/
Текст
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Том I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
Под редакцией проф. П. А. Ионкииа
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего -
специального образования СССР
в качестве учебникв
для студентов электротехнических
специальностей втузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОДА» 197S
6П2. 1
Til
УДК 621.3 (075.8)
Рецензент: докт. техн, наук, проф. Н. Г. Максимович
(Львовский государственный университет)
Нонкин Петр Афанасьевич, Даревский Александр Иосифович,
Кухаркин Евгений Степанович, Миронов Владимир Георгиевич,
| Мельников Николай Александрович |
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Т о м I.
Основы теории линейных цепей
Под ред. проф. П. А. Ионкина
Редактор Е. М. Романчук. Художественный редактор Т. М. Скворцова. Техник
ческий редактор Э. М. Чижевский. Корректор Г. И. Кострикова.
Т-02838. Сдано в набор I3/X-75 г. Подп. -к печати 6/II-7S г. Формат бОхЭО'Лв. Бум. тип.
М 3. Объем 34 печ. л. Усл. п. л. 34. Уч.-нзд. л. 32,21. Изд. № ЭР-193. Тираж 70 000 экз.
Цена 1 р. 23 к. Зак. 208
План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (вузы и техникумы) на 1976 г.
Позиция № 129
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объеди-
нение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпромз при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли, 197136, Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26.
Т II Теоретические основы электротехники. Т. I. Основы тео-
рии линейных цепей. Под ред. П. А. Ионкина. Учебник
для электротехн. вузов. Изд. 2-е, переработ. и доп. М.,
«Высш, школа», 1976.
544 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: П. А. Нонкин, А. И. Даревский, Е. С. Ку-
харкин и др.
Первый том книги подвергся существенной переработке, необходимой для
приближения содержания курса к современной практике расчета и проектирования
алектротехнических устройств. Изложение основных законов и методов расчета
цепей ведется с использованием матриц, топологических понятий и графов.
т 30306—135
001 (01)—76
129—76
6П2.1
© Издательство «Высшая школа», 1976,
ПРЕДИСЛОВИЕ
В течение последних десяти лет произошли значительные изме-
нения в содержании как специальных электротехнических, так и
общенаучных дисциплин, что в свою очередь привело к заметному
изменению программы курса «Теоретические основы электротех-
ники». В связи с этим авторы нашли целесообразным внести неко-
торые изменения не только в содержание предлагаемого учебника,
но и в методику изложения отдельных вопросов, глав и даже раз-
делов курса.
Для удобства читателей учебник разделен на- два тома. Мате-
риал первого тома «Основы теории линейных цепей» охватывает
примерно 2/3 программы курса ТОЭ. Материал второго тома «Осно-
вы теории нелинейных цепей»; «Основы теории электромагнитного
поля» соответствует остальной части программы того же курса.
Наиболее существенной переработке подверглись разделы учеб-
ника, в которых рассматриваются основы теории цепей; это выз-
вано значительным расширением применения в специальных и
базовых дисциплинах вычислительной техники.
Изложение основных законов и методов расчета цепей ведется
преимущественно с использованием матриц, топологических поня-
тий и графов, широко применяемых для расчетов на ЭВМ, и бази-
руется на знаниях, полученных студентами в курсах математики
и физики. Первый раздел «Основные понятия и соотношения для
электромагнитных полей и электрических цепей», имевшийся
в предыдущем издании учебника, исключен. Отдельные наиболее
существенные вопросы из этого раздела излагаются непосредствен-
но в тех главах, в которых они получают дальнейшее теоретичес-
кое применение.
Изложение основ теории цепей начинается с элементов и ос-
новных топологических свойств электрических цепей и схем;
вводятся понятия графов и подграфов, рассматриваются топологи-
ческие матрицы графа, некоторые свойства топологических мат-
риц, свойство дуальности. Во втором разделе излагаются основные
свойства и методы расчета линейных цепей с источниками постоян-
ных напряжений и токов. Здесь в отличие от первого издания
изложение начинается с классического метода анализа переходных
1»
3
и установившихся процессов в простейших цепях (гл. 3) и только
после этого подробно рассматриваются методы анализа установив-
шихся процессов и основные свойства электрических цепей про-
извольной конфигурации при постоянных напряжениях и
токах.
В третьем (основном) разделе теории линейных электрических
цепей рассматриваются свойства и методы расчета электрических
цепей с источниками гармонических напряжений и токов одина-
ковой частоты. Здесь изложение начинается также с классичес-
кого метода анализа переходных и установившихся процессов
в простейших цепях (гл. 6). Затем рассматриваются методы анали-
за установивц|ихся процессов в цепях с двухполюсными элемен-
тами без взаимной индукции, включая топологические методы
анализа и применение сигнальных (направленных) графов.
В главу об анализе процессов в цепях с взаимной индукцией
включены вопросы анализа схем с электронными невзаимными
элементами. .
Глава о многофазных цепях сокращена за счёт уменьшения
объема материала, связанного с методом симметричных составля-
ющих.
Четырехполюсники и многополюсники в отличие от предыду-
щего издания изложены полностью в разделе о синусоидальных
токах и напряжениях. В этот же раздел включены вопросы о ха-
рактеристических сопротивлениях и коэффициенте передачи четы-
рехполюсника, а также графы четырехполюсников и их примене-
ние для определения результирующих коэффициентов при прос-
тейших схемах соединения четырехполюсников. Расширена глава
об электрических фильтрах, в которой, кроме фильтров типа k,
изложены основные свойства фильтров типа т и безындукционных
фильтров.
В разделе о переходных процессах в линейных цепях, кроме
классического, операторного и частотного методов, изложены
основные положения и показано применение метода переменных
состояния. В главе о переходных процессах в цепях с распреде-
ленными параметрами рассмотрены волновые процессы при фор-
мировании импульсов, а также переходные процессы, протекаю-
щие в линии без искажения и в кабеле без индуктивности и утечки.
Шестой раздел посвящен элементам синтеза линейных элект-
рических цепей с сосредоточенными параметрами. В нем рассмот-
рены свойства функций электрических цепей, а также даны осни-
вы синтеза двухполюсных и четырехполюсных схем.
4
Процессы в нелинейных цепях изложены в седьмом и восьмом
разделах.
В седьмом разделе рассмотрены основные свойства и методы
расчета нелинейных электрических и магнитных цепей при пос-
тоянных токах и напряжениях; особенности режимов, основные
методы расчета нелинейных цепей при переменных токах и напря-
жениях; кроме того, проведен анализ установившихся процессов
в цепях переменного тока с различными нелинейными элементами.
В восьмом разделе изложены методы анализа переходных про-
цессов в нелинейных цепях и элементы теории автоколебаний.
Изложение основ теории электромагнитного поля начинается
в отличие от предыдущего издания с формулировки основных урав-
нений электромагнитного поля. Последующие главы помимо воп-
росов, предусмотренных программой курса, содержат решение
задач Сирла для цилиндрической поверхности раздела двух сред,
а также применение теории комплексного потенциала для расчета
полей на основе формулы Келдыша — Седова. Кроме того, рас-
смотрены приближенный расчет поверхностного эффекта и эффек-
та близости, а также плоские волны в гиромагнитных средах.
Из новых вопросов теории поля можно отметить:
а) применение метода интегральных уравнений для расчета
электростатических и магнитных стационарных полей;
б) приближенные методы расчета и моделирование полей (ме-
тод сеток, аналоговый метод и др.);
в) излучение квантовых генераторов (квантовый осциллятор,
индуцированное излучение, квантовые переходы и т. п.);
г) электромагнитное поле в магнитодиэлектриках;
д) электромагнитные явления в движущейся среде.
Многие разделы курса снабжены примерами, содержание ко-
торых органически увязано с излагаемым текстом.
Работа по написанию и переработке учебника распределена
между авторами следующим образом: гл. 1—9, 15, 16, 18, 19, при-
ложение I написаны проф. И. А. Ионкиным и-доц. В. Г. Мироно-
вым; гл. 10—14,20, в первом издании написанные проф. П. А. Ион-
киным и проф. |Н. А. Мельниковым!, во втором издании перерабо-
таны проф. П. А. Ионкиным и доц. В. Г. Мироновым; гл. 21—24
написаны проф. П. А. Ионкиным, доц. В. Г. Мироновым и доц.
Г. Г. Гусевым; гл. 17, 28 (кроме § 28.7), 30 (кроме § 30.1), 35
(кроме§35.1,35.4), § 27.15,27.16,29.19,32.5,33.5, приложение 11 —
доц. Е. С. Кухаркиным; гл. 25, 26, 27 (кроме § 27.15, 27.16), 29
(кроме § 29.19), 31,32 (кроме §32.5), 33 (кроме §33.5), 34, §28.7,
•5
ЗОЛ, 35Л, 35.4—доп. А. И. Даревским; введение к теории поля —
доц. Е. С. Кухаркиным и доц. А. И. Даревским; предисловие и
введение к учебнику — проф. П. А. Ионкиным, доц. Е. С. Ку-
харкиным и доц. В. Г. Мироновым.
В заключение авторы считают своим приятным долгом выра-
зить глубокую благодарность официальному рецензенту проф.
Н. Г. Максимовичу и доц. Л. А. Синицкому, внимательно просмот-
ревшим рукопись второго издания учебника и сделавшим ряд
ценных замечаний.
Все пожелания, замечания и отзывы о книге просьба направ-
лять по адресу: Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14. Издатель-
ство «Высшад школа».
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
В Программе КПСС указано, что электрификация, являющаяся
одним из стержней строительства экономики коммунистического
общества, играет ведущую роль в развитии всех отраслей народ-
ного хозяйства, в осуществлении современного научно-техничес-
кого прогресса. Одновременно со значительным ростом мощностей
электростанций в настоящее время строятся десятки тысяч кило-
метров высоковольтных магистральных и распределительных сетей
во всех районах страны. По мере удешевления производства атом-
ной энергии развертывается строительство атомных электростанций.
Все большее место в технологии производства занимают электро-
ника, полупроводниковая техника и ультразвук. Автоматизация
уже сейчас связана с широким применением кибернетики, электрон-
ных вычислительных и управляющих устройств в производствен-
ных процессах промышленности, строительной индустрии и тран-
спорта, в научных исследованиях, в плановых и проектно-конструк
торских расчетах и особенно в сфере учета и управления.
. Одной из важных задач коммунистического строительства,
решаемых в настоящее время, является электрификация сельско-
го хозяйства. Только на базе электричества оказалось возможным
широкое развитие новейших научно-технических направлений
в автоматике, телемеханике и радиоэлектронике, которые привели
к покорению космоса, разработке и применению нескольких поко-
лений вычислительных машин, возникновению и быстрому развитию
кибернетики.
Трудно представить жизнь современного человека без таких
важных проводников культуры, как электрическое освещение, кино,
радио, телевидение и т. д.
Широкое и разнообразное использование электрической энергии
объясняется тем, что она имеет огромные преимущества перед дру-
гими формами энергии. Электрическая энергия сравнительно
просто получается (из других форм энергии), передается на различ-
ные расстояния и преобразуется в другие формы энергии. Она может
существовать в самых различных количествах и использоваться
достаточно экономично. Всем известны такие устройства, как,
например, электрические лампы, электрические двигатели, электри-
ческие печи, электронагревательные приборы, электромагниты и т. п.
Электрической энергией могут приводиться в действие как самые
тонкие хирургические инструменты, так и самые мощные прокатные
станы (блюминги). Поэтому электрическая форма энергии до сего
времени является незаменимой для народного хозяйства.
Электромагнитные явления очень своеобразны, в большинстве
случаев их нельзя наблюдать непосредственно (без специальных
приборов). Обычно они протекают весьма быстро и связаны с рядом
7
сопутствующих явлений; однако, изучив свойства электромагнитных
явлений, ими можно сравнительно просто управлять.
Процессы, протекающие в различных электромагнитных устрой-
ствах, всегда зависят от свойств среды, в которой они наблюдаются
« исследуются.
Первые представления о свойствах среды вблизи заряженных
тел сложились еще в' глубокой древности, когда люди заметили,
что натертый .янтарь вызывает движение мелких предметов без
непосредственного соприкосновения с ними (на расстоянии). Позже
было обнаружено, что подобные явления имеют место и при отсут-
ствии между взаимодействующими зарядами вещества в какой
бы то ни было форме. На этой почве возникло представление, что
телам присуще свойство действовать на другие тела на расстоянии,
без участия промежуточных тел или сред и притом практически
мгновенно. Тёбрия дальнодействия, или действия на расстоянии,
открывала широкие возможности для мистических домыслов о при-
роде действующих сил и с самого начала была принята навоор ужение
философами-идеалистами. Против теории дальнодействия решитель-
но выступали не только философы-материалисты, но и ученые-естест-
воиспытатели. В частности, заслуга в объяснении электромагнитных
явлений на о’снове материалистической теории близкодействия
принадлежит М. В. Ломоносову. Согласно этой теории, сило-
вые взаимодействия между телами могут передаваться только при
наличии какой-нибудь среды, окружающей тела, с конечной ско-
ростью. Значительным шагом в утверждении материалистических
взглядов на электромагнитное поле явились работы Фарадея и
Максвелла. Попыткам дать трактовку электрических и магнитных
явлений с помощью таинственных невесомых веществ они противо-
поставили объяснение этих явлений деформациями и пертурбациями
в среде, заполняющей все межзвездное пространство и называемой
эфиром. Силовым линиям они придавали физическое значение как
линиям, показывающим направления натяжений и перпендикуляр-
ным к направлениям сжатий эфира. Однако на этой основе стройной
теории, пригодной для объяснения одновременно всех явлений
в электромагнитном поле, создать не удалось. И это было не слу-
чайно, так как электромагнитное поле качественно отличается от
механического движения. Бесплодность попыток свести электромаг-
нитное движение к механическому стала очевидной после опытов
Физо, Майкельсона и Марлея, показавших независимость скорости
света от скорости движущихся тел. Дальнейшее развитие электро-
магнитной теории Лоренц мог осуществить только отказавшись
от попыток найти какую-либо механическую модель поля. Это
дало повод многим ученым, не имевшим представления о диалекти-
ческом материализме, утверждать, что «материя исчезает; остаются
одни уравнения» или что «поле — это движение без материи».
В борьбе против попыток сделать идеалистические выводы из разви-
тия физики выдающаяся роль принадлежит В. И. Ленину. В работе
«Материализм и эмпириокритицизм» он дал принципиальное фило-
софское толкование этой проблемы, указав, что, поскольку бесспорно
8
установленной является объективность существования электромаг-
нитного поля, электромагнитное поле следует считать одним из
видов материи «...единственное «свойство» материи, с признанием
которого связан философский материализм, есть свойство быть
объективной реальностью, существовать вне нашего созна-
ния» * *.
Величины, характеризующие электромагнитные явления в раз-
личных электротехнических устройствах, обычно с большой сте-
пенью точности можно рассчитать заранее, в процессе наблюдения —
измерить и зарегистрировать, а при желании и смоделировать.
При этом расчет и проектирование, монтаж и эксплуатация электро-
технических установок, как правило, требуют весьма квалифици-
рованного персонала.
Электротехникойв широком смысле слова называется
обширная область практического применения электромагнитных
явлений.
Много открытий и изобретений наряду с иностранными учеными
сделали русские ученые и инженеры, положившие начало важней-
шим отраслям электротехники.-
М. В. Ломоносов кроме обоснования теории близкодействия
создал оригинальную теорию атмосферного электричества, открыл
закон сохранения массы и движения. После изобретения А. Воль-
том гальванического столба появилась возможность получать
электрический ток. Исследуя явления в электрической цепи,
В. В. Петров открыл (1802 г.) электрическую дугу и указал на
возможность практического применения ее для освещения, плавки
и сварки металлов.
Важную роль в развитии учения об электромагнитных явлениях
сыграл английский ученый М. Фарадей, открывший в 1831 г. закон
электромагнитной индукции.
В 1832 г. П. Л. Шиллингом был построен первый в мире электро-
магнитный телеграф.
В 1833 г. русский академик Э. X. Ленц открыл закон, устанав-
ливающий связь между направлениями индукционных токов и
их электромагнитными и электродинамическими взаимодействиями.
В частности, им был установлен принцип электромагнитной инерции.
В 1844 г. он независимо от Д. Джоуля установил, что количество
тепла, выделяющегося в проводнике при прохождении тока, прямо
пропорционально сопротивлению проводника и квадрату тока.
В 1845 г. немецким физиком Г. Кирхгофом были сформулированы
основные законы для разветвленных электрических цепей, имеющие
огромное значение для развития теоретической и практической
электротехники.
Изобретенная русским ученым П. Н. Яблочковым электрическая
свеча положила начало электрическому освещению. Первая лампа
накаливания с угольным стерженьком была создана русским инже-
нером А. Н. Лодыгиным.
* В, И. Ленин. Собр. соч., изд. 5-е, т. 18, стр. 275.
*
9
Из других русских ученых второй половины XIX столетия
необходимо отметить А. Г. Столетова, впервые подробно исследо-
вавшего магнитные свойства железа, и Н. А. Умова, заложившего
основы для вывода уравнений движения электромагнитной энергии
в телах.
Таким образом, за период с 1800 по 1880 г. в тесной связи с раз-
витием прикладной электротехники и, в частности, с телеграфией,
гальванопластикой и техникой электрического освещения развива-
лась теория цепей постоянного тока. За этот период были установ-
лены основные понятия теории электрических цепей и созданы
первые методы их расчета.
Начало применению переменного тока положил в 1876 г. П. Н. Яб-
лочков. Переменный ток обеспечивал равномерность сгорания
углей в его свече и давал возможность легко осуществлять питание
многих ламп от одного источника электрической энергии.
Расширение потребления электрической энергии выдвинуло
проблему передачи ее на значительные расстояния. Для решения
этой проблемы требовалось применение различных напряжений
для передачи и распределения электрической энергии. Эта задача
легко разрешалась для переменного тока путем применения транс-
форматоров, изобретенных также 'П. Н. Яблочковым.
Переменный ток получил всеобщее признание и широчайшее
использование в электроэнергетике благодаря изобретениям рус-
ского инженера и ученого М. О. Доливо-Добровольского. Им была
разработана трехфазная система, получившая повсеместное рас-
пространение. В 1889 г. он построил первый трехфазный двигатель,
разработал все остальные звенья трехфазной цепи и в 1891 г. осу-
ществил передачу электрической энергии трехфазным током на
расстояние 175 км. Применение переменного тока требовалорешения
многих вопросов и послужило основанием для разработки целой
области теоретических основ электротехники — теории переменных
токов. Особенно значительным в развитии этой теории было введение
крупным электротехником Ч. П. Штеймецом метода комплексных
величин для расчетов цепей.
Наряду с необходимостью решения теоретических задач, отно-
сящихся к электрическим и магнитным цепям, практическая элект-
ротехника выдвинула задачи по расчету электромагнитных полей.
Конструирование электрических машин и электромагнитных аппа-
ратов требовало расчета магнитных полей. Создание’ надежной
изоляции токоведуших частей приводило к необходимости расчета
электрических полей.
В 1873 г. английский ученый Д. Максвелл в классическом труде
«Трактат о электричестве и магнетизме» изложил в математической
форме основы теории электромагнитного поля, представляющей
собой, как было отмечено, расширение и дальнейшее развитие
идей М. Фарадея о физической реальности электромагнитного поля.
Экспериментальное подтверждение и развитие тео'рии электромаг-
нитного поля, разработанной Д. Максвеллом, было осуществлено
немецким физиком Г. Герцем в 1887—1889 гг. в его опытах по полу-
10
•ченню и распространению электромагнитных ноли, а также русским
физиком П. Н. Лебедевым, доказавшим давление световых волн.
В 1895 г. А. С. Попов изобрел радиосвязь, открывшую новую
эру в культурной жизни человечества. Развитие радио послужило
мощным толчком к разработке как теории электрических цепей,
так и теории электромагнитного поля. В 1904 г. в Петербургском
политехническом институте проф. В. Ф. Миткевич начал читать курс
«Теория электрических и магнитных явлений», а в 1905 г. в Москов-
ском высшем техническом училище проф. К. А. Круг — курс «Тео-
рия переменных токов», который был .издан в 1906 г. Первой книгой
в России, в значительной мере охватывающей весь комплекс воп-
росов теоретических основ электротехники, была изданная в 1916 г.
книга К. А. Круга «Основы электротехники».
Следовательно, в развитии электротехники можно отметить
второй этап <1880—1917), характеризующийся формированием
самостоятельной дисциплины «Теоретические основы электротех-
ники».
Следует иметь в виду, что при расчетах многих электротехни-
ческих установок встречаются весьма большие трудности, связан-
ные с необходимостью идеализации задач в процессе их математи-
ческой постановки. Такая идеализация может быть выполнена только
на основе определенного опыта, уже имеющихся методов расчета
и некоторых допущений, для которых подчас требуется дополнитель-
ная экспериментальная проверка. Это особенно' важно, так как
практически наиболее желательны простые методы расчета.
Возможны два принципиально различных подхода к решению
электротехнических задач и рассмотрению электромагнитных яв-
лений: 1) с использованием интегральных величин, характери-
зующих работу устройства в целом; 2) с применением дифферен-
циальных понятий, характеризующих состояние того или иного
материала в разных местах устройства. Так например, расчет элект-
рической цепи, в которую включены различные приемники электри-
ческой энергии (лампы, двигатели), может заключаться в определе-
нии токов в проводах и напряжений на зажимах приемников, а
расчет изолирующей конструкции — в определении напряженности
электрического поля в отдельных местах диэлектрика. Первому
аспекту задачи отвечает теория цепей; второму — теория электро-
магнитного поля. Иногда для одной и той же установки приходится
решать задачи обоими методами. Физически более общей и детальной
является задача, формулируемая в теории электромагнитного поля.
Однако, как правило, ее можно решить только в отдельных частных
случаях. Кроме того, постановка такой задачи нередко не является
необходимой, так как, во-первых, изучаемое явление во всех деталях
можно не рассматривать и, во-вторых, оно достаточно полно харак-
теризуется задачей, формулируемой в теории цепей.
В основе теории цепей лежат законы Ома и Кирхгофа, в простей-
шем виде известные из курса физики, в основе теории электромаг- .
нитного поля — уравнения Максвелла, дающие математическую
формулировку электромагнитных процессов в пространстве. Основ-
•
11
ной математический аппарат, используемый в этих разделах элект-
ротехники, различный. Если в теории цепей используется система
алгебраических (при рассмотрении установившихся режимов) или
дифференциальных (при рассмотрении переходных процессов) урав-
нений, то в теории электромагнитного поля — уравнения математи-
ческой физики, т. е. дифференциальные уравнения в частных произ-
водных. Известны случаи, когда решения задач электротехники
приводили к необходимости дальнейшего развития математических
методов (функции комплексного переменного, операционное ис-
числение, теория информации и т. д.).
В течение последних десятилетий теоретические основы электро-
техники получили дальнейшее развитие не только в пределах того
же курса, но и в ряде специальных дисциплин, таких, как «Основы
теории связи», «Основы радиотехники», «Теория электрических
машин», «Теория электрических сетей» и др. В специальных дис-
циплинах задачи теоретической электротехники рассматриваются
применительно к конкретным установкам. В теоретических осно-
вах электротехники они имеют самую общую постановку, без дета-
лей, требующих специальной подготовки.
Таким образом, курс теоретических основ электротехники яв-
ляется базовым для всех специальных электротехнических дис-
циплин.
Качественные и количественные стороны исследуемых электро-
магнитных явлений и процессов находятся в неразрывной связи.
Поэтому изучение курса теоретических основ электротехники
в высшей школе, как было отмечено, основывается на знаниях, полу-
ченных из курсов физики и математики. Эти знания в курсе теорети-
ческих основ электротехники расширяются и развиваются в направ-
лении разработки методов анализа, расчета и экспериментального
исследования явлений и процессов, протекающих в электрических
и магнитных цепях и в электромагнитных полях.
Как при исследовании физических процессов в цепях, так и при
изучении электромагнитных полей единственным научным методом
познания является диалектический метод: «От живого созерцания
к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалекти-
ческий путь познания истины,, познания объективной реальности» *.
Следует отметить, что по мере дальнейшего развития техники
каждый инженер в процессе творческой деятельности может встре-
титься со многими новыми задачами, не отраженными в данном
курсе. Поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы при изучении
материала курса получить наибольшую самостоятельность в решении
практических задач. В курсе теоретических основ электротехники
рассмотрены решения лишь типовых задач, систематизированных
на основе имеющегося опыта. За истекший период указанный курс
неоднократно дополнялся и, несомненно, будет дополняться в даль-
нейшем новыми задачами и теориями.
* В. И. Ленин. Собр. соч., изд. 5-е, т. 29, стр. 152, 153.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ЭЛЕМЕНТЫ И ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ГЛАВА 1
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 1.1. Классификация электрических цепей и их элементов
• Электрической цепью называют совокупность уст-
ройств и объектов, предназначенных для распределения, взаимного
преобразования и передачи электрической и других видов энергии
и (или) информации. Свое назначение цепь выполняет при наличии
в ней электрического тока. Электромагнитные процессы в цепи и ее
параметры могут быть описаны с помощью известных из курса
физики интегральных понятий: ток, напряжение (разность потенциа-
лов), заряд, магнитный поток, электродвижущая сила, сопротивле-
ние, индуктивность, взаимная индуктивность и емкость.
В отличие От электрической цепи электромагнитные процессы
в ряде электротехнических устройств характеризуются дифференци-
альными понятиями: вектор напряженности'электрического поля и
вектор электрического смещения, вектор напряженности магнитного
поля и вектор магнитной индукции, плотность заряда и вектор плот-
ности тока, удельная -электрическая проводимость и др. Анализ
устройств, процессы в которых описываются с помощью дифферен-
циальных понятий, рассматривают в теории электромагнитного
поля.
Следует отметить, что именно в теории поля дается определение
интегральных понятий (таких, как ток и напряжение), характери-
зующих электрическую цепь. Расчет параметров цепи (сопротивле-
ний, индуктивностей, емкостей) в общем случае также возможен
только с помощью понятий, используемых в теории поля.
В некоторых случаях одно и то же устройство можно анализиро-
вать и методами теории цепей, и методами теории поля. Например,
линия передачи электрической энергии может рассматриваться
как цепь с распределенными параметрами или как направляющая
система для электромагнитного поля. Выбор того или иного метода
зависит от конкретных целей анализа, необходимой точности
и других факторов.
Электрическая цепь состоит из отдельных частей (объектов),
выполняющих определенные функции и называемых э л е ме н-
тами цепи.
Основными элементами цепи являются источники и приемники
электрической энергии (сигналов).
13
Источники энергии (сигналов), такие, как электромеханические
или электронные генераторы, аккумуляторы, гальванические эле-
менты, термодатчики и т. д., предназначены для преобразования
различных видов энергии в электрическую энергию.
Приемники энергии (сигналов) служат для преобразования
электрической энергии в другие виды энергии. К ним относятся
электрические двигатели, нагревательные приборы, электрические
лампы, электронно-лучевые трубки, динамические громкоговори-
тели и др.
Кроме основных элементов, цепь содержит различные вспомо-
гательные элементы, которые связывают источники с приемниками
(соединительные провода, линии передачи), подавляют или усили-
вают определенные составляющие сигналов (фильтры, усилители),
изменяют уровень напряжения и тока в других частях цепи (транс-
форматоры), улучшают или изменяют характеристики и параметры
участков цепи и ее элементов: (корректирующие устройства, фазовые
звенья) и т. п.
По- назначению различают цепи для передача и преобразования
электрической энергии (цепи, применяемые в электроэнергетике)
и цепи для передачи и. преобразования информации (цепи в технике
связи, радиотехнические цепи, цепи устройств автоматики и теле-
механики и т. д.).
Цепи можно классифицировать по типу элементов, из которых они
состоят, например, резистивные цепи —цепи, состоящие из резис-
торов и источников энергии, электронные цепи — цепи, содержащие
электронное лампы и транзисторы, и т. д.
У каждого элемента цепи можно выделить определенное число
зажимов (полюсов, выводов), с помощью которых он соединяется
с другими элементами.
Различают двухполюсные и многополюсные (трехполюсные, четы-
рехполюсные и т. д.) элементы цепи. Двухполюсные элементы имеют
два зажима; к ним относятся источники энергии (за исключением
многофазных и управляемых источников), резисторы, конденсаторы,
индуктивные катушки.
Наиболее распространенные трехполюсные элементы — это элек-
тронные лампы (вакуумные триоды) и транзисторы (полупровод-
никовые триоды).
Примерами четырехполюсных элементов могут служить транс-
форматоры (двухобмоточные), индуктивные катушки с подмагничи-
ванием, (дроссели с подмагничиванием), интегральные операционные
усилители.
Элементы Цепи, имеющие более четырех зажимов, также находят
применение (например, многообмоточные трансформаторы, различ-
ные микромодули — твердотельные компоненты электронных
схем, многоэлектродные электронные лампы). Различают
активные и пассивные элементы цепи. К активным элементам отно-
сятся источники энергии. Часто активными элементами называют
также электронные лампы, транзисторы, операционные усилители,
которые способны усиливать электрические сигналы. К пассивным
14
относят элементы, в которых рассеивается и (или) накапливается
энергия (резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, транс-
форматоры).
Реальные элементы цепи могут быть описаны алгебраическими
или дифференциальными уравнениями, связывающими напряжения
и токи на зажимах этих элементов. Такое описание может быть
сделано с определенной степенью точности при идеализации физи-
ческих процессов в элементах; второстепенные с определенной точки
зрения процессы при этом не учитываются.
Если элемент цепи характеризуется линейными алгебраическими
или дифференциальными уравнениями (при упомянутой ранее
идеализации), то его называют линейным. Коэффициенты,
связывающие напряжения и токи и их производные, представляют
собой параметры элемента. Параметры линейного элемента могут
быть постоянными (стационарный элемент) или могут изменяться
в зависимости от времени по какому-либо закону (нестационарный,
параметрический элемент).
Если элемент цепи описывается нелинейными алгебраическими
или дифференциальными уравнениями, то он называется нелиней-
ным. Нелинейные элементы могут быть также параметрическими.
Во многих случаях параметры элемента. рассматриваются как
сосредоточенные (элемент с сосредоточенными параметрами); при
этом напряжения и токи на зажимах элемента не являются функ-
циями пространственных координат, определяющих геометрические
размеры элемента. Параметры элемента могут быть также распре-
деленными (элемент с распределенными параметрами); такой элемент
характеризуется уравнениями, в которых напряжения и токи зави-
сят от пространственных координат. В качестве примеров элементов
с распределенными параметрами можно назвать линии передачи
энергии и информации, многослойные пленочные резистивно-емкост-
ные микроструктуры.
Элементы электрической цепи могут удовлетворять или не
удовлетворять принципу взаимности *. В соответствии с этим раз-
личают взаимные и невзаимные' элементы. Примеры взаимных
элементов — резисторы, индуктивные катушки, конденсаторы, тран-
сформаторы; к невзаимным элементам относятся электронные лампы,
транзисторы и др.
Цепи, содержащие только линейные элементы, называют ли-
нейными цепями. Основное свойство таких цепей — примени-
мость принципа наложения, заключающегося в том, что результирую-
щая реакция линейной цепи на несколько прилаженных одновременно
возмущений равна сумме реакций, обусловленных каждым возмуще-
нием в отдельности.
Если цепь содержит один или несколько параметрических эле-
ментов, то ее называют параметрической (нестационарной).
* Упрощенно принцип взаимности состоит в следующем: реакция цепи
на участке 1 от возмущения на участке 2 равна реакции на участке 2 от
такого же возмущения на участке 1. Математическая формулировка этого
принципа и его иллюстрации даны ниже.
15
Аналогично, если цепь содержит один или более нелинейных эле-
ментов, то ее называют нелинейной. Для нелинейной цепи
в общем случае неприменим принцип наложения.
Цепь, содержащую элементы с сосредоточенными параметрами,
называют цепью с сосредоточенными параметра-
м и. Цепь, содержащую элементы с распределенными параметрами,
называют цепью сраспределенными параметрами.
Строго говоря, любая электрическая цепь представляет собой
цепь с распределенными параметрами, зависящими от режима цепи',
т. е. является нелинейной. Однако во многих случаях из-за большой
скорости электромагнитных процессов изменения напряжений и
токов, происшедшие на одном участке цепи, одновременно вызывают
определенные изменения и на всех остальных участках цепи; зави-
симость параметров цепи от ее режима часто несущественна. Таким
образом, во многих случаях реальные электрические цепи можно
рассматривать как линейные цепи с сосредоточенными парамет-
рами.
Цепи, содержащие только взаимные элементы, называют вза-
имными (цепи, состоящие из резисторов, конденсаторов, индук-
тивных катушек, трансформаторов и источников энергии). Если
в цепи имеются невзаимные элементы, то цепь называют н е в з а -
и мн ой (цепи с электронными лампами, транзисторами, опера-
ционными усилителями).
Можно говорить также об активных и пассивных цепях. Цепь
считают активной, если по отношению к некоторым зажимам
она является источником энергии. Такая цепь содержит активные
элементы. В противном случае цепь называют пассивной.
§ 12. Схема электрической цепи и элементы схемы
Электрическая цепь характеризуется' совокупностью элементов,
из которых она состоит, и способом их соединения.
Как уже отмечалось, реальные элементы цепи идеализируются
для упрощения математического описания элемента. Однако идеали-
зированные уравнения должны правильно отражать основные
физические явления в том или ином реальном элементе.
Идеализированному элементу цепи ставят в соответствие его
математическую модель — схемный элемент. Уравнения, описы-
вающие схемный элемент, идентичны идеализированным уравнениям
реального элемента электрической цепи. Схемные элементы могут
быть введены и как математические абстракции; при этом они
необязательно должны соответствовать каким-либо реальным эле-
ментам цепи. Однако любой реальный элемент цепи с необходимой
степенью точности можно представить с помощью одного или сово-
купности схемных элементов, соединенных определенным образом.
Такую совокупность схемных элементов (в частном случае один
схемный элемент) называют схемой замещения или экви-
валентной схемой элемента электрической цепи при условии
совпадения уравнений, описывающих эту схему и элемент цепи.
16
Каждому схемному элементу соответствует условное геометри-
ческое изображение. Тогда способ соединения элементов реальной
цепи легко представить с помощью соответствующего соединения
схемных элементов. Геометрическое изображение соединения схем-
ных элементов, отображающее _ соединение реальных элементов
электрической цепи и ее свойства, называют схемой цепи.
В схеме выделяют ветви — участки, которые характеризуются
одним и тем же током в начале и конце в любой момент времени,
и узлы — граничные (концевые) точки ветвей. Напряжение ветви
тождественно разности потенциалов ее узлов *.
Ветвям и узлам схемы, как правило, соответствуют ветви и узлы
реальной цепи. В схемах электрических цепей, содержащих много-
полюсные элементы, некоторые узлы и ветви могут не отображать
узлы и ветви цепи. Кроме того, некоторые ветви схемы вводят для
учета конструктивных и монтажных параметров цепи (например,
паразитных емкостей между зажимами элемента, емкостей монтажа,
индуктивностей выводов).
Применительно к электрической цепи ветвь часто определяют
как участок цепи, в любом сечении которого ток имеет одно и то же
значение в данный момент времени, а узел — как «место» соединения
ветвей.
§ 1.3. Двухполюсные активные элементы
• Любой двухполюсный элемент схемы может быть условно пред-
ставлен так, как показано на рис. 1.1. Зажимы 1 и 2 присоединяют
данный элемент к другим элементам. Напряжение между этими
зажимами и ток элемента обозначены со-
ответственно через и, i. Напряжение из- z ---------------------
меряется в вольтах (В), ток — в амперах (А).
Стрелки без просвета (с просветом) опреде-
ляют положительные направления напря- и
жения (тока). п
Напряжение и и ток i в общем случае
представялют собой функции времени й ^0------
и = и (fy, i — i (/). i
Для любого фиксированного момента Рис. 1.1
времени напряжение и ток могут быть
положительными, отрицательными или равными нулю. Положи-
тельное направление выбирают для того, чтобы придать знакам
напряжения и тока определенный смысл".
Напряжение и (рис. 1.1) отождествляют с разностью потенциа-
лов на зажимах 1 и 2, т. е.
w = Ф1 — <р2.
* Ветви и узлы схемы—топологические понятия (см. гл. 2).
47
Если для какого-либо момента времени напряжение и > О
(и < 0), то это означает, что потенциал узла 1 больше (меньше)
потенциала <рв узла 2 *.
Положительное направление напряжения можно указать двой-
ным индексом. Так, на рис. 1.1 в качестве положительного направ-
ления выбрано направление напряжения w12. При этом
Ы12 ~ Ы21»
Ток i равен скорости изменения заряда q, переносимого заряжен-
ными частицами через поперечное сечение участка цепи, т. е.
i = dqldt.
В общем случае заряд q представляет собой сумму заряда </+,
переносимого положительно заряженными частицами, и абсолют-
ной величины заряда </_, переносимого отрицательно заряженными
частицами. Величина, заряда измеряется в кулонах (Кл). За направ-
ление тока принимают направление перемещения положительно
заряженных частиц, или, что то же самое, направление, противопо-
ложное направлению перемещения отрицательно заряженных
частиц. Если цри указанном положительном направлении в неко-
торый момент времени ток i > 0 (i < 0), то это означает, что направ-
ление тока совпадает с положительным направлением (противопо-
ложно положительному направлению).
Положительное направление напряжения и тока выбирают
произвольно. Любые соотношения, характеризующие взаимо-
связь между напряжениями и токами элемента (схемы в целом),
имеют смысл лишь для выбранных положительных направлений.
У двухполюсного элемента ток через поперечное сечение провод-
ника у зажима 1 равен току через поперечное сечение проводника
у зажима 2 (при учете соответствующих направлений). Поэтому
в дальнейшем ток двухполюсника будет указываться на схеме
только один раз.
Для принятых на рис. 1.1 положительных направлений напря-
жения и тока произведение ui выражает мгновенную мощность,
потребляемую двухполюсником:
р (t) =и (/) i (t).
Мощность характеризует скорость изменения энергии W (/), т. е.
Энергия, поступившая в цепь,
t t
W (0 = J p (т) dx = § и (т) i (t) dx,
—co —co
где т — переменная интегрирования.
* Потенциал любого узла схемы отсчитывается относительно некоторой
точки^ потенциал которой принимается равным нулю.
18
Если для любого момента времени t энергия W (f) 0, то
соответствующий двухполюсный элемент является потребителем
энергии и называется пассивным.
Активный двухполюсник генерирует энергию. Для такогодвух-
полюсника W (/) < 0.
Если на рис. 1.1 изменить положительное направление тока на
противоположное, то интеграл
t
W(t) = $ и (т) i (х) dr
— со
будет определять генерируемую энергию. В этом случае W (t) > 0
соответствует источнику (активному двухполюснику), aW (t) 0 —
потребителю энергии (пассивному двухполюснику).
Реальным источникам энергии можно поставить в соответствие
двухполюсные схемные элементы: источник э. д. с. (напряжения)
и источник тока.
Источник э. д. с. Источник э. д. с. (напряжения) характери-
зуется величиной э. д. с. е (/), равной напряжению, т. е. разности
потенциалов на зажимах при отсут-
ствии тока через источник. Э. д. с.
определяют как работу сторонних сил,
присущих источнику, на перемещение
единичного положительного заряда
внутри источника от зажима с мень-
шим потенциалом к зажиму с большим
потенциалом.
Напряжение и (/) на зажимах
реального источника э. д. с. зависит
от тока через источник. Если этой
зависимостью можно пренебречь, т. е. если напряжение на за-
жимах источника равно э. д. с. при любом токе через источник
и (I) = е (/), то источник э. д. с. называют идеальным. Обо-
значение идеального источника э. д. с. дано на рис. 1.2, а\ стрелка
внутри кружка указывает положительное направление действия
сторонних сил в источнике (положительное направление э. д. с.).
Источник, у которого э. д. с,
е (/) == S = const,
называют источником постоянной э. д. с. В противном
случае источник называют источником переменной
э. д. с. У источника постоянной э. д. с., изображенного на схеме,
начало (конец) стрелки, указывающей положительное направление
э. д. с. <S > 0 (рис. 1.2, а), соответствует отрицательному (положи-
тельному) зажиму. Возможно также изображение источника посто-
янной э. д. с., показанное на рис. 1.2, б.
Зависимость напряжения и на зажимах реального источника
от тока i через источник может быть различной. В простейшем слу-
чае у источника постоянной э. д. с. эта зависимость выражается
19
Рис. 1.3
уравнением
u = <? —rBi. (1.1)
s>
Уравнению (1.1) соответствует схема замещения источника на
рис. 1.3. В этой схеме элемент гЕ, последовательно соединенный
с идеальным источником, э. д. с. <§, называют внутренним
сопротивлением источника и характеризуют соотношением
нв = rEi.
Таким образом, в уравнении (1.1) учитывается падение напряже-
ния на внутреннем сопротивлении источника: напряжение и на
зажимах реального источника меньше э. д. с. на
величину падения напряжения во внутреннем
сопротивлении. Идеальный источник э. д. с.
имеет гв = 0.
График зависимости (1.1) показан на рис.
1.4, а. Ток
iK3 =
— это ток короткого замыкания источника, т. е.
ток при напряжении на зажимах и = 0.
Зависимости и (t) для реальных источников,
называемые внешними характери-
стиками, отличаются от линейной зависи-
мости на рис. 1.4, а. Пример внешней характе-
ристики реального источника постоянной э. д. с. дан на рис. 1.4, б;
в определенном диапазоне изменения тока эта характеристика близ-
ка к линейной и описывается уравнением (1.1).
У источников переменной э. д. с. с напряжением и (/) напряже-
ние во внутреннем сопротивлении в некоторых случаях определяют
как ив == rBi. Тогда схема замещения источника аналогична схеме
на рис. 1.3.
Источник тока. В отличие от источника э. д. с. источник
тока характеризуется током i (t) при короткозамкнутых зажимах
(при отсутствии напряжения на зажимах источника). Если ток
источника не зависит от напряжения, т._е. i (t) — J(t) для любых
напряжений на зажимах, то источник тока называют идеаль-
н ы м. Обозначение идеального источника тока приведено на рис. 1.5.
20
Двойная стрелка с разрывом в кружке показывает положительное
направление -тока источника тока.
Если J(f) = const, то источник называют источником п о -
стоянного ток а; в противном случае — источником п е р е -
менноготока.
Ток i реального источника энергии зависит от напряжения и
на его зажимах. Так, из уравнения (1.1)
i = Лв) - («Лв) = J~gBu, (1.2)
где J = SjrB, gB = 1//в — внутренняя проводимость.
Уравнению (1.2). соответствует схема замещения на рис. 1.6.
В этой схеме элемент gB, параллельно соединенный с идеальным
источником J, называют --------—&
внутренней проводи-
мостью и характеризуют
соотношением iB — gBu.
Идеальный источник тока
имеет gB = 0.
Схема замещения реаль-
ных источников переменного
тока в ряде случаев может
быть представлена схемой,
аналогичной схеме на рис. 1.6.
Эквивалентность источни-
20 1—--------0
Рис. 1.5 Рис. 1.6
ков. Можно говорить о двух
схемах замещения реального источника электрической энергий
(рис. 1.3 и 1.6). Эти схемы эквивалентны, если J = S/rB,gB = 1/гв,
т. е. при одном и том же напряжении и (токе i) токи i (напря-
жения м) этих схем одинаковы.
Докажем активность источников, схемы которых приведены
на рис. 1.3 и 1.6. Так, для положительных направлений напря-
жений и токов на рис. 1.3 энергия, отдаваемая источником,
t t
W (t) = J и (т) i (т) dx — J (^ — rBi) idx —
—co — CO
t t
= J Sidx— rBi?dx.
—co —co
У источника м>0, i>0 и, следовательно, отдаваемая энер-
гия W (I) > 0. Слагаемое § Sidx характеризует энергию, гене-
— СО
t
рируемую идеальным источником э. д. с.; слагаемое § rBizdx
' —со
соответствует энергии, рассеиваемой на внутреннем сопротивле-
нии источника. г
Если при положительных направлениях, принятых на рис. 1.3,
«>0, /СО, то lF(/)<0, т. е. энергия потребляется. Такой
21
случай возможен, например, при зарядке аккумулятора, когда
аккумулятор является потребителем энергии.
Энергия, отдаваемая источником на рис. 1.6,
t t
W(t) = § и (т) i (т) dx = § (J— gBu)udx =
—co —co
t t
= § Judx— gsu2dx.
— co —co
t
Слагаемое \ определяет энергию, генерируемую иде-
—со
t
альным источником тока; слагаемое J gBu2dx характеризует по-
— со
тери энергии, обусловленные внутренней проводимостью источ-
ника.
Эквивалентные источники (рис. 1.3 и 1.6) по отношению
к внешним зажимам генерируют одинаковую энергию. Энергия,
отдаваемая идеальными источниками э. д. с. и тока, для этих
схем различна. Действительно,
Si -ф Ju,
так как Si = (JrB) i; Ju —J i^iB.
В дальнейшем, если нет оговорки, под источниками э. д. с.
и тока понимают идеальные источники.
§ 1.4. Двухполюсные пассивные элементы
Основными двухполюсными пассивными элементами схемы
являются резистивный (сопротивление или проводимость), индук-
тивный и емкостный элементы.
Резистивный элемент. Двухполюсный элемент, характери-
зуемый зависимостью u = u(i) или i (и) (см. рис. 1.1), называют
резистивным элементом — сопротивлением или проводимостью.
Зависимость и (Г) или i(и) называют вольт-амперной харак-
теристикой такого элемента *.
В общем случае вольт-амперная характеристика нелинейна.
Например, на рис. 1.7, а, б показаны две нелинейные характе-
ристики, которые могут иметь реальные элементы — полупровод-
никовые диоды различных типов. Элементы с нелинейными зави-
симостями и (i) или i (и) характеризуются нелинейными сопро-
тивлениями или проводимостями.
Если зависимость и = и (i) представляет собой 'прямую ли-
нию, то сопротивление (проводимость) называют линейным
(рис. 1.7, в). Обозначение такого сопротивления дано на рис. 1.8.
* Все характеристики, рассматриваемые в данном параграфе, представляют
собой статические характеристики, т. е. характеристики, полученные при
достаточно медленном изменении во времени соответствующих величин.
22
Линейное сопротивление описывается соотношением (закон Ома)
нг = п’, (1.3)
или
i = gu„ (1-4)
где г — сопротивление; g = 1/г — проводимость.
Сопротивление г > 0 — пассивный элемент. Энергия, поступа-
ющая в данный элемент,
t t
W (/) = § и (т) i (т) d% = г § i2 (т) di > 0.
—со . —со
Эта энергия преобразуется в тепловую энергию (необратимо
рассеивается). При этом мощность р = i2r (закон Джоуля —Ленца).
Сопротивление г как элемент схемы соответствует элементу
цепи — резистору, если последний идеализируется.
Резистор представляет собой, например, проводящий одно-
родный цилиндр длиной I и поперечным се-
чением S (рис. 1.9). Проводящие свойства
материала цилиндра характеризуют удель-
ной проводимостью о.
20
Рис. 1.9
Рис. 1.8
По определению,. напряжение между точками 1 и 2
2 _
u — ^Edl,
1
где Е — вектор напряженности электрического поля;
ток ,
i=$6dS,
s
23
где 6 — вектор плотности тока проводимости. Если ток равно-
мерно распределен по сечению, а вектор Е одинаков по длине,
сопротивление <-
г = и/i — EI/8S.
По закону Ома в дифференциальной форме
8 — gE-, & = <jE.
Следовательно,
r = l!cS-, g = cS/l.
При переменном токе сопротивление цилиндра увеличивается
за счет неравномерного распределения тока, получающегося
вследствие поверхностного эффекта и эффекта близости.
Индуктивный элемент. Двухполюсник (см. рис. 1.1) может
характеризоваться зависимостью 4f (i) или i (Т), где
Чг= \ u(x)dx
называют потокосцеплением. При этом напряжение на
зажимах двухполюсника
Зависимость Т(i) называют вебер-амперной характе-
ристикой. Потокосцепление измеряется в веберах (Вб).
Если элемент характеризуется зависимостью Т (г) или i (V),
то его называют, индуктивным элементом (индуктивностью).
Так же как и в случае резистивного элемента, различают
нелинейные и линейные индуктивные элементы. Нелинейная
характеристика Т (i) дана на рис. 1.10,а, линейная —на
рис. 1.10, б.
У линейного индуктивного элемента потокосцепление линейно
зависит от тока:
¥=£i. (1.5)
24
ВеличинуL — ^/i называют индуктивностью. Индуктив-
ность измеряется в генри (Г). Обозначение линейной индуктив-
ности на схеме приведено на рис. 1.11. Напряжение на зажи-
мах индуктивности
d'V d (Ы)
' Ul~ dt ~ dt ’
Если L = const, to
= (1.6)
Ток в линейной индуктивности
• 1 C
i —-J- \ uLdt.
(1.7)
Индуктивность L как элемент схемы соответствует элементу
цепи — индуктивной катушке при ее
Индуктивная катушка часто пред-
ставляет собой кольцевой сердечник,
на который равномерно нанесена об-
мотка с числом- витков w (рис. 1.12);
материал сердечника характеризует-
ся магнитной проницаемостью р. Ток
i в обмотке создает магнитный поток
Ф, замыкающийся в сердечнике (по-
током вне сердечника можно прене-
бречь). Направления тока i и по-
тока Ф связаны правилом правого
винта.
Потокосцепление катушки Чг =
= юф, так как поток, сцепленный
идеализации.
с каждым витком обмотки, в этом случае можно считать одина-
ковым. Магнитный поток
® = ^BdS,
S
где В —вектор магнитной индукции; S —сечение сердечника.
В однородной линейной среде вектор
В = рорН,
где /?—вектор напряженности магнитного поля; р0 = 4л • 10-7 Г/м—
магнитная постоянная.
По закону полного тока,
dl — iw,
i
где I — замкнутый путь интегрирования.
Если внутренний и внешний диаметры сердечника превышают
размеры поперечного сечения <$, то поток Ф можно считать равно-
25
мерно распределенным по сечению. В этом случае
. _ V _ wBS _ w*S
L~~ i ~ Hl/w ~ BoP- I ’
где l определяется по среднему диаметру (по средней силовой
линии).
Как видно из формулы (1.6), напряжение ul на зажимах
индуктивности отлично от нуля только при i Ф const (Чг Ф const).
Изменяющийся ток i создает изменяющийся магнитный поток.
По закону электромагнитной индукции, изменение магнитного
потока вызывает э. д. с. (называемую э. д. с. самоиндукции),
противодействующую, согласно правилу Ленца, изменению потока:
dV
eL~ dt
т
или в случае линейной индуктивности
r di
eL~~Ldi
(положительные направления eL и i совпадают).
Если потокосцепление (ток) возрастает, то eL < 0; если потоко-
сцепление (ток) убывает, eL > 0. Напряжение на зажимах
катушки (положительные направления ul и i совпадают) uL =
= —eL, так как оно должно уравновешивать э. д. с. <?£.
Линейная индуктивность при L = const > 0 — пассивный эле-
мент. Энергия, поступающая в такой элемент,
t t
W (t)~ uL (t) i (t) dr = L i (T) =
— co —co
= 1l J d[i2(T)] = ^->0
— co
[при условии i (— oo) = 0].
В данном случае энергия не рассеивается, а запасается
в магнитном поле, связанном с индуктивностью.
Емкостный элемент. Двухполюсник (см. рис. 1.1) может
характеризоваться зависимостью q (и) или и (q), где
i
q — § i (т) dx
— OO
г—электрический заряд. При этом
i = dqldt.
Зависимость q(u) или u(q) называют кулон-вольтнои
характеристикой.
Если элемент характеризуется зависимостью q(u) или u(q),
то его называют емкостным элементом (емкостью).
26
На рис. 1.13, а, б соответственно показаны зависимости для
нелинейной и линейной емкостей.
У линейного емкостного элемента заряд q пропорционален
напряжению:
q = Cuc. (1.8)
Величину С = q/uc называют емкостью. Емкость измеряется
в фарадах (Ф).
Рис. 1.14
Рис. 1.13
Обозначение линейной емкости приведено на рис. 1.14. Ток
через емкость х
.__dq__d (Сис)
l~dl~ dt ‘
Если С = const, то
Напряжение на зажимах емкости
uc=^Aidt. (1.10)
О ел
Емкость как элемент схемы соответствует элементу цепи —
конденсатору при его идеализации.
i Конденсатор часто представляет собой два проводящих парал-
лельно расположенных электрода площадью S, разделенных
диэлектрическим слоем толщиной d, свойства которого характе-
ризуются диэлектрической проницаемостью е (рис. 1.15).
При напряжении и — tfi — <р2 > 0 между электродами на одном
из них будет положительный заряд q± = q, на другом — отрица-
тельный заряд q..=— q. Заряд
<7+ = \d dS,
s
где D — вектор электрического смещения, связанный в однород-
ной линейной среде с вектором напряженности Е равенством
* D — е()еЕ
(«о = 1/4л • 9 • 109 Кл/В-м —электрическая постоянная). .
27
Если поле в конденсаторе считают равномерным, то
Ч-
q+ ____ q_ DS EqeS
<Pi~ Ч>2 ~ <₽2— <₽1 — Ed d
равенства (1. 8), ток через емкость отличен
от нуля только при ис const. Измене-
ние напряжения на электродах вызывает
изменение величины заряда каждого из
них. Если напряжение возрастает, ток
г>0, т. е. конденсатор заряжается; за-
ряд q — q+ = — q_ увеличивается. Если
напряжение убывает, ток i<0, т. е. кон-
денсатор разряжается; заряд q = g+ = —</_
уменьшается.
Формула (1. 9) записана для совпа-
дающих положительных направлений ис
и г (рис. 1.14 и 1.15); при этом знаки ис
и <?+ = — q- всегда одинаковы. Ток i меж-
ду электродами конденсатора является
током смещения.
Линейная емкость при С — const > 0 представляет собой пас-
сивный элемент. Энергия, поступающая в такой элемент,
1 t
W (Z) = ис (т) i (т) d т = С ис (т) dr =
—со —оо
1 С г (О
= Й[МЬ(Т)] = —
—со
[при ис(—.оо) = 0].
В данном случае энергия запасается в электрическом поле,
связанном с емкостью.
Процесс запасания энергии как в магнитном, так и в электри-
ческом полях является обратимым. Запасенная энергия может
быть отдана другим элементам цепи. Например, энергия заряжен-
ного конденсатора при разряде его на сопротивление рассеивается
в этом сопротивлении; разряжающийся конденсатор можно рас-
сматривать в указанном смысле как активный элемент — источник
энергии.
Схемы замещения резисторов, индуктивных катушек и конден-
саторов. Идеализированные схемные элементы — сопротивление г,
индуктивность L, емкость С —отражают основные свойства и пара-
метры соответственно резисторов, индуктивных катушек и конден-
саторов, обусловленные физическими процессами необратимого
рассеяния энергии и обратимого накопления энергии, связанной
с магнитным и электрическим полями.
При определенных условиях необходимо учитывать свойства
и параметры реальных элементов, обусловленные побочными (так
называемыми паразитными) процессами. Например, на высоких
28
частотах на работу схемы влияют скорость изменения магнитного
потока, сцепленного с резистором, и ток смещения, т. е. индук-
тивность и емкость резистора, которыми при других условиях
можно пренебречь. У индуктивной катушки в ряде случаев требу-
ется ° учесть потери энергии в г
обмотке и сердечнике, межвит-
ковую емкость; у конденсато-
ра-потери энергии в несовер-
шенном диэлектрике, индуктив-
ность выводов.
. С помощью идеализирован-
ных элементов г, L и С можно
составить схемы замещения ре-
зисторов, индуктивных катушек
и конденсаторов, учитывающие
побочные процессы. Например,
на рис. 1.16, а показана схема
замещения резистора, учитываю-
щая его индуктивность и ем-
кость; на рис. 1.16, б, в приве-
Рис. 1.16
дены схемы замещения индук-
тивной катушки и конденсатора, учитывающие потери энергии,
паразитные емкости и индуктивности. Параметры таких схем за-
мещения находят на основании экспериментальных данных, а
также в определенных случаях — расчетным путем.
§ 1.5. Основные уравнения цепей с сосредоточенными
параметрами
Цепи, содержащие источники энергии, резисторы, индуктивные
катушки и конденсаторы, могут быть представлены схемами заме-
щения, состоящими из источников э. д. с., тока и элементов г,
L, С. В схеме с сосредоточенными параметрами необратимые
потери энергии происходят только в сопротивлениях, магнитное
поле связано только с индуктивностями, ток смещения, обуслов-
ленный изменяющимся электрическим полем, имеет место только
в емкостях.
Основные уравнения для цепей с сосредоточенными парамет-
рами вытекают из известных физических законов — принципа не-
прерывности полного тока и закона электромагнитной индукции.
Если некоторый узел схемы охватить замкнутой поверхностью
8 (рис. 1.17), то для этой поверхности справедливо уравнение,
определяющее принцип непрерывности полного тока:
<§6ПОЛ1Л?=0, (1.11)
S
где дпшш —вектор плотНЪсти полного тока, т. е. суммы тока про-
водимости и тока смещения. В схеме с сосредоточенными пара-
метрами ток смещения существует только между электродами
29
емкостей; поэтому в выражении (1.11) вектор плотности полного
тока равен вектору тока проводимости: 6ncMra=6. Вектор 6 отли-
чен от нуля в тех точках поверхности S, которые совпадают
с поперечными сечениями проводников. Учитывая сказанное, из
уравнения (1.11) получают
= (1.12)
где iA —ток А-го проводника, присоединенного к рассматриваемому
узлу.
Уравнение (1.12) называют первым законом Кирхгофа,
который, формулируется следующим образом: алгебраическая сумма
токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю в любой момент
времени. При этом с положительным
(отрицательным) знаком учитывают то-
Узел \ ки, направленные от узла (к узлу) или
] 13 направленные из замкнутой поверхно-
\ " у—-J~t> сти (ВНУТРЬ поверхности).
Y/ J Для узла на рис. 1.17 уравнение.
//^—по первому закону Кирхгофа записы-
* вается следующим образом:
_ h. — *2 4* 1з — f4 = 0.
Первый закон Кирхгофа справедлив
Рис. 1.17 и для замкнутой поверхности, охва-
тывающей несколько узлов. При этом
в выражении (1.12) алгебраически суммируются токи ветвей,
рассекаемых поверхностью.
Если в уравнении (1.12) токи источников тока перенести в пра-
вую часть, то получается
2^=2 а; (ыз)
h k
где У Jk — алгебраическая сумма токов источников тока; У,/д.—
k k
Алгебраическая сумма токов других ветвей (элементов). В урав-
нении (1.13) с положительным (отрицательным) знаком записывают
ток источника Jk, направленный к узлу (от узла), и ток ik,
направленный от узла (к узлу).
. Например, если ток г4 представляет собой ток источника тока,
т. е. i4 = J4 (рис. 1.17), то в соответствии с равенством (1.13)
г’1 —г2 Д- is = .4.
По закону электромагнитной индукции для любого замкнутого
пути интегрирования (контура) I справедливо равенство
§Edl — — dQ)ldt, (Г. 14)
i
где Ф —магнитный поток, сцепленный с контуром (направление
обхода контура и направление потока согласованы по правилу
правого винта).
30
Пусть путь интегрирования связан с ветвями схемы электри-
ческой цепи, причем на участках, содержащих источники э. д. с.,
путь проходит вне источников. Так как в цепи с сосредоточен-
ными параметрами магнитное поле имеется только в индуктив-
ностях, то контур интегрирования всегда можно выбрать так,
чтобы поток, сцепленный с контуром, был равен нулю. Тогда
= (1.15)
i
т. е. поле вектора Е потенциально и напряжение между любыми
двумя точками совпадает с разностью потенциалов.
Из равенства (1.15) следует
(1.16)
• ь
Ур авнение (1.16) называют в т о -
рым законом Кирхгофа, ко-
торый формулируется следующим
образом: алгебраическая сумма напря-
жений на зажимах ветвей (элемен-
тов) контура равна нулю в любой
момент времени. При этом с положи-
тельным (отрицательным) знаком учи-
тывают напряжения, положительные
направления которых совпадают (противоположны) направлению
обхода контура.
На рис. 1.18 показан пример контура цепи; путь интегриро-
вания 1—а—2—3—б—4—1 содержит зажимы элементов. Для
выбранного пути интеграл в равенстве (1.15) разбивается на четыре
слагаемых:
—- u^-j-Us — Ug +и4 — 0,
еде
и1 = С<2—Ф15 и2 = фа— фз1' и3 = ф4— фз! м4==ф4— ф1«
Если напряжения источников перенести в правую часть равен-
ства (1.16) и заменить на э. д. с., то второму закону Кирхгофа
соответствует уравнение
= (1.17)
ь k
которое выражает равенство алгебраических сумм напряжений
на пассивных элементах и э. д. с. контура. В уравнении (1.17)
с положительным (отрицательным) знаком записывают напряже-
ния и э. д. с., направление которых совпадает (противоположно)
с направлением обхода контура.
Например, для контура на рис. 1.18 по второму закону Кирх-
гофа записывают (выбирая направление обхода по часовой стрелке,
совпадающим с направлением э. д. с. ех)
1^2 — Ug ф- Нд = ех.
31
Уравнения (1.12), (1.16) или (1.13) и (1.17) совместно с соот-
ношениями (1.3), (1.4), (1.6), (1.7), (1.9), (1.10), связывающими
напряжения и токи каждого элемента, дают полное математичес-
кое описание цепи.
Пример 1.1. Составить уравнения Кирхгофа для схемы на рис. 1.19.
Решение. Для узлов 1 и 2,
Рис. 1.19
по первому закону Кирхгофа,
— й — £г+£з —
‘(1 + 12—£з ——J-
Одно из записанных уравнений
является зависимым.
Для контура et—Г!—С—Lt (при
направлении обхода контура по часо-
вой стрелке), по второму закону Кирх-
гофа,
• I 1 С . JJ ! Г ^1
ГЛ+-£ \ + M =₽1-
Положительные направления на-
пряжений на зажимах пассивных эле-
ментов приняты . совпадающими с положительными
учтены выр ажения (1.3), (1.10), (1.6). Для контура
обхода по часовой стрелке)
— 7=r \ is dt——ег.
направлениями тдков и
С — г2— е2 (направление
Для контура —Г1 — г2—е2—М (направление обхода по часовой стрелке)
• . i dit
ri£i—r2t2+L =61 — е2.
Последнее уравнение, записанное по второму закону Кирхгофа, равно сумме
двух предыдущих уравнений.
Таким образом, из пяти уравнений Кирхгофа для схемы на рис. 1.19
независимыми являются три уравнения (одно для какого-либо узла и два
других для любых двух контуров схемы).
§ 1.6. Трехполюсные элементы цепей
Трехполюсный элемент (трехполюсник) имеет три зажима,
которые служат для соединения такого элемента с другими эле-
ментами цепи. Свойства трехполюсного элемента можно описать
соотношениями между напряжениями ulf и2 и токами ilt i2, поло-
жительные направления которых показаны на рис. 1.20.
Напряжения иг и и2 представляют собой напряжения между
парами зажимов 1, 3 и 2, 3: u1 = uls, u2 — u2S. Напряжение tz12
между парой зажимов 1, 2 однозначно определяется через Щз и
п2з, так как, по второму закону Кирхгофа, — «13 + «12 + uw = Q.
Ток is зажима 3 зависит от токов ix и i2, так как, по первому
закону Кирхгофа, для замкнутой поверхности ii + 4 + z3==0.
Таким образом, для описания трехполюсника достаточно двух
напряжений и двух токов.
Т рехполюсник (рис. 1.20) рассматривают как элемент с двумя
парами зажимов, придем зажим 3 является общим для каждой
пары (рис. 1.21).
32
Произведения рг (/) = tzx (t) (/) и p.2 (/) = u2 (0 h. (О Для поло-
жительных направлений напряжений и токов (рис. 1.20 и 1.21)
выражают мгновенную мощность, потребляемую трехполюсником
через каждую пару зажимов. Поэтому энергия, поступающая
в трехполюсник,
t 2
F(/) = 5 S (т) «й (т) dr.
— со k = 1
Как и двухполюсники, трехполюсники могут быть резистив
ными, индуктивными и емкостными.
Если трехполюсник характеризуется соотношениями между
напряжениями ult и2 и токами ix, i2, то его называют рези-
стивным.
Если напряжениям и1г и2 можно поставить в соответствие
потокосцепления
t t
Yx =. \ пх(т)йт; 1Г2 = иг(т)^т
— co — co
и описать трехполюсник соотношениями между Vx, Чг2 и iX1 12,
то такой трехполюсник называют индуктивным.
Если токам ilt i2 можно поставить в соответствие заряды
t t
<7i= $ qz = MT)dt
— oo — oo
и описать трехполюсник соотношениями между qi, q2 и ult uz,
то такой трехполюсник называют емкостным.
Широкое применение находят трехполюсные элементы — элект-
ронные лампы, транзисторы и индуктивные трехполюсники (транс-
форматоры).
Электронная лампа. Электронная лампа (вакуумный триод)
имеет три металлических электрода, называемые анодом (а),
катодом (к) и сеткой (с), укрепленные в колбе, внутри ко-
торой создан вакуум (рис. 1.22).
2 п/р. Нонкина, т, 1
33
Накаленный катод эмигрирует электроны, которые под дей-
ствием электрического поля между анодом и катодом (напряже-
ние па > 0) устремляются к аноду. Поток электронов между ано-
дом и катодом и представляет собой ток в анодной цепи лампы ia.
На пути электронного потока между катодом и анодом имеется
управляющий электрод с отверстиями — сетка. Изменяя напря-
Рис. 1.22
жение ис между сеткой и катодом, можно
регулировать поток электронов, достигаю-
щих анода, т. е. изменять ia. Сетка распо-
ложена ближе к катоду, поэтому измене-
ния напряжения ис больше влияют на анод-
ный ток, чем изменения напряжения ца.
Часть электронов, эмиттируемых катодом,
не достигает анода, попадая на сетку. Этой
части электронов соответствует сеточный
ток ic.
Лампа представляет собой резистивный
нелинейный трехполюсный элемент (в пред-
положении, что частота переменных составляющих напряжений и
токов не очець велика и межэлектродными емкостями лампы мо-
жно пренебречь).
Токи анода и сетки являются функциями двух переменных!
(^с> ^а)>
1'с = 1'с(^с» Wa).
Эти функции выражаются в виде семейств характеристик,
определяемых экспериментально. Примеры характеристик лампы
приведены на рис. 1.23. Анодные характеристики (рис. 1.23, а)
показывают зависимость анодного тока от анодного напряжения
при постоянном сеточном напряжении. Анодно-сеточные характе-
ристики (рис. 1.23, б) отражают зависимость анодного тока
от сеточного напряжения при постоянном анодном напряжении.
Сеточные характеристики (рис. 1.23, в) дают зависимость сеточ-
ного тока от сеточного напряжения при постоянном анодном
напряжении.
‘®4 .
Напряжения wc, tia и токи <с, га в общем случае представляют
собой суммы постоянных и переменных составляющих. Постоян-
ные составляющие играют вспомогательную роль, обеспечивая
необходимый режим работы лампы. Для получения нужных зна-
чений постоянных составляющих в анодную и сеточную цепи
лампы включают источники постоянных э. д. с. <^а и ес, назы-
ваемые соответственно источниками анод-
ного питания и сеточного смещения.
Пример цепи с лампой и источниками
приведен на рис. 1.24.
Как правило, лампа работает при
отрицательном напряжении между сет-
кой и катодом (цс<:0) и ток сетки
можно считать равным нулю: ic = 0.
Анодный ток
l'a ~ ^аО
где /ао ~ постоянная составляющая;
Aia — переменная составляющая. Пере-
менная составляющая анодного тока при достаточно малых пере-
менных составляющих сеточного и анодного напряжений Дмс, Д«а
может быть выражена следующим образом:
Лг'“ дие Л“с + диа
Данное выражение представляет, по существу, два слагаемых
разложения функции двух переменных в ряд Тейлора. Произ-
водная
Jd =5
OUC |«а = const
характеризует параметр лампы, имеющий размерность проводи-
мости и называемый крутизной анодно-сеточной характё-
р и ст и к и.
Производную
<4| =г
б/’а |«с — const
называют внутренним сопротивлением лампы.
Следует подчеркнуть, что крутизна S и внутреннее сопротив-
ление rt зависят от постоянных составляющих анодного и сеточ-
ного напряжений, т. е. от положения рабочей точки на харак-
теристиках лампы. Если рабочая точка расположена на линейном
участке характеристик и при отклонениях сеточного и анодного
напряжений на Днс, Диа не выходит за пределы линейного
участка, то для переменной составляющей анодного тока полу-
чается линейное уравнение
Д1Л — SAuq -J- — Дца.
2*
35
Таким образом, в линейном режшие электронная лампа харак-
теризуется уравнениями
h — 0; 1
. о , 1 } (1-18)
<2 = SUi -j- — H2, I
4 '
где i1 = Aic; i2 = Aia; n1 = Atzc; zz2 = Azza — переменные составляю-
щие токов и напряжений.
Уравнениям (1.18) соответствует линейная эквивалентная
схема лампы для переменных составляющих на рис. 1.25, а. Эта
Рис. 1.25
схема
а-
0
0
Рис. 1.26
ДИМОСТИ. Если £12 ^£21»
схема содержит источник тока, ток которого зависит от напря-
жения на входе схемы.
Если уравнения (1.18) переписать в виде
11 = 0’ 1 (1.19)
ы2 = — Ных + П»2» )
где |х = = (—iz2/Ui)i2=o = —(5на/бис)га = const— коэффициент уси-
ления лампы, то получается вторая эквивалентная схема лампы
содержит источник э. д. с., значение
которой зависит от напряжения на
входе схемы.
Уравнения (1.18) в общем виде
можно записать как -
1'1 = £u«i 4-£12^2! | (1 20)
4 — gziUi + £22^2, J
где gii = 0; g12 = 0; £2X = S, £22 = l/rt.
Коэффициенты уравнений gtj (i,
/=1,2) имеют размерность прово-
) трехполюсник является невзаимным.
Таким образом, электронная лампа — не-взаимный элемент цепи.
На высоких частотах лампу нельзя рассматривать как рези-
стивный трехполюсник, так как существенное влияние на ее
работу будут оказывать паразитные емкости между электродами.
Эквивалентная схема лампы усложняется (рис. 1.26).
Транзистор. Полупроводниковый триод (транзистор) представ-
ляет собой монолитный кристалл полупроводника (кремния или
36
германия), состоящий из трех областей с различным типом элект-
ропроводности.
Область полупроводника, в которой электропроводность обус-
ловлена свободными электронами, называют «-областью. Такую
область получают при добавлении в полупроводник небольшого
количества примесей химических элементов, атомы которых имеют
на один валентный электрон больше, чем атомы полупроводника.
Если в полупроводниковую область добавить небольшое коли-
чество примесей химических элементов, атомы которых имеют на
один валентный электрон меньше, чем атомы полупроводника,
то получается область с неза-
полненными валентными связя-
ми атомов — дырками. Дырки
можно рассматривать как эле-
ментарные носители положи-
тельного заряда.’ Перемещение
электронов, заполняющих ва-
лентные связи, эквивалентно
перемещению дырок в противо-
положном направлении.' Об-
ласть, в которой электропро-
водность обусловлена дырками,
называют р-областью.
У транзистора слои с дыроч-
ной и электронной электропро-
водностью чередуются. В соот-
ветствии с чередованием слоев
различают транзисторы р-п-р-
и «-р-«-типов.
Транзистор p-n-p-типа имеет
две p-области, одну из кото-
рых называют эмиттером (э),
другую — коллектором (к). Эти
Рис. 1.27
области разделены «-областью, называемой базой (рис. 1.27, а).
Каждая область с помощью металлического электрода соединяется
с другими элементами цепи.
Если к транзистору не подключены источники, то вследствие
диффузии дырок (в «-область) и электронов (в p-области) на
границе раздела областей создается электрическое поле, препят-
ствующее дальнейшей диффузии носителей зарядов. Распределе-
ние потенциала электрического поля при этом показано на
рис. 1.27,6. Разность потенциала на границе раздела областей
называют потенциальным барьером р-п-перехода.л
При подключении к транзистору источников постоянных э. д. с.
V С (рис. 1.27, а) снижается потенциальный барьер между
эмиттером и базой и увеличивается потенциальный барьер между
базой и коллектором (рис. 1.27, в). В результате дырки эмиттера
диффундируют в область базы и, увлекаясь полем коллекторного
перехода, попадают в область коллектора, образуя коллекторный
37
6
а)
ток iK. Вследствие малой толщины базы большая часть дырок,
инжектированных эмиттером, достигает коллектора. Ток эмит-
тера 4 лишь незначительно превышает ток коллектора. Разность
токов 1Э и iK соответствует току базы:
4 — 4 4 •
Транзистор типа п-р-п имеет эмиттер
и коллектор электронной электропровод--
ности, базу — дырочной электропроводно-
сти. Принцип действия транзистора анало-
гичен рассмотренному ранее. Однако в
отличие от транзистора р-я-р-типа в тран-
зисторе и-р-я-типа токи 4, 4 обусловле-
ны в основном движением электронов.
Условное обозначение транзисторов
р-п-р- и я-р-я-типов показано соответст-
венно на рис. 1.28, а, б.
Если частота переменных составляю-
щих токов и напряжений транзистора не
слишком велика, его можно рассматри-
вать как резистивный нелинейный эле-
мент, описываемый семействами входных
и выходных характеристик. Входные ха-
рактеристики показывают зависимость то-
14 при постоянном напряжении ик. Выход-
6
S)
Рис. 1.28
ка 4 от напряжения
ные характеристики отражают зависимость тока iK от напряже-
ния ик при постоянном токе 1в.
На рис. 1.29, а, б приведены соответственно входные и выход-
ные характеристики транзистора р-я-р-типа. Для транзистора
я-р-я-типа при положительных направлениях токов и напряже-
ний (см. рис. 1.28,6) входные и выходные характеристики совпа-
дут с характеристиками транзистора р-я-р-типа, если у всех
* В транзисторе p-n-p-типа дырки—основные носители заряда; токи 4>
4 обусловлены главным образом движением дырок Однако кроме дырочных
составляющих токов имеются значительно меньшие составляющие, обуслов-
ленные движением электронов (неосновных носителей),
&& '
величин (i9, iK, us, ик) на рис. 1.29 изменены знаки на противо-
положные.
Напряжения ив, ик представляют собой функции двух пере-
менных:
= иэ (ia, iK) ,
ик — ик (i8, 1К).
Эти напряжения, а также токи г9, гк содержат в общем слу-
чае постоянные и переменные составляющие. Постоянные состав-
ляющие обеспечиваются источниками постоянных э. д. с. &к, <%,
включаемыми, например, как показано на рис. 1.30, а (транзи-
стор p-n-p-типа) и 1.30, б (транзистор п-р-п-типа).
Рис. 1.30
Для малых переменных составляющих напряжений записы-
вают уравнения
АМэ^^Д1в4-|^Агк;
9 dta s 1 diK к’
~ д1э 3 diK к*
где Агэ, А/к —малые переменные составляющие эмиттерного и
коллекторного токов.
Частные производные
диэ I ________ . диэ I ____
dia = const И ’ diK == const ’
dllK I ________ _ . duK I __
dia 1‘к ~ cons* 21 * Щ ~ cotlst 22
характеризуют параметры транзистора в соответствующей рабо-
чей точке. Если транзистор работает в линейном режиме (рабо-
чая точка не выходит за пределы линейных участков характе-
ристик), то для переменных составляющих получаются линейные
уравнения
Ui = r uii + гi2t2;
= г aii'i 4* г га4»
(1.21)
89
где н1 = Лиэ; г/2 = Д«к; 4 = Дц; t2 = —Дгк —переменные состав-
ляющие токов и напряжений.
Параметры ггу (г, / = 1, 2) имеют размерность сопротивлений.
У транзистора г12 Ф r2i, что указывает на невзаимность тран-
зистора.
Если в правой части первого уравнения системы (1.21) при-
бавить и вычесть произведение z-^zi, а в правой части второго
уравнения прибавить и вычесть произведения r12zx, r12i2, то урав-
нения (1.21) будут эквивалентны уравнениям
41 = (ru — г ig) i’i + ri2 (h
zz2 = (r21 — r 12) z'i -|- (r22 — r 12) h 4~ rn (ii 4~ h)
или
4i = r sii 4~ (i’i + zg);
W‘2 = Г mil + rKi2 + Гб (t'l + l'g)j
(1.22)
где rb = rlr— z"12; г6 — z"i2; гк — r22 — /i2; гт — г21 r12.
Уравнениям (1.22) соответствует эквивалентная схема тран-
зистора рис. 1.31,а. Эта схема
Рис. 1.31
содержит источник, э. д. с. кото-
рого зависит от тока входной
цепи (т. е. от тока z’i); сопро-
тивления гэ, гк, г6 характери-
зуют соответственно сопротив-
ления эмиттерного и коллек-
торного переходов и базового
слоя.
Если источник э. д. с. rmir
заменить эквивалентным источ-
ником тока, то получится вто-
рая эквивалентная схема тран-
зистора (рис. 1.31, б). В этой
схеме ток источника зависит от
тока входной цепи. Коэффи-
циент .
а = — — — I
Гц д1з |«к = const
называют коэффициентом передачи эмиттерного
тока.
Схемы на рис. 1.31 справедливы для транзисторов р-п-р- и
«-р-П-ТИПОВ.
На высоких частотах транзистор нельзя рассматривать как
резистивный трехполюсник, поскольку необходимо учитывать
влияние емкостей эмиттерного и особенно коллекторного p-zz-ne-
реходов. Соответственно эквивалентная схема транзистора услож-
няется (рис. 1.32).
Управляемые (зависимые) источники напряжения и тока.
В схемах замещения лампы и транзистора были введены схемные
элементы — управляемые (зависимые) источники.
40.
Управляемые источники представляют собой трехполюсные
(в общем случае четырехполюсные) элементы, у которых напря-
жение (ток) одной пары зажимов пропорционально напряжению
(току) другой пары зажимов.
Различают четыре типа управляемых источников.
Источник тока, управляемый напряжением
(рис. 1.33, а), — это источник, у которого токи и i2 опреде-
ляются соотношениями
1.1==0; I (1.23)
Источник напряжения, управляемый током
(рис. 1.33, б), —это источник, у которого напряжения «j и иа
определяются соотношениями
Wi = 0; 1
1 . I (1.24)
«2 — fzih- )
Источник
усилитель тока
уравнениями
тока, управляемый током, или идеальный
(рис. 1.33, в) —это источник, характеризуемый
«1 = 0; 1
га = az'i. )
напряжения, управляемый напояже-
Источник
ни ем, или идеальный усилитель напряжения (рис. 1.33, г)—это
источник, характеризуемый уравнениями
Зависимые источники могут генерировать энергию. Так, напри-
мер, для источника тока, управляемого напряжением, энергия,
41
поступающая в источник,
t 2 Г
W (0 = J S wk (т) й (т) dr = § «2 СО й СО dr.
—cofe—1 , —со
Если к зажимам 2, 3 источника (рис. 1.33, а) подключено
сопротивление г, то напряжение
и2 = —п'3 = —rg21Ui.
При этом энергия
t
W(t)=—rgh «1 (О di < 0.
—со
Отрицательный знак энергии свидетельствует о том, что энер-
гия генерируйся, т. е. зависимый источник — активный элемент.
Схемы с зависимыми исгочни-
0 ? ками типа схем, показанных на
• I, I Рис- 1-25» 1.31, относятся к актив-
\ ТтЬ^ / ным схемам-
\ / Уравнения зависимых источни-
V /иг ков, имеющих четыре зажима (две
х. Т~| У пары различных зажимов), совпа-
Т дают с уравнениями (1.23) — (1.26).
«у Индуктивный трехполюсник. На
рис. 1.34 показан кольцевой сер-
Рис- li34 дечник с двумя катушками, имею-
щими соответственно числа витков
и»! и ву2. Ток каждой катушки создает в сердечнике магнитный
поток, направление которого определяется по правилу бурав-
чика*. Для направлений намотки, указанных на рисунке, маг-
нитные потоки, обусловленные токами' й и й» складываются.
Потокосцепления каждой катушки представляют собой функ-
ции двух токов:
w1=w1(f1, й); чй=чй(й, й).
Функции Чй и Чг2 в общем случае нелинейны и выражаются
в виде семейств нелинейных характеристик (рис. 1.35, а, б).
Если материал сердечника можно считать линейным (р —const),
to потокосцепления Чй и Чй будут линейными функциями токов:
— Liii 4~ М12Й;
Ч?2 .=Л121й -J- L% й •
(1-27)
Слагаемое йрй характеризует потокосцепление катушки
U4, вызванное током й (й); слагаемое Л421й(А2й) характеризует
потокосцепление катушки и>2, обусловленное током й(й)-
Параметры
й
к=о ’
Можно считать, что магнитный поток замыкается только по сердечнику.
называют собственными индуктивностями катушек, параметры
М21=^
/И 12
<2
|i2 =0
— взаимными индуктивностями катушек.
Собственные индуктивности всегда положительны и опреде-
ляются выражениями (см. § 1.6)
. w2,S r wfS
bi = poP-7“: Z-2 = P«1X‘7“
Взаимные индуктивности в зависимости от Направления на-
мотки катушек могут быть положительными или отрицательными;
Л112>0, Л421>0(М12<0, ТИ21<0)> если магнитные потоки,
обусловленные токами г\ и г2, складываются (вычитаются). Для
трехполюсника на рис. 1.34 взаимные индуктивности положи-
тельны.
Взаимную индуктивность вычисляют по аналогии с собствен-
ной индуктивностью (см. § 1.6):
М
12---
*2
_ ti^BS____ WyW^S
|i1=o “ ’
где В и // — магнитная индукция и напряженность магнитного
поля в сердечнике, вызванные током t2 при i^O. Нетрудно ви-
деть, что Л/21 = Л/12. Это равенство отражает взаимность индук-
тивного трехполюсника.
При условии, что магнитный поток замыкается только по
сердечнику, для рассматриваемого трехполюсника
/И12 = Мад. = М = V LXL2
или
К — —— =
Лс rzs
где /Сс — коэффициент связи катушек. В реальных условиях =*
= | М |/j/L1L2 <Z 1, так как часть магнитного потока, обусловлен-
ного током катушки, замыкается помимо сердечника.
Напряжения на зажимах трехполюсника:
Hl —
dVi_ » dii । я я di% _
4T-L^dt+M dt'
Hi
dV2
dt
Md^ + L
dt*2
2 dT
(1.28)
Слагаемые Li di-Jdt и L, dijdt определяют напряжения, уравно-
вешивающие э. д. с. самоиндукции; слагаемые М di-Jdt и М dijdt —
напряжения, уравновешивающие э. д. с. взаимной индукции.
Условное обозначение индуктивного трехполюсника (см.
рис. 1.34) дано на рис. 1.36. Зажимы 1 и 2 отмечены точками
и называются одноименными или
однополярными; это означает, что
при одинаковых направлениях токов
t\ и i2 относительно одноименных за-
жимов магнйтные потоки, обуслов-
ленные токами и i2, складываются.
Если направление намотки кату-
шек неизвестно, то одноименные за-
жимы могут быть определены экспе-
риментально.
Трехполюсник, описываемый урав-
нениями (1.28) при /<с = I, называют
совершенным трансформатором. Подставляя в урав-
нение (1.28) выражения для Llt L2 и М, приведенные ранее, по-
лучают
U2 = Wl + WjW?. _ Wg
+ wl’
т. e. отношение напряжений п2/^1 постоянно и равно отношению
числа витков катушек w2/Wi, последнее отношение называют
коэффициентом трансформации.
Трехполюсник на рис. 1.34 и 1.36 описывается уравнениями
(1.28) при условии, что потерями энергии в нем пренебрегают.
Вся энергия, потребляемая совершенным трансформатором, запа-
сается (обратимо) в магнитном поле. Эту энергию вычисляют
с помощью уравнений (1.28):
t 2
if(o= 5 S(T)ih (T
— CO k=> 1
t
^*1 “F ^2^2 ^*2 “F Af ^1) ==
—co
[если —oo) = 0; i2(—co) = 0].
Аналогичными свойствами обладает четырехполюсный индук-
тивный элемент, имеющий две пары различных зажимов.
ГЛАВА 2
ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
§ 2.1. Граф электрической цепи и некоторые его подграфы
Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов,
из которых она состоит, и способом их соединения (см. гл. 1).
Рассмотрим соотношения в электрической цепи, обусловленные
способом соединения элементов.
Соединение элементов электрической цепи наглядно отобра-
жается ее схемой. Пусть цепь состоит только из двухполюсных
элементов. В простейшем случае такие элементы могут быть сое-
динены последовательно или параллельно.
Схема последовательного соединения двухполюсных элементов
показана на рис. 2.1. В этом соединении любые два соседних
элемента имеют один общий зажим. В любой момент времени ток
в каждом элементе имеет одинаковое значение. Напряжение на
зажимах всего соединения равно сумме напряжений на отдель-
ных элементах:
п
n = Ui-]-u2 + -.-4-tzn= 2 (2-1)
fe=i
Схема параллельного соединения двухполюсных элементов
показана на рис. 2.2. В этом соединении все элементы присоеди-
нены к одной и той же паре узлов. Для любого момента времени
напряжение на каждом элементе одинаково. Ток в неразветвлен-
ной'части цепи равен сумме токов всех элементов:
п
i = h+ Ь+•••+*«= У, I*- (2-2)
t==i
Соотношения (2.1) и (2.2) справедливы для соединений любых
элементов: линейных и нелинейных, с постоянными и перемен-
ными во времени параметрами, резистивных, индуктивных и т. д.
Кроме того, схемы на рис. 2.1 и 2.2 можно понимать и как сое-
динения ветвей, причем ветви могут состоять из каких-либо эле-
ментов, в свою очередь соединенных различным образом. И в этом
случае соотношения (2.1) и (2.2) будут справедливы.
Таким образом, выражения (2.1) и (2.2) представляют собой
примеры простейших соотношений, которые определяются только
способом соединения элементов, или, как говорят, геометрией
(топологией) соединений.
Топологические (геометрические) свойства электрической цепи
не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь.
Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи
изобразить отрезком линии. Например, на рис. 2.3 приведена
схема разветвленной электрической цепи. Если каждую ветвь
схемы заменить отрезком линии, получается геометрическая фи-
гура, показанная на рис. 2.4. При этом за ветвь 1 принимается
45
последовательное соединение элементов и rlt за ветвь 6 — парал-
лельное соединение элементов г6 и Ja и т. д.
Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заме-
няется отрезком линии, называют графом электрической цепи.
Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называют
ветвью графа. Граничные (концевые) точки ветви графа назы-
вают узлами графа.
Граф —абстрактное математическое понятие, не обязательно
соответствующее электрической цепи. В виде графа могут быть
изображены схемы железнодорожных путей, состояния переклю-
и чающих систем, отношения
I ---------------------------родства между группой лю-
_ j— t )—, дей, положение участни-
F у н г- —ков хоккейного чемпиона-
Щ vn та и т. д.
р Если в общем случае
ис’ * определить ребро как
отрезок линии вместе с его
граничными (концевыми) точками, тогда граф можно определить
как множество ребер, причем в этом множестве все общие точки
ребер являются граничными. Граничную точку ребра называют
вершиной.
В электротехнической литературе вместо терминов «ребро» и.
«вершина» применяют термины «ветвь» и «узел».
Ветвям графа может быть дана определенная ориентация,
указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы,
Рис. 2.2'.
Рис. 2.3
называют ориентированным. В противном случае граф счи-
тают неориентированным.
Граф одной и той же схемы электрической цепи может быть
изображен различными способами. Например, граф схемы на
рис. 2.3 можно начертить, как это показано на рис. 2.5. Однако
топологические свойства графов (рис. 2.4; 2.5) одинаковы. Такие
графы называют изоморфными. У изоморфных графов суще-
ствует взаимно однозначное соответствие между узлами и ветвями.
Если некоторая пара узлов в одном графе соединена ветвью, то
46
пара соответствующих, узлов в изоморфном графе также должна
быть соединена соответствующей ветвью.
Некоторые подграфы графа. Подграфом графа называют
часть графа.
Согласно этому определению подграфом может быть одна ветвь
или один изолированный узел графа, а также любое множество
ветвей и узлов, содержащееся в данном графе.
Рис. 2.6
В теории электрических цепей большое значение имеют такие
подграфы: путь, контур, дерево, связи (дополнение дерева) и
сечение. Все определения (пути, контура и т. д.), сформулирован-
ные для графа, применимы и к схемам электрической цепи.
Путь —это упорядоченная последовательность ветвей, в кото-
рой каждые две соседних ветви имеют общий узел, причем любая
ветвь и любой узел встречаются в этом пути только один раз.
Например, в графе на рис. 2.6 ветви 4—1—2—8, 4—1—6—7,
Рис. 2.7
4—3—8, 4—3—2—6—7, 5—7, 5—6—2—8 и 9 образуют пути
между одной и той же парой узлов (узлов, к которым присоеди-
нена ветвь 9).
Контур —замкнутый путь, в котором один из узлов является,
начальным и конечным узлом пути. Например, в графе на рис. 2.6
ветви 4—1—2—8—9, 5—6—2—8—9, 4—3—8—9 образуют кон-
туры.
Если между любой парой узлов графа (схемы) существует
путь, то граф (схему) называют связным (связной).
Деревом связного графа (схемы) называют связный подграф
(подсхему), содержащий все узлы графа (схемы), но ни одного
контура. Примеры деревьев графа на рис. 2.6 приведены на
рис. 2.7.
‘47
Ветви графа (схемы), которые дополняют дерево до исходного
графа, называют ветвями связи (дополнением дерева).
Отдельную ветвь связи называют также главной ветвью. Ветви
связи деревьев графа на рис. 2.7 приведены на рис. 2.8.
Если граф (схема) содержит, в ветвей и у узлов, то число
ветвей любого дерева д — у— 1.
Действительно, если число узлов у = 2, то дерево может содер-
жать только одну ветвь. Добавление к этой ветви еще одной так,
чтобы получился граф без контуров, увеличивает число узлов на
единицу и т. д. для каждой новой ветви дерева.
Число ветвей связи графа
к = в —(у— l)=e — у+ 1.
Сечением графа (схемы) называют множество ветвей, удале-
ние которых делит граф (схему) на два изолированных подграфа
(подсхемы), один из которых в частном случае может быть изоли-
рованным узлом. Например, для графа на рис. 2.6 ветви 1—4—3,
1—5—9—3, 1—5—7—2 образуют сече-
ния.
Сечение можно наглядно изобразить
в виде следа некоторой замкнутой по-
верхности, рассекающей соответствую-
щие ветви. Примеры таких поверхностей
(Зь S2, З3) для графа на рис. 2.6
показаны на рис. 2.9. Поверхность Si
рассекает граф на две части, одна из
которых — изолированный узел.
С понятием дерева связаны понятия
главных контуров и главных сечений.
Главным контуром называют
контур, состоящий из ветвей дерева и
и. Другими словами, при соединении
любой ветви связи с деревом образуется главный контур.
Главным сечением считают сечение, состоящее из ветвей
связи и только одной ветви дерева. Каждая ветвь дерева позво-
ляет образовать одно главное сечение.
Для любого выбранного дерева можно образовать свою систему
главных контуров и сечений. При этом характерно, что каждый
такой контур и каждое сечение будут отличаться от других хотя
бы одной ветвью,
48
На рис. 2.10 и 2.11 показаны главные контуры и сечения,
построенные на основе одного из деревьев графа рис. 2.6. Ветви
дерева 4—9—7—6—8 отмечены более жирными линиями. Главные
контуры (пронумерованы рим-
скими цифрами) образуются вет-
вями 1—4—9—7—6 (/); 2—8—
7—6 (II); 3—4—9—8 (III);
Рис. 2.10
5—7—9 (IV). Главные сечения содеожат ветви 4—1—3 (SJ;
6—1—2 (S2); 7—1—5—2 (53); 8—2—3 (S4); 9—1—5—3 (Ss).
Число главных контуров равно числу ветвей связи (к), а число
главных сечений — числу ветвей дерева (д).
§ 2.2. Законы Кирхгофа
Рис. 2.12
Токи в ветвях электрической цепи и напряжения на зажимах
ветвей удовлетворяют соотношениям (1.12) и (1.16), которые
определяют первый и второй законы Кирхгофа.
Равенство (1.12) справедливо для любого узла или сечения;
равенство (1.16) справедливо для любого контура. Суммирование
выполняется для всех ветвей, сходя-
щихся в узле (пересекаемых замкну-
той поверхностью) или образующих
контур.
Уравнения (1.12) и (1.16) не за-
висят от типа и свойств элементов,
из которых состоят ветви. Это топо-
логические соотношения, которые мо-
гут быть составлены по графу^цепи
или по ее схеме. В дальнейшем при
составлении уравнений цепи считает-
ся, что направление ветви графа,
указанное стрелкой, совпадает с вы-
бранным положительным направлением
тока и напряжения ветви
схемы (положительные направления тока и напряжения прини-
маются совпадающими). ., - .
49
В качестве примера можно составить уравнения по законам
Кирхгофа для схемы на рис. 2.3, граф которой с указанием
выбранных положительных направлений токов и напряжений,
а также направлений обхода контуров представлен на рис. 2.12.
На основании первого закона Кирхгофа справедливы уравне-
ния:
—4 + »4 + «в = 0 (узел /);
—11 + 1'2 + 1'3 = 0 (узел 2);
—i3+i5 — ie —0 (узел 5);
г'1 —i4 —iB = 0 (узел 4).
На основании второго закона Кирхгофа получаются следую-
щие уравнения:
«1 +«2 + ^4 = 0 (контур /);
—«2+«3~ ue = 0 (контур //);
—w4 + n5 + we = 0 (контур ///);
* — «1 — и3 — п5 = 0 (контур IV).
В записанных уравнениях ток ik и напряжение иь обозначают
ток и напряжение k-й ветви.
Сложение всех уравнений, записанных по первому закону
Кирхгофа, дает тождество 0 = 0. Аналогичный результат полу-
нения (за положительные
чается при суммировании уравне-
ний, составленных по второму зако-
ну Кирхгофа. Таким образом, среди
записанных уравнений есть линейно
зависимые.
Вместо уравнений по первому
закону Кирхгофа для узлов можно
составить уравнения по первому за-
кону Кирхгофа для сечений (замк-
нутых поверхностей). При этом се-
чению замкнутой поверхности при-
дается ориентация. На рис. 2.13 по-
казаны четыре сечения Si = S4, для
которых справедливы следующие урав-
направления принимают направления
токов из замкнутых поверхностей):
—i'i+1’2 +1'3 — 0 (51);
—4 + 12 + 1'б — г'в = 0 (5г)»
—l'i +Ч + h — 0 (5з)»
1'1 — i4—1’5 = 0 (S4).
Уравнение для сечения S3 отличается от уравнения для сече-
ния S4 только знаками слагаемых. Следовательно, среди уравне-
ний, составленных для четырех сечений, по крайней мере одно
является зависимым.
Вопрос о числе независимых уравнений, которые практически
можно составить по законам Кирхгофа, весьма важен. Этот воп-
рос решают, применяя понятие дерева графа (схемы).
С помощью дерева образуется д главных сечений и к главных
контуров. Главные сечения (главные контуры) отличаются друг
от друга по крайней мере одной ветвью дерева (одной ветвью
связи). Если для главных сечений или для главных контуров
составляют уравнения по первому закону Кирхгофа, то они
содержат по крайней мере по одному слагаемому, которого нет
в других уравнениях. Таким образом, уравнения для главных
сечений и главных контуров линейно независимы. Общее число
линейно независимых уравнений, составляемых по законам Кирх-
гофа, равно числу всех ветвей:
д + к = (у-l)+e-(t/- 1) = в.
Таким образом, по первому закону
Кирхгофа для сечений составляют
д=у-1 (2.3)
независимых уравнений. Число неза-
висимых уравнений, составляемых
по второму закону Кирхгофа, равно
K = e-t/+I. (2.4)
Очевидно, что уравнения для
сечений получаются как линейные
Рис. 2.14
комбинации уравнений для узлов. Например, уравнение для се-
чения S2 представляет сумму уравнений для узлов 2 и 3, урав-
нение для сечения S3 — сумму уравнений для узлов 1, 2 и 3.
В общем случае уравнение для замкнутой поверхности получается
суммированием уравнений для узлов, охватываемых этой по-
верхностью. Следовательно, число независимых уравнений для
узлов совпадает с числом независимых уравнений для сечений (2.3).
Из сказанного вытекает значение топологического понятия
дерево: дерево позволяет образовать независимые контуры и сече-
ния и, следовательно, формировать независимые уравнения по
законам Кирхгофа.
Пример 2.1. Составить независимые уравнения по законам Кирхгофа для
графа рис. 2.12.
Решение. Сначала выбираем дерево графа (ветви 2—3—5). Дерево,
главные контуры и сечения пока5аны на рис. 2.14. За направление обхода
контура принимаем направление ветви связи контура, за направление сече-
ния — направление, совпадающее с направлением ветви дерева сечения.
По первому закону Кирхгофа, для сечений
fs—«4—i’e=O (Si)|
(5а)>
4+14-11=0 (53),
61
Если за положительное направление тока принять направление к узлу,
то уравнения для сечений Sj и S3 совпадают с уравнениями для узлов.
По второму закону Кирхгофа,
Ui + u3 + u5=0 (контур /);
и4 — и5—и3+«2=0 (контур //);
ие — u3+u2=0 (контур III).
§ 2.3. Тополопнежц; матрицы графа и их свойства
Уравнения по законам Кирхгофа для токов и напряжений
могут быть записаны в матричной форме. Например, независимые
уравнения для трех узлов графа на рис. 2.12
—4 + 4 + 4 = 0;
- —4 + 4 + 4 — 0;
—*з + i-ъ — 4 = 0
эквивалентны матричному уравнению
• 4
0—1 0 10 1]
—1 1 1 0 0 0 ‘3
_ 0 0—101 — 1J
4
-4-
О’
о
.0.
Аналогично в матричной форме можно записать уравнения
для сечений и контуров. Левая часть таких уравнений представ-
ляет собой произведение матрицы коэффициентов на столбцовую
матрицу переменных. В правой части уравнения записана столб-
цовая матрица, все элементы которой равны нулю.
Матрицы коэффициентов уравнений Кирхгофа состоят только
из элементов -ф-1, —1 и 0. Значения этих элементов опреде-
ляются только структурой графа (схемы) и могут быть найдены
при рассмотрении графа (схемы).
В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают три
топологические матрицы: матрицу соединений (узловую) А, мат-
рицу сечений Q и матрицу контуров В.
Матрица соединений (узловая матрица) А — это таб-
лица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону
Кирхгофа для узлов. Строки этой матрицы соответствуют узлам,
столбцы — ветвям. Если элемент матрицы А обозначить через ац,
т. е.
А = [aif]
(z — номер строки, / — номер столбца), то можно сформулировать
следующее правило составления матрицы:
Оу=1, если ветвь-/ соединена с узлом i и направлена от
узла;
52
al}=—1, если ветвь / соединена с узлом I и направлена
к узлу;
a/z=0, если ветвь / не соединена с узлом i.
Обычно число строк матрицы А равно числу независимых
узлов, т. е. д = у — 1. Если узловую матрицу записывают для
всех у узлов, то ее обозначают Ан.
Пример 2.2. Составить матрицы Ан и А для графа на рис. 2.15.
Решение. Матрица Ан, записанная Для всех 5 узлов, имеет вид
1 2 3 4 5 6 7 8
1 - 1 0 0 0 1 0 1 о-
2 0 1 —1 0 — 1 1 0 0
СО II X 0 0 . 0 1 0 —1 —1 0
4 0 0 1 —1 0 0 0 —1
5 —1 —1 0 0 0 0 0 1
Вычеркивая любую строку, получают матрицу А.
соответствующую узлу 5, то
1 2 3 4 5 6 7 8
1 Г1 О 0 0 1 0 1 О'
А=2 0 1—1 0—1 1 0 0
3 0 0 0 1 0 —1 —1 О
4L0 0 1 —1 0 0 0 —1_
Сумма элементов каждого столбца мат-
рицы Аи равна нулю, так как каждый
столбец матрицы содержит только одну
4-1 и одну —1, а остальные элементы
столбца нулевые. В матрице А может от-
сутствовать одна строка матрицы Ан, соответствующая любому
узлу.
Если обозначить через
1(в) =
столбцовую матрицу токов всех ветвей, то уравнение
Ai<B> = 0 (2.5)
будет представлять матричную запись первого закона Кирхгофа.
С помощью матрицы А нетрудно выразить напряжения
всех ветвей через потенциалы узлов. Для этого элементы k-й
строки матрицы А следует умножить на (pk — потенциал k-ro узла,
затем сложить элементы каждого столбца. В /-м столбце может
быть -|-1 в k-й строке и —1 в t-й строке, если /-я ветвь при-
соединена между k-м и i-м узлами и направлена от k-ro узла.
Тогда напряжение /-й ветви н,-=
53
Таким образом, матрицы напряжений ветвей и узловых по-
тенциалов связаны равенством
и<в> = Ат<р, (2.6)
где
7/
Рис. 2.16
А
— соответственно столбцовые матрицы напряжений ветвей и узло-
вых потенциалов, причем потенциал последнего узла <ря+1 = <ру = 0;
Ат —транспонированная узловая мат-
рица.
Матрица сечений Q — это
таблица коэффициентов уравнений,
составленных по первому закону
Кирхгофа для сечений. Строки мат-
рицы Q соответствуют сечениям,
столбцы — ветвям.
Элемент q^ матрицы Q = оп-
ределяется следующим образом:
qtj— 1, если ветвь / содержится
в сечении и направлена согласно с
(т. е. с направлением для замкнутой по-
направлением сечения
верхности);
qij =—1, если ветвь / содержится в сечении i и направлена
противоположно направлению сечения;
9у = 0, если ветвь / не содержится в сечении i.
Если матрица Q составлена для главных сечений, то ее назы-
вают матрицей главных сечений. При этом за,положи-
тельное направление сечения обычно принимают направление
ветви дерева данного сечения.
Пример 2.3. Для графа на рис. 2.16 записать матрицу главных сечений.
Решение. Выбранное дерево (ветви 1—2—3—4) и сечения показаны
на рис. 2,16. Номер сечения считаем совпадающим с номером ветви дерева.
Матрица сечений
1 2 3 4
1 "1 0 0 0
Q = 2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 _0 0 0 1
5 6 7 8
10 10*
—1 0 —1 —1
0 —1 -1 —1
о —1 —1 0.
Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений д.
Матрица Q может быть получена с помощью линейной ком-
бинации строк матрицы Ан. Так, в матрице Q (см. пример 2.3)
строки 1 и 4 совпадают со строками 1 и 3 матрицы Ан (см. при-
мер 2.2), Строку 2 матрицы Q получаем как сумму строк 1 и 5
матрицы Ан, умноженных на —1; строка 3 матрицы Q равна
сумме строк 3 и 4 матрицы Ан.
Закон Кирхгофа для сечений в матричной форме записывают
следующим образом:
Qi<B> = 0. (2.7)
Если матрицу напряжений ветвей дерева обозначить через и(д),
то
и<в'= 0ти(д>, (2.8)
подматрицы:
столбцы которой
столбцы которой
7
8
Рис. 2.17
т. е. напряжение любой ветви схемы определяют через напря-
жения ветвей дерева.
Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица
главных сечений может быть разделена на две
Q I1 F],
где 1—единичная подматрица порядка у— 1,
соответствуют ветвям дерева; F — подматрица,
соответствуют ветвям связи (см. пример 2.3).
Матрица контуров (контурная мат-
рица соединения ветвей) В — это таблица ко-
эффициентов уравнений, составленных по
второму закону Кирхгофа. Строки матрицы
В .соответствуют контурам, столбцы — ветвям.
Элемент btj матрицы В = [Ьу] определяется
следующим образом:
bij = 1, если ветвь / содержится в кон-
туре i и направление ветви совпадает с на-
правлением обхода контура;
Ьц = —1, если ветвь / содержится в кон-
туре i и направление ветви противоположно
направлению обхода контура;
6у = 0, если ветвь / не содержится в контуре i.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют
матрицей главных контуров. При этом за направле-
ние обхода контура принимают направление ветви связи этого
контура.
Пример 2.4. Для графа на рис. 2.17 составить матрицу главных контуров.
Решение. Выбранное дерево (ветви и контуры показаны
на рис. 2.17. Номера контуров обозначаем римскими цифрами. Матрица кон-
туров
1 2 3 4 5 6 7 8
I —1
В = II О
III —1
IV L О
1 0 0 1 0 0 0
0 110 10 0
1110 0 10
1 1 0 0 0 0 1
Число строк матрицы В равно числу независимых контуров к.
Если матрица контуров составлена для большего числа контуров,
то ее обозначают Вн.
65
Второй закон Кирхгофа для напряжений в матричной форме
записывают следующим образом:
Ви<в) = 0. (2.9)
Токи всех ветвей могут быть выражены как линейные ком-
бинации токов ветвей связи. Можно считать, что в каждом кон-
туре замыкается контурный ток, равный току ветви связи
этого контура. Если элементы /-го столбца матрицы В умножить
соответствующим образом на контурные токи, то сумма таких
произведений и будет выражением тока /-й ветви через контур-
ные токи (через токи ветвей связи). Этот результат может быть
записан в виде матричного соотношения
» i(») = BTi<K), (2.10)
где 1(к) — столбцовая матрица контурных токов.
Если ветвям дерева присвоены первые номера, то матрица
главных контуров состоит из двух подматриц:
. В = [—FT 1],
где F —подматрица матрицы сечений Q, составленная на осно-
вании того же самого дерева (см. примеры 2.3 и 2.4); 1—еди-
ничная подматрица порядка к = в — у+1.
Пример 2.5. Проиллюстрировать матричные соотношения (2.5) 4- (2.10) на
примере графов рис. 2.15 4-2.17.
Решение. Матрицы А и В графов на рис. 2.15 4-2.17 записаны в при-
мерах 2.24-2.4. Матрицы токов и напряжений ветвей содержат по восемь
элементов;
Выполняя умножение матрицы А на матрицу i'B1, легко получить урав-
нения
<1++*'?=
*2—1з—1'б+1в—0;
Q — *'в—(у=0;
*з—14—£'а—0,
которые, как видно из графа на рис. 2.15, представляют собой уравнения по
первому закону Кирхгофа для узлов /, 2, 3 и 4,
56
Умножая матрицу Q на матрицу i(B’, можно получить уравнения по пер-
вому закону Кирхгофа для сечений на рис. 2.16:
Ч+ч+Ч—Ф
i2 — i6 — ij—ig=0;
*3 — ('e h 4=
£4 — ig — i7 = 0.
В правильности этих уравнении нетрудно убедиться непосредственно из
рассмотрения графа на рис. 2.16.
Умножение матрицы В на матрицу и,В) дает уравнения по второму закону
Кирхгофа для контуров на рис 2.17:
— иг + и2 иъ=0;
<*з4'и4 =
— 11г 4- «2 + и3 "Ь ui + w7 = О»
Из + Ыз + И8 =0-
Для иллюстрации соотношений (2.6), (2.8) и (2.10) необходимо- записать
матрицы узловых потенциалов, напряжений ветвей дерева и контурных токов:
Ф1' ч h
ф= Ф2 и(Д| = н2 • i(K) = hi (s
фз т «3 hu h
-Ф4- «4- hv. J’8-
Матрица <р содержит потенциалы всех узлов, кроме <[>5=0, поскольку
в матрице А (см. пример 2.2) отсутствует строка, соответствующая узлу 5.
Произведение
1 0 0 0 '«f
0 1 0 0 «2
0 - -1 0 1 Ф1 «3
0 0 1 —1 фа _ Ц4
ATq)= 1 - -1 0 0 фз “5
0 1 —1 0 -ф4- “в
1 0 —1 0 «7
о 0 0 —1_
Умножая матрицы, получим соотношения:
Ui = <Pi; u2— Фг> из——фа + фй' w4 — Фз ф4> — Ф1 — Фа>
«в = ф2 — Фз; «7=Ф1 — фз; «8 = —ф4-
Справедливость этих равенств очевидна (см. рис. 2.15).
Аналогично при умножении матрицы QT на матрицу и<д> получаются
выражения:
l/j = UjJ U2 — — W3J ll± — I/4J W5 = l/j — U2| Uq == -— Uq —
llj z=== — 11% — ^3 — ^4» ^8 =: ~~ ^2
Первые четыре равенства определяют напряжения ветвей дерева, оста л
ные — напряжения ветвей связи через напряжения ветвей дерева. Прав иль-
ность этих равенств очевидна из рис, 2.16.
57
Умножение матрицы Вт на вектор контурных токов приводит к соотно-
шениям:
1'1=—ч;
£2 — '' I + £ III + £I V — IБ +17 + *8’
£3 = ‘T l + ‘111 + ‘1V = ''в +17 + *8;
£4 = £Il+£III ==ie~i7>
£6 = £Ь 1в = £П’» 17 = 11П; *8 = £IV-
Первые четыре соотношения выражают токи ветвей дерева через контур?
ные токи (токи ветвей связи), остальные—токи ветвей связи, равные соответ-
ствующим контурным токам. Полученные соотношения легко составить
и непосредственно по графу на рис. 2.17.
Матрицы A, Q, В позволяют выразить алгебраическим языком
топологию схем, что существенно при анализе сложных цепей
с помощью цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Следует
определить соотношения между этими матрицами, а также ряд
их свойств.
Соотношения между топологическими матрицами. Если матрицы
A, Q и В составлены для одного и того же графа (схемы), то
они удовлетворяют следующим соотношениям:
АВТ = О; (2.11)
QBT = 0. (2.12)
Справедливость этих равенств легко показать на примерах
2.2-ь 2.4.
Докажем справедливость этих равенств в общем случае. Так,
вычисление произведения АВТ сводится к вычислению произве-
дений элементов матриц и сумми-
j рованию таких произведений. Произ-
ведение aijbkj отлично от нуля, если
к* ветвь j присоединена к узлу i и вхо-
дит в контур k (рис. 2.18). Но в та-
Рис. 2.18 ком случае всегда будет еще ненуле-
вое произведение ацЬы, соответствую-
щее ветви I, присоединенной к узлу i и принадлежащей также
контуру k. При любых ориентациях ветвей /, I и контура k сумма
aijbkf + ailt>kl — 0.
Например, для подграфа на рис. 2.18
k
I
°ijbkj + fyibki — i [—1
Аналогично доказывается и равенство (2.12).
Если к выражениям (2.11) и (2.12) применить операцию
транспонирования*, то
ВАт = 0; (2.13)
BQT = 0. . (2.14)
* Известно, что [ABC ...jT=...CTBTAT.
58
Из соотношения (2.12) вытекает справедливость отмеченного
положения: если ветвям дерева присвоены первые номера, то
матрицы Q и В имеют вид
Q —[1 F]; В = [—FT 1].
Действительно, если QBT==O и Q = [! F], то
Целесообразно установить связь между матрицами Q, В и А.
Пусть матрица А разделена на две подматрицы: •
А-[Ад Ас],
где Ад —подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева;
Ас — подматрица, соответствующая ветвям связи. Тогда
А1<В) = [АДАС]
'jW~
j(c)
= AJ<«> + Aci<c) = O,
' (2.15)
где 1(д) и — соответственно матрицы токов ветвей дерева
и ветвей связи.
Если подматрица дерева Ая неособенная *, то обе части урав-
нения (2.15) можно умножить на обратную матрицу Ад1. При
этом
1(д)-J-Ад1 Aci(c) = О,
или
гид)-]
[1 Ад‘Ас] 1{с) |-QK'>==0.
Таким образом, матрица сечений
Q = [1 Ад‘Ас] = А;1А, (2.16)
а ее подматрица, соответствующая ветвям связи,
Е = Ад‘Ас.
Матрица контуров
B = [-FT !]=[-АХАдУ 1]. (2.17)
Как видно из равенств (2.16) и (2.17), матрицы Q и В могут
быть сформированы из матрицы А. Следует подчеркнуть, что
матрицы (2.16) и (2.17) записаны для главных сечений и глав-
ных контуров, соответствующих одному и тому же дереву. Еди-
ничные подматрицы в матрицах Q и В имеют различный поря-
* Неособенной называют квадратную матрицу, определитель которой
отличен от нуля. Если Ад—неособенная матрица, то ее определитель det Ад =/=
0 и существует матрица Ад1, называемая обратной матрицей для матрицы Ад.
Произведение Ад'А =А А~* = 1 (1—единичная матрица).
док: в матрице Q(B) порядок единичной подматрицы' равен
у- 1 (e-i/4-l).
Неособенные подматрицы топологических матриц. Неособен-
ные подматрицы некоторой матрицы ' определяют ранг, этой
матрицы. Рангом матрицы называют наивысший порядок
неособенной подматрицы, содержащейся в матрице.
Ранг матрицы равен числу ее линейно независимых строк
(столбцов). Как было показано, число линейно независимых строк
матриц А, В и Q равно числу независимых’ уравнений, состав-
ляемых по соответствующему закону Кирхгофа. Таким образом,
ранг матриц А и Q графа (схемы) равен числу ветвей дерева:
д=у-\.
Ранг матрицы В графа (схемы) равен числу ветвей связи,
т. е.
к —в — у-\-1.
Если из столбцов матрицы А образовать все возможные под-
матрицы порядка д = у — 1, то все неособенные подматрицы
порядка д матрицы А соответствуют деревьям, причем определитель
таких подматриц равен ±1.
Это утверждение можно доказать в общем случае. Дерево
рассматривают как самостоятельный граф и составляют для него
узловую матрицу Ад. Матрица Ад — квадратная порядка д = у— 1.
Ранг матрицы’ Ад, как любой узловой матрицы, равен числу
линейно независимых строк, т. е. д. Порядок матрицы Ад равен
ее рангу, следовательно, матрица А неособенная.
Любая неособенная подматрица, составленная из у— 1 столб-
цов матрицы А, имеет линейно независимые столбцы. Эти столбцы
могут соответствовать только ветвям 'дерева, поскольку столбцы
матрицы А, соответствующие ветвям любого контура или под-
графа, содержащего контур, на основании равенства (2.11)
линейно зависимы. Таким образом, квадратная подматрица Ад
порядка у — 1 матрицы А является неособенной, если только
столбцы Ад соответствуют дереву.
Поскольку матрица Ад неособенная, т. е. ее определитель
det Ад # О,
то в матрице Ад обязательно найдется такой столбец, который
содержит только, одну ф- 1 или только одну —1. Выполняя раз-
ложение определителя по элементам этого столбца, можно
записать
det Ад = ± 1 • Аг/,
где Ау — соответствующее алгебраическое дополнение. Так как
det Ад 0„ то алгебраическое дополнение содержит столбец,
в котором имеется только одна ф- 1 (или —1). Продолжая таким
образом разложение определителя, получают
det Ад = (± 1) (±1)...(± 1) = ± 1.
Например, для графа на рис. 2.15 определитель подматрицы
Ах матрицы А, соответствующей дереву 1 — 2 — 3 — 4 (см. при-
мер 2.2),
1 0 0 0' 1 0 0 0
det Ах = det 0 1 —1 0 0 1 0 0 —1 0 =— 1
0 0 0 1 0 1
0 0 1 —1 0 0 1 —1
Если образовать подматрицу А2 из столбцов 1—2 — 3 — 5
матрицы А (ветви 1—2—3—5 образуют подграф, содержащий
контур), то 1 0 0 1 1 0 D 1
det А3 = det 0 1 —1 —1 — 0 1 —1 - 1 = 0.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0. 0 0 г 0
Таким образом, если б матрице А найдены все неособенные
подматрицы, то определены все деревья схемы.
Из равенства (2.16) можно доказать, что все неособенные
подматрицы порядка у— 1 матрицы Q также соответствуют
деревьям схемы, причем определитель таких подматриц равен ± 1.
Действительно, подматрица Q' порядка у— 1 матрицы Q
получается в результате умножения Ад1 на подматрицу А'
порядка у— 1 матрицы А: Q' = Afl’A', где Ад — подматрица
матрицы А, соответствующая ’ одному из деревьев схемы. Опре-
делитель произведения двух квадратных матриц, как известно,
равен произведению их определителей. Поэтому, если подмат-
рица А' соответствует любому дереву, то detA' = ±l, det Ад1 —
= ± 1 и det Q' = ± 1; если же подматрица А' не соответствует
дереву, то det А'= 0 и detQ' = O.
Определители квадратных подматриц любого порядка (до у — 1
включительно), образованных из матриц А или Q, могут при-
нимать значения только +1, —1 и 0. Из выражения (2.17)
следует, что определители квадратных подматриц любого порядка
до в — у-\-\ включительно, образованных из матрицы В, могут
принимать лишь значения ф1, -1 и 0.
Все неособенные подматрицы порядка к = в — у + 1 матрицы В
соответствуют ветвям связи (дополнениям деревьев).
Пусть выбрано одно из деревьев схемы (первое дерево) и для
главных контуров, которые получаются присоединением ветвей
связи к этому дереву, составлена матрица В в виде (2.17). Можно
выбрать другое дерево и для другой системы главных контуров
записать матрицу контуров В' при условии, что порядок столб-
цов соответствует порядку столбцов в матрице В. Тогда матрица
в'=[в; в'],
где подматрица Вд(Вс) соответствует тем же ветвям, что и под-
матрица —-FT(1) в матрице (2.17), т. е. ветвям первого дерева
61
(ветвям связи первого дерева). По второму закону Кирхгофа,
ВХ+вх=о,
где ид (ис) — матрица напряжений ветвей первого дерева (ветвей
связи первого дерева). Из записанного равенства матрица
uc = -(B')-xBX. ' (2.18)
Напряжение любой ветви связи может быть выражено как
линейная комбинация напряжений ветвей дерева, так как суще-
ствует путь по ветвям дерева между узлами ветви связи. Следо-
вательно, в матричном соотношении (2.18) между матрицами ис
и ид подматрица Вс должна быть неособенной, т. е. подматрица
матрицы контуров, соответствующая ветвям связи любого дерева,
является неособенной.
Если предположить, что В£ — неособенная подматрица порядка
к матрицы В', то легко прийти к выводу, что В£ соответствует
ветвям связи некоторого дерева, а Вд —ветвям дерева. В про-
тивном случае некоторые вегви, соответствующие столбцам Вд,
образуют ко’нтур и число независимых уравнений, по второму
закону Кирхгофа, будет больше к = в-у-\-1, что невозможно.
Таким образом, все неособенные подматрицы порядка к мат-
рицы контуров соответствуют ветвям связи. Определители этих
неособенных подматриц равны ± 1 (в случае матрицы главных
контуров).
§ 2.4. Дуальные цепи
Дуальные графы. Дуальными называют два графа, если
узловая матрица одного из них Ах равна контурной матрице дру-
гого В2 (и наоборот):
АХ = В2; (2.19)
ВХ = А2. (2.20) -
Из равенств (2.19) и (2.20) вытекает, что дуальные графы
имеют одинаковое число ветвей. Кроме того, узлы одного графа
соответствуют контурам второго и наоборот.
Для построения графа, дуального заданному, необходимо внутри
каждого контура исходного графа поместить узел; один узел
помещается вне графа. Затем каждую пару новых узлов соеди-
няют ветвью так, чтобы эта ветвь пересекала ветвь исходного
графа. Ориентацию ветвей нового графа производят в соответст-
вии с рис. 2.19, на котором показаны один контур исходного
графа, узел и ветви дуального графа (обозначения ветвей и узла
дуального графа имеют индекс d).
Сформулированное правило иллюстрируется рис. 2.20. Исход-
ный граф показан на рис. 2.20, а; штриховые линии соответст-
вуют построению дуального графа. На рис. 2.20, б изображен
дуальный граф.
Любому дереву исходного графа соответствуют ветви связи
дерева дуального графа и наоборот. Например, дереву 1 — 2—
3—5 (рис. 2.20, а) соответствуют ветви связи 1а — 2й — 3й — 5й
(ветви ld — 2d — 3d — 5d образуют связи дерева 4d-6d — 7d).
Ветвям контура (сечения) исходного графа соответствуют ветви
сечения (контура) дуального графа. Например, ветви 1 — 5 — 6
графов, кото-
существуют только для
образуют контур (рис. 2.20, а)- ветви Iй —5й —6й образуют сече-
ние (рис. 2.20, б).
Последовательному соединению ветвей исходного графа соот-
ветствует параллельное соединение дуальных ветвей и наоборот”
Например, ветви 3 и 4 соединены последовательно (рис. 2.20, tz)’
ветви 3d и 4d — парал-
лельно (рис. 2.20, б).
Если в некотором
графе число контуров
равно числу ветвей де-
рева: д = к, то дуаль-
ный граф имеет такую
же структуру, как ис-
ходный. Такие графы
называют самодуаль-
ными (рис. 2.21, а, б).
Из правила построе-
ния дуального графа
можно сделать вывод-,
что дуальный граф нель-
зя построить для любо-
го графа. Дуальные графы
рые могут быть изображены на плоскости без пересечения вет-
вей. Такие графы называют планарными (плоскими). На-
пример, граф на рис. 2.15 планарный, так как он может быть
изображен без пересечений ветвей (см. рис. 2.17).
На рис.. 2.22, а и б приведены примеры непланарных графов,
так называемых графов Куратовского.
Дуальные элементы схемы. Двухполюсные элементы схемы
называют дуальными, если зависимость и (I) одного элемента
совпадает с зависимостью i(«) другого и наоборот.
Источник э. д. с. e(t) и источник тока J (t) будут дуальными,
если е (t) = J (t). Это равенство следует понимать как численное
равенство э. д. с. (в вольтах) и тока источника тока (в амперах).
Для линейного сопротивления г дуальным элементом будет
проводимость g — r и наоборот. Действительно, при g — r урав-
нение u = ri совпадает с уравнением i — gu*.
Равенство g — r следует понимать как численное равенство
проводимости (в сименсах) и сопротивления (в омах).
У дуальных нелинейных резистивных двухполюсников должны
совпадать нелинейные зависимости u (/) и I (и).
Рис. 2.22
Линейный индуктивный и емкостный двухполюсники характе-
ризуются соответственно уравнениями
откуда видно, что индуктивность L и емкость С —дуальные эле-
менты при L — C. Равенство L = C следует понимать как числен-
ное равенство индуктивности (в генри) и емкости (в фарадах).
В общем случае нелинейных индуктивных и емкостных двух-
полюсников дуальность означает совпадение нелинейных харак-
теристик V (i) и q (и).
Принципиально можно говорить и о дуальности многополюс-
ных элементов схемы. При этом два элемента считают дуальными,
если математическое описание одного получают из математиче-
ского описания другого заменой всех переменных, обозначаю-
щих напряжения (токи), на переменные, обозначающие токи
(напряжения).
Построение и свойства дуальных схем. Две схемы электриче-
ских цепей, содержащих двухполюсные элементы, называют
дуальными, если они имеют дуальные графы и каждому элементу
одной схемы соответствует дуальный элемент другой.
Для построения схемы, дуальной заданной, строят дуальный
граф и каждый элемент заданной схемы заменяют дуальным эле-
* Совпадение уравнений понимается следующим образом: если в первом
уравнении напряжение (ток) заменить током (напряжением), то получается
второе уравнение.
ментом. При построении дуального графа каждый двухполюсный
элемент (е, J, г, L, С) следует рассматривать как отдельную
ветвь.
На рис. 2.23 приведен пример схемы электрической цепи и
штриховыми линиями показано построение дуального графа этой
схемы. Дуальная схема изображена на рис. 2.24.
Для заданной схемы дуальная схема существует в том слу-
чае, если исходная является планарной, т. е. имеет планарный
граф.
Основным свойством дуальных схем является совпадение урав-
нений, составленных по первому (второму) закону Кирхгофа,
одной схемы с уравнениями, составленными по второму (первому)
закону Кирхгофа другой схемы.
?
Рис. 2.23 Рис. 2.24
Совпадение уравнений вытекает из равенств (2.17) и (2.18)
и определения дуальных элементов.
Пример 2.6. Составить уравнение по законам Кирхгофа дуальных схем
на рис. 2.23 и 2.24.
Решение. Для схемы на рис. 2.23, по первому закону Кирхгофа,
— h + ^г + ез =0;
— is+^+A=0'
По второму закону Кирхгофа, уравнения для контуров
имеют вид
Г111 + Ь2-^- = е1;
— L2 —# + -р- t'g dt + г3i3 + г4i4 = 0.
ut С-g J
Заменяя в записанных уравнениях все величины на дуаль-
ные, получим:
— Hi 4* и2 4- и3 — 0; (а)
— 11$ “-J- W4 “р £4 = 0 J (б)
gi«i+c2 Ji, (в)
— L3 4'ёзЫ3 4~ё4Ы4 = 0. (г)
3 п/р. Ионкина, т. I
65
При рассмотрении схемы на рис. 2.24 видим, что уравнения
(а) и (б) представляют собой уравнения для контуров gi —С2 —L3
и Ss~gt — дуальной схемы, а уравнения (в) и (г) —уравнения
по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 дуальной схемы
(токи элементов выражены через напряжения на их зажимах).
Если для системы уравнений одной из дуальных схем найдено
решение, то оно будет и решением уравнений другой схемы (при
замене токов напряжениями и наоборот).
Равенство узловой и контурной матриц дуальных схем позво-
ляет установить важное свойство матрицы контуров планарной
схемы в случае, если контуры выбраны в виде элементарных ячеек
схемы.
Контурам (ячейкам планарной схемы) ставят в соответствие
узлы дуальной схемы. При этом матрица контуров В исходной схемы
равна узловой матрице дуальной схемы. В § 2.5 доказано, что все
неособенные подматрицы максимального порядка узловой матрицы
находятся в однозначном соответствии с деревьями и их определи-
тели равны ± 1. Так как дереву дуальной схемы соответствуют
ветви связи исходной схемы, можно сделать вывод, что все неособен-
ные подматрицы максимального порядка матрицы контуров (ячеек
планарной схемы) находятся в однозначном соответствии с ветвями
связи деревьев, причем определители этих подматриц равны ± 1.
Таким образом, подматрицы порядка в — у + 1 матрицы кон-
туров-ячеек имеют те же свойства, что и подматрицы матрицы
главных контуров.
раздел второй
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ э. д. С. И ТОКОВ
глава з
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ
В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ
§ 3.1. Постановка задач анализа электрических цепей
В общем случае задача анализа электрической цепи состоит
в определении токов в ветвях (элементах) цепи и напряжений на
зажимах ветвей (элементов). При этом должны быть известны
схема цепи, параметры пассивных элементов, а также законы изме-
нения во времени э. д. с. и токов источников.
Э. д. с. источников э. д. с. и токи источников тока представляют
собой внешние «возмущающие воздействия», или, кратко, «возму-
щения». Токи в ветвях цепи или напряжения на зажимах ветвей
можно рассматривать как «реакции цепи» на приложенные возму-
щения.
Часто представляет интерес определение тока только в одной
из ветвей или напряжения между одной парой зажимов при возму-
щении от одного источника. В этом случае можно говорить о рас-
чете некоторой выходной величины (реакции) у (f) при известной
входной величине (возмущении) к (/), т. е. о расчете зависимости
У = У W.
где у = у ([)• х = х (/).
Расчет реакций цепи в виде функций времени называют анали-
зом во временной области.
Большое практическое значение имеют два вида возмущений:
постоянные (неизменные во времени) и изменяющиеся во времени
по периодическому, например по гармоническому, закону.
Если при постоянных (периодических) возмущениях реакции
цепи также постоянны (меняются по периодическому закону), то
режим в цепи называют установившимся. В других слу-
чаях говорят о переходных (нестационарных) режимах. Установив-
шийся режим представляет собой частный случай переходного
и наступает теоретически при бесконечно длительном воздействии
источников.
В линейных цепях реакции пропорциональны возмущениям.
Поэтому удобно рассматривать реакцию, отнесенную к возмущению,
если возмущение — постоянная величина. Отношение реакции
3* 67
к возмущению, т. е. у]х, называемое в общем случае передаточной
(схемной) функцией, может иметь различную размерность. Если у
и х представляют собой напряжения (токи), то отношение ylx —
безразмерная величина и называется коэффициентом пе-
редачи напряжения (тока). Если у — напряжение (ток),
ах — ток (напряжение), то отношение ylx имеет размерность сопро-
тивления (проводимости) и называется передаточным или
взаимным сопротивлением (проводимостью) *.
Учитывая сказанное, задача анализа может ставиться как задача
расчета коэффициентов передачи напряжения и тока, передаточных
(взаимных) сопротивлений и проводимостей, т. е. передаточных
функций.
При гармонически изменяющемся возмущении отношение реак-
ции к возмущению при установившемся режиме может быть представ-
лено как некоторая комплексная величина, модуль и аргумент
которой зависят от частоты гармонического возмущения. Расчет
частотных зависимостей относится к задачам анализа цепи в ча-
стотной области.
Для ряда цепей важное значение имеет определение энергети-
ческих показателей — энергий и мощностей генераторов и нагрузок,
коэффициентов полезного действия и т. д. Расчет энергетических
показателей сводится к расчету соответствующих напряжений и
токов.
Следует отметить также еще ряд задач анализа цепей: вычисление
изменения реакции цепи, обусловленного изменением параметров
цепи; расчет характеристик чувствительности цепи к изменениям
параметров; определение условий устойчивой работы цепи; иссле-
дование свойств передаточных функций (во временной и частотной
областях). Решение этих задач в первую очередь требует умения
рассчитывать токи и напряжения элементов’ цепи.
§ 3.2. Цепи с сопротивлением г и индуктивностью L
Последовательная цепь. На рис. 3.1 показана схема электричес-
кой цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивле-
ния г и индуктивности L, а также источника постоянной э. д. с.
При замыкании ключа источник подключается к ветви L, г.
Для этой цепи при замкнутом ключе, по второму закону
Кирхгофа,
uL-\-ur —
где uL, иг — соответственно напряжения на индуктивности и
сопротивлении. Учитывая выражения для напряжений
г di
ul = L-^-\ ur = n,
* В частном случае, когда у и х—напряжение и ток одно? ветви, отно-
шение у/х называют входным сопротивлением (проводимостью)
ветви.
68
собой обыкновенное линейное
уравнение первого порядка
данную цепь характеризуют следующим дифференциальным урав-
нением:
ИЛИ
’>+-=4. <зл>
где x = L/r.
Уравнение (3.1) представляет
неоднородное дифференциальное
с постоянными коэффициентами.
Чтобы решить это уравнение, сна-
чала находят общее решение iCB
однородного уравнения, т. е.
уравнения с правой частью, рав-
ной нулю:
т-^-Мсв = О. (3.2)
Уравнение (3.2) —это уравнение с разделяющимися перемен-
ными:
= dt. (3.3)
1СВ
Интегрируя равенство (3.3), получаем
lntCB = — y + IdA
Следовательно, общее решение уравнения (3.2) имеет вид
tCB = Ае х ,
где А — постоянная интегрирования.
Если найдено общее решение однородного уравнения, то общее
решение неоднородного уравнения можно получить, например,
с помощью вариации постоянной. Для этого принимают ток
i = B(0e
где В (/) — неизвестная функция t.
Производная тока
^=-В'(/)е"^-4в(0е"'’.
При подстановке выражений для тока и его производной
в уравнение (3.1) получают
________t t L
хВ’ (0 е г - В (t)e_________т
69
откуда
В' (i) =--&*•
' ТГ ’
,© р _£ Л —
В{1) =— \ еМ/ = —ет + Л.
v J г
Таким образом,’общее решение неоднородного уравнения (3.1)
записывается следующим образом:
1=^е^ + л)е~^=-^+Ле-^, (3.4)
или
t —inp4*^'cB> (3-5)
где —
Как видно из выражения (3.5), ток I 'имеет две составляю-
щие: первая составляющая inp является частным решением неод-
нородного уравнения (получается из общего решения при Д = 0);
вторая составляющая iCB — общим решением однородного уравне-
ния. Первая составляющая для рассматриваемого случая во вре-
мени не изменяется; вторая — изменяется с течением времени
по экспоненциальному закону и обращается в нуль при t — co.
Момент времени / = 0 рассматривают как момент, в который
источник напряжения S подключается к цепи. Момент t = co
соответствует установившемуся режиму: ток i — i,,p не изменя-
ется. При неизменном токе dildt = Q и из уравнения (3.1) находят
inp = ^-
Таким образом, в выражении (3.5) первое слагаемое имеет
физический смысл тока установившегося или принужденного
режима и называется принужденным током.
Слагаемое iCB в выражении (3.5) характеризует ток в цепи
при отсутствии источника, т. е. при S = 0. Этот ток может быть
обусловлен энергией, запасенной в магнитном поле, связанном
с индуктивностью, и называется свободным током.
Если известно значение тока в начальный момент времени
/ = 0 (момент замыкания ключа), можно найти постоянную инте-
грирования А. Так, при i|<_o = i(O) = O постоянная А опреде-
ляется соотношением
i(0)=/+yi=0,
откуда
Подставляя найденное значение А в равенство (3.4), легко
записать выражение для тока
i = (3.6)
70
На рис. 3.2 показаны графики изменения токов гпр, гСЕ, i при
/(0) = 0. При t — x свободная составляющая уменьшается по
абсолютной величине в е раз; постоянная т, имеющая размер-
ность времени, характеризует скорость изменения свободной
составляющей тока и называется постояниой времени
цепи. Для рассматриваемой цепи x — L/r, т. е. постоянная вре-
мени пропорциональна индуктивности и обратно пропорциональна
сопротивлению. Нетрудно убедиться, что постоянная времени х
соответствует подкасательной ОМ, т. е.
«'св (0) I
«св (°) Г
/' = () и энергия,
т =
Теоретйчески установившийся режим
наступает при / = оо. Практически уже
при t — Зт свободный ток в цепи умень-
шается (по абсолютной величине) до
5% от своего начального значения; при
£ = 5т свободный ток уменьшается до
0,7% от начального значения.
Процесс нарастания тока в соответ-
ствии с графиком на рис. 3.2 можно
пояснить следующим образом. В мо-
мент включения источника э. д. с. ток
в цепи
запасенная в магнитном поле, WL==0. При включении источника
установившийся режим не может наступить мгновенно, так как
не может мгновенно возрасти энергия магнитного поля, связан-
ная с индуктивностью, до величины
2г2 •
^ПР = -^
Мгновенное (скачкообразное) изменение энергии соответство-
вало бы бесконечной мощности
dW,
р^-зг-и^
и бесконечно большому напряжению щ, что не имеет физиче-
ского смысла для рассматриваемой цепи.
Поэтому в данной цепи с индуктивностью возможно лишь
непрерывное изменение тока, соответствующее непрерывному
изменению энергии, запасенной в магнитном поле, от начального
до конечного уровня. Росту тока противодействует э. д. с. само-
индукции, возникающая по закону Ленца* *:
eL = — uL= — L~ = — Se т.
В начальный момент времени э. д. с. самоиндукции равна
по величине и противоположна по направлению э. д. с. источника:
Q(0)=— S.
* При условии, что ток изменяется по формуле (3,6).
71
Пусть в цепи; схема которой приведена на рис. 3.3, ключ
был замкнут (положение 1) и источник действовал достаточно
Рис. 3.3
долго, т. е. наступил установивший-
ся режим. Если в некоторый момент
времени, который можно считать
равным t — 0, ключ мгновенно (без
разрыва rL-цепи) переключить в по-
ложение 2, то получится коротко-
замкнутая rL-цепь. Ток в коротко-
замкнутой цепи не может мгновенно
уменьшиться до нуля, поскольку не
может скачкообразно уменьшиться
энергия, запасенная в магнитном
поле индуктивной катушки.
Процесс в короткозамкнутой цепи описывается уравнением
(3.2). По условию, начальное значение тока
i (0) = Sir,
поэтому
(3.7)
В данном случае ток в цепи поддерживается э. д. с. само-
индукции
eL =— uL — — т. (3.8)
Графики функций — eL(t) = ur(t), ut(t) построены
на рис. 3.4.
Начальный запас энергии магнитного поля, связанной с индук-
тивностью, »
72
Энергия, рассеиваемая в сопротивлении,
СО СО 9/
1W С •" С?2 (* L$2
^т=^=^.
о о
Таким образом,
\Vr = WL (0),
т. е. вся энергия магнитного поля выделяется в сопротивлении г
в виде тепла.
Параллельная цепь. На рис. 3.5 изображена схема электри-
ческой цепи, состоящей из параллельно соединенных сопротив-
ления г и индуктивности L, подключаемых при размыкании ключа
к источнику постоянного тока J.
По первому закону Кирхгофа (ключ разомкнут),
ir 4* II — J \
где ir, Il — соответственно токи в сопротивлении г и индуктив-
.ности L.
Ток в сопротивлении можно выразить через ток в индуктив-
ности:
1 1 dtdi
tr — а ~~~~ L jj '—“ т >. ,
г г г dt dt ’
где и — напряжение между узлами схемы; x — L/r— постоянная
времени. Таким образом, ток определяется из дифференциального
уравнения
di,
T^ + iL=J, (3.9)
аналогичного уравнению (3.1).
По аналогии, решение уравнения (3.9) можно записать сразу:
iL = J+Ae \ (3.10)
Если момент t = 0 соответствует моменту включения источника
тока и it (0) = 0, то А = — J и
fi = j(l-e-^). (3.11)
Решение (3.10) содержит принужденную составляющую
пр
н свободную составляющую
/1св = Ле '
Принужденная составляющая тока представляет собой ток
через индуктивность при установившемся режиме и может быть
найдена из условия dii/dt, ~ 0, и = 0, т. е. Индуктивность является
короткозамкнутой ветвью, ток которой равен току источника.
73
Ток в сопротивлении г изменяется по закону,
_Л
tr = J-zL = Je ¥. (3.12)
Напряжение между узлами
и = rir — Jre т. (3.13)
Графики функций (3.11)ч-(3.13) показаны на рис. 3.6. Ток iL
в индуктивности изменяется непрерывно,, что связано с невозмож-
ностью скачкообразного изменения
энергии магнитного поля.
Вся энергия,, отданная источни-
ком,
№ист Ju dt=J2r^ е~У dt= J2L.
о о
Энергия, рассеянная в сопротивле-
нии,
СО СО 9/
Wr = r\isrdi = J2r\e
б о
Энергия, запасенная в магнитном ноле,
Li* пп LJ2
Таким образом, WMT — Wr-\-Wl-
Если после достижения установившегося режима в цепи на
рис. 3;5 мгновенно отключить источник, то ток в индуктивности
уменьшается по экспоненциальному закону от начального значе-
ния zL(O) = J до нуля (анологично _току ё, показанному на
рис. 3.4); при этом ir =— iL.
§ 3.3. Цепи с сопротивлением г и емкостью С
Последовательная цепь. На рис. 3.7 показана схема цепи,
содержащей последовательно соединенные сопротивление г и
емкость С, подключаемые при замыкании ключа к источнику
постоянной э. д. с. й“.
Для такой цепи справедливо уравнение (при замкнутом ключе)
Ur U(j =
Учитывая, что напряжение
dur dur
ur = ri =^rC.-~d--=x—^,
di at
где т = rC — постоянная времени цепи, получают дифференциаль-
ное уравнение
dun ~
= (3.14)
74
Уравнение (3.14) аналогично (3.9), поэтому его решение ана-
логично (3.10), т. е,
t
f. (3.15)
Выражение (3.15) содержит принужденную составляющую
«СпР = ^
и свободную составляющую
_ t
исв — Ае х.
Если момент времени't = 0 соответствует моменту включения
источника напряжения и ис (0) = 0, то постоянная А = — S.
В этом случае
мс = <?(1-е-^. (3.16)
Закон изменения напряжения (3.16) аналогичен закону изме-
нения тока (3.11).
Напряжение на сопротивлении
_.д
ur=^S — ис = <§‘е т; (3.17)
ток в цепи
/=^ = ^е“^ (3.13)
Выражения (3.17) и (3.18) аналогичны (3.12) и (3.13). Гра-
фики функций ис (i), и, (t\, i (t) приведены на рис. 3.8.
Напряжение на емкости возрастает от нуля до значе-
ния ыСпр = ^ по экспоненциальному
жается; ток, заряжающий его, имеет
наибольшее значение в начальный
момент времени. При установившем-
ся режиме, когда конденсатор заря-
жен до напряжения S, ток равен
нулю, т. е. при установившемся ре-
жиме конденсатор с совершенной
изоляцией эквивалентен разомкнутой
ветви.
Запас энергии Wc, связанной с
электрическим полем конденсатора,
не может измениться скачкообразно
привело бы к бесконечной мощности
dWc
Рс = -^г = Чс1
и бесконечно большому току I, что не имеет физического смысла
для рассматриваемой цепи. Таким образом, в данной цепи воз-
закону. Конденсатор заря-
Рис. 3.7
. Такое изменение энергии
75.
можно лишь непрерывное изменение напряжения Uc, соответ-
ствующее непрерывному изменению энергии в электрическом
поле конденсатора.
Энергетические соотношения в цепи на рис. 3.7 полностью
аналогичны соотношениям, полученным для цепи на рис. 3.5.
Пусть конденсатор, заряжен-
ный до напряжения S, в мо-
мент £ = 0 подключают к соп-
ротивлению г (рис. 3.9). После
Рис. 3.9
замыкания ключа конденсатор разряжается. Для этой цепи спра-
ведливо уравнение
du,-.
т-^р + «с = 0, (3-19)
откуда
_ t
ис = иСл,в=Ае т.
По условию, ис (0) = S, следовательно,
— Z
мс = «ссв = ^е Ч
Ток в цепи
Кривые изменения напряжения ис н тока i при разряде конден-
сатора показаны на рис. 3.10. Вся энергия,-запасенная в емко-
сти, рассеивается в сопротивлении г.
Параллельная цепь. Для цепи на рис. 3.11 справедливо урав-
нение (при разомкнутом ключе)
ic + ir — J •
Учитывая, что
. fdu . и
lc = Ldt' tr==V’
получают дифференциальное уравнение
*
du , г
(3.20)
76
Если момент времени t = Q соответствует моменту включения
источника постоянного тока и ис (0) = 0. (конденсатор не заряжен),
то по аналогии с решением (3.5) уравнения (3.1) записывают
решение уравнения (3.20):
и = Jr (1-е-*). (3.21)
Ток в емкости
(3.22)
ток в сопротивлении
ir = y = j(l-e-^). (3.23)
Графики зависимостей (3.21)-г-(3.23) показаны на рис. 3.12.
При установившемся режиме
емкость эквивалентна разомк-
нутой ветви и весь ток источ-
ника замыкается через сопро-
тивление г. Энергетические со-
отношения в цепи на рис. 3.11
аналогичны энергетическим со-
отношениям в цепи на рис.
3.1.
При равенстве численных
значений соответствующих па-
раметров цепи на рис. 3.1 и
3.11 являются дуальными. Такое
цепей на рис. 3.5 н 3.7.
утверждение справедливо и для
§ 3.4. Цепи с сопротивлением г, индуктивностью L
и емкостью С
Последовательная цепь. Для последовательно соединенных
сопротивления г, индуктивности L и емкости С, подключаемых
к источнику постоянной э. д. с. (рис. 3.13), справедливо уравне-
77
Рис. 3.13
ние (при замкнутом ключе)
A -j- llr Uc — t
или
L^+ri+i^idt=s‘- <3-24)
Дифференцируя по времени обе части равенства (3.24), легко
получить линейное дифференциальное уравнение второго по-
рядка
g + 2ag+«)«i = 0, (3.25)
где 2а = гЩ <^ = ^.
_ Уравнение (3.25) —однородное; это означает, что ток в дан-
ной цепи имеет только свободную со-
ставляющую,. Действительно, при уста-
новившемся режиме, когда ток и' на-
пряжения на всех элементах постоянны,
ветвь с емкостью эквивалентна разомк-
нутой ветви.
Общее решение линейного однород-
ного дифференциального уравнения п-го
порядка определяется корнями харак-
теристического уравнения, которое по-
лучается из дифференциального урав-
нения заменой производной k-vo порядка (& = 0, 1, ..., п) мно-
жителем pk. Для уравнения (3.25) характеристическое уравнение
имеет вид
р2 + 2ар+<0о = О. (3.26)
Корни характеристического уравнения
А,2 = — а±]/а2 — cog. (3.27)
Возможны три случая.
1-й случай. Если сс><оо, то корни а и р2 вещественны и раз-
личны. При этом общее решение уравнения (3.25) записывают
в виде суммы двух экспонент:
i = iCB = + A2epst, (3.28)
где Лхи Л2 - постоянные интегрирования, определяемые из началь-
ных условий.
Пусть в момент включения источника t = 0 ток i (0) = 0 и
напряжение нс(0) = 0. Тогда из равенства (3.28)
Л1+Л2 = 0, (3.29)
Из уравнения (3.24) находят значение производной в началь-
ный момент времени, учитывая, что г(0) = 0, цс(0) = 0;
di | <§
•di |/_о L *
78
Дифференцируя (3.28) и подставляя / = 0, получаем
Дхрх-Ь^гРг= 1э/Г- (3.30)
Совместное решение уравнений (3.29) и (3.30) дает значения
постоянных
Таким образом, ток в цепи изменяется по закону
(3.31)
Зная ток, можно определить напряжение на каждом элементе
цепи. Например, напряжение на емкости
1 С . & / ePt‘ \ . g
UC с yat-LC(Pl-pj\ Р1 р2 LCPlPz‘
Учитывая, что произведение корней квадратного уравнения
равно свободному члену:
P^—Lc->
выражение для ис преобразуется к виду
ис = (Р2еР1/ -Pi&Pit) + g. (3.32)
Pl — Pz
Постоянная составляющая в этом выражении соответствует
установившемуся (принужденному) режиму, когда пСсв = 0 и все
напряжение источника оказывается приложенным к емкости.
Графики зависимостей (3.31) и (3.32) показаны соответственно
на рис. 3.14, а, б при | рх | <| р21.
Момент времени tlt в который ток достигает максимума,
находят из выражения di/dt = 0. Так как i — C diic/dt, то в момент
кривая изменения напряжения пс имеет перегиб (вторая произ-
водная dhicldt2 — 0).
79
2-й случай. Если а = со0, то корни характеристического урав-
нения вещественны и одинаковы: рх = р2 = — а. Общее решение
уравнения (3.25) в этом случае записывают в виде
i = iCB = H1 + ?l2/)e-4 (3.33)
Постоянные и Л2 определяют, как и в предыдущем слу-
чае, нз начальных условий.
Выражение для тока получается непосредственно как предел
функции (3.31) при p2->pi (правило Лопиталя):
i= lim -г-———v (epit —eP2t)=-^- lim -~fe1- — (3.34)
P,^P,b(Pi-P2) L Pi_P1==K -IL
Предел функции (3.32) дает выражение для напряжения на
емкости:
«с —— S (1 4-а/)е-а/+<^. (3.35)
Кривые тока i и напряжения ис аналогичны кривым, приве-
денным на рис. 3.14.
3-й случай. Если а<®0, то корни рг и р2 комплексно-сопря-
женные:
Р1,2 = — —а2 =— « — /®.
где <в = У cog —а2.
Подставляя значения корней в выражения (3.31) и (3.32),
находим
S aft eiat~e~Ja>l , ©/“'-Ье-ЛйЦ „
«С== —е-ю/(а---------2/----+“—1-------------) + £ <3-37)
Поскольку
__е- /со/ е7<в/_1_е-Ло1!
-----~-----= sin со/; ------------— cos ft)/(
формулы (3.36) и (3.37) переписываем следующим образом:
i = iCB=-^-e-a/sin<of; (3.38)
«с = — е~а/ (a sin &)/ + со cos со/) + S. (3.39)
Легко убедиться в справедливости равенства
a sin со/+со cos со/ = соо sin ^со/ + arctg j,
где сор = 'Кa2 -J- со2.
С учетом этого равенства соотношение (3.39) приводится к виду *
ис = — S е~а‘ sin (at + arctg (3,40)
* Угол 0 < arctg sg , так как ш > 0, а > 0.
80
Графики зависимостей (3.38) и (3.40) показаны на рис. 3.15, а, б.
Во всех трех рассмотренных случаях под действием источника
постоянной э. д. с. & происходит зарядка конденсатора. В пер-
вых двух случаях зарядный ток не изменяет направления, что
характеризует апериодический процесс. В последнем случае ток
представляет собой затухающую синусоидальную функцию, что
характеризует колебательный процесс. Колебания в цепи возни-
кают вследствие периодического взаимного преобразования энер-
гии электрического поля, связанного с емкостью, и энергии маг-
нитного поля, связанного с ин-
дуктивностью. Наличие сопротив-
ления в цепи приводит к затуха-
нию колебаний из-за рассеивания
энергии в сопротивлении.
Характер процесса зависит от
вида корней характеристического
уравнения, который, в свою оче-
редь, определяется соотношения-
ми параметров элементов цепи.
Параллельная цепь. Для цепи с источником постоянного тока
на рис. 3.19 справедливо уравнение (при разомкнутом ключе)
i'c + ir += J,
или
C du * и . If* j j j
+ T]udt = J.
(3-41)
Уравнение (3.41) аналогично (3.24), поэтому можно восполь-
зоваться результатами, полученными в § 3.5.
Напряжение и между узлами цепи на рис. 3.16 изменяется
аналогично току i в схеме на рис. 3.13. Ток в индуктивности iL
(рис. 3.16) изменяется аналогично напряжению ис (рис. 3.13).
При равенстве соответствующих параметров цепи на рис. 3.13
и 3.16 являются дуальными. Кривые зависимостей i, ис (рис. З.Г4
и 3.15) совпадают соответственно с кривыми дуальных величин
и, iL. При этом момент времени / = 0 следует рассматривать как
момент включения источника тока.
81
§ 3.5. Разряд конденсатора в цепи с сопротивлением г,
индуктивностью L и емкостью С
Пусть заряженный до напряжения Мс(0) = <^ конденсатор
подключают в момент времени / = 0 к г£-цепи (рис. 3.17). '
Под действием напряжения на конденсаторе в цепи возникает
ток, дифференциальное уравнение для которого совпадает с (3.25).
В зависимости о# вида
корней характеристического уравнения
возможен апериодический или колеба-
тельный разряд конденсатора.
Выражения тока i и напряжения
на емкости ис определяются как в
цепи на рис. 3.13 (см. § 3.5). При раз-
ряде конденсатора i (0) = 0, ис (0) =
. Производная
duc
= ^i(O) = O.
dt t-o
Производную (di/dt)t_о получают из уравнения
“С(0)+п(0)+/.4|,_о=о,
откуда
_dil =_
dt |л-о L
При разряде конденсатора выражения для тока i отличаются
от выражений (3.31), (3.34), (3.38) только знаком.
Для напряжения на емкости при «Спр= 0 получают соотно-
шения
«с = ——— (№Plt - Piepst)
Рг—Pi
(в случае вещественных различных корней);
«с = <^ (l + otf)e~a/
(в случае вещественных равных корней);
(в случае комплексно-сопряженных корней).
На рис. 3.18, а, б показаны зависимости i, ис соответственно
при апериодическом и колебательном разрядах конденсаторов.
Колебательный процесс при разряде конденсатора характери-
зуется периодом собственных колебаний, декрементом затухания
и логарифмическим декрементом затухания.
Период собстзенных колебаний
?___2л __ 2л
ш а2
(3-42)
82
Декремент затухания Д характеризует отношение амплитуд,
разделенных во времени периодом:
Д = = &т. (3.43)
“ е-а₽ + 7-) е • ' ’
Рис.. 3.18
Логарифмический декремент затухания'
6 = 1пД = аТ. (3.44)
Если потери в контуре отсутствуют (г = 0, а = 0), то коле-
бания не затухают. При этом
Т = —= 2nj/£C;
©О
ис = S sin (aot + у 1 — S cos ©of;
i =----— sin ©of •
£©0
Кривые uc (f) и i (t) для случая незатухающих колебаний
показаны на рис. 3.19.
Таким образом, LC-контур, в котором каким-либо образом
скомпенсированы потери (например, введением в контур отрица-
тельного сопротивления), может служить генератором незатухаю-
щих гармонических колебаний.
83
§ 3.6. Общие замечания об анализе цепей с сопротивлением г,
индуктивностью L и емкостью С
Как уже отмечалось, при включении источников постоянной
э. д. с. и постоянного тока в цепях, содержащих резисторы,
индуктивные катушки и конденсаторы, токи в ветвях и напря-
жения на зажимах элементов изменяются во времени от началь-
ных до установившихся значений. Практически длительность
переходных режимов можно считать конечной, измеряемой, как
правило, долями секунд. В цепях, не содержащих индуктивных
катушек и конденсаторов, установившийся режим наступает прак-
тически очень быстро (мгновенно).
Дифференциальное уравнение для искомой величины может
быть получено на основании системы уравнений Кирхгофа, опи-
сывающих цепь, путем последовательного исключения неизвестных.
Принужденная составляющая искомой величины также может
быть найдена в общем случае путем совместного решения уравне-
ний, составленных по законам Кирхгофа.
Начальные значения любых токов и напряжений вычисляют
из уравнений, составленных по законам Кирхгофа, при извест-
ных начальных значениях токов в индуктивностях и напряжений
на емкостях. Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях
изменяются только непрерывно, поэтому их начальные значения
равны значениям в предшествующем режиме цепи. Если, напри-
мер, цепь ранее не была подключена к источникам, то токи
в индуктивностях и напряжения на емкостях имеют нулевые
начальные значения.
Значения производных токов и напряжений при / = 0 нахо-
дят на основании уравнений Кирхгофа и уравнений, получаемых
путем дифференцирования уравнений Кирхгофа.
Расчет начальных и установившихся значений токов и напря-
жений в rLC-цепи с источниками постоянной э. д. с. и постоян-
ного тока сводится к расчету чисто резистивных схем. Действи-
тельно, для начального момента индуктивность можно заменить
источником тока Д (0) [если iL (0) = 0, то ветвь с индуктивностью
эквивалентна разрыву], а емкость —источником напряжения цс(0)
[если ис (0) = 0, то емкость эквивалентна короткозамкнутому
участку]. В установившемся режиме индуктивность (емкость)
эквивалентна короткозамкнутому участку (разомкнутой ветви).
Методы расчета сложных резистивных цепей рассматриваются
в следующих главах.
ГЛАВА 4
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ
ПРИ УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
§ 4Л. Применение уравнений Кирхгофа
Матричная форма закона Ома. Каждая ветвь цепи может содер-
жать сопротивление rk, идеальный источник э. д. с. Sk и идеаль-
ный источник тока Jk, где k=l, 2, в (рис. 4.1, а). Иногда
источники тока на схеме не изображают, а показывают только
токи источников в соответствующих узлах (рис. 4.1, б).
- Ток в сопротивлении rk (рис. 4.1)
Irk —Ik + Jk, где Ik — ток Л-й ветви.
Потенциал ipn узла п отличается от потенциала срт узла т
на величину падения напряжения в сопротивлении rk и на зна-
Рис. 4.1
чение э. д. с. Sk, причем для указанных положительных направ-
лений падение напряжения уменьшает, а э. д. с. увеличивает
потенциал <рт:
фл — фт — rklrk + $k — фл> ~ rk (Ik 4* J k) +
Напряжение на зажимах ветви
Uk ~ фт фл,
откуда
Vk = rkIrk-Sk
ИЛИ
Uk = rk(Ik+Jk)-#k. (4-1)
Соотношения для токов:
Irk=gk(Uk + ^k)-,
Ik=gk(Uk-^k)-Jk, (4.2)
где gk = \/rk — проводимость ветви.
Формулы (4.1) и (4.2) представляют собой аналитические выра-
жения закона Ома для участка цепи с источниками э. д. с.
и тока.
85
В общем случае, если ветвь содержит ряд последовательно
соединенных сопротивлений, источников э. д. с. и параллельно
соединенных источников тока, то в формулах (4.1) и (4.2) вместо rk
следует учитывать суммарное сопротивление ветви, а вместо <ok
и Jk — алгебраическую сумму соответственно э. д. с. источников
э. д. с. и токов источников тока. При этом' с положительным
знаком записывают э. д. с. и токи источников, ориентированные
относительно тока 1Г/г так, как показано на рис. 4.1 *; при про-
тивоположных направлениях э. д. с. и токи источников записы-
вают с отрицательными знаками.
Пример 4.1. С помощью закона Ома определить токи на всех участках
цепи на рис. 4.2, а и построить график распределения потенциала (потен-
циальную диаграмму) вдоль замкнутого контура. Параметры схемы: г1=г2 =
= 2 Ом; г3 = 5 Ом; г4=1 Ом; ^’1 = <^3=10 В; с?2= — 20 В; Л=10 А.
Решение. Схему на рис. 4.2, а рассмотрим как параллельное соедине-
ние двух ветвей, присоединенных к узлам 1 и 3. Одна ветвь содержит эле-
менты гь и jlt другая — г2, г3, г4, d?2 и (д3. По закону Ома для первой
ветви справедливо уравнение
1/1 = Г1 (Л — li) + <^i
или
• (/1 = 2(1!—10)4-10 = 2/!—10.
Для второй ветви
где г2=г24-Гз-|-Г4; ^e=^2+^s, или
£/2=8/2-|-10.
Так как то /1 = 2 А; 72=— 2 А; 7^ = ^—/1 = —8 А/
Для построения потенциальной диаграммы вычислим потенциалы точек
контура, отмеченных цифрами 1 ~7. Пусть <pi = 0, тогда
<р2 = Ф1-|-^1=0+10,= 10 В;
ч’з=<р2+'’1/г1=10-8==—6 в;
<р4=ф3—г2/2= — 6-J-2 2=— 2 В;
ф6=ф4 + (^2 = —2—20 = —22 В;
фв = фв— г3/2 = —22-|-5-2 =—12 В;
ф7=ф3 —(э з — — 12 —|— 10 = — 2В.
Обход контура заканчивается в узле 7, потенциал которого
Ф1 = ф7—— 2 1 *2=0,
как и было принято ранее.
При построении потенциальной диаграммы по оси абсцисс откладываем
в определенной последовательности сопротивления участков, а по оси орди-
нат— потенциалы соответствующих точек (рис. 4.2, б).
Пользуясь графиком распределения потенциала, определяем напряжения
между любыми точками схемы. Например, напряжение (/26 = ф2 — ф6=32 В;
б,47 = ф4— ф? = 0 И Т. Д.
* Положительные направления /&, 1 г и (Д. принимают совпадающими и,
/г
как правило, указывают одной стрелкой на соответствующей ветви графа.
86
Отношение падения напряжения на сопротивлении к сопротивлению равно
току участка и на графике определяется как тангенс угла наклона соответ-
ствующей прямой к оси абсцисс. Поэтому наклон прямых (3—4, 5—6, 7—1 на
рис. 4.2,.б), отображающих изменение потенциала вдоль сопротивлений с одним
в тем же током /2, одинаков.
где
— диагональная матрица сопротивлений ветвей (все элементы
этой матрицы, за исключением элементов главной диагонали,
равны нулю; элемент, находящийся на пересечении Л-й строки и
k-го столбца, равен сопротив-
лению /е-й ветви rk);
V<B> = [^l/2...C/B]T,
ж<е)=[«Л--.^в]т
— соответственно векторы на-
пряжений и токов ветвей, то-
ков источников тока и э. д.с.
источников э. д. с. ветвей.
На основании выражения
(4.2) запишем матричное со-
отношение
Ц«) = Д(в) g(B)j _ J(B),
(4.4)
где
G(E) =
gi
g2
— диагональная матрица проводимостей ветвей. В этой матрице
элемент gk=l/rk, поэтому матрицы R(B) и G(E) —взаимно обратны.
87
т. е.
G(B) = [R(E)]-i; R(B> =
Формулы (4.3) и (4.4) представляют собой аналитические
выражения закона Ома в матричной форме.
Система уравнений для токов и напряжений ветвей. Для цепи
с источниками постоянной э. д. с. и тока в установившемся
режиме, по первому закону Кирхгофа,
А1(в) = 0 (4.5а)
или
QI<B> = 0; (4.56)
по второму закону Кирхгофа,
« BU<B) = 0. (4.6)
Уравнения (4.5а) или (4.56), (4.6) совместно с (4.3) или (4.4)
полностью определяют режим цепи и позволяют решать задачи
ее анализа.
Целесообразно несколько видоизменить уравнения, записывае-
мые по законам Кирхгофа. Если обозначить столбцовую матрицу
в сопротивлениях .(т. е. матрицу, в k-й строке которой записы-
вается
Ir=HE) + J(B),
то из равенства (4.5а) следует
AIr = AJ(B). (4.7)
Произведение А1г определяет матрицу, элементы которой
равны алгебраическим суммам токов в сопротивлениях rk (т. е.
токов Irk), присоединенных к соответствующим узлам; при этом
с положительным знаком записывают'токи, направленные от узла,
и наоборот. Произведение AJ(B) дает матрицу, элементы которой
равны алгебраическим суммам токов источников тока, присоеди-
ненных к соответствующим узлам; при этом с положительным
знаком записывают токи, направленные к узлу, и наоборот.
Таким образом, равенство (4.7) представляет собой матричную
запись первого закона Кирхгофа в форме (1.13).
Аналогично формулируют уравнения для сечений:
QV=QJ<B>. (4.8)
Если обе части равенства (4.3) умножить слева на матрицу
В и учесть равенство (4.6), то
BR<b>[I(b>4-.I(e)] = B£(b) (4.9)
или
BR*B)]r = B^B). (4.10)
Произведение диагональной матрицы сопротивлений ветвей
R(B) на матрицу токов 1Л дает вектор напряжений на сопротив-
88
лениях, т. е. вектор, элементы которого представляют собой про-
изведения rkIrk. Произведение матрицы В на матрицу э. д. с.
Ж<в) определяет столбцовую матрицу, элементы которой равны
алгебраической сумме э. д. с. контуров. Таким образом, уравне-
ние (4.10) представляет собой матричную запись второго закона
Кирхгофа в форме (1.17).
Расчет цепи с помощью уравнений Кирхгофа сводится к’совме-
стному решению уравнений (4.7) или (4.8) и (4.10). Как правило,
искомыми являются токи в сопротивлениях 1Г)г при известных
rk, Jь- Элементы матриц и J(B) записывают с положи-
тельным или отрицательным знаком в зависимости от взаимной
ориентации Jk и !Гк.
Вместо уравнений (4.7) или (4.8) и (4.10) можно составить
дуальные уравнения для напряжении на сопротивлениях Ur
Действительно, умножив обе части равенства (4.4) на матрицу А
с учетом (4.5а), получаем
AG‘E) [U(E). 4-£<в>] = AJ<e>
(4.П)
или
AG(E)Ur = AJ(B),
где Ur = U(B) 4* ^(Б) —матрица напряжений
Вместо уравнения (4.6)
справедливо уравнение
Виг = В£<Е>. (4.13)
Совместное . решение
уравнений (4.12) и (4.13)
позволяет вычислить все
напряжения на сопротив-
лениях.
Следует подчеркнуть,
что для относительно про-
стых схем уравнения Кирх-
(4.12)
гофа могут быть составле-
ны по сформулированным здесь правилам без записи матриц А,
В и вычисления необходимых матричных произведений.
Особенности составления матричных уравнений при наличии
ветвей с идеальными источниками. В схеме цепи могут быть
ветви, содержащие только идеальные источники тока или э. д. с.
Если уравнения по законам Кирхгофа записываются непосредст-
венно по схеме без применения равенств (4.10) или (4.12), то
наличие ветвей с идеальными источниками не вносит никаких
изменений.
Если при составлении уравнений по второму закону Кирх-
гофа применяют матричное равенство (4.10), то ветвям, содержа-
щим только идеальные источники тока, соответствуют диагональ-
89
ные элементы rft = со матрицы R(°’. В этом случае схему необ-
ходимо преобразовать (рис. 4.3). Ветвь с источником тока J
включена между узлами i и j (рис. 4.3, а). Включая в узлах I
и т два противоположно направленных источника тока J, что
не влияет на режим цепи, переходят к эквивалентной схеме на
рис. 4.3, б. После подобного преобразования всех ветвей с иде-
альными . источниками тока записывают уравнение (4.10). Сле-
дует отметить, что такое преобразование уменьшает число ветвей
и контуров схемы.
Если при составлении уравнений по первому закону Кирх-
гофа применяют матричное равенство (4.12), то ветвям, содер-
жащим только идеальные ис-
точники э. д. с., соответст-
вуют диагональные элементы
g* = oo матрицы G(E). В та-
ком случае схема должна
быть преобразована (рис. 4.4).
Ветвь с идеальным источни-
ком э. д. с. S включена
между узлами i и / (рис.
4.4, а). В каждую из ветвей,
соединенных с узлом / (или
I), включают по одному до-
полнительному источнику
э. д. с. S (рис. 4.4, б). До-
Рис. 4.4
бавление одинаковых источ-
ников не изменяет режима
схемы, так как точки k, I,
т, п имеют одинаковый по-
тенциал относительно узла и,
следовательно, их можно зз-
коротить.
В ветви между узлами i
и / два одинаковых источни-
ка направлены противопо-
ложно, поэтому напряжение на этой ветви равно нулю, т. е.
такая ветвь эквивалентна короткозамкнутой ветви на рис.
4.4, в.
Таким образом, источник э. д. с. S (рис. 4.4, а) можно пере-
вести за узел /, объединяя узлы i и / (рис. 4.4, в).
После подобного преобразования для всех ветвей с идеаль-
ными источниками э. д. с. записывают уравнение (4.12). Данное
преобразование уменьшает число ветвей и узлов схемы.
Недостатком метода расчета цепи по уравнениям Кирхгофа
является большое число совместно решаемых уравнений и соот-
ветственно повышенные требования к точности промежуточных
вычислений.
90
§ 4.2. Применение узловых уравнений
Узловые уравнения. Число совместно решаемых уравнений
можно уменьшить, если в качестве независимых переменных при-
нять потенциалы узлов. Знание потенциалов позволяет найти все
токи в схеме.
Уравнения с узловыми потенциалами (узловые уравнения)
вытекают из первого закона Кирхгофа; их число равно числу
независимых уравнений, составляемых для узлов, т. е. «/—1.
Выражение (4.11) перепишем в следующем виде:
AG<B>u<B> = A J(B) - AG(B)^(B).
Принимая потенциал одного из узлов равным нулю (а именно
потенциал того узла, для которого отсутствует строка в матрице
А), напряжения на ветвях определяем через узловые потенциалы
(см. гл. 2):
Li(B) = AT(p. (4.14)
Таким образом, получаются уравнения вида
AG(B)AT(f> = AJ(B) —AG(B^(B), (4.15)
которые называют узловыми уравнениями в матричной
форме. 1
Если обозначить
G(y) = AG<B)AT; (4.16)
J(y) = AJ(B) — AG(B)&(R), (4.17)
то узловые уравнения запишутся более кратко:
G(y)«p = J(y). (4.18)
Матрицу G(y) называют матрицей узловых проводи-
мостей, матрицу J(y) —матр и це й узловых токов. В раз-
вернутой форме уравнение (4.18) имеет вид
211212 • • • 21, у-1 221222 • • • 2г, у-1 <Р1 " ф'2 = -J(y) - J<y> (4.19)
- 2у-1. 12у—2, 2- • • 2у-1, у-1 - -<Ру-1- Ну) LJy—1 J
В качестве примера можно составить узловые уравнения для
цепи на рис. 4.5, а.
Данная схема имеет 3 узла и 4 ветви. Граф схемы показан
на рис. 4.5, б; ориентация ветвей выбрана произвольно. Узел 3
принимаем за базисный (<р3 = 0).
Узловая матрица
Г—1 0 1 Г
' А==[ 0-^10 —1];
91
диагональная матрица проводимостей ветвей
Г£1
G<°> =
£2
£з
£4
где gk=l/rk; £=1,2, 3,4.
Рис. 4.5
Матрица узловых проводимостей
G<y’ = AG(B)A(T) =
—1
—1 0 1
0—10
г—£1 0 g3 gt~
L 0 -£2 0 -g4
0 —1 _[£1 + £з + £4 —£4
1 0 L —£4 £2+£<
1 —1
Матрица токов источников тока ветвей
J<B) = [0 -J2 0 ЛГ;
матрица э. д. с. источников э. д. с.
g<e) = p1 0 0]т.
Матрица узловых токов
J(y) = A J(B) - AG(B)8(B) = A [J(B) — G(B *£<"»] =
' 0 -g^f
= 1 0 1 11 J2 £2^2 А Ч-£1*^1
~L о —1 о —ij о —о -1л-Л+£2^2.
./4 —о _
Таким образом, узловые уравнения имеют вид
£и £i21W==Pi(y)l
.£21 ga2_ _фг_
92
где
gu — gi 4~ £з + g£ gw.— gii — — g£ gn ~ gi 4- g£
= Jr4 + gi^i, <Цу)—<?2—A4~g2^2-
Анализ результатов рассмотренного примера позволяет сде-
лать ряд важных общих выводов:
1. В матрице узловых проводимостей на главной диагонали
записывают суммы проводимостей ветвей, присоединенных к соот-
ветствующему узлу, с положительным знаком. Диагональные
элементы матрицы называют собственными узловыми
проводимостями.
2. Элемент gty матрицы узловых проводимостей (t Ф j) равен
сумме проводимостей ветвей, присоединенных между узлами i
и /, взятой с отрицательным знаком. Внедиагональные элементы
матрицы называют общими узловыми проводимостями.
3. Матрица симметрична, т. е. g^-g^ и G(y) = [G(y)]T.
4. Элемент J(y) матрицы узловых токов равен алгебраической
сумме токов источников тока, присоединенных к /-му узлу, вклю-
чая токи источников тока, эквивалентные источникам э. д. с.
При этом с положительным (отрицательным) знаком записывают
токи, направленные к узлу (от узла).
5. Знаки элементов всех матриц не зависят от ориентации
ветвей графа.
Следовательно, узловые уравнения можно составить при
непосредственном рассмотрении схемы.
Если в схеме имеются ветви с идеальными источниками э. д. с.,
то для записи уравнения (4.15) используют преобразование,
показанное на рис. 4.4. Такое преобразование целесообразно и
при непосредственном составлении узловых уравнений. Наличие
в схеме ветвей с идеальными источниками тока не требует преоб-
разования схемы: в матрице G(B) ветвям с идеальными источни-
ками тока соответствуют проводимости gfe = 0. Для уменьшения
числа столбцов матрицы А возможно преобразование, показанное
на рис. 4.3.
Пример 4.2. Рассчитать токи в схеме на рис. 4,6 методом узловых потен-
циалов. Параметры схемы: r1==r2=rs=2 Ом; г4=г5=г6 = 6 Ом; =
= 6 В; J3=9 А.
Решение. Между узлами 1 и 5 включен идеальный источник э. д. с.
&Ч- Переместив этот источник через узел 1, получим схему на рис. 4.7,
в которой
^=#,=6В; ^ = ё“2+Й“7=12 В.
схемы на рис. 4.7 справедливы узло-
Пусть потенциал <pa=0. Тогда для
вые уравнения:
“й+й+ёз —Ез
—Ез gs+&’+&
- — Ез —Ез ________-
Зф4—(pg—<р4 —- •— 36; — 3<р4 -— 5<р4 = 36;
—Зф1+бфз — <р4 =54.
Фг
фЗ
или
~Ei
—gs
&+&+£« J *-ф«-
" — JS—Е1$1— Ег^г
93
В результате совместного решения этих уравнений
пиалы узлов:
найдем искомые потен-
Токи в ветвях определяют по формулам, вытекающим из равенства (4.2)!
Zi=gi£C,i-H’i)=gi(<Pi—<РгЧ-йi)=( — 9—0-|-6) 1/2== —1,5 А;
4=& (^2+^2)=& (<Р1——9—3+ 12) 1/2=0;
1 r„ = £з^з~ £з (<Рз—<Рт) =(6 -J- 9) 1/2=7,5 А;
/4=&^4=&(ф8—Фг)=(6—О) 1/6=1 А;
£з (<Рз—Ч)4)==(6—3) 1/6=0,5 А; "
'б=£60,б=§б(ф2—ф4) = (°—3) 1/6 = —0,5 А.
В исходной схеме ток
/7 = /Гз — 73=7,5 — 9= —1,5 А.
Токи /j -Ь /6 схемы рис. 4.6 совпадают с токами схемы рис. 4.7.
. Неопределенная матрица узловых проводимостей. Узловые
уравнения можно составить для всех у узлов схемы. Матрицу
узловых -проводимостей, соответствующую этим уравнениям, назы-
вают неопределенной. Неопределенная матрица узловых про-
водимостей
(4.20)
где Ан —узловая матрица, число строк которой равно числу
узлов у.
В неопределенной матрице узловых проводимостей проводи-
мость каждой ветви учитывается два раза с положительным зна-
ком на главной диагонали (как слагаемое собственных узловых
проводимостей gllt gj}- узлов i и /, к которым присоединена ветвь)
и два раза с отрицательным знаком вне главной диагонали (как
слагаемое общих узловых проводимостей gtj — gji). Поэтому сумма
элементов любого столбца и любой строки неопределенной мат-
рицы равна нулю.
94
Определитель неопределенной матрицы равен нулю. Для реше-
ния узловых уравнений необходимо перейти к определенной
матрице G(y). Определенную матрицу получают вычеркиванием
одного столбца и одной строки из неопределенной матрицы. Вы-
черкивание /-го столбца означает, что потенциал /-го узла при-
нимают равным нулю: Фу = 0. Вычеркивание /-Й строки означает,
что отбрасывается уравнение для /-го узла, поскольку оно является
линейной комбинацией других уравнений. Из неопределенной
матрицы можно вычеркивать столбец и строку с различными но-
мерами. При этом определенная матрица несимметрична. Так как
сумма элементов любого столбца й любой строки неопределенной
матрицы равна нулю, то можно доказать, ^что при вычеркивании
любой строки и любого сто/бца из такой матрицы получают
определенные матрицы с одинаковым по величине определите-
лем.
Пусть требуется составить неопределенную матрицу узловых
проводимостей и записать узловые уравнения, для узлов 1 и 3
при <р3 = 0 для схемы на рис. 4.5, а.
Неопределенная матрица узловых проводимостей
~ tel+^з)
-ёг
giJgsJgs-
Вычеркивая третий столбец и вторую строку, получаем опре-
деленную матрицу
[gi+gs+gi —gi
_-tel+^з) ---£?2_
Таким образом, узловые уравнения для узлов 1 и 3 при <р3=0
имеют вид
gi+ёз+gi —gt, Ф1 _ Л + ^igi
_-(ё/14~£з) --£?2_ _*р2_ Ji ^igl — ^2gi_
В рассматриваемом примере определенная матрица несиммет-
рична. Для схемы на рис. 4.5 записана симметричная матрица
узловых проводимостей, получаемая из неопределенной матрицы
вычеркиванием третьего столбца и третьей строки.
Определитель определенной матрицы, найденной в данном при-
мере, совпадает с определителем матрицы, записанной ранее,
с точностью до знака.
§ 4.3. Применение уравнений с напряжениями ветвей дерева
В качестве независимых переменных можно принять напряже-
ния ветвей дерева (напряжения узловых пар). При этом цепь
описывается, как и при выборе в качестве независимых перемен-
ных узловых потенциалов, у — 1 независимыми уравнениями.
95
Уравнения с напряжениями ветвей дерева получают на осно-
вании первого закона Кирхгофа для сечений (4.56) с учетом соот-
ношения (см. гл. 2)
и(в> = Оти(д), (4.21)
где 11(д)— матрица напряжений ветвей дерева.
Учитывая аналогию выражений (4.5а). и (4.56), (4.14) и (4.21),
уравнения с напряжениями ветвей дерева в матричной форме
определяют из уравнений (4.15) заменой матрицы А на матрицу Q
и матрицы <р на матрицу С(д):
QG<E»QTUW = QJ(B) — QG<B>^B>. (4.22)
Есль‘ обозначить
G(c) = QG<B)Q<T>; (4.23)
j(c) = qj(b) _ QG(B)g(B)> ' (4i24j
то уравнение (4.22) принимает следующий вид:
. G<C>U<*> = J<c>, (4.25)
где G(c) —матрица проводимостей сечений; J(c) —матрица токов
сечений.
В качестве примера можно составить уравнения с напряже-
ниями ветвей дерева для цепи на рис. 4.8, а.
Граф схемы с произвольно ориентированными ветвями дан на
рис. 4.8, б. Выбирая дерево из ветвей 1—2—3 (сечения Si, S2,
S3), записываем матрицу сечений:
1
О- О
О
О
1
О
О 0—1
0 —1 —1
1 1 о
96
Матрица проводимостей сечений (4.23)
ЧОО 0 —1 г
G<c> = 0 1 0 —1 —1 1
.0 0 1 1 0 — L
£i
£2
£з
£1 0 0 0 — £з £в
0 £2 0 -£4 — £5 —£6
0 0 £з £4 0 —£в.
~ 1 О
О 1
о о
О —1
—1 —1
1 1
10 0“
О 1 о
0 0 1
0—1 1 =
—1 —1 о
1 1—1
£4 .
£з
О’
О
1
1.
о
—1
£1Ч~£5~1~£б £s+£e —£в
£б + £в £2+£4+£б + £в ~(£4 + £в) »
—£в — (£4 + £в) £з + £4.+ £е.
где gf* = 1/г*; k= 1, 2, 6.
Матрица токов сечений
J<c) = Q J(»> _ QG<B)g’<B) = q [ J(b) _ =
~ 0-0 ~
1 0 0 0 —1 Г
0 10—1—1 1
0 0 1 1 0—1,
0 — £з^з
0-0
0 —£5^5
0 — £e^6_
£5^5 ~ £e^e
— ^2+£5^5—£e^6 •
. £з^з+£в^в
Таким образом, для заданной схемы получаются уравнения
с напряжениями ветвей дерева:
£11
£21
_£з1
£12
£22
£32
£1з
£23
£зз.
'U2
us
и6_
'/(<=)
J(c>
где
£11 = £1 + £5~1-£б; £12 = £21 — £в + £в! £13 —£31 — — £et
£22 —£2Ч-£4 + £в + £в; £23 —£32— (£4 + £е); £зз = £з + £4 + £б»
•^1>=£5^б — £б^в> «^2> = — — £б^б! Д) ——£з^з + £в^>б-
Анализ результатов примера позволяет сделать следующие
выводы:
4 п/р. Ионкина, т. 1
07
1. В матрице проводимостей сечений G(c) элементы главной
диагонали (собственные проводимости) равны взятым с положи-
тельным знаком суммам проводимостей ветвей, пересекаемых соот-
ветствующей поверхностью. Например, проводимость (§22=§2 +
+ §я+§5+§в> так как поверхность S2 пересекает ветви 2, 4, 5, 6.
2. Недиагональный элемент gy равен'взятой с поло-
жительным (отрицательным) знаком сумме проводимостей ветвей,
общих для t-й и j-й поверхностей. Эту сумму записывают с поло-
жительным (отрицательным) знаком, если ветви дерева, соответст-
вующие поверхностям S( и S/, при переходе от одной поверхно-
сти к другой не меняют (меняют) направления. Например, про-
водимость §12 = §5+§в> так как для поверхностей Si и S2 ветви 5
й 6 являются общими, а направление ветвей 1 и 2 дерева при
переходе от поверхности Si к -поверхности S2 одинаково. Прово-
димость §2з —— (§4+§в)> поскольку ветви 4 и 6 являются общими
для поверхностей S2 и S3, а направление ветвей 2 и 3 дерева
при переходе от поверхности S2 к поверхности S3 противопо-
ложно.
3. Элемент gtj — gji, т. е. матрица G(c> симметрична.
4. Элементы матрицы J(c) равны алгебраической сумме токов
источников ’тока (включая источники тока, эквивалентные источ-
никам э. д. с.) ветвей, пересекаемых соответствующей поверхно-
стью. При этом с положительным (отрицател.ьным) знаком учи-
тывают токи источников, направленные противоположно (согласно)
направлению ветви дерева относительно соответствующей поверх-
ности. Например, элемент J2C) = — J2+§5^5 — ge^e. так как на-
правление токов J2 и —,§в^в совпадает с направлением ветви 2
дерева относительно поверхности S2, а направление тока g5^“5
противоположно направлению ветви 2.
Таким образом, так .же как и узловые уравнения, уравнения
с напряжениями ветвей дерева могут быть составлены непосред-
ственно из рассмотрения схемы.
Пример 4.3. Рассчитать токи в схеме на рис. 4.9, а с помощью уравне-
ний с напряжениями ветвей дерева. Параметры схемы:
.г1=г2=.г5=/-7=1 Ом; л3=г4=г6=2 Ом;
^“1=1 В; ^4=12 В; J6=3 А; ^6=4 А.
Решение. Граф охоты и выбранное дерево (ветви 1, 2, 3, 4) приведены
на рис. 4.9, б. Выбранному дереву соответствуют сечения Sj, S2, Ss и St. Для
схемы составим уравнения:
— Ё5 0 - 0 1 - — £161— J5-
—Ев §7 0 t/2
0 £7 Дз+Дв+^7 —-Ев ' —
или . 0 0 —Ев Ei4~£e- .Uii - —Et&t -
^-U^-4;
—^+2^4-^=^,
V.s+2Ua-UA/2 = -4-
-(l/2)6'3+t/4=-2.
93
Ремая эти уравнения, совместно, найдем напряжения ветвей дерева:
Ui = — I В; l/2=2B; U3=—4 В; l/4=—4В.
J
Рис. 4.9
Токи в схеме определим из соотношений:
4=£1(^+й-1) = 1 (~1 + 1)=0;
Л1=£Л=1 -2=2 А;
/s=ftl/3=l/2(-4) = -2 А;
Jf«=gi(V4+^4) = l/2(-4+12)=4 А;
^rs=gs^5=& (^i ^2) — ^ (—1—2)=—3 А;
=&Д6-=g6- (А> -1/4) = 1 /2 <-4 + 4)=0;
/7=^76,=g7 (-б2-б3) = 1 (-2,+ 4) = 2 А.
При определении токов в ветвях связи сначала вычисляют
напряжения ветвей связи через напряжения ветвей дерева (по
второму закону Кирхгофа).
Необходимо отметить, что
в качестве независимых на-
пряжений необязательно сле-
дует выбирать напряжения
ветвей схемы, образующих
дерево. Независимыми пере-
менными являются напряже-
ния между парами узлов,
если' при соединении этих
пар линией получается граф,
представляющий дерево с
у — 1 ветвями. При этом
Рис.. 4.10
ветви схемы между некоторыми узловыми парами могут отсут-
ствовать. Например, для схемы рис. 4.9, а в качестве пере-
менных можно выбрать напряжения £735, V№, U‘2i- Эти на-
4*
99
пряжения независимы, так как соответствующий граф (рис. 4.10, а)
представляет собой дерево. Уравнения с узловыми потенциалами
являются частным случаем уравнений с напряжениями узловых
пар, в случае когда у всех узловых пар имеется один общий
узел. Например, для схемы рис. 4.9, а узловым уравнениям при
<р5 = 0 соответствуют напряжения узловых пар, приведенные на
рис. 4.10,6. Эти напряжения образуют дерево, все ветви кото-
рого имеют общий узел.
§ 4.4. Применение контурных уравнений
Контурные уравнения. В качестве независимых переменных
можно принять токи ветвей
5
Рис. 4; И
и, или так называемые контур-
ные токи. Знание контурных
токов позволяет найти все то-
ки в схеме.
Уравнения с контурными
токами (контурные уравнения)
получают на основании второго
закона Кирхгофа; их число
равно числу независимых урав-
нений, составляемых для кон-
туров, т. е. в — у+ 1.
Выражение (4.9) запишем
следующим образом:
BR(B)j(B) = Bg(B) — BR<=> J<B>.
Токи в ветвях определим
через контурные токи по фор-
муле (см. гл. 2)
1(в)==В(т)1(к). (4.26)
Таким образом, получаются
уравнения вида
BR(b)BtIW = В^(в> — BR<B>J<B\
(4.27)
которые называют контурными уравнениями в матрич-
ной форме.
Если обозначить -
R<K> = BR<B)BT, (4.28)
M<K) = BR<B> —BR<B)J(B>, (4.29)
то контурные уравнения примут вид
R(K)j(K) = g(K). (4.30)
Матрицу R(K> называют матрицей контурных сопро-
тивлений, матрицу — м атр и це й конту рны х э. д. с.
100
В развернутой форме уравнение (4.30) имеет вид
Гц г 12 ••• Г 1k "т^Г
г 21 Г22 • • • Г 2Й /(X) 2 =
•
-rkl Г*2 rkk_ _ЛК)_ _4К)_
(4-31)
Пусть требуется составить контурные уравнения для цепи
на рис. 4.11, а.
Данная схема имеет четыре узла и шесть ветвей; число неза-
висимых контуров в — #+1=6— 44-1=3. Граф схемы с выбран-
ным деревом (ветви 1, 2, 3) приведен на рис. 4.11,6.
Матрица контуров
1
—1
о
В =
0 10 0'
10 10
10 0 1-
Диагональная матрица сопротивлений ветвей
R<B> =
Матрица контурных сопротивлений
R<K> = BR<B>BT =
>1
1 0 0 1 0 О'
—1—11010
0 0 1 0 0 1
г2
Гз
гъ
"1 —1
~1 —1
0 —1
0 1
1 о
О 1
_о о
0“
О’
о
1
о
о
1
0—10
/-! О 0 г4 0 0 1 0 J J
г, 0 г. О
О 0 г3 0 0 гв
0 10
О О 1
— Г!
fl + Г2 + ^3 + ГЪ
Гз
О '
Гз
Гз + /"в-
101
Матрица э. д.‘ с. источников э. д. с. ветвей
. g<B> = [0 0 0 ^4 «ч-<^]т;
матрица токов источников тока ветвей
j(«) = [0 — J2 О О О 0]т.
Матрица контурных э. д. с.
gw = BgW — BRWjW = В.[g(B) — RW.jWi=
1 0 0 1 0 0‘
t= —1 —1 1 0 1 0
0 0 я 1 0 0 1
1 . 1 _ Ч _ О о <=> о к о , 1 1 i + i L L L о о о 1, = ‘ <зэ 1 01 1 % ' м 1 1 1 •
В рассматриваемом примере контурные токи совпадают с то-
ками ветвей 4, 5, 6, т. е. с токами ветвей связи. Матрица кон-
турных токов
1(К,=[/[К,/Г,/ГТ=[л
Таким образом, контурные уравнения имеют вид
Гц Г12 Г13 Л
Г21 Г22 Г23 1й = с?<к)
_/81 Г32 ^33_ -Ц- _^зК)_
Гц — ri2 — r2i— ,Гь Г1з — /"з! — 0;
fia —ГЪ1 :г2з = г32 = г3; г3з = г3 4- гв;
= = 4к) = -^е-
где
Анализ результатов данного примера позволяет сделать сле-
дующие выводы:
1. В матрице контурных сопротивлений * на главной диаго-
нали записываются суммы сопротивлений ветвей соответствую-
щего контура с положительным знаком. Диагональные элементы
матрицы называют с о б с т в е н н ы м и контурными сопро-
тивлениями. Элемент ,г1}- матрицы контурных сопротивлений
(i ф j) равен сопротивлению ветви, общей для контуров i и /,
с положительным (отрицательным) знаком; положительный (отри-
цательный) знак записывают при условии, что контурные токи /,-к)
и /}к) в общей ветви направлены одинаково (противоположно).
* Предполагается, что направление обхода контура совпадает с направ-
лением соответствующего контурного тока.
102
Внедиагональные элементы матрицы называют общими кон»
турными сопротивлениями..
2. Матрица. R(K) симметрична, т. е. Гц — Гц.
3. Элемент матрицы контурных э. д. с. равен алгебраи-
ческой сумме э. д. с. источников напряжения i-ro контура, вклю-
чая э. д. с. источников, эквивалентных источникам тока. При
этом с положительным (отрицательным) знаком записывают э. д. с.,
направление которых совпадает (противоположно) с направлением
обхода контура.
Следовательно, контурные уравнения можно составить непо-
средственно из рассмотрения схемы.
Если в схеме имеются ветви с идеальными источниками тока,
то сопротивления таких ветвей rk — оо. В этом случае для записи
матричного- уравнения (4.27) необходимо использовать преобра-
зование, показанное на рис. 4.3. Ветви с идеальными источни-
ками э. д. с. не требуют преобразования схемы: в матрице ветвям
с идеальными источниками э. д. с. соответствуют сопротивления
rfc = 0. Преобразование, рассмотренное на рис. 4.4, приводит
к уменьшению числа ветвей и, следовательно, столбцов матрицы В.
При непосредственной записи контурных уравнений без при-
менения матричного соотношения (4.27) ток каждого источника
тока можно считать известным контурным током, замыкающимся
по любым ветвям, образующим замкнутый контур с ветвью источ-
ника тока. Напряжения,вызванные такими контурными токами, учи-
тывают в правой части контурных уравнений. Возможность обра-
зования любых контуров, по которым замыкаются известные
контурные токи —токи источников тока, объясняется эквивалент-
ностью сх-ем, показанных на рис. 4.3, а, б.
Пример 4.4. Рассчитать токи в цепи рис. 4.12, а. Параметры схемы: гг =
= 2 Ом; г2=1 Ом; г8=3 Ом; г4=4 Ом; г5=5 Ом; с5>1=40 В; <^2 = 1'5 В; J =
= 5 А.
Решение. Между узлами 2 и 4 схемы включен идеальный источник
Тока J. Включая в узле 3 два равных противоположно направленных источ-
ника тока J, получим эквивалентную схему, приведенную на рис. 4.12, б и
содержащую два независимых контура,. Для контурных токов /j и /2 запишем
103
Контурные уравнения
fl + fs+ns Г6 1 Г111 pl—ГзА1
Г6 Г4 + r.r>J L^2 J L^2 + r4^4J ’
где слагаемые, обусловленные токами источников тока ветвей (— г3У3 и
Представим как напряжения от известного контурного тока, замыкающегося
по сопротивлению rs и г4.
Подставляя числовые данные, получим
Ю/,+57^ 25;
571+10/2 = 35.
Решая два уравнения совместно, найдем /г=1 А; Z2=3 А.
• Остальные токи вычислим из соотношений:
/f, = /i + J=1+S=6A;
'* /<4=—/2+^=—34-5=2 А;
ZB=Z1+4=14-3=4 А.
Неопределенная матрица контурных сопротивлений. Если цепь
планарная, то в качестве контуров можно выбрать соседние
«ячейки» схемы и добавить один из-
быточный контур по внешнему очер-
танию схемы (рис. 4.13). При усло-
вии, что в ячейках все контурные
токи направлены по часовой стрел-
ке, а ток внешнего контура — против
часовой стрелки, сопротивление каж-
дой ветви будет учитываться два ра-
за с положительным знаком на глав-
ной диагонали и два раза с отрица-
тельным знаком вне этой диагонали.
Рис. 4.13 С положительным знаком сопротив-
ление записывают как слагаемое соб-
ственных сопротивлений га и Гц контуров i и /; с отрицательным
знаком —как слагаемое общих сопротивлений г^ — гц.
Сумма элементов любого столбца и любой строки матрицы
контурных сопротивлений при сформулированных условиях равна ,
нулю, и матрица называется неопределенной. Неопределенная
матрица
Rp = BHR(B)BTH,
где Вн —контурная матрица, у которой число строк на единицу
больше числа независимых контуров.
Неопределенной матрице R„K) соответствует система контур-
ных уравнений с одним зависимым уравнением. Определитель
такой матрицы равен нулю, поэтому для решения контурных
уравнений необходимо перейти к определенной матрице, полу-
чаемой вычеркиванием одного столбца и одной строки из неопре-
деленной матрицы. Если номера вычеркиваемых строки и столбца
одинаковы, то определенная матрица симметрична; в противном "
104
случае получается несимметричная определенная матрица кон-
турных сопротивлений.
В качестве примера можно составить неопределенную матрицу
контурных сопротивлений для схемы, изображенной на рис. 4.13.
Неопределенная матрица в данном случае соответствует четы-
рем контурам:
— г2
^2 + Г В + Г 5 + Г6
— rs
— (Гб+Гб)
О -Г1
г3 - (Л? + G1)
г? + г4 . — г4
-----------Г1+Г4~Г Г5~Ь ГВ~
Если вычеркнуть четвертый столбец (принять /4К) = 0) и третью
строку (отбросить уравнение для третьего контура), то опреде-
ленная матрица
R(K) =
— rz
G+G+G+G
-(n + rj
О 1
несимметрична. В контурные уравнения с такой матрицей войдут
в качестве неизвестных контурные токи /хк), /;^к), однако
третье уравнение будет составлено для внешнего контура, а не для
контура, в котором замыкается ток 13к).
При вычеркивании четвертого столбца и четвертой строки
определенная матрица
R(K) =
О '
— г2
G+g+g+G
— G
О
— г3
G + G.
симметрична.
Контурные уравнения в этом случае соответствуют контурам,
в которых как бы замыкаются токи /{к), /;,к).
Контурные и узловые уравнения дуальных цепей. У двух
дуальных резистивных цепей выполняются следующие численные
равенства параметров: gkl = rk2; rkl = gk2; <okl = Jk2; Jkl = S‘k2, что
следует из общих положений, рассмотренных в гл. 2. Поэтому
для дуальных цепей справедливы матричные равенства:
G<E) = R<B); R|B) = G<E); Ж‘Е) = J<B); J<E’ = g‘E>.
Дуальные цепи имеют также одинаковые узловые и контур-
ные матрицы, т. е. АХ = В2; ВХ = А2. Из сравнения уравнения
(4.15) и (4.27) дуальных цепей можно сделать вывод: узловые
уравнения одной цепи совпадают с контурными уравнениями дру-
гой цепи и наоборот (за исключением обозначений независимых
переменных).
Идентичность узловых и контурных уравнений цепей часто
служит определением их дуальности. Из такого определения легко
вывести равенство узловых и контурных матриц, а также соответ-
ствующие равенства для параметров элементов дуальных цепей.
ГЛАВА Б
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
... ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 5.1. Баланс мсщностей
Пусть в электрической цепи произвольной конфигурации
имеются источники и приемники электрической энергии. Сумма
мощностей Pk всех в ветвей такой электрической цепи равна
нулю:
В в
= (5.1)
fe=i fe=i
Действительно, сумму мощностей можно выразить как произ-
ведение транспонированной матрицы напряжений ветвей на
матрицу токов ветвей:
2 t47ft = [u<B>ri<E>.
А=1
Согласно равенству (4.14),
[[J(B)]T = [ATq>]'1 = <ртА.
С учетом первого закона Кирхгофа (4.5а)
2 t/ft/ft = <jPTAi<B> = 0.
k=i
Следует отметить, что соотношение (5.1) определяется топо-
логией схемы и не зависит от параметров элементов ветвей.
Для произвольной цепи с источниками постоянной э. д. с. и
постоянного тока соотношению (5.1) можно придать другой вид.
Так как
= J(BJ,
то
[1]<Е)]Т 1<в) = [U(B)]T Pr _ J(B)J = 0)
откуда
[U<B)]TIr = [U<B>]T J<B>. (5.2)
Из равенства (4.3) получаем
[U(«1]T = -gW]T = lTR(B)_g(B)T (5.3)
(матрица R(B} при транспонировании не изменяется, так как
представляет собой диагональную матрицу).
Подставляя соотношение (5.3) в формулу (5.2), находим
106
Произведение
— r+ б2/г + • • + гвРГв — У r^k
t=i
выражает суммарную мощность, рассеиваемую в резисторах
требляемую мощность). Эта мощность всегда положительна.
Произведение
(по-
= <?в]
определяет мощность, генерируемую источниками напряжения
(см. рис. 4.1).
Произведение
•Л-
[и^]тгЕ> = [ад...г/в]
выражает мощность, генерируемую источниками тока.
Мощность источника может быть положительной или отрица-
тельной величиной; отрицательный знак мощности означает, что
соответствующий источник работает в режиме потребления элек-
трической энергии (например, при зарядке аккумуляторной бата-
реи).
Таким образом, для любой цепи выполняется равенство
2 2 Е (5.5)
k=i 6=1 k=i
Равенства (5.4) и (5.5) представляют собой математическую
форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генери-
руемая источниками электрической энергии, равна суммарной мощ-
ности, потребляемой в цепи.
Условие баланса мощностей, являясь следствием закона сохра-
нения энергии, отражается в уравнениях электрических цепей и
относится к общим свойствам цепей.
Пример 5.1. Составить баланс мощностей для цепи на рис. 4.12, а (см
пример 4.5).
Решение. Воспользовавшись результатами расчета схемы на рис. 4.12, а,
вычислим потребляемую мощность:
k
=2- P-f-l • За-рЗ-6а-р4 22-]-5-42 = 215 Вт..
107
Мощность, генерируемая источниками,
5'Sklk + S UkJk = (°l1! + ^2/2 + (‘Pl — Ф2) J = <°lfl + &2lz + (^\ + Г3Гг3) J>
k k
где
‘Р4-(Р2 = гЛ1 + /'зЛ8
>—г напряжение на зажимах источника, тока.
При подстановке численных значений получим
s^+st/*7fe==40-1+15-3+(4-2+3-6)5=215 Вт’
k k
что совпадает с величиной потребляемой мощности..
Мощность, генерируемая источником тока в схеме на рис. 4.12, а, равна
сумме мощностей двух источников тока в схеме на рис. 4.12, б.
§ 5.2. Принцип наложения
Если из (4.30) выразить матрицу контурных токов, умножая
обе части уравнения на матрицу [R(K)]-1 и учитывая (4.29), то
для матрицы токов ветвей Гв) будет справедливо следующее со-
отношение:
](В) = Bq(K) = Вт Bg(B) _ Вт BRWJW (5 6)
Пусть
ВТ[К(К)]_1В = О = [^], (5.7)
— Вт [R<K']X BR‘B> = — GR(B) = K(Z) = [K$], (5.8)
где G — матрица входных и взаимных проводимостей; К(!)—матрица
коэффициентов передачи тока.
Тогда равенство (5.6) принимает вид
I(b) = g£(b)-{-ICz»J<b). (5.9)
Матрицы G и К(г) являются квадратными, имеют порядок,
равный числу ветвей в. Матричное соотношение (5.9) эквивалентно
в алгебраическим выражениям для токов ветвей:
В в
й=1, 2, .... в. (5.10)
z=i z=i
Соотношения (5.9) и (5.10) показывают, что ток любой ветви
схемы может быть представлен как алгебраическая сумма состав-
ляющих, обусловленных действием каждого источника в отдель-
ности. Другими словами, токи ветвей схемы удовлетворяют прин-
ципу наложения.
Элементы gM матрицы G имеют размерность проводимости,
причем
= (5.П)
если в цепи действует только один источник э. д. с. St, а осталь-
ные источники исключены (источники э. д. с. замкнуты, источ-
108
ники тока разомкнуты)*. При l = h проводимость gM называют
входной проводимостью ветви h (относительно зажимов
источника э. д. с. <9Л). При l^h проводимость gM называют
взаимной проводимостью ветвей h и I. В данном слу-
чае ghi — gih, т. е. матрица G симметрична. Действительно,
GT = {Вт [RW]1 В}т = Вт [ R' В =, G, (5.12)
так как матрица контурных сопротивлений R(K) и, следовательно,
матрица [RtK)]_x симметричны.
Безразмерные элементы К™ матрицы К(,) называют коэффи-
циентами передачи тока или коэффициентами рас-
пределения тока источника тока, причем
(5.13)
если в цепи действует только один источник тока Jh а все осталь-
ные источники исключены.
Между входными и взаимными проводимостями, а также между
коэффициентами передачи тока существует связь, обусловленная
первым законом Кирхгофа. Так как токи ветвей удовлетворяют
соотношению А1(в-’ = 0, элементы матриц G и К10 должны удов-
летворять соотношениям
AG(B) = 0, АК(/) = 0,
т. е. алгебраическая сумма входной проводимости Z-й ветви gtl
(коэффициента К<‘>) и взаимных проводимостей ghl всех ветвей,
имеющих один и тот же общий узел с ветвью I (коэффициентов
/Сы таких ветвей), равна нулю.
Принцип наложения справедлив и для токов в сопротивле-
ниях Irk, так как матрица токов в сопротивлениях
1г = I(B>+ JIB) = Gg(B) + [К(О + 1] J(B) = Gg(B) + ftU) JW, (5.14)
где 1—единичная матрица порядка в; К(1) = К(П + 1. Таким обра-
зом, для токов в сопротивлениях можно записать равенства, ана-
логичные (5.10).
Из соотношений (5.9) и (5.14) можно убедиться в примени-
мости принципа наложения для напряжений ветвей Uk и падений
напряжений на сопротивлениях а также получить выраже-
ния, дуальные (5.6)-<-(5.9), основываясь на узловых уравнениях
(4.18) и равенстве (4-17). Так, матрица напряжений ветвей
U (в) = ATq> = Ат [G‘y)]-X A J <в> - Ат [С(у)]-1 AG<B>£'B> (5.15)
или
G(B) = RJ(B) + K(«)g(B), (5,!6)
* Реальные источники энергии могут быть представлены схемами замеще-
ния в виде последовательного (параллельного) соединения идеального источ-
ника э. д. с. (тока) и внутреннего сопротивления. При исключении таких
источников (для расчета токов и напряжений от одного источника) в схемах
обязательно остаются внутренние сопротивления всех исключаемых источников.
109
где
R = bd = AT[G<y>]-’A (5.17)
. — матрица входных и взаимных сопротивлений;
Kt«j = ^)| = _ дт [G(y)j-i AG<B> = — RG<B' (5.18)
— матрица коэффициентов передачи напряжения.
Матричное равенство (5.16) эквивалентно в алгебраическим
соотношениям:
Uh=XrhlJt+^^r, h—\, 2, ...» в, (5.19)
i=i i=i
т. е. напряжение любой ветви может быть представлено как сумма
составляющих, обусловленных действием каждого источника в от-
дельности.
Элементы гы матрицы R имеют-размерность сопротивления,
причем
r^UfJJb (5.20)
если в цепи действует только один источник тока Jt, а все дру-
гие источники исключены. При l — h сопротивление rhh называют
входным сопротивлением ветви h (относительно зажи-
мов источника Jh). При l^h сопротивление гы называют взаим-
ным сопротивлением ветвей h и I. В данном случае
rhi = rih, т. е. матрица входных и взаимных сопротивлений сим-
метрична.
Безразмерные элементы /<<“) матрицы К(и) называют коэф-
фициентами передачи напряжения или коэффициен-
тами распределения напряжения, причем
' = ' (5.21)
если в • цепи действует лишь один источник э. д. с. а все
остальные источники исключены.
Между входными и взаимными сопротивлениями, а также
между коэффициентами передачи напряжения имеется связь, обу-
словленная вторым законом Кирхгофа. Так как напряжения вет-
вей удовлетворяют уравнению BU(B) = 0, элементы матриц R и
KtK) должны удовлетворять соотношениям
BR = 0; ВК(И) = 0,
т. ё. алгебраическая сумма входного сопротивления /-й ветви ги
(коэффициента Д)"’) и взаимных сопротивлений гы всех ветвей,
образующих с ветвью I один контур (коэффициентов равна
нулю.
Для падений Напряжений на сопротивлениях справедливы
соотношения, аналогичные (5.19).
Принцип наложения применим также для контурных токов и
узловых потенциалов. Этот принцип обусловлен линейностью
ПО
уравнений, описывающих цепь, и справедлив для любых величин,
связанных линейной зависимостью. Следовательно, им нельзя вос-
пользоваться для расчета мощностей в общем случае, так как мощ-
ности являются нелинейными функциями тока или напряжения.
Пример 5.2. Вычислить входные й взаимные проводимости и сопротивле-
ния, а также коэффициенты передачи тока и напряжения для цепи рис. 5.1, а.
Рассчитать по принципу наложения токи и напряжения ветвей. Параметры
схемы: г3 = г5 = 2 Ом; = гв = 3 Ом; = 10 В; = 2 А.
Решение. На рис. 5.1, б, в показаны две схемы, каждая из которых
содержит только один источник.
Рис. 5.1
В схеме с источником э. д. с.
/г = /в=^1/(''з+''в);
^=0.
ЦЗТ^в ^4П“'5/
На основании формулы (5.11)
^=d^+^k=°’4CM: &==0;
=0,2 См; g41=g51=—1—=0,2 См.
ОТ^Б
1
Вычисляя напряжения на зажимах ветвей в схеме с источником и при-
меняя формулу (5.21), рассчитаем коэффициенты передачи напряжения;
Ui _____{. /^(«) —==_________________=0 2-
С?! 21 fa-\~re o + ^s
*1?
«1?-^“-?-----"А ----------5--0.6:
© 1 ''з+'в ©1 Л + ^Б
-А—=0,4; = —Гв—=о,6.
+ <01 /з+^в
111
В схеме с источником тока J2 (рис. 5.1, в)
гЗгв | г4<5 \ .
/3-Ь/'в ri~\-rn)’
г4+гл’
, rsre
17" =0; (/’
Vs_,
В соответствии с формулой (5.20)
r _ гзгв . I
r22 — " , " Г
^A_=2,4 Ом;
<12—0; r32 — — гвг
(gi'e
1,2 Ом;
Ul=-Jt
r42 = -^2=7ZAr=1-2 °M-
Вычисляя токи ветвей в схеме с источником J2 и применяя формулу (5.13),
получим:
/<(0 _ £1 _ _______Гв ________
12 Г4 + г5 Гз + Гв
0,2;
/<(0 = 11 =—1- /<(0
Л22 I ’ '3'2
•'2
Гв
Гз + 'в
0,6;
К™ = =°’4; = - 0,6;
49 Гь + г5 62 62 Га_|_
По принципу наложения
/^олА-о.гЛ; /2=-/2;
/3 = 0,2й\—0,6J2, /4=0,26’1 + 0,4J2;
/5 = 0,2^j — 0,6J2; /в=0,2(0! + 0,4J2.
После подстановки в эти выражения заданных значений и /2 найдем:
/1=4 —0,4 = 3,6 А; /2 = — 2 А;
/3 = /б=2- 1,2 = 0,8 А; /4 = /в=2 + 0,8 = 2,8 А.
Определим напряжения на зажимах источников:
(71= — <^i = —10 В; U2=2,4/2+0,21^1=6,8 В.
Выражения для напряжений 1/Л'на зажимах ветвей при h — 3 -j- 6 отличаются
от выражений для токов /h множителем г^.
При записи соотношений (5.6), (5.15) элементы матриц &<в>,
J<»> могут быть как положительными, так и отрицательными
в зависимости от положительных направлений токов (напряже-
ний) ветвей и э. д. с. (токов) источников (см. гл. 4). Знак эле-
ментов матриц G, R, К(/), К(и) при положительных значениях Sh
и Jh соответствует знаку слагаемых в равенствах (5.10), (5.19).
При непосредственной записи соотношений (5.10), (5.19) (без
вычисления матриц) можно все э. д. с. и токи источников Jt
считать положительными; при этом знаки ghi, rM, Khi, K(hi опре-
деляют для выбранных положительных направлений токов и
112
напряжений из формул (5.11), (5.13), (5.20) и (5.21). Кроме того,
можно в соотношениях (5.1CQ, (5.19) все St, Jt, а также все
коэффициенты считать поло-
жительными, а знак слагае-
мых устанавливать при рас-
смотрении схемы.
Если в цепи действует е
только один источник, то,
как следует из соотношений
(5.10), (5.19), ток и напря-
жение любой ветви пропор-
циональны э. д. с. источника
э. д. с. или току источника £
тока. Поэтому для расчета
схем с одним источником
возможен пропорциональный
пересчет искомых величин.
Сочетание принципа наложе-
ния й пропорционального пе-
ресчета позволяет упростить
расчет разветвленных схем
(например, последовательно-
параллельных).
Пример 5.3. Рассчитать токи в ветвях цепи на рис. 5.2, а. Параметры
схемы: ^=6 Ом; г2=г4—3 Ом; г3=г3—гв=2 Ом; (о =24 В; 7=12 А.
Решение. Токи в ветвях схемы определим путем алгебраического сум-
мирования составляющих, обусловленных действием источника э. д. с. & и
источника тока J в отдельности.
Схема с источником э. д. с. Й" показана иа рис. 5.2, б. Зададимся зна-
чением тока /е = 1 А. Тогда
А; /;=/' + /$ =2 А;
гь
13 ——/£ =—2 А; /75=гв/Л-(гз+г4)= 12 В.
Ток
/;==//'/г2=4 А,
поэтому
/;=^-/5=-6 А;
&'=U'3—Г1/(=48 В.
Так как заданное значение э. д. с. © =24 В, то значения токов в схеме
на рис. 5.2, б меньше найденных в <3'1<о=2 раза:
/; = —3 А; /'=2 А; /'=—1 А; /{=1 А; /'=0,5 А; /;=0,5 А.
Схема с источником тока J показана на рис. 5.2, в. Задаваясь током
Ц — 1 А, аналогично предыдущему решению, получим:
/а’=-^- = 2 А;
Л' = /?+Л’=3 А.
Напряжение на зажимах источника
г/=г1/1’-ь/-зЛ'=12 в.
.113
Если задаться током Ze = 1 А, то
/" = Д£1=1 А; /;==/?4-Z" = 2 А;
t/=reZ;+r4Z;=2-l+3-2=8 в.
Напряжение U из расчета правой половины схемы получилось в 1,5 раза
меньше, чем из расчета левой половины, поэтому токи Ц, Ц, Ц следует уве-
личить в 1,5 раза или уменьшить в 1,5 раза токи Г1г Г3, Г3.
Пусть
/" = /’ = 1,5 А; /;=ЗА.
Тогда ток источника
/'=z;+/4’=6 а.
Заданный ток J в J/J' — 2 раза больше тока J’. Определим значения токов
в схеме на рис. 5.2, в:
/"=2 А; /'' = 4 А; /"=6 А; /"=6 А; /" = /" = 3 А.
Теперь по принцйпу наложения вычислим токи в исходной схеме:
Л=К+Д=-1 А; /2 = Д + Д=8 А;
Z3=/a-]-/J = 5 A; /4=/4-|-/4=7 А;
ZB=ZJ+Z; = 3,5 А; /« = /;+/''=3,5 А.
§ 5.3. Свойство (принцип) взаимности
Пусть в схеме цепи все источники электрической энергии
представлены в виде источников э. д. с. Тогда на основании
соотношения (5.9) матрица токов ветвей схемы
1(в) = G^<=>.
Рассмотрим два режима цепи, отличающиеся только значе-
ниями э. д. с. Для первого режима матрица э. д. с.
«й=и;о%...лг,
матрица токов
Аналогично для второго режима:
=[лд... /'в]т.
Произведения транспонированной матрицы э. д. с. одного
режима на матрицу токов другого режима имеют вид
(5.22)
(5.23)
Левые части этих равенств при транспозиции не изменяются,
поэтому
- {Вдт оедт=[ад gt<>. (5.24)
114
Ранее было показано, что матрица входных и взаимных про-
водимостей G симметрична, т. е. ,G = GT. Учитывая симметрию
этой матрицы, можно сделать вывод, что правые части выраже-
ний (5.22) и (5.24) одинаковы и, следовательно, справедливо
равенство
[»8irig=KliTi8 <6.25)
ИЛИ
(5.26)
*= 1 k=l
Равенства (5.25) и (5.26) в общей форме выражают свойство
(принцип) взаимности для электрических цепей. Согласно
этому принципу, сумма произведений э. д. с. ветвей первого режима
ца токи ветвей второго равна сумме произведений э. д. с. вто-
рого режима на токи первого.
Если в схеме цепи все источники энергии представлены
в качестве источников тока, то из соотношения (5.16) следует,
что
ИЮ = R J(B).
В этом случае, аналогично предыдущему, справедливо равен-
ство
- UgrvS-lWu» (5.27)
или
(5.28)
А=1 ft = l
где
... ли-
[л<:»]=[лх...л]т
— матрицы токов источников тока первого и второго режимов;
Ug = Rjg; ug = RJ$
— матрицы напряжений ветвей первого и второго режимов.
; Доказательство равенств (5.27) и (5.28) основывается на сим-
метрии матрицы входных и взаимных сопротивлений R. Эти
равенства также выражают свойство взаимности электрических
цепей.
Из общих определений взаимности (5.26) и (5.28) получаются
выражения для частных случаев:
Пусть первый режим цепи соответствует схеме на рис. 5.3, а.
В этом режиме в цепи имеется только один источник э. д. с.
@1 в ветви I, который создает ток Гт в ветви т. Часть схемы,
кроме ветвей I и т, условно показана в виде прямоугольника
115
(буквой П обозначена пассивная часть схемы). Второй режим
цепи соответствует схеме на рис. 5.3, б.' В этом режиме имеется
только один источник э. д. с. в ветви т, который создает
ток Ц в ветви /.
Поскольку все элементы матриц и кроме соответст-
венно элементов и равны нулю, то из равенства (5.26)
следует, что
= (5.29)
Если — то Гт = Н, т. е. если -э. д. с. <$t, действующая
в ветви /, создает ток Гт в ветви т, то равная ей э. д. с.
действующая в ветви т, создает ток Ц = Гт- При этом направ-
ление э. д. с. и токов согласовано в соответствии с рис. 5.3.
При рассмотрении режимов схем на рис. 5.4, а, б, содержа-
щих по одному источнику тока, на основании соотношения (5.28)
устанавливается равенство
(5.30)
При J[ = J"n получаем U'm = Ui.
Равенства (5.25) —(5.28), служащие общими определениями
взаимности, вытекают, как уже отмечалось, из условия симмет-
рии матриц входных и взаимных проводимостей и сопротивлений
G и R. Симметрия этих матриц, в свою очередь, установлена
из условия симметрии матриц узловых проводимостей и
контурных сопротивлений R<k>(cm. § 5.2). Таким образом, симмет-
рию матриц G и R, G^ и R(K) йожно рассматривать как опре-
деляющий признак цепей, удовлетворяющих свойству взаимности
(взаимных цепей).
§ 5.4. Теорема а компенсации, линейные соотношения
между напряжениями и токами
Любое сопротивление схемы rh с током Ih можно заменить
источником э. д. с. ^h = fhlh, направление которой противопо-
ложно направлению тока (или источником э. д. с. <$h = — rhIh,
116
замене сопротивления
направление которой совпадает с направлением тока). При этом
токи и напряжения всех ветвей схемы не изменяются.
Действительно, если в схеме на рис. 5.5, а вместо сопротив-
ления rh включить источник э. д. с. положительное направ-
ление которой противоположно положительному направлению
тока (рис. 5.5, б) *, то топология исходной схемы не изменится.
Поэтому уравнения для токов по первому закону Кирхгофа схем
(на рис. 5.5, а, б) одинаковы. Уравнения по второму закону
Кирхгофа также одинаковы, так как слагаемым ± rhIh в левой
части уравнений одной схемы соответствуют слагаемые zp Sh =
= zp rhIh в правой части уравнений другой схемы. Следовательно,
токи и напряжения ветвей схемы при
с напряжением rhIh соответствующей
э. д. с. не изменяются. В общем слу-
чае любую ветвь с напряжением Uh на
ее зажимах можно заменить источником
э. д. с. Sh = Uh.
Кроме того, любую ветвь с током
7ft можно заменить источником тока
Jft = 7Л, направление которого совпа-
дает с направлением тока ветви (источ-
ником тока 7Л = —7Л, направление кото-
рого противоположно направлению то-
ка ветви) без изменения токов и на-
пряжений всех ветвей схемы.
Сформулированные положения о воз-
можности замены ветвей источниками
э. д. с. и тока определяют теоре-
му о- к о м п е н с а ц и и.
Пусть в цепи, содержащей источ-
ники напряжения иг тока, изменяется
э. д. с. одного из источников, а э. д. с.
и токи других источников остаются по-
стоянными. В этом случае из соот-
ношений (5.10) и (5.19) следует, что
ток и напряжение любой ветви являются линейными функциями
изменяемой э. д. с., поскольку входные и взаимные проводи-
мости и сопротивления, коэффициенты передачи тока и напряже-
ния неизменны:
Л = (5.31)
1^+Ж (5.32)
где 7л, Uh — ток и напряжение Л-й ветви (h= 1, 2, в); —
изменяемая э. д. с.; 7Л0 и (7Л0—постоянные слагаемые в равен-
* На рис. 5.5, а, б прямоугольником с буквой Л обозначена активная
часть схемы с источниками.
117
ствах (5.10) и (5.19):
Ло— У ёт^г 4- УЖ ы Л;
l^i I
I 1ф1
Соотношения, аналогичные (5.31) и (5.32), можно записать
и для случая, когда изменяется ток одного источника тока,
а э. д. с. и токи других источников остаются постоянными:
= (5.33)
^ = ^ + Mz, (5.34).
где
/™ = У^ + У/Ш;
I
UhO = У rhtJ'l + У
i^i I
Если в цепи изменяется сопротивление г,- одной ветви, то
его, согласно принципу компенсации, можно заменить источни-
ком э. д. с., величина которой равна напряжению Ur. на сопро-
тивлении Г/.
Тогда вместо соотношений (5.31) и (5.32) получается
7h~ 1Ло + ё'пргр (5.35)
Uh = Uh0 + K^Vr., (5.36)
где
7ло = У ём<°1 + У KhlJ Г,
I I,
UhO — ^fhlJI + y'lKhPd’l-
I I
В соотношениях (5.35) и (5.36) в отличие от (5.31), (5.32 )
все входные и взаимные проводимости и сопротивления, коэф-
фициенты передачи напряжения и тока определяются при rz = 0.
Переменное сопротивление г, с током /Г/. также можно заме-
нить источником тока, величина которого равна этому току.
Поэтому справедливы соотношения
/Л=.4 + М/Л/; (5-37)
Uh=U’M + rhilrj, (5.38)
где
Ло — У ё^14- У Kki^J г,
i i
= У TfefJ<4~ У I-
I I
118
В соотношениях (5.37), (5.38) в
входные и взаимные проводимости
енты передачи напряжения и тока*
определяются при rz- = oo (§у = 0).
Из изложенного следует, что
при изменении какого-либо пара-
метра одной из ветвеТ1 (э. д. с.,
тока источника или сопротивле-
ния) напряжения или токи любых
ветвей, напряжения на зажимах
сопротивлений или токи в сопро-
тивлениях связаны линейными со-
отношениями вида
у = а -ф Ьх, (5.39)
где х, у — изменяющиеся токи или
напряжения, а, Ь — постоянные
коэффициенты.
Постоянные а, Ь определяют
расчетным, или опытным путем,
если известны переменные х, у
для двух режимов. Часто посто-
янные а и Ь находят из условий
х = 0, у = 0, что соответствует раз-
рыву или замыканию ветвей (соп-
ротивлений).
Аналогично предыдущему мож-
но показать, что при. одновремен-
ном изменении двух параметров в
схеме (например, двух сопротив-
лений) напряжения и токи любых
ветвей связаны между собой ли-
нейными соотношениями вида
отличие от (5.33), (5.34) все
и сопротивления, коэффици-
Рис. 5.6
г = а 4- Ьх 4- су,
(5.40)
где х, у, г — изменяющиеся напряжения или токи; а, Ь, с —по-
стоянные, определяемые расчетным или опытным путем.
Пример 5.4. В схеме на рис. 5.6, а сопротивление г4 изменяется от нуля
до бесконечности. Найти зависимости A (t/4), Uz(U^), А (А), С/2 (А). Пара-
метры схемы: Ti=r3=4 Ом; г2=2 Ом; dj = 100 В; J2==50 А.
Решение. В соответствии с равенством (5.39) искомые зависимости
имеют вид:
/1=c14-f>1t/4;
t/2=a24-b2t/4;
А=аз 4- ^з А;
1/2=о44-1,4А'
Рассмотрим два режима схемы, соответствующие короткозамкнутой и разомк*
нугой ветвям с сопротивлением г4.
119
При коротком замыкании сопротивления напряжение 6/4=0, следова-
тельно, /хк==Сх; 1/2цL= С2.
Если в схеме ветвь л, замкнута, то потенциалы узлов 1 и 2 Q4 = Фа — Фх, г-
Полагая <р3=0, запишем уравнение
откуда
Ф1.2 (l/4t + 1/гзЧ- 1/^з)— 1/г1 + ^2>
го (ЮО/4)+ 50 ?5
fl.2-(1/4+1/4+1/2)
В.
Напряжение 1/2к = Ф1,2=75 В. Токи
ЛкМ^х-Фх,2) -- = 6,25 А,
'1
/4к=/2—^4 = 12,5 А,
» Г‘г
Таким образом,
а] = /1к = 6,25 А; а2=(/2К = 75 В.
При размыкании сопротивления г4 ток /4 = 0, следовательно, /^ = 03;
6/2р = ц4.
Из исходной схемы находим:
* /1р=—41-=12,5 A; t/2p = r2J2= 100 В;
Ч. + Гз
1/4р=172р Гз/2р = 50 В.
Постоянные: Сз=/]р=12,5 A; а4 = С/2р=100 В.
Для определения постоянных Ьъ bz, bs и 64 составим уравнения;
Лр == °х"Ь b-iUty", t/2p = a2+fc2t/4p;
Лк = Сз+1’зЛк'> 6/2K=<i4 + fc4/4K,
или
12,5=6,25+6x50; 100 = 75 + 6250;
6,25= 12,5 + 6312,5; 75= 100+6412,5,
откуда 6] =0,125 См; fe2 = 0,5;-fe3=—0,5; fc4=—2 Ом.
Окончательно получим:
Zx = 6,25 + 0.1256Л,;
6/2=75+0,56/4;
/х=12,5-0,5/4;
6/2=100-2/4.
Убедимся,' что применение выражений (5.35) -4- (5.38) приводит к тем же
результатам.
Чтобы установить зависимости /х(6/4) и 6/2 (6/4), сопротивление г4 заменим
источником э. д. с. (рис.'5.6, б). По принципу наложения запишем равенства
для тока /х и напряжения 6/2 в этой схеме:
/1 = gxi^i+ 7*4? + + gi+4;
(72 = /<<ё)^1 + г224+/<Й)С/4.
Анализируя полученную схему, найдем:
gu = 0,1875 См; А<О=__о,25; gi4 = 0,125 См,
=0,25; г22=1 Ом; К^)=0,5.
120
Подставляя числовые значения, определим:
/г=0,1875 • 100— 0,25 -50 + 0,1257/4 = 6,25 + 0,125£74;
77а=О,25- 100 + 1 -50 + 0,5774 = 75 + 0,5^4.
Чтобы установить зависимости 1г (/4) и U2 (/4), сопротивление г4 заменим
источником тока (рис. 5.6, в). По принципу наложения для этой схемы
0^2 = + ^22*^2 +
Анализируя схему на рис. 5.6, в, вычислим:
gh =0,125 См; <(2г)=0; ^ = -0,5;
^'<“>=0; r'ss = % Ом; r'sl = —2 Ом.
Таким образом,
/j = 0,125.100-0,5/4=12,5 — 0,5/4,
С72 = 2 • 50 — 2/4= IOO — 2/4.
Соотношения, полученные на основании выражений (5.35) + (5.38), совпа-
дают с найденными ранее.
Рис. 5.7 Рис. 5.8
С помощью линейных соотношений можно установить связь
между приращением сопротивления Алу (приводимости Agy) в одной
из ветвей и приращениями токов Мк (напряжений А{/й) в дру-
гих ветвях..
Пусть сопротивление Г] ветви / возросло на величину А/у
(рис. 5.7, а). Приращение A/у, как следует из теоремы о ком-
пенсации, можно заменить источником э. д. с. А<эу== —
направление которой совпадает с направлением тока /,• (рис. 5.7, б).
121
Для токов Ij и /Л справедливы линейные соотношения, анало-
гичные (5.31):
Л=//о+Д/М; (5.41)
Ih — 1 ha + $ и (5.42)
где /7-о, 7ft0 —токи ветвей f и h при Лг7 = 0, g/7, gft7 —входная и
при Аг7=О. Из соотношений (5.41) и
(5.42) с учетом равенства А^,=—Аг7/7
получаем формулы для приращений то-
ков.*
(5.43)
(5.44)
Если проводимость gj ветви j изме-
няется на величину Ag7 (рис. 5.8, а),
то это приращение можно заменить ис-
точником тока А/,= — kgjUj, направ-
ление которого противоположно на-
правлению напряжения (Л (рис. 5.8, б).
Напряжения ветвей Ut и Uh выражают-
ся линейными соотношениями, анало-
гичными (5.34):
Ц. = Г/0 + г/7А//; (5.45)
Рис. 5.9 Uh — Uно 4~ гh,AJj, (5.46)
где t/7o, Uно — напряжения ветвей / и h при Agy = O; rjh rhj —
входное и взаимное сопротивления при Ag7=0. Формулы для
приращений напряжений дуальны формулам (5.43) и (5.44):
(5.47)
№h~U,-Um = - U„. (5.48)
Пример 5.5. В схеме цепи на рис. 5.6, а определить ток /4 и напряжение
172 при г4=6 Ом.
Решение. В примере 5.4 вычислены значения токов Ilt /4 при г4 = 0
(/хк=6,25 А; /4К = 12,5 А). Приращение тока Д/4 найдем по формуле (5 44),
полагая Дг4 = 6 Ом; /40 —/4к=12,5 А Анализируя схему на рис. 5.9, а, рас-
считаем проводимости и д14:
g44=0,25 См, gu = — 0,125 См. Приращение тока
1 -f- О •
Следовательно, гак
^1 = До4 Д/1=^1к+ДА== Ю А.
В примере 5.5 вычислены' напряжения t/B, С4 при г —со (g4=0): Uip =»
= 100 В; L'4.7,=5fl В. Чтобы рассчитать приращение напряжения Дб2, найдем
сопротивления т44, г24 из схемы на рис. 5.9, б:
г44 7= 4 Ом; == 2 Ом.
122
Подставляя-в формулу-(5.48) найденные значения сопротивлений, а также
Agj=l/6 См, 174р = 50 В, получим
-4-2
At7s=--------50==—10 В.
1+б’4
Следовательно, напряжение
t/g=t7iio_l~A(/g=;=t7gp-|-A(/g=9O В.
§ 5.5. Теорема об эквивалентном источнике
(активном двухполюснике)
Пусть в схеме электрической цепи, имеющей источники э. д. с.
и тока, выделена /-я ветвь, содержащая только сопротивление rj
с током 1/. Если сопротивление Г; заменить согласно теореме
о компенсации'источником тока Jj — — If, направление которого
противоположно направлению тока /7, то для напряжения Ut-
на зажимах ветви можно записать соотношение, аналогичное
соотношению (5.34):
И/ = t7;o + r jjJ j,
где слагаемое Uj0 объединяет составляющие напряжения Ujt
обусловленные всеми источниками, кроме J t:
1ф! I
г77 —входное сопротивление относительно зажимов источника J7,
т. е. относительно зажимов выделенной ветви (г7у = г7т,х)- Это со-
противление (см. § 5.2) определяется при условии, что в схеме
исключены все источники, кроме J}.
Напряжение U/о представляет собой напряжение Uj при
J7=0, т. е. напряжение Ufp на зажимах разомкнутой /-й ветви.
Учитывая Jf = —I/ и опуская индекс / у напряжения, тока и
сопротивления, выражение для напряжения на зажимах выделен-
ной ветви записывают следующим образом:
U = Up-rvJ. (5.49)
На рис. 5.10 показана схема, в которой выделена ветвь
с сопротивлением г (активный двухполюсник, к зажимам которого
присоединено сопротивление г). Напряжение U на зажимах со-
противления и ток I в сопротивлении связаны соотношением
(5.49). Так как для напряжения U справедливо также равенство
U — rl, тоаиз (5.49) находим
Выражению (5.50) соответствует эквивалентная схема на
рис. 5.11. В этой схеме э. д. с. равна напряжению UD на зажи-
мах разомкнутой ветви с сопротивлением г.
123
Если ветвь с сопротивлением г короткозамкиута, то напря-
жение U = Q и сопротивление
Гвх = ^₽//К. (5-51)
где /к —ток в короткозамкнутой выделенной ветви. Считая гЕХ
внутренним сопротивлением источника напряжения Up (рис. 5.11)
и заменяя источник напряжения эквивалентным источником тока,
получаем схему на рис. 5.12, в которой ток источника тока
равен /к. Для найденной схемы справедливы соотношения
U — Д/йДх + й). (5.52)
где
gBx=l/rBx. g=l/G
/ = —gBx^.
(5.53)
Формулы (5.50) и (5.52) определяют теорему об эквива-
лентном источнике или об активном двухполюс-
нике: если активную схему, к которой присоединена некоторая
пассивная ветвь, заменить источником э. д. с. с э. д. с., равной
напряжению на зажимах разомкнутой ветви (источником тока,
величина которого равна току короткозамкнутой ветви), и сопро-
тивлением, равным входному сопротивлению активной, цепи (про-
водимостью, равной входной проводимости активной цепи), то
ток в этой ветви (напряжение на ее зажимах) не изменится.
Эквивалентную схему с источником э. д. с. (рис. 5.11) назы-
вают схемой Тевенена, а эквивалентную схему с источником
тока (рис. 5.12) —схемой Нортона.
В общем случае выделенная ветвь может содержать источник
э. д. с. S (источник тока J). Если ветвь содержит источник
э. д. с. с э. д. с. S, то вместо выражения (5.50) записывают
up±S
Гвх + Г ’
(5.54)
где знак плюс (минус) в числителе соответствует случаю, когда
направление э. д. с. совпадает (противоположно) с направлением
тока /. Если ветвь содержит источник тока J, то
£вх+£'
(5.55)
124
Рис. 5.13
Согласно теореме об активном двухполюснике, действительный
режим выделенной ветви может быть представлен как результат
наложения двух режимов: первого режима, при котором выде-
ленная ветвь разомкнута, ток / — 0, напряжение на зажимах
ветви от действия всех источников, активного двухполюсника
равно Up (выделенная ветвь короткозамкнута, напряжение U = 0,
ток / = /к), и второго, режима,
при котором в схеме действует
только один источник э. д. с., Up
(источник тока /к). Ток / (напря-
жение U) выделенной ветви равен
току (напряжению) этой ветви во
втором режиме.
Если в схеме с источниками _
выделить несколько ветвей (на-
пример, две, как показано на рис. 5.13), то действительный
режим этих ветвей может быть аналогично представлен как резуль-
тат наложения двух режимов: первого режима, при котором
выделенные ветви одновременно разомкнуты (короткозамкнуты),
и второго режима, при котором в схеме действуют источники .
напряжения с э. д; с., равными соответственно напряжениям на
зажимах разомкнутых выделенных ветвей (источники тока, рав-
ные соответственно токам короткозамкнутых выделенных ветвей),
а остальные источники исключены. Токи (напряжения) выделен- ,
Рис. 5.14
ных ветвей определяют при расчете только второго режима.
Например, токи и напряжения двух ветвей схемы на рис. 5.13
получаются в результате расчета схемы на рис. 5.14, а с двумя
источниками э. д. с. или схемы на рис. 5.14, б с двумя источ-
никами тока. При этом все источники исходной активной схемы
исключаются.
Для нескольких выделенных ветвей схемы вместо выражений
(5.49) и (5.53) можно записать матричные соотношения
U = UP-RI; (5.56)
1 = IK —GU, (5.57)
где U (5) —матрица напряжений (токов) выделенных ветвей;
Up (1К) —матрица напряжений на зажимах разомкнутых выделен-
125
ных ветвей (токов короткозамкнутых выделенных ветвей); R (G) —•
матрица входных и взаимных сопротивлений (входных и взаим-
ных проводимостей) выделенных вет-
вей.
Такйм образом, теорема об эк-
вивалентном источнике может быть
обобщена для расчета токов и на-
пряжений нескольких ветвей слож-.
ной схемы.
Пример 5.6. В цепи на рис. 5.6, а оп-
ределить ток /4 при г4 = 6 Ом с помощью
теоремы об эквивалентном источнике.
Решение. Если ветвь с сопротивле-
нием г4 разомкнуть, то напряжение (74р = 50 В
(см. пример 5.4). Входное сопротивле-
ние относительно зажимов ветви с сопро-
тивлением
гвх = Y8; + <2=4 Ом
,Т.Т'гз
(в примере 5.5 rEX=/'4i). Следовательно-,
ток
Ра = (74р/(гвхг4) =-5 А.
Пример 5.7. Определить ток / в соп-
ротивлении г схемы на рис. 5.15, а-с по-
мощью теоремы об эквивалентном источни-
ке. Параметры схемы: n=rs = 6 Ом; г3 =
= г4 = 3 Ом; г= 10 Ом; & — 18 В; J = 10 А.
Решение. При размыкании ветви с
сопротивлением г получается схема, приве-
денная на рис. 5.15, б.
По принципу наложения напряжение
— —Га 4- J ( Г1Г* 4
^г+^з/ \Г1-ЬГ4
-^М=14
гг + гз/
В.
Входное сопротивление относительно зажимов ветви с сопротивлением г
(рис. 5.15, е)
гвх = -^+-^ = 4 Ом.
Искомый ток
/=б'р/(гвх+г)=1 А.
§ 5.6.. Простейшие эквивалентные преобразования схем
Анализ сложных электрических цепей можно упростить
и' сделать более наглядным путем различных преобразований
схем. Целесообразное преобразование схемы приводит к умень-
шению числа ее узлов, контуров и ветвей и, следовательно, чис-
ла уравнений, характеризующих электрическое состояние схемы.
Преобразования называют эквивалентными, если выпол-
няется условие неизменности токов и напряжений ветвей в тех
частях схемы, которые не затронуты преобразованиями.
126
Возможность элементарных эквивалентных -преобразований
была показана ранее. Так, в гл. 1 рассмотрено преобразование
источника э. д. с. с внутренним сопротивлением в эквивалентный
источник тока и наоборот; в гл. 4 производилась замена ветви,
состоящей из ряда последовательно соединенных источников э. д. с.
и сопротивлений, эквивалентной -ветвью, содержащей один источ-
ник с э. д. с., величина которой равна алгебраической сумме
э. д. с. всех источников ветви, и одно сопротивление, равное
сумме сопротивлений всех ветвей. Дуальное' преобразование
возможно по отношению к параллельному соединению проводи-
мостей и источников тока.
Рис. 5.16
На рис. 5.16, а показана схема, содержащая т параллельно
соединенных ветвей с источниками э. д. с., источниками токов
и сопротивлениями. Для этой схемы справедливо узловое урав-
нение
т tn tn
+ S h-i,
k=l k=l
где gk = 'l/rk, k=l, 2, ..., tn.
Из этого уравнения получаем соотношение
U=^-rI,
где
fe=i
которому соответствует эквивалентная схема на рис. 5.16, б.
Таким образом, ряд параллельных ветвей с источниками э. д. с.
и сопротивлениями можно заменить эквивалентной ветвьюсэ. д. -с.
и сопротивлением г. При этом ток / и напряжение U в схемах
127
на рис. 5.16, -а, б соответственно одинаковы. При определении
эквивалентной э. д._ с. <э слагаемые Skgk и Jk суммируются:
с положительным (отрицательным) знаком записывают э. д. с.
и токи источников, направленные к узлу 1 (от узла 1). В числи-
теле выражения для 0 некоторые слагаемые, соответствующие
ветвям, не содержащим источников э. д. с. или тока, отсутствуют;
в знаменателе выражений для & и г записывают сумму прово-
димостей всех ветвей.
Рис. 5.17
Аналогично последовательное соединение ветвей, содержащих
источники тока, э. д. с. и сопротивления (рис. 5.17, а), заме-
няют одной ветвью с источником J и сопротивлением г
(рис. 5.17, б), причем
т т
У ,krk~1r У &k
r _*=1 fe=l
т
Если схема представляет собой смешанное (последовательно-
параллельное) соединение ветвей, содержащих источники, то для
ее расчета применяют рассмотренные простейшие преобразования.
Пример 5.8. Рассчитать токи в ветвях схемы (рис. 5.18, а). Параметры
схемы: ^ = ^ = 20 В; й“2=<^в=10В; б?4=15В; 73=10А; /1=10 Ом;
га = 5 Ом; г3=1 Ом; г4 = 2 Ом; г5 = г6 = 4 Ом.
Решение. Заменим две параллельные ветви с э. д. с. и ев одной
с эквивалентной э. д. с.
® ЭКВ1 ~
и эквивалентным сопротивлением
Гвкв,=ЖТЖГ=2Ом-
Далее три последовательные ветви (с источниками J3t и <^эКв1) заме-»
ним одной с э. д. с.
Й ЭКВ — ^Ч+^ЭКВ1 = 0
+(^>6) . .. р
(1/г5) + (1/гв)
128
и сопротивлением /экв=Гз+/’4+,'экв1=5 Ом. В результате получим схему
на рис. 5.18, б. Если <р3=0, то
t/ri) + (<^*аЛа) _о g
ф1-(1/>1) + (1/Г2) + (1/ГеКв)
Токи:
Л = (^1-Ф1) -^-=1.2 А; /2=(<?а-Ф1)^-=0.4 А;
ri г2
Z4=<pi—=1,6 А; / =/4-|-J3 = ll,6 А.
'экв 3
Потенциал
фз==ф4—гз^3 — В;
токи:
— (фа4"^s) 4,55 А; /в = (^в—фа) ~~2,95 А.
Любую схему, содержащую источники э. д. с. и тока, можно
преобразовать в схему, имеющую только источники тока или
с; б)
Рис. 5.18
только источники э. д. с. Для этого каждый источник э. д. с.
(тока) заменяют источником тока (э. д. с.). Если схема содержит
ветви с источниками э. д. с. без последовательного сопротивле-
ния или с источниками тока без параллельного сопротивления,
то предварительно применяют ' преобразование источников (см.
гл. 4). В таких случаях для одной заданной схемы можно
получить несколько эквивалентных схем.
Следует подчеркнуть, что при преобразовании схем с источ-
никами энергии суммарные мощности источников и приемников
в исходных схемах не равны в общем случае соответствующим
мощностям „в эквивалентных схемах.
§ 5.7. Преобразования схем при исключении узлов
Если решать систему узловых уравнений для схемы, имеющей
число узлов у > 2, путем исключения неизвестных, то на каждом
этапе решения исключение одной переменной (потенциала узла)
будет соответствовать исключению одного узла схемы. Системе
5 п/р. Ионкина, т, 1 129
уравнений с меньшим числом неизвестных можно поставить
в соответствие схему с меньшим числом узлов.
Пусть матричное узловое уравнение (4.18) записано в виде
Оц 612 44
G21 G22 фг
7<у>’
J<y)_
(5.58)
где Gu (G22) — квадратная неособенная подматрица. Выражение
(5.58) соответствует разбиению матрицы коэффициентов уравне-
ния на блоки.
Если Gu — квадратная неособенная подматрица, то из равен-
ства (5.58) получаем:
9 44 GiiG^2 + Gjj1 J(y), 62144 4“ Оггфг — (5.59)
откуда (}(у)ф2=Ту),
где G(y) = G22 — G2iGhG12; (5.60)
* Уу) = -02107/J<y> + J<y). (5.61)
Уравнение (5.59) можно считать матричным узловым уравне-
нием схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы
которых образуют матрицу фь
Если G22 — квадратная неособенная подматрица, то аналогично
записывают 0<у)ф! = .1(у), (5.62)
где G(y)^-=Gn — G12GJG21; (5.63)
J(y) = — G12GgJ2 + J<y). (5.64)
Уравнение (5.62) соответствует матричному узловому уравне-
нию схемы, полученной путем исключения узлов, потенциалы
которых образуют матрицу <р2.
Схемы, отвечающие уравнениям (5.59) или (5.62), могут быть
построены на основании выражений (5.60), (5.61) или (5.63),
(5.64). Эти схемы эквивалентны исходной схеме' в том смысле,
что имеют одинаковые с ней потенциалы узлов, образующие
матрицу ф2 или фь
Следует отметить, что матрица G(y) эквивалентной схемы,
как видно из выражений (5.60), (5.63), не зависит от параметров
активных элементов (матрицы J(y)). Преобразование активных
цепей отличается от преобразования пассивных цепей дополни-
тельной операцией преобразования активных элементов по выра-
жениям (5.61) или (5.64).
Последовательное исключение узлов схемы может быть выпол-
нено путем многократного применения преобразований звезды
130
в многоугольник. На рис. 5.19, а приведена схема /м-лучевой
активной звезды. Для этой схемы справедливо узловое уравнение
G<y)<p = JW
где
gi
ga
G<y> =
-gi
~g2
ёт ёт
gl ё% ••• ёт
k
— неопределенная матрица узловых проводимостей*;
...OWPoF — матрица узловых потенциалов всех узлов;
j<y) =
2е*'
Рис.
Из вывода уравнений (5.59) или (5.62) очевидно, что выраже-
ния (5.60), (5.61) или (5.63), (5.64) могут быть применены и в
случае неопределенных матриц узловых проводимостей.
Если исключают узел 0 в схеме звезды, то
Сц =
ё1
ё*
'~ё1'
~ё2
; ' 612 =
ёт-
ёт-
621 = Gjg; G22 — У, 1
k I *
j(y) = [<^lgl + 4... Smgm + Imy- JW = - 2 ^kgk.
k
6*
131
I
&igl + Il
$2g2 + 12
1
k
J(y)
Si
-gz
_ gm_
$lgl ~
k
$2g2 — ^kgk +/2
2-lSkk
k
(5.66)
m.
(5.67)
^mgm-^y^ + Im
Z^T
_ k _
По матрицам (5.65) и (5.66) можно построить схему, эквива-
лентную звезде. Эта схема имеет вид полного многоугольника
(рис. 5.19, б). Проводимость ветви gy, z, соединяющей узлы /, I
многоугольника, равна элементу (/, /) матрицы (5.65), взятому
с противоположным (положительным) знаком:
gj,l — gl,j— V—: I' ~~ 1’ 2’
k
Собственная проводимость каждого узла многоугольника
(рис. 5.19,6) равна соответствующему диагональному элементу
матрицы (5.65).
Пассивные параметры gyiZ эквивалентного многоугольника
определяют однозначно. Активные параметры (э. д. с. ветвей) не
могут быть найдены единственным образом, так как число ветвей
полного многоугольника т(т—1)/2 больше числа условий для
132
определения э. д. с., т. е. числа независимых элементов матрицы
узловых токов (5.66). Сумма всех т элементов матрицы J(!/) равна
нулю, следовательно, матрица J(b) имеет т — 1 независимых
элементов.
Чтобы активный многоугольник с проводимостями ветвей
(5.67) был эквивалентен активны! звезде, в общем случае доста-
точно включить по одному соответствующему источнику э. д. с.
в любые из т— Г ветвей многоугольника. Если, например, вклю-
чить источники э. д.. с. в каждую из \tn — 1 ветвей многоуголь-
ника, имеющих общий /-й узел, то э. д. с. определяется на осно-
вании равенства (5.66):'
Учитывая соотношение (5.67), получаем
2jSk т
—-572^-= 2 (5-ед
k k — 1
(1=1, 2, ..., т; I /’)- •
Во всех ветвях, которые не соединены с узлом /, источники
э. д. с. отсутствуют.
Аналогично решают задачу определения э. д. с. т — 1 источ-
ников, включенных в другие ветви многоугольника. Можно вклю-
чить по одному источнику э. д. с, в каждую ветвь многоуголь-
ника. Чтобы определить величину э. д. с. в этом случае, ток /-го
узла необходимо представить следующим образом;
W = sigj--^-У skSk+1fe(St-4
k k
+(^-^-+.
/ г igk
k k
-2
l
Непосредственно из схемы на рис. 5.19, б находим
j{.y) = J] j + //,
i
t
где Stj=—Таким образом, э. д. с. источника в ветви мно-
гоугольника, соединяющей узлы I и /,
Si, j, 1=1, 2, .... th. (5.69)
При наличии во всех ветвях многоугольника э. д. с., опре-
деляемых соотношением (5.69), сумма э. д. с. в любом контуре
многоугольника равна нулю. Следовательно, если многоугольник
133
не присоединен к внешней активной цепи, токи в его ветвях
отсутствуют. В случае, когда многоугольник содержит т — 1
источников, э. д. с. которых выражаются, например, равенством
(5.68), в его ветвях возникают токи, даже если многоугольник
не присоединен к внешней цепи.
Аналогично решается задача преобразования звезды, ветви
которой содержат источники тока (источник тока можно заменить
эквивалентным источником э. д. с.).
Если звезда пассивная (в ветвях
нет источников), то формула (5.67) для
проводимостей ветвей эквивалентного
многоугольника остается справедли-
вой. В частном случае пассивной трех-
лучевой звезды (рис. 5.20, а) проводи-
мости эквивалентного треугольника(рис.
5.20, б) определяются соотношениями
„ gigs п gsg3
g1'2 gl+g2 + g3 ’ g2,3 gl + gs + gs ’
g31 = --/lg3-L - (5.70)
gl + gs + gs
или при замене проводимостей — сопро-
тивлениями
ri,2 — ri+ft4—г2,з — /а4-гз4—“>
'3 '1
г3,1 = Гз4-/‘1 + “- (5-71)
'2
С помощью матричных выражений
(5.59) ч- (5.64) можно последовательно
исключать по одному узлу или сразу
исключить группу узлов; поочередное
исключение узлов выполняют также
(5.67) -4- (5.71). Как уже отмечалось, исклю-
с помощью формул
чение узлов эквивалентно исключению переменных узловых
уравнений, однако преобразование схемы путем уменьшения числа
узлов не требует применения операций вычитания, что позволяет
выполнить расчеты с большей точностью по сравнению с методом
последовательного исключения переменных системы уравнений.
Пример 5.9. Определить входное сопротивление между узлами 5, 6 схемы
на рис. 5.21, а. Параметры схемы: г1 = ге = 2 Ом; гг=г6=3 Ом; ra=ri—ri =
= г9=ли=6 Ом; г8 = /-10=18 Ом.
Решение, Входное сопротивление между узлами 5, 6 найдем, преобра-
зовав исходную схему следующим образом: трехлучевые звезды с узлами 1 и 2
заменим эквивалентными треугольниками. В результате получим схему на
рис. 5.21, б, параметры которой вычислим по (5.71):
гъ.з——-—-=6 Ом; Гз,в = г2+гз-1———18 Ом;
гз П
rLe = r1+/-3+-^®-=12 Ом; гъ, 4=гз,в= 18 Ом;
га
Г4,в = г6,3=6 Ом; Гб,в = <« = 12 Ом.
134
Заменяя параллельно включенные сопротивления схемы на рис. 5.21, б
эквивалентными, получим схему на рис. 5.21, в, в которой
*’э1 = ''э2=''э5 = 3 Ом; гэз = гэ4=9 Ом.
Из этой схемы определим входное сопротивление между узлами 5, 6:
гвх = (— Ч-------1— Ч-------г—1 = 2 Ом.
\/’э1 ^эз+^эз ^э4Ч~гэ5/
Схему на рис. 5.21, в можно получить также с помощью одновременного
исключения узлов 1, 2 на основании матричного соотношения (5.60). Опреде-
Рис. 5.21
ленная матрица узловых проводимостей
исходной схемы при <рв— 0 имеет вид
1 2 G(y) =3 4 5 1 2 1 0 0 1 in_,|cs| |со 1 1 О K-м [со 1 СО"-, [со о 1
0 »-4 1 1 2 6 5 0 -1 . 9 6 0 А_1 9 18 _1 1 19 6 18 18_
Эта матрица разбивается на блоки в соответствии с штриховыми линиями:
0
I
1
0
G12 —
Gu =
~2
1
6 .
135
Так как
из равенства (5.60)
Г1 от
GHo 1J-
1~
6
1
18
19
18,
1 1
3 6\
Матрица G^ представляет собой определенную матрицу узловых прово-
димостей эквивалентной схемы. Эту схему легко построить, если записать
неопределенную «матрицу
4
G(Hy) =
5
£
3
1 '
9
£
9
1
9
1
3
5
1
3
1
9
1_
9
1
3
6
£-
9
1
т
1
з
£
9
2 6
X _ X I-
3 9 9
3
6
з
£
9
о
4
0
Элементы последней строки и последнего столбца матрицы G^ находятся
из условия равенства нулю суммы элементов любой строки и любого столбца
неопределенной матрицы.
Если каждую пару узлов j, I (j, 1—3, 4, 5, 6) соединить ветвью, прово-
димость которой равна элементу (/, /) неопределенной матрицы, взятому с про-
тивоположным (положительным) знаком, то получится эквивалентная схема,
приведенная на рис. 5.21, в.
Аналогично решается задача определения входного сопротивления путем
исключения узлов 3, 4.
§ 5.8. Преобразования схем при исключении контуров
Если матричное контурное уравнение (4.30) записано в виде
Rh
_1?21
Rr
12 *1
*X22j L*2 J
'g(K)
(5-72)
то можно получить соотношения, аналогичные (5.59) — (5.64):
R(K)I <к) = Iм, (5.73)
136
где RM = R22-R21R^R12; S^-R^W (5.74) (5.75)
или R<K>I<K)=g(K), (5.76)
где R( * = Rii — R12R22 R21; (5.77)
^^-R^R-^-l-gW, (5.78)
Уравнения (5.73) или (5.76) можно рассматривать как кон-
турные уравнения эквивалентных схем, полученных путем исклю-
чения контуров, контурные токи которых образуют матрицу l(K)
или 1^' • Эквивалентные схемы имеют контурные токи, совпадаю-
щие с токами матриц l£K) или 1$к) исходной схемы.
Пусть схема имеет k независимых контуров и Л-й контур
исключается. Тогда матрицу контурных сопротивлений R(x) исход-
ной схемы делят на блоки следующим образом:
Матрицу контурных сопротивлений схемы с исключенным
контуром вычисляют по формуле (5.77) при R22 = l/rkk:
~rlk
.RO^Ry-^-
I'M.
•• rk,k-l] —
-fk-1, k J
~rlk ГЫ flk rk2 rlkrk,k-l
i Г 2k rkl rZk rk2 • •• f2krk,k-l
11 rkk . .......................................
-fk-l,krkl fk-l,krk2 ... fk-l,krk,k-l-
(5.79)
137
Согласно этому равенству, собственное сопротивление /'-го
контура (/’==1, 2, k — 1)
г — r r,krki .
rti~r» rkk '
общее сопротивление i-го и /-го контуров (t, j=l, 2, ...» k — 1)
Wk]
ru-ru----т—--
r kk
Если i-й и /-й контуры не имеют общих сопротивлений с исклю-
чаемым контуром, то собственные сопротивления Гц, r}i и общее
сопротивление при исключении k-ro контура не изменяются.
Матрицу контурных э. д. с. исходной схемы ^(к) можно
представить в виде
=
j’
где
<>
,4-J
По соотношению (5.78) матрица
с исключенным контуром
контурных э. д. с. схемы
g(K) =
1
rkk
rlk
r2k
-rk-1, k-
1 rkk
^|K)-----rtk ^(K)
rkk
44
rkk
. (5.80)
Таким образом, при исключении k-ro контура контурная
э. д. с. /-го контура (/ = 1, 2, ..., k— 1) принимает значение
4К) = 4К) --2L4k\
1 ' rkk
В общем случае по матрице контурных сопротивлений (5.79)
не удается составить эквивалентную схему обычного вида, так
как при числе контуров больше трех такая схема не имеет
общих сопротивлений для каждой пары контуров.
Для иллюстрации преобразования схемы путем исключения
контуров можно ввести условную эквивалентную схему, в кото-
рой каждый контур изображается отдельно как контур с сопро-
тивлением r/j и э. д. с. <з *'К), а общие сопротивления контуров /у
138
показываются аналогично тому, как показана взаимная индук-
тивность между катушками на рис. 1.36. Кроме того, в схеме
обычного вида аналогично взаимной индуктивности изображают
связи между контурами, не имеющими общих ветвей.
Пример 5.10. Исключить контур с контурным током /Б в схеме на
рис. 5.22.
Рис. 5.23
Решение. Для заданной . схемы составим условную эквивалентную
схему, изображенную на рис. 5.23. Матрица контурных сопротивлений исход-
ной схемы
’ Ru — Г, — г9 0 — Ге
ri 0 0 гм
R<K> = — Г9 0 R33 — Ге — Гц
0 0 — гв — ГБ
г8 — Г10 — Гц — гБ ^55_
где
^11— Гх + Гт + Гв-Ьг»; ^22 = г2 + Г1 + Гць ^33 = Г34-Гв-рЛ8-|--Ги *
/?44=/'4 + Гб + /'в> ^ЬБ = Гв + Гв + ГЦ) + г11,
1'39
Если исключается контур, то в соответствии с равенством (5.79) матрица
контурных сопротивлений новой
схемы
Ru - f-1 — r9 0 -rl ГвПо Г8Г11 r8r&
R(K) = — r-i 0 0 1 flDr 8 fio r18rll r10r8
— ft 0 R3, — fe Rb5 Г11Г8 Г11г10 Г11 fllr Б
0 0 — *0 R44- У8Г8 rr/10 rSrU‘ d
1 2 3 4
1 Rll- fl Rm —r7- _ Г8Г10 R55 . Г8ГЦ Г9 ‘ p *'56 f8fb~ RBS
2 *10*8 ПоГц ГюГб
*7 R55 *X22 R55 R55 = [Rz/]
3 J' _ Г11Ге RjB fIlf10 Rob p _ Г11 K33 -p *455 P *'ББ
4 *5*8 RbB *5*10 R55 „ Гбг11 ^6 p - R fl 44 p ^55-
с. согласно равенству (5.80)
Так как (о 00=0, матрица контурных э д.
Ж,к, = [0 б?2-с?3 ор.
♦
Матрицам R<K1 и Ж(К) соответствует условная эквивалентная схема на
рис 5.24, а, где Rij—Rji (i, /=1, 2, 3, 4) —элементы матрицы R'K’, например
Rn=Rn—rl/R№„ Riz=R2i = —r7—r&r1Q/R5.o и т. д.
Новое значение собственного сопротивления первого контура
г8г10
Rrs ,
Rb5
Г’+ R-.8
/?22
Rn—Ru —rp——fi+f-i
" *'55
. r 1 r 1 „ i,r8*10 , Wu , r8r5
ri+r, + r9+'-p—+ -p-----b-p—
*<БЬ *<ББ *<55
Аналогично выразим собственные сопротивления других контуров;
I
<10*8\ । *10*11 *10*Б .
RbB / Rs5 R55
n __ if irUr8\ 1 *11*10 1 f 1 *11*b\ .
*<зз —*s -j- I *9-|-=- + -p-----1- I *o + t5— .
\ *<63 / *<55 \ *<ББ 7
p — r , *5*10 f , *B*11\
*<44 *4 “f" p “Г p “Г I *0 ~r“ p I •
*<55 *<56 \ «55 /
Как видно из полученных значений для собственных сопротивлений кон-
туров, сопротивление Rjj представляет собой сумму сопротивления rj и сопро-
тивлений, равных внедиагональным элементам /-й строки матрицы R<K1, взя-
тым с противоположным (положительном) знаком. Поэтому матрице R(KI можно
поставить в соответствие условную эквивалентную схему на рис. 5.24, б.
В этой схеме пары контуров 1—2, 1—3, 3—4 и 2—4 имеют общие ветви; пары
контуров 1—4 и 2—3 не имеют общих ветвей, поэтетйу связь между контурами
этих пар изображена аналогично взаимной индуктивности.
Для заданной схемы (рис. 5.22) строим дуальную схему (рис. 5.25, а).
Исключению контура с током /5 исходной схемы соответствует исключение
узла 5 дуальной схемы, осуществляемое путем преобразования четырехлучевой
звезды в полный четырехугольник. После такого преобразования получим
непланарную схему на рис. 5.25, б (gf. = R^). Схема на рис. 5.25, б может
быть построена также по матрицам узловых проводимостей и узловых токов,
140
если эти матрицы приравнять соответственно к матрицам контурных сопро-
тивлений R,K) и контурных э. д. с, S’™ схемы с исключенным контуром
(рис. 5.24, б). Контурные уравнения схемы на рис. 5.24, б совпадают с узло-
выми уравнениями схемы на рис. 5.25, б, т. е. эти схемы можно рассматри-
вать как дуальные.
Соотношения (5.79) и (5.80) для матрицы контурных сопро-
тивлений и вектора контурных э. д. с. схемы с исключенным
Rgc Г-
ss 5)
Рис. 5.24
контуром справедливы не только для планарных схем с конту-
рами (ячейками}, но и для любой системы независимых контуров
как планарных, так и непланарных схем. Эти формулы приме-
няют при поочередном исключении контуров; контурные токи
исключенных контуров определяют непосредственно из уравне-
ний для этих контуров.
Если схема планарная, то можно построить дуальную ей
схему, которая имеет матрицу узловых проводимостей, равную
матрице контурных сопротивлений исходной схемы (для конту-
141
ров —ячеек). Таким образом, исключению контуров планарной
схемы можно поставить в соответствие исключение узлов дуаль-
ной схемы.
Частным случаем преобразования схемы при уменьшении
Рис. 5.25
числа контуров является пре-
образование треугольника
сопротивлений (рис. 5.26, а)
в эквивалентную звезду (рис.
5.26, б).
Для схемы на рис. 5.26, а
справедливо уравнение
К<,к)1(к) = Ж(к),
где
Rh) =
- rlt s —rlt 2-
^2,3 ---Г2, 3
Гз, 1 —Г 3, 1
---r 1, 2 Г2, 3 r3, 1 S r "
— неопределенная матрица
контурных сопротивлений
= Г1,2 + г2, з + /"з, 1);
1(к) = [Д/г/з/о]7 — матрица
контурных токов; ^(к) =
= [---^12 + ^21> — ^23 +^32.
— ^31 + Ui3> S — матрица
контурных э. д. с. (S S =
~ ^12 + ^23 + 31)-
Матрица RhK) треугольни-
ка дуальна матрице GM трех-
лучевой звезды, поэтому для
пассивных параметров звезды, эквивалентной треугольнику, спра-
ведливы формулы, дуальные (5.70) и (5.71):
Г1. 2Г3, 1 .
г1> 2 + Г2,з + Г3, j ’
Л2, Зг1, 2 . 1Г-2, з .
И, 2+^2, з + Лз, 1’ 3 71, 2 + Г2. з + гз. 1’
(5.81)
gi — gi, 2 + £з, i + * j g2 — g2, 3 4~ gi, 2 4~ ^2,s-1, 2; gg —
o2i 3 o3> 1
=g3.1+g2,3+^-3. (5.82)
Выражения (5.81) и (5.82) получаются также путем решения
уравнений (5.70) или (5.71) относительно rlt r2, rs или gi, g2,g3.
При исключении контура с током /0 в схеме (рис. 5.26, а)
матрица преобразуется к виду, аналогичному (5.66) при т — 3:
142
g(«)=
-^1г + ^2^+С/21
-^а+^2^+С/з2
— ^31 +U13
Для определения активных параметров звезды (рис.. 5.26, б)
следует приравнять:
_^2з+§±у^=^2_^3.
I 52 Л “ ***
-^+^2^=^-^.-
Из записанных трех уравнений только два. независимы, поэто-
му задача определения э. д. с. звезды решается неоднозначно.
Можно задаться произвольным значением одной э. д. с. и опре-
делить две другие; например, если <=з = 0, то
Преобразование полного многоугольника с числом узлов т>
>3 в m-лучевую эквивалентную звезду в общем случае не
может быть выполнено, так как число искомых проводимостей
ветвей звезды в системе уравнений (5.67)'меньше числа условий,
которым они должны удовлетворять (число условий равно числу
ветвей многоугольника).
Пример 5.11. Определить входное сопротивление относительно зажимов
источника э. д. с. <§ в схеме на рис. 5.27, а. Параметры схемы: гЬ2—r4i6=s
== 1 Ом; Гз, i=:Hs, 0=2 Ом; гз, g=:/*0, Ом; Г7 = 1 Ом; Гз=Г9=2/3 Ом.
143
Решение. Преобразуем два треугольника сопротивлений исходной схемы
в эквивалентные звезды. В результате получим схему1 на рис. 5.27, б, пара-
метры которой:
1-3 1 1-2 1 _
Г1 U 1+2 + 3 2 °М; Га-Гб 1+2+3 3 °М’
2*3
ra=<e=j_|_2 + 3=l Ом.
Последовательные сопротивления ветвей этой схемы заменим эквивалент-
ными:
Гв1='1+г7+'4=2 Ом; rB2=r2+re-t-r8=2 Ом;
/93=Гз+г5+/'й=2 Ом.
•Входное сопротивление относительно зажимов источника э. д. с. S
а ГВХ— Эд_Э3 ЬГЭ2 — 3 ОМ.
О>1 + <эз
Треугольники сопротивлений в исходной схеме можно исключить одно-
временно как два контура с помощью матричного соотношения (5.74) или (5.77).
Нетрудно убедиться, что матрице R'K> будет соответствовать эквивалентная
схема, изображенная на рис. 5.27, б.
§ 5.9. Преобразование симметричных схем
В ряде случаев электрические цепи и их схемы замещения
обладают симметрией как по конфигурации, так и по значению
параметров. Симметрия схемы приводит, как правило, к суще-
ственному упрощению ее расчета.
На рис. 5.28, а приведена схема, которая симметрична отно-
сительно лйнии, проходящей через ветви с сопротивлениями г2
и г4. Контурные уравнения для этой схемы имеют вид
где
г3з = /’1 + г3 + г4 = г22; гад=> + >14-^ = ru.
144
В данном случае матрица контурных сопротивлений R(K) сим-
метрична относительно обеих диагоналей.
Если в векторе контурных токов взаимно поменять местами кон-
турные токи Л и /4, /2 и /3, то контурные ,уравнения . схемы не
изменятся. Это означает, что Л = /4 и /2 = /8. С учетом этих ра-
венств контурные уравнения схемы записывают следующим образом:
>11+^2
Г1
Г1 II71
Г22 + г4 /2_
г -4- + 2г2 г4 /1
Г1 г1 + ^з+2г^ _/g
pil
Таким образом, вследствие симметрии схемы порядок кон-
турной матрицы уменьшается в два раза. Полученным урав-
нениям соответствуют две одинаковые эквивалентные схемы на
рис. 5.28, б.
б) 6)
Рис. 5.28
Если дополнительно к ранее записанным условиям симметрии
выполняются равенства г1 = г3 = г, г2 = г4 и — — то появ-
ляется вторая линия симметрии, проходящая через ветви с сопро-
тивлением г4. Следовательно, возможно дальнейшее разделение
схемы с соответствующим упрощением решения (рис. 5.28, в).
Так как /1 = /2=/, то получаем уравнение
^ + 2^4-2^)/ = ^,
откуда
7 = «?/(/>+2г,+ 2г2).
Как видно из изложенного, величины сопротивлений ветвей,
по которым схема делится на симметричные части, удваиваются,
а напряжения на зажимах ветвей эквивалентной схемы получа-
ются равными соответствующим напряжениям исходной схемы.
Если линия симметрии пересекает какую-либо ветвь схемы,
то ток этой ветви равен нулю. Например, в схеме на рис. 5.29, а
ток /3 = 0. Эквивалентная схема (рис. 5.29,6) получена из усло-
вия симметрии исходной схемы.
Свойством симметрии обладает также схема на рис. 5.30, а.
Расчет этой схемы можно выполнить с помощью эквивалентной
схемы на рис.. 5.30, б, полученной делением исходной схемы по
145
линии симметрии. При а=1 эта схема непосредственно переходит
в схему на рис. 5.29, б,
В общем случае если схема с k независимыми контурами
симметрична, то каждому /-му контуру можно найти симметрич-
ный (Л —/)-й контур. При этом матрица контурных сопротивлений
будет симметричной относительно обеих диагоналей, а контурные
токи /-го и 0г — /)-го контуров ^=1^. Если k — нечетное число,
то [(&4-1)/2]-й контур не имеет симметричного контура, но он не
нарушает симметрии матрицы контурных сопротивлений. Ток
в [(Л-|~ 1)/2]-м контуре должен отсутствовать. Для расчета сим-
метричной схемы ее делят по линии симметрии, удваивая сопро-
Рис. 5.30
тивления ветвей, по которым проходит эта линия. Э. д. с. этих
ветвей остаются .неизменными, а токи источников делят пополам.
Если линия симметрии разделяет симметричные контуры, то
все точки, находящиеся на этой линии, имеют одинаковые потен-
циалы и могут быть соединены непосредственно. Такую линию
называют иногда нейтралью схемы (линией равного потенциала).
Например, схема на рис. 5.31, а является симметричной.
В данном случае линия симметрии (нейтраль) делит все попереч-
ные ветви пополам. При этом в каждой из симметричных частей
14fi
схемы напряжение на зажимах поперечной ветви получают рав-
ным половине от действительного значения (рис. 5.31,6). Чтобы
получить действительные значения напряжений, необходимо все
сопротивления и э. д. с. увеличить в два раза (рис. 5.31, в).
Рис. 5.31
На рис. 5.32, а показана мостовая схема с симметричными
связями. Для этой схемы справедливы узловые уравнения
gll —gl —g2 —g3" <P1- - J-
—gl g22 —g4 —g2 q>2 0
—g2 —g4 g33 —gl <Рз 0
g3 —g2 —gl g44- -q>4- J-
£ц — Й44 = gi + Й2 + йз! g2a — gas— gi+gfe + gi-
где
Неопределенная матрица узловых проводимостей данной схемы
симметрична относительно обеих диагоналей.
Если в векторе узловых потенциалов заменить на — <р4,
<р4 на — <Pi, <р2 на — <р3 и <р3 на — <р2, то уравнения схемы не
изменяются. Это означает, что в этой схеме <р4 = — <р4, ф2 =— Фз
и, следовательно, 1г = Г1г 12 = Г^ С учетом записанных соотно-
шений получаются узловые уравнения:
gil + ga —gl + gal <Р11 R
_—gi "bga gaa+gjjpaj [0.
или
gi + ga + 2g3 —gi + g2 p1l = P
. ~gi + ga gi + ga + ^JL’Ps] IP.
147
• Если от найденной определенной матрицы узловых проводи-
мостей
д(у) _ £i+g2 + 2g3 gi-Vg2
—gi+g2 gi+g2 + 2&L
перейти к неопределенной матрице
G<y) =
gl + g2 + 2g3
~(gl-g2)
. — (2g3 + 2g3)
~(gl~g2)
gi + g2 + 2g4
— (2g3 + 2g4)
~~ (2g2 + 2g3)
— (2g2 + 2g4) ,
4g2 + 2g3 + 2g4
то легко построить эквивалентную схему, изображенную на
рис. 5.32, б. Проводимость ветвей, соединяющих любую пару узлов
Рис. 5.32
схемы на рис. 5.32, б, равна слагаемым соответствующего вне-
диагонального элемента матрицы G!,y), взятого с противополож-
ным знаком. Из эквивалентной схемы легко определить потен-
циалы узлов 1 и 2, которые равны потенциалам узлов 1 и 2
исходной схемы.
Если все сопротивления схемы на рис. 5.32, б увеличить
в два раза, то напряжения на зажимах всех ветвей удвоятся
(рис. 5.32, в). Токи в сопротивлениях 2гх, г3 и г4 схемы на
рис. 5.32, в равны соответствующим токам исходной схемы.
Для симметричной мостовой схемы можно построить и дру-
гие эквивалентные схемы.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
СВОЙСТВА И МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
С ИСТОЧНИКАМИ ГАРМОНИЧЕСКИХ 3. Д. С. И ТОКОВ
ГЛ АВА В
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ И УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ
В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ
§ 6.1. Синусоидальные (гармонические) напряжения и токи
Переменным током i(t) называют ток, изменяющийся
во времени.
Периодическим током называют ток i = i(Z), для кото-
рого справедливо равенство
где Т — постоянный промежуток времени (период) переменного
тока.
Простейшей периодической функцией является гармоническая
или синусоидальная функция.
Гармоническим (синусоидальным) током назы-
вают ток, мгновенное значение которого i (t) определяется равен-
ством
= + (6.1)
где Im — максимальное значение, или амплитуда, тока. Аргу-
мент синуса называют фазой; величину ф/, равную
фазе при 7 = 0, называют начальной . фазой. Фаза измеряется
в радианах (рад) или градусах (°). За промежуток времени t —
= Т фаза увеличивается на 2л (рад) или 360°.
Величину, обратную периоду, называют частотой f=\/T.
Частота f измеряется в герцах (Гц). В СССР и странах Европы
принята стандартная частота переменного тока 50 Гц, которой
соответствует период 7 = 0,02 с. В радиотехнике применяют гар-
монические колебания с частотами до 3-1010 Гц.
Если со = 2л/Т = 2лД то гармонический ток
t = /msin(coZ+t,-).
Величину со называют угловой (круговой) частотой.
Угловая частота измеряется в радианах в секунду (рад/с); Если
f = 50 Гц, то со = 2л -50 = 314 рад/с.
149
Из равенства (6.1) видно, что для определения гармонически
изменяющейся функции необходимо знать три величины; ампли-
туду, частоту (период) и на-
чальную фазу.
На рис. 6Д приведены
графики двух гармонических
токов одинаковой частоты,
но с различными амплиту-
дами и начальными фазами:
ii = Isin (со/ ф- ф1),
12 = 7^ sin (со/фф2).
Начальная фаза отсчиты-
вается от момента, соответ-
ствующего началу синусоиды
(т. е. нулевому значению при
переходе от отрицательных к
положительным значениям),
до момента t = 0. При ф > О
начало синусоиды сдвинуто
влево, а при ф2<0— впра-
у гармонических функций
+/=^
Рис. 6.2
во от начала координат. Если
одинаковой частоты начальные фазы одинаковы (различны), то
говорят, что функции совпадают (не совпадают, сдвинуты) по
фазе. Сдвиг фаз двух гармонических функций измеряется раз-
ностью фаз, равной разности начальных фаз. Если сдвиг
фаз гармонических функций равен
г±л(±л/2), то говорят, что функ-
ции противоположны по фазе (нахо-
дятся в квадратуре).
Гармонически изменяющуюся ве-
личину можно представить с помо-
щью вектора на комплексной пло-
скости. Так, току i = /msin (со/-фф)
можно поставить в соответствие век-
тор на комплексной плоскости, длина
которого равна 1т и который обра-
зует с действительной осью угол/ф
(рис. 6.2). Этот вектор обозначен /т.
Проекция вектора 1т на ось мни-
мых величин равна i (0) = Im sin ф.
Если этот вектор вращается против
направления движения часовой стрел-
ки с угловой скоростью <о, то для
момента времени t
любого
•проекция вектора на ось мнимых величин равна мгновенному
значению тока i (/) = Im sin (со/ ф ф). Можно считать вектор 1т
неподвижным, а оси мнимых и вещественных величин (оси ко-
ординат) — вращающимися по направлению движения часовой
стрелки.
150
Совокупность нескольких векторов на комплексной плоскости,
соответствующих гармонически изменяющимся с одинаковой ча-
стотой параметрам режима электрической цепи, называют век-
торной диаграммой.
§ 6.2. Понятие о генераторах гармонической э. д. о.
вращающейся, части — ротора.
Рис. 6.3
Генераторы гармонической э. д. с. (гармонического напряже-
ния), применяемые в электроэнергетике, состоят из неподвижной
части — статора и подвижной,
На рис. 6.3 схематически изо-
бражен такой генератор. На
роторе обычно располагают
электромагниты, полюсные на-
конечники которых выполняют-
ся из электротехнической ста-
ли. Обмотка электромагнитов
соединена с кольцами; с помо-
щью щеток к кольцам подводит-
ся напряжение от источника
постоянной э. д. с. Магнитную
цепь статора также выполняют
из электротехнической стали. В
пазах статора находятся проводники статорной обмотки, соеди-
ненные между собой последовательно. Соединения проводников
на переднем и заднем торцах статора показаны на рис. 6.3 со-
ответственно сплошными и штриховыми линиями.
При вращении ротора в каждом проводнике статорной обмотки
индуцируется э. д. с.
е — Blv,
где В — радиальная составляющая индукции магнитного поля,
движущегося относительно проводника обмотки статора; I — актив-
ная длина проводника, в котором индуцируется э. д. с.; о —ско-
рость перемещения магнитного поля относительно проводника
обмотки статора.
При условии, что I и v — постоянные величины, закон изме-
нения э. д. с. е определяется законом изменения В. Для полу-
чения гармонической э. д. с. радиальная составляющая индукции
должна изменяться по гармоническому закону. Если воздушный
зазор между статором и полюсными наконечниками ротора сде-
лать переменным (увеличивающимся от середины полюсных нако-
нечников к их краям), придавая полюсным наконечникам соот-
ветствующую форму, то можно получить закон распределения
радиальной составляющей магнитной индукции по окружности
статора, достаточно близкий к гармоническому.
За один оборот ротора, имеющего р пар полюсов, происхо-
дит р полных циклов изменения э. д. с. Если ротор вращается
151
Рис. 6.4
могательного источника,
со скоростью n оборотов в минуту, то частота индуцированной
э. д. с. f*=pn/60. Для получения частоты 50 Гц роторы генера-.
торов с одной парой полюсов должны вращаться со скоростью
/г = 3000 об/мин, с двумя парами полюсов —и = 1500 об/мин.
Чтобы обеспечить необходимую механическую прочность, при
таких больших скоростях вращения роторы выполняют без высту-
пающих полюсов. Роторы мощных генераторов приводятся во вра-
щение с помощью турбин. Механическая энергия турбины в ге-
нераторе преобразуется в электрическую энергию.
Для получения э. д. с., изменяющихся с частотой 800 ч-
-5-10000 Гц, применяют машинные генераторы специальных
конструкций или электронные генераторы. Переменные напряже-
ния более высоких частот, которые находят применение в радио-
технике и технике связи, получают,
как правило, от электронных — лампо-
вых или транзисторных — генераторов.
Электронный генератор содержит
усилительный элемент (лампу или тран-
зистор), колебательный контур, уст-
ройство обратной связи и источник по-
стоянного напряжения. Как было по-
казано в гл. 3, в контуре, состоящем
из индуктивной катушки и конденса-
тора, при разряде конденсатора возни-
кают затухающие колебания (при усло-
вии, что сопротивление г, характе-
ризующее потери энергии в контуре,
достаточно мало). Если к контуру пе-
риодически подводить энергию от вспо-
ко'мпенсирующую потери энергии в соп-
ротивлении г, то можно получить незатухающие гармонические
колебания.
На рис. 6.4 показана упрощенная схема лампового генера-
тора. В контуре L&C&, включенном в анодную цепь лампы, воз-
никают гармонические колебания. Потери энергии в контуре
(сопротивление потерь г не показано) восполняются за счет
источника питания анодной цепи Чтобы периодичность по-
ступления энергии в контур была согласована с колебаниями
в контуре, анодный ток лампы is управляется сеточным напря-
жением ыс, которое, в свою очередь, пропорционально напряже-
нию на контуре и&. Пропорциональность напряжений иа и пс
достигается тем, что катушки Lc и Д, включенные в сеточную
и анодную цепи лампы, имеют связь за счет общего магнитного
потока, т. е. за счет взаимной индуктивности (аналогично катуш-
кам совершенного трансформатора, рассмотренного'в гл. 1). Таким
образом, взаимная индуктивность М обеспечивает обратную связь
между анодной и сеточной цепями лампы и необходимую перио-
дичность поступления энергии в контур от источника постоянного
напряжения.
152
Если к электронному генератору присоединяется нагрузка,
то энергия, отбираемая в нагрузку, также восполняется за счет
энергии источника В электронном генераторе энергия источ-
ника постоянного напряжения . преобразуется в энергию гармо-
нических колебаний. Частота таких колебаний определяется
параметрами La и Са контура *.
§ 6.3. Гармонические токи в сопротивлении г,
индуктивности L и емкости С
Гармонический ток в сопротивлении. Если к источнику гармо-
нической э. д. с. е — <9msin (ю/ф-ф) присоединить сопротивление г
(рис. 6.5, а), то ток в этом сопротивлении (после замыкания
ключа) можно определить по закону Ома: ir — urtr. Так как
напряжение на зажимах сопротивления равно э. д. с.
ur = Um sin (®/+фи) — е,
где Um = Sm, фи = ф,
ток
ir = /то sin (со/+ifr) = sin (co/ + ф„).
Амплитуда тока
lm = Um!r, (6.2)
начальная фаза
фг = Ф« = Ф ' (6.3)
и сдвиг фаз между напряжением иг и током ir
ф = Фи — Ф; = 0. (6.4)
* Более подробно работа электронного генератора рассмотрена в гл. 24.
153
Равенство (6.2) показывает, что амплитудные значения напря-
жения на сопротивлении и тока в нем связаны законом Ома.
Из равенств (6.3) и (6.4) видно, что напряжение иг и ток ir
совпадают по фазе.
Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление,
pr = u,.ir = (/m/msin2((o/4-i))) — cos2(co/‘4-Tp)] (6.5)
состоит из двух слагаемых: постоянной составляющей Ит1тГ2 и
гармонической составляющей двойной угловой частоты 2ю. Так
как мгновенные значения иг и ir совпадают но фазе, мгновенная
мощность рг всегда положительна.
Среднее значение мощности рг за период называют актив-
ной мощностью:
Т
P—^^prdt. (6.6)
О
Активную мощность можно выразить в виде
т т / т \
• Р Prdt = Y^ rir dt — r\jr \ dt\.
о e ' о /
Среднеквадратичное значение тока
(6’7)
о
называют действующим значением тока.
С учетом равенства (6.7) активная мощность
Р = гРг (6.8)
и, следовательно, действующее значение переменного тока равно
значению постоянного тока, при котором в сопротивлении г вы-
деляется такое же количество тепла за период Т, как и при
данном переменном токе:
т
rPT = r\prdt.
о
Активную мощность можно также записать следующим обра-
зом:
т ! т \
Р =У = Urdtj.
О ' о /
Среднеквадратичное значение напряжения
(6.9)
О
154
называют действующим значением напряжения.
Так как
т
~U*T=~{i£dt,
g g J
действующее значение переменного напряжения равно значению
постоянного напряжения, при котором в проводимости g выде-
ляется такое же количество тепла за время, равное периоду Т,
как и при данном переменном напряжении. .
Определения активной мощности (6.6), действующих значений
тока (6.7) и напряжения (6.9) справедливы для периодических
напряжений и токов любой формы. Кроме того, определение (6.6)
пригодно для любого двухполюсного элемента, а (6.7) и (6.9)
используют соответственно для нахождения напряжения между
любой парой узлов и тока любой ветви произвольной цепи
с источниками переменных периодических напряжений и токов.
Таким образом, в общем случае активная мощность двухполюс-
ного элемента
т
P=^pdt, (6.10)
о
действующее значени
(6.11)
действующее значение напряжения
(6.12)
Аналогично определению действующих значений тока и напря-
жения находят действующие значения периодических величин:
э. д. с., заряда, магнитного потока и т. д.
Если ток и напряжение изменяются по гармоническому
закону, то их действующие значения соответственно:
1 о *
‘ о *
Таким образом, амплитудные значения гармонических токов
и напряжений связаны с действующими значениями соотноше-
ниями Zm = ]/'2Z; Um — ]^2U.
155
Для рассматриваемой цепи с сопротивлением г (рис. 6.5, а)
активная мощность
т
р=± jj
о
потребляемая энергия
t t
Wr — '\prdt = rlr^[\— cos 2 (at -ф ф,)] dt =
о 0
=p P+isin 2’^~ is in (2<oZ+'W] •
На рис. 6.5, б изображены графики величин ur, ir, pr и Wr,
на рис. 6.5„e построена векторная диаграмма рассматриваемой
цепи — векторы йг = Йт/]Л2 и ir — ImfV^^r соответствующие гар-
4
Рис. 6.6
монйческим функциям иг и ir *. Аналогично можно проанализи-
ровать режим в цепи с сопротивлением и источником гармони-
ческого тока.
, Гармонический ток в индуктивности. Пусть индуктивность L
в момент времени / = 0 присоединяется к источнику гармониче-
ского тока J = Jmsin (<о/ + ф) (рис. 6.6, а), причем начальная фаза
тока источника ф = 0. При разомкнутом ключе ток в индуктив-
ности равен току источника:
Д = /т81п((о^ + фг),
где в момент включения (0) =sin ф/= 0.
* Как правило, на векторных диаграммах изображаются не векторы Um
и lm, а пропорциональные им векторы U и /; при этом для получения мгно-
венных значений и и i проекции векторов на мнимую ось умножаются иа р 2.
156
Поскольку напряжение Ul и ток iL связаны соотношением
uL = L diddt (см. гл. 1), напряжение
u'l — (tot + фи) = toLImsin [tot ф- ф/ ф- у .
Амплитуда напряжения
Um = xLIm, (6.13)
где xL — toL — величина, называемая индуктивным сопро-
тивлением и имеющая размерность сопротивления. Началь-
ная фаза напряжения
+ (6.14)
сдвиг фаз
Ф —фи —Фг —(6-15)
Равенство (6.13) показывает, что амплитуды напряжения и
тока связаны соотношением, аналогичным закону Ома. Из равенств
(6.14) и (6.15) видно, что напряжение uL опережает по фазе
ток iL на угол (р = л/2 (или, наоборот, ток iL отстает по фазе'
от напряжения uL на угол ф = л/2).
Мгновенная мощность
Pl — udb = Umlm sin [tot ф- sin tot — ULIL sin 2(0/ = toLIl sin 2(0/,
где UL = UmlV2, h = ImfV2, изменяется по гармоническому за-
кону с двойной частотой 2(о. Активная мощность Р равна нулю.
Энергия, связанная с магнитным полем индуктивности,
С Vtlt LPi М?
1F£= \ pL dt = -~(\- cos 2(o/) —^(1 -cos 2(o/)=^.
0
Энергия WL имеет пульсирующий характер и через каждую
половину периода основной частоты (о уменьшается до нуля.
Это значит, что в цепи происходит обмен энергии между источ-
ником и индуктивностью: в течение каждого полупериода основ-
ной частоты энергия, запасенная в магнитном поле, связанном
с индуктивностью, возвращается источнику.
Произведение действующих значений напряжения и тока
Qi- ULIL
имеет размерность мощности и называется реактивной мощ-
ностью индуктивности. Реактивная мощность измеряется
в вольт-амперах реактивных (вар). Нетрудно убедиться, что QL
равна умноженному на 2® среднему значению энергии, связан-
ной с магнитным полем индуктивности, или максимальному зна-
чению мгновенной мощности pt.
157
На рис. 6.6, б приведены графики величин uL, h, Pt и WL,
на рис. 6.6, в построена
векторная диаграмма рассматриваемой
цепи. На рис. 6.7 изображены зависи-
мости индуктивного сопротивления xL
и его обратной величины /?г=1/Хг,
называемой индуктивной прово-
димостью, от частоты. Индуктивное
сопротивление пропорционально, а ин-
дуктивная проводимость обратно про-
порциональна частоте со.
Гармонический ток в емкости. Пусть
емкость С в момент времени t = 0 при-
соединяется к источнику гармониче-
ской э. д. с. е — ^msin (ю/ф-ф) (рис.
6.8,о), причем начальная фаза э. д.хс. ф —0. При замкнутом
ключе напряжение на емкости
Mc = UnSin((o/ + ty„),
Рис. 6.8
в момент включения
HC(0) = (7msintyu = 0.
Поскольку ток i'c и напряжение ис связаны соотношением
duc
1С~С~ (см. гл. 1), ток
(firf+фй+у).
ic = 1т sin № + Ф/) = ^CUm sin
Амплитуда тока
(6.16)
где Ьс = аС— величина, имеющая размерность проводимости и
называемая емкостной проводимостью. Начальная фаза
158
^ = Ф« + (л/2), (6.17)
сдвиг фаз
= — фг- = ~- л/2. (6.18)
Равенство (6.16) показывает, что амплитуды тока и напряже-
ния связаны соотношением, аналогичным закону Ома. Из равенств
(6.17) и (6.18) очевидно, что ток ic опережает напряжение ис
по фазе на угол —<р = л/2 (или, наоборот, напряжение ис отстает
от тока ic на угол — ф = л/2).
Мгновенная мощность
рс = ыСгС = Umlm sin Sin \<i)t + у) =
= Ucl с sin 2(о/ = (>)CUc sin 2<о/,
где
Uc = Um/V2- Ic^Im/V2,
изменяется по гармоническому закону с. двойной частотой 2<о.
Активная мощность Р за период равна нулю.
Энергия, связанная с электрическим полем емкости,
Й7С = \рс dt=(1 - cos 2(о/) = ^ (1 - cos 2(о/) =
о
Как и в цепи с индуктивностью, в цепи с емкостью происхо-
дит обмен энергии между источником и емкостью.
Произведение действующих значений напряжения и тока
Qc — Uclc
определяет реактивную мощность емкости Q = — Qc. Величина Qc
равна умноженному на 2<о среднему
ной с электрическим полем емкости,
или максимальному значению мгно-
венной мощности рс.
На рис. 6.8, б изображены гра-
фики величин Uc, ic, Рс и Wc, на
рис. 6.8, в построена векторная диа-
грамма рассматриваемой цещп На
рис. 6.9 приведены зависимости ем-
костной проводимости Ьс и ее обрат-
ной величины хс=1/Ьо называемой
значению энергии, связан-
емкостным сопротивлением.
Емкостная проводимость пропорциональна, а емкостное сопротив-
ление обратно пропорционально частоте со.
Следует отметить, что цепи на рис. 6.6, а и 6.8, а являются
дуальными. Временные зависимости дуальных величин iL и ис,
а также uL и ic идентичны. Индуктивному сопротивлению xL =
— (индуктивной проводимости &£=1/(dL) соответствует дуаль-
159
ная величина — емкостная проводимость Ьс — ч)С (емкостное сопро-
тивление хс — 1/соС). Частотные характеристики дуальных вели-
чин xL и Ьс, а также bL и Хс одинаковы.
.§ 6.4. Цгпь с сопротивлением г и индуктивностью L
Последовательная цепь. Пусть rL-цепь подключается к источ-
нику гармонической э. д. с. е — <^msin (со/ф-ф) (рис. 6.10). Для
i этой цепи справедливо дифференциаль-
>» —1> ное уравнение
о----я
I т di .
Л La7+ri=e
/л и I ’ 4 или
* 1 Т^ф-/ = ^8ш(<о/ф-ф), (6.19)
Т где т = Ь/г. -
Уравнение (6.19) отличается от урав-
Рис- 6-10 нения (3.1) только правой частью. Ре-
шение этого уравнения, так же как л
уравнения (3.1), может быть записано в виде суммы свободной
и принужденной составляющих: /==/св + 1Пр-
Так как /св представляет собой общее решение однородного
уравнения, т. е. уравнения (3.2), то 1св = Де-^т, как и при под-
ключении /-L-цепи к источнику постоянной э. д. с.
Принужденная составляющая тока спр является частным ре-
шением уравнения
С^Спп С?1 ш
т~3г + 1'пр = — 8Ш(со/ф-ф). (6.20)
При гармоническом возмущающем воздействии частное реше-
ние следует искать в виде гармонической функции
Др = /т8ш(со/ф-фг). . (6.21)
Подставляя выражение (6.21) в уравнение (6.20), можно по-
лучить соотношение для определения неизвестной амплитуды 1т
и начальной фазы фг принужденной составляющей:
<>nlm cos (со/ф-фг) + Im sin (со/ ф- фг) = ~ sin (со/ ф-ф)
или
lm [coL cos (со/ф-фг) ф- г sin (со/ ф- фг)] = Sm sin (со/ ф- ф).
Сумму гармонических функций coLcos (со/ф-фг) и Г8ш(со/ф-фг),
сдвинутых по фазе на четверть периода, можно заменить одной
гармонической функцией:
coL cos (со/ ф- фф ф- г s in (со/ ф- фг) = г s in (со/ ф- фг ф- ср),
где
2 = )/(со£)2ф-/-2; <p=arctg^.
160
Таким образом,
zlm sin (at + ф,- + <p) = Sm sin (at + ф),
откуда Im~Smlz, ф/ = ф —Ф-
Выражение для тока i имеет вид
i — .4e_z/T + /msin(<itf+ tyz). (6.22)
Постоянная интегрирования определяется из условия
i (0) = Л +Zmsinipz = O,
т. е.
А = — 7т8шфг- = — (^m/z)sin(i]) — <р).
Окончательно выражение для тока можно записать следующим
образом:
i = — (Sm/z) sin (гр — ф) е~‘Г* -}- (Sm/z) sin (at +ф — ф). (6.23)
Первое слагаемое равенства (6.23) определяет экспоненциаль-
ную свободную составляющую, затухающую с течением времени,
а второе — гармоническую
принужденную составляю-
щую. На рис. 6.11 показаны
графики функций iCB, inpI i
для случая 0 < ф — ф <
< л/2.
Следует отметить, что ве-
личины ординат свободной
составляющей зависят от на-
чальной фазы э. д. с. ф. Ес-
ли ф = ф = arctg (®L/r), то
i’cb = O. т. е. в цепи сразу устанавливается принужденный режим.
Если ф = ф±(л/2), то начальное значение свободной составляю-
щей по величине равно амплитуде принужденной составляющей. В
этом случае в цепи с большой постоянной времени максимальное
значение тока переходного процесса может достигнуть значения,
близкого 21 т.
Зная выражение для тока (6.23), можно получить выражения
для напряжений:
ur = ri = ~ &т [— sin(ф - ф) в"*/’ + sin (at-j-ф + <р)]; (6.24)
ul — L^ = ^рзш(ф — ф) e-z/J+®L sin ^®7-}-ф — ф+у)]. (6.25)
Сумма напряжений иг и «£ равна э. д.. с. е. По истечении
времени />(4ч-5)т после замыкания ключа в цепи практически
наступает принужденный (установившийся) режим. Этот режим
необходимо рассмотреть более подробно. При установившемся
6 п/р. Ионкина, т, I 161
режиме
£ =^sin(®/-|-ip —• <p);
«г = 4 Ф);
Mz =-^ ^rn Sin 4-ij) —<p 4-5-
Ток установившегося режима отстает по фазе от напряжения
и = е на угол <р. Напряжение на сопротивлении г совпадает по
фазе с током, а напряжение на индуктивности опережает ток на
угол л/2. На рис. 6.12 построены кривые i, ur, uL, и = е уста-
новившегося режима, а на
рис. 6.13 дана векторная
диаграмма для рассматривае-
Рис. 6.12
Рис. 6.13
мой цепи. Вектор U = E равен сумме векторов Ur и £4, так как
u = ur-\-uL. Из векторной диаграммы легко установить соотно-
шения между действующими значениями напряжений: Ur — Ucosq>,
L4 = Hsin(p.
Сдвиг фаз <р = ф„ — фi = ф — ф,- между током I и напряжением
и = е зависит от соотношения между активным сопротивлением г
и индуктивным сопротивлением xL:
X т ЗТ
0^ф = arctg—
Величину г = Уг24-* Х1 называют полным сопротивле-
нием рассматриваемой цепи. С помощью сопротивления г связь
между амплитудами напряжения = и тока 1т установив-
шегося режима выражается аналогично закону Ома: Im = Um/z
Так как'ф = arctg—, г = гс05ф, Л7 = г5Шф.
При установившемся режиме активная мощность
т т
Р = т uidt 6/m7msin(®^4-4)sin(®Z4-'ll’—<p)dt =
о о
— ^mlm cos ф _ [// cos ф.
162
Реактивная мощность
Q = 17/sin ср,
полная мощность
S=yrP24-Q2=t/z.
Мощность, рассеиваемая в сопротивлении г,
Pr = UrI — rI2 — Ul cos <р = Р,
т. е. вся активная мощность, потребляемая цепью, рассеивается
в сопротивлении. Реактивная мощность индуктивности
Ql — ULI = xLl2— UI sin <p = Q.
Параллельная цепь. Если к источнику гармонического тока
j (t) = Jmsin(®/4-i]’) подключается сопротивление г и индуктив-
ность L (рис. 6.14), то при разомкнутом ключе справедливо урав-
нение
= у + Hd< = /rosin(®/4-xp).
Дифференцируя это уравнение по времени, получаем
т ^ + п==хл/т81п(<о^+ф+у). (6.26)
Уравнение (6.26) аналогично уравнению (6.19), поэтому для
напряжения и можно сразу записать выражение, аналогичное
(6.22):
n = y4e-'/T4-t/msin(«)/+i])„), (6.27)
rXL г Л
где Um = — —6 (6 = arctg Xz/r). Если сопротивле-
ния г и xz заменить их обратными величинами g и bL, то
Чт — Jт!У1 Фи — ф <Р,
где y = Vg^+bL', <Р==у — S = arctgfcz/g.
Так как в момент размыкания ключа iz(0) = 0, напряжение
и(0) = г/ (0)г sin ф.
Следовательно, постоянная интегрирования А определяется из
условия
и (0) = A -J- Umsinфи = г Jmsinф,
откуда A — rJm sin ф —<7m sin фи. Окончательное выражение для
напряжения имеет вид
н==[у-8шф — ^5ш(ф + ф)^е-'/т + -™-8ш(о)/4-ф4-(р). (6.28)
Экспоненциальная составляющая в правой части (6.28) пред-
ставляет собой свободное напряжение «св, а гармоническая — при-
6*
163
нужденное напряжение ипр. На рис. 6.15 показаны графики
функций и№, ипр, и для случая ф = 0, 0<ф<л/2.
Ток в сопротивлении
ir = gu = [ Jm sin ф — Jm sin (ф + ф)] е-^т + ~Jm sin (<о/+ф + ф),
(6.29)
ток в индуктивности
’Il = ^ § пЛ = |^Ут8Й1(ф + ф) —Jmsh^Je-^ +
b, I л\
+-^з1п(«)/4-ф + ф — yj, (6.30)
При определении тока iL постоянная интегрирования принята
равной нулю, так как в данном случае ток Д не ^может содер-
жать постоянной составляющей. Выражение (6.30) удовлетворяет
условию it (0) = 0 и ir + iL —
=J (t). Ток iz. может быть най-
ден и как разность J (/) — ir.
При установившемся режиме
токи ir, iL и напряжение и не
содержат свободных составляющих. Для такого режима справед-
ливы выражения:
и =^8ш(<о/4-Ф + ф); (6.31)
ir — /от8Ш(®/ + ф + ф); (6.32)
= JmSin^ + ф + ф— (6.33)
Напряжение при установившемся режиме и опережает ток
в неразветвленной цепи i = на угол ф = фй — ф,-=ф„ — ф,
который зависит от соотношения между активной (g) и индук-
тивной (bL) проводимостями:
0 «с ф = arctg bi/g -С зт/2.
Ток ir совпадает по фазе с напряжением и, а ток Д отстает
от напряжения и на угол л/2. На рис. 6.16 приведены зави-
164
симости и, ir, ii, i = J от времени в принужденном режиме, а на
рис. 6.17 показана векторная диаграмма рассматриваемой цепи.
Вектор I — J равен сумме векторов 1Г и IL, так как i — irr]-iL.
установить соотношения между
действующими значениями то-
ков: Ir — I cos<p; /£ = /sin<p.
Величину у = J/ g2 + fel на-
зывают полной проводи-
мостью рассматриваемой це-
пи. С помощью проводимости у
Рис. 6.17
связь между амплитудами напряжения Um и тока lm — Jm выражает-
ся аналогично закону Ома: Um = 1т[у. Так как ср = arctg — ; g =
= gcos<p; bi — gsintp.
При установившемся режиме активная мощность, потребляе-
мая цепью:
т т
uidt — -? t/m/msin(<o/4-ty)sin(<o/-f-$-t-(p)cW==
о о
_ cos _ fjj cog .
реактивная мощность
Q = t7/sin<p;
полная мощность
S = UI.
Мощность, рассеиваемая в сопротивлении,
Pr — Ulr—gU2 = Ul cos q> = Р,
реактивная мощность индуктивности
Ql = Uli = bLU2 = UI sin <p = Q.
§ 6.5. Цепи с сопротивлением г и емкостью С
Последовательная цепь. На рис. 6.18 изображена последова-
тельная rC-цепь, подключаемая к источнику э. д. с. Эта цепь
Дуальна цепи на рис. 6.14, поэтому выражения для тока i, на-
165
пряжений иг, ис получаются соответственно из выражений
(6.28)—(6.30), если величины Jm, g, L заменить дуальными вели-
чинами Sm, г, С. При этом индуктивная проводимость &£=1/<oL
заменяется емкостным сопротивлением хс = 1 /юС, полная прово-
димость f/ = ]/g2 + — сопротивлением г = ]/ г2 4- х'с, постоянная
времени т =L/r = gL — постоянной времени т = гС. Угол ф —
= arctg (b^g) в выражениях (6.28)—(6.30) должен быть заменен
углом —ф = arctg (хс/r). Учитывая сказанное, для тока i, напря-
жений иг и ис схемы на рис. 6.18 при переходном режиме спра-
ведливы выражения *:
t = ^-sirnp — ^-sin(ip — ф)^е_//т 4-sin(<o/-}-ip--<р); (6.34)
Hr = P’mSini]) — &т sin (ip — ф)1 е_//т + sin (®f 4-ф — ф). (6.35)
«с = [у ^msin(ip — ф) — <^msinipj е-//т 4-
4--У <^mSin^fi>£4_4P — ф— У'У (6.36)
Графики функций iCB, inp, I аналогичны соответствующим гра-
фикам на рис. 6.15.
При установившемся режиме выражения (6.34)-ь (6.36) при-
нимают вид:
л
i =-jLsin(G)/4-ip — ф); (6.37)
= у <^msin(ra/4-ip —ф); (6.38)
«с = -y-<^msinffi)Z4-i]) — ф-у\ (6.39)
В данном случае ток i опережает напряжение и = е на угол
— ф. Угол ф, равный разности начальных фаз напряжения и
тока (Ф = фи —ipj = ip —ф/), отрицателен и зависит от соотношения
* Выражение для ис удовлетворяет начальному условию «с (0)=0,
166
между сопротивлением г и емкостным сопротивлением хс-
п , хг
— у^Ф = — arctg — ==SO.
Напряжение иг совпадает по фазе с током, а напряжение
отстает от тока на угол л/2. Зависимости i, иг, ис, и = е от вре-
мени в установившемся режиме аналогичны соответственно зави-
симостям и, ir, uL, i, приведенным на рис. 6.16. На рис. 6.19
построена векторная диаграмма рассматриваемой цепи. Вектор
U = E равен сумме векторов Ur и Сс. Из векторной диаграммы
видно, что 67,. =/7 cos ф, Uc = — £/sin<p (ф<0).
Сравнивая векторные диаграммы двух дуальных цепей
(рис. 6.17 и 6.19), необходимо отметить следующее. В rL-цепи
ток i отстает по фазе от напряжения и на угол ф = фа — ф,- >.0.
который на векторной диаграмме отсчитывается от вектора тока / к
вектору напряжения С в направлении, противоположном на-
правлению движения часовой стрелки. В rC-цепи ток i опережает
напряжение и на угол —ф; угол Ф = фи —ф,- отрицателен и на
векторной диаграмме отсчитывается от вектора тока / к вектору
напряжения U по направлению движения часовой стрелки. Таким
образом, току, отстающему (опережающему) по фазе от напряже-
ния, соответствует положительный (отрицательный) сдвиг фаз:
<Р = Ф«-Ф«- ______
Величину z — ]/7® ф- х2с называют полным сопротивлением цепи.
Амплитуда напряжения Um — &m связана с амплитудой тока 1т
соотношением, аналогичным закону Ома: Um = zlm. Так как ф =
= — arctg xc/r, г— г cos ф и хс = — z sin ф. При установившемся ре-
жиме активная мощность, потребляемая цепью,
т т
Р =y Ш dl = Y § ^ш/ш5Й1((В/-|-ф)8Ш(<В/ф-ф —ф)Л==
О о
= UnJm COS ф = 67/ COS ф.
1 Реактивная мощность
Q, = Vl эшф,
полная мощность
S = UI.
Мощность, рассеиваемая в сопротивлении,
Pr — lUr = rP = UI cos ф = Р,
реактивная мощность в емкости
Qc = /^c = ^c/2 =—67/sin ф ——Q.
Параллельная цепь. На рис. 6.20 показана параллельная
rC-цепь, подключаемая к источнику тока / (/) =/т8ш((о/ф-ф).
Эта цепь дуальна последовательной rL-цепи (рис. 6.10), поэтому
выражения для напряжения и, токов ir и ic (рис. 6.20) полу-
167
чаются соответственно из выражений (6.22) ч- (6.25) путем замены
S’m, г, L на дуальные величины Jm, g, С. При этом индуктивное
сопротивление xL = заменяют емкостной проводимостью Ьс =
= ®С, полное сопротивление z = Vг2 + х! — полной проводи-
мостью y — Vg2-]-bc, постоянную времени т = L/r — постоянной
времени т = Сг, угол. <р = arctg (xjr) — углом —<р = arctg (bc/g).
Таким образом, для напряжения и, токов ir, ic в переходном
режиме справедливы выражения *:
и =— ^y-sin(i])4-<p) е_</т + sin (со/"ф-J-ср); (6.40)
ir = — у Ли8Й1(ф-}-ф)е-/А-}--| Jmsin(«rf+i])+ <р); (6.41)
?c = 4Jmsin№ + <P)e-i/T+-^-/т81п(®(+ф + ф+^). (6.42)
У У \ /
Графики функций псв, ппр, и аналогичны соответственно гра-
фикам iCE, inp, i на рис. 6.11.
При установившемся режиме выражения (6.40) ч-(6.42) при-
нимают вид:
и = у 81п(®^ + ф + ф); (6.43)
у Лизш^+ф + ф); (6.44)
Ьс / я\
к = -у-JmSin^+ф + фТ- у). (6.45)
В данном случае сдвиг фаз Ф = фи —фг = фи —ф отрицателен
и зависит от соотношения между активной проводимостью g и
емкостной проводимостью Ьс'.
я Ьс
-у^Ф = —arctg-^<0.
Ток ir совпадает по фазе с напряжением и, а ток ic опере-
жает напряжение и на угол л/2.
* Выражение для и удовлетворяет начальному условию и(0) — 0.
168
На рис. 6.21 построена векторная диаграмма рассматриваемой
цепи. Вектор I — J равен сумме векторов 1Г и /с. Из векторной
диаграммы видно, что /r = /cos<p, /с = —Zsincp (ф<0).
Величину y = Vrg2 + bc называют полной проводимостью цепи
(см. рис. 6.20). Амплитуды тока Im = Jm и напряжения Um свя-
заны соотношением, аналогичным закону Ома: Im = yUm. Так как
Ф = — arctg (bc/g), g = Z/cos<p, be — — z/sin<p.
При установившемся режиме активная мощность, потребляемая
цепью,
т т
р ==^ — UmIm sin (©/-(-ip + <р) sin (at + ip) dt —
О 0
Уmlm cos ф = £// cos ф.
Реактивная мощность
Q = Д/зшф,
полная мощность
S^UI.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении,
Pr = U]r = gfJ2 = UI СО8ф = Р.
Реактивная мощнбеть в емкости
Qc = UIC = bcUz = - Ul sin ф = —Q.
§ 6.6. Цепь с сопротивлением г, индуктивностью L
и емкостью С
Последовательная цепь. Для цепи на рис. 6.22, подключае-
мой к источнику э. д. с. с e = <^msin (ю/ф-тр), справедливо урав-
нение, аналогичное (3.24):
г di , . . 1 f . ,,
"Ь'с' j 1 dt = e. (6.46)
Дифференцируя обе части уравнения (6.46) по времени /,
можно получить
L'S’ + r^r + zr==®&G«sin(“z + ',l’ + f) (6.47)
или
S‘+2“ir+®«I:=='r^sin(®/+1J’ + y)’ (6.48)
где 2а = r/L; o^==l/LC.
Решение уравнений (6.47) и (6.48) может быть представлено
как сумма свободной и принужденной составляющих.! =iCB4-inp.
В зависимости от значений корней характеристического уравне-
ния выражение дл.я свободной составляющей записывают по-раз-
169
ному (см. § 3.5; 3.8). При гармоническом возмущающем воздей-
ствии принужденную составляющую следует искать в виде
гармонической функции (6.21). Подстановка- выражения (6.21)
Рис. 6.22
(6.21). Подстановка- выражения (6.21)
в (6.47) приводит к соотношению
— a2LIm sin (at 4- ф,-) + ralm cos (at 4-
+ Ф0+ 4r/mSin =
= ®<^mcos (©/-(-ф)
или
Im [x sin (at 4-ф,-) — r cos (at+Ф,)] —
=«?msin (ftrf+ф--J),
сумму гармонических функций одной
где x = aL*- 1/аС. Заменяя
функцией:
х sin (at+фг) — г cos (at + фг) = z sin {at + ф/— у + cpj,
где г = ]Лг24-х2, <р — arctg (х/r), можно получить равенство для
определения амплитуды 1т и начальной фазы <р тока:
7mzsin (orf+ifo-у + ф) = ^т8ш(со/4-ф-уУ
откуда Im = Ет/г\. ф,- = ф — <р.
Таким образом,
гпр = 7т51п(о^4-ф —ф) = -^-sin ^©/-)-ф —arctg у). (6.49)
Пусть рг и р2 —корни характеристического уравнения (3.26).
Тогда решение уравнения (6.48) имеет вид
i = A^Pii 4- А&М -р Im sin (at 4-ф — ф),
производная тока
= PiA i&Ptt 4- PzA 2eP!/ 4- al m cos (at 4- ф — ф).
При нулевых начальных условиях i(0) = 0, ыс(0) = 0 для
определения постоянных интегрирования следует использовать
равенства
‘(0) = iCB(0)4-inp(0) = 0;
Lir\t.o + ri^ + uc^ = e(0)
или
Л14-Л24- lm sin (ф — <р) = 0; (6.50)
Р1Л14-р2Л2+©7т cos (ф -<р) = (ёт sinty/L. (6.51)
Уравнение (6.51) целесообразно преобразовать. Так как ф =
— arctg(х/r) и г = гсо8ф, x=zsinq), получаем
sin ф = lmz sin [(ф — ф) 4- ф] = lmz [sin (ф — ф) cos ф 4-
+ cos (ф — ф) sin ф] = Im [г sin (ф — ф) 4- X cos (ф — ф)].
170
Подставляя вместо х разность oL — можно найти
sin № — <р)4-(оcos (ip — ф) — cos (ip — ф)] ==
= lm [2а sin (ip — ф) + со cos (ip — ф) — cos (гр — ф) j.
Таким образом, уравнение (6.51) принимает вид
Р1Л1 + р2А2 == lm [2а sin (ip - ф) - cos (ip - ф)]. (6.52)
Совместное решение уравнений (6.50) и (6.52) с учетом равен-
ства Pi + P2== — 2а дает значения постоянных:
Л1 = — - ---- [fl sin (ip- ф)+-Jcos (ip- ф)1; (6.53)
Pl — Р2 L ш J
Д2 = ~[р2 sin (1р - ф) + -5-COS (ip - ф)]. (6.54)
Р1~Р2 L ш -I
Общее выражение для тока i записывается следующим обра-
зом: 1 —— m-[pistn(ip ф)+ °cos(ip ф)1е₽‘'4- Р1 — р2 L ш J -] — [р2 sin (ip — ф) 4- cos (ip — ф)1 ерЕ< 4* Pi—Pi L 03 J 4-sin (со/4-Ф — Ф) (6.55a)
или 1-1. “У*-?1’ X Pi — Рг 03 (Pi Pa) X (ep*f =— еРг() 4* Im sin (otf 4~ip — Ф)- (6.556),
Зная выражение для тока, нетрудно получить выражения
для напряжений ur — rr, ul = L^~- ис— i dt/C.
Апериодический свободный процесс. Если параметры цепи
таковы, что корни характеристического уравнения отрицательны,
вещественны и различны, то, согласно выражению (6.55а), сво-
бодная составляющая тока содержит две экспоненциальных функ-
ции, начальные значения которых зависят от начальной фазы ip.
На рис. 6.23 показаны возможные графики тока i и его
составляющих при 1р = ф+-^ и |pil>|p2|.
В частном случае, когда Рх = р2 = — а, выражение для тока
определяют как предел функции (6.55а) при p2-*Pi (см. § 3.5):
i =—lm {sin (ip — Ф) + [-^- cos (ip — ф) — a sin (ip — ф)| е~а/ 4-
. 4-Zmsin(<o/4-ip —ф). (6.56)
Колебательный свободный процесс. Пусть корни характери-
стического уравнения будут комплексно-сопряженными:
pl, 2 “
171
где частота свободных колебаний сосв = )Аоо — а2 (соо = —
резонансная частота контура).
При комплексно-сопряженных корнях справедливы выражения
. р^'-р^ = (
Р1—Рг “св v св 7
еР1<—ePt‘ 1 а1 . ,
---------=-------е at sin (осJ;
Р1—Рг coCB-------св
О < arctg
° а 2 ’
где фсв == л — arctg wCB/a.
С учетом записанных равенств выражение (6.556) принимает
вид
j — — 1т [sin № — ф) Sin (юсв/ + фсв) +
шсв L
4- cos (ф — ф) sin <оСЕЯ e~ai 4- Im sin (со/ 4- тр — ф). (6.57)
Свободные колебания представляют собой сумму двух гармо-
нических функций частоты <осв (т. е. гармоническую функцию),
умноженную на затухающую экспоненциальную функцию. Сво-
бодные колебания складываются с принужденными колебаниями—
гармонической функцией частоты со. На рис. 6.24 даны графики
тока и его составляющих для Ф = ф4-у. <осв>®.
Рассмотрим подробнее колебательные процессы в цепи с ма-
лыми потерями, т. е. при сс<^соо, <осв <оо.
Если частота внешнего возмущающего воздействия со<^соо
и начальная фаза ф = ф, то из выражения (6.57)
i = — Im sin со0/ 4- Im sin cot
(6.58)
Поскольку потери в контуре малы, свободная составляющая
тока затухает медленно; если ( достаточно мало, то
172
Максимальное значение тока при переходном процессе из выра-
жения (6.58)
; / (1 .с
т. е. во много раз превышает амплитуду установившегося тока.
Полагая для малых значений t в формуле (6.58) 1, полу-
чаем выражение для напряжения на емкости
ис и Cm COS (0(/ — иCm cos at,
где Vcm = ~^с Im ~ амплитуда напряжения на емкости при уста-
новившемся режиме. Максимальное значение напряжения на
емкости Ис max 2t/cm«
Рис. 6.24
Аналогично рассматривается случай, когда ф = ф + л. Пусть
частота (о^>(оо и ф==Ф + у. При этом из выражения (6.57)
I = — COS aj + ]т cos at, (6.59)
•так как при а->0 arctg юсв/а₽«л/2, фсе = и/2.
Максимальное значение тока в переходном процессе imax^
яа 2/т. Напряжение на емкости при е-к/ «а 1
ис «а - U Cm sin aot -}- и Cm SHI at.
co0
Максимальное значение напряжения на емкости
WCmax^^i + Ucmt
173
т. е. значительно превышает амплитуду установившегося напря-
жения.
Аналогично анализируется случай, когда ф = «р — у. Пусть
частоты со и соо близки по величине, но не равны друг другу.
Полагая в равенстве (6.57) со0/соСЕ^1, соо/со^1 и фсвАал/2,
находим
i = sin (соо/ -ф- гр — <р) -\-Im sin (at+гр — ф). (6.60)
Если е~“ул=г 1, то ток
i == 2/m sin 1 CQS ( 03+“Ч / ф _ (6.61)
. Уравнение (6.61) описывает колебания, которые представляют
собой сумму двух гармонических функций близких частот и назы-
ваются биениями. Бие-
ния можно рассматривать
как гармоническое колеба-
ние с частотой (со-}-соо)/2,
амплитуда которого изме-
няется сравнительно мед-
ленно по закону
2/m| sin (со —соо)//21.
Таким образом, при
со/соо 1 в контуре возни-
кают биения. С течением
времени биения затухают,
Закон изменения амплиту-
найти с помощью теоремы
так как в реальных условиях а>0.
ды тока в переходном режиме можно
косинусов:
/„ (t) = у Гт + (/те~“02 — 2Гте~а/ cos (cd — соо) t =
= Im Ю + e'2aZ — 2е~“/ cos (со — соо) t.
Зависимость тока I от времени изображена на рис. 6.25.
Если частота возмущающего воздействия со равна частоте со0,
то режим последовательной rLC-цепи называют режимом резо-
нанса напряжений. В этом случае
х = соЕ---^ = соа(1 --4^ = 0;
соС \ со2 / ’
Ф = arctg (х/г) = 0.
Из выражения (6.60)
i = Im (1 — е~“9 s in (со/ -|- гр). (6.62)
Характерная особенность закона изменения тока (6.62) —
экспоненциальное нарастание амплитуды от нуля до установив-
шегося значения (рис. 6.26). Амплитуда тока 1т определяется
сопротивлением г. Im = Um(r.
174
Установившийся режим. При установившемся режиме ток
в г£С-иепи содержит только принужденную составляющую:
i = /m sin (й^+гр — ф). (6.63)
Зная ток, находим напряжения на элементах цепи:
Hr = (7rmsin(oj/ + t]j —ф); (6.64)
uL = (JLm$in —ф+у); (6.65)
- wc = (/Cmsin^co/ + ip —ф — yj, (6.66)
где Urm — r^rni ^Lm — Xlltnt ^Cm — Xclm-
Величину x=.coL—1/coC называют реактивным сопротивлением
цепи, z = ]Лгв + х2 — полным сопротивлением.
Если частота э. д. с. со <1 соо, то
Ф<0.
Следовательно, ток i опережает напряжение и — е на угол —ф.
реактивное сопротивление цепи имеет
индуктивности равны по величине и
В этом случае xc>Xl и
емкостный характер. Если
со>со0, то х>0, ф>0.
Следовательно, ток i от-
стает от напряжения и=е
на угол ф. В этом случае
xL>xc и реактивное соп-
ротивление цепи имеет ин-
дуктивный характер.
Если со —ю0, то х = 0,
Ф = 0, г —г (режим резо-
нанса напряжений). Ток i
совпадает по фазе с напря-
жением и=е и хс = х£.
Напряжения на емкости и индуктивности равны по величине и
противоположны по фазе; напряжение на сопротивлении равно
э. д. с. Если хь = хс^г, то амплитуды напряжений'на индук-
тивности и емкости (иLm — ^Jcm) значительно превышают ампли-
туду э. д. с.
На рис. 6.27, а—в показаны векторные диаграммы цепи соот-
ветственно для со<соо, го > со0 и со = со,,. - Вектор напряжения
0 — 3 равен сумме векторов Ur, UL и U& Из векторных диа-
грамм рис. 6.27, а, б видно, что
Ur — U cos ф, UL — Пс = С/81пф(ф^0).
Активная мощность, потребляемая цепью,
т т
Р = ^\ uidt=^\ UmIm sin (со/ -Ь ф) sin (со/-}-ф —ф) dt = UI cos ф.
о о
175
Реактивная мощность
Q — UI sin ф.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении г,
Pr — UrI = rP = VI cos ф = Р.
Реактивная мощность
Q = (Ul-Uc)I = Ql-Qc
может быть положительной (Qi>Qc при <о>юо), отрицательной
(Qz<Qc при <о<(оо) и равной нулю (Q£ = QC при <о = юо).
Рис. 6.27
Полная мощность
S = (77 = ]/’P2 + Q2.
Параллельная цепь. Пусть rLC-цепь рис. 6.28 подключают
к источнику гармонического тока J (t) — Jmsin (ю/4-ф). Эта цепь
дуальна цепи, показанной на рис.
6.22. Для напряжения и (рис. 6.28)
справедливы выражения, дуаль-
ные (6.55а, б) -ь (6.63).
Чтобы записать дуальные вы-
ражения, нужно в формулах
(6.55а, б) (6.63) заменить <8т, г,
L, С соответственно на дуальные
величины Jm, g, С, L. При этом
амплитуда тока 1т—$тР заме-
няется амплитудой напряжения
U т — \у — 1/ Ь2 g2, Ь — — Ьс] > уГОЛ ф =
= arctg (х/r) — углом — ф = arctg (— b/g), отношение r/2L — а —
отношением g!2C = a. Например, выражению (6.57) соответствует
дуальное
и = — Um [sin (ф + ф) sin (юсв7 + фсв) 4-
шсв L
+ cos (ф 4- ф) sin <осв/] е~а( 4- sin И 4-ф4- ф), (6.67)
где а>0==1/УLC, <осв = j/cog — а2, фсв = зт —arctg(<всв/а)..
176
Графики напряжения и для различных случаев аналогичны
графикам тока i на рис. 6.23 ч-6.26.
Если частота тока источника тока со равна резонансной
частоте соо схемы рис. 6.28, то режим этой схемы называют режи-
мом резонанса токов. В таком случае
6==_1—(ос=(-4- iW=o;
Ф = arctg (&/g) = 0.
При резонансе токов амплитуда напряжения нарастает по
экспоненциальному закону от нуля до установившегося значения
аналогично функции (6.62).
При установившемся, режиме для напряжения и, токов ir,
ic, ii справедливы выражения, дуальные соответственно выра-
жениям (6.63)ч-(6.66):
iz ==(7m sin (со^ 4-ф + ф); (6.68)
^ = /лп8ш(<о/4-ф + ф); (6.69)
£c = Jcfflsin(co/-l-ip-|-(p4-y); (6.70)
t7 = /imsin^4-^4-q>— у), (6.71)
Где 1гт ~ gU'mi Icm — bcUmi 1Lm~ blljm.
Величины & = &/. —&c= 1/k>A —юС называют реактивной про-
водимостью, a g = ]/ g2 4- b2 — полной проводимостью цепи.
Если со<соо, то
6 = (^-lW>0,
\С02 / ’
Ф > 0.
Следовательно, напряжение и опережает ток i = J (I) на угол ср.
В этом случае bL>bc и реактивная проводимость схемы имеет
индуктивный характер.
Если со>соо, то &<0, ф<0. Следовательно, напряжение и
отстает от тока i — на угол —ф. При этом bL<Zbc и реак-
тивная проводимость имеет емкостный характер. Если со=соо, то
Ь = 0, ф = 0, g = g (режим .резонанса токов). Напряжение и сов-
падает по фазе с током i — bi — bc. Токи в индуктивности
и емкости равны по величине и противоположны по фазе; ток
в сопротивлении равен току источника тока. Если bL~bc^g,
то амплитуды ТОКОВ В индуктивности И емкости (Ikm-Icm) зна-
чительно превышают амплитуду тока источника тока.
На рис. 6.29, а — в построены векторные диаграммы.цепи соот-
ветственно для со С.(оо,. со > соо и со = соо. Вектор тока 1 — J равен
сумме векторов 1Г, Л, /с. Из векторных диаграмм (рис. 6.29, а, б)
видно, что
/г = J cos ср; IL — 1с = 1 зйгф (ф^О).
177-
Активная и реактивная мощности цепи соответственно:
P = VI cos ф;
Q = UI sin ф.
Активная мощность, рассеиваемая в сопротивлении г,
Рг = VIг - gV2 — VI cos ф = Р.
Рис. 6.29
Реактивная мощность
Q = V(IL-IC) = QL-QC
может быть положительной (Qi>Qc при а><(00), отрицательной
(Ql<Qc при <о>соо) и равной нулю (Ql — Qc при <о = <оо).
Полная мощность
S = V1 = ]/P2 + Q2.
§ 6.7. Цепь с трансформатором
На рис. 6.30 изображена схема цепи, содержащей индуктив-
ный трехполюсник—трансформатор. Пусть эта схема подклю-
чается к источнику э. д. с. е — &т sin (со/4-ф). При замкнутом
ключе для схемы справедливы уравнения
e = riii + wi;
0 = Г 21'2 U2-
Напряжения и w2 связаны с токами и i2 соотношениями
(1.28), поэтому
£ — rih + Ai -^7 -J- М ; (6.72)
(6.73)
Из уравнения (6.72) производная
df = м(е~W-Li d/)* (6.74)
178
Если продифференцировать обе части уравнения (6.73) и учесть
равенство (6.74), то можно получить дифференциальное уравне-
ние для тока i’i:
+^(e-rA-£1§)=0
или
(LxZ.2 -М2) g + (г^2 + г2Ц) = r2e + L2g. (6.75)
Если в уравнении (6.75) заменить М2 согласно равенству
^ — KqLJLz и разделить обе части уравнения на гхг2, то урав-
нение примет вид
ОД, (1 -КЪ) + (Тх + т2) § + й = 1 (е + т2 , (6.76)
где rti==Lili'\, T2 = Z.2/r2.
Уравнению (6.76) соответствует характеристическое уравнение
ТхТ2 (1 — Кс) Р2 + (Тх + т2) р + 1 = О,
корни которого
_— (Т1+т2) ±1^(Т1+т2)2—4тхт2 (1 — Кс)
Р1’2~ 2Т1г2(1-/Й)
Так как
(тх+т2)2 — 4тхт2 (1 — К с) > (тх 4- т2)2 — 4тхТ2 = (Тх — т2)2 >0,
Рис. 6.30
корни характеристического уравнения вещественны и различны.
Решение уравнения (6.76) за-
пишем следующим образом:
Й Йсв ~Ь~ Нпр —
=ЛеР1/ + Л2е^с + ixnp,
где Г1пр = Лт81п((о/+ф — фх), так
как правая часть уравнения (6.76)
— гармоническая функция. Если
выражение для ilnp подставить в
уравнение (6.76), то получим соотношение для определения ам-
плитуды 11т и угла фх:
hm {[1 — ТхТ2 (1 — Кс) со2] sin (со/ 4~ ф — ф1) _|_
+ (Тх + Т2) со cos (со/ 4- ф — Ф1)} = -^ C?m [sin (со/ 4- ф) 4- т2со cos (со/ 4-ф)]
или
11т К[1 - ТхТ2 (1 — Кс)С02]2 + (Тх4-Т2)2С02 sin ((О/ 4- ф - ф14- а) =
= У^т /1+Ф>2 Sin (СО/ 4- Ф + ₽),
где
P=arctgw
179
Отсюда
j _&т______________Vl+Tl^____________
lm П /[] _Т1Т2 (! _^с) со2]2+(Т1+т2)2 со2 ’
Ф1 = arctg ---- t.T2)^<-2 — arctg Т2Ю-
1— TiT2(l— KE) CO
В момент замыкания ключа токи tx и i2 равны нулю: i’i(0) = 0,
/2(0)=0. Из уравнений (6.72) и (6.73) производная
dii I = 72 е = е(0)
dt\t-o LtL2-Mz 3 7 Lj-d-j^)’
где е (0) = &т sin ip.
Постоянные интегрирования определяют из следующих урав-
нений:
А + А + Л/n sin(tp —ф) = 0;
Aipi 4- Л2р2 + а>11т cos (гр - ф1) = £ ^2^) >
откуда
Л1 = —— / + hm [ft sin (яр — фх) - (о cos (гр - <px)]l;
р1-^р2Щ(1 — Кс) )
Л2 ==—1— J- —^(0) + Ilm [со cos (гр - фх) - ft sin (гр - Фх)]}.
Pi — P2I Н(1— Кс) J
Для тока i2 справедливо дифференциальное уравнение
ЪЪ (1 -К’с) § + dx + T2) + i2 = —, (6.77)
решение которого имеет вид
1*2 — ^2св 4“ ^2пр = BjC^ В2&Р2^ 4" ^2пр>
где »2Пр = /2т®1п(ю/4-гр —ф2). Величины 12т и ф2 определяем
с помощью подстановки выражения для i2np в уравнение (6.77):
ыМ<от__________________________________1________________
Т1Т2 у [1 -ТхТ2(1 ~/(с) со2]24-(Т14-т2)аШ2 ’
fD _ ЯГГ|<Г (Т14~Т2) М I Д
Ф2 arctg 2. 2 Л •
1—tjt2(1—Кс) со 2
Постоянные интегрирования находим из условий
__________________________ M_dii I _____ Ксе (0)
—_________________________________________Z.2di|/-o~
i2(0)=0;
dt /=о
Решение уравнений для постоянных интегрирования приводит
к следующим равенствам:
Bi = —5— { - T,7'e(°L + [рг sin (гр - ф2) - со cos (гр - ф2)]1;
Pl — Pi I ЛЦ1— Кс) )
[® COS (гр - ф2) - ft sin (гр - ф2)]|.
Pi—Рг Ш (1— Кс.) ।
В2 =
180
Выражение для тока 4 может быть найдено также путем
непосредственного интегрирования соотношения (6.74) при извест-
ном токе 4. На рис. 6.31, а, б приведены графики токов 4 и 4
и их составляющих для ф — <Р1 = л/2, ф — <р2 =— л/4, |рх | <|р21;
постоянные Дх<0, Д2<0, Bi<0, В2>0. Свободные составляю-
щие токов представляют собой алгебраическую сумму экспонен-
циальных функций с раз-
личными начальными зна-
чениями и показателями
степени. Экспонента с по-
казателем p2t затухает бы-
стрее экспоненты с пока-
зателем pit. Чем ближе
величина коэффициента
связи к единице, тем зна-
чительнее разница между
корнями характеристиче-
ского уравнения рх и р2. При
£i = L2 = L и гх = г2 = г
-ti = T2 = T, pi =—1/т(1 +
+ 7Сс), р2 = 1/т (1 Кс).
Если Кс = 0,5, то отно-
шение. | р21/| pi | = 3; если
Кс = 0,95, отношение
|p2|/|Pil = 40.
Скорость изменения то-
ка 4св имеет наибольшее
значение в момент време-
ни t = 0; с течением вре-
мени эта скорость умень-
шается. Для сравнения на
рис. 6.31, а штриховой линией показан график изменения тока 4Св
при разомкнутой цепи г2 = Л2, т. е. при 4 = 0. Этот график яв-
ляется экспонентой с показателем — ifa. В первые моменты после
включения источника ток 4СВ ПРИ 4=#=0 затухает быстрее, а за-
тем — медленнее по сравнению с током 4СВ ПРИ 4 = 0. .
Как видно из рис. 6.31, б, скорость изменения тока i2cB имеет
наибольшее значение также при f = 0; далее эта скорость изме-
няется по величине и по знаку.'
В предельном случае Кс=1 (совершенный трансформатор),
Рх = —V(ti4-t2), р2 =— со. Значение корня рх можно найти из
общего выражения для корней, если раскрыть неопределенность
при /Сс->1 по правилу Лопиталя или непосредственно из харак-
теристического уравнения, которое в этом случае будет первой
степени. Токи 4 и 4 принимают вид
4 = ЛхеР1/ + 4пр; 4 — BiePit + 4пР,
где составляющие 4пр и 4пр получают из приведенных формул
при подстановке/Сс= !•
181
Так как в общем случае
Р1~р2
~\^ (ti I т2)2—4тхт2 (1 — Кс)
TjT2 (1—Кс)
из записанных выражений для Ai и Bj нетрудно определить пре-
дельные значения при
= ~ SIn ~
В1 = - ёЖж - sin
На рис. 6.32, а, б приведены графики токов 4 и i2. В отличие
от. графиков, изображенных на рис. 6.31, а, б, в рассматриваемом
случае токшй и z2 в начальный момент времени отличны от нуля.
При установившемся режиме токи 4 и /2 цепи на рис. 6.30 изме-
няются по гармоническому закону: ii = iinp, /2 = 12Пр- Напряжения
и1 и п2, иг, также гармонические и при известных токах и i2
могут быть найдены из соотношений и^ — е — и2~— r2i2,
иГ1 = Г^.
Пример 6.1. В цепи на рис. 6.30 e=10sin(103t-|~108°30'). Параметры схемы:
£1=£2=10~з Г; г1 = г2=1 Ом; АГС=1. Определить токи it и i2, напряжения
ult u2 и иГ1 при установившемся режиме.
Решение. Подставляя в формулы для 11т, 12т, <рх и <р2 <в=103 с"1 и
Кс==1, найдем:
_/1т=^]Л|- = у-0,632=6,32 А;
/2ю, = ^^=108-^-1().=4,48А;
2т 1.1^5 ]<5
где Л1=/СсуТЙ=10-з г.
фх = arctg-2 —- arctg 1 = 63° 30'—45° =18° 30';
<р2 = arctg 2-р 90°=63° 30'+ 90° = 153° 30'.
Таким образом,
4=6,32 sin (10з/+ф — <р1)=6,32 sin (104 + 90°) = 6,32 cos 103t А;
i2=4,48 sin (103/-[-ф —<p2) = 4,48 sin (L03t —45°) A,
182
Напряжения tit и w2 и заданной цепи одинаковы:.
• их=М + м ~ 10 3 ’ 6’32 ‘ 103 sin 103/+10”3 ‘ 4>48‘ 103cos (103/ — 45°) =
= — 6,32 sin 10з<4-4,48 sin (103^4-45°) В;
tz2=L2— 4~М ^=4,48'sin (10314-45°) —6,32 sin 10*1 В.
Первая составляющая каждого из этих напряжений обусловлена собствен-
ной индуктивностью L, или Ь2, вторая—взаимной индуктивностью Л1.
Путем тригонометрических преобразований можно показать, что и1=и2 =
— 4 48 sin (Ю3<4-135°) В. Такой же результат получим и из выражений иг—е —
— r\lv u^—r2i2. Напряжение иГ1 =
_ г t- = 6,32 cos 103£ В. На рис. 6.33 по-
строена векторная диаграмма рассматри-
ваемой цепи,, на которой векторы U\ и
(02 и 172) представляют собой со-
ставляющие вектора t/j (6'2), обусловлен-
ные соответственно собственной и взаим-
ной ийдукти внтями.
§ 6.8. Общие замечания по
анализу rLC-цепей
Как и в цепях с источниками
постоянного напряжения и по-
стоянного тока, токи ветвей и на-
пряжения на зажимах ветвей в
разветвленных цепях с источни-
ками гармонических напряжений
и токов одинаковой частоты могут быть найдены путем интегри-
рования дифференциальных уравнений.
При гармонической возмущающей функции свободная состав-
ляющая искомого тока или напряжения записывается так же,
как и при постоянной, ибо свободная составляющая представ-
ляет собой общее решение однородного уравнения. Принужденная
составляющая тока или напряжения изменяется по гармониче-
скому закону.
В цепи, содержащей двухполюсные элементы с параметрами г,
L, С (а также в цепях с взаимной индуктивностью М) и источ-
ники постоянного напряжения и постоянного тока, при расчете
принужденных (установившихся) токов и напряжений индуктив-
ности рассматриваются как короткозамкнутые участки, а емкости—
как разомкнутые участки (см. гл. 3). Если э. д. с. источников
э- д. с. и токи источников тока — гармонические функции, то
Для принужденного (установившегося) режима напряжения на
индуктивностях и токи в емкостях также будут гармоничес-
кими функциями, которые необходимо учитывать в уравнениях
Цепи.
183
Таким образом, в цепи с гармоническими- возмущениями рас-
чет установившихся токов и напряжений усложняется по срав-
нению с цепями, содержащими неизменные во времени источники
возмущений. Тригонометрическая форма расчета установившихся
токов и напряжений, при которой амплитуды и начальные фазы
искомых величин определяются с помощью тригонометрических
преобразований, приемлема только для простейших цепей. Для
сложных разветвленных цепей целесообразно применять комп-
лексную, или символическую-, форму расчета, основанную на
переходе от вещественных функций времени и вещественных па-
раметров к комплексным функциям и комплексным параметрам.
Расчет установившихся режимов в цепях с источниками гармо-
нических э. д. с. и токов при помощи комплексных чисел по-
дробно рассматривается в последующих главах.
ГЛАВА 7
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С ДВУХПОЛЮСНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ БЕЗ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ
§ 7.1. Комплексные величины, характеризующие установившиеся
процессы в электрической цепи
Комплексные амплитуды и действующие значения. Как уже
отмечалось в § 6.1, гармоническим токам, напряжениям и другим
величинам можно поставить в соответствие вращающийся радиус-
вектор на комплексной плоскости. Этот радиус-вектор в любой
момент времени служит геометрическим изображением комплекс-
ного числа. Таким образом, величинам, изменяющимся по гармо-
ническому закону, соответствуют комплексные функции.
Например, значению тока 1 = /т8ш((1>/+фг) в любой фикси-
рованный момент времени t соответствует комплексное число,
изображаемое вектором, длина которого равна амплитуде 1т и
который образует с вещественной осью комплексной плоскости
угол со/ф-ф/ (положительные углы отсчитываются в направлении,
противоположном направлению движения часовой стрелки, а отри-
цательные—наоборот). В начальный момент времени ( = 0 вектор
образует с вещественной осью угол ф/. Такой вектор можно обо-
значить через
(7.1)
где длина вектора 1т — это модуль, а угол фг — аргумент ком-
плексного числа,, геометрическим изображением которого служит
вектор 1т\ / = ]/—! *.
Равенство (7.1) называют показательной формой записи
комплексного числа 1т. Комплексное число можно записать также
в алгебраической
Лп —7тФ~/7т (7.2а)
или тригонометрической
Im = Im COS фг+/7т S1Hфг (7.2б)
форме. Величины 7т = 7тСО8ф/, Гт = Im sin ф/ называют соответ-
ственно вещественной (Re) и мнимой (Im) частями-ком-
плексного числа 1т:
Im — Re 7m; Im — Im lm.
Для фиксированного момента времени t > 0 значению i =
=/т sin (го/ф-фф соответствует комплексное число (комплексный
мгновенный ток)
1т^ = 1т^‘+^ = Im [COS («rf + ФО + / Sin (fi>f ф- фг)]. (7.3)
* Здесь и далее буквой с точкой наверху обозначаются комплексное число
и его .графическое изображение (вектор), соответствующее гармонически изме-
няющейся величине.
185
Гармоническую функцию i(t) можно, следовательно, рассмат-
ривать как мнимую часть комплексной функции:
i = Im sin (<о/ + фг) = Im [/mey (и'+ф«)] = Im [/те>и/]. (7.4)
Комплексное число 1т называют комплексной ампли-
тудой гармонической функции i. Если это число разделить на
]/2, то
/ = /т/Г2=/е^
называют комплексным действующим значением, так
как модуль числа / равен действующему значению гормонической
функции i.
Между функцией i и комплексным действующим значением
существует) связь, выражаемая равенством
i = ]/2 / sin (<о/ + ФО = Im [К2 /е7’(“/+ф/)] = Цр []Л2 . (7.5)
Векторы /т(7) и /те^‘и/(/е^ю/) отличаются тем, что первые не-
подвижны, а вторые вращаются с угловой скоростью <о в направле-
нии, противоположном направлению вращения часовой стрелки.
Все эти векторы можно рассматривать как соответствующие одной
и той же гармонической функции I.
Термин «вектор» как изображение комплексного числа
или' I имеет смысл, отличный от смысла этого же термина, при-
меняемого для определения физических величин, характеризуе-
мых модулем и направлением в пространстве (например, сила,
скорость, напряженность поля и т. п.).
. Переход от гармонических функций к комплексным амплиту-
дам или действующим значениям позволяет упростить действия
с гармоническими функциями: сложение и вычитание, дифферен-
цирование и интегрирование.
Пусть заданы функции
ii = Iim sin (<о/+Ф1); i2 = I2m sin (ait+фа).
Тогда
i = к ± i8 = Im [/\me^] ± Im [/2me^J =
= Im [(/lm ± /im) е>и/] = Im [ime^],
где Im — iim — hm- Таким образом, суммированию гармонических
функций одинаковой частоты соответствует суммирование ком-
плексных амплитуд или действующих значений.
Производная гармонической функции i = /msin(&tf-(-tyz)
| ~ Im = Im № /^1 = Im [/ю/^].
Интеграл от гармонической функции
i dt = Im [/me>“7] dt = Im ? lm&at di = Im ГЛ 1т^ае].
186
'Как видно из записанных равенств, дифференцированию (ин-
тегрированию) гармонической функции соответствует умножение
(деление) комплексной амплитуды или комплексного действую-
щего значения на /со.
Линейной комбинации комплексных амплитуд, часть из кото-
рых умножена (разделена) на /о, соответствует линейная ком-
бинация гармонических функций, часть из которых продифферен-
цирована (проинтегрирована). Суммирование комплексных чисел
можно выполнить, если эти числа представлены в алгебраической
форме. Для перехода от показательной формы к алгебраической
следует воспользоваться равенством (7.2 б). Обратный переход
осуществляется с помощью соотношений *
tgip = ^;
/т
г / /г [ f» __ itn _ л tn
т— V Im-Ylm ——
Умножение (деление) комплексных чисел выполняется, если эти
числа представлены в показательной форме.
Пример 7.1. В последовательной цепи с параметрами /-=10 Ом, £=10~3Г,
С=0,5-Ю-6 Ф ток установившегося режима имеет действующее значение
/.= 1 А, начальную фазу ф, = 45° и частоту со=1О4 с1. Найти мгновенное
значение напряжения на зажимах цепи.
Решение. Комплексное действующее значение тока /=1-е,45° А. Так
как u = «/.+wi4-uc = n+^-^ + -gr i!dt, комплексное действующее значение
напряжения
il-rl+L + /)-(г+/ю1.+Щ)/_
_(10+<10..10-.+<1(|4 ,0|5)/-10/2 В.
Мгновенное значение напряжения
и = Irn [У 2 17е^юН =20 sin со/ В.
Такой же результат получим и после тригонометрических преобразований
суммы гармонических функций u = ur~\-uL~[-uc.
Комплексные сопротивления и проводимости. Пусть напряже-
ние и ток пассивного участка некоторой ветви электрической
цепи, содержащей источники гармонической э. д. с. и гармони-
ческого тока, изменяются по законам
и = Um sin (со/ + фв); i = Zm sin (со/+ фг)
(положительные направления и и i на схеме приняты одинако-
выми). Гармоническим функциям й и г соответствуют комплекс-
* Все соотношения, записанные в данном параграфе для токов, анало-
гично записывают для напряжений, э. д. с., потенциалов, зарядов и т. п.
187
ные величины Um(U) и Отношение
/„ I
(7.7)
{z = U/r, <р = фя —фг) называют комплексным сопротивле-
нием пассивного участка ветви. В алгебраической форме
Z = r+/x.
Вещественную часть комплексного сопротивления r = ReZ =
= zcos<р называют активным сопротивлением, а мнимую часть
x=ImZ = zsin<p—реактивным сопротивлением. Модуль комп-
лексного сопротивления z = J/ г2 + х2 называется полным со-
противлением. Активное и полное сопротивления — неотрицатель-
ные величины; реактивное сопротивление может быть положи-
тельной, отрицательной, а также равной нулю величиной* *.
Аргумент комплексного сопротивления <р = arctg х/r равен углу
сдвига фаз между напряжением и током.
В общем случае пассивный участок ветви схемы может содер-
жать последовательно соединенные сопротивление г, индуктив-
ность L и емкость С. При этом напряжение и и ток i участка
связаны соотношением
iz = ri -f-L —~q i di.
Если и *и г — гармонические функции, то записанному равен-
ству можно поставить в соответствие равенство для комплексных
действующих значений
где
Z = r + j(aL-^ = r+j(xL-xc). (7.8)
Реактивное сопротивление такого участка x — Xi — хс; аргу-
мент комплексного сопротивления <р = arctg [(х£ —хс)/г]. Сопро-
тивления xL и Хс неотрицательны, сопротивление х может быть
положительной, отрицательной и равной нулю величиной.
Комплексное сопротивление Z можно представить на комп-
лексной плоскости гипотенузой прямоугольного треугольника
с катетами г и jx (рис. 7.1, а). Такой треугольник называют
треугольником сопротивлений.
Величину, обратную комплексному сопротивлению Z, назы-
вают комплексной проводимостью
Z Um й l/e^"
(7.9)
» г, 31 л
* Для пассивного участка цепи угол — ту Ф v > если положитель-.
ные направления и и i совпадают (см. гл. 6),
188
где y=]Jz — IlU- В алгебраической форме Y = g — jb< где £=-
__ Re у = у cos <р — активная проводимость; b = Im Y = у sin <р —
реактивная проводимость; y — V ё2, + ~ полная проводимость.
Активная и полная проводимости — неотрицательные величины;
реактивная проводимость может быть положительной, отрицатель-
ной или равной нулю величиной. Для принятых форм записи
комплексных сопротивлений (7.7) и комплексных проводимостей
(7.9) знаки у х и b совпадают.
В общем случае пассивный участок цепи может состоять из
параллельно соединенных проводимости g, емкости С и индук-
тивности L. В этом случае ток i и напряжение и участка свя-
заны соотношением
J udt>
которому соответствует равенство для комплексных действующих
значений
I = gU + j(i£U-Y^5U = YUf
где Y=g—j(bL — bc). (7.10)
Реактивная проводимость такого участка b = bL — be, аргумент
комплексной проводимости —<р = arctg [(fee — bL)/g\. Проводимости
fei и. .fee неотрицательны, проводимость fe может быть положитель-
ной, отрицательной или равной нулю величиной.
Комплексную проводимость Y на комплексной плоскости можно
представить гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами
ё и —jb (рис. 7.1, б). Такой треугольник называют треуголь-
ником проводимостей.
Если Z = r-\-jx, то
у_ 1 _ г—jx _ г ; х /7 х
r + jx (r + jx)(r — jx) Г2-|-Х2 U.iuaj
откуда
g = r/(r2 + x2), b = -~^.
Если Y — g — jb, то
Z = 1 = s+ib _ g I • ь . -.
g—jb (,g—ib)(g+jb) g2+ba“t"/
18?
откуда r = g/(g2+£>2), x = 6/(g,a + 6a). Как видно, параметры г
и g, х и b одного участка ветви не являются обратными вели-
чинами. Обратными являются комплексные и полные сопротив-
ления и проводимости участка.
§ 7.2. Энергетические процессы в цепи переменного тока
Мощности. На рис. 7.2 изображены две соединенные между
собой части цепи, каждая из которых содержит источники энер-
гии. Для указанных положительных
направлений напряжение и ток выра-
жаются формулами
и = Um sin (о/ + ф„); i = Imsiri (at+ф;).
Мгновенная мощность
p = ui = [cos ф — cos (2®/ +
Рис. 7.2 + Ф«+Фг)Ь
Если то мгновенная мощность может принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Это означает,
что в различные промежутки времени энергия передается из
первой части цепи (I) во вторую (II) и наоборот.
Активная мощность
Т
Р = у Рб1/ = ^^-СО8ф = {//сО8ф. (7.12)
о
Величина энергии, передаваемой из первой части цепи во
вторую,
t
p^ = P^4-C//[^sin(ip„—ФО —
О
-^8ш(2®/+ф„+ф0] (7-13)
представляет собой пульсирующую функцию. За целое число
полупериодов N энергия W — PNT/2.
На рис. 7.3 показаны графики зависимости напряжения и,
тока i, мощности р и энергии W от at при 0<ф<л/2; фв = 0;
а на рис. 7.4 —при ф>п/2, фв = 0.
Одна и та же активная мощность может быть получена при
различных значениях тока / и одном и том же напряжении U
(при различных значениях напряжения U при одном и том же
токе /), если изменять сдвиг фаз между напряжением и током.
Мгновенная мощность дает более полную характ^истику энер-
гетических процессов цепи по сравнению с активной мощностью.
Амплитуду пульсации мгновенной мощности S — UI называют
полной мощностью. Полную мощность можно рассматривать
190
как модуль комплексной величины, называемой комплексной
мощностью:
8 = 01, (7.14)
где —комплексное число, сопряженное с l — Ie^1, т. е.
отличающееся от комплексного числа / знаком аргумента и зна-
ком мнимой части. В алгебраической форме S — P-\-jQ. Вещест-
венная часть комплексной мощности совпадает с активной мощ-
ностью
Re S = Ret'/e'^"-= Ul cos (р = Р.
Мнимую часть комплексной мощности
Im§ = UI sin q> = Q
называют реактивной мощностью.
Полная мощность
£ = ]Лр2-|-<22.
При положительном знаке активной мощности (—л/2<<р<:
<л/2) реактивная мощность может иметь положительный или
отрицательный знак. При <р>0 (ток отстает по фазе от напря-
жения) Q>0; при <р<0 (ток опережает по фазе напряжение)
Q<0. Положительный (отрицательный) сдвиг фаз <р между напря-
жением и током пассивного участка ветви соответствует индук-
тивному (емкостному) характеру реактивного сопротивления или
реактивной проводимости b этого участка. Следовательно, поло-
жительная (отрицательная) реактивная мощность пассивного
участка ветви также соответствует индуктивному (емкостному)
характеру реактивного сопротивления или реактивной проводи-
мости.
Реактивная мощность Q = 0 при <р = 0 или <р = л, т. е. при
условии, что ток и напряжение совпадают или противоположны
по фазе и, следовательно, в цепи отсутствуют периодические
191
процессы накопления и последующего возвращения энергии, свя-
занной с магнитным или электрическим полем.
В простейшем случае, когда пассивный участок ветви содер-
жит последовательно (параллельно) соединенные индуктивность
и емкость, реактивная мощность такого участка Q = Ql — Qc (см.
гл. 6). Учитывая выражения для Ql и Qc, приведенные в гл. 6,
Q — Ql Qc “ ® 2~) = PLтах Рсшах,
т. е. реактивная мощность равна .разности максимальных энер-
гий магнитного и электрического полей, связанных соответст-
венно с индуктивностью и емкостью, умноженной на частоту со,
или разности максимальных мгновенных мощностей индуктив-
ности и емкости. Пульсации мгновенных мощностей в индуктив-
ности и*емкости сдвинуты по фазе на угол л, что и приводит
к вычитанию максимальных значений мгновенных мощностей.
Отношение активной мощности к полной
P/S — cos ср (7-15)
называют коэффициентом мощности. Полная мощность
электрической машины, трансформатора или другого устройства
определяется предельно допустимыми напряжением U и током 1.
При cos ср =1 активная мощность равна полной, что означает
наиболее эффективное использование устройства, поэтому повы-
шению коэффициента мощности электроэнергетических установок
уделяется значительное внимание. Такое повышение возможно
при компенсации реактивной мощности индуктивного характера
реактивной мощностью емкостного характера, так как реактивные
мощности индуктивности и емкости имеют противоположные знаки.
Так как на величину тока, потребляемого или генерируемого
электроэнергетической установкой при заданном напряжении,
оказывает влияние не только активная, но и реактивная мощно-
сти, в энергосистемах и промышленных предприятиях наряду
с энергией W учитывают также величину UZp = Q/, называемую
реактивной энергией, измеряемой в вольт-ампер-час (вар • ч).
Реактивная энергия — условный термин, так как tt7p не явля-
ется энергией.
Комплексная мощность § = Р + jQ может быть представлена
на комплексной плоскости в виде гипотенузы прямоугольного
треугольника с катетами Р и jQ (рис. 7.5). Такой треугольник
называют т р е у г о л ьн и ко м мощностей.
Пример 7.2. Для схемы на рис. 7.2 U — 220 В, / = 100 А, <р = 45°. Опре-
делить активную, реактивную, полную и комплексную мощности, а также
наибольшее и наименьшее значения мгновенной мощности.
Решение. Активная и реактивная мощности соответственно;
К2
Р =///cos <р = 220 • 100—g— =15,6 кВт,
1Л2
Q=Ul sin <p = 220-100—g—= 15,6 квар.
192
Полная мощность S = W = 220 • 100 = 22 кВ • А. Комплексная' мощность
iQ= 15,6 (1 +/) кВ-А. Наибольшее значение мгновенной мощности
Ртах = P+S = 15.6 + 22 = 37,6 кВт,
наименьшее значение —
pmin = P — S= 15,6-22=—6,4 кВт.
Связь мощностей с сопротивлениями и проводимостями. Пусть
на зажимах ветви с, комплексным сопротивлением Z = r-\-jx
известны напряжение О и ток I (рис. 7.6, а). Тогда комплексная
мощность 5 = 01 = Р + jQ.
Из определения комплексного сопротивления О = ZL Следо-
вательно,
S = UI = Ztl = ZP = (г + /х) /2 = гР + jxP;
P — rP; Q = xP;S = zP.
Активное, реактивное, и полное сопротивления можно опре-
делить по соответствующим мощностям:
r = P/P\ x=Q/P; z = S/P. (7. Гб)
Сопротивление г —пассивный элемент схемы; термин «актив-
ное сопротивление» подчеркивает связь этого сопротивления
с, активной мощностью: элемент схемы г отражает процессы необ-
ратимого рассеяния энергии. Сопротивление проводника г, изме-
ренное при переменном токе, отличается от сопротивления того
же проводника, измеренного при постоянном токе. При пере-
менном токе сопротивление г увеличивается с ростом частоты за
счет поверхностного эффекта и эффекта близости.
Если комплексная проводимость ветви Y —g — jb (рис. 7.6, б),
то ток j = YU- Сопряженный ток
* * * *
I — YU = (g + jb) U.
Комплексная мощность
S = 01 = UYU = YU2 = (g+jb) U2 = gU2 + jbU2.
7 п/р. Ионкина, т. I 193
Следовательно, Р = gU2; Q — bU2; S — yU2. Активную, реак-
тивную и полную проводимости можно определить из выражений
g = P/U2-, b = Q/U^ y = S/U2. (7.17)
Вектор U на зажимах схемы на рис. 7.6, а разлагается на
две составляющие: активную составляющую (7а,. совпадающую по
фазе с током /, и реактивную составляющую сдвинутую по
фазе относительно тока / на угол л/2 (рис. 7.7, а). Эти состав-
ляющие можно рассматривать как напряжения на элементах г
и х схемы, так как
и = Ua + Uv = (r+jx) i = ri + jxl;
u&^=ri-, up=jXi.
Из векторной диаграммы видно, что
7/a = t/cos(p; С/р= С/1 sin ф |, + (-у^Ф^у).
Аналогично можно разложить на две. составляющие ток /
(рис. 7.7, б). Активная составляющая /а совпадает по фазе
с напряжением U, реактивная составляющая /р сдвинута по фазе
относительно напряжения на угол л/2. Эти составляющие можно
рассматривать как токи в элементах gab схемы на рис. 7.6, б.
Действительно,
i = ia+ip-=(g-jb)u==gu^jbu-, ia—gO; ip=—jbu.
Из векторной диаграммы следует, что
7a = /cos<p; 7p = /|sin <p|; / = ]/ /Ц-/р.
Мощности Р и Q выражаются через активные и реактивные
составляющие напряжений и токов:
Р = Ul cos ф = UI& = UJ‘,
Q = VI sin ф = ± UIp = ± UpI.
Знак мощности Q может быть установлен, если известен знак
угла ф.
194
Схемы на рис. 7.6, а, б рассматривают соответственно как
последовательную и параллельную эквивалентные схемы пассив-
ного двухполюсника. Параметры эквивалентных схем определяют,
в частности, с помощью измерений напряжения U, тока / и
мощности Р. Действующие значения тока и напряжения изме-
ряют с помощью вольтметров и амперметров. Активная потреб-
ляемая мощность измеряется ваттмет-
ром, схема включения которого изо-
бражена на рис. 7.8. Отклонение
стрелки ваттметра пропорционально
величине Pw—Uwlu/coscp^, где Uw,
у U7_ действующие значения напря-
жения на зажимах обмотки напря-
жения и тока токовой обмотки ватт-
метра; <р^—сдвиг фаз между Uw и
lw, причем положительные направ-
ления Uw и lw должны быть одина-
ковыми относительно зажимов, от-
меченных звездочками. Показание ваттметра можно также запи-
сать в виде Pw—Pe[(jwlw}- Если при измерении определены
U, I, Р, то параметры
шейий
эквивалентных схем находят из соотно-
z — U/P, г=РЦ*’, x = ±Vz*-P
или
у^ци- g = p/p- b = ±Vtf~^P.
Знаки реактивного сопротивления и реактивной проводимо-
сти могут быть установлены с помощью дополнительных измере-
ний. Например, последовательно с двухполюсником можно вклю-
чить конденсатор с емкостным сопротивлением хс <21 х|. Если
при этом абсолютная величина реактивного сопротивления схемы
с учетом хс возрастает: | х — хс | > [ х |, то реактивное сопротивление
двухполюсника х имеет емкостный характер; если | х — Хс I < | х |, то
реактивное сопротивление х имеет индуктивный характер.
Пример 7.3. При заданной частоте с помощью измерений найдены 1 = 2 А;
<7=10,2 В; Р = 4 Вт; ф>0. Определить параметры г, г, х, g, Ь эквивалент-
ных схем.
Решение. Полное сопротивление последовательной эквивалентной схемы
Z — U/I=5,1 Ом.
Активное сопротивление
г=р//2=1 Ом;
реактивное сопротивление
x=/z2—г2=^5,12—12=5 Ом.
В соответствии с формулой (7.10)
Y Z 1+/5-1+52 1-р52 — 0,0385 Я192 См-
В параллельной схеме §=0,0385 См; 6 = 0,192 См. Такие же значения полу-
чаются из соотношений g=PIU‘i', Ь=\Гу1—g2; y = I)U,
7*
I
195
§ 7.3. Уравнения состояния электрических цепей
с источниками гармонических э. д. с. и токов
в комплексной (символической) форме
Законы Ома и Кирхгофа. Для пассивного участка ветви элек-
трической цепи с источниками гармонических э. д. с. и токов
U = ZI, I = YU. В общем случае, если k-я ветвь содержит источ-
ники э. д. с. и тока (рис. 7.9), справедливы равенства
^-^(4+Л)-^; (7.18)
4 = + (7-19)
(Zfr= 1/Kfe), аналогичные равенствам (4.1) и (4.2).
Для всех ветвей схемы можно записать матричные соотношения:
U(B) = zW[j(B) + >)] _g(B); (7.20)
j(B) = Y(B)[u(B)+g(B)]_ j(B)t - (7.21)
где U(B\ i<B>, j(I,) — столбцовые матрицы комплексных дей-
ствующих значений соответственно напряжений, токов, э. д. с.
и токов источников токов ветвей
цепи; Z(B), Y(B) — матрицы соответ-
ственно комплексных сопротивле-
ний и проводимостей ветвей, при-
чем .Z(B) = [Y(B)]-1.
Равенства (7.20) и (7.21) выра-
жают матричную запись закона
Ома в комплексной форме.
- Для цепей, не содержащих
взаимной индуктивности и элек-
тронных элементов, Z(B) и Y(B) —
диагональные матрицы.
шт последовательно соединенные
сопротивление, индуктивность и емкость, то
Z^fk + jaLk + -j^;
Z(B> = R<B>+/иЕ <в> + JL D(B>.
Матрицы R(B), L(B) и D(B) диагональны. На главной диаго-
нали этих матриц записывают соответственно параметры ветвей
гк, Lk и Dfe=l/Cfe, где й=1, 2, ..., в.
Если ветвь схемы содержит параллельно соединенные сопро-
тивление, индуктивность и емкость, то
Yk = gk + i^k + ~^.
При этом матрица
Y<B> = G<B' + /<йС<в> + J- Г<в>.
196
Матрицы G(B’, С(в) и Г(в) диагональны. На главной диагонали
этих матриц записывают соответственно -параметры ветвей gk, Ck
и rft = l/Afe, где £=!, 2, ..., в. .
Уравнениям Кирхгофа (2.5), (2.7) и (2.9) для мгновенных
значений соответствуют уравнения Кирхгофа в комплексной форме:
А1(в, = 0; ’ (7.22а)
QI(B> = 0; (7.226)
Вй<в’ = О. (7.23)
Соотношения (2.6), (2.8) и (2.10) также могут быть записаны
в комплексной форме:
lj(B’= А<т><р; (7.24)
lj(B) = Q(T)C<«); (7.25)
j(B) = B<T>i<K>, (7.26)
где «р, С(и), 1(к) — столбцовые матрицы комплексных действую-
щих значений соответственно узловых потенциалов, напряжений
ветвей дерева и контурных токов.
Рис. 7.10
Как видно, все соотношения в комплексной форме, характе-
ризующие цепь с источниками гармонических напряжений и
токов, аналогичны соответствующим соотношениям, характери-
зующим цепь с источниками ,э. д. с.* и токов. Переход к комп-
лексам позволяет алгебраизировать уравнения цепи при гармо-
нических э. д. с. и токах.
197
Узловые уравнения, уравнения с напряжениями ветвей дерева
и контурные уравнения. В комплексной форме эти уравнения
аналогичны уравнениям (4.18), (4.25) и (4.30):
Y(^==j(y); (7.27)
Y(<OtJ(*) = >); (7.28)
Z(«)j(K) = g(«). (7.29)
В качестве примера можно составить различные уравнения
в комплексной форме для цепи, схема и граф которой с произ-
вольно выбранным деревом показаны соответственно на
рис. 7.10, а, б.
Для графа записываем следующие матрицы:
1 1 1 0 0- -1 0 D-
А = 2 — 1 0 0 0 0 1 D
3 0 0 — 1 0 0 -1 1
4 * 0 —1 1 1 0 0 3.
S1 -10 0 0 0 - -1 0-
S2 0 10 0 — 1 1 0
Q = Ss 0'0 1 0 0 1 — 1 »
S4 .0 0 0 1 — 1 0 и
I 0 1 0 1 1 0 O'
в = II 1 —1 - -1 0 0 1 0 *
III 0 0 1 — I 0 о i.
Комплексные сопротивления ветвей:
Zi = /'i; Z2 — r2 + jtoLz', Zs= l/j(£>C3', =
ZB = г6ф-(1//(оСб); Ze = /&>L6; Z7 =/7-j-/a>L74-(l//coC7);
комплексные проводимости ветвей
n=l/Zft.
Матрицы Z(B) и Y(B) для рассматриваемой схемы — диагональные
матрицы седьмого порядка, на главной диагонали которых запи-
саны соответственно Zk и Yk, где k—l, 2........7.
Матрицы э. д. с. и токов источников ветвей имеют вид
g<B) = [giO 0 0 о]’..
J»=[0 0 73 0 0 — J\ Of.
Вычисляя матрицу узловых проводимостей
У<у) = AY<BWT> (7.30)
198
и столбцовую матрицу узловых токов
(7.31)
получаем узловые уравнения (ф5 = 0):
гК1 + К24-У5 —Yi О У2
-У1 Ух+^e -Ув о
о -Ув У3 + Ув + У7 -Г3
-Уа о -У3 ya.+ y8+yj
—У1<^1+ Уз^'з
Л-Л
_ У4*^4 + Л
"Фх"
Ф2 .
Фз
-Фа-
Для составления уравнений с напряжениями ветвей дерева
необходимо вычислить матрицу проводимостей сечений
y(cj _ q y(b)Q(t)
'.и матрицу токов сечениц
j«O = Qj(B)_QY<B)g(°).
(7.32)
(7.33)
Г#Г1
Й2
й.
После вычислений
-О Уз —У? У4-[-Уб4-У7, -й^
—^1^1+Л
_ У5*^5 ~ Je
Л-Л
_ гЛ+М6_
В рассматриваемом примере можно уменьшить на единицу
порядок матриц Y(y) и Y(c), если в ветви 6 заменить источник
тока je эквивалентным источником э. д. с. <з6 = joL6je. При
этом узел 2 устраняется.
Вычисляя матрицу контурных сопротивлений
Z(K> = BZ(K)B(T) (7.34)
и матрицу контурных э. д. с.
g(«)= (7.35)
199
получаем контурные уравнения:.
Z2 + Z4 + Z5
-z2
-z2 .
^i+z2+z3+z6
-Z3
, -Z4 -
-z3
Zg + Z4 + Z7
VW-
/<“>
Лк).
--- <^4 + <^5
— ^i + Z3J3-}-Z6J6 >
7 *^4 — Z3/3
где /W = /5; /w = /6; ЛК> = Л-
Выражения (7.30) —(7.35) аналогичны выражениям (4.16),
(4.17), (4.23), (4.24), (4.28), (4.29).
Как и в цепях с источниками постоянных э. д. с. и токов,
узловые и контурные уравнения и уравнения с напряжениями
ветвей дерева в комплексной форме можно составить непосред-
ственно при рассмотрении схемы.
Если матрицы Y(,’> или Z(B) представлены в виде суммы трех
матриц, то матрицы Y(y), Y(c) и Z(K) также могут быть записаны
в виде суммы трех слагаемых. Например, при Z(B) = R(B) +
-h D(B) матрица контурных сопротивлений
Z(K).= R(K) + jcoL(K) + -jL D(K),
где на основании выражения (7.34)
R(K> = BR*B)B(T); L(K) = BL(B)B(T); D<K) = BD(B)B<T\
Матрицы R(K), L(K) и D(K) можно записать непосредственно
при рассмотрении схемы. Так, для схемы на рис. 7.10, а "
R(«) =
ъ + ъ + ъ — г2 —г&
--Г2 Г1Л'1'2 0
— ГЬ 0 /"4 + ^7
0
В(к) = 0 1
С3
Л 1
и Сз
Подобным образом записывают слагаемые матриц Y(y), Y(c),
если проводимость каждой ветви схемы выражена в виде суммы
активной, емкостной и индуктивной проводимостей.
Аналогия между уравнениями цепей с источниками постоян-
ных и гармонических э. д. с. и токов позволяет сделать вывод,
что все методы расчета, рассмотренные применительно к цепям
постоянного тока, пригодны и для расчета цепей при гармониче-
ских э. д. с. и токах.
200
§ 7.4. Топографические диаграммы
Рис. 7.11
, потенциал которого принят
й диаграмме соответствует на-
.Комплексный потенциал каждой точки схемы можно изобра-
зить вектором на комплексной плоскости. Тогда напряжение
между любыми двумя точками цепи будет определяться разностью
векторов, для нахождения которой достаточно провести прямую
линию между концами соот-
ветствующих векторов. Получен-
ный вектор должен быть на-
правлен к концу уменьшаемого
вектора.
Векторную диаграмму ком-
плексных потенциалов схемы
называют топографиче-
ской' диаграммой. Каждой
точке схемы соответствует оп-
ределенная точка топографиче-
ской диаграммы. Базовому уз
равным нулю, на топографичес
чало координат.
На рис. 7.11 показана неразветвленная схема с током 1 и
напряжением между точками 1 и 6 U = £. Для построения век-
торной топографической диаграммы потенциал одной из точек,
например точки 6, принимают равным нулю (ф6 = 0). Тогда,
обходя контур в направлении, про-
тивоположном направлению тока /,
определяют потенциалы остальных
точек рассматриваемой схемы. Потен-
циал <₽5 = Фб + /'з^ — rj изображен на
рис. 7.12 в виде вектора rsI, конец
которого обозначен цифрой 5. Потен-
циал ф4=ф5+< 1//<оС) —jxci.
Конец вектора — jxci, обозначенный
цифрой 4, определяет потенциал ф4,
равный сумме напряжений на сопро-
тивлениях г3 и хс. Аналогично оп-
= ф44-/’2Л Ф2 = Фз+/юА/ = ф3+/х7./;
Ф1=фг + Г1/. Соответствующие им векторы показаны на рис. 7.12,
причем ф1 = /?==^.
Умножение вектора на j ( —/) приводит к повороту его на
угол л/2 в направлении, противоположном направлению движе-
ния часовой стрелки (по направлению движения часовой стрел-
ки). Напрщмер, векторы — /хс/ и jxLl повернуты относительно
вектора / на угол л/2 в противоположные стороны (напряже-
ние— jxcl отстает от тока, а напряжение jxiJ опережает ток на
угол л/2).
На топографической диаграмме векторы напряжений между
любыми двумя точками имеют направления, противоположные
-201
положительным направлениям напряжении относительно Соответ-
ствующих точек на схеме. Напряжение — ф4 (рис. 7.11)
(направленное от точки 2 к точке 4) направлено от точки 4
к точке 2, что объясняется правилом вычитания векторов: раз-
ность векторов всегда направле-
на в сторону уменьшаемого век-
тора.
При построении топографиче-
ских диаграмм разветвленной цепи
можно также показать векторы
токов в ветвях, векторы всех э. д. с.
и токов источников токов.
Пример 7.4. На рис. 7.13 изображе-
на схема электрической цепи и указаны
ее параметры. Определить токи во всех
ветвях схемы и напряжение U=S, если
ток /5=1 А. Построить топографическую
Рис. 7.13
диаграмму и векторную диаграмму токов.
Решение. Если вектор тока 4 направить по оси вещественных величин
(4=/Б=1 А), а потенциал точки 4 принять равным нулю (ф4=0), то ф3 =
= ф4+1-/Б=1 В. Ток /4=1//2=—/0,5 А, а ток 4=4+4=1—/0,5 А.
Потенциал ф2=Фз+(— /0,5) 4= 1 — /0,5 (1 — /0,5) = 0,75—/0,5 В, потен-
циал фБ=ф4— ( — /0,5)/3=/0,5 (1— /0,5)=0,25 ф-/0,5 В.
Разность потенциалов узлов 2 и 5
//26=ф2—Фа=(0,75—/0,5)—(0,25+/0,5) =0,5—j В,
следовательно,
4= <45/2 =0,25-/0,5 А; 4=4+4=0,25 — /0,5+/—/0,5 = 1,25—/ А.
Найдем потенциалы фх и фв:
Ф1==Фа+/1 •4 = (0,75—/0,5)+/ (1,25—/) = 1,75+/0,75 В;
Ф«=Ч>5— 1 •/1=0,25+/0,5—1,25+/=— 1+/1.5 В.
Напряжение 7/=^=ф1—ф6= 1,75+/0,75+1—/1,5 =2,75—/0,75 В.
На рис. 7.14 построены топографическая диаграмма и векторная диаг-
рамма токов.
Пример 7.5. На рис. 7.15 изображена схема электрической цепи и ука-
ваны ее параметры. Определить токи в ветвях схемы с помощью контурных
202
И узловых уравнений, если = 120е/3° В, <з“2 =220е,3° В. Построить топо-
графическую диаграмму и векторную диаграмму токов.
Решение. Контурные уравнения схемы имеют вид
(Zi4~Z3) Z34+(Z24-Z3) 4=
где
+z3=3+7 (8—4) +12+/ (32 — 16) = 15+/20 Ом,
Z3=12+/(32—16)=12+/16 Ом, -
Z2+Z3=6+/ (16—8) +12+j (32 —16) = 18+/24 Ом.
v Запишем эти уравнения следующим образом:
(15+/20) 4+(12+/16) /2 = 120е,3°°;
(124-/16) 44.(184-/24) 4=220е'3°°
или
25е/53,1«/1 + 20е/53-‘*4= 120е'3°°;
20e'63J*4+ ЗОе'53’ *°4=220е/3°”.
Решая два уравнения совместно, получим:
4= — 2,28е—/23,1* А;
4==8,86е—,23,1' А;
4=44-4=6,бве-'23-1’ А.
Заданная схема имеет два узла,
поэтому при ф2=0 для потенциала фу.
справедливо уравнение
“1
'2
Zi Zi ’
откуда
Zi Zt
=1-----Г1 •
у + у+у
At д2
Токи ветвей определим из выражений
. t ^2—фг
1 , I?,--у---
Z2
t — Ф»
'з—у
z3
Рис. 7.16
Л
На рис. 7.16 построены
торная диаграмма токов.
топографическая диаграмма напряжений и век-
§ 7.5. Основные свойства и преобразования цепей
с источниками гармонических э. д. с. и токов
Основные свойства цепей. В электрической цепи, содержащей
источники гармонических э. д. с. и токов, для мгновенных мощ-
ностей ветвей выполняется соотношение
У, Рь = У uhih = 0, (7.36)
, k к~1
203
доказательство которого совпадает с доказательством равенства'
(5.1). Так как комплексные действующие значения токов ветвей
удовлетворяют уравнению А1(в) = 0, справедливо уравнение
А1(в) = 0, где 1(в) —матрица комплексных величин, сопряженных
с комплексными действующими значениями токов ветвей.
С помощью последнего уравнения легко доказать соотношения:
2 6/Л = 0; (7.37)
fe=l k=l
iTzZ(B)iz == [i(B)]T iz -ь [u(B)F J(B); (7.38)
В В в
2 z^= S - <7-39)
*=1 k=l /г=1
где Iz = [7Zft] — матрица токов в сопротивлениях ветвей Zk. Дока-
зательство равенств (7.37) -г-(7.39) аналогично доказательству
выражений (5.1), (5.4), (5.5).
Равенства (7.37), (7.38) представляют собой математическую
формулировку баланса комплексных мощностей. В правой части
равенства (7.39) записана сумма комплексных мощностей, гене-
рируемых источниками э. д. с. и тока:
У, ^'Jzk + У UkJk = У 5йИСт= У Рйист+/ У С'йист*
/г=1 fe=l fe=l ‘ k=l *=1
Подставляя в левой части равенства (7.39) вместо Zk сумму
7?* + jXk и приравнивая соответственно вещественные и мнимые
части равенства, можно получить:
В в
У rkpz = У Pk^’, (7-40)
й=,1 fe=l
(7.41)
Й=1 fe=l
Таким образом, в цепи с гармоническими э. д. с. и токами
активных и реактивных мощностей: актив-
ная мощность, генерируемая источниками
энергии, равна активной мощности, рас-
сеиваемой в сопротивлениях г*; реактив-
ная мощность источников энергии равна
реактивной мощности в реактивных соп-
ротивлениях xk (реактивная мощность ин-
дуктивностей учитывается с положитель-
ным знаком, а емкостей —с отрицатель-
ным).
Принцип наложения, свойство взаимно-
сти, теоремы о компенсации и об эквива-
лентном источнике (см. гл. 5) справедливы и для цепей с гармо-
ническими э. д. с. и токами. Математические соотношения для
выполняется баланс
?вх
Рис. 7.17
204
таких цепей записывают в комплексной форме аналогично соот-
ветствующим'соотношениям для цепей постоянного тока. Напри-
мер, по теореме об эквивалентном источнике ток в любой ветви
схемы может быть найден "из выражения / =-.—аналогично-
го (5.50). Полученному выражению соответствует эквивалентная
схейа на рис. 7.17, подобная схеме, на рис. 5.12.
Пример 7.6. Каким -должно быть сопротивление ветви Z = r-\-]x раз-
ветвленной схемы для того, чтобы в этой ветви выделялась максимальная
активная мощность Ртах (параметры остальных ветвей неизменны).
Решение. Если входное сопротивление относительно выделенной ветви
-2Вх = Гвх + Мвх, то мощность
~ - ~('' + ''вх)2 + (* + *вх)2‘
При любом г мощность Р будет наибольшей, если x-|-xBX=0. Из условия
d Г rUl 1
— ------£— =0
^Ц' + 'вх)2]
найдем г=гвх. Таким образом, максимальную мощность получим при Z =
= 'вх—1хех(г=гвх< х=—хвх). Максимальное значение мощности Ртах —
Методы преобразования схем с источниками гармонических
э.,д. с. и токов. Все методы преобразования, рассмотренные
в § 5.6 —5.9, применимы и к схемам с гармоническими э. д. с.
и токами. Соответствующие соотношения записывают в комплекс-
ной форме. В результате преобразований схем с источниками
гармонических э. д. с. и токов могут получиться ветви с отри-
цательным активным сопротивлением. <.
§ 7.6. Анализ цепей при изменении параметров
Линейные и круговые диаграммы. Во многих практических
задачах требуется исследовать влияние различных параметров
на характеристики режима цепи. Такое исследование можно
выполнить с помощью построения годографов (геометрических
мест) концевых точек векторов, йзображающих комплексные
величины. Годографы в общем случае имеют сложную форму.
Здесь будут рассматриваться простейшие годографы, представ-
ляющие собой прямые линии или окружности.
Пусть некоторая ветвь 'схемы содержит два последовательно
соединенных элемента с комплексными сопротивлениями Zx =
?= zxeto и Z2 = z2e/<₽2, причем Zx, <pi и <р2 неизменны, а модуль z2
сопротивления Z2 изменяется в пределах от 0 до со. В таком
случае комплексное сопротивление ветви
Z — Zx -ф Z2 = Zx -ф 51
изменяется так, что годограф сопротивления Z на комплексной
плоскости получается в виде прямой линии. На рис. 7.18 показан
. ' 205
годограф сопротивления Z при <pi>0, <р2>0, <Р1>ф2 (пря-
мая MN).
Комплексная проводимость ветви
1_• 1/Zj
^1 + ^2 7 । Zz
Yj
I I г2 е/(Ч>2-«>1)
21
Если отношение ziJz1 = n, а ф2 —9т = Ф, то
Yj
1+пе^ •
При изменении модуля г2 и, следовательно, отношения
/г — (zj = const) годографом проводимости Y будет окружность.
Действительно, для любых значений п сумма
векторов Y и tiYe'^ равна неизменному век-
тору Yi-
Y + лУе^=Г1.
Вектор nYe^ получается при изменении
длины вектора Y в п раз и поворота век-
тора riY на угол ф (если ф > О вектор по-
ворачивается в направлении, противополож-
ном направлению движения часовой стрел-
ки). При любом значении п угол' между
векторами Y и пУе^'* не меняется и равен
л —ф. Таким образом, сумма изменяющих-
ся по величине и по. направлению векто-
ров Y и nYe^ и угол между ними не из-
меняются, что возможно только в случае,
если годограф конца вектора Y представляет собой окружность
с хордой
На рис. 7. 19 показан годограф Y при ф<0 (tpi > <р2). При
п = 0 конец вектора Y совпадает с точкой SK (У = УД; при п —
Рис. 7.19
Рис. 7.20
= оо —с точкой 0 (У = 0). При п = п’ и п — п" конец вектора Y
совпадает с точками окружности 5' и S” (У=У', Y— Y").
В схеме .на рис.. 7.20. напряжение U и ток / связаны соот-
ношениями U = Zi, t — YU, где Z~Zx-YZ2\ Y—1/Z. Если цепь
присоединена к источнику тока .7 = / —const, то напряжение U
20§
при изменении z2 изменяется по закону, совпадающему с зако-
ном изменения Z. Годограф вектора U в данном случае является
прямой линией. Если цепь присоединена к источнику э. д. с.
$ = и — const, то при изменении z8 ток 7 изменяется по закону,
совпадающему с законом изменения комплексной проводимости К;
годограф вектора 7 —окружность, которую строят следующим
образом. Вектор напряжения 0 откладывают по оси веществен-
ных величин (рис. 7.21). Вектор тока
/к = Е1б7 = ^е-М
г1
OSK = IJmi (ток 7К=7
Рис. 7.21
отстает по фазе от напряжения 0 на угол <рх и на диаграмме
строится в масштабе mi в виде отрезка С" '
при Z2 = 0, т. е. при замк-
нутом сопротивлении Z2). За-
тем продолжают отрезок OSR
(штриховая линия SKN) и под
углом ф = <р2 — к лучу ON
проводят прямую SKA1, кото-
рая является касательной в
точке SK к искомой окруж-
ности. Если из середины хор-
ды OSR восставить перпен-
дикуляр и провести его до
пересечения с перпендикуля-
ром, опущенным из точки SK к
прямой SKM (или до пересечения с перпендикуляром, опущенным
из точки О к продолжению прямой SKQ, проведенной под углом—ф
к лучу ON), то точка С пересечения этих перпендикуляров опре-
делит центр искомой окружности. Зная центр окружности
и точки О и SK, лежащие на окружности, строят годограф вектора 7
или круговую диаграмму тока 7. Круговая диаграмма на
рис. 7.21 построена для ф<0. Рабочая часть окружности рас-
положена по .ту же сторону от вектора OSR, что и прямая SKQ.
Если ф>(), то рабочая часть окружности расположена с дру-
гой стороны вектора 0SK.
Докажем, что отрезки SSK, SRSZ2 и SSPz (рис. 7.21) пропор-
циональны соответственно напряжению С72, сопротивлению га
и активной мощности Р2 (см. рис. 7.20).
Так, напряжение
6/2 = U - Zj = U - Zx -у^у-
Zi Z,
Так как (7/Zx = 7K; 67/(Zx + Z2) = 7, напряжение t/2 = Z^t* — !).
Векторы тока 7К и 7 изображены на рис. 7.21 отрезками OSK
и OS, а их разность показана, отрезком SSK. Если масштаб для
207
тока равен игр (А/см), то
U2 = m/Zi (OSK — OS) — trnZiSS^.
Модуль напряжения
U2 = mIz1 | SSK | = тиг | SSK
где mU2 = rriiZr — масштаб для напряжения О\, В/см; ]SSK[—длина
вектора SSK, см. '
Сопротивление
„ _ №<7г|55к|
2 А т11 OS Г
Ерли отрезок OS продолжить до пересечения с прямой SKQ,
то полученный треугольник OS.ASz„ будет подобен треугольнику
OSSK. Из подобия этих треугольников
I SSK| = I SKSZ1 |
|OS| |0«кГ
Следовательно,
где
т - т‘ч 21 _
г° ffl/|osK| «dosK| |osk| A
масштаб для сопротивления г2, Ом/см. Таким образом, отрезок
| SKSZ21 пропорционален сопротивлению г2.
Если иё точки S провести прямую, параллельную SKQ, до
пересечения с хордой OSK, то полученный отрезок | SSp2 | будет
пропорционален мощности Р2. Действительно,
= UJ cos <p2~tnV! | SSK| /П/1 OS | cos <p2.
Из подобия треугольников OSSK и 0Sp2S следует, что
|SSK||OS| = |SSpJ|OSK|,
поэтому
Pz = гпи/пр cos <р21 OSк 11 SSPs | = mPl ] SSPs |,
где
тр2 = mU2mi cos <p21OSK | — т fam-i cos <р2 —— = cos <р2
—масштаб для мощности Р2, Вт/см.
Как показано в гл. 5, при изменении сопротивления одной
из ветвей разветвленной схемы токи и напряжёния любых двух
ветвей связаны линейными соотношениями. Это положение спра-
ведливо не только в цепи с источниками постоянных э. д. с.
и токов, но и в цепи с источниками гармонических э. д. с.
208
и токов, если соответствующие соотношения записаны для ком-
плексных величин.
Пусть изменяется модуль z2 комплексного сопротивления Z2
одной из ветвей разветвленной схемы на рис. 7. 22. При этом
-------------------- -----я неизменны. Тогда ток в любой
(П)
Рис. 7.22
zz=var
const
параметры остальных, ветвей
ветви, например ток Д, свя-
зан с током /2 линейным со-
отношением
Д = А Т- ВД,
где А и В — комплексные ко-
эффициенты.
При разомкнутой ветви
2(Д = 0) А = /1р- Следова-
тельно, А = Лр_. При замкну-
той ветви 2(Й2 = 0) Д = ДК, Дк = Др + ВДк, откуда В = (ДК —
—Др)//2к. Таким образом, ток в ветви 1
г . _ Т I ZlK Лр }
И — '1рП------- 72.
'2К
На основании теоремы об эквивалентном источнике
4 = U 2p/(ZBX + Z2),
где г/2р —напряжение на зажимах ветви 2 при ее размыкании
ZRX — входное сопротивление схемы относительно зажимов
Рис. 7.23
к которым присоединена ветвь 2.
Учитывая /2к= f/2p/ZBX, выра-
жение для тока Д можно пред-
ставить в виде
/> = Лр+^Тг2„ = /1р+
*1к—Ло
-I--------,
14-Л®.
где ф = <р2 —ф„х.
В этом выражении второе сла-
гаемое аналогично выражению для
тока / в схеме на рис. 7.20 и представляет собой уравнение
окружности с хордой Дк — Ар. Таким образом, при. изменении
модуля сопротивления z2 ветви 2 годограф тока Д является
окружностью. Это положениесправедливо как при наличии в цепи
только одного источника <о1 в ветви 1, так и при наличии источ-
ников в других ветвях.
Если окружность на рис. 7.23 является.круговой диаграммой
для тока Д, то в силу соотношения Д = Др-|-ВА, эта окруж-
ность будет и круговой диаграммой для тока Д. Отрезок OS
пропорционален току Д, отрезок OjS — току Д; отрезки SSK,
209
I SKSZ1! J и [ SSPs | пропорциональны соответственно величинам t?2,
z2 и P2. Активная мощность, генерируемая источником &ъ про-
порциональна отрезку [SSpJ (точка лежит на пересечении
линий, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна
вектору бр)'.
Pi = cos <pi = СДт, | OiS | cos <pi = mPt | SSP1 [,
где mP1 — U1m!l — масштаб для мощности Ри.
Масштаб для тока /х выбирается произвольно; масштаб
для тока /2
т,2 = -4^4- = -. -/2К. - = тА .
|OSK| |/1р-/1К| 1ЛЕ-/1к|
Для масштабов тц2, mZ2 и тРг справедливы записанные ранее
выражения, если в них mi заменить на т1г, zx —на zBX, /к — на
1Р на СДр. ./
Пример 7.7. Построить круговую диаграмму для тока Д в схеме на
рис. 7.24 при изменении сопротивления г2 от нуля до бесконечности и <р2 =
Рис. 7.25
= 45°. Из круговой диаграммы определить токи Д и /2, напряжение Т/2, мощ-
ности Pj и Р2 и сопротивление г2 для режима, в котором ток Д совпадает по
фазе с напряжением
Решение. Для построения круговой диаграммы найдем токи Др и Дк:
/1₽=1о|з71О)'=2о+/20 А;
10—/ю
^к=1Ь(/10) =2° —/20 А.
10+710
Разность Др—Дк=20+/’20— 20+/20=/40 А. На рис. 7.25 построены век-
торы 7Д, Др, Дк и /1р—Дк; масштаб для тока Д равен т^. Для определения
центра окружности найдем угол <рБХ—аргумент сопротивления ZBX,
т. е. сопротивления со стороны зажимов, к которым присоединена ветвь 2,
при замкнутом источнике напряжения 7/( из выражения
Z _ /Ю ( У2») _ «О__20е/9°°
/ (Ю-20)-,ZU_2Ue *
210
Таким образом, фвх^ЭО0, 41==<рг-2фвх = 45° — 90° = —45°, _
Под углом—-ф=+45° к хорде OSK проводим прямую SKQ. Восставляя
перпендикуляр к середине хорды OSK и опуская перпендикуляр из точки О
на продолжение прямой SKQ, получим центр окружности С как точку пересе-
чения этих двух перпендикуляров. Рабочая часть окружности расположена
по ту же сторону хорды OSK, что и прямая SKQ.
Напряжение '
е.Р-лДйТl-W-TiS® в.
4к = lbp/Zsx=400//20 = - /20 А.
Масштаб тока для /2
Определим масштабы для напряжения 1/2, сопротивления г2 и мощно-
сти Р2-
m2s=wl ^кИ^Ах/Аиё
тР2 = т/2172рс°3<р2.
Масштаб для мощности Pt
тр^и^т^.
Искомые величины получим из круговой диаграммы!
/1=»nA|(^S|=28 А;
/2=CT/JOS| = 11 А;
^=^2|^к1=220 в=
Pi=mPI I | = 5,6 - Юз Вт;
P9=/np |SSp 1 = 1690 Вт;
Z„ =тг I Sz SK I = 20 Ом-
Линейные и круговые диаграммы, аналогичные рассмотрен-
ным, можно получить при изменении комплексной проводимости.
Если ветвь содержит две параллельно соединенных ветви с про-
водимостями Ух и У2, то суммарная комплексная проводимость
У = Ух + У2 = yie-i(ft + у2е-'^
при изменении у2 и постоянных ylt <рх и <р2 изменяется так, что
годографом У является - прямая линия. Годограф сопротивления
Z = 1/У в этом случае представляет собой окружность. При на-
пряжении ветви на зажимах ^7 = const годограф вектора тока 1 —
= YU — прямая линия, а при 1 — const годограф вектора напря-
жения есть окружность, аналогичная показанной на рис. 7.21.
Если изменяется модуль проводимости одной из ветвей разветв-
211
ленной схемы при неизменном аргументе, то для напряжения на
зажимах другой ветви можно, построить круговую диаграмму,
аналогичную диаграмме тока /х на рис. 7.23.
Линейные .и круговые диаграммы получаются и при изменении
аргументов комплексных сопротивлений и проводимостей. Так,
годографом сопротивления Z — z^el'f’ -J- z2&^ при изменении аргу-
мента <р2 и при постоянных zx, z2. и Ф1 является окружность.
Годограф проводимости Y = 1/Z представляет собой также окруж-
ность.
§ 7.7. Анализ резонансных явлений
Резонанс напряжений. В § 6.6 резонансом напряжений назван
такой режим последовательной rLC-цёпи (см. рис. 6.22), при ко-
тором частота со источника э. д. с. равна частоте соо=1/К£С,
близкой к частоте собственных колебаний цепи (при условии, что
потери в цепи сравнительно малы). При со — соо реактивное сопро-
тивление цепи x = xL — %с=0, поэтому резонанс напряжений можно-
L. rL определить как режим цепи, при котором
0———.-ч—t-—$ ее входное реактивное сопротивление рав-
но нулю.
Так как х = со£ — 1/соС, то резонанс
&____у гс можно достичь, изменяя частоту или ин-
0 ।—। 0 дуктивность (емкость) цепи.
При резонансе
Рис. 7.26 со0£= 1/сооС = ]/£/С = р. (7.42)
Величина р не зависит от частоты и называется характе-
ристическим сопротивлением контура.
Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе равны
по величине и противоположны по фазе; напряжение на сопро-
тивлении равно напряжению U источника (см. рис. 6.27, в). Отно-
шение напряжений при резонансе
Cl = ULIU = UclU = pIlrl = plr (ТАЗ)
называют добротностью контура. Контуры, применяемые
в радиотехнике, имеют добротности, равные десяткам и сотням
единиц.
Реальные элементы (индуктивная катушка и конденсатор) обла-
дают потерями и могут быть представлены последовательными
эквивалентными схемами (рис. 7.26, а, б). Сопротивления ri и гс
отражают наличие потерь. Если индуктивную катушку и конденса-
тор соединить последовательно,, то активное сопротивление схемы
г = rL -ф г с- В такой схеме
1/Q — 7/р = (Гу. + Г с)/Р — r i/P + г с/Р = VQi + 1/Qc
ИЛИ
„ _ QiQc
(! 4 . <2г+<2с‘
212
где ql = p/rL = <£iaLlrL — добротность индуктивной катушки; Qc —
pirc = 1/ю0Сгс —добротность конденсатора; Добротность контура
меньше добротностей катушки и конденсатора..
Если при резонансе ток i = Imsin (&ot+ 4/), ис = L;Cmsin(co()Z-p
__ зт/2), то суммарная энергия магнитного и электрического
полей, связанных с индуктивностью и емкостью,
Li2 Си% LI* а, , CU2Cm
Wu 4- WB = -j- + -у- = Тsin 1 !—2~ CDS =
L/m _ __ CUСт
~~2 2 ’
так как
£(«0CL7Cm)2 CV°Cm
2 ~ 2 2 •
Энергия U7M-J-IFS не зависит от времени;. уменьшение (увели-
чение) напряжения на емкости и уменьшение энергии электри-
ческого поля сопровождаются увеличением (уменьшением) тока и
энергии магнитного поля и наоборот»
За период Т цепь потребляет от источника энергию
W = РТ = г FT = гГт (Т/2).
Отношение
Ч7мг'7э Llm L atpL Q 444
~ rlmT ~ гТ ~ 2m “ 2л ‘ ‘ f
2—у-
Следовательно, добротность Q пропорциональна отношению
суммарной энергии магнитного и электрического полей, связан-
ных с индуктивностью и емкостью при резонансе, к энергии, рас-
сеиваемой в контуре за период.
На рис. 7.27 и 7.28 показаны соответственно- зависимости
х (®) = xl (w) — хс (<о) и <р (<о) = arctg х/г, называемые частот,-
213
ними характеристиками контура. Зависимости тока I и напря-
жений Ul, Uс от частоты, называемые резонансными харак-
теристиками, строят по соотношениям:
U
Uc=—1-------- —.
<оС мС/г2+(к>Ь—1/<вС)2
Резонансные характеристики изображены на рис. 7.29.
Как видно из резонансных характеристик, ток достигает макси-
мума при со = <о0. Из уравнений dUi/du = 0, dUc/dto = 0 получают
выражения для частот coL и ©с, при которых напряжения Ul и
Uc имеют максимум:
<0£ = Юо
V2-(r/Р)2
2Q2
1Л2—(г/р)2
При этом (Ol > <оо, <ос<©о; произведение <01<вс = ®о- Если
добротность Q <z 1/К 2, то значения частот сщ и &>с будут мни-
мыми, т. е. кривые Ul и Uc не имеют максимума.
Выражение для тока можно преобразовать к следующему виду:
где I0 = Ulr — -WK при резонансе.
214
На рис. 7.30 показаны зависимости 1/10 от частоты для раз-
личных значений добротности. Область частот ^^со^соа, в ко-
торой ///оЭ=1/|2, называют полосой пропускания кон-
тура (в этой области частот сопротивление контура мало). Из
приведенных кривых видно, что‘чем больше добротность, тем
меньше полоса пропускания, т. е. выше избирательные свойства
контура. Для частот со, близких к со0, разность
<о <в0 (со — сор) (со -|- <в0) 2соДсв _ 2Дсо
й>0 <0 СОСОр СОСОр соо ’
где Асо = со — соо. На границах полосы пропускания 2Асо/со0 ==
= ±1/(2, следовательно, для контура с высокой добротностью
СО2 —COi^COp/Q-
Из выражения, определяющего границы полосы пропускания,
следует, что граничные частоты coj и со2 удовлетворяют соотноше-
нию С010>2=С0р.
Иногда резонансные кривые строят в функции величин, назы-
ваемых расстройками контура [х/r — обобщенная расстройка;
Асо = со — соо — абсолютная расстройка; (со/со0) — (со0/со) — относитель-
ная расстройка]. Зная зависимости I, Uc от частоты со, можно
строить зависимости I, Ul, Uc от расстроек.
Резонанс токов. Резонансом токов назван режим цепи на
рис. 6.28, при котором частота источника тока со = со0= 1/]/±С.
Если со = соо, то реактивная проводи-
мость b — bL — be = 0. Поэтому резонанс
токов можно определить как режим це-
пи, при котором ее входная реактив-
ная проводимость равна нулю.
Частотные характеристики U (со),
Il (со), /с (со) цепи на рис. 6.28 аналогич-
ны соответственно частотным характе-
ристикам /(со), U с (оз), Ul((£>) цепи на
рис. 6.22. На рис. 7.31 показана схе-
ма, содержащая две параллельно соеди-
ненные ветви. Частота сор, при которой в
токов, определяется из условия Ь = 0:
Рис. 7.31
цепи наступает резонанс
, l 1 l 1/сорС । сор/. _______q
о - 01 ± £>2 - Г2 (1/<ВрС)2 -Г rl + (сор±Р “ и
После преобразований получаем
rf + (сор/.)* _ 1+г|(соРС)2 .
L С
откуда
1 лГ^!С-г1__ Г Р-Л
р"ИЕс V ЦС-п “° Г р2-т-н “
где coo=l/LC; р^ф'Ё/С,
215
Как видно из выражения для сор, резонанс токов возможен
при одновременном выполнении условий р > гх, р > г2 или р <гъ
рСГг- Если эти условия не выполняются, то сор — мнимое число.
В случае, когда /i = r2, |<ор = соо. При ri = r2 = p, сор = О/О, т. е.
резонанс токов наступает при любой частоте источника. При этом
эквивалентное сопротивление контура
7 ад р2[2+?(т-^^с)
2₽+4^-sc) л2Мт“и1
не зависит от частоты. Следовательно, ток 1=>й/р в неразветв-
ленной части схемы также не зависит от частоты.
Если гх и г2 — сопротивления, учитывающие потери реальных
конденсатора и индуктивной катушки (г\ — гс, r3 = rL), то, как
правило, р^>гх, р^>га; при этом <ор!=«<во.
В контуре без потерь (гх = г2 = 0) ток 1 — bU — 0; токи h и /с
равны по величине и противоположны по фазе. На рис. 7.32, а, б
построены соответственно частотные характеристики be (ю), bi (<£>),
b(&), | b (co) | и ф (co) = arctg (b/g) контура с потерями, дуального
последовательному контуру rLC.
Эквивалентное сопротивление контура с потерями
2' = ZjZy _ (ri ~Ь 7Х1) (га Ч~ ixi) _ (Г1 Ч~ ixi) (г2 4~ №)
Zx+Za гх+г2+/(*1+^2) г+/х *
где Xi = —1/соС; x2 = coL; r = rx + r2; x = xx-j-x2. В результате
простых преобразований
Z ~ “Ь /^Э’
где
_ _х1г1+х2^
8 ^+л;2. ’ Хв~ г2+х2 •
При резонансе хэ.р—Q. Для контуров с высокой добротностью
сор !=« <оо и х co0L — l/coaL 0; сопротивления zx 1 /сооС; г2 «=> <o0L.
216
Резонансное значение сопротивления гв
/ 1 \2
Г1 (<BoL)2+r^_j _ (tocL)a-_ 1 _ рг
re. р г2 г г (<ОоС)2 г
Если ю->0, то гв->г2, хв->юЕ. При<в->оо г3->Гх, хэ->—1/иС
На рис. 7.33 показаны зависимости гв, ха и г = ~\/ гЦ-^э от ча
стоты; при резонансе сопротив-
ление контура имеет наибольшее
значение. Если цепь рис. 7.31
присоединена к источнику тока,
то зависимость U (ю) аналогич-
на зависимости г (со). В случае,
когда контур присоединен к ис-
точнику напряжения, зависи-
мость тока в неразветвленной
части схемы от частоты строится
по соотношению I = U/z (со).
Резонанс в сложных цепях. В
Рис. 7.33
цепях, содержащих несколько
ветвей с индуктивностями и емкостями, уравнения х = 0, Ь — 0
(х и b — соответственно входное реактивное сопротивление и вход-
ная реактивная проводимость) могут иметь несколько веществен-
ных значений корней. При этом нулевые значения также могут
принимать реактивные сопротивления или проводимости отдель-
ных ветвей. Это означает, что в цепи возможны несколько резо-
нансов. Например, в сложном параллельном контуре на рис. 7.34, а
при а>х= l/]/LCx в первой ветви наступает резонанс напряже-
ний, а при LC [С^СхСгДСх + Сг); потери малы] —ре-
зонанс токов. В сложном параллельном контуре на рис. 7.34, б
при LC (L—Li-^-Lz, потери в контуре малы) имеет место
резонанс токов, а при <о2 = Х/У^С — резонанс напряжений в пер-
217
вой ветви. Зависимости полного сопротивления от частоты z(co)
, контуров рис. 7.34, а, б приведены соответственно на рис. 7.35, а, б.
Рис. 7.35
Если контуры присоединены к источнику тока, то зависимость
напряжения на зажимах контура от частоты аналогична зависи-
мости г(<о).
§ 7.8. Основные алгебраические выражения
для входных и передаточных функций
Расчет токов и напряжений ветвей схемы может быть сведен,
как видно из формул (5.10) и (5.19), к расчету входных и вза-
имных сопротивлений и проводимостей, коэффициентов передачи
тока и напряжения, которые называются входными и пере-
даточными (схемными) функциями. В цепи с гармоническими
токами и напряжениями схемные функции представляют собой
в общем случае комплексные величины.
Любые входные и передаточные функции выражаются через
определители определенных матриц узловых проводимостей, кон-
турных сопротивлений или проводимостей сечений и (или) алге-
браические дополнения элементов этих определителей. На рис.
7.36 показана схема, в которой выделены две ветви: т и п.
В схеме имеется только один источник энергии — источник тока Jm.
Для всех у узлов этой схемы можно записать матричное урав-
нение
Ун ...УиУуУ1кУи . • • У1, у
Ул ... УнУуУ^Уп ...У/.У
Уд ... УуУлУ^Уп • • У], У
Уи ...ykiykiykkyki • • • У*,у
У/x ... УцУцУ^Уц ••• У/, У
Ф1
Ф<
Ф/
Фл
ф/
У.У-
у,1 • • • 1 yi.* yji yfeT yt
_Фу-
' 0 -
J m
0
0 •
J m
_ 0_
(7-45)
218
Матрица узловых токов в правой части уравнения (7.45)
содержит только два ненулевых элемента в i-й и l-й строках.
Если принять потенциал у-го узла = 0 и отбросить у-е
уравнение (соответствует вычеркиванию у-го столбца и у-й строки
Рис. 7.36
в неопределенной матрице узловых проводимостей), то потен*
циалы узлов i, /, k и I определяют следующим образом:
. Д<У>—Д«р Г’ . Д^’-Д^ - .
д(у) •'т;
д(У) _ д (у)
д(У) ^т'
А _ f .
Д<У» -----Д<У> Jm'
где Д(у)— определитель определенной матрицы узловых проводи-
мостей; Ди0, Дн\ .... Д/Т-алгебраические дополнения элемен-
"тов Yц, Yu, Yu определителя определенной матрицы, при-
чем Д,(у) = д$°.
Учитывая, что Йт = Ф/ —Фг, Un = 4>f — Ф/г, определяют выраже-
ния для следующих функций:
входного сопротивления т-й ветви
тт im д,у»
взаимного сопротивления т-й и п-й ветвей
_ (Jn Д^-Д^-Д^-ДСр
пт . jm Д(у)
коэффициента передачи напряжения
K^_Vn Д^-Д^-Д^-Д^
^пт-йт- Д(р-2Д<р+Д<р
Входная проводимость т-й ветви
Уmm ~ Jт№т =
(7.46)
(7.47)
(7Л8)
(7.49)
Поскольку ток в п-й ветви in = YnUn(Yn= 1/Zn), то коэффи-
циент передачи тока
Кпт — in/Jm ~ Z'nn'Yп,
(7.50)
219
взаимная проводимость
Ynm = tnIUm^K^nYn. (7.51)
Выражения для функций (7.46) —(7.48) упрощаются, если
вместо фу —0 принять фг = 0 и отбросить l-е уравнение (соответ-
ствует вычеркиванию /-го столбца и /-й строки неопределенной
матрицы):
%тт = дсуГ; (7.52)
д(У)_д(У)
= (7.54)
Определитель А(у) определенной матрицы узловых проводи-
мостей в соотношениях (7.52), (7.53) и (7.46), (7.47) имеет,
одинаковое значение; алгебраические дополнения элементов Yu,
Ytj, Ylk в формулах (7.52) —(7.54) не равны алгебраическим
дополнения^ тех же элементов в формулах (7.46) —(7.48).
- Симметричное алгебраическое дополнение АЙ0 в соотношениях
(7.52), (7.54) представляет собой определитель определенной
матрицы узловых проводимо-
стей схемы, которая получается
из схемы на рис. 7.36, если
узлы i и I объединены (вычер-
кивание i-ro столбца соответст-
вует заземлению i-ro узла).
При вычислении передаточ-
ных функций не обязательно при-
менять .симметричную опреде-
ленную матрицу. Можно перейти
вычеркивания в неопределенной
матрице столбца и строки с различными номерами.
В схеме на рис. 7.36 в качестве ветвей дерева можно выбрать
источник тока jm и сопротивление Zn. Тогда из уравнений
с напряжениями ветвей дерева
. д<с> . . д(с)
т j _ mm j . т'1 _ тп Г
U т— д(с? J гпл — д/с) ’'ли
Рис. 7.37
к определенной матрице путем
где А(с) — определитель матрицы проводимостей сечении; Атт*
Атп — алгебраические дополнения элементов этого определителя.
Из выражений для напряжений Um и йп следует:
Zmm = A^/A(c); (7.55)
Z„m = A^„/A(c); (7.56)
/di£ = A^/A£L (7.57)
220
В формулах (7.55), (7.57) алгебраическое дополнение Amm
представляет собой определитель матрицы проводимостей сече-
ний схемы, которая получается при замыкании m-й ветви дерева
в схеме на рис. 7.36. На рис. 7.37 изображена схема, в которой
выделены m-я и n-я ветви и которая содержит только один
источник энергии — источник э. д. с. Sm. Контуры в этой схеме
выбирают так, чтобы токи в выделенных ветвях были равны
соответственно контурным токам m-го и n-го контуров. Из кон-
турных уравнений находят
Д<«> . . д(к) .
т _ mm • J >пп g
*т — Д(К)- ^т» *п Д(ю . т»
где А(к) — определитель определенной матрицы контурных сопро-
тивлений; Лтт, Ami — алгебраические дополнения элементов этого
определителя.
Из выражений для токов получаются следующие функции:
входная проводимость т-й ветви
Утот = 4/^ = А^/А(к); (7.58)
взаимная проводимость m-й и n-й ветвей
V„m-4/^m=A,S/A(K); (7.59)
коэффициент передачи тока
^)n = 4//m = A^/A/(„l. (7.60)
Входное сопротивление m-й ветви можно найти как величину,
обратную проводимости (7.58). Учитывая, что напряжение йп =
= Zntn, выражения для взаимного сопротивления и коэффици-
ента передачи напряжения записываются в виде:
Znm~&njim — KntnZ~n’ (7.61)
K^Uj£m==Y„mZn. (7.62)
Формулы (7.58).-i-(7.60) дуальны (7.55) ч- (7.57). В выраже-
ниях (7.58), (7.60) алгебраическое дополнение Amm представляет
собой определитель определенной матрицы контурных сопротив-
лений схемы, которая получается при размыкании т-го контура
в схеме на рис. 7.37 (вычеркивание m-го столбца эквивалентно
приравниванию нулю тока m-го контура).
Если через ветви тип замыкается более одного контурного
тока, то также можно установить соответствующие выражения
Для схемных функций. В частности, если через ветвь т замы-
кается контурный ток 1т, а через ветвь п —контурные токи 1Р
й в противоположных направлениях (так что в сопротивле-
нии Zn ТОК ln = ip~lq), то для функций Ynm и Кпт будут спра-
221
ведливы выражения,. аналогичные выражениям (7.53) и (7.54):
Д(К) _ Д(К)
v — тр mq . /7 fW
11 пт------д7к5 , (' •
A<K> _ Д(R)
(7.64
тп
Особенности алгебраических методов расчета входных и передаточных функ
ций. Трудоемкость вычисления определителей, алгебраических дополнений и
следовательно, входных и передаточных функций зависит в первую очеред!
от сложности схемы; число слагаемых, получаемых при' разложении опреде
лителей и их алгебраических дополнений, растет с увеличением числа узлы
и ветвей схемы.
При разложении определителей (алгебраических дополнений) некоторьк
слагаемые попарно имеют одинаковую величину и противоположные знаки i
сокращаются; число сокращающихся слагаемых может быть даже больше числг
слагаемых, которые входят в окончательное выражение для определителг
(алгебраического дополнения), и резко возрастает при усложнении схемы.
Наличие одинаковых по величине и противоположных по знаку слагаемы?
объясняется тем, что проводимость (сопротивление) ветви записывают в соот-
ветствующую матрицу как с положительным, так и с отрицательным знаком,
В частности, в неопределенную матрицу узловых проводимостей проводимосп
каждой ветви записывается два раза с положительным знаком на главной
диагонали как слагаемое собственной проводимости узлов н два раза с отри-
цательным знаком вне главйой диагонали как общая проводимость узлов.
Для одной и той же схемы число слагаемых, получаемых при разложе-
нии определителей Д(У’, Д'С| и Д‘К) и их алгебраических дополнений (с уче-
том сокращающихся слагаемых), в общем случае не одинаково. Кроме того,
общее число слагаемых может зависеть от выбора заземленного узла, -дерева,
контуров, а также от номеров строки и столбца, вычеркиваемых из неопре-
деленных матриц. Число положительных слагаемых после сокращения во всех
случаях одно и то же.
Непосредственное вычисление только несокращающнхся слагаемых опре-
делителей н алгебраических дополнений возможно при использовании топо-
логических формул, которые рассматриваются в следующей главе.
ГЛАВА 8
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЦЕПЕЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
БЕЗ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ
§ 8.1. Топологические формулы для расчета определителей
матриц узловых проводимостей и проводимостей сечений
Топологическая формула для расчета определителя матрицы
узловых проводимостей. Определитель определенной матрицы
узловых проводимостей, называемый в целях краткости узло-
вым определителем Д(у\ равен сумме произведений про-
водимостей ветвей всех деревьев схемы:
д
УдУ^-.У,^, (8.1)
/= 1
где УдУ/2... У,-(у-!) —произведение проводимостей ветвей /'-го
дерева, пд —число всех возможных деревьев схемы..
Выражение (8.1) представляет собой топологическую формулу
для расчета узлового определителя.
Доказательство формулы (8.1) следует из равенства (7.30),
согласно которому узловой определитель вычисляют как опреде-
литель произведения матриц;
Д(у) = det (AY<B>AT).
Если обозначить AY(E) = Pi, АТ = Р2, то
Ay = detP1P2.
В теории матриц доказывается следующая теорема об опре-
делителе произведения двух матриц (теорема Бине —Коши): опре-
делитель произведения матрицы- Рх размера т>'п на матрицу
Р2 размера пУ.т (т^п) равен сумме произведений всех соответ-
ствующих миноров максимального порядка tn матриц Рг и Р2.
Здесь соответствующими называют миноры матриц Pi и
Pg, которые образованы столбцами матрицы Рх и строками мат-
рицы Р2, имеющими одинаковые номера. Если минор матрицы Рх
состоит из столбцов этой матрицы с номерами klt k2, km,
то соответствующий ему минор матрицы Р2 должен состоять
из строк этой матрицы с номерами klt k2, km.
На основании сформулированной теоремы определитель Д(у)
равен сумме произведений миноров максимального порядка матриц
Pi = AY(B) и Р2 = Ат, причем порядок миноров т = у—1. На ве-
личину определителя Д(у) влияют лишь миноры, отличные от
нуля (ненулевые миноры).
В гл. 2 было доказано, что все неособенные подматрицы
порядка у — 1 матрицы А соответствуют деревьям схемы, а их
определители равны ±1, т. е. все ненулевые миноры порядка
223
у — I соответствуют деревьям схемы и равны ± 1. Так как ¥(и)—
диагональная матрица,. при умножении матрицы А на матрицу
Y(B) элементы k-vo столбца матрицы А умножаются на проводи-
мость Yk k-й ветви схемы. Элементам +1, — 1 и 0 в /г-м столбце
матрицы А соответствуют элементы +У*, — Yk и 0 в k-м столбце
произведения матриц AY(B). Следовательно, все ненулевые миноры
порядка у — 1 матрицы Рх — AY(B) соответствуют деревьям схемы.
С помощью разложения j-го ненулевого минора можно доказать,
что его величина равна произве-
дению проводимостей ветвей /-го де-
рева, взятому с положительным (от-
рицательным) знаком: ± ГдУд, ...
... Yу-i (см. аналогичное дока-
зательство величины ненулевого
минора матрицы А, приведенное
в гл. 2).
. Ненулевые миноры порядка
у — 1 матрицы Р2 = Ат соответст-
вуют деревьям схемы и равны ± 1, так как взаимная переста-
новка строк и столбцов не меняет величины минора. Знаки
соответствующих ненулевых миноров матрицы Рг = AY(B) и Р2 =
= Ат одинаковы (каждая пара миноров соответствует одному и
тому же дереву), поэтому /‘-е произведение соответствующих мино-
ров равно произведению проводимостей ветвей /-го дерева, взя-
тому с положительным знаком. Сумма произведений всех соот-
ветствующих миноров матриц AY(E* и Ат равна сумме произведе-
ний проводимостей ветвей всех деревьев схемы.
На рис. 8.1, а показана схема, все деревья которой изобра-
жены на рис. 8.1,6. В соответствии с формулой (8.1) определи-
224
тель этой схемы
Д(У) = у^У* + YrYtYt + У^Ув + У1У3У.+У^Ув+
+ № + №+ УхУбУбЧ- У2Г3Ув+ у2у3у4 + у2у5ув +
+ Г2У4ГВ + У3У*Ув4-У3Г4У6 4- У3У6Ув 4- УьУ6Ув.
Число деревьев схемы. Если применить теорему об определи-
теле произведения двух матриц к произведению ААТ, то число
деревьев схемы
пд = det (ААТ). (8.2)
Действительно, соответствующие ненулевые миноры порядка
у — 1 матриц А и А’ одинаковы и равны zt 1; число таких мино-
ров совпадает с числом деревьев.
Из формулы (8.1) вытекает еще один способ нахождения числа
деревьев. Если проводимость каждой ветви схемы принять рав-
ной единице, то узловой определитель будет равен числу деревьев.
Топологическая формула для расчета определителя матрицы
проводимостей сечений. Ненулевые миноры порядка у—I мат-
рицы сечений Q, так же как и миноры узловой матрицы А,
соответствуют деревьям схемы и равны zt 1 (см. гл. 2). Поэтому
определитель матрицы проводимостей сечений
Д<с> = det QY<B>QT
равен сумме произведений проводимостей ветвей деревьев схемы:
”д
А(с) = 2 (8.3)
/=1
Таким образом, Д<у) = Д<с).
Равенство определителей Д(у) и Д(с) можно доказать непо-
средственно из выражений для матриц Y(y) и Y(c). Матрица про-
водимостей- сечений
Y<c) = QY(B)QT,
где О = Ад*А.
Следовательно,
Y(c) = Ад*А¥(в)Ат (Ад*)т = Ад1 Y(y) (A~*)T,
где Y(y) = AY(B)AT. Матрицы A'1, Yjy), (Ад*)т являются квадрат-
ными. Известно, что определитель произведения квадратных мат-
риц равен произведению их определителей *, поэтому
det Yc = det Ад1 det Y<y> det (Afl*)T.
Определитель подматрицы Ад, соответствующей дереву, равен
— 1. Отсюда
det Y(c) == (± 1) det Y<y> (± 1) = det Y<y\
* Для двух квадратных матриц сформулированное положение можно рас-
сматривать как частный случай теоремы Бнне — Кошн.
8 л/р. Ионкина, т, I
99Л
Ненулевые миноры порядка у— I матрицы А (матрицы Q)
соответствуют деревьям и равны ± 1 при любом заземленном
узле (любых сечениях). Поэтому справедливо следующее утверж-
дение: узловой определитель (определитель матрицы проводимо-
стей сечений) имеет единственное значение независимо от выбора
заземленного узла (сечений).
§ 8.2. Топологические формулы для расчета алгебраических
дополнений элементов узлового определителя
Симметричное алгебраическое дополнение. Алгебраическое
дополнение Дур, получаемое вычеркиванием /-го столбца и /-й
строки из определителя Д(у), представляет собой определитель
Д(у), представляет собой определитель
схемы, образуемой при замыкании /-го
узла с базисным (заземленным) узлом.
Поэтому для расчета Д’ц справедлива
формула, аналогичная (8.1).
- Заземление /-го узла приводит к вы-
черкиванию /-й строки в узловой мат-
рице А. Поэтому
= A_/Y(B)AL;-, (8.4)
где А_у — узловая матрица схемы, в кото-
рой /-й узел заземлен. Эту матрицу полу-
чают вычеркиванием /-Й строки в матрице
А. Применение теоремы Бине — Коши к выражению (8.4) приводит
к топологической формуле для Д^, аналогичной (8.1). Например,
при объединении узлов 1 и 4 в схеме на рис. 8.1, а получают
схему, граф которой показан на рис. 8.2. Деревья графа на
рис. 8.2 приведены на рис. 8.3, а. Алгебраическое дополнение
Ди* в соответствии с топологической формулой состоит йз восьми
положительных слагаемых, равных произведению проводимостей
ветвей деревьев:
Д1Т= к2Уз+ у2у6+ у2гв+ У3У4+ У4Ув+ КзПЧ- ГвУв+ У2У4.
Подграфы исходной схемы (см. рис. 8.1, а), образуемые вет-
вями деревьев на рис. 8.3, а, показаны на риц. 8.3, б. Они содер-
жат все узлы схемы, имеют число ветвей у —2 и состоят из двух
частей, одна из которых может быть отдельным узлом (узел 1
или узел 4).
Подграф, состоящий из двух изолированных частей (одна
из которых, в частности, является узлом), содержащий все узлы
схемы и не имеющий контуров, называют 2-деревом (читается
два-деревом). Чтобы подчеркнуть, какие узлы находятся в раз-
личных частях 2-дерева, можно применить обозначение Т2(/,У).
Например, 2-деревья на рис. 8.3, б являются 2-деревьями типа
^2(1,4) (узлы 1 и 4 находятся в различных частях 2-дерева).
226
При замыкании i-ro и /-го узлов 2-дерева получают дерево
с числом ветвей, равным у —2. Таким образом, алгебраическое
дополнение Д,у) равно сумме произведений проводимостей ветвей
всех 2-деревьев типа если «/ — заземленный узел.
Несимметричное алгебраическое дополнение. Для вычисления
алгебраического дополнения Д<у) (/ k) необходимо найти де-
ревья двух схем: схемы, получаемой при объединении j-го узла
с базисным, и схемы, получаемой при объединении k-vo узла
Рис. 8.3
с базисным. Часть деревьев этих двух схем - попарно состоит
из одинаковых ветвей. Такие деревья называют общими деревьями
двух схем. Сумма произведений проводимостей ветвей общих
деревьев равна алгебраическому дополнению Д^>.
Для доказательства сформулированного топологического пра-
вила можно записать
где Mjk — определитель матрицы, которая остается после вычер-
кивания /-й строки и k-vo столбца в матрице Y(y). Так как Y(y> =
= AY(B> Ат, вычеркивание /-й строки (k-vo столбца) в матрице Y(y)
эквивалентно вычеркиванию /-Й строки в матрице A (k-vo столбца
в матрице Ат). Следовательно,
Л1У* = det (A_yY(B)AT_ft),
(8.5)
где А_у, A_fe — узловые матрицы схем, в которых заземлен j-й или
/г-й узел. Такие матрицы получают при вычеркивании j-й или
/г-й строки в матрице А.
Ненулевые миноры порядка у — 2 матрицы A_y(A_ft) соответ-
ствуют деревьям схемы с заземленным j-м узлом (заземленным /г-м
узлом) и равны ±1. Ненулевые миноры произведения A_yY(1,)
соответствуют деревьям схемы с заземленным j-м узлом и равны
произведениям проводимостей ветвей деревьев этой схемы, взя-
тым с положительным (отрицательным) знаком.
По теореме Бине —Коши определитель (8.5) равен сумме
произведений миноров порядка у— 2 матриц A_yY(B) и Alft. Эти
произведения отличны от нуля только в том случае, если миноры
матриц A_yY(B) и ALfe соответствуют общим деревьям двух схем
(в противном случае ненулевой минор, соответствующий дереву
одной схемы, умножается на минор, не соответствующий дереву
другой схемы-и, следовательно, равный нулю). Таким образом,
слагаемые Mjk представляют
собой произведения проводимо-
стей ветвей общих деревьев
двух схем с заземленным j-м или
/г-м узлом.
Рис. 8.4 Произведение каждой пары
миноров матриц А_у и A_ft, соот-
ветствующих общим деревьям двух схем, равно (—1у+*. Действи-
тельно, если деревья схем с заземленными j-м и k-м узлами содер-
жат одни и те же ветви исходной схемы, то в этой схеме
существует путь между этими узлами. Ветви, по которым прохо-
дит этот путь, принадлежат рассматриваемой паре общих деревьев
двух схем. Поскольку нумерация узлов и ветвей, а также
ориентация ветвей произвольны, то можно считать, что узлы и
ветви пути пронумерованы подряд, причем ветви ориентированы
так, как показано на рис. 8.4. Тогда подматрица Ад узловой
матрицы исходной схемы, соответствующая у—-2 ветвям рассмат-
риваемых общих деревьев, имеет вид
а а-}-1 а+2 a-f-3 ... ₽ — 1 (3
. . . СЧ СО • + 4—h 1 -гг II К <
1 0 0 0 ... 0 0 — 110 0 ... 0 0 0—1 I 0 ... 0 0 0 0—1 1 ... 0 0 об б б ... —i i 0 0 0 0 ... 0 —1
228
Если к столбцу а прибавить столбцы а4-1, а4-2,
'го матрица Ад преобразуется в матрицу
а а4-1 «4-2 а4-3 ... Р—1 Р ...
... . см со 4—F4- 1 II
1 0 0 0 ... 0 0 0 1 0 0 ... 0 0 0—1 1 0 ... 0 0 о о —1 1 ... 9 о obod i i —1 0 0 0 ... 0 —1
Таким образом, с помощью линейной комбинации столбцов
матрицы Ад получена матрица Ад, у которой в столбце а имеется 1
в /-й и —1 в /г-й строках, причем все остальные элементы
столбца а равны нулю.
Миноры матриц А_у и A_ft рассматриваемой пары общих де-
ревьев-с-это определители матриц, полученных из матрицы Ад
вычеркиванием /-й или /г-й строк. Эти определители равны опре-
делителям матриц, полученных из матрицы Ад вычеркиванием /-й
или й-стррк, так как линейная комбинация столбцов не изменяет
величины определителя.
Определитель матрицы Ад(_Л или Ад(_*), получаемой при
вычеркивании из матрицы Ад /-й или k-й строк, может быть най-
ден путе!^ разложения по элементам столбца а. Так, если
из матрицы Ад вычеркнуть j-ю строку, то в столбце а останется
лишь один ненулевой элемент —1, который находится в (/г—1)-й
'строке (при вычеркивании /-й строки номера последующих строк
уменьшаются на единицу). Следовательно,
det А; (_Л = (—1)“+^(—1)D(—!)“+*£),
где D — определитель матрицы, получаемой из матрицы Ад при
вычеркивании /-й и /г-й строк и столбца а.
Если из матрицы Ад вычеркнуть k-ю строку, то в столбце а
останется лишь один элемент 4*1 в /-й строке. Поэтому
detA'(_ft) = (-l)“tfD.
Произведение
det А'(_Л det Ai(_ft) = (-l)a^+ftD2 = (-iy^,
поскольку D = ± 1 как определитель подматрицы узловой матрицы
дерева. Таким образом, произведение пары миноров матриц А_у
и A_ft, соответствующих общим деревьям двух схем, равно (—I/4*.
Этот результат справедлив для любой нумерации узлов и ветвей
и произвольной ориентации ветвей.
229
Знаки соответствующих миноров матриц A_z-Y в ,и AL* опре-
деляются знаками миноров матриц А_, и А_й, поэтому определи-
тель (8.5) имеет общий множитель (—1)/+*. В разложении алгеб-
раического дополнения Д*у> = (—iy+bMfb присутствуют только
положительные слагаемые, равные произведению проводимостей
ветвей общих деревьев схемы с заземленными /-м и k-м узлами.
Рассмотрим алгебраическое дополнение А<у> схемы на рис. 8.1, а.
Деревья графа, полученного при объединении узлов 1 и 4
(см. рис. 8.2), приведены на рис. 8.3, а. Если в исходной схеме
объединить узлы 2 и 4, то результирующий граф (рис. 8.5, а)
Рис. 8.5
будет иметь деревья, изображенные на рис. 8.5, б. У графов
с заземленными узлами 1 и 2 имеются четыре общих дерева.
Эти деревья содержат ветви У2 — У3, У2 — УБ, У3 —У4, Ys — Y6.
В результате алгебраическое дополнение равно сумме четырех
слагаемых, равных произведению проводимостей ветвей общих
деревьев:
Д1Г = У2У3 + У2У5 + ysYt + У3УБ.
Топологическое правило для алгебраического дополнения
можно видоизменить. Деревьям схемы, получаемой при заземле-
нии /-го (/г-го) узла, в исходной схеме соответствуют 2-деревья
типа (Т2(й, j,)). Общим деревьям двух схем соответствуют
2-деревья, у которых /-й и k-ii узлы находятся в одной части,
т. е. 2-деревья типа Таким образом, алгебраическое
дополнение Д^> равно сумме произведений проводимостей ветвей
230
всех 2-деревьев типа Т2 (7-й, в). В частности, для схемы на рис. 8.1, а
алгебраическое дополнение Д<Г равно сумме произведений про-
водимостей ветвей 2-деревьев типа 72(12,4) (рис. 8.6).
Рис. 8.6
Если обозначить через сумму произведений проводимо-
стей ветвей 2-деревьев типа T2yk, в), то
= (8.6)
Формулу для симметричного алгебраического дополнения можно
рассматривать как частный случай формулы (8.6):
(8.7)
Разность алгебраических дополнений. При вычислении переда-
точных функций в соответствии с ра-
венствами (7.53)' (7.54) необходимо
знать разность алгебраических до-
полнений вида Ау) — Аи?- Но
Д^=ГгЛв и t$ = Wik,v,
поэтому
Если 2-деревья типа Т2(у,в) содержат Л-й узел в одной или
в другой части схемы, то
^У, у = Wijk, у + Wу, ky,
где Wiik,y (Wlhky) — сумма произведений проводимостей ветвей
2-деревьев типа Т2 yjk, (Т2 yj, ky))- Аналогично,
Wik, у — W ijk, I, + ik, jy,
где Wijk, y(Wj;k,,y)~ сумма произведений проводимостей ветвей
2-деревьев типа T2(iik, в) (T2(Zft,7B)). ‘
Таким образом, алгебраические дополнения А^ и Д/Г имеют
общие слагаемые, равные у. Если исключить общие слагае-
мые, то разность
btf-b^W^ky-Wik.jy.
При заземлении узла I вместо у (см. рис. 7.36) разность
Д(/Г-А,Г = Гу,«-^1Л. (8,8)
231
: В частности, для схемы на рис. 8.1, а разность А12 — А13 =
— 1^12,34— 24; 2-деревья типов Т2(12,з4) и 72(13,24) приведены
на рис. 8.7 (имеется только одно 2-дерево типа T2(i3,24) и °ДН0
типа T2ii2,Siy). Соответственно разность А12 —А13=У3У4 —УБУ6.
§ 8.3. Разложение узлового определителя и алгебраических
дополнений его элементов
Расчет входных и передаточных функций топологическим ме-
тодом сводится к вычислению по топологическим формулам узло-
вого определителя, алгебраических дополнений его элементов или
Рис. 8.8
разности алгебраических до-
полнений.
Особенность . топологиче-
ских формул состоит в том,
что они позволяют записать
без вычисления большого
числа сокращающихся сла-
гаемых только положитель-
ные слагаемые узловых опре-
делителей (алгебраических дополнений). Непосредственное пере-
числение всех деревьев схем с большим числом узлов и ветвей
(деревьев) является сложной задачей. Эта задача упрощается,
если применять разложение узловых определителей на множители
или слагаемые с общими
определителя (алгебраи-
ческого дополнения)
сложной схемы посте-
пенно можно свести к
расчету определителя
простой схемы, все де-
ревья (2-деревья) кото-
рой очевидны.
Разложение узлового
определителя. Для про-
стых схем, содержащих
множителями. При этом расчет узлового
Рис. 8.9
небольшое число деревьев, применение
топологической формулы (8.1) не вызывает затруднений. Напри-
мер, для схем, графы которых приведены на рис. 8.8, а, б и имеют
соответственно два и четыре дерева,
Д(У) = У1 + У2; А^={У1 + У2)(У3 + У4).
Определитель схемы, имеющий граф на рис. 8.9, а с тремя
деревьями,
А^=У1У2 + У1У3 + У2У3.
Определитель схемы, граф которой показан на рис. 8.9, б и
содержит 9 деревьев:
А(у) = (У»У« + У1Уз + У2У») (У«УБ+ у4у6+У6Ув)
232
. Графы на рис. 8.8, б и 8.9, б состоят из двух подграфов,
имеющих один общий узел. Определитель всей схемы получают
как произведение определителей подсхем:
А(у> = А<у)А£у), (8.9)
где Л<у) и Д|у) — определители подсхем.
Формула (8.9) справедлива для схемы любой сложности, со-
стоящей из двух подсхем, имеющих один общий узел. Действи-
тельно, каждое дерево всей схемы образуется любыми двумя
деревьями подсхем, а при умножении определителей Д{у) и Д^у)
учитываются все возможные комбинации пар деревьев подсхем.
Если схема состоит из двух изолированных подсхем, одна
из которых является отдельным узлом, то определитель схемы
равен нулю, так как две подсхемы можно соединить ветвью
с нулевой проводимостью и каждое дерево схемы будет содержать
эту ветвь.
На рис. 8.10 изображена схема,
подсхемами и N2, имеющими два
литель всей схемы
Д(у) = Д<У)Д<У) + Д<У>Д<У> ,(8.10)
где Д]У) (Д2у)) — определитель под-
схемы Ni^Nz) при разомкнутых
зажимах /, k’, (А^?) — опре-
делитель подсхемы Ni (W2) при
которая образована двумя
общих узла / и k. Опреде-
короткозамкнутых зажимах. рис 8 10
Для доказательства формулы ‘ .
(8.10) следует учесть, что каж-
дое дерево всей схемы содержит путь между /-м и Л-м узлами.
Этот путь может проходить по ветвям подсхемы Ni или N2. Если
дерево содержит путь между /-м и k-м узлами в подсхеме А\,
то такое дерево состоит из дерева подсхемы Л\ и 2-дерева типа
^2(7,*) подсхемы N2. Но 2-дерево подсхемы N2 становится дере-
вом при замкнутых зажимах / и k. Сумма произведений прово-
димостей ветвей всех 2-деревьев типа T2(lt k) подсхемы N2 равна
определителю Д^. При умножении определителя Axy> на учи-
тывают все возможные комбинации деревьев подсхемы и 2-де-
ревьев подсхемы N2, т. е. все деревья схемы, содержащие путь
между /-м и k-м узлами в подсхеме Ni. Аналогично находят все
деревья схемы,, содержащие путь между /-м и k-м узлами в под-
схеме N2. В результате получается формула (8.10).
Пример 8.1. Вычислить определитель А,у| схемы на рис. 8.11, а по фор-
муле (8.10).
Решение. Рассмотрим данную схему как две подсхемы, имеющие два
общих узла 1 и 2 (рис. 8.11,6, в).
Найдем определители подсхем:
Д<у)=(УХ+ YJ Ya+(Yi+Y^ УН- УаУ4; 4У) = Ув (У«+ У,)
233
При коротком замыкании узлов I и 2
д^)=у1+у2+у3; д№ =к5+гв+к7.
В соответствии с формулой (8.10) определитель схемы на рис. 8.11, а
Д<У» = [(Ух+ YJ (У3+ У«) + У3У4] (У5+ Ув+У?) + Уб (Ув+ У?) (У1 + Уа+ У.)-
Рис. 8.11
Пусть одна из подсхем на рис. 8.10 представляет собой отдель-
ную ветвь схемы с проводимостью У,. Тогда по формуле (8.10)
А<у> = УхД/Ч-Л/, (8.11)
где Д; — определитель схемы при. короткозамкнутой ветви Yf,
tsf — определитель схемы при разомкнутой ветви Yj.
Формула (8.11) характеризует разложение узлового определи-
теля по ветви.
Пример 8.2. Вычислить узловой определитель схемы, граф которой при-
веден на рис. 8.11, а, с помощью разложения по ветви.
Решение. Проведем разложение по ветви У3. Если ветвь У3 коротко-
замкнута, то
Дз=(У1+У2+У«) (Уб+Уб + У?) + ^б (Ув + У?)-
Выражение для Д3 записывается сразу, так как при замкнутой ветви схема при-
обретает ввд треугольника (см. выражение для определителя схемы на
рис. 8.9, а). При разомкнутой нетви У3 схема состоит из двух частей, имеющих
только один общий узел 1. Поэтому с учетом формулы (8.9)
Д3=(У1+У2) [УлУб+СУл+Уб) (Уб+У?)]-
Определитель схемы на рис. 8.11, а
Д'У» = У3Дз+Дз.
Пусть ветви Yt и Yj схемы имеют только один общий узел,
причем другие ветви с этим узлом не соединены. Определитель
схемы разлагаем по ветви Yf.
В свою очередь определители Дг и Az разлагаем по ветви Yf.
Ь = YjKij+Д Д' = YjK]+Д‘7,
где нижние индексы у определителей указывают номера ветвей,
которые замкнуты, а верхние индексы — номера ветвей, которые
разомкнуты.
234
При размыкании ветвей У; и У; схема распадается на две
изолированные части, одна из которых — отдельный узел. Следо-
вательно, Аг/ = 0. Учитывая выражения для Az и Аг, находим
А(у) = УгА{ + У,А} + YiYj bif, (8.12)
где А{ = А/.
Если схема содержит ветви Yt, Y} и Yk, имеющие только
один общий узел, с которым другие ветви не соединены, то ана-
логично предыдущему,
А(у) = У£аГ + У/ДГ + ВД + YiYj^j +
+ YtYk^k + YfY^jk + YtYjY^, (8.13)
где АГ = A/ft = AV-
Формулу (8.13) можно обобщить на случай любого числа вет-
вей, имеющих один общий узел.
Равенства (8.12), (8.13) характеризуют разложение определи-
теля по узлу.
Пример 8.3. Вычислить узловой определитель схемы, имеющий граф
(рис. 8.11, а), с помощью разложения по узлу.
Решение Применим разложение по узлу 3, в котором соединены ветви
Уг, У2 и У»- Параллельные ветви Уг и У2 заменим одной ветвью с проводимо-
стью Ух, 2==Уг+К2. При замкнутой ветви Ух, 2 и разомкнутой ветви У3
А?, 2 = У4Уб+ (У4+Уб) (Уб + У,)-
Определитель Д*,2=Д’,2. Если замкнуть ветви УЬ2 и У3, то А112;3=УБ +
+ Ув~Ь у?-
В соответствии с формулой (8.12) определитель заданной схемы
Д,У’ = А а+ У3Д3 2 + У1. 2У3Д1, 2-, 3 =
= (у1 + у2) дЬ + УзДГ + (У1 + У2) У3Д1,2!3-
Разложение (8.13) по отношению к ветвям Ylt Y2 и Ys при-
водит к неверному результату вследствие того, что ветви Ух и
У2 имеют два общих узла.
Следует отметить, что при замыкании ветвей схема может
выродиться в один узел. Определитель такой вырожденной схемы
следует принять равным 1.
Определитель А(у) можно разложить по путям между парой
узлов. Все деревья схемы содержат путь между любой парой
узлов; ряд деревьев может иметь одинаковый путь. Если обозна-
чить через Пк произведение проводимостей ветвей k-vo пути и
сгруппировать произведения проводимостей ветвей деревьев,
имеющие общий множитель Пь, то
, A(v) = 2JnftAfc, (8.14)
k
где множитель Aft —минор^-го пути, а суммирование выполняется
по всем возможным путям между выбранной парой узлов.
Смысл множителя Afe можно пояснить следующим образом.
.Пусть дерево схемы содержит путь между j-м и й-м узлами.
235
Ветви этого пути показаны на рис. 8.12. Узлы такого пути не
могут быть связаны через ветви дерева в подсхеме N, так как
любое дерево не содержит контуров. Следовательно, каждое
дерево, имеющее путь между j-м и k-м узлами, состоит из вет-
вей пути, а также таких ветвей подсхемы Л\ которые образуют
не связанные между собой подграфы. Число
таких подграфов равно числу узлов в пути.
Эти подграфы заключают в себе все. узлы
подсхемы и не содержат контуров. При объ-
единении всех узлов пути (замыкании пути)
такой подграф подсхемы N преобразуется в
дерево. Все возможные подграфы подсхемы
N, которые дополняют ветви пути до де-
ревьев исходной схемы, содержащих рассма-
Рис. 8.12 триваемый путь, можно определить, если
, найти все деревья схемы с короткозамкну-
тым путем. Таким образом, Аа — определитель схемы, которая
получается при замыкании й-го пути исходной схемы. В частном
случае, если k-й путь проходит через все узлы схемы, минор
Дй = 1. Равенство минора единице означает, что ветви пути об-
разуют дерево схемы.
Формула (8.14) характеризует разложение определителя по
путям.
Пример 8.4. Вычислить узловой определитель схемы на рис. 8.11, а
с помощью разложения по' путям между узлами 1 и 2.
Решение. Имеются пять путей между выбранной парой узлов:
Ут-Уз, У2-Уз, Yit УБ-Ув, УБ-У7.
Произведения проводимостей ветвей этих путей соответственно
/71=У1К3; П2=У2У3; П3=У4; П4=УБУ6; ПБ = УБУ7.
При замыкании путей У4 — У3 и У2—У3 ветви УБ, У6 и У7 соединяются
параллельно, поэтому
Д1=Д2— уб+ у6+у?-
Каждое слагаемое миноров Д4 и Д2 соответствует дереву схемы, получаю*
щейся при замыкании пути Уг — У3 (У2—У3). Слагаемые выражения
П^+П^ (У4У3+ у2у3) (Ув+ус+у7)
представляют собой произведения проводимостей ветвей деревьев исходной
схемы, образованных ветвями Уг—У3— УБ, У4 — У3—У6, Уг— У3—У7, У2—
— У3—УБ, У2—У3—У«, У2— У3—У7. Эти деревья содержат общие пути
Ут Уз (У2—Уз).
При замыкании пути У4 схема состоит из двух частей, имеющих общий
узел, поэтому
Дз=(У1+Г2+Уз) (Ув+Ув+Ут).
Каждое слагаемое этого выражения Д3 есть произведение проводимостей
ветвей всех деревьев схемы с короткозамкнутой нетвью У4. Слагаемые выра-
жения
ПзД3=У4 (У1+У2+У3) (УБ+ Ув+У7)
представляют собой произведения проводимостей ветвей деревьев исходной
схемы, содержащих ветвь У4.
236 .
Если замкнуть путь Y6—Ye (УБ— YJ, то
Д4 = Дб=К14-1/2+^3-
Ветви Yi, Уа и У8 являются деревьями схемы, получающейся при замы-
кании путей УБ—Ye (УБ—У7). Слагаемые выражения
Л4Д4+ПБДБ = (УЬУ6 + УБУ7) (У^Уг+Уз)
соответствуют всем деревьям исходной схемы, имеющим путь УБ—У6 (УБ—У7).
Таким образом, узловой определитель схемы на рис. 8.11, а
5
д*у’= 2 n^k-
Й=1
Разложение алгебраических дополнений и их разностей. Раз-
ложение алгебраического дополнения А}}’ аналогично разложе-
нию узлового определителя. Все способы разложения, рассмот-
ренные ранее применимы и для вычисления А$\ если предвари-
тельно объединить /-й узел схемы с базисным (заземленным) узлом.
Для расчета алгебраического дополнения A/V (/ k) следует
найти все 2-деревья схемы, содержащие путь между /-м и fe-м
узлами. Если каждое из таких 2-деревьев дополнить ветвью
с проводимостью, равной единице, соединяющей k-й узел (/-й)
с базисным узлом, то такие 2-деревья преобразуются в деревья,
произведения проводимостей ветвей которых совпадают с произ-
ведениями проводимостей ветвей исходных 2-деревьев и которые
содержат путь от /-го (Л-го) к базисному узлу через k-й (/-й)
узел по ветви с единичной проводимостью. Таким образом,
в исходной схеме можно присоединить дополнительную ветвь
между k-м (/-м) и базисными узлами, проводимость которой равна
единице. Если найти все пути от /-го (Л-го) узла к базисному узлу,
проходящие через k-й (j-й) узел и дополнительную ветвь*, то,
умножая произведения проводимостей ветвей таких путей на их
миноры и суммируя результаты, получаем алгебраическое допол-
нение А$.
Аналогично можно определить разность алгебраических допол-
нений А$} — A(£V, для вычисления которой необходимо найти 2-
деревья типа T2(y,W)(T2(ift>/Z)). Если между /-м, k-м (i-м, 1-м)
узлами 2-деревьев присоединить дополнительную ветвь с единич-
ной проводимостью, то такие 2-деревья преобразуются в деревья,
содержащие путь от i-ro к /-му узлу через узлы /, k (путь, от /-го
к й-му узлу через узлы /, /).
Такие деревья можно найти с помощью разложения опреде-
лителя схемы с дополнительной ветвью, имеющей единичную
проводимость и включенной между /-м, k-м (i-м, l-м) узлами, по
пути между i-м, 1-м (j-м, k-м) узлами. При этом в отличие от
вычисления узлового определителя следует учитывать лишь пути,
проходящие от i-ro узла через /-й, k-й узлы и дополнительную
* Если в схеме имеется ветвь между Л-м (/-м) и базисным узлами, то можно
щринять проводимость этой ветви равной единице (вместо присоединения допол-
нительной ветви).
.237
ветвь (от /-го узла через i-й, l-й узлы). В соответствии с форму-
лой (8.8) слагаемые, обусловленные путями i — 'j — k — l (j — i—
— l—k), учитывают с положительным знаком, а слагаемые обуслов-
ленные путями i — k — j — l (j — I — i — k), — c отрицательным
знаком.
Пример 8.5. Вычислить алгебраическое дополнение и разность Д^'* —<
«— Д^> для схемы на рис. 8.1, а с помощью разложений по путям.
Решение. Для'вычисления Д^ присоединим к схеме дополнительную
ветвь с единичной проводимостью между узлами 2 и 4 (или проводимость Y й
примем равной единице). Имеются два пути от узла'/ через узел 2 и ветвь
с единичной проводимостью к узлу 4. Произведения проводимостей ветвей этих
путей и их миноры соответственно
» Д1 = У2+У4 + Гб;
/72—УбУ2; Л2 —!•
Следовательно,
д = П А+П2Д2 = Ys (Y2 + Yt + Ye)+У2УВ.
Такой же результат получим, если дополнительную ветвь присоединить
между узлами J, 4 и выполнить разложение по соответствующим путям между
узлами 2, 4.
Для вычисления разности Д^ — Д^ дополнительную ветвь с единичной
проводимостью включим между узлами 2 и 3 (или проводимость Уг примем
равной единице). Имеется один путь 1 — 2—3—4, для которого Л1 = У3У4;
А1=1, и один путь 1—3—2—4, для которого 772=УБУ6; Д2=1.
Следовательно,
Д^-Д^=ПА-пА=У3г4-У5Ув.
Аналогичный результат получим, если ветвь с единичной проводимостью
присоединить между узлами 1, 4 и выполнить разложение по соответствующим
путям между узлами 2, 3,
§ 8.4. Топологическая формула для расчета
передаточных функций (формула Мэзона)
На основании рассмотренных ранее топологических методов
расчета узлового определителя, алгебраических дополнений и их
разностей можно сформулировать обобщенное правило для вычис-
ления передаточных функций. С этой целью вводят следующие
понятия:
передача Н — отношение показания измерительного при-
бора (вольтметра или амперметра) к величине параметра источ-
ника (тока источника тока или э. д. с источника э. д. с.);
путь передачи — любой путь, включающий зажимы источ-
ника и измерительный прибор;
величина пути передачи (передача пути) 77* — произ-
ведение проводимостей ветвей k-vo пути передачи при условии,
что проводимость прибора принимается равной единице;
минор пути передачи Д* —узловой определитель схемы,
получаемой при замыкании k-ro пути передачи;
238
определитель схемы Д — узловой определитель схемы,
получаемой при исключении вольтметра и источника тока или
коротком замыкании амперметра и источника э. д. с.
Передачей Н, как видно из определения, может быть любая
входная и передаточная функция в зависимости от вида прибора
и источника, а также от места их включения. Измерительный
прибор вводят в качестве указателя-индикатора для большей
наглядности расчета.
Согласно топологическому правилу (формула Мэзона) пере-
дача Н при действии одного источника равна отношению алгеб-
раической суммы произведений всех величин путей передачи Z7*
на их миноры А* к определителю схемы:
^n'k^k
- (8.15)
В числителе формулы (8.15) слагаемые 77£Д£ записывают со
знаком плюс (минус), если в k-м пути -передачи направление
обхода ветви с прибором совпадает (противоположно) с выбран-
ным положительным направлением напряжения или тока. При
этом считают, что все пути передачи начинаются от одного и
того же положительного зажима источника.
Убедиться в справедливости формулы (8.15) можно с помо-
щью выражений для схемных функций (7.52) -т- (7.54), (7.49)-5-
-5- (7.51) и установленных в § 8.3 топологических способов рас-
чета узлового определителя, алгебраических дополнений и их
разностей. Так, для расчета входного сопротивления схемы по
топологическому правилу присоединяют к схеме источник тока
и вольтметр (рис. 8.13, а). В этом случае передача H = U/J равна
входному сопротивлению. Как видно из рис. 8.13, а, в рассмат-
риваемой схеме имеется только один путь через вольтметр V,
для которого III — 1. Минор этого пути является узловым
определителем схемы с замкнутыми зажимами i и I, т. е. AJ = A^.
Определитель А схемы с исключенными вольтметром и источни-
ком тока равен определителю А(у). Таким образом, 7f = 77JAJ/A =
= Л^/А(у), что совпадает с формулой (7.52). Следует отметить,
что определители А[ и А могут быть найдены с помощью любого
способа разложения.
239
Для расчета входной проводимости схемы по топологическому
правилу к схеме присоединяются источник э. д. с. и амперметр
(рис. 8.13, б). При этом передача Н = 1/ё‘. В данном случае
У, n’k^'k представляет собой разложение узлового определителя Д(у)
k
схемы с разомкнутыми зажимами i и I по путям между парой
узлов i и I. Определитель Л, равный узловому определителю
схемы при замкнутых амперметре А и источнике э. д. с., совпа-
дает с алгебраическим дополнением Д$\ Следовательно, передача
Д = У//йА;'/А = А(у)/А,-у), т. е. равна входной проводимости.
k
Если по топологической формуле (8.15) рассчитывается взаим-
ное сопротивление Znm, то измерительный прибор и источник
следует включить так, как показано на рис. 8.14, о. В. этом
случае пути передачи содержат узлы i, /, k, I. Слагаемые /ДА*
Рис. 8.14
записывают с яоложительным (отрицательным) знаком, если
направление обхода ветви с вольтметром в k-м пути передачи
совпадает с направлением, указанным стрелкой (противоположно
направлению, указанному стрелкой), т. е. с положительным
(отрицательным) знаком записывают слагаемые, обусловленные
путями i—j—k—l (i — k — j — l). При вычислении числителя
формулы (8.15) проводимость вольтметра принимается равной еди-
нице. Следовательно, в общем случае У /7£Д£ представляет собой
k
разложение разности алгебраических дополнений А/у) —Д*у) по
путям от i-ro к /-у узлу через узлы /, k и дополнительную ветвь
с единичной проводимостью (см. § 8.3). При исключении вольт-
метра и источника тока определитель Д = Д(У\ Таким образом,
передача Я = (Д(У) —Дй))/Д(у), т. е. согласно (7.53) она равна
взаимному сопротивлению Znm.
Для расчета коэффициента передачи напряжения К(,“п изме-
рительный прибор и источник включаются, как показано на
рис. 8.14, б. Аналогично предыдущему случаю, ^IJ^k пред-
ft
ставляет собой разложение разности алгебраических дополнений
А^-А^ по путям от i-ro к i-му узлу через узлы /, k и ветвь
с единичной проводимостью .(вольтметр). Определитель А схемы
240
при исключенном вольтметре и замкнутом источнике э. д. с. сов-
падает с алгебраическим дополнением Д|р. Следовательно, пере-
дача H = Д^О/Д^, т. е. согласно формуле (7.54), равна
коэффициенту передачи напряжения К пт-
Если по топологической формуле (8.15) рассчитывают коэф-
фициент передачи'тока Кпт, то измерительный прибор и источ-
ник включают так, как показано на рис. 8.15, а. При вычисле-
нии числителя выражения (8.15) проводимость амперметра при-
нимают равной единице. Если проводимость У„==1, то у/ДД£
k
представляет собой разложение разности алгебраических допол-
нений Д^-Д^ по путям от i-ro к l-му узлу через узлы /, k и
ветвь с единичной проводимостью. Поскольку все пути передачи
проходят через амперметр и проводимость У„, то в общем слу-
Рис. 8.15
чае при Yn Ф 1 сумма У, TI'ktYk = (Д$> — Д<Г) У„. При исключении
k
источника тока и замыкании амперметра определитель Д = Д<У).
Следовательно, передача Н = — A^)Yn/Mv) = ZnnYn, что,
согласно формуле (7.50), совпадает с выражением для коэффи-
циента передачи тока К^пт-
Для расчета взаимной проводимости Ynm источник э. д. с. и
амперметр включаются, как показано на рис. 8.15, б. При этом
2]/7*Д^ = (Д^) — Д^>) Yn. При замыкании амперметра и источника
ь
э. д. с. определитель Д — Д|р. Передача Н = (Д*р — Д^г)) У„/Дд * =
~KnmYn и согласно формуле (7.51) равна взаимной проводимо-
сти Ynm.
Таким образом, топологическая формула (8.15) получается
как результат применения топологических методов расчета узло-
вого определителя, алгебраических дополнений и их разностей
к общим выражениям для входных и передаточных функций.
Следует отметить, что ток и напряжение любой ветви схемы
с несколькими источниками могут быть найдены с помощью
топологической формулы на основании принципа наложения.
Пример 8.6. Вычислить входное сопротивление относительно узлов 1 и 2
схемы на рис. 8.16, а.
241
Решение. По топологической формуле, входное сопротивление
^flk&k
Д
Существует только один путь передачи, величина которого 77[=1. При
замыкании этого пути получаем схему на рис. 8.16, б. Минор Д[, т. е. опре-
1
делитель этой схемы, найдем с помощью разложения по путям между парой
узлов 3, 4:
д;= 2
k=i
где
^1=5Z4^S» Д1=У1+У2+У3+Ув + У75
Л8=У4У8(У3+У7); Д2=1;
Л3=(Г1+Ув)Г2У8; . Д3=1;
^4=(У1+Ув) (У3+У7); Л4=У2+У4+У8.
Следовательно,
Д1=У4Уб(У1+У2+У8+Ув+У7)+У2У4 (У3+У7) +
+ у2у5 (У1+Ув)+(Г1+Ув) (У3+У7) (У2+у4+у5)-
Запишем выражение для определителя Д (при исключенных вольтметре и
источнике тока) с помощью разложения по путям между узлами 1, 2:
6
д= 2
fe = i
где
Hi—У1У3; Д1—(У2+У4)(Ув+У7+У3)+У8(У3+У7);
Л2=У1У4Г5у7;
/73=у2у4уе;
я4=у2у5у7;
П*—У3У8У4У«>
^в=У3У7»
Д8=1;
Д3=г3+У5+У7;
Д4=У1+У4+У«;
Д5=1;
Дв=(У2+У6) (У1+гв+Г4)+Г4(У1+Ув).
242
Таким образом,
Д = УхУв [(У2+У4) (У5+Ут+Гз) + Y6 (Уз+ У7)1 + УХУ4У5У7+
+ У2г4ув (У3+ у5+у7)+У2У5У7 (У1+у4+ув)+У3У5У4Ув+
+ У3у7 [(У2+ у5) (У1+Ув+У4)+У4 (У1+Ув)].
Подстановка значений /7[, Д[ и Д в формулу для передачи приводит К выра-
жению для искомого сопротивления.
Пример 8.7. Вычислить взаимное сопротивление Zn—UdJi схемы на
рис. 8.17.
Решение. Взаимное сопротивление
где
г и +
Za — П-------,
/7[-УхУ2; Д[ = У4+У5+Ув;
7^ = У4Уб; Д^ = Ух+У2+У3.
Найдем определитель Д схемы с исключенными вольтметром и источником
тока с помощью разложения по путям между узлами 1 и 2;
4
д= S nkLk,
k = i
где
/71=У1У2; Д1=(У4+У5)(Уз+Гв) + У3Гв:
Л2=У1У3УвУ5; Д2=1;
П3=У4УеУ3У2; Д3=1;
П.=У^, Д4=(У1+У2)(Уз+Ув)+УзГв.
Подстановка значений 77*, Д* и Д в формулу для передачи дает выраже-
ние для искомого сопротивления.
Пример 8.8. Рассчитать ток /в в схеме на рис. 8.18, а.
Решение. По принципу наложения ток
/в=УвЛ+К<в«/6.
Взаимную проводимость УвХ и коэффициент передачи тока вычислим по
топологической формуле.
В соответствии с рис. 8.18, б взаимная проводимость
Z7JAJ -^2^2
*61 д—
где
/7[=УхУ2УвУв; д;=1:
AJ = lt
В43
Знаменатель Д функций УщиЛ!^ найдем с помощью разложения по путям
между узлами 1, 2 (рис. 8.18, «) при исключенных-источниках: -
5
д= S П^ь,
й=1
где
77, = Л; Д, = (Уа+ У4) (Ув+У3+ Y6) + Ye (Y3+ Yb);
^2=Y2Yt; &2—Y3-j-Y6-t-Ye;
. n3 = Y2YeYs; Д3=1;
n^YsY.Y^ Д4=1;
П5=У3У5; Д5 = У2+У4 + Ув.
< Подстановка значений Ув1 и в выражение для тока приводит к иско-
мому результату.
§ 8.5. Топологические формулы для расчета контурного
определителя и алгебраических дополнений его элементов
Топологическую формулу для определителя А(к> матрицы кон-
турных сопротивлений Z'K), называемого контурным опреде-
л и те л ем, можно получить на основании выражения
А<к> = det [BZ<B>BT] = det (Р^),
где Pt = BZ<B); P2 = B\
Если матрица В записана для главных контуров произвольной
схемы, то ненулевые миноры порядка к=в—у+\ этой матрицы
соответствуют ветвям связи (дополнениям деревьев) и равны zt 1
(см. гл. 2). Это утверждение справедливо и для миноров матрицы В
планарной схемы цри условии, что контуры выбраны в виде ячеек.
Ненулевые миноры порядка к матрицы P1 = BZ<B) * 10 также соответ-
ствуют ветвям связи деревьев и равны взятым с положительным
(отрицательным) знаком произведениям сопротивлений соответ-
ствующих ветвей связи.
Применяя теорему Биие—Коши к определителю произведения
матриц P1 = BZ(B) и Р2 = ВТ, можно найти
А(К) = 2 ад2 ... Zj, в_у+1, (8.16)
/=1
т. е. контурный определитель равен сумме произведений сопро-
тивлений ветвей связи для всех деревьев.
Из формулы (8.16) следует важный вывод: для любой системы
главных контуров произвольной схемы контурный определитель
имеет единственное значение. Если
схема планарная, то контурный оп-
ределитель имеет единственное значе-
ние для любой системы главных кон-
туров и для контуров, выбранных в
В случае, когда контуры не яв-
ляются главными контурами или
ячейками планарной схемы, значение
контурного определителя отличается
от значения, данного в формуле (8.16).
При этом ненулевые миноры порядка
к матрицы В соответствуют ветвям связи деревьев и равны ±6,
где б — целое число, которое может быть больше единицы. Напри-
мер, для схемы, граф которой приведен на рис. 8.19, можно вы-
брать независимые контуры, состоящие из ветвей 1—7—9—3—8—5,
1—2—9—6—5, 2—3—4—5—6—7, 1—7—6—8—4. Эти контуры не
представляют собой главные контуры или ячейки. Матрица таких
контуров
,.71010—1 0 1—1 1~
_ 1 1 0 0 —1 —1 0 0—1
В= 0 1 1 1 1 1—1 0 0 *
10 0 1 0—1 1 1 0
245
Для дерева 5—6—7—8—9 ветвями связи являются ветви
1—2—3—4. Соответствующий им минор матрицы В
1 0 1 0
1 1 0 0
det В1234 —
0 1 1 1
1 0 0 1
Следовательно, любой ненулевой минор четвертого порядка
записанной матрицы равен ±6 —±3.
Для контуров-ячеек 1—7—6—5, 2—9—7, 3—8—6—9г 4—5—8
матрица
‘1 0 0 0 —1 —1 1 0 0"
в_ о 1 00 О 0—1 0—1
“ 0 0 1 0 0 1 0 —1 1
.0 0 0 1 1 О 0 1 0
Минор, соответствующий ветвям связи 1—2—3—4, равен 1,
все другие ненулевые миноры четвертого порядка равны ±1.
В данной схеме ячейки являются главными контурами по отно-
шению к дереву 5—6—7—8—9.
Если ненулевые миноры порядка к матрицы В равны ±6(6 Ф 1),
то определитель матрицы контурных сопротивлений Z(K) = BZ(B)BT
отличается от значения, приведенного в выражении (8.16), в б2
раз. Далее рассматриваются лишь матрицы В главных контуров
произвольной схемы или контуров-ячеек планарной схемы; при
этом 6 = 1 и для контурного определителя справедлива тополо-
гическая формула (8.16).
Следует установить связь между узловым определителем Д(у)
и контурным определителем А(к) одной и той же схемы. Для
этого обе части равенства (8.1) умножаем на произведение сопро-
- в
тивлений всех ветвей схемы J [ Z*. При умножении каждого
fe = i
ь в
слагаемого правой части равенства (8.1) на Zft сопротивления
*=1
ветвей каждого дерева сократятся с проводимостями ветвей.
В результате в правой части получим сумму произведений сопро-
тивлений ветвей связи деревьев, т. е. контурный определитель.
Таким образом,
(Ц 7ДД<у) = Д<к>. (8.17)
'А — 1 /
Аналогично устанавливается соотношение
/в \
И^Д<К) = Д<У>.. (8.18)
246
Число несокращающихся слагаемых определителей А(у) и Д<к>
одной и той же схемы одинаково, однако1 соответствующие слагае-
мые могут содержать различное число сомножителей (число сомножи-
телей каждого слагаемого равно порядку определителя, т. е. числу
независимых узловых или контурных уравнений).
Применяя соотношение (8.17), можно доказать формулы раз-
ложения контурного определителя, аналогичные (8.9)-ь (8.14).
Если схема состоит из двух подсхем, имеющих один общий
узел, то для узлового определителя справедливо разложение (8.9).
Умножая обе части этого равенства на произведение сопротивле-
В
ний всех ветвей схемы Zfe, можно найти
Д<к> = Д<к> Д<к>, (8.19)
где Д<к) и Д<к> — контурные определители подсхем.
Если схема состоит из двух подсхем, имеющих два общих
узла, то узловой определитель этой схемы определяют формулой
В
(8.10). При умножении обеих частей этого равенства на Zk
k=\
получаем Д(К) = Д<К)Д£> + Д<К>Д<*>, (8.20)
где А<к>(Д<к)) — контурный определитель подсхемы Nr (ТУ2) при разомк-
нутых зажимах /, k; Д1(к>(Д ж) контурный определитель под-
схемы (ТУ2) при короткозамкнутых зажимах /, k.
в
Умножая обе части равенства (8.11) на п Zk, Можно дока-
k=i
зать, что для контурного определителя справедливо разложение
по ветви с сопротивлением Zf.
A(K)==Z7A(K^4-AjK), (8.21)
где Д<к> i — контурный определитель схемы при разомкнутой ветви Zf,
Д/к) — контурный определитель схемы при короткозамкнутой
ветви Zj. Действительно,
/в \
П26 уд=<п^Д/=д^,
\а=1 / /
(В \
Пzk Д'=£/П
Если схема содержит три ветви с сопротивлениями Zt, Z, и
Zk, имеющие только один общий узел, то для узлового опреде-
лителя справедливо разложение (8.13). При умножении обеих
частей этого равенства на произведение сопротивлений всех вет-
247
вей схемы Zz получается
<=1
А(н) = ZjZk^ik + ZzZ*A/K) lh + ZiZj^Vif +
+ Zk^k 4- Z,A%>7 + ZzA^ ‘ + A(k)£ (8.22)
где нижние индексы у контурных определителей в правой части
выражения (8.22) указывают номера замкнутых ветвей, а верхние
индексы —номера разомкнутых ветвей.
Для доказательства формулы (8.22) достаточно рассмотреть
три произведения:
(П z‘}=f П =д«-к> /й»
* 4=1 / \l^i /
(nzKy^-
V=1 f /
(П zi)YiYiYiAilk = ( n zi\&uk = A(K)tlk-
в
Если обе части равенства (8.14) умножить на ][ Zz, то про-
i= 1
изведение проводимостей ветвей k-ro пути в правой части этого
равенства сократится с произведением сопротивлений ветвей того же
пути. Произведение сопротивлений ветвей, которые не входят
в k-й путь при умножении на k-й узловой определитель Ай схемы
с замкнутым путем, дает контурный определитель схемы при
нулевых сопротивлениях ветвей этого путр. Таким образом, для
контурного определителя справедливо, разложение
Л(К) = 2Х’, (8.23)
k
где AfeK> — контурный определитель схемы, которая получается,
если в исходной схеме приравнять нулю сопротивления ветвей
&-го пути между парой узлов. Суммирование выполняют для всех
возможных путей между выбранной парой узлов.
Топологическая формула для алгебраического дополнения
Ami, контурного определителя вытекает из равенства
Amm = det (B_mZ(E)Blm),
где B_m —матрица, получаемая вычеркиванием т-й строки в мат-
рице В. Вычеркивание т-й строки означает размыкание т-го
контура в схеме на рис. 7.37, т. е. размыкание т-й ветви.
С помощью теоремы Бине—Коши легко установить, что алгебраи-
ческое дополнение А«т равно сумме произведений сопротивлений
ветвей связи для деревьев схемы (см. рис. 7.37) с разомкнутой
т-й ветвью.
248
Формулы для контурного определителя и его симметричного
алгебраического дополнения дуальны формулам для узлового
определителя и его симметричного алгебраического дополнения.
Докажем, что топологическая формула для алгебраического дополнения
д^ (т#=и) матрицы контурных сопротивлений схемы (см. рис. 7.36) дуальна
формуле для разности ДО?—Д^г
= (8’24)
где Vi/, ki (Vifoji)—сумма произведений сопротивлений ветвей, образуемых
ветвями’связи 2-деревьев типа Tzlij.kl> ПРИ разомкнутых лг-й и п-й
ветвях *.
Действительно, на основании формул (7.61) и (7.60) взаимное сопротивление
д(Ю
^пт~—7^лп-
^тт
Если числитель и знаменатель выражения (7.53) умножить на произведе-
в '
ние сопротивлений всех ветвей схемы JJ Zj,, то
fe=l
(п/^(д^-дГ)
Znm ~Г .
ДО’> JI Zft До”
Vil /
Так как Д^ представляет собой контурный определитель схемы на
рис. 7.36 при разомкнутой ветви т, а Д‘У> — узловой определитель этой схемы
( В \
JJ Zk I Д‘У>
fe=l /
и, следовательно,
д^=(п^(д^-д^)Ли.
U = 1 ,
Учитывая равенство (8.8), можно записать
Д£л = (П (Wii.ki-Wik.fi).
\fe=i I
Каждое слагаемое Wц, ki (Wtk,ji) есть произведение проводимостей ветвей
2-дерева типа Тг(у, kb (Tztik.jb)- Проводимости ветвей 2-деревьев при умно-
жении на произведение сопротивлений ветвей сокращаются с сопротивлениями
тех же ветвей; в результате получается формула (8.24).
Необходимо отметить, что для практического расчета переда-
точных функций топологические формулы для контурного опре-
делителя и его алгебраических дополнений применяют реже, чем
топологические формулы, рассмотренные в § 8.1-ь 8.5. В случае
* Ветвями связи 2-дерева называют совокупность ветвей схемы, не являю-
щихся ветвями 2-дерева.
249
планарной схемы для вычисления передаточных функций с помощью
контурного определителя и его алгебраических дополнений при-
менима топологическая формула (8.15), если предварительно
перейти к дуальной схеме.
Рис. 8.20
Пример 8.9.. Вычислить проводимость Y^^IjUi схемы на рис. 8.20, а.
Решение. На рис. 8.20, б изображена схема, дуальная исходной. Про-
водимость Y31 = Z3l — U3ll^ дуальной схемы. Согласно формуле (8.15),
7а _ Я?' Af' + Af' У? (У? + У? + У?) + У? У*
дй-------------------ДЙ •
Определитель Дй дуальной схемы найдем е помощью разложения по путям
между узлами Iй—3й:
4
д<г = ПлД*=У?У?(yf4-yf4-y?)+yfyfyf+
+У?yf yf + r^yf (yf + yf + yf).
Если проводимости ветвей дуальной схемы заменить сопротивлениями
ветвей исходной схемы, то
v Ze (Z3+z4+zB)+ Z4ZB
---------------------t
где
Д = Z3Z4 (Z2+ZB-]-Ze)-|-Z4ZBZ2+ZeZ5Z3+ZeZ2 (Z3+Z4-|-ZB).
§ 8.6. Применение сигнальных (направленных) графов
к анализу электрических цепей
Как уже отмечалось, линейная электрическая цепь характе-
ризуется различными системами линейных уравнений. Эти урав-
нения могут быть наглядно отображены в виде сигнального
(направленного) графа. Применение сигнальных графов к анализу
электрических цепей позволяет существенно уменьшить объем
вычислений по сравнению с непосредственным разложением опре-
делителя и его алгебраических дополнений. Кроме того, сигналь-
ный граф дает наглядную картину причинно-следственных свя-
250
зей между параметрами схемы и ее напряжениями и токами;
с помощью графа определяют влияние различных параметров
схемы на передаточные функции.
Далее рассматриваются основные определения, преобразования
и свойства сигнальных графов на примере графов, отображающих
узловые уравнения цепи *.
Сигнальный граф, его преобразование и передача. Сигналь-
ным графом называют направленный граф, находящийся в одно-
значном соответствии с системой линейных уравнений.
Пусть дана система п линейных уравнений (индекс у для
краткости опускается)
у иФ1+К12Ф2+• • + ^хпФп =?= Л;
У21Ф1 + Е22Ф2 Ф~ •. • Ф* 1/2пФп = J\', (8 25)
УщФ1 + ^лгфа + • • • + Упп^п = Jn- .
Полагая
где 1 имеет размерность проводимости,
(/=#/),
систему (8.25) можно привести к следующему виду:]
Фх = *^11Ф1 + ^гзФг • + ЗА/рЛф-А;
Фг = 3/21Ф1 + ^ггФг +... + 3^2пфп + A, (g gg)
Фл — ‘АгФг + 'АгаФг + • • • + ^ялФп + А.
Уравнения (8.26) называют уравнениями в форме причина-
следствие, так как в них каждая зависимая переменная фг выра-
жена как функция всех зависимых и независимых переменных.
Сигнальный граф строится по уравнениям (8.26), для чего
каждой зависимой (фг) и каждой независимой (j\) переменным
ставится в соответствие узел графа. Если коэффициент 2фу О,
то узлы фг и фу соединяют ветвью, которая направляется от узла
фу к узлу ф/ и которой ставится в соответствие коэффициент 3/,7,
называемый передачей ветви. Узлы ф/ и jt соединяют ветвью,
направленной к узлу фг и имеющей единичную передачу.
Например, системе трех уравнений
Ф1 — ^пФх4-3^ 12Ф2 Н- -АзФз+А;
Фг — 3^21Ф1 + З^ггФг 4" З^гзФз ф- J2',
Фз = 3/ 31фх ф- 2/32Ф2 + З^ззФз ф- А
* Все результаты имеют общий характер и непосредственно применимы
к графам, соответствующим любой системе линейных уравнений.
£51
соответствует сигнальный, граф на рис. 8.21. Ветви, которые
начинаются и заканчиваются в одном и том же узле фг, назы-
вают петлями и имеют передачи, равные У ц.
Если задан сигнальный граф, то можно записать систему
уравнений, отображаемую графом. Уравнение, соответствующее
узлу фг, получается приравниванием переменной фг и суммы про-
Рис. 8.21
изведении передач всех вет-
вей, направленных к узлу ф/г
на переменные узлов, в ко-
торых эти ветви начинаются.
Узел сигнального графа,
к которому присоединены
только исходящие ветви, на-
зывают истоком (узлом
источника). Так, граф на рис.
8.21 имеет три узла (исто-
ка): Л, J2, /3. Узел графа,
к которому направлены все
примыкающие ветви, назы-
вают стоком (узлом стока).
Узлы графа с входящими и
называть
промежуточными. На рис.
выходящими ветвями будем
8.21 промежуточным
узлом является любой из узлов фх, ф2, ф8. Промежуточный узел
легко преобразовать в сток, добавляя ветвь с единичной пере-
дачей, направленной из этого узла, и один узел (сток). Напри-
мер, на рис. 8.21 узел ф2 преобразован в сток.
Систему уравнений (8.26) можно решить методом исключения
переменных. Исключению переменной фг соответствует основное
преобразование графа — исключение промежуточного узла.
Наиболее просто - исключается узел фй, в котором нет петли
(3^ = 0). Так, если 2/’пп = 0, то уравнение для n-го узла имеет.
вид
Ф/г = ^п1Ч>1 + У «гФг + . • . + Уп, п-1Фл-1 + Jn-
Подставляя выражение для ф„ в другие уравнения, получаем
Фг — (У а + УщУщ) Фх + (^а+У^Ущ) Фа + • • •+
+ (У I, п-1 + У1$ п, п-1) Фл-1 + Л + У J,П*
Таким образом, после исключения и-го узла ветвь, соединяю-
щая узлы ф/ и фу и направленная к фг, имеет передачу
+ (i, /=1, 2, ...» п-1). (8.27)
Ветвь, соединяющая узлы фг и Jt, не меняется, а между
узлами фг и Jn добавляется ветвь с передачей У in.
На рис. 8.22, а показан граф, являющийся частным случаем
графа на рис. 8.21 при 2/33 = 0. Исключение переменной ф8 при-
водит к графу на рис. 8.22, б, передачи ветвей которого найдены
по сформулированным правилам.
ойо
Если то в узле ф* имеется петля. Пусть 3^яя^=0 и
^яя=/=1. Тогда из n-го уравнения (8.26)
л — гл л. । ^пг _• । ^л.п-1 л. । 1 /
‘Рп - 1 _ ^„/₽1 +1 _ 3/п/р2 + • • + 1 2/„„ + 1 Упп Jn‘
Подставляя выражение для фл в t-e уравнение (i = l, 2, ...
л—1), можно найти
Ф/ = (^н + +• • • +
+ (^.л-1+'т^^)<Рл-1+
\ 1^ПП ) 1--•У ntl
Следовательно, после исключения rt-ro узла с петлей Упп ‘
ветвь, соединяющая узлы фг и ф; и направленная к фг, имеет
передачу
= + (», /=1, 2, ... п-1). (8.28)
Ветвь, соединяющая узлы ф/ и 7г, не изменяется; а между
узлами фг и ]п добавляется ветвь с передачей ^„/(1 — ^п«)-
Рис. 8.22
Исключение узла ф8 графа на рис.. 8.21 приводит к новому
графу (рис. 8.23), передачи ветвей которого записываются на
основании сформулированных положений.
Исключение узлов графа не требует записи уравнений и их
Преобразования; узлы исключают путем непосредственного пре-
образования графа. Если граф содержит только один исток Уй,
то, последовательно исключая все узлы фг, кроме одного, полу-
чаем граф, состоящий из одной ветви и двух узлов —узла источ-
ника и узла фр Передачу этой ветви называют передачей графа
И от истока J\ к стоку фР Передача графа
. (8.29)
253
Таким образом, алгебраическому методу решения системы
уравнений методом последовательного исключения неизвестных
соответствует преобразование сигнального графа, отображающего
эту систему, путем исключения узлов. Преобразование графа
позволяет найти необходимые передачи и, следовательно, пере-
менные фг. Если граф имеет несколько узлов —истоков, то для
определения с помощью графа переменных фг необходимо приме-
нять принцип наложения.
Пример 8.10. Определить ф2.из графа на рис. 8.21 при j2=j3=0.
Решение. Если j2=j3=0, то в'соответствии с рис. 8.23 после исклю-
чения узла фз данного графа получим граф на рис. 8.24, а. Передачи ветвей
графов на рис. 8.23 и 8.24, а, обозна-
ченные одинаковыми буквами, равны.
В графе на рис. 8.24, а добавле-
ны ветвь с единичной передачей и узел
ф2 в соответствии с уравнением ф2=ф2.
Если исключить узел ф2 с петлей
3/22 графа на рис. 8.24, а, то полу-
чим граф рис. 8.24, б, передачи З^и
и ветвей которого определим по
формуле (8.28).
При исключении узла графа
на рис. 8.24, б результирующий граф
будет состоять из одной ветви (рис.
8.24, в). Передача этой ветви представ-
ляет собой передачу графа от истока
к стоку ф2:
^=Ф2/Л=«1-%).
Следовательно, искомая переменная
ф2=HJlt где Н определяется через
передачи ветвей исходного графа.
Топологическая формула для передачи сигнального графа.
Передача сигнального графа может быть найдена с помощью топо-
логической формулы (формулы Мэзона), для чего необходимо
ввести следующие понятия:
путь сигнального графа (направленный путь) —непре-
рывная последовательность ветвей графа между двумя различными
узлами при условии, что начальный узел каждой ветви (кроме
первой) совпадает с конечным узлом предыдущей и каждые узел
и ветвь в этой последовательности встречаются только один раз;
начало первой ветви (конец последней ветви) считают начальным
(конечным) узлом пути;
прямой пу.ть (путь передачи) сигнального графа — путь
сигнального графа, начинающийся в истоке и заканчивающийся
в стоке;
передача прямого пути П'к — произведение передач вет-
вей этого пути;
контур сигнального графа — замкнутый путь сигнального
графа;
передача контура — произведение передач ветвей этого
контура (в частном случае контур может состоять из одной ветви
'в виде петли);
определитель сигнального графа А — определитель системы
уравнений, отображаемых графом;
минор прямого пути А£ —определитель графа, получа-
емого из исходного графа при исключении ветвей, принадлежащих
/г-му прямому пути, и ветвей, имеющих с ним общие узлы (т. е.
определитель той части исходного графа, которая не соприка-
сается с k-м прямым путем);
Согласно топологической формуле, передача сигнального графа
H=jL~b—. (8.30)
где суммирование производят по всем прямым путям.
Определитель сигнального графа
А 1 - 2 4- 2 Р? - 21П3’, (8.31)
k k k
где 2= 2Lk~сумма передач всех контуров сигнального
k k
графа; ^Рь) = 2•Ръг — сумма произведений передач всех
ь k
возможных комбинаций из г некасающихся контуров (г = 2, 3, ...).
Миноры Afe вычисляют по формуле (8.31).
В качестве примера расчета передачи графа по топологической
формуле (8.30) можно рассмотреть расчет передачи от истока j\
к стоку фа для графа на рис. 8.21 при J2 = j’3 = 0.
Граф на рис. 8.21 содержит 8 контуров. Определитель графа
Л = 1 - 2 П*’ + Ц Pk - Ц Р'к",
k k k
где
2 P£' = + *^22 + 2^33 + + *^23*^32 +
k
+ ^31^13+ ^12^23^31 4“ ^13^32^21
235
— сумма передач восьми контуров;
У P'k 1 — У-&У22 4~ 3*22^33 + 33^11 4" 3*113^23^32 4* i
к
\ СЦ СЦ СЦ \СЦ сц сц
~Г & 2г*7 31*713 i а S3*7 1217 21
— сумма произведений передач шести пар несоприкасающихся
контуров;
У -Pfe8’ == З^цЗ^ггЗ^зэ
k
—сумма произведений передач трех несоприкасающихся контуров.
Рассматриваемый граф не содержит комбинаций из четырех
несоприкасающихся контуров, поэтому слагаемые VP*’ при
» - k
г>3 в определителе отсутствуют.
Существует два прямых пути от истока к стоку ф2. Для
первого пути передача и минор соответственно /7J = 3^21; Д{ =
= 1— Узз (не соприкасающаяся с первым путем часть графа
состоит из одной петли Уаау, для второго пути передача и минор
соответственно == 3/З13/23; Л2= 1 (путь содержит все узлы графа).
Таким образом, искомая передача
ц___Фа _ 3^21 (I —Узз)~\-Уз1У^з
— Л ~ Л
Топологическую формулу (8.30) можно получить, применяя
правило Крамера к решению системы линейных уравнений (8.25).
Для случая трех уравнений систему (8.25) запишем в следующем
виде:
(1 — У и) Ф1 — 3^12ф2 — З^13ф3 = J j;
—3*21Ф14*(1—3^22)ф2 — 3^23ф3 = 0;
—3^31Ф1~ З^32ф2-р(1—2/33)фз = 0 ,
(при /2 = /э=0).
Определитель этой системы
1-3/ц -342
--3^21-1 —3^22
-------У 31 -У 32
-3^18
—3^23
1-%з
Д =
= 1 — (З^ц 4- 3^22 4" У зз 4" У 1^214" У i^3i, 4- 36Л 4* У12У23У314*
4* 3^133^323/21) (3^ц3^22 4* У^цУзЗ 4" У33У11 4* 3^ц3^2з3^82 4"
4" У22У31У13 4* З^333^122^21) — УцУ^зз,
что совпадает с выражением (8.31).
Переменная
1
Ф2=д
1-З^ц
—з/21
—3^31
Ji
о
о
-З<13
-3^23
1 — У 33
3^21(1—3^зз) + 3^гз3^з1 /
= --------—д ......... J1
пса
л, следовательно, отношение H = совпадает с найденным
ранее.
Справедливость формул (8.30) и (8.31) может быть доказана аналогично
и в общем случае.
§ 8.7. Построение сигнальных графов для электрической цели
Граф уравнений Кирхгофа электрической цепи. Анализ элект-
рической цепи с помощью сигнальных графов сводится к постро-
ению графа, соответствующего системе уравнений цепи, и опре-
делению по нему передач
от узлов источников к уз-
лам зависимых перемен-
ных.
Любую цепь можно опи-
сать различными уравне-
ниями, поэтому для нее
могут быть построены раз-
личные сигнальные графы.
Сигнальный граф, со-
ответствующий уравнениям
Кирхгофа, строится сле-
дующим образом. Выби-
рается дерево схемы, пос-
ле чего напряжения ветвей
связи определяют через
напряжения ветвей дерева
по второму закону Кирх-
гофа, а токи ветвей дерева
выражают через токи вет-
вей связи по первому за-
кону Кирхгофа. Каждая
ветвь дерева и ветвь свя-
зи в общем случае могут
Рис. 8.25
содержать сопротивление,
источник э. д. с. и источник
тока. Если напряжение каждой
ветви дерева (ток каждой ветви связи) записать как функцию
тока (напряжения) этой же ветви и параметров источников, то с
учетом записанных ранее уравнений Кирхгофа получится система
2в уравнений с 2в неизвестными, которая легко отображается сиг-
нальным графом.
Например, для схемы на рис. 8.25, а можно выбрать дерево,
состоящее из ветвей /, 2 и 3. Тогда ветви 4, 5 и,6 являются
ветвями связи. Напряжения ветвей связи 6/4, й5 и С'в выражаем
через напряжения 0% и t73 ветвей дерева:
/74=—й1—и3; йъ=й^-\-йз', ив ——
Токи ветвей дерева /ъ /2 и 73 легко выразить через токи /4,
76 и 7в ветвей связи:
/1=/4-|-7е, /г— 76 /в, /3 = /4— /5.
9 п/р. Иен кина, т. 1
257
Если напряжениям и токам ветвей схемы поставить в соот-
ветствие узлы сигнального графа, то записанные уравнения могут
быть отображены с помощью связывающих эти узлы направлен-
ных ветвей графа с передачами -|-1 и —1.
Напряжения ветвей дерева можно записать как функции токов
этих же ветвей:
— z^ii—и2 — zj2 Ф"zj29 Og—Z3i^,
а токи ветвей связи представить как функции напряжений этих же
ветвей:
Л=Y.U,+Л, А = А=
Введя узлы графа, соответствующие э. д. с. источников напря-
жений и токам источников токов, можно представить с помощью
направленных ветвей графа, связывающих эти узлы, последние
шесть уравнений схемы. В результате получают сигнальный граф,
отображающий 12 уравнений с 12 неизвестными (рис. 8.25, б).
Следует обратить внимание, что узлы напряжения и тока
каждой ветви дерева соединены ветвью графа с передачей, равной
сопротивлению ветви дерева, а узлы напряжения и тока каждой
ветви связи — ветвью графа с передачей, равной проводимости
ветви связи. Кроме того, узел тока J2 источника тока в ветви
дерева (узел э. д. с. в ветви связи) связан с узлом напряже-
ния U2 (узлом тока /с) ветвью графа, передача которой равна
сопротивлению Z2 ветви дерева (проводимости Ус ветви связи),
что соответствует преобразованию источника тока в ветви дерева
(источника э. д. с. в ветви связи) в эквивалентный источник э. д. с.
(источник тока). Таким образом, при построении сигнального
графа с помощью уравнений Кирхгофа источники энергии в вет-
вях дерева схемы представляют как источники э.д. с., а в ветвях
связи — как источники тока. Если в схеме имеются ветви, содер-
жащие только источники э.д.с., и ветви, содержащие только ис-
точники тока, то первые должны быть включены в дерево, а
вторые — в ветви связи.
Пример 8.11. Определить напряжение йъ в схеме на рис. 8.26, а с помощью
сигнального графа уравнений Кирхгофа.
Решение. В качестве дерева схемы можно выбрать ветви 23=г3и
— Тогда ветви Z2=r2, Z4 = r4—(1//<вС4) и /е являются ветвями
связи. Для заданной схемы справедливы уравнения
д2=Л-^3; t4=tf8-£4; 4=4-4;
4=44* А,
Дз=2д/3; t76 —Z6/6;
которые отображаются графом на рис. 8.26, б.
По принципу наложения
6'б=
где Н;л и Я Б6—передачи графа соответственно от источников je и к узлу
258
Если то передача
5Ж
н
пъ\ = —г- — ,
Si Д
где 2 n'k^k=п{ д( = r2z3y4z6, так как имеется один прямой путь от узла St
k
к узлу Z76, содержащий все узлы, кроме Jc;
Д = 1 —(— K2Z3—/3^4 — У 4^3) + H2Z3K4Z6,
поскольку граф содержит три контура, из которых два не соприкасаются.
Если St—0, то передача
“56 —
•I в
k
Д
где ^nk&A = /7iAi=Zs (l-j-yz^s + ZsYi), так как существует один прямой
k
путь из узла je в узел С/Б, а не соприкасающаяся с этим путем' часть графа
содержит два контура; определитель Д совпадает с записанным ранее.
4 Z Ij -1 L 1 L
£t йг -i i/j z -1 й5.
to
Рис. 8.26
Таким образом, искомое напряжение
S6^tY2Z3Y4Z6S1+Z6 (l + ^Zg + Z,^ /в]/Д.
Графы узловых уравнений, уравнений с напряжениями ветвей
дерева и контурных уравнений. Недостатком графа уравнений
Кирхгофа схемы является большое число ветвей и узлов графа.
Если воспользоваться узловыми или контурными уравнениями
или уравнениями с напряжениями ветвей дерева, то для задан-
ной схемы можно построить более простые графы. При этом
построение графа выполняется в соответствии с правилом, изло-
женным в § 8.6. Для схемы с четырьмя узлами граф узловых
уравнений построен на рис. 8.21 (ф4 = 0). Аналогично строят
сигнальные графы уравнений с напряжениями ветвей дерева и
контурных уравнений.
Граф узловых уравнений (см. рис. 8.21) содержит петли
в узлах ф* с передачами <2/kk = l — Ykk (слагаемое 1 имеет раз-
мерность проводимости). Для того чтобы построить граф узловых
9*
259
уравнений без петель в узлах фу,, узловые уравнения преобра-
зуют следующим образом:
Ф1 = + ^1аФз + у~
' и
Ф-2 = ^21Ф1 + ^2аФз + -у~ «^2У> ;
Фз — ^з1Ф1 + ^агФг + jзУ> »
г зз
где
= - Yik/Ya (/,£=1,2, 3; j Ф k).
Граф узловых уравнений без петель в узлах фу, показан на
рис. 8.27. Аналогично строят графы контурных уравнений и урав-
нении с напряжениями вет-
вей -дерева, не содержащие
петель *.
Графы узловых и контур-
ных уравнений, а также урав-
нений с напряжениями вет-
вей дерева могут быть пост-
роены без записи уравнений.
Так, для построения графа
узловых уравнений (анало-
гичного графу на рис. 8.21)
потенциалам всех узлов схемы
(кроме базисного узла) и уз-
ловым токам ставятся в соот-
ветствие узлы фу, и Ду) сигнального графа. Каждую пару узлов гра-
фа фу и фй соединяют ветвью, направленной от узла фу, к узлу фу,
Рис. 8.28
имеющей передачу = — Yjk/Yjj' где общая проводимость
/-го и £-го узлов схемы; Ку,-— собственная проводимость /-го .узла
В дальнейшем при исключении узлов могут появиться петли.
260
схемы. Узел графа Лу) соединяют с узлом графа ф/'у> ветвью
с передачей 1/У*Л, направленной к узлу фЛ. Вместо узлов Лу>
графа можно ввести узлы, соответствующие токам источников
тока и э. д. с. источников э. д. с. ветвей схемы, и соединить их
ветвями с узлами фЛ, передачи которых записывают из соотно-
шения для Ду). Граф урав-
нений с напряжениями
ветвей дерева и граф кон-
турных уравнений строят
аналогично.
Пример 8.12. Определить
напряжение U в схеме на рис.
8.28, а с помощью графа узло-
вых уравнений.
Решение. Пусть ф8 —О.
Тогда для данной схемы строим
граф узловых уравнений (рис.
8.28, б). В рассматриваемом слу-
чае
Уи=У1Ч-У4;
У2г = У+Г2+У5;
У зз — У i+Уа-Ь У»;
Ytt—Yfl-Ysi-t-Ye-
Передачи ветвей графа соответ-
ственно:
^,=У1/Гп; ^з>=Л/Уз3;
2/и=У4/Уп;
2^23" Г2/У 22» 2^32—Y-JY з.ч;
Э^Уз/У»;
Рис. 8.29
Из графа найдем напряжение U—ф2:
^n'k&k
где
y,y2 у8у4
Y ззУ 22 У44 У 22.
и»
k
так как существует два пути от узла J к узлу (/, причем части графа, не
соприкасающиеся с ними, представляют собой изолированные узлы и имеют,,
определители, равные единице;
у? , yj , Yj
цУ зз Y 22Y 33 Y 22У44
ylYI
Yf , 9 YlY2Y,Yi '
YnY^ YnY22Y33YMl
___________ YlYf
YцУ33Y22^44 УцУ22УЗзУ44 ’
Д
так как граф содержит 6 контуров, из которых две пары не соприкасаются.
Пример 8.13. Определить ток / в схеме на рис. 8.29, а с помощью графа
контурных уравнений.
Решение. Если контуры схемы выбрать в соответствии с рис. 8.29а,
то искомый ток /=/3. Контурный ток /3 определим из графа контурных урав-
261
пений (рис. 8.29, б). В рассматриваемом случае справедливы соотношения:
Zu = Z1+Z2-|-Z3; Z22=Z3+Z4+Z8;
%зз—Z8+ ^в~Ь^7> Z44=Za-|~Z4-|~Ze + Zg.
Искомый ток
1—Is—Н Н зв$в.
где Hsi и H'ss—передачи графа соответственно от узла и от узла $в к узлу 1§.
Граф на рис. 8.29, б содержит 11 контуров, из которых две пары не
соприкасаются, поэтому определитель
( Zl ч 72 L Л2 J L . 72 1 . . - ] 72 L .
\ ^11^22 ‘ 2uZ44 1 1 7 7 • 1 7 7 ^22Л33 г 7 7 1 ^33^44
, । 2 ^3^4Z3 g Z4Z
ZuZ44Za2 Z^Z
в^в 1 । о Z2Z3Z8Ze \ . 2fZ| ZiZ|
13^44 ^11^^33^ и/ ^11^44^22^33 ^11^22^44^33
Имеются четыре прямых пути от узла в узел /3, причем миноры этих
путей равны единице. Следовательно, передача
тг___( ^3^5 । ^3^4^8 | ^3^4^5 । Z2Ze /„ .
3* \Z22Z33 ^44^23^33 ^44^22^33 ^44^33//
Существует также три прямых пути от узла <ов в узел /3. Минор пути,
Z2
содержащего ветви I/Z44 и ZJZgg, равен 1— •=—, а миноры других путей
^11^22
равны единице. Передача
Н = Г (1— \ I ^4^5 । ^2^3^Б
1^33 \ ^11^22/ ^22Z33 ^11^22-^33
Подставляя выражения для HSi и У/38 в формулу для тока /, получим
искомый результат.
J/(Z44&).
Г Л А В A 8.
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
И ЭЛЕКТРОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ (ТРЕХПОЛЮСНИКАМИ)
§ 9.1. Простейшие цепи с взаимной индукцией
Параметры и уравнения двух идеализированных катушек, рас-
положенных на одном кольцевом сердечнике, были рассмотрены
в § 1.8. Для любых двух катушек (контуров), не обязательно
имеющих общий сердечник, аналогично можно ввести понятия
собственной и взаимной индуктивностей при условии, что часть
магнитного потока, обусловленного током одной катушки (одного
контура), будет сцеплена с другой катушкой (другим контуром).
При этом справедливы определения коэффициента связи и одно-
именных (однополярных) зажимов, данные в § 1.8.
В общем случае любое число катушек может иметь индуктив-
ную связь. Каждая пара таких катушек характеризуется взаим-
ной индуктивностью и коэффициентом связи.
Взаимную индуктивность пары катушек можно считать алге-
браической величиной. Если индуктивно связаны только две
катушки, то их зажимы можно разметить так, чтобы взаимная
индуктивность была положительной (М > 0) *. Пусть одноимен-
ные зажимы двух катушек, для которых М > 0, известны и отме-
чены точками (рис. 9.1, а). Положительные направления для токов гг,
4 и э. д. с. взаимной индукции е1М и е2М выбраны одинаковыми
относительно одноименных зажимов. Тогда при di^dt >0 э. д. с.
взаимной индукции ейМ — — М di^dt < 0. Если /2 — 0, то разность
потенциалов зажимов второй катушки определяется только э. д. с.
е2М. Следовательно, потенциал одного зажима, отмеченного точкой,
выше потенциала другого зажима.
Повышение потенциала на зажиме одной обмотки при наличии
тока, возрастающего во времени и направленного к одноименному
зажиму другой обмотки, учитывают при экспериментальном опре-
делении одноименных зажимов катушек. С этой целью одну
из катушек присоединяют к источнику постоянной э. д. с.,
а другую —к вольтметру или гальванометру постоянного тока
(рис. 9.1,6). Если в момент замыкания ключа (di^dt > 0) стрелка
измерительного прибора постоянного тока отклоняется в положи-
тельную (отрицательную) сторону, то зажимы катушек, присое-
диненных соответственно к положительным (отрицательным) полю-
сам источника и прибора, будут одноименными. Для определенных
таким способом одноименных зажимов М > 0.
В случае, когда число индуктивно связанных катушек больше
двух, целесообразно произвольно отметить по одному зажиму
каждой катушки (одноименные зажимы) и установить знак взаим-
ной индуктивности для всех пар связанных катушек. Определение
знака можно осуществить экспериментально с помощью схемы
* Предполагается, что катушки неподвижны относительно друг друга.
263
на рис. 9.1, б. Если при замыкании ключа стрелка измеритель-
ного прибора отклоняется в положительную (отрицательную) сто-
рону, то взаимная индуктивность пары катушек с произвольно
отмеченными зажимами положительна (отрицательна) * .
На рис. 9.2, а, б показаны две схемы последовательного соеди-
нения катушек, имеющих индуктивности Lr и £2, сопротивления гг
и г2; взаимная индуктивность М > 0. В схеме на рис. 9.2, а,
называемой схемой согласного соединения, ток по отно-
Рис. 9.2
шению к одноименным зажимам каждой катушки ориентирован
одинаково, а в схеме на рис. 9.2, б, называемой схемой встреч-
ного соед и н ен и я,— противоположно. Напряжение на зажи-
мах схем
u = ul + u.i = r1t + -sf- + r2t + ~^-.
При одинаковом (противоположном) направлении тока отно-
сительно одноименных зажимов, потокосцепления самоиндукции
и взаимной индукции складываются (вычитаются) и для потоко-
сцеплении Tj и W2 справедливы выражения
Vj — Lji ±Mi;
V2 — L2i ± Mi,
* Взаимную индуктивность можно считать положительной при любом
числе связанных катушек. В таком случае для каждой пары катушек необхо-
димы специальная разметка одноименных зажимов: одноименные зажимы одной
пары отмечаются, например, точками, другой — звездочками и т. д.
264
где знак. плюс, относится к схеме на рис. 9.2, а, знак минус —
к схеме на рис. 9.2, б. С учетом выражений для ’F, и W, напря-
жение
и — (fj -|- г2) / -f- (^i £2 —Е 2Л4) di[dt.
Если ток изменяется по гармоническому закону, то можно
получить следующее соотношение для комплексных величин:
U = [fi -|- г2 + (£i + £2 — 2М)] 1 = (Zj -|- Z2 + 2Z>m) /,
где Zi^ri + jwL!,
катушек; ZM = ±.
Рис. 9.3
Z2 = г2 4- j(f)L2 — комплексные сопротивления
]'<аМ — комплексное сопротивление взаимной
индукции. Величина —
имеет размерность сопротив-
ления и называется сопро-
тивлением взаимной ин-
дукции.
Рис. 9.4
Комплексное сопротивление цепи
Z = U/i — Zi -|- Z2 -J- 2ZM = -J- f2 -J- j«t (Lj L% it 2M),
эквивалентная индуктивность
£э — £j £2 1.2M.
При согласном (встречном) соединении индуктивность £э больше
(меньше) суммы
Если напряжение U на зажимах цепей (рис. 9.2, а, б) задано,
то ток / = О/Z. Напряжения 0г и й2 на зажимах катушек опре-
деляют из выражений
На рис. 9.3, а, б построены векторные диаграммы соответ-
ственно для согласного (2Л1 = /®Л4) и встречного (ZM =— ]<лМ)
соединений катушек. При встречном соединении напряжение на
зажимах одной из катушек может отставать по фазе от тока
(емкостной эффект). Например, напряжение й2 отстает от тока I
(рис. 9.3, б), так как £2 < М.
265;
При параллельном соединении связанных катушек (рис. 9.4)
t = 4 + 4;
u = r1i1+dfP1/dt;
и = ^4 4- d^^dt.
Учитывая, что Ч\ — ±Mi2; y¥2 = L2i2±Mi1 [знак плюс
(минус) соответствует случаю, когда токи 4 и 4 одинаково (про-
тивоположно) ориентированы относительно одноименных зажимов],
Л4>0, при гармонических токах получаем уравнения для комп-
лексных величин:
i—А+4;
= Zj i 4* ZaJг!
и—Zfolj-p zj2.
Если задан ток 7 в неразветвленной части схемы, то напря-
жение на зажимах цепи
ZjZ2—Zm j
, Z2
токи в ветвях:
/2==£1~^д
где Zs = Zi 4- Z2 — 2ZM. Входное сопротивление цепи
z=u/i—(ztz2—z2m)/Zz-
Пример 9.1. Определить токи в ветвях и построить векторную диаграмму
для схемы на рис. 9.5. Составить уравнение баланса активных мощностей для
этой схемы и определить активную мощность, передаваемую из одной ветви
в другую. Параметры схемы: 1/<оС=со£,1 = 10 Ом; г2=(о£2=со7И=8 Ом;
£7=120 В.
Решение. Комплексные сопротивления ветвей:
Zi—j ^2=/’2_Ь/(о^-2=84'/8 Ом,
комплексное сопротивление взаимной индукции
ХЛ1=/(о7И = /8 Ом.
Уравнения цепи имеют вид
i—ii+4:
f7=z171+zM/2=z^1+z2/2j
откуда
' = Z2~ZM £г. (84-/8-/8)-120
1 Z^-Zm (—/8)2
/_ Zi~Z« (-/8>-120_
/a“Z1Z2-Z2^ U~ (_j8p
7=15-/15 A.
15 А;
/15 А;
26G
На рис. 9.6 построена векторная диаграмма токов и напряжений.
Активная мощность, потребляемая цепью,
Р = Re£//= Re [120(15—/15)] = 1800 Вт.
Активная мощность, потребляемая каждой ветвью,
р1== Re Uh =120- 15 ==1800 Вт;
P2=Rei7/2= Re (120/15)=0.
Таким образом, активная мощность потребляется от источника только
.первой ветвью, однако активное сопротивление и тепловые потери имеются
-только во второй ветви. Следовательно, активная мощность, потребляемая от
Рис. 9.5
1 -J+- Jwc lf juMi^ 0 jwMif 11 /jwL2i2 h -.1
+j JU)Lfiti -1 rzh
Рис. 9.6
источника первой ветвью, полностью передается за счет индуктивной связи во
вторую ветвь. Мощность, передаваемую от первой во вторую ветвь, можно
найти, если напряжение U представить в виде двух составляющих. При этом
Рх = Re [Z^+Z^] j = Re (Zjfy + Re (Z^fy;
P2 = Re [Z^ + Z2/2] I2 — Re + Re
Слагаемые Re (Z1f1/1)=r17f и Re (Z2Z2Z2) = /-2/| определяют потери мощности
в активных сопротивлениях соответственно первой и второй ветвей. Величина
Re (ZJM/2/1) = ^12 представляет собой активную мощность, передаваемую из
первой во вторую ветвь. Если /1=71е/“1, то
P12=Re [/о>/И/1/2е/(“2—“1)] = а>Л1/1/2 sin («j—а2).
Составляющая мощности Р2
Re (ZM/14)=S ^Ml1/2 sin (К1-а2) = - Р1а.
Следовательно,
Pi = r1/f4-Ri2! P2ee Pia+^i-
Так как /1=0,
p1 = p12=Re(ss/8- 15./15) = 1800 Вт,
P2==»P12-[-r2/|=—1800-J-8- 152=0.
Вся активная мощность, передаваемая из первой ветви во вторую, рас*
Сбивается в сопротивлении г%.
§ 9.2. Трансформатор в линейном режиме.
Индуктивно связанные контуры
Уравнения трансформатора. В простейшем случае трансфор-
матор представляет собой две индуктивно связанные катушки,
которые называются обмотками и расположены на общем сердеч-
267
нике *. Обмотки обладают активными сопротивлениями и г2 и
индуктивностями Lx и L2 (рис. 9.7). В комплексной форме урав-
Рис. Ф.7
нения трансформатора имеют вид
| (9 1)
= zJz, J
где Zi = fi /(oLi = +]Xi, Z2 == r2 4-
+ /(oL2 = r2 + jx2 — сопротивления
первичной и вторичной обмоток;
Zm = /®Л4 — ]Хм — сопротивление ин-
дуктивной связи (взаимной индукции).
Если ZH = гн + /хн — сопротивле-
ние нагрузки, то к уравнениям (9.1)
добавляется уравнение
U2 = — Zj2. (9.2)
ZM f
2
Из уравнений (9.1) и (9.2)
1 U'
72
7
* 1 z2+z,
Входное сопротивление трансформатора
7 — 41— 7
вх /j “ 1 Z2+Za*
Выражение для ZBX можно преобразовать, разделяя веществен-
ную и мнимую части:
7 _ , ^(г2 + гн) Г
”Х Г1Ч’(Г2+гН)2 + (Ха + хн)2 + /Г1
Составляющие входного сопротивления
хм (Хг+Хц) ,
(г2 + Гн)2 + (x2 + хн)2.
хм (г2-}-гн)
вн (гг+Гц^+СХг+Хн)2’
хм(х-2+х„)
1 (Г2 + Гн)2-|-(Х2-|-Хн)а
(9.4а)
(9.46)
называют соответственно вносимыми активным и реактивным
сопротивлениями. Сопротивление гвн увеличивает входное активное
сопротивление со стороны зажимов первичной обмотки по срав-
нению с величиной гх. Увеличение активного сопротивления обу-
словлено рассеиванием энергии в активном сопротивлении второго
контура. Сопротивление хвн увеличивает или уменьшает входное
реактивное сопротивление по сравнению с величиной в зависи-
* Как правило, сердечник выполняется из ферромагнитного материала
с высокой магнитной проницаемостью р; в линейном режиме р=const. Находят
применение также трансформаторы с сердечником из неферромагнитного мате-
риала (>х= 1).
263
мости от знака реактивного сопротивления х2-|-хн. Увеличению
(уменьшению) входного реактивного сопротивления соответствует-
увеличение (уменьшение) общего магнитного потока по сравнению
с потоком самоиндукции за счет потока взаимной индукции.
Активная мощность, отдаваемая источником напряжения бД,
Л = Re (6/Л) = Re (Zjj^) + Re (гЛ/2Д) = rJl + P12,
где Pi2 = Re (2л</2/1). Составляющая rx/| мощности Рг расходуется
на тепловые потери в первом контуре; составляющая Р12 переда-
ется во второй контур вследствие индуктивной связи. Если =*
= /1е/“1, /2 = 12е'% то
Р12 = Re Цхм^Це! = х^Л/2 sin (ах — а2).
Активная мощность, потребляемая нагрузкой,
Р2 = Re (— 672/2) = Re (— -|- Re(— Z2/2/2).
Составляющая мощности P2
Re (— ZM/J2) = Re [— jxMIJ^= xMIJ2 sin — a2) = P12,
следовательно, P2 = P12 — г2/|, t. e
меньше мощности, передаваемой во
второй контур, на величину по-
терь в сопротивлении г2. Выраже-
ние баланса активных мощностей
можно записать в виде
Р1^Р2 + г1Г1 + г2Г2^
= Г111 + (гн4-г2) Д..
Для расчета разветвленных це-
пей с трансформаторами можно
воспользоваться матричным спосо-
бом, для чего составляют неопре-
деленные матрицы узловых прово-
димостей и контурных сопротив-
лений трансформатора. Схема че-
тырехполюсного трансформатора
(рис. 9.8, а) характеризуется урав-
нениями, аналогичными (9.1):
Uu^Zji + Zj,-,
и ik — Zm Ji+z2ih
активная мощность нагрузки
Рис. 9.8
откуда
Ji= 7 7 1 7< (Z^Ujii — ZMUa).
269
Учитывая, что Uu = ^i — ф„ UJk = ^ — фл, i^ — Ц, ih =—I,-,
получаем матричное уравнение
~1Г
h
ik
i
ZtZ^—Zm
Z2 —Zm
— Zaj Zj
Za; —Z2
— Zi Zm
Z^ — Zj Zj — Z^a
— ZM — Z,y z2
Ф/
Ф/
Ф*
_Фг_
Таким образом, неопределенная матрица узловых проводимо-
стей четырехполюсного трансформатора
Рис. 9.9
v<y)
I н
Уц
У))
Аналогично находят матрицу
тора (рис. 9.8, б):
трехполюсного трансформа-
Yik-
Yik -
Yki Yk, Y kk
Z2 —Zm —Z2-}-Zm
— Zm Zm—
— Zg-j-ZM Zai — Zj Zi~}- Z2 — 2Z^f
(9-6)
В матрицах (9.5) и (9.6) сопротивление Z^. — iaM (М>0).
Если у одной из обмоток изменить расположение зажима, отме-
ченного точкой, то Zm =—]<лМ. При вычеркивании одного столбца
и одной строки из неопределенной матрицы получается определен-
ная матрица. Например, вычеркивая третий столбец и третью
270
строку в матрице (9.6), получаем
УцУц __ 1 ^2 -Zm
YjiYjf_~T ~Zm
(9.6а)
Вычеркивание k-ro столбца и /г-й строки в матрице проводи-
мостей означает, что заземляется /г-й узел (ф* = 0) и не учитыва-
ется уравнение для тока Ik.
В схеме на рис. 9.9, a Ц, I/, /А, // — контурные токи. Схема
описывается уравнениями
U{ — (// — /й) + Zm. 01 — jу);
/71=Zm (Л—/*)+z2 U i—ij).
Учитывая Uk — — (Ji, U}= — Ut, нетрудно записать матричное
уравнение
- Zx N) s N H Zm
й) — Zm Z2 Zm -z2 h
uk -Zx Zm Zr — Zm Ik
ut_ Z м 1 N K> 1 N) z2 _
откуда неопределенная матрица контурных сопротивлений четы-
рехполюсного трансформатора
Zu Zi] Zik Zu - Zx — Zm -Zx Zm
у(к) „ Д-Н Zj] Zk) Z)k Zkk Zn Zki N N Zm Zm Zx • (9.7)
Zu Zu Zik Zu _ Zm ~z2 — Zm Z2_
Аналогично вычисляется матрица ZhK) трехполюсного трансфор-
матора (рис. 9.9, б):
у (к)____
-Zu
Zfi
_Zm
— Zm
Zif Zik
Zjj Zjh =
Zk) Zkk _
— Zy-\- Zm
— Zm
Zm — Z2
(9.8)
— Zx -J- Zm
Zm ~ ^2
ZiY Z2 — 2Zm
' Zx
Следует отметить, что матрицы Y„y) и Z1K) симметричны, т. е.
трансформатор удовлетворяет принципу взаимности.
При вычеркивании одной строки и одного столбца из матрицы
ZhK) получается определенная матрица контурных сопротивлений.
Вычеркивание к-го столбца и к-й строки означает, что контурный
ток /А = 0 и уравнение для напряжения Uk не учитывается.
Совершенный и идеальный трансформаторы. Совершенный
трансформатор, рассмотренный в § 1.8, представляет собой часг-
271
ный случай трансформатора (см. рис. 9.7) при и = г2 = 0; М —
= lZL^L2 (или Кс = М/УТ^Ь2 = 1). Уравнениям (1.28) соответствуют
уравнения в комплексной форме (9.1) при Z1 = /<b£1; Z2 = 7<bjL2;
Zm = ]/Z1Z2. Отношение напряжений совершенного трансформа-
тора
п Uz V 72 (}/ Zt -}- }/ Z8 /2) у /~Z2 __ ~i /~Ь2
йу VTr{\ZTjy + VT2i2) ’z.
не зависит от нагрузки и называется коэффициентомтранс-
формации; n — w^/Wi (см. § 1.8).
Пусть магнитная проницаемость сердечника совершенного
трансформатора р->-оо. Тогда Lx^<x>, L2-+oo и М —>-оо; коэф-
фициент трансформации п = ]/ L.^/L^ = wjwr — конечная величина.
Из уравнений .(9.1) можно найти
или
т. е. отношение токов
Ii/j2 также не зависит от нагрузки.
Трансформатор, характеризуемый урав-
нениями
U2 = nUi,
(9.9)
Рис. 9.10
называют идеальным. Идеальный тран-
сформатор представляет собой предельный
случай совершенного трансформатора при
р->-оо (рис. 9.10, а, б).
Входное сопротивление идеального
трансформатора., нагруженного на сопро-
тивление ZH = L72/(—/2)»
(9.10)
т. е. трансформатор обладает свойством
преобразования сопротивления в 1/па раз
и может применяться для согласования
сопротивлений.
Так как для совершенного и идеаль-
ного трансформаторов ZjZ2 — Z2M — 0, то
матрицы узловых проводимостей (9.5) и (9.6) не существуют. Для
совершенного трансформатора применимы выражения (9.7) и (9.8)
матриц контурных сопротивлений; в случае идеального трансфор-
матора матрицы (9.7) и (9.8) также не существуют. Идеальный
трансформатор часто применяют как многополюсный элемент для
построения различных схем замещения.
272
Резонанс в индуктивно связанных контурах. В радиотехнике
и технике связи применяют колебательные контуры высокой
добротности с индуктивной связью (рис. 9.11). Входное сопротив-
ление ZBX связанных контуров,
вносимые активное и реактив-
ное сопротивления можно найти
соответственно из выражений
(9.3), (9.4а) и (9.46), если
га = 0; х„ = 0, xL — «.Li — 1/<bCi,
х2 — ihL2 — 1 /соб52.
В связанных контурах раз-
личают несколько видов резо-
нанса, которые достигаются при
Рис. 9.11
изменениях реактивных пара-
метров или частоты. Если изменять емкость Сг первого контура,
то при хх + хвн = 0 токи Zx и 12 принимают максимальные зна-
чения:
Zlmax
Ul .
Г1 + Гвн
2tnax
__ ^AfZimax
“ Vn + ^2
Такой режим цепи называют первым частным резонан-
сом. Аналогично можно определить второй частный резо-
нанс, когда достигается максимум тока 12 с помощью изменения
емкости С2 при неизменных параметрах первого контура.
Значения ZXtnax и Z2tnax зависят от сопротивления взаимной .
индукции Хм, т. е. от величины коэффициента связи Ас- Учиты-
вая, что
т ________kmUi Z2kmUi
2 max / у2 у \ *» 5*2 1 у у-2 >
I ХМГ2\ ГДт¥м
\ Г1 + 5*2 / Z2
\ *2 /
где = из уравнения д12тах/дхм~0 можно определить
значение Хм, при котором Z2max будет наибольшим: хм = г2 j/"r~.
Наибольшее значение тока Z2max
(Zamax)max=£p=.
При этом
Il max ” Uj2rr.
Режим цепи, при котором хх-]-хвн = 0 и установлена оптималь-
ная связь Хм = г2Угх/г2, называют сложным резонансом.
Можно настроить в резонанс каждый из контуров в отдель-
ности. При этом хх = 0, х2 = 0. Если затем устанавливается опти-
мальная связь Хм = z2 ]/ri/r2 = г2 rjr2 = гхг2, то режим цепи
называют полным резонансом. При полном резонансе зна-
чения токов Ii и 12 те же, что и при сложном резонансе.
Целесообразно рассмотреть частотную характеристику модуля
взаимной проводимости f/2i = Z2/17x для двух контуров с одина-
273
новыми параметрами Ьг = L2 — L, С\ = С2 = С, г1 = г2 = г и, следо-
вательно, х1 = х2 = х (данная частотная характеристика аналогична
частотной характеристике тока /2). Комплексная взаимная прово-
димость Y21 = I2/U1 = — Zm/(Z1Z2 — Z‘m) или (Z1 = Z2 = r+jx,
Zm = JXm)
V ~iXM ______________________—Ьм!1*__________
21 Г2 — X2 + xaM + j2rx 1 — (x/r)2 + (xM /r)2+ 2/ (x/r) •
Отношение a=x/r — обобщенная расстройка контуров (см. § 7.6).
При резонансной частоте <оо= 1Д/ДС, а = 0. При небольших откло-
нениях частоты со от резонансной (небольших расстройках)
а = — laL----Ц
Г \ (йС)
__ Шр\ _ Q (СО —(0о)'(С0 + С0о)
г \соо со J ” сосоо
2Q, X
-(со-соо).
, В области частот, близких к соо, отношение
Хм/г = ®М/г = № К^Цг = KZQ.
Модуль взаимной проводимости
У ____________KcQ/r________
|/ [1 - а2+(КсОТ+(2а)2 ’
Наибольшее значение взаимной проводимости y2imax= 1/2г
имеет место при полном или ^сложном резонансе [если контуры
одинаковые, то (/2max)max = 1Л/2г ]. Разделив c/2i на //«max, полу-
чаем нормированную характеристику связанных контуров:
, Ум. _____________2KcQ___________
У21тах ~ K(1-c2 + W + 4c2 ’
(9.11)
Величина отношения (9.11) при любой расстройке а зависит
от произведения /<CQ. В
частности, при резонансе
(а = 0)
(с/ax \ ___ 2KcQ . р.
yMtnaxJp 1+^<22 • 1 '
Отношение (9.12) прини-
мает наибольшее значение,
равное единице (при /CcQ ==
= 1), т. е. в случае опти-
мальной связи. Если
KCQ ^5 1, ТО (Угх/С/итах) 1 •
Дифференцируя функ-
цию (9.11) по а и прирав-
нивая производную к нулю, вычисляем значения а, соответствую-
щие максимумам функции (9.11):
G1i2=±KW~i-
274
Функция имеет максимумы только при сильной связи, т. е.
при Если /<cQ<Cl, то а1<2 — мнимые числа. Максималь-
ные значения функции (9.11) равны единице. При сильной связи
функция (9.11) имеет также минимум, определяемый выражением
(9.12). При KcQ<. 1 (слабая и оптимальная связь) функция (9.11)
имеет только один максимум для a = Q.
Семейство зависимостей y2i/f/aimax для различных значений
KCQ приведено на рис. 9.12. Связанные контуры при KcQ^l
позволяют получить более широкую полосу пропускания, чем
у одиночного контура. Изменяя коэффициент связи, можно изме-
нять форму частотной характеристики.
§ 9.3. Разветвленные цепи с взаимной индукцией
Уравнения разветвленных цепей. Для разветвленной цепи
с взаимной индукцией матрица комплексных сопротивлений ветвей
”Z1 Z12 Z1B*
Z(b)= Zal Z.2 "• Zsb , (9.13)
Л, Zb2 ... ZB _
где элементы главной диагонали Zlt Z2, ..., ZB — комплексные
сопротивления всех ветвей; элементы вне главной диагонали Zl}- —
— Zji (i j) — комплексные сопротивления индуктивной связи i-й
и /-й ветвей. Сопротивление Zy = = /соТИ (Zy = — = — /соТИ),
если ориентация i-й и /-й ветвей по отношению к одноименным
зажимам одинакова (противоположна). Для ветвей, не имеющих
индуктивной связи, Zy = 0.
Матрица проводимостей ветвей цепи с взаимной индукцией
определяется как матрица, обратная матрице (9.13):
Y<B> = [Z(B)]-1. (9.14)
Зная матрицы Y(B) и Z(B), можно составить узловые уравне-
ния, уравнения с напряжениями ветвей дерева и контурные
уравнения (7.27), (7.28) и (7.29). Матрицы этих уравнений
вычисляют, как и в цепи без взаимной индукции, по выражениям
(7.30) ч-(7.35). Однако в отличие от цепей без индуктивных
связей матрицы Z(B) и Y(B) не являются диагональными. Матрицы
Y(y), y(c), Z(K) цепей с взаимной индукцией симметричны, так
как симметричны матрицы Z(B) и Y(B), т. е. такие цепи удовлет-
воряют принципу взаимности.
Во многих случаях не все ветви цепи имеют индуктивную
связь, поэтому с помощью надлежащей нумерации ветвей мат-
рице Z(B) нетрудно придать квазидиагональную форму;
Zu
2(в) =
u ^тт -J
275
где подматрицы Zu, Z22,..., 1тт могут быть квадратными недиа-
гональными или диагональными. Такое представление матрицы
Z(B) облегчает ее обращение, так как обратная матрица
у(в) —
"Zu
Z22
rZr?
Z27
Zm/n
В качестве примера составления матричных уравнений можно
рассмотреть схему на рис. 9.13, а, граф которой показан на
Рис. 9.13
рис. 9.13, б. Матрица сопротивлений ветвей
где
Z<B> =
Z12 Z2 :
;Z3 Z3,^
;Z34 Z4 i
В этой матрице выделены три подматрицы, которые легко
обращаются:
Ух —Z2/Au; У2— Zj/Ац; ys = Z4/A22; y4 = Z3/A22;
У12 — —Z12/Au; У34 =— Z34/A22; Уь= 1/Z6; ye=l/Ze.
276
Таким образом, матрица проводимостей ветвей
Y<B> =
Следует отметить, что для принятой ориентации ветвей (рис. 9.13, б)
Z34 =-----------/Сй/И34.
Для составления узловых уравнений необходимо записать
узловую матрицу
1 Г—1 10 о о г
А = 2 0—11—1 0 0
з[ о 0 0 1 —1 — 1
и вычислить матрицы узловых проводимостей Y(y) = AY(B)A^T) и
узловых токов j(y) = Aj(B) —AY(B)$hB), где J(B) = [0 0 0 0 /Б 0]т,
^(в> = [^1 0 0 0 0 Л]т-
В результате вычислений получают узловые уравнения
’Л+Г2 + Ув-2У12 -У2 + У12 -У6
-У2 + У12 У2 + У3+Ув-2У31 -У4 + Ум
-уе -У4+У34 У4 + У6+Ув
"(Ух-у^Л-КвЛ'
---^5 4~ l7в$в
<Р1
,<Рз
Записывая матрицу контуров
1 Г1 1
В= II 0 0
III 0 — 1
1 0 0 0"
1110
0 10 1
и вычисляя матрицы контурных сопротивлений ZfK) = BZ(B)B(T) и
контурных э. д. с. ^(к) = В£(В) — BZ(B)j(B), легко получить контур-
ные уравнения
4- ^2 + + 2Z42
— Z2 —Z124-Z34
Z3 + Z34
z3 + Z4 + Z5 + 2Z31
Z4 4- Z34
— Z2 ~ Z12 4- Z34
Z4 4- Z34
Z2 -J- Z4 -J- ze
-/(КГ
X /iK)
1
5
6
277
Для выбранных контуров (рис. 9.13, б) контурные токи соот-
ветственно равны токам ветвей: /|к> = /ь /<к) = /5; /'к)=/в. Таким
же образом могут быть составлены уравнения с напряжениями
ветвей дерева.
Как видно из рассмотренного примера, уравнения цепи
с взаимной индукцией составляют аналогично уравнениям цепи
без индуктивных связей. Для простых цепей с взаимной индук-
цией контурные уравнения или уравнения по законам Кирхгофа
можно записать непосредственно при рассмотрении схемы. При
записи уравнений для контуров наряду с напряжениями на
активных сопротивлениях, емкостях и составляющими напряже-
ний на индуктивностях, обусловленными э. д. с. самоиндукции,
необходимо учитывать составляющие напряжений на индуктив-
ностях, обусловленные э. д. с. взаимной индукции. Эти состав-
ляющие имеют вид je>MikIk (—/юТИ^/й), если направление обхода
i-й ветви и положитель-
ное направление тока Ik в
4-й ветви одинаковы (про-
тивоположны) относитель-
но одноименных зажимов
связанных индуктивностей
Ц и Lk- Если схема содер-
жит только источники
э. д. с., то контурные э. д. с.
записывают так же, как и
для цепи без индуктив-
ных связей. При наличии
источников тока в связан-
ных ветвях токи таких источников можно рассматривать как из-
вестные контурные токи и учитывать напряжения на индуктивно-
стях в виде составляющих, обусловленных э. д. с. самоиндукции
и взаимной индукции. Преобразования источников тока (э. д. с.)
ветвей, связанных с другими ветвями взаимной индукцией, в
источники э. д. с. (тока) по правилам преобразования источников
в цепях без индуктивных связей могут привести к ошибочному
результату.
Следует отметить, что для цепей с взаимной индукцией непо-
средственно неприменимы топологические методы расчета, изло-
женные в гл. 8, за исключением метода сигнальных графов.
Пример 9.2. Рассчитать токи в схеме на рис. 9.14, а. Параметры схемы:
co£1 = ca£3=wL4=8 Ом; со£2—1/coCi= Ю Ом; соЛ112=й)Л434 = 4 Ом; £4=24 В;
/3=/16 В.
Решение. Контурные уравнения для заданной схемы имеют вид
jaiLiiy—
'—+ / (^L2-]-<£>L3 — 4— /©Л^344 = й»
278
дли
•— №i+/8/2—/4/3=0;
-/4/2+/8/3=/16.
Выражая из этих уравнений токи —3/4-0,5/2; /2=0,544-0,5/3; 4е®
с=2-*-0,512, строим сигнальный граф (рис. 9.14, б).
Определитель графа Д=1—0,52—0,52=0,5.
Вычислим токи в схеме:
[-3/ (1 -0,25)4-2.0,25] = 1 -/4,5 А;
4=Л [-3/0,54-2.0,5] = 2-/3 А;
v,o
/3=J- Г— 3/0,25 4-2(1 —0,25)] = 3—/1,5 А.
v,O
§ 9.4. Эквивалентные схемы и преобразования цепей
с взаимной индукцией
В ряде случаев целесообразно преобразовать цепь с взаимной
индукцией в эквивалентную цепь, не содержащую индуктивных
связей, после чего для расчета цепи можно применить топологи-
ческие формулы или исключение узлов с помощью замены мно-
голучевой звезды многоугольником.
В качестве простого примера преобразования цепи при нали-
чии индуктивной связи полезно получить эквивалентную схему
для трансформатора (см. рис. 9.8, б). Уравнения трансформатора
можно представить в виде
lJik = = —ii — ik)’, I
67ik = ZmIi 4- Z<Jj - ZM (— Ij — A) 4- Zjj J
или
Utk — (Zi — ZM) Ц — ZmI^ I
uik = (z2 - zM) ij - zMik. J (15)
Уравнениям (9.15) соответствует эквивалентная схема на
рис. 9.15, а. Учитывая Zx =/i +/<в£1, Z2 = z,24-/C07.2, ZM= ja>M,
легко прийти к схеме на рис. 9.15, б. При изменении полярно-
сти одной из обмоток исходной схемы (см. рис. 9.8, б) в экви-
валентной схеме на рис. 9.15, а знак сопротивления Zm изме-
няется на противоположный.
Пример 9.3. Найти входное сопротивление схемы на рис. 9.16, а.
Параметры схемы: x1=coL1=2O Ом; х2=со/.2=1О Ом; хД1=соЛ4 = 10 Ом; х3 =
= 1/<вС3 = 20 Ом; г3=10 Ом; Z4 = Ю4-/Ю Ом.
Решение. Входное сопротивление найдем из эквивалентной схемы на
рис. 9.16, б. Эту схему строим в соответствии с рис. 9.15, б при /•1=г8=0,
Если Zj^ — j (хх—Хм)г Z2 = i (х2 хм); ^'з = гз + / (хм хз)> т0
г--г-+й+1,++£-1<>+,'°0“-
279
На рис. 9.17, а показаны три связанные катушки, соединен-
ные звездой, к свободным узлам которых приложены напряжения
Рис. 9.15
Рис. 9.16
(712, (Аз, Напряжения на зажимах ветвей определяются из
следующих выражений:
(?ю = Zi А 4- 2 -J- 3;
(Ао=z2A 4~ 4" /®ЛАзА;
f^so — Zgf з 4- /®Л1з1А 4" /<вЛ4з2/ г»
где Zk = rk + jmLk-, Mik = Mkl (k, i=l, 2, 3).
По второму закону Кирхгофа,
(Аз = (Ао — (Ао = (Zj — >М21) А —
— (Z2 — /<вЛ'112) 1%-}- j(£> (Mis — Л12з) /3;
(Аз = (Ао — АдО = (Z2 — /<оЛ1з2) А —
— (Zs — /и/И2з) А 4- (ТИ21 — Л431) fх;
(Ai== ^зо — ^Ао == (Zs — /®Л41з) А —
— (Z1 — ]<пМз1) А 4- (Л1з2 —- М12) 12.
(9.16)
(9.17а)
На основании уравнения А4-А4-А = 0 из первого уравне-
ния можно исключить ток А. из второго —ток А> и из третьего —
280
ток /2. В результате уравнения (9.17а) примут вид
1712 = 2171 — ZB72;
Т/2з = Z2Z2 — 237з;
l?3i= Zsls— Zjlt
(9.176)
где
Zj = /"i + /<о (7-1 — М21 — Л11з -j- М23) — Г1 + jXi,
Z'2 = г2 -J- /со (L2 — М32 — A12i + Л4з1) — г2 +/x2J
Z3 = <з + /<о (Т-з — Mis — Л123 + Л112) = г3 + jxs.
Уравнениям (9.176) удовлетворяет эквивалентная схема на
рис. 9.17,6. Из сравнения заданной и эквивалентной схем сле-
дует, что, несмотря на равенство токов в соответствующих ветвях
Рие. 9.17
этих схем и равенство напряжений й12, Т/23, U31, напряжения
на зажимах ветвей эквивалентной схемы не равны соответствую-
щим напряжениям. на зажимах, ветвей заданной схемы, т. е.
7710=^7/10', 772о =7^ Т?20' и 7/3о=# 1730'. Однако это не мешает при-
менять эквивалентные схемы при расчете цепей с взаимной индук-
цией, так как после определения токов в ветвях эквивалентной
схемы можно найти напряжения на зажимах ветвей заданной
цепи.
Аналогично нетрудно получить эквивалентную схему без вза-
имных индуктивностей для трех связанных катушек, соединенных
треугольником (рис. 9.18, а). Эта схема характеризуется контур-
ными уравнениями:
7712 — Zi712 -j- jx12I 23 + /*13'31;
772з = Z2/23 + М21А2 + 1Х23^31г
U31 — Z3Isi -J- /*si ^12 + ]Хз212з-
(9.18а)
При .помощи соотношений /i = 7i2 — 1-л, 72 = 723 — 712 и 73=
= /81 — 723 из первого уравнения (9.18а) можно исключить.токи /23
и 7ЗЪ из второго —токи 7‘з1 и !12 и из третьего — токи 7i2 и 723.
281
В результате получаем:
^12 = [Zi +/ (^12 + ^13)] /12 + №гЛ — jXjsfit
С23 = [-^2 +/ (^21 ~Ь^2з)] ^2зЛ~!Х23^3 —]’Х21^2'г
^31= [Z3+ /(-^31-Ь-^зг)] /з14"№1/1—№2/3- .
(9.186)
Уравнениям (9.186) удовлетворяет эквивалентная схема на
рис. 9.18,6, в которой напряжения Ui'2’, и UVv не. равны
соответственно напряжениям исходной схемы С712, С2з и С'зх-
Применение эквивалентных схем без индуктивных связей облег-
чает расчет цепей с взаимной индукцией. Кроме того, с помощью
эквивалентных схем можно моделировать цепи с взаимной индук-
цией цепями без взаимной индукции. При этом отрицательные
реактивные сопротивления —для заданной
частоты со заменяют емкостными сопротивлениями — ==
1 ~Jxa
‘г
й1г
2 "Л/
•2 Ум
% 31
J "Аг
2‘
й2,3.
Z^jfx^x^
^S+j(X31+XJ2)
а)
J'
Й)
г
Цу hz
4
w
Рис. 9.18
Для расчета схем с взаимной индукцией можно воспользоваться
дуальными схемами без индуктивных связей. Такие схемы могут
быть построены при фиксированной частоте по матрице узловых
проводимостей, равной матрице контурных сопротивлений задан-
ной цепи с взаимной индукцией. Схемы, дуальные цепям с индук-
тивными связями, аналогичны дуальным схемам для цепей с услов-
ными связями между контурами (см. § 5.9).
Пример 9.4. Построить схему, дуальную схеме на рис. 9.19.
Решение. Для контуров, указанных на рис. 9.19, можно записать сле-
дующую матрицу контурных сопротивлений:
Z(K) =
Z1+Z3+Z5
— Z5 —Z14—Z23
— •Zs + Z14
• Z5 — Z14 — Z2g
Za+Z4 + Z5
— Z4 + Z2s
1— z3 + z14
— Z4+Z23
z+z3+z4.
где Zli=jaMli; Zi3=jaM23. Так как исходная схема содержит три независи-
мых контура, дуальная схема должна иметь четыре узла (рис. 9.20). Матрица
282
узловых проводимостей дуальной схемы (ф4=0)
+ + —^5 * Уз
-- К5 Уа+^+^В -- ^4
— Ys —Yt
Приравнивая вначале соответствующие внедиагональные элементы матриц
Z,Kl и Y(y)d, определим следующие параметры дуальной схемы:
Кз=Z3—Z14; y4 = Z4—Z23; Yb=Z5 4* Z]4 4* Z23.
Из сравнения соответствующих диагональных элементов матриц Z,K) и
получим:
l/i=Zi4“-Z34-Z6—(Z8—Z14)—(Z6 4- Z14 4* Z23) = Z4—Z23;
5/2==^2+^4 + 'Zb — (^4 — ^23) — (^5 4_2144''22з) = ^2 — ^14>
Y = Z+Zs+Zt—(Z3—Z14) — (Z4 — Z23) = Z4- z14 4- Z23.
В исходной схеме матрица контурных э. д. с. g,K1 = [0 0 <£"]т, поэтому
в дуальной схеме необходимо включить источник'тока J между базисным
узлом 4 и узлом 3. Матрица узловых токов дуальной схемы
j<y)rf=[O 0 jp = g<K>.
Приведенные выражения для проводимостей дуальной схемы показывают,
что индуктивным (емкостным) сопротивлениям исходной схемы соответствуют
емкостные (индуктивные) проводимости в дуальной схеме.
С помощью дуальных схем для цепей с взаимной индукцией можно при-
менять топологические методы анализа и методы преобразования схем.
Пример 9.5. Определить ток /в в схеме на рис. 9.19.
Решение. Ток /Б найдем с помощью дуальной схемы на рис. 9.20.
В исходной схеме ток /6 = /1—/2. Контурные токи и /2 равны соответственно
потенциалам ф, и ф2 дуальной схемы.
Включив вольтметр между узлами 1—2, определим разность
Хад
k ,
Ф1 — Фг —---д---Л
где J]77Ufc = ^2-^.
k
Определитель Д вычислим с помощью разложения по путям между узлами
Л—3:
Д = Y±Y (Р24- У4+ ^б) + ^1 К2Р44- У5УгУ-{- Y6Yt (Pi4* ^2+ +
4- Уз IXг (^+П+ Г14- Г)4-(Г 4- FJ (г 4 4- r6)j.
283
Таким образом,
Ф1— $2 =
J=/B.
Подставляя соотношения для проводимостей дуальной схемы (см. при-
мер 9.4) и заменяя J на <§, выразим ток /Б через параметры исходной схемы.
Дуальные схемы могут быть применены и для моделирования процессов
в цепях с индуктивными связями с помощью цепей без индуктивных связей.
§ 9.5. Расчет цепей с невэаимными элементами
Матричные уравнения *. В различных областях техники широ-
кое применение находят электрические цепи, содержащие трех-
полюсные элементы — электронные лампы и транзисторы. Принцип
действия электронной лампы и транзистора, их основные урав-
нения в линейном режиме и эквивалентные схемы для перемен-
ных составляющих напряжений и токов были рассмотрены в гл. 1
(см. § 1.8).
Цепи с электронными лампами и транзисторами содержат
источники постоянной и переменной э. д. с. (тока). В линейном
Рис. 9.21
режиме при расчете переменных состав-
ляющих напряжений и токов источники
постоянной э. д. с. исключаются (замы-
каются). Постоянные составляющие напря-
жений и токов позволяют определить па-
раметры эквивалентных схем для перемен-
ных составляющих (далее эти параметры
предполагают заданными).
Трёхполюсный элемент (рис. 9.21, а)
можно характеризовать уравнениями (для
гармонических переменных составляющих)
Uik Zu Ztj 11
йjh z» Zjj ij
(9.19)
(9.20)
Переменными составляющими в урав-
нениях (9.19) и (9.20) служат токи зажи-
мов /, / трехполюсника и напряжения
между зажимами i—k, j — k. Зажим k,
относительно которого отсчитывают напря-
жения Uik, Ujk, называют базисным зажимом. Если зажим i
рассматривают как входной, а зажим / — как выходной зажимы
трехполюсника, то зажим k называют также общим зажимом
(по отношению к входу и выходу).
* В данной главе рассматриваются особенности расчета цепей с электрон-
ными трехполюсниками в предположении линейности их режима.
284
Матрицы
у = ГКл Г,/1 и 7 = rZ"
lx? rj [Z,7 Z//J
в уравнениях (9.19) и (9.20) представляют собой определенные
матрицы параметров трехполюсника при базисном зажиме k
(матрицу проводимостей и матрицу сопротивлений) *, причем Y =
= Z-1 и Z = Y-1. Если зажим i совпадает с зажимом сетки, зажим
/ —с зажимом анода, а зажим k — с зажимом катода лампы, то
в соответствии с уравнениями (1.18) матрица проводимостей лампы
0 О'
(9.21)
Матрица (9.21) является особенной (ее определитель равен
нулю), следовательно, матрица Z = Y1 не существует.
Если зажим i совпадает с зажимом эмиттера, зажим j — c за-
жимом коллектора, а зажим k — с зажимом базы транзистора, то
в соответствии с уравнениями (1.21) матрица сопротивлений тран-
зистора
Г11 Г12
г21 Г 22
/„Ч-Гб r6 1
/б + агк Гб + ЛсТ
(9.22)
Вычисляя матрицу, обратную матрице (9.22), можно получить
матрицу проводимостей транзистора:
Гб + Гк г& ] (9.23)
_— (гб + агк) ге + Гб |
где
А = (гв + Гб) (гб + гк) - гб (гб + агк) = гэ (гк + гб) + (1 - а)гбгк. (9.23а)
С помощью матриц Y и Z трехполюсника могут быть состав-
лены узловые и контурные уравнения или уравнения с напряже-
ниями ветвей дерева (7.27)-г-(7.29). Для этого каждый трех-
полюсник (рис. 9.21, а) заменяют его графом (рис. 9.21, б), двух-
полюсные ветви схемы — отрезками линий. Для полученного графа
цепи составляют матрицы А, В или Q. В матрице проводимостей
ветвей У1”’ (сопротивлений ветвей Z(B)) на главной диагонали
записываются проводимости YL (сопротивления Zz) двухполюсных
ветвей, проводимости Yu, Yjt (сопротивления Zn, Zl}), соответ-
ствующие ветвям I и j графа трехполюсника с базисным зажи-
мом k (рис. 9.21, б); вне главной диагонали записывают прово-
димости Yih Yft (сопротивления Zy, Zy7). Матрицы узловых про-
водимостей, проводимостей сечений, контурных сопротивлений,
* Матрицы Y и Z трехполюсников в общем случае отличаются от матриц
узловых проводимостей и контурных сопротивлений. Матрицу Y называют
матрицей проводимостей короткого замыкания (при коротко-
замкнутых зажимах), а матрицу Z—матрицей сопротивлений при
разомкнутых зажимах.
285
а также матрицы узловых токов, токов сечений и контурных
э. д. с. вычисляют соответственно по соотношениям (7.30) ч- (7.35).
Следует отметить, что записать непосредственно матрицу Y(B)
возможно только при отсутствии индуктивно связанных ветвей.
Если в цепи имеются индуктивно связанные ветви, можно записать
матрицу ZlB); при этом YtB) = [Z(B)]-1, как и в цепи без много-
полюсных элементов. В случае, когда индуктивно связанные ветви
представляют собой трехполюсные трансформаторы, они могут
быть учтены при составлении уравнений с помощью графа
(рис. 9.21, б) аналогично электронным трехполюсникам.
Пример 9.6. Составить узловые уравнения для ламповой схемы на
рис. 9.22, а (источники постоянной э. д. с. на схеме не показаны).
Рис. 9.22
Решение. Граф схемы приведен на рис. 9.22,6. Ветви 1 и 2 графа
соответствуют ветвям цепи, содержащим элементы —г± и га; ветви 3 и 4 —
лампе; ветви 5 и 6—трансформатору.
Узловая матрица схемы (ф4=0)
1 23456
1 Г—1 1 1 0 0 0-
А=2 0 00110.
з|_ 0—1 0 0 0 1.
Учитывая, что лампа и трансформатор характеризуются матрицами (9.21)
и (9.6а), запишем матрицу проводимостей ветвей:
1 2 3 4 5 6
Si j
&L.
з “
Y<B|—4
5
6
о о
s gi
1 1 м
286
gi=Vrr, gi=i/r^ gt=l/rr,
— jaLz *- j&Li jaM
1 (uPLiLz—GPM*’ 2 fM
Для составления узловых уравнений вычислим матрицы Y(y'=AY,B)AT и
j(y>=Aj(B1—AY‘B>g<B), где j|B)=0; = 0 0 0 0 о]т. В результате
gi+gii 0
S 2;+^
. УМ
— g2
УМ
ё‘2~'гУ2
Ф1
Фа
_Фз
gi$i
0
О
Пример 9.7. Составить контурные уравнения для транзисторной схемы иа
рис. 9.23, а.
Решение. Граф схемы приведен на рис. 9.23, б. Ветви 1, 2 и 3 графа
соответствуют ветвям схемы, содержащим элементы и г3; ветви 4 и
5—транзистору. Для указанных контуров матрица
1 2 3 4 5
I Г1 0 0 1 0
В= II 0 1 0 0 —1 .
ш [о 0 1—1 +1.
Матрица сопротивлений ветвей
1 2 3 4 5
1
2
Z<B) =3
4 i Гц г12
5 : ^21 Г22
Г2 :
Гз:
еГСМЫШХ».....
где /л, г22, Ня И r2i— параметры транзистора.
Для составления контурных уравнений вычислим матрицы
Z'K’ = BZ‘B)BT и g<K) = Bg'B> —BZlB,J<B>,
где g<B> = [^x ООО 0]т; j<B>=0.
В результате получим уравнения:
’ п+гц
—
— ru + r2i
— г12
Гг+^га
г 12 — г22
— Г11+Г12
— Г22~ЬГ21
Гз + Гц + таа Г12— г21-
/<к)
/?>
Ж
о •
о
Матрица проводимостей электронной лампы и матрицы прово-
димостей и сопротивлений транзистора несимметричны: Yy#=Y/it
Z/y-=/= zyi. Цепи, содержащие электронные трехполюсники, имеют
несимметричные матрицы Y(B) и Z(B) и, следовательно, матрицы
Y(y), Y{c) ц Z(K). Указанная несимметрия матриц означает, что
электронные лампы и транзисторы представляют собой невзаим-
ные элементы электрической цепи. Цепи с такими элементами не
удовлетворяют принципу взаимности (см. рис. 1.25 и 1.31).
Таким образом, матричные уравнения для цепей с лампами и
транзисторами составляются аналогично уравнениям цепей, со-
£87
держащих только двухполюсные элементы. Для простых схем
с электронными трехполюсниками уравнения по законам Кирх-
гофа, узловые и контурные уравнения могут быть составлены без
применения матричных соотношений (7.30) -ь (7.35). При этом за-
висимые источники учитываются аналогично независимым.
Неопределенные матрицы узловых проводимостей и контурных
сопротивлений. При Uik = ^i — Ф*> Й7* = ф7 —Ф*, ik = — li—/7
(см. рис. 9.21, а) вместо уравнения (9.19) можно записать урав-
нение трехполюсника в виде
называют
Yu Ylf
Ya Уи
L-(Yu+Yfl) -(Yif+Y„)
Матрицу
Y^ijYi,-
Y<y)= YjiYjjY»
\YkiYkiYhk\
(9.24)
Yu Yy —(Yti-YYij)
Ya У„ -(K77+K/7)
-(Ylt + Yfl) -(K/7 + Yif) Yit+ y/7.+y.7.+y/z
неопределенной матрицей узловых пр о-
Рис. 9.24
водимостей трехпо-
люсника, Сумма элемен-
тов каждого столбца и
каждой строки этой мат-
рицы и, следовательно,
ее определитель равны
нулю.
Зная определенную
матрицу узловых про-
водимостей трехполюс-
ника, легко составить
неопределенную матрицу. Так, добавляя третью строку и тре-
тий столбец в матрице (9.21), можно получить неопределенную
матрицу проводимостей лампы
i j k
Г 0 0. 0 li
у(У)_
I н -
S gi — (S + gi)
—S —gi S+gi
i.
k
(9.25)
Матрица (9.25) соответствует нумерации зажимов на рис. 9.24, а
(i —сетка, / — анод, k — катод). Взаимное изменение номеров двух
зажимов приводит к перестановке местами двух строк, и двух
столбцов неопределенной матрицы. Поэтому при нумерации зажи-
мов, данной на рис. 9.24,6 (i —сетка, / — катод, k — анод),
.288
Нумерации зажимов на рис. 9.24, в (г —катод, / — анод, k —
сетка) соответствует матрица
(9.27)
Добавляя третью строку и третий столбец в матрице (9.23),
нетрудно записать неопределенную матрицу проводимостей тран-
зистора:
i
v(y) _ 1
-д'
''б + ^'к
— (Гб + агк)
(а-1)гк
— гк
arK — rs
(9.28)
(1 —а)гк4-гв]А
где Д находят по формуле (9.23а). Матрица (9.28) составлена
при нумерации зажимов, приведенной на рис. 9.25, a (/ —эмит-
а) б) В)
Рис. 9.25
тер, / — коллектор, k — база). Если зажимы транзистора пронуме-
ровать, как показано на рис. 9.25, б (/ — база, / — коллектор,
А —эмиттер) или на рис. 9.25, в (/ — база, / — эмиттер, k — кол-
лектор), то
/ / k
(1—а)гк+тв — г3 (а—1)гк /
у(у) L Кн — д wK—rB rs + r6 ~(г6 + агк) / (9.29)
Г 6 Г 6 “Ь k
/
k
или
(1 — а) гк-|-гв
arK — r3
i
(«- 1)<K
- r6 + rK
— (Гб + аЛс)
— ra 1/
~r6
(9.30)
Считая зажим i входным, зажим j выходным, а зажим k общим
(базисным), можно говорить о трех Схемах включения лампы и
транзистора. Схемы включения лампы на рис. 9.24, а — в назы-
вают соответственно схемой с общим катодом, схемой
10 п/р, Нонкина, т, I
289
с общим анодом и схемой с общей сеткой. Схемы вклю-
чения транзистора на рис. 9.25, а —в называют соответственно схе-
мой с общей базой, схемой с об-
щим эмиттером и схемой сообщим
коллектором. Схемы включения
лампы описываются неопределенны-
ми матрицами проводимостей (9.25)4-
-ь (9.27), а транзистора — матрицами
(9.28) 4-(9.30). При вычеркивании А?-й
строки и k-ro столбца из матриц
(9.25) 4- (9.30) получают определенные
матрицы для соответствующих схем
включения.
Трехполюсник можно характеризо-
вать также неопределенными матрицами
контурных сопротивлений. Если известно уравнение (9.20) трех-
полюсника и выбрана система контуров, то неопределенную мат-
рицу контурных сопротивлений можно выразить через элементы
матрицы Z. Так, в случае трех контуров (рис. 9.26) справедли-
вы равенства:.
и^и1Ь-,
/г=/(к)-Дк);
На основании этих
записать уравнение
W
Uj
Lt>J
Матрицу
" /(к) у(к) у(к)-|
Zzjj Z/fj
Z(K)_ 7(К) 7(К) 7(К) _
Н — Z/y’j --
Zit
~Zlt
-— Zir}- Zjt
равенств
-Zti
Zj]
Zii-Z
7(к) 7(К) 7(к)
^kk J
Zit
-Zn
Uk = uik-uik-,
’+ЛК), А=/|к)-Лк).
вместо уравнения (9.20) можно
- r/'K)-
Лк) . (9.31)
Zz/—ZyJ 1ЛК)] ’
-zif
Zu
Z/i Zj/
Zjj — Zif — Z/j
называют неопределенной матрицей контурных со-
противлений трехполюсника. Сумма элементов каждой строки
и каждого столбца этой матрицы, а следовательно,' и ее опре-
делитель равны нулю. Матрице (9.22)
неопределенная матрица
i i
транзистора
соответствует
— (гб + агк)
. агк — гв
k
— ra
(a-l)rK
(9.32)
(1—a)rK4-rejA!
— г б
‘ i
у(к)__
Лн —
6 “' к
— rK
С помощью, неопределенных матриц можно составить узловые
и контурные уравнения схем, содержащих многополюсники. Так,
290
для составления узловых уравнений сначала исключают много-
полюсники (сохраняя узлы) и для полученной схемы записывают
неопределенную матрицу узловых проводимостей; затем в соот-
вётствующие клетки записанной матрицы добавляют элементы
неопределенных матриц узловых проводимостей каждого много-
полюсника. Аналогично, при составлении контурных уравнений
сначала закорачивают зажимы всех многополюсников (сохраняя
контуры) и для полученной схемы записывают неопределенную
матрицу контурных сопротивлений,
затем в. соответствующие клетки за-
писанной матрицы добавляют элемен-
ты неопределенных матриц многопо-
люсников.
Таким образом, неопределенная
матрица узловых проводимостей (кон-
турных сопротивлений) сложной схе-
мы может быть получена в результате
суммирования неопределенных мат-
риц отдельных подсхем, так как при
составлении узловых (контурных) уравнений суммируют токи вет-
вей, соединенных в узлах (напряжения на элементах, образующих
контуры). Для перехода к определенной матрице, необходимо вы-
черкнуть одну строку и один столбец из неопределенной мат-
рицы.
Пример 9.8. Составить неопределенную матрицу
для ламповой схемы на рис. 9.27.
Решение. Исключим лампы из общей схемы
неопределенная матрица узловых проводимостей
узловых проводимостей
(сохраняй узлы). Тогда
12 3 4
1Г0 0 0 0 -
2 О й 0 — &
3 0 0 g2 .— g2
41_0 — gt —g2 gt+g2.
С учетом равенств (9.25) и (9.26) матрицы ламп запишем следующим об-
разом:
1 2 4 2 3 4
1 - 0 0 0 2 0 0 0
Y"=2 Йй *— (Si +й/1) ; Y"' = 3 — Sa ^а+й/а — й/2
4 L-Si — Йй S’i+йй . 4 - s2 (^а+й/а) й/2 -
Суммируя соответствующие элементы матриц Y', Y" и Y'" (т. е. элементы,
которые имеют одинаковые номера строк и номера столбцов), получим иско-
мую матрицу для всей схемы:
1
2
у(У)_
н —з
1
0
Si
о
2
0
gi-J-Sli
— S^
3
о
о
йа + ^а + й/г
4L—Si —fei+ai~ S2) — (йа+^’а+й/а)
4
0 1
** (Si+йй + йх)
— (йа+й/а)
Й1+Йа + Sj + йй+Sl2.
10*
291
Применение сигнальных графов к расчету невзаимных цепей,
Уравнениям цепи с электронными лампами и транзисторами можно
поставить в соответствие -сигнальные графы. Если составлена си-
стема узловых уравнений, то граф можно построить по общим
правилам (см. § 8.6, 8.7). Во многих случаях уравнения для по-
строения графа записывают непосредственно по эквивалентной
схеме.
Пример 9.9. Определить коэффициент передачи напряжения ламповой
схемы на рис. 9.28, а.
Рис. 9.28 Рис. 9.29
Решение. Схема, эквивалентная заданной, показана на рис. 9.28, б.
Составим для этой схемы уравнения:
Uai — rlitai —
Uci — — Uait
Ua$=ri<Jai PatZca!
lol — lai + ( Uci/rj);
^«2——
Uc2'
292
Записанным уравнениям соответствует граф на рис. 9.28, в. Из этого
графа находим
^(Я1 __Uj ___ X Пккк ______________—Pl (fc+ 1)___________
<71 Д I +— ] гИ~1~гг'2~|-М2г11 । riirl2 '
~r'i r2 rxr2
Пример 9.10. Определить коэффициент передачи тока транзисторной схемы
на рис. 9.29, а.
Решение. Схема, эквивалентная заданной, показана на рис. 9.29, б.
Для эквивалентной схемы справедливы уравнения:
гДэ Ч-Гб4>>
^б=7э+4;
I»—— К7э + (^7к/гк);
f7it= ^2 г б/б>
is—io—(f7i/ri);
lj2==— ?2^2-
Записанным уравнениям соответствует граф на рис. 9.29, в. Из этого
графа определяем
о _4_ _ X TZfeAfe ______________________( гк )________________
/о Д 1. I гэ+гб —КГб г& + г2 гэ(г2 + гб) + гбг2 •
гх "Г гк Г1ГК
§ 9.6. Топологические формулы для расчета цепей
с невзаимными элементами
Унисторные эквивалентные схемы. К цепям, содержащим элек-
тронные лампы и транзисторы, применимы топологические методы
расчета, аналогичные методам, рассмотренным для взаимных цепей
в гл. 8. При топологическом анализе невзаимные многополюс-
ники могут быть представлены в виде эквивалентных схем, со-
стоящих из схемных элементов — унисторов.
Унистором называют трехполюсник (рис. 9.30), ток 1 кото-
рого определяется проводимостью трехполюсника и потенциалом
Ф1 входного зажима относительно заземленно-
го зажима: у i у ?
1=УЪ.- е
Унистор можно рассматривать как источник X
тока, управляемый потенциалом одного за-
жима.
На рис. 9.31, а—г показаны простейшие
схемы с унисторами. Унистор, у которого рИс. 9.30
заземлен узел 2, эквивалентен обычной ветви
с таким же узлом (рис. 9.31, а). Два параллельных унистора
с проводимостями уг и у2 эквивалентны одному унистору, имею-
щему проводимость + й (рис. 9.31,6). Если унисторы с одина-
ковой проводимостью у, имеющие противоположное направление,
соединены параллельно, то они эквивалентны обычной ветви с про-
293
Рис. 9.31
водимостью у (рис. 9.31, в). Два противоположно направленных
параллельных унистора с различной проводимостью эквивалентны
обычной ветви и унистору, соединенным параллельно (рис. 9.31, г).
В правильности приведенных схем можно убедиться, сумми-
руя токи унисторов. Например, для двух параллельных унисто-
ров (рис. 9.31, г) суммар-
ный ток
(f/l + f/2)<P2 =
=#1(Ф1 —Фг)—йФг-
Записанному выраже-
нию для тока соответствует
эквивалентная схема, со-
стоящая из обычной ветви
с проводимостью yi и уни-
стора с проводимостью у2
(рис. 9.31, г).
Если заземленный узел
совпадает с зажимом /
унистора (рис. . 9.30), то
ток 1 — 0 и унистор ис-
ключается из схемы.
У нисторна я эквива-
лентная схема трехполюс-
ника в общем виде показа-
на на рис. 9.32. Если
Ф1=^=0, ф2 = Фз:=0, то данную унисторную схему можно заменить
схемой на рис. 9.33, в которой
Л — (f/i2 + У1з) Фь Л — — УггФп Л = — £/1зФ1-
Разделив токи /х, /2 и /3 на потенциал фх, получаем элементы
первого столбца неопределенной матрицы проводимостей унистор-
ного трехполюсника. Аналогично при <р2=И=0, Фт = ф3 = 0 (ф3^=0,
Ф1 = Фг = 0) определяем элементы второго (третьего) столбца не-
определенной матрицы проводимостей. В результате получаем
294
матрицу
£/12 + У13
— У12
— Уг1 “ У si
Ун И- Узз — Узз
— У23 У31 + у32 _
(9.33)
V<y> _
1 и ---
. — У1з
Если задана неопределенная матрица проводимостей лампы
или транзистора, то, приравнивая соответствующие элементы этой
матрицы и элементы матрицы (9.33), можно определить параметры
унисторной эквивалентной схемы. Например, приравнивая . эле-
Рис. 9.34
I
j
а) .
п
т
$
Рис. 9.36
(рис. 9.36, б) ветвей,
менты матриц (9.25) и (9.33), находим: yXi =— S-, y13 = S-, y2S = gi;
y32 = S-]-gl; y2i — Уз1 — 0. По полученным значениям проводимос-
тей строится унисторная схема лампы (рис. 9.34, а или 9.34 б)
Приравнивая элементы матриц
(9.28) и (9.33), нетрудно аналогично
получить трехузловую унисторную
схему транзистора. Часто применяют
четырехузловую унисторную схему
транзистора (рис. 9.35), соответст-
вующую Т-образной схеме на рис.
1.31, б. В эквивалентности схем на
рис. 1.31, б и рис. 9.35 можно
убедиться, составив матрицы узло-
вых проводимостей для четырех уз-
лов.
Топологические формулы дляуни-
сторных схем. Пусть схема состоит
из обычных (рис. 9.36, а) и унисторных (рис. 9.36, б) ветвей,
содержащих источники тока*. Рассматривая унисторные ветви
как обычные, можно составить узловую матрицу А и записать
первый закон.Кирхгофа в виде АЁВ> = О. Произведение А<т>ф опре- .
деляет матрицу напряжений на зажимах всех ветвей, т. е.
матрицу разностей потенциалов. Если в каждом столбце матрицы А,
* Предполагается, что между обычными ветвями нет индуктивных связей;
источники э. д. с. заменены эквивалентными источниками тока.
295
соответствующем унисторной ветви, заменить — 1 на 0 и обозна-
чить полученную матрицу через А, то произведение А<т>ф будет
представлять матрицу, в которой обычным ветвям соответствуют
разность потенциалов, а унисторным ветвям — потенциалы входных
зажимов.
Ток обычной ветви зависит от разности потенциалов:
а ток унисторной ветви —от потенциала входного зажима:
h — Y /Фт — jь
Поэтому матрицу токов всех ветвей можно записать следую-
щим образом?
ре) = у<в’А<т>ф — J<B>,
где Y(B)— диагональная матрица проводимостей обычных и унистор-
ных ветвей. При умножении обеих частей записанного равенства
. , 2 на матрицу А с учетом соотношения
iAI<B’ = 0 получается узловое уравне-
2 . 2д ние
АУ<в>А<т»ф = A J<B». (9.34)
, , Произведение
A Y<B> А<т> = YW (9.35)
f' <1 •
7 1 представляет собой матрицу узловых
I проводимостей цепи с обычными и
унисторными ветвями.
и) Ненулевые миноры матрицы А
порядка у — 1 соответствуют дере-
вьям схемы и равны ± 1 (см. гл. 2).
Рис. 9.37
Ненулевые миноры матрицы А порядка у—1 соответствуют та-
ким деревьям схемы, в которых все унисторы направлены к за-
земленному узлу; величина этих миноров равна ± 1.
Для дерева, содержащего одну обычную и три унисторных
ветви (рис. 9.37, а), узловая матрица
- 1 О О О’
О 1 0 0
0—1 10
—1 0—11
имеет треугольную форму. Определитель треугольной матрицы
равен произведению ее элементов, расположенных на главной
диагонали. В данном случае определитель. равен 1. Заменяя
в столбцах матрицы Ад, соответствующих унисторным ветвям, все
296
— 1 на 0, можно получить ь/ гатрицу ПО 0 О'
Ад = 0 1 0 0 0 0 10 >
0 0 — 1 1_
которая также является тр Если изменить направлен! то узловая матрица >еугольной с опр< ie одного из уни ~ 1 0 0 0“ ^делителем, равным 1. сторов (рис. 9.37, 6), 1
Ац = 0—1 0 0 0 1 10
-1 0—1 1-
имеет определитель, равный —1. Определитель матрицы
И 0 0 0"
0 0 0 0
Ад — 0 1 1 0
0 0 — 1 1_
полученный из матрицы Ад путем замены — 1 на 0 в столбцах,
которые соответствуют унисторным ветвям, равен 0.
В общем случае с помощью надлежащей нумерации узлов и
ветвей матрице Ад дерева также можно придать треугольную
форму. Если все унисторы в дереве направлены к заземленному
узлу, то определители матриц Ад и Ад, т. е. миноры матриц А
й А, соответствующие деревьям, равны'+ 1 или — 1. Если дерево
содержит унисторы, направленные от заземленного узла (хотя бы
один унистор), то определитель матрицы Ад равен 0.
Учитывая отмеченные свойства матриц А и А и применяя
для вычисления определителя узловой матрицы (9.35) теорему об
определителе произведения двух матриц P1 = A’V<B>, P2=TVT>
(см. гл. 8), можно сформулировать топологическое правило: опре-
делитель матрицы узловых проводимостей А(у> схемы, содержащей
обычные и унисторные ветви, равен сумме произведений проводимо-
стей ветвей таких деревьев, в которых все унисторы направлены
к заземленному узлу.
На основании выражения (9.35) можно также доказать топо-
логическое правило для расчета алгебраического дополнения Ар?
элемента узлового определителя: алгебраическое дополнение 6$
равно сумме произведений проводимостей ветвей таких 2-деревьев
которые при соединении узла к с заземленным узлом у
образуют деревья, имеющие только направленные к заземленному
узлу унисторы, а также обычные ветви.
297
Сформулированные топологические правила для расчета опре-
делителя и алгебраических дополнений цепи с унисторами анало-
гичны соответствующим правилам для цепи с обычными ветвями
(см. гл. 8). Отличие состоит лишь в том, что в цепях с унисторами
учитываются лишь «ориентированные» деревья и 2-деревья,
а) 6)
Рис. 9.38
Применяя разложение определителя и алгебраических дополне-
ний по путям^ можно доказать, что для расчета схемных функций
цепи с унисторами справедлива топологическая формула (8.15).
При расчете числителя У 77feAfe функции необходимо заземлять
k
один из узлов измерительного прибора и учитывать только такие
пути передачи П’ь, в которых все унисторы направлены к зазем-
ленному узлу. Для унисторных схем, эквивалентных цепям
с электронными лампами и транзисторами, знаменатель А функ-
ции (8.15) не зависит от выбора заземленного узла и может
вычисляться при любом заземленном узле. Знаменатель А удобно
определять с помощью разложения по путям между парой узлов;
заземленный узел должен быть граничным узлом путей.
Пример 9.11. Определить коэффициент передачи тока транзисторной схемы
на рис. 9.38, а.
Решение. Унисторная схема, эквивалентная исходной, показана на
рис. 9.38, 6. Согласно топологической формуле,
^Пк &к
К(0=£=А___,
298
Определим пути передачи и их миноры (унисторы, направленные от зазем-
ленного узла э не учитываются):
^=gig2; Д;=£к+£б+£э—
Я'2=£б(£к—«£э)£2! As=>-
Для расчета определителя исключим источник тока и закоротим амперметр.
Если воспользоваться разложением по путям между узлами о и э, то
Л=2]пйдй;=£бёг1й+(£к—«£э)й2 (ёб+ё1)+ёэ I(gK+g2) (g6+gl)+g6gll-
k
Таким образом,
ки> Sigi (gK + ёб + ёЪ — <xg9) + gfi (£к — qg9) g2
Пример 9.12. Определить коэффициент передачи напряжения схемы на
рис. 9.28, а.
Решение. Унисторная, схема, эквивалентная данной, показана на
рис. 9.39, а. Согласно топологической формуле,
/(<«> =
Ut Л
В схеме имеется один путь передачи
^1——• $1 (ёга+^а); AJ = 1.
Для вычисления определителя Д закоротим источник э. д. с., исключим
вольтметр и унисторы, направленные от заземленного узла (рис. 9.-39, 6).
При разложении по путям между узлами (щ, к2) и (<?х, к^, с2)
А — Tj^feAfe ~ tea+ё1)(ёг+g/г) + (S2+g;2) g2.
k
Таким образом,
2^(И) _______(gf2+S2)_____________
tea+gi) (g2+gia) + (S2+gf2)ga'
ГЛАВА 10
МНОГОФАЗНЫЕ ЦЕПИ
§ ЮЛ. Основные понятия и определения
Для передачи электрической энергии от источника к прием-
нику требуется два соединительных провода — «прямой» и «обрат-
ный». Поскольку в реальных условиях источник и приемники
электрической энергии очень часто значительно удалены относи-
тельно друг друга, соединительные провода имеют большую про-
тяженность и сложную схему соединений.
Если объединить несколько одинаковых цепей, в каждой из
которых имеется источник и приемник, а ток изменяется с одной
общей частотой, но сдвинут по фазе относительно токов в других
цепях, то можно получить сумму тока в обратных проводах,
равную нулю. Тогда можно удалить все обратные провода и тем
самым повысить экономичность системы электроснабжения. Это,
в частности, дало основание для развития так называемых мно-
гофазных систем.
Совокупность электрических цепей, в которых действуют сину-
и той же частоты, сдвинутые относи-
тельно друг друга по фазе и созда-
ваемые общим источником электри-
ческой энергии, называют много-
фазной системой. Каждую из
цепей (называемую однофазной), вхо-
дящую в состав многофазной систе-
мы, называют фазой многофазной
системы. Совокупность синусоидаль-
ных э. д. с. одной частоты, взаимно
сдвинутых по фазе и действующих в
многофазной системе, называют мно-
>. д. с., а совокупность синусоидаль-
ногофазной системой то_ков.
Элементарный многофазный генератор устроен аналогично
однофазному генератору с несколькими обмотками (витками),
сдвинутыми в пространстве относительно друг друга на некоторые
углы. При вращении такой системы, состоящей из т обмоток,
с постоянной угловой скоростью со в однородном-магнитном поле
в каждой из обмоток индуцируется синусоидальная э. д. с., сдви-
нутая по фазе относительно э. д. с. в других обмотках на соот-
ветствующие углы, определяемые числом пар полюсов и простран-
ственными углами между осями обмоток. На рис. 10.1 изобра-'
жена принципиальная схема устройства элементарного трехфазного
генератора. На рис. 10.2 приведены синусоидальные кривые
э. д. с., индуцируемых в обмотках этого генератора и взаимно
сдвинутых в пространстве на одинаковые углы, равные 120°; на
рис. 10.3 показана векторная диаграмма э. д. с. трехфазной
системы.
соидальные э. д. с. одной
Рис. 10.1
гофазной системой
ных токов в этих
300,, =
всех трех обратных проводов при
Суммарный ток в обратных проводах, объединенных в один
провод многофазной системы, равен нулю только в том случае,
когда соответствующие векторы на комплексной плоскости обра-
зуют замкнутый многоугольник. Если число объединенных фаз
равно т, причем все токи равны по величине и в каждой после-
дующей фазе ток сдвинут по отношению к току в предыдущей
на одинаковый угол, то ука-
занный многоугольник — пра-
вильный. При этом сдвиг по
фазе между токами предыду-
щей и последующей фаз ра-
вен 2л/т, а соответствующая
часть периода составляет Т/т.
Наименьшее число объединен-
ных фаз, при котором полу-
чают качественно новую мно-
гофазную систему, равно трем
(рис. 10.4). Систему, получен-
ную после объединения всех
трех фаз, называют трехфаз-
ной. Возможность устранения
объединении фаз системы приводит к значительным технико-эко-
номическим преимуществам трехфазной системы перед однофаз-
ной.
Равные по величине токи отдельных фаз трехфазной системы
на векторной диаграмме должны образовывать правильный тре-
угольник (рис. 10.5). Для того чтобы при одинаковых сопротив-
лениях отдельных фаз токи были одинаковы
по величине и сдвинуты по фазе на угол
2 л
-х-л, э. д. с. должны быть равны по величи-
о
. 2
не и сдвинуты по фазе, на угол у л. Если
при симметричной системе э. д. с. сопротив-
ления фаз разные, то получается несиммет-
ричная система токов. По тому же принципу
можно определить и многофазную систему с
большим числом фаз. Однако такие системы
получаются более сложными с точки зрения
технического .выполнения и не находят ши-
рокого применения. Увеличение числа фаз
целесообразно в случае преобразования переменного тока в по-
стоянный с помощью выпрямителей. При этом число фаз может
быть равно 6, 12, 24, 48.
Многофазную систему э. д. с., в которой все фазные э. д. с.
одинаковы по амплитуде и каждая последующая, отстает от пре-
дыдущей. на угол, равный 2л/т, называют симметричной
системой э. д. с. Аналогично определяют симметричную систему
токов.
£с
Л/
Рис. 10.3 -
целесообразно в
301-
Для симметричных систем э. д. с. и токов справедливы сле-
дующие равенства:
т , т
2^ = 0; 5Л=0.
i=i i=i
При графическом изображении многофазной цепи отдельные
фазы источников и приемников показывают на плоскости под
теми же углами, которые характерны для параметров режима
(э. д. с., токов и напряжений).
Находят применение и несимметричные многофазные системы.
Примером такой несимметричной многофазной системы является
двухфазная система на рис. 10.6, а. Э. д. с. в фазах (рис. 10.6, б),
а также токи при одинаковых сопротивлениях фаз сдвинуты друг
относительно друга на Va периода или на угол, равный л/2:
— Л =/Со-
существуют и несимметричные многофазные системы, для
которых, так же как и для симметричных систем, сумма фазных
э. д. с. и токов равна нулю (рис. 10.7). Многофазную систему
э. д. с. и токов, при которой суммарная мгновенная мощность
в цепи постоянна (сумма мгновенных мощностей отдельных фаз),
.405!
называют уравновешенной многофазной системой. Симмет-
ричные системы являются уравновешенными.
Связанную систему на рис.
10.8 называют системой, со-
единенной в звезду,
или звездой. Для такой
системы характерно наличие
общей точки 0, называемой
нулевой (нейтраль-
н о й). Нулевые точки источ-
ника питания и потребителя
электрической энергии могут
быть соединены проводом,
называемым нулевым (нейтральным). Ток в нулевом про-
воде обычно значительно меньше, чем токи в фазных проводах.
Таким образом, т-фазная
система может быть как ш-(без
нулевого провода), так и тф-
-ф1 -проводной (при наличии ну-
левого провода).
Напряжение между любой
из фаз многофазной системы и
нейтралью источника питания
(нейтралью нагрузки) называют
фазным, а напряжение меж-
ду фазами в любом месте цепи —
междуфазным (линейным).
Соотношения между действую-
щими (амплитудными) значениями этих напряжений зависят от числа
фаз и вида соединения многофазной системы. Для симметричной
многофазной цепи характерным является равенство комплексных
сопротивлений всех фаз системы.
Для многофазных цепей возможно также соединение много-
угольником. На рис. 10.9 показана связная трехфазная цепь,
соединенная треугольником.
Такая трехфазная цепь мо-
жет быть только трехпровод-
ной (в общем случае ш-про-
водной).
Источник питания и при-
емник электрической энергии
не обязательно имеют одина-
ковую схему соединений. Так,
например, на рис. 10.10 по-
казана трехфазная цепь, ис- .
точник питания которой со-
единен звездой, а приемник электрической энергии — треуголь-
ником. Поскольку симметричную многофазную цепь составляют
из одинаковых элементов во всех фазах, то схематически ее мож-
но изображать однолинейной,
с
b
Рис. 10.10
303
§ 10.2. Симметричные трехфазные цепи
и методы их расчета
В симметричной трехфазной системе э. д. с. в фазах а, b и с
связаны между собой следующими соотношениями:
&b = gf^b. €C = S^,
где
Фа ~ Фл = Фь — Фс = фс — Фа = 2л/т = 2л/3
или
Фа — Ф& = Фс — ф& = Фб — Фа = 2л/т = 2зт/3.
Первую систему называют системой прямой последова-
тельности чередования фаз (системой прямой после-
довательности э. д. с,), а вторую — системой обратной
последовательности чередования фаз (системой
обратной последовательности э. д. с.). Для упрощения
записи вводят оператор поворота
который при умножении на какое-либо комплексное число при-
водит к изменению аргумента последнего на 2л/3. Таким образом,
систему прямой последовательности э. д. с. можно записать
в виде
<Sa = a£b, Sb=aSc-, £с = а£а
или
Sa = a<Sb — azSc,
а систему обратной последовательности э. д. с.—в виде
Sa = azSb = aSc.
Оператор поворота а обладает следующими основными свойствами:
1-}-а + й-=0; а —а2 = /]/3;
с2 = а\ 1 — а = azj ]/3;
а3 = 1; с2 — 1 = aj ]3.
Достаточно взаимно изменить индексы у векторов любых двух
фаз, чтобы получить систему величин противоположной последо-
вательности. Обычно симметричную трехфазную систему рассмат-
ривают в качестве системы прямой последовательности.
Если известно, что рабочий режим цепи симметричен, то,
определив значение какого-либо параметра одной из фаз (обычно
за исходную принимают фазу а), находят значения того же
304
параметра и для остальных фаз. Например, если э. д. с. фазы
а равна то всю симметричную систему э. д. с. g определяют
путем умножения значения S на матрицу соответствующих коэф-
фициентов S, характеризующих данную систему параметров:
g = <?S.
Для системы прямой последовательности э. д. с. (или любой
другой величины) матрица коэффициентов (операторов поворота)
Si = [ 1 а2 а],
для системы обратной последовательности
Sa = [l а а2].
Матрицы коэффициентов дают возможность изображать трех-
фазную цепь однофазной схемой замещения (составленной для
одной фазы цепи). Умножая параметры режима однофазной схемы
на эти матрицы, можно получить параметры режима для задан-
ной трехфазной цепи (оригинала).
Если симметричные фазные напряжения (рис. 10.11) для соеди-
нения звездой (см. рис. 10.8) при симметричной нагрузке запи-
сывают в виде
U А = aU в = a2U с,
то междуфазные напряжения по второму закону Кирхгофа равны
разности фазных напряжений:
0 ав = 0 а — &в — — а/Уз Uа\
Овс—Ов — Ос —— 1УЗ 0 а',
ОСА = Uc-Ua = ~-a2jУз UA.
Следовательно, при соединении звездой междуфазные напря-
жения по модулю больше фазных в УЗ раз. Кроме того, эти
305
напряжения также составляют симметричную трехфазную систему
U ah = o-U вс = a2U с а- Если токи в фазах приемника электрической
энергии, соединенного треугольником, обозначить и задать их
положительные направления так, как показано на рис. 10.10,
то при одинаковых сопротивлениях фаз и симметричной системе
междуфазных напряжений будет симметричной и система токов
в фазах (рис. 10.12): 1аЬ — а1Ьс — аЧса.
Линейные токи в подводящих проводах определяют по пер-
вому закону Кирхгофа:
ia = iab — ica = {\— a) tab = a2j ]/3 tab;
jb ~ ibe iab ~ 0 lab ~ Щ V 3 1ab,
Ic — ica ibe — (fl ^-2) iab — j 1 3 1ab’
Таким образом, линейные токи также образуют симметричную
систему 1а = а1ь — аЧс и по величине в ]/"3 раз больше токов
в фазах.
В этом случае суммарная комплексная мощность для всех
трех фаз приемника электрической энергии
S = Uа()1 ъД fa -j- (JcaJca =
= ЗМФ (cos Ф + / sin Ф) — SUqJ&v = J/3 UI&№,
где U — модуль междуфазного или линейного напряжения; I —•/
модуль тока в фазе приемника; [7Ф —модуль фазного напряжения;
/ф —модуль линейного тока; ф —сдвиг фаз между током прием-
ника и фазным напряжением.
Полученные выражения показывают, что для характеристики
рабочего режима симметричной трехфазной цепи достаточно иметь
три величины, определяемые вещественными числами: модули
фазного напряжения £/ф и тока в фазе приемника (нагрузки) 7Ф,
сдвиг фаз между фазным током и фазным напряжением ф. Если
фазные напряжения симметричной трехфазной системы, соединен-
ной звездой:
йа = иф, йь^и^- Ос = ифа,
то токи в фазах- равны линейным токам: = tb = a2ia;
ic — aia, а междуфазные напряжения:
йаь = -а]Уз иф,- Ubc = -iV3 С/ф; Оса = - а2/ ]/ 3 иф.
Комплексные мощности фаз:
Ха = 5ь = 5с = {7ф7еЛ.
Суммарная комплексная мощность трех фаз
S = = УЗ Ulei’f.
Если источник питания или приемник электрической энергии
соединен треугольником, то ток в каждой его фазе в /з раз
меньше линейного тока.
306
Пример 10.1. На рис. 10.13 изображен элемент трехфазной цепи, соеди-
ненной звездой. В каждой фазе этого элемента включены источник э. д. с.
и комплексное сопротивление. Заданные э. д. с. образуют систему прямой
последовательности: ^о = аЙ!й = п2(^’с. Определить параметры эквивалентного
элемента, соединенного треугольником (рис. 10.14).
Решение. Комплексные эквивалентные сопротивления найдем по форму-
лам преобразования пассивной звезды в треугольник (при отсутствии э. д. с.):
Zab — Za + Zb+(2а2{,/2с);
Zbc—Zb++{ZbZc!Zay,
Zea — Zq+Za -j- (ZcZa!Zb).
Если Za—Zb=Zc—Z, to Zab=Zbc=Zca = 3Z. Эквивалентные э. д. с.
треугольника должны составлять систему векторов прямой последовательности:
&аъ =CtSbc—&& са,
где
^ab—^a—$b'< $Ьс — &Ь—<^с и са—& с—& а-
Тогда
$ab—VS 6.
Пример 10.2. Рассчитать симметричную трехфазную цепь на рис. 10.15,
если заданы все сопротивления ветвей схемы и линейные напряжения на вход-
ных зажимах трехфазиой цепи (UAB, UBC, йсд).
Решение.
Заменим треугольник эквивалентной
звездой: г’=—^~
О
Г
(на рис. 10.15 сопротивления г' показаны пунктиром). Нейтральная точка О
эквивалентной звезды и точка О± имеют один и тот же потенциал, поэтому две
звезды можно заменить одной эквивалентной, каждая фаза которой состоит из
двух параллельных ветвей. Комплексные сопротивления этих ветвей Z^jx,
Z' — г', а комплексное сопротивление эквивалентной звезды
7 Г'^Х - Г’^ '
“Zi+Z' “ r'+jx (r'Y+x^J •
Упростим полученную схему, заменив ее тремя сопротивлениями, соеди-
ненными Звездой. Комплексное фазное сопротивление эквивалентной звезды
7 _ , 7 , , г'х* I ; Х(г')2
6ф—гл~1-ба-гл-Г- (r'ja-f-xs’,
307 •
Линейные токи схемы
,А—1в— ,с~,~^ф/гф — гф»
где
, т/ Г- , Т , Г
Ф у [ л ’’(r'F+^J L(H2+x2J •
Фазные напряжения эквивалентной звезды
п г/ г лГ\ г'& ? , Г х(г')2 р
Ua-Ub-Uc-zaI-y [(TjqrpJ +[(И2+х2] /за-
токи в фазах заданной звезды с сопротивлением г}
а" IЪ~ 1 а/х.
Линейные наряжения звезды равны фазным напряжениям треугольника:
Uab = Ubc=Uca^V3 иа.
Определим фазные и линейные токи треугольника:
I ab~ I Ъс~ I ca~U abfr'i
. l’a=:lb=Ic=V^ Uab/r.
Для симметричных трехфазных цепей характерно постоянство
суммарной мгновенной мощности трехфазной цепи.
Фазные мгновенные мощности симметричной трехфазной цепи
определяем по формулам
Ра ” На^а> Pb = Hbiby Рс === ^С1С>
где
На = Um sin (со/+ф); ub = Um sin (at+ф — 120°);
нс = Um sin (at 4-ф — 240°); ia = Im sin (at -f-ф — <p);
1ь = /7п81п(со/4-ф— 120° —q>); ic= AnSin(wZ —ф —240° —ф).
После подстановки значений напряжений и токов в выражения
для мгновенных мощностей- и суммирования мощностей получаем
308
следующее уравнение:
Ра + Ръ + Рс = 3UI cos ф - Ul {cos [2 (со/ + Ф) ~ ф] +
4-cos [2(со/4-ф— 120°) — фЦ-cos [2(со^4-ф — 240°) — ср]}.
В фигурных скобках записана сумма трех косинусоид с оди-
наковыми амплитудами, сдвинутыми на 120°, которая для любого
момента времени равна нулю. Поэтому РаА-Рь~гРс = 317/cos ф =
= const. Трехфазную систему, для которой справедливо это
равенство, называют, как отмечалось, уравновешенной.
§ 10.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей
Задача расчета рабочего режима трехфазной цепи усложняется,
если хотя бы в одном ее месте нарушено условие симметрии:
система э. д. с. или задающих токов несимметрична или различны
пассивные параметры для разных фаз. Это может привести к нару-
шению симметрии всех параметров режима трехфазной цепи. В
таких случаях всю трехфазную цепь рассматривают как развет-
вленную цепь с несколь-
кими однофазными источ-
никами; при этом схема за-
мещения должна состав-
ляться для всех фаз.^
На рис. 10.16 изобра-
жена трехфазная цепь, со-
стоящая из источника пи-
тания, соединенного в звез-
ду, четырехпроводной ли-
нии с сопротивлением каж-
дого провода Z и сопротивлением нейтрали ZN, а также несим-
метричного приемника электрической энергии, соединенного звез-
дой, с сопротивлениями Za, Zb и Zc. Данная схема содержит
два узла О и Оь напряжение между которыми
U oto = Un =
& aYa+&bYb+ &сУ с
Уа+УВ+Ус+Уы
где
YA=1/(Z + Za)-, YB = i/(Z+Zby,
yc=l/(Z4-Zc); YN=\,ZN.
Токи в фазах (линейные токи в звезде равны фазным токам)
определяются по формулам
= — UN) YА, 1в = (,$В~ &n)Yb‘, 1с=(£с — й^Ус.
Ток в нейтральном проводе I^ — U^YN. На топографической
диаграмме (рис. 10.17) э. д. с. источника питания показаны
в виде векторов &в и ^с» напряжения между.точками А, В, С
309
и нейтралью —б виде векторов 0а<\ = Sa — Un, UBO1 = ^p — U^,
(Jcot = Sc — UM и напряжение между нейтралью приемника и ней-
тралью генератора (напряжение смещения нейтрали) —в виде
вектора ОN. Линейные напряжения на зажимах генератора счита-
ются равными разности соответствующих э. д. с., если падения
напряжения в обмотках генератора незначительны.
Рис. 10.18
По известным фазным токам определяем фазные, а затем линей-
ные напряжения на нагрузке:
Оа — ^а^А\ Ob = ZblB-, Oc = Zclc>
Uab = Oa-Ub-, Obc — Ub — Uc', Uca = Oc-Ua.
Рис. 10.19
линейные напряжения
Такой порядок расчета можно использовать в случае одного
источника питания и нескольких при-
емников электрической энергии.
Если нулевой провод отсутствует,
а нагрузка включена треугольником
ZC6, ZbCi Zca, то этот треугольник сле-
дует заменить эквивалентной звездой
(рис. 10.18). Полученные сопротивле-
ния Za, Zb, Zc пофазно объединяются
с сопротивлениями Z, в результате чего
получается несимметричная звезда (рис.
10.19). Для определения фазных напря-
жений Дао, и (7со, через заданные
0ав> йвс и Оса используем следующие
уравнения:
ОаоУа^гОВО1¥в-\-Осо0^с = ^'1
оAO1 — OBOl = UАВУ Obo1 — OCq1—ObC‘
Решая совместно эти уравнения, с учетом 0ав-}-0Вс-\-0са — ®
получаем:
Л ^abyb+^acyc. гт UBCYc+ObaYа тт ^caya+^cbyb
А01 ya+yb+yc В01~ ya+yb+yc ’ С01~ ya+yb+yg ’
310
Пользуясь выражениями для фазных напряжений на эквива-
лентной звезде, определяем токи:
^А — йдсиХАг ^В — ^ВоХв< ^СоХс-
Зная токи 1А, 1В и 1с, находим напряжения в эквивалентной
звезде из выражений для сопротивлений Za, Zb и Zc, после чего
напряжения на зажимах заданного треугольника вычисляются по
формулам
uab=zaiа—zbiB, ubc—zbiB—zcic; uca—zcic—zaiA-
Токи в фазах заданного треугольника находятся из выражений
Zaj)iab~Uab, ZbcIbc — Ubc, ZcaIca — Uca.
Следует подчеркнуть, что при резко несимметричной нагрузке
отсутствие нейтрального провода может привести к большому зна-
чению потенциала нейтрали нагрузки, в результате чего потенциал
точки 0х эквивалентной звезды оказы-
вается за пределами треугольника ли- ________
нейных напряжений. Нейтральный про- ~~J~
вод, как правило, приводит к умень- Ъ а
шению напряжения смещения нейтрали 0
ОN, так как сопротивление каждой фа- 4
зы нагрузки значительно превышает с ic.
сопротивление нейтрального провода. р- 1
Рис. 10.20
Пример 10.3. Потребитель электрической
энергии включен между фазами b и с с прово-
димостью Y=g—jb. К зажимам трехфазной
цепи присоединены две батареи конденсаторов — между фазами b и с и между
фазами а и с (рис. 10.20). Емкости конденсаторов выбраны такими, что емко-
стные проводимости:
2 g
' Ьса = юСеа = S> ЬЬс = Ч>СЬс — Ь-{- •
Убедиться в том, что система токов в трехфазной цепи в этом случае симмет-
рична.
Решение. Ток фазы а
&cai^ca —
ТОК фазы b
kr=Ubc(Y+ibbc)=- a^Uag-,
ток фазы с
1с — йса jbca Ubc(Y }ЬЬс) = — ag.
Из полученных выражений следует, что токи ia, ib и 1С составляют симмет,
ричную систему:
4 = alb=& 1С,
/ Полная мощность всех трех фаз
S—UbJbc-\-(JcJca. «•
Пример 10.4. В фазу А трехфазной системы включено переменное активное
сопротивление г, в фазу В —неизменное индуктивное сопротивление xL
а в фазу С—неизменное емкостное сопротивление хс (рис. 10.21). Определить
311
геометрическое место концов вектора напряжения смещения нейтрали ука-
занной несимметричной нагрузки относительно центра тяжести треугольника
линейных напряжений, если линейные напряжения на зажимах заданной
звезды одинаковы, а сопротивления нагрузки в фазах В и С равны по абсо-
лютной величине: xL=xc.
Решение. Пусть фазные напряжения, _ определяющие центр тяжести
треугольника линейных напряжений, UA—aUg—a4Jc. При этом вектор &А
совпадает с осью вещественных величин. Тогда напряжение смещения нейтрали
_°aya+UbYb+UcYc
N VA+Yb+YC. •
Так как Ув-|-Ус = 0, Y A—gA=g, то
где Ь—проводимость фазы В или С
ченной формулой, определим фаз-
ные напряжения па нагрузке при
различных значениях проводимо-
сти g. Если g=со (фаза А закоро-
чена), то точка N совпадает с' точ-
кой А (рис. 10.22), в результате
чего напряжения на двух других
фазах оказываются равными линей-
ным: l)'B = —UAB, U'C=UCA. Век-
тор тока /в в фазе В отстает от
вектора напряжения U'B на л/2, а
по абсолютной величине. Пользуясь полу-
Рис. 10.22
вектор тока /с опережает вектор напряжения U'c на л/2. Ток 1А в. закоро-
ченной фазе найдем по первому закону Кирхгофа:
^=-(4+4.
Из векторной диаграммы токов (рис. 10.22) видно, что при §=оотоки tA
1д и /с одинаковы (по модулю) и образуют систему векторов обратной после-
довательности. Если в фазе А проводимость g=V<3 Ь, то (7дг=0 и точка N
совпадает с центром тяжести треугольника линейных напряжений, а фазные
напряжения UA, UB и 0с на нагрузке образуют симметричную трехфазную
систему. Однако векторы токов /д, /д, fc образуют несимметричную трехфазную
систему обратной последовательности. При размыкании фазы A g=0, UN стре-
312
мится к бесконечно большому значению, что соответствует резонансу напря-
жений в фазах В и С (они оказываются соединенными последовательно) при
отсутствии активного сопротивления. На рис. 10.22 построена также векторная
диаграмма токов и напряжений для g=t-r=b. При этом фазные напряжения
г 3
('в и равны друг другу по абсолютной величине, противоположны по фазе
и каждое из них равно половине линейного напряжения. Напряжение
3
U'A= ’2'UA по-прежнему совпадает с осью вещественных величин.
Таким образом, геометрическим местом концов вектора смещения нейт-
рали UN служит прямая линия, совпадающая с осью вещественных величин.
Ток iA при изменении проводимости g от 0 до со (за исключением g=0) не
изменяется по величине и по фазе:
^=(^4-^) 8— (оА-йА+ОА /з 4) е=йА /3 ь.
\ о /
§ 10.4. Вращающееся магнитное поле; принцип действия
асинхронного двигателя
Возможность создания вращающегося магнитного поля явля-
ется важным свойством многофазных систем. На рис. 10.23 изо-
бражена катушка (в виде одного витка) с током, изменяющимся
по синусоидальному закону (рис. 10.24). В центре катушки и на
ее оси вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости
катушки и совпадает с ее
Пульсирующую магнитную индукцию, создаваемую переменным
током, можно рассматривать как результат совместного действия
двух составляющих, вращающихся в противоположных направлениях
с половинной амплитудой и одинаковой угловой скоростью со:
В = Вт cos* со/ = ^Вт
Магнитную индукцию, вращающуюся со скоростью со, можно
получить, если с помощью второй катушки с гармоническим током,
сдвинутой относительно первой катушки в пространстве, компен-
сировать составляющую обратного вращения, обусловленную пере-
менным током первой катушки. При этом результирующая индукция,
вращающаяся в прямом направлении, будет в общем случае дру-
гой по величине.
313
Пусть магнитные индукции, создаваемые токами катушек 1 и 2,
определяются уравнениями
Bt = Blm cos (о/ = у Blm(efat + е-/“9;
В2 = В2т cos И+ifc) = ~ В2т [е;К+^) + е“' ^+^1 -
где
В2т — В2те^’ В2т— ^2me
При этом катушка 2 (рис. 10.25, а) сдвинута в пространстве
относительное катушки 1 на угол у. Из условия взаимной компен-
Рис. 10.25
сации обратно вращающихся магнитных потоков
у(в1ст+В2теЛ)е-^ = 0
определяем
откуда
или
5lm+W(v_^=o,
Blm = B2m-, = Л
= у — л.
Следовательно, между индукциями катушек должен быть сдвиг
во времени, непосредственно определяемый сдвигом в простран-
стве. При этом следует учесть, что вращающееся магнитное поле
получается, если у и ф/ не равны нулю или л, что легко лрове-
Я1Л
рить непосредственно по схематической картине поля, создаваемого
соответствующими, токами обмоток.
Рис. 10.26
Пусть обмотки сдвинуты в пространстве на угол у = 90°; сдвиг
фаз между токами (с одинаковыми амплитудами) находят из выра-
жения ф/ = у —л =— т. е. ток, создающий переменное маг-
нитное поле в катушке 2,
должен отставать от тока,
создающего переменное маг-
нитное поле в катушке /, на
Va периода (рис. 10.25, б, в).
На рис. 10.26, а—г даны
схематические картины ре-
зультирующего магнитного
поля, создаваемого токами
симметричной трехфазной си-
стемы (рис. 10.27) в катуш-
ках, сдвинутых в простран
стве на 120° (индекс «н» ука-
зывает начало, а индекс «к» —
Рис. 10.27
конец обмоток). Схематическая картина магнитного поля для момен-
та времени /1 = 0 показана на рис. 10.26, а при ia = 0, z6 <0 и ic>0.
Если положительное значение тока 1С у начала обмотки с
отмечено условно крестиком, то отрицательное значение тока
315
у начала обмотки b отмечено точкой. Кроме того, векторы маг-
нитной индукции в центре и на оси катушек направлены перпен-
дикулярно плоскостям соответствующих катушек и пропорцио-
нальны токам в обмотках.
Для момента /а = 7'/12 (рис. 10.26, б) токи 1а и ic имеют
положительные значения (начало соответствующих обмоток отме-
чено крестиками), а ток ib имеет по-прежнему отрицательное
значение (отмечено точкой у начала обмотки Ь). Рис. 10.26, в
соответствует /3 = 776, а рис. 10.26, г —/4 = 774.
Сравнение схематических картин магнитного поля, приведен-
ных для различных моментов времени, наглядно показывает вра-
щение магнитного поля. При этом за один период изменения
токов магнитное поле совершает один полный оборот. Направле-
ние вращения магнитного поля зависит от последовательности
фаз токов в обмотках. Для изменения направления вращения
магнитного поля достаточно поменять местами, например, токи
в двух любых обмотках, сохранив ток в третьей обмотке неиз-
менным.
Для аналитического определения условий создания вращаю-
щегося магнитного поля в трехфазной симметричной системе
можно, так же как и в двухфазной системе, использовать условие
компенсации поля, обратного вращения. Если Ва = аВь = а2Вс, то
условие компенсации поля обратного вращения запишется в виде
4 (Вате^ + вьте^ e~iat =0
или
у Ват^а [ 1 + а&' ~ ф- eV е" = 0,
откуда
2
Тс - Т& = Т& - Та = Та - Тс = у Л
(векторы, записанные в виде суммы в квадратных скобках, обра-
зуют замкнутый равносторонний треугольник).
Таким образом, катушки должны быть сдвинуты в простран-
стве под углом у л друг к другу так, чтобы положительные
направления векторов индукции чередовались по направлению
вращающегося магнитного поля в той последовательности, кото-
рая соответствует очередности чередования фаз вызывающих их
токов (рис. 10.27). Если каждый вектор магнитных индукций
имеет амплитуду Вт, то суммарная индукция
В = | Вт(1+Л + саа) = 4вст
при фо = уо = 0.
В этом выражении первые множители (а2 и а) отражают сдвиг
магнитных индукций во времени, а вторые (а и а2) —сдвиг в про-
странстве.
316
I
Рис. 10.28
Принцип действия асинхронного двигателя основан на исполь-
зовании явлений, связанных с вращающимся магнитным полем.
Пусть три одинаковые неподвижные катушки расположены в про-
странстве так, что их оси сдвинуты относительно друг друга на
120° (рис. 10.28). Катушки питаются токами, одинаковыми по
амплитуде и сдвинутыми по фазе на 2л/3. Если между катушками
поместить металлический барабан с
проводниками,, заложенными по его
окружности, то в этих проводниках
индуцируется э. д. с. и возникает
ток. Когда магнитное поле вращает-
ся по направлению движения часо-
вой стрелки, это равносильно движе-
нию барабана в противоположном
направлении. Пользуясь правилом
правой руки, можно установить, что
в проводниках барабана ток направ-
лен в верхней его части за чертеж,
а в нижней — наоборот. Затем, при-
меняя правило левой руки к инду-
цированным токам в проводниках ба-
рабана, легко установить, что силы,
действующие на проводники, будут увлекать барабан в направлении
вращения магнитного поля. При этом скорость вращения бара-
бана всегда меньше скорости вращения поля относительно кату-
шек, так как при одинаковых скоростях прекратилось бы инду-
цирование э. д. с. в проводниках и, следовательно, не существо-
вали бы силы, создающие вращающий момент.
9
О.
Р
§ 10.5. Измерение мощности в трехфгзных цепях
Комплексная мощность четырехпроводной несимметричной
трехфазной цепи
— (Ю.1)
где
P — UaIa cos фа 4- иbIb cos ф6 4- UCIC cos <рс.
Для измерения трех слагаемых активной мощности такой цепи
(с нулевым проводом) требуется три ваттметра, включенных по
схеме на рис. 10.29. Каждый ваттметр измеряет активную мощ-
ность одной фазы. В случае симметричной трехфазной цепи доста-
точно измерить одним ваттметром мощность одной фазы. Суммар-
ная мощность равняется утроенной величине мощности одной фазы.
Комплексную мощность несимметричной трехпроводной цепи
определяют по формуле (10.1), однако в этом случае сумма
линейных токов /О4-Л4" Л = 0. Следовательно,
s = йа1а 4- ub (-ia - ic)+йс1с=
= (Ua - Ub) lb 4- (Uc - Ub) lc = 4- UcbIc. (10.2)
317
ТоГДЗ
Р — UabIa COS {(jat>ia) 4“ UclJc COS (i^cb^c) — Pab~YPcb’
Таким образом, для измерения активной мощности данной
цепи (без нулевого провода) достаточно включить два ваттметра
по схеме на рис. 10.30.
Рис. 10.30
При симметричной нагрузке из векторной диаграммы на -
рис. 10.31, а следует, что
Раь = UabIa cos = URIR cos tyab = URIR cos (<р + 30°);
Рсь = Ucblc COS (uQic) = С7Л/Л cos i£c6 = URIR cos (tp - 30°).
Сумма показаний ваттметров (рис. 10.30)
Р = Рab + Рсъ = Пл/л2 cos 30° cos ф = ]/~3 URIR COS ф,
т. е. показания ваттметров одинаковы только при ф = 0. При
Ф = 60° РаЬ = 0‘, при ф — — 60° Рей —0; при ф > 60° Pa6<;0,
Рис. 10.31
: при ф < 60° РсЬ < 0. Наконец, при ф = ± 90° (реактивная нагрузка)
Раь — — Рсъ< а их сумма равна нулю. На рис. 10.31, б построены
’318
трехфазной трехпроводной
графики изменения РаЬ, РеЬ и Р = РаЬ 4- РсЬ при изменении <р от
О до ± 90°.
На рис. 10.32 показана схема включения ваттметра с искус-
ственной нейтральной точкой, позволяющая измерить активную
мощность одной фазы симметричной трехфазной трехпроводной
цепи. . Искусственная нейтральная
точка создается из трех одинаковых
активных сопротивлений. При этом
служит добавочным сопротивле-
нием, которое вместе с сопротивле-
нием обмотки напряжения ваттметра
должно равняться сопротивлению
каждой из двух других фаз: гд +
Суммарная активная мощ-
ность в этом случае равна утроенно-
му значению мощности, показывае-
мой одним ваттметром.
На рис. 10.33,а изображена схе-
ма включения ваттметра, для измере-
ния реактивной мощности симмет-
ричной трехфазной цепи. Из приведенной схемы и из векторной
диаграммы, изображенной на рис. 10.33, б, следует, что ваттметр
измеряет мощность
Uсо!ь cos = Uсъ!ъ cos (90° — <р) = UnIR sin <р,
что при умножении на ]/~3 дает реактивную мощность симметрич-
ной трехфазной цепи.
§ 10.6. Основные понятия о методе
симметричных составляющих
Для расчета несимметричных режимов линейных многофазных
Цепей часто применяют метод симметричных составляющих, осно-
ванный на. принципе наложения. Этот метод позволяет упростить
319
расчет несимметричного режима линейной трехфазной цепи в тех
случаях, когда причины нарушения симметрии (обрыв фазы,
короткое замыкание и т. п.) сосредоточены в одном или двух
местах системы; при этом все остальные ветви трехфазной цепи
имеют одинаковые параметры всех фаз. В таких случаях вместо
одной несимметричной трехфазной системы можно рассматривать
три симметричные системы, схемы замещения которых состав-
ляются на одну фазу и соединяются между собой в соответствии
с условиями, возникающими в местах нарушения симметрии.
Любую несимметричную m-фазную систему некоторых величин А
можно рассматривать как сумму т различных симметричных т-
фазных систем, различающихся значениями аргумента
argAfe = ^f = [Л = 0, 1, ... (m-l)J.
Если для каждой k-й симметричной системы величину AkA
для фазы А принять за исходную, то для любой другой фазы
• ъ 2л
Лв = ЛАе'^ = Лле'“Ч
Таким образом, все системы получаются симметричными, за
исключением системы нулевой последовательности (Л = 0), у кото-
рой ЛОа = Лод = const, и в сумме составляют 2 ^оа = шЛод,
а— 1
т. е. представляют неуравновешенную систему. Таким образом,
система нулевой последовательности является симметричной
только по формальным признакам. Тогда для каждой фазы несим-
метричной системы
т— 1 т — 1
/г = 0 ft=0
Данная система линейных алгебраических уравнений дает
возможность определить все значения Ahay т. е. разложить несим-
метричную систему на т симметричных систем.
Если система исходных комплексных величин образует на
комплексной плоскости замкнутый многоугольник, то система
нулевой последовательности должна отсутствовать, т. е. число
систем симметричных составляющих уменьшается на единицу и
становится равным т — 1.
Для иллюстрации отмеченных положений можно разложить
несимметричную систему, состоящую из токов 1А, 1в и /с, на
симметричные составляющие. Заданная система является трех-
фазной, поэтому должно быть три симметричных системы в форме
составляющих — системы прямой, обратной и нулевой последова-
тельностей. Первую обозначают индексом 1, вторую — индексом 2,
третью — индексом 0. Исходные уравнения имеют следующий вид:
I а = 11А + Iza +1ол,'
/ц = /1В 4* izB +
ic — Ac + AiC + ^OO
(10.3)
320
Для системы прямой последовательности (рис. 10.34, а)
61 = 2л/3; iiA = aiiB = c?iic- (10.4)
Для системы обратной последовательности (рис. 10.34, б)
62 — 4л/3; Ла==о2Лв = оЛс- (10.5)
Для системы нулевой последовательности (рис. 10.34, в)
£>о = 0; 1оА~ Лв~ ioc~ i0. (10.6)
Система токов нулевой последовательности симметрична только,
условно, так как такая система является неуравновешенной:
1оа 4“ Лв 4“ 1ос —
Из уравнений (10.1)ч- (10.6) находят три'линейных алгебраи-
ческих уравнений с тремя неизвест-
ными 12а и Ла = Д:
Ia—liA 4“ Ла+Л;
Л=aZi та 4- «Ла 4~ Л;
Л = а^хА 4- «2Ла 4- Л-
Совместное решение этой системы
дает' следующие формулы для опре-
деления симметричных составляющих:
Ла = (Jа 4~ al^4“ а21с)/3;
Ла = (Л 4~ «2Л 4~ «Л)/3;
Л= (^а4“Л + Л)/3.
Если исходная система векторов
образует замкнутый треугольник, то
Л 4- 1в 4- Л = 0» т. е. система нуле-
вой последовательности отсутствует:
Поскольку в четырехпроводной
трехфазной цепи ток в нулевом про-
воде равен сумме токов в проводах
фаз на том же участке цепи (иногда
этот ток замыкается через землю):
Лу = Л1 4~ Л 4~ Л?, то при отсутствии других электрическихсвязей
между соответствующими частями цепи iN = 310, т. е. в нулевом
проводе будет утроенный ток нулевой последовательности.
- Разложение на симметричные составляющие возможно для
всех величин, входящих в многофазную систему:, токов, э. д. с.,
напряжений, сопротивлений, проводимостей и т. д/ При записи
значений симметричных составляющих индекс фазы обычно опу-
скают. Только при определении соответствующих значений вели-
чин одновременно для всех фаз или для разных фаз появляется
необходимость в записи индексов, указывающих фазы.
11 п/р. Ионкина, т. 1
321
Разложение несимметричной системы на симметричные состав-
ляющие дает возможность определить рабочий режим цепи по
частям —в виде суммы симметричных режимов. Наиболее, просто
это выполняется в том случае, если несимметричными являются
параметры активных элементов схемы замещения, а параметры
пассивных элементов одинаковы для всех трех фаз.
Пример 10.5. Рассчитать схему на рис. 10.35, пользуясь методом симмет-
ричных составляющих.
Решение. В этой схеме несимметрия создается добавочной э. д. с. Si л-
Действие э. д. с. Sa рассмотрим как частный случай несимметричной системы
э. д. с.: &Sa = Sa', Лё“в=0; ASc — О- По формулам разложения на симмет-
ричные составляющие определим э. д. с. прямой, обратной и нулевой последо-
вательностей фазы А:
—S 2=й“о = S А/3.
322
В данном случае эти составляющие одинаковы, составляющие по всем фазам
найдем из выражений
<%1А=ай 1В=сРё 1С == й^/3;
&2 а = 2В== ^/3‘
$ОА~^ОВ~ $ОС = ^д/3.
Таким образом, вместо одной э. д. с. в фазе А появляются девять э. д. с.
во всех трех фазах (рис. 10.36, а). Вместо всей трехфазной цепи рассмотрим
три схемы замещения для каждой последовательности в отдельности
(рис. 10.36, б—г). В схеме прямой последовательности две э. д. с. —исходная
(<о и добавочная э. д. с. прямой последовательности (рис. 10.36, б).
В схеме обратной последовательности должна быть только одна добавочная
э. д. с. обратной последовательности (Рис- 10.36, в), так как в исходной
схеме э. д. с. обратной последовательности отсутствует. В схеме нулевой после-
довательности также должна быть только одна добавочная э. д. с. нулевой
последовательности йи0 (рис. 10.36, а), так как в заданной схеме э. д. с. нуле-
вой последовательности отсутствует. Кроме того, в эквивалентную схему для
токов нулевой последовательности входит утроенное сопротивление нейтраль-
ного провода (ток нулевой последовательности каждой фазы замыкается через
нейтраль). Другими словами, напряжение на нейтрали равно ZN (3/0), что
в эквивалентной схеме для одной фазы должно учитываться с помощью утро-
енного значения сопротивления нейтрали.
Для каждой последовательности добавочные токи в схемах определим
независимо друг от друга:
/' = ^2/Z; /; = ^0/(2+32л).
Таким образом,
1 { 1 _ 1 1 \ Z-\-2Zn
1а =у 6а + -J- + Z + ^ZN ) = Z(Z+3Zyv)J
1 (сА а 1 ZN
1в==~3®А\Т + ~z~ + Z+3Z~r~®A Z (Z + 3Z^) J
1 I a cfl 1 \ •, ZN
Ic="3 ®A + ~Z + Z+^ZN )=~^A z (Z + 3Z^)'-
Несмотря на то что добавочные токи в фазах В и С-получились одинако-
выми, в действительности токи в этих фазах будут различными, поскольку
токи исходного режима (без учета добавочной ‘э. д. с.) в них имеют разную
начальную фазу: iA = aiB=d?ic. Так как в начальном режиме I-A = &A/Z, при
несимметричном режиме результирующие токи:
• Z + 2Z..
iА = A z (Z+3Z^) ’
. , ZK
f'B=a2IA-^A z (ZN+3ZN^
Ic~alA 6AZ{ZN + 3ZNy
11*
323
ГЛАВА 11
МНОГОПОЛЮСНИКИ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ
§ 11.1. Определение многополюсников
Во многих случаях задача анализа рабочих режимов в электри-
ческих цепях ограничивается расчетом токов и напряжений (потен-
циалов) в отдельных участках цепей или нахождением уравнений
связи между этими токами и напряжениями. При этом режимы
остальных участков цепей остаются неизвестными, хотя все их
параметры учитываются при решении соответствующих- задач.
Тогда рассматриваемую часть цепи можно характеризовать обоб-
щенными параметрами по отношению к некоторым выделенным
зажимам.
Часть, цепи, характеризуемую обобщенными параметрами,
необходимыми и достаточными для составления уравнений связи
между токами и напряжениями на ее зажимах, называют м н о г о-
полюс ником.
Реальная схема соединений элементов части цепи, составляю-
щей многополюсник, может быть неизвестна Число полюсов мно-
гополюсника равно числу. зажимов на границе данной части
схемы. Многополюсники условно обозначают, например, в виде
прямоугольников с соответствующим числом зажимов (полюсов),
с помощью которых они присоединяются к остальной части цепи.
При исследовании режимов в электрических цепях чаще всего
используют двухполюсники, трехполюсники и четырехполюс-
ники.
Многополюсники, не содержащие в своих ветвях источников
энергии, называют пассивными (линии передачи электриче-
ской. энергии, трансформаторы, мостовые измерительные схемы
и т. п.).
' Многополюсники, содержащие в своих ветвях источники энер-
гии, называют активными (электронные лампы, полупровод-
никовые приборы и т. п.).
§ 11.2. Основные уравнения четырехполюсников
Для исследования режимов пассивных четырехполюсников
в схеме следует выделить две ветви с источниками э. д. с. S’1 и
(рис. 11.1). Остальную часть схемы можно рассматривать как
пассивный четырехполюсник П с первичными (входные зажимы
1—Г) и вторичными (выходные зажимы 2—2') зажимами. При
этом внутренние сопротивления источников электрической энер-
гии учитывают внутри четырехполюсника. Положительные направ-
ления токов в ветвях и напряжений на их зажимах’выбраны
в соответствии с направлениями э. д. с. (рис. 11.1).
На основании метода контурных токов (в соответствии с выб-
ранными положительными направлениями токов Д, Д и напряг
324
жений Ui, U2) можно записать следующие уравнения:
= Ui = Zut х + Z12l 2;
<S2 — U2 — z2il i + z22i 2,
где
/u = ^i//i, Z2i = U2lli~ при /2 = 0;
Z22^U2lI2, Z2i = Uilh при /х = 0
(при питании четырехполюсника со стороны выходных зажимов
2—2').
Форму записи уравнений (11-1) называют формой Z.
В матричном виде эти уравнения можно представить как
Ui ZuZi2
U 2 ^21^22.
t
(ПЛ)
Совместно решая уравнения (11.1), находим выражения для
токов Л, /2:
А = Уц^1 + Уцй2, 1 g
А = ^21^1 + Y22U2, J
где
_____^22______ .
^11^22— 12^21 ’
— ^12
^11^22— 212Z2j
' _______£11_______. у __ ~ z-21
22 ,ZiiZ22—Z12Z21 ’ 21 ZX1Z22 — ZX2Z2X
Уравнения (11.3) можно получить непосредственно из схемы
на рис. 11.1, пользуясь методом узловых потенциалов. При этом
входные и взаимные проводи-
мости определяют из следую-
щих соотношений:
Ун — (А/£А)о2=о (входная
проводимость со стороны вход-
ных зажимов при закороченных
выходных);
Уг2 = (АА)о1=о (входная
проводимость со стороны выход-
ных зажимов при закороченных
входных); .
УХ2 = (АДк=о (взаимная
входных зажимах);.
YZi = (АА)иЕ=0 (взаимная
выходных зажимах).
Форма записи уравнений (1
Эти уравнения в матричном вг
Рис. 11.1
проводимость при закороченных
проводимость при закороченных
1.3) носит название формы Y.
де записывают аналогично (11.2):
7i
А.
Y uY и
21Y 22_
Ui~
А.
(11.4)
325
Существуют еще четыре формы записи уравнений четырехпо-
люсников, две из которых представляют интерес. С помощью
одной из форм, называемой гибридной (смешанной) или фор-
мой Н, устанавливается связь между Ult Д с одной стороны и
/1, (72 с другой:
= ДцА +Д12^2» | ,ц r-j
А — ^2171 4“-^22^2» J
где
__ ZUZ22 Z12Z21 JJ -7 /7 .
И--------7 , Г212 — Z'12/Z'22,
z22
----: ^21/^22> ^22 — 1/^22.
Матричная форма уравнений (11.5) записывается следующим
образом: *
А ___НиН12 А
2 _ Н21^22. J^2
(П-6)
Гибридную форму записи уравнений используют, например,
для характеристики невзаимных цепей с электронными и полу-
проводниковыми приборами.
Для исследования режимов четырехполюсников при каскадном
соединении следует иметь такую, форму записи уравнений, при
которой напряжение йг и ток А выражены через напряжение
02 и ток Д. Для этого по теореме о компенсации э. д. с. <о2 за-
меняем падением напряжения в сопротивлении Z2 от тока /2,
направленного навстречу <о2 (рис. 11.2). При изменении положи-
тельного направления тока Д в уравнениях (11.1) изменится
знак перед током Д:
tfi = ZuA— Zla/2; | (117)
^2 = ^21А— ^22 A’ J
В результате совместного решения уравнений (11.7) относи-
тельно Ui и /х получаем:
Oi = U2 + -^g22^212^1- Д = AU2 + ВД;
1 7 21 (П-8)
А=~ й2 + Д=сй2+D12,
Л21 ^21
где А = Zu/Z21 — безразмерная величина; В — /11Za2 ~~ имеет
^21
размерность сопротивления; C=l/Z21 имеет размерность прово-
димости; D = Z22/Z21 — безразмерная величина.
Форму записи уравнений (11.8) называют формой А*.
* Указанное наименование формы записи уравнений объясняется тем, что
иногда коэффициенты в уравнениях (11.8) обозначают буквой А, но с различ-
ными индексами, аналогично формам записи уравнений (11.1), (11.3) и (11.5).
326
Коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D срязаны между
' собой следующим соотношением:
лт\ пг ^22 Z11Z22 — ZJ2Z2i ^12
ziZ-z D\^ — 7 7- 7 7 7 *
Z2X Z21 Л21Л21 Л21
Так как для взаимных цепей Z12 = Z21, то
AD-BC=\,
Уравнения (11.8) в матричной форме имеют вид
А] ГЛ В]Г(72'
“|с dJLa
(П-9)
(11.10)
/i
Если в схеме четырехполюсника (рис. 11.2) поменять местами
источник э. д. с. и сопротивление приемника, т. е. к зажимам
/—/' присоединить сопротивление Zlf а к зажимам 2—2' — исгоч-
Рис. 11.3
Рис. 11.2
ник э. д. с. с напряжением U2 (рис. .11.3), изменив при этом
положительные направления токов А и 72 на обратные, то урав-
нения (П.8) примут вид
й^АЩ-ВЦ-, 1
-Л = С(72-£)/2. J (11J1)
Из этих уравнений с учетом (11.9) находим
(72=Ot71 + B/1; 1
ДА- J
(11.12)
Из сравнения уравнений (11.8) и (11.12) следует, что при
замене первичных зажимов вторичными (при обратном питании)
коэффициенты А и D меняются местами.
Четырехполюсник называют симметричным, если при
замене первичных зажимов вторичными токи источника и при-
емника не изменяются. Уравнения симметричного четырехполюс-
ника должны остаться неизменными при взаимной замене- пер-
вичных и вторичных зажимов. Поэтому A — D и разметка пер-
вичных и вторичных зажимов для симметричного четырехполюсника
не обязательна. Все четырехполюсники, не удовлетворяющие
этому условию, называют несимметричными.
327
Комплексные коэффициенты при всех четырех формах записи
уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей
ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а также
от частоты источника питания. Соотношения между коэффициен-
тами четырехполюсника при различной форме записи уравнений
даны в табл. 11.1. В этой таблице определители матриц Z, Y,
И и А находятся по формулам
| Z | = ZuZ22 — Z12Z21; | Y | = УцУ22 — ^12^21;
\A\ = AD-BC.
T аблица 11.1
Z Y н А
Y22 -Y12 1 н ! я12 А |А |
Z |Y| |Y| ^22 ^22 С С
7 7 -/21 Уи -яа 1 1 D
^21 а22 |Y| |Y| #22 С С
Z22 — Z12 1 ~#12 D —| AI
Y |2| |Z| 'll '12 Нц Ни В В
— Z21 Zu 1 НI -1 А
|Z| |Z| Ни нп В В
1 z 1 z12 1 В | А |
Н ^22 Z22 Ун Ун D D
— z21 1 У21 1 V [ -1 С
Z22 Z22 - Ун Ун /721 "22 D D
Zu | Z | -у 22 -1 1 н 1 -ни А В
А Z2i Z21 /21 У81 #21 #21
1 Zj2 -I.YI -Ун ~На -1 С D
^21 ^21 У21 У 21 #21 #21
.§ 11.3. Определение коэффициентов четырехполюсника
Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четы-
рехполюсника определяют опытным путем или расчетом, причем
в последнем' случае величины сопротивлений или проводимостей
ветвей, составляющих четырехполюсники, и схема их соединений
дблжны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В,
С и D следует, что их значения получаются путем различного
сочетания трех постоянных величин: Zu (входного сопротивления
со стороны зажимов 1—Г при разомкнутых зажимах 2—2');
Z22 (входного сопротивления со стороны зажимов 2 — 2' при
разомкнутых зажимах 1 — Г) и ZJ2 = Z21 (взаимного сопротивле-
ния). Таким образом, для экспериментального определения этих
коэффициентов достаточно иметь данные опытов, которые в той
328
или иной форме определяют комплексные величины Zu, Z22 и
Z12 = Z2i пли другие комплексные величины, через которые иско-
мые коэффициенты могут быть выражены (см. табл. 11.1).
Если одновременно можно измерить как первичные (Ц и Ki),
так и вторичные (/2 и К2) комплексные величины, то для опре-
деления коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данные
только двух опытов. Проще всего значения этих коэффициентов
вычисляются по данным опытов при /2 = 0 (выходные зажимы
разомкнуты) или 6/2 = 0 (выходные зажимы закорочены). При
разомкнутых выходных зажимах первичные напряжение и ток
определяются из уравнений б'1р = Л^72; ilp — CU2, откуда
Л = 6/1р/Й2; С-71р/Йа. (11.13)
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при
разомкнутых вторичных
Zlp = t7lp//lp = Л/С. (11.14)
При коротком замыкании на вторичных зажимах U^ = Bt2\
iiK = Dl2, откуда
B = (/1K//2; О = /1к//2. , (11.15)
Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при
коротком замыкании вторичных
21к=Лк//1к = В/О. (11.16)
Следовательно, измерив величины и фазы/7ip, /1ри при
разомкнутых вторичных зажимах, а также Й1к, /1к и /2 при
коротком замыкании, можно определить все четыре коэффициента
четырехполюсника.
Коэффициенты четырехполюсника можно также найти экспе-
риментальным путем, Измеряя в каждом опыте только первичные'
или только вторичные ток и напряжение. В этом случае необхо-
димо иметь данные трех опытов, из которых два (описаны ранее)
проводят при питании четырехполюсника со "стороны первичных
зажимов и один —при питании со стороны вторичных или наобо-
рот. Наиболее простые выражения для коэффициентов Л, В, С
и D получаются по данным опытов, в которых происходит раз-
мыкание и короткое замыкание на первичных зажимах при пита-
нии четырехполюсника со стороны вторичных зажимов, и опыта,
в котором происходит размыкание вторичных зажимов четырех-
полюсника при его питании со стороны первичных зажимов.
В случае литания четырехполюсника со стороны вторичных
зажимов и при C7i = 0 из уравнений (11.12) находим:
^2к~ Bir, ^2к.—а11.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при
коротком замыкании первичных
~ 6^2к/Дк = В/А. (11.17)
329
В случае питания четырехполюсника со стороны вторичных
важимов и при Л = 0 из уравнений (11.12) определяем:
^2p-Dt7i; Др^сг?!-.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при
разомкнутых первичных
Z2p = H2p//2p = O/C. (11.18)
Совместно решая уравнения (11.14), (11.17) и (11.18) с уче-
том (Н.9), получаем
A~V -z Zlpz • (11Л9)
Г Л2р Л2К
Определение коэффициента А по опытным данным приводит
к двум ег'о значениям *, что в свою очередь дает два значения
каждого из остальных коэффициентов, так как они определяются
через А по формулам
В = AZ2K; С = A/Zlp; D = A (Z2p/Zlp). (11.20)
Полученная двузначность объясняется тем, что коэффициенты
зависят не* только от параметров схемы четырехполюсника, но и
от выбора положительных направлений напряжений и токов отно-
сительно зажимов четырехполюсника. Однозначное определение
коэффициентов возможно с помощью опыта, позволяющего опре-
делить сдвиг по фазе напряжения (тока) на входе четырехполюс-
ника по отношению к напряжению (току) на выходе.
Изменение знаков при определении коэффициентов может при-
вести к ошибочному определению фазы на угол зт, что во многих
случаях исследования четырехполюсников не имеет значения.
Однако в ряде случаев неправильное определение фазы имеет
существенное значение, как, например, при параллельном соеди-
нении четырехполюсников.
Необходимо отметить, как входные сопротивления Zlp, Z1K,
Z2p и Z2K связаны между собой следующими соотношениями:
^ik/22k = 2ip/Z2p = А/D, причем для симметричного четырехполюс-
' ника эти отношения равны единице, так как A=D. Из уравне-
ний (11.9) и (11.20) следует, что для определения коэффициентов
симметричного четырехполюсника при Д=£> достаточно иметь
данные двух опытов, проведенных при размыкании и коротком
замыкании любых зажимов.
§ 11.4. Эквивалентные схемы четырехполюсника
Пользуясь уравнениями четырехполюсника, можно получить
различные эквивалентные схемы (схемы замещения), которые
облегчают исследование" основных свойств соответствующих цепей.
* При извлечении квадратного корня из комплексного числа получаются
два комплекса, которые имеют одинаковый модуль и аргументы, отличающиеся
на ± л.
330
В случае, если для четырехполюсника с заданными первич-
ными и вторичными зажимами не выполняется свойство взаим-
ности, т. е., например, Уц У21 или Z12^Z21, общее число
параметров, характеризующих такой четырехполюсник, равно
четырем. Поэтому невзаимный , четырехполюсник представляют
в виде четырехэлементной эквивалентной Т- (рис. 11.4) или П-образ-
ной (рис. 11.5) схемы.
Рис. 11.4 Рис. 11.5
Эквивалентную Т-образную схему можно получить путем пре-
образования, например, уравнений (11.1). Для этого к выраже-
нию, определяющему е напряжение Uf, прибавляют и вычитают
из него слагаемое Z12lx, а в уравнении для напряжёния U2 при-
бавляют и вычитают слагаемые 2]2/i и Zl2I2. В результате
получается:
Д1 — 2n/i4-2]2/2 — (2ц — 2]2) /14-212 (Л -PA);
U2 = Z21ix-\-Z22I2 = (Z22 — Z12) /a-J-
4- (22i — 2ц) /14- Z12 (/14- /2).
(11.21)
Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема на
рис. 11.4, где ^21 = (22i —2ц) Л является активным параметром,
зависящим от тока /х.
Аналогичным путем можно найти эквивалентную схему на
рис. 11.5, удовлетворяющую уравнениям (11.3), которые после
элементарных преобразований имеют следующий вид:
А =*= Уц Дх 4~ У12U2 — (Yц-J- УХ2) Дх —
— (t/i —Д2) Уц = /114-/121 .
t2 = Y21Ur + Y22U2 = {Y22^Y12)U2-Yl2(U2-Ur)+ U ’ '
4"(Угх—У12) =/22 ~ Аг 4* Аг-
В схеме на рис. 11.5 источник тока с током J12 = (У21 — У]2) (7Х
является активным параметром, зависящим от напряжения йг.
Полученные эквивалентные схемы не являются единственными.
Например, преобразованием уравнений (11.3) можно, аналогично
предыдущему, получить соотношения для эквивалентной схемы
с источником тока, зависящим от напряжения О2 и присоединен-
ным к входным зажимам 1 — Г четырехполюсника.
331
На рис. 11.6 изображена эквивалентная схема с двумя актив-
ными параметрами ^12 = Z]2/2 и ^21 —которая непосред-
ственно удовлетворяет уравнениям четырехполюсника (11.1)
в форме Z, а на рис. 11.7 —эквивалентная схема с двумя актив-
ными параметрами J12 — Y^s,Uz и jzl— YzlUlt которая также непо-
средственно удовлетворяет уравнениям (1.1.3) в форме Y.
Эквивалентная схема, удовлетворяющая непосредственно урав-
нениям (11.5) в форме Н, изображена на рис. 11.8.
Рис. 11.7
Эквивалентные схемы невзаимных четырехполюсников приме-
няют для анализа и расчета электрических цепей, содержащих
электронные лампы и полупроводниковые элементы (транзисторы) *.
Для взаимных четырехполюсников эквивалентные схемы полу-
чаются более простыми, так как в каждой из них вследствие
выполнения равенств Z12 = Z21 и У]2=К2] отсутствует четвертый
невзаимный элемент. Эквивалентная Т-образная схема для пас-
сивного взаимного четырехполюсника дана на рис. 11.9, а экви-
Рис, л 1.8 Рис. 11.9
валентная П-образная схема этого же четырехполюсника — на
рис. 11.10. Каждая из этих схем характеризуется тремя незави-
симыми параметрами. На - рис. 11.11 приведена эквивалентная
Т-образная схема, параметры которой выражены через коэффи-
циенты четырехполюсника А, В, С и D. Изменение положитель-
ного направления тока /2 (показано пунктирной стрелкой) не влияет
на параметры схемы, но меняет знак перед вторыми слагаемыми
с током /2 в уравнениях (11.8).
* Основные уравнения для электронных ламп и транзисторов, представ,
ляющие собой уравнения четырехполюсника, рассмотрены, в § 1.8.
332
Все четырехполюсники с взаимными параметрами, у которых
не заданы парные зажимы для присоединения источника электри-
; ческой энергии и приемника, характеризуются в общем случае
шестью коэффициентами. Поэтому эквивалентные схемы для таких
четырехполюсников содержат шесть элементов.
Для иллюстрации этого положения из сложной схемы выде-
лим некоторую ее часть, не содержащую источников э. д. с. или
источников тока с числом полюсов, равным четырем. Каждый
полюс можно характеризовать величинами тока и потенциала
йо отношению к некоторой произвольной, но общей для всех
полюсов точке О (рис. 11.12, а). Не изменяя режима на зажимах
и внутри пассивного четырехполюсника, рассматриваемую систему
Рис. 11.12
можно дополнить до замкнутой, включив между каждым полюсом
и общей точкой источник э. д. с., равной потенциалу соответ-
ствующего полюса.
В соответствии с принципом наложения выражения для токов
четырехполюсника записываются в виде:
/j = S'yY u — 62У12 — 13 —
/2 = - Лк21 + Л У22 <?аУ2а - <?4У24;
/я = — 6 ХУИ — з2 ® 3У33 — ® 4
A— — ^2К42 — <^3^43 4“ ^4^44•
S (11.2:
333
(11.25)
По второму закону Кирхгофа, в уравнениях (11.23) все э. д. с.
можно заменить напряжениями между тем полюсом,'для которого
определяется ток, и остальными полюсами. Например, в выраже-
нии для тока 71 э. д. с. S2t и 6J4 заменяются на осно-
вании равенств
^1 = 6710; ^2 =— U12-\-Ul0', <^з =— Ui3-\-U\o, <^4 =—
В результате получаем
A ~OW (Ул — У12 — Vis — Ku) 4~ ^12 У12 + ^71з^1з + и^Уц. (11.24)
Аналогично определяются:
72 — ^20 (Угг— Угг— У2з— К24) 4*
+ ^7 21К21 + U 23У 23 + O2iy2i',
7з = t730 (У33 — У31 — У32 — У34) 4"
+ U31У 31 + 67зг К32 + U 31У34;
li—Uio(yа — У 41 — У42 — У43) +
, + ^41^41+ Й42У42 + ^43У4з.
В уравнениях (11.24) и (11.25) напряжения между полюсами
и взаимные проводимости связаны между собой равенствами
U12 — — 772i; 02з = — 77з2 и т. д.; У12 = У2п Угз У32 и т. д.
Так как сумма токов 71 + 724-7з4-/4 = 0 ПРИ любых значе-
ниях э. д. с. <91, S2, <9S и Sit то при суммировании уравнений
(11.24) и (11.25) получается:
Уи — У12 — У is — У а — 0; Угг — У21 — Угз — У24 =
У 33 — У31 — У32 — У34 ' 0> У44 — У41 — Kj2 У43 = 0.
Таким образом,
Л = 7712У12 + 77]3У]3 ф- 6714У14;
72 = 7721У21 + С?23^/2з+^724^Г24> /ц 2g)
7з = ^7з1Уз1 + U32 У.32 + А34Уз4;
74=^741У41 + ^42У42 + <>4зУ43.
Полученным уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема,
имеющая вид полного четырехугольника с сопротивлениями вет-
вей, равными величинам, обратным проводимостям (рис. 11.12,6):
^12~^1У1г'1 ^1з~^/У13’ ^2з~1/Угз и т. д.
Следовательно, такая схема справедлива для пассивного взаим-
ного четырехполюсника. Аналогичным способом можно определить
параметры эквивалентной схемы для пассивного взаимного мно-
гополюсника с числом полюсов, равным п. При этом общее число
элементов (ветвей) схемы равно " .
334
§ 11.5. Режим четырехполюсника при нагрузке
Из уравнения (11.8) следует, что напряжение Ог и ток /х на
первичных зажимах .состоят из двух слагаемых, из которых одно
пропорционально напряжению U2 при некоторой определенной
нагрузке, а другое —току /2 при той же. нагрузке.
Пусть заданы комплексные значения напряжения £72итока/2.
Если при разомкнутых вторичных зажимах 2—2' (/2 = 0) уста--
новить напряжение й2 равным напряжению при нагрузке, то
напряжение и ток на входных зажимах Ulp — AU2‘, Ilp = CU2.
Если при коротком замыкании на вторичных зажимах (t/2 = 0)
установить ток /2, равный току при.нагрузке,, то напряжение и
ток на первичных зажимах U1K = BI2, I1K = DI2. Следовательно,
напряжение Ur и ток /х при нагрузке равны суммам соответ-
ственно напряжений и токов при разомкнутых и закороченных
выходных зажимах.
Действительно,
U^AU^Bi^O^ + U^,
(11.27)
Полученные уравнения выражают принцип наложения. Иначе
говоря, для того чтобы получить на. вторичных зажимах четырех-
полюсника напряжение й2 и ток /2, необходимо установить на
первичных зажимах напряжение £/1р. и ток 71р, пропорциональные -
С2, а также напряжение й1к и ток /1к, пропорциональные току /2.
Для характеристики рабочего режима четырехполюсника поль-
зуются понятием входного сопротивления со стороны зажимов
1 — 1' при сопротивлении нагрузки Z2 (см. рис. 11.2) и понятием
входного сопротивления со стороны выходных зажимов 2 — 2'
при сопротивлении нагрузки Z2 (см. рис. 11.3). Для определения
входного сопротивления схемы на рис. 11.2 достаточно разделить
первое из уравнений (11.8) на второе:
Z1BX-r (1L28)
Аналогично, при обратной передаче на основании уравне-
ний (11.12) получается ,
7 = = DUi+Bfj = DZx+Д
2ЕХ 4 C^+Ah CZi + A' (11.29)
На практике часто используют и другие выражения для Z1BX и
Z2bx. Например, коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D
в уравнениях (11.28) и (11.29) можно заменить сопротивлениями
четырехполюсника при разомкнутых- и коротко замкнутых зажи-
мах при прямом и обратном питании:
_ A [(B/A)+Z21
с Lp/C)+z2J
7 ~D r<B/P) + Zil
2вх~ С [(AZQ-tzJ-
7 ^2к~Ь^8 .
1р ^2р + ^2 ’
7 Zjk + Zi
2pZlp+Zi'
вх
(11.30)
335
Полученные выражения показывают, что четырехполюсники
могут быть применены для преобразования сопротивлений.
§ 11.6. Основные уравнения и зквивалентные схемы
активного четырехполюсника
На рис 11.13 изображен активный четырёхполюсник (четырех-
полюсник, содержащий независимые источники энергии) *, к вход-
ным зажимам которого присоединен источник э. д. щ <А, а к вы-
ходным — сопротивление нагрузки Z2.
Пользуясь теоремой о компенсации, напряжение на сопротив-
лении Z2 можно заменить источником э. д. с. с э. д. с. <за =
Рис. 11.13
Рис. 11.14
= Z2/2, направленной навстречу току /2. По принципу наложения
выражение для токов А и А можно записать в виде
А~ <АК11—^2^12+ ^3^13 + ^4^14 +• •• • , (Ц31)
А = ^1^21— ^2^/22“Ь^з1/23“Ь^41/24“Ь--'>
где <о3, и т. д. — э. д. с., находящиеся внутри-четырехполюс-
ника. Если в этих уравнениях э. д. с. <§‘1 и <о2 заменить соот-
ветствующими напряжениями, а составляющие токов, вызываемые
остальными э. д. с. (<Aj, и т. д.), обозначить через
Аа = ^3^13 + ^4^14 +••• ’> 1 32)
Аа = ^3^23 + 24 + • • • > '
(11.33)
то получаются следующие выражения:
1\ = У 11Uj — У l3U2 +./ 1а»
А ~ ^21^1 — У 22^A + Аа-
Из этих уравнений следует, что при напряжениях f?i = 0 и
А2 = 0 токи короткого замыкания Дк = Аа и Ак = Аа- В отличие
* Четырехполюсники с зависимыми источниками энергии здесь не рас-
сматриваются.
336
(11.34)
Рис. 11.15
можно представить в виде пяти
от режимов пассивного четырехполюсника токи J1K и J2к опреде-
ляются при одновременном коротком замыкании первичных и
вторичных зажимов активного четырехполюсника. В результате
совместного решения уравнений (11.33) относительно и Л по-
лучаются следующие уравнения четырехполюсника в форме А:
t/i=у22 й2+у— (/2 Ак)>
А + Гн (д _ ;2к) + дк
*21 Г 21
ИЛИ
Ui~ AU2-\-B (/2 J2К);
Л — J1K = Сй 2 + D (72 — j2K),
где А, В, С и D — коэффициенты четырехполюсника, удовлетво-
ряющие (как и для пассивно-
го взаимного четырехполюс-
ника) условию AD — ВС=1.
Из уравнений (11.34) сле-
дует, что любой активный че-
тырехполюсник с заданными
первичными и вторичными
зажимами характеризуется
пятью независимыми пара-
метрами (тремя пассивными
— коэффициентами А, В, С
или D и двумя активными —
токами 71к, j2lt), поэтому его
элементной эквивалентной схемы. Для определения параметров,
например, П-образной схемы можно воспользоваться уравнениями
(11.33), из которых определяем:
11 = (Уц— ^12) Д1+ К12 | Г(11 35)
_h^Y21(U1-U2)~(Y22-Y21)U2 + j2K. J '
Полученным уравнениям удовлетворяет эквивалентная схема
на рис. 11.14. Источники энергии, находящиеся внутри четырех-
полюсника, представлены на схеме источниками тока J1K и J2K.
На Т-образной схеме эти источники можно также представить
с помощью источников с э. д. с. ^1р и <?2р (рис. 11.15), опреде-
ляемыми при одновременном размыкании ветвей, присоединенных
к первичным и вторичным зажимам активного четырехполюс-
ника.
С помощью уравнений (11.34) можно установить связь между
э. д. с. <9 1Р и <?2р и токами 7iK и j2K при условии, что при одно-
временном размыкании первичных и вторичных зажимов /х = 0
и /2 = 0, т. е.
77ip== AU2p BJ2K! —JiK — CU2p BJ2K.
337
Из этих уравнений и схемы на рис. 11.15 следует!
^1р = = ~£ *^2К £ /1К >
<^2р = 2р = £ ^2к £ "^1к-
(11.36)
Пассивная часть схемы на рис. 11.16 получается из схемы
на рис. 11.14 по известным формулам преобразования треугольника
в звезду. Кроме того, эквивалентную схему на рис. 11.15 можно
Рис. 11.16
получить из схемы на рис.
11.16 с помощью замены ис-
точников тока J1K и У2К ис-
точниками э. д. с. <^1р и <^2р.
Коэффициенты активного че-
тырехполюсника и параметры
пассивных частей эквивалент-
ных схем не зависят от вели-
чин э. д. с. источников энер-
гии и равны соответствующим
коэффициентам и параметрам
пассивного четырехполюсника. При этом должны учитываться внут-
ренние сопротивления источников энергии. Вместе с этим актив-
ные параметры эквивалентных схем J1K, j2K, <^1р и «?2р зависят
как от активных, так и от пассивных элементов заданного четы-
рехполюсника.
§ 11.7. Характеристическое сопротивление и коэффициент
передачи четырехполюсника
Для исследования и расчета цепочечных схем, представляющих
собой каскадное соединение одинаковых четырехполюсников, при-
меняют характеристические параметры.
Характеристическим (повторным) сопротивлением назы-
вают такое сопротивление Zc, которое, будучи присоединенным
к выходным зажимам симметричного четырехполюсника, обуслов-
ливает его входное сопротивление, также равное Zc.
Установим связь между характеристическим сопротивлением
и коэффициентами симметричного четырехполюсника А, В, С и D.
Учитывая, что Zc = Uiji1 = U2jii, уравнения четырехполюсника
запишем следующим образом:
Дх = А й2 4- В/2 = Д2 (а + £) = 7а (A Zc + В);
71=сд2+л72=7а(сгв+Д),
откуда
= 7 = AZ'+B ’
7i с CZc-[-A
или
• (11.37)
zc=Vb/c.
(11.38)
338
В том случае, когда сопротивление нагрузки равно характе-
ристическому (такая нагрузка называется согласованной
с четырехполюсником), легко установить соотношения между
входными и выходными напряжениями и токами. Действительно,
из (11.37) и (11.38)
t\/C2 = Л/4 = А + V~BC, (11.39)
т. е. отношение напряжений или токов равно (в общем случае)
комплексному числу, модуль которого показывает, во сколько
раз уменьшились выходные величины по сравнению с входными,
а аргумент —на сколько они сдвинулись по фазе. Такое комплекс-
ное число представим в виде
А ф У ВС = ece'6 = еа+'ь = еф (11.40)
где g —аф/Ь = In (ДфУвС) —коэффициент передачи (по-
стоянная передачи); а — коэффициент затухания (в непе-
рах—Нп), Ь — коэффициент фазы (рад). Таким образом, при
согласованной нагрузке
СГ1 = {72е®г; 71 = 72eff.
Если же нагрузка произвольная, то исходные уравнения сим-
метричного четырехполюсника применяются в виде (11.37), в кото-
рых A=D.
При этом коэффициенты выражаются через новые параметры
Zc и g. Из уравнения (11.40) и соотношения А2 — ВС=1 =
— (АВС)(А — УВС) следует, что
откуда с учетом выражения (11.40) получаем:
Л=^^ = сЬ§;
С помощью (11.38) находим:
B — Zcshg; C = shg/Zc. (11.42)
Если подставить найденные выражения в уравнения (11.37), то
С\ = С2 ch ф Zc/2 sh g; )
l1=0^+laAs. } (1L43>
Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи
могут быть вычислены непосредственно по комплексам Zp и ZK,
найденным из опытов при размыкании и замыкании соответствую-
щих зажимов четырехполюсника.
339
Из уравнений (11.43) при /2 = 0
2p = ^ip//ip = Zc/th g;
при й2 = о
zK = t71K//1K = zcthg,
откуда
zc=VZZp; thg~Vzjzv. (11.44)
Уравнения, аналогичные (11.43), можно получить-и для несим-
метричного взаимного четырехполюсника. С этой целью следует
выполнить условия согласования как .при прямом (см. рис. 11 .2),
так и при обратном питании (см. рис. 11.3) четырехполюсника.
Иначе говоря^ сопротивление Z1BX четырехполюсника со стороны
первичных зажимов, нагруженного на сопротивление Z2 = Z2C,
дблжно быть равно Zlc (рис. 11.17), а сопротивление Z2BX четырех-
Рис. 11.17
Рис. 11.18
полюсника со стороны вторичных зажимов, нагруженного на
сопротивление Zl = Z-lc (рис. 11.18), равно Z2c. Сопротивления Zlc
и Z2C называют характеристическими сопротивлениями несиммет-
ричного четырехполюсника.
Указанные условия для нагрузки четырехполюсника называют
условиями согласованной нагрузки.
Если в уравнениях (11.28) и (11.29) учесть, что Z1BX = Zt = Zlc
И ^2вх = Z2 — Z2C, ТО
7___AZ2c-\-B _ „ _DZlc-\-B , <. .r\
lc CZ2c+D’ 2c~ CZlc-\-A ‘ '
Совместное решение этих уравнений дает возможность выра-
зить Zlc и Z2C через коэффициенты четырехполюсника А, В, С и D:
Z1q^VAB!CD- Z2c = VDB/CA. (11.46)
Поскольку Zlc и Z2c в общем случае комплексные величины,
то для несимметричного четырехполюсника справедливы следую-
щие равенства:
chg — ]AAD; shg = ]/BC. (11.47)
Так как для взаимного четырехполюсника справедливо равен-
ство (11.9), то выражения (11.47) как бы дополняют это условие
840
в виде равенства ch2^ — sh2g — 1. В уравнениях (11.47) параметр
g = a + jb и его составляющие имеют аналогичный смысл, как и
для симметричного четырехполюсника; при этом g также назы-
вается постоянной передачи четырехполюсника.
Пользуясь уравнениями (11.47), а также соотношениями
(и-48)
(и.49)
определяют коэффициенты четырехполюсника:
A = yZlc/Z2cchg, В = yzlcZ2cshg; (11.50)
С = -^4=; D=yz^zTcchg. ’ (П.51) ,
После подстановки, значений коэффициентов четырехполюсника
в уравнения (11.8) получаем:
= У Zic/Z2c(U2 chg^h Zzc/zshg);
r_____/, ! . x (11.52)
I^VZ2JZ1(. [i2chg+^-f/2shgj.
Эти уравнения непосредственно переходят в (11.43) для сим-
метричного четырехполюсника, у которого Zic — Z2c = Zc.
При согласованной нагрузке (Z2 = Z2c) справедливо следующее
равенство:
Zzcl2 — U2 или Iz — U2/Z2c.
С учетом этих выражений уравнения (11.52) приобретают следую-
щий вид:
u^VzPiz^u^-, h=yz^izyi^. (п.53)
Из выражений (11.53) связь между модулями амплитуд или
модулями действующих значений напряжений Ult U2 и токов /х, /2
определяют в виде
Hi = 'Kz1(;/z2c U2ea; /х = У z2c/zlc /2е°. (11.54)
Таким образом, отношение модулей амплитуд или действующих
значений напряжений 17i/t/2 равно Уг1с/г2сеа, а отношение моду-
лей амплитуд или действующих значений токов Ii/I2 равно
У‘%2с/%1с 6°*
Характеристические параметры несимметричного взаимного че-.
тырехполюсника Zlc, Z2c и g можно выразить через его параметры
при размыкании и замыкании соответствующйх зажимов:
Zu — У XipZiK; Z2c =У Z2pZ2K;
thg — У ZiK/Zip = У Z2jZ2p.
Для симметричного четырехполюсника при согласованной на-
грузке Zj2 — U2
{Ui/U2)z zc = (A//2)za=zc = = е^6,
341
откуда коэффициент затухания
а = In (l/i/f72)za= zc — In (/zc.
Таким образом, затуханию в 1 Нп соответствует уменьшение
амплитуды и действующего значения напряжения (тока) в е =
= 2,718 раза (при In ВД =1 t/Ж = 2,718) *.
Пример 11.1. Вычислить характеристическое сопротивление Zc и коэффи-
циент передачи g симметричного четырехполюсника, у которого Л=0,5; С =
= /0,02 См.
Решение. Третий коэффициент четырехполюсника
Д2_1
B=^-gr-= /37,5 Ом.
Характеристическое сопротивление
Zc=VBjC= 43,25 Ом.
Коэффициент передачи
g=a+jb = In (Л +VBC) = In (0,5 4- /0,865) = In le. 3 = /
О
Следовательно, a—0; Ь — п/З рад.
Пример 11.2.» Определить характеристическое сопротивление Zc и коэффи-
циент передачи четырехполюсника g, если Zp = 747e“,27'41,j ZK = 516e/0°35'.
Решение. Согласно формулам (11.44),
Zc=/ ZpZK = 621e- i,3“53';
th g= I ZK/Zp = o,W 14'08' =
e2?— 1
e2?4~l ’
откуда
14-th g_ 14~0,84e)14°0S' .
1 —thg — 1 _o;84e/l4°08' ’
g=yln
10,84e/14°°8'
1 _ 0,84e/14°08'
0,924-/3,6.
Таким образом, a=0,92 Ни; fc=3,6 рад.
§ 11.8. Графы четырехполюсников и их простейшие
соединения
У равнения четырехполюсника можно представить в виде графа.
На рис. 11.19 изображен граф, соответствующий уравнениям
(11.8), записанным в форме А, на котором незачерненными кру-
жочками отмечены истоки, соответствующие переменным (7г и /2,
* В радиотехнике затухание чаще всего вычисляют в белах (Б) или децибе-
лах (дБ).
Децибел представляет собой единицу затухания, в десять раз меньшую
бела. Для перехода от неперов к белам или децибелам можно воспользоваться
следующими соотношениями:
°дБ=20 1g и1 = 20 lge“Hn = 20 сНп 1g е=20 • 0,4343 аНп=8,686 аНп,
342
а зачерненными кружочками (точками) отмечены стоки Ui, 7i. Н
рис. 11.20 и 11.21 изображены графы, соответствующие уравне-
ниям (П.1) и (11.3), где незачерненными узлами (кружочками)
отмечены истоки с переменными Ui, (рис. 11.21) и 72
(рис. 11.20), зачерненными кружочками— стоки, соответствующие
переменным 7Ъ 72 (рис. 11.21) и Ult (рис. 11.20). На рис. И. 22
показан граф, соответствующий уравнениям (11.5). Графы четы-
рехполюсников удобно применять дл$) определения параметров
результирующих схем, полученных путем соединения нескольких
четырехполюсников. /
На рис. 11.23, а дана схема каскадного соединения двух четы-
рехполюсников с заданными параметрами, а на рис. 11.23, б изо-
бражен граф. Для каждого четырехполюсника справедливы сле-
дующие уравнения:
t/i = A^U' A-Bitr‘, Ur —
ii = CiLJ' A~Dil ; 7' = С2б72+Д272.
Для получения уравнений связи между входными величинами
первого четырехполюсника и входными величинами второго можно
воспользоваться графом на рис. 11.23, б, из которого следует:
Ui = (Л]Л2 л- BiCz)C?2 + (Д1Д2 "г Д1Д2) 72; |
7j = (Cp42 + Z?iC2) 02 + (Д1Д2 + CiB2) 72 J
или
й\ — AU^ л- В1^, 1
71=хС(724-о72. j
(11.56)
343
Значения коэффициентов А, В, С и D, полученные при сум-
мировании произведений соответствующих передач путей между
Для определения
ника, составленного
истоками и стоками каскадного
соединения графов, указаны на
графе эквивалентной схемы (рис*
11.23, в).
Для определения параметров
эквивалентного четырехполюсни-
ка, составленного из двух парал-
лельно соединенных четырехполюс-
ников (рис. 11.24,о), используем
графы, построенные по уравне-
ниям, соответствующим форме V
(рис. 11.24,6). Из этого графа на-
ходим:
А = (У и + У п) Uг + (У°2 + У\i)U\2;1
Л —1/21)^14"(^22_Ь ^22)^2 I
(11.57)
или
Л=У1А4-УгА; 1
1 -у и +у и (1L58)
где Уц = Уи Уи; У22 = У22 4~ У22',
У1з= У12 4-^12; Уц= У°14-У21(рис-
11.25,в).
параметров эквивалентного четырехполюс-
из двух последовательно соединенных четы-
Рис. 11.24
рехполюсников (рис. 11.25, а) по уравнениям, соответствующим
форме Z, построен граф (рис. 11.25,6). Из этого графа получаем
следующие уравнения:
Й1 = 4* = (2 и + 2ц) 7i + (2?24~ А) А, 1 .j । -
— Д24* Д2 = (22i4~22i) А 4- (2щ 4- 2<fg) A J
344
или
— /ц/i -J- Z12/2;
i72 —Z21/14-Z2272, .
(11.60)
где /ц —Zii + Zn‘, Z22— Z22-|-Z22; Z12— +2 -J- Z12; Z21— Z2r + z21.
Уравнениям (11.60) соответствует граф на рис. 11.20, в кото-
ром передачи ветвей определяются из уравнений (11.59).
Параметры эквивалентных четырехполюсников, полученных
при различных соединениях составных четырехполюсников, можно
легко определить с помощью матричных форм записи уравнений.
Так, например, для каскадного
соединения двух Четырехполюс-
ников матрица параметров экви-
валентного четырехполюсника
равна произведению матриц от-
дельных четырехполюсников:
ДВ Л1В1 Д2В2
C£>J = |
'(ДИг+ВА) (Л1В2+В1П2у
(С]Д2 +-О]С2)
(11.61)
Из этого уравнения непо-
средственно получаются выра-
жения (11.56). Матрица коэф-
фициентов эквивалентного че-
тырехполюсника, полученного в
результате каскадного соедине-
ния трех и более четырехпо-
люсников, может быть найдена
при перемножении трех и более
матриц, записанных в том же
порядке, в каком четырехполюс-
ники соединены в схеме (умно-
жение матриц не подчиняется
переместительному закону).
При параллельном соедине-
нии двух четырехполюсников
матрицу коэффициентов эквива-
лентного четырехполюсника оп-
ределяют путем суммирования
Рис. 11.25
матриц проводимостей, а при последовательном — путем суммиро-
вания матриц сопротивлений каждого четырехполюсника. При
этом правила суммирования матриц применимы при регулярных
соединениях четырехполюсников, т. е. при равенстве токов каж-
дой пары зажимов после соединения четырехполюсников как со
стороны входа, так и со стороны выхода каждого составного че-
тырехполюсника (см. рис. 11.24, а и 11.25, а).
345
ГЛАВА 12
ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 12.1. Симметричная однородная цепочечная схема
Электромагнитные процессы, протекающие в устройствах, ко-
торые состоят из конечного большого числа однородных элементов,
соединенных между собой (гирлянды изоляторов, обмотки электри-
ческих машин и трансформаторов, модели линий передач и т. п.),
можно с некоторым приближением исследовать с помощью цепо-
чечных схем.
Симметричная однородная цепочечная схема (рис. 12; 1) состоит
из каскаднд соединенных одинаковых симметричных четырехпо-
люсников, называемых звеньями схемы. Всю схему можно
рассматривать как один симметричный четырехполюсник, харак-
теристическое сопротивление
и коэффициент передачи ко-
торого определяют по извест-
ным параметрам g отдельного
звена.
Пусть выходные зажимы
Рис 12 2 последнего звена замкнуты
на сопротивление, равное Zc.
Входное сопротивление этого звена также равно Zc. Следователь-
но, это звено является согласованной нагрузкой для предпослед-
него звена. Очевидно, что любое звено, вплоть до первого, оказы-
вается нагруженным на сопротивление, равное Zc. Таким образом,
характеристические сопротивления цепочечной схемы и каждого
его звена одинаковы и равны Zc.
Комплексное напряжение (ток) на входе отличается от комп-
лексного напряжения (тбка) на выходе этого звена в е^ раз.
В схеме с п звеньями напряжение (ток) на входе первого звена
отличается от напряжения (тока) на выходе последнего звена
в (eg)" = en^ раз:
= 71 = 7и+1е^. (12.1)
Таким образом, коэффициент передачи всей цепочечной схемы
ng = na-\-jnb, т. е. чем больше звеньев в схеме, тем больше коэф-
фициенты затухания и фазы этой схемы.
При несогласованной нагрузке связь между напряжениями и
токами на. входе и выходе всей схемы (всего эквивалентного че-
тырехполюсника) выражается в соответствии с формулами (11.43)
следующими уравнениями:
01 = On+1 ch ng + Zctn±! sh ng\
7i — in+i ch ng -f- Uи+1 y-~.
(12.2)
346
Напряжение и ток на входе (£-f-l)-ro (°т начала цепочки)
звена определяют по формулам
' tik+i = Un+1ch(n-k)g + Zcin+1sh(n-k)g-, '
} t 1 / , г, sh(n—fe)g
4+i.= 4+ich (/г — & g + 44+i---2----•
(12.3)
§ 12.2. Основные уравнения для цепей с распределенными
параметрами
В цепях малой пространственной протяженности наличие'
сдвига фаз между токами и напряжениями на разных участках
цепи обусловлено действием э. д. с. самоиндукции, э. д. с. взаим-
ной индукции и емкостных токов, имеющих сдвиг по фазе отно-
сительно соответствующих токов и напряжений. В однородных
цепях большой пространственной протяженности, например, линиях
электропередач, сдвиг токов
и напряжений по фазе, а так-
же их изменение во времени
и вдоль цепи можно рассмат-
ривать как результат волно-
вого электромагнитного про-
цесса в пространстве, окру-
жающем цепь.
Пусть известны параметры
однородной цепи (линии), от-
несенные к единице ее длины
(рис. 12.2): г0 — сопротивле-
ние прямого и обратного про-
водов; Lo — индуктивность пе'
Рис. 12.2
, образуемой прямым и обратным
проводами; g0 —проводимость утечки между проводами; Со —ем-
кость двух проводов линии. При этом сопротивление rodx и ин-
дуктивность Lodx считаются включенными в один провод, а рас-
стояние х отсчитывается от начала линии до ее элемента dx.
Если обозначить мгновенные значения напряжения и • тока
в начале рассматриваемого элемента линии dx соответственно
через и и i, а'в начале следующего элемента — через ti+^-dx и
i~\~^dx, выбрав положительные направления тока и напряжения
так, как показано на рис. 12.2, то на основании законов Кирх-
гофа для элемента линии длиной dx можно записать следующие
уравнения:
и ~ Г dx) = r-°dx 1 + £о dxdt1
(* + + (w +
д~ dx} g0 dx-\-C0 dx~ (udx} -i = 0.
347
Отсюда, пренебрегая величинами второго порядка малости,
легко получить:
ди _ . . di
di __ . г ди
~ di~SoU+^o Qf
(12.4)
При синусоидальном напряжении источника питания линии
с однородными постоянными параметрами (не зависящими от тока
и напряжения) ток и напряжение в любой ее точке при устано-
вившемся режиме, так же как и в линейных цепях с сосредото-
ченными параметрами, синусоидальны. Поэтому уравнения (12.4)
можно переписать в комплексной форме:
— dU/ dx = (г0t — Zj', 1
-d//dx^(g0 + j^C0) U = Y0U, f ( }
где Zo = г о + j(oLo — комплекс продольного сопротивления на еди-
ницу длины линии; Уо = go + /®С0 — комплекс поперечной прово-
димости на единицу длины линии, причем Zo #= 1/У0-
После дифференцирования этих уравнений и замены dU/dx и
dl/dx в соответствии с выражениями (12.5) получаются следую-
щие равенства:
g = Z0y0^=V2t7;'
g = W = TaA
(12-6)
где у = а ф- /0 = VZ0Y0 = ]/(г0 ф- /со£о) (go ф- /«Со) — коэффициент
1 (постоянная) распространения; а — коэффициент (постоянная) зату-
хания; 0 — коэффициент (постоянная) сдвига фаз. Из этих урав-
нений следует, что изменения комплексных значений напряжения
и тока вдоль линии (в зависимости от координаты х) одинаковы.
Поэтому сначала следует найти закон изменения одной из этих
величин, например напряжения U, после чего легко определить
закон изменения другой величины 1 с помощью первого из урав-
нений (12.5).
Общее решение однородного линейного дифференциального
уравнения второго порядка (12.6) относительно напряжения имеет
вид
6г = Л1е~^ф-Л2е^, (12.7)
где U — комплексное значение напряжения на расстоянии х от
начала линии; — у и у — корни характеристического уравнения
р2 — у2==0; Д и Д3 — постоянные интегрирования.
Комплексное выражение для тока / определяем из первого
уравнения (12.5):
7 = т- (Ae~VJf - Ае^) = 4- (Лге-^- Л2еП, (12.8)
ах z,q
348
где Zc = ]/Z0/y0— характеристическое (волновое) со-
противление.
Если начало координат поместить в конце линии (рис. 12.3),
то дифференциальные уравнения в частных производных имеют
следующий вид:
ди/дх = roi 4- Lo ~;
дЦдх = £ои-\-Со~.
(12.9)
При синусоидальном напряжении источника питания однород-
ной линии и постоянных параметрах уравнения (12.9) можно
записать в комплексной форме:
dU
dx
df
dx
До ф- j®L0) i;
(go 4~ /®Co) U.
(12.10)
При сравнении (12.5) и
отличаются только знаками,
наты х от конца линии (от
нагрузки) к ее началу для
выбранных положительных
направлений тока и напряже-
ния приращения этих вели-
чин положительны.
После дифференцирования
уравнений /12.10) и замены
dU/dx и di/dx в соответст-
вии с выражениями (12.10)
получают дифференциальные
уравнения, полностью совпа-
дающие с (12.6). Таким об-
разом, решение
напряжения О отличается
рирования:
полученного уравнения
от (12.7)
U = B^x-\-B^x.
(12.10) видно, что эти уравнения
поскольку при увеличении коорди-
Рис. 12.3
относительно, например,
только постоянными интег-
(12.11)
Комплексное выражение для тока 1 можно найти с помощью
первого уравнения (12.10):
М = X (^-В2е-^). (12.12)
Для определения постоянных интегрирования и Л2 можно
воспользоваться уравнениями (12.7) и (12.8), подставив в них
граничные значения напряжения йг и тока 7Х (в начале линии)
т. е. при х —0 _ '
^1 + ^2 =
— Л2 =
Дъ
ZJi-
(12.13)
349
Совместно решая уравнения, получаем:
A = -+ A2 = ^{Ui-Zcii). (12.14)
После подстановки постоянных Л1э Л2 в уравнения (12.7),
' (12.8) и некоторой перегруппировки слагаемых уравнения длин-
ной линии в гиперболических функциях имеют вид
U = Ui ch ух — Zji sh ух\ )
f , . Ui . (12-15)
I = Ii ch yx —sh ух. I
Пользуясь этими уравнениями, можно определить напряжение .
и ток в любой точке линии .по заданным параметрам линии и по
известным значениям Ui и /х в начале линии.
Если известны комплексные значения 0% и /2 в конце линии,
то U и 1 в любой точке линий на расстоянии х от ее. конца
находят по уравнениям (12.11) и (12.12). Постоянные Bi и В2
определяют из граничных условий для конца линии. Затем путем
преобразований, аналогичных приведенным ранее, эти уравнения
записывают с помощью гиперболических функций в следующем
виде:
U = U% ch у%+Zjz sh ух\ ‘
/ / и , в (12.16)
I = /2 ch sh 4х-
Полученные уравнения, в частности, позволяют вычислить Ui
и Ii по известным величинам Д2, /2:
£7Х = U2 ch yl + Z^ sh yl',
, , й - (12-17)
Л = Л ch yl + -7 у sh yl,
где Z — длина линии.
§ 12.3. Волны в линии при установившемся режиме
Как уже было отмечено, пользуясь уравнениями длинной
линии в гиперболических функциях (12.15) или (12.16), можно
определить напряжение и ток в любой точке линии и, следова-
тельно, для любого момента времени, так как напряжение и ток
изменяются в любой точке линии по синусоидальному закону.
Для получения уравнений, определяющих мгновенные значе-
ния напряжения и тока в любой точке линии, все комплексные
величины, входящие в уравнения (12.7) и (12.8), .необходимо
представить в показательной форме. Комплексы At и Л2., имеющие
размерность напряжения, можно записать в виде Дх = Ае^1,
Л2 = Л2е^’г. Характеристическое сопротивление Zc также можно
представить в показательной форме:
т Г /" Н, + (a>L0)2
V - у gg+W е *
350
I arctg“^~^. (12.18)
2 6 foSbH-® L/yCo
После подстановки этих выражений в уравнения (12.7) и (12.8)
находим:
w = 1ш[]/2 Де-^еН^+^-М+У’г Л2еа*е'<“/ + iJ:2+|3a)] =
= ]/ 2 A хе~ ах sin (at Ц- фх — fix) + У 2 А2еах sin (at+4’2 + Рх) >
f = Im 11С1Аеал-е/ (ffirf+th-Px-O) _ К2Ае<^е/ (Й/+Ф2 11^-*) =
L zc zc j }(1^.1У)
= - — A iC- ax sin (at+4’x — il' — fix) —
zc
1Л9 у
-----A2eax sin (at + 42 — '& + fix).
где умножение на ]/ 2 произведено для перехода от действующих
значений напряжения [Д и тока 1г к их амплитудным значениям.
Первые слагаемые в правой части полученных выражений харак-
теризуют бегущие волны напряжения и тока, движущиеся в направ-
лении возрастания координаты х и затухающие по направлению
движения (рис. 12.4).
и
Рис. 12.4
' Действительно, с одной стороны, в любой точке х = хг первое
слагаемое каждой из величин представляет собой периодическую
функцию времени. С другой стороны, в любой момент времени
t = t1 первое слагаемое изменяется вдоль линии по закону зату-
хающей синусоиды, при этом уменьшение амплитуд определяется
коэффициентом затухания а. Чтобы определить фазовую скорость
бегущей волны напряжения, необходимо считать фазу колебания
напряжения равной постоянной величине, т. е. и/ —fix 4-4i = const.
351
Продифференцировав это выражение по времени, получим:
(<о/ — ₽х + ф1) = 0 и v = dx/dt = ti)/^.
Аналогично можно показать, что фазовая скорость бегущей
волны тока равна той же скорости v. Вторые слагаемые в урав-
нениях (12.19) дают отрицательное значение фазовой скорости,
что означает движение волн в сторону уменьшения координаты х.
Таким образом, указанные слагаемые можно рассматривать в виде
волн, движущихся в противоположных направлениях. Волны,
распространяющиеся вдоль линии от источника электрической
энергии к приемнику в направлении увеличения координаты х,
называют прямыми (падающими), а волны, распространяю-
щиеся в обратном направлении, — о б р а т н ы м и (отражен-
ными). Характерной величиной бегущей волны является ее
длина X, определяемая расстоянием между ближайшими двумя
точками (рис. 12.4), взятыми 'в направлении распространения
волны, с фазами колебания, отличающимися на 2л. Следовательно,
длину волны можно найти из равенства
• — Px+ipd — — [3 (х + Х)+ф1] =2л,
откуда Л. = 2л/р, v = со/[3 = 2л//|3 = А/ — К/Т. Иначе говоря, за
один период волна пробегает расстояние, равное длине волны.
Аналогично можно получить волновые уравнения для токов
и напряжений, если воспользоваться уравнениями (12.11) и (12.12).
Основное отличие в соответствующих уравнениях состоит в изме-
нении знака координаты х и в величинах, постоянных Вг и /32,
выраженных через напряжение и ток /2. Падающие и отра-
женные волны тока в общем случае отстают по фазе относительно
соответствующих волн напряжения на' угол & при его положи-
тельном значении. Кроме того, если мгновенное значение напря-
жения и в любой точке линии равно сумме мгновенных значений
напряжений падающей и отраженной волн, то мгновенное значе-
ние тока t в любой точке линии равно разности мгновенных зна-
чений тока падающей и отраженной волн, что непосредственно
следует из уравнений (12.19).
Такое представление установившегося процесса в цепи с рас-
пределенными параметрами при синусоидальных функциях тока
и напряжения от времени носит формальный характер и опреде-
ляется математическим разложением соответствующих функций.
§ 12.4. Устаневившиеся процессы в нагруженной разомкнутой
и короткозамкнутой линиях с потерями
Рабочий режим в любой точке нагруженной линии можно
представить как результат наложения режимов в линий при
разомкнутом и короткозамкнутом ее конце.
Пусть ток Л = 0, а напряжение в конце линии равно t/3.
Такой режим часто называют холостым ходом линии. Тогда
352
напряжение и ток в любой точке линий при разомкнутом конце
определяют из выражений
ир = U2 ch ух = у U2 (eV- + е-^);
/р = A sh = у А (ет^ _ e~v-),
(12.20)
4/7
Я
5
4
Рис. 12.5
где х —расстояние от конца линии. При коротком замыкании
в конце линии ((А> = 0, ток равен /2) напряжение и ток в той же
точке на расстоянии х от конца ли-
нии находят из уравнений
Йк = Zcl2 sh ух = | Zcl2 (е^ - e-v-);
/K = /2chyx = |/2(ev- + e-v-).
(12.21)
Следовательно, U = UP + UK; / =
= /р + 4- Таким образом, наложение
режимов при размыкании (холостом
ходе) и коротком замыкании линии
даст возможность определить напря-
жение и ток в любой точке линии при любой нагрузке, включен-'
ной в конце линии.
Векторные диаграммы токов и напряжений при разомкнутом
и короткозамкнутом конце линии и при нагрузке строятся по
уравнениям (12.17), определяющим напряжение йх и ток Д
в начале линии. Пусть напряжение Й2 совпадает с. осью вещест-
венных величин (рис. 12.5). Тогда напряжение /71р и ток /1р
в начале линии можно представить в виде
+1Р = | /72e“V₽' + у Йае-“ге-/₽г;
Др = (т AeaZe^z - 4 /72е~“'е~/Р') А е-'+
По этим уравнениям на рис. 12.5 построена векторная диаг-
рамма для разомкнутой линии. Из этой диаграммы видно, что
напряжение Й1р равно сумме составляющих y/72eK+'Pz и
у U2e-ale~'^1, а уок /1р равен разности тех же составляющих,
разделенной на комплексное волновое сопротивление Zc~zce>&.
При коротком замыкании в конце линии (С2 = 0, ток равен Д),
напряжение и ток в начале линии определяют из уравнений
(12.22)
Й1К = Zcl2 sh yl = | Zcl2 (e* - e-V);
/iK = 4chy/-y/2(ev' + e-v').
12 n/p. Ионкина, т. I
(12.23)
353
Векторная диаграмма для этого случая показана на рис. 12.6.
При этом комплексное значение тока /а отстает по фазе от комп-
лексного значения напряжения Й2_на угол <р2. На рис. 12.7 даны
векторы напряжения и тока А, полученные путем геометри-
ческого суммирования соответствующих векторов при разомкну-
той линии и ее коротком замыкании в соответствии с уравнениями
rA=tAp+iAK; А=АР+АК. (12.24)
Интересно отметить, что при индуктивной нагрузке в конце
' линии угол сдвига фаз <pj. между током А и напряжением JA
меньше угла сдвига фаз <р2 (рис. 12.7), что объясняется влиянием
опережающего емкостного тока АР на режим в линии.
При сопротивлении нагрузки Z2, равном волновому сопротив-
лению Zc, напряжение и ток в любой точке линии равны:
U = й2^х; I = 12&х = &х,
откуда 0/1 = ZC, т. е. £7// = f71//1 = £72/A = Zc.
Если С2 = Uг, то мгновенные значения напряжения и тока
в. любой точке линии имеют вид
и = Y 2 U2eax sin (cof ф- рх);
i = ]/r2 — еах sin (<ъ>7рх — &). (12.25)
,1
Таким образом, при Z2 = Ze в линии имеются только прямые
волны, движущиеся^ от источника энергии к приемнику. В этом
случае режим работы источника электрической энергии не изме-
нится, если в любом сечении линии включить вместо удаленной
части линии сопротивление, равное волновому. Такую нагрузку
линии называют согласованной или нагрузкой без отражения *.
Для линии с согласованной нагрузкой следует установить
соотношение между активной мощностью = Ujli cos '& в начале
и активной мощностью Р2 = t/2/2 cos 0 в конце линии. Поскольку
* Все изложенное здесь о линии с согласованной нагрузкой .применимо
к бесконечной линии, поскольку в ней не могут возникнуть отраженные волны.
354
и /1 = /2e“V₽z, то Л = С/1/1СО8'& = и/„е2“/со8'& -
Следовательно, к. п. д. линии г] — Р2/Рг == е-2«/_
Полученные соотношения позволяют определить единицу изме-
рения затухания мощности линии из выражения сс/\=— tnP^/P
Единицей затухания мощности служит непер (Нп) Затухание
равно 1 Нп, если а/=1 или Р1//’2 = е2. Таким образом пои
затухании в линии, равном 1 Нп, активная мощность в начале
линии больше активной мощности в ее конце в е2 = 7 39 раза
Очень важной характеристикой, линии является ее входное
сопротивление, равное отношению в начале линии
На основании уравнений длинной линии в гиперболических
функциях
_ Uj _ Cgch^ + Zc/ashyZ _ ZB+ZC th у/
вх“4 " AshvZ+/2chVz “ CW+^’
(12.26)
Для разомкнутой линии (/2 = 0, Z2 = oo)
Z7ip Z/2 ch yl zc
Zbx- ₽ KT ~ (te) shyl = th^7* (12.27)
При коротком замыкании. (£?2 = 0, Z2 = 0) -
^^~ = ZC th yl. (12.28)
Z1K I2 ch yl _ '
Следовательно, зная параметры линии и сопротивление Z2,
можно найти входное сопротивление линии при любой нагрузке.
Пользуясь выражениями для ZBxp и ZBX K, можно определить
волновое сопротивление линии Zc, а также th yl и коэффициент
распространения у.
Умножая друг на друга левые и правые части выражений
(10.27) и (10.28):
Zbtl. pZBx. к = ih yl Zc th yl ~ Zc,
получаем ________
Zc = VZBx.pZBX.K. (12.29)
Аналогично можно найти формулу для определения th yl:
th y/ = ]/ZBX.K/ZBX,p. (12.30)
Полученные выражения совпадают с формулами (11.44), что
и следовало ожидать, так как цепь с равномерно распределен-
ными параметрами всегда можно заменить симметричной эквива-
лентной Т- или П-образной схемой с сосредоточенными параметрами.
Сравнивая уравнения для симметричного четырехполюсника
Hi = Л В/2; 1
tx — CU%-\-Di% /
12*
855
с уравнениями длинной линии
б7х = U2 ch yl-YZJi sh yl;
A = (U2/Zc) sh yl +12 ch yl,
определяем значения коэффициентов четырехполюсника:
Л=£) = сЬу/; B = Zcshyl; C = -J~shy/. (12.31)
, Условие .для симметричного четырехполюсника А2 — ВС=1
выполняется и для длинной линии
ch2 у/ — shay/= 1. (12.32)
Пользуясь выражениями (12.31) и (12.32), находим:
*Zn = Z12 = Zcshyl; ZI = Z2 = Z = ^g-; (12.33)
Z',=Z;-Z--.^^=»„ (12.34)
Таким образом, по известным параметрам линии с помощью фор-
мул (12.33) и (12.34) можно определить параметры эквивалентных
П- и Т-образных схем.
Пример 12.1. Для определения параметров телефонной линии длиной / =
= 200 км измерены при угловой частоте со=5000 с-1 сопротивления разомкну-
той ZBX. р=747е— /27°41' Ом и короткозамкнутой ZBX, к=516е,0°35’ Ом линии.
Поформулам (12.29) и (12.30) найдены Zc = 621e— /13°33' и у = (0,0046-]-/0,018) =
’= О,О0186е/75°40'. Определить первичные параметры линии; r0, g0, Со и Lo-
Реш е ни е. Для определения г0 и Lo перемножим
У = К(го+i«>Lo) feo + / wC0) на Zc = 1/",
Г вО-г/ШСо
т. е.
yZe = r0+/<oL0= (5,4+ /10,21) Ом/км,
откуда
т0 = 5,4 Ом/км, Lo= 10,21/5000 = 0,002 Г/км.
„ Аналогичным путем найдем g0 и Со:
-b- = go + i<°co = (4,l • Ю“7 + /3- 10“Б) 1/Ом-км,
откуда
g0=4,l • 10“’ См/км; С0 = 0,006 . 10“« ф/км.
§ 12.5. Линия без потерь
В линиях передачи электрической энергии, применяемых
в радиотехнике, телефонии и телеграфии, при достаточно высокой
частоте можно с большой точностью пренебречь сопротивлением г0
и проводимостью утечки g0 по сравнению соответственно с вели-
чинами ®£0 и ®С0. Поэтому во многих случаях такие линии рас-
сматривают как линии без потерь энергии, что является идеали-
зацией реальной линии.
356
Для линии без потерь коэффициент распространения
у = а -ф /Р — V (го + /®Ео) (go + 7®С0) = /® V ЬоСо,
т. е. а = 0; р = ю]/£о^о‘
Волновое сопротивление такой линии
Ze =
Т £о+/<°со
При этом '8’ = 0, v = ft)/p = \/УЬцС0, Х = 2л/р. Следовательно,
в линии без потерь коэффициент затухания равен нулю, а вол-
новое сопротивление и фазовая скорость не зависят от частоты.
Поэтому уравнения длинной линии в гиперболических функциях
(12.-16) преобразуются в уравнения в тригонометрических функ-
циях:
С = U2 ch (/фх) + zAsh (/₽х) = Й2 cos рх + jzj2 sin рх; j
/'=/2ch(/Px) + ^sh(/Px) = 72cosPx + 7fZ-sinpx. j (12‘35)
Если. t/2 = (72, /2 = /2е—/'Q’2, то из этих уравнений легко полу-
чить выражения, определяющие мгновенные значения напряжения
и тока:
w = ^2mC0S pxsinft)/-|-2c72msinpxsin (ftrf+y — (p2j;
i = sin px sin (at+у) +1zm cos px sin (at — <p2).
(12.36)
На рис. 12.8, а, б изображены кривые распределения мгно-
венных значений напряжений и тока вдоль линии для / = 0 и
t = T/& на участке линии длиной 3/4 X при <р2>0. Из уравнений
(12.36) и этих кривых следует, что распределение напряжения
и тока вдоль линии в каждый мо-
мент времени является синусоида-
льным.
Если в конце линии включено
комплексное сопротивление Z2 =
=г2+/х2, то входное сопротивле-
ние линии без потерь
у U± Z72cos pZ —р у2с/2 sin PZ
^вх У " "=
1 j у sin pZ + /2 cos pZ
<12-37)
/^2 P*
В уравнениях (12.35) <-(12.37)
Zc = ze = УL0/C0 не имеет мнимой
составляющей и по своему харак-
Рис. 12.8
теру аналогично активному сопротивлению. Иначе говоря, отно-
шение напряжения к току для прямой или обратной волн есть по-
стоянная величина, не зависящая от частоты.
357
Для определения фазовой скорости через первичные параметры,
связанные со свойствами среды, следует рассмотреть, например,
двухпроводную воздушную линию, емкость и индуктивность
которой, отнесенные к единице длины линии, определяются по
приближенным формулам:
Со»
Ф/км =
лее0
In d/R0 ’
Л0) r/KM = ffi-°lnd/₽0,
где d — расстояние между осями проводов; 7?0 —радиус каждого
провода.
Подставив выражения для Lo и Со в формулу для v, находим
/еоцо Кер"
Известно, что скорость света в пустоте с = l/]/.eep,0, следовательно,
v = с[Уер. Для воздушной линии е = 1 и р = 1. Для кабельной
линии е> 1, поэтому v<Zc. Для воздушной линии при /==50 Гц
в случае, когда Z = «Д’= 6000 км.
Кривые изменения действующих значений напряжений и тока
вдоль линии ’без потерь можно рассмотреть при комплексном
сопротивлении нагрузки Z2- Для определения действующих зна-
чений тока и напряжения в любой точке линии целесообразно
воспользоваться уравнениями для их мгновенных значений (12.36).
Действующее значение любой величины определим как среднее
квадратичное за период:
т ~ / т
/ = 1/ (12.38)
b ' о
Подставив в эти формулы выражения для и и i из (12.36),
можно получить:
U = VUzm cos2 рх 4- гЩт sin2 рх + U2mzcI2m sin <р2 sin 2рх.
/ = у/~Hm cos2 рх+sin2 рх + sin % sjn 2рх,
По первому из этих уравнений на рис. 12.9 построен график
изменения действующих значений напряжения вдоль линии без
потерь, нагруженной на сопротивление z2=^zc. Из графика и
358
уравнений (12.39) видно, что действующие значения напряжения
изменяются не по синусоидальному закону, при этом i/rain#=0.
Наибольшие значения напряжения Umax получают в тех точках
линии, где напряжения падающей и отраженной волн совпадают
по фазе (амплитуды СЛпахпад и £Лпах0Тр арифметически склады-
ваются). В этих же точках получаются наименьшие значения
тока /min (амплитуды Iщахпад и /тахотр арифметически вычитаются).
Точки, в которых 17пад и Потр находятся в противофазе, соответ-
ствуют наименьшим значениям напряжения t/min и наибольшим
ЗНаЧеНИЯМ TOKa /max-
Для иллюстрации этих положений следует воспользоваться
уравнениями длинной линии в комплексной форме, выраженными
через напряжение падающих и отраженных волн:
£/ = 'i/naBe^ + f/oTPe^; 1
/ = - (f/oTp/zc)J
(12.40)
где Ппал = ^паде'^пад; Дотр=//отре'Фотр, а х отсчитывается от конца
линии. При этом комплексные значения С'пад и Йотр представляют
в виде
Йотр = ^=^?. (12.41)
Переходя к мгновенным значениям, из уравнений (12.40)
получаем:
« = ^тпад 8!П И+ 0% + Фпад) + *Лпотр sin ((£>/ - Рх + фотр);
i =' ”7" 81П + Р* + ^’паД.)-------~ Sin — Р* + Фотр)-
(12.42)
Напряжения падающей и отраженной волн совпадают по фазе
в точках, где
((й^ + ₽х+ФПад) —(®/—Р^ + Фотр) = 0; 2л; 4л...
или
. 2₽х = фотр-Фпад+^л (Л = 0; 1; 2...),
откуда
Фотр Фпад , Л
* =---2₽----+ ЛТ-
359
В этих точках
7min
Рmax ^Атад "4" отр»
Рпад Ротр _ _
— = 1 вад— / отр-
Если от каждой из указанных точек сдвинуться на расстояние
Х/4, то разность фаз станет равной л; Зл; 5л... и
^min ^пад ^отр== I minZCf
/ max = (^пад/^с) + (Ump/Zc) = Ums-x/Zc-
Так как напряжение I/max и ток 7mIn совпадают по фазе, входная
проводимость линии в этих точках имеет чисто активный харак-
тер и наименьшее значение:
Евх min — I min/L^max = femin-
При этом активная мощность, передаваемая с помощью линии,
Р ~ ^maxTmin- -
Указанные значения тока и напряжения повторяются через
каждые Х/2 '(рис. 12.9). В точках, напряжение которых Z7min,
а ток /max, входная проводимость имеет также активный харак-
тер и наибольшее значение:
Евхтах — /тахДЛпт ~//вхтах,
в этом случае активная мощность
Р — Hmin/max.
Степень несогласованности линии с нагрузкой характеризуется
коэффициентом стоячей волны (к. с. в.):
Кс ~ Hmax/t/mln = /max/Imin = Z(Yвх max = 1/Zc^/Bxmin-
Коэффициент стоячей волны можно выразить через коэффициент
бегущей волны /<б с помощью коэффициента отражения п:
__ т J JJ .____^пад Ч-б'отр 1+((/отр/^пад) 1 4~n 1
Лс-C/max/' min - t7naJI- (70тр “ 1 - ((701р/(7пад) ~ Т=71 ~ '
Пример 12.2. В начале двухпроводной линии без потерь длиной 1 — 12 м
и волновым сопротивлением гс=400 Ом включен генератор с э. д. с. <^ = 2000 В
и внутренним сопротивлением го = 4ОО Ом; длина волны Х=2,5 м. На конце
линии включено сопротивление нагрузки
Z2=64O+/48O=8OOe'36°50' Ом.
Определить ток и напряжение в начале и конце линии, активную мощ-
ность, поступающую в линию (мощность нагрузки), а также наибольшие и
наименьшие ^действующие) значения напряжения и тока в линии и их место-
расположение.
Решение. Определим комплексные значения напряжения и тока в начале
линии:
йг — U2 cos р/ + /ze/2 sin р/;
4=4 cos р/ + jU^Zc sin р/,
360
где
£72
Входное сопротивление линии с нагрузкой
Z2+/2£W = M£+^g.^^J>.978 = 145e-^°10' 145 Ом.
=с
Ток в иаяале линии _
/г = ё/^общ = ®7(го + ^вх) = =?= 3,67 А.
Напряжение в начале линии
i/^Wi^456-''3010' 3,67 = 532е-/3°10' В.
Ток в конце линии
й.
и
, ________*1_______5™_______________1 74е/46о20' д
’ Z2cos₽Z+jZcsinpZ 198-/232 ’
Напряжение в конце линии
(72=Z2/2=8OOe/36°50'- 1,74е/46°20'===1392е/83°10/ В.
Мощность
Pj — иг11 cos = 532 3,67 cos 3°10' = 1940 Вт
Р2= г211 ==640-1,742 = J940 Вт.
Напряжения совпадают по фазе в точках, где
Фотр Фпад
х=------2₽-----+*Г
При этом
г; __^г+^г
е'пад— g
fr —гс!г
О'ОТр- 2
4 (22+гс) = О,87е/46°20' (1040 + /480) = lOOOe'71’05' В;
4 (Z2 - 2С) = О,87е/46°20' (240 + /480) = 470е'11 °°05' В.
Таким образом, 1/пад=1000 В; фпад ==71°05'; 1/отр = 470 В; фотр = 110°05'.
На расстоянии от конца линии х= (ФОтр —ФПад)/2₽=^=0,135 м иапря-
zoo
жение имеет наибольшее значение:
^тах = 1/пад+^1р = ’000+470=1470 В,
а ток — наименьшее;
С/пад-^отр ЮОО-470
'min— Zc — 400 —1,32 А.
Так как ток и напряжение в этих точках совпадают по фазе, то входная
проводимость имеет активный характер и наименьшее значение: ’
^вх min ~Увх min = ^min/^max ~ >32/1470 = 9 - 10 4 См.
При этом
P = t/max/min=’470-1,32= 1940 Вт.
Такие значения тока и напряжения повторяются каждые Х/2 м.
На расстоянии
Фетр — Фпад 2,5
х=-----2₽----+-4=°>135 + 4 = 0’76 м J
361
от. конца линии напряжение имеет наименьшее значение:
^min = /mln2c = l,32.400 = 528 В,
а ток—наибольшее:
/тах = ^тах/^= 1470/400= 3,68 А.
Входная проводимость в этих точках имеет активный характер и наиболь-
шее значение:
>ZBxmax=f/Bxnlax=-7max/^min=3.68/528= 69,7.10^ См.
Мощность
E = l/min/max = 528.3,68 = 1940 Вт.
§ 12.6. Стоячие волны
Если в конце линии без потерь не потребляется активная
мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную
нагрузку), то в такой линии возникают стоячие волны.
При разомкнутом (/2 = 0, Z2 = oo) конце линии без потерь
напряжение и ток в любой ее точке определяются с помощью
уравнений в тригонометрических функциях:
i7 = /72cos px; / = /^sinpx.
- zc.
Если 7/2 = t72, то мгновенные значения напряжения и тока
вычисляются по уравнениям
w = H2m cos рх sin tot; '
i = —1 sin рх cos cot
(12.43)
Каждое из этих уравнений представляет собой произведение
двух функций, причем аргумент одной из них завйсит только от
Л
Рис. 12.10
на расстоянии x = k-% (fe —целое
времени, а другой —толь-
ко от координаты. Иначе
говоря, в любой фиксиро-
ванной точке линии напря-
жение и ток изменяются по
синусоидальным законам со
сдвигом по фазе на чет-
верть периода. При этом
распределение напряжения
и тока вдоль линии для
любого момента времени яв-
ляется также синусоидаль-
ным. В результате в кон-
це линии (х = 0) ив точ-
ках, находящихся от конца
число), напряжения имеют
максимальные значения (пучности), а токи —нулевые значения
(узлы). В точках, которые отстоят от конца линии на расстоянии
362
x = (2&+1)у, существуют узлы напряжения и пучности тока,
при этом узлы и пучности тока и напряжения не перемещаются
по линии.
На рис. 12.10 изображены графики распределения напряжения
и тока вдоль линии для различных моментов времени. При 0=sg
<х<;^/4; 2v/2 =6=; х =s=S 3Z/4 и т. д. ток опережает напряжение на
90° и отстает на тот же угол при Х/4^х^Х/2; ЗХ/4sgJXsCA
и т. Д.
Рис. 12. и Рис. 12.12
(12.44)
Стоячую волну можно представить как результат наложения
падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами. Дейст-
вительно, из уравнений (12.43)
и = у ^2™ sin М + ₽Х) + у и2т sin (со/ — рх) = Мпад + иотр;
* = Т Sin № + ~ Тif5 sin (o)Z ~ = ~ •
По первому уравнению (12.44) на рис. 12.11 построены кри-
вые распределения напряжений падающих и отраженных волн
для моментов времени /х, t2 и t3. Суммирование этих - кривых
дает стоячую волну напряжения, ординаты которой пульсируют
с угловой скоростью <о.
Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь
2зт г
^вк. р ’ fee ctg Рх feE ctg у X
является реактивным и его знак зависит от частоты и длины
участка линии. На рис. 12.12 построен график изменения вход-
ного сопротивления для различных значений х. Из этого гра-
363
фика видно, Что при О^х^Х/4; Х/2==сх=сЗХ/4
представляет собой емкостное сопротивление, а при Х/4
Рис. 12.13
контуром с последовательным
ности.
и т. д. линия
sgxss;Z/2;
ЗА./4 х sg Z и т. д. — индук-
тивное сопротивление.
В точках линии, в которых
существуют узлы тока и пучно-
сти напряжения, линия может
быть представлена резонансным
контуром с параллельным со-
единением емкости и индуктив-
ности, а в точках, в которых
имеются узлы напряжения и
пучности тока, ту .же линию
можно представить резонансным
соединением емкости и индуктив-
При коротком замыкании линии (t/2 = 0; Z2 = 0) из уравнений
(12.35) определяем:
U = jzci2 sin рх; / = ./2cospx. (12.45)
В этом случае уравнения для мгновенных величин
линии
=(2^ +
w = 2<Jzm sin Pxcos со/;
г = 12m cos px sin <£>t
определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих
от ее конца на расстоянии x = kK/2, имеются узлы напряжения
и пучности тока, а в точках,
которые находятся от конца
на расстоянии х =
1) Z/4, — пучности на-
пряжения и узлы тока (рис.
12.13). Входное сопротивле-
ние линии без потерь, корот-
козамкнутой на конце,
2ВХ. к = /zc tg рх = /гс tg (у- х).
Это сопротивление, так
же как ZBX р, является чисто
реактивным и в зависимости
от длины участка х линии и
частоты ю получается или ин-
дуктивным, или емкостным.
На рис. 12.14 показан гра-
фик входного сопротивления
которого следует, что при О^х^.Х/4; Z/2<;x^<3X/4 и т. д. ли-
ния представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает
по фазе от напряжения на четверть периода. При Z/4 sg х «s А./2;
3Z/4 х X и т. д. линия представляет собой емкостное соп-
364
ротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на чет-
верть периода.
В тех случаях, когда для согласования линии с нагрузкой
необходимо включить реактивное сопротивление (чтобы не было
отраженных волн), таким
сопротивлением может слу-
жить разомкнутая или за-
короченная линия длиной
меньше Z/4. При этом дли-
ну участка линии х можно
определить из уравнений:,
для разомкнутой линии'
хс = 1/<оС — zc ctg рх;
для короткозамкнутой
линии
xL = <i>L = zc\£$x.
При чисто реактивной на-
грузке Z2 = ± /х2 в линии
образуются стоячие волны,
что вытекает из условия эквивалент-
ности между заданным реактивным сопротивлением, включенным
в конце линии, и отрезком линии при соответствующем режиме
(разомкнутом или\короткозамкнутом конце)..
Если - линию без потерь замкнуть на активное сопротивление
r2 = zc, то в ней не будет отраженных волн. В результате дейст-
вующие значения напряжения
и тока одинаковы во всех точках
Согласующая
I линия
Линия, питаю- ——
сидя нагрузку 1
линии. На рис. 12.-15 показаны
кривые распределения действую-
щих значений напряжений и то-
ков вдоль линии при различных
режимах (Z2 = oo; Z3 = г2 = 2С
и Z2 = 0). Из этих кривых вид-
но, что при разомкнутом и ко-
0___
Рис 1216 Еоткозамкнутом конце линии
действующие значения напряже-
ния и, тока имеют вид выпрям- *
ленных синусоид. При этом кривые токов и напряжений для
указанных режимов как бы меняются местами (рис. 12.15, а, в).
Для линии с согласованной нагрузкой действующие, значения
напряжений и токов во всех точках линии одинаковы (рис
12.15, б).
Линию без потерь длиной I = Х/4 часто используют в качестве
промежуточного элемента для согласования режима работы дру-
гой линии и сопротивления нагрузки Z2 = z2 = r2, не равного
волновому сопротивлению линии. Так, на рис. 12.16 показана
линия, питающая нагрузку с сопротивлением z2 = r2, причем для
согласования режима в линии с нагрузкой включена другая
линия, длина которой Z — Х/4.
365
Входное сопротивление.четвертьволновой линии, нагруженной
. на сопротивление z2 = r2, определяют с помощью (12.37):
, . , 2л X
22+/?CtgTT г?
ZBX — 2С 2л X , ~ г2 ’
fttgTT+z‘
(12.46)
так как tg3i/2 = oo.
Для согласования линии, питающей нагрузку, с сопротивле-
нием нагрузки необходимо выполнить условие
2С1 - ZBX Zcl%2t
' где zcl — волновое сопротивление питающей линии. Следовательно,
волновое сопротивление согласующей линии
zc = Vzclz2- (12.47)
В рассматриваемом случае линию без потерь длиной I = Л/4 назы-
трансформатором, так как
с ее помощью волновое сопротив-
ление питающей линии как бы пре-
образуется (трансформируется) в
сопротивление нагрузки.
При комплексном сопротивле-
нии нагрузки, равном Z2, в конце
питающей линии параллельно чет-
вертьволновому трансформатору
длиной 1т и сопротивлением zm =
вают четвертьволновым
Рис. 12.17
,= zc (в виде линии, замкнутой на .
сопротивление нагрузки Z2) присоединяют короткозамкнутую ли-
нию длиной /к и волновым сопротивлением zc = zK (рис. 12.17),
при этом длины линий 1т и /к можно изменять. Из рис. 12.17
видно, что линия передачи будет согласована в том случае, когда
суммарная проводимость трансформатора (вместе с нагрузкой) и
параллельно соединенной с ним короткозамкнутой линией равна
величине, обратной волновому сопротивлению питающей линии;
т. е. согласование возможно при
1/гс = Ут+Ук-.
(12.48)
Поскольку питающая линия без потерь, то 1/zc —вещественная
величина. Второе слагаемое правой части представляет собой про-
водимость короткозамкнутой линии и является мнимой величиной:
Ук = — /Ък. Первое слагаемое правой части в общем случае имеет
комплексное значение: Ym — gm — jbm.
Таким образом, равенство (12.48), распадается на два:
l/zc = gm; 6K + 6m = 0. (12.49)
Сначала находят длину 1т из первого равенства, а затем из
второго равенства по известному значению проводимости Ьт,
366
соответствующей длине 1т, определяют длину 1К. При этом сле-
дует иметь в виду, что волновые сопротивления трансформатора
и короткозамкнутой линии в общем случае не равны волновому
сопротивлению питающей линии.
§ 12.7. Линия без искажений; измерительная линия
Сигналы, передаваемые с помощью линий связи, обычно пред-
ставляют собой совокупность несинусоидальных периодических
или непериодических токов и напряжений. Периодические функ-
ции могут быть разложены в дискретный ряд Фурье на множество
различных гармоник, а непериодические функции представлены
в виде непрерывного спектра частот. При передаче сигналов стре-
мятся получить минимально возможные искажения.
Неискаженной передачей сигнала называют такую пере-
дачу, при которой форма сигнала в начале и конце линии оди-
накова, т. е. все ординаты кривой напряжения и тока в конце
линии прямо пропорциональны соответствующим ординатам кри-
вой в начале линии. Такие соотношения имеют место в тех слу-
чаях, когда коэффициент затухания волны, а также фазовая
скорость на всех частотах одинаковы. Неодинаковое затухание
на разных частотах вносит амплитудные искажения, а неодинако-
вая фазовая скорость вызывает фазовые искажения.
Таким образом, при неискаженной передаче сигналов требуется,
чтобы коэффициент затухания а не зависел от частоты, а коэф-
фициент фазы р был пропорционален частоте, в результате фазо-
вая скорость v — со/p получается не зависящей от частоты. При
этом волновое сопротивление линии также не зависит от частоты.
Необходимые соотношения между параметрами линии, при кото-
рых происходит неискаженная передача сигналов, выполняются при
7 1 Гfo+ja>L0 -] ГЦ -| /~(/~о,Фо)4-/Д* 11 о слч
с г &+/®с0 V с„ v ta/c0)+/w’ (12-50)
Из полученного выражения следует, что при L0/C0 = rblg^
волновое сопротивление Zc не зависит от частоты и равно веще-
ственному значению:
2С = zc — Lq/Cq = • (12.51)
При этом аргумент й; = 0; коэффициент распространения
? = V(Г0 4~/®Т0) (gfl + j^Co) = rogo ^1 +/<в ^1 ~
— P^ogo У® =а-|-/р. (12.52)
Таким образом, если считать, что первичные параметры линии
Ре, Lo, Со, g0) не зависят от частоты, то коэффициент затухания
a = ]^rogo, (12.53)
367
а коэффициент фазы
P = co]/LoC0. (12.54)
Неискаженная линия имеет и минимальное затухание, опре-
деляемое по формуле (12.53).
Ввиду того что волновое сопротивление линии без искажений
имеет только вещественную составляющую при согласованной
активной нагрузке, напряжение и ток в любой точке линии сов-
падают по фазе, а отношение мгновенных значений напряжения
и тока в любой точке линии
н// = ф LqICqi
откуда
Lcz2/2 = C0«2/2. (12.55)
Следовательно, на любом участке такой линии энергия маг-
нитного поля в каждый момент времени равна энергии электри-
ческого поля на том же участке.
На практике отношение Ьй/г0 обычно значительно меньше C0/g0.
В результате затухание линии всегда превышает минимальное.
Наилучшим средством для приближения первичных параметров
к оптимальному соотношению Lo/Co = ro/g'o является искусственное
увеличение индуктивности путем включения в линию через опре-
деленные расстояния индуктивных катушек или путем применения'
кабеля с жилами, "обмотанными тонкой лентой из материала
с высокой магнитной проницаемостью. Однако с увеличением
индуктивности £0 фазовая скорость уменьшается, в результате
растет время распространения сигнала между передающим и прием-
ным пунктами линии, которое, в частности, для телефонных
каналов и систем телемеханики не должно превышать определен-
ных норм.
Большинство линий передачи информации не обладают свой-
ствами неискажающих линий. Поэтому искажения сигналов
устраняют, применяя дополнительные устройства типа фильтров,
корректирующих контуров, усилителей и других устройств, спе-
циально включаемых в линию передачи сигналов.
Для измерения сопротивления нагрузки Z2 на высоких час-
тотах (Х<10 м) часто используют измерительную линию. Изме-
ряемое сопротивление нагрузки Z2 присоединяют к концу такой
линии. Затем на линии с помощью специального прибора (инди-
катора) отмечается расстояние Xj до ближайшего к нагрузке
минимального значения напряжения. Одновременно с этим изме-
ряют величины минимального (f/mitl) и максимального (t/max) зна-
чений напряжений (см. рис. 12.9).
Входное сопротивление линии в точке хг с учетом сопротив-
ления нагрузки Z2
ZBX (хг) = zc Z2~t^c!S^. (12.56)
' zc-t-/Z2tg^Xi) ' '
368
С другой стороны, в точке с минимальным значением напря-
жения входное сопротивление
и - г /
вх(-^1) 7 — ZCK(,. (12.57)
max 'max .
Приравнивая правые части равенств (12.56) и (12.57), получаем
7—7 —/tgfPxt)
2
Таким образом, измерив расстояние хг от конца линии до
ближайшего минимального напряжения и определив коэффициент
бегущей волны Аб> можно определить комплексное значение сопро-
тивления Z2 нагрузки измерительной линии по формуле (12.58).
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И МЕТОДЫ
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С НЕГАРМОНИЧЕСКИМИ
ПЕРИОДИЧЕСКИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ТОКАМИ
ГЛАВА 13
АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
С НЕГАРМОНИЧЕСКИМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ИСТОЧНИКАМИ
9
§ 13.1. Гармонический анализ и разложение функций
Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям
Дирихле (имеющая на конечном интервале конечное число раз-
рывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов),
может быть представлена в виде бесконечного тригонометрического
(гармонического) ряда:
f (/) = Д0 + J1, Акт sin (ka>t + фА),
k=i
где Ао — постоянная составляющая; k~ номер (порядок) гармоники;
Akm — амплитуда /?-й гармоники; ф* — начальная фаза /?-й гармоники.
Таким образом, несинусоидальная периодическая функция пред-
ставляет собой сумму синусоид кратных частот fk = kf1 с началь-
ными фазами ф*. где 1/7 — основная частота.
Поскольку каждая гармоника может иметь свою амплитуду и
начальную фазу, то тот же ряд можно представить в виде сумм
синусоид и косинусоид, каждая из которых имеет нулевую началь-
ную фазу;
f(t) = A0+ У, Sin k(i)t+ У, /4femC0sW,
k=l
Где (Akm)2 “Ь (Akm)2 = Akmt Akm/Akm = tgtyk’ ПрИ A km 0 уГОЛ ф^
находится в пределах О^ф^^л, а при Акт<.0 — в пределах
л фу.. =с2 л, т. е.
A'km = A km COS A'km = Akm S ill фу,.
С помощью комплексных чисел функцию f (/) можно представить
в виде
(СО со \
У 2 Хе-М,
fe=l А=1 /
где
Я Akm . я _________ Akm
Ak-yTe k’
комплексные значения синусоидально изменяющихся функций
(гармоник). Наконец, функцию f (/) можно записать в следующем
виде:
Постоянная составляющая является средним значением функ-
ции за период основной частоты:
т
А)=4-
о
так как среднее за период значение вращающегося вектора
Т fe2n
А С А^ dt = ±A Ак№ d (kat) = 0.
1 J '• kZJI J '
о 0
Графически полученный интеграл может быть представлен в виде
окружности радиуса
Комплексное значение любой гармонической составляющей
г
если функция / (/) выражена в комплексной форме. Действительно,
поскольку e/?<aZe_/w = ez(?_ft) и e/w е-/№/_ е-7 (е-А) то только
при q = k получаем е7' “z = е'0)7 = 1 и, следовательно, только
одно слагаемое после умножения на e_/w и в результате инте-
грирования не обращается в нуль: -
т
A-J Ak^'te-,katdt = Ak.
о
Таким способом может быть выполнено разложение заданной
функции fit) в гармонический ряд. Ту же операцию разложения
можно выполнить и в тригонометрической форме:
Т 2kn
A km ~~{f(f) cos (k<ot) dt = ~^ f(t) cos (kat) d
0 0
T 2kn
A'krn = 4" V Sin = Sin (korf).
0 0
371
Известей ряд приближенных методов разложения функций
в гармонический ряд. Практически удается ограничить разложение
в ряд несколькими гармониками, сумма которых отображает
заданную функцию.
Для иллюстрации этого положения целесообразно рассмотреть
цепь, содержащую постоянное сопротивление и идеальный выпря-
митель при синусоидально изменяющемся напряжении. В заданных
условиях можно считать, что ток i(t) изображается одной полу-
волной синусоиды (рис. 13.1, а) с амплитудой 1т:
(/т sinai при 0^/^Т/2
* | 0 при T/2^t^T
или
12^ (е^-е-7^) при 0 772;
i = <
* 0 при T/2^t^T.
Тогда
зг .
Л>=-^ J (^-e-^)d(<B0 = -^-;
о
О
$ В результате получается следующий ряд:
‘+-т- ™ -2 7 (т¥ + т?+• • ) •
372
На рис. 13.1, б показаны постоянная составляющая, первая
вторая и четвертая гармоники,
= /о + h + h + которая
достаточно хорошо совпа-
дает с заданной функцией.
При разложении перио-
дических функций на гар-
моники следует иметь в
• виду условия симметрии.
Если функция нечетная,
т. е. имеет симметрию отно-
сительно начала координат
(рис. 13.2, a):f X
X (—t), то гармонический
ряд должен состоять из
синусоид с начальными фа-
зами 4'(. = 0. Если функ-
ция четная,
симметрию
оси ординат (рис. 13.2, б):
f (/) = f (— t), то гармони-
ческий ряд должен со-
стоять из синусоид с на-
чальными фазами ф* = л/2.
Если функция симметрич-
на относительно оси абс-
цисс (рис. 13.2, в), т. е.
/(/) — —+ т0 гар-
монический ряд должен состоять из гармоник нечетного порядка:
k = 2s + 1, где s — целое число. Если функция одновременно сим-
метрична как относительно оси ординат, так и относительно оси
абсцисс, то гармонический ряд должен состоять только из сину- -
соид нечетного порядка.
а также суммарная кривая i =
fit)
fit)
hjjt
т. е. имеет
относительно
fit)
Рис. 13.2 -
§ 13.2. Расчет установившихся процессов в линейных цепях
Разложение периодических функций на гармоники позволяет
рассматривать действительный несинусоидальный установившийся
режим в линейных цепях как совокупность взаимно налагающихся
синусоидальных режимов кратных частот. Например, если перио-
дическая функция э.д.с., действующей в цепи, несинусоидальна,
то можно считать, что одновременно действует целый ряд сину-
соидальных э. д. с. кратных частот:
е(0-^О+-^ У Де-Н- •
Для каждой э.д.с. должны быть известны частота ka (номер
гармоники) и комплексное значение э. д. с. Sk. Если цепь линейна,
373
то действие каждой э. д. с. можно рассматривать отдельно. При
этом для каждой гармоники э. д. с. цепь следует представить в виде
эквивалентной схемы — схемы замещения с соответствующими пара-
метрами. Эквивалентные схемы, составленные для каждой из крат-
ных частот, получаются при этом взаимно независимыми. В каждой
схеме токи и напряжения имеют ту же частоту, что и все актив-
ные параметры — токи источников тока и э. д. с. Найденные при
этом токи и напряжения определяют частичный рабочий режим
цепи. Результирующие токи и напряжения для какого-либо участка
цепи могут быть, определены путем суммирования всех гармоник
по принципу наложения.
Для каждого частичного синусоидального режима справедливы
законы электрического состояния цепей:
для узлоц,
для контуров
244=2 Л-
Поэтому для расчета цепей применимы методы контурных токов,
узловых потенциалов, преобразования цепей и т. д.
Таким образом, расчет несинусоидальных режимов для линей-
ных цепей сводится к расчету ряда синусоидальных режимов
кратных частот и суммированию гармоник.
В случае последовательной гТС-цепи для /г-й гармоники тока./й
в комплексной форме справедливы следующие выражения:
г ________Оь_______________Ok______
‘k 1 / 1 \
г+jkuL + г+/ ku>L -—=
}kti>C \ k<£>C ]
или
i - ck _ . Qk
k Zk z^k >
где ________________
При этом для k = Q полное сопротивление Z(0) = oo, так как
наличие конденсатора приводит к размыканию цепи при постоян-
ном токе.
§ 13.3. Особенности несинусоидальных режимов
Сопротивления отдельных ветвей любой цепи различны для
разных частот. Прежде всего это относится к реактивным сопро-
тивлениям и проводимостям, так как реактивное сопротивление
ветви с. постоянной индуктивностью L xkL—-k&L, а реактивная
проводимость ветви с постоянной емкостью С bkc = k&C.
374
Для ветви, обладающей значительным индуктивным сопроти-
влением на основной частоте (по сравнению с активным сопро-
тивлением), относительная величина каждой высшей гармоники
напряжения больше, чем у тока. Наоборот, для ветви, обладаю-,
щей большой емкостной проводимостью на основной частоте (по
сравнению с активной проводимостью), относительная величина
каждой высшей гармоники тока больше, чем у напряжения.
Для пояснения отмеченных положений следует рассмотреть
простейшие примеры.
Пусть напряжение, приложенное к индуктивной катушке, неси-
нусоидально. При этом с помощью гармонического анализа уста-
новлено, что если амплитуда основ-
ной гармоники напряжения состав-
ляет 100%, то амплитуда третьей
гармоники—15%, амплитуда пятой
гармоники — 10%. Последующие гар-
моники имеют меньшие значения и не
принимаются во внимание. При оп-
ределении состава гармоник тока ак-
тивным сопротивлением можно прене-
бречь.
Для определения составляющих
гармоник тока ток основной гармо-
ники можно принять за 100%. Тог-
да амплитуда третьей гармоники тока
составляет 15:3 = 5%, амплитуда
пятоц гармоники—10: 5 = 2%. Та-
ким образом, форма кривой тока
оказывается ближе к синусоиде, чем
форма кривой напряжения. Иначе го-
воря, индуктивность как бы сглажи-
вает кривую тока, приближая ее к
синусоидальной форме.
Если принять напряжение на ем-
кости имеющим такую же форму, как
на катушке, то можно показать, что
кривая тока в емкости искажена силь-
нее, чем кривая напряжения. Действи-
тельно, пусть ток основной гармоники составляет 100%. Тогда
амплитуда третьей гармоники тока составляет 15-3 = 45%,' ампли-
туда пятой гармоники—10-3 = 30%. На рис. 13.3, а, б построены
кривые напряжения и тока в емкости за одну половину периода
при указанных соотношениях в амплитудах. Начальные фазы
у всех составляющих напряжения приняты равными нулю, а у каж-
дой гармоники тока начальная фаза равна л/2 (каждая состав-
ляющая тока опережает по фазе соответствующую гармонику
напряжения на угол л/2). Из сравнения кривых напряжения и
тока следует, что форма кривой тока в ветви с конденсатором
отличается от синусоидальной; форма же кривой напряжения на
375
емкости менее искажена. Иначе говоря, емкость искажает кривую
тока и сглаживает кривую напряжения *.
В пределах каждого частичного режима (для каждой гармо-
ники) в электрической цепи могут возникать резонансные явления:
Рис. 13.4
резонанс напряжении при после-
довательном соединении индук-
тивности L и емкости С, когда
XkL = xkc или kaL— X/kaC, и ре-
зонанс токов при параллельном
соединении индуктивности L 'и
емкости С (при малом активном
сопротивлении ветвей), когда
bkL = bkc или 1== Ло>С. .
В таких случаях форма кри-
- вой напряжения (при резонансе
напряжений) или тока (при ре-
зонансе токов) может отличать-
ся от синусоидальной даже при
почти синусоидальных измене-
ниях внешних возмущающих
воздействий. При этом опреде-
ляющей является составляющая
той гармоники, частота которой
стоге собственных колебаний
равна (достаточно близка) ча-
соответствующего эквивалентного
контура. Иногда при резонансе возникают такие нежелательные
явления, как перенапряжения.
Пример 13.1. В неразветвленной цепи, состоящей из активного сопротивле-
ния г-5 Ом, индуктивности L—i мГ и емкости С=1 мкФ, действует неси-
нусоидальная э. д. с.
е = [100 sin ы/+10 (sin 3ert-[-sin 5<и/)] В.
при основной частоте Д = 1000 Гц. Определить ток в цепи.
Решение. Для первой гармоники
xlt=2n/jL=6,3 Ом;
XiC-2nf1C~ 159,3 °М'
Поэтому составляющая тока основной частоты практически определяется
емкостным сопротивлением:
71т = 159 3—6 3 = 0,7 А’ ИЛИ 11=°’7 Sin ( И/ +т)
Составляющая тока третьей гармоники при xst=18,8 Ом и хзс=53,1 Ом
также в большей мере определяется емкостным сопротивлением;
/з'п = 53~1 —18 8=0,3 А’ ИЛИ ‘3==0’3 sin (3
* Активное сопротивление ветви также изменяется при изменении частоты.
Однако эта зависимость определяется более сложными физическими явлениями
и поэтому излагается в теории электромагнитного поля при рассмотрении
поверхностного эффекта.
376
Составляющая тока пятой гармоники при xgJ,=31,5 Ом и лг5С = 31,9 Ом
почти полностью определяется активным сопротивлением, так как I х., —х „ I —
= 131,5-31,91 =0,4 < г: 1 э£ БС1
/м=-^-=2,0 А, или 4=2 sin 5о)< А.
Таким образом, с точностью до пятой гармоники ток в цепи
/ зт \
1 = 4-|-«з4-4=0,7 cos со^+0,3 sin (3 1+2 sin 5<о/.
В результате резонанса напряжений ток пятой гармоники оказывается
значительно больше токов гармоник на других частотах (рис 13 4)
Чем меньше активное сопротивление, тем резче выявляется ’ резонансный
эффект. Кривая результирующего тока i = 4+4 + 4 ПОчти повторяет крив™
тока пятой гармоники. F кривую
§ 13.4. Действующие значения несинусоидальных токов
и напряжений; коэффициенты, характеризующие форму
кривых токов и напряжений
Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
определяют так же, как и для синусоидальных токов и напря-
жений:
г т г т
/= у -L J dt-, + = ]/ $ «2 dt-
о 0
Если представить несинусоидальную периодическую функцию
гармоническим рядом, то
/ =
(со СО >
2 '“e,w- 2
Й=1 k=l
Так как интегралы вида
т
о
а все остальные интегралы равны нулю (каждый из них графи-
чески может быть представлен в виде замкнутой окружности), то ток
/СО
fe = 0
и, следовательно, напряжение
/со
fe = 0
Таким образом, действующее значение тока (напряжения) равно
• квадратному корню из суммы квадратов действующих значений
377
всех гармоник. В случаях нечетных функций постоянная состав-
ляющая отсутствует -и ток
1^УИ + РЪ.Ч,
где слагаемое Д.ч учитывает действие всех высших гармоник.
Иногда для характеристики формы кривых токов (напряжений),
симметричных относительно оси абсцисс, пользуются следующими
величинами: коэффициентом формы, коэффициентом амплитуды и
коэффициентом искажения.
Коэффициентом формы называют отношение действую-
щего значения функции Л к ее среднему (по абсолютной вели-
чине) значению за половину периода Лср:
Кф — ЛМср-
Для синусоидальной функции
/Сф = л/2/2=1,11.
Коэффициентом амплитуды называют отношение мак-
симального значения функции Лтах к ее действующему значению А:
К а — Л rnax/Л.
Для синусоидальной функции /\а = рг2 = 1,41.
Коэффициент искажения определяют как отношение
действующего значения основной гармоники Аг к действующему
значению функции А:
Кп = А^А.
Для синусоидальной функции /<и = 1.
§ 13.5. Мощность при косинусоидальных токах и напряжениях
Мгновенная мощность при несинусоидальных токах и напря’
жениях
р — ui =
(со со ,
У _ 2 Uke-i^
k=i fe=i ,
1
/yl
e-/W
=до/о+-1=У t/0(4^“f-/>^)+
CO
1 ' fe=i
CO
/г, ? = 1
378
Так как при А = <? произведение е/йю/ е-/9о/= 1, то активная
мощность
со СО
Р = С/0/0+у^ = + 2 cos <pft.
й=1 fe=i
В пределах каждой гармоники наряду с понятием активной
мощности Pk = UkIkCOsq>k используют понятия полной Sh = Oklk
и реактивной Qk = мощностей. Суммирование значений
активной мощности можно производить только для характеристики
процессов в цепи, происходящих в течение целого числа периодов
основной частоты. Такое суммирование можно производить как
в пределах каждого частичного режима для одной частоты:
Pkc=^p^
так и для нескольких частичных режимов:
Рс^^с-
Для замкнутой цепи при несинусоидальном режиме PkC = 0;
рс = 0.
Суммирование значений реактивной мощности имеет смысл
только в пределах каждого частичного режима (для определенной
частоты): Qkc = ^Qk- Для всей замкнутой цепи Q*c = 0 (как и
для цепи с синусоидальным током).
§ 13.6. Влияние индуктивности и емкости на форму кривых тока
и напряжения в разветвленной цепи
Зависимость реактивных (индуктивных и емкостных) сопро-
тивлений и проводимостей от частоты может использоваться для
изменения формы кривой тока (напряжения). Часто требуется
выделить действие э. д. с. (тока ис-
точника тока) одной частоты или,
наоборот, устранить действие э. д. с.
(тока источника тока) определенной
частоты. При этом, как уже было
отмечено, учитываются условия ча-
стичного резонанса токов или напря-
жений.
Допустим, что в разветвленной
цепи (рис. 13.5) действуют две э. д. с...
с одинаковыми амплитудами, но с частотами, отличающимися
друг от друга в 1000 раз. Необходимо создать такие условия,
при которых в одной из ветвей ток пропорционален напряжению
с меньшей частотой, а в другой ветви — с большей.
Для решения поставленной задачи достаточно иметь в одной
ветви индуктивность L, а в другой — емкость С. Поскольку
реактивное сопротивление, обусловленное индуктивностью, про-
Рис. 13.5
879
порционально частоте, то при большей частоте оно в 1000 раз
больше, чем при меньшей, а для реактивного сопротивления,
обусловленного емкостью, наоборот. Поэтому приближенно (пре-
небрегая активными сопротивлениями rlf г2 и rs) можно считать,
что в ветви с индуктивностью отсутствует составляющая тока
с большей частотой, а в ветви с емкостью — с меньшей частотой.
Рис. 13.6
Следует также рассмотреть случай, когда в цепи действует
несинусоидальная э. д. с., содержащая весь спектр гармоник.
При этом требуется в одной из ветвей создать такие условия,
при которых ток в ней был бы практически пропорционален э. д. с.
некоторой определенной частоты со*; в другой ветви, наоборот,
необходимо исключить в'озможность появ-
ления токов данной частоты. Для этого в
первую ветвь последовательно включают
катушку с индуктивностью и конден-
сатор с емкостью С* (рис. 13.6), причем
необходимо выбрать их так, чтобы индук-
тивность была достаточна велика, а ем-
кость мала (сравниваются сопротивления
kaL и 1//го;С). При этом собственная частота
колебаний должна равняться заданной частоте, т. е. fk = 1/2л LC.
В таком случае при ak = k(n реактивные сопротивления взаимно
компенсируются; при других частотах одно из сопротивлений
настолько велико, что ток соответствующей частоты практически
отсутствует. Во вторую ветвь параллельно включают катушку
с индуктивностью L2 и конденсатор с емкостью С2. Величину
емкости и индуктивности выбирают так, чтобы при заданной
частоте со* наблюдался резонанс токов. В этом случае при со* =/гео
эквивалентное сопротивление катушки и конденсатора весьма
велико и ток в ветви отсутствует.
Пример 13.2. Найти ток i в схеме на рис. 13.5, если
е2=0; е1 = (304-15 sin cirf-plO sin 3ojZ) В;
г1==1 Ом; г2=0,5 Ом; <о£ = 1 Ом; 1/<оС=9 Ом; г3 — 0.
Решение. Постоянная составляющая тока, замыкающегося через индук-
тивность,
/0 = S0/Z (0) = 30/1,5 = 20 А.
Комплексная амплитуда тока основной частоты
/ _ _ >5______7 6б -/33°36' А
lm~ Z (/со) ~ 1,634-/1,09 е
Комплексное сопротивление цепи для третьей гармоники
(г2+/3<й£)[- / оЛг)
----------------------------- —\----^£2 = 19-/3 Ом.
2(/Зсо) = гх4-
r24-/(3<o£--^j
Комплексная амплитуда тока третьей гармоники
ч •
/ Зт 10 0 52е/8°54'Д
19- /3 , е ’
чяп
^7
Мгновенное значение суммарного тока
i = /0 + fl + is = 20 + 7,65 sin (со7 — 33°36') + 0,52 sin (3<о/ + 8°54') А.
В сравнительно простых схемах установившееся значение
периодической функции тока (напряжения) может быть получено
не только в виде суммы гармоник, но и в более удобной анали-
тической форме, справедливой для определенного интервала,
например для полупериода. Для рассматриваемого интервала
дифференциальное уравнение запи-
сывается относительно искомой функ-
ции (напряжения, тока). Решение
этого уравнения будет содержать
неизвестное начальное значение функ-
ции, которое определяют из условия
периодичности.
Пусть, например, неразветвлен-
ная цепь состоит из последовательно
соединенных активного сопротивле-
ния г и конденсатора с емкостью С. На зажимах цепи действует
знакопеременное напряжение в виде прямоугольных импульсов с
периодом Т (рис. 13.7). Требуется найти закон изменения на-
пряжения на конденсаторе ис и ток i в цепи.
Для первого полупериода справедливо уравнение
uc + rt = U или Uc + rC — U,
решение которого имеет следующий вид:
uc — U-\-Ae~t/rC.
При / = 0 uc = ис (0). 'Следовательно, A = uc(0) — U. Кривая
напряжения на конденсаторе tic, так же как и заданная кри-
вая u(t), симметрична относительно оси времени и должна быть -
непрерывной при наличии емкостного элемента. Таким образом,
«с(Т'/2) = — «с(0), что приводит к уравнению
Uc (т) = U + (°) - е~т'2гС = - UC (0),
откуда ’
р-а___________________________________1
где а = Т/2гС.
Окончательное выражение для напряжения на конденсаторе
в первом полупериоде имеет вид
где х~гС.
Так как ток в цепи выражается, через напряжение по фор-
. d up
муле t = получаем
. U U 2е«
/, г" —— .. •• ------о z/т
г(1+е“а) г (1+е«)с
381
В течение второго полупериода кривые напряжения ис и
тока i имеют тот же вид, но противоположные знаки. Получен-
ные выражения для «с и i определяют решения в замкнутой
форме.
§ 13.7. Не синусоидальные режимы в симметричных
многофазных цепях
Для анализа процессов в многофазных цепях целесообразно
рассмотреть симметричные трехфазиые цепи, в которых условия
возникновения и существования высших гармоник одинаковы для
всех фаз, что возможно, например, при включении одинаковых
нелинейных элементов в каждую из фаз симметричной много-
фазной цепи (между каждой фазой и нейтралью) или в трехфаз-
ных генераторах с симметричной магнитной системой, а также
при симметричном расположении обмоток и одинаковом числе
витков. Кривые Изменения во времени фазных токов (напряже-
ний) одинаковы по величине, но сдвинуты по фазе на (s/w)-K> часть
периода основной частоты, если s — любое целое число, а т —
число фаз. На частоте k-й. гармоники этот сдвиг по фазе уве-
личивается в k раз.
Для симметричной трехфазной цепи (Ло = 0) параметры режима
можно записать в следующем виде:
для фазы а
СО
для фазы b
СО
‘ k=—со
для фазы с
СО
k= —СО
где а — е 3 —оператор поворота вектора на комплексной плос-
кости или оператор изменения аргумента комплексного числа.
Так как «3s = l, то при k = 3s соответствующие гармоники во
всех фазах совпадают не только по величине, но и по фазе,
т. е. в любой момент времени имеют одинаковые мгновенные
значения. Следовательно, эти величины составляют систем)? нуле-
вой последовательности. Аналогично при & = 3s~}-I получается
система величин прямой последовательности, а при k = 3s 4- 2 —
система величин обратной последовательности.
Таким образом, в симметричной трехфазной системе вторая
гармоника величин составляет систему обратной последователь-
ности, третья — нулевой, четвертая — прямой, пятая — обратной,
382
шестая — нулевой и т. д. Распределение этих гармоник в много-
фазной цепи происходит в соответствии с указанными условиями
для составляющих разных последовательностей. Во многих слу-
чаях в напряжениях генераторов и трансформаторов отсутствуют
не только постоянные составляющие, но и все четные гармоники.
Поэтому в дальнейшем рассматриваются только нечетные соста-
вляющие. Если обмотки трехфазного генератора соединены звез-
дой то при несинусоидальном фазном напряжении линейные
напряжения, равные разностям соответствующих фазных напря-
жений, не содержат гармоник, кратных трем, так как они
образуют нулевую '’последовательность и при вычитании их раз-
ность равна нулю. Поскольку в линейных напряжениях отсутст-
вуют гармоники, кратные трем, то отношение линейного напря-
жения к фазному меньше У 3. Действительно, если фазное
напряжение Пф = К^1 + ^з + ^в + ---, то линейное напряжение
ил = узуи1 + и1 + ..., откуда UjU^<УЗ.
При симметричной нагрузке, соединенной звездой, фазные'
токи основной составляющей и всех высших гармоник, за исклю-
чением гармоник, кратных трем, образуют системы прямой и
•обратной последовательностей и их сумма равна нулю. Гармо-
ники порядка, кратного трем, образуют систему нулевой после-
довательности и при наличии нейтрального провода создают
в нем ток, равный утроенной сумме токов высших составляющих
нулевой последовательности (рис. 13.8):
^ = ЗГ71 + Д + Л3 + ....
При отсутствии нейтрального провода токи нулевой последо-
вательности в каждой из фаз равны нулю. Поэтому между
нейтралями генератора и симметричной нагрузкой возникнет
напряжение
^=У^+(Л+^1В+..., '
где Ua, (j** П1Б, ... — напряжения третьей, девятой, пятнадцатой
и т- д. гармоник фазного напряжения генератора. При соедине-
нии фаз трехфазного генератора треугольником сумма э. д. о,
основной и гармоник, не кратных трем, всегда равна нулю.
383
Так как гармоники э. д. с. генератора, кратные трем, равны
друг другу и совпадают по фазе, то их сумма равна утроенной
величине высших гармоник порядка, кратного трем. Для изме-
рения этих гармоник можно разомк-
нуть обмотки генератора и между дву-
мя концами включить вольтметр (рис.
J3.9), который и покажет искомую э'. д. с.
^=зу^+^+^+.„.
Если обмотки генератора соединить
в треугольник (рис. 13.10), то э. д. с.
нулевой последовательности вызывают
внутренний ток в обмотках генератора.
Этот ток существует и при отсутствии
нагрузки, т. е. при разомкнутой внеш-
ней цепи. При этом напряжения на зажимах треугольника не
имеют составляющих нулевой последовательности, так как э. д. с.
нулевой последовательности, вызывающие ток в треугольнике,
равны падениям напряжений на внутренних сопротивлениях об-
моток генератора. В данном случае
£/Ф = ия=yui+L4+u^+...:
Если к зажимам обмоток генератора (рис. 13.10), соединенных
треугольником, присоединить нагрузку, то вследствие отсутствия
в напряжениях гармоник нулевой последовательности токи
во внешней цепи не имеют гармоник, кратных трем. При сим-
метричной нагрузке
= /Д + Д + Д+...; Л=уз УЛ+Д+Л+. .. •
Таким образом, отношение линейного тока к фазному
/л//Ф<Уз.
В несимметричной трехфазной системе токи (и напряжения)
фаз каждой из гармоник могут быть несимметричными. При этом
разложение системы токов (напряжений) каждой гармоники на
симметричные составляющие в общем случае приводит к возник-
новению токов (напряжений) всех трех последовательностей.
г Л А В A 14
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ
§ 14.1. Основные понятия и определения
Электрическим фильтром называют четырехполюсник,,
предназначенный для выделения (пропускания) сигналов опреде-
ленной (заданной) частоты.
Существуют различные способы классификации фильтров.
В зависимости от пропускаемого спектра частот фильтры под-
разделяют на четыре основных вида:
1) фильтры нижних частот (низкочастотные) — ФНЧ, про-
пускающие сигналы в диапазоне частот от ач = 0 до (рис. 14.1, а);
2) фильтры верхних частот (высокочастотные) — ФВЧ, про-
пускающие сигналы в диапазоне частот от <ах до со2 = оо(рис. 14.1,6);
3) полосовые (полосно-пропускающие) ПФ, пропускающие
сигналы в диапазоне частот от ач до <в2 (рис.. 14.1, в);'
1------—---------- I--------------------------2?
a) ff)
I—_---------------I-------------------------------
в)
Рис. 14.1
4) заграждающие или режекторные (полосно-задерживающие)
ЗФ, • пропускающие сигналы в диапазоне частот от 0 до 04 и
от <в2 до оо (рис. 14.1, г).
В зависимости от типов элементов, из которых составлены
фильтры, их делят на: «
. а) реактивные, состоящие из элементов L и С;
-б) пьезоэлектрические, состоящие главным образом из квар-
цевых пластин;
' в) безындукционные пассивные, состоящие из элементов г и С;
г) активные rC-фильтры и др.
Очень часто фильтры классифицируют по способу соединения
элементов: Г-,Т-,П-образныр, мостовые и др. По виду частотных
характеристик фильтры подразделяют на фильтры типа k\i т.
Каждый фильтр должен удовлетворять определенным требова-
ниям, которые проще всего установить применительно к идеаль-
ному низкочастотному фильтру.
На рис., 14.2 фильтр условно, изображен в виде четырехполюс-
ника с напряжением на входе и сопротивлением нагрузки ZH
Цри напряжении на выходных зажимах Й2. Пусть фильтр пропу-
скает сигналы низкой частоты от и»г = 0 до и» = <в2. Комплексный
13 п/р. Иоикииа, т. I 385
коэффициент передачи напряжения
К (» = U^lUr = U2/(AU2 + Bi2) = ZB/(AZa + В), (14.1)
где А, В, ZH — параметры, зависящие от частоты.
Комплексный коэффициент передачи можно представить в виде
Д(/со) = ЙГ(со)е>г^а\ (14.2)
где Д’ (со) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); <р (со) —
фазо-частотная характеристика (ФЧХ). В полосе пропускания
для идеального фильтра справедливо равенство Ui= U2, т. е. Д’ (со) =<
сложной формы не должен искажаться.
этом сигнал
п
Если напряжение на входе — У, Ukm sin (ka^t 4- фй) для под
Й = 1
то сигнал не искажается, при Д’ (со) = 1
т. е. при линейной фазочастотной характеристике,
сдвйг фаз /г-й гармоники равен —т/гсо;
а
и ср (со) = — тсо,
Действи-
тельно, сдвиг фаз /г-й гармоники равен —т/год, что эквива-
лентно сдвигу во времени —тйсо1/^со1 = — т. Иначе говоря, каждая
гармоника, проходя через фильтр, запаз-
дывает на одно и то же время т, поэтому
форма сигнала не меняется. На рис. 14,3,а, б
даны амплитудно-частотная и фазочастот-
ная характеристики фильтра. Для идеаль-
’ ного фильтра вне полосы пропускания сиг-
налов Д’ (со) = 0 и форма фазочастотной
характеристики может быть любой.
При согласованной нагрузке комплекс-
ный коэффициент передачи напряжения
Д (/со) = (Ji/ili = e~s = е-ае-^ь.
В полосе пропускания -коэффициент
Затухания а = 0, а коэффициент фазы b
изменяется по линейному закону (рис.
14.4, а, б). Если в полосе пропускания
Д’ (со) зависит от частоты, а ФЧХ не ли-
амплитудные и фазовые искажения. На рис.
щейна, то возникают
14.5, а показана кривая изменения мгновенных значений напря-
386
жения на входных зажимах фильтра иг от времени, определяемая
следующим выражением:
«х = sin at-J-у sin Зсо/.
Пусть на выходных зажимах напряжение вследствие влияния
параметров четырехполюсника определяется в одном случае
{рис. 14.5, б) так:
Wa — sin со/ -ф у sin Зю/,
а в другом случае (рис. 14.5, в) — уравнением
«2 = sin{oZ—|-sin3<oZ.
О /
Кривая «2 на рис. 14.5, б иллюстрирует амплитудные иска-
жения, вызванные изменением амплитуды третьей гармоники,
а) 6) 6)
Рис. 14.5
а кривая иЪ на рис. 14.5, в —фазовые искажения, вызванные
изменением фазы третьей гармоники.
§ 14.2. Симметричные реактивные фильтры
Как уже известно, симметричный четырехполюсник характе-
ризуется следующими коэффициентами:
4=D~chg; 5=Zcsh£; С=Л. (14.3)
z,c
В свою очередь характеристическое сопротивление Zc и посто-
янная передачи g определяются через коэффициенты четырехполю-
сника по формулам
Zc = VB/C; (14.4)
eg = A+]/rBC или chg = A. (14.4а)
Пусть фильтр составлен из чисто реактивных элементов (инду-
ктивных катушек и конденсаторов без потерь). Простейшие сим-
13*
387
метричные фильтры имеют Т-образные (рис. 14.6, а) и П-образные
(рис. 14.6, б) схемы. Коэффициент А- для этих схем имеет одинако-
Рис. 14.6
вое выражение, которое, например, для схемы на рис. 14.6,.а на-
ходим с помощью топологической формулы, учитывая, что 12—0:
2 2
t/2 1 Z~ZT i
О,-А 2X2 ~ YTZT>
\Yt+TtITt *+“2~
откуда •*
Д = 1+^ф- (14.5)
Аналогичным способом получаем выражение для того же коэф-
фициента для схемы на рис, -14.6, б:
А = 1+^. (14.6)
Из выражений (14.5) и (14.6) следует, что коэффициент А
не может принимать мнимых значений (проводимости Yn, Yt
и сопротивления Zn, Zy —мнимые числа), поэтому уравнение
А = ch (а+jb) = ch a cos b -j- j sh a sin b
распадается на два:
sh a sin ft — 0; . (14.7)
ch a cos b = A = 1 +^p (14.8)
Эти уравнения имеют два решения.
Первое решение определяется условием, при котором sh о — 0,
и, следовательно, а = 0, что соответствует полосе пропускания сигна-
лов или, как иногда ее называют, зоне прозрачности. При этом
ch а =1 и из уравнения (14.8)
cosb = A = l+^. (14.9)
Полученное уравнение показывает, что знаки мнимых величин
Y и Z должны быть одинаковыми: если одна из них имеет индук-
388
тивный характер, то другая величина должна быть емкостной.
Диапазон частот, удовлетворяющих уравнению (14.9), определяется
соотношением
-1^1 + ^ 1,
поэтому частоты, являющиеся граничными для полосы пропу-
скания, могут быть найдены из равенств
-"Vz = 0;-.- FZ = 4. (14.10)
Первое равенство определяет частоту, при которой закорачи-
ваются продольные сопротивления Z и размыкаются поперечные
проводимости У четырёхполюсника, — приемник оказывается как бы
непосредственно присоединенным к источнику. Второе равенство
определяет частоты, при которых каждая половина четырехполюс-
ника, составленная из половины продольного сопротивления и
половины поперечной проводимости, находится в режиме резонанса
напряжений:
Z/2 + 2/F = 0,
откуда
yZ4-4 = 0.
Характеристическое сопротивление схем зависит от частоты,
так как, согласно формуле (14.4), связано с коэффициентами
четырехполюсника. Для Т-образной схемы
. гсГ==Ув/С = К(4г-1)/С;
для П-образной схемы
Zctl = VBiC = УВ2/(Л2- 1).
Выразив сопротивления Zct и Zcn четырехполюсника через
его коэффициенты, учитывая при этом (14.5) и (14.6), можно
получить:
= = (Й-H)
= (14-12)
Из последних выражений видно, что в полосе пропускания,
для которой, согласно (14.10), 0«£ — ZV=<4, характеристическое
сопротивление является чисто активным, причем с изменением
частоты оно меняется в пределах от 0 до VZ/Y для Т-образной
схемы и от [ZZ/Y до оо для П-образной схемы. Это означает,
что фильтр не может иметь одинаковый коэффициент передачи
для всех частот полосы пропускания, если сопротивление
приемника не изменяется.
-Если, в частности, отношение Z/Y фильтра не зависит от
частоты и является вещественным числом, то в выражениях (14.11)
389
и (14.12) от частоты зависит только произведение ZY. Экстремаль-
ное значение произведения и, следовательно, экстремальное значе-
ние Zc определяется из условия
^(ZY) — YZ'-{-ZY' = O.\
Но так как Z/Y не зависит от частоты, то
d { Z\ YZ'—ZY'
da\YJ~ F2 —
откуда YZ' = ZY' и, следовательно,
2YZ' = 2Y'Z~0 или Z = 0, У = 0.
При этом экстремальное значение Zc (максимальное для Т-образ-
ной и мйнймальное для П-образной схем) оказывается одинако-
вым для обеих схем и равным Z/Y = k, где k — вещественное
число, не зависящее от частоты. Сопротивление приемника выби-
рают равным этой величине, поскольку вблизи своего экстремаль-
ного значения характеристическое сопротивление Zc медленно
меняется'Р изменением частоты. В полосе пропускания изменяется
и коэффициент фазы Ь, знак которого можно определить с помощью
соотношений
B/Zc = sh g = sh (a+jb) = CZc,
откуда (при a = 0) j sin b = CZc — YtZct или j sin b = B/Zc = Zn/Zcn.
Таким образом, знак коэффициента фазы b равен знаку про-
дольного сопротивления Z (поперечной проводимости У).
Второе решение уравнений (14.7) й (14.8) определяется усло-
вием sin 6 = 0. Так как chaJSsl, то cos 6 = —1, а уравнение (14.8)
записывается в виде
<±а = — А = — (1+^). (14.13)
В этом случае коэффициент затухания а Ф 0, что соответствует
полосе задерживания сигналов (зоне затухания). Границы этой
полосы определяются из соотношения
откуда
-VZ = 4; — yZ = oo.
Последнее равенство приводит в схеме фильтра к разрыву
продольных сопротивлений и к короткому замыканию поперечных
проводимостей. Поскольку в этом случае Л2—1 =ch2a—l^O,
то согласно формулам (14.11) и (14.12) характеристическое сопро-
тивление в зоне затухания становится чисто мнимым и имеет
разные знаки для П- и для Т-образных схем.
Знак реактивного характеристического сопротивления можно
определить, исходя из следующих рассуждений:
890
1. Чем больше затухание, тем меньше напряжение и ток
приемника.
2. Напряжение и ток на входе фильтра мало изменяются, если
в Т-образной схеме нагрузку отключить (/2 — 0), а в П-образной —
замкнуть накоротко (t?2 = 0). При этом входное сопротивление
имеет такой же характер, как и Zc (для данной частоты), что
подтверждают формулы (14.11) и (14.12), если пренебречь еди-
ницей по сравнению с A2 —ch2 а:
A 1+~2Ytzt
YT
z
1
7~
T
(14.14) •
zn
Zn
Zen — — YnZn
л . , 1 nLn
1
'п , = Zbx/7.
2 2 + Zn
§ 14.3. Фильтры типа k
Фильтры нижних частот. Фильтрами типа k. называют такие
фильтры, у которых сопротивления Z и 1/У в Т- и П-образных
схемах представляют собой взаим-
но обратные двухполюсники, т. е.
Z/Y —
На рис. 14.7, а, б изображены
простейшие Т- и П-образные схемы
фильтра типа k низкой частоты. В
этих схемах Z — jtaL и Y — jaC. Гра-
ничные
скания
частоты для полосы пропу-
определяют из (14.10):
0
4’
b
а
4 [Я
J -
2 - —
z г »
1
О
2
. Ъ
7t
— YZ — cd2LC —
откуда
о»! = 0; <в2 — 2/УLC—ю0.
U,
0-
L/2
йс =|=/?
L/2
4
L.
C/2=i= 0/2.
а)
Рис.
6)
14.7
0,5 1,0 1,5 2,0 со/ш0
°)
реактивное
7-c
/ LCT
f^индуктивное)
активное
zcn
W/W<7,
7
7
7
0
0
0
/ Lcn
/ (емкостное)
I/
S)
Рис. 14.8
Фильтр нижних частот пропускает сигналы при изменении ча-
стоты от 0 до сор. На рис. 14.8, а показаны зависимости а и b от о)/го0
391
в полосе пропускания (а = 0) и задерживания (а О) для
фильтра нижних частот.
Характеристические сопротивления для Т- и П-образных схем
определяют по формулам
<l4-ls>
V «о
На рис. 14.8, б по этим уравнениям построены графики зави-
симости сопротивлений Zcr и Zcn от <о/соо. В полосе пропускания
характеристические сопротивления являются активными для обеих
схем, следовательно, при согласовании фильтров нагрузка должна
быть тоже активной. На частотах выше резонансной, т. е. в по-
лосе задерживания,-сопротивление Zc?- носит индуктивный, а сопро-
тивление Zcn — емкостный характер.
Для решения задачи, связанной с определением параметров
фильтра, должны быть заданы следующие величины:
®2 = ®0 = 2/J/LC;
L/C,
откуда легко определить параметры L и С фильтра.
Пример 14.1. Построить векторную диаграмму для Т-образного фильтра
нижних частот’ при работе в- полосе пропускания и задерживания’ (см.
рис. 14.7, а), если £=0,02 Г, С=5 мкФ, 1/2=13 В, частота в полосе про-
пускания сопротивление нагрузки r2=Zc, а в полосе задерживания
<02=2(00 при прежнем значении г2.
Решение. Резонансная частота
2 2
<ор= ,— = ------=5000 рад/с.
/£С И0,02-8- 10-е
Следовательно, <о1=2500 рад/с; со2=1ОООО рад/с.
Определим входные сопротивления фильтра при разомкнутых и закорочен-
ных зажимах:
^=/<0x4 + -^=-/25 Ом,
Z1K = /25 +2|±zgL= /75 Ом.
Сопротивление нагрузки
/•a==Zc =/Z^Z^=K(— /25) /75=25 Из Ом,
ток
/8 = Г2/Л2 = 13/25 Из=0,3 А.
392
Из схемы фильтра при <о1=2,5-103 рад/с находим:
дг 72=13+/7>5 В:
/с = Гс/(-/хс) = -^±§£=-0,15+70,26 А;
/—
/1==/2 + /с=0,3—0,15+/0,26 = 0,15+/0,26=0,Зе 3 А;
йг== 67С+7Ю1 ± /х = 13 + /7.5+/25 (0,15 + 70,26)= 13е'3 В. -
Векторная диаграмма схемы при работе в.полосе пропускания данана
рис. 14.9, а. .
Проведем аналогичные вычисления для <о2=Ю4 рад/с:
ЙС = Й2+7<в2 ± /2= 13+7100. 0,3= 13 + 730 В;
• 1
/1==4+/с = 0,3-2,4+71,04=—2,1 + 71,04^2,34е'153036' А;
T71= Йс+7<о2 ^4= 13+/3°- Ю4-/210=- 91-7180 201,6е-'114°48' В.
По этим результатам на рис. 14.9,6 построена векторная диаграмма при
работе схемы в полосе задерживания.
Векторные диаграммы фильтра наглядно
показывают связь между напряжениями и
токами на входных и выходных зажимах
фильтра. В полосе пропускания а = 0,
171 = 172, /х = /2 (рис.. 14.9, а). В зоне за-
тухания UL > Ifa /1 > /2, несмотря на от-
сутствие активных сопротивлений, в ветвях
фильтра (рйс. 14.9, б).
Фильтры верхних частот. На рис.
14.10, а, б показаны Т- и П-образ-
ные схемы фильтров типа k, пропу-
скающих сигналы верхних и задер-
живающие сигналы нижних частот.
Для этих схем справедливы сле-
дующие выражения:
Z — 1//<оС; Y — 1/jaL; '
-YZ--L- = P
<&LC U*
Полоса пропускания (прозрачно-
сти) лежит в границах
1
= °0’ “2 = СО.
На рис. 14.10, в показаны зависимости а и b от <о/<оо в полосе
пропускания и задерживания для фильтра верхних частот.
393
Из уравнения (14.9) получаем
cos b = 1
1______1 ___о ю°
2гоаДС со2
При го = со 6 = 0, при со = го0 cos b ——1, следовательно, Ъ =— л.
Характеристические сопротивления для Т- и П-образных схем
определяются по формулам
Zcr=]/L/Cy 1-Н/го2);
zcn L/C (]Л - Н/<о2))-Ч
(14.17)
На рис. 14.10,г построены графики зависимости характери-
стических сопротивлений Z,_t и Zcn от ю/<в0. В полосе пропуска-
ния эти сопротивления являются активными. При этом если
сопротивление Zcn изменяется от со до У L/C, то сопротивление
Zct от 0 до У L/C. Для согласования фильтра с нагрузкой сопро-
тивление нагрузки должно быть активным и меняющимся при
изменении частоты в соответствии с кривыми на рис. 14.10, а.
В полосе задерживания характеристические сопротивления
Zcn и Zct являются реактивными и имеют разные знаки, причем
сопротивление Zcn носит индуктивный, а сопротивление Zct —
емкостной характер.
Полосовые (полосные) фильтры. Если схемы фильтра на
рис. 14.7 и рис. 14.9 как бы электрически совместить друг с дру-
гом, то полученный фильтр будет пропускать сигналы в диапа-
зоне изменения частоты от ©j до юа. На рис. 14.11, а, б изобра-
394
жены две такие схемы, имеющие соответственно Т- и П-образные
формы. Чтобы при одной и той же частоте стали равны нулю
продольные сопротивления Z (резонанс напряжений) и попереч-
Рис. 14.11
ные проводимости Y (резонанс токов), необходимо выполнить
условие, определяющее частоту
<oo = --U= ='2=, (14.18)
KLiCi Г£2С2’ '
при котором L1C1 = L2C2.
При рассмотрении схем на рис. 14.11, а, б с учетом уравне-
ния (14.18) можно получить выражения для Z и Y в виде
£=/<0^+ * =/T/’
'Г СЛюо и Г (14 д9)
Y = /(оС2 +-Ц- = j t/’-S. .
1 2 1 /coL2 1 r £2 \ <oo to }
Уравнение, определяющее границы полосы пропускания
фильтра, имеет вид
- ZY = (— - —Г =4л •
V C1L2 \ «>о (0) (4
. Одним из решений этого уравнения является уже найденная
частота соо. Остается решить уравнение
(14.20)
Cl \ <00 <о ) 7
ИЛИ
<о2 ± 2ююо ]/Л2С1 — со» — 0.
Если опустить отрицательное значение частоты, как не имею-
щее смысла, то
ю1 = ©о(/п2+1- п); (14.21)
®2 = ®0 (К«2 + 1 + «)»
где
п ~ (Оо L2Ci == L^/Lin
S95
Из полученных выражений следует, что фильтр пропускает
сигналы при изменении частоты от 04 до со2 (рис. 14,12, а).
Частота <оо оказывается промежуточной, поскольку она равна
среднему геометрическому из граничных частот, т. ё. <о0 = фЛ<в1(о2.
Частотную зависимость коэффициента затухания а в полосе
подавляемых частот находим с помощью выражения
ch«=|l+^| = |l-^-(-J--^)2|. (14.22)
По этому уравнению на рис. 14.12, а построена частотная
характеристика а (<о/юо) для рассматриваемого полосового фильтра.
Зависимость коэффициента фазы b в полосе пропускания
определяем по соотношению
cos 6 = 1--£-(— --^Y. (14.23)
2Сг \ а>о <о ) '
При изменении частоты от <оо до со2 характеристика b (<о/юо)
аналогична фазовой характеристике, фильтра нижних частот (см.,
рис. 14.8, а), коэффициент b меняется от 0 до л (рис. 14.12,6).
При изменении частоты от од до <оо характеристика Ь(ю/<»0) ана-
логична фазовой характеристике фильтра верхних частот, при
этом b изменяется от — п до 0.
Для получения более полной характеристики режима работы
полосового фильтра необходимо выяснить закон изменения харак-
теристических сопротивлений в обеих схемах (см. рис. 14.11, а, б).
Характеристические сопротивления полосовых Т- и П-образных
фильтров можно найти с помощью общих уравнений (14.11) и
(14.12).
Пользуясь этими уравнениями и учитывая (14.19), получим:
= <14-24’
<14'25>
396
Зависимость характеристического сопротивления от со/<йо
показана на рис. 14.13, а. В полосе пропускания это сопротив-
ление является активным, при
этом в области, непосредственно
примыкающей к резонансной ча-
стоте, • оно мало изменяется с ча-
стотой и равно ]/ Ьъ/Сх. В обла-
сти низких частот сопротивление
Zct имеет емкостной, а при часто-
тах, больших сй2, — индуктивный
характер. Зависимость характе-
ристического сопротивления Zcn
изображена на рис. 14.13,6, при
этом, так же как сопротивление
Zct, в зоне прозрачности оно яв-
ляется активным.
Пользуясь полученными соот-
ношениями, можно найти расчет-
ные формулы для определения па-
раметров Li, Ci, Lz, С2 полосо-
вого фильтра. Прежде всего за-
даемся сопротивлением нагрузки
/?2, равным характеристическому
сопротивлению фильтра . при ча-
стоте <о0, т. е. Rz = ]/rL2/C1. Затем
по известной разности частот устанавливается следующая связь:
(01 = 2(0о А2С1 = -р р
откуда i
с ________?_____
2 /?2(<О2—(0,) “ -
1
I г — (Oi(o2:
Ь2<->2
^(7
О
о
активное
I /Wt/UJof
/а>
-8?
^7
а)
'6)
Рис. 14.13
/>
&
, Индуктивность Л2 находим из выражения g>o =
7?а (ю2— ю1)
2<01<в2 •
L% — 1/^С2 —
= /?2, то
Li — С2Т?|
27?2
й>2— “1 ’
с — 1 = юг~ю»
1— го|£1 — 2Rtfi>1a2 ’
Заграждающие (режекторные) фильтры. Если в схемах поло-
совых фильтров типа k поменять местами параллельно и после-
довательно соединенные ветви из емкостей и индуктивностей, то
в полученных схемах фильтров (рис. 14.14, а, б) при частоте <оо
можно получить разрыв продольных сопротивлений Z и короткое
397
замыкание поперечных проводимостей У. Для этого необходимо
выполнить условия
L1C1 = L2C2; <oo=1/]/ZA=1//IA.
В этом случае
„ 1 j(£>Lt v 1 _ /<оС2
. ~ , 1 “ 1 ®2 ’ • г , 1 1 ®2 *
/ГОС.Ч Г—г- 1--у /(0Ь2-|—1-------г
' /соМ со^ ' 2 г /соС2 со2
Границы полосы пропускания находим из уравнений
*7Д7 «ЯГ1С2 __А. \Г"7_ __л
гГ~Л_^.\2 и’ Л_ <02 у *
\ «и J \ юо У
*
Из первого уравнения
(о = 0; со = оо,
из второго уравнения
т,=ю.(Г-?+Т->.); 1 (1426)
(02 =(00(ргп24-1 + и), .
f/"ДС2 ' 1 1 Г У-1 Т1 "
где п = 4 = -j- I/ Из полученных выражении следует,
что фильтр пропускает частоты от 0 до oij и от сой до оо. Полоса
задерживания расположена между частотами со2 и со,, причем
Юо=®2®1- Уравнение фазовой характеристики фильтра в полосе
пропускания имеет следующий вид:
cos Ъ = 1------г-^------тй-. (14.27)
\<Оо <0 У
Уравнение, определяющее затухание фильтра в полосе задер-
живания, записывается в виде
cha =
_____сор \2
<0 у
(14.28)
398
На рис. 14.15 в соответствии с (14.27) и (14.28) построены
частотная [а (<о/<во)1 и фазовая [Ь (<о/соо)] характеристики заграж-
дающего фильтра.
Характеристические сопротивления для схем заграждающего
фильтра на рис. 14.14, а, б определяются по формулам
(14.29)
На основании этих выражений, на рис. 14.16, а, б построены
зависимости Zct и Zcn от <о/<оо.
Если принять сопротивление нагрузки равным характери-
стическому сопротивлению заграждающего фильтра при частоте’
<оо, т. е. 7?2 = У^2/С1, то, аналогично полосовому фильтру, можно
получить следующие форму-
лы для определения парамет-
ров заграждающего фильтра:
г ___ Rj .
2 2(го3—и2)’
q ____2 (ю3 — соа) .
2 Rrfs>rfs>s ’
J 2^?2 (to3 — tOg) .
1 — <0а(03 *
§ 14.4. Фильтры типа m
Одним из наиболее существенных недостатков фильтров типа k
является зависимость характеристического сопротивления от ча-
стоты (см. рис. 14,8, 14.10, 14.13). Поэтому согласовать фильтр
399
Z/2^/2
0 f I_____i~
1 j 2
1‘ Т 2'
0----* 0
Рис. 14.18
с нагрузкой во всей полосе пропускаемых частот’ не представ-
ляется возможным,. в результате* чего при несогласованной на-
грузке характеристика затухания от
частоты ухудшается. В качестве при-
мера на рис. 14.17 изображены харак-
теристики затухания (при согласо-
ванной и несогласованной нагрузках)
фильтра нижних частот. При несо-
гласованной нагрузке характеристи-
ка затухания ухудшается и в полосе
пропускания, и в полосе задержива-
ния. Кроме того, характеристика за-
тухания вблизи граничной частоты ю0
имеет недостаточную крутизну. Для увеличения крутизны харак-
теристики иногда применяют многозвенные фильтры, что обычно
приводит к существенному усложнению схемы. Отмеченные недо-
статки можно в некоторой степени уст-
ранить, если применить схемы фильтров
типа т.
Для определения параметров такого
фильтра целесообразно рассмотреть Г-об-
разное несимметричное звено, представ-
ляющее собой со стороны входных зажи-
мов (рис. 14.18) как бы половину П-образ-
цого, а со стороны выходных зажимов —
Т-образного симметричного звена. Други-
ми словами, Т-образную схему получают
при соединении зажимов 1 — Г двух Г-образных звеньев
(рис. 14.19, а), а П-образную — при соединении зажимов 2 — 2'
тех же двух звеньев (рис. 14.20, а). При этом для удобства даль-
нейшего анализа продольное и поперечное сопротивления несим-
метричного Г-рбразного звена обозначены соответственно через
Рис. 14.19
Zx/2 и 2Z2 (см. рис. 14.18), что в симметричной Т-образной схеме
приводит к обозначениям параметров, указанным на рис. 14.19, б,
а в П-образной схеме —к обозначениям, указанным на рис. 14.20, б.
На рис. 14.21, а показано Г-образное звено фильтра типа т,
параметры которого необходимо определить. Пусть Zlm = mZi,
где 0 <Z т <Z 1. Величину поперечного сопротивления 2Z2m опре-
400
делим из условия, при котором характеристическое сопротивле-
ние ZcTm остается - равным характеристическому сопротивлению
Г-образного фильтра типа k, т. е. ZcTm = ZcT (см. рис. 14.18).
Приравнивая выражение (put. 14.21, а)
zcTm~Vz^y-1+{%
к выражению (см. рис. 14.18)
zcT=Vz^2
и учитывая Zim = mZ1, получим
Z2m = § + (l-m2)^. (14.30)
Из этого выражения следует, что поперечное сопротивление
состоит из двух последовательно соединенных сопротивлений, т. е.
а) б)
Рис. 14.21
получается Г-образный, так называемый последовательно-
производный фильтр.
На рис. 14.21, б, приведена схема Г-образного последовательно-
производного низкочастотного фильтра, имеющего следующие па-
раметры:
^2 =/шт
2 . (1—т2) (14.31)
2^2m = 7comC"^^ 2т ’ .
Граничные частоты полосы пропускания определяем из условий
Zim = 0,
401
откуда1
и = о1 = 0 и |f-’“| = 4,
1 I
ИЛИ
I ^1и| = I 4Z2m |>
_ , 1(1—m2) coL 4 I
t. e. omL — ---------------7. , откуда
[ m maC( J
co = (o2 — 2/YlC.
Из полученных выражений следует, что полоса пропускания
фильтра типа т совпадает с полосой пропускания фильтра типа' k.
На рис. 14.22 дано графическое опре-
деление полосы пропускания.
Для определения коэффициента за-
тухания а в полосе задерживания при
о>>ю2 можно воспользоваться уравне-
нием (14.8), которое при разных знаках
комплексных сопротивлений Z± и Z2 (как
и в полосе пропускания), но при
| Zj 15s 41Z2 | приводит к выражению
или
(14.32)
Из этого уравнения, учитывая chcz+1 = 2ch2(cz/2), получаем
выражение
<14-33>
которое применительно к фильтру типа т записываем в виде
<1434>
Из выражения (14.34) следует, что при частоте, определяемой
из уравнения
Л 7 ___ I О _ 4 I ___р
2т | т тшС | ’
т. е. при
2 со,
(0от = г_г___= — 2 ,
VLCVl—m? /1-т2
коэффициент затухания а имеет бесконечно большое значение.
На рис. 14.23 показаны характеристики сг(со) для различных зна-
чений т. Чем меньше параметр т, тем более резко растет зату-
хание вблизи граничной частоты, но при этом коэффициент зату-
хания а уменьшается в области частот со > co^. При т — 1 фильтр
402
типа т преобразуется в фильтр типа k. Для частот
сопротивления Zlm и Z2m имеют одинаковые знаки, поэтому для
определения величины затухания в этом диапазоне следует вос-
пользоваться выражением
shf-/RS <|4-35>
вместо (14.34), так как последнее справедливо только для схемы
с комплексными значениями Zlm и Z2m, имеющими разные знаки.
Выражения для характеристи-
ческого сопротивления при различ- d
ных значениях параметра т имеют
разный вид. На рис. 14.24 изобра-
жены кривые изменения характе-
ристического сопротивления ZcHm
со стороны входных зажимов Г-об-
разного фильтра (рис. 14.21, б) для
различных значений т. Эти кривые 0
построены по уравнению (14.12), в
котором Z = Zlm и y=l/Z2m. При
/п = 0,6 величина характеристиче-
ского сопротивления Zcnm в боль-
Рис. 14.23
шей части полосы пропускания ближе к значению характеристиче-
ского сопротивления фильтра, равного ]/£/С, чем при т=1. Это
означает, что режим работы фильтра при указанных параметрах
в большей части полосы пропускания будет близок к режиму согла-
Рис. 14.24
Рис. 14.25
сованной нагрузки, если сопротивление нагрузки выбрано равным
УПс.
Если в схеме Г-образного фильтра (см. рис. 14.21, а) принять
Z2m—.Z2/m, то сопротивление Zlm можно определить из уравне-
ния Zcnm = Zcn, т. е.
V1 +fe=' /1 +5?
403
откуда
или
11 .1 (1-m2)
Zlm т^1 ‘ Z2 4ffl
2 2_ l^m2
Zlm mZx ' 2Z2m ’
(14.36)
Из полученного выражения следует, что если сопротивление
поперечного звена принять равным 2Z2m = IZjm = 2ЦитС, то про-
дольная . проводимость, равная обрат-
ной величине продольного сопротивле-
ния 2/Zlm, должна состоять из двух
параллельных ветвей с параметрами
2/jaLm и j&C. В результате по-
лучается Г-образный, так называемый
параллельно-производный
фильтр (рис. 14.25).
На рис. 14.26 построены графики
изменения характеристического сопро-
тивления ZcTm для различных значений
т. Из этих графиков видно, что, так
же как для характеристического сопро-
14.24), при сопротивление ZcTm
ины L/C
мых частот.
Недостатком фильтров типа т
является снижение затухания'при
ю >®оо (для фильтров нижних ча-
стот и полосовых фильтров) и при
и < (для фильтров верхних ча-
стот и полосовых фильтров).
тивления Zcnm (см. рис.
мало отличается от вели
§ 14.5. Безындукционные
гС-фильтры
При построении реактивных
ТС-фильтфов наиболее громоздким
и дорогим элементом является ин-
дуктивная катушка, особенно в
фильтрах, работающих в диапазо-
не низких частот. В таких схемах
применяют индуктивные катушки
с ферромагнитными сердечниками,
как правило, имеющие очень боль-
шое число витков. Катушки с боль-
шим числом витков и громоздкими
сердечниками обладают низкой добротностью Qi = to0L/r, так как
в них имеются потери не только в обмотках, но и в сердечниках.
Таким образом, катушка не является идеальной индуктивностью,
404
в результате основные характеристики фильтров с катушками,
имеющими низкую добротность, ухудшаются.
В настоящее время широкое применение находят интеграль-
ные схемы, в которых возможна микроминиатюризация элемен-
тов г и С. При этом индуктивная катушка, применяемая на низких
частотах, не поддается миниатюризации.
Следовательно, целесообразно построение фильтров без индук-
тивных катушек, т. е. rC-фильтров. Рассмотрим простейшие
примеры построения таких фильтров.
Т-образный фильтр нижних частот. На рис. 14.27, а изображена
схема Т-образного гС-фильтра. .
Для этой схемы при /2 = 0 справедливо уравнение
= £/2 4- /®С у й2 = £?а (1 + /ш ~) = А й2, (14.37)
откуда
А == U1/U2 = 1 + (14.38)
Для симметричного четырехполюсника
А = ch g — ch (а + jb) = ch a cos b + j' sh a sin b.
Приравнивая правые части уравнений (14.37) и (14.38), по-
лучаем:
ch a cos b = 1;
’ shasino = ~2—.
При постоянном токе (о» = 0)
ch a cos b = 1 г
) sh a sin Ь = 0.
Эти равенства имеют решение одновременно при а = 0 и Ь = 0.
Если ш>0, то sinfo>0, так как при а>0 shtz>0. В отличие
от реактивных фильтров у rC-фильтров нет такой области частот,
в .которой а = 0. Из уравнений (14.39) можно найти зависимость а
qt со. Для этого первое из уравнений (14.39) следует представить
в виде
(1 4-sh2a>(l — sina£>) = 1.
Если в это выражение подставить значение sin 6, найденное
из второго уравнения (14.39), то можно получить биквадратное
уравнение относительно sh а:
(14.39)
(14.40)
, л [(£>гС№ , 2 /0)гС\2
sh4a —f-g-l sh2a —=0,
откуда
sh а - +
При со<^2/гС из выражения (14.41) находим
sh а = а \ягС[2.
(44.41)
405
нимают такое значение,
За частоту среза сос rC-фильтра нижних частот условно при-
при котором активное и реактивное
сопротивления ветвей соответствующего
Г-образного звена равны
г 2 ш.гС .
-х- — —т", ИЛИ -£z-=l.
2 (осС 4
В этом случае sha = 2,2, откуда
а —1,53 Нп. На рис. 14.27, б построена
частотная характеристика коэффициен-
та затухания Т-образного гС-фильтра.
Т-образный фильтр верхних частот.
На рис. 14.28, а показана Т-образная
схема rC-фильтра верхних частот. При
низких частотах сопротивления конден-
саторов имеют большие значения, в ре-
зультате напряжение на выходных за-
жимах фильтра получается небольшим,
что характеризуется большим затуха-
нием. В частности, при (о = 0 (при по-
стоянном токе) коэффициент затухания
имеет бесконечно большое значение.
При увеличении частоты емкостное
сопротивление уменьшается, а напряже-
ние на выходных зажимах увеличивается, в результате коэффи-
циент затухания а уменьшается (рис. .14.28, б).
Для rC-фильтра верхних частот, так же как для гС-фильтра
нижних частот,
ch a cos b = 1;
sh a sin Ь — — 1 ftrtaC.
(14.42)
При (о = оо условия « = 0 и & = 0 выполняются одновременно.
При 0<(о<со shosinb<0, так как а>0 и #<0.
Совместное решение уравнений (14.42) приводит к биквадрат-
ному уравнению
Sh4 а ~ (2WrC)2 sh2 а ~ (2тС)2 = °’
откуда
sh«=]/rs(corQ2 + (4согС)2 ’ (14.43)
Для 1/2/С
sh Х/У^ыгС.
Если за частоту среза сос условно принять частоту, опреде-
ляемую из равенства сопротивлений ветвей Г-образного звена;
2г=1/2(осС или <ос=1/4гС,
то из уравнения (14.43) получается
sha = 2,2, а?^1,53Нп.
406
Полосовой rC-фильтр. На рис. 14.29, а показана схема поло-
сового фильтра, представляющего собой каскадное соединение
rC-фильтров верхних и нижних
частот. Для анализа такого фильт-
ра определим коэффициент А че-
тырехполюсника в виде отношения
U-l/Oz при 72 = 0 по топологиче-
ской формуле
А = (/<оС1 + {1<лСг + + =
zL Elk Д& i<&Ct _L
=1+§+^+'»'(“с«'-’-йу- <14Л4>
Из полученного выражения можно определить квазирезонанс-
ную частоту по формуле
Так как вещественная часть коэффициента А не зависит
от частоты, то изменению модуля этого коэффициента соответ-
ствует график на рис. 14.29,6. В частном случае при г1 = га = г,
Ci — Са == С
л=з+/(£-<£).
Модуль коэффициента передачи напряжения U2IUr для этого
случая
I Д ((О) I = — = 1 = —1 ,
Ml +
где
_ V = (ш/(00) — (ш0/(д).
На рис. 14.30 построен график изменения коэффициента пере-
дачи напряжения в зависимости от v. При этом отрицательные
значения v соответствуют частотам о)<соо, а положительные —
частотам <в>ю0.
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ
И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
ГЛАВА 1S
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
И МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ
§ 15.1. Классический метод расчета переходных процессов
в разветвленных цепях
В гл. 3 и 6 были даны определения установившихся (стацио-
нарных) и переходных (нестационарных) процессов, или режимов,
а также рассмотрены переходные процессы в простейших цепях
с источниками постоянных и гармонических э. д. с. и токов.
Переходные процессы в цепях с источниками постоянных. или
периодических э. д. с. и токов возникают в результате различных
коммутаций, которые приводят к изменению схемы или парамет-
ров цепи: подключение или отключение источников и нагрузок,
короткие замыкания- и т. п. Если в цепи имеются индуктивные
катушки и (или) конденсаторы, то переход от одного установив-
шёгося режима (до коммутации) к другому (после коммутации) не
может совершиться мгновенно даже при мгновенной коммутации,
поскольку не может мгновенно измениться энергия магнитного и
электрического полей, связанных с индуктивностями и емкостями.
Для мгновенного или скачкообразного изменения энергии полей
необходима бесконечно большая мощность источников энергии;
реальные источники энергии- обладают конечной мощностью.
Таким образом переход от одного установившегося режима
к другому осуществляется в течение некоторого промежутка вре-
мени. Теоретически длительность переходного процесса бесконечно
велика, практически она измеряется долями секунды. Как пра-
вило, длительность переходного процесса много больше длитель-
ности коммутации, поэтому коммутацию можно считать мгновен-
ной.
При переходном процессе значения токов и напряжений на
отдельных участках цепи могут существенно отличаться от значе-
ний токов и напряжений при установившемся режиме, что в ряде
случаев приводит к нарушениям нормальной работы Электротех-
нических устройств и даже к авариям. В цепях с источниками
непериодических изменяющихся э. д. с. и токов переходный про-
цесс является основным режимом работы.
Токи и напряжения при переходном процессе можно рассчи-
тать путем интегрирования дифференциального уравнения п-го
408
порядка. Такое уравнение получается в результате последователь-
ного исключения из системы интегро-дифференциальных уравнений
цепи (уравнений Кирхгофа, узловых или контурных уравнений)
всех неизвестных величин, кроме одной. При наличии в цепи
источников э. д. с. и тока правая часть дифференциального урав-
нения в общем случае является функцией напряжений и токов
источников:
/У Пу d^X . । &Х . г1 /j\
“» di" + “"-1 di^ + • • + Я1 dt + а°Х = F
где x—x(t) — напряжение или ток; а7- (/ = 0, 1, ..., и) — постоян-
ные коэффициенты, F (t) — функция времени, зависящая от пара-
метров источников.
Метод расчета переходного процесса, заключающийся в интег-
рировании дифференциального уравнения n-го порядка, называют
классическим методом.
Решение дифференциального уравнения записывается'в виде
суммы ' общего решения однородного, (свободной составляющей) и
частного решения неоднородного (принужденной составляющей)
уравнений х(/)==хсв (0 + *пр(0. Для расчета свободной состав-
ляющей следует найти корни характеристического уравнения pk
и п постоянных интегрирования Ak. Если характеристическое
уравнение
апрп + 1+•••+«1Р + «о = 0
имеет п различных корней pk (& = 1, 2, ..., п), то
хсв (t) = Aepi' + +... + Ап^.
Корню pk кратности mk Js 1 соответствует слагаемое свободной
составляющей вида
xk св (0 = (-^1+А<£ + • • •+Amj^k e₽*z.
Расчет принужденной составляющей в цепи с источниками по-
стоянных (периодических) э. д. с. и токов сводится к расчету
установившегося значения искомой величины после коммутации.
Чтобы определить постоянные интегрирования, необходимо
знать значения искомой величины и всех ее производных до
(п~ 1)-го порядка включительно в начальный момент времени
^ = 0. Токи в индуктивностях и напряжения на емкостях (см.
гл. 3) изменяются только непрерывно, поэтому для них спра-
ведливы равенства
Д (0+) = iL (0_); ис (0+) = ис (0_),
называемые законами коммутации. С помощью законов
коммутации и уравнений цепи находят начальные значения напря-
жений, токов и их производных.
Составление характеристического уравнения. Характеристиче-
ское уравнение можно составить, не прибегая к получению из
409
системы интегро-дифференциальных уравнений цепи одного диффе-
ренциального уравнения n-го порядка.
Пусть в цепи исключены все источники (замкнуты источники
э. д. с. и разомкнуты ветви источников тока) и рассматриваются
итс8
Рис. 15.1
только свободные составляющие токов и напряжений. Если состав-
ляющая ток'а в m-й ветви tmcB = Лер/ (рис. 15.1); то напряжение
на ее зажимах
св ~ f'mj'tn св Ч~ Lm Г g св dt =
= {j'm “Ь Р^т 4“ Лер* = Zm (р) 1т св,'
где Zm(p)==rm-\-pLm-\—Выражение для Zm(p) отличается от
Р^т
выражения для комплексного сопротивления ветви Zm (/<>)) тем,
что множитель /со заменен на р.
Для всех ветвей схемы можно записать матричное соотно-
шение
u<BB’ = Z<B>(p)i<B’, • (15.1)
где матрица Z(E)(p) совпадает с матрицей, комплексных сопротив-
лений ветвей Z(B) (/со) при замене р на /со.
Свободные напряжения ветвей должны удовлетворять закону
Кирхгофа
Ви£’ = 0. (15.2)
Если ввести понятие матрицы свободных контурных токов
•св’, то
Й> = ВТЙ\ (15.3)
Из соотношений (15.1) ч-(15.3) получаем
Zw(p)i<KB’ = 0, (15.4)
где матрица Z(K) (р) = BZ(B) (р) В(т) совпадает с матрицей комп-
лексных контурных сопротивлений Z(K) (/со) при замене р на /со.
Система уравнений (15.4) имеет ненулевое решение, если опре-
делитель системы равен нулю:
A<K>(p) = detZ<K4p) = 0. (15.5)
Уравнение (15.5) представляет собой характеристическое урав-
нение цепи.
410
Если воспользоваться узловыми уравнениями, то, аналогично
предыдущему, характеристическое уравнение можно получить
в виде
Д(у) (р) = det Y(y) (р) = 0, (15.6)
где матрица Y(y) (р) = AY(B) (р) А(т) совпадает с матрицей узловых
проводимостей Y(y) (/со) при замене /со на р.
Таким образом, характеристическое уравнение получается при-
равниванием к нулю определителя контурной (Z(K) (р)) или узло-
вой (Y(y) (р)) матрицы. При составлении этих матриц сопротивле-
ние индуктивности Lm (емкости Ст)'считают равным pLm (1/рСт).
Контурный и узловой опре-
делители связаны между со-
бой равенствами (8.17) или
(8.18); следовательно, корни
уравнений (15.5) и (15.6) оди-
наковы.-
Выражение для входного
сопротивления схемы относи-
тельно зажимов источника
э. д. с., включенного в неко- Рис- 15-2
торую ветвь (входной прово-
димости относительно зажимов источника тока, включенного меж-
ду парой узлов), определяется дробью, числитель которой пред-
ставляет собой контурный (узловой) определитель, а знамена-
тель — алгебраическое дополнение соответствующего элемента оп-
ределителя (см. § 7.8). Поэтому уравнения. (15.5) и (15.6) эквива-
лентны соответственно уравнениям
2вх(р) = 0;
(15.7)
У*ЛР) = О, (15.8)
где ZBX(p)— входное сопротивление схемы относительно двух
Зажимов, получающихся в результате размыкания любой ветви схе-
мы; Увх (р) входная проводимость схемы относительно произволь-
ной пары узлов схемы. При вычислении ZBX (р) или Квх (р) сопро-
тивление индуктивности Lm (емкости Ст), как уже отмечалось,
считают равным pLm (1/рСт); источники, как правило, исключаются
из схемы. Если в схеме нет короткозамкнутых ветвей, то урав-
нения (15.7) и (15.8), составленные для различных ветвей или
пар узлов, имеют одни и те же корни.
Корни характеристического уравнения называют собствен-
ными частотами цепи, так как они определяют характер
свободных процессов.
Пример 15.1. Составить рассмотренными в § 15.1 способами характеристи-
ческое уравнение для цепи на рис. 15.2 (при разомкнутом ключе), Параметпы
схемы: /-1 = r2=10 Ом; £=0,1 Г; С=1О~з Ф. F
411
Решение. Матрица контурных сопротивлений
(Г1+р£+^С ~рС
z<K)(p)= 4 j р рх
- ~рс V2 + ^c)-
Если приравнять к нулю определитель этой матрицы, то получим харак-
теристическое уравнение вида (15.5):
/ IX/ 1 \ ! 1 \2
Д<к>(р)= r1+pL+ (,а+ _( =0,
\ рЬ/ \ рс/ \рс/
или после преобразования
LCr2p2+(Cr1ra-}-^-) Р+Г14~г2—0.
Узловой определитель Д<У* (р) в цепях без взаимной индуктивности най-
дем по топологической формуле. Так, записывая узловой определитель с по-
мощью разложения по путям между узлами /, 2 (при замкнутом источнике §)
и приравнивая ёго к нулю, получим характеристическое уравнение вида (15.6):
: 4- — + (рс+-)(-г+-)=о.
р£ тх \ r2 J \pL
Для заданной схемы можно записать три уравнения вида (15.7).
1. Приравнивая нулю входное сопротивление относительно зажимов источ-
ника (о, получим
2. Если 'замкнуть источник S и разомкнуть ветвь с сопротивлением или
емкостью С, то нетрудно получить уравнения, приравнивая нулю входные
сопротивления относительно точек разрыва ветвей:
или
Zbx2 (₽) — г2
(П-]-рЬ)(1/рС) о
ri+pL + WpC)
2вх3 (р)-рС
(Г1 + р£) Г2 _ Q
Г1 + А + Р^-
З. -Если приравнять к нулю проводимость между узлами 1, 2, то полу-
чим характеристическое уравнение вида (15.8):
. —+ рС + = 0.
! П + рЬ г2
После преобразования любого из уравнений и подстановки численных зна-
чений параметров найдем
р2+200р-|-20.1О’ = О.
Вычислим корни характеристического уравнения:
рЬ2= — 100 ±/100.
Порядок расчета переходных процессов классическим методом-
Токи и напряжения схемы при переходном процессе могут быть
рассчитаны следующим образом.
Анализируя схему до коммутации, необходимо найти значения
токов в индуктивностях и напряжений на емкостях: iL (0_); «с (0_).
Эти значения позволяют определить на основании законов комму-
тации независимые начальные условия, т. е. 1д(0+) = £д(0_) и
«с (0+) = «с (0-
412
напряжений. Далее для схемы
/й
-0
Рис. 15.3
В схеме после коммутации следует рассчитать принужденные
составляющие искомых токов и
после коммутации требуется
составить характеристическое
уравнение и определить его кор-
ни. Искомые величины следует
представить как суммы свобод-
ных и принужденных состав-
ляющих и вычислить постоян-
нее интегрирования. Начальные
значения искомых величин и их
производных, необходимые для
вычисления постоянных интегрирования, находят с помощью не-
зависимых начальных условий и уравнений цепи.
Рассмотренная методика расчета переходных процессов приме-
нима и к цепям, содержащим электронные лампы и транзисторы.
Пример 15.2. Рассчитать напряжение и2 (t) на выходе лампового резонанс-
ного усилителя, эквивалентная схема которого приведена на рис. 15.3, при
подключений источника гармонического, напряжения (Z)=Z7ml sin (<в/-|-1р).
Решение. Нагрузкой резонансного усилителя служит параллельный
контур L—С—Г1- Параметры данного усилителя таковы, что характеристи-
ческое уравнение для этого контура
± + рс + ±_о
имеет комплексно-сопряженные корни.
Для схемы на рис. 15.3 можно составить уравнение
«du2 u2
С dt + г
где r=rjrl/(ri-}_/-1). После дифференцирования этого уравнения получим
_dau2 1^ d«2, «2_
- \ г ' dt + L ~ dt'
Следовательно, характеристическое уравнение принимает вид
Ср2+уР 4-^ = 0.
Полученное уравнение эквивалентно уравнению
ЕВх (р)—~ + рС -{- -г- = О,
г pL
Г<Й?_2"пх(р) — входная проводимость относительно узлов 2—3 при tZj=O и
, 1==®»„т. е. при разомкнутом зависимом источнике тока. Таким образом, для
заданной схемы можно воспользоваться соотношением (15.8).
Если обозначить
J (t) = Jm sin (wZ+Ф) = — Suim sin (at+ф),
получе опРеделениЯу напряжения ы2 (t) можно воспользоваться выражениями,
Для цепей с электронными элементами и взаимной индукцией
запись характеристического уравнения в виде (15.7) и (15.8) может
u2dt=— Sut>
413
. быть затруднена, поэтому для составления характеристического
уравнения целесообразно воспользоваться другими способами, на-
пример применить выражения (15.5) и (15.6).
§ 15.2. Переходные и импульсные характеристики цепей
При анализе цепей во временной области часто применяют две
специальные функции: единичную функцию и единичный импульс.
Единичную функцию 1 (/) определяют следующим обра-
зом (рис. 15.4, а);
( 0 при £<0;
1(0=4 , . ’ (15.9)
' (1 при t > 0. ’
Функция 1(0 непрерывна всюду, кроме точки / = 0; значение
функции 1 (0 в точке разрыва можно считать неопределенным *.
Рис. 15.4 Рис. 15.5
Аналогично можно Определить функцию 1(/ —т)(рис. 15.4,6).
1(Z-t) =
0 при /<т;
I при t > т.
(15.10)
Умножение любой ограниченной функции f(t) на 1(£ —т)дает
функцию
/(Z)1(Z-T) = {° 21 (15Л1)
при г>т.
* Можно также считать значение функции в точке разрыва равным
или 1.
414
Таким образом, если в цепи имеется источник э. д. с. или
тока f (0 1 (0> то это означает, что источник f (t) включается в цепь
в момент времени t = 0.
Единичный импульс или дельта-функцию 0(f)
определяют как функцию, равную нулю для всех кроме t — 0.
В момент времени 1 = 0 6(0) = со и интеграл
f 6(1) dt=l.
—со
Дельта-функцию можно рассматривать как предел последова-
тельности импульсов длительности т и амплитуды 1/т (рис, 15.5, а)
Прй т->0; площадь таких импульсов равна единице. Импульс
на рис. 15.5, а представляет собой производную от функции
(рис. 15.5,6), которая при т->0 превращается в функцию 1 (t).
Импульс, показанный на рис. 15.5, ,может быть записан в виде
разности
Следовательно,
6 w = S Я'(г+т)-1 (' -т)] = л1 <0.
т. е. дельта-функция является производной от единичной функции:
мо-ако-
Из определения дельта-функций следует, что
t
1(0 = J 6 (6) tf6, (15.12)
—со
где 6 —переменная интегрирования.
Определение дельта-функции как производной от единичной
функции не является строгим, так как производной в обычном
смысле от функции 1 (1) при 1 = 0 не существует*.
Дельта-функция, смещенная на время т относительно начала
координат,
И
Для некоторой функции времени f(t), непрерывной при / = т,
интеграл
р(06(*-т)£1/ = /(т). (15.13)
о
* Все операции с дельта-функциями могут быть строго обоснованы с по-
мощью теории обобщенных функций. Обобщенные функции включают как
частный случай обычные функции и дельта-функции. Для последующего изло-
жения достаточно соотношений (15.11) и (15.12).
415
Действительно, произведение — т) равно нулю при всех
J значениях t т и
/(т) |б(/-т)Л = /(т).,
Важными характеристиками электрической цепи являются пере-
ходная и импульсная характеристики.
Переходная характеристика цепи представляет собой реак-
цию цепи (при нулевых начальных условиях) на единичную воз-
мущающую функцию.
Импульсная характеристика цепи определяется как реак-
ция цепи (при нулевых началь-
ных условиях) на единичный воз-
мущающий импульс.
Возмущающее воздействие мо-
жет быть напряжением источника
э. д. с. или током источника тока.
В качестве реакции цепи также рас-
»Рис 15 6 сматриваются напряжение или ток.
ч Следовательно, переходные харак-
теристики могут быть безразмерны-
ми или иметь размерность проводимости или сопротивления. В
соответствии с этим переходные характеристики называют переход-
ными коэффициентами передачи напряжения или тока, а также
переходными проводимостями или сопротивлениями.
Переходные характеристики могут быть найдены путем рас-
чета токов или напряжений при подключении источника постоян-
ной э. д. с. в 1 В или источника постоянного тока в 1 А.
Пример 15.3. Для цепи на рис. 15.6 определить следующие переходные
характеристики при г1 = т2=г, ис(0) = 0: переходную входную проводимость
gii (/), переходные взаимные проводимости g21 (t), ga (t) и переходный - коэффи-
циент передачи напряжений К2“' (/).
Решение. Если щ (/) — 1 (0, то искомые функции gu (/), ga (t), g3| (0 и
(0 равны соответственно ц (t), t2 (/), l3 (0 и и2 (0. Рассчитывая токи 0, i2,.
i3 и напряжение при подключении на вход цепи источника постоянной
э. д. с. 6“ = Щ = 1 В, для i > 0 получим:
&11(0 = ^(1+е-//т);
gM(0 = 27(1-e"</T)>
gsi (0 = у е"//Т;
416
где т_лсу2. Не указывая области определения, переходные характеристики
запишем в следующем виде:
g3i(0 = ~e-//M (i);
При ЭТОМ-gft = g^l + ёзр ^21 ~Г2^21~Г^21'
Нетрудно установить соотношения между переходными и им-
пульсными характеристиками. Пусть, например, реакция цепи на
единичное напряжение 1 (/) равна g (t). Реакция на единичный
импульс может быть. оиределена как предел реакции на импульс,
показанный на рис. 15.5, а при т->0. Так как в линейной цепи
справедлив принцип наложения, реакцию на этот импульс, равный -
определяем как разность
Следовательно, импульсная характеристика
gHO-Hm ....... = £g(t)
представляет собой производную от переходной характеристики
ge(O = ^) = g'(O- (15.14)
Справедливо также соотношение
g(0= $ ge(9)d9. (15.15)
—oo
Равенства (15.14) и (15.15) являются следствиями равенств
(15.11) и (15.12).
Следует рассмотреть воздействие ступенчатых и импульсных
источников на индуктивность и емкость. Если ток в индуктивно-
сти (J = const), т. е. представляет собой ступенчатую
функцию величины J, то напряжение на индуктивности
di, dl (t)
14 п/р. Ион кина, т. 1
417
При умножении импульсной функции 6 (/) на LJ получают
импульсную функцию, площадь которой равна LJ:
f uLdt = LJ f 6(t)dt = LJ.
— co —co
Следовательно, если iL — J\ (t), то при t = 0 ul = co- при?у=0
напряжение uL = 0.
Пусть к индуктивности приложено импульсное напряжение
LJ8(t). Тогда ток в индуктивности
t t
$ «г(е)^е = ^ 6(6)de=/i (t),
—со —со
т. е. воздействие импульсного напряжения приводит к скачкооб-
разному изменению тока в индуктивности.
Если напряжение на емкости является ступенчатой функцией
ис (U = const), то ток в емкости
du^
ic = C-£=CU8(t)
представляет собой импульсную функцию с площадью CU. При
воздействии на емкость импульсного тока Cl/6 (I) напряжение на
емкости
t t
ис = ^ J ic(6)de=C/ § 6(6)d6 = t71(O
—со —со
изменяется скачком при t — 0.
Таким образом, при действии импульсных источников нару-
шается непрерывность токов в индуктивностях и напряжений на
емкостях, установленная из условия конечной величины напря-
жений ul, токов ic и, следовательно-, мощностей (см. гл. 3).
Пример 15.4. Для цепи рис. 15.6 рассчитать импульсные характеристики,
соответствующие переходным характеристикам gu (t), gsl (t) и (t).
Решение. Переходная характеристика (см. пример 15.3)
g11 (0=(i+ie~</T)1(0’
Дифференцируя это выражение по правилу дифференцирования произведем
ния, получим импульсную характеристику
gea (О =g'n (0 = 6 (0+± (-4) е-^1 (0+^7 е-^6 (I).
Так как 6(0=0 при t ф 0, произведение
е“//т6(0 = е«6 (0 = 6(0.
Таким образом,
- . &„(О=уб(0-4е-^1(0.
418
Если t>0, то
Аналогично найдем импульсные характеристики:
g621(0=gs'1(0 = ^e-^l (П;
g6al W=g'sl (0 =у 6 W~7^e"z/T1 Ю’
ОС (Z) = ie“//T1 <Z)-
На рис. 15.7, а—г приведены соответственно графики импульсных характе-
ристик g-6u (t), g&2t (0. g6si (Ox ^e2I (0. которые показывают, что при воздейст-
вии импульсного напряжения на входе цепи (см. рис. 15.6) токи i± и i3 в мо-
мент 1—0 принимают бесконечно большие значения, поэтому емкость мгновенно
заряжается (напряжение на емкости скачкообразно возрастает). При f>0 на-
пряжение на входе цепи становится равным нулю и в цепи начинается сво-
бодный процесс разряда емкости.
§ 15.3. Расчет переходных процессов при воздействии
источников э. д. с. и тока произвольной формы
С помощью переходных и импульсных характеристик можно
определить реакцию цепи при воздействии источников э. д. с.
(тока) произвольной формы и нулевых начальных условиях.
\ Пусть на цепь воздействует напряжение, форма которого по-
казана на рис. 15.8. Это напряжение можно приближенно пред-
ставить в виде суммы ступенчатых функций, сдвинутых последо-
вательно относительно друг друга на малый отрезок времени Ат:
и (/) Ац (k Ат) 1 (t — k Ат),
k
где
Au (k Ат) = и (k Ат) — и [(/г — 1) Ат] и' (k Ат) Ат.
14»
419
Если требуется определить ток i(l) в некоторой ветви схемы,
то, применяя принцип наложения, можно записать
i (/)<=« и' A-1) — k Ат) Ат>
k
где g (t) — соответствующая переходная проводимость; и' (k Дт) х
Xg(Z — k Дт) Дт — реакция цепи на ступенчатое напряжение
Ли (Л Дт). t
" При условии, что Дт стремится к бесконечно малой величине,
суммирование заменяется интегрированием:
t
i (t) — \и’ (т) g (Z — т) dx. (15.16)
о
Формула (15.16) представляет собой точное выражение для
определения реакции цепи на напряжение и (t). Аналогично можно
записать выражение для тока некоторой ветви при действии
источника тока произвольной формы или для напряжения между
парой узлов при действии источника э. д. с. или источника тока.
Формулу (15.16) можно распространить и на случай, когда
функция и ft) имеет разрывы. Например, напряжение w(Z), форма
которого показана на рис. 15.9, имеет разрыв- в точке t — О и,
следовательно,
и (t) — и (0) 1 (t) ф- и,! (Z),
где — — u(0). Производная
и’ (т) = и (0) 6 (т) ф- и{ (т),
где и[ (т) = и' (т) при т > 0 содержит импульсную функцию. Из
выражения (15.16) получаем
t
i(t) = u (0) g (t) 4- $ и' (т) g (Z — т) dx. (15.17)
о
Это равенство может быть также установлено [аналогично
(15.16)] с помощью принципа наложения.
420
Выражению (15.17) можно придать другую форму, если под
знаком интеграла переменную I — т заменить на т:
t
i(t)=u(O)g(t) 4~Jw'(Z — т) g (т) dr. (15.18)
о
Чтобы получить соотношения для расчета реакции цепи
с помощью импульсной характеристики, заданное напряжение
(рис. 15.9) следует представить как совокупность импульсов дли-
тельностью Ат. Площадь одного импульса можно считать равной
произведению и(АДт)Дт. Если каждый импульс заменить
импульсной функцией и(АДт) Дтб(г —АДт), то
U (t) f=& У, и (k Дт) Дтб (t—k Дт).
k
Реакция цепи на импульс и (А Дт) Дтб (Z — А Дт) определяется
как произведение
и (k Дт) gb(t — k Дт) Дт,
где gs (t— Ат) — импульсная характеристика. По. принципу нало-
жения реакция цепи на напряжение и (t) выражается соотноше-
нием
i (Z) У, и (k Дт) g&(t — k кх) bx,
• " k
или при Дт->-0
t
, i(t) = \u(x)g6(t-x)dx. (15.19)
О
Учитывая равенство (15.14), формулу (15.19) можно также
записать в виде
i (Z) = J и (т) g' (I — т) dx. (15.20)
о
Если переходная характеристика g(t) имеет разрыв в точке
t= 0, то она может быть представлена в виде суммы:
g(0 = g(O)l(z)4-gi(0,
гДе gi (0 = g (Z) — g (0) при z > 0. В этом случае импульсная харак-
теристика
g& (Z — т) = g' (Z — т) = g (0) б (Z — т) g{ (Z — т),
7
Si(Z —T)=g'(z —т) при Z>t, т. е. содержит импульсную
функцию g (0)6(1 — х). Из выражения (15.20)
i (0=g (0) и (z) $ и (х) g’ (1 — т) </т. (15.21)
о
421
Равенство (15.21) можно доказать на основании (15.17), если
применить формулу интегрирования по частям. Заменяя под зна-
ком интеграла в соотношении (15.21) пере-
менную t — т на т, можно получить еще одно
соотношение
t
i(t)==g(O)u(t) ф- § и (t — т) g' (т) dr, (15.22)
о
Формулы (15.16)-i-(15.22) называют ин-
тегралами Дюамеля
' наложени я.
или интегралами
Рис. 15.10
Решение. В
линейному закону
Пример 15.5. Определить ток в последовательной
rL-цепи при подключении к источнику импульсного
напряжения (рис 15.10).
интервале времени 0 -j- 4 напряжение и (I) изменяется по
«(С = у*
и производная и' постоянна. Для расчета тока воспользуемся соот-
ношением (15.16). Переходная проводимость
if -г А
LJ’
следовательно,
В интервале времени напряжение u(t)=O. С учетом разрыва функ-
ции ы (/) в момент
i (/) = j и' (0 g (t—т) dx—Ug (t—t£ =
о
При решения, найденные для различных интервалов, дают одно и
то же значение тока I (4).
§ 15.4. Особенности расчета переходных процессов в цепях
о емкостными контурами и индуктивными сечениями
В схеме электрической цепи в результате коммутации могут
быть образованы контуры, которые состоят только из емкостей
или емкостей и источников э. д. с. (емкостные контуры). Если
422 /
контур состоит только из емкостей, то в первый момент после
коммутации, по уравнению Кирхгофа, 2 uck (0+) = 0, где иск —
k
напряжение на k-й емкости контура. Считая напряжение на
емкости uck (0+) = uck (0_) непрерывным, легко прийти к противо-
речию: для произвольных начальных условий У] иск (0_) ф 0, однако
J>ft(0+) = 0.
k
Аналогично в результате коммутации в схеме могут быть обра-
зованы сечения, состоящие только из индуктивностей или из
индуктивностей и источников тока (индуктивные сечения). Если
сечение состоит только из индуктивностей, то, согласно закону
Кирхгофа, 2 (0+) — 0, где —ток k-й индуктивности сечения.
k
Для произвольных начальных условий 2^(0-) 7= 0, поэтому
k
при условии непрерывности токов в индуктивностях itk (0+) =:
— iLk (0_) также возникает противоречие.
В схеме на рис. 15.11 емкость Clf заряженная до напряже-
ния U, присоединяется к незаряженной емкости С2, образуя
емкостной контур Cj — С2. До коммутации «с, (0_) — U^Uq2 (0_) —
= 0; после коммутации пс, (0+) = “сг (0+). В схеме на рис. 15.12
после коммутации индуктивности и £2 включаются последова-
тельно, образуя индуктивное сечение Lr — L2. До коммутации
ii (0_) = S/гу i2 (0_) = 0; после коммутации (0+) = i2 (0+).
• Таким образом, при расчете схем с емкостными контурами
или индуктивными сечениями нельзя применять условия непре-
рывности напряжений на емкостях или токов в Индуктивностях
(законы коммутации). В таких случаях следует применять более
общие условия (законы): условия сохранения заряда и потокосце-
пления.
Условие сохранения (непрерывности) заряда для схемы на
рис. 15.11 имеет вид
(0-) + </г (0-) — <71 (0+)+<?2 (0+)»
где — СгиС1, q2 = С2иСг — заряды емкостей Ci и С2, т. е. суммар-
ный заряд емкостей Сх и С2 непрерывен в момент коммутации.
423
Из условия сохранения заряда получаем уравнение для начальных
значений ис. (0+) и нс, (0+):
CiUc, (0_) 4- С2Ис2 (0_) — CjU = CiUc, (0+)4-C2Uc2 (0+).
Учитывая, что ис. (0+) = uCi (0+), находим
Uc. (0+) = «Св (0+) == ис (0) = U.
Характеристическое уравнение цепи (см. рис. 15.11) после ком-
мутации
Р (Ci+С2) + — = 0
имеет корень рх — —1/r (Ci-J-C^) и, следовательно, для напряже-
ний нс, и нс3 при z>0 (ис1пр = ucWp = 0) справедливо выражение
» ис. (t) = ис, (0 = uc (Z) = ^e₽<
В момент времени Z = 0 напряжение нС1 скачкообразно умень-
шается, а напряжение ис. скачкообразно возрастает (рис. 15.13).
ностей £x и L2 в момент
Такое изменение напряжений обуслов-
лено импульсными токами емкостей,
которые возникают в момент Z = 0 и
осуществляют мгновенное перераспре-
деление зарядов между емкостями.
Для схемы на рис. 15.12 условие
сохранения (непрерывности) потокосцеп-
ления записывается в следующем виде:
(0_) 4- V2 (0_) = (0+) 4- т2 (0+),
где — ^2 = £21££—потокосцеп-
ления индуктивностей Ц и Ц, т. е.
суммарное потокосцепление индуктив-
коммутации непрерывно. Из этого ус-
ловия получаем уравнение
LiIl, (0_) 4- L2Il, (0_) — £i = £1й, (0+) 4- Wl, (0+).
Так как после коммутации 1ц (0+) = fo„ (0+), начальные значе-
ния токов
fo1(0+) = fos(0+) = fo(0) =
(Z.14"Z-a) rl
Характеристическое уравнение схемы (см. рис. 15.12) после
коммутации
Р (Li 4- L2) 4~ ri 4* гв=0
имеет корень рх = — (/"14- >а)/(41 + L2) и, следовательно, для токов
fo, и iLi при />0 справедливо выражение
'Ч. (0 - Ч т - U (о - (0+h„ (0=ч, (0) е« + ,
гДе foCB (0)= fo (0) — ^/(^i 4* rs) = ^(Lir2 — £2г 1)/Г1 (Г14- /’в) (^-14"
424
Рис. 15.14
Графики токов о.,(/) и iL1 (t) показаны на рис. 15.14 при усло-
вии, что Jl(O)2> iLnp- В момент коммутации токи изменяются
скачкообразно, так как на индуктивностях возникают импульсные
напряжения, приводящие к мгновенному перераспределению маг-
нитного потока между индуктивностями.
В общем случае условие непрерывности заряда формулируется
для зарядов емкостей, входящих в емкостные контуры, следую-
щим образом: алгебраическая сумма
зарядов емкостей, присоединенных к
любому общему узлу, непрерывна:
S<7/(0-) = SC/«cy(0_) =
I i
= £ Ч) (0+) = S С>ис, (°+)- <15-23)
/ /
Сумму зарядов записывают
i
с учетом положительных направле-
‘ ний напряжений на емкостях анало-
гично первому закону Кирхгофа для
токов; при этом учитывают только
мулируется для потокосцеплений
। .
потокосцеплений индуктивностей в любом замкнутом
непрерывна:
> ветви емкостных контуров.
Условие непрерывности потокосцепления в общем случае фор-
индуктивностей, входящих
в индуктивные сечения следующим образом: алгебраическая сумма
потокосцеплении индуктивностей в любом замкнутом контуре
2 (°-) = £ (°-) = Е (°*) = S Щ «М- (15.24)
/ 1 i i
Сумму потокосцеплений записывают с учетом положи-
i
тельных направлении токов в индуктивностях и направления
обхода контура аналогично второму закону Кирхгофа для напря-
жений; при этом учитывают только ветви индуктивных сечений.
С помощью уравнений вида (15.23) и (15.24), уравнений,
составленных по второму закону Кирхгофа для напряжений «с^(0+)
ветвей емкостных контуров, а также уравнений, составленных по
первому закону Кирхгофа для токов ветвей индуктивных
сечений, можно определить все начальные значения «с, (0+) и
Ц(0+)*.
Пример 15.6. Составить уравнения для определения начальных значений
напряжений на емкостях схемы рис. 15.15.
Решение. После замыкания ключа в схеме образуется емкостный кон-
тур е" —Q—С2—С3. Для узлов 1 И 2 составим уравнения непрерывности
* Емкостные контуры и индуктивные сечения не обязательно образуются
в результате коммутации; такие' контуры и сечения могут быть в схеме до
коммутации. Уравнения (15.23) и (15.24) в этом случае также справедливы
425
зарядов:
-q«Ci (0_)+CauCi (0_)=-С1КС1 (0+) + С2МСг (0+);
-С2«сг (°-)+C3“c, (°-)=-C2«c2 (°+)+C3“c8 (°+)-
В этих уравнениях учитываются только емкости контура.
По второму закону Кирхгофа для емкостного контура получим уравнение
$ (0+) = «С1 (0+) + ис. (0+) + иСа (0+).
С помощью составленных уравнений определим напряжения uCj (0+),
ис. (®+) и иСа (®+) ПРИ известных значениях ис (0_), ис^ (0_), иСа (0_) и ё (0+).
Емкость С4 не входит в емкостный контур, поэтому ее напряжение
непрерывно:
ыс4 (®-)~мс4 (®+)-
Пример 15.7. Составить уравнения для определения начальных значений
токов в индуктивностях схемы на рис. 15.16.
Рис. 15.15 Рис. 15.16
Решение. При подключении источника тока I в схеме образуется
индуктивное сечение J—L1—L2 — Ls—L&. Рассматривая контуры, показанные
на рис. 15.16, составим следующие уравнения непрерывности потокосцепле*
ний (учитываются только индуктивности сечения) *:
(0_)+Е21£й (0_)=-L?-£i (0+) + L2Z£i (0+);
-Чи (°-)+ь3г£з (0-)=“^и (OJ+Z-з^ (0+);
^3fLs (®-) = — ^3fL3 ^4Г£4 (0-е)'
По первому закону Кирхгофа для сечения получим уравнение
Ч0+) = % (°+)4-% (0+)4А3 (°+)-^(°+)-
С помощью-записанных уравнений определим токи (®+) iL (0+).
Индуктивность Ls не входит в сечение, поэтому ток непрерывен:
(°-) = % (°+)-
Скачкообразное изменение напряжений на емкостях и токов
в индуктивностях приводит и к скачкообразному изменению энер-
гий электрического и магнитного полей. Например, в цепи на
* Для составления уравнений непрерывности потокосцеплений можно
выбрать и другие контуры, содержащие индуктивности 4-
426
рис. 15.11 энергия электрического поля до коммутации
№в(0_)
CjU^
~~ 2 ’
после коммутации
№в(0+) =
(q+c2)«c (°)
2
qf/2
2(Q+C2)
<№в(0_).
может рассеиваться в сопротивле-
Рис. 15.17
Аналогично определяется энергия магнитного поля в цепи на
рис. 15.12.
Энергия электрического и магнитного полей не может исчез-
нуть. В реальных цепях при коммутациях, подобных коммута-
циям, показанным на рис. 15.11 и 15.12, между контактами
ключа возникает дуга (искра), которая существует малое время.
В сопротивлении дуги и происходит необратимое рассеяние энер-
гии; кроме того, часть энергии
нии соединительных прово-
дов, а также излучаться.
Емкостные контуры и ин-
дуктивные сечения в схемах
можно устранить, если учесть
' малые («паразитные») пара-
метры реальных элементов
цепи: сопротивления потерь
конденсаторов и индуктивных
катушек, межвитковую ем-
кость катушек, сопротивление
и индуктивность проводов. При этом в схемах будут невозможны
скачкообразные изменения напряжений на емкостях и токов
в индуктивностях (т. е. будут справедливы законы коммутации),
а также импульсные токи и напряжения. Однако учет малых
параметров неоправданно усложнит расчет цепи.
Например, если в схеме на рис. 15.11 учесть малое сопротив-
ление соединительных проводов между емкостями, то схема будет
описываться дифференциальным уравнением второго порядка.
Напряжения иС1 и «с, будут представлять сумму двух экспонен-
циальных функций и изменяться непрерывно. Так как сопротив-
ление соединительных проводов очень мало, одна из экспонен-
циальных функций будет затухать значительно быстрее другой.
В пределе, если пренебречь сопротивлением проводов, получается
цепь, описываемая дифференциальным уравнением первого порядка.
В общем случае каждый емкостной контур и каждое индуктив-
ное сечение уменьшают порядок характеристического уравнения
схемы на единицу.
В эквивалентных схемах цепей с взаимной индукцией и элек-
тронными элементами также возможны скачкообразные изменения
токов в индуктивностях и напряжений на емкостях. Например,
как показано в § 6.8, токи трансформатора в момент коммутации
изменяются скачкообразно, если коэффициент связи/Сс = 1. Зане-
427
няя трансформатор на рис. 6.30 эквивалентной схемой без взаим-
ной индукции (см. рис. 9.15, а), легко прийти к схеме, содержа-
щей индуктивное сечение (рис. 15.17). Условие непрерывности
потокосцеплений для такой схемы имеет вид
(Li — М) ii (0_) + Mis (0_) = (Li — М) ii (0+) 4- Mi@ (0+);
(La - М) t2 (0_)+Mig (0_) = (£2 - М) ig (0f)+Mig (0+)
или с учетом равенств i8 = ii + i2; ii (0_) = г2 (0_) — 0
£1i1(0+) + Mt2(0+) = 0; |
( Mil (0+) -V'Lgig (0+) = 0. f
Полученная система уравнений выражает условие непрерывно-
сти потокосцепления каждой обмотки трансформатора и может
быть записана непосредственно при рассмотрении схемы на
рис. 6.30. Если /Сс — 1, то M=y^LiL2 и из любого уравнения
следует
_ i2(0+) = -K№ii(0,).
Таким образом, полученная система уравнений не позволяет
найти значения токов i‘i(0+), i2(0+), так как при Кс=1 опреде-
литель системы £1£2-Л12 = 0.-Следовательно, правая часть урав-
нений также равна нулю. Для расчета начальных значений токов
необходимо составить дополнительное уравнение.
Так как напряжения иг и и2 трансформатора при Кс=1 свя-
заны соотношениями u,i = ]fLi/LgUs (см. § 9.2) и и2 =— r2i2,
справедливо уравнение
е (0+)= riii (0+) 4* ui (®+) — г1й (0+) — r2^ W L* (0+)
или
е (0+) = rih (0+)h (0+).
^2
Начальные значения токов:
что совпадает с результатами, полученными в § 6.8 при /Сс— 1.
§ 15.5. Основные положения метода переменных ссстсяния
Уравнениями состояния электрической цепи называют
. любую систему уравнений, определяющую режим цепи. В более
узком смысле уравнениями состояния называют систему диффе-.
ренциальных уравнений первого порядка, разрешенную относи-
тельно производных. Метод анализа цепи, основанный на состав-
лении и решений системы дифференциальных уравнений первого
порядка (уравнений состояния), называют методом переменных
kl состояния.
428
Как было показано, закон изменения тока любой ветви i (i)
в переходном процессе для линейной цепи находят путем интег-
рирования дифференциального уравнения n-го порядка:
dni . dn~4 di . г,,,.
Оц^+Цл-i dV1-1 dt ~~F (t), (15.25)
Где F (/)—функция, зависящая от параметров источников. Ана-
логичное дифференциальное уравнение может быть составлено для
любого напряжения и (t).
Уравнение (15.25) сводится к системе п дифференциальных
уравнений первого порядка. Так, полагая
._ di _____ dn~4 _
l — XL> ~dT — ХЪ’ •• • » “Xn>
получаем систему уравнений
dx<
dx9
ИГ~Х*’
(15.26)
’ F(t).
«п-i
an "" * an
dxn-l _ v .
dt —Xn'
dxn _ _ _g(! .. «1 •
dt an 1 a„ 2
Уравнения (15.26) можно записать в матричной форме:
’ Х1 ~ 0 1 0 ... 0 - Х1 ~ 0~
х2 0 0. 1 ... 0 х2 0
Хп-1 = 0 0 0 ... 1 *п-1 + 0 F(i),
Хп «с — «1 — «2 — «П-1 1
«п «п «п - хп _«п~ (15.27)
где xk — dxkldt (А>=1, 2, ... , п).
Система п дифференциальных уравнений первого порядка (15.27)
эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-го порядка
(15.25). Переменными xk системы (15.27) служат ток некоторой
ветви и его производные. Такие переменные называют перемен-
ными состояния, а уравнения (15.27) —уравнениями
состояния. Если известны значения переменных хк в момент
времени /0, т. е. х*(/0), и функция F (t), то с помощью уравне-*
ний (15.27) можно найти значения xk(t) для
Как уже было показано, значения тока (напряжения) любой
ветви и его производных в начальный момент времени t0 опреде-
ляются независимыми начальными условиями — напряжениями на
емкостях и токами в индуктивностях, а также параметрами источ-
ников в момент времени t0. Следовательно, любые токи и напря- •
429 .
жения цепи при 1>10 могут быть найдены по известным значе-
ниям напряжений на емкостях и токов в индуктивностях в момент
времени t0 и известным законам изменения напряжений и токов
источников.
Напряжения на емкостях и токи в индуктивностях следует
рассматривать как основные переменные, характеризующие состоя
ние линейной электрической цепи (переменные состояния), так
как другие переменные, как, например, переменные в уравнении
(15.27), зависят от этих напряжений и токов. В общем случае
переменными состояния называют любые переменные xk (t) (k =
= 1,2, ..., п), которые позволяют определить выходные пере-
менные yj(t) {]=Л, 2, ..., m) для t>t0 по известным значениям
xk(t0) и входным воздействиям Vi(t) (t = l, 2, ..., q). При этом
выходными переменными могут быть токи ветвей и напряжения
между узловыми парами, а входными воздействиями служат напря-
жения источников э. д. с. и токи источников тока.
Выбирая в качестве переменных состояния напряжения на
емкостях и токи в индуктивностях, уравнение состояния можно
записать аналогично (15.27):
. x = A1x4-B1v, (15.28)
где х —столбцовая матрица размера пХ1 переменных состояния;
А! — квадратная матрица порядка n; Bj — матрица размера nxq;
v — столбцовая матрица размера q X Г напряжений источников
э. д. с. и токов источников тока. Элементы матриц А! и Bj опре-
деляются параметрами схемы и ее топологией.
К уравнению (15.28) следует добавить уравнение для выход-
ных (искомых) переменных
y = Aax + B2v, (15.29)
где у — столбцовая матрица размера т X 1 выходных переменных;
А2 и В2 —матрицы, имеющие соответственно размеры тхп и my.q,
элементы которых определяются параметрами и топологией схемы.
Матричное уравнение (15.28) представляет систему дифферен-
циальных уравнений в нормальной форме; уравнения (15.29)
являются алгебраическими.
Метод переменных состояния относится к наиболее универсаль-
ным методам анализа электрических цепей. Он применим 'как
к линейным, так и нелинейным цепям. Для решения систем диф-
ференциальных уравнений первого порядка разработаны численные
методы, позволяющие автоматизировать расчет переходных про-
цессов с помощью цифровых вычислительных машин.
§ 15.6. Составление дифференциальных уравнений состояния
электрических цепей
Применение законов Кирхгофа, В простых случаях уравнения
вида (15.28) и (15.29) составляют с помощью законов Кирхгофа.
Пусть требуется составить уравнения (15.28) и (15.29) для
цепи, схема которой (после коммутации) приведена на рис. 15.18.
430
На основании законов Кирхгофа для узла 1 и контура 1
diL
L~dt~ — Uc — r2iL — e,
где §Х=1/Г1. Эти уравнения можно переписать в следующем ваде:
йс
it
_. gi I ~
С С
I ъ
L L L J
Ис
II
О
1
L
О 3
Таким образом, если в качестве матрицы переменных состоя-
ния выбрана матрица
Рис. 15.18
а матрица параметров источников записана как
Полагая искомыми (выходными) переменными ток и напря-
жение zz2i т. е.
ЧЦ
легко составить уравнение (15.29):
и! FS1 °1ГИс1
h2J [О /aJlAj
431
Следовательно, для рассматриваемого примера
А2 —
gi О'
О г21
В2 =
О 01
О 0J
Применение принципа наложения. На основании принципа
наложения можно составить уравнения (15.28) и (15.29), если
Рис. 15.19
в цепи нет емкостных контуров и
индуктивных сечений, включая
контуры, состоящие из емкостей ц
источников э. д. с., и сечения, со-
стоящие из индуктивностей и ис-
точников тока.
На рис. 15.19 показана схема,
в которой выделены все емкости и
индуктивности. Часть схемы, изо-
браженная в виде прямоугольни-
ка, содержит только резистивные
элементы и источники э. д. с. и то-
ка. .Если в схеме нет емкостных
контуров и индуктивных сечений,
то напряжения всех пс емкостей
и токи всех nL индуктивностей
выбирают в качестве переменных
Для токов в емкостях
ведливо соотношение
состояния.
и напряжений на индуктивностях, спра-
или
(15.30)
где ic(Ui) и Uc( 1ь) —столбцовые матрицы соответственно токов
в емкостях (напряжений на индуктивностях) и производных от
напряжений на емкостях (токов в индуктивностях); С (L) — диаго-
нальная матрица емкостей (индуктивностей) схемы.
Заменяя емкости источниками э.д.с., а индуктивности — источ-
никами тока (рис. 15.20), токи в емкостях 1с и напряжения на
индуктивностях и£ находим по принципу наложения:
ic = Hccuc 4- Hciijr НСее 4- HCjJ;
UL = Hicnc 4- Hjrjrii 4- 4- H£jJ,
432
(15.31)
где е и J —столбцовые матрицы напряжений источников э. д. с.
и токов источников тока; матрицы Нсс, НС£ и другие определяют
связь между соответствующими пе-
ременными в схеме на рис. 15.20.
Например, при i£ = 0, е = 0 и
J = 0 из первого уравнения систе-
мы (15.31) получаем ic = Hccuc;
следовательно, элементы матрицы
Нсс представляют собой входные
и взаимные проводимости ветвей
с источниками цс. Аналогично
можно убедиться, что элементы
матриц НСе являются входными
и взаимными проводимостями вет-
вей с источниками ис и е; эле-
менты матриц Нс£, НС7—коэффи-
циенты передачи тока соответст-
вующих ветвей; элементы матриц
Н£С. Н£е — коэффициенты передачи
Рис. 15.20
напряжения; элементы матриц Н££ и Н/7 — входные и взаимные
сопротивления соответствующих ветвей.
Уравнения (15.31) можно переписать в виде
ic _ Нсс НС£ ис
_u£ |Н/с Н££ i£
НСе
Н!г
Нс Л Ге
hJLj
(15.32)
Приравнивая правые части уравнений (15.30) и (15.32),' полу-
чаем уравнение
uc
ii.
С Т*
L
Hcc HC£ I Uc
Hlc H££ 1i£
Hee HCy]fe
h£/
(15.33)
С
L
J
Данное уравнение совпадает с
(15.28), если принять:
е I
J Г
Ах —
uc I
kJ
C
L
IM’
Нс/Т
(15.34)
(15.35)
х =
V —
l-1 ГНсс Hc£
I _Hrc
ГГНсе
I |H/.e
Уравнение (15.29) для выходных
составить по принципу наложения. Если
переменных также
можно
У
- - 433
где 1ц и2 —столбцовые матрицы соответственно выходных токов и
напряжений, то по аналогии с уравнением (15.32)
«1 =
и2 Н2С Н2д
fH1C H.z
н3
_Н2е
fie «1
hJLjJ’
(15.36)
где элементы матриц Н1С, Н1£, Н2С, Н^, Н1е, Hv, Н2е, Н2, пред-
ставляют собой соответственно входные и взаимные проводимости,
коэффициенты передачи тока, входные и взаимные сопротивления,
коэффициенты передачи напряжения соответствующих ветвей. Таким
образом, в уравнении (15.29)
ГН1С
LH2C
Hie
Н2е
Aa —
B2 =
IV
н2£_
НтЛ
Н2Л
[(15.37)
(15.38)
для цепи и a
Пример 15.8. Составить уравнения вида (15.28) и (15.29)
рис. 15.21, а с помощью принципа наложения.
Решение. Пусть
«С
lL
тогда общие уравнения (15.32) и (15.36) принимают вид
^Се ад,
,Hle "Л
v=
lc
ul.
НСС ^CL
Plc hll
х =
е
J
е
J
U2~~[^2C ^21]
~иС
А.
Заменяя емкость источником э. д. с., а индуктивность—источником тока
(рис. 15.21,6), определим Нсс, HCL и т. д.
Сначала в схеме на рис. 15.21, б исключим источники i,, ег J, т. е. приа
Мем 1д=0, е=0 и J—0. Тогда
2 л
UL~°- uz
И.
434
и следовательно,
нсс=~
Если
; Я£С=0;’ Я2С = —2—
С 2С q + ra
поэтому
ic=o;
е=0 и J =0, то
2л1г2 •
• If, и
г-. -4- г» ь *
UL
Г1Г2 ;
, ‘£.
—=0;
lL
Полагая в схеме на
Ur 2Г1Г2
ТТ ___________ -L Л . YJ
LL~ i ~ r i r • n2l r
lL rl + r2 lL rl-t-r2
рис. 15.21, 6 Uq=0, »£=0, J=0; e^O, найдем!
гг
Ы2 Vi
1
-—е>
И;
е; и2=0;
ir 1
НСр — — =—r
Се е Гт +
U,
При в=0, ис—0, i£=0,
г. -4-
; н
UL
2/_ J
J:
Матрицы Aj и Bi вычислим в соответствии с выражениями (15.34) и (15.35).
учитывая равенство
ГС ОТ-1
1° d
В результате уравнения (15.28)
ис
I,
2
С (zi+a2)
2г1Г2
Ь ('Ч + 'г) -
П/С о т
l° vd ’
(15.29) принимают
1
С (Г1 + Г2)
£з
вид
и2=
rfz
ис
-L (<1 + ^2)
Ъ 1
С (Г1 + гг>
гУг
L ('i+'г)-
иС
А _
V2.
НCL'~
1С
О
О
2
и
Применение топологических соотношений. Рассмотренная мето-
дика составления уравнений (15.28) и (15.29) с помощью принципа
наложения непригодна, если в схеме цепи имеются емкостные
контуры и индуктивные сечения, так как в таком случае нельзя
записать уравнение (15.32). Для произвольных цепей (с емкост-
ными контурами, индуктивными сечениями, а также электронными
элементами), если воспользоваться топологическими матрицами
сечений и контуров, уравнениями Кирхгофа в матричной форме
и уравнениями для схемных элементов, могут быть составлены
уравнения состояния. Уравнения состояния произвольных цепей
можно привести к виду (15.28). При этом в правой части появятся
дополнительные слагаемые, содержащие производные от напряжений
435
источников э. д. с. и токов источников тока. Подробно такие
уравнения здесь не рассматриваются.
Порядок матрицы Ах в уравнении (15.28), определяемый числом
переменных состояния, в схеме без емкостных контуров и индук-
тивных сечений равен суммарному числу емкостей и индуктивно-
стей *. Каждый емкостной контур и каждое индуктивное сечение
уменьшают на единицу порядок матрицы Ах, поскольку в качестве
переменных состояния выбираются толцко независимые напряже-
ния на-емкостях и токи в индуктивностях.
§ 15.7. Способы решения уравнений состояния
Аналитические выражения для решения уравнений состояния.:
Если в цепи. исключены источники (v = 0), то уравнение (15.28)
принимает вид
х = Ахх. (15.39)
Полученное уравнение характеризует свободные процессы
в цепи. Решение этого уравнения выражается формулой
* x = eA‘zx(0), (15.40)
где- eA*z = exp (Ах/) — матричная экспоненциальная функция; х (0)—
вектор начальных значений переменных состояния (/о = О). Для
того чтобы убедиться в справедливости выражения (15.40), можно
подставить его в уравнение (15.39) ** и получить тождество
АхеА*<х (0) = АхеА1/х (0).
Если матрица параметров источников v^O, то решение урав-
нения (15.28) можно представить как произведение:
х»еА*Ф(0, (15.41)
где F (t) — некоторая матричная функция времени. Дифференцируя
выражение (15.41), получаем
х = AxeAi/F (04-eA>'F (t) = Ахх+еА*Т (/). (15.42)
Из сравнения уравнений (15.28) и (15.42) следует
еА-Ф (t) = Bxv. (15.43)
После умножения обеих частей равенства (15.43) слева на
матричную функцию e~AiZ и интегрирования определяем
t о t
F(/)= § e~Ai'Bxv (т) dt = e~A*TBxv (т)йт + Je—Ai'Bxv(t) dr.
—co —oo 0
* Порядок матрицы Ax называется часто порядком сложности схемы и сов-
падает со степенью характеристического уравнения.
** Правила дифференцирования матричных функций аналогичны правилам
дифференцирования скалярных функций.
436
Таким образом, решение (15.41) записывается как сумма:
о I
х = еА,< AiTB1v(т) dT-f-eAi< § е—AiTBxV (т) dt. (15.44)
—со О
Подставляя в полученное выражение значение / = 0, находим
о
х (0) = e~A*TBiV (т) dt.
—со
Таким образом, окончательное решение уравнения (15.28)
имеет вид
t
х = еЛ^х (0) + eA,z J e-A^BiV (т) dt. (15.45)
о
Решение этого уравнения является суммой двух слагаемых:
первое слагаемое определяется начальным состоянием цепи (реак-
ция-цепи при «нулевом входе»: v=0), второе слагаемое опреде-
ляется действием источников [реакция цепи при «нулевом состоя-
нии»: х (0) = 0].
С учетом соотношения (15.45) матрица выходных переменных
(15.29) выражается равенством
t
у = А2еА**х (0) + А2еА^ § е~ A*TBxv (т) dt + B2v. (15.46)
о
Если в цепи действует только один источник э. д. с. (или тока),
представляющей единичную функцию, то v (t) — 1 (t) и при нулевых
начальных условиях х(0) = 0 решение (15.45) принимает вид
х = еА*'[ - еА*т Аг1]^! == еА*‘ (1 - е~Л*') Af'Bx
или
х —(eA*z —1) Аг*Вх. (15.47)
В этом случае матрица выходных переменных •
у- А2(еА*' — 1)АГ‘В1 + В,. (15.48)
Формулы (15.47) и (15.48) выражают соответствующие пере-
ходные характеристики цепи.
Если в цепи действует источник импульсных э. д. с. или тока,
т. е. — то при нулевых начальных условиях получается
t ' ' t
х = eA*z J е“Л1ТВхб (т) dt = eA**Bx J б (т) dt,
о о ‘
так как подынтегральное выражение отлично от нуля только при
'г = 0. Следовательно, при действии импульсного источника
х = еА«Ъх, (15.49)
у = А2еА^Вх + В2б (/). (15.50)
437
.Полученные формулы выражают соответствующие импульсные
характеристики цепи.
Как видно из формул (15.45) -г- (15.50), главным при решении
уравнений состояния служит вычисление матричной экспонен-
циальной функции еЛ>/. Известны различные аналитические способы
вычисления этой функции; далее будет рассмотрен один из таких
способов.
Пусть через %z(i=l, 2, ..., п) обозначены собственные зна-
чения матрицы Ai, т. е. корни уравнения
A(X) = det(Xl-A1) = O, (15.51)
где матрица 1 имеет порядок, равный порядку матрицы Аъ т. е. п.
Собственные значения матрицы Ах совпадают с корнями харак-
теристического уравнения цепи. Действительно, если, производную
xt{ = dxk/dt в (15.39) заменить на рх,., то уравнение (15.39) можно
переписать в виде
рх —AxX = (pl — Ai)x = 0. (15.52)
Характеристическое уравнение получаем, приравнивая к нулю
определитель системы (15.52):
A(p) = det(pl-Ar) = O. (15.53)
Корни уравнений (15.51) и (15.53) одинаковы.
.Матричная функция eAiZ наиболее просто вычисляется, если
собственные значения матрицы Ах различны. Общее выражение
для искомой матричной функции
еА^ = а01 +a1A1 + a2A*+..- + a«-iA"-1, (15.54)
где а0, ai> —некоторые функции, подлежащие определе-
нию; А* = АХАХ; А® = AiAiAi. и т. д. Для нахождения функций aOf
ссх, — i an-i образуют полином
F (%) = a0 + «i%4-. • • + (15.55)
и составляют уравнения:
или
Из этих уравнений получаем
«о
ах
(15.57)
438
Подстановка функций (15.57) в (15.54) дает искомое решение.
Если среди собственных значений матрицы Ах есть кратные
значения, то общие выражения (15.54) и (15.55) останутся спра-
ведливыми, а уравнения для определения функций а0, ...,
изменятся. Так, если ^- — собственное значение кратности т;, то
составляют tni уравнений:
eV=F(M;
dX |Х=Х{-'“ dX
d*& I
dX2 ~ d2X [X=Aj>
dmi V7 _
Лтг'
dmt~ XF (X)
dm-’x
Л,----
Составляя такие уравнения для каждого собственного значения
и решая их совместно, определяем функции сс0, «х, • • •, ап-
Пример 15.9. Для цепи на рис. 15.18 определить ix (t) и и2(0> есяи
j (f)=0; e(t)—l(t); ri—0,5 Ом; т2=2,5 Ом; С—1 Ф; L=0,5 Г. Начальные
условия: «с (0)=0, i£(0)=0.
Решение. Уравнения состояния цепи получены в § 15.6 при условии,
что в цепь включены источники тока и э. д. с. Если источник тока отсутствует
(7(1)=0), то матрицы АЛ и А2 не изменяют своих значений:
Матрицы Bj и В2 при наличии в цепи только источника э. д. с. e(t) при-
нимают вид
L L J
Так как напряжение источника э. д. с. представляет единичную функцию;
Для выходных переменных справедливо выражение вида (15.48)
Г2 ОК,, П Оф Г 01 Г01
1 I I |JPAd I I Д—1 I I | I I
«J L° 2.5jt L° di 1 L—2J+L°j
Для вычисления матричной функции eAlt следует найти собственные зна-
чения матрицы Ах из уравнения
A(X) = det(P °]-Г“2 “4 = det[X+2 Ч}=(Х+2)(Х+5)+2=0
или
Х2 + 7Х+12=0,
откуда Хх=—3; Ха = — 4. Так как порядок матрицы Ах и=2, полином F (X)
имеет первую степень:
Е (X)—сХр ссхХ.
439
Функции «о и аг определяем из уравнений
И ' е-а*=а0—Зах;
е-4<=сс0—Зоь
откуда a0=4e-s< —Зе~4/; а1=е“з/—е~4<. <
Матричная функция
eAl<=aoi-j-a1A1=(4e-aZ—Зе-4/) jJ+(e-a/—е-4/)£ 2 _gj=
[2е~аг—е~л1 —е^-ре-4* 1
2е-а/—2e~4f — e~^+2e-4/J
Матрица, обратная матрице Ах,
А1_г-2 -п-^хг-5 ч
А — [ 2' —5J 121—2 —2р ‘
Подставляя выражения для eAiZ и А^1 в формулу для выходных величин,
получим
qi — уе^+е-^+4'
«.J Ae-a<-4-Ae-4f_A
L 3 '2 6 J
*
В рассмотренном примере выражение для 4 совпадает с переходной взаим-
ной проводимостью, а выражение для н2—с переходным коэффициентом пере-
дачи напряжения.
Численные методы решения уравнений состояния. Матричная
экспоненциальная функция может быть представлена , в виде ряда
1 Vi
eA^i + A^ + ji- А^ + ...= 2 Т-
k = 0
Если1 ограничиться конечным числом слагаемых, то вычисление
матричной функции еЛ1/ можно свести к умножению и суммирова-
нию матриц, что нетрудно выполнить с помощью ЦВМ.
Уравнения состояния проще всего решаются методом числен-
ного интегрирования — методом Эйлера. При численном интегриро-
вании интервал интегрирования разделяется на ряд отрезков —
шагов. Не снижая общности, шаг h можно считать постоянным. Зная
начальное значение переменных состояния х(0), сначала необхо-
димо вычислить x(/i), затем х(2й) и т. д.
Матрицу переменных состояния для («+1)-го шага х [(«+1)Л]
можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь слагаемым, содер-
жащим первую производную:
x[(n+l)h]=x(nh) + hx(nh). (15.58)
Подставляя в равенство (15.47) выражение
х (nh) — Ахх (nh) 4- Bxv (nh),
записанное согласно уравнению (15.28), получим
х [.(n-f-1) h] = (1 4-ftAi)x(n/i)4-/iBiv(n/i). (15.59)
440
Формула (15.59) представляет собой расчетную формулу для
вычисления ^переменных состояния по методу Эйлера В Соответ-
ствии С ЭТОЙ формулой 1 соответ
X (й) = (1 + ЙАХ) X (0) + /iBiV (0); \
х (2h) = (1 + h Aj) x (й) -J- /iB1V (Й)
и т. Д.
- Процесс вычисления значений x[(n-]-l)/i] легко автоматизи-
руется.
Так как разложение (15.58) в ряд Тейлора содержит только
одну производную, точность расчета по методу Эйлера может быть
недостаточно высокой. Известны более точные методы численного
интегрирования: метод трапеций, методы Рунге —Кутта и др.
(см. приложение 1).
ГЛАВА 16
ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
§ 16.1. Преобразования Лапласа
Прямое и обратное преобразования Лапласа. Линейные диффе-
ренциальные или интегро-дифференциальные уравнения с постоян-
ными коэффициентами могут быть решены с помощью интеграль-
ных преобразований Лапласа или Карсона. Различным функциям
вещественной переменной (времени t) эти преобразования ставят
в соответствие функции комплексной переменной р = о /со и
наоборот*. Наибольшее применение находят интегральные пре-
образования Лапласа.
Прямое преобразование Лапласа функции времени /(/) опре-
деляется соотношением
F(p) = \ (16.1)
о
Функцию f(t) называют оригиналом, а функцию
F (р) — изображением по Л all ласу функции f(t) **.
Изображение по Лапласу существует, если интеграл в правой
части равенства (16.1) сходится. Можно доказать, что для функ-
ций времени f(f), удовлетворяющих условиям Дирихле на любом
конечном интервале времени, равных нулю при /<0 и ограни-
ченных неравенством
|/(01<МеЧ
где о'0>0‘> Л4>0, интеграл (16.1) абсолютно сходится в области
Де р = о > о0- Изображение F (р) является аналитической функ-
цией комплексной переменной р в области сходимости интеграла.
Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F (р) ~
записывают в виде
или
К(р) = ^[/ (01-
Решение интегрального уравнения (16.1) относительно ори-
гинала
<7+/со
5 F^ePtdP <16-2)
о —/со
* Комплексную переменную p = a-P/w следует отличать от переменной
p=d!dt, обозначающей оператор дифференцирования.
** В отличие от изображения по Лапласу изображение по Карсону опре-
оо
деляется равенством F* (р)=р \ z~ptt
О
442
называют обратным преобразованием Лапласа и
обозначают
^-1[/7(Р)]=Н0.
Интеграл в правой части равенства (16.2) следует понимать
как предел
lim F (р) ept dp.
со —> оо о —
Интегрирование осуществляется по бесконечной прямой, парал-
лельной оси /со и расположенной в области сходимости инте-
грала (16.1), т. е. при о>о0. .
Основные свойства прямого преобразования Лапласа *g
1. Свойство линейности. Если
^(p) = ^[M0L
2>Л(Р) = ^ ! (16.3)
/г I k\ J
где ак — некоторые постоянные (k — 1, 2, ...). Согласно равен-
ству (16.3), изображение линейной комбинации, функций fk (t)
представляет собой линейную комбинацию изображений Fk(p).
' 2. Теорема запаздывания. Изображение функции f(t —10) имеет
вид
U(i - М] = (0] = (р). (16.4)
3. Теорема смещения. Изображение функции е-шу (() имеет вид
^[е-к7(0] = Е(р + а), (16.5)
где а—положительная или отрицательная постоянная.
4. Умножение изображений. Изображение свертки
fi(0 и f2(() равно произведению изображений:
R fl (t - Т) h fr)л] = Fr (р) Fz (р).
-о
функций
(16.6)
5. Предельные соотношения. Если существует предел lim f(t), то
с-*о+
lim f (t) = f(O+) = lim [pF (p)]. (16.7)
/ 0+ p —> co
Если существует предел lim f(t), то
£ —> CO
lim f (t) = lim [pF (p)]. (16.8)
t —> co p -> 0
* Основные свойства преобразования Лапласа, вытекающие из соотноше,
ння (16.1), приводятся без доказательства. Доказательство этих свойств рас-
сматривается в курсе математики.
443
6. Изображение производной. Изображение производной
.Г
связано с изображением F (р) функции f (t) соотношением
Z[f'(t)] = pF(p)-f(% (16.9)
где /(0) = /(0+). Изображение п-й производной имеет вид
[? (0] = PnF (Р) ~ Рп~Ч (0) - р"-2/ (0) . - f (0). (16.10)
В частном случае при нулевых начальных условиях
^[/'(0]=р^(р); (i6.li)
^Un(t)]^PnF(p). " (16.12)
7. Изображение интеграла. Изображение интеграла
\f{t)dt
О
находят через изображение F (р) функции f (/) следующим образом:
% \f(t}dt =F(p)lp.
-о
(16.13)
оо
1
“ р’
О
Изображение некоторых функций времени. Для заданной функ-
ции f (t) изображение может быть найдено по соотношению (16.1).
Так, если f (/) представляет собой единичную функцию/ (0 = 1 (/), то
оо
F(p)= \ e~ptdt=—
о
т. е.
^[1(01 = 1/р.
Изображение дельта-функции
F (р) = f е-Р'6 (t) dt = f б (/) dt = 1,
о о
так как произведение
(6(0 при 1—0
е-р'б(/) = {F л
( 0 при t Ф 0.
Полученный результат справедлив, если нижний предел инте-
грального преобразования равен / = 0 = 0_. В этом случае в (Г6.9)
;/(0)=/(0_) и на основании этой формулы
^[б(О]=^(Г(О] = Р7-1(О-) = 1-о=1,
так как, по определению единичной функции, 1(0) = 0 при КО.
Таким образом, непосредственное вычисление изображения или
444
применение соотношения (16.9) приводят к одинаковому результату:
^[б(0] = 1.
Изображение показательной функции eGZ(/>sO)
оо
(* • . . л t loo
F (р) = \ e-P(eai dt — — - = ——,
J . p —a |o p—a’
о
T. e.
^[e«]=l/(p-a).
Аналогично могут быть получены изображения других функ-
ций. Некоторые оригиналы и их изображения по Лапласу при-
ведены в табл. 16.1.
Таблица 16.1
Некоторые оригиналы и их изображения по Лапласу
Оригинал f (О при С | Изображение Д (р)
1(0
«(0
а
ab(f)
^a,t
t
\ sin coof
cos од?
sin(G>0(+^)
cos (co^+if)
e_«( sin aj
e~«* cos Юр/
/e-af
In-1)1 ’ («=!. 2. —)
1
P
1
a
P
a
1
p—a
£
P2
to0
P2 + <B2
P
. P2+«?
p sinip+raocosip
P2+«?
pcosifr—(o0 sin ф
P2+«o
top
(p + a)2+<og
p+«
(p+«)2+®2
1
(p+«)2
___1
(p+«)"
Следует найти выражение для изображения периодической
функции /(/) на рис. .16.1. Функцию можно представить как
'-умму:
/ (0 = h (0+fi (t - Т)+fi (t - 2T) +...,
445
где МО— НО ПРИ — — при T^t^2T
и т. д.
Если X [fj (/)] = Fi (р) — изображение функции /х (I), то на осно-
вании свойства линейности и теоремы запаздывания изображение
функции f(0
ff (0] = [/1 (0]+% [fl If - Г)] +
+ ^[/i(/-27’)] + ... = Fi(p) + e-J'₽F1(p) +
+ е-2Г₽Е1(р) + >.. = Л(р)[1+е-г₽ + е-2Г₽ + ..,].
Учитывая, что сумма бесконечного ряда
1+x+x2 + ... = j^-j при |х|<1,
легко получить выражение для изображения
«l/Wl-j^j. (16.14)
Полученным соотношением пользуются при определении
в замкнутой форме установившихся напряжений и токов в цепи
с периодическими негармоническими возмущающими воздействиями.
Теорема разложения. Изо-
.... . Сражения F (р) различных функ-
*' ' f,(t) tyt-T) ft(t-ZT) ций времени /(/) в общем слу-
' чае можно представить в виде
f V у V дроби:
2Г ' ЗТ 1 F(p) = A(p)/B(p). (16.15)
Рис. 16.1 о
Значения аргумента р, удов-
летворяющие условию F(p) = 0,
называются нулями функции F (р), а значения аргумента р,
при которых l/F(p) = 0 или F(p) = oo, — полюсами этой функ-
ции. Конечные значения нулей и полюсов могут быть найдены
соответственно как корни уравнений А (р) = 0 и В (р) = 0. Если,
например.
B(p)^(p-Pi)mi(p-P2)mi (P~Pn)mn,
то p = Pk = 2, ..., п)— полюс кратности tnk. В част-'
ном случае при mk = 1 полюс pk называют простым. Анало-
гично можно говорить о кратных и простых нулях.
Полюсы относятся к особым точкам функций F (р). В пассив-
ных электрических цепях функции F (р), представляющие собой
изображения напряжений и токов, имеют особые точки — полюсы,
которые расположены в левой ' полуплоскости комплексной пере-
менной р = ог + /со или на мнимой оси*. Как правило, изображе-
ния напряжений и токов равномерно стремятся к нулю: F (р)—>-0>
если р оо в левой полуплоскости. При выполнении такого усло-
вия интеграл в правой части соотношения (16.2), как известно,
* Расположение полюсов и нулей подробнее будет рассмотрено в гл. 13,
446
„авен сумме вычетов подынтегральной функции F (р) ept во всех
полюсах pk функции F (р). Таким образом, оригинал
НО Res [f(P)ep/] при t>Q. (16.16)
k p = f>k
Если функция F (p) имеет полюс порядка m* в точке р = рй,
то функция Ф (р) = (р — Pk)m,iF (р) ept будет аналитической в точке pk
и ее можно разложить в ряд Тейлора:
, , Ч I dO
Ф (р) = Ф (pft) 4
< Jmb—
I \ । । * d ” Ф
(р-Р*)4-..-4--------------гг
dp P^Pfe (т/{— 1)! dp k
r=Pfe
При этом
F{p)^= Ф(^
(Р-Ра) K
+ ... +-------
(mk— 1)!
Х(р-Рй)”4 ’ + — +
mkl dp k
= Ф(Р*)(Р-Р*) mkA
. (р-Р*Гт*+14-
p=₽ft
,__i_ d-ftp ,
h ’ dpmK .......
Записанный ряд представляет собой ряд Лорана для функции
Р(р)еР/, а коэффициент при члене (р —р*)-1 является вычетом
этой функции в полюсе рА:
Res F (р) е* =------1 -- [(р - pk)mk F (р) e₽zH
(mk— 1)! (dp k }P=Pk
При mk = 1 вычет
Res F (p) epi = (p- pk) F (pft) e₽^.
С учетом полученных выражений для вычетов и на основании
равенства (16.16) можно _ записать следующие формулы для ори-
гинала:
2 1 ( h---1 "k
(4^1(Р-Р»)"*Г(₽)<4 (16.17)
k (mk~ 1)1 (dp * )p=pk
ИЛИ
f(0 = S(P-P*)f (pk)^. (16.18)
k
Формула (16.17) справедлива, если полюсы функции F (р)
Имеют любую кратность тк^\. Формула (16.18) справедлива,
если все полюсы F (р) простые; так как в этом случае
(p-pe)F(₽)=(p-p.)4®-4®-.
соотношению (16.18) можно придать другой вид:
<16J8a>
А к
Если полюсы р{ и р1+1 — комплексно-сопряженные: pi+1 = plt
то соответствующие два слагаемых в правой части равенства
(16.18а) можно заменить одним:
А & = 2Re [AtaL е₽/
В' (Pl) В’ (pi) L В' (Pi)
Формулы (16.17), (16.18) или (16.18а) выражают теорему раз-
ложения для вычисления оригинала при кратных и простых полю-
сах изображения.
Часто изображения токов и напряжений представляют собой
дробно-рациональные функции, т. е. отношение двух полиномов
переменной р, причем степень полинома числителя А (р) ниже
степени»полинома знаменателя В(р). В таком случае оригинал
можно найти с помощью разложения изображения, на элементар-
ные дроби. Если, например,
р ______________(Р) ।__________
(Р-РгГЧР-Р^+О-СР-Р»)’
т. е. изображение имеет полюс pi кратности й простые полюсы
Рт,+ь .... Рп> то разложение на элементарные дроби имеет вид
. «рч + 1 .
P-Pm1+1 Р-Р„’
(16.19)
где
(Mi—1)1 I dp 1 Jp=p.
, - om ItS Kp - Pi)m*F (p)]} ;
(ГП1—2)! I dpmi * )p=Pt
Kmt = [(p - pi)"11 F (p)]P=P1;
Kv = [(p-Pv)P(p)]p=pv (V=m1+1,.... n).
Оригинал каждой дроби разложения (16.19) может быть най-
ден с помощью табл. 16.1. В результате
f (о=(/<i+^+... 4-^2i)i-).eP/ + 2 (16.20)
V=mi+1
Для дробно-рациональных функций вычисление оригинала
о помощью разложения на элементарные дроби эквивалентно
применению теоремы разложения.
443
к — — — — — — — — — — — —
§ 16.2. Уравнения электрических цепей в операторной форме
Операторные уравнения и эквивалентные схемы для элементов
электрической цепи. Операторные уравнения для элементов элек-
трической цепи получают из соответствующих уравнений, связы-
вающих мгновенные значения напряжений и токов. Так,'резистор
с сопротивлением г характеризуется уравнением u = rl. Переходя
к изображению U (р) — £ [н (()] и учитывая свойство линейности
для изображений, получаем операторное уравнение
(7(Р) = г/(Р), (16.21)
где
/(?)=<£[/(01,
ИЛИ
/(p)=|(>(p) = gU(p). (16.21а)
Таким образом, резистор характеризуется операторным-Сопро-
тивлением г или проводимостью £ = Г-1.
Напряжение и ток индуктивности связаны соотношением
u = Ldid.dt. При переходе к изображениям с учетом равенства
1 (16.9) имеем
U (р) —pLl L(p) —LiL(0) (16.22)
или
1 i, (0)
fL(p}= — U(p)+-^. (16.22а)
Выражениям (16.22) и (16.22а) соответствуют операторные
эквивалентные схемы индуктивности на рис. 16.2, а, б. Индуктив-
ность характеризуется операторным сопротивлением pL (проводи-
мостью \/рЬ), а начальное значение тока iL (0) учитывается в виде
последовательного источника э. д. с. LiL (0) (рис. 16.2, а) или
параллельного источника тока t/.(O)/p (рис. 16.2,6). Следует
отметить, что выражение (16.22а) можно получить также из ра-
венства
t t
udi~iL(0) + ^- udt
—co 0
с помощью соотношения (16.13).
Напряжение на емкости и ток в ней связаны уравнением
i = С duc/dt, дуальным уравнению индуктивности. Для изображе-
ния получаются соотношения, дуальные (16.22) и (16.22а):
I (р) = pCUc (р) - Сис (0); (16.23)
1 «г- (0)
^с(р)=7с/(р)+“2-. (16.23а)
Две операторные схемы для емкости показаны на рис. 16.3, а, б\
эти схемы дуальны схемам на рис. 16.2, а, б. Емкость характе-
16 п/р. Ионкина, т, 1
449
ризуется операторным сопротивлением 1/рС (проводимостью рС),
а начальное значение напряжения tic (0) учитывается в виде
параллельного источника тока Cue (0) или последовательного
источника э. д. с. ис (0)/р *.
Рис. 16.2
Рис. 16.3
Источникам э. д. с. е (t) и тока J (t) соответствуют источники
с операторным напряжением S (р) = X [е (/)] и током J (р) =
= X [J (/)]. Аналогич-
ное утверждение спра-
ведливо для зависимых
источников, которые
входят в эквивалентные
схемы электронных ламп
и транзисторов.
Заменяя каждый эле-
мент электрической це-
пи его эквивалентной
0 операторной схемой, не-
трудно составить опера-
торную схему цепи. На
рис. 16.4, а показана
отдельная ветвь исход-
ной схемы цепи, а на
рис. 16.4, б —оператор-
ная схема этой ветви. Индуктивность и емкость ветви на рис. 16.4 а,
заменены последовательными эквивалентными схемами (см. рис.
16.2, а и 16.3, б). На основании свойства линейности для изобра-
жений алгебраической сумме напряжений
U = Ur tli, Uq — С (f)
* В ехемах на рис. 16.2, а, б и 16.3, а, б указаны операторные сопротив-
ления элементов.
450
соответствует сумма изображений
(7 (Р) = Ur (Р) + Ul (Р) + UC (Р) — (Р),
а сумме токов
h = i + J (t)
__сумма изображений
Il(P) = 1 (p)4-J(p).
Поэтому для изображения напряжения на зажимах ветви опе-
раторной схемы с учетом равенств (16.21), (16.22), (16.23а) полу-
чаем выражение
U (P)=\r + PL+~i^c) (p) + J (p)J - S (р) - Lil (0)4--^еД
или
V (р) = Z (р) 17 (р) + J (Р)] - S (р) - Lii (0) + (16.24)
где Z(p) = r + pL4-(l/pC) —операторное сопротивление ветви. При
q'(0) = 0 и пс(0) = 0 выражение (16.24) упрощается:
U (р) = Z (р) [7 (р) + J (P)J - #(р). (16.24а)
На основании равенства (16.24а) ток
/(Р) = ^(Р)1^(Р) + ^(Р)1-/(Р), (16.246)
где V (р) = 1/Z (р) — операторная проводимость ветви.
Соотношения (16.24), (16.24а) и (16.246) представляют собой
закон Ома для участка цепи с э. д. с. и источником тока в опе-
раторной форме. Эти соотношения можно записать непосредст-
венно по операторной схеме на рис. 16.4, б. При нулевых началь-
ных условиях выражения (16.24а) и (16.246.) аналогичны соответ-
ствующим выражениям, связывающим комплексные напряжение
и ток ветви в установившемся режиме для цепи с источниками
гармонических э. д. с. и токов. Формально выражения (16.24а)
и (16.246) могут быть получены из соотношения между комплекс-
ными напряжением и током при замене /ю на р (и наоборот).
При ненулевых начальных условиях напряжения дополнительных
источников Lii (0) и ис (0)/р алгебраически суммируются с напря-
жением источника S (р).
Если в схеме имеются индуктивно связанные элементы
(рис. 16.5, а), то из уравнений
dif dib
u^L^+M-^-
dif r dib
Ub~M~dr+L,t~dr
при переходе к изображениям получаем:
U, (р) = pL/Ij (р) 4- pMIk (р) - Ljif (0) - Mik (0); 1
Uk (р) = pMl, (р) 4-pLklk (р) -Mi, (0) -Lklk (0). f
15*
451
Уравнениям (16.25).для изображений соответствует эквива-
лентная операторная схема на рис. 16.5, б. Следовательно, вза-
имная индуктивность характеризуется операторным сопротивле-
нием рМ\ дополнительные источники учитывают в общем случае
ненулевые начальные условия.
Матричные уравнения цепи в операторной форме. Уравнения
(16.24 а) и (16.24 б), записанные для всех ветвей операторной
схемы, можно объединить в матрич-
ные уравнения:
U(B)(p) = ZW(p)[p)(p) +
+ J<E)(p)]-^B)(p) (16.26)
или
p)(p) = Y<E)(p)[U(E>(p) +
+ g(B)(p)]_jlB)(p), (16.26а)
где U(E’(p), 1(Е)(р) и ^(в)(р), J(B)(p)
— соответственно столбцовые матри-
цы изображений напряжений, токов
ветвей и напряжений источников
э. д. с., токов источников тока вет-
вей; Z(B) (р) и Y(B) (р) — квадратные
матрицы сопротивлений и проводи-
мостей ветвей в операторной форме,
причем Y(E) (р) = [Z(E) (р)]-1. Для це-
пей, не содержащих взаимной индук-
ции и электронных элементов, мат-
рицы Z(E> (р) и Y(B) (р) диагональны.
При наличии взаимной индукции эти
матрицы имеют внедиагональные элементы вида pM,k = В
схемах с электронными лампами и транзисторами появляются не-
симметричные внедиагональные элементы матриц Z(B) и Y(E) (см.
§ 9.5). Дополнительные источники, обусловленные ненулевыми
начальными условиями, можно учесть, например, в матрице ё(в);
при этом вид уравнений (16.26) и (16.26а) не изменяется.
Так как уравнениям по законам Кирхгофа = ® и = ®
к к
соответствуют на основании свойства линейности уравнения для
изображений ^1ь(Р) — ® и = для операторной схемы
k k
справедливы матричные уравнения:
А1(Е)(р) = 0; (16.27)
BU(E)(p) = 0. (16.28)
Аналогично для этой схемы справедливы соотношения:
U(E) = Ат<р(р); (16.29)
U<E> = QTU<"> (р); (16.30)
!(») = Вт1<к> (р), (16.31)
452
где ф (р), и1д)(Р) и 1(к) (р) — соответственно столбцовые матрицы
изображений узловых потенциалов, напряжений ветвей дерева и
контурных токов.
Из соотношений (16.26)-г-(16.31) следует, что узловые урав-
нения, уравнения с напряжениями ветвей дерева и контурными
токами в операторной форме аналогичны соответствующим урав-
нениям для установившегося режима при гармонических токах и
напряжениях. Все методы расчета цепей с источниками гармо-
нических (постоянных) э. д. с. и токов пригодны и для расчета
- операторных схем.
Переходя к изображениям, можно получить операторную
форму уравнений состояния (15.28) и (15.29)*:
Р^ (р) - х (0) = (р) + Вх V (р);
3/(P) = A2^(p)4-B2V(p),
где х(0) —матрица начальных значений переменных состояния.
Из этих уравнений получаем
(pl-A1)^(p) = x(O)-f-B1V(p).
или
^’(p) = (pl_A1)-1x(O) + (pr-A1)-iB1V(p), (16.32)
У (Р) = Аг (pl - Аг)-1 х (0) + [А2 (pl - Ах)-1 Bi 4- Вг] V (р). (16.33)
В частном случае нулевых начальных условий
% (р) = [Аа (pl - Л,)1 Вг + Вг] V (р). (16.34)
Все уравнения цепи в операторной форме являются алгебраи-
ческими в отличие от дифференциальных или интегро-дифферен-
циальных уравнений для мгновенных значений. Таким образом,
применение преобразования Лапласа позволяет алгебраизировать
уравнения электрических цепей.
§ 16.3. Расчет переходных напряжений и токов
операторным методом
Расчет переходных напряжений и токов. Для расчета пере-
ходных напряжений и токов составляется эквивалентная опера-1
торная схема (после коммутации). Из уравнений этой схемы
можно найти изображения искомых величин, а затем с помощью
• таблиц или теоремы разложения — оригиналы. В схемах с непре-
рывно изменяющимися напряжениями на емкостях и токами
„ в индуктивностях величины напряжений (токов) дополнительных
источников, обусловленных ненулевыми начальными условиями,
определяются значениями
h (0) = iL (0+) = iL (0_), ис (0) = ис (0+) = ис (0_).
*. Прямое (обратное) изображение матрицы, элементами которой служат
Функции переменной t (переменной р), определяется как матрица изображений
каждого элемента.
В ' 453
Пример 16.1. Вычислить ток (/) в цепи на рис. 16.6. Параметры схемы:
г=1000м; £ = 0,319 Г; С = 15,95мкФ; « = 2000 sin (314/+ 90°) = 2000 cos314/ В.
l,fp)
Рис. 16.6
pL Llj(O)
/
r Tpc
Рис. 16.7
Решение. До коммутации
J _ йт _ _________2000ej9°____101Л2е/45° А-
lm-/-+/ft)£_ 100+/314-0.319- ’
h (0 =10 /1 sin (314/ + 45®) А.
Начальные значения:
iL (0)=(0) = 10 А; ис (0) = 0 В.
Операторная эквивалентная схема показана на рис. 16.7. В этой схеме
изображение источника
[С. «XI -
Изображение искомого тока
ZBX (Р)
1
г~~с
где ZEX (p)—pL-\---р . После преобразования получим
. [£/тр + П1(0)(р2+ы2)](ргО+1) А(р)
1 (p2 + w2)(p2r£C+p£+r) ~~BW’
Определим полюсы изображения, т. е. корни уравнения В(р) = 0:
Pi,2=±/314; р3 ^=—314 ±/314.
Производная знаменателя
В' (Р)=2р (p2r£C+pL+г) + (2pr£6’-|- L) (р2+со2).
По теореме разложения, искомый ток
4
ЛА __ V А (Pk) пг А (Pi) „„.I ,
'l(/)'2eW “2R ВЧрУ +
k=i
+ 2 Re £, \Рз\ =20 sin (314/+ 53° 10')+2 /10 е“31« sin (314Z-7P30') А
в \Рз)
В рассмотренном примере полюсы рх и р2 обусловлены изображением
напряжения источника U (р) и определяют принужденную составляющую,
а полюсы р3 и р4, равные корням характеристического уравнения схемы,
определяют свободную составляющую тока.
454
При расчете операторным методом схем, в которых могут
быть импульсные токи и напряжения (схемы с источниками
напряжения или тока в виде импульсных функций, схемы с емко-
стными контурами или индуктивными сечениями), напряжения
(токи) дополнительных источников должны определяться значе-
ниями Q (0) = tp (0_), «с(0) = «с(0-.). Это означает, что в прямом
преобразовании Лапласа (16.1) нижний предел интегрирования
/==0 = 0_. Так как изображение импульсной функции X [6 (/)] = 1,
признаком наличия импульсных составляющих тока (напряжения)
служит равенство степеней полиномов в числителе и знаменателе
соответствующих изображений. Если степени полиномов в числи-
теле и знаменателе изображения одинаковы, то можно выделить
постоянную составляющую. При этом остаток будет правильной
рациональной дробью. Постоянной составляющей изображения
соответствует оригинал — импульсная функция.
Пример 16.2. Рассчитать токи и Z2 и напряжения iij и и2 в цепи на
рис. 16.8. Параметры схемы: Сг=1 Ф; С2=2 Ф; л3=1/2 Ом; г4=г6=1 Ом;
е (0=1(0- ' „
Решение. При замыкании ключа в схеме образуется емкостной контур
е(0 —Cj—С2, следовательно, токи в ветвях этого контура содержат импульс-
ные составляющие, а напряжения на емкостях изменяются скачкообразно.
Так как щ (0_) = н2(0_) = 0, операторная эквивалентная схема имеет вид,
показанный на рис. 16.9.
Найдем изображения токов Z4 и Z2:
/ 8Р2 + Р 8р+1 .
Зр(4р+1) 3(4р + 1) ’
. = 8р? + 4р = 4(2р+1)
Зр(4р+1) 3(4р+1) •
Полученные изображения содержат одинаковую постоянную составляющую
Zi(co) = /2(oo)=A = -|-.
2 1 2 2
Разности /Ир)—3- = — 4р+р' 4(Р)—3 = 4р+1' пРеДставляют
правильные дроби Записав изображения в виде сумм:
2 4 2 2
4(Р) = у----:—р; 6s(P)=y|-------р,
Р+у Р+у
455
вычислим оригиналы токовj
__ £
h(0 = -|-6(0-4-e 4; Z2(<)«-|-6(/)+у е 4 А.
О *t <з &
Токи if и ia содержат одинаковые импульсные составляющие 26 (/)/3.
Нетрудно убедиться, что токи в сопротивлениях ие имеют импульсных состав-
ляющих.
Изображения напряжений at и иа
(МИ— 8<-+‘ 2<2f+'>
являются правильными
па элементарные дроби:
Зр(4р+1) • Зр(4р+1)
рациональными дробями. Разложим эти изображения
1
1.3 2 3
0+4"
В соответствии с табл 16.1 оригиналы напряжений
___________________________£(
М0=у+уе 4 В; М0 = у —уе 4 В.
♦
В момент времени / = 0+
112 2 11
М0+)=у + у = у В; кг(0+)г=у_ —= —В|,
т е. напряжения изменяются скачкообразно от значений иг (0_)^=иа(0_)=0
до значений и, (0+), (0+) В установившемся режиме
1 2
«1(со) = уВ, u2(co) = j В.
Напряжения и токи при переходном процессе можно рассчи-
тать, применяя выражения (16.33) и (16.34); матрица выходных
переменных у (/) = <5?-1 (р)]. Если в уравнении (16.32) матрица
параметров источников V (р) = 0, то
X (р) = (р! — А1)'1х(0) (16.35)
и, следовательно, матрица переменных состояния
х (0 = [(р 1 - Aj)-1 х (0)] = [<£-« (pl - Аг)" Ч х (0). (16.36)
Сравнивая соотношения (16.36) и (15.40), можно получить
формулу для расчета матричной экспоненциальной функции
с помощью преобразования Лапласа:
eA.('> = -^-i[(pl - Аг)-1]. (16.37)
Пример 16.3. Вычислить напряжение u2(t) для цепи на рис 15.21, а.
воспользовавшись уравнениями состояния в операторной форме Параметры
цепи: /у —г2=1 Ом; С = 1 Ф; 5=1/2 Г; е (0=1(0 В; J (0 = 0. Начальные
условия нулевые. ’
Решение. При нулевых начальных условиях справедливо соотношение
(16.34). Для указанных параметров схемы в уравнениях состояния определим
456
матрицы Ai, А2, Bi и В8 (см, пример 15.8):
Матрица
обратная матрица
(pl—А1)'1=
Подставляя выражения для матриц в формулу (16.34) с учетом равенства
"Г
V(p) = Р ,
-О J
найдем изображение выходной величины:
(Р) = Щ(Р) =4р(р+1)(р + 2) ’
Найдем полюсы изображения: pi==0; р2 ——1; Рз —— С помощью тео-
ремы разложения получим
«8(0=4 е-' —j- е-®» В.
§ 16.4. Расчет свободных и принужденных составляющих
напряжений и токов
В общем случае с помощью операторного метода, как уже
отмечалось, могут быть найдены переходные напряжения и токи
в виде сумм свободных и принужденных составляющих. Если
цепь содержит источники постоянных или гармонических э. д. с.
(токов), то принужденные составляющие нетрудно рассчитать без
применения преобразования Лапласа. В таком случае оператор-
ным методом можно воспользоваться лишь для расчета свободных
составляющих напряжений и токов .•
Свободные составляющие напряжений и токов представляют
собой оригиналы изображений этих составляющих. Изображение
любого свободного напряжения или тока получают при расчете
операторной схемы для свободных составляющих. Такая схема
аналогична операторной схеме для переходных напряжений и
токов, за исключением того, что схема для свободных составляю-
щих содержит только источники э.д. с. (тока), обусловленные
ненулевыми начальными значениями: zicB (0) — Л (0) — «7пр (0) и
ыСсв (0) = ис (0) — нСпр (0). Эти источники включают последовательно
или параллельно каждой индуктивности и емкости (см. рис. 16.2, а, б;
16.3, а, б и 16.4,6). Следует подчеркнуть, что операторные схемы
45Э
*
для свободных составляющих не содержат источников с изобра-
жениями напряжения ё (р) и тока J (р), соответствующих источ-
никам e(t) и J (t) ветвей исходной схемы, поэтому изображения
свободных напряжений и токов будут более, простыми по сравне-
нию с изображениями переходных напряжений и токов.
Применение операторного метода целесообразно для расчета
принужденных составляющих напряжений и токов при воздействии
периодических негармонических возмущений. В этом случае при-
нужденные составляющие могут быть найдены в замкнутой форме,
а не в виде суммы бесконечного (конечного) числа слагаемых ряда
Фурье.
Пусть е (/) —периодическая негармоническая э. д. с. источника,
включенного в k-ю ветвь схемы, причем в первом периоде закон
изменение э. д. с. описывается функцией ex(Z), т. е.
е (/) = ех (t) при О -С t Т.
При условии, что в схеме имеется единственный источник е(/),
изображение тока /-Й ветви
Л(к)
'1₽>=Ад#(л (,6-38>
где ё (р) — X [е (/)]; Л<к) (р) — определитель контурных уравнений
в операторной форме; (р) — алгебраическое дополнение эле-
мента k, j этого определителя; начальные условия предполагаются
нулевыми.
Учитывая (16.14), изображение тока (16.38) можно переписать
в виде
д‘у(Р) ёг(Р) _ ёлр)
(Р) ~ Д<к> (р) 1 -e-r₽ " Yjk (Р) 1 — е~г₽ ’ (16’39)
где ёг (р) = X [ei (/)]; Yjk (р) = Л1р (р)/Л<к) (р) — взаимная проводи-
мость в операторной форме *. Оригинал изображения (16.39) i (/) =
= X1 [7 (р)] содержит периодическую принужденную и свободную
составляющие. Если (t) — принужденная составляющая в пер-
вом периоде:
4пр(0 = «пр(0 при O^t^T,
то изображение тока i (t)
/(р) = ~^ + Лв(р), (16-40)
где 7СВ (р) — изображение свободной составляющей. Приравнивая
правые части равенств (16.39) и (16.40), получаем
/1Пр (Р) = Ъ* (Р) - /св (Р) (1 - е-г₽). (16-41)
* Схемные функции (входные и взаимные проводимости и сопротивления,
коэффициенты передачи напряжения и тока) в операторной форме определяют
как отношение изображений соответствующих' величин.
458
откуда
hnpJO=Я-1 [Y,k (р) (Р)] - [/св (Р) (1 - е-гр)]
или
/1пр (0 = [^7ft (Р) (Р)] - /св (0 + /св (/ - Т) - 1 (t —Т).
Так как ilnp (/) — принужденная составляющая в первом периоде,
слагаемое /св (г — Т) 1 (/ — Т) = 0 должно быть отброшено:
йпр(О = <55'"1[^(р)^1(р)]-1св(/) при O^t^T. (16.42)
Оригинал [Y jk (р) ёг (р)] представляет собой переходный ток,
вызванный э. д. с. ех(/), т. е. по формуле (16.42) принужденный
ток вычисляют как разность переходного и свободного токов.
Изображение тока (16.38) имеет полюсы pk, определяемые урав-
нением Д(к)(р) = 0*, а также полюсы, обусловленные изображе-
нием э. д. с. ё (р). Если оригинал i (/) изображения / (р) можно
найти как сумму вычетов функции I(p)ept во всех полюсах, то
сумма вычетов функции I (р) ew в полюсах рк равна свободной
составляющей tCB (/). Действительно, уравнение Д<к> (р) = 0 является
характеристическим уравнением схемы. Если схема содержит
активные сопротивления, индуктивности и емкости, то корни
характеристического уравнения (полюсы pk) имеют отрицательные
вещественные части и вычеты функции I (р) ew в полюсах pk обра-
щаются в нуль при t -> оо. Сумма вычетов функции’ / (р) ew в полю-
сах, обусловленных изображением э. д. с. ё (р), дает принужден-
ную составляющую tnp (/) для всех значений t.
К полюсам.функции ё (р) относятся, как видно из выражения
(16.39), корни уравнения 1— е-Гр = 0. Этому уравнению удовле-
ч, 2л
ТВОрЯЮТ корни pv = jv~Y (т = 0, ±1, ±2,...), число которых
бесконечно велико. Вычисление вычетов функции I (р) ept в полю-
сах pv эквивалентно вычислению слагаемых ряда Фурье для при-
нужденной составляющей. Если принужденная составляющая
определяется не для всех значений t, а только для О t sg Т,
то не нужно находить бесконечное число слагаемых ряда, так
как можно применить формулу (16.42). Заменяя в этой формуле
/св (0 суммой вычетов в полюсах pk и учитывая выражение (16.39),
получаем равенство
/1пР(/) = ^-1[ЪИр) ^(р)]-У Res (16.43)
TP==PH 1—е J
Так как число полюсов pk [корней уравнения А<к>(р) = 0]
конечно, выражение (16.43) дает замкнутую форму для tlnp.
Если вместо источника э. д. с. е (/) в цепи действует источник
периодического тока J (t), то для составляющей t’lnp(/) справедливо
выражение, аналогичное (16.43), в котором взаимная проводимость
* Полюсы pk являются полюсами взаимной проводимости Y цг (р).
459
заменяется операторным коэффициентом передачи тока, а изобра-
жение э. д. с. — изображением тока источника. Нетрудно видоиз-
менить формулу (16.43) и для
расчета принужденных напря-
жений, обусловленных источни-
ком периодической э. д. с. (пе-
риодического тока).
Пример 16.4. Рассчитать напря-
жение ыпр (0 в схеме рис. 16.10. Па-
раметры схемы: г = 2 Ом; С=1 Ф;
напряжение источника е (0 изменяет-
ся по пилообразному закону, как по-
казано иа рис. 16.11, а.
а
Рис. 16.11
Рис. 16.10
Решение. Изображение переходного напряжения и (0
4/(р)
где отношение
ё’ (р)
рСг
prC-}-1
<?(р)=—^-j-^(P),
Р+-2
- У 7- = К‘И,(р)
р+г
представляет собой коэффициент передачи напряжения в операторной форме.
Закон изменения напряжения источника в первом периоде (рис. 16.11,6)
вапишем с помощью единичных функций (период Т = 1):
ei(0=Z [1 (0-1 (/-Г)] = / [1 (0-1 (/—!)] =
(0—(Z-1) 1 (/—1)-1 (/—1).
Изображение функции t • 1 (0
^[М(01=-^.
По теореме смещения найдем изображения функций (t— 1) 1 (1— 1) и 1 (/ — 1)!
^[(/-1)1(/-1)]=-^е-Р}
£[1 (/—1 )] = -!-е-Р.
Таким образом, изображение функции ех(0
. ЛИ-jr—р<”-±<гг.
460
Переходное напряжение в первом периоде
Изображение ё°1(р) напряжения ex(Z) имеет три слагаемых, причем второе
и третье слагаемые получают в результате вычитания функции £!(/—1) из
функции t-1 (0 (рис. 16.11, б). В первом периоде функция t-1 (/—1) = 0 и не
влияет иа переходное напряжение ых (0. Следовательно, при расчете щ (t)
учитываем только первое слагаемое изображении <oi(p):
\₽+Т
Вычисляя uv(t} как сумму вычетов функции е^' \P+~2J Р В полюсах Р1=3
1 о
_=---— и р2=0, определим
( -4 Л
их (0 = 2\1—е 2 / В при 0></sgl.
Свободная составляющая напряжения
«св(0 = Res Г/Си>(р) /1(g И,
p = pi[ 1—e lp J
так как коэффициент передачи напряжения (р) имеет только один полюс
р1=— 1/2. Если подставить выражения для Кт (р) и й“, (р), .то получим
-Принужденную составляющую в первом периоде вычислим как разносты
«1 (0 — «св (0 = “inp (0 = 24-j— в при 0 -g / -g 1
е~Т-1
При ?>'/’ —1 принужденное напряжение периодически повторяется
§ 16.5. Приведение цепи к нулевым начальным условиям
Во многих случаях токи и напряжения рассчитывают при пере-
ходном процессе, вызванном подключением или отключением какой-
либо ветви схемы. Если при этом начальные условия ненулевые,
то на основании принципа наложения подключение (отключение)
ветви в исходной схеме можно заменить включением источника
э. д. с. (источника тока) в схеме с нулевыми начальными усло-
виями. Такая замена упрощает расчет изображений искомых вели-
чин, так как не требует учета дополнительных источников, обу-
словленных ненулевыми начальными условиями.
461
На рис. 16.12, а показано подключение ветви к активному
двухполюснику в момент времени / = 0. Напряжение up(t) пред-
ставляет собой напряжение на зажимах разомкнутого ключа.
Можно считать, что закон изменения напряжения ир (t) справедлив
и для />-0. Если после замыкания ключа
Рис. ,16.12
в выделенную ветвь схемы подключить два
противоположно направленных источника
напряжения ир (t) (рис. 16.12, б), то эти ис-
точники не будут влиять на режим цепи.
Расчет токов и напряжений ' с помощью
принципа наложения в данной схеме мож-
но свести к расчету токов и напряжений
двух схем, показанных на рис. 16.13, а, б.
В схеме на рис. 16.13, а токи всех вет-
вей и напряжения между любой парой уз-
лов не отличаются от соответствующих
токов и напряжений схемы на рис. 16.12, а;
в частности, в выделенной ветви ток ра-
вен нулю. Схема на рис. 16.13,6 содер-
жит один источник, подключаемый к пас-
сивному двухполюснику с нулевыми на-
чальными условиями. Таким образом, напряжения и токи при
переходном процессе можно рассчитать как сумму соответствую-
щих напряжений и токов в схеме до коммутации (рис. 16.12, а) и в
схеме с одним источником напряжения (рис.
законы изменения напряжений и токов в
схеме до коммутации справедливы для t >• 0.
На рис. 16.14, а показано отключение
ветви от активного двухполюсника в момент
времени / = 0. Ток tK(Z) представляет собой
ток в выделенной ветви. Если после размы-
кания ключа в выделенную ветвь подклю-
чить два источника тока (рис. 16.14,6), то
эти источники не изменят режима-цепи: Рас-
чет токов и напряжений с помощью прин-
ципа наложения в схеме на рис. 16.14, б
сводится к расчету токов и напряжений двух
схем (рис. 16.15, а, б).
Схема на рис. 16.15, а эквивалентна схе-
ме до коммутации на рис. 16.14, о. Схема
на рис. 16.15, б содержит один источник
тока, подключаемый к пассивному двухпо-
люснику с нулевыми начальными условиями
16.13, б). При этом
Рис. 16.13
Таким образом, пе-
реходные напряжения и токи можно рассчитать как сумму соот-
ветствующих напряжений и токов в схеме до коммутации (рис.
16.14,о) и в схеме с одним источником тока (рис. 16.15,6). Зако-
ны изменения напряжений и токов в схеме до коммутации считают-
ся справедливыми для t > 0.
462
Если в схеме на рис. 16.12, а параллельно ключу присоединено
активное сопротивление г, которое после коммутации замыкается,
то переходные напряжения и токи можно определить как сумму
напряжений и токов в схеме до коммутации и в схеме на рис. 16.13, б.
После коммутации в ветвь схемы (рис. 16.14, а) параллельно ключу
может быть подключено дополнительное сопротивление г. Пере-
6)
Рис. 16.14
Рис. 16.15
ходные напряжения и токи в этом случае получают как сумму
напряжений и токов в схеме до коммутации и в схеме на
рис. 16.15, б, если последнюю дополнить сопротивлением г, парал-
лельным источнику тока
Пример 16.5. Рассчитать ток ц (/) в цепи на рис. 16.16, ас помощью при-
ведения цепи к нулевым начальным условиям. Параметры схемы: <5 = 20 В;
r1=r8=/-8= 10 Ом; £ = 0,1 Г; С = 5.10~4 Ф.
Рис. 16.16
Решение. До коммутации ток
напряжение на зажимах ключа
463
Схема с нулевыми начальными условиями показана на рис. 16.16, 6. Из
этой схемы изображение тока
и„ . ир । *
I' __ ~Т“_ _____=__________Ч- .___— .
1W~p(r,+pL) р^-ь-у р(р+100) р + 200’
При переходе к оригиналам получим
(0 = 1 — е-10»г+е-200'.
Искомый ток
«1 (/) = 1[ + (7 = 2—е-м»г+е~2™' А.
• Следует отметить, что при подключении одного источника
постоянной э. д. с. (тока) к пассивной цепи изображение искомого
напряжение (тока) имеет вид
При этом на основании теоремы разложения оригинал
где pk — полюСы, определяемые характеристическим уравнением
В(р) = 0.
Гармоническая функция е (t) = Sm sin (®0/ + ф) представляет
собой мнимую часть комплексной величины
изображение которой равно <^т/(р —/<оо). При подключении одного
источника гармонического напряжения (тока) к пассивной цепи
изображение искомого комплексного напряжения (тока) может
быть записано следующим образом:
р (р) =----_
Соответствующее мгновенное значение
f (0 = Im[eW + У , А{Рк\е2< ' ]• (16.45)
' LB(j»o) jW (Pk~ /«о) В' (pk) J >
Формулы (16.44) и (16.45) называют формулами включения;
первые слагаемые .в правой части этих формул определяют уста-
новившееся значение напряжения (тока).
§ 16.6. Преобразование Фурье и спектральные характеристики
Преобразование Фурье и его основные свойства. Как уже
отмечалось, прямое преобразование Лапласа существует’для функ-
ций времени f (t), ограниченных условием \f(t)\<Z Me0of при а0 > 0
(/>0). Если функция f(t) удовлетворяет условию | / (/) | < Л4е°^
при <т0 < 0 (t > 0), то эта функция абсолютно интегрируема.
464
. Изображение по Лапласу F (р) абсолютно интегрируемом функ-
ции f (t) представляет собой аналитическую функцию переменной р
в полуплоскости Re р > о-0 и,, в частности, на мнимой оси. Для
такой функции в формулах прямого и обратного преобразования
Лапласа можно принять р = /®. В результате
F (/со) J f(t) df, (16.46)
О
со
f(0 = 2^ jF(/(o)e^d®. (16.47)
— со
Формула (16.46) характеризует прямое преобразование
Фурье, а формула (16.47) —обр атное преобразование
(интеграл) Фурье. Преобразования Фурье можно рассматри-
вать как частный случай преобразований Лапласа при р = /® для
абсолютно интегрируемых функций. Если абсолютно интегрируемая
функция f(t) имеет изображение по Лапласу Е(-р), то прямое
преобразование Фурье этой функции F (/со) = F (р)
В формуле (16.46) предполагается, что функция f(t) задана
при />0. При t< 0 f(t) = Q. Если f (0=#=О при /<0, то прямое
преобразование Фурье имеет вид
F(/®) = J f (t) e~fat dt (16.48)
— СО
и называется двусторонним*. Интеграл Фурье (16.47) опре-
деляет функцию f (0, равную или не равную нулю при t < 0,
если в подынтегральном выражении функция F (/со) соответствует
формуле (16.46) или (16.48).
В гл. 13 было рассмотрено разложение периодических функ-
ций f (t) в ряд Фурье. Такое разложение позволяет определить
спектральный состав функции — амплитуды и начальные фазы ее
гармонических составляющих. Интеграл Фурье представляет собой
предельный случай ряда Фурье для непериодической функции.
Переход от ряда к интегралу Фурье осуществляется следую-
щим образом. Пусть f (t) — непериодическая функция, отличная от
нуля в некотором конечном интервале времени Ai = t2 — t1. Выби-
рая произвольно период TZ>At, можно образовать функцию
СО
Н0 = 2
k —— со
Эта функция является периодической и в интервале ti < t <Z t2
совпадает с функцией f(t) (рис. 16.17). Если Т-><х>, то функция
/ (0 обращается в функцию f (t).
* Аналогично можно определить и двустороннее преобразование Лапласа.
465
Для периодической функции f (t) справедливо разложение
в ряд Фурье *:
f(0 = S (16.49)
k=—оэ
где
Т/2 Т/2
Л=у jj = g (16.50)
—та —т/г
Обозначив частоту основной гармоники их = 2л[Т — Дсо, можно
получить
Т/2
-Т/2
Если Т->оо, то разность между частотами (k ф- 1)-й и й-й гар-
моник, равная частоте основной гармоники, а также амплитуды
всех гармонических
(ЛЛ->0). Функция
составляющих бесконечно уменьшаются
f(t) = lim
Т —>со
7/2
— Т/2
еЛД<о/ Ди _
= ~ f (t) e~/W dt e^ d®.
Если учесть равенство (16.48), то это выражение совпадет
с (16.47).
Так как интеграл Фурье определяют как предельный случай
ряда Фурье, непериодическая функция f (Z) в соответствии с фор-
* Здесь ряд Фурье записан в показательной форме, которая может быть
получена из тригонометрической формы с помощью соотношений (см. гл. 13)
sin kod=~ (е^ - e-/feffl‘z);
cos k<s>d—(е’к®1* -ф е~ /Й<В1/).
466
мулой (.16.47) представляет собой сумму бесконечно большого
числа гармонических составляющих. У этих составляющих в отли-
чие от гармоник периодических функций амплитуды бесконечно
малы, а частоты принимают все значения в диапазоне 0-т-оо.
Непериодическая функция имеет непрерывный (сплошной) спектр,
тогда как спектр периодической функции является дискретным.
Функцию F (/со) — F (со) е/ф 1<й), определяемую по соотношению
(16.46) или (16.48), называют спектральной функцией,
спектральной характеристикой или спектральной
плотностью. Модуль F (со) = | F (/со) | и аргумент ф (со) = arg F (/со)
функции F (/со) называют соответственно амплитуд но й и фа-
зовой спектральными характеристиками.
Учитывая связь между изображением по Лапласу и спектраль-
ной характеристикой, можно сформулировать свойства преобразо-
вания Фурье, аналогичные рассмотренным в § 16.1 свойствам
преобразования Лапласа. Например, если F (/со) — спектральная
характеристика функции / (/), то спектральная характеристика
производной f (t) равна jaF (/со) — f (0), а спектральная характе-
ристика интеграла J/ (/) dt есть F (ja)/j(£>.
о
Амплитудная спектральная характеристика является четной
функцией частоты, а фазовая — нечетной:
F (со) = F (— со);
ф (со) = — ф (со).
Действительно, функция
Е(—/со) = $ f(t)&afdt
—со
представляет собой сопряженную функцию для F (/со); модули
сопряженных функций F (j<o) и F (—- /со) одинаковы, а аргументы
отличаются знаком.
Если /(^ — напряжение (ток), то интеграл
W = f /2 (/) dt
— со
определяет энергию, которая рассеивается в сопротивлении, рав-
ном 1 Ом при напряжении (токе) /(/). С учетом равенства (16.47)
энергия
W = ~
2 л
F (/со) e^“z dco dt.
После изменения порядка интегрирования
СО Г- СО |
= i § f(Oeyb>/ddd<o,
— co L— CO J
467
где внутренний интеграл равен функции F(—/со). Так как
F(ja>)F(—/co) = [.F((o)]* 2, энергия
со со
w = ± $ [F (СО)]2 лЦ $ F (16.51)
—со О
Таким образом, энергия может быть вычислена по амплитуд-
ной спектральной характеристике F (со); функцию — [F (со)]2 можно
рассматривать как спектральную плотность энергии непериоди-
ческого сигнала. На практике ширина спектра функции f (t) опре-
деляется диапазоном частот, в котором сосредоточена подавляющая
часть энергии W.
Спектральные характеристики некоторых функций. Целесо-
образно рассмотреть переход от дискретного спектра периодичес-
кой функции к сплошному спект-
ру непериодической функции.
Как видно из сравнения вы-
]ражений (16.48) и (16.50), значе-
ния спектральной характеристики
t F (/со) совпадают с произведением
AkT = Ak — в тех точках, где вы-
полняется равенство со = Это
означает, что спектральная харак-
теристика непериодической функции f (/) служит огибающей для
дискретного ряда величин Ak (/), пропорциональных комплекс-
ным амплитудам гармонических составляющих периодической
функции f(t).
На рис. 16.18 показана периодическая последовательность
прямоугольных импульсов. Для k-и гармонической составляющей
этой последовательности
Т/2 т/2
Л =7 § e-№<01,d/=-|. e-'k^dt =
— Т/2 —т/2
f(t)
Рнс. 16.18
2 е/*<о1т/2_е-7*(В1т/2 2 .
______ . ______________________—_______с iri 1
k(,/tT 2j few, T 2 •
В случае непериодической функции, представляющей собой
один прямоугольный импульс в интервале —т/2</ <т/2, спект-
ральная характеристика
Т/2
F(/«)= \ e-^^ = |sin“/.
—Т/2
На рис. 16.19, а, б приведены соответственно дискретный
спектр последовательности импульсов и непрерывный спектр
одного импульса. Если период Т последовательности импульсов
468
Рис. 16.19
увеличивается, то число линий дискретного спектра возрастает,
расстояние между ними уменьшается; в пределе дискретный спектр
переходит в сплошной.
Амплитудная и фазовая
спектральные характери-
стики прямоугольного им-
пульса показаны соответ-
ственно на рис. 16.20, а, б;
каждая перемена знака
sin(cor/2) учитывается при
изменении фазы на л.
Если начало импульса
совпадает с моментом вре-
мени t = 0, то амплитудная
характеристика не изме-
няется, а фазовая — допол-
няется слагаемым сот/2 *.
При увеличении (умень-
шении) длительности им-
пульса расстояние между нулями функции F (со) уменьшается (уве-
личивается).
Если амплитуда импульса равна 1/т, то при т->0 спект-
ральная характеристика
F (/со) = lim — sin ~ = 1.
Импульс, имеющий дли-
тельность т и амплитуду 1/т
в пределе при т->0, пред-
ставляет собой дельта-функ-
цию 6 (/). Следовательно,
спектральная характеристика
дельта-функции вещественна
и равна единице для всех ча-
стот -*-оо<со<;оо. На ос-
новании теоремы запаздыва-
ния спектральная характери-
стика дельта-функции 6 (t —10)
равна А (/со) = е~/£М°; модуль этой характеристики А (со) = 1; аргу-
мент ср (со) = — Со/О.
Спектральные характеристики абсолютно интегрируемых функ-
ций, для которых найдено изображение по Лапласу, могут быть
получены с помощью замены в изображении переменной р
на /со.
* По теореме запаздывания, смещение импульса на т/2 (в сторону поло-
жительных значений t) приводит к умножению спектральной характеристики
СОТ
на е ’ 2 .
469
Пример 16.6. Построить амплитудную спектральную характеристику пря-
моугольного импульса с синусоидальным заполнением (рис. 16.21, а). Длитель-
ность импульса равна целому числу периодов.
Решение. Заданная функция абсолютно интегрируема и описывается
соотношениями
J sin aot, 0 < t < т
' I 0, />г.
С помощью единичных функций заданную функцию*можно представить в виде
разности:
f (t)— sin ю(|/ • 1 (0 —sin ©0 (t—т) • 1 (t —т).
Следовательно, изображение функции f (f)
Спектральная характеристика
F (Ja)=F(p)\ v_/a=(1 - е-7^).
Так как
. ПЛ(й
SHI ----
©О
модуль спектральной характеристики
F (м) = 2
—<о2
Амплитудная спектральная характеристика F (и) приведена на рис. 16.21, б.
, Значение Е(©) при ©->©0 найдем
с помощью правила Лопиталя:
F (©о) =пл/©0.
Нули функции F (©) расположены
в точках © = £©[,/« (й = 0, 1, 2,...).
Если число периодов синусои-
ды п увеличивается, то значение
F (м0) возрастает, а расстояние меж-
ду нулями функции уменьшается.
Ряд важных функций вре-
мени (например, единичная и
гармоническая функции) не
являются абсолютно интегри-
руемыми. Спектральные ха-
рактеристики таких функций
не могут быть найдены не-
посредственно по формуле
(16.46). Умножая функцию
f(t) на экспоненту е at, во
многих случаях удается най-
ти спектральную характери-
стику произведения f (/) е~®. Если в этой характеристике принять
о = 0, то можно получить спектральную характеристику функции/V).
470
С помощью рассмотренного приема в формулах для прямого
преобразования Фурье производится переход от переменной /со
к переменной р = о + /®, т. е. вычисляет-
ся изображение по Лапласу функции f (I)
с последующей заменой р на /®. Такой
прием получения спектральной характе-
ристики неинтегрируемой абсолютно функ-
ции нельзя считать корректным. Напри-
мер, если единичную функцию I (Z) умно*-
жить на экспоненту е~о/, то спектральная
Ш) 1 2
t
/
2
Ш)
характеристика этого произведения 1
00 _____________
F(ja))= e~we“/“z dl ——Д-.
' J о + /со ___________________
° 5) t
Полагая о = 0, можно получить спек-
тральную характеристику Е(/®)=1//®. Рис- 16-22
Функция 1//0Э строго математически не
является спектральной характеристикой единичной функции. Дейст-
вительно, вычисляя обратное преобразование (16.47), получаем*
СО со
, ,,, 1 С 1 , 1 С [ cos at . sin со/1 .
/(/) = — \ _ da = г,- \ —------------------------------da =
1 ' ' 2л j /со 2л J [ /co 1 co J
—co —co
. “ . 4 при /> 0
1 C sm co/ , 2 1
= — \ ------- CKO = < ,
л 3 co 1 , „
о — -g при t < 0.
Полученная функция j (t), показанная на рис. 16.22, а, отли-
чается от единичной функции 1 (/).
Ранее было показано, что дельта-функция 6 (I) имеет спект-
ральную характеристику F(ja>)— 1. Если предположить, что для
некоторой функции f (/) спектральная характеристика представляет
собой дельта-функцию F (/со) = б (со), то на основании (16.47)
СО 00
= i J 6(®)e/“'d®=i J 6(®)d® = l.
—co —co
Таким образом, функции / (/) = 1 /2 л при —со < t <оо соот-
ветствует спектральная характеристика в виде дельта-функции
б (®). Функция /(/)=! при —оо < t < оо имеет спектральную
характеристику 2лб (со).
Единичная функция 1 (/) может быть получена суммированием
двух функций: функции на рис. 16.22, а, имеющей спектральную
характеристику 1//®, и функции на рис. 16.22, б, спектральная
характеристика которой лб(ю). Следовательно, спектральная харак-
* Значение несобственного интеграла можно найти в математических спра-
вочниках.
471
теристика единичной функции
Г(/«>) = лб («>) + !. (16.52)
Функция /(/)==! при —со</<оо не интегрируется абсо-
лютно; спектральная характеристика этой функции Ё(/ю) = 2лб(ю).
Воспользовавшись равенством (16.48), можно записать
= § e~/atdt. (16.53)
—со
С помощью этой формулы нетрудно вычислить спектральные
характеристики для гармонических функций. Например, синусо-
идальная функция (—оо</<оо)
sin со0/ = -L (е/со»г — e—/o<>z),
ч
поэтому формальное применение равенства (16.48) приводит
к выражению
е СО со
F(j(o) = ^ ( е“',“~и«|'Л-| е-d/.
ч J ч J
—оо — со
С учетом формулы (16.53) получаем
F (ja) = —!'л [б (со — ю0) — б (®+а>о)].
Зта. функция отлична от нуля только при со — ±ю0. Таким
образом, гармоническому колебанию с частотой ю0 соответствует
бесконечно большая спектральная плотность при и — ±а>0-
Спектральную характеристику гармонической функции, умно-
женной на единичную функцию, можно найти, воспользовавшись
выражением (16.52) и теоремой смещения. Согласно теореме сме-
щения *, при умножении функции f (/) на e±z<0»z спектральная
характеристика F (/со) принимает вид F [/(ю2ра)0)]. Поэтому,
например, для функции
sin aot • 1 (t) — ~ (e/<0oZ — е~/BnZ) • 1 (i)
ч
получаем спектральную .характеристику
~/у (® —®о) —6(®4-соо)].
UJ UJq Л
Если не учитывать импульсных составляющих при со = ±а>о,
то спектральная характеристика синусоидальной функции (/>0)
F (ja) — ю0/(юг — юо). Такое выражение можно определить, заменяя
в изображении по Лапласу р на /соо.
* В § 16.1 теорема смещения сформулирована для изображений по Лап-
ласу.
472 .
§ 16.7. Применение преобразования Фурье к расчету
переходных процессов
Преобразования Фурье, как уже отмечалось, можно рассмат-
ривать как частный случай преобразований Лапласа. Поэтому
расчет переходных процессов с помощью преобразований Фурье
аналогичен расчету переходных процессов операторным методом.
Например, при подключении источника непериодической э. д. с.
e(t) к некоторому пассивному двухполюснику для спектральной
характеристики тока справедливо выражение *
/ (/го) = Y (/го) S (ja),
где & (Iю) — спектральная характеристика функции e(t); Y (/го)—
входная -проводимость двухполюсника, при расчете которой сопро-
тивление индуктивности (емкости) принимается равным /coL(l//roC).
По спектральной характеристике / (/го) на основании обратного
преобразования Фурье можно найти ток i (/). -
Рассмотренный подход к расчету переходных процессов отли-
чается от операторного метода лишь заменой переменной р на /со.
В подобных случаях нет необходимости применять преобразования
Фурье, а целесообразнее воспользоваться более общими преобра-
зованиями Лапласа.
Значение преобразований Фурье для расчета переходных про-
цессов состоит в том, что эти преобразования позволяют связать
напряжения (токи) при переходном процессе с частотными харак-
теристиками цепи. Зная спектральный состав входного воздей-
ствия и частотную характеристику цепи, можно найти спектраль-
ный состав выходной величины, оценить влияние частотной
' характеристики на выходное напряжение или ток. С помощью
спектральных функций может быть решена задача выбора полосы
пропускания, формы частотной характеристики и т. п.
Следует обратить внимание, что существует взаимное соответ-
ствие между функцией f(t) и ее спектральной характеристикой
F (го). Например, как было показано, спектральная характери-
стика функции б (/) постоянна во всем диапазоне частот и, наобо-
рот, постоянной функции /(?)=! соответствует импульсная спек-
тральная характеристика. Чем меньше длительность импульса,
'4тем более широким спектром он обладает (и наоборот).
Если четырехполюсник имеет операторный коэффициент пере-
дачи напряжения Д(и) (р), то спектральная характеристика выход-
ного напряжения
^(/roJ-Z^G’roJ^f/ro),
где Ur (/го) —спектральная характеристика входного напряжения.
Комплексный коэффициент передачи /((и> (/го) = К (го) е/0 (“> в общем
случае имеет модуль и аргумент, зависящие от частоты. При
К (го) = Д’= const, 6(со) = — го/з спектральная характеристика
* Начальные условия предполагаются нулевыми.
473
£4(/®) = Л1/1(/®)е—На основании теоремы запаздывания можно
утверждать, что выходное напряжение в рассматриваемом
частном случае отличается от входного
напряжения (I) только постоянным
множителем Д и запаздывает на время
t3. Таким образом, для неискаженной
передачи сигнала амплитудно-частотная
характеристика Д (ю) должна быть по-
стоянной, а фазочастотная 6 (са)--ли-
нейной. Сформулированные требования
к частотным характеристикам цепи нель-
зя обеспечить во всем диапазоне частот,
однако следует стремиться, чтобы по-
лоса частот, в которой эти требования
удовлетворяются, соответствовала прак-
тической ширине спектра входных сиг-
0--------———0 налов.
5) Влияние частотных- характеристик
Рис 6 2д на реакцию цепи можно рассмотреть
на примере цепей, схемы которых при-
ведены на рис. 16.23, а, б“.
Коэффициент передачи напряжения схемы на рис. 16.23, а
(/и)
г ______ jtorC
___1 1 + j(£>rC '
Г "T" /соС
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики выра-
жаются равенствами
Д(«)((0)= — Со/'с-.^,
К1 + (tor С)2
В (а>) = у — arctg corC.
Если для частот составляющих входного сигнала удовлетво-
ряется условие т0 К(н) (со) агС, Д(к) (/ю)
jarC. Спектральная характеристика выходного напряжения
(72 (/ю) jarCU! (jco).
Функция jtoUx (/ю) представляет собой спектральную характе-
ристику производной входного напряжения и{ (t). Таким образом,
схема на рис. 16.23, а при arC 1 осуществляет дифференциро-
вание (и ослабление) входного напряжения.
Коэффициент передачи напряжения схемы на рис. 16.23, б
Д(“) (/ю) = i/i<oC _ ____1___
Л r+1/jwC 1+/Ш/-С’
следовательно,
«(и)- —ardgwC..
474
Рис. 16.24
Если для частот составляющих входного сигнала выполняется
условие югС>1, то /0К) (го) ₽« 1/гогС, 6(го)₽« — К<“)(/го)«з
1/jarC. Спектральная характери-
стика выходного напряжения
(У®)-
Функция t/j(/'ro)/jco представляет
собой спектральную характеристику
t
интеграла иг dt от входного напря-
о
жения. Таким образом, схема на
рис. 16.23, б осуществляет интегри-
рование (и ослабление) входного на-
пряжения при гогС^>1.
На рис. 16.24, а, б показаны со-
ответственно .выходные напряжения
дифференцирующей и интегрирующей
цепей при одном и том же входном
напряжении. Как видно, различие
частотных характеристик обусловливает
выходных напряжений.
Преобразования Фурье часто применяют при расчете переход-
ных процессов с помощью частотных характеристик, полученных
экспериментально. Пусть спектральная характеристика F (/го)
представлена в алгебраической форме:
F (/го) = Ft (го) 4- /F2 (го) = F (го) cos ф (го) ф- /F (го) sin ф (го).
Вещественная и мнимая части спектральной характеристики
определяются в соответствии с равенством (16.46):
(®) = $ f(0 cos at dt\
о
существенное различие
(16.54)
СО
F2 (го) = — $ / (/) sin at dt. (16.55)
о
Вещественная часть спектральной характеристики Fx (го) — чет-
ная функция, а мнимая часть F2 (го) — нечетная функция частоты.
Согласно обратному преобразованию,
со
/(0=2й § [fi(“) + /^2(“)][cosro/ + /sinroZ]dro =
—О0
со
= 2^ [Fi (го) cos at — F2 (го) sin го/] da +
— co
co
+ 2~ [F1(ffl)sinro/4-F2(w)cosro^]dro.
—co
475
Интеграл
СО
§ [Fi (со) sin al + F2 (со) cos со/] da = 0,
— CO
так как функция в квадратных скобках нечетная. Следовательно,
СО
НО — [Fi (®) cos at — F2 (со) sin со/] da
—со
или, учитывая четность функции в квадратных скобках,
СО
s f (I) = [F3 (со) cos at — F2 (a) sin со/] da.
о
Если спектральная характеристика определяется равенством
(16.46), то функция И—/) = 0 (/>0):
СО
f (-*-/) = 2^ [Ex (со) cos со/ ф- F2 (со) sin со/] da — 0,
о
откуда
СО СО
§ Fi (со) cos at da — — J F2 (co) sin at da.
о 0
Таким образом, функцию /(/) можно определить через вещест-
венную или мнимую спектральные характеристики:
СО со *
2 С 2 0
f (/) = — \ Fl (со) cos at da = — — \ F2 (со) sin at da. (16.56)
0 0
При известных частотных характеристиках Ft (со) или F2(co)
интегралы в соотношении (16.54) вычисляют приближенными
методами.
Пусть функция Fi(co) имеет вид трапеции (рис. 16.25). Инте-
грируя выражение для Д/) по частям, получаем
со оо
2 0 2 I
f(t) = — \ Fi (со) cosat da — -1F1 (со)sin at —
Л 1 Л/ I
0 co = O
oo
2 f . , dF± (co) ,
----,\ sin co/—-da.
nt j dco
o
Учитывая, что первое слагаемое в правой части равно нулю,
СО
с2 f . , d/ч (со)
f (/) =----\ sin со/ —da.
‘ ' nt J dco
о
47R
Производная dF1(a')/da отлична от нуля только в диапазоне
частот (»! — Ami-i-(01Дюь поэтому
С014- AcOi
9 л р
J siH(0/(to =
со, — Дсо,
= 5&Г lC0S (Ю1 ~ ДЮ1) Z “ C0S (t01 + ДЮ1) '
После элементарного преобразования
г sin Wif sin Acoi<
л W~‘ (ib.P/)
Функции sinx/x могут быть табулированы, поэтому расчет/(/)
по выражению (16.57) не вызывает затруднений.
В общем случае частотная ха-
рактеристика Fi (со) может быть
аппроксимирована с достаточной
точностью несколькими трапеция-
ми. Если параметры трапеций оп-
ределить величинами Ak, (oft, Acoft
(аналогично величинам на рис.
16.25), то
' v 7 л Zj к R cokt
k
(16.58)
Рис. 16.26
W/-ZIW O)f
Рис. 16.25
На рис. 16.26, а, б приведены соответственно частотная харак-
теристика Fx (ю) и аппроксимирующие трапеции (ю).
§ 16.8. Некоторые соотношения между временными
и частотными характеристиками цепи
Реакция цепи во временной области может быть найдена
с помощью интеграла Дюамеля, если известна переходная или
импульсная характеристика цепи (см. § 15.2, 15.3). С другой
стороны, реакцию цепи можно определить, вычислив предвари-
тельно изображение или спектральную характеристику реакции.
Изображение (спектральную характеристику) реакции получают
477
при умножении изображения (спектральной характеристики) вход-
ного воздействия на соответствующую схемную функцию — вход-
ную или взаимную проводимость, входное илу взаимное сопро-
тивление, коэффициент передачи напряжения или тока — в опера-
торной (комплексной) форме.
Пусть напряжение на входе четырехполюсника (/) = 1 (/);
тогда выходное напряжение и2 (0 равно переходному коэффи-
циенту передачи напряжения i/2 (/)=/((а) (/). Так как изображение
входного напряжения 1 (/) равно l/р, операторный коэффициент
передачи напряжения
(р)=таг= рХ[иг (OWW"1 (/)]. (16.59:
Таким образом, при умножении изображения переходного коэф-
фициента передачи напряжения на р получают операторный коэф-
фициент передачи напряжения.
Производная функции Kw (t) равна импульсному коэффициенту
передачи КГ (t). Умножение изображения X [/((“> (/)] на р соответ-
ствует дифференцированию функции 7<(к) (/), поэтому
К(ц) (р) = х [КГ (0]=КГ (р), (16.60;
т. е. операторный коэффициент передачи напряжения представляет
собой изображение импульсного коэффициента передачи. При р =
— ja соотношение (16.60) принимает вид
/С“>(»=КГ (/и), (16.61;
т. е. коэффициент передачи в комплексной форме равен спектраль-
ной характеристике импульсного' коэффициента передачи.
Функцию К(к) (/ю) можно представить в виде '
К<«)(/О))=К(«) (ю)е/е(ш)
или
Kw (/®) = К1(®) + /К2(®),
где Kw и G (ю) — соответственно амплитудно-частотная и фазо-
частотная характеристики коэффициента передачи напряжения;
Ki (®) и К2 (ю) — частотные характеристики вещественной и мни-
мой частей.
По аналогии с выражениями (16.54) и (16.55) получаем:
КГ (®) — J КГ (0 cos at dt; (16.62J
о
СО
КГ (ю) = — $ КГ (0 Sin at dt. (16.63;
>:.Л!
478
Для импульсной характеристики справедливы выражения,
аналогичные (16.56):
СО со
= (ю) COS (dt da = - — (®) sin at'da. (16.64)
Зь J ЭТ J
0 . 0
Таким образом, импульсная характеристика определяется
частотной зависимостью только вещественной или мнимой части
коэффициента передачи напряжения.
Соотношения, аналогичные (16.59) ч- (16.64), могут быть запи-
саны И для других входных и передаточных функций.
ГЛАВА 17
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
§ 17.1. Характер переходных процессов в цепях
с распределенными параметрами
В цепях с распределенными параметрами, в частности, в высо-
ковольтных сетях и линиях связи, переходные процессы возни-
кают при изменении режима цепи (включении и отключении
отдельных ветвей), а также в результате грозовых явлений.
Появляющиеся при этом перенапряжения или большие токи
нередко приводят к повреждению изоляции или других частей
элекротехнических установок, если они неверно спроектированы.
В отличие от переходных процессов в цепях с сосредоточен-
ными параметрами изменение токов и напряжений в цепях с рас-
пределенными параметрами происходит неодновременно во всех
частях установки. Изменение тока и напряжения, начавшееся
в' каком-либо участке цепи, распространяется на остальные эле-
менты цейи с конечной скоростью. Вдоль воздушных линий эти
изменения распространяются приблизительно со скоростью света
cV=3 105 км/с, а в кабелях —со скоростью, примерно в два раза
меньшей. Скорость распространения изменений тока и напряже-
ния или, как говорят, волн тока и напряжения на много поряд-
ков больше скорости перемещения электронов в проводах линий
или кабелей. Она практически совпадает со скоростью распро-
странения электромагнитных волн в среде, окружающей провод-
ники. В линиях такой средой является воздух; в кабелях —изо-
ляция между жилой и оболочкой.
Движение волн тока и напряжения сопровождается передачей
вдоль линии электромагнитной энергии, которая сосредоточена
в поле, окружающем проводники. Распространение волн тока и
напряжения определяется взаимодействием связанных с ними
электрических и магнитных полей.
Здесь основное внимание уделено расчету напряжений и токов
в различных частях цепи с распределенными параметрами при
переходных процессах. При этом упрощение расчета достигается
использованием операторного метода. Операторный метод позво-
ляет производить в цепях с сосредоточенными параметрами рас-
чет переходных процессов по формулам, аналогичным формулам
для цепей с синусоидальными токами и напряжениями (см. § 16.3).
Подобное положение имеет место и в цепях с распределенными
параметрами при нулевых начальных условиях. В этом можно убе-
диться, применив преобразование Лапласа к уравнениям длинной
линии (12.4), которые в операторной форме приобретут вид
= (го + Р^о) I;
(17.1)
480
если обозначить через
U~U{p, х) — ^e~ptu(t, x)dt
о
— изображение напряжения u(t, х) между проводами линии
в точке с координатой х, а через
/ — / (р, х) = е-р<1 х) dt
о
— изображение тока i (t, х) в проводах линии в той же точке.
Совместное решение уравнений (17.1) приводит к однородным
линейным уравнениям второго порядка:
cPU/dx^fU; 1
d4ldx* = у2/, J (17'2)
если ввести в рассмотрение операторный коэффициент
распространения
y = y(p) = ]/(r0 + pb0)(g0 + pC0). (17.3)
Решение уравнений (17.2) не представляет никаких затрудне-
ний, однако в нем нет необходимости, так как формальная ана-
логия дифференциальных уравнений (12.6) и (17.2) позволяет
воспользоваться окончательными результатами решения уравне-
ний. При этом вместо комплексных значений подставляют опера-
торные изображения. Например, подобно уравнениям (12.7) и
(12.8), для изображений напряжения и тока в линии можно
записать;
и = Д1е-^-}-Л2е^=Г14-/:’2; (17.4а)
/ = 4-(Д1е-^-Д2е^) = ^=£2., (17.46)
где
z.=zi(P),/s±e:. < (17.5)
— операторное характеристическое (волновое) сопротивление.
Теперь остается найти оригиналы искомых напряжений и (t, х)
и токов i(t, х) по правилам операционного исчисления. Проще
всего расчет проводится в случае, когда потери в линии не ока-
зывают заметного влияния на переходной процесс и второе част-
ное решение отсутствует (F2 = Д2ет* — 0).
Линия без потерь (r0 = g0 = Q) имеет коэффициент распро-
странения
У = рУ L0C0 = p/v
и волновое сопротивление
Zc = zc =
16 alp. Ионкнна, т. 1
481
В этом случае постоянная интегрирования Дх совпадает с изо-
бражением напряжения в начале (х = 0) линии t/x = t/x (р), а изо-
бражения в других точках
U = A1eryx = l/je-p^. (17.6)
Согласно теореме смещения, при F (р) = / [f (/)] \
e-r₽F(p) = ^[H/-T)]- (17.7)
Поэтому из уравнения (17.6) следует, что напряжение в любой
точке линии без потерь
u{t, —
На рис. и17.1 изображена кривая распределения напряжения
и (to, х) для момента времени /0.
находящаяся на расстоянии х0
На этой кривой отмечена точка,
от начала линии, с напряжением
«о = м(/о, х0). Таким же напря-
жением будет обладать в момент
времени t>t0 та точка линии,
. для которой выполняется усло-
вие
/ х0 __/ х
to-----1-~,
т. е. x = x0-[-v(t — t0). Отсюда
следует, что ордината и0 первона-
At = t —10 перемещается вдоль линии
чальной кривой за время
на расстояние Дх = х — x0 = v&t. Подобное рассуждение справед-
ливо для любой ординаты первоначальной кривой напряжения.
Поэтому можно считать, что за любой интервал времени Д/ кри-
вая напряжения оказывается сдвинутой без искажения и измене-
ния амплитуды вдоль линии в направлении положительных зна-
чений оси х на расстояние Ах = оД/. Иначе говоря, напряжение
распространяется вдоль линии без потерь в виде волны, которая
движется без деформации и затухания с постоянной скоростью
v= 1/1/ L0C0- Такую волну, определяемую функцией Fx = X [/х (/)],
называют прямой волной.
Аргументы функций Fx и А2 отличаются только знаками перед
теми членами выражения, в которые входит скорость, т. е. функ-
ция F2 = X [f2 (/)] определяет волну напряжения, перемещающуюся
от конца линии к ее началу, так как направление вектора ско-
рости для нее противоположно направлению вектора скорости
прямой волны. Волну напряжения, определяемую функцией f.2,
называют обратной волной.
В общем случае напряжение на линии складывается, согласно
(17.4а), из напряжения прямой волны
— fl ~ v + Tij
(17.8)
482
и напряжения обратной волны
мобр — fz (t++ т2^ > (17.9)
где Ti и т2 — постоянные величины, зависящие от выбора системы
отсчета времени и расстояний. Например, Ti = 0, когда отсчет
расстояний производят от начала линии, а отсчет времени/ —
с момента подключения источника энергии к началу линии; т2 = 0,
когда начало отсчета х находится в конце линии, a t отсчиты-
вается с момента появления напряжения в конце линии.
Уравнение (17.46) также имеет две составляющие. Первая
составляющая определяет ток прямой волны
tnp=4-^(z-y+Ti)’ <17Л0>
гС \ и 1
вторая составляющая — ток обратной волны
io^~fz (* + у+т2). (17.11)
Если прямая и обратная волны напряжения определены, то
волны тока можно найти из соотношения, аналогичного закону
Ома:
Wnp/lnp = ^обрА'обр — ZC- (17.12)
С помощью этого уравнения можно доказать, что энергия
магнитного поля волны равняется энергии ее электрического
поля. Например, энергия магнитного поля прямой волны, отне-
сенная к единице длины линии, равна энергии ее электрического
поля:
____________ /</пр ______ Lq _ Lq I ЫПр \ CflWnp _ nrr
м-пр________________________________________2 \ zj ~ 2 WlJcJ ~_2 “ ’•п₽‘
Аналогично доказывается, что для обратной волны 1Ем>обр==
= Ц7эобр.
Прямые и обратные волны возникают не сразу во всех точ-
ках линии. После присоединения линии к источнику энергии
сначала появляется только прямая волна. В момент включения
линии (/ = 0) волна начинает распространяться от источника
энергии (х = 0) по направлению к концу линии. Если до вклю-
чения линии напряжение на ней отсутствовало, то оно равно
нулю и на том участке линии, до которого прямая волна еще не
дошла. На той части линии, до которой прямая волна уже
дошла, напряжение вначале равно напряжению только прямой
волны. Оно будет оставаться таким до прихода обратной волны.
В общем случае на тех участках линии, где имеются и прямая
и обратная волны, напряжение и ток определяются наложе-
нием прямых и обратных волн:
u : tinp “И ^обр» (17.13)
i — /др ^обр* (17*14)
16* 483
Уравнение (17.13) непосредственно следует из уравнений^
(17.4а), (17.8) и (17.9), а уравнение (17.14)— из уравнений (17.46),
(17.10) и (17.11).
§ 17.2. Расчет напряжения прямой волны
Пусть источник э. д. с. с напряжением и0 (0 подключается
к началу линии без потерь через пассивный четырехполюсник П
с сосредоточенными параметрами.
Рассмотрим явления, происходящие в начале переходного
процесса, когда после замыкания ключа (рис. 17.2) в линии воз-
никает прямая волна, а обратная волна еще не появилась (иобр = 0).
В этом случае, согласно уравнениям (17.12), (17.13) и (17.14),
я
Рис. 17.2
напряжение и ток в начале линии (х = 0) совпадают с напряже-
нием и током прямой волны, а также напряжением и током на
выходе четырехполюсника:
“1(0 = “пР(Л 0)==fi(0=.MnP(0 0) = аЛ(0- (17.15)
Из этого соотношения следует, что эквивалентная схема для
определения напряжения и тока в начале линии (до прихода
обратной волны) состоит из пассивного четырехполюсника П,
к входу которого подключается источник э. д. с. с напряжением
u0(t), а к выходу — активное сопротивление, равное волновому
сопротивлению линии zc (рис. 17.3).
Сопоставление уравнений (17.8) и (17.15) показывает, что
уравнение прямой волны в начале линии совпадает с уравнением
- полного напряжения, а в остальных точках отличается от него
только аргументом ~ вместо tj. Следовательно, для получе-
ния уравнения напряжения прямой волны необходимо в уравне-
нии напряжения в начале линии заменить t на / —
“пр = “1(*~(17Л6)
По этому уравнению можно рассчитать напряжение прямой
волны в любой момент времени f>0 в точках линии, для кото-
рых x^vt, по известному уравнению напряжения в начале
линии. Пользуясь формулой (17.12), легко найти и уравнение
тока .прямой волны.
4Я4
Пример 17.1. К началу воздушной линии длиной 1 = 120 км присоединен
источник э. д. с. с напряжением u0=U0 (1 —е~а/),.где 1/0 = 1000 кВ; а =5000 с-1.
Построить график распределения напряжения прямой волны вдоль линии
спустя 0,6 с после начала распространения волны.
Решение. Исходя из того, что напряжение в начале линии совпадает
с напряжением источника энергии, и учитывая общее правило (17.16), напря-
жение прямой волны
где v = 3-105 км/с. График распределения напря-
жения прямой волны вдоль линии построен на
рис. 17.4.
6)
Рис. 17.6
напряжения до точки
Сравним график распределения напря-
жения вдоль линии в зависимости от ко-
ординаты х с графиком изменения напря-
жения в начале линии в зависимости от
времени t (рис. 1775). Кривые напряже-
ния на обоих графиках имеют одинаковую
форму, что нетрудно увидеть, если пред-
положить, что линия имеет большую дли-
ну, и продолжить график распределения
x0 — vt (см. рис. 17.4), до которой могла бы распространиться вол-
на к рассматриваемому моменту вре-
мени t — 0,6 с.
Аналогия графиков напряжения
нпр(х) и «1(/) носит более общий
характер. При надлежащем выборе
масштабов для аргументов кривая
распределения напряжения вдоль ли-
нии (в зависимости от координаты
g = vt — х) должна полностью совпа-
дать с кривой зависимости напряже-
ния в начале линии от времени t. Для этого достаточно вы-
брать масштаб для расстояний так, чтобы m^ — vmt, где mt~
Масштаб времени.
485
Если линия присоединяется к источнику постоянной э. д. с. & = и
(рис. 17.6, а), то напряжение в начале линии до момента включе-
ния (/<0) равно нулю, а после включения (/^0) равно U
(рис. 17.6, б). Поэтому распространяющаяся по линии волна имеет
форму импульса бесконечной длины с прямоугольным фронтом
(рис. 17.7).
§ 17.3. Ток и напряжение в конце линии
Расчетные уравнения для напряжений и тока в конце линии
могут быть получены из уравнений (17.12), справедливых для
любой точки линии:
^пр = ^Пр/^С» ^обр “ Uo^/Zc.
Тогда согласно (17.13) и (17.14)
1 = Фр Фбр ~ (^пр/^с) (^обрДс)>
Zcl = НПр Uogp,
W — ^пр ф" ^обр*
Почленное сложение последних’ двух уравнений дает
2нПр==« + г(;1‘.
В дальнейшем токи и напряжения в конце линии будут отмечаться
индексом 2, а в начале линии — индексом 1 (рис. 17.8). Напри-
мер, если последнее уравнение, справедливое для любой точки
линии, должно быть использовано для конца линии, то его можно
переписать следующим образом:
2н2пр = п2 ф-zci2, (17.17)
где и2пр —напряжение прямой
волны в конце линии; i2 —ток
в конце линии; и2 — напряже-
ние в конце линии.
Уравнения (17.17) недоста-
точно для определения тока и
напряжения, так как в него входят две неизвестные величины
(w2 и i2). Дополнительное условие, связывающее неизвестные, за-
висит от нагрузки. Например, для активной нагрузки
u2 = ri2, (17.18)
где г — сопротивление нагрузки.
Расчетные уравнения для этого случая принимают вид
Рис. 17.8
о,
«г = т^7«2пр. (17.20)
гс~г‘
486
(17.21)
Уравнение (17.20) можно записать в виде
И2 ^^2пр»
где
И2 2г !
п = —— — —-т—
^2пр I Г
— коэффициент преломления.
Если к концу линии (рис. 17.8) присоединены индуктивность
и емкость, то расчет удобней вести исходя из схемы замещения
(рис. 17.9), соответствующей уравнению (17.17). При этом
уравнения могут быть записаны аналогично (17.19)' и (17.20)
только для изображений:
i i \ 2^2пр(р) .. , . 2Z2(p)
/а “Zc(p)+Z2 (р): ~ Zc(p)+Z2(p) ^2п₽
Коэффициент преломления в общем случае
IV (Р) = = т7ТГГЙ- (17-22)
' ^2ПР(Р) ^c(P) + Z2(P) V '
При использовании схемы рис. 17.9 следует помнить, что
токи и напряжения в ней появляются не сразу после замыкания
ключа в начале линии, а только после распространения прямой
волны по всей линии. Поэтому при расчете схемы замещения
отсчет времени удобнее начинать с момента прихода прямой
волны к концу линии (t = l/v). Время, отсчитываемое от этого мо-
мента, ^ = t — l/v.
Согласно (17.16), напряжение
прямой волны в конце линии
«2пР = Ы1(*-^) = «1(6)- (17-23)
Таким образом, схейа замеще-
ния для расчета напряжений
и токов в конце линии имеет вид,
изображенный на рис. 17.10.
Для составления схемы заме-
щения необходимо: а) последова-
тельно с сопротивлением нагрузки, включенным в конце линии,
соединить активное (сосредоточенное) сопротивление, равное
характеристическому сопротивлению линии; б) при помощи ключа
подключить генератор с напряжением, равным двойному напря-
жению в начале линии, в момент прихода падающей волны,
к концу линии, когда 6 = 0.
Схема на рис. 17.10 позволяет свести расчет переходных про-
цессов в цепи с распределенными параметрами к расчету пере-
ходных процессов в цепи с сосредоточенными параметрами.
Пример 17.2. Определить ток и напряжение в конце линии длиной I
с характеристическим сопротивлением zc. В конце линии присоединена индук-
тивность L. Напряжение в начале линии u = U0Q'at.
487
Решение. Составим схему замещения (рис. 17.11) и рассчитаем ее так
же, как и схему цепи с сосредоточенными параметрами. Для этой схемы
Z.(p)=zc+pL-,
Z (—а)=гс—<xL
и производная Z'(p) = L.
Корень уравнения Z(p) = 0 равен рг = —zc/L.
Рис. 17.10
Рис. 17.11
'а Z (— а) (p1-|-cz)Z'(р) zc—aL
Для экспоненциального напряжения согласно теореме разложения получим
-^6
, 2Une°'e 2Une~a(> . 2(Ле L
или
L
Как
видно из рис. 17.11, напряжение в конце линии
' -^е
е нН Ь
и2 = 2Ы1 - zci2 = 2(/(Je-«e - 2(7О
=2U0
aL р-аН
jtxL — гс
zc
z & — Р-L.
____?£____ L0
aL—zc
ИЛИ
a —«
-—— e
—217
L ~Т
---е L
§ 17.4. Расчет напряжения обратном волны
В общем виде напряжение обратной волны в конце линии
(х — Г) согласно (17.9)
uzo6p — fi^ + (17.24)
Это напряжение может быть определено из схемы замещения
по уравнению (17.13):
^2обр* ^2 ^2пр* (17.25)
488
Напряжение в конце линии начинает изменяться только после
прихода прямой волны. Поэтому напряжение (17.25) получается
в виде функции
«2o6p=fa(e) (17.26)
от переменной
6 = /-- = / + --^-. . (17.27)
V 1 V V
Из уравнений (17.24), (17.26) и (17.27) следует, что в данном
случае т2 = — 2l/v.
Сравнение выражений (17.9), (17.26) и (17.27) позволяет сде-
лать следующий вывод. Если известно уравнение напряжения
обратной волны в конце линии в виде функции
«гобр = «2обР (е). (17.28)
то для получения побр в любой точке, находящейся на расстоя-
нии х от начала линии, необходимо заменить переменную
= t — переменной t ф- x/v —• 2//щ т. е.
«O6p = «2o6p(^+V-V)* <17-29>
Пример 17.3. Определить напряжение обратной волны по данным примера
17.2.
Решение. В примере 17.2 было получено выражение
W2—2 £7о
при
^2Пр~^0^
поэтому
* / гс \
ri I aL-4-zc -аВ 2гг ----------Г
«гобр — «2 — "2пр — Uо y~L _Zce aL — zc е у = ыаобр(в).
Следовательно,
Уравнение (17.29) позволяет найти расчетным путем напряже-
ния и ток обратной волны в любой момент времени > у) и
в любой точке линии (21 — vt < х < vt). При этом необходимо
помнить, что в уравнении (17.29) расстояние х отсчитывается
от начала линии (исходной точки движения прямой волны),
а время / — от момента начала движения прямой волны.
Иногда при расчетах и построениях графиков обратных волн
расстояния у отсчитывают от конца первой линии в сторону ее
489
начала, а время 6 —от момента начала движения обратной волны.
Уравнение обратной волны в новой системе координат может
быть получено из уравнения (17.29) после подстановки в него
х — 1 — у и 6 = Z — l/v.
В результате этого уравнение обратной волны примет вид
Mo6p = M2o6p(e-f). (17.30)
Сравнение выражений (17.30) и (17.28) показывает, что в но-
вой системе координат переход от напряжения обратной волны
в конце линии к напряжению этой волны в любой точке осу-
ществляется заменой аргумента 6 на 6 — y/v, т. е. аналогичен
переходу от напряжения прямой волны в начале линии к напря-
жению прямой волны в любой точке. В случае прямой волны
переход связан с заменой , аргумента t на t — x/v в соответствии
с уравнением (17.16).
Таким образом, если время t отсчитывать всегда с момента начала
движения рассматриваемой волны от какой-либо точки, а расстоя-
ния х откладывать по направлению движения волны от той же
точки, то можно сформулировать общее правило для определения
закона изменения волны: если в начальной точке движения, (х — 0)
волна изменяется во времени по закону f(t), то в точке, находя-
щейся от исходной на расстоянии х, волна будет изменяться по
закону f (т), где т = t — x/v, v — скорость движения волны в линии;
vt.
Это правило можно применить как для расчета прямых, так
и обратных волн, а также для волн, возникающих при последо-
вательном соединении нескольких линий. При этом для каждой
волны следует выбирать свою систему отсчета расстояний и вре-
мени.
Если источник энергии включен в начале линии (х = 0), то
непосредственным источником энергии для обратной волны может
быть только энергия, доставляемая к концу линии (х — 1) прямой
волной. Действительно, мощность в нагрузке
. , . v ^2Пр W2o6p W‘2np Изобр*
Р2 = ^2*2 = (U2np + W2o6p) ~ ~ — р2пр — Р2обр>
гДе Р2пр и р2обр — соответственно мощности прямой и обратной
волн в конце линии.
Следовательно, р2обр = Ргпр — Ра. т. е. обратная волна возни-
кает в результате того, что нагрузка не поглощает всю электро-
магнитную энергию, приносимую прямой волной. Поэтому в дан-
ных условиях прямую волну называют падающей, а обратную —
отраженной.
В случае активной нагрузки (г) в конце линий для нахожде-
ния напряжения отраженной волны используют коэффициент
отражения
^2отр/^2цад ^2отрр2пад*
490
Из уравнений (17.13) и (17.20) определяем
2r f Г—2С
^2отр — ^2 ““ ^2пад [ г ^2паД ^2пад Г { 2С ^2паД’
Из уравнений (17.14) и (17.19) можно убедиться, что
_____________ ; ; . 2zc . г — гс .
*2отр — ^2пад ^2 *2пад г -{-г ^2пад — т + *2пад*
. Таким образом,
(17.31)
Ранее отмечалось, что график напряжения падающей волны
в конце линии, построенный в зависимости от времени t, совпа-
дает с графиком напряжения в начале линии, если по оси абсцисс
отложить функцию времени 6 : н2пад — (6)- Поэтому напряжение
(ток) отраженной волны в конце линии
^2отр ~ ^^2 над == (6)
может быть получено пропорциональным изменением напряже
ния (тока) в начале ли- ?
нии в соответствии с ве-
личиной коэффициента от- Ср-
ражения.
При коротком замыка-
нии на конце линии (г = 0)
т — — 1, т. е. отраженная
волна в конце линии рав-
на по величине падающей
ию6р е^1 и?о5р
Рис. 17.12
волне и противоположна
ей по знаку. При разомкнутом конце линии (г = оо) т = 1, т. е.
отраженная волна в конце линии равна и по величине и по зна-
ку падающей волне. При согласованной нагрузке (r = zc) отра-
женные волны отсутствуют (т = 0).
Следовательно, переходные процессы в линии связаны с рас-
пространением падающих и отраженных волн. Форма падающей
волны напряжения при включении линии определяется напряже-
нием источника энергии в начале линии, форма отраженной
волны напряжения — законом изменения напряжения отраженной
волны в конце линии. Напряжение отраженной волны может
быть найдено из расчета схемы замещения линии. Как уже
отмечалось, ток и напряжение падающей (отраженной) волны
связаны выражением, аналогичным закону Ома, причем в каче-
стве сопротивления следует взять волновое сопротивление линии гс.
Результирующие напряжения и токи в каждой точке линии под-
считывают суммированием напряжений и вычитанием токов падаю-
щей и отраженной волн. »
В общем случае, когда источники энергии, сосредоточенные
индуктивности и емкости, а также прямые и обратные волны
имеются и в начале и в конце линии, коэффициентами отражения
491
можно пользоваться только в операторной форме; причем коэф-
фициент отражения для начала и конца линии соответственно
Л4 (п\ — Z1 ^~Zc •
. ZApj + Z^P) ’
М (п)__ Z1 Zc
М?Лр’ Z2(p) + Zc(p)’
где Zj (р) и Za (р) — входные сопротивления эквивалентных актив-
ных двухполюсников в начале и конце линии *. При этом резуль-
тирующие значения напряжений прямых и обратных волн можно
найти с помощью графа на рис. 17.12, где ^и ^ — эквивалент-
ные э. Д. с. активных двухполюсников в начале и конце линии.
§ 17.5. Переход волн с одной линии на другую
Очень часто воздушная линия переходит в кабельную, и наобо-
рот. Такой переход возможен при пересечении линий связи с высоко-
вольтными или железнодорожными линиями, на подходах воздуш-
ных линий генераторного напряжения к электрическим станциям
(иногда это делается для ограничения перенапряжений). В этих
Рис. 17.13
и подобных случаях две линии с разными волновыми сопротивле-
ниями оказываются включенными последовательно. Волна, движу-
щаяся по одной из линий, попадая на другую, изменяет свою
амплитуду (преломляется) и частично отражается от места соедине-
ния линий. В том месте, где линии соединяются, включают элементы
с сосредоточенными постоянными: индуктивные катушки, конден-
саторы и резисторы. Их назначение может быть самым различным:
ограничение перенапряжений, токов короткого замыкания или
уменьшение искажений, увеличение пропускной способности линий
(дальних энергопередач) и др. Учесть такие элементы при расчете
переходных процессов в цепях с распределенными постоянными
можно, если в точках соединения двух линий с волновыми сопро-
тивлениями гл и zc2 включить четырехполюсник П с сосредоточен-
ными параметрами (рис. 17.13).
Напряжение и ток на входе'четырехполюсиика связаны с напря-
жением падающей волны в конце линии уравнением (17.17)**
2н2пад = Zciig-|-(17.32)
*.Для линии без потерь Zc(p)=zc. '
** Все величины, кроме волнового сопротивления и длины, относящиеся
к первой линии, обозначаются с одним штрихом, а ко второй—с двумя штрихами.
492
ZC2
Рис. 17.14
На выходе четырехполюсника до появления волн, отраженных
от конца второй линии, напряжения и ток связаны формулой
u1 = i'[Zc2. (17.33)
Уравнения (17.32) и (17.33) позволяют составить простую рас-
четную схему (рис. 17.14) для определения токов и напряжений
в месте соединения первой и второй линий. Эта схема получается
путем присоединения к входным зажимам четырехполюсника через
активное сопротивление zcl источника с удвоенным напряжением
2wx в начале первой линии, а к выходным зажимам — активного
сопротивления zc8. В данной схеме время 6' = /' — LjJv' отсчитыва-
ется с момента прихода падающей волны к четырехполюснику.
В расчетную схему не входит сопротивление нагрузки второй
линии Za, так как эта схе-
ма пригодна только до мо- п'„0 l2f
мента появления у четы- У, ।—
рехполюсника отраженных гаи'1
волн от конца второй ли- 7
НИИ.
Если к выходным за-
жимам четырехполюсника
присоединено несколько различных линий, то в расчетной схеме
каждая из них заменяется волновым сопротивлением, присоеди-
ненным к выходу четырехполюсника параллельно волновым соп-
ротивлениям остальных линий.
Расчетная схема для точки соединения линий дает возможность
свести расчет цепи на рис. 17.13 к расчету цепи на рис. 17.14.
Для определения четырех неизвестных токов и напряжений рас-
четной схемы в общем случае (17.33) следует рассмотреть еще два
уравнения четырехполюсника:
U'^AUl + ВЦ-,
I^CU'I + DH.
Для практических расчетов вместо общей схемы четырехполюс-
ника рассматривают конкретную схему (рис. 17.14), которую рас-
считывают как единое целое. Расчет упрощается, если в четырех-
полюсник 77 не входят индуктивность и емкость. В этом случае
для определения отраженной волны можно воспользоваться фор-
мулой (17.31), если в ней заменить г на входное сопротивление
нагруженного четырехполюсника ги:
т — ы‘2отр — ги~~гл
М2пад Г11 + ^с1 .
При этом напряжение на входе четырехполюсника будет опре-
деляться коэффициентом преломления
,___ _ 2Гц
м2пад г11+гД*
(17.34)
(17.35)
493
а на выходе четырехполюсника — коэ ффициентом преломления
И = Hi /П^пад-
Если конец первой линии непосредственно соединен с началом
второй линии, то гц = гс2. Следовательно,
т = g£2-2d .
Пусть в этом случае начало первой линии присоединяется
к источнику э. д. с. с напряжением =/(£')• Тогда
^пад — f[t v, j J (17.36)
(17.37)
«над-«7^"-^'), (17.38)
где расстояние х" отсчитывают от начала второй линии, а время
t" = 6' — от мбмента появления напряжения в начале второй линии.
Сопоставление уравнений (17.36), (17.37) и (17.38) показывает,
что волна, появляющаяся во второй линии, как и отраженная
волна, имеет ту же форму, что и создающая ее падающая волна
первой линии; все волны отличаются только амплитудами. Если
zci>ze2, то отраженная волна имеет знак, противоположный пада-
ющей, а преломленная волна меньше падающей волны. Если
zci<zc2, то отраженная и падающая волны имеют одинаковые
знаки, но преломленная волна больше падающей (при п' ~п").
Пример 17.4. Прямоугольная волна с амплитудой 17=100 кВ переходит
с воздушной линии с гс1=400 Ом через сопротивление R на две кабельные
Рис. 17.15
Рис. 17.16
линии с 2с2=2сз=50 Ом (рис. 17.15). Определить сопротивление R, при кото-
ром в воздушной линии отсутствуют отраженные волны, а также ампли-
туду падающих волн в кабелях при наличии и отсутствии этого сопротивления.
Решение. Как видно из схемы на рис. 17.16, эквивалентное сопротивле-
ние в конце первой линии
r — R + .
гсг+ гсз
Отражение в воздушной линии отсутствует, если г=гс1, так как в этом
случае коэффициент отражения
г — гс< _
т = ——У = 0.
г
494
Найдем искомое значение сопротивления:
R=Zci “’ЙЙз = 400 ~ 50+10 = 375 Ом‘
Напряжение падающих волн в кабелях до прихода волн, отраженных от
их концов, определяется напряжением в узловой точке Ь.
Из расчетной схемы ,
%сЗ
и = 27/ ~^+Zc?- = 200 ~ = = 6,25 кВ.
При R— 0 , . п , 400 + 375+ 25 ’ гс1+у< 1 т 25 Кпад-200 400 + 25 -11’8 кВ>
Если требуется определить напряжения в месте перехода
с одной линйи на другую с учетом напряжения обратной волны
во второй линии, то такая задача может быть решена методом
Рис. 17.17
наложения, причем коэффициентами отражения и преломления
в общем случае можно пользоваться только в операторной форме:
|_ v2np (р) J сЛотр = V ци2пр (p)Jt/lorp = О
мм, •, Ma(p)=r4^1,
[7/1 отр (р)J Т/2пр = 0 L 51 отр (р) jT/Znp ®= 0
Параметры Mjk называются волновыми коэффициен-
там и. Соотношения между амплитудами прямых и обратных
волн в переходном устройстве (/7) в общем случае показаны на
графе рис. 17.17. Когда п разных линий соединены в общий
узел, связь между ними описывается матрицей волновых коэф-
фициентов из п строк и п столбцов.
§ 17.6. Волны в линиях при включении и отключении ветвей
Волны в линиях при включении новых ветвей. Волны возни-
кают не только в том случае, когда к линии подключают источ-
ник энергии, но также при включении или отключении отдельных
ветвей, расположенных в различных точках электрической цепи,
например в конце или середине линии.
495
Задачи, связанные с включением новой ветви, решают методом
наложения. При этом токи и напряжения в линии и ветвях,
соединенных с ней, находятся путем наложения токов и напря-
жений, имеющихся до включения, на соответствующие токи и
йапряжения, возникающие в цепи после включения источника
с напряжением, равным напряжению на разомкнутом ключе. .
Примером может служить цепь (рис. 17.18), в которой линия
длиной I с волновым сопротивлением гв и током нагрузки Iv =
U г '
—г-н находится под напряжением —r^ U. К концу такой линии
подключается конденсатор с емкостью С.
Для этой цепи при незамкнутом ключе
^20 ir0 — /•-(-/? — ^н’ ^"0 — — r-j-Т? '
Вторые составляющие напряжений и токов в соответствующих
ветвях получают при расчете цепи на рис. 17.19.- Обоснование
изложенного метода расчета ана-
логично доказательству теоремы об
активном двухполюснике.
Для определения вторых со-
ставляющих токов и напряжений
используют расчетную эквивалент-
ную схему с сосредоточенными па-
Рис. 17.20 раметрами на рис. 17.3, в которой
вблизи ключа присоединяется вме-
сто линии активное сопротивление zc. Так, эквивалентная схема
для токов и напряжений в конце линии (рис. 17.19) имеет вид,
изображенный на рис. 17.20.
496
Напряжения и токи, найденные из расчета эквивалентной
схемы, позволяют определить напряжение и ток падающих волн,
распространяющихся от того конца линии, который соединен
с ключом непосредственно или через ветви с сосредоточенными
параметрами. Алгебраически сложив напряжение и токи этих
волн с напряжениями и токами, имевшимися до коммутации,
можно получить распределение токов и напряжений вдоль линии.
Пример 17.5. Линия без потерь длиной 1 = 400 м и с волновым сопротив-
лением гс=500 Ом питает сопротивление нагрузки г = 300 Ом от генератора
с источником э. д. с. S=2000 В, включенного последовательно с сопротивле-
нием 7? =100 Ом (см. рис. 17.18). Определить распределение тока и напряжения
вдоль линии спустя 1 мс после включения емкости £7=2,667 нФ.
Решение. До коммутации
& 2000 к л. . л
«20 «ю «г„ —100+300" А’ 1С°~°'
«ю=^=Т^^=збб?Т00-2000=1500 в-
Дополнительные токи и напряжения, появляющиеся после коммутации,
определим из схем на рис. 17.19 и 17.20 при условии, что
«^=7^^ = 1500 В.
Входное операторное сопротивление
г9>>-^+
ггс
Ток
Z2 W=7TT '°
r-t-zc r±zc Zx (p)
где
Zx(p) = Z(p)-^=zc+^.
Корень уравнения Zx(p) = 0
Pi
При этом
=_________300+500____=_ 2.10. c-i
rzfi 300 500 • 2,667 • 10-9 z c ‘
Pi?[ (Pl) =— Pl =гс; Zx (0) = CO.
Ток после присоединения конденсатора найдем по формуле включения
Ц \ eP,t eP,Z = 3е-2‘т А.
Zi (0) Pi^i (Pi) +
Дополнительное напряжение в конце линии
и' = — гс1'=—1500е~2 •1 т' В
взято с отрицательным знаком в соответствии с положительными направлениями
токов и напряжений, изображенных на рис. 17.20.
497
Появление дополнительного напряжения в конце линии обусловливает
распространение вдоль линии волн:
—2-lOefi——
Ипад=—1500е v> В;
Ипзд -2-10» (z—£)
1пад =---- — —Зе X v/ А,
где о = 3-1010 см/с, а расстояния х отсчитываются от конца линии.
Распределение токов (рис. 17.21, а) и напряжений (рис. 17.21, б) получено
суммированием: и = и0+и'ад, i = i0—»'ад.
Волны в линиях при отключении ветвей. Переходные процессы,
возникающие в линии при отключении ветвей, определяются как
результат наложения на токи
и напряжения линии до комму-
тации дополнительных токов,
которые возникают в резуль-
тате коммутации. Дополнитель-
ные токи находятся как ре-
зультат включения источника
с током, равным по величине
и противоположным по направ-
лению току до отключения. Этот
прием можно использовать только в тех случаях, когда отключе-
ние не сопровождается разрывом ветви с током в индуктивности.
b
Рис. 17.22
Пример 17.6. Две последовательно со-
единенные линии одинаковой длины и вол-
новыми сопротивлениями гс1=300 Ом,
гс2=500 Ом присоединены к источнику по-
стоянной э. д. с. = 1600 В. Конец второй
линии разомкнут (рис. 17.22). В месте со-
единения линий сопротивление г=400 Ом
отключается. Найти распределение тока и
напряжения для момента времени, при ко-
тором возникающие волны распространятся
до середины обеих линий.
Рис. 17.23
Решение. До коммутации первая и вторая линии находились под оди-
наковым напряжением и1о=н2(|:=^=1600 В. Ток в первой линии и сопротив-
лении г i10=i0~<§J/r = 4 А. Во второй линии ток отсутствует: *20=0.
498
Для определения дополнительных токов и напряжений, возникающих после
коммутации, подключим к месту соединений
Токи в линиях в месте соединения най-
дем из эквивалентной схемы (рис. 17.23):
,, . zca 500
+ 0 300 + 500
= —1{ = 1,5 А.
Таким образом, после отключения соп-
ротивления г по первой линии начнет рас-
пространяться волна тока с амплитудой if=
= 2,5 А, а по второй линии — 1'2 = 1,5 А. Со-
ответствующие волны напряжений будут
иметь одинаковые амплитуды:
м1=гс1<'{=750 В;
w2 —— 750 В. рис> 17 24
В тех точках линий, до которых дош-
ли вызванные коммутацией волны, напряжение ц=ц0 + «' = 2350 В, а токи:
<i=«io—7{== 1,5 A; i2 = i2o + ig = 1,5 А.
Кривые распределения токов и напряжений вдоль линий приведены на
рис. 17.24.
§ 17.7. Формирование импульсов с помощью линий
Линии представляют собой цепи с задержкой и обратной
связью, величинами и характером которых можно управлять подбо-
ром числа линий, волновых коэффициентов и длин. Поэтому цепи
с распределенными па-
раметрами можно ис-
пользовать для форми-
рования (синтеза) им-
пульсов.
Линия, ф о р м и-
рующая импуль-
с ы, может быть по-
u(t)
Рис. 17.25
лучена, например, из разомкнутой на конце линии длиной 2/,
если в ее середине включить сопротивление г = 2гс, к началу
присоединить источник э. д. с. ег (/), а импульсное напряжение и (t)
снимать с зажимов сопротивления г (рис. 17.25). Прямые и
обратные волны такой системы могут быть найдены при рассмотре-
нии графа на рис. 17.26. Передаточная функция
j_r , . U (р) U'2— U"1/2пр + 1/2обр— (171 пр + 1/lобр)
е~рТ{1 -ye~2pZ) +
_ р—РГ — р— ЗрТ — р— рТ р— ЗрТ
2 2 ’
Si
1-|е-2₽7) + 1е-з^-
где T = l/v. Таким образом, если с помощью э. д. с. ег создается
прямоугольный бесконечный импульс, то напряжение имеет вид
499
Щпр еРТ U'znp
i u"nD
f
u'to6p еРТ иzoSp т и10бр еГ>Т^2о6р
Рис. 17.26
прямоугольного импульса той же амплитуды, но конечной (2Т)
длительности (рис. 17.27), так как начальный импульс («?) через
Т приходит к узлу f/snp и в результате создаются два импульса:
отраженный и преломленный пр половинной амплитуды
(е/2). Эти импульсы про-
ходят по двум контурам
обратной связи графа на
рис. 17.26; один из них
возвращается в исходную
точку (^2 пр) с переменой,
а другой возвращается в
исходную точку (£7ГобР) без
изменения знака. Следова-
тельно, через ЗТ после
включения источника энергии два равных и противоположных
импульса достигают точек /7гпР, £ЛобР и взаимно уничтожаются.
«
После этого система приходит
в первоначальное состояние.
Линия может быть превра-
щена в генератор непрерывной
последовательности одинаковых
импульсов, если ее конец присо-
единить к реактивной нагруз-
ке. При этом напряжение и ток
в линии определяются много-
кратными отражениями прямых
и обратных волн. Для количественного анализа явлений в таком
квазиустановившемся режиме следует вернуться к общему реше-
нию (17.4) уравнений длинной линии, изменив направление от-
счета расстояний (х) на противоположное и совместив начало от-
счета с нагрузкой. Тогда
U = Aje^ 4- Л2е-^ = S (е^ + Ме~^х),
I = — (Лхе^ — Аае-т*) = — (еУх — Ме~^х).
ZC zc
Если в начале линии длиной 21 включен источник
с напряжением «i(0 = ^1[tzi]. то из (17.39) при х = 1
(/^^(е^ + Ме-2*7),
zc
(17.39)
э. д. с.
и в любой точке линии
.... e^+Afe-V* .
— Oi e2Y?4-A(e-2TZ '>
j—j elx~zWe-v*
(17.40)
Активная нагрузка. Если линия без потерь (у == p/v) нагру-
жена на конце активным сопротивлением, то операторный коэф-
500
фициент отражения
Л1 = Л!(р)=^7 = т
' “Г гс
не содержит оператора р, является вещественным числом и сов-
падает с коэффициентом отражения
(17.31). В точке х — 1 изображение
(17.40)
epl/v^-mer-pl/v
Um — Uj. e2pi/v+trie-2pi/v=
-Uie-рт l+^~2pT ^U1{e-PT+
l-j-me "
+ те~3рГ — те.~ЪрТ — m2e~7pT + ...).
(17.41)
Следовательно, напряжение в сере- - t
дине линии т Jq
им — (t — Т) + mUi (t — 3T) —
— mUi (t — 57) — m2Ui (t — 77) -|-...
представляет собой такую последова-
тельность функций, каждая из которых
имеет ту же форму, что напряжение в
начале линии, но уменьшена относи-
тельно предыдущей в соответствии со
значением коэффициента отражения
±tn и сдвинута относительно нее на
время пробега волной всей линии (2Т =
= 2l/v).
Кривые напряжения в средней точ-
ке линии при воздействии на начало
линии ступенчатой функции изображе-
ны на рис. 17.28, а — д для разных зна-
чений tn. Все кривые идентичны для
первых 37.
Из рис. 17.28, а видно, что-возбуж-
даемая источником э. д. с. короткозамк-
нутая линия резонирует с основной
частотой ' 1/47. Рис. 17.28, д показы-
вает, что основная частота (1/87) ра-
Рис. 17.28
меньше основной частоты
зомкнутой на конце линии в два раза
той же короткозамкнутой линии.
Одним из способов получения спектра последовательности
прямоугольных импульсов является разложение изображения
напряжения (17.40) в ряд при т=1 и Ui(p) — S/p с помощью
формулы разложения рациональной дроби на сумму простых
501
дробей:
. рх
tj tj ^v+e-Px'v сп v _Р(р)_
U\2Pl/v + e-2Pllv p(.h2pl Q(p)
V
так как Q' (р) = ch 2рТ + 2рТ sh 2рТ и корни уравнения Q(p)=?
= pch2p7 = 0 равны 0, ±jn/4T, ±/Зл/47.... Следовательно,
напряжение» на линии без потерь с разомкнутым концом
ы==б+ _± V L-1.)!cosgl+.1.H£cos
“ 1 л Z 2n + l CO it СОЬ 4Г
n = 0
Емкостная нагрузка. В этом случае расчет сложнее, так как
операторный коэффициент отражения
л * _ УрС zc _ __р а
l/pC+zc р+а
зависит от оператора р (а = l/zcC).'Например, при подключении
начала линии к источнику постоянной э. д. с. S для определе-
ния изображения напряжения на емкости (х —0) из уравнения
(17.40) аналогично (17.41) можно записать
<4 = Ui ^р-т^^-2Гт = # (F1e-2^ + F3e-6^ + FBe-“’^ + ...),
где
F1=F1 (р)=1±^ = -7^—. = - - -4- = X [2 (1 -е-“9]=^[/т (/)];
х р р(р + «) Р р + а 1
р __ ]\лр ____ 2а (р а) __ 2 . 2 . 4а _
3— Х~р(р+«)2 ~ p‘rp + a“t'(p+a)2~
= X {2 [-1+ (1 -t 2«0 e-q} = X [fs (/)];
р MP 2а (Р—а12 -__________________8а2 _
Б— 3—р(р+а)4 ~ р р + а (р + а)3
= X {2 [ 1 - (1 + 2а2/2) е-а/]} = X [f5 (/)] и т. д.
График напряжения на емкости
Ы2 = S [/1 (t - 27)+f3 (/ - 67)+f5 (t - 107)+...]
построен на ррс. 17.29 при 2аТ = 5. Из графика видно, что
в рассматриваемой системе колебания напряжения происходят
вблизи значения напряжения
источника энергии S, однако
амплитуда этих колебаний
выходит за пределы 0 и 2<о.
Емкость, включенная в
конце линии, уменьшает ос-
новную частоту резонансных
колебаний по сравнению с
основной частотой разомкну-
той линии. Например, при
2аТ = 5 период основной гар-
моники возрастает с 8Т до
9,447. Количественную оцен-
ку этого эффекта в общем
Рис. 17.29
случае, а также для высших гармоник можно провести с помо-
щью уравнения, которое должно выполняться для каждой гар-
монической составляющей:
Ula = ^2ь> (cos рх — aCzc sin рх).
Значения резонансных ча-
стот находят из условий, что
при резонансной частоте конеч-
ное значение напряжения на
емкости* U2a возникает для бес-
конечно малого напряжения U10}
источника энергии, т. е. при
cos 2р I — a>Czc sin 2pZ = О
или
zccoC = ctg 20/.
Рис. 17.30 Корни этого уравнения соот-
ветствуют точкам Plt Pz... пере-
сечения прямой zcaC с котангенсоидой (рис. 17.30). Из’приведен-
ного построения видно, что соответствующие резонансные частоты
не образуют гармонического ряда. Для сравнения на рис. 17.30
буквами Qr, Qz,... обозначены значения резонансных частот
в отсутствие емкости.
§ 17.8. Волны в линии без искажения
Если параметры линии связаны соотношением г0/<3?0 = go/Со = а,
то коэффициент распространения (17.3)
T = (« + P)VZA =
503
Изображение напряжения в произвольной точке линии при тех
же условиях, в которых получено уравнение (17.6),
__ах рх
U^Aje-^^Uie ve °.
По теореме смещения (17.7), напряжение прямой волны
и (t, х) = е v «1 (t —
или в общем случае
__ах
ипр = е (17.42)
Аналогичным образом для обратной волны напряжения
«обр = е^2^ + ^-+т2). (17.43)
с
с
Следовательно, обе волны в такой линии распространяются
постоянной скоростью v = 1 /У"LoCo и без изменения формы, но
затуханием, пропорциональным множителю e~ax/v (рис. 17.31).
Прямая и обратная волны
тока имеют ту же скорость,
форму и затухание, что и соот-
ветствующие волны напряжения,
так как их уравнения (17.46)
отличаются друг от друга толь-
ко на величину волнового соп-
ротивления zc = ]/ L0/Cu-
Уменьшение амплитуды волн
в неискажающей линии тем
больше, чем больше коэффициент затухания а=]/ r0g0jv, и опре-
деляется изменением энергии магнитного и электрического полей
волны по мере преобразования этой энергии в тепло, выделяю-
щееся в проводах (го>0) и изоляции (g'0>0).
Строго говоря, линию без потерь нельзя реализовать, так как
всякий провод (кабель) обладает конечным сопротивлением. Однако
анализ идеализированной линии без потерь дает достаточные для
практики результаты в случае коротких хорошо изолированных
линий как предельный случай безыскажающей линии, когда изме-
нениями напряжения и тока за счет сопротивления проводов
и утечки в изоляции можно пренебречь. Уравнения (17.42) и
(17.43) позволяют произвести оценку связанной с этим ошибки.
§ 17.9. Процессы в кабеле без индуктивности и утечки
Кабель без индуктивности и утечки (go = Lo — O) имеет коэф-
фициент распространения у — V pr0C0 — q ]/р, где <? = ]/гоС'о-
Изображение напряжения прямой волны U—/хе Vх—с“.
504
Для ступенчатого импульса напряжения в
с амплитудой
( S при />0;
“х )==|о при КО
начале линии
(17.44)
изображение напряжения в начале линии
(17.45)
а в точке х
—xgVp
(К 3е—— = t/(p, х) (17.46)
Оригинал этого напряжения можно получить с помощью обрат-
ного преобразования Лапласа в плоскости р:
О0 +/ОЭ —дхУр + pt
1 dp =
о»+/<»
u(z> х) = 2^/ $ U(p,x)e^dp
Go — J CO
Qx
2л/ J
Оо — /со
Р
К
2^7 X2Q2
1--|= С е * d(-^=
/л J \2/z
(17.47)
где
2 К/
W
jj e~w’dW
(17.48)
— известный из теории вероятностей интеграл ошибок
ции ошибок Гаусса е~к'г; функция и интеграл ошибок
соответственно на рис. 17.32, а, б.
от функ-
показаны
коз
Уравнение (17.47) является решением известного в математи-
ческой физике уравнения диффузии
й2и _ п ди , ди
^ — гоСой— q (17.49)
к которому сводятся уравнения длинной линии (12.4) при g0 =
= Lo = 0. В этом можно убедиться, если воспользоваться подста-
новкой
W = kxt-li2
и учесть, что
ди ди dW ,, 1/9 ди
dx~dWdx~Kl dW
d~U 1.9.1 1 ^U
____ — ____________- •
дх* dWz>
ди ди dW 1 , , ди
dt dW dt 2 M dW ’
где k(x, /) = const. После этого уравнение (17.49) приобретет вид
- ,^и I Ьу/—3/2 _ а
к 1 dW* + 2 Rxt dW ~и’
или
I J7^_ VW du _ „
dW2 “г 2fe2 w dW~u‘
Если принять k = q/2, то последнее уравнение можно переписать
в виде
^ + 2^^ = 0
или
d du \
бШЦ dWJ~u’
откуда
e^‘^ = C2 = const;
и = Co+C2 e- K/2 dW = Co + Ci erf W.
При воздействии ступенчатого импульса и нулевых начальных
условиях для всех х>0 в начальный момент (/ = 0) и=0,
а в установившемся режиме' (/ = оо) и = S. Эти условия выпол-
няются при Co — S — — Ci, так как erf 0 = 0 и erf со =1. Таким
образом, решение (17.48) действительно является решением урав-
нения диффузии (17.49) при воздействии ступенчатой функции.
Особенности распространения волн в кабеле без индуктивности
и утечки легче проследить при воздействии на начало кабеля
источника энергии, напряжение которого описывается импульсной
506
функцией
«! = «(/, 0) = S8 (/) = <
при / = 0,
при t^=0,
(17.50)
причем
8(t)dt = l.
Импульсная функция может быть получена дифференцирова-
нием по времени ступенчатой функции. Следовательно, изображе-
и
Рис. 17.33
ние напряжения импульсного источника энергии можно получить
умножением изображения ступенчатого напряжения (17.45) на р:
t71 = t/i(p) = ^ = ^H6(OL (17.51)
Так как в данном случае изображение напряжения между
жилой и оболочкой кабеля
[7 = [7(р, = (17.52)
оказывается в р раз больше изображения (17.46), оригинал изо-
бражения (17.50) может быть получен дифференцированием
по времени оригинала (17.47) изображения (17.46):
и (х, t) = S Г1 - erf (-О = S (17.53)
v \2|Л/] 2Vn ?/2 v '
В точке линии, находящейся от ее начала на расстоянии х,
напряжение (17.53) достигает максимума при
/=4<72х2 = /тах, (17.54)
а в момент t максимум находится в точке
/67
X — - — Хтах >
ч
причем
. 4 /3\3/2 S алое
Птах — W (X, ^тах) . /— I ) 6 — 0,925 •
У П \ 2 j дЪР д2х2
507
Скорость распространения максимума напряжения
^тах 5=8 dxmaxldt = V&l2q-/1.
«Волна» с напряжением (17.53), образованная в рассматривае-
мом кабеле коротким импульсом (17.50), обладает свойствами, от-
личными от свойств волн в линии без искажения: ее амплитуда умень-
шается пропорционально х~2, а время достижения максимума (17.54)
увеличивается пропорционально №. Таким образом, происходит
изменение и формы волны, и ее скорости, причем волна распростра-
няется все более и более медленно. На рис. 17.33, а показано
изменение напряжения в зависимости от времени в нескольких
точках кабеля при воздействии короткого импульса, а на
рис. 17.33, б —при воздействии ступенчатого импульса бесконечной
длительности.
Формула (17.54) обосновывает известный в телеграфии закон
RC, который устанавливает обратно пропорциональную зависи-
мость скорости передачи информации (в импульсном режиме) по
кабелю длиной I от произведения полной емкости С = 1С0 на пол-
ное сопротивление R = 1г0 (для всего кабеля 7тах = г0С0Р =
Строго говоря, безындуктивиый кабель также не реализуем,
как и линия без потерь, поскольку цепь не может быть выпол-
нена без индуктивности. Однако явления, происходящие в нем,
представляют интерес как предельный случай такой цепи с рас-
пределенными параметрами, у которой r0^-a>L0 и§0<^ыС0. В этом
случае отклонения от характеристик идеализированного кабеля
будут более или менее заметны только для высокочастотных ком-
понент сигнала.
РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ
ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ПАССИВНЫХ ЦЕПЕЙ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Г Л А В А 18
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 18.1. Задачи синтеза электрических цепей
В задачах синтеза определяются схема и параметры электри-
ческой цепи по известным свойствам (характеристикам), которым
должна удовлетворять цепь. Простейшие задачи синтеза встреча-
лись ранее, например синтез цепи по заданной матрице (см.
гл. 5 и 8).
Большое практическое значение имеет синтез цепей, удовлет-
воряющих необходимым частотным и временным характеристикам.
Как было показано, частотные и временные характеристики цепи
взаимно связаны. Поэтому в общем случае задаются частотными
или временными характеристиками; соответственно различают
методы синтеза в частотной области (по частотным характеристи-
кам) и методы синтеза во временной области (по временным
характеристикам). Здесь рассмотрены только некоторые методы
синтеза в частотной области.
При синтезе в частотной области, как правило, бывает задана
амплитудно-частотная (АЧХ) или фазо-частотная (ФЧХ) характе-
ристика. По амплитудно-частотным характеристикам синтези-
руются,- например, электрические фильтры; по фазбчастотным
характеристикам — цепи, осуществляющие задержку импульсов во
времени (фазовые контуры с линейной ФЧХ).
Задачи синтеза цепей противоположны задачам анализа.
В отличие от задач анализа, имеющих единственное решение,
задачи синтеза имеют неоднозначное решение. Кроме того, реше-
ния может не "существовать, т. е. не всегда по заданной харак-
теристике можно построить цепь.
Если заданным требованиям удовлетворяют ряд цепей (такие
цепи называют эквивалентными), то выбор одной из них осу-
ществляется по различным критериям, например, можно отдать
предпочтение цепи с минимальным числом элементов. Если четы-
рехполюсник синтезируется по заданной АЧХ, то получаются
схемы с неодинаковыми ФЧХ и наиболее желательной может
оказаться схема, ФЧХ которой близка к линейной.
В общем случае задача синтеза состоит из двух этапов. На
первом этапе (этапе аппроксимации) по заданным требованиям
509
к частотной характеристике необходимо определить аналитическое
выражение схемой функции цепи*. При этом схемная функция
должна быть реализуемой, т. е. удовлетворять соответствующим
необходимым и достаточным для построения цепи условиям. На
втором этапе (этапе реализации) по найденной схемной функции
определяют схему и параметры цепи.
Электрические цепи могут состоять из различных элементов
(LC, rC, rLC и т. п.), могут отличаться структурой (например,
заземленные и незаземленные четырехполюсники). Схемные функ-
ции цепей различных классов имеют неодинаковые свойства.
Свойства схемных функций определяют необходимые условия
реализации этих функций. Если по функции, удовлетворяющей
некоторым условиям, можно построить хотя бы одну цепь, то
соответствующие условия являются достаточными для реализации
цепи. В случаях, которые будут рассмотрены далее, необходимые
и достаточные условия совпадают.
§ 18.2. Общие свойства схемных функций
Полюсы и нули схемных функций. Пусть Н (р) — некоторая
схемная функция в операторной форме: входное сопротивление,
входная проводимость, взаимное сопротивление, взаимная прово-
димость, коэффициент передачи напряжения или тока **. Функ-
цию Н (р) можно рассчитать по топологической формуле (8.15)
с помощью операторной схемы при нулевых начальных условиях.
Проводимости элементов операторной схемы равны gk, \/pLk и
pCk, следовательно, Н (р) является дробно-рациональной функ-
цией переменной р = о + /<в, т. е. выражается отношением двух
полиномов с вещественными коэффициентами:
jj ____А (Р) amPm + am-lPm'1 + --- + c0 ..q ..
н W-ТЦр) ~ ьп^+ьп_1Р^+...+ьй ‘ (18Л)
Функцию Н (р) можно записать также в виде
(18.2)
' (Р—Р1)(Р—Рг) (Р — Рп) ’
где К = ат/Ьп — постоянный множитель; р/' — нули функции [корни
уравнения А (р) = 0]; pft — полюсы функции [корни уравнения
В(р) = 0].
Нули и полюсы определяют функцию Н (р) с точностью до по-
стоянного множителя; они могут быть вещественными или ком-
плексными. Т ак как коэффициенты полиномов А (р) и В (р) ве-
щественны, каждому комплексному полюсу (нулю) должен
Соответствовать сопряженный полюс (нуль). Например, при сопря-
женных полюсах pftj = — ck ± ju)k полином В (р) содержит мно-
* Частотная характеристика может быть задана в виде графика или таб-
лицы.
** Далее взаимные сопротивления (проводимости), коэффициенты передачи
напряжения (тока) называют передаточными функциями.
510
житель
(р - Pk) (Р - Pk±l) = (р + О'* - /®й) (Р + О* + /<oft) =
= p2+2o-ftp + cr| + <ol,
имеющий только вещественные коэффициенты.
Из уравнения (16.34 а), связывающего . матрицы изображений
выходных величин и параметров источников, можно записать
матрицу схемных функций цепи
Н(р) = А2(р1-А1)-1В14-В3. (18.3)
Элементы матриц Ах, Вх, А2, В2 вещественны, элементы матрицы
(pl-Ai)-1 представляют собой отношения двух полиномов, при-
чем знаменатель этих элементов одинаков и равен определителю
матрицы:
A(p) = det(pl— Ах).
Из выражения (18.3) следует, что схемные функции, образую-
щие матрицу Н (р), имеют общий знаменатель Д (р) *. Уравнение
det (pl — Ах) = 0 является характеристическим уравнением схемы
(см. гл. 15). Таким образом, полюсы схемных функций совпадают
с корнями характеристиче-
ского уравнения схемы или
собственными частотами. К
этому выводу легко прийти
также, анализируя выраже-
ния для схемных функций
через узловой или контурный
определитель и (или) алге-
браические дополнения эле-
ментов определителя (см.
гл. 7).
Расположение полюсов
схемной функции на ком-
плексной плоскости опреде-
ляет характер свободных процессов в цепи. Если, например, схем-
ная функция имеет два сопряженных простых полюса в левой
полуплоскости: pft,kvl — — <yk±jak (oft>0, <oft>O), то изображе-
ние выходного напряжения (тока) содержит слагаемые
Ak . Ak = 2Л*(р + р*)
p+°k-iak + P+ak+iak (р+а*)2+“Г
которым соответствует оригинал
f (t) = 2Ake~Okt cos akt.
На рис. 18.1, а, б показаны соответственно расположение по-
люсов pk, Pkvi** и составляющая свободного напряжения (тока) ДО*
* Предполагается, что возможные общие множители в -числителе и зна-
менателе схемной функции не сокращаются.
** Здесь и далее полюсы функции отмечаются на рисунках крестиком,
нули — кружочком.
611!.
В данном случае свободная составляющая представляет собой
затухающую гармоническую функцию. Если сг* = О, то полюсы
расположены на мнимой оси (рис. 18.2, о); свободный процесс
описывается незатухающей гармонической функцией (рис. 18.2, б).
Простому полюсу на отри-
цательной вещественной оси
(рис. 18.3, а) соответствует
экспоненциально затухающая
□ функция (рис. 18.3, б).
Нетрудно убедиться, что
в случае кратных полюсов,
расположенных в левой по-
луплоскости (Repft<0), сво-
бодная составляющая будет
затухающей. Если кратные
полюсы расположены на мни-
свободного напряжения (тока) воз-
f(t)
a)
6 .
Рис. 18.2
то составляющая
мой оси,
растает. Например, слагаемому изображения ЛЛр/(р2-}-<о|)2, имею-
щему на мнимой оси сопряженные полюсы кратности т — 2
(рис. 18.4, я), соответствует свободная составляющая C4*<sin<o*/)/2(ofc
на рис. 18.4, б. Свободные составляющие напряжений (токов)
также возрастают, если полюсы любой кратности расположены
в правой полуплоскости. В пассивных цепях, состоящих из ре-
зисторов, индуктивных катушек и конденсаторов, свободные напря-
жения и токи могут быть только затухающими, так как энергия,
накопленная в магнитном и электрическом полях, связанных
с катушками и конденсаторами, рассеивается в резисторах. Сле-
довательно, полюсы схемных функций пассивных цепей с потерями
расположены в левой полуплоскости. В идеализированных схемах
без потерь свободные напряжения и токи не затухают. Таким
образом, в схемах без потерь полюсы расположены на мнимой
оси (включая начало координат); такие полюсы должны быть
простыми.
512
Входное сопротивление и проводимость одного и того же
двухполюсника связаны соотношением Z (р) = 1/У (р). Полюсы
(нули) сопротивления Z (р) совпадают соответственно с нулями
(полюсами) проводимости Y (р). Так как по-
люсы входных сопротивлений и проводимо-
стей расположены в левой полуплоскости
или на мнимой оси, то для входных функций
справедливо утверждение: нули входных
функций не могут быть расположены в пра-
вой полуплоскости; нули входных функций
на мнимой оси должны быть простыми. В об-
щем случае расположение и кратность нулей
передаточных функций не ограничивается-.
Энергетические функции. На рис. 18.5 по-
казана цепь, содержащая элементы г£С (меж-
ду ветвями цепи может быть взаимная ин-
дукция), а также п источников напряжения
е2, ..., е„. Для этой цепи можно составить
Рис. 18.5
контурные уравне-
ния, выбирая в качестве первых п контурных токов токи !1(
i2, ..., in в ветвях с источниками. В операторной форме уравне-
ния имеют вид*
g(p) = Z(p)I(p), (18.4)
где матрица контурных э; д. с.
»(p) = Pi(p)^(p) ... <?„(р)0 ... 0]т;
нулевые элементы этой матрицы соответствуют контурам п-\-1,
пф-2, ..., не содержащим источников.
Произведение матрицы [I (р)]т на матрицу $ (р)
* п *
[1(р)Г«(р)=£/,(р)^-(р), (18.5)
/=1
Й5 *
где I (р) — матрица с элементами сопряженными по отно-
шению к элементам /7 (р) матрицы контурных токов I (р).
Матрицу контурных сопротивлений Z (р) можно представить
как сумму трех матриц (см. § 7.3, 9.3):
Z(p)-=R + pL + -~-D, (18.6)
где матрицы параметров контуров R, L, D имеют вещественные
элементы.
С учетом равенств (18.4) и (18.6) произведение (18.5) прини-
мает вид
[i(p)]«(p)=[i(p)rz(p)i(p) =
* * 1 *
= [I (р)Г RI (р) + Р [ I (р)]т LI (Р)+у [I (р)]т DI (р).
* В обозначениях матриц $<к> (р), 1<к> (р) и Z<K> (р) для краткости опущен
индекс (к).
17 n/р. Ионкина, т. I 513
Если обозначить
f = [I(p)FRHp). (18-7)
T = [I(p)FLI(p); ' (18.8)
V = [I (р)Г DI (р), (18.9)
[I(p)yg(p) = E + p7 + |v. (18.10)
При условии, что все э. д. с. и токи в цепи изменяются по
гармоническому закону с частотой соо, контурные уравнения можно
записать в комплексной форме: © = Z (/соо) I, где Z (/<о0) —
= Z(p)|p*=;(Oo. Произведение матриц
* • п * •
Г« = J] (18.11)
выражает комплексную мощность, отдаваемую источниками и
поступающую в пассивную часть цепи (<$ j, /7 —комплексные дей-
ствующие значения).
При гармонических э. д. с. и токах вместо равенства (18.10)
справедливо равенство
1т^ = Е0 + /(йо(То-^Уо). (18.12)
где Fo — ITRI; 7’o=iTLl"; Vo = EDI—функции, аналогичные функ-
циям (18.7) ч-(18.9). Функции Fo, То и Уо имеют определенный
физический смысл. Так как матрица активных сопротивлений
контуров (см. § 7.3) R = BR(B)BT, функция
Fo = [I(/4)rBR<"'>B4(/«0).
Матрицы контурных токов 1 связаны с матрицами токов в вет-
вях 1(в) соотношениями
1<в> = Вт|;
[ГВ)]Т = [ВТ1]Т = 1ТВ.
Учитывая записанные соотношения, функцию Fo можно выра-
зить через токи ветвей и матрицу активных сопротивлений ветвей:
Fo = [!(«) (;Юо)у R(“4<b) (/(йо) = [!(в)]т R<B)i(B>.
Матрица сопротивлений ветвей R(R) диагональна, поэтому
где rv — сопротивление v-й ветви. Таким образом, функция Fo
равна средней мощности, рассеиваемой в активных сопротивле-
ниях схемы.
514
Аналогично можно показать, что функция То равна макси-
мальной энергии магнитного поля, связанного с индуктивностями,
а функция Vo/®;; — максимальной энергии электрического поля,
связанного с емкостями.
Выражение (18.12) эквивалентно выражению
СО
S=P + /Q,
где P = F0; Q = ®0(T0— V0/g$).
Так как функции Fo, То и Vo связаны с мощностями и энер-
гиями, их называют энергетическими функциями. Функ-
ции (18.7)ч- (18.9), которые обоб-
щают функции Fo, То и Vo для р =
= о 4- /®, также называют энергети-
ческими *.
Мощность, рассеиваемая в сопро-
тивлениях, а также энергия магнит-
ного и электрического полей, связан-
ных с индуктивностями и емкостями,
представляют собой вещественные неотрицательные величины.
Поэтому значения функций Fo, То и Vo вещественны и удов-
летворяют условиям Ро^О, TjSiO и Уо5=:О. Учитывая отме-
ченные свойства функций Fo, То и Уо, можно доказать, что
функции F, Т и V также принимают только вещественные и не-
отрицательные значения при любых значениях аргумента р**.
С помощью энергетических функций могут быть установлены
свойства схемных функций. Например, в случае двухполюсника
(рис. 18.6) соотношение (18.10) принимает вид
Hp)#(p) = F + pT + ±V. (18.13)
При делении обеих частей этого равенства на произведение
/ (Р) (Р) = 11 (Р) I2 получаем
Zw4$ = f7Wp(F+''T+lR)- (18Л4)
* Аналогичные функции можно получить с помощью узловых урав-
нений.
** Функции (18.7) 4-(18.9) называют эрмитовыми формами, если
они принимают только вещественные значения. При р = /со0 функции Fo, То
и V’o вещественны и, следовательно, являются эрмитовыми формами. Если
Fo&0, То0, Vo0, то формы называют положительно полу-
определенными. Матрицы R, L и D (эти матрицы симметричны и содер-
жат вещественные элементы) называют положительно полуопределенными
матрицами соответствующих эрмитовых форм. Функции F, Т и Е имеют
матрицы R, L и’ D, совпадающие с матрицами положительно полуопределен-
ных эрмитовых форм Fo, То и Ео. Такие функции также являются положи-
тельно полуопределенными эрмитовыми формами, т. е. для любых р эти функ-
ции вещественны и неотрицательны.
17*
515
Аналогично, разделив обе части равенства (18.13) на $ (р) S (р) =
= | $ (р) |2, можно найти
У (Р)=4^ == —— (f+pT+j
<^(р) 1<Ш12\ /
или
Г(р) = ^ = —L— (f + pT + ±v\. (1-8.15)
^(р) |da(p)|2V Р /
В формулах (18.14) и (18.15) 11 (р) |2, | S (р) |2 — положитель-
ные вещественные величины, a F, Т и V — неотрицательные ве-
щественные величины. Поэтому функции Z (р) и Y (р) удовлет-
воряют двум условиям: 1) вещественным значениям р = с соот-
ветствуют, вещественные значения Z(p) и Y (р); 2) комплексным
значениям р с неотрицательной вещественной частью Rep = o2=0
соответствуют комплексные значения Z (р) и Y (р), имеющие
неотрицательные вещественные части Re Z (р) 2= 0 и Re У (р) 2= 0.
Функции, удовлетворяющие сформулированным двум условиям,
называют Положительными вещественными функ-
циями (ПВФ). Таким образом, входные функции электрических
цепей — положительные вещественные функции.
Приравнивая к нулю правую часть соотношения (18.14), можно
получить квадратное уравнение
Р2 + Ру +у —О»
откуда
Формулу (18.16) нельзя рассматривать как выражение для
нулей функции Z (р), так как энергетические функции F, Т и V
зависят от переменной р. Однако из этой формулы видно, что
нули сопротивления (полюсы проводимости) не могут быть рас-
положены в правой полуплоскости *.
§ 18.3. Свойства входных функций LC-, rC-, rL- и г£С-цепей
Свойства входных функций £С-цепей. Цепи, содержащие
только индуктивности и емкости, называются цепями без потерь.
У таких цепей энергетическая функция F = 0 и нули сопротив-
ления двухполюсника, как видно из формулы (18.16),
р = ±7/У/7. (18.17)
Следовательно, нули и полюсы входных функций цепей без
потерь расположены на мнимой оси.
* Приравнивая к нулю проводимость (18.15), можно получить формулу,
аналогичную (18.16).
(18.18)
Входная функция Z(p) комплексной переменной р = ст-|-/со
имеет вид
Z(p) = pT + ^ = (a+i^T+^^V^R(o, со) + /Х(о, «),
где вещественная часть функции R (о, со) = о'Д мнимая
часть функции X (сг, со) = иТ _ р2+(^-
Вещественная и мнимая части аналитической функции Z (р)
должны удовлетворять условиям Коши —Римана. Согласно одному
из этих условий,
др (о, <в)____________________дХ (о, со)
да дч> '
Производная
dR (о, со) _ у, . дТ . у со2—с2 о SV
да ~ 1 да~т~ V (а2+<о2)2 + <т2+<о8 ’ да ’
следовательно, производная
дХ (о, со)
да
где X (со) — реактивное сопротивление *.
Правая часть равенства (18.18) пропорциональна сумме мак-
симальных энергий магнитного и электрического полей, связан-
ных с индуктивностями и емкостями в установившемся синусои-
дальном режиме (р = /со). Сумма энергий всегда положительна,
поэтому —_0>®’ т- е- наклон графика реактивного сопро-
тивления X (со) положителен для всех частот.
Условие положительности наклона справедливо и для реактив-
ной проводимости, взятой с отрицательным знаком. Действительно,
пусть при р = ст-|-/со функция
K(p) = G(o, со) —/В (ст, со).
Производная
dY (р) = d Г 1 I = _ 1 dZ(p)
dp dp [Z (p) I [Z (p)]2 dp
Если p = /со, to Y (ja)) = — jB (co), где В (co) — реактивная про-
водимость. Производная
dY (р) j dB (со) 1 rfA (со) „
dp |р-/а> dco [Z (<°)]2
Из условия положительности наклона вытекают следующие
свойства входного сопротивления Z (р) [входной проводимости Y (р)]:
нули и полюсы сопротивления (проводимости) простые и чере-
дуются, т. е. между каждой парой полюсов расположен нуль,
а между каждой парой нулей —полюс. Пример зависимости
Если p—ja, то R(a, со)=0, Z (/со) =jX (со).
517
входного сопротивления X от частоты показан на рис. 18.7.
•Если между парой полюсов отсутствует нуль (или наоборот) или
кратность полюса (нуля) больше единицы, то зависимость X (<о)
будет иметь участки с отрицательным наклоном dX (a)/da < 0.
Поскольку нули и полюсы входных функций чисто мнимые,
в числителе и знаменателе функций можно выделить сомножители
(Р — /юл) (Р + М) = р2 + со*.
Такие сомножители при p = j& принимают вещественное зна-
чение, однако Z (/со) и Y (/со) — мнимые величины. Следовательно,
в числителе или знаменателе входной функции кроме множителей
Рис. 18.7
вида p2-|-co* должен быть мно-
житель р, т. е. входная функ-
ция цепи без потерь имеет полюс
или нуль в начале координат
(рис. 18.7 соответствует случаю,
когда при р = 0 сопротивление
имеет полюс).
При р->оо входная функ-
ция также имеет полюс или
нуль. Кратность этого полюса
(нуля) равна единице, поэтому степени полиномов числителя и
знаменателя отличаются на единицу (рис. 18.7 соответствует слу-
чаю, когда сопротивление имеет полюс при р -> со, т. е. степень
полинома числителя на единицу больше степени полинома знаме-
нателя).
В общем виде входное сопротивление цепи без потерь можно
представить следующим образом:
7 _ у (P2+<oj) (P2+<oj)
~ Л p(P2 + <0i)(p2 + £0l)
если в точке р — 0 функция имеет полюс, или
7 (п\ —К P(P2 + t°i)(P2 + t0D
W A (p2 + £0f)(p2 + w|) ...
(18.19)
(18.20)
если в точке р = 0 функция имеет нуль. В формулах (18.19) и
(18.20) 0 < сох < со2 <"со3 < Для входной проводимости
цепи без потерь справедливы аналогичные выражения.
Как видно из приведенных выражений, сопротивление (прово-
димость) представляет собой отношение четного полинома к нечет-
ному или наоборот. Конечные нули и полюсы входных функций
соответствуют резонансным частотам схемы. Нули и полюсы при
р = 0 и р = оо соответствуют короткому замыканию или размы-
канию зажимов двухполюсника без потерь, который на очень низ-
ких или очень высоких частотах эквивалентен одной емкости или
индуктивности.
Вычеты в полюсах входных функций вещественны и положи-
тельны. Пусть сопротивление Z (р) имеет полюс при р = /соо и
вычет в этом полюсе равен Ко- Тогда функцию сопротивления
518
можно разложить в ряд Лорана:
z И = p-/too' + «о + «1 (Р - 7®о)+а2 (р - /®0)« 4- ....
Производная
dZ _ JC0
dp
4-а14-2я2(р-/ю0)4-
Если р = /(о->/<оо, то
dZ I __ dX (to) /Со Q
dp |Р_/ш da ~ (to—too)2
Так как (со — <оо)2 > 0, вычет Ко в полюсе /<оо — вещественная поло-
жительная величина. Вычет в сопряженном* полюсе р = — /соо
равен Ко *•
Свойство положительности вычета получено как следствие
свойства положительности наклона кривой реактивного сопроти-
вления.
Необходимые условия реализации входного сопротивления (про-
водимости) цепи без потерь можно сформулировать следующим
образом: 1) полюсы сопротивления (проводимости) простые и
расположены на мнимой оси; 2) вычеты в полюсах вещественны
и положительны. Функции, удовлетворяющие этим условиям,
называются реактансными.
Свойства входных функций rC-, rL- и гАС-цепей. Если цепь
содержит только активные сопротивления и емкости, то энерге-
тическая функция 7 = 0. На основании формулы (18.14) выра-
жение для нулей сопротивления двухполюсника имеет вид
р = — V/F. (18.21)
Следовательно, нули и полюсы входных функций rC-цепи распо-
ложены на отрицательной вещественной полуоси. При р = о + /<о
входное сопротивление такой цепи
+ + = «)+/Х(<т, со).
Применяя одно из условий Коши —Римана, можно получить
дР(а, to) I __ дХ (о, to) I ____И <_ о
до |га-о да |о-о <т2
Учитывая, что Х(о, со) = О при <о = 0, находим
др (о, со) I _ dZ (ст) 0
до |о>_о do ’
т. е. наклон графика функции Z(cr) отрицателен для всех зна-
чений о. Нетрудно убедиться, что наклон графика Y (о) поло-
жителен: d¥(o)/do>0. Если р->0, то rC-двухполюсник эквива-
* В случае произвольной функции комплексной переменной р вычеты
В сопряженных полюсах являются комплексно-сопряженными величинами.
519
лентен сопротивлению или емкости. Поэтому функция Z (р) в начале
координат может быть конечной величиной или иметь простой
полюс; функция Y (р) в начале координат принимает конечное
или нулевое значение. При р->оо такой двухполюсник также
эквивалентен сопротивлению или емкости. Функция Z(p) при
р-*оо может-быть конечной или равной нулю величиной; функ-
ция Y (р) имеет полюс при р = оо или принимает конечное зна-
чение.
Из условия отрицательности наклона кривой Z (о) и положи-
тельности наклона кривой
Y (о) следует, что нули и полюсы вход-
ных функций Z (р) и Y (р) чередуют-
ся. Примеры графиков Z (о) и Y (о)
rC-цепи приведены соответственно на
рис. 18.8, а, б.
В общем виде входное сопротив-
ление и входную проводимость гС-це-
пи можно представить следующим
образом:
7 (п\ __ js (Р + Р4) (P + °m)
*\z (р+Оз) _ {р+Оп) ,
(18.22)
где О С стх <z ст2 < ст3 <...; т = п или
т = п — 1,
Y(n\^K Ф+щНр+рз) ••• (Р+от)
(р+р2)(р+р4) ... (Р+'Р„) ’
(18.23)
где 0 «с стх < ст2 < ст3 , т = п
или т = п +1.
Воспользовавшись свойством от-
рицательности наклона кривой Z (ст)
или положительности наклона кривой
Y (ст), можно доказать, что вычеты
функций Z (р) и Y (р)/р в полюсах положительны. Установленные
выше свойства позволяют сформулировать необходимые условия
реализации входного сопротивления Z (р) гС-цепи: 1) функция
Z (р) имеет простые полюсы, расположенные на отрицательной ве-
щественной полуоси; 2) вычеты функции Z (р) во всех полюсах
положительны; 3) при р — оо функция Z (р) не имеет полюса.
Необходимые условия реализации входной проводимости Y (р)
rC-цепи состоят в следующем: 1) функция Y (р) имеет простые
полюсы, расположенные на отрицательной вещественной полуоси;
2) вычеты функции Y (р)/р во всех полюсах положительны; 3) при
р = 0 функция Y (р) не имеет полюса.
Необходимые условия реализации сопротивления Z (р) и про-
водимости Y (р) rC-цепи неодинаковы (за исключением условия на
расположение и кратность полюсов), в то время как условия
реализации входных функций Z (р) и Y (р) LC-цепи совпадают.
520
Если цепь содержит только активные сопротивления и индук-
тивности, то энергетическая функция Е=0. Аналогично преды-
дущему легко установить, что свойства входного сопротивления
Z (р) [входной проводимости У(р)] rL-цепи полностью идентичны
соответственно свойствам входной проводимости Y (р) [входного
сопротивления Z(р)] гС-цепи.
В общем случае цепь может состоять из активных сопротивле-
ний, индуктивностей и емкостей. Входные сопротивления (прово-
димости) такой цепи представляют собой положительные веще-
ственные функции (см. § 18.2) *. Другими словами, необходимое
условие реализации входного сопротивления Z (р) [входной про-
водимости Y (р)] rLC-цепи состоит в том, что функция Z (р) [У (р)]
должна быть положительной и вещественной. ПВФ не имеет полю-
сов и нулей в правой полуплоскости комплексной переменной р;
полюсы на мнимой оси простые, а вычеты в таких полюсах —
вещественны и положительны; нули на мнимой оси также про-
стые. Высшие и низшие степени полиномов в числителе и знаме-
нателе ПВФ не могут отличаться более чем на единицу.
Пусть Z (р)-дробно-рациональная функция переменной. р.
Эту функцию можно записать в виде
7 = ^1^”!
W В(р} т2 + п2’
где тх и «х— соответственно четная и нечетная части полинома
числителя А (р); т2 и п2 — соответственно четная и нечетная части
полинома знаменателя В (р).
Функция Z (р) будет ПВФ, если удовлетворяются следующие
условия **.
1. Отношение т2/п2 (п2/т2) представляет собой реактансную
функцию, т. е. сопротивление (проводимость) LC-цепи. Если т2
и н2 имеют общий множитель —полином М (р), то нули этого
полинома простые и расположены на мнимой оси. Нули полинома
714 (р) являются полюсами функции Z (р); вычеты в таких полюсах
должны быть вещественными и положительными.
2. Вещественная часть функции Z (р) на мнимой оси неотрица-
тельна, т. е. ReZ(/'®)^0 при —оо<ы<оо. На основании
равенства (18.24)
Z (р)= . + т^-т^ . (18.25)
Если p = ja, то первое четное слагаемое в выражении (18.25)
будет вещественной частью функции Z (р):
ReZ(fa)^»_-g"2 L
Знаменатель (т| — п|)р_7-ы — положительная величина, поэтому
Re Z (/<о) 0, когда полином
N (со2) == (— «i»2)p-/<a 5s 0. (— со < <о < со)
* Это утверждение справедливо и при наличии взаимной индукции.
** Доказательство этих условий здесь не рассматривается.
(18.24)
тгт2—nrn2 . тм^—т^п^
521
или
N(x) — N (<'j2)|W2_x5&0 (OsSx<oo).
В простых случаях знак полинома N (х) может быть установлен
непосредственно. Для полиномов высокой степени можно приме-
нить косвенные методы *.
§ 18.4. Свойства функций четырехполюсников
Общие свойства передаточных функций. Четырехполюсник,
содержащий активные сопротивления, индуктивности и емкости,
характеризуется следующими функциями: сопротивлениями при
разомкнутых зажимах Zn(p), Z22(p) и Z12 (р) — Zzl (р) или прово-
димостями при короткозамкну-
тых зажимах Уц(р), У22 (р) и
У1й(р) = У21 (р). Функции Zn (р),
Z32 (р), [ Ун (р), У22 (Р)] представ-
ляют собой входные сопротивле-
ния (проводимости), свойства ко-
торых были рассмотрены.
На рис. 18.9 показан четы-
рехполюсник, к зажимам кото-
рого 1—Г и 2—2' присоединены идеальные трансформаторы. Для
четырехполюсника справедливо уравнение
и
Рис. 18.9
НАСРИ___№п(р) ^12 (р)П ГА (р)
(p)J №21 (р) z22 (p)J La (p).
(18.26)
Две обмотки идеальных трансформаторов соединены
собой последовательно. Напряжение .
С/(р) = п11/1(р) + п2Па(р) = [п1 и2]
иЛр)'
A(p)J’
между
(18.27)
или
ток /(р) = А(Р)/«1 = А(Р)/«2
~А(рГ
.А (р).
П1
«2
/(Р).
(18.28)
Из уравнений (18.26) ч-(18.28) легко получить выражение для
входного сопротивления **:
2(p)=-^- = [n1«a]
== n^Zn (p) ф- 2n1nzZzl (p) 4-n|Z22 (p).
%11 (Р) Zi2 (Р) п1 __
z21(p) z22(p)JL«2J
(18.29)
* Полином N (x) ^0, если у этого полинома нет положительных нулей
нечетного порядка. Наличие нулей и их порядок на интервале [0, оо] можно
определить по известной из курса математики теореме Штурма.
** В выражении (18.29) учтено равенство Zia(p)=Zai (р)«
Сопротивление Z (р) как входное сопротивление пассивной
схемы является ПВФ В соответствии с равенством (18.29) любой
полюс' сопротивлений Ztl (р), Zs2 (р) и Z21 (р) будет и полюсом
ПВФ Z (р). Поэтому функция Z21 (р) не может иметь полюсов
в правой полуплоскости, а полюсы этой функции на мнимой оси
простые.
Пусть /Су —вычет функции Zy(p) в одном из полюсов, распо-
ложенных на мнимой оси («, /=1, 2), а К — вычет функции Z (р)
в том же полюсе. Тогда из соотношения (18.29) можно получить *
/С = [П1П2]
All /С12 "1
_Аг1 К22
— »1/С11+2«i«A21 + п^22. (18.30)
Вычет /С — вещественный и положительный, поэтому из равен-
ства (18.30) следует, что K2i — вещественный вычет, удовлетво-
ряющий условию
(18.31)
которое называется условием вычетов**.
Из условия вычетов следует, что любой полюс Z21 (р) на мни-
мой оси будет также и полюсом входных функций. В то же время
входные функции могут иметь полюсы, которых нет у функции
Z2X (р) (частные полюсы входных функций).
Необходимо рассмотреть свойство вещественной части функ-
ции ZM (р) при р = /ы. Если ry = ReZy(/®), r = ReZ(j<B), то из
соотношения (18.29)
Г = [П1П2]
Гц
Al
Г12
Г22.
Г«1
L«2
— "Ггii -р- 2И1И2г 2i и2г22.
(18.32)
Так как г 5=0, из соотношения (18.32) следует, что веществен-
ная часть функции Z2i(/<o) должна удовлетворять условию
''11'22 — >21 Ss 0, (18.33)
которое называюг условием вещественных составляю-
щих ***.
Свойства функции (р) аналогичны свойствам функции Z2X (р).
Свойства функций Zy(p) при разомкнутых зажимах и функций
Уу(р) при короткозамкнутых зажимах определяют свойства дру-
гих передаточных функций. Например, если ток /2(р) = 0, .то
справедливы уравнения
t/i (р) = Zn (р) А (р); f/2 (р) = Z21 (р) Д (р);
У 21 (р) ^1 (Р) + 22 (Р) ^2 (Р) — 0-
* В матрице вычетов ZCM=/C2i.
** Выражение (18.30) называется квадратичной формой; если /0:0, то
матрица этой формы |/<у] должна быть положительно полуопределенной, т. е.
Лолжнь! удовлетворяться условия /С22>0 и (18.31).
*** Выражение (18.32), как и (18.30), представляет собой положительно
полуопределевную квадратичную форму; матрица (гу) этой формы должна
Удовлетворять условиям Гц^О, г22^0 и (18.33).
623
Из этих уравнений находим коэффициент передачи напряжения:
= >М4 as.34)
Ui(p)\is=o Zu(p) '
или
/<(“)(£) = £5441 = -£эМ (18.35)
' Ui(p)\l2=0 Y22(p) >
Выражения (18.34) и (18.35) показывают, что полюсы функции
К(и) (р) могут быть расположены в левой полуплоскости или на
мнимой оси. Полюсы на мнимой оси простые, а вычеты в них
являются мнимыми. Кроме того, функция К4") (р) не может иметь
полюса при р = 0 или р = оо; степень полинома числителя не
выше степени полинома знаменателя.
На рис.* 18.10 показан четырехполюсник, нагруженный на со-
противление r2 = l/g2. Такой четырехполюсник можно характеризо-
Рис. 18.10
Рис. 18.11
вать следующими передаточными функциями: взаимным сопротив-
лением ZW (р) = 172(р)//1(р) и взаимной проводимостью Y$(p) =
— К (P)/Ui (р)- Из уравнений четырехполюсника совместно с урав-
нением t/2(p) =—г2^й(р) получаем выражения:
<18-36>
(18.37)
В частном случае при г2 = 1 Ом
<18-38>
<18-39’
Полюсы функций (18.36)-ь (18.39) расположены в левой полу-
плоскости или на мнимой оси.
Проведенный анализ показывает, что расположение полюсов
всех передаточных функций ограничено левой полуплоскостью и
мнимой осью. В общем случае расположение и кратность нулей
передаточных функций (эти нули называют ниже н у л я ми лере-
дачи) не ограничиваются. Если передаточные функции не имеют
нулей в правой полуплоскости, то их называют функциями
минимальной фазы. Передаточные функции, имеющие нули
524.
в правой полуплоскости, называют функциями неминимальной
фазы.
Рассмотренные свойства функций четырехполюсников справед-
ливы для четырехполюсников любой' структуры, содержащих эле-
менты г, L, С, а также имеющих индуктивные связи между
ветвями.
Особенности функций четырехполюсников без взаимной индук-
ции. Широкое применение находят четырехполюсники без взаимной
индукции, имеющие общий зажим 1' —2' и называемые зазем-
ленными, неуравновешенными четырехполюсниками (рис. 18.11).
Функции Ztj(p) заземленного четырехполюсника можно запи-
сать в виде (i, /= 1, 2)
„ . . «<m)OPOT + fl<m-l>yPOT^+"-+fla>vP + °<o>y ,1О
Z0(p) = ---------------. (18.40)
О'
V
Для расчета функций Zij(p) применимы топологические формулы.
С помощью этих формул нетрудно убедиться что все коэффициенты
a(kyij(k = Q, 1, ..., т) неот-
рицательны: й(/г)у^0. Кроме
того, эти коэффициенты удов-
летворяют УСЛОВИЯМ
G(fc)2i> й(й)22^й(*)21" Ана-
логичным условиям удовлет-
воряют коэффициенты поли-
номов в числителях функ-
ций— У21> Ки» ^22- Из вы-
ражений (18.34) и (18.35)
следует, что коэффициенты полинома числителя функции Д'(р)
не превышают соответствующих коэффициентов полинома знаме-
нателя. Если р = о>0, то 0<К1и) (о)=С1.
Передаточные функции заземленного че-
тырехполюсника не. могут иметь нулей на
положительной вещественной полуоси (за
исключением значений о = 0 и п = оо), так
как коэффициенты полиномов в числителях
функций неотрицательны.
На рис. 18.12 показан частный случай
заземленного четырехполюсника — четырех-
полюсник цепочечной схемы. Нули передачи
б
Рис. 18.13
цепочечного четырехполюсника совпадают с полюсами продольных
сопротивлений Zlt Z3, Z5, ... и нулями поперечных сопротивлений
Z2, Z4, Z6, .... Действительно, полюсу (нулю) соответствует беско-
нечно большое (нулевое) сопротивление, т. е. разомкнутая (корот-
козамкнутая) ветвь.
Четырехполюсники, у которых зажимы Г и 2' не совпадают
(см. рис. 18.10), называются уравновешенными или не за-
земленными. Коэффициенты функций вида (18.40) урав-
новешенных четырехполюсников без взаимной индукции удовле- -
525
творяют условиям
=> I Я(Д.)21 I; 22 I a (k)Zl I-
Коэффициенты a (ft)21 могут быть положительными или отрицатель-
ными, а также равными нулю. В справедливости записанных условий
можно убедиться с помощью топологических формул. Если р=о>0,
то коэффициент передачи уравновешенной цепи — 1 ==S/<U)(o)==g;l.
Нули передаточных функций могут быть расположены в любой
точке комплексной плоскости, включая положительную веществен-
ную полуось.
Особенности функций LC-, гС- и rL-четырехполюсников. Полюсы
всех функций четырехполюсников без- потерь (LC) расположены
на мнимой оси. При р = /со функции Z21 (/«•) и У21 (/со) должны быть
мнимыми, поэтому Z2I(p) и У21(р) представляют собой нечетные
функции р — отношение нечетного полинома к четному или наоборот.
Функция Д'1"’ (р) является отношением двух четных полиномов.
Числитель функций (18.38) и (18.39) —четный или нечетный по-
лином.
У LC-четырехполюсника цепочечной схемы (рис. 18.12) нули
передачи расположены на мнимой оси, так как полюсы сопротив-
лений Zlt Z3, ... и нули сопротивлений Z2, Z4, ... расположены
на мнимой оси. В общем случае нули передачи такого четырех-
полюсника имеют квадрантную симметрию (рис. 18.13) вследствие
четности (нечетности) полиномов в числителях передаточных
функций.
Полюсы всех функций rC-четырехполюсников расположены
на отрицательной вещественной полуоси. С помощью схемы на
рис. 18.9 и формулы (18.29) можно доказать, что вычеты Кц
в полюсах функций Z/y-(p) должны удовлетворять условию (18.31);
такому же условию удовлетворяют' вычёты функций Yi} (р)/р.
Расположение нулей передачи в общем случае не ограничивается.
У rC-четырехполюсника цепочечной схемы (см. рис. 18.12) нули
передачи расположены на отрицательной вещественной полуоси,
так как полюсы сопротивлений Zx, Z3, ... и нули сопротивлений
Z2, Z4, ... расположены на отрицательной вещественной полуоси.
Свойства Ztf(p) [У;у(р)] rL-четырехполюсников совпадают соот-
ветственно со свойствами функций Уу (р) [Zy (p)J rC-четырехпо-
люсников.
ГЛАВА 10
МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ ДВУХПОЛЮСНИКОВ И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
§ 19.1. Нормирование параметров'элементов
электрических цепей
В реальных электрических цепях сопротивления резисторов,
индуктивности катушек и емкости конденсаторов имеют различные
численные значения. Частоты напряжений и токов источников в
цепях также изменяются в широких пределах. Расчеты функций
цепей с реальными параметрами могут быть громоздки. Для удоб-
ства расчетов применяют нормирование (нормализацию) парамет-
ров цепей по уровню сопротивления и частоте.
Пусть все сопротивления г, индуктивности L и величины,
обратные емкостям (1/С), разделены на некоторую положительную
постоянную г0 *. Тогда каждый элемент определителя контурных
сопротивлений
(Р) ~ rv + PLij + (MpCtj)
уменьшится в г0 раз. Если порядок определителя равен п, то А<к)(р)
уменьшится в г" раз. Алгебраическое дополнение любого элемента
AW(p) определителя уменьшается в г”-1 раз. В результате вход-
ные и взаимные сопротивления схемы, равные отношению
А<к)(р)/Д<“> (р), уменьшаются, а входные и взаимные проводимости
возрастают в г0 раз. Коэффициенты передачи - напряжения (тока),
которые определяются как отношения алгебраических дополнений
одинакового порядка, не изменяются.
Следовательно, если заданную функцию (входное или взаимное
сопротивление) разделить на некоторую постоянную г0 (нормиро-
вание по уровню сопротивления), то расчет схемы по нормиро-
ванной функции приводит к нормированным параметрам rH, L„
и 1/Сн, которые в г0 раз меньше фактических (денормированных)
параметров. Это утверждение также будет справедливо, если задан-
ную функцию (входную или взаимную проводимость) умножить на
постоянную г0. Безразмерные функции (коэффициенты передачи
напряжения и тока) инвариантны к нормированию по уровню
сопротивления.
При нормировании функции по частоте частота © заменяется
нормированной частотой ®/®0 (©0 — некоторая положительная
безразмерная постоянная). Нормирование по частоте не должно
изменять индуктивных сопротивлений asL и емкостных проводи-
мостей ©С. Поэтому если схема рассчитана по частотной характе-
ристике с нормированной частотой [Н (®/©0)], то нормированные
параметры L„ и Сн больше фактических в ©0 раз:
®L = --LH; ©С=°СЕ!
<00 «’ «0 «’
* Эта постоянная может быть больше или меньше единицы и считается
безразмерной.
527
откуда L ~ £H/®0: С = Сн/<в0- Нормирование по частоте не влияет
на величину активных сопротивлений.
При синтезе цепей, как правило, функции нормируются одно-
временно по уровню сопротивления и частоте. Если при расчете
цепи, нормированной по уровню сопротивления и частоте, получены
нормированные параметры гн,Д,н и Сн, то денормированные пара-
метры можно представить как
г = г0/'н; Л = ГоЕн/®о; C = CH/reca0.
Полученные выражения для денормированных параметров
справедливы, если исходные функции (сопротивления) делят на г0,
функции (проводимости) умножают на г0, а частоту © уменьшают
в е>0 раз *.
§ 19.2. Реализация двухполтников
Построение канонических схем двухполюсников, содержащих
индуктивности и емкости. Двухполюсник реализуется по известному
входному сопротивлению Z (р) или проводимости Y (р). Входные
функции должны удовлетворять необходимым условиям реализации,
рассмотренным в ел. 18. Если по заданной функции, удовлетво-
ряющей необходимым условиям реализации, можно построить
схему, то необходимые условия будут и достаточными условиями
реализации.
Входное сопротивление (18.19) LC-двухполюсника с помощью
разложения на элементарные дроби можно представить в следую-
щем виде:
Af
Z(₽> = 7 + 2(?T%+K"'’' <19л>
где
/<0 = [pZ(p)]p=0 (19.2)
— вычет в полюсе р = 0;
[О2 -К О; ~|
^2(р)]р=_ю1 (19.3)
— удвоенный вычет в полюсах р = ±](пр,
^=[^1 (19.4)
L Р Jp-»CO
— вычет в полюсе р = оо.
Вычеты (19.2) ч-(19.4) неотрицательны, поэтому разложению
(19.1) соответствует LC-схема с положительными параметрами.
Слагаемое /<0/р реализуется емкостью Со=1/Ко, слагаемое Ктр~—
* Для упрощения численных расчетов далее рассматриваются только норми-
рованные функций и схемы с нормированными параметрами.
528
индуктивностью Lm — Km- Сопротивление
7 _ 2/<гР
1
реализуется параллельно соединенными индуктивностью А,- и
емкостью Ci. Действительно, проводимость
1 р2+<о2, 1 , aj 1
Tt ^21^==2K~iP + 2K^=:CiP + L^'
где Сг==1/2Кг; Lt = 2Ki/tft.
Таким образом, выражению (19.1) соответствует АС-схема
двухполюсника, приведенная на рис. 19.1, а.
Проводимость АС-двухполюсника удовлетворяет таким же
условиям реализации, как и сопротивление. Поэтому разложение
функции У (р) аналогично (19.1):
1=1
где вычеты определяются по формулам (19.2) -4- (19.4). Слагаемое
/Со/Р реализуется индуктивностью Ао=1//Со> слагаемое /<Сср—
емкостью Сот—Коз. Проводимость
V . 2К‘Р
1 Р2+
реализуется последовательно соединенными индуктивностью Ц
и емкостью Ci, так как
1 1 . «и т „ , 1
Yi ~ Р + 2KtP ~Цр + С^'
где Аг-= 1/2/G; Ci — 2Ktl^i- Схема двухполюсника, соответствующая
выражению (19.5), приведена на рис. 19.1 б. Схемы двухполюсника
на рис. 19.1, а, б называют каноническими схемами Фо-
стера.
По заданной входной функции также можно построить другие
схемы двухполюсников. На рис. 19.2 показан двухполюсник цепо-
чечной структуры. Входное сопротивление такого двухполюсника
529
выражается непрерывной дробью:
Z(p)=zx+---------Ц-----
Уг+----—1—
Za+ г4+...
Если сопротивление Z (р) имеет полюс при р = оо, то нетрудно
выделить слагаемое вида р[л или, говоря условно, выделить
полюс при р = оо:
. Z(p) = pL1 + Z’ (р).
Функция 1/Z' (р) также имеет полюс при р = оо:
1/Z' (р) = рС2 + У"(р).
Последовательное выделение полюсов при р — оо приводит
к непрерывной дроби
Z(P) = PLX +---------Ц----------, (19-6)
рба Ч---------j
8 Pin+—77—-------
рС4-[-...
которой соответствует двухполюсник на рис. 19.3, а.
Непрерывная дробь (19.6) практически получается путем после-
довательного деления числителя функции Z (р) на знаменатель,
начиная со слагаемых высших степе-
ней. Сначала вычисляют значение
индуктивности Li и остаток от деле-
ния Z' (р); затем числитель функции,
обратной остатку [функции 1/Z'(p)],
делят на знаменатель и находят зна-
чение емкости С2 и новый остаток от
деления Y" (р) и т. д..
Рис. 19.3
Если функция Z (р) имеет полюс при р = О, то можно выде-
лить слагаемое вида 1/рСг или, говоря условно, выделить полюс
при р = 0:
z<rt=^+z'(p).
Функция 1/Z' (р) также имеет полюс при р = 0:
1/2'(р) = (1/рЕ2) + Г(р).
БЗО
Последовательное выделение полюсов при р — 0 приводит к
непрерывной дроби
2<р)-д+ 1 , ‘-I-----• <19'7)
pLa+ 1 , 1
рС3^ 1
^+-
которой соответствует схема на рис. 19.3, б. Непрерывная дробь
(19.7) получается путем деления числителей функции Z (р) и соот-
ветствующих остатков на знаменатели, начиная со слагаемых
низших степеней. Схемы на рис. 19.3, а и б называют канони-
ческими схемами Кауэ-
ра.
Если проводимость Y (р)
имеет полюс при р = оо или
Рис. 19.4 Рис. 19.5
р = 0, то разложение в непрерывную дробь функции Y (р) имеет
вид, аналогичный правой части выражений (19.6) и (19.7), толь-
ко Lk заменяется на Ck и наоборот.
Пример 19.1. Построить канонические схемы Фостера и Кауэра, если вход-
ное сопротивление двухполюсника
р*+4ра+3 = (Р2 + 1)(Р2+3)
рЗ-|-2р р(ра + 2) •
Решение. При разложении Z (р) на элементарные дроби в соответствии
с формулами (19.1) -j- (19.4) получим
Z(p) = 2p+ 2(р2₽+2)
На риС. 19.4, а приведена первая каноническая схема Фостера, на которой
значения индуктивностей и емкостей указаны соответственно в генри (Г) и фа-
радах (Ф).
Разложение проводимости У (p) = l/Z(p) на элементарные дроби имеет вид
У (р) =----Р----1------?---
W 2(р2+1) 2 (р2 + 3) ’
Чему соответствует вторая каноническая схема Фостера (рис. 19.4, б).
531
Последовательное выделение полюсов при р -> со приводит к дроби
2 (р)=р+у—-------—j---.
~2 р+~ Г"
4₽ + -]—
6Р
Полученная непрерывная дробь позволяет построить первую каноническую
схему Кауэра (рис. 19.4, в).
Последовательно выделив полюсы при р=0, найдем
5 ₽+25 1
2р+ 1
’ ~5Р
Полученная непрерывная дробь позволяет построить вторую каноническую
схему Кауэра (рис. 19.4, г).
Следует отметить, что канонические схемы реализуют входные
функции с помощью минимального числа элементов.
Построение канонических схем двухполюсников, содержащих
сопротивления и емкости (индуктивности). Канонические схемы
Фостера для rC-двухполюсника получают аналогично канониче-
ским схемам для LC-двухполюсника.
Так, если сопротивление Z (р) rC-цепи разложить на элемен-
тарные дроби:
Л1 **
г<Р> = 7 + 2^+^. (|9-8>
i=l
где
K0 = [pZ(p)]p=0; (19.9)
^ = [(Р + Ф)2(р)]р—о.; (19.10)
Koo = [Z(p)]P-,oo, (19-11)
то можно построить схему на рис. 19.5, а. В этой схеме
Со=1/Яо; rt^KtlGi, Ci=l/Ki; г^ = К^.
Проводимость rC-цепи можно представить в виде
где N <=1 1 (19.12)
/Со = [У(р)]р-о. (19.13)
Л. = Г£±Фу(р)1 . L Р Jp =—пг (19.14)
F ГПр)] Аоо 1 - I • L Р Др-*" (19.15)
Выражению (19.12) соответствует схема на рис. 19.5,6. В этой
схеме л-0= 1//С0; ц—Х/Кй =
С помощью представления функции Z (р) или Y (р) в виде не-
прерывных дробей могут быть построены канонические схемы
Кауэра. Эти схемы аналогичны схемам на рис. 19.3, а, б, только
индуктивности заменяются активными сопротивлениями.
Пример 19.2. Построить канонические схемы двухполюсника, если входное
сопротивление
7 .Р2Ч~4р+3_(р + 1) (р+3)
W /^+2р “ р(р + 2)
Решение. В соответствии с разложениями на элементарные дроби:
3 1
1 (р) = 2р + 2 (р + 2) + 1;
Г(р)==2(р+1) +2(р+3)
строим схемы Фостера, приведенные на рис. 19.6, а, .6 (значения сопротивле-
ний указаны в омах, емкостей—в фарадах).
Выполняя деление соответствующих полиномов, начиная со слагаемых выс-
ших или низших степеней, получим непрерывные дроби:
Z(p)=l+-j----5—j—
~2р+ТГТ~
4 + -gP
г^ + т- Ч
5 + 25 1
2р + £
5
Эти дроби позволяют построить схемы Кауэра (рис. 19.6, в, г).
Методы реализации rL-двухполюсников аналогичны методам
реализации гС-двухполюсников.
Понятие о реализации двухполюсников, содержащих сопротив-
ления, индуктивности и емкости. Любая ПВФ Z (р) или Y (р)
может быть реализована как входное сопротивление rLC-двух-
полюсника.
В некоторых случаях реализация может быть выполнена еле-'
дующим образом. Пусть задана ПВФ сопротивления Z (р). Если
функция Z (р) имеет полюсы на мнимой оси, то следует выделить
слагаемые, соответствующие этим полюсам:
2(р)-Х^ + ^ + 2;ш+2.(р).
i
где функция Zi(p) не содержит полюсов на мнимой оси. Выде-
ленные слагаемые реализуются с помощью АС-элементов.
Функция Zi(p) может иметь нули на мнимой оси. Тогда
533
где Ys (р) — функция, не имеющая полюсов на мнимой оси. Выде-
ленные слагаемые реализуются LC-схемой.
В результате последовательного выделения полюсов на мнимой
оси из функций сопротивления и
Рис.
проводимости может получиться
функция Zk (р) [Yk (р)], не
имеющая как полюсов, так
и нулей на мнимой оси. Ве-
щественная часть такой функ-
ция на мнимой оси неотри-
цательна. Если вещественная
часть положительна, то из
функции можно вычесть по-
стоянную величину гк (gk),
равную минимальному значе-
нию Re Zk (/®) [Re Yk (/<»)].
При этом у остатка Zk+1 =
= Zk — rk (УА+1 = Yk - gk) мо-
жет, быть нуль или полюс на
мнимой оси, позволяющий выделить слагаемое, реализуемое с по-
мощью АС-елементов. Изложенная методика выделения слагаемых
в ряде случаев дает возможность построить схему rLC-двухполюс-
ника.
Пример 19.3. Реализовать функцию
Зр*+4р2+8р + 3
W рЗ+Бра+р+Б •.
Решение. Заданная функция
представляет собой ПВФ и имеет по-
люсы на мнимой оси рь 2=±/. Сле-
довательно, функцию можно предста-
вить в виде
Z(p) =
2KiP
Р2+1
ZAP)-
Вычет этой функции Z (р) в по-
люсе р1=/ (р2 == — /) К1=1/2, поэто-
му функция
Z1(P) = Z(P)
2К1Р
р2 + 1
= Z(p)
__ Р , 3 (р —j-1)
р2+1 р+Б •
Рис. 19; 7
Минимальное значение Re Z/(/со) равно г1==3/5 при со=О. Функция
имеет нуль на мнимой оси при р=0. Обратная функция
v . . 1 _ 25 5
2(Р) ZAP) 12р+12’
Схема двухполюсника, реализующая заданную функцию, приведена на
рис. 19.7, а.
534
Если вместо функции Zi(p) воспользоваться обратной функцией
Yl(p} зй-1)’
(го можно получить еще одну схему двухполюсника.
Минимальное значение Re (/со) равно ^ = — при о) = оэ. Функция
4
Г2(р) = У1(р)-й = ^я-п
имеет нуль при р = со. Обратная функция
1 3 3
z*(p)=Ff(p) =Т₽+Т*
На рис. 19.7, б изображена вторая схема двухполюсника, реализующая
заданную функцию Z (р).
Следует отметить, что функция Zi (р) удовлетворяет необходимым требова-
ниям для входных сопротивлений rL-двухполюсника. Реализации этой функ-
ции, показанные на рис. 19.7, а, б, соответствуют каноническим схемам
Фостера.
В общем случае ПВФ не может быть реализована рассмотрен-
ным выше простым методом; известны другие методы, позволяю-
щие реализовать произвольную ПВФ.
§ 19.3. Реализация LC- и гС-четырехполюсников
мостовой схемы
Пусть задана передаточная функция четырехполюсника (вза-
имное сопротивление Z2i(p)) при разомкнутых зажимах. Такая
функция реализуется симметричной мостовой схемой, показанной
на рис. 19.8, а (на рис. 19.8, б дано упрощенное обозначение мо-
Рис. 19.8
стовой схемы). Так как четырехполюсник является симметрич-
ным, его входные сопротивления равны: Zu = Z22. Условие выче-
тов (18.31) принимает вид Кп — Kh 0. Можно потребовать, чтобы
условие вычетов выполнялось со знаком равенства для всех полю-
сов. Вычет /Сц>0, а вычет K%i может быть положительным или
отрицательным, поэтому из условия вычетов Лц = 1^211. Если
вычеты функции Z12(p) в полюсах известны, то на основании
равенства Ku. = IК121» легко найти функцию Zu (р). Вычеты функ-
535.
ции Z21 (р) определяют при разложении этой функции на элемен-
тарные дроби. Группируя слагаемые с положительными и отрица-
тельными вычетами, можно записать
Za(p) = Z$(p)-Z£(p), (19.16)
где функции Z2i’ (р) и Z'£' (р) содержат слагаемые только с поло-
жительными вычетами. Полагая для каждого полюса /Сц = |Д21|,
получаем выражение для входной функции:
Z11(p) = Z^(p) + Z'^(p). (19.17)
По известным функциям Zu(p) и Z21(p) можно найти сопро-
тивления Za(p) и Zb(p) мостовой схемы (рис. 19.8).
Для мостовой схемы
Zu = (Za -f- Zj)/2; Z21 = (Zj — Z^j/2,
откуда Za = Zu —Z21; Zj = Zu+Z21. Если учесть выражения
(19.16) и (19.17), то
Zo(p) = 2Z^>(p); (19.18)
Z6(p) = 2Za-(p). (19.19)
Формулы (19.18) и (19.19) позволяют построить схему четы-
рехполюсника.
Пример 19.4. Требуется реализовать функцию
(Р) = Р (Р2 + О (Р2+2) (р2+3) ' ’
Решение. Разложение функции Za (р) на элементарные дроби имеет вид
7 1пХ— 1_______Р._____I___Р.________Р
21 w 6р 2(р2+1) 2(р2+2) 6(р2+3)'
Следовательно,
Z™ (р)==6р + 2(ра+2)'; Z<S1'(р)== 2(р2₽+1) + бО^зГ*
На основании выражений (19.18) и (19.19)
za(p) = p2^_1 + 3(^+3) : Zb (р) = Зр + р*+2“*
Функции Za (р) и Zj (р) реализуются как входные сопротивления ЛС-двух-
полюсников. На рис. 19.9 приведены схема мостового четырехполюсника и
параметры ее элементов.
Пример 19.5. Реализовать функцию
7 (р-1)(р-2)(р-3)
21(р + 1)(Р+2)(р+3)’
Решение. Функция
7 , , 12 . 60 60 , .
^ai(p)- р + 1+р_|_2 р+3+Ь
поэтому
Функции Za (р) ц Zb (р) реализуются как входные сопротивления гС-двух-
полюсников; в результате получаем схему на .рие, 19.10.
Следует отметить, что каждому полюсу функции Z21 (р)> расположенному*
в левой полуплоскости, соответствует нуль, расположенный симметрично в пра-
вой полуплоскости. Амплитудно-частотная характеристика | Z21 (/со) | в таком
случае не зависит от частоты.
С помощью симметричного мостового четырехполюсника анало-
гично предыдущему реализуется функция К21 (р).
§ 19.4. Реализация LC- и гС-четырехнолюсников
цепочечной схемы
Четырехполюсники цепочечной схемы, как уже отмечалось, на-
водят широкое применение и могут быть построены по различ-
ным передаточным функциям, например, (р), У^ (р).
Пусть задана функция АС-четырехполюсника, нагруженного
на активное сопротивление (см. рис. 18.10):
У1?(р) = -А(р)/В(р). (19.20)
Если сопротивление нагрузки нормировано га = 1 Ом, то для
функции У$ (р) справедливо выражение (18.39). Представляя по-
лином В (р), равный сумме четной [m (р)] и нечетной [п (р)] частей,
можно записать
Уд Ср) А (Р) Zig О))
1 + Уг2(р) m(p) + n (Р)’ V '
Полином А (р) может быть четным или нечетным. Если А (р) —
чётный полином, то выражение (19.21) приводится к виду
__ Е21 (Р) А (р)/П (р) /1 g 22)
1 -Е Е23 (р) 1 + [zw (р)/п (р) J ’
откуда
- E2i (р) = А (р)/п (р); (19.23)
У 22 (Р) = tn (р)/п (р). (19.24)
Если А (р) — нечетный полином, то выражение (19.21) следует
представить в виде
. (Р) — А <РУт Ю г (19.25)
1 -1- Уa (Р) 1 +(Р)/т (р)]
Б37
откуда
(19.26)
ГМ-'^. (19.27)
Таким образом, по заданной функции АС-четырехполюсника
с нагрузкой (19.20) можно определить функции (19.23), (19.24)
или (19.26), (19.27), представляющие собой проводимости четы-
рехполюсника при короткозамкнутых зажимах. Тем самым задача
реализации функции У<“> (р) сводится к задаче реализации двух
функций У21 (р) и У22 (р). Аналогично, если задана функция Zg> (р)
ZC-четырехполюсника, нагруженного на активное сопротивле-
ние г2=1 Рм, то на основании (18.38) можно получить функ-
ции Z21(p) и Z22(p), представляющие собой сопротивления четы-
рехполюсника при разомкнутых зажимах.
Пусть функция (19.20)— функция rC-четырехполюсника, нагру-
женного на сопротивление r2 = 1 Ом. Тогда знаменатель функции
следует разложить на сумму двух полиномов В± (р) и Б2 (р) так,
чтобы отношение В1(р)/Б2(р) удовлетворяло необходимым усло-
виям реализации входной проводимости rC-схемы. При этом можно
записать
УЯ(Р) __ Л(р)/Ва(р)
i + ^lP) l + [Bi(P)/Ba(P)l ’
откуда
— У21(Р) = А (р)/В2(р);
У22(р) = С1(р)/В2(р).
Вновь задача реализации функции Y$(p) сводится к реали-
зации функций У21(р) и У22(р).
Если задана функция LC- или гС-четырехполюсника
/0“>(р) = А(р)/В(р), (19.31)
то, разделив числитель и знаменатель этой функции на соответ-
ствующий полином £)(р)*, можно на основании выражений (18.34)
и (18.35) найти функции F2i(p) и У22 (р) [Z21 (р) и Z22(p)].
При синтезе АС-четырехполюсника цепочечной схемы по двум
функциям У21 и У22 (Z21 и Z22) необходимо, чтобы нули функ-
ций F2i(Z2i), т. е. нули передачи, были расположены на мнимой
оси. При синтезе rC-четырехполюсника цепочечной схемы необхо-
димо, чтобы нули передачи были расположены на отрицательной
вещественной полуоси (см.‘гл. 18).
Реализация АС-четырехполюсника цепочечной схемой по функ-
циям У21 (р), У22 (р) осуществляются следующим образом. Если
функция У22(р) имеет частные полюсы, то выделяют соответст-
вующие слагаемые, которые реализуются как проводимости попе-
* Полином D (р) выбирается произвольно, но так, чтобы полученные
функции У21, y22(Z21, Zga) удовлетворяли необходимым условиям реализации
£С- или rC-схем (см. гл. 18),
(19.28)
(19.29)
(19.30)
речных ветвей, присоединенных к выходным зажимам четырех-
полюсника.
Пусть функция У22(р) (или ее часть, оставшаяся после реа-
лизации частных полюсов) не имеет частных полюсов. По этой
функции следует построить четырехполюсник так, чтобы были
реализованы все нули передачи. Нули передачи цепочечной схемы
совпадают с полюсами продольных сопротивлений и нулями
поперечных сопротивлений. Если функции У21 (р) и У22 (р) имеют
одинаковый нуль в некоторой точке на мнимой оси, то функ-
ция 1/У22 будет иметь полюс в этой же точке. Выделяя сла-
гаемое с таким полюсом из функции 1/У22, можно получить
продольную ветвь, полюс сопротивления которой совпадает
с нулем передачи. Тем самым реализуется нуль передачи.
Если функция У22(р) не имеет нуля, совпадающего с нулем
передачи, то из этой функции можно вычесть одно из слагаемых
(частично выделить один из полюсов):
У=Л7р, или У = Кр, или У = ^^г (К>0)
(Функция У22(р) имеет соответственно полюс при ф — 0, р — оо
или р — ± jiOi). Вычитание слагаемого соответствует выделению
поперечной подготовительной ветви схемы с проводимостью У.
В результате вычитания один нуль остатка У'8 = У22 — У должен
совпасть с нулем передачи. Если у остатка получился нуль,
совпадающий с нулем передачи, то из функции 1/У'2 выделяется
слагаемое с полюсом, равным нулю передачи. Этому слагаемому
соответствует продольная ветвь схемы, реализующая нуль пере-
дачи.
В данном случае подготовительная поперечная ветвь с про-
водимостью У вызывает смещение нуля функции У22. Нуль сме-
щается в сторону частично выделяемого полюса. Не всегда
с помощью частичного выделения полюсов из функции У22 (р)
можно получить необходимый нуль у остатка У'2(р). Если,
например, /<ой —нуль передачи и при решении всех уравнений
вида У'22 (/<ой) — У22 (/<о*) — У (/«>*) = 0 получается отрицательное
значение К, то при частичном выделении полюсов требуемый
нуль не можёт быть получен.
Если частичное выделение полюсов из функции У22 не дает
необходимого нуля у остатка У22, то следует воспользоваться
функцией 1/У22. При частичном выделении полюса из функции 1/У22
(продольная подготовительная ветвь) можно сместить нуль этой
функции так, чтобы он совпал с нулем передачи. Затем, выделяя
поперечную ветвь цепочечной схемы, сопротивление которой имеет
нуль, равный нулю передачи, реализуем нуль передачи.
Таким образом, для синтеза цепочечной схемы поочередно
применяют две основные операции: смещение нуля входной функ-
ции с помощью подготовительных поперечных (продольных) ветвей
и реализацию нуля передачи с помощью продольной (поперечной)
ветви, сопротивление которой имеет полюс (нуль), совпадающий
539
Рис. 19.11
Пример 19.6 Реализовать
на Сопротивление г2=1 Ом;
с нулем передачи. Реализация цепочечной £С-схемы по известным
Функциям Z21(p) и Z22(p) выполняется аналогично.
Реализация цепочечной схемы гС по известным функциям У2т (р)
и Угг (р) или Z21(p) и Z22(p) также производится аналогичным
методом. Смещение нулей функции У22 (р) осуществляется, вычи-
танием слагаемых вида Y = К, Y = У = Кр. При смещении
Р~Г
нулей функции Z22 (р) следует восполь-
зоваться слагаемыми вида Z = К/p, Z =
= /C/(p + oz). Z = К.
Наиболее просто синтезируются це-
почечные схемы, если все нули передачи
расположены при р = 0 или р = оо. В
таких случаях схема четырехполюсника
получается с помощью соответствующего
представления У22 (или 1/У22), Z22 (или
1/Z22) в виде непрерывной дроби.
функцию LC-четырехполюсника, нагруженного
/ X _------1_______ _ _____!_______
21 W (р+1)(Р2+р +D р?+2р2+2р+Г
Решение. Определим четную и нечетную части знаменателя:
т (р)=2р2+1, и(р) = р3+2р.
Так как числитель Л(р) = 1 — четный, функцию Z^ представим в виде
1
7(B)_ PS+2P -?21 (Р)
21 1- 2^ + 1 “l+Z^p)’
^Ч-гр
откуда
7 . 1 ,, , . 2р2 + 1
Z21(P)~^+2^: Z22(p)=^+2^-
Функция Z^(p) имеет все нули при р=оо (тройной нуль). Для функции
1/Z22 (р) непрерывную дробь получим, начиная деление со слагаемых высших
степеней:
1 = ^+2р _ р 1 —
Z22(P) 2p2-J-l 2 ' 4р 1 *
3 +?Р
2
На каждом этапе деления выделяется полюс при р=оэ, поэтому реализу-
ются и нули передачи. Схема четырехполюсника приведена на рис. 19.11;
параметры элементов схемы:
L=4/3 Г; Сх=3/2 Ф; С2=1/2 Ф.
Следует отметить, что в общем случае при синтезе цепочечных
схем постоянный множитель передаточной функции не контроли-
руется, т. е. передаточные функции реализуются с точностью до
постоянного Множителя.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ........................................................ 3
Введение .......................................................... 7
Раздел первый
Элементы и основные топологические 'Свойства .
электрических цепей
Глава 1. Электрическая цепь и ее элементы ...................... 13
§1.1. Классификация электрических цепей и их элементов............. 13
§ 1.2. Схема электрической цепи и элементы схемы.................... 16
§ 1.3. Двухполюсные активные элементы............................. 17
§ 1.4. Двухполюсные пассивные элементы.............................. 22
§ 1.5. Основные уравнения цепей с сосредоточенными параметрами ... 29
§ 1.6. Трехполюсные элементы цепей ................................. 32
Глава 2. Основные топологические понятия и соотношения.......... 45
§ 2.1. Граф электрической цепи и некоторые его подграфы............. 45
§ 2.2. Законы Кирхгофа............:............................... 49
§ 2.3. Топологические матрицы графа и их свойства................... 52
§ 2.4. Дуальные цепи.............................................. 62
Раздел второй
Основные свойства и методы расчета электрических цепей
с источниками постоянных э. д. с. и токов
Глава 3. Анализ переходных и установившихся процессов в простей-
ших цепях........................................................ 67
§3.1. Постановка задач анализа электрических цепей.................. 67
§ 3.2. Цепи с сопротивлением г и индуктивностью L . ................. 68
§ 3.3. Цепи с сопротивлением г и емкостью С.......................... 74
§ 3.4. Цепи с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С . . . . 77
§ 3.5. Разряд конденсатора в цепи с сопротивлением г, индуктивностью L
и емкостью С......................................................... 82
§ 3.6. Общие замечания об анализе цепей с сопротивлением г, индуктив-
ностью L и емкостью.С................................................. 84
Глава 4. Алгебраические методы анализа цепей при установившемся
режиме........................................................ 85
§ 4.1- . Применение уравнений Кирхгофа............................ 85
§ 4.2. Применение узловых уравнений............................... 91
§ 4.3. Применение уравнений с напряжениями ветвей дерева.......- 95
§ 4.4. Применение контурных уравнений ............................ ЮО
Глава 5. Основные свойства и преобразования электрических цепей
§5.1. Баланс мощностей............................................
§ 5.2. Принцип наложения...........................................
s 5.3. Свойство (принцип) взаимности...................................
§ 5.4. Теорема о компенсации, линейные соотношения между напряже-
ниями и токами ....................................................
106
106
108
114
116
541
Стр.
§ 5.5. Теорема об эквивалентном источнике (активном двухполюснике) . . 123
§ 5.6. Простейшие эквивалентные преобразования схем . ............... 126
§ 5.7. Преобразования схем при исключении узлов...................... 120
§ 5.8. Преобразования схем при исключении контуров................... 136
§ 5.9. Преобразование симметричных схем.............................. 144
Раздел третий
Свойства и методы расчета электрических цепей
с источниками гармонических э. д. с. и токов
Глава 6. Анализ переходных и установившихся процессов в про-
стейших цепях ................................................. 149
§6.1. Синусоидальные (гармонические) напряжения и токи.............. 149
§ 6.2. Понятие о генераторах гармонической э. д. с................... 151
§ 6.3. Гармонические токи в сопротивлении г, индуктивности L и
емкости С ......................... ....... 153
§ 6.4. Цепь с сопротивлением г и индуктивностью L ........... 160
§ 6.5. Цепи с сопротивлением г и емкостью С................ 165
§ 6.6. Цепи с сопротивлением г, индуктивностью L и емкостью С ... . 169
§ 6.7. . Цепь с трансформатором.................................... 178
§ 6.8. Общие замечания по анализу rLC-цепей ......................... 183
Глава 7. »Установившиеся процессы в цепях с двухполюсными эле-
ментами без взаимной индукции ................................. 185
§ 7.1. Комплексные величины, характеризующие установившиеся про-
цессы в электрической цепи........................................ 185
§ 7.2. Энергетические процессы в цепи переменного тока............... 190
§ 7.3. Уравнения состояния электрических цепей с источниками гармо-
нических э.д. с. и токов в комплексной (символической) форме . . 196
§7.4. Топографические диаграммы...............•..................... 201
§ 7.5. Основные свойства н преобразования цепей с источниками гармо-
нических э. д. с. и токов.................................Г... . 203
§ 7.6. Анализ цепей при изменении параметров......................... 205
§ 7.7. Анализ резонансных явлений................................... 212
§ 7.8. Основные алгебраические выражения для входных и передаточных
функций........................................................... 218
Глава 8. Топологические методы анализа цепей, содержащих двух-
полюсные элементы без взаимной индукции.................. 223
§8.1. Топологические формулы для расчета определителей матриц узло-
вых проводимостей и проводимостей сечений.................... 223
§ 8.2. Топологические формулы для расчета алгебраических дополнений
элементов узлового определителя .................................. 226
§ 8.3. Разложение узлового определителя и алгебраических дополнений
его элементов.............................................,....... 232
§ 8.4. Топологическая формула для расчета передаточных функций (фор-
мула Мэзона)...................................................... 238
§ 8.5. Топологические формулы для расчета контурного определителя и
алгебраических дополнений его элементов........................... 244
§ 8.6. Применение сигнальных (направленных) графов к анализу электри-
ческих цепей ..................................................... 250
§ 8.7. Построение сигнальных графов для электрической цепи........... 257
Глава 9. Анализ процессов в цепях с взаимной индукцией и электрон-
ными элементами (трехполюсниками)............................. 263
§9.1. Простейшие цепи с взаимной ивдукцией . ....................... 263
§ 9.2. Трансформатор в линейном режиме. Индуктивно связанные контуры 267
§ 9.3. Разветвленные цепи с взаимной индукцией .................... 275
НЛО-
Стр.
§ 9.4. Эквивалентные схемы и преобразования цепей с взаимной индукцией 279
§ 9.5. Расчет цепей с невзаимными элементами...................... 284
§ 9.6. Топологические формулы для расчета цепей с невзаимными эле-
ментами ........................................................ 293
Глава 10. Многофазные цепи............... . . ... . ....... 300
§ 10.1. Основные понятия и определения........................... 300
§ 10.2. Симметричные трехфазные цепи и методы их расчета.......... 304
§ 10.3. Расчет несимметричных трехфазных цепей................... 309
§ 10.4. Вращающееся магнитное поле; принцип дейсгвия асинхронного
двигателя......................................................... 313
§ 10.5. Измерение мощности в трехфазных цепях..................... 317
§ 10.6. Основные понятия о методе симметричных составляющих .... 319
Глава 11. Многополюсники при синусоидальных токах и напряжениях 324
§ 11.1. Определение многополюсников.......,....................... 324
§ 11.2. Основные уравнения четырехполюсников...................... 324
§ 11.3. Определение коэффициентов четырехполюсника ............... 328
§ 11.4. Эквивалентные схемы четырехполюсника...................... 330
§ 11.5. Режим четырехполюсника при нагрузке ...................... 335
§ 11.6. Основные уравнения и эквивалентные схемы активного четырех-
полюсника ........................................................ 336
§ 11.7. Характеристическое сопротивление и коэффициент передачи четы-
рехполюсника ............................................... . . 338
§ 11.8. Графы четырехполюсников и их йростейшие соединения....... 342
Глава 12. Цепи с распределенными параметрами.................. 346
§ 12.1. Симметричная однородная цепочечная схема.................. 346
§ 12.2. Основные уравнения для цепей с распределенными параметрами 347
§ 12.3. Волны в линии при установившемся режиме................... 350
§ 12.4. Установившиеся процессы в нагруженной, разомкнутой и коротко-
замкнутой линиях с потерями....................................... 352
§ 12.5. Линия без потерь.......................................... 356
§ 12.6. Стоячие волны ...................................... 362
§ 12.7. Линия без искажений; измерительная линия.................. 367
Раздел четвертый
Основные свойства и методы расчета электрических цепей
с негармоническими периодическими напряжениями и токами
Глава 13. Анализ установившихся процессов в линейных цепях с не-
гармоническими периодическими источниками .................... 370
§ 13.1. Гармонический анализ и разложение функций................ 370
§ 13.2. Расчет установившихся процессов в линейных цепях.......... 373
§ 13.3. Особенности иесинусоидальных режимов...................... 374
§ 13.4. Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений;
коэффициенты, характеризующие форму кривых токов и напря-
жений .......................................................... 377
§ 13.5. Мощность при иесинусоидальных токах и напряжениях ...... 378
§ 13.6. Влияние индуктивности и емкости на форму кривых тока и напря-
жения в разветвленной цепи........................................ 379
§ 13.7. Несинусоидальные режимы в симметричных многофазных цепях 382
Глава 14. Элементы теории электрических фильтров ............. 385
§ 14.1. Основные понятия и определения....................... . . 385
§ 14.2. Симметричные реактивные фильтры . ........................ 387
§ 14.3. Фильтры типа k............................................ 391
§ 14.4. Фильтры типа ............................................ 399
§ 14.5. Безындукционные гС-фильтры.............................. 404
543
Раздел пятый
Переходные процессы в линейных цепях и методы их расчета Стр,
Глава l-5i Анализ переходных процессов классическим методом и
методом переменных состояния ................................408
§ 15.1. Классический метод расчета переходных процессов в разветвлен-
ных цепях........................................................408
§ 15.2. Переходные и импульсные характеристики цепей..............414
§ 15.3. Расчет переходных процессов при воздействии источников э. д. с.
и тока произвольной формы........................................419
§ 15.4. Особенности расчета переходных процессов в цепях с емкостными
контурами и индуктивными сечениями .............................422
§ 15.5. Основные положения метода переменных состояния.............428
§ 15.6. Составление дифференциальных уравнений состояния электриче-
ских цепей.......................................................430
§ 15.7. Способы решения уравнений состояния........................436
Глава 16. Применение преобразований Лапласа и Фурье к расчету,
переходных процессов.........................................442
§ 16.1. Преобразования Лапласа.....................................442
§ 16.2. Уравнения электрических цепей в операторной форме..........449
§ 16.3. Расчет переходных напряжений и токов операторным методом . . 453
§ 16.4. Расчет свободных и принужденных составляющих напряжений и
токов............................................................457
§ 16.5. Приведение цепи к нулевым начальным условиям.............461
§ 16.6. Преобразование Фурье и спектральные характеристики.......464
§ 16.7. Применение преобразования Фурье к расчету переходных про-
цессов .........................................................473
§ 16.8. Некоторые соотношения между временными и частотными характе-
ристиками цепи .................................. ..... ... 477
Глава 17. Переходные процессы в цепях с распределенными пара-
метрами .................................................... 480
§ 17.1. Характер переходных процессов в цепях с распределенными пара-
метрами ....................................................... 480
§ 17.2. Расчет напряжения прямой водны.............................484
§ 17.3. Ток и напряжение в конце линии.............................486
§ 17.4. Расчет напряжения обратной волны...........................488
§ 17.5. Переход волн с одной линии на другую.......................492
§ 17.6. Волны в линиях при включении и отключении ветвей........... 495
§ 17.7. Формирование импульсов с помощью линий.....................499
§ 17.8. Волны в линии без искажения................................503
§ 17.9. Процессы в кабеле без индуктивности и утечки ..............504
Раздел шестой
Элементы синтеза линейных пассивных цепей
с сосредоточенными параметрами
Глава. 18. Свойства функций электрических цепей ..............509
§ 18.1. Задачи синтеза электрических цепей ........................509
§ 18.2. Общие свойства схемных функций . ‘.........................510
§ 18.3. Свойства входных функций LC-, rC-, rL- и rLC-цепей.......516
§ 18.4. Свойства функций четырехполюсников........ ....... 522
Глава 19. Методы реализации двухполюсников и четырехполюсников 527
§ 19.1. Нормирование параметров элементов электрических целей .... 527
§ 19.2. Реализация двухполюсников..................................528
§ 19.3. Реализация LC- и гС-четырехполюсников мостовой схемы .... 535
§ 19.4. Реализация LC- и rC-четырехполюсников цепочечной схемы 4 . 537