Книжечка для развития математических способностей. Алгебра: 8 класс - Хлевнюк Н.Н.

Автор: Хлевнюк Н.Н.
Теги: воспитание обучение образование теория чисел методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе основы математики математическая логика математика алгебра педагогика развитие ребенка детское развитие 8 класс
ISBN: 978-5-89237-420-0
Год: 2015
Похожие
Книжечка для развития математических способностей. Алгебра - 7
Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики
Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс.
Алгебра. Методические рекомендации. 8 класс
Текст
                    Н.Н. Хлевнюк
>2 I И I ' > 2 I I * / Д
I Г JI/ I / jSlj J 2 JT’.J
ДЛЯ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СПОСОБНОСТЕЙ

ИЛЕКСА

Н.Н. Хлевнюк
ДЛЯ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ
СПОСОБНОСТЕЙ
Алгебра—8
Москва
ИЛЕКСА
2015
УДК 372.8(072):511
ББК 74.262+22.12
Х55
Для детей старше шести лет.
В соответствии с Федеральным законом
от 29 декабря 2010 г. № 436-ФЗ.
Хлевнюк Н.Н.
Х55 Книжечка для развития математических способностей.
Алгебра-8,- М.: ИЛЕКСА, 2015.- 80 с.
ISBN 978-5-89237-420-0
«Книжечка для развития математических способностей. Алгебра-8» —
вторая из трёх «Книжечек» по алгебре 7-9, содержит основные темы алгеб-
ры-8, включая вопросы повторения алгебры-7, полностью соответствует
программе и государственному стандарту обучения математике. «Книжеч-
ка» является дополнительным пособием для обучения алгебре в 8-м классе
или, по его окончании, для организации летних занятий с целью ликвида-
ции пробелов и закрепления знаний по курсу алгебры 7-8.
«Книжечка» адресована, прежде всего, ученикам и их родителям. Бла-
годаря советам, критериям и образцам решения, ученик сможет самостоя-
тельно оценить свои знания и умения, а родители — помочь ребёнку в ос-
воении математики. Учитель найдёт в «Книжечке» удобную комплектацию
тематических упражнений. Дополнительная информация: «упакованные»
теоретические факты, классификация и характеристики уровневых зада-
ний, описание «математических ловушек», прочие методические советы,
позволит осознать требования к результатам обучения, и тем самым, повы-
сить шансы на отличное усвоение предмета.
Пособие создано на основе многолетнего опыта преподавания матема-
тики в общеобразовательной средней школе.
Автор «Книжечки» — учитель высшей квалификационной категории,
отличник народного просвещения, победитель и призёр творческих конкур-
сов учителей математики.
УДК 372.8(072):511
ББК 74.262+22.12
ISBN 978-5-89237-420-0
© Н.Н. Хлевнюк, 2015
© ИЛЕКСА, 2015
Оглавление
От автора............................................4
Рекомендации учителя.................................7
Советы ученику.......................................7
Правила работы с «Книжечкой» и критерии оценки
работы...........................................7
Примеры уровневых заданий по алгебре для 8 класса....8
Теоретические факты, необходимые для выполнения
заданий..........................................9
Осторожно! Математические «ловушки»!................14
Уроки: части I и П..................................20
Приложение
Правила работы с математическими объектами:
числами, выражениями, уравнениями и функциями . . 40
Задания, образцы решений которых изложены
в «Книжечке... . Алгебра-7».....................41
Образцы выполнения заданий по алгебре-8.............42
Классификация и характеристика заданий
уровней А, В, С.................................59
Теоретические факты, необходимые для выполнения
заданий.........................................62
О содержании, структуре и особенностях «Книжечки».... 66
Ответы .............................................73
3
От автора
Математика важна потому, что является инструментом для
изучения других предметных областей, способствует развитию
интеллектуальных качеств, воспитывает точность, конкретность,
последовательность, оперативность, учит объективно оценивать
ситуацию, анализировать варианты решения жизненных задач
и выбирать из них рациональные.
Многие, не обладающие особыми математическими способ-
ностями, считают математику трудным предметом. Но учить её
должен каждый в течение всех одиннадцати лет в школе, и пото-
му очень важно, чтобы это обучение было максимально полез-
ным и приятным.
Как выстроить процесс обучения математике эффективно,
как родителям помочь своему ребёнку, особенно если тот не
слишком благоволит к этой науке, и предмет «математика» пред-
ставляет для него определённые трудности?
Работая много лет в общеобразовательных и профильных
классах, в классах с углублённым изучением математики, осно-
вываясь на опыте обучения детей с разными математическими
способностями, сделала следующий вывод: содержание предме-
та «математика» не столько сложно, сколько специфично. И это
связано с тем, что звенья математических знаний (закодирован-
ные в виде специальных значков), как ни в каком другом предме-
те, настолько плотно взаимосвязаны друг с другом, что, в случае
потери одного из них, нарушаются многие логические связи,
и тогда математика может стать неприступной для освоения.
Часто такое происходит с учеником, если он пропустил уро-
ки математики, некачественно или несвоевременно выполнил до-
машнюю работу. Математика становится сложной, а потому
и неинтересной. Кстати, в случае математики в большей мере
подойдёт популярная поговорка «от любви до ненависти один
шаг» — либо всё понятно, — и потому люблю, либо строго на-
оборот.
л
Убедиться в правильности собственных представлений о ло-
гических связях математических объектов и фактов, удержать
в голове алгоритмы решения заданий основных видов, уяснить
самые «тонкие» места (математические ловушки), а в случае за-
труднений обратиться к образцам решения заданий курса алгеб-
ры-8 позволит наша «Книжечка...». Она поможет ликвидиро-
вать пробелы в знаниях, сформировать прочные умения
и навыки, развить математические способности и удерживать ка-
чество математических знаний на достойном уровне. С помощью
«Книжечки...» родители помогут своим детям в изучении мате-
матики.
В определённой степени «Книжечку» можно рассматривать
как помощника в изучении математики, самоучителя-тренажёра:
•	для учеников, нацеленных на получение прочных матема-
тических знаний;
•	для родителей, стремящихся помочь своим детям стать
успешными в овладении математикой;
•	для учителей, желающих повысить свой методический
уровень.
Содержание «Книжечки для развития математических спо-
собностей. Алгебра-8» включает все темы и виды заданий курса
алгебры-8, охватывает основные математические линии:
•	вычислительная линия: действия со всеми типами чисел:
рациональными и иррациональными;
•	линия равенств и неравенств: решение уравнений разных
типов, линейных неравенств, применение свойств число-
вых равенств;
•	линия преобразования выражений: действия с алгебраиче-
скими дробями, иррациональными выражениями;
•	функциональная линия: изучение базовых функций, по-
строение их графиков, определение простейших свойств
функций;
•	линия прикладных задач: текстовые задачи, отношения,
пропорции, проценты, формулы.
Задания пособия разноуровневые, для каждого из них в зави-
симости от сложности определён уровень: А, В, С (или АВ, ВС,
классификация уровней дана в приложении), что позволит учите-
лю организовать уровневое обучение, а выполняющему зада-
5
пне ои|хщелить свои способности и уровень усвоения матема-
1НЧ(Ч’кнх шаний.
Пособие поможет в формировании системного подхода
и <>( «учении, организации сквозного повторения в течение учебно-
। о । ода в 8-м классе, а в летний каникулярный период позволит
сохранить математические знания и лучше подготовиться к обу-
чению математике в 9-м классе. «Книжечка.... Алгебра-7, 8, 9»
будет хорошим подспорьем в работе перед выходом «с математи-
ческой тропинки на большую математическую дорогу» в про-
фильной школе, при подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Кроме банка тренировочных упражнений, пособие содержит
методические рекомендации, теоретические факты, образцы ре-
шения математических задач, фрагменты заданий, в которых
чаще всего ошибаются ученики, так называемые «математиче-
ские ловушки», а также некоторые соображения по методологии
предмета «математика».
В заключение несколько слов об идее создания «Книжечки».
Однажды родители девочки, с которой я работала, обратились
с просьбой: подобрать задания по алгебре для летних занятий,
чтобы лучше подготовиться к изучению математики в следую-
щем классе. Девочку звали Тамарочкой, так родилась математи-
ческая «Книжечка для Тамарочки». Не могу не упомянуть её име-
ни, поскольку именно она и её родители помогли поднять
проблему: как помочь сохранить математические знания на кани-
кулах? И тогда родилась идея — такой «Книжечкой» помочь всем
желающим.
Об особенностях «Книжечки», ер конструкции, отборе содер-
жания, некоторых приёмах обучения и развития изложено в кон-
це книги, в приложении.	«
6
Рекомендации учителя
Советы ученику
1.	Учись выполнять быстро и качественно любую работу!
Если начал что-то делать, обязательно доведи дело до конца!
2.	Перед началом работы сосредоточься и настройся на успех!
3.	Думай каждую секунду о том, что делаешь и как делаешь!
Не отвлекайся и контролируй правильность выполнения каждого
своего шага!
4.	Следи за темпом работы. Работай активно, без пауз, чтобы
не отвлечься от сути дела.
5.	Если устал, оставь работу на 5-10 минут (но ненадолго,
чтобы не расслабиться и не потерять темпа работы). После пере-
рыва настрой себя на качественную работу и немедленно
приступи к её выполнению.
Правила работы с «Книжечкой»
и критерии оценки работы
1.	«Математическая книжечка» содержит 10 уроков: каждый
из них имеет две части: часть I и часть П.
2.	Сначала выполни задания части I (20 пунктов). После про-
верки части I:
•	часть П каждого урока можно совсем не выполнять, если
все задания части I выполнены верно;
•	частично выполнить те наборы заданий (5 штук) части II,
в которых при решении аналогичных заданий части I были
допущены ошибки;
•	полностью выполнить часть П, если часть I выполнена
удовлетворительно или плохо.
3.	Критерии оценивания части I:
•	если из 20-ти выполненных пунктов имеется не более 3-х
ошибок, при этом, в каждом задании (их четыре в каждом
7
уроке) допущена только одна ошибка, тогда можешь от-
дохнуть и часть В не выполнять;
•	если при выполнении части I допущены 2 ошибки, и обе
в одном из заданий, тогда обязательно выполни аналогич-
ное задание из части II (одно из четырёх, состоящее из 4-6
пунктов), стараясь действовать с учётом анализа допущен-
ных ошибок в части I;
•	если всего ошибок при выполнении части I оказалось че-
тыре или более, нужно полностью выполни ещё и часть П.
4.	После выполнения обоих частей урока оцени в процентах
качество выполнения, пользуясь следующими «расценками»: вся
работа «стоит» 100% (20 пунктов), поэтому каждое верно выпол-
ненное задание «стоит» 5%.
5.	Сохрани выполненную работу, чтобы по её окончании ещё
раз проанализировать решения, определить слабые места и про-
белы. Лучше обратиться к опытному учителю, чтобы тот помог
сделать объективный вывод об успехах и смог спрогнозировать
процесс дальнейшего математического обучения и развития.
Примеры уровневых заданий по алгебре для 8 класса
Задачи уровня А:
1.	Решите квадратные уравнения:
а)4х2-Зх-1 = 0	б)х2+7х=0
в) 9-4х2 — 0.
2.	Решите линейные неравенства:
а)-Зх-7<0	б)4х+3>10
в) 10 > 2,5х.
Задачи уровня В:
^2% — 1
1.	Найдите область определения функции у =------.
х -8
2.	Решите неравенство и укажите его натуральные решения
5х2 -х(3х -1)> 6х + 2(х2 -7).
3.	Решите систему линейных неравенств и укажите её нату-
0,2х+1> 0,
ральные решения ( 8 - Зх
-Зх >1
I 4
8
Задачи уровня С:
1.	Найдите область определения функции
72^7
(Зх - 5х2 )л/7х -4
2.	При каких значениях параметра а уравнение имеет один
корень?
а)	4х2 + (5а-3)х + 3а = О
б)	(3 + 2а)х2 -2ах +1 = 0.
3.	При каких значениях параметра а графики функций
у = (4-а)х2 -ах -Зтзу = (2-Зй)х2 +3х - 3-а
имеют только одну общую точку?
Теоретические факты,
необходимые для выполнения заданий
«Важная шпаргалка»
Какие теоретические факты нужно знать для успешного ре-
шения практических заданий по математике-8?
Таблица поможет ответить на этот вопрос. Всё, что в ней со-
держится, очень важно! Обидно, если вдруг какое-то определе-
ние или свойство забудется, и тогда нельзя будет верно решить
даже самый простой пример!
Перед выполнением практических заданий проверь свои тео-
ретические знания.
1)	Заполни таблицу самостоятельно (лучше карандашом,
чтобы в случае необходимости исправить).
2)	Проверь, насколько прочно усвоил теорию (сравни запол-
ненную тобой таблицу с таблицей в конце пособия, в приложе-
нии).
3)	Приступай к выполнению практических заданий, по мере
необходимости обращаясь к таблице.
Обрати внимание на то, как таблица пополнилась теорети-
ческими фактами после изучения алгебры-7 (заполненная таб-
лица теоретических фактов по алгебре-7 в «Книжечке, 7 класс»).
9
о
	Формула	npmif (Для каких математических ~	_ используются эти теоретичен
7 класс		
1. Формулы сокращённого умножения — всего 7 формул	Квадрат суммы (разности) двух выражений:	
	Разность квадратов двух выражений:	
	Разность (сумма) кубов двух выражений:	
	Куб разности двух выражений:	
	Куб суммы двух выражений:	
2. Свойства степеней — всего 5 формул	Умножение степеней:	
	Деление степеней:	
	Возведение степени в степень:	
	Возведение в степень произведения:	
	Возведение в степень дроби:	
3. Законы (свойства) чисел	Переместительный закон сложения и умножения	
	Сочетательный закон сложения и умножения	
	Распределительный закон умножения	
4. Свойства равенств	Умножение или деление обеих частей равенства на число, не равное нулю	
	Перенос слагаемых из одной части равенства в другую с изменением его знака	
5. Основное свойство дроби:	Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю	
6. Основное свойство пропорции:	Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов	
7. Доли, части, проценты	Три базовые (стандартные) задачи: •	нахождение части (процента) от числа; •	нахождение числа по его части (по его процентам); •	нахождение отношения (процентного отношения) двух чисел	
8 класс		
8. Стандартный вид числа	Любое число а можно представить в виде ...	
9. Модуль числа и модуль выражения	и=	
10. Квадратные корни	Определение арифметического квадратного корня: арифметическим квадратным корнем из неотрица- тельного числа а называется ....	
	Тождество: для любого a е R: Корень из степени: 7^” =	
	Свойства арифметических квадратных корней. 1) 2)	
11. Квадратные уравнения	Определение квадратного уравнения: уравнение вида....	
	Классификация квадратных уравнений: 1) полное квадратное уравнение; 2) приведённое квадратное уравнение; 3) неполные квадратные уравнения	
я	Решение полного квадратного уравнения	
	Теорема Виета	
12. Базовые функ- ции и графики	Знать свойства и графики следующих функций:	
Осторожно! Математические «ловушки»!
Раскрою некий «учительский» секрет — есть так называемые
математические «ловушки», которые применяются учителем для
проверки глубины и прочности знаний своего ученика.
Математические «ловушки» — это такие места в заданиях,
где легче всего можно «споткнуться» и допустить ошибку.
Ученик, рассчитывающий на успех в обучении математике,
должен научиться распознавать математические «ловушки». По-
знакомимся с наиболее часто встречающимися из них.
«Ловушка» №1: Определение знака выражения,
содержащего степень.
Какие из выражений: (-2)5; (-2)4; -25; -24 являются поло-
жительными? Знак выражения зависит от порядка действий в вы-
ражении, отсюда и правило: при преобразованиях и вычислениях
будь внимательным и следи за порядком действий!
1 случай:
(-2) ’ = (-2)  (-2) (-2)  (-2)  (-2) = -32.
Имеем знак «-», так как перемножаем нечётное количество
отрицательных множителей.
2 случай:
(-2)4 = (-2) (-2)-(-2) (-2) = 16.
Имеем знак «+», так как перемножаем чётное количество от-
рицательных множителей.
3 случай:
-25 =-(2-2-2-2-2) = -32и-24 = -(2-2-2-2) = -16.
В обоих случаях, независимо от чётности или нечётности показа-
теля степени, получим знак «-», так как, соблюдая порядок дей-
ствий в выражении, сначала перемножаем число 2 на себя столь-
ко раз, каков показатель степени, а затем приписываем знак «-».
14
«Ловушка» №2: Выполнение арифметических действий
в дробных и «трёхэтажных» выражениях.
7
т.	„	7	о „
Как вычислить значения выражении: —-— и —-— ?
2
Имеем две разные ситуации, и здесь важно обратить внима-
ние на главную дробь-черту.
В первом случае целое число 7 делиться на дробь, во втором
случае — дробь делится на целое число 2.
Чтобы не ошибиться, запиши пример в строчку, при этом ос-
новную дробь-черту замени действием деления:
7
7___=7.9 = 7.9 = 7 2 = 14. 9 = 7.2 = 7.2 = 7 1_ = 1_
9	' 2~ 1* 2~ 1'9~ 9’ 2~ 9' _91-92“18'
2
Ответы получились разными.
«Ловушка №3»: Формул^ сокращённого умножения.
Формулы сокращённого у&Ыожения занимают особое поло-
жение в математике, поскольку они очень часто применяются
при решении многих, самых разных задач: при раскрытии ско-
бок, разложении многочленов на множители, для рациональных
вычислений.
Какие опасности подстерегают при использовании формул
сокращённого умножения?
1)	Не путай разложения многочленов а2 - b2, а2 - 2аЬ + Ь2,
а2 + 2аЬ + />2на множители:
а2 -Ь2 = (а-Ь)(а + Ь);
а2-2аЬ +Ь2 = (а-Ь)2 =(а-Ь)-(а-Ьу,
a2 +2ab + b2 =(а + Ь')2 = (а + Ь)-(а + Ь).
2)	Не путай многочлены вида разности квадратов а2 -Ъ2, ко-
торый раскладывается на множители a2 -b2 = (a-b)-(a + t>), и
суммы квадратов а2 +Ь2, который ни на какие множители разло-
жить нельзя!
3)	Не путай многочлены вида полного квадрата суммы
15
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b)(a + b)
или полного квадрата разности
a2 -2ab + b2 = (a-b)2 = (a-b)-(a-b),
которые раскладывается на множители, с многочленами вида не-
полного квадрата суммы a2 +ab + b2 или неполного квадрата
разности a2 -ab + b2, которые ни на какие множители разложить
нельзя!
4)	Запомни верные равенства
(а-b)2 = (Ь-а)2 и (a + b)2 = (-Ь-а)2.
Это значит, что при выполнении преобразований всегда ле-
вую часть можно заменить правой или наоборот.
Но! Всегда помни, что а2 -Ь2 фЬ2 - а2, ведь выражения
а2 -Ь2 и Ь2 — а2 являются противоположными, поэтому одно
нельзя заменить другим.
Подтвердим это примерами:
Пример 1: (5 -З)2 = 22 = 4 и (3 -5)2 = (-2)2 = 4,
значения выражений равны.
Пример 2: (5 + З)2 = 82 = 64 и (-3 - 5)2 = (-8)2 = 64,
значения выражений равны.
ПримерЗ:52 -З2 = 25-9 = 16и32 -52 =9-25 = -16,
значения выражений противоположны.
Во всех трёх случаях — главное — соблюдать порядок дейст-
вий пи вычислении.
При выполнении действий с буквенными выражениями эти
правила также выполняются.
«Ловушка №4»: Применение формул сокращённого
умножения.
1) Грамотно выноси множитель из полного квадрата. Рас-
смотрим пример: вынести множитель из полного квадрата
(2а-2Ь)2.
Вот типичная ошибка: (2а - 2Ь)2 = 2(а - Ь)2, которую делают
ученики!
16
Рассмотрим подробнее решение и получим верный ответ:
(2а-2b)* 2 = (2(а-Ь))2 = 22 -(а-Ь)2 = 4(а-Ь)2. Как видишь,
ответ получился другим, ведь 2(а - Ь)2 ф 4(а - Ь)2!
Например, в несложном задании «Сократить дробь
(За2 - бай)2
-— -----^—» легко угодить в математическую ловушку.
а -4аЬ
Приведём верное решение:
(За2 - 6аЬ)	(За(а - 2Ь))2	9а2 (а - 2й)(а - 2b) 9а(а - 2Ь)
а3-4аЬ2 а(а2 -4й2) а(а - 2b)(a + 2b) а + 2Ь
2) Обобщим предыдущее задание и запомним его, чтобы при
преобразовании математических выражений быть готовыми к
встрече с подобными ловушками. Итак, (ка-kb)n =кп (а-Ь)п
«Ловушка №5»: Сокращение дробей.
Очень часто ученики делают ошибки в сокращении дробей.
Приведём простенький пример, выполненный с ошибкой:
a b+c _a b+c _Ь+с
ах ах х
Учитель говорит, что так сокращать нельзя, добавляя часто
такой комментарий: «Сокращать нельзя, поскольку в сумме не
сокращают». И часто ученик возражает: « А почему?», не понимая
объяснений учителя. А учитель добавляет: «Вот если бы у тебя
а(Ь+с)
была бы такая дробь: —------ , тогда её можно сократить на а
ах
и получить - +<?. Это будет верно!»
х
А ученик и вовсе растерялся! «Да ведь это две почти одинако-
вые дроби: знаменатели у них одинаковые, в числителе одни и те
же буквы и одни и те же действия: умножить и прибавить. Не-
большая разница только в скобках. И как понять мысль — в сум-
ме не сокращают!? »
Внимательно вглядимся ещё раз в эти решения:
a-b + с _\-Ь+с _Ь + с а(Ь +с) _\(й + с) _ b +с
ах \-х х ах \-х х
Неверное решение	Верное решение
17
В первом случае (неверное решение) в числителе находится
выражение ab + c. Здесь два действия: умножить и прибавить,
порядок действий таков, что второе, а значит, последнее дейст-
вие — сложение, и поэтому выражение ab +с называется суммой
(так нас учили ещё в начальной школе!).
Во втором случае (верное решение) скобки в выражении
а(Ь+с} поменяли порядок действий: теперь сначала сложим,
а затем будем умножать. Значит, последнее действие — умноже-
ние, и поэтому выражение а(Ъ +с) назовём произведением.
Итак, выведем важное правило.
При сокращении дроби:
•	если выражение в числителе и выражение в знаменателе
являются произведениями, то сокращать дробь МОЖНО!
•	Если хотя бы одно из выражений числителя или знамена-
теля является суммой, а не произведением, сокращать
НЕЛЬЗЯ!
Теперь вполне понятными становятся слова: «В сумме не со-
кращают!»
Отсюда вывод: если не хочешь ошибиться при сокращении
дроби, задай себе вопрос: «В числителе и знаменателе дроби на-
ходятся произведения?»
•	если ДА, смело сокращай;
•	если НЕТ, сначала преобразуй числитель и знаменатель
так, чтобы каждый из них являлся произведением. Такое
действие в математике называют «разложением на множи-
тели», и ты это хорошо знаешь с 7-го класса.
Примеры сокращения дробей смотри в конце «Книжечки».
«Ловушка №6»: Применение тождества Те5" = |а|,
где модуль раскрывается по определению модуля:
. . [а, если а > О,
ч = 1
-а, если а< (1
Нужно помнить приведённое выше тождество и осознанно
его применять.
Рассмотрим на примерах:
l)7cF = |ll| = ll;
18
2)7с=7)г = |-71=7;
3)^(3-Ло)2 = |з - Ло| = -(3 - Ло) = -3 + V10;
4) ^(3-2л/з)2 + ^(3-2л/2)2 = |з - 2>/з| + |з - 2л/2|.
Раскроем модуль выражения по определению:
Так как 3 < 2>/3; V9 < 712, значит, 3 - 2>/3 < 0, тогда
|3 - 2>/з| = -(З - 2^/3) = -3 + 2>/3 .
Так как 3 > 2-J2; 79 > 78, значит, 3 - 272 > 0, тогда
|3 - 2Л| = +(3 - 271) = 3 - 272.
Окончательно получим:
|3 - 2Л | +13 - 2V21 = -(3 - 2Тз) + (3 - 2V2) =
= -3 + 273+3-272 = 2-73-272.
19
Урок 1. Часть I. Рациональные вычисления. ОДЗ выражения. Решение уравнений. Выражение величины из равенства.
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом: 1 (А) 9,8 • 17,26 - 7,26 • 9,8= 2 (АВ) 49,82 - 39,82 = 3 (АВ) 13,92 + 2 • 13,9 • 6,1 + 6,12 = 4 (В)(-3)3 - 27:(-34)= 5(В)^1Ь£= 4,6 102-4,2
Задание 2. Укажи значения х, при которых выражение не имеет смысла: 6 (А)	=	9 (АВ)	= 7	х + х 7(A)—Ц =	10(АВ)7^2 = 2х-8	х -х 8 (АВ)	-	= х(2х-8)
Задание 3. Реши уравнение: 11(А)х2-8х = 0	14(B) —= х х-1 х2 — 8х	2 12 (АВ) -—— = 0	15 (В) — = х х	х-1 13 (АВ)	= 0 х-1
Задание 4. Вырази заданную переменную из формулы: и2 16(А)А=/2 Я1, /?=	19(А)Р=—, R= R 17 (АВ) Л = Л? • f, /=	20 (АВ) F = k^, q2 = R и2 18(АВ)Р=^-, U=
20
Урок 1. Часть II. Рациональные вычисления. ОДЗ выражения. Решение уравнений. Выражение величины из равенства.
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом: 1 (А) 19,6 • 17,39 - 7,39 • 19,6= 2 (АВ)57,32 -42,72 = 3 (АВ) 23,42 - 2 • 23,4 • 3,4 + 3,42 = 4 (В)(-5)3 - 25:(-54)= 5(В)^= 5,4 103-3,9
Задание 2. Укажи значения х, при которых выражение не имеет смысла: 6(А)^±^=	9(АВ)^±^ = л/З	х2 + 9 л/з	Y+ 1 7(A)——— =	10 (АВ) —= 2х + 5	х - 9 8 (АВ)	-~2	= х(2х + 5)
Задание 3. Реши уравнение: И (А) х2-4 = 0	14 (АВ) *2~4* =0 х + 2 i~,a™X2-4 Л	х2 + 2х-3	_ 12 (АВ)	= 0	15 (В)	= 2х х+2	х — 1 13(В)*2~4* = -1 х+2
Задание 4. Вырази заданную переменную из формулы: 1—	и2 16(B) V = y[2gh, h=	19(АВ)А=——1, t= R 17(А)Л=Л?Г, ?=	20(В)F = k^, R= R и2 lS(B)A = ^-t, U=
21
Урок 2. Часть I.
Действия с корнями. Сокращение дробей. Решение уравнений.
Задч’ти с геом^р^гческим содержанием.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:
(каждый пункт — 5%, всего
Задание 1. Выполни действия с корнями:
1 (B)(V13)4+ V2-V32=
2(B) V3-(V7)2-712=
3 (АВ) 2-75+-712-4-73 =
,<В)7Йг
10(вс),-Х~Х+8
14 (АВ) 2х2-8х+6 = О
15 (В)	= о
л-3
Задание 2. Сократи дроби:
У3 — 4 г2
6 (АВ) ....	=
Зх2-12х
7(В)^4=^Г =
Зх - 6х
Зх - 6л
Задание 3. Реши уравнения:
11	(А)2х-8 = 0
12	(АВ) 2х2 -8л = О
13	(АВ) 2х2 -8 = 0
Задание 4. Реши задачи:
16 (А) Смежные углы относятся как 5:4. Определите величины смежн
лов.
17 (А) Один из смежных углов на 20° больше другого. Определите велг
смежных углов.
18 (А) Величины углов треугольника относятся как 2:3:4. Определите
личины углов треугольника.
19 (АВ) На окружности отмечены точки А, В, С, делящие её на дуги АЕ
и СА, причем АВ : ВС : СА = 7:3:2. Определите градусные меры ду]
20 (АВ) Центральный угол на 42° больше вписанного угла, опирающего
ту же дугу, что и центральный угол. Определите градусную меру вписа
угла.
22
Урок 2. Часть II.
Действия с корнями. Сокращение дробей. Решение уравнений.
Задачи с геометрическим содержанием.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с корнями:
1 (В)(73)б+ 5^-745=
2(AB)718-(a/83)2-V2 =
3 (АВ)5л/7 + 728-2-763 =
5 (АВ) (72 + I)2 - 272=
Задание 2. Сократи дроби:
б(АВ)^-9(В)^Ц^ =
х - 0,5х	х - 9
7 (В) 4f3~* =	10 (В)	*3~27— =
Зх - 1,5 х	2х + 6х + 18
8(В)4*3-4*2 + л<
2х -х
Задание 3. Реши уравнения:
И (А) 0,5х+ 2 = 0	14 (АВ) х2 -5х+ 6 = 0
12 (АВ) 0,2х2 -5х = 0	15 (В)	= 0
13 (АВ) 0,2х2 -5 = 0
Задание 4. Реши задачи:
16	(А) Один из острых углов прямоугольного треугольника на 16° меньше
другого острого угла. Определите величины этих углов.
17	(А) Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 5 : 4. Опре-
делите величины острых углов прямоугольного треугольника.
18	(АВ) Величины углов треугольника относятся как 10 : 3 : 5. Определите
величины углов треугольника.
19	(АВ) На окружности отмечены точки А, В, С, делящие её на дуги АВ, ВС
и СА, причем АВ : ВС : СА = 7:9:4. Определите градусные меры дуг.
20	(АВ) Вписанный угол на 24° меньше, чем центральный угол, опирающий-
ся на одну и ту же дугу. Определите градусную меру центрального угла.
23
Урок 3. Часть I.
Иррациональность в знаменателе дроби. ОДЗ выражения.
Выражение величины из равенства. Стандартный вид числа.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Избавь дроби от иррациональности в знаменателе:
1(А)^ =
9(А)Д=
у/Х
10(А)-Д=
4 (АВ)---7==
5-V14
О
5(АВ)та=
Задание 2. Найди ОДЗ выражения
6(A)Vx + l
7(A)VI+1
8(A)-
X
Задание 3. Вырази х из равенства:
11 (А) 4 = 2ах, х =
12(А)4 = 2я+х, х =
13 (АВ) 4 = 2ах\ х =
Задание 4. Запиши число в стандартном виде:
16 (А) Масса Земли - 6000000000000000000000 т =
17 (АВ) Диаметр атома — 0,00000000012 м =
18 (АВ) Размер бактерии — 0,000001 м =
19 (АВ) Масса электрона - 0, ЭОССССОЗЗОССЗОООССаОбООЭООЭЭОСЭ 1
30 нулей
20 (А) Расстояние от Земли до Солнца — 149 600 000 км =
14 (АВ) 4 = —, х =
х
15 (АВ) 4 = —, л =
24
Урок 3. Часть П.
Иррациональность в знаменателе дроби. ОДЗ выражения.
Выражение величины из равенства. Стандартный вид числа.
Количество ошибок: 
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
 (каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Избавь дроби от иррациональности в знаменателе:
1(A)Tj =
2 (А)	=
ЗЛТ
3
3 (AB)
4 (АВ)
15
5 (АВ)
12
Задание 2. Найди ОДЗ выражения: (смотри образец выполнения в конце
книги):
9<а>4=
V2x
ю (А) 1
х-2
8(A)-
X
Задание 3. Вырази х из равенства:
11 (А)7сх = 8, х -
14 (АВ)—- = 8, х =
12 (А)7я+ х = 8, х =
13(АВ)7с-х2 =8, х =
15(B)—— =8, х =
1-х
Задание 4. Запиши число в стандартном виде:
16 (А) Электрический заряд Земли — 700 000 Кл =
17 (АВ) Площадь поперечного среза волоса — 0,00011 мм2 =
18 (АВ) Диаметр ядра атома — 0,000000000000001 м =
19 (АВ) Заряд электрона — 0,00000000000000000016 =
18 нулей
20 (А) Расстояние от Земли до Луны — 384 000 км =
25
Урок 4. Часть I.
Сравнение иррациональных чисел. Линейные неравенства.
Степени с целым показателем. Рациональные сравнения.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Внеси множитель под знак корня и сравни величины:
1	(А) 2^7 и ЗТЗ
2	(А)7л/П и 11V5
/193
3	(АВ) 2д/7 и —у-
4	(АВ) —и -Д=
2V11 Зд/5
3	5
5 (В) —7= и -4=
2Уб 2V15
Задание 2. Реши неравенства:
2-Зх
6(А)16х-4<0	9(A)---— >0
8
2-Зх
7(А)-16х-4<0	10 (АВ)—— >1
8 (АВ) -2(3х+ 6) >7 -(4-5х)
Задание 3. Найди значение выражения, содержащего степени с целым по-
казателем:
И (АВ) -53:(-5-7) :55=	14 (В)
12 (В) (з-2) 3 • 27: (-37)=	15 (ВС) —	=
17"4 17"3
13 (АВ) 17_*	=
Задание 4. Выполнив нужные преобразования и вычисления, сравни значе-
ния выражений:
16 (В) (а + 2)2 и а2 + 4, где а — натуральное число.
17 (В)(с+2)2 и(с+1Хс+3)
18 (А) 10 000 000 см2 и 1 га
19 (А) 1 м3 и 100 000 000 см3
20 (АВ) 30 км/ч и 10 м/с
26
Урок 4. Часть II.
Сравнение иррациональных чисел. Линейные неравенства.
Степени с целым показателем. Рациональные сравнения.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Внеси множитель под знак корня и сравни величины:
1 (A)5>/2h4V3
2 (A) 9V13 и 13-77
3 (АВ) 0,2^60 и —
6
4 (АВ) -Д= и -Д=
6-75 5-77
5 (В) ~^= и —
ЗЛО 5V14
Задание 2. Реши неравенства: 6(А)12х-2<0 7(А)-12х-2<0 8 (АВ) -3(2х + 5) > 9 - (7 - 4х)	5-7 г 9(A)——— >0 19 5-7 х 10(АВ)^>1
Задание 3. Найди значение выражения, содержащего степени с целым по- казателем: 3~5 11 /дтл.г	^-5 _	1л /т J	_	
12(В)-9'2(-3'2)3:3-8 = 1з (в) 1255';5" =	з^вг1 -15-6 (-52) 3 15 (ВС) 5_,V9./ =
Задание 4. Выполнив нужные преобразования и вычисления, сравни значе-
ния выражений:
16 (В) (с2 + с+ 1)(с-1) и (с2 -с+ 1)(с+1)
17 (В) (с2 - 1)(с4 + с2 +1) и (с3 + !)(? -1)
18 (А) 1 км2 и 1000 га
19 (А) 1 м3 и 100 000 000 мм3
20 (АВ) 90 км/ч и 20 м/с
27
Урок 5. Часть I. Вычисления с применением формул сокращённого умножения. Решение уравнений. Функции и графики.												
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)												
Задание 1. Вычисли: 1 (АВ) 53,8092 -153,8092 = „	237,922 - 37,922 2 (В)	= 237,92 + 37,92 , .... 16,3762 - 47,372-16,376 3 (В)	= 16,376-47,372 4 (АВ) 34,932 + 2 -34,93 -15,07 + 15,072 = 5 (В) (288 + 356)2 - 3562 =												
Задание 2. Упрости выражение, используя тождество V*? - |о|: 6 (В) ^(з - 2V2)2 =	9 (В) ^(5 - 2л/б)2 = 7 (В) у/(4у/7 -11)2 =	10 (В) д/(зV6 -5д/2)2 = 8(B)^(V13-3V2)2 =												
Задание 3. Реши уравнение: 11 (АВ)	= 4	14 (В) с (2-3с+ с2) = 0 12 (АВ)(у-1)-(2-Зу)= 0	15(В)(За+2)2-(2в-1Х2л+ 1) = 5 13(В)(36с2-1)-(2-Зс) = 0												
Задание 4. Построй графики функций у = 2х2 и у = 4 - Укажи координаты точек пересечения графиков. Какому из графиков принадлежат точки	У/						2х.						
16 (А) (32; -60) 17 (А) (-4; 32) 18 (А) (10; 200) 19 (А) (-18; 40) 20 (А) (-2; 8)												
												
												
												
												X
												
												
												
28
Урок 5. Часть II.
Вычисления с применением формул сокращённого умножения.
Решение уравнений. Функции и графики.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли:
1 (А) (238,091 - 247,191)-1238,091 =
2 (АВ) 243,872 -143,872 =
л 16,372 -2-16,37 -7,77 + 7,772
4 (В)------------------------=
8,6
5 (АВ) 34,962 + 2-34,96-2,52 =______________________________________
Задание 2. Упрости выражение, используя тождество 4а* = |п|:
6 (АВ) ^(2-^)2 + л/5 =	9 (ВС) ^(3>/5-4л/з)2 + ^(7 + 3J5)2 =
7 (В) ^(2>/3-4)2 + 2V3 - 4 =	10 (ВС) ^(V6-2V2)2 - ^(2-Тб)2 =
8 (ВС) ^(2л/7-Зл/з)2 + ^(л/7-2л/з)2 =
Задание 3. Реши уравнение:
11 (АВ) —- 0,5х = 3	12 (В) (1-а2)(2а-3) = 0
13(В)с(2с-Зс2 + 1) = 0	14 (АВ) (2 - Зс)2 = 0
15 (В)(4а + I)2 -(За-1ХЗ«+ 1)+ 4а + 3 = 0
Задание 4. Построй графики уравнений ху = 6 и 2х - у = 4.
Укажи координаты точек пересечения графиков.
Какому из графиков принадлежат точки
с координатами:
16 (А) (32; 60)
17 (А) (-0,5; -12)
18 (А) (-100; -204)
19 (А) (-24; -0,25)
20 (А) (-1; -6)
29
Урок 6. Часть I.
Действия с корнями. Формулы сокращённого умножения.
Задачи на движение. Функции и графики.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с корнями:
2 (АВ) —	,
(Л)3
3(B)V	'
(V3)3
4(В)^Ж
Задание 2. Разложи на множители, используя формулу разности квадра-
тов.
6 (А) (Vc)2 - 25 =	9 (В) (Vx + I)2 - (2 + Зл/х)2 =
7(АВ)4у-х2=	10(ВС)(Vx + I)2 -4х =
8 (В) (?-9т2 =
Задание 3. Запиши уравнения к задачам, если собственную скорость обо-
значить через X км/ч.
11 (В) 48 км по течению лодка прошла на 2 часа быстрее, чем обратный путь.
Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.
12 (В) На путь в 48 км по течению и 24 км против течения реки лодка затра-
тила 7 часов. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения
реки равна 2 км/ч.
13 (ВС) Катер проплыл к устью реки 36 км, а затем ещё по озеру 60 км. Про-
стояв на причале 2 часа, вернулся назад. Какова скорость катера по озеру,
если скорость течения реки 3 км/ч., а на весь путь затрачено 15 часов?
14 (В) Катер проплыл по озеру 27 км, а затем ещё 75 км вверх по течению
реки, затратив на весь путь 4 часа. Какова собственная скорость катера, если
скорость течения реки 2 км/ч?
15 (АВ) Турист проплыл против течения реки 12 км, а затем за такое же вре-
мя 20 км по течению. Какова собственная скорость лодки, если скорость те-
чения реки 2 км/ч?_____________________________________________________
Задание 4. Найди значение Ь, если график функции у = b4x +1 проходит
через точку A(wi; и).
16 (АВ) А(9; 2)	19 (АВ) А(64; 17)
17 (АВ) А(0,25; -2)	20 (АВ) А(0,64; 17)
18 (АВ) А(100; 0,5)
30
Урок 6. Часть П.
Действия с корнями. Формулы сокращённого умножения.
Задачи на движение. Функции и графики.
Количество ошибок:Номера пунктов с ошибками:
Процент выполнения:{каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с корнями:
1 (АВ) V3-G/9)2a/27 =	2 (АВ) 75 • (77 )2-745 =
3(В)7б-(-Т2)3-73 =
Задание 2. Разложи на множители.
6 (В) 4x77 ~ 6у7х =	9 (В) (77)3 + 27 =
7 (АВ) х + 107х + 25 =	10(ВС)125х2-7л7 =
8 (ВС) 18x77 - 12х + 277 =
Задание 3. Запиши уравнения к задачам, если первоначальную скорость
обозначить через X км/ч.
И (В) Турист прошёл 20 км за 5 часов. Первую половину пути он шёл с од-
ной скоростью, а после получасового привала увеличил её на 1 км/ч. Какова
скорость туриста в конце пути?
12 (В) Чтобы успеть к поезду, мотоциклист должен был проехать 20 км с не-
которой скоростью. Но он задержался на 6 минут и поэтому увеличил ско-
рость на 10 км/ч. С какой скоростью ехал мотоциклист?
13 (В) 48 км автобус проехал с одной скоростью, затем 14 км он двигался со
скоростью на 10 км/ч больше. На весь путь было затрачено времени 1 час.
Какой была первоначальная скорость автобуса?
14 (В) Проехав 48 км, автобус сделал остановку на 12 минут. Далее 35 км он
ехал со скоростью, на 10 км большей, чем на участке в 48 км. На весь путь
было затрачено 1,5 часа. С какой скоростью автобус ехал первые 48 км?
15 (ВС) Расстояние АВ равно 40 км. Машина выехала из пункта А в пункт В
и, добравшись до середины пути, тот час вернулась в пункт А, а затем сразу
же отправилась в В. Сразу после поворота в А и до конца пути она двигалась
со скоростью, на 20 км/ч большей, чем в начале пути, однако, в В прибыла
с опозданием на 21 мин. Какова первоначальная скорость машины?
Задание 4. Найди значение Ь, если график функции у = 2у/х + b проходит
через точку А(/л; п),
16 (АВ) А(9; 2)	19 (АВ) А(64; 17)
17 (АВ) А(0,25; -2)	20 (АВ) А(0,64; 17)
18 (АВ) А(100; 0,5)
31
Урок 7. Часть I.
Стандартный вид числа. Сокращение дробей. Линейные неравенства
и системы линейных неравенств. Функции и графики.
Количество ошибок: 
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с числами, заданными в стандартном виде.
Ответ запиши в стандартном виде:	1 (АВ) 2 • 103 • 1,2 • 10~7 =
610~7
210’8 ~
10~16-810?
2 10“7
2(АВ)3 10’-410'7 =	3 (АВ)
4(B)	У0"7 6 = 4 10'151^106	5(B)-
Задание 2. Сократи дроби:	6 (АВ)
7(В)<У*>3-У*.= 2х-Ух	8 (ВС)
9 (ВС) (л^)3 + 27 = с-9	10(B)-
4(У^)3-
(Ух)3-27
х + зУх + 9
Задание 3. Реши неравенства и системы неравенств:
(~6х + 2 >7 + х
[ 11-0,5х<8
5х-4 _
------2<х
3
И (АВ)]	Г Зх-7 >0 ^5-0,Зх >0	12 (АВ)
13 (АВ)]	[х+ 6 >2,8х ^4-2,5х>0	14 (АВ)
15 (АВ) -	3-2х	.	1-7х 	+ 4х <		
Задание 4. В одной системе координат постройте графики уравнений
у + 2х = 5
у-х = 2; 2у = х; 2у+*х = 4;
и по графику найдите решения систем уравнений:
у - х = 2
2у = х
. у + 2х = 5
18 (АВ) Г
12у + х - 4
2у = х
2у+ х = 4
16 (AB)
20 (AB)
32
Урок 7. Часть II.
Стандартный вид числа. Сокращение дробей. Линейные неравенства
и системы линейных неравенств. Функции и графики.
Количество ошибок: 
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
 (каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с числами, заданными в стандартном виде.
Ответ запиши в стандартном виде: 1 (АВ) 5 • 10"3 • 1,6 • 108 =
2 (АВ)5-10~9-6-10" =	3(АВ)9^ = 1,6-10-“
1610-7 . В)41О-5-5 1О’2	. ЗЮ*2-2 10" 5(В)	1,2 107	=
Задание 2. Сократи дроби:	6(В)(^)Ц4х = x-4Vx
7(BC)(V7)3~^^ x-2-vx	8(вс)(^)3-4д;-4^= л-2д/л
9 (ВС)~8 = л-4	ю (С)	— = (VI)3 - 2х - 4-Vx 4- 8
Задание 3. Реши неравенства и системы неравенств:
11 (АВ)	(4х+ 6 >0 [9-0,5х>0	12 (АВ)	12x4- 3 >7х [9-0,5х >8
13 (АВ)	f 4х 4- 6 > 0 |9+0,Зх<0	14 (АВ)	Зх-1 „ 	2х< 2
15 (АВ)	3-7х _	24- х 	2х <			
Задание 4. В одной системе координат постройте графики уравнений
у 4- 2 = х; 2х + у = 1; 2у 4- х = 2 ; х - 3 = 0
и по графику найдите решения систем уравнений:
18 (АВ)
20 (АВ)
16(АВ)Г
12х 4- у = 1
'2x4- у = 1
2у 4- х = 2
х-3 = 0
2у + х = 2
33
Урок 8. Часть I.
Действия с рациональными дробями. Действия с корнями.
Задачи на части. Решение уравнений.
Количество ошибок:	 Процент выполнения:		_ Номера пунктов с ошибками:	 	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с дробями: . ... а2 -2а + 5 1 - ба	_ .. а2 - 2а + 1 а 1 (А)	=	2 (АВ)		+	= а+2	а+2	а -1	а+1 3 (АВ)		— =	4 (АВ) ?-~ 2а+1  -А- = а-1	а+1	а-1	а+1 5(AB)g2~2fl+1:-^- = а -1	а+1	
Задание 2. Выполните действия с корнями: 6(А)>/3-712-л/5б-72=	9 (АВ) (V3 + 2)2 - 4Л = y/ll-s/72	г-	1- г- 7 (А)	=	10 (АВ) G/5 -1)(2 + у/5) - J5 = V22 8(А)(>/21)2 + 71з2 =	
Задание 3. Реши задачи:
11 (А) Ленту в 60 м разрезали на 2 части так, что одна из них оказалась
в 3 раза короче другой. Кааковы длины частей ленты?
12 (АВ) Ленту в 60 м разделили в отношении 1 : 3, а затем от большей части
отрезали половину. Какой длины кусок отрезали?
13 (В) Ленту в 60 м разделили в отношении 2 : 3, а затем от меньшей части
отрезали 0,4 её части. Сколько м осталось от всей ленты?
14 (В) Ленту в 60 м разделили в отношении 1 : 2, а затем от большей части
отрезали 55 %. Сколько м отрезали?	I
15 (ВС) Ленту в 270 м разделили в отношении 1 : 2, а затем меньшую из них
вновь разделили в таком же отношении, после чего каждую меньшую вновь
делили в таком же отношении ещё 3 раза. Сколько м оказалось в самом ма-
леньком из получившихся кусков?
Задание 4. Решите уравнения:
16 (АВ)(2х-ЗХ2х + 3)-12х+1 = 2х(2х-2)
17 (АВ) (2х - 3)х = 0
18 (В) (2х - ЗХ2х + 3)х = 0
19 (АВ) 4х2 - 9 = 0
20 (В) 4х3 - 9х = 0
34
Урок 8. Часть П.
Действия с рациональными дробями. Действия с корнями.
Задачи на части. Решение уравнений.
Количество ошибок:		Номера пунктов с ошибками:	
Процент выполнения:		_ (каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)
Задание 1. Выполни действия с дробями:	
?+5С-2 11Q-1) с-3	с-3	2(АВ)^±9-^ = ?-9	с-3
3(ав)^£±9+_^ = ?-9	с-3 5(АВ)г + 6с+9- - -	4(АВ)^±9.^ = ' ’ е-9 с-з
5(АВ) ?-9	с-3'	
Задание 2. Выполните действия с корнями:
6 (А) 72 • 718 +-75 • 720 =	9 (АВ) (72 - З)2 + 6^2 =
/о /7
7(A)	=	10(АВ)(Т7+2)(1-Т7)+Т7 =
V14
8 (А) (717 )2 - 719^ =
Задание 3. Запиши уравнения к задачам, если собственную скорость обо-
значить через X км/ч.
11 (А) Из 36 учеников в секцию футбола ходят в 2 раза больше, чем в секцию
волейбола. Сколько учеников в секции футбола?
12 (АВ) Из 40 учеников 20% занимаются гимнастикой, 30% — волейболом,
а остальные — футболом. Сколько футболистов?
13 (В) Из 40 учеников 60% занимаются футболом, 50% от числа футболи-
стов — волейболом, а остальные — гимнастикой. Сколько их?
14 (ВС) Гимнастикой занимаются 6 учеников, что составляет 20% от числа,
занимающихся волейболом, число которых в свою очередь составляет 50% от
числа учеников, занимающихся футболом. Сколько учеников во всех секци-
ях, если каждый занимается только одним видом спорта?
15 (ВС) 120 учеников разбили на 3 группы в отношении 1 : 2 : 3. Затем от ка-
ждой группы взяли соответственно 50%, 20% и 10% и объединили в 4-ю
группу. Во сколько раз число учеников 4-й группы меньше числа всех уч.?
Задание 4. Решите уравнения:
16 (АВ) (4 + Зх)2 - 2(х - 7 ) = 3х(3х + 4)
17 (АВ) 2х(3х + 4) = 0
18 (АВ) (7 - 4хХ9 + Зх) = 0
19 (АВ) 4х2 - 9х = 0
20 (В) х4 -25х2 =0
35
Урок 9. Часть I. Действия с корнями. Основное свойство пропорции. Системы уравнений. Функции и графики.												
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)												
Задание 1. Выполни действия с корнями: 1 (А)л/48->/27+712=	4(AB)2V12-|V75+(V3-1)2 = 2(A)V20 + 772-7125 + 745 =	5 (АВ)-78--750 +-732 = 4	5	8 3 (АВ) (73 - 272)2 + 724 -10 =												
Задание 2. Найди х из пропорции: 6 (А)5:6 = 2:л	9(АВ)-^- = —— 3-х 5х -1 7(A)— =5:9	10(В)^±^ = -^- Зх	5	2х+1 4	5 8 (АВ)	= - 3-х 9												
Задание 3. Реши системы уравнений: Г Зх = 6	| П(А) _	. о	14(A) \2х - Зу = -2 [3+ х = 6	1 12 (А) {2х - 4, = 2	15(B)j 13(В)р2 = 2у [2х - 4у = 6		Ч	ч;	ui	w м	1	*	Н ;	И	i 3 п +	w	II Ю	о II о										
Задание 4. Построй графики функций у = — и у = X												
Укажи координаты точек пересечения												
графиков. Какому из графиков принад-												
лежат точки с координатами:												
16 (А) (-0,5; -16)												
17 (А) (16; 4)												
18 (А) (4; 2)												X
19 (А) (-2;-4)												
20 (А) (-40; -0,2)												
												
36
Урок 9. Часть П. Действия с корнями. Основное свойство пропорции. Системы уравнений. Функции и графики.												
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	{каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)												
Задание 1. Выполни действия с корнями: 1 (А) 78+ 750-798 =	4(В)-3732-^718 + (72 + 4)2 = 2 (АВ) 718+ 7125-732 + 780 =	5 (В)-727--Т75 +-Т72 = 9	5	6 3 (В) (75 + 2ТЗ)2 - Тбб -17 =												
Задание 2. Найди х из пропорции: 6(А)х:6 = 2:5	9 (АВ) 7(A) —= 8:3	10 (В)	= _1_ 7	5 2х + 1 8 (АВ) — = * 7	3												
Задание 3. Реши системы уравнений: 11(а>{з2:х2	+<*> [ 2 4- х = —4	I 12(А)|зх-4У = 2	15(ВЧ 13(В)Р =4 [Зх-4у = 2		[-Зх4-7у = 4 [ Зх-4у = 2 2у-х = 1 х2 -4ху = -15										
Задание 4. Построй графики функций у = |х| и у = -0,5х 4-1Д.												
Укажи координаты точек пересечения												
графиков. Какому из графиков принад- лежат точки с координатами: 16 (А) (19; -19) 17 (А) (-3; 3) 18 (А) (47; 47) 19 (А) (-25; 14) 20 (А) (40; -18,5)												
												
												
												
												X
												
												
												
37
Урок 10. Часть I. Действия с корнями. Формулы сокращённого умножения. Решение уравнении. Функции и графики.												
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	{каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)												
Задание 1. Вычисли: 1(В)(73 + 1)2-2Л = 2 (АВ)(У8-У2)2 =	 3(B)V(V7-3)2+7(V7-2)2 = 4 (ВС) V(a/7 - 2)2 + (2^7 + З)2 - 4(3 + V28) = ’ л/5	л/5-72	5												
Задание 2. Разложи на множители, используя формулы квадрата суммы или квадрата разности: 6(В)у-б/у + 9 =	9(В)в4 -10а24т + 25т = 7 (В) с2^ + 2^3са+ 3 =	10 (ВС) Зх2 - 4д/3у • х + 4у = 8 (В) а - 12у[ас + 36с =												
Задание 3. Реши уравнения: 11(B)2£±2 = x	14(В)	= 0 х+ 3	5 12 (В) *2~3* + 5 =	15 (ВС)	= х _ 2 х 2	х 2	5 13(В)*3~4*2~5Х=0 х+1												
4 Задание 4. Построй графики функций у =«2 - 2н у = —. X Укажи координаты точек пересечения графиков. Какому из графиков принадлежат точки Г. КППППИПЯТЯЮГИ’														
16 (АВ) (-16; -0,25) 17 (АВ) (-4; 14) 18 (АВ) (10; 98) 19 (АВ) (2; 2) 20 (АВ) (-2; -2)												
												
												
												
												X
												
												
												
38
Урок 10. Часть П. Действия с корнями. Формулы сокращённого умножения. Решение уравнений. Функции и графики.												
Количество ошибок:	Номера пунктов с ошибками:	 Процент выполнения:	(каждый пункт — 5%, всего 20 пунктов)												
Задание 1. Упрости выражение. 1(АВ)(ТЗ + 2)2-4Л = 2 (АВ)(УЗ-Л2)2 =	 3(B)V(>/5-2)2 +7(д/5-3)2 = 4 (ВС) V(>/5 - З)2-(Ъ15 + I)2 + 2(8 + V125) = с/т_хТб-2 V2 + V3 2V3 + 3V2 5(ВС) Тб ' V6-V3	3	'												
Задание 2. Разложи на множители, используя формулу разности квадра- тов: 6 (В) а4 х-25m2 =	9 (В) a2-(1-7а)2 = 7(В)у-9 =	10(ВС) х-4у2-4у-1 = 8 (В) a6- 64b =												
Задание 3. Реши уравнения: 11(В)^^ = х	14(В)3х3-~2х~-- =0 х + 4	4 12 (В) *2 + 2*~5 =	15 (ВС)	= -1 х+1	1	4 г3 — 4х2 + Зле 13 (В) -—	- = 0 х-1												
Задание 4. Построй графики функций у = Тхиу = 4-0. Укажи координаты точек пересечения графиков. Какому из графиков принадлежат точки с координатами:	У>						5х. к						
16 (АВ) (36; -6) 17 (АВ) (36; 6) 18 (АВ) (120; -56) 19 (АВ) (4; 2) 20 (АВ) (-40; 24)												
												
												
												
												X
												
												
						—						
39
Приложение
Правила работы с математическими объектами:
числами, выражениями, уравнениями и функциями
Если хочешь, чтобы в математике получалось всё и всегда
легко, быстро и точно, следуй этим правилам.
1. Всегда держи в голове теоретические факты: правила, оп-
ределения, формулы, свойства, которые используются при реше-
нии, старайся установить связь между теорией и данным практи-
ческим заданием.
2. Если допустил в решении ошибку, проанализируй её ха-
рактер:
•	если ошибка возникла из-за незнания теоретического фак-
та (забыл формулу, определение и т.д.), тогда тот час же
найди необходимое правило и запомни его.
•	если ошибка случилась от незнания или неумения решить
данную задачу (не знаешь алгоритма решения или не по-
нимаешь, как в целом подступиться к решению задачи),
немедленно обратись к учителю, чтобы он объяснил её ре-
шение.
•	если ошибка появилась в результате невнимательности
(плохо прочитал задание, ошибся при переписывании за-
дания, неверно вычислил и т. д.), тогда каждое следующее
задание выполняй внимательнее, делая паузу на каждом
шаге выполнения и контролируя себя: ещё раз перечитав
задание, ещё раз проверяя свои записи, ещё раз после это-
го пересчитывая пример.
Сделай вывод: как избежать её появления в следующий
раз. Очень глупо, если одна и та же ошибка допускается мно-
го-много раз, в этом случае трудно чему-либо научиться.
3.	Помни, что вернее всего помогает способ «действуй по
аналогии!» Он заключается в том, что при выполнении каждого
40
математического задания найди похожий, верно решённый при-
мер-образец. Этот образец покажет тебе: какую теорию нужно ис-
пользовать, как следует рассуждать при решении данного зада-
ния и как оформлять решение.
Задания, образцы решений которых изложены
в «Книжечке.... Алгебра—7»
7
Задание 1. Вычислить: —|—.
3
,	- «	0,17-5,25
Задание 2. Вычислить: —--------.
23-3,4-0,2
1254 -511
Задание 3. Вычислить:-----------.
257-(252)
л «	(-2)10-82
Задание 4. Вычислить: —-—-------.
(-2)7 -(-32)
„	_ _	16,372 -2-1637-7,77+7,772
Задание 5. Вычислить:------------------------.
4,3 -2,79 + 43 -5,81
Задание 6. Выразить переменную из равенства (формулы)
Q = тс (t2 -ti), t2 = 2
n - „	, 2.r-3 ,	2+.r
Задание 7. Решить уравнение: 1----— = 2х---—.
Задание 8. Решить уравнение: 2х2 + Зх = 0.
Задание 9. Разложить многочлены на множители:
а)	32х3 + 16х2у - 2ху2 - у3 =
б)	х2 -4у2 — х-2у =
в)	х2 + 4ху + 4у2 - х - 2у -
г)	(5m + Зл)2 - (5m - 2 л)2 =
д)с3- (с+1)3 =•
Задание 10. Представить многочлен с3 - (с + 1)3в стандарт-
ном виде.
41
Образцы в ыполнения задапшЁ по аягггбре-8
При возникновении трудностей с выполнением заданий
обращайся к образцам и обязательно читай комментарий!
Основа успешного усвоения курса алгебры-8 — в формиро-
вании умений выполнять все действия с квадратными корнями.
С этих заданий и начнём знакомиться с образцами решений.
Задание 1. Выполни действия с квадратными корнями.
Прежде чем рассматривать конкретные примеры, сделаем
одно важнейшее замечание о том, что любые действия с квадрат-
ными корнями:
•	нахождение значений выражений с корнями,
•	преобразование (упрощение) выражений с корнями,
•	сокращение дробей с корнями,
•	сравнение значений числовых выражений с корнями и т. д.
выполняются с использованием трёх базовых операций с корня-
ми, которые нужно знать и безошибочно применять в зависимо-
сти от выполняемого задания.
Базовые задачи с квадратными корнями
1)	Вынесение множителя из-под знака корня (используя
свойство л/aF = 4а • VF).
Пример: V90 = V940 = V9• л/10 = 3• л/10. Итак, мы вынесли
множитель 3 из-под знака корня и получили: V90 = 3  V10.
Операция применяется при упрощении выражений и вычис-
лениях, когда нужно стремиться к тому, чтобы под знаком корня
оставались числа как можно меньше.
2)	Внесение множителя под знак корня (используя свойство
4а • 4b = 44b) — операция, обратная вынесению множителя.
Пример: 4 • 43 = 44* • 41 = -716-3 = V48. Итак, мы внесли
множитель 4 под знак корня и получили: 4-43 = 448.
Операция применяется для сравнения значений числовых
выражений с корнями.
3)	Избавление знаменателя дроби от иррациональности (ис-
„	, а а-с.
пользуя основное свойство дроби: — =-).
b Ьс
42
Если в знаменателе присутствуют корни, то эта операция вы-
полняется всегда и в первую очередь для того, чтобы дальше
легче было работать с иррациональными выражениями, выпол-
няя с ними различные действия.
„	3-77 14-ТЗ „	_
Пример: вычислить: —=----Сначала поработаем с каж-
73	77
дой дробью отдельно, избавив от иррациональности в знаменате-
ле, получим:
п ЗТ7 _ЗТ7-ТЗ _ЗТ7-ТЗ_ /уг.
73 у/З-у/З 3
14^ = 14^-У7,14У21^2л/я
у/1 -Ji-Ji 7
А теперь выполним вычитание:
3)	= 721 _ 2-721 = -721.
у/З у/1
Получаем результат: —721.
Теперь рассмотрим разные задания с квадратными
корнями.
А)	Упрости выражение: 475 + 745 + 790 - 2-740 - 7125.
Решение: вынесем множители из-под знака корня:
475+745+790-2740-7125 =
= 4-75+793 + 7940-2-7440-7253 =
= 475 + 375 + 3710 - 2 • 2710 - 575 =
= 475+375-575+3710-4710.
После приведения подобных слагаемых получим:
475+3-75-5-75+3-710-4-Л0 = 2-75-710.
Ответ: 2-75 - 710.
Б) Упрости выражение
(3-Т7)2 +677 -72-714-4763+^.
Решение:
(з-7?)2 +677-72-714-4763+^— =
43
= 32 -2-3-T7+7 + 677-V244-4T9^7+^j =
= 9-6л/7 +7 + 6л/7-V4^7-4-3V7+V25 =
= 16 - 2л/7 - 12д/7 + 5 = 21 - 14д/7.
Ответ: 21 -1477.
В)	Упрости выражение:
7F - тр/ + ('Ч)’ - (-^)‘+ (V5)‘.
Решение:
= 72 -З3 + 11-24 + 52 =49-27+11-16 + 25 = 42.
Ответ: 42.
Комментарий: такое задание с корнями, степенями и отри-
цательными знаками чаще других ставит ученика в тупик. В чём
здесь ключ решения? Главное, знать теорию квадратных корней.
• Во-первых, используем определение квадратного корня:
если а> 0, то (4а) = а. Поэтому (411) =11;
Л/Л4 =(Л/Л2 Y =52 =25.
Аналогично упрощаем (-42)*. Вначале разберёмся со зна-
ком: отрицательное выражение -42 возводим в 8-ю сте-
пень и получим положительное число, поэтому
(-<=« . Далее используем определение:
(42)* =((42}2 Y =24 =16.
Во-вторых, используем тождество: если a &R, то 4а* = |о|;
Корень из степени: 4а*" = la" I. Поэтому
л/74’ = |72| = 72 =49.
В случае с выражением -J(-3)6 также решим проблему со
44
знаком «-», а затем, используя тождество, получим:
3
Г) Избавь знаменатель дроби от иррациональности: —.
3
Решение: Применим к дроби — основное свойство дроби,
3	З-л/7	Зл/7	ЗТ7	„	3	Зд/7
77	77-77	Л/ч? 7	77	7
гг	« Зл/7	_ 3
Получили дробь -у-, равную дроби —, в знаменателе кото-
рой теперь нет иррациональности. Цель достигнута!
п
Ответ:--------.
7
Д) Избавь знаменатель дроби от иррациональности:
Решение. Аналогично предыдущему решению, используя ос-
новное свойство дроби, умножим числитель и знаменатель дроби
на выражение 719 +3 , получим:
5	5(719+3)	5(719+3)
719-3 " (719-3) (719+3) “ (719)2 -з2 ”
5-(Т19+3) 5-(Т19 + 3) 719+3
19-9	10	2 ‘
„	719+3
Ответ:------.
2
Комментарий: А как догадаться, на что нужно умножать
числитель и знаменатель, чтобы дробь избавилась от иррацио-
нальности в знаменателе? Это, действительно, не так просто,
и требуется определённый навык в работе.
В нашем первом случае, если в знаменателе только один ко-
рень, то на него же и умножаем, чтобы в знаменателе появилось
выражение (Та) = а. А если в знаменателе — сумма или раз-
ность, содержащая корни, как во втором случае, то умножаем
45
на такое выражение, чтобы в знаменателе появилась формула
«разности квадратов», и тогда после её использования корни «ис-
чезают».
Е) Сравни значения выражений 2у/1 и Зд/З.
Решение.
277 > ЗТЗ, так как 277 = 728, ЗТЗ=Т27 и 728 >727.
Ответ: 277 >373
Ж) Сравни значения выражении —и -Д=.
2711 Зл/5
Решение. Так как числители дробей равны, то сравним знаме-
натели дробей, для этого внесём множители под знак корня, по-
11 1	1 „
лучим: —— = —— и —z= - —==. Теперь несложно сравнить
2л/П 744	Зл/5 V45
I—	I—	11	11
дроби. Так как <45 > 744, то —— > —= и поэтому —= > —
744 745	2711 375
„ 1 1
Ответ: —= > —=.
2711 375
3	2
3) Сравни значения выражений и
Решение. Первый способ.
Избавимся от иррациональности в знаменателе и приведём
обе дроби к одному знаменателю.
п 3	3-77 _ 3-77 _ 3-77 _ 27-77
? 477 ~ 477-77 ~ 4-7	28	252
2) — =	= 2-7б = Тб; = 28-Тб
ЗТб З-Тб-Тб” 3-6	9	252
3) Теперь сравним числители дробей: 27 • 77 и 28 • Тб.
27 -77 = 7272 -7 = 75103 и 28-Тб = 7282 -6 = 74704
Так как 75103 > 74704, то > -^=.
477 З7б
Второй способ (рациональнее, чем первый способ).
Внесём множители под знак корня и приведём обе дроби
к одинаковому числителю.
1) 3 = 3 = 3'2 = 6
? 477 71(77 2-7112 7448
46
3	2
Ответ: —= > —=.
4л/7 Зл/6
Комментарий. При сравнении значений числовых иррацио-
нальных выражений используются базовые операции: а) внесение
множителя под знак корня, б) избавление знаменателя дроби от
иррациональности. А далее — работаем с получившимися дробя-
ми: приводим дроби либо к одному (общему) знаменателю или к
одному числителю. Выбираем, как рациональнее действовать
для сравнения !
Задание 2. Упрости выражение;________
а)^(л/7-3)* 2 3 -^(2л/7-5)2 +^(19-7л/?)2.
б)^(л/7-З)2 -(2V7-5)2 + 2(19-777).
Решение: а) ^(77-3)2 -^(277-б) 2 + ^(19-7Т7)2. Вос-
пользовавшись тождеством: 7о^~ = |с| и правилом раскрытия мо-
дуля, упростим каждое слагаемое.
1)^(77-3)2 = |77-3| = -(77-3) = 3-77,
так как значение выражения 77-3 отрицательно.
2) ^(2л/7-5)2 = |2л/7 -б| = +(277 - б) = 277 -5,
так как значение выражения 277 -5 положительно.
3) ^(19-777)2 = |19-7771 = +(19 -777) = 19 -777,
так как значение выражения 19-777 положительно.
Теперь приведём подобные слагаемые в выражении:
3-77-(277-б)+19-777 = 27-1077.
Ответ: 27 -1077.
Решение: б) ^(77-3)2 -(277-б)2 + 2(19-777). Обратим
внимание на то, что все три слагаемых:
47
(л/7-З)2; -(2л/7-5)2; 209-77?)
находятся под знаком корня, поэтому вначале раскроем скобки,
применив формулу квадрата разности и распределительный за-
кон, получим:
0/7-З)2 -(2д/7-5)2 +2(19-7л/7) =
= 7-6л/7+32 -(4-7-2(Х/7 +52) + 38-14л/7 =
= 7-6л/7+9-(28-2Оч/7 + 25)+38-14л/7 =
= 16- 6л/7 -28 + 2(Х/7 - 25 + 38-14V7 = 1.
Осталось только последнее действие — извлечь квадратный
корень,т.е.	-З)2 -(2л/7 -5)2 + 209-77?) = 71 = L
Ответ: 1.
Комментарий: Это очень непростое задание повышенной
сложности, т.е. задание уровня С. Его решение требует не толь-
ко отличного знания теоретических фактов, но и прочных навы-
ков их применения, а также большой концентрации внимания, ос-
торожности и сосредоточенности при выполнении.
Задание 3. Сократи дроби:
ч 75m3 -3m	24m4 -3m	.	75m3 -3m
a)	—; 6) —z-----------5—B) —i----------------•
30m +6m 4m +2m +m 5m +m -5m-1
Решение: а) Прежде чем сократить дробь, нужно разложить
числитель и знаменатель дроби на множители, причём это нужно
сделать полностью, т. е. так, чтобы дальше многочлен уже ни на
какие множители нельзя было бы разложить:
75m3 -3m _ 3m(25m2 -1) _ 3m(5m -t)(5m + 1)
30m2 + 6m 6m(5m +1)	6m(5m +1)
Теперь можно сократить дробь на множитель (5m + 1) и 3m.
„ 5m-1
Получим: —-—.
„ 5m-1
Ответ:------.
2
48
б)	Разложим числитель и знаменатель на множители, вос-
пользовавшись следующими приёмами: вынесением общего
множителя за скобку и формулой «разности кубов»:
24m4 -Зт _	3m(8m3 -1)
4m4 + 2m3 + т2 т2 (4m2 + 2m +1)
3m(2m - l)(4m2 + 2m +1)
m2(4m2 + 2m + l)
Теперь сократим дробь на m(4m2+2m+l) и получим:
3(2m-l)	v	7
m
Л 3(2m-l)
Ответ: —------.
m
в)	Разложим отдельно знаменатель дроби на множители,
воспользовавшись способом группировки:
5m3 +m2 -5m-l = (5m3 + m2) + (-5m-1) =
- m2(5m +1) - l(5m +1) = (5m + l)(m2 -1) = (5m + l)(m - l)(m +1).
Подставим полученное разложение в знаменатель дроби, по-
75m3-3m	_ 3m(5m -l)(5m +1) _ 3m(5m-l)
5m3 + m2 - 5m -1 (5m + l)(m - l)(m + 1) (m - l)(m +1)
Л 3m(5m-l)
Ответ:----------—.
(m-l)(m+l)
Комментарий. Важно знать, что разложение многочлена
на множители - это ключевая операция алгебры. Она необхо-
дима при сложении, вычитании и сокращении алгебраических
дробей, рационального решения уравнений и неравенств. Можно
сказать и так: операция «разложения многочлена на множите-
ли» - это ключ к успешному решению многих математических
задач. Поэтому разложение на множители должно быть техно-
логичным и безошибочным. И это вполне возможно, если исполь-
зовать точный алгоритм разложения на множители, который
имеет три шага:
1	шаг: выносим общий множитель за скобку. (Обязательно
полностью, ничего не оставляя!)
49
2	шаг: проверяем оставшееся выражение в скобках на приме-
нение формул сокращённого умножения.
3	шаг: если выполнены первые 2 шага, а выражение остаёт-
ся ещё достаточно громоздким, проверяем его на применение
способа группировки, который применяется в случае чётного
числа слагаемых, начиная с 4-х (см. пример в).
Задание 4. Сократи дроби:
4(Ух) -Ух 4хУх -4х +4х
а) —-—-—; б)-------------=----.
2х-Ух	2х-Ух
Комментарий. Что меняется в процедуре сокращения дро-
би, если её числитель и знаменатель содержат корни? По сути —
ничего, главное — вновь точное исполнение алгоритма разложе-
ния на множители (3 шага, изложенные выше!). Но, конечно,
сложности добавляются, поскольку объекты теперь иррацио-
нальные и с ними справляться сложнее, поэтому будем записы-
вать решение предельно внимательно, последовательно и под-
робно.
Решение а) Распишем подробно, что значит
(Ух)3 = Ух • Ух • Ух и х = (Ух)2 = Ух • 4х.
Тогда многое проясняется и можно Ух вынести за скобки
в числителе и знаменателе, т. е. можно исполнить 1 шаг алго-
ритма:
- Ух _ 4д/х -Ух -Ух -Ух _
2х - Ух	2-Ух • Ух - Ух
У7(У7У7-1) _У^(У\)2 -1)
Понятно, что можно сократить на Ух, получим:
Ух^(Ух)2 -1)	-i
Ух(Ух -1) Ух-1
но это не окончательное решение, так как выражение (Ух )2-1 пред-
ставляет собой разность квадратов (исполняем 2 шаг алгоритма),
50
(2-Ух)2 -1 (14х - 1)(2-Ух +1)
поэтому продолжим решение: -—— =  ------------------- и
после сокращения окончательно получим:
(277 0(277.1)
(2-Ух-1)
Ответ: 14х +1.
Решение б) Разложим на множители числитель и знамена-
, 4х-Ух-4х+-Ух	.	„
тель дроби--------=----, выполнив 1 шаг алгоритма. Для
2х --Ух
этого заметим, что х = (Ух) = 4х  4х и тогда получим:
4х-Ух-4х+-Ух _	+у[х _
2х-4х	2(Vx)2-Vx
-Ух^4(Ух)2 -4Ух +1)
4(Ух)2 -4л/х +1
После сокращения на -Ух, получим дробь: v 7—с---.
(2-Ух -1)
Но это не окончательный ответ, так как выражение в числителе —
квадрат разности 4(Ух) -4-Ух+1 = (2-Ух-1) , поэтому про-
должаем решение до конца, при этом выполняем 2 шаг алгорит-
ма:
4(Ух)2-4-Ух+1 (2-Ух-1)2	(2-Ух -1)(2-Ух -0
(2-Ух -1)	2л/х-1	(2-Ух-1)	2 Х L
Ответ: 2-Ух -1.
Комментарий. Эти примеры показывают, как сложно «уви-
деть» в работе с корнями формулы сокращённого умножения.
Здесь можно дать только такой совет: если в выражении есть
корень, то обозначьте его какой-нибудь буквой без корня и оцени-
51
те полученное выражение: если заменённое выражение пред-
ставляет собой формулу, то и исходное выражение с корнями
также является формулой. Посмотрим на примере в нашем
случае:
В задании а) имеем выражение Jx'j -1- Обозначим 4х бук-
вой а, т.е. пусть 4х = а, тогда выражение (Vx)2 -1 = а2 -1. Так
как а2 -1 = (а - 1)(а +1) — формула разности квадратов, следова-
тельно, (Vx) -1 — та же самая формула и
(л/х)2 -1 = (Jx -0(Vx +0.
В задании б) имеем выражение 4^Vx)2 -4л/х +1. Обозна-
чим 4х буквой у, т.е. пусть 4х = у, тогда выражение
4(л/х)2 -4Vx + 1 = 4у2 -4у + 1.
Так как 4у2 - 4у +1 = (2у -I)2 — формула квадрата разности,
то и 4^/х^2 - 4Vx +1 — та же формула
4(л/х)2 - 4Vx +1 = (2-Ух -1)2.
Применение такого способа, когда мы заменяем одно более
сложное выражение (в нашем случае 4х) на более простое
(л/х = а) в математике называют «способом замены перемен-
ной».
В следующем задании мы его также будем использовать.
Задание 5. Решите биквадратное уравнение:
а)х4 -10х2 + 9 = 0;
б)х4-8х2-9 = 0;	*
в)	х4 +10х2 + 9 = 0;
г)	х4 +4х2 = 0;
д)	х4 -4х2 = 0.
Решение: для решения каждого из уравнений применим спо-
соб «введения новой переменной» или просто «замены перемен-
ной».
а) Обозначим выражение х2 через другую переменную, на-
пример, t. Теперь выразим выражение х4 через Г.
52
X4 =(х2у2 = t2.
Тогда исходное уравнение примет вид: t2 -10Z + 9 = 0, кото-
рое решим и найдём значение t.
t2 -10Z + 9 = 0;
D = 102 -4-9 = 100 - 36 = 64 = 82;
t, 2 = 10 ±8; t = 1 ИЛИ t = 9.
1,2	2
Теперь, зная, чему равно значение t, можно найти х.
1) Если t = 1, то х2 = 1 и х = ±1.
2) Если t = 9, то х2 = 9 и х = ±3.
Итак, уравнение решено, имеет четыре корня: х = 1; х = -1;
х - 3, х = -3.
Ответ: -3; -1; 1; 3.
б) Действуем аналогично: t = х 2, Z2 = х4. Тогда, решая урав-
нение Z2 - 8Z - 9 = 0, получим: Z = -1 или Z = 9.
Зная, чему равно значение Z, найдём х.
1) Если z = 9, то х2 = 9 и х = ±3.
2) Если z = -1, то х2 = -1 — это уравнение корней не имеет,
так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.
Ответ: -3; 3.
в) Пусть Z = х2, тогда корни уравнения Z2 + 10Z + 9 = 0: Z = -1
или Z = -9.
Но в таком случае, ни одно из уравнений: х2 = -1; х2 = -9
корней иметь не может.
Ответ: корней нет.
Комментарий. Эти три уравнения показывают, что би-
квадратное уравнение может иметь 4 корня, 2 корня, не иметь
корней. Неполные биквадратные уравнения могут иметь один
или три корня (уравнения г) и д)). Нужно быть очень вниматель-
ным при анализе корней биквадратного уравнения. Лучшее и ра-
циональное оформление решения биквадратного уравнения, если
при введении вспомогательной переменной накладывают усло-
вие: t = х2, где Z > 0. Тогда в случае отрицательного значе-
ния переменной t к исходной переменной не возвращаются, т.е.
пишут так:
б) х4 -8х2 -9 = 0. ПустьZ = х2, гдеZ > 0, тогда: Z2 = х4. Ре-
шая уравнение Z2 -8z - 9 = 0, получим: z = -1 или z = 9.
53
t = -1 не удовлетворяет условию: t > 0.
Имеем t - 9, тогда х2 = 9 и х = ±3.
Ответ: -3; 3.
Задание 6. Найди ОДЗ выражения
ч 7 — л/х +3
а)--------;
2х-8
б)	5 - л/9-2х + 4х л/х +3;
ч 7х + л/х +3
в)	—
л/9^2х
Решение:
.1- л/х +3
а)--------•
2х-8
Так как выражение 4а имеет смысл при а > 0, то выражение
4х +3 имеет смысл при условии: х +3 > 0.
Так как дробь имеет смысл, когда её знаменатель не равен
7-Тх+З
нулю, то выражение----------имеет смысл при выполнении
2х — 8
двух условий: 
2x-8*0l
Решая данную систему неравенств, получим:
х *4.
Изобразим решение системы графически:
I
-3
Запишем ответ:
Ответ: ОДЗ: х е [~3;4) о (4;+оо).
Комментарий. Запись 2х - 8 * 0 также называется неравен-
ством, и запись х ф 4 означает, что любое число из множества
(—оо; 4) о (4; +оо) является его решением, которое можно изобра-
зить графически:
54
б) 5 - -79-2х + 4хл/х +3.
Рассуждая аналогично, запишем, что выражения -79-2х и
л/х +3 имеют смысл при условиях: 9-2х>0их+3>0.
г х < 4,5;
х > -3.
9-2х>0;
Получим: <
х +3 > 0.	3
Изобразим решение системы графически:
Решим систему неравенств:
-з
Запишем ответ:
Ответ: ОДЗ: х е [-3; 4,5)
, 1X + л/х +3
в)—. -----.
V9^2x
Выражения -79-2х и 4х +3 имеют смысл при условиях:
9-2х>0их+3>0. Но выражение -79-2х стоит в знаменателе,
поэтому наложим ещё одно условие: -79-2х * 0, а значит, и вы-
ражение 9 - 2х Ф 0.
Тогда получим систему неравенств: «
4,5
9-2х>0;
х +3 > 0.
Решение системы: 
х < 4Д
изобразим графически.
Запишем ответ:
Ответ: ОДЗ: х е [-3; 4,5).
Комментарий. Обратите внимание на задания б) и в). Реше-
ния и ответы практически совпадают, и они зависят только от
того, где стоят выражения, содержащие корни. В случае в) кро-
ме условия: подкоренное выражение не может быть отрица-
тельным, добавляем ещё одно: на нуль делить нельзя! В этом и
главное отличие решений: в примере б) точки -3 и 4,5 принадле-
жат ОДЗ, а в примере в) только точка -3 входит в ОДЗ, а точка
4,5 нет.
55
Задание 7. Вырази переменную из равенства (формулы)
F = а) -?б)7?-?
R
Решение, а) Умножим обе части равенства на R2, чтобы изба-
виться от знаменателя, получим F R2 =к  R2 или после со-
кращения: FR2 = kq{q2. Теперь для удобства переставим левую
и правую части равенства, чтобы величина, которую мы выража-
ем, оказалась слева: kq} q2 = FR2 . Далее обе части равенства раз-
делим на kq0, чтобы слева осталось только q,:	*- =-.
kq2 kq2
п	FR2
После сокращения окончательно получим:	.
^2
„	FR2
Ответ: q. =----.
^2
б) Умножим обе части равенства на R2, чтобы избавиться от
знаменателя, получим F R2 =к	• R2. После сокращения дро-
R
би получим: FR2 =kq1q2.
Теперь обе части равенства разделим на F, чтобы слева оста-
_2 FR2 kqxq2 „
лось только R : -----= - 1 —. После сокращения получим:
F F
F
И, наконец, извлекая квадратный корень из левой и правой
частей равенства, получим результат: R -
^192
V F
Ответ: R =
F
Комментарий. Каждая формула имеет несколько величин
(переменных). При выполнении задания «вырази переменную из
формулы» мы стремимся «обособить» эту переменную, т.е. вы-
полнить такие действия с равенством (формулой), чтобы наша
переменная оказалась одна в левой части равенства. В зависимо-
сти от выражаемой величины эти действия с равенством будут
56
различными (сравни задания а) и б)). Но всегда нужно помнить
что все эти действия опираются на строгие законы, так на-
зываемые свойства числовых равенств.
Итак, при выражении переменных из формул мы использо-
вали следующие свойства равенств:
а)	обе части равенства можно умножать или делить на
одно и то же число, не равное нулю;
б)	из одной части равенства в другую можно переносить
слагаемое, меняя его знак на противоположный;
в)	обе части равенства можно возводить в одинаковую
степень или из обеих частей равенства извлекать квадратный
корень.
, о тт	Л	0Д7-5,25
Задание 8. Наити значение дробного выражения 3 4' q 2'
Решение: Умножим числитель и знаменатель на такое число,
чтобы «исчезли» запятые.
ОД7 5,25 _ 0,17-5,25-10000
25-3,4-0,2 ~ 2,5-3,4-0,2-10000 “
ОД7-100 -5,25 -100 _ 17-525
“ 2,5-10-3,4-10-0,2-100 " 25-34-20’
Теперь приступим к сокращению дроби:
17-525 _	525	_ 525 _05о5
25-34-20 - 25-2-20 ~ 1000 “
25-2-20 40
Ответ: 0,525.
Комментарий. При вычислении дробных выражений исполь-
зуем основное свойство дроби: «если числитель и знаменатель
дроби умножить или разделить на одно и то же число, нерав-
ное нулю, то получится дробь, равная исходной». В нашем при-
мере умножаем числитель и знаменатель на 10000, при этом мы
делаем числитель и знаменатель одновременно в 10000раз боль-
ше, в результате чего десятичные запятые «исчезли», а значе-
ние дроби осталось прежним. Таким же приёмом «избавления от
запятых» будем пользоваться и в следующем примере.
57
Задание 9. Выполни действия с числами, заданными в стан-
4-Ю-16 -1,62-Ю8 Л
дартном виде —	7	Ответ запиши в стандартном
виде.
Решение: В числителе и знаменателе дроби находятся про-
изведения множителей, и от их перестановки произведение не
изменится, поэтому, меняя порядок множителей, получим:
4-Ю-16 1,62 -Ю8 _ 4-1,62-Ю-16 -108
3,2 • 10-7 • 8Д • Ю-5 " 3,2 • 8Д • 10"7 • Ю-5
Теперь перемножим степе-
ни числа 10 (используем свойство «умножения степеней с одина-
ковым основанием»), а затем умножим на 100 числитель и знаме-
натель (основное свойство дроби) для того, чтобы «исчезли»
запятые, и десятичные дроби стали целыми числами.
4-1,62-Ю-16 -Ю8 = 4-1,62 Ю-16+8 = 4-1,62-Ю-8
3,2 • 8Д • Ю-7 • Ю-5	3,2 • 8Д • Ю-7-5	3,2 • 8Д • Ю-12
4-100-1,62-Ю-8 _ 4-162-Ю-8
10-3.2-Ю-8Д-Ю-12 32-81-Ю-12
Приступим к сокращению дроби, получим:
4-162-Ю-8 _ 1-2-Ю-8 _ 1-Ю-8
32-81-Ю-12 8-1-Ю-12 4-10"“’
А теперь начинается самая ответственная часть решения. За-
пишем дробь в виде произведения двух дробей, вторая из них —
это деление степеней числа 10, и продолжим вычисления, акку-
ратно пользуясь свойством «деления степеней с одинаковым
основанием».
—-4 = - •	= 0,25 • Ю8<-12) = 0,25 • Ю-8+12 = 0,25 • Ю4.
4-Ю-12 4 Ю-12
Вычисления мы все произвели, но ответ писать рано, так как
наш результат не представлен числом в стандартном виде. По-
смотри в таблицу с теорией (в конце «Книжечки»), что такое — по
определению — стандартный вид числа? И в соответствии с этим
определением приведём число к нужному виду.
0,25 • Ю4 = 0,25 • 10 • Ю3 = 2,5 • Ю3.
Итак, получили результат: 2,5-Ю3.
Ответ: 2,5-Ю3.
58
Классификация и характеристика заданий
уровней А, В, С
Задание уровня А — стандартная (базовая) задача, обычно
одно, реже двухшаговая. Формулировка задания проста и понят-
на, указывает на выполнение конкретного действия, например,
«раскройте скобки в выражении», «вычислите», «решите уравне-
ние», «решите неравенство», «постройте график функции». Зада-
ние, как правило, не предполагает вариативности решения.
Для успешного выполнения задания уровня А ученик дол-
жен:
1)	знать необходимый тезаурус,
2)	знать алгоритм решения базовой задачи,
3)	иметь навык решения базовой задачи (уровня А).
Примеры заданий уровня А:
1)	Приведите многочлен
Зх(а - 2) + 2я(7 + 2х) - 6(а - х)
к стандартному виду (7 класс).
2)	Решите уравнение 2х2 -7х + 5 = 0 (8 класс).
3)	Постройте график функции у = х2 -4х-1(9 класс).
Задание уровня В — более сложная задача, решение кото-
рой имеет несколько шагов, каждый из которых представляет
собой базовую задачу (уровня А) или в выполнении опирается на
неё. Задание имеет не всегда конкретную формулировку, и уче-
ник должен создать математическую модель (записать решение
задачи на языке уравнений, неравенств, функций) и понять: ка-
кие конкретные математические действия нужно выполнить для
её решения. Задание уровня В может иметь конкретную форму-
лировку, но её решение будет состоять из выполнения многих
шагов. Задание уровня В часто имеет несколько путей решения,
каждый из которых опирается на выбранный алгоритм.
59
Примеры заданий уровня В:
1
а + -
1)	Сравните значения выражения--у при а, равном 2 и а,
а —
а
равном 4. (6 класс).
2) Докажите, что для всех а выполняется
4а4 +10 > 12а2 (8 класс).
3) Найдите область допустимых значений
д/2х +7 /п ч
—— ------ (9 класс).
х2 -4х+3
Для успешного решения задания уровня В,
честв, необходимых при решении задания уровня А, ученик
должен:
1)	распознать идею решения,
2)	составить алгоритм, сводящий исходное задание к базовой
неравенство:
выражения:
помимо ка-
задаче,
3)	иметь навык оперативного выполнения алгоритма.
Задание уровня С — нестандартная по постановке, формули-
ровке и (или) подходам к её решению задача. Чаще всего задание
содержит математическую «изюминку», в которой-то и содержит-
ся ключ к решению, но её порой непросто распознать. Бывает, за-
дача уровня С имеет очень сложный, многошаговый алгоритм, на
каждом шаге исполнения которого требуется анализировать про-
межуточные результаты и, в зависимости от них, корректировать
дальнейший путь реализации алгоритма. Решение задачи уров-
ня С предполагает разные подходы и их комбинации, например:
аналитический и графический (в алгебре); с использованием раз-
ных методов: векторного, координатного или классического на ос-
нове логической цепочки умозаключений (в геометрии).
Часто используемый для решения метод «переносится» из
одной темы (или предмета) в другую.
Примеры заданий уровня С:________
1)	Решите уравнение: д/х2 -Зх +9 + д/х2 -4хд/3 +16 = 5,
д/у2 -Зд/Зу + 9 + д/х2 -4хд/3 +16 + д/х2 +у2 -ху>/3 = 5. (В посо-
бии И. Ф. Шарыгина, 10-11 класс.) Решить эти сложные алгеб-
60
раические уравнения не представляется возможным без исполь-
зования геометрического подхода.
2)	Ещё пример задания уровня С для любого класса: «Решите
текстовую задачу повышенной сложности».
3)	Попробуем переформулировать задание уровня В для 6-го
класса (см выше) так, чтобы оно стало заданием уровня С: «Най-
дите такие значения переменной а, при которых значение выра-
1 1
й + -	а —
жения----у будет меньше значения выражения---у» (Задание
а—	а + -
а	а
дается сразу же после знакомства с отрицательными числами).
Для успешного решения задания уровня С, помимо ка-
честв, необходимых при решении заданий уровней А и В, уче-
ник должен:
1)	найти идею решения (что является самым основным и
сложным!),
2)	изобрести новый, не использованный учеником до этого
подход к решению,
3)	затем составить алгоритм решения и успешно реализовать
его.
Кроме заданий уровней А, В и С можно выделить и поду-
ровни: задачи АВ и задачи ВС.
Часто предлагают решить задачи не уровня А, а уровня АВ;
не С, а уровня ВС. Они могут отличаться сложностью преобразо-
ваний и вычислений, применением комбинированных знаний,
сложностью алгоритмов. Поэтому задание с вполне конкретной
формулировкой, например, «Решить уравнение» может быть за-
дачей уровня ВС, если для его решения требуется найти идею
(подход к решению), выполнить серьёзные преобразования, гро-
моздкие вычисления.
Например, задачу
«Решить уравнение 2х2 + 4 + 9у2 = 4х - бху» (8-9 кл.)
можно отнести к уровню ВС. Поскольку, во-первых, ученик стал-
кивается с необычным видом уравнения, имеющего два неизвест-
ных; во-вторых, не понятен подход к решению: какие преобразо-
61
вания необходимо выполнить и к какому виду следует привести
уравнение.
Для решения таких задач требуется отличное знание тезау-
руса, развитое логическое мышление и математическое вообра-
жение, способность долговременно удерживать внимание, точно
и оперативно выполнять всевозможные, самые разнообразные
математические действия с выражениями и числами.
Теоретические факты, необходимые
для выполнения заданий
	Формула	Применение. (Для каких математи- ческих упражнений ис- пользуются эти теоре- тические знания)
7 класс		
1. Формулы сокращённого умножения всего 7 фор- мул	Квадрат суммы (разности) двух выражений: (а ± &)2 = а2 ± 2аЬ + Ь2	Для рациональных вы- числений, для «быстрого, со- кращённого» умноже- ния многочленов — раскрытия скобок, для разложения много- члена на множители
	Разность квадратов двух выраже- ний: а2 - Ь2 = (а - Ь\а + Ь)	
	Сумма (разность) кубов двух выра- а3 ± Ь3 = (а± b)(a2 ^ab+tf)	
	Куб суммы (разности) двух выра- жений: (а + Ь)3 = а3 + ?>агЬ + ЗаЬ1 ± Ъ3	
2. Свойства степеней всего 5 фор- мул	Умножение степеней с одинаковы- ми основаниями: ап • ат - ап+т	Для выполнения дей- ствий с выражениями в виде степеней, упрощения выражений со степенями
	Деление степеней с одинаковыми основаниями: ап:ат = ап~т	
	Возведение степени в степень: (а")" = а""	
	Возведение в степень произведе- ния: (а-Ь)т =ат Ьт	
	Возведение в степень дроби: ГаУ* _ сГ_ UJ ~ Ьт	
62
3. Законы (свойства) чисел	Переместительный закон сложения и умножения a-b = ba; a+b = b+ а	Для рациональных вы- числений
	Сочетательный закон сложения и умножения а + (Ъ + с) = (а + Ь) + с, а-(Ьс) = (а-Ь)-с	
	Распределительный закон умноже- ния относительно сложения и вы- читания а-(Ъ + с) = а-Ь + ас, а (Ъ-с) = а Ь-а-с	Для рациональных вы- числений, для раскрытия скобок, для разложения много- члена на множители
4. Свойства равенств	Умножение или деление обеих частей равенства на число, не рав- ное нулю Если а = Ь, тоа • с = b • с а b	Л или — = -, где с * 0 с с	Для решения уравне- ний, для выражения пере- менной из формул
	Перенос слагаемых из одной части равенства в другую с изменением знака слагаемого Если а+ Ь = с, тоа = с-Ь или b = с-а	
5. Основное свойство дроби	Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное а ас	а:с нулю: - =	или —, где с ф 0 Ь Ъс	Ь:с	Для упрощения дроб- ных выражений, для сокращения дро- бей, для сложения и вычи- тания дробей, для сравнения дробей
6. Основное свойство пропорции	Произведение крайних членов про- порции равно произведению сред- них членов. а с	.	. Если- = —, тоа d — b с b d	Для решения пропор- ций — нахождения не- известных её членов
7. Доли, части, проценты	Три базовые (стандартные) задачи: • нахождение части (процента) от числа; •	нахождение числа по его части (по его процентам); •	нахождение отношения (процент- ного отношения) двух чисел	При решении различ- ных текстовых задач: на движение, работу, стоимость и т. д.
8 класс		
8. Стандарт- ный вид числа	Любое число а можно представить в виде а = А • 10” — произведения	Для компактной запи- си очень больших
63
	некоторого числа А, где 1 < А < 10 на и-ую степень числа 10, где п — некоторое целое число. Число А называется мантиссой, п — поряд- ком числа а. Например: 137000000000000000 = 1,37 -1017; 0,000000000012 = 1,2 Ю "	и очень маленьких чисел, запись числа в стандартом виде ис- пользуется в физике, химии, биологии, гео- графии и т. д.
9. Модуль числа и мо- дуль выраже- ния	При выполнении упражнений с модулем его нужно раскрыть по определению модуля: f-x, при х <0; |х = < [х при х >0. Примеры — в «образцах решений»	При вычислении значе- ний числовых выраже- ний, решении уравне- ний, неравенств, по- строении графиков функций, содержащих модуль
10. Квадрат- ные корни	Определение арифметического квадратного корня: для любого а > 0: (Va) = а	Для преобразований выражений, содержа- щих квадратные корни
	Тождество: для любого a е R: л/? = |а|; Корень из степени: То*" = |«"|	
	Свойства арифметических квадрат- ных корней. 1) Для любых а > 0 и b > 0: 4ab = 4a-4b 2) Для любых а > 0 и b > 0: [а 4а 	\b~4b		
11. Квадрат- ные уравне- ния	Определение квадратного уравне- ния: уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где а ф 0.	Для решения квадрат- ных уравнений
	Классификация квадратных урав- нений: 1) ах2 + Ьх + с = 0 — полное квад- ратное уравнение, если все коэф- фициенты: а, Ь, с не равны нулю, например: 5х2 - 4х -1 = 0 2) приведённое квадратное уравне- ние х2 + рх + q = 0, если коэффи- циент а=1.	
64
	3) неполные квадратные уравне- ния, если какие-нибудь коэффици- енты (кроме а) равны нулю, напри- мер: 5х2 - 4х = 0; 5х2 -1 = 0; 5х2 = 0	I ।
	Решение полного квадратного -ь+Л5 уравнения: х12-	, где 2а D = b2 - 4ас, D > 0 — дискрими- нант квадратного уравнения. Если D < 0, уравнение корней не имеет	
	Теорема Виета. Если приведённое квадратное урав- нение х2 + рх + q = 0 имеет корни х2, то справедливы равенства: Гх2 + х2 = -р; |*i х2 = q.	Для рационального на- хождения корней при- ведённого квадратного уравнения, решения нестандартных задач на квадратный трёх- член, в т.ч. с парамет- рами
12. Базовые функции и графики	Знать свойства и графики следую- щих функций: у = х2, у = х3, у = —, у = |х|, X у = 4х, у = ах + b	Функциональная под- готовка необходима для решения различ- ных задач, в том числе повышенной сложно- сти, графическим спо- собом
65
О содержании, структуре и особенностях
«Книжечки»
О содержании.
В 8-м классе алгебраические знания по сравнению с содержа-
нием курса алгебры 7-го класса прирастают по следующим мате-
матическим линиям:
1)	Вычислительная линия, главное здесь развитие понятия
числа. Наряду с множеством рациональных чисел (обыкновен-
ных), десятичных дробей и смешанных чисел с разными знака-
ми, которые были изучены в 6-7-х классах, в 8-м классе изучают
иррациональные числа. Они представлены в виде квадратных
корней, и очень важно прибрести прочный навык в работе с кор-
нями, поскольку весь материал 2-го полугодия строится на преоб-
разованиях и вычислениях выражений с квадратными корнями.
Следуют помнить, что техника работы с корнями основана на
3-х базовых операциях:
•	Вынесение множителя из-под знака корня,
•	Внесение множителя под знак корня,
•	Избавление от иррациональности знаменателя дроби.
Успех в выполнении заданий, содержащих квадратные кор-
ни, зависит от точного и своевременного выполнения этих базо-
вых операций, о них подробно изложено в «Книжечке» в образцах
решения.
2)	Линия преобразований, главное здесь — работа с алгеб-
раическими дробями. Теперь к целым выражениям (многочле-
нам — основным объектам алгебры-7) добавляются так называе-
мые дробные рациональные выражения или алгебраические
дроби. Школьнику нужно освоить операции сложения, вычита-
ния, умножения, возведения в степень, деления и сокращения ал-
гебраических дробей, и этот материал «крутится» не только в те-
чение учебного года в 8-м классе, но и является основным на
протяжении изучения алгебры с 8-го по 11-й класс.
66
Кроме того, линия преобразований в 8-м классе включает
развитие понятия степени, и содержание пополняется понятием
степени с целым показателем. Важным применением степени
с целым показателем является представление числа в стандарт-
ном виде. Это широко используется в смежных предметных об-
ластях: физике, химии, географии и т.д., поэтому важно нау-
читься находить значения дробных выражений, содержащих
числа в стандартном виде. Линия преобразований в 8-м классе
пополняется знаниями и умениями работать с иррациональны-
ми выражениями, наиболее сложными в курсе школьной алгеб-
ре, навык работы с которыми будет совершенствоваться в 9-м
классе.
3)	Функциональная линия, главное здесь - совершенствова-
ние работы с линейной функцией и изучение свойств и графиков
базовых функций. В 8-м классе функциональная линия серьёзно
«набирает обороты» после изучения в курсе алгебры-7 линейной
функции. По окончании 8-го класса нужно ориентироваться в гра-
фиках базовых функций, т. е. знать характер каждой линии из пе-
речисленных ниже функций, уметь читать основные свойства
функций по графику. В 8-м классе начинает свое формирование
и графический метод решения уравнений и систем уравнений.
Поэтому в «Книжечке» много места отводится теме «Функция»:
задачи на построение графиков базовых функций, нахождение
координат точек пересечения графиков, определение принадлеж-
ности точек графику. Функциональные знания важны для пони-
мания сути зависимостей между величинами, оно позволяет ис-
следовать реальные процессы, решать практические задачи,
эффективно помогает в изучении физики, химии, экономики. За-
дания по теме «Функции и графики», предложенные в «Книжеч-
ке», направлены на формирование этого понимания.
4)	Линия равенств и неравенств самая традиционная, она
наиболее полно представлена в любом учебнике алгебры-8 и в
других пособиях, поэтому в «Книжечке» не очень много заданий
на решение уравнений. Задача «Книжечки» — показать развитие
линии уравнений, когда от изменения только одного математи-
ческого символа существенно меняется конструкция уравнения,
и тогда не только корни уравнения, но и алгоритм решения меня-
ются. Это обстоятельство заставит задуматься ученика: почему
67
при внешней схожести уравнений алгоритмы их решения отлича-
ются, и тем самым будет способствовать потребности в система-
тизации уравнений по типам: линейные, квадратные, дробные
рациональные и т. д. Ведь в отличие от решения в курсе алгебры
7-го класса только линейных уравнений, в 8-м классе появляют-
ся совершенно другие типы и виды уравнений, и для их успеш-
ного решения ученик, прежде всего, должен определить тип
уравнения, затем вспомнить алгоритм решения и, наконец, реа-
лизовать его. Кроме заданий по решению уравнений, большое
место в «Книжечке» занимают задания на применение свойств ра-
венств: «выразить переменную из формулы». Эти задания счита-
ются более сложными, так как здесь не существует единого алго-
ритма для выражения переменной. Именно такая работа
проверяет, с одной стороны, умение построить алгоритм с опорой
на теорию (свойства равенств), с другой стороны, точность и ра-
циональность реализации этого алгоритма. Такие умения особен-
но важны на уроках физики. В 8-м классе линия неравенств име-
ет свое начало и представлена заданиями по решению
линейных неравенств и их систем.
5)	Линия решения задач. В 8-м классе развитие логического
мышления ребят, необходимого для решения текстовых задач
и задач практического содержания, — главная задача учителя, по-
скольку здесь рассматриваются задания, решение которых при-
водит к составлению квадратных и дробных рациональных урав-
нений. С такими задачами ученики до 8 класса не встречались, так
как не было изучено решение квадратных уравнений. Учащиеся
продолжают работать с долями и частями, процентами и пропор-
циями, ведь навык работы с ними важен для решения практиче-
ских, жизненно важных задач. Не всем быть великими математи-
ками, а вот умения вычислить банковский процент, размер
скидки, оценить риски, прикинуть величину, пропорциональную
данному числу, и т. д. понадобятся всем. Собственно на формиро-
вание этих умений направлены задачи «Книжечки».
И, наконец, по-прежнему, следует особое внимание обра-
щать на технику вычислений: умение оперативно выполнять
устные вычисления, знать и грамотно использовать правила дей-
ствий со всеми типами чисел: натуральными, целыми, рацио-
нальными, а с 8-го класса ещё и иррациональными. Ни в коем
68
случае не следует на уроках математики использовать калькуля-
тор (в отличие от уроков физики), поскольку отечественная про-
грамма по математике построена на устных рациональных вы-
числениях, и этот навык нужно поддерживать на достойном
уровне. В «Книжечке» широко представлены задания на рацио-
нальные вычисления со всеми типами чисел. От умения хорошо
считать зависит оперативность и точность выполнения всех мате-
матических задач.
Важен счёт рациональный, и в большей степени, устный,
с применением законов чисел, свойств степеней и корней, с ис-
пользованием основного свойства дроби и формул сокращённо-
го умножения. В этом случае сразу убиваем многих «математиче-
ских зайцев»: развиваем критичность мышления, через счёт
повторяем все математические законы, тренируем оперативность
выполнения работы и навыки самоконтроля. Очень важно рабо-
тать с дробями, сравнивая их, ведь при этом работает целый
спектр умственных действий. Речь идёт и о простой операции
приведения дробей к общему знаменателю, и о сравнении или
оценке значений дробей. Полезно работать с дробными выраже-
ниями, тем более что действия с ними выполняют на уроках фи-
зики и химии. Только техника при этом должна быть безупреч-
ной и опираться на основное свойство дроби. А уж про действия
со степенями и говорить не приходится — буквально всё в мате-
матике «родом из степеней»: корни и логарифмы, с которыми
ученик не расстанется вплоть до окончания средней школы.
Итак, подводя итог вышесказанному, перечислим темы, на-
шедшие отражение в пособии:
8 класс
1.	Иррациональные числа.
•	Внесение множителя под знак корня.
•	Вынесение множителя из-под знака корня.
•	Избавление знаменателя от иррациональности.
•	Выполнение всех действий с корнями: сложения и вычита-
ния, умножения и деления, возведения в степень и извле-
чение корня.
2.	Дробные рациональные выражения.
•	ОДЗ.
•	Сокращение дробей.
69
•	Степень с целым показателем.
•	Различные действия: сложение, вычитание, умножение
и деление.
3.	Уравнения разных типов и видов с применением сквозных
методов решения (произведение равно нулю, дробь равна нулю):
•	Линейные.
•	Квадратные — полные, приведённые, неполные.
•	Вида пропорции.
•	Дробные рациональные уравнения.
4.	Линейные неравенства и системы неравенств.
5.	Функции:
• Линейная.
х
• у = х2.
6.	Задачи на части, проценты, движение.
7.	Рациональные вычисления с использованием законов чи-
сел и формул сокращённого умножения.
8.	Прикладные задания (для физики, геометрии и др.).
•	Выражение величин.
•	Единицы измерения.
•	Стандартный вид числа.
•	Задачи на геометрическом материале.
О структуре и особенностях.
В пособии собран необходимый и достаточный набор уп-
ражнений, при выполнении которых учащиеся могут полно-
стью проверить уровень своих знаний и умений, раскрыть свой
потенциал. «Книжечка» позволяет объективно диагностировать
качество обученности математике и выявить слабые места ма-
тематических знаний ученика. В то же время структура уроков,
заданий пособия такова, что с его помощью можно успешно
обучаться и ликвидировать имеющиеся пробелы.
Задания «Книжечки...» не выстроены в строгом соответст-
вии с тематическим планированием изучения алгебры, а пред-
70
ставляет собой систему упражнений для организации сквозного
повторения, закрепления и совершенствования умений в выпол-
нении заданий курса алгебры-8, начиная со 2-го полугодия обуче-
ния в 8-м классе и, при необходимости, в летнее каникулярное
время после окончания 8-го класса. Книжечка будет особенно по-
лезной при организации итогового повторения курса алгебры-8
в апреле-мае, а также для диагностики качества остаточных зна-
ний в сентябре 9-го класса. Это особенно важно для своевремен-
ной ликвидации пробелов в знаниях школьников.
Уровень сложности заданий довольно высок, в каждом зада-
нии по 5 пунктов, они органично связаны между собой, как бы
плавно перетекая из одного в другой. Особенность каждого зада-
ния такова, что каждый новый пункт в составе задания — не
есть похожий по логике и отличающийся только буквами и циф-
рами. Скорее, наоборот. Часто, за внешне схожими буквами,
цифрами и выражениями кроется совсем другая конструкция, но-
вый тип выражения, отличный от предыдущего, в результате
чего решение, зачастую, становится совсем другим. Таким обра-
зом, ученику нужно быть предельно внимательным, следить
за нюансами, определять тип выражения, анализировать и вы-
бирать для решения верные теоретические посылки. Благодаря
этому полнее осознаётся математическое знание, прочнее усваива-
ется материал, и ученик, выполняя задания, развивается. А учи-
тель, в свою очередь, опираясь на результаты выполненного зада-
ния из нескольких разноуровневых пунктов, объективнее оценит
качество усвоения конкретной темы, точнее диагностирует пробе-
лы в знаниях ученика. По этой же причине пособие удобно исполь-
зовать в классе для организации индивидуальной и уровневой
работы, каждое задание которого представляет собой тематиче-
скую карточку с набором заданий по конкретной теме.
Все десять уроков имеют части I и П, что также является
очень удобным: ведь если ученик не сумел справиться с задания-
ми части I, у него есть шанс после работы над ошибками дока-
зать, выполняя часть II «Книжечки...», что он проработал неусво-
енный материал. При такой организации работы сам ученик
прекрасно разберётся, какая из тем хорошо усвоена им, а какую
следует ещё доработать. Впрочем, об этом подробно написано
в правилах работы с «Книжечкой».
71
В начале «Книжечки...» содержится таблица с необходимым
перечнем теоретических фактов, которую должен заполнить
ученик, а затем проверить, насколько точны его знания, сверив
свои записи с содержанием таблицы, расположенной в конце по-
собия. Использование этой таблицы способствует формированию
научного подхода к познанию в целом: ученик должен знать, что
прежде чем приступать к выполнению практических упражне-
ний, нужно изучить теорию и всегда быть уверенным в том, что
ни один из теоретических фактов не забыт!
«Книжечка...» снабжена образцами решения заданий, вызы-
вающих часто затруднения у ребят. Ученик, «потерявшийся в ре-
шении», может тот же час отправиться за помощью к образцу —
примеру с подробным описанием решения и полезным коммен-
тарием. Образцы помогут всем ученикам, которые не знают,
с чего начать решение того или иного задания. В этом случае —
лучший совет — начинать обучение, знакомясь с образцами ре-
шения профессионала, т. е. учителя. Очень важно в 8-м классе —
сформировать потребность учащихся самим обращаться к тео-
рии, к алгоритмам и образцам выполнения, и такой вид деятель-
ности будет способствовать формированию навыка работы
с учебной и научной литературой.
Существует ещё один, очень продуктивный приём усвоения
материала — сначала самостоятельно решить задания из образ-
цов, а затем сверить своё решение с ним, проанализировав ошиб-
ки, «тонкие места и ловушки». Такую работу можно периодически
повторять несколько раз до тех пор, пока не будут достигнуты же-
лаемое качество и намеченное время на его выполнение.
Все эти виды деятельности способствуют формированию де-
ятельностного подхода в обучении, а пособие «Книжечка...» в це-
лом поможет в развитии математических способностей, воспи-
тании самостоятельности и ответственности при получении
знаний, что, безусловно, повлияет на уверенность ученика и соз-
дание внутреннего комфорта при занятии математикой.
72
Ответы
Урок 1. Часть I.
2
Задание 1. 1) 98; 2) 896; 3) 400; 4) 9; 5) 11.
Задание 2. 6) 0; 7) х = 4; 8) х = 0, х = 4; 9) х = 0, х = -1;
10) х = 0, х = 1.
Задание 3. 11) 0; 8; 12) 8; 13) 0; 8; 14) 0; 2; 15) 2; -1.
Задание 4. 16) R = А; 17) I =	18) U = JPR-,
U2	FR2
19) R - —; 20) q2 =---. Подробное решение
Р	k<h
смотри в «образцах».
Урок 1. Часть П.
2
Задание 1. 1) 196; 2) 1460; 3) 400; 4) 5; 5) 1|.
Задание 2. 6) 0; 7) х = -2,5; 8) х = 0, х = -2,5; 9) 0;
10) х = 3, х = -3.
Задание 3. И) -2; 2; 12) 2; 13) 1; 2; 14) 0; 4; 15) 3.
v2 а	Гак
Задание 4.	16) h = —; 17) t =	18) U = , —;
2g	I2R___ N t
19)r = ^;20)/? = J^-.
U2	\ F
Урок 2. Часть I.
Задание 1. 1) 177; 2) 42; 3) 0; 4) -3-; 5) 18,75.
6
Задание 2. 6) -; 7) —; 8) s 9) ----t2x.+ 4;
3	3	3	3(x+2)
10)—.
x-2
Задание 3. 11) 4; 12) 0; 4; 13) -2; 2; 14) 1; 3; 15) 1.
73
Задание 4. 16) 100°; 80°; 17) 100°; 80°; 18) 40°; 60°; 80°;
19) 210°; 90°; 60°; 20) 42°.
Урок 2. Часть П.
Задание 1.
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
1) 42; 2) 498; 3) д/7; 4) 0; 5) 3.
„ . _ 4х+2 о. „	.	х2-Зх+9
6) 4х; 1)-----; 8) 2х -1; 9)-------;
3	х -3
х —3
10)
2
11) -4; 12) 0; 25; 13) -5; 5; 14) 2; 3; 15) 2.
16) 37°; 53°; 17) 50°; 40°; 18) 100°; 30°; 50°;
19) 126°; 162°; 72°; 20) 48°.
Урок 3. Часть I.
Задание 1.	1) 2л/5; 2) —; 3) ^ + 2
5	3
Подробное решение смотри в «образцах».
Задание 2. 6) х е [0; +а>); 7) х е [-1; +оо);
8) х е(-оо; 0) u(0;+co);
9) (0; +оо) ; 10) (-1; +ooY
Задание 3. 11)	12) 4 - 2а; 13) +/-; 14) "; 15) ".
а
Задание 4. 16) 6 • 1021;
19) 9,1 10’31
смотри в «таблице для заполнения».
Урок 3. Часть П.
Задание 1. 1) 2^/3; 2)	3)	4) 7 - 734;
3	2
_ .12 , а, , а
' ' V а Т"*''?
17) 1,2-1О"10; 18) 10"5 6 *;
; 20) 1,496 • 108 *. Подробное решение
5)^2~^’
Подробное решение смотри в «образцах».
Задание 2. 6) х g [0; +°о); 7) х g [2; +оо);
8) х g(-oo; 0) о(0;+оо); 9) (0;+оо); 10) (2;+оо).
Задание 3. 11) —; 12) 8 - 1а; 13) ±л/7с^8; 14) 1-^-;
1с	8
15)
8
74
Задание 4. 16)7-105; 17) ЦЮ-4; 18) 1015; 19) 1,6-10’19;
20) 3,84 105.
Урок 4. Часть I.
Задание 1.
Задание 2.
1) 277 > Зу/З; 2) 77П < 1175;
3)2Т7>^;4)-Ь>-Ь
з гТи зТб
5) 3 < 5
276 2715
Подробное решение смотри в «образцах».
-оо; -1—i
11J
6) (—co; 0,25 J 7) [-0,25;+оо); 8)
9) -оо;
Задание 3.
Задание 4.
И) 3125; 12) -9; 13) 17; 14) -1; 15) 5.
16) больше; 17) больше; 18) меньше;
19) меньше; 20) меньше.
Урок 4. Часть П.
Задание 1. 1) 5V2 > 4^3; 2) 9713 < 13Т7; 3) 0,2Тб(
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
4) 1 < * • 5).- - < ——
675 577’ 3710 5714
Подробное решение смотри в «образцах».
® h IV
'84.
6 ’
6
10)	(-оо; -2]
11)	-36; 12) 1; 13) 1; 14) —; 15) —.
9	27	125
16)	меньше; 17) равны; 18) меньше;
19) больше; 20) больше.
Урок 5. Часть I.
Задание 1. 1) -20761,8; 2) 200; 3) 16,376; 4) 2500;
5) 288 000.
Задание 2. 6)3-272; 7)11-477; 8)372-713;
9)5-276; 10)376-572.
75
2	12
Задание 3. 11) -1; 6; 12) 1;	13) ±-;	14) 0; 1; 2;
3	6 3
15) -2,4; 0.
Задание 4. Координаты точек пересечения: (1; 2) и (-2; 8).
16)у = 4-2х; 17)у = 2х2; 18) у = 2х2;
19) у = 4- 2х; 20) у = 4- 2х и у = 2х2.
Урок 5. Часть II.
Задание 1. 1) -1247,191; 2) 38 774; 3) 37,9; 4) 8,6;
5) 1398,4.
Задание 2. 6) 2л/5 - 2; 7) 0; 8) л/7 - 73; 9) 7 + 4л/3;
10) 272 - 276 + 2.
1	1	2
Задание 3. 11) -4; 3; 12) ±1; 1-; 13)	0; 1; 14) -;
2	3	3
15) -1;
7
Задание 4. Координаты точек пересечения: (3;2) и (-1;-6).
16) 2х— у = 4; 17) ху = 6; 18) 2х-у = 4;
19) ху = 6; 20) 2х-у = 4иху = 6.
Урок 6. Часть I.
Задание 1. 1) 96; 2) 18; 3) 1-; 4) 13,5; 5) 60.
3
Задание 2. 6) (4с -5^(4с +5^; 7) (2у[у - х^2д/у + х);
8) (с 4с -Зт)(с4с + 3т);
9)(-2>/х-1)(4>/х +3);
ю)(1-7х)(з7х+1).
о о 1 п 48	48	_
Задание 3. 11)----------= 2;
х-2 х+2
12)^8+48=7;
х + 2 х -2
i3)2£ + i20+2+2L = 15;
х+З х х —3
...27	75	.
14) — +---= 4;
х х -2
15)^=™-.
х-2 х+2
76
Задание 4. 16) b = -; 17) Ъ = -6; 18) b = -—•
3	20
19) b = 2; 20) b = 20.
Урок 6. Часть II.
Задание 1.
Задание 2.
1) 81; 2) 105; 3) -12; 4) 3,6; 5) 20,25.
8)27х(з7х-1)2;
Задание 4.
Задание 3.
11)—+ X	— + 05=5; 12) — -	
	х +1	X
1О. 48	14	, , „ч 48	1
13) — +		= 1; 14) —	+- +
X 40	х +10	х 20	60	21	5
15) — = X		1_		_ х х + 20 60	
16) Ъ = -4; 17) b = -3; 18) b = -19,5;
19) b = 1; 20) b = 15,4.
20 _ 1.
х+10~10’
-^-=1Д
х+10
Урок 7. Часть I.
Задание 1.
Задание 2.
Задание 3.
1) 2,4• 10"*; 2) 1,2• 103; 3) 3 • 101; 4) 102;
5) 1,2-10°.
6) 4/Е-1; 7) 2Vx +1; 8) 27с -1;
2Тх -1
9)С-з7е+9; 10)л/7-3
7с —з
11) 2-;
L з
(	3
12)0; 13)1-оо; 1|
14) (-оо;
Задание 4.
1
71 j
16) (-4; -2); 17) (0; 2); 18) (2; 1); 19) (1; 3);
20) (2; 1).
Урок 7. Часть П.
Задание 1. 1) 8Ю5; 2) 3 -103; 3) 6-105; 4) 8• 10~2;
5)5-10’1.
77
Задание 2. 6) Jx; 7) 4х + 2; 8) Та - 2; 9) £±|^£±i
у/ и + 2
10)-^—.
Vx-2
Задание 3. 11) [-1,5; 18); 12) (-оо; 0,6) 13) [-1,5; 30);
14) [-3; + оо); 15) -1; +оо]
56	)
Задание 4. 16) (1; -1); 17) (2; 0); 18) (0; 1); 19) (3; 1);
20) (3; -0,5).
Урок 8. Часть I.
о 1	о 2а-1	1	.. а(а-1)	а-1
Задание 1. 1) а + 2; 2)--; 3)-----; 4) —--у-; 5)---.
а + 1	а + 1	(й + 1) а
Задание 2. 6) -4; 7) 6; 8) 34; 9 ) 7; 10) 3.
Задание 3. 11) 15 м, 45 м; 12) 22,5 м; 13) 50,4 м; 14) 22 м;
15) 1-м.
9
Задание 4. 16) -1; 17) 0; 1,5; 18) -1,5; 0; 1,5;
19)—1,5; 15; 20)-1,5; 0; 1Д
Урок 8. Часть II.
□	1	14	5 04	3	2С+3 Х4С(С+3) <4 С +3
Задание 1. 1) с -3; 2)---; 3)---; 4)	..<; 5)----.
с-3	с-3	(с-3) с
Задание 2. 6) 16; 7) 2; 8) -2; 9) 11; 10) -5.
Задание 3. 11) 24 уч.; 12) 20 уч.; 13) 4 уч.; 14) 96 уч.;
15)	в 5 раз.
Задание 4. 16)-3; 17) 0; -1-; 18)-3; 1,75;
3
19)	0; 2,25; 20) -5; 0; 5.
Урок 9. Часть I.
Задание 1. 1) Зл/З; 2) 6V2; 3) 1 - 2л/б; 4) 4; 5) 0.
Задание 2. 6) 2,4; 7) 2,4; 8) -4,2; 9) 1; 10) 1; 2.
Задание 3. 11) (2; 2); 12) (3; 1); 13) (3; 0); (7;2);
14)^0 15) (2; 7); (-2;-1).
Задание 4. Точка пересечения: (4; 2).
78
16)	у =	17) у = 4х; 18) у = - и у = Jx;
X	X
я	я
19)	у = -; 20) у = -.
х	х
Урок 9. Часть II.
Задание 1.	1) 0; 2) -75 - V2; 3) 2л/15; 4) 18 - 8^2; 5) V2-|л/3.
Задание 2.	1	2 6) 2,4; 7) 9-; 8) 16-; 9) 1; 10) 1; -5,5. 3	3
Задание 3.	11) (-2; -2); 12) (-6; -5); 13) (2; 1); (-2; -2); 14)М; 2\ 15)(3; 2); (-5;-2).
Задание 4. Точки пересечения: (-3; 3), (1; 1).
16)	ни одному из графиков;
17)	у = х и у = -03% +1,5;
18)	у = х;
19)	у = -О^х + 1,5;
20)	у = -ОДх +1,5.
Урок 10. Часть I.
Задание 1. 1) 4; 2) 2; 3) 1; 4) 6; 5) 1.
Задание 2. 6) (у~у -3)2; 7)(са + л/з)2; S)(4a - 6-Jc^2;
Задание 3. И) -2; 1; 12) 5; 13) 0; 5; 14) -1,5; 0; 1;
15)-3; 1; 3.
Задание 4. Точки пересечения: (2; 2).
16)	у =-; 17) у = х2 -2; 18) у = х2 -2;
X
4	о	4
19)	у = - и у = х2 -2; 20) у =
X	X
Урок 10. Часть II.
Задание 1. 1)7; 2) 3; 3) 1; 4) 3; 5) 2.
Задание 2. 6) (а2 4х - 5т)(а2 4х + 5/и);
7)(Vj-3)(Vy+3>
8)	(a3 -87F)(a3 + 8VF);
79
ИЛЕКСА
Н.Н. Хлевнюк
Книжечка для развития
математических способностей.
Алгебра-8
«Книжечка для развития математических способностей.
Алгебра-8» — вторая из трёх «Книжечек» по алгебре 7-9, содер-
жит основные темы алгебры-8, включая вопросы повторения
алгебры-7, полностью соответствует программе и госуда-
рственному стандарту обучения математике. «Книжечка»
является дополнительным пособием для обучения алгебре
в 8-м классе или, по его окончании, для организации летних
занятий с целью ликвидации пробелов и закрепления знаний по
курсу алгебры 7-8.
«Книжечка» адресована, прежде всего, ученикам и их родите-
лям. Благодаря советам, критериям и образцам решения,
ученик сможет самостоятельно оценить свои знания и умения,
а родители — помочь ребёнку в освоении математики. Учитель
найдёт в «Книжечке» удобную комплектацию тематических
упражнений. Дополнительная информация: «упакованные»
теоретические факты, классификация и характеристики уровне-
вых заданий, описание «математических ловушек», прочие
методические советы, позволит осознать требования к резуль-
татам обучения, и тем самым, повысить шансы на отличное
усвоение предмета.
Пособие создано на основе многолетнего опыта преподава-
ния математики в общеобразовательной средней школе.
Автор «Книжечки» — учитель высшей квалификационной
категории, отличник народного просвещения, победитель
и призёр творческих конкурсов учителей математики.
ISBN 978-5-89237-420-0
9 785892 3742
9)	(a-l+Va^a+l-Va);
10)	(ух -2у- ij(4x + 2у + 0.
2
Задание 3. И) -3; 1; 12) 1; 13) 0; 3; 14) --; 0; 1;
3
15)-2; 1; 2.
Задание 4. Точки пересечения: (4; 2).
16)	ни одному;
17)	у = V7;
18)	у = 4-0,5%;
19)	у = 4х и 4 - 0,5%;
20)	у = 4-0,5%.
Учебное издание
Хлевнюк Наталья Николаевна
КНИЖЕЧКА
для развития математических
способностей
Алгебра—8
Подписано в печать 16.07.2015. Формат 60x88/16.
Усл. печ. л. 4,89. Тираж 2000 экз. Заказ 1011.
ООО «Илекса», 107023, г. Москва, ул. Буженинова, д. 30, стр. 4,
сайт: www.ilexa.ru, E-mail: real@ilexa.ru,
телефон: 8(495) 964-35-67
Отпечатано в ООО «Типография «Миттель Пресс»,
г. Москва, ул. Руставели, д. 14, стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619-08-30, 647-01-89.
E-mail: mittelpress@mail.ru