обеспечивают выполнение
условия хВх = Xi + X) =0, где х\ = Хвн31. т. е. х\ = —хиК21.
В режиме сложного резонанса согласно (18.19) Л max max —
= 0,5C7i/ri = ^i/(ri + гВН21), т. е. п = гв1121 = и; в режиме
полного резонанса тоже п = г{, но при этом xj = = 0.
Таким образом, эквивалентные
схемы замещения, приведенные к
первичному контуру, в случаях слож-
ного резонанса (рис. 18.4а) и полно-
го резонанса (рис. 18.46) позволяют
сделать вывод, что оба случая удо-
влетворяют условию передачи мак-
симальной мощности во вторичный
контур.
Суммарная активная мощность
при этом будет / тг \ 2 гг2
£ =£•
а мощность, передаваемая во вторичный контур, с уче-
том (18.20), (18.21) следующая
Р2 = J/?/(4n) = 0,5Ps,
т. е. КПД связанных контуров равен 50%.
§ 18.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
18.3.1. Допущения и обобщенные параметры
Связанные контуры, содержащие 5 реактивных элементов, — это
цепь четвертого порядка и выполнять исследования частот-
ных характеристик такой системы в общем виде очень сложно.
Поэтому практический интерес представляют исследования
Глава 18
393
с учетом ряда допущений, которые не изменяют существа изуча-
емых явлений.
Первое допущение: контуры считают одинаковыми, т. е. и =
= т’г = r> Li = L<2 = L, Ci = С2 = С и, следовательно,
pl= Р2= Р> w01 = WQ2 = wq = 1/'/LC, Qi = Q2 = Q = р/г.
Второе допущение: исследуют частотный диапазон вблизи
частоты wo при малых, так называемых абсолютных расстрой-
ках бы = w - wo по сравнению с w и w0. Тогда ш + wo = 2wo +
+ 5ш = 2w — Sa> « 2wq « 2w.
Кроме абсолютной, используют также относительную рас-
стройку w-wo w ,
ow« =-------=-------1 = W» — 1,
Wo Wq
где w. — нормированная частота, и имеется 2 обобщенных па-
раметра.
Для характеристики расстройки вводят обобщенную рас-
стройку:
= S = £ = = (1823)
Г1 г2 г г ты v
которая с учетом допущений приблизительно равна:
е = - «2Q— = 2Q<5w.. (18.24)
г W0
Для характеристики связи контуров используют фактор связи:
а = Ы = Q^. „ Qkco. (18.25)
г р
18.3.2. Резонансные частоты
Используя допущения и введенные обобщенные параметры, за-
пишем входное сопротивление (18.5) с учетом (18. Ю).
/ х?в \ х?в А
Znx = Zi+ Zoiin = Г + r2 + x2 J + ~ г2 +а.2у
ИЛИ 2 . , 2 ч
-г(1+ 1^) 0-гЬ/ (1826)
394
Основы теории электрических цепей
Резонансные частоты связанных контуров найдем, исполь-
зуя (18.9): а2
Ini ZM = X ( 1 — J е2 ) = О»
отсюда с учетом (18.24) определим резонансные частоты:
1. х = ге = 0, следовательно, Wp^j = wo, т. е. частота
совпадает с резонансной частотой для одиночного контура;
2. (1 - = 0, откуда е = ±i/a2 - 1, и с учетом (18.24),
где е « 2Q(w - wo)/wo, находим:
wpc3a 3 = wo (1 ± у/а2 - . (18.27)
выводы-.
1. При слабой связи (a2 < 1, т. е. a = Qkcb < 1 соглас-
но (18.25)) система связанных контуров имеет одну ре-
зонансную частоту wo = \/\/LC, совпадающую с резо-
нансной частотой одиночного контура, что соответствует
индивидуальному резонансу.
2. При сильной связи (a = QfcCB = |тсв\/г > 1, т. е. |zCB| >
> г) появляются дополнительно еще 2 резонансные ча-
стоты (18.27), расположенные симметрично относитель-
но wo (согласно (18.18), (18.22) — это случай сложного
резонанса).
3. При критической связи (a = 1, т. е. |ггсп| = г) систе-
ма имеет трехкратный резонанс на частоте (соглас-
но (18.22)— это случай полного резонанса).
18.3.3. Частотная характеристика
функции передачи по напряжению
Частотная характеристика, соответствующая передаточной функ-
ции связанных контуров по напряжению (18.8), имеет вид
If (л д _ _ ^<2ГСВ _ (-EypXiyl^cBl)
~йг~ Z,z2 - Z& - Z1Z2 + XC% ’
где верхние знаки соответствуют трансформаторной и индуктив-
ной связям, а нижние — емкостной.
Глава 18
395
Переходя к обобщенным параметрам (18.24), (18.25), запи-
шем разделив числитель и знаменатель на г2:
г г л placet Qa
"иМ = (18.28)
причем в ЧХ (18.28) частота ш задана неявно, поскольку она
входит в обобщенную расстройку (18.23), (18.24).
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) будет
«М = |И„(»| = - 2 Qa (18.29)
V (1 + а2 - е2)2 + (2s)2
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) следующая
т/ \ ♦ ( 26 А
= - arctg ——2—-2 .
\ 1 + От — Sz /
Оценим характерные значения ЧХ на следующих частотах:
I. При w — wq, когда обобщенная расстройка (18.23) s =
= 0, имеем a(w0) = Qa/(1 + а2), Ф(о?о) = 0;
2. На нулевой частоте ш = 0, когда согласно (18.23) е =
= —оо, получим <т(0) = 0; Ф(0) = +180’;
3. На частоте w = оо, т. е. при е = +оо, находим а(ос) = 0,
Ф(оо) = —180’.
18.3.4. Исследование АЧХ
при различной связи
Уточним вид ЧХ вблизи wq. Для этого определим экстремаль-
ные точки АЧХ. Приравнивая нулю первую производную знаме-
нателя (18.29) по е, получим следующее уравнение:
-(1 + а2 - е2)е + 2е = 0,
откуда находим 3 решения: ei = 0, т. е. wi = wo, £2,3 —
= ±y/d2 — 1, или с учетом (18.23), (18.27) получим
W2.3 = w0 (1 ± 2^\/а2 - 1)
Значения АЧХ (18.29) в точках экстремума будут равны:
1. a(wo)|c=Q = <?a/(l + в2), причем при а = 1 имеем
максимум a(wo)|a=1 = <*max = Q/2;
396
Основы теории электрических цепей
2. а(^2,з)|£=±75^ = Qa/(v^4 + 4ai-4) = 0,5<? =
= Лтах max •
ВЫВОДЫ:
1. При слабой связи (а < 1, т. е. kca < \/Q, |хсв| <
< г или |zCB| < XC80pt ) имеем «одногорбую» кри-
вую (кривая 1 на рисунке 18.5а) с максимальным
значением атах = <2а/(1 + а2) при ш = а>о\ это случай
индивидуального резонанса.
2. При критической связи (а = 1, kco = 1/Q |а;св| =
= г = XCBOptn согласно (18.22)) имеем предельно пло-
скую «одногорбую» кривую с одним максимумом макси-
морумом: amaxmax = Q/2 при а> = а>о (кривая 2 на
рисунке 18.5а). Это соответствует полному резонансу в
контурах.
3. При сильной связи (а > 1, fccB > 1/Q, |.тсв| > г =
= ^cBoptap) получаем «двугорбую» кривую, причем на ча-
стоте w = и>о» соответствующей е = 0, значение АЧХ
а(о>о) = <2^/(1 + а2) < Q/2 дает минимум, а 2 макси-
мума располагаются симметрично относительно частоты
ш = о>о (кривая 3 на рисунке 18.5а) на частотах е2,з, со-
ответствующих (18.27). При этом максимумы «разбега-
ются» с увеличением фактора связи. Это случай сложно-
го резонанса, т. е. настройка в «частный резонанс» с по-
следующим переходом к сложному резонансу (Хсв opt >
> XCBOptn ) дает 2 абсолютных максимума ашахпд.,хР =
= Q/2 при е2 И £3-
fig в О 18---------------------------———_________ 397
18 3-5- Сравнение АЧХ связанных контуров
и одиночного контура
Для сравнения изобразим семейство нормированных АЧХ
Д’(г) = o(s)/Omaxmax в зависимости от фактора связи а
(рнс. 18.56).
Частотная характеристика одиночного колебательного кон-
тура на рисунке 18.56 показана пунктиром. Как известно, у оди-
ночного контура на частоте ш = о?о ток принимает значение
Типах = Ui/R, а в случае связанных контуров Zlrnax = ^/(27?)
согласно (18.19).
Выходное напряжение UCmex = UCo = xcolh/R = QUi
для ОДИНОЧНОГО контура, а для связанных контуров С/2 maxmax =
= 0,5QC7i согласно (18.21). Таким образом, у одиночного конту-
ра максимальное значение АЧХ будет <ттах = Q, а у связанных
контуров— Omaxmax = 0,5ф, т. е. при их использовании потерн
в усилении в 2 раза.
Преимущество связанных контуров, как показано в § 18.4,
заключается в значительно лучшей избирательности. На грани-
це полосы пропускания (на уровне 0,707А,пах) крутизна спада
АЧХ связанных контуров выше, чем у одиночного контура. ЧХ
системы связанных контуров при а > 1 (но а < 2,41, ина-
че A(u'o) < 0,707Amax) ближе по форме к характеристикам
идеального фильтра, чем ЧХ одиночного контура.
§ 18.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ
СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
18.4.1. Определение
полосы пропускания
Полосой пропускания (ПП) связанных контуров До>с.к. называ-
ют диапазон частот, вне которого АЧХ a(w) < 0,01nAmax. где
п = 100/ V2 = 70,7%.
Это определение подходит и к «двугорбой» кривой
(рис. 18.56 при а > 1) и к «одногорбой» (при а 1).
Для одиночного ‘контура ПП определялась как Д^1к —
= w0/Q. У системы связанных контуров Дшс(< < Дидк при
слабой связи (а «: 1), однако при критической и сильной связи
(О 1) имеем Д^с.к > Д^1к> как показано ниже.
Основы теории электрических цепей
398
Вычислим ПП для двух случаев:
J. Критическая связь(а = 1), т. е. в цепи наблюдается пол-
ный резонанс. На границах ПП значение АЧХ (18.29) должно
быть равно значению aIU!lx/\/2, т.е.
2ч/2' (,8-30)
Из (18.30) при а = 1 находим е = ±\/2; следовательно,
ширина ПП будет Де = 2>/2. С учетом (18.24) определяем ПП
связанных контуров:
Д^с.к. = ^^£~ > Д^1к-
2. Случай сильной связи (a > 1). При этом на частоте wq,
когда значение АЧХ равно л(а>о), наблюдается локальный ми-
нимум. Определим предельное значение фактора связи апр, пре-
вышение которого приводит к тому, что ПП связанных контуров
распадается на 2 участка. Это значение находим из условия:
Q _ / , ч| _ Qa
2\/2 ° *с=0 ~ a2 + 1 ’
откуда anp « 2,41.
Используя выражение (18.30) при а = аПр. находим ПП
-1), откуда с учетом (18.24) получаем
Д»с.к = ^ = ^%/2(2,4Р-1)й 3.1ZU.U.
*4/ Ц;
18.4.2. Определение параметров контуров
по заданным требованиям
Для определения параметров необходимо иметь семейство нор-
мированных АЧХ связанных контуров a(w)/amax = /(са) в
функции от частоты о? или в функции от обобщенной расстрой-
ки е при различных значениях фактора связи а. Эти семейства
типа рисунка 18.56 приводятся в справочной литературе.
Первый вариант. Наиболее полное задание должно со-
держать следующие исходные данные: резонансную часто-
ту— о?о, значение максимума АЧХ— Атах, ширину ПП — До;
Глава 18
399
и коэффициент прямоугольное™ — fc„p, определяющий избира-
тельные свойства контуров:
, _ Дип _ Деп
пр До/,,, Деш ’
где значение Дсип определяется на уровне пАтах (обычно п =
= 0,707), а значение Д^т — на уровне mAmax (обычно т =
= 0.2). Как видно из выражения (18.31), чем больше коэффи-
циент прямоугольное™, тем ближе форма АЧХ к прямоугольной
(т. е. к АЧХ идеального фильтра).
Последовательность расчета:
1. По графикам семейства АЧХ определяют для заданных
т и п тип зависимость А-пр(а). Для требуемого Агпр вычисляют
значение фактора связи а и соответствующую ПП Де.
2. Из формулы Де «s 2<2До?/а?о, соответствующей (18.24),
определяют требуемую добротность контура: Q = О,5Деа,’о/Да>.
3. Определяют максимум АЧХ Amax = Q/2 при а 1 или
Лпшх = <?«/(1+о2) при а < 1 и проверяют, что Лшах не меньше
заданного значения.
4. Определяют по (18.25) коэффициент связи fcCB = a/Q.
5. Проектируют индуктивность контура L, которая «обес-
печивала» бы требуемую добротность: индуктивность L и поте-
ри г контура должны быть таковы, чтобы wqL/t = Q.
6. Определяют емкость контура из условия 1/о$ = LC.
7. Вычисляют на основании (18.25) значение сопротивления
связи: |жсв| = ксвр = k^L/C и реализуют его по заданной
схеме контуров.
Примечание. Если А-пр н ЛШах. обычно точно заданные, не обеспечены,
применяют каскадное соединение контуРов.
Второй вариант-, исходные данные—wo, Aw, Дпах-
Последовательность расчета:
1. Считая а < 1, определяют добротность из выражения
Q/2 = Агпах •
2. Вычисляют ПП Д<г ~ 2Q&w/wq.
3. По значению As и семейству нормированных графиков
АЧХ находят значение фактора связи а.
4. Определяют значение коэффициента связи A<B = a/Q
и затем находят остальные параметры, как указано в первом
варианте.
Г лава 19
ОСНОВЫ
МАШИННО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ
МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ
Ряд вопросов применения вычислительной техники при ана-
лизе электрических цепей был рассмотрен ранее в главах:
«Дискретные цепи и сигналы» и «Уравнения состояния и
методы их численного решения».
§ 19.1. СТРУКТУРНАЯ МАТРИЦА
19.1.1. Запись уравнений закона токов Кирхгофа
с использованием структурной матрицы
При расчете цепей на ЦВМ необходимо вводить полную ин-
формацию о структуре цепи в максимально компактной форме.
Такую информацию можно получить из системы уравнений ЗТК,
составленных по ориентированному графу цепи, в котором:
1. Отражены все элементы и узлы, в том числе устранимые.
2. У 1всех элементов согласованная полярность и указано
направление тока.
ПРИМЕР /. Схема цепи и её ориентированный граф приве-
дены на рисунке 19. la,б. Уравнения ЗТК в матричной форме,
записанные для всех узлов, имеют вид
12 3 4
1/1 1 О О
210-1 1 О
3 0 0 -1 1
4 \ -1 0 0-1
5
0\
-1 I
0
1J
й
й
Й
й
й.
О'
о
о
о
Глава 19
401
или в сокращенной форме
Иа]И = [0], • (19.1)
причем элементы абсолютно полной структурной матрицы
[Ла]. которую также называют матрицей соединений или ин-
цнденций, определяются так:
апт = 1» если ток ветви № т вытекает из узла № п;
< Опт — -1» если ток ветви № т втекает в узел № п;
апт = 0, если ветвь № т к узлу № п не присоединена.
Очевидны свойства абсолютно полной матрицы [Ла]:
1. В ней содержится информация о всех узлах (по строкам),
о всех элементах (по столбцам), о направлении всех токов, т. е.
она полностью раскрывает структуру цепи.
2. В каждом столбце должны быть только «+1» и «-1»
(а остальные параметры — нули).
3. Одна из строк системы (19.1) является зависимой и рав-
ной сумме остальных, взятой с обратным знаком, т. е. может'
трактоваться как уравнение ЗТК для базисного узла.
Поэтому при вводе информации о структуре цепи в ЦВМ
используют независимую структурную матрицу [Л], кото-
рую получают из [Ла] исключением строки для базисного
узла.
____________ I
ПРИМЕР 2. Если в примере 1 узел 4 считать базисным, то
[Л][»] = [0], (19.2)
14-1810
402
Основы теории электрических цепей
ИЛИ I 234
1/1 1 00
2[0-1 10
3 \0 0—11
5
0\
-1
0/
(19.3)
Примечание. Обычно используемая запись уравнений ЗТК в узле в виде
ifc =0. очевидно, некорректна; правильнее записывать £ = 0, где
ан = — 1 или I, или 0
19.1.2. Запись уравнений
закона напряжений Кирхгофа
с использованием структурной матрицы
На дуальной основе уравнения ЗНК также должны содержать
полную информацию о структуре цепи.
ПРИМЕР 3. Выразим в примере I напряжения ветвей через
узловые напряжения, считая узел 4 базисным, т. е. = 0.
Получим uj = ц1у — 0, «2 = uiy — «2у, ^з = «гу — ^зу»
«4 = «зу - 0, и5 = 0 - игу. т. е. в матричной форме
или сокращенно .. .... ,
[и] = [Лу][иу], (19.5)
где в (19.5) (Ду) — так называемая узловая матрица.
ВЫВОД', из сравнения (19.3) и (19.4) следует, что
Иу] = [А]т, (19.6)
т. е. узловая матрица в (19.5) и структурная матрица в (19.2)
являются транспонированными.
Поясним транспонирование в (19.6) на примере произ-
вольной ветви №/с ориентированного графа, изображенной
Глава 19
403
на рисунке 19.1в. В матрице соединений [А] в столбце №fc
будет «+1» в строке Non, так как ток ik вытекает из узла
№п. и «-1» в строке №т. В узловой матрице [Ау] в стро-
ке №/г будет «4-1» в столбце №п и «-1» в столбце №т
на основании уравнения ик = ипу - и™, т. е. действительно
имеем транспонирование.
§ 19.2. УПОРЯДОЧЕННЫЕ МАТРИЦЫ
УРАВНЕНИЙ ЦЕПИ
19.2.1. Главные сечения,
главные контуры
и фундаментальная матрица цепи
Для практического ввода задачи в машину обычно необходи-
мо еще более жесткое упорядочение. Используется следующая
последовательность действий при анализе резистивных цепей:
I. Составляют ориентированный граф цепи, в котором ука-
зывают все узлы, в том числе устранимые, и все элементы, пред-
полагая везде полярность согласованной.
2. Выбирают какое-либо дерево графа, в которое обяза-
тельно включают все источники напряжения (ИН) и не вклю-
чают источники тока (ИТ).
3. Устанавливают жесткую нумерацию ветвей:
а) первые номера присваивают источникам напряжения;
б) вторые номера — резистивным ветвям дерева;
в) третьи номера — хордам;
г) последние номера — источникам тока, как показано на
рисунке 19.2а, где приведены граф и схема цепи для при-
' мера 1 с измененной нумерацией элементов.
4. Составляют уравнения ЗТК для все главных сечении.
Главное сечение (ГС) — это сечение, которое'содержит
только одну ветвь дерева и какое-то количество хорд: номер ГС
соответствует номеру «его» ветви дерева; направление выхода
из ГС соответствует направлению «его» ветви дерева.
На графе (рис. 19.2а) пунктиром указаны три ГС цепи (ГС 1.
ГС2, ГСЗ). В матричной форме уравнения для ГС имеют вид
raw=м,
(19.7)
404
Основы теории электрических цепей
Рис. 19.2
причем элементы матрицы главных сечений [Q] в (19.7)
равны: «+1», если ток i„ выходит из ГС №т: «-1», если ток
in входит в ГС Х°т; «О», если г‘„ ие относится к ГС Х°т.
Нумерация строк матрицы [Q] соответствует номерам ГС, а ну-
мерация столбцов — номерам элементов.
ПРИМЕР 4. Для рисунка 19.2а запишем (19.7) в виде
I 2 з
1/10 0
2 0 10
з \0 0 1
(£)
4 5
1
-1 1
-1 0/
(F)
И
г’г
гз
is
О'
0
о
(19.8)
Матрицы главных сечений [Q] и токов [г] обычно разби-
вают на 2 подматрицы н представляют (19.7), (19.8) в форме
((E); (F)l [<£>] = (0], (19.9)
где (Е) — единичная матрица (точнее подматрица), обу-
словленная тем, что каждая ветвь дерева входит только
Г л пн л 19
405
в «своё» уравнение один раз; (F) — так называемая фун-
даментальная матрица; (гЛ) — матрица токов ветвей дерева;
(гх) — матрица токов хорд.
5. Составляют уравнения ЗНК для всех главных контуров.
Главный контур (ГК) — это контур, который содержит
только одну хорду и сколько-то ветвей дерева; номер ГК со-
ответствует номеру «его» хорды; направление ГК соответствует
направлению «его» хорды.
На графе (рис. 19.26) пунктиром указаны 2 ГК цепи на ри-
сунке 19.2а (ГК4, ГК5). В матричной форме уравнения для ГК
имеют вид
№] = [()], (19.10)
где элементы Ьтп матрицы главных контуров [В] в (19.10) рав-
ны: « +1», если напряжение согласовано с обходом ГК №т;
« —1», если напряжение ип не согласовано с обходом ГК №т;
«0», если un не входит в ГК №т. Нумерация строк матрицы [В]
соответствует номерам ГК, а нумерация столбцов — номерам
элементов.
ПРИМЕР 5. Для рисунка 19.26 запишем (19.10) в виде
1 2
4 /-1 1
5 \ 1 -1
(ЕВ)
3 4 5
1 :1 0\
0 :.О 1J
(В)
(19.11)
Матрицы главных контуров [В] и напряжений элемен-
тов и обычно разбивают на 2 подматрицы и представля-
ют (19.10), (19.11) в форме
(№);(£)]
(19.12)
где (В) — единичная матрица, обусловленная тем, что хор-
ды имеют «последние» номера и напряжение каждой хорды
входят только «в свое» уравнение; (FB) фундаменталь-
ная подматрица матрицы [В]; (ид) — матрица напряжений
дерева; (их) —матрица напряжений хорд.’
406
Основы теории электрических цепей
ВЫВОД', из сравнения (19.8). и(19.11) вытекает связь фун-
даментальных матриц _ _[f]t, (19.13)
причем соотношение (19.13) является следствием жесткого
упорядочения в соответствии с н.З.
6. Записывают уравнения закона Ома для всех резисторов
URk = Rkiiik. или в матричной форме
• [Я][*к] = (“пЬ
(19.14)
где [:я], [ин] — матрицы токов и напряжений Л-вегвей цепи.
В примере на рисунке 19.2а получим
Л2
0
6
0
Лз
О
?2 «2
гз ss «3
»> U.1
следовательно, в (19.14) матрица сопротивлений резистивных
ветвей [Л] является диагональной.
ВЫВОД-, в машину достаточно ввести матрицы [/*’], [/?], дан-
ные об источниках напряжения и тока; она «сама» восстано-
вит систему (19.7), (19.10), (19.14) в соответствии с очевид-
ным алгоритмом и решит ее.
19.2.2. Пояснение связи фундаментальных матриц
Как показано на рисунке 19.2а, учитываем только ветвь к дерева,
а также хорды тп. и j <рафа некоторой гипотетической цени.
В строке к матрицы главных сечений [Q] рассмотрим столб-
цы j и т. В ГС ветвь №j,очевидно,учитывается как«-1»
в столбце № j, а ветвь №тп — как «0» в столбце №т (она не
входит в ГС №А:).
Далее в столбце fc матрицы главных контуров [В] рассмот-
рим строки j и тп. В ГК (т. е. в строке j) ветвь учи-
тывается как «+1» в столбце №fc. В ГК №тп (т. е. в строке т)
ветвь №/с учитывается как«0» встолбце№А; (поскольку она не
входит в ГК №т).
Таким образом, в матрицах ГС [Q] = [(E)-, (/-’)] и ГК [В] =
= [№);(£)] имеем транспонирование с обращением знака
именно для связи фундаментальных матриц [FB| = —[fit
Глава 19
407
19.2.3. Независимость
упорядоченных уравнений цепи
Очевидно, число уравнений ЗТК для главных сечений пгс
в (19.7)-( 19.9) равно числу ветвей дерева пд. причем
/»гс = Пд = ну-1, (19.15)
поскольку дерево графа получают соединением всех его узлов
без образования замкнутых контуров. Следовательно, число
ветвей дерева в (19.15) па единицу меньше числа узлов пу. Все
уравнения для ГС независимы, так как ток каждой ветви дерева
входит только в «своё» уравнение и, следовательно, не может
быть получен из остальных уравнений для ГС.
Примечания:
I . Таким образом, получено ещё одно(в сравнении с § 1.7) строгое дока-
зательство числа независимых уравнений ЗТК о.зтк — ПГС = Пу — 1
2 Из п. 19.2.1 очевидно, почему нрн составлении уравнении ЗТКс «плю-
сом» учитывали выходящие из узла токи.
Число уравнений ЗНК для главных контуров ??гк в (19.10)—
(19.12) равно числу хорд , т. е.
= 71х = Пв — Пд = 7tB — Пу 4-1, (19.16)
причем в (19.16) п8 — число ветвей графа (в нашем слу-
чае — число элементов цепи). Все уравнения для ГК неза-
висимы, поскольку напряжение каждой хорды входит толь-
ко в «своё» уравнение и поэтому не может быть получено из
остальных уравнений для ГК.
Примечание. В результате получено еще одно (в сравнении с § 1.7)
строгое доказательство числа независимых уравнении ЗНК пзнк =
= П| К = Пи - Пу + 1.
Число уравнений (19.14) закона Ома для резистивных эле-
ментов будет
пп = п0 -пин -«ит> (19.17)
где пин —число ин* пит ~ число ИТ. Все уравнения (19.14)
вида URk = KktRk также независимы, поскольку каждое значе-
ние Rk входит в «свое» уравнение.
408
Основы теории электрических цепей
Таким образом, суммарное число уравнений систе-
мы (19.15)-(19.17) пгс + «гк + «я = 2«в “ «ин - «ит и все
уравнения независимы. Суммарное число неизвестных в систе-
ме — такое же, так как неизвестными являются токи ИИ пин,
напряжения ИТ «мт, а также напряжения и токи R-элементов
2пя = 2пв - 2«ин - 2пит •
§ 19.3. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
МАШИННЫХ УРАВНЕНИЙ ЦЕПЕЙ
19.3.1. Метод токов дерева
к напряжений хорд
Из многообразия алгоритмов решения матричных уравнений це-
пей на ЦВМ рассмотрим наиболее простые.
В качестве обобщенного элемента, образующего ветвь дере-
ва, рассмотрим последовательное соединение резистора и ИН,
как показано на рисунке 19.3а.
Рис. 19.3
В матричной форме уравнения для напряжений ветвей дерева
[гсд] можно записать в виде .
[«д] — [^дШд] + [ио]>
(19.18)
причем в (19.18) [Яд] — матрица сопротивлений обобщенных
элементов дерева, [и0] — матрица напряжений ИН обобщенных
элементов дерева.
В качестве примера рассмотрим схему на рисунке 19.2а счи-
тая для простоты каждый се элемент — обобщенным и обозна-
чив ИН uj = гид, а ИТ is = ios •
Глава 19
409
Тогда уравнения (19.18) примут вид:
0 0 О’ 'к «01
«2 о т?2 о к + 0
«з. 0 0 R3 _«з. 0
(19.19)
Примечание. Запись (19.19) поясняет, как необходимо поступать, если
обобщенный элемент дерева не содержит резистора или ПН.
Аналогично в качестве обобщенного элемента, образующего
хорду, рассмотрим параллельное соединение резистора с прово-
димостью G и ИТ. как показано на рисунке 19.36. В матричной
форме уравнения для всех токов хорд гх можно записать в виде
[*х] — [<2х][«х] + fob
(19.20)
где (7Х — матрица проводимостей обобщенных элементов хорд;
[го] — матрица токов ИТ обобщенных элементов хорд.
В примере на рисунке 19.2а, где каждый элемент, как уже
отмечалось, считаем обобщенным, получим уравнения (19.20) в
форме
°] м + г0
о] [«5j [»05
(19.21)
i J [ 0
Примечание, запись (19.21) поясняет, как необходимо поступать, если
обобщенные элементы хорд не содержат резистор или ПТ
Раскрывая уравнения ЗТК (19.9) для ГС и уравнения
ЗНК (19.12) с учетом (19.13) для ГК, можно записать
Ы + №] = [0], -ИтЫ + Ы = (0). (19.22)
Поскольку рассматривается метод токов дерева и напряже-
ний хорд, исключаем матрицы [ид] и [гх] из системы (19.18),
(19.19), (19.22). Следовательно, (19.20) подставляем в первое
уравнение (19.22): (iJ + И(1Ох)Ы + [,0]) = (0). (19.23)
а (19.18) — во второе уравнение (19.22): -
. ЧЛТ(РУЫ + W) + ы = [°1- ('9-24)
Решая систему двух уравнений (19.23), (19.24) с двумя ценз-
вестными, получим после очевидных подстановок:
- гы+дехкичады+иты)+иы=№
ЦЛтИ(И[<Зх](«х1 + ИЫ) - ит!«о) + Ы = И.
410
Основы теории электрическах цепей
Г (И + ИЛИТ№1 + ((Л [<7xJ I Лт Ы + ИМ = [о];
1№№.И<М + П)Ы + ([Лт1Яд]|р][1о| - (?Гг!«о!) = [о].
Окончательно, алгоритм расчета имеет вид
/ ы = - ([Е] + + ИМ.
[ы=- (н+нтрдам-1 (нчздлы - ifiT(«o])
(19.25)
Определив [?д] и [мх], на основании (19.18), (19.20) находят
[«д]и[7х].
Примечание. Уравнения (19.25) дуальны, если учесть, что [F]T -•= — [Рв]
согласно (19.13).
19.3.2. Применение структурной матрицы
при расчете цепей методом узловых напряжений
При использованин метода узловых напряжений (МУН) все ИН
должны быть эквивалентно преобразованы к ИТ. В качестве
обобщенного элемента цепи рассматривают параллельное соеди-
нение резистора и ИТ (рис. 19.36). Тогда в матричной форме
уравнения для токов [г] всех элементов можно записать анало-
гично (19.20): ... , ... z.zxzxz..
W = [<ЭД + [го], (19.26)
причем в (19.26) [(7], [ц], [г’о] —матрицы соответственно прово-
димостей, напряжений и токов ИТ всех элементов.
ПРИМЕР6. В качестве примера используем схему на рисун-
ке 19.3е с учетом преобразования ИН в цепи (рис. 19.1а) к
эквивалентному ИТ. Считая для простоты каждый элемент
цепи обобщенным, получим систему вида (19.26):
й* 0 0 0 0 0‘ W *01
Й 0 G2 0 0 0 ц2 0
Й = 0 0 (?з 0 0 + 0
Й 0 0 0 Gi 0 0
Й. 0 0 0 0 0 _U5_ Jos.
Примечание. Запись (19.27) поясняет, как необходимо поступать, если в
обобщенном элементе нет резистора или ИТ.
(19.27)
Глава 19
411
Уравнения ЗТК (19.2) с независимой структурной матрицей
(Л] применительно к примеру (рис. 19.3а) имеют вид, в вредно-'
ложспии, что узел 3 — базисный:
-1
О
1 1
О -1
(19.28)
причем в (19.28) для компактной записи (19.2) матрица токов [fl
транспонирована. 1J
Выражая напряжения элементов через узловые напряжения,
как указано в (19.5), с учетом (19.6) получим
М = [А]т[иу]. (19.29)
Подставляем (19.29) в (19.26): ‘
И = [С?][Д]т[цу] 4-[г0], (19.30)
а затем (19.30) в уравнения ЗТК (19.2):
[л][сцл]т[11у] + [л]ы - (о].
Таким образом, уравнения МУН имеют вид
[Л][С]И]т[ггу] = -[Д][г0]. (19.31)
Примечание. (19.31), естественно, соответствует стандартной матрич-
ной форме МУН [<7муц][«у] = !*>]» т- с- матрица проводимостей МУН
|(7мун) = [Л][(7][/1]т, а матрица узловых токов [гу] — -рЦ1’о] учитывает
«обратное» правило знаков для ИТ [го] •
В соответствии с (19.31) алгоритм расчета цепи методом уз-
ловых напряжений на ЦВМ можно записать в форме
Ы = -(МИИ)Т)^‘МЫ;
далее с учетом (19.29) определяются напряжения элементов, а
затем но формуле (19.26) —токи.
Примечание. Описанные в данном разделе базисные понятия, .методы ана-
лиза и алгоритмы расчета, ориентированные, естественно, на резистивные
цени высокой сложности, «распространяются» на динамические цепи; в
частности, ври анализе установившегося синусоидального режима токи и
напряжения следует заменить их комплексными амплитудами, а пассивным
элементам цепи — приписать комплексные сопротивления.
412
Основы теории электрических цепей
§ 19.4. МАТРИЧНОЕ ФОРМИРОВАНИЕ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
Покажем возможность применения данных метода токов дере-
ва и напряжений хорд (МТДНХ) для составления уравнений
состояния динамических цепей.
В случае динамических цепей
а)
Рис. 19.4
(см. пример на рисунке 19.4а)
изменяют нумерацию элементов,
описанную в п. 19.2.1: вторые
номера присваивают С-элемен-
там, которые в направленном гра-
фе (рис. 19.46) относят к ветвям
дерева и при составлении урав-
нений состояния замещают вспо-
могательными ИН (рис. 19.4а);
предпоследние номера присваи-
вают £-элементам, которые от-
носят к хордам и замещают вспо-
могательными ИТ.
Хотя формально используют
понятия обобщенных элементов
(рис. 19.3а), однако па практи-
ке каждый элемент схемы и гра-
фа удобно считать обобщенным
(аналогично примеру из п. 19.3.1).
В случае примера (рис. 19.4) ис-
ходные матрицы, используемые в
МТДНХ, имеют вид:
Ы = Нц ис > [^о] — ’О’ ii. > Ы — *н" ic J
0 ?Т. in
ttcl Го о 0‘ а 4 0 О'
- к] = V-L , [Лд1= 0 0 0 , [Gx] = 0 0 0 ;
Ну .° 0 Лз. - 0 0 о]
[1 0 0 0 1 0 '
- IQ] = ((E); (F)]= 0 1 0 1 -1 -1 J (19.32)
0 0 1 0 0-1
Глава 19
413
причем в (19.32) и на рисунке 19.4е индексы Н, Т, С, L. R,
G, относятся соответственно к ИН, ИТ, С- и L-элементами,
R-ветвям дерева и G-хордам; при этом, как указано в первых
двух матрицах источников, uR = 0 и iG = 0, поскольку Л-ветвь
дерева и G -хорда источников не содержит.
На основании матричных соотношений МТДНХ И 9.25)
можно записать
Ьд] = [^][t40] + И[г0]; [ux] = [V] [ио] + [^][г'о], ! 19.33)
причем согласно (19.25) используемые в (19.33) матрицы-
[D] = -([Е] + [F][GS)[F]T[B3])-1[F|[GX][F]1':
[Т] = -((Е] + (F][Gxl[F|T[K.J)-1[F];
[V] =, ([е] + [РН/удав-ЧЕ]1;
[IV1 = —((E) + [F|T[F.][F][Gx])-1[F]T[Fa](F|.
При составлении уравнений состояния вначале необходимо
вывести формулы для токов С-элементов [гс] и напряжений
L-элементов' [ид], поэтому матрицы-столбцы (19.33) предста-
вим в виде: м (гв)
[яо] = (ус) > Во] — (гь)
(ur) 'Ы' ;(гт). (ug)' • 19.34)
ы = (гс) > ]«х] = Ы
_(гя)_ _(ит)
где обозначения, смысл и индексация используемых в (19.34)
подматриц аналогичны (19.32); как и в (19.32), в (19.34) под-
матрицы [ия] = [0] и [iG] = [0] ввиду отсутствия источников
в R-ветвях дерева и G-хордах.
Матрицы коэффициентов в (19.34) также разобьем на под-
матрицы:
[W
(гс)
Ur).
(Анн); (^нс);(^нл)
(£>сн); (&сс)\ (Dcr)
(Д>ян); (Prc)’> (Drr),
FCZhg); (Thl); (Tht)
(TCG)', (Tcl)-. (Tct)
(TnG)-, (TRL)-Z (Tnx)]
(«н)
(uc) +
.(««).
G'g)
(й) ;
(n).
119.35)
414
Основы теории электрических цепей
(«с)'
(«ь)
(К;н); (Ид); (И?/?);
(И,н); (Ис);
(Ин); (Ис); (Ия);
' 7и'сс);(иШ(ИЪт);
- (И7с);(И’дь);(^гг);
(1Нс); (И’тл); (И'тт);.
'(«»)'
(«с)
_(«н).
'(*с)
(й)
.(И).
причем в (19.35), например, подматрица РНс содержит эле-
менты матрицы [Р], относящиеся к строкам 1111 и столбцам
С-элементов и т. д.
Осталось на основании (19.36) найти [г'с] и [ид] с учетом
[а/?] '= [0], [г’с] = [0], а затем, используя матричные уравнения
вольт-амперных характеристик накопителей
[г'с] = [С][«с]> = [Ь][г'Л], (19.36)
окончательно записать уравнения состояния в виде
W = КГ1 [(Dcc)(«c) + (Tcl)(/J+
+(А?н)(“н) 4- (7г-т)((г)1,
К] = [£]-4(Hc)(uc) + (И7.д)(й)+
. +(Пн)(«н) + (И’д1 )(?т)]
(19.37)
причем в(19.36), (19.37) матрицы [С], [Л] и [С]”1, [L]"1 явля-
ются диагональными вида
[С] = 'Cl 0 0 ...’ 0 С2 0 ... щ = 'Li 0 0 ..." 0 l2 0 ...
(С]-1 = Ч 0 0 0 0 ... . Г]-1 = 0 0 ...j 0 A 0 •••
Глава 20
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЦЕПЕЙ
К ИЗМЕНЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ
§ 20.1. ТЕОРЕМА КОМПЕНСАЦИИ
Параметры цепей не идеальны и на практике отличаются от ука-
занных номинальных. Следовательно, реакции также отклоня-
ются от номинальных расчетных. Эти отклонения необходимо
уметь оценивать.
20.1.1. Доказательство
исходной теоремы компенсации
Приращения реакций Aun, АД на резисторах Rn при измене-
нии сопротивления Rk на А/Д. можно найти по присоединенной
цели (Г1Ц-1) — модели чувствительности: а) которую получают
из исходной цепи исключением всех источников; б) в которой по-
следовательно с ветвью (Rk + А Да- ) включают дополнительный
(компенсирующий) ИН ил — ик = ARkik-
' Для доказательства теоремы рассмотрим исходную рези-
стивную цепь, выделив в ней резисторы ,Rk и Rn (рис. 20.1а).
Если сопротивление Rk получило приращение А Да, то то-
ки in и напряжения ип изменились на АД, А«п, как пока-
зано на рисунке 20.16. Напряжение на сопротивлении А Да на
основании теоремы замещения заменим ИН
и3 = &Rk(ik + АД.) = ARkik + А Да-АД. ('20.1)
Далее для расчета используем метод наложения:
1. Реакции от действия всех исходных источников это
реакции исходной цепи in, Un.
416
Основы теории электрических цепей
Исходная Л-цепь
с источниками
Рис. 20.1
Лтд
e)uk = &Rkik
Rk + A/ffc
_1ДЧ-
Исходная R-uciu.
без источников
At,
Дцп
2. Следовательно.’реакции от одного замещающего ИН (20.1)
дадут искомые приращения Д?к, Ди„.
Схема с одним замещающим ИН фактически даст ПЦ-1.
Второе слагаемое в (20.1) трактуем как напряжение па ДЛ\- и
относим к изменившемуся сопротивлению (11к + Д/?л-). как по-
казано на рисунке 20.1в. Первое слагаемое в (20.1) рассмат-
риваем как компенсирующий (дополнительный) источник ик в
ПЦ-1 (рис. 20.1в).
Примечания:
1. Дополнительный источник ик вПЦ-1 (рис. 20.1») называют компенси-
рующим, так как он как бы заменяет действие остальных.
2. ИН и« называют компенсирующим, поскольку npi< включении его в
схему на рисунке 20.16 последовательно с (Rk + Ы1к). но с обратной
полярностью будут скомпенсированы все приращения и восстановлены
исходные реакции.
20.1.2. Эквивалентность
расчета по дуальным ПЦ,
составленным по теореме компенсации
Естественно, имеется дуальная теорема компенсации: прираще-
ния реакций Ди,,, Дгп при изменении некоторой проводимости
Gk на ДС\- можно найти по ПЦ-2,
1. Которая получается из исходной цепи исключением всех
источников.
2. В которую параллельно ветви (Gk + &Gk) включает-
ся дополнительный компенсирующий ИТ ik = AGkuk, как
показано на рисунке 20.2а.
Естественно, в ПЦ-1 (рис. 20.1е) и в ПЦ-2 (рис. 20.2а)
приращения переменных, а также соответствующие со-
противления и проводимости должны быть одинаковы.
Глава 20
417
Исходная П-цспь
без источников
Подтвердим это, вычислив вначале приращения проводи-
мости
ДСА. =--------------L =______~^Rk • /20 m
Rk + ARk Rk Rk(Rk + &Rky (20‘2>
С учетом (20.2) компенсационный ИТ
? = ДГ'', 7/г — ~ARk'Uk ______ —ARkik
Rk(Rk + &Rk) Rk + &Rk (20l3)
Преобразуем ИТ (20.3) к эквивалентному дополнительному
ИН иЛ, как показано на рисунке 20.26:
Щ = iK(Rk + ДЯ*) = —ARkiK. (20.4)
С учетом инверсии знака в (20.4) приходим к выводу, что
схема на рисунке 20.26 полностью соответствует ПЦ-1.
20.1.3. Теоремы компенсации
и присоединенные цепи
при расчете динамических цепей
В целом идейная канва теоремы компенсации сохраняется для
динамических цепей и расчет отдельных режимов, и анализ пе-
реходных процессов в целом.
Если рассматривается изменение резистора Rk на ARk, то
формулировка исходной теоремы компенсации и формирование
присоединенной цепи остаются без изменения при расчете при- .
ращений реакций Дип(£), Д«п(£) любого из элементов цепи.
Если происходит изменение индуктивности Lk на £±Lk< то
ПЦ для расчета приращений любой реакции Д«п(0»
формируется следующим образом (рис. 20.3а):
418
Основы теории электрических цепей
Рис. 20.3
слагаемое в (20.5) определяет
1. Из исходной цени ис-
ключаются источники.
2. Последовательно с ин-
дуктивностью (Lk + ALfc)
включается компенсирующий
ИН uK(£) = ALk.i'Lk(t) =
Доказательство теоремы
аналогично приведенному в
п. 20.1.1. Следует лишь
учесть, что при измене-
нии Lk на напряже-
ние замещающего источника
в сравнении с (20.1) будет
«з(0 = =
= =
= Ы-кг'ьк + Ы'к&А.к’
(20.5)
причем (20.5) в ПЦ на ри-
сунке 20.3а трактуется как
уравнение последователь-
ного соединения; первое
компенсирующий источник
uK(t), а второе слагаемое учитывается в составе элемента
(^ + Д^)вПЦ.
Если изменяется емкость Ск на ДС^, то формирование ПЦ
для расчета приращения любой реакции Aun(t), Дгп(4) проис-
ходит несколько иначе (см. рис. 20.36):
1. Из исходной цепи исключаются источники.
2. Параллельно емкости (Ск + АСк) включается компенси-
рующий источник тока iK(t) = A.Cku'Ck(t) = &Ckick(t)/Ck.
При доказательстве этого варианта теоремы следует учесть,
что при изменении Ск на АСк используют, в отличие от (20.5),
замещающий ИТ
t3(l) — TACfc(t) = ACk(uck + АискУ =
= &Cku'Ck(t) 4- bCkbu'Ck(t), (20.6)
Глава 20
419
причем (20.6) трактуется в ПЦ на рисунке 20.36 как урав-
нение параллельного соединения; первое слагаемое в (20.6)
определяет компенсирующий ИТ iK(t), а второе слагаемое
учитывается в составе элемента (Ct + ACfc), который в свою
очередь удобно трактовать как параллельное соединение Ск
и Д<Л-.
Примечания:
1. Ключи или «коммутирующие» функции вида 8i(t) и <5(t), имеющиеся в
исходной пени, учитываются и в ПЦ.
2. При анализе приращений импульсной характеристики цепи ДЛ(<) и пе-
редаточной функции Д//(з) 4- дА(£) также может быть использова-
на изложенная теорема компенсации, только при вычислении ДН(з)
необходимо ПЦ для Ah(t) рассчитать операторным методом.
3. Очевидно, варианты теоремы компенсации, изложенные в 20.1.3, могут
быть использованы и при «появлении» «паразитного» элемента, в том
числе приводящего к изменению порядка цепи.
ПРИМЕР I. В цепи (рис. 20.4а) необходимо найти изме-
нение импульсной характеристики дня тока г, если емкость
увеличилась вдвое.
Расчет исходной цепи дает переходную характеристику
h\(t) = exp(-t)<5i(t) и импульсную характеристику h(t) =
= -exp(-t)5i(t) + <5(t).
При расчете этой же цепи (рис. 20.4а) для (С + АС) =
— (1 + 1) = 2 получим переходную характеристику
Ы0 =
импульсную характеристику
/го(О = -О,5е-‘/%(4)4-д*(О-
Таким образом, искомое изменение будет
Д/г(4) = Ло(*) - h(t) = (-О.бе"*/2 + е"‘) Ш
Q »fc(t) = ACuJ-(t) 4- ffc(s)
Рис. 20.4
420
Основы теории электрических цепей
Присоединенная цепь для непосредственного расчета
д/г(£) 4- ДЯ(«) приведена на рисунке 20.46. Значение ком-
пенсационного ИТ в дайной задаче следующее
iK(t) = ЛСи'с(0 =
= = ic(i) = h(t) + H(s) = -X- = 4(s).
О • о “Г 1
Тогда искомое приращение передаточной функции по
формуле делителя тока
7k(s) з _ —0,5 1
" 27+1 ” 2(s + 0,5)(s + 1) “ s + 0,5 + s + Г
естественно, соответствует полученному изменению A/i(t).
§ 20.2. РАСЧЕТ ФУНКЦИЙ АБСОЛЮТНОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
НА ОСНОВАНИИ ТЕОРЕМЫ КОМПЕНСАЦИИ
20.2.1. Исходные понятия
На практике значение Afljt обычно неизвестно, поэтому гово-
рят об относительном влиянии возможного изменения Rp на
dRk; соответствующие изменения реакций также будут беско-
нечно малыми {dun, din)- В рассмотрение вводят так назы-
ваемые функции абсолютной чувствительности (ФАЧ), которые
представляют собой производные реакций к изменению соответ-
ствующих параметров:
= (207>
аКк attk
Если ФАЧ (20.7) определены и известно приращение ДЯд.-,
то приращение реакции приближенно можно оценить по формуле
Д/вых=Г/йих_ЛкДЯл, (20.8)
которая фактически учитывает лишь первый член ряда Тейлора
в разложении /вых в окрестности параметра Rp -
Примечание. Формула (20.8) и разложение в ряд Тейлора предполагают,
что faux непрерывная н дифференцируемая функция от изменяемого па-
раметра; это положение является ограничением теории чувствительности,
базирующейся на рассмотрении ФАЧ.
Глааа 20
421
20.2.2. Построение ПЦ для расчета ФАЧ
на основании теоремы компенсации
В исходном варианте тео-
ремы компенсации устремим
Д/?л- к dRk. Тогда реакции
будут dun, din, а дополни-
тельный (компенсирующий)
источник «доп = «к ча рисун-
ке 20.1 о стремится к dRkik-
По принципу пропорцио-
нальности, уменьшая зна-
чение напряжения источни-
ка (рис. 20.1л) в Л/?*, раз,
получим уменьшение всех ре-
акций тоже в Д/^ раз. При
стремлении ДЯ\- к dRk по-
лучим показанную на рисун-
ке 20.5л присоединенную
цепь для расчета ФАЧ.
Таким образом, исходная
ПЦдля расчета ФАЧ получа-
ется из исходной цени:
di к __ гтч
Исходная RLC-цепь
без источников
б)
*ДОН = ll*fc
Gk
1 г
__ rrf
+/ <к;к — г-
Исходная ЯЬС-цепь
без источников
_
-
d?,\ - 7«n-Cfc
Рис. 20.5
1. Исключением всех источников.
2. Включением дополнительного ИН «лог1 = 1г« последо-
вательно с сопротивлением Rk. Токи такой ПЦдают ФАЧ токов,
напряжения — ФАЧ напряжений.
Примечание. Кроме ФАЧ используются также функции относительной чув-
ствительности
о _ о/аих//них _ ™ Рк
!^х-Пк- dRk/Rk -
20.2.3. Получение ПЦ дифференцированием уравнений
Кирхгофа и Ома
Присоединенную цепь (рис. 20.5а) можно получить совершен-
но иным путем, не применяя теорему компенсации. Запишем
уравнения Кирхгофа и Ома исходной цепи (см. рис. 20.1а):
У7 = °> (20.9)
(Лп.ИН) (ИТ)
422
Основы теории электрических цепей
Uk + «ОА- = 0, (20.10)
'я-ит> (ин> к„ = (20.11)
В уравнениях ЗТК (20.9) первое слагаемое соответствует ал-
гебраическому суммированию в узле токов ИН и R-ветвей, под-
ключенных к узлу, а второе слагаемое — токов ИТ. Аналогичные
указания даны в уравнениях ЗНК (20.10).
Продифференцируем (20.9)-(20.11) по Rk, т. е. перейдем к
уравнениям ПЦдля расчета ФАЧ:
£ Tik_Rk+0 = 0, (20.12)
(Я„,ИН)
52 Т„,_л,+0 = 0, (20.13)
(Я..ИТ) (20.14)
причем в (20.12), (20.13) вторые слагаемые равны нулю, так как
в (20.9) токи ИТ iok, а в (20.10) напряжения ИН иок не зависят
от Rk.
ВЫВОД: в ПЦ все ИТ исходной цепи необходимо заме-
нить обрывом —2 холостым ходом, а все ИН исходной це-
пи — короткозамкнутым участком; ветви с резисторами Rn
(при п / к) неизменны, согласно (20.14).
Осталось среди уравнений (20.11) рассмотреть соответствую-
щее резистору Rk, т. е. уравнение ик = Rkik Дифференцируя
его по Rk, получим:
= Иц Чт НСГч-ъ = Тпк-П,. (20.15)
Таким образом, согласно (20.15) в ветвь с резистором Rk
в ПЦ необходимо последовательно включить дополнительный
ИН идоп = lifc, что и показано на рисунке 20.5а в 20.2.2.
20.2.4. Эквивалентность дуальных ПЦ,
составленных для расчета ФАЧ
на основании теоремы компенсации
Естественно, на основании дуальной теоремы компенсации мо-
жет быть составлена дуальная ПЦ для расчета ФАЧ:
1. Она формируется из исходной цепи путем исключения
всех источников;
Глава 20
423
'Г — р2т- Uaon = ~^к Р
Tife-Gfc ~ ^к^п ~ П>С(Р^ I 1
' ^к~ск = ~^к^ип-Пк ~‘Г
Исходная Я-цепь без источников
,^ln-Gk — RkTin-Rkf^Ly-
^un—Gk = ~^k'^un—Ric
Рис. 20.6
2. Параллельно резистору Rk (с проводимостью Gk) вклю-
чается дополнительный ИТ гдоп = 1ик; токи такой ПЦ, показан-
ной на рисунке 20.56, дают ФАЧ соответствующих токов Tin^Gk
к изменению проводимости Gk, а напряжения —ФАЧ TUn-Gk.
Перед доказательством эквивалентности ПЦ (рис 20.5а,б)
найдем связь между ФАЧ по сопротивлению и по проводимости:
Т, — С^1)ЫХ — ^вых _ рг^/вых _ О2гг
dGk ^dRk RkTf^-Rk.
Rk (20.16)
С учетом (20.16) преобразуем дополнительный ИТ
(рис. 20.56) к эквивалентному ИН идоп = ЯкЧоп = Rk^k = '
= R^itc и изменим его полярность, как показано на рисунке 20.6.
Изменяем напряжение ИН (рис. 20.6) в (-7?|) раз. По прин-
ципу пропорциональности все реакции изменятся во столько же
раз, т. е. переходим к исходной ПЦ, показанной на рисунке 20.5а.
20.2.5. Расчет ФАЧ динамических цепей
Аналогично п. 20.2.1 и рисунку 20.5а можно перейти к ПЦ для
расчета ФАЧ динамических цепей. В качестве исходных рас-
смотрим ПЦ, представленные на рисунке 20.3. При устремлении
&Lk к dLk и АС* к dCk получим искомые ПЦ, как показано на
рисунке 20.7а,6.
Таким образом, при расчете ФАЧ к изменению индуктивности
Lk следует (см. рис. 20.7а):
1 . Из исходной цепи исключить все источники.
2 В ветвь Lk последовательно включить дополнительный
ИН Шоп = ^Lk = uLk(t)/Lk. В случае расчета ФАЧ к измене-
нию емкости Ск (см. рис. 20.76) параллельно ветви Ск включают
424
Основы теории электрических цепей
дополнительный ИТ тдоп = = icJCk- В случае измене-
ния Rk в динамической цепи ПЦ составляется очевидным обра-
зом как комбинация схем, приведенных на рисунке 20.5 и 20.7.
Примечания:
1. Естественно, ключи и обобщенные функции (типа 8(t) и 8i(t)) исход-
ной цепи сохраняются и в ПЦ, хотя очевидно, что при ненулевых неза-
висимых начальных условиях расчет ФАЧ может быть непростым.
2. Полученные ПЦ непосредственно могут быть использованы также для
вычисления ФАЧ импульсных характеристик, передаточных функций и
частотных характеристик h(t) -? П(з) -i- к изменению любого
параметра N цепи (здесь N — это Rk или , и.ш Сь), т. е. для
расчета ФАЧ , втом числе с применением операторного
метода аналогично примеру I.
§ 20.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
АБСОЛЮТНОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
НА ОСНОВАНИИ ТЕОРЕМЫ ТЕЛЕДЖЕНА
20.3.1. Теорема Теледжена
У двух цепей с одинаковыми ориентированными графами рав-
на нулю сумма произведений напряжений ветвей одной цепи
(где k — номер элемента) на токи соответствующих ветвей
другой (или той же) цепи ikLL, т. е.
= ^Ukiiki = = 0, (20.17)
(") (n) (n) (n)
где n —число элементов.
Примечание. Последние 2 суммы в (20.17)— это известный баланс мощ-
ностей в цепи.
Глава 20
425
Рис. 20.8
ПРИМЕР 2. Рассмотрим 2 цепи (рис. 20.8а,б), одинаковый
ориентированный граф которых приведен на рисунке 20.8в.
На схемах цепей указаны также напряжения, токи и сопро-
тивления элементов.
Вычислим, например, первую сумму в (20.17): «пцц +
+ и21г2И + изРзи = 10 • 2 + 2(—2) + 8(—2) = 0.
Самый простой вариант доказательства (20.17) базиру-
ется на матричном соотношении
[У] = [И']т = [(D)( В)]т = [B]T[D]T, (20.18)
т. е. транспонированное произведение матриц [В] и [В] рав-
но произведению транспонированных матриц в обратной по-
следовательности.
Рассмотрим первую сумму в (20.17), рассматривая ее
как произведение матрицы-строки напряжений ветвей пер-
вой цепи на матрицу-столбец токов соответствующих ветвей
второй цепи: £._ |tl|]T|inL (20. ,9)
причем в (20.19) [ui]T = [un,«2i,---,«ni]>
• • • j ^nll] •
В соответствии с(19.5)
|ч] = ИУ](«У,| = (20.20)
где [Лу] — узловая матрица, которая согласно (19.6) рав-
на транспонированной структурной независимой матрице
[Л]; [uyj — матрица узловых напряжений первой цепи.
Подставив (20.20) в (20.19) и учитывая, что двойное транс-
понирование дает исходную матрицу, получим:
= (И]ТЫ)Т [fui = MWu] = 4-i]T[oi = М.
426
Основы теории электрических цепей
поскольку согласно п. 19.1.1 независимые уравнения ЗТК в
матричной форме соответствуют [Лп][г’п] = [0], а структуры
цепей одинаковы по условию теоремы, т е. [Л] = [Aj] = [Лп].
Примечание. Для пояснения (20.18) учтем, что в матрицах [V] и [IV] эле-
мент vnm, с одной стороны, может быть рассчитан по формуле vnrn =
— Wmn = ^dmkbkn< вытекающей из предпоследнего соотношения
в (20.18), а с другой стороны, из последнего соотношения в (20.18) следует,
что Vnm = ^bkndmk, т. е. то же самое (здесь dtnk и Ьк,ч — элементы
матриц [£>] и [В]).
20.3.2. Определение
ФАЧ выходного напряжения
на основании теоремы Теледжена
Рассмотренные ранее ПЦ позволяли определять ФАЧ всех ре-
акций к изменению только одного параметра цепи,например Rk-
На практике более важной является задача расчета ФАЧ одной
реакции /вых, но к изменению всех сопротивлений. Эту задачу
решает цепь, составленная на основании теоремы Теледжена.
Сконструируем ПЦтак, чтобы ее ориентированный граф со-
ответствовал графу исходной цепи и чтобы параметры цепей, по
возможности, совпадали.
Составим разность двух первых сумм.теоремы Теледжена
(20.17):
52 “ 52 = °’ (20.21)
где «“» — это символ ПЦ.
Примечание. В (20.21) каждая из сумм сама по себе тоже равна нулю, что
справедливо и для двух следующих соотношений.
Допустим, сопротивление Rk цепи изменилось на dRk-
Тогда напряжения и токи исходной цепи тоже изменились, и
вместо (20.21) можем записать
52(и* + du-kytk ~ J2Gfc + dikfok = 0. (20.22)
Вычитая (20.21) из (20.22), переходим к так называемому
уравнению чувствительности:
52 dukik ~ J2 dik^k = 0. (20.23)
' Рассмотрим по отдельности составляющие уравнения (20.23)
для каждого элемента, обозначив их символом Д.
Глава 20
427
1. У ИН имеем .
Лин = ««ИН?ИН - Л’ин^ин = О,
поскольку мии от Rk не зависит (т. е. rfuHH = 0), а в ПЦддя
упрощения принимаем йцц = 0, что соответствует исключению
ИН в I III, как и в теореме компенсации.
2. У ИТ имеем .
Лит = «МЦТ^ИТ — «*ИТ«ИТ = 0,
поскольку гН!1 от Rk ис зависит (т. е. <2г'ин = 0), а в ПЦдля
упрощения принимаем гит = 0» что соответствует исключению
ИТ в ПЦ, как и в теореме компенсации.
3. У резистора Rn (при п к)
&Rn dUnln difiUn = Rn dintfi dinRnln ~ 0,
поскольку для упрощения ПЦ следует принять Д, = Лп,.как и
в теореме компенсации.
4. Осталось рассмотреть изменяющийся резистор Rk:
&пк = dukik - dikuk-,
с учетом duk = d(Rkik) = dRkik+Rk dik и при выборе Rk = Rk
получим
Ащ. = dRkikik 4- Rkdikik — dikRkzk = dRkikik 0, (20.24)
если в (20.24) гк 0.
Примечания:
1. ik 0, если в ПЦ будет введен дополнительный источник (которого
там пока нет).
2. Результат (20.24) вступает в противоречие с (20.23), которое необходи-
мо устранить.
Поэтому в рассмотрение необходимо ввести еще один эле-
мент, который не искажает исходную цепь, обеспечивает нуль
в (20.23) и в явной форме учитывает исследуемую реакцию, т. е.
/вых = «вых в данной задаче.
5. Параллельно элементу, реакция которого (напряжение
мвых) анализируется, в исходную цепь вводим дополнительный
элемент — XX, а в ПЦ — дополнительный ИТ гдоп = 1- Тогда
составляющая (20.23) для этого элемента будет
Лдоп = ^«донАдоп ДОП «ДОП = ^«ДОП = ^«ВЫХ, (20.2о)
поскольку (2гЛоп = 0 вследствие «холостого хода».
428
Основы теории электрических цепей
С учетом (20.24), (20.25) уравнение чувствительности (20.23)
имеет вид д^ + Ддод _ dRkikik + dunux = 0,
так как «доп = «пых • Следовательно, искомая ФЛЧ записывается
как </«вых _ • ~
^2^ — гйгк — Гцып-Rk’ (20.26)
Таким образом, для вычисления ФАЧ выходного напряжения
к изменению любого из резисторов Rk следует:
1. Из исходной цепи исключить все источники.
2. Параллельно «клеммам» (выводам) цвых в ПЦ ввести
ИТ /доп — 1 и произвести расчет по формуле (20.26).
Примечание, используя формулу связи ФЛЧ (20.16), можем записать
TU|M1,-Gfc = -HkTUlulK-Rk = -Rk (-Ч-Ц-) = ukiik.
20.3.3. Определение ФАЧ выходного тока
на основании теоремы Теледжена
Если реакцией является выходной ток /вых = ?вых, то эле-
ментом, который не изменяет исходную цепь, является корот-
козамкнутый элемент, который «включается» последовательно
в ветвь, где протекает ток гВых- В эту же ветвь в ПЦ включаем
дополнительный ИН йдоп = 1.
Уравнение для дополнительного элемента имеет вид
ДдОП = (/«ДОп/доИ ~ (//доп«ДОП = ~(//дОП = —(//вых» (20.27)
поскольку (/иЛОп = </«кз = 0-
С учетом (20.27) и (20.24) общее уравнение чувствительно-
сти (20.23) будет
.... Ддоп + &Rk = —(//вых + dRkik7.k = 0,
откуда ФАЧ di
(20.28)
Таким образом, в ПЦ для расчета ФАЧ:
1. Должны быть исключены все исходные источники.
2. В ветвь, соответствующую /вых, последовательно вводят
ИН йдрп = 1‘, вычисления проводят на основании (20.28).
Примечание. Используя формулу связи ФЛЧ (20.16), можем записать •
'Дшх-Gfc = -^Tiw-Rk = -икйк.
Глава 21
РЕЛЕЙНЫЕ
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ
ЦЕПИ
§21.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
21.1.1. Особенности процессов
в релейных цепях
Релейным элементом (РЭ) называют нелинейный активный эле-
мент электрической цепи (управляемый источник), у которого
связь между выходной переменной y(t) и входным (управляю-
щим) сигналом а?(4) описывается характеристиками, показан-
ными на рисунке 21.1, т. е. при прохождении входным сигна-
лом x(Z) некоторого порогового значения (d, b) выходная ве-
личина ?/(£) скачком переходите одного фиксированного уровня
на другой. Из вида характеристик очевидно, что РЭ является
элементом нелинейным.
На рисунке 21.1а приведена характеристика идеального РЭ
с нулевым порогом срабатывания, на рисунке 21.16 — ха-
рактеристика РЭ с гистерезисом (величины 2d), на рисун-
ке 21.1я — РЭ с зоной нечувствительности (величины 2d), на
рисунке 21.1г — РЭ с зоной нечувствительности и гистерезисом
(d - b). Существуют и более сложные виды характеристик РЭ,
в том числе несимметричные (смещенные вдоль оси абсцисс или
ординат).
Рис. 21.1
430
Основы теории электрических цепей
Цепь, содержащая хотя бы один РЭ, называется релейной
цепью (РЦ).’Релейные цепи являются распространенным клас-
сом нелинейных цепей.
Если на вход РЭ подан, например, сигнал x(t) синусоидаль-
ной формы, амплитуда которого превышает порог срабатыва-
ния d, то сигнал на выходе РЭ будет представлять собой перио-
дическую последовательность знакопеременных прямоугольных
импульсов с амплитудой ут, чередующихся — в случаях, рас-
смотренных на рисунке 21 Ла,б, — без пауз (пример такого сиг-
нала показан на рисунке 21.2а), а в случаях, приведенных на
рисунке 21.1 в,г, — с паузами.
t
~ J" Ут
О
В релейных цепях ярко выра-
жена одна из присущих нелиней-
ным цепям характерных особен-
ностей: при отсутствии внешних
воздействий (т. е. в свободном
режиме) в них могут возникнуть и
установиться незатухающие пе-
риодические колебания, которые
называют автоколебаниями (АК).
Действительно, пусть, на
выходе РЭ с гистерезисом
(рис. 21.16) формируется сиг-
нал y(t), показанный на рисун-
ке 21.2а. Если этот сигнал по-
дается на вход, например, иде-
альной интегрирующей цепи с
инверсией знака, а сигнал с вы-
хода этой цепи при 0 < t < Т/2
соответствует
• + С = —ymt + С,
где С постоянная интегрирования, в свою очередь является
входным сигналом x(t) = z(t) для РЭ,то z(t) = -у,nt+C, убы-
вая, обязательно достигает порога «-d». При этом РЭ «сра-
ботает» в обратном направлении, т. е. при Т/2 < t < Т будет
У(0 = ~Ут и, следовательно, на выходе интегрирующей цепи
(с учетом инверсии знака) начнется рост значений x{t).
Г лава 21
431
При достижении x(t) порога «ч-d» РЭ «сработает» в пря-
мом направлении, т. е. y(i) = +ут и процесс будет повторяться
с некоторым периодом Т.
В общем случае, для произвольных характеристик нелиней-
вых элементов, зздзчз точного энзлитического рэсчетэ эвтоко-
лсбательного процесса (периода Т, формы колебаний) очень
сложна. Однако в случае РЦ с простой формой АК на входе
РЭ, показанной на рисунке 21.2а, задача может быть решена
с требуемой точностью при использовании известных методов
теоретической электротехники: метода выделения свободной со-
ставляющей, применяемого при точном расчете установивше-
гося периодического режима, и методов решения нелинейных
функциональных уравнений.
Примечание. В практике расчета параметров АК'широко используются и
сугубо приближенные методы, некоторые черты которых аналогичны методу
гармонического баланса по первой гармонике при анализе установившегося
периодического режима в нелинейных цепях.
21.1.2. Исходные
соотношения и допущения
Рассмотрим РЦ, схемы которых могут быть приведены к экви-
валентным структурам с выделенными РЭ и линейной частью
ЛЧ, как показано на рисунке 21.26, где fBx(0 воздействие,
-г(0 = /пых(0 — реакция цепи; 52 — сумматор, реализованный,
например, на идеальном операционном усилителе (ОУ), осуще-
ствляющий операцию x(t) = fex(i) + z(t)-
Для-режима автоколебаний в РЦ структуру можно упро-
стить, считая /вх(0 = как показано на рисунке 21.2в. При
этом передаточная функция ЛЧ имеет приведенный вид
. . _ b,nsm + •• + bis + bQ _
sn+ an-isn-1+ --- + ais + aQ
~ П^Ц’’ (2L1)
n(s-Sfc)
(n)
т. е. считаем всегда коэффициент ап = 1, а знак «минус» вносим
в полином B(s).
Для простоты изложения методики расчета автоколебании
предположим:
432
Основы теории электрических цепей
1. Что в ПФ (21.1) обязательно реализуется инверсия знака.
2. В ПФ (21.1) т < п, т. е. степень числителя меньше
степени знаменателя и для ЛЧ переходная характеристика (ПХ)
hi(t) является непрерывной функцией.
3. Полюсы sjt ПФ (21.1) считаем простыми (некратными) и
ненулевыми.
4. Характеристика РЭ симметрична и соответствует рисун-
ку 21.2а,б.
Указанные ограничения (допущения) не являются принципи-
альными и при необходимости могут быть сняты.
§ 21.2. АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ
В ПРОСТЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
РЕЛЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
21.2.1. Расчет автоколебаний
в случае идеального РЭ без гистерезиса
Предположим, что в РЦ(см. рис. 21.1 в) возникают автоколеба-
ния (см. рис. 21.2а) с неизвестным периодом Т = 2Tq , обладаю-
щие в силу симметрии цепи следующим свойством:
x(t) = -x(t±T0), y(t) = -y(t±T0), (21.2)
где То = 0,5Т — неизвестный искомый полупериод АК: при
этом (21.2) объясняется нечетно-симметричной характеристи-
кой как идеального РЭ(см. рис. 21.1а), так и ЛЧ (21.1).
Пусть выходная переменная РЭ следующая:
T0<<t<<2T0=T, (2L3)
причем в (21.3), в отличие от рисунков 21.1,21.2а, осуществлена
нормировка по высоте (ут. = 1), а параметр ynt может быть
отнесен как коэффициент к ЛЧ.
Из анализа характеристики идеального реле (рис. 21.1а) и
процесса на его выходе (рис. 21.2а) вытекают условия сраба-
тывакняРЭ: 40)_0> 1'(0-)>о,
х(Го)=О, х'(Го-)<О. ( '
Цель расчета — найти полупериод АК, а затем их аналитиче-
ское описание внутри полупериода при 0 < t < Tq.
Глава 21
Предположим, что в отличие от рисунка 21%,™ ’
и«) = 0 при ( < 0. Записываем его н^же^е „0^“
(5)-ГГ^Тг’ (21.5)
причем в (21.5) Г1(5) 4- m(t) - описание условного первого
импульса такого квазипериодического сигнала y(t) в интервале
первого периода при 0 < t < Т = 2Т0. В нашем случае
2/1 (0 = [51 (0 -2Si(t- То) + (t - 2Т0)] ~ Vi(s) =
откуда получаем
у л.\ _ _______^1(5)_________1 - е sT°
(1 -e-*To)(l + e-sr<>) ~ s (1 + e-sT0) > (21-6)
т. е. нечетко-симметричный сигнал (21.2) согласно (21.6) доста-
точно рассматривать на интервале полупериода 0 < t < То, как
и указано в цели расчета.
Полная реакция JI4 согласно рисунку 21.2в и ПФ (21.1)
будет
= ВД(1-е~аГо) z2. 7)
(П)
Аналогично методу выделения свободной составляющей
раскладываем (21.7) на сумму двух составляющих:
-Yn(s) = A'n.ctXs) 4- Хп.вып(0 = У? s- Sk + 1 +e“sT(> ’
(")
причем в (21.8) изображение свободнойсоставляющей Агп.св(«)
определяется разложением (21.7) на сумму дробей по полю-
сам sk ПФ (21.1), а изображение вынужденной составляющей
Xn.Bbin(s) «обязано» иметь математическую форму условного
дляЛЧ воздействия (21.5), (21.6). При этом At(s)4-xi(/) ис-
комое описание вынужденных периодических ЛК на входе РЭ
в интервале 0 < t < То, т. е. в этом интервале искомое
x(t) =
15-1810
434
Основы теории электрических цепей
Находим коэффициенты Ak (вычеты в полюсах з^):
Ak =
lini (з - a*.)Xn(s) —
s—».«fc
= lim
s-*-*•*.•
s (1 4- е~'“г°)
= АМ),
(21.9)
т. e. коэффициенты yljt в (21.9) зависят от искомого полупериода
АКТ0.
Зная (21.7) и свободную составляющую в (21.8), определяем
Х1(з) = [Х„(з) - Хп.св(з)] (1 + e~sT°) =
= (! - (1 + с-^) (21.10)
(»)
Учитывая, что рассматриваемый интервал 0 < t < 7Ь,
выражение (21.10) можно упростить:
X1W=*W_£_^. (21.11)
3 S~Sk
(”)
Первое слагаемое в (21.11), являющееся изображением пе-
реходной характеристики ЛЧ, тоже раскладываем на сумму про-
стейших дробей:
Н1(з) = = + ^2 JL_. (21.12)
• з з f-' з - 3fc
С учетом (21.12) записываем (21.11) в виде
ВД = ^ + Е(^А). (2113)
(n) S Sfc
Применяем к (21.13) теорему о начальном значении ориги-
нала:
Ж1(о) = М sX1(s) = -£>fc(To) = О, (21.14)
(«)
где учтено:
1. В интервале 0 < t < Го искомая переменная x(t) = xi(t). •
2. По условию срабатывания (21.14) у идеального РЭ
®(0) = 0. '
3. По второму допущению из п. 21.1.2 ПХ непрерывна, сле-
довательно, /ц(0) = 0 = Во + £(п) Вк.
Г лава '2!
43.
Итак, для расчета полупериода ЛК в РЦ с идеальным
(ИФУ) 0ЛИМ° Ре111ИТЬ Нелинейное ФУикциоиальное уравнение
= - 52Дк(То) = 0, (21.15)
(п)
причем Л*.(7'о) в (21.15) записываются согласно (21.9).
Для определения То используют описанные, например, в
теории нелинейных цепей методы решения НФУ. В частности,
при получении исходного приближения для значения То мож-
но решить (21.15) графически. Найдя То, далее вычисляют со-
гласно (21.9) коэффициенты и записывают на основании (21.13)
оригинал искомого описания АК в интервале 0 < t < То:
x(t) = .г-1(() = До + ~ Ak}eSkt. (21.16)
(п)
Затем строят график (21.16) и проверяют согласно (21.4)
контрольные точки: х(0) = х(Т0) = 0, ж'(ТЬ-) < 0. После это-
го периодически продолжают график для остальных значений t,
используя свойство (21.2).
21.2.2. Особенности расчета автоколебаний в случае
релейной характеристики с гистерезисом
В данном случае в схеме РЦ, изображенной на рисунке 2!.2в,
РЭ имеет характеристику, показанную на рисунке 21.16 в пред-
положении нормированного значения ym = 1. Методика расче-
та ЛК в основном соответствует описанной в п. 21.2.1. Отметим
лишь некоторые отличия.
Изменяется условие срабатывания РЭ (21.4):
ж(0) = d,
х(Т0) = -d,
:г'(0-) > 0;
х'(Т0) < 0,
(21.17)
поскольку порог срабатывания определяется величиной гисте-
резиса релейной характеристики d.
Примечание. При необходимости здесь также может быть использовано
масштабирование. В случае выбора единичного нормированного значения
порога d. = 1 параметр d можно «отнести» к ЛЧ путем уменьшения в d
раз ПФ H(s).
Из анализа (21.17) также следует физическая трактовка воз-
никновения АК в данном случае: чтобы сигнал ,т(() на выходе
436
Основы теории электрических цепей
ЛЧ (т. е. сигнал на входе РЭ) в некоторый момент (называе-
мый моментом переключения или срабатывания) достиг порога
срабатывания d, модуль переходной характеристики |fti(t)| ли-
нейной части в некотором интервале времени должен превышать
значение d.
Поскольку сигнал на выходе РЭ в рассматриваемом случае'
удобно принять полностью соответствующим рисунку 21.2а, ме-
тодика расчета АК подобна изложенной в п. 21.2.1. Отличие ка-
сается НФУ (21.14), (21.15), которое на основании (21.17) имеет
ВНД Г(То) = -^Лл.(То) = </, (21.18)
(«)
г. е. методы решения (21.18) и (21.15) аналогичны.
21.2.3. Пример расчета параметров автоколебаний
Пусть РЭ с гистерезисом (см. рис. 21.16) имеет полностью нор-
мированную характеристику ут = 1, d — 1. Схема цепи со-
ответствует рисунку 21.2в; причем схема линейной части приве-
дена на рисунке 21.3а. Необходимо определить ПФ ЛЧ и найти
параметры А К. т. е. полупериод То и описание А К на выходе Л Ч
x(t) в интервале полупериода 0 < t < Tq.
Используя формулу «решающей схемы» на идеальном ОУ
находим ПФ ЛЧ (как отношение проводимостей — входной и
обратной связи):
H(s) = Yi = ~2
Vo(s) Gq + Ggs s 4- 1 ’
Рис. 21.3
Глааа 21
437
причем П X Л Ч 1Ц (s) — H(s)/s + hi(t) = —2 + 2с ‘по модулю
|/ii(i)| > d — 1, т. е. превышает порог срабатывания на значи-
тельном интервале времени I (при t > In2); следовательно. ЛК
возможны.
На основании (21.7) записываем полную реакцию ЛЧ на сиг-
нал, показанный на рисунке 21.2а (в предположении j/(t) = О
при КО):
X„(s) = H(s)Y(s) =
= -2(1-«~*Го) = Л, Х,(з)
(s + l)s (1 + e~aTo) з+11+ e~sT° ’
где 2 (1 - eTo'l
Ai= lim (s + l)Xn(s) = 4——2 = л1(т0). (21.19)
Описание полупериода ЛК
Л1 1 Z, . -,Тп\ _
X.(s)= Хп(з)-
s + 1
которое с учетом рассматриваемого интервала 0 < t < То
упрощаем:
_ ~2 _ Л< _ 2 ~Л1
(в + 1)в 8+ 1 8 8+1
откуда искомый оригинал будет
x(t) = ц(0 = -2 + (2 - Ai)e-f. (21.20)
На основании условия переключения (21.17) записываем
НФУ (21.18):
х(0) = d = 1 = - Al = (21-2I)
НФУ (21.21) решается в радикалах, т. е. точно. При замене
ет° = z. получим -2(1 - z)/{\ + z) = 1. откуда z = 3.
следовательно, полу период ЛК будет То - In 3.
438
Основы теории электрических цепей
Далее на основании (21.19) находим Л{ = -1 (хотявданной
простой цепи первого порядка это очевидно следует из (21.21)).
Затем по формуле (21.20) определяем x(t) = -2 + Зе_< при
0 < t < То = 1пЗ.
Контрольные точки
х(0) = 1 = d, х(Т0) = -1 = —d, x'(t) = —Зе~‘,
х'(Т0~) = -Зе",п3 = -1 < 0,
соответствуют (21.17), т. е. полученное решение соответствует
условиям переключения РЭ с гистерезисом.
График процесса АК показан па рисунке 21.36 в интерва-
ле периода Т = 27о = 21пЗ. Как видно, в данном простом
примере сигнал па выходе ЛЧ не выходит за пределы порога
срабатывания ±d= ±1.
Глава 22
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
ПРИ ПОСТОЯННЫХ
МАГНИТНЫХ ПОТОКАХ
- § 22.1. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
И ФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
22.1.1. Исходные понятия
а)
Магнитной цепью (МЦ) называют совокупность устройств, со-
держащих ферромагнитные тела, которые служат для сосредо-
точения в них магнитного потока. Ферромагнитные материалы
обладают большой магнитной проницаемостью /х, которая непо-
стоянна, поэтому МЦ являются классом нелинейных цепей.
Существуют МЦ с постоянными маг-
нитами. В других МЦ магнитный поток со-
здается током обмотки на ферромагнитном
сердечнике. МЦ называют однородной, ес-
ли вся она выполнена из одного я того же
ферромагнитного материала. Если МЦ со-
стоит из материалов с различными магнит-
ными свойствами, в том числе воздушных
зазоров, то ее называют неоднородной.
Магнитную цепь называют неразветв-
ленной, если во всех ее сечениях магнитный
поток одинаков, и разветвленной, если в се-
чениях разных участков магнитный поток
различен. Примеры МЦ (без указания об-
моток с током) приведены на рисунке 22.1.
Магнитные цепи на рисунке 22.1л (изме-
рительный прибор — амперметр) и рисун-
ке 22.16 (реле на ферромагнитном сердеч-
нике) являются’неразветвленными, а МЦ,
показанная на рисунке 22.1 в (трансформа-
тор),— разветвленная МЦ.
Рис. 22.1
440
Основы теории электрических цепей
22.1.2. Основные законы магнитных цепей
При анализе ЛЩ исходными являются 3 следующих закона.
I. Магнитный поток Ф вектора магнитной индукции В че-
рез замкнутую поверхность S равен нулю:
Ф = У^</5 = 0, (22.1)
т. е. (22.1) отражает принцип непрерывности и замкнутости ли-
ний вектора В. Размерность Ф в (22.1) — веберы (Вб), В —те-
сла (Тс), S — квадратные метры (м2).
2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Й
по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охва-
тываемых этим контуром:
У Й dl = 22 (22.2)
причем эту'сумму токов часто называют намагничивающей си-
лой или магнитодвижущей силой (МДС). Размерность МДС
в (22.2) — амперы (А), I — метры (м), а, значит, размерность
[Я] — А/«- Физическая трактовка (22.2): наличие тока в катуш-
ке приводит к созданию вектора Й.
3. Связь между векторами магнитной индукции и напряжен-
ности магнитного поля определяется формулой
В = цаЙ, (22.3)
причем в (22.3) да = ццо — абсолютная магнитная проницае-
мость материала; до = 4тг • 10-7 Гн/м — магнитная постоянная;
д — относительная магнитная проницаемость материала (без-
размерная величина), которая показывает, во сколько раз уве-
личивается магнитная индукция В в данной среде по сравнению
с вакуумом при одинаковых значениях Й (у вакуума дпак = 1,
Да.вак = До )•
Примечание. В отличие от (22.3) направления векторов В и Н не совпа-
дают в так называемых анизотропных материалах, в которых величина fl,
зависит от направления вектора П.
Для примера рассмотрим показанный на рисунке 22.2а то-
роидальный сердечник, на который намотаны 2 катушки с тока-
ми й и i2> Я1, N2 числа витков катушек, S — поперечное
Глава 22
~ 441
Рис. 22.2
сечение сердечника, I показанная пунктиром длина замкнуто-
го контура интегрирования применительно к (22.2), на котором
стрелками указаны условно положительные направления век-
торов Н и В. Знак тока г*., в (22.2) определяется по правилу
правого винта относительно принятого условно положительного
направления вектора Н.
В данном примере направления согласованные, поэтому вы-
полняется
4- 7*2 = Мм + Мг2’
22.1.3. Основная кривая
намагничивания ферромагнитных материалов
Зависимость В(Н) у ферромагнитных материалов двузначна и
имеет петлю гистерезиса (т. е. различные характеристики пря-
мого и обратного хода), как показано на рисунке 22.26. При
H'(t) > 0 магнитная индукция В изменяется по нижней части
петли, а при убывании напряженности (Н' < 0) — по верхней.
Шириной петли гистерезиса принято считать 2ЯК. где Нк —ко-
эрцетивиая сила, т. е. то значение Н, которое необходимо, чтобы
довести до нуля магнитную индукцию В, если в предварительно
намагниченном веществе остаточная индукция равнялась Bq.
Ширина петли гистерезиса 2ЯК зависит от максимальной
напряженности Нт, свойств ферромагнитного материала и ско-
рости с которой снимается характеристика. Поэтому для
расчета МЦ при постоянных магнитных потоках петлю гисте-
резиса при заданном Нт снимают при очень медленном изме-
нении Н (чтобы скорость Н' не влияла). Необходимо также
учесть, что для перехода на установившуюся петлю гистерезиса
442
Основы теории электрических цепей
нужно совершить несколько циклов перемагничивания (см. на
рисунке 22.26 показанный пунктиром переход на малую петлю).
• Материалы с широкой петлей гистерезиса (Нк > 4000 А/м)
называют магнитотвердыми и используют для создания посто-
янных магнитов, так как у них остаточная индукция Во очень
велика (сплав Al-Ni-Co). Материалы с узкой петлей гистерези-
са (Як < 200 а/м) называют магнитомягкими и используют при
переменных магнитных потоках (например, в трансформаторах,
чтобы нелинейность характеристики и потери на гистерезис вли-
яли мало). Таким образом, индукция является сложной функци-
ей многих переменных В = В(Н, Нт, Я', sign (//'); #к, Я(0)),
которая не имеет аналитического описания.
Если для большого числа Нт по-
строить семейство установившихся пе-
тель гистерезиса при медленном перемаг-
ничивании, то вершины этих петель рас-
положатся на кривой, которую называют
основной кривой намагничивания ферро-
магнитного материала (см. рис. 22.2в) и
приводят в справочниках. Эта нечетно-
симметричная нелинейная характеристи-
ка в основном и используется в случае
расчета МЦ при постоянных магнитных
потоках.
Абсолютная магнитная проницаемость
д = В/Н, естественно, также являет-
ся функцией многих переменных (т. е. для
разных петель и условий она различна).
Если в среднем оценивать да по основ-
ной кривой намагничивания (ОКН), за-
висимость да(Я) имеет вид, показанный
на рисунке 22.3п, причем при II —> оо
относительная магнитная проницаемость
д = Да/До -+1 •
Как известно из курса физики, обыч-
но используют следующую трактовку ви-
да характеристик В(Н). Считают, что
ферромагнитный материал состоит из
микрообластей (доменов) с сильным
Глав а 22
443
самопроизвольным намагничиванием ВЛ, причем векторы
этих микрообластей ориентированы хаотично друг относительно
друга. Под действием напряженности внешнего магнитного по-
ля Н векторы ориентируются по направлению Н. Степень
ориентации зависит от значения Н. При достаточно больших И
все векторы ВЛ доменов оказываются направленно ориентиро-
ванными — наступает «насыщение» характеристики В(Н), т. е.
при дальнейшем увеличении II приращение индукции Д& л
~ Ма.взкДЯ аналогично приращению в вакууме (точнее— в воз-
духе). Это явление переориентации доменов обладает инерци-
онными свойствами, поэтому характеристика обратного хода на
рисунке 22.26 имеет иной вид (как бы запаздывает). При
уменьшении Н до нуля в ферромагнитном материале оста-
ется превалирующее влияние направленной ориентации до-
менов—остается остаточная индукция Bq. Это свойство
у магнитотвердых материалов и используется для создания
постоянных магнитов.
Абсолютные магнитные проницаемости воздуха и вакуума
обычно считают одинаковыми (^а.воз ~ Да.вак)- Но в ферро-
магнитных материалах создается очень большая дополнитель-
ная составляющая индукции от направленной ориентации доме-
нов, обладающих значительными Вл. В результате В возрастает
во много раз в сравнении с воздухом. .
§ 22.2. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ
РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ
22.2.1. Исходные допущения
Расчет МЦ базируется на формулах (22.1)—(22.3), причем в них
используются скалярное произведение векторов (результирую-
щая скалярная величина равна произведению модулей векторов
и косинуса угла между ними).
На практике с учетом ряда допущений вместо (22.1)—(22.3)
используют более простые выражения.
1. Считают, что вектор В одинаков во всех точках по-
перечного сечения Sk материала МП и перпендикулярен се-
чению, как условно отражено на рисунке 22.36, где показана
часть МЦ. Тогда от скалярного произведения векторов BdS =
= BdScos(B Л dS) переходят к скалярному произведению
444
Основы теории электрических цепей
скалярных величин и определяют магнитный поток ФА. через
поперечное сечение следующим образом: .
Ф* = BkSky (22.4)
хотя на самом деле, в отличие от (22.4), вектор индукции В все
же неодинаков по сечению и не перпендикулярен ему.
2. Интеграл от Нзаменяют ^,Hklky считая, что вектор
напряженности Н совпадает по направлению с контуром инте-
грирования. На самом деле направление Н совпадает с линией
вектора Н, а за контур интегрирования I обычно берут сред-
нюю длину МП, т. е. считают, что контур I проходит по цен-
трам поперечных сечений МЦ, как отражено на рисунке 22.3в,
где показана схематично часть МЦ. С учетом этого допущения
вместо (22.2) записывают
= <22-5>
причем в (22.5) обычно обозначают Hklk = Vk и называют раз-
ностью магнитных потенциалов, или магнитным напряжением
участка lk цепи. Итак, вместо (22.5) и (22.2) имеем
= = (22.6)
следовательно, согласно (22.6) алгебраическая сумма магнит-
ных напряжений в некотором контуре МЦ равна алгебраиче-
ской сумме токов, охватываемых этим контуром, т. е. суммарной
намагничивающей силе.
3. Считают, что векторы,магнитной индукции В и напря-
женности магнитного поля Н совпадают по направлению и их
связь определяется ОКН (что, как указано в § 22.1, несправед-
ливо как в отношении анизотропных материалов, так и — петли
гистерезиса). Итак, вместо (22.3) записывают
В = (22.7)
причем в (22.7) абсолютную магнитную проницаемость рассчи-
тывают по ОКН.
4. Вне МЦ магнитным потоком пренебрегают, т. е. считают
нулевым в практических расчетах (поскольку у ферромагнитного
материала Мф/м д803 и магнитный поток в основном сосредо-
точен в МЦ, это напоминает пренебрежение потоками рассея-
ния при анализе свойств совершенного трансформатора в § 9.3).
Глава 22
• ----------------------------445
С учетом этого допущения и (22.1) делают вывод, что магнитный
поток на всех участках неразветвленной МЦ одинаков а в раз-
ветвленной МЦ сумма магнитных потоков Фг„, «входащих» в
место разветвления, равна сумме потоков ФЛвых, «выходящих»
из него, т. е.
52 ф*вх = 52 ф*вых, (22.8)
причем форма (22.8) аналогична уравнениям ЗТК электрических •
цепей.
5. Указанные допущения касаются и расчета воздушных
зазоров (участков МЦ), где, строго говоря, линии вектора В
не являются параллельными, как условно пунктиром показа-
но на рисунке 22.3г. Однако в большинстве случаев зазоры в
МЦ(см. рис. 22Ла,б) конструктивно очень малы; поэтому в них
лилии вектора В считают практически параллельными, а пло-
щадь поперечного сечения МЦ в воздушном зазоре Se/3 считают
практически равной площади поперечного сечения «подходяще-
го» к зазору участка МЦ из ферромагнитного материала 5ф/м,
1. с. rS'y/j ~ 5ф/м.
Примечание. Подавляющее число этих допущений используется при
расчете МЦ, состоящих из магнитомягких материалов с узкой петлей
тстерезиса и имеющих минимальные воздушные зазоры; в конкретных
ситуациях (например, при расчете МЦ из магнитотвердых материа-
лов или при наличии больших воздушных зазоров) используют только
часть допущений.
22.2.2. Аналоги законов Кирхгофа
при расчете магнитных цепей
Если указанные в п. 22.2.1 .допущения приемлемы, то рас-
чету МЦ можно сопоставить расчет электрических цепей.
Наблюдается определенная математическая аналогия (по-
добие): току ik электрической цепи сопоставляется поток
в магнитной цепи, напряжению ик — магнитное напря-
жение Vk, источнику постоянного напряжения иок на-
магничивающая (магнитодвижущая) сила обмотки с гоко
Fk = Nkik.
Действительно, аналог первого
разветвления МЦ ^Ф^вх = £фк-
закона Кирхгофа (22.8) для
вых подобен по форме урав-
нению ЗТК 52Двх = Ен-вых Для У3ла-
446
Основы теории электрических цепей
Аналог второго закона Кирхгофа (22.6) для любого кон-
тура МЦ Е К- = подобен ЗНК Ew* = и фор-
мулируется следующим образом: в замкнутом контуре МЦ
алгебраическая сумма магнитных напряжений равна алге-
браической сумме намагничивающих сил, каждая из которых
определяется как сумма токов (намотанных на МЦ катушек),
охваченных этим контуром. Правила знаков: магнитное на-
пряжение Vk «берут» со знаком «плюс», если обход контура
соответствует направлению вектора Н; намагничивающую
силу Fk учитывают со знаком «плюс», если обход контура
соответствует правилу правого винта относительно заданно-
го направления тока катушки г*, (или, что то же, направление
тока соответствует правилу правого винта относительно об-
хода). Выбор условно положительного направления Н на
участке МЦ, где отсутствует катушка с током, может быть
произвольным. Рекомендуется направление Н согласовы-
вать с током одной из катушек, а условно положительные
направления И, Ф, В, Н считать согласованным (кроме маг-
нитотвердых материалов, у которых рабочие точки находятся
во втором и четвертом квадрантах петли гистерезиса).
Составим аналог закона Ома для участка МЦ. У электриче-
ской цепи имеем ик = Rkik, а у магнитной цепи
т/ _ гг j Rk^k Фк^к
Vk = Нк1к = -----= ;
P-zk ‘Jkfhk
следовательно, можно записать аналог закона Ома для МН
= ЯмкФк'
(22.9)
причем в (22.9) магнитное сопротивление
ЬкЦак
(22.10)
будет пропорционально длине участка МЦ и обратно пропор-
ционально площади сечения и абсолютной магнитной прони-
цаемости. В (22.10) наблюдается аналогия* с сопротивлени-
ем реальною проводника, которое пропорционально его длине
Г лава 22
и обратно пропорционально площади попСр«„ого сетения „
удельной электропроводности проводника
Примечания:
1. Из-занелинейности р3 мапипное сопротивление (22.10) тоже вели-,
2. Поскольку рвоз « мо « /хф/м, то в МЦобычно R. > р ,
т. е. магнитное сопротивление воздушных зазоров обышюХляется наи-
большим в МЦ и линейным: >
р _ 1в/э
“м.в/з — •
<22.111
ВЫВОД', расчет МЦ при постоянных магнитных потоках по-
добен расчету нелинейных Я-цепей, находящихся под дей-
ствием источников постоянных напряжений.
§ 22.3. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ
22.3.1. Прямая задача
расчета неразветвленной МЦ
Пусть дана МЦ (т. е. известны Ik, Sk, Hak всех ее участков) и
требуемый магнитный поток Ф. Необходимо найти намагничи-
вающую силу и ток г в обмотке, который обеспечивает данный
поток (предполагается, что число витков N обмотки известно).
Эта задача подобна задаче анализа последовательной элек-
трической цепи, если заданы ток, вольт-амперные характери-
стики (ВАХ) всех резистивных нелинейных элементов (НЭ) и
требуется найти напряжение источника. Очевидно, прямая за-
дача анализа МЦ аналогична обратной задаче расчета электри-
ческой цепи.
В качестве примера неразветвленной МЦ рассмотрим ри-
сунок 22.4а (электромагнитное реле), где 1к и Sk длины и
площади поперечных сечений участков МЦ, /в/3 — величина
воздушного зазора.
При решении прямой задачи можно обойтись без графиче-
ского суммирования характеристик участков МЦ.
1. По заданному потоку Ф определяют индукцию на всех
участках неразветвленной МЦ: Вк = $/Sk.
2. По кривой намагничивания В(Н) определяют напря-
женность Нк каждого участка. Для воздушного зазора она
^в/з ~ ^в/з/•
Основы теории электрических цепей
448
в)
3. Находят магнитное напряжение каждого участка: Vk =
= Hklk.
4. Находят намагничивающую силу обмотки с током:
Fe = EV4.
5. Определяют ток обмотки: г = F^/N.
22.3.2. Обратная задача
расчета неразветвленной МЦ
Даны параметры МЦ (lk, Sk, цак), ток г и число витков N
обмотки. Требуется определить магнитный поток Ф (см. пример
на рис: 22.4а).
Эта задача аналогична прямой задаче расчета электрической
цепи: даны ВАХ нелинейных Я-элементов, соединенных После-
довательно, и напряжение источника ио', необходимо опреде-
лить ток i (см. пример на рис. 22.46). В такой задаче исполь-
зуется графический путь расчета.
I. ПоОКН В(Н} пересчетом находят нелинейные характе-
ристики Фк(Ук) каждого ферромагнитного участка МЦ
Ф* = BkSk, Vk = Hklk.
Для воздушного зазора будет Фв/з = Ув/з/Лмв/з,-причем на
основании (22.11) определяют линейное магнитное сопротивле-
ние воздушного зазора Дмв/3 (аналог линейного сопротивления
Дз на рисунке 22.46), т. е. характеристика ФВ/3(ТГВ/3) является
линейной.
Таким образом для примера МЦ из двух ферромагнитных
участков и воздушного зазора (рис. 22.4а) получают систе-
му характеристик Фк(Ук) каждого участка {ФЦУЦ, Ф2(У2),
*в/з(ЗД} •как показано, например, на рисунке 22.4а.
Глава 22
2. Результирующую характеристику МЦ ум\ т е ,я
висимость суммарного магнитного напряжения потока’
получают (см. рис. 22.4в) сложением значений Vk приоХ1
ковых значениях Фк. Это подобно графическому сложению ‘
напряжении при одинаковых токах в последовательной цепи
(рис. 22.40).
3. По известному току определяют суммарную намагничи-
вающую силу F£ Ni = У2, которая по второму закону
Кирхгофа для МЦ должна быть равна суммарному магнитному
напряжению У£.
4. Зная У£, находят рабочую точку (РТ на рисунке 22.4в) и
общий поток Ф.
Примечание. При построении характеристик необходимо хотя бы ори-
ентировочно знать, до каких значений Фтах следует их строить; если в
МЦ имеется воздушный зазор, то его магнитное сопротивление R*^ =
= н/з) обычно является наибольшим; следовательно, выполня-
ется Фщлх = Fs/WMB/3 > Ф, так как последовательно с R*^ имеется
^у.ф/м •
ВЫВОД', расчет неразветвленных МЦ подобен расчету од-
ноконтурной нелинейной F-цепи с источником постоянно-
го напряжения (ИПН): в общем случае разветвленных МЦ
их расчет абсолютно аналогичен расчету соответствующих
разветвленных нелинейных Я-цепей с ИПН.
§ 22.4. О РАСЧЕТЕ МАГНИТНЫХ ЦЕПЕЙ
С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ
Постоянные магниты широко используются для создания маг-
нитного поля в разнообразных электротехнических устройствах,
измерительных приборах, магнето, реле, микродвигателях по-
стоянного тока. В каждом из таких устройств поток постоянного
магнита проходит через воздушные зазоры.
Рассмотрим простейшую цепь с постоянным магнитом,
показанную на рисунке 22.5а. Поскольку в такой МЦ нет
обмотки с током, создающим намагничивающую силу, то
по второму закону Кирхгофа для МЦ (так называемому
«закону полного тока») имеем
О = Ум + К/з = + ^в/Л/э’
450
Основы теории электрических цепей
Отсюда напряженность магнитного поля магнита будет
Ям = —Яв/э/в/э//ч < 0»
если принять Н^3 > 0.
В воздушном зазоре В^3 = доЯв/3, т. е. векторы В и Н сов-
падают по направлению. Однако на основании (22.1) линии век-
тора магнитной индукции В непрерывны и замкнуты, т. с. они
сохраняют в «теле магнита» то же'направление, что и в воздуш-
ном зазоре. Таким образом, в магните Вм > 0, Ны < 0, т. е.
векторы Вм и Ям направлены в разные стороны.
Этот вывод очевиден, если учесть, что постоянные магниты
изготавливают из магнитотвердых материалов с широкой пет-
лей гистерезиса и приближенный расчет по ОКН здесь недо-
пустим. Необходимо пользоваться двузначной петлей гистере-
зиса (рис. 22.56), снятой при намагничивании материала (при
изготовлении магнита).
При отсутствии воздушного зазора рабочей точкой маг-
нита является Вмо- При наличии воздушного зазора Дм >
> 0, Ям < 0, чему соответствует второй квадрант петли
гистерезиса на рисунке 22.56 — так называемая кривая
размагничивания.
Произведем расчет МЦ, изображенной иа рисунке 22.5а.
Даны параметры МЩД., Sk и кривая размагничивания). Необ-
ходимо найти поток Ф.
Имеем последовательное соединение двух магнитных- со-
противлений. Производим пересчет кривой размагничивания
(рис. 22.56) в область УМ(ФМ). В результате масштабирования
Получаем Фм = SMBM, V4 = 1МНМ и кривую размагничивания
^м(Фм) изображаем на рисунке 22.5в.
Г ла ла 22
---------------------------------------- 451
Для.воздушного зазора характеристика V , (Ф , ) как ппк,
зано на рисунке 22.5в, является линейной: в/з
К/з = Ям.вЛ/з = ё^-Фв/з.
5В/Змо в/3
Положение рабочей точки (РТ) на рисунке 22.5в определяет-
ся при последовательном соединении двух нелинейных элемен-
тов следующими уравнениями Кирхгофа для МЦ:
Ф = const = Фм = Фв/з,
Ум = -V8/3,
т. е. рабочую точку на рисунке 22.5в получают пересечением
характеристик Мм(Фм) и — Ц,/3(ФВ/3). В результате нахо-
дим искомые значения потока Ф и магнитного напряжения
К. = -vu/3 < 0.
выводы-.
1. При расчете МЦ с постоянными магнитами необходи-
мо пользоваться не основной кривой намагничивания, а
характеристикой с петлей гистерезиса.
2. В магните значения Вм и Ям имеют различные знаки, что
соответствует второму или четвертому квадранту петли
гистерезиса, т. е. кривым размагничивания.
ЛИТЕРАТУРА
I. Атабеков Г. И., Тимофеев А. Б., Хухриков С. С. Теоретические основы
электротехники. Нелинейные цепи. М.; Л.: Госэнсргоиздат, 1962.
2. Балабанян Н. Синтез электрических цепей. М.: Госэнергонздат, 1961.
3. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов по
спец. «Радиотехника». М.: Высшая школа, 1988.
4. БессоновЛ. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа,
1996.
5. Данилов Л. В., Матханов П. Н., Филиппов Е. С. Теория нелинейных
электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990.
6. Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых
фильтров: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982.
7. Крылов В. В., Корсаков С. Я. Основы теории цепей для системотехников.
М.: Васшая школа, 1990.
8. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. №..
Высшая школа, 1976.
9. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи.
М.: Высшая школа, 1986.
10. Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.
Мл Высшая школа, 1990.
11. Сборник задач по теории электрических цепей: Учебное пособие для вузов/
Подрел П. Н. Матханов, Л. В. Данилов. М.: Высшая школа, 1980.
12. Цыпкин Я. 3. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................. 3
Глава /. Основные понятия и законы теории цепей........... 5
§1.1. Ток, напряжение, энергия и мощность цепи............ 5
1.1.1. Ток в электрической цепи ................... 5
1.1.2. Напряжение............................ . 6
1.1.3. Согласованная полярность..................... 7
1.1.4. Энергия и мощность . ........................ 8
§ 1.2. Резистивный элемент и его характеристики........... 9
1.2.1. Определение резистивного элемента ........... 9
1.2.2. Вольт-амперные характеристики резистивного
элемента......................................... 10
1.2.3. Энергетические характеристики R-элемента . . 11
§1.3. Идеализированные источники электромагнитной энергии ... 12
1.3.1. Источник напряжения......................... 12
1.3.2. Источник тока............................... 14
§ 1.4. Индуктивный элемент цепи и его характеристики.....
1.4.1. Определение индуктивного элемента цепи......
1.4.2. Вольт-амперная характеристика L-элемента . .
1.4.3. Энергетические характеристики L -элемента . .
1.4.4. Принцип (закон) непрерывности потокосцепления
L -элемента ......................................
§ 1.5. Емкостной элемент цепи и его характеристики......
1.5.1. Определение С-элемента цепи................
1.5.2. Вольт-амперные характеристики С-элемента . .
1.5.3. Энергетические характеристики С-элемента . .
1.5.4. Принцип (закон) непрерывности заряда С-эле-
мента............................................
§1.6.
Геометрия цепей .....................
1.6.1. Основные понятия геометрии цепей
1.6.2. Основные понятия топологии цепей
§ 1.7. Законы Кирхгофа...................
1.7.1. Закон токов Кирхгофа.........
1.7.2. Число независимых уравнений ЗТК .
1.7.3. Закон напряжений Кирхгофа . . . .
1.7.4. Число независимых уравнений ЗНК .
§1.8 . Дуальность элементов и цепей......
1.8.1. Дуальность элементов цепи....
1.8.2. Дуальность контура и узловой пары
1.8.3. Разветвленные дуальные цепи . , . .
15
15
16
17
18
19
19
20
20
22
23
23
25
27
27
27
31
31
31
32
454
Оглавление
Глава 2. Анализ резистивных цепей.......................... 33
& 2 1 Эквивалентные преобразования структуры цепи. 33
2.1.1. Эквивалентные преобразования источников . ... 33
2.1.2. Преобразование соединения звездой в соединение
треугольником и обратное преобразование . 35
2.1.3. Теорема замещения........................... 37
§2.2 . Анализ резистивных цепей сложной структуры....... 38
2.2.1. Метод узловых напряжений.................... 38
2.2.2. Метод контурных токов....................... 43
§2.3 . Теоремы об эквивалентных источниках.............. 47
§2.4 . Теорема взаимности............................... 49
2.4.1. Определение проводимостей передачи на основа-
нии метода контурных токов.......................... 49
2.4.2. Принцип взаимности (обратимости, пассивности) 50
2.4.3. Теорема взаимности .......................... 51
Глава 3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во
временной области при постоянных воздействиях . 52
§3.1. Дифференциальные уравнения и свойства лииейностн динами-
ческих цепей............................................ 52
3.1.1. Уравнения линейных цепей................... 52
3.1.2. Первое свойство линейности уравнений цепи —
принцип пропорциональности (однородности) . . 53
3.1.3. Второе свойство линейности — принцип диффе-
ренцируемости (стационарности) .................... 54
3.1.4. Третье свойство линейности — принцип наложе-
ния (суперпозиции, аддитивности)................... 55
§ 3.2. Обшая характеристика классического метода анализа переход-
ных процессов во временной области...................... 56
3.2.!. Понятие о коммутации и переходных процессах . . 56
3.2.2. Общая характеристика свободной составляющей
решения уравнений цепи и свободных режимов н це-
пи .............................................. 57
3.2.3. Вынужденная составляющая.................... 58
3.2.4. Законы коммутации, начальные условия и порядок
цепи............................................... 59
§ 3.3. Анализ переходных процессов в разветвленных цепях первого
порядка . ......................................... 60
3.3.!. Свободная составляющая...................... 60
3.3.2. Расчет вынужденного (установившегося) режима 61
3.3.3. Расчет независимых начальных условий........ 62
3.3.4. Расчет зависимых начальных условий.......... 62
3.3.5. Определение постоянной интегрирования, запись
решения и построение его графика................... 62
§3.4 . Анализ переходных процессов в цепях высокого порядка по
уравнениям состояния..................................... 63
о’л’о Общая характеристика у равнений состояния . 63
, Методика составления уравнений состояний 64
3.4.3. Аналитическое решение уравнений состояния 66
§3.5 . Численный расчет переходных процессов............. 68
3.5.1. Понятие о численном решении уравнений состоя-
ния . . . .................................. 68
3.5.2. Численный расчет переходных процессов по дис-
кретным резиепшвным схемам замещения . . 69
§3.6. Переходные процессы в простых RC- и RL-цепях ... 70
3.5.1. Свободный режим в ПС-цепи................... 70
§3.7.
3.6.2. Подключение последовательной пп
з.в.з. 4 KU£
3-6-4-
Переходные процессы в последовательной RLC-йет........
7'79 !^>‘1внения поСАед°вательного RLC-контира ' ' ’
3.7.2. Общая характеристика свободных режимов и ча-
стот собственных колебаний в цепи
3'7'3’ ^овий вынужденн0“ составляющей и 'начальных
3.7.4. Подключение идеальной LC-цепи к источники по-
стоянного напряжения .................
3.7.5. Свободный режим в идеальном LC-контуре ’ ’ ’
3.7.6. Подключение последовательной RLC-цепи к йс-
3.7.7.
3.7.8.
точнику (случай комплексных собственных ча-
стот) ................................
Свободный режим в RLC-контуре (случай ком-
плексных корней ХП) .........................
Подключение последовательного RLC-контура к
источнику (случай простых вещественных корней
3.7.5 Свободный режим в последовательной RLC-цепи
(случай простых вещественных корней ХП) . . . .
3.7.10. Подключение последовательной RLC-цепи к ис-
точнику (случай кратных собственных частот) .
71
73 '
74
76
76
78
80
81
82
83
84
84
85
86
Глава 4. Применение обобщенных функций для анализа, пе-
реходных процессов при воздействии произвольной
формы .....................................................
§4.1. Единичная ступенчатая функция....................
4.1.1. Определение................................
4.1.2. Применение единичной ступенчатой функции . . .
§ 4.2. Единичная импульсная функция (дельта-функция)....
4.2.1. Определение................................
4.2.2. Свойства дельта-функций ...................
4.2.3. Применение дельта-функций..................
4.2.4. Особые случаи коммутации...................
§ 4.3. Переходная и импульсная характеристики цепи......
4.3.1. Переходная характеристика..................
4.3.2. Импульсная характеристика..................
§ 4.4. Определение реакции при воздействии произвольной формы .
4.4.1. Интеграл свертки (интеграл наложения, выра-
женный через импульсную характеристику цепи) .
4.4.2. Интеграл Дюамеля (интеграл наложения, выра-
женный через переходную характеристику цепи) .
4.4.3. Семейства стандартных воздействий и соответ-
ствующих характеристик цепи~......................
4.4.4. Определение реакции при воздействии кусочно-ли-
нейной формы .....................................
Глава 5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экс-
поненциальных воздействиях.................................
§5.1. Основные понятия синусоидальных напряжений и токов . .
5.1.1. Основные определения............\
5.1.2. Среднее и действующее значения синусоидальных
токов и напряжений................................
87
87
87
88
89
89
90
92
93
95
95
96
97
97
99
100
102
104
104
104
106
Оглавление
456
513. Задача анализа установившегося синусоидального
режима....................................... 107
5 2 Метод комплексных амплитуд ...................... 108
’ 5.2.1. Представление синусоидальных функции через экс-
поненты с мнимым аргументом ................... 108
5 22 Законы Кирхгофа в комплексной форме записи .. . 112
5.2.3. Элементы электрической цепи в установившемся
синусоидальном режиме....................... 113
5 2.4. Комплексное сопротивление произвольного двухпо-
люсника. Закон Ома в комплексной форме....... 120
§ 5.3. Анализ простых цепей в установившемся синусоидальном ре-
жиме. Комплексная схема замещения..................... 121
5.3.1. Установившийся синусоидальный режим в последо-
вательной RLC-цепи .............................. 122
5.3.2. Установившийся синусоидальный режим в парал-
лельной RLC-цепи............................ 123
5.3.3. О расчете установившегося синусоидального ре-
жима в разветвленных RLC-цепях .................. 125
§ 5.4. Мощность в установившемся синусоидальном режиме. 126
5.4.1. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощ-
ности пассивного двухполюсника................... 126
5.4.2. Коэффициент мощности и его технико-экономи-
ческое значение ................................. 128
5.4.3. Комплексная форма записи мощности......... 129
5.4.4. Условие передачи максимума активной мощности в
нагрузку..................................... i 30
§5.5. Резонансные явления в электрических цепях. Частотные ха-
рактеристики ......................................... 131
5.5.1. Резонанс в последовательном RLC-контуре . ... 131
5.5.2. Частотные характеристики последовательного
RLC-контура................................. 133
5.5.3. Нормировка частотных характеристик......... 134
5.5.4. Комплексные функции и частотные характери-
стики ........................................... 135
5.5.5. Обобщенная экспонента и комплексная частота . 137
Глава 6. Применение преобразования Лапласа для анализа
переходных процессов в цепях............................. 139
§6.1 . Связь формы сигналов с полюсами их изображений по Лапласу 139
6.1.1. Общая характеристика преобразуемых по Лапласу
сигналов............................................... 139
6.1.2. Применение теоремы разложения для отыскания
оригиналов....................................... 140
6.1.3. Свойства и теоремы преобразования Лапласа . . . 143
6.1.4. Связь формы оригинала с полюсами изображения
(таблица соответствия оригиналов и изображе-
ний) ............................................ 145
§6.2 . Операторный метод расчета переходных процессов.. 148
6.2.1. Законы Кирхгофа в операторной форме ...... 148
£ Операторная схема замещения R-элемента .... 148
6.2.3. Операторная схема замещения L-элемента .... 148
6.2.4. Операторная схема замещения С-элемента .... 149
6.2.5. Расчет переходных процессов в цепях операторным
методом.......................................... 151
§ 6.3. Использование теоремы запаздывание для описания изобра-
жений импульсных сигналов............................. 153
6.3.1. Изображение периодических сигналов....... . . 153
Правление
457
§6.4.
Глава 7.
§7.1.
6.3.2. Получение изображений путем описания сигнп,п
суммой простейших составляющих аЛа
6.3.3. Определение изображений сигналов кусочно-'
нои формы методом двойного диффеУренцир^ания
Передаточная функция цепи и ее связь с дифференщшльным
уравнением, импульсной, переходной и частотами хартеои-
стиками пени.................... н
6.4.1. Изображение интеграла наложения,'выраженного
через импульсную характеристику цепи
6.4.2. Передаточная функция цепи и ее свойства
6.4.3. Связь собственных частот с нулями и полюсами
входного сопротивления цепи..................
6.4.4. Матрицы передаточных функций и импульсных ха-
рактеристик цепи (использование преобразования
Лапласа для решения уравнений состояния) . . . .
Анализ установившихся периодических режимов в
153
154
155
155
156
158
159
цепях........................................... 160
Периодические сигналы и их спектры.............. 160
7.1.1. Периодические сигналы и условия Дирихле .. 160
7.1.2. Тригонометрические формы рядов Фурье...... 161
7.1.3. Ряд Фурье в комплексной форме............. 163
7.1.4. Дискретные спектры периодических сигналов ... 164
7.1.5. Использование преобразования Лапласа для отыс-
кания коэффициентов РФ..................... 166
§ 7.2. Мощность и действующие значения переменных в установив-
шемся пеоиодическом режиме....................... 168
7.2.1. Мощность в У ПР........................... 168
7.2.2. Действующее значение в УПР................. 169
§7.3. Анализ установившихся периодических режимов в цепи .... 170
7.3.1. Приближенный расчет УПР с использованием РФ . 170
7.3.2. Точный расчет реакции в УПР (РФ в «замкнутой
форме»)..................................... 172
Глава8. Спектральный метод анализа цепей................... 174
§8.1 . Апериодические сигналы н их спектры ............. 174
8.1.1. Переход от рядов к интегралу Фурье и от дискрет-
ных спектров к сплошным ........................... 174
8.1.2. Одностороннее преобразование Фурье как част-
ный случай преобразования Лапласа.................. 176
8.1.3. Спектральные характеристики апериодического
сигнала............................................ *77
8.1.4. Связь спектральных и частотных характеристик из
8.1.5. Связь спектра одиночного импульса со спектром
периодического сигнала той же формы............... 160
§8.2 . Спектры некоторых абсолютно интегрируемых сигналов . . . . 181
8.2.1. Спектр импульса прямоугольной формы........
8.2.2. Спектр импульса треугольной формы.......... 100
§ 8.3. Ширина спектра и ее связь с длительностью и крутизной енг-
нала......................................
8.3.1. Формула Релея и критерии ширины спектра ....
8.3.2. Связь ширины спектра с длительностью сигнала .
8.3.3. Понятие о связи ширины спектра с крутизной сиг-
нала .........................................
§ 8.4. Приближенные методы отыскания сигнала "° С1,^У ' j
му и фазовому спектрам
нала...........................
нжеиные методы отыскании
8.4.1. Приближенный расчет сигнала по его амплитуоно
185
187
188
190
190
Оглавление
458
84 2. Связь сигнала с его вещественным и мнимым спек-
трами ....................... •............... 191
S4 3 Использование преобразования Лапласа при отыс-
кании сигнала по его вещественному или мнимому
спектрам................................. 192
8.4.4. Невозможность реализации идеального фильтра
нижних частот (ФНЧ) ............................. 193
685 Спектральный метод анализа переходных процессов в цепях . 194
* 8.5.1. Основные положения расчета и оценки переходных
процессов в цепях спектральным методом .... 194
8.5.2. Характеристики идеальных неискажающих, диф-
ференцирующих и интегрирующих цепей ....... 196
8.5.3. Характеристики реальной интегрирующей RC-
цепи....................................... 201
§8.6. Спектры единичной ступенчатой функции амплнтудно-модулн-
рованных сигналов................................ 204
8.6.1. Спектр 6i(t). Понятие об особых спектрах .... 204
8.6.2. Спектры амплитудно-модулированных сигналов
(связь спектра радиоимпульса со спектром видео-
импульса) ................................. 205
Глава9. Цепи с взаимной индукцией........................ 207
§9.1 . Основные понятия н определения................. 207
9.1.1. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктив-
ность и индуктивность рассеяния .. ......... 207
9.1.2. Коэффициент связи, согласное и встречное включе-
ния индуктивно связанных элементов ............. 210
§ 9.2. Расчет цепей с взаимной индукцией........... 212
9.2.Г. Последовательное соединение индуктивно связан-
ных катушек .................................... 212
9.2.2. Параллельное соединение индуктивно связанных
катушек......................................... 214
9.2.3. Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией 215
9.2.4. Исключение индуктивной связи.............. 216
§9.3. Трансформатор в линейном режиме................. 218
9.3.1. Основные соотношения...................... 218
9.3.2. Совершенный трансформатор без потерь......... 219
9.3.3. Идеальный трансформатор................... 220
Глава 10. Трехфазные цепи................................ 222
§ 10.1. Основные понятия, относящиеся к трехфазным цепям. 222
10.1.1. Трехфазная система напряжений, трехфазный ге-
нератор ........................................ 222
10.1.2. Соотношение между фазными и линейными напря-
жениями симметричного трехфазного генератора 224
!0.1.3. Трехфазная цепь и основные схемы соединения . . . 225
§ 10.2. Расчет трехфазных цепей ...................... 227
10.2. ! .Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки
звездой......................................... 227
10.2. 2. Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки
треугольником .................................. 230
§ 10.3. Мощность трехфазной ценн...................... 232
Глава //.Четырехполюсники и активные цепи................ 234
§11.1. Основные уравнения четырехполюсников........... 234
И.1.1. Общие сведения и классификация четырехполюсни-
ков ............................................ 234
/Оглавление
459
11.1.2. Уравнения четырехполюсников через „ ппп
ры....................... через у-парамет-
I 1.1.3. Уравнения четырехполюс,iйкп'и'^'........
//./.7. Уравнения четырехполюсника n fnJ, z'napaMemP** !
11.1.5. Уравнения четырехполюсников чере^'ь^и^
параметры . . через о-, п,- и д-
//./.6.Эквивалентные Т- и П-'обпазн^.............
пассивных четырехполюсников смещения
§1,’2 люсника " "СрСЛаТ0'",ЫС фУ,,к,ши нагруженного четырехпо!
/1.2.1. Входные функции ...............................
11.2.2 . Передаточные функции ...................
§ 11.3. Соединения четырехполюсников....
/1.3 / Последовательное соединение чётырехптников
/ / .3.2. Параллельное соединение четырехполюсников
I /.3.3. Каскадное соединение четырехполюсников
11.3.4. Последовательно-параллельное соединение четы-
рехполюсников ................................
/ /.3.5. Параллельно-последовательное соединение четы-
рехполюсников .....................................
235
237
238
240
241
§ 11.4. Цепи с зависимыми источниками и необратимыми четырехпо-
242
242
244
244
245
246
247
249
249
люсниками ......................................250
11.4./.Зависимые источники и их свойства........250
И.4.2. Схемы замещения необратимых ЧП...........251
11.4.3. Расчет схем с зависимыми источниками....253
11.4.4. Формализованный метод контурных токов для
расчета цепей с необратимыми ЧП ..............'. 254
/ /.4..). Формализованный метод узловых напряжений для
расчета цепей с необратимыми ЧП ................ 255
I!.4.6. Использование формализованных МКТ и МУН дм
расчета индуктивно связанных цепей...............257
§ 11.5. Расчет цепей с операционными усилителями . . .•.258
/1.5.1. Идеальный операционный усилитель и его свойства 258
11.5.2. Использование простейших схем на ОУ для реали-
зации математических операций и решения урав-
нений состояния ...........................259
11.5.3. Особенности применения МУН при расчете схем с
ОУ.......................................... 2bl
/1.5.4. Использование схем с ОУ для преобразования сопро-
тивлений...................................
/1.5.5. Об устойчивости цепей с ОУ .............. 200
964
Глава 12. Основы теории фильтров.......................... “
§ 12.1. Частотные характеристики реактивных двухполюсников . . • •
12.1.1.Определение резонансных частот реактивных
двухполюсников..............................
12.1.2. Свойства частотных характеристик реаю
двухполюсников................................... 9gj,
§ 12.2. Симметричный четырехполюсник в согласованном' ’0_
/2.2.1.Характеристическое сопротивление четырех*)
люсника и согласованная нагрузка .... • ’
12.2.2. Передаточная функция симметричного четыр
полюс ника в согласованном режиме’•'ного
12.2.3. Гиперболическая форма уравнении с р' 269
четырехполюсника'................
460
Оглавление
1224 Использование сопротивлений холостого хода и
’короткого замыкания четырехполюсника для рас-
чета характеристических параметров............. 270
§ 12 3. Расчет классических симметричных реактивных фильтров но
характеристическим параметрам ....................... 271
12.3.1. Понятие о фильтрах......................... 271
/2.3.2. Достаточные условия работы классического филь-
тра в полосе пропускания .................... 274
12.3.3 . Фильтр нижних частот типа к............... 276
§ 12.4. Расчет фильтров методом преобразования частоты.. 278
§ 12.5. Фильтры Баттерворта............................. 280
/2 5./.Сравнение характеристик идеальных и полиноми-
альных фильтров............................... 280
/2.5.2. Передаточные функции фильтров Баттерворта . 282
/2.5.3. Реализация фильтров Баттерворта............ 283
§ 12.6. Фильтры Чебышева ............................... 284
12. 6.1. Частотные характеристики фильтров Чебышева 284
/2.6.2. Реализация фильтров Чебышева .............. 286
Глава 13. Начала синтеза цепей.......................... 288
§ 13.1. Синтез реактивных двухполюсников ............. 288
/3.1.1. Основное свойство реактивных двухполюсников . 288
/3. / 2. Условие реализуемости Z(s) в виде реактивного
двухполюсника................................289
/З./.З. Реализация реактивных двухполюсников разложе-
нием Zlc(s) на простейшие составляющие .... 291
13./.4.Множество вариантов реализации LC-двухпо-
люсников..................................... . . . 292
§ 13.2. Синтез ЯС-двухполюсников....................... 294
/3.2./.Соответствиесопротивления RC-u LC-двухпо-
люсников ................................... 294
13.2.2. Условие реализуемости Z(s) ввиде RC-двухполюс-
ников ........................................... 295
/3.2.3. Реализация RC-двухполюсников............. 296
§ 13.3. Использование цепей с операционными усилителями для реа-
лизации передаточных функций........................... 297
13.3.1. Реализация передаточных функций с отрицатель-
ными нулями и полюсами...................... 297
13.3.2/Реализация описанных уравнениями состояния пе-
редаточных функций с произвольными нулями и по-
люсами ..................................... 298
/3.3.3. Переход от передаточной функции к уравнениям
состояния................................... 299
Глава 14. Цепи с распределенными параметрами ............. 301
§ 14.1. Дифференциальиыеуравненияоднороднойлииии....... 301
14.1. /.Общая характеристика цепей с распределенными
параметрами...................................... 301
/4.1.2. Однородная линия и ее первичные параметры . . . 302
/4.1.3. Телеграфные уравнения однородной линии... 303
§ 14.2. Решение уравнений линии и ее характеристические параметры 303
/4.2.1. Решение телеграфных уравнений............ 303
/4.2.2. Понятие о падающей и отраженной волнах в линии 305
§ 14.3. Линия как симметричный четырехполюсник ........ 306
14.3. /.Сравнение уравнений линии и симметричного че-
тырехполюсника .................................. 306
/4.3.2.Линия-без отражения.................. . . . 307
ОглавАСЦ^
461
14.3.3. Линия без искажения...................... 30g
14.4. Линия без потерь............................... 30g
14.4.1 .Основные характеристики линии без потерь . . . . 309
14.4.2. Трактовка падающей и отраженной волн в линии
без потерь.........................'............. 310
14.4.3. Подключение линии без потерь к источнику посто-
янного напряжения................................ 311
14 5. Линия в установившемся синусоидальном режиме....313
’’ 14.5.1.Общая характеристика процессов в линии...313
14.5.2. Фазовая скорость, длина волны и движение волн в
линии.................................................. 315
14.5.3. Стоячие волны в линии без потерь..................... 316
Глава /5. Дискретные сигналы и цепи......................318
S 15.1. Дискретные сигналы и теорема дискретизации... 318
s 15.1.1. Аналоговые и дискретные сигналы......... 318
15.1.2 . Идеализация дискретных сигналов........ 319
15.1.3 . Теорема Котельникова (Найквиста, Шеннона) . . . 320
15.1.4 . Практика применения теоремы Котельникова . . . 322
§ 15.2. Основные понятия дискретных линейных цепей .. 322
15.2.1. Дискретные последовательности (решетчатые
функции).................................... 322
15.2.2.Элементы линейных дискретных цепей........ 323
/5.2.3. Схемы дискретных цепей и разностные уравнения 324
§ 15.3. Анализ дискретных цепей во временной области.. 325
15.3.1. Численное решение разностных уравнений...325
15.3.2. Свободная составляющая решения уравнений ДЦ . 326
15.3.3. Вынужденная составляющая решения уравнений
ДЦ............................................... 327
15.3.4. Переходная характеристика ДЦ............. 328
15.3.5. Импульсная характеристика ДЦ............. 329
/5.3.6.Дискретная свертка импульсной характеристики
с дискретным воздействием................... 330
§ 15.4. Применение z-преобразования для анализа процессов в дис-
кретных цепях ........................................ 331
/5.4.!. Понятие о прямом z-преобразовании........ 331
15.4 2. Основные свойства и теоремы'z-преобразования . 332
15.4.3.Таблица z-преобразования ................. 334
15.4.4. Понятие об обратном z-преобразовании. Числен-
ный расчет оригинала............................. 335
х 15.4.5. Использование теоремы разложения для обратно-
го z-преобразования ............................. 336
15.4.6. Передаточная функция ДЦ и связь ее с разностным
уравнением цепи.................................. 338
§ 15.5. Определение параметров дискретной цепи по прототипу-ана-
логу ................................................. 339
Глава 16. Нелинейные цепи................................ 341
§ 16.1. Общая характеристика нелинейных элементов и цепей. 341
16.1. /.Понятиео нелинейной цепи................. 341
16.1. 2. Статические и дифференциальные параметры НЭ 341
/6.1.3. Классификация нелинейных элементов и цепей . . . 342
16.1.4. Общие свойства нелинейных цепей........ • 344
§ 16.2. Анализ нелинейных резистивных цепей........... 345
16.2.1. Графический расчет нелинейных R-цепей . ..... 345
16.2.2. Аналитический расчет нелинейных R-цепей при
аппроксимации ВАХ НЭ полиномами.................. 347
Оглавление
462
16.2.3. Решение нелинейных функциональных уравнений
цепей ............................... ............. 349
16 2.4. Аналитический расчет нелинейных ii-цепеи мето-
дом кусочно-линейных схем .................... 350
< 163 Нелинейные резистивные цепи с диодами.............351
' 16.3.1. Идеа. шва qiw диодных хара ктеристик...... 351
16.3.2. Реализация ВАХ нелинейных R -элементов кусочно-
линейными диодными моделями................... 352
§ 164 Анализ динамических нелинейных цепей .............. 355
16.4.!. Численный расчет по уравнениям состояния .... 355
16.4.2. Метод припасовывания (кусочно-линейной аппро-
ксимации) ..................................... 356
16.4.3. Метод гармонического баланса ................358
Глава 17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников ... 360
§ 17.1. Нормирование передаточных функций четырехполюсников . 360
§ 17.2. Основные свойства реактивных четырехполюсников лестнич-
ной структуры........................................ 361
17.2.1. Свойство о нулях и полюсах Z22 и У22... 361
17.2.2. Свойство о полюсах Z12 и #22 0'12 и У22) • 362
17.2.3. Свойство о частных полюсах Z22 (ll Y>2 ) . 362
17.2.4. Свойство о нулях ПФ четырехполюсники.... 363
17.2.5. Свойство о формировании нулей ПФ реактивнь.::
ЧП лестничной структуры......................... 364
17.2.6. Свойство об отсутствии нуля ПФ при части чт :
выделении полюса................................ 365
17.2.7. Условие Фиалкова об ограничении коэффициент
передаточной функции ........................... 367
17.2.8. Свидетельство правильного окончания синте ia 367
§ 17.3. Условия реализуемости и определение параметров переда г.. -
ной функции реактивного четырехполюсника . ............ 368
17.3.1. Определение параметров по Hj и lltf . . . 368
17.3.2. Определение параметров ЧП по Н/ и Нц ... 369
§ 17.4. Реализация реактивных четырехполюсников лестничной струк-
туры .................................................. 370
17.4./. Три положения, лежащие в основе реализации ЧП . 370
17.4.2. Обоснование возможности получения нуля остат-
ка на любой частоте при частичном выделении по-
люса ............................................. 371
17.4.3. Последовательность действий при реализации нуля
третьей категории................................ 372
17.4.4. Общая последовательность синтеза ЧП ...... 373
§ 17.5. Синтез резистивно-емкостных четырехполюсников... 375
17.5.1. Свойства RC-четырехполюсников............. 375
17.5.2. Условие реалцзуемости и определение параметров
RC-ЧПпо Н™ и .................................... 376
17.5.3. Определение параметров ЧП по и Hu(s) . . 377
17.5.4.Реализация RC-четырехполюсников............ 379
17.5.5. Примеры синтеза RC-четырехполюсников .... 379
Глава 18. Связанные контуры с большой добротностью .... 384
§ 18.1. Общая характеристика связанных контуров........ 384
18.1.1. Виды связи................................ 384
18.1.2. Общие соотношения связанных контуров.......385
§ 18.2. Резонанс в связанных контурах.................. 387
18.2.1 .Общая характеристика видов резонанса....... 387
18.2.2. Частный резонанс ......................... 388
Оглавление
463
Индивидуальный резонанс . . .
18./л. Сложный резонанс ' ............
18.2.5. Полный резонанс . .........................
18.2.6. Энергетические соотношения ..............
§ 18.3. Частотные характеристики связанных контуров' ’
/О'Допущения и обобщенные параметры . . ' ’ доо
18.3.2. Резонансные частоты.................. • ooz
18.3.3. Частотная характеристика функции передачи по
HClfipjiMCffHUiO ••♦••••«» лл
Исследование АЧХ при различной связи .........\ 395
18.3.5. Сравнение АЧХ связанных контуров и одиночного
контура ...........................................
§ 18.4. Проектирование связанных контуров................... 397
18.4.1. Определение полосы пропускания................ 397
18.4.2. Определение параметров контуров по заданным
требованиям........................................'. 393
Глава 19. Основы машинно-ориентированных методов расче-
та цепей........................................... 400
§ 19.1. Структурная матрица......................... 400
19.1.1. Запись уравнений закона токов Кирхгофа с исполь- •
зованием структурной матрицы................ 400
19.1.2. Запись уравнений закона напряжений Кирхгофа с
использованием структурной матрицы........ 402
§ 19.2. Упорядоченные матрицы уравнении цепи...........403
19.2.1 .Главные сечения, главные контуры и фундамен-
тальная матрица цепи ....'....................... 403
19.2.2. Пояснение связи фундаментальных матриц .... 406
19.2.3. Независимость упорядоченных уравнений цепи .. 407
§ 19.3. Алгоритмы решения машинных уравнений цепей......
19.3.1. Метод токов дерева и напряжений хорд......
19.3.2. Применение структурной матрицы при расчете
цепей методом узловых напряжений.................
§ 19.4. Матричное формирование уравнений состояния......
1лива 20. Основы теории чувствительности цепей к измене-
нию параметров.............................................
§ 20.1. Теорема компенсации.............................
20.1.1 .Доказательство исходной теоремы компенсации .
20.1.2. Эквивалентность расчета по дуальным ПЦ, со-
ставленным по теореме компенсации................
20.1.3. Теоремы компенсации и присоединенные цепи при
расчете динамических цепей ......................
§ 20.2. Расчет функций абсолютной чувствительности на основании
теоремы компенсации ....................................
20.2.1. Исходные понятия..................... • •
20.2.2. Построение ПЦ для расчета ФАЧ на основании
теоремы компенсации........................
20.2.3. Получение ПЦ дифференцированием уравнении
20 2 4 Эквивалентность дуальных ПЦ. составленных для
расчета ФАЧ на основании теоремы компенсации .
20 25 Расчет ФАЧ динамических цепей............
§ 20.3. Вычисление функций абсолютной чувствительности на основа-
нии теоремы Теледжена ..............................
20.3.1. Теорема Теледжена.........................
408
408
410
412
415
415
415
416
417
420
420
421
421
422
423
424
424
464
20.3.2. Определение ФАЧ выходного напряжения на осно-
вании теоремы Теледжена...........................
20.3.3.Определение ФАЧ выходного тока на оснований
теоремы Теледжена..................................
Глава 21. Релейные автоколебательные цепи...................42д
§21 1 Общая характеристика автоколебательных релейных цепей . . 429
21.1.1. Особенности процессов в релейных цепях....429
21.1.2. Исходные соотношения и допущения .........431
§ 21.2. Анализ процессов в простых автоколебательных релейных це-
пях ..............................................432
21.2. f. Расчет автоколебаний в случае идеального РЭ без
гистерезиса..................................432
21.2.2. Особенности расчета автоколебаний в случае ре-
лейной характеристики с гистерезисом.........435
21.2.3. Пример расчета параметров автоколебаний . ... 436
Глава 22. Магнитные цепи при постоянных магнитных пото-
ках .......................................................439
§ 22.1. Магнитные цепи и ферромагнитные материалы...... 439
22.1.1.Исходные понятия.......................... 439
22.1 2. Основные законы магнитных цепей.......... 440
22.1.3.Основная кривая намагничивания ферромагнит-
ных материалов ............................. 441
§ 22.2. Основные принципы расчета магнитных цепей...... 443
22.2.1. Исходные допущения....................... 443
22.2.2. А налоги законов Кирхгофа при расчете магнит-
ных цепей ....................................... 445
§ 22.3. Расчет простых магнитных цепей ................ 447
22.3.1. Прямая задача расчета неразветвленной МЦ . . . 447
22.3.2. Обратная задача расчета неразветвленной МЦ . 448
§ 22.4.0 расчете магнитных цепей с постоянными магнитами.449
Литература..................................................
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЛАНЬ»
lan@lpbl.spb.ru, www.lanpbl.spb.ni
193012, Санкт-Петербург, пр. Обуховской обороны, 277
ч " издательство: тел.: (812) 262-24-95,262-11 -78
pbl@lpbl.spb.ru, priiit@lpbl.spb.ru
Торговый отдел: 193029, Санкт-Петербург, ул. Крупской, 13
факс: (812) 567-54-93, тел.: 567-85-78,567-14-45, 567-85-82,567-85-91
trade@lanpbl.spb.ru
Филиал в Москве:
Москва, 7-я ул. Текстильщиков, 5,
тел.: (095) 919-9600,787-59-47, 787-59-48
lanrnsk@gpress.ru
Филиал в Кра снодаре:
350072, Краснодар, ул. Зиповская, 7, тел.: (8612) 62-97-73.
Сдано о набор 23.01,02. Подписано в печать 02.12.02. Бумага тнпо1рафская. Формат 84 к 108/32
Гарнитура Литературная. I (счать офссшая. Усл. и. л. 24,36. Уч.-изд. л. 33,40. Тираж 5000 эка
Заказ № 1810
ФГУП Владимирская книжная типография
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
Качество печати соответствует качеству представленных диапозитивов