/
Текст
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТОМ I
OCHOB
' ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Под ,редакцией проф. п. А. Иоикииа
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРА60ТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Мииистеротвом BbIcwero " средиеrо -
специальиоrо образоваиия СССР
в качестве учебиикв '
для студеитов электротехиических
епециальиостеА втузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШХВ1!А)) 1976
6П2. 1
ТII
УДК 621.3 (075.8)
Рецензент:"докт. техн. ([аук, проф. Н. r. Максимович
(Львовский rосударственный университет)
Ионкин Петр Афанасьевич, Даревский Александр Иосифович,
Кухаркин Ев еений Степанович, Миронов Владими р Fеореиевич.
I Мельников Николай Александрович I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Том 1. '
Основы теории линейных цепей
Под ред. проф. П. А. Ионкина
Редактор Е. М. j'оманчук. Художественный редактор Т. М. Скворцова. техни";
ческий редактор Э. М. Чижевский. Корректор r. И. Кострикова.
Т-02838. Сдано в набор 13/Х-75 r. Подп. 'к печати 6/11-76 r. Формат 60x90 1 /16. Бум. тип.
1'1, 3. Объем 34 печ. л. Усл. п. л. 34. Уч.-изд. л. 32,21. Изд. 1'1, ЭР-193. Тираж 70000 зКз.
Цеиа 1 р. 23 к. 3ак. 208
Плаи выпуска литературы издательства «Высшая школа", (вузы и техникумы) на 1976 r.
Позиция И. 129
Москва, К-51. Неrлинная ул.. д. 29/14, Издательство «Высшая школа!>
Ордена Трудовоro KpacHoro Знаменн Ленинrpадское производственно-техническое объеди-
нение «Печатный Двор» имени А. М. rOpbKoro Союзполиrрафпрома при rосударственном
комнтете Совета Министров СССР по делам издательств, полиrраФии и книжной 'тор-
rовли, 197136, Ленинrрад, П-136, rатчинская УЛ.,. 26,
,.
т 11 . Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы тео-
рии линейных цепей. Под ред. П. А. Ионкина. Учебник
для электротехн. вузов. Изд. 2 e, переработ. и доп. М.,
«Высш. школю>, 1976.
544 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: П. А. ИЩlКин. А. И. Даревский, Е. С. Ку-
харкин и др.
Первый том книrи подверrся существенной переработке, необходимой для
приблцжения содержания курса к современной практике расчета и проектирования
элек!ротехнических устройств. Изложение основных законов и методов расчета
цепе>! ведется с использованием матриц, тополоrических понятий и rрафов.
30З06 IЗ5
T
001 (01) 76 129 76
6П2.1
@ Издательство «Высшая ШКОJllI»i 1976.
ПРЕДИСЛОВИЕ
. В течение последних десяти лет произошли значительные изме-
нения в содержании как специальных электротехничес,ких, так и
. общенаучных дисциплин, что в свою очередь привело к заметному
изменению проrраммы курса «Теоретические основы электротех-
ники». В связи с этим авторы нашли целесообразным внести неко-
торые изменения не только в содержание предлаrаемоrо учебника,
но и в методику изложения отдельных вопросов, rлав и даже раз-
деловкурса.
Для удобства читателей учебник разделен на два тома. Мате-
риал первоrо тома <<Основы теQРИИ линейных цепей» охватывает
примерно 2/3 проrраммы курса ТОЭ. Материал BToporo TOM «Осно-
ВЫ теории нелинейных цепей»; <<Основы теории электромаrнитноrо
поля» соответствует остальной части проrраммы Toro же курса.
Наиболее существенной переработке подверr лись разделы учеб
ника, в которых рассматриваются основы теории цепей; это выз-
вано значительным расширением применения в специальных и
базовых дисциплинах вычислительной техники.
Изложение основных заКQНОВ и методов расчета цепей ведется
преимущественно с использованием матриц, тополоrнческих поня-
тий и rрафов, широко применяемых для расчетов на ЭВМ, и бази-
руется на знаниях, полученных студентами в курсах математики
и физики. ПервыЙ раздел «Основные понятия JI соотношения для
электромаrнитных полей и электрических цепей», имевшийся
в предыдущем издании учебника, исключен. Отдельные наиболее
существенные вопросы из этоrо раздела излаrаются непосредствен
но в тех rлавах, в которых они получают дальнейшее теоретичес-
кое пр именение.
ИЗЛОЖЕ;ние основ теории цепей начи ается с элементов и ос-
новных тополоrических свойств электрических цепей и схем;
вводятся понятия rрафов и подrрафов, рассматриваются тополоrи-
ческие матрицы rрафа, некоторые свойства тополоrических мат-
риц, СIЮЙСТВО дуальности. .Во втором разделе излаrаются основные
свойства и методы расчета линейных цепей с источниками постоян-
ных напряжени и токов. Здесь в отличие от первоrо издания
изложение начинаетtя с классическоrо метода анализа переходиых
. 1*
3
и установившихся процессов в простейших цепях (rл. 3) и только
после этоrо подробно рассматриваются методы анализа установив
шихся ПРОI{ессов и основные CBO CTBa электрических цепей про
извольной конфиrурации при постоянных напряжениях и
токах.
В TpeTЬ M (основном) разделе теории линейных электрических
цепей рассматриваются свойства и методы расчета электрических
цепей .с источниками rармонических напряжений и токов одина
ковой частоты. Здесь изложение начинается также с классичес
" .
Koro метода анализа переходных и установившихся процессов
в простейших цепях (rл. 6). Затем рассматриваются методы анали
за установивц,шхся процессов в цепях с двухполюсными элемен
тами без I3заимной индукции, включая ТОПОлоrические методы
анализа и применение сиrнальных (на:правленных) rрафов.
В rлаву об анализе ПI оцессов в цепях с взаимной индукцией
включены вопросы анализа схем с электронными невзаимными
элементами. .
fлава Q мноrофазных цепях сокращена за счет уменьшения
объема материала, связанноrо с методом симметричных составля
ющих.
Четырехполюсники и мноrополюсники в отличие от предыду
щеrо издания изложены полностью в разделе о синусоидальных
токах и напряжениях. В этот же раздел включены вопросы о ха-
рактеристических сопротивлениях и коэффициенте передачи четы
рехполюсника, а также rрафы четырехполюсников и их IJримене
ние .для определения результирующих коэффициентов при прос
тейших схемах соединения четырехполюсников. Расширена rлава
об электрических фильтрах, в которой, кроме фильтров типа k,
изложены основные свойства фильтров типа т и безындукционных
фильтров. .
В раздеЛе о переходных процессах в линейных цепях.. кроме
классическоro, операторноrо и часто:rноrо методов, изложены
основные положения и показано, применение метода переменных
состояния. В rлаве о переходных процессах в цепях с распреде
ленными параметрами рассмотрены волновые процессы при фзр-
мировании импульсов, а также переходные процессы, протекаю .
щие в линии без искажения и в кабеле без индуктивности и утечки.
Шестой раздел посвящен элементам синтеза линейных элект-
рических цепей с сосредоточенными параметрами. В нем paCCM()1'
рены сВойства функций электрических цепей, а также даны OCtlv-
вы синтеза двухполюсных и четырехполюсныx схем.
4
,.Проце ы в нелинеиных цепях изложены в седьмом и восьмом
разделах.
В седьмом разделе рассмотрены основные свойства и методы
расчета нелинейных электрических и маrнитных цепей при пос
.тоянных токах и напряжениях; особенности режимов, основные
методы расчета нелинейных цепей при перемеННЬJХ токах и шiпря
жениях; кроме Toro, проведен анализ установившихся процессов
в цепях переменноrо тока с разлцчными нелинейными элементами.
В восьмом разделе изложены методы .анализа переходНЫХ про -
цессов в нелинейных цепях и элементы теории автоколебании.
Изложение основ теОРI:IИ электромаrнитноrо поля начинается
в отличие от предыдущеrо издания с формулировки основных ypaB :
- П
нении эл.ектромаrнитноrо поля. оследующие rлавы помимо воп-
росов, предусмотренных проrраммои курса, содержат решение
задач Сирла для цилиндрической поверхности раздела двух сред,
а также применение теории комплексноrо потенциала для расчета
полей на основе формулы КеЛДЬШ1а Седова. Кроме Toro, - pac
смотрены приближенный расчет поверхностноro эффекта иэффек-
та близости, а также плоские волны в rиромаrПИТНbIХ средах.
Из новых вопросов теории поля можно отметить:
а) применение метода интеrральных уравнений для расчета
электростатических и маrнитных стационарных полей;-
б) приближенные методы расчета и моделирование полей (ме-
тод сеток, аналоrовый метод и др.);
в) излучение квантовых reHepaTopoB (квантовыи осциллятор,
индуцированное излучение, квантовые переходы и т. п.);
r) электромаrнитное поле в маrнитодиэлектриках;
д) _ электромаrнитные явления в движущейся среде.
Мноrие разделы курса снабжены примерами, содержание KO
торых орrанически увязано с излаrаеМbIМ текстом.
Работа по написанию и переработке учебника распределена
между авторами следующим образом: rл. 1 9, 15, 16, 18, 19, при
ложение 1 написаны проф. П. А. Ионкиным и-доц. в. [. Мироно -
ьым; rл.l0 14, 20,в первом издани и написаННbIе проф.П.А.Ион
киным и проф. IH. А. Мельниковым l, во втором издании перерабо-
таны проф. П. А. Ионкиным И доц. в. [. Мироновым; rл. 21 24
написаньt проф. П. А. ИОНКИНbIМ, доц. В. [. Мироновым и доц.
[. [.. [усевым; rл. 17, 28 (кроме 28.7), 30 (кроме ЗО.l), 35
(KpOMe 35.1, 35.4), 27.15, 27.16,29.19:32.5,33.5, приложение Il
доц. Е. С. Кухаркиным; rл. 25, 26, 27 (кроме 27.15, 27.16), 29
(кроме 29.19), Зl,32 (кроме 32.5), 33 (кроме 33.5), 34, 28.7,
'5
30.1, 35.1, 35.4 доп. А. И. Даревским; введение к теорml1Ю.пя
доц. Е. С. Кухаркиным и доц. А. И. Даревским; предисловие и
введение к учебнику проф. П. А. Ионкиным, - доц. Е. С. Ky
харкиным и доц. В. [. Мироновым.
В заключение авторы считают своим приятным долrом выра-
зить rлубокую блаrодарность официальному рецензенту проф.
Н. [. Максимовичу и доц. Л. А. Синицкому, внимательно просмот-
ревшим рукопись _ Bтoporo издания учебника и сделавшим ряд
ценных замечаний.
Все пожелания, замечания и отзывы о книrе просьба направ-
лять по адресу: Москва, K 51, Неrлинная ул., д. 29/14. Издатель-
ство «Высша.JI школа».
Авторы
..
,-.
ВВЕДЕНИЕ
в Проrрамме КПСС указано, что электрификация, являющаяся
одним из стержней строительства экономики КОММУl;Iистическоrо
общества, иrрает ведущую роль в развитии всех отраслей народ-
Horo хозяйства, в осуществлении cOBpeмeHHoro научно техничес-
Koro проrресса. Одновременно со значительным ростом мощностей
электростанций в настоящее время строятся десятки тысяч кило-
метров высоковольтных маrистральных и распределительных сетей
во всех районах страны. По мере удешевления производства атом-
ной энерrиИ развертывается СТРОИТeJ;IЬСТВО атомных электростанций.
Все большее место в технолоrии производства зе.нимают электро-
ника, полупроводниковая техника и ультразвук. Автоматизация
уже сейчас связана с широким применением кибернетики, электрон-
ных вычислительных и управляющих устройств в производствен-
ных процессах промышленности, строительной индустрии и тран-
спорта, в научных исследованиях, в плановых и проектно конструк-
торских расчетах и особенно в сфере учета и управления.
. - Одной из важных задач коммунистическоrо строительства,
решаемых в настоящее время, является электрификация сельско-
ro хозяйства. Только на базе электричества оказалось возможным
широкое развитие новейших научно технических направлений
в автоматике, телемеханике и радиоэлектронике, которые привели
к покорению космоса, разработке и применению нескольких поко-
лений вычислительных машин, возникновению и быстрому развитию
кибернетики.
Трудно представить жизнь COBpeMeHHoro человека без таких
важных ПРОВОДНИltов культуры, как электрическое освещение, кино,
радио, телевидение и т. д.
Широкое и разнообразное использование электрической энерrии
- объясняется тем, что она имеет оrромные преимущества перед дру-
rими формами энерrии. Электрическая энерrия сравнительно
просто получается (из друrих форм энерrии), передается на различ-
ные расстояния и преобразуется в друrflе формы энерrии. Она может
существовать в самых различных количествах и использоваться
достаточно экономично. Всем .известны такие устройства, как,
например, электрические лампы, эл ктрические двиrатели, электри-
ческие печи, электронаrревательные приборы, электромЩ'ниты и т. п.
Электрической энерrией MorYT приводиться в действие как самые
тонкие хирурrические инструменты, так и самые мощные прокатные
станы (блюминrи). Поэтому электрическая форма энерrии до cero
времени является незаменцмой для народноrо хозяйства.
Электромаrнитные явления очень своеобразны, в большинстве
случаев их нельзя наблюдать непосредственно (без специальных
приборов). Обычно они протекают весьма быстро и связаны с рядом
7
сопутствующих явлений; однако, изучив свойства электромаrнитных
явлений, ими можно сравнительно просто управлять.
Процессы, протекающие в различных эJIектромаrнитных устрой
ствах, всеrда зависят от свойств среды, в которой они наблюдаются
'и исследуются.
первыle представления о свойствах среды вблизи заряженных
тел сложились еще в' rлубокой древности, коrда люди заметили,
что натертый .янтарь вызывает движение мелких предметов без
непосредствеиноrо соприкосновения с ними (на расстоянии). Позже
было обнаружено, что подобные явления имеют место и при OTCYТ
ствии между взаимодействующими заряд.ами вещества Б какой
бы то ни было форме. На этой почве возникло представление, что
телам присуще свойство действOIЩТЬ на друrие тела на расстоянии,
без участия промежуточных тел или cp д и притом практически
'MrHoBeHHo. Тroрия дальнодействия, или действия на расстоянии,
открывала широкие возможности для мистических домыслов о при
роде-действующих сили с самою начала была принята на-вооружение
философами идеалистами. Против теории дальнодейcrвия решитель
. но выступали не только философы материалисты, но и ученые естест
В'Jиспытатели. В частности, заслуrа в объяснении -электромаrнитных
явлений на основе материалистической теории близкодействия
принадлежит М. В. Ломоносову. Соrласно этой теории, сило
вые взаимодействия между телами 'MorYT' передаваться только при
надичии какой нибудь среды, окружающей тела, с конечной CKO
ростью. Значительным шаrом в утверждении материалистических
взrлядов на электромаrнитное поле явились работы Фарадея и
Максвелла. Попыткам дать трактовку электрических и маrнитных
явлений с помощью таинственных невесомых веществ они противо
поставили объяснение этих явлений дефор ациями и пеРТУР8ациями
в среде, заполняющей все межзвездное пространство и назьтаемой
эфиром. Силовым линиям они придавали физическое значение как
линиям, показывающим направления натяжений и перпендикуляр
ным к направлениям сжатий эфира. Однако на этой основе стройной
теории, приrодной для объяснения одновременно всех явлений
в электромаrнитном поле, создать не удалось. И это было не слу-
чайно, так как электромаrнитное поле качественно отличается от
механическоrо движения. Бесплодность попыток свести электромаr-
нитное движение к механическому стала очевидной после опытов
Физо, Маикельсона и Марлея, показавших независимость скорости
света от скорости движущихся тел. Дальнейшее развитие электро
маrнитной теории Лоренц Mor осуществить только отказавшись
от попыток найти какую либо механическую модель поля. Это
дало повод мноrим ученым, не имевшим представления о диал.екти-
ческом материализме, утвер)J(дать, что «материя исчезает; остаются
ОДНИ уравнения» или что <<поле это движение без материи».
В борьбе против попьrrок сделать идеалистические выводы из разви-
тия физики вьщающаяся роль принадлежит В. И. Ленину. В работе
< атеРQализм и эмпириокритицизм» 'он дал принципиальное фило-
софское толкование этой пробл мы, указав, что, поскольку бесспорно
в
установленной является объективность сущ ствования электромаr-
нитноrо поля, .эJIектромаrнит ое поле следует, считать одним из
в-идов материи «...единственное «свойство» материи, с признанием
КЩОрО,FО связан философский материализм, есть свойство быть
объективНой р альностью, сущ ствовать вне нашеrо созна-
ния?> *.
Величины, характеризующие электромаrнитные явления в раз-
ЛИЧl!ых электротехнических устройствах,обычно с большой сте-
пенью точности можно рассчитать заранее, в процессе наблюдения
измерить и зареrистрировать, а при желании и см:рделировать.
При этом расчет и .проектирование, монтаж и эксплуатация электро-
!ехнических установок, как правило, требуют весьма квалифици-
pOBaHHoro персонала.
Э л е к т р о т е х н и к о й в широком смысле слова называется
обширная область практическоrо применения электромаrнитных
явлений.
MHoro открытий и изобретений наряду с иностранными учеными
сделали русские ученые и инженеры, положившие начало важней-
шим отраслям электротехники;,
. М. В. Ломоносов кроме обоснования теории близкодействия
создал ориrинальную теорию атмосферноrо электричества, открыл
закон сохранения массы и движения. После изобретения А. Воль-
том rальваническоrо столба появилась возможность получать
электрический ток. Исследуя явления в электрической цепи"
В. В. Петров открыл (1802 r.) электрическую дуrу и указал на
возможность практическоrо применения ее для освещения, плавки
и сварки металлов.
Важную роль в развитии учения об электромаrнитных явлениях
сыrрал анrлийский ученый М. Фарадей, открывший в 1831 r. закон
электромаrнитной индукции. .
В 1832 r. П. Л. Шиллинrом был пос:rроен первый в мире электро-
маrнитный телеrpаф. ,'о
'. в 1833 t. русский академик Э. Х. Ленц открыл закон, устанав-
ливающий связь между направлениями индукционных токов и
их электромаrнитными и электродинамическими взаимодействияМи.
В частности, им был установлен принцип электромаrнитной инерции.
В 1844 f. он независимо от Д. Джоуля установил, что количество
тепла, выделяющеrося в проводнике при прохождении тока, прямо
пропорционально сопротивлеНИКI проводника и квадрату тока.
В 1845 r. немецким физиком [. Кирхrофом были сформулированы
основные законы для разветвленных электрических цепей, имеющие
orpoM.Hoe значение для развития теоретической и практической
электротехники. ,.
. Изобретенная русским ученым П. Н. Яблочковым электрическая
све>1 а положила начало электрическому освещению. Первая лампа
накаливания с уrольным стерженьком была создана русским цнже-
Нером А. Н. Лодыrиным.
... В., И. л е н ин. Собр. соч.. из.l1. б-е, т. 18, стр. 275.
.
9
Из друrих русских ученых второй ПОЛОВИНЫ XIX столетия
необходимо отметить А. [. Столетова, впервые подробно исследо-
вавшеrо маrнитные свойства железа, и Н. А. Умова, заложившеrо
основы для вывода уравнениЙ движения электромаrнитной энерrии
в телах.
Таким образом, за период с 1800 по 1880 f. в.тесной связи с раз
витием прикладной электротех.ники И, в частности, телеrрафией,
rальванопластикой и техникой электрическоrо освещения развива-
лась теория цепей постоянноrо тока. За этот период были установ-
лень! основные понятия теории электрических цепей и создаНЫ
первые методы их расчета. ,
Начало применению переменноrо тока положил в 1876r.П. Н. Яб--
лочков. Переменный ток обеспечивал равномерность сrорания
уrлей в ero свече и давал возможность леrко осуществлять питание
мноrих ламп от одноrо источника электрической энерrии.
Расширение потребления электрической энерrии вьщвинуло
проблему передачи ее на значительные расстояния. Для решения .
этой проблемы требовалось применение различных напряжений
для передачи и распределения ЭJIекТрической энерrии. Эта задача
леrко разрешалась для переменноrо тока путем применения TpaHC
форматоров, изобретенных также 'П. Н. Яблочковым.
Переменный ток получил всеобщее признание И широчайшее
использование в электроэнерrетике блаrодаря изобретениям рус-
cKoro инженера и ученоrо М. О. Доливо Добровольскоrо. Им была
разработана трехфазная система, получившая повсеместное рас-
пространение. В 1889 r. он построил первый трехфазный двиrатель,
разработад все остальные звенья трехфазной цепи и в 1891 r. осу-
ществил передачу электрической энерrии трехфазным током на
расстояние 175 км. Применение переменноrо тока требовало'решения
мноrих вопросов и послужило основанием для разработки целой
области теоретических основ электротехники теории переменных
токов. Особенно значительным в развитии этой теории было введение
крупным электротехником ч. П. Штеймецом метода комплексных
величин' для расчетов цепей.
Наряду с необходимостью решения теоретических задач, отно-
сящихся к электрическим и маrнитным цепям, практическая элект-
ротехника выдвинула задачи по расчету электромаrнитных полей.
Конструирование электрических машин и электромаrнитных аппа
ратов требовало расчета маrнитных полей. Создание надежной
изоляции токоведуших частей приводило к необходимости pac1:eTa
электрических полей.
В 1873 r. анrлийский ученый Д. Максвелл в классическом труде
«Трактат О электричестве и маrнетизме» изложил в математической
фор е основы теории электромаrнитноrо поля, представляющей
соб и, как было отмечено, расширение и дальнейшее развитие
идеи М. Фарадея о физической реальности электромаrнитноrо поля.
Экспериментальное ПQдтверждение и развитие тedрии электромаr-
нитноrо поля, разработанной Д. Максвеллом, было осуществлено
немецким физиком r. rерцем в 1887 1889 п. в ero опытах по полу-
,10
.. 1.
.чен:йю:И распространению электроматкитных 'Волн, а также русским
физи'ком П. Н. Лебедевым, доказавшим давление -световых волн.
В 1895 т. А.С Попов изобрел радиосвязь, открывшую новую
эру в культурной жизни человечеcrва. Развитие радио послужило
мощным толчком к разработке как теории .электрических цепей,
так и теории злектромаrнитноrо поля. В 1904 r. в Петербурrском
политехническом институте проф. В. Ф. Миткевич начал читать курс
«Теория электрических и маrнитных явлениИ», в в 1905 r. в MOCKOB
ском высшем техническом училище проф. К. А. Kpyr курс «Teo
рия переменных токов», который был ,издан в 1906 r. Первой книrой
в России, в значительноii мере охватывающей весь комплекс воп-
росов теоретических основ электротехники, была изданная в 1916 r.
книrа К. А. Kpyra «Основы электротехники».
Следовательно, в развитии электротехники можно отметить
второЙ этап (l880 19I7), характеризующий-ся формированием
самостоятельной дисциплины «Теоретические основы электротех-
ники».
Следует иметь ввиду, что' при расчетах мноrи.х электротехни
ческИХ установок встречаются весьма большие ТРУДНQCт.и, связан
вые с необходимостью идеализации задач в процессе их математи-
ческой постановки. Таквя идеализация может быть вьmолнена только
на основе определенноrо опыта, уже имеющихся методов расчета
и некоторых допущении, для которых подчас требуется дополнитель-
ная экспериментальная проверка. Это особенно' важно, так как
практически наиболее желательны простые методы расчета.
Возможны два принципиально различных подх-ода к решению
электротехнических задач и рассмотрению электромаrнитных яв-
лений: 1) -с использованием интеrpальных величин, хар актер и.
зующих работу устройства в целом; 2) с применением дифферен-
циальных понятий, характеризующих состояние Toro или иноrо
материала в разных местах устройства. Так например, расчет элект-
рической цепи, в которую включеflЫ различные приемники электри-
ческой энерrии (лампы, ДЩfraтели), может заключаться в определе-
нии токов' в проводах и напряжений на зажимах приемников, а
расчет изолирующей конструкции в определении напряженности
электрическоrо поля в отдельных местах диэлектрика. Первому
аспекту задачи отвечает теDрия цепей; второму теория электро-
маrнитноro поля. Иноrда д.ля одной и, той же установки приходится
решать задачи обоими методами. Физически более общей и детальной
является заД8ча, формулируемая в теории электромаrнитноrо поля.
Однако, как правило, ее можно решить только Б отдельных частных
случаях. Кроме Toro, постановка такой задачи нередко не является
необходимой, так как, во первыХ, изучаемое явление во всех деталях
можно не рассматривать и, BO BTOpЫX, оно достаточно полно харак-
териэуется задачей, формулируемой в теории цепей.
В основе теории цепей лежат законы Ома и Кирхrофа, в простей-
тем виде известные из курса физики, в основе теории электромаr-
НИтноrо поля уравнения Максвелла, дающие математическую
формулировку элеК'J'ромаrнитных процессов в пространстве. Основ-
..
11
ной математический аппарат, используемый в этихрвзделах элект-
ротехники, различный. Если в теории цепей используется система
алrебраl;Iческих (при рассмотрении установившихся режимов) или
дифференциальных (при рассмотрении переходных процессов) урав-
нений, то в теории электромаrнитноrо поля уравнения математи-
ческой физики, т. е. дифференциальные уравнения в частных произ-
водных. Известны случаи, коrда решения задач электротехники
приводили к необходимости дальнейшеrо развития математических
методов (функции комплексноrо переменноrо, операционное ис-
числение, теория информации и т. д.).
В течение послеДНИХ десятилетий теоретические основы электро-
техники получили дальнейшее развитие не только в пределах Toro
же курса, но и в ряде специальных дисциплин, таких, как «Основы
теории связи», «Основы радиотехники», «Теория электрических
машин», (Теория электрических сетей» и др. В специальных дис-
циплинах задачи теоретической электротехники рассматриваются
применительно к конкретным установкам. В теоретических осно-
вах электротехники они имеют самую общую постановку, без дета-
лей, требующих специальной подrотовк;и.
Таким образом, курс теоретических основ электротехники яв-
ля ся базовым для всех специальных электротехнических дис-
циплин.
Качественные и количественные стороны исследуемых электро-
маrнитных явлений и процессов находятся в неразрывной связи.
Поэтому изучение курса теоретических основ электротехники
в высшей школе, как было отмечено, основывается на знаниях, полу-
ченных из курсов физики и математики. Эти знания в курсе теорети-
ческих основ электротехники расширяются и развиваются в направ-
лении разработки методов анализа, расчета и экспериментальноrо
исследования явлений и процессов, протекающих в электрических
и маrнитных цепях и в электромаrниtных полях.
Как при исследовании физических процессов в цепях, так и при
изучении электромаrнитных полей единс-з:венным научным методом
познания является диалектический метод: «От живоrо созерцания
к абстрактному мышлению и от Hero к практике таков диалекти-
ческий путь познания истины, познания объективной реальности» * .
Следует отметить, что по мере дальнейшеro развития техники
каждый инженер в процессе творческой деятельности может встре-
титься со мноrими новыми задачами, не отраженными в данном
.курсе. Поэтому необходимо стремиться к тому, чтобьi. при изучении
материала курса получить наибольшую самостоятельность в решении
. практических задач. В курсе теоретических основ электротехники
рассмотрены решения лишь типовых задач, систематизированных
на основе имеющеrося опыта. За истекший период указанный курс
неоднократно дополнялся И-, несомненно, будет дополняться в даль-
иеИшем но выми задачами и теориями.
· В. И. Л е I-J и н. Собр. СО'!., изд. 5-е, т. 29, стр. 152, 153.
РАЗДЕ.Л ПЕРВЫМ
ЭЛЕМЕНТЫ И ОСНОВНЫЕ тополоrИЧЕСКИЕ св'оАСТВА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
rЛАВА 1
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1.1. Классификация электрических цепей и их элементов
Э л е к т р и ч е с к о й цеп ь ю называют совокупность уст-
ройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимноro
преоБРЗ30вания и передачи электрической и друrих видоВ энерrии
и (или) информации. Свое шiзначение цепь выполняет при наличии
в ней электрическоrо тока. Электромаrпитные процессы в цепи и ее
Шфаметры MorYT быть описаны с помощью известных из курса
физики интеrральных понйтий: ток, напряжение (раЗНОС1:Ь потенциа-
лов); заряд, маrнитный поток, электродвижущая-сила, сопротивле-
ние, индуктивность, взаимная индуктивность и. емкость.
В отличие от электрической цепи электромаrнитные процессы
в ряде электротехнических устройств хара т!ризуются дифференци
альными понятиями: вектор напряженности электрическоrо поля и
вектор -электрическоrо смещения, вектор напряженности маrнитноrо
поля и вектор маrнитной индукции, плотность заряда и вектор плот
I:iости тока, удельная 'Электрическая проводимость и др. Анализ
устройств, процессы в которых описываются с помощью дифферен
циальных понятий, рассматривают в теорииэлектромаrнитноrо
поля.
,-о Следует отметить, что именно в теории поля дается определение
мнтеrральных понятий (таких, как ток и напряжение), характери-.
'зующих электрическую цепь. Расчет параметров цепи (сопротивле
ний, индуктивностей, емкостей) в общем случае также возможен
только с помощью понятий, используемых в теории поля.
В некоторых случаях одно и то же устройство можно анализиро-
вать и методами теории цепей, и методами теории поля. Например,
-лини!! передачи электрической энерrии можеТ рассматриваться
как цепь с распределенными параметрами или как направляющая
система для электромаrнитноrо поля. Выбор Toro или иноrо меrода
" 'зависит от конкретных целей анализа, необходимой точности
и друrих факторов.
ЭлеI<трическая цепь состоит, из отдельных частей (объектов),
выПолняющих определенные функци и называемых 'э л е м е н
т а м и 'Ц е п и.
Основными элементами цепи являются источники и приемники
электрической энерrии (сиrналов).
..
13
Источники энерrии (сиrналов), такие, как электромеханические
или электронные [енераторы, аккумуляторы, rальванические эле-
менты, термодатчики и Т. д., предназначены для преобразования
различных видов энерrии в электрическую энерrию.
Приемники энерrии (сиrналов) служат для преобразования
электрической энерrии в друrие виды энерrии. К ним относятся
электрические двиrатели, наrревательные приборы, электрические
лампы, элеКТРОННО ЛУIJ:евые трубки, 'щшамические rромкоrовори-
тели и др.
Кроме основных элементов, цепь содер:щит различные вспомо-
rательные элементы, КОТОр,ые связывают источники с приемниками
(соединительньiе провода, линии передачи), подавляют или усили-
вают определенные составляющие СИl'Налов (фильтры, усилители),
изменяют уровень напряжения и тока в- друrих частях цепи (транс-
форматоры), улучшают или изменяют характеристики и пар'аметры
участков цепи и ее 9Лем:ен'tо.В: (корр.ектирующие устройства, фазовые
звенья) и т. п.
По. назначению различаЮIF цепи для передачи и nреобразования
электрической. энереии (цепи, применяемые в электроэнерrетике)
и цепи для т:;редачи и, nреобразования информации (цепи в технике
связи, радиотехнические цепи, цепи устройств автоматики и теле-
механики и т. д.).
Цепи можно классифицировать ПО типу элементов, из которых они
состоят, например, резистивные цепи цепи, состоящие из резис-
торов и источников энерrни, электронные цепи цепи, содержащие
электроннь'Iе лампы и транзисторы, и т. д.
У каждоrо элемента цепи можно вьщелить определенное число
зажимов (полюсов, выводов), с помощью которых он соединяется
с друrими элементами. _
Различают двухполюсные и мноеоnолюсные (трехполюсные, четы-
рехполюсные и т. д..) элементы цепи. Двухполюсные элементы имеют
два зажима; к ним относятся источники энерrии (за исключением
мноrофазных и управляемых источников), резисторы, конденсаторы,
индуктивные катушки.
Наиболее распространенные трехполюсные элементы это 9.пек-
тронные лампы (вакуумные триоды) и транзисторы (полупровод-
никовые триоды). '
Примерами четырехполюсных элементов MorYT служить транс-
форматоры (двухобмоточные), индуктивные катушки с подмаrничи-
ванием,(дроссели с подмаrничиванием), интеrральные операционные
усилители.
Элементы цепи, имеющие более четырех зажимов, также находят
применение (например, мноrообмоточные трансформаторы, различ-
ные микромодули твердотельные компоненты электронных
схем, мноrоэлектродные электронные лампы). Различают
активные. и пассивные 9пементы цепи. К активным элементам отно-
сятся источники 9нерrии. Часто активными элементами называют
также электронные лампы, транзисторы, операционные усилители,
которые способны усиливать электрические сиrналы. К пассивным
14
относят элементы, в которых рассеивается и (или) :накапливается
энерrиЯ (резисторы, индуктивные катушки, кондецса'FOРЫ, TpaHC
форматорь . _
Реальные элементы цепи MorYT быть описаныалrебрвическими
или дифференциальными уравнениями, связывающими наrrpяжения
и токи на зажимах этих элементов. Такое описание может быть
сделано с-определенной степенью точности при идеализаIU1И физи-
ческих процессов в элементах; второстепенные с определенной точки
зрения процессы при этом не учитываются.
Если элемент цепи харщперцзуется линейными ал,rебраическими
или' дифференциальными - уравнениями (Пр'И упомянутой ранее
идеализации), то ero называют л и н е й н ы м. Коэффи;циенты,
связывающие напряжения и токи и их производные, дреДС\I'авляют
собой параметры элемента. Парамет-ры линейноrо элемента Moryт
быть постоянными (стационарный элемент) или MorYT изменяться
в зависимости -от времени по какому либо закону -(нестационарный,
параметрический элемент).
Если элемент цепи описывается нел:инейнымиалтебр.аИll!Iескими-
или дифференциальными уравнениЯ'ми, -то он называется нелинеи-
ным. Нелинейные элеменТЫ Moryт быть также парв.мет-ричеакими.
, Во мноrихслучаях пар,аметры элемента .р,аюсмат.р:иваются как
сосредопwченные (элемент с сосредоточенными 'fIЩ)аметрами.); при
этом напряжения и токи на зажимах элемента н:е Я-ВЛ;Я>Ю1f.ся функ-
циями пространственных координат, определяющихrеометрические
размеры элемент.а. Пар.аметры элемеi:Iта MorYT быть также распре-
деленными (элемент с распределенными параметрвми); такой элемент
характеризуется уравнениями, в которых наПРЯЖiения и токи зави-
сят от пространственных координат. В качестве примеров элементов
с распределенными параметрами можно назвать линии передачи
энерrии и информации, мноrослойные пленочные резистивно-емкост-
ные микроструктуры.
Элементы электрическоЙ цепи MorYT удовлетворять или не
удовлетворять принципу взаимности *. в соответствии с этим раз-
личают взаимные и невзаимные элементы. Примеры взаимных
элементов':""" резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, тран-
сформаторы; к невзаимным элементам относятся электронные лампы,
транзисторы и др.
Цепи, содержащие только линейные элеМ НТ:fuI, называют л и -
н е й н ы м и цепями. Основное свойство таких .:цепей примени-
мость принципа наложения, заключающеrося в том, что результирую-
щая реакция линейной цепи на несКолько приЛQженных одновременно
возмущений равна сумме реакций, обусJiовлепных каждым возмуще-
нием в отiJельности.
Если цепь содержит один или несколько параметрических эле-
ментов, то ее называют пар а м е т р и ч ес к о и (нестационарной).
* Упрощенно принцип взаимноcrи состоит в следующем: реакция цепи
на участке 1 от возмущения на участке 2 равна реакции на участке 2 от
TaKoro же возмущения на участке 1. Математическая фОРМУЛИРОВ.I\а этоro
принципа и е'о иллюстрации д-зиы ниже.
15
Аналоrично, если цепь. содержит один или более нелинейных эле
ментов, то ее называют н е л и н е й н о й. Для нелинейной цепи
в общем случае неприменим принцип наложения.
Цепь, содержащую элементы с сосредоточенными параметрами,
называют цепью с с о с р е Д о т О ч е н н ы м и пар а м е т р а
м и. Цепь, содержащую элементы с распр деленными параметрами,
называют цепью с р а с п р е Д е л е н н ы м и пар а м е т р а м и.
CTporo rоворя, любая электрическая цепь представляет собой
tr.епь с распределенными параметрами, зависящими от режима цепи.,
т. е. является нелинейноЙ. Однако во мноrих случаях из за большой
скорости электромаrнитных процессов изменения напряжений и
токов, происшедшие на одном участке цепи., одновременно вызьmают
определенные изменения и на всех остальных участках цепи; зави
СИry:lость параметров цепи от ее режима часто несущественна. Таким
образом, во мноrих случаях реальные электрические цепи можно
рассматривать как линейные цепи с сосредоточенными парамет-
рами.
Цепи, содержащие только DзаимныIe элементы, называют в з а -
и м н ы м и (цепи, состоящие из резисторов, конденсаторов, индук
тивных катушек, трансформаторов и источников энерrии). Ес,JIИ
в цепи имеются невзаимные элементы, то цепь называют н е в з а -
и м н о.й (цепи С' электронными лампами, транзисторами, опера-
ционными усилителями). .
Можно rоворить также об активных и паССИВI!ЫХ цепях. Цепь
считают а к т и в н о Й, если по отношению к некоторым зажимам
она является источником энерrии. Такая цепь содержит активные
элементы. В противном случае цепь называют п а с с и в н о й.
1.2. Схема электрической цепи и элементы схемы
Электрическая цепь характеризуется'совокупностью элементов,
из которых она состоит, и способом их соединения.
Как уже отмечал ось, реальные элементы цепи идеализируются
для УIIрощения математическоrо описания элемента. Однако идеали
зированные уравнения должны правильно отражать основные
физические явления в том или ином реальном элементе.
Идеализированному элементу цепи ставят в соответствие ero
математическую модель схемный элемент. Уравнения, описы-
вающие схемный элемент, идентичны идеализированным уравнениям
реальноrо элемента электрической цепи. Схемные элементы Moryт
быть введены.и как математические абстракции; при этом они
необязательно должны соответствовать каким-либо реальным эле
ментам цепи. Однако любой реальный элемент цепи с необходимой
степе.пыо точности можно представить с помощью одноrо или COBO
купности схемных элементов, соединенных определенным образом.
Такую СQВОКУПНОСТЬ схемных элементов (в частном случае один
схемный элемент) называют с х е м о й з а м е Щ е н и я или э к в и -
в а л е н т н о й схемоЙ элемента электрической цепи при условии
совпадения уравнений, описывающих эту схему и элемент цепи..
16
Каждому схемному элементу соответствует условное rеометри
цеское изображение. Тоrда способ соединения . элементов реаJ1ЬНОЙ
uепи леrко представить с помощью соответствующеrо соединения
схемных элементов. rеометричеСkое изображение соединения cxeM
ных элементов, отображающее. соединение реальных элементов
электрической цепи и ее свойства, называют с х е м о й цепи.
В схеме выделяют ветви участки, которые характеризуются
одним и тем же током в начале и конце в любой момент времени,
и узлы rраничные (концевые) точки ветвей. Напряжение ветви
тождественно разности потенциалов ее узлов *.
Ветвям и узлам схемы, как правило, соответствуют ветви и узлы
реальной цепи. В схемах электрических цепей, содержащих MHoro
полюсные элементы, некоторые узлы и ветви MorYT не отображать
узлы и ветви цепи. Кроме Toro, некоторые ветви схемы вводят для
учета конструктивных и монтажных параметров uепи (например,
паразитных, емкостей между зажимами элемента, емкостей монтажа,
индуктивностей выводов). '
Применительно к электрической цепи ветвь часто определяют
как участок цепи, в любом .сечении KOToporo ток имеет одно и то же
значение в данный момент времени, а узел как <MeCTO}) соединения
ветвей.
Любой двухполюсный элемент схемы может быть условно пред-
ставлен так, как показано на рис. 1.1. Зажимы 1 и 2 присоединяют
данный элемент к друrим элементам. Напряжение между этими
зажимами И' ток элемента обозначены co
ответственно через и, i. Напряжение из-
Меряется в вольтах (В), ток в амперах (А).
Стрелки без просвета (с просветом) ortpeдe-
JlЯЮТ положительные направления напря-
жения (тока).
Напряжение и и ток i в общем случае
представя:лют собой функuии времени t:
и == и и); i == i (t).
1.3. Двухполюсные активные элементы
i
.J .........р
'"
н" !
2.....
"
<::!------
i
Для любоrо фиксированноrо момента Рис. 1.1
времени напряже.ние и ток MorYT быть
положительными, отрицательными или равными нулю. Положи
тельное направление выбирают для Toro, чтобы придать знакам
напряжения и тока определенный смысл'.
Напряжение и (рис. 1.1) отождествляют с разностью потенuиа
лов на зажимах 1 и 2, т. е.
и == ''Р. 'Р2'
.
· Ветви и узлы схемыIтополоrиqескиеe понятия (см. rл. 2).
п
Если для какоrо либо момента времени напряжен,Ие u > О
(и < О), То это означает, что потенциал Ipl узла 1 больше (меньше)
потенциала 1p2 узла 2 * .
Положительное направление напряжения можно указать двой-
ным индексом. Так, на рис. 1.1 в качестве положительноrо направ-
ления выбрано направление напряжения и12' При этом
llt2 :=: и 21 .
Ток i равен скорости изменения заряда q, переносимоrо заряжен-
ными частицами через поперечное сечение участка цепи, т. е.
i :=: dq/dt.
В общем случае заряд q дредставляет собой сумму заряда q+,
переносимоrо положительно заряженными частицами, и абсолют-
ной величины заряда q , переносимоrо отрицательно заряженными
частицами. Величинц. заряда измеряется в кулонах (Кл). За направ--
лени е тока принимают направление перемещения положительно
заряженных частиц, или, что то же самое, направление, противопо-
ложное направлению перемешения отрипательно заряженных
частиц. Если IJРИ указанном положительном направлении в неко-
торый момент времени'ток i > О (i < О), то это означает, что направ-
ление тока совпадает с положитеЛьным направлением (противопо-
ложно положительному направлению).
Положительное направление напряжения и 'тока выбирают
произвольно. Любые соотношения, характеризующие взаимо-
связь между напряжениями и токами элемента (схемы в целом),
имеют смысл лишь для выбранных положительных направлёний.
у двухполюсноrо элемента ток через поперечное сечение провод-
ника у зажима 1 равен току через поперечное сечение проводника
у зажима 2 (при учете соответствуюпщ,х направлений). Поэтому
в дальнейшем ток двухполюсника будет указываться на схеме
только один раз.
Для принятых на рис. 1.1 положительных направлений напря-
жени5,I и тока произведение ui выражает мrновенную мощность,
ПQтребляемую двухполюсником:
р (!) == u (t) i и).
Мощность характеризует скорость изменения энерrии \\7 (t), т. е.
(t) == dW (t)
р, dt.
Энерrия, поступившаf! в цепь,
t t
W (t) == р (т:) dт::=: u (т:) Цт:) dт:,
ro
ro
rде т: переменная интеrрирования.
· Потенциал любоro узла схемы отсчитывается относительно некотороЙ
ТОЧКИj потенциал которой при,нимается равным нулю.
18
Если для любоrо момента времени t энерrия W (п ;?: о, то
соответствующий двухполюсныЙ элемент является потребителем
9нерrии и называется пассивным.
Активный двухполюсник reнерирует энерrию. Для TaKoro двyx
. полюсника W (t) < О.
Если на рис. 1.1 изменить положительное направление тока на
противоположное, то интеrрал
t
W (t) == u ('t) i ('t) d't
ro
будет определять rенерируемую энерrию. В этом случае W (п > о
соответствует источнику (активному двухполюснику), а W и) о
потребителю 9нерrии (пассивному двухполюснику).
Реальным источникам энерrии можно поставить в соответствие
двухполюсныIe схемные элементы: источник 9. д. с. (напряжения)
и источник тока.
Источник э. Д. с. Источник 9. д. с. (напряжения) характери
., зуется величиной э. д. с. е (t), равной напряжению, т. е. разности
· потенциалов на зажимах при отсут- 1
ствии тока через источник. Э. д. с. J
определяют как работу сторонних сил,
присущих источнику, на перемещение c{t) t, J u{t)
единичноrо положительноrо заряда { ,
внутри источника от зажима с MeHЬ '
шим потенциалом к зажиму с большим 2 kf
потенциалом.
Напряжение u (t) на зажимах
реальноrо источника э. д.с. зависит
от тока через источник. Если этой
зависимостью можно пренебречь, т. е. если напряжение на за
жимах источника равно 9. д. с. при любом токе через источник
u (t) == е (t), то источник э. д. с. называют и Д е а л ь н ы м. Обо
значение идеальноrо источника 9. д. с. дано на рис. 1.2, а; стрелка
внутри кружка указывает положительное направление действия
сторонних сил в источнике (положительное направление э. д. с.).
Источник, у KQToporo э. д. с.
I Е
а)
oj
-""
Рис. 1-.2
,
е (t) ==,g == const,
называют и с т о ч н и к о м п о с т о я н н о й э. д. с. В противном
случае источник называют и с т о ч н и к о м пер е м е н н о й
Э. д. с. У источника постоянной э. д. с., изображенноrо на схеме,
начало (конец) стрелки, указывающей положительное направление
э. .р.. с. r!f> О (рис. 1..2, а), соответствует отр-ицательному (положи-
тельному) зажиму. Возможно. также изображение источника посто-
янной э. д. с., по казан ное на рис. 1.2, б.
Зависимость напgяжения u на зажимах реальноrо источника
от тока i через источник может быть различной. В простейшем слу-
чае у источника постоянной э. д. с. эта зависимость выражается
19
- Уравнению (1-.1) соответствует схема замещения ИСТОЧНика на
рис. 1.3. В этой схеме элемент 'в, последовательно соединенный
с идеа,п.ьным источником.. э. д. с. r!f, называют в н у т р е н н и м
с о про т и в л е н и е м источника и характеризуют соотношением
Ив == 'Bi.
Таким образом, в уравнении (1.1) учитывается падение напряже-
ния на внутреннем сопротивлении источника: напряжение И на
зажимах реальноrо источника меньше э. д. с. на
величину падения напряжения во внутреннем
сопротивлении. Идеальный источник э. д. с.
имеет 'в == О.
fрафик зависимости (1.1) показан на рис.
1.4, а. Ток
это ток KopOТKoro замыкания источника, т. е.
ток при напряжении на зажимах И == О.
Зависимости И (i) для реальных источников,
называемые в н е ш н и м и х а р а к т е р и -
с т и к а м и, отличаются от линейной зависи
мости на рис. 1.4, а. Пример внешней Xapaктe
ристики реальноrо источника постоянной э. д. с. дан на- рис. 1.4, б;
в определенном диапазоне изменения тока эта характеристика близ
ка к линейной и описывается уравнением (1.1).
и. и.
ypaBHeH eM
i
Рис. 1.3
(,
И == r!f rni.
(1.4)
j
i кз == r!f /r в
i
а)
i
О) К3
Рис. 1.4
У ИСТочников переменной э. д. с. с напряжением И (t) напряже-
ние во внутреннем сопротивлении в некоторых случаях определяют
как ИВ == rпi. Тоrда схема замещения источника аналоrична схеме
на рис. 1.3.
Источник тока. В отличие от источника э. д. с. источник
тока характеризуется током i (1) при короткозамкнутых зажимах
(при отсутствии напряжения на зажимах источника). Если ток
источника не зависит от напряжения, T. . i (t) == J(t) для любых
напряжений на зажимах, то' источник тока называют и Д е а л ь _
н ы м. Обозначение идеальноrо ис!очника тока приведено на рис. 1.5.
20
Двойная стрелка с разрывом в кружке ПОКа'зывает положител-ьное
направление !fOKa источника тока. '/
Если J(t) == сопst, то источник называют источником ri о
С'т О Я Н Н О r о т о к а; в противном случае источником пер е -
м е н н о r о т о к а.
Ток i реальноro источника энерrии зависит от напряжения U
на ero зажимах. Так, из уравнения (1.1)
i == (&/r B ) (u/r B ) == J gBU,
rДе J == & /r в; g в == l/f в внутренняя проводимость.
Уравнению (1.2). соответствует схема замещения на рис. 1.6.
В этой схеме элемент gB' параллe.тiьно соединенный с идеальным
источником J, называют
внутренней проводи-
м о С т ь ю и характеризуют
соотношением i == gBU,
Идеальный источник тока
имеет gB == О.
Схема замещения реаль-
ных источников переменноrо
тока в ряде случаев может
быть представлена схемой,
анал"оrичной схеме на рис. 1.6.
Эквивалентность источни-
ков. Можно rоворить о двух
схемах замещения реальноrо источника электрической энерrии
(рис. 1.3 и 1.6). Эти схемыэквивалентны,еслиJ==&/r в ;gв==l/r в ,
т. е. при одном и том же напряжении U (токе i) токи i (напря-
жения и) этих схем одинаковы.
Докажем активность источников, схемы которых приведены
на рис. 1.3" и 1.6. Так, для положительных направлений напря-
жений и токов на рис. 1.3 энерrия, отдаваемая источником,
t t
W (t) == U (1:) i (1:) d1: == (& r вЁ) id1: ==
- oo oo
t t
== &i d1: r Bi2 d1:.
oo oo
(1.2) "
r t щ,'
J(tlf
J"
-----t>.
l
[6
!/6
II
Рис. 1.5
Рис. 1.6
у источника а> О, i> О и, следовательно, отдаваемая ЭIlер-
t .
пiя W (t) > О. Слаrаемое &i d't характеризу т энерrию, reHe-
oo
t
рируемую идеалыII источником э. д. С.; слаrаемое r вЁ2 d-r:
oo
соответствует энерrии, рассеиваемой на внутреннем сопротивле-
нии источника. .
Если при положительных направлениях, принятых.на рис. 1.3,.
а'> О, i < О, то W (t) < О, т. е. энерrия потребляется. Такой
21
случай возможен, например, при зарядке &1{RумулJtтора, lюrда
аккумулятор является потребителем энерrии.
Энерrия, отдаваемая источником на рис. 1.6
t t
W (/) == и ('t) i ('t) d't == (J gBU) и d't ==
oo -oo
t t
== Ju d't gnu2 d't.
oo oo
t
Слаrаемое Ju d't определяет энерrию" rенерируемую иде
oo
t
- альным источником тока; слаrаемое gBu2 d't характеризует по-
" oo
тери энерrии, обусловленные внутренней проводимостью источ-
ника.
Эквивалентные источники (рис. 1.3 и 1.6) по отношению
к внешним зажимам reнерируют одинаковую энерrию. Энерrия,
отдаваемая идеальными источниками э. д. с. и тока, для этих
схем различна. Действительно,
&i *- Ju,
так как &i==(JrB)i; Ju==J(rBi B ); i*-in.
В дальнейшем, если нет оrоворки, под источниками э. д. с.
и тока понимакп идеаЛьные источники.
1.4. Двухполюсные пассивные элементы
Основными двухполюсными пассивными элементами схемы
являются резистивный (сопротивление или проводимость), индук-
тивный и емкостный элементы.
Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характери-
зуемый зависимостью и == и (i) или i (и) (см. рис. 1.1), называюТ
рез и с т и в н ы м элементом сопротивлением или проводимостью.
3ависимос'I:Ь u (i) или i (и) назьrвают в о л ь T a м пер н о й харак-
теристикой TaKoro элемента *.
в общем С:Мучае вольт амперная характ ристика нелинейна.
Например, на рис. 1.7, а, б показаны две нелинейные характе-
ристики, которые MorYT иметь реальные элементы полупровод
НИКQвые диоды различных типов. Элементы с нелинейными зави
симостями и (i) или i (и) характеризукпся нелинейными сопро-
тивлениями или проводимостями.
Если зависимость и == и (i) представляет собой 'прямую ли-
нию, то сопротивление (проводимость) называкп л и н е й н ы м
(рис.' 1.7, в). Обозначение TaKoro сопротивления дано на рис. 1.8.
Все характеристики, рассматриваемые в данно,М параrрафе, представляют
собои статические характеристики, т. е. характеристики, полученные при
достаточно медленном изменении во времени соответствуюLЦИХ величин.
22
Линейное сопротивление описывается, соотношением (закон
U r == ri,
или
Ома)
(1.3)
(1.4)
i == gu r ,
rде r сопротивление; g == l/r проводимость.
Сопротивление r> О пассивный элеМент. Энерrия, поступа-
ющая в данный элемент,
t t
W (/) == U ('t) i (<r) d't == r i 2 ('t) d. > О.
co co
Эта энерrия преобразуется в' тепловую энерrию (необратимо
рассеивается). При этом мощность р == i 2 r (закон Джоуля Ленца).
i
а)
oj
II
u
Рис. 1.7
СопроТивление r как элемент схемы соответствует элементу
цепи резистору, если последний идеализируется.
Резистор представляет собой, например, пров.одящий одно-
1 родный цилиндр длиной l и поперечным се-
чением S (рис. 1.9). Проводящие свойства
j ма ериала цилиндра характеризуют удель-
нои проводимостью (1.
,r
(g) U r
2
Рис. 1.8
}' l fj2 ,
S Зt U
Рис. 1.9
По определению,. напряжение между точками 1 и 2
2
U == Е dl ,
1
rДе Е вектор напряженности электр.ическоrо поля;
ток
"
i == б dS,
s
23
rде 6 вектор плотности тока проводимости. Если ТОК p8BHO
мерно распределен по сечению, а вектор Е одинаков по длине"
сопротивление <-
r ==: u/i . Еl/БS.
По закону Ома в дифференциальной форме
б == аЕ; б==: аБ.
Следовательно,
r == l/aS; g == aS/l.
При переменном токе сопротивление цилиндра увеличивается
з счет HepaBHoMepHoro распределения тока, получаЮlЦеrося
следствие поверхностноro эффекта и эффекта близости.
OjI
fJJ
fJJ
1
!i
Llju;
е !
а)
о}
2
Рис. 1.10
Рис. l.ll
Индуктивный элемент. Двухполюсник (см. рис. 1.1)МQжет
характеризоваться зависимостью 'у (i) или i ('У), rДе
t
:qr ==: U ('t) d't
ro
называют п о т о к о с цеп л е н и е м. При этом напряжение на
зажимах двухполюсника
(t) d1f (t)
u dt .
Зависимость 'у (i) называют в ебе p a м пер н о й ха р а KTe
р и с т и к о й. Потокосцепление I:!змеряется в веберах (Вб).
Если элемент характеризуется зависимостью 'у (i) или i (чr),
то ero называют. и н Д у к т и в н ы м элементом (индуктивностью).
Так же как и в случае резистивноrо элемента, различают
нелинейные и линейные индуктивные элементы. Нелинейная
характеристика 'у (i) дана на рис. 1.1O,а, линейная на
рис. 1.10, б.
У линейноrо индуктивноrо элемента потокосцепление линейно
зависит от тока:
'у Li.
(1.5)
24
Величину L ===:'I" /i называют и н Д у к т и в н о с т ь ю. Индуктив
насть измеряется в 2енри (f). Обозначение линеijной ИНДУЕ:ТИВ-
ности на схеме приведено на рис. 1.11. Напряжение на зажи-
мах индуктивности
. dЧ' 4 (Li)
. и L == dt ==""""(ft.
Если L == сопst, то
di
UL == L dt '
(1.6)
Ток в линейной индуктивности
i ==, l U dt.
(1.7)
. t l
Индуктивность L как элемен:r схемы соответствует элементу
цепи индуктивной катушке при ее идеализации.
Индуктивная катушка часто преk
ставляет собой кольцевой сердечник,
на который равномерно нанесена об- l
мотка с числом' витков w (рис. 1.12);
материал сердечника характеризует-
ся маrнитной проницаемостью f!. Ток 111
i в обмотке создает маrнитный поток .
Ф, замыкающийся в сердечнике (по-
током вне сердечника можно прене-
бречь). Направления тока i и по-
тока Ф связаны правилом правоrо
ВИНта. В
Потокосцепление катушки 'l' == Р 1 12
ИС. .
==wФ, так как поток, сцепленный
с каждым витком обмотки, в этом случае можно считать одина-
ковым. Маrнитный поток.
Ф==р d8 ,
s
rде В вектор маrнитной индукции; S сечение' сердечника.
В однородной линейной среде вектор
В == f!of!H,
r1I.e H BeKTOp напряженности маrнитноrо поля; f!о==4л.l0 7 [/M
маrнитная постоянная.
По закону полноrо тока,
ф н dl == iw,
l
['де l замкнутый путь интеrрирования. .
, Если внутренний й внешний диаметры сердечника превышаюТ
размеры поперечноrо сечеНия S, то поток Ф можно считать равно-
25
мерно распределенным по сечению. В этом случае
'1' wBS W 2 S
L === Т == Нl/w == f1of1 Т,
rде 1 определяется по среднему диаметру (по среДНей силовой
линии).
Как видно из формулы (1.6), напряжение UL на зажимах
индуктивности отлично от нуля только при i =F сопs,t ('!' =F сопst).
Изменяющийся ток i создает изменяющийся маrнитный поток.
По закону электромаrнитной индукции, изменение маrнитноro
потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с. самоиндукции),
противодействующую, соrласно правилу Ленца, изменению потока:
dЧ'
eL== dt
.,
или в случае линейной индуктивности
di
eL== L dt
(положительные направления eL и i совпадают).
Если потокосцепление (ток) возрастает, то eL < о; если потоко-
сцепление (ток) убывает, eL> О. Напряжение на зажимах
катушки (щ)ло ительные направления ИL и i совпадают) UL ==
== eL, так как оно должно уравновешивать э. д. с. eL.
Линейная индуктивность при L === сопst > О пассивный эле-
мент. Энерrия, поступающая в такой элемент,
t t
W (/) == UL ('t) i ('t) d't === L d '[;) i ('t) d't ==:
o::> o::>
t
== L d [i 2 ('t)] === Ll (t) > О
o::>
[при условии i( oo)==O].
В данном случае энерrия не рассеивается, а запасается
в маrнитном поле, связанном с индуктивностью.
Емкостный элемент. Двухполюсник (см. рис. 1.1) может
характеризоваться зависимостью q (и) или U (q), rде
t
q === i ('t) d't
o::>
.,......электрический заряд. При этом
i === dq/dl.
Зависимость q (и) или U (q) Называют к у л о н - в о л ь т н о.й
ха р а к т е р и с т и к о й.
Если элемент характеризуется зависимостью q (и) или U (q),
то ero называют е м к о с т н ы м элементом (емкостью).
26
На рис. 1.13, а, б соответственно показаны зависимости ' ДЛЯ
нелинейной и линейной емкостей. <
у линейноrо eмKocTHoro элемента заряд q пропорционален
напряжению:
q==Cuc. (1,8)
Величину С == q/uc называют е м к о с т ь ю. Емкость измеряется
в фарадах (Ф).
q л
lfc Не 'Т}
а)
.,
Рис. 1.13 Рис. 1.14
Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14. Ток
через емкость \
. dq d (Си с )
t== dt == .
Если С == сопst, то
. dll C
t == C di .
Напряжение на зажимах емкости
иc== S idt.
(1.9)
(1.1 О)
Емкость как элемент Схемы соответствует элементу цепи
конденсатору при ero идеа изации.
f(онденсатор часто представляет собой два ПРОВОДЯLЦих парал-
лельно расположенных электрода ПЛОLЦадью S, разделенных
диэлектрическим слоем ТОЛLЦиной d, свойства Koтoporo характе-
ризуются диэлектрической проницаемостыо 8 (рис. 1."15).
При напряжении u == ЧJl ЧJ2 > О между электродами на одном
из них будет положительный заряд q+==q, на друrом отрица-
'тельный заряд q == q. Заряд
q+== D dS ,
s
rде D вектор э.hектрическоrо смещения, связанный в однород-
ной линейной среде с вектором напряженности Е равенством
" 15 == 808Е
(80 == 114п. 9.109 Кл/В. м электрическая постоянная). "
27
Если поле в конденсаторе считают, равномерным, то
c ==........!k..... == DS == 80eS
IjJl Ф2 1jJ2 IjJl Ed d'
Как видно из равенства Л. 8), ток через емкость отличен
от нуля только при ис"* сопst. Измене...
ние напряжения на электродах вызывает
изменение величины заряда каждоrо из
них. Если напряжение возрастает, ток
i> О, т. е. конденсатор заряжается; за
ряд q==q+== q увеличивается. Если
напряжение убывает, ток i < О, т. е. KOH
денсатор разряжается; заряд q == q+ == q
уменьшается.
Формула (1. 9) записана для совпа
дающих положительных направлений ас
и i (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки ис
и q+ == q всеrда одинаковы. Ток i меж
ду электродами конденсатора является
током смещения.
Линейная емкость при С == сопst > О представляет собой пас
сивный элеМiIIТ. Энерrия, поступающая в Такой ЭJ1емен,!,
j t
W (t) == и с (т) i (т) d т == С ис (т) d 't) dT ==
o::> o::>
i1
. 8
...
Ё
...
...
...
п
...
...
[1
q+
q
"
u
..
Рис. 1.15
2
t
1 \' CUt (t)
==ТС d[ut(T)]== >O
o::>
[при ис ( .oo) == О].
В данном случае энерrия запасае1ся в электрическом поле,
связанном с емкостью.
Процесс запасания эщ рrии как в маrнитном, '{ак и в лектри
ческом полях является обратимым. Запасенная энерrия может
быть отдана др ,тим элементам цепи. Например, энерrия заряжен
Horo конденсатора при разряде ero на сопротивление рассеивается
в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рас-
сматривать в указанном смысле как активный элемент источник
энерrии. .
Схемы замещения резисторов, индуктивных катушек и конден-
саторов. Идеализированные схемные элементы сопротивление r,
индуктивность-L, емкость С отражают основные свойства и пара
метры соответственно резисторов, индуктивных катушек и KOHдeH
саторов, обусловленные физическими процессами необратимоrо
рассеяния энерrии и обратимоrо накопления энерrии, связанной
с маrнитным и электрическим полями.
При определенн'ых условиях необходимо учитывать свойства
и параметры реальных элементов, обусловленные побочными (так
называемыми паразитными) процессами. Например, -на высоких
- 28
частотах на работу схемы влияют скорость изменения маrнитноrо
потока, сцепленноrо с резистором, и ток смещения, т. е. индук
тивность И емкость резистора, которыми при друrих условиях
можно пренебречь. У индуктивной катушки в ряде случаев требу-
ется . учесть потери энерrии в с.
обмотке и сердечнике, межвит r ;
ковую емкость; у KOHдeHcaTO I r Lr 1
ра потери энерrии в HeCOBep y . . !
'. шенном диэлектрике, индуктив а}
ность выводов. C L
С помощью идеализирован r 4t--=- l
ных элементов r, L и .с . можно I L 'l.
: ] А.
составить схемы замещения pe р
3ИСТОрОБ, индуКJ'ИВ.НЫХ катушек rJ)
и конденсаторов, учитывающие r Ус
побочные процессы. Например, r , [ С
I !
на рис. 1.16, а показана схема I . . y y . 95
замещения резистора, учитываю С Л)
щая erQ индуктивность и eM
кость; на рис. 1.16,.6, в пр иве- Рис. 1.16
дены xeMЫ' замещения индук- I
тивнои катушки и конденсатора, учитывающие потери энерrии,
паразитные емкости и индуктивности. Параметры таких схем за-
мещения находят .на основании экспериментальных данных, а
также в определенных случаях расчетным путем.
"-
1.5. Оснсвные уравнения цепей с сссредстсченныии
пзраметрами
Цепи, содержащие источники энерrии, резисторы, индуктивные
катушки и конденсаторы, MorYT быть представлены схемами заме-
щения, состоящими из /JСТОЧНИКОВ э. д. с., тока и элементов r,
L, С. В схеме с сосредоточенными параметрами необратимые
потери энерrии происходят только в сопротивлениях, маrнитное
поле связано только с индуктивностями, ток смещения, обуслов
ленный изменяющимся электрическим полем, имеет место только
в емкостях.
Основные уравнения для цепей с сосредоточенными парамет-
рами вытекают из известных физических законов nринципа не-
прерывности п лносо тока и закона алектромazниmной индукции.
Если некоторый узел схемы охватить замкну ой поверхностью
S (рис. 1.17), то для этой поверхности справедливо уравнение,
определяющее принцип непрерывности полноrо тока:
бпол udS == О, (1.11)
s
[де бпо.iIН вектор плотIfbсти полноrо тока, т. е. сумм!>! тока nро-
водимости и тока смещения. В схеме с сосредоточенными' пара-.
метрами TQ!( смещения существует только между электродами
29
емкостей; поэтому в выражении (1, 1I) вектор плотности полноrо
тока равен вектору тока проводимости: б полн == б. Вектор 6" отли-
чен от нуля в тех точках поверхности S, которые совпадают
с поперечными сечениями ПРОводников. Учитывая сказанное, из'
уравнения (1.11) получают
i k == О, (1.12)
k
тде i k ток k ro проводника, присоединенн€>rо к рассматриваемому
узлу.
Уравнение (1.12) называют пе'р в ым з а кон о м К и р х r офа,
который. формулируется следующим образом: алеебраическая сумма
токов ветвей, с.оединенных в узле, равна нулю в любой МОМЕнт
времени. При этом с положите,,1JЬным
(отрицательным) знаком учитывают то-
ки, направленные от узла (к узлу) или
iJ направленные из замкнутой поверхно-
......р. сти (внутрь поверхности).
Для узла на рис. 1.17 уравнение;
по первому закону Кирхrофа записы-
вается следующим образом:
i 1 i 2 + i3 i4 == о.
Первый закон Кирхrофа справедлив
и для замкнутой поверхности, охва-
тывающей несколько узлов При этом
В выражении (1.12) алrебраически суммируются токи ветвей,
.рассекаемых поверхностью.
Если в уравнении (1.12) токи ИСТочников тока перенести в пра-
вую часть, то получается
i k == Jk:
k, k
rде J k алrебраическая сумма токов источников тока; ik'
k ' k
алrебраическая сумма токов друrих ветвей (элементов). В урав-
нении (1.13) с положительным (отрицательным) знаком записывают
ток источника J k , направленный к узлу (от узла), и ток i k ,
направленный от узла (к узлу).
. Например, если ток i4 представляет собой ток источника тока,
т. е. i 4 ==J 4 (рис. 1.17), T в соответСТВЩI С равенством (1.13)
i 1 i 2 + i з == J 4 .
По закону элеКТромаrнитной индукции для любоrо замкнутоrо
пути интеrрирования (контура) l справедливо равенство
фЕ dl == dФ/dt,
1
поток, сцепленный с контуром (направление
направление потока соrласованы по правилу
1 i 'l'
Рис. 1.17
rде Ф маrнитный
обхода контура и
правоrо винта).
30'
( 1.13)
(1'.14)
rIYCTb путь интеrрирования свяэанс ветвями схемы электри-
ческой цепи, причем на учаcrках, содержащих источники э. д. с.,
путь проходит вне источников. Так как в цепи с сосредоточен
ными параметрами маrнитное поле имеется только в индуктив
ностях, то контур интеrрирования всеrда можно выбрать так,
чтобы поток, сцепленный с контуром, был равен нулю. Tor.p.a
фЕ dl:""' О, (1.15)
1
т. е. поле вектора Е потенциально и напряжение между любыми
двумя точками совпадает с разностью потенциалов.
Из равенства (1.15) следует
'" ' 2 '
Uk== о. (1.16)
, k
J
Уравнение (1.16) назьmают в т о -
р ы м з а к о н о м К ,и р х r о Ф а, ко-
торый формулируется следующим
образом: алеебраическая сумма наnря
жен ий на зажимах ветвей (элемен-
тов) контура' равна нулю в любой
момент времени. При этом с положи-
тельным (отрицательным) знаком учи
тывают напряжения, положительные
направления которых совпадают (п.ротивоположны) направлению
обхода контура.
На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интеrриро-
вания 1 а 2 3 б-----4 1 содержит зажимы элементов. Для
выбранноrо пути интеrрал в равенстве (1.15) разбивается на четыре
слаrаемых:
tUJ
и"
Рис. 1.18
иl + и2 Uз + и4 == О.
rде
== ==% ==% ==%
Если напряжения источников перенести в правую часть равен-
ства (1.16) и заменить на э. д. с., то второму закону Кирхrофа
соответствует уравнение
Uk == ek,
k k
которое выражает равенство алrебраических сумм напряжений
на пассивных элементах и э. д. с. контура. В уравнении (1.17)
с -положительным (отрицательным) знаком записьmают напряже
ния и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно)
с направлением обхода контура.
Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирх-
rофа записывают (выбирtlя направление обхода по часовой стрелке,
совпадающим с направлением э. д. с. еl) "
, и2 Uз'+ и4 == еl.
(1.17)
31
Уравнения (1.12), (1.16) или (1.13) и (1.17) совместно с соот-
ношениями (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.9), (1.10). связывающими
напряжения и токи каждоrо элемента, дают полное математичес
кое описание цепи.
Пример 1.1. Составить уj:1аl3нения Кирхrофа для схемы на рис. 1.19.
Решение. Для уз.'юв J и 2,
по ,первому закону Кирхrофа, .
i 1 i2+iз==J;
. 'il+i2 iз== J.
Одно из записанных уравнеиий
является -зависимым.
e z Для контура el rl C Ll (при
направлении обхода контура по часо
вой стрелке), по второму закону Кирх
rофа.
. + 1 \ . dt+L dil
rl t l С J ts, 1 (п==еl'
Положительные направления на-
пряжений на зажимах пассивных эле
ментов приняты _ совпадающими с положительными направлениями TQKOB и
учтены выражения (1.3), (1.10), (1.6). Для контура C r2 e2 (направление
обхода по часовой стрелке) .
"1 \ . dt .
с J tз r2t2== е 2 .
Для коитура еl rl r2 e2 Ll (направление обхода по часовой стрелке)
. . L di1
r 1 t l r 2+ di =:=еl e2'
Последнее уравнение, записанное по второму закону Кирхrофа, равно сумме
двух предыдущих уравнений.
Таким образом, из пяти уравнений Кирхrофа для схемы на рис. 1.19
независимыми являются три уравнения (одно для какоrо либо узла и два
друrих для любых двух контуров схемы).
'i
Рис. 1.19
1.6. Трехполюсные элементы цепей
Трехполюсный элемент (трехполюсник) имеет три зажима.
которые служат для соединения TaKoro элемента с друrими эле
ментами цепи. Свойства трехполюсноrо элемента можно описать
соотношениями между напряжениями Иl' И? и токами i 1 , i 2 , поло-
жительные направления которых показаны на рис. 1.20. .
Напряжения Иl и И 2 представляют собой напряжения между
парами зажимов 1, 3 и 2, 3: Иl == И13' И2 == И z3 ' Напряжение ИИ
между парой зажимов 1, 2 однозначно определяется через иl3 и
Ц<l3. так как, по второму закону Кирхrофа, И13 + И12 + И 2 3 == О.
Ток i3 зажима 3 зависит от токов i 1 И i 2 , так как, по первому
закону Кирхrофа, для замкнутой поверхности i 1 + i 2 + 13 == о.
Таким образом, для описания трехполюсника достаточно двух
напряжений и двух токов. .
Трехполюсник (рис. 1.20) рассматривают как элемент с двумя
парами зажимов, при.яем зажим 3 является общим для каждой
парьi (рис. 1.21).
32
Произведения Рl (t) == иl (t) ;1 (t) и Р2 (t) == и2 (t) i? (t) для поло-
жительных направлений напряжений и токов (рис. 1.20 и 1.21)
выражают мrновенную МОЩНОСТI>, потребляемую трехполюсником
через каждую пару зажимов. Поэтому. энерrия. поступающал
в трехполюснйк,
t 2
W (t) == Uk (1:") i k (Т) d1:".
ook 1
Как и двухполюсники, трехпоЛlОСНИКИ
ными, индуктивными и емкостНЫМИ.
и,2
1
' [2' Yi<2
иса t 1),.и
3
Рис. 1.20
MorYT быть резистив-
[,
........J>
1
2,
и,!
I U z
о:
.J
!iI
Рис. 1.21
характеризуется соотношениями между
и токами i 1 , i 2 , то ero называют рез и-
Если трехполюсник
напряжениями иl' И 2
с Т И В Н Ы м.
Если напряжениям
потокосцепления
иl' И2 можно поставить в соответствие'
t
чr 1 ==. иl (1:") d1:";
oo
t
'У 2 == и 2 (1:") d1:"
oo
и описать трехполюсник соотношениями между \f 1, W 2 И i 1 . 12.
то такой трехполюсник называют и н Д у к т и в н ы м.
Если токам i 1 . i 2 можно поставить в соответствие заряды
t
ql == i 1 (1:") d1:",
oo
t
q2 == i 2 (1:") d1:"
oo
и описать трехполюсник соотношениями между q'1. q2 И иl' и2'
то такой трехполюсник называют е м к о с т н ы м.
Широкое применение находят трехполюсные элементы элект-
,ронные лампы, транзисторы и индуктивные трехполюсники . (транс-
форматоры).
Электронная лампа. Электр.онная лампа (вакуумный триод)
имеет три металлическАх электрода, называемые .а н о дом (а);'
к.атодом (к) и сеткой (с), укрепленные в колбе, внутри ко-
торой создан вакуум (рис. 1,22).
2 п/р. ИОНI>ина, Т, {
"
33
Накаленный катод эмиттирует электроны, которые под дей-
ствием электрическоrо поля между анодом и катодом (напряже
ние И а > О) устремляются к аноду. Поток электронов между ано-
дом и катодом и представляет собой ток в анодной цепи лампы ia.
На пути электронноrо потока между катодом и анодом имеется
управляющий электрод с отверстиями сетка. Изменяя напря
а жение и с . между сеткой и катодом, можно
iи.l реrулировать поток электронов, достиrаю
* щих анода, т. е. изменять ia. Сетка распо-
l1а ' ложен а ближе к катоду, поэтому измене-
ния напряжения и с больше влияют на анод-
ный ток, чем изменения напряжения И а .
Часть электронов, эмиттируемых катодом,
не достиrает анода, попадая на сетку. Этой
части электронов соответствует сеточный
ток ic.
Лампа представляет собой резистивный
нелинейный трехполюсный элемент (в пред-
положении, что частота переменных составляющих напряжений и
токов не очеIIЬ велика и межэлектродными емкостями лампы мо-
жно пренебречь).
Токи анода и сетки являются функциями двух перемеННЫХI
!с
с
/(
Рис. 1.22
i8 == i8 (И с ' И а );
ic == ic (и с , Иа).
Эти функции выражаются в виде семейств характеристик,
определяемых экспериментально. ПримерQI характеристик лампы
i{J
io
а)
lIО
oj
lIС
tJ)
LLC
Рис. 1.23
приведены на рис. 1.23. Анодные характеристики (рис. 1.23. а)
покаЗывают зависимость анодноrо тока от анодноrо напряжения
при ПОстоянном сеточном напряжении. Анодно-сеточные характе-
ристики (рис. 1.23, б) отражают зависимость анодноrо тока
от сеточноrо напряжения при постоянном анодном напряжении.
Сеточные характеристики (рис. 1.23, в) дают зависимость сеточ-
Horo тока от сеточноrо напряжения при постоянном анодном
напряжении.
iiЗ4
;".
'.
Напряжения и с , и а И токи [с. ё8 В общем случае представляют
собоЙ суммы постоянных и переменных составляющих. Постоян-
ные составляющие иrрают вспомоrательную роль, обеспечивая
необходимый режим работы лампы. Для получения нужных зна-
чений постоянных составляющих в анодную и сеточную цепи
лампы включают источники постоянных Э. д. с. (J 8 И (J со назы-
ваемые соответственно источниками анод-
Horo питания и сеточноrо смещения.
Пример цепи с лампой и источниками
приведен на рис. 1.24.
Как _ правило', лампа работает при
отрицательном напряжении между сет-
кой и катодом (и с < О) и ток сетки
можно считать равным нулю: [с == О.
Анодный ток
[а == 1 аО + !li 8 ,
r
...............
...
...............
ф..........-.
+
с"
Рис. [.24
еа
rде 1 аО постоянная составляющая;
!lia переменная составляющая. Пере-
менная составляющая анодноrо тока при достаточно малых пере-
менных составляющих сеточноrо и анодноrо напряжений !lu c ' !lU a
может быть выражена следующим образом:
Л' ai a + ai 8 л
ill8 д ilUc д ilUa.
и с и а
Данное выражение представляет, по существу, два слаrаемых
разложения функции двух переменных в ряд Тейлора. Произ-
водная
ai a I S
ди с и а сопst
характеризует параметр лампы, имеющий размерность проводи-
мости и называемый к р у т и з н о й анодно-сеТО lIОЙ х а р а к т е -
ристики.
Пройзводную
ди а \
rl
ai a и с сопst
называют в н у т р е н н и м с о про т и в л е н и е м лампы.
Следует подчеркнуть, что крутизна S и внутреннее сопротив-
ление rj зависят от постоянных составляющих анодноrо и сеточ-
Horo напряже»йй, т. е. от положения рабочей точки на харак-
теристиках лампы. Если рабочая точка расположена на линейном
участке характеристик и при отклонениях сеточноrо и анодноrо
напряжений на !lu c ' !lu 8 не выходит за пределы линейноrо
участка, то для переvенной составляющей анодноrо тока полу-
чается линейное уравнение
l1i. == S!lu c + :, !lu a .
2-
з5
Таким образом, в лuнейном режuме, электронная лампа xapaK
теризуется уравнениями
i 1 == о; }
i 2 == SUl + и 2 ,
ri
rде [ 1 == f1ic; i 2 == f1ia; иl == f1u c ; и 2 == f1u a переменные соста13ЛЯЮ
щие токов и налряжений.
Уравнениям (1.18) соответствует линейная эквивалентная
схема лампы для пep MeHHЫX составляющuх на рис. 1.25, а. Эта
l(е) [2 l{с) 'i;
PJ ' . 2{а) flJ
, Su, j I
fu, 'i и ] и,
схема содержит источник тока, ток KOToporo зависит от напря
жения на входе схемы.
Если ура внения (1.18) переписать в виде
i 1 == о; }
и 2 == J.l. U l + r i i 2 ,
rде J.I. == Sri == ( U2/Ul)i o == (дuа/дUс)i const коэффициент уси
2 а
ления лампы, то получается вторая ЗJквивалентная схема лампы
(рис. "25, б). Эта схема содержит источник э. Д. с., значение
которой зависит от напряжения на
а. входе схемы.
Уравнения (1.18) в общем виде
можно записать как '
1 == gl1 U l + g12 U 2; }
е2 == g21 U l + g22 U 2,
rде gl1 == о; g12 == о; g21 == S, g22 == I/ri.
Коэффициенты уравнений gij (i,
j == 1, 2) имеют размерность пр()во
димости. Если g12 -::/= g21' то трехполюсник является невзаимным.
Таким образом, электронная лампа невзаимный элемент цепи.
На высоких частотах лампу нельзя рассматривать как рези
.стивный трехполюсник, так как существенное влияние на ее
работу будут оказывать паразитные емкости между электродами.
Эквивалентная схема лампы усложняется (рис. 1.26).
Транзистор. Полупроводниковый триод (транзйстор) представ
ляет собой монолитный кристалл полупроводника (креi\1НИЯ или
3М
J(/()
а)
5J
.
Рис. 1.25
", ) С", Сш
СОК
r, ! и,
/(
Рис. 1.26
36
( 1.18)
2(0)
е2
/12
,
(1.19)
(1.20)
rермания), состоящий из трех областей с различным типом элект.
ропроводности. u
Область полупроводника, в которои электропроводность об ус.
ловлена свсбодными электронами, называют n сбластью. Такую
область получают при добавлении в полупроводник небольшоrо
количества примесей химических ЭJlементов, атомы которых имеют
на один валентный электрон больше, чем атомы полупроводника.
Если в полупроводниковую область добавить небольшое коли.
чество примесей химических элементов, атомы которых имеют на
один валентный электрон меньше, чем атомы полупроводника,
то получается область с неза.
полненными валентными связя
ми атомов дырками. Дырки
1>1 0ЖНО .рассматривать как эле
ментарные носители положи.
тельноrо заряда: Перемещение
электронов, заполняю \их Ba
лентgые связи, эквивалентно
переМeIцению дырок в противо:
положн6м направлении.' Об.
ласть, в которой электропро.
водность обусловлена дырками,
называют р областью.
у транзистора слои с дыроч.
ной и электронной электропро
БОДНОСТЬЮ чередуются. В СООТ.
ветствии с чередованием слоев
различают транзисторы p n p.
и n р n типов.
Транзистор р n р типа имеет
две р области, одну из кото.
рых называют эмиттером (э),
друrую коллектором (к). Эти
области разделены n областью, называемой базой (рис. 1.27, а).
Каждая область с помощью металлическоrо электрода соединяется
с друrими элементами цепи.
Если к транзистору не подключены источники, то вследствие
диффузии дырок (в 'n область) и электронов (в р области) на
rранице . раздела областей создается электрическое поле, препят.
ствующее дальнейшей диффузии носителей зарядов. Распределе.
ние потенциала электрическоrо поля при этом показано на
рис. 1.27, б. Разность потенциала на rранице раздела областей
называют потенциальным барьером р n-перехода.'\
При подключении к транзистору источников постоянных э. д. с.
dJ э , iff K (рис. 1.27, а) снижается потенциальный барьер между
эмиттером и базой и Уliеличивается потенциальный барьер между
базой и коллектором (рис. 1.27, в). В результате дырки эмиттера
диффундируют в область базы и, увле аясь полем коллекторноrо
перехода, попадают в область коллектора, образуя коллекторный
з
к
р
п
р
tiэ
Е к
q;
I о) I
щ
8) \
Рис. 1.27
37
ток { н . Вследствие малой толщины базы большая часть дырок,
инжектированных эмиттером, достиrает коллектора. Ток эмит.
тера i э лишь незначительно превышает ток коллектора. Разность
токов i э и i K соответствует току базы:
i б == i э { к * -
Транзистор типа п p п имеет эмиттер
и коллектор электронной электропровод '
ности, базу дырочной электропроводно-
сти. Принцип действия транзистора анало-
rичен рассмотренному ранее. Однако в
'отличие от транзистора р п р типа в тран-
зисторе п р п типа тоКи ё э , i H обусловле
ны в основном движением электронов.
Условное обозначение транзисторов
,p п p и п р п типов показано соответст-
венно на рис. 1.28, а, б. -
Если частота переменных составляю-
щих токов и напряжений транзистора не
слишком велика, ero можно рассматри-
вать как резистивный нелинейный эле-
мент, описываемый семействами входных
и выходных характеристик. Входные ха-
рактеристики показывают зависимость то-
ка i9 от напряжения и э при постоянном напряжении ИН' Выход-
ные характеристики отражают зависимость тока i H от напряжее
ния И к при постоянном токе i B .
о
а}
п-
О} .
Рис. 1.28
(а
а) I
i K
lЭ2>lэ(
JlЗ,
lэr=сопst>Q
iэ=О
OJ
и
Рис. 1.29
На рис. 1.29, а, б приведены соответственно входные и выход-
ные характеристики транзистора р п р типа. Для транзистора'
tl р-tl типа при положительных направлениях токов и напряже-
ний (см. рис. 1.28, б) входные и выходные характеристики совпа-
дут с характеристиками транзистора р tl р типа, если у всех
. * в транзисторе р-n-р-типа дырки основные носители заряда; токи i э .
'н обусловлены rлавным образом движением дырок Однако кроме дырочньiх
составляющих токов имеются значительно меньшие составляющие, обуслов-
ленные движением электронов (неосновных носителей).
38:,
величин (iз. i кr Ид' И К ) на рис. 1.29 изменены знаки на противо-
положные.
Напряжения ИЗ, И К представляют собой функции двух пере-
менных:
ИЗ == из (i з , i K );
И К == И К (i з , i K ).
. Эти напряжения, а также токи i B , i K содержат в общем слу-
чае постоянные и переменные составляющие. Постоянные состав-
ляющие обеспечиваются источниками постоянных э. д. с. {f К' {f д'
включаемыми, например, как показано на рис. 1.30, а (транзи-
стор р tl р типа) и 1.30, б (транзистор tl-р n-типа).
'з
' к
а)
Рис. 1.30
'з
,
' к
---------i:>
r
r
OJ
Для малых переменных составляющих напряжений записы.
вают уравнения
л ди э л. + ди з л . .
ilu з д ill/j д illK'
t з t K
- л дик Л' + ди к л'
ilИ К д illэ д illK'
t э t K
rде !li э , !li K малые переменные составляющие эмиттерноrо и
коллекторноrо токов.
Частные производные
д э I ==, l' ди э I == '1 .
дt э i K сопst 1. ai K lэ const 2 ,
д K I == '21' дик l == '22
дt э i K сопst 'ai K lэ const
характеризуют параметры трачзистора в соответствующей раба.
чей точке. Если транзистор работает в линейном режиме (раба.
чая точка не выходит за пределы линейных участков характе.
ристик), то для переменных составляющих получаются линейные
- rравнения
И1 =='11 1 +'12 2; }
И2 == '21 l 1 + '2212.
(1.21)
00
rде иl tlu э : == Ul'; i 1 == iэ: i 2 iK переменные cocтaB
ляющие токов и напряжений.
Параметры rij (i, j == 1, 2) имеют размерность сопротивлений.
у транзистора r12"* r21, что указывает на невзаимность TpaH
зистора.
Если в правой части первоrо уравнения системыI (1.21) лри
ба вить и вычесть произведение r12il, а в правой части ВТОрOI'О
уравнения прибавить и вычесть произведения r12il' r12i2' то ypaB
нения (1.21) будут эквивалентны уравнениям
иl ' (r11 r12) i 1 + r12 иl + i 2 );
и2 (r21 r12) i 1 + (r22 r12) i 2 +r12 (i 1 + i 2 )
или
;}
j Т;;
и,
,
i,
----------f>
j тj
и,
р
w
иl == r эil + r 6 иl + i 2 ); }
И2 == r mil t r Ki2 + r б (il + i 2 );
(1.22)
,
«
'к
rmt,
1",
...,
I
1I 2
ii5
r m ai K I
a
r" дi э и К const
называют к о э Ф фи ц и е н т о м Ц е р е Д а ч и э м и т т е р н о r о
тока.
Схемы на рис. 1.31 справедливы для транзисторов p п p и
п р п ТlШОВ.
На высоких частотах транзистор нельзя рассматривать как
резистивный трехполюсник, поскольку необходимо учитывать
влияние емкостей эмиттерноrо и особенно коллекторноrо р п пе"
реходов. Соответственно эквивалентная схема транзистора услож-
няется (рис. 1.32).
Управляемые (зависимые) ИСТОЧНИlШ напряжения и тока.
В c eMax замещения лампы и транзистора были введены схемные
элементы управляемые (зависимые) источники.
40.
ro
""'
r5 а}
i 2
rде rэ r11 rI2; r6==r12; rK==r22 rI2; 'm==r21 rI2'
у равнениям (1.22) соответствует эквивалентная схема тран-
вис ;'ора рис. 1.31, а. Эта схема содержит источник, э. д. с. KOTO
poro зависит or тока входной
цепи (т. е. от тока i 1 ); ,сопро-
к тивления r Э' r К' r 6 характери
зуют соответственно сопротив-
ления эмиттерноrо и коллек"
тopHoro переходов и баЗОВОFО
слоя.
Если источник э. д. с. r mil
заменить эквивалентным источ
ником тока, то получится BTO
рая ,Эквивалентная схема тран-
зистора (рис. 1.31, б). В этой
схеме ток источника зависит от
тока ВХОДной цепи. Коэффи-
циент, '
oj
Рис. 1.31'
Управляемые источники представляют собой трехполюсные
(в общем случае четырехпотосные) элемеНТЫ, у которых напря-
жение (ток:) одной пары зажимов пропорционально напряжению
(току) друrой пары зажимов.
Различают четыре типа управляемых источников.
I 2 f
О '2fllf i'2
ёJ/ if
/1I'2
J
1 а). 2
' 2
" "'\)ёJ ,
J
О)
.,
Рис. 1.32
Рис. 1.33
2
J
f О)
2
°и>-..fru,
3
с)
и с т о ч н и к т о к а, у п р а в л я е м ы й н а п р я ж е н и е м
(рис. 1.33, а), это источник, у KOToporo токи i 1 и i 2 опреде-
ля ся сoorношениями
i 1 ==0; }
i 2 ==g21 U l'
И С Т О Ч н и к н а п р я ж е н и я, у п р а в л я е м ы и т о к о м
(рис. 1.33, б), это источник, у KOToporo напряжения иl и и?,
определяются сoorношениями
иl == о; } (1.24)
1ЬJ == '21 i l'
Источник тока, управляемый током, или идеальный
усилитель тока (рис. 1.33, в) это источник, характеризуемый
уравнениями
иl == о; }
i 2 ,== ai 1 .
( 1.23)
(1.25)
Источник напряжения, управляемый напряже-
н и е м, или идеальныЙ усилитель напряжения (рис. 1.33, ) ЭТО
источник, характеризуемый Уl'авнениями
i 1 ==0; } (1.26)
и2 == J.t U l'
Зависимые источники MoryT rенерировать энерrиio. Так, напри-
мер, для источника тока, управляемоrо напряжением, энерrия,
"
41
поступаIОЕЦая в источник,
t 2
W (t) == и к (т:) i K (т:) dT ==
rok 1
r
и2 (т:) i 2 (т:) dT.
ro
Если к зажимам 2, 3 источника (рис. 1.33, а) подключено
сопротивление " то напряжение
и 2 == ri 2 == rg21 u l'
При этом энерrия
t
W (t) == rg l uНт:)dт: < о.
ro
Отрицатель ый знак энерrии свидетельствует о том, что энер-
rия rенерируёТся, т. е. зависимый иcrочник активный элемент.
Схемы с зависимыми иcrочни-
ками типа схем, показанных на
рис. 1.25, 1.31, относятся к актив-
ным схемам.
Уравнения зависимых источни-
ков, имеюЕЦИХ четыре зажима (две
пары различных зажимов), совпа-
дают с уравнениями (1.23) (1.26).
Индуктивный трехполюсник. На
рис. 1.34 показан кольцевой сер-
дечник с двумя катушками, имею-
ЕЦими соответственно числа витков
Wl и W2' ТОК каждой катушки создает в сердечнике маrнитный
поток, направление KOToporo определяется по правилу бурав-
чика *. Для направлений намотки, указанных на рисунке, мш-
нитные потоки, обусловленные токами' i 1 и i 2 , складываются.
Потокосцепления каждой катушки представляют собой функ-
ции двух токов:
'У 1 == 'У 1 (i 1 , i 2 ); 'У 2 == 'У 2 (i 1 , ,i 2 ).
Функции 'У 1 и 'У 2 В оБIцем случае нелинейны и выражаются
В виде семейств нелинейных характериcrик (рис. '1.35, а, б).
Если материал сердечника можно считать линейным (J! == сопst),
1'0 потокосцепления 'У 1 и 'У 2 будут линейными функциями токов:
'У 1 L 1 i 1 + . M12i . 2; }
( 1.27)
'f2==M21tl + t2'
Слаrаемое L 1 i 1 (M I2 1 2 ) характеризует потокосцепление катушки
Wl' вызванное током i 1 (i 2 ); слаrаемое M 21 i 1 (L 2 i 2 ) характеризует
Dотокосцепление катушки W2' обусловленное током i 1 (i 2 ).
Параметры
Рис, 1.34
L == '1'1 I
1 i1 {. O'
== 'I'2 1
i 2 {1 O
"
· Можно считать, что маrнитный поток заМblКается только по сердечнику.
называют с о б с т в е н н ы м и индуктивностями катушек, параметры
М 12 == 1 1 ,М 21 == 2 1
/2 (. О \> /1 i. o
В Э а и м н ы м и индуктивностями катушек.
Собственные индуктивности всеrда положительны и опреде-
ляюrcя выражениями (см. 1.6) ,
w2S w 2 S
L 1 == /-to/-t т; L 2 == !-toJ.t +.
Взаимные индуктивности в зависимocrи от направления на-
мотки катушек MorYT быть положительными или отрицательными;
М I2 >О, М 21 >О(М I2 <О, М 21 <О), если мarнитные потоки,
обусловленные токами i 1 и i 2 , складываются (ВЫЧИТaIОТСЯ). Для
трехполюсника на рис. 1.34 взаимные индуктивности положи..
тельны.
а}
'О)
Рис. 1.35
Взаимную индуктивность ВЫЧИСЛЯIот по аналоrии с собствен-
ной индуктивностью (см. 1.6):
М Ч'1 I w 1 BS WI W 2 S
12 т; {. o Нlj W 2 !-toJ.t ,
rде Ви Н маrнитная индукция и напряженноcrь маrнитноrо
поля в сердечнике, вызванные током i 2 при i 1 == О. Нетрудно ви-
деть, что М 21 == М 12 . Это равенство отражает взаимность индук-
тивноrо трехполюсника.
При условии, что маrнитный поток замыкается только по
сердечнику, для рассматриваемоrо трехполюсника
М 12 ==M ==М == V L 1 L 2 _
или
м
Кс == .r == 1,
J' L 1 L 2
rде КС коэффициент связи катуш к. В реальных условиях КС ==с
== I М 1/У L 1 L 2 < 1, так как часть маrнитноrо потока, обусловлен"
Horo током катушки, замыкается помимо сердечника.
4Э'
Напряжения на зажимах трехполюсника=
d'l'l L dil +M di 2 . }
tll (J( 1 dt dt '
d'l'2 М di 1 + L di2
и2 === dt === dt 2 dt .
СJlаrаемые L 1 di1/dt и L 2 di 2 /dt определяют напряжения, ypaBHO
вешивающие э. д. с. самоиндукции; слаrаемые М di 2 /di и М di 1 /dt
напряжения, уравновешивающие э. д. с. взаимной индукции.
Условное обозначение индуктивноrо трехполюсника (см.
рис. 1.34) дано на рис. 1.36. Зажимы 1 и 2 отмечены точками
и называются одноименными или
однополярными; это означает, что
при одинаковых направлениях токов
i 1 и i 2 ОТНОСИТe.(Iьно одноименных за
жимов маrнйтные потоки, обуслов
ленные токами i 1 и i 2 , складываются.
Если направЛение намотки KaTY
шек неизвестно, то одноименные за
жимы MorYT быть определены экспе
риментально.
Трехполюсник, описываемый ypaB
нениями (1.28) при Кс === 1, наЗЫВaIОТ
с о в ерш е н н ы м т р а н с фор м а т о ром. Подставляя в ypaB
нение (1.28) выражения для Ll' L 2 И М, приведенные ранее, по
л учают
[, м [2
'11
'\ :'.
и,
2
)
/U Z
,}
Рис. 1.36
( 1.28)
и2 W +WIW2 w 2
иl WI W 2+ w j {Юl'
т. е. отношение напряжений и 2 /иl постоянно и равно отношению
числа витков катушек W 2 /Wl; последнее отношение называют
коэффициентом трансформации.
Трехполюсник на рис. 1.34 и 1.36 описывается уравнениями
(1.28) при условии, что потерями энерrии в нем пренебреrают.
Вся энерrия, потребляемая совершенным трансформатором, запа
С!'lется (обратимо) в маrнитном поле. Эту энерrию вычисляют
с помощью уравнений (1.28):
t 2
W (t) === щ (,;) i 'l (,; d,; ===
ooll 1
oo
t
(L 1 i 1 di) +L2i2 di 2 +Mi 1 di 2 +Mi2 di 1 ) ==
=== H (t) + [2 i ; (t) + Mi 1 (t) i 2 (t)
[если il( (X)}===O; i2( (X»==O]'
Аналоrичными свойствами обладает четырех полюсный индук
ТИВНblЙ элемент, имеющий две пары различных зажимов.
rnABA 2
осНОВНЫЕ ОПО1iоrИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ tI СО!ПНОШЕНИЯ
2.1. rраф электрической цепи и некоторые ero подrрафы
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов,
из которых она состоит, и способом их соединения (см. rл. 1).
Рассмотрим соотношения в электрической цепи, обусловленные
способом соединения элементов.
Соединение элементов электрической цепи наrлядно отобра
жается ее схемой. Пусть цепь состоит только из двухполюсных
элементов. В простейшем случае такие элементы MorYT быть coe
динены nоследоваmеЛbfЮ или riараллеЛbfЮ.
Схема последовательноrо соединения двухполюсных элементов
показана на рис. 2.1. В этом соединении любые 'Два соседних
элемента имеюТ один общий зажим. В любой момент времени ток
в каждом элементе имеет одинаковое значение. Напряжение на
зажимах Bcero соединения равно сумме напряжений на отдель-
ных элементах:
n
U==U 1 +U2+"'+ U n== 2: Uk'
" 1
Схема пара.1Jлельноrо соединения двухполюсных элементов
показана на рис. 2.2. В этом соединении все элементы присоеди-
нены к одной и той же паре узлов. Для любоrо момента времени
напряжение на каждом элементе одинаково. Ток в неразветвлен-
ной части цепи равен сумме токов всех элементов:
(2.1)
n
i==il+i2+...+in== i k ,
" '
(2.2)
_ Соотношения (2.1) и (2.2) справедливы для соединений любых
элементов: линейных и нелинейных, с постоянными и перемен-
ными во времени параметрами, резистивных, индуктивных и т. д.
Кроме Toro, схемы на рис. 2.1 и 2.2 можно пони мать и как сое-
динеюiя ветвей, причем ветви MorYT состоять из каких либо эле
ментов, в свою очередь соединенных различным образам. И в этом
случае соотношения (2.1) и (2.2) будут справедливы.
Таким образом, выражения (2.1) и (2.2) представ.I1:ЯЮТ собой
примеры простейших соотношений, которые определяются TOJIbKO
способом соединения элементов, или, как rоворят, еео.меmрueй
(mоnолоеuей) соединений.
Тополоrические (rеометрич ские) свойства электрической цепи
не зависят от типа и свойcrв элементов, из которых соcrоит ветвь.
Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи
изобразить отрезком линии. Например, на рис. 2.3 приведена
схема разветвленной электрической цепи. Если каждую ветвь
схемы заменить отрезком линии, получается rеометрическая фи-
rypa, показанная на- рис. 2.4. При этом за ветвь 1 принимается
45
последовательное соединение элементов t8'1 и '1, за ветвь 6 парал-
лельное соеДИНеНИе элементов '6 и 16 И Т. д.
У СЛОБное изображение схемы, в котором кажд я ветвь заме
няется отрезком линии, называют r раф о м электрической цепи.
Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называют
в е т вью rрафа. rраничные (концевые) точки ветви rрафа назы-
вают у 3 Л а м и rрафа.
rраф абстрактное математическое понятие, не обязательно
соответствующее электрической цепи. В виде rрафа Moryт быть
изображены схемы железнодорожных путей, состояния переклю
чающих систем, отношения
родства между rруппой лю
дей, положение участни.
ков хоккейноrо чемпиона-
та и т. д.
Если в общем случае
определить р е б р о как
отрезок линии вместе с ero
rраничными (концевыми) точками, тоrда rраф можно определить
как множест.во ребер, ПрИчем в этом множестве все общие точки
ребер являются rраничными. rраничную точку ребра называют
в ерш и н о й.
в электротехнической литературе вместо терминов «ребро» и.
«вершина» применяют термины «в е т в ь» И «узел».
Ветвям rрафа может быть дана определенная' ориентация,
указанная стрелкой. rраф, у KOToporo все ветви ориентированы.
u
l
w .'
и; llz 'l1 n
Рис. 2.1
.]
ltl
tt, 1 t t ,
r1T t! J !
Рис. 2.2',
Рис. 2.3
называют о р и е н т и р о в а н н ы м. В противном случае rраф счи-
тают неор иеНТИ.рованным.
rраф одной и той же схемы электрической цепи может быть
изображен различными способами. Например, rраф схемы на
рис. 2.3 можно начертить, как это показано на рис. 2.5. Однако
тополЬrические свойства rрафов (рис. 2.4; 2.5) одинаковы. Такие
rрафы называют и з о м о р Ф н ы м и. У изоморфных rрафов суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между узлами и ветвями.
Если некоторая пара УЗJIОВ в одном rрафе соединена ветвью, то
,46
пара соответствующих, узлов в изоморфном rрафе также должна
быть соединена соответcrвующей ветвью'- .
Некоторые подrрафы rpафа. П о Д r раф о м rрафа называют
часть rрафа.
Соrласно этому определению подrрафом может бьrrь одна ветвь
или один изолированный узел rрафа, а также любое множество
ветвей и узлов, содержащееся в данном rрафе.
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Рис. 2.6
в теории электрических цепей большое значение имеют такие
подrрафы: путь, контур, дерево, связи (дополнение дерева) и
сечение. Все определения (пути, контура и т. д.), сформулирован.
ные для rрафа, применимы и к схемам электрической цепи.
П у т ь это упорядоченная последовательность ветвей, в КОТО.
рой каждые две соседнИх ветви имеют общий узел, причем любая
ветвь и любой узел встречаются в этом пути только один раз.
Например, в rрафе на рис. 2,6 ветви 4 1 2 , 4 1 6 7.,
9 7
8..
J
Рис. 2.7
4 3 8, 4 3 2 6 7, 5 7, 5 6 2 8 и 9 образуют пути
между одной и той же парой узлов (узлов, к которым присоеди-
нена ветвь 9).
К о н т у р замкнутый путь, в котором один из узлов является.
начальным и конечным узлом пути. Например, в rрафе на рис. 2.6
ветви 4 1 2 9, 5 6 8 9, 4 3 8 9 образуют кон.
'туры.
Если между любой парой узлов rрафа (схемы) существует
путь, то rраф (схему) называют с в я з н ы м (связной).
Д е р е в о м связноrо rрафа (схемы) называют связный подrраф
(подсхему), содержащий все узлы rрафа (схемы), но ни одноrо
контура. Примеры деревьев rрафа на рис. 2.6 приведены на
рис. 2.7.
1':.47
Ветви rрафа (схемы), которые дополняют дерево до исходноrо
rрафа, назыв-ают ве тв я м и с в я зи (до п ОЛ.н е н ие м дер е.в а).
Отдельную ветвь связи называют также r л а в н о й ветвью. Ветви
связи деревьев rрафа на рис. 2.7 приведены на рис. 2.8.
Если rраф (схема) содержит. в ветвей и У узлов, то число
ветвей любоrо дерева д == у 1.
Пействительно, если число узлов У == 2, то дерево может содер-
жать только одну ветвь. Добавление к этой ветви еще одной так,
чтобы получился rраф без контуров, увеличивает число узлов на
единицу и т. д. для каждой новой ветви дерева.
. Число ветвей связи rрафа
K==в (y 1)==B y+ 1.
С е ч е н и е м rрафа (схемы) называют множество ветвей, удале-
ние которых делит rраф (схему) на два изолированных подrрафа
(rюдсхем:ы), один из которых в частном случае может быть изоли-
рованным узлом. Например, для rрафа на рис. 2.5 ветви 1 4 3,
..... 1 5 9 3, 1 5 7 2 образуют сече-
,/' "'
/ '\..5J ния.
( \ Сечение можно наrлядно изобразить
" ) в виде следа- некоторой замкнутой по-
"2 верхности, рассекающей соответствую-
щие ветви. Примеры таких поверхностей
(81' 82' 8з) для rрафа на рис. 2.6
показаны на рис. 2.9. Поверхность 81
рассекает rраф на две части, одна из
которых изолированный узел.
С понятием дерева связаны понятия
rлавных контуров и rлавных сечений.
r л а в н ы м к о н т у р о м называют
контур, состоящий из ветвей дерева и
только одной ветви связи. Друrими словами, при соединении
любой ветви связи с деревом образуется r лавный контур.
r л а в н ы м с е ч е н и е м считают сечение, состоящее из ветвей
связи и только одной ветви дерева. Каждая ветвь дерева позво-
. ляет образовать одно r лавное сечение.
Для шобоrо выбранноrо дерева можно образовать свою систему
rлавных контуров и сечений. При этом характерно, что каждый
такой контур и каждое сечение будут отличаться от друrих хотя
бы одной ветвью. .
tI
...
.....
/
I
I ,
I \
\ , ... ) I
'- Jt /
'............./ S2
Рис, 2.9
48
. б \
. . 2
8
Рис. 2.8
На рис. 2.10 и 2.И показаны rлаsные контуры и сечения,
построенные на основе одноrо из деревьев rрафа рис. 2.6. Ветви
дерева 4 9 7 6 8 -отмечены более жирными линиями. [лавные
- KOHTypbi (пронумерованы рим
скими цифрами) образуются BeT
еями 1 4 9 7 6 (/); 2 8
7 6 (/1); 3 4 9 8 (/11);
Рис. 2.10
""............................
/ .....
I / ... '
( 1, \Sz \
\ ,
\ I
\ /
.../ 2
Рис. 2.11
5 7 9 (/V). rлавные сечения содержат ветви 4 1 3 (SI);
6 1 2 (S2); 7 1 5 2 (SЗ); 8......c.2 3 ($4); 9 1 5 3 (S5)'
Число rлавных контуров равно числу ветвей связи (к), а число
r-.лавных сечений числу ветвей дерева (д).
2.2. Законы КИРХfсфа
Токи в ветвях электрической цепи и напрщ{{ения на зажимах
ветвей -удовлетворяют соотношениям (1.12) и (1.16), которые
определяют первый и второй законы Кирхrофа.
Равенство (1.12) справедливо для любоrо узла или сечения;
равенство (1.16) справедливо для любоrо Н.онтура. Суммирование
выполняется для всех ветвей, сходя
щихся в узле (пересекаемых замкну
той поверхностью) или образующих
контур.
Уравнения (1.12) и (1.16) не за
висят от типа и свойств элементов, .J
из которых состоят' ветви. Это топо
JIоrические соотношения, которые MO
ryт быть составлены по rрафу.цепи
или по ее схеме. В дальнейшем при
составлении уравнений цепи считает-
ся, что направление ветви rрафа, Рис. 2.12
указанное стрелкой, совпадает с вы-
бранным положительным направлением тока и напряжения ветви
схемы (положительные направления тока и напряжения прини-
маются совпадающими).
49
в качестве примера можно состави:rь уравнения по законам
,Кирхrофа для схемы на рис. 2.3, rраф которой с указанием
выбранных положительных направлений токов и напряжений,
а также направлений обхода контуров представлен на рис. 2.12.
На новании первоrо закона Кирхroфа справедливы ypaBHe
ния:
i2 + i4 + i6 == О (узел 1);
il + i 2 + i3 == О (узел 2);
. iз + i5 i6 == О (узел 3);
i l i4 i5 == О (узел 4).
На основзнии BToporo закона Кирxrофа получаются следую"
щие уравнения:
ut + и2 + и4 == О (контур /);
и2 + U З и 6 == О (контур //);
и4+и5+и6===O (контур //l);
.. иl из и5==O (контур /V).
в записанных уравнениях ток i k и напряжение Uk обозначaIO'l'
'Ток и напряжение k-й ветви.
Сложение всех уравнений, записанных по первому закону
Кир хrофа , дает тождество 0==0. Аналоrичный результат полу
чается при суммировании ypaBHe
ний, составленных по второму зако-
ну Кирхroфа. Таким образом, среди
записанных уравнений есть линейно
зайисимые.
Вместо уравнений по первому
закону Кирхrофа для узлов можно
составить уравнения по первому за-
кону Кирхrофа для сечений (замк-
нутых поверхностей). При этом се-
чению замкнутой поверхности при-
дается ориентация. На рис. 2.13 по-
казаны четыре сечения 81 + 84' для
которых справедливы следующие урав-
нения (за поло?Кительные направления принимают направления
токов из замкнутых поверхностей):
il +i2+i3==O (81);
il+i2+i5 i6==O (82);
il+i4+i5==O (8з);
il i4 i5==O (84).
Уравнение для сечения 8з отличается от уравнения для сече-
ния 84 ТOJIько знаками c.iIаrаемых. Следовательно, среди ypaвHe
. ,......- ............ ...........,
""'s .........................."
/" 'J 1.....'"
I 1" ',', ,
1 \ Z /s, " ,
, 1 '"
I $\ '
\ " 2\\
\ , \ \
Б " J" } }
.... " /
...........-' /
/
5 "'"
Рис. 2.13
f.:-
''',
пий, составленных для четырех сечений, по крайней мере одно
является зависимым.
Вопрос о числе независимых уравнений, которые практически
можно составить по законам Кирхrофа, весьма важен. Этот воп
рос решают, применяя понятие дерева rрафа (схемы).
С помощью дерева образуется д rлаВJ:IЫХ сечений и к rлавных
контуров. rлавные сечения (rлавные контуры) отличаются друr
от друrа по крайней мере одной ветвью дерева (одной ветвью
связи). Если для rлавных сечений или для rлавных контуров
составляют уравнения по первому закону Кирхrофа, то они
содержат по крайней мере по одному слаrаемому, KOToporo нет
в друrих уравнениях. Таким образом, уравнения для rлавных
сечений и rлавных контуров линейно независимы. Общее число
линейно независимых уравнений, составляемых по законам Кирх-
rофа, равно числу всех ветвей:
д + к == (у 1) + в (у 1) == В.
Т аким образом, по первому закону
Кирхrофа для сечений составляют
д==y 1
(2.3)
пезависимых уравнений. Число неза-
висимых уравнений, составляемых
по второму закону Кирхrофа, равно
K==B y+l. (2.4)
1
...,
\
I
I
ISz
I
\ ../ SJ /1
\ "',/
'...... ..........
Очевидно, что уравнения для Рис. 2.14
сечений получаются как линейные
комбинации уравнений для узлов. Например, уравнение для ce
чения 82 представляет сумму уравнений для узлов 2 и 3, ypaB
нение для сечения 8з сумму уравнений для узлов 1. 2 и 3.
В общем случае уравнение для замкнутой поверхности получается
суммированием уравнений для узлов, охватываемых этой по-
верхностью. Следовательно, число независимых ур внений для
узлов совпадает с числом независимых уравнений для сечений (2.3).
Из сказанноrо вытекает значение тополоrическоrо понятия
дерево: дерево позволяет образовать независимые тсонтуры и сече-
ния и. следовательно, формировать независимые уравнения по
законам l( ирхеофа.
Пример 2..1. Составить независимые уравнения по законам Кирхrофа nля
rрафа рис. 2.12. '
Решение, Сначала выбираем дерево rрафа (ветви 2 3 5). Дерево.
rлавные контуры и сечения пока аны на рис. 2.14. 3а направление обхода
контура принимаем напра'вление ветви связи контура, за направление сече-
ния направление, совпадающее с направлением ветви дерева сечения.
По первому закону Кирхrофа, для сечениЙ
12 I4. I8==O (81)1
13+18+/4==0 (8JI
ili+14 ll==0 (8з).'
_.
Если за положительное направление тока принять направление к узлу,
ТО уравнения для сечений 51 и 5з совпадают с уравнениями для узлов.
По второму закону Кирхrофа,
и l +из+и5 О
и4 и5 из+и2 О
и6 из+и2 О
(контур [);
(контур [/);
(контур ll/).
2.3. ТОПОЛОf&iчеСl<ие мвтрицы rрафа и их своиства
Уравнения по законам Кирхrофа для токов и напряжений
MorYT быть записаны в матричной форме. Например, независимые
уравнения для трех узлов rрафа на рис. 2.12
i2 +Е, +io==O; }
"
il + i 2 + i з .. == о;
iз +lБ lв==О
эквивалентны матричному уравнению
il
Н I О 1 О J i 2 r ]
1 1 О О i з ,
О 1 О 1 i4 LO
i Б
io
Аналоrично в матричной форме можно записать уравнеиия
для сечений и контуров. Левая часть таких уравнений представ-
, ляет собой произведение матрицы коэффициентов на столбцовую
матрицу переменных. В правой части уравнения записана столб-
цовая матрица, все элементы которой равны нулю.
Матрицы коэффициентов уравнений Кирхrофа состоят только
из элементов + 1, 1 и О. Значения этих элементов опреде-
ляются только структурой rрафа (схемы) и MorYT быть найдены
при рассмотрении rрафа (схемы).
В соответствии с видом уравнений Кирхrофа различают три
тополоrические матрицы: матрицу соединений (узловую) А, мат-
рицу сечений Q и матрицу контуров В.
М. а т р и Ц а с о е Д и н е н и й (узловая матрица) А это таб-
лица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону
КiIрхrофа для узлов. Строки этой матрицы соответствуют узлам,
столбцы ветвям. Если элемент матрицы А обозначить через ац.
т. е.
А == [ац]
(i номер строки, j номер столбца), то можно сформулировать
следующее правило составления матрицы:
ац == 1, 'если ветвь. j соединена с узлом i и направлена от
узла;
52
ац == 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена
к узлу;
aij == О, если ветвь j не соединена с узлом i.
Обычно число строк матрицы А равно числу независимых
узлов, т. е. д == У 1. Если узловую матрицу записываюr для
всех у узлов, то ее обозначаюr Ан,
Пример 2.2. Составить матрицы Ан. и А для rрафа на рис. 2.15.
Реш е н и е. Матрица Ан, sаписанная Аля всех 5 уsлов, имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8
l 1 О О О 1 О 1 o
2 О 1 l О l 1 О О
AH ' О О . О 1 О l 1 О
3
4 О О 1 1 О О О 1
r 5 1 1 О О О О О 1
,
Вычеркивая любую строку. получают матрицу А. Если вычеркнуть строку.
соответствующую уsлу 5, то ' 2
12345678
1 [ 1 О О О 1 О 1 0 1
A 2 о 1 l О 1 1 О О
3 О О О 1 О 1 1 О
4 О О 1 1 О О О 1 .
Сумма элементов каждоrо столбца мат-
рицы Ан равна н ул'IO , так .как каждый
столбец матрицы содержит только одну
+ 1 и одну 1 , а остальные элементы
столбца нулевые. В матрице А может от-
сутствовать одна строка матрицы Ан, соответствующая любому
узлу.
ЕСЛи.обозначить через
'(в) [ : 1
1 .
i B
1
J
4
5 8
Рис. 2.15
столбцовую матрицу токов всех ветвей, то уравнение
Ai(B) == О (2.5)
будет представ.л.ять матричную.запись первоrо закона Кирхrофа.
С помощью матрицы А нетрудно выразить напряжения
. всех ветвей через потенциалы узлов. Для этоrо элементы k й
строки матрицы А следует умножить на 'Pk потенциал k ro узла,
затем сложить элементы каждоrо столбца. В j-M столбце может
быть + 1 в k й строке и 1 в i й строке, если j-я ветвь при
соединена между k M и i M узлами и направлена от k ro узла.
Torдa напряжение j й ветви и; == 'Pk 'Pt.
53
Таким образом, матрицы напряжений ветвей и узловых по-
- тенциалов связаны равенством
U(B) == А Тер, (2.6)
rде
U(B) l : l l : l
: ; ч> :
. .
Ив qJД
соответственно столбцовые матрицы напряжений ветвей и узло-
вых потенциалов, причем потенциал последнеrо узла qJд+1 == qJy == о;
, А Т транспонированная узловая мат-
рица.
Матрица сечений Q это
таблица коэффициентов уравнений,
составленных по первому заКОIjУ
Кирхrофа для сечений. Строки мат-
рицы Q соответствуют сечениям"
столбцы ветвям.
Элемент qij матрицы Q == [qiJl оп-
ределяется следующим образом:
qij== 1, если ветвь j содержится
в сечении и направлена соrласно с
(т. е. с направлением для замкнутой по-
'",
"" \
\ \
) I
S4 I
/SJ
/ -
/
',,-/
Рис. 2.16
направлением сечения
верхности);
qij == 1, если ветвь j содержится в сечении i и направлена
противоположно направлению сечения;
qij == о, если ветвь j не содержится в сечении i.
Если матрица Q составлена для rлавных сечений, то ее назы-
вают м а т р и Ц ей r л а в н ы х с е ч е н и й. При этом за. положи
тельное направление сечения обычно принимают направление
ветви дерева данноrо сечения.
Пример 2.3. Для rрафа на рис. 2.16 sаписать матрицу rлавных сечений.
Реш е н и е. Выбранное дерево (ветви 1 2 3 4) и сечения показаны
на рис. 2.16. Номер сечения считаем совпадающим с номером ветви дерева.
Матрица сечений
1 2 з- 4 5 6 7 8
1 [ 1 О О О 1 О 1 J
Q 2l0 1 о О 1 О 1
3 О О 1 O О 1 l l
4 О О О, 1 О 1 l О
Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений д.
Матрица Q может быть получена с помощью линейной ком-
бинации строк матрицы Ан. Так,' в матрице Q (см. пример 2.3)
стро'ки 1 и 4 совпадают со -строками 1 и 3 матрицы Ан (см. при
мер 2.2}. Строку 2 матрицы Q получаем как сумму строк 1 и 5
матрицы Ан, умноженных на 1; строка 3 матрицы Q равна
сумме строк 3 и 4 матрицы Ан.
Закон Кирхrофа для сечений в матричной форме записывают
следуюIЦИМ образом: '
Qi(B)==O. (2.7)
Если матрицу напряжений ветвей дерева обозначить через и(Д),
то
и(В) == ОТu(Д),
(2.8)
т. е. напряжение любой ветви схемы определяют через напря-
жения ветвей дерева.
Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица
rлавных сечений может быть разделена на две подматрицы:
0==[1 Р],
[де 1 еди'ничная подматрица порядка у 1,
соответствуют ветвям дерева; F подматрица-,
соответствуют ветвям связи (см. пример 2.3).
М а т р и Ц а к о н т у р о в (контурная мат-
рица соединения ветвей) В это таблица ко-
эффициентов уравнений, составленных по
втйрому закону Кирхrофа. Строки матрицы
В _ соответствуют контурам, столбцы ветвям.
Эл мент Ьц матрицы В=== [Ьц] определяется
следуюIЦИМ образом:
Ьц == 1, если ветвь j содержится в КОН-
туре i и направление ветви совпадает с на-
правлением обхода контура;
bij== I, если ветвь j содержится в кон-
туре i и направление ветви противоположно
направлению обхода контура;
Ьц == О, если ветвь j не содержится в контуре i. ,
Матрицу В, записанную для rлавных контуров, называют
матрицей rлавных контуров. При этом за направле-
ние обхода контура принимают направление ветви связи этоrо
КОНТура.
Пример 2.4. Для rрафа на рис. 2.17 составить матрицу rлавных контуров.
Решение. Выбранное дерево (ветви J 2 "3 4) и контуры показаны
на рис. 2.17. Номера контуров обозначаем римскими цифрами. Матрица кон.
туров
1
1 r 1
B==II l О
III 1
IV О
2 3 4 5 6 7
100100
011010
111001
110000
столбцы которой
СТО.'Iбцы которой
7
8
Рис. 2.17
8
Н
Число СТРОК матрицы В равно числу независимых контуров К.
Если матрица контуров состаВ.пена для бо.пьшеrо числа контуров,
То ее обозначают Во.
69
Второй закон Кирхrофа для напряжений в матричной форме
записывают следующим образом:
BU(B) == О. (2.9)
Токи всех ветвей MorYT быть выражены как линейные KOM
бинации токов ветвей связи. Можно считать, что в каждом KOH
туре замыкается к о н т у р н ы й т о к, равный току ветви связи
этоI'о контура. Если элементы j ro столбца матрицы 8 умножить
соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких
произведений и будет выражением тока j й ветви через контур-
Hble токи (через токи ветвей связи). Этот результат может быть
записан в виде матричноrо соотношения .
jI
.i(B) == 8"i(K),
(2.10)
rде i(K) столбцовая матрица контурных токов.
Если етвям дерева присвоены первые номера, то матрица
rлавных контуров состоит из двух подматриц:
в == [ pт 1],
rде F подматрица матрицы сечений О, составленная на осно-
вании Toro жесамоrо дерева (см. примеры 2.3 и 2.4); I еди- .
ничная подматрица порядка к == в у + 1.
Пример 2.5. Проиллюстрировать матричные соотношения (2.5) +.(2.10) /lа
примере rрафов рис. 2.15+2.17.
Реш е н и е. Матрицы А и В rрафов на рис. 2.15 + 2.17 записаны в при-
мерах 2.2 + 2.4. Матрицы токов и напряжен,:,й ветвей содержат по восемь
элементов:
il иl
i 2 и 2
i з из
jlB) == i4 U IB !== и 4
i5 и 5
i e ив
i7 и 7
j8 и8
Выполняя. умножение матрицы А на матрицу jlB!, леrко получить урав-
нения
il+i5+ i 7==O; I
i2 3 5+ 8==0; .
t4 te t7==O;
iз i4 i8==О'
которые, как видно Н3 rрафа на рис. 2.15, представляют собой уравнения по
первому закону Кирхrофа для узлов 1. 2. 8 и 4,
56
.. Умножая матрицу Q на матрицу jrB" можно' получить уравнения по пер-
вому закону Кирхrофа для сечений на рис. 2.16:,
il+i5+i7 O; J
2 5 7 8 O;
Iз 16 17 18 О;
. i4 is i7 O.
В правильности этих уравнений нетрудно убедиться нрпосрепственно из
рассмотрения "рафа на 'рис. 2,16. ' ..
Умножение матрицы В на матрицу u rB ) дает уравнения по ВТОРОМУ закону
Кl!рхrофа для контуров на рис 2.17:
иl +и2+и5 O; 1
из+ и 4+ и в==О; ..
иl +и 2 +и з +и4 +и7 0; J
и2+из+и8 0,
Для иллюстрации соотношений (2.6), (2.8) и (2.10) необходимо' записать
матрицы узловых потенциалов, напряжений ветвей дерева и контурных токов:
lpl
'Р2
q>== .
Ipз '
1p4
щ iI i5
u rю == и 2 jlK) == i I1 i s
из i ш i7
и4 iIV i'8
Матрица q> содержит потенциалы всех узлов, кроме % ==0, поскольку
D матрице А (см. пример 2.2) отсутствует строка, соответствующая узлу 5.
Произведение
1 О О o Ul
О . 1 О О и2
О 1 О 1 'р1 из
О О 1 1 .
Ip2 и 4
ATq> 1 l О О
% и 5
О 1 1 О 1p4 ив
1 О 1 О и 7
O О о 1 и*
Умножая матрицы, получим соотношения:
щ == == + % == w
ив 1p2 lpз; U7=='lpl %; U8== 1p4'
СпраВеДЛИВОСТЬ этих равенств очевидна (см. рис. 2.15).
Аналоrично при умножении матрицы QT на матрицу u lю получаются
выражения:
щ == ==щ
и7==иl и2 из и4; == и2 из,
Первые четыре равенства опредеЛЯЮТ напряжения ветвей дерева, осталь_
ные напряжения ветвей связи через напряжения ветвей дерева. Правиль-
ность этих равенств очевидна из рис, 2..16.- '
57
Умножение матрицы ВТ на вектор контурных токов приводит К соотно-
шениям:
i 1 i 1 iш i5 i7;
i2 il +illl +iJv iБ+i7+i8;
iз ill+illl +i1V i6+i7+i8;
i4 ilJ+iш i6 i7;
i5 il; i6 iIl; i7 iш; i8 ilV.
Первые четыре соотношения выражают токи ве:rвей дерева через KOHТYP
ные токи (токи ветвей связи), остальные токи ветвей связи, равные соответ-
ствующим контурным токам. Полученные соотношения леrко составить
и непосредственно по rрафу на рис. 2.17.
Матрицы А, О, В позволяют выразить алrебраическим языком
тополоrию CX€M, что существенно при анализе сложных цепей
с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Следует
определить соотношения между этими матрицами, а также ряд
их своЙ'ств. -
Соотношения между тополоrическими матрицами. Если матрицы
А, Q и В составлены для одноrо и Toro же rрафа (схемы), то
они УДОВ.'1етворяют следующим соотношениям:
АВ Т ==0;
ОВТ == О.
(2.11)
(2.12)
Справедливость этих равенств леrко показать на примерах
2.2 -+-- 2.4.
Докажем справедливость этих равенств в общем случае. Так,
вычисление произведения АВТ сводится к вычислению произве-
l дений элементов матриц aijb k } и сумми-
j рованию таких про изведений. Произ-
ведение alJb k } отлично от нуля, если
ветвь j присоединена к узлу i и вхо-
дит в контур k (рис. 2.18). Но в та-
Рис. 2.18 ком случае всеrда будет еще неНУ.'1е-
вое прои ведение aиbkl' соответствую-
щее ветви [, присоединеннои к узлу i и принадлежащей также
контуру k. При любых ориентациях ветвей j, [ и контура k сумма
aijb k } + Pиbkl == О.
Например, Д.'1я подrрафа на рис. 2.18
k
. I 1 [ I ] j
alJbkj+aиbkl== [ 1 1] 1 [==0.
Аналоrично доказывается и равенство (2.12).
Если к выражениям (2.11) и (2.12) применить
транспонирования*, то
операцию
ВАТ == о;
ВОТ ==0. .
· Известно. что [АВС ...JT==...CTBTAT.
(2.13)
(2.14)
58
Из соотношения (2.12) вытекает справедливость отмеченноrо
положения: если ветвям дерева присвоены первые номера, то
матрицы Q и В имеют вид
О==[I Р]; B==[ PТ 1].
Действите.'1ЬНО, если ОВТ ==0 и Q == [1 Р], то
[ Р ] [ F J T
ВТ == 1; В == 1 == [ pт 1].
Целесообразно установить СIтзь между матрицами О, В и А.
Пусть матрица А разделена на две подматрицы:
А == [Ад Аа,
rде Ад подматрица, соответствующая ветвям HeKoToporo дерева;
Ас подматрица, соответствующая ветвям связи. Тоrда
[ . (Д) ]
Aj(B) == [ А А ] I == А i(Д) + А i(C) == О
д с j(C) д С ,
rде i(Д) и i(C) соответственно матрицы токов ветвей дерева
и ветвей связи.
Если подматрица дерева Ад неособенная *, то обе части урав-
нения (2.15) можно умножить на обратную матрицу A-i. При
этом
.
(2.15)
j(Д) + Ад. Ac j ( с) == О,
или
[1 Ад. Ас] [::::] == Qi{B) == O
Таким образом, матрица сечений
Q == [1 А д 1 А с ] == Ад- 1 А,
(2.16)
а ее подматрица, соответствующая ветвям связи,
F == А д 1 Ас.
Л1атрица контуров
B==[ PТ 1]== [ A {A;IY 1]. (2.17)
Как видно из равенств (2.16) и (2.17), матрицы Q и В MorYT
быть сформированы из матрицы А. Следует подчеркнуть, что
матрицы (2.16) и (2.17) записаны для rлавных сечений и rлав-
ных контуров, соответствующих одному и тому же дереву. Еди-
ничные подматрицы в матрицах Q и В имеют различный поря-
* н е о с о б е н н о й наsьшают квадратную матрицу, определитель которой
отличен от нуля. Если Ад неособенная матрица, то ее определитель det Ад *
=1= О и существует матрица Ад.' наsываемая обратной матрицей для матрицы Ад'
Произве.цение Ад! Ад ==АдАр/ == 1 (1 е иниqная матрица).
fifI
док: в матрице Q (8) порядок единичной' подматрицы равен
y l(e y+I).
Неособенные подматрицы тополошчеСIШХ матриц. НеQсобен
ные подматрицы некоторой матрицы' определяют ран[ этой
мцтрицы. Р а н r о м матрицы называюr наивысший порядок
неособенной подматрицы, содержащейся в матрице.
PaHr матрицы равен числу ее линейно независимых строк
(столбцов). Как было показано, число линейно независимых строк
матриц А, В и Q равно числу независимых. уравнений, cocтaB
ляемых по соответствующему закону Кирхrофа. Таким образом,
paHr матриц А и Q rрафа (схемы) равен числу ветвей дерева:
д==!j 1.
PaHr маТРIЩЫ В rрафа (схемы) равен числу ветвей связи,
т. е.
K==в y+ 1.
Если из столбцов матрицы А образовать все возможные под
матрицы порядка д == у 1, то все неособенные подматрицы
ПОРЯДКа д матрицы А соответствуют деревьям, причем определитель
таких подматриц равен 1. '
Это' утверждение можно доказать в общем случае. Дерево
рассматривают как самостоятельный rраф и составляют ДЛЯ Hero
узловую матрицу Ад' Матрица Ад квадратная порядка д == у 1.
PaHr матрицы' Ад, как любой узловой матрицы, равен числу
линейно независимых строк, т. е. д. Порядок матрицы Ад равен
ее paHry, следовательно, матрица Анеособенная.
Любая неособенная ПQдматрица, составленная из у 1 столб
цов матрицы А, имеет линейно независимые столбцы. Эти столбцы
Moryт соответствовать только ветвям 'дерева, поскольку столбцы
матрицы А, соответствующие ветвям любоrо контура или под
rрафа, содержащеrо контур, на основании равенства (2.11)
линейно зависимы. Таким образом, квадратная подматрица Ад
ПОрЯДка у 1 матрицы А является неособенной, если только
столбцы Ад с.оответствуюr дереву.
Поскольку матрица Ад неособенная, т. е. ее определитель
det Ад #- О,
то в матрице Ад обязательно найдется такой столбец, который
содержит только. одну + 1 или только одну 1. Выполняя раз-
ложение определителя по элементам этоrо столбца, можно
записать
det Ад == 1 . IJ..ij,
rде IJ..lj соответствующее алrебраическое дополнение. Так как
det Ад #- О" то алrебраическое дополнение содержит столбец,
в котором имеется только ОДНа + 1 (или I). Продолжая таким
образом раЗ{lожение определителя, получаюr
dеtАд==( l)( + .I)...( 'I)== 1.
Например, для rрафа на рис. 2.15 определитель подматрицы
1\1 матрицы А, соответствующей дереву 1 2 3 4 (см. при
мер 2.2),
1 О О O
о 1 1 О
det А 1 == det О О О 1
О О 1 1
1 О О o
о 1 1 О
0'0 O 1 == 1.
О О 1 1
Если образовать подматрицу Л 2 из столбцов 1 2 3 5
матрицы Л (ветви 1 2 3 5 образуют подrраф, содержащиЙ
контур), то
1 9 о 1 - 1 О D 1
О 1 1 1 О 1 1 1
det Л 2 == det О О О О О О О О
O о 1 О О О 1 О
==0.
Таким образом, если в матрице А найдены все неособенные
подматрицы, то определены все деревья сх.емы.
Из равенства (2.16) можно доказать, что все неособенные
подматрицы порядка у 1" матрицы Q также соответствуют
деревьям схемы, причем определитель таких подматриц равен -+-- 1.
Действительно, по.ц."датрица Q' ПОрЯДКа у 1 матрицы Q
получается в результате умньжения А,/ на подматрицу д'
порЯдка y 1 матрицы А: Q' ==Ад!д', rде Лд подматрица
матрицы А, соответствующая' одному из деревьев схемы. Опре
делитель произведения двух квадратных матриц, как известно,
равен произведению их определителей. Поэтому, если подмат
рица А' соответствует любому дереву, то det Л' == -+-- 1, det Ад! =::
== + 1 и det Q' == -+-- 1; если же подматрица Л' не соответствует
дереву, то det А' ==0 и det Q' O .
Определители квадратных подматриц любоrо порядка (ДО у 1
включительно), образованных из матриц Л или Q, MorYT при
нимать значения только + 1 , 1 и О. Из выражения (2.17)
следует, что определители квадратных подматриц любоrо порядка
до в у + 1 включительно, образованных из матрицы В, MorYT
принимать лишь значения + 1, 1 и О.
Все неособенные подматрицы порядка к =:: в у + 1 матрицы В
соответствуют ветвям связи (дополнениям деревьев).
Пусть выбрано одно из деревьев схемы (первое дерево) и дли
rлавных контуров, которые получаются присоединением ветвей
связи к этому дереву, составлена матрица В в виде (2.17). Можно
выбрать друrое дерево и для друrой системы rлавных KOHTYPO
записать матрицу контуров В' при условии, что порядок столб
Цов соответствует порядКу столбцов в матрице В. Тоrда матрица
В' == [B ва,
rде подматрица B (B ) соответствует тем же ветвям, что и ПОk
матрица рт (1) в матrице (2.17), т. е. ветвям первоrо дерева
61
(ветвям связи первоrо дерева). По второму закону Кирхrофа.
8 ид + B иc == О,
rде и д (и с ) матрица напряжений ветвей первоro дерева (ветвей
связи первоro дерева). Из записанноrо равенства матрица
" с == (8 ) 1 8 ид. (2.18)
Напряжение любой ветви связи может быть выражено как
линейная комбинация напряжений ветвей дерева, так как суще-
ствует путь по ветвям дерева между узлами ветви связи. Следо-
вательно, в матричном соотношении (2.18) между матрицами Ilc
и " д подматрица 8 должна быть неособенной, т. е. подматрица
матрицы контуров, соответствующая ветвям связи любоrо дерева,
является неособенной.
Если предположить, что B неособенная подматрица порядка
к матрицы В', то леrко прийти к выводу, что B соответствует
ветвям связи HeKoToporo дерева, а B ветвям дерева. В про-
тивном случае некоторые ветви, соответствующие столбцам 8 ,
образуют КБНТур и число независимых уравнений, по второму
закону Кирхrофа, будет больше к == в у + 1, что невозможно.
Таким образом, все неособенные подматрИЦЫ порядка к мат-
РИЦЫ контуров соответствуют ветвям связи. Определители этих.
неособенных подматриц равны + 1 (в случае матрицы rлавных
контуров) .
2.4. Дуальные цепи
Дуальные rрафы. Д у а л ь н ы м и называют два rрафа, еc.iIи
узловая матрица одноrо из них Л 1 равна контурной матрице дру-
roro 82 (и наоборот):
А 1 == 82; (2.19)
В 1 == А 2 . (2.20) .
Из равенств (2.19) и (2.20) вытекает, что дуальные rрафы
имеют одинаковое число ветвей. Кроме Toro, узлы одноrо rрафа
соответствукл контурам BToporo и наоборот.
Для построения rрафа, дуальноrо заданному, необходимо внутри
каждоrо контура исходноrо rрафа поместить узел; один узел
помещается вне rрафа. Затем каждую пару новых узлов соеди.
няют ветвью так, чтобы эта ветвь пересекал а ветвь исходноrо
rрафа. Ориентацию ветвей HOBoro rрафа производят в соответст-
вии с рис. 2.19, на котором показаны один контур исходноrо
rрафа, узел и ветви дуальноrо rрафа (обозначения ветвей и узла
дуальноrо rрафа имекл индекс d).
СФОРМУЛИРQванное правило иллюстрируется рис. 2.20. Исход-
ный rраф показан на рис. 2.20, а; штриховые линии соответст-
вуют построению дуальноrо rрафа. На рис. 2.20. б изображ н
дуальный rраф.
Любому дереву исходноrо rрафа СOQ1Ьетствуют ветви связи
дерева дуальноrо rрафа и наоборот. Например, дереву 1 2
3 5 (рис. 2.20, а) соответствуют ветви связи l d 2 d 3d 5 d
(ветви ld 2d 3d 5d образуют связи дерева 4d 6d 7d).
Ветвям контура (сечения) ИСХОДноrо rрафа соответствуют ветви
сечения (контура) дуальноrо rрафа. Например, ветви 1 5 6
1 2 1 5 d 2
/' ...... 5 .....,
/ 1\-- 2' Б d 7 d
I \ I \
I ,
I Б' I 7 I Id J d 2d
I \1з I 4 J
\ 4 " 3 J
, , I I
" \ I ,//
'.... .,"'/
4-
4-
ll) oj
Рис. 2.19 Рис. 2.20
образуют контур (рис. 2.20, а); ветви l d 5 d 6 d образуют сече-
ние (рис. 2.20, б).
Последовательному соединению ветвей исходноrо rрафа соот-
ветствует параллельное соединение дуальных ветвей и наоборо(
Например, ветви 3 и 4 соединены последовательно (рис. 2.20, а),
ветви 3d и 4 d :---- парал- ,J
лельно (рис. 2.20, б). ,....\
Если внекотором / \ "
rрафе число контуров I \ \
равно числу ветвей де- I I \
рева: д == К, то дуаль- 1 \ I 2 \
ный rраф имеет такую '? .!J j
же структуру, как ис- I 5 \ 1
ходный. Такие rрафы I I /
называют с ам оду аль- \J '4/ /
ными (рис. 2.21, а, 6). " / /
Из правила построе , ...L ....""'-
ния дуальноrо rрафа 4
можно сделать вывод,
что дуальный rраф нель
зя построить для любо
[о rрафа. Дуальные rрафы существуют ТОлько для rрафов, кото-
рые MorYT быть изображены на плоскости без пересечения вет-
вей. Такие rрафы называют планарными (плоскими). На-
пример, rраф на рис. 2.15 планарный, так как он может быть
изображен без пересечений ветвей (см. рис. 2.17).
На рис. 2.22, а и б приведены примеры непланарных rрафов,
так называемых rрафов KypaToBcKoro.
ДуаЛhные элементы схемы. Двухполюсные элементы схемы
называют Д у а л ь н ы м и, если зависимость u (i) одноrо элемента
Совпадает с зависимостью i (и) друrоro и наоборот. " l' ", ',''''
3
1
6
4
oj
Рис. 2.21
'l
'Источник э. д. с. е (t) и источник тока J (t) будут дуальными,
если е и) == J (t). Это равенство следует понимать как численное
равенство э. д. с. (в вольтах) и тока источника тока (в амперах).
Для линейноrо сопротивления r дуальным элементом будет
проводимость g == r и наоборот. Действительно, при g == r ypaB
нение u === ri совпадает с уравнением i === gu * .
Равенство g === r следует понимать как численное равенство
проводимости (в сименсах) и СQпротивления (в омах).
у дуальных нелинейных резистивных двухполюсников должны
совпадать нелинейные зависимости u (Ё) и i (и).
а)
о)
.
Рис. 2.22
Линейныи индуктивный и емкостный двухполюсники xapaKтe
риз ся соответственно уравнениями
di . du
u===L ж ; l===С Ж ,
откуда видно, что индуктивность L и емкость С дуальные эле
менты при L == С. Равенство L === С следует понимать как числен
ное равенство индуктивности (в rеНIШ) и емк-ости (В фарадах).
В общем случае нелинейных индуктивных и емкостных двyx
полюсников дуальность означает совпадение нелинейных xapaK
теристик W (i) и q (и).
Принципиально можно rоворить и о дуальности мноrополюс
ных элементов схемы. При этом два элемента считают дуальными,
если математическое описание одноrо получают из математиче
cKoro описания друrоrо заменой всех переменных, обозначаю
щих напряжения (токи), на переменные, обозначающие токи
(напряжения). '
ПосtроеНйе и свойства дуальных схем. Две схемы электриче
ских цепей, содержащих двухполюсные элементы, называют
дуальны1ylИ, если они имеют дуальные rрафы и каждому элементу
одной схемы соответствует дуальный элемент друrой.
Для построения схемы, дуальной заданной, строят дуальныЙ
rраф и каждый. элемент заданноЙ схемы заменяют дуальным ЭJ1е
* Совпадение уравнений поиимается следующим образом: если в первом
уравнении напряжение (ток) заменить током (напряжением), то получается
второе уравнение,
(;11.
ментом. При построении дуальноrо rрафа каждый двухполюсный
элемент (е, J, r, L, С) следует рассматривать как отдельную
ветвь.
На рис. 2.23 приведен пример схемы электрической .цепи и
штриховыми линиями показано построение дуальноrо rрафа этой
схемы. Дуальная схема изображена на рис. 2.24.
Для заданной схемы дуальная схема существует в том слу-
чае, если исходная является планарной, т. . имеет планарный
rраф.
Основным свойством дуальных схем является совпадение .урав-
нений, составленных по первому (второму) закону Кирхroфа,
одной схемы уравнениями, составленными по второму (первому)
закону Кирхrофа друrой схемы.
Lf
.,....- .......::...::- ........................--...
,'" ". /, ",
, ,/ \ ,
, 'i/' f , !j \
,. , ,
I 1 1 , '---;-i:»
\ L I l. ,
'Z ,,"
с, l,1 ! :
.J
J
J(e,
Рис. 2,23
4
Рис. 2.24
Совпадение уравнений вытекает из pa HCТB (2.17) и (2.18)
и определения дуальных элементов.
Пример 2.6. Составить уравнеиие по Щlконам Кирхrофа дуальных схем
на рис. 2.23 и 2.24.
Реш е н и е. Для схемы на рис. 2.23, по первому закону Кирхrофа,
il +i2+i3 o;
iз+i4+J4 О'
По второму закону Кирхroфа, уравнения для контуров
имеют вид
. + L di2
rl l l 2 dt == еl;
L . di 2 + 1 \. dt + . + . О
2& с; J l3 r3 l 3 r4 l 4==',
Заменяя в записанных уравнениях все величины на дуаль
ные, получим:
Щ+U2+U3 ' о;
из+и4+e4==0;
С dU2 J
gl U l + 2(ft== 1;
d 1 \
С 2 d7 + т;; J UЗ dt + gз u з + 114 U 4 == о.
(а)
(б)
(в)
(r)
з п/р. Ионкина, Т. 1
65
При рассмотрении схемы на рис. 2.24 видим, что уr8внения
(а) и '(б) представляют собой уравнения для контуров gl С 2 L3
И gз g4 е 4 дуальной схемы, а уравнения (в) и (r) уравнения
по первому закону Кирхrофа для узлов 1 и 2 дуальной схемы
(токи элементов выражены через напряжения на их зажимах).
Если для системы уравнений одной из дуальных схем найдено
решение, то оно будет и решением уравнений друrой схемы (при
замене токов напряжениями и н борот).
Равенство узловой и контурной матриц дуальных схем позво
ляет установить важное свойство матрицы контуров планарной
схемы в случае, если контуры выбраны В-Биде элементарных ячеек
схемы.
Контурам (ячейкам планарной схемы) ставят в соответствие
узлы дуальной схемы. При этом матрица контуров В исходной схемы
равна узловой матрице дуальной схемы. В 2.5 доказано, что все
неособенные подматрицы максимальноrо порядка узловой матрицы
находятся в однозначном соответствии с деревьями и их опредеJIИ
тели равны ;-- 1. Так как дереву дуальной схемы соответствуют
ветви связи исходной схемы, можно сделать вывод, что все неособен-
ные подматрицы максимальноro порядка матрицы контуров (ячеек
планарной схемы) находятся в однозначном соответствии с ветвями
связи деревьев, причем определители этих подматриц равны + 1.
Таким образом, подматрицы порядка в у + 1 матрицы KOH
туров-ячеек имеют те же свойства, что и ПОДМ2.трицы матрицы
rлавных контуров.
. ' .
РАЗДЕЛ второА
ОСНОВНЫЕ своАСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ з. д. с. И ТОКОВ
rЛАВА 3
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ
В ПРОСТЕАших ЦЕПЯХ'
3.1. Постановка задач анализа электрических цепей
В общем случае задача анализа электрич ской цепи состоит
-< в определении токов в ветвях (элементах) цепи и -напряжений на
зажимах ветвей (элементов). При этом должны быть известны
схема цепи, параметры пассивных элементов, а также законы изме
нения во времени э. д. с. и токов источников.
Э. д. с. источников э. д. с. и токи источников тока представляют
собой внешние «возмущающие воздействия», или, кратко, -«возму
щения». Токи в ветвях цепи или напряжения на зажимах ветвей
можно рассматривать как «реакции цепи» на приложенные возму-
щения.
Часто представляет интерес определение тока только в одной
из ветвей или напряжения между одной парой зажимов при возму-
щении от одноro источника. В этом случае можно rоворить о рас-
чете некоторой выходной величины (реакции) у (t) при известной
входной величине (возмущении) Х (/), т. е. о расчете зависимости
у == у (х),
rде у == у (1); х == х И.
Расчет реакций цепи в виде функций времени называют анали-
зом в q в р е м е н н о й о б л а с т и.
Большое практическое значение имеют два вида возмущений:
посmОЯflНЬ{Е (неизменные во времени) и измен.яющиеся во времени
по периодическому, например по rармоническому, закону.
Если при постоянных (периодических) возмущениях реакции
цепи также постоянны (меняются по периодическому закону), то
режим в цепи называют у с т а н о в и в ш и м с я. В друrих слу-
чаях rоворят о переходных (нестационарных) режимах. Установив
Шийся режим представляет собой частный случай переходноrо
и наступает теоретически при бесконечно д ительномвоздействии
СТочников.
В линейных цепях реакции пропоршюнальны возмущениям.
Поэтому удобно рассматривать реакцию, отнесенную к возмущению,
если' возмущение постоянная величина. Отношение реакции
Э*
67
к возмущению, т. е. у!х. называемое в общем случае передаточной
(схемной) функцией. может иметь различную размерность. Если у
и х представляют собой напряжения (токи), то отношение у/х
безразмерная величина и называется к о э Ф Ф и ц и е н т о м п е -
р е Д а ч и н а п р я ж е н и я (тока). Если у напряжение (ток),
а х ток (напряжение), то отношение у/х имеет размерность сопро
тивления (проводимости) и называется пер е Д а т о ч н ы м -или
в з а и м н ы м с о про т и в л е н и е м (проводимостью) '"
Учитывая сказанное, задача анализа может ставиться как задача
расчета коэффициентов передачи напряжения и тока, передаточных
(взаимных) сопротивлений и проводимостей, т. е. передаточных
функций.
При rармонически изменяющемся возмущении отношение реак-
ции к возмущению при установившемся режиме может быть представ-
лено как некоторая комплексная величина, модуль и aprYMeHT
которой зависят от чаСТО'!Ъ1 rармоническоrо возмущения. Расчет
частотных зависимостей относится к задачам анализа цепи в ч а-
с т о т fl о й о б л а с т и.
Для ряда цепей важное значение имеет определение энерrети-
ческих показателей энерrий и мощностей reHepaTopoB и HarpY30K.
коэффициент(')в полезноrо действия и т. д. Расчет энерreтических
показателей сводится к расчету соответствующих напряжений и
токов.
Следует отметить также еще ряд задач анализа цепей: вычисление
изменения реакции цепи, обусловленноrо изменением парамerров
цепи; расчет характеристик чувствительности цепи к изменениям
параметров; определение условий устойчивой работы цепи; иссле-
дование свойств передаточных функций (во временной и частотной
областях). Решение этих задач в первую очередь требует умения
рассчитывать токи и напряжения элементов' цепи.
3.2. Цепи с сопротивлением r и индуктивностью L
Последовательная цепь. На рис. 3.1 пока.;зана схема электричес-
- кой цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивле-
ния r и индуктивности L, а также источника постоянной э. д. с.
При замыкании ключа щ:точник подключается к ветви L, r.
Для - этой цепи при замкнутом . ключе, по второму закону
Кирхrофа,
UL+U r ==6",
rде UL, U r соответственно напряжения на индуктивности и
СОпротивлении. Учитывая выражения для напряжений
di
UL ==L ж; U r == ri,
'" в частиом случае, коrда у и х напряжеиие и ТОК одно'1 ветви, отно-
шение у/х называют в х о д н ы м с о про т и в л е н и е м (проводимостью)
В е т в и.
68
данную цепь характеризуют следующим диФференциальным урав;.
мением:
L di + . ..@
п==(С)
dt
или
di + . rff
"& t=="
(3.1 )
rде 't==Lir.
Уравнение (3.1) представляет собой обыкновенное линейное
неоднородное дифференциальное уравнение первоrо порядка
с постоянными коэффици нтами. L
Чтобы решить это уравнение, сна-
чала находят общее решение i CB
однородноrо уравнения, т. е.
уравнения с правой частью, рав-
ной нулю:
di cB + . О
't ----ёit I СВ == .
i
fL l
r
иr
(3.2)
Рис. 3.1
у равнение (3.2) это уравнение с разделяющимися перемен-
ными:
iCB == dt.
LCB "t
(3.3)
Интеrрируя равенство (3.3), получаем
lп i CB == .!..... +lп А.
"t
Следовательно, общее решение уравнения (3.2) имеет вид
t
iCB==Ae 't,
rде А постоянная интеrрирования.
Если найдено общее решение однородноr.о уравнения, то общее
решение неоднороднощ уравнения можно получить, например,
с помощью вариации постоянной. Для этоrо принимают ток
t
i == В (t) е 't I
rде В (t) неизвестная функция t.
Производная тока
di !.... 1 !....
dT B'(t)e 't' TB(t)e 't.
При подстановке выражений для тока и em производной
в уравнение (3.1) получают
t t t 6"
'tB' (t) e ""i B (t) e ""i +В (t) e ""i" :=: "
69
откуда
rff
В' (1 ) == е Т '
"(Т '
G> 1 rfft
В (1) == \' e dl== e + А.
"(Т j r
Таким образом,' общее решение неоднородноrо уравнения (3.1)
записывается следующим образом:
( rff ) i. rff i.
i . ,е1:+А е 1: ==,+Ае т,
(3.4)
или
i '== i[]p + i CB '
(3.5)
rде i пр == rff/r.
Как видно из выражения (3.5), ток t имеет две составляю
щие: первая составляющая i[]p является частным решением Heoд
нородноro уравнения (получается из общею решения при А == О);
вторая составляющая i CB общим решением однородноro ypaBHe
ния. Первая СОСТавляющая для рассматрива емоrо случая во Bpe
мени не изменяется; вторая изменяется с течением времени
по экспоненциальному закону и обращается в нуль при f == 00.
Момент времени f == О рассматривают как момент, в который
источник напряжения rff подключается к uепи. Момент t == 00
соответствует установившемуся режиму: ток i == i[]p не изменя-.
ется. При неизменном токе di/df == О и из уравнения (3.1) находят
i пр == rff /r.
Таким образом, в выражении (3.5) первое слаrаемое имеет
физический смысл тока установившеrося или принужденноrо
режима и называется при н у ж Д е н н ы м т о к о м.
Слаrаемое i CB в выражении (3.5) характеризует ток в цепи
при отсутствии источника, т. е. при rff == О. Этот ток может быть
обусловлен энерrией, запасенной в маrнитном поле, связанном
с индуктивностью, и называется с в о б о Д н ы м т о к о м.
Если известно значение тока в начальный момент времени
t == О (момент замыкания ключа), можно найти постоянную инте-
rрирования А. Так, при i IH == i (О) == О постоянная А опреде-
ляется соотношением
6"
i (О) == +А ==0,
r
откуда
rff
А == .
т
Подставляя найденное значение А в
записать выражение для тока
,g ( )
i == 1 e т .
r ,\
равенство (3.4), леrко
(3.6)
70
На рис. 3.2 показаны' rрафики изменения токов i пр , i CB ' i при
i (О) === О. При t === т свободная составляющая уменьшается по
абсолютной величине в е раз; постоянная т, имеющая размер
насть времени, характеризует скорость изменения свободной
составляющей тока и называется п о с т о я н н о й в р е м е н и
цепи. Для рассматриваемой цепи T===Ljr, т. е: постоянная Bpe
мени пропорциональна индуктивности и обратно пропорциональна
сопротивлению. Нетрудно убедиться, что постоянная времени т
соответствует подкасательной ОМ, т. е.
I (СВ (О) I
т === ( B (О) .
i
[,
r
i пр
Теоретически установившийся режим
наступает при t == со. Практически уже
при t === 3т свободный ток в цепи YMeHЬ
шается (по абсолютной величине) .ДО t
5 % от CBoel'O начаЛЬНОI'О значения; при
t == 5т свободный ток уменьшается до
0,7% от начаЛЬНОI'О значения. Е
Процесс нарастания тока в COOTBeT Т'
ствии с rрафиком на рис. 3.2 можно Рис. 3.2
пояснить следующим образом. В мо-
мент включения источника э. д. с. ТОК в цепи i === О и энерrия,
запасенная в маrнитном поле, W L === О. При включении источника
уста овившийся режим не может наступить MrHoBeHHo, так как
не может MI'HOBeHHO возрасти энерl'ИЯ МaI'НИТНОI'О поля, связан
ная с индуктивностью, до величины
[ '2 L.J:"2
'!пр (D
W Lпр === === 2r2 .
MI'HoBeHHoe (скачкообразное) изменение энерrии соответство-
вало бы бесконечной мощности
dW L .
PL === == ULt
И бесконечно большому напряжению и[, что не имеет физиче-
cKoro смысла 'для рассматриваемой цепи.
Поэтому в данноЙ цепи с индуктивностыо возможно лишь
непрерывное изменение тока, соответствующее непрерывному
изменению энерl'ИИ, запасенной в МaJ'НИТНОМ поле, от начальноrо
до конеЧНОI'О уровня. Росту тока противодействует э. д. с. само-
индукции, возНикающая по закону Ленца *:
, di !....
eL == UL === L === 6"е "'.
dt
В начальный MOMeHT времени э. д. с. самоиндукции равна
по величине и ПРCYrивоположна по направлению э. д. с. источника:
eL (О) == 6".
'" При условии, ЧТО ток изменяется по формуле (3.б).
71
Пусть в цепи; схема которой приведена на рис. 3.3, ключ
был замкнут (положение 1) и источник действовал достаточно
ДОЛI'О, т. е. наступил установивший
ся режим. Если в некоторый момент
времени, который можно считать
равным t == О, ключ MrHoBeHHo (без
lLL разрыва rL-цепи) переключить в по-
Е r ложение, 2, ТО получится коротко-
замкнутая rL-цепь. Ток в коротко-
замкнутой цепи не может MrHOBeHHO
уменьшиться до нуля. поскольку не
Рис. 3.3 может скачкообразно уменьшиться
энерrия. запасенная в - маrнитном
поле индуктищюй катушки.
Процесс в короткозамкнутой цепи описывается уравнением
(3.2). По условию. начальное значение тока
поэтому -
.
i (О) == 6"/r,
",. t
. . v 13"
t==tcB==r e .
(3.7)
в данном случае ток в цепи поддерживается э. д. с. само-
И'ндукции
di !...
eL == UL == L == 1ffe- 1:.
dt
(3.8)
rрафики функций i (t) === i CB (t), CL (t) === и т (t), UL (t) построены
на рис. 3.4.
(;
r
[
e,
Рис. 3.4
ff.
")
J
-r
Рис. 3.5
Начальный запас энерrии маrнитноrо поля, связанной с индук-
ТИВНОСТЬЮ, ..
W ( О ) и2 (О) L6"2
L 2 2r28
72
Энерrия, рассеиваемая в сопротивлении,
f .п 6"2 f ' t&' 2 "t" L{f2
W r == J t r dt == rJ е 1: d1: == 2r == 2т2 .
о о
Таким образом,
W r == W L (О),
т. е. вся энерrия маrнитноrо поля выделяется в сопротивлении r
в виде тепла.
Параллельная цепь; На рис. 3.5 изображена схема электри
че<;:кой цепи, состоящей из параллельно соединенныХ сопротив
лени я r и индуктивности L, подключаемых при размыкании ключа
к источнику постоянноrо тока J.
По первому закону Кирхrофа (ключ разомкнут),
ir+iL==J,
rде i л i L соответственно токи в сопротивлении r и индуктив-
,ности L.
Ток в сопротивлении можно выразить через ток в индуктив-
ности:
. 1 1, di L di L
'т==т и ==rLdt== 1: ж ,
rде U напряжение .между узлами схемы; 1: == L/r постоянная
времени. Таким образом, ток определяется из дифференциальноrо
уравнения
di L .
1: dt +tL== J,
(3.9)
аналоrичноrо уравнению (3.1).
По аналоrии, решение уравнения (3.9) можно записать сразу:
t
i L == J +Ae ""i"
(3.10)
Если момент t == О соответствует моменту включения источника
тока и iL (0)==0, то А == J и .
iL==J(I e ).
(3.11 )
Решение (3.1 О) содержит принужденную составляющую
iL пр == J
и свободную составляющую
t
iicB == А е"'"':. -:t.
Принужденная составляющая тока представляет собой ток
через индуктивность при установившемся режиме и может быть
найдена нз условия diL/d( == О, U == О, т. е. индуктивность является
КQроткозамкнутой ветвью, ток коТорой равен току источника.
73
Ток в сопротивлении r изменяется по
t
ir==J iL==Je i.
. Напряжение между узлами
закону,
(3.12)
t
U == ri r == J (e -=t. (3.13)
rрафики функций (3.11) --+-- (3. 13') показаны на рис. 3.6. Ток i L
n ИНДУКТИВНОСТИ изменяется непрерывно" что связано с невозмож
ностью скачкообразноrо изменения
энерrии маrнитноrо ПОЛЯ.
ВСЯ энерI'ИЯ,. отданная источни
ком,
00 00 t
W ис.т == S Ju dt == J 2 r e dt == J'4L.
u о
Энерrия, рассеянная в сопротивле
нии,
r r J2L
\17 r == r J i dt == J 2 r ) е 1: == 2'
о о
Jr
3'
"4. Л Р,
lL
t
}
Рис. 3.6
Эперrия, запасенная в М'аrни'l'НОМ поле,
H пр LJ2
W1.===' == Z .
Таким образом, W ист == W r+ W [.
Если после достижения установившеrося режима в цепи на
f"И'С. 3:5 MrHOBeHHO отключить ИСТОЧiliИК, ТО ТОК В индуктивности
уменьшается по экспоненциальному закону от начальноrо значе
ния i L (О) == J до нуля (анолоrично, току i, показанному на
'рие. ЗА); при Э'fОМ ;;r == i L.
б 3.3. Цепи с сопротивлением r И емкостью С
Последовательная цепь. На рис. З.7 показана схема цепи,
С.::Jдержащей последовательно соединенные сопротивление r и
емкость С, подключаемые при замыкании ключа к источнику
цостоянной Э. д. с. 6".
Для такой ц.епи справедливо уравнение (при з-амкнутом ключе)
и, + ис == .
Учитывая, что напряжение
. du c tfu c
u r == rt ==-rС {[[ == 1" ([f'
rде т == (С постоянная времени цепи, получают дифференц-иаль-
" ное уравнение
du c
т di+ (.Се == tff.
(3,14}
14
t
llC ,g +A€ "(
Уравнение (3.14) анаЛOI'ИЧRО (3,.9), поэтому ero решение аня-
лоrично (3.10), т. е.
(3.15)
Выражение (3.15) содержит принужденную составляющую
UСпр == 6"
и свободную ,составляющую
t
и СВ == Ae 1;.
Если момент времени' t == О соответствует мом-енту ЕКЛЮ-{eI-IИЯ
источника напряжения и ис (О) == О, то постоянная А == ,g.
В этом случае
ис==6" (1 e f).
(3.16)
Закон изменения напряжения (3.16) аналотичен закону изме-
нения тока (3.11).
Напряжение на СОПРОТИВЛ НИИ
_ , t
и т == 6" ис == 6" е 1;;
ток в цепи
.1." t
. и т (!) 1;
(== == e .
r r
(3.17)
(3.IЭ)
Выражения (3.17) и (3.18) аналоrичны (3.12) и (3.13). rpa-
фики функций ас и), и т и i (t) прiшедены на рис. 3..8.
Напряжение на емкости возрастает от нуля до значе
ния Uспр == 6" по э споненциальному закону. Конденсатор заря
жается; ток, заряжающий ero, имеет
наибольшее значение в начальный
момент времени. При установившем-
ся режиме, коrда KOHД HcaTOp заря-
жен до напряжения (5, ток равен
нулю, т. €. при устаНОВИБшемся p'e
жиме конденсатор с совершенной
изоляцией эквивалентен разомкнутой
ветви.
Запас энерrии W с, связанной с
электрическим полем конденсатора,
не может измениться скачкообразно. Такое изменение энерrии
привело бы к бесконечной мощности
Рис. 3.7
dW c .
рс == dt == Uc l
И бесконечно большому току i, что не имеет физическоrо смысла
для рассматриваемой цепи. Таким образом, в данной цепи воз
75.
можно лишь непрерывное изменение напряжения ис, соответ-
ствующее непрерывному изменению энерrии в электрическом
поле конденсатора.
Энерrетические соотношения в цепи на рис. 3.7 полностью
аналоrичны соотношениям, полученным для цепи на рис. 3.5.
i,u Пусть конденсатор, заряжен-
.f-... иый до напряжения ,B мо-
r мент t == О подключают к сап-
и спр ротивлению r (рис. 3.9). После
t
.
t U r иJ с
r
t
Рис. 3.8
Рис. 3.9
замыкания ключа конденсатор разряжается. Для этой цепи спDa-
.ведливо уравнение
du c
TdТ+иc ==О,
(3.19)
откуда
t
ис == иС.СВ == Ае:--""'(.
По условию, ис (О) == , следовательно,
t
ис == иССВ == e Т;.
Ток в цепи
" du c !....
l==C == e "{.
, dt r
Кривые изменения напряжения ис и тока i при разряде конден-
сатора показаны иа рис. 3.10. Вся энерrия,-запасенная в емко-
сти, рассеивается в сопротивлении (.
ПараллельщlЯ цепь. Для цепи на рис. 3.11 спрайедливо YPdtl-
нение (при разомкнутом ключе)
ic+i r == J.
Учитывая, что
. C du . и
(с== dt ' (Т==у'
получают дифференциальное уравнение
du
't dt +u==Jr.
(3.20)
76
Если момент времени t == О соответствует моменту включения
источника постоянноrо, тока и ис (О) == О, (конденсатор не заряжен).
t [с i1t,
с r.
J
Рис. 3.10
Рис. 3.11
ТО по аналоrии с
решение уравнения
решением (3.5) уравнения (3.1) записывают
(3.20):
==Jr(l e ). (3.21)
Ток в емкостИ
t
du
ic===C dt == Je 1:;
(3.22)
ТОК В сопротивлении
( t )
и
i r == == J 1 е 1:.
r
(3.23)
fрафики зависимостей (3.21) -+- (3.23) показаны на рис. 3.12.
При установившемся режиме
емкость эквивалентна разомк-
. нутой ветви и весь ток источ- J
Ника замыкается через сопро-
Тивление (. Энерrетическце со-
отношения в цепи на рис. 3.11
аналоrичны энерrетическим со-
отношениям в цепи на рис.
3.1.
При равенстве численных t
значений соответствующих па- Рис. 3.12
раметров цепи на рис. 3.1 и
3.11 являются дуальными. Такое утверждение справедливо и для
цепей на рис. 3.5 н 3.7.
3.4. Цепи с' сопротивлением (, ИНДУ!(ТИВИОСТЬЮ L
И емкостью С
Последовательная цепь. Для последовательно соединенных
сопротивления (, индуктивности L и емкости С, подключаемых
к источнику постоянной Э. д. с. (рис. 3.13), справед иво уравне-
71
ние (при замкнутом КDIюче)
UL+Ur+UC== ,
или
L : + ri + i dt == r&>.
(3.24)
Дифференцируя по времени обе части равенства (3.24), леl'КО
получить линейное дифференциальное уравнение Bтoporo по-
рядка
d 2 i di 2'
lТf2 + 2а dt +ffiol == о,
rде 2а r/L, ffi == L .
Уравнение (3.25) однородное; это означает, что ток в дан-
ной цепи имеет только свободную co
ставляющую.. Действительно, при yCTa
новившемся режиме, коrда ток И' Ha
пряжения на всех элементах постоянны,
ветвь с ,емкостью эквивалентна разомк
нутой ветви.
Общее решение линеиноrо OДHOpOД
Horo дифференциальноrо уравнения n ro
порядка определяется корнями xapaK
терцстическоrо уравнения, которое по-
лучается из дифференциальноrо ypaB
нения заменой ПРОИЗВОДНОЙ k-ro порядка (k == О, 1, ..., п) мно-
жителем pk. Для уравнения (3.25) характеристическое уравнение
имеет вид
(;
'
l1 L -
. l1 r r
l · l1c С
<r----'
Рис. 3.13
(3.25)
р2 + 2ар +(д == о.
Корни хаР2.ктеристическоrо урав нения
Pl.2== а + У a2 ffi .
(3.26)
(3.27)
Возможны три случая.
l-й случай. Если а> ffio, ТО корни Рl И Р2 вещественны и раз-
личны. При этом общее решетrе уравнения (3.25) записывают
в виде СУММЫ ДВУХ экспонент:
i == i CB == A 1 e P1t + A 2 e P . t , (3.28)
rде Al и А 2 постоянные интеrрирования, ,определяемые из началь
ных условий.
Пусть В момент включения источника t == О ток i (О) == О и
напряжение иС (О) == О. Т.оrда из равенства (3.28)
Al + А 2 == О. (3.29)
Из уравнения (3.24) находят значение производной в началь-
ный момент времени, учитывая, что i (О) == о, иС (О) == о:
di I rff
.dt ' o == т.
7.8
Дифференцируя (3.28) и подставляя t == О, получаем
А 1 Рl + А 2 Р2 == ,&/L. (3.30)
Совместное решен е уравнений (3.29) и (3.30) дает значения
постоянных
<ff
А 1 == А 2 == L ( . } .
Pl P2
Таким образом, ток в цепи изменяется по закону
6"
{== i CB == L ( (e P1t e p2t ). (3.31)
Рl Р2)
Зная ток, можно определить напряжение на каждом элементе
цепи. Например, напряжение на емкости
1 \' . r!J ( ePlt e P2t ) '&
ис==с J l dt== LC(Pl P2) + LCPIPi .
Учитывая, что произведение корней квадратноrо уравнения
равно свободному члену:
1
РIР2 == те,
выражение для ис преобразуется к виду
<ff
ис == (P2ep1t Pl ep2t ) + ,&.
Pl P2
(3.32)
Постоянная составляющая в этом выражении соответствует
установившемуся (принужден:ному) режиму, коrда ис"," == О и все
напряжение источника оказывается приложенным к емкости.
i
11.
t t
[,
а) oj
Рис. 3.14
rрафики зависимостей (3.31) и (3.32) показаны соответственно
на рис. 3.14, а, б при I Рll < I Р21.
Момент времени ' 1 , в который ток достиrает максимума,
находят из выражения di/dt == О. Так как i == С duc/dt, то в момент ' 1
кривая изменения напряжения ис имеет переrиб (вторая произ
водная d2Uc/dt2 == О).
79
2 й случай. Если а == 0)0, то корни характеристическоrо ypaB
нения вещественны и одинаковы: Рl == Р2 === а. Общее решение
уравнения (3.25) в этом случае записывают в виде
i === i cв === (А 1 + A 2 t) e at. (3.33)
Постоянные А 1 и А 2 определяют, как и в предыдущем слу
чае, нз наЧальных условий. .
Выражение для тока получается непосредственно как предел
функции (3.31) при Р2 --+ Рl (правило Лопиталя):
tep,t
i== liш (eplt ep.t)== Нт === te at. (3.34)
p.---+Р1L(Рl Р2) L P.---+Рl fX, l L
Предел функции (3.32) дает выражение для напряжения на
емкости:
If
Uc-:::: (1 + ш) e a! + .
(3.35)
Кривые тока i и напряжения ис аналоrичны кривым, приве-
денным на рис. 3.14.
3 й случай. Если 'а < 0)0, то корни Рl И Р2 комплексно сопря
женные:_.
Рl.2 === а + j V O) а 2 === а + jO),
rде О) === V O) а 2 .
Подставляя значения корней в выражения (3.31) и (3.32),
находим
. . 6- atej(jJt e j(J)t (3.36)
t (СВ Lro е 2j
at ( ej(jJt e J(J)t eJ(J)t+e J(jJt ) , (3. 3 7)
ис ===(;) е а 2j +0) 2 +.
Поскольку
eJ(J)t e j(J)t. eJ(J)t+e J(jJt
2j SIПО)t; 2 cosO)t,
формуды (3.36) и (3.37) переписываем следующим образом:
" {;" at. t (3 38)
t === (СВ === Lro e .sIП О) ; .
ис === е Щ (а siп О)! + О) cos O)t) + . (3.39)
ro
Леrко убедить я в справедливости равенства
а siп О)! + О) cos О)' === 0)0 siп ( О)! + arctg : ),
[де 0)0 === v а 2 + 0)2.
. с .учетом этоrd равенства соотношение (3.39) приводится к виду *
ис === е Щ siп (О)! + arctg : ) + . (3.40)
ro :n;
.. Уrол .o<arctga 2' так как ro>.о. а>.о.
8.0
rрафики зависимостей (3.38) и (3.40) показаны на рис. 3.15, а, б.
Во всех трех рассмотренных случаях ПОД действием источника
постоянной э. д. с. происходит зарядка конденсатора. В пер
БЫХ двух случаях зарядный ток не изменяет направлення, что
l .
" V"
& . f\ А,
V V'V
t
t
6)
Рис. 3.15
характеризует апериодический процесс. В последнем случае ток
представляет собой затухающую синусоидальную функцию, что
характеризует колебательный процесс. Колебания в цепи возни-
кают вследствие периодическоrо взаимноrо преобразования энер-
rии электрическоrо 'поля, связанноro с емкостью, и энерrии Mar-
нитноrо поля, связанноrо с ин-
дуктивностью. Наличие сопротив-
ления в цепи приводит к затуха-
нию колебаний из-за рассеивания' J
энерrии в сопротивлении. .
Характер процесса зависит от
вида корней характеристическоrо
уравнения, который, Б свою оче-
редь, определяется соотношения-
ми параметров элементов цепи.
Параллельная цепь. Для цепи с источником постоянноrо тока
на рис. 3.19 справедливо уравнение (при разомкнутом ключе)
ic + i r + i L === J,
"(
ic
r
L
с
Рис. 3.16
или
du иl r
с d( +,+r udt===J.
Уравнение (3.41) аналоrично (3.24), поэтому можно восполь--
зоваться результатами, полученными в 3.5.
Напряжениеu между узлами цепи на рис. 3.1-6 изменяется
аналоrично току .,i в схеме на рис. 3.13. Ток в индуктивности i L
(рис. 3.16) изменяется аналоrично напряжению ис (рис. 3.13).
При равенстве соответствующих параметров цепи на рис. 3.13
и 3.16 являются дуальными. Кривые зависимостей i, ис (рис. 3.14
и 3.15) совпадают соответственно с кривыми дуальных величин
и, i L . При этом момент времени t == О следует рассматривать как
момент включения источника тока.
(3.41)
81
3.5. Разряд конденсатора в цепи с сопротивлением r,
ИНДУКТИВIН;СТЬЮ L и емкостью С
Пусть заряженный до напряжения ис (О) === конденсатор
подключают в момент времени t== О к rL цепи (рис. 3.17). .
Под действием напряжения на конденсаторе в цепи возникает
ток, дифференциальное уравнение для Koтoporo совпадает с (3.25).
В зависимости вида корней характеристическоrо уравнения
возможен апериодический или колеба
тельный разряд конденсатора.
Выражения тока i и напряжения
на емкости ис определяются как в
цепи на рис. 3.13 (см. 3.5). При раз
ряде конденсатора i (О) == О, ис (О) == rд'.
Производная
du c I 1 .
d"t t o ct(O)==O.
U r
""
JI",
L
r
1",
Рис. 3.17
Производную (di/dt)t o получают из уравнения
· ис (О) + ri (О) + L : It o === О,
откуда
di I 6"
([[ t o === T.
При разряде конденсатора выражения для тока i отличаются
от выражений (3.31), (3.34), (3.38) только знаком.
Для напряжения на емкости при Uспр== О получают соотно-
шения
6" .
ис === (P2ep1t Plep.t)
P2 Pl
(в случае вещественных различных корней);
ис === (1 + at) е Щ
(в случае вещественных равных корней);
ис == rд' :О" е Щ siп (wt + arctg : )
(в случае комплексно-сопряженных корней). ,
На рис. 3.18, а, б показаны зависимости i, ис соответственно
при апериодическом и колебательном разрядах конденсаторов.
Колебательный процесс при разряде конденсатора характери
зуется периодом собственных колебаний, декрементом затухания
.и лоrарифми еским декрементом затуХаНИя.
Перuод собсmsеННblХ колебанuй
т ==, === v wk . (3.42)
82
Декремент затухания 11 характеризует отношение амплитуд,
разделенных во времени периодом:
e at
11 === е а(t+Т) е аТ . (3.43)
lд
а)
ё,U
[
t
Рис., 3.18
ЛосарUфlffUtlескuй декремент затухания
б === lп 11 === аТ. (3.44)
Если потери в контуре отсутствуют (r == О, а === О), то коле-
бания не затухают. При этом
Т === 2:rt === 211: .. rlc .
000 у,
ис === & sin ( юоl + ) === & coS (f)o/;
. &. 1
t === L s1П юо .
000
Кривые ас (1) и i (/) для случая незатухающих колебаний
показаны на рис. 3.19.
-i,l1
[
Рис. .19
Таким образом, LC-KOHTYP, в котором каким-либо образом
скомпенсированы потери (например, введением в контур отрица
тельноrо сопротивления), может служить reHepaTopoM незатухаю-
lЦих rармонических колебаний.
83
3.6. Общие замечания об анализе цепей с сопротивлением r,
индуктивностью L и емкостью С
Как уже отмечалось, при включении источников постоянной
э. д. с. и постоянноrо тока в цепях, содержащих резисторы,
.индуктивные катушки и конденсаторы, токи в ветвях и напря-
жения на зажимах эл ментов изменяются !30 времени от началь-
ных до установившихся значений. Практически длительность
переходных режимов можно считать конечной, измеряемой, как
правило, долями секунд. В цепях, не содержащих индуктивных
KaTyweK и конденсаторов, установившийся режим наступает прак
тически очень быстро (мrHoBeHHo). _
Дифференциальное уравнение для искомой величины может
быть получено на основании системы уравнений Кирхrофа, опи-
сывающих цепь, путем последовательноrо исключения неизвестных.
Принужденная составляющая искомой величины также может
быть найдена в общем случае дутем cOBMecTHoro решения уравне-
ний, составленных по заКOl:lам Кирхrофа.
Начальные значения любых токов и напряжений вычисляют
из уравнений, составленных по законам Кмрхrофа, при извест
ных начальн'ыIx значениях токов в индуктивностях и напряжений
на емкостях. Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях
изменяются только непрерывно, поэтому их начальные значения
равны значениям в предшествующем режиме цепи. Если, напри-
мер, цепь ранее не была подключена к источникам, то токи
в индуктивностях и напряжения на емкостях имеют нулевые
начальные значения.
Значения производных токов и напряжений при t == О нахо-
дят на основании уравнений Кирхrофа и уравнений, получаемых
путем дифференцирования уравнений Кирхrофа. _
Расчет начальных и установившихся значений токов и напря-
жений в rLС цепи с источниками постоянной э. д. с. и пос:rоян-
Horo тока сводится к расчету чисто резистивных схем. Действ и-
те-льно, для начальноrо момента индуктивность можно заменить
источником тока i L (О) [если i L (О) == О, то ветвь с индуктивностью
эквивалентна разрыву], а емкость источником напряжения ис (О)
[если ис (О) == О, то емкость эквивалентна короткозамкнутому
участку]. В установившемся режиме индуктивность (емкость)
эквивалентна короткозамкнутому участку (разомкнутой ветви).
Методы расчета сложных резистивных цепей рассматриваются
- в следующих r л авах.
rлАВА4
АлrЕ6РАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЯ
ПРИ УСТАНОВИВWЕМСЯ РЕЖИМЕ
4.1. Примеиеиие уравиеииii Кирхrофа
Матричная форма закона OM . Каждая ветвь цепи может содер-
жать сопротивление rk, идеальный источник Э. д. с. tf k И идеаль
ный источник тока J k, rде k:=; 1, 2, ..., в (рис. 4.1, а). Иноrда
источники тока на схеме не изображают, а показывают только
токи источников в соответствующих узлах (рис. 4.1, б).
Ток в сопротивлении rk (рис. 4.1)
Irk :=;!k+Jk, rде Ik TOK k й ветви.'
Потенциал СРп узла n отличается от потенциала СРт узла т
на величину падения напряжения в сопротивлении rk и на зна-
И'
'/(
а)
U/r
О)
Рис. 4.1
чение э. д. с, tf k, причем для указанных положительных направ-
лений падение напряжения уменьшает, а э. д. с. увеличивает
потенциал ЧJт:
ЧJп ==ЧJт rk! r k + tf k == ЧJт rk (/ k+ J k) + tf k .
Напряжение на зажимах ветви
U k == ЧJт ЧJт
откуда
Uk==rk!r tfk
- k
или
U k == rk (/k + J k ) tf k .
(4.1)
Соотношения для токов:
Ir k ==gk (U k + tf k );
Ik==gk (Uk tf k ) J k .
(4.2)
rде gk == l/rk проводимость ветви.
Формулы (4.1) и (4.2) представляют собой аналитические выра-
жения закона Ома для участка цепи с источниками э. д. с.
и тока.
85
В общем случае, если ветвь содержит ряд последовательно
соединенных сопротивлений, источников Э. д. с. и параллельно
соединенных источников тока, то в формулах (4.1) и (4.2) вместо ""
следует учитывать суммарное сопротивление ветви, а вместо rf; k
И J k алrебраическую сумму соответственно э. д. с. источников
Э. д. с. и токов источников тока. При этом' с положительным
знаком записывают э. Д.' с. и токи источников, ориентированные
относительно тока /r k так, как показано на рис. 4.1 *; при про
тивоположных направлениях э. д. С. и токи источников заПИСbl
вают с отрицательными знаками.
Пример 4.1. С помощью закона ОМа определить токи на всех участках
цепи на рис. 4.2, а и построить rрафик распределения потенциала (потен
циальную диаrрамму) вдоль замкнутоrо контура. Параметры схемы: rl r2
==2 Ом; rз==5 Ом; r4 1 Ом; 6"1 6"з 10 В; 6"2 20 В; Jl IQ А.
Реш е н и е. Схему на рис. 4.2, а рассмотрим как параллелъное соедине-
ние двух ветвей, прис иненных к узлам 1 и 3. Одна ветвь содержит эле
менты rl, rf;'l и J 1 , друrая r2, rз, r4, 6"2 и 6"з. По закону Ома для первоЙ
ветви справеДЛllВО уравнение
и 1 rl (/1 Jl)+6"i
или
· Ul 2 /l 10)+ 1O 211 10.
Для второй ветви
U2 r'J:J2 6" :Е,
rде ':Е r2+rз+r4; еи:Е ==6"2+6"з, или
и2 8/2+1O.
Так как и 1 и2' 11 /2' то /1 2 А; /2 2 А; /т, l1 J1 == 8 А:
Для построения потенциальной диаrраммы вычислим. потенциалы точек
контура, отмеченных цифрами 1 + 7. Пусть <Р1 o, тоrда
q>2 q>1+6"1 0+10, 10 В;
q>з q>2+r1Ir, 10 8 6 В;
q>4 q>з r2/2 6+2. 2 2 В;
q>5 q>4+6"2 2 20 22 В;
q>6 q>5 rЗ/2="' 22+5. 2 12 В;
q>7 q>6+6"з 12+10 2В.
Обход контура заканчивается В узле 1, потенциал KOToporo
q>l q>7 r412 2+ 1. 2 0,
как и было принято ранее.
При построении потенциальной диаrраммы по оси абсцисс откладьшаем
в определенной последовательности сопротивления участков, а по оси орди-
HaT потенциаЛЫ соответствующих точек (рис. 4.2, б).
Пользуясь rрафиком распределения потенциала, определяем напряжения
между любыми тоЧками схемы. Например, ,напряжение U25 q>2 q>5 32 В;
U47==q>4 rp.1 0 и т. д.
* Положительные направления / k, / r и U k принимают совпадающими и,
, k
как правило, указывают одной стрелкой .на соответствующей ветви rрафа.
86
Отношение падения напряжения на сопротивлении к сопротивлению равно
току участка и на rрафике определяется как TaHreHc уrла наклона соответ-
ствующей прямой к оси абсцисс. Поэтому наклон прямых (3 4. 5 б. 7 1 на
рис. 4.2,.6), отображающих изменение потенциала вдоль сопротивлений с одним
и тем же током 12. одинаков.
Соотношение (4.1) запишем для всех в ветвей в виде матрич-
Horo равенства
[ U1 1[ r 1 ,. 1[ 11 + J1 1 [ &1 1
и 2 r 2 1 2 +J 2 tf 2
. ::::= . .
. "
. ..
и в r B IB+J B &в
или
U(B) == R(B) [I(B) + J(B)] (B),
(4.з)
{'де
R'.) ['\... ]
L r B
диаrональная матрица сопротивлений ветвей (все' элементы
этой матрицы, за исключением элементов rлавной диаrонали,
равны нулю; элеменt, находящийся на пересечении k-й строки и
k ro столбца, равен сопротив-
лениЮ k-й ветви rk);
U(B) == [и 1 и 2 ... ив]т,
I(B)==[/ 1 / 2 .../ B Y,
J(B) == [J 1 J 2 ... JBY,
(") ' . [ ] Т
1 2'" в
соответственно векторы на-
пряжений и токов ветвей, то-
ков источников тока и э. Д.с.
источников э. д. с. ветвей.
На основании выражения
(4.2) запишем матричное со..
отношение
It 8 ) == G(B) [U(B) + (B)] J(8),
( 4.4)
rде
G'.) [е'е, ... ]
gB
J,
.Ir,
---'{>
:;
1, f J
1
I]
5 oj
Рис. 4.2
диаrональная матрица проводимостей ветвей. В этой матрице
элемент gk == I/rk' поэтому матрицы R(B) и G(B) взаимно обратны.
81
т. е.
G(B) == [R(R)] l; R(B) == [G(B)] l.
Формулы (4.3) и (4.4) представляют собой аналитические
выражения закона Ома в матричной форме. ,
Система уравнений ДЛЯ токов и напряжений ветвей. Для цепи
с источниками постоянной э: д. с. и тока в установившемся
режиме,. по первому закону Кирхrофа,
AI(B) == О (4.5а)
или
QI(B) == о; (4.5б)
по второму закону Кирхrофа,
tf В U(B) == О. (4.6)
Уравнения (4.Ба) или (4.5б), (4.6) совместно с (4.3) или (4.4)
полностью определяют режим цепи и позволяют решать задачи
ее анализа.
[(елесообразно несколько видоизменить уравнения, записывае-
мые по законам Кирхrофа. Если обозначить столбцовую матрицу
в сопротивлениях .(т. е. мат.рицу, вk-й строке которой зш-iисы-
вается I rk ):
Ir == I(B) + J(B),
то из равенства (4.5а) следует
AIr == AJ(B).
(4.7)
Произведение A1r определяет матрицу, элементы которой
равны алrебраическим суммам токов в сопротивлениях rk (т. е.
токов [r k ), присоединенных к соотве;ствующим узлам; при этом
с положительным знаком записывают токи, направленные от узла,
и наоборот. Произведение AJ(B) дает матрицу, элементы которой
равны алrебраическим суммам токов источников тока, присоеди-
ненных к соответствующим узлам; при этом с положительным
знаком записывают токи, направленные к узлу, и наоборот.
Таким образом, равенство (4.7) представляет собой матричную
запись первоrо закона К:ирхrофа в форме (1. 1 3) .
Аналоrично формулиру уравнения для сечений:
QI r == QJ(B). (4.8)
Если обе части равенства (4.3) умножить слева на матрицу
В и учесть равенство (4.6), то
BR(B) [I(B) + J(B)J == B (B) (4.9)
или
BR(B)I r == B (B).
(4.10)
Произведение диаrоналыюй матрицы сопротивлений ветвей
R(B) на матрицу токов Ir дает вектор напряжений на сопротив-
88
ленияХ, т. е. вектор, элементы Koтoporo представляют собоЙ про-
изведения rk1rk' Произведение матрицы В на матрицу э. д. с.
(B) определяет столбцовую матрицу, элементы которой равны
алreбраической сумме э. д. с. контуров. Таким образом, уравне-
ние (4.1 О) представляет собой матричную запись BToporo закона
Кирхrофа в форме (1.17). ,
Расчет цепи с помощью уравнений Кирхrофа сводится к'" совме-
стному решеl:IИЮ уравнений (4.7) или (4.8) и (4.1 О). Как правило,
искомыми являются токи в сопротивлениях 1 rk при известных
rk, r!f k, J k. Элементы матриц (B) и J(B) записывают с положи-
тельным или отрицательным знаком в зависимости от взаимной
ориентации r!f k, J k И 1 rk .
Вместо уравнений (4.7) или (4.8) и (4.10) можно составить
дуальные уравнения для напряжений на сопротивлениях U rk'
Действительно, УМНОЖИ5 обе части равенства (4.4) на матрицу А
с учетом (4.5 ), получаем
или
AG(B) [U(B + (B)] == AJ(B)
(4.11)
rде U r == U(B) + (B) матрица
Вместо уравнения (4.6)
справедливо уравнение
BU r == B (B). (4.13)
Совместное. решение
уравнений (4.12) и (4.13)
позволяет вычислить все
напряжения на сопротив-
Jlениях.
Следует подчеркнуть, _ а)
что для относительно про-
стых схем уравнения Кирх- Рис. 4.3
rофа MorYT быть составле-
ны по сформулированным здесь правилам без записи матриц А,
В и вычисления необходимых матричных произведений.
Особенности СОСтавления матричных уравнений при наличии
ветвей с идеальными' источниками. В схеме цепи MorYT быть
ветви, содержащие только идеальные источники тока или э. д. с.
Если уравнения. по законам Кирхrофа записываются непосредст-
венно по схеме без применения равенств (4.10) или (4.12), то
наличие ветвей с идеальными источниками не вносит никаких
изменений. '
Если при составлении уравнений по второму закону Кирх-
rофа применяют матричное равенство (4.10), то ветвям, содержа-
щим только идеальные источники тока, соответствуют иаrональ-
AG(B) U r == AJ(B),
(4.12)
напряжениЙ на' сопротивлениях.
i-
89
ные элементы rk == (Х) матрицы R(B). В этом случае схему необ
ходиr,ю преобразовать (рис, 4.3). Ветвь с источником тока J
включена между узлами i и j (рис. 4.3, а). Включая в узлах 1
и т два противоположно направленных источника тока J, что
не влияет на режим цепи, переходят к эквивалентной схеме на
рис. 4.3,6. После. подобноrо преобразования всех ветвей с иде
альными ,источниками тока записывают уравнение (4.10). Сле
дует отметить, что такое преобразование уменьшает число ветвеЙ
и контуров схемы.
Если при составлении уравнений по первому закону Кирх
rофа применяют матричное равенство (4.12), то ветвям, COДep
жащим только идеальные ис-
точники Э. д. с., COOTBeTCT
вуют диаrональные элементы
gk == 00 матрицы G(B). В Ta
ком случае схема должна
бытьпреобразована (рис. 4. 4).
Ветвь с идеальным источни
ком Э. д. с. & включена
между узлами i и j (рис.
4.4, а). В каждую из ветвеЙ,
соединенных с узлом j (или
i), включают по одному дo
полнительному источнику
э. д. с. cff (рис. 4.4, 6). До-
бавление одинаковых источ-
ников не изменяет режима
схемы, так как точки k, 1,
т, n имеют одинаковый по
тенциал относительНо узла и, '
c.тtедовательно, их можно з.1-
коротить.
В ветви между узлами i
и j два одинаковых источни-
ка направлены противопо-
поэтому напряжение на этой ветви равно нулю, т. е.
ветвь эквивалентна короткозамкнутой ветви на рис.
> i
J
а)
Е:
G
)
м
Рис. 4.4
т
лож.но,
такая
4.4, в.
Таким образом, источник э. д. с. & (рис. 4.4, а) можно пере-
вести за узел j, объ диняя умы i и j (рис. 4.4, в).
После подобноrо преобразования для всех ветвей с идеаль-
ными источниками э. д. с. записывают уравнение (4.12). Данное
преобразование уменьшает число ветвей и узлов схемы.
Недостатком метода расчета цепи по уравнениям Кирхrофа
является большое число совместно решаемых уравнениЙ и соот-
ветственно повышенные требования к точности промежуточных
вычислений.
90
4.2. Применение узловых уравнении
Узловые уравнения. ,Число совместно решаемых уравнений
можно уменьшить, если в качестве независимых переменных при
нять потенциалы узлов. Знание потенциалов позволяет найти ВСС
токи в схеме.
Уравнения с узловыми потенциалами (узловые уравнения)
Вhlтекают из первоrо закона Кирхrофа; их число равно числу
независимых уравнений, составляемых для узлов, т. е. y 1.
Выражение (4.11) перепишем в следующем виде:
AG(B) U(B) == AJ(B) AG(B) (B).
Принимая потенциал одноrо из узлов равным нулю (а именно
потенциал тoro узла, для KOTOpOro отсутствует строка в матрице
А), напряжения на ветвях определяем через узловые потенциалы
(см. rл. 2):
U(B) == А ТЧJ.
Таким образом, получаются уравнения вида
AG(B) АТЧJ == AJ(B) AG(B} (B),
(4.14)
(4.15)
которые называют у зл о в ы м и у р а в н е н и я м и в матричной
q;opMe.
Если обозначить
G(Y) == AG(B)A T ;
J(Y) ::=:: AJ(B) AG(B) (B),
то узловые уравнения запишутся более кратко:
G(Y)tp == J(Y).
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Матрицу G(Y) называют матрицей узловых проводи
мостей, матрицу J(У). матрицей узловых токов. Враз
вернутой q:opMe уравнение (4.18) имеет вид
l l J (y)
gl1g12 . . . gl, y---l fJJl r 1
g21g22 . . . g2, y l ЧJ2 J Y)
l ,.,.' y .',...'g ;.J , L t' , J
(4.19)
в качестве примера можно составить узловые уравнения для
цепи на рис. 4.5, а.
Данная схема имеет 3 узла и 4 ветви. rраф схемы показан
на рис. 4.5, q; ориентация ветвей выбрана произвольно. Узел 3
принимаем за базисный (fJJз == О).
Узловая матрица
/
[ I О 1 - 1 ]
А== 0....1 О 1 ;
91
диаrональная матрица проводимостей ветвей
. G(B)=== r g1g2 J
gз '
g4
k=== 1, 2, 3, 4.
J 4-
а)
f 4 2
(f)
Рис. 4.5
Матрица узловьiх проводимостей r g1 ll 1 0 1 -
G(Y) ===AG(B)NT)===[ ] g2 gз b ===
g4 1 1
I o
О 1 rgl +gз+ g4
1 О L g4
1 I
[ g o l О gз g4 ]
g2 О g4
g4 ]
g2 + g4
Матрица токов источников тока ветвей
J(B) ===[0 J2 о J 4 ]T;
маТрица э. д. С. ИСТОчников Э. д. с.
(B)===[6\ rff 2 о оу.
Матрица узловых токов
J(Y) === AJ(B) AG(B) (B) === А [J(B) G(B) (R)] ==
. о glrffl
== [ I О 1 1 ] J 2 g2rff2 === [ J 4 +glrffl ] .
О l О 1 -о o J 2 J4+ g2rff2
J 4 o
Таким образом, узловые уравнения имекп вид
[ gl1 g12 ] [ fPl ] == [ J 1 (:) ] ,
g21 g22 fP2 Jz( )
,92
rде
gl1 == gl + gs + g4; g12 == g21 === g4;' g22' g2 + g4;
J1 Y ) == J 4 + g1 6 \; J1 y ) === J 2 -........ J 4 + g26"2'
Анализ результатов paCCMoTpeHHoro примера позволяет сде-
лать ряд важных общих ВЫВОДОВ:
1. В матрице узловых проводимостей на rлавной диаrонали
записывают суммы проводимостей ветвей, присоединенных к cooт
ветствующему узлу, с положительным знаком. Диаrональные
элементы матрицы называют с о б с т в е н н ы м и у з л о в ы м и
пр о в одимост Я М и.
2. Элемент gij матрицы узловых, проводимостей (Ё -::j::. j) равен
сумме проводимостей ветвей, присоединенных между узлами i
и j, взятой с отрицательным знаком. Внедиаrональные элементы
матрицы называют о б щ и м и у з л о в ы м и про в о Д и м о с т я м и.
3. Матрица G}Y) симметрична, т. е. gij===gji и G(Y)==[G(Y)Y.
4. Элемент J(Y) матриц:ы узловых токов рав-ен алrебраической
сумме токов источников тока, присоединенных к j MY узлу, вклю
чая токи источников тока, эквивалентные источникам э. д. с.
При этом с положительным (отрицательныI)) знаком записывают
токи, направленные к узлу (от узла).
5. Знаки элементов всех матриц не зависят от ориентации
ветвей rрафа.
Следовательно, узловые уравнения можно составить при
непосредственном рассмотрении схемы.
Если в схеме имеются ветви' с идеальными источниками э. д. с.,
то для записи уравнения (4.15) используют преобразование,
показанное на рис. 4.4. Такое преобразование целесообразно и
при непосредственном составлении узловых уравнений. Наличие
в схеме ветвей с идеалЬНЫМИ источниками тока не требует преоб
разования схемы: в матрице G(B) ветвям с идеальными источни
хами тока соответствуют проводимости gk == О. Для уменьшения
числа столбцов матрицы А возможно преобразование, показанное
на рис. 4.3.
ПРlIмер 4.2. Рассчитать токи в схеме на рис. 4.6 методом узловых потен
циалов. Параметры схемы: '1=='2==,з==2 ом; '4=='5=='6==6 Ом; 6"2==&7 ==
==6 В; J з ===9 А,
Реш е н и е. Между узлами 1 и 5 включен идеальный исrочник э. д. с.
6-7' Переместив этот источник через узел 1, получим схему на рис. 4.7,
в которой
6"..1==6"7==6 В; 60 ==602+607== 12 В.
Пусть потенциал crз==О. Тоrда для схемы на рис. 4.7 справедливы узло-
вые уравнения:
[ gl+g2+gз gs gq , ][ {jJl ] [ Jз gl6"1 g26" ]
gз gз+ш+gs gs {jJз == JJj
g2 gs g2+gS+g6 {jJ4 g26"
3crl {jJз {jJ4 == 36; 3{jJl"""'- {jJ;+ 5{jJ4 == 36;
3(P1 + 5qJз {jJ4 == 5 ,
1.р;.
или
93
В результате cOBMecTHoro решения этих уравнений найдем искомые потен-
циалы узлов:
1p1:==1p5 9 В; Ipз 6 В; 'Р4==3 В.
r, '4 r, 2 '4
[J /6 IД
'i; '6
[5 '5
r J J
) G{l __ r 5 F-;. rz 4-
1 [5
,., lj 1
1 J '3-
JJ
Рис. 4.6 Рис. 4.7
ТОКИ в ветвях определяюr по формулам, вытекающим из равенства (4.2)1
11 ==g1 U1+6\)==g1 (1p1 1p2+6\)==( 9 O+6) 1/2== 1,5 А;
12 == g2 (U2+6" )==g2 (1p1 1p4+6V;)=={ 9 3+ 12) 1/2 O;
Irз==gЗU:f==gз(lpз 1p1,==(6+9) 1/2==7,5 А;
1-1==gР4==g4(lpз 1p2)==(6 О) 1/6==1 А;
15==g5U5==g5(lpз 1p4)==(6 3) 1f6==O,5 А:
16 ==g6U6 ==g6 (1p2 1p4) == (O 3) 1/6 == O.5 А.
В исходной схеме ток
17 /rз Jз==7,5 9== 1.5 А.
Токи 11 + 16 схемы рис. 4.6 совпадают с 'Токами схемы рис. 4.7.
Неопределенная матрица узловых проводимостей. Узловые
уравнения можно составить для всех у узлов схемы. Матриuу
узловых -проводимостей, соответствующую этим уравнениям, назЫ
вают I:I е о п р е Д е л -е н н о й. Неопределенная матрица узловых про
БОДИМОСтей
o ') == А..о(в) A ,
(4.20)
rде ЛИ узловая матрица, число строк которой равно числу
узлов у.
В неопределенной матрице узловых проводимостей проводи-
масть каждой ветви учитывается два раза с положительным зна
ком на rлавной диаroнали (как слаrаемое собственных узловых
проводимостей gи, gjj узлов i и j, к которым присоединена ветвь)
и два раза с отрицательным знаком вне rлавной диаrонали (как
слаrаемое общих узловых проводимостей gij == gj/). Поэтому сумма
элементов любоro столбца и любой строки неопределенной MaT
рицы равна нулю.
94
Определитель неопреде.iIеннои матрицы равен нулю. Для реше
ния узловых уравнений необходимо перейти к о п р е Д е л е н н о Й
. матрице G(Y). Определенную матрицу получают вычеркиванием
одноrо столбца и одной строки из неопределенной матрицы. Bы
черкивание j-ro столбца означает, что потенциал j ro узла при
нимают равным нулю: ЧJj == О. Вычеркивание j й строки означает,
что отбрасывается уравнение для j ro узла, поскольку ОНО является
линейной комбинацией друrих уравнений. Из неопределенноЙ
матрицы можно вычеркивать столбец и строку с различными HO
мерами. При этом определенная матрица несимметрична. Так как
сумма элементов любоrо столбца и любой строки неопределенной
матрицы равна нулю, то можно дсказать,. что при вычеркивании
любой ,строки и люсоrо CTOJ бца из 1акой матрицы получают
определенные матрицы с ОДИН2КСВЫМ по величине определите
лем.
Пусть требуется составить неопределенную матрицу узловых
проводимостей и записать узловые уравнения. для узлов 1 и 3
при ЧJз == О для схемы на рис. 4.5, а.
flеопределенная матрица узловых проводи остей
[ gl + gз + g4 g4 (gl + gз) ]
G Y) == g4 g2+g4 g2 .
(gl + gз) g2 gl + g2 + gs
Вычеркивая третий столбец и вторую строку, получаем опре.
делеННУ10 матрицу
G(Y) ==r g1 +gS+g4 g4 ] .
L (gl +gs) g2
Такнм образом, узловые уравнения для узлов 1 и 3 при ЧJs==О
имеют вид
[ gl +gз+g4 g4 ][ Фl ] [ J4 +6"lgl ]
(gl+gS) g2 ЧJ2 === J2 6"1ftl 6"2g2'
. В рассматриваемом примере определенная матрица несиммет
рична. Для схемы на рис. 4.5 записана симметричная матрица
узловых проводимостей, получаемая пз неопределенной матрицы
вычеркиванием Tpeтbero столбца и третьей строки.
Определитель определенной матрицы, найденной в данном при
мере, совпадает с определителем матрицы, записанной ранее,
с точностью до знака.
4.3. Применение уравнений с напряжениями ветвей дерева
В качестве независимых переменных можно принять напряже
ния ветвей дерева (напряжения узловых пар). При этом цепь
описывается, как и при выборе в качестве независимых перемен
ных узловых потенциалов, у 1 независимыми уравнениями.
95
Уравнения с напряжениями ветвей дерева получают на OCHO
вании первоrо закона Кирхrофа для сечений (4.56) с учетом COOT
ношения (см. rл. 2)
U(В)==QТU(Д)
(4.21)
rде U(Д) матрица напряжений ветвей дерева.
Учитывая аналоrию выражений (4.5а).и (4.56), (4.14) и (4.21),
уравнения с напряжениями ветвей дерева в матричной форме
определяют из уравнений (4.15) заменой матрицы Д на матрицу Q
и ма1:РИЦЫ tp на матрицу U(Д):
QG(В)QТU(д) == Qj(B)- QG(B) (B). (4.22)
ЕслIt обозначить
;;
G(C) === QG(ВJQ(Т); _
j(C) == Qj(B) QG(B)i'(B),
то уравнение (4,22) принимает следующий вид:
. G(С)U(д) == J(C),
(4.23)
_ (4.24)
(4.25)
rде G(C) матрица проводимостей сечений; j(C) матриuа токов
сечений.
В качестве примера можно составить уравнения с напряже
ниями ветвей дерева для цепи на рис. 4.8, а.
r 6
Ео
дl
б
---,
""""",\
{)
/
/
//
\ ,//82
\..... /
о)
а)
Рис. 4.8
fраф схемы с произвольно ориентированными ветвями дан на
рис. 4.8, б.. Выбирая дерево из ветвей 1 2 3 (сечения 81' 82'
8з), записываем матрицу сечении:
rI О О О
Q == l O 1 О 1
О О 1 1
l 1 ]
1 1.
О 1
96
Матрица проводимостей сечений (4.23)
1 О O
о 1 О
О () 1
О I 1.
I I О
1 1 1
1 О O
о 1 О
О О 1
О I 1
I 1 О
1 l. l
[ gl +g5+g6 g5+g6 g6 ]
:=: g5+g6 g2+g4+g5+g6 (g +g6) ,
g6 (g4 + g6) gз+g4+g6
rдe gk==l/rk; k==l, 2, ..., 6.
Матрица ТОКОВ сечений
J(C) :=: QJ!B) QG(B)i'(B) == Q [J(8) G(B) (B)] ==
o o
. J2 O .
[ 1 О О О 1 1 ] О tff [ g5tff5 g6tff6 ]
:=: О 1 О l 1 1 o= 3 3 == J2+g5tff5 g6tff6 .
{) о 1 1 О 1 .fJJ gзtffз+g6tff6
O g5fD5
о g6 tff 6
[ 1 О О О 1 1 ]
G(C) == О 1 О 1 1 1
О О 1 1 О I
gl
g2
gз
g4
g5
g6
[ gl О О О g5 g6 ]
== О g2 О g4 g5 g6
О О gз g4 О ------: g6
Таким образом, для заданной схемы получаются уравнения
с напряжениями ветвей дерева:
[ gl1 g12 g13 ] [ 'И2 ] [ J1C) ]
g21 g22 g23 И 3 :=: J1:) ,
g31 g32 gзз И 5 J )
rде
gl1 == gl + g5 + g6; ,gl; == g21 == g5 + g6; g13 :=: g31 == g61
I g22 == g2 + g4 + g5 + g6; g23 :=: g32 == (g4 + g6); gзз :::с gs + g4 + g6:
J C) == g5tff 5 g6tff 6; J C) == J 2 + g5 tff 5 g6 tff 6; J C) == gзtff 3+ g6 tff 6-
Анализ результатов примера позволяет сделать следующие
ВЫВОДЫ:
4 П/р. Иоикииа, т. 1
rп
1. В матрице проводимостей сечениЙ G(-C) элементы l:лавной
диаroнали (собственные проводимости) равны взятым с положи
тельным знаком суммам проводимостей ветвей, пересекаемых COOT
ветствующей поверхностью. Например, ПРОВQДИМОСТЬ tg22 ==g2 +
+g",+g5+g6, так как поверхность S2 пересекает ветви 2, 4, 5; 6.
2. Недиаrональный элемент g/j (i =F j) равен 'Взятой -с 'ПОJIО
жительным (отрицательным) знаком ,сумме проводим(])стей ветвей,
общих для i Й и j й поверхностей. Эту сумму записывают с поло
жительным (отрицательным) знаком, ес,,1:И ветви дерева, COOTBeTCT
вующие поверхностям 8 j .и 8/, при переходе от одной поверхно
сти К друrай не меняют (меняют) направления. Например, про
водимость g!l2 ==:: g 5 + g 6, так как для поверхностей 81 и 82 ветви 5
и 6 являются общими, а шrnр.авление 'ветвей 1 И 2 дерева при
переходе .от поверхности 81 к -поверхности 82 одинаково. Прово
димость g23 L (g4 + g6), поскольку ветви 4 и 6 ,являюТся общими
для поверхностей S2 и Sз, а направление ветвей 2 и 3 дерева
при переходе от поверхности 82 к поверхности 8з противопо
ложно.
3. Элемент g/j == g/i, т. е. матрица G(C) симметрична.
4. Элементы мат:рицы J(C} равны lrебря.ической сумме токов
источников 'Тока (включая источники тока, эквивалентные ИСТОЧ
никам э. д. с.) ветвей, пересекаемых соответствующей поверхно-
стью. При этом с положительным (Gтрица;rел.ь;ным' знаком уч-и
тывают токи источников, направленные противоположно (.соrласно)
направлению ветВИ дерева относительно соответ.ствующей поверх
ности. Например, элемент J C)== J2+g56"5 g66'6, так как Ha
правление токов J 2 и Я66"6 совпадает с направлением ветви 2
дерева относительно поверхности 82' а направление тока g56V5
противоположно яаправлению ветЕИ 2.
Таким ,обршюм" так же как и узловые ур.:ав-нения, уравнения
с напряжениями ветвей дерев-а MorYT .бьшъ составлены Heдocpeд
ственно из рассмотрения сх.емы.
Пример 4.3. Рассчитать токи в схеме на рис. 4.9, а с помощью уравне-
ний с напряжениями ветвей дерева. Параметры схемы:
"1 =="2=="5=="1-==j Ом; 'З=="4=="6==2 ом;
6"1==1 В; 6"4==12 В; Jб==З А; 06==-4 А.
Реш е н и е. rраф cxreMbI и выбраннюе дерево (ве'fВИ 1, 2, 3, 4) приведены
на рис. 4.9, б. Выбраннюму деревЬ' СО01l'ветствуют сечения 81' 82' 88 И 84' Для
схемы составим уравнения:
[ gl+g5
gб
О
, О
g5 О
g2+gб+g7 g7
,g7 Ез+,g6+g1
О g6
. о ] ' I U'l ] [ glбl J5 ]
О и 2 J б
' ,1JtI' ll.1J' -.! 1\
g4+g6 и 4 J6 g4r}J4
'ИiII1i
2и 1 и2== 4;
Vl+'зv.2+VЗ==-З;
:и':]. +2rll.з Ц4/2 == 4;
(Ч2) UЗ+U4== 2.
9,]
РС'dJ!8Я эти уравненrш С0вмест,ио, найд - напряжения ветвей дерев-а:
Ul== I В; и 2 ==2 В; U з ==--------4 В; и4== 413.
.5
r;-
а)
J
-О)
Рис. 4.9'
Тuки в схеllfе' 0i1'ределим rFЗ соотношений:
[t==g;j (U:t+6 1) == I ( I + 1)==0;
1 2 ==g'1,U 2 ==1.2==2 А;
Iз==gзU з == 1/2 ( 4)== 2 А;
14!==-g (и 4 +6"4)== 1!2( 4+ 12)==4 А;
l"5==g5U5==g5 (иl и2)==l ( l 2}== З А:
f. r ::gJ1r;, == g r; (UЗ U 4J == I /'1- « 4 + Ф) == O
о
17==gР7_==g7( U2 Uз)==1 ( 2+4 ==2 А.
При определении токов в ветвях связи сначала вычисляют
напряжения ветвеЙ связи через напряжения ветвей дерева (по
второму закону КFIрхrофа).
Необходимо отметить, что
в ка'1естве незавиеимыx на-
пряжений необязательно сле-
дует выбирать напр-яжения
ветвей схемы, образующих
дерево. Независимыми пере-
менными являются напряже
ния между парами узлов,
если при соединении этих
пар линией получается rраф,
представляющий дерево с
y 1 ветвями. При этом
ветви схемы fVlежду некоторыми узловыми парами MorYT отсут-
СТElовать,. Например, для схемы pI!l'c. 4.9, а в качестве пере-
М'енных южно Быбрать напряжения U 13 ' и з5 , U 4fi ' 021' Эти ШI-
4*
2
J 1
J"
4
4
а)'
J
о)
l4s
Yf-J,
Рис. 4. 10
99
пряжения независимы; так как соответствующиЙ rраф (рис. 4.10, а)
представляет собой дерево. У равнения с узловыми потенциалами
'являются частным случаем уравнений с напряжениями узловых
пар, в случае коrда у всех узловых пар имеется один общий
узел. Например, для схемы рис. 4.9, а узловым уравнениям при
<Р5 == О соответствуют напряжения узловых пар, приведенные на
рис. 4.10, б. Эти напряжения образуют дерево, все ветви кота-
poro имеют общий узел.
4.4. Прмменение контурных уравиен-иti
Контурные урав ения. В качеСтве независимых переменных
можно принять токи ветвей связи, или так называеМ Iе KOHTYP
" , ные токи. Знание контурных
'5 токов позволяет найти все то-
ки в схеме.
Уравнения с контурными
токами (контурные уравнения)
получают на основании BTOpOro
закона Кирхrофа; их число
равно числу независимых ypaB
нений, составляемых для кон-
туров, т. е. в y+ 1.
Выражение (4.9) запишем
следующим образом:
BR(B)I(B) == B (B) BR(B)J(B).
Токи в ветвях определим
через контурные токи по фор-
My e (см. rл. 2)
I(B) == В(Т) I(K). (4.26)
Таким образом, получаются
уравнения вида
4
Рис. 4:11
ВR(в)Вт.<к) == B (B) BR(B) J(B),
(4.27)
которые называют к о н т у р н ы м и у р а в н е н и я м и в м а т р и ч-
Н О Й фор м е.
Если обозначить
R(K) == BR(B)B T ,
(K) == ВR(в) BR(B) J(B),
(4.28)
( 4.29)
то контурные уравнения примут вид
R(K) I(K) == (K).
(4.30)
. Матрицу R(K) называют м а т р и Ц е й к о н т у р н ы х с о про -
OJ:: и в л е н и Й, матрицу (K) М а т р и Ц е й к о н т у р н ы х Э. д. с.
100
в раз-вернутой форме уравнение (4.30) имеет вид
(K) (K) .
rll r12 rlk /1 - ({Ji
[ (К) .(О (к)
r21 r22 r2k 2 {D2
(4.31)
. . .
.
_rkl rk2
/(К)
r kk k
.(О (К)
' {Dk
- Пусть требуется составить контурные уравнения для цепи
на рис. 4.11, а.
Данная схема имеет четыре узла и щесть ветвей; число неза-
висимых контуров в у + 1 == 6 4 + 1 == 3. rраф схемы с выбран-
ным деревом (ветви 1,2,3) приведен на рис. 4.11,6.
Матрица OHTypOB
В== [
'О о
о 1 О
1 О 1
1 О О
0"1
O J I.
1 -
Диаrональная матрица сопротивлений ветвей
rl
r 2
R(B) ==
r з
r 4
r 5
r6
Матрица контурных сопротивлений
R(K) == BR(B)B T '
1 . 1 O
rl О 1 О
H о о 1 О ] r 2 О 1
"7""""1 1 О 1 rз 1
::::11
О 1 О О r4 1 О О
r 5
r 6 О 1 О
l O о 1
1 1 O
О 1 О
[ : о r4, О .] о 1 1
r з О rб 1 О О
rз О О
О 1 О
O о 1
[" +r. . r, О ]
== r,l rl +r2 +rз+rб r з .
О r з r8+ r 6
101
Матрица э. д.' с. источников Э. д. с. ветвей
. (B)==[O О О df 4 dfб dfi!У;
матрица токов источников тока ве'il'вей
J(B)==[O J2 О О О О]Т.
Матрица контурных э. д. С.
(K) == B (B) BR(B)J(B) == B,[ (B) R(B).j(B)]-==
o o
0+T2 J 2
o o
df 4 О
df5 0
dfo O
[ 1
,о
1
О
О
1
1
1 .о
О 1
О О
]
==f 6"5 2J2 ] .
L df'
в
в рассматриваемом примере контурные 'токи совпадают с TO
ками ветвей 4, 5, 6, т. е. с токами ветвей' связи. Матрица кон-
турных токов
.
I(K) == [/ K) / K) / K)lr == [/,.16/ 6У'
Таким образом, контурные уравнения имеют вид
Т11 Т12 Т13 /4 df(K)
1
Т21 Т22 Т23 /б df(K) ,
, 2
T31 Т32 'rзз J df(K)
3
rде
TU == Т1 + Т4; Т12 == Т 2 1 == .r1; Т13 == Т31 == о;
Т22 == Т1 + Т2 + Т3 + Т5; "23 == '32 == '3; Т33 == Т3 + 'в;
df K)==df4,; df K)==df6""""T2J2; df K)== df6'
Анализ результатов данноrо примера позволяет сделать сле-
дующие выводы:
1. В матрице контурных сопротивлений * на rлавной диаrо-
нали записываются суммы сопротивлений ветвей соответствую-
щеrо контура с положительным знаком. ,Диаrональные элементы
матрицы называют с о б с т в е н н ы м и к о н т у р н ы м и с о про
т и в л е н и я м и. Элемент i'ij матриды контурных сопротивлений
(i::j::. j) равен сопротивлению ветви, общей для контуров i и j,
с положительным отрицательным) знаком; положительный (отри-
цательный) зн'ак записывают при условии, что контурные токи !?<)
И /}К) в общей ветви направлены одинаково (противоположно).
* Предполаrается, что направление обхода контура совпадает с пап рав-
лением соответствующеrо KQНTypHoro тока.
!{)2
Внедиаrона:rьные элементы матрицы называют 06щ и м н к о Н--
турными сопротивлениями.,
2. Матрица. R(K) симметрична, т. е. Тц == Тл.
3. Элемент 6" K) матрицы контурных э. д. с. равен алrебраи«
ческой сумме э. д. с. 'источников напряжения i ro контур.а, вклю-
чая э. д. с. источников, эквивалентных источникам тока. ПР'И
этом с положительным (отрицательным) 3НaIЮМ записываю'!' э. д. с.,
направление которых - совпадает (противоположно) С направлением
обхода контура.
Следовательно, контурные уравнения можно составить непо
средственно из рассмотрения схемы.
Если в схеме имеются ветви с идеальными и точниками ТOI\а,
то сопротивления таких ветвей Tk == 00. в этом случае для записи
r, 1 rz r; '2
--------!>
.. ' 11"
,r5
fj !Is. '4
lfj J- 1'1
J =J J;.=J
ll) 6)
Рис. 4.12
матричною уравнения (4.27) необходимо использовать преобра-
ЗОВЩ:IИе, иока:занное на рис. 4.3. Ветви с идеальными источни-
ками э. д. с. не требуют преобразования схемы: в матрице ветвям
с идеальными источниками э. д. с. соответствуют сопротивления
rk == О. Преобразование, ра:ссмотр'енное на рис. 4.4, приводит
к уменьшению числа ветвей и, следовательно, столбцов матрицы В.
При непосредственной записи контурных уравнений без при
менения матричноrо соотношения (4.27) ток каждоrо источника
тока можно считать известным КОНТУРНЫМ током, замыкаЮЩИfl.fСЯ
по любым ветвям, образующим замкнутый контур с ветвью источ-
ника тока. Напряжения,вызванные такими контурными токами, учи-
тывают в правой части контурных уравнений. Возможность обра
зования любых контуров, по которым замыкаются известные
контурные токи токи источников тока, объясняется эквивалент-
НОС'Fью- схем, ноказанных на рис. 4.3, а, 6.,
П'ример 4.4. Рассчитать токи в цепи рис. 4.12, а. Параметры схемы: '1 ==
== 2 Ом; '2==1 ом; fз==з Ом; '4==4 ом; '5==5 ом; 1==40 В; 6"2==F5 B J с=
==5 А.
Реш е н и е. Между узлами 2 и 4 схемы включен идеальный источник
тока J. Включал в узле 3 два равных противоположно направленных источ-
ника тока J, получим эквивалентную схему, привеД6ННУЮ на рис. 4.12, б и
содержащую два иезависимых контура.. Для ко.нтурных токов ]1 И 12 знпишем
lОЗ
OHTypHыe уравнения
[ 'I+,з+ r n '1\ J[ /I J === [ 6"1 ' Jзl
'5 r2+,cJ ' 12 t8'2+ r4 J J ,
rAe слаrаемые, обусловленные токами источников тока веrвей ( rзJз и '4JJ.
I1редставим как напряжения от нзвестноrо KOHTypHoro тока, замыкающеrося
по сопротивлению 'з и '4'
Подставляя ЧНСJlOвые данные, получим
10/1 +5/2==25;
5/1 + 10/2==35.
Решая два уравнения совместно, найдем 11 == 1 А; 12==3 А.
'. Остальные токи вычислим из соотношений:
НеопредеJlенная матрица контурных СОПроТИВ,1lений. Если цепь
'планарная, то в качестве контуров можно выбрать соседние
«ячейки» схемы и добавить один из
быточный контур по внешнему очер
танию схемы (рис. 4.13). При усло-
вии, что в ячейках все контурные
токи направлены по часовой стрел
ке, а ток внешнеrо контура против
часовой стрелки, сопротивление каж
дой ветви будет учитываться два pa
за с положительным знаком на rлав
ной диаrонали и два раза с отрица-
тельным знаком Щlе этой диаroнали.
С положительным знаком сопротив-
ление записывают как слаrаемое соб-
ственных сопротивлений Т;; и ТН контуров i и j; с отрицательным
знаком как слаrаемое общих сопротивлений rij === Tji'
Сумма элементов любоrо столбца и любой строки матрицы
контурных сопротивлений при сформулированных условиях равна
нулю, и матрица называется неопределенной. Неопределенная
матрица
"
-'5
"
[,
"tJ
[2 r6
" r,
[,!
, . (КJ
[4
Рис. 4.13
[r. 11+J I+5 6 А;
[у. 1 2 +J 3+5==2 А;
15 11+/2 1+3 4 А.
.
R (K) В R (B) B T
Н Н Н'
rде В Н контурная матрица, у которой число строк на единицу
больше числа независимых контуров.
Неопределенной матрице R K) соответствует система контур-
ных уравнений с одним зависимым уравнением. Определитель
,такой матрицы равен нуJlЮ, поэтому для решения контурных
уравнений необ?,одимо перейти- к определенной матрице, полу-
чаемой вычеркиванием одноrо столбца и одной строки из неопре-
деленной матрицы. Если номера вычеркиваемых строки и столбца
одинаковы, То определенная матрица симметрична; в противном
104
случае получается несимметричная определенная матрица KOH
турных сопротивлений.
В качестве примера можно составить неопределенную матрицу
контурных сопротивлений для схемы, изображенной на рис. 4.13.
Неопределенная матрица в данном случае соответствует четы
рем контурам:
R(K) [ '1+ 2 '2+ '3 '5+'tI '3 ('5 :'tI) l
н '1 ('5 '6) ' T4 '1 r4; 5+,J
Если вычеркнуть четвертый цолбец (принять 11 К ) == о) И третью
строку (отбросить уравнение для TpeTbero контура), то опреде
ленная маТРИ:(к)== [ '1+, : Т2+ '3: ;5+';; о,з ]
'1 ('''+'н) ""7""'4
несимметрична. В контурные уравнения с такой матрицей войдут
в качеств неизвестных контурные токи I K), , K), , K), однако
третье уравнение будет составлено для внешнеrо контура, а не для
контура, в котором замыкается ток ' ").
При вычеркивании четвертоrо столбца и четвертой строки
определенная матрица
[ >'1 +'2
R(K) == '2 , + '3+ '5+'6
L о'
'з
T' 1
'3+ , 4J
'2
симметрична.
Контурные уравнения в этом случае соответствуют контурам,
в которых как бы замыкаются токи 1\"), I K), 11 к ).
Контурные и узловые уравнения дуальных цепей. У двух
дуальных резистивных цепей выполняются следующие численные
равенства параметров: gk1 == 'k2; '1<1 == gk2; €f k1 == J"2; J и == €f k2 , что
следует из общих положений, рассмотренных в rл. 2. Поэтому
для дуальных цепей справедливы матричные равенства: .
G (B) R ( , B). R (B) G (B). (B) J (B). J (B) CL'(B)
1 2, J 2, 1 2, 1 U 2 .
Дуальные цепи имеют также одинаковые узловые и KOHTYP
ные матрицы, т. е. А 1 == В 2 ; 131 == А 2 . Из сравнения уравнения
(4.15) и (4.27) дуальных цепей можно сделать вывод: узловые
уравнения одной цепи совпадают с контурными уравнениями дpy
сой цепи и наоборот (за исключением обозначений независимых
переменных). >
Ид нтичность У'3ловых и контурных уравнений цепей часто
ел ужит определением их дуальности. Из TaKoro определения леrко
вывести равенство узловых и контурных матриц, а также COOTBeT
ствующие равенства для параметров элементов дуа-!lЬНЫХ цепей.
"
rЛАВА 6
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИП
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
5.1. Баланс МGЩностей
Пусть в электрической цепи произвольной конфиrурации
имеются источники и пруемники электрической энерrии. Сумма
мощностей Р k всех в ветвей такой электрической цепи равна
нулю:
в в
P k == Uklk==O.
k 1 k 1
(5.1 )
Действитешшо, сумму мощностей можно выразить как произ
ведение транспонированной матрицы напряжений ветвей на
матрицу токов ветвей:
в
Uk/k==[U(B)Y I(B).
k 1
..
Соrласно равенству (4.14),
[U(B)Y == [ДТcp] == срТА.
С учетом первоrо закона Кирхrофа (4.5а)
в
Uklk==cpTAI(B)==O.
k 1
Следует отметить, что соотношение (5.1) определяется топо
лоrией схемы и не зависит от параметров элементов ветвей.
Для произвольной цепи с источниками постоянной э. д. С. и
постоянноrо тока соотношению (5.1) можно придать друrой вид.
т ак как
I(B) == ' т j(BJ,
то
4
'[U{8J]T 1(8) == [U{B)Y [I r j(B)] == О,
откуда
[U(B)Y Ir == [U<B)jT j(B).
Из равенства (4.,3) получаем
[()(в)у == [R{B)l r (B)Y == I R!B) (B) Т
(матрица R(B9 при транспонировании не изменяется,
предстаВЛflет собой диаrональную матрицу).
Подставляя соотношение (5.з) в формулу (5.2), находим
1;R.(R)l r == [ (B)Y Ir + [U(B)Y j(B). ' (5.4)
"(5.2)
(5.3)
так как
106
Произведение
[ Т 1
I;R(B)lr== [ /r/r ... /r J . Т2
1 2 ,в
Jlj]
в
== Тl/; +r2 1 ; +,,,+твп == '" ТkЛ k
1 2 B.L.i
k 1
выражает суммарную мощность, рассеиваемую в резисторах (по-
требляемую мощность). Эта мощность всеI"да положительна.
Произведение
r /r'l
[$;\"']'1, [ J '... "] lJ:' J .t, .l,.
в
определяет мощность, rенерируемую источниками напряжения
(см. рис. 4.1).
Произведение
r J1 1
[U\BJYJ\BJ==[U 1 U 2 ...U B ]I 2 , . t UkJ k
l' k 1
JB
выражает мощность, rенерируемую источниками тока.
Мощность источника может быть положительной или отрида
тельной величиной; отрицательный знак мощности означает, что
соответствующий источник работает в режиме потребления элек
трической энерrии (например, _ при зарядке аккумуляторной бата
реи). .
Таким образом, для любой цепи выполняется равенство
в в в
rff k / r k + ukJ k === ,rkпk' (5.5)
k 1 k 1 k 1
Равенства (5.4) и (5.5) представляют собой математическую
форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, еенери-
руемая источникшш электрической эжреии, равна суммарной мощ-
ности, потребляемой в цепи.
Условие баланса мощностей, являясь следствием закона COXPq
нения энерrии, отражается в уравнениях электрических цепей и
относится к общим свойствам цепей.
Пример 5.1. СостаВИТh баланс МQщностей для цепи на рис. 4.12, а (см
пример 4.5).
Реш е н и е. Воспользовавшись результатами расчета схемы на рис. 4.12, а,
вычислим потребляемую мощность:
2 2 [ 2 [ 2 [ 2 2
k.J 'k1k =='1 / ] +'2 2+'з 3+'4 +'5[5==
k
==2.12+ 1.32+3.62+4.22 +5 -42==215 Вт.,
101
Мощность, rенерируемая нсточниками,
. '6\lk+ иkJk 6u/l+6v/2 +(% 1p2) J в'/l+&212+(rir. +r/r.) J,
k k
r)J.e
1p4 1p2==rir. +r/r.
напряжение на зажимах источника. тока.
при подстановке численных значений получим
в'k1k+ иkJk 40. 1 +15. ?+(4. 2+3. 6) 5 215 Вт.
k k
что совпадает с величиной потребляемой мощности..
Мощность, rенерируемая источником тока в схеме на рис. 4.12, а, равиа
сумме мощностей двух источников тока в схеме на рис. 4.12, б.
5.2. Принц.ип наложения
Если из (4.30) выразить матрицу контурных токов, умножая
обе части уравнения на матрицу [R(K)] l и учитывая (4.29), то
для матрицы. токов ветвей I(B) будет справедливо следующее co
отношение:
I(B) == В''1(К) == ВТ [R(K)] l B (B) ВТ [R'(K)] l BR(BJJ(B).
Пусть
(5.6)
ВТ [R(K)] l В == G == [ghl],
(5.7)
(5.8)
ВТ [R(K)] l BR(B) == GRl B ) == K(l) ==[КШ],
rде G матрица входных и взаимных проводимостей; К li) матрица
коэффициентов передачи тока.
Тоrда равенство (5.6) принимает вид
I(B) == O (B) + К(l)J(В). (5.9)
Матрицы G и К(l) являются квадратными, имеют порядок,
равный числу ветвей 6. Матричное соотношение (5.9) эквивалентно
в алrебраическим выражениям для токов ветвей:
в в
/h== ghlв'l+ K ;lJl;
1 1 1 1
Соотношения (5.9) и (5.10) показывают, что ток любой ветви
схемы может быть представлен как алrебраическая сумма COCTaB
ляющих, обусловленных действием каждоrо источника в отдель-
ности. Друrими словами, токи ветвей схемы удовлетворяют прин-
ципу наложения.
Элементы ghl матрицы G имеют размерность проводимости,
причем
h == 1, 2, ..., 6.
(5.10)
;"
ghl == / h/в' 1,
(5.11 )
если в цепи действует только один источник Э. д. С. в'l' а осталь-
ные источники исключены (источники э. Д. с. замкнуты, источ:,
108
ники тока разомкнуты) *. При 1 == h проводимость gIil называют
в х о Д н о й про в о Д и м о с т ь ю в е т в и h (относительно зажимов
источника э. д. с. h)' При 1 =1= h проводимость ghl называют
взаимнОЙ проводимостью ветвей h и 1. В данном слу
чае ghl == glh, т. е. матрица Gсимметрична. Действительно,
GT=={BT[R(K)] lB}T==BT[R(K)] lB , О, (5.12)
так как маТРИI а контурных сопротивлений R(K) и, следовательно,
матрица {R(I{)] l симметричны.
Безразмерные элементы K l матрицы К (п ,IIазывают к о э Ф Ф и
ц и е н т а м и пер е Д а ч и т о к а или к о э Ф Ф и ц и е н т а м и р а с
пределения тока истпчника ТОК,а, причем
(Е)
Кы == /IJJ 1 , (5.13)
если в цепи действует только один источник тока J 1 , а все осталь
ные источники исключены.
Между входными и взаимными проводимостями, а также между
коэффициентами передачи тока существует связь, обусловлеН!Iая
первым законом Кирхrофа. Так как токи ветвей удовлетворяют
'соотношению AI(B) == О, элементы матриц G и 1\ (i) должны удов-
летворять соотношениям
АО(В) == О, АКЩ == о,
т. е. алrебраическая сумма входной проводимости l й Б-етви gll
(коэффициента K ?) и взаимных проводимостей g!ll всех ветвей,
имеющих один и тот же общий узел с ветвью 1 (коэффициентов
K :l таких ветвей), равна нулю. _
Принцип наложения справедлив и для токов в ,сопротивле-
ниях / r k , так как матрица токов в сопротивлениях
1, == I(Bj + JlB) == O (B) + [К (i) + 1] J(B) == O (B) + K(i )J(B), (5.14)
rде l единичная матрица порядка в; К Щ =='К(Е) + 1. Таким обра
зом, для токов В сопротивлениях можно записать равенства, aHa
лоrичные (5.10).
Из соотношений (5.9) и (5.14) можно убедиться в примени
мости принципа наложения для напряжений ветвей П k и падений
напряжений на сопротивлениях Y'k' а также получить выраже-
ния, дуальные (5.6) -+-- (5.9), основываясь на узловых уравнениях
(4.18) и равенстве (4.17). Так, матрица напряжений ветвей
Ul B ) == ЛТЧJ == N [O(Y)] 1 AJ(B) N [O(Y)] 1 AG(B) lB)
или
U(B) == RJl B ) + K(U) (B),
(5.15)
(5.16)
, * Реальные источники ЭllерrИи MorYT быть представлены схемами замеще-
ния в виде последовательноrо (параллельноrо) соединения идеальноrо источ<
ника э. д. с. (тока) и BHYTpeHHero сопротивления. При исключении такиXl
источников (для расчета токов и напряжений от ОДНОrО источника) в схемаXl
обязательно остаЮТСЯ внутренние сопротивления всех исключаемых источников.
109
"\,
rде
R == [Ты] == дт [GIY)] J А
(5.17)
, матрица ВХОДНЫХ и взаимных сопротивлений;
KluJ == [K )] == дт [GIYJ] l АО(В) == RGIBJ (5.18)
матрица коэффициентов передачи напряжения.
Матричное равенство (5.16) эквивалентно в алrебраическим
соотношениям:
в В
U h == ThlJl + K )r8'l;
l 1 l 1
т. е. напряжение любой ветви может быть представлено как сумма
составляющих, @бусловленных действием каждоrо источника в от-
дельности.
Элементы 'ы матрицы R имеют' размерность сопротивления,
причем
h == 1. 2. .... в,
(5.19)
Ты == Uh/J l ,
(5.20)
если в цепи действуе\ 'только один источник тока J l , а все дру-
rие источники исключены. При 1 == h сопротивление ТМ называют
в х о Д н ы м с о про т и в л е н и е м в е т в и h (относительно зажи'.
мов источника Jh). При l=1=h сопротивление Ты называют взаим-
ным сопротивлением ветвей h и 1. В данном случае
1ы == Tlh, т. е. матрица входных и взаимных сопротивлений сим-
метрична.
Безразмерные элементы K ) матрицы ю uJ называют к о э ф-
фициентами передачи напряжения или коэффициен-
тами ра.спределения напряжения, причем
K ) == U h /r8'l, (5.21)
если В. цепи действует лишь один источник э. Д. с. r8'l' а все
остальные источники исключены.
Между входными и взаимными сопротивлениями, а также
между коэффициентами передачи напряжения имеется связь, обу-
словленная вторым законом Кирхrофа. Так как напряжения вет-
вей удовлетворяют уравнению BU(B) == о, элементы матриц R и
К lа) должны удовлетворять соотношениям
W BR == о; вк<и) == о,
т. е. алrебраическая сумма входноrо сопротивления l-й ветви тu
(коэффициента K r» и взаИМНЫХ сопротивлений Ты всех ветвей,
образующих с ветвью 1 один контур (коэффициентов K », равна
нулю.
Для падений напряжений U rk на сопротивлениях справедливыI
соотношения, аналоrичные (5.19).
Принцип наложения применим также для контурных токов и
уЗловых потенциалов. Этот принцип обусловлен линейностью
110
уравнений, описывающих цепь, и справедлив для любых величин,
связанных линейной зависимостью. Следовательно, им 'нельзя вос-
пользоваться для расчета мощностей в общем случае, так как мощ-
ности являются нелинейными функциями тока или напряжения.
Пример 5.2. Вычислить входные и взаимные проводимости и сопротивле-
ния, а также коэффициенты передачи тока и напряжения для цепи рис. 5.1, а.
Рассчитать по принципу наложения токи и напряжения ветвей. Параметры
схемы: 'З=='5==2 Ом; '4=='6==3 Ом; 6"1== 10 'В; J 2 ==2 А.
Реш е н и е. На рис. 5.1, б, в показаны две схемы, каждая из которых
содержит только один источник. -
, . l'
. J ,
--------1>
/2
4
'5 <э--------- <J,-
О} /5 о) '5 /5
1" /," l"
...!...t> fj 2
.............с>
О) '5
<э---------
1;'
Рис. 5.1
В схеме с источником э. д. с, 6\
/ == / === l8' 1/('З+ (6); / === l === l8' 1/('4 + (5);
/ ===I +/ ===l8'I ( + 1 + + 1 ) ; /;===0.
'3 '6 '4 '5
На основании формулы (5.11)
1 1
gl1=== + + + ===0,4 См; g21===0;
'3 '6 '4 '5
1 1
g31===g61=== + ===0,2 см; g41===g51=== + ===0,2 См.
'3 '6 '4 '5
Вычисляя напряжения на зажимах ветвей в схеме с источником 6\ и при-
меняя формулу (5.21), рассчитаем коэффициенты {lередаЧИ напряжения:
K(U) U === I' к(и)=== и; === ===02'
11 l8'j . 21 6\ 'З+'6 '4+'5 "
к(и)=== и === ===o,4;
31 l8'1 'З+'6
K\и) и 04'
Ы е/l '4+'5 , ,
и{U) и '4 O 6 .
1\41 , ,
l8'1 -'4+'5
K (и) и '6 O 6
61 , .
<ff i .'з+'0
ш
В схеме с источником тока J 2 (рис. 5.1, в)
и" o' и" ] ( 'З'6 + '4'5 ) .
1 , 2 2 r8+ r 6 r4+ r 5 '
Ui=== J 2 'З'6 ;
'З+'6
U" J' '
4 2 '4+'5 '
U === J9 '
" "'4+'5'
U " J
6 2'З+'6'
в соответствии с формулой (5.20)
'З'6 + '4'5 2' 4 О
'22=== 'З+'6 '4+'5 ===, м;
'12 0; '32=== '62 === 1.2 Ом;
, 'З+'6
\9
'4'5
'42== '5o== ==12 Ом.
... r4+ r 5 '
Вычисляя токи ве,вей в схеме с источником J 2 И применяя формулу (5.13),
получим:
K(i)=== /r == 02'
12 J 2 '4+'5 -'з+'6 ' ,
4' [".
K(i)== I' l(i)== == O 6'
22 J 2 ' 32 'З+'6 .,
K(i)== 04' Kт== 06' - K(i)== ==04
i2 '4+'5 "52 "62 'З+'6 "
По принципу наложения
Il==O,4 I O,2J2; 12== J 2 ;
Iз===0,2 1 0,6J2; 14==0,261 +0,4J 2 ;
15==0,2 1 O,6J2; 16==0,2 1 +O,4J 2 .
После подстановки в эти выражения заданных значений 61 и J 2 найдем:
11==4 O,4==3,6 А; 12== 2 А;
Iз==/5==2 1,2==0,8 А; 14==/6==2+0,8==2,8 А.
Определим Ijапряжения на зажимах источников:
и 1 == 1 == 10 В; U2==2,4.f2+0,2 1 ==6,8 В.
Выражения для напряжений U h<Ha зажимах ветвей при h == 3 + 6 отличаются
от 'выражений для токов 1 h множителем 'h'
При записи соотношений (5.6), (5.15) элементы матриц f'l,(B) ,
J(B) Moryт быть как положительными, так и отрицательными
в зависимости - от положительных направлений токов (напряже
ний) ветвей и э. д. с. (токов) источников (см. rл. 4). Знак эле-
ментов матриц О, R., кт, К(И) при положительных значениях h
и J h соответствует знаку ('-лаrаемых в равенствах (5.10), (5.19).
,При непосредственной записи соотношений (5.10), (5.19) (без
вычисления матриц) можно все э. д. с. l И токи источников J l
считать положительными; при этом знаки ghl, rhl, кШ, Kh'l) опре-
деляют для выбранных положительных направлений токов и
"112
напряжений из формул (5.11), (5.13), (5.20) и (5.21). Кроме Toro,
можно в соотношениях (5.101' (5.1!;J) все rff l , J l , а также все
коэффициенты считать поло-
жительными, а знак ('-лаrае- r, fj '4- '5
мых устанавливать при рас-
смотрении схемы.
Если в цепи действует
только один источник, то,
как следует из соотношений
(5.10), (5.19), ток и напря-
жение любой ветви пропор-
циональны э. д. с. источника
э. д. с. или току источника
тока. Поэтому для расчета
схем с одним источником
возможен пропорциональный
пересчет искомых величин.
Сочетание принципа наложе-
ния iI пропорциональноrо пе-
ресчета позволяет упростить
расчет разветвленных схем
(например, по('-ледовательно-
параллельных).
/5 16
'i
r, а)
J
'4
'6
-7>
! 15
l'
5
I IJ
v 1 ; .
--------<>
1;
'5
OJ
'4
'6
'i
1J
1, ,,1
Iz v
1"
I I '
5.
<Зtr
I,!
'z J
! 7
i r.
5
и
б}
Рис. 5.2
Пример 5.3. Рассчитать токи в ветвях цепи На рис. 5.2, а. Параметры
схемы:' 'l 6 ом; '2 '4 3 Ом; rз r5 '6 2 ом; 60 24 В; J 12 А.
Реш е н и е. Токи в ветвях схемы определим путем алrебраическоrо C'yM
Мирования составляющих, обусловленных действием источника э. д. с. 6" и
источника тока J в отдельности.
Схема с источником э. д. с. (}j" показана иа рис. 5.2, б. Зададимся зна-
чением тока 16 1 А. TorAa
1' "61 1 А- 1' 1' + 1' 2 А.
5 , 4 5 O ,
1 == / == 2 А; U =='61 +(rз+'4)/ ==12 В.
ТоК
поэтому
1 ==U /r2==4 А,
1 ==1 / == 6 А;
6V'==Щ 'I/ ==48 В.
Так как заданное значение э. д. с. rff ==24 В, то Значения токов в схеме
на рис, 5.2, б меньше найденных в rff'/rff == 2 раза:
I == 3 А; I ==2 А; i;== 1 А; I ==1 А; 1 ==O,5 А; 1 ==O,5 А.
Схема с источником тока J показаиа на рис. 5.2, 8. Задаваясь ТОКом
1: == 1 А, аналоrично предыдущему решению, получим:
1;== '1/: ==2 А.
'2 '
1; == li.+ 1; ==3 А.
Напряжение на зажимах источника
и ==rl/i + '5/; == 12 В. '
,113
Если задаться током /6 == 1 А, то
1"
I " '6 6 1 А . I " / " +/ " 2 А -
5 , 4 5 в ,
и=='в/; +'4/ ==2.1 +3 .2==8 В.
Напряжение U из расчета правой половины схемы получилось в 1;5 раза
меньше. чем из расчета левой половины, поэТому токи / , /;, 1; следует yвe
личить в 1,5 раза или уменьшить в 1,5 раза токи I , /;, / .
Пусть
1;==/;==1,5 А; I ==3 А.
Тоrда ток источника
J' /;+I:==6 А.
Заданный ток J в J/J'==2 раза больше тока J'. Определим значения токов
в схеме на рис. 5.2, в:
I ==2 А; 1;==4 А; 1;==6 А; I ==6 А; 1;==1;==3 А.
w
Теперь по П))инципу наложения вычислим токи в исходной схеме:
11==1 +1;== 1 А; /2==1;+1;==8 А;
/з==/ +I;==5 А; 14==1 +1;==7 А;
/5==1 +I;==з,5.1\; lu==I +I ==3,5 А.
\
5.3. Своиство (принцип) взаимности
Пусть в схеме цепи все источники электрической энерrии
представлены в виде источников э. д. с. Тоrда на основании
соотношения (5.9) матрица токов ветвей схемы
I(B) G {B).
Рассмотрим два режима цепи, отличающиеся только значе-
ниями Э. д. с. Для первоrо режима матрица э. д. с.
<е(в) [ .JI>' ф' .JI>' ] Т
.,f2j О) == (!J 1 (5 2 . . . .(!J в ,
матрица токов
(в) . <е (в) { " , ] Т
1(1) == G(9(1) == 11/2'" I в .
Аналоrично для второю режима:
<е(в) [ rff': {f" {f" ] T.
(9(-2) == 1 2'" в,
(в) [ "" " ] Т
1(2)== 11/2 "'/в .
Произведения транспонированной матрицыI э. д.
режима на матрицу токов друrоrо режима имеют вид
[ \ HT IШ == [ ШУG \ ,
{ \ OT 'ш == [ ПТ \ .
с. одноrо
(5.22)
(5.23)
Левые части этих равенств при транспозиции не изменяются,
поэтом у
[ (B) l T 1 (в) 1 [ (B) J T I (B) } T
(2) (1) l (2) (1)
{[ (B) ] T G (B) } T l (B) ] T G T (B)
.(2) (1) (1.) (2)'
(5,24)
114
Ранее было показзно, что матрица входных и взаимных про
Бодимостей (J симметрична, т. е.. (J == бт. ,Учитывая симметрию
этон матрицы, можно сделать ВЫВОД, что правые части выраже
ний (5.22) и (5.24) одинаковы и, следовательно, справедливо
равенство
[ lt(B) F 1 ,В) [ lt(B) J 'T 1 (в)
(1) (2) (2) (1)
(5.25)
или
в в
2; klk == 2; kIh'
k 1 k l
(5.26) ,
Равенства (5.25) и (5.26) в общей форме выражают свойство
(п р и н Ц и п) в з а и м н о с т и для электрических цепей. Соrласно
этому принципу, сумма произведений э. д. с. ветвей первосо режима
н,а токи ветвей второсо равна сумме произведений э. д. с. вто--
росо режима на токи первоео.
Если в схеме цепи все источники энерriш представлены
в качестве источников тока, то из соотношения (5.16) ('-ледует,
что
U(B) == RJ(B).
в этом ('-лучае, аналоrично предыдущему, справедливо paBeH
ство
I J (B) ] T U (B) [J (B) ] T U (B)
L (1) (2) (2) (1)
(5.27)
или
в
в
J"U'k == 2; J'kU k ,
k 1 k 1
(5.28)
.rде
[ (в) } [ " , ] т. .
J(1)== J 1 J 2 .,. J B ,
[ (В) ] [ "" " ] т
J(;!) == J 1J 2 . . J в
матрицы токов источников тока первоrо IJ второro режимов;
U (B) RJ (B). U (B) RJ (B)
(1) == (1) , (2) == (2)
матрицы напряжений ветвей первоrо и BToporo реЖИМQВ.
,Доказательство равенств (5.27) и (5.28) основывается на сим
метрии матрицы входных и заимных сопротивлений R. Эти
равенства также выражают свойство взаимности электрических
цепей.
. Из общих определений взаимности (5.26) и (5.28) получаются
выражения для частных случаев
Пусть первый режим цепи соответствует схеме на рис. 5.3, а.
В этом режиме в цепи имеется только один источник э. д. с.
l в ветви 1, который создает ток I'm в ветви т. Часть схемы,
кроме ветвей 1 и т, условно показана в виде прямоуrольника
115
(буквой П обозначена пассивная часть схемы). Второй режим
цепи соответствует схеме на рис. 5.3, б.- В этом режиме имеется
только один источник э. д. с. rff;" в ветви т, который создает
ток Il в ветви 1.
Поекольку все элементы матриц lt1:/ и lt1 !, кроме COOTBeтCT
венно элементов rff l и rff;", равны нулю, то из равенства (5.26)
следует, что
rfflIl == rff;"I:п. (5.29)
Е('-ли @"l == rff;", то [;n == Il, т. е. если '0. д. с. rff l , действующая
в ветви 1, создает ток [:п в ветви т, то равная ей э. д. С. 60 "
действующая в ветви т, создает ток ,П == [:п. При этом направ
ление э. д. С. и токов соrласовано в соответствии с рис. 5.3.
' '
п
P !I
Е; Фj
if,
1;/t
п
JI П lu
l'
а)
и, { П tw J ;
OJ
Рис. 5.4
а) ..
.
/f]
Рис. 5.3
При рассмотрении режимов схем на рис. 5.4, а, б, содержа
щих по одному источнику тока, на основании соотношения (5.28)
устанавливается равенство
ЛЩ== .
При Л == J':n получаем и:п == Иi'.
Равенства (5.25) + (5.28), служащие общими определениями
взаимности, вытекают, иак уже отмечалось, из условия симмет
рии матриц входных и взаимных проводимостей и сопротивлений
G и R. Симметрия этих матриц, в свою очередь, установлена
из условия симметрии матриц узловых проводимостей G(y) И
контурных сопротивлений R(K)(CM. 5.2). Таким образом, симмет
рию матриц G и R, G(Y) и R(K) rVIожно рассматривать как опре
деляющий признак цепей, удовлетворяющих ('-БОЙСТВУ взаимности
(взаимных цеl1ей). '
#
э 5.4-. Тесрема (1 компенсации, линейные соотношения
между напряжениями и токами
'Любое сопротивление схемы rh с током I h можно заменить
источником э. д. С. 6"h == rh1,,, направление котороЙ противопо-
ЛОЖНо направлению тока (или источником э, д. с. rff h -:-- rh I h,
116
направление которой совпадает с Н.ё;!правлением тока). При этом
токи и напряжения всех ветвей схемы не изменяются.
Действительно, если в схеме на рис. 5.5, а вместо сопротив
ления rh включить источник Э. д. с. {j"h' положительное направ
ление которой противоположно положительному направлению
тока (рис. 5.5, б) *, то тополоrия исходной схемы не изменится.
Поэтому уравнения для токов по первому закону Кирхrофа схем
(на рис. 5.5, а, б) одинаковы. Уравнения по второму закону
КИРХFофа также одинаковы, так как слаrаемым + rh/ h в левой
части уравнений одной схемы соответствуют слаrаемые + rff h ==
=== + rh/ h' в правой части 'уравнений друrой схемы. Следовательно,
токи и напряжения ветвей схемы при замене сопротивления
с напряжением rh/ h соответствующей '
э. д. с. не изменяются. В общем слу j"
чае любую ветвь с напряжением U h на
ее зажимах можно заменить источником
э. д. с. rff h === U h.
Кроме Toro, любую ветвь с током
/ h можно заменить источником тока
J h == / h, направление KOToporo совпа
дает с направлением тока ветви (источ-
. ником тока J h == / h, направление KOTO
poro противоположно направлению то-
ка ветви) без изменения токов и на-
пряжений всех ветвей схемы.
Сформулированные положения о воз-
МОжности замены ветвей ш;rочниками
э. д. с. и тока определяют т е о р е -
м у o к о м п е н с а Ц ии.
Пусть в цепи, содержащей источ
ники напряжения и r тока, изменяется
э. д. с. одноrо из источников, а э. д. с.
и токи друrих источников остаются по
стоянными. В этом ('-лучае из соот-
ношений (5.10) и (5,19) следует, что
ток и напряжение любой ветви являются линейными функциями
изменяемой э. д. с., поскольку входные и взаимные про води-
мости и сопротивления, коэффициенты передачи тока и наПРfDКе-
ния неизменны:
/ h == / hO + ghjrff j ;
U h == Uho+K )rfff,
А
I
'Ь..
0.)
1"
А
I
о)
Рис. 5.5
(5.31)
(5.32)
rде /h' Uh TOK и напряжение h й ветви (h=== 1,2, !.., в); rffj
изменяемая э. д. с.; / hO И и hO по'стоянные слаrаемые в равен-
· На рис. 5.5, а, б прямоуrольникОМ с буквой А, обозначена активная
часть схемы С источниками.
117
ствах (5.10) и (5,19):
I hO == 2; glil6"l+ K lJl;
1*; 1
Им == 2; 'hlJl+ 2; KJ:i)6"l'
1 [*;
Соотношения, аналоrичны (5.31) и (5.32), можно записать
и для случая, коrда изменяется ток одноrо источника тока,
а э. д. С. и токи друrих источников остаются постоянными:
I h == 1;"0 + КШJ j , (5.33)
Uh==Ulw+rhjJ j , (5.34).
rде
w 1м == 2;ghl6"l + КШJ l ;
1 [*;
и м == 'hlJl + 2;KJ:i)6"l.
[*; 1
Е('-ли в цепи изменяется сопротивл"ение , j одной ветви, то
ero, соrласнб принципу компенсации, можно заменить источни
ком э. д. с., величина которой равна напряжению U r ; на сопро
тивлении 'j.
Тоrда вместо соотношений (5.31) и (5.32) получается
rде
Ih==lhO+ghjUrj;
U h == U ho +Kh'1)U r .,
J
JP (1)
I м == 2;gbl(Q 1 + 2;Khl J l ;
1 [,
(5.35)
(5.36)
и м == 'hlJl + 2; КШ)6"l.
1 1
в соотношениях (5.35) и '(5.36) в отличие от (5.31), (5.32)
все входные и взаимные проводимости и сопротивления, коэф
фициенты передачи напряжения и тока определяются при 'j==O.
Переменное сопротивление 'j с током I rj также можно заме
нить источником тока, величина KOToporo равна этому току.
Поэтому справедливы соотношения
#
, (1)
I h ==.IhO + Khj1r;;
U h == и;"о + 'h;1 rj'
(5.37)
(5.38)
rде
1;"0 == ghl6"1 + Khfl)Jl;
1 1"
и'ы, == . .>hlJl + 2;K,JU)@"l'
1 1
118
в соотношениях (5.37), (5.38) в
входные и взаимные проводимос,!и
ентЫ передачи напряжения и тока
определяются при ';== сх) (ш== О).
Из 'изложенноrо следует, что
при изменении какоrо либо пара
метра одной из ветвеИ (э. д. с.,
TOI{a источника или сопротивле
ния) напряжения или токи любых
ветвей, напряжения на зажимах
сопротивлений или токи в сопро
.тивлениях связаны линейными co
отношениями вида
у==а+Ьх,
(5.39)
отличие от (5.33), (5.34) все
и сопротивления, коэффици-
[4
1 ч. 2
I
и+
r;.' 'i
s
Jz
а)
J
'i I Jz
'5}
-[4-
'i I
О}
Рис. 5.6
(5.40)
rде х, у изменяющиеся токи или
напряжения, а, Ь постоянные
коэффициенты. .
Постоянные а, Ь определяют
расчетным, или опытным путем,
если известны переменные х, у
для двух режимов. Часто посто
ннные а и Ь находят из условий
х == О, У == О, что соответствует раз
рыв у или замыканию ветвей (соп-
ротивлений).
Аналоrично предыдущему мож
но показать, что при, OДHOBpeMeH
ном изменении двух параметров в
xeMe (например, двух сопротив-
лений) напряжения и токи любых
ветвей связаны между собой ли
нейными соотношениями вида
z==a+bx+cy,
rде х, у, z изменяющиеся напряжения или токи; а, Ь, с по-
стоянные, определяемые расчетным или опытным путем.
Пример 5.4. В схеме на рис. 5.6, а сопротивление '4 изменяется от цуля
ДО бесконечности. Найти зависимости !J.(U 4 ), и 2 (и 4 ), [1(14), и 2 (14)' Пара-
метры схемы: '1==,з==4 Ом; '2==2 Ом; 61==100 В; J 2 ==50 А.
Реш е н и е. В соответствии с равенством (5.39) искомые зависимостUI
. имеют вид:
'1 ==01 +ь 1 и 4 ;
и 2 ==а 2 + ь 2 и 4 ;
'1 ==аз+ Ь з'4;
V 2 ==а4+ Ь 4'4'
Рассмотрим два режима схемы, соответствующие короткозамкнутой и разомк-
нутой ветвям с СОПРОllfВлением '!J.'
Н9
При КОРОТКОМ заМЫКании сопротивления '4 напряжение и 4 ==о, следова-
тельно, 1 1к ==аl; и 2к ==а2'
Если в схеме ветвь '4 замкнута, то потеНIlИалы узлов 1 и 2 ЧJl == ЧJ2 == (j11, 2'
Полаrая (jJз==О, запишем уравнение
(jJl.2 (1/'1 + 1/1"3+ 1/(2) == 6"1/'1 + J 2 ,
откуда
(100/4)+50
(jJl.2== (lf4+ 1/4+ 112) 75 В.
Напряжение U 2K ==(jJl,2==75 В. Токи
1 1К == (6 и 1 r.Ol.2) J..==6,25 А.
_ '1
14K J2 и 2 == 12,5 А.
'2
11
Таким образом,
a j ==1 1K ==6,25 А; а 2 ==и 2к ==75 В.
При размыкании сопротивления '4 ток 14==0, - следоВательно, 'lр==аз:
и 2р ==а4'
Из исходноЙ схемы находим:
6"1
11p== == 12,5 А; U2P=='2J2== 100 В;
'1 +'3
и4P==и2p '3;2P== 50 В.
Постоянные: аз==1 1р ==12,5 А; а4==и 2р ==IDD В.
Для определения постоянных Ь 1 , Ь 2 , 6з и Ь 4 составим уравнения;
.
11р==аl+ы14р;; и2р==а2+Ь2и4р;
1 1К ==аз+ Ь з / 4к ; и 2к ==а 4 +Ь 4 1 4К'
или
12,5 ==6,25+ Ь 1 50; 100 == 75 + Ь 2 50;
6,25== 12,5+Ь з I2;5; 15== 100+ Ь 4 12,5,
откуда Ь 1 ==0,125 См; Ь2==0,5;,.Ьз== 0,5; b4== 20M.
ОJюнчательно получим:
Убедимся, . что
резулътата:'1.
Чтобы установить зависимости 11 (и 4 ) и и 2 (и 4 ), сопротивление '4 заменим
источником э. д. с. (рис. -5.6, - б). По принципу наложения запишем равенства
для тока 11 и напряжения и 2 в этой схеме: .
11 ==gl1dfl +I\\ J 2 +g 14 U 4 ;
и 2 == I(\ )df 1 +'22J2+I\ )U4'
11 == 6,25 +О,125и 4;
и 2 ==75+0,5и 4 ;
11 == 12,5 0,514;
и 2 == I<Ю 2/4'
применение 8l Iражений (5.35) + (5.38)
приводит К тем же
Анализируя полученную схему, наЙдем:
gl1 ==0,1875 См; I(\ == 0,25; g14==O,125 См,
I( ) == 0,25 '22 == 1 Ом; K ) == 0,5.
120
Подставляя числовые значения, определим:
'1 ==0,1875. НЮ О,25. 50+0, 125и 4 ==6,25+0, 125и 4 :
и 2 ==О,25.1О0+1.50+0,5и 4 ==75+0,5и 4 .
Чтобы установить зависимости 11 (/4) и и 2 (/4), сопротивление r4 заменим
источником тока (рис. 5.6, в). По принципу наложения для этой схемы
, 'fiJ K '(i) J K '(i) 1
11 ==gll(Q 1 + 12 2+ 14 4;
U 2 == K \U) (f 1 + r;2 J 2 + r;4/4'
Анализируя схему на рис. 5.6, в, вычислим:
g 1==0,125 См; K: )==O; K: )==-----:0,5;
K '(U) O ' r " 2 Ом ' r ' 2 Ом
21 , 22 ., 24 . .
Таким образом,
11 ==,0.125. 100 O,5I4== 12,5 0,514'
и 2 ==2. 5O 2/4== НЮ 2/4'
Соотношения, п.олученные НI;! основании выражениЙ (5.35) + (5.38), совпа-
дают с найденными ранее.
')
.......,.
А ,1т: , !
J А !J.. !i!lj
'J
.а)
а)
'F
.....р
А '.i
А I !Jj '" !JJ.i= !J!J.il(;
..
б)
Рис. 5.8
OJ
Рис. 5.7
с помощью линейных соотношений можно установйть связь
между приращением сопротивления [),.rj (прЬводимости l1?j) в одной
из ветвей и приращениями токов ,l1l k (напряжений I1U k ) в дру-
rих ветвях.,
Пусть сопротивление rj ветви j возросло на величину I1rj
(рис. 5.7, а). Приращение I1rj' как следует из теоремы о ком-
пенсации, можно заменить источником э. д. с. l1iffj '------ I1r/j, '
аправление которой совпада с направлением тока 1; (P!Ic. 5.7, б).
121
Для токов /j и / h спраl3е:n:ливы линейные соотношения, ан ало-
rичные (5.31):
/. / j n +g ..I1€1 J ,
J и 11,'
/h /hO+ghil1€1f' (5.42)
rде 110' lhO..':....ТОКИ ветвей i' и h при I1rj==O; gJj, ghj входная и
взаимная проводимости при I1rt== О. Из соотношений (5.41) и
(5.42) с учетом равенства 11{f; == l1r;l;
получаем формулы для приращений то-
ков:
, gff
M;==I; l;o== I+M,gjj 1;0; (5.43)
r;gh;
111 h 1 h 1 hO == 1 + /;0' (5.44)
rjg;;
Если проводимость gj ветви j изме
няется на величину I1g j (рис. 5.8, а),
']10 это IIp-иращение можно заменить ис
точником тока I1J; I1g;U;, направ-
ление KOToporo противоположно на-
правлению напряжения и 1 JРис. 5.8, 6).
Напряжения ветвей и; и u h выражаюr
ся линейными соотношениями, ан ало-
rичными (5.34):
И; == И;О + r;;I1J j ;
И h == V hO +rh;I1J;,
14
ooe::r-----
iJE= iJr;,14
. 1ft
r, тj
w
а}
/JJ= g4il4
т't
t5J
Рис. 5.9
(5.41 )
1
(5.45)
(5.46)
rде И;о, ИhО напряжения ветвей j и h при I1g j == о; r;J, rh;
входное и взаимное сопротивления при I1g j == О. Формулы для
приращений напряжений дуальны формулам (5.43) и (5.44}:
!J.g-r.'-
l1и.==и. и.о== J 11 и. О ' (5.47)
J 1 1 1 + шrf/ l'
, /1gjr 1i;J
!J.U h == Vh U hO 1 + И.jО, (5.48)
g;r/j
Пример 5.5. В схеме цепи на рис. 5.6, а определить ток 11 И напряжение
и 2 при r4==6 Ом.
Решение. В примере 5.4 вычислены значения токов 1], {4 при r4==0
(I]K==6,25 А; 14l{==12:,5 А). Приращение тока Ы] найдем по формуле (544),
полаrая r4 == 6 Ом; 140 == 141{ == 12,5 А Анализируя схему на рис. 5.9, а, рас-
считаем проводимоети- g44 и g14:
, g44==0,25 См, gH== O,125 См. Приращение тока
.; (ii, ( o, 125) ,
М] == 1 6. () 25 . 12,5==3,75 А.
+ ,
СледоватеЛ!"R!i}, юн:
1]==/ 1O +M]==/ 1K +M]==1O А.
В l'lримере 5.5, вычие Т1еFlЫ нашряжения и 2 . V 4 при 1'==00 (g4==O): и 2р :.
== 100 В; Ш4р==5fi В. ЧтобlЫ р,а:!есчитать [1!i1иращение напр'яжения U , наЙдем
сопротивления r44, r24 из схемы на РИ{:. 5.9, б:
(44==4 ом; (2 ==2 Ом.
122
Подставляя. в формулу (5.48) найденные значения сопротивлений, а также
!1g1 1/6 См, U 4р 50 В, получим
.2
6
fj.U 2 l ' 5О 1O В.
1+6.4
Следовательно, напряжение
U U20+fj.U2 U2P+fj.U2 90 В.
5.5. Теорема об эквивалентном источнике
(активном двухполюснике)
Пусть в схеме электрической цепи, имеющей источники э. д. с.
и тока, выделена j я ветвь, содержащая только сопротивление r,
с током /j. Если сопротивление rj заменить соrласно теореме
о компенсации '11СТОЧНИКОМ тока J j == /j, направление KOToporo
противоположно направлению тока /j, то для напряжения U,
на -зажимах ветви можно записать соотношение, аналоrичное
соотношению (5.34):
U, == U jO + rjjJ j .
rде CJIaraeMOe U jO объединяет составляющие напряжения U j ,
обусловленные всеми источниками, кроме J 1:
U jO == r;zJ l + K}l)6"l;
l*j 1
r jj входное сопротивление относительно зажимов источника J j.
т. е. относительно зажимов выделенной ветви (rjj == rjBX)' Это co
противление (см. 5.2) определяется при условии, что в схеме
исключены все источники, кроме J j .
Напряжение U;О представляет собой напряжение U ; при
J j == О, т. е. напряжение U jp на зажимах ра-зомкнутой j й ветви.
'Учитывая Jj== Ij и опуская индекс j у напряжения, тока и
сопротивления, выражение для напряжения на зажимах выделен
ной ветви записывают следующим образом:
U == U p rBJ. (5.49)
На рис. 5.10 показана схема, в которой выделена ветвь
с сопротивлением r (активный двухполюсник, к зажимам KOToporo
присоединено сопротивление r). Напряжение U на зажимах co
противления и ток 1 в сопротивлении связаны соотношением
(5.49). Так как для напряжения U справедливо также равенство
U == r 1, то ОИ3 (5.49) находим
I (5
! rBX+ r' .50)
Выражению (5.50) соответствует эквивалентная схема на
рис. 5.11. В этой схеме э. д. с. равна напряжению U CJ на -зажи
мах разомкнутой ветви с сопротивлением r.
123
Если ветвь с сопротивлением r короткозамкнута, то напря-
жение V == о и сопротивление
rnx===Vp/IK (5.51)
rде 1 к ТОК В короткозамкнутой выделенной ветвИ. Считая r вх
внутреннИМ сопротивлением источника напряжения V р (рис. 5..11)
и заменяя источник напряжения ,эквивалентным источником тока,
1 1
А r lu l "', I r
l к и
,
Рис. 5. 10 Рис. 5.11 Рис. 5.12
получаем схему на рис. 5.12, в которой ток источника тока
равен 1 к' Для найденной схемы справедливы соотношения
.
V === 1 K/(gBX + g),
(5.52)
rде
gBX === 1/, ВХ' g === l/r;
1 ===IK gBP' (5.53)
Формулы (5.50) и (5.52) определяют теорему об э к в и в а-
л е н т н о м и с т о ч н и к е или о б а к т и в н о м Д в ух п о л ю с-
н и к е: если активную схему, к которой присоединена некоторая
пассивная ветвь, заменить источником 8. д. с. с э. д. С., равной
напряжению на зажимах разомкнутой, ветви (источником тока,
величина которою равна току короткозамкнym.ой ветви), и conpo
тивлением, равным входно.му сопротивлению активной цепи (nро-
водимостью , равной входной nроводиМОСinи активной цепи), то
ток в этой ветви (напряжение на ее зажимах) не изменится.
Эквивалентную схему с источником э. д. с. (рис. 5.11) назы-
вают с х е м о й т е в е н е н а, а эквивалентную схему с источником
тока (рис. 5.12) схемой Нортона.
В общем случае выделенная ветвь может содержать источник
э. д. с. {f (источник тока J). Если ветвь содержит источник
э. д. с. с э. Д. с. {f, то вместо выражения (5.50) записывают
Ир -:k. {f
1 === + ' (5.54)
'ВХ ,
rде знак плюс (минус) в числителе соответствует случаю, коrда
направление э. д. с. совпадает (противоположно) с направлением
тока 1. Если ветвь содержит источник тока J, то
1 === IK-:k. J . (5.55)
gBX + g
124
Соrласно теореме аб активнам двухполюснике, действительный
режим выделеннай ветви мажет быть представлен как результат
налажения двух режимав: перваrа режима, при катором Bыдe
ленная' ветвь разамкнута, так 1 == О, напряжение на зажимах
ветви 'ат действия всех истачникав активнаrа двухпалюсника
равна U р (выделенная ветвь каротказамкнута, напряжение U == О,
так 1 == 1 к), и BToparo режима,
при катором в схеме действует [1 1 z
толька адин истачник э. д. с., l! р
(источник тока 1,). Ток 1 (иапря- IJ, I A I 14
жение U) выделеннай ветви равен t ' .
таку (напряжению) этай ветви во.
втарам режиме.
Если в схеме с истачниками Рис. 5.13
выделить несколько ветвей (Ha
пример, две, как паказана на рис. 5.13), то действительный
режим этих ветвей мажет быть аналоrична представлен как резу ль
тат наложения двух режимав: первоrорежима, при катаром
выделенные ветви аднавременна разомкнуты (кароткозамкнуты),
и BTapara режима, при котарам в схеме. действуют источники
". напряжения с э. д; с., равными саответственна напряжениям на
зажимах разамкнутых выделенных ветвей (истачники така, paB
ные саатветственна такам кароткозамкнутых выделенных ветвей),
а астальные истачники исключены. Таки (напряжения) выделен .
Цр p 11 12
c::::r------- .............с>
ц! fi )14 ц! п
'i
. <1-------------
J Iz
1 а) 5)
Рис. 5.14
ных ветвей апределяют при расчете талька BTaporo режима.
Например. таки и напряжения двух ветвей схемы на рис. 5.13
палучаются в результате расчета схемы на рис. 5.14, а с двумя
истачниками э. д. с. или схемы на рис. 5.14, 6 с двумя .истач
никами тока. При этам все истачники исхаднай активнай схемы
исключаются.
Для неtкальких выделенных ветвей схемы вместо. выражений
(5.49) и (5,53) мажна записать матричные саатнашения
U Up RI; (5.56)
1== I\{ GU, (5.57)
rде U (1) матрица напряжений (токав) выделенных ветвеЙ;
U p (l ) матрица напряжений на з жимах разомкнутых выделен
125
ных ветвей (токов КQрОТКОзамкнутыХ вьщелеиных ветвей); R (G)
матрица входных и взаимных сопротивлений (входных и вз-аим
НЫХ проводимостей) выделенных BeT
веи.
Такйм образом. теорема об эк
вивалентном источнике может быть
обобщена для расчета токов и !;J!(!i:
пряжений нескольких ветвей слож "
ной cx ы.
'2
О)
r, ·
J
Прilмер 5.6. В цеlLИ на ри.с. 5.6. а оп
ределить ток [4 при r4 6 Ом с помощью
теоремы об эквивалеН"FffОМ источнике.
Реш е н и е. Если ветвь с сопротивле
нием 1'4 р'азомкнуть, то' напряжение U 4р 50 В
(см. пример 5.4). Входное сопротивле
ние относительно зажимов ветви с сопро-
тивлением
rBX , +r2,==4- ом
1'1 +1'3
(в пример-е 5.5 "BX r4'4f. СЛе'доВ'а:rелыlO,
ток
14,=,U4pf(rBX+r4) 5 А.
При мер 5.7. Определить ток [ Б соп
ротивлении r схемы на рис. 5 15, а -с по-
мощью теоремы об эквивалентном источни-
'ке. Параметры схемы: 1'1 '='1'2 == 6 Ом; 1'3==
== r4'=' 3 Ом; 1'== 10 Ом; 6" == 18 В; J == 10 А.
Реш е н и е. При размыкании ветви с
сопротивлением r пcrлучается схема, пр иве-
денная на рис. 5.15, б.
По принципу наложения напряжение
Up e ( ) +J ( 1'11'4 + 1'21'з ) ==14В.
1'1+1'4 r2+r 1'1+1'4 r2+r3
fJ)
Рис. 5.15
Входное сопротивление относительно зажимов ветви с сопротивлением l'
(рис. 5.15, в) .
r BX 1'11'4 + 1'21'з == 4 Ом.
1'1 +1'4. r2+r3
Искомый ток
5.6.. Простейшие эквивалентные Пр'еобраэования схем
1 ==Up!(rBx+r)== 1 А.
u )
Анализ сложных электрических цепеи можно упростить
и . сделать более наrлядным путем различных пр'еобразований
схем. Целесообразное преобразование cxeMы приводит к умень-
шению числа ее узлов, контуров и ветвей и, следовательно, чис-
ла уравнений, характеризующих электрическое состояние схемы.
Преобразования называют э к в и в а л е н т н ы м и, если выпол-
няется условие неизменности токов и напряжений ветвей в тех
частях схемы, которые не TPOHYTЫ преобразованиями.
126
Возможность элементарных эквивалентных 'преобразований
была показана ранее. Так, в rл. 1 рассмотрено преобразование
источника э. Д. с. с внутренним сопротивлением в эквивалентный
источник тока и наоборот; в rл. 4 производилась замена ветви,
состоящей из ряда последовательно соединенных ИСТОЧНИКОВ э. д. с.
и сопротивлений, ЭКВИВ"11лентной '.Ветвью, содержащей один истоq
ник С '3. д. с., величина которой равна алrебраической сумме
э. д. с. всех источников ветви, и одно сопротивление, равное
сумме сопротивлений всех ветвей. LLуальное" преобразование
возможно по отношению к параллельному соединению проводи-
мостей и источников тока.
1"
1
и
Е
J 2
0)'
Рис. 5.1'6
На рис. 5.16, а показана схема, содержащая m параллелыIo
соединенных ветвей с источниками э. д. с., источниками токов
и сопротивлениями. LLля этой схемы справедливо узловое урав-
нение
т т т
и gk == 6"kgk + Jk l.
k l k l k 1
rде gk == 1jrk' k == 1, 2, ..., т.
ИЗ ЭТОf'О уРа'В>Н'ения получаем соотношение
U==6" rl,
rде
т т
(/ju kgk + J k
6" == k 1 k "1
'т
gk
k 1
'1
T==
т ,
.Е gk
k 1
которому соответствует эквивалентная схема на рис. 5.16, 6.
Таким образом, ряд йар.аллельыых ветвей с источниками 31. д. с.
и сопротивлениями можно заменить эквивалентной ветвью ос э. Д. 'с.
и сопротивлением r. При этом 'ток 1 и напряжение и в схемах
127
на рис. 5.16, 'й, б соответственно. одинаковы. При определении
эквивалентной э. д с. CfJ слаrшiмые CfJ kgk И J k суммируются:
С положительным (отрицательным) знаком записывают э. д. с.
и токи источников, направленные к узлу 1 (от узла 1). В числи
теле выражещrя для CfJ некоторые слаrаемые, соответствующие
ветвям, не содержащим источников э. д. с. или тока, отсутствуют;
в знаменателе выражений для CfJ и r записывают сумму прово-
димостей всех ветвей.
1
<.1т
1
............с>
r m
Е,
,
i
-1
!
r J
J
J 2
а)
J 1
OJ
Рис. 5.17
Аналоrично последовательное соединение ветвей, содержащих
источники тока, э. д. с. и сопротивления (рис. 5.17, а), заме-
няют одной ветвью с источником J и сопротивлением r
(рис. ?17, б), причем
т
.'я
k 1
Если схема представляет собой смешанное (последовательно-
параллельное) соединение ветвей, содержащих источники, то для
ее расчета применяют рассмотренные простейшие преобразования.
J
т т
Jk'k+ 6"k
k l k 1
т
1"== rk.
k l
Пример 5.8. Рассчитать токи в ветвях схемы (рис. 5.18, а). Параметры
схемы: 6"1 cfJ6 20 В; 6и2 cfJ5 1O В; cfJ4 15 В; Jз 10 А; 'l lO ом;
'2 5 Ом; 'З 1 ом; '4 2 Ом; '5 '6 4 Ом.
Реш е н и е. Заменим две па раллельные ветви с э, Д. с, CfJ 5 И CfJ 6 одной
С эквивалентной э. д. с.
CfJ ( cfJ5{'5)+(r!Хв/'6) 5 В
9квl (1{'5)+(1/'6)
и эквивалентным сопротивлением
'еКВ1
1
(1{'5) + (1{'6)
2 Ом.
Далее три послеДовательные ветви (с источниками J з , Ф"IJ. И g":tKBl) зам\:.
ним одной с э, Д, с.
6" KB J з ,з 6" IJ.+6" KBl o
128
В результате получим схему
и с.опротивлением rзкв==rз+r4+rеквi==5 Ом.
на рис. 5.18, 6, Если !j)з==О, ТО ' .
(6" i!rl) + (rff 2/r2)
<Р1 == (1lrl) + (1lrJ + (lfrекп)
8 В.
Токи:
1
/l==(6"i !j)l) ==1,2 А;
. 'i
. 1
/2== ( 2 !j)1) ==O,4 А;
r2
1
/4==!j)1 == 1,6 А;
r зкв
/'==/4+ J з==l1,6 А,
3
Потенциал
!j)2==!j)i rз/з rl?/4+6"4==8,2 В;
токи:
1 1
/5 == (!j)2+ 6"5) ==4,55 А; /6==(&6 !j)J ==2,95 А.
'5 '6
Любую схему, содержащую источники э. д. с. .и тока, можно
преобразовать в схему, имеющую только источники то.ка или
JJ'
J
а)
Рис. 5.18
+
fjK6
[,
5)
только источники э. д. с. Для этоrо каждый источник э. д. с.
(т<?ка) заменяют источником тока (э. д. с.). Если схема содержИТ
ветви с источниками э. Д. с. без последовательноrо сопротивле-
ния или с источниками тока без параллельноrо ,сопротивления,
то предварительно применяют 'преобразование источников (см.
rл. 4). В таких случаях для одной заданной схемы можно
получить несколько эквива ентных схем.
Следует подчеркнуть, что при преобразовании схем с источ-
никами энерrии суммарные мощности источников и приемников
в исходных схемах не равны в общем C.lIучае соответствующим
мощностям..в эквивалентных схемах.
5."1. ПреобраЗОВ8НИf! cxeM при исключении узлов
Если решать систему узловых уравнений для схемы, имеющей
число узлов у> 2, путем исключения неизвестных, то на каждом
этапе решения исключение одной переменной (потенциала узла)
будет соответствовать исключению одноrо узла схемы. Системе
б п/р. Ионкина, Т, 1
129
уравнений с меньшим числом неизвестНЫХ можно поставиТЬ
в соответствие схему с меньшим числом узлов.
Пусть матричное узловое уравнение (4,18) записано в виде
[ ОП 012 ] [ qJl ] ==< [ J Y) ] ,
1 022 qJ2 J y)
(5.58)
rде 011 (022) квадратная неособенная подматрица, Выражение
(5.58) соответствует разбиению матрицы коэффициентов уравне-
ния на блоки.
Если 011 квадратная неособенная подматрица, то из равен-
ства (5,58) получаем:
qJl ==< 01: 0 12qJ2 + 01: J Y).
"
021 qJl + 02 CJJ2 == J y) .
(5:59)
i1
откуда
G(Y)qJ2 ](у),
rде
(У) == 022 02101:012; (5.60)
· J(Y) ==< 02101: J1 Y ) + J Y). (5.61)
Уравнение (5.59) можно считать матричным узловым уравне-
нием схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы
которых образуют матрицу qJl' '
Если 022 квадратная неособенная подматрица, то аналоrично
записывают
Q(Y)qJl == J(Y),
(5.62)
rде
о(у) == ОП 01202"i02l;
Т(У) == 01202"i J 2 + J y).
(5.63)
(5.64)
Уравнение (5.62) соответствует матричному узловому уравне-
нию схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы
которых образуют матрицу qJ2'
Схемы, отвечающие уравнениям (5.59) или (5.62), MorYT быть
построены на основании выражений (5.60), (5.61) или (5.63),
(5.64). Эти схемы эквивалентны исходной схеме' в том смысле,
что имеют одинаковые с ней потенциалы узлов, образующие
матрицу qJ2 или qJl'
Следует отметить, что матрица О(У) эквивалентной схемы,
как видно из выражений (5.60), (5.63), не зависит от параметров
активных элементов (матрицы J(Y». Преобразование активных
цепей отличается от преобразования пассивных цепей дополни-
тельной операцией преобразования активных элементов по выра-
жениям (5.61) или (5.64).
Последовательное исключение узлов схемы может быть выпол-
нено путем MHoroKpaTHoro применения преобразований звезды
'130
в мноrоуrольник. На рис. 5.19, а приведена схема т-лучевой
активной звезды. Для этой схемы справедливо узловое уравнение
G ) qJ == J(Y),
rде
gl
G (y)
11
g2
gl
g2
.'.
gm gm
gl g2 ... gm gk
k
неопределенная матрица узловых проводимостеЙ';
qJ == [fj)1fj)2 . . . fj)mfj)o]T матрица узловых потенциалов всех узлов;
J(Y) ==[tff 1 g 1 +i 1 tff2g2+J2...tffmgm+Jm tffkgkT
матрица узловых токов.
12
IJ ,
,IJ
,/
I
I
[,JШ ,,/
//
т '....... ............-......."
1т
о)
Рис. 5.19
Из вывода уравнений (5.59) или (5.62) очевидно, что выраже-
ния (5.60), (5.61) или (5.63), (5.64) MorYT быть применены и в
случае неопределенных матриц узловых проводимостей.
Если исключают узел О в схеме звезды, то
[ gl
G" g, '.
l : G" J f: ] ;
gm l gm
1 == Щ2: 2 == gk: G2"J ==' 1 / gk;
k k
J Y)==[tfflgl+ll...tffmgm+JmY; J1Y):::::; tffkgk.
k
0*
131
в соответствии с выражением (5.63) (5.64)
G ) == 1 9, g, 000 l Igk l =r: 1 [ g, g, о о о gm]
gm gm J
gr glg2
gl gk gk
k k
g a g2 '
g2
gk gk
k k
glgm
gk
k
g2gm
gk
k
(5.65)
glgm g2gm g l
gk gk ... gm gk
k k k
gl tfflgl +/1
J(Y)== g2 f tff ) + tff2g2+/2
., . I kgk .
· gk : \ k :
k gm tffmgm+lm
tff Igl ...!,t ! tff kgk + J 1
"'-' gk k
k
tff2g2 J2 !tff k g k +/ 2
gk k
k
.,
(5.66)
tff mgm .:,т ! tff :gk + 1 т
"'-' gk k
k
По матрицам (5.65) и (5.66) можно построить схему, эквива-
лентную звезде. Эта схема имеет вид полноrо мноrоуrольника
(рис. 5.19, б). Проводимость ветви Ш,l, соединяющей узлы j, 1
мноrоуrольника, равна элементу а, 1) матрицы (5.65), взятому
с ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ (положительным) знаком:
gjgl. 2 (
gj,l==gl,j== ; J, 1== 1, ,..., m. 5,67)
gk
k
Собственная проводимость каждоrо узла мноrоуrольника
(рис. 5.19, б) равна соответствующему диаrональному элементу
матрицы (5.65).
Пассивные параметры gj,l эквивалентноrо мноrоуrольuника
определяют ОДНОЗI:tачно. Активные параметры (э. д. с. ветвеи) не
MorYT быть найдены единственным образом, так как число ветвей
полноrо мноrоу:ольника т (т 1 )/2 больше числа условий для
132
определения Э, д. с" т. е. числа независимых элементов матрицы
узловых токов (5.66), Сумма всех m элементов матрицы J(y) равна
нулю, следовательно, матрица J(y) имеет m 1 независимых
элементов.
Чтобы активный мноrоуrольник с проводимостями ветвей
(5.67) был эквивалентен активной звезде, в общем случае дocтa
точно включить по одному соответствующему источнику э. д. с.
в любые из т......... 1 ветвей мноrоуrольника. Если, например, вклю-
чить источники э. д. с. в каждую из ;jn 1 ветвей мноrоуrоль-
ника, имеющих общий j й узел, то э. д, с. определяется на осно-
вании равенства (5.66):,
tffjl== ( tfflgl Jl tff k g k ) ....!......
"'-< gk k gj,l ,
k
Учитывая соотношение (5.67), получаем
gk т
tff jl == tff l ! tff kgk== (tff l tff k) gk (5.68)
gj Щ k k 1 g,
(1 == 1, 2, ..., т; 1 =1= j). '
Во всех ветвях, которые не соединены с узлом j, источники
э. Д. с. отсутствуют.
Аналоrично решают задачу определения э. д. с. m 1 источ-
ников, включенных в друrие ветви мноrоуrольника. Можно вклю
чить по одному источнику э. д. с. в каждую ветвь мноrоуrоль-
ника. Чтобы определить величину э. д. с. в этом случае, ток j ro
узла необходимо представить следующим образом:
J (Y).Ji> g, Л ( ЛЛ gjgj
i =={Qjg/ {Qkgk+1j== (Q/ {Ql) +
gk k gk
k 'k
+ (tff j tff 2 ) ;;,g2 +.. .+( tff j tff т) m + J j ==
",-<gk gk
k k
[ ( tff/ tffz) ;:,gl ] + J j== ! (tff j tffl)(tl,/+ J j'
l gk l
k
, Непосредственно из схемы на рис. 5.19, б находим
(y) Л
J j ==.LJ {Qljgl,l+lj,
l
.
rде tfflj== tffjl. Таким образом, э. д. с. источника в ветви мно'
rоуrольника, соеД1Jняющей узлы 1 и j,
tff lj == tffj tff l ; j, 1 == 1, 2, .... ffl. (5.69)
При наличии во всех ветвях мноrоуrольника э. д. с., опре
деляемых соотношением (5.69), сумма э. д. с. в щобом контуре
мноrоуrольника равна нулю. Следовательно, если мнщоуrОЛЬНИI\
133
не присоединен к внешней активной цепи, токи в ero ветвях
отсутствуют. В случае, коrда мноrоуrольник содержит т 1
источников, э. д. с. которых выражаются, например, равенством
(5.68), в ero ветвях возникают токи, даже если мноrоуrольник
не присоединен к внешней цепи.
Аналоrично р шается задача преобразования звезды, ветви
которой содержат источники тока (источник тока можно заменить
эквивалентным источником э. Д. с.).
Если звезда пассивная (в ветвях
нет источников), то формула (5.67) для
проводимостей ветвей эквивалентноrо
мноrоуmльника остается справедли .
вой. В частном случае пассивной Tpex
лучевой звезды (рис. 5.20, а) проводи-
мости эквивалентноrо треуrольника (рис.
5.20, б) определяются соотношениями
g glg2 . g g2f5з .
1,2 == gl +g2+gз ' 2,3 gl + g2+gз '
g == . glgз (5.70)
з,1 gl+g2+gз
ИЛИ при замене ПРОВОДИlVюстей сопро-
тивлениями
r1 2==r1 +r2+ ; r2 з==r2+rз+ ;
I rз" r}
rз,1==rз+ r 1+ ';'3 . (5.71)
2
С помощью матричных выражений
(5.59) + (5.64) можно последовательно
исключать по одному узлу или сразу
исключить rруппу узлов; поочередное
исключение узлов выполняют также
с помощью формул (5.67)+(5.71). Как уже отмечалось, исклю
чение узлов эквивалентно исключению переменных узловых
уравнений, однако преобразование схемы путем уменьшения числа
узлов не требует применения операций вычитания, что позволяет
выполнить расчеты с большей точностью по сравнению с методом
последовательноrо исключения переменных системы уравнений.
Пример 5.9. Определить входное сопротивление между узлами 5, б схемы
на рис. 5.21, а. Параметры CX MЫ: '1 '6 2 Ом; '2 'б 3 Ом; 'З '4 '7
=='9 '11 6 ом; 'В=='lO 18 Ом.
Реш е н и е, Входное сопротивление между узлами 5, б найдем, преобра-
зовав исходную схему следующим образом: трехлучевые звезды с УЗJIами 1 и 2
заменим эквивалентными треуrольниками. В результате получим схему на
рис. 5.21, б, параметры которой вычислим по (5.71):
J
.Y2,J
oj
Рис. 5.20
2
'б'З 'l+'2+ '1'2 ==6 Ом; 'З,6 '2+'З+ '2'З 18 ом;
' ,6=='l+'З+ '1'З 12 Ом; 'б, '3,6 18 Ом;
'2
r4,6==rб,з 6 Ом; ';,6==' ,6 12 ом.
, 134
Заменяя параллельно включенные сопротивления схемы на рис. 5,21, б
эквивалентными, получим схему на рис. 5.21, в, в которой
'аl == 'а2== 'а5==3 Ом; rаз==rа4==9 Ом.
Из этой схемы определим входное сопротивление между узлаМИ 5, 6:
( 1 1 1 ) 1
r BX == + + , ==2 Ом.
r a l ra2+ra3 ra4+ r a5
Схему на рис. 5.21, в можно получить также с помощью одновременноrо
исключения узлов 1, 2 на основании матричноrо соотношения (5.60). Опреде-
5
f
б а)
5 5
15,J
'32
'3,
2 r."
5,6
'5:6 'ЭJ '8$
б б
oj бj
Рис. 5.21
ленная матрица узловых.проводимостей исходной схемы при СР6==О имеет I1ИД
2: 3 4 5
1 1
О : О
'! 3 2
о 1 J о 3
.ш................... j.......5.ш.............. ....j..
О: О
3 ; 9 6
1 1 5 1
O 3 о 9 [8
1 1 1 1 19
5 2 6 6' 16 18
2
о(у) == 3
4
1
1
Эта матрица разбивается на блоки в соответствии с штриховыми линиями:
оп == [ }
021 ==
1
З
1
О
3
1 1
2 6
о
012== [ : : ] ;
o
36
5 1
"9 о 6
5 1
"9 18
1 1 19
(3 18 18
022 ==
о
135.."
Так Ka
из равенства (5.60)
01i==[
].
а!У) == 022
021 О!:';: 1012 ==
о
[
'01
: ] '="
О
3
6
5 1
9 о
6
5 1
9
18
1 1 19
6
18 18 -'.
О
"
1
3
О
3"
1 1
2
6
1
О
3
4 1
9
9
1 1 7
3
9 9
4
9"
О
Матрица G(Y) представляет собой определенную матрицу узловых прово-
димостей ЭIшивалентной схемы. Эту схему леrко построить, если записать
неопределенную .матрицу
3 4 5 6
3 4 О 1 1
9
3
9
4 о 4 1 1
о(у)
9
9
3
н
1 1 7 1 .
5
3
9 9
3
6 1 ' 1 1 7
9"
3
3 9
Элементы последней строки и последнеrо столбца матрицы O
) находятся
из условия равенства нулю суммы элементов любой строки и любоrо столбца
'неопределенной матрицы.
Если каждую пару узлов j, 1 (j, 1==3, 4, 5, 6) соедиНИТЬ ветвью, прово-
lP,имость IЮТОРОЙ равна элементу (j, 1) неопределенной матрицы, взятому с про-
ТИВОПОЛОЖНЫМ (положительным) знаком, то получ-ится эквивалентная схема,
приведенная на рис. 5.21, в.
Аналоrично решается задача определения входноrо сопротивления путем
исключения узлов 3, 4.
5.8. Преобр8аОВ8НИЯ схем при исключении контуров
Если матричное контурное уравнение (4.30) записано в виде
[:: :::][::::]
[::::]. (5.72)
то можно получить соотношения, аналоrичные (5.5Q)
.(5,64):
R. !K)j
K)==
(K), (5.73)
136
rде
R (K) R R R I R .
== 22 21 11 12,
(5.74)
(5.75)
q>(K) R R I (K) + (K)
fD 21 11 fD 1 fD 2 ,
или
R (K)11 K ) . i(K) ,
(5.76)
rде
R (K) R R R I R .
== 11 12 22 21,
(5.77)
(5.78)
(K) R R 1 (K) + (K)
fD 12 22 О2 01.,
Уравнения (5.73) или (5.76) можно рассматривать как кон-
турные уравнения эквивалентн:ых схем, полученных путем искJПQ-
чения контуров, контурные токи которых образуют матрицу 11 К )
или 'I K). Эквивалентные схемы имеют КОНТУРF1ые токи, совпадаю-
щие с токами матриц I K) или I K) исходной схемы. ,
Пусть схема ИМеет k независимых контуров иk й контур
исключается. Тоrда матрицу контурных сопротивлений R(K) исход.
ной схемы делят на блоки следующим образом:
'11 '12 '1, k 1 'lk
R( ) == [Rll R12] == '21 '22 '2, k 1 '2k
R 21 R 22 'k 1.1 'k l, 2 ... 'k l,k 1 'k l, k
Jk1
'k2
'k, k l 'kk
rде
[ 'й
R '21
11
, 'k' :,l'
'i2
[ 'lk 1
R 12 == . 2k .
,. '
'k l:k
::: ::=: 1 .
. . . . .. '
'k 1.2 ... 'k I,k 1
'22
R 21 == ['kl 'k2 ... 'k, k I]; R 22 == 'kk.
Матрицу контурных сопротивлений схемы с исключенным
контуром вычисляют по формуле (5.77) при R 2 J == l/'kk:
. R«({) == R 11 [ : ] ['и 'k2 ... 'k k l] ==
rkk . ,
'k 1, k
[ 'lk 'kl 'lk 'k2 ... '1k'k, k 1 ]
R I '2k 'kl '2k 'k2 ... '2k'k, k 1
== 11 rkk ...... ............ .
'k l, k'kl 'k l.k'k2'.. 'k 1.k'k,k 1
(5.79)
137
Cor ласно этому равенству, собственное
контура (j == 1, 2, .... k 1)
rjkrkj
(..== r.. '
JI J1 rkl '
общее сопротивление i ro и j ro контуров (i, j== 1, 2, .... k 1)
сопротивление j ro
\
rikrkj
ri j ===ri j .
, rkk
Если i й и j-й контуры не имеют общих сопротивлений с исклю
чаемым контуром, то собственные сопротивлен'ия rii, rjj и общее
сопротивление rtj === rji при исключении k ro контура не изменяются.
Матрицу контурных э. д. с. и.сходной схемы (K) можно
представить в виде
w
[ (K) ]
' (K) == 1 ,
K)'
rде
<Р(К)
(91
6" K) ]
(К)
2
. ,
6"(К)
и 1
(K) ..Ф{К)
(92 (D k .
.
По соотношению (5.78) матрица контурных э. Д. с. схемы
с исключенным контуром
6"(К) rlk 6"(К)
6"(К) 1 k
rkk
С' 1 1
6"(К) 6"t K ) r2k 6"(К)
t'(K) == ..J..... 2и 6"kl{) + 2 k . (5.80)
\? rkk
rkk. '
rk l,k 6"(К) .(
k 1 6"(к) rk i, k 6"(К) I
и 1 k
rkk
Таким образом, при исключении k-ro контура к<?нтурная
э. Д. с. j ro контура (j == 1, 2, ..., k 1) принимает значение
/ (K) == 6"(К) rj1 r8!K).
1 rkk
В общем случае по матрице контурных сопротивлений (5.79)
не удается составить эквивалентную сх.ему обычноrо вида, так
как при числе контуров больше трех такая схема не имеет
общих сопротивлений для каждой пары контуров.
Для иллюстраJjЩИ преобразования схемы путем исключения
контуров можно ввести условную эквивалентную схему, в кото-
рой каждый контур изображается отдельно как контур с сопро-
тивлением rjj и э. Д. СО 6"}К) , а общие сопротивления контуров rtj
138
пок.азываются аналоrично тому. как показана взаимная индук-
тивность между катушками на рис. 1.36, Кроме тoro, в схеме
обычноrо вида аналоrично взаимной индуктивности изображают
'связи между контурами, не имеющими общих ветвей.
r,
l 1,
G5 '8
r,oG)
'2 '5'(];) '6
'4
Рис. 5.22
Пример 5.10. Исключить JЮНТУР с контурным током lБ В схеме на
рис. 5.22.
.
rJ" H HM
r,o
Рис. 5.23
Реш е в и е. Для sаданной. схемы составим УСJlОВНую эквивалентную
схему. изображенную на рис. 5.23. Матрица контурных сопротивлений исход-
Ной схемы
Rll '7 r9 О rB
r7 R22, О О rlfl
, R.(K) ==
rD О R33 'в ru I
О О '6 R 4 '1 'Б
rB 'io rll rБ R55
rде
R ll =='1 +r7+ r B+ r 9; R22==r +'7+rl(b R зз ==rз+ r 6+ r D+rll:
R 44 ==r<l.+rfj+ro; R ББ ==rfj+rв+ r liJ+ r l1'
J'39
Если иск ючается контур, То в соответствии с равенством (5.79) матрица
контурных сопротивлений новой схемы
О J l ' 'В'10 'В'11 'вТ5 J
О l' '10'В 'io '111"11 '10'5
'6 R55 'l1'В '11'10 T l T I'5 ==
R44 'ifB '5'10 '5 Т Н- Т б
234
R(K) r 11 . 22 '
'0 о R зз
О О '6
1
"
Rl1 .!:.L
R55
', ТВ'10 'В'l1 'в'ь
T9 R55
R55 R55
R Tfo т 111'11 '10'5
22 R б5 R бб
R 5D == [Rlj)'
'11'10 R 'il Тl1'5
R55 8Э T6 R55
R5i>
'5'10 Тб'н т"
R55 '6 R44
R55 R55
2
Тl0'В
"
R 5б
3 'нТв
J9 RS5
4
'5'В
R55
6"'(К)==0
" '
матрица контурных э. Д. с. cor ласно равенству (5.80)
(K) == [О tff 2 tff 3 О]'".
Так как
.
Матрицам R (К) и (K) соответствует условная ЭI<Бнвалентная СХЕ;ма на
Еис 5.24, а, rде Rij==Rл.JiJ f== t, 2, 3, 4) ЭJIементы матрицы R(K), например
R ll ==R п тr;JRбб" R]2==R 21 == Т7 'В'lо1Rбб И т. д.
f{oBoe значение собственноrо сопротивления первоrо контура
. r . ' ( '
Rl1==RH R =='I+"+'B+'9 + + +
- бб Т5 тв '10 '11----
- + + + ,ТвТIО + 'в'н + 'в'ь + ( + 'В(10 ) + ( + 'В'I.! ) + 'В',б
'1 " '9 =='1 " 'о R R .
R55 R55 R55 R55 55 55
Аналоrично вьiразим собственные сопротивления друrих контуров;
.
R 22 == '2+ ( '7+ '10'В ) + ТIО'l1 '+ '10'5 ;
R55 R55 R 5б
R + ( ' + ТН'в ) + Т11ТIО + ( + Тll(5 ) .
8З ТЗ Т9 R R '6 R I
55 55 55-
R + Тб'в + Т5'10 + ( + ' Т5'Н )
44 Т4 R55 R55 Т6 R55 '
Как видно из полученных значений для собственных сопротивлений кон-
туров, сопротивление RjJ представляет собой сумму сопротивления ТJ И COrIpO-
тивлений, равных внедиаrональным элементам j-й строки матрицы R(КJ, взя-
тым С противоположным (положительном) знаком. Поэтому матрице (K) можно
поставить в соответствие условную эквивалентную схему на рис. 5.24, б.
В этой схеме пары контуров 1 2, 1 3, 3 4 и 2 4 имеют общие ветви; п3lJы
контуров 1 4 и 2 3 Не имеlOТ общих ветвей, ПОЭ18111у связь между онтурами
этих пар изображена аналоrично взаимной индуктивности. ,
Для заданной схемы (рис. 5.22) строим дуальную схему (рис. 5.25, а).
ИСКлючению' контура с током 15 исходной скемы соответствует исключение
узла 5 дуальной схемы, осуществляемое путем преобразования четырехлучевой
звезды в полный четырехуrольник. После TaKoro преобразования получим
непланарную схему на рис. 5.25, б (g б==R:;5)' Схема на рис. 5.25, б может
быtь п?строена также по матрицам узловых проводимостей и узловыIx токов.
140
если эти матрицы приравнять соответс:::венно I!! матрицам контурных сопро-
тивлений R(КI и контурных Э. д. С. lt CK / схемы с исключенньщ контуром
(рис. 5.24, б). Контурные уравнения схемы на рис. 5.24, б совпадают с узло
выми уравнениями схемы на рис. 5.25, б. т. е. эти схемы можно рассматри
вать как дуальные.
Соотношения (5.79) и (5.80) для матрицЬJ контурных сопро
тивлений и вектора контурных э. Д. с. схемы с исключенным
R14
. R 1J
1(Z) ff" ct&ff п c Hn . .
. а)
r,
''5'8 14-
55 о}
Рис. 5.24
контуром справедливы не только для планарных схем с конту-
рами (ячейками" но и для любой системы независимых контуров
как планарных, так и непланарных схем. Эти формулы приме
няют при поочередном исключении контуров; контурные токи
ИСКлюченных контуров определяют непосредственно из. уравне-
ний для этих контуров.
Если схема планарная, то можно построить дуальную ей
схему, которая имеет матрицу узловых пр оводимостей , равную
матрице контурных сопротивлений исходной схемы (лля конту-
141
ров ячеек). Таким образом, исключению контуров планарной
схемы можно поставить в соответствие исключение узлов дуаль-
ной схемы.
Частным случаем
преобразования схемы при уменьшении
числа контуров является пре-
образоваI1ие треуrольника
сопротивлений (рис. 5.26, а)
в эквивалентную звезду (рис.
5.26, б).
Для схемы на рис. 5.26, а
справедливо уравнение
gf=r,
неопределенная матрица
контурных сопротивлений
(1: r === rl,2 + r2,3 + rз,I);
](К) === [Jl/2/з 1 0У матрица
контурных токов; (K) ===
=== [ 6" 12 + U 21 , 6"23 + U З2 ,
6"31 + U 1З , 1: 6"у матриuа
контурных э. д. с. (1: 6" ===
=== 6"12 + 6"23 + 6"31)'
Матрица R K) треуrольни-
ка дуальна матрице G ) трех-
лучевой звезды, поэтому для
пассивных параметров звезды, эквивалентной треуrольнику, спра-
ведливы формулы, дуальные (5.70) и (5.71):
f
J/=E z
2
а)
f
oj
Рис. 5.25
R K)I(K) == (K),
rде
R (K)
Н
[ rl,2
=== r1, 2
r2,3
, -r1, 2 ]
r2 3
rя, 1 rз, 1
rз, 1 1: r
r2,З
r rl, 2 r з, 1 . r r2, з r l, 2 . r rз, lrZ, 3 .
1 rl, 2+r2,з+rз, l' 2 rl, 2+r2, з+rЗ,1' 3 rl, 2+r2, з+rЗ,I'
(5.81 )
g g + g + gl, 2t!з, i. g g + g + g2, зgl, 2.
1 1,2 3,1 , 2 2,3 1,2 g ,
5.3 .1
== g + g + gЗ,lg2, 3
3, 1 . 2. 3 gl, 2 .
gз==
(5.82)
Выражения (5.81) и (5.82) получаются также путем решения
уравнений (5.70) или (5.71) относительно rl, r2, rз или gl,g2,gз.
При исключении контура с током 10 в схеме (рис. 5.26. а)
матрица i'(K) преобразуется к виду, аналоrичному (5.66) при т == 3:
142
--- 6"12+ i': ! @" + U21
i(I') == --- 6"2 а + ': 1: 6" + и 32
--- 6"31 + -: 1: 6" + U13
ДЛЯ определения активных параметр,ов звезды (рис" 5.26, б)
следует приравнять:
--- с8' 12 + ': 1: с8' == rff 1 --- rff ;
--- ,g 23 + '2\ 3 V rff == rff 2 --- rff 3.
r,r
___rff31+ r3'l Vrff==6"з--- rff l..
E,r
Из записанных трех уравнений ТОЛЬКО два: независимы, поэто-
му задача определения э. д. с. звезды решается неоднозначно.
а)
Рис. 5.26
3 oj
Можно задаться произвольным значением одной э. д. с. и опре-
делить две друrие; например, если dJ'3 == О, ТО
.JP .ф r д, 1 '\1'.ф
(Ql==(Q31---15F (Q;
,g2 == rff 2з + .: 1: 6".
Преобразование qолноrо мноrоуrольника с числом узлов т>
> 3 в т лучевую эквивалентнуЮ звезду в общем случае не
может быть выполнено, так как число искомых ПРОВОДИl\юстей
ветвей звезды в системе уравнений (5.67)' меньше числа условий,
которым они должны удовлетворять (число условий равно числу
ветвей мноrоуrольника).
Пример 5.11. Определить входное сопротивление. относительно зажимов
ИСТОЧника э. д. с. rff в схеме на рис. 5.27, а. Параметры схемы: rl. 2 r4. б
== 1 Ом; rз.l==r5.6==2 Ом; rз. 2==r6, 4==3 Ом; r7== 1 Ом; 'з r9 2L3 Ом.
(43
'" Реш е н и е. Преобразуем два треуrольника сопротивлений исходной схемы
в эквивалентные звезды. В результате получим схему на рис. 5.27, б, пара-
метры которой:
'1 ==='4
1.3 1 1.2
1+2+з ==="2 Ом; '2==='б 1+2+3
2,3
'З==='6 1+2+з 1 Ом.
1
з0м;
....
Последовательные сопротивления ветвей этой схемы заменим эквивалент-
ными:
'61==='1+'7+'4===2 ом; '62,==='2+'6+'8===2 Ом;
'е8===r8+rб+rв 2 Ом.
-Входное сопротивление относительно зажимов источника э. д. с. €f
'ВХ 'аl'аз +'a2 3 Ом.
w 'Зl+'аз
:I'реуrольники сопротивлений в исходной схеме можно исключить одно-
временно как два контура с помощью'матричноrо соотношения (5.74) или (5.77),
r 7
'i
f T7 /1 '4
а)
.0) .
Рис. 5.27
Нетрудно убедиться, что матрице WК ! будет СООТВетствовать эквивалентная
схема, изображенная на рис. 5.27, б.
5.9. Преобразование симметричных схем
в ряде случаев электрические цепи и их схемы замещения
обладают симметрией как по конфиrурации, так и по значению
параметров. Симметрия схемы приводит , как правило, к суще-
ственному упрощению ее расчета.
На рис. 5.28, а приведена схема, которая симметрична отно-
сительно ЛIIНии, проходящей через ветви с сопротивлениями r2
и r 4' Контурные уравнения для этой схемы имеют вид
l r 11 r1 О
r1 r22 r4
О r4 rзз
. r 2 О r1
r2 ll /1 ll 1 l
О 12 2
r1 13 2 '
r44 14 1
rде
r11==r+r1+ r 2;
r22 ==r1 +r з +r4;
'./
rзз =='1 + r з + r 4 == r22; r44 ==., + r1 +r2 == r11.
144
В данном случае матрица контурных сопротивлений R(K) сим-
метрична относительно обеих диаrоналей. .
Если в векторе контурных токов взаимно поменять местами KOH
турные токи /1 И /4, [2 И /3' то контурные [уравнения - схемы не
изменятся. Это означает, что 11 ==< 14 И /2 == 13. С .учетом этих ра-
венств контурные уравнения схемы записывают следующим образом:
[ rll+r2 r1 ][ 11 ] [ r+r1+2r2 r1 ][ /1 ] _ [ rff1 ]
rl r22+r4 12 == r1 r1+r3+2r4' 12 == rff 2 .
Таким образом, вследствие симметрии схемы порядок кон-
турной матрицы уменьшается в два раза. Полученным урав-
нениям соответствуют две одинаковые эквивалентные схемы на
рис. 5.28, б. -
r
lj
а)
r
О)
Рис. 5.28
r
r
r
Если дополнительно к ранее записанным условиям симметрии
выполняются равенства r 1 == r 3== r, r 2 == r 4 и rff 1 == rff 2 == rff, то появ-
ляется вторая линия симметрии, проходящая через ветви с сопро-
тивлением r1' Следовательно, возможно дальнейшее разделение
схемы с соответствующим упрощением решения (рис. 5.28, в).
т ак как 11 == /2 == 1, то получаем уравнение
(r+ 2r1 + 2r2) 1 == rff,
откуда
'/ == rff /(1 + 2r1 + 2r2)'
Как видно из изложенноrо, величины сопротивлений ветвей,
по которым схема делится на симметричные части, удваиваются,
а напряжения на зажИмах ветвей эквивалентной схемы получа-
ются равными соответствующим напряжениям исходной схемы.
Если линия симметрии пересекает какую-либо ветвь CXt:MbI,
то ток этой ветви равен нулю. Например, в схеме на рис. 5.29, а
ток /3== О. Эквивалентная схема. (рис. 5.29, б) получена из усло-
вия симметрии исходRой схемы.
Свойством симметрии обладает также схема на рис. 5.30, а.
Расчет этой схемы можно выполнить с помощью эквивалентной
схемы на рис., 5.30, б, полученной делением исходной схемы по
145
линии симметрии. При а == 1 эта схема непосредственно переходит
в схему на рис. 5.29, б.
В общем случае если схема с k независимыми контурами
симметрична, то каждому j MY контуру можно найти симметрич
ный (k j) й контур. При этом матрица контурных сопротивлений
с, '2
.
о)
Ри-::. 5.29
будет симметричной относительно обеих диаrоналей, а контурные
токи j ro и (k j) ro контуров /j == J k j' Если k нечетное число,
то [(k + 1 )/2] й контур не имеет симметричноrо контура, но он не
нарушает симметрии матрицы контурных сопротивлений. Ток
в [(k+ 1)/2}м контуре должен отсутствовать. Для расчета сим
метричной CX 1Ы ее делят по линии симметрии, удваивая сопро
r,
'2
lJ
or,
0'2
' ё
E
Ld
о)
,f
or
Рис. 5.30
тивления ветвей, по которым проходит эта линия. э. д. с. этих
ветвей остаются ,неизменными, а токи источников делят пополам.
Если линия симметрии разделяет симметричные контуры, то
Бсе точки; находящиеся на этой линии, имеют одинаковые потен
циалы и MorYT быть соединены непосредственно. Такую линию
называют иноrда нейтралью схемы (линией paBHoro потенциала).
Например, схема на рис. 5.31, а является симметричной.
В данном случае линия симметрии (нейтраль) делит все попереч
ные ветви пополам. При этом в каждой из симметричных частей
14fi
схемы напряжение на зажимах поперечной ветви получаюr paB
ным половине от действительноrо значения (рис. 5.31, б). Чтобы
получить действите.тrьные значения напряжений, необходимо все
сопротивления и э. д. с. увеличить в два раза (рис. 5.31, в).
..
'1
'i V'2 lj
.
w 'IJ..
, О} 2
2r, 2СР. 2Т] 2сд 2r. J 2'Р.
1 2 J
' ПlJ
.0)
'6
r, iP, '2 lj 'ps
f11l 1
oj
Рис. 5.31
На рис. 5.32, а показана мостовая схема с симметричными
связями. Для этой схемы справедливы узловые уравнения
l gll g1 gz gз )l CP1 1l J 1
g1 gzz g4 g2 СР2 О
g2 g4 gзз g1 СРз О'
gз g2 g1 g44 СР4 ]
rде
fu + + h + +
Неопределенная матрица узловых ПРОВОДИl\юстей данной схемы
симметрична относительно обеих диаrоналей.
Если в векторе узловых потенциалов заменить СР1 на СР4'
СР4 на СР1, СР2 на СРз и СРз на CPz, то уравнения схемы не
изменяются. Это означает, что Б этой схеме СР1 СР4, СР2 ==" СРз
и, следовательно, J 1 1;, 1 z I . С учетом записанных соотно-
,шений получаются узловые уравнения: .
[ gll + gз gl + gZ ][ CP1 ] == [ J ]
gl +gz g22+g4 cpz О
или
rg1+gz+ 2 gз ' g1+gZ ][ СРl ] r J ]
l gl +g2 g1 +gz+2g 4 cpz == lo .
147
, Если от найденной определенно:!i матрицы узловых проводи
мостей
G(Y) == [ gl + gz + 2g з " Й1 + gz ]
gl+gz gi+gz+ 2 g4
перейти к неопределенной матрице
[ gl +gz+2gз (gl gz)
Gl Y ) == (gl gz) gl + gz + 2g4
(2g z + 2g з ) (2g z + 2g 4 )
(2g z + 2g з ) ]
(2g z + 2g 4 ) ,
4gz + 2g з + 2g 4
то леrко построить эквивалентную схему, изображенную на
рис. 5.32, б. Проводимость ветвей, соединяющих любую пару узлов
f.iI
' r,
J
Is!
r,
'1
J
r,
о)
f 2"
о
О)
о
J
""2'2 '4
.. J I 4'r
'2 '2
О)
Рис. 5.32
схемы на рис. 5.32, б, равна слаrаемым соответствующеrо вне-
диаrональноrо элемента матрицы G ), взятоrо с противополож-
'ным знаком. Из эквивалентной схемы леrко определить потен-
циалы узлов 1 и 2, которые равны потенциалам узлов 1 и 2
исходной схемы.
Если все сопротивления схемы на рис. 5.32, б увеличить
в два раза, то напряжения на зажимах всех ветвей удвоятся
(рис. 5.32, в). Токи в сопротивлениях 2rl' rз и r4 схемы на
рис. 5.32, в равны соответствующим токам исходной схемы.
Для симметричной мостовой схемы можно построить и дру-
rие эквивалентные схемы.
РАЗДЕЛ ТРЕтиR
СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ r АРМОНИЧЕСКИХ э. д. С. И ТОКОВ
rпABAB
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОUЕССОВ
В ПРОСТЕRших UЕПЯХ
6.1. Синусоидальные (rармонические) напряжения и токи
Пер е м е н н ы м т о к о м i (t) называют ток, изменяющийся
во времени.
Л е р и о Д и ч е с к и м т о к о м называют ток i == i (t), для кото-
а
poro справедливо равенство
i (t) == i (t+T),
rде Т постоянный промежуток времени (период) переменноrо
тока.
Простейшей периодической функцией является rармоническая
или синусоидальная функция. .
r а р м о н и ч е с к и м (с и н у с о и Д а л ь н ы м) т о к о м назы-
вают ток, MrHoBeHf!0e значение Koтoporo i (t) определяется равен-
ством
i (t) ==/т sin с; t+'ФI) ,
(6.1 )
rде 1тп максима ьное значение, или а м п л и т у Д а, тока. Apry
. 2n
мент синуса т t + 'ФI называют фаз о й; величину 'ФI, равную
фазе при ,t == О, называют начальной, фазоi]. Фаза измеряется
в радианах (рад) или rрадусах (О). За промежуток времени t ==
== т фаза увеличивается на 2л (рад) или 3600.
Величину, обратную периоду, называют частотой f== I/Т.
Частота f измеряется в rерцах ([ц). В СССР и странах Европы
принята стандартная частота переменноrо тока 50 [ц, которой
,соответствует период Т == 0,02 с. В радиотехнике применяют rap-
монические колебания с частотами до 3.1010 [ц.
Если ()) == 2л/Т == 2:rtf, то rармонический ток -
i == 1т sin «())t + 'Фi)' .
Величину ()) называют у r л о в о й (к р у r о в о й) ч а с т о т о й.
Уrловая частота измеряется в радианах в секунду (рад/с); Если
f == 50 rц, то ()) == 2л. 50 == 314 рад/с. .
,',
149
Из равенства (6.1) видно, что для определения rзрм-онически
и меняющейся функции необходимо знать три величины: амплu
туду, частоту (период) и Ha
чальную ,фазу.
На рис. 6,1 приведены
rрафики двух rармонических
токов одинаковой частоты,
но с различными амплиту-
дами и начальными фазами:
' 1 == 1 т. .sin (wt + $1); .
' 2 == 1 т sin (rot +'Ф2),
Начальная фаза отсчиты
вается от момента, соответ-
ствующеrо началу синусоиды
(Т. е. нулевому значению при
переходе от отрицательных к
положительным значениям),
до момента t == о. При $1> О
начало синусоиды сдвинуто
влево, а при 'Ф2 < О впра-
во от начала Координат. Если у rармонических функций
одинаковой частоты начальные фазы одинаковы (различны), то
rоворят, что функции совпадают (не совпадают, сдвинуты) по
фазе. Сдвиr фаз двух rармонических функций измеряется раз-
ностью фаз, равной разности начальных фаз. Если сдвиr
фаз rармонических функций равен
+ л ( + л/2), то rоворят, что функ-
ци и противоположны по фазе (нахо-
дятся в квадратуре).
l армонически изменяющуюся ве-
личину можно предстщшть с помо
щью вектора на комплексной пло-
скости. Так, току i == /msiП(<оt+'Фд
можно поставить в соответствие век-
то.р на комплексной плоскости, длина
Koтoporo равна / m и который обра-
зует с действительной осью уrол .'Ф,
(рис. 6.2). Этот веКТ9Р обозначен 1т'
Проекция вектора 1т на ось мни-
мых величин равна i (О) == 1т sin ' i'
Если этот вектор вращается против
направления движения часовой стрел-
ки С уrловой скоростью ffi, то для любоrо момента времени t
. проекция вектора на ось МНимых величин равна MrHoBeHH0I\!y
значению тока i (t) == 1т sin (ffii + 'Фi). Можно считать вектор 1т
неподвижным, а оси мнимых и вещественных величин (оси ко-
ординат) вращающимися по направлению движения часовой,
стрелки.
i
' 1
Рис. 6.1
.
шо
t
ы!
+j = {т
+
Рис. 6.2
Совокупность нескальких векторов на комплекснай плоскости,
соответствующих rармонически изменяющимся с одинаковой ча
статай параметр-ам режима электрической цепи, называют в е K
т О. Р Н О й д и ar р а м м о й.
6.2. Поиятие О rOHepaTopax rа,моническoii э. д. о.
[енераторы raPMOI-Iической э. д. с. (rармоническоrо напряже
ния), применяемые в электроэнерrетике. состаят из неподвижной
части статора и подвижной, вращающеЙСR. части ротора.
На рис. 6.3 схематически изо
бражен такой rеиератор. На
роторе обыч о располаrают
электромarииты, полюсные Ha
конечни и которых выпалняют
ся из электротехнической ста-
ли. Обмотка электромаrнитов
соединена с кольцами с ПОМО
щыo щеток к кольцам падводит-
ся напряжение от источника
постаянной э. д. с. Мarнитную
цепь статора также выполняют ИС. 6.3
из электротехнической стали. В
пазах tTaTopa находятся проводники статорной обмотки. соеди
ненные между собой последовательно. Соединения проводников
на переднем и заднем торцах статора показаны на рис. 6.3 со-
ответственна сплошными и штриховыми линиями.
При вращении ротора В каждом проводнике статорной обмотки
индуцируется э. д. с.
e==Blv,
rде В радиальная составляющая индукции маrнитноrо поля,
движущеrося относительно ПрОВодника обмотки CTaтopa 1 актив
ная ДЛИНа ПрОБодника, в котором индуцируется э. д. С.; V CKO
рость перемещения маrнитноrо поля относительна проводника
обмотки статара.
При условии. что 1 и v постоянные величины, закон изме
нения э. д. с. е определяется заканом изменения В. ДЛЯ оолу
чения rармонической э. д. с. радиальная составляющая индукции
должна изменяться по rармоническому закону. Если воздушный
зазор между статором и полюсными наконечниками ротора сде-
лать переменным (увеличивающимся от середины полюсных Haкo
нечников к их краям), придавая полюсным наконечникам соот-
ветствующую фо,рму, то можно. получить закон распределения
радиальной саставляющей маrнитной индукции па окружности
статора, достаточно близкий к rармоническому.
3а один оборот ротора, имеющеrо р пар палюсов, происхо
Дит р полных циклов изменения э. д. с. Если рото}) вращается
151
СО скоростью п оборотов в минуту, то частота индуцированной
э. д. с. f >== рn/60. Для получения частоты 50 [ц роторы reHepa .
торов с одной парой полюсов должны вращаться со скоростью
n == 3000 об/мин, с двумя парами полюсов n == 1500 об/мин.
ЧтОбы обеспечить необходимую механическую прочност!>, при
таких больших скоростях вращения роторы выполняют без высту-
пающих полюсов. Роторы мощных reHepaTopoB приводятся во вра-
щени с помощью турбин. Механическая энерrия турбины в re
нераторе преобразуется в электрическую энерrию.
ДЛя получения э. д. с., изменяющихся с частотой 800 +
+ 10{)00 [ц, применяют машинные reHepaTopbI специальных
конструкций или электронные rенераторы. Переменные напряже
ния более высоких частот, которые находят применение в радио
технике и технике связи, получают,
как правило, от электронных лампо-
вых или транзисторных reHepaTopoB.
Электронный reHepaTop содержит
усилительный элемент (лампу или тран-
зистор), колебательный Komyp, YCT
ройство обратной связи и источник по
Са стоянноrо напряжения. Как было по-
казано в rл. 3, в контуре, состоящем
из индуктивной катушки и KOHдeHca
тора, при разряде конденсатора возни-
кают затухающие колебания (при усло
вии, чтЬ сопротивление r, характе-
ризующее потери энерrии в контуре,
достаточно мало)." Если к контуру не-
риодически подводить энерrию от вспо
моrательноrо источника, компенсирующуЮ потери энерrии в соп-
ротивлении r, то можно получить незатухающие rармоничеСlше
колебания.
На рис. 6.4 показана упрощенная схема ламповоrо rehepa-.
тора. В контуре LaC8' включенном в анодную цепь лампы, воз-
никают rармонические колебания. Потери энерrии в контуре
(сопрarивление потерь r не показано) восполняются за счет
. источника питания анодной цепи r!f 8' Чтобы периодичность по-
. ступления энерrии в контур была соrласована с колебаниями
в контуре, анодный ток лампы i8 управляется сеточным напря-
жением и с , которое, в свою очередь, пропорционально напряже-
нию на контуре Иа' Пропорциональность напряжений И и И с
достиrается тем, что катущки Lc и La, включенные в сеточную
и анодную цепи лампы, имеют связь за счет общеrо маrнитноrо
потока, т. е. за счет взаимной индуктивности (аналоrично катуш
кам совершенноrо трансформатора, paccMoTpeHHOrO"B rл. 1). Таки
образом, взаимная индуктивность М обеспечивает обратную связь
между анодной и сеточной цепями лампы и необходимую перио-
дичность поступления энерrии в контур от источника постоянноro
напряжения.
. i!I
la
Рис. 6;4 .
152
Если к электронному reHepaTopy присоединяется наrрузка,
то энерrия, отбираемая в наrрузку, также восполняется за счет
энерrии источника rff B . В электронном reHepaTope энерrия источ
ника постоянноrо напряжения. преобразуется в энерrию rapMo
нических колебаний. Частота .таких колебаний определяется
параметрами L B и Св контура *.
6.3. rармонические токи в сопротивлении r,
индуктивности L и емкости С
fармонический ток в сопротивлении. Если к источнйку rapMo
нической Э. д. с. е== rffтsin (rot+'Ф) присоединить сопротивление r
(рис. 6.5, а), то ток в этом сопротивлении (после замыкания
i r Pr
U r rV r
lr
U r
р,.
r
0.)
+j
(}) +
О)
'-
Рис. 6.5
ключа) можно определить по закону Ома: i r == u,/r.
напряжение на зажимах сопротивления равно э. д. с.
U r == U т sin (rot + 'Фи) == е,
rде U т == rff т' 'фи == 'Ф,
ток
Так как
i r == 1т sin ,( rot +'М == и т sin (rot + 'Фи)'
, r
Амплитуда тока
1т == Vт/r,
(6.2)
(6.3)
начальная фаза
'фi == 'фи == 'Ф
и Сдвиr фаз между напряжением U r И током i r
fj) == 'Фи 'Фi == О.
(6.4)
* Более Ilодробно работа электронноrо re paTopa paCCMoтpl\Ha в rJi. 24.
153
Равенство (6.2) показывает, что амплитудные значения напря-
жения на сопротивлении и тока в нем связаны законом Ома.
Из равенств (6.3) и (6.4) видно, что напряжение и , И ток i r
совиадают по фазе.
Мrновенная мощность, поступающая в сопротивление,
Рr==u,.i r ==U т l т siп 2 (rot+'Ф) == И т : т [1 соs2(rot+'Ф)] (6.5)
состоит из двух слаrаемых: постоянной составляющеи U тl т/2 и
rармонической составляющей двойной уrловой частоты 2ro. Так
как MrHoBeHHbIe ::шачения и , й i r совпадают по фазе, мrновенная
мощность Р, Бсеrда положительна.
Среднее значение мощности Р, за период называют а к т и В-
н о й м о Щ н о с т ь ю:
w
т
р == Р, dt.
о
(6.6)
Активную мощность можно выразить в виде
· р == Р, dt == ri dt == r ( f i dt ) .
о е о
Среднеквадратичное значение тока
lr== V {i .dt
о
назывют действ ующи м з н а чен и ем тока.
С учетом равенства (6.7) активная мощность
Р==rП
(6.7)
(6.8)
и, следовательно, действующее значение переменноrо тока равно
значению постоянноrо тока, при котором в сопротивлении r BЫ
.деляется такое же Iюличество тепла за период Т, как и при
данном переменном токе:
т
r/ T == r Ц. dt.
о
Активную мш:цность можно также записать следующим обра-
зом:
р p,dJ (i U dJ).
Среднеквадратичное значение напряжения
U r == V u dt
о
.
(6.9)
154
называют дей,ствующим значением напряжения.
Так как
т
И;Т == \ и dt, .
g , g J
о
действующее значение переменноrо напряжения равно значению
постоянноrо напряжения, при котором в проводимости g выде-
ляется такое же количество тепла за время, paBHO€ периоду Т,
как и при данном переменном напряжении.
Определения активной мощности (6.б), действующих значений
тока (6.7) и напряжения (6.9) справедливы для пеРИОДИЧЕСКИХ
напряжений и токов любой формы. Кроме TOf'O, определение (6.6)
приrодно для любою двухполюсною элемента, а (6.7) и (6.9)
используют соответственно для нахождения напряжения между
любой парой узлов и тока любой ветви произвольной цепи
с источниками переменных периодических напряжений и токов.
Таким образом, в общем случае активная мощность двухполlOC
Horo элемента
т
р == р dt,
о
(6.10)
действующее значеНIJ тока
1== V i 2 dt,
О
действующее значение напряжения
U == V и 2 dt.
о
Аналоrично определению действующих значений тока и напря-
жения находят действующие значения периодических величин:
э. д. с., заряда, маrнитноrо потока и т. д.
Если ток и напряжение изменяются по rармоническому
закону, то их действующие значения соответственно:
(6.11)
(6.12)
J == ... f !.. r I sin 2 (rot + '1\11) dt == ;
v rJ У2
о
и==-у U Siп2<(Оt+'Фll)dt== i .
о
Таким образом, амплитудные значения rармонических токов
и напряжений связаны с действующими значениями соотноше-
ниями Iт== V2 1; и m == V2 и.
155
Для рассматриваемой цепи с сопротивлением "r (рис. 6.5, а)
активная мощность
т
Р 1 L d " t и т/ m [ 2 1 и 2
== Т J Р, == , r ! == g "
О
потребляемая энерrия
t t
W r == Р, dt == rЛ Нl cos2 (rot+'Pl)] dt =='
о о
== p[t + 2 sin 21jJi 2 sin (2rot + 'Фi)].
На рис. 6.5, б изображены rрафики величин ип i r , Р, и Wr>
на рис. 6.5Iii/6 построена векторная диаrрамма рассматриваемой
цепи векторы (; r == (; m/V2 и j r == [ m/V2", соответствующие rap-
i L
J
L
i L . PL
U L
а)
L
i L +
б)
D)
Рис. 6.6
моническим функциям и , И i r *. Аналоrично можно проанализи-
ровать режим в цепи с сопротивлением и источником rармони-
ческоrо тока.
rармонический ТОК в индуктивности. Пусть индуктивность L
в момент времени t == О присоединяется к источнику rармониче-
cKoro тока J == J m sin (rot + '1\1) (рис. 6.6, а), причем начальная фаза
тока источника '1\1 == О. При разомкнутом ключе ток в индуктив-
ности равен току источника:
i L == 1т sin (rot+Фl),
rде 1т === J m , 'Рi=='ф; в момент включения iL(O)==lmsin'Pl==O.
. * Как правило, на векторных диаrр?мма изображаются не векторы О т
И 1т. а пропорциональные им векторы и и i; при этом для получения MrHo-
венных Значений и и i проекции векторов на мнимую o ь. умножаются иа 'V2.
156
Поскольку напряжение UL и ток i1. связаны соотношением
UL==Ldiddt (см. rл. 1), напряжение
и;. == и т sin «(i)t+Фи) , (i)L1msin ((i)t+Фl+ ).
АlV!плитуда напряжения
Um==XL/m,
(6.13)
rде XL == (i)L величина, называемая 'и н Д у к т и в н ы м с о П'р о
t и в л е н и е м и имеющая размерность сЬпротивленйя. Началь-
ная фаза наПРЯJкения
'Ри==Фl+ .
(6.14)
СДБиr фаз
:n;
fj) == Фи Фl == 2.
(6.15)
Равенство (6.13) показывает, что амплитуды напряжения и
тока связаны соотношением, аналоr чным закону Ома. Из равенств
(6.14) и (6.15) видно, что напряжение UL опережает по фазе
ток i L на уrол ер == лj2 (или, наоборот, ток i L отстает по фазе'
от напряжения UL на уrол fj) == Лj2). .
Мrновенная мощность
PL . uLi L == U т/ m sin ((i)t + ) sin (i)t == [/ L sin 2(i)t == (i)L1t sin 2(i)t,
rде U[':==U m /V2, IL==ImrV2, изменяется по rармоническому за
кону с двойной частотой 2ш. Активная Мощность Р равна нулю.
Энерrия, связанная с маrнитным полем индуктивности,
. С ULI L L/t Lit
W L == PL dt == 2(;) (1 cos 2(i)t) == Т (1 cos 2(i)t) == т.
о
Энерrия W L имеет пульсирующий характер и через каждую
половину периода основной частоты (i) уменьшается до нуля.
Это значит, что в цепи происходит обмен энерrии между источ
Ником и индуктивностью: в течение каждоrо полупериода основ-
Ной частоты энерrия, запасенная в маrнитном поле, связанном
с индуктивностью, возвращается источнику.
. Произведение действyIОЩИХ значений напряжения и тока
QL == ULI L
имеет размерность мощности и называется р е а к т и в н о й м о Щ
н о с т ь ю индуктивности. Реактивная мощность измеряется
в вольт амперах реактивных (вар). Нетрудно убедиться, что QL
раВНа умноженному на 2ш среднему значению энерrии, связан
ной с маrнитным полем индуктивности, или максимальному зна-
чению мrновенной мощности PL.
157
На рис. 6.6, б приведены rрафики величин UL, i L . PL И W L,
на рис. 6.6, в построена векторная диаrрамма рассматриваемой
х. 6. цепи. На рис. 6.7 изображены зависи-
L' L мости индуктивноrо сопротивления XL
и ero обратной величины b L == I/XL,
называемой и н Д у к т и в н о й про в о -
Д и м о с т ь ю, от частоты. Индуктивное
сопротивление пропорционально, а ин-
дуктивная проводимость обратно про-
порциональна частоте ю.
rармонический ток в емкости. Пусть
(.V емкость С в момент времени t == О при
Рис. 6.7 соединяется к источнику rармониче-
ско'й э. д. с. е==6"тsiп(юt+'Ф) (рис.
6.8, а), прtiчем начальная фаза э. Д." с. 'Ф == О. При замкнутом
ключе напряжение на емкости
ис == И т sin (юt + Фи),
rде И т == 6" т' 'Фи == 'Ф;
[с
lic
I cиt
I
I
I
I
rz)
_"
L . j
Ic
й С
6) +
о)
Рис. 6.8
в момент включения
C (О) == И т sin 'фи == О.
Поскольку ток ic и напряжение ис связаны соотношением
. du c '
(с , C(ft (см. rл. 1), ТOI{
ic === 1т sin (rot + Фд == юеи т siп (юt + Ф-u + ).
Амплитуда ТOIШ
/т==ЬСИт, (6.16)
rде Ь с == юС величина, имеющая размерность проводимости и
называемая ем к ос т н о й про в,оди МО стью. Начальная фаза
158
тока
'iJJi == 'фа + (л/2).
(6:17)
(6.18)
сдвиr фаз
fj) == 'Фи 'Фi == :rtj2.
Равенство (6.16) показывает, что амплитуды тока и напряже
ния связаны соотношением, аналоrичным закону Ома. Из равенств
(6.17) и (6.18) очевидно, что ток ie опережает напряжение ие
по фазе на уrол fj) == л/2 (или, наоборот, напряжение ие отстает
от тока ie на уrол fj) == :rtj2).
Мrновенна.я мощность
Ре == Ueie . U тI m sin (J)t sin ( (J)t + ) ==
== U CI е sin 2(J)t == roCUt sin 2(J)t,
rде
и е == U m /V2; Ie==Im/V2,
изменяется по rармоническому закону с двойной частотой 2ш.
Активная мощность Р за период равна нулю.
Энерrия, связанная с электрическим полем емкости,
С Ue1e CU't; Cu't;
W e == J Ре dt==2ffi"" (1 cos 2(J)t) == (1 cos 2(J)t) ==2.
о
Как и в цепи с индуктивностью, в цепи с емкостью происхо
дит обмен энерrии Mezкдy источником и емкостью.
Произведение действующих ЗЩl.чений напряжения и тока
Qe==Ue1e
опреде.iIяет реактивную мощность емкости Q == Qe. Величина Qe
равна умноженному на 2ш среднему значению энерrии, связан-
ной с электрическим полем емкости,
х,.ьс
или максимальному значению MrHo
венной мощности Ре.
На рис. 6.8, б изображены rpa
фики величин ие, i e , Ре и W е, на
рис. 6.8, в построена векторная диа
rpaMMa рассматриваемой цеп}!. На
рис. 6.9 приведены зависимости eM
костной проводимости Ь е и ее обрат- w
ной велцчины Хе == I/Ь е , называемой I Рис. 6.9
ем Костны м с О п р от и вл е н и ем.
Емкостная проводимость пропорциональна, а емкостное сопротив
ление обратно пропорционально частоте ш. .
Следует отметить, что цепи на рис. 6.6, а и 6.8, а являются
дуальными. BpeMeHHble зависимости дуальных величин i L и ие,
а также UL и ie идентичны. Индуктивному сопротивлению XL ==
""'= (J)L (индуктивной проводимости ЬС== lf(J)L) COOTBeTCT yeT дуаль
159
ная величина емкостная проводимость Ь с == шС (емкостное сопро-
тивление ХС == lj(J)C). Частотные' характеристики дуальных вели-
чин XL И Ь с , а также ЬLи ХС одинаковы.
, 6.4. Цепь с сспротивлением r И индуктивностью L
Последовательная
нику rармонической
, l
;,
цепь. Пусть' rL-цепь подключается к источ-
Э. д. с. е == 6"01 sin «(J)t + 'Ф) (рис. 6.10). Для
этой цепи справедливо дифференциаль-
ное уравнение
L di + .
dt п == е
t
е
!и !
' Ur
или
't" + i == т sin «(J)t +'Ф),
(6.19)
rде 't"==Llr.
Уравнение (6.19) отличается ar урав-
Рис. 6.10 нения. (3.1) только правой частью. Ре-
. шение этоrо уравнения, так. же как .и
уравнения (З.l) может быть записано в виде суммы свобод-чой
и принужденнои составляющих: i == i CB + i пр '
Так кш{ i CB представляет собой общее решение однородноro
уравнеция, т. е. уравнения (3.2), то i CB ==Ae tl\ как и при под-
ключении rL-цеци к источнику постоянной Э. д. с.
Принужденная сос;тавляюrцая тока i пр является частным ре-
шением уравнения
di пр . r!J' т .
't"di +Zпр == r slП «(J)t+'Ф).
(6.20)
При rармоническом возмущающем воздействии частное реше-
ние следует искать в виде rармонической функции
iпр==lтsiП«(J)t+Фt). (6.21)
Подставляя выражение (6.21) в уравнение (6.20), можно по-
лучить соarношение для определения неизв'естной амплитуды 101
и начальной фазы 'Фt принужденной составляющей:
u.пl т COS «(J)t+'1M+l т sin «(J)t+Фд == (ig',т sin «(J)t+'Ф)
или
1 т [(J)L cos «(J)t +'фt) + r sin «(J)t + 'фi)] == 6" т sin «(J)t + 1jJ).
Сумму rармонических функций (J)L cos «(J)t +'I\1t) и rsin «(J)t +'I\1i),
сдвинутых по фазе на четверть периода, можно заменить одной
rармонической функцией:
(J)L cos «(J)t + 'Фi) + rsin«(J)t + 'Фt) == z sin «(J)t + Фt + <р),
rде
V roL
z == «(J)L)2 + r 2 ; <р == arctg r.
160
Таким образом,
z/ т sin ( ! + 'фi + qJ) == 6" т sin (U)i + 'ф),
откуда / т == 6" m/ Z , 'Фl == 'Ф -:-- qJ.
ВыражеЩlе для тока t имеет вид
i == Ae Ц" + / т sin(U)i +'фi)'
(6.22)
Постоянная интеrрирования определяется из условия
т. е.
i(O)==A +/тsiп'ФI==О'
А == / т sin 'Фi == (6" m/z) sin ('Iji qJ).
Окончательно выражение для тока можцо записать следующим
образом:
i == (6" m/Z) sin ('Ф qJ) e t/'t + (6" m/z) sin (ro! +'Ф qJ). (6.23)
Первое слarаемое равенства (6.23) определяет экспоненциаль-
ную свободнуrO составляющую, затухающую с течением времени,
а второе --'-'- rармоническую i
прцнужденную составляю- .. пр
щую. На рис. 6.11 показаны l=lпp l c8
rрафики функций i CB ' i пр , i
для случая О <'Ф qJ <,
<:n/2.
. Следует отметить, что ве-
личины ординат свободной
составляющей зависят от на-
чальной фазы э. д. с. 'Ф. Ес-
ли 'Ф== qJ == arctg (U)Ljr) , то
i CB == О, т. е. в цепи сразу устанавливается принужденный режим.
Есл и 'Ф == qJ +- (:n/2), то начальное значение свободной составляю-
щей по величине равно амплитуде пр Инужденной составляющей. В
этом случае в цепи с большой постоянной времени максимальное
значение тока переходноro процесса мткет достиrнуть значения,
близкоrо 2/ т'
Зная выражение для тока (6.23), можно получить выражения
для напряжений:
t _
Рис. 6.11
U r == ri == 6" т [ sin (Ф. qJ) e Ц.. + sin (ю! +'Ф + qJ)]; (6.24)
uL==L : == т [rSiП('Ф7qJ)е t/:+U)LsiП(U)i+'Ф qJ+ )]. (6.25)
Сумма напряжений U r И ur равна э. д. с. е. По истечении
времени t> (4 + 5) 1: после замыкания ключа в цепи практически
наступает принужденный (установившийся) режим. Этот режим'
необходимо рассмотреть более подробно. - При установившемся
6 п/р. Ионкина! Т. 1
161
режиме
1 == f8'm s iп(rot+'Ф <р);
z
и , == f8'm siп (wt+'Ф q:»;
z
X L ( . :rt )
UL==7f8'm sin <t>t+'Ф q:>+2 .
Ток установившеrося режима отстает по фазе от напряжения
u == е на уrол <р. Напряжение на сопротивлении , совпадает по
фазе с током, а напряжение на индуктивности опережает ток на
уrол 'Л/2. На рис. 6.12 построены кривые i, а" UL, и==е уста-
НОВИБшеrося режима, а на
рис. 6.13 дана векторная
диаrрамма для рассматривае
u l
U L 'U r
U
Рис. 6.12
+j
J
+
Рис. 6.13
мой цепи. Вектор (; == Ё равен сумме векторов (;, И (;L, так aK
U == а , + UL. ИЗ векторной диаrраммы леrко установить соотно-
шения между действующими значениями напряжений: и , == U cos <р,
U L == U sinq:>. .
Сдвиr фаз q:> == 'Фа 'Фi == 'Ф 'Фi между током i и напряжением
U == е зависит от соотношения между активным сопротивлением r
и индуктивным сопротивлением XL:
x L :rt
O q:>==arctgr 2.
Величину z == у,2 + х'[ называют п о л н ы м с о про т _и в л е-
н и е м рассматриваемой цепи. С помощью сопротивления z связь
между амплитудами напряжения и т == rff m и тока 1т установив-
шеrося режима выражается аналоrично закону Ома: 1т == Um/z. ,
, x L
Так как' q:>==arctg , ,==ZCOSq:>, xL==zsinq:>.
r
При установившемся режиме активная мощность
т т
р == ; ui dt == ; итl msin(U)t +'Ф) sin(U)t +'Ф <р) dt ==
о о
, и 1
== m cos q:> == U I cos q:> .
162
Реактив'ная мощность
Q==U/sinrp,
полнаЯ мощность
s == v р2 + Q2 == иТ.
Мощность. рассеиваемая в сопротивлении r,
Р r == U ,/ == r /2 == U / COS ([! == Р,
_ т. - е. вся активная мощность, потребляемая цепью, рассеивается
в сопротивлении. Реактивная мощность индуктивности
QL == U L / == XL/ 2 == и/ sinqy ==Q.
Параллельная цепь. Если к источнику rармоническоrо тока
J (t) == J т sin «(j)t + 'Ф) подключается сопротивление r и индуктив-
ность L (рис. 6.14), то при разомкнутом ключе справедливо урав-
нение .
ir+i L == + udt==/тsiп( t+'Ф).
Дифф ренцируя это уравнение по времени. получаем
't" +u==xLJmsin((j)t+'I' + ). (6.26)
Уравнение (6.26) аналоrично уравнению (6.19), поэтому для
напряжения и. можно сразу записать выражение, аналоrичное
(6.22):
u == Ae tl't+ Uтsin (rot+'Фu). (6.27)
rXL n
rде U т == Z J т ; 'iJ1u == 'Ф + 2 6 (6 == arctg xLlr). Если сопротивле-
ния r и XL заменить их обратными величинами g и b L , то
и т == Jm/y; 'Фи =='I'+<p,
rде Y==Vg 2 +bi; Ip== 6==arctgbL/g.
Так как в момент размыкания ключа iL(O)===O, напряжение
u (О) == rJ (О) + rJ msin'l'.
Следовательно, постоянная интеrрирования А определяется И3
условия
u (О) ===А + Uтsiп'Фи== rJтsiп'Ф,
откуда А == r J т sin '1' U т sin 'Ри' Окончательное выражение для
напряжения имеет вид
u == [J; siп1jJ J; siП('Ф+:)]е tt't + J; siп «(j)t +'1' + <р). (6.28\
Экспоненциальная составляющая в правой части {6.28) пред:'
ставляет собой свободное напряжение и с8 , а rармоническая при-
6*
163
нужденное напряжение И nр ' На рис. 6.15 показаны rрафики
функций И СВ ; И nр ' U для случая 'Ф == О, 0< <р,< 'Л/2.
Ток в сопротивлении
ir==gU==[JmSiп'Ф ; Jmsiп('Ф+ q:»Je t{"j; + Jтsiп(wt+'Ф+ r.p),
(6.29)
ток в индуктивности
ip== 1 Udt==[ JтsiП('Ф+q:» JmSiП'Ф]е t/"j;+
+ Ь: Siп(rot+'Ф+q:> ; ). (6.30)
При определении тока i L постоящraя интеrрирования принята
равной нул , так как в данном случае ток i L не может coдep
жать постоянной составляющем. .выражение (6.30) удовлетворяет
условию iL(O)==O и ir+i L == и.
==J (t). Ток i L может быть най-
ден и как разность J (t) i r .
При установившемся режиме
токи Ё" i L И напряжение U не
.
i
---------t>
J{t)
- I
и.
l l iL
r 1L.
t
Рис. 6.14
содержат свободных составляющих. Для TaKoro режима справед-
ЛI!ВЫ выражения:
U == J m sin (wt +'Ф+ <р);
у
i r ==К Jmsiп(wt+'Ф+Ф);
у
. b L . ( :rt )
tL -=='у JmslП wt+'Ф + q:> 2 .
(6.31)
(6.32)
(6.33)
Напряжение при установившемся режиме u опережает ток
в неразветвленной цепи i == J (t) на уrол q:> == 'Фи 'Фi == 'Фи 'Ф,
который зависит От соотношения между активной (g) и индук-
тивной (b L ) ПРОВОдимостями: -
О q:> == arctg bl/ g 'Л/2.
Ток [ , .совпадает по фазе с напряжением И, а ток iL отстает
от напряжения u на уrол щ2. На рис. 6.16 приведены зави-
164
симости и. i r . i L , i == J от времени в принужденном режиме, а на
рис. 6.17. по азана векторная диаrраl\;tма р. ссматриваемой цепи.
Вектор 1 == J равен сумме векторов 1 r и 1 L. так как i == i r + i L.
ИЗ векторной диаrраммы леrко установить соотношения между
действуrOЩИМИ значениями то-
КОВ: 1 t == 1 cos qy; 1 L == 1 sin ([! .
Величину У == V g2+bi на-
зывают п"о л н о й про в о Д и -
м о с т ь ю рассматриваемой це-
пи. С помощью проводимости У
i L
lr
Рис, 6.16
+j
t
+'
Рис. 6.17
связь между амплитудами напряжения U т И тока 1т == J т вЫражает-
ся аналоrично закону Ома: ит==/m/У. Так как <v==arctg!1..; g ==
. g
== У cos qy; Ь L == уslП ([!.
При установившемся режиме ?ктивная мощность, потребляе-
мая цепью:
т т
р == ui dl == U m l m siп(ыl+'J1}siп(ыl+-m+<v) dt ==
о о
и 1
== т cos ([! == U 1 cos <v ;
реактивная мощность
полная мощность
Q === ИI siп([!;
S==UI.
Мощность, рассеиваемая В СОпротивлении,
р r === U 1 r == gU2 == U 1 cos ([! == Р.
реактивная мощность индуктивности
QL==UI L ==b L U2 ' UIsinqy==Q.
6.5. Цепи с сопротивлением r и емкостью С
Последовательная цепь. На рис. 6.18 изображена последова-
тельная rС цепь, подключаемая к источнику Э. д. с. Эта цепь
дуальна цепи на рис. 6.14, поэтому Выражения для тока i. на-
165
"
Iiряжений и" ис получаются соответственно из выражений
(6.28) (6.30), если величины J т, g, L заменить дуальными вели-
чинами ,gт, r, С. При этом индуктивная проводимость b L == 1/(fJL
заменяется ем костны м сопротивлением хс == l/ыС, п олная про ВО-
димость У == 11 g2 + b'i сопротивлением z == V r 2 + x , постоянная
времени 1: == Ljr == gL ПОСТОf!ННОй времени 1: == rC. Уrол qy ==
== arctg (bLlg) в выражениях (6.28)-'-------(6.30) должен быть заменен
+j
+
Рис. 6.18
Рис. 6.19
уrлом ЧJ .. arctg(xc/r). Учитывая сказанное, для тока i, напря-
жений U r И ис схемы на рис. 6.18 при переходном режиме спра-
ведлИВЫ выражения *:
i == е :т siП'Ф 6: т siп('Ф ЧJ)] e Ц'!; + 6 m sin «(fJt +'Ф чJ); (6.34)
Ur==[,gmSiП'Ф ,gтsiП('Ф qJ)]е t!'t+ ,gтsiП«(fJt+'Ф qy). (6.35)
ис == [ ,gтsiп('Ф ЧJ) ,gmSiП'Ф] е--:Ц'!; +
+ :с ,gтsiП((fJt+'Ф qJ ;.) . (6.36)
rрафики функций i CB ' i пр , i аналоrичны соответствующим rpa-
фикам на рис. 6.15.
При установившемся режиме выражения (6.34) -+ (6.36) при-
нимают вид:
i == 6'; siП(ffit+'Ф qJ);
U r == ',g т sin (ш' + 'Ф ЧJ);
z
, ис == :с ,gmSiП(ffit+'Ф ЧJ""': ; ).
(6.37)
(6.38)
(6.39)
в данном случае ток i опережает напряжение и==е на уrол
ЧJ. Уroл ЧJ, равный разности начальных фаз напряжения и
To a (ЧJ == 'Фи 'Фi == 'Ф 'Фi), отрицателен и зависит от соотношения
* Выражение Аля а с удовлетворяет начальному условию а с (О) ==0.
166
ме>кДУ сопротивлением r и емкостным сопротивлением Хс:
n ХС
2 q:> == arctg r О.
Напря>кение U r совпадает по фазе с током, а напряжение Ud.
отстает от тока на уrол 'Л/2. Зависимости i, U r , ис, U == е от вре-
мени в установившемся режиме аналоrичны соответственно зави-
симостям и, i r , UL, i, приведенным на рис. 6.16. На. рис. 6.19
построена векторная диаrрам а ра сматриваемой цепи. Вектор
(; == Ё равен сумме векторов U r И U с. Из векторной диаrраммы
видно, что Ur==UcoSq:>, Uc== Usinq:> (q:><0).
Сравнивая векторные диаrр.аммы двух дуальных цепей
(рис. 6.17 и 6.19), необходимо отметить следующее. В rL цепи
ток i отстает по фазе от напряжения U на уrол q:>=='Фи 'Фi>.О.
который на векторной Дl!аrрамме отсчитывается от вектора тока I к
вектору напря>кения U в направлении, противополо>кном Ha
правлению дви>кения чаСОВОй стрелки. В rС цепи ток; опере>кает
напряжение U на уrол <р; уrол q:> == 'Фи 'Фi отрицателен и на
векторной ди rрамме отсчитывается от вектора тока I к вектору
напря>кения U по направлению движения часовой стрелки. Таким
образом, току, отстающему (опережающему) по фазе от напря>ке
ния, соответствует поло>кительный (отрицательный) сдвиr фаз:
<р == 'Фи 'Фi.
. Величину z== Vr 2 +xZ: называют полным сопротивлением цепи.
Амплитуда напря>кения и т == rff m связана с амплитудой тока /т
соотношением, аналоrичным закОНу Ома: Um==Z/m. Так как q:> ==
== arctg xc/r, r == Z cos q:> и Хс == Z sin q:>. При установившемся ре-
жиме активная мощность, потребляемая цепью,
т т
р == ui dt== Uт/тsiп( t+'Ф)siп(rot+ <р)dt
о о
== и т / т cos q:> == и/ cos q:>.
Реактивная мощность
Q==V/sinq:>,
полная мощность
S==U/.
Мощность, рассеиваемая в сопротивлении,
Pr == /U r == ,/ 2 == И/ cos q:> ==Р,
реактивная -мощность в емкости
Qc==/U C ==Xc/ 2 == U/sin<p == Q.
lIараллельная цепь. На рис. 6.20 показана параллельная
rС цепь, подключаемая к источнику тока J (t)==Jтsiп(rot+'Ф).
ЭТа цепь дуальна последовательной rL цепи (рис. 6.1 О), поэтому
выражения ДJ1Я напряжения и, токов i r и ic (рис. 6.20) полу-
167
чаются соответственно из выражений (6.22) + (6.25) путем замены
{fm, r, L на дуальные величины J m , g, С. При этом ИНДУКТивное
сопротивление XL == fiJL заменяют емкос тной п роводимостью Ь С ==
== юС, полно е с.ОП РОТИБление z == V r 2 + xi ПОлной про води-
мостью У == V g2 + Ь};, постоянную времени 't" == L;r постоянной
времени 't"==Cr, уrол. <р== arctg (xLlr) уrлом <р== arctg (ЬсШ).
Таким- образом, для напряжения и, токов i r . ic в переходном
-'" режиме справедливы выражения *:
u == J; sin(1JJ+q:» e tf't + J; sin(fiJl+1JJ+q:»; (6.40)
i r == ; Jmsin( +q:»e tf't+ ;. JmsiП(fiJl+'Ф+ <р); (6.41)
f c == ; Jmsiп('Ф+q:»е tf't + b J т sin(fiJl+1JJ+qJ+ ; ). (6.42)
[рафики функций и св , U пр ' u аналоrичны соответственно rpa-
фикам i сц , i пр , i на рис. 6.11.
l
j
и
ir lc
J(t)
1/
с
+
Рис. 6.20 .
Рис. 6.21
При установившемся режиме выражения (6.40) + (6.42) при-
нимают вид:
u == J m sin (fiJl+'Ф+ <р); (6.43)
у
i r == j{ J т sin(fiJl+1JJ+q:»; (6.44)
у
ic == Ь; J m sin(fiJl+1JJ+q:>+ ; ). (6.45)
В данном случае сдвиr фаз q:> == 'Рu 1JJi == 'Рu 'ф отрицателен
и зависит от соотношения между активной проводимостью g и
емкостной проводимостью Ь С :
Ь С
2 q:>== arctgg 0.
Ток i r совпадает по фазе с напряжением и, а ток ic опере-
жает напряжение u на уrол 'Лj2. ,
* Выражение для и удовлетворяет начальному условию u (О) == о.
168
На рис. 6. 1 п?строена векторная диаrр.амма.рассматриваемой
цеПИ. Вектор [== J равен сумме векторов [r. И [с. Из векторной
диаrраммы видно, ч то [, == [ COS <р, [с == [S1l1 q:> (q:> < О).
... Величину У == V g2 + Ы: называют полной проводимостью цепи
(см. 'рис. 6:20). Амплитуды тока [m==J m и напряжения и т свя
заны соотношением, аналоrичным закону Ома: [т == уи т . Так как
q:>:=; arctg(bc/g), g==ycosq:>, Ьс== уsiПq:>.
При установившемся режиме активная мощность, потребляем я
цепью,
т т
Р :=; ; и; dt == и т [ т siп(rot+'Ф + <р) siп(rot +'Ф) dt ==
о о
и 1
== '2 т cos q:> == U [ cos <р.
Реактивная мощность
Q == и[ sin<p,
полная мощность
s==U[.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении,
Р, == и[, ==g,U2 == и[ cos q:> == Р.
Реактивная мощн6сть в емкости
Qc:=; и[с==Ь с и2== и[ siп<р == Q.
6.6. Цепь с сопротивлением r, индуктивностью L
и емкостью С
Последова'fельная цепь. Для цепи на рис. 6.22, подключае-
мой к источнику Э. д. с. с е == т sin (rot +'Ф), справедливо ypaB
нение, аналоrичное (3.24):
L + ri + i dt == е.
обе части уравнения (6.46) по времени t,
. (6.46)
Дифференцируя
можно получить
L ; + r + ==ro т sin (rot +'Ф+ )
(6.47)
или
d2i di 2: (J) . ( :n: )
""dt2+ 2a dТ+roul:=;y m S1ll rot+'Ф+ 2 '
(6.48) .
rде 2a==r/L; ro ===l/LC.
Решение уравнений (6.47) и (6.48) может быть представлено
как CYMM1J, свободной и принужденной составляющих.i==iсв+i llр '
В зависимости от значений корней характеристическоrо уравне-
ния выражение для свободной составляющей записывают по раз-
. 169
.ному (см. 3.5; 3.8). При rармоническом возмущающем во:щей
ствии принужденную состаВЛЯЮЩУI9 следует искать в виде
rармонической функции (6.21). Подстановка, выражения (6.21)
в (6.47) приводит к соотношению
ro 2 Ll т sin (rot + 'Фд + r(jJI т cos' (ffit +
+'Фl)+ lт sin (rot+'Ф;)==
== (jJr3' т COS «(jJt + 'Ф)
'и"
...........
ЦL
Рис. 6.22
или
I т [х sin «(jJt +'Фi) r cos (rot +'Фl)] ==
==r3'msin (rot+'Ф ),
rде х == (jJL".... 1/(jJС. Заменяя сумму rармонических функций одной
функцией:
xsin «(jJt+'Фi) r cos «(jJt+'Фi) == z sin (rot+'ФI + <р),
rде z == 11 r 2 + х 2 , q:> == arctg (x/r), можно получить равенство для
определения амплитуды 1т и нача ьной фазы q:> тока:
I:z sin (rot+'Фi +q:» == r3'm siп (rot+'Ф ),
откуда 1т == Em/z;. 'Фi == 'Ф <р.
Таким образом,
i пр == 1т sin «(jJt +'Ф <р) == т sin (rot +'Ф arctg ; ). (6.49)
,Пусть Рl И Р2 корни характеристическоrо уравнения (3.26).
Тоrда решение уравнения (6.48) имеет вид
i ==A 1 e P1t +A p.t +I m sin «(jJt+'Ф q:»,
производная тока
di
dt == PI A l eP ,t + P2 A 2 eP . t +rol m cos (rot+'Ф <р).
При нулевых начальных условиях i (О) == О, ис (О) == О для
определения постоянных интеrрирования следует Использовать
равенства
i (О) == i CB (О) + i пр (О) == о;
L It o + ri (О) + ис {О) == е (О)
или
А 1 +А2 + I т sin ('Ф <р) == о; (6.50)
РI А l + Р2 А 2 +rol т cos ('Ф <р) == (r3' т sin 1jJ)/L. (6.51)
Уравнение (6.51) целесообразно преобразовать. Так как Ip ==
== arctg {x/r) иr == z cos ер. х == z sin <р, получаем .
r3'т siп 'Ф==/т Z siп [('Ф q:»+q:>]==lmZ [siп ('Ф q:» cos Ip+
+cos ('Ф q:» sin <р] == lт [r sin ('Ф q:»+xcos ('ф, q:>)].
170
1
Подставляя вместо х разность ffiL ыС ' можно найти
@"т in 'Ф J т [ sin ('Ф qJ) + ffi cos ('Ф qJ) L oo cos ('Ф .qJ)] ==
== J т [2а sin ('Ф qJ) +ю cos ('Ф qJ) cos ('Ф qJ)].
Таким образом, уравнение (6.51) принимает вид
'РI А l +Р2А2 ==J m [2asin ('Ф qJ) : СОБ ('Ф qJ)]. (6.52)
Совместное решение уравнениЙ (6.50) и (6.52) с учетом равен-
ства Рl + Р2 == 2а дает значения постоянных:
Аl== [ РlSiП('Ф qJ)+ oo СОS('Ф qJ) ] ;
Pl P2 00
J [ 002 ]
A2== Р2siП('Ф qJ)+ СОS('Ф qJ) .
Pl P2 00
Общее. выражение для тока i записывается следующим обра-
зом:
(6.53)
(6.54)
i == [ Рl sin ('ф qJ) + oo cos СФ. qJ) ] еР'! +
Pl P2 . 00
+ [ Р2 sin ('Ф qJ) + oo cos ('Ф qJ) ] ep,t +
Pl P2 00_
+ 1 т sin (wt + 'Ф qJ) (6.55а)
или
i== Jm siп('Ф qJ) (Pl eP ,t P2eP,t) Jm ОО СОS(ф qJ) Х
A oo
Х (ep,t ep,t) + 1 т sin (wt +'Ф qJ). (6.55б),
Зная Быражение для тока, нетрудно получить выражения
для напряжений U r == ri; UL == L : ; ис == i dt/C.
Апериодический свободный процесс. Если параметры цепи
таковы, что корни характеристическоrо уравнения отрицательны,
вещественны и различны, то, соrласно выр.ажению (6.55а), сво-
бодная составляющая тока содержит две экспоненциальных функ-
ции, начальные значения которых зависят от начальной фазы 'Ф.
На рис. 6.23 показаны возможные rрафю<и тока i. и ero
:n;
составляющих при 'Ф == qJ+2" и I Рll > I Р21.
в частном случае, коrда Рl == Р2 == а, выражение для тока
определяют как предел ФУНКЦИИ (6.55а) при Р2,---+ Рl (см. 3.5):
i == J т {sin ('Ф qJ) + [: cos ('Ф ' qJ) а sin ('Ф qJ}] t} e at +
. + 1 т sin (ffit + 'Ф qJ). (6.56)
Колебательный свободный процесс. Пусть корни характери-
СТическоrо уравнения будут комплексно-сопряженными:
Рl.2 == а + jW CB '
171
rде частота свободных колебаний Ю СВ == -V ю а 2 (ю о == I/V LC
резонансная частота контура).
i
(
w
Рис. 6.23
При комплеI{сно сьпряженных корнях справедливы выражения
. n..e P1t Р ep,t OJ
1-'1 2 == e at sin (ю t + ер ).
PI Р2 OJ СВ СВ СВ ,
e P1t ep,t 1, .
== e at slП ffiCBt;
Рl Р2 OJ св
О t OJсв 1&
< arc g а :;:;;; 2"'
rде IpCB == 3t arctg юсв/а'.
С учетом записанных равенств выражение (6.55б) принимает
вид
i == 1 т [ sin ('Ф Ip) sin (ffiCBt + IpCB) +
OJ св
+ :0 cos ('Ф Ip) sin fficBt] e at +/msiП(ffit+'Ф Ip). (6.57)
Свободные колебания представля собой сумму двух r pMo-
нических ФУНКЦИЙ частоты Ю св (т. е. rармоническую фунiщию),
умноженную на затухающую экспоненциальную функцию. CBO
бодные колебания складываются с принужденными колебаниями--;----
rармонической функцией частоты ю. На рис. 6.24 даны rрафюш
:n;
тока и ero составляющих для 'Ф == Ip + 2"' Ю св > ю.
Рассмотрим подробнее колебательные процессы в цепи с ма-
лыми потерями, т. е. при а<юо, Юсв Юо'
Если частота внешнеrо возмущающеrо воздеЙствия ffi < юо
И нача ьная фаза 'ф == Ip, то из выражения (6.57)
i == / т e a! sin ffiot + 1т sin ffit.
OJ
(6.58)
Поскольку потери в контуре малы, свободная составляющая
,тока затухает медленно; если t достаточно мало, то e at 1.'
172
аксимальное значение тока при переходном процессе из выра-
жения (6.58)
imax' lт (1 + :0 ).
т. е. во мноrо раз превыаетT амплитуду установившеrося тока.
Полаrая для малых значений t в формуле (6.58) e4i,t 1, полу
чаем выражение для напряжения на емкости
иС ист cos (fJot U Ст COS (fJt,
1
rде Ист == шС 1 т амплитуда напряжения на емкости при уста-
НОВИБшемся режиме. ,Максимальное значение напряжения на
емкосТИ и(; mах 2и Ст'
:,i
t
.
Рис. 6.24
Аналоrично рассматривается случай, !<оrда 'Ф == qJ + n. Пусть
частота (fJ >- ЮО и 'Ф == qJ + . При этом из выражения (6.57)
i == I me4i,t COS (fJot + 1 т COS (fJt, (6.59)
'так как при а --+ О arctg (fJc.Ja n/2, <РСВ == n/2.
Максимальное значение тока в переходном процессе i max F:::;
F:::: 21 т' Напряжение на емкости при e4i,t 1
иc UCm- siп (fJot+ ист sin ш.
шо ,
Максимальное значение-напряжения на емкости
ис тах F:::; (1 + :J U Ст,
173
т. е. значительно превышает амплитуду установившеrося напря-
жения.
Аналоrично анализируется случай, коrда 'Ф == Ip . Пусть
частоты w и шо близки по величине, но не равны друr друrу.
Полаrая в равенстве (6.57) ШЫШ св 1, шо/ш 1 и IpCB :п;j2,
находим
Если e a! 1, то ток
i==/me at sin (wоt+'Ф Ip) +/т sin (wt+'Ф Ip).
(6.60)
i . 21 m sin (ОО--;ооо)l co.s( 00 1 OOo t+'Ф Ip). (6.61)
, Уравнение (6.61) описывает колебания, которые представляют
собой сумм)' двух rармонических функций близких частот и назы
.. ваются б и е н и я м и. Бие-
l i ния можно рассматривать
1 ,;' как rа р монuческое колеба-
т
ние с частотой (ш + шо)/2,
амплитуда KOToporo изме-
няется сравнительно мед-
ленно по закону
21 т I sin (ш юо) t / 21.
Чf!I
'-
Рис. 6.25
t
Таким образом, при
ш/ш о 1 в контуре возни-
кают биения. С течением
времени биения затухают,
Закон изменения амплиту-
найти с помощью теоремы
так как в реальных условиях а> О.
дЫ тока в переходном режиме можно
косинусов:
/ м (1) == 11 Лn + (/ me t)2 2/'fne af cos (ш шо) t ==
== / т V 1 + e 2at 2е Щ cos ((J) шо) t.
Зависимость тока i от времени изображена на рис. 6.25.
Если частота возмущающеrо воздействия w равна частоте ffio,
то режим последовательной rLC-цепи называют режимом рез о-
н а н с а н а п р я ж е н и и. в этом случае
х == wL == wL ( 1 oo ) == о;
ооС 002
Ip == arctg (х/т) == о.
Из выражения (6.60)
i == / т (1 e at) sin (wt +'Ф). (6.62)
Характерная особенность закона изменения тока (6.62)
экспоненциальное нарастание амплитуды от нуля до установив-
шеrося значения (рис. 6.26). Амплитуда тока 1 т определяется
сопротивлением r: I т == и m/r.
174 .
Установившийся режим. При установившемся режиме ток
в rLС llеПИ содержит только принуждеНlIую составляющую:
i == 1т sin (ffit + 'Ф «р). (6.63)
Зная ток, находим напряжения на элементах цепи:
U r == U rm sin (ffil + «р);
UL == ULm sin (ffit+'Ф «р + );
ис == U Ст sin (<<>t + 'Ф «р ),
rде Urm==rl m ; ULm==xLl m ; Ucm==XC1m.
Величину Х ==.ffiL l/юС называют реактивным сопротивлением
цепи, z == 11 r 2 + х2 полныM сопротивлением.
Если частота э. д. С. ffi < юо, то
X:;;>ffiL (1 :! ) < о;
«р<о.
(6.64)
(6.65)
(6.66)
Следовательно, ток i опережает напряжение U ==-е на уrол «p.
В этом случае Хс > XL И реактивlюе сопротивление цепи имеет
емкостный характер. Если
ю>юо, то х>о, «р>о.
Следовательно, ток i от-
стает от напряжения U == е
на уrол «р. В этом случае
XL > Хс И реактивное соп-
ротивление цепи имеет ин-
ДУКТИВНЫЙ характер.
Если ffi == ЮО, то Х == о,
«р == о, z == r (режим резо-
нанса напряжений). Ток i
совпадает по фазе с напря-
жением U == е и Хс == XL.
Напряжения. на емкости и индуктивности равны по величине и
противоположны по фазе; напряжение на сопротивлении равно
э. д. с. Если XL == Хс :> r, то амплитуды напряжениЙ на индук-
тивности и емкости (и Lm == U Ст) значительно превышают ампли-
туду э. д. с.
На рис. 6.27, a показаны векторные диаrраммы -цепи соот-
ветственно для ffi < юо, ю> юо И ffi == юо. _ Вектор напряжения
и == равеН сумме векторов (; r, {; L И и с. Из векторных диа-
rpaMM рис. 6.27, а, б видно, что .
U r == U cos «р, U L .....;.. U С == U sin «р (<<р о).
Активная мощность, потребляемая цепью,
т т
р== uidt== Uтlтsin{ffit+w)sin{ffit+m «p)dt==Ulcos«p.
175
i
1т
Im
Рис. 6.26
....::
t
Реактивная мощность
Q == U 1 sin fP.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении r ,.
Р r == U rI == r [2 == U 1 cos fP == Р. .......
Реактивная мощность
Q==(UL Uc)1 ==QL QC
может быть положительной (QL > Qc при ffi > юо), отрицательной
(QL < Qc при ffi < юо) и равной нулю (QL == Qc при ffi == юо)'
i +j
i
а)
;;
;-
,О)
-r
.
Рис. 6.27
Полная мощность
S == И! == VPZ+QZ.
Параллельная цепь. Пусть rLС цепь рис. 6.28 подключают
к источнику rармоническоrо тока J(t)==JтsiП(ffit+ф). Эта цепь
. l дуальна цепи, показанной на рис.
6.22. Для напряжения u (рис. 6.28)
I . справедли'вы выражения, дуаль
lc ные (6.55а, б) + (6.63).
Чтобы записать дуальные вы-
ражения, нужно в формулах
(6.55а, б) + (6.63) заменить ,g т, r,
L, С соответственно на дуальные
величины J m , g, С, L. При этом
амплитуда тока 1т == ,g m/Z заме
няется амплитудой напряжения
Um==Jm/y, [y== V bZ+g Z , Ь== (O ffiC==bL bc], уrол fP _
== arctg (х/т) yr лом fP == arctg ( Ь / g), отношение r /2L == а
отношением g/2C == а. Например, выражению (6.57) соответствует
дуальное .
! [,
L,
J(fJ
.1
r
L
с
"--Рис. 6.28
u == U т [ sin ('Ф+ fP) sin'(fficBt+ fPCB) +
(ОСВ
+ :0 cos ('Ф + fP) sin fficnt ] e....fXf + U т sin (ffit+'Ф+ fP), (6.67)
rде юо == I/V LC , Ю св == V ffii a Z , !РСВ == 1t arctg (юсв/а}.,
176
fрафики напряжения u для различных случаев аналоrичны
rрафикам тока i на рис. 6.23 +- 6.26. u
Если частота тока источника тока ffi равна резонанснои
частоте ЮО схемы рис. 6.28, то режим этой схемы называют режи-
мом рез о н а н с а т о !{ О в. В таком случае -
1 ( 002 )
Ь == ooL юС == - oo 1 юС === о;
Ip == arctg (b/g) == О.
При резон-ансе токов. амплитуда напряжения нарастает по
экспоненциальному закону от нуля до установившеrося значения
аналоrично фУНКЦИИ. (6.62).
При установившемся режиме для напряжения и, токов ( т ,
( с , iL справедливы выражения, дуальные соответственно выра-
жениям (6.63) +- (6.66):
u == и т sin (ffit +'11 + Ip);
(т==/тт siп (ffit+'J1+Ip);
lc /cmsin(ffit+'J1+Ip ; );
lL == 1 Lm sin (ffit+'J1+ Ip ),
rде lтт == gU m ; 1 Ст == ьси т ; / Lm === bLU m ,
Величины Ь == b L Ь с == l/ffiL юС называют реактивной про-
водимостью, а у == v g2 + Ь 2 полной проводимостью цепи.
Если ffi < юо, то
(6.68)
(6.69)
(6.70)
(6.71)
b==( : 1) юС > О,
Ip > о.
Следовательно, нацряжение u опережает ток i == J (t) на уrол Ip.
В этом случае b L > Ь с и реактивная проводимость схемы имеет
индуктивный характер.
Если Ю> Ю О , то Ь < О, Ip < О. Следовательно, напряжение u
отстает от тока i == J (t) на уrол Ip. При этом b L <ь с и реак-
тивная проводимость имеет емкостный характер. Если ю===юо, ТО
Ь == О, Ip == о, у == g (режим .резонанса токов). Напряжение u сов-
падает по фазе с током i == J (t), b L == Ь с . Токи в индуктивности
и емкости равны по величине и противоположны по фазе; ток
в сопротивлении равен току источника тока. Если b L == Ь с >- g,
то амплитуды токов в индуктивности и емкост!'I (l Lm == / Ст) зна-
чительно превышают амплитуду тока источника тока.
На рис. 6.29, а в построены векторные диаrраммы .цепи соот-
ветственно для о! <.Юо,. ffi > ЮО И ffi == юо. Вектор тока / == J равен
. Сумме векторов /т, /L, /с. Из векторных диаrрамм (рис. 6.29, а, б) ,
Видно., что
lr==/coslp; /L /c==lsinlp (1p 0).
177 .
Активная и реактивная мощности цепи соответственно:
р == U 1 cos Ip;
Q == u 1 sin Ip.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении r,
р r == U 1 r == gU2 == и 1 cos Ip == Р.
+j
..
i-j I
I
I
i
I
+j
+-
В)
+
ti
+
Рис. 6.29
Реактивная мощность
Q == U (I L 1 с) == QL Qc
может быть положительной (QL >Qc при w <шо), отрицательной
(QL < Qc при w > шо) и равной нулю (QL == Qc при w == шо).
Полная мощность
s == и/ == VP2+Q2.
6.7. Цепь с трансформатором
На рис. 6.30 изображена схема цепи, содержащей -индуктив
ный трехполюсник трансформатор. Пусть эта схема подклю
чается !{ источнику э. д. с. е== rff m sin (wt+'Ф). При замкнутом
ключе для схемы справедливы уравнения
е == rlil + иl;
0==r2 i 2 + u 2 .
Напряжения иl и и2 связаны с токами i 1 и i 2 соотношениями
(1.28), поэтому
. +L dil +M di2
e===rl l l l dt dl :
(6.72)
О . + М dil L di2
== r 2 l 2 dt + 2 ж.
I1з уравнения (6.72) производная
di 2 1 ( . L dil )
dt === М e rlll 1,П .
178
(6.73)
(6.74)
Если продифференцировать обе части уравнения (6.73) и учесть
равенство (6.7 ), то можно получить дифференциальное уравне-
ние для тока ll:
'2 ( . L dil ) + М d il L 2 d ( . L dil ) О
М e rlll l----Ш dt 2 + Mdt e rlll 1Ж ==
или
(L I L 2 M2) :21 + (r 1 L 2 + r2 L l) tl + rlr2il ==r2e+L2 ' (6.75)
Если в уравнении (6.75) заменить М2 соrласно равенству
iИ 2 == KCLIL2 И разделить обе части уравнения на rlr2' то урав-
нение примет вид
1 К 2 ) cJ.2il ( + ) dil . 1 ( + . de )
"t{t'2 ( с d[ +."tl - 2 dt + II == '1 е. "t 2 dt '
rде "tl == L l !rl; 172 == L 2 !r 2 .
Уравнению (6.76) соответствует характер стическое уравнение
"tl"t2 (1 K ) р2 + ("tl + -2) р + 1 == О,
корни KOToporo
('1"1 +'[2) ::!: 1/(Тl +T2)2 4Tt'r2 (1 K )
Рl,2 == 2 (1 К 2 ) .
ТIТ2 С
(6.76)
Тт< как
("tl +Т2)2 4"tl"t2(1 K ) >(тl + Т2)2 4"tl"t2 . ("tl "t2)2> О.
корни характеристическоrо уравнения вещественны и различны.
Решение уравнения (6.76) за-
пишем следующим образом:
i l == i lcB + i lпр ==
==A l e P1t + A 2 e p . t + i lпр '
'2
rде ilпр==/lmsiП(ffit+'Ф fP1), так
как правая часть уравнения (6.76)
rармоническая . фУНIщця. Если Рис. 6.30
выражение для llnp подставить в . .
уравнение (6.76), то получим соотношение для определения ам-
плитуды [1т И уrла Ч>1:
11т {[I "tl't2 (1 K ) ю2] sin (ffit + 'Ф ч>д +
+ ( 1 + Т2) ffi cos (ffit + 'Ф Ч>1)} == :1 <8' m [sin (ffit + 'Ф) + таю cos (ffit +;р)]
или
J 1т у[ 1 "tl"t2 (1 K ) ю2 ]2 +( "tl + "t2)2 ю2 sin (ffit + 'Ф Ч>1 + а) ==
== rff т 1/1 +"t ffi2 sin (ffit + 'Ф + ),
'1
rде
rx'==arctg (t 1 +T2)<U o 2 ; ==arctg"t2ffi.
1 -rl-r2 (1 Kё) <u
179
Отсюда
I == rff m Vl+,ф()2
'1т r -. / [ ( 2 2 ] 2 2 z'
1 V 1 .ii2 1 Kc) «) +("1"1+"1"2) «)
t ("1"1 +"1"2) «) t
!Рl == arc g ( 2 ) Z arc g 't"zffi.
1 "1"1"1"2 I Kc «)
В момент замыкания ключа токи i l И i z равны нулю: i l (О) == О,
{ :! (О) == О. Из уравнений (6.72) и (6.73) производная
dil \ == L 2 -. (О) == е (О)
2 е 2 ,
dt t o LIL2 M - l 1 (1 Kc)
rде е (О) == rff m sin 'ф.
Постоянные интеrрирования определяют -из следующих ypaB
нений:
" А 1 +Az+ [1т sfn ('ф !р) ==0;
А1Рl + AZP2 + ffi/ lm COS ('ф !Рl) == «О) 2) '
1
откуда
1 { е (О). }
А l == ( ,2) + [1т [Р2 SlП ('Ф !Рl) ffi COS ('Ф !Рl)] ;
Рl ... Р2 L 1 1 Кс
1 { е (О) . }
A2== ( 2) +/lm[ffiСОS('Ф !Рl) Р1SlП('Ф !Рl)] .
Pl P2 L 1 1 Kc
)lля тока справедливо дифференциальное уравнение
( 1 K 2 ) d2i2 ( ) di2 + ' м de
1;"11;"2 с (j[ + 1;"1 + 'С2 dt l2 "t"1"1"2 dt '
(6.77)
репiение Koтoporo имеет вид
i 2 == i 2CB + i 2пр == B l e p ,t + B 2 e P . t + 12ПР'
rде i 2пр == 12т sin (ffit + 'Ф !Р2)' Величины [2т И !Р2 определяем
с помощью подстановки выражения для i 2пр в уравнение (6.77):
J «)Mrff m 1 .
2т y > ' 2 2 ] 2 2 2'
i"1"1"2 [1 't"ii2(I Kc) «) +(Тl+ Т 2) «)
!P2==arctg ("1"i+.2)«)2 2 + '
1 "1"1"1"2 (1 Kc) «) 2
Постоянные интеrрироваiшя находим из условий
{ 2 (О) ==0; di2 1 == M-di t . \ == K е (О) 2 .
dt н L 2 dt t o М (1 Kc)
Решение уравнениЙ для постоянных интеrрирования приводит
к следующим равенствам:
В , 1 { K e(O) [ [ . ( ( )]}
1 == ( 2 ) + 2т Р2 SlП 'Ф !Р2) ю COS 'Ф !p:! ;
Ml '
В 2 == { е (О) 2) + 12т [ш COS (.ф. !Р2) Рl sin (.ф. %)] } .
Pl P2 М ---:-Кс -
180
Выражение для тока i 2 может быть найдено также путем
непосредственноrо интеrрирования соотношения (6.74) при звес
ном токе i 1 . На рис. 6.31, а, б приведены rрафики токов (1 и (2
И их составляющих для 'Ф СР1 'Л/2, 'Ф СР2 === :n/4, I Р11 < I Р21;
постоянные А 1 < о, А 2 < о, В 1 <. о, В2> о. Свободные составляю
щие токов представляют собой алrебраическую сумму экспонен-
циальных функций с раз- "
личными начальными зна-
чениЯМИ и показателями
степени. Экспонента с по-
казателем P2t затухает бы-
стрее экспоненты с пока-
зателем P1t. Чем ближе t
величина коэффициента
связи к единице, тем зна
чительнее разница между
корнями характеристиче-
cKoro уравнения Р1 и fJ2. При
L === L 2 === L и J 1 === r 2 === r '2
't1 === 1:"2 === 1:", Рl === 1/1:" (1 +
+ Кс), Р2 === 1/1:" (1 Kc)'
Если Кс === 0,5, то отно-
шение I Р2 111 Р1 I === 3; если
КС === 0,95, О.тношение
I Р2 1/1 Рl 1 === 40. t
Скорость изменения то-
ка i 1CB имеет наибольшее
значеfj:ие в момент време-
ни t === о; с течением вре- 5)
мени эта с.корость умень- Рис. 6.31
шается. Для сравнения на .
рис. 6.31, а штриховой линией Показан rрафик изменения тока i 1cB
при .разомкнутой цепи r 2 === L2' т. е. при i 2 === О. Этот rрафик яв-
ляется экспонентой с показателем t/1:"1' в первые моменты после
включения ИСточника ток i 1cB при i 2 =f=() затухает быстрее. а за-
тем медленнее по сравнению с током i 1cB при i 2 === о. .
Как видно из рис. 6.31, б, скорость изменения тока i 2cB имеет
наибольшее значение также при t === о; далее эта скорость изме-
няется по величине и по знаку. '
в предельном случае. Кс=== 1 (совершенный трансформатор),
Р1 == 1/(1:"1 + 1:"2), Р2 === 00. Значение корня Р1 можно найти из
общеrо выражения для корней, если раскрыть неопределенность
при КС --+) по правилу Лопиталя или непосредственно из харак-
теристическоrо уравнения, -которое в этом случае будет первой
степени. Токи i 1 и i 2 пр1:lНИМают вид
i 1 === A 1 e P1t + i 1пр ; ё 2 === B 1 e P1t + i 2пр ,
rде составляющие i 1пр и пр получают из приведенных формул
при ПОДстановке КС ......:. 1.
181
Так как в обlЦем случае
V (1:1 +1:2)2 41:11:2 (1 K )
Рl Р2 == (1 К " ) ,
1:11:2 с
из записанных выражений для А l и В l нетрудНо определить пре
дельные значения при Kc 1:
А 1:11:2 е (О) 1 ) .
1 ( + ) L 1т SlП ('Ф CV1 ,
1:1 1:2 1
В 1:11:2 е (О) 1 - (
1 (71 +1:2) М 2т SlП 'ф СР2)'
На рис. 6.32, а, 6 приведены rрафики токов i l и i 2 . В отличие
от. rрафиков, изображенных на рис. 6.31, а, 6, в рассматриваемом
. случае токш' i l и i 2 В начальный момент времени отличны от нуля.
i
'1 а}
'0)
Рис. 6.32
При установившемся режиме токи i l и i 2 цепи на рис. 6.30 изме
няются по rармоническому закону: i 1 == i lпр ' i 2 == i2"p Напряжения
Иl и И2, u r , .также rармонические и при известных токах i l и i 2
MorYT быть найдены из соотношений Ul==e rlil' U2== r2i2'
U r , ==: rl i l'
Пример 6.1. в цепи на рис. 6.30 e 10 sin(l03t+ 108°30'). Параметры схемы:
. Ll L2==:1O зr; rl r2 1 Ом; Kc l. Определить токи '1 и '2' напряжения
иl, и U r , при установившемся режиме.
Решение. Подставляя в формулы для '1т, '2т, 'Рl И 'Pz (O 103 c 1 И
Kc 1, найдем:
rff m --.j2 10 .
'1т -,:; V "5 == T.0,632 6,32 А,
I0 3 М(!';-т 103.1O 3.10
12т 4,48 А;
1 .1 Vs V5
rде M Kc V LIL2 1O 3 r.
'Рl arctg' arctg 1 =:= 63° 30' 45'" 18° 30';
'Р2 arctg 2 + 90" 63° 30' + 90° 153° 30' .
Таким обраЗ0М,
i 1 ==6,32 sin (l()Зt+'Ф 'Рl) 6,32 sin (l03t+90") 6.З2 СОБ 103t А;
i 2 ==4,48 sin (103t+'Ф 'Р2)==4.48 sin (103t 45°) А.
182
Напряжения Щ и и 2 И заданной цепи одинаковы:,
. L di 1 + м di 2 == 10 3 . 6,32 . 1()3 sin 10 3 t + 10 3 .4,48. 103 cos (103t 450) ==
Ul 1 dt dt .
== 6,32 sin 103t+4,48 sin (l()3t+45°) В;
u 2 ==L 2 t2 +M : ==4,48'siП (103t+45°) 6,32 sin 103f В.
Первая составЛЯЮЩая каждоrо И3 этих напряжений обусловлена собствен
IЮИ индуКТИВНОСТЬЮ L 1 или L 2 , вторая взаи ной ИНДУКТИВНОСТЬЮ М.
Путем трцrонометрических преобраЗ0вании можно показать, что иl ==и 2 ==
== 4,48 sin (10 3 t+ 1.35°) В. Такой же результат получим и И3 выражений иl ==е
r i U == Т 2 / 2 . Напряжение U r ,
1 l' 2 1
==ri1 == 6,32 сов 10 3 t В. На рис. 6.33 по- +j
строена векторная диаrрамма рассма ри
ваемой цепи,. на которой векторы Uf и
Or (U и и;) пред<;таВ-!lЯЮТ собой co
ставляющие вектора и 1 (и 2 ), обусловлен
ные соответственно собственной и взаим-
ной иlщукти 8'нтя ми.
6.8. Общие замечания по
анализу rLС цепей
+
Как и в цепях с источниками
постоянноrо напряжения и по-
стоянноrо тока, токи ветвей и на-
'пряжения на зажимах ветвей в Рис. 6.33
разветвленных цепях с источни-
ками rармонических напряжений
и токов одинаковой частоты Moryr быть найдены путем интеrри-
рования дифференциальных уравнений.
При rармонической возмущающей функции свободная состав-
ляющая искомоrо тока или напряжения записывается так же,
как и при постоянной; ибо свободная составляющая представ-
ляет собой общее решение однородноrо уравнения. Принужденная
Составляющая тока или напряжения изменяется по rармониче-
скому закону. ,
в цепи, содержащей двухполюсные элементы с параметрами r,
L, С (а также в цепях с взаимной индуктивностью М) и источ-
ники постоянноrо напряжения и постоянноrо тока, при расчете
ПРИнужденных (установившихся) токов и напряжений индуктив-
Ности рассматриваются как короткозамкнутые участки, а емкости
Как разомкнутые участки (см. rл. 3). Если э. д. с. источников
Э. д. с. и токи источников тока rармонические функции, то
для принужденноrо (установившеrося) режима наПряжения на
Индуктивностях 'и токи в емкостях также будут. таРМоничес-
Кими функциями, которые необходимо учитывать в уравнениях
Цепи.
183
Таким образом, в цепи с rармонич.ескuими, возмущениями pac
чет установившихся токов и напряжении усложняется по cpaB
нению с цепями, содержащими неизменные во времени источники
возмущений. Триrонометрическая форма расчета установившихся
токов и напряжений, при которой амплитуды и начальные фазы
искомых величин определяются с помощью триrонометрических
преобразований, приемлема только для простейших цепей. Для
сложных разветвленных цепей целесообразно применять комп-
лексную, или символическую,. форму расчета, основанную на
переходе от вещественных функций времени и вещественных па-
раметров к 'комплексным функциям и комплексным параметрам.
Расчет установившихся режИJ;'ЮВ в цепях с источниками rapMo-
нических Э. д. с. и токов при помощи комплексных чисел по-
" дробно рассматривается в последуюших rлавах.
iJ
rЛАВА 7
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ БЕЗ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ
7.1. Комплексные велич ны, характеризующие установивwиеся
процессы в электрическом цепи
Комплексные амплитуды и действующие значения. Как уже
отмечалось в 6.1, rармоническим токам, напряжениям и друrим
величинам можно поставить в соответствие вращающийся радиус
вектор на комплексной плоскости. Этот радиус вектор в любой
момент времени служит rеометричес им изображением комплекс
Horo числа. Таким образом, величинам, изменяющимся по l'apMo-
ническому закону, соответствуют комплексные функции.
Например, значению тока i===lmsiп(шt+'ФI) в любой фикси-
рованный момент времени t соответствует комплексное число,
изображаемое вектором, длина Koтoporo равна амплитуде 1т и
который образует с вещественной осью комрлексной плоскости
уrол шt+'ФI (положительные уrлы отсчитываются в направлении,
противоположном направлению движения часовой стрелки, а отри
цательные наоборот). В начальный момент времени t == О вектор
образует с вещественной осью уrол 'Фi' Такой вектор можно обо-
значить через
. iФ.
1т === I т е ' === 1т L 'ФI,
(7.1 )
rде длина вектора I m это модуль, а уrол 'Фi aprYMeHT KOM
плексноrо числа" rеометрическим изображением KOToporo служит
вектор i m ; j=== 11 1 *.
Равенство (7.1) н зывают п о к а з а т е л ь н о й фор м о й записи
комплексноrо числа 1т' Комплексное число можно записать также
в алrебраической
im===I:п+jl':n
(7.2а)
или триrонометрической
i m === 1т СОS'Фi+jlm siП'Фi (7.26)
форме. Величины l;" === 1т COS 'Фi, l':n === 1т siп 'Фi называют соответ-
ственно вещест.венной (R.e) и мнимой (Im) частями' KOM
плексноrо числа 1т:
l;" === R.e i т; l':n === 1т i т.
Для фиксированноrо момента времени t> О значению i ===
=== 1т siп (шt + 'ФI) соответствует комплексное число (комплексный
мrновенный ток)
i mei(j)f === I mеi«(j)t+Фд == 1т [COS (шt +'Фд + j siп (шt +'Фд]. (7.3)
* Здесь и далее буквой с точкой наверху обозначаются комп ексное число
и ero rрафическvе изображение (вектор), соответствующее rармонически изме-
НЯющеися величине.
185
rармоническую функцию i (t) можно, следовательно, рассмат-
ривать как мнимую часть комплексной функции:
Комплексное число
т у Д ой rармонической
У2, то
i == 1щ sin «(j)t +'Фд == 1т [1 mеi(ffit+Ф;)l == 1т [imei ffif ].
. I
1т называют к о м п л е к с н о й а м п л и-
функции i. Если это число разделить на
(7.4)
i == i mlV2 == I е iФi
называют к о м п л к с н ы м Д е й с т в у ю Щ и м з н а ч е н и е м, так
kaK модуль числа I равен действующему значению rормонической
функции ;.
Между функцией ; и комплексным действующим значением
существуе" связь, выражаемая равенством
; == У2 I sin «(j)t +'Фi)== 1т [У2 le i (ffif+Фд] == I [У2 jef ffif ]. (7.5)
Век-торы i in и) и i mejffif(i ef ffif ) отличаются тем, что первые не-
подвижны, а вторые вращаются с уrловой скоростью (j) в направле-
нии, противоположном направлению врашения часовой стрелки.
Все эти векторы можно рассматривать как соответствующие одной
и той же rармонической функции ;. .
Т<:;рмин «вектор» как изображение комплексноrо числа 1т
или' I имеет смысл, отличный от смысла этоrо же термина, при-
меняемоrо для определения физически величин, характеризуе-
мых модулем и направлением в пространстве (например, сила,
с.корость, напряженность поля и т. п.).
, Переход от rармонических функций к комплексным амплиту-
дам или действующим значениям позволяет упростить действия
с rармоническими функциями: сложение и вычитание, дифферен-
цирование и интеrрирование.
Пусть заданы функции
;1 == 11т siп «(j)t + 'Ф1); ;2 == 12т sin «(j)t + 'Р2).
Torдa
; == ;1 + ;2 == 1т [i 1mefffif] + 1т [i 2mefffif] ==
== 1т [(i 1m + 1 2т ) ei ffif ] == 1т [i mei ffif ] ,
rде i m == i 1т + i 2т' т аким образом, суммированию rармонических
функций одинаковой частоты соответствует суммирование ком-
плексных амплитуд или действующих значений.
Производная rармонической функции ; == 1 msiп «(j)t + 'Фд
di == 1т [ i eiffif ] == 1т [ i ef ffif ] == 1т [ / '(j)i efffif ]
dt dt m dt m т'
Интеrрал от rармонической функции
; dt == 1т [i mei ffif ] dt == 1т i meiffif dt == 1т [ i i mefffif).
186
. 'Как видно из записанных равенств, дифференцированию (ин
теrрированию) rармо ической функции соответствует умнuожение
(деление) комплекс. нои амплитуды или, комплексноrо деиствую
шеrо значения на /Ш.
ЛинейноЙ комбинации комплексных амплитуд, часть из KOTO
ых умножена (разделена) на jш, COOT eTCTBYeт лин йная KOM
gинация rармонических функций, часть из которых продифферен
цирована (проинтеrрирована). Суммирование комплексных чисел
можно выполнить, если эти числа нредставлены в алrебраической
форме. Для перехода от показательной формы к алrебраической
следует Вl')спользоваться равенством (7.2 б). Обратный переход
осуществляется с помощью СООТНОр:1ений *
,:п j
tg 1р == [;;; ;
/ == ....r /' , /" == l:п == l':n
т, JI т + т соs'Ф sin ф'
Умножение (деление) комплексных чисел выполняется, если эти
числа представлены в показательной форме.
(7.6)
Пример 7. {. В последовательной цепи с параметрами r == 10 Ом, L == 1O 3 r,
С==0,5 .1O o Ф ток установившеrося режима имеет действующее значение
1.== 1 А, начальную фазу 'Фi==45 0 и частоту (0== 104 c l. Найти мrновеююе
значение ,напряжения на зажимах цепи.
Реш е н и е. Комплексное действующее значение тока i == 1 . e j45 ° А. Так
как и == U r + U L + и с == ri + L : + i dt, комплексное действующее значен е
напряжения
'. .1 ( 1. ) ( 11 ) .
U==rJ+L (j(j)l)+C j(j) J == r+j(j)L+ jwC '==
== (IO+jI04.1O 3+ j10 4 . I o. 0,5 ) i== 1O}l2 В.
MrHoBeHHoe значение напряжения
и== 1rп [}l2 Ue Jrot ] ==20 sin ы! В.
Такой лсе результат получим и после триrонометрических преобразований
суммы rармонических функций u==u;-+uL+u с .
I(омплексные сопротивления и' провО'димости. Пусть напряже
ние и ток пассивноrо участка некоторой ветви электрической
цепи, содержащей ИСТQчники rармонической э. д. с. и rармони с
"ческоrо тока, изменяются по за'kонам
u == и т sin (шt + 1Рu); i == / т slП (шt + 1Pl)
(положите.'!ьные направления u и i на схеме приняты одинако
выми). rармоническим функциям й и i, соответствуют комплекс-
* Все соотношения, записанные 'в данном параrрафе ,для токов, анало-
rично записывают для напряжений, Э. д. С., потенциалов, зарядов и т. п.
187
ные величины И т (Й) И 1 т а). Отношение
{; (; ui'tJ и
Z == == == == zeJrp
j j lеl'Ф i
т
(7.7)
(z==U/I; ер=='фи 'фi) называют комплексным с.опротивле-
н и е м пассивноrо участка ветви. В алrебраической форме.
Z ==r+jx.
Вещественную часть комплексноrо сопротивления r == R.e Z'==:
== Z cos ер называют а к т и в н ы м сопротивлением, а мнимую часть
х==ImZ==zsiпер реактивн ым соп ротивлением. Модуль комп-
лексноrо . сопротивления z == V r 2 + х 2 называется п о л н ы м со-
противлением. Активное и полное сопротивления неотрицатель-
ные величины; реактивное сопротивление может быть положи-
тельной, отрицательной, а также равной нулю величиной,*.
AprYMeHT комплекснdrо сопротивления ер == arctg x/r равен уrлу
сдвиrа фаз между напряжением и током.
В общем случае пассивный участок ветви схемы может содер-
жать последовательно соединенные сопротивление r, индуктив-
ность L и. емкость С. При этом напряжение u и ток i участка
связаны СООТНОlllением
. +L di + 1 \ . dt
и==п dt CJt.
Если u'и i rармонические функции, то записанному равен-
ству можно поставить в соответствие равенство для Комплексных
действующих значений
.. 1"
U ==rI +jroLI + c I ==ZI,
](f)
rде
Z ==r+ j(roL c) ==r+ j (XL Xt).
(7.8)
Реактивное с.опротивление TaKoro участка х == XL Хс; apry-
мент комплексноrо сопротивления ер== arctg [(XL xc)/r]. Сопро-
тивления XL и Хс неотрицательны, сопротивление Х может быть
положительной, отрицательной и равной нулю . величиной.
Комплексtюе сопротивление Z можно представить на комп-
лексной плоскости rипотенузой прямоуrольноrо треуrольника
с. катетами r и jx (рис. 7.1, а). Такой треуrольник н'азывают
т р е у r о л ь н и к о м с о про т и в л е н и Й.
Величину, обратную комплексному сопротив ению Z, назы-
вают к о м п л е к с н о й про в о Д и м о с т ь ю
1 j j lеi'Фi .
у == ==...!!!.. == == ==ye JfP, (7.9)
Z {;т {; Uе и
n n
* Для пассивноrо участка цепи уrол 2J ер "2 I если положитель-
ные направления и и i совпадают (см, rл, 6).
188
rде У === l/z == пи. в алrебраическьй форме у == g jb < rд g == .
=== Re У === у coS ер активная про водимос т ; Ь == 1т У == у SlП ер
еактивная проводимость; у == v g2 + Ь 2 полная проводимость.
ктивная и полная проводимости неотрицательные величины;
реактивная проводимость может быть положительной, отрицатель
ной или равной нулю величиной. Для принятых форм записи
комплексныХ сопротивлений (7.7) и комплексных проводимостей
(7.9) знаки У х и Ь совпадают.
+j
+j
\ 1[1>0
1[1-'0 r I . +
" IJX ,Х<О
z....'.....1
у ".....1.
/,," I jb,b-'o
'f.-'o +
'р>О ff .
jb,b>o
а)
)
Рис. 7.1
в общем случае пассивный участок цепи ожет состоять из
параллельно соединенных проводимости g, емкости С и индук-
тивности L. В этом случае ток i и напряжение u участка свя-
заны соотношением
i==gu+C + 1 u dt,
которому соответствует равенство для комплексных действующих
значений
i == g(; + jшСU + c (; == У(;,
J(f)
rде У == g j (b L Ь с ). (7.10)
Реактивная проводимость TaKoro участка Ь == b L bc;aprYMeHT
комплексной проводимости ep == arctg [(Ь С Ь L)I gJ. Проводимости
b L ЦЬ с неотрицательны, проводимость Ь может быть положитель
ной, .отрицательной или равной нулю величиной.
Комплексную проводимость У на комплексной плоскости можно
предстаВИТI;> rипотенузой прямоуrольноrо треуrольника с катетами
g и jb (рис. 7.1, 6). Такой треуrольник называют т р е у r о л ь-
н и к о м про в о Д и м о с т е й.
Если Z == r+ jx, то
у == r jX == (т+ ;X)( jX) == T2 X2 j (T2 X2) ' (7.10 а)
откуда
g== r/(r 2 +x 2 ), Ь == 2 + Х .
r х
Если У ==g jb, то
Z 1 ,g+jb g + . ь
.. g jb (g jb) (g+jb) е2+Ь2 1 е2+Ь2 '
(7.11 )
18!:!
откуда r==g;(g2+b 2 ), X==b/(g2+b 2 ). Как видно, парамет ы r
н g, Х и Ь одною участка ветви не являются обратными вели
чинами. Обратными являются комплексные и полные СОПРQТив-
ления и проводимости участка.
7.2. Знерrетические процессы в цепи пер емениоrо тока
Мощности. На рис. 7.2 изображены две соединенные между
собой части цепи, каждая из которых содержит источники энер
rии. Для указанных положительных
i направлений напряжение и ток Bыpa
жа ся формулами
u == U т sin (rot + 'Фи); i == 1т sin (rot +'Фi)'
Мrновенная мощность
р == ui == и п;./ т [cos Ip cos (2rot +
Рис. 7.2 + 'фи+'Фi)J.
.........00[>
1 ! и J[
Если 'Ф р *'Фi' то мrновенная мощность может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Это означает,
что в различные промежутки времени энерrия передается из
пеР130Й части цепи (1) во вторую (11) и наоборот.
Активная мощность
т
1 С и /
р == т р dt == '2 т сонр == U 1 cos <р.
. о
(7.12)
Величина энерrии, передаваемой из первой час.ти цепи во
вторую,
t
W == pdt==Pt+UI[ 2 siп ('Фи 'Фi)
о
2 siп (2rot+'Pu+ 1 M] (7.13)
представляет, собой пульсирующую функцию. За целое число
полупериодов N энерrия W ==PNT/2.
На рис. 7.3 показаны rрафики зависимости напряжения и,
тока i, мощности Р и энерrии W от rot при О < (jJ < 'Л/2; 'Фи == о;
а на рис. 7.4 при Ip> зt/2, 'Фи == о.
Одна и та же активная мощность может быть получена при
различных значениях тока 1 и одном и том же напряжении U
(при различных значениях напряжения U при одном и том же
токе 1), если изменять сдвиr фаз между иапря ием и током.
Мrновенная мощность дает более полную харак истику энер
rетических процессов цепи по сравнению с активной мощностью.
Амплитуду пульсации мrновенной мощности S == U 1 называют
п о л н о й мощностью. Полную мощность можно рассм'атривать
190
как модуль комплексной величины, называемой к о м п л е к с н о й
мощн остью;
8==(;1,
(7.14)
'1jJ .,
rде l==Iе j'Фi комплексное число, сочряженное с i==Ie J i, т. е.
отличающееся от комплексноrо числа 1 знаком aprYMeHTa и зна
u р
i W
u
Рис. 7.3
Рис. 7.4
ком мнимой части. В алrебраической форме 8 Р + jQ. Вещест
венная часть комплексной мощности совпадает с активной мощ
ностьio
Re 8 == RеUlеЦ'Фu 'Фд == ИI cos 'Р==Р.
Мнимую часть комплексной мощности
ImS==UIsin'P==Q
называют реактивной мощностью.
Полная мощность
s == VP2+Q2.
При положительном знаке активной мощности ( п/2 < 'Р <
< п/2) реактивная мощность может иметь положительный или
отрицательный знак. При 'Р > О (ток отстает по фазе от напря
жения) Q> о; при 'Р < О (ток опережает по фазе напряжение)
Q<O. Положительный (отрицательный) сдвиr фаз 'Р между напря
Ж нием и током пассивноrо участка ветви соответствует индук
тивному (eM OCTHOMY) характеру реактивноrо сопротивления или
реактивной проводимости Ь этоrо участка. Следовательно, поло
Жительная (отрицательная) реактивная мощность пассивноrо
участка ветви также соответствует индуктивному (емкостному)
характеру реактивноrо сопротивления ил.и реактивnой проводи
Мости.
Реактивная мощность Q == о при 'Р == О или 'Р == п, т. е. прn
условии, что ток и напряжение ,совпадают или противопОложны
по фазе и; слеДОl3aтельно, в цепи отсутствуют периодические
191
процессы накопления и последующеrо возвращения энерrии, свя-
занной с маrнитным или электрическим полем.
В простейшем случае, коrда пассивный участок ветви содер-
)Кит последовательно (параллельно) соединенные ИНДуктивность
и емкость, реактивная мощность TaKoro участка Q === QL Qc (см.
rл. 6). Учитывая выра)Кения дЛЯ QL и Qc, приведенные в rл. 6,
( LI2 CI2 )
Q === QL Qc === (о 2 т 2т == PLmax РСтах,
т. е. реактивная мощность равна .разности максимальных энер-
rий' маrнитноtо и электрическоrо полей, связанных соответст-
венно с индуктивностью и емкостьЮ, умно)Кенной на частоту (о,
или разности максимальных мrновенных мощностей ИНДуктив-
ности и емкости. Пульсации мrНОвенных мощностей в индуктив-
ности и" емкости сдвинуты по фазе 'на уrол п, что и приводит
К вычитанию максимальных значений мrновенных, мощностей.
Отношение активной мощности к полной
p/S == cos q> (7.15)
называют к о э Ф Ф и ц и е н т о м м о Щ н о с т и. Полная мощность
элеКТРИЧltСКОЙ машины, трансформатора или друrоrо устройства
определяется предельно' допустимыми напря)Кением и и током 1.
При cos q>== 1 активная мощность равна полной, что означает
наиболее эффективное использование устройства, поэтому повы-
шению коэффициента ryIощности электроэнерrетических установок
уделяется значительное внимание. Т акое повышение ВОзмо)Кно
при компенсации реактивной мощности индуктивноrо характера
реактивной мощностью eMKocTHoro характера, так как реактивные
мощности индудтивности и емкости имеют противополо)Кные знаки.
Так как на величину тока, потребляемоrо или rенерируемоrо
электроэнерrетической установкой при заданном напря)Кении,
оказывает влияние не только активная, но и реактивная мощно-
сти, в энерrосистемах и промышленных предприятиях наряду
с, энерrией W учитывают такж:е величину Wp==Qt, называемую
реактивной энерrией, измеряемой в вольт ампер час (вар. ч).
Реактивная энерrия условный термин, так как W р не явля-
ется энерrией.
Комплексная мощность S === Р + jQ МО)Кет быть представлена
на комплексной плоскости в виде rипотенузы прямоуrольноrо
треуrо"Льника с катетами Р и jQ (рис. 7.5). Такой треуrольник
называют т р е у r о л ь н и к о м м о Щ н о с т е Й.
Пример 7.2. Для схемы на рис. 7.2 U ==220 В, / == Н){) А, 1p==45 0 . Опре-
делить активную, реактивную, полную и комплексную мощности, а также
наибольшее и наименьшее значения мrновенной мощности.
Реш е н и е. Активная и реактивная мощности соответственно:
}l2
P==UI COSIp==220. 100 == 15,6 кВт.
Q==U/ siПIp==220.100 2 ==15,6 квар.
192
Полная МОЩНОСТЬ S==UJ-==220. 100==22 кВ. А. Комплексная' мощность.
S ==.Р + iQ 15,6 (1 + f) кВ. А. Наибольшее значени.е мrновенной мощности
Pmax==P+S==15,6+22==37,6 кВт, .
наименьшее значение
Р . ==P S==15,6 22== 6,4 кВт.
шm .
Связь мощностей с сопротивлениями и проводимостями. Пусть
на зажимах ветви С" комплек ным сопротивлением Z == r + jx
известны напря ение U и ток 1 (рис. 7.6, а). Тоrда комплексная
мощност!> S == (;1 == р + jQ.
j 1
+j .............{>
r J Ии lи 9 Jjq
jp
jQ,Q>O U
jx ! Ир jb
...... р, +
...........
....., I jQ ()<О
у.............! а) tfJ
Рис. 7.5 Рис. 7.6
ИЗ опр деления комплексноrо сопротивления (; == zi. Следо-
I;Jзтельно,
s == (; J == zil == Z/2 == (, + jx) /2 == r j2 + jxJ2;
р == ,Р; Q == хР; S == zJ2.
) .
А тивное, реактивное. и полное сопротивления можно опре-
делить р:о соответствующим мощностям:,
,==Р/Р; x==Q/J2; z==S/J2. . (7.1-б)
Сопротивление r пассивный элемент схемы; термин «ш{тив'"
ное сопротивление» подчеркивает связь этоrо сопротивления
c активной мощностью: элемент схемы r отражает процессы необ-
parnMoro рассеяния энерrии. Сопротивление проводника ' изме-
ренное при переменном токе, отличается от сопротивления Toro
же прОВОДНJLка, измеренноrо при постоянном токе. При пере-
менном токе сопротивление r увеличивается с ростом частоты за
счет поверхностноrо эффекта и эффекта близости.
Если. комчлексная проводимость ветви у ==g jb (рис. 7,6, б),
, то ток 1 == уи. Сопряженный ток
110: * * *
/ == Уи == (g+ jb) и.
,
КОмплексная мощность
"'" . :$ . * * *
s == И/ == иуи == yи ==- (g+ jb)U 2 ==gU2+ jbU 2 .
7 П/р, Ионкина, т. 1
193
/"
СJiедовательн , Р == gU 2 ; Q == bU'Z; S == уи 2 . Активную, реак-
тивную и полную проводимости можно определить из выражений
g==P/U 2 ; b==QIU y==S/U 2 . (7.17)
Вектор (; на зажимах схемы на рис. 7.?, а разлаrается на
Две составляю ие: активную составляющую и а'. совпадающую по
фазе с током /, и реактивную составляющую и Р' сдвинутую-по
+j
i
j-
w
а)
+
о)
Рис, 7.7
фазе отноf:ительно тока i на уrол п/2 (рис. 7.7, а). Эти COCTaB
ляющие можно ра:ссматривать как напряжения на элементах r
и х схемы, так как
{; == {;а + {;р == (r+ jx) i == ri + jxi;
{;a==ri; {;p==jxi.
Из векторной диаrраммы видно, что
Ua==uCOSfP; Up==UlsinfPl, и==yи:+и ( fP ).
Аналоrично можно разложить на две. составляющие ток i
(рис. 7,7,6). АIfтивная составляющая /а срвпадает по фазе
с напряжением и, реактивная составляющая /р сдвинута по фазе
- относительно напряжения на уrол п/2. Эти составляющие можно
рассматривать как токи в элементах g и Ь схемы на рис. 7.6, 6.
Действительно,
i == i а + i р == (g jb) {; == g{; jb{;; i а == g(;; i р == jbU.
Из векторной диаrраммы следует, что
/a==/COSfP; /p==/lsinfPl; /== у п+/ .
Мощности р и Q выражаются Через активные и реактивные
составляющие напряжений и токов:
р == и/ cos fP == и/а == и а/;
Q== U/ sin fP== + и/ р == + и р /.
Знак мощности Q может быть установлен, еслИ известен знак
уrла fP.
194
...
СхемЫ на рис. 7.6, а, 6 рассматривают соответственно как
последовательную и Щlраллельную эквивалентные схемы пассив
иоrо двухполюсника. Параметры эквивалентных схем определяют,
в' частНОСТИ, с помощью измерений напряжения и, тока 1 и
мощноСТИ Р. Действующие значения тока и напряжения изме
ряют с помощью вольтметров и амперметров. Активная потреб-
ляемая' мощность измеряется BaТТMeT .
ром схема включения KOToporo изо- [
брю'кена на рис. 7.8. Отклонение ............... . w
стрелкц ваттметра пропорциошщьно J i
величине P\v== U\VI\Vcosq>\v, rде U\V, . w
1 W действующие значения напря-. и , U w
жения на зажимах обмотки напря-
жения и тока токовой обмотки ватт-
!'.JeTpa; q>\v сдвиr фаз между u\v и
1 w, пр чем I}оложительные н'аправ-
ления U \v и 1 \v должны быть одина-
ковыми относительно зажимов, от-
меченных звездочками. Показание ваттметра можно также запи-
сать в виде p\V == R.e Iu\vl\v]. Если при измерении определеНЬ1
и, 1, Р, то параметры эквивалентных схем находят из соотно-
шеnий
п
(А)
Рис. 7.8
z == ип;
r ==P/I2;
X== +Vz2 r2'
или
y==I/U;
g==P/I2;
Ь== +У y2 g2.
Знаки реактивноrо сопротивления и реактивной проводимо-
сти MorYT быть установлены с помощью дополнительных измере-
ний. Например, последовательно с двухполюсником можно вклю-
ЧИТЬ конденсатор с емкостным сопротивлением ХС < 21 Х 1. Если
при этом абсолютная величина реактивноrо сопротивления схемы
с учетом ХС возрастает: I Х ХС I > I х 1, то реактивное сопротивление
двухпОлюсника х имеет емкостный характер; если I х Х С I < I х 1, то
· реактивное сопротивление .х имеет индуктивный характер.
Пример 7.3. При заданнои частоте с помощью измерении найдены 1 2 А;
и == 10,2 В; Р==4 Вт; Ip> О. Определить параметры Z, " Х, g, Ь эквивалент-
HblX схем. '
Реш е н и е. Полное сопротивление последовательной эквивалентноЙ схемы
z UfI ==5,1 Ом.
АКТИвное сопротивление
r PLI2==1 Ом;
реактивное сопротивление
х== Jf z2 r2 Y5,12 12 5 Ом.
В СООтветствии с формулой (7.10)
1 rl 1. 5 .
Y==y 1+/5 == 1+52 1 1+52 O,0385 10,192 См.
В параллельнои схеме g O,0385 См; b O,192 См. Такие ще значения полу.
ЧаЮТся из СООТНОШений g==PLU2;' b==Jf y2 g2 ; y==ILU.
1%
7.3. Уравнения состояния электрических цепей
с источииками rармонических э. д. с. и токов .
8 комплексной (символической) форме
Законы Ома и Кирхrофа. Для пассивноrо участка ветви элек
ричеС.коi! цеп!! с источниками rармонических э. д. с. и токов
U == ZI, 1 == Уи. в общем случае, если k я ветвь содержит источ
ники э. д. с. и тока (рис. 7.9), справедливы равенства
/" U k Zk (ik + jk) rff k ; (7.18)
ik==Yk(Ok+ik) jk (7.J9)
(Zk-== l/Y k ), аналorичные равенетвам (4.1) и (4.2).
Для всех ветвей схемы можно записать матричные соотношения:
W iJ(B) == Z(B) [i(B) + j(B)] (B); (7.20)
i(B)==Y(B)[U(B)+ (B)] :j(B), - (7.21)
rде (j(B), j(B), (B), j(B) столбцовые матрицы комцлексных дей
ствующих значений соответственно напряжений, токов, Э. д. с.
. "
и токов источников токов ветвеи
цепи; Z(B), у(в)""",: матрицы cooтвeT
ственно комплексных сопротивле
ний и ПРОВОДИl\юстей ветвей, при
чем ,Z(B) == [Y(B)] l.
Равенства (7.20) и (7.21) Bыpa
жают матричную запись закона
Ома в комплексной форме.
Для цепей, не содержащих
I!заимной индуктивности и элек
тронных элементов, Z( ) и У(В)
диаrональные матрицы.
Если ветвь схемы содержит последовательно соединенные
сопротивление, иНдуктивность и емкость, то
Zk === rk + jroLk + .
]ooCk '
Z(B) == R(B)+ jroL(B)+ о(в).
]00
Матрицы R(B), L(B) и О(В) диаrональны. На rлавной диаrо
нали этих матриц записывают COOTBeтCТBeHHq параметры ветвей
rk, Lk и D k ==I/C k , rде k=='I, 2, ..., 6. '
Если ветвь схемы содержит параллельно соединенные сопро
тивление, индуктивность и емкость, то
. 1
Yk==gk+lroCk+ L .
]00 k
+1 L B .
Zx Е/(
..
йк
Рис. 7.9
При этом матрица
у(в) == G(B} + jroC(B) + r(B).
J(i)
196
Матрицы О(В), С(В) И r(B) диаrональны. На rлавной диаrонали
этих' матриц записывают соответственно,'параметры ветвей gk' C k
И r k == I/Lk' rде k== 1, 2,. ..., 6. ; ,
Уравнениям Кирхrофа (2.5), (2.7) и (2.9) для мrновенных
значений соответствуют уравнения Кирхrофа в комплексной форме:
Ai(B) == о;
Qi(B) == о;
ВО(В) ==0.
(7.22а)
(7.22б)
(7.23)
Соотношения (2.6), (2.8) и (2.10) также MorYT быть записаны
в комплексной форме:
U(B) == A!T) ; (7.24)
(j(B) == Q(T)U(n); . (7.25)
,i(B) == В(Т) ;(К). (7.26)
rде q>, u(n), i(K) столбцовые матрицы комплексных действую
щих значений соответственно узловых потенциалов, навряжений
ветвей дерева и контурных токов.
j6
2
/ ,s.
/ у"
1" \ I
1/2
I 1,
I
,. f
\
\ f
\
'-.....
;'---\.J.r
/3 /
f
/5,}5 ' ,//
/0з .В
/ 2
0 4
/ ......,
1
С 1
5 '- 5.1.
S4
о]
Рис. 7.10
>["
Как видно, все соотношения в комплексной форме, характе-
ризующие цепь с источниками rармонических напряжений и
токов, аналоrичны соответствующим соотношениям,' характери-
ЗУЮщим цепь с источниками . э. д. с: и TQKOB. Переход к комп-
леКсам позволяет алrебраизировать уравнеция ц.епи при rapMo-
Нических Э. д. с. и токах.
197
Узловые уравнения, уравнения с напряжениями ветвей дерева
и контурные уравнения. В комплекснОй форме эти уравнения
аналоrичны :уравнениям (4.18), (4.25) и (4.30):
Y(Y) == j(Y);
у(с)О(д) == j(C);
Z(K)j(K) == (K).
. (7.27)
(7.28)
(7.29)
в качестве примера можно составить различные уравнения
в комплексной форме для цепи, схема и rраф которой с произ
вольно выбранным деревом по казаны соответственно на
рис. 7.10, а, б.
Для rр&.фа. записываем следующие матрицы:
.
А == [ :. l .
з О 0 10 O II
4 0 1 11 О 00
81 [ 1 О О О О 1 0 l
Q 82 О 1 О О 1 1
8з О O 1 О О 1 :
84 О О О 1 1 о. 1
1 rO 1 о 1 1 О О ]
B==II l l I 1 0010.
III О О 1 1 О О 1
Комплексные сопротивления ветвей:
2 1 ==rl; 22 =='2 +jroL 2 ; 2з== l/jroС з ; Z4=='4:
25 =='5 + (1ПroС 5 ); 26 == jroL 6 ; 27 == '7 + jroL 7 + (l/jroC 7 );
Комплексные проводимости ветвей
Y k == I/2k'
Матрицы Z(B) И У(В) дЛЯ рассматриваемой схемы диаrональные
матрицы седьмоrо ПОрЯДка, на rлавной Диаrонали которых запи-
саны соответственно 2k и Y k , rде k== 1, 2, ..., 7.
Матрицы э. д. с. и токов источников ветвей имеют вид
(B) == [il О О ,g 4 ,g 5 . О О ]Т.
j(B) == [О О jз О О j6 О]Т.
Вычисляя матрицу узловых проводимостей
У(У)== А У(В)Д(Ч
(7.30)
198
и столБЦОВУЮ матрицу узловых токов
j(y) == Aj(B) А У (B) (B),
,
получаем узловые уравнения (Фб == О):
[ Уl + У2+ У 5 Yl О Y2 l [ Фl l
.,...... У 1 ' Y 1 + У 6 У 6 О Ф2 .
, . """
О Y6 У з + У 6 + У 7 """""Уз ({Jз
О + + %
. .
YI6"1 + У 5 6"5
y 1 J 1 16
J6 Jз
у 4 J 4 +J з
(7.31)
Для составления уравнений с напряжениями ветвей дерева
'необходимо вычислить матрицу проводимостей сечений
У(С) == QУ(В)Q(т) (7.32)
И матрицу токов сечени(t
j(c) == Qj(B) Q У(В) (B). (7.33)
I10сле вычислений
[ Уl+ У6 Y6 Y6
Y6 У 6 +У 2 + У Ii У 6
Yв У 6 У з + У в + У 7
О У 5 Y7
YIJ1+j6
У 5 6" 5" 16
Jз 16
. .
Y46"4+Y56"1i
О l [ Ol l
У 5 И 2
Y7 ИЗ
У 4 +У Ii +У.. И 4
в рассматриваемом примере можно уменьшить на единицу
ПОрядок' матриц у(У) и у(С), если в ветви 6 з,:менить источник
тока j 6 Эквивалентным источником Э. д. с. 6"6 == jroL 6 J 6. I1ри.
ЭТом узел 2 устраняется.
Вычисляя матрицу контурных сопротивлений
Z(K) == BZ(K)B(T) (7.34)
и матрицу контурных э. д. С.
(K) == B (B) BZ(B)j(B) I
,(7.35)
199
получаем контурные уравнения:,
[ Z2 + Z4 + Z5 Z2' , Z4 ] [ j{K) ]
Z2 ZI + Z2 + Z3 +Z6 Z3 K)' ===
Z4 ZЗ Z3+Z4+Z7 I1 К )
r 6"4+6"5 l
== rё 1 ZзjЗ+Z6j6 '
, 6"4 zзJз
r де I (K) == j. j(K) == j. j(K) == j ,
1 5. 2 ' 6, 3 7' ,
Выражения (7.30) (7.35) аналоrичны выражениям (4.16).
(4.17), (4.23), (4.24), (4.28), (4.29).
Как и цепях с источниками постоянных э. д. с. и токов,
узловые и контурные уравнения и уравнения с напр'яжениями
ветвей дерева в комплексноЙ форме можно составить Henocpek
ственно при рассмотрении CXeM]?I.
Если матриuы У(В) или Z(B) представлены, в виде суммы трех
матриц, то матрицы у(у), у(с) И Z(K) также MorYT ,быть записаны
в виде CYMMbi трех слаrаемЫfс. Например, при Z(B) == R(B) + jroL<B) +
+. О(В) матрица контурных сопротивлениЙ
!Ш
Z(K).== R(K) + jroL(K) + O(I(),
!Ш
rде на основании выражения (7.34)
R{к) == BR'B)B(T); L(K) == BL(B)B(T); О(К) == ВО(В)В(Т).
Матрицы R(K), L(K) и O(I() мржно записать непосредственно
при рассмотрении схемы. Так, для схемы н.а рис. 7.10, а
, .
[ '2+'4+'5
R(K) == '2
'4
'2 '4 ]
'1 +'2 о ;
о '4+'7
l
О
С 5
[ L2 L2 О ]
L(K)== L2 L2+L6 О. ;
о о L7
о
1 1
С З Св
О 1 +
С З С З C2
Подобным образом, з писывают слаrаемые матриц у(у), у(с),
если проводимость каждоЙ ветви схемы выражена в виде суммы
,.активной, емкостноЙ и индуктивной проводимостей.
Аналоrия ,между' уравнениями цепей с источниками постоян-
ных и rармонических э. д. С. и токов пОЗволяет сделать вывод,
что все методы расчета, рассмотренные применцтельно к цепям
постоянноrо тока, приrодны и для расчета цепеЙ при rармониче-
ских э. д. с. и токах. -
Б(К) == о
200
.Комплексный потенциал каждой точки схемы можно изобр.а
зить вектором на комплексной плоскости. Тоrда напряжение
между любыми двумя точками цепи будет определяться разностью
векторов, для нахождения которой достаточно провести прямую
линию между концами соот-
ветствуЮщих векторов. Получен-
о ный вектор должен быть на-
'правлен к концу уменьшаемоrо
вектора.
Векторную диаrрамму ком-
плексныIx потенциалов схемы'
называют т о п о r раф и ч е -
с к о й - диаrраммой. Каждой'
точке схемы соответствует оп-
ределенная точка топоrрафиче-
ской диаrраммы. Базо ому узлу, потенциал KOToporo принят
равным нулю" на топоrрафической диаrрамме соответствует на-
чало координат. .
На рис. 7.11 показана неразветвлеН!lая схема с током / и
напряжением между точками 1 и б (; == rff. ДЛя построения век-
торной топоrрафической диаrраммы потенциал, одной из точек.
например точки б, принимают равным нулю (Ф6 == О). Тоrда.
. i обходя контур в направлении" прq-
тивоположном направлению тока 1,
определяют потенциалы остальных
точек рассматрив!,емой. схемы. Потен-
циал Ф5 == Ф6 + т 3/ == r 3/ Йзобr.ажен на
рис. 7.12 в виде вектора rзi, конец
Koтoporo обозначен циф'рой 5: Поте!!-
циал Ф4 == Ф5+(1/jroС) / == тз/ jxcl.
Конец вектора jxcl. обозначенный
цифрой 4, определяет потенциал Ф4'
равный сумме напряжений на сопро-
тивлениях т 3 и хс. Аналоrично оп-
ределяют ротенциалы Ф3 == Ф4 + T2i; Ф2 == Ф3 + jroLi == Ф3 + jxLi;
Фl'==Ф2+rl/. Соот етcrвующие им векторы показаны на рис. 7.12.
причем Фt == (; == rff.
у множенце вектора на j ( j) приводит К повороту ero на
уrол 'п/2 в направлении, протщюположном направлению движе-
ия часовой стрелки (по направлению движения часовой стрел-
ки). НаПр'имер, векторы jxcl и jXL/ повернуты относительно
вектора / на уrол n/2 в противоположные .стороны (напряже-
ние jxcl отстает .от тока, а напряжение jxa опережает ток на
уroл n/2). .
На топоrрафической диаrрамме векторы напряжений между
любыми двумя точками имеют направления, противоположные
I 7.4. Топоrрафические диаrраммы
1jj
5
4/ . rzi
Рис. 7.12
lТ; 2 L 3 '2 4
Ф7:l
б тj 5
Рис. 7.11
'201
"-
положительным направлениям напряжениi!- относительно tOOТBeт-
ствующих точек на схеме. Напряжение U24===Ф2 Ф4 (рис, 7.11)
(направленное от точки 2 к точке 4) направлено от точки 4
к точке 2, что объясняется правилом вычитания векторов: раз-
. ность векторов всеrда направле-
на в сторону уменьшаемоrо век-
тора.
При построении т.опоrрафиче-
ских диаrрамм разветвленной цепи
можно также показать векторы
'Он токов в ветвях, векторы всех э. Д. с.
и токов источников токов.
Пример 7.4. На рис.- 7.13 изображе-
на схема электрической цепи и указаны
ее параметры. Определить токи во всех
ветвях схемы и напряжение (I==.tf;, если
ток /5== 1 А. Построить топоrрафическую
. диаrрамму и векторную диаrрамму токов.
_ Реш е н и е. Еслi'l вектор тока '5 направить по оси вещественных величин
('5=:=/5== 1_ А),. а потенциал точки 4 принять равн.ым !lУЛ (Ф4==0), 'ТО Фз ==
==fP4+1"5==1 В. Ток /4==1Л2 . jO,5 А, а ток /3==/4+'5==I jO,5 А.
Потенциал Ф2==фз+( jО,5)/з==l iО,5(l jО,5)==О,75 jО,5 В. потен-
циал Ф5 == Ф4 ( jO,5) /3 == jO,5 (1 jO,5) == 0,25 + jO,5 В.
Разность потенциалов узлов 2 и 5
== == A + M j
j1 ом j 0,5 ОМ
2 J
--------;:> i,
..........pjJ
t
t
jOm
jlz
fi
2Q !
I:i
!i4
5. 4-
:/0,5011
20М
10м
Рис. 7.13
следовательн о,
12==U25/2 0,25 jO,5 А; 11==j2+jз==О,25 jО,5+j jO,5 I,25 j А.
Ha дeM потенциалы Фl и Фв:
Фl Ф2+ jl . 11 (O,75 jO,5)+j (l,25 j)== 1,75+jO,75 В;
Фв==Ф5 1./1 ==0,25+ jO,5 1.25+j==........1 +jl,5 В.
Напряжение (j :S ==Фi------Фв== 1,75+ jO,75 + 1 jl,5==2,75 jO,75 В.
На рис. 7.14 построены топоrрафическая диаrрамма и векторная диаr.
рамма токов.
+j
)
Рис. 7.14
в 518 9
Xt,=8011 Х =4 8 пI1Xl=15011
(;, иl1 .r(; l 1/' 2
r,=JOM '. х с =150м '2=50М
П 4 Н ;}"' fU
11. '50M J 12 _ t .
! fj= 120м [,2
t/
2
Рис. 7.15
При мер 7.5. На рис. 7.15 изображена схема электрической цепи и ука-
ваны ее параметры, .определить токи в ветвях схемы с помощью контурных
202
. . 'зо...б> '30.
и уЗJIовых уравнений. если fff {== 120е/ В. (D 2 == 22Ое' В. Построить топо-
rрафическую диаrрамму и векторную диаrрамму токов.
Реш.е н и е. Контурные уравнения схемы имеют вид
(Z. +ZЗ) 1. +Z3 1 2==<ffli Z3 / 1+ (Z2+ ZЗ) 12== ,
rде
ZI + ZЗ== 3+ H8 4) + 12 + Н32 16)== 15 + i Ю Ом,
ZЗ== 12+H32 16)== 12+j16 Ом,
Z2+ Z3==6+ j (16 8)+ 1 + j (32 16)== 18+ j24 Ом.
\ Запишем эти уравнения следующим образом:
(15+j20) 1.+(12+jI6) 12== 120е;30";
(12+jI6) 1 1 +(18+j24) f 2 ==220e i30 "
или
25ei53.1°/. + 20еi5з,I°/2== 12Oe i30 o;
20e i5 3... 1 °/. + 3Oei53.1° 12== 220e i30 o.
Решая два уравнения совместно, получим:
1.== 2,28e i23.1° А;
1;==8,86e i23.1° А;
Is==/. +12==6.58e i23.1° А.
Задаиная схема имеет два узла,
поэтому при Ф2 == О для потенциала Фt
справедливо уравнение
I ФJ + + ) == J.1. + \
\Z. Z2 Z3 Z. Z.
откуда
/}.i + 2
Z. Zt
Фi
+ + .
Zt Z2 Zs
" Токи ветвей определим из выражений
. .
jl== ,gi Фt . l == ,g2 Ф2 . I == Фз
Z{ ,2 Z2' 3 Z3 .
+1
+j -.
)
i,
Рис. 7.16
На рис. 7.16 построены топоrрафическая дИаrр'амма напряжений и BeK
торная диаrрамма токов.
7.5. Основные свойства и преобразования цепей
.с источниками rармонических 3. д. с. И токов
Основные свойства цепей. В электрической цепи, содержащей
ИСТОчники rармонических э. д. С. и токов, для MrHoBeHHbIX мощ-
НОсТей ветвей выполняется соотношение
в
hPk == h щik==О,
k k 1
(7.36)
203
дОказательство KOToporo совпадает с доказательством равенства
(5.1). Так как комплексные действующие значения токов ветвей
удовлетворяют уравнению А i (в) == О, справедливо уравнение
:110 :110
.А (в) == о, rде I(B) матрица комплексных величин, сопряженных
с комплексными действующими значениями токов ветвей.
С помощью ПОСfIеднеrо уравнения леrко доказать соотношения:
. в в
S k == Uk!k . о; (7.37)
k 1 k 1
.i"ZZ(B) i z == [ (B)]T i z + (iJ(B)Y j(B); (7.38)
в в. B:IIO
h ZkH k == c8'k1zk + UkJ", (7.39)
iI k 1 k 1 k 1
rде Iz == [J Zk] матрица токов в сопротивлениях ветвей Zk' ДOKa
зательство равенств (7.37) +(7.39) аналоrично доказательству
выражений (5.1), (5.4), (5.5).
Равенства (7.37), (7.38) представляют собой математическую
формулировку баланса комплексных мощностей. В правой части
равенства (1.39) записана сумма комплексных мощностей, reHe
рируемых источниками э. д. с. и тока:
Ба _ В В В
iffkJ Zk + Ukjk== Skист== Р kИСТ +i Qkисто
k 1 k 1 k I' k 1 k 1
Подставляя в левой части равенства (7.39) вместо Zk сумму
Rk+ jX k и приравнивая соответственно -вещественные и мнимые
части равенства, можно получить:
в в
h rkI k == Р kИСТ ;
k .1 k 1
(7.40)
в в
XkI k == Qkист'
k 1 k 1
(7.41)
Таким образом, в цепи с rармоническими э. Д. с. и токами
выполняется баланс активных и р'еаКТИВI;IЫХ мощностей: актив
ная мощность, rенерируемая источниками
энерrии, равна активной мощности, pac
сеиваемой в сопротивлениях rk; реактив
ная мощность источников энерrии равна
реактивной мощности в реактивных соп
ротивлениях Xk (реактивная мощность ин
дуктивностей учитывается с положитель-
ным знаком, а емкостей с отрицатель-
ным).
Принцип наложения, свойство взаимно
сти, теоремы о компенсации и об эквива
лентном источнике (см. rл. 5) справедливы и для цепей с rapMo-
.ническими Э. д. с. и токами. Математические соотношения для
lBx
I. i l
и р
Рис. 7.17
204
таких цепей записьmают в комплексной форме аналоrично COOT
ветствующим 'соотношениям для цепей 'постоянноrо тока. Напри-
мер, по теореме об эквивалентном источнике TO в любоЙ ветви
, U
схемы может быть наЙден 'из выражения i == Z + Р Z ' аналоrично
ВХ
ro (5.50). IJолученному выражению соответствует эквивалентная
схема на рис. 7.17, подобная cxeMe Ha рис. 5.12.
Пример 7.6. Каким 'ДОЛЖНО быть сопротивление ветви Z==r+jx раз
ветвленной схемы ДЛЯ Toro, чтобы в этой ветви выделялась максимальная
актИВНаЯ мощность Ртах (параметры OCTa,fIbHbIX ветвей неизменны).
, Реш е н и е. ,Если ВХОДное сопротивление относительно выделеННОЙ ветви
ZBX ==r ПХ + jx BX ' то мощность
rU'
P==r!2== р
, (r+ r BX )2 + (х+х вх )2'
При любом r мощность Р будет наибольшей, если х+хвх==О. Из УСЛOlЩЯ
r rU J O
dr L<r+rBx)2.
найдем r==r BX ' Таким 'образом, максимальную мощность получим при Z ==
==rBx jxBX(r==rBX; X== XBX)' ,Максимальное значение мощности Ртах ==
== Щ/,!r ВХ'
J'\1етоды преобра.зования схем с источниками rармонических
в., д. с. и токов. Все методы преобразования, рассмотренные
в 5.6 5.9, применимы и к схемам с rармоническими э. д. с.
и то ами. Соответствующие СООТIюшения записывают в комплекс-
ноЙ форме. В р зультате' преобразованиЙ схем с источщшами
rармонических э. д. с. и токов MorYT получиться ветви с отри
цательным активным сопротивлением.
7.6. Анализ цепей при изменении парS?Jiетров
Линейные и KpyroQble диаrpаммы. Во мноrих практических
задачах требуется исследовать влияние различных пар'ам тров
на характеристики режима цепи. Такое исследова'шiе можно
выполнить с помощью построения rодоrрафов (rеометрических
мест) концевых точек векторов, изображающих комплексные
величииы. rодоrрафы в общем случае имеIqТ слщкную форму_
Здесь будут рассматриваться простеЙшие rодоrрафы, представ-
Ляющие собоЙ прямые линии или окружности.
Пусть некоторая ветвь 'схемы содержит два послецовательно
соединенных элемента с комплексными сопротивлениями ZI ==
;== Zlе/ЧJ' и Z2 == Z2еiЧJ2, причем ZI' (jJl и (jJ2 неизменны, а модуль Z2
сопротивления Z2 изменяется в пределах от О до 00. В таком
Случае комплексное сопротивление ветви
Z == ZI + Z2 == Z + Z2e/rp2
\
Изменяется так, что rодоrраф сопротивления Z на комплексной
плоскости IOлучается в виде прямоЙ линии. На рис. 7,18 пока за н
205
rодоrраф сопротивления Z при (jJl> О. (jJ2> О, (jJl> (jJ2 (пря-
мая MN).
Комплексная проводимость ветви
у == . l/Z1.' == Yi
Zl+ Z 2 7+ Z2 1+ Z2 еj(ЧJ2 ЧJд.
Z1. Zl
Если отношение Z21Z1 == n, а ЧJ2 (jJl == 'ф, то
У]
У == l+neJ '
, При 'изменении модуля Z2 и, следовательно, отношения
n == Z2/Z1 (Zl == сопst) rодоrрафом проводимости У будет окружность.
jjI + Действительно, для любых значений п сумма
N векторов У и пYe; равна неизменному век-
тору Y 1 :
Вектор nYej получается при изменении
длины вектора У в n раз и поворота век-
тора пУ на уrол 'Ф (если 'Ф > о вектор по-
ворачивается в направлении, противополож-
ном направлению движения часовой стрел-
ки). При любом значении n уrол' между
векторами У и пУе jф не меняется и равен
:тt 'Ф. Таким образом, сумма изменяющих-
ся по величине и по. направлению векто-
ров У и пYej и уrол между ними не из-
меняются, что возможно только в случае,
если rодоrраф конца вектора У представляет собой окружность
с хордой У 1 .
На рис. 7. 19 показан rодоrраф У при 'Ф < о (!рl > (jJ2)' При
n == О конец вектора У совпадает с точкой 8 к (У == У 1 ); при n ==
+
+j
Рис. 7.18
У +-nУе jф == У 1 .
\
.j
.1
Ul
11
vlz = coпst
z2=lIor
Z2
.
J"K
j
Рис. 7.19
Рис. 7.20
== (х) с точкой О (У == О). При n ':"'" n' и п == n" конец вектора У
совпадает с точками окружности 8' и 8" (У == У', У == У").
В схеме .на ррс.. 7.20. напряжеНf!:е (; и ток i связаны cooт
ношениями U==ZI, I==уи, rде Z . 1+Z2; Y==I/Z. Если цеп
присоединена К источнику тока J == 1 == сопst J то напряжение и
206
при изменении Z2 изменяется по закрну, совпа:дающему с зако-
ном изменения Z. rодоrраф вектора U в данном случае является
прямой линией. Если цепь присоединена к источнику Э. д. с.
;g == (; === сопst, то при изменении Z2 ток' i изменяется по закону,
совпадающему с зак ном изменения комплексной Проводимости У;
rодоrраф вектора 1 окружно ь, которую строят следующим
образом, Вектор напряжения U откладывают по оси веществен
ных величин (рис. 7.21). Вектор тока
. . и -.
1 к === У 1 и == e JfPf
Zl
отстает по фазе от напряжения
строится в масштабе т] в виде
при Z2 == О, т. е. при замк-
нутом сопротивлении Z2)' За-
тем продолжают отрезок OS K
(штриховая линия SKN ) и под
уrлом 'ф == (jJ2 qJ1 К лучу ON
проводят прямую SKM, кото-
рая является касательной в
точке 8 к к искомой окруж-
ности. Если из середины хор-
ды 08 к восставить перпен-
дикуляр и провести ero до
пересечения с перпендикуля-
ром, опущенным из точки 8 к К
прямой 8 к М (или до пересечения с перпендикуляром, опущенным
из точки к продолжению прямой 8 K Q , проведенной под уrлом 'Ф
, к лучу ON), то точка С пересечения этих перпендикуляров опре-
делит центр искомой окружности. Зная центр окружностч
и точки О и 8 к , лежащие на окружноc:rи, строят rодоrраф вектора 1
или круrовую диаrрамму тока 1. Круrовая диаrрамма на
рис. 7.21 построена для 'Ф < О. Рабочая часть окружности рас-
положена по .ту же сторону от вектора 08 10 что и прямая 8 K Q.
Если 'Ф > О, то рабочая часть окружности расположена с дру-
rой стороны вектора 08 к . '
Докажем, что отрезки 88 к , 8 K 8 Z2 и 88 Р 2
ЦИональны соответственно напряжению и 2 ,
и активной мощности Р2 (см. рис. 7.20).
Так, напряжение
. . -.. u ( и и )
и 2 == u Z11 ==и Z1 Zl+ Z 2 ==Z1 Zl ZI,+Z2 .
Так как (;/Z1==i K ; U/(Z1+Z2)==i, напряжение (;2==Z1(iK j).
Векторы тока j к и i изобр ажены на рис. 7.21 отрезками OS K
и Ь8 , а их разность показана, OTpe KOM 88 к . .Если масштаб для
(; на уrол !Р1 и на диаrрамме
отрезка 08 к ' 1 к/т] (ток i к == i
()
(j
N
tJI cfj
(рис. 7.21) пропор-
сопротивлению Z
201
тока равен т/ (А/см), то
(;2 == m/Zl ( OS K OS ) =::: m/Z1 88 K.
Модуль напряжения
И 2 == m/zll 88 к 1== ти. ! 8S K 1,
rде ти. == m/Zl масштаб для напряжения И 2 ; В/см; I 88 к I длина
вектора 88 к , см. I
Сопротивление
Z2 == и 2 == mU.ISSKI
'2 т/I 08 1 .
Е<;ли OTpe OK 08 продолжить до пересеченця с прямой s,д,
'то полученньJ;fr треуrольник 08 K S z . будет подобен треуroJ.IЬНИКУ
03S K . Из подобия этих треуrольников
I SS KI ! s:sz. \
1 0 8 1 I I .
q8 K .
СледоватеЛЬНQ,
". . mu.1 8 K 8 z .\ I I
Z2 == I I mz. SKSZ. ,
т/ 08 к
rде
ти' m/z 1 Zi m/z 1
т ·
z2 т/lbsKI m/108KI 1 08 KI 'к
масштаб для сопротивления Z2' Ом/см. ,Таким образом, отрезок
I 8K8 z I пропорционален сопротивлению Z2'
Если из точки S провести прямую, п раллельную SKQ , до,
пересечения с хордой OSK ' то полученный отрезок I 8S p.1 будет
пропорционален мощности Р2' Действительно,
.
Р2 :""" И 2 ! COS!P2 , mu.1 sS KI т/ 1 08 I cos 912'
Из подобия треуrольников 088 к и 08p.S следует, что
I S8 K 11 OS 1==1 sS p.11 08 к 1,
поэтому
Р2 ==ти.т/ COS!P2 J 08 K II 8S p .1 ==тр.1 s8 p .l,
тде
тр. == ти.т/ cos !Р21 08 к I == т /Zl m / COS!P2 Z == т/И cos !Р2
'. /
/" масштаб для мощности Р2' Вт/см.
Как ,показщю в. rл. 5, цри изменении сопротивления одной
113 ветвей разветвленной схемы токи и напряжения любых двух
еетвей'связаны линейными соотношениями. ЭТо положение'спра-
l едливо не только в це.пи с источниками постоянных э. д. с.
и токов, lю и в цепи t источниками I;'армонических Э Д. с,
208
и токов, ,если соответствующие соотнош ния записа.ны для KOM
плексНЫХ величин.
пусть изменяется модуль .Z2 комплексноrо сопротивления Z2
одной из ветвей разветвленной схемы на рис; 7. 22. При этом
параметры остальных. ветвей неизменны. Torдa ток в любой
ветви, например ток 11, свя Zl
з.анс током j 2 линейным co
отношением
11==A+Bi2'
rде А и В комплексные KO
эффициенты.
,При р зомкнутоЙ ветви
2 (/2 == О) 11 . 1 1р ' Следова
тельно, А == I 1р : При за!"lКНу'-. . .
TOi! ветви 2 (и 2 == О) 12 == 12K,l1K == 1 1р + в 12'0
, J1p)/12K' Таким образом, ток в ветви 1 .
1 ! + jlK jlP I
1 1р i 2K 2.
...,...-i:>
12' l
2
А
(п)
l4
z2 lIar
(fJ2 coпst
Рис. 7..22
откуда 'В == (/1I{
На 'основании теоремы об эквивалентном, источнике
/2 == U 2p /(ZBX + Z2)'
I'де (;22 напряжение на зажимах ветви 2 при ее размыкании,
ZRЖ. входное . сопротивление схемы относительно зажимов,
О к которым прчсоеди.нена ветвь "'2.
'4 2 Учитывая /2к . U 2p /Z B X., выра-
жение для тока /1 можно пред-
ставить в виде
. . jlI{ jlP .
/1 == /1р + z + z ZBX. == /1р +
. вх 2
jlK jlp
о
+
l+ eilj>
ZBX.
дРl rде 'ф == (jJ2 (jJBX'
Рис. 7.23 В этом выражении второе ела-
. raeMoe аналоrично выражению для
тока 1 в схеме на ри.с. 7..20 и представляет собой уравнение
Окружности с хордой I 1К /1р' Таким образом, при. изменении
модуля сопротивления Z2 ветвИ 2 rодоrраф тока 11 является
"О ружностью. Это положение"справедливо как при наличии в цеп'и
ТОЛько одноrо источника rff 1 в' ветви 1, так и при наличии источ
НИков в друrих ветвях.
Если ОISружность на рис. 7.23 явля.ет,ся.круrо ой диаrраммой
для тока /1' то В силу соотношения /1==1 1p +BI 2 , эта окруж
НОСТь будет и круrовой диаrраммой для тока i 2. Отрезок 03
ПРОПорционален TO y 12' отрезок 018 TOKY 11; отрезки SS K'
209
",..-./
I SI,s;. 1 fI ! sS p21 пропорциональны соответственно величи ам и 2 ,'
Z2 И Р2' . Активная мощность, rенерируемая источником r!J 1 , Про
ПОрциональна отрезку I 88 Р1 I (точка 8 Р1 леЖfiт на пересечении
линий, 04на из которых параллельна, а друrая перпендикулярна
вектору и 1 ):
Р1 == и 1 1 1 cos f1J1 == и1т[\1 018 I cos f1J1 == т Р1 I З8 р> 1,
rде тР1 == и 1 т[1 масш аб для мощности Р1--
Масшта.б для тока 11 (т[1) выбирается произвольно; масштаб
для тока 12
/2 1 2к 1 2к
т[.== josKI == lilp ilKI ==т[1 Jiч) i1кl.
.,
Для масштабов ти., m z . и тР. справедливы записанные ранее
выражения,_ если в них т[ заменить на т[., Z1 на ZBX' 1 К на
1 2к , и Ha и 2р . ..1
Пример 7.7. . Построить круrовую диаrрамму для тока ii в схеме на
рис. 7.24 при изменении сопротивления Z2 от нуля до бесконечности и СР2 ==
т[1
.
j200и
. j
KZ z
1,
I
""
"
... '
'::;j'
j!ООИ
/2
, !ООи
.+j
Рис. 7.24
Рис. 7.25
== 450. Из круrовой диаrраммы определить токи /i и 12, напря ение и 2 , мощ
'ности Рl И Р2 И СОПР9тивление Z2 дЛЯ режима, в котором ток 11 совпадает по
фазе с напряжением и 1 . . .
Реш е н и е. ДJJЯ построения круrовой диаrраммы найдем токи 1 1р И I 1К :
i 1p 10 ( Ojl0) 20+j20 А;
1O jl0
200 .
/iK== 10(jl0) ==20 j20 А.
10+ jlO
Рз.зно стЬ !ip !iK== 0+j20 20+j20==j49 А. На рис. 7.25 построены век-
торы и 1 . 1 1р , I 1К И 11p /IK; масштаб для тока li равен т/.. Для определения
цеНтра окружности найдем уrол СРВХ aprYMeHT сопротивления ZBX'
т. е. сопротивления со стороны ЭНЖИlV!ОВ, К которым присое.!(инена вешь 2,
при замкнутом источнике напряжения и), из выражения
jl0 ( j20) '20 == 20 j90.
ZBX j (10 20) 1 е.
210
ТаКИМ образом, 'Рвх == 90", 'ф "'" 'Р2 Il!BX =>= 45° 90° == 450.
ПОД уrлом 'Ф==+450 К xop OSK проводим прямую SKQ. Восставляя
пеjшендикуляр к середин орды OSK и опуская перпендиКуляр из точки О
на продолжение прямой SKQ, получим центр окружности С КаК точку пере<;е-
ченИЯ этих двух перпен ДИК У ляров. Рабочая , 'Ча сть окружности расположена
по ту же сторону хорды OSкo, ч о и прямая SxQ.
Напряжение I
. 01' '20 200 '20 ) 400 В
U2P== jlO j20 ( 1) jlO j20( 1 == ·
тОК
, i 2K == 02pj Z BX == 400jj20 == j20 А.
Масштаб тока для 12
m ==т 1 2к
1. 1, I i i 1 .
1p 1К
Опреllелим масштабы nля напряжения и 2 , сопротивления Z2 П мощно-
сти Р 2 :
т u . ==m 1 ,zBX;
m z ==z /\ OS j ==m 1 z / 1 2 ;
2 ВХ К 2 ВХ К
т р . ==тl,и 2р cos 'Р2'
Масштаб для. мощности P i
m p , 7 U 1 m I,.
Искомые величины получим из круrовой диаrраммщ
11 "",m I , \ 01 S 1==28 А;
12==т 1 .\ OS \"",11 А;
и 2 "",т u .\ SS K 1"",220 В;
Р 1 ""'тр, I 01S \ ==5,6.103 Вт;
Р 2 ==тр.1 SS P.\ "'" 1690 Вт;
z2"",m z .1 Sz,S KI"",20 Ом.
Линейные и KpyroBbIe диаrраммы, аналоrичные рассмотрен-
ным, можно получить при изменении комплексной праводимости.
Если ветвь содержит две параллельно соединенных ветви с про-
водимостями У 1 И У 2 , то суммарная комплексная проводимость
у == у 1 + У 2 == Y1e jfJJ, + Y2e jfJJ.
при изменении У2 и постоянных У1' ер1 И ер2 изменяется так, что
rодоrрафом У являe'tся' прямая линия. rодоrраф сопротивления
Z:::; l/У в этом случае предст?вляет собой окружность. При .Ha
пряж нии ветви на зажимах U . сопst rодоrраф вектора тока 1 ==
=== УU прямая линия, а при 1 == сопst rодоrраф вектора напря-
жения есть окружность, аналоrичная показаннои на рис. 7.21.
Если изменяется модуль проводимости одной из ветвей разветв-
211
ленной схемы при неизменном ар rYMeHTe , то для напряжения на
зажимах' друrой ветви можнq построить I\руrовую диаrрамму,
аналоrичную ДЩlrрамме тока /1 на рис. 7.23.
Линейные ,и -круrоВbIе диаrраммьi получаются и при изменении
aprYMeHToB 'комплексных сопротивлений и проводимостей. Так,
rодоrрафом СOlJротивления Z == Z1e!fJJ; + Z2ejfJJ2 при изменении apry-
мента fPz и при п()стоянных Z1' Z2- И fP1 является окружность.
rодоrраф проводимости У == I/Z представляет собой также окруж-
ность.
7.7. Анализ резонансных явлении
Резонанс напряжений. В , 6.6 резонаНСОМ'напряжений назван
такой режим последова'l'ельной rLС цепи (см. рис. 6.22), при KO
'r1 ,r
тором частота о) источника э. д. с. равна частоте 0)0 == 1./ r LC.
близкой к частоте собственных колебаний цепи (при условии, что
потери в цепи сравнительно малы). При (J) == 0)0 реактивное сопро-
тивление цепи X==XL XC==O, поэтому резонанс напряжений можно-
L': 'i. определить как режим цепи, при котором
ее входное реактивное сопротивление paв
но нулю.
Так как x==O)L l/roC, то резонанс
можно достичь, изменяя частоту или ин-
дуктивность (емкость) цепи.
При резонансе
O)oL== I/О)оС== У ЦС ==р.
, а)
О)
Рис. 7.26
(7.42)
Величина р не зависит от частоты и называется х а р а к т е -
р и с т и ч е с к и м с о п' р о т и в л е н и е м контура.
Напряжения на индуктивности и емкости при резон:ансе равны
по величине и противоположны п'о фазе; напряжение на сопро-
тивлении равно напряжению U источника (см. рис. 6.27, в). Отно-
шение напряжений при резонансе
Q == U L/U == ис/и == р/ /rl == р/' (7.43)
называют д о б Р о т н о с т ь ю контура. Контуры, применяемые
в радиотехнике, имеют добротности, paSHble десяткам и сотням
единиц.
Реаo!lьные элементы (индуктивная катушка и конденсатор) обла-
дают потерями и Moryт быть представлены последовательными
эквивалентными схемами (рис. 7_26, а, б). Сопротивления rL и 'с
отражают наличие потерь. Если индуктивную катушку и конденса-
тор соединить последоватеJ1ЬНО" то активное сопротивление схемы
, ==rL +,с. В такой схеме '
I/Q == '/р== ('L+rC)/p == rL/p + 'с/р == I/QL + I/Qc
или
,
'Q == QLQC
- QL+Qc'
212
rfie QL == рlп == O)oLItL добротность индуктивной катушки; Qc ==
== p/rc == l/O)oC,c; добротность конденсатора: Добротность контура
меньше добротностей катушки и конденсатора..
Если при резонансе ток i==lmsiп(О)оt+'Фд; uc==Ucmsin{O)ot+
+ 'Ф, n/2), то суммарная энерrия маrнитноl'O и электрическоrо
поле,Й, связанных с индуктивностью и емкостью, . .
Li2 CUt L1 CUtm
W м + w в == 2 + == 2 siп 2 (O)ot + 'Фд + cos 2 (<iJot + 'Фl) ==
L1 сиЪт
== ==
так как
L1 L (юоси ст)2 сиЪт
2 == .
Энерrия W м + w в не зависит от времени;. уменьшение (увели
чен.ие) напряже»ия на емкости и уменьшение энерrии электри
ческоrо цоля сопровождаются увеличением (уменьшением) rOKa и
энерrии маrнитноrо поля и наоборо
х
ip
+ 7t
2
CtJ
о
CtJ
J(
2
Рис. 7.27
Рис. 7.28
За период Т цепь потребляет от источника энерI:'ИЮ
W == РТ == (РТ == rI (Т/2).
Отношение
L1 L (jJoL Q
2 == ,Т == 2rn == 2п .
2 .!.!.!i!...
2
Следовательно, добротность Q пропорциональна отнощению
суммарной энерrии маrнитноrо и электрическоrо полей, связан-
ных с индуктивностью .и емкостью при резонансе" к энерrии, рас-
сеиваемой в' контуре за период. . . '
На рис. 7.27 и 7.28 показаны соответственно- зависимocrи
х (О) == XL (О) Xc (О) и (j) (О) == arctgXlr. называемые ч а с т о т,.
wм+w з '
w
(7.44)
213
н ы м и характеристиками контура. Зависимости тока / и напря
жений U L, U С 'от частоты, называемые рез о н а н с н ы м и xapaK
теристиками, строят по соотношениям:
U и
/==z== ; ( 1\2;
JI у 2 + wL ооС )
U L == O)L/ == wLU .
11 ( 1 \2 '
у2+ wL )
. шС
и с ==..!../ == U , .
шС wCVr2+«QL I/wC)2
РезонаНfные характеристики изображены на рис. 7.29.
J
10
1
...L.
v2
Ы С Ы О UJ L
UJ
Ы, Ы О Ы 2
Рис. 7.30
lJJ
Рис. 7.29
.
Как видно из резонансных характеристик, ток достиrает макси-
мума при 0)==0)0' Из уравнений dUL/dO) ==О, dUc/dO)==O получают
выражения для частот O)L и О)С, при которых напряжения U L и
U С имеют максимум: .
; 2 / ;"2Q2
O)L == 0)0 JI 2 (у/р)2 0)0 JI 2Q2 1 ;
;2 (y/p)2 ; 2Q2 1
О)с roo JI 2 0)0 JI 2Q2.
При этом O)L> 0)0' О)С < roo; произведение О)LФС == O) . Если
добротность Q < IiY2", то значения частот O)L и О)С будут мни-
мыми, т. е. кривые U L и и с не имеют максимума.
Выражение для тока можно преобразовать к следующему виду:
/ == и [о
r1l1+( W L )2( : й; y 1Il+Q2(: :OY '
rде 10 == U / r ток при резонансе.
214
. На рис. 7.30 показаны зависимости ///0 от частоты для раз-
личных значений добротности. Область частот IOt о) 0)2, В ко-
торой ///0 I/V2, называют полосой про пускания кон-
тура (в' этой области частот сопротивление контура мало). Из,
приведенных кривых видно, что 'чем больше' добротность, тем
меньше полоса пропуекания, т. е. выше избирательные свойства
контура. Для частот 0), близких к 0)0' разность
О) 0)0 (О) 0)0) (О) + 0)0) 2ш""0) 2""0)
0)0 Ш == 0)0)0 R::; 0)0)0 == % '
rде /10) == о) 0)0' На rраницах полосы пропускания 2/10)/0)0 ==
== + l/Q, следовательно, для контура с высокой добротностью
IOt R::; O)o/Q.
Из выражения,
следует, что rраничные
нию 0)1ffi2 == O) .
Иноrда резонансные кривые строят в функции величин, назы-
ваемых р а с с т рой к а м и контура [x/r обобщенная расстройка;
/10) == о) 0)0 абсолютная расстройка; (0)/0)0) (0)0/0)) относитель-
ная расстройка]. Зная зависимости /, U L , и с от частоты 0), можно
строить зависимости /, U L, U С от расстроек.
Резонанс токов. Резонансом токов назван режим цепи на
рис. 6.28, при котором частота источника тока 0)==0)0== l/V LC .
Если о) == 0)0' то реактивная проводи
масть Ь == b L Ь с == О. Поэтому резонанс
токов можно определить как режим це-
пи, при котором ее входная реактив-
ная проводимость равна нулю.
Частотные характеристики U (0),
IL(O), /с(о) цепи на рис. 6.28 аналоrич-
ны соответственно частотным характе-
ристикам / (0), и с (0), U L (О) цепи на
рис. 6.22. На рис. 7.31 показана схе-
ма, содержащая две параллельно соеди-
ненные ветви. Частота О)Р' при которой в цепи наступает резонанс
токов, определяется из условия Ь == о:
Ь Ь +Ь I/О)рС, + O)pL о
== 1 2 == ri+(i/O)pC)2 ' +(O)pL)2 == .
I10сле преобразований получаем
rf+(O)pL)2 l+r (О)рС)2
L С
определяющеrо rраницы полосы пропускания,
Q2 ( 0)0 ) \2 == 1
0)0 О)
частоты 0)1 и 0)2 удовлетворяют соотноше-
йl j
.!
lс
'2
с
L
Рис. 7.31
откуда
, 1 -. / L/C r -. / p2 r
О)р == VLC JI LLC ri == % JI p2 ri J
rде 0)0 == l/LC; р == V ЦС О.
. 215
Как видно из выражения дЛЯ О)Р' резонанс токов возможен
при одновременном выполнении УСЛQВИЙ Р>'1, Р>'2 или p<r1,
р < '2' Если эти условия не выполняются, то О)р мнимое число.
В случае, коrда '1 == '2, ',о)р==о)о, При '1=='2==Р, O)p==OjO, т. е.
резонанс токов наступает при любой частоте источника. При этом
эквивалентное сопротивление контура
Z1 Z 2 (p+jroL) (p j ы ) р2 [2+j ( Ц ..:.. p c )]
Z== == == == р
ZI+ Z 2 2р+j(qL ' ш ) P[2+j( ro , p c )]
не зависит от частоты. Следовательно. ток i ==- Ujp в неразветв
ленной части схемы также не зависит от частоты.
Если '1 Ц '2 сопротивления, учитывающие потери реальных
койденсатор и: Индуктивной катушки ('1=='С' '2=='L). то, как
правило, Р>'1. Р>'2; при этом O)p O)o'
ш
си
а)
о)
Рис. 7.32
в контуре без потерь ('1 =='2 == О) ток J == ЬU == о; токи I L И i с
равны по величине и ПРОТИВОПdложны по фазе. На рис. 7.32, а, б
построены соответственно частотные характеристИIШ Ь С (0), b L (0).
Ь (ro), I ь (О) I и 'р (О) == arctg (bjg) контура с потерями. дуальноrо
последовательному контур у ,LC.
,Эквивалентное сопротивление контура с потерями
Z' == Z1 Z 2 == (rl + j X l) (r2+ jx 2 ) == ('1 + jxJ) ('2+ jx2)
, ZI+ Z 2 r1+r2+j(xl+X2) r+jx'
rде Х1 == IjroC; Х2 ==O)L; , =='1 +'2; Х==Х 1 +Х2. В результате
прость х 'преобразований
Z' =='з + jх з ,
rде
'IZ +'2Z XIZ + Z
'е == r2+x2, ; Хе == у2+х2 .
При резонансе Х е . р ==,0. Для контуров с высокой добротностью
о)р roо и Х o)oL l/O)oL о; сопротивления Z1 ljffi o C; Z2 O)oL.
216
РезонансНое значение сопротивления 'в
'1 «(iJ o L)2+ r 2 ( O':/C )2 (oocЦ2 1 р2,
'в. Р r2 ,О ,==, == , (оооС)2 == r == Qp.
Если ю--+О, то ' --+'2' xb--+юL При ю--+оо ''& '1 , хз--+ I/roC.
На рис. 7.33 показаны зависимости '-s' Х'& И Z == у '; +х; от ча
сТоты; при резонансе сопротив-
ление контура имеет наибольшее
значение. Если цепь ри:с. 7.31
присоединена. к источнику тока,
то зависимос:r ь U (ю) аналоrич-
на завиСИМОСТИ z (ю). В случае,
коrда контур присоединен к ис-
,точиику напряжения, зависи-
мость тока внеразветвленной
части схемы .ОТ частоты строится
по соотношению 1 == U/z (ю).
Резонанс в сложных цепях. В
цепях, одержащих несколыso
ветвей с индуктивностями и емкостями, уравнения х == О, Ь == О
(х и Ь соответственно входное реактивное сопрcrrивление и вход-
r'
ная реактивная проводимость) MoryT иметь нес .олько веществен
ных значений корней. При этом нулевые значения также Moryт
прин,Имать реактивные сопротивления или проводимости отдель
, j i
...........-.с>
PJ l c l c
с
I 2
I L 2
iJ и rz
а) бj
Рис. 7.34
,-
z '3
Ха
си
Рис. 7.33
ных ветвей. Это означает, что в цепи возможны несколько резо-
нансов. Например, в сложном параллельном контуре на рис. 7.34, а
iJри Ю1 == 1/J! LC 1 В первой ветви наступает резонанс напряже
ний, а iIри Ю2 l rVLС [С==С 1 С 2 /(С 1 +С 2 ); потери малы] ре
ЗОнанс токов. В сложном параллельном контуре на рис. 7.34, б
при Ю1 I!J/ LC .(L==L1 +L 2 ; потери в контуре малы) имеет место
резонанс ТОКОВ, а. при Ю2 == 1/У L 1 C резонанс напряжщIИЙ в пер-
217
вой ветви. Зависимости полноrо сопротивления от чаС'toты z (О)
. контуров рис. 7.34, а, б приведены соответственно на рис. 7.35, а, б.
z
z
ИJ/ ИJ 2 UJ
. а)
"
Рис. 7.35
Если контуры присоединены к источнику тока, то зависимость
напряжения на заЖИМ;:IХ контура от частоты аналоrична зависи-
мости z (0).
7.8. Основные апrебраические выражения
для BXOAHblX И передаточных функций
Расчет токов и напряжений ветвей .схемы может быть сведен,
как видно из формул (5.10) и (5.19), к расчету входных и вза.
имных сопротивлений и проводимостей, коэффициентов передачи
тщ<а и напр яжения, которые называются в х о Д н ы М и и пер е .
д а т,о ч н ы м и (схемными) функциями. В цепи с rармоническими
токами 11 напряжеНI:!ЯМИ схемные функции представляют собой
в общем- случае комплексные величины.
Любые входные и передаточные функции выражаются через
,определители определенных матриц узловых проводимостей, кон. .
турных сОпротивлений или проводимостей сечений и (или) алrе-
браические дополнения элементов этих определителей. На рис.
7.36 показана схема, в которой выделены дВе ветви: т и n.
В схеме имеется только один источник энерrии источник тока j т'
Для всех у узлов этой схемы можно записать матричное урав.
нение
Yll ... YliYljY1kYll ... У 1 , У Фl О
Y i1 YiiYljYikyи ... Yl,y Фi j
Yj1 YjiYjjYjkYjl ... Y j . y фj . .0
Y k1 ... YkiYkjYkkYkl'" Yk,y Фk О (7.45)
У l1 YиYljylky и ... Yl,y , Фl jт
Уу,l... YYiYyjYYkYYl." Yy.y Фу о
218
Матрица узловых токов в правой части уравнения (7.45)
содержит только два ненулевых элемент.а в i. й и l й строках.
Если принять потенциал y-ro узла fPy == О и отбросить y e
уравнение (соответствует вычеркиванию y ro столбца и у й строки
j lu m I
п
I &} ! z!i'
Рис. 7.36
в неопределенной матрице узловых проводимостей), то потен.
циалы узлов i, j, k и 1 определяют следующим образом:
/), r) /),}r) J .... /), y) /),}у)
Фl == /), (у) т, Фi == /),(у) 1т;
л (у) л (у) л (у) л (у)
L>ik L>lk. L>u Llll .
Фk== /),IY> J m ; Фl== /),IYJ J m .
rne /).(у) определитель определен ой матрицы узловых проводи-
u . Л (у) Л (у) Л (у) б '
мостеи, L1ii . L1li , ..., L1ll алrе раические дополнения элемен-
. тов У и , У и , ..., Уа определителя определенной матрицы, при-
чем л (у) л !у)
L11t L1tl .
Учитывая, что Um==Фl Фl' iin==фf Фk' определяют выраже-
ния для следующих функций:
входноrо сопротивления т й ветви
(;, /), !у) 2/), (у) + /), (у)
Z == == " l, II ( 7.46 )
,,!т j m /),IY>
взаимноrо сопротивления той и п й ветвей
U л (у) л (у) л (у) л (у)
. n Llij Lllj Llik Lllk
Znm=="""""""-==
, 1т /),(У,)
коэффициента передачи напряжения
zj, /),(у) /),(у) /),(у) /),(у)
к(и) n ij lj ik lk
nт== и ' == /),!Y) 2/)'(Y) + /),(Y)
т ' tt lt и
Входная проводимость т-й ветви
У тт ==JmiU";== J/Zтт.
Поскольку ток в п й ветви i n == Уnи n (У n == I/Z n ),
Циент передачи тока
(i) ..
Кпт == /п/1. т == Znтyn,
(7.47)
(7.48)
, (7.49)
то коэффи-
(7.50)
219
взаимная проводимость
Уnm==lпfЙm==К Уn' (7.51)
Выражения для функций (7.46) (7.48) упрощаются, если
вместо Фу о принять Фl == О И отбросить l e уравнение (соответ-
ствует вычеркиванию [ ro столбца и [-й строки неопределенной
матрицы):
t.(y)
Z н
тт == t.(Y> ;
(7.52)
Znm
t. (у) t. ( k Y )
// /
t.'YJ
(7.53)
"
t.(Y) t.(Y)
К (и) ij ik
nт t.(y)
//
(7.54)
Определитель, ыу) определенноЙ матрицы узловых прЬводи
мостей в соотношениях (7.52), (7.53) и (7.46), (7.47) имеет
одинаковое значение; алrебраические дополнения элементов Ун,
Уц, Y 1k В формулах (7.52) (7.54) не равны алrебраическим
дополненияtf тех же элементов в формулах (7.46) (7.48).
Симметричное алrебраическое дополнение l) в соотношениях
(7.52), (7.54) представляет собой определитель определенной
матрицы узловых проводимо
стей схемы, которая получается
из схемы на рис. 7.36, если
узлы i и 1 объединены (вычер-
кивание i ro столбца соответст-
вует заземлению i ro узла).
При вычислении ш редаточ-
ных функций не обязательно при-
менять .симметричную опреде-
ленную матрицу. Можно перейти
к определенной матрице путем вычеркивания внеопределенной
матрице столбца и строки с различными номерами.
В схеме на рис. 7.36 в качестве ветвей дерева можно выбрать
источник тока j m И сопротивление Zn' Тоrда из уравнений
с напряжениями ветвей дерева
. t. . ; t. .
и т == t./C! 1т; и n == t.'c> J m ,
п
j;)zn J
_ и п
Рис. 7.37
rдеА.(С) определитель матрицы ПрОБодимостей сечений; A. ,
A. n алrебраические дополнения элементов этоrо определиТеля.
Из выражений для напряжений й m И й n следует:
Z A(C) f A(C).
тт Llmm Ll ,
Z А (С) f A (С).
пт Omn Ll t
K == А. /А. :п.,
(7.55)'
(7.56)
(7.57)
220
в формулах (7.55), (7.57) алrебраическое дополнение
представляет собой определитель матрицы f1рово;:имост й сече-
'ний схемы, которая получается при замыкании т и ветви дерева
в схеме на рис. 7.36. На рис. 7.37 изображена схема, Б которой
выделеНЫ т-я и п я ветви и котор я содержит только один
источник энерrии источник э. д. с. tff т' Контуры в этОй схеме
выбирают так, чтобы токи в вьщеленных ветвях были равны
соответственно контурным токам m ro и' п ro контуров. .Из кон-
турных уравнений Находят
А (к). А (к) .
. JJ. mm tff . JJ. mn tff
/т=== ,т; /n=== ДIК) ,т,
rде Ы К ) определитель определенной матрицы контурных сопро-
тивлений; ln, алrебраические дополнения элементов этоrо
определителя.
Из выражений для токов получаются следуЮЩие функции:
входная проводимость той ветви
У / ., jp А (К) А (к).
тт === m/(D m /J.mm//J. ,
(7.58)
взаимная проводимость той и п й ветвеЙ
.;" -. А (К) (к).
У nт === 1 n! (D т === /J.mn/ ,
(7.59)
коэффициент передаЧИ тока
Kf:, == i,J i m === hji1J::ln. (7.6(»)
Входное сопротивление т-Й ветви можно найти как величину,
обраТJIУЮ проводимости (7.58). 'Учитывая, что напряжение (;n ===
== Zn/ n> выражения для взаимноrо сопротивления и коэффици
ента передачи напряжения записьrnаются в виде:
.. (i)
Zпm === U n// m === KпmZn;
(u) . ;"
Кnт =>= Un/(Dm === YnmZ n '
(7.61 )
(7.62)
Формулы (7.58).+(7.60) дуальны (7.55)+(7.57). В выраже-
ниях (7.58), (7.60) алrебраическое дополнение !n представляет
собоЙ определитель определенной матрицы контурных сопротив
JIений схемы, КОТорая получается при размыкании m ro контура
в схеме на рис. 7.37 (вычеркивание m ro столбца эквивалентно
'I1риравниванйю нулю тока m-ro контура).
Если через ветви т и п замыкается более одноrо KOHTypHoro
1'ОКа, то также можно установить соответствующие выражения
Для схемных функциЙ..В частности, если через ветвь т..замы1
!<ается контурный ток / т, а через ветвь п контурные токи / р
J1 1 q в противоположных направлениях (так что в сопротивле-
lilШ Zn ток in==jp jq), то дЛЯ ФУНКЦ!IЙ У nm И K 1п yдyт спра-
221
ведливы выражения,. аналоrичные выражениям (7.53) и (7.54):
д(К) д(К)
У пт == тр тq . ( 7.63 ) '
дШ) ,
л(К) л (К)
(i) lJ.тp lJ. тq
Кпт == д(К)
,тn
(7.64
Особенности алrебраических методов расчета входных и передаточных функ.
ций. Трудоемкость вычисления определителей, алrебраических дополнений и
следовательно, входных и передаточных функцнй зависнт в первую очереДI
от сложностн схемы; число слаrаемь!х, получаемых при' разложении опреде
лителей и нх алrебранческих дополнений, растет с увеличением чисЛа узло!
н ветвей схемы.
При разложеннн определителей (алrебраических, дополнений) H€Koтopы€
слаrаемые ,попарно им-еют одинаковую величину и противоположные знаки (
сокращают я; чнсло сокращаЮIЦИХСЯ слаrаемых может быть даже больше чист
слarаемых, которые входят в окончательное выраженне для определител5
(алrебраическоrо дополнения), н резко возрастает прн усложнен ни схемы.
Наличне одннаковых по величине и противоположных по знаку СЛ8l'аемы}
объясияется тем, что проводнмость (сопротнвление) ветви записывают в соот,
ветствующую матрицу как с положительным, так и с отрицательным знаком.
В частности, в неопределенную матрицу узловых проводимостей ПрОВОДИМОСТI
каждой ве1'ВИ записывается -два раза с положительным знаком на rлавноi!
диаrонали как слarаемое собственной проводнмостн узлов н два раза с отри,
цательным знаком вне rлав1J:ой диаrонали как общая ПрОВОДИll!ОСТЬ узлов.
Для одной и той же схемы число слаrаемых, получаемых при разложе.
нии определителей ДtY', д/с) И дlК) Н их алrебраических дополненнй (с уче.
том сокращающнхся слarаемых), в общем случае не одинаково. Кроме Toro,
общее' число слarаемых может зависеть от выбора заземленноrо узла, -дерева,
контуров, а также от номеров строки н столбца, вычеркиваемых из неопре.
деленных матриц. Число положительных слаrаемых -после сокращения во всех
случаях одно и то Же. .
Непосредственное вычисление только несокращающнхся слаrаемых опре-
делителей н алrебраических дополнений возможно при ИСПОЛЬ30Ванни топо-
лоеuческих формул. которые рассматрива ся В следующей rлаве,
rЛАВА в
тополоrИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕR;
СОДЕРЖАЩИХ ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
БЕЗ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ .
.8.1. Тополоrнческне формулы для 'расчета определителей
матриц УЗJlОВЫХ ПРОDоднмоотеи и ПрОDОДНмостеи сечеНtlИ
Тополоrическая формула для расчета определителя матрицы
узловых проводимосте!'. Определи ель определенной матрицы
узловых проводимостеи, называемыи в целях краткости у з л о
в ы м о пр е Д е л и т л е м Д. (у) , равен сумме произведений про
Бодимостей ветвей всех деревьев схемы:
n д
д.(у) == YjlY j2 ... Y j (y l)'
i 1
rAe Y j1 Y j2 ... Y j (Y l) произведение ПРОВОДИJ\lIOстей ветвей j ro
-дерева, n д число всех возможных деревьев схемы.,
Выражение (8.1) представляет собой тополоrическую формулу
для расчета узловоrо определителя.
Доказательство формулы (8.1) следует из равенства (7.30),
cor ласно которому узловой определитель вычисляют как опреде-
литель произведения матриц:
д.!У> == det (А У(В)Ат).
(8.1)
Если обозначить А У(В) == Рl' Ат == Р2' то
/,!У == det РI Р 2'
В теории матриц доказывается следующая теорема об опре-
делителе произведения двух матриц (теорема Бине Коши): опре-
делитель nроuзведения матрицы. Рl размера т Х n на матрицу
Р2 размера nХт (т n) равен' сумме nроuзведенuй всех cooтвeт
сmвующих миноров максuмальноео порядка fn матриц Рl и Р2'
Здесь СО от ветств ующ и м и называют миноры матриц Рl и
'Р2. которые образованы столбцами матрицы Р 1 и строками MaT
РIЩы Р2. имеющими одинаковые номера. Если минор матрицы Рl
СОстоит из столбцов этой матрицы с номерами k 1 , k 2 , ..., k т ,
то соответствующий ему минор матрицы Р2 должен со тоять
, Из строк этой матрццы с номерами k 1 . k 2 . .... k т .
На ОСновании сформулированной теоремы определитель /,!(у)
равен сумме про изведений миноров максимальноrо порядка матриц
Рl "'= А У(В) и Р2 == Дт; причем порядок миноров т == у 1. На ве-
ЛИчину определителя /,!(у) влияют лишь миноры, отличные от
нуля (ненулевые миноры).
В rл. 2 было ДDказано, что все неособенные 11ОДJ\IIатрицы
ПОРЯдка у 1 матрицы А соответствуют деревьям схемы, а. их
Определители равны -+- 1, Т. е. все ненулевые МИНОР1?I порядка
223
y 1 соответствуют дер вьям схемы и равны + 1. Так aK Y(R)
диаrональная матрица, _ при умножении матрицы А на матрицу
У(В) элементы k-ro столбца матрицы А умножаются на проводи-
мость У k k й ветви схемы. Элементам + 1, 1 и О в k-M столбце
матрицы А соответствуют элементы + Y k , Y k И О В k-M СТО,1Jбце
произведения матриц А У(В). Следовательно, все ненулевые миноры
- порядка у 1 матрицы Рl == А У(В) соответствуют деревьям схемы.
С помощью разложения j ro ненулевоrо минора можно доказать,
чrо ero величина равна произве-
дению проводимостей ветвей j-ro де-
рева, взятому с положительным (от-
рицательным) знаком: + Yj1Y j2 , ...
.,. Y j , y l (см. аналоrичное дока-
Yz щпельство величины ненулевоrо
минора матрицы А, приведенное
в rл. 2).
Ненулевые миноры порядка
у 1 матрицы Р2 == А т соответст-
У 3
2
у/
4
'.а)
8
. .
r1 1J v,И r,N с:
v, у,
, "4
IX v, J4
у, у, -
, - ys It
::J К Ж
yz \$ у. \05,
liJ fj .
l1:
б)
Рис. 8.1
вуют дер вьям схемы и равны + 1, так как взаимная переста-
новка строк и столбцов не меняет величины минора. Знаки
соответствующих ненулевых миноров матрицы Рl == А У(В) и Р2 ==
== А т одинаковы (каждая пара миноров соответствует одному и
тому же дереву), поэтому j-e произведение соответствующих мино-
ров, равно произведению ПРОВОДимостей ветвей j ro дерева, взя-
тому с положительным знаком. Сумма произведениЙ всех соот-
ветствующих миноров матриц А У(В) и АТ равна сумме произведе-
- ниЙ проводимостей ветвей всех деревьев схемы'.
На рис. 8.1, а показана схема, все деревья которой изобра-
. жены на рис. 8.1, б. В соответствии с формулоЙ (8.1) определи-
224
телЬ этой схемы
) + + + + +
+ + + + + +
+ у 2 у 4 у 5 + V з V 4 V в + V з V 4 V 5 + V З У 5 V в+ у 4 у 5 у в .
Число деревьев схемы. Если применить теорему об определи
теле произведения двух матриц к произведению АА Т, то число
деревьев схемы
n д == det (АА Т).
(8.2)
Действительно, соответствующие ненулевые миноры порядка
у 1 матриц А и А Т одинаковы и равны +- 1; число таких мино
ров совпадает с числом деревьев. .
Из формулы (8.1) вытекает еще один способ нахождения числа
деревьев. Если проводимость Каждой ветви схемы принять paB
ной единице, то узловоЙ определитель бу.дет равен числу деревьев.
Тополоrическая формула для расчета опредеЛJ:lтеля матрицы
проводимостей сечении. Ненулевые миноры порядка !i 1 MaT
рицы сечений Q, так же как и миноры узловой матрицы А,
соответствуют деревьям схемы и равны +- 1 (см. rл. 2). Поэтому
определитель матрицы проводимостеЙ' сечениЙ ,
(c) == det QY(B)QT
равен сумме произведений проводимостеЙ ветвей деревьев схемы:
n д
(c) == Vj1Yj2'" VjY l.
j 1
(8.3)
Таким образом, (y) == (C).
Равенство определителей Ы У ) и (C) можно доказать непо-
GpедсТвенно из выражений для матриц У(У) и У(С). Матрица про- _
водимостей сечений
У(СI == QУ(В)Qт.
rде Q == А д l А.
Следовательно,
у(с) == А д lА У(В)АТ (А д 1 У А д lУ(У) (АдТ,
rде У(У)==АУ(В)АТ. Матрицы A;t, у!у), (А д 1 У являются квадрат-
ными. Известно, что определитель произведения квадратных мат-
риц равен произведению их определителеЙ *, поэтому
det ус == det А I / det У(У) det (А д l)Т.
Определитель подматрицы Ад, соответствующей дереву, равен
::!:: 1. Отсюда
det у(с) == ( +- 1) det у(у) ( +- 1) == det у(у).
· Для двух квадратных ма,риц сформулированное положение можно рас-
СМаТРИВать как частный случай теоремы Бнне Кошн.
8 пlp. Ионкина, т. 1
991.
Ненулевые миноры порядка у 1 матрицы А (матрицы Q)
соответствуют деревьям и равны + 1 при любом заземленном
узле (любых сечениях). Поэтому справедливо следующее утверж-
дение: узловой определитель (определитель матрицы проводимо-
стей сечений) имеет единственное значение независимо от выбора
заземле ноrо узла (сечений).
8.2. ТОПОЛОПlчесиие формулы для расчета апrебраичесинх
дополнений элемеитов узловоrо определителя
Симметричное алrебраическое дополнение. Алrебраическое
Дополнение дJr) , получаемое вычеркиванием j ro столбца и j й
строки Ир определителя Д (у) , представляет собой определитель
схемы, образуемой при замыкании j ro
узла с базисным (заземленным) узлом.
Поэтому для расчета Д 7/ справедлива
формула, аналоrичная (8.1).
. Заземление j ro узла приводит к вы-
черкиванию i й строки в узловоЙ мат-
рице А. Поэтому
Д r) == A I У (B)A:" j , (8.4)
rде A I узловая матрица схемы, в кото-
рой j-й узел заземлен. Эту матрицу полу-
чают вычеркиванием j й CTpOКI в матрице
А. Применение теоремы Бине Коши к выражению (8.4) приводит
к тополоrической формуле для д}r) , аналоrичной (8.1). Например,
при объединеl:!ИИ узлов 1 и 4 в cXeJVre на рис. 8.1, а получают
схему, rраф которой показан на рис. 8.2. Деревья rрафа на
рис. 8.2 приведены на рис. 8.3, а. Алrебраическое дополнение
Д r) в соответствии с тополоrической формулоЙ состоит trз восьми
положительных слаrаемых, равных произведению проводимостеЙ
ветвей деревьев:
д1i) == У 2 У з + У 2 У в + У 2 У 5 + У з У 4 + у 4 у в + У з У 5 + У 5 У в + У 2 У 4 .
2
1,4
3
Рис. 8.2
.
Подrрафы исходной схемы (см. рис. 8.1, а), образуемые вет-
вями деревьев на рис. 8.3, а, показаны на рщ:. 8.3, б. Они содер-
жат все узлы схемы, имеют число ветвей у 2 и состоят ИЗ двух
частей, одна из которых может быть отдельным узлом (узел 1-
или узел 4).
Подrраф, состоящиЙ из двух изолированных частей (одна
из которых, в частности, является узлом), содержащИй все узлы
схемы и не имеющий контуров, назьmают 2 д е р е в о м (читается
ДBa дepeBOM). Чтобы подчеркнуть, какие узлы находятся в раз-
Личных частях 2 дepeBa, можно применить обозначение Т 2 (l,Л'
Например, 2 деревья на рис. 8.3, б являются 2-деревьями типа
T 2 (1,4) (узлы 1 и 4 находятся в различных частях 2 дepeBa).
226
При замыкании i ro и j ro узлов 2 дepeBa получают дерево
с числом ветвей, равным у 2. Таким образом, алrебраическое
дополнение }y) равно сумме произведений проводимостей ветвей
всех 2 дepeBьeB типа Т 2 и. У)' если У заземленный узел.
Несимметричное алrебраическое дополнение. Для вычисления
алrебраическоrо ДОПОЛ!lения Ж) (j '* k) 'необходимо найти дe
ревья двух схем: схемы, получаемой при объединении j ro узла
с базисным, и схемы, получаемой при .объединении ro узла
;1 'J . /1 6
. yz yz
, .
к к к )(
1'4
а)
f f)1 ' '!\J
'J v.;
2 yz yz
t:
49 J 4 ' J 4 4 \ J 48 J
( . 8 i f 2 'к 'Х 2
ys \$
. J'4 6 J
\4 у. .
'4 8 8 3 4 6 J
(jJ
Рис. В.3
с базисным. Часть деревьев этих двух схем' попарно состоит
из одинаковых ветвей. Такие деревья называю! общими деревьями
двух схем. Сумма произведениЙ проводимостей ветвей общих
деревьев равна алrебраическому дополнению }'f2.
Для доказательства сформулированноrо тополоrическоrо пра-
ВИJIа можно записать
Ж) == ( IY+kMjk'
['де M jk определитель матрицы, которая остается после вычер-
КИвания j й строки и k ro столбца в матрице У(У). Так как У(У) ==
== А У(Ii) дт, вычеркивание j й строки (k-ro столбца) в матрице у(у}
эквивалентно вычеркиванию i й строки в матрице А {k-ro столбца
8-
<)<)7
й. матрице А Т). Следовательно,
M jk == det (A ) у(в) дт--.... k ). (8.5)
rде A j, A k узловые матрицы схем, в которых заземлен i й или
k й узел. Такие матрицы получают при вычеркивании i-й или
k-й строки в матрице А.
Ненулевые миноры порядка у 2 матрицы A } (A k) COOТBeт
ствуют деревьям схемы с заземленным i M уз.лом (заземленным k-M
узлом) и равны + 1. Ненулевые миноры ПРОИЗБедения A ! У(В)
соответствуют деревьям схемы с заземленным j M узлом и равны
произведениям проводимостей ветвеИ- деревьеn этой схемы, взя- #
тым С положительным (отрицательным) знаком.
По теореме Бине Коши определитель (8.5) равен сумме
произведен й миноров порядка y 2 матриц A..jy(B) и А:.... ф Эти
произведенйя отличны от нуля только в том случае, если миноры
матриц A..jy(B) и A k соответствуют общим деревьям двух схем
(в противном случае ненулевоЙ минор. соответствующиЙ дереву
одноЙ схемы, умножается на Минор. не соответствующиЙ дереву
друrой схемы-и, следовательно, равный нулю). Таким образом,
. слаrаемые IИ jk представляют
0(" (){+1 (){+2 m 1./3' со . б й прои ведения проводимо-
. '. _ стен ветвеи общих. деревьев
j )+1 )+2 )+J kj. 1<. двух cxePil с заземленным j M или
. k-M узлом.
Рис. 8.4 Произведение каждоЙ пары
'. миноров матриц ! и A k' COOT
ветствующих общим деревьям двух схем, равно ( ly+k. ДеЙстви-
тельно. если деревья схем с заземленными j M и k-M уз.лами содер-
жат одни и те же ветви исходной схемы, то в этоЙ схеме
'существует путь между этими узлами. ветви, по которым прохо
дит этот путь, принадлежат рассматриваемоЙ паре общих деревьев ..
двух схем. Поскольку нумерация узлов ,и ветвеЙ, а также
ориентация 'ветвей произвольны, то можно' считать, что узлы и
ветви пути пронумерованы подряд, причем ветви ориентированы
, так, как показано на рис. 8.4. Тоrда подматрица Ад уз.ловоЙ
матрицы исходноЙ схемы. соответствующая у 2 ветвям рассмат-
рl:lваемых общих деревьев, имеет вид ,
а a+I а+2 а+З ... 1
j
i+ 1
i+2
i+З
Ад == :
k i
k
I I I
1 О О О ... О О
1 I О О ... О О
О 1 1 О . . . о о
о о I 1 ... О О
.
О о о о ... i i
о о о о .., о 1
I I
, ,
228
Если к столбцу а прибавить столбцы а+ 1, а+ 2, ..., р,
'!'о '.матрица Ад преобразуется в матрицу
а а+l а+2 а+3 ... 1 ...
j
j+l
j+2
'+3
АА === 1 :
k i
k
I I
1 О О О ... О О
О 1 О О ... О О
О 1 I О .. . о о
о о l 1 . . . о о
. . . .
. . .. . . . . . .
о о о о ... 1 i
l О О О ... О I
,
I
Таким образом, с помощью линейной комбинации столбцов
матрицы Ад получена матрица АА' у которой в. столбце а имеется 1
в j Й и 1 в k й строках, причем все остальные элементы
столбца а равны нулю. -.
Миноры матриц A J и A Т;, рассматриваемоЙ пары общих де-
реш,ев ;:" это определители матриц, полученных из матрицы Ад
вычеркиванием j й или k й строк. Эти определители равны опре
делителям матриц, полученных из матрицы АА вычеркиванием j й
или k СТРf;)К, так как линейная ,комбинация столбцов не изменяет
величины определителя.
Определитель матрицы АА( Л или .A ( k), получаемой при
вычеркивании из матрицы АА j-й или k й строк, может быть най
ден путщ разложения по элементам столбца а. Так, если
из матрицы АА вычеркнуть j ю строку, то в столбце а останется
лишь один ненулевоЙ элемент l, который находится в (k lН'!
CTpOKe (при вычеркивании j й строки номера последующих строк
уменьшаются на единицу). Следовательно,
det АА ( j) == ( l ) +k l ( l) D == ( пCЦТ;, D,
rде D определитель матрицы, получаемой из матрицы А; при
вычеркивании j й и k Й строк и столбца а.
Если из матрицы A вычеркнуть k-ю строку, то в столбце а
останется лишь один элемент + 1 в j й TpOKe. Поэтому
det АА ( k) == ( 1 ух+/ D.
Пр6изведение
det АА ( j) det АА ( k) === ( l )2а+/+Т;' D2 . ( l Y+k,
поскольку D === + 1 как определитель подматрицы узловоЙ матрицы
дерева. Таким образом, произведение пары миноров матриц A I
и A k, соответствующих общим деревьям двух схем, равно ( I)j+k.
Этот результат справедлив для любоЙ нумерации узлов и ветвей
и произвольной_ориентации ветвей.
1."
-:l29
Знаки соответствующих миноров матриц Д ; у(В) ''!l Ar___..k опре
деляются знаками миноров матриц Д I I! A k' П,оэтому определи
тель (8.5) имеет общий множитель ( I)J+k. В разложении алrеб
раическоrо дополнения Ж) ='" ( I)/+k M jk присутствуют только
положительные слаrаемые, равные произведению проводимостеЙ
ветвеЙ общих деревьев схемы с заземленными j"M и k"M узлами.
Рассмотрим алrебраическое дополнение д. ) схемы на рис. 8.1, а.
Деревья rрафа, полученноrо при объединении узлов 1 и 4
(см. рис. 8.2), приведены на рис. 8.3, а. Если в исходной схеме
объединить узлы 2 и 4, то результирующий rраф (рис. 8.5, а)
1
у,
.
t4
aJ
J
2,4
L..Y, Y,
f'\ Ji
OJ
Рис. 8.5
будет иметь деревья, изображенные на рис. 8.5, б. У rрафов
с заземленными узлами 1 и 2 имеются четыре общих дерева.
Эти деревья содержат ветви Y2 УЗ, Y2 УО, УЗ У 4 , Уз УО.
-В результате алrебраическое дополнение равно сумме четырех
слаrаемых, равных произведению проводимостей ветвей общих
деревьев:
1 ) == Y2Y + У 2 Уо+ V З У 4 + У З У 5'
Тополоrическое правило для алrебраическоrо дополнения )
можно ви;доизменить. Деревьям схемы, получаемой при заземле-
нии j ro (k-ro) узла, в исходноЙ схеме соответствуют 2 деревья
типа Т 2 и, У) (Т 2 (k, у». Общим деревьям двух схем соответствуют
2 деревья, у которых j-и и k-й узлы находятся в одной части,
Т. е. 2-деревья типа Т 2 Uk, у)' Таким образом, алrебраическое
допоЛНение } равно сумме произведений проводимостей ветвей
230
всех 2 дepeBьeB типа Т 2 (jk, у). В частности, для схемы на рис.- 8.1, а
алrебраическое дополнение f ) равно сумме произведений про-
водимостей ветвей 2 дepeBьeB типа Т 2 (12,4) (рис. 8.6).
f 2 1 2 t Z' 1 2.
8 8
. Ij !\:
J
vz J$
40 J Jo4 .J
40 J 4 8 8 40 J
Рис. 8.6
Если обозначить через W ,y сумму произведений проводимо-
стей ветвей 2-деревьев типа Т 2 (jk, у), ТО
л{у) W
/J. jk == jk, У.
Формулу для симметричноrо алrебраическоrо дополнения можно
рассматривать как частный случай формулы (8.6):
) == W j , У. '
Разность алrебраических 1\ополнений. При вычислении, п реда-
точных функций B соответствии с pa
венствами (7.53); (7.54) необходимо
знать. разность алrебраических до-
полнений вида r) K)' НО
л(у) W л(у) W
иц if, у и /J.ik ik, у'
поэтому
л (у) л (у) W W
/.J.ij /J.ik if, у lk, у.
(8.6)
(8.7)
1 .
. Ij
8 2
2
\р У 6
4 J
4 8
y.t
8 J
Рис. 8.7
Если 2 деревья типа Т 2 (if, у) содержат k й узел в одной или
в друrой части схемы, то
Wij. у == W ijk , У + Wij, ky.
rдe W Uk , у (Wij. kY) сумма произведений ПР080димостей Ветвей
Z-деревьев типа Т 2 (ijk, у) (Т 2 (Ц, kY»' Аналоrично,
W1k,y== Wiik,y+ Wik,fy'
rде W ijk, у (W ik, jy) сумма произведений проводимостей ветвей
2 дepeBьeB типа Т 2 (ifk, у) (Т 2 (lk, f »' .
Таким образом, алrебраические дополнения y) и Мк) имеют
общие слаrаемые, равные W ijk , у' Если исключить общие слаrае-
Мые, то разность
л (у) л (у) W W
/J.ij /J.lk Ц, ky ik, fy.
При заземлении узла 1 вместо у (см. 'рис. 7.36) разнос!ь
л(у) лУ) W W
U,ij --- /J.ik == {}, kl ik. }l'
(8,,8)
231
:.- В частности, для схемы На р»с.. 8.1, а разность /).12 А 18 ""'"
--:-:-, W 12,84 W 13,24; 2-деревья типов Т 2 (12,34) И Т 2 (13,24) приведены
На рис. 8.7 (имеется только одно 2-дерево типа Т 2 (1з,24) И одно
типа Т 2 (12, 84»' Соответственно разность АI2 А1З==УЗУ4';"'УI;У8'
8.3. Рааложение уаловоrо определителя и anrебраических
допonиениli ero алементов
Расчет входных и передаточных функций тополоrическим ме-
тодом СВОДflТся к вычислению по тополоrическим формулам узло-
Boro определителя, алrебраических дополнений ero элементов ,или
разности алrебраических дo
полнений.
Особенность . тЬполоrиче- '
ских формул состоит В том,
что они позволяют записать
без вычисления большоrо
числа сокращающихся сла-
rаемых только положитеJ1Ь-
ные слаrаемые узловых опре-
делителей (алrебраических дополнений). Непосредственное пере-
числение всех деревьев схем с большим числом узлов и ветвей
(деревьев) я;вляется сложной задачей. Эта задача упрощается,
если применять разложение узловых определителей на множители
или слаrаемые с общими множителями. При этом расчет узловоrо
определителя (алrебраи-
ческоrо дополнения)
сложной схемы посте-
пенно можно свести к
расчету определителя
простой схемы, все дe
ревья (2 деревья) кото-
рой очевидны.
Разложеиие узловоrо
определителя. Для про-
стых схем, содержащих небольшое число деревьев, пр именение
тополоrической формулы (8.1) не вызывает затруднений. Напри-
мер, для схем, rрафы которых приведены на рис. 8.8, а, б и имеют
соответственно два и четыре дерева,
1,
сх:=>
,
oj
v,
о
w
а)
Рис. 8.8
у,
о
а)
v,
Рис. 8.9
А(У) == У 1 + У 2 ; (Y) == !У 1 + У 2 ) (У 8 + У 4 ).
Определитель схемы, имеющий rраф на рис. 8:9, а с Тремя
деревьями,
А(У) == у 1 у 2 + V 1 V з + у 2 у 8 .
Определитель схемы, rраф которой показан на рис. 8.9, б и '
содержит 9 деревьев:
А(У) == (у 1 у 2 + V 1 V з + 2Y8) (Y YI;+ У4У6+ уоу 6 )
232
. fрафы на рис. 8.8, б и 8;9, б состоят из' двух подrрафов,
Jiмеющих один общий узел. Определитель всей схемы получают
как riроизведение определителей п<?дсхем: .
л(у) л (у) л (у)
il ill il2 ,
(8.9)
rде A Y) и I1 Y) определители подсхем.
Формула (8.9) справедлива для схемы любой сложности, со-
стоящей из двух подсхем, имеющих один общий узел. Действи-
тельно, каждое дерево всей схемыI образуется любыми двумя
деревьями под схем , а при умножении определителей A r) и A Y)
учитываются все возможные комбинации пар деревьев подсхем.
Если схема состоит из двух изолированных подсхем. одна
из которых .является отдельным узлом, то определитель схемы
равен нулю, так-как две подсхемы можно соединить ветвью
с нулевой проводимостью и каждое дерево схемы будет содержать
эту ветвь. .
На рис. 8.10 изображена схема, которая образована двумя
подсхемами N 1 и N 2 , имеющими два общих узла i и k. Опреде-
. литель -всей схемы
A(Y)==A Y)A )+A Y)Al ),(8.10) 1 , " , 1 '. J : . I М ? 1
rд.е A ) (A Y» определитель под /v, L
схемы N 1 (N ) при разомкнутых
зажимах i, k; Alr (A r) опре-
делитель подсхемы N 1 (N 2 ) при
короткозамкнутых зажимах. р 8 10
Для доказательства формулы ис. .
(8.10) следует учесть, что каж
дое дерево всей схемы содержит путь между i M и k'M узлами.
Этот путь может проходить по ветвям подсхемы N 1 ИЛи N 2 . Если
дерево содержит путь между i M и k-M узлами в подсхеме N 1,
то такое дерево состоит из дерева подсхемы N 1 и 2-дерева типа
Т 2 (j, k) подсхемы N 2 . Но 2 дepeBO подсхемы N 2 становится дере-
вом при замкнутых зажимах i и k. Сумма произведений прово-
димостей ветвей всех 2 дepeBьeB типа T 2 (j,k) подсхемы N 2 pa-':JНа
. определителю L1 ). При умножении определителя A Y) на A ) учи-
тывают все возможные комбинации деревьев подсхемы N 1 и 2 дe-
ревьев подсхемы N 2 , Т. е. все деревья схемы, содержащие путь
между i M и k-M узлами в подсхеме N 1. Аналоrично находят все
деревья схемы" содержащие путь между i M и k-M узлами в под-
схеме N 2 . В результате получается формула (8.10).
" ПРltмер 8.(. Вычислить определитель fj.IYI схемы на рис. 8.Н, а по фор
муле (8.10).
Ре щ е н и е. РаСС\l10ТРИМ данную схему как две подсхемы. имеющие два
общих узла 1 и 2 (рис. 8.11,6, в).-
Найдем определители подсхем:
AfY) (Yl+Y Y a +(Yi+ Y 2) У,+У а У 4 ; - А1 У )==У Ii (У..+У 7 )
233
При кормком замыкании узлов 1 и 2
Ll r == У 1 + У 2 + V 3; Ll ) == У 5 + У в + У 7 .
В соответствии с формулой (8.10), определитель схемы на рис. 8.11, (J
'LlIYI==[(Vi+ y (V З + V + V з V 4 J (У 5 +У 8 +У 7 )+ У 6 (У в +У 7 ) (У 1 +V n +У з ).
1 f 1
J
J
2
а)
5)
Рис. 8.11
2
2
.6)
Пусть одна из подсхем на рис. 8.10 представляет собой отдель-
ную ветвь схемы с проводимостью Y f . Тоrда по формуле ( .10)
!l(Y) == Yf!lf+bl, (8.11)
rде !lj опреде;JIитель схемы при. короткозамкнутой ветви У;;
Ы определитель схемы при разомкнутой ветви Y j .
Формула (8.11) характеризует разложение узловоzо определи-
теля по ветви.
Рример 8.2. Вычислить узловой определитель схемы, rраф которой при.
веден на рис. 8.,11, а, с помощью разложения по ветви.
Реш е н и е. Проведем разложение по ветви V з . Если ветвь У з коротко-
замкнута, то
Ll:j==(V 1 + У n +У 4 ) (У 6 + У 8 +У 7 )+ У 6 (У 8 + У 7 ).
Выражение для Ll3 записывается сразу, так как при замкнутой ветви схема при-
обретает вид треуrольника (см. выражение для определителя схемы на
рис. 8.9, а). При разомкнутой нетви V З схема состоит из двух частей, имеющих
roлько один общий узел 1. Поэтому с учетом формулы (8.9)
Ll ==(Vi+ y [У 4 У 5 +(У 4 + У 6 ) (У 8 +У 7 Н.
Определитель схемы на рис. 8.11, а
LlIYI == V З Llз+Ll .
Пусть ветви У, и Y j схемы имеют только один общий узел,
!Причем друrие ветви с этим узлом не соединены. Определитель
схемы разлаrаем по ветви Y i :
. ЫУ) == Yi!li + !l'.
В свою очередь определители !l, и !l' разлаrаем по ветви У;:
!l,==Yj!lij+!l{; !li==Yj!l +!lij, .'
rде нижние индексы у определителей указывают номера ветвей,
которые замкнуты, а верхние индексы номера ветвей, которые
разомкнуты.
234
При размыкании ветвей У, и Y j схема распадается на две
изолированные части, одна из которых отдельный узел. с.чедо
вательнО, l1if == О. Учитывая выражения для l1 i и l1i, находим
. .
11 (у) == YiM + Y j l1} + y,Y j l1ij, (8.12)
rде М == 11}.
Если схема содержит ветви Y l , Y j И Y k , имеющие только
один общий узел, с которым друrие ветви не соединены, то aHa
лоrично предыдущему,
11 (у) == Y i l1fk + Y j l1Jk + У kl1 + У , YjM j +
+ YiYkMk+ Y j Y k l1}k+ Y i Y j Y k l1'jk' (8.13)
л jk л ik л ij
r де /J.i == /J. j == /J.k .
Формулу (8.13) можно обобщить на случай'любоrо числа BeT
вей, имеющих один общий узел.
Равенства (8.12), (8.13) характеризуют разложение оnределu
теля по узлу.
Пример 8.3. ВЫЧИСЛИTh узловой пределитель схемы, имеющий rраф
(рис. 8.11, а), с помощью разложения по узлу.
Реш е н и е. Применим разложение по узлу 3, в котором соединены ветви
у 1. У 2 И У в. Параллельные ветви У 1 И У 2 заменим одной ветвью с проводимо-
СThЮ Yl,2 Yl+Y2. При замкнутой ветви Уl,2 и разомкнутой ветви У3
Llf, 2== У4 У 6+(У4 +У 6 ) (У 6 + У 7 ).
Определитель Ll ' 2 == Llf, 2' Если замкнуть ветви У 1,2 И У 3, то Ll 1 , 2; 3== У 6 +
+ У 6 +У 7 .
в соответствии С формулой (8.12) определитель заданной схемы
Ll(Y'== У 1 , 2 :.2+ УзLlА' 2+ У 1 . 2Y3 1. 2;3==
==(У 1 +У2)Ч2+УзLl 2+(У 1 + У 2 ) У з Ll t , 2;3'
Разложение (8.13) по отношению к ветвям У 1 , У 2 И Уз при
водит к неверному. результату вследствие Toro, что ветви У 1 и
У 2 имеют два общих узла.
Следует отметить, что при замыкании ветвей схема может
выродиться в один узел. Определитель такой вырожденной схемы
следует принять равным 1.
Определитель I1(Y). можно' разложит/;> по путям между парой
узлов. Все деревья схемы содержат путь между любой парой
узлов; ряд деревьев может иметь одинаковый путь. Если обозна
чить через П k произведение проводимостей ветвей k ro пути и
сrруппировать произведения проводимостей ветвей деревьев,
имеющие общий множитель П k, ТО
I1(Y) == П k !1 k ,
k
rде множитель !1 k минор k ro пути, а суммирование выполняется
по всем возможным путям между выбранной парой .узлов.
Смысл множителя I1 k можно пояснить следующим образом.
.пусть дерево схемы содержит путь между j M и k M узлами.
(8.14)
235.
Ветви этоrо пути показаны на рис. 8.12. Узлы TaKoro пути не
MorYT быть связаны через ветви дерева в подсхеме N, так как
любое дерево не содержит контуров. Следовательно; каждое
дерево, имеющее путь между j M и k M узлами, состоит из вет-
вей пути, а также таких ветвей подсхемы N, которые образуют
не связанные между собой подrрафы. Число
j таких подrрафов равно числу узлов в пути.
Эти подrрафы заключают в себе все, узлы
подсхемы и не содержат контуров. При объ
N единении всех узлов пути (замыкании пути)
f такой подrраф подсхемы N преобразуется в
J дерево. Все возможные подrрафыi: подсхемы
k N, которые дополняют ветви пути до де-
1/ ревьев исходной схемы, содержащих рассма-
Рис. 8.12 триваемый путь, можно определить, если
найти все деревья схемы с короткозамкну-
тым путем. Т аким образом, I1 k определитель схемы, которая
получается при замыкании k ro пути исходной схемы. В частном
случае, если k-й путь проходит через все узлы cxellfuI, минор
Дk ==< 1. PaBfiHCТBo минора единице означает, что ветви пути об-
разуют дерево схемы.
Формула (8.14) характеризует разложение определt.ltпеля по
путям.
flример 8.4. Вычислить узловой определитель схемы на рис. 8.11, а
с помощью разложения по' путям между узлами 1 и 2.
Реш е н и е. Имеются пять путей между выбранной парой УЗЛОВI
Произведения проводимостей ветвей э:rих путей соответСтвенно
п 1 ==v 1 v з ; П 2 ==V 2 V З ; П З ==V 4 ; П 4 ==У 5 У 6 ; П 5 ==У 5 У 7 .
При замыкании путей V 1 У 3 И У 2 V з ветви V 5, У 6 И У 7 соединяются
параллельно, поэтому
Ll 1 ==Ll 2 == У 5 + У 6 + У 7 .
I(аждое слаrаемое миноров Ll 1 и Ll 2 соответствует дер еву cx .мы, получаю-
щейся при замыкании пути Vl VЗ (V2 УЗ)' Слаrаемые выражения
П 1 Ll 1 +П 2 Ll 2 ==(V 1 V з + V 2 V З ) (У 5 +У 6 + У 7 )
представляют собой произведения проводимостей вerвей деревьев исходной
схемы, образованных ветвями Уl УЗ Уб' Vl УЗ У6' Уl УЗ У7' Y2
Уз V б , Y2 Уз У 6 , Y2 УЗ У7' Эти деревья содержат общие пути
Yl Уз (Y2 Уз).
При замыкании пути У 4 схема состоит из двух частей, имеющих общий
узел, поэтому
Llз==(У 1 + У 2 + УЗ> (V б + У 6 +У 7 ).
I(аждое слarаемое этоrо выражения Lls есть произведение проводимостей
ветвей всех деревьев схемы с короткозамкнутой нетвью V 4' Слarаемые выра-
жения
Пs6-з==Уd, (У 1 +У 2 +У з ) (У б + У 6 + У 7 )
представляют собой произведения ПрОБодимоетеЙ ветвей деревьев исходной
схемы, содержащих ветвь У,.
23а
Еслиsамкнуть ПУТЬ Y& У в (У6 У -d, ТО
==Llб== У 1 + У 2 +V з .
Ветви У i. У 11 И У 8 являются' деревьями схемы, получающейся при !lЗМЫ-
канИИ путей У б У 6 (У б У 7)" СлаrаемЫе выражения
П4Ll +П 6 Ll б ==(У б У 6+ У 6 У 7 ) (У 1 + У 2 +У з )
соответствуют всем деревьям исходной схемы, имеющим путь У б У 6 (У:; у 7)'
Таким образом. узловой определиrель схемы на рис. 8.11, а
5
LlfY>== 'ПkLl k .
1i 1
, Разложение алrебраических дополнений и их разиостей. Раз
ложение алrебраическоrо дополнения ) аналоrично разложе
НИЮ узловоrо определителя. Все способы разложения, рассмот-
ренные ранее применимы и для вычислеl:IИЯ ), если .предвари-
тельно объединить j-й узел схемы с базисным (заземленным) узлом.
Для расчета алrебр ическоrо дополнения r,> (j #- k) следует
найти все 2 деревья схемы, содержащие путь между j-M и k M
узлами. Е ли 'каждое из таких 2 дepeBьeB дополнить ветвью
с проводИ'мостью. равной еДИНИце, соединяющей k й узел (j й)
с базисным узлом, то такие 2-деревья преобразуются в деревья,
про изведения проводимостей ветвей которых совпадают с про из-
ведениями проводимостей ветвей исходных 2 д peBьeB и которые
содержат путь от j-ro (k-ro) к базисному узлу через k й (j й)
узел по ветви с единичной проводимостью. Таким образом,
в исходной схеме можно присоединить дополнительную ветвь
между k M (j-M) И базисными узлами, проводимость которой равна
единице. Если найти все пути от j ro (k-ro) узла к базисному узлу,
проходящие через k й (j-й) узел и дополнительную ветвь *, то,
ум ожая произведения проводимостей ветвей таких путей на их
миноры и суммируя результаты, ПOJ1учаем алrебраическое ДОПОk
нение }r,
Аналоrично можно определить разность алrебраических допол-
нений ) Mr,>, для вычисления которой необходимо найти 2-
деревья типа T 2 (lj,kl) (Т 2 (ik, jl)' Если между j-M, k-M (i-M, I M)
узлами 2-деревьев I1рисоединить дополнительную ветвь с единич-
ной проводимостью, то такие 2-деревья преобразуются в деревья,
содержащие путь от i-ro к I MY узлу через узлы j, k (путь. от j ro
к k MY уз-лу через узлы i, 1). .
Т акие деревья можно найти с помощью разложения опреде
лителя. схемы с дополнительной ветвью, имеющей единичную
проводимость и включенной между j-M, k-M (i-M, I M) узлами, по
пути между i M, l-м (j-M, k-M) узлами. При этом в отличие от
.ВЬJчисления узловоrо определителя следует учитывать лишь пути,
ПРоходящи е от i-ro узла через j-й, k й узлы и дополнительную
, ,'* Если в схеме имеется ветвь между k-M и-м) и базисным узлами, то можно
J1рИнять проводимость этой ветви равиой единице (вместо присоединения допол-
нительной ветви).
. 7
ветвь (от j ro узла через i й, l й узлы). В соответствии с форму-
лой (8.8) слаrаемые, обусловленные путями i 1 k 1 (j i
------: 1 k). учитывают с положительным знаком, а слаrаемые обуслов
ленные путями i k j 1 (j 1 i k), с отрицательным
знаком.
Пример 8.5. Вычислить алrебраическое дополнение Ll ) и разность Ll1 ) ........
....... Lli ) для схемы на рис. 8.1, .а с помощью разложений по путям.
Реш е н и е. Для' вычисления Ll1 ) присоединим к схеме дополнительную
ветвь с единичной проводимостью между узлами 2 и 4 (или проводимость V 6
примем равной единице). Имеются Два пути от узла:1 через узел 2 и ветвь
с единичной проводимостью к узлу 4. Произведения проводимостей ветвей этих
ПУ1ей и их миноры сооmетственно
iI
пt==v з ; Ll t =,=V 2 +V 4 +V 6 ;
П 2 ==V 6 V 2 ; Ll 2 ==1.
Следовательно,
Ll ) ==П 1 Ll 1 +П 2 Ll 2 == V з (У2 +1'4 + YIi)+ 2Y5.
Такой же результат получим, если дополнительную ветвь присоединить
между узлами " 4 и выполнить разложение по соответсmующим путям между
узлами 2, 4.
Для вычисления разности Ll1 ) Ll1 ) дополнительную ветвь с единичной
проводимостью включим между узлами 2 и 3 (или проводимость У2 примем
равной единице). Имеется один путь 1 2 3 4, для KOToporo Пt==V-ЗV4;
.6.1==1, и один путь 1 3 2 4, для KOToporo П2==УБV6; Ll 2 ==1.
Следовательно,
л(у) л(у) п л П л Y У Y У
(}.12 (}.13 1(}.1 2'---'2 3 4 5 6'
Аналоrичный результат получим, если ветвь с единичной проводимостью
присоединить между узлами 1, 4 и выполнить разложение по сооmетствующим
путям между узлами 2, 3,
8.4. Тополоrическая формула для расчета
передаrочных функций (формула МЗ80на)
На основании рассмотренных ранее ТОПОЛOl'ических методов
расчета узловоrо определителя, алrебраических дополнений и их
разностей можно сформулиронать обобщенное правило для вычис
.ления передаточных функций. С этой целью вводят следующие
понятия:
пер е Д а ч а Н отношение показания измеритеJiьноrо при-
бора (вольтметра или амперметра) к величине параметра источ-
ника (тока ИСТОЧника тока или э. д. с источника э. д. с.);
п у т ь пер е Д а ч и любой путь, ВКЛючающий зажимы источ-
ника и измерительный прибор;
величина пути передачи (передача пути) Пk ПРОИЗ-
ведение проводимостей ветвей k-ro пути передачи при условии,
что проводимость прибора принимается равной единице;
, м и н о р п у т и пер е Д а ч и l1k узловой определитель схемы,
получаемой при замыкании k ro пути передаЧИj
238
оп р е Д е л и т е л ь с х е мы 11 узловой определитель схемы,
получаемой при исключении вольтметра и источника тока или
коротком замыкании амперметра и источника э. д. с.
Передачей Н, как видно из определения, может быть любая
входная и передаточная функция в зависимости от вида прибора
и источника, а также от места их включения. Измерительный
прибор вводят в качестве указателя индикатора для большей
наrлядности расчета.
Соrласно тополоrическому правилу (формула Мэзона) пере-
дача Н при действии одноrо источника равна отношению алrеб-
раической суммы произведений всех величин путей передачи Пk
на их миноры 11" к определителю схемы:
В п"6.,,
Н== k 6. (8.15)
В числителе формулы (8.15) слаrаемые в"М записывают со
знаком плюс (мвнус), если в k M, пути 'передачи направление
j
l
а)
J
о)
-.
Рис. 8.13
обхола ветви с прибором совпадает (противоположно) с выбран-
ным положительным направле ием напряжения или тока. При
этом считают, что все пути передачи начинаются от одноrо и
Toro же ПОложительноrо зажима источндка.
Убедиться в справедливости формулы (8.15) можно с помо-
щью выражений для схемных функций (7.52) 4-- (7.54), (7.49)--+-
4-- (7.51) и установленных в 8.3 тополоrических способов рас-
чета узловоrо определителя, алrебраических дополнений и их
разностей. Так, для расчета входноrо сопротивления схемы по
тополоrическому правилу присоединяют к схеме исто н к тока
и вольтметр (рис. 8.13, а). В этом случае передача Н == И/} равна
входному сопротив'лению. Как видно из рис. 8.13, а, в рассмат-
риваемой схеме имеется только один путь через вольтметр У,
дЛЯ KOToporo п; == 1. Минор этоrо пути 11; является узловым
опр'еделителем схемы с замкнутыми зажимами i и 1, т. е. 11; == l1 r).
Определитель 11 схемы с исключенными вольтметром и источни-
ком тока равен определителю I1(Y). Таким образом, Н == П;I1;/11 :;::::
== l1 r) /11 (у), что совпадает с формулой (7.52). Следует отметить,
что определители 11; и 11 MorYT бьrrь найдены с помощью любоrо
Способа разложения.
239
Для расчета входной проводимости схемы по тополоrическому
правилу к схеме присоединяются источник э. д. с. и амперметр
(рис. 8.13, - 6). При этом передача Н === l/i. в данном случае
П;'М представляет собой разложение узловоrо определителя I1(Y)
k -
схемы с разомкнутыми зажимами i и 1 ПО путям между пароЙ
узлов i и 1. Определитель 11, равный узловому определителю
схемы при -замкнутых амперметре А и источнике э. д. с., совпа-
дает с алrебраиgеским дополнением l1 r). Следовательно, передача
Н === П;'М/I1===I1(У)/I1 r), т. е. равна ВХОДНОЙ проводимости.
k
Если по тополоrической формуле (8.15) рассчитываетс взаим-
ное СОПРОТИI ление Znт, ТО измерительный прибор и источник
следует включить так, K К: показано на рис. 8.14, а. В. этом
случае пути передачи содержат узлы i, j, k, 1. Слаrаемые П;'I1.
i
j
.
IЙ п 4 1 ; т I t]J l uп
oj
J m
l
k
а)
Рис. 8.14
записывают с ilоложительным (отрицательным) знаком, если
направление обхода ветви с вольтметром в k-M пути передачи
СОВПадает с шi.правлением, указанным стрелкой (противоположно
направлению, указанному стрелкой), т. е. с положительным
(отрицательным) знаком записывают слаrаемые, обусловленные
путями i j k 1 (i k j 1). При вычислении числителя
формулы (8.15) проводимость вольтметра принимается равной еди-
НИЦе. Следовательно, в общем случае П/Д;' представляет собой
k
разложение разности алrебраических дополнений I1!T) !k) по
путям от i-ro к [-у узлу через узлы j, k и дополнительную ветвь
с единичной проводимостью (см. 8.3). При исключении вольт-
метра и 'источника тока определитель 11 === 11 (у). т аким образом,
передача Н === (I1!T) 1111»/I1(Y) , т. е. соrласно (7.53) она равна
, взаимному сопротивлению Znmo
Для расчета ,коэффициента передачи напряжения K изме
рительный приб9Р и источник включаются, как показано на
рис. 8.14, б. Аналоrично предыдущему случаю, П k l1;' преk
- , k
ставляет собой разложение разности алrебраических дополнений
l1 r) l1 k) по путям от i-ro к ( MY узлу через узлы j, k и ветвь
с единичной провод мостью.(вольтметр). Определитель 11 схемы
240
при исключенном вольтметре и замкнут<>м источнике э. д. с. сов-
падает с алrебраическим дополнением .му). Следовательно, пере
дача Н === (Mf> Aff;»/Ll f), т. е. соrласно формуле (7.54), равна
коэффициенту передачи напря)Кения J(h .
Если по тополоrической формуле (8.15) рассчитывают коэф-
фициент передачи' тока J( ln, то измерительный прибор и источ
ник включают так, как показано на рис. 8.15, а. При вычисле-
нии числителя выра)Кения (8.15) проводимость амперметра при-
нимают равной единице. Если проводимость У n == 1, то П;Дk-
, k
представляет собой разло)Кение разности алrебраических допол-
нений A p A k> по путям от i-ro к [-м у узлу через узлы j, k и"
ветвь с единичной проводимостью. Поскольку все пути передачи
проходят через амперметр и проводимость У т то В общем слу-
fJ I jiп €J I j
l, А l k
Рис. 8.15
чае при У n * 1 сумма П;Д;' == (A Y) A x» У n ' При Исключении
k
источника тока и замыкании амперметра определитель А == А (У).
Следовательно, передача Н == (A Y) Mk» Уn/А(у) == Zптyт что,
соrласно формуле (7.50), совпадает с выражением для коэффи
циента передачи тока J( ln. '
Для расчета взаимной проводимости Y т источник э. д. с, и
амперметр включаются, как показано на рис. 8.15, 6. При этом
П;'Ll;' == (МУ) Ll k'» у n' При замыкании амперметра и источника
k
э. д. с. определитель А:::: A Y). Передача Н == (A Y) Mk'» у n/Mr> ==
==J(A Yn и соrласно формуле (7.51) равна взаимной проводимо
сти У nт '
Таким образом, тополоrическая формула (8.15) получается
как результат применения тополоrических методов расчета узло-
80ro определИтеля, алrебраических дополнени'й и их разностей
[{ общим выражениям для входных и передаточных функций.
Следует отметить, что ток и напряжение любой ветви схемы
с несколькими источниками MorYT быть найдены с помощью
ТОполоrической формулы на основании принципа наложения.
Пример 8.6. Вычисли'!:ь входное сопротивление относительно узлов 1 и 2
схемы на рис. 8.16, а.
241
Реш е н и е. По тополоrической формуле, входное сопротивление
ПktJ.k
Z H k
tJ.
Сушесmует только один путь передачи, величина KOToporo П 1. При
замыкании этоrо пути получаем схему на рис. 8.16, б. Минор tJ. , т. е. ,опре-
1
3
4-
4
2
1,2
о)
а}
.
Рис. 8.16
делитель этой схемы, найдем с помощью разложения по путям между парой
узлов 3, 4:
4
tJ. == ПktJ. k ,
k 1
rAe
Пl У4У5; tJ.l==Уl+У2+Уэ+Ув+У7:
Л2 У4У2(УЗ+У7); tJ.2 1;
hЗ (Уl+Ув) У 2 У 5 ; tJ.з l;
Л4 (Уl+Ув) (У з +У 7 ); tJ.4 Y2+Y4+Y6.
Следовательно,
tJ. Y4Y5 (У 1 + У 2 + У з + У в + У 7 )+ У 2 У 4 (V з + У 7 )+
+ У 2 У 5 (У 1 +У в )+(У 1 + У в ) (У з +У 7 ) (У 2 +У 4 +У 5 ).
Запишем выражение для определителя tJ. (при исключенных вольтметре и
источнике тока) с помощью разложения по путям между узлами 1, 2:
6
tJ. ПktJ.k,
... k 1
rде
П 1 У 1 У в ; tJ. 1 (Y2+ У 4 ) (У 5 + V 7 +У З )+V 5 (У з +V 7 );
Л2 У 1 У 4 У 5 У 7 ; tJ.2 1;
ПЗ У2У4Vв; tJ.З УЗ+У5+У7;
Л4 У2V5У7; tJ.4 Yl+V4+YS;
Л5 УЗУ5У4Vв; tJ.5 1;
Лв УЗУ7; tJ. s == (У 2 + У 5 ) (V 1 +Y s +Y 4 )+ У 4 (Vi+ У в ).
242
Таким образом,
il== У 1 У 6 [(У 2 +У 4 ) (У 5 +У 7 +У З )+У 5 (У з + У 7 )]+ У 1 У 4 У 5 У 7+
+ У 2 У 4 У 6 (У з + У 5 + У 7 )+ У 2 У 5 У 7 (У 1 + У 4 + У 6 )+ У з У 5 У 4 У в +
+ У З У 7 [(У 2 + У 5 ) (У 1 +У в + У 4 )+ У 4 (У 1 + У в )].
Подстановка значений П , il и il в формулу для передачи приводит l{ выра.
жению Д,ЛЯ искомоrо сопротивления.
'1
'1.
lIZ
д,
Рис. 8.17
Пример 8.7. Вычислить взаимное сопротивление Z21 ==(;2[ii схемы на
рис. 8,17.
Реш е н и е. Взаимное сопротивление
Z21 == н
Щil +Щil
il
rде
П -==УIУ2; il == У 4 + У 5 +У 6 ;
Щ==У 4 У 5 ; il ==Уl+У2+УЗ'
Найдем определитель il схемы с исключенными вольтметром и источ,НИком
тока с помощью разложения по путям между узлами 1 и 2:
4
il == п kilk,
k 1
rAe
Пi== У 1 У 2 ; il 1 ==(Y 4 +Y J (У з + У 6 )+У з У в ;
П2==УIУзУвУ5; il2==1;
ПЗ==У4У6У3У2; il3==1;
П 4 ==У 4 У 5 ; il 4 == (Yi+ У 2 ) (У з +У 6 )+У з У в .
Подстановка значений Пk, Ilk и il в формулу для передачи дает выраже-
ние для искомоrо сопротивления.. _
Пример 8.8. Рассчитать ток 16 в схеме на рис. 8.18, а.
Реш е н и е. По принципу наложения ток
. .@ (i) .
lo== Y 01 (Q {+К65 J o .
Взаимную ПрОБОдимость У 61 и коэффициент передачи тока K вычислим по
тополоrической формуле.
В соответствии с рис. 8.18, б взаимная проводимость
П il Щil
У 61 il
rAe
П ==УIУ2У6У5; il ==I;
Щ==У 1 У з У 6 У,; il;==I.
243
в соответствии с рис. 8.18, в коэq>фициент передачи ТОКа
IOi) П Ll + ЩLl
Об Ll ·
rAe
П == У 1 У 2 У О ; t.; == 1;
П ==У4УО; t. == У 1 + У 2 + Ys.
1
у,
Е 1
о}
1
1
у,
..
Рис. 8.18
Знаменатель Ll ФУНКЦИЙ У 01 И Щ найдем с помощью ра3Jlожения по путям
между узлами 1, 2 (рис. 8.18, а) при исключенных .источниках:
1)
t. == I1.kLlk.
k 1
rAe
П 1 == У 1 ; Ll 1 ==(Y 2 +Y 4 ) (Уо+У з + У о )+У 6 (Уз+У ь );
, П 2 ==У 2 У 4 ; Ll 2 ==У з +У ь +У о ;
,П з ==У 2 У о У 5 ; Ll3==1;
П 4 == У з У о У 4 ; Ll 4 == 1;
П 5 ===У з У 5 ; Ll 5 ===Y 2 +Y 4 +Y O '
Подстановка значений У О1 и щiJ в выражение для тока приводит к иско-
мому результату.
8.5. Тополоrические формулы для расчета KOHTypHoro
определителя и алrебраических дополнений ero элементов
Тополоrическую формулу для определителя д(К) матрицы KOH
турных сопротивлений Z{K). называемоrо К о н т у р н ы м оп р е Д е-
,J244
л и т е л е м, можно -получить на основа ии выражеu,ия
д{К) == det [BZ(B)B T ] == det (P 1 P 2 ),
rде P 1 == BZ(B); Р2 == ВТ.
Если матрица В записана для rлщзных контуров произвольной
схемы, то ненулевые миноры порядка K==в y+ 1 этой матрицы
соответствуют ветвям связи (дополнениям деревьев) и равны + 1
(см. rл. 2). Это утверждение справедливо и для миноров матрицы В
планарной схемы IJРИ условии. что контуры выбраны в виде ячеек.
Ненулевые миноры порядка к матрицы P 1 == BZ B) также соответ-
ствуют ветвям связи деревьев и равны взятым с положительным
(отрицательным) знаком произведениям сопротивлений соответ-
ствуклцих ветвей связи.
Применяя теорему Бине Коши к определителю произведения
матриц P 1 == BZ(B) и Р2 == ВТ, можно найти
д(К) == Zjl Z j2 ... Zj, B y+1'
j 1
т. е. контурный определитель равен сумме произведений сопро
тивлений ветвей связи для всех деревьев.
Из формулы (8.16) следует важный вьтод: для любой системы
елавНblХ контуров nрОUЗВОЛЬНОЙ схемы КfJнтурный определитель
имеет единственное значение. Если
схема планарная, то контурный оп-
ределитель имеет единственное знач -
ние для любой системы rлавных кон-
туров и для контуров. выбранных в
виде ячеек.
В случае. коrда контуры не яв-
лmoтся rлавными контурами или
ячейками планарной схемы, значение
KOHTypHoro определителя отличается
<. от значения, данноrо в формуле (8.16).
При этом ненулевые миноры порядка
к матрицы В соот!3етствуют ветвям связи деревьев и равны ...... IS,
rде IS целое, число, которое может быть больше единицы. Напри-
мер, для схемы, rраф которой приведен на рис. 8.19. можно вы-
брать независимые контуры, состоящие из ветвей 1 7 9 3 8 5,
1 2 9 6 5, 2 3 4 5 6 7, 1 7 6":""""8 4. Эти контуры не
представляют собой rлавные контуры или ячейки. Матрица таких
контуров
(8.16)
f
3
Рис. 8.19
t 1 О 1 О 1 О 1 1 1
"
.
1 1 О О 1 1 О :0 1
В== О I 1 1 1 1 1 О О .
1 О О 1 О 1 1 1 О
"245
Для дерева 5 6 7 8 9 ветвями связи являются ветви
1 2 3 4. Соответствующий им минор матрицы В
1 О I О
1 1 О О
det В 1234 == == 3.
О 1 1 1
1 О О 1
. Следовательно, любой ненулевой минор четВертоrо порялка
записанной матрицы равен -+- б =: -+- 3.
Для контуров-ячеек 1 7 6 5, 2 9 7, 3 8 6 9, 4 5 8
матрица
1 О О О 1 1 1 О О
о 1 О О О О 1 О 1
В==
О О 1 О О 1 О 1 1
О О О 1 1 О 1 О
Минор, оответствующий ветвям связи 1 2 4, равен 1;
все друrие ненулевые миноры четвертоrо порядка равны -+- 1.
В данной схеме ячейки являются rлавными контурами по отно-
шению к дереву 5 6 7 8 9.
Если ненулевые миноры порядка к матрицы В равны -+- б(б * 1),
то определитель матрицы контурных сопротивлений Z(K) == BZ(B)B T
отличается от значения, приведенноrо в выражении (8.16), в б 2
раз. Далее рассматриваются лИшь матрицы В rлавных контуров
лроизвольной схемы или контуров-ячеек планарной схемы; при
этом б == 1 и для KOHTYPHoro ОПределителя справедлива тополо-
rическая формула (8.16).
Следует установить связь между узловым определителем /).(у)
и контурным определителем /).(К) одной и той же схемы. Для
этоrо обе части равенства (8.1) умножаем на про изведение сопро-
в
тивлений всех ветвей. схемы П Zk' При умножении каждоrо
k 1
. в
слаrаемоrо правой части равенства (8.1) на П Zk српротивления
k 1
ветвей каждоrо дерева сократятся с проводимостями ветвей.
В результате в правой части получим сумму произведений сопро-
тивлений ветвей связи деревьев, т. е. контурный определитель.
т аким образом,
( П Zk ) /).(Y)=:/).(K).
ko=1
Аналоrично устанавливается соотношение
(6 Yk ) /).(K)==/).(Y).,
\ko=1
(8,17)
(8.18)
"246
Число несокращающихся слаrаемых определителей д(У) и д(к)
ОДНОЙ И той же схемы одинаково, однако' соответствующие слаrае.
мые моrутсодержать различное число сомножителей (число сомножи
телей каждоrо слаrаемоrо равно порядку определителя, т. е. числу
независимыХ узловых или контурных уравнений).
Применяя соотношение (8.17), можно доказать формулы раз-
ложения KOHTypHoro определителя, аналоrичные (8.9) + (8.14).
Если схема состоит из двух подсхем, имеющих один общий
узел, то для узловоrо определителя справедливо разложение (8.9).
Умножая обе части этоrо равенства на произведение сопротивле-
в
ний всех ветвей схемы П Zk' можно найти
k 1
д(к) == LliK)Ll K),
(8.19)
rде д1 к ) и Д K) контурные определители подсхем.
Если схема состоит из двух подсхем, имеющих два общих
узла, то узловой определитель этой схемы определяют формулой
в
(8.10). При умножении обеих частей этоrо равенства на П Zk
k 1
получаем
л,(к) Л (К) Л (К) + л (к) л (к)
L!. L!.1 L!.2K L!.2 L!.IK.
(8.20)
rде Д1K)(Д K») контурный определитель подсхемы N 1 (N 2 ) при разомк-
нутых зажимах j, k; Ll )(Ll<:J) контурный определитель под-
схемы N 1 (N 2 ) при короткоз?мкнутых зажимах j, .k.
в
Умножая обе части равенства (8.11) на П Zk' можно дока.
k 1
зать, что для KOHTYPHoro определителя справедливо разложение
по ветви с сопротивлением Zj:
А (к) == ZJLl (к) j + LlJK) ,
(8.21)
rде f).<K) j контурный определитель схемы при разомкнутой ветви Zj;
Д K) контурный определитель схемы при короткозамкнутой
ветви Zjo Действительно,
( iI Zk ) YjAj == ( Ц Zk ) д! == Д K) t
lkiч
( iI Zk ) N == ZJ ( П Zk ) N == ZjA(K)i.
k 1 k-j:.j
Если схема содержит три ветви с сопротивлениями Zt, Zj и
Zk' имеющие только один общий узел, то для узловоrо опреде-
лителя справедливо разложение (8.13). При умножении обеих.
частей этоrо равенства на произведение сопротивлений всех .вет-
247
11
веи схемы 11 Z, получается
, 1
А(Н) == ZjZktllK)jk + Z,ZkA/K)'k + Z,ZjA<:)i; +
+Z А( )k +Z _Л{К)j +z л(Н)i + А(к)i;k
k tJ ,u.k ,UJk ,
(8.22)
r де нижние индексы у контурных определителей в правой части
выражения (8.22) указывают номера замкнутых ветвей, а верхние
индексы номера разомкнутых ветвей. '
Для доказательства формулы (8.22) достаТОЧIIО рассмотреть
три произведения:
( П В z) Y_A{k ' П Z ) A[k A(K)ik.
" ,. t { , t t t
;1 1 1 \' =1= ;
( iI z, ) У, YjA:; == ( П Z, ) A ; == A j) k;
" 1 I=l=Ц
( П z, ) Y'Y;YkAljk == ( п Z, ) AUk == А(Н) ;Jk.
' 1 '=1='. i. k
в
Если обе части равенства (8.14) умножить на П Z,. то про
1 1
изведение проводимостей ветвей k ro пути в правой части этоrо
равенства сократится с произведением сопротивлений ветвей Toro же
пути. Произведение сопротивлений ветвей; которые не входят
'в k й путь при УМl;lожении на k й узловой определитель Ak схемы
с замкнутым путем, дает контурный определитель схемы при
нулевых сопротивлениях ветвей этоrо пу'ЦI. Таким образом, для
KOHTYPHoro определителя справедливо, разложение
А(К) == A K), (8.23)
k
rде A K) контурный определитель схемы, которая получаетс'я
если в исходной схеме приравнять нулю сопротивления ветвеи
k ro пути между парой узлов. Суммирование выполняют для всех
возможных путей между выбранной парой узлов.
Тополоrическая формула для алrебраическоrо дополнения
A Jп KomypHoro определителя вытекает из равенства
A Jп == det (B тZ(B)B т),
rде B т матрица, получаемая вычеркиванием т й строки в MaT
рице В. Вычеркивание т й строки означает размыкание т ro
контура в схеме на рис. 7.37, т. е. ,размыкание т й ветви.
С помощью теоремы Бине Коши леrко установить, что алrебраи.
. ческое дополIfение A Jп равно сумме произведений сопротивлений
ветвей связи ДJl деревьев схемы (см. рис... 7.37) с разомкнутой
т й ветвью. .'
248'
Формулы для KOHTypHoro определителя и ero симметричноrо
алrебраическоrо дополнения дуальны формулам для узловою
определителя и ero симметричноrо алrебраическоrо дополнения.
Докажем, что 'Тополоrическая формула для алrебраическоrо дополнения
/j, k (т =F n) матр'ицы контурных сопро'rи лений схемы (см. рис. 7.36) дуальиа
формуле для разности /j, r) !:. !'k):
л (K) y Y (8 24)
ilmn Ij.kl Ik,j/' '.
.
rде V if, kl (У Ik,jl) сумма произве дений сопро'rивлений ветвей, образуемых
ветвями связи 2-деревьев типа T 2 1ij.k1J (T 2 Iik./I) при разомкнутых той и n-й
ве'rвях *.
Действительно, на оснОвании формул (7.61) и (7.60) ВЗаимное сопротивление
/j,(K)
Z тn Z
nт ===""""""(к) n'
/j,mm
Если числитель и 'зиаменатель выражения (7,53) умножить на произведе-
в .
ние сопротивлений всех ветвей схемы П Zk, то
k 1
/j,( ) /j,(Y) ( П В Z k) ( /j,(r) /j,(Y»
Ц ,k Ц' tk
k 1
/).(У! ( П Zk ) /j,!YJ .
k 1
Z n';' ===
Так как /). представляет собой контурный определитель схемы на
рис. 7.36 при разомкнутой ветви т, а /j,(УJ узловой определитель этой схемы
при разомкнуто ветви т (при разомкнутых зажимах i, 1), то '/). == ( П Z k ) ' (У)
k 1 '
и, следовательно,
/). k==C:lj:1 Zk) (/j, r) /). k»/Z n'
Учитывая равенство (8.8), можно записать
/). == ( П Z k ) (W If, kl W ik, п).
k 1 '
. k*n
Каждое слarаемое W 1/, kl (W ik,jJ) есть произведение проводимостей ветвей
2-дерева типа Т 2 (//, klJ (T 2Ii k.jl). l1р водим сти ветвей ,2-деревьев при умно-
>кении иа произведение сопротивлении ветвеи сокращаются с сопротивлениями
Тех же ветвей; в результате получается формула (8.24). '
Необходимо отметить, что для практическоrо расчета переда-
ТРчных функций тополоrичеСl\ие формулы для Контурпоrо опре-
делителя и ero алrебраических дополнений примепя реже, чем
, Тополоrические формулы, рассмотренные в 8.1 -+ 8.5. В случае
* Ветвями связи 2-дерева называЮТ совокупность ветвей схемы, ие являio.
щихся ветвями 2-дерева.
249
f:
планарной схемы для вычисления передаточных функций с помощью
KOHTYPHoro определителя и ero алrебраических дополнений при-
менима тополоrическая формула (8.15), если предварительно
Перейти к дуальной схеме.
/'..... ...... ',
,
I
I
I
2. I
I
Zz I
" I
, I
I I
\ .- J / I
"' --т- "" .,/
L ./
а)
I ZJ
/ .... ....
I '
Рис. 8.20
'а
1, d Zd
............р.1
у,"
6
у;" у;"
+ 5
4" yz ! v
Ij '"
U z
d
.J о)
Пример 8.Q.. Вычислить проводимость Yl!l ==1';;Ui схемы на рис. 8.20, а.
Реш е н и е. На рис. 8.20, б изображена схема, дуальная исходной. Про-
водимость Yal==Z 1===u1/1 дуаЛЬRОЙ схемы. Соrласно формуле (8.15),
Z d п1' fJ. ' +пff' fJ. ' Y {Y +Y1+Y )+Y Y
21 fJ.d /).d
Определитель fJ.d дуальной схемы найдем G помощью разложения по путям
между узламн Id зd: '
4
/).d == k 1 пf/).f == yffY (Yff + + Y ) + yfy Y +
+Y Y Yff+Y Yff (Yff+Y +Y ).
Если проводимости ветвей дуальной схемы заменить' сопротивлениями"
ветвей исходной схемь!, то
у Z8 (ZЗ+Z4+Z5)+Z4Z5
1!1 fJ. '
rll.6
/).==ZЗZ4 (Z2+Z5+Zв)+Z4Z5Z2+ZвZ5Zз+ZвZ2 (ZЗ+ Z 4+ Z 5).
, 8.6. Применение сиrнальных (напра.вленных) rрафов
к анализу электрических цепей
Как уже отмечалось, линейнаЯ электрическая цепь характе-
ризуется различными системами линейных уравнений. Эти урав-
,нения MorYT быть наrлядно отображены в виде сиrнальноrо
(направленноrо) rрафа. Применение сиrнальных rрафов к анализу
лектрических цепей позволяет существенно уменьшить объем '
вычислений по сравнению с непосредственным разложением опре-
делителя и ero алrебраических дополнений. Кроме Toro, сиrналь-
ный rраф дает наrлядную Картину причинно-еледетвенных евя-
250
зей между параметрами схемы и ее напряжениями и токами;
с помощью rрафа определяют I3лияние различных параметров
схемы на передаточные функции.
Далее рассматриваются основные определения, преобразования
и свойства сиrнальных rрафов на примере rрафов, отображающих
узловые уравнения цепи *. '
Сиrнальный rраф, ero nреобразование и передача. С и r н а л ь-
н ы м rрафом называют направленный rраф, находящийся в одно-
значном соответствии с системой линейных уравнений.
Пусть дана система n линейных уравнений (индекс у для
краткости опускается)
у 11 1 + Y12 2 +. . . + Yln n =;= j.l: }
У21ЧJl + У22ЧJ2 +...+ У2nЧJn == 12; (8.25)
.. ..............
УnlФl + У п2 Ф2+."+ УппФп==jп'
Полаrая
u == 1 У U ,
rде 1 имеет размерность проводимости,
ij == Y ij (i =1= j),
систему (8.25) можно привести к следующему виду;]
1== 11 1+ 12 2+' '+ lп п+ I; }
qJ2 == 21ЧJl + 22ЧJ2+."+ 2пqJп +12;
.....................
Фп == fY пiФl + п2Ф2 +. . . + nпФп + jп.
(8.26)
Уравнения (8.26) называют уравнениями в форме ПрИЧИна-
следствие так как в них каждая зависимая переменная Фi выра-
жена как функция всех зависимых инезависимых nepeMeHHbIx.
Сиrнальный rраф строится по уравнениям (8;26), для чеrо
кащдой завиеимой (ф;) и каждой независимой (Ji) переменным
ставится в соответствие узел rрафа. Если коэффициент ij =1= О,
то узлы Фi И фj соединяют ветв'ью, которая направляется от узла
фj к узлу Фi И которой ставится в соответст!3ие коэффициент ':!Iij,
называемый передачей ветви. Узлы Фi и 1 i соединяют ветвью,
направленной к узлу Фi И имеющей единичную передачу.
Например, системе трех уравнений
1 == ':!I , 11 1 + ':!I12 2 + ':!IIЗ З t 1; )
qJ2 == ':!I 21 ЧJl + ':!I 22 ЧJ2 + ':!I 2з ЧJз + 12;
фз == i!i зl Фl + ':!I З2Ф2 + ':!I ззфз + j з
* Все результаты имеют общий характер и непосредственно применимы
J{ rрафам, соответствующим любой системе линейных уравнений. '
251
соответствует сиrнальный _ rраф на рис. 8.21. Ветви, которые
начинаются и заканчиваются в одном и том же узле Фl, наЗЬ1-
вают п е т л я м и и имеют передачи, равные ll'
Если задан - сиrнальный rраф, то можно записать систему
уравнений, отображаемую rрафом. Уравнение, соответcrвующее
узлу Фl, получаетсй приравниванием переменной Фl и СУММЫ про-
изведений передач всех вет-
2 вей; направленных к узлу Фl,
на переменные узлов, в ко-
торых эти ветви начинаются.
Узел сиrнальноrо rрафа,
к которому присоединены
только исходящие ветви, на-
зывают и с т о к о м (узлом
источника). Так, rраф на рис.
8.21 име т !ри узла (исто-
ка): 11' 12, 13. Узел rрафа,
к которому направлены все
примыкающие ветви, назы-
вают стоком (узлом стока).
Узлы rрафа с входящими и
выходящими ветвями будем
называть про м е ж у т о ч н ы м и. На рис. - 8.21 промежуточным
узлом является любой из узлов Фl' Ф2' Ф3' Промежуточный узел
леrко преобразовать в- сток; добавляя ветвь с единичной пере-
дачей, напр.авленной из этоrо узла, и один узел (сток). Напри-
мер, на рис. 8.21 узел Ф2 преобразован в сток.
. Систему уравнений (8.26) можно решить методом исключения
пер менных. Исключению переменной Фl соответствует основное
преобразование rрафа исключение промежуточноrо узла.
Наиболее просто. исключается узел Фk, в котором нет петли
(21 kk == О). Так, если nn == О, то уравнение для n-ro узла имеет <
вид
(jJ
1
YJ'J - ()j
'.!
Рис. 8.21
..
Фn == 21 nlФl + 21 n2Ф2 +. . . + 21 n, n lФn l + 1 n.
Подставляя ыражение для Фn В друrие уравнения, получаем
Фl== (21l1 +21 1n 2l n1 ) Фt. +( l2 + ln n2)Ф2+"'+
+ (211.п 1 + 211п n.n 1) Фn l + 11 + lп1n.
Таким образом, после искточения n-ro узла ветвь, соединяю-
щая узлы Фl и ФJ и направленная к Фl' имеет передачу
;J==211f+211n2lnf и, j==l, 2, ..., n 1). (8'.27)
Ветвь, соединяющая узлы Фl и 11' не меняется, а между
узлами Фl и J n добавляется ветвь с передачей 21 1n .
На рис. 8.22, а показан rраф, , являющийся частным случаем
rрафа на рис. 8.21 при 21зз==0. Исключение переменной Ф3 при-
- водит к rрафу на рис. 8.22, б, передачи ветвей KOToporo найденЫ
по сформулированным правилам. '
9ft')
. Если б.!Ikk:#= О, то в узле Фk имеется петля. Пусть б.!/пп '#= О и
'!!/ пп =F 1. Тоrда из n-ro уравнения (8.26)
. б.!/ пl . + б.!/ п2 . + ' + б.!/ п. п---l' + 1 J '
<Рп == 1 ,ш QJJ. l' б.!/ (jJ2 ... 1" б.!/ (jJn l 1..L ./ п'
Jпп пп пп пп
Подставляя выражение для' Фп В i-e ,уравнение (i == 1, 2,
.. ., n'::"" 1), можно найти
Фl== (б.!/11 + r ;:J Ф1 + (б.!/12+ r ;:: )Ф2+" .+
' + ( б.!/ + . б.!/iпб.!/п'n l ) ' +J + б.!/iп J
,1.п l 1-:---б.!/nп (jJп l 1 1 б.!/пn n'
Следовательно, после исключения tt ro узла с петлей б.!/nn'
ветвь, соединяющая узлы Фl и ф) И направленная к Фl, имеет
передачу
, б.!/lnб.!/ п}
б.!/ ij == б.!/ij + 1 6)./
Jnn
(i, j==l, 2, ... n 1).
(8.28)
Ветвь, соединяющая узлы Фl и J i , не изменяется; а между
узлами Фl и J n добавляется ветвь с передачей б.!/1,J(17"б.!/пn)'
.t
oj
Рис. 8.22
Исключение узла Фs rрафа на рис.. 8.21 ПРИВОДLIТ к новому
rрафу (рис. 8.23), передачи ветвей KOToporo записываются на
Основании сформулированных цоложений.
Исключение узлов rрафа не требу записи уравнений и их
рреобразования; узлы исключают путем непосредственноrо пре-
обраЗ0ванияrрафа. Если rраф содержит только один исток J k,
То, последовательно исключая все узлы Фl' кроме одноrо, полу-
чаем rраф, состоящий из одной ветви и двух узлов узла источ-
ника и узла Ф" Передачу этой ветви называют передачей rрафа
Н от истока j 11 К croку Ф" Передача rрафа
Н ==ФltJ .(8.29)
2&3
Таким образом, алrебраическому методу решения системы
уравнений методом последовательноrо исключения неизвестных
соответствует преобразование сиrнальноrо rрафа, отображающеrо
эту систему, путем исключения узлов. Преобразование rрафа
"
j.J
Рис. 8.23
.
ПQЗВОЛЯет найти необходимые передачи и, следовательно, пере-
менные Фi' Если rраф имеет нескрлько узлов истоков, то для
определения с помощью rрафа переменных Фl н обходимо приме-
нять принцип наложения.
Пример 8.10. Определить Ф2.ИЗ rрафа на рис. 8.21 при i 2 ==i з ==о.
Решение. Если j2==jз==О, то в'соответствии с рис. 8.23послеисклю-
чеН1:IЯ узла Фз данноrо rрафа получим rраф на рис. 8.24, а. Передачи ветвей
rрафов на рис. 8.23 и 8.24, а, об03на-
чеиные одинаковыми буквами, равны.
о В rрафе на рис. 8.24, а добавJiе-
W. ны ветвь С единичной передачей и узел
Ф2 В соответствии с уравнением Ф2==Ф2'
Если исключить узел Ф2 с петлей
21 2 rрафа на рис. 8.24, а, то полу-
чим rраф рис. 8.24, б, передачи 21:1
и 21:2 ветвей KOТO-poro определим по
о формуле (8.28).
При исключении узла Фl rрафа
на рис. 8.24, б результируюший rраф
будет состоять из одной ветви (рис.
8.24, в). Передача этой ветви представ-
ляет собой передачу rрафа от истока
9 jl К стоку Ф2:
.
Н ==Ф2/ j l ==21 1Ю 21:.).
Следовательно, искомая переменна'я
Ф2 == Н j 1, rде Н определяется через
передачи ветвей исходноrо rрафа.
rif= Ф, .'
'
,
у,' Y2f 'У..'
11 а) 1. 22
11 Y2f
i{) Y2f = 1 ,,1
1 -r, "22
% ' Ct. '>y,' + У,;У;'
ft 1f I Y
О)
.0
J,
у'"
Н=
f Yr,
вj
Рис. 8.24
Тополоrическая формула для передачи сиrнальноrо rpафа.
Передача сиrнальноrо rрафа может быть найдена с помощью топо-
лоrической формулы (формулы Мэзона). для чеrо необходимо
ввести следующие понятия:
254
п у т ь сиrнальноrо rрафа (н а п р а в л е н н ы й путь) непре-
, рывная последовательность ветвей rрафа между двумя различными
узлами при условии, что начальный узел каждой ветви (кроме
первой) совпадает с конечным узлом предыдущей и каждые узел
и ветвь в этой последовательности встречаются только один раз;
начало первой ветви (конец последней ветви) считают начальны
(Iюнечным) узлом пути;
пр я м о й п у -т ь (п у т ь пер е Д а ч и) сиrнальноrо rрафа путь
сиrнальноrо rрафа, начинающийся в истоке и заканчиваюIЦИЙСЯ
в стоке; .
пер е Д а ч а п р я м о r о п у т и П k произведение передач вет-
вей этоrо пути;
к о н т у р сиrнальноrо rрафа замкнутый путь сиrнальноrо
rрафа;
пер е Д а ч а к о н т у р а Lk произведение передач ветвей этоrо
контура (в частном случ.ае контур может состоять из одной ветви
"13 виде петли); "
о п р е Д е л и т е л ь сиrнальноrо rрафа 11 определитель системы
уравнений, отображаемых rрафом;
м и н о р п р Я М О r о п у т и 4" определитель rрафа, получ.а-
eMoro из исходноrо rрафа при исключении ветвей,. принадлежащих
k MY прямому пути, И ветвей, имеющих с ним общие узлы (т. е.
определитель той части ИСХQдноrо rрафа, которая не соприка-
сается с k-M прямым путем): .
Соrл.асно тополоrической 'формуле, передача сиrнальноrо rрафа
Пkl)."
H k
1).
(8.30)
rде суммирование производят по всем прямым путям.
Определитель иrнальноrо rрафа .
11;:::=1 PklJ+ Pk2J hPk8J+..., (8.31)
k k 'k
rде Р'т/' == Lk сумма передач всех контуров сиrнальноrо
k k .
rрафа; PK) == Lk1Lk2 . . . L kr сумма произведений передач всех
k k
возможных комбинаций из r некасающихся контуров (r == 2, 3, " .).
M HOpЫ I1 k вычисляют по формуле (8.31).
В качестве примера расчета передачи rрафа по топол'оrической
формуле (8.30) можно рассмотреть расчет пер'едачи от истока 11
к стоку Ф2 дЛЯ rрафа на рис. 8.21 при J 2 ==J з ==О.
[раф на рис. 8.21 содержит 8 контуров. Определитель rрафа
11 == 1 Р'т/ ' + P k 2J Р'т/ ' ,
k k k
rде
Pk 1J == 2111 + 2122 + 2133+ 21122121 + 212з2132 +-
k
+ 21312113+ 2112212з2131 + lз21322121
25-5
сумма передач восьми контуров;
Pk 2J 'б.!/1lб.!/22 + б.!/ 22 б.!/sз + б.!/ зз б.!/ll + б.!/1lб.!/ 2з б.!/З2 + I
k
+ б.!/ 22 б.!/ з1 б.!/IЗ + б.!/ зз б.!/I'1.б.!I 21
сумма произведений передач шести пар несоприкасающихся
контуров; '
p;:' ==б.!/нб.!/22'!Уsз
k
cyммa произведений передач трех не соприкасающихся контуров.
Рассматриваемый rраф не содержит комбинаций из четырех
несоприкасающихся контуров, поэтому слаrаемые pr> при
" . k
r> 3 в определителе отсутствуют.. ' .
Существует два прямых пути от истока' 11 к стоку . Для
первоrо пути передача и минор соответственно П == б.!/21; .
1 б.!/зз (не соприкасающаяся с первыIM путем часть rрафа
состоит из одной петли б.!/зз); для BToporo пути передача и минор
соответственно П == б.!/Зlб.!/2З; 1 (путь содержит все узлы rрафа).
Таким образом, искомая передача
Н == 2 == '!У 21 (1 б.!/зз)+б.!/31 ?i23 .
11 11
Тополоrическую формулу (8.30) можно получить, применяя
правило Крамера к решению системы линейных уравнений (8.25).
Для случая трех уравнений сиcrему (8.25) запишем в следующем
виде: '
(1 б.!/ll)Фl б.!/12Ф2 б.!/lзфз==Jl; ]
б.!/21 1 + (l ---: б.!/22) Ф2 б.!/2З З == О;,
б.!/Зl<j\ б.!/З2ЧJ2 + (1 б.!/зз) qJз == О '
(при J2==jз 0).
Определитель этой системы
1 б.!/н ::"""''!У12 б.!/IЗ
== б.!/21 1 '!У 22 , '!У2З
б.!/Зl б.!/82 1 '!У зз t
== 1 (б.!/н + б.!/22 + б.!/зз + б.!/ 12 б.!/21 + б.!/ 2з '!У З2 + б.!/ з1 '!'lIЗ + б.!/ 12 б.!/ 2з б.!/Зl +
+ б.!/lз'!УЗ2б.!/21) + (б.!/ н б.!I 22 + б.!/ 22 б.!/зз + б.!/ззб.!/н + б.!/1lб.!/ 2з б.!/З2 +
+ '!У22б.!/'Зl'!УIЗ + б.!/ззб.!/12'!У21) б.!/ н б.!/ 22 б.!/зз,
что совпадает с выражением (8.31).
Переменная
1 б.!/1l J 1
== б.!/21 О
б.!/Зl О
. '!УIЗ
БЫ б.!/21 (1 б.!/зз)+б.!/2зб.!/3i J
.:;1 2З 6. 11
1 б.!/ЗЗI
пса
л, следовательно, отношение Н == Ф 2 /l1 совпадает с найденным
ранее.
Справедливость формул (8.ЗD) и (8.ЗI) может быть доказана аналоrично
и в общем случае.
8.7. Построение снrнальных rрафов для электрической цепи
fраф уравнений Кирхrофа электрической цепи. Анализ Э.iIект
рической цепи с помощью сиrнальных rрафов сводится к постро
ению rрафа, соответствующеrо системе уравнений -цепи, и опре
делению по нему передач
от узлов источников к уз
лам зависимых перемен-
ных.
Любую цепь можно опи
сать различными ypaBHe
ниями, поэтому для нее
MorYT быть построеныраз
личные сиrнальные rрафы.
Сиrнальный rраф; co
ответствующий уравнениям
Кирхrофа, строится сле- f
дующим образом. Выби- ["
Z2
ра тся дерево схемы, пос- Jz
ле чеrо напряжения ветвей
связи определяют через
напряжения ветвей дерева
по второму закону Кирх-
rофа.. а токи ветвей дерева
выражают через токи BeT
вей связи по первому за-
кону Кирхrофа. Каждая
ветвь дерева и ветвь свя-
зи в общем случае MorYT
содержать сопротивление,
источник Э. д. с. и источник тока. Если напряжение каждой
ветви дерева (ток каждой ветви связи) записать как функцию
тока (напряжения) этой же ветви и параметров источников, то с
учетом записанных ранее уравнений Кирхrофа получится система
2в уравнений с 2в неизвестными, которая леrко отображается сиr-
надьным rрафом.
" Например, для схемы на рис. 8.25, а можно выбрать дерево,
сОСтоящее из ветвей 1, 2 и 3. Тоrда ветви 4, 5 и 6 являются
ветвями связи. НаПI яже!IИЯ Е!етвей связи 04' И 5 И И 6 выражаем
через напряжения U 1 , и 2 и из ветвей дерева:
И 4 == Иl И 3 ; И 5 === И 2 + и з ; И 6 == Иl + И 2 .
То!<и ветвей дерева i 1 , i 2 и i3 леrко выразить через токи i 4 ,
/0 и 16 ветвей связи:
11==i4+i6' i2== j5 i6' jз==i4 i5'
; "
il:
. 't'L
9 п/р. Ионкина, т. 1
. i6
[;6 ---------1>
.5
ё,
. r
u" . . 4 t
I lf.r
4 V -------i>i 2
а)
!
,
li.
J1
'5
l4
Z,
,
ZJ
'
"
Ij
ув
Z2
t
1"
ув
[6
Рис. 8.25
257
Если напряжениям и токам ветвей схемы поставить в cooт
ветcrвие узлы сиrнальноrо rрафа, то записанные уравнения MorYT
быть отображены с помощью связывающих эти узлы направлен-
ных ветвей rрафа с передачами + 1 и 1 .
Напряжения ветвей дерева можно записать как функции токов
этих же ветвей:
I
(;l'==zlil &l' (;2==Z2 i 2+ Z 2 j 2, (;3 == zз / з,
а токи ветвей связи представить как функции напряжений этих же
ветвей:
1 4 ==Y4(;4+ j 4, l Б ==У Б u Б , 1 6 ==У6(;6+ У 6&:'
Введя узлы rрафа, соответствующие Э, д. с. иcrочников напря-
жений и 'tOKaM источников токов, можно предcrавитъ с помощью
направленных ветвей rрафа, связывающих эти узлы, последние
шесть уравнений схемы. В результате получают сиrнальный rраф,
отображающий 12 уравнений с 12 неизвестными (рис. 8.25, б).
Следует обратить внимание, что узлы напряжения и тока
каждой ветви дерева соединены ветвью rрафа с передачей, равной
сопротивл(tнию ветви дерева, а узлы напряжения и тока каждой
ветви связи ветвью rрафа с передачей, равной проводимости
ветви связи. Кроме !oro, узел тока j 2 иcrочника тока в ветви
дерев? (узел э. д. с. &6 В ветви связи) связан с узлом напряже
ния U 2 (узлом тока 16) ветвью rрафа, передача которой равна
сопротивлению Z2 ветви дерева (проводимости У 6 ветви связи),
что соответствует преобразованию источника тока в ветви дерева
(источника э. д. с. в ветви связи) в эквивалентный источник э. д. с.
(источник тока). Таким образом, при построении сиrнальноrо
rрафа с помощью уравнений Кирхrофа источники энерrии в BeT
вях дерева схемы представляют как источники э. д. с., а в ветвях
связи как источники тока. Если в схеме имеюТся ветви, содер-
жащие только источники э. д. с., и ветви, содержащие только ис-
точники тока, то первые должны быть включены в дерево, а
вторые в ветви связи.
Пример 8.11. Определить напряжение 00 в схеме на рис. 8.26, а с помощью
сиrнальноrо rрафа уравнений Кирхrофа.
Реш е н и е. В качестве дерева схемы можно выбрать ветви J 1 , Z3===r3 и
Z5 === Тб + j(fJL 5 . Тоrда ветви Z2===r 2 , Z4==r4 (I(j(fJC4) и j6 являютси ветвямИ
связи. Для заданной схемы справедливы уравнения
02===ril ОЗ; 04===ОЗ 05; iз===i2 i4;
i 5 ==i 4 +j6;
Оз==Zз f з; 05===Z5 i Б; i2===Y202; i4==Y404'
которые отображаются rрафом на рис. 8.26, б.
По принципу наложения
ОБ ==н ы 6"1 +н Б6 j 6,
rде Ни и НБ6 передачи rрафа соответственно от источников i6 И 6\ к узлу Об'
258
Если i 6 ==o. то передача
. ПkМ
и 5 k
H5j==. ==
rff j t:! .
" '.' Z u.JP
rде Пkt:!k==П1tJ.1==V2 ЗV4ZS, так как имеется один прямои путь от узла {Qj
k
к узлу U б , содержащий все узлы, кроме j6;
t:! === 1 ( У2ZЗ ZЗV4 У 4Z5) + У2ZЗУ 4ZS'
поскольку rраф содержит три контура, из которых два не соприкасаются.
Если rffj O, то передача
Пkt:!k
и 5 k
H56 """""
J 6 11
rде Пkt:!k==п;t:!;==Z5(1+У2ZЗ+ZЗУ4), так как существует один прямоЙ
k
путь из узла jo в узел (;5, а не соприкасающаяся с этим путем' часть rрафа
содержит два контура; определитель (). совпадает с записанным ранее.
j6
i 2
.........[> С 4
:1 r,1 J?s j
L i .
а) lI.r
i 2 f f., f i f Is
f
yz z,r уу z5
,
Ё 1 4 1 4 1 4 ! и 5 '.
о)
Рис, 8.26
Таким образом, искомое напряжение
(;s==IV 2 Z З У 4 z s6"1 +Z5 (1 + V 2 Z з +Z з V J ioJ/t:!.
rрафы узловых уравнений, уравнений с напряжениями ветвей
дерева и контурных уравнений. Недостатком rрафа уравнений
Кирхrофа схемы является большое число ветвей и узлов rрафа.
Если воспользоваться узловыми или контурными уравнениями
или уравнениями с напряжениями ветвей дерева, то для задан-
ной схемы можно построить более простые rрафы. При этом
ПОстроение rрафа выполняется в соответствии С правилом, изло-
Женным в 8.6. Для схемы с четырьмя узлами rраф узловых
уравнений построен на рис. 8.21 (Ф4 == О). Аналоrично строят
Сиrнальные rрафы уравнений С напряжениями ветвей дерева и
контурных уравнений.
rраф узловых уравнений (СМ. РИС. 8.21) содержит петли
в узлах Фk С передачами б.!I kk == 1 Y kk (слаrаемое 1 имеет раз-
мерность проводимости). Для Toro чтобы построить rраф узловых
9" 259
уравнений без петель в узлах Фk' узловые уравнения l1реобра-
зуют следующим образом:
Фl == б.!I 2Ф2 + б.!I;аФз + y l j1 Y );
11
. БU" + БU' . + 1 J '(y)
СР2 == J 21QJt J 2аQJз Y 2;
22
. 6)z" 6)". 1 J '(y)
q;'з == J 31СРl + J а2СР2 + Y 3.
33
rде
'!Yik == Yik/Yi/ и. k == 1, 2. 3; j -=1= k).
[раф узловых уравнений без петель в узлах Фk показан На
рис. 8.27. Аналоrично строят rрафы контурных уравнений и урав-
r'} нений с напряжениями вет-
1 вей .дерева, не содержащие
l;2 петель * .
"(!I) [ Ф
J 2 ра ы узловых и контур-
ных уравнений, а также урав-
нений с напряжениями вет-
вей дерева MorYT быть пост-
роены без записи уравнений.
Так, Д.'Iя построения rрафа
узловых уравнений (анало-
rичноrо rрафу на рис. 8.21)
потенциалам всех узлов схемы
(кроме базисноrо узла) и уз-
ловым ток'ам ставятся в соот-
ветс вие узлы Фk И jlY) сиrнальноrо rрафа. Каждую пару узлов rpa-
фа ф, и Фk соединяют ветвью, направленной от узла Фk к узлу ф,.
..., 1
У,1
jM
1
J
2
4-
15 j уш.) 1
1
j 1;; у 1/У и Ф, iJ
5 и
а) OJ
Рис. 8.28
имеющей передачу б.!Ijk == Y;k/Yif, rде Y,k общая проводимость
j-ro и k ro узлов схемы; У,, -собcrвенная проводимостъ j rо_узла
260
* в дальнеЙшем при исключеиии узлов Moryr появиться пеши,
схемы. Узел rрафа j1 Y ) соедин нют с узлом rрафа ф1 У ) ветвью
с передачей l/Y kk, направленной к узлу Фk' Вместо узлов Л У )
rрафа можно ввести узлы, соответствующие токам источников
тока и э. д. с. источников Э. д. с. ветвей схемы, и соединить их
ветвями с узлами Фk' передачи которых записывают из COOТHO
шения для j Y). rраф урав-
нений с напряжениями 18
ветвей дерева и rраф кон-
турных уравнений строят Zz Z6
аналоrично.
Пример .12. Определить
напряжение U в схеме на рис.
8.28, а с помощью rрафа узло
вых уравнений.
Решение. Пусть Ф5==О,
Тоrда для llанной схемы строим
rраф узловых уравнений (рис.
8.28, б). В рассматриваемом слу-
чае
V ll ==V 1 +V 4 :
У 22 == V + У 2 + У 5 ;
Vзз==V.+ V 2 +V з ;
V 44 == V 4 + V 0+ V 6'
Передачи ветвей rрафа соответ-
ственно:
З==VI/VlI; I==VI/V8З:
4==У4/УIl; I ==у 4 /у 44:
;3== У 2 /У 22: 2== V 2 fY 3-1:
:4 == V S/V 22; 2 == V О/У 44'
t j
1 1
41
Щ н 6 .
Ее
oj
Из rрафа найдем напряжение (; == Ф2:
Рис. 8.29
rде
' ,
"-' п k .It
. . k
и==!
v Пk k== ( У1У2 + V 5 У 4 )! V1i,
V зз У 22 V 44 У 22
k
так как существует два пути от узла 'j к узлу (;, причем части rрафа, не
соприкасаюшиеся с ними, представляют собой изолированиые узлы и имеют.,
определители, равные единице;
1 ( + + + +2 VIV2V5V4 ) +
V ll V З8 V z2 V зз У 22 У 44 У ll У 44 VllVZZVЗЗV44
+ y y + y y
V 1I V sзV ZZV 44 V 1I V 22 У зз V 44 '
I;
ТаК как rраф содержИТ 6 контуров,. из которых две пары не соприкасаются.
Пример 8.13. Определить ток 1 в схеме на рис. 8.29, а с помощью rрафа
контурных уравнений.
Реш е н и е. Если контуры схемы выбрать в соответствии с рис. 8.29 а,
'1'0 искомый ток , == 13. Контурный ток 18 определим из rрафа контурных урав-
261
'IIСНИЙ (рис. 8.29, б). В рассматриваемом случае справедливы соотношения;
2l1==21+22+2з; 222==2з+2 +25;
== + + == + + +4
I;IскомыИ ток
1 == 13 ==Н 8i 1 +Н 88rf8.
rде H 3i и Н38 передачи rрафа соответственно от узла i l и от узла J s к узлу l в .
rраф на рис. 8.29, б содержит 11 контуров, из которых две пары не
соПрикасаются, поэтому определитель
==1 ( 2 + + + + 2 +
211 2 22 211244 222244 222233 233244
+ 2 222423 + 2 242526 + 2 22232526 ) + 2 2 + Z 2i
211 2 44 Z 22 Z зsZ44 ZllZ22 Z ЗЗ Z 44 Z11 Z44 Z 22 2 33 Z11 Z 22 Z 44 2 зз.
Имеются .reтыpe прямых пути от узла #J i в узел 1з, причем миноры этих
путей равны единиие. Следовательно, передача
Н ( Z325 + Z32426 + Z324Z5 + 22Z6 )/ Z ,
31 Z22 Z 33 Z44 2 23 2 33 Z44 2 22 Z 33 Z44 Z 33 11'
Существует также три прямых пути от узла if 8 В узел 13. Минор пути,
Z2
содержащеrо ветви I/Z 44 и Z6IZзз, равен 1 Z Z 3 . а миноры друrих путей
11 22
равны единице. Передача
н зв == [ Z6 ( 1 Z ) + Z4 Z 5 + Z2 Z 3 2 5 ] /(Z44 )'
233 Z11 Z 22 Z22 2 33 Z11Z222зз /'
Подставляя выражения для Нзi и Н38 В формулу для ТOI,a 1, получим
I1СКОМЫЙ результат.
rпABA8.
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
И З,ЛЕКТРОННЫМИ ЗЛЕМЕНТАМИ (ТРЕХПОЛЮСНИКАМИ)
9.1. Простейwие цепи с взаимной индукцией
Параметры и уравнения двух идеализированных катушек, рас.
положенных на одном кольцевом сердечнике, были рассмотрены
в 1.8. Для любых двух катушек (контуров), не обязательно
имеющих общий сердечник, аналоrично можно ввести понятия
собственной и взаимной индуктивностей при условии, что часть
маrнитноrо потока, обусловленноrо током одной катушки (одноrо
контура), будет сцеплена с друrой катушкой (друrим контуром).
При этом справедливы определения коэффициента связи и одно-
именныХ (однополярных) зажимов, данные в .1.8.
В общем случае любое число катушек может иметь индуктив-
ную связь. Каждая пара таких катушек характеризуется взаим-
ной индуктивностью и коэффициентом связи.
Взаимную индуктивность пары катушек можно считать алrе-
браическоЙ величиной. Если индуктивно связаны только две
катушки, то их зажимы можно разметить так, чтобы взаимная
индуктивность была положительной (М> О) *. Пусть одноимен-
ные зажимы двух катушек, для которых М > О, известны и отме-
чены точками (рис. 9.1, а). Положительные направления для TOKOBi 1 ,
i 2 и э. д. с. взаимной индукции еlМ и е 2 М выбраны одинаковыми
относительно одноименных зажимов. Тоrда при di1ldt> О э. д. с.
взаимной индукции е 2 М == М di 1 /dt < О. Если i 2 == О, то разность
потенциалов зажимов второй катушки определяется только э. д. с.
е 2 М, Следовательно, потенциал одноrо зажима, отмеченноrо точкой,
выше потенциала друrоrо зажима.
Повышение потенциала на зажиме одной обмотки при наличии
тока, возрастающеrо во времени и направленноrо к одноименному
зажиму друrой обмотки, учитывают при экспериментальном опре-
делении одноименных зажимов катушек. С этой целью одну
из катушек присоединяют к источнику постоянной э. д. с.,
а друrую к вольтметру или rальванометру постоянноrо тока
(рис. 9.1, б). Если в моменТ замыкания ключа (di 1 /dt> О) стрелка
измерительноrо прибора постоянноrо тока отклоняется в положи-
тельную (отрицательную) сторону, то зажимы катушек, присое-
диненных соответственно к положительным (отрицательным) полю-
сам источника и прибора, будут одноименными. Для определенных
таким способом одноименных зажимов М > О.
в случае, коrда число индуктивно связанных катушек больше
двух, целесообразно произвольно отметить по одному зажиму
каждой катушки (одноименные зажимы) и установить знак взаим-
ной индуктивности для всех пар связанных катушек. Определение
знака можно осуществить экспериментально с помощью схемы
" Предполаrается. что катушки неподвижны относительно друr друrа.
263
на рис. 9.1, б. Если при замыкании ключа стрелка измеритель
Horo прибора отклоняется в положительную (отрицательную) CTO
РОНУ, то взаимная индуктивность пары катушек с произвольно
отмеченными зажимами положительна (отрицательна) * .
[,
.........,..
[2
.............
..
1,,"
i'1.". [J +'
ttJ v
j
е т
а)
oj
РИс. 9.1
На рис. 9.2, а, б показаны две схемы последовательноrо соеди
нения катушек, имеющих индуктивности L 1 и L2' сопротивления '1
и '2; взаимная индуктивность М> О. в схеме -на рис. 9.2, а,
называемой сх мой с о r л а с н о r о с о е Д и н е н и я, ток ПО ОТНО-
..
и,
L "
'i L,
.
I -----;-<> .4 dl/lt/dt
и' ,
....
.
'i
!:
.. dl/l,/dt
(и d /dt
r.
Lz
dI/l 2 /t1t
а)
L 2 r z
(Jz
О)
Рис. 9.2
шению к одноименным зажимам каждой катушки ориентирован
одинаково, а в сХеме на рис. 9.2, б, называемой схемой в с т р е ч-
н о r о с о е Д и н е н и я, противоположно. Напряжение на зажи-
мах схем
+ . I d1Jf 1 + . + d1Jf2
и==и. _ u'l,==r 1 t,& '2 ' "(ft.
При одинаковом (противоположном) направлении тока OTHO
сительно одноименных зажимов, потокосцепления самоиндукции
и взаимной индукции складываются (вычитаются) и для потоко-
сцеплений чr 1 и чr 2 справедливы выражения
'l'1 == L 1 i +- Mi;
'1"2 ==L2i +- Mi,
* Взаимную Индуктивность можно считать положительной при люБО:l1
числе связанных катушек. В Та!юм случае для каждой пары катушек необхо
димы специальная разметка одноименных зажимов: одноименные зажимы одной
пары отмечаются, например, точками, друrой звездочками И т. Д. '
64
rде знак, плюс относится к схеме на рис. 9.2, а, знак минус
к схеме на рис. 9.2, 6. С учетом выражений для ч' 1 И ч' 2 напря
жение
u == ('1 + (2) 1 + (L 1 + L 2 -+ 2М) di/dt.
Если ток изменяется по rармоническому закону. то можно
получить следующее соотношение для комплексных величин:
(; == ['1 +'2 + j(fj (L 1 + L 2 -+ 2М)] 1 === (ZI + Z2 + 2Z M ) 1,
rде ZI =='1 + j(fjI. 1 , Z2 ==='2 + j(fjL 2 комплексные сопротивлени
катушек; Z 1\1 === j(fjM комплексное сопротивление взаимнои
индукции. Величина Х1\1 === шМ
имеет размерность сопротив-
ления и называется сопро
тивлением в з а и м н о й и н -
Д у к Ц и и,
r,i
jUJNi
а)
Рис. 9.3
jUJL,[
jUJLi
uz
i
i
..............р.
t Z2
Рис. 9.4
Комплексное сопротивление цепи
Z === {;/i == ZI + Z2 + 2Z1\1 ==='1 + "2 + j(fj (L 1 + -+ 2М),
эквивалентная индуктивность
L3 == L 1 + L 2 -+ 2М.
При соrласном (встречном) соединении индуктивность L3 больше
(меньше) суммы L 1 + L 2 .
Если. наIJряжение {; на за имах.цепей (рис. 9.2, а, 6) задано,
то ток I ===U/Z. Напряжения и 1 и и 2 на зажимах катушек опре-
дедяют из выражениЙ
ZI+ Z 1\1' . Z2+ Z 1\1'
и 1 === z И; и 2 === z и.
На рис. 9.3, а, 6 построены векторные диаrраммы соответ-
ственно для соrласноrо (Z1\1 === j(fjM) и встречноrо (Z1\1 === j(fjM)
соединений катушек. При встречном соединении напряжение на
зажимах одной из ,катушек может OTCTaBaT по фазе от тока
(емкостной эффект). Например, напряжение и 2 отстает от тока 1
(рис. 9.3, 6), тю>: как L 2 < М.
265
При параллельном соединении €Вязанных катушек (рис. 9.4)
i == i 1 + i 2 ;
и ==, li 1 + dЧ' l/dt;
и == '2i2 + dЧ'2/dt.
Учитывая, что Ч'1==L 1 i 1 + Мi 2 ; Ч'2==L 2 i 2 + Мi 1 [знак плюс
(минус) соответствует случаю, коrда токи i 1 и i 2 одинаково (про-
тивоположно) ориентированы относительно одноименных зажимов],
М> О, при rармонических токах получаем уравнения для комп-
лексных величин:
if
i==i 1 +i 2 ;
{; == Zl i l + z M i 2 ;
{; == ZM 1 l + Z2 i 2.
Если задаН ток j в неразветвленнои части схемы, то напря
жение на зажимах цепи
..
токи в ветвях:
{; ZIZ2 Z}л j
Z}: ·
j Z2 ZM j. 1
1 Z}: . 2
Zl ZM j
Z ·
}:
rде Z}: == Zl + Z2 --- 2Z M . Входное сопротивление цепи
Z == (;/1 == (ZlZ2 --- Z )/Z}:.
Пример 9.1. Определить тOIШ в ветвях и построить векторную диаrрамму
nJ1я схемы на рис. 9.5. Составить уравнение баланса активных мощностей для
этой схемы и определить активную мощность, передаваемую из одной ветви
в. друrую. Параметры схемы: l/roC==roL 1 ==1O ом; r2==roL 2 ==roM==8 ом;
и == 120 В.
Реш е н и е. Комплексные сопротивления ветвей:
Zl == j (roLi ro )==0; Z2==r2+ jroL 2 ==8+j8 Ом.
комплексное сопротивление взаимной индукции
ZM==jroM jR ОМ,
У раВJjения цепи имеют вид
1==11+12:
(; ==Z1 1 1 +ZM'2 ==Zlil +Z2'2i
откуда
Z2 ZM . (8+j8 j8).120
/1 == 2 и
ZIZ2 ZM ( j8)2
Zl Z М . ( j8). 120
12 == Z Z 2 и ==
1 2 ZM ( j8)2
i==15 jI5 А.
"
15 А;
j15 А;
266
На рис. 9.6 построена веI,торная диаrрамма токов и напряжениЙ,
Активная мощность, потребляемая цепью,
Р == Re (;1== Re [120 (15 j15)] == 1800 Вт.
Активная мощность, потребляемая каждой ветвью,
Р 1 == Re liJ 1 == 120. 15 == 1800 Вт:
Р 2 == Re (;12-== Re (120jI5)==0.
Таким образом, активная мощность потребляется от источника только
.первой ветвью, однаIЮ ю,тивное сопротивление и тепловые потери имеются
только во второй ветви. Следовательно, активная мощность, потребляемая о.,
lи
'2
., .
J blC "
jUJИi 2
+1
О jcvМl,
+j
,
Рис. 9.5
jUJl,i,A 1
Рис. 9.6
источника первой ветвью, полностью передается за счет индуктивной связн ВО
вторую ветвь. Мощность,. передаваемую от первой во вторую ветвь, можно
найти, если напряжение и представить в виде двух составляющих. При этом
Р 1 ==Re [Z111 +Z 1\i2] 11 ==Re (Z//I)+Re (Z1\11 2 i 1 );
P 2 ==Re [Z1\111 +Z/2] 12 ==Re (Z 1\11/2) +Re (Z2 1 2'2)'
Слэrаемые Re (Z1fl11) ==r1'i и Re (Z212f )== '2' определяют потери мощности
в акти ных сопротивлениях соответственно первой и второй ветвей. Величина
Re (Z 1\1'211) == Р 12 представляет собой активную мощность, передаваемую из
п рвой во вторую ветвь. Если 11=='1eia<, i2==/ ia2, то
Р 12 == Re [jwM/1/2ei(a2 a,)] ==wM/ 1 / 2 siп (щ а2)'
Составляющая мощности Р 2
. ж
Re (Z1\1l/2)== wMJi2 siп (а 1 (2)== Р 12 .
Следовательно,
P 1 ==r1 / i+ P 12: Р 2 ==.... P 12 +r2п
Тю, как ri ==0,
P 1 ==Pi2==Re(.....j8.15.jl5)==1800 Вт*
P2== P12+r2/ == 1800+8.152==0.
Вся активная мощность, передаваемая из первой ветви во вторую, рас.
сеиваетСЯ в сопротивлении r
9.2. Трансформатор в линейном режиме.
Индуктивно связанные контуры
Уравнения трансформатора. В простейшем случае трансфор-
матор представляет собой две индуктивно связанные катушки,
которые называются обмотками и расположены на общем сердеч-
267
нике *. Обмотки обладают активными сопротивлениями '1 и '2 И
индуктивностями L 1 И L 2 (рис. 9.7). В комплексноЙ форме ypaB
нения трансформатора имеют вид
1==Zli +ZM 2; } (9.1)
и 2 == ZM'1 + Z2'2.
rде ZI=='I+jЮ!'I=='I+j Х l' Z2=='2+
+ jюL 2 == '2 + jX 2 сопротивления
первичной и вторичной обмоток;
Z м == jюМ == jXM сопротивление ин-
дуктивной связи (взаимной индукции).
Если Z" == 'н + jx" сопротивле
ние наrрузки, то к уравнениям (9.1)
добавляется уравнение
(;2== ZJ2'
j,
--------t:>
, [2
1 . r,
и,
]
Zn
Рис. '9.7
(9.2)
Из уравнений (9.1) и (9.2)
1 Ul . ZM 1
1 == Zt ; 12== z + 1.
м 2 L.п
. Zl Z2+ Z H
Входное сопротивление трансформатора
. Z9
Z == u 1 ==Z о..::..М
вх i 1 1 Z2+ Z П.
Выражение дЛЯ ZBX можно преобразовать, разделЯЯ веществен
ную и мнимую части:
Х'iи(r2+ r п) . [ X ( +XH) , J
ZBX '1 + (r2+ r H)2+(X 2 +x H )2 + J хl --- (r2+ r .J 2 +(X2+ X H)2 ' (9.3)
Составляющие входноrо сопротивления
х'iи (r2+ r H)
'ВП == (r2+ r п)2+(Х 2 +Хн)2 ; (9.4а)
Х7и (Х 2 +Х н )
== + + + Щ
называют соответственно в н о с и м ы м и акти.вным и реактивным
сопрОтивлениями. Сопротивление ' вн увеличивает входное активное
СОПРОтивление со стороны зажимов первичной обмотки по cpaB
нению с величиной '1. Увеличение активноrо сопротивления обу
словлено рассеиванием энерrии в активном сопротивлении BToporo
контура. Сопротивление Х ВП увеличивает или уменьшает входное
реаКТИВНое сопротивление по сравнению с величиной Хl в зависи-
* Как правило, сердеЧНИК выполняется из ферромаrнитноrо материала
с ВЫСОКОЙ маrнитной проницаемостью /-t; в линейном режиме t==const. Находят
применение также трансформаторы с сердечником из неферромаrнитноrо мате.
риала (lt== 1), .
268
мости от знака реактивноrо сопротивления Х 2 +Х н , Увеличению
(уменьшению) входноrо реактивноrо сопротивления соответствует'
увеличение (уменьшение) общеrо Маrнитноrо потока по сравнению
с потоком самоиндукции за счет' потока взаимной индукции.
АI{тивная мощность, отдаваемая источником напряжения и 1 .
. * " *' '. *
Р 1 == Re (и 1 1 1 ) == Re (ZI/111) + Re (Z M I 2 1 1 ) == rl1 + Р12'
,;.
rде Р12 == Re (Z M / 2 1 1 ). Составляющая rl1i мощности Р 1 расходуетсЯ'
на тепловые потери в первом контуре; составляющая Р12 пер да ,
ется во в рой контур вследствие индуктивной связи. Если 11
== I 1 e ia " 12 == 1 2 е;а., то
Р 12 == Re [ix M I 1 1 2 e l (a. a,)] ==х м 1 1 1 2 siп (<<1 «2).
Активная мощность, потребляемая наrрузкой,
. * ... *' . *
Р2 == Re ( и212) == Re ( ZM/I12) + Re( Z2 / 2 1 2)'
Составляющая мощности Р 2
. *
Re ( ZMI112) == Re [ ixMII12ej(a, a.)] == х м 1 1 Т 2 sin (<<1 «2) == Р 12 ,
СJIедовательно, Р2 == Р 12 r2J , т. е.
меньше мощности, передаваемой во
второй контур, на величину по-
терь в сопротивлении r2- Выраже
ние баланса активных мощностей
можно записать в виде
Р 1 == Р2 + r1J + r21 ==
==r11 +(rH+ r 2 ) N.
Для расчета разветвленных цe
пей с трансформаторами можно
воспользоваться матричным спосо-
бом, для чеrо составляют неопре-
деленные матрицы узловых прово
димостей и контурных сопротив-
лений трансформатора. Схема че.,
тырехполюсноrо трансформатора
(рис. 9.8, а) характеризуется ypaB
нени ями, аналоrичными (9.1):
U il == Zlii + zMi;;
ОП, == Z Ml i + Z2 i "
откуда
активная мощность наrрузкк
l . lM lI ' j
. ! li · . 1 'J " ) "
l A
. Z, l2
l -<>-------- k
il= ii ik= ij
а)
j.
. l
l ............р.
l ; == 1 2 (Z2UU ZMU/ k );
ZIZ2 ZM
. I - .
Т;== 2 (ZIUjl, ZMUil).
ZlZ2 ZM
j.
'1 .
J
lM , )
.z;; Yjk
f ik= (4 +{j)
k
{Р
,
Рис. 9.8
269'
Учитывая, что l!il==Фi---Фl' l!jk==фj---Фk' jl== Ii' jk== ii'
получаем матричное уравнение
1E Z2 ZM ZM Z2 Фi
1, 1 Z м Zl Zl Z 1\1 Ф;
lk ZIZ2 ZX-t ZM Zl Zl Zl\1 Фk
)1 Z2 Z1\1 ZM Z2 Фl
Таким образом, неопределенная матрица узловых проводимо-
стей четырехполюсноrо трансформатора
Yи Уц Y ik У и Z2 ZM Z1\1 Z2
. (y) У;Е У;; Y;k У;l I Z1\1 Zl Zl ZM
Ун == ;1 == 71 (9.5)
Y kl Y kj УМ Y k1 ZM Zl Zl ZM
Yи Уо Y 1k У ll Z2 ZM ZM Z2
rде ==:: ZlZ2 --- Z .
. . I .
lIt= Uk . ii
l,
I iJ,' 1ij
[;к
.
а)
о)
Рис. 9.9
Аналоrично находят матрицу Y Y) трехполюсноrо трансформа-
тора (рис. 9.8, б):
Yи Уц Y 1k
Y Y) ==:: Yfl Уп Y;k
YM Y k , Ykk
Z2 ZM Z2+Z1\1
I
== к: ZM Zl ZM --- Zl (9.6)
Z2+ZM Zl\1 ---Zl Zl +Z2---2ZM
в матрицах (9.5) и (9.6) сопротивление ZM == jroM (М> о).
Если у одной из обмоток изменить расположение зажима, отме-
ченноrо точкой, то ZM == jwM. При вычеркивании одноrо столбца
и одной строки из неопределенной матрицы получается определен-
ная матрица. Например, вычеркивая третий столбец и третью
27{)
строку в матрице (9.6), получаем
у(у) == ' Yll Уц I == J.. I Z2 Z м I . (9.6а)
Yj/ Ул !::1 Z м Zl
Вычеркивание k ro столбца и k й строки в матрице проводи-
мостей означает, что зазе ляется k й узел (Фk == О) и не учитыва-
ется уравнение для тока 1 k'
В схеме на рис. 9.9, а 1/, lj' /k' /, KOHTYPHыe токи. Схема
описывается уравнениями
(;/ == Zl (i/ i k) + ZM (/1 /});
(;1 == ZM (l/ j k) + Z2 (l, /}).
- Учитывая (; k == (;/, (;) == (;1' нетрудно записать матричное
уравнение
(;i
(;)
(;k
(;
1
Zl ZM Zl ZM
ZM Z2 ZM Z2
Zl ZM Zl -ZM
ZM Z2 ZM Z2
//
/)
/k
J
1
откуда неопределенная матрица контурных сопротивлений четы-
рехполюсноrо трансформатора
Zll Zij Z/k Zи Zl Z м Zl ZM
(К) Zji ZjJ Zjk Zjl ZM Z2 ZM Z2
Zи ==
Zkl Zkj Zkk Zkl Zl ZM Zl ZM
Zи Zlj Zlk Zu ZM Z2 ZM Z2
Аналоrично вычисляется матрица Z K) трехполюсноrо трансфор-
матора (рис. 9.9, 6):
Zu Zif Z/k
Z K) == Z}/ Zi/ Z;k
Zk/ Zkf Zkk
ZM Zl+ZM
Z2 ZM Z2
ZM Z2 Zl+Z2 2ZM
(9.7)
Zl
ZM
Zl+ZM
(9.8)
Следует отметить, что матрицы y y) и Z K) симметричны, т. е.
трансформатор удовлетворяет принципу взаимности.
При вычеркивании одной строки и ОДноrо столбца из матрицы
Z K) получается определенная матрица контурных сопротивлений.
Выч ркивание k-ro столбца и k-й строки qзначает, что контурный
ток 1 k == О и уравнение для напряжения и k не учитывается.
Совершенный и идеальный трансформаторы. Совершенный
трансформатор, -рассмотренный в 1.8, представляет собой част
271
ный случай трансформатора (см. рис. 9.7) при r1 == r 2 == о; м ==
== YL 1 L 2 (или Kc==M! VLIL2 == 1). Уравнениям (1.28) соответствуют
уравнения в комплексной форме (9.1) при Zl == jroL 1 ; Z2 == jroL 2 ;
ZM == Y Z1Z2 ' Отношение напряжений совершенноrо трансформа
тора
п ==
2 == J!
Z; (y
i 1 + J!
Z; i 2 ) == -.; Z2 == V L
и 1 J! Zl (JI Z. i1+V Z2 i2) JI ZI 4
не зависит от наrрузки и называется к о э Ф фи ц и е н т о м т р а н с-
фо р м а ци и; п== w 2 /ш-.l (см.
1.8).
Пусть маrнитная проницаемость сердечника совершенноrо
трансформатора (1.--+00. Тоrда L 1 --+00, L 2 --+00 И М --+00; коэф
фициент трансформации п == V L 2 /L 1 == Ш 2 /Шl
конечная величина.
Из уравнений ,{9. 1) можно найти
/ йl -.; L2 / /
1 == jroL 1
JI L 1 2 ==
п 2
или
12 == . и 2
-.; Ll /1 ==
jl
" IroL.a JI L.a n'
т. е. отношение токов /1/i 2 также не зависит от наrрузки.
Трансформатор, характеризуемый урав-
нениями
называют и Д е а л ь н ы м. Идеальный тран-
cфopMaTop представляет собой предельный
случай совершенноrо трансформатора при
(1."""+00 (рис. 9.10, а,6).
Входное сопротивление идеальноrо
трансформатора} наrр'уженноrо на сопро-
тивление ZH == и J(
12)'
ZBX == (;1//1 == ZHlп 2 , (9.10)
т. е. трансформатор обладает свойством
преобразования сопротивления в l1n 2 раз
и может применяться для соrласования
сопротивлений.
т ак как для совершенноrо и идеаль-
Horo трансформаторов ZlZ2
Z
== О, то
матрицы узловых проводимостей (9.5) и (9.6) не существуют. Для
совершенноrо трансформатора применимы выражения (9.7) и (9.8)
матриц контурных сопротивлений; в случае идеальноrо трансфор-
матора матрицы (9.7) и (9.8) также не существуют. Идеальный
трансформатор часто применяют как мноrополюсныи элемент для
построения различных схем замещения.
i, i 2
иD"" {}
а)
i,
i 2
-<:J-o---.--
!и,
и;!
5;
Рис. 9.10
272
(;2 == nи 1; }
. 1 .
J2==
nll'
. (9.9)
Резонанс в индуктивно связанных контурах. В радиотехнике
и технике связи применяют колебательные контуры высокой
добротности с индуктивной связью (рис. 9.11). Входное сопротив-
ление ZBX связанных контуров, i
вносимые активное и реактив
ное сопротивления можно найти 1 О
соответственно из выражений 1 С 1 . . C z ' 1 .
(9.3), (9.4а) и (9.4б), если й 12
rH==O; Хн==О, xl==wL1 l/wC 1 , ' L L
Х2 == wL 2 I/wC 2 . r, 1 2 ']
В связаНJ:IЫХ контурах раз
личают несколько видов резо-
нанса, которые достиrаются при
изменениях реактивных пара-
метров или частоты. Если изменять емкость С 1 первоrо контура,
то при Хl + Х вн == О токи 11 И 12 принимают максимальные зна-
чения:
Рис. 9.11
и 1
l 1тах == +r ; 1 2тах
rl вн
xMl1max
V r +x
Такой режим цепи называют первым частным резонан-
с о м. Аналоrично можно определить в т о рой ч а с т н ы й рез о-
н а н с, коrда достиrается максимум тока 12 с помощью изменения
емкости С 2 при неизменных параметрах первоrо контура.
Значения l 1тах И 1 2тах зависят от сопротивления взаимноЙ .
индукции Хм, т. е. от величины коэффициента связи КС' Учиты-
вая, что
х м и 1
12 тах == ( x r 2 )
rl+Z2 22
2
==>
Z2 X ми 1
'lz +r2x '
rде Z == ;. + X , из уравнения д1 2 тах/дх м == О можно определи::ь
значение Хм, при котором 12 тах будет наибольшим: Хм == Z2 11 / .
JI r 2
Наибольшее значение тока 12 тах
(12 тах)тах == . 1 .
2" '1'2
При этом
11 тах == U 1/2rl'
Режим цепи, при котором хl + Хан == О И установлена оптималь-
ная связь XM==Z2 Vrl/r2 ' называют сложным резонансом.
Можно настроить в резонанс каждый из контуров в отдель-
ности. При этом хl == о, Х 2 == О. Если затем устанавливается опти-
малышя связь Хм == Z2 V rl/ r 2 == r 2 11 rl/ r 2 == V rlr2' то режим цепи
называют п о л н ы м рез о н а н с о м. При полном резонансе зна-
чения токов 11 и 12 те же, что и при сложном резонансе.
Целесообразно рассмотреть частотную характеристику модуля
взаимной проводимости У21 == 1 2 /и 1 для двух контуров с одина-
273
ковыми параметрами Ll===L2===L, С 1 ===С 2 ===С, rl===r 2 ===r и, следо-
вательно, Хl === Х 2 === Х (данная частотная характеристика аналоrична
частотной характеристике тока 12)' Комплексная взаимная прово
димость У21 === 12/(;1 === ZMI(Z1Z2 Z"") или (Z1 == Z2=== r+ jx.
ZM ==jXM)
jX M jXM/ r2
у ===
21 r2 x2+x +i2rx 1 (x/r)2+(XM/r)2+2j(x/r)'
Отношение a===x/r обобщенная расстройка контуров (см. 7.6).
При резонансной частоте ШО === I/ JlLC , а === О. При небольших откло-
нениях частоты (j) от резонансной (небольших расстройках)
а=== ( (j)L ) === (J)oL ( (00 ) === Q «(O (OO)"«(O+(OO ) 2 Q «(j)t"-----(j)o).
r (ос r (00 (О (0(00 (00
jf
В области' частот, близких к шо, отношенне
XM/r === (j)M/r === Kc(j)Ljr Kc(j)oL/r === KcQ.
Модуль взаимной проводимости
. KcQ/r
У21 === V'[l a2+(KcQ)2]2+(2a)2
Наибольшее значение взаимной проводимости У21mах === 1/2r
имеет место при полном или "сложном резонансе [если контуры
одинаковые, то (I2max)max === U 1 /2r]. Разделив У21 на У21mах, полу-
чаем нормированную характеристику связанных контуров:
2KcQ
У21mах У(1 a2+K (2)2+4a2 .
Величина отношения (9.11) при любой расстройке а зависит
от произведения КД. В
частности, при резонансе
(а===О)
( У21 ) 2Kc 2 . (9.12)
У21mах р 1 + KcQ
Отношение (9.12) прини-
мает наибольшее значение,
равное единице (при КД ===
===1), т. е. в случае опти-
мальной связи. Если
KcQ 1, то (У21/У21mах) < 1.
Дифференцируя функ-
цию (9.11) по а и прирав-
нивая производную к нулю, вычисляем значения а, соответствую-
щие максимумам функции (9.11):
а1.2=== + VКЩ2 1.
!/2 1 1У21 тих
1
о
а
Рис. 9.12
274
(9.11 )
Функция имеет максимумы только при сильной связи, Т. е.
при KcQ> 1. Если KcQ< 1, то аl,2 мнимые числа. Максималь-
ные значения Функции (9.11) равны единице. При сильной СВЯЗI!
функция (9.11) имеет также минимум, определяемый выражением
(9.12). При KcQ < 1 (слабая и оптимальная связь) функция (9.11)
имеет только один максимум для а == О.
Семейство зависимостей У21/У21тах для различных значений
KcQ приведено на рис. 9.12. Связанные контуры при KcQ 1
позволяют получить более широкую полосу пропускания, чем
у одиночноrо контура. Изменяя -коэффициент связи, можно изме-
нять форму частотной характеристики.
9.3. Разветвленные цепи с взаимной индукцией
"
Уравнения развеТВJIенных цепей. Для разветвленной цепи
с взаимной индукцией матрица комплексных сопротивлений ветвей
[ Zl Z12'.. ZlB j
Z(B) == Z l Z . .. Z в ,
ZBl ZB2 ... ZB
(9.13)
rде элементы r лавной диаrОНaJIИ Zl' Z2' ..., ZB комплексные
сопротивления всех ветвей; элементы вне rлавной диаrонали Zij==
== Zji и"# j) комплексные сопротивления индуктивной связи i й
и j-й ветвей. Сопротивление Zij == jXij == jroM (Zij == jXij == jroM) ,
если ориентация i-й и j й ветвей по отношению к одноименным
зажимам одинакова (противоположна)'. Для ветвей, не имеющих
индуктивной связи, Zij == О.
Матрица проводимостей ветвей цепи с взаимной индукцией
определяется как матрица, обратная матрице (9.13):
У(В) == [Z(B)] l. (9.14)
Зная матрицы У(В) и Z(B), можно составить узловые уравне-
ния, уравнения с напряжениями ветвей дерева и контурные
уравнения (7.27), (7.28) и (7.29). Матрицы этих уравнений
вычисляют, как и в цепи без взаимной ИНДУКЦИИ, по выражениям
(7.30) -+- (7.35). Однако в отличие от цепей без индуктивных
связей матрицы Z(B) и У(В) не являются диаrональными. Матрицы
у(у), у(с), Z(K) цепей с взаимной индукцией симметричны, так
Как симметричны матрицы Z(B) и У(В), т. е. такие цепи удовлет-
воряют принципу взаимности.
Во мноrих случаях не все ветви цепи имеют индуктивную
связь, поэтому с помощью надлежащей нумерации ветвей мат-
рице Z(B) нетрудно придать квазидиаrональную форму:
Z(B) == [ Zll 2 .... ] ,
Zmm
'275
rде подматрицы 111' 122' ... ,1 тт MoryT быть квадратными неДиа
rональными или диаrональными. Такое представление матрицы
1(В) облеrчает ее обращение, так как обратная матрица
[ 111 ] 1 [ Zii ]
У(В) == 122.... == Z22 1 .... 1 .
1 тт 1 тт
в качесТве примера составления матричных уравнений можно
рассмотреть схему на рис. 9.13, а, rраф которой показан на
t B
16
fj
12 2 14 :5
. t
/Z,14=Z43
1, l'2 12f 1J
. .. ls J 5
("
'f n)
J
4-
О)
Рис. 9.13
рис. 9.13, б. Матрица сопротивлений ветвей
Zl Z12!
Z12 Z2 !
Z(B) == ,.....ш........... "Z .....i;: [
i Z 34 Z4 j
...................:.i ......
Zo
в этой матрице вьщелены три подматрицы, которые леrко
обращаются:
111 == [ Zl Z12 ] 1 == [ Z2 Z12 ] == [ Уl У12 ] .
Z12 Z2 611 Z12 Zl У 12 У2 .
Z;i == [ Z3 Z34 ] 1 == [ Z4 Z34 ] == [ У 3 У 34 ] .
Z34 , Z4 622 Z34 Z3 У 34 У 4 .
Z J [ Z5 J l [ У5 ]
33 Zo Уо'
rде
L\l1 == Zl Z 2 Z 2; L\22 == Z3Z4 Z i;
Уl == Z2/L\ll; У2 == Zl/L\ll; Уз == Z4(L\22; У4 == Zз/L\22;
Y12==: Z12/L\ll; Y34== ZS4/L\22; Y 5 ==I/Z 5 ; Yo==I/Zo.
276
Таким образом, матрица проводимо rей ветвей
Y """'Y I
Y 12 У 2 1 .
.....................:. У ............. } .:;-...!'
j s З4
УЗ4 У", j
........................iV;.....
. У 6
У<В) ==
Следует отметить, что для принятой ориентации ветвей (рис. 9.13, б)
Z12 == jroM 12 ; ZS4 == jroМ з4 .
Для составления узловых уравнений необходимо записать
узловую матрицу
1 [ 1 1 О О О 1 ]
А==2 О 1 1 I О О
3 О О О 1 1 . 1
и вычислить матрицы узловых проводимостей У (у) =:, Д У(В) А (т) и
узловых токов j(y) == Aj(B) Д Y(в) (B), rде j(B) == [О О О О jfi О]Т,
t(B)==[ l О О О О 6Y
В результате вычислений получают узловые уравнения
[ }'t+Y2+Y6 2Y12 Y2+Y12 Y6 ] [ Фl ]
Y2+Y12 У2+УЗ+У6 2УS4 Y"'T+Y34 2::::
У 6 У4+ У З4 У4+} 0+ У6 Ч'з
[ <Yl Y12) J Y6 6 ]
Y 12 6"1 -.
ir.+ У 6 6"6
Записывая матрицу контуров
В == I [ ]
III О 1 О 1 О 1
и ВЫЧИСJ1ЯЯ матрицы контурных сопротивлений Zf K ) == BZ(B)B(T) и
контурных Э. д. с. (K) == B (B) BZ(B)j(B), леrко получить KOHTYP
Ные уравнения
[ Zl +Z2+Zs+2Z12 ZЗ+ Z S4 Z2 Z12+ZS"' ]
ZS+Z34 Zs + Z",+Zr. + 2Z 31 Z"'+ZЗ-l х
h + + h+ +
х [ i:: ] == [ :j О ] .
[ '(К) 6"
3 6
fп7
Для выбранных контуров (рис. 9.13, б) контурные токи СООТ-
ветственно равны токам ветвей: / K) == /1; / K) == /0; / K) == /6' Таким
же образом MorYT быть составлены уравнения с напряжениями
ветвей дерева.
Как видно из paccMoTpeHHoro примера, уравнения цепи
с взаимной индукцией составляют аналоrично уравнениям цепи
без индуктивных связей. Для простых цепей с взаимной индук-
цией контурные уравнения или уравнения по законам Кирхrофа
можно записать непосредственно при рассмотрении схемы. При
записи уравнений для контуров наряду с напряжениями на
активных сопротивлениях, емкостях и составляющими напряже-
ний на индуктивностях, обусловленными э. д. с. самоиндукции,
необходимо учитывать составляющие напряжений на индуктив-
ностях, обусловленные э. д. с. взаимной индукции. Эти состав-
ляющие имеm вид jroM ik / k ( jroMi1Jk), если направление обхода
i-й ветви и положитель-
ное направление тока / k В
k й ветви одинаковы (про-
тивоположны) относитель-'
но одноименных зажимов
связанных индуктивностей
L i и Lk' Если схема СОДер-
жит только ИСТОЧники
э. д. С., то контурные э. д. с.
записывают так же, как и
для цепи без индуктив-
ных связей. При наличии
истЬчников тока в связан-
ных ветвях токи таких источников можно рассматривать как из-
вестные контурные токи и учитывать напряжения на индуктивно-
стях в виде составляющих, обусловленных э. д. с. самоиндукции
и взаимной индукции. Преобразования источников тока (э. д. с.)
ветвей, связанных с друrими ветвями взаимной индукцией, в
источники э. д. с. (тока) по правилам преобразования источников
в цепях без индуктивных связей MoryT привести к ошибочному
результату.
Следует отметить, что для цепей с взаимной индукцией непо-
средственно неприменимы тополоrические методы расчета, изло-
женные в rл. 8, за исключением метода сиrнальных rрафов.
M12
t t q;;;. .L
1 Lz. 2
.
1 i,
-:Jj
со М'И
.' t7;)
rG L L J t
J
n)
0.5 4
f
2
. 0,5 5J 0,5
Рис. 9.14
Пример 9.2. Рассчитать токи в схеме на рис. 9.14, а. Параметры схемЫ:
<1\
roL 1 ==roL 3 ==roL 4 ==8 Ом; roL 2 ==ljroC 1 == 10 ом; roMi2==roM34==4 Ом; вl==24 В;
13== j16 В.
Реш е н и е. Контурные уравнения для заданной схемы имеют вид
jroL 1 1 1 jroM 12 1 2 == tfJ 1;
jroMl2il + j (roL2+roLз ro 1 ) 12 jroM341s ==о;
.
j roM 34 1 2 + j roL t 1 3==tfJ s
278
IIЛИ
j8i] j4i 2 == 24:
........ j4i]+j8i2 j4iз==0:
j4i 2 +i 8 i s ==jI6.
Вырщкая из этих уравнений токи il== 3j+O,5i2: 1 2 ==О,5I f +О,5I з : 13"f1b
-== 2 J.....O,51 2 , строим сиrнальный rраф (рис. 9.14, б).
Определитель rрафа L\== 1 O,52 O,52==O,5.
Вычислим токи в схеме:
. 1
/1== 0,5 [ 3j(I O,25)+2.0,25]==I j4,5 А;
12==0] [ 3jO,5+2. 0,5] == 2 j3 А;
is== 015 [ 3jO,25+2 (1 0,25)] ==3 jl,5 А.
,
9.4. Эквивалентные схемы и преобразов8НИЯ цепей
с взаимной индукцией
В ряде случаев целесообразно преобразовать цепь с взаимной
индукцией в эквивалентную цепь, не содержащую индуктивных
связей, после чеrо для расчета цепи можно применить тополоrи-
ческие формулы или исключение узлов с помощью замены мно-
rолучевой звезды мноrоуrольником.
В качестве простоrо примера преобразования цепи при нали-
чии индуктивной связи полезно получить эквивалентную схему
для трансформатора (см. рис. 9.8, б). Уравнения трансформатора
можно представить в виде
ik== Zli +ZMjf== zlii+ М(---:-- ii ik); }
U jk == ZM/i+ Z 2/i== ZM ( /I /k) + Z2/j
или
(;ik==(ZI ZM)ji ZMik; }
(;jk == (Z2 ZM) ij ZM/k' (9.15)
Уравнениям (9.15) соответствует эквивалентная схема на
рис. 9.15, а. Учитывая ZI==rl+jroL 1 , Z2==r 2 +jroL 2 , ZM== jroM,
леrко прийти к схеме на рис. 9.15, б. При изменении полярно-
сти одной из обмоток исходной схемы (см. рис. 9.8, б) в экви-
валентной схеме на рис. 9.15, а знак сопротивления ZM изме-
няется на противоположный.
Пример 9.3. Найти входное сопротивление ZBX == (;/1 схемы на рис. 9.16, а.
Параметры схемы: Кl == CiJL 1 == 20 Ом; К2 == CiJ == 10 Ом; к м == CiJM == 10 Ом; Кв ==
== I/CiJС з ==20 Ом; rз==1O Ом; Z4==IO+ilO Ом.
Реш е н и е. Входное сопротивление найдем из эквивалентной схемы на
рис. 9.16, б. Эту схему строим в соответствии с рис. 9.15, б при rl==r2==0.
Если Zl ==i (Кl KM); Z2==i (K2 KM): Zs==rs+i (Км Кз)' то
Z Z + Z3 (Z2+Z,,) 10 +1 '10 Ом .
BX 1 Z2+Z3+ Z ",
279
На рис. 9.17, а показаны три связанные катушки, соедиiIен
вые звездой, к свободным узлам которых приложены напряжения
j
. м
. .
] 8 "" '> z,
C J
j.
'J
..............
l2
а)
[2 M
k
а)
i .r, L M L2 И '2 j
. 1
И
Z4
C J
oj
Рис. 9.15
Рис. 9.16
(;12' и 2з , (;зt. Напряжения на зажимах ветвей определяются из
следующих выражений:
(;10 == Zl i l + jroM 12 i 2 + jroМ 1з / з ; )
Ч2О == Z2/2 + roМ21/1 + roМ2З 3;
U зо == Zз/з + jWM 31 / 1 + jroМ з2 / 2 ,
(9.16)
rAe Zk==rk+jroL k ; Mik==M ki (k, i==l, 2, 3).
По второму закону Кирхrофа,
(;12 == (;10 (;20 == (ZI jroM 21 ) /1 " '
(Z2 jWM I2 ) /2 + jro (М 1з М 2з ) /3;
(;2З == (;20 (;30 == (Z2 jroМ з2 ) /2 I
(Zз jroМ 2з ) i з + jro (М 21 М З1 ) /1;
(;:31 == (;зо (;10 == (Zз jwМ 1з ) / 3 J
(ZI jroМ з1 ) /1 + jro (М З2 М 12 ) /2'
На основании уравнения i 1 + i 2 + /з== О из первоrо уравне,.
ния можно исключить ток /3' из BToporo TOK /1' а из TpeTbero
(9.17а)
280
ток 12' В результате уравнения (9.17а) примут вид
Ч12==Z; 1 Z 2; )
и 2з == Z /2 Z;/ з ;
(;31 == z;i з z;i;,
(9. 17б)
rде
z; =='1 + jro (L 1 М 21 М 1з + М 2З ) =='1 + j X 1;
z =='2 + jro (L 2 М 32 М 21 + М З1 ) =='2 + j X 2;
z; =='3 + jro (L з М 1з М 2З + М 12 ) =='3 + j х з.
Уравнениям (9.176) удовлетворяет эквивалентная схема на
рис. 9.17, б. Из сравнения заданной и эквивалентной схем сле
дует, что, несмотря на равенство токов в соответствующих ветвях
U ю . ,
f U ю
. f .
о
1 42Т II ) M 1Z 'i и 2о !42 Х 1 'i . i
и 20
);
ц,,1 !;, j о . 2 о'
iJ.JO и" I Xz r z . I
. 1 o
iJ.J2 Z M 2J '2 U ZJ /
'2... J . ;о.
.....,......,.. lJ тj ....,...1> Х;} fj
I.J а) IJ 5j
Рие. 9.17
этих схем и равенство напряжений (;12' U 2З , (;31. напряжения
на зажимах ветвей эквивалентной схемы не равны соответствую
щим' н.апря ениям. на за имах. ветвей заданной схемы, т. е.
U 10 =F U \0', и 20 =/=и 2 0' и U зо =/=U ЗО " Однако это не мешает при
менять эквивалентные схемы при расчете цепей с взаимной индук
цией, так как после определения токов в ветвях эквивалентной
схемы можно найти напряжения на зажимах ветвей заданной
цепи.
Аналоrично нетрудно получить эквивалентную схему без вза
имных индуктивностей для трех связанных катушек, соединенных
треуrольником (рис. 9.18, а). Эта схема характеризуется контур-
ными уравнениями:
Ч 12 == Z1 12 + X12 23 + Х13 З1: )
U 2з == Z2 / 23 + /Х21 / 12 + /х 2 з / 31 ,
(;В1 == Z3 i 31 + j X 31 i 12 + j X 32 i 23'
.при .помощи соотношений i1==i12 iВ1' i2==i2з i12 и i з .
== 31 '23 из первоrо ураВl;Iения .<9. 18а) можно исключить. токи /23
И 131' из второrо токИ /31 и 112 И из третьеrо токи 112 и 123.
(9. 18а)
281
В результате получаем:
(;12 === [ZI + Н Х 12 + ХI3)] i 12 + j X 12 i 2 jх 1з i 1 ; )
(;23 === [Z2 +j (Х 2 1 +Х23)] i 2З + jх 2з i з jX 21 i 2 ;
(;31 === [Z3 + j (Х31 +Х32)] i 31 +j X 31 i l jх з2 i з ,
Уравнениям (9.186) удовлетворяе ЭКВl!валеНТl!ая схема на
рис. 9.18, б, в которой напряжения U 1 '2" U 2 ,з: и ljз'l' не. равны
соответственно напряжениям исходной схемы и 12 , U 2З и U з1 .
Применение эквивалентных схем без индуктивных связей облеr-
чает расчет цепей с взаимной индукцией. Кроме Toro, с помощью
эквивалентных схем можно моделировать цепи с взаимной индук-
цией цепями без взаимной индукции. При этом отрицательные
реактивные . сопротивления jW!v1 1k (!v1 1k > О) дЛЯ заданной
частоты W gаменяют емкостными сопротивлениями jl/WC 1k ===
=== joo!v1 1k .
i,
'
J
---:---<>
IJ
IJ
а)
.........,.....
,
(9.186)
1 х'J
1 1;
[;'2
Z jx2t
,
---;--1>
[,!
6)
1st'
Рис. 9.18
Для расчета схем с взаимной индукцией можно воспользоваться
дуальными схемами 6ез индуктивных связей. Такие схемы Moryт
быть построены при фиксированной частоте по матрице узловых
проводимостей, равной матрице контурных сопротивлений задан-
ной цепи с взаимной индукцией. Схемы, дуальные цепям с индук-
тивными связями, аналоrичны дуальным схемам для цепей с услов-
нымисвязями между контурами (см. 5.9).
Пример 9.4. Построить схему, дуальную схеме на рис, 9.19.
Реш е н и е. Для контуров, указанных на рис. 9.19, можно записать сле.
дующую матрицу контурных сопротивлений:
[ ZI+Z3+Z5 Z5 Z14 Z2Э ZЭ+Z14 ]
Z,K)== Z5 Z14 Z2Э Z2+Z4+Z5 Z4+Z2Э,
, ZЭ+ZI4 Z4+Z2Э Z+ZЭ+Z4
rде Z14== jroM 14 : Z2Э== jroМ 2э . Так как исходная схема ,содержит три независи-
мых коитура, дуаJlьная схема должна иметь четыре узла (рис. 9,20). М-атрица
282
узловых проводимостей дуальной схемы (Ф4==0)
[ У 1 + V 3 + V 5 V 5
Y5 У 2 +У 4 +У 5
V з ,....... У 4
уз ]
Y4 .
V+V З +V 4
Приравнивая вначале соответствуюшие внедиаrональные элементы матриц
Z(K' и у(у)а, определим следующие параметры дуальной схемы:
== == == + +
Из сравнения соответствующих диаrональных элементов матриц Z(K) и у!.у)а
получим:
V 1 ==ZI +ZЗ+Z6 (ZЗ Z14) (Z5+Z14 +Z2Э)==Zi Z2ij;
V 2== Z2+ Z4 + Z6 (Z4 Z2З) (Z5 + Z14 + Z2Э) == Z2 Zi4t
V ==Z +ZЗ+Z4 (ZЗ Z14) (Z4 Z23) ==Z + Z14+ Z2З'
В исходной схеме матрица контурных э. д. С, (К) == [о О J']1'. поэтому
. ;;,
в дуальной схеме необходимо включить источник тока J == (3 между базисным
узлом 4 и узлом 3. Матрица узловых токов дуальной схемы
j(y)d==[O о J]T== (K).
Приведенные выражения для проводимостей дуальной схемы показывают.
что индуктивным (емкостным) сопротивлениям исходной схемы соответствуют
емкостные (индуктивные) проводимости в l1уальной схеме.
l ,
z
Z,
. .
2
J5 14
1 J'/
1;; 14
1;; , 4 V
Z j
Рис. 9.19 Рис. 9.20
с помощью дуальных схем для цепей с взаимной индукцией можно при-
менять тополоrические методы аН1!лиза и методы преобразования схем.
Пример 9.5. Опреде ить ток 16 в схеме на рис. 9.19.
Реш е н и е. Ток [5 Щlйде.м с помощью дуал.ьной. схемы на рис. 9.20.
В исходной схеме ток 16 == 11 12' Контурные токи 11 и 12 равны соответственно
потенциалам Ф1 и Ф2 дуальной схемы.
Включив вольтметр между узлами 1 2, определим разность
П'N
.с.... k k
Фi Ф2 k!1 J,
rAe Пk!1k==VЗV2 V4Уi'
k
Определитель !1 вычислим с помощью разложения по путям между узлами
J 3:
f1.==V 1 V (У 2 + У4+У6)+УIУ2У4+ У 6 У 2 У +У 6 У 4 (Vi+V2+ У)+
+У з IV 2 (V 4 +У 6 + V 1 + У)+(У + У 1 ) (У 4+ У 6 )l.
283
Таким образом,
. . У2УЗ УI У 4 j l
Ч'1 Ч'2 1), == 6'
Подставляя соотношения для проводимостей дуальной схемы (см. при-
. мер '9.4) и эаменяя j на J, выразим ток i б через параметры исходной схрмы.
Дуальные схемы MorYT быть применены и для моделирования проиессов
в цепях с ИНДУКТИВНЫМИ связями с помощью цепей без индуктивных связей.
9.5. Расчеr цепей с невзаимными элементами
Матричные уравнения *. в различных областях техннки шнро-
кое применение находят электрические цепн, содержащие трех-
полюсные элементы электронные лампы и транзисторы. Принцип
действия эл.ектронной лампы и транзистора, их основные урав-
нения в линейном режиме и эквивалентные схемы для перемен-
ных составляющих напряжений и токов были рассмотрены в rл. 1
(см. 1.8).
Цепи с электронными лампами и транзисторами содержа"i'
источники ПОСТОf!.ННОЙ и переменной э. д. с. (тока). В линеЙном
. режиме при расчете переменных COCTaB
ляющих напряжений и токов источники
постоянной э. д. с. исключаются (замы-
каются). Поcrоянные составляющие напря-
жений и токов позволяют определить па-
раметры эквивалентных схем для перемен-
ных составляющих (далее эти параметры
предполаrают заданными).
Трехполюсный элемент (рис. 9.21, а)
можно характеризовать уравнениями (для
rармонических переменных составляющих)
и;]==[ ;; :][g;:J (9.19)
[g;:]==[ :: :]и:}
k
о)
i
j
(9.20)
Переменными соcrавляющими в урав-
нениях (9.19) и (9.20) служат токи зажи-
мов i, j трехполюсника и напряжения
Рис. 9.21 между зажимами i k, j k. Зажим k.
_. относительно KOToporo отсчитываюr напря
жения U ik . U;k' называют б а з и с н ы м зажимом. Если зажим i
рассматривают как входной, а зажим j как выходной зажимы
трехполюсника, то зажим k называют также о б щ и м зажимом
(по отношению к входу и выходу).
k
oj
* в данной rлаве рассматриваются особенности расчета цепей с электрон-
НЫМИ трехполюсниками в предположении Л Ulейности их режи.ма.
:2$4
Матрицы
У == [ Уll
У П
::] и
z == [ Zll
Zil
Zli ]
Zfi
в уравнениях (9.19) и (9.20) представляют собой определенные
матрицЫ параметров трехполюсника при базисном зажиме k
(матрицу проводимостей и матрицу сопротивлений) *, причем У ==
== Z l И Z == Y l. Если зажим i совпадает с зажимом сетки, зажим
j с зажимом анода, а зажим k с зажимом катода лампы. то
в соответствии с уравнениями (1.18) матрица проводимостей лампы
У ==[ }
(9.21 )
,
Матрица (9.21) является особенной (ее определитель равен
нулю), следовательно, матрица z== y ] не существует.
Если зажим i совпадает с зажимом эмиттера, зажим j c за
жимом коллектора, а зажим k с зажимом базы транзистора, то
в соответствии с уравнениями (1.21) матрица сопротивлений тран-
зистора
"Z== [ r ll r12 ] [ rв+rб rб ] "
r 2 1 r 22 == rб+аrк rб+rк .
Вычисляя матрицу, обратную матрице (9.22), можно получить
матрицу проводимостей транзистора:
(9.22)
y [ rб+rк rб ]
Ь. (rб+аrк) rв+rб '
(9.23)
rде
А == (r B +rб)(rб + r K ) rб(rб+аrк) ==rэ(r к +rб) + (1 а)rбrк, (9.23а)
С помощью матриц У и Z трехполюсника MorYT быть состав-
лены узловые и контурные уравнения или уравнения с напряже
ниями ветвей дерева (7.27) + (7.29). Для этоrо каждый трех-
полюсник (рис. 9.21, а) заменяют ero rрафом (рис. 9.21, б), ДBYX
полюсные ветви схемы отрезками линий. Для полученноrо rрафа
цепи составляют матрицы А, В или Q. В матрице проводимоcrей
ветвей У(В) (сопротивлений ветвей Z(B» на rлавиой диаrонали
записываются проводимости Y 1 (сопротивления Zl) двухполюсных
ветвей, проводимости У и , У л (сопротивления Zi/, Zii)' соответ-
ствующие ветвям i и j rрафа трехполюсника с базисным зажи
мом k (рис. 9.21, б); вне rлавной диаrонали записывают прово-
Дlщости Уц, Уд (сопротивления Z/j, Zji). Матрицы узловых про-
водимостей, проводимостей сечений, контурных сопротивлений.
.. Матрицы у и Z трехполюсников в обшем случае отличаются от матриц
узловых проводимостеii и контурных сопротивлений. Матрицу У называют
матрицей про в о Д и м о с т е й к о р о т к о r о з а м ы к а н и я (при КОРОТIЮ-
замкнутых зажимах), а матрицу Z матрицей СОПР'ОТИВJlений при
р а 3 о м К н у т ы х э а ж и м а х.
285
а также матрицы узловых токов, токов сечений и контурных
э. Д. С. вычисляют соответственно по соотношениям (7.30) + (7.35).
Следует отметить, что записать непосредственно матрицу У(В)
возможно только при отсутствии индуктивно связанных ветвей.
Если в цепи имеются индуктивно связанные ветви, можно записать
матрицу Z(B); при этом У(В) == [Z(B)] l, как и в цепи без MHoro-
полюсных элементов. В случае, коrда индуктивно связанные ветви
представляют собой трехполюсные трансформаторы, они MorYT
быть учтены при составлении уравнений с помощью rрафа
(рис. 9.21, б) аналоrично электронным трехполюсникам.
Пример 9.6. Составить узловые уравнения для ламповой схемы на
рис. 9.22, а (источники постоянной э. д. с. на схеме не показаны).
'2
1
'2
1
Рис.
oj
Рис. 9.23
Решен и е. [раф схемы приведен на рис, 9.22, б. Ветви 1 и 2 rрафа
соответствуют ветвям цепи, содержащим элементы lii ri и r2; ветви 3 и 4
пампе; ветви 5 и 6 трансформатору.
Узловая матрица схемы (Ф<l==О)
1 23456
1 [ ......1 1 I О О О ]
А==2 О О О 1 1 О .
3 О 1 О О О 1
Учитьmая, Что лампа и трансформатор характеризуются матрицами (9.21)
и (9.6а), запишем матрицу ПРОВОJ1имостей ветвей:
1 2 3 4 5 6
1 gl
2 g2
3 ...........':.0...0..:
YCB) 4 s g
5 ;.".....}..!.y ..."Y '
6 j У м УЗ
286
еде
1'1 ==
g1 == l/r1; g2== l/r 2 ; g,== l/r,;
2 , 1 j
(jPL1L2 (j)2M2 ; } 2== (j)2L1L2 (j)2M2 ; -; м == (j)2L1L2 r02M2 .
Для составления узловых уравнений вычислим матрицы У(У) ==А YIBJA т и
j(Y)==Aj(B) AY(B) (B), rде j(B)==O; i(B)==[J'1 0'0 О О О]Т. В результате
[ g1!g2 gl 1'l y 2 ] [ : ] == [ g1!1 ] .
....g2 v М g2+ У 2 Ф З О
Пример 9.7. Составить контурные уравнения для транзисторной схемы иа
рис. 9.23, а.
Реш е н и е. [раф схемы приведен на рис, 9.23: б. Ветви 1, 2 и 3 rрафа
соответствуют ветвям схемы, содержащим элементы 6'1 T1' r и тз; ветви 4 и
5 транзистору, Для указанных контуров матрица
12345
В == I [ J .
III О О 1 l +1
атрица сопротивлений ветвей
1
1 '1
2
3
Z(B)==
4
5
2 3
4
5
Т2 1
тз j
c:fв .......:... ...."..''''. J
: '11 '12
'21 r22
rде Т11, '22, '12 и r21 параметры транзистора.
Для составления контурных уравнений вычислим матрицы
. .
Z(K)==BZ(B)BT И (К)==В (В) ВZ(В)J,(В).
сде '(B)==[6"1 О О О ОУ; j(B)==O.
В результате получим уравнения:
[ r1+'l1 r12 rl1+'12 ] [ j K) ] [ 6"1 ]
T2] r2+r22 '22+r21 j K) == О .
'l1+r21 '12 T22 'З+'l1+r22 '12 '21 j K) о
Матрица проводимостей электронной лампы и матрицы прово-
димостей и сопротивлений транзистора несимметричны: Уц =1= Y j ,.
Zij =1= Zjl. Цепи, содержащие электронные трехполюсники, имеют
несимметричные матрицы У(В) и Z(B) и, следовательно, матрицы
У(У), у(с) U Z(К). Указанная несим етрия матриц означает, что
электронные лампы и транзисторы представляют собой невзаим-
ные элементы электрической цепи. Цепи с такими элементами не
удовлетворяют принципу взаимноСТИ (см. рис. 1.25 и 1.31).
Таким образом, матричные уравнения для цепей с лампами и
транзисторами составляются аналоrично уравнениям цепей, со-
87
держащих только двухполюсные элементы. Для простых схем
с электронными трехполюсниками уравнения по законам Кирх-
rофа, узловые и контурные уравнения MorYT быть составлены без
применения матричных соотношений (7.30) + (7.35). При этом за-
ВИ f!мые источники учитываются аналоrично независимым.
Неопределенные мат!?мцы узловых !lроводимостей .м контУ.рны?<
сопротивлений. При иlk==Ф/ Фk. Ujk==фj Фk' Jk== Jl Jj
(см. рис. 9.21, а) вместо уравнения (9.19) можно записать ypaB
нение трехполюсника в виде
[ ii ] [ Уи Уlj ""':"(YU+Y/j) ] [ Ф/ ]
i j == Ул Уп (Уп + У и ) Ф, .
i" (Уи+Ул) (Ylj+YJj) Уll+У;/+Уlj+УЛ ф"
Матрицу '1/ (9.24)
[ YиYiJYi" ] [ Уll Уц (У и + Y/j) 1
y )== YjlYJjY jk == Ул Уп (Yjl+Y;j)
Yk/Y"jY"" (Yи+ Ул) (Yц+ УН) У//+ Yjj+Yij+Y;lJ
называют н е о п р е Д е л е н н о й м а т р и ц е й у з л о в ы х про -
в о Д и м о с т е й трехпо-
. l ' l . ' " j :снки: м о :ен
, каждой строки этой мат-
I рицы и, следовательно,
ее определитель. равны
k нvлю.
О) J Зная определенную
матрицу узловых про-
водимостей трехполюс"
ника, леrко составить
добавляя третью строку и тре-
можно получить неопределенную
k
О)
Ojj
Рис. 9.24
неопределенную атрицу. Так,
тИй столбец в матрице (9.21),
матрицу проводимостей лампы
i
j k
[ О О. о ] i
y ):=;; 8 gl (8 + gl) j.
8 g/ 8+g i k
Матрица (9.25) соответствует нумерации зажимов на рис. 9.24, а
(i сетка, j анод, k катод). Взаимное изменение номеров двух
зажимов приводит к перестановке местами двух строк, и двух
столбцов неопределенной матрицы. Поэтому при нумерации зажи
мов, данной на рис. 9.24, б (i сетка, j катод, k анод),
i j k
[ О О О ] i
y )== 8 8+g/ g/ j.
8 (8+gд g/ k
(9.25)
(9.26)
',288
Нумерации зажимов на рис. 9.24, в (i катод, j анод, k
сетка) соответствует матрица
i j k
[ s+gl g, S ] i
yZ>=.::; (S+g;) g, .S j.
о о о k
(9.27)
Добавляя третью строку и третий столбец в матрице (9,23),
нетрудно записать неопределенную матрицу проводимостей тран-
зистора:
i j k
Y > == [ ;бt rк) r В'; б a r K r K rB ] ;, (9.28)
(a l)rK rB (l a)rK+rB k
rде !!. находят по формуле (9.23а). Матрица (9.28) составлена
при нумерации за;жимов. приведенной на рис. 9.25, а (i эмит-
Yцv11 1
k k k
а) 5} О}
Рис 9.25
тер, j коллектор, k база). Если зажимы транзистора пронуме-
ровать, как показано на рис. 9.25, б (i база, j коллектор,
k эмиттер) или на рис. 9.25, в (i база, j эмиттер, k кол-
лектор), то
i j k
r(1 a) r K + r B rB (a 1)-,. ];
(уl I l rв+rб (rб+аrк) j . (9.29)
Ун == 1)" arK rB
rK rб rб+rк k
или
i j k
[(1 а) '.+ '. (a l)rK '. ];
У(У) ! r . rб+rк rб j. (9,30)
н 1), к
arK rB (rб+аrк) r +rб k
, Считая зажим i входным, зажим j выходным, а зажим k общим
(базисным), можно rоворить о трех схемах включения лампы .Н
транзистора. Схемы включения лампы на рис. 9.24, а в назы-
вают соответственно схемой с о б щ и м к а т о Д о м; схемой
10 пjр. ИОIIКИ!18. Т. 1
289
с общим анодом и схемой с общей сеткой. Схемы вклю-
чения транзистора на рис. 9.25, a в называют соответственно схе-
мой с общей базой, схемой с об
щим эмиттером и схемой с-общим
к о л л е к т о ром. Схемы включения
лампы описываются неопределенны
ми матрицами проводимостей (9.25)--+--
-+- (9.27), а транзистора матрицами
(9.28) + (9.30). При вычеркивании k-й
строки и k-ro столбца из матриц
(9.25) + (9.30) получают определенные
матрицы для соответствующих схем
включени'я.
Трехполюсник можно характеризо
вать также неопределенными матрицами
контурных сопротивлений. Если известно уравнение (9.20) трех-
полюсника и выбрана система кон'суров, то неопределенную мат-
рицу контурных сопротивлений можно выразИТЬ через элементы
матрицы Z. Так, в случае трех контуров (рис. 9.26) справеДd1И-
вы равенства:.
[;,== (J'k;
. '(К) '(К).
/'==/i /k ,
На основании 3rих
,записать уравнение
[ (;, ] [ Zи
(;j == ZJl
U k Zll+Zjl
(;1 == (J;k; (; k == (;;k (;lk;
/ . / '(К) + / '(К) [ . / '(К) / '(К)
j 1 k, k 1 t .
равенств вместо уравfIения (9.20)
можно
'(К)
Zij Zil+Zi/ ][ /i ]
'(К)
хп Zjl ZI/ /;'
'() .
Zl; ZII Zи+ZJj Zlj Zjl /k K
(9,31)
, Матрицу
J
' Z (K) [ Z z : Z Z : Z Z : ] [ ZI Z ' Zij z Zll+ z Zlj ]
н === ;i ii jk == il .' Zjj jl ii
Zk ) z1f) Zk'k) Zи+Zti Zlj ZI/ Zll+ZiI Zii Zfl
называют н е о п р е Д е л е н н о й м а т р и Ц е й к о н т у р н ы х с о -
про т и в л е н и й трехполюсника. Сумма элементов каждой строки
и ,каждоrо столбца' этой матрицы, а следовательно, и ее опре-
делитель равны нулю. Матрице (9.22) транзистора соответствует
неопределенная матрица .
i
[ + li
Z K)== ;;б: r,,) rб r" (a= )r" J i.
ar,, r B r" (1 a) r,,+ re k
С помощью неопределенных матриц можно составить узловые
и контурные уравнения схем. содержащих мноrополюсники. Так,
290 (
i
k
(9.32)
для составления узловых уравнений сначала исключают MHOro-
полюсники (сохраняя узлы) и для полученной схемы записывают
неопределенную матрицу узловых проводимосТей; затем в соот-
ветствующие клетки записанной матрицы добавляют элементы
неопределенных матриц узловых проводимостей каждоrо MHOro-
полюсника. Аналоrично, при составлении контурных уравнений
'сначала закорачивают зажимы всех мноrополюсников (сохраняя
контуры) и для полученной схемы записывают неопределенную
матрицу контурных сопротивлений,
затем в соответствующие клетки за-
писанной матрицы добавляют элемен-
ты неопределенных матриц мноroпо-
люсников.
Таким образом, неопределенная
матрица узловых проводимостей (кон-
турных сопротивлений) сложной схе-
мы может быть получена в результате
суммирования неопределенных мат-
риц отдельных подсхем, так как при
составлении узловых (контурных) уравнений суммируют то и вет-
вей, соединенных в узлах (напряжения на элементах, образующих
контуры). Для перехода к определенной матрице необходимо вы-
черкнуть одну строку и один столбец из неопределенной мат-
рицы.
Рис. 9.27
Пример 9.8. Составить неопределенную матрицу узловых проводимостей
для ламповой схемы на рис. 9.27.
Реш е н и е. Исключим лампы из общей схемы (сохраняи узлы). Тоrда
неопределенная матрица узловых проводимостей
2 3 4
У' [ Og4 ]
3 О О g2 - g2 .
4 О g1 g2 gl+g2
с учетом равен: ств (9.25) и (9.26) матрицы ламп запишем следующим об-
разом:
1 2 4 2 3 4
l[ О О ".... (8 +Шl)]; 2[ О О ......Og12] .
yi,== 2 8{ Ш1 ут==з 82 8 2 +g 12
4 81 Шi 81 + gil 4 82 ....... (8 2 +g i J g12
Суммируя соответствующие элементы матриц У', У" и ут (т. е. элементы,
которые имеют одинаковые номера строк и номера столбцов), получим иско-
мую матрицу для всей схемы:
I 2 3
I О О О
y(;) 2 [ 81 gl+Ш1 О
н 3 О 82 g2+S2+gi2
4 81 {gl+g11 8J (g2+82+giJ
10*
4
О
е+- (81 +gii+gJ ]
(g2+gi2) .
gl + g2 +8)' + gii + g12
291
Применение сиrнальных rpафов к расчету невзаимных цепей.
у равнениям цепи с электронными лампами и транзисторами можно
поставить в соответствие сиrнальные rрафы. Еёли составлена си-
стема узловых уравнений, то rраф можно построить по общим
правилам (см. 8.6, 8.7). Во мноrих случаях уравнения для по-
строения rрафа записывают непосредственно по эквивалентной
схеме. .
При мер 9.9. Определить коэффициент передачи напряжения ламповой
схемы на рис. 9.28, а.
f1l
'i
и,!
OJ
li,
-:11,
'[,
1
О)
Рис. 9.28
'2
'2
[4
i 2
<1------
[4
io
1
'i
'2
а)
i э
i 2
<::J--o-o-o
io
41
Ja
'i 'ro
r!(
io · Ой 2 ! '2
OJ
io 1 iэ. (X i 2
· ' ' '"1 '2,
r. r э
1
. . .
llr 'fj [о rO и!( f
О) .
Рис. 9.29
Реш е н и е. Схема, эквивалентная заданной, показана на рис. 9.28, б
Составим для этой схемы уравнения:
(;а1 ==rl1 i a1 f.t1(;1;
(;C2== (;а1;
(;а2== ri2ia2 '2(;C2;
i a1 ==i a2 +(UC2/ r 1);
ia2== (;2/ r 2;
(;2 == (;а2 и с2 ,
, 292
Записанным уравнениям соответствует rраф на рис. 9.28, 8. Из этоrо
t'рафа находим
ют == и 2 == 1: Пkl1k == f.tl (f.t2+ 1) .
и 1 11 1+ 'И + 'i1+'i2+ 'il + 'i1'i2
'1 '2 '1'2
Пример 9.10. Определить коэффициент передачи тока транзисторной схемы
па рис. 9.29, а. ,
Реш е н и е. Схема, эквивалентная заданной, покаэана на рис. 9.29, 6.
jtля эквивалентной схемы справедливы уравнения:
и 1 == ,вl в '+'б 1 б;
lб==l в +1 2 ;
12== аl в +(Ок/,к);
и к == U2 'бjб;
i,,==iO (OI/'I);
и2== '212'
Записанным уравнениям соответствует rраф на рис. 9.29, 8. Из этorо
rрэфа определяем
K(i, == 2
[о
1: Пkl1k ( а + )
11 1.+ '''+'б аrб + 'б+ r 2 + '" (r2+ r б)+rб'2 .
'l ' к 'l'К
9.6. Тополоrические формулы для расчета цепей
с не взаимными элементами
Унисторные эквивалентные схемы. К цепям, содержащим элек
тронные лампы и транзисторы, применимы Тополоrические методы
расчета, аналоrичные методам, рассмотренным для взаимных цепей
в r.Т!о 8. При тополоrическом анализе невзаимные мноrополюс
ники MoryT 'быть представлены в виде эквивалентных схем, co
стоящих из схемных элементов унисторов. .
У н и с т о р о м называют трехполюсник (рис. 9.30), ток i KOТO
poro определяется проводимостью треХполюсника и потенциалом
Ф1 входноrо зажима относительно заземлен НО-
ro зажима:
i == УФ1'
j
f ...........f>
Ii'
у
!>
2
.
(1,
у нистор можно рассматривать как источник
тока, управляемый потенциалом одноrо за
жима.
На рис. 9.31 ,a e по казаны простейшие
схемы с унисторами. Унистор, у Koтoporo
заземлен узел 2, эквивалентен обычной ветви
с таким же узлом (рис. 9.31, а). Два параллельных унистора
с проводимостями У1 И У2 эквивалентны одному унистору, имею-
щему проводимость У1 + У2 (рис. 9.31, б). Если унисторы С одина-
ковой проводимостью у, имеющие противоположное направление,
соединены параллельно, То они эквивалентны,обычной веТВи с про-
1
Рис.' 9.30
r
293
водимостью У (рис. 9.31, в). Два противоположно направленных
параллельных униcrора с различной проводимостью эквивалентны
обычной ветви и унистору, соединенным параллельно (рис. 9.31, е).
В правильности приведенных схем можно убедиться, сумми
руя токи унисторов. Например, для двух параллельных YНI TO
ров (рис. 9.31, е) CYМMap
ный ток
j === УIФl (Уl + У2) Ф2 ==
===Уl (Фl Ф2) У2Ф2'
Записанному выраже
нию для тока соответствует
эквивалентная схема, со-
стоящая из обычной ветви
с проводимостью Уl И уни
стора с проводимостью У2
(рис. 9.31, е).
Если заземленный узел
совпадает с зажимом 1
УНИСТ9ра (рис.. 9.30), 1'0
ток 1 == О и унистор ис
ключается из схемы.
у нисторная эквива-
лентная схема трехполюс
ника в общем виде показа
на на рис. 9.32. Если
Фl О, Ф == Фз == О, то данную униcrорную схему можно заменить
схемой на рис. 9.33, в которой
jl == (У12 + УIЗ) Фl; j2 == У12Фl; jз == УIЗФl 0
Разделив токи jl' j2 И jз на потенциал Фl' получаем элементы
nepBoro столбца неопределенной матрицы проводимостей унистор-
f У 2 f
== .
У, -а)
f Y,+ 2
==
w б}
== ; .
. у 5)
1f.p У, У,
I._f ==
1
. 12 !I, +У2 zj У2
J
у
Рис. 9.31
Yt2
1
2
3
Рис. 9.32
2
1
.
?
..
i,
"""""'""i>
2 /2
<!--------
Рис. 9.33
Horo трехполюсника. Аналоr,ИЧНО при Ф2 О, Фl == Фз == О (ФЗ О,
Фl== Ф2 == О) определяем элементы BToporo (Tpeтbero) столбца не-
определенной матрицы ПРОБодимостей. В результате получаем
294
матрицу
[ У12 + УlВ
y ) === У12 .
УIЗ
Y21
У21 + У2З
У2З
УЗl ]
УЗ2 .
УЗl + УЗ2
(9.33)
Если задана неопределенная матрица проводимостей .лампы
или транзистора, то, приравнивая соответствующие элементы .этой
матрицы и элементы матрI:!ЦЫ (9.зз), можно определить параметры
унисторной эквiJ:валr.нтной схемы. Например, приравнивая. эле-
менты матриц (9.25) и (9.33), находим: Y12 . '. s; УIЗ === s; У2З === gz;
УЗ2 === S + gz; У21 === УЗl === О. По полученным значениям проводимос-
тей строится унисторная схема лампы (рис. 9.34, а ,или 9.34 6)
Приравнивая элементы матриц
(9.28) и (9.33), нетрудно аналоrично
получить трехузловую унисторную
схему транзистора. Часто применяют
четырехузловую унисторную схему i
транзистора (рис. 9.35), соответст-
вующую Т-образной схеме на рис.
1.31, б. В эквивалентности схем на
рис. 1.31, б и рис. 9.35 можно
убедиться, составив матрицы узло-
вых проводимостей для четырех уз-
лов.
Тополоrические формулы для уни-
сторных схем. Пусть схема. состоит
из обычных (рис. 9.36, а) и унисторных (рис. 9.36, б) ветвей,
содержащих источники тока*. Рассматривая унисторные ветви
как обычные, можно составить узловую матрицу Д и записать
первый закон. Кирхrофа в виде Ai(B) === О. Произведение д(Т)ф опре-
деляет матрицу напряжений на зажимах всех ветвей, т. е.
матрицу разностей потенциалов. Еc.irи в каждом столбце матрицы д,
(' C) S+!h S 2{а)
S п.
, :/1
J{x}
а)
" Ш
'\l/!l i
J{f()
t5)
Рис. 9.34
f{Э)
2{х)
!l o
J{O)
Рис. 9.35
i k
j
Y k
а)
, jz
1[
т yl п
О)
Рис. 9.36
. * Предполаrается, что между оБЫЧНЫМ j ветвями нет индуктивных связей;
ИСТОЧНИlЩ э, 11. С. заменены эквивалентными источниками тока.
295
соответствующем унисторной ветви, заменить 1 на О и обозна.
чить полученную матрицу через д., то произведение Д(т)ф будет
представлять матрицу, в.которой обычным ветвям соответствуют
разность потенциалов, а унисторным ветв.ям потенциалы входных
зажимов.
Ток обычной ветви зависит от разности потенциалов:
I k == Y k (Фl Фi) jk'
а ток унисторной ветви от потенциала входноrо зажима:
i l == У zФт jl'
,Поэтому матрицу 'токов всех ветвей можно записать следую-
щим образо
i(B) == У(в)А(т)ф j(B),
rде у(в) диаroнальная матрица проводимостей обычных и унистор-
ных ветвей. При умножении обеих частей записанноrо равенства
на матрицу А с учетом соотношения
Ai(B) == О получается узловое уравне-
ние
2
2
· 2
2
f
1
4
4
А у(в)ДiТ)ф == Aj(B).
Праизведение
А у(в)А(т) == YIY)
(9.34)
J
J
4
.J
.J
(9.35)
f 1 представляет собой матрицу узловых
проводимостей цепи с обычными и
унисторными ветвями.'
Ненулевые миноры матрицы А
порядка у 1 соответствуют дере-
вьям схемы и равны --+ 1 (см. rл. 2).
Ненулевые миноры матрицы А порядка y I соответствуют та-
ким деревьям схемы, в которых все унисторы направлены к за-
земленному узлу; величина этих миноров равна --+ 1.
Для дерева, содержащеrо одну обычную и три унисторных
ветви (рис. 9.37, а), узловая матрица'
4
а)
О)
Рис. 9.3/'
1 О О O
о 1 О О
А д == О 1 1 О
1 О 1 1
имеет треуrольную форму. Определитель треуrольной матрицы
равен произведению ее элементов, расположенных на rлавной
диаrонали. В данном случае определитель _ равен 1. Заменяя,
в столбцах матрицы Ад. соответствующих унисторным ветвям, все
296
1 на О, можно получить
матрицу
l О О o
о 1 О О
О О 1 О '
o о 1 1
которая также является треуrольной с определителем, равным 1.
Если изменить направление одноrо из унисторов (рис. 9.37, 6),
то узловая матрицц
<,\д==
1 О О o
0 1 00
О ] 1 О
1 О 1 1
имеет определитель, равный 1. Определитель матрицы
1 О О o
, О О О О
Ад == О 1 1 О '
OO 11
A ==
полученный из матрицы A путем замены 1 на О в столбцах,
которые соответствуют унисторным ветвям, равен о:
в общем случае с помощью надлежащей нумерацик узлов и
ветвей матрице Ад. дерева также можно придать треуrольную
форму. Если все унисторы в дереве направлены к заземленному
уз у, то определители матриц Ад и Ад, т. е. миноры матриц А
11 А. соответствующие деревьям, равны '+ 1 или 1. Если дерево
содержит унисторы, направленные от заземленноrо узла (хотя бы
один унистор), то определитель матрицы Ад равен О.
Учитывая отмеченные свойства матриц А и А и применяя
для вычисления определителя узловой матрицьi (9.35) теорему об
определиТеле произведения двух матриц P1==AY(B), Р2==А(Т'
(см. rл.8), можно сформулировать тополоrическое правило: oпpe
делитель матрицы узловых проводимостей д.(у) схемы, содержащей
обычные и унисторные ветви, равен сумме произведений проводимо-
стей ветвей таких деревьев, в которых все унисторы направлены
к заземленному узлу.
На основании выражения (9.35) можно также доказать топо-
лоrическое правило для расчета алrебраическоrо дополнения д. k)
элемента узловоrо определителя: алеебраическое дополнение ДЖ)
равно сумме произведений проводимостей ветвей таких 2 дepeвbeв
T 2 (ik, у), которые при соединении узла k с зазеМЛ(J1f,нbtм узлом у
образуют деревья, щrtеющие только направленные N заземленfЮМУ
узлу уflисmоры, а также обbtЧНbl ветви.
j",
111:
297
Сформулированные тополоrические правила для расчета опре
делителя и алrебраических дополнений цепи с унисторами анало
rичны соответствующим правилам для цепи с обычными ветвями
(см. rл. 8). Отличие состоит лишь в том, что в цепях с унисторами
учитываются лишь «ориентированные» деревья и 2 деревья,
g, к
, gK
О
'1,
. .........;:>
gz
i2
j=i,
у/
О)
Рис. 9.38
'Применяя разложение определителя и алrебраических дополне
ний по путям. можно доказать, что для расчета схемных функций
..-цепи с унисторами справедлива тополоrическая формула (8.15).
При расчете числителя 13 пkд.k функции необ одимо заземлять
k
один из узлов измерительноrо прибора и учитывать только такие
пути передачи Пii, в которых все унисторы направлены к зазем-
,Kv
(]z
Ш,
Ui.
Рис. 9.39""
ленному узлу. Для унисторных схем, эквивалентных цепям
с электронными лампами и транзисторами, знаменатель Д. функ-
ции (8.15) не зависит от выбора заземленноrо узла и может
вычисляться при любом заземленном узле. Знаменатель Д. удобно
определять с помощью разложения по путям между парой узлов;
,заземленный узел должен быть rраничным узлом путей.
Пример 9.11. Определить коэффициент передачи тока транзисторной схемы
на рис. 9.38, а.
Реш е н и е. Унисторная схема, эквивалентная исходной, показана на
рис. 9.38, 6. Соrласно тополоrической формуле, .
ПktJ.k
к . /2 k
(1) == "4 == t::.. '
..01 v
298
Определим пути передачи и их миноры (унисторы, направленные от зззем-
3IeHHOrO узла э не учитываются):
П ==g1l52; t. ==gк+gб+gз аgз;
П;==gб(gк аg6)g2; t. ==I.
ДЛЯ расчета определителя исключим источник тока и закоротим амперметр.
Если воспользоваться разложением по путям между узлами о и э, то
А== Пkt.k==gбg1l52+(gк аgз) g2 (gб+gJ+gз [(gK+g2) (gб+gJ+gбgl]'
k
Таким образом,
K Il) glg2 (gк+gб+gз аgв)+gб (gк аgэ) g2
t. .
Пример 9.12. Определить коэффициент передачи напряжения схемы на
рис. 9.'28, а.
Реш е н и е. Унисторная, схема, эквив,алентная данной, показана на.
рис. 9.39, а. Соrласно тополоrической формуnе,
Ю UJ == 2 == l:Пkt.k .
Ui t.
В схеме имеется один путь передачи
П == 51 (g12 + 52); t. == 1.
, Для вычисления определителя t. закоротим источник э. Д. с., исключим
вольтметр и УНИСТоры, направленные от заземленноrо узла (рис. 9.-39, 6).
При. разложении по путям между узлами (Щ, К2) и (Ci, Ki, С2)
t.== Пkt.k==(gll + gl)(g2 +gI2) + (5 2 +g 12 ) g2'
k
Таким образом,
ют ...... 5i (g12+ 52)
(gll+gJ И2 + giд + (5 2 +g1 2 ) gl\"
rЛАВА 10
мноrОФА3НЫЕ ЦЕПИ
10.1. OCHOBHble понятия и определення
Для передачи электрической энерrии от источника к прием-
нику требуется два соединительных провода :..... «прямой» и «обрат-
ный». Поскольку в реальных условиях источник и приемники
электрической энерrии очень часто значительно удалены относи-
тельно друr друrа, соединительные провода имеют большую про-
тяженность и сложную схему соединений.
Если объединить несколько одинаковых цепей, в каждой из
которых имеется источник и приемник, а ток изменяется с одной
общей чаСТОТ;9Й, но сдвинyr по фазе относительно токов в дрyrих
цепях, то можно получить сумму тока в обратных про водах ,
ра вную нулю. Torдa можно удалить все обратные провода и тем
самым повысить экономичность системы электроснабжения. Это,
в частности, дало основание для развития так называемых мно-
rофазных систем.
СОВОКУПНQСТЬ электрических цепей, в которых действуют сину-
соидальные э. д. с. одной и той же частоты, сдвинутые относи-
тельно друr друrа по фазе и созда-
BaeMb'Ie общим источником электри-
ческой энерrиИ, называют м н о r 0-
фазной системой. Каждую из
цепей (называемую однофазной), вхо-
дящую в состав мноrофазной систе-
мы, называют фа 30 Й мноrофазной
системы. Совокупность синусоидаль-
ных э: д. с. одной частоты, взаимно
сдвинутых по фазе и действующих в
мноrофазной системе, называют м н 0-
r о фаз н о й с и с т е м о й э. д. с., а совокупность синусоидаль-
ных токов в этих цепях м н о r о фаз н о й с и с т е м о й т O K О в.
Элементарный мноrофазный reHepaTop устроен аналоrично
однофазному reHepaTopy с несколькими обмотками (витками),
сдвинyrыми в пространстве относительно друr друrа на некоторые
уrлы. При вращении такой системы, состоящей из т обмоток,
с постоянной уrловой скоростью ffi в однородном.маrнитном поле
в каждой из обмоток индуцируется синусоидальная э. д. с., сдви-
нyrая по фазе относительно э. д. с. в друrих обмотках на соот-
ветствующие уrлы, определяемые числом пар полюсов и простран-
ственными уrлами_ между осями обмоток. На рис. 10.1 изобра-
жена принципиальная схема устройства элементарноrо трехфазноrо
reHepaTopa. На рис. 10.2 приведены синусоидальные кривые
э. д. с., индуцируемых в обмо:rках этоrо reHepaTopa и взаимно
сдвинутых в пространстве на одинаковые уrлы, равные 1200; на
рис. 10,3 щ>казана векторная диаrрамма э. д. с. трехфазной
системы.
N
.р '
_ . с
I "
----
,... --;- а
s
Рис. 10.1
300 1 ,J
Суммарный ток в обратных проводах, объединенных в один
провод мноrофазной системы, равен нулю только в том случае
коrда соответствующие векторы на комплексной плоскости обра-
зуют замн:нутый мноrоуrольнин:. Бсли число объединенных фаз
равно т, причем все токи равны по величине и в н:аждой после-
дующей фазе ток сдвинут по отношенИЮ l,{ току в предыдущей
на одинаковый уrол, то ука-
занный мноrоуrольник пра
ВИЛЬНЫЙ. При этом сдвиr по
фазе между токами предыду-
щей и последующей фаз ра-
вен 2'Лlm, а соответствующая
часть периода составляет Т 1т.
Наименьшее число объединен-
ных фаз, при котором полу-
чаЮТ качественно новую мно-
rофазную систему, равно трем
(рис. 10.4). Систему, получен-
ную после объединения всех
трех фаз, называют трехфа:з
ной. Возможность устранения всех трех обратных проводов при
объединении фаз системы приводит к значительныiM технико эко
номическим преимуществам трехфазной системы перед однофаз-
ной.
Равные по величине токи отдельных фаз трехфазной системы
на векторной диаrрамме должны образовывать правильный тре-
у'rольник (рис. 10.5). Д.ля Toro чтобы при одинаковых сопротив-
лениях отдельных фаз токи были одинаковы
по величине и сдвинуты по фазе на уrол
2
3 'Л' э. д. с. должны быrь равны по величи-
2
не и сдвинуты по фазе на у ол 3 'Л. Если
Ёи при симметричной системе э. д. с. сопротив-
ления фаз разные, то получается несиммет-
ричная система токов. По тому же принципу
можно определить и мноrофазную систему с
большим числом фаз. Однако такие системы
получаются 'более сложными с точки зрения
,техническоrо выполнения и не находят ши-
pOKoro применения. Увеличение числа фаз
целесообразно в случае преобразования переменноrо тока в по-
стоянный с помощью выпрямителей. При этом число фаз может
быть равно 6, 12, 24, 48.
Мноrофазную систему э. д. с., в которой все фазные э. д. с.
одинаковы по ампшiтуде и каждая последующая отстает от пре-
дыдущей на уrол, равный 2'Лlm, называют с И м м е т р и ч н о й
системой э. Д. с. Аналоrично определяют симметричную систему
токов.
+j
"
( .
t. b
.,..j
Рис. 10.3
';;
Рис. 10.2
301.
Для симметричных систем э. д. с. и токав справедливы еле-
дую[Цие равенства:
т .
c8'1==0;
i 1
т
11==0.
i 1
При rрафическам изабражении мнаrафазной цепи отдельные
фазы источникав и приемникав паказывают на пло.СIЮСТИ под
теми же уrлами, катары е характерны для пара мет ров режима
(э. Д. с., токав и напряжений).
Рис. 10.4
Рис. 10.5
Нахадят применение инесимметричные мнаrафазные системы.
Примерам такой несимметричнай мнаrофазной системы является
двухфазная система на рис. 10.6, а. э. д. с. в фазах (рис. 10.6, б),
[ а
11)
Рис. 10.6
oj
lД.
Рис. 10.7
а также ТОIШ при адинакавых сапротивлениях фаз сдвинуты друr
атносительна друrа на 1/4 периада или на уrал, равный 'Л/2:
. .
c8'b==jc8'a; lb==jia.
Су[Цествуют инесимметричные мноrофазные системы, для
Iютарых, так же как и для симметричных систем, сумма фазных
э. д. с. и таков равна нулю (рис. 10.7). Мнаrофазную систему
э. д. с. и такав, при котарой суммарная мrнавенная мо[Цность
в цепи пастаянна (сумма MrHoBeHHbIX мощ астей отдельных фаз).
302
называют у р а в н о в е ш е н н о й мноrофазной системой. Симмет
ричные системы являются уравновешенн'ЫМИ.
Связанную систему на рис.
10.8 называют системой, с 0- А
е Д и н е н н о й u В З в е з Д у! t t A
или з В е зд о и. Для такои
системы характерно наличие
общей точки О, называемой
н у л е в о й (н е й т р а ль-
н о й). Нулевые ТОЧIШ источ-
ни а питания и потребителя
электрической энерrии MoryT
бьrrь соединены проводом,
называемым н у ле в ым (н ей тр ал ь н ым). Ток В нулевом про-
воде обычно значительно меньше, чем токи в фазных проводах.
Таким образом, m4азная система может быть как m-(без
l нулевоrо провода), так и m+
а + l-нроводной (при наличии ну-
левоrо провода).
Напряжение между любом
из фаз мноrофазной системы и
нейтралью источника питания
(нейтралью наrрузки) назьmают
фаз н ы м, а напряжение меж-
ду фазами в любом месте цепи
межд уф а зн ым (линейным).
Соотношения между действую-
щими (амплитудными) значениями этих напряжений зависят от числа
фаз и вида соединения мноrофазноЙ системы. Для симметричной
мноrофазноЙ цепи характерным является равенство комплексных
сопротивлениЙ всех фаз системы.
Для мноrофазных цепей возможно также соединение MHOro-
уrолыIИКОМ. На рис. 10.9 показана связная трехфазная цепь,
соединенная треуrольником.
Такая трехфазная цепь мо- А
жет быть только трехпровод- t r
A
ной (в общем случае m про-
водной).
:Источник .питания и при- С
емник электрической энерrии
не обязательно имеют ОДИНа-
ковую схему соединений. Так,
например, на рис. 10.10 по-
казана трехфазная цепь, ис-
точник питания которой со-
единен звездой, а приемник электрической энерrии треуrоль-
ником. Поскольку симметричную мноrофазную ЦЕ;ПЬ составляют
из одинаковых элементов во всех фазах. то схематически ее мож-
Но и.зображать однолинейной.
А
Рис. 10.9
с
Ри'с. 10.10
303
10.2. Симметричные трехфазные цепи
и методы их расчета
В симметричной трехфазной системе э. д. с. в фазах а, Ь и с
связаны между собой следующими соотношениями:
& lff e jljJa . J lff e jljJb . J C == lffe jljJc ,
a ,b ,
rДе
'l'a 'Фь == 'Фь 'Фс == 'Фс 'Фа == 2'Л/m == 2'Л/3
или
'Фа 'Фь == 'Фс 'Фь -:--- 'Фь 'Фа == 2'Л/m == 2'Л/3.
Первую систему называют системой п р я м о й по с л е Д о в а
т е л ь н о с т w ч е р е Д о в а н и я фаз (сиtтемой п р я м о й п о с л е
Д о в а т е л ь н о с т и э. д. с.), а вторую системой о б Р а т н о й
п о с л е Д о в а т е л ь н о с т и ч р е Д о в а н и я фаз (системой
о б р а т н о й п о с л е Д о в а т е л ь н о с т и э. д. с.). Для упрощения
записи вводят оператор поворота
.. j..E. n 1. уз
'а==е 3 == 2+12'
который при умножении на какое либо комплексное число при
водит к изменению aprYMeHTa последнеrо на 2'Л/3. Таким образом,
систему прямой последовательности э. д. с. можно записать-
в виде
Ja==arff b ; &b==arffc; rffc==aJ a
или
ria == arib == a 2 J c ,
'а систему обратной последовательности э. д. с. в виде
. . .
Iff а == a 2 1ff ь == alff с.
Оператор поворота а обладает следующими основными свойствами:
l+a+a ==O; а а2==jVЗ;
*
а 2 ==а; 1 а==а2jVЗ;
а 3 == 1; а 2 1 == aj ",r3.
Достаточно взаимно изменить индексы у векторов любых двух
фаз, чтобы получить систему величин противоположной последо
вателыюсти. Обычно симметричную трехфазную систему paCCMaT
ривают в качестве системы прямой последовательности.
Если известно, ЧТО рабочий режим цепи симметричен, то,
определив значение какоrо либо параметра одной из фаз (обычно
за исходную принимают фазу а), находят значения Toro же
304
параметра. и для остальных фаз. Например, если э. д. с. фазы
а равна tff, то всю симметри ную систему э. д. с. $ определяют
путем умножения значения tff на матрицу соответствующих коэф
фициентов Sf характеризующих данную систему параметров:
== tffS.
Для системы прямой последовательности э. д. с. (или любой
друroй величины) матрица коЭФфициентов (операторов поворота)
Sl==[1 а 2 а],
для системы обратной последовательности
S2==[laa 2 ].
Матрицы коэффициентов дают возможность изображать трех-
фазную цепь однофазной схемой замещения (составленной для
А
с
(;ВС
Рис. 10.11
ic
Рис'. 10.12
91
- ,
одной фазы цепи). Умножая параметры режима однофазной схемы
на эти матрицы, можно получить параметры режима для задан
,ной трехфазной депи (ориrинала). ., .
Если симметричные фазные напряжения (рис. 10.11) для соеди-
нения звездой (см. рис. 10.8) при симметричной наrрузке запи-
сывают в виде
. (; А == а(; В == а 2 (; е,
то междуфазные напряжения по второму закону Кирхrофа равны
разности фазных напряжений:
(; АВ== (; А (;-в== aj 113 (; А;
(; Ве == (; В (; е == j Vз (; А;
(;еА == (;e (; А == a2j1l3 (; А'
Следовательно, при соединении звездой междуфазные напря-
жения по модулю больше фазных в Vз раз. Кроме Toro, эти
З05
"t.
"
!:
j'
'.
01'.
. ;
н.апряже!шя тащке составляют симметричную трехфазную систему
U АВ == аи ДС == а 2 и СА. Если токи в фазах приемника электрической
энерrии, соединеННоrо треуrольником, обозначить и задать их
положительные направления так, как показано на рис. 10.10,
то при одинаковых сопротивлениях фаз и симметричной системе
междуфазных напряжеlШЙ yдeT С!lмметричной и система токов
в фазах (рис. 10.12): Iab==albc==a2Ica.
ЛИI ейные токи в подводящих проводах определяют по пер--
вому закону Кирхrофа:
ia == iab ica == (1 a) iab ==а 2 i1/З i ab ;
ib == ibc""':'" ia == (a2 1) i аЬ == aj v3 i ab ;
ic== ica i bc == (а a2) iab == j уз i аЬ.
Таким образом, линейные токи также образуют симметричную
систему ia==aib==a2ic и по величине в уз раз больше тЬков
в фазах.
В этом случае суммарная комплексная мощность для всех
трех фаз приемника электрической энерrии'
.. ..... * . * .-.,.,
S == Uabl ab + Ubclbc+Ucalca ==
== ЗИI ф (cos ЧJ+ j siп ЧJ) == 3U.ple N == VЗ Ule jffJ ,
rде U модуль междуфазноro или линейноrо напряжения; 1 /
модуль тока в фазе приемника; Uф модуль фазноrо напряжения;
1 ф модуль линейноrо тока; q> сдвиr фаз между ТOIюм прием
ника и фазным напряжением.
Полученные выражения показывают, что для характеристики
рабочеrо режима симметричной - трехфазной цепи достаточно иметь
три величины, определяемые вещественными числами: модули
фазноrо напряжения U ф и тока в фазе приемника (наrрузки) 1 ф'
сдвиr фаз между фазным током и фазным напряжением ЧJ. Если
фазные напряжения симметричной Jрехфазной системы, соединен
ной звездоЙ:
Uа==U ф ; U b ==UqI12; Uс==Uфа,
o то и в фазах. равны линейным токам: i а == 1 e jffJ ; i Ь == а 2 i а;
Ic == аI ао а междуфазные напряжения:
Uab== ajV3 U ф ;- иbc== jУЗ U ф ; U ca _ а2jV З U ф '
Комплексные мощности фаз:
, Sa == Sb == Sc == U фlе N .
Суммарная комплексная мощность трех фаз
S == 3U ф I&ffJ== уз UI&ffJ.
Если источник питания или приемник электрической ЭJ:Iерrии
соединен треуrольником, то ток в каждой ero фазе в уз раз
меньше линейноrо тока.
306
Пример 10.1. На рис. 10.13 изображен элемент трехфазной цепи, соеди-
ненной звездой. В каждой фазе этоrо элемеита" включены источник э. д. с.
и комплексиое сопротивление. Зацанные э. д. с. образуют систему прямой
последовательности: r!f ==aib==c{1.ic' Определить параметры эквивалеитиоrо
элемеита, соедииенноrо треу.rольиикоМ (рис. 10.14).
с
Рис. 10.13
Р.ис. 10.14
Реш е н и е. Комплексные эквивалентные сопротивления иайдем по форму-
лам преобразования пассивиой звезды в треуrольиик (при отсутствии э. ,ц. с.):
Zab ==Za+ Zb+ (ZaZb/Zc);
Zbc== Zb+ Zc+(ZbZc/Za);
Zca == Zc+ Za+(ZcZa/Zb)'
Если Za==Zb==Zc==Z, то Zab==Zbc==Zca==3Z. Эквивалеитиые э, д. с.
'lреуrольиика должиы составлять систему векторов прямой последовательиости:
tffi аЬ == aJ Ьс == a 2 i са,
rAe
cffab==J{], ,jb; JbC==Jb c и cffca==Jc ia.
Тоrда
.П
. . J
{fab== УЗ:& а е 6.
Пример 10.2. Рассчитать симметричную трехфазную цепь на рис. 10.15,
если задаиы все сопротивления ветвей схемы и лииейные напряжеиия иа вход-
ных зажимах трехфазиой цепи «(; АВ' (; ВС' (; С А),
Р З . . 1
е ш е н и е. амеиим треуrольник эквивалентнои звездои:, r' ==3 r
(иа рис. 10.15 сопротивления r' показаны пуиктиром). Нейтральная точка О
эквивалентной звезды и точка 01 имеют одии и тот же потенциал, поэтому две
звезды можио замеиить одиой эквивалеитной, каждая фаза которой состоит из
двух параллельиых ветвей. Комплексиые сопроти леиия этих ветвей Zl == 'х,
_ Z' == r', а комплексиое сопротивлеиие эквивалеитиои звезды
, Zl Z ' r'jx r')(l. . х (r')2
ZЗ== Zl+ Z ' == r'+jx (r')2+x2+1 (r')2+x 2 .
Упростим полученную схему, замеиив ее тремя сопротивлениями, соеди.
ненными Звездой. Комплексиое фазиое сопротивлеиие ЭКвивалентной звезды
r'x 2 х (r')2
Zф==rJl+Z ==rл+ (r')2+x2 +1 (r')2+x2
307.
Линейные токи схемы
J А ! в lс l==uф/zф==uл/v:r Zф',
rде
.. r [ {'х2 ] 2 [ ' Х (т')2 ] 2
zф V r л + (т')2+.х2 + (т'.)2+х2 .
Фазные напряжения эквивалентной звезды
Uа==UЬ Uе zзI Y ЪT';' .x2 ]2 +[ (T:) 22.x2 ]2 Zф
токи в фазах задаииой звезд ы с сопротивлеиием.z]
lа== lb==Ie==Ua/z 1 иa/x.
Лииейные Нlj;Пряжеиия звезды равны фаЗным иапряжениям треуrольника:
UаЬ==UЬе Uеа==Vз и а .
Определим фазиые и лииейные токи треуrольника:
lalJ==Ibe ":"" lea==U аЬ/ т ;
, , , ....rr;-
la Ib Ie==" 3 иаь/т.
.
Для симметричных трехфазных цепей характерно ПОстоянство
су арной мrновенной МОIЦnости трехфазной цепи.
i A
j
А
! .. 'А
8
. В
и СА
l ивс 'л 1 в !
с
07
о
Рис. 10.15
Фазные MrHoiJeHHbIe МОIЦности симметричной трехфазной цепи
определяем по формулам
Ра == иаёа; Рь == иьiь; Ре == иеi е .
rде
И а == U siп (wt+'Ф); Иь== Uтsiп (wt+'Ф 1200); /'
"""""->.... . ..
И е == и т sin (wt +'Ф 2400);' ёа == 1 т siп (wt +'Ф ЧJ);
ёь == 1 т siп (wt + 'Ф 1200 ЧJ); ёе == f.m siп (wt 'Ф 2400 ЧJ).
После подстановки значений напряжений и токов в выражения
для. мrновенных мощностей. и суммирования МОIЦностей получаем
З08
L
следующее уравнение:,
Ра+рь+рс3И1 cos q:> и! {cos [2 (wt+'JJ) ЧJ] +
+ cos [2 (ш! + 'Ф 1200) ЧJ] + cos [2 (ш! +'Ф 2400) ЧJ]}.
в фиrурных скобках записана сумма трех косинусоид с оди
наl<ОВЫМИ амплитудами, сдвинутыми на 1200, которая для любоrо
момента времени равна нулю. Поэтому Ра + рь +.Рс == ЗU J cos q> ==
== const. - Трехфазную систему, для котороЙ справедливо это
равенство, называют, как отмечалось, уравновешенноЙ.
10.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей
Задача расчета рабочеrо режима трехфазноЙ цепи усложняется,
если хотя бы в одном ее месте нарушено условие симметрии:
система э. д. С. или задающих токов несимметрична или различны
пассивные параметры для раЗflЫХ фаз. Это мощет привести к Hapy
шению симметрии всех параметров режима трехфазноЙ цепи. В
таких случаях всю трехфазную цепь рассматривают IШI, развет-
вленную цепь с несltоль
IШМИ однофазными источ
никами; при этом схема за-
мещения должна cocraB-
ляться для всех фаз.,
На рис. 10.16 изобра-
жена трехфазная цепь, со-
стоящая из источника пи-
тания, соединенноrо в звез-
ду, четырехпроводноЙ ли
нии с СОПРОТИIщением каж-
доrо провода Z и сопротивлением неЙтрали ZN, а также несим-
метричноrо приемника электрической энерrии, соединенноrо звез-
доЙ, с сопротивлениями Za, Zb И Zc. Данная схема содержит
два узла О и 01' напряжение между которыми
ь
l'7;
Рис. 10.16
(; o J A Y<:1+ i BYB+i c Yc
010 N У + У + У + У ,
А. В С N
rде
УА == l/(Z +Za); Y B ==-I/(Z +Zb);
У С == lf(Z+Zc); Y N == I/Z N .
, "-
Токи в фазах (линеЙные токи в звезде равны фазным токам)
определяются по формулам
i А == ( ri А (; N) У А; j в == ( ri в (; N) У в; j с== ( ri с (; N) УС.
Ток В неЙТральном проводе i N == (; N У N. На топоrрафическоЙ
диаrрамме (рис. 10.17) э. д. с. источника питания показаны
iзвиде векторов ri А. И , напряжения между, точками А. В , 'С
309
и нейтралью Б Биде векторов (; АО, == rff А (; N. (; ВО, == J (3 (; N,
(; СО, == ;g с (; N И напряжение между нейтралью приемника и ней-
тралью I;eHepaTopa (напряжение смещения нейтрали) в виде
вектора U N. Линейные напряжения на зажимах r HepaTopa счита-
ются равными разности соответствующих э. д. с.. если падения
Напряжения в обмотках reHepaTopa незначительны.
А
По известным фазным токам определяем фазные, а затем линей-
ные напряжения на наrрузке: /
(;а ==zai А; (;ь ==ZbiB; ОС == Zcic;
(; аЬ == (; а (; ь; (; Ьс == (j ь (; с; (; с а == (; с (; .
Такой порядок расчета можно использовать в случае одноrо
источника питаirия и нескольких при-
емников электрической энерrии.
Если нулевой провод отсутствует,
а наrрузка включена треуrольником
Zab' ZbC' Zсш то этот треуrольник сле-
дует заменить эквивалентной звездой
(рис. 10.18). Полученные СОПрОТИВJ1е-
ния Zш Zb; Zc пофазно объединяются
с сопротивлениями Z, в результате чеrо
получается несимметричная звезда (рис.
10.19). J.],ля о редел ния фазных напря-
. жени!i U АО., .и ВО, и и СО, через заданные
линейные напряжения и АВ. и ВС и и СА используем следующие
уравнения:
с
Рис. 10.17
..
[А
А ---.........со
iJ. '
1 'А8. l[l+Zf1
18 '
. ---.........со
и СА ;j'
. В. иве ic lB=Z+Zb
С ...............
О,
. lc=Z+Zc
Рис. 10.19
IЗ
Ь'
Рис. 10.18
(; АО, УА + (; ВО. У В + (; СО. Ус == о;
(; АО. --- (; ВО. == (; АВ; (; ВО. (; со, == (; ВС.
Решая совместно эти уравнения, С учетом (;АВ+(;ВС+ИСА==О
получаем:
(; ' О АВУ В+ и АСУ с
. AO == У + У + У ;
А В С
'. ивсус+иВАУА иСАУА+исвув
и BO == У + У + У ; и CO == У + У + У .
А В С А В С
310
Пользуясь выражениями для фазных напряжений на эквива-
лентной звезде, определяем токи:
j А == U АО. УА; j в == U во. у в; i с == U со. УС.
Зная токи j А, j В И j с, находим напряжения в эквивалентной
звезде из выражений для сопротивлений Za, Zb И Zc, после чеrо
напряжения на зажимах заданноrо треуrольника вычисляются по
формулам
U ab ==Za j А ZbjB; U';с == ZbjB zcic; U ca == zcic zajA'
Токи В фазах заданноrо треуrольника находятся из выражений
Z abi аЬ == U аЬ; Z bJ Ьс == U Ьс; Z ca i са == U са.
Следует подчеркнуть, что при резко несимметричной наrрузке
отсутствие нейтральноrо провода может привести к большому зна-
чению потенциала нейтрали наrрузки, в результате чеrо потенциал
точки 01 эквивалентной звездыоказы-
вается за пределами треуrольника ли-
нейных напряжений. Нейтральный про-
вод, как правило, приводит кумень.
шению напряжения смещения нейтрали
U N. так как сопротивление каждой фа-
зы наrрузки значительно превышает с
сопротивление нейтральноrо провода.
а
;
-----:---1>
[ь
. У
[с.
Пример 10.3. Потребитель электрической Рис. 10.20
энерrии включен между фазами Ь и с с прово-
димостью У e jb. К зажимам трехфазной
цепи присоединены две батареи конденсаторов между фазами Ь и с и между
фазами а и с (рис. 10.20). Емкости конденсаторов выбраны такими, что емко-
стные проводимости:
2 g
bca ЫCca vз g ; bbc ЫCbc b+ Vз '
Убедиться в том, что система токов в трехфазной цепи в этом случае симмет-
рична.
Реш е н и е, Ток фазы а
ia (;cajbca а 2 2(;ае;
ток фазы Ь
ib (;bc (У +jbbc) a2Uae:
ток фазы с
ic Uca jbca ИЬС(У + jbbc) 2(; ае.
Из полученных выражений следует, что токи ia, ib и ic составляют симмет.
ричную систему:
ia== ai b== a2i c,
Полная мощность всех трех фаз
S ==(;bJbc+(;ca1ca'
Пример 10.4. В фазу А трехфазной системы включено переменное активное
сопротивление r, в фазу. В неизменное индуктивное сопротивление X L , '
а в фазу С неизменное емкостное сопротивление Хс (рис. 10.21), Опреllелить
311
rеометрнческое место конЦОв вектора Напря>кения L/jV смещения нейтрали ука-
занной несимметричной наrрузки относитеЛЬJЮ центра тяжести треyrОЛЬНика
линейных напряжений, если линейные напря>к ния на зажимах заданной
звезды одинаковы, а сопротивления наrрузки в фазах В и С равны по абсо-
лютной величине: X L ==Хс.
Реш е н и е. Пусть фазные напря ения,. опред ляющие центр тяжес 'и
треуrольника линейных напряжений, U А == alJ В == а 2 и С' При этом вектор U А
совпадает с осью вещественных величин. TorAa напряжение смещения нейтрали
U UAY А + UBY B + UcY c
jV УА+Ув+У с
Так как У В+ У с==о, У А ==еА ==е, то
UjV==U A (I VЗ : ),
rде Ь ПРОiЮД&'мость фазы В или С по
ченной формулой, определим фаз
ные напряжения на наrрузке при
различных значениях проводимо-
сти е, Если е==оо (фаза А закоро-
чена), то точка N совпадает с' точ
кой А (рис. 10.22), в результате
чеrо напряжения на двух друrих
фазах рказывШ9ТСЯ р.аВНЫI\1И линей-
ным: иB== иAB; и'с==и сА . Век-
тор ток а i В в фазе В отстает от
веlпора напряжения U B на л/2, а
А
иве
Рис. 10.21
абсолютной- величине. Пользуясь полу-
/А
А
с
/
в
Рис.-
вектор тока ic опережает вектор напряжения U C на л/2. Ток i А в. закоро-
ченно,Й фазе наЙдем по первому закону Кирхrофа:
i A == (iB+i c ).
Из векторной диаrраммы токов (рис, 1.0.22) видно, что при е==оо токи i A .
i B и ic Одинаковы (по модулю) и бразуют систему векторов обратной после-
довательности. Если в фазе А проводимость е== -уз ь, то UN==O и точка N
совпадает с Ц HTp M тя>!Сести треуrольника линейных напряжений, а фазные
напряжения и А , и В и и с на наrрузке образуют симметричНую трехфазную
систему. Однако векторы токов i А> i B , ic образуют несимметричную тре фазную
систему обратной послеДовательности. При размыкании фазы А g == О, U N стре.
312
мится К бесконечно большому значению, что соответствуст резонансу напря-
жений в фазах В и С (они о.казываются соединенными последовательно) при
отс у тствии активноrо соп р отивления. На рис. 10.22.построеи1'! также векторная
. 2 .
диаrрамм-а токов и напряжении для g VЗ Ь. При этом фазные напряжения,
й В и ос равны Apyr Apyry по абсолютной величине, противоположны по фазе
и каждое из них равно половине линеиноrо напряжения. Напряжение
. 3. . .
и А 2" U А по прежнему совпадает с осью вещественных величин.
Таким образом, rеометрическим местом концов вектора смещения неит-
рали (; N служит прямая линия, совпадающая с осью вещественных веJiичин.
ТОК !А при изменении проводимости g от О до со (за исключением e O) не
изменяется по величине и по фазе:
i A ((; A (; N) е==( о A (; А+(;А уз ; )е==(; А VЗ Ь.
10.4. Вращающееся маrнитное по.пе, принцип действия
асинхрснноrо виrатепя
Возможность создаНИЯ вращающеrося маrнитноrо поля явля-
ется важным свойством мноrофазных систем. На рис. 10.23 изо
бражена катушка (в виде одноrо витка) с током, изменяющимся
по синусоидальному закону (рис. 10.24). В ,центре катушки и на
ее ОСJl вектор маrнитной индукции перпендикулярен плоскости
каТУШI!:И и совпадает с ее осью.
i
Вт
.
Рис. 10.23
Рис. 10.24
Пульсирующую маrнитную ИНДукцию, создаваемую переМенным
током, можно рассматрщ\ать как результат cOBMecTHoro действия
двух составляющих, вращающихся в противоположных направлениях
с половинной амплитудо и одинаковой уrловой скоростью ш:
В == Вт СОS'шt == Вт (ej(i)t + e j(i)t).
Маrнитную индукцию, вращающуюся со скоростью Ш, можно
получить, если с помощью второй катушки с rармонич ским током,
сдвинутой относительно первой катушки в пространстве, компен.
сировать составляющую обратноrо вращения, обусловленную пере-
меннымтоком первой катушки. При этом результирующая индукция,
вращающаяся в прямом направлении, будет в общем случае дpy
rой по величине.
:.
'.
313
, Пусть маrнитные индукции, создаваемые токами катушек 1 и 2,
определяlOТCЯ уравнениями
В 1 ==В 1m COS (i)t== B1m(ef(i)f +e jrot);
В 2 == В 2m COS «(i)t +'IJ1t> == ; В 2m [еi(rot+'Фj) + e i (rot+'Фt)] ==>
== (B2mefrot +B2me frot),
rде
. i'Ф. * i'Ф
В 2m == В 2m е " В 2m == В 2т е '..
При ЭТОМ катушка 2 (рис. 10.25, а) сдвинута в пространстве
относитеЛЬН01ilкатушки 1 на уrол 1'. Из условия взаимной компен
82
8,
t /
2 В/
IJ}
1 о}
Рис. 10.25
сации обратно вращающихся маrнитНЫХ потоков
(В 1т + B 2т e f 'V ) e frot == О
определяем
В +В е i('I' 'Фд о
1т 2т, ,
откуда
В 1т == В 2т ; l' 'фt == зt
или
'ф, == l' зt.
Следовательно, между индукциями катушек должен быть СДВИF
во' времени, непосредственно определяемый СДВиrом в простран
стве. При этом следует учесть, что вращающееся маrнитное поле
получается, если l' и Wt не равны нулю или зt, что лerко прове-
1"-
рить непосредственно по схематической картине поля, создаваемоrо
соответствующими. токами обмо1'ОК. .
Пусть обмотки сдвинуты в пространстве на уrол '\' == 900; с$иr
фаз между токами (с одинаковыми амплитудами) находят из выра-
' n n _
жения 't't == "2 1t == 2' т. е. ток, создающии переменное мм-
нитное поле в катушке 2,
должен отставать от тока, l
создающеrо переменное Mar- ..
нитное поле в катушке 1, на
1/4 периода (рис. 10.25, 6, в).
На рис. 10.26, a e даны
схематические картины ре-
зультирующёrо маrнитноrо
поля, создаваеМоrо' токами
симметричной трехфазной си
стемы (рис. 10.27) в катуш-
ках, сдвинутых в прОСТран-
стве на 1200 (индекс «н» ука-
зывает начало, а индекс «к» .
конец обмоток). Схематическая картина маrнитноrо поля для момен-
та времени t 1 == О показана на рис. 10.26, а при ia == О, ib < О И ic>O.
Если положительное значение тока ic У начала обмотки е
отмечено условно крестиком, то отрицательное значение T Ka [&
fZ н ОК
.....ВЬ
\
,
,Ь к С н I
..................... ...... /
Ск
/.... '\
I
\ Он
\
\
\ .
\ J
, l1. I
.... 'К/ Во
В)
Рис. 10.26
1 2
Рис. 10.27
315
у начала обмотки Ь отмечено точкой. Кроме тоro, векторы' Mar
нитной индукции в центре и на оси катушек направлены перпен-
дикулярно плоскостям соответствующих катушек и пропорцио
нальны токам в обмотках.
Для момещ:а t 2 == ТI12 (рис. 10.26, 6) Т<JКИ ia и ic имеют
положительные значения (начало соответствующих обмоток OТМe
чено крестиками), а ток ib имеет пь-прежнему отрицательное
значение (отмечено точкой у' начала обмотки Ь). Рис. 10.26, в
соответствует t з == Т/6, а рис. 10.26, е t 4 ' Т/4. .
Сравнение схематических картин маrнитноrо поля, приведен-
ных для различных моментов времени, наrлядно показывает врв-
щение маrнитноrо поля. При этом за один период изменения
токов маrнитное поле совершает один полный оборот. Направле-,
ние вращен я маrнитноrо поля зависит от последовательности
фаз токов в обмотках. Для изменения направления вращения
маrнитноrо поля достаточно поменять местами, например, TOКIl
в двух любых обмо/ках, сохранив ток в третьей обмот е неиз-
менным.
Для аналитическоrо определения условий создания вращаю-
щеrося маrнитноrо поля в трехфазной Сl-,мметричной системе
можно, так же как и в двухфазной системе, iIСП9ЛЬЗОВ!lТЬ ус овие
компенс ции поля, обратноrо вращения. Если Ва==аВь==а2Вс, то
условие компенсации поля обратноrо вращения запишется в виде
; (BameiVa+BbmeiVb + BcmeiVc) e irot ==0
или
; Bameiva [1 +aei(Vb Va) + a 2 e i (Vc Va)] e irot == о,
откуда
2
'\'с Уь == Уь Уа == Уа УС == зft
(векторы, записанные в виде суммы в квадраТНI?IХ скобках, обра
зуют замкнутый равносторонний треуrольник).
Таким образом, катушки должны быть сдвинуты в простраН
, 2
стве под уrлом 3" n друr к друrу так, чтобы положительные
направления векторов ИНДУIЩИИ чередовались по направлению
вращающеrося маrнитноro поля в той последовательности, KOTO
рая соответствует очередности чередования фаз вызывающих их
токов (рис. 10.27). Если каждыЙ' вектор .маrнитных индукций
имеет амплитуду Вт, то суммарная индукция
1 3
В ==2 Вт (1 +а 2 а+аа\!) ===2 Вт
при 'фа == Уа === о.
в этом выражении первые 'множители (а 2 и а) отражают сдвиr
маrнитных индукций во времени, а вторые (а и а 2 } сдвиr в про-
странстве.
316
Принцип действия асинхронноrо двиrателя основан на дсполь-
зовании явлений, связанных с вращающимся маrнитным полем.
Пусть три, одинаковые неподвижные катушки расположены в про-
странстве так, что их оси сдвинуты относительно друr друrа на
1200 (рис. 10.28). Катушки питаются токами, одинаковыми по
амплитуде и сдвинутыми по фазе на 2п/3. Если между катушками
поместить металлический барабац с
проводниками,. заложенными по ero
>кружности, то в этих проводниках
индуцируется э. д. с. и возникает
ток. Коrда маrнитное поле вращает
ся по направлению движения часо
вой стрелки, это равносильно движе
нию барабана в противоположном
направлении. Пользуясь правилам
правой руки, можно установить, что
в проводниках барабана TOK направ
лен в верхней ero части за чертеж,
а в нижней наоборот. 3a'reM, при-
меняя правило левой руки к инду
цированным токам в проводниках ба- Рис. 10.28
рабаН,а, леrко установить, что силы,
действующие на проводники, будут увлекать бараба в направлении
вращения маrнитноrо поля. При этом скорость вращения бара-
бана всеrда меньше скорости вращения поля относительно кату-
шек, так как при одинаковых скоростях прекратилось бы инду-
цирование э. д. с. в проводниках и, следo.!3, ательно не существо-
вали бы силы, создающие вращающий момент.
10.5. Измерение МОЩНОСТИ в трехфазных цепях
Комплексная мощность четырехпроводной несимметричной
трехфазной цепи
S == [jaJa+ u b l b + UJc ==р + iQ, (10.1)
rде
р == u а/ а coS 'Ра + u ь/ ь cos 'Рь + и с / с cos 'Рс'
Для измерения трех слаrаемых активной мощности такой цеп'и
(с нулевым проводом) требуется три ваттметра, включенных по
схеме на рис. .10.29. Каждый ваттметр измеряет активную мощ
ность одной фазы. В случае симметричной трехфазной цепи доста-
точно измерить одним ваттметром мощность одной фазы. Суммар-
ная мощность равняется утроенной величине мощности одной фазы
" .. Комплексную мощность несимметричной трехпроводной цепи
определяют по ф'ОРМу'ле po.I), однако в этом случае сумма
линейных токов /а+/ь+/с==О' Следовательно,
S . [j)a+[jb( .ja lc)+-{jclc==
== (иа и ь ) lь + (ИС Ob) lc == [jab1a +UcbiC' (10.2)
317
Torд
Р == и аЬ ! а COS (u:;;i а) + и сь !" COS ({;;;i c ) ==Р аЬ+РсЬ.
Таким образом, для измерения активной мощности данной
цепи (без нулевоrо провода) достаточно включить два /ваттметра
по схеме на рис. 10.30.
1f--
а
'*
ь
.
t.>
i!g
:t: 1::::
::.-:::r
:<;
t:-:t:
>O;:,,:>
;tl:::sl:::i
Iс
..., '
с
о
· Рис. 10.29
, r
I
><:
"" I
!S>..>
!3 c::,
:.:::"'
::.- '<5 '"
"";;:-
c::,
:::r
:;S
-
ь
Рис, 10.30
При симметричной наrрузке из векторной диаrраммы на
рис. 10.31, а следует, что
Р аЬ == U аЬ! а COS (u;;i а) == U л/ л cos 1!Jab == и л! л COS (1jJ + 300);
Р сЬ == иСЬ!С cos (u:;;i c ) == U л[ л соs'ФсЬ == U л! л cos (tp 3{)0).
Сумма показаний ваттметров (рис, 10.30)
Р == Р аЬ + Р сЬ == U л! л2 cos 300 cos ljJ == 113 U л! л cos 1jJ,
т. е. показания ваттметров одинаковы только при ljJ == О. При
1jJ==60° Раь==О; при 1jJ== 60° Р сь == о; при 1jJ>60° Раь<О,
а
ib
р
ia
cp
Емкостноя
наzру;жа
ИнiJукти8ная
tf) на ZРffЖ([
Рис, 10.3{
: при ljJ < 600 Р сЬ < О. Наконец, при ljJ == + 900 (реактивная наrрузка)
Pab== Pcb" а их сумма равна нулю. На рис. 10,31,6 построены
'318
rрафики изменения Р аЬ , Р сЬ И Р== Р аЬ + Р сЬ при изменении ljJ ОТ
О до + 900. ..
На рис. 10.32 показана схема включения ваттметра с искус-
ственной нейтральной точкой, позволяющая измерить активную
мощность одной фазы симметричной трехфазной трехпроводной
цепи.. Искусственная нейтральная
точка создается из трех одинаковых
активных сопротивлений. При этом
r д служит. добавочным сопротивле-
нием, которое вместе с сопротивле-
нием обмотки напряжения ваттметра
rw должно равняться сопротивлению
каждой из двух друrих фаз: r д +
+ rw== r. СУМl\'lарная активная мощ-
ность .в этом случае равна утроенно-
му значению,..!'1"ОЩНОСТИ, показывае-
мой одним ваттметром.
На рис. 10.33, а изображена схе-
ма включения ваттметра. для измере-
ния реактивной мощности симмет-
ричной трехфазной цепи. Из приведенной схемы и из, векторной
диаrраммы, изображенной на рис. 10,33, 6, следует. что ваттметр
а
о
':::::S
....'"
;
;t:,.,
S:::
:::t
"'Р>:!!!!
H
\S
e::
ь
с
r
'!J
r
Рис. 10.32
о I ,
....:::1
l iJa . '"
@-:t:!::!
""rcs
.
с;:,
llca w ............с>
! йЬс 11: lь 1::1.:::t",
:$;::t:
:$;: t;j
@- с
с
а) ib
l'ис. 10.33 /
измеряет мощность
И са ! Ь cos (u:;;i;) == и СЬ ! Ь cos (900 1jJ) == Ид! д siп 1jJ,
что при умножении на VЗ дает реактивную мощность симметрич-
Вой трехфазной цепи.
10.6. Оснсвные понятия о методе
симметричных ссставпяющих
Для р&счета несимметричных режимов линейных мноrофазных
цепей часто применяют метод симметричных составляющих, осно-
ванный на принципе наложения. Этот метод позволяет упростить
319
расчет несимметричноrо режима линейной трехфазной цепи в тех
случаях, коrда причины нарушения симметрии (обрыв фазы,
короткое замыкание и т. п.) сосредоточены в одном или ДBY
местах системы; при этом все остальные ветви трехфазной цепи
имеют одинаковые параметры всех фаз. В таких случаях вместо
одной несимметричной трехфазной системы можно рассматривать
три симметричные системы, схемы замещения которых состав-
ЛЯIОТСЯ на одну фазу и соеДИНЯIотся между собой в соответствии
с условиями, возникающими в местах нарушения симметрии
Любую несимметричную т фазную систему некоторых величин А
можно рассматривать .как сумму т различных симметричных т-
фазных систем, различающихся значениями aprYMeHTa
.' 2:n:
аrgАk==k ==бk [k==O, 1, '" (т 1)].
11 т
Если для каждой k й симметричной системы величину Ам
для фазы А принять за исходную, то для любой друrой фазы
. k 211
A ka == AkAe Ja т == АkAеiабk .
Таким образом, все системы получаются симметричными, за
исключением системы нулевой последовательности (k == О), у кото-
т
рой Аоа == Ам == сопst, и в сумме составляют 'Aoa == тА оА ,
a 1
т. е. представлЯIОТ неуравновешенную систему. Таким образом,
система нулевой последовательности является симметричной
только по формальным признакам. Тоrда для каждой фазы несим-
метричной системы
т l т 1
Аа== A ka == АkAеiабk.
k O k O .
Данная система линейных алrебр?ических уравнений дает
возможность определить все значения А ka; т. е. разложить несим-
метричную систему на т симметричных систем.
Если система исходных комплексных величин образует на
комплексной плоскости замкнутый мноrоуroльник, то система
'нулевой последовательности должна отсутствовать, т. е. число
систем симметричных составляющих уменьшается на единицу и
становится равным т 1.
Для ИЛJПOстрации отмеченных положений \\Н?ЕКНО. раЗЛ9ЖИТЬ
несимметричную систеrvw, состоящую из токов 1 А, 1 в и 1 с, на
симметричные составляющие. Заданная система является Tpex
фазной, поэтому должно быть три симметричных системы 'в форме
составляющих системы прямой, обратной и нулевой последова
тельностей. Первую обозначают индексом 1, вторую индексом 2,
третью индексом О. Исходные уравнения имеют следующий вид:
A== lA+{2A+!OA; ]
1 в == I1В+ 12В+ IOB; (10.3)
j С == j 1С + j 2С + j оС,
320
Для системы прямой -последовательности (рис. 10.34, а)
(\==2:n:/3; ilA==ailБ==a2i1C' (10.4)
Для системы обратной последова:rельности (рис.. 10.34, б)
6 2 ==4л/3; i2 ==a2i2B==aI2C' - (10.5)
Для системы нулевой последовательности (рис. 10.34, 8)
60==0; lOA==ioB==/oc==/o. (10.6)
Сиетема токов нулевой последовательности симметрична только
условно, так: как такая система является неуравновешенной:
1м + 10B+ loc == 3io.
Из уравнений (10.1) -+-- ОО.6) находят ТрИ- линейных
ческих уравнений. с тр мя неизвест
ными I1А, 1 2А И l OA == 10:
I А - /IA +1 2A +10;
i B ==а 2 / 1А + al 2A +10;
ic _ ailA а 2 i2А +/0'
Если исходная система вен:торов
qбраЗ'ует ам .шутый треуrольнин:, то
IA+IB+lc==O, т. е. система нуле
!!ой последовательности отсутствует:
10 == О. ,
Поскольн:у в четырехпроводной
трехфазноЙ цепи ток в нулевом про
воде равен сумме ТOlшв в проводах
фаз на том же учасп(е цепи (иноrда
TOT !Ol( амщшется через землIO):
I N == 1 А + 1 в + 1 с, то при отсутствии друrчх эле!,трических' связеЙ
между соответствующими частями цепи 1 N == 3/0' т. е, в нулевом
проводе будет утроенный ток нулево последовательности.
,Разложение на симметричныIe состаВJ.JЩощие возможно для
всех величин, входящих в мноrофазную систему:,' ТOlюв, э. д. с.,
напряжений, сопротивлений, проводимостей и т. д: При записи
значений симметричных составляющих индекс фазы обычно опу
скают. Только при определении соответствующих значений вели
чин одновременно ДJJЯ всех фаз или для разных фаз появляется
необходимость в записи индексов, уКа3ывающих фазы.
I
I
I
Совместное решение этой системы
дает' следующие формулы для опре
деления симметричных составляющих:
i 1A == (i А +аi в +а 2 i с )/З;
1 2A == (1 А +а 2 1 в+аlс)/З;
io== (iA+iB+lc)/3.-
"
,L -.
J,
11 п/р. Ионкина, т. 1
алrебраи-
i'A',
i,c
а)
i 2A
\i'8
i ZB
"-,. 1 2с
а}
iDA
.
8)
Рис. 10.34
321
Разложение несимметричной системы на симметричные состав-
ляющие дает возможность определить рабочий режим цепи по
чаcrям в виде суммы симметричных режимов. Наиболее. просто
.это выполняется в том случае, если несимметричными являются
параметры активных элементов схемы замещения, а параметры
пассивных элементов одинаковы для всех трех фаз.
Пример 10.5. Рассчитать схему на рис. 10.35, пользуясь методом симмет-
ричных составляющих.
"
Рис. -10.35
..
Реш е н и е. В этой схеме несимметрия с03дается добавочноЙ э. д. с. tffA.
Действие э. д. с. tffA рассмотрим как частный случай несимметричной системы
э. д. с,: !::J.6°A ,gA; !::J.iB O; МЙс==О. По формулам разложения на симмет.
..".
а
oj
a) tlc Ё2C [ос
,
. 1
[,Z 2 Z .
О)
2)
Рис. 10.36
ричные составляющие определим э. д. с. прямоi:\. обратной и нулевой последu.
ваТельностей фазы А: '
tff 1 ,12 60 6;AI.3.
322
В данном случае эти составляющие одинаковы, составляющие по всем фазам
найдем из выражений
,g 1А == a O 1В == &6: 1С == ,g fЗ;
ti 2А == &6 2В == а& 2С == df /3i
,g ОА ==rй ОВ== ,сос== ,g /3.
Таким образом, вместо одной э. д. с. iз фазе А появляются девять э. д. С.
во всех трех фазах (рис. 10.36, а). Вместо всей трехфазной цепи рассмотрим
три схемы замещения для каждой последовательности в отдельности
(рис. 10.36, б е). В схеме прямой последовательности две э. д. С. исходная
(df' A ) и добавочная (,с1А ==rй 1) э. Д. с. прямой последовательности (рис. 10.36, б).
В схеме обратной последовательности олжна быть только одна добавочная
э. д. с. обратной последовательности 82 (рис. 10.36, в), так как в исходной
схеме 9. д. с. обратной последовательности отсутствует. В схеме нулевой после-
доВательности также. должна быть только одНа добавочная э. д. с. нулевой
последовательности 6"0 (рис. 10.36, е), так как в заданной схеме э. д. с. нуле-
вой последовательности отсутствует. Кроме Toro, в эквивалентную схему для
токов нулевой последовательности входит YTpoeHHoe сопротивление нейтраль-
Horo провода (ток нулевой последовательности каждой фазы замыкается через
нейтраль). Друrими словами, напряжение на нейтрали равно ZN (3io), что
в эквивалентной схеме для одной фазы должно учитываться с помощью утро-
eHHoro значения сопротивления нейтрали.
Для Каждой последовательности добавочные токи в схемах определим
неЗависимо друr от друrа:
1; == 1/ Z , i ==,g2/Z; i ==,col(Z+3Z N).
Таким образом,
.,1., ( 1 1 1 ) " Z+2ZN
IA==-з dfА У+7+ Z+3Z N ==dfiJ. Z(Z+3Z N ) J
., 1,g' ( & а 1 ) . , Z N
Iв==-з А 7+7+ Z+3Z N == 8A Z (Z+3Z N ) i
., 1 ., ( а а 2 1 ) . , Z N
Iс==з 8А у+у+ Z+3Z N == dfA Z(Z+3ZN) .
Несмотря на то что добавочные токи в фазах В и С получились одинако-
выми, в действительности токи в этих фазах будут различными, поскольку
токи исходноrо режима (без учета добавочной 'э. д. с.) в них имею.т разную
начальную фазу: i А ==aiB==&ic- Так как в нача./1ЬНОМ режиме i A ==& A/Z' при
несимметричном режиме результирующие токи:
. . " Z+ 2Z N
IA==IA+ 8 A Z (Z+3Z N ) ;
, ...@, ZN
1'В==а2[А rD А Z (ZN+ 3Z N) J
. fй' ZN
Ic==aIA А Z (ZN+ 3Z N) .
11*
323
r л А В А 11
f./Iноrопопюсники ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
11.1. Определение МНОПIПОЛIOСНIiКОВ
Во мноrих случаях задача анализа рабочих режимов в электри
ческих цепях оrраничивается расчетом токов и напряжений (потен
циалов) в отдельных участках цепей или нахождением уравнений
связи между этими токами -и напряж ниями. При ЭТОМ, режимы
остальных участков цепей остаются неизвестными, хотя все ,их
параметры учитываются при решении соответствующих. задач.
Тоrда рассматриваемую часть цепи можно характеРИЗQвать обоб
щенными параметра.ми по отношению к некоторым выделенным
зажимам. '
Часть. епи, характеризуемую обобщенными паiшметрами,
необходимыми и достаточными для составления уравнений связи
между ТОI:<ами и напряжениями на ее зажимах, называют м н о r o
пол юсн ико м.
Реальная схема соединений элементов части цепи, составляю
щей мноrополюсник, может быть неизвестна Число полюсов MHO
rополюсника равно числу. зажимов Щl rранице данной части
схемы. Iv1ноrополюсники условно обозначают, например, в виде
прямоуrольников с соответствующим числом зажимов (полюсов),
с помощью которых они присоединяются к остальной части цепи.
При исследовании режимов в электрических цепях чаще Bcero
используют двухполюсники, трехполюсники и четырехполюс
ники.
Мноrополюснин:и, не содержащие в своих ветвях ИСТОЧНИlюв
энерrии, называют п а с с и в н ы м и (линии передачи электриче
сн:ой. энерrии, трансформаторы, мостовые измерительные схемы
и т. п.).
Мноr:опрлюснИlШ, содержащие в своих ветвях источники энер-
rии,' называют а н: т и в н ы м и '(элен:тронные лампы, полупровод
никовые приборы и т. п.).
11.2. Основные уравнения четырехполюсников
Для исследования режимов пассивных четырехполюсн ков
схеме следует выделить две ветви с источниками э. д. с. rf) 1 И
rf) 2 (рис. 11.1). Остальную часть схемы можно рассматривать как
пассивный четырехполюснин: П с первичными (входные зажимы
1 1') и вторичными (выходные з кимы 2 2') зажимами. При
атом внутренние сопротивления источнИlЮВ элен:тричесн:ой энер-
"I'ИИ учитывают внутри четырехполюснин:а. Положительные направ-
ления Токов в ветВях и напряжений на их зажимах выбраны
в соответствии с направлениями э. д. с. (рис. 11.1).
На основании метода н:онтурных токов (в соот етq'ВИИ с выб-.
ранными положительными направлениями тон:ов 11' /2 и наnря:,
324
жений (;1' и 2 ) можно записать следующие уравнения:
1=== 1===Z11 1+Z1 2; } .
rf) 2 === и 2 == Z2111 + Z22 1 2.
rде
. Z11 == (;1111' Z21 === (; 2Л 1 '
Z22 === (;2/12' Z21 === (;1//2
(
(11,1)
при 12 ==0;
при 11 ===0
(при питании четырехполюсника со стороны выходных зажимов
2 2').
Форму записи уравнений (11 1) цазывают фор м о й Z.
в матричном виде эти уравнения можно представить как
[ (;1 ] [ Z11Z12 ] [ 11 ] (11.2)
(;2 === Z21 Z 22 12"
СовместНО решая уравнения (11.1.), находим выражения для
TOl{OB 11' 12:
1 === Y11 1 + Y12 2; }
/2 === у 21 и 1 + у 22 и 2 ,
rде
Z22 .
-у 11 ==
ZЦ Z 22 Z12 Z 21 '
V 'Zl1
22 ,Z:I.1Z22 Z12Z21
(11.3)
Z12
V 12 ===
Zl1 Z 22 Z12 Z 21
. """"Z21
У 21 === Z Z Z Z .
11 22 12 21
Уравнения (11.3) можно получить непосредственно из cxe Aы
на рис. 11.1, пользуясь методом узловых потенциалов. При этом
входные и взаимные проводи
мости определяют из следую
щих соотношений:
У 11 === a1/(;1)U2 O (входная П
проводимость СО стороны BXOk [1
ных зажимов при закороченных
выходных); .
У 22 === (I 2/и2)U1 0 (ВХЬдная
проводимость со стороны BЫXOД Рис. 11.1
ных зажимов при закороченных
входных);. .
У 12 === (I1/и2)U1 0 (взаимная проводимость при з.акороченных
входных з ж мах);.
V 21 === (I 2/ и 1)U2 O (взаИ1\1ная проводимость . при закороченных
выходных зажимах).
Фqрма 'записи уравнений (11.3) носит название фор м ы У.
Эти уравнения в матричном виде записывают аналоrично Л 1.2):
[ 11 ] [ У11У 12 J[ (;1 ]
12 === У 21 У 22 (;2'
. ,. (
(11.4)
325
Существуют еще четыре формы записи уравнений четырехпо
люсников, две из которых представляют интерес. С помощью
одной из форм, называемой r и б р и д н о (смешанной) или фор -
r.J о Й. Н, устанавливается связь между и 1 , 12 с одной стороны и
11' и 2 С друrой:
u1==H1111+HuU2; }
12 ==Н2111 +Н 22 й 2 ,
( 11.5)
rде
Н Zl1Z22 ZI2Z21 Н Z / Z
11 Z22 ; 12 == U 22:
Н 21 == -----: Z21/ Z 22; Н 22 == I/Z 22 .
Матричная форма уравнений (11.5) , записывается
образом:
следующим
[ 1 J == [ H11H12 J[ I.1 J .
12 Н 21 Н 22 и 2
\,
( 11.6)
rибридную форму записи уравнений используют, например,
для характеристики невзаимных цепей с электронными и полу-
проводниковыми приборами.
Для исследов ния режимов четырехполюсников при каскадном
соединении следует и еть такую. форму записи уравнений, при
н:оторой напряжение и 1 и ток 11 выражены через напряжение
й 2 и ток 12' Для этоrо по теореме о компенсации э. д..с. rff 2 -
меняем падением напряже.ния в сопротивлении Z2 от тока /2'
направленноrо навстречу rff 2 (рис. 11.2). При изменении положи
тельноrо направле!fИЯ тока 12 в уравнениях (11.1) изменится
знак перед током 12:
01 == Z11i1 Zu 1 2; }
(11.7)
U 2 ==Z21 i 1 Z22i2'
В ре?ульт те cOBMecTHoro решения уравнений (11.7) относи
тельно U 1 и /1 получаем:
U Z11 О + ZilZ22 ZI2Z21 j АЙ +Bi' )
1 Z21 2 Z21 2 2 2'
1 1. Z22 _ .. ' (11.8)
1==l:""""U 2 + Z 12==CU2+D/2, .
2] 21
Zl1 Z 22 Z12 Z 2i
rде А == Zll/Z21 безразмерная величина; В имеет
Z21
размерность сопротивления; С == I/Z 21 имеет размерность прово
димости; D == Z22/Z21 безразмерная велиЧина.
Форму записи уравнений (11.8) называют фор м о й А * .
* Указанное наименование формы записи уравнений объясняется тем, что
иноrДа коэффициенты JЗ урав'нениях (1l.8) обозначают буквой А, но с различ-
ными индексами. а.налоrично формам записи уравнений (ll.l), (1l.3) и (1l.5).
326
Коэффициенты четырехполюсника А, В, е и D Сj3язаны между
, собой следующим соотношением:
AD ве == Zl1 Z22 Zl1Z22 ZI2Z2i == Z1 2 .
Z21 Z21' Z21 Z 21 Z21
Так как для взаимных цепей Z12 == Z21' то
AD Be== 1.
(11.9)
Уравнения (11.8) в матричной форме имеют вид
[fl ]==[ ][f2J.
(11.10)
Если в схеме четырехполюсника (рис. 11.2) поменять местами
источник э. д. с. и сопрот.ивление приемника, т. е. к зажимам
1 1' присоед-.инить сопротивление Zl' а к зажимам 2 2' источ-
Ё.,
п
jz
4--------
1 {
z, 1u, П'
l2
2'
Рис. 11.3
j,
P c. 11.2
ник Э. д. с. с напряжением (;2 (рис. .11.3), изменив прй. этом
положительные направления токов 1] и /2 на обратные, то ypaB
нения (11.8) примут вид
{;l==A(;2 Bi2; }
(11.11)
11==C{;2 Di2'
Из этих уравнений с учетом (11.9) находим
2==D 1+Bil; } (11.12)
/2 ==еи 1 +Al 1 .
Из сравнеНlIЯ уравнений (11.8) и (11 .12) следует, что при
замене первичных зажимов вторичными (при обратном питании)
коэффициенты А и D меняются местами.
Четырехполюсник называют с км м е т р и ч н ы м, если при
замене первичных зажимов, вторичными токи источника и при
емника не изменяются. Уравнения симметричноrо четырех полюс-
ника должны остаться неизменными при взаимной замене- пер-
вичных и 'вторичных зажимов. Поэтому А ==D и разметка пер-
Вичных и вторичных зажимов для симметричноrо четырехполюсника
не обязательна. Все четырехполюсники, не удовлетворяющие
этому условию, Называют н е с и м м е т р и ч н ы ми.
327
Комплен:сные коэффициенты IlрИ всех четырех формах записи
уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей
ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а .также
от частоты .источника питания. Соотношения между н:оэффициеи-
,тами четыреХПОЛЮСНf!ка при различной форме защ!си уравнениi!
даны в табл. 11.1. В этой таблице определители матриц z; У;
и и А находятся по формулам
I Z I == Zl1 Z 22 Z12 Z 21; I у 1== У 11 У 22 Уа У 21 ;
I Н I ==H11H22 HI2H21; I А I ==AD BC.
Таблица 11.1
z
у
н
А
--'-
111 Z12 У 22 . Y12 'Н! H 12 А IAI
Z ТУТ ТУТ н;; Н2'}. С. С
Z21 Z22 Y21 У 11 H21 '1 1 D
ТУТ 1"1 'Ч 22 Н 22 С С
Z22 Z12 I УН У 12 1 H12 D IA!
, Щ lZI нн В
У
Z21 ZH I У 21 У 22 Н 21 'НI l А
lZТ Щ НН НН ---в-- в
IZI Z12 1 Y12 НН Н 12 В IAI
- Z22 Z22 УН b [)
н
Z21 1 У 21 I У[ Н 21 'Ч 22 l С
Z22 У 11 У 11 ""[) 75
I
Z11 IZI Y22 l I НI H11 А В
А z;; Z21 У 21 Н 21 Н 21
1 Z22 I.YI Y11 H22 l С D
Z21 Z21 Н 21
, 11.3. Определение КОЭффИЦИf!.нтов четырехполюсникв
Комплекtные коэффициенты несимметричноrо пассивноrо четы
рехполюсника определяют опытным путем или расчетом, причем
в последнем случае величины сопротивлений или проводимостей
ветвей, составляющих четырехполюсники; и схема их соединений
дЬлжны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В,
С и D следует, что их значения получаются путем различноrо
сочетания трех постоянных величин: Zl1 (входноrо сопротивления
со стороны зажимов 1 1' при разомкнутых зажимах 2 2')
Z22 (входноrо сопротивления со стороны зажимов 2 2' при
разомкнутых зажимах 1 1') и Zl2 == Z21 (взаимноrо сопротивле
иия). Тан:им образом" для эксщ риментальноrо определения этих
коэффициентов достаточно иметь данные опы:rов, которые в той
328
-ИЛИ иной форме определяют комплексные величины Zl1' Z22 и
Z12 == Z21 или друrие комплексные величины, через н:оторые иско.
мые коэффициенты MorYT быть выражены (см. табл. 11.1 ).' .
Если одновремен.но мqжно ИЗМерить как первичные (/1 и и 1 ),
так и вторичные (/2 и и 2 ) н:омплексные величины, то для опре-
деления коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данные
только двух опытов. Проще Bcero знач(}ния этих коэффициентов
вычисляются по данным опытов при 12 О (выходные зажимы
'разомкнуты) или U 2 О (выходные зажимы закорочены). При
разомкнутых' выходных зажl-!мах ш;рви ные апряжение и ток
определяются из уравнений и 1р Аи 2 ; 11p C,!2' откуда
. А (;lр/(;2; С .......:. i 1p /(;2' (11.13)
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при
разомкнутых вторичных
Zlp (;lp/i 1p А/С.
(11.14)
. При. коротком замыкании на вторичных зажимах (; lк В i 2
I1K D/2' откуда.
В ОIКЛ2; D }IK/i2' 1(11.15)
Входное сопротивление со TOpOHЫ первичных зажимов при
коротком замыкании вторичных
ZIK (;I K Li 1K ВjD. (11.16)
, '
Следовательно, измерив величины и 'фазы .О 1р , /lр'И (;2 при
разомкнутых вторичных зажимах, а также и 1к , /lк и 12 при
коротком замыкании, можно определить все четыре коэффициента
четырехполюсника.
коэффициещы четырехполюсника можно также найти эксriе
риментальным путем, измеряя в каждом опыте т лько пе,рвичные-
или только вторичные ток и напряжение. В этом случае необхо-
дим,:> иметь данные трех опытов, из которых два (описаны ранее)
проводят при питании етырехполюснин:а со 'стороны первичных
,; зажимов и один при питании со CТOpOHЫ вторичных или наобо
рот. Наиболее простые В lражения для коэффициецтов А, В, С
и D получаются по данным опытов, в которых происходит раз-
мыкание и короткое замыкание на первичных зажимах при пиТа-
нии четырехполюсника со стороны вторичных зажимов, и опыта,
в котором происходит размъш:ание вторичных зажимов четырех
полюсника при ero питании со стороны первичных зажимов.
В случае ли ания четыреХПОJПOCнин:а со стороны вторичных
зажимов и при U 1 О ИЗ уравнений (11.12) находим:
U2K Bil; i 2k ==-Аi 1 .
Входное сопро ивление со стороны вторичных зажимов при
коротком замыкании первичных
Z2K ';"" (;2.Ji 2K ВjA. (11.17)
329
в сдучае питания четырехполюсника со стороны вторичных
важимов и пр и 11 == О из уравнений (11.12) определяем: .
U 2p ==DU 1 ; i2P==CU1'
Входное сопротивление со стороны вторичных
разомкнутых первичных
Z2p== U 2 pii 2p ==D/C.
уравнения (11.14), (11.17)
зажимов при
Совместно решая
том (11.9), получаем
(11.18)
и (11.18) с уче
А == -./ Zlp (11.19)
JI Z2p Z2K.
Определение коэффициента А по опытным данным приводит
к двум e o значениям *, что в свою очередь дает ДВа $начения
каждоrо из остальных коэффициентов, так как они определяются
через А по формулам
B==AZ 2K ; C==A/Z 1p ; D==A(Z2p! Z lp)' (11.20)
Полученная двузначность объясняется тем, что коэффициенты
зависят не" только от параметров схемы четырехпотосника, но и
от выбора положительных направлений напряжений и токов отно-
сите.[IЬНО зажимов четырехполюсника. Однозначное определение
коэффициентов возможно с помощью опыта, позволяющеrо опре-
делить сдвиr по фазе напряжения (тока) на входе четырехполюс-
ника по отношению к напряжению (току) на выходе.
Изменение знаков при определении коэффициентов может при-
вести к ошибочному определению фазы на уrол :rt, что во мноrих
случаях исследования четырехполюсников не имеет значения.
Однако в ряде случаев неправильное определение фазы имеет
существенное значение, как, например, при параллельном соеди
нении четырехполюсников.
Необходимо отметить, как входные сопротивления Zlp, ZIK'
Z2p И Z2K связаны между собой следующими соотношениями:
ZIK/Z2K == Zlp/Z2P== A/D, причем для симметричноrо четырехпотос-
ника эти отношения равны единице, так как А == D. Из уравне-
ний (11.9) и (11.20) следует, что для определения коэффициентов
симметричноrо четырехполюсника при А ==D достаточно иметь
данные двух опытов, проведенных при размыкании и коротком
замыкании любых зажимов.
11.4. Эквивалентные схемы четырехполюсника
Пользуясь уравнениями четырехполюсника, можно получить
различные эквивалентные схемы (схемы замещения). которые
облеrч ют исследование' основных свойств соответствующих цепей.
* При извлечении квадратноrо корня из комплексноrо числа получаются
два комплекса, которые имеют одинаковый модущ, и aprYMeHTbI, отличающиеся
lIа ::!:: л.
330
В случае, если для четырехполюсника с заданными первич-
ными и вторичными зажимами не выполняется свойство ,взаим-
ности, т. е., например, У 12 -=1=- У 21 или Z12 -=1=- Z21, общее число
параметров, характеризующих такой четырехполюсник, рав,НО
четырем. Поэтому невзаимный, четырехполюсник представляют
в виде четырехэлементной эквивалентной Т- (рис. 11.4) или П образ-
ной (рис. 11.5) схемы.
1, ; V,2
1 111 1'2
j4
. !
.
l' 2'
Рис. 11.4 Рис. 11.5
Эквивалентную Т о!5разную схему можно получить путем пре-
образования, например, уравнений () 1.1). Для э,!оrо к выраже-
нию, 'определяющему. напряжение и 1 " прибавляют и вы итают
из Hero СЛaI'аемое Z12/1' а в уравнении. для напряжения и 2 при-
бавляют и вычитают слаrаемые Z12/1 и Z 12 / 2 . В результате
получается:
== Zl1 1 + Z12 2 == (Zl1 Z12) 1 + Z12 иl + , i2); )
и 2 == Z21 / 1 + Z 22 / 2 == (Z22 Z12) 12 +
+ (Z21 Z12) i 1 + ZJ2 (i 1 + i 2 ).
(11.21)
Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема на
рис. 11.4, rде J21==(Z21 ZI2)il является активным параметром,
зависящим от тока 11'
Аналоrичным путем можно найти эквивалентную схему на
рис. 11.5, удовлетворяющую уравнениям (11.3), которые после
элементарных преобразований имеют следующий вид:
i 1 == V 11(;1 + У 12 (;2 == (У 11 + У 12 ) (;1 )
. . . '1 (;I (;2):12 .I11+i12; (1'1.22)
12 == у 21 и 1 + У22 и 2 == ,У 22 + У 12 ) и 2 X12 (и: и!)+ .
+(Y21 YI2)Ul==/22 /12+JI2' .
в схеме на рис. 1 .5 источник тока с током J 2 == (У 21 YI2) 91
является активны параметром, зависящим от напряжения U 1 .
Полученные эквивалентные CXeMl11 не являются единственными.
Например, преобразованием уравнений (11.3) можно, аналоrично,
предыдущему, получить соотношения для эквивалентной схемы
с источником тока, зависящим от напряжения 02 и присоединен
ным к входным зажимам 1 l' четырехполюсника.,
331
На рис. 11.6 изображена эквивалентная схема с двумя актив-
ными параметрами J 12 == Z12i2 И tff 21 == Z21il' "которая непосреk
ственно удовлетворяет уравнениям четырехполюсника (11.1)
в форме Z, а на рис. 11. 7 эквивалентная схема с двумя актив-
ными параметрами J 2 == У 12 й 2 И j21 == У 21 й 1 , которая также непо-
средственно удовлетворяет уравнениям (11.3) в форме У.
Эквивалентная схема, удовлетворяющая непосредственно" урав-
нениям (11.5) в форме Н, изображена на рис. 11.8.
j 7i
и,
. Z22 j и. j "r
и 2 , v"
.
'"
:...
"",
.
::::,
...
:>-",.
11
. \
Рис. 11.6
Рис. 11.7
ЭквиваЛентные схемы невзаимных четырехполюсников приме-
няют для анализа и расчета электрических цепей, содержащих
электронные лампы и полупроводниковые элементы (транзисторы) *.
Для взаимных четырехполюсников эквивалентные схемы полу-
чаются более простыми, так как в каждой из них вследствие
выполнения равенств Z12 == Z21 И У 12 == У 21 отсутствует четверТЫЙ
невзаимный элемент. Эквивалентная Т образная схема для пас-
сивноrо взаимноrо четырехполюсни,ка дана на рис. 11.9, а экви-
i, i z
I Z,il,2 l22 l '2 1 2.,
и, Z'2 и 2
,
2'
i z
<r--------
Н27,
J :2
2'
l'
'.
Рис.,ll.8
Рис. 1l.9
валентная П образная схема этоrо же четырехполюсника на
рис. 11.10. Каждая из этих схем характеризуется треМЯ незави
симыми параметрами. На - рис. 11.11 приведена эквивалентная
т образная схема, параметры которой выражены через коэффи-
циенты четырехполюсника А, В, С и D. Изменение положитель-
Horo направления тока i 2 (показано пунктирной стрелкой) не влияет
'на парам ры схемы, но меняет gHaK перед вторыми слаrаемыми
с т?ком [2 В уравненцях (11.8).
* Основные уравнения для электронных ламп и транзисторов, представ.
. ляющие собой уравнения четырехполюсника, рассмотрены, в 1.8.
332
Все четырехполюсники с взаимными параметрами, у которых
не . заданы парные заЖI1МЫ для присоединения иcrочника электри
. ческойэнерrии и приемника, характеризуются в общем случае
wеётьщ коэффициентами. Поэтому эквивалентные схемы для таких
четырехrтолюсников содержат шесть элементов.
v
'12
l'
j22 2
'i:!. j U 2
>-
2'
f l kf
' I ' , C
и,
,
lз=с
р;-.-, ,
14 i l1
[;, ( . :
:,.
l' >
Рис. 11.10
Рис. 11.11
Для иллюстрации этоrо положения из сложной схемы Bыдe
лим некоторую ее часть, не содержащую ИСТQЧНИКОВ э. д. С.или
источников тока с числом полюсов, равным четырем. КаЖДI?IЙ
полюс можно характеризовать величинами тока и потенциала
[1О отношению к некоторой произвольной, но общей для всех
ПОЛ,ЮСОВ точке О (рис. 11.12, а). Не измен'яя режима на зажимах
и внутри пассивноrо четырехполюсника, рассматриваемую систему
i 2
<:r---------
42
'1.
fJ.J4
О)
Рис. 1l.12
можно дополнить до замкнутой. включив между каждым полюсом
и общей точкой источник э. д.. с., равной потенциалу COOTBeт
ствующеrо полюса.
В соответствии с принципом наложения выражения для токов
четырехполюсника записываются в виде:
j]==; Уll J2У12 &ЗУ13 &4УН; I
i 2 == J 1 Y 21 + 6"2 У 22 --с- ;3У23 ;аУ 24 ; }
JI!== JIУ31 ;2У32+Jзузз J4У34; I
l<i== ilУ41 i2У42 J3У4з+J4У44' J
(11.23)
333
По второму закону Кирхroфа, в уравнениях (11.23) все э. д. с.
можно заменить напряжениями между тем полюсом, 'для Koтoporo
определяется ток, и остаЛЬ!lЫМI;I по-:rюсами:. Например, в выраже-
нии для тока i 1 Э. д. С. €f 1 , €f 2 , €f з И €f 4 заменяются на осно-
вании равенств
;1 == (;10: 82 == (;12 + (;10; J з == й 13 + (;10; €f == (;14 + й 1О .
в результате получаем
i 1 ==U 10 (Yll Y12 Y13 У 14 ) + (;12 У 12 + 013 У 13 + U 14 Yi4' (11.24)
Аналоrично определяются:
i 2 == (;20 (У 22 Y21. У 23 :24) + 1
+и 21 У 21 +U 2з У 2з + и 21 У 24 ; I
i з == Изо (У зз УЗ1. У З2 УЗ4) +. }
+U З1 У З1 +U 32 V З2 + U з4 У 34. I
i 4 ==й 4О (У 44 Y41. Y42 У4З)+ I
. +и 41 У 41 +U42У42+U4ЗУ"'З' J
В уравнениях (11.24) и (11.25) напряжения между полюсами
и взаимные проводимости связаны меЖду собой равенствами
(;J2== (;21; (;2З== (;32 И Т. д.; Y12==Y 1; V 23 ==У З2 И т. д.
Так как су;лма. T KOB Z1 +i2+i3+14==0 при любых значе-
ниях э. д. С. €f 1 , €f 2 , €f з И €f 4 , то при суммировании уравнений
(11.24) и (11.25) получается:
Y l1 У 12 v 1з У 14 == о; У 22 У 21 У 23 У 24 == о;
Узs У 31 У З2 У 34 ==о; У 44 У 41 У 42 v 4з ==0.
Таким образом, ,
i 1 == (;12 У 12 + (;1S У 1З + (;14 У 14;
i 2 == (;21 У 21 + U 2з У 2s + (;24 У 24;
i з == U S1 У З1 + (;З2 У З2 + U 34 У з4 ;
i4 == (;41 У 41 + U 42 У42 + (;4З У 4З'
(11.25)
(11.26)
Полученным уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема,
имеющая вид полноrо четырехуrольника с сопротивлениями вет-
вей, равными величинам, обратным проводимостям (рис. 11.12, б):
Z12==I/Y 12 ; Z1з==I/У 1з ; Z2з==I/У 2з и Т. д.
Следовательно, такая схема справедлива для пассивноrо взаим-
Horo четырехполюсника. Аналоrичным способом можно определить
параметры эквивалентной схемы для пассивноrо взаимноrо мно-
rополюсника с числом полюсов, равным п, При этом общее число
( v n(n l)
элементов ветвеи) схемы равно 2
334
11.5. Режим четырехполюсника при наrрузк
Из уравнения (11.8) следует, что напряжение (;1 и ток 11 на
первичных зажимах .состоят из д!зух слаrаемых, из которых одно
пропорционально напряжеl!ИЮ и 2 при некоторой определенной
наrрузке, а друrое току 12 при той же, наrрузке. .
Пусть заданы комплексные значения напряжения Ч2 и тока 12.
Если при разомкнуты вторичных зажимах 2 2' (/2 == О) уста-'
новить напряжение и 2 равным напряж нию чри .наrруз!<е, то
напряжение и ток на входных зажимах U lр == Аи 2; l 1р == Cl/ 2'
. Если при КОр'отком замыкании на вторичных зажимах (и 2 == О)
установить ТЬк 12' равный то!<у при.. наI;рузке,. то напряжение и
ток на перви,!ных заЖИII.Jах и 1К == В1 2 ; I 1К == D1 2 . Следовательно,
напряжение и 1 и ток /1 при наrрузке равны суммам соответ-
ственно напряжений и токов при разомкнутых и закороченны)С
выходных зажимах.
Действительно,
1 . A 2+B 2==?lP+.иIK; } (11.27)
/1 == си 2 +D12 == 1 1р + l 1к ,
Полученные уравнения выражают принцип наложения. Иначе
rоворя, для Toro чтобы щ>лучить на. вторичных зажимах четырех-
полюсника напряжение .и 2 и TOIi 12' необ.ходимо установить на
червичных зажимах наПРЯ2!<ение и 1Р . и ток 1 1р ' пропорционаЛЬНI Iе
и 2 , а также напряжение и 1К и ток l 1к , пропорциональные току 12.
Для характеристики рабочеrо режима четырехполюсника поль-
зуются понятием входноrо сопротивления со стороны зажимов
1 l' при сопротивлении натрузки Z2 (см. рис. 11.2) и понятием
входноrо сопротивления со стороны выходных зажимов 2 2'
при сопротивлении наrрузки Zl (см. рис. 11.3). Для определения
входноrо сопротивления схемы на рис. 11.2 достаточно разделить
первое из уравнений (11.8) на второе: '
Z И 1 Ай 2 +в1 2 AZ 2 +В (11.28)
lвх 11 CU 2 +D/ 2 CZ 2 +D'
Аналоrично, при обратной передаче H основании уравне-
ний (11.12) получается
, Z == U2 == D(;I+Bli DZ1+B (11.29)
2вх 12 еИ 1 +AIl CZ 1 + А'
На практике часто используют и друrие выражения для Zl ВХ И
Z2BX' Например, коэффици нты четырехполюсника А, В, С и D
в уравнениях (11.28) и (11.29) можно заменить сопротивлениями
четырехполюсника при разомкнутых..и коротко замкнутых зажи-
мах при прямом и обратно м питани и:
Z А [ (В/А)+Z2 ] Z ZZK+ZZ }
1 ВХ == С (DjC)+Z2 == lр Z2P +Z2 ;
Z D [ (В/D)+Z1 ] Z ZIK+Zi (11.30)
2вх == С (ALC)+ZI == 2р Zlp+ZI .
335
Полученные выражения показывают, что четырехполюснИ1\Н
Mory быть применены для преобразования сопротивле ий.
11.6. Основные уравнения и эквивалентные схемы
активноrо четырехполюсника
На рис 11.13 изображен активный четырехполюсник (четырех
полюсник, содержащий независимые источники энерrи ) *. к BXOД
ным зажимам KOToporo присоединен источник э. д. с.. <ff 1, а к BЫ
ходным сопротивление наrрузки Z2'
Пользуясь теоремой о компенса, ЦИl! напряжение на сопро.тив
лении Z2 можно заменить источником э. д. с. с э. д. с. 2 ==
"
А
Z2
i jz
1 Zfz 2
и,l z' z' I Z2
1 2
J,K K
l' 2'
Рис. 11.14
.
Рис. 11..13
== Z2/2, 'направленной l;Iавстречу току i 2 . По принципу наложения
выражение для токов 11 И /2 можно записать в виде
i1==JIУl1 J2У12+JзУ з+J4У14+"'; } (11.31)
i 2 == J 1 Y 21 J2У22+6"ЗУ2з+J4У24+""
rде <ff 3. <ff 4 И т. д. э. д. с., находящиеся. ВНУТJ?и...qетырехполюс
НIша. Если в этих уравнениях э. д. с. <ff 1 И <ff 2 заменить COOT
ветствующими напряжениями, а составляющие токов, вызываемые
./ остальными э. д.С. (6"з. JIJ, и т. д.), обозначить через
1a== 3Y13+ 4Y14+"'; } (11.32)
12а == <ff з У 2з + <ff 4 Y 24 +... ,
'1:0 получаются следующие выражения:
1 == Yl1 l Y12 2+' 1a; }
12== у 21 и 1 УЩЦ2 + 12а'
(11.33)
Из этих уравнений следует, что при напряжениях 01 == О И
й 2 == О токи короткою замыкания j lк == i 1а И j2K == i 2а' D отличие
* ЧетЫJ1СХПОЛЮСНИКИ с зависимыми источниками ,энерrии здесь не рас-
сматриваютсн.
336
.....
/"
,
от режимов пассивноrо четырехполюсника токи 1 1 !1. -п 1 2к опреде
ляются при одновременном коротком замыкании первичных и
вторичных зажимов активноrо четырехполюсника. В .реЗУ.llьтате
со-вместноrо решения уравнений (11.33) относиТельно и 1 и 11 по
лучаlQТСЯ следующие уравнения четырехполrосника в форме А:
. у. 1.. "
и 1 == y и2+ y (l2 J 2K ); )
21 21
i .:...... ylly22 y12y21 (; + Yll ( i j ) +j
1 У 21 _ 2 У 21' 2 2к 1к
или
(;1 == А(;2+ В (i 2 J 2 !1.); } '
i 1 j1!1. == CU 2 +D(i 2 j2K)'
rде А, В, e и D коэффициенты четьфехполюсника, удовлетво
ряющие (как и для пассивно
ro взаимноrо _четырехполюс
ника) условию AD ве == 1.
Из уравнений (11.34) сле
дует, что люоой активный че
тырехполюсник с заданными
первичными и вторичными
зажимам характеризуется
пятью независимыми пара
метрами (тремя пассивными
коэффиiщентами А, В, е
или D и двумя аКТИВНbIМИ
токами j1,-,-, j2!1.) , поэтому ero можно представить в Биде пяти
элементной эквивалентной схемы. Для определения параметров,
например, П..образной схемы можно воспользоваться уравнениями
(11.33), из которых определяем:
1 == (Ун YI2).U 1 + У 12 «(;1 (;'!) + '1K; }
12 == У 21 (и 1 и 2 ) (У 22 У 21 ) и 2 + J 2K .
Полученным уравнениям удовлетворяет эквиваJIентная схема
на рис. 1 1.14. Источники энерrии, находящиеся внутри четырех
полюсника, представлены на схеме нсточника.ми тока j1K и 1 2к ,
На Т образной схеме эти источни и MO HO также представить
с помощью источников с э. д. с. 6" 1р И 6" 2р (рис. 11_15), опреде
ляемыми при одновременном размыкании ветвей, присоединенных
к первичным и вторичным зажимам, активноrо четырехполюс
ника.
С пом?щью уравнений (11.34) можно установить связь между
э. Д. с. 6" 1р И 6" 2р И токами j 1к И j 2К при условии, что при 9ДHO
Bp MeHHOM размыкании первичных и вторичных зажимов [1 == О
и 1 2 ==О, Т. е.
и 1р ==Аи 2р BJ 2K ; j1K == си 2р Dj21<'
. -
(11.34)
[,2Р'
1
1 (;1
l'
!i 2
12
Рис. 11.15
, :(11.35)
337
Из этих уравнений и схемы на рис. 11.15 следуеТI
i 1p == U1P , j2K j1K; ]
. . D . ].
2P == и 2Р == С J 2K С J 1K .
Пассивная часть схемы на рис. 11.16 получается из схемы
на рис. 11.14 по известным формулам преобразования треуrольника
в звезду. Кроме Toro, эквивалентную схему на рис. 11.15 можно
получить из схемы на рис.
11.16 с помощью замены ис-
точников тока j1K и j2K ис-
точниками э. д. с. i 1P И P'
Коэффициенты активноrо че-
тырехпошосника и параметры
пассивных частей эквивалент-
ных схем не зависят от вели-
чин э.д. с. источников ЭБер.
Рис. 11.16 rии и равны соответствующим
. коэффициентам и параметрам
пассивноrо четырехполюсника. При этом должны учитываться внут-
ренние сопротивления источников энерrии. Вместе с этим актив-
ные параметры эквивалентных схем j1K' j2K' i 1P И r&>2P зависяТ
как от активных, так и от пассивных элементов заданноrо четы-
реХполюсника.
['
f
::;----1>
1
[;, 1
jfk
t'
kf
Zf=C
"
2'
(11.36)
Z2
11.7. Характеристическое сопротивление и коэффициент
передачи четырехполюсника
Для исследования и расчета цепочечных схем, предстаВЛЯЮЩИl!i
собой каскадное соединение одинаковых четырехполюсников, при-
меняют характеристические параметры. .
Х а р а к т е р и с т и ч е с к и м (повторным) сопротивлением назы-
вают такое сопротивление Ze, которое, будучи присоединенным
к выходным зажимам симметричноrо четырехполюсника, обуслов-
ливает ero Входное сопротивление, также равное Ze.
Установим связь между характеристическим сопротивлением
и коэффициентами симмеТричноrо четырехполюсника А, В, С и D.
Учитывая, что Ze== u 1 Ji1 == U 2 Ji 2 , уравнения четырехполюсника .
запишем следующим образом:
1==A 2+BI2==?2(A+ )==i2(AZe+B); } (11.37)
/1 ==cU 2 +AI 2 ==/2 (CZ1:+ A ),
откуда.
или
Ui == Z == AZe+ B
/1 с CZe+A
Zc == v в/с .
338
(1l. 8)
В том случае, коrда сопротивление наrрузки pa HO характе-
ристическому (такая наrрузка называется с о r л а с о в а н н о й
с четырехполюсником), леrко установить соотношения между
входными и выходными напряжениями и токами. Действительно,
из (11.37) и (11.38)
(;1/(;2 == i 1 // 2 == А +1fВC.
(11.39)
.,
т. е. отношение напряжений или токов равно (в общем случае)
комплексному числу, модуль KOToporo показывает, во сколько
раз уменьшились выходные величины по сравнению с входными,
а apryMeHT на сколько они сдвинулись по фазе. Такое комплекс-
ное число представим в виде
А + V ВС == eaei b == еа+;Ь == еС, (11.40)
rде g == а + jb == lп (А + V ВС) к о э Ф Ф и ц и е н т пер е Д а ч и (п о-
с т о я н н а я пер е Д а ч и); а коэффициент затухания (в непе-.
рах Нп), Ь коэффициент фазы (рад). "Таким образом, п'ри
соrласованной наrрузке
01 == и 2 е С ; i 1 == i 2 e g .
Если же наrрузка произвольная, то исходные уравнения сим-
метричноrо четырехполюсника применяются в виде (11.37), в кото-
рых А ==D. .
При этом коэффициенты выражаются через новые параметры
Zc и g. Из уравнения (11.40) и соотношения A2 BC== 1 ==
== (А + 11 ВС)( А V ВС) следует, что
А ...r 1 '
. JI ве == А+ у вс == e C.
откуда с учетом выражения (11.40) получаем:
А == eg+e g == ch g ' )
2 ' ,
...r eC e C (11.41)
JI ВС == == shg.
С помощью (11.38) находим:
B==Zcshg; С ==sh g/Zc' (11.42)
Если подставить найдеНН Iе выражения в уравне ия (11.37), то
01 == (;2 th g + zJ 2 sh g; }
/1== (;2 s g + i 2 ch g. (11.43)
с
Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи
MoryT быть вычислены непосредственно по комплексам Z и Z
u р К'
наиденным из опытов при размыкании и замыкании соответствую
щих зажимов четырехполюсника.
339
Из уравнений (11.43.) при J 2 == О
Zp == r) 1.'/ j 1р == Zc/th g;
при (;2==0
ZK -----: (; 1 К Л lк == 2с th g.
откуда
Zc == V ZKZP ; th g"== yr 2к/2р .
(11.44 )
Уравнения, аналоrичные (11.43). можно получить' и для несим-
метричноrо взаимноrо четыреХПОЛЮСНИI{а. С этой целью следует,
выполнить условия .соrласования ЮН{ .при прямом (см. рис. Ы .2),
так и при обратном пй:тании (см. рис. 11.3) четыреХПОЛЮСIJика.
Иначе rОВОРЯ;j сопротивление 2 1вх четырехполюсника со стороны
первйчных зажимов, наrруженноrо на сопротивление Z2 == 22С'
дблжио быть рашю Z1c (рис. 11.17), а сопротивление 22ВХ четырех-
i, i f i 2
'1
1
. IU 2 Iц 2!4
lf,l п .п
l,oxl,c 12flx 12C
l' 2'
w:--------- l' ....=.,о
Рис. 11.17 Рис. 11.18
полюсника ,со стороны вТоричных зажимов, наrруженноrо на
Сопротивпение 21 == 2 1с (рис. 11.18). равно Z2C' Сопротивления Z1c
и Z2C называют характеристическими сопротивлениями несиммет
ричноrо четырехполюсника.
Указанные условия для наrрузки четырехполюсника называют
условиями с о r л а с о в а н н о й н а r р у з к и.
Если в уравнениях (11.28) и (1 1.29) учесть, что Z1BX == 21 == Zlc
И 22ВХ == 22 == Z2c, то
Z AZ 2c +B 2 DZ 1C +B
1с == CZ 2c +D; 2С == CZ 1c +A .
(11. 5)
Совместное решение этих уравнений дает возможность Bыpa
зить Z1C и Zzc через коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D:
"Z10== V АВ;СD; Z2C== VDB/CA.
(11.46)
Поскольку Z1c И Z2C В общем случае комплексные величины,
то для несимметричноrо четырехполюсника справедливы следую
щие равенства:
сЬ g == "У AD ; shg == yr ВС .
(11.47)
Так как для взаимн6rо четырехполюсника справедливо равен-
ство (11.9), то выражения (11.47) .как бы дополняют это условие
340' "
в виде равенства ch2g h2g== 1. В уравнениях (11.47) параметр
g == а + jb и ero составляющие имеют -аналоrичный смысл ,как и
для симметричноrо четырехполюсника; при этом g также назы
вается постоянной передачи четырехполюсника.
Пользуясь уравнениями (11.47), а также соотношениями
V ZIc/Z'2c == V AjD ; (11.48)
- V ZlcZ2c == V щс, (11.49)
определяют коэффици енты ч етырехполюсника:
А VZIc/Z2cchg; В == V Z lc Z 2c. sh g;
C== y ; D == V Z2c/ Z lc ch g.
, ZlC Z 2C'
После подстаНОВКI-L значений коэффициентов четырехполюсника
в уравнения (11.8) получаем: -
й 1 == V ZIc/Z2C (02 chg-q.. Z2J shg);
11 == V Z 2C/ Z 1C (/2 chg + Z:c 02 shg).
Эти уравнения непО'средственно переходят в (11.43) для сим
метричноrо четырехполюсника, у KOToporo Zlc == Z2C == Zc.
При соrласованной наrрузке (Z2 == Z2C) спр.аведливо следующее
равенство:
(11.50)
(11.51)
( 11.52)
Z2J2 == (;2 или 12 == (;2/ Z 2C' '
С учетом этих выражений уравнения (11.52) приобретают следую-
щий вид:
(;1 == V Z Ic/ Z 2C О<;.е!; 11 == VZ2c1Z1C 1 2 e g . (11.53)
Из выражений (11.53) связь, между МОДУ{IЯМl-! амплитуд.ил.и
модулями действующих значений напряжений и 1 , и 2 и токов 11' 12
определяют в виде
Ul== VZlc/Z2C U2ea; 11== VZ2C/zIC /2ea. (11.54)
Таки,>,! образом, отношение модулей амплитуд или действующих
значений напряжений и 1 /и 2 равно V Zlc/Z2C е а , а отношение моду-
ле й ам плитуд или действующих значений токов 11112 равно
V Z 2C/ Z Ic е а .
Характеристические пар-аметры несимметричноrо взаимноrо че .
тырехполюсника ZIC, Z2c и g- можно выразить через ero параметры
при размыкании и замыкании соответств ующих зажимов:
Zlc == V Zlp Z 1K; Z2C == у Z2p Z 2K;
thg == V ZIK/ Z lp == V Z2K/ Z 2p'
Для симметричноrо четырехполюсника при соrласованной на-
rрузке ZJ2 == (;2 -' .
((;I/(;2 ) Z z == (il/j2)Z 2 Z ==eg == eaeJb,
2 с с
(11.55)
341
откуда коэффициент затухания
а== !п (U 1 /U 2 ) Z Z ==lп(Il/12)Z z.
2 С 2 С
Таким образом, затуханию в. 1 Нп соответствует уменьшеfIие
амплитуды и действующеrо значения напряжения (тока) в е ==
== 2,718 раза (при !п и /и2 == 1 и 1 /и 2 == 2,718) *.
Пример 11.1. Вычислить характеристическое сопротивление Zc и коэффи-
циент передачи g симметричноrо четырехполюсника, у KOToporo А ==0,5; С ==
== jO,02 См.
Реш е н и е, Третий коэффициент чеТ Iрехполюсника
A2 1
В == == j37,5 Ом.
Характеристическое сопротивление
f/
Zc==V БjC ==43,25 Ом.
Коэффициент передачи
.п
g==a+ jb== In (А + V BC ) == In (0,5+ jO,865) == Iп lе l 3" == j .
Следовательно, а==О; b==:rt/3 рад.
ОПример 11.2.. Определить характеристическое сопротивление Zc и коэффи-
циент пе,редачи четырехполюсника g, если Zp==747e j27"41'1 Zк==516tf o О З5 '.
Реш е н и e Соrласно формулам (11.44),
Zc== V ZрZк ==621е j!З"5З';
,r Л4"О8' eg e g ....:. e2g 1
thg fI ZK/Zp 0,84е eg+e g e2 g +1 '
откуда
1 + th g 1 +0 84tfI4°08'
e2g== == ...: .
l thg 1 0,84ejI4008"
о 1 1 + 0,84tfI4008" .
g== 2 In '14008' 0,92+ 13,6.
1 0,84е 1
Тат{Им образом, а==О,92 Нп; Ь==3,6 рад.
11.8. rрафы четырехпопюсников и их простейшие
соединения
.У равнения четырехполюсника можно представить в виде rрафа.
На рис. 11.19 изображен rраф, соответствующий уравнениям
(11.8), записанным в форме А, на котором незачерненны и кру-
жочками отм:ечены 'истоки, соответствующие переменным и 2 и 12'
* в радиотехнике затухание чаще Bcero Вычисляют в белах (Б) или дiщибе-
лах (дЕ).
Децибел представляет собой единицу sатухания, в десять раз меньшую
бела. Для перехода от неперов к белам или децибелам можно воспользоваться
следующими соотношениями:
и .
а д в==20 Ig и; == 20 Igе аНП ==20 анп Ige==20.0,4343 анп==8,686 анп.
342
а зачерненными кружочками (точками) отмечены' стоки (;1. /1' Н
рис. 11.20 и 11.21 изображены rрафы, соответствующие ypaBHe
ниям (11.1) и (11.3), rде незачерн нны и узлами (кружоч!'аМl!)
отмечены истоки с переменными и 1 , и 2 (рис. 11.21) и 11' [2
(рис. 11.20), зачерненными кружочками стоки, ,соответствующие
(;,
(;2
11
i 2
о
Рис: 11,19
и,
iJ
i,
12
Рис. 11.20
переменным 11' /2 (ри . 11.21) и (;1' (;2 (рис'- 11.20). На рис. 11.22
показан rраф, соответствующий уравнениям (11.5). [рафы четы-
рехполюсников удобно применять длfl определения параметров
результирУ1РЩИХ схем, полученных путем соединения нескольких
четырехполюсников. J
и, f1z и, й 2 :
Н'2
Н" Н 22
Н 2!
12 i, i 2
Рис. 11.21 Рис. 11.22
На' рис. 11.23, а дана схема каскадноrо соединения двух четы-
рехполюсников с заданными параметрами, а на рис. 11.23, б изо
бражен 'раф. Для каждоrо четырехполюсника справедливы сле-
дующие уравнения:
(;1 ==А 1 (;' +в 1 1';
11 ==с 1 (;' +D 1 1';
(;' == А 2 (;2 + В 2 / 2 ;
/, ==С 2 (;2+ Ь 2/2'
Для получения уравнений связи между входными величинами
первоrо четырехполюсника и входными величинами BToporo можно
воспользоваться rрафом на рис. 11.23, б, из KOToporo следует:
(;1 == (А 1 А 2 + В 1 С 2 ) (;2 + (А 1 В 2 +B 1 D 2 ) /2; }
11 == (С 1 А 2 +D 1 C 2 ) (;2 + (D 1 D 2 +С 1 В 2 ) /2
или
1 ==АЧ2+В 2; }
1 1 ==CU 2 +DI 2 .
<..
(11.56)
343
Значения коэффициентов А, В, С и D, полученные при сум-
мировании Произведений соответствующих передач путей между
. истоками и стоками Каскадноrо
12 соединения rрафов, указаны на
..............{ rрафе эквивалентной схемы (рис.
! (;' А2 82 I й 11.23, в).
l 2 Для определения параметров
эквивалентноrо 'четырехполюсни
ка, составленноro из двух парал-
лельно соединенных четырех полюс-
{;2 ников (рис. 11.24,а), используем
rрафы, построенные по уравне-
ниям, соответствующим форме У
(рис. 11.24, б). Из этоrо rрафа на-
12 ходим:
1 " (у а +у б )u ' +(у а +у б )и ' 1
1 == 11 11 1 12 122;
i 2 == (Y l + y I)OI +(Y 2+ yg2)li 2 f
(11.57)
j'
---------1;>
А, 8,
С, П,
С2 П2
. О) .
и' f lJ'
/j,
Ji,
j'
u,
),
Рис. ll.23
Для определения
НИка, составленноrо
r)
2
или
i 2 /
i 1 == Yl1 U l + У12 й 2; }
" . . (11.58)
/2 == У21 и l + У22и2, ,
rде Yl1 == Y 1 + Yf.l; У22 ' y 2+ y 2;
у 12 == Y 2 + Yf2; У21 == Y 1 + Y 1 (рис.
11.25, в).
параметров эквивалентноrо четырехпо;rюс-
из двух последовательно соединенных чеТiЫ-
}О
2
[;,О=и
, ,
j,'
2
------J>
'5
12
o
1,
'0
12
Рис. '11.24
рехполюсников (рис. 11.25, а) по уравнениям, соответствующим
форме Z. построен rраф (рис. 11.25, б). Из этоrо rрафа получаем
следующие уравнения:
(;1 == й + uf == (Zfl + Z I) i 1 + (Z 2 + Z 2) i 2, }
. .а 'б ( а б ) ' ( а б ) ' (1.1.59)
и 2 ==и 2 +и 2 == Z21+ Z 21 11+ Z22+ Z 2212
344
(;1 == Z11 1 1 + Z12 1 2; . }
(;2 == Z21 j 1 + Z 22 J 2,
rде Zl1 == Z l + Z l; Z22 == Z 2 + Z 2; Z12 == Z 2 + Zf2; Z21 ===Z:r + Z I'
Уравнениям (11.60) соответствует rраф на рис. 11.20, в KOTO
ром передачи ветвей определяются из уравнений (11.59).
Параметры эквивалентных четырехполюсников, полученных
при различных соединениях составных четырехполюснмков, можно
леrко 'определить с помощью матричных форм ЩIПИСИ уравнений.
Тш<, например" для каскадноrо
соединения двух четырехполюс
ников матрица параметров экви
валентноrо четырехполюсника
равна произведению матриц OT
дельных четырехполюсников:
[ ] === [ 1 : ] [ : : ]
[ (А1А2+В1С2) (A1B2+B1D2) ]
=== (С 1 А 2 +D 1 C 2 ) (C 1 B 2 +D 1 D 2 ) .
(11.61)
Из этоrо уравнения непо-
средственно получаются Bыpa
жения (11.56). Матрица коэф
фициентов эквивалентноrо че
тырехполюсника, полученноrо в
tyезультате каскадноrо соедине-
liия трех и более четырехпо 0,'
люсников, может быть найдена
при перемножении трех и более
матриц, записанных в том же
Порядке, в каком четырехполюс
ники соединены в схеме (YMHO
жение матриц не подчиняется
переместительному закону).
При параллельном соедине
нии двух четырехполюсников
матрицу коэффициентов эквива
лентноrо четырехполюсника оп
ределяют путем суммирования
матриц проводимостей, а при последовательном путем суммиро
вания матриц сопротивлений каждоrо четырехполюсника. При
ЭТОМ правила суммирования матриц применимы при реrулярных
соединениях четырехполюсников, т. е. при равенстве токов каж
дой пары зажимов после соединения четырехполюсников как со
стороны входа, так и со стороны выхода каЖДоrо cocTaBHoro че
тырехполюсника-(см.рис.1l.24,аи 11.25,а). '
или
....
I
(
(11.60)
. '0
11 = 1,
. '0
12=/2
<J--------
I ,иl
и,.
и 1 ] iU
.J-o
/, [,
'0,
и"
za
I 'О
,и 2 '
Zo
i
' 'O
/2 '2
<r---=-
, '0
ф и2
(;2
<1---;----
1,
, оО
2
J,
Рис. 1l.25
345
r л А В А 12
ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
, 12.1. Симметричная однородная цепочечная схема
Электромаrнитные процессы, протекающие в устройствах, 11"0-
торые состоят из конечноrо большоrо числа однородных элементов,
соединенных между собой (rирлянды .изоляторов, обмотки электри-
ческих машин и трансформаторов, модели линий передач и т. п.),
можно С некоторым приближением исследовать с помощью цепо-
чечных схем.
Симметричная однородная цепочечная схема (рис. 12J) состоит
из KaCKaДH соединенных одинаковых симметричных четырехпо
люсников, называемых з в е н ь я м и с х е м ы. Всю схему можно
рассматривать как один симметричный четырехполюсник, харак-
теристическое сопротивление
и коэффициент передачи ко-
Toporo определяют по извест-
ным параметрам g отдельноrо
звена.
П усть выходные зажимы.
последнеrо звена замкнуты
на сопротивление, равное Zc.
Входное сопротивление этоrо звена также равно Zc. Следователь-
но, это звено является соrласованной наrрузкой для riредпослед-
Hero звена. Очевидно, что любое звен'о, вплоть до первоrо, оказы-
вается наrруженным н;з. сопротивление, paBHoe:Z c ' Таким образом,
характеристические сопротивления цепочечной схемы и I):аждоrо
ero звена одинаковы и равны Zc.
Комплексное напряжение (ток) на входе отличается от комп-
лексноrо напряжения (тька) на выходе этоrо звена в f!5 раз.
В схеме с п звеньями напряжение (ток) на входе первоrо звена
отличается от напряжения (тока) на выходе последнеro звена
в (f!5)n === e ng раз:
lи,
tu l
iJ Jп rn iПl-l
------i> -----i> ........(:>
l lUПI-'
1,
......;>
lz
------D
Рис. 12.1
(;1 === On+l eng ; 11 == /n+1 eng .
(12.1 )
Таким образом, коэффициент передачи всей цепочечной схемы
пg===пa+jпb, т. е. чем больше звеньев в схеме, тем больше коэф-
фициенты затухания и фазы этой схемы.
При несоrласованной наrрузке связь между напряжениями и
токами на. входе и выходе всей схемы (Bcero эквивалентноrо че-
тырехполюсника) выражается в соответствии с формулами (11.43)
следующими уравнениями:
(;1 == Оn+1 ch пg+ZJn+1 sh пg; 1
.. . . sh ng
/1 == /nН ch пg+ и n +1 Z;;-' J
(12,2)
346
Напряжение и ток на входе (k + 1 ) ro (от начала цепочки)
звена определяют по формулам
, (;k+1==(;п+1c (п k)g+ZJп+1Sh(п k)g; }
.. . sh(n k)g
/kH== lп+1 ch (п k)g+ и п +1 Zc .
(12.3)
12.2. Основные уравнения для цепей с распределенными
параметрами
в цепях малой пространственной протяженности наличие'
сдвиrа фаз между токами и напряжениями на разных участках
цепи обусловлено действием э. Д. с. самоиндукции, э. д. с. взаим
ной индукции и емкостных токов, имеющих сдвиr по фазе отно-
сительно соответствующих токов и напряжений. В однородных
цепях большой пространственной протяженности, например, линиях
электропередач, СДВИf токов
и напряжений по фазе, а так-
же их изменение во времени
и вдоль цепи можно рассмат-
ривать как результат .волно-
Boro электромаrнитноrо про-
цесса в пространстве, окру-
жающем цепь.
Пусть известны параметры
однородной цепи (линии), ОТс
несенные к единице ее длины
(рис. 12.2): ro сопротивле
нис прямоro и обратноrо про-
водов; Lo индуктивность петли, образуемой прямым и обратным
. лроводами; go проводимость утечки между проводами; СО ем-
кость двух. проводов линии. При этом сопротивление ro dx и ин-
дуктивность Lo dx считаются включенными в один провод, а рас-
стояние х стсчитывается от начала линии до ее элемента dx.
Если обозначить MrHoBeHHbIe значения напряжения и. тока
в начале рассматриваемоrо элемента линии dx соответственно
. , ди
через u и [, а в начале следующеrо элемента через u + dx и
дх
. + ai d б
l дх х, вы рав положительные направления тока и напряжения
так, как показано на рис. 12.2, то на основании законов Кирх-
rофа для элемента линии длиной dx можно Зl}писать следующие
уравнения:
rodX Lodx
rodx LodX
'-----1>
j i+!lLdx
ОХ
, а+ Оl1 dx
ох
i + R dX
ОХ
х
I
"1'"
dx
r
!
Рис. 12.2
и;:....\и+ ; dx)==r-frdХi+LоdХ ;
(i + dx) + (и + ; dx)go d:c+Codx (и+ ; dx) i==O.
347
Отсюда, пренебреrая величинами BToporo порядка малости,
леrко получить:
ди . ai j
дх ==rоt+L о дt ;
дi ди
ax===goU+ СО д['
(12.4)
При синусоидальном напряжении источника питания лиtIии
с однородными постоянными параметрами (не 3 ВИСЯЩf!МИ от To a
и напряжения) ток и напряжение в любой ее точке при YCTaHO
вйвшемся режиме, так же как и в линейных цепях с cocpeдoтo
ченными параметрами, синусоидальны. Поэтому уравнения (12.4)
можно переписать в комплексной форме: ,.
w dU/dx == (ro + j(j)Lo) i == ZO/; }
/ .. (12.5)
d /dx == (go + j(J)C o ) U == у ои,
rде Zo == ro + j(J)L o комплекс продольноrо сопротивления на еди
ницу длины линии; У 0== go + j(J)C o комплекс поперечной прово-
димости на единицу длины линии, причем Zo =f= I/У о . . .
. После ДiIфференцирования этих уравнений и замены dU /dx и
dl/dXB соответствии с выражениями (12.5) получаются следую
щие равенства:
d2[j . . !
. 4X == ZoYoU === у2и;
d2J .!! .
dx 2 , YoZol ==у !,
(12.6)
rде у == а + j === V ZoYo == V(ro+ j(J)Lo)(go+ j(J)C o ) коэффициент
\ (постоянная) распространения; а коэффициент (постоянная) зату-
хания; коэффициент (постоянная) сдвиrа фаз. Из этих урав-
'нений следует, что изменения комплексных значений напряжения
и тока вдоль линии (13 зависимости от коорДИF!аты х) одинаковы.
Поэтому сначала следует найтИ aKOH изменения ОДНОЙ из этих
величин, например напряжения и, после чеrо леrко определить
закон изменения друrой величины / с помощью первоrо из урав-
нений (12.5).
Общее решение однородноrо линейноrо дифференциальноrо
уравнения BToporo- порядка (12.6) относительно напряжения имеет
вид
U === Ale '\' + А 2е'\'Х ,
(12.7)
rде (J комплексное значение напряжения на расстоянии х от
начала лини!l; У. и у корни характеристическоrо уравнения
р2 i' == о; Al И А 2 постоянные интеrр'ирования.
Комплексное выражение для тока ! определяем из первоrо
уравнения (12.5):
. 1 dU '\' . 1" ( 1 8
! === === (Ale '\'x А 2 е'\'Х ) == (Ale '\'x А 2 е'\'Х). .2. )
Zo dx Zo Zc
348
rде Zс==V Zо/Уо характеристическое (волновое) co
противлеI:Iие. -
Если' начало координат поместить в конце Линии (рис. 12.3),
то диффереНЩIaльные ,уравнения в частных производ.ных имеют
следующий вид:
ди/дх , roi + Lo ; ]
aijax == gou + со ;;1 . -
I1ри синусоидальном наПРЯJКении источника. питания OДHOPOД
ной линии и постоянных цараметрах - уравнения (12,9) _ можно
записать в КОМП.{lексной форме:
dU . / ]
== (ro + J(f)Lo); _
d d l == (go + j(f)C o ) и.
х
При сравнении (12.5) и (12.10) видно, что эти ура'внения
отличаются только знаками, поскольку при увеличении коорди
натыI х от конца линии (от
I:Iаrрузки) к ее началу для
выбранных, положительных
направлений тока и напряже
ния приращения этих вели
чин положительны.
Пос.пе дифференцирования
ур'авнений fI2.10) и замены
dU / dx и d/ / dx в COOTBe'Тcт
'вии с выражениями (12.10)
получают дифференциальные
уравнения, полностью совпа
дающие с (12.6). Таким об
разом, решение полученноrо уравнения относительно, например,
шшряж ния (J отличается от (12.7) только постоянными интеr
рирования:
(12.9)
(12.10)
rodX lodx
rodx lodx
l dX
tlx
(f.
i .дLdx
tlx
<1---------
I
1'"'
I
..1..
dx
х
Рис. 12.3
(J == Ё 1 е УХ + iз2е VХ.
(12.11)
Комплексное выражение для тока i можно найти с помощью
nepBoro уравнения (J 2.10):
/ 1 d(; 1. .
== == (B 1 e Vx В e VX )
Zo dx - Zc 2.
(12.12)
Лля определения ПОСТОянных интеrрирова-ния А 1 и А 2 OJКHO
Воспользоваться уравнениями (12:7) и (l2. ), подставив в них
rра.!!и,!ны значения напряжения и 1 и т?ка 11 (в начале линии),
т. е. при х==О
А + А 2 == (;1; }
А 1 А 2 == ZC/l'
(12.13)
34.9
t
Совместно решая уравнения, получаем!
. 1. . . 1. . -
A 1 ==2(U 1 +Z c / 1 ); A2==2(U1 ZC/1)' (12.14)
После подстановки постоянных Al' А 2 В уравнения (12.7),
< \ (12.8) инекоторой переrруппировки слаrаемых уравнения длин-
HOll линии в rиперболйческих функциях имеют вид
(; == (;1 ch ,\,X J1 sh ,\,х; }
. / h и1
/== 1 С ,\,x z sh,\,x.
с
Пользуясь этими уравнениями, можно определить напряжение
и ток в любой точке .qинии .по заданным параметрам линии и по
известным значениям и 1 и /1 В начале линии.
сли J}1BecTHbI комплексные значения (;2 и /2 Б конце линии,
то и и / Б любой точке линии на расстоянии х от ее. конца
находят по уравнениям (12.11) и (12.12). Постоянные В 1 и В 2
определяют из rраничных условий для конца линии. Затем путем
преобразований, аналоrиЧНЫХ приведенным ранее, эти уравнения
записывают. с помощью rиперболических функций Б следующем
Биде:
(12.15)
(; == (;2 ch ,\,Х+ J2sh ,\,х; }
/ == /2 ch ,\,Х+ : sh ,\,Х.
(12.16)
.Полученные уравнения, Б частно(ти, позволяют вычислить
и /1 по известным величинам (;2' /2: -
(;1 == 2 ch ,\,1 + J2 sh ,\,1; }
/ / и2 -
1 == 2 ch ,\,1 + Z -; sh ,\,1,
с
rде 1 длина линии.
(;1
(12.17)
12.3. Волны в линии при установившемся режиме
Как уже было отмечено, пользуясь уравнениями длинной
линии в r-иперболических функциях (12.15) или (12.16), можно
определить напряжение и -ток в любой точке линии и, следова
тельно-, для любоrо момента времени, так как напряжение и ток
изменяются в любой точке ЛИНf!И по синусоидальному закону.
Для получения уравнений, опр деляющих MrHoBeHHble значе-
ния напряжения и тока в любой точке линии, все комплексные
величины, входящие в уравнения (12.7) и (l .8), .необходимо
представить в показательной форме. Комплексы А 1 и А 2 ) имеющие
_ р.азмерность напряжения, можно записать в виде А 1 == А 1 еi'Ф"
А 2 == А 2 еi'Ф2. Характеристическое сопротивление Zc таI\же можно
представить в показател ьной фо рме:
Z == --.; Zo == ; rо+iroLо == V r +(roLo)2 ejit==zcejitl
с JI У О JI :go+jroC o g +(roCQ)2
350
rде'
д 1 t 00 (goLo roC o )
'u' arc g С .
2 rogo+ oo2L o о
(12.18)
После подстан ки этих выражений в уравнения (12.7) и (12.8)
находим:
u == 1т [}l2 Ale axej (rot+1P, I3X) + 2 A 2 e ax e j (rot+1P.+ 13x)] == l '
== 1I2Аlе аХsiп(<ut+'Фl X) + }l2A 2 e aX sin(<ut +'Ф2 + X);
i == 1т [у;с Al eaxei (rot+1P, I3X tr) V;cA2 eaxei (rot+1P.+I3x tr)J == t (12.19)
. == У2 Аlе аХsiп(<ut+'Фl tt х) I
zV2 ' I
А 2 е ах siп (<ut+'Ф2 tt+ X), I
Zc J
rде умножение на }l2 произведено для перехода от действующих
значений напряжения и 1 и тока /1 к их амплитудным значениям.
Первые слаrаемые в правой части полученных выражений xapaK
теризуюr бе ущuе волны напряжения и тока, движущиеся в направ
лении возрастания координаты Х и затухающие по направлению
движения (рис. 12.4).
li
х
Рис. 12.4
, ДеЙствительно, с одноЙ стороны, в любой точке Х==Хl первое
слаrаемое _ каждой из величин представляет собой периодическую
функцию времени. С друrоЙ стороны, в любоЙ момент времени
t == t 1 первое слаrаемое изменяется вдоль линии по закону зату
хаЮщей синусоиды, при этом уменьшение амrrлитуд определяется
.коэффициентом затухания сх. Чтобы определить фазовую скорость
беrущеЙ волны напряжения, необходимо считать, фазу колебания
наПряжения равнрЙ постоянной величине, т. е. ffit Х+'Фl == сопst.
351
Продифференцировав это выражение по времени, получим:
: :t ((()t x + 'Фl) == о и v == dx/dt == (()/ .
Аналоrично можно показать, что фазовая скорость беrущей
волны тока равна тоЙ же скорости v. Вторые слаrаемые в ypaB
нениях (12.19) дают отрицательное ,значение фазовоЙ скорости,
что означает движение волн в сторону уменыпения координаты х.
Таким образом, указанные слаrаемые можно рассматривать в виде
волн, движущихся в противоположных направлениях. Волны,
распространяющиеся вдоль линии от источника электрической
энерrии к приемнику в направлении увеличения координаты х.
называют пр я м ы м и (п а Д а ю Щ и м и), а олны, распространяю
щиеся'в обратном направлении, обратными (отражен
н ы м и). арактерноЙ величиноЙ беrущеЙ, волны является ее
длина л, определяемая расстоянием между ближаЙшими двумя
точками (рис. 12.4), взятыми 'в направлении распространения
волны, с фазами колебания, отличающимися на 231. Следовательно,
длину волны можНо наЙти из равенства
. [(()t X+'Ij;l] [rot (х+ л) +'Фl] == 2л,
откуда л == 231/ , v == (()/ == 231f/ == лf == Л;Т. Иначе rоворя, за
один период волна пробеrает расстояние, равное длине волны.
Аналоrично ,можно получить волновые уравнения дЛЯ TOI<OB
и напряжеtIий, если воспользоваться уравнениями (12.11) и (12.12).
Основное отличие в соответствующих уравнениях состоит.в ИЗl\:е
нении знака координаты х и в величинах постоянных В 1 и В2'
выраженных через напряжение (;2 и ток i 2 . Падающие и OTpa
женные волны тока в общем случае отстают по фазе относительно
соответствующих' волн напряжения Ha уrол -& при ero положи
тельном значении. Кроме тoro, если MrHoBeHHoe значение напря
жения u в любоЙ точке линии равно сумме MrHoBeHHbIx значеI-1ИЙ
напряжений падающей и отраженной волн, то MrHoBeHHoe значе
ние тока i в любоЙ ТОЧI<е линии равно разности MrHoBeHHbIx эн3.
чениЙ тока падающей и отраженной волн, что непосредственно
следует из уравнений (12.19).
Такое представление установившеroся процесса в цепи с pac
пределеННЫМ!I 'параметрами при синусоидальных фующиях TOI<a
и напряжения от времени носит формальныЙ характер и опреде
ляется, матемаТИ1.1еским раЗJIOжеfIием соответствующих функциЙ.
12.4. Устансвмвшяеi}Я процессы в наrружвтllJИ; раВIJМКНУТОИ
и КОРОJкозаминутсй линиях с потерями
РабочиЙ режим в любой точке наrруженной линии можно
представить кю< результат наложения режимов в линии при
разомкнутом и ОрОТI<озамкнутом ее конце.
Пусть ток /2==0, а напряжение в конце линии равно'и 2 .
Такой режим часто называIQТ холостым ходом линии. Тоrда
352
напряжение и ток в люб,?й точке ЩIНИИ при раЗОМIШУТОМ I<ОIще
определя т из вь раже.нии 1 ]
И р == и 2 сЬ '\'Х=="2 и 2 (e'l'X +e 'I'X);
(12.20)
i 2 sh ,\,Х == и2 (e'l'x e 'I'X)
р Zc 2 Zc ' ,
rде х раССТОЯНl!е от конца ЛИНИ!!. При коротком замыкании
в конце линии (и 2 == О, ток равен 12) напряжение и ток в той же
точке на расстоянии Х отuконца,ЛИ
НИQ находят из уравнении
.' 1 " h 1 Z i ( 'l'x' 'I'X ) ' ]
UK==Zc 2 S '\'Х==2 c 2 е e . ,
iK==i2ch,\,x== i2(e'Vx+e 'I'X).
(12.21)
!=ледрвательно, (; == (j р + (; к; i ==
== 1 р + 1 К' Таким образом, наложение
режимов при размыкании (холостом
ходе) и' коротком замыкании линии
даст возможнрсть определить напря
жение и ток в любой точке линии при любой наrрузке, включен-'
ной в конце линии.
Векторцые диаrраммы токов и напряжений при разомкнутом
и короткозамкнутом конце линии и при наrрузке строятся по
уравнениям (12.17), определяющим .напряжение (;1 И ток j 1
В начале Jlинии. Пусть напряжение U 2 совпадает С. осью вещ т
венных величин (рис. 12.5). Тоrда напряжение U 1p и ток IIp
В начале линии можно представить в виде
(; == (; е аlеЛ31 + (; e ale iI31. I
lp 2 2 2 2 .
j == ( (; ealei131 (; e ale fI31 ) e iit
lp. 2 ,2 2 2 Zc'
,i
1 . ()([ -jj3l
2и28 е
Рис. 12.5
(12.22)
По этим уравнениям на рис. 12.5 ПQстроена векторная диаr-
рамма для разомкнутой линии. Из этой диаrраммы видно, -что
напряжение (;lp равно сумме состав я щих U 2 e a1 e/ 13 ( и.
Й2е аlе iI31, а '{ок i 1p равен разности тех же составляющих,
разделенной на комплексное волновое соП} отивление Zc == zcefit.
При коротком замыкании в конце линии (и 2 == О, ток равен i 2)'
напряжение и ток в начале линии определяют из уравнений
I
. . 1. 1 1 ]
.U 1K ==ZJ2 sh ,\,1 =="2ZcI2 (e'l' e 'I');
;. 1. 1 1
I 1K == 12 сЬ ,\,1 =="2 12 (е" + e 'v ). ,
12 п/р. Ионкина, т. I
(12.23)
353
Векторная диаrрамма для Этоrо случая показана на рис. 12.6.
При этом комплексное значение .тока [2 отстает по фазе от комп-
лексноrо ,значения напр.яЖения U 2. на уrол СР2' На рис. 12.7 даны
векторы напряжения и 1 и тока [1' ПQлученные путем rеометри-
ческоrо суммирования соответствующих векторов при разомкну-
той линии и ее коротком замыкании в соответствии с уравнениями
й 1 ===01р+й 1к ; i1===i1p+i1K' (12.24)
Интересно ОThlетить, что при индуктищюй наrрузке в KOНI!-e
. линии уrол СДВиrа фаз СР1 между ТОком [1 и напряжением и 1
f 1 " cxl jjЗl
2 2е е
о
{;,р
u, '
й 2
if/(
i 2
Рис. 12.6
Рис. 12.7
,.
меньше уrла СДВиrа фаз СР2 (рис.. 12.7), что объясняется влиянием
опережающеrо eMKocTHoro тока [lр на режим в линии.
При сопротивлении наrрузки Z2' равном волновому сопротив-
лению Ze, напряжение и ток в любой точке линии равны:
.. .. (;,
U === U 2 e 'l'X; [ === [ 2e'l'X === т e'l'X,
с
откуд? U/[===Ze, т. е. U/i===01/i 1 ===02;i2===Ze'
Если 02 === и 2 , то MrHoBeHHble значения напряжения и тока
Б, любой точке линии имеют вид
u === V2 и 2 е ах sin (oot + x); ]
i === V2 и 2 е ах sin (oot+ X tr). (12.25)
Ze _
Таким образом, при Z2 === Ze В линии имеются только прямы
волны, движущиеся. от источника энерrии к приемнику . В ЭТОМ
случае режим работы источника электрической энерrии не изме-
нится, если в любом сечении линии включить вместо удаленной
части линии сопротивление, равное волновому. Такую наrрузку
линии называют соrласованной или наrрузкой без отражения *.
Для линии с соrласованной наrрузкой следует устанOJЩТЬ
соотношение между активной мощностью Р1 === и 1 [ 1 cos tr в начале
-и активной мощностью Р2 === и 2 [2 cos tr в конце линий. Поскольку
* Все изложенное здесь о линии с соrласованной наrрузкой .прнменимо
к бесконечной линии, ПОСКОЛЬКУ в ней не MorYT возникнуть отраженные волны.
354
иl (;2elejPl и i 1 === i2eaJejpl, то Р 1 === U 1 I 1 cos {}=== U 2 1 2 e 2al cos {t ="
<== Р e 2aJ . -
2 Р /Р 2al
Следовательно, к. п. д. линии '1'J === 2 1 === е .
Полученные соотношения позволяют определить единицу изме-
1
рения затухания мощности линии из выражения al\===2 Iп Р 1 /Р 2 .
Единицей затухания мощности служит непер (Нп). Затухание
равно 1 Нп, если' al===1 или Р 1 /Р 2 ===е 2 . Таким образом, при
затухании в линии, равном 1 Нп, активная мощность в начале
линии больше активной мощности в ее конце в е 2 === 7,39 раза.
Очень важной характеристикой. л нии является ее входное
сопротивление, равное отношению и 1/ 1 1 _ В начале линии.
На основании уравнений длинной линии в rиперболических
функциях
ZBX=== i === U2.ch1'l+Zei2Sh1'[
[i {1. sh 1'l + i 2 ch 1'l
с .
Ze Z2+Ze th 1'l .
Z2 th 1'l+Zc
(12.26)
Для разомкнутой линии (i 2 === О, Z2 === 00)
, О 1р О 2 ch 1'1 ZC
ZBX. р=== i 1p === (U 2 /Z c ) sh 1't th 1'l
При коротком замыкании. ((;2 === О, Z2 === О) --:
Z === О 1к === Ze i 2 sh 1'[ === Z th [.
ВХ. К [ . [ - h [ су
lК 2 С l'
(12.27)
(12.28)
Следовательно, зная параметры линии и сопротивление Z2'
можно найти входное сопротивление линии при любой наrрузке.
Пользуясь выражениями дЛЯ ZBX. р И ZBX. К' можно определить
волновое сопротивление линии Ze, а также th у! и коэффициент
распространения у. ,
Умножая друr на друrа левые и правые части выражений
(10,27) и (10.28):
ZИХ. pZBX. К === t [ Ze th у! === Z ,
получаем
Ze === 11 ?вх. pZBX. К.
(12.29)
Аналоrично можно найти форм улу для о пределения th yl:
th у! === 11 ZBX. K/ZBX. р' (12.30)
Полученные выражения совпадают с формулами (11.44), что
и следовало ожидать, так как цепь с равномерно распределен-
ными параметрами всеrда можно заменить симметричной эквива-
лентной T или П-образной схемой с сосредоточенными параметрами.
Сравнивая уравнения для симметричноro четырехполюсника
1===A?2+B 2; }
I 1 ===CU 2 +DI 2
12"
355
с уравнениями длинной линии
(;1 === (;2 сЬ у! +ZJ2 sh yl; }
i 1 === «(; 2/Zc) sh у! + i 2 сЬ yl,
определяем значения коэффициентов четьiрехп люсника:
1
А === D === сЬ yl; В === Zc sh yl; С === Z sh yl.
с
Условие ,ДЛЯ симмеТРlJчноrо четырехполюсника А2 ЕС 1
выполняется и для длинной линии
сЬ 2 у! sh 2 у! === 1.
Пользуясь выражения,МИ (12.31) и (12.32), находим:
!Z Z Z h 1 Z Z Z Zc Sll '1'[ .
,1I П=== 12=== c s у; 1 2 CI1y[ 1 '
Z Z' - . Z' Z' Z' Zc (chy[ I)
T :1 Sll yl' 1 2 ,sh у!
Таким образом, по известным параметрам линии с помощью фор-
мул (12.33) и (12.34) можно определить параметры эквивалентных
п и Т-образных схем.
(12.31)
(12.32)
( 12.33)
(12.34)
Пример 12.1. Для определения параметров телефонной линии дЛиной l
200 км измерены при уrловой частоте ы 5000 с 1 сопротивления разомкну
той ZBX. Р 747e j27°41' Ом И короткозамкнутой ZBX. к 516еjООЗ5' Ом линии.
По формулам (12.29) и (12.30) наЙдены Zc 62Ie jl3°33' и '1' (0,0046+jO,018) ==
- == 0;00 I 86ej75°40' . Определит" первичные параметры линии: ro. go, Со и 1..0;
р ш е н и е. Для определения ro и Lo перемножим
V ( +. L)( ,. С) Z . V ro+j(i)Lo
y ro 1Ы о f!oT1(J) о на c + . C '
go 1Ы о
т. е.
ОТКуда
'I'Zc ro+j(J)Lo (5,4+jIO,21) Ом/к м,
ro 5,4 Ом/км, Lo IO,21/5000 О,ОО2 r/KM.
, АнаЛоrичным путем найдем go и Со:
1 go+j(J)Co (4,1.1O 7+j3.1O 5) 1/0М'КМ,
с
откум
go 4,1 . 1O 7 См/км; Co 0,006. 10 6 Ф/км.
12.5. ЛИНИЯ без потерь
в линиях передачи электрической энерrии, применяемых
в радиareхнике, телефонии и телеrрафии, при достаточно высокой
частоте можно с большой точностью пренебречь СОПРОТИВJ!ением ro
и проводимостью утечки go по сравнению соответственно с вели-
чинами (f)Lo и шс о . Поэтому во мноrих случаях такие линии рас-
сматривают как линии без потерь энерrии, что является идеаЛИ-
зацией реальной линии.
356
;Хл я линии без поте рь коэффиц ент расп ространения
'\' === CG + j === V (ro + jooLo) (go + jroC o ) === jro V LoC ,
т. е. CG === О; === 00 V LoC o .
Волновое сопротивлен ие такоЙ линии
Z . Y ro+j(iJLo VL /С
. с ===zc,
c go+l(iJ О
При этом tt === О, v === оо/ === I/V LoC o , л === 2л/ . Следо ательно.
в линии без потерь коэффициент затухания равен нулю, а вол-
новое сопротивление и фазовая скорость не.зависят от частоты.
Поэтому уравнения длинноЙ линии в rиперболических функциях
(12.-16) преобразуются в 'уравнени.я в триrонометрических функ-
циях:
(; === (;2 сЬ (j x) + 'ZC/2 'sh (j X) === (;2 COS x + jz) 2 sin x;
/1 , i 2 сЬ и x) + Z {;2 sh (j x) === j 2 COS x + j r sin x.
с с
Если. (;2 ' и 2 , i 2 === 1 2е ТЧJ2, то из этих уравнениЙ леrко полу
чить выражения, определяющие мrновенные значения напряжения
и тока: .
'-
U===U 2 mcos XSinoot+zcI2msin xsin (oot+ ; flJ2); } .
и , ( 31: ) (12.36)
i === z:' sin x sin oot+ 2 + 12т COS x siп (oot <Р2)'
На рис. 12.8, а, б изображены кривые распределения MrHo
венных значен.ий напряжений и тока вдоль линии для t === О и
t===T/6 на участке линии длиноЙ % л при <Р2>О, Из уравнениЙ
(12.36) и эти;х кривых следует, что распределен.ие напряжения
и тока вдоль линии в каждыЙ мо,-
мент времени является синусоида
льныI..
Если в конце линии включено
комплексное сопротивление' Z2 .
===r2+jx 2 , то входное сопротивле-
ние линии БАЗ потерь
Z {;1 0-2 cos I3 l + j ci2 sin I3l
BX 1 .
1 j f..! sin I3 l + i 2 cos 131
с
=== Z 2 + jZc tg I3 l
с j Z 2 tg I3l +Zc
, В уравнениях (12.35) + (12.37)
Zc === Zc === V Lo/C o не имеет, мнимоЙ
составляющеЙ и по своему хараК7
теру аналоrично активному сопротивлению. Иначе rоворя, отно-
шение напряжения к току для прямоЙ или обратuоЙ волн есть по-
СТоянная величина, не зависящая рт частоты.
(12.37)
} (12.35)
f1,i
Рис. 12.8
357
Для определения фазовой скорости через первичные параметры,
связанные со свойствами среды, следует рассмотреть, например,
двухпроводную воздушную линию, емкость и ИНДуктивность
которой, отнесенные к единице длины линии, определяются по
приближенным формулам:
С Ф nВ80
о, /км == lп d/Ro ;
Lo. r /км == /1/10 lп d/R o ,
зt
rде d р сстояние между осями проводов; Ro радиус каЖДоrо
провода.
Подставив
,<
выражения для Lo и СО в формулу для v, находим
1 1
v ==
V 80!to -v 8/1 .
Известно, что скорость света в пустоте с== I/V E v /l o , следовательно,
v == с/У' E/l . ДЛЯ воздушной линии Е == 1 и /l == 1. Для кабельноЙ
линии Е> 1, поэтому v < с. Для воздушноЙ линии при f == 50 [ц
в случае, кщда v--+c, л==vТ==6000 км.
I\ривые изменения действующих значений напряжениЙ и тока
вдоль линии 'без потерь можно рассмотреть при комплексном
сопротивлении наrрузки Z2' ДЛЯ определения деЙствующих зна
чениЙ тока и напряжения в любоЙ точке линии целесообразно
воспользоваться уравнениями для их мrновенных значениЙ (12.36).
ДеЙствующее значение любоЙ величины определим как среднее
квадратичное за период:
U == V и 2 dt;
о
iI
1 { i 2 dt .
о
( 12.38)
Подставив в ЭТИ формулы выражения для u и i из (12.36),
можно получить:
U == ) yи т cos 2 x+z;Hm siп 2 x+ U2mzc/2m siп СР2 sin 2 x.
" 2 .
1 11 u2 , и 2 12
1 == r Нт cos 2 x + 22т siп 2 x + sin СР2 sin 2 x,
,,2
или
U == и 2 " / { 1 + ( Zc ) 2 + [ 1 ( Zc ) 2 ] COS2 x } + Zc sin%sin2 x;1
JI Z2 Z2 Z2 (12.39)
1 == 12 У {1 +( ;; )2 +[ 1 ( ;; YJcos2 x}+ ;: siп СР2 sin2 x.J
j
ПО первому из этих уравнениЙ на рис. 12.9 построен rрафик
изменения деЙствующих значениЙ напряжения вдоль линии без
потерь. наrруженноЙ на сопротивление Z2 =1=, zc' Из rрафика и
358
уравнений (12.39) видно, что деЙСТВУfOщие значения напряжения
изменяюТСЯ не по синусоидальному закону, при этом и тin =1= о.
Наибольшие значения наЩJяжения И тах получают в тех точках
линии, rде напряжения падающей и отраженной волн совпадают
по фазе (амплитуды Итахпад И Итахотр арифметически склады
ваются). В этих же точках получаются наименьшие значения
тока Imin (амплитуды Iтахпад и ImaxoTp арифметически вычитаются).
Точки, в которых И пад И И отр находятся в противофазе, COOTBeT
ствуют наименьшим значениям напряжения Итiп И наибольшим
значениям тока 1 тах' '
Uтiп
Рис. 12.9
Для иллюстрации этих положений следует воспользоваться
уравнениями длинной линии в комплексной форме, выраженными
через напряжение шщающих и отраженных волн:
(; === U е;l3х + (; e jl3x. }
пад отр'
i === (И пад/zс)ei 13Х «(; OTp!ZC) e jl3x,
. i'Ф.' j'Ф
rде И пад И паде пад, И отр == И ьтре отр, а х. отсчи ывается от конца
JIИШШ. При этом комплексные значения И пад И И ОТр представляют
в виде
(12.40),
(; (;2+zci2 . (; (;2 z i;
пад 2 ' oтp 2
(12.41)
Переходя к мrновенным значениям, из уравнеIJ:ИЙ (12.40)
получаем:
u === Иm ад S1'1 «(()t+ Х+'Фпад) + И mотр sin «(()t Х+'Фотр); I
. U mпад . ( t+ А и mотр (1242 )
l=== SlП (() t-'Х+'Фпад) siп«(()t Ах + .I, ) .
. t-' .
Напряжения падающей и отраженной волн совпадают по фазе
в точках, rде
(<Ut+ Х+'Фпад) «(()t X+WOTp) === о; 2л; 4л ...
или
откуда
2 x === 'Фотр 'Фпад + 2kл (k === о; 1; 2.. .).
х
'Фотр 'ФпаД +k !:... .
2!} 2 .
359
В этих точках
и тах == U пад + и отр ;
U пад и отр
/тiп == ==/пад /отр'
Ze Ze '
Если от каждой из указанных точек сдвинуться на раСстояние
. 'М4, то разность фаз станет равной л; Зл; 5л... и
U тiп == U пад и ОТР == / minZe;
/ тах == (Uпад/Z е ) + (UoTp/Z e ) == Umax/Z e .
Так как напряжение и тах И ток /min совпадают по фаi3е, входная
проводимость линии В этих точках имеет чисто активный xapaK
тер и наименьшее значение:
ijI
YBxmln == /тiп/U тах == Увхтiп.
При этом активная мощность, передаваемая с помощью линии,
р == U тах/ тiп.
Указанные значения тока и напряжения поВторяются через
Iшждые ').,,/2 .(рис. 12.9). В точках, напряжение которых U т1п ,
а ток / тах, входная проводимость имеет также активный xapaK
тер и наибольшее значение:
У вх тах == / тах/и min ::=; Увх тах,
В Э'том случае активная мощность
Р == Umin/max.
Степень несоrласо анности линии 'с наrрузкой характеризуется
Itоэффициентом стоячеЙ волны (к. с. в.):
к. с == Uтах/Uтlп == / тах// mln == ZeYBxmax == I/Z е Увхтiп.
Коэффициент стоячей волны можно выразить через коэффициент
беrущеЙ волны К б С помощью коэффициента отражения п:
1( и . U .- U пад + и отр 1 + (Uотр/Uпад) 1+n
с тах/ тш 1 1 .
. Uпад Uотр (UочJUпад) n Кб
, Пример 12.2. В начале двухп роводной линии без потерь ДЛИНОЙ 1 == 12 м
и волновым сопротивлением Ze == 400 Ом включен reHepaTop с Э. д. с. <ff == 2000 В
и внутренним сопротивлением ro==400 Ом; дЛина волны 1..==2,5 м. На KOHue
линии включено сопротивление наrрузки
Z2 == 640 + j480 == 8О0еiЗ6°50' Ом.
Определить ток и напряжение в наЧале и конце линии, активную. мощ
ность, поступающую в линию (мощность наrрузки), а также наибольшие и
наименьшие {действующие) значения напряжения и ТОКа в линии и их место-
расположение.
Реш е н и е. Определим комплексные значения напряжения, и тоКа в начале
Линии:
Й 1 ==й 2 cos l + jZef2 sin l;
/1 ==12 cos l + jU2lZc sin t.
,
I
360
rAe
(;2 Z2;2'
Входное сопротивление линии с НaI"РУЗКОЙ
Z2+jZctg l:"" 640+j480 j400.3,078 145e i.3°10' 145 Ом.
ZBX 640+ j480
1 + j z: tg l 1 + j 400 ( з,078)
Ток в на.чале линии
. 'ro 2000
11 dJ/ZQбщ==6/(rо+Zвх) ----: 545 =;=з,67 А.
Напряжение в начале линии "
и . Z / . == 145е iЗО10' .3 67 532е iЗО10' В
l оБЩl ' .
ТОК в конце линии
й 1
i 2 Z2 cos l + jZc siп j31
Напряжение в конце линии
U2 Z2;2==800еiЗ6°50' .1,74ei46°20' ==1392eJ83°10' В.
5З2е iЗО10'
198 j232
1,74еИ6020' А.
Мощность
Pl UlllCOSCjJl 532. 3,67 cos3°10' 1940 Вт
Р2== '2п ==640 . 1,742 1910 Вт.
Напряжения совпадают по фазе в точках, rде
'Фотр 'Фпад +k
х 2 2 .
и
При этом
U U 2 +z c 12 /2 ( Z +z ) o 87ei46°20' (1040+ 1 '480) 1000еf71005' В'
пад 2 2 2 С , , ,
и отр U2 zci2 == (Z2 zc)==0,87ei46°20' (240+j480) 47.0ei110005' В.
Тшш1li образом, Uпад IООО В; 'Фпад 71005'; UOTp 470 В; 'Фотр I1(}о05'.
39
На расстоянии от конца линии Х ('Фотр 'Фпад.>12/3== 288 0,135 м напря.
жение имеет наибольшее значение:
Umах==Uпад+Uотр == 1000+470== 1470 В,
а ток наименьшее;
lin1n
Uпад Uотр
Zc
1000 470
400
1,32 А.
Так как ток и напряжение в этих' точка совпадают по фазе, то ВJ{одная
проводимость имеет активный характер и наименьшее значение:
Увх'rniп Увхrniп==/шiп/Urnах == 1,32/1470==9. lo " См,
При этом'
р U шах! miп == 1470 . 1,32 == 1940 Вт.
Такие 'sначения тока и напряжения повторяются каждые 'Л/2 м.
На расстсянии
х
.1, .I, п 'л 2 5
'l' OTp '1' aд + o 135 + ':", ==076
213 4' 4 . м
J
361
от. конца линии напряжение имеет наименьшее значение,
Umiп JmiпZС 1,32.400==528 В,
а ток наибольшее:
J тах u maxlZc 1470/400 3,68 А,
Входная проводимость в этих точках имеет активный характер и наиболь-
шее значение:
Увхmах Увхmах JmахIUmiп З,68/528 69,7. 10 4CM.
Мощность
р u miп l тах == 528 . 3,68 == 1940 Вт.
12.6. Стоячие волны
"
Если J,I конце линии без потерь не потребляется активная
мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную
наrрузку), то в такой линии возникают стоячие волны.
При разомкнутом (/2 == О, Z2 == (0) конце линии без потерь
напряжение и ток в любой ее точке определяются с помощью
уравнений в триrонометрических функциях:
. .. . (;
u == и 2 cos. x; 1 == j sin X.
. zC,
ЕСЛ!1 (;2 == U 2 , то MrHoBeHHbIe значения напряжения и тока
вычисляются по уравнениям
u == U 2т cos X sin rot; }
i == и 2т sin X cos rot. (12.43)
Zc
Каждое из этих уравнений представляет собой произведение
двух функций, причем aprYMeHT одной из них зависит только от
времени, а друrой толь-
и,i ко от координаты. Иначе
rоВОрЯ, в любой фиксиро-
ванной точке линии напря-
жение и ток изменяются по
синусоидальным законам со
сдвиrом по фазе на чет-
верть периода. При этом
распределение напряжения
и тока вдоль линии для
любоrо момента времени яв-
ляется также синусоидаль-
ным. В результате в кон-
Рис. 12.10 ( О)
це линии х == и в точ-
ках, находящихся от конца
на расстоянии х == k ; (k целое число), напряжения имеIqТ
максимальные значения (пучности), а токи нулевые значения
(узлы). В точках, которые отстоят от конца линии на расстоянии
362
х == (2k + 1) , существуют узлы напряжения и пучности тока,
при этом узлы и пучности тока и напряжения не перемещаются
по линии.
На рис, 12.10 изображены rрафики распределения напряжения
и тока вдоль линии для различных моментов времени. При О
x ",/4; 'A/2 x 3'A/4 и т. д. ток опережает напряжение Ia
900 и отстает на тот же уrол при ",/4 х 'А/2; 3'А/4 х '"
и т. д.
u
х Л-
I
I
I
I
х I I
I I
I I
!x.t х.о z
, I
zUx.p I I-=Ф
о
..t ..t
1 1
Рис; 12.1 J Рис. 12.12
...-:-
Стоячую волну можно представить как результат налщкения
падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами. Дейст-
вительно, из уравнений (12.43)
u == и 2m sin (wt + x) + и 2m sin (wt x) == u пад + и отр ; )
. (12.44)
. 1 и 2m . ( t + Н ) 1 и 2m . ( t Н ) ' .
l == 2 ' sш w ....х 2 Sln w ....x == lпад loт p '
'
По первому уравнению (12.44) на рис. 12.11 построены кри-
вые распределения напряжений падающих и отраженных волн
для моментов времени t 1 , t 2 и t s . Суммирование этих кривых
дает стоячую волну. напряжения, ординаты которой пульсируЮ1'
с yr ловой скоростью w.
Входное сопротивление разомкнутой лини:и без потерь
r
ZBX. р == jzc ctg X ...:.... jzc ctg 2 х
является реактивным и ero знак зависит от частоты и длины
участка линии. На рис. 12.12 построен rрафик изменения вход-
Horo сопротивления для различных значений х. Из этоro rpa
\
363
фика видно, что при 0 x M4; M2 x 3M4 и т. д. линия
представляет собой емкостное сопротивление, а при ",/4 х "'/2;
. J . З",/4 x '" и т. д. индук
u{t O) l(t 4) 'U:l тивное сопротивление.
. . в точках линии, в КОТОрЫХ
существуют узлы тока и пучно
сти напряжения, линия может
БЬffЬ представлена резонансным
контуром с параллельным co
"единением емкости и индуктив
ности, а в точках, в которых
имеются узлы напряжения и
пучности тока, ту" же линию
можно представить резонансным
с последоватеЛЬ!fЫМ соединением емкости и индуктив
контуром
ности.
Прн коротком замыкании линии (и 2 == о; Z2 == о) из уравнений
(12.35) определяем: .
(; ==-jZJ2 sill рх; j ==/2 cos x.
.
В этом случае уравнения для MrHoBeHHbIx величин
и == zc/2m sin x cos wt; }
i == 12т COS x sin wt
определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих
от ее конца на расстоянии х == k'A/2, имеются узлы напряжения
и пучности тока, а в точках,
которые находятся от конца
'линни на расстоянlfИ х ==
==(2k + 1) ",/4, пучности Ha
пряжения 'И узлы тока (рис.
12.13). Входное сопротивле
ние .линии без потерь, корот-
козамкнутой на конце,
Рис. 12.13
'02.45)
X A
l,
о
ZBX. К == jzc tg x . jzc tg ( 2 х). .
Это сопротивление, так (J 1 (J 1
же как ZBX. Р' является чисто
Ь реактивиым и и зависимости. д..... д...
т длины участка х линии и
частоты w получается или ин
дуктивным, или емкостным. Рис. 12.14
На рис. 12.14 показан rpa
фик входноrо сопротивления вдоль короткозамкнутой линии, из
Koтoporo следует, что при 0 x .'A/4; ",/2 х З",/4 и т. д. ли-
ния представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает
по фазе от напряжения на четверть периода. При 'А/4 х 'А/2;
З",/4 x ", и т. д. линия представляет собой емкостное соп
364
ротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на чет
верть периода.
В тех случаях, коrда для соrласования линии с наrрузкои
необходимо включить реактивное сопротивление (чтобы не было
отраженных вол ), таким
сопротивлением может слу
жить разомкнутая или за:
короченная линия длинои
меньше 'М4. При этом дли
ну участка линии Х мож о
определить из ура нении:
для разомкнутои линии
Хе == l/ыС'== Ze ctg X;
для короткозамкнутой
линии
XL == (f)L == Ze tg X.
При чисто реактивной Ha
rрузке Z2 == + jX2 в линии
образуются стоячие волны, что вытекает из условия ЭКВИВ,алент
ности между заданным реактивным сопротивлением, включенным
в конце линии, и отрезком линии при соответствующем режиме
(разомкнутом ИЛI1\короткозамкнутом конце).,
Если .линию без потерь замкнуть I!a активное сопротивление
r 2 == Ze, то в- ней не будет отраженных волн. В результате дейст
вующие значения напряжения и тока одинаковы во всех точках
линии. На рис. 12:15 показаны
кривые распределения дейст ую
щих значений напряжений и TO
ков ВДОЛЬ линии при различных
Zz='2 (Z Z
режимах 2 == O:J; 2 == r2 == Ze
И Z2 == О). Из этих кривых вид-
но, что при разомкнутом и KO
роткозамкнутом конце линии
действующие значения напряже
ния и, тока имеют вид' - ыпрям
ленных синусоид. При этом кривые токов и напряжений для
указанных режимов как бы меняются местами (рис. 12.15, а, в).
Для линии с соrласоеанной наrрузкой действующие. значения
напряжений и токов во всех точках ЛИНИИ' одинаковы _ (рис.
12.15, б).
Линию без потерь длиной 1 == 'М4 часто используют в качестве
промежуточнOl'О элемента для соrласования режима работы дру_
rой линии и сопротивления наrрузки Z2 == Z2 == r"2' не paBHoro
волновому сопротивлению линии. Так, на рис. 12.16 показана
линия, питающая наrрузку с' сопротивлением Z2 ==-r 2 , причем для
С0rласования режима в линии с наrрузкой включена друrая
линия, длина которой l:=:; 'A/4.
. lCI
<
Линия. питию':"
щия НШРУJКУ lox
-
Рис. 12.16
И,J
, Z2=oo
/ 'о
t " +' 1 1
u . 1 z2 r2 zC
_ О
'-и Иl
...... "" /.....
l =0
\ 2
\ I 1 О
(j)
Рис. 12.15
365
Входное сопротивление. четвертьволновой линии, наrруженной
на сопротивленре 22 == r2' определяют с помощью (12.37):
+" t 2зtл
22 / c g Т 4 2
ZBX == 2с . 2зt л 22 ' (12.46)
/22 tg T 4+zc
так как tg л/2 == (Х),
Для соr.IIасования линии, питающей наrрузку, с сопротивле-
нием наrрузки необходимо выполнить условие
2 с l == 2 вх == 2 /22'
. rде 2 с l волновое сопротивление питающей линии. С.lIедовательно,
волновое сопротивление соrласующей линии
w
2с== V 2 С 1 2 2 '
(12.4 7)
В рассматриваемом случае линию без потерь длиной [== 'А/4 назы-
вают ч е т в е р т ь в q л н о в ы м т' р а н с фор м а т о р о м; так как
с ее помощью волновое сопротив
ление питающей линии как бы пре
образуется (трансформируется) в
'сопротивление наrрузки.
При комплексном сопротивле-
нии наrрузки, равном Z2' в конце
питающей линии параллельно чет
вертьволновому трансформатору
. длиной [т и сопротивлением 2т ==
.== 2с (в виде линии, замкнутой на
сопротивление наrрузки Z2) присоединяют короткоза.\1КНутую ли
нию длиной [к и волновым сопротивлением 2с == 2 к (рис. 12.17),
при этом длины линий [т и [к можно изменять. Из рис. 12.17
видно, что линия передачи будет соrласована в том случае, коrда
суммарна:я проводимость трансформатора (вместе с наrрузкой) и
параллельно соединенной с ним короткозамкнутой линией равна
величине, обратной волновому сопротивлению питающей линии;
т. е. соrласование возможно при
.
[т
lc
Рис. 12.17
1/2с== Ут+ Ук'.
(12.48)
Поскольку питающая линия без потерь, то 1/2с вещественная
ве.IIичина. Второе слаrаемое правой части представляет собой про-
водимость короткозамкнутой линии и является мнимой величиной:
У К == 7"""" jb K : Первое слаrаемое правой части в общем случае имеет
комплексное значение: У m == gm jb m .
Таким образом, равенство (12.48), распадается на два:
1/2с ==.g;"; Ь К + Ь т == О. (12.49)
Сначала находят длину [т из первоrо равенства, а затем из
BToporo равенства' по известному значению проводимости Ь т .
366
соответствующей длине 1т, определяют, длину 1к. При этом сле-
дует иметь в виду, что волновые сопротивления трансформатора
и короткозамкнутой линии в общем случае не равны волновому
сопротивлению питающей линии.
12.7. ЛИНИЯ без искажениii; измерительиая ЛИНИЯ
Сиrналы, передаваемые с помощью линий связи, обычно пред-
ставляют собой совокупность несинусоидальных периодических
или непериодических токов и напряжений. Периодические функ-
ции MorYT быть разложены в дискретный ряд Фурье на множество
различных rармоник, анепериодические функuи и представлены
в виде непрерывноrо спектра частот. При передаче сиrналов стре-
мятся получить минимально возможные искажения.
Н е и с к а ж е н н о й передачей сиrнала называют такую пере-
дачу, при которой форма сиrнала в начале. и коние линии оди":
накова, т. е. все ординаты кривой напряжения и тоня в коние
линии прямо пропорциональны соответствующим ординатам кри-
вой в начале линии. Такие соотношения имеют место в тех слу-
чаях, коrда коэффициент затухания волны, а также фазовая
скорость на всех частотах одинаковы. Неодинаковое затухание
на разных частотах вносит амплитудные искажения, а неодинако-
вая фазовая 'скорость вызывает . фазовые искажения.
Таким образом, при неискаженной передаче сиrналов требуется,
чтобы коэффициент затухания а не зависел" от частоты, а коэф-
фициент фазы был пропорционален частоте, в результате фазо-
вая скорость v == ю/ получается не зависящей от частоты. При
этом волновое сопротивление линии также не зависит от частоты.
Необходимые соотношения между параметрами линии, при кото-
рых происходит неиск аженная передача сиr налов, вы полняются при
Z ==... r ro+j(J)Lo ==... r Lo ... r (ro/Lo) + j(J) (12.50 )
с JI go + ;шс о JI со JI (go/C o ) + j(J) .
Из полученноrо выражения следует, что при Lo/C o == ro/go
волновое сопротивление Zc не зависит от частоты и равно веще-
ственному значению:
Zc == Zc == V Lo/C o == V ro/go .
(12.51)
При этом aprYMeHT (» == о; коэффициент распространения
== V(ro+ jroLo) (go+ jroC o ) == ... r rogo ( 1 + jro L o ) \ ( 1 + jro Со ) ==
. JI
== V rogo + jro V LoC o ==а+ j . (12.52)
Таким образом, если считать, что первичнь\е параметры линии
(r o , Lo, со, go) не зависят от частоты, то коэффиuиент затухания
а == V rogo ,
(12.53)
367
а КОэффИllН.ент фазы
==(i) V LoCo .
(12.54)
Неискаженная линия имеет и минимальное затухание, опре-
деляемое по формуле (12.53).
Ввиду Toro что волновое сопротивление линии без искажений
имеет только вещественную составляющую при соrласованной
активной наrрузке, напряжение и ток в любой точке линю::! сов-
падают по фазе, а отношение мrновенных значений напряжения
.и тока в любой точке линии
U/i == v Lo/C o ,
откуда
"
Loi2/2 == C o u 2 j2.
(12.55)
Следовательно, на любом' участке такой линии энерrия Mar-
нитноro поля в каждый момент времени равна энерrии электри-
ческоrо поля на том же участке.
На праКТf!ке отношение Lo/ro обычно 'значительно менЬше Co/g o .
В ре'зультате затухание', линии всеуда превышает минимальное.
Наилучшим средством для приближения первичных параметров
к оптимальному соотношению Lo/C o == ro/g o является искусственное
увеличение индуктивности путем включения в линию через опре-
деле ные расстояния индуктивныx катушек или путем применения-
кабеля с жилами, 'обмотанными тонкой лентой из материала
с высокой маrнитной проницаемостью. Однако с увеличением
индуктивности, Lo фазовая скорость уменьшается, в результате
растет время распространения сиrнала между передающим и прием-
ным пушпами линии, которое, в частности, для телефонных
каналов и систем телемеханики не должно превышать определец-
ных норм. .
Большинство линий передачи информации не обладают свой.
ствами неискажающих линий. Поэтому искажения сиrналов
устраняют, применяя дополнительные устройства типа фильтров,
корректирующих контуров, усилителей и друrих устройств, спе-
циально включаемых в линию передачи сиrналов.
Для измерения сопротивления наrрузки Z2 па высоких час-
тотах (л < 10 м) часто используют uз.мерufпeльную линию. Изме-
ряемое сопротивление наrрузки Z2 присоединяют к концу'такой
:!'ИНИИ. Затем на линии с помощью специальноrо прнбора (инди-
катора) отмечается расстояние Хl до ближайшеrо к наrрузке
минимальноrо значения напряжения. Одновременно с этим изме-
ряют величины минимально.rо (и тin ) И максимальноrо (Итак) зна-
чений напряжений (см. рис. 12.9).
Входное сопротивление линии в точке Хl с учетом сопротив-
ления наrрузки Z2
Z ( ) Z2+ jzc tg ( Xl)
8Х Хl == Zc zc+ j Z 2 tg ( xд .
(12.56)
'368
с друrой стороны, в точке с минимальным значением напря
JКения входное сопротивление
U miiJ zc1min
ZBx(Xl) == == == ZсК б . (12.57)
max тах
Приравнивая правые части равенств (12.56) и (12.57), получаем
. Z к б j tg ( Xl) 5 Я
2 ZС I jКбtg(ВХl) ' (12. '-')
Таким образом, измерив расстояние Хl от конца линии до
БЛИJКайшеrо минимальноrо напряжения и определив коэффициент
беrущей волны Кб' можно определить комплексное значение сопр,О-
тшзления Z2 наrрузки измерительной линии по формуле' (12.58).
'-
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫИ
ОСНОВНЫЕ, СВОЙСТВА И МЕТОДЬ!
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С НЕrАРМОНИЧЕСКИМИ'
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ
rЛАВА 13
АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕИНЫХ ЦЕПЯХ
С НEfАРМОНИЧЕСКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИСТОЧНИКАМИ
"
13.1. rармоническиii анализ и разложение функции
.[Iюбая периодическая функция. удовлетворяющая условиям
Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число раз-
рьшов первоrо рода и конечное число максимумов и минимумов),
.
[(t)==[(t+T)
может быть представлена в виде бесконечноrо триrонометрическоrо
(rармоническоrо) ряда: '
со
[(t) ==Ао+ A km sin (!wJt + 'Фk),
k 1 -
rде A постоянная составляющая; k номер (поря. ок) rармоНИКИ;
A km амплитуда k й rармоники; 'Фk начальная фаза k-й rармоники.
. Таким образом, несинусоидальная периодическая функция пред-
ставляет собой сумму синусоид кратных частот [k == k[ 1 С на чаль
ными фазами 'Фk. rде [1 == 1fT основная частота.
Поскольку каждая rармоника может иметь свою амплитуду и
начальную фазу, то тот же ряд МОЖlj:О представить в виде сумм
синусоид и косинусоид, каждая из которых имеет нулевую началь-
ную фазу:
00 00
[(t)==Ao+ Akmsinkffit+ Akmcoskffit,
k l k 1
rде (Akm)2 + (Akm)2 == A т; Akm/Akm == tg'Фk' 'При A km < О yrол 'iJik
находитсЯ в пределах О 'Фk 11:, а при A km < О в пределах
1I: 'Фk 211:, т. е.
A km == Akm COS 'Фk; A km == A km sin 'Фk.
С помощью комплексных чисел функцию [(t) можно представить
в виде
,[(t)==Ao+ j 2 ( ! .Akf!k(j)t i: Ake jk(j)t ) ,
k 1 k 1
rД
А . Akm e f1jJ k o
k J!2 '
* k
Ak == y e /1jJk
комплексные значения синусоидально изменяющихся функций
(rармониЮ. Наконец, функцию f (t) можно записать в слеДJ:Oщем
виде:
со
1
f(t)==Ao+ iJ/2 . Ake/k(jJfo
k co
k-:j:.О
Постоянная составляющая является средним значением функ-
ции за период основной частоты:
т
Ao== f(t)cii,
О
так как среднее за период значение вращающеrося вектора
т k2л;
СА dk(jJf dt == \' .A k e fkWf d ( kro/ ) == О
т J k '. k2л: J .
о о
rраФItчески полученный интеrрал может быть представлен в виде
окружности радиуса A k /k2n.
Комплексное значение любоЙ rармонической составляющей
т
.А, == \' f ( / ) e fkWf dt
,l J/2T"J '
О
если функци.я f Ш Bыp eHa в ком.плексной ФОР!V1е. Действительно,
поскольку 'elq(jJfe lk(jJf . е ' (q k) ш! ? e 'kWf e /q(jJf == e l (q k) (Jjf, то только
при q == k получаем (} (q k) ш! == e l (q k) ш! == и, следовательно, только
одно слаrаемое после умножения на e lkWf и в результате инте-
rрирования не обращается в НУЛl,,: с
т
.Akefk(jJte /kWf dl == .A k .
О
Таким способом может быть выполнено разложение заданной
функции f (/) в rармонический ряд. Ту же операцию разложения
можно выполнить и в триrонометрической форме:
. 1[ 12сn
Akm == т J f (/) cOS (kro/) dl == kл: J f и) cos (kro/) d (kro/)1
О О
Т 2kл;
A km == f (t) sin (kro/) dt == k f (1) sin (kro/) d (krot).
. о о
871
ИзвестеА ряд приближенных методов разложения ФУНКЦИЙ
в rармонический ряд. Практически удается оrраничить разложение
в ряд несколькими rармониками, сумма которых отображает
заданную функцию.
Для иллюстрации этоrо положения целесообразно рассмотреть
цепь, содержащую постоянное сопротивление и идеальный выпря
u,i
i
t
"
/
..
о)
Рис. 1.3.1
митель при синусоидально изменяющемся напряжении. В заданных
условиях можно считать, что ТОЕ i (t) изображается ОДНОЙ полу
ВОЛНОЙ синусоиды (рис. 13.1, а) с амплитудой 1т:
ё== { lmSiПffit при O t Тj2
О при T/2 t Т
или
. { "" (е ' Ы! e j(jJf) при
l == J2
О при
о t Т/2;
Тj2 t T.
Тоща
:n
I . J
I == (е'м e I(fJ/ ) d ( ffit ) == ....2!!....
о J4:n; , :n;'
о
:n
I k j ; (e ' (jJt e '(jJf) e jk(jJf d (ffit).
о
$В
результате получается следующий ряд:
'== 1т + 1т t 2 ( COS2(j)t + COS4(j)t + )
l :n; 2 S10 ffi :n; 1 .3 3.1) . .. .
372
',"
На рис. 13.1, б 'показаны постоянная составляющая, первая,
вторая и четвертая rармоники, а также суммарная кривая i
== 10+ i 1 + i 2 + i 4 , которая
достаточно хорошо совпа
дает с заданной функцией.
При разложении перио
дическИх функций на rap
моники следует иметь в
виду условия симметрии.
. 'Если ФУНКllИЯ нечетная,
т. е. имеет симметрию OTHa
сительно начала координат
(рис. 13.2, a):f (t) == f
х ( i), то rармоническии
ряд ДOJDКeH состоять из
синусоид с начальными фа
зами 'Фk == О. Если функ
ция четная, т. 'е. имеет
симметрию относит ьно
оси ординат (рис. 13.2, б):
f и) === f ( t), то rармони
ческий ряд должен co
стоять из синусоид с Ha
чальными фазами 'Фk === л/2.
Если функциясимметрич
на относительнЬ оси абс
цисс (рис. 13.2, в), т. е.
f (t) === f (t + л), то rap
монический ряд должен состоять из rармоник 'нечетноrо порядка:
k 28 + 1, rде s целое число. Если функция одновременно сим
метрична как относительно оси ординат, так и относительно оси
абсцисс, то rармонический ряд должен состоять только ИЗ сину-,
соид нечетноrо порядка.
t
,UJt
О)
Рис. 13.2 '
13.2. Расчет установивwихся процессов в пинейных цепях
.
Разложение периодических функций на rармоники позволяет
рассматривать действительный несинусоидальный установившийся
режим в линейных цепях как совокупность взаимно налаrающихся
синусоидальных режимов кратных частот. Например, если перио
дическая функция э. д. с., действующей в цепи, несинусоидальна,
то можно считать, что одновременно действует целый ряд сину.
сщщальных э. д. с. кратных частот:
е (t) :;= 6"0 + f (rff keikWf ; ke jk(fJf ). .
1 J!2 k 1. .
Для каждой э. д. с. должны быть известньi частота, kro (номер
rармоники) и комплексное значение э. д. с. 6" k' Если цепь линейна,
373
то действие каждой э. д. с. можно рассматривать отдельно. При
этом для каждой rармоники э. д. с. цепь следует представитъ в виде
эквивалентной схемы схемы замещения с соответствующими пара
метрами. Эквивалентные схемы, составленные для каждой из KpaT
ных частот, получаются при этом взаимно независимыми. В каждой
схеме токи и напряжения имеют ту же частоту, что и все актив
ные параметры токи источников тока и э. д. с. Найденные при
этом токи и напряжения опредеЛЯlQТ частичный рабочий режим
цепи. Результирующие токи и напряжения для какоrо либо участка
цешi MorYT быть, определены путем суммирования всех rармоник
по принципу наложения.
Для каждоrо частичноrо синусоидальноrо режима справедливы
законы электрическоrо состояния цепей:
для узло
1'.) k == 1: j k,
для контуров
1: Z k i k== L tff k .
Поэтому ДIIЯ расчета цепей применимы методы контурных токов,
узловых потенциалов, преобразования цепей и т. д.
Таким образом, расчет несинусоидальных режимов для линей
ных цепей сводится к расчету ряда синусоидальных режимов
кратных частот и суммированию rармоник. . .
в случае последовательной rLС цепи для k й rармоники ТOKa.lk
в комплексной форме справ-едливы следующие выражения:
. u k Uk
lk==
r+jkwL+ j C r+j (kWL k C )
или
. u k Uk
lk== ==
Zk zke ;rpk '
rде:
Zk == 11 2 + (kroL k C У; tg ff>k == kwL l/kwC) .
При этом для k == О полное сопротивление Z (О) == 00, так как
наличие конденсатора приводит к размыканию цепи при постоян-
ном токе.
' 13.3. Особенности несинусоидальных режимов
Сопротивления отдельных ветвей любой цепи различны для
.разных частот. Прежде вcero это относится к реактивным сопро-
тивлениям и проводимостям, ,так как реактивное сопротивление
ветви с постоянной индуктивностью L Хн == k,(oL, а реактивная
проводимость ветви с постоянной емкостью С b kc == kroC.
374
Для ветви, обладающей значительным индуктивным сопроти
влением' на основной частоте (по сравнению с активным сопро-
тивлением), относительная величина каждой высшей rармоники
напряжения больше, чем У тока. Наоборот, для ветви, обладаю-,
щей большой емкостной проводимостью на основной частоте (по
сравнению с активной проводимостью), относительная величина,
каждой высшей rармоники тока больше, чем у напряжения.
Для пояснения отмеченных положений следует рассмотреть
простейшие примеры. u
Пусть напряжение, приложенное к индуктивнои катушке, неси-
нусоидально. При этом с помощью, rармоническоrо анализа уста-
новлено, что если амплитуда основ-
ной rармоники напряжения COCTaB щt)
ляет 100%, то амплитуда третьей
rармоники.,..... 15%, амплитуда пятой
rармоники 10%. ]Jоследующие rap
моники имеют меньшце значения и не
принимаются во внимание. При оп-
ределении состава rармоник тока ак-
'I'ивным соп р отивлением можно пр ене-
i ( t )
бречь.
Для определения составляющих
rармоник тока ток основной rapMo-
ники можно принять за 100%. Tor-
да амплитуда третьей rарМ:оники тока
составляет 15 : 3 == 5%, амплИтуда
пятоЙ, rармоники 10: 5 == 2%. Та-
ким образом, форма кривой тока
оказывается ближе к синусоиде, чем
форма кривой напряжения. Иначе ro-
воря, индуктивность как бы сrлажи-
вает кривую тока, приближая ее к
синусоидальной форме. -
Если цринять напряжение на ем-
кости имеющим' такую же форму, как
на катушке, то можно показать, что
кривая тока в емкоёти искажена силь-
нее, чем кривая напряжения. Действи-
тельно, пусть ток основной rармоники составляет 100%. Тоrда
амплитуда третьей rармоники тока составляет 15.3 == 45 ампли-
туда пятой rармоники 10.3 == 30%. На рис. 13:3, а, 6 CTpoeHЫ
кривые н.апряжения и тока в емкости за одну половину периода
при указанных соотношениях в амплитудах. Начальные фазы
у cex составляющих напряжения приняты равными нулю, а у каж:'
дои rармоники тока начальная фаза равна л/2 (каждая состав-
Ляющая тока опережает по фазе соответствующую rармонику
напряжения на уrол л/2). Из сравнения кривых напряжения и
тока следует, что форма кривой тока в ветви с конденсатором '
ОТличаетс от синусоидальной; форма же кривой напряжения на
t
. t '
о)
Рис. 13,3
375
емкости менее искажена. Иначе rоворя, емкость искажает кривую
тока и сrлаживает кривую напряжения *.
в пределах каждоrо частичноrо режима (для каждой rapMo
ники) в электрической цепи MorYT возникать резонансные явления:
i резонанс напряжений при после
довательном соединении индук
ТИвности L и емкости С, коrда
ХН === XkC или kroL === l/kroC, и pe
зонане токов при параллельном
соединении ИНДУКТИВНQCти L 'и
емкости С (при малом активном
сопротивлении ветвей), коrда
bkL===b kc или. l/kroL===kroC. .
, t В таких случаях форма кри
, вой напряжения (при резонансе
напряжеНI;IЙ) или тока (п'ри pe
З0нансе токов) может отличать
сяот синусоидальной даже при
почти синусоидальных измене
ниях внешних возмущающих
воздействий. При этом опреде
ляющей является составляющая
той rармоники, частота которой
равна (достаточно близка) ча
стоте собственных колебаний соответствующеrо эквивалентноrо
контура. Иноrда П}JИ резонансе возникают такие нежелательные
явления, как перенапряжения.
.
т
Рис. 13.4
Пример 13.1. В неразветвленной цепи, состоящей из активноrо сопротивле
ния r==5 Ом, индуктивности L==1 Mr и емкости С===1 мкФ. действу т неси-
нусоидальная э. д. с.
е== [100 sin wt+ 10 (sin 3wt+sin 5wt») В.
при основной частоте 11 == 1000 ru. Оп,ределить ток в цепи.
Реш е н и е. Для первой rармоники
. X 1L ==2л/l L ==6,3 Ом; ХlC== 2Л IС == 159,3 Ом.
Поэтому составляющая тока основной частоты практически определяется
емкостным сопротивлением:
11т
100
159!3 6,3
0,7 А, или i l ==0,7 sin' ( wt+ ) А.
Составляющая тока тр ьей rармоники при Х ЗL 18,8 Ом и х зс ==53,1 Ом
также в большей мере определяется емкостным сопротивлением:
1зm 53, 1 18,8 ==0,3 А, или i з ==0,3 sin (з t+ )А."
-'1
* Активное сопротивление ветви также изменяется при изменении частоты.
ОДНЩЮ эта зависимость определяется более С./lожными физическими явлениями
и поэтому .излаrается в теории электромаrнитноrо поля при рассмотрении
nOBepXHocTHoro эффекта.
"
376
Составляющая тока пятой rармоники при ХоТ. ==31,5 Ом и х ос ==31,9 Ом
почти полностью определяеТся активным сопротивлением, так как I X"L XoC I ==
== '3I,5 31,91 ==0.4 r:
, 10
/5m==т==2,0 А, иЛИ i5==2 sin 5wt А.
Таким образом, с точностью до пятой rармоники' ток в цепи
i==i 1 +i з +i 5 ==О,7 cos wt+0,3 sin (з wt+ )+2 sin 5wt.
В результате резонанса напряжений ток пятой rармоники оказывается
значительн'о больше токов rармоник на друrих частотах (рис. 13.4).
Чем меньше активное сопротивление, тем резче выявляется резонансный
эффект. Кривая результирующеrо тока i ==i 1 +i3+i5 почти повторяет кривую
тока пятой rармоники.
13.4. Деи!Пвующие 8начения несинусоидальных ТОКОВ
и наПРЯЖ8!:шli; коэффициенты. характеризующие форму
кривых тскев и напряжении
Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
определяют так же, как и для синусоидальных токов и напря
жений:
'.
1 === -v + i 2 (t) dt;
о
U === -v + { и 2 (t) dt.
о
Если представить несинусоlfдалыj:юю периодическую функцию
rармоническим рядом, -то
т -v Л т, + I 2 ( / ,&'" , .т ," j'" )]'dt. .
Так как интеrралы вида
т
+ (i ke/kwt j ke ikwt) dt === П,
о
а все остальные 'интеrралы равны нулю (каждый из них rрафи
чески может быть представлен в виде замкнутой окружности), то Ток
l==-'! д
, v k O
и. следовательно, напряжение
U ===-. f " Ut.
V k O
Таким образом, действующее значение тока (напряжения) равно
квадратному корню из суммы квадратов действующих Значений
-,,' 377
всех rармоник. В случаях нечетных функций постоянная состав-
ляющая отсутствует -и ток
1 === V I + п '1'
rде слаrаемое I . '1 учитывает действие всех высших rармоник.
Иноrда для характеристики формы кривых токов (напряжений),
симметричных относительно оси абсцисс, пользуются следующими
величинами: коэффициентом формы, коэффициентом амплитуды и
.коэффициентом искажения. '
К о э Ф Ф и ц и е н т о м фор м ы называют отношение действую-
щеrо значения функции А к ее среднему (по абсолютной вели-
чине) значению за половину периода Аср:
К ф === А/ Аср.
Д " u Ф
ля синусоидальнои ункции
К ф === л/2V2 === 1,11.
К о э Ф Ф и ц и е н т о м а м п л и т у Д ы называюr отношение мак-
симальноrо значения функции А тах к ее действующему значению А:
... : Ка==Аmах/А.
T
ДЛЯ синусоидальной функции Ка === V 2 === 1 ,41.
К оэ Ф Ф и ц и е н т и с к а ж е н и я определяют как отношение
действующеrо значения основной rармоники Аl к действующему
значению функции А:
К И === A1jA.
Для синусоидальной функции К и === 1.
13.5. МОЩНОСТЬ при несинусоидальных токах и напря>!<ениях
Мrновенная мощность при несинусоидальных токах и напря
жениях
р === ui === [ и 0+ . 1 2 ( (; kejklJ)t f (J ke jkrot )] Х
{J! k 1 k 1
X [ /O+ j ( ! iqdqrot iqe jqrot )] ===
q 1 q 1
CD
== и 0/0+ 2 2: и О (i q€!qrot i qe jqrot) +
f q 1
CD
+ ..112 10 (и kefkrot (J ke ;krot)
/У.&. k 1
00
((; k efkrot (; ke ;krot) (i e;qrot j e ;qrot ) .
2 . q q
k. q 1
378
Так как при k == q произведение efk(fjt е /qюt == 1, то активная
мощноСть
P==Uo1o+ i: (Ukjk.+Uk!k)==Uolo+ i Uklkcosf[Jk.
k 1 k 1
В пределах каждой 'тармоники наряду с понятием активн й
мощности P k == и k I k cos 'Р!< используют онятия полной Sk == О k/ k
и реактивной Qk == U k I k sш f[J-k мощностеи. Суммирование значений
. активной мощности можно производить только для характеристики
процессов в цепи, происходящих в течение целоrо числа периодов
основной частоты. Такое суммирование можно ПРОИЗводить как
в пределах Каждоrо частичноrо режима для одной частоты:
P kC == Pk'
так и для нескольких частичных режимов:
Р С == PkC'
Для замкнутой цепи при несинусоидальном режиме P kC == о;
РС == о.
Суммирование значений реактивной мощности имеет смысл
только в пределах каждоrо частичноrо режима (Д,1IЯ определенной
частоты): QkC == 1: Qk. Для всей замкнутой цепи QkC == О (как и
для цепи с синусоидальным током).
13.6. Влияние Индуктивности и емкости на форму кривых тока
и напряжения в разветвленной цепи
Зависимость реактивных (индуктивных и емкостных) сопро-
тивлений и проводимостей от частоты может ИСПОJIЬ30В ТЬСЯ дЛЯ
изменения формы кривой тока (напряжения). Часто требуется
выделить действие э. д. с. (тока ис .
ТОчника тока) одной частоты или,
наоборот, устранить действие э. д. с.
(тока источника тока) определенной
частоты. При этом, как уже было
отмечено, учитываются условия ча-
СТИЧноrо резонанса токов или напря-
жений.
Допустим, что в разветвленной
цепи (рис. 13.5) действуют две э. д. С,"
С одинаковыми амплитудами, но с частотами, отличающимися
друr от друrа в 1000 раз. Необходимо СQЗ,l(ать такие условия,
при которых в одной из ветвей ток пропорционален напряжению
с меНьшей частотой, а в друrой ветви с большей.
Для решения поставленной задачи достаточно иметь в одной
ветви Индуктивность L, а в друrой емкость С. Поскольку
. реактивное сопротивление, обусловленное индуктивностью, про-
е 2
'i
L
Рис. 13.5
379
порционально частоте, то при большей частоте оно в 1000 раз
больше, чем при меньшей, а для реактивноrо сопротивления,
обусловленноrо емкостью, наоборот. Поэтому приближенно (пре
небреrая акт вными сопротивлениями '1' '2 И (3) можно считать,
что в' ветви с индуктивностью отсутствует составляющая тока
с большей частотой, а в ветви с емкостью с меньшей частотой.
Следует также рассмотреть случай, коrда в цепи действует
несинусоидальная э. д. с., содержащая весь спектр rармоник.
При этом требуется в одной из ветвей создать такие условия,
при которых ток в ней был бы практически пропорционален э. д. с.
'некоторой определенной частоты ffik; в друrой ветви, наоборот,
необходимо исключить возможность появ
ления токов данной частоты. Для этоrо в
первую ветвь последовательно включаюr
[ 2 катуш}{у с индуктивностью L 1 И KOHдeH
сатор с емкостью С 1 (рис. 13.6), причем
необходимо выбрать их так, чтобы индук
тищюсть была достаточна велика, а eM
Рис. 13.6 кость мала (сравниваюrся сопротивления
.. kffiL и ljkroC). При этом собственная частота
колебаний должна равняться заданной частоте, т. е. tk == lj2л -v LC:
В таком случае при ffik == kffi реактивные сопротивления взаимно
компенсируются; при друrих частотах одно из сопротивлений
настолько велико, что ток соответствующей частоты практически
отсутствует. Во вторую ветвь п'араллельно включают катушку
с индуктивностью L 2 И конденсатор с емкостью С 2 . Величину
емкости и индуктивности выбирают так, чтобы при заданной
,частоте ffik наблюдался резонанс токов. В этом случае при ffik == kffi
:;Jквивалентное сопротивление катушки и конденсатора весьма
велико и ток в ветви отсутствует.
Пример 13.2. Найти ток i в схеме на рис. 13.5, если
e2 0; e1==(30+l<5 sin wt+l0 sin Зыt) В;
'1 == 1 Ом; '2==0,5 ом; wL== 1 ом; l/ыС==9 ом; (з==0.
Реш е н и е, Постоянная составляющая тока, замыкающеrося через ИНДУК-
тивность,
lo=='tffo/Z (0)==30/1,5==20 А.
Комплексная амплитуда тока основной частоты
/ 6\т 15 5 /33036'
1т== Z(jw) 1,63+jl,09==7.,6 е А.
Комплексное сопротивление цепи для третьей rармоники
. «(2+ j3wL) ( j ) .
Z(JЗw)=='l+ . ( 1 ) ==19 J3 Ом,
. '2+] 3ыL 3ыС '
КQмплексна амплитуда тока третьей rармоники
, 1 {/зт 10 == О 52 i8°54' A
'вт Z (j3w) 19 jЗ ' е .
I\
'"
MrHOBeHHoe значение CYMMapHpro тока
i=lo+il +i з =:,20+ 7,65 sin (rot 33°36')+O,52 sin (3rot+so54') А.
В сравнительно простых схемах, установившееся зна':ение
периодической функции тока, (напряжения) может быть получено
не только в виде суммы rармоник, но и в более удобной анали
тической форме, справедливой для оriределенноrо интервала,
например ДЛЯ' полупериода. Для рассматриваемnr() 'интервала
дифференциальное уравнение u запи
сывается относительно искомои функ 1J(t}
ции (напряжения, тока). Решение
этоrо уравнения _ будет содержать
неихвестное начальное значение функ
ции, 'которое определяют Щ! условия
периодичности.
Пусть, например, неразветвлен
ная цепь состоит из последовательно
соединенных активноrо сопротИвле
,ния r и конденсатора с емкостью С. На зажимах цепи действует
знакопеременное напряжение в вИде прямоуrольных ИМПУЛЬСОВ с
периодом Т (рис. 13.7). Требуется найти закон изменения' Ha
пряжения на конденсаторе ис и ток i в цепи.
Для первоrо полупериода справедливо уравнение
. du c
ис+Н==и. или uc+rC dT == и,
решение KOToporo имеет следующий вид:
- ис == И + Ae tlrC.
При i == О ис == ис (О). 'Следовательно, А == ис (О) и. Кривая
напряжения на конденсаторе ис, так же как и заданная кри
вая- u (t), симметрична относительно оси времени и должна быть.
непрерывной при наличии eMKocTHoro элемента. Таким образом,
u с(Т/2) == ис (О), что приводит К уравнению
ис ( :; ) == u + [ис (О) И] e TI2rC'=== ис (О),
и
D
. ,1:. r
l.r t
2
РИС. 13.7
ОТКуда
rде а == T/2rC.
Окончательное выражение. для' наПряжения на конденсаторе
в первом полупериоде имеет вид
[ 2 t/"t J [ 2 а ]
uс==и 1 ==и 1 e tl"t
l+e a l+еа,
a 1
ис (О) == И : a=;: l '
[де 7: == rC.
. Т ак как ток в цепи
. du c
Муле L==C
dt '
выражается, через щшряжение по фор
получаем
. и 2e tl"{ и 2е а
L== == e Ц"!;
r (l +e a) r (1 +e )
381
в течение BToporo полупериода кривые напряжения \ ис и
тока i имеют тот же ВИД, но противоположные знаки. Получен
ные выражения для ис и i определяют решения в замкнутой
форме.
13.7. Несинусоидап ные режимы 8 симметричных
f,лноrофаsных цепях
Для анализа процессов в мноrофазных цепях целесообразно
рассмотреть симметричные трехфазные цепи, в которых условия
возникновения и существования ВЫСШИХ rармоник одинаковы для
всех фаз, что ВОЗМОЖНО, например, при включении одинаковьiх
нелинейных элементов в каждую из фаз симметричной МНоrо r
фазной цепи (между каждой фазой и нейтралью) или в трехфаз
ных reHepaTopax с симметричной маrнитной системой, а также
при симметричном расположении обмоток и одинаковом ЧИСJ!е
ви ков. Кривые изменения во времени фазных токов (напряже
ний) одинаковы по величине, но сдвинуты по фазе на (5/т) ю часть
периода основноЙ частоты, если s любое целое число, а т
число фаз. На частоте k й rармоники этот сдвиr по фазе YBe
личивае1'"СЯ в k раз.
Для симметричной трехфазной цепи (Ао === О) параметры режима
можно записать в следующем виде:
для фазы а
ro
f ( t ) === А e;krot.
а iV2 k ·
k ro
для фазы Ь
со
f ( t ) ==:: "\1 А ejkffita2k.
ь iV2 k ,
k co
для фазы с
ro
f ( t ) == А ejl/OJtak
с iV2 k ,
k oo
2'"
i
rде а == е 3 оператор поворота вектора на комплексной плос-
кости или оператор изменения aprYMeHTa комплексноrо числа.
Так как a 3S == 1, то при k == 35 соответствующие rармоники во
всех фазах совпадают не только по величине, но и по фазе.
т. е. в любой момент времени имеют одинаковые мrновенные
значения. Следовательно, эти величины составляют систему нуле-
ВОЙ последовательности. Аналоrично при k == 38 + 1 получается
система величин прямой последовательности, а при k == 35 + 2
система величин обратной послеДовательности.
Таким образом, в симметричной трехфазной системе вторая
rармоника величин составляет систему обратной последователь-
ности, третья нулевой. четвертая прямой. пятая обратной,
382
шестаЯ нулевоИ и т. д. Распределение этих rармоник в MHoro-
фазнОЙ цепи происходит в соответствии с указ нными УСЛОВИЯМИ
ля составляюЩИХ разных последовательностеи. Во мноrих слу
аях в напрял-ениях reHepaTopOB и трансформаторов отс) ствуют
е только постоянные составляющие, Но и все четные rармоники.
Поэтому в дальнейшем рассматриваются' только нечетные COCTa
вляющие. Если, обмоткИ трехфазноrо reHepaTopa соединены вез
ДОИ, то при несинусоидальном фазном напрял-ении ЛI неиные
напряжения, равные разностям соответствующих фазных напря
л-ений, Не содержр.т rармоник, кратных треМ, так как они
образуют нулевуЮ последовательност!' и при вычитании их раз
насть равна нулю. Поскольку в линеиных напрял-ен ях OTCYTCT
вуют rармОНИКИ, кратные TpeM то отношение линеиноrо напря-
женИЯ к фазному меньше VЗ. Д ействительно, если фазное
напрял-ение и ф == V vi + щ + U +. . ., то инейное напрял-ение
U л == узVVi+Щ+..., откуда U J JU ф <V 3 '
Ifi
Рис. 13.8
е АС \
А
При симметричной наrрузке, соединенной звездой, фазные'
токи основноЙ составляющей и всех ВЫСШИХ rармоник, за > исклю
чением rармоник, кратных трем, образуют системы прямой и
'обратной последовательностей и их сумма равна нулю. [армо-
ники порядка, KpaTHoro трем, образуют систему нулевой досле-
Довательности И при наличии нейтральноrо провода создают
в нем ток, равный утроенной сумме токов высших составляющиХ
нулевой последовательности (рис. 13.8):
IN==3 VI + n+П5 +....
При ОТСУТСТВИИ нейтральноrо провода токи нулевой последо-
вательности в каждой из фаз равны нулю. Поэтому мел-Ду
нейтралями rеиератора и симметричной наrрузкой возникает
напрял-ение
UN==VЩ+И+ и 5+""
rде U з , и 9 , иH,'''' напряжения третьей, девятой, пятнадцатой
и т. Д,. rармоник фазноrо напряжения reHepaTopa. При соедине-
нии фаз трехфазноrо reHepaTopa треуrольником сумма э. д. 9.
основной и rapMoHIiК, не кратнЫХ трем, всеrда равна нулю.
383
Так как rармоники э. д. с. [ен.ератора, кратные трем, равны
друr друrу и совпадают по фазе, то их сумма равна утроенной
величине ВЫСШИХ rармоник порядка, KpaTHoro трем. Для изме
рения этих rармоник можно разомк
нуть обмотки [енератора и между ДBy
мя концами вкЛЮЧИТЬ вольтметр. (рис.
J 3.9), который и покажет искьму ю э:' д. с.
6" === 3 V 6" + 6" + 6"io +.. .'
Если обмотки reHepaTopa соединить
в треуrольнИК (рис. 13.10), то Э., д. с.
нулевой последовательности вызывают
внутренний ток в обмотках reHepaTopa.
Этот ток существует и при отсутствии
наrрузки, т. е. при разомкнутой Бнеш
ней цепи. При этом напряжения на зажимах треуrольника не
'имеют составляющИХ нулевой последовательности, так как э. д. с.
нулевой последовательности, вызывающие ток в треуrо.ТIыi:ике,
равны падениям напряжений на внутренних сопротивлециях об-
моток reHe1JaTopa.. В данном с лучае .
И Ф === ИЛ === -VИ+И+И +....
А
,
;:,s
«>
I::::i
:t:
'"
Рис. 13.10'
Если к зажимам обмоток rеиератора (рис. 13.10), соединенных
треуrольником, присоединить наrрузку, то вследствие отсутствия
в нап'ряжениях rармоник нулевой последовательности токи
во внешней цепИ не имеют rармоник, кратных трем. При сим-
метричной наrрузке
J ф === Vп+н+п+...; J л === -VЗ V П+fij+J +... .
Таким образом, отношение линейноrо тока к фазному
Jл/Jф<VЗ.
Внесимметричной трехфазной системе токи (и напряжения)
фаз каждой из rармоник Moryт быть несимметричнымИ. При этом
разложение системы токов (напряжений) кащдой rармоникИ на
симметричные составляющие в общем случае приводит К возник-
новению токов (напряжений) всех трех последовательностей.
/'
rлАВА 14
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬ ТРОН
14.1. ООНО8ные понятия и опредепения
Элект р и че с к и М фи л ьт р ОМ называют четырехполюсник,_
предназначенный для выделения (пропускания) сиrналов опреде
l7IеннОЙ (заданной) частоты. -
'Существуют различные способы классификации фильтров.
В зависимОСТИ .от пропускаемоrо спектра частот фильтры под
разделяют на четыре основных вида:
1) ф-ильтры нижних частот (низкочастотные) ФНЧ, про
пускающие сиrналы в диапазоне частот от Юl == О до (рис. 14.1, а);
2) фильтры верхних частqт (высокочастотные) ФВЧ, про
пускающие сиrналы в диапазоне частот от ЮlДО Ю2 == со(рис. 14.1, б);
3) полосовые (полосно пропускающие) ПФ, ПРОf!ускающие
сиrналы в диапазоне частот от Юl ДО Ю2 (рис., 14.1, в);
"t. J . f w
I
CJJz CJJ Ы, W 2 =ОО
а) OJ
. f CJJ
I I
UJ, UJ2 UJ, CJJz (u
6) 2)
Рис. 14.1
4) заrраждающие или режекторные (по.tIосно задерживающие)
ЗФ, . про пускающие сиrналы в диапазоне частот от О ДО Юl И
от Ю2 ДО со (рис. 14.1, е). '
В зависимости от типов элементов, из которых составлены
фильтры, их делят на: ' i.i
. а) реаКТИвные, состоящие из элементов L и с;
/ б) пьезоэлектрические, состоящие r лавным образом из квар-
цевых пластин;
, в) безындукционные пассивные, состоящие из элементов r и С;
[) активные rС фильтры и др. .
Очень часто фильтры классифицируют по способу соединения
элементов: r ,Т ,П образны , мостовые и др. По виду частотных
характеристик фильтры подразделяют на фильтры типа k и т.
Каждый фильтр должен удовлетВС?РЯТЬ определенным требова
Ниям, которые проще Bcero установить применительно к идеаль
ному низкочастотному фильтру.
_ На рис., 14.2 фильтр условно. изображен в виде четырехполюс-
НИКа с напряжением на входе u 1 и сопр.отивлением наrрузки Zи
Цри напряжении на выходных зажимах и 2 . Пусть фильтр пропу-
СКает сиrналы низкой частоты от Юl'== О до ffi == Ю2' Комплексный
13 п/р. Иоикииа, т. J
385
коэффициент'передачи наПРЯ1Кения
К (jю) === (;2/(;1 == (;2/(А(;2 + Bi 2 ) == ZH/(AZ H +В),
(14.1)
rде А, В, ZH параметры, зависящие от частоты.
Комплексный коэффициент передачи мо1КНО представить в виде
К (jю) ===К (ю) eiФ(ffi), (14.2)
rде К (ю) амплитудно-частотная характеристика (А ЧХ); <р ю)
фазо частотная характеристика (ФЧХ). В полосе пропускания
для идеальноrо фильтра справедливо равенство и 1 == и 2 , т. е.К (ю) ==>1
=== 1. При этом сиrнал СЛО1Кной формы не ДОЛ1Кен искажаться.
n
Если напрЯ1Кение на входе и1 === U km sin (kЮ1t + 'фk) для ПЮ1 Щj,
k 1
то сиrнал не иска1Кается, при К (ю) === 1 и <р (ю) , 'tю,
т. е. при линейно'й фазочастотной характеристике. Действи-
тельно, сдвиr фаз k и rармоники раВен 'tkю 1 , что эквива-
лентно СДБиrу во времени 'tkЮ1/kffiз. == 't. 'Иначе rоворя, ка1Кдая
rармоника, проходя через фильтр, запаз-
дьшаer на одно и то 1Ке время 't, поэтому
форма сиrнала не меняется. На рис. 1 4.3,а, б
даны амплитудно частотная и фазочастот-
ная характеристики фильтра. Для идеаль
Horo фильтра вне полосы пропускания сиr-
налов К (ю) === О и форма фазочастотной
характеристики МО1Кет быть любой,
При cor ласованной наrрузке комплекс-
нь'Iи КОЭффИЦI ент передачи наПРЯ1Кения
К (jю) == (;2/(;1 == e g === e ae jb.
В полосе пропускания коэффициент
sатухания а === О, а коэффициент фазы Ь
изменяется по линейному закону (рис.
14.4, а, б). Если в полосе пропускания
К (ю) зависит от частоты, а ФЧХ не ли-
JIейна, то возникают амплитудные и фазовые иска1Кения. На рис.
14.5, а показана кривая изменения мrновенных значении апря-
i, i1 i z
.......р.
и,! ....
rpнч zlf
Рис. 14.2
U
ш,
(uz
О)
I
(;), Ш 2
oj
Рис. 14.4
386
(Ul (;J2 (;) Ы, (uz i w
I '
tI) 5; j
Рис. 14.3
(U
w
жения на ВХОДНЫХ зажимах фильтра иl от времени, определяемая
следующим выражением:
иl == sin (J)t+ sin 3(J)t.
Пусть на выходных зажимах напряжение вследствие влияния
параметров четырехполюсника определяется в одном случае
{рис. 14.5, б) так:
и2 ==sin (J)t + sin 3(J)t,
а в друrом с учае (рис. 14.5, в) уравнением
" . t 1. '2 H t
и2 == Slll(J) 3 Slll O.JW .
Кривая и2 на рис. 14.5, б иллюстрирует амплитудньш иска..
жения, вызванные изменением амплитуды третьей, rаl'МQНИКИ,
и
t
а)
о)
В)
Рис. 14.5
а кривая и2 на рис. 14.5. в фазовые искажения, вызванные
изменением фазы третьей rармоники..
. 14.2. Симметричные реаКТИJlные фипьтры
Как уже известно, симметричный четырехполюсник характе-
ризуется следующими коэффицие тами:
А , D==chg; В ==Zcshg; C== B ; . (14.3)
В свою очередь характериcrическое сопротивление Zc и посто-
янная передачи g определяются через коэффициенты четырехполю-
сника по формулам
Zc == УВ/С ; (14.4)
eg==A+V BC или chg==A. (14.4а)
Пусть фильтр составлен из чисто реактивных элементов (инду-
I{ТИвных катушек'и конденсаторов без потерь). Простейшие сим-
13*
387
метричные фильтры имеют Т образные (рис. 14.6, а) и П образные
(рис. 14.6, б) схемы. Коэффициент А" дЛЯ этих схем имеет ОДинако-
Z,l2 Zr/2 Zn
У Т y"12 у"/2
...
а) OJ
Рис. 14.6
вое выражение, которое, например, для cxe ы на рис. 14.6,.a Ha
ходим с помощью тополоrической ФОРМУЛЫ, учитывая, что 12===0:
2 2
ZrZr
== ( 2 ) 2
У т+
Zr ZT
"'" П k ' !.
(;2 1
1 == А == Пk k
1
YrZ T '
1+
2
откуда
..
YrZ r
А == 1 +
(14.5)
Аналоrичным способом получаем выражение для Toro же коэф-
фициента для схемы на РИС.' 14.6, б:
У Z
А==l+ п . (14.6)
Из выражений (14.5) и (14.6) следует, что коэффициент А
не может принимать мнимых значений (проводимости У п. У т
и сопротивления ZП, Zт мнимые числа), 'поэтому уравнение
А== сЬ (а+ jb) ==сЬа cos Ь+ j sh а sin Ь
распадается на два:
sha sinb ==0;
сЬ а cos Ь == А == 1 + У; . '
(14.7)
(14.8)
Эти уравнения имеют два решения.
Первое решение определяется условием, при котором sh а == О,
и, следовательно, а == О, что соответствует полосе nроnусканuя сиrна
лов или, как иноrда ее называют', зоне nрозрачностu. При этом
сЬа == 1 и из уравнения (14.8)
YZ
cos Ь == А 1 +28 (14.9)
Полученное уравнение показывает, что знаки мнимых величин
у и Z должны быть одинаковыми: если. одна из них имеет индук-
388
тивныЙ ,характер, то друrая величина дол;жча быть емкостной:
Диацазон частот, удовлетворяю их уравнению (14.9), определяется
соотношением '
YZ
1 1+2 1,
"
поэтому частоты, явл ющиеся rраничными для полосы пропу-
скания, MorYT быть наидены из равенств
'...;......yZ==0; YZ==4. (14.10)
Первое равенство определяет частоту, при которой закорачи-
ваются продольные с противления Z и размыкаются поперечные
проводимости У четьфехполюсника, приемник оказываетС5! как бы
непосредственно прщ::qединенным к источнику. Второе paBe.tCTBO
определяет частоты, при которых каждая половина четырехполюс
ника, 1:0ставленная из половины продольноrо сопротивления и
половины поперечной ПРОВОДИМОСТИ, находится в режиме резонанса
напряжений: '
Z/2+2/Y ==0,
"
откуда
YZ +4==0.
Хар.актеристическое сопротивление схем зависит от частоты,
так как, соrласно формуле (14.4), связано с коэффициентами
четырехполюсника. Для т образной схемы
ZcТ== V ЩС == V(A2 1)/С;
дЛЯ П образной схемы'
ZсП== V ЩС == VB2/(A2 1),.
Выразив сопротивления ZcT и ZсП четырехполюсника через
ero коэффициенты, учитывая при этом (14.5) и (14.6), можно
получить:
'J r A2 1 'J rz: 'J r Zy
ZCT== JI У} ==, JI у У 1 +4'
'J rZ2;;"" 'J rz / 'J r yZ
ZсП == JI A2 ] == JI у JI 1 +4.
(14.11)
(14.12)
""
Из пос едних выражений видно, что В полосе пропускания,
для которои, соrласно (14.10), О ZY 4, характеристическое
сопротивление является чисто актщшым, причем с изменением
частоты оно меняется В пределах от О до V Z/Y для Т образной
схемы и от V z/y до 00 для П образной схемы. Это означает,
IITO фильтр не может иметь одинаковый -, коэффициент передачи
для всех частот полосы пропускания, если Сопротивление
приемника не изменяется. .
-Если, в частности, отнОшение l/Y фильтра не -зависит от
чаСТQТЫ и является вещественным числом, то в ВЫ(Jажениях (14.11)
389
и (14.12) от частоты зависит только произведение ZY. Экстремаль
ное значение произведения и, следовательно, экстремальное значе-
ние Ze определяется из УСЛОВИЯ
d d (ZY)==YZ'+ZY'==O.\
ro )
Но так как Z/Y не зависит от частоты, то
( J ) === YZ' ZY'
dro У У2 === О,
откуда YZ' == ZY' и, следовательно,
2YZ' == 2Y'Z === О или Z -----: О, У == О.
При этом экстремальное значение Ze (максимальное для Т образ-
ной и минпмальноедля П образной схем) оказывается одинако-
вым для обеих схем и равным V Z/Y == k, rде k вещественное.
число, не зависящее от частоты. Сопротивление приемника выби-
рают равным этой величине, поскольку вблизи cBoero экстремаJIЬ-
Horo значения характеристическое сопротивление Ze медленно
меняется - изменением частоты. В полосе пропускания изменяется
.
и коэффициент фазы Ь, знак KOToporo можно определить с помощью
соотношений
...
EIZe ==shg==sh (а+ jb) == CZ e ,
откуда (при а==О) j sinb === CZ e == У TZeT ИЛИ j sinb ==В/Zе===ZП/ZеП.
Таким образом, знак коэффициента фазы Ь равен знаку про-
дольнЬrо сопротивления Z (поперечной про водим ости У).
Второе решение уравнений (14.7) и (14.8) определяется усло-
вием sinb ===0. Так как сЬа 1, то cos Ь == 1, а уравнение (14.8)
записывается в виде
сЬ а == A == (1 + Z) . (14.13)
в этом случае коэффициент затухания а "* О, что соответствует
полосе задерживания сиrналов (зоне затухания). rраницы этой
полосы определяются из соотношения
( YZ )
1 1 +2 OO,
откуда
У Z == 4;
YZ == 00.
Последнее равенство приводит в схеме фильтра к разрыву
продольных сопротивлений и к короткому замыканию поперечных
проводимостей. Поскольку в этом случае A2 1 ===cb2a 1.;;::00,
то соrласно формулам (14.11) и (14.12) характеристическое сопро-
тивление в зоне затухания становится ЧИСТО мнимым и имеет
разные знаки для п- и для Т -образных схем.
Знак реактивноrо характеристическоrо сопротивления можно
определить, исходя из следующих рассуждений:
390
1. Чем больше затухание, тем меньше напряжение .и ток
пjJИемника.
2. Напряжение и ток на входе фильтр? мало изменяются, если
в Т образной c eMe наrр'УЗКУ отключить (12 == О), а в П образной
замкнуть накоротко (и 2 == О). При этом входное сопротивление
имеет такой же характер, как и Zc (для данной частоты), что
подтверждают формулы (14.11) и (14.12), если пренебречь еди-
ницей по сравнению с А 2 == ch 2 а:
1
А 1+2 YTZT ZT 1
ZcT == У т == у т == 2 + у т == ZBxT;
(14.14)
, Zп Zп
ZсП == A == У Z == у 1 == Zвхп.
ппп
[+ Т+ z п
Фильтры нижних частот. Фильтрами типа k. называют такие
фильтры, у которых с противления Z и I/У в Т и П образных
схемах предста.вляют собой взаим- а !J
но обратные двухполюсники, т. е. 4- 7t
Z/y==k 2 .
На рис. 14.7, а, б изображены J
простейшие Т-и П образные схемы 2 7f
фильтра типа k низкой частоты. В
этих схемах Z == jwL и У == j(j)C. rpa- 1
ничные частоты для полосы пропу- О
скания определяют из (14.10):
YZ == <i:J2LC == { О
4'
14.3. Фильтры типа k
откуда
Wl == о;
W2 == 2/ V LC == шо.
.i, /] i, i z "
.........р. .....-t> '
0' 1 41 т с 4i CI:Ё!I:2 0
. . а) О)
Рис. 14.7
0.5 1,0
1,5 2.0 ы/сио
.а)
реактиВное
J
I C акт{JВное I
lcп I
I ,.--
I -<'"
// Zcr
I /(ино!/ктиВно )
/&';/lUo
/ '
.
I / Zcп
I ((смкостное)
11
о}
Рис. 14.8
\
"
I
Фильтр нижних частот пропускает сиrналы при изменениича.
статы от О до Wo. На рис. 14.8, а показаны зависимости а и Ь от w/wo
391
Б полосе пропускания (а == О) и' задерживания (а *- О) дЛЯ
фильтра нижних частот.
Характеристические сопротивления для Т и П образных схем
определяют по формулам
.../"Т...! oo 2 LC ..r .L ...r и?
ZcT:= JI С JI 1 == JI с JI 1 oo ;
(14.15)
Z := ... r L ( ...! 1 ) _1 == уцс
сП JI С JI oo Y .
1
002
О
(14.16)
На рис. 14.8, б по этим уравнениям ПОСТроены rрафики зави
симости сопротивлений ZcT и ZсП ОТ (iJ!(iJo. В ПОЛQсе пропускания
характеристические сопротивления являются активными для Qбеих
схем, следовательно, при соrласовании фильтров наrрузка должна
быть тоже активной. На частотах выше резонансной, т. е. в по
лосе задерживания, сопротивление ZcT носит индуктивный, а сопро-
тивление Zсп емкостный характер.-
, Для реюения задачи, связанной с определением параметров
фильтра, должны быть заданы следующие величины:
(iJ2 == (iJo == 2/J!Ic; k == V ЦС ,
откуда леrко определить параметры L и С фильтра.
Пример 14.1. Построить векторную диаrрамму для Т-образноrо фильтра
нижних частот' при работе в' полосе пропусканИя и задерживания' (см.
рис. 14.7, а), если L O,02 r, С==5 мкФ, и 2 == 13 В, частота в полосе про-
1 '.
пускания 001 - 2000' сопротивление наrрузки '2==ZC' а в полосе задерживания
002==2000 при прежием значении '2'
Реш е н и е. Резонансная частота
2
OOo== ==
-YLC
2 -
. 5000 рад/с.
J!0.02.8. 1O 8 '
ел едовательно, 001 == 2500 рад/с; 002 == 1 О 000 раД/с.
Определим входные сопротивления фильтра при разомкнутых и Закорочен-
ных зажимах:
Zlp==;ool L 2 + C == ;25 Ом,
1001
. j25 ( j50)
ZIK==1 25 + j25 j50 j75 Ом.
Сопротивление нarрузки
r2==ZC == ZlрZIК == -y( ;25) ;75==25 Vз Ом,
'f.OK
f == и2/Т2== 13/25 V"З==О.З А,
392
ИЗ схемы фильтра при 001 =='2.5. 1()3 paдJc находим:
- . . IOJ.L .. .
U c =='U 2 +/""""2" /2=:= 13+р.5 В;,
. . 13+ i7,5 О 15 О А
Ic==,Uc/( /Xc) о::: i50 . +i .26 ;
,!!:..
11==,12+lc 0.3 0.15+iO.26==0.15+iO.26==O,3e 3 А;
.п
U 1 ==,V C +jool ; 11 ==' 13+i7.5+i25 (О, 15 +iO,26)== 13е lз В. .
Векторная Д"иаrрамма схемы при работе в. полосе пропускания дана на
рис. 14.9. а.
Пр,оведем аналоrичные вычисления для 002== 104 рад/с:
Uc==,U2+i002 i 2 === 1.3+j10o.. 0,3== 13+i30 В;
_ 13+РО ' "
_ /C== iI2,5 2,4+i1.04A;
11 =='1 2 +l с ==0.3.....:.2.4+ il.04==, 2.1 + il,04'""", 2,34eiI53°36' А;
(;1 == и с + i 00 2 ; 11 ==' 13+i30 104 i21O=== 91 il80 R::: 201.6e i1l4°48' В.
По 9ТИМ результатам на рис. 14.9, б построена векторная диаrр амма при
pa OTe схемы в полосе задерживания. .
BeKTopHbIt;O диаrраммы фильтра наrлядно
ЦОК8зывают связь между напряжениями и
токами на ВХОДНЫХ и выходных зажимах
фильтра. В полосе пропускания а == о,
и 1 == и 2 , /1 == /2 (рис., 14.9, а). В зоне за
тухания ,и 1 > Ч2' /1> /2' несмотря на от-
сутствие актнвных сопротивлений. в ветвях
фильтра (рис. 14.9. б).
Фильтры верхних частот. На рис.
14.10, а. б показаны. T и П образ /2 [;2
ные схемы фильтров типа k, пропу О)
скающих сиrналы верхних и задер-.
живающие сиrналы нижних частот.
Для этих схем снраведливы сле
Дующие выражения:
Z == ЩО)С; у == l/jO)L; ,
- ;Z == ОО21с == { .
Полоса r.:ропускания ( розрачно-
сти) лежит в rраницах
О)
Рис. 14.9
1
0)1== 2YLC, == 0)0; 0)2 == 00.
На рис. 14.10, в показаны 'зависимости а и 'Ь от 0)/0)0 в полосе
пропускания и задерживания для фильтра верхних частот.
...,
393.
Из уравнения (14.9) получаем
1 (02
cosb== 1 == 1 2.........Q..
2(02LC (02
При ro == 00 ь == О, при ro == ro о COS Ь == 1, следовательно, Ь == :n:.
Характеристические сопротивления дЛЯ Т- и -П образных схем
определяются по формулам
ZcT == у цс у 1 (ro /ro2) ;
ZсП == у цс (Уl (шиш2» 1.
(14.17)
На рис. 14.10, е построены rрафики зависимости характери-
стических сопротивлений ZcT и Z'tп от ro/Шо. В полосе пропуска-
2С
.
О) -
8)
Рис. 14.IO
о)
Zc peOfl'"ти8JI Ofl'"ти/JHoe
ное 11 Z,. п
/L
иHtl!/KI!:8r ,
.' О Ic,p/ ное I ICT
./ 1 UJjUJo
1/ I
I I
","ZCT I
I еМfI'"остфе
2)
ния эти сопротивления являются активными. При этом если
сопротивление Zсп изменяется от 00 до у L/C , то сопротивление
ZcT от О до у ЦС . Для cor ласования фильтра с наrрузкой сопро-
тивление наrрузки должно быть активным и меняющимся при
изменении частоты в соответствии с кривыми на рис. 14.10, е.
В полосе задерживания характеристические сопротивления
ZсП и ZcT являются реактивными и имеют разные знаки, причем
сопротивление ZсП носит индуктивный, а сопротивление ZcT
емкостной характер.
Полосовые (полосные) фильтры. Если схемы фильтра на
рис. 14.7 и рис. 14.9 как бы электрически совместить дрyr с дру-
rOM, то полученный фильтр будет пропускать сиrналы в диапа-
зоне изменения частоты от Шl ДО (й2' На рис. 14.11, а. б изобра-
394
женЫ две такие схемы, имеющие соответственно Т- IfП образные
формы. Чтобы при одной и той же частоте стали равны нулю
продольны сопротивления Z (резонанс напряжений) и попереч-
I
. [ 2
С 2
2L 2
2L 2
О)
о)
Рис. 14.11-
ные проводимости У (резонанс токов), необходимо выполнить
условие, определяющее частоту
I I
0)0 == VL 1 C 1 == VL 2 C 2 '
при 'котором L 1 C 1 == L 2 C 2 .
При рассмотрении схем на рис. 14.11, а, б с учетом уравне-
ния (14.18) можно получить выражения для Z и У в виде
Z . L + I . у т; ( (о (0 0 )
==JO) 1 C ==! C ;
1(0 1 1 (00 (о
У==jО)С + ==j-,; С2 ( ) .
I(OL 2 JI L 2 (00 (о
Уравнение, определяющее rраницы полосы пропускания
филыра, имеет вид
Zy == -.; L 1 C 2 ( (0 , 0 ) 2 == { О.
V C 1 L 2 (00 (о 4
(14.18)
(14.19)
. Одним из решений этоrо уравнения является уж най-денная
частота o)o Остается решить уравнение
Ci ( ) 2==4
С 1 (00 (о
(14.20)
или
0)2 + 20)0) V L 2 C 1 O) ==O.
Если опустить отрицательное значение частоты, как не имею-
щее смысл , то
0)1==0)0(V n2+1 n);
0)2 == 0)0 (у n 2 + 1 + n),
{14.21}
rде
n == 0)0 V L 2 C 1 == V L 2 / L1" i
395
Из полученных выражений следует, что фильтр пропускает
сиrналы при изменении частоты от 0)1 до ffi:! (рис. 14..12, а).
Частота 0)0 оказывается промежуточной, поскольку она .равна
среднему rеометрическому из rраничных частот, т. е'. 0)0 == 11 0)1Q)2 .
а
ь
7t
О.
--r--- &J,/luo' &Jz!bl o ы!ыо
,
а)
7t
...
Рис. 14.12
ЧастотнуJO зависимость коэффициента затухания а в полосе
подав яемых частот находим с помощью выражения
I у z I I С2 ( (о (00 ) 2 \
cha== 1 + == 1 .
2 2C 1 (00 (о
(14.22)
По этому уравнению на рис. 14.12, а построена частотная
характериcrика а (0)/0)0) для рассматриваемоrо полосовоrо фильтра.
"'- Зависимость коэффициента фазы Ь в полосе пропускания
определяем по соотношению
cos Ь == 1 ...fL ( ) 2. (14.23)
2C 1 (00 (о
При изменении частоты от 0)0 до 0)2 характеристика Ь (О)Мо)
аналоrична фазовой характеристике. фильтра нижних частот (см..
рис. 14.8, Ц), коэффициент Ь меняется от О до :n: (рис. 14.12, б).
При изменении частоты от 0)1 до 0)0 характеристика Ь (0)/0)0) ан а-
лоrична фазовой характеристике фильтра верхних частот, при
этом Ь изменяется от :n: до О.
ДЛЯ получения более полной характеристики режима работы
Полосовоrо фильтра необходимо выяснить закон изменения харак-
теристическик сопротивлений в обеих схемах (см. рис. 14.11, а, б). ,
Характеристические сопротивления полосовых Т-и П-образных
фильтров можно найти с помощью общих уравнений (14.11) и
(14.12). .
Польз ясь этими уравнениями и учитывая (14.19), получим:
z Т == У ,... L2 '1 / 1 J2... ( ) 2 .
с . C 1 JI 4С 1 (00 (О,
( 14.24)
Zсп== r L 2 / -. r 1 ...fL ( ) '2 .
JI С 1 JI 4С 1 (00 (О,
(14.25)
396
. ЗависимОСть характ€ристическоrо сопротивления ZcT от (iJ!(iJo
iПрказана на рис. 14.13, а. В полосе ПрОiIускания :п::о сопротив-
ление является активным, при ZCT
этом в области, непосредственно
примыкающей к резонансной ча-
стоте, "оно мало изменяется с ча-
сТОТОЙ и равно V"4/C 1 . В обла-
сти низких частот сопротивление
ZcT имеет емкостной, а при частЬ
тах, бо.IJЬШИХ (iJ2' индуктивный
характер. ЗависимостЬ x paKTe
ристическоrо сопротивления Z сП
изображена на. рис. 14.13, б, при
Zел
этом, так же как сопротивление
ZcT, в зоне прозрачнрсти оно яв-
ляется активным.
Пользуясь полученными соот-
ношениями, можно найти расчет-
ные формулы для определения па-
paMeTpOJ3 LI' C 1 , L2' С 2 полосо-
Boro фильтра. Прежде' Bcero за-
даемся сопротивлением наrрузки
R2' равным характеристическому
сопротивлению фильтра. "при ча-
стоте (iJO, т. е. R 2 == V L 2 /C 1 . Затем
по известной разноСти частот устанавливается следующая связь:
а)
\..
--
bJ O / lU / lLJo
/
/ffi
"
' :
OJ
Рис. 14.13
откуда
Y 2
(iJ2 <OJ. == 2(iJ L 2 C I::Z: С R " ,
, .2 2
2
С 2 == .
' R 2 (ffi:! (OJ)
Индуктивность L 2 находим из ВI:i1ражения (iJ == L:C 2 == (iJI(iJ2:
L 1/ 2 С R 2 (OO2 OOI)
2 (iJo 2 .
2(01002 '
Так как -V { == R2' то
L 1 =='С 2 Щ ' 2R 2
OO2 OO1
с 1 OO2 OO1
1 oo LI 2R 2 OO1OO2 .
3аrраждающие (режекторные) фильтры. Если в схемах поло-
,совых фильтров типа k поменять местами параллельно и после-
'довательно соединенные ветви из емкостей и индуктивностей, то
в полученных схемах фильтров (рис. 14.14, а, 6) при частоте (iJo
МО1КнО получить разрьт продольных с противлений Z и короткое
397
замыкание поперечных проводимостей у. Для этоrо 'необхоД'и о
выполнить условия
L 1 C 1 == L 2 C 2 ; 0)0 == цу L 1 C 1 == 1 /У L 2 C 2 .
В этом случ е
1 jooL f .
Z == I :=: 002 ;
jooC 1 +"""""""' 1 I
100 -1 00(;
fраницы полосы пропускания
Zy ro2LIC2 О .
== ( <р2 ) 2=='
I 00'
о
t1
I1з первоrо уравнения
О) == О;
1
у== 1
jooL 2 +.....,.-------- С
' 100 2
jooC 2
2 .
l
(й
находим из уравнений
YZ oo 2 L 1 C 2 4
( 1 (й' ) 2 .
oo
О) == 00.
из BToporo уравнения
. 0)1 == ffio (у п 2 + 1 п); }
0)2 ==0)0 (у п 2 + 1 + п)."
rде п== y IC2 . -v 2 . Из полученных выражений следует,
,что фильтр пропускает частоты от О до 0)1 И от (() до 00. Полоса
(14.26)
,2С, ,:} "' 2С, 2L 2
flJ )lJ
П)',
Рис. 14.14
задерживания расположена между частотами 0)2 и 0)1' причем
0)&=={i)20)1' Уравнение фазовой характеристики фильтра в иол осе
пропускания имеет следующий вид:
cos Ь == 1 (С 2 У .
2С 00 . 000
1
.000 00
у равнение. определяющее затухание фильтра в полосе задер-
живания, .записывается в виде
(14.27)
' ! С2 1
cha== '1 ( 00 0>0 ) 2.
, 2С 1
,000 00
392
(14.28)
На рис. 14.15 в соответствии с (14.27) и (l4.28) постро.еНБI
частотная [а (0)/0)0)] и фазовая [Ь (0)/0)0)] характеристики заrраж-
дающеrо фил тра. ,
Характеристические сопротивления для схем заrраждающеrо
фильтра на рис. 14.14, а, б оп ределяются по фор мулам
ZcT== V -. f 1 . ( {J/С2 (00 ) 2; 1 1
V 2С 1 .....
(00 (о (14.29)
Z'Л V I J 1 ( ю С, '''')''
v 2С 1 --,--------.....
(00 (о
На основании этих выражений- на рис. 14.16, а, б построены
,зависимости ZcT и ZсП от 0)/0)0'
Если принять сопротивление наrрузки R 2 равным характери-
стическому сопротивлению заrраждающеrо фильтра при частоте'
0)0' т. е. R 2 - V L 2 /C 1 , ТО, аналоrично полосовому фильтру, можно-
получить следующие форму- '
лы для 'определения парамет- Zcr, 1 'I I
ров заrраждающеrо фильтра: I f/" I ,
R2 . - " +щ...l .....!-"""......
L 2 2 «(O3 ) , I fIi <?r I I 1 1 ' 1 1 бtlОВ
VC; ;;:, 11
С == 2((O3 (O2) . " 1
2- R.pJ.pJ'
3 О (J)t/Wq 11 / (J)z/w(J ш/{,}о
L 2R2 «(Оз (О:J 1 /
1 .
(02(0з t I '
'
С I , а) 11М
1 2Я2«(О3 )' , , f
Zcп $А I Ч; 'b'I
-,. I 'I ' ,
, I 11 <:::>
-+ t--:: L.j........... ,
fi; I 1 1 I
с, 1 7 I
I , l(J)z/{'}o (,}/w(J'
I ' I 1
I/ 1 1,
I/ 1 1,
I, 10)
Рис. 14.16
а Ь
о
1
Ы 2 /Ы О _ы/ o
Рис. 14.15
14.4. Фильтры типа т
Одним из наиболее существенных недостатков фильтров типа k
r Является зависимость характеристическоrо сопротивления от ча-
СТоты (см. рис. 14.8, 14.10, 14.13). Поэтому соrласоватъ фильтр
399
с наrрузкой в() всей полосе пропускаемых частот не представ-
,
ляется возможным,. в. результате" чеrо при несоrласованнои на-
r R rрузке характеристика затухания от
,дzлосоuаннuн В '
НОZРУ3КU частоты ухудшается. качестве при
мера на рис. 14.17 изображены харак-
теристи'Ки затухания (при соrласо
ванной и Hecor ласованной наrрузках)
фильтра нижних частот. При несо-
rласованной наrрузке характеристи-
ка затухания ухудшается и в полосе
пропускания, и в полосе задержива
ния. Кроме 'roro, характеристика за-
тухания вблизи rраничной частоты (()о
имеет неДОСlаточную крутизну. Для увеличения крутизны xapaK
теристики иноrда применяют мноrозвенные фильтры, что обычно
приводит к существенному усложнению схемы. Отмеченные HeДO
статки можно iз, некоторой степени уст-
ранить, если применить схемы фильтров
типа т.
Для определения параметров TaKoro
фильтра целесообразно рассмотреть r -об- ...............
разное несимметричное звено" представ lcп
.iIяющее с бой со стороны входных зажи- {'
мов (рис. 14.18) как бы половину П образ-
:e:oro, а со стороны выходных :;шжимов
т образноrо симметричноrо звена. Друrи
ми словами, Т образную схему получают
при соединении зажимов 1 .1' двух r -образных звеньев
.(рис. 14.19; а), а П-ооразную при соединении зажимов 2 2'
тех же двух звеньев (рис. 14.20, а). При этом для удобства даль
нейшеrо анализа продольное и поперечное сопротивления несим-
метричноrо r 9бразноrо звена обозначены соответственно через
О
о
си и
Рис. 14.17
UJ
l/2=z,12
I
[ст
2'
Рис. 14:18
Z,I2 f f Z,I2 2 Z,I2 l,/2
2Z 2 21 2 l2
2' (' " 2'
а) oj
Рис. 14.19
Zl/2 и 2Z 2 (см. рис. 14.18), что в симметричной Т образной схеме
приводит к обозначениям параметров, указанным. на рис. 14.19,6,
а в П образной схеме к обозначениям, указанным на рис. 14.20, б.
На рис. 14.21, а показано r образное звено фильтра типа т,
параметры Koтoporo необходимо определит.ь. Пусть Zlт == m Z l'
rде О < m < 1. Величину поперечноrо сопротивления 2Z 2т опре-
400
делим из условия, при котором характеристическое сопротивле
ние ZcTт остается. равным хар ктеристическому сопротивлению
r образноrо фильтра типа k, т. е. ,ZcTт === ZcT (см, рис. 14.18).
[,.
2Z z 2l z
l'
2' 2'
1"
,а)
о)
Рис. 14.20
Приравнивая выражение' (риt. 14.Ql, а)
ZcTт === V Zlт Z 2т V 1 + ;;:
к выраЖению (см. рис. 14.18)
ZcT== V ZI Z 2 V 1 + j2
и учитывяя Zlт == mZl' получим
Z Z2 ( 1 2 ) Zl
2т=== + т 4 '.
m m
(14.30)
Из этоrо выражения следует, что поперечное сопротивлен;iIе
состоит из двух последовательно €оединенных сопротивлений, т. е.
1 [,т 12 .
, 2l zm
Zспт lcтm
l' 2' l' . 2'
.а) fi)
Рис. 14.21
получается r обр'азный, так называемый п о с л е Д о в а т е л ь н о
производный фильтр.
. На рис, 14.21,6, приведена схема r образноrо последовательно
производноrо низкочастотноrо фильтра, имеющеrо следующие па
.' раметры:
Zlт . L I
2== J(f)m"2;
2 . (1 т2) (14.31)
2Z 2т == C + J(f)L 2 .
100т т.
fраничные частоты полосы пропускаН{lЯ определяем из условий
Zlт === О,
...
...
401
откуда.
или
{U==ffiJ.==o и
I Zim 1 ==4,
Z2т
. т. е.
J Zlm! == 14Z 2m 1.
{UmL == I (1 m2) wL ....!... I отк у да
т mыС'
{U == @.! == 2( V LC .'
Из полученных выражений следует, что полоса пропускания
фильтра типа т совпадает с полосой пропускания фильтра типа' k.
, На рис. 14.22 дано rр фическое опре-
. деление полосы пропускания.
Для определения коэффициента за-
тухания а в полосе задерживания при
ro> ro2 можно воспользоваться ypaвHe
нием (14.8), которое при разных знаках
комплексных сопротивлений Zl и Z2 (как
и в полосе прспускания), но при
I Zl/ ? 41 Z21 приводит к выражению
cba==1 ! Zl !
2Z 2
х
о
'.
Рис. 14.22
/'
ы
или
(14.32)
1-
! Zi I
сЬа+ 1 == 2Z 2 .
Из этоrо уравнения, учитывая сЬ а+ 1 == 2 сЬ 2 (а/2), получаем
выражение
сЬ == -V 14 1, (14.33)
КоТорое применительно к фильтру типа tn записьrnаем в виде
сЬ == -V I :J (14.34)
ИЗ выражения (14.34) следует, что при частоте, определяемой
из уравнения
т. е. при
4Z == ! (l m2) (oL I == о
2т т mыС .
2 Ы 2
ro oo .
VLCV1 m2 y1 m2
коэффициент затухания а имеет бесконечно большое значение.
На рис. 14.23 показаны .характеристики а (ro) для различных зна-
чений tn. Чем меньше параметр т, тем более резко растет зату-
хание вблизи rраничной частоты, но при этом коэффициент зат"у-
хания а уменьшается в области частот ro> ro oo . При tn == 1 фильтр
402
типа m преобразуется в фильтр типа k. Для частот (J) > Щ,,:,
сопротивления Zlm И Z2m имеют одинаковые знаки, поэтому для
опр.еделения величИНЫ затухания в этом диапазоне следует BOC
пользоваться, выражением
h == у l :l I (14.35)
вместо (14.34), так как последнее справедливо только для схемы
с комплекснымИ значениями Zlm И Z2m, имеющими разные знаки.
Выражения для характерисrи
ческоrо сопротивления при различ- а
ных значениях параметра m имеют
разный вид. На рис. 14.24 изобра-
жены кривые изменения характе-
ристическоrо сопрarивления Zспm
со стороны входных зажимов r об-
разноrо фильтра (рис; 14.21, 6) для
- различных значений т. Эти кривые О
построены по уравнению (14.12), в UJ z . w:x, Ш UJ
I\:OТOpoM Z Zlm И у === I/Z 2m . При
m === 0,6 величина характеристиче- Рис, 14.23
C'Koro <;опротивления ZсПm В ,боль-
шейчасти полосы пропускания ближе к значению характеристиче-
CKoro сопротивления фильтра, paBHoro уцс , чем при m === 1. o
озцачает, 'что режим работы фильтра при указанных параметрах
в большей частИ полосы пропускания будет близок к режиму соrла-
,О
Zспт '
O,J
ц)
Рис. 14.24
Рис. 14.25
сов.анной наrрузки, если сопротивление наrрузки БыБР:;JIО равным
уЦС .
Если в схеме r-образноrо фильтра (см. рис. 14.21, а) принять
Z2m Z2/m, то сопротивление Zlm можно определить из уравне-
ния ZсПт === ZсП, т. е.
у Z1m Z 2т / v 1 + il === V Z I Z 2 / v 1 + ;,
'1
403
откуда
1 1 1 O т2)
+
Z1m mZ1 Z2 4т
или
2 2 1-"---т 2
::: +
Z1m mZ 1 2Z 2 m .
(14.36)
Из полученноrо выражения следует, - что если сопротивление
поперечноrо звена принять равным 2Z 2m == 2Z 2 /m == 2ПютС, то про-
дольная _ проводимость, равная обрат-
ной величине продольноrо сопротивле-
ния 2/Z 1m , должна состоять из двух
rtараллельных ветвей с параметрами
2/j(f)Lm и (1 ;:) jroC. в результате по-
лучается r-образный, так называемый
пар алле ль но-про из водный
фильтр (рис. 14.25).
На рис. 14.26 построены rрафики
UJ изменения характеристическоrо сопро-
тивления ZcTm для различнь значений
т. Из этих rрафиков видно, что, так
же как для характеристическоrо сопро-
тивления ZсПm (см. рис. 14.24), при mR::lO,6 сопротивление ZcTm
мало отличается от величины V L/C во всем диапазоне пропускае-
мых частот.
Недостатком фильтров типа m
явл ется снижение' затухания"'при
Ю.> ЮОО (для фильтров нижних ча-
стот и полосовых фильтров) и при
(f) < юоо (для филь'tров верхних ча-
стот и полосовых фильтров).
14.5. Безындукционные
rС фильтры
При построении реактивных
LС фильтров наиболее rромоздким
и дороrим элементом является ин-
дуктивная катушка, особенно в
фильтрах, работаюIЦИХ в диапазо--
не низких частот. В таких схемах
применяюr индуктивные катушки
с ферромаrнитными сердечниками,
как правило, имеЮIЦие очень боль-
шое число витков. Катушки с боль-
шим числом витков и rромоздкими
сердечНиками обладаюr низкой добротностью QL == (f)oLjr, так как
в них имеются потери не только в обмот:ках, но и в сердечНиках.
Таким образом,- катушка не ,является идеальной ИНДУКТИВНОС'tью,
ZCTт
о
Рис. 14.26
404.-
./
Т/2
Т/2
tlJ
те
.
fI/
а)
а
о
lUc
О)
lU
Рис. 14.27
в результате основные характеристики фильтров с катушками,
имеющИМИ низкую добротность, ухудшаются.' ,
в настоящее время широкое применение находят интеrраль
ные схемы,' в KOТ pЫX возможна микроминиатюризация элемен
TQB r и С. При этом индуктивная катушка, применяемая на низких
частотах, не поддается миниатюризации.
Сл овательно, целесообразно построение фильтров без индук
тивньfх катушек, т. е. rС фильтров. Рассмотрим простейшие
примеры построения таких фильтров.
. Т образный фильтр нижних частот. На рис. 14.27, а изображена
схема Т образноrо rС ФИ.7!ьтра. . , . .
Для этой схемы при 12 == О спра-ведливо уравнение
CТ 1 ==U 2 +jO)C ; й 2 ==й 2 (1 +j )==AU2' (14:37)
откуда
\
-. . Cr
А == и 1 /и 2 == 1 +}О) 2.
(14.38)
Для симметричноrо еТЫР ХПОJПOсника
1==chg , сh(а+jЬ)==сhасоsЬ+jshаsiпЬ.
Приравнивая правые части уравнений (14.37) и (14.38), по
лучаем:
ch а cos Ь == 1; } "
, h . Ь ыС, (14.39).
s аs1П "7"" 2'
При по тоянном токе (О) == О)
ch а cos Ь == 1;. }
I shаsiпЬ==О. (14.40)
Эти равенства имеют решение одновременно при а == О и Ь == о.
Если о) > О, то sin Ь > О, так как при а> О sh а> О. в отличие
от реактивных фильтров у rС фильтров нет такой области частот,
B>KOТOpO а==О. Из уравнений (14.39) можно найти зависимость а
, QT 0). Для этоrо первое из уравнений (14.39) следует пр ставить
в виде
(1 +sh 2 a)-(1 sin 2 Ь) == 1.
Если в это выражение подставить значение sin Ь, найденное
из BToporo уравнения (14.39), то можно получить биквадратное
уравнение относительно sh а:
sh 4 а ( ы;с у sh 2 а ( ы;с у == О,
откуда
sha== Y (OO C)2 + ы;с V 1 +( ы;с у.
При 0)<2/rC из выражения (14.41) находим
sh а ap:::!.V wrC/2 .
(14.41)
403
За частоту
нимают такое
н
2С
среза о)с rС фильтра нижних частот условно при-
значение, при котором активное и реактивное
сопротивления ветвей соответствующеrо
r образноrо 'звена равны
r 2 оостС
== или ==1.
2 оосС 4
2С'
r
в этом случае sh а == 2,2, отКуда
а== 1,53 Нп. На рис. 14.27, 6 построена
частотная характеристика коэффициен
та затухания Т образноrо rC-фильтра.
т образный фильтр верхних частот.
На рис. 14.28, а показана Т образная
схема rС фильтра верхних частот. При
низких частотах сопротивления KOHдeH
саторов имеют большие значения, в pe
зультате напряжение на выходных за-
жимах фильтра получается небольшим,
что характеризуется большим затуха-
нием. В частности, при о) == О (при по-
си стоянном токе) коэффициент затухания
имеет бесконечно большое значение.
При увеличении частоты eMKOCTHO
сопротивление уменьшается, а напряже-
ние на выходных зажимах увеличивается, в результате 'коэффи-
циент затухания а уменьшается (рис. .14.28, 6).
Для rС фильтра верхних частот, так же как для rC-фильтра
нижних частот,
а)
I
а.
. I
I
I
· UJ c
oj
rj
Рис. 14.28
C haCOSb==I; } (1'4.42)
sh а siп Ь == 1/2тО)С.
При о) == 00 условия а == О и Ь == О выполняются одновременно.
При 0<0)<00 shаsiпЬ<О, так как а>О и Ь<О.
Совместное решение' уравнений (14.42) приводит к биквадрат-
ному уравнению ' .
s h 4 a sh 2 a O
(2fJ)rG)2 (2ru;C)2 ,
откуда
sha==-.r 1 + -.rl+ .
JI 8 (wrG)2 2fJ)rC JI (4fJ)rG)2
Для о) > 1;2rC
(14.43)
sha lfV 20)rC .
Если за частоту среза о)с условно принять частоту, опреде
ляемую из равенства сопротивлений ветвей r-образноrо звена:
2т== 1/20)сС или О)С == 1;4тС.
то из уравнения (14.43) получается
sha==2,2, а 1,53Нп.
406
ПолосовОЙ rС фильтр. На рис. 14.29. а показана схема поло-
COBoro фильтра, представляющеrо собой каскадное соединение
rС фильтров верх их и нижних
частот. Для анализа такоrофильт
ра определим коэффициент А че
Т.ЫРЕ;ХПОЛЮСН!Iка в виде отношения
и 1/ и 2 при 12 == О по тополоrИIJ:е-
' 1 ' с,
и,
lf
'2
С 2
А
v
I
I
I
UJ o UJ I
.
Рис. 14.29
V'
о
Рис. 14.30
ской формуле ( . 1 ) ( 1 ) . с
А == п k l!k == \ j(j)C 1 + r; j(j)c 2 + r; +
1J п;. l!k . j(j)C 1
. r2
1 С 2 C 2 r 2 ". ( С 1 )
== + С 1 + C 1 r l + 1 ro 2 r 2 (j)r 1 C 1 .
Из полученноrо выражения можно определить квазирезонанс-
иу частоту по формуле
2 2 1
ffi === ro o == rl r 2 C l C 2 .
(14.44 )
(14.45)
Так как вещественная часть коэффициента А не зависит
от частоты, то изменению модуля эТ'оrо коэффициента COOTBeT
ствует rрафик на рис. 14.29,6. В частном случае при rl==r2==r,
С 1 == С 2 == С
roO== r ; A==3+j( ).
коэффициента передачи напряжения (;2/(;1 для этоrо
I 1 1
1/((ro)l==jAj== Y 9+( Y ===Y 9+"2 '
'\1 == (ro/roo) (roo/ro).
На рис. 14.30 построен rрафик изменения коэффициента пере-
дачи напряжения в зависимости от '\1. При этом отрицательные
Значения '\1 соответствуют частотам ro < roo, а поло:ц<:ителЬНЫе
чаСТотам ro> roo.
Модуль
случая
rде
РАЗДЕЛ пятыА
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
rЛАВА 15
,
. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
И МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
15.1.
лассический метод расчета переходных процессов
в разветвленных цепях
В rл. 3 и 6 были даны определения установившихся (crацио
нарных) и переходных (нестационарных) процессов, или режимов,
а также рассмотрены переходные процессы в простейших цепях
с ИСТОЧНИК:'Jми постоянных И rармонических э. д. с. и токов,
Переходные процессы в цепях с источни
ами постоянных, или
периодических э. д. с. и ТОКОВ, возникают в результате различных
коммутаций, которые приводят к изменению схемы или парамет
ров цепи: ПОДКJПOчение или ОТКJПOчение источников и наrрузок,
короткие замыкания' и Т.)1. Если в цепи имeюrся
индуктивные
катушки и (или) конденсаторыI' то переход от одноrо установив
шеrося режима (ДО коммутации) к друrому (после коммутации) не
может совершиться MrHoBeHHo даже при мrновенной коммутации,
поскольку не может MrHoBeHHo измениться энерrия маrнитноrо и
электрическоrо полей, связанных с индуктивностями и'емкостями.
Для MrHoBeHHoro или скачкообразноrо изменения энерrии полей
необходима бесконечно большая мощность источников энерrии;
реальные источники 'энерrии. обладают конечнЬй мощностью.
Таким образом переход от однЬrо установившеrося режима
, ,к друrому осуществляется в течение HeKoToporo промежутка Bpe
мени. Теоретически длительность переходноrо процесса бесконечно
веЛика, практически' она измеряется долями секунды. Как пра
вило, длительность переходноrо процесса MHoro больше длитель
ности коммутации, поэтому коммутацию
МОЖIJQ считать MrHoBeн-
ной.
При переходном процессе значения токов и напряжений на
отдельных участках цепи MorYT существенно отличаться от значе
ний токов и напряжений при установившемся режиме, что в ряде
случаев приводит к нарушениям нормальной работы э'лектротех
нических устройств и даже к авариям. В цепях с источникамИ
непериодических изменяющихся э. д. с. и токов переходный про-
цесс SIВляется основным режимом работы.
, Токи и напряжения при переходном процессе можно рассчи
тать путем интеrрирования дифференциальноrо уравнения n
ro
408
порядка. Такое уравнение получается в результате последователь:
Horo исключения из системы интеrро дифференциальных уравнении
цепи (уравнений Кирхroфа. узловых или контурных уравнений)
всех неизвестных величин, кроме одной. При наличии в цепи
источников э. д. с. и тока правая часть дифференциальНЬrо ypaв
нения в общем случае является функцией напряжений и токов
источников:
dnx, . dn lx . dx
О:n сип + O:n 1 dtn l +... + 0:1 dt + О:оХ == F и),
rде X==X(t) напряжение или ток; O:j (j == О, 1, ..., n) постоян-
ные коэффициенты, F (t) функция времени, зависящая от пара-
метров источников. u
Метод расчета !lереходноrо процесса, заключающиися в интеr-
рировании дифференциальноrо уравнения n-ro порядка, называют
J{ л а с с и ч е с к и м м е т о Д о м.
Решение дифференциальноrо уравнения ,записывается ' в виде
суммы 'общеrо решения ОДНородноrо. (свободной составляющей) и
частноrо решения неоднородноrо (принужденной составляющей)
уравнений Х (1) == Х СВ (t) +Х пр (t). Для расчета свободной состав-
ляющей следует найти корни характеристическоrо уравнения Pk
и n постоянных интеrрирования Ak' Если характеристическое
уравнение
о:nр n + O:n lP" 1 +. . . + О:lР + 0:0 == О
имеет n р зличныIx корн й Pk (k == 1. 2'.....' n), то
х с >\ (t) == А 1 е Р11 + A 2 e P2t +... + Anepnt.
!,орню Pk кратности mk;;:.1 соответствует слаrаемое свободной
состаВЛЯЮn ей вида
'\
XkCB (t) == (Аl +A 2 t+. ..+Aтiтk l) e Pkl .'
Ра'счет принужденной составляющей в цепи. с источниками по-
Е;ТОЯННЫХ (периодИческих) э. д. с. . и ТОКОВ сводится к расчету
установившеrося значения искомой величины после коммутiщии.
. Чтобы определить' постоянные интеrрирования, необходимо
знать значения искомой величины и всех ..ее производных до
. (n.....,..I) ro порядка включительно в начальный момент времени
t == О. Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (см.
rл. 3) изменяются только непрерывно, поэтому для них спра-
ведливы равенства
i L (0+) , i L (O ); ис (0+) == ис (O ),
называемые 3 а К о н а м и к о м м у т а Ц и и. С помощью зак нов
коммутации . уравнений цепи находят начальные значения напря-
жений, ТОК,ов .и ИХ производных.
Составление характеристическоrо уравнения. Характеристиче-
ское уравнение можно составить, не прибеrая I{ получению и ,. "
409
системы интеrро дифференциальных уравнений цепи одноrо диффе-
ренциальноrо уравнения п ro порядка.
Пусть в цепи исключены все источники (замкнуты источники
э. д. с. и разомкнуты ветви источников TOKa) и рассматриваются
. [тсС r m [ т С т .
K,
"
и тс {}
Рис. 15.1
только свободные составляющие токов и напряжений. Если состав-
ляющая ТО!& в т й ветви i m СВ == Ae pt (рис. 15.1), то напряжение
на ее зажимах
. + L di т св + 1 \'. dt
uтCB==rmtmcB тdi С т lmCB ==
.. == (r т + pL m + P J Ae Pt == Zm (р) i m CB '
1
rде Zm (р) ., r т + pL m + с:-. Выражение для Zm (р) отличается от
, Р т
выражения для КОмпJfексноrо сопротивления ветви Zm иro) тем,
что множитель jro заменен на р.
Для всех ветвей схемы можно запИсать матричное соотно-
шение
u == Z{B) (р) i .
(15.1 )
rде матрица Z(B) (р) совпадает с матрицей _ комплексных сопротив-
лений ветвей Z(B) иro) при замене р на jro.
Свободные напряжения ветвей должны удовлетворять закону
Кирхrофа
Бu :) == о.
( 15.2)
Если ввести понятие матрицы свободных контурных токов
t .{K) то '
св.
iJ:) == BTi ) .
(15.3)
Из соотношений (15.1)+(15.3) получаем
Z(К) (pp ) == О, (15.4)
rде матрица Z(K) (р) == BZ(B) (р) Б(Т) совпадает с матрицей комп-
лексных контурных сопротивлений Z(K) аro) при замене р на jro.
Система уравнений (15.4) имеет нену левое решение, если опре-
делитель системы равен нулю:
д.<к) (р) == det Z(K} (р) == О. (15.5)
Уравнение (15.5) представляет собой характеристическое урав-
нение цепи.
410
Если воспользоваться узловыми уравнениями, то, аналоrично
предыдущему, характеристическое уравнение можно получить
в виде
д(у) (р) == det у(у) (р) == О,
rде матрица у(у) (р) . А у(в) (р) л<т) овпадает С матрицей узловых
проводимостей у(у) (1Ш) при замене 1Ш на р. .
Таким образом, характеристическое уравнение получается при
равниванием к нулю определител контурной (Z(!{) (р» или узло
вой (у(у) (р» матрицы. При составлении этих матриц сопротивле
ние индуктивности L m (емкости СтУ"'считают равным pL m (lfpC m ).
Контурный и узловой опре
делители связаны между со-
бой равенствами (8.17) или
(8.18); следовательно, корни
ур iзнений (15.5) и (15.6) оди
наковы;
Выражение для входноrо
сопротивления схемы относи-
тельно зажимов источника
э. д. с., включенноrо в неко-
торую ветвь (входщ>й прово-
димости относительно зажимов источника тока, iзключенноrо меж-
ду парой узлов); определяется дробью, числитель которой пред
ставляет собой контурный (узловоЙ) определитель,. а знамена
тель алrебраическое дополнение соответствующеrо элемента оп-
ределителя (см. 7.8). Поэтому уравнения (15.5) и (15.6) эквива-
лентны соответственно уравнениям
(15.6)
i{
'------------1>
f
iJ
(ff)
с\,
!l2
r
. Lu,j
2
Рис. 15.2
ZBX (р) == о;
У ВХ (р) == О,
(15.7)
(15.8)
rде ZBX (р) входное сопротивление схемы относительно дву?С
зажимов, получающихся в результате раЗмыкания любой ветви схе-
мы; У ВХ (р) входная проводим()сть схемы относительно произволь-
ной пары узлов схемы. При вычис.irении ZBX (р) или У ВХ (р) сопро
тивление индуктивности L m (емкости С т ), как уже отмечалось,
считают равным pL m (l/рС т ); источники, как правило, исключаются
из схемы. Если в схеме нет короткозамкнутых ветвей, то ypaB
нения (15.7) и (15.8), составленные для различных ветвей или
пар узлов, имеют одни и те же корни.
Корни .характеристическоrо уравнения называют с о б с т в е н
н ы м и ч а с т о т а м и цеп и, так как они определяют характер
свободных процесtов.
"рпмер 15.1. Составить рассмотренными в 15.1 способами характеристи-
чеСКОе уравнение nля цепи на рис. 15.2 (при разомкнутом ключе). Параметры
схемы: rl==r2==10 ом; L==O,1 r; С==10"<! Ф.
411
1.
Реш е н и е. Матрица контурных сопротивлений
[( 1' 1 + P L+{ + ]
ZIK) ( ) == р р
р ( 1'2+ ) .
рС рС
Если приравнять к ну;JIю определитель этой матрицы, то получим харак-
теристическое уравнение вида (15.5):
lllКJ (p)==(1' 1 + p L+ p ) (1'2+ р 1 с) ( p Y ==0.
или после преобразования
LC1'2p2+(C1'l1"2+L) p+r 1 +т 2 ==о.
зловой определитель lllYJ (р) в цепях' без взаимной индуктивности най-
дем по тополрrической формуле. Так, записывая узловой определитель с. по-
мощью разлоjkения по путям между узлами 1, 2 (при замкнутом источнике 6')
и приравнивая t!ro к Нулю, получим характеристическое уравнение вида (15.6):
. + ( РС+ ) ( 1 + ) ==0.
,!L 'l ' 2 pL 'l
Для заданной схемы можно записать три уравнения вида (15.7).
1. Прира нивая нулю вх{)дное сопротивление относи.тельно зажимов
ника 6', получим
' 2 (l/pC)
ZиJtl (Р)==Тl +pL+ r 2 +(lfpC)
источ-
о.
2. Если' Ъмкнуть источиик 6" и разомкнуть ветвь с сопротивлеиием или
емкостью С, то нетрудно получить уравнения, приравнивая нулю входные
сопротивления относительно точек разрыва ветвей:
(Тl + pL) (l/pC)
ZИХ2 (Р)==Т2 + rl+pL+(1/pC)
Z ( == (rl+pL) ' 2 ==0.
ВХ3 р) рс+ rl+;2+pL .
3..Если приравнять к нулю проводнмость между узлами 1, 2, то полу-
чим характеристическое уравнение вида (15.8):
1 1
+ L +pc+ ==o.
'l р '2
о
или
После преобразования любоrо из уравнений и подстановки численных зна-'
чений параметров найдем
р2+200р+20.1О 3 ==0.
Вычислим корни характеристическоrо уравнения:
РИ == 100 :!: j 100.
ПОрЯДОК расчета переходных процессов классическим методом.
Токи и напряжения схемы при переходном процессе MorYT быть
рассчитаны следующим образом.
Анализируя схему до коммутации, необходимо найти значения.
токов в индуктивностях и напряжений на емкостях: i L (O ); ис (O ).
Эти значения позволяют определить на основании законов комму-
тации независимые наtrальные условия, Т. е. i L (0+) == i L (O ) И
ис (0+) == ис (O .).
412
,
В схеме после коммутации следует рассчитать принужд€нные
составляющие искомых токов и напряжений. Далее для схемы
после коммутации требуется
составить характеристическое
уравнение и определиТЬ ero KOp
ни. Искомые величины следует
представИТЬ как суммы свобод-
'ных И принужденных COCTaB
ляющих и вычислить постоян-
НЬ]е интеrрировани . Начальные
значения искомых величин и их
производных, nеобходимые для
вычисления постоянныIx интеrрирования, находят с помощью не-
зависимых начальных условий и уравнений цепи.
Рассмотренная методика расчета переходных процессов приме-
I:lима и к цепям, содержащим электронные лампы и транзисторы.
Пример 15.2. Рассчитать напряжение и 2 (t) на выходе ламповоrо резонанс-
Horo усили еля, эквивалентная схема KOToporo Пp1lведена на рис. 15.3, при
. поД'Ключении источника rармоническоrо, напряжени'я иl т Uтl slп (wt+'Ф).
Реш е н-и е.. Наrрузкой резонансноrо усилителя С.IIужит параллельный
контур L C rl' Параметры данноrо усилителя таковы, что характеристи-
ческое уравиение для этоrо контура
1 1
pL + рС +;:;-==0
и;! SU,
'l
L
с
r,
IU 2
fflJ
J
Рис. 15.3
имеет комnлексно.сопряженные корни.
Для схемы на рш;. 15.3 можно составить уравнение
dU2 и 2 1('
Cdr+,+T J U2dt== SUl,
I ,
..де r==r,rl/(ri+r.). После дифференцирования этоrо ураВНЕ!НИЯ ПОЛУЦПМ
,
\
Следовательно, характеристическое уравнение
1 1
'-Ср2+,Р+у==О.
C d2U2 +.!. du 2 + == S dUl
dt 2 r dt L dt .
принимает вил
Полученное уравнение эквивалентно уравнени!о
1 1
У ВХ (p)== + рС+ L == О,
r р
[:Де у ВХ (р) ВХОДная проводимость относительно узлов 2 3 при и. == О и
Slll ==0, т. е. при разомкнутом зависимом источнике тока. Такнм образом, для
заданной схемы можно воспользоваться соотношением (15'.8). .
Если обозначить
J (t)==J m siп (wt+'Ф)== SUlm siп (wt+'Ф),
то ДЛя определения напряжения и 2 (t) можно ВQCпользоваться выражениями,
ПОЛученными в 6.7; - ,
Для цепей с электронными элементами и взаимной индукцией
8 Щись характеристическоrо уравнения в'виде (15.7) и (15.8) может
413
- быть затруднена, поэтому для составления характеристическоrо
уравнения целесообразно воспользоваться друrими способами, На-
пример применить выражения (15.5) и (15.6).
15.2. Переходные н импульсные характеристики цепей
При анализе цепей ,во временной области часто применяют две
специальные функции: единичную функцию и единИЧНЫЙ ИМпульс.
Е д и н и ч н у ю Ф у н к Ц и ю 1 (t) определяют следующим обра-
зом (рис. 15.4, а).:
{ Опри t<O;
1 (t)== 1 при t>O.
(15.9) "
ФУНКЦИJil 1 (t) J:Iепрерывна всюду, кроме точки t == о; значение
функции 1 (t) в точке разрыва можно считать неопределенным *.
fШ
L'
о t
а)
I
f
'1:
1:' 'т
2 "2 t
'( - t
fft)'
1
а)
f(t '()
1
t
,,'
'( t
11)
Рис. 15.4
Рис. 15.5
Аналоrично можно определить функцию 1 (t 't) (рис. 15.4, б).
1(t 't)== { 0 при t<'t; (15.10)
. 1 при [>1:.
Умножение любой оrраниченной функции f (t) на 1 (! 't) дает
функцию
{ Опри t < 1:;
f (t) 1 (! 't) == f (t) t
' при >1:.
(15.11)
... Можно также считать значение фу.НКЦИИ в точке разрыва равным 1/2
или 1.
414
Таким образом, если в цепи имеется источник э. д. С. или
тока f (t) 1 (t), то это означает, что источник f (t) включается в цепь
в момент времени t == О.
Е д и н и ч н ы й и м п у .h: ь с или Д е л ь т а Ф у н к Ц и ю б (t)
определяют как функцию, равную нулю для всех -" кроме t == О.
в момент времени t == О б (О) == со и интerрал
ro
б (t) dt == 1.
ro
Дельта функцию можно рассматривать как предел последова-
тельности импульсов длит ьности 1: И амплитуды 1/t (рис. 15.5, а)
при 1: о; площадь таких импульсов равна единице. Импульс
на рис. 15.5, а представляет собой производную от функции
(рис. 15.5, б), которая при 1: О превращается в функцию 1 (t).
_ Импульс, показанный на рис. 15.5, ,может быть записан в ВИде
разности
[1(t+ ) l(t )].
Следовательно,
б (t) == ; [1 (t + ) 1 (t )] == :t 1 (t),
Т. е. дельта функция является производной от единичной функцию
d
б (t) == dt 1 (t).
Из определения дельта функций следует, что
t
1 (t):=:: б (6) d6,
(15.1-2)
.:.
ro
rде 6 переменная интеrрирования.
Определение дельта функции как производной от единичной
функции 'не явJ1яетея строrим, так как производной в обычном
, смысле от функции 1 (t) при t == О не существует *.
Дельта функция, смещенная на время 1: относительно начала
координат,
б(t 1:)== :е 1 (t 1:).
Для некоторой функции времени f (t), непрерывной при 1==1:,
интеrрал
.. ro
f (t) б (t 1:) dt==f (1:).
о
(15.13)
* Все операции с дельта-функциями мorYT быть cTporo обоснованы с по-
мощью теории обобщенных функций. Обобщенные функции включают как
частный случай обычные функции и дельта-функции. Для последующеrо изло-
,жения достаточно соотношений (15.11) и (15.12).
415
Действительно, произведение f (t) б (t 't) равно нулю при всех
i значениях t =1= 't И
'(+
f{'t) б (t 't) dt == f ('t)
'(
важныlии характеристиками электрической цепи являются пере
ходная и импульсная характеристики.
Пер е х о Д н а я характеристика uепи представляет собой peaK
цию цепи (при нулевых начальньiх условиях) на единичную Воз
мущающую функцию.
И м п у л Ь'С н а я характеристика цепи определяется как peaK '
. i ' . ция цепи (при нулевых началь
r, ных условиях) на единичный B03
[ 2 1 мущающий импульс.
. у ! с , Возмущающее воздействи MO
r 2 и 2 + . llс жет быть напряжением источника
1 ,W<' э. д. с. или током источнИка тока.
В качестве реакции цепи также рас-
.Рис. 15.6 сматриваI01"СЯ напряжение или ток.
"Следовательно, переходные харак-
теристики MorYT быть безраЗl'vlерны
ми или иметь размерность проводимости или сопротивления. В
соответствии с этим переходные характеристики наЗЬiваЮ1' переход-
НblМИ коэффициентами передачи напряжения или тока, а также
переходНblМИ проводимостями или сопротивлениями.
Переходные характеристики MorYT' быть найдены путем рас-
чета токов или напряжений при подключении источника постоян-
ной э. д. с. в 1 В или источника постоянноrо тока в 1 А.
./
Пример 15.3. Для цепи на рис. 15.6 определить следующие переходиые
характеристики при rl r2 r, и с (o) o: переходную входную проводимость
gl1 (t), переходные взаимные проводимости g21 (t), g:n (t) и переходный 'коэффи-
циент передачи напряжений K ) (t).
.:- Реш е н и е. Если иl (t) == 1 (t), то искомые функции gl1 (t), g21 (t), g31 (t) и
K ) (t) равны соответственно i 1 (t), i 2 (t), i3 (!) и (t). Рассчитывая токи i 1 , i z ,.
i3 И нап;яжение при подключении на вход цепи источника постоянной,
Э. д. с. tf5 иl 1 В, дЛЯ t> О получим:
1
gl1 (t) == 2т (1 +.e tl1:);
g21 и) === 2 (1 e tir);
g;l (t) == e if't;
r
К (и) ( 1 e tl't )
21 2 '
,
416
тде 't==rCj2. Не указывая области определения, переходные характеристики
запишем в следующем виде:
,gll (t) == ;r (l + e Цт:) 1 (t);
g21 (t) == l (l e tIT) 1 (1);-
2r '
','
;
1 .
g:n (t) == e tlT 1 (t);
r
1
K ) (t) == 2 (l e tIT) 1 (t).
при ЭТОI\I..gll ==g21 +gзl' K ) ==r 2 g 21 ==rg 21 .
НетРУДНО установить соотношения между переходнымИ и им-
пульсными характеристиками. Пусть, например, реакция цепи H
единичное напряжение 1 (t) равна g (t). Реакция на еДИНИЧНr>IИ
импульс может быть",определена как. предел' реакции на импульс,
показанный на рис. 15.5, а при 't-+O. Так как в линейной цепи
справедлив принцип. наложения, реакцию на этот импульс, равный
[1 (t + ) 1 (t )],
определяем как разнoс;ь
[g(t+ ) g(t )].
...
i!
,.,
Следовательно, импульсная характеристика
g ( t+ ) g ( t .!.... )
gll (t == ! 2 't 2 == :t g (t)
представлйет собой производную от переходной характеристики
. d ,
gll(t)== dt g(t)==g (t). (15.14)
.'
Справедливо также соотношение
t
g (t) == gll (6) d6.
(15.15)
oo
Равенства (15.14) и (15.15) являются следствиями равенств
(15.11) и (15.12).
Следует рассмотреть воздействие ступенчатых и импульсных
источников fIa индуктивность И емкость. Если ток в индуктивно-
сти i L ==Jl (t) (J==const), т. е. представляет собой ступенчатую
функцию величины J, то напряжение на индуктивности
di L dl (/)
UL == L dt == LJ ""lft == LJб (t).
.14 п/р. Ионкина, т. 1
417
При умножении импульсной функции б (t) на LJ получают
импульсную функцию, площадь которой равна LJ:
(Х) (Х)
UL dt == LJ б (t) dt === LJ.
(X)
(X)
Следовательно, если i L === J1 и), то при t === О UL === 00; при 1 О
напряжение UL == О.
Пусть к индуктивности приложено импульсное напряжение
LJб (t). Тоrда ток в Индуктивности
t t
i L == l UL (6) d6 == J б (6) d6 === Jl и),
oo oo
т. е. воздействие импульсноrо напряжения ПрИБОДИТ к скачкооб
разному изменению ТОКа в индуктивности.
_ Если напряжение на емкости является ступенчатой функцией
ис == И 1 (t) (и == сопst), ТО ТОК В емкости
du c
ic == С (jj == СИб (t)
.
представляет собой импульсную функцию с площадью си. При
воздействии на емкость импульсноrо тока СИб (t) напряжение на
емкости
t t
ис == ic (6) d6 == И б (6) d6 == Иl (t)
(X)
(X)
изменяется скачком при t == О.
Таким образом, при действии импульсных источников нару-_
шается непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на
емкостях, установленная из условия конечной величины напря-
жений UL, токов ic и, следовательно-, мощностей (см. rл. 3).
Пример 15.4. Для цепи рис. 15.6 рассчитать импульсные характеристики,
соответствующие переходным характеристикам gll (/), g31 (1) и K ) (/).
Реш е н и е. Переходная характеристика (см; пример 15.3)
gl1(t)== (;r + 2 1 r e t/'t) 1 (1).'
Дифференцируя это выражение по правилу дифференцирования произведе<
ния, получим импульсную характеристику
gбii (/) ==g l (/) == 2 l) (1)+ 21, ( ) е t/ч (1)+ 2 e t/'tl) (/).
\[ак как l) (/) ==0 при t =1= О, произведение
e t/'tl) (/) == е°б (t)==l) (1).
Таким образом.
gl' (/) == l) (!) 2 I C е tlЧ (t).
иll r r
418
Если е> о. \l'Q
gб;, (е) == r c e--:f7'11.
Аналоrично найдем импульсные характеристнкиr
gб 21 (t)==g;l (t)== ,2 е tLЧ (t);
gf' (t)==g;1(t)== 6(t) ; с е tIЧ(t)J
1 "
К(и) ( t ) ==К,(и) (t) == ..!... e tl"r1 ( t)
1321 21 ,С
На рис. 15.7, a e приведены соответственно rрафики импульсных характе-
Р истик g, я ( t), gf' (t), gб (t), Кя (t), которые показьmают, что при воздейст-
ин и.21 З1 U21
вии имriульсноrо напряжения на входе цепи (см. рис. 15,6) токи ii и (3 в МО-
00 00
ион gr52! UOJ!
1
rZC
t t
1 хМ OJ
r" rzC ! О2!
а) 1
rC
L
r 2 C О)
8) t
Рис. 15.7
мент 1==0 Принимают бесконеую большие значения, поэтому емкость мrновеино
заряжается (напряжение на емкости скачкообразно возрастает). При t> О на-
пряжение на ВХоде цепи становится равным нулю и в цепи начинается сво-
бодный процесс разряда емкости.
15.3. Расчет переходных процессов при воздействии
иСточников 3. д. с. И тока ПРОИЗВОJlЬНОИ формы
С помощью переходных и импульсных характеристик можно
определить реакцию цепи при воздействии источников э. д. с.
(тока) произвольной формы и нулевых начальных условиях. '
\ Пуctь на цепь воздействует напряжение, форма Koтoporo по-
каЗана на рис. 15.8. Это напряжение можно приближенно пред-
ставить в виде суммы ступенчатых функций, сдвинутых последо-
вательно относительно друr друrа На малый отрезок времени :
u (t) и (k ) 1 (! k ),
k
rде
14'-
и (k ) == u (k ) и [(k 1) ] Rd и' (k ) 1J.
419
Если требуется определить ток i (t) в некоторой ветви схемы,
то, применяя принцип наложения, можно записать
i (t) и' (k 't) g (t k Li't) 't,
k
rде g (t) соответствующая переходная проводимость; и' (k 't) Х
xg (t k 't) 1: реакция цепи на ступенчатое напряжение
и (k 't). А
При условии, что 't стремится к бесконечно малой величине,
суммирование заменяется интеrрированием:
t
i (t) == и' ('t) g (t 't) d't. (15.16)
о
Формула (15.16) представляет собой точное ВЫIfаЖение для
определениЯ' реакции цепи на напряжение u (t). Аналоrично можно
записать выражение для тока некоторой ветви при действии
U(t)
l/{klJrJ
l1(t)
u(lrlJr)
И2IJт)
I1{O)
t
IrlJr
t
Рис. 15.8
Рис. 15.9
источника тока произвольной формы или для напряжения между
парой узлов при действии источника э. д. с. или источника тока.
Формулу (15.16) можно распространить и на случай, коrда
функция U (t) имеет разрывы. Например, напряжение U (t), форма
KOToporo показана на рис. 1 .9, имеет разрыв' в точке t == О и,
следовательно,
u (t) == и (О) 1 (t) + иl (t),
rде и. (t) == u (t) u (О). Производная
и' ('t) и (О) б (1:) + и; ('t),
rде и; ('t) == и' ('t) при 't> О содержит импульсную функцию. Из
выражения (15.16) получаем
t
i (t) == u (О) g (t) + и' ('t) g (t 1:) d1:. (15.17)
о
Это равенство может быть также установлено [аналоrично
(15.16)] с помощью принципа наложения.
420
Выражению (15.17) можно придать друrую форму, если под
знакоМ интеrрала переменную t "!; заменить на "t:
t
Це) == u (О) g (е) + и' (е "t) g ("t) d1:. (15.18)
о
Чтобы получить соотношения для расчета реакции цепи
с помощью импульсной характеристики, заданное напряжение
(рис. 15.9) следует представить как совокупность импульсов дли-
тельноСТЬЮ 11"t. Площадь одноrо импульса можно считать равной
произведению u(k 11"t) 111:. Если каждый импульс заменить
импульсной функцией u (k 11"t) l1"tб (е k 11"t), ТО
II (е) u (k 11;;) l1"tб (е k 11"t).
k
РеакцИЯ цепи на импульс u (k 111:) l11:б (t --:- k Д1:) определяется
каК произве.р;ение
u (k 11"t) gб (t k 11"t) 111:,
rде gб (е k 111:) импульсная характеристика. По. принципу нало-
жения реакция цепи на напряжение u (е) выражается соотноше-
нием
i (t) u (k 11"t) g(}(t k 111:) 111:,
k
или при 111:--+-0
"
. t
i (t) == u (1:) g(j (t --- 1:) d1:.
о
(15.19)
Учитывая равенство (15.14), формулу (l .19) можно также
записать в виде
t
i (е) == u (1:) g' (е --- 1:) dT. (15.20)
о
ЕCJIИ переходная характеристика g (t) имеет разрыв в точке
е.== О, то она может быть представлена в виде суммы:
g(t)==g(O) 1 (t)+g1(t),.
rде g1 (t) == g (t) --- g (О) при е> о. в этом случае импульсная харак-
теристика . .
g(} (t "t) == g' (t ---"t) == g (О) {j (е --- 1:) + g (t --- 1:),
1
rде g (t---"t)==g'(t---1:) при t>1:, т. е. содержпr импульсную
ФУНкцию g (О) {j (е --- 1:). Из выражения (15.20)
t
i (t) == g (О) u (t) + u (1:) g' (е --- 1:) a1:
о
О5.21 )
: ,
421
Равенство (15.21) можно доказать на основании (15.17), если
применить формулу интеrрирования по частям. Заменяя под зна
ком интеrрала в соотношении (15.21) пере
менную t "t на 't', можно получить еще qдHO
соотношецие
t
i (t) == g (О) uJt) + S u (t "t) g' ("t) d't'. (15.22)
о
Формулы (15.16) --+-- (15.22) называют ин-
теrралами Д ю а м е л я или интеrралами
t н а л о ж е н и я.
Пример 15.5. Определить ток в последовательной
,L-IIепи при подключении к источнику импульсноrо
'напряжения (рис 15.10).
интервале времени 0+/1 напряжение и (/) изменяется по
щt)
и.
[ , .
Рис. 15.10
Решен"ие. В
пинейному закону
U
и (/) == Т /
1
И производная и' (t)==Ujti постоянна. Для pac'Ieтa тока воспользуемся соот-
ношением (15.16). ПереХОl!ная про одимость
· g(t)== (I"'"---e f}
следовательно,
r {j r [ !.., (t "t) ]
i (t) == и' (.) g (/ .) d. == t l , 1 е L d.===
== t [/ (I e f/)J O / ti.
В интервале времени / > t l напряжение и (1) === О. с учетом разрыва функ-
ции и (t) в момент t==t l
t,
i (t) == S и' (1) g (t 't) d. Ug (t /v ===
о
U t 1 [ (t "t) ] U [ !.., (t t1) ]
== l e L d. l e L ;::\
/1' ,
О
U [ L ( .!... tl ) .!... (t t1) ]
== е L 1 + t е L . /> / :!
t l " 1 , .
- При /==/1 решения, найденные для различных интервалов, дают одно и
!ro же значение тока i (t l ).
1,.
15.4. Особенности расчета переходных процессов в цепях
о емкостными контурами и индуктивными сечениями
В схеме электрической цепи в результате коммутации Moryт
бьпь образованы контуры, которые СОСтоят только из емкостей
или еМкостей и' источников Э. д. с. (емкостные контуры). Если
422
I
контур состоит только из емкостей. то в первый момент после
коммутации. по уравнению Кирхrофа, ис" (0+) == О, rде UCk
k
напряжение на k-й емкости контура. Считая напряжение на
емкоСти Ис" (0+) == ис" (O ) непрерывным, леrко прийти к противо-
речию: для произвольных начальных условий UCk (O ) * О, однако
_ ",
UCk (0+) == о.
k
Аналоrично в результате коммутации в схеме MorYT быть обра-
зованы сечения, состоящие только из индуктивностей или из
индуктивностей и источников тока (индуктивные сечения). Если
сечение состоит только из индуктивностей, то, соrласно закону
, /
и с ,
,.
'
lч
l, /...... l? 2 "
-----------{> \.
\
,
'2 I
/
...
Lz
.
j &,
I r,
.....-
Рис. 15.11
Рис. 15.12
Кирхrофа, iLk (0+) == О, rде i Lk ток k-й индуктивности сечения.
k
Для произвольных начальных условий i Lk (O ) * О, поэтому
k
при условии непрерывности токов в индуктивностях iLk (0+) ==
.:...... iLk (O ) также возникает противоречие. .
В схеме на рис. 15.11 емкость С], заряженная до напряже-
ния и, присоединяется к незаряженной емкостИ С 2 , образуя
емкостной контур С] С 2 . До коммутации ис, (O ) == и =1= иС 2 (O ) ==
== о; после коммутации ис, (0+) == аС. (0+). В схеме на рис. 15.12
после коммутации индуктивности L] и L 2 включаются последова-
телЬНо, образуя индуктивное сечение L] L2' До коммутации
i] (O ) === 6" /r] =1= i 2 (O ) == о; после коммутации i] (0+) == i 2 (0+).
. Таким образом, при расчете схем с емкостными контурами
или индуктивными сечениями нельзя применять ):;словия непре-
рывности напряжений на емкостях или токов в индуктивностях
(законы коммутации). В таких случаях следует применять более
общие условия (законы): условия сохранения заряда и потокосце-
пления.
Условие сохранения (непрерывности) заряда для схемы на
,рис. 15.11 имеет вид
q] (O ) + q2 (O )== q] (0+) +q2 (0+),
rде q] === С]ис., q2 == С 2 иС 2 заряды емкостей С] и С 2 , т. е. суммар-
ный заряд емкостей С] и С 2 непрерывен в момент коммутации.
423
Из условия сохранения заряда получаем уравнение для наЧальных
значений ис. (0+) И ис. (0+):
С1Ис, (O ) + С2ис. (O ) == С 1 и ' С1ис, (0+)+С2иС2 (0+).
Учитьmая, что Ис, (0+) ' ас. (0+), находим
, С 1
ис, (0+) == ис. (0+) == ас (О) == с + с и.
, 1 11
Характеристичес ое уравнение цепи (CM рис. 15.11) после Ком-
мутации .
р (С 1 +С 2 ) +-} == О
имеет корень Р1 == ' I/r (С 1 + С 2 ) и, следовательно, для напряже
ний ис, и ис, при t> О (ис 1пр =='ис 2пр == О) справедливо выражение
" ис, (t) == ис. (t) == ас (t) == С 1 C2 UeP,t.
В момент времени t == О напряжение ис, скачкообразно умень-
шается, а напряжение ис. скачкообразно возрастает (рис. 15.13).
Такое изменение щшряжений обуслов-
лено импульсными токами емкостей,
которые возникают в момент t == О и
ОСУIЦествляют MrHoBeHHoe перераспре-
деление зарйдоВ между емкостями.
Для схемы на рис. 15.12 условие
сохранения (непрерывности) потокосцеп-
ления записывается в слеДУЮIЦем виде:
'У1 (O ) + 'У2 (O ) == 'У1 (0+) + 'У2 (0+),
Uc,PC z .
и
.
с,и
. 'С'+С 2
,t
rде 'У1 ==L1iL" 'l'2==L 2 iL;. потокосцеп-
ления индуктивностей L 1 и 4" т. е.
суммарное ПОТОl\осцепление индуктив-
носrей L 1 и L 2 В момент коммутации непрерывно. Из этоrо ус-
ловия получаем уравнение
L1iL, (O ) + L 2 iL. (O ) .....:., L 1 !!.... == L1iL, (0+)+ 4.iL. (0+).
'1
Так как после коммутации i L , (0+) == i L , (0+), начальные значе-
ния ТОков .
iL, (0+) == i L . (0+) == i.J. (О) == (Ll J '1
Рис. 15.13
Характеристическое уравнение схемы (см. рис. 15.12) после
коммутации
р {L 1 +L 2 )+r1 +r 2 ==0
имеет корень Р1 == (r1 + r2)/(L 1 + L 2 ) и, следовательно, для токов
J1., И iLi при t > О справедливо выражение
@
iL 1 (t) == iL (t) == i L (t) == i L (t) + i L (t) == i L (О) ep,t + + (д ,
2 СВ пр св '1 '2'
тде iL CB (О) ==iL (O) fffl(rl +r 2 )== fff(L 1 r 2 L2r1)/rl (rl +r 2 ) (L 1 +L2)
424
rрафики токов i LI (t) и iL. (t) показаны на рис. 15.14 при усло-
вии, что i L (О) > iL np ' В момент коммутации токи изменяются
скачкообразно, так как на индуктивностях возникают импульсные
напряжения, при водящие к MrHoBeHHoMY перераспределению Mar
нитноrо потока -между индуктивностями.
В общем случае условие непрерывности заряда формулируется
для зарядов емкостей, входящих в емкостные контуры. следую
щИМ образом: алсебраическая сумма "
варядов емкостей, присоединеннbtх к ll" lL2
любому общему узлу, непрерывна:
qj (O ) === GjИС j (O ) ===
1 j
==' qj (0+) == GjИС j (0+)-. (15.23)
j 1
Сумму зарядов qj записывают
j
с учетом положительных направле
ний напряжений на емкостях анало
rично первому закону Кирхrофа для
токов; п{'и этом учитывают только ветви емкостных контуров.
Условие непрерывности потокосцепления в общем случае фор-
мулируется для потокосцеплений lшдуктивностей, входящих ,
в индуктивные сечения следующиМ образом: алсебраическая сумма
потокосцеплений индуктивностей в любом замкнутом контуре
непрерывна: .
'У} (O )=== _LiL. (O ) === 'I'j(O+) == LiL. (0+). (15.24)
1 1 1 j 1 1
fJr,
L,c/a, +L 2 )r,
E/fr,+rj}
t
Рис. 15.14
Сумму потокосцеплений 'У} записывают с учетом положи-
u j
тельных направлении токов в индуктивностях и - направления
оБХ9да контура аналоrично второму закону Кирхrофа для напря
жений; при этом учитывают только ветви индуктивных сечений.
С помощью уравнений вида (15.23) и (15.24), уравнений.
составленных по второму закону Кирхrофа для напряжений ис (0+)
u u j
ветвеи емкостных контуров, а также уравнении, составленных по
первому закону Кирхrофа для токов iL. (0+) ветвей индуктивных
u J О
сечении, можно определить все начальные значения И С j ( +) И
iLj (0+) *.
, Пример 15.6. СоСтавить уравиения для определения начальных значений
.напряжений на емкостях схемы рис. 15.15. _
Ре iII е н и е. После замыкания ключа в схеме образуется емкостный кон-
тур tff Cl C2 C3' ДЛЯ узлов 1 Ii 2 составим уравнения непрерывности
.. Емкостные контуры и ИНДУКТИВЩolе ечения не обязательно образуются
в результате коммутации; таки контуры и сечения MorYT быть в схеме до
коммутации, Уравнения (15,23) и (15.24) в этом c.nучае также справедливы
425
sарядоВ%
...... С 1 и С1 (0 )+C2иc" (O )== С 1 и С1 (0+)+С 2 и с . (0+);
....... С 2 и с . (О )+Сзис. (O )== С 2 и с . (О+)+СЗUС. (0+).
В этих уравнениях учитываются только емкости контура.
По второму закону Кирхrофа для eMKocTHoro контура получим уравнение
tff (0+) == и С1 (0+) + и С,," (0+) + и С . (0+).
С помощью составленных уравнений определим напряжения и С1 (0+),
иС. (0+) и иc. (0+) при известных Значениях иС 1 (O ), и с .. (O ), ис з (O ) и iff (0+).
Емкость С 4 не входит в емкостный контур, поэтому ее напряжение
непрерывно:
иc. (O )==иc. (0+),
Пример Ii5.7. Составить уравнения для определения начальных значений
токов в индуктивностях схемы на рис. 15.16.
I r, J j и;f
+и С2 ,
r,
. f lj
2
Рис. 15.15
Рис. 15.16
Р е щ е н и е. При подключении источника тока J в схеме образуется
индуктивиое сечение ,] Ll L2 Lз L4' Рассматривая контуры, ПОКа3анные
на рис. 15.16, составим следующие уравнения непрерывности потокосцепле-
ний (учитываются только индуктивности сечения) *:
....... LiL 1 (0 )+L2iL. (O ) == LiL 1 (O+)+LiL" (0+);
........ L 2 i L . (О )+LзiLз (O )== L 2 i L . (ОJ+L з i Lз (0+);
....... L з i Lз (O ) LiL. (O )== L3 i L. (O+) Li L. (0-\,),
По первому закону Кирхrофа для сечения получим уравнение
J (0+) == i L1 (O+)+i L . (О+)+i Lз (O+) iL.! (О+).
С помощью записанных уравнений определим токи i L1 (0+) + i L . (0+).
Индуктивность L5 не входиr в сечение, поэтому ток непрерывен:
i L. (O ) == i L. (0+),
Скачкообразное изменение напряжений На емкостях и токов
в индуктивностях приводит И К скачкообразному изменению энер-
rий электрическоrо и маrнитноrо полей. Например, в цепи на
.. Для соСТавления уравнений непрерывности потокосцеплений можно
выбрать и дрyrие контуры, содержащие индуктивности Ll + L4'
426
рис. 15.11 энерrИЯ электрическоrо поля До коммутации
C 1 U 2
We(O;....)==' ,
Аналоrично определяется энерrия маrнитноrо поля в цепи на
рис. 15.12. , u
ЭнерrНЯ электрическоrо и маrнитноrо полеи не может исчез-
нуть. В 'реальных цепях при коммутациях, подобных коммута-
циям, показанным на рис. 15.11 и 15.12, между контактами
ключа возникает дуrа (искра), которая существует малое время.
В сопротивлении дуrи и происходит необратимое рассеяние энер-
rии; кроме Toro, часть энерrии может рассеиваться в сопротивле-
нии соединительных прово
дов, а также излучаться.
Емкостные контуры и ин-
дуктивные сечения в схемах
можно устранить, если учесть
. малые (<<паразитные») пара-
метры реальных элементов
цепи: сопротивления потерь
конденсаторов и индуктивных
катушек, межвитковую eM
кость каТУlllек,сопротивление
и индуктивность проводов. При этом В схемах будут невозможны
скачкообразные Изменения напряжений на емкостях и токов
в индуктивностях (т. е. будут справедливы законы коммутации),
а также импульсные токи и напряжения. Однако учет малых
параметров неопраВДанНО усложнит расчет цепи.
Например, если в схеме на рис. 15.11 учесть малое сопротив
ление соедини тельных проводов между емкостями, то схема будет
описываться дифференциальным уравнением BToporo порядка.
Напряжения ис.' и ис. будут представлять сумму двух экспонен-
циальных функций и изменяться непрерывно. Так как сопротив-
ление соединительных проводов очень мало, ОДНа из экспонен-
циальных функций будет затухать значительно быстрее друrой.
В пределе, если пренебречь сопротивлением проводов, получается
цепь, описываемая дифференциальным уравнением первоrо порядка.
В общем случае каждый емкостной контур и каждое индуктив-
ное сечение уменьшают порядок характеристическоrо уравнения
схемы на единицу.
В эквивалентных схемах цепей с взаимной индукцией и элек
Тронными элементами также возможны скачкообразные изменения
ТОков в индуктивностях и напряжений на емкостях. Например,
как показано в Э 6.8, токи трансформатора в момент коммутации
ИЗменяются скачкообразно, если коэффициент СВЯЗИ КС ==' 1. Заме-
6
после коммутации
(С 1 +С 2 ) Ut (О)
We(O+)==, 2
I
c и2
2 (С 1 +С 2 ) < W з (O }.
L I1 ..... , L M
1 I ,2 \
r;
' il j .
/
\ .
Рис. 15.17
427
няя трансформатор на рис. 6.30 эквивал нтной схемой без взаим-
ной индукции (см. рис. 9.15, а), леrко прийти к схеме, содержа-
щей индуктивное сечение (рис. 15.17). Условие непрерывности
потокосцеплений для такой схемы имеет вид
(L 1 М) i 1 (O ) + Mi3 (O ) === (L 1 М) i 1 (0+) + Mi3 (0+);
(L", М) i 2 (O ) + Mi3 (O ) === (L 2 М) i 2 (Ot) + Mi3 (б+)
или с учетом равенств i3 === i 1 + i 2 ; i 1 (O ) == i 2 (O ) == О
L 1 i 1 (0+) + Mi 2 (0+) == о; }
Mi 1 (0+) +L2i2 (0+) === о.
r
Полученная система уравнений выражает условие непрерывно
ети поток сцепления каждой обмотки трансформатора и может
быть записана непосредст'Венно при рассмотрении схемы на
рис. 6.30. Если КС == 1, то М == V LIL2 , И из любоrо уравнения
следу.ет
. i2(0+)== V L 1 IL 2 i 1 (Or).
Таким .образом, полученная система уравнений не позволяет
найти значения токов i 1 (0+), i 2 (0+), так как при Кс === Iопреде
литель системы L 1 L 2 М2 === О.' Следовательно, правая часть ypaB
нений также равна Нулю. Для расчета начальных значений токов
необходимо составить дополнительное уравнение.
Так как напряжения Иl и И 2 трансформатора при Кс == lсвя-
заны соотношениями Иl === VLl/ И2 (см. 9.2) и И 2 == r",i 2 ,
справедливо уравнение
е (0+) == rlil (0+) +Иl (0+) === rlil (0+) r2 V L:JLв i э (0+>
или
е (0+) == rlil (0+) + r l i 1 (0+).
Начальные значения токов:
i 1 (0+) === L L е (0+); ,
rl 2 r2 1
i 2 (0+) == Lz L е (0+),
rl r2 1
полученными в 6.8 при Кс== 1.
что совпадает с результатами,
15.5. Оснсвные пспсжения метсда переменных ссстсяния
'ъ-
У Р а в н е н и я м и с о с т о я н и я электрической цепи называЮТ
, любую систему уравнений, определяющую режим цепи:, В более
узком смысле уравнениями состояния называют систему диффе-.
ренциальных уравнений первоrо порядка, разрешенную относи-
. тельно производных. Метод анализа цепи, основанный на состав-
лении и решении системы дифференциа,IIЬНЫХ уравнений первоro
порядка (уравнений состояния), называют методом переменныХ
состояния.
. ,"
'..
", л:
/'
428'
Как было показано, закон изменения тока любой ветви i (/)
в переходном процессе для линейной цепи находят путем интеr
рирования ди ренциальноrо уравнения n ro порядка:
dni dn ч di.
an dtn +atl. I dtn l +...+aldi+aol==F(/), (15.25)
tде F (/) функция, зависящая от параметров источников. Ана-
лоrиЧНое дифференциальное уравнение может быть составлено для
любоrо напряжения и (/).
Уравнение (15.25) сводится к системе п ди ренциальных
уравнений первоrо порядка. Так, полаrая
. di dn Ч
l == XI, di . Х 2 , ..., dtn l == Х n ,
получаем систему уравнений
dXi -.
(f[ == Х 2 ,
1
I
................. f
dXn l ==Х"
dt 11.,
dx n ао ctl' an ! + 1 F (/) j
== Xl X2 ... Xn .
dt а n а n а п а n
. Уравнения (15.26) можно записать в матричной форме:
. Хl О 1 О О ХI , О
Х 2 О О . 1 О Х 2 О
dX2 . X .
dt 3,
(15.26)
+ F (/),
Xn 1 О О О 1 xn I О
Х п , a.o al a2 an l J 1
а n а n а п а п Х n an
05.27)
rде xk==dxk/dl (k== 1, 2, ." , п).
Система п ди ренциальных уравнений первоrо порядка (15.27)
Эквивалентна одному дифференциальному уравнению n ro порядка
(15.25). Переменными Xk системы (15.27) служат ток некоторой
ветви и ero производные. Такие переменные назыают пер ем е н
Ными состояния, а уравнения (15.27) уравнениями
с о.с т о я н и я. Если известны значения перемеlIНЫХ Xk в момент
времени 10' т. е. Xk (/0)' и функция F (/), то с помощью уравне-.
Ний. (15.27) можно найти значения Xk (/) для 1> 10' .
Как. уже было показано, значения тока (напряжения) любой
ве1'ви 'и ero производных в начальный момент времени 10 опреде
ЛЯются независимыми начальными условиями напряжениями на
емкостях и токами в индуктивностях, а также параметрами источ-
l!ИlЮВ в момент времени 10' Следовательно, любые токи и напря:.
429
жения цепи при t> 10 Moryт быть найдены по известным зн-аче
нияМ: напряжений на емкостях и токов в индуктивностях в момент
времени t o и известным законам изменения напряжений и токов
источников.
Напряжения на емкостях и токи в индуктивностях следует
рассматривать как основные переменные, характеризующие СОСтоя-
ние линейной электрической цепи (переменные состояния), так
как друrие переменнь , как, например, переменные в уравнении
(15.27), зависят от этих напряжений и токов. В общем случае
переменными состояния называют любые переменные Xk (t) (k ===
== 1, 2, ..., п), которые позволяют определить выходные пере-
менные Yj (t) (j == I, 2, ..., т) для t> t o по известным значениям
Xk ио) и входным воздействиям Vi (t) (i == 1, 2, ..., q). При ЭТОМ
ВЫХОДНЫI\Ш переменными MorYT быть токи ветвей 11 напряжения
между у:!fловыми парами, а входными воздействиями служат напря-
жения источников э.д.с. и токи источников тока,
Выбирая в качестве переменных состояния напряжения на
емкостях и токи в индуктивностях, уравнение состояния можно
записать аналоrично (15.27):
. x==A 1 x+B 1 v, (15.28)
Тде х столбцовая матрица размера п Х 1 переменных состояния;
А 1 квадратная матрица порядка п; В 1 матрица размера п Х q;
v столбцовая матрица размера q Х r напряжений источников
э. д. с, и токов источников тока. Элементы матриц А 1 и 81 опре-
деляются параметрами схемы и ее тополоrией.
К уравнению (15.28) следует добавить уравнение для выход-
ных (искомых) переменных
у == А2Х+ B 2 v, (I5.2 )
тде у столбцовая матрица размера т Х 1 выходных переменных;
А 2 и 82 матрицы, имеющие соответственно размеры т Х п и т Х q,
элементы которых определяются параметрами и тополоrией схемы.
Матричное уравнение (15.28) представляет систему дифферен-
циальных уравнений в нормальной форме; уравнения (15.29)
являются алrебраическими.
Метод переменных состояния относится к наиболее универсаль-
ным методам анализа электрических цепей. Он применим /как
к линейным, так и нелинейным цепям. Для решения сис м диф-
ференциальных уравнений первоrо порядка разработаны численные
методы, позволяющие автоматизировать расчет переходных про-
Цессов с помощью цифровых вычислительных машин. .
15.6. Составлеиие дифференциальных уравнений состояния
электрических цепей
Применение законов Кирхrофа В простых случаях уравнениЯ
вида (15.28) и (15.29) составляют с помощью законов Кирхrофа.
Пусть требуется составить уравнения (15,28) и (15.29) для
цепи, схема которой {после коммутации} приведена на рис. 15,18.
430
На основании законов Кирхrофа для узла 1 И контура 1
du c
Cdt== gluc iL+JJ
'-
di L
Lfit == ис r 2 i L е,
rде gl == l/rl' Эти уравнения можно переписать в следующем виде:
[ c ] == [ , ' ] [ c ] + [ 01 + ] ( е ] .
lL Т Т lL --- Т О J
ТакиМ образом, если в качестве матрицы переменных состоя-
ния выбрана матрица '
Х == [;L C J.
'\
, L 1}
J
'=00'
Рис. 15.18
а матрица параметров ИСточников записана как
[ gr 1 ]
A. i с = ;
v==[;}
[ о ]
81 == 1 С .
--- о
L
ТО
Полаrая искомыми (выходными) переменнш.1И ток 11 И напря-
жение , Т. е.
y==[ 1
erKO составИть уравнение (15.29):
[ il ] rgl О ][ иС ]
и2 ==Lo r2 i L .
431
Следовательно, для рассматриваемоrо примера
А 2 ==[ 1 } В 2 ==[ ].
Применение принципа наложения. На основании ПРИНЦИПа
наложения можно составить уравнения (15.28) и (15.29), если
в цепи нет емкостных контуров и
индуктивных сечений, включая
KOHTypbI" СОСТQящие из емкостей и
'источников Э. д. с., и сечения, co
стоящие из индуктивностей и ис
точников тока.
На рис. 15.19 показана схема,
в которой выделены все емкости и
индуктивности. Часть схемы, изо
браженная в виде прямоуrольни
ка, содержит только реЗИСТJ:Iвные
элементы и источники Э. д. с. и то-
ка. .Если в схеме нет емкостных
контуров и индуктивных сечений,
то напряжения всех nс емкостей
и токи всех nL индуктивностей
выбирают в качестве переменных
состояния.
Для токов в емкостях и напряжений 'на индуктивностях. спра-
ведливо СООТНОlllение
ic,
<]----о
UCI,
,Utl
'#спС
или
, !U lt
Рис. 15.19
iq.
i cnc
==
U.L.
ULпL
С 1
и.с.
"0
С пС
L 1
ИС пС
[с.:.
".
L пL [;n
L
,-, [:]==[ 1[;:]'
(15.30)
rде ic (UL) и ОС (i L) столбцовые матрицы соответственно токов
в емкостях (напряжений на индуктивностях) и производных от
напряжений на емкостях (токов в индуктивностях); С (L) диаrо-
нальная матрJ:Iца емкостей (индуктивностей) схемы.
Заменяя емкости источниками э. д. с., а индуктивности источ-
никами тока (рис. 15.20), токи в емкостях 'с и напр яже.ния на
индуктивностях UL находим по принципу наложения:
.з2
ic == Hccuc+ HCLi L + НСее+ HcJJ; }
UL == HLCDC+ HLLi L + Нце+ HLJJ,
(15.31)
rде е и J -столбцовые матрицы напряжений источников э. д. С.
и токов источников тока; матрlifцы Нсс, HCL 'и друrие определяют
связь между соответствующими пе- i
ременными в схеме на рис. 15.20.
Например, при iL==O. е==О и
J === О из первоrо уравнения систе-
мы (15.31) получаем ic==Hccuc;
следовательно, элементы матрицы
Нсс представляют собой входные
и взаимные проводимости ветвей
с источниками Ос. Аналоrично
можно убедиться, что элементы
матриц НСе являются входными
и взаимными проводимостями вет-
вей с источниками ОС и ; эле-
менты матриц HCL, HCJ коэффи-
циенты передачи тока соответст-
вующих ветвей;, элементы матриц
HLc, H Le коэффициенты передачи ,
напряжения; элементы матриц H LL и Hц BXOДHыe и взаимнmе
сопротивления соответствующих ветвей.
Уравнения (15.31) можно переписать в !3иде
, "
LqiJ
lч
li2
ll2
,
i
tп l ,
Рис. 15.20
[ iC ] == [ НСС H CL ][ c ] + [ Hce H CJ ][ e ] .
UL H LC H LL IL H Le HLJ J
(15.32)
Приравнивая правые части уравнений (15.30) и (15.32)" полу
чаем уравнение
[ c ] == [ C ] 1 [ Нсс. HCL ][ UC ] + [ C ] l [ Hce H CJ ][ e ] . (15.зЗ)
IL L HLC H LL iL L H Le Ни J
Данное уравнение совпадает с (15.28), если принять:
x==[ c} у==е}
А 1 ==[С LTl[:: :: ].
81 == [С L Т 1 [::: :: ].
Уравнение (15.29) для выходных переменных также можно
СОСтавить по принципу наложения. Если
.
y==[ :]. .
:',.
(15.34)
(15.35)
.--. 433
rде 11' U 2 столбцовые матрицы соответственно ВЫХОДНЫХ
напряжений, то по аналоrии с уравнением. (15.32).
[ il J === [ HlC , НlL ][ С ] + [ Иlе H1Jl [ el,
и 2 н 2с H 2L IL Н 2е H 2J J JJ
'ТЬков И
(15.36)
rде элементы матриц Н1С, НН, Н 2с , Ни, Н 1е , Ни. Н 2е , Н 2! Пред-
ставляют собой соответственно ВХОдные и взаИмные Проводимости,
коэффициенты передачи тока, ВХодные и взаимные сопротивления,
коэффициенты передачи напряжения соответСТВУЮЩИХ ветвей. Таким
образом, в уравнении (15.29)
. [ Н1С И1L ]
А 2 ===; [(15.37)
L н 2с H 2L
82 === [ H 1e Ни ] . (15.38)
Н 2е HZJ
Пример 15.8. Составить уравнения J'!Ида (15.28) и
рис. 15.21, а с помощью прИнципа наложения.
i l
.L
(15.29) ДЛЯ цепи На
r( '2 ' I
Р'('.
ic r z
С ". 'i
...
'2
:J
'i
J и.]
(])
..О)
Рис. 15.21
Решение. Пусть
x==[: J v==[;J у==и 2 ,
тоrда общие уравнения (15.32) и (15.36) принимают вид
Заменяя емкость ИСТОЧНиком э. д. с., а ИНДУКТИВНосТЬ источником тока
(рис. 15.21, б), определим Нес' H CL и Т. Д.
Сначала в схеме На рис. 15.21, б иСКлючим ИсТочники i L . е. 1. 1'. е. ПрИs
Мем i L ==0, е==О и J ==0. Тоrда . '
. 2 О 'i
te== '1+'2 и с ; U L == ; == '1+'2 и с
[ ic ] == [ H ec HCL ][ c ] + [ Hce HCJ1 [ e ] ;
U L H LC H LL t L HLe Н ц ) J
а 2 ==[Н 2с H 2L ][:;]+[H 2e H 2J ] [;}
. 434
П, следовательно,
{е 2
Н ;
ee и е r 1 +r 2
HLe==O;
rf.
H2e== .
r 1 +r2
Если i L * О, ие,==О, е==О и J =0, то
2rlr2 .
{е == о; U L == rl +r2 t L ;
rlr 2 .
и2== + tL,
rl r 2
поэтому
t e U L 2r 1 r 2 . и2 r 1 r 2
Hй== ==O; HLL== == + ' H2L== == .
t L 'L r 1 r 2 'IL r 1 +r2
Полarая в схеме на рис. 15.21, б и е ==0, i L ==0, J ==0; е * О, найдеМ1
1
{ e'
e rl+r2 '
{е
Н- .
ee е rl+r2'
u == e' и О
L rl+r2' 2==;
U L r 2 .
HLe== ::::>: + ; Н 2 ==0.
е rl r2 е
При е==О, ие==О, iL==O, J*O
. rf J rlr2 J rlr2
te== + ; иl == + ; и2== + J;
rl r2 rl r2 rl r 2
{е r 1 U L - r 1 r 2 и 2 r 1 r 2
Н . Н . Н
eJ J rl+r 2 ' и J r:L+ r 2' 2J J rl+r2'
Матрицы A f и 81, вычислим в соответствии с выражениями (.15.34) и (15.35),
учитывая равенство
rc O ] l == [ 1/С О ] .
LO L О II. L -
В результате уравнения (15.28) и (15.29) принимают вид
[ Й е ] == [ С (rl r2) О ] [ e ] + [ С <'. 'J с (': 'J ] [ е ] ;
IL О 2rlr2 _ t L r2 rlr2 J
L + L + L +
U2== [rl r2 rlr;J [ e]+[o rl J e].
Применение ТОполоrических сООтношений. Рассмотренная MeTO
дика составления уравнении (15.28) и (15.29) с помощью принципа
наложения неприrодна, если в схеме цепи имеются еМКостные
контуры и индуктивные сечения, так как в таком случае нельзя
записать уравнение (15.32). Для ПРОИЗВОльных цепей (с eMKOCT
Ными контурами, индуктивными сечениями, а также электронными
элементами), если воспользоваться тополоrическими матрицами
сечений и контуров, уравнениями Кирхrофа в 'матричной форме
и уравнениями для схемных элементов, Moryт быть составлены
уравнения состояния. Уравнения состояния ПРОизвольных цепей
можно привести к виду (15.28). При этом в правой части появятся
ДОПОлнительные слаrаемые, содержащие ПРОизводные от напряжений
435
источников э.' д. С. и токов источников тока. Подробно такие
уравнения здесь не рассматриваются.
Порядок матрицы А 1 в уравнении (15.28), определяемый 'числом
переменныУ. состояния, в схеме без емкостных коитуров и индук
тивных . сечений равен суммарному числу емкостей и индуКТИВно
стеЙ *. Каждый емкостной контур и каждое индуктивное сечение
уменьшают на единицу порядок матрицы Аl' поскольку в качестве
переменных состояния выбираются тол ко независимые напряже
ния на'емкостях и токи в индуктивностях.
15.7. Способы решения уравнений состояния
Аналитические выражения для решения уравнений состояния.)
Если в цеп,r. исключены источники (v ==0), то уравнение (15.28)
принимает вид
х == А 1 х.
(15.39)
Пqлученное уравнение характеризует свободные процессы
в цепи. Решение этоrо уравнения выражается формулой
.. х == e A1t x (О), (15.40)
rде, e A1t == ехр (A 1 t) матричная экспоненциальная функция; х (O)
вектор начальных значений переменных состояния (to == О). ДЛЯ
Toro чтобы убедиться в справедливости Выражения (15.40), можно
подставить ero в уравнение '(15.39) ** и получить тождество
A 1 e A1t x (О) == A 1 e A1t x (О).
Если матрица параметров источников v =1= о, то решение урав-
нения (15.28) можно представить как произведение:
x:::r::eA1tF(t), (15.41)
rде F и) некоторая матричная функция времени. Дифференцируя ..
выражение (15.41), получаем
х == A 1 e A1t F (t) +e A1t p (t) == А 1 х+е А1 Ф (t). (15.42)
Из сравнения уравнений (15.28) и (15.42) следует
еА,ф (t) == B 1 v.
(15.43)
После умножения обеих частей равенства (15.43) слева на
матричную функцию e A1t и интеrрирования определяем
t о t
F(t)== e AltBlV('t)d't== e A1'tBIV('t)d't+ e A1'tBIV('t)d't.
ro ro О
.. Порядок матри ы Аl называется часто порядком сложности схемы псов.
падает со степенью характеристическоrо уравнения.
*'" Правила диффереицирова,НИЯ матричньщ функций аиалоrичны правилам
диффереицирования скалярных функций.
436
ТакиМ образом, решение (15.41) записывается как сумма:
о t
х == еА,! e A,'tBIV (,;) d,;+eA,t e A,TBIY ('t) d,;. (15.44)
co о
Под тавляя в полученное выр жение значение t == О. находим
о
х (О) == e A,'tBIV (,;) d,;.
co
ТакИМ образом, окончате.пьное решение уравнения (15.28)
имеет вид
t
Х == eA,tx (О) + еА,! e A,'tBIV (,;) d,;.
о
(15.45)
Решение этоrо уравнения является суммой двух слаrаемых:
первое слаrаемое определяется начальным состоянием цепи (peaK '
ция- цепи при «нулевом входе»: V == О), второе слаrаемое опреде
ляется действием источников [реакция цепи при «нулевом состоя
нии»: Х (0)==0].
С учетом соотношения (15.45) матрица выходных переменных
(15.29) выражается равенцвом
t
у == A 2 e A ,tx(0) +А 2 е А ,! 'e A,'tBIV (,;) d,;+ В 2 \1". (15.46)
о
Если в цепи действует только один источник Э. д. с. (или тока).
представляющей единичную функцию, то v (t) == 1 (t) и при нулевых
начальных условиях х (О) == О решение (15.45) ПРИНJIмает вид
х,== eA,t( eA,'t AI1J Bl == еМ (1 e A,t) А 1 1 В 1
или
. х == (eA,t 1) А 1 1 В 1 .
(15.47)
в этом случае матрица выходных nepe1l:'leHHbIX
у ==А2 (eA.,t 1) А 1 1 В 1 + В 2 . (15.48)
ФQрМУЛЫ (15.47) и (15.48) выражают соответствующие пере-
ХОДные характеристики цепи.
Если в цепи действует источник импульсных Э. д. с. или тока.
Т. е. v (t) == б (t). то при нулевЫХ начальных условиях получается
t t
Х == eA,t Е;А,'tВ1б (,;) d,; == eA,tB 1 б (т) d,;,
о о
так как подынтеrральное выражеиие отлично от нуля только при
1"==0. Следовательно, при действии импульсноro источника
х == e A ,tB 1 , (15.49)
у ==A z e A ,tB 1 + В 2 б (t). (15.50)
437
, '
.,
.полученные формулы выражают соответствующие ИМпульсные
характеристики цепи.
Как видно из формул (15.45) --+-- (15.50), rлавным при решении
уравнений состояния служит вычисление матричной экспонен
циальной функции e A,t . Известны различные аналитические способы
вычисления этой функции; далее будет рассмотрен один из таких
способов.
Пусть через лi (i == 1, 2, ..., n) обозначены собственные зна
чения матрицы Аl' Т. е. корни' уравнеI1ИЯ
, (л) == det (лI А 1 ) == о, (15.51)
rде матрица 1 имеет порядок, равный порядку матрицы Аl, т. е. n.
Собственные значения 'матрицы А 1 совпадают с корнями харак-
теристичес оrо уравнения цепи. Действительно, если производную
Xk==dXk/dt в (15.39) заменить на PXk, то уравнение (15.39) можно
переписать в виде
Px Alx==(pI Al)X==O, (15.52)
Характеристическое уравнение получаем, приравнивая к нулю
определитель системы (15.52):
.
(Р) == det (рl А 1 ) == о. (15.53)
Корни уравнений (15.-51) и (15.53) одинаковы.
,Матричная функция e A,t наиболее просто вычисляется, если
собственные значения матрицы А 1 различныI. Общее выражение
для искомой матричной функции
e A,t ==аоI +аlАl +a2A +.. .+aп----1A I, (15.54)
rде ао, аl' ..., aп 1 некоторые функции, подлежащие определе-
нию; A == А 1 А 1 ; A == А 1 А 1 А 1 И т. д. Для нахождения функций ао,
аl, ..., an 1 образуют полином
F (л) == ао+аlЛ+" .+ап lлп .1 (15.55)
.
и составляют уравнения:
е'Л1t ==F(Лl)' е Ч ==р (Л2), ..., е'Лnt ==р (л п ),
или
е'Л,t 1 л лп l
1 ... 1 а о
е'Л 2 t 1 л лп 1
2 ... 2 аl (15.56)
е'Лпt 1 л лп 1
n ... n ...... aп l
Из этих уравнений получаем
1 л n 1 I е'Л,t
ао лl ... 1
1 л лп 1 е'Л 2 t
аI 2'.' 2 (15.57)
1 А л п 1 е'Лnt
:...aп C п ... n ....
438
Подстановка функций (15.57) в (15.54) дает искомое решение.
Если среди собственных значений матрицы А 1 есть кратные
значения, то общие выражения (15.54) и (15.55) останутся спра
ведливыми, а уравнения для определения функций 0:0, ..., O:п 1
изменятся. Так, если ').,; собственное значение кратности тi, то
составляют тt уравнений:
e'A1t === F (').,i);
de'At I te'Ait dP (л) I .
dл 'A 'Ai dл 'A 'Ai'
d 2 e'At I === t 2 e'Ai t === d 2 P (л) I .
dл 2 'A 'A; d 2 л 'A 'A; t
- ..........,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _1...
dтt le'At I т 1 'А t dтi 1р (л) I
ti et
dлтi 1 'A 'A; dтi lл 'A 'A/
Составляя такие уравнения для каждоrо собственноrо значения
и решая их совместно, определяем функции 0:0' 0:1, ..., О:п'
Пример 15.9. Для цепи на рис. 15.18 определитЬ i 1 (t) и и 2 (t), если
I (t)==O; е (t)== 1 (t); ri==0,5 ом; r2==2,5 ом; С==1 Ф; L 0,5 r. Начальнъrе
условия: и с (0)==0, i L (0)==0.
Реш е н и . Уравнения состояния цепи получены в 15.6 при условии,
что в цепь включены источники тока и э. д. с. Если источник тока отсутствует
(] (t)==0), то матрицы А 1 и А 2 не изменяют своих значений:
[ t i
А 1 ==
1
Т
] == [ 2 1 ] ; A 2== [ gl 0 ] == [ 2 О ] .
2 5 О 1' 2 О 25
L '
Матрицы 8i и 82 при наличии в цепи только источника э. д. с. е (t) при-
ним ают вид
81== [ :1 ]==[ 2 J 82==[ ].
Та-к как напряжение источника э. д. с. представляет единичную функцию,
для выходных переменных справедливо выражение вида (15.48)
y==[ :]==l 2, ]{eA1t [ ]}Al1 [ ]+[ ].
Для вычисления матричной функции e A1t следует найти собственные зна-
чения матрицы А 1 из уравнеиия
{[ л ? ] r , 2 2 1 ] [ Л+2 1 ]}
tJ. (л) == det О '" =5 ==det 2 л+5 ==(л+2) (л+5)+2==0
или
л 2 +7л+12==0,
откуда лi== 3; Л2== 4. Так как порядок матрицы Ai n==2. полином Р (л)
имеет первую степень:
Р (д) ==ао+аl Д '
439
Функuии а о I'! cti определяем из уравнений
! I e st == ао 3а1;
e 4! ==cto 4Gt:l.
откуда ао == 4e"""1l t 3e 4t; а1 == e st e 4i.
Матричная функuия
[ 1 О ] [ 2 1 ]
eA.t==ctol+ct1A1==(4e 3t 3e 4t) +(е зt е 4t) ==
. о. 2 5
[ 2e st e 4t e st+e 4t ]
== 2е зt 2е 4t e----:j!+2e 4!'
Матрица, обратная матрице А1'
[ 2 1 ] 1 1 [ :"5 1 ]
" A 1== '2'':'''5 == 12" 2 2 .
;е
Подставляя выражения для е А .! и А"1 1 в формулу .nля ВЫХОДIЩХ величин,
получим
[ il ] " [ e""1!t+e 4!+{ ]
5 t 5 .! 5 .
и2 зе 3 +2 е 6
.
в рассмотренном примере выражение для ii совпадает с переходной взаим-
нои ПрОВQДИМОСТЬЮ, а выражение дЛЯ U2 C переходнЫМ коэффициеитом пере-
дачи напряжения.
Численные методы решения уравнений состояния." Матричная
экспоненциальная функция может быть представлена в виде ряда
1 '00 Aktk
e lt==l+Alt+2f A t2+...== ! т.
k O
Если: оrраничиться конечным числом слаrаемых, то вычисление
матричной функЦии e A . t можно свести К умножению и суммирова-
нию матриц, что нетрудно выполнить с' помощью ЦВМ.
У равнения состояния проще Bcero решаются методом числен-
Horo интеrрирования методом Эйлера. При численном интеrриро-
вании интервал интеrрирования разделяется на ряд отрезков
шаrов. Не снижая общности, шаr h можно считать постоянным. Зная
,начальное значение переменных СОСТЩIНия х (О), сначала необхо-
димо вычислить x(h), затем x(2h) и т. д.
Матрицу переменных состояния для (n+ 1)-ro шаrа х [(n+ l)h]
можно разложить в ряд Тейлора, оrраничиваясь слаrаемым, содер-
жащим первую производную: .
х [(n+ 1) h] == х (nh) + hx (nh).
Подставляя в равенсТБО (15.47) выражение
х (nh) == А 1 х (nh) + B 1 v (nh),
записанное соrласно уравнению (15.28), получим
х (,(n+l)h] ==(1 +hA 1 )x (nh) +hB 1 v (nh).
(15.58)
(15.59)
440
Формула (15.59) представляет собой расчетную формулу для
вычисления переменных состояния по методу Эйлера. В cooтвeт
ствии с этой формулой
х (h) == (1 +hA 1 ) х (О) +hB1v (О); "-
x(2h) . O+hA 1 )x(h)+hB 1 v(h)
и т. д.
. Процесс вычисления значений х [(п + 1) h J лerко автоматизи
руется. u
ТаК как разложение (15.58) в ряд Теилора содержит только
одну .производную, точность расчета по методу Эй.nера может быть
недостаточно высокой. Известны более точные методы численноrо
интеrрирования: метод трапеций, -методы PYHre Кутта и 'др.
(см. приложение 1).
',.
rЛАВА 18
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАниR ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОдных ПРОЦЕССОВ
16.1. Преобразоваиия Лаппаса
Прямое и обратное преобраЗ0Вания Лапласа. Линейные диффе-
ренциальные или интеrро дифференциальные уравнения с постоян
ными коэффициентами MorYT быть решены с помощью интеrраль-
ных преобразований Лапласа или Карсона. Различным функциям
вещественной переменной (времени t) эти преобразования ставят
в соответствие функции комплексной переменной р == 0'+ j(f) и
наоборот * . Наибольшее применение находят интеrральные пре-
образовани Лапласа.
Прямое преобразование Лапласа функции времени f (t) опре-
деляется соотношением
се
F (р) == e ptf (t) dt.
о
(16.1 )
Функцию f(t) называют ор-иrиналом, а функцию
F(р) изображением по Лапласу функции f(t)**o
Изображение по Лапласу существует, если интеrрал в правой
части равенства (16.1) сходится. Можно доказать, что для функ-
ций времени f (t), удовлетворяющих условиям Дирихле на любом
конечном интервале времени, равных нулю при t < О и оrрани-
ченных HepaBeнSTBoM
If (t) I < Me(jot,
rде 0'0> о; м > о, интеrрал (16.1) абсолютно сходится в области
Re р == а > 0'0' Изображение F (р)' является аналитической функ-
цией комплексной переменной р в области сходимости интеrрала.
'Соответствие между ориrиналом f (t) и изображением F (р)
записываЮТ в виде
или
F (р) : f (t)
F (р) == Z [f (t)].
Решение . интеrральноrо уравнения (16.1)
rинала
относительно ори-
а+ jce
f (t) == 2 j F (р) е Р! dp
(j jce
(16.2)
* Комплексную переменную р == cr + jro . следует Отличать от переменной
p==d/dt, обозначающей оператор дифференцирования.
** В отличие от изображения по Лапласу изображение по l\apCOHY опре.
00
деляется paBeHCT OM F k (Р) == Р e ptf (t) dt.
о
442
называют О б Р а т н ы м п р е о б раз о в а н и е м Л а п л а с а :и
обозначают
X 1 [Р (р)] == f (t).
Интеrрал в правой части равенства (1,6.2) следует понимать
как предел
а+ jro
Нт F (р) еР/ dp.
ro....со a jro
Интеrрирование осуществляется по бесконечной прямой, парал
лельноЙ оси jffi и расположенной в области сходимости инте-
'rрала (16.1), т. е. при 0'>0'0' _
Основные свойства прямоrо преобразования Лапласа * ,;
1. Свойство линейности. Если
F k (р) == Z [fk (t)],
akFk (р) ==Х { aJk и)},
rде ak некоторые постоянные (k == 1, 2, .. .). Соrласно равен-
ству (16.3), изображение линейной комбинации. функций fk (t)
представляет собой линейную комбинацию изображений F k (р).
. 2. Теорема запаздывания. Изобра.'Кение функции f (t t o ) имеет
вид
то
(16.3)
Z [f (! ' о )] == e Р/оХ [f (t)] == e Р/ор (р).
(16.4)
3. Теорема смещения. Изображение функции e a.'f (t) имеет ви
Z [e a.'f и)] ==р (р+а), (16.5)
rде 'a положитеЛЬНая или отрицательная постоянная.
4. Умножение изображений. Изображение свертки функций
{l (t) и {2 ) равно произведению }lзображений:
ZП'1 (t TH2 (T).dT] == Р 1 (р) Р 2 (р). (16.6)
5. Предельные соотношения. Если существует предел Нт {и), то
/....0+
Вт f (t) == f (0+) == Вт [рР (р)].
t....o+ р....со
(16.7)
Если существует предел Вт f (t), то
t....ep
Нт f (t) == Вт [рР (р)].
t....co р....О
( 16.8)
* Основные свойства преобразования Лапласа, вытеКающие из сооrноше.
Ния (16.1), приводятся без доказательства. Доказательство этих свойств рас-
СмаТривается в курсе математики. .
443
\
6. Изображение производной. Изображение производной
_ f' (t) :..... f (t)
связано с изображением Р (р) функции f (t) соотношением
.2 [(' (t)] == рР (р) f (О), (16.9)
rде f (О) == f (0+). Изображение п й производной имеет вид
.2 uп (t)] === рnр (р) pn lf (О) pn 2f (O) ... f (О). (16.10)
в частном случае при нулевых начальных условиях
, .2 [{' (t)] == рР (р);
.2 [(n (t)] == pnР (р). "
1J
7. Изображение uнmezрала. Изображение интеrрала
t
f (t) dt
о
(16.11)
(16.12)
находят ч рез изображение f (р) функции f (t) следующим образом:
.2 П f (t) dt] == р'(р)/р. (16.13)
Изображение некоторых функции времени. Для заданной функ-
ции f (t) изображение может быть найдено по соотношению (16.1).
Т ак, если f (t) представляет собой единичную функцию f (t) == 1 (t), то
00 00
\ e pt I
Р(р)== J e ptdt== p p'
о о
т. е.
, z [1 (t)] == l/р.
Изображение дельта-функции
00 00
F (р) == e pt6 (t) dt === 6 (/) dt == 1,
о о
так как произведение
e pt6 (t) == { (t)
при 1==0
при 1 =F О.
i.
Полученный результат справедлив, если нижний предел инте
, rральноrо преобразования равен t == О == O . в этом случае в (16.9)
; f (О) == f (O ) и на основании этой формулыI
I
Z [6 (t)] ==Х [1' (t)] ==р 1 (O ) == 1 o== 1,
р
так как, по определению единичной функции, 1 (О) == О при t < о.
Таким образом" непосредственное вычисление изображения или
"i
444
JIрименение соотношения (16.9) приводят к одинаковому результату:
;е [6 (t)] == 1.
Изображение показательной функции е(У.! у О)
OO . e (fr(y'J t ' СО 1
F (р ) == e Pte(Y.t dt == == ,
. p a о p a
о
т. е.
Z [e txt ] == Щр а).
'j-
Аналоrично MorYT быть получены изображения друrих функ-
ций. Некоторые ориrиналы и ИХ изображения по Лапласу при-
веДеНЫ в табл. 16.1.
Таблица 16.1
Некоторые ориrиналы и их изображения по Лапласу
Ориrинал f (t) при t;;;;. О Изображение F (р)
1(t) 1
Р
(t) 1
а
а
р
аб(t) а
Efl-t 1
p a
t 1
р2 .:.
\ sin OOat 000
\, p2+oo
.' cos root Р'
р2 + ro
sin (roоt+'Ф) р sin 'Ф + IOO cos 11'
р2+ro
cos (ооJ+Ф) р cos 'Ф 000 sin 'Ф
р2 + ro
e at sin ooJ -., (00
'(p+a)2+oo
e a! cos root р+а
(p+a)2+oo
te..-a. t 1
(р+а)2
,e a.ttn l (n==1, 2, ...): 1
l n 1)1 ' (Р+ а)n
ф Следует найти выражение для изображения периодической
ункции / (/) на рис. .16.1. Функцию f (/) можно представить как
СУмму:
Ht) , fl(t)*fl(t, n+fl(t 2.T)+....
445
'.
rде Т1 (t) ==f (t) при О Е; 1 Е; Т; f1 (1 Т) == f (t) при Т o:;;;;t 2T
п т. д.
Если, Z [f1 (t)] == Р 1 (р) изображение функции f1 (t), то на осно-
вании свойства линейности и теоремы запаздывания изображение
функции f (t)
Z [, (t)] == Z [f1 (t)] + Z [f1 (t Т)] +
+Х [f1 (t 2Т)]+.. .===Р1 (р) +e TPP1 (р)+
+e 2TPP1 (р) +"'==Р1 (р) [l +e Tp+e 2Tp+.. .].
Учитывая, что сумма бесконечноrо ряда
1 + х + х 2 +. . . == 1 1 х при I х I < 1,
леrко п лучить выражение для изображения
Z U и)] Fi (Р) .
1 e Тр
(16.14)
Полученным соотношением пользуются при определении
, в замкнутой форме установившихся напряжений и токов в цепи
, с периo.z ическими неrармоническими возмущающими воздействиями.
. Теорема разложения. Изо-
бражения F (р) различных функ-
ций времени f (t) в общем слу-
чае можно представить в в,Иде
дроби:
F (р) == А (р)/В (р). (16.15)
т) . 'тт
r,(t Т)
r,ri lr)
т
2т
t
Значения aprYMeHTa р, удов-
летворяющие условию F (р) == О,
называЮТСЯ н у л я м и функции F (р), а значения aprYMeнTa р,
при которых I/F (р) == О или F (р) == 00, п о л ю с а м и этой функ
ции. Конечные значения нулей и полюсов MoryT быть найден,Ы
соответСТвенно как корни уравнений А (р) == О и В (р) == о. Если,
например.
Рис. 16.1
в (р) == (р Pl)т, (р P2)т ... (р рn)т n ,
то P==Pk (k==l, 2, ..., п) полюс кратности mk' В чаСТ-
ном случае при mk == 1 поЛЮс Pk называЮТ про с ты м. Анало
rично можно rоворить о кратных и простых нулях.
Полюсы относятся к особым точкам функций F (р). В пассив.
ных электрических цепях функции F (р), представляющие собой
изображения напряжений и токов, имеют особые точки полюсы,
которые расположены в левой / полу плоскости комплексной пере-
менной р === а + jffi или на мнимой оси *. Как правило, изображе-
ния напряжений и ТоКов равномерно стремятся к нулю: F (р),..-+О,
если р --+ 00 В левой ПОЛ'уплоскости. При выполнении TaKoro усло-
вия интеrрал в правой части соотношения (16.2), каК известнО,
* Расположение полюсов и нулей подробнее будer рассмотрено в I'Л, 1$,
446',
авен сумме вычетов подынтеrральной функции F (р) ept во всеХ
ОЛlOсах Pk функции F (р). Таким образом, ориrинал
f (t) == Res [Р (р) e Pi ] при (> о. (16.16)
k P Pk
Если функция F (р) имеет полюс порядка mk в точке Р == Pk'
ТО функция Ф (Р) == (Р Pk)mkF (р)о еР! бу ет аналитической в ТОЧЕеРk
и ее можно разложить в ряд Теилора.
,- dФ I 1 dтk lф I
Ф(Р)-==Ф(Рk)+ (P Pk)+'.'+ ' т 1 Х
dp P Pk (mk 1)1 dp k P Pk
( т 1 -1 dтkф ( т
х Р Pk) k + . Р Pk) k +....
mk l dp k
При этом
F(p)e pt == Ф(Р)т ==Ф(Рk)(Р Рk) тk+ Ф I _ (P Pk) mk+l+
(P Pk) k > р P Pk
1 dтk lф , 1 dl1J.kф'
+ . . . + . т 1 (Р Pk) l + mт . ----------т---- +. ...
(mk 1)1 dp k P Pk k dp k
Записанный ряд представляет собой ряд Лорана для функции
F (Р) e Pi , ,а коэффициент при члене (Р Pk) l является вычетом
этой функции в полюсе Pk:
Res F (Р) e pt == 1, { d:k 11 [(Р Pk)m k F (Р) ePtJl .
P Pk (mk 1)1 dp k fp Pk
При mk == 1 вычет
Res F (Р) е Р! == (Р Pk) F (Pk) e Pki ,-
P Pk
С учетом полученных выражений для вычетоВ и на основаНИИ ,
равеНства (16.16) можно. записать следующие формулы для ори-
- I:Инала:
[(t)== 1: _ 1 { d 1 [(P Pk)mkF(p)ePi] } (16.17)
k (mk 1)1 dp k - P Pk
или
f (t) == (Р Pk) F (Pk) e Pki .
k
(16.18)
ФОРМУЛа (16.17) справедлива, если полюсы функции F (Р)
Имеют любую кратность mk 1. Формула (16.18) справедлива,
если все Полюсы F (Р) простые; так как в этом случае
( АОО АОО
Р Pk) F (Р) == (Р Pk) В (р) == В' (Р) I
Соотношению (16.18) можно придать друrой ВИДI
[ ( t ) == '\1 А (Pk) ePki
, ..I..J В' (р k) ·
k
(16.18а)
л
44]
. Если полюсы PI И РНl комплексно сопряженные: PI+1 == Pt,
то соответствующие ДВа слаrаемых в правой чаcrи равеНства
(16.18а) можно заменить одним:
А (рд ePit + А ( j) e / == 2Re [ А (рд e Pit J .
В' (рд в' (Pt) В' (Р;)
Формулы (16.17), (16.18) или (16.I8a) выражают теорему раз
ложен ия для вычисления ориrинала при кратных и простых полю
св.х изображения.
Часто изображения тоКов и напряжений предcrавляют собой
дробно рациональные Функции т. е. отношение двух полиномов
переменной Р, причем степень ПОЛИнома числителя А (Р) ниже
степени iI полинома знаменателя В (р). В таком случае ориrинал
можно найти с помощью разложения изображения. на элементар
ные дроби. Если, например,
F (р) == А (Р) I
(p Pl)тl (P Pml+ 1) ... (p Рп)'
. .
т. е. изображение имеет полюс р1 кратности тl и простые полюсы
Ртl + 1, .... Рт то разложение на элементарные дроби имеет вид
. К 1 К 2 Кт,
P(p)== + 2 +...+ т +
P Pl (P Pl) (Р....Рl) 1
+ К т1 + 1 + +
P Pтl+1 ... P Pn'
(16.19)
rде
1 { dml 1
К 1 (тl 1)1 dpm, 1
I { dml 2'.
K .
2 (тl 2)1 dpml 2
[(Р РI)т 1 Р (P)]}P Pl;
[(p РI)т 1 F (P)]}p Pt;
. . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кт, == [(Р Рl)т 1 F (P)]P Pl;
K'V==[(p P'V)F(p)]p p (v::::::mt+ 1 . ..., п).
'V .
Ориrинал каждой дроби разложения (16.19) может быть наЙ-
ден с помощью табл. 16.1. В результате
( .. к. tml l )
f(t)== K 1 +K 2 t+...+ <п;1 1)1 .e P1t + !, K'Ve P '/.
. 'Y ml+ I
(16.20)
Для дробно рациональных функций вычисление' ориrинала
с помощью разложения на элементарные дроби эквивалентно
IJрименению теоремы разложения.
44&
i 16.2. Уравнения электрических цепеА в операторноН форме
операторные уравнения и эквивалентные схемы для eMeHТ08
электрическо'й цепи. операторныe уравнения для элементов элек-
тричеСRОЙ uепи получают из соответствующих уравнений. связы-
вающих мrновенные значения напряжений и токов. Так, "'резистор
с сопротивлением r хараRтеризуется уравнением U == ri. Переходя
R изображению U (р) ==::е [и (t)] и учитывая свойство линейностИ
для изображений, получаем операторное уравнение
U (р) == '/ (р),
(16.21)
rде
/(р) == Z [i (t)],
или
1 .
1 (р) == U (р) == gU (р).
- (16.21a)
ТаRИМ образом, резистор хараRтеризуется операторнЫМ СОПрО-
тивлением r или проводимостью g === , 1 .
Напряжение и ток ИНДУRТИВНОСТИ связаны соотношением
u == L diL/dt. При переходе к изображениям с учетом равенства
'(16.9) имеем
U (р) == ри L (р) Li L (О)
(16.22)
или
1 i L (О)
/L(P) == L -U(P) + .
р р
(16.22а)
Выражениям (16.22) и (16.22а). соответствуют операторные
эквивалентные схемы ИНДУRТИВНОСТИ на рис. 16.2, а, б. ИНДУRТИВ-
ноеть хараRтеризуется операторным сопротивлением pL (проводи-
мостью l/pL), а начальное значение ТОЕа i L (О) учитывается в виде
последовательноrо источника э. д. С. Li L (О) (рис. 16.2, а) или
параллельноrо источника тока i L (О)/р (рис. 16.2, б). Следует
отметить. что выражение (16.22а) можно получить Также из ра-
венства
t t
lL === i u dt === i L (О) + i u dt
ro о
с помощью соотношения (16.13).
. Напряжение на емRОСТИ и ТОЕ в ней связаны уравнением
t === С duc/ dt , дуальным уравнению ИНДУRТИВНОСТИ. ДЛЯ изображе-
ния получаются соотношения, дуальные (16.22) и (16.22а):
l(p) == рси с (р) Cиc (О); (16.23)
1 и (О)
ис(р) == C / (р) + . -(16.23а)
р р
Две операторные схемы для еМRОСТИ показаНЫ на рис. 16.3, а, б;
8Ти схемы дуальны схемам на рис. 16.2, а, б. ЕМЕОСТЬ Характе-
16 п/р. Ионкина, т. I
449
ризуется операторнымсопротивлением I/pC (проводимостью рС),
а начальное значение напряжения Ие (О) учитывается в виде
параллельноrо ИСТОЧНИка тока СИе (О) или последовательноrо
ИСТОЧНИКа э. д. с. Ие (О)/р *.
МР) pL L iLfO)
. ,
ир)
1
рС
Шр)
а)
0 Q w
i.i МО)
Р
Cuc fo }
!о-
ис(р)
f а) uc fo )
II e Przs
Ир)
:.
;JY
щр)
О)
Рис. 16.2
UcfpJ
lfJ
Рис. 16.3
..
Источникам э. д. с. е (t) и тока J (t) соответствуют источники
с операторным нап яжением ,g (р) == z [е (t)] и током J (р) ==
== Z [! (t)]. Аналоrич
ное утверждение спра
ведливо для зависимых
источников, которые
ВХодят в эквивалентные
схемы электронных ламп
и транзисторов.
Заменяя КаждыЙ эле-
мент электри,Ческой цe
пи ero ЭКвивалентной
оператор ной схемой, не-
ир)' трудно составить опера-
торную схему цепи. На
рис, 16.4, а показана
отдельная ветвь исход-
ной схемы цепи, а на
рис. 16.4, б операТОр-
ная схема этой ветlШ. Индуктивность и емкость ветви на рис. 16.4 а,
. заменены последовательными эквивалентными схемами (см. рис.
16.2, а и 16.3, 6). На основании свойства линейности для изобра-
жений алrебраической сумме напряжений
"
а)
u
f
рС
Шр}
lfJ
Рис. 16.4
;r
LlL(O)
U==U,+UL +ис e (t)
'" в €XeMaX на рис. 16.2. а. б и 16.3, а, б указаны операroрные сопротив
ления элементов.
450
соответствует сумма из06ражений
U (р) == U r (р) + UL (р) +и с (р) <ff (р),
а сумме токов
сумма из06ражений
. 1 L (р) == 1 (р) + J (р)'.
i L == i + J (/)
Поэтому для 'изображения напряжения на зажимах ветви опе
раторНОЙ схемы с учетом равенств (16.21), (l6.22), (16.23а) полу
чаем выражение
U (р) == ( r + PL+ ) [/ (р) + J (р)] <ff (р) Li L (О) + и с (О)
. р р
или
U (О)'
U (р) == z (р) [/ (р) + J (р)] <ff (р) Li L (О) + т. (16.24)
rде Z(р}==r+рL+(I/рС) операТОР!fое сопротивление ветви. При
i L (О) == О и ис (О) == О 8ыражение (16.24) упрощается:
U (р) == z (р) [/ (р) + J (р)] <ff (р). (16.24а)
На основании равенства (16.24а) ток
1 (р) == у (р) [и (р) + <ff (р)] J (р),
(16.24б)
rде У (р) == 1/ Z (р) операторная проводимость ветви.
Соотношения (I6.24), (16.24а) и (16.246) представляют собоЙ
закон Ома для участка цепи с э. д. с. и источником' тока в опе
раторной форме. Эти соотношения можно записать непосредст
вен но по операторной схеме на рис. 16.4, 6. При нулевых началь
ных условиях выражения (I6.24a) и (16.246) аналоrичны сботв ет
ствующим выражениям, связывающим комплексные напряжение
и ток ветви в установившемся режиме для цепи с ИСТQчниками
rармонических э. д. с. и токов. Формально выражения (16.24а)
и (16.246) MoryT быть получены из соотношения между комплекс
ными напряжением и током при замене jffi на р (и наоборот).
При ненулевых начальнЫХ условиях напряжения дополнительных
источников Li L (О) И ис (О}/р алrебраически суммируются с наПрЯ
жением источника <ff (р).
Если в схеме Имеются индуктивно связанные элементы
(рис. 16.5, а), то из уравнений
dij dik 1
u:; == L, iIt + М iIt;
dij dik J
Uk== М iIt + Lk iIt
при переход к изображениям получаем:
И ! (р) == pL,I, (р) + рМl k (р) L;i, (О) Mi", (О); }
L ( (16.2Б)
Uk(p)==pMlj(p)+p k1k p) Mi;(O) Lkik(O).
15* '
4.11
...
Уравнениям (16.25) . для изображений соответствует ЭКВИва_
лентная операторная схема на рис. 16.5, б. Следовательно, вза
имная и дуктивность характеризуется операторным сопротивле
нием рМ; дополнительные источники у итывают в общем случае
ненулевые начальные условия.
Матричные уравнения цепи в операторной форме. У равнения
(16.24 а) и (16.24 б), записанные для всех ветвеЙ 'операторной
. схемы, можно объединить в матрич
i.i [к ные .уравнения:
. j }!i!.,= ';ц=М U(B) (р) == ('B) (р) ['(В) (р) +
'-j J " + J\B) (р)] \B) (р) (16.26)
Uj и/( или
,\В) (р) ==' У\В) (р) [U\B) (р) +,
+ (B) (р)] J(B) (р), (16.26а)
rдеU(В) (р), ,(В) (р) И (B) (р), J(B) (р)
соответственно столбцовые матри
цы изображений напряжений, токов
ветвей и напряжений источников
Lklk(O} э. д. с., токов источников тока BeT
вей; Z(B) (р) и У(В) (р) квадратные
матрицы сопротивлений и проводи-
М lj(O} мостей ветвей в оператор ной фррме,
причем У(В) (р) == [Z(B) (p)] l. Для це-
пей, не содержащих взаимной индук-
ции и электронных элементов, мат-
рицы Z(B) (р) И у.\В) (Р) диаrональны.
При наличии взаимной индукции эти
матрицы имеют внеДиаrональные элементы вида pM jk == pM kj . В
схемах с электронными лампами и транзисторамИ появляются не-
симметричные внедиаrональные элементы матриц Z(B) и У(В) (см.
9.5). Дополнительные источники, обусловленные ненулевыми
начальными условиями, можно учесть, например, в матрице \B);
при этом вид уравнений (16.26) и (16.26а) не lIзменЯется.
Так как уравнениям по законам Кирхrофа i k == О и Uk == О
k k
соответствуют на основании свойства лицейности уравнения для
изображений J k (Р) == о и и k (Р) == О, дЛЯ операторной схемы
k k
справедливы матричные уравнения:
А'\В) (р) == о;
в U(B) (Р) ==' о.
а)
Иik(О}
Lj lj fOJ
Рис. 16.5
(16.27)
(16.28)
Аналоrично для этой схемы спраI\едливь соотношения:
U\B) ==' NqJ (Р);
U(B) == QТU(д) (р);
I(B) == BTI(K) (р),
(16.29)
(16.30)
(16.31)
452 ы
rде ер (р), u щ (р) и I(K) (р) соответственно столбцовые матрицы
изображений узловых потенциалов, напряжений ветвей дерева и
контурных токов.
Из соотношений (16.26) --+- (16.31) следует, что узловые ypaB
пениЯ, уравнения с напряжениями ветвей дерева и контурными
токами в оператор ной форме аналоrичны соответствующим ура,в-
пениям для установившеrося режима при rармонических токах и
напряж.ениях. Все методы расчета цепей с источниками rapMo
ническиХ (-постоянных) э. д. с. и токов приrОДI!Ы и для расчета
операторных схем.
Переходя к изображениям, можно получить операторную
форму уравнений состояния (15.'28) и (15.29) *:
р&: (р) х (О) =-= А 1 % (р) + В 1 V (р);
б.У (р) == А 2 % (р) + 82 V (р),
rде х (.0) матрица начальных значений переменных состояния.
Из этих уравнений получаем
или
(рl А 1 ) vбt' (р) == х (О) + 81 V (р)
% (р) == (рl Al) 1 х (O)+(pl' Al) 1 8 1 V (р),
б.У (р) == А 2 (Рl Ai) 1 х (О) + [А 2 (pl Al) 181 + 82] V (р).
(16.32)
(16.33)
В частном случае нулевых начальных условий
б.У (р) == [А 2 (р1 Al) 1 81 + 82] V (р).
(16.34)
Все уравнения цепи в оператор ной форме являются алrебраи-
ческиМИ в отличие от дифференциальных или интеrро-дифферен-
циалъных уравнений для MrHoBeHHbIx значений. Таким образом,
применение преобразования Лапласа позволяет алrебраизировать
уравнения электрических цепей. '
16.3. Расчет переходных напряжений и токов
операторным методом
,
Расчет переходных напряжений и токов. Для расчета пере-
Ходныл напряжений и токов составляется эквивалентная опера"
торная схеМа (после коммутации). Из уравнений этой €XeMЫ
МОЖно найти изображения искомых величин, а затем с помощью
" таблиц или теоремы разложения ориrиналы. В схемах с непре-
рьшно изменяющимися напряжениями на емкостях и токами
в индуктивностях величинЫ напряжений (токов) ДOIIOлнительных
Источников, обусловленных ненулевыми начальными условиями,
определякпся значениями
i L (О) == i L (0+) == i L (O ),
ис (О) == ас (0+)== ис (O ).
* '. Прямое (обратное) изображение матрицы, !1лементами которой служа"v
ФУНКЦИИ переменной t (переменной р), определяется как матрица 'изображений
каЖ.l!оrо !1Лемента.
. 453
Пример J6.J. Вычислить ток { 1 (t) В цепи на рис. 16.6. Параметры схемы:
' 100 ом; L O,319 [; C 15,95мкФ; и 2000 sin (314t + 900) ==2000 cos314t В.
UfPJ!
r
,
ре
Рис. 16.6
Рис. 16.7
Реш е н и е. До коммутации
j90'
- 2000е О Т2 j45° А'
11m r+jWL 100+j314.0,319 1 JI...e ,
i 1 (t) == 10 У2 sin (314t + 45<» А.
Начальные значения:
i L (О) == { 1 (0)==10 А;
.
а с (0)==0 В.
Операторная эквивалентиая схема показана на рис. 16.7. ,в этой схеме
изображение ИСТОчника
U (p)==z [и т cos wt]
итр
р2+ш 2
2000р
р2+314 2 .
Изображение искомоrо тока
11 (р)
U (р) + Li 1 (О)
ZBX (р)
1
'
rAe ZBX (P)==pL+ p . После преобразования получим
'+ рС
"1 ( )== [итр + Li 1 (О) (р2+ ш 2)}(ртС+l) == А (р)
1 Р (р2+ш2) (p2 r LC+pL+r) В (р) .
Определим полюсы изображения, т. е. корни уравнения В (p) o:
Ры==:!: j314; РЗ,4== 314:!: j314.
Производная знаменателя
В' (р)==2р (p2 r LC+pL+r) + (2prLC+ L) (р2+ ш 2).
По теореме разложения, искомый ток
4
i (t) '\'1 (Pk) e Pkt == 2.Re А (Р1) ep,t +
1 8' (Pk) 8' (Pl)
k 1
+2.Re А (Рз) e P . t ==20 sin (314t+53010')+2V IO e 314t sin (314t 7IФЗО') А.
В' (Рз)
\
В рассмотренном примере полюсы Рl И Р2 обусловлены изображением
напряжения источника U (Р) и определяют _ прииужденную составляющую,
а ПОЛЮСЫ Рз и Р4, равные корням характеристнческоrо уравнения схемы,
определяют свободную составляющую тока.
454
При расчете операторным методом схем, в которых MoryT
быть импульсные токи и напряжения tCxeMbI с источниками
напряжения или тока в виде импульсных функций, схемы с eMKO
стными контурами или индуктивными сечениями), напряжения
(токи) дополнительных источников должны определяться значе
ниями i L (О) == i L (O ), ис (О) == ис (O ). Это означает, что в прямом
преобразовании Лапласа (16.1) нижниЙ предел интеrрированИЯ
t == О == O . Так как изображение импульсноЙ функции Z [6 (t)] == 1,
признаком наличия импульсных составляющих тока (напряжения)
служит равенство степеней полиномов в числителе и знаменателе
соответствующих изображений. Если степени полиномов в числи
теле и знаменателе изображения одинаковы, то можно выделить
постоянную составляющую. При этом остаток будет праВИЛЬНО,"I
рациона.льной дробью. Постоянной составляющей изображения.
соответствует ориrинал импульсная функция.
Пример 16.2. Рассчитать токи /1 и /2 И напряжения Щ и и2 В цепи на
рис. 16.8. Параметры схемы: С 1 ==1 Ф; С 2 ==2 Ф; ,з==1/2 Ом; '4=='5==1 ом;
е (t) == 1 (/). .
Реш е н и е. При замыкании ключа в схеме образуется емкостной контур
e(/) Cl C2' следовательно, токи в ветвях этоrо контура содержат импульс-
ные состаВJjяющие, а напряжения на емко?,ях изменяются скачкообразно.
1/р
и , ф)
:.r
'5
'4 I [2
112 t С 2
1/2
1
1 liP) I
1/2р t
(p) .
Рис. 16.8
Рис. 16.9
Так как иl (O )== и2 (O ) ==0, операторная эквивалентная схема имеет вид,
показанный на рис. 16.9.
Найдем изображения токов /1 И i 2 :
8р2+р 8р+ 1
11 (р)== Зр (4р+ 1) З(4р+1)
8р?+4р 4(2p+l)
. 12 (р)== Зр(4р+l) З(4р+l)
Полученные изображения содержат одинаковую постоянную составляющую
8 2
/1(00)==[2 (00) ==}2 == З'
2 . 1 2 2
Разности [1(Р) з== 4р+1 ; [2(Р) з== 4р+l представляюl'.
правильные дроби Записав изображения Б виде сумм:
1
2 '4
Jl(Р)==з ;
Р+4
1
2 2"
12(Р)==з+ ,
. 11+4
455 .
вычислим ориrиналы ТОКОВ!
t
2 1
i 1 и) ==3 б (1) 4 е 4.:
t
2 1 4
12(1)=:зб(t)+2е А.
ТОКИ i1 и i 2 содержат одинаковые импульсные составляющие 26 (/)/3.
Нетрудно убелиться, что токи в сопротивлениях ие имеют импульсных состав-
.lJяющих.
Изображения напряжеций uj и и 2
и 1 (р)
8р+ 1 .
3р (4р+ 1) ,
и 2 (р)
2 (2р+ 1)
3р (4р+ 1)
ЯВЛЯЮТСЯ прав ильными рациональными дробями. Разложим эти изображеиия
Ila лементарные дроби:
1 1
1"3 2 3
Ul(Р)==ЗV+ ; и 2 (р)== 3р ----------Т.
Р+Т Р+4"
в соответствии с .абл. 16.1 ориrиналы напряжений
1
1 1 4t
иl (1)==з + 3 е В;
.
В момент времени 1==0+
1 1 2
иl (0+)==з + з =: 3 В;
1
2 1 41
и2(t)==з зе В.
211
и2(0+)==з з == 3 Bj
т е. напряжения изменяются скачкообраЗ>JО от значений иl (O ) у= и 2 (O ) ==0
до значений иl (0+), .(O+) В установившемся режиме
1 2
иl (00) == 3' В. и 2 (00) == 3 В.
Напряжения и токи при переХОДНОМ процессе можно рассчи
T;JТЬ. применяя выражения (16.33) и (16.34); матрица выходных
переменных у (1) ==,ZЧ [ (p)]. Если в уравнении (16.32) матрица
параметров источников V (р) == О, то
х (р) == (рl Al) l'x (О)
( 16.35)
и, следовательно, матрица переменных состояния
x(t)==.z I[(pl Al) lx(O)] ==[.z I(pl Аl) Ч х(О). (16.36)
Сравнивая соотношенl!.Я (I6.З )' и (15.40), можно получить
q:ормулу для расчета матричнои экспоненциальной функuии
с помощью преобразования Лапласа:
еЛ' (t). == .z l [(р I Al) 1].
(16.37)
\ Пример 16.3. Вычислить напряжение и2 (t) для цепи на рис 15.21, а.
воспользовавшись уравнениями состояния в операторноЙ форме Пара метры
l!епи: rl r2 IOM; С==IФ; L==I/2r; e(t)==I(I)B;J(O==O. НаЧ<Jльные
условия нулевые.'
Реш е н и е. При нулевых начаЛЬНЫХ условиях справедливо соотношение
(16.34). Для указанных параметров схемы в уравнениях состояния определим
456
\.
матрИЦЫ А 1 , Az, В! И 82 (см, пример
15.8):
В 1 == [ { { ] ;
1 1
82==[ о ; ].
[ I О ]
А]== о 2;
Az===[{ И ;
Ма7рица
J А == [ .ю+ 1 О J
Р 1 О р+2 '
обратная матрица
[ P+l
(р) A1) 1"'; О
I 1
р:,] [ Р:l piJ
Подставляя выражения для матриц в формулу (16.34) G учетом равенства
V (Р)==[ tJ
найпем изображение выходной величины:
(p)==Vz(p)
3р+4
4р (р+ l)(p+2) .
Найдем полюсы изображения: Рl==О; P2== 1; рз=== 2. С помощью тео-
ремы разложения получим
1 1 t 1 t
и2 (t) =='2 4" e 4" e 2 В.
/ 16.4. Расчет своБОДНblХ и принуждеННblХ составляющих
напряжении и токов
В общем случае с помощью операторноrо метода, как уже
отмечалось, Moryт быть Найдены переходные напряжения и токи
в виде сумм своБОЩ:IЫх и принужденных составЛЯЮЩИХ. Если
цепь содержит источники постоянных или rармонических э. д. с.
(токов), то принужденные составляющие нетрудно рассчитать без
.применения преобразования Лапласа. В таком случае оператор
ным методом можно воспользоваться лишь для расчета свободных
составляющих напряжений и TOKQB:
Свободные составляющие напряжений и токов представляют
собой ориrиналы изображений этих составляющих. Изображение
любоrо свободноrо напряжения или тока цолучают при расчете.
оператор ной схемы для своБОДН IХ составляющих. Такая схема
аналоrична операторной схеме для переходных напряжений и
токов, за исключением тoro, что схема для свободных сост вляю
щих содержит только источники Э. д. 'с. (тока), обусловленные
ненулевыми начальными значениями: iLcB(O) == iL (О) iLпр (О) И
иC B (О) == иС (О) Uспр (О). Эти IiСТОЧНИКИ включают последовательно
или параллельно каждой индуктивности и емкости (см. рис. 16.2, а, б;
16.3, а, б и 16.4, б). Следует подчеркнуть, что операторные схемы
453
для свободных сос.тавляющих не с.одержат источников с изобра-
жениями напряжения 8 (р) и тока J (р). соответствующих источ-
никам е (t) и J (t) ветвей исходноЙ схемы, поэтому изображения
свободных напряжений и токов будут боле простыми по cpaBHe
нию с изображениями переходны:х напряжений и токов.
Применение операторноrо метода целесообразно для расчета
,принужденных составляющих напряжений и токов при воздействии
периодических неrармонических возмущений. В этом случае при-
нужденные составляющие MoryT быть найдены в замкнутой форме,
#i а не в виде суммы бесконечноrо (конечноrо) чИсла слаrаемых рЯда
Фурье.
Пусть е (t) периодическая неrармоническая э. д. с. источника,
включенноrо в k-ю ветвь схемы, причем в первом периоде закон
изменени э. д. с. описывается функцией еl (t), т. е.
е (t) === еl (t) при О t Т.
При условии, что в схеме имеется единственный источник е (t),
изображение тока j-й ветви
/ I1k1 (р) rff
. (р) I1(K) (р) (р), (16.38)
J:'де 8 (р) ===.2 [е (t)]; i1(K) (р) определитель к<?нтурных уравнений
в операторной форме; 6,у,} (р) алrебраическое дополнение эле-
мента k, j этоrо определителя; начальные условия предполаrаются
нулевыми.
Учитывая (16.14), изображение тока (16.38) можно переписать
в виде
/ 111'1' (р) 6"1 (р) У. 1 (р)
(p) I1(K)(p) l e Tp Jk(P) l e Tp ' (16.39)
rде 81 (р) ===.2 [еl (t)]; Y jk (р) ===M,,/(p)/i1(K) (р) взаимная проводи-
мость в операторной форме *. Ориrинал изображения (16.39) i (t) ===
=== .2 1 [I (р)] содержит периодическую принужденную и свободную
составляющие. Если i 1пр (t) принужденная составляющая в пер-
вом периоде:
i 1пр (t) === i пр (t) при О t,,;::;; Т,
то изображение тока i (t)
llПР (р)
1 (р) === 1 e Tp + 1 СВ (р),
(16.40)
rде /СВ (р) изображение свободной составляющей. Приравнивая
правые части равенств (16.39) и (16.40), получаем
11 пр (р) === Y ik (р) rffl'(P) 1 СВ (р)(1 e Tp), (16.41)
Схемные функции (входные и взаимные проводимости и сопротивления.
коэффициенты передачи напряжения и тока) операторной форме определяют
как отношение изображений соответствующих величин. '
458
откуда
. ilпр и) ==2 I[Yik (р) 6\ (р)] J5Ч[Iсв (р) (1 e Tp)]
или
i 1пр (t) == 2 1 [Y ik (р) 6"1 (р)] i CB (t) +iCB (t Т). 1 (t .T).
ТаК как ilп (t) принужденная составляющая в первом периоде,
слаrаемое iCB (t Т) 1 (t Т) == О должно быть отброшено:
i 1пр (t) == 2 1 [Y ik (р) 6"1 (р)] i CB (t) при О t Т. (16.42)
Ориrинал J5Ч [Y ik (р) 6"1 (р)] представляет собой переходный ток,
вызванныЙ э. д. с. еl (1), т. е. по формуле (16.42) принужденный
ток" вычисляют как разность переходноrо и свободноrо токов.
Изображение тока (1 б.38) имеет полюсы Pk, определяемые ypaB
нением NK) (р) == 0*, а также полюсы, обусловленные изображе
нием э. д. с. 6" (р). Если ориrинал i (1) изображения 1 (р) можно
найти как сумму вычетов функции 1 (р) еР! во -всех полюсах, то
сумма вычетов фущщии 1 (р) еР! в полюсах Pk равна свободной
составляющей ё св (t). Действительно, уравнение L1(K) (р) == О является ..
характеристическим уравнением схемы. Если cxeM содержит
активные сопротивления, индуктивности и емкости, то корни
характеристическоrо уравнения (полюсы Pk) имеют отрицательные
вещественные части и вычеты функции 1 (р) еР! в полюсах Pk обра
щаются в нуль при t 00. Сумма вычетов функции' J (Р) еР! в полю-
сах, обусловленных изображением э. д. с. 6" (Р), дает принужден...
ную состаJ?ЛЯЮЩУЮ i пр (t) для всех значений 1.
К полюсам, функции (ff (Р) относятся, как видно из ВЫражения
(16.39), корни уравнения 1 e Tp == О. Этому уравнению удовле-
-. . 2п
творяют корни Pv== jv т (v ==0, + 1, + 2, .. .), число которых
бесконечно велико. Вычисление вычетов функции I (Р) еР! в полю-
сах Pv эквивалентно вычислению слаrаемых ряда Фурье для при:"
нужденной составляющей. Если принужденная составляющая
определяется не для всех значений 1, а только для О 1 Т,
то не ,нужно находить бесконечное число слаrаемыХ ряда, так
как Можно применить формулу (16.42). Заменяя в этой формуле
i CB (1) .суммой вычетов в полюсах Pk и учитывая выражение (16.39),
ПОлучаем равенство
i 1пр и) == 2 1 [Y ik (Р) 6"1 (Р)] R.es l "Y ik 6\ ip еР! ] . (1б.43)
-f- P Pk 1 e
Так как число полюсов Pk [корней уравнения L1(K) (Р) ==0]
Конечно, выражение (16.43) дает замкнутую форму для i 1пр '
Если вместо источника э. д. с. е (1) в цепи действует источник
периодическоrо тока J (t), то для состщзляющей i 1пр (1) справедливо
Выражение, аНалоrичное (16.43), в котором взаимная проводимость
· Полюсы Pk являются полюсами взаимиой проводим()('ти У ik (р).
459
заменяется операторным коэффициентом передачи тока, а
жение э. д. с. изображением тока источника. Нетрудно
менить формулу (16.43) и для сШ8
расчета принужденных напря- ' 1
жении, обусловленных источнИ-
ком периодической э. д. с. (пе-
риодическоro тока).
Пример 16.4. Рассчитать напря-
жение ,и пр (t) в схеме рис. 16.10. Па-
раметры схемы: , 2 ом; C 1 Ф;
напряжение источника е (t) изменяет
ся по пилообразному закону, как по-
казано иа рис. 16.11. а.
изобра-
Видоиз-
1
2
J [,С
с,щв
1
а)
/
/ ['1т
;1
с ,( 2 t,c
I
!uщ I
....
r ,
',ё'Ш П
,
,
О) .
Рис. 16.10 Рис. 16.11
Реш е и и е. Изображение переходноrо напряжения и (t)
tfj (р) рС! я Р -""
и(p) ;о 1 r== prC+l (!)(P)== + 1 ",(р),
'+ рС р 2"
rде О1ношение
р
юUl (р)
Р+"2
IIредставляет собой коэффициент передачи напряжения в операторной форме.
Закон изменения напряжеИI!Я источника в первом периоде (рис. 16.11, б)
вапишем с помощью едииичных функции (период T 1):
еl (п==! [1 (п 1 (t Т)] t [1 (t) 1 (t 1)] ==
==t: 1 (t) (t 1) 1 и 1) 1 (t 1),
Изображение ФУНКIlИИ {. 1 (t)
1
Z[t.1(t)]==p2.
По теореме смещения найдем изображения функций (t 1) 1 (e 1) и 1 (t 1}I
Z [ и 1) 1(t 1)] ==...!..... e P;
р2
Z [1 (t 1)]==.!. e p.
р
Таким образом, изображение функции е! (t)
tff i (P)== '" e P e p.
/ р2,р2 Р
4$)
Переходное напряжение в первом периоде
и1 ({) X 1lK (UI (р) 6" 1 (рН.
_ . изображение 6"! (Р) напряжения е 1 (t) имеет три слаrаемых, причем второе
и peTьe слarаемые получают в ,результате вычитания функции t.1 (t I) из
функции t.l (t) (рис. 16.11, б). В первом периоде функция t.1 (t I) O и не
влияет иа переход ное наnряжеиие иl (t). Следовательно, при расчете и1 (t)
учитываем только первое слаrаемое изображении <lf 1 (Р):
и1 (t) X 1 ( . p ) ==X 1 [ ( ... ] .
Р+2" Р+2")Р
вычисляя и 1 (t) как сумму вычетов функции еР) (Р + ; ) Р в полюсах Р1 ==
1
== 2" и P2 O' определим
и1(t) 2(I e it)B при O- t l.
Свободная сост,авляющая напряжения
u (t) == Res [ Ю т (р) &1 (р) e pt ]
p 1 '
так как коэффициент передачи напряжения К/UI (р) имеет только один полlOO
P1 1/2. Если подставить выражения для ют (Р) и df 1 (р), .то получим
и СВ (t)== Res [ ( 1 j' ( ' '
p { р Р+2" (l e P) р Р+2" (1 e )
eP!e p ] Res [ ePt e Pl ]
(p +; )(l e p) == p { Р(Р+ ; ) (p+ )(ep l) ==
1
t
е 2
1 В.
e 2 -1
!,
== 2е 2
Лринужденную СОСТ'Iвляющую в первом периоде вычислим как разносты
lt
е 2
U1(t) uсв(t) иlпр(t) 2+ В при O t 1
e 2 1
При t > T 1 принужденное напряжение периодически повторяется
16.5. Приведение цепи к нулевым начальным У,СЛОВИЯМ
Во мноrих случаях токи и напряжения рассчитывают при пере-
ходном процессе, вызванном ПОДr;<:лючением или отключением какой
либо ветви схемы. Если при этом начальные условия ненулевые,
то на основании принципа наложения подключение (отключение)
ветви в исходной схеме можно заменить включением источника
э. д. с.' (источника тока) в схеме с нулевыми начальными усло-
ВИями. Такая замена упрощает расчет изображений искомых вели-
чин, так как не требует учета дополнительных источников, обу-
СЛовленных ненулевыми начальными условиями.
461
На рис. 16.12, а показано подключение в.етви к аКТИВНОl\fу
двухполюснику в момент времени t О. Напряжение Ир (t) преk
ставляет собой напряжение на зажимах разомкнутоrо ключа.
Можно считать, что закон изменения напряжения Ир (t) справедлив
и для' t> О. Если после замыкания ключа
в выделенную ветвь схемы подключить ДВа
противоположно направленных источника
напряжения Ир (t) (рис. 16.12, 6), то эти ис-
точники не будут влиять на режим цепи.
Расчет токов и напряжений' с помощью
принципа наложения в данной схеме мож-
но свести к расчету токов и напряжений
двух схем, показанных на рис. 16.13, а, 6.
В схеме на рис. 16.13, а токи всех вет-
вей и напряжени'я между любоЙ парой уз-
лов не отличаются от соответствующих
токов и напряжений схемы на рис. 16.12, а;
в частности, в выделенной ветви ток ра-
вен нулю. Схема на рис. 16.13,6 содер-
жит один источник, подключаемый к пас-
сивному двухполюснику с нулевыми на-
ч;:Jльными условиями. Таким образом, напряжения и токи при
переходном процессе можно рассчитать как сумму соответствую-
щих напряжений и токов в схеме до коммутации (рис. 16.12, а) и в
схеме с одним источником напряжения (рис. 16.13,6). При этом
законы изменения напряжений и токов в 11 а)
схеме до коммутации справедливы для t > О. р
, На рис. 16..14, а показано отключение
ветвИ от активноrо двухполюсника в момент
времени t О. Ток i K (п представляет собой
ток в выделенной ветви. ЕСJ!И после размы-
кания ключа в выделенную ветвь подклю
чить два источника тока (рис. 16.14,6), то
эти источники не Изменят режима 'цепи: Рас-
чет токов и напряжений с помощью прин-
ципа наложения в схеме н;:! рис. 16.14, 6
сводится к расчету токов и напряжений двух
схем (рис. 16.15, а, 6).
Схема на рис. 16.15, а эквивалентна схе-
ме до коммутации на рис. 16.14, а. Схема
на рис. 16.15, б содержит один источник
тока, подключаемый к пассивному двухпо
люснику с нулевыми начальными условиями. Таким образом, пе-
реХQдные Напряжения и токи можно рассчитать как сумму соот-
ветствующих напряжений и токов в схеме до коммутации (рис.
16.14, а) и в схеме с одним ИСТОчником тока (рис. 16.15,6). Зако-
ны изменения напряжений и токов в схеме до коммутации считаюТ-
ся справедливыми для t> О.
А
l1p
А
б)
Рис. ..16.12
462
,А
а)
п
бj
Рис. 16.13
Если в схеме на рис. 16.12, а параллельно ключу присоединено
активное сопротивлени " которое после коммутации замыкается,
то переходные напряжения и токи можно определить как сумму
напряжений и токов в схеме до коммутации и в схеме на рис. 16.13, б.
после коммутации в ветвь схемы (рис. 16.14, а) параллельно ключу
может быть подключено дополнйтельное сопротивление '. Пере-
А
А
а)
А п
i,/tJ
О) oj
Рис. 16.14 Рис. 16.15
ходные напuряжения и токи в этом случае получают как сумму
напряжении и токов в схеме до коммутации й в схеме на '"
рис. 16.15, б, если последнюю дополнить сопротивлением " параk
. лельным источнику тока i K и).
riример 16.5. Рассчитать ток i 1 (t) В цепи на рис. 16.16, а с помощью при-
ведения цепи к нулевым начальным условиям. Параметры схемы: tff == 20 В;
'1=='2"""'З== 10 Ом; L==O,1 r; С==5. \0"'""4 Ф.
I1р/Р
с
а)
Рис. 16.16
с
oj
Реш е н и е. До коммутации ток
i' 1 А'
1 '1+'2 ,
иаПРЯжение на зажимах Ij:люча
&
иp== + '1==10 В.
#:1 '2
463
Схема с нулевыми Jlачальными условиями покаааН:;J на рис. 16.16, б. Иа
этой схемы изображение тока
и р + Ир ==о 100 +
';(р) p('2+pL) ( + 1 ) р(р+l00) р+200'
Р'3 рС
При переходе к ориrиналам получим
i; (t) ==о 1 e l00t +e 200t.
ИсксмыЙ ток
i 1 (/) ==о i + i7 ==о 2 e loot + e 200' А.
Следует отметить, что при подключении одноrо источника
постоянной э. д. с. (тока) к пассивной цепи изображение искомоrо
напряжени,11 (тока) имеет вид
А (р)
F (р) == рВ (р) '
При этом на основании теоремы разложения ориrинал
А (О) А (Pk) e Pk '
j и) == в (О) + PkB' (Pk) ,
.
. (16.44)
rде Pk полюtы, определяемые характеристическим уравнением
В (р)==о.
rармоничеGкая функция е (t) == rff т sin «(jJot + 'Ф) представляет
собой мнимую часть комплек ной величины ;g mejffi.j ( rff т == rff те}'Ф) ,
изображение которой равно rff т/(Р j(jJo). При подключении одноrо
источника rармоническоro напряжения (тока) к пассивной цепи
изображение искомоrо комплексноrо напряжения (тока) может
быть. записано следующим образом:
P(p) А(р)
(p i(j)o) В (р)'
Соответствующее MrHoBeHHoe значение
f (t) == 1т [ : e}ffiot+ (Pk r !) ::Pk) ].
1,'
(16.45)
Формулы (16.44) и (16.45) называют формулами в к л ю ч е н и я;
первые слаrаемые.в правой части этих формул определяют ycTa
новившееся значение напряжения (тока).
16.6. ПреобраЗ0вание YPbe и спектральные характеристики
Преобразование Фурье и ero основные свойства. Как уже
отмечалось, прямое преобразование Лапласа существует' для функ-
ций времени f (t), оrраниченных условием I f (t) 1< Ме!1 0 ! при 0"0> О
(t> о). Если функция f (t) удовлетворяет условию I f (t) I < Me!1ot
при 0"0 < О (t> о), то эта функция абсолютно инт rрируема.
464
. Изображение по Лапласу F (р) абсолютно интеrрируемон Функ
ции f (t) представляет собой аналитическую функцию п('ременной р
в полуплоскости Re р > 0"0 и, В частности, на мнимой оси. Для
такой функции в формулах прямоrо и обратноrо преобразования
Лапласа можно принять р , j(j). в результате
ro
F (j(j) f (t) e j(j)t dt;
о
(16.46)
ro
f (t) == 2 F (j(j) е}Ш! d(j).
ro
(16.47)
4 ,
Формула (16.46) характеризует пр я м о е пр е о б раз о в а н и е
Фур ь е, а формула (16.47) о б Р а т н о е пр е о б раз о в а н и е
(и н т е r р а л) Фур ь е. Преобразования Фурье можно рассматри
вать как частный случай преобразований Лапласа при р == j(j) для
абсолютно интеrрируемых функций. Если абсолютно интеtрируемая
функция f и) имеет изображение по Лапласу F (-р), TQ прямое
преобразование Фурье этой функции F (j(j) == F (р) ip jw'
в формуле (16.46) предполаrается, что функция f (t) задана
при '>О. При '<О 1(t)==0. Если f(t)=I=O при '<О, то прямое
riреобразование Фурье имеет вид
ro
F (j(j) == f (t) e j(j)t dt
ro
( 16.48)
и называется Д в у с т о р о н н и м *. Интеrрал Фурье (16:4 7) опре
деляет функцию 1 (t), равную или не равную нулю при t < о,
если в подынтеrральном выражении функция F (j(j) соответствует
формуле (16.46) или (16.48).
В rл. 13 было рассмотрено разложение периодическиХ функ
ций 1 (t) в ряд Фурье. Такое разложение позволяет определить
спектральный состав функции амплитуды и начальные фазы ее
rармонических составляющих. Интеrрал Фурье представляет собой
предельный случай ряда Фурье для непериодической функции.
Переход от ряда к интеrралу Фурье осуществляется следую
Щим образом. Пусть f (t) непериодическая функция, отличная от
нуля в некотором конечном интервале времени Д! == ' 2 ' 1 . Выби
рая произвольно период Т> М, можно образовать функцию
ro
f(t)== f(t kT).
k ro
Эта функция является периодической и в интервале ' 1 < t < t 2
Овпадает с функцией I(t) (рис. 16.17). Если Т--+оо, то функция
.f (t) обращается в функцию f и).
.. Аналоrично можно определить и двустороннее преобразование Лапласа.
465
Для периодической функции 1 (t) справедливо разложение
в ряд Фурье *;
со
f и) == Ake!k(fJa t ,
k co
(16.49)
rде
T Tfi
Ak r 1(t) e jk(fJa t dt == UJl r f и) e jk(fJ,t dt. . (16.50)
T J 2п J
T T
Обозначив частоту основной rармоники 0)1 == 2n/Т == ДО), МОЖНО
получить
Т/2
Ak == tJ.ro r f (t) e jktщt dt.
2п .,
T/2
Если Т -+ 00, То разность между частотами (k + 1 ) й и k й rap
моник, равная частоте основной rармоники, а также амплитуды
'11
J(t+J)
/J
t, T
::n
t, t 2
Рис. 16.17
fft T)
/L
t, + Т t
B ex rармонических составляющих бесконечно уменьшаются
(A k О). Функция
f (t) == Нт [ т f и) e jM(fJt dt ] ejk/1(fJt до) ==
Т--+СО 2л J
k co T/2
== 2 1 [1 f (t) e jffJt dt] e/(fJt dO).
Если учесть равенство (16.48), то это выражение совпадет
с (16.47).
Так как интеrрал Фурье определяют как предельный случай
ряда Фурье, непериодическая функция f (t) в соответствии с фор-
* Здесь ряд Фурье записан в показательной форме, которая може1 быть
получена из триrонометрической формы с помощью соотношений (см. rл. lЗ)
sin kro1t == ;j (e1k(fJa t e jk(fJli);
COSk.rolt==J... (ejkW,1 + e jl/(fJa t ).
2
466
мулой (.16.47) представляет собой сумму бесконечно большоrо
числа rармонических составляющих. у этих составляющих в отли
чие от l'армоник периодических функций амплитуды бесконечно
малы, а частоты принимают Все значения в диапазоне О + со.
Непериодическая функция имеет непрерывный (сплошной) спектр,
тоrда как спектр периодической функции является дискретным.
функцию F (jw) === F (ш) ei 1JJ (Щ , определяемую по соотношению
(16.46) или (16.48), называют спектральной функциеЙ,
спектральной характеристикой или спектральной
п л о т н о с тью. Модуль F (ш) -== I F (jw) I и aprYMeHT 'Ф (ш) === argF (jw)
функции F (jw) называют соответственно а м п л и т у Д н'Ь й и Ф а
з о в о й спектральными характеристиками.
Учитывая связь между изображениеIyl по Лапласу и спектраль
ной характ.еристик,ОЙ, можно сформулировать свойства преобразо- ,
вания Фурье, .аналоrичные рассмотренным в 16.1 свойствам
преобразования Лапласа. Например, если F (jw) спектральная
характеристика функции f (t), то спектральная характеристика
производной f' (t) равна jwF (jw) f (О), а спектральная xapaKTe
t
ристика интеrрала f (t) dt есть F (jw)/ jw.
о
Амплитудная спектральная характеристика является четной
функцией частоты, а фазовая нечетной:
F (ш) === F ( ш);
'ф (ш) === 'Ф (ш).
Действительно, функция
со
F ( jw) === f и) efrot dl
co
представляет собой сопряженную функцию для F иш); модули
сопряженных функций F (jw), и F ( jw) одинаковы, а aprYMeHTbl
отлича я знаком.
Если f (t) напряжение (ток), то интеrрал
со
W === ) f2 (t) dt
co
определяет энерrию, которая рассеивается в сопротивлении, paB
.ном 1 Ом при напряжении (токе) f (1). с учетом равенства (16.47)
энерrия
'w === 2 500 f (t) [Jco F иш )ef rot dW] dt.
I1осле изменения порядка интеrрирования
W === 2 500 F (jw) [500 f (t) efrol dt] dw,
467
rде внутренний интеrрал равен функции F ( jro). Так как
F(j(J)F( jro)==[F(ro)]2, энерrия ,
со со
W == 2 [Р (ro)]2 dro == [Р (ro)]2 dro.
co о
(16.51)
Таким образом, энерrия может быть вычислена по амплитуд_
ной спектральной характеристике F (ro); функцию [Р (ro)]2 можно
n '
рассматривать как спектральную Плот'Ность энерrии непериоди-
ческоrо сиrнала. На практике ширина спектра функции f (t) опре-
деляется диапазоном Ч1::lСТОТ, в котором сосредоточена подавляющая
часть энерrии W.
СпектраЛl?ные характеристики некоторых функций. Целесо-
образно рассмотреть переход от дискретноrо спектра перИодичес-
кой функции к сплошному спект-
ру непериодической функции.
Как видно из сравнения BЫ
ражений (16.48) и (16.50), значе-
ния спещ'ральной характеристики
F иro) совпадают с произведением
. . 2п
Ak T == Ak В тех точках, rде вы-
Ю]
полняется равенство ro == krol' Это
означает, что спектральная харак-
теристика непериодической функции f (t) служит оrибающей для
дискретноrо ряда величин Ak (t), пропорциональных комплекс-
ным амп'литудам rармонических составляющих периодической
функции 7(t).
На рис. 16.18 показана периодическая последовательность
прямоуroльных импульсов. Для k й rармонической составляющей
этой последовательности
т /2 /2
А k == r e ;kro,t dt ==} r e ;kro,l dt ==
т т
T/2 T/2
{щ
f
7:/2
Т
Рис. 16.18
t
..
2 e ikro ,'t/2 e ikro,'t/2 2. kffit"t
== k(j)]T . 2j == kЮIТ SШТ'
в случае непериодическqй функции, представляющей собой
один прямоуrольный ИМПУ-z'ьс в интервале т:/2 < t < т:/2, спект-
ральная характеристика
т/2
F иro) == e jrot dt == ; sin .
't/2
На рис. 16.19, а, б приведены соответственно дискретный
спектр последовательности импульсов и непрерывный спектр
одноrо . Импульса. Если период Т последовательности импульсов
468
увеличивается, то число линии дискретноrо спектра возрастает,
расстояние между ними меньшается; в пределе дискретный спектр
переходит в сплошнои. А Т
Амплитудная и фазовая к
спектральные характери-
стики прямоуrольноrо им-
пульса показаны соответ-
ственно на рис. 16.20, а, б;
каждая перемена знака
sin (0Yt'/2) учитывается при
изменении фазы на n.
Если начало импульса
совпадает с моментом вре-
мени t == о, тО амплитудная
характеристика не изме-
няется,_ а фазовая допол-
няется слаrаемым 0Yt'/2 * .
При увеличении (умень-
шении) длительности им-
пульса расстояние между нулями функции F (ш) уменьшается (уве-
личивается) .
Если амплитуда импульса
F{ ы}
Т
I
\F(jlU}
б71
T
271 47t б7t (J)
7 7 'l'
471 27t
T '7
lfl(w} а)
Jt
равна 1/1;, то при 1; о спект
ральная характеристика
F ( . 1 . 2 - (от 1
J(i) == 1т sш 2 == .
-.; o (О.
u)
Импульс, имеющий дли
тельность 1; и амплитуду 1/1;
в пределе при 1:' О, преk
ставляет собой дельта функ
цию l) (t). Следовательно,
спектральная характеристика
дельта функции вещественна
и равна единице для всех ча
стот ....... 00 < (i) < 00. На ос-
новании теоремы запаздыва-
ния спектральная характери
стика дельта-функции l) (t t o )
характеристики F (ш) _ 1; apry
равна F (j(i) == e jo)(o; модуль этой
мент (j) (ш) == (i)t o . '
Спектральные характеристики абсолютно интеrрируемых функ-
ций, для которых найдено изображение по Лапласу, MorYT быть
получены с помощью замены в изображении переменной р
На j(i).
· По теореме запаздывания, смещение импульса на 1:/2 (в сторону поло-
жительных значении t) приводит к умножению спектральной характеристики
0)-';
1
На е 2.
469
Пример 16.6. Построить амплитудную спектральную характеристику пря-
моуrольноrо импульса с синусоидальным заполнением (рис. 16.21. а). ДЛитель-
ность импульса равна целому числу периодов.
Реш е н и е. Заданная функция абсолютно интеrрируема и описывается
соотношениями
{ sin (j)ot, О < t < 't
f(t) О, t>T.
с помощью единичных функций заданную фУНКЦИЮ"можно представить в виде
разности:
f (t) sin (j)ot. 1 (t) sin юо (t 't). 1 (t 't).
Следовательно, изображение функции f (t)
F юо 't'"I
(p) р2+ю (l e р /.
Спектральная характеристика
F иЮ) Р (р) 11J /0) (1 e 10)1).
ю ф2
Так K K
I ' 1 1 / e j 1 1 . Шt I
l e JO)'r; j 2 sш 2 '
е 2 .
.
модуль спектральной характеристики
F (Ф) 2 / sin 2 T ' 2 1 sin n:Л(j) / .
Юд Ф Юо ф2 юо
Амплитудная спектральная характеРиСтика F (ю) приведена на рис. 16.21, б.
1ft) - Значение F (ю) при (j) юо найдем
с ПОмощью правила Лопиталя:
F (юо) n:л/(j)о-
Нули функции F (ю) раСположены
в точках (j) kIOo/n (k O, 1,2, ...).
О Если число периодов синусои-
ды n увеличивается, то значение
F (юо) возрастает, а расстояние меж-
ду нулями функции уменьшается,
Ряд важных функций Bpe
мени (например, еДИНичная и
rармоническая функции) не
ЯВЛЯются абсолютно интеrри
руемыми. Спектральные ха-
рактеристики таких Функций
не MorYT быть найдены не-
n 2 n 1 LU o п+1 п+2 UJ посредственно по формуле
п-Ыоп-ИJо п-Шоп-Ыо (16.46). Умножая функцию
OJ f (t) на экспоненту e иt, во
Рис. 16.21 мноrих случаях удается най-
. ти спектральную характери-
стику произведения f (t) e т. Если в этой характеристике принять
а == О, то можно получить спектральную характеристикуфункцииf(t).
F( и))
п7f
йJ о
а)
о
470
С помощью рассмотренното приема в формулах для прямоrо
преобразования Фурье производи:rся переход от переменной ;ю
к переменной Р == (J + j(j), т. е. вычисляет
ся изображение по Лапласу функции f (t)
с последующей заменой р на jш. Такой
прием получения спектральной xapaК1:e
ристики неинтеrрируемой абсолютно функ
ции нельзя считать корректным. Напри-
мер, если единичную функцию 1 (t) умно"
жить на экспоненту e (Jt, то спектральная
характеристика этоrо произведения
OJ
' I
F (jш) == e (Jte j(fJ/ dt == .
и+J(i)
о
f(t)
f
2"
f
2
а).
t
f(t}
+J
бj
t
nолаrая (J == О, можно получить спек
тральную характеристику F (jш) == l/jщ.
Функция I/jш CTporo математически не
является спектральной характеристикой единичной функции. Дейст
вительно, вычисляя обратное преобразовзние (16.47), получаем *
Рис_ 16.22
OJ OJ
t (i) == r efwt dш == \' l CO ш( + sin (i) t ] dш ==
211 ,Ш 211 ,J(i) (i)
OJ ----со
OJ 1 I при t> О
== \' sin ш( dш === 2
11 (i) I
() 2 при t < О.
Полученная функция I (t), показанная на рис. 16.22. а, отли-
чается от едиНИЧНОЙ функции 1 (t).
Ранее было показано, что дельта-функция б (t) имеет спект-
ральную характеристику F (j(j) == 1. Если предположить, что для
некоторой функции f (t) спектральная характеристика представляет
собой дельта--функцию F (j(j) == б (ш), то на основании (16.47)
OJ OJ
f (t) == б (ш) efwt dш == br б (ш) dш == 2 .
oo oo
Таким образом, фунюiии t (t) == I/2л при . oo < t < 00 соот-
ветствует спектральная характеристика в виде дельта-функции
б (ш). Функция f (t) == 1 при oo < t < 00 имеет спектральную
характеристику 2лб (ш).
Единичная функция 1 (t) может быть получена суммированием
двух функций: функции на рис. 16.22, а, имеющей спектральную
характеристику I/jш; и функции на рис. 16.22, б, спектральная
характеристика которой л (ш). Следовательно, спектральная XapaK
* Значение несобственноrо интеrрала можно найти в математических спра-
ВОчниках.
471
теристика единичной функции
F (j(J) == лб (ш) + . (16.52 )
1Ш
Функция f (/) , 1 при co < t < со не интеrрируется абсо
лютно; спектральная характеристика этой функции F иш) == 2лб (ш).
Воспользовавшись равенством (16.48), можно записать
00
6 (ш) == dn e jwt dl.
oo
(16.1;)3)
С помощью этой формулы нетрудно вычислить спектральные
характеристики для rармонических функций. Например, синусо
идальная wункция ( co < 1 < 00)
. 1 I ( . - t
Sln шо == 2f e JWo1 e l(,)o ),
поэтому формальное применение равенства (16.48) приводит
к 'выражению
. ( 1 r. 1 С .
F j(J)==2f J e-:---/(W W6)ld/ 2J J t=/(w+wo)ldl.
ro ........ 00
С учетом фо мулы (16.53) получаем
F (j(J) == jл [6 (ш шо) б (ш+ шо)].
Эта. функция отлична от нуля только при ш=== + шо. Таким
образом, rармоническому колебанию с частотой шо соответствует
бесконечно большая спектральная плотность при (J) === + шо.
Спектральную характеристику rармонической функции, умно-
женной на единичную функцию, можно lIайти, воспользовавшись
выражением (16.52) и теоремой смещения. Соrласно теореме сме-
щения *, при умножении функции f (/) на e:k.iw.,t спеКТральная
характеристика F (jш) принимает вид F [j (ш =+= шо)]. Поэтому,
например, для функции
sin (J)o/. 1 (1) === (e jWo1 t=i W6 t). 1 (/)
. 2}
получаем спектральную жарактеристику
F иш) === (й2 (й j [6 (ш шо) 6 (ш + шо)].
Если не учитывать импульсных составляющих при (() == + ШО,
то спектральная характеристика синусоидальной функции (t > О)
F иш) == Шо/(ш2 (J)б). Такое выражение можно определить, заменяя
в изображении по Лапласу р на j(J)o.
... в 16.1 теорема смещения сформулирована для изображений по Лап-
ласу.
472
1.
1
16.7. Применение преобразования YPbe к расчету
переходных процеССО8
Преобразования Фурье, как .уже отмечалось, .можно paCCM8T
ривать как частный случай преобразований Лапласа. Поэтому
расчет переходных процессов с помощью преобразований Фурье
аналоrичен расчету переходныХ процессов операторным методом.
Например, при подключении источника непериодической э. д. с.
е (t) к некоторому пассивному двухполюснику для спектральнОЙ
. характеристики тока справедливо выражение *
1 (jш) == у (jш) <ff (jш),
rде <ff (jш) спектральная характеристика функции е (t); У (jш)
входная 'проводимость двухполюсника, при расчете которой сопро
тивление индуктивности (емкос'f.И) принимается равным jшL (l/jшС).
ПО спектральной характеристике 1 (jш) на основании обратноrо
преобразования Фурье можно найти ток i (t). .
Рассмотренный подход к расчету переходных процессов отли
чается от операторноrо метода лишь заменой переменной р на jш.
В подобных случаях нет необходимости 'применять преобразования
. Фурье, а целесообразнее воспользоваться более общими преобра
зованиями Лапласа.
Значение преобразований Фурье для расчета переходных про
цессов состоит в том, что эти преобразования позволяlOТ связать
напряжения (токи) при переходноМ процессе с частотными xapaK
теристиками цепи. Зная спектральный состав входноrо воздей
ствия и частотную характеристику цепи, можно найти спектраль
НЫЙ состав выходной величи'ны, оценить влияние частоТНОЙ
характеристики на выходное напряжение или ток. С помощью
спектральных функций может быть решена задача выбора полосы
пропускания, формы частотной характеристики и т. п.
Следует обратить внимание, что существует взаимное COOTBeT
ствие между функцией f (t) и ее спектральной характеристикой
F (ш). Например, как было показано, спектральная характ ри
стика функ'ции б (t) постоянна во всем диапазоне частот и, не.обо
рот, постоянной функции f (1) == 1 соответствует импульсная спек
тральная характеристика. Чем меньше длительноcrь импульса,
'....Тем более широким спектром он обладает (и наоборот).
Если четырехполюсник имеет операторный коэффициент пере
дачи напряжения К(и) (р), то спектральная характеристика BЫXOД
Horo напряжения
и 2 (jш) ==!(!и) (jш) и 1 (jш),
rде и 1 (i(iJ) спектральная характеристика входноrо напряжения.
Комплексный коэффициент передачи !(!и) (jш) == К (ш) e j8 (ш) В общем
СЛучае имеет модуль' и aprYMeHT, зависящие от частоты. При
I( (ш) == К == const, (J (ш) == шt з спектральная харак:rеристика
l'
* .Начальные условия предполаrаются нулевыми,
473
, -..
и 2 (jW) ==KU 1 (jW) e i(j)t.,. На основании теоремы запаздывания можно
утверждать, что выходное напряжение и 2 (t) в рассматриваемом
частном случае отличается от входноrо
напряжения U 1 (t) только постоянным
множителем К и запаздывает на время
t з . Таким образом, для неискаженной
передачи СИПIaла аМПЛИТУДllO частотная
характеристика К (ш) должна быть по-
стоянной, а фазочастотная 6 (ш) ли-
нейной. Сформулированные требования
к частотным характеристикам цепи нель-
зя обеспечить во всем диапазоне частот,
однако следует стремиться" чтобы по-
лоса частот, в которой эти требования
удовлетворяются, соответствовала прак
тической ширине спектра входных сиr-
налов.
Влияние частотных - характеристик
на реакцию цепи можно рассмотреть
на примере цепей, схемы которых при-
ведены на рис. 16.23, а, ь.
Коэффициент передачи напряжения схемы на рис. 16.23, а
К ( а) ( . ) == == j(JJrC
l ш + 1 I + j(JJrC"
r j(JJC
Амплитудно частотная и фазо-частотная характеристики выра-
жаются равенствами
C
1
f
r
!
и 2
а).
.
;и, [Т ; и 2 .
б)
Рис. 16.23
К(и) ( ш ) (JJrC
V I + «(JJrC)2 '
:rt
6 (ш) == "2 arctg wrC.
Если для частот составляющих входноrо сиrнала удовлетво
. :rt
ряется условие wrC<I, то ЮU)(w) wrС, 6(Ш) 2' ЮU)(jw)
jwrC. Спектральная характеристика выходноrо напряжения
и 2 (jw) jwrCU 1 (jw).
Функция j(J)U 1 (jw) представляет собой спектрал.ьную характе-
ристику производной входноrо напряжения и (t). Таким образом,
схема на рис. 16.23, f!- при wrC < 1 осуществляет диффер нциро-
вание (и ос.тщбление) входноrо напряжения.
Коэффициент передачи напряжения схемы на рис, 16.23, 6
ЮU) ( "ш == l/j(JJ.C == I
1) r+I/J(JJC l+j(JJrC '
следовательно,
I
К{и) (ш) == . 6 (ш) == arctgwrC. '
Vl + (wrC)2 '
474
Если для частот составляющих входноrо сиrнала выполняется
условие шrС> 1. то К<U)(ш) I/шrС, ()(ш) ; ; К<U)(jш)
I/jшrС. Спектральная характери-
стика выходноrо напряжения
l1(t)
и 2 (jш) c иl (jш).
IOJr
L l1,(t)
I
I
I
Функция и 1 (jш)/jш представляет
собой спектральную характеристику
t
интеrрала иl dt от входноrо напря-
о u(t)
жения. Таким образом, схема на
рис. 16.23, 6 осуществляет интеrри-
рова'ние (и ослабление) ВХОДноrо на-
пряжения при шrС >1. .
На рис. 16.24, а, б показаны со-
ответственно .выходные напряжения
дифференцирующей и интеrрирующей
цепей при одном fI том же входном
напряжении. Как видно, различие
частотных характеристик обусловливает существенное различие
выходных напряжений.
Преобразования Фурье часто применяют при расчете переход-
ных процессов с помощью частотных характеристик, полученных
экспериментально. Пусть спектральная характеристика F (jш)
представлена в алrебраической форме:
F (jш) == Р 1 (ш) + jF 2 (ш) === F (ш) cos 'ф (ш) + jF (ш) sin 'ф (ш).
Вещественная и мнимая части спектральной характеристики
определяются в соответствии с равенством (16.46):
t
и, (t)
....c.::.... ..,
OJ
. Рис. 16.24
.t
00
Р 1 (ш) == f (t) cos шt dt;
о
(16.54)
00
Р 2 (ш) == f (t) sin шt dt. (16.55)
о
Вещественная часть спектральной характеристики Р 1 (ш) чет-
ная функция, а мнимая часть Р 2 (ш) нечетная функция частоты.
Соrласно обратному преобразованию,
00
1 (t) == 2 [Р 1 (ш) + jF 2 (ш)][ cos шt + j sin шt] dш:;;;:;
oo
00
=== 2 [Р 1 (ш) cos шt Р 2 (ш) sin шt] dш+
oo
00
+ in [Р 1 (ш) siп шt + Р 2 (ш) cos шt] dш.
oo
475
Интеrрал
<>о
[Р 1 (со) sin шl + Р 2 (ш) COS шl] dш== О,
OO
так как функция в квадратных скобках нечетная. Следовательно,
00
f{t) == 2 [Fl{ш)соsшt F2{ш)siпшt]dш
90
или, учитывая четность функции в квадратных скобках,
00
;; {и)==* [F](ш)соsшt F2(ш)siп t]dш.
о
Если спектральная характеристика определяется равенством
О6.46), то функция f( t) -== О (t > О):
00
] r '
f ( t) ==- 2п [Р 1 (ш) cos шt + F 2 (ш) sin шt] dш == О,
о
откуда
00 00
Р 1 (ш) cos шt dш == Р 2 (ш) siп шt dш.
о о
Таким образом, функцию f (t) можно определить через вещест-
венную и:тш мнимую спектральные характеристики:
00 00
{{t)== F 1 {ш) cOs шt dш == F 2 {ш)siпшtdш. (Iб.56)
о о .
При известных частотных характеристиках Р 1 (ш) или Р 2 (ш)
интеrралы в соотношении Об.54) вычисляют приближенными
, методами.
. Пусть функция Р 1 (ш) имеет вид трапеции (рис. 16.25). Инте-
rрируя выражение для f и) по частям, получаем .
00 00
f (t) == Р 1 (ш) cos шt dш == Р] (ш) sin шt I
о ш о
00
2 r. t, dF 1 (ro) d
1tt sш ш 'd(й"" ш.
о
Учитывая, что первое слаrаемое в правой части равно нулю,
00
f (t 2 r. t dFl (сО)
) == 1d sш ш dш.
u
476
Производная dF 1 (ш)/dffi отлична от нуля только в диапазоне
частот Ш 1 шl -+-- шl + шl' поэтому
(о, + l\.(O,
f (/) == ;t 2: 1 sin шl dш ==
(о, l\.(O,
== t l [cos (шl шl) 1 cos (шl + шl) 1].
11 ,-,OJ)
I10сле,элементарноrо преобразования
f (1) == 2А 1 OJ l sin OJlt sih /J.OJ1t . (16.57 )
n OJlt /J.OJlt
ФУНКllИИ sin х/х MorYT быть табулированы, поэтому расчет f (/)
по выражению (16.57) не вызывает затруднений.
В общем случае частотная ха-
рактеристика Р 1 (ш) может быть F,rw)
аппроксимирована с достаточной
точностью несколькими трапеция-
ми. Если параметры трапеций оп-
ределить величинами Ak. шk, шk
(аналоrично величинам на рис.
16.25), то
f ( t ) == '\"1 А ш sin OJ k t sin /J.OJ k l .
11 k k OJkt /J.OJk'
k
w
а)
F,rш)
(16.58) Frrk/ w )
AJ'
, А,
А 2
UJ
Wl lJfJJ fJJ{ ы, /J(.и,
А,
Рис. 16.25
Рис. 16.26
На рис. 16.26, а, 6 приведены соответственно частотная харак-
теристика Fl (ш) и аппроксимирующие трапеции Fl(k) (ш).
16.8. Некоторые соотношения между временными
и частотными характеристиками цепи
Реакция цепи во временной области может быть найдена
с помощью интеrрала Дюамеля, если извеC'l;'на переходная или
Импульсная характеристика цепи (см. 15.2, 15.з). С друrой
Стороны, реакцию цепи можно определить, вычислив предвари
тельно изображение или спектральную- характеристику реакции.
Изображен:ие (спектральную харак:еристику) ре кции получают
477
при умножении изображения (спектральной характеристики) Вход.
Horo воздействия на соответствующую схемную фУНКUИlj) Вход.
ную или взаимную проводимость, I;Iходное ищ:! взаимное сопро.
Тивление, коэффиuиент передачи напряжения или тока в опера.
торной (комплексной) форме.
Пусть напряжение на входе четырехполюсника иl (/) == I (/);
тоrда выходное напряжение и2 (/) равно переходному коэффи.
uиенту передачи напряжения и2 (I) K(a) (/). Так как изображенИЕ
входноrо напряжения 1 (1) равно l/p, операторный коэффиuиеН1
передачи напряжения
Ю U ) (р) и 2 (р) == pZ [f"-2 (/)] pZ [Ю U ) (1)].
и 1 (р)
(16.59:
Таким образом, при умножении изображения переходноrо коэф.
фициента передачи напряжения на р получают операторный коэф.
фициент передачи напряжения. '
Производная функции к(и) (/) равна импульсному коэффициенту
передачи K a) (t). Умножение изображения Z [Ю UJ (/)] на р соответ.
ствует дифференцированию функции К(и) (/), поэтому
'
ю") (р) == Z [К6") (/)] == К6"I (р),
(16.60:
т. е. операторный коэффициент передачи напряжения предстаВляеl
собой изображение импульсноrо коэффиuиента передачи. При р ==
== jш соотношение (16.60) принимает вид
Ю U ) (jш) ==кь") (jш),
(16.61;
т. . коэффициент передачи в комплексной форме равен спектр аль-
ной характеристике импульсноrо' коэффициента передачи.
Функцию к(и) (jш) можно представить в виде о
к(и) (iш) Ю'!) (ш) е;8(ш)
или
к(и) (jш) == кl (ш) + jK 2 (ш),
rде К(и) (ш) и 6 (ш) COOTBeTCTBeHHO амплитудно-частотная и фаза-
частотная характеристики коэффициента передачи напряжения;
Кl (ш) и К 2 (ш) частотные характеристики вещественной и мни-
мой частей.
По аналоrии с выражениями (16.54) и (16.55) получаем:
00
K ") (ш) == кА") (/) cos шl dl;
о
(16.62;
00
K U) (ш) :::;; к!и) (t) .sin шt dt.
;,:...Q
(16.63;
478
ПЛЯ импульсной характеристики справедливы выражения,
аналоrичные (16.56):
CJO CJO
. 2 . 2 \' '
кАи) (t) ==п J K U) (ш) cosrot dш== 1t J K и) (ш) siпшt'dш. (16.64)
о, о
Таким образом, импульсная характеристика определяется
частотноЙ зависимостью только вещественной или мнимой части
коэффициента передачи напряжения.
Соотношения, аналоrичные (16.59) + (16.64), MorYT быть запи-
саны и для друrИХ входных и передаточных функций.
rЛАВА 17
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
17.1. Характер переходных процеосов в цепях
с распределеннымн парамuтрами
В цепях с распределенными параметрами, в частности, в высо-
ковольтных сетях и линиях связи, переходные процессы возни-
кают при изменении режима цепи (включении и отключении
ОТдельных ветвей), а -также в результате rрозовых явлений.
Появляющиеся при этом перенапряжения или большие токи
нередко приводят к повреждению изоляции или друrих частей
элекротехнических установок, если они неверно СIIроектированы.
В отличие от переходныХ процессов в пепях с софедоточен
ными параметрами изменение токов и напряжений в цепях с рас-
пределенными параметрами происходит неодновременно - во всех
частях установки. Изменение тока и напряжения, начавшееся
Е каКОМ ЛИБО участке цепи, распространяется на остальные эле-
енты цеtш с конечной скоростью. Вдоль воздушных линий эти
зменения распространяются приблизительно со скоростью света
с 3. 105 км/с, а в кабелях со скоростью, примерно в два раза
меньшей. Скорость распространения изменений тока и напряже-
ния или, как rоворят, волн тока и напряжения на MHoro поряд-
ков больще скорости перемещения электронов в проводах линий
или кабелей. Она практически совпадает со скоростью распро-
странения элеicrромаrнипrых волн в среде, окружающей провод-
ники. В линиях такой средой является воздух; в кабелях изо-
ляция между жилой и оболочкой.
Движение волн тока и напряжения сопровождается передачей
вдоль линии электромаrнитной энерrии, которая сосредоточена
в поле, окружающем проводники. Распространение волн тока и
напряжения определяется взаимодействием связанных с ними
электрических и маrнитных полей.
Здесь основное внимание уделено расчету напряжений и токов
в различных частях цепи' с распределенными параметрами при
переходнЫХ процессах. При этом упрощение расчета достиrается
использованием операторноrо метода. Операторный метод позво-
ляет производить в цепях с сосредоточенными параметрами рас-
чет переходных процессов по формулам, аналоrичнЫм формулам
для цепей с синусоидальными токами и напряжениями (см. 16.3).
Подобное положение имеет место и в цепях с распределенными
параметрами при нулевых начальных условиях. В этом можно убе-
диться, применив преобразование Лапласа к уравнениям длинной
линии (12.4), которые в операторной форме приобретут вид
dd == (ro + pLo)1: )
==(go+pCo)U, (17.1)
480
еСЛИ обозначить через
со
U == U (р, х) == e ptu (t, х) dt
о
изображение напряжения u (t, х) между проводами линии
в точке с координатой х, а через
со
/ ==/ (р, х)== e pti(t, х) dt
о
изображение тока i (t, х) в проводах линйи в той же точке.
Совместное решение уравнений (17.1) приводит к однородным
линейным уравнениям BToporo порядка:
lPUfdx 2 ==V 2U ; }
d2f!dx2 == "( 2 /, (17.2)
еСЛИ ввести в рассмотрение о пер а т о р н ы й к о э Ф Ф и ц и е н т
распространения
V == V (р) == V(ro + pLo) (go + РС о )' (17.3)
Решение уравнений (17.2) не представляет никаких затрудне
ний, однако в нем нет необходимости, так как формальная aHa
Jlоrия дифференциальных уравнений (12.6) и (17.2) позволяет
воспользоваться окончательными результатами решеНfIЯ ypaвHe
ний. При этом вместо комплексных значений подставляют опера-
торные изображения. Например, подобно уравнениям (12.7) и
(12.8), для изображений напряжения и тока в линии можно
записать:
и == Ale '\'x + А 2 е'\'Х ==Рl +Р 2 ;
1== (Ale "'Vx A2 '\'X)== Flz Р 2 t
с с
(17.4а)
(17.4б)
rде
z == z (р) :::;:" / ro+ pLo !
с с JI go+pC o '
(17.5)
операторное характеристическое (волновое) сопротивление.
. Теперь остается найти ориrиналы искомых напряжений u (t, х)
И токов i (t, х) по 'правилам операционноrо исчисления. Проще.
Bcero расчет проводится в случае, КОl'да потери в, линии не ока-
зывают заметноrо влияния на переходной процесс и второе част-
Ное решение отсутствует (Р 2 == А 2 е'\'Х == О).
Л и н и я б е з п о т ерь (ro == go == О) имеет коэффициент распро-
странения
"(==Р У LoCo ==p/v
и Волновое сопротивление
Zc == Zc == V Lo/C o .
16 пjр. ИОНКЮЩ, т. 1
481
В этом случае ПОстоянная интеrрирования А 1 совпадаеТ с изо-
бражением напряжения в начале (х == О) линии и 1 == и 1 (р), а изо-
бражения в друrих точках
U==Ale vx==Ule pxlv. ,(17.6)
Соrласно теореме смещения, при F(p)==Z [f(t
e Tpp (р) == Z [f (t ТН. (17.7)
Поэтому из уравнения (17.6) следует, что напряжение в любой
точке линии без потерь
u(t, X)==Ul(t ).
На рис. 1117.1 изображена кривая распределения напряжения
u ио, х) для момента времени t o . На этой кривой отмечена точка,
находящаяся на расстоянии хо от начала линии, с напряжением
ио == u (t o , хо). Таким же напря-
жением будет обладать в моме.нт
времени t> t o та точка линии,
,для которой выполняется усло-
вие
II
х
t o 3!L==t
v v ·
Рис. 17.1 т. е. x==xo+v(t to). Отсюда
следует, что ордината ио первона-
чальной кривой за время !J.t == t t o перемещается вдоль линии
на расстояние !J.x == х хо == v !J.t. Подобное рассуждение справед-
ливо для любой ординаты первоначальной кривой напряжения.
Поэтому можно считать, что за любой интервал времени I1t кри-
вая напряжения оказывается сдвинутой без искажения и измене-
ния амплитудЫ вдоль линии в направлении положительных зна:.
чений оси х на расстояние!J.х == v I1t. Иначе rоворя, напряжение
распространяется вдоль линии без потерь в виде волны, которая
движется без деформации и затухания с постоянной скоростью
v == I /V LoC o . Такую волну, определяемую функцией Р 1 == Z [fl (t)1,
называют пр я м о й волной.
Арrументы функций Р 1 и Р 2 отличаются только знаками перед
теми членами выражения, в которые входит скорость, т. е. функ-
ция F 2 == Z [' 2 (t)1 определяет волну напряжения, перемещающуюся
от конца линии к ее началу, так как направление вектора ско-
рости для Нее противоположно направлению вектора скорости
прямой ВОЛНЫ. Волну напряжения, определяемуЮ функцией {2'
назьuзают о б р а т н о й волной. .
В общем случае напряжение на линии складывается, соrласно
(1 7.4а) , из напряжения прямой волны.
u пр ==fl (t +Tl) (17.8)
482
и наПРЯ2Кения обратной волны
Uобр == f 2 (t + : + 2 ) , (17.9)
rде '{"1 и "2 постоянные величины, зависящие от выбора системы
отсчета времени и расстояний. Например, "1 == О, коrда отсчет
расстояний производят от начала линии, а отсчет времени t
с момента подключения источника энерrии к началу линии; "2 == О,
коrда начало отсчета х находится в конце линии, а t отсчиты-
вается с момента появления наПРЯ2Кения в конце линии.
Уравнение (I7.4б) таюке имеет две составляющие. Первая
составляющая определяет ток прямой волны
i пр == Z f 1 (t : +"1)'
,вторая составляющая ток обратной волны
iобр== f2 ( t+ +"2 ) '
Zc V
обратная волны наПРЯ2Кения определены, то
найти из соотношения, аналоrичноrо закону
(17.10)
(17.11)
Если прямая и
волны тока мо2кно
Ома:
uпр/i пр == Uобр/i обр == Zc.
( 1 7.12)
с помощью этоrо уравнения МО2Кно доказать, что эн рrия
мarнитноrо поля волны равняется энерrии ее электрическоrо
поля. Например, энерrия маrнитноrо поля прямой волны, отне-
.сенная к единице длины линии, равна энерrии ее электрическоrо
поля: .
tV == Loi p == Lo ( и пр ) 2 == Lo ( ипр ) 2 == coи p == W
М. пр 2 2 Zc 2 Y Lo/C o 2 11. пр'
Аналоrично доказывается, что д.'IЯ обратной волны W м. обр ==
== W а . обр ' .
Прямые и обратные волны возникают не сразу во всеХ точ-
ках линии. После присоединения линии к источнику энерrии
сначала появляется только прямая волна. В момент включения
линии (t == О) волна начинает распространяться от источника
энерrии (х == О) по направлению к концу линии. -Если до вклю-
чения линии наПРЯ2Кение на ней отсутствовало, то оно равно
нулю и на том участке линии, до KOToporo прямая волна еще не
дошла. На той, части линии, до которой прямая волна У2Ке
дошла, наПРЯ2Кение вначале равно наПРЯ2Кению только прямой
волны. Оно будет оставаться таким до прихода обратной волны.
В общем случае на тех участках линии, rде имеются и прямая
и обратная вqлны, наПРЯ2Кение и ток определяются наЛО2Ке-
нцем прямых и обратных волн:
u == U пр + Uобр;
i == i пр i обр '
(17.13)
(17.14)
483
16*
Уравнение (17.13) непосредственно следует из ypaBHe
(17.4а), (17.8) и (17.9), а уравнение (17.14) из уравнений (17.46).
(17.10) и (17.11).
17.2. Расчет напряжения прямой волны
Пусть источник э. д. с. с напряжением ио (t) подключается
к началу линии без потерь через пассивный четырехполюсник П
с сосредоточенными параметрами. .
Рассмотрим явления, происходящие в начале переходноrо
процесса, коrда после замыкания люча (рис. 17.2) в линии воз-
никает прямая волна, а обратная волна еще не появилась (Uобу, == О).
В этом случае, соrласно уравнениям (17.12). (17.13) и (17.14),
\i
l, й i,
----------1> j zc
i l1,
11 0 Щ П Zc .от '. ! .,
Рис. 17.2 Рис. 17.3
напряжение и ток в начале линии (х == О) совпадают с напряже-
нием и током прямой волны, а также напряжением и током на
выходе четыреХПОЛЮСНИl}:а:
Щ (t) == U пр (t, 0)==f1 (t) :....... .?cinp(t' О) ==Zci1 (t). (17.15)
Из этоrо соотношения следует, что эквивалентная схема для
определения напряжения и тока в начале линии (до прихода
обратной волны) состоит из пассивноrо четырехполюсника П,
к входу Koтoporo подключается источник э. д. с. с напряжением
ио (t), а к выходу активное сопротивление, равное волновому
сопротивлению линии Zc (рис. 17.3).
Сопоставление уравнений .(17.8) и (17.15) пока ывает, что
уравнение прямой волны в начале линии совпадает с уравнением
полноro напряжения, а в остальных точках отличается от Hero
только apryмeHТOM (t вместо t). Следовательно, для получе-
'ния уравнения напряжения прямой 'волны необходимо в уравне-
х
нии напряжения в начале линии заменить t на t v:
U пр == и1 ( t ).
(17.16)
По этому уравнению можно рассчитать напряжение прямой
волны в любой момент времени t > О в точках линии, для кото-
рых x vt, по известному уравнению напряжения в начале
линии. Пользуясь формулой (17.12), леrко 'найти и уравнение
тока.прямой волны.
4R4
Пример 17.1. К началу воздушной линии длиной 1 == 120 км присоединен
источник 9. д. С. с напряженнем ио==и о (1 е аl),.rде и о ==: 1000 кВ; а ==5000 C l.
построить rрафик распределения напряжения прямой волныI вдоль линии
спустя 0,6 с после начала распространения волны.
ипр,КВ
1000
,
500
о
Рис. 17.4
v
500
О
0.2 0.4
: .
t,MC
Рис. 17.5
реш е и и е. Исходя из Toro, что напряжение в начале линии совпадает
с напряжением источника энерrии, и учи1ывяя общее'правило (17.16), напря-
жение прямой волны
ипр==иl (t ; }==UJI e a (t )] ==
[ 5. 10' ( 0,6 .10 ' ........!:..... ) l
== 1000 1 e З.10 J кВ,
rде v==3. lOU км/с. rрафик распределения напря.
жения прямой волны вдоль линии построен на
рис. 17.4.
Сравним rрафик распределения напря-
жения вдоль линии в зависимости от ко-
ординаты х с rрафиком изменения напря-
жения в начале линии в зависимости от
времени t (рис. 17-:5). Кривые напряже-
ния на обоих rрафиках имеют одинаковую
форму, что нетрудно увидеть, если пред-
положить, что линия имеет большую дли-
. ну, и продолж ть rрафик распределения напряжения до точки
Хо == vt (см. рис. 17.4), до которой моrла бы распространиться вол-
на к рассматриваемому моменту вре-
мени t == 0,6 с.
Аналоrия rрафиков напряжения
U пр (х) и Ul (t) носит более общий
характер. При надлежащем выборе
масштабов для apryMeHToB кривая
распределения напряжения вдоль ли-
нии (в эависимости от координаты
== vt х) должна полностью совпа-
дать с кривой зависимости напряже-
от времени {. Для этоrо достаточно вы-
расстояний так, чтобы mi, == vmt, rде mt
, и. х
Рис. 17.7
НИЯ В начале линии
брать масштаб для
маСштаб времени.
t=o
u :rx
а)
J
о
U С
t
5j
Рис. 17.6
485
Если линия присо диiIs;Iется к источнику постоянной Э. д. с. tff == и
(рис. 17.6, а), то напряжение в начале линии до момента включе
ния (t < О) равно Нулю, а после включения (t?: О) равно и
(рис. 17.6, б). Поэтому распространяющаяся по линии волна имеет
форму импульса бесконечной длины с прямоyrольным фронтом
(рис. 17.7.).
17.3. Ток и напряжение в конце линии
Расчетные уравнения для напряжений и тока в конце линии
MorYT бытЬ получены из уравнений (17.12), справедливых для
любой точки линии:
i пр == Uпр!Zс;
i обр == Uобр/Zс.
Тоrда соfласно (17.13) и (17.14)
i == i пр i обр == (Uпр/Z с ) (Uобр!Zс);
zc i == U пр Uобр;
U == Un р + Uобр'
Почленное сложение последних' двух уравнений дает
2u пр == u + zci.
В дальнейшем токи и напряжения в конце линии будут отмечаться
индексом 2, а в начале линии индексом 1 (рис. 17.8). Напри
мер, если последнее уравнение, справедливое для любой точки
линии, должно быть использовано для конца линии, то ero можно
переписать следующим образом:
"0 " j"
( ,
'1]
и 2 -----1> Z2
2u 2пр ==и 2 + Zci2' (17.17)
rде U 2пр напряжение прямой
волны в конце линии; i 2 ток
В конце линии; и 2 напряже-
ние в конце линии.
Уравнения (17.17) недоста-
точно для определения' тока и
напряжения, так как в Hero входят две неизвестные величины
(и 2 и i 2 ). Дополнительное условие, связывающее неизвестные, за-
висит от наrрузки. Например, для активной наrрузки
Рис. 17.8
и 2 == ri 2 ,
(17.18)
rде r сопротивление наrрузки.
Расчетные уравнения для этоrо случая принимают вид
. 2u 2пр
t .
2 Zc+ r '
2r
и 2 == + U2пр'
Zc r
(I 7. 19)
(17.20)
486
Уравнение (17.20) можно записать в виде
и2 == nUzпр'
rде
и2 2, !
n
U2IIp zc+ r
(17.21)
коэффициент преломления.
Если к концу линии (рис. 17.8) присоединены индуктивность
и емкость, то расчет удобней вести исходя из схемы замещения
(рис. 17.9),. соответствующей уравнению (17.17). При этом
уравнения MorYT быть записаны аналоrично (17.19) '. и (17.20)
только для изображений:
2U 2пр (р) 2Z 2 (р)
/2 (р) == zc (P)+Z2 (р) ; и 2 (р) == Zc (P)+Z2 (р) U 2пр (р).
Коэффи.циент преломления в общем случае
N (р) == и 2 (р) 2Z 2 (р)
U 2Пр (р) Zc (р) + z? (р) .
При использовании схемы рис. 17.9 следует помнить, что
токи и напряжения в ней появляются не сразу после замыкания
ключа в начале линии, а только после распространения прямой
волны по всей линии. Поэтому при расчете схемы замещения
отсчет време.ни удобнее начинать с момента прихода прямой
волны к концу линии (t == l/v). Время, отсчитываемое от этоrо мо-
мента, 6 == t l/v. i
Соrласно (17.16), напряжение ..............(
прямой волны в конце линии ,. -
U 2пр == иl (t l/v) == иl (6). (17.23)
(17.22)
Таким образом, схема замеще-
ния для расчета напряжений
и токов в конце линии имеет вид,
изображенный на рис. 17.10.
Для составления схемы заме-
щения необходимо: а) последова-
тельно с сопротивлением нarрузки, включенным в конце линии,
соединиТЬ активное (сосредоточенное) сопротивление, равное
характеристическому сопротивлению линии; б) при помощи ключа
подключить reHepaTop с напряжением, равным двойному напря-
жению в начале линии, в момент прихода падающей волны,
к концу линии, коrда 6 == о.
Схема на рис. 17.10 позволяет сnести расчет переходныХ про-
цессов в цепи с распределенными параметрами к расчету пере-
Ходных процессов в цепи с сосредоточенными параметрами.
lC !
и 2
l2
Рис. 17.9
Пример 17.2. Определить ток и иапряжение в конце линии длиной l
с характеристическим сопротивлением zc. В конце линии присоединена индук-
Тивность L. Напряжение в начале линии u;:Uoe a.t.
487
Реш е н и е. Составим схему зам щения (рис. I7.11) и рассч.итаем ее тан!
же, как и схему цепи с сосредоточенными параметрами. Для этон схемы
z (p) zc+pL;
. Z ( a)==zc aL
н ПРОИЗВОДная Z, (р) == L.
Корень уравнения Z (р) == о равен Pl == zc/L.
t z
Zz;
t z
Zc I
и !
Zc. I
и2
L
\
Рис. 17.10
Рис. 17.11
Для экспоненциальноrо напряжения соrласно теореме разложения IlОЛУЧИМ
2С е
2иoe ae + 2иое L
zc aL (a ZL) L
i 2
иoe aв 2U o e D ,!J
Z ( a) + (Pl +а) Z' (Р)
ИЛИ
. r a(t ) t(t ) ]
'2 zc aL е e .
Как видно из рис. 17.11, напряжение в конце линии
U2==2Ul Zci2==2Uoe a!J 2Uo L (e ae e i!J) ===
Zc а
( aL Z в )
==2и о e ae e i
al, zc aL zc -
ИJIИ
, [ а a ( t !.. ) i 2C ( t !... )]
и 2 ==2и о е v е L ,v.
Zc Zc
a T a т:
'1'1.4. Расчет напряжения обратноii волны
В общем виде цапряжение обратной волны, в конце линии
(х == 1) соrласно (17.9)
U 2О бр==f2-(t + +.2)' (17.24)
Это напряжение может быть определено из схемы замещения
по уравнению (17.13):
и 20 6р;;== и 2 и 211р ,
(17.25)
488
Напряжение в конце линии начинает изменяться только после
прихода прямой волны. П этому напряжение (17.25) получается
в виде функции
U20бр == '2 (8)
(17.26)
от переменной
1 1 21
8==t ==t+ .
,V V V
(17.27)
ИЗ уравнений (17.24), (17.26) и (17.27) следует, что в данном
случае "2 == 21/v. . .
.сравнение выражений (17;9), (17.26) и (17.27) позволяет сде-
лать следующий вывод. Если известно уравнение напряжения
обратной волны в конце линии в виде функции
U20бр == U20бр (8), (17.28)
то дЛЯ получения Uобр в любой точке, находящейся на расстоя-
нии х от начала линии, необходимо замен'ить переменную
8==t l/v переменной t+x/v 21/v, т. е.
( х 21 )
Uобр == U 20 бр t + v v .
(17.29) ,
Пример 17.3. Определить иапряжение обратной волны по данным примера
17.2.
Реш е н и е. В примере 17.2 было получено выражение
U:!===2U O ( ;:L e ae LZc e Z{ е )
а Zc а Zc
при
и 2пр == U ое:-- ае ;
поэтому
( .
, . aL+zc ae
и 20 б р == и 2 и2ПР == U о L е
а zc
Следовательно,
[ ( х 21 )
х 21 aL+z a t+
U о бр==и 20 бр ( t + ) == и о L с е v v
, v v а Zc
Zc ( . х 21 ) ' ]
2z t+
с е L v v
aL zc .
Zc )
2z е
aL zc е L ===и20бр(О).
Уравнение (17.29) позволяет найти расчетным путем напряже-
Itия и ток обратной волны в любой момент времени (t > ) и
в любой точке линии (21 vt < х < vt). При этом необходи о
помнить, что в уравнении (17.29) расстояние хотсчитывается
от начала линии (исходной точки движения прямой волны),
а время t от момента начала движения прямой волны.
Иноrда при расчетах и построениях rрафиков обратных волн
расстояния у отсчитывают от конца первой линии в сторону ее
489
начала, а время 6 ar момента начала движения обратной волны.
Уравнение обратной вол'нь! в новой системе координат может
быть получено из уравнения (17.29) после подстановки в Hero
x==l y и 6==t 1/v.
В резу,льтате этоrо уравнение обратной ВОЛНЫ примет вид
Иобр == И 20 бр (6 ; ).
".
(17.30)
Сравнение выражений (17.30) и (17.28) показывает, что в но-
вой системе координат переход от напряжения обратной волны
в конце линии к напряжению этой волны в любой точке осу-
ществляется заменой aprYMeHTa 6 Щl 6 y/v, т. е. аналоrичен-
переходу от напряжения прямой волны в начале линии к напря-
жению прямой волны в любой точке. В случае прямой волны
переход связан <; заменой, apryмeHTa t на t x/v в соответствии
с уравнением (17.16). .
Таким образом, если время t отсчитывать всеrда с момента начала
движения рассматриваемой волны ar какой-либо точки, а расстоя-
ния Х откладывать - по направлению движения волны ar той же
точки, то можно сформулировать общее правило для определения
закона изменения волны: -если в начальной точке движения (х == О)
волна изменяется во времени no закону f (t), то в точке, находя-
щейся от исходlЮЙ на рассnwянии х, волна будет изменяться по
закону f (Т), rде Т == t x/v; v скорость движения волны в линии;
x<vt.
Это правило можно применить как для расчета прямых, так
и обратных волн, а также для волн, возникающих при последо-
BaTeJIbHOM соединении нескольких линий. При этом для каждой
волны следует выбирать свою систему arсчета расстояний и вре-
мени.
Если источник энерrии включен в начале линии (х == О), то
непосредственным источником энерrии для обратной волны может
быть только энерrия, доставляемая к концу линии (х == 1) прямой '
волной. Действительно, мощность в наrрузке
2 2
. U 2пр U20бр U2ПР U2обр.
Р2 == И z t 2 == (И 2пр + И 20 бр) z == Z == Р2пр Р20бр'
с с с
rде Р2Пр И Р20бр соответственно мощности прямой и обратной
волн в конце линии.
Следовательно, Р20бр == Р2пр Р2. т. е. обратная волна возни-
кает в результате Toro, что наrрузка не поrлощает всю электро-
маrнитную энерrию, приносимую прямой волной. Поэтому в дан-
ных условиях прямую волну наЗI?IВают падающей, а обратную
. о т р а ж е н н о й.
в случае активной наrрузки (r) в конце линии для нахожде
. ния напряжения отраженной волны используют ко ффициент
отражения
т == и20тр/и2цад == i2отр/i2пад'
490
Из уравнений (17.13) и (17.20) определяем
2r r zc
и20ТР == и2 U2пад == Zc+ r и2пад и2пад == r+zc U2пад.
Из уравнений (17.14) и (17.19) можно убедиться, что
. . . _ . 2zc.' r zc .
t20Тp == 12пад t2 == t2пад Zc + r t2пад == r + Zc t2пад.
_ Таким образом,
r zc
т==
r+zc.
(17.31)
Ранее отмечалось, что rрафик напряжения падающей волны
в конце линии, построенный в зависимости от времени t, совпа
дает с rрафиком напряжения в начале линии, если по оси абсцисс
отложить функцию времени е: и2пад == иl (е). Поэтому напряжение
(ток) отраженной волны в конце линии
и2отр == ти2пад == тиl (е)
может быть получено пропорциональным изменением напряже-
ния (тока) в начале ли Zc
нии в соответствии с ве- z z u e ll
личииой коэффициеита oт 4' . (ПР
ражения. ZI ZC
При коротком замыка ll+'7. C '
нии на конце линии (r == О) .
1 !J. l пx 'f/ e dl и. 2 пк, 'f/
m == ,т. е. отраженная vШ vШ
-волна в конце линии рав- р
на по величине падающей ИС. 17.12
волне 'И противоположна
ей по знаку. При разомкнутом конце линии (r==oo) т== 1, т. е.
отраженная волна в конце линии равна и по величине и по зна-
ку падающей волне. При соrласованной наrрузке (r == zc) oтpa
женные волны отсутствуют (т == О).
Следовательно, переходные процессы в линии связаны с pac
пространением падающих и отраженных волн. Форма падающей
волны напряжения при включении линии определяется напряже
нием источника энерrии в начале линии, форма отраженной
волны напряжения законом изменения напряжения отраженной
волны в конце линии. Напряжение отраженной волны может
быть найдено из расчета схемы замещения линии. Как уже
отмечалось, ток и напряжение падающей (отраженной) волны
связаны выражением, аналоrичным закону Ома, причем в Ka"Ie
стве сопротивления следует взять волновое сопротивление линии Zc.
Результирующие напряжения и токи в каждой точке линии ПОk
считывают суммированием напряжений и вычитанием токов пад&ю
щей и отраженной волн. ...
В общем е-лучае, коrда источники энерrии, сосредоточенные
индуктивности и емкости, а также прямые и обратные волны
имеются и в начале и в конце линии, коэффициентами отражения
U 2лр
2 Z2 Z,
Z2+ C
O E z
491
можно пользоваться тuлько в оператор ной форме; причем коэф-
фициент отражения для начала и конца линии соответственно
М (р) Zl {p) Zc (р) .
. 1 Zl {p)+Zc (р) ,
М 2 (р) Zs (p) Zc (р)
Zs (p)+Zc (р) ,
rде Zl (р) и Z2 (р) входные сопротивления эквивалентных актив-
ных двухполюсников в начале и конце линии *. При этом резуль-
тирующие значения напряжений прямых и обратных волн можно
найти с помощью rрафа на рис. 17.12, rде €f 1 и €f2 эквивалент-
ные э.. д. с. активных двухпОлюсников в начале и конце линии.
17.5. Переход вопн с одной пинии на друrую
,
Очень часто воздушная линия переходит в кабельную, и наобо-
рот. Такой переход возможен прIi пересечении линий связи с высоко-
ВОЛЬТНЫ1\Ш или железнодорожны1шш линиями, на подходах воздуш-
ных линий reHepaтopHoro напряжения к электрическим станциям
(иноrда это делается для оrраничения перенапряжений). В этих
t=o
. щftJ <2J \":
[: [;'
.........,.
."
;'2
u;J п J и/'
u;'J
ZCl
Zcz
Рис. 17.1З
и подобных случаях две линии с разными волновыми сопротивле-
ниями оказываются включенными последовательно. Волна, движу-
щаяся по одной из линий, попадая на друrую, изменяет свою
амплитуду (преломляется) и частично отраж ется от места соедине-
ния линий. В том месте, rде линии соединяются, включают элементы
с сосредоточенными постоянны1ш:: индуктивные катушки, конден-
саторы и резисторы. Их назначение может быть самым различным:
оrраничение -перенапряжений, токов KopoTKoro замыкания или
уменьшение искажений, увеличение пропускной способности линий
(дальних энерrопередач) и др. Учесть такие элементы при расчете
переходных процессов в цепях с распределенными постоянными
МОЖJ-!:О, если в точках соединения двух линий с ВОЛНОВЫ1\Ш сопро-
тивлениями Zc1 и Zc2 включить четырехполюсник П с сосредоточен-
ными параметрами (рис. 17.13).
- Напряжение и ток на входе-"четырехполюсника связаны с напря-
жением падающей волны Б конце лиНии уравнением (17.17)**
2U пад == 'zcli + и . (17.32)
"'. Для линии без потерь Zc (р) Zc. -1'
*'" Все величины, кроме волновоrо сопротивления и длины, отиосящиеся
к первой линии, обознач.аются с одним штрихом, а ко второй сдвумя штрихами.
492
На выходе четырехполюсника до появления волн, отраженных
01' конца второй линии, напряжения и ток связаны формулой
и; == i;ZC2'
(17.33)
Уравнения (17.32) и (17.33) позволяют составить простую pac
четную схему (рис. 17.14) для определения токов и напряжений
в месте соединения первой и второй линий. Эта схема получается
путем присоединения к входным зажимам четырехполюсника через
активное сопротивление Zcl источника с удвоенным напряжением
2иl в начале первой линии, а к выходным зажимам активноrо
сопротивления zc2' В данной схеме время в' == t' 11/V' отсчитыв
ется с момента прихода падающей волны к четырехполюснику.
В расчетную схему не входит сопротивление наrрузки второй
линии Z2' так как эта cxe
ма приrодна только ДOMO
мента появления у четы
рехполюсника отраженных
волн от конца второй ли
нии.
Если к выходным за
жимам четырехполюсника
присоединено несIФлько различных линий, то в расчетной схеме
каждая из них заменяется волновым сопротивлением, присоеди-
венным к выходу четырехполюсника параллельно волновым соп
ротивлениям остальных лИний.
Расчетная схема для точки соединения линий дает возможность
свести расчет цепи на рис. 17.13 к расчету цепи на рис. 17.14.
Для определения четыреХ неизвестных токов и напряжений pac
четной схемы в общем случае (17.33) следует рассмотреть еще два
уравнения четырехполюсника:
[;
li
..........
2и(2f
1C1ll; t
п
J и;'
lC2
Рис. 17.14
U ==AU; +BI;;
I ==CU; +DI;.
,
Для практических расчетов вместо общей схемы четырехполюс
ника рассматривают конкретную схему (рес. 17.14), которую pac
считыв'ают как единое целое. Расчет упрощается, если в четырех-
полюсник П не входят индуктивность и емкость. ,В этом случае
длй определения отраженной волны можно воспользоваться фор
мулой (17.31), если в ней заменить т на входное сопротивление
arруженноrо четырехполюсника Tll:
(;.
,
т == и oтp == '11 Cl.
и 2пад 'l1+2Сl_
(17.34)
При этом напряжение на входе четыреХПОЛlQCника будет опре-
деляться коэффициентом преломления
, и 2'11
п -=== ==
и 2пал '11+2,1'
(17.35)
493
а на выходе четырехполюсника коэ ффициентом преломления
п" == U;;U пад.
Если конец первой линии непосредственно соединен с началом
второй линии, то ТВ == ZC2' Следовательно,
т ZC2 Zcl.
ZC2+ Z Cl '
, , " 2z C2
п ==п ==n == .
ZC2+ZC1
Пусть в
I источнику
этом случае начало первой линии присоединяется
э. д. с. с напряжением и; ==/(t'). Тоrда
, / ( ' Х' )
u пад == t v' ;
и' ==т f( e' ) .
отр '(1' ,
и;ад == n'J/ (t" ), (17.38)
тде расстояние х" отсчитывают от начала 'второй линии, а время
t" == 6' от момента появления напряжения в начале второй линии.
Сопоставление уравнений (17.36), (17.37) и' (17.38) показывает,
что волна, появляющаяся во второй JIинии, как и отраженная
волна, имеет ту же форму, что и создающая ее падающая волна
первой линии; все волны отличаются только амплитудами. ,Если
Zcl > Zc2, 1'0 отраженнаf! волна имеет знак, противоположный пада-
ющей, а. преломлен.ная волна меньше падающей волны. Если
ZCl < ZC2' то отраженная и падающая ВОЛНЫ имеют одинаковые
знаки, но преломленная волна больше ладающей (при п' == п").
Пример 17.4. Прямоуrольная волна с амплитудой U 100 кВ переходит
с воздушной линии с ZCl 400 ОМ через сопротивление R на дВе кабельные
IJ
(17.36)
(17.37)
{]
ь
.'"' а R 'Ь
2U ЧJ ·
Рис. 17.16
Q Z C2 Q ZCJ
и
ZCl
R
Рис. 17.15
nинии с ZС2 Zсз==50 ОМ (рис. 17,15). Определить Сопротивление Я, при KOTO
ром В воздушной линии Отсутствуют отраженные волны, а также ампли-
туду падающих волн в кабелях при наличии и отсутствии этоrо Сопротивления.
Реш е н и е. Как видно из схемы на рис. 17.16, эквивалентное сопротивле-
ние в конце первой линии
, я + ZС2Z З .
ZC2+ Zc3
Отражение в воздушной линии отсутствует, если r==zcl' так как в этом
случае коэффициент отражения
т r zci О
r+zCl .
494
Найдем искомое значение сопротивления:
ZC2 Zc3 00 50 . 50
R==zci --- ZC2+Zc3 == 4 50+50 == 375 Ом.
Напряжение падающих ВОЛН в кабелях до прихода ВОЛН, отраженных o'f
их КОНЦОВ, определяется напряжением в УЗЛОВОЙ точке Ь.
Из расчетной схемы .
ZC2 Zc3
2и ZC2+ZC3 200 25 6 25 В
ипад 3 5 5 '- к.
zCl+R + ZC2 Z c3 400+ 7 +2
ZC2+ Zc3
При R==O
25
U пад ==200 400+25 11,8 кВ,
Если требуется определить напряжения в месте перехода
с одной линии на друrую с учетом напряжения обратной волны
во второй линии, то такая задача может брlТЬ решена методом
М'2
Щпр
Uf'п р
Щь"ор
и;nор
M 2f
Рис. 17.17
наложения, причем коэффициентами отражения и преломления
в общем случае можно пользоваться только в операторной форме:
M l1 (р) == [ и2,отР (р) ] " ; М 12 (р) [ и пр (р) ] " ;
, и2 пр (р) и1отр == О U2пр (р) и1отр =:= О
М ( ) [ U'iпр(р) ] . м ( ) [ И2ОТР(Р) ]
22 р и " ( ) и ' О ' 21 Р и " ( ) и ' О .
10ТР Р 2пр == lотр Р 2пр """
Параметры M jk называются волновыми коэффициен-
т а м и. Соотношения между амплитудами прямых и обратных
Волн в переходном устройстве (П) в общем случае показаны на
rрафе рис. 17.17. Коrда п разных ли:ний соединены в общий
узел, связь между ними описывается матрицей волновых коэф-
.фициентов из п строк и п столбцов.
17.6. Волны в линиях при включении и отключении ветвей
Волны в линиях при включении новых ветвей. Волны возни-
кают не только в том случае, коrда к линии подключаюТ истоЧ-
НИЕ: энерrиИ, но также при включении или отключении отдельных
ветвей, расположенных в различных точках электрической цепи,
н.апример в конце или сёредине линии.
4,95
Задачи, связанные с включением новой ветви, решают методом
паложения. При этом токи и напряжения в линии и ветвях,
соединенных с ней, находятся путем наложения токов и напря-
ЩIИЙ, имеющихся до включения, на соответствующие токи и
iIапряжения, возникающие в цепи после включения источника
с напряжением, равным напряжению на разомкнутом ключе.
l
Zc
"
Рис. 17.18
Примером может служить цепь (рис. 17.18), в которой линия
длиной 1 с волновым сопротивлением Zo и током наrрузки 1 н "'"
U r U К u
"'" r+R наход тся под напряжением r+R '. концу такои линии
подключается KOHдeHC TOp с емкостью С.
l i z - r
,Uob= r-l-R U
Zc о;] t !';
« r
Рис. 17.19
Для этой цепи при незамкнутом ключе
. . и 1 . О r u
[20 == [ro == r+R == н; 'С 6 == ; и20 == r+R .
Вторые составляющие напряжений и токов в соответствующих
ветвях получают при расчете цепи на рис, 17.19.- Обоснование
изложенноrо метода расчета ана-
2 лоrичио доказательству теоремы об
1 r l; .. , С у ti :::! :;gil 1 rИ ; :tен й
r используют расчетную эквивалент-
ную схему с сосредоточенными па-
Рис. 17.20 раметрами на рис. 17..3, в которой
вблизи ключа присоединяется . вме-
сто линии активное сопротивление Zc' Так, эквивалентная схема
- для токов и напряжений в конце линии (рис. '17.19) имеет ВИД,
изображенный 'на рис. 17 . o.
496
Напряжения и токи, наиденные из расчета эквивалентной
txeMbI, позволяют определить напряжение. и ток падающих волн
распростраНЯЮЩliХСЯ ОТ Toro конца линии, который соединен
с ключом непосредственно или через ветви с сосредоточенными,
параметрами. ,Алrебраически сложив напряжение' и токи этих
с". волн с напряжениями и токами, ИlVIевшимися до комм тации,
.' можно получить распределение токов и напряжений вдоль линии.
Пример 17.5. ЛИНИЯ без потерь длиной l' 400 м и С ВОЛНОВЫМ сопротив-
пеиием zc 500 Ом питает сопротивление наrрузки r 300 Ом от reHepaTopa
с источником Э. д. с. ,g 2000 В, включенноrо последовательно с сопротивле-
нием R 100 ОМ (см. рис. 17.18). Определить распределение тока и напряжения
вдоль ЛИНИИ спустя 1 мс после включения емкости C 2,667 нФ.
Реш е н и е. До коммутации
. . . ,g 2000 5А О
120 110 lr6 r+R 100+300 ; ic ;
r.@ 300
и10 O r+R !D 300+ 100 2000== 1500 В.
Дополнительные токи и напряжения, появляющиеся после ко утации,
определим из схем на рис. 17.19 и 17.2Q при условии, что
Uab R ' dJ 1500 В.'
r+ .
Входное оператор ное сопротивление
Z ) ...5....
(р рС+ r+zc'
Ток
r
12(p) r+zc Iс(р)
иаЬ (р) иаЬ (р)
r+zc Z (р) Z1 (р) ,
r
rде
Z() Z() r+zc + r+zc
'1 р Р zc C .
r rp
Корень уравнения Z1 (p) o
r+zc 300+500
pt rzcC 300 . 500 . 2.667 . lO D
При этом
2. 106 C l.
' ) r+zc О
p1Zj (Р1 . Р1 rp C zc; Z1.( ) CX).
Ток после присоединения конденсатора найдем по формуле включени
i U аЬ + и,аЬ ep,t U аЬ ep,t 3e 2.106t А.
Zl (О) P1Z, (Pl) Zc
Дополнительное наПРЯ2Кение в конце линии
и zci; 1500e 2'106t'B
взято с отрицательным знаком в соответствии с положительными направлениями
'ТОКОВ и иапряжений, ,изображенных на рис. 17.20. . ,
1,
.;':
497
Появление дополнительноrо напряжения и в конце линии обусловливает
распространение ВДОЛЬ линии волн:
2.10. (t )
и aд 1500e v В;
-' и aд 2.10в ( t !!.. )
Lпад == 3е v А,
ZC .
rде v 3. 1010 см/с, а расстояния х ОТСЧИТЫВaIOтся от конца линии.
.. ., .
= O lпoiJ
i,A
В
б
4
2
О
2
4
а)
х,м 400
и,В
1500
1000
500
О
500
1000
1500
Рис. 17.21
Распределение токов (рис. 17.21, а) и напряжений (рис. 17.21, б) получено
суммированием: и иo+и aд' i iо i ад.
Волны в линиях при отключении ветвей. Переходные процессы,
возникающие в линии при отключении ветвей, определяются как
l l результат наложения lIа токи
t 2 '
И напряжения линии до комму-
тации дополнительных токов,
которые, возникают в резуль-
тате коммутации. Дополнитель-
ные токи находятся как pe
зультат включения источника
с током, равным по величине
и противоположным по направ
лению току до отключения. ЭТОТ
прием можно использовать только в тех случаях, коrда оtключе
ние не сопровождается разрывом ветви с током в индуктивности.
Пример 17.6. Две последовательно со-
единенные линии одинаковой длины и вол-
новыми сопротивлениями ZCl 300 Ом,
zC2 500 Ом присоединены к источнику по-
стоянной Э. д. с. 6" 1600 В. Конец второй
линии разомкнут (рис. 17.22). В месте со- ZCt
единения линий сопротивление r 400 ом
отключается. Найти распределение тока и
иапряжения для момента времени, при ко-
тором возникающие волны распространятся
до середины обеих линий.
Реш е н и е. До коммутации первая и вторая линии находились под оди-
наковым напряжением иI0== и20 t8 1600 В. Ток в первой линии и сопротив-
лении r ilO==io t8lr 4 А, Во второй линии ТОК отсутствует: i20 0.
ICl
i!
ь
Рис. 17.22
498
.,
l,
4----
.,
l2
J O
IC2
Рис. 17.23
Для определения дополНительных токов и напряжений, возникающих после
коммутации, подключим к месту соединений ЛИНИЙ источник тока i' ;: J о;: 4 А.
Токи в линиях в месте соединения най.
дем из эквивалентной схемы (рис. 17.23):
", Zc2 J 500 4 2 5 А
11 ZCl +Zc2 o 300+500 ;:, ;
i;;:Jo i ;:1,5 А.
Таким образом, после отключения соп-
ротивления r по первой линии начнет рас- .
пространяться волна тока амплитудой (1;:
== 2,5 А, а по второй линии (;;: 1.5 А. Со-
ответствующие, волны напряжений будут
иметь одинаковые амплитуды:
и ;: zCli ;: 750 В;
и;;: ZC2i; ;: 750 В.
Рис, 17.24
В тех точках линий, до которых дош-
ли вызванные коммутацией волиы, напряжение u==tl o +и' ;:2350 В, а 70КИ:
i 1 ;:ilO i == 1,5 А; [ 2 == ( 2О + i;;: 1,5 А.
Кривые распределения токов и напряжений вдоль линий приведены на
рис. 17.24.
17.7. Формирование импульсов с помощью динии
Линии представляют собой цепи с задержкой и обратной
СЩIЗЬЮ, величинами и характером которых можно управлять подбо"
ром числа линий, волновых коэффициентов и длин. Поэтому цепи
llЩ с распределенными па.
R раметрами можно ис
Zc
, If' пользовать для форми.'
. r '" l _ 1 рования (синтеза) ИМ-
пульсов.
Л и н и я, ф.о р м и-
рующая импуль-
с ы, может быть по-
лучена например, из разомкнутой на конце линии длиной 21,
если в ее середине включить сопротивление r == 2zc> к началу
присоединить источник э. д. с. еl (t), а импульсное напряжение u (t)
снимать с зажимов сопротивления r (рис. 17.25). Прямые и
обратные волны такой системы MorYT быть найдены при рассмотре-
нии rрафа на рис. 17.26. Передаточная функция
Н (р) == и (р) == u; u: U2пр+U20бр (ui'пр+U{'обр) ==
1 (р) 1 1
==е""': РТ (1 e 2PT)+ e PT(1 e 2PT)+ е зрТ
e pT !.e 3PT ==e pT e 3pT
2 2 ·
Ю r.
Zc
l
Рис. 17.25
rДе Т == l/v. Таким образом, если с помощью Э. д. с. еl создается
прямоуrольный бесконечный импульс, то напряжение имеет вид
499
прямоуrольноrо импульса' той же амплиТуды, но конечной (2Т)
длительности (рис. 17.27), так как начальный импульс (t8) через
т приходит к узлу U 2пр и в результате создаются два Иl\iпульса:
отраженный U:пr, и преЛЬМJlенный U! пр половинной амплитуды
f (t8/2). Эти импульсы про
1 U;пр ё РТ Щпр 2" и;,nр e pT U 2п р ходят, по двум контурам
[,, 0 1 ( Z\. ' ) 1 Т 26 в инrр: H:
, 2J.. возвращается B исходную
, pT и' ; e7 JТ и " точку (U 2пр ) с переменой.
v,oap е. 200р т и;'оор 200Р а друrой возвращается в
исходную точку (U; обр) без
изменения знака. Следова
1; тельно, через 3Т после
включения источника энерrии два равных и противоположных
импульса достиrают точек U 2пр , и! обр и взаимно уничтожаются.
После этоro система приходит
в первоначальное состояние.
Линия может быть превра
щена в еенв.ратор непрерывной
последовательности одинаковых
импульсов, если ее конец присо-
единить к реактивной наrруз-
ке. При этом напряжение и ток
в линии определяются MHoro-
кратными отражениями прямых
и обратных волн. Для количествеНlЮrо анализа явлений в таком
кваз'иусmШlовивше.мся режиме следует вернуться к общему реше-
нию (17.4) уравнений длинной линии, изменив направление OT
счета расстояний (х) на противоположное и совместив начало OT
счета с наrрузкой. Тоrда
U === А 1 е'l'Х + A2e 'I'X === t8 (е'l'Х + Me 'I'X),
1 t8
1 === (А 1 е'l'Х A2e 'I'X) === (е'l'Х Me 'I'X).
Zc Zc
Рис. 17.26
II
el(t n
Е:
о
т
2т
<TТi 4Т t
I ela JТ}'
L
17.27
Рис.
(17,39)
Если в 'начале линии длиной 21 включен источник э. д. с.
напряжением щ(t)===.:t ч [u 1 ], то из (17.39) при х===1
U 1 === t8 (e 2 '1'1 + Me 2Vl),
tff
11 === (e 2 '1'1 М e 2'1'1)
Zc '
И В любой точке линии
e'l'x+Mel'x ]
U , Ule2Vl+Me 2'1'1;
e'l'X MeI'X (17.40)
1 == 11 е2'1'Е Me 2'1'E .
Активная наrрузка. Если линия без п рь '(у === p/v) Harpy
жена на конце активным сопротивлением. то операторный коэф-
50()
фициент отраж ении
М ( ) r zc
М === Р == ==т
,r+zc _
не содер жит оператора р, ЯБЛЯется Бещественным числом и COB
падает с коэффициентом отражения
(17.31). В - точке х==l изображение 11 т= l
(17.40)
предстаБляет собой такую п<?слеДОБа-
'тельность функций, каждая из KOТOPblX
имеет ту же- форму, что напряжение Б
наqале линии, но уменьшена относи.
- тельно предыдущей Б СООТБетСТБИИ со,
значением доэффициента отражения
+ m и СДБинута относительно нее на
время пробеrа БОЛНОЙ Бсей лИНии (2Т ==
== 21/v).
КРИБые напряжения Б средней точ- 11
ке линии при БоздеЙСТБИИ на начало
линии ступенчатой функции изображе-
ны на рис. 17.28, а д- для разных зна-
чений т. Все кривые идентичны для
перБЫХ ЗТ.
Из рис. 17.28, а БИДНО, что'возбуж-
даемая источником э. д. с. короткозамк-
нутая линия резонирует с ОСНОБНОЙ
частотой' 1/4Т. Рис. 17.28, д показы-
Бает, что ОСНОБная частота (I/8T) ра-
зомкнутой на конце линии Б ДБа раза меньше ОСНОБНОЙ частоты
той х{е короткозамкнутой линии.
Одним из спосоБОБ получения спектра послеДОБательности
прямоуrольных ИМПУЛЬСОБ ЯБляется разложение изображения
напряжения (11.40) Б ряд _при т == 1 и и 1 (р) == <ff/P с помощью
формулы разл.ожения рациональной дроби на сумму простых
\'.
epl/v + me pl/v
U М == и 1 e 2 pl/v +тe 2Pl/v
1 + 2pT
с= иle pT те и 1 (e PT +
1 +тe 4pT
+mе ЗРТ тe 5pT т2e 7pT +. ..).
- (17.41)
Следовательно, напряжение Б сере-
дине ли, ши
им==иl (t Т)+тиl (f ЗТ)
- тиl (t 5T) т2иl (t 7Т)+...
l'
а) t
a l
a u
о)
т=О
t
t
О)
a l
е) t
т=+l
О)
t
Рис. 17.28
501
дробей:
рх
ePX/V +e PX/V {f сЬ v р (р)
u u
le2Pl/v+e 2Pllv Pch2 Pl Q(p)
v
i п р (р ) [ I сЬ (; ::)
== (р Pj) I (Pj) == {f р + ( . :rt ) . :rt h i:rt
'1 1 P 1 4T 12s2
, Ch( i ) Ch(i 3 ) 1
( +i 4:rtT )i Sh( i )+(P i3 ;) i3 Sh(i3 ) "'
== {f { : [ p2+( Y cos :; р 2 +& ifY COS З х +.. .]}.
так как Q' (р) == сЬ 2рТ + 2рТ sh 2рТ и корни уравнения Q (р) ==
== р сЬ 2рТ == О равны О, -+ j1t/4T, -+ jЗ1t/4Т .. " Следовательно,
напряжение., на линии без потерь с разомкнутым концом
{f [1 4 V' ( 1)n (2n+ 1)лх (2n+ 1) :rtt ]
и n 2n+l cos 4l cos 4Т .
n o
Емкостная наrрузка. В этом случае расчет. сложнее, так как
операторный коэффициент отражения
М == l/pC 2c p a
l/pC+z c р+а
зависит от оператора р (сх== l/z c C). .Например, щш подключении
начала линии к источнику постоянной Э. д. с. (ff для определе-
ния изображения напряжения на емкости (х == О) из уравнения
(17.40) аналоrично (17.41) можно записать
и 2 == и 1 2Р/+М 2pT == е/ (Ple 2pT +Fзе брТ +F5e lOpT +.. .),
е +Ме
rде
Р 1 ==Р 1 (р)== I+М == (2 ) ==.! + 2 ==Z[2(1 e cxt)]==Z[fl(t)];
р рр а р р а '
F == MP == 2a(p a) == .! + + ==
3 1 Р (р+а)2 р р+а (р+а)2
. == Z {2 [ 1 + (1"* 2at) e cxt]} == Z [fз (t)];
F == MP == 2а (p a)2 ==.! ==
5 3 Р (р+а)4 р р+а (р+а)3
== Z {2 [1 (1 + 2a 2 t 2 ) e cxt]} == Z [15 и)] и т. д.
[рафик напряжения на емкости
. ,
. и2 == {f [{l (t 2Т)+fз (t 6T)+f5 (t 10Т)+...]
502
построен на P\fC.' 17.29 при 2аТ === 5. Из rрафика ВИДНО, что
в рассматриваемой системе колебания напряжения прОИСХОДЯТ
вБJIИЗИ значения напряжения
источника энерrии <ff, однако
амплитуда этих колебаний
выходит за пределы О и 2<ff.
Емкость, включенная в
конце линии, уменьшает oc
новную частоту резонансных
колебаний по сравнению с
основной частотой разомкНУ
той линии. Например, при
2аТ === 5 период основной rap
моники возрастает с ВТ до
9,44Т. Количественную oцeH
ку этоrо эффекта в общем
случае, а также для высших rармоник можно провести с помо-
щью уравнения, которое должно выполняться для каждой rap
монической составляющей:
4
2
о
"'2 .
....4
Рис. 17.30
и2
2f,
t
t;
9,44 Т
о
2т
Рис. 17.29
и 1ю === и 2ю (cos X (j)Cz c sin x).
Значения резонансных ча-
стот находят из условий, что
при резонансной частоте конеч
ное значение напряжения на
емкостИ" U 200 возникает для бес-
конечно малоrо напряжения U lю
источника энерrии, т. е. при
cos 2 l (j)Cz c sin 2 l == О
или
zc(j)C === ctg 2 l.
Корни этоrо уравнения соот-
ветствуют -точкам Рl. Р2 ... ПЕiре .
сечения прямой zc(j)C с котанrенсоидой (рис. 17.30). Из' приведен-
Horo построения видно, что СОQтветствующие резонансные частоты
не образуют rармоническоrо рЯда. Для сравнения на рис. 17.30
буквами Ql' Q2' ... обозначены значения резонансных частот
8 отсутствие емкости.
1'1.8. Волны в ЛИI:\ИИ без искажения
Если параметры линии связаны соотношением rо/И о == go/C o == а,
то коэффициент распроС'rранения (17.3)
V а+р
у===(а+р) LoC o == .
503
Изображение напряжения в Произвольной точке линии при тех
же условиях, в которых олучено уравнение (I7.6),
ах рх
U == Ale YX == и 1 е v е v
по теореме смещения (17.7), напряжение прямой волны
ах .
u(t, x)==e vul(t )
или в общем случае
ax ( Х . )
uпр==е vfl t v+'tl .
(17.42)
Аналоrичным
i!I
образом для обратной волны' напряжения
ах
UОбр==еVf2(t+ +'t2)' (17.43)
Следовательно, обе в(т:ны в такои линии распространяются
с постоянной скоростью v == 1 / У"" LoC o и без изменения формы, но
с затуханием.. пропорциональным множителю e--- ax / v (рис. 17.31).
(xX/lY Прямая и обратная волны
-....J!.!!E: тока имеют ту же скорость,
- ---... форму' и затухание, что и соот-
",,,,'" \ . веТСТВУ'rOщие волны напряжения,
\t to+lJt так как их уравнения (17.46)
отличаются друr от друrа толь-
ко на величину волновоrо соп
ротивления Zc == V Lo/C o .
Уменьшение амплитуды ВОЛН
в неискажающей линии тем
больше, чем больше коэффициент затухания (Х== V rogo /v, и опре-
деляется изменением энерrии маrнитноrо и электрическоrо полей
ВОЛНЫ по мере преобразования этой энерrии в тепло, выделяю-
щееся в проводах (т о> О) и изоляции (go> О).
CTporo rоворя, линию без пот-ерь нельзя реализовать, так как
всякий провод (кабель) обладает конечным сопротивлением. Однако
анализ идеализированной линии без потерь дает достаточные для
практики реЗУЛl?таты в случае коротких хорошо изолированных
линий как -предельный случай безыскажающей линии, Коrда изме-
нениями напряжения и тока за счет Сопротивления проводов'
и утечки в изоляции можно пренебречь. Уравнения (17.42) и
(17.43) позволяют про извести оценку связанной с этим ошибки.
11
Ко
х
Рис. 17.31 .
1'1.9. Процеосы в кабеле без индуктив ости и утечки
Кабель без ИНдуктивности и утечки (go == Lo == О) имеет коэф-
фициент распространения l' == V pr оСо == q ур, rде q == V roC o .
Изображение напряжения прямой Волны U ==Ale vx==Ule x "" prQC Q ,
504
Для ступенчатоrо импульса напряжения Б начале линии
с амплитудой
иl (t) === { o <ff при t> о;
при t <о
изобрах{ение наПРЯ1Кения в начале линии
rO <ff
и 1 === <ff e pt dt ===
р ,
о
а Б точке х
( 17.44)
(17.45)
e XQVP
и == <ff === и (р, х)
р
C W2
:
2
1
о
а)
I
,
,.
Рис. 17.32
(17.46)
с r"'V
1,0
о,в
0,6
w
1 w
oj
Ориrинал ЭТоrо наПРЯ1Кения мо1КНО получить с помощью обрат-
HOrO преобраЗОБания Лапласа Б ПЛОСКОсти р:
а о + jro .fJJ а о + jro . ,T + t
I ' fD QX f Р Р
U (1, х) == 2 . и (р, х) еР' dp === 2 . е dp ==
п! n! р
а о jro ао jro
[ ]
2 vi x'lQ"
===<ff 1 Jn j e 4t d ( 2Vi ) == <ff [1 erf W],
W х V roC o
rде == и
2Vt
"
W
erf W == .jn e W" dW
о
(17.47)
(17.48)
ИЗБестный из теории Бероятностей интеrрал ошибок от функ-
ции ошибок raycca e W'; функция и интеrрал ОlIшбок показаны
СООТБетственно на рис. 17.32, а, б.
пОп
'Ура13нение (17.47) ЯВJ1Яется решением известноrо в математи
че<;кой физике уравнения диффузии
д 2 и - ди 2ди
aXJ _ roC O дt ==q дt'
(17.49)
к которому СВОДЯТСЯ уравнения. ДЛИННОЙ линии (12.4) при go ===
== Lo == О. в этом можно убедиться, если воспользоваться подсТа-
новкой
W == kxt 1/2
и учесть, что
ди == == kt 1/2 .
дх aW дх aW '
\IP
'!..I!.. == k2t 1 д 2 и .
дх 2 aW2 '
ди == ди aW === J.. k t 3j2 ди
at aW д! 2 Х aW '
rде k (х, t) . const. После этоrо уравнение (17.49) приобретет ВИД
. k2t 1 d 2 u + q2 kxt 3/2 !!.lt_ == О
- dW2 2 dW'
или
d 2 u q2 du
dW2 + 2k2 W dW == О.
Если принять k == q/2, то последнее уравнение можно переписать
в виде - -
d 2 u dи
dW2 +2W dW ==0
или
( e W2 !!.!!:. ) o
dW dW ,
оТКуда
du
е W2 dW == С 2 == const;
u == Со +С 2 e W 2 dW ===С О +С 1 erf W.
При воздействии ступенчатоrо импульса и нулевых начальных
условиях для всех х> О в начал.ьный момент (t == о) u ==0,
а в установившемся режиме' (t == 00) u == rff. Эти условия ВЫПОЛ-
няются при Со == rff == С 1 , так как erf О == О и erf 00 == 1. Таким
образом, решение (17.48) действительно является решением урав-
нения диффузии (17.49) при воздействии ступенчатой функции.
Особенности распространения волн в кабеле без индуктивности
и утечки леrче проследить при воздействии на началq кабеля
источника энерrии, напряжение KOToporo описывается импульсной
506
функцией
{ сопри t==o,
и 1 . == u (t, О) == 6"6 (t) == О
при t =1= О,
(17.50)
причем
ro
6 (t) dt == 1.
ro
Импульсная функция может быть получена диффереНЦИРОБа-
нием по Бремени. ступенчатой функции. СлеДОБательно, изображе-
11
t
О)
о
о)
Рис. 17.33
ние напряжения импульсноrо источника энерrии можно получить
умножением изображения ступенчатоrо напряжения (17.45) на р:
и 1 == и 1 (р) == 6" ==Х' [6"6 (t)]. (17.51)
Так как Б данном случае изображение напряжения между
жилой и оболочкой кабеля
U == U (р., х) == 6"e QxvP (17.52)
окаЗЫБается Б р раз больше изображения (17.46), ориrинал изо-
бражения (17.50) может быть п.олучен диффереНЦИРОБанием
по Бремени ориrинала (17.47) ИЗQбражения (17.46):
u (х t) == 6" [ 1 erf ( qx )] == 6" . - e Q'x'/4t. (17.53)
, дt 2 V t 2 -v n t 3/2
В точке линии, находящейся от ее начала на расстоянии х,
напряжение (17.53) достиrает максимума при
I
t === 6 q 2 x 2 == t max , (17.54)
а Б момент t" максимум находится Б точке
V 6t
х === == Х тах ,
q
причем
4 ( 3 ) 3/2 6'" 6"
Ита ===и(х, t max )=== r ' e 3/2 ==0,925 .
t' 1t 2 q 2 x 2 . q 2 x 2
501,
Скорость распространения максимума наПРЯR{ения
V max == dXmax/dt == V6/2q-yf"[
«Волна» с напряжением (17.53),. образованная в рассматривае-
мом кабеле КОрОТКИМ импульсом (17.50), обладает свойствами, от-
личными от свойств волн в линии без искажения: ее аМплитуда умень-
шается пропорционально x 2, а время достижещ!Я максимума (17.54)
УБеJlичивается пропорционально х2. Таким образом, происходит
изменение и формы волны, и ее скорости, причем Болна распростра-
няется все более и более медленно. На рис. 17.33, а показано
изменение напряжения Б заБИСИМОСТИ от времени Б нескольких
точках кабеля при Боздействии KopoTKoro ИМпульса, а на
рис. 17.33, б при Боздействии ступенчатоrо Импульса бесконечной
длитеЛЫЮСТfI.
Формула (17.54) оБОСНОБывает ИЗБестный Б телеrрафии закон
RC, который устрнаБливает обратно пропорциональную заБИСИ-
мость скорости передачи информации (в импульсном режиме) по
кабелю ДЛИНОЙ 1 от ПРОИЗБедения полной емкости С == [С О на пол-
ное сопротивление R == lr о (ДЛЯ Bceto кабеля Т тах == r oC o 12 ==
1 \ ·
== 6 l(C).
CTpOrO rОБОрЯ, беЗЫНДУКТИБНЫЙ кабель также не реализуем,
как и линия без потерь, поскольку цепь не может быть БЫПОЛ-
нена без ИНДУКТИБНОСТИ. Однако явления, происходящие в нем,
предстаБЛЯЮТ интерес как предельный случай такой цепи с pac
пределенными параметрами, у которой ro > (j)Lo и go < шс о . В этом
случае отклонения от характеристик идеализированноrо кабеля
будут более или менее заметны только для высокочастотных ком-
понент сиrнала.
РАЗДЕЛ ШЕСТОИ
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА пИНЕАных ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
rЛАВА18
СВОИСТВА ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕИ
1,8.1. Задачи синтеза апектрических цепей
в щщачах синтеза определяются схема и параметры электри
ческой цепи по известным свойствам (характеристикам), которым
должна удовлетворять цепь. Простейши задачи синтеза встреча-
лись ранее, например синтез цепи по "заданной матрице (см.
rл. 5 и 8).
Большое практическое значение имеет синтез цепей, удовлет-
воряющих необходимым частотным и BpeMeHHbIM характеристикам.
Как было показано, частотные и BpeMeHHbIe характеристики цепи
взаимно связаны. Поэтому в обще случае задаются частотными
" или временныIии характеристиками; соответственно различают
методы синтеза в частотной области (по частотным характеристи-
кам) и методы синтеза во временной области (по BpeMeHHbIM
характеристикам). Здесь рассмотрены только некоторые методы
синтеза в частотной области.
При синтезе в частотной области, как правило, бывает задана
амплитудно-чаСТО1'ная (АЧХ) или фазо-частотная (ФЧХ) характе-
ристика. По амплитудно-частотным характеристикам синтези
руются" например, электрические фильтры; по фазdчастотным
характеристикам цепи, осуществляющие задержку импульсов во
времени (фазовые контуры с линейной ФЧХ).
Задачи синтеза цепей противоположны задачам анализа.
В отличие от .задач анализа, имеющих единственное решение,
задачи синтеза имеют неоднозначное решение. Кроме Toro, реше-
ния может не существовать, '1'. е. не всеrда по заданной -харак-
теристике можно построить цепь.
Если заданным требованиям -удовлетворяют ряд "цепей (такие
цепи называют эквивалентными), то выбор одной из них осу-
ществляется по различным критериям, например, можно отдать
предпочтение цепи с минимальным числом элементов. Если четы-
рехполюсник синтезируется по заданной А ЧХ, то получаются
схемы снеодинаковыми ФЧХ и наиболее желательной может
оказаться схема, ФЧХ которой близка к лищ:йной.
В общем случае задача синтеза состоит из двух этапов. На
первом этапе (этапе аппроксимации) по заданным требованиям
609
к частотной характеристике необходимо определить аналитичеСкое
Быражение схемой функции цепи *. При этом схемная функция
должна быть реализуемой, т. е. УДОБлеТБОРЯТЬ соответствующим
необходимым и достаточным для построения цепи условиям. На
БТОРОМ этапе (этапе реализации) по найденной схемной функции
определЯЮт схему и параметры цепи.
Электрические цепи MorYT состоять из различных элементов
(LC, rC, rLC и т. п.), MorYT отличаться структурой (например,
заземленные инезаземленные четырехполюсники). Схемные функ
ции цепей различных классов имеют неодинаковые -своЙства.
Свойства схемных функций определяют необходимые условия
реализации этих функций. Если по функции, УДОБлетворяющей
некоторым условиям, можно построить хотя бы одну цепь, то
соотвеТСТВУJPщие УСЛОБИЯ являются достаточными для реа изации
цепи. В случаях, которые будут рассмотрены далее, необходимые
и достаточные УСЛОБИЯ СОБпадают.
18.2. Общие свойства схемных функции
Полюсы. и нули схемных функций. Пусть Н (р) некоторая
схемная функция Б операторной форме: Бходное СОПРОТИБление,
Бходная ПрОБОДИМОСТЬ, Бзаимное сопротивление, Бзаимная прово-
димость, коэффициент передачи напряжения или тока **. Функ-
цию Н (р) можно рассчитать по тополоrической формуле (8.15)
с помощью оператор ной схемы при нулеБЫХ начальных условиях.
Проводимости элементов операторной схемы раБНЫ Йk, l/pL k и
pC k , слеДОБательно, Н (р) ЯБЛЯется дробно-рациональной функ-
цией переменной р == а + jffi, T. е. Быражается отношением двух
полиномов с Бещественными коэффициентами:
Н ( ) == А (р) == ampm+ar'n lpm +...+ao
р В (р) bnpn+bn lPn l+...+bo.
Функцию Н (р) можно, записать также Б Биде
Н (р) l( (p p ) (p p ) ... (p P:п)
(P Pl)(P P2) '" (P Pn) ,
(l8})
(18.2)
rде 1( == ат/Ь n постоянный множитель; Pk нули функции [корни
у.равнения А (р) == О]; Pk ПОЛЮСЫ функции [корни уравнения
В (р) == О].
Нули и полюсы определяют функцию Н (р) с точностью до по-
стоянноrо множите,JIЯ; они MorYT быть вещественными или кон-
плексными. Так как коэффициентьi полиномов А (р) и В (р) ве-
щественны, каждому комплексному полюсу (нулю) должен
соотвеТСТВОБать сопряженный полюс (нуль). Например, при сопря-
женных полюсах Pk, k+l == (Jk + jffik полином В (Р) содержит мно-
* Частотная характеристика может быть задана в виде rрафика или таб-
лицы. ,
** Далее взаимные сопротивления (проводимости), коэффициенты передачи
напряжения (тока) называют передаточными функциями.
510
житель
(р Pk) (Р Pk+1) == (Р + (Jk j(f)k) (Р + (Jk + j(f)k) ==
== р2 + 2(JkP + a + шЕ,
имеющий только вещественные коэффициецты.
Из уравнения (16.З а), связывающеrо, матрицыI изображений
выходных величин и параметров источников, можно, записать
матрицу схемных функций цепи
Н (Р) == А 2 (рl A1) 1 81 + 82' (18.3)
Элементы матриц А1' 81' А2' 82 вещ твенны, элементы" матрицы
(рl A1) 1 представляют собой отношения двух полиномов, при-
чем знаменатель этих элементов одинаков и равен определителю
матрицы:
/1 (Р) == det (рl А 1 ).
Из выражения (18.з) следует, что схемные функции, образую
щие матрицу Н (Р), имеют общий знаменатель !1 (Р) *. Уравнение
det (рl А 1 ) == о является характеристическим уравнением схемы
(см. rл. 15). Таким образом, полюсы схемных функций совпадают
с корнями характеристиче
cKoro уравнения' схемы или
собственными частотами. К
этому выводу леrко прийти
также, анализируя выраже
ния для схемных функций
через узловой или контурный
оцределитель и (или) 'алrе
браические дополнения эле-
ментов определителя (см.
rл. 7).
Расположение полюсов
схемной функции на ком-
плексной плоскости опреде
ляет характер свободных процессов в цепи. Если, например, схем-.
ная функция имеет два сопряженных простых полюса в левой
полуплоскости: Pk, k+1 == (Jk -+-- j(f)k «(Jk> О, (f)k > О), то изображе
ние выходноrо напряжения (тока) содержит слаrаемые
Ak. + Ak. 2Ak (P"tO"k)o ,
P+O"k lblk P+O"k+1blk (P+O"k) +Ы"
которым соответствует ориrинал
f (t) == 2Ake (Jkt cos (f)kt.
На рис. 18.1, а, б показаны соответственно расположение по-
люсов Pk, РМl ** И составляющая своБОДНQrо напряжения (тока) f(t).
jlt)
fШ "
f
I
I
бкl
jtU" .
t
I
1
"1
jf.t}K
О)
,/'
О)
Рис. 18.1
* Предполarается,- что возможные, общие множители в' числителе И зна-
менателе схемной ФУНКЦИИ не сокрвщаются.
** Здесь и далее полюсы функции отмечаютсЯ на рисунках крестиком,
нули кружочком.
5H
В данном случае свободная _ составляющая представляет собой
затухающую rармоническую функцию. Если O'k == О, то ПОЛЮСЬJ
расположены на мнимой ,оси (рис. 18.2, а); свободный процесс
описывается незатухающей rармонической функцией (рис. 18.2, б).
Простому полюсу O'kHa отри-
jw '(!) цательной вещественной оси
j{UK (рис. 18.3, а) coarвeтcTBYeт
экспоненциальнозатухaкmцая
" функция (рис. 18.3, 6).
Нетрудно убедиться, что
в случае кратных полюсов,
расположенных в левой по-
луплоскости Ще Pk < О), сво-
бодная составляющая будет
затухающей. Если кратные
полюсы расположены на мни-
мой оси, то составляющая свободноrо напряжения (тока) воз-
paCtae-'f. Например, слаrаемому изображения А k р/(р2+(j)Ю 2 , имею.
щему на мнимой оси сопряженные полюсы кратности т == 2
(рис. 18.4, а). соответствует свободная составляющая (A k tsin(j)k t )/2(j)k
на рис. 18.4, б. Свободные составляющие напряжений (токов)
также возрастают, если. полюсы любой кратности расположены
в правой полуплоскости. В пассивных цепях, состоящих из ре-
6
jUJK
О)
5j
'Рис: 18.2
j{U I
JШ
а)
t
о)
Рис. 18.3
t
.
а)
OJ
Рис. 18.4
зисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, свободные напря-
жения и токи MorYT быть только затухающими, так как энерrия,
накопленная в маrнитном и электрическом полях, связанных
с катушками и конденсаторами, рассеивается в резисторах. Сле-
довательно, полюсы схемных функций пассивных цепей с потерями
расположены в левой полуплоскости. В идеализированных схемах
без потерь свободные напряжения и токи не затухают. Таким
образом, в схемах без потерь полюсы расположены на мнимой
оси (включая начало координат); такие полюсы должны быть
простыми.
512
Входное сопротивление и - проводимость одноrо и Toro же
двухполюсника связаны соотношением Z (р) I/У (р). Полюсы
(нули) сопротивления Z (р) совпадают соответственно с нулями
(полюсами) проводимости У (р). Так как по
люсы входных сопротивлений и проводимо
ст й ра положены в левой ПОЛУШЮСКОС Т f1
или на мнимой оси, то для входных функций
справедливо утверждение: нули входных
функций не Moryl' быть расположены в пра-
вой полуплоскости; нули входных функций
на мнимой оси должны быть простыми. В об
щем случае расположение и кратность нулей
передаточных функций не оrраничiшается-.
Энерrетические функции. На рис. 18.5 по-
казана цепь, содержащая элементы !'LC (меж,
ду 8етвями цепи может быть взаимная ин- Рис. 18.5
дукция), а также писточников напряЖЩШЯ ,
el' е 2 , ... , е n . Для этой цепи можно составить контурные уравне-
ния, выбирая в качестве первых n контурных токов токи i 1 .
i 2 , ..., i n в ветвях с источниками. В оператор ной форме уравне-
ния имеют вид *
\
l'
i:
...
е,
е 2
'i7
еп+Qп
(18.4)
(p) Z (р) 1 (р),
[, rде матрица контурных э; д. с.
f, (P) [6"l(P) б'2(Р) ... б'п(Р)О .,. оу;
нулевые элементы этой матрицы соответствуют контурам n + 1,
n + 2, ..., не содержащим источников.
*
Произведение матрицы [1 (р)У на матрицу (р)
"$ n *
[1(p)Y (p)=:= l;(р)б';(р), (18.5)
; I
* *
rде 1 (р) матрица с элементами lj (р), сопряженными по отно-
шению к элементам 1 j (р) матрицы контурных токов 1 (р).
Матрицу. контурных сопротивлений Z (р) можно представить
как сумму трех матриц (см. 7.3, 9.3):
Z(p)-==R+рL+ o, (18.6)
rде матрицы параметров контуров R, L, О имеют вещественны
J элементы.
1, С учетом равенств (18.4) и (18.6) произведение (18.5) прини-
мает вид
* *
[1 (р)] (р) == [1 (р)у Z (р) 1 (р) ==
== [; (р)]Т RI (р) + р [i (Р)У LI (р) +..!.. [; (р)У 01 (р).
р
* в обозиачениях матриц (K) (р), I(K) (р) И Z(K) (р) для краткости опущен
IIндекс (к).
513
17 n/p. ИОШШ;lа, Т. 1
Если обозначить
ТО
*
F === [1 (Р)У RI (р),
*
т == [1 (р)]Т LI (р);
*
V == [1 (р)]Т DI (р),
[i(P)Y (p)==F+pT+ У.
р
(18.7)
(18.8)
(18.9)
(18.10)
При условии, что все э. Д. с. и токи в цепи изменяются по
rармоническому закону с частотой ffi o , контурные уравнения можно
записать в комплексной форме: == Z (jffio) i, rде Z (jffio) ==><
== Z (р) Ip;;J; jro6. Произведение матриц
*. n * .
.т === ljrff J (18.11)
j 1
выражает комплексную мощность, отд ва мую источниками и
ПОСТУПaIOIp.ую в пассивную часть цепи (rff j, 1; КОМШIексные дей
ствующие значения).
При rармонических э. д. с. и токах вместо равенства (18.10)
справедливо равенство
, * . ( 1 )
P ==ро+ jffio To (O у о ,
(18.12)
*. :$. *.
rде ро== РЮ; То== PLI; у о == PDI функции, аналоrичные функ-
циям (18.7)+(18.9). Функции ро, То и у о имеют определенный
физический смысл. Так как матрица активных сопротивлений
контуров (см. ,7.3) R == ВR(ВJВт. функция
*
ро == [1 (jffio)Y BR(B)BTI (jffi o ).
Матрицы контурных токов 1 связаны с матрицами токов в вет-
вях I(B), соотношениями
I(B) == BTI;
[I(B)Y == [BTIY == ITB.'
Учитывая записанные сoarношения, функцию ро можно выра-
зить через токи ветвей и матрицу активных сопротивлений ветвей:
:;: :$.
ро == [I(BJ (jffio)Y R(BJI(B) (jffio) == [I(B)Y R(B)I(B).
Матрица сопротивлений ветвей R(B) диаrональна, поэтому
.*
ро== k.-Jrv1v1v== 1:rv/ ,
v v
rде rv сопротивление v-й ветви. ТаЮIМ образом, функция ро
равна средней мощности, рассеиваемой в актИI;ЩЫХ сопротивле-
ниях' схемы.
514
Аналоrично можно показать, что функция То равна макси-
мальной энерrии маrнитноrо поля, связанноrо с индуктивностями,
а функция V ol(j) максимальноЙ энерrии электрическоrо поля,
связанноrо с емкостями.
Выражение (18.12) эквивалентно выражению
о:>
S ==P+jQ,
rде Р===РО; Q==(j)o(To Vo/(j) ). .
Так как функции ро, То и У О связаны с мощностями и энер
rиЯми, их называют э н е р r е т и ч е с к и м и функциями. Функ-
пии (18.7)+(18.9), которыеобоб- .
щают функции F о, Т о . и V о для р === Ф1J
== (J + jш, также называют энерrети- е t ri .
ческими *. \."
Мощность, рассеиваемая в сопро-
тивлениях, а также энерrия маrнит
Horo и электрическоrо полей,связан-
ных с индуктивностями И емкостями,
представляют собой вещественные неотрицательные величины.
Поэтому значения функций F о, Т о и V о вещественны и YДOB
летворяют условиям Ро:;?::О, То:;?::О и Уо:;?::О. Учитывая отме-
ченные свойства функций F о, Т о и V О, можно доказать, что
функции Р, Т и V также принимают только вещественные и не-
отрицательные значения при любых значениях apryMeHTa р"*'*.
с помощью энерrетических функций MorYT быть установлены
свойства схемных функций. Например, в случае двухполюсника
(рис. 18.6) соотношение (18.10) принимает вид
rLC
]
Рис. 18.6
* 1
!(p)rff(p)==F+pT+ У.
р
(18.13)
При делении обеих частей этоrо равенства на произведение
:t.
1 (р) 1 (р) == I! (р) 12 получаем
([/ (р) 1 ( 1 )
Z (р) == 1 (р) == 11 (р) 12 F + рТ + р V .
(18.14)
* Аналоrичные функции можно получить с помощью 'узловых урав-
нений.
** Функции (18.7) + (18.9) называют эрм и т о ы м и фор м а м и, если
они принимают только вещественные значения. При р == jOJ o функции F о, То
и V o вещесmенны и, следовательно, являются 'эрмптовыми формами. Если
Ро;::':О, то;;::,О, Vo;;::'O, то формы называют положительно полу-
о п р е Д е л е н н ы м и. Матрицы R, L и D (эти матрицы симметричны и содер-
жат вещесmенные элементы) называют ПОJ.IOжительно полуоriределенными
матрицами соответсmующих эрмитовых форм. Функции Р, Т и V имеют
матрицы R, L И' О, совпадающие с матрицами положительно полуопределен-
ных эрмитовых форм ро, То и V o . Такие функции также являются положи-
тельно полуопределениЫМИ эрмитовыми формами, т. е. для любых р эти функ-
ции вещественны инеотрицательны.
17*
515
. ' .
Аналоrично, раздеЛI1В обе части равенства (18.13) на rff (р) rff (р) ==:
== I rff (р) 12, можно найти
.
у (р)== (p) ----:- ( F+PT+l. V )
rff (р) I 6' (р) 12 Р
или
у (р)== I(p) == ( P+PT+ V ) . (1'8.15)
rff (р) 16" (р) 12 Р
В формулах (18.14) и (18.15) II(p)12, Irff(р)12 положитель-
,ные вещественные величины, а Р, Т и V неотрицательные ве-
щественные величины. Поэтому функции Z (р) и У (р) удовлет-
воряют двуМ условиям: 1) вещественным значениям р == (j соот-
ветствуют. вещественные значения Z (р) и У (р); 2) комплексным
значениям р с неотрицательной вещественной частью Rep==(j O
соответствуют комплексные зна ения Z (р) и У (р), имеющие
неотрицательные вещественные части Re Z (р) О и Re У (р) о.
Функции, удовлетворяющие сформулированным двум условиям,
называют If о л о ж и т е л ь н ы м и в е Щ е с т в е н н ы м и Ф у н К-
Ц и я м и (ПВФ). Таким образом, входные функции электрических
цепей положительные вещественные функции.
Приравнивая к нулю правую часть соотношения (18.14), можно
получить квадратное уравнение
. F V
р2+рт +-т==О,
откуда
P== :T+ Y( ;;' Y . (18.16)
Формулу (18.16) нельзя рассматривать как выражение для
нулей функции Z (р), так как энерrетические функции Р, Т и V
зависят от переl\ енной р. Однако из этой формулы видно, .что
нули сопротивления (полюсы прощ)Димости) не MoryT быть рас-
положены в правой полуплоскости *.
18.3. Своиотва входных функции LC , rC , rL и rLС цепеи
Свойства входных функции LС цепеи. Цепи, содержащие
только индуктивности и емкости, называются цепями без потерь. '
у таких цепей энерrетическая функция F == О и нули сопротив-
ления двухполюсника, как видно 3 формулы (18.16)!
р== + iV V/T . (18.17)
Следовательно, нули и полюсы входных функций цепей без
потерь расположены на мнимой оси.
* Приравнивая к нулю проводимость (18.15), можно получить формулу,
аналоrич!fYЮ (18.16).
Входная функция Z (р) комплексной переменной р о=: о" + jш
имеет вид
Z(p)===pT+ ===(0"+j(J)T+ ;+ :2 V ===R (а, (J)+jX(a, ш),
-(1V
ш) === О"Т + а2 + UfA ' мним ая
rде вещественная часть функции R (О",
, шV
часть функции Х (0", ш) о=: шТ (12+ш 2 '
Вещественная и мнимая части аналитической функции Z (р)
должны удовлетворять условиям Коши Римана. Соrласно одному
из этих условий,
. 'I!
дЯ «(1, ш) дХ «(1, ш)
да дш
Производная
дR.«(1,Ш) ===т+О" +V ш2 (12 + .д
да да «(12 + ( 2 )2 (12 + ш 2 да'
следовательно, производная
дХ «(1. ш) I === dX (ш) Т + ( i8.I8 )
дО) o- o dO) 0)2'
rде Х (ш) реактивное сопротивление * .
Правая часть равенства (18.18) пропорциональна сумме мак.
симальных энерrий маrнитноrо и электрическоrо полей, связан
ных с индуктивностями И емкостями в установившемся синусои
дальном режиме (р == j(J). Сумма энерrий всеrда положительна,
дХ ( ) I
поэтому дО)О) o- o > О, т. е. наклон rрафика реактивноrо сопро
тивления Х (ш) положителен для всех частот.
у слов ие положительности наклона справедливо и для реактив
ной проводимости, взятой С отрицательным знаком. Действительно,
пусть при р === о" + j(J) функция
У(р)о=:О(а, (J) jB(O", ш).
Производная
dY (р) d [ I ] 1 dZ (р)
== dp Z (р) == [Z (р)]2 .
Если р === j(J), то У (j(J) == jB (ш), rде В (ш) реактивная про.
водимость. Производная'
dY (р) I == dB (О) == dX (0) > о
dp p j(f) dO) [Х (0)]2 dш .
Из условия положительности наклона вытекают следующие
свойства входноrо сопротивления Z (р) [входной проводимости У (р)]:
нули и полюсы сопротивления (проводимости) простые и чере-
дуются, т. е. между каждой парои полюсов раСПО,J10жен нуль,
а между каждой парой нулей полюс. Пример зависимостИ
'" Если р== jO), то R (о, (0) ==0, Z аоо) == jX (00).
5.17
входноrо сопротивления Х от частоты показан на рис. 18.7.
-Если между парой полюсов отсутствует нуль. (или наоборот) или
кратность ПОлюса (нуля) больше единицы, то зависимость Х (ш)
будет иметь участки с отрицательным наклоном dX (ш)/dffi < О.
Поскольку нули и полюсы входных функций чисТО мнимые,
в числителе и знаменателе функций можно выделить сомножители
(р jШk) (р + jШk) == р2 + Шk.
Такие сомножиТели при р == jш принимают вещественное зна
чение, однако Z (jw) и У (jш) мнимые величины. Следовательно,
в числителе или знаменателе входной функции кроме множителей
вида р2 + ш должен быть мно-
житель р, т. е. входная ФУНJ.(-
цИЯ цепи без потерь имеет полюс
или нуль в начале координат
(рис. 18.7 соответствует случаю,
коrда при р == о сопротивление
имеет полюс).
При р 00 входная функ-
ция также имеет полюс или
нуль. Кратность этоrо полюса
(нуля) равна единице, поэтому степени полиномов числителя и
знаменателя отличаются на единицу (рис. 18.7 соответствует слу-
чаю, коrда сопротивление имеет полюс при р 00, т. е. степень
полинома числителя на единицу больше степени полинома знаме-
нателя).
В общем виде входное сопротивление цепи без потерь можно
предцавить следующим образом:
Z ( ) к (p2+ы ) (р2+(i)Ю ...
Р р (p2+ы ) (p2+ы ) ... ·
если в точке р == о функция имеет полюс, или
Z (p) == K p(p2+ы )(p2+ы ) ... ( 18.20 ) '
(p2+ы ) (p2+ы )... ·
если в точке р==О функция имеет нуль. В формулах (18.19) и
(18.20) 0< Шl < Ш 2 <<йз < Ш4 < .... Для входной проводимости
цепи без потерь справедливы аналоrичные выражения.
Как видно из приведенных выражений, сопротивление (прово-
димость ) представляет собой отношение четноrо полинома к нечет
ному или наоборот. Конечные нули и полюсы входных функций
соответствуют резонансным частотам схемы. Нули и полюсы при
р == о и р == 00 соответствуют короткому замыканию или размы-
канию зажимов двухполюсника без потерь, который на очень низ"-
ких или очень высоких частотах эквивалентен одной емкости или
индуктивности.
Вычеты в полюсах входных функций вещественны и положи-
тельны. Пусть сопротивление Z (р) ,имеет полюс при р == jшо и
вычет в этом полюсе равен Ко. Тоrда функцию сопротивления
Х(ы)
'1
Рис. 18.7
.
518
ы
(18.19)
можно разложить в ряд Лорана:
Z (р) p jOJO + ао+аl (р j Ш о)+а2 (р /фо)l+
Производная
d d Z == ( К? ) 2 + аl +2а2 (р jФо) +
р P 1000
Если р == jФ 4 jФо, то
dZ I == dX( КО >0.
dp p jro doo (00 000)2
Так как (ф фо)2>О, вычет Ко в полюсе jФо вещественная поло-
жительная величина. Вычет в сопряженном' потосе р == jФо
равен Ко *.
Свойство положительности вычета получено как следствие
свойства положительности HaKJ}QHa кривой реактивноrо сопроти-
вления. '
Необходимые условия реализации Бходноrо сопротивления (про-
БОДИМОСТИ) цепи без потерь МОЖ!lО сформулировать следующим
образом: 1) полюсы сопротивления (проводимости) простые и
расположены на мнимой оси; 2) вычеты в полюсах вещественны
и положительны. Функции, удовлe:rворяющие этим условиям,
называются реактансными.
Свойства входных функций rC-, rL- и rLC цепей. Если цепь
содержит только а,ктивные сопротивления и емкости, то энерrе-
тическая функция Т==О. На основании формулы (18.14) выра-
жение для нулей сопротивления двухполюсника имеет вид
p== V/F. (18.21)
Следовательно, нули и полюсы входньiх функций rC-цепи распо-
ложены на отрицательной вещественной полуоси. При р а + jш
входное сопротивление такой цепи
Z (р) ==р + a2 002 + j ( а 2 : ОО ОО 2 ) == R (а, ш) + jX (а, ш):
Применяя одно из условий Коши Римана, можно получить
aR (а, 00) I == дХ (а, 00) I == < о.
да ro o доо ro o а 2
Учитывая, чrо Х(а, ш)==О при ш==о, находим
aR (а, ro) I == dZ (а) < О
да do '
Т. е. наклон rрафика функции Z (а) отрицателен для всех зна-
чений а. Нетрудно убедиться, что наклон rрафика У (а) поло-
жителен: dY (O"){da > о. Если Р --+ о, то rC-двухполюсник эквива-
, .. в случае ПРОИ3БОЛЬНОЙ функции комплексной переменной рвычеты
в сопряженных полюсах ЯI!ЛЯЮТСЯ комплексно-сопряженными величинами.
519
ленте н сопротивлению или емкости. Поэтому функция Z (р) в начале
координат может быть конечной величиной или иметь простой
- полюс; функция У (р) в начале координат принимает конечное
или нулевое значение. При р. 00 такой двухполюсник также
эквивалентен сопротивлению или емкости. Функция Z (р) при
р 00 может -быть конечной или равной ну.mo величиной; функ-
ция У (р) имеет полюс при р == 00 или принимает конечное зна
чение.
Из условия отрицательности наклона кривой Z (а) и положи-
тельности наклона кривой У (а) следует, что нули и полюсы вход-
ных функций Z (р) и У (р) чередуют-
ся. Примеры rрафиков Z (а) и У (а)
rC-цепи приведены соответственно на
рис. 18.8, а, б.
В общем виде входное сопротив-
ление и входную проводимость ,C цe-
6 пи можно представи'f.Ь следующим
образом:
Z (р) ==К (Р+0"2) (p+O" ... (Р+О"т)
· а) z (P+0"1) (Р+О"з) ... (Р+О"n) ,
( 18.22)
У(б)
'rде О 0"1 < 0'2 < 0'3 <. . . ; т == пили
т==п l,
у (р) ==К (Р+О"l)(Р+О"З) .,. (Р+О"т)
у (Р + 0"2) (Р+0"4) .,. (р+'О"n) ·
(18.23)
rде O O"I <0'2<0'3< ..., т==п
или т =0= п + 1. -
Воспользовавшись свойством от-
рицательности наклона кривой Z (а)
Рис. 18.8 или положительности наклона кривой
у (а). можно доказать, что вычеты
ФУНКЦий Z (р) и У (p)lp в полюсах положительны. Установленные
выше свойства позволяют сформулировать необходимые условия
реализации входноrо сопротивления Z (р) rC-цепи: 1) функция
Z (р) имеет простые полюсы, расположенные на отрицательной ве-
щественной полуоси; 2) вычеты функции Z (р) во всех полюсах
положительны; 3) при р == 00 функция Z (р) не имеет полюса.
Необходимые условия реализации входной проводимости У (р)
rС цепи состоят в следующем: 1) функция У (р) имеет простые
полюсы, расположенные на отрицательной вещественной полуоси;
2) вычеты функции У (p)lp во всех полюсах положительны; 3) при
р == о функция У (р) не имеет полюса.
Необходимые условия реализации сопротивления Z (р) и про-
водимости У (р) rC-цепи неодинаковы (за исключением условия на
расположение и кратность полюсов). в то время как условия
реализации входных функций Z (р) и - У (р) LС-цепи совпадают.
520
Если цепь содержит только активные сопротивления и индук
тивности, то энерrетическая функция V == О. АналЬrично преды
дущему леrко установить, что свойства входн<?rо сопротивления
Z (р) [входной проводимости У.(р)] rL llепи полностью идентичны
соответственно свойствам входной проводимости У (р) [входноrо
. сопротивления Z (р)] rС цепи.
В общем случае цепь может сост6ять из активных сопротивле
ний, индуктивностей .и емкостей. Входные сопротивления .(прово
димости) такой цепи представляют собой положительные веще
ственные функции (см. 18.2) *. Друrими словами, необходимо
условие реализации входноrо сопротивления Z(p) [входной про
водимости У (р)] rLС цепи состоит в том, что функция Z (р) [У (р)]
должна быть положительной и вещественной. ПВФ не имеет полю
сов и нулей в правой полуплоскости комплексной переменной р;
полюсы на мнимой оси простые, а вычеты в таких полюсах
вещественны и положительны; нули на мнимой оси также про-
стые. Высшие и 'низшие степени полиномов .В числителе и знаме--
нателе ПВФ не MoryT отличаться более чем на единицу.
Пусть Z (р) дробно-рациональная функция переменной , р.
Эту ФУНКЦИЮ можно записать в виде
Z ( ) == А (р) == f1!1 +nl
р в (р) т 2 +n 2 '
(18.24)
rде ml и пl соответственно четная и нечетная части полинома
числителя А (р); т2 и п 2 соответственно четная и нечетная части
полинома знаменателя В (р).
Функция Z (р) будет ПВФ, если удовлетворяются следующие
условия * * . .
1. Отношение т2/п2 (п2/т2) представляет собой реактансную
ФУНКЦИЮ, т. е. сопротивление (проводимость) LС-цепи. Если т2
и п2 имеют общий множитель полином М (р), то нули этоrо
полинома простые и располржены на мнимой оси. Нули полинома
М (р) являются ПОЛlOCами функции Z (р); вычеты в таких полюсах
должны быть вещественными и положительными. .
2. Вещественная часть функции Z (р) на мнимой оси неотрица-
тельна, т. е. Re Z (jro);;::: О при 00 < ro < 00. На основании
равенства (18.24)
Z ( ) == тlт2 nln2 + т2nl тln2 . ( 18.25 )
Р т 2 n2 т2 n2
. 2 2 2 2
Если р == jro, то первое четное слаrаемое в выражении (18.25)
будет вещественной частью функции Z (р):
ReZ("ro ) == тlт: nln2 1 .
J т2 n p /(jJ
Знаменатель (т n )p j(jJ положительная величина, поэтоМУ
Re Z аro);;::: О, коrда полином
N (ro 2 ) ==(ml пlп2)P /(jJ;;::: О. ( oo <ro < (0)
Это утвеР1Кдение справедливо и при наличии взаимной индукции.
*. Доказатель.ство этих условий здесь не рассматривается.
521
или
N (х) ==N «(j)2) IЫ' x O (О x< 00).
В простых случаях знак полинома N (х) может быть установлен
непосредственно. Для полиномов высокой степени можно приме-
нить косвенные методы *.
. 18.4. Свойства функций четырехполюсников
Общие свойства передаточных функций. Четырехполюсник,
содержащий активные сопротивления, индуктивности и емкости,
характеризуется следующими функциями: сопротивлениями при
разомкнутых зажимах Zl1 (р), Z22 (р) И Z12 (р) == Z21 (р) или прово
1 ," димостями при короткозамкну-
л:1 [, [2 /:Л 2 Тых зажимах Уl1(Р), У 22 (р) И
. . I fl t 2 . у 12 (р) == У 21 (р). Функции Zll (Р)',
t' и 2 Z22 (р), [У l1 (р), У 22 (р)] представ-
ляют собой входные сопротивле-
l' 2' ния (проводнмоети), СБойств'а ко-
't торых. были paCCMOTpeHЫ
Рис. 18.9 ' На рис. 18.9 показан четы-
рехполюсник, к зажимам кото-
poro 1 1' и 2 2' присоединены идеальные трансформаторы. Для
четырехполюсника справедливо уравнение
jи
[ и 1 (р) ] [ Zl1 (р) Z12 (P) J[ /l (Р) ]
и 2 .(р) == Z21 (р) Z22 (р) , [2 (р) .
Две обмотки идеальных трансформаторов соединены
собой последовательно. Напрщкение
[ и 1 (р) }
и(Р)==nl и l(Р)+n2 и 2(Р)==[nl n2] и 2 (р) ,
ток 1 (р) == 11 (Р)/nl == 12 (Р)/n 2
(18.26)
между
(18.27)
или
[ /1 (Р) ] == [ n 1 ] 1 (р).
12 (р)
Из уравнений (18.26)+(18.28) леrко получить выражение для
входноrо сопроти ления **:
Z(p)== и(р) ==[n 1 n 2 ] [ Zll(P) ZI2(p) ][ nl ] ==
[ (р) Z21 (р) Z22 (р) n2
== n Zl1 (р) + 2nln2Z21 (р) +'n Z22 (р). (18.29)
(18.28)
* Полином N (х) .O, если у этоrо полинома, нет положительиык нулей
нечетноrо порядка. Наличие нулей и ик 'порядок на интервале [О, со] можно
Оfiределить по известной из курса математики теореме Штурма.
** В выражении (18.29) учтено равенство Z12 (р) ==Z21 (р).
Сопротивление Z (р) как входное сопротивление пассивной
схемы является ПВФ. В соответствии с равенством (18.29) любой
полюс' сопротивлений Zll (р), Z22 (р) И Z21 (р) будет и полюсом
ПВФ Z (р). Поэтому функция Z21 (р) не может иметь полюсов
в правой полуплоскости, а полюсы этой функции на МНИмой оси
простые.
Пусть Кlj ВЫЧет функции Zij(p) в одном из полюсов, распо-
ложенных на мнимой оси и, j == 1, 2), а К вычет функции Z (р)
в том же полюсе. Тоrда из соотношения (18.29) можно получить *
К ==[n 1 n 2 ] [ К к ll К12 ][ nl ] == njКll+2Щn,2К21 +n K22' (18.30)
21 К22 n 2
Вычет К вещественный и положительный, поэтому из равен-
ства (18.30) следует, что К 2 1 вещественный вычет, удовлетво-
р51ЮЩИЙ условию
КllК22 K l О,
(18.31)
которое называется у сл ов И ем вычетов **.
Из условия вычетов следует, что любой полюс Z21 (р) на мни-
мой оси -будет также и полюсом входных функций. В то же время
входные функции MoryT иметь полюсы, которых нет у функции
Z21 (р)(частные полюсы входных функций).
Необходимо рассмотреть свойство вещественной части функ-
цИИ Z21(P) при p===jffi. Если 'lj==ReZij(jffi), ,==ReZ(jffi), то из
соотношения (18.29)
, == [n 1 n 2 J [ 'll '12 ][ nl ] == njrll +2n 1 n 2 '21 +п r22' (18.32)
'21 '22
Так как , O, из соотношения (18.32) следует, что веществен-
ная часть функции Z21 (jffi) должна удовлетворять условию
rll'22 ' 1?0, (18.33)
которое называЮ1' условием в е Щ е с т в н н ы х с о с т а в л я ю-
щих***.
Свойства функции У21 (р) аналоrиЧНЫ свойствам функции Z21 (р).
Свойства функций Zij (р) при разомкнутых зажимах и функций
Уц(р) при короткозамкнутых зажимах определяют свойства дру-
rих передаточных функций. Например, если ток 12 (р) == О, .ТО
справедливы уравнения
и 1 (р) === Zll (р) 11 (р); и 2 (р) === Z21 (р) /1 (р);
У 21 (р) и 1 (р)+ У 22 (р) и 2 (р)::::: о.
* В матрице вычетов K12 Kт' _
** Выражение (18.30) называется квадратичной формой; если к?:=,-О, то
матрица этой формы [Кц] должна быть положительно полуопределенной, т. е.
должны1 удовлетворяться условия K1l -O' K22 O И (18.31).
*** выажениеe (18.32), как и (18.30), представляет собой положительно
Полуопределевную квадратичную форму; матрица [rii1 этой формы доЛЖна
удовлетворять условиям rl1?:='-O, r22?:='-O и ,(18.33).
523
Из этих уравнений находим коэффициент передачи напряжения:
К'и} (р ) == и 2 (р) I == ?;I (р) (18.34)
и 1 (р) /. o Zl1 (р)
или
I(и) (р) == и 2 (р) I == v 21 (р) . (18.35)
и 1 (р) /. o У 22 (Р)
Выражения (18.34) и (18.35) показывают, что полюсы функции
К{и) (р) MoryT быть расположены в левой полуплоскости илn на
Мнимой оси. Полюсы на мнимой оси простые, а вычеты в них
являются мнимыми. Кроме Toro, функция Ktu) .(р) не может иметь
полюса при р == о или р == 00; степень полинома числителя не
выше степени полинома знаменателя.
На рис." 18.10 показан четырехполюсник, наrруженный на со-
противление r2 == l/g 2 . Такой четырехполюсник можно характеризо
12
<з------ 2
8Я
1
2
1/
f ------1>
, ЕТ
l' ,
2'
Рис. 18.10
Рис. 18.11
вать следующими передаточными функциями: взаимным сопротив-
лением Z ) (р) == и 2 (p)/1 1 (р) И взаимной проводимостью Y ) (р) ===
=== 12 (р)/и 1 (р). Из уравнений четырехполюсника совместно с урав-
нением и 2 (р) === r 2 / 2 (р) получаем выражения:
- Z(H) (р) === и 2 (р) === ' r2 Z 21 (р) .
21 1 1 (р) r2+ Z 22(P) '
У(Н) (р ) 12 (р) g2 V 21 (р)
21 и 1 (р) g2+ У 22 (р) .
в частном случае при r 2 === 1 ом
« Z21 (р)
Z2 ) р) 1 +Z22 (р) ;
У(Н) (р ) У 21 (р)
21 1 + V 22 (р) .
Полюсы функций (18.36) + (18.39) расположены в левой полу-
плоскости или на мнимой оси.
Проведенный анализ показывает, что расположени полюсов
всех передаточных функций оrраничено левой полуплоскостью и
МНИмой осью. В общем случае расположение и кратность нулей
передаточных функций (эти нули называют ниже н у л я м и ---п е р е-
Д а ч и) не оrраничиваются. Если передаточные функциц не имеют
нулей в правой полу плоскости, то их называют функциями
м и н и м а л ь н о Й фаз ы. Передаточнь е функции, имеющие нули
(18.36)
(18.37)
(18.38)
(18.39)
524
в правой полупл.оскости, называют функциями н е м и П и М а л ь н о й
фазы.
Рассмотренные свойства функци четырехполюсников справед-
ливы для четырехполюсников любои структуры, содержащих эле
менты r, L, С, а также имеющих индуктивные связи между
ветвями.
Особенности функций четыреХПОJlЮСИИКОВ без взаимной индук
ции. Широкое применение находят четырехполюсники без взаимной
индукции, имеющие общий зажим 1 ( 2' и называемые зазем
ленными, неуравновешенными четырехполюсниками (рис. 18.11).
Функции Zij (р) заземленноrо четырехполюсника можно запи
сать в виде (i, j == 1, 2)
Z . ( , ) а rm Jljрm+аrт----i)ljрm--'1+...+аrl)ijр+аrOJl!
1J р . в (Р) .
(18.40)
Для расчета функций Zlf (р) применимы тополоrические формулы.
С помощью этих формул нетрудно убедиться что все коэффициенты
a(k)lj(k==O, 1, ..., т) неот-
рицательны: a(k) i] О. Кроме
Toro, эти коэффициенты УДов-
-летворяют условиям a(k)l1
a(k)21; a(k)22 a(k)21' Ан а-
лоrичным условиям УДовлет-
воряют. коэффициенты поли-
номов в числителях функ-
ций У21' Ун, У 22 . Из вы-
ражений (18.34) и (18.35)
следует, что коэффициенты полинома числителя функции К\и) (р)
не пр.евышают соответст!3ующих коэффициентов полинома знаме
нателя. Если р==а>О, то о<к\и) (a) I.
Передаточные функции заземленноrо че
тырехполюсника не MoryT иметь нулей на
положительной вещественной полуоси (за
исключением значений а == О и а == оь), так
как коэффициенты полиномов в числителях
функций неотрицательны.
На рис. 18.12 показан частный случай
заземленноrо четырехполюсника четырех
полюсник цепочечной схемы. Н у ли передачи
цепочечноrо четырехполюсника совпадают с полюсами продольных
сопротивлений Zl' Z3' Z5' ... и нулями поперечных сопротивлений
Z2' Z4' Z6' .... Действительно, полюсу (нулю) соот.веТСТlЗует беско-
нечно большое (нулевое) сопротивление, т. е. разомкнутая (кор от-
козамкнутая) ветвь.
Четырехполюсники, у которых зажимы l' и 2' не совпадают
(см. рис. 18.10), называются у р а в н о в е ш е н н ы м и и л и н е з a
эемленными. Коэффициенты a(k)ij функций вида (18.40) ypaB
повешенных четырехполюсников без взаимной индукции удовле-
Z,
ZJ
"7
L5
Z2
z
4
"7
L6
Рис. 18.12
.i
о
о
б
о
о
РИС, 18.13
525
творякл условиям
a(k)ll la(k)211; a(k\22 la(k)21I.
Коэффициенты a(k) 21 MorYT быть положительными или отрицатель-
ными, а также равными нулю. В справедливости записанных условий
Можно убедиться с помощью тополоrических формул. Если P==ff>O,
то коэффициент передачи уравновешенной цепи 1 K(U)(a) I.
Нули передаточных функций MorYT быть расположены в любой
точке комплексной плоскости, включая положительную веществен-
ную полуось.
ОсобенностJ.!: функций LC-, rC- и rL четыреХПОJlЮСНИКОВ. Полюсы
всех функций четырехполюсников без- потерь (LC) расположены
. на мнимой оси. При Р == j(J) функции Z21 (j(J) И У 21 (j(J) должны быть
мнимыми, пdэтому Z21 (Р) и У 21 (Р) представляют собой нечетные
функции Р отношение нечетноrо полинома к четному или наоборот.
Функция К(U) (Р) является отношением двух четных полиномов.
Числитель функций (18.38) и (18.39) четный или нечетный по-
i1JИНОМ.
У LС четырехполюсника цепочечной схемы (рис. 18.12) нули
передачи расположены на мнимой оси, так как полюсы сопротив-
лений Zl' Zз, ... и нули сопротивлений Z2' Z4' ... расположены
на мнимой оси. В общем случае нули передачи TaKoro четырех-
полюсника имеют квадрантную симметрию (рис. 18.13) вследствие
четности (нечетности) полиномов в числителях передаточных
функций.
Полюсы всех функций rC-четырехполюсников расположены
на отрицательной вещественной полуоси. С помощью схемы на
рис. 18.9 и формулы (18.29) можно доказать, что вычеты Кц
в ПОЛlOCах функций Zij(p) должны удовлетворять условию (18.31);
такому же условию удовлетворяют' вычеты функций Уц (p)/p.
Расположение нулей передачи в общем случае не оrраничивается.
у rС четырехполюсника цепочечной схемы (см. рис. 18.12) нули
передачи расположены на отрицательной вещественной полуоси,
так как полюсы сопротивлений Zl' Zз, .., и нули сопротивлений
Z2' Z4' ... расположены на отрицательной вещественной полуоси.
Свойства Zij(p) [Yij(p)] rL-четырехполiocников совпадают соот-
ветственно со свойствами функций Уц (р) [Zij (р)] rС четырехпо-
люсников.
rЛАВА 19
МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСИИКОВ
19.1. Нормирование параметров . элементов
электрических цепей
В реальных электрических цепях сопротивления резисторов,
индуктивности катушек и емкости конденсаторов имеют различные
численные значения. Частоты напряжений и токов источников в
цепях также изменяются в широких пределах. Расчеты функций
цепей с реальными параметрами MorYT быть rромоздки Для удоб-
ства расчетов применяют нормирование (нормализацию) парамет-
po цепей по уровню сопротивления и частоте.
Пусть. все сопротивления " индуктивности L и величины,
обратные емкостям (I/С), разделены на некоторую положительную
постоянную '0 *. Тоrда каждый элемент определителя контурных
сопротивлений
Zlj (р) == 'ц+ pL lj + (l/рСц)
уменьшится в '0 раз. Если порядок определителя равен п, то Д(К)(р)
уменьшится в , раз. Алrебраическое дополнение любоrо элемента
Д j') (р) определителя уменьшается в , 1 раз. В результате BXOД
ные и ,взаимные сопротивления схемы, равные отношенmo
Д(К) (р)/Д IР (р), уменьшаются, а входные и взаимные проводимости
возрастают в '0 раз. Коэффициенты передачи, напряжения (тока),
которые определяются как отношения алrебраических дополнений
одинаковоrо порядка, не изменяются.
Следовательно, если заданную функцию (входное или взаимное
сопротивление) разделить на некоторую постоянную '0 (нормиро-
вание по уровню сопротивления), то расчеТ схемы по нормиро-
ванной функции приводит к нормированным параметрам 'Н, L и
и I/С и , которые в '0 раз меньше фактических (денормированных)
параметров. Это утвержд ние также будет справедливо, если задан
ную функцию (входную или взаимную проводимость) умножить на
постоянную '0' Безразмерные функции (коэффициенты передачи
напряжения и тока) инвариантны к нормированию по уровню
сопротивления.
При нормировании функции по' частоте частота ffi заменяется
Нормированной частотой ffi/ffio (ffio некоторая положительная
. безразмерная постоянная). Нормирование по частоте не должно
.изменять индуктивных сопротивлений ffiL и емкостных проводи-
мостей ffiC. Поэтому если схема рассчитана по частотной характе-
ристике с нормированной частотой [Н (ffi/ffio)] , то нормированные
параметры L и и Си больше фактических в ffio раз:
Ш С Ш
ffiL === L и ; ffi == Си,
Ша Ша
* Эта постоянная может быть больше или меньше единицы и считается
безразмерной.
527
откуда L == LH/ffiO: С == св/шо. Нормирование по частоте не влияет
на величину' активных СОпротивлений.
При синтезе цепей, как правило, функции нормируются OДHO
временно по уровню сопротивления и частоте. Если при расчете
цепи, нормированной по уровню сопротивления и частоте, получены
нормированные параметры r н' LB и С Н . Т9 денормированные пара
метры можно представить как
r == ror н; L == rOLH/ffiO; С == CH/rO(jjo.
Полученные выражения для денормированных параметров
справедливы, если исходные функции (сопротивления) делят на ro,
функции (проводимости) умножают на 'о. а частоту ffi уменьшают
в ШОраз*.
\1
19.2. Реалtiз&ция ДВУХi'lоЛ!оеииков
Построение каноничеС1ШХ схем двухполюсников, содержащих
индуктивности и емкости. ДВУХПОJПOсник реаЛИЗУе1;СЯ по известному
входному сопротивлению Z (р) 'или проводимости У (р). Входные
функции доЛжны удовлетворять необходимым услови м реализации,
рассмотренн.ым в r..л. 18. Если по заданной функции, удовлетво
ряющей необходимым условиям реализации. можно построить
схему, то необходимые условия будут и достаточными условиями
реализации. .
Входное сопротивление (18.19) LС двухполюсника с помощью
разложения на элементарные дроби можно представить в следую.
щем виде:
м
Z ( ) Ко + 2Кср К
Р == р € (р2+ыН + оор,
(19.1 )
rде
Ко == [pZ (p)]p o
(19.2)
вычет в полюсе р == о;
[ р2+ Ю ]
2Кс== Z ( p ) ",2
Р . P ;
( 19.3)
удвоенный вычет в полюсах р == + jffil;
Кro . [ Z(P> ] (19.4)
р р....,оо
вычет в полюсе р == 00.
Вычеты (19.2) + (19.4) н отрицательны, поэтому разложению
(19.1) соответствует LC cxeMa с положительными параметрами.
Слаrаемое Ко/р реаJIИЗУется емкостью СО == I/Ко, слаrаемое Koop
* Для упрощения численных расчетов далее рассматриваются только норми-
рованные функции и Схемы с нормирова ными параметрами.
528
1',
индуктивностью Loo == Као. Сопротивление
Z 2К [Р
1 p2+ы
реализуется параллельно соединенными индУКТИВНОСТЬЮ L i И
емкостью C l . Действительно, проводимость
1 р2+ ы 1 ы 1
Z == 2K == 2К Р+ 2К ==CiP+ L '
1 iP i iP iP
[де С ; == 1/2Kl; Ll == 2Кl/UД'
Таким образом, выражению (19.1) соответствует LC cxeMa
двухполюсника, приведенная на рис. 19.1, а.
СО [,
Ф;IQ
С, см
[оо
а)
3J L'
[о j( : lrc
J: i:]
о)
Рис. 19.1
Проводимость LС двухполюсника удовлетворяет таким же
условиям реализации, как и сопротивление. Поэтому разложение
функции У (Р) аналоrично (19.1):
N
у (Р) == К р О + "\1 2KiP 1 К
.k.. р2+ ы т аор,
i 1
s 19.5)
[де вычеты определяются по формулам (19.2) --+- (19.4). C araeMoe
Ко/Р реализуется индуктивностью Lo == I/К о , слаrаемое КаоР
емкостью Сс;о == Коо. Проводимость
У ; 2KiP
р2+Ыl
'--
реализуется последовательно соединеннЫМИ индуктивностью LI
и емкостью C l , так как
1 1 ы! 1
У; == 2К; P+ 2KiP == LiP+ CiP '
rдe LI == 1/2Ki; С ; == 2КI/UЛ' Схема двухполюсника, соответствующая
выраженmo (19.5), приведена на рис. 19.1 6. Схемы двухполюсника
на рис. 19.1,а, 6 называют каноническими схемами Фо
с т е р 8.
По заданной входной функции также можно построить друrие
схемы двухполюсников. На рис. 19.2 Показан двухполюсник цепо
чечной CTPYKTYPbI. Входное сопротивление TaKoro двухполюсника
529
выражается непрерывной дробью:
Z (р) == ZI + 1
У 2 + 1
zз+
У 4 +...
Если сопротивление Z (р) 'имеет полюс при р == 00, То нетрудно
ВЫделить слаrаемое вида pL 1 или, rоворя уСЛовно, выделить
полюс при р == 00:
Z (р) == pL 1 + z' (р).
Функция I/Z' (р) также имеет полюс при р == 00:
,1/Z' (р) == РС 2 + У" (р).
Последовательное выделение полюсов при р == 00 приводит
К непрерывной дроби
Z (р) == pL 1 + 1
РС 2 + 1
рLз+
pC i +...
которой соответствует двухполюсник на рис. 19.3, а.
Непрерьmная дробь (19.6) практически получается путем после
Довательноrо деления числителя функции Z (р) на знаменатель,
начиная со слаrаемых высших степе
ней. Сначала вычисляют значение
Индуктивности L 1 и остаток от деле-
ния Z' (р); затем числитель функции,
обратной остатку [Функции I/Z'(p)],
делят на знаменатель и находят зна-
чение емкости С 2 и новый остаток от
деления У" (р) и т. д., ' (lI
( 19.6)
18
С 2 Т 4T
а}
IJ
"4
Р ис. 19.2
О)
Рис. 19.3
Если функция Z (р) имеет полюс при р == O ТО МОЖНо выде-
лить слаrаемое вида I/РС 1 или, rоворя условно, выделить полюс
при р==О:
Z (р) == C l +Z' (р).
р 1
Функция I/Z' (р) также имеет полюс при р == о:
I/Z' (р) == (l/P4) + У" (р).
'530
Последовательное выделение полюсов при р == о ПрИБОДИТ К
непрерывной дроби
. Z ( ) 1 + .
р p C 1 1
1 +
pL 2 +
рС з +
pL 4 ...
которой соответствует схема на рис. 19.3, б. Непрерывная дробь
(19.7) получается путем деления числителей функции Z (р) и соот-
ветствующих остатков на знаменатели, начиная со слаrаемых
низших степеней. Схемы на рис. 19.3, а и б называют к а н о н и-
ческими схемами Кауэ
р а.
Если проводимость У (р)
имеет полюс пр» р == 00 или
Д
f2I
а)
f 4
,1/2 Т 1/6 Т
(6 О)
(19.7)
'i
%-1
,lоЧ
:r и
rcc
С,
и 2
т 1/2 "Т" '/б
(6 О.
2/3. . 2/25
:14 111 5
, Z)
Рис. 19.4
а)
ПС
EJ
ro
[,
tiJ
Рис. 19.5
р == О, то разложение в непрерывную дробь функции У (р) имеет
вид, аналоrичный правой части выражений (19.6) и (19.7), толь
ко Lk заменяется на C k и наоборот.
Пример 19.1. Построить канонические схемы Фостера и Кауэра, если вход-
ное сопротивление двухполюсника
Z ( ) p4+4p2+3 (p2+1)(p2+3)
р рз+2р Р (р2+2) .
Реш е н и е. При разложении Z (р) на элементарные дроби в соответствии
с формулами (19.1) + (19.4) получим
3 р
Z (р)== 2р + 2 (р2+2) +р.
На ри<!. 19.4, а приведена первая каноническая схема Фостера, на которой
значения индуктивностей и емкостей указаны соответственно в rенри ([) и фа-
радах (Ф).
Разложение проводимости У (р)== I/Z (р) на элементарные дроби имеет вид
р р
у (р) == 2 (р2+1) + 2 (р2+3) ,
Чему соответствует вторая каноническая схема Фостера (рис. 19.4, б).
531
Последовательное вьщеление полюсов при р со привQДИТ к дроби
1
Z (р) "'" р + 1 . 1
"2 Р + 1
4р + т-----
б- Р
Полученная непрерывная дробь позволяет построить первую каноническую
схему Кауэра (рис. 19.4, 6),
Последовательно вьщелив полюсы при p O, найдем
3 1
Z(P)""' 2p + 4 1
sP+25 1
2р + т-----
, 5 Р
Полученная непрерывная дробь позволяет построить вторую каноническую
схему Кауэра (рис. 19.4, е). ,
Следует .отметить, что канонические схемы реализуют входные
функции с помощью минимальноrо числа элементов.
Построt!ние канонических схем двухполюсников, содержащих
сопротивления и емкости (индуктивности). Канонические схемы
Фостера для rС двуХПолioсника получают аналоrично канониче
ским схемам для LС двухполюсника.
Так, если сопротивление Z (р) rС цепи разложить на элемен-
тарные дроби:
м
Z Ко К.
(р) == р + p+'ai + Коо,
i 1
(19.8)
rде
Ко== [pZ (p)]p o;
Ki == [(р+ад Z (p)]p a,;
.
к.оо == [Z (p)]p oo,
то можно построить схему на рис. 19.5, а. В этои схеме
С О == I/К о ; ri==Ki/ai; C i == I/Ki; rro==Koo.
Проводимость rС цепи можно представить в вИде
N
У(Р}==Ко+ ! p ai +Коор,
{ 1
(19.9)
(19.10)
(19.11)
(19.12)
rде
Ко ' [У (p)]p o,
Ki == [ р+а{ у (р) ] ;
р P Ui
К [ У (Р) ]
\00 .
Р р....ro
(19.13)
(19.14)
(19.15)
",
Выражению (19.12) соответствует схема на рис. 19.5, б. В этой
схеме ro== I/K o ; ri== I/Ki; Ci==Ki/CJi; Соо==Коо.
С помощью представления функции Z (р) или у (р) в виде не-
прерывных дробей MorYT быть' построены канонические схемы
Кауэра. Эти схемы аналоrичны' схемам на рис. 19.3, а, б, только
индуктивности заменяются активными сопротивлениями.
Пример 19.2. Построить канонические схемы двухполюсника, если .,входное
сопротивление
Z (p) p2+4p+3 == (p+l)(p+3) .
р2+2р Р (р+2)
Реш е н и е. В соответсmии с разложенйями на элементарнме дроби:
1 l'
Z (р) 2р + 2 (р+2) + ,
р р
у (р) == 2 (p+I) + 2 (р+3)
строим схемы Фостера, приведенные на рис. 19.6, а, .6 (значения сопротивле-
ний указаны в омах, емкостей в фарадах).
Вьшолняя деление соответствующих полиномов, начиная со СЛ<lrаемых выс-
ших или низших степеней, получим непрерывные дроби:
1
Z(p)==I+ 1 1 ,.
p+
2 4+ p
6
3 1
Z (Р)== 2р + 4 1
"5 + 25 +
2р 1
"5
эти дроби позволяют построить схемы Кауэра (рис. 19.6, 8, е).
Методы реализации rL-двухполюсников аналоrичны методам
реализации rC-двухпоЛlOСНИКОВ.
Понятие о реализации двухполюсников, содержащих сОпротив
ления, индуктивности и емкости. Любая ПВФ Z (р) или V (р)
может быть реализована как входное сопротивление rLC-двух-.
полюсника.
В некоторых случаях реализация может быть выполнена сле- .
'( дующим образом. Пусть задана ПВФ сопротивления Z (р). Если
функция Z (р) имеет ПОЛlOсы на мнимой оси, то следуer выделить
'слаrаемые, соответствующие этим полюсам:
Z (р) == КооР + o + p +Zl (р),
t
rде функция Zl (р) не содержит ПОЛlOсов на мнимой оси. Выде-
ленные слаrаемые реализуются с помощью' LС-элементов.
Функция Zl (р) можer имerь нули на мнимой оси. Torдa
1 К , K '"' 2Kjp .
У 1 (р) == Zl (р) == оор + р + p2+<oj + У 2 (р),
i
533
rде У 2 (р) функция, не имеющая полюсов на мнимои оси. Выде-
ленные слаrаемые реализуются LС схемои.
В результате последовательноrо выделения полюсов на мнимой
оси из функций сопротивления и проводимости может получиться
1/4 функция Zk (p)[Y k (р)], не
:::J 2 /J 1 имеющая как полюсов, так
'" I Q и нулей на мнимой оси. Be
, , 2 ," щественная час!ь такой функ
:/ : 11: . ЦЯ. На мнимон оси неири-
91 т Т ' Е
а) t5) цательна. сли вещественная
часть поло}КИтельна, то из
1 Функи ии можно вычесть по-
стоянную величину rk (gk),
5/4 5 равную минимальному значе-
нию Re Zk (j(J) [Re Y k (j(J)].
'е)' При этом у остатка Zk+1 ==
== Zk rk (УН1== Yk g'k)MO
жет. быть нуль или полюс на
мнимой оси, позволяющий Еыделить слаrаемое, реализуемое с по-
мощью LС-елементов. Изложенная методика выделения слаrаемых
в ряде случаев дает возможность IJОСТРОИТЬ схему rLС ДВУХПQ.!IЮС-
НИка. f
f 4
j2j f/2 Т 11 I/б Т
О)
Рис. 19.6
При мер 19.3. Реализовать функцию
Зр2+4 р 2+Вр+3
Z (р) р3+5р2+р+5
. Реш е. н и е. Заданная функция
представляет собой ПВФ и имеет по-
люсы на мнимой оси Pl, 2 :!: J, Сле-
доваrельно, Фуикцша можно предста-
вить в ВИде
2KIP
Z(p)== р2+1 +Zl(P),
Вычет этой ФУНКЦИИ Z (р) в по-
люсе Рl j (P2== j) Кl 1/2' поэто-
му Функuия
2К,р
Zl(P) Z(P) р2+1 ==
Р 3(р+l)
== Z (Р) р2+1 р+5 .
Пр)
ир)
I
Z,fp) ) Z2{P)
f а
I З/4
З/4
. I
z,rp) Zz (р)
, и)
Рис. 19;7
Минимальное значение Re Zl (joo) равно '1 ==3/5 при 00==0. Функция
, 12р
Z2 (P) Zl(P) 'l == 5 (р+5)
имеет нуль на мнимой оси при р==О. Обратная функция
1 25 5
У 2 (р) Z2 (Р) == 12р + 12 '
Схема двухполюсника, реализующая. заданную функцию, 'приведена на
рис. 19,7, а.
534
,Если вместо функции Z1 (р) воспользоваться обратной функцией
р+5
у 1 (р) 3(p+I) '
!l'0 ,можно получить еще одну схему двухполюсника.
Минимальное значение Re У 1 аоо) равно g1 === при 00===00. Функция
y (Р) === У 1 (р) g1 === 3 (p4+1)
имеет нуль при р === 00. Обратная функция
Z' ( 1 3 3
2 P)=== Y (p) ===тР+т.
'На рис. 19.7, б изображена вторая схема двухполюсника, реализую:дая
sаданную функцию Z (р). '
Следует отметить, что функция Zi (Р) удовлетворяет необходимым требова-
ниям для входных сопротивлений rL двухполюсника. Реализации этой функ-
ции, показанные на рис: 19.7, а, б, соотретствуют каНQническим схемам
Фостера:.
В общем случае ПВФ не может быть реализована paCCMOTpeH
ным выше простым методом; известны друrие методы, позволяю
щие реализовать п-роизвольную ПВФ.
19.3. Реализация LC- и rС ч,етыреХПОЛЮСНИКО8
мостовой схемы
Пусть задана передаточная функция четырехполюсника (вза-
имное сопротивление Z21 (р» при разомкнутых зажимах. Такая
функция реализуется симметричной мостовой схемой, показанной
на рис. 19.8, а (на рис. 19.8, б дано упрощенное обозначение мо-
Za Za
Zи
а)
",
",
."
",
'
t5)
Рис. 19.8
СТорпй схемы). Так как четырехполюсник ,является симметрич
ным, ero входные сопротивления равны: Z11 == Z22' УСЛОВИе выче-
тов (18.31) принимает ВИД K ! K l;::: О. Можно потребовать, чтобы
УСЛовие вычетов выполнялось со знаком равенства для всех полю-
сов. Вычет К11>О' а вычет К 2 1 может быть положительным или
arрицательным, поэтому из условия вычетов К ll ' I К 2 11. ЕслИ
ВЫЧеты ф.ункции Z12 (р) В полюсах известны, то на основании
равенства К 11 == I К 12 [, леrко найти функцию Zl1 (р). Вычеты функ-
535, '
ции Z21 (р) определяют при разложении этой функции на элемен-
тарные дроби. rруппируя слаrаемые с положительными и отрица
тельными вычетами, можно записать '
Z21 (р) == Z i) (р) Z I) (р). (19.16)
rде функции Z 1' (р) и Z I' (р) содержат, слаrаемые только с поло-
жительными вычетами. Полаrая для каждоrо полюса К ll == I К211,
получаем выражение для' входной функции:
Zl1 (р) == Z i' (р) + Zkl' (р). (19.17)
По известным функциям Zl1 (р) И Z21 (р) можно найти сопро-
тивления Za (р) И ZlJ (р) мостовой схемы (рис. 19.8).
Для мостовой схемы
ii Zl1 == (Za + Zb)/2; Z21 == (Zb Za)/2,
откуда Za == Zl1 Z21; Zb == Zl1 + Z21' Если' учесть выражения
(19.16) и (19.17), то
Za (р) == 2Z I) (р);
Zb (р) == 2Z t) (р).
.
Формулы (19.18) и (19;19) позволяют
рехпо.moсника.
(19.18)
(19.19)
построить схему четы-
поэтому
Пример 19.4. Требущся реализовать функцию
1
Z21 (р) Р (р2+ l)(р2 + 2)(р2 + 3) . .
Реш е н и е. Разложение функции Z21 (р) на' элементарные дроби имеет ВИД,
1 р р р
Z21(P)== 6p 2 (р2+1) + 2 (Р2+2) 6 (р2+3) .
Следовательно,
1 р р р
z t)(P)== 6P + 2 (jJ2+2) ; Zbl'(p} 2(р2+1) + 6 (р2+3) .
На основании выражений (19.18) и (19.19)
р р I Р
Za (р) == р2+ 1 + 3 (р2+3); Zb (р) == 3р + р2+2 '
Функции Za (р) и Zb (р) реализуются как входные сопротивления LС-двух-
полюсников. На рис. 19.9 приведены схема MocToBoro четырехполюсника и
парнметры ее элементов.
Пример 19.5. Реализовать функцию
(p 1) (p 2) (p 3)
Z21 (р) (р+l)(р+2)(р+3) '
Решение. Функция
12 60 60
Z21(P)== р+l + р+2 р+3 + 1.
. (+) . ( ) .
Z21 (P) I+p+2' Z21 (P) p+l +р+3'
24 120 120
Za(P)== р+l + р+3 ; Zb (р)==2+ р+2 .
"' R
Ь, Функциц Za (р) I! Zb (р) реализуются как ВХодные сопротивления rС двух.
> полюсников; в результате получаем 'схему на ,рис. 19.10. .
(
, I _, I ';.)
l'
1/9
1 1/2
З
/ 1
Рис. 19.9
1/24
24
1 //.
//
'
Рис. 19.10
Следует отметить, что каждому полюсу функции Z2i (р), расположенному'
в левой полу плоскости, соответствует нуль, расположенный симметрично в пра-
вой полуплоскости. Амплитудно-частотная характеристика I Z21 (jw) I в таком
случае, не зависит от частоты.
С помощью симметричноrо MOCTOBOrO четырехполюсника анало-
rично предыдущему реализуется функция У21 (р).
19.4. Реализация LC- и rC-четырехполюсииков
цепочечной охемы
Четырехполюсники цепочечной схемы, как уже отмечалось, на-
JlОДЯТ широкое применение и MoryT быть построены по различ-
ным передаточным функциям, например, Z ) (р), y ) (р).
Пусть задаНа функция LС-четырехполюсника, наrруженноrо
на активное сопротивление (см. рис. 18.10):
п ) (p)== A (р)/В (р). (I9ДО)
Если сопротивление наrрузки нормировано r2 == 1. Ом, то ДЛЯ
функции y ) (р) справедливо выражение (18.39). Представляя по
лином В (р), равный сумме четной [т (р)] инечетной [п (р)] частей,
можно записать
У21 '(р) А (р) ( 19 21
1+Y22(p) == т(р)+n(р) ' . )
Полином А (р) может быть четным или нечетным. Если А (p)
четный полином, то выражение (19.21) приводится к виду
у 21 (р) А (р)/n (р) ( 19 22 )
1 + У 22 (р) == 1 + [т (р)/n (p)J' .
(19.23)
(19.24)
(19.21) следует
У 21 (р) == А (р)/п (р);
V 2 (р) == т (р)/п (р).
Если А (р) нечетный полином, ТО выражение
представить в виде
ОТkуда
у 21 (р)
1+ У 22 (р)
А (р)/т (р) .
1 + [n (р)/т (р)]
(19.25)
БЗ1
откуда
( А (р)
У21 Р)== т(р) '
n (р)
У22 (р) == т (р) .
(19.26)
(19.27)
Таким образом, по задаННОЙ функции LС четырехполюсника
с наrрузкой (19.20) можно определить функции (19.23), (19.24)
или (19.26), (19.27), представляющие собой проводимости четы-
рехполюсника при короткозамкнутых зажимах. Тем самым задача-
реализации функции .y ) (р) сводится к задаче реализации двух
ФУНКЦИЙ У21 (р) И У22 (р). Аналоrично, если задана функция Z ) (р)
LС-четырехполюсника, наrруженноrо На активное сопротивле-
ние '2 == 1 ;,Ом, то на основании (18.38) можно получить функ-
цИИ Z21 (р) И Z22 (р), представляющие собой сопротивления четы
рехполюсника при разомкнутых зажимах. _
Пусть функция (1'9.20) функция ,С-четырехполюсника, Harpy-
женноrо на сопротивление '2 == 1 Ом. Тоrда знаменатель функции
следует разложить на сумму двух полиномов 81 (р) И 82 (р) так,
чтобы отношение 81 (р)/8 2 (р) удовлетворяло необходимым усло-
виям реализации входной проводимости ,C cxeMЫ. При этом можно
записать
у 2l (р) А (Р)/В 2 (р)
1 + у 22 (р) 1 + [В 1 (Р)/В 2 (р)] ·
(19.28)
оrкуда
У21 (р) == А (Р)/В 2 (р);
У22 (р) == 81 (Р)/В 2 (р).
Вновь задача реализации функции y ) (р) сводится к реали-
зации функций У21 (р) И У22 (р). ,
Если задана функция LC- или ,С четырехполюсника
KlU) (р) == А (р)/В (р), (19.31)
то, разделцв числитель и знаменатель этой функции на соответ--
ствующий полином D (р)*, можно на основании выражений (18.34)
и (18.35) найти функции У21 (р) И У22 (р) [Z21 (р) И Z22 (р)].
При синтезе LC -четырехполюсника цепочечной схемы по двум
функциям У21 И У22 (Z21 И Z22) необходимо, чтобы нули функ-
ций У21 (Z21)' т. е. нули передачи, были расположены на мнимой
оси. При синтезе rC-четырехполюсника цепочечной схемы необхо
димо, чтобы нули передачи были расположены на отрицательной
вещественной полуоси (см. 'rл. 18).
Реализация LС четьipехполюсника цепочечной схемой по функ-
циям У21 (р), У22 (р) осуществляются следующим образом. Если
функция У22 (р) имеет частные полюсы, то выделяют соответст-
вующие слаrаемые, которые реализуются как проводимости попе-
(19.29)
(19.30)
* Полином D (р) выбирается произвольно, но так, чтобы полученные
функции Y21' У 22 (Z2i, Z22) удовлетворяли необходимым условиям реализации
LC. или ,C cxeM (см. rл.- 18).
538'
речных ветвей, присоединенных к выходным зажимам четырех
полюсника.
Пусть функция У22 (р) (или ее часть, оtтавшаяся после pea
лизации частных полюсов) не имеет частных полюсов. По этой
функции следует построить четырехполюсник так, чтобы были
реализованы все нули передачи. Нули передачи цепочечной схемы
совпадают с полюсами продольных сопротивлений и нулями
поперечных сопротивлений. Если функции У21 (р) И У 22 (р) имеют
одинаКОВЫЙ нуль в некоторой точке на мнимой оси, то функ
ция I/Y 22 будет иметь полюс в этой же точке. Выделяя' сла
raeMoe с таким, ПОЛЮСQМ из функции 1/У 22 , можно получить
продольную ветвь, полюс - сопротивления которой совпадает
с нулем передачи. Тем caMbiM реализуется нуль передачи.
Если функция У 22 (р) не имеет нуля, совпадающеrо с нулем
передачи, то из ЭТОЙ функции можно вычесть одно из слаrаемых
(частично выделить один из полюсов):
у ==К/р,' или У == Кр, или у == 2K + 2 (К> О)
Р (J)i
(Функци.я У 22 (р) имеет соответственно полюс при --р == О, р == оа
или р == + jffii). Вычитание слаrаемоrо соответствует выделению
поперечной подrотовительной ветви схемы с проводимостью У.
В результате вычитания один нуль остатка Y 2== Y22 У должен
совпасть с нулем передачи. Если у остатка получился нуль,
совпадающий с нулем передачи, то из функции I/Y 2 выделяется
слаrаемое с полюсом, равным нулю передачи. Этому слаrа мому
соответствует продольная ветвь схемы, реализующая нуль пере
дачи.
В данном случае подrотовительная поперечная ветвь с про-
водимостью У вызыветT смещение нуля функции У 22 . Нуль CMe
щается в сторону частично выделяемоrо полюса. Не всеrда
с помощью частичноrо выделения полюсов из функции У 22 (р)
можно получить необходимый нуль у остатка Y 2 (р). Если,
например, jffik нуль передачИ и при решении всех ,уравнений
Вида Y 2 (jffik) == у 22 (jffik) у (jffik) == О получается отрицательное
значение К, то при частичном выделении полюсов требуемый
нуль не может быть получен. '
Если частичное выделение полюсов из функции У 22 не дает
необходимоrо нуля у остатка' Y 2' то следует воспользоваться
функцией 1/У 22 . При часТичном выделении полюса из функции I/Y22
(продольная подrотовительная ветвь) можно сместить нуль этой
функции так, чтобы он совпал с нулем передаЧИ. Затем, выделяя
поперечную ветвь цепочечной схемы, сопротивление которой имеет
нуль, равный нулю передачи, реализуем нуль передачи.
Таким образом, для синтеза цепочечной схемы поочередно
Применяют две основные операции: смещение нуля входной фу :.
ции с помощью подrотовительных поперечных (продольных) ветвеи
и реализацию нуля передачи с помощью' продольной (поперечной)
ветви, сопротивление которой имеет полюс (нуль), совпадающии
539
е нулем передачи. Реализация цепочечной
C
cxeMЫ по ,известным
функциям Z21 (р) И 222 (р) выполняется аналоrично.
Реализация цепочечной cxeMb(rC по известным функциям У21 (р)
И У 22 (р) или 221 (р) и Z22 (р) также производится аналоrичным
методом.. Смещение нулей функции У22 (р) осуществляется, вычи
танием слаrаемых вида У =='к, у == К + р , у == кр. При смещении
р а{
нулей функции Z22 (р) следует восполь
З0ваться СЛаrаемыми ВИда Z == К/р, Z ==
== K/(p+ai), Z== К.
Наиболее просто синтезируются це-
почечные схемы, если все нули .передачи
расположены при р == о или р == 00. в
таких случаях схема четырехполюсника
получается с помощью соответствующеrо
представления У22 (или I/Y22), Z22 (или
I/Z 22 ) в виде непрерывной дроби.'
[1
L
С 2
и
2
'2
Рис. 19.Н
Пример 19.6 Реализовать функцию LС
четырехполюсника, наrруженноrо
, на Сопротивление '2== 1 Ом;
.
Z
) (р)
1 1
(Р+ 1)(Р2+р +1)
р"+2р2+2р +1'
, Реш е н и е. Определим четную и нечетную части знаменателя:
т(р)==2р2+1, n(р)==р3+2р.
Так как числитель А (р) == 1
четный, функцию Z
) пре1!ставим в виде
1
Z(H) (р) == ps:j:2p == Z21 (р)
\11 1 + 2р2+1 1 +Z22(P) ,
р3+2р
откуда
1 2 р 2 + 1
Z21 (р) == р3+2р ; Z22 (р) == р3+2р '
Функция Z21 (р) имеет все нули при р==со (тройной нуль). Для функции
1/
2 (р) непрерывную дробь получим, начиная деление со слаrаемых высших
степеней:
I р3+2р Р 1
Z22 (р) == 2р2 + I == "2 + 4р + I .
3 3р
2
На каждом этапе деления выделяется полюс при р==со, поэтому реализу-
ются и нули передачи. Схема четырехполюсника приведена на рис. 19.1\;
параметры элементов схемы:
[==4/3 [; С 1 ==3/2 Ф; С 2 ==1/2 Ф.
Следует отметить, что в общем случае при синтезе цепочечных
схем постоянный множитедь передаточной функции не контроли-
руется, т. е. передаточньrе функции реализуются с точностью ДО
ПОстоянноrо МНожителя.
оrЛАВЛЕНИЕ,
Jt,
,
: .
t
'
f.
i
g, Предисловие
", tJ: Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Сmр.
3
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
! '
)
Раздел первый
Элементы и основные тополоrические -свойства
электрических цепей
Щf;
.
..
;
I.
'
Fлава 2. Основные тополоrические понятия и соотношения
2.1. rраф' Элt;ктрической цепи и некоторые ero подrрафы
2.2. Законы Кирхroфа . . . . . . . . : . . . . . . .
2.3. Тополоrические матрицы rрафа и их свойства
2.4. Дуальные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел вmoрой
Осиовные свойства и методы расчета электрических цепей
с источниками постоянных Э. Д. с. и токов
FllaBa 3. Анализ переходных и установившихся процессов в простеЙ
ших цепях . . . . . . . .- . . . . . . . .
3.1. Постановка задач анализа электрических цепей
3.2. Цепи с сопротивлением r и ИНДУКТИВНОСТЬЮ L
3.3. Цепи с сопротивлением т и емкостью С . . . . . . . . . . .
3.4. Цепи с сопротивлением т, индуКТИВЕ:ОСТЬЮ L и емкосiъю С . . . .
3.5. Разряд конденсатора в цепи с сопротивлением " индуктивностью L
и емкостью С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Общие замечания об анализе цепей с сопротивлением " шiдуктив
ностью L И емкостью. С . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
16
17
22
29
32
45
45
49
52
62
Fлава 1. Электрическая цепь и ее элементЫ. . . .'. .
,
1.1. Классификация электрических цепей и их элементов
,
1.2. Схема электрической цепи и элементы сх емы . . . .
r,/
1.3. Двухполюсные активные элементы ........,...
,
1.4. Двухполюсные пассивные элементы . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Основные уравнения цепей с, сосредоточенными параметрами
1.6. ТреХПОЛlOCные элементы цепей ............. .'
п:
67
67
68
74
77
82
84
Fлава 4. Алrебраические методы анализа цепей при установившемся'
режиме...........
4.1, Примеиение
равнений Кирхrофа . . . . . . . , . . . .
4.2. Применение узловых уравнеиий . . . . . . . . . . . . .
4..1. Применение уравнений с напряжениями ветвей дерева
4.4. Применение контурных уравнений .........
Fлава 5. Основные СВОЙС1l1а и преобразования электрических цепей
5.1. Валанс мощностей .........
к 5.2. Принцип наложения ........
5.3. Свойство (принцип) взаимности . .
5.4. Теорема о компенсации, линейиые соотношения между напряже-
ниями и токамн- . . . . . . , . . . . . . '-' .
85
85
91
95
100
106
106
108
.114
116
541
5..5. Теорема об эквивалентном ИСТОЧRике (активном двухполюснике)
5.б. Простейшие эквивалентные преобраЗ0вания схем
5.7. Преобразования схем при исключении узлов ..
5.8. Преобразования схем при исключении контуров
5.9. ПреобраЗ0ванне симметричных схем .......
[Jаздел третий
Свойства и методы расчета электрических цепей
с источниками rармонических а. д. с. и токов
Fлава б. Анализ переходных и установившнхся проuессов в про-
стейших
цепях . . . . . . . . . . . . . . 149
б.l. Синусоидальные (rармоннческие) напряжения и токи . . . . . 149
б.2. Поня'rие о reHepaTopax l'!lрмонической э. д. с. . . . . . . . . . 151
б.3. rаРМOI
ические токи в сопротивлении Т, индуктнвности L' и
емкости С . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 153
б.4. Цепь с сопротивлением r и ИНДУКТИВНОСТЬЮ L . , . . . . . 160
б.5. Цепи с сопротивлен.ием r и емкостью С . . . . . . . . . , . lб5
б.б. Цепи с сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С lб9
б.7.
Цепь с трансформатором. . . . . . . . . , . , . . , . . ; . . 178
б.8. Общие замечания по анализу rLC-цепей . . , . . . . . . . . 183
Стр.
123
126
12
13б
144
Fлава 7. .Установившиеся процессы в цепях с двухполюсными эл
-
ментами без взаимной индукции . . . . . . . . . . 185
7.1. Комплексные величины, характеризующие установившиеся про-
цессы в электрической uепи . . . . . . . . . , . . . . . . . . . 185
7.2. Энерrетические пропессы в цепи nepeMeHHoro тока. . . . , . 190
7.3. Уравнения состояния электрическнх депей с источниками rapMo-
нических э. д. с. и токов в комплексной (символической) форме.. 19б
7.4. Топоrрафические диаrраммы . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .. 201
7.5. Основные свойства н преобразования цепей с источниками rapMo-
, нических э. д. с. и токов . . . . . . . . . . . . . . . . .'" 203
7.б. Анализ цепей при изменении параметров ...,.....,..,. 205
7.7. Анализ резонансных явлений . . . . . . . . . . . . " . . . . .. . .. 212
7.8. Основные алrебраические выражения для входных и передаточиых
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 218
Fлава 8. Тополоrические методы анализа цепей, содержащих двух-
поЛюсные элементы без взаимной индукции , , . . . . . .. 223
8.1. Тополоrические формулы для расчета определителей матриц У3ЛО-
вых проводимостей и проводимостей сечений ........,... 223
8.2. Тополоrические формулы для расчета алrебраических дополнении
элементов узловоrо определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22б
8.3. Разложение узловоrо определителя и алrебраических дополнений
ero элементов . . . . . , . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
8.4. Тополоrическая формула для расчета передаточных функций (фор-
мула МЭЗ0на) .............................. 238
8.5. Тополоrические формулы для расчета KOHTypHoro определителя и
алrебраических дополнений ero элементов . . . . . . . , . . . . .. 244
8.6. Применение сиrнальных (направленных) rрафов к анализу электри-
ческих цепей ..........................,... 250
8.7, Построение Сиrнальных rрафов для электрической цепи . . . . .. 257
Fлава 9. Анализ процессов в цепях с в3аимной индукцией и электрон-
ными элементами (трехполюсниками) . . . . . . . . . . , .. 263
9.1. Простейшие цепи с взаимной индукцией . .
. . . . . . , . . . . ., 2б3
9.2. Трансформатор в Линейном режиме. Индуктивно связанные контуры 2б7
9.3. Разветвленные цепи с взаимной индукцией . . .' .' . . . . . . . .. 275
"AO
'
[лава 12. Цепи с распределенньiми параметрами ...........
12.1. Симметричная однородная цепочечная схема . . . . . . . . . . . .
12.2. Основиые уравнения для цепей с распределенными параметрами
12.3. Волны в линии при установившемся режиме. . . . . . . . . . . .
12.4. Установившиеся процессы в наrруженной, разомкнутой и KOpOTKO
замкнутой линиях с потерями . . . .
12.5. Линия без потерь . . . . . . . . . . .
12.6. Стоячие волны . . . . . . . . . .
. . . . . .
.
12,7. Линия без искажений; измерительная линия
Раздел четвертый
Основные свойства и методы расчета электрических цепей
с неraрмоническими периодическими напряжениями и токами
Стр.
279
284
293
300
300
304
309
313
317
319
324
324
324
328
330
335
336
338
342
346
346
347
350
352
356
362
367
"
9.4. Эквивалентные схемы и преобраЗ0вания цепей с взаимной индукцией
9.5. Расчет цепей с невзаимными элементами. . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Тополоrические формулы для расчета цепей с невзаимными эле-
ментами . . . . . . . . . .
,\'
Fлава 10. Мноrофазные цепи. . . . . . . . " . . . . . . .
10.1. Основные понятия и определения . . . . . . . . . '. .
10.2. Симметричные трехфазные цепи и методы их расчета
10.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей . . . .. ,. '.
10.4. Вращающееся маI'нитное поле; принцип действия асинхронноI'О
двиrателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Измерение мощности в трехфазных цепях .,......,..,.
.'
10.6. Основные понятия о методе симметричных составляющих ....
FЛGва 11. Мноrополюсники при синусоидальных токах и напряжениях
11.1. Определение мноrополюсников . . . . '.' . . . .
11.2. Основные уравнения четырехполюсников . . . . .
11.3. Определение коэффициентов четырехполюсника
11.4. Эквивалентные' схемы четырехполюсника . . . .
11.5. Режим четырехполюсника при наrрузке
. , . . . . , . . .
11,6. Основные уравнения и эквивалентные схемы актиiJноrо четырех-
полюсника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . .
11.7. Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи четы
рехполюсника .......... . . . . . .
',' . . . . . . .. "
11.8. [рафы четырехполюсников и их простейшие соединения .....
FЛGва 13. Анализ установИ8ШИХСЯ про!-{ессов в линейных цепях с не-
rармоническими периодическими источниками
13.1. rармонический анализ и разложение функций. . . . . . . . . . .
13.2. Расчет установившихся процессов в линейных цепях . . . . , , .
13.3. Особенности иесинусоидалыIыx режимов ........,.....
13.4. Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений;
коэффициенты, характеризующие форму кривых токов и напря. ,
жений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5. Мощность при несинусоидальиых токах и напряжениях .'....
13.6. Влияние индуктивности и емкости на форму кривых тока и напря
жения в разветвленной цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.7. Несинусоидальные режимы в симметричных мноrофазнЫх цепях
Fлава 14. Элементы теории электрических фильтров
14.1. Основиые поияrия и определения .
14.2. Симметричные реактивные фильтры
14.3. Фильтры типа k . . . . . . . .
14.4. Фильтры типа т .......
14.5. Еезындукциоииые rC-фильтры
370
370
373
374
.
377
378
379
382
385
385
387
391
399
404
543
Раздел пятый
Переходные процессы в Jlинейных цепях и методы их расчета Стр.
rлава 1'5. Анализ переходных процессов классическим методом и
M
TOДOM переменных состояния ............... 408
15.1. КлассичесКl
Й метод расчета Переходных процессов в разветвлен-
ных цепях ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
15.2. Переходные и импульсные характеристики цепей . . . . . , . . . 414
15.3. Раi!чет переходных процессов при воздействии источников э. д. с.
и тока произвольной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
15.4. Особенности расчета Переходных процессов в цепях с емкостными
коитурами и индуктивными сечениями .... '. . . . . . . . . . . 422
15.5. Основные положеjiИЯ метода переменных состояния . . . . . . . . 428
15.6. Составление дифференциальных уравнений состояния электриче-
скихцепей ...............................430
15.7. С;ПОСОQЫ решения уравнений состояния. . . . . . . . . . . . . . , 436
rлава 16. Применение преобразований Лапласа и Фурье к расчету.
переходных процессов . . . . . . . . . . . . . 442
16.1. ПреобраЗ0вания Лапласа. . . . . . , . . . . . . . . . . 442
16.2. Уравнения электрических цепей в операторной форме 449
16,3. Расчет переходных напряжений и токов операторным' методом . , 4.53
16.4. Расчет свободных и принужденных составляющих напряженнй i!
токов .................. . . . . . . . . . . . . . . . . 457
16.5. Приведение цепи к нулевым начальным условиям. . . . . . . . . 461
16.6. Преобразование Фурье и <шектральные. характеристики ..... 464
16.7. Применение преобраЗ0вания Фурье к расчету переходных про.
цессов . , . . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
16.8. Некоторые соотношения между временными и частотными характе-
ристиками цепи ................. 477
rлава 17. Переходные процессы в цепях с распределенными пара-
метрами ................ 480
17.1. Характер переходных процессов в цепях с распределенными пара-
метрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
17.2. Расчет напряжения прямой EOJ)HbI . . . . 484
17.3. Ток и наqряжение в конце линии . . . . 486
17.4. Расчет напряжения обратной волны. . . 488
17.5. Переход волн с одной линии на друrую. .. . . 492
17.6. Волны в линиях при включении и отключении ветвей 495
17.7. Формирование 'импульсов с помощью линий . . 499
17.8. Волны в линии без искажении. . . . . . . . 503
17.9. Процессы в кабеле без ИНДУКТНВНОСТИ и утечки 504
Раздел шестой
Элементы СИflтеза линейных пассивных цепей
с сосредоточеИИЫI\1И параметрами
rлава. !8. Свойства функций электрических непей 509
18.1. Задачи синтеза электрических цепей ....,. 509
18.2. Общие свойства схемных функций. '. . . . . . . . . 510
18.3. Свойства входных функннй LC-, ,С-, rL- и rLC-непей 516
18.4. Свойства функний четырехполюсников .' 522
rлава 19. Me
oды реализации двухполюсников и четырехпо,7ЮСНИКОВ 527
19.1. Нормирование параметров элементов электрических цепей. 527
19.2. Реализация двухполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
t 19.3. Реализация LC- и rC-четырехполюсников мостовой схемы . ... 535
f 19.4. Реализация LC- и rC-четырехполюсников цепочечной схемы
. . 537