/
Автор: Сурвилло Г.С.
Теги: воспитание обучение образование алгебра методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика школьная алгебра 8 класс
ISBN: 978-5-09-015971-5
Год: 2007
Текст
____Pi_____
ЦРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Г. С. СУРВИЛЛО
Алгебра
Дидактические
материалы
для 8 класса
с углубленным изучением
математики
Москва «Просвещение» 2007
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
С90
Сурвилло Г. С.
С90 Алгебра: дидакт. материалы для 8 класса с углубл. изу-
чением математики / Г. С. Сурвилло. — М. : Просвещение,
2007. — 144 с. : ил. — ISBN 978-5-09-015971-5.
Пособие содержит самостоятельные, контрольные, тестовые ра-
боты, планирование учебного материала. Оно ориентировано глав-
ным образом на учебно-методический комплект, созданный
на основе учебников «Алгебра, 8», «Алгебра, 9» под редакцией
Н. Я. Виленкина.
УДК 372.8:512
ББК 74.262.21
Учебное издание
Сурвилло Геннадий Станиславович
АЛГЕБРА
Дидактические материалы для 8 класса
с углубленным изучением математики
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова. Редактор Н. Б. Грызлова.
Младший редактор С. В. Дубова. Художник А. С. Побезинский.
Художественный редактор О. П. Богомолова. Технический редак-
тор Е. В. Хомутова. Корректор Л. Ю. Румянцева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01.
Подписано в печать с оригинал-макета 30.05.07. Формат бОХЭО1/^.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 7,22. Тираж 7000 экз. Заказ № 19333.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение*.
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат*.
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru
ISBN 978-5-09-015971-5 © Издательство «Просвещение*, 2007
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение*, 2007
Все права защищены
Предисловие
Дидактические материалы — составная часть учебно-методиче-
ского комплекта для углубленного изучения алгебры в 8—9 клас-
сах, созданного на основе учебников по алгебре под редакцией
Н. Я. Виленкина; предназначены для организации самостоятель-
ной работы учащихся и контроля за качеством усвоения изучае-
мого материала.
В пособии даны 60 самостоятельных работ, каждая из кото-
рых содержит четыре равноценных варианта. Самостоятельные
работы охватывают все темы действующей программы по алгебре
для 8 класса и расположены в порядке, соответствующем содер-
жанию учебника «Алгебра, 8» (издание 2005 г.). Практически
в каждой самостоятельной работе дается не менее трех-четырех
заданий, что может быть избыточным, если использовать этот ма-
териал только для организации текущего контроля знаний. По-
лагаем, что учитель сам сможет, ориентируясь на конкретные
условия, определить, какую часть самостоятельных работ исполь-
зовать в классе, а какую — в качестве домашних самостоятель-
ных работ.
В пособии принята сквозная нумерация самостоятельных ра-
бот с разделением по основным темам.
Во втором разделе приведены 16 контрольных тестов, охва-
тывающих все основные темы. В каждое задание теста включены
5 ответов, из которых, как правило, только один верный.
В третьей части пособия приведены 9 обобщающих контроль-
ных работ по каждому разделу в соответствии с тематическим
планом, приведенным в начале пособия. Здесь же приведены два
варианта итоговой контрольной работы за 8 класс.
Ко всем самостоятельным и контрольным работам даны отве-
ты, а в некоторых случаях — указания или решения.
Приводится примерное планирование учебного материала для
работающих по учебнику «Алгебра, 8» под редакцией Н. Я. Ви-
ленкина с распределением самостоятельных, контрольных работ
и тестов. Оно приведено в двух вариантах — 5 ч в неделю (170 ч
в год) и 4 ч в неделю (136 ч в год).
Пособие может быть полезно для учителей и учащихся не
только пред профильных классов, но и общеобразовательных
классов, изучающих алгебру по любому из утвержденных учеб-
ников, для организации индивидуального обучения.
Автор будет благодарен за все замечания, присланные по ад-
ресу: 655017, Республика Хакасия, г. Абакан, ул. Чертыгашева,
124, кв. 14. Сурвилло Г. С.
Примерное планирование
учебного материала
I вариант — 4 ч в неделю, всего 136 ч
II вариант — 5 ч в неделю, всего 170 ч
Но- мер Название темы Кол-во часов Номер работы, теста
1 II
1 Дроби 16 16
1 Понятие дроби 1 1 С—1
2 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов 1 1 С—2
3 Основное свойство дроби и его применение 2 2 С—3, Т—1
4 Умножение и деление дробей 3 3 С-4
5 Сложение и вычитание дробей 5 5 С—5
6 Возведение дроби в степень 1 1 С—6, Т—2
7 Функция у = — X 1 1 С—7
8 График обратной пропорцио- нальности 1 1 Т—3
Контрольная работа № 1 1 1
II Многочлены 27 35
1. 2 Операции над многочленами Стандартный вид многочлена. Сложение и вычитание много- членов 2 2 С—8, С—9
3, 4 Умножение многочлена на од- ночлен. Деление многочлена на одночлен 2 2 С—10
5 Вынесение общего множителя за скобки 2 2 С—11, Т—4
4
6 Умножение многочленов 2 2 С—12
7 Разложение многочленов на множители методом группи- ровки 3 5 С—13, С—14, Т—5
8 Формулы сокращенного ум- ножения Умножение суммы двух выра- жений на их разность 2 3 С—15
9 Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений 2 2 С—16
10 Выделение полного квадрата из трехчлена 2 3 С—17, С—18, Т—6
Контрольная работа № 2 1 1
11 Возведение в куб суммы и раз- ности двух выражений 2 2 С—19
12 Разложение на множители суммы и разности кубов 2 2 С—20, Т—7
13* Формула для разложения на множители разности степеней 1 С—21
14* Формула квадрата суммы не- скольких слагаемых 1
15 Тождественные преобразования 4 5 С—22
16* Симметрические многочлены от двух переменных 1 С-23
Контрольная работа № 3 1 1
III Элементы теории множеств 5 7
1. 2, 3 Множества и их элементы. Характеристическое свойство множеств. Подмножества 2 2 С—24
4, 5, 6 Пересечение и объединение множеств. Разность множеств. Алгебра множеств 2 2 С—25
7 Формулы включений и исклю- чений 1 1
5
Продолжение
Но- мер Название темы Кол-во часов Номер работы, теста
8, 9* Декартово произведение мно- жеств. Отношение порядка 1 С-26
10 Эквивалентные множества 1
IV Делимость чисел. Простые и составные числа 14 19
1, 2 Делимость чисел Натуральные числа и их свой- ства. Делимость целых неотри- цательных чисел 3 4 С—27, Т—8
3 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Алгоритм Евклида 2 2 С—28
4 Взаимно простые числа 1 1
5* Признаки делимости 1 2 С—29, Т—9
6 Простые числа Основной закон арифметики натуральных чисел 2 2
7 Каноническое разложение на- турального числа на простые множители 1 1 С—30
8* Свойства простых чисел 1
9* Неопределенные уравнения пер- вой степени 2 2 С-31, Т—10
10* Системы счисления 1
11* Принцип Дирихле 1 2 С—32
Контрольная работа № 4 1 1
V Действительные числа 28 38
1 Числа и координаты Действительные числа и изме- рение величины 1 1
6
2 Рациональные и иррациональ- ные числа 1 2 С-33
3 Арифметические операции над действительными числами 1
4 Обращение периодических де- сятичных дробей в обыкновен- ные 1 1 С—34
5 Координаты точки на прямой линии и на плоскости 1 1 С—35, Т—11
6 Бесконечные числовые мно- жества и их свойства Числовые множества 1 1 С-36
7* Счетные множества 1
8* Несчетные множества 1 С—37
9 Неравенства и приближен- ные вычисления Свойства числовых неравенств 1 1 С—38
10 Доказательство тождественных неравенств 2 2 С—39, Т—12
11 Стандартная запись числа 1 1 С—40
12 Приближенные значения ве- личин 2 2 С—40
13 Относительная погрешность 1 1
14* Оценка суммы и разности 1
15* Оценка произведения, степени и частного 1
16* Приближенные формулы 1 С—41
Контрольная работа № 5 1 1
17 Квадратные корни и их свойст- ва Квадратный корень из числа 2 2 С—42
18 Вычисление квадратных корней 1 2 С—42
7
Продолжение
Но- мер Название темы Кол-во часов Номер работы, теста
19 Геометрические приложения 1 1
20 Основные тождества для квад- ратных корней 3 3 С-43
21 Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и ча- стного 7 8 С—44, С—45, С—46, Т—13
22* Преобразование выражений Ja±Jb 1
Контрольная работа № 6 1 1
VI Квадратные уравнения. Системы нелинейных урав- нений 26 32
1 Решение квадратных уравне- ний Квадратные уравнения и их корни 3 3 С—47
2 Формула решения квадратного уравнения 4 4 С—48
3 Разложение квадратного трех- члена на множители 1 1 Т—14
4 Теорема Виета 2 3 С—49, Т—15
5 Задачи, приводящие к квад- ратным уравнениям 3 3 С—50
Контрольная работа № 7 1 1
6 Уравнения и системы урав- нений, сводящиеся к квад- ратным уравнениям Уравнения, приводимые к квад- ратным 2 3
7* Возвратные уравнения 1 С—51
8
8 Системы нелинейных уравне- ний, сводящиеся к квадратным уравнениям 2 3 С-52
9* Решение симметрических сис- тем уравнений 1
10* Уравнения и системы уравне- ний с параметрами 2 3 С—53
11 Графический метод решения систем нелинейных уравнений 2 2
12 Уравнения, содержащие знак модуля 3 3 С—54, С—55
Контрольная работа № 8 1 1
VII Решение неравенств 14 17
1 Неравенства первой степени с одним неизвестным 3 3 С-56
2 Квадратные неравенства 4 5 С-57
3 Решение неравенств, сводя- щихся к квадратным 2 4 С-58
4 Системы неравенств с одним неизвестным 2 2 С—59, Т—16
5 Неравенства и системы нера- венств с двумя неизвестными 2 2 С—60
Контрольная работа № 9 1 1
Повторение 4 4
Итоговая контрольная работа 2 2
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Дроби
Понятие дроби. НОД и НОК двух одночленов
2а - ЗЬ
С-1
Вариант 1
1. Найдите значение дроби а * ПрИ а - 4 3 & = 2 —.
4,6 -Ъ 5 5
2. Какая из данных дробей равна нулю при х = 2:
а) б) ?
х2 - 4 (х + 2)2
3. Докажите, что ни при каких значениях а и b дробь
------------------- не имеет числового значения.
8 _ i 2
5 3
Вариант 2
1. Найдите значение дроби %а при а = —, b = 2 -.
а-Ь 5 5
2. Какая из данных дробей равна нулю при х = -2:
. 5х + 10. лч х2 +2х9
” б)
3. Докажите, что при любых значениях а и & дробь
•0,23
------------- равна нулю.
а2 + Ь2 + 1
Вариант 3
1. Найдите значение дроби при а = —, Ь = 1 —.
1 „ . QL 3 4
— а + ЗЬ
2
2. Какая из данных дробей равна нулю при х = -3:
а) 5х + 15. б) 0,Зх + 0,9?
х2 + 9 ’ 7 (х + З)3
17:31-А
9 3 15
10
3. Докажите, что ни при каких значениях а и
5а - 2Ь
--------------- не имеет числового значения.
-8 : — + 2 — • 9
5 9
Вариант 4
-2а + —Ь
Л Q
1. Найдите значение дроби -----— при а = 1 —, Ъ =
1,2а - Ъ 4
7
2
2. Какая из данных дробей равна нулю при х = 1:
а) в) Х--~-Х-1
X2 + X + 1 (х - I)2
3. Докажите, что при любых значениях а и
1 5 4 _ 27 . 5
• \ 5 лЛЧ 7 равна нулю.
(а + &)2 + 5
С-2
Вариант 1
1. Найдите наибольший общий делитель одночленов:
a) 0,7xi/324 и 0,12x3i/5z2; б) 12а2&4с3 и За5Ь2с5.
2. Найдите наименьшее общее кратное одночленов
и 0,7a4b3i/2.
3. Приведите к общему знаменателю дроби:
а) и б) и
5х2у 2х3у5 Gab3 4аЪс2
Вариант 2
1. Найдите наибольший общий делитель одночленов:
а) — x*y2z5 и — х2у3 z2; б) 5а3&3с3 и 10а2Ь4с3.
5 13
2. Найдите наименьшее общее кратное одночленов
За2Ьх*у3 и 0,3ac3x2i/4.
3. Приведите к общему знаменателю дроби:
а) 9ху и 2a2 б) а^Ь и а + с
2a2b3 3b5y2 8a3 2аЬс3
Ъ дробь
дробь
а3Ь^ху2
11
Вариант 3
1. Найдите наибольший общий делитель одночленов:
a) l,3x2i/z5 и 0,3x3i/2z4; б) 16а3&6с5 и 12а2Ь4с7.
Г7
2. Найдите наименьшее общее кратное одночленов -^a3bc2d3
и 0,За4Ь3с.
3. Приведите к общему знаменателю дроби:
а) Л.+..Р... и ff?--1 ; б) 40 и ЗЬ .
5xy3z 3x2y2z 7ab2c2 5a2b3c
Вариант 4
1. Найдите наибольший общий делитель одночленов:
а) ^тп3п2£6 и — m3n4t3\ б) 4а3Ь5с6 и 12а4&7с9.
5 7
2. Найдите наименьшее общее кратное одночленов 3x2y3zbb
и 0,9x3i/z2&2.
3. Приведите к общему знаменателю дроби:
ч а — 2Ъ 2а + ЗЬ 5а 7Ь
8x2yz3 2x3y2z 3a3b2c3 5a2b2c2
Основное свойство дроби
и его применение
с-з
Вариант 1
а (За2Х5)3 9am~^hn
1. Сократите дробь: а) —Ц----б)
(9а3х7)2 ЗатЬп+2
п х Ъ (а + Ъ)(2х - у) (ху-Зу)аЪ
2. Сократите дробь: а) -----------—; б) — ----------.
Ъ(а-Ъ)(±х-2у) (9-Зх)ау
Укажите, при каких значениях переменных это сокращение
неверно.
3. Приведите к общему знаменателю дроби---—-----и + 2
5тп (2п - 1) 7т2
Вариант 2
1 п ~ ЗЪ(а2х3)2 4ат+2Ьп-1
1. Сократите дробь: а) —------б) ---------------.
6а2 (&х2)3 12атЬп
12
л (За + 12b) ах (x + 5y)yz
2. Сократите дробь: а) —---—----; б) ------——.
(а + 4b) ay 3xz + layz
Укажите, при каких значениях переменных это сокращение
неверно.
5</ 2 а + 1
3. Приведите к общему знаменателю дроби -------- и -----.
Зх (2 - у) 4х2
Вариант 3
15z2 (а3 х2)3 4атЬп
1. Сократите дробь: а) 9 \ \ ; б) 4g /-----------.
За2 (а4х2 z2)2 8а т ~ 1Ьп + 1
о „ х2 (у+ 3)(3х-у) (а& + За) 4&2
2. Сократите дробь: а) ---------------; б) ----------.
х (у - 3)(9х - Зу) (yb + 3y)2b
Укажите, при каких значениях переменных это сокращение
неверно.
Зх - 2 * + За
3. Приведите к общему знаменателю дроби -------- и -----—.
а (Ъ + 2) 9а2
Вариант 4
1. Сократите дробь:
21 (pg2r3)2 . \2ат ~1bn + 2
14 (p2q)3 г2 ’ 9ат ~ 3Ьп ~ 2
2. Сократите дробь:
z4 (2у - 1) (5х - 2у) (ах + За) 4а
z3 (2у + 1) (10х - 41/) ’ (2xi/ + 61/) 2а2
Укажите, при каких значениях переменных это сокращение
неверно.
3. Приведите к общему знаменателю дроби —И З^з”
Умножение и деление дробей
С-4
Вариант 1
1. Упростите выражение:
(5а3х)3 (6&4 )2 а + 2Ь . 3frx
’ (ЗЬ2)3 (10а2х)2 ’ ’ 6а2Ъх ’ 5а + 10&‘
2. Найдите частное от деления дробей и сократите получившую-
ся дробь (если это возможно):
ч 8х &ХУ (u + 3v) а2Ь4 (и + Зи) а6Ь2
а) -----:------; б) ----------------:--------------.
2х + у х + 4у 5v + 10u 3v 4- 6u
„ 7 pq2 a3b 28a2b2
3. Упростите выражение ——— • ——— :-----------.
3a2b2 бх2у2 9pxy
Вариант 2
1. Упростите выражение:
(8b2)2 (15a2y3)2 . 2p-q 3c2y3
' (3ay5)i ' (14b3)3 ’ ’ 12b2cy 10p-5q'
2. Найдите частное от деления дробей и сократите получившую-
ся дробь (если это возможно):
(2х 4- у) (2а - Ь) (6х 4- Зу) а 7тп2п3 . 14тп3п
(а 4- Ь)(х 4- у) *(5а4-5Ь)х’ 5х 4- Зу ’ х - 7у
о v 8x2ab 7аЬ 28с4
3. Упростите выражение • -- : - • ---- -.
Вариант 3
1. Упростите выражение:
5тп (2аЬ2)3 (6п3)2
(Зп2)2 10 (а2Ьт)2 ’
2х-3у ЗЬ2х2
21а2Ь3х 4х - бу
2. Найдите частное от деления дробей и сократите получившую-
ся дробь (если это возможно):
а) 7аЬ . 21a2b . б) (Р ~ д) °Ь2 (4р - 4д) а2Ь
2а 4- Ь ’ 4а 4- 2Ь ’ 4р 4- 6q бр + 9q
о -2,1а4 х3 3,5а3 х4 4х2
3. Упростите выражение ------- •------• ——.
12b3y2 бЪ4у а2
Вариант 4
1. Упростите выражение:
(Запх)3 (9&2)4 4х 4-Зу 7р3х3
(9&2)3 (6аЛх2)4 ’ 14p2x2i/3 8x4-6i/
14
2. Найдите частное от деления дробей и сократите получившую-
ся дробь (если это возможно):
3x2i/2 9х3у2 (2а + Ь) т2п3 (1&а + $Ъ)тпп
а) х-у * х - 2у* } (10 - 2у) b2a ’ (15х - 3i/) а2Ъ
о 7 а4 х8 15а8х4 5а3с
3. Упростите выражение -----— :------— •-----—.
З&с3 12&2с 14х2Ь2
Сложение и вычитание дробей
С-5
Вариант 1
3 х -к 2 5 х х 4~ 3
1. Представьте в виде дроби выражение-------+-----.
ab ab ab
о 5х + 5 . 7 - Зх 4х 4- 1 л
2. Решите уравнение-------1------------- U.
2х - 1 1 - 2х 2х - 1
3. Выполните указанные действия:
а) —_______б)-^- + ^-.
л 4г/ — 2 бу - 3 За3х2 9а4 х
Вариант 2
5 х 4~ 1 3 х 4~ 4 х 1
1. Представьте в виде дроби выражение —-----+-------.
а2 4- Ь2 а2 + Ь2 а2 + Ь2
2. Решите уравнение ~ - 4- - - + +--• = 0.
4х - 1 1 - 4х 4х - 1
3. Выполните указанные действия:
а) х \ У . б) 7а2 х3 ЗЬ3х
5х 4- 10</ Зх 4- 6</ ’ 2Ъ*у3 5а3у2
Вариант 3
1. Представьте в виде дроби выражение
5а - 2 За + 4
2а 4- 2Ъ 2а 4- 2Ь 2а 4- 2Ъ
2. Решите уравнение ~ 2 4- 4- -- --- = 0.
2 - 5х 5х - 2 2 - 5х
3. Выполните указанные действия:
а) --------б) т3 + За .
3 — 9а 2 — 6а 2п4х2 4п3х4
15
Вариант 4
1. Представьте в виде дроби выражение
12а + 5 + 2 - 7а + а + 2
За - 6Ь За - 6Ь За - 6Ь
2. Решите уравнение х + % ~ ? х _ _ q
4х - 1 1 - 4х 4х - 1
3. Выполните указанные действия:
а) ——_______2-Р—, +
4+16р 12р + 3 5а5 х3 За4х5
Возведение дроби в степень
С-6
Вариант 1
( 3 х f 9 х
1. Упростите выражение---— : ——
а2 ) \ а3 )
9х2уб —27b6
2. Запишите в виде степени дробь: а) —--; б) -
а10 (х-у)3
3. Выполните указанные действия:
( 3 (2а + Ь)2 У ( 4 (Зх - р)4 У f 2 У
V 2 (Зх - у)3 J ’ t 9 (2а + b)3 J (зх - у ) '
Вариант 2
t v (2а3 У ( ЗЬ3 У
1. Упростите выражение * l”^T I ’
8а9х15 — (у — I)5
2. Запишите в виде степени дробь: а) ----; б) --------
27b3y3 32i/10
3. Выполните указанные действия:
(12 (х + 5р)2 У С 6 (х + 5у)3 У ( -2 У
V 5 (За - 2Ь)3 ) V5 (За - 2b)4 J + V* + )
Вариант 3
1. Упростите выражение
2у У . ГЗуУ
За3 у ^а2 J
16
___12*17)9
2. Запишите в виде степени дробь: а)----------; б) ------
а12 (а + &)6
3. Выполните указанные действия:
( 2х (а + Ь)3 У ( (а + &)4 V f -2 V
V 3 (а - Ь)2 ) ’ [з (a-b)) + la -&J
Вариант 4
( 5Ь3 V ( 5Ь2 V
1. Упростите выражение I I : I —I •
32а1О7>15 -(2-х)9
2. Запишите в виде степени дробь: а) -----; б) -----———.
243х5 8х3у6
3. Выполните указанные действия:
[ а (Зх - 2у)2 V Г&(2х + 2у)у + [ -За V
t b (2х + Зу)3 ) ’ U (Зх - 2у) J 1^2 (2х + Зу)2 )
Функция у = —
С-7 х
Вариант 1
1. Пять тракторов, работающих с одинаковой скоростью, могут
вспахать поле за 7 ч. За какое время вспашут это же поле
15 тракторов, работающих с той же производительностью?
2. Постройте схематически графики функций у = 4х и у = —.
х
Укажите на чертеже отрицательные значения х, для которых
выполняется неравенство 4х < —.
х
ь
3. Существует ли число k, такое, чтобы гипербола у = — про-
х
ходила через точки: а) (1; 1) и (-2; -3); б) (2; 1) и (-2; -1)?
Если да, то найдите это число.
Вариант 2
1. Группа школьников, двигающихся со скоростью 4 км/ч, про-
шла путь между пунктами А и В за 11 ч. За какое время прой-
дет тот же путь группа, движущаяся со скоростью 6 км/ч?
17
2. Постройте схематически графики функций у =-х иу = -~.
X
Укажите на чертеже положительные значения х, для кото-
рых выполняется неравенство -х < .
х
3. Существует ли число k, такое, чтобы график функции прохо-
дил через точки: а) (2; 4) и (-2; -3); б) (-2; -3); и (2; 3)?
Если да, то найдите это число.
Вариант 3
1. Поезд, двигаясь 6 ч, преодолел расстояние между городами А
и В. Как изменилась скорость поезда, если, двигаясь обратно,
он преодолел то же расстояние за 9 ч?
Q
2. Постройте схематически графики функций у = 2х и у = —.
х
Укажите на чертеже отрицательные значения х, для которых
о
выполняется неравенство 2х < —.
х
3. Существует ли число k, такое, чтобы гипербола, заданная
k
уравнением у = —, проходила через точки:
х
а) I6 I и I6 I; б)|-;б|и|--;-б|?
’ (2 ) 2 ) 12 J 2 )
Если да, то найдите это число.
Вариант 4
1. Скаковая лошадь преодолела расстояние 1200 м за 2 мин.
На следующий день лошадь преодолела это же расстояние
за 1,6 мин. Как изменилась скорость бега лошади во второй
день?
2. Постройте схематически графики функций у = -2х и у = - —.
х
Укажите на чертеже отрицательные значения х, для которых
выполняется неравенство -2х > - —.
х
3. Существует ли число k, такое, чтобы гипербола, заданная
k
уравнением у = —, проходила через точки:
х
а) Ц; 15 | и Ц; -15 |; б) | ±; 15 | и | - А; -15 |.
) V3 ) ^3 ) V 3 )
Если да, то найдите это число.
18
Многочлены
Стандартный вид многочлена.
Сложение и вычитание многочленов
С-8
Вариант 1
1. Приведите к стандартному виду многочлен:
а) 5х3 - 2х - 4х2 - 7х3 + х - 5;
б) 2а • (-6Ь) + За2 • 5Ь + 7а • 2Ъ - 5а • 2Ь2.
Назовите степень каждого многочлена.
9
2. Найдите значение многочлена Зху - 4х 4- 2ху2, если х = -,
У = -0.5.
3. Найдите, при каких значениях коэффициентов а, Ь, cf d мно-
гочлены Р (х) и Q (х) тождественно равны:
Р (х) = ах4 - 5х3 - х + Ьх2 + 2х3 - Зх 4- 2,
Q (х) = х3 + Зх2 - сх - 4х3 - d.
Вариант 2
1. Приведите к стандартному виду многочлен:
а) (2х2)2 • х3 - 2х2 - Зх4 + (2х2)2 - 4х(х2)3 + 5х2 - 1;
б) 5а • a (-3ab) 4- 6Ь • (а&) - 1.
Назовите степень каждого многочлена.
2. Найдите значение многочлена 0,5xi/ + 2,4х + 4х2у, если х = 2,
у = 0,25.
3. Найдите, при каких значениях коэффициентов a, b, cf d мно-
гочлены Р (х) и Q (х) тождественно равны:
Р (х) = 2х3 - ах2 + 5х + х3 + & + 1,
Q (х) = 4х2 - 9х + dx3 - сх4 + 14х - 7.
Вариант 3
1. Приведите к стандартному виду многочлен:
а) 4</4 - 7у + (2у2)2 + (Зу)2 - 2у3 + 15;
б) Зтп • (-2п) + 2т2 • 5п2 + Зтп • 4п2 4- 7т • 2п - Зп 4- 5.
Назовите степень каждого многочлена.
2 3
2. Найдите значение многочлена 0,За& - 8а 4- — а&2, если а = —,
b = 10. 3 2
19
3. Найдите, при каких значениях коэффициентов а, Ь, с, d мно-
гочлены А (у) и В (у) тождественно равны:
А (у) = 4у3 - ау2 - Зу + у3 + by + 5,
В (у) = 5у2 - су3 + dy4 + 2у3 - 7у* + Зу + 5.
Вариант 4
1. Приведите к стандартному виду многочлен:
а) (-2х2)3 - 5х2 + Зх + (2х3)2 - Зх3 + 4х2 - 2х + 15;
б) l,7a2d • аЪ3 - 0,2ad3 • а2Ь + l,5a2d2 • 2a2b - 8аЬ3 • — а4.
4
Назовите степень каждого многочлена.
2. Найдите значение многочлена 1,5тпп - т + 2т2п, если
т = 0,3, п = —.
5
3. Найдите, при каких значениях коэффициентов а, Ь, с, d мно-
гочлены А (г) и R (г) тождественно равны:
А (г) = Зг4 - az2 + 2г4 + Зг - 5г2 + bz - 2,
R (г) = 7 - сг4 + dz3 + г4 - 5г3 - Зг - 9.
С-9
Вариант 1
1. Даны три многочлена: А = 2а2 - b2 + ab, В = 2а2 + Sab + 2d2,
С = 4а2 - 2аЬ + 3d2. Найдите А + В - С и преобразуйте его
в многочлен стандартного вида.
2. Решите уравнение (х3 - Зх) - (2 + 5х) + (5 - х3) = 7.
3. Докажите тождество
а2 - 5ab + d2 2а3 - 6ab + 2d2 а3 + 2аЬ - а2 Л
а2 + d2 2а2 + 2d2 а2 + d2
Вариант 2
1. Даны три многочлена: А = 5а2Ь2 - 4а2 - 7а + 10, В = Sa2b2 +
+ 5а2 - 13а + 2, С = 10а2 - 2а2Ь2 + 3. Найдите А - В + С и пре-
образуйте его в многочлен стандартного вида.
2. Решите уравнение
(х2 - Зх + 1) - (Зх2 + х - 5) + (2х2 + 6х - 4) = 8.
3. Докажите тождество
х2 - Зх + 2 4х2 - 2х + 10 Зх2 - 4х + 7 Л
х2 + 1 2х2 +2 х2 + 1
20
Вариант 3
1. Даны три многочлена: А = а2 + 3d2 + ab, В = За2 - аЪ + д2,
С = 2а2 - ЗаЬ + 2d2. Найдите А + В - 2С и преобразуйте его
в многочлен стандартного вида.
2. Решите уравнение
(Зх2 - 7х + 6) - 2 (х2 + 2х + 3) + (5 + 14х - х2) = 9.
3. Докажите тождество
4-Зх-Зх2 _ 2 + 4х2 _ 5х2 + Зх = 3
х2 + 4 2х2 +8 х2 + 4 х2 + 4
Вариант 4
1. Даны три многочлена: А = 2х2 - Зху + у2, В = -х2 + ху + 2у9
С = Зх2 - ху - у2. Найдите 2А - В + С и преобразуйте его в
многочлен стандартного вида.
2. Решите уравнение
(4х3 - Зх2 + 5х - 6) + (4 - 7х + х2) - 2 (х - х2 + 2х3) = 5.
3. Докажите тождество
т2 - 2тп + 4 Зт2 + бтпп + Зп2 з 4тп - п2 _ 1
т + п Зт + Зп т + п гп + п
Умножение и деление многочлена на одночлен.
Вынесение общего множителя за скобки
С-10
Вариант 1
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
7а (а + b2) + 5a2d (5d + 3) - ab (2а + ЗЬ).
2. Докажите тождество
а2 - Ь2а ab + ab2 -Ь3 а3 + Ь _ 1
а2Ь3 (а2 + Ь2) ab4 (а2 + Ь2) а3Ь2 (а2 + Ь2) а3Ь (а2 + Ъ2)
3. Разделите многочлен на одночлен:
а) (~2х4у3 + Зху2 - 4x2i/) : 5x2i/2;
15а10 - 6а7 + За4 - а2 + а
21
Вариант 2
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
12p27 (q2p - q2) - 3pq (4pq - pq2) + 2p (p2 + q).
2. Докажите тождество
x +y
x-y
x + y
у3 - x3
x3y (1 + X2) xy3 (1 + X2) x2y2 (1 + X2) x3y3 (1 4- X2)
3. Разделите многочлен на одночлен:
а) x4i/2 + х2у2 - ху2 ) : (-3x3i/2);
_ а4 - 5а3 + а2 - 4а + 1
6) 6^------------
Вариант 3
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
За (а2 - 2ab) + 2аЬ (3d2 - а) - ab2 (а + &).
2. Докажите тождество
х - у2 _ х (1 + у)-г/2 х3 + у = 1
ху3 (у2 + 1) ху3 (у2 + 1) х3у2 (у2 + 1) х3у (у2 + 1)
3. Разделите многочлен на одночлен:
а) x5i/3 + | х2у4 - 4ху2 ) : 5х2у3;
_ Зт9 - m6 + 7 m4 - 2т2 + т
б) и------------------
Вариант 4
1. Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение
5п (т2 - Зп + 4m) - 5mn (т2 — Зп2 + 4) + тп2 (т + 10п).
2. Докажите тождество
х2 + у у (1 + х) + х у2 - х2 + ху _ у3 - х3
х31/ (у2 + 4) х2у2 (у2 + 4) х2у3 (у2 + 4) х3у3 (у2 + 4)
3. Разделите многочлен на одночлен:
Зп7 - 2п5 + 4п3 - Зп + 5
22
С-11
Вариант 1
1. Вынесите за скобки общий множитель:
a) 2a3x9i/3 4- 3a4x4i/5 - 4a2x5i/7; б) Ъ • Зп “ 1 - а • 6П + 2 • 3n + 1.
2. Упростите выражение:
а) * + 5у_____2ах 4- 8 .
Зах2 4- 15axi/ а2х2 4- 4ах’
б) —--------: —--------------.
(Зх 4- I)2 4- 5 (Зх + 1) 9х + 3 6х2 + 12х
Вариант 2
1. Вынесите за скобки общий множитель:
а) 15a6d4c2 - За3Ь2с3 4- 9a2d3c4; б) а • 7П + 2 4- Ъ • 14п - 5 • 7П.
2. Упростите выражение:
х (2а - 7Ь) - Зу (2а - 7Ь) ЗЬх2 - 15dx
2х3 - 6х2у + х4 - 5х3
5z/2 х 4-1 _ Юах + 2ау
' 8ху - Зу2 ’ 16х2 - вху Ъху 4- у2
Вариант 3
1. Вынесите за скобки общий множитель:
а) 2Ь3х2у3 - 4Ь2х4у4 4- 10d3x3i/5; б) а • 5П-2 - Ъ • 10п 4- 5n + 1.
2. Упростите выражение:
7 х - 2у 6x4- 15г/
21ах2у - баху2 8ах3у 4- 20ах2у2 9
б) ________баЪ_______. За_________126
’ (2а - 3d)2 + Ъ (2а - 3d) ’ За - 12d 7а-7b
Вариант 4
1. Вынесите за скобки общий множитель:
а) -За3Ъ2с3 - ба5Ь2с3 - 9а4Ь4с2 4- 12a4d3c3;
б) а • 4П-2 + d • 12п - 4П.
2. Упростите выражение:
5х (а 4- 2d) 4- Зу (а 4- 2d) 4dx2 - 6dx
10х4 4- бх3у 2х5 - Зх4
б) 2у2 • х ~2 - 15ах -35а
12х2у + 2ху2 6х2 + ху бху — 14у
23
Умножение многочленов.
Разложение многочленов на множители
С-12
Вариант 1
1. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
(х2 4- 2) (х3 4- 5) 4- (х 4- 2) (3 - х - х2).
2. Упростите выражение . —*----------IP* + 1 .
Зх - 2 х + 1 15х - 10
3. Решите уравнение 15х2 - (5х 4- 1) (Зх - 2) = 2.
4. Докажите, что для всех четных натуральных значений п вы-
ражение (2п + 3) (Зп - 7) - (п 4- 1) (п - 1) кратно 10.
Вариант 2
1. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
(4а3 - а2) (а2 + 2) + (2 - а) (4а2 - а + 1).
2. Упростите выражение ^х ~ : х х + ? .
2-х 2x4-1 2х-6
3. Решите уравнение 12х2 - (4х 4- 1) (Зх - 1) = 3.
4. Докажите, что для всех нечетных натуральных значений п
выражение п (п 4- 5) - (п - 3) (п 4- 2) кратно 12.
Вариант 3
1. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
(2у2 - у3) (у2 + 1) - (2у - 1) (у2 - Зу + 2).
2. Упростите выражение ^а+ 6 . — 2а^+±
5 - а 4а- 6 2а- 3
3. Решите уравнение 6х2 - (Зх 4- 2) (2х - 1) = 3.
4. Докажите, что для всех целых значений п выражение
(Зп 4- 1) (4п - 1) - (п 4- 2) (6п - 5) кратно 3.
Вариант 4
1. Раскройте скобки и приведите подобные члены в выражении
(5i/3 + 1) (2у2 + Зу) + (у - 3) (у2 + 5у- 2).
2. Упростите выражение : 5^ + 2 - 2
4Ь 4- 1 Ъ 4- 3 46 4-1
3. Решите уравнение 9х2 4- (Зх - 2) (5 - Зх) = -3.
4. Докажите, что для всех нечетных натуральных значений п
выражение (2п 4- 1) (п - 1) - (п - 2) (2п - 7) кратно 10.
24
С-13
Вариант 1
1. Разложите на множители выражение:
а) 5а (Ь - Зе) + (2а + с) (Зе - Ь);
б) 3 (х3 + 2х - I)2 - (6х - у) (х3 + 2х - 1).
2. Решите уравнение у (у - 8) - 5 (8 - у) = 0.
„ х (х - Зг/2) - 2у (х - Зг/2)
3. Упростите выражение ---------------------.
2 (х - Зу2) + х (Зу2 - х)
Вариант 2
1. Разложите на множители выражение:
а) (с - 3k) (с + 5/г) - (3k - с) (2с + 9k);
б) 3 (х2 - х + 2)2 - (5х2 - 1) (х2 - х + 2).
2. Решите уравнение (х + 3) (х - 5) - 7 (х - 5) = 0.
о хг а (2х2 -7у)-2Ь(7у-2х2)
3. Упростите выражение -----------------------.
(а + д)2х2 -у (7а + 7Ъ)
Вариант 3
1. Разложите на множители выражение:
а) (Зх - 2у) (5х - 2) - (7х + 4у) (4 - 10х);
б) 5 (у2 - Зу + 2)2 + (5у - 1) (у2 - Зу + 2).
2. Решите уравнение (х - 3) (2х + 5) - (7х - 2) (3 - х) = 0.
3. Упростите выражение
(2х + Зу) (х2 + ху + у2) - х (х2 + ху + у2)
(х - У) (х2 + ху + у2) + Зх2 + Зху + Зу2
Вариант 4
1. Разложите на множители выражение:
а) (2а - Ь) (5Ь + с) - (3b + 7с) (4Ь - 8а);
б) (7х - 2) (х2 + 6х - 4) - 4 (4 - 6х - х2)2.
2. Решите уравнение (12х - 3) (х + 2) - (4х - 1) (2х - 5) = 0.
о (5а-Ь) (2а2 - д2) + 4а3 - 2аЪ2
3. Упростите выражение ---------------------------.
(За + 7Ъ) (2а2 - Ъ2) - ЗЪ (2а2 - Ъ2)
25
С-14
Вариант 1
1. Разложите на множители:
а) т2п - тпх + х2 - тх; б) 5х31/ - Sxby2 - 6Ьу + 10х2.
2. Решите уравнение х3 - 6х2 + 5х = 0, разложив левую часть на
множители.
о _ 3 (х2 - 7х)2 + 8х3 - 56х2
3. Сократите дробь---------------------, разложив предва-
х4 - 6х3 - 7х2
рительно числитель и знаменатель на множители.
Вариант 2
1. Разложите на множители:
а) х2 + Ъх - Ъ2у - Ьху; б) 8/пл3 - 7атп + 21а - 24п2.
2. Решите уравнение х3 + 8х2 + 12х = 0, разложив левую часть
на множители.
_ _ ^5 (х2 - 2х)2 - 4х4 + 8х3
3. Сократите дробь --------------------, разложив предва-
х4 - х3 - 2х2
рительно числитель и знаменатель на множители.
Вариант 3
1. Разложите на множители:
a) Sa2b + 2ab2 - Sab3 - 2b4; б) 7х3у - 2by3 - 4Ьу2 + 14х3.
2. Решите уравнение х4 - 9х3 + 8х2 = 0, разложив левую часть
на множители.
4 (х^ 5х12 + 9х^ + 45х2
3. Сократите дробь---------------------, разложив предва-
х4 + 6х3 + 5х2
рительно числитель и знаменатель на множители.
Вариант 4
1. Разложите на множители:
a) Sp2q2 - Spq2x + х3 - рх2; б) 15г/3 - 10с2г/2 - 6с2у + 9у2.
2. Решите уравнение х4 - Зх3 + 2х2 = 0, разложив левую часть
на множители.
_ _ ^2 (х2 - Зх)2 + 5х3 - 15х2
3. Сократите дробь---------------------, разложив предва-
х4 - 4х3 + Зх2
рительно числитель и знаменатель на множители.
26
Формула разности квадратов
С-15
Вариант 1
1. Выполните умножение 49-51 наиболее рациональным спо-
собом.
2. Разложите на множители 4х2 - 2х - 7у - 49i/2.
3. Решите уравнение у3 - Зу2 - 4у + 12 = 0.
А т3п (т2п ~ 3znn2) 6
4. Упростите выражение--------:-----------------------.
(т + Зп)2 т2 - 9п2 2т2 - \3п2
Вариант 2
1. Выполните умножение 59-61 наиболее рациональным спо-
собом.
2. Разложите на множители 16а2 - 4а - ЗЬ - 9д2.
3. Решите уравнение х3 + 8х2 - 4х - 32 = 0.
л zn3 - т2У ту3 + У4 ту
4. Упростите выражение —------- ----------------.
(т2 - у2)2 т2у т2 - у2
Вариант 3
1. Выполните умножение 48 • 52 наиболее рациональным спо-
собом.
2. Разложите на множители х2 + 2х - 4у - 4у2.
3. Решите уравнение 2х3 - 5х2 - 18х + 45 = 0.
л a2b - 3ab2 ab 4&3 + а
4. Упростите выражение -------- :------------------.
(а2 - 9d2)2 ab3 + 3d4 4а2 - 36д2
Вариант 4
1. Выполните умножение 58 • 62 наиболее рациональным спо-
собом.
2. Разложите на множители 9х2 + 6х - 4у - 4у2.
3. Решите уравнение 4х3 - 12х2 - 9х + 27 = 0.
4. Упростите выражение
За3Ъ3 - 2a2b* a2b2 Zb2 + За
(9а2 - 4b2)2 ’ 3ab + 2Ь2 18а2 - ЗЬ2 ’
27
Формулы квадрата суммы и квадрата разности.
Выделение полного квадрата
С-16
Вариант 1
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (71)2; б) II2 + 22 • 19 + 192.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (5х + 2у)2 + (5х - 2у)2; б) (а + 2Ь)2 - (а + Ь)2.
3. Разложите на множители 4х2 - 4х - 4у - у2 - 3.
Вариант 2
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (69)2; б) 152 + 30 • 11 + II2.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (Зх - у)2 + (Зх + г/)2; б) (2т - п)2 - (т + п)2.
3. Разложите на множители х2 - 6х - 4у - у2 + 5.
Вариант 3
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (51)2; б) 132 + 26 • 17 + 172.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) 2 (х - Зу)2 + (2х + у)2; б) (За - 2d)2 - (2а + 5&)2.
3. Разложите на множители 9х2 - 6х - Sy - 16 г/2.
Вариант 4
1. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) (49)2; б) 142 + 28 • 16 + 162.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
а) (Зх - у)2 + 3 (2х - Зу)2- б) (2р + 3g)2 - (р - 4g)2.
3. Разложите на множители х2 - 8х - бу - 9у2 +15.
С-17
Вариант 1
1. Докажите, что многочлен 4а4 - 12а2 + 11 не равен нулю ни
при каком значении а.
2. Решите уравнение 9х2 - ЗОх + 16 = 0, используя выделение
полного квадрата из трехчлена.
3. Разложите на множители выражение (Зх - 2)2 - 4 (Зх - 2) - 21.
4*. Докажите, что при любом натуральном значении п число
52л + 2 • 5П - 1 четное.
28
Вариант 2
1. Докажите, что многочлен 9д4 - ЗОд2 + 26 не равен нулю ни
при каком значении Ь.
2. Решите уравнение 4х2 - 12х - 40 = О, используя выделение
полного квадрата из трехчлена.
3. Разложите на множители выражение (2х + 5)2 - 6 (2х + 5) - 7.
4*. Докажите, что при любом натуральном значении п число
9 • 52л - 6 • 5Л - 1 четное.
Вариант 3
1. Докажите, что многочлен 2а4 - 8а2 + 10 не равен нулю ни при
каком значении а.
2. Решите уравнение 16х2 - 16х - 5 = 0, используя выделение
полного квадрата из трехчлена.
3. Разложите на множители выражение (Зх + 5)2 - 2 (Зх + 5) - 3.
4*. Докажите, что при любом натуральном значении п число
72л + 2 • 7Л - 3 четное.
Вариант 4
1. Докажите, что многочлен 3d4 - 6д2 + 6 не равен нулю ни при
каком значении Ь.
2. Решите уравнение х2 - 7х + 12 = 0, используя выделение пол-
ного квадрата из трехчлена.
3. Разложите на множители выражение (3 - х)2 - 4 (3 - х) - 5.
4*. Докажите, что при любом натуральном значении п число
32л - 2 • Зл - 5 четное.
Решение уравнений с переменной
в знаменателе дроби
С-18
Вариант 1
5 4 1
1. Решите уравнение: а)---------= —;
х - 2 х - 3 х
б) 2у + 3 = У ~5. в) 2х + 3 _ 10х - 15 = 0
’ 2j/-l г/ + 3’ ’ 5 4х2 -9
2. Теплоход прошел против течения реки 16 км. Возвращаясь
о
обратно по течению реки, он прошел путь в 16 км на — ч бы-
3
стрее. Какова собственная скорость теплохода, если скорость
реки 2 км/ч?
29
Вариант 2
о л
1. Решите уравнение: а) —------+-------= 0;
2у2 -9у 81 - 18у
б) Зх - 1 _ 5 + Зх. х 6х - 2 _ Зхн-1
х + 2 х-1’ ' 9х2 - 1 2
2. Двумя экскаваторами могут вырыть котлован за 12 дней.
За сколько дней выполнил бы ту же работу каждый из экска-
ваторщиков, работая один, если известно, что производитель-
ность одного из них в 1,5 раза больше, чем производитель-
ность другого?
Вариант 3
3 12
1. Решите уравнение: а)-----------= —;
х + 2 х + 3 х
б) Зу ~ 1 = Зу + 2. в) Зх - 4 _ Эх + 12 = 0
’ у+ 4 у-3’ ’ 3 9х2 -16
2. Опытный рабочий выполняет некоторые задания в 5 раз быст-
рее, чем ученик. За сколько дней мог бы выполнить задание
ученик, если вместе они выполнили работу за 3 дня?
Вариант 4
1. Решите уравнение: а) —----+-----— = 0;
4z/2 — у 9 — 36z/
gx 6х - 5 _ Зх + 2. х 7х - 2 _ 28х + 8 _ g
J 2х - 7 х - 1 ’ ' 4 49х2 - 4
2. Лыжник преодолел расстояние 1200 м за 9 мин. Первые
450 м он шел на подъем со скоростью на 2 км/ч меньшей, чем
на ровной трассе. На оставшемся участке 750 м, двигаясь под
уклон, он шел со скоростью на 2 км/ч большей, чем на ров-
ном месте. Какова скорость лыжника на ровном месте?
Формулы суммы и разности кубов
С-19
Вариант 1
1. Докажите тождество 8а3 + Ь3 = (2а + Ь)3 - 6аЪ (2а + Ь).
„ 8х3 - 60х2 + 150х - 125
2. Сократите дробь -----------------.
4х2 - 20х + 25
3. Вычислите: 2,33 + 3 • 2,32 • 0,7 + 3 • 2,3 • 0,72 + 0,73.
30
Вариант 2
1. Решите уравнение (2х + I)3 = 2х (2х + З)2 - 12х2 - 23.
л * 27 х3 - 27 х2 + 9х -
2. Сократите дробь ------------
Эх2 - 6х +
3. Вычислите: 993.
Вариант 3
1. Докажите тождество т3 - 27п3 - 9тп (т - Зп) = (т - Зп)3.
Л 27а3 + 54а2Ь + ЗбаЬ2 + 8Ь3
2. Сократите дробь ---------------——----.
9а4 + 12а3Ь + 4Ь2а2
3. Вычислите: 1,33 + 3 • 1,32 • 2,7 + 3 • 1,3 • 2,72 + 2,73.
Вариант 4
1. Решите уравнение 8х3 + 27 = (2х - З)3 - 18 (2х - 3).
2.
64а3 + 48а2Ь + 12аЬ2 + Ь3
Сократите дробь -----—————-------—----
16а3Ь + 8а2Ь2 + аЬ3
3. Вычислите: 1013.
С-20
Вариант 1
1. Упростите выражение
27х3 - 64z/3 9х2 + 12ху + 16z/2 12х - 16у 1
у2 - 4 у2 - 4у + 4 у3 + 8 у2 - 2у + 4
г» gx2 g 1
2. Решите уравнение —------------------------= 0.
9х2 + 6х + 4 27х3 - 8 Зх - 2
Вариант 2
. __ ( 8х2у2 4ху бху - 2х2 - 2у2
1. Упростите выражение —-----------:--------------—.
V х3 + у3 х + у ) х2 - ху + у2
2. Решите уравнение
f х -2 + 1 "1 х3 - х _ х2 -2х _ 0
I X3 + 1 X3 - X2 + X ) X2 + 1 X3 + X2 + X + 1
31
Вариант 3
1. Упростите выражение
X3 + X2 + х (х3 - 1) (х3 + Зх2 +3x4-1)
х - 1 х2 — х — 2
X2 х2 - X + 1
"(х2 - 2х + 1) ’ (х + 1) (х3 + 1) ’
2. Решите уравнение —п ------+ 4х----------— = 0.
4х2+2х + 1 8х3 - 1 2х - 1
Вариант 4
1. Упростите выражение
8х4-27х (4х2 + 6х + 9) (2х - З)3 х
4х2 + 12х +9 ’ 2х2 - х - 3 (4х2 -9)’
1
2. Решите уравнение о — + — --------— ---------——- = 0.
27х3 + 1 9х3 - Зх2 + х (Зх + 1)3
Формула для разложения
на множители разности степеней.
Формула квадрата суммы
С-21
Вариант 1
1. Сократите дробь
X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1
X3 + X2 + X + 1
2. Вычислите: 75 + 74 + 73 + 72 + 7 + 1.
3*. Найдите разность дробей
х + 2у + 4z 1
х2 + 4у2 + 9z2 + 4ху + 6xz + 12yz х + 2у + Зг
Вариант 2
* _ X8 + X7 + X6 + X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1
1. Сократите дробь ----------------------------
X5 + X4 + X3 + X2 + X + 1
2. Вычислите: 5 • 64 + 5 • 63 + 5 • 62 + 5 • 6 + 5.
Л . тт w w «А/ </ |
3*. Найдите сумму дробей------------------------------+-----------.
1 + х2 + у2 + 2х + 2у + 2ху 1 + х + у
32
Вариант 3
* _ 32х5 + 16х4 4- 8х3 + 4х2 + 2х + 1
1. Сократите дробь ------------------------.
8х3 + 4х2 + 2х + 1
2. Вычислите: 7 • 84 + 7 • 83 + 7 • 82 + 7 • 8 + 7.
3*. Найдите разность дробей
_________________5а 4- с - ЗЬ___________1
4а2 4- 9Ь2 4- с2 - 12аЬ 4- 4ас - 6Ьс 2а 4- с - ЗЬ
Вариант 4
, 243х5+81х4 +27х3+9х2 +3х + 1
1. Сократите дробь -------------------------------------------------------------.
27х3 4-9х2 4-Зх 4-1
2. Вычислите: 6 • 74 4- 6 • 73 4- 6 • 72 4- 6 • 7 4- 6.
3*. Найдите разность дробей
2тп 4- п - Зр 1
т2 4- п2 4- 4р2 4- 2тп - 4тр — 4пр т 4- п - 2р
Тождественные преобразования
С-22
Вариант 1
1. Докажите тождество
х-2 + у - х =
(У - х) (у - 2) (х -2) (у- х) (у - 2) (х - 2)
_ 2 t 2 2
у -х х-2 у - 2
2. Докажите тождество 2 4--—— 4- * * хб°2 = ^а'
1 + 4а - 2
3. Докажите, что если х и у удовлетворяют условию
6х 4-Зр 2х2-ху + у2
= -12, то выполняется равенство ----= 4.
7x-4z/-----------------------------------------z/2-3x2
Вариант 2
1. Докажите тождество
+____________1_____+_____1_____+_____1_____= 4 .
а (а 4-1) (а 4- 1) (а 4-2) (а 4- 2) (а 4-3) (а 4- 3) (а 4- 4) а (а 4- 4)
2. Докажите тождество
(а2 - За - З)2 - 16a4 , За 9
а3 - 1 2 _ 9а - 5 а - 1
5а-3
3. Докажите, что если х и у удовлетворяют условию---= 1,
Зх 4- у
5х2 4- 2ху - 7у2
то значение выражения —-— ---------не зависит от х и у.
Вариант 3
1. Докажите тождество
а2+ Ь2+ с2
(а -Ъ) (а - с) (Ь - с) (Ъ - а) (с - а) (с - Ь)
2. Докажите тождество
\ 2 / \ 2 Л
а — с I _ । а 4- с | .__________8__________ с
а 4- с J [а — с J 1 + а2с — 2ас2 — с3 с — а
а3 4- ас2
Л тт 5х 4- у
3. Докажите, что если х и у удовлетворяют условию-------= 2,
Зх - 2у
х2 4- ху - 6z/2
то значение выражения -------------— не зависит от х и у.
13г/2 - х2
Вариант 4
1. Докажите тождество
------------1----+-------1---+------1----
(а - Ь) (а - с) (Ъ - с) (Ъ - а) (с - а) (с - Ь)
2. Докажите тождество
/
а - 2b 1
а3 4- Ь3 , а3 - а2Ь
ab 4--------
b
а3 - ab2 2
а2 + Ъ2 _ а3 4- а2Ъ
а 4- Ъ 4-----------------
1
а 4- b
3.
_ 4х 4- Зу о
Докажите, что если х и у удовлетворяют условию---------= 3,
х 4- 2z/
Зх2 4- 2ху - 5у2
то справедливо равенство ----------------= 1.
2х2 4- 10г/2
34
С-23*
Вариант 1
1. Используя знания о симметрических многочленах, докажите,
X2 + Ху 4- у2
что -------—— = 1, если х + у - ху = 1.
1 + ху 4- х2у2
2. Докажите тождество х4 4- z/4 4- (х 4- z/)4 = 2 (х2 + ху + г/2)2.
Вариант 2
1. Используя знания о симметрических многочленах, докажите,
х2 + 7ху 4- у2
что -----------= 1, если х 4- у 4- ху = 3.
х2у2 - ху 4- 9
Л „ X3 4-6х2г/4-6xz/2 4- Z/3
2. Докажите тождество -------------------------= х 4- у.
х2 4- 5xz/ 4- у2
Вариант 3
1. Используя знания о симметрических многочленах, докажите,
х2 4- у2 4- Зхг/
что ———--------= 1, если х 4- у 4- ху = 1.
Х2у2 - ху 4- 1
2. Докажите тождество
х4 4- 2x3z/ 4- 2х2у2 4- 2ху3 4- Z/4 = (х 4- у)2 (х2 4- Z/2).
Вариант 4
1. Используя знания о симметрических многочленах, докажите,
х2 4- у2
что —----------= 1, если х 4- у 4- 2ху = 1.
4x2z/2 - 6xz/ + 1
2. Докажите тождество
х4 - х3у - 4х2у2 - ху3 4- z/4 = (х 4- у)2 (х2 - Зху 4- у2).
Элементы теории множеств
С-24
Вариант 1
1. Множества А, В и С заданы своими характеристическими
свойствами. Задайте эти множества перечислением элемен-
тов, если
\2
2 + х | _4
* ) = 1
х2 - 4х + 4 4х2
А = (х | 1 + *±в*2 = 2Д с = <
[ Зх + 1 J
В = {п | п е N, - 7 < п < 5},
2. Определите, является ли множество А конечным, если
А = L I п е N, G N
I Зп + 2
3. Даны множества: А — множество всех легковых автомоби-
лей; В — множество всех легковых автомобилей серого цвета;
С — множество всех средств передвижения; D — множество
всех автомобилей; Е — множество всех средств передвиже-
ния, имеющих колеса. Расположите их так, чтобы каждое
предыдущее множество было подмножеством следующего.
Вариант 2
Множества А, В и С заданы своими характеристическими
свойствами. Задайте эти множества перечислением элемен-
{I 2 х 2
х ------
1 2х - 3
2х 1
2х -3J
В = {п | п е N, - 3 п < 4},
х2 + 5х + 1
х + 2
2. Докажите, что множество А пустое, если
А = <п| л €^n> 1, 4n + 1 6 N
I 2п + 3
3. Даны множества: А — множество всех школ; В — множество
школ, находящихся рядом с твоим домом; С — множество
школ твоего города; Е — множество школ России. Располо-
жите их так, чтобы каждое предыдущее множество было под-
множеством следующего.
Вариант 3
Множества А, В и С заданы своими характеристическими
свойствами. Задайте эти множества перечислением элемен-
тов, если
1 - Зх 4- х2 - Зх3
1 + х2
= -2
В = {п | п е N, - 5 п 2},
2. Определите, является ли множество А конечным, если
А = L I п е N, 8п ~ 1 е N L
( 2п + 3 J
3. Даны множества: А — множество всех позвоночных живот-
ных; В — множество всех животных; С — множество всех
хищных животных; D — множество всех волков. Расположи-
те их так, чтобы каждое предыдущее множество было подмно-
жеством следующего.
Вариант 4
1. Множества А, В и С заданы своими характеристическими
свойствами. Задайте эти множества перечислением элемен-
. ( . X2 + х - 6
тов, если А = sx -----------= х
х + 3
В = {л | 71 G 2 С п 6),
2.
Докажите, что множество А =
71 | 71 6 АГ,
——- g N У пустое.
4n + l f
3. Даны множества: А — множество всех параллелограммов;
В — множество всех прямоугольников; С — множество всех
четырехугольников; D — множество всех квадратов. Располо-
жите их так, чтобы каждое предыдущее множество было под-
множеством следующего.
37
С-25
Вариант 1
1. Пусть /
А = {х | 3 х < 8},
В = {х | 4 х < 15},
С = {х | 11 < х < 13},
D = {х | 5 х < 7}.
Найдите множество (A U В) A (D U С). \ / у \
2. На рисунке изображены множест- I
ва А, В и С. Заштрихуйте множе- \ р /
ство: а) А А В; б) В U С. \ /
Вариант 2
1. Пусть А = {х | 3 < х < 8}, В = {х | 4 х < 15},
С = {х | 11 < х < 13}, D = {х | 5 х < 7}.
Найдите множество (А А В) U (D А С).
2. На рисунке изображены множества А, В и С. Заштрихуйте
множество: а) (А А В) U С; б) (А \ В) А С.
Вариант 3
1. Даны множества А = {х | -5 < х 1}, В = {х | -3 х < 4},
С = {х | -1 С х < 7}, D = {х | 6 х < 9}. Найдите множество
(А А В) U (С A D).
2. На рисунке изображены множества А, В и С. Заштрихуйте
множество:
а) А А В А С; б) А \ (В U С).
Вариант 4
1. Даны множества А = {х | -8 х 0}, В = {х | -5 х < 1},
С = {х | 0 < х < 3}, D = {х | -5 < х < 7}. Найдите множество
(С U D) \ (А А В).
2. На рисунке изображены множества А, В и С. Заштрихуйте
множество: a) (A U В) А С; б) А \ (В А С).
С-26
Вариант 1
1. В классе у 20 человек есть домашние животные, из них 15
имеют собак, а 12 — кошек. Есть ли в классе учащиеся, у ко-
торых дома живет и собака и кошка, и если есть, то сколь-
ко их?
2. Запишите декартово произведение множеств А х В, если
А = {1; 2; 3}, В = {5; 11; 15}.
38
Вариант 2
1. Из анкеты, проведенной в классе, стало известно, что из
30 учеников класса 18 имеют брата, 14 — сестру, а у 10 есть
и сестра и брат. Есть ли в этом классе учащиеся, у которых
нет ни сестры, ни брата? Если есть, то сколько их?
2. Запишите декартово произведение множеств А х В, если
А = {5; 11; 15}, В = {8; 3; 6}.
Вариант 3
1. В классе 28 человек, 18 из них имеют годовую оценку «5» по
математике, 15 — по истории, а 10 учеников — по истории
и математике одновременно. Сколько учеников имеют годо-
вые оценки ниже «5» по истории и математике?
2. Запишите декартово произведение множеств А х В, если
А = {-1; -2; -3}, В = {2; 4; 6}.
Вариант 4
1. В олимпиаде приняли участие 29 человек. Участникам были
предложены 3 задачи, из которых первую решили 10 человек,
вторую — 20, третью — 12, первую и вторую — 10, вторую
и третью — 8 и первую и третью — 6 человек. Известно, что
каждый участник решил хотя бы одну задачу. Сколько участ-
ников решили все три задачи?
2. Запишите декартово произведение множеств А х В, если
А = {-2; -3; -4}, В = {3; 5; 7}.
Делимость чисел.
Простые и составные числа
Натуральные числа. НОД и НОК целых чисел
С—27
Вариант 1
1. Докажите, что если а2 : а + Ь, то Ь2 : а + Ь.
2. Число а при делении на 3 дает в остатке 2. Каков будет оста-
ток, если а2 + 5а разделить на 3?
3. При делении натурального числа т на 72 в остатке получи-
лось 68. Как изменится частное и каков будет остаток, если
число т разделить на 24?
4. Докажите, что число 5п + 3 не является квадратом целого
числа ни при каком п g N.
Вариант 2
1. Докажите, что если а3 : а + Ъ, то Ь3 : а + Ъ.
2. Число а при делении на 4 дает в остатке 3. Каков будет оста-
ток при делении а2 - За на 4?
3. При делении натурального числа т на 64 в остатке получи-
лось 49. Как изменится частное и каков будет остаток, если
число т разделить на 16?
4. Докажите, что число 5п + 2 не является квадратом целого
числа ни при каком п е N,
Вариант 3
1. Докажите, что если а4 : а - Ь, то Ь4 : а - Ъ.
2. Число а при делении на 5 дает в остатке 2. Каков будет оста-
ток, если а2 + За разделить на 5?
3. При делении натурального числа т на 57 в остатке получи-
лось 48. Как изменится частное и каков будет остаток, если
число т разделить на 19?
4. Докажите, что число 4п + 3 не является квадратом целого
числа ни при каком п е N.
Вариант 4
1. Докажите, что если а3 : а - Ъ9 то Ъ3 : а - Ь.
2. Число а при делении на 4 дает в остатке 3. Каков будет оста-
ток при делении а2 - 5а + 6 на 4?
3. При делении натурального числа т на 44 в остатке получи-
лось 27. Как изменится частное и каков будет остаток, если
число т разделить на 11?
4. Докажите, что число 4п + 2 не является квадратом целого
числа ни при каком п е N.
С-28
Вариант 1
1. Докажите, что дробь
п g N.
14п + 3
—------ несократима ни при каком
2. Найдите все пары натуральных чисел а и Ь, для которых
D (а; Ь) = 4, а • Ъ = 288.
3. Найдите натуральные числа а и Ь, если D (а; Ь) = 11,
К (а; Ь) = 231.
Вариант 2
1. Найдите все натуральные значения п, для которых дробь
15п + 6
20п + 7
сократима.
2. Найдите все пары натуральных чисел а и Ъ, для которых
D (а; Ь) = 24, а + Ъ = 144.
3. Найдите натуральные числа а и Ь, если D (а; Ь) = 7,
К (а; Ь) = 105.
Вариант 3
1. Найдите все натуральные значения п, для которых дробь
15п + 3 СОКратима>
26п + 5
2. Найдите все пары натуральных чисел а и Ь, для которых
D (а; Ъ) = 3, а • b = 108.
3. Найдите натуральные числа а и Ь, если D (а; Ь) = 2,
К (а; Ь) = 70.
Вариант 4
1. Докажите, что дробь + сократима при любом натураль-
20п + 4
ном значении п.
2. Найдите все пары натуральных чисел а и д, для которых
D (а; Ь) = 14, а + Ъ = 98.
3. Найдите натуральные числа а и Ь, если D (а; Ъ) = 3,
К (а; Ь) = 117.
Признаки делимости целых чисел.
Простые числа
С-29
Вариант 1
1. Докажите, что число 1001000100 не может быть квадратом
целого числа.
2. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось
число, делящееся: а) на 8: 1275*6; б) на 11: 47*2.
3. Докажите, что число 38 152 не делится на 18.
Вариант 2
1. Докажите, что число 1010010000 не может быть квадратом
целого числа.
2. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось
число, делящееся: а) на 16: 3574*4; б) на 11: 35*1.
3. Докажите, что число 4326 не делится на 12.
41
Вариант 3
1. Докажите, что число 12012001200010 не может быть квадра-
том целого числа.
2. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось
число, делящееся: а) на 8: 535*36; б) на 11: 5*31.
3. Докажите, что число 36 545 не делится на 15.
Вариант 4
1. Докажите, что число 102020202 не может быть квадратом це-
лого числа.
2. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось
число, делящееся: а) на 16: 5372*36; б) на 11: 7*21.
3. Докажите, что число 735 246 не делится на 36.
С-30
Вариант 1
1. Известно, что числа р, р + 2, р + 4 простые. Найдите число р,
2. Даны числа т = 4 • 121 • 7 и л = 11 • 64 • 48. Найдите:
a) D (т; л); б) К (т; л); в) число делителей каждого из
чисел лг и л.
3. Докажите, что каждое простое число р > 3 представимо в виде
6п - 1 или 6п + 1.
4. Докажите, что для любого натурального числа л > 2 число
п !
----1---нЗп + 1+ (п-1)2 составное.
(л - 2)! л
Вариант 2
1. Известно, что числа р, р 4- 8, р + 10 простые. Найдите число р.
2. Даны числа гл = 8 • 125 -7 и л = 35 • 80 • 49. Найдите:
a) D (т; л); б) К (т; л); в) число делителей каждого из
чисел т и л.
3. Докажите, что каждое простое число р > 2 представимо в виде
4п - 1 или 4n + 1.
4. Докажите, что для любого нечетного натурального числа
Л (л + 1)! z ч
л > 3 число ----+ 2л - (л + l)z - 2 составное.
(п - 1)!
42
Вариант 3
1. Известно, что числа р, р + 1, р + 3 простые. Найдите число р.
2. Даны числа т = 9 • 169 -5 и п = 32 • 96 • 11. Найдите:
a) D (т; п); б) К (т; п); в) число делителей каждого из
чисел тип.
3. Докажите, что если р > 2 — простое число, то остаток от деле-
ния квадрата этого числа на 4 равен 1.
4. Докажите, что для любого натурального числа п > 1 число
(п + 2)! „ 1
---------+ п"5 - 1 составное.
(п + 2) • п!
Вариант 4
1. Известно, что числа р, р + 10, р + 14 простые. Найдите число р.
2. Даны числа т = 144 • 81 • 16 и п = 225 • 9 • 80. Найдите:
a) D (т; п); б) К (т; п); в) число делителей каждого из
чисел т и п.
3. Докажите, что если р > 3 — простое число, то остаток от де-
ления квадрата этого числа на 6 равен 1.
4. Докажите, что для любого натурального значения п > 1 число
(п + 3)!
---------F 2п - 3 составное.
(п + 2) п!
Неопределенные уравнения первой степени.
Принцип Дирихле
С-31
Вариант 1
1. Какие из данных уравнений имеют целые решения:
а) 14х - 20 у = 30; б) 5х + 35р = 11; в) 12х - 4у = 60?
2. Найдите целые неотрицательные решения уравнения
Зх - 5р = 7.
3. Найдите все возможные способы уплатить 43 р., используя
монеты достоинством в 2 и 5 р.
Вариант 2
1. Какие из данных уравнений имеют целые решения:
а) 7х - Юр = 30; б) 14х + 28р = 11; в) 36х - 12р = 50?
2. Найдите целые неотрицательные решения уравнения
2х - Зу = 11.
3. Найдите все возможные способы разложить 61 книгу в стопки
по 5 и 7 книг.
43
Вариант 3
1. Какие из данных уравнений имеют целые решения:
а) 6х - Юг/ = 14; б) 8х - 2у = 18; в) 2х + 7у = 11?
2. Найдите целые отрицательные решения уравнения 2х - 7у = 3.
3. Найдите все возможные способы уплатить 60 р., имея только
монеты достоинством 5 и 10 р.
Вариант 4
1. Какие из данных уравнений имеют целые решения:
а) Зх - 27у - 13; б) Зх + 2у = 5; в) 5х + 35г/ = 45?
2. Найдите целые отрицательные решения уравнения
5х - 2у = 9.
3. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении
на 11 дает в остатке 3, а при делении на 12 дает в остатке 7.
С-32
Вариант 1
1. Докажите, что из 83 различных натуральных чисел можно
найти два, разность которых делится на 80.
2. Всегда ли можно из 47 различных натуральных чисел вы-
брать два числа, такие, что либо их сумма, либо их разность
делится на 100? на 90?
Вариант 2
1. Докажите, что из 102 различных натуральных чисел можно
найти два, разность которых делится на 101.
2. Всегда ли можно из 77 различных натуральных чисел вы-
брать два числа, такие, что либо их сумма, либо их разность
делится на 100? на 200?
Вариант 3
1. Докажите, что из 80 различных натуральных чисел можно
выбрать по крайней мере два числа, такие, что их разность
делится на 79.
2. Всегда ли можно из 49 различных натуральных чисел вы-
брать два числа, такие, что либо их сумма, либо их разность
делится на 100? на 94?
Вариант 4
1. Докажите, что из 75 различных натуральных чисел можно
найти по крайней мере два числа, такие, что их разность
делится на 70.
2. Всегда ли можно из 77 различных натуральных чисел вы-
брать два числа, такие, что либо их разность, либо их сумма
делится на 150? на 200?
Действительные числа
Рациональные и иррациональные числа.
Модуль действительного числа
С-33
Вариант 1
1. Запишите рациональное число в виде десятичной дроби:
а) —; б)
16 7
2. Докажите, что десятичная дробь 0,12112111211112... выра-
жает иррациональное число.
3. Какое из чисел больше: 0,25(27) или 0,25273?
4. Докажите, что не существует положительного рационального
числа, квадрат которого равен 2,4.
Вариант 2
1. Запишите рациональное число в виде десятичной дроби:
а)^_; б)П.
250 13
2. Докажите, что десятичная дробь 0,120120012000... выражает
иррациональное число.
3. Какое из чисел больше: 0,71(54) или 0,715448?
4. Докажите, что не существует положительного рационального
числа, квадрат которого равен 1,1.
Вариант 3
1. Запишите рациональное число в виде десятичной дроби:
а)-Ь б)™.
32 13
2. Докажите, что десятичная дробь 0,3434334333433334... вы-
ражает иррациональное число.
3. Какое из чисел больше: 0,17(32) или 0,173223?
4. Докажите, что не существует положительного рационального
числа, квадрат которого равен 1,4.
Вариант 4
1. Запишите рациональное число в виде десятичной дроби:
а)^_; б)—.
125 11
2. Докажите, что десятичная дробь 0,53553555355553... выра-
жает иррациональное число.
3. Какое из чисел больше: 0,35(29) или 0,352914?
4. Докажите, что не существует положительного рационального
числа, квадрат которого равен 2,2.
С-34
Вариант 1
1. Вычислите: 0,(54) • — + 0,008(3) : 0,1(5).
2
2. Докажите, что число —----— ни при каком п е N не может
п п + 1
быть представлено чисто периодической десятичной дробью.
3. Найдите наибольшее действительное число, меньшее 2,45,
в запись которого в виде бесконечной десятичной дроби
не входит цифра 9.
4. Докажите или опровергните утверждение: «Если число а ир-
рациональное, а число b рациональное, то число а • b ирра-
циональное».
Вариант 2
1. Вычислите: 0,4(3) + 0,6(22) • 2 - + - • 0,5(8).
2 3
2. Докажите, что дробь ----------- ни при каком п е N не
п (п + 1) (п + 2)
может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.
3. Найдите наибольшее действительное число, меньшее 1,87,
в запись которого в виде бесконечной десятичной дроби
не входит цифра 9.
4. Докажите или опровергните утверждение: «Если число а ир-
рациональное, то и число — иррациональное».
а
Вариант 3
1. Вычислите: 0,(55) • + 0,01(12) : 0,2(5).
5
2. Докажите, что число —-------— ни при каком п е N не
5n 5n + 1
может быть представлено чисто периодической десятичной
дробью.
3. Найдите наибольшее действительное число, меньшее 2,85,
в запись которого в виде бесконечной десятичной дроби
не входит цифра 9.
4. Докажите или опровергните утверждение: «Если число а ир-
рациональное и число b иррациональное, то число а + Ъ ирра-
циональное».
Вариант 4
1. Вычислите: 0,(36) • — + 0,3(11) • 1
4 4
2. Докажите, что дробь---------------ни при каком п е N
(п + 2)(п + 3)(п + 4)
не может быть представлена в виде конечной десятичной дроби.
3. Найдите наибольшее действительное число, меньшее 1,67,
в запись которого в виде бесконечной десятичной дроби
не входит цифра 9.
4. Докажите или опровергните утверждение: «Если число а ра-
циональное, а число Ъ иррациональное, то число а + b ирра-
циональное».
С-35
Вариант 1
1. Найдите множество значений х, для которых выполняется ра-
венство | | х - 3 | + 2 | = 3.
2. Укажите на числовой оси множество точек х, для которых
выполняется: а) |х+1| = |х - 2 |; б) |х - 2 | + | х + 2 | = 4;
в) | х — 11 + | х + 3 | > 5.
Вариант 2
1. Найдите множество значений х, для которых выполняется ра-
венство | | х - 3 | + 1 | = 4.
2. Укажите на числовой оси множество точек х, для кото-
рых выполняется: а) |х + 3| = |х-1|;б) |х - 2 | + | х + 3 | = 5;
в) | х — 2 | + | х + 11 < 5.
Вариант 3
1. Найдите все множество значений х, для которых выполняет-
ся равенство | | х - 2 | + 2 | = 4.
2. Укажите на числовой оси множество точек х, для которых
выполняется: а) |х + 2| = |х-1|; б) |х-1| + |х + 2| = 3;
в) | х + 11 + | х | С 3.
47
Вариант 4
1. Найдите все множество значений х, для которых выполняет-
ся равенство | | х - 11 + 2 | = 3.
2. Укажите на числовой оси множество точек х, для которых
выполняется: а) | х + 3 | = | х - 2 |; б) |х + 5| + |х + 2| = 3;
в) | х + 5 | + | х - 2 | < 9.
Числовые множества
С-36
Вариант 1
1. Даны множества А - (-оо; 3], В = (1; 11), С = (-5; 6).
Изобразите на числовой оси множество A U С А В.
2. Запишите с помощью числовых промежутков множество
А = {х | х е R, 2 х 7, | х | > 3}.
3. Выберите множества, замкнутые относительно операции ум-
ножения: А = {1; 2; 3}, В = {-1; 0; 1}, С = {х | х е В, | х | < 1}.
Вариант 2
1. Даны множества А = [-оо; -2), В = (-9; 7], С = (-11; 5).
Изобразите на числовой оси множество A U В А С.
2. Запишите с помощью числовых промежутков множество
А = {х | х е Я, х < 2 или х > 7, | х | < 4}.
3. Выберите множества, замкнутые относительно операции сло-
жения: А = {-1; 2; 3}, В = {-1; 0; 1}, С = {х | х е R, х2 > 1}.
Вариант 3
1. Даны множества А = (-оо; 0], В = (-2; 5), С = (-7; 3).
Изобразите на числовой оси множество A U С А В.
2. Запишите с помощью числовых промежутков множество
А = {х | х е R, -1 < х < 5, | х | > 4}.
3. Выберите множества, замкнутые относительно операции ум-
ножения:
А = {-2; -1; 0; 1}, В = {-2; -1; 0; 1; 2}, С = {х | х g R, | х | > 2}.
Вариант 4
1. Даны множества А = (-оо; 5], В = [-1; 12], С = (2; +оо).
Изобразите на числовой оси множество А А В А С.
2. Запишите с помощью числовых промежутков множество
А = {х | х е R, -5 < х < 6, | х | > 3}.
3. Выберите множества, замкнутые относительно операции сло-
жения: А = {-2; 0; 2}, В = {-2; 0; 1; 2}, С = {х | х е R, | х | < 2}.
48
С-37
Вариант 1
1. Докажите, что множество неотрицательных действительных
чисел, меньших единицы, которые могут быть записаны чис-
то периодической десятичной дробью, счетно.
2. Укажите способ, которым можно было бы перенумеровать все
правильные конечные десятичные дроби.
3. Докажите, что множества А и В действительных чисел равно-
{Г 1 3 м
х | х е I — I > и В = {х | х е (0; 1)}.
Вариант 2
1. Докажите, что множество всех положительных правильных
смешанных периодических дробей счетно.
2. Укажите способ, которым можно было бы перенумеровать все
конечные десятичные дроби.
3. Докажите, что множества А и В действительных чисел равно-
{( 1 о А]
х | х е I —; — I > и В = {х | х е (0; 1)}.
Вариант 3
1. Докажите, что множество положительных рациональных чи-
сел, меньших единицы, в десятичной записи которых после
запятой используется только цифра 9, счетно.
2. Укажите способ, которым можно было бы перенумеровать
множество точек плоскости, координаты которых — нату-
ральные числа.
3. Докажите, что множества А и В действительных чисел равно-
мощны, если А = {х|хеЯ, |х|<1}иВ = {х|хе7г, хе (0; 1)}.
Вариант 4
1. Докажите, что множество положительных рациональных чи-
сел, меньших единицы, в десятичной записи которых после
запятой используется только цифра 7, счетно.
2. Укажите способ, которым можно перенумеровать множество
всех многочленов 3-й степени с натуральными коэффициен-
тами.
3. Докажите, что множества А и В действительных чисел равно-
мощны, если А = {х | х е R, | х | < 2} и В = {х | х е R,
х 6 (0; 1)}.
Свойства числовых неравенств.
Доказательство неравенств
С-38
Вариант 1
1. Известно, что 0 < а < b, Ъ < с. Сравните числа: а) 5а и 5с;
б) -0,1а и -0,1Ь; в) - и -; г) - и д) ab и Ьс.
а b ас
2. Расставьте в порядке возрастания: 0, с, -5, Зс, -, 1 при с > 1.
с
3. Пусть 1 < а < 3, 2 < Ь < 5. Найдите, в каких пределах нахо-
дится выражение: а) 2а + 3d; б) а - 2d; в) а • Ь; г)
Ь
4. Известно, что -4 < х < -1,2, -2 < у < -1,5. Какие целые зна-
5
чения может принимать выражение ху н—?
х
Вариант 2
1. Известно, что а < Ъ < 0, с < а. Сравните числа: а) 2а и 2с;
б) -0,3а и -0,3d; в) - и -; г) - и -; д) ас и ab.
а Ъ ас
2. Расставьте в порядке возрастания: 0, 3, -, -2d, 1, d2, Ъ при
b > 3. ь
3. Пусть 2 < а < 4, 1 < Ь < 3. Найдите, в каких пределах нахо-
дится выражение: а) За + Ь\ б) 5а - 2d; в) а • Ь; г) —.
Ъ
4. Известно, что -3 < х < -1, -3 < у < -2. Какие целые значения
может принимать выражение?
Вариант 3
1. Известно, что 0 < а < b9 Ъ < с < d. Сравните числа: а) 7а и 7с;
б) - — и - —; в) — и —; г) d - а и с - Ъ; д) а + 5 и Ъ + 5.
10 10 ас
с 1
2. Расставьте в порядке возрастания числа: 0, с, -2, —, -, 1 при
3. Пусть 1 < а <2, 2 < Ь < 4. Найдите, в каких пределах нахо-
дится выражение: а) а + 2Ь; б) За - Ъ; в) а • Ъ; г) —.
а
5
4. Известно, что 2<х< —, 1,5 < у <2. Какие целые значения
может принимать выражение Зху + — ?
У
50
Вариант 4
1. Известно, что 0 < а < b, Ъ < с < d. Сравните числа: а) За и Зе;
б) и ; в) — и г) а + с и b + d; д) а+3 и b + 3.
5 5 а с
2. Расставьте в порядке возрастания числа: 0, с, 1, -, -1, с2 при
-1 < с < 0. с
3. Пусть 2 < а < 3, 3 < д < 5. Найдите, в каких пределах нахо-
дится выражение:
а) 2а + Ъ; б) 2а - 3; в) а • Ъ; г) —.
а
4. Известно, что 2 < х < 10, 1 < у < 5. Какие целые значения
может принимать выражение 3xz/+ —?
С-39
Вариант 1
1. Докажите, что для всех действительных значений а > -2
а а + 3
справедливо неравенство ——- < —
2. Докажите, что для положительных значений а выполняется
неравенство а2+-^- а + 5 + — 14.
V а2 Д а)
3. Докажите, что для всех действительных значений х и у вы-
полняется неравенство х4 + у4 + 32 16xz/.
4. Про числа a, d, с, d известно, что a + d + c + d = 4 и
0 а с d. Докажите, что с 2.
Вариант 2
1. Докажите, что для всех действительных значений a > -1
a + 5 a + 7
справедливо неравенство —-j-y > —-j-^.
2. Докажите, что для положительных значений а выполняется
неравенство — + < -у + .
3. Докажите, что для всех действительных значений х и у
выполняется неравенство х2 + у2 2 (х + у - 1).
4. Про числа хх, х2, х3, х4, х5 известно, что хх + х2 + х3 +
+ х4 + х5 = 1 и 0 ^Xj ^х2 ^х3 х4 ^х5. Докажите, что х3 С —.
о
51
Вариант 3
1. Докажите, что для всех действительных значений а > -1
а + 5 а 4- 6
справедливо неравенство —— > —
2. Докажите, что для положительных чисел а выполняется не-
равенство 9а2 4—2а 4- 3 4- — > 10.
I 9а2 ) I 2а)
3. Докажите, что для всех действительных значений х и у
выполняется неравенство х8 4- у8 4- 18 12х2у2.
4. Про числа a, d, с, d известно, что
O^a^d^c^d. Докажите, что Ъ 2.
и
a4-d4-c4-d = 4
Вариант 4
Докажите, что для всех действительных значений a > -2
a 4-1 > a - 1
a 4- 4 a 4- 2 ’
справедливо неравенство
2. Докажите, что для положительных значений а выполняется
2 a3 11
неравенство — 4- — — 4- —.
3. Докажите, что для всех действительных значений х и у вы-
q q X6 Z/6
полняется неравенство ха 4- у - 1 — 4- —.
4. Про числа хр х2, х3, х4, х5 известно, что х14-х24-х34-
+ х4 +х5 = 1 и 0 ^Xj х2 х3 ^х4 ^х5. Докажите, что х2
Стандартная запись числа.
Приближенные значения величин
С-40
Вариант 1
1. Запишите в стандартном виде значение выражения
(2,35 • 104) • (5,2 • 103).
2. При взвешивании детали оказалось, что вес находится в пре-
делах от 53,65 до 53,71 кг. Какова абсолютная погрешность
этого взвешивания и истинный вес детали?
3. Применяемый в лаборатории прибор для измерения темпера-
туры выполняет измерения с относительной погрешностью
0,2%. В результате измерения температуры получили резуль-
тат 94 °C. В каких границах лежит точное значение темпера-
туры?
52
Вариант 2
1. Запишите в стандартном виде значение выражения
(9,734 • 105) : (3,14 • 103).
2. При измерении длины беговой дорожки оказалось, что ее дли-
на находится в пределах от 60,1 до 60,7 м. Какова абсолют-
ная погрешность измерения и истинная длина дорожки?
3. При лабораторном взвешивании на весах, которые дают изме-
рения с относительной погрешностью 0,1%, получили вели-
чину 275 г. В каких границах лежит точное значение веса?
Вариант 3
1. Запишите в стандартном виде значение выражения
(7,324 • 104) • (3,25 • 103).
2. При измерении длины бруса оказалось, что длина находится
в пределах от 5,65 до 5,71 м. Какова абсолютная погрешность
этого измерения и истинная длина бруса?
3. Применяемый в лаборатории прибор для измерения силы
тока выполняет измерения с относительной погрешностью
0,1%. В результате измерения получили результат 5,6 А.
В каких границах лежит точное значение силы тока?
Вариант 4
1. Запишите в стандартном виде значение выражения
(4,238 • 104) • (2,78 • 103).
2. При взвешивании кристалла на аналитических весах оказа-
лось, что вес находится в пределах от 12,372 до 12,375 мг.
Какова погрешность этого взвешивания и истинный вес крис-
талла?
3. Прибор для измерения радиации дает измерения с относи-
тельной погрешностью 0,25%. В результате измерения полу-
чили результат 8,72 рентген. В каких границах лежит точное
значение уровня радиации?
С-41
Вариант 1
1. Найдите приближенное значение выражения
0,417 • 23,2 + 0,56 : 0,384 - 0,8514.
2. Для изготовления двухкомпонентного удобрения смешали
5,387 ± 0,0005 кг одного удобрения и 6,91 ± 0,005 кг другого
удобрения. Каков вес полученной смеси?
3. Докажите, что при | х | < 0,001 абсолютная погрешность фор-
мулы (1 + х)3 ~ 1 + Зх не больше 1% от | х |.
53
Вариант 2
1. Найдите приближенное значение выражения
0,006 • 47,1 + 0,0422 : 0,018 - 0,237.
2. Найдите периметр прямоугольного участка, если известны
длины его сторон: а = 10,66 ± 0,005 м и Ь = 12,983 ± 0,001 м.
3. Докажите, что при | х | < 0,001 абсолютная погрешность фор-
мулы —-— ~ 1- х не больше 1% от |х|.
1 + х
Вариант 3
1. Найдите приближенное значение выражения
0,328 • 12,3 + 0,65 : 0,128 - 0,6315.
2. Для изготовления лекарства смешали 5,4 ± 0,05 г одного ве-
щества и 6,75 ± 0,005 г другого вещества. Каков вес получен-
ной смеси?
3. Докажите, что при | х | < 0,01 абсолютная погрешность фор-
мулы ——- ~ 1 - х3 не больше 0,01% от |х|.
1 + х3
Вариант 4
1. Найдите приближенное значение выражения
0,06 • 17,2 + 0,0344 : 0,012 - 0,352.
2. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если изме-
рения его сторон дали следующие результаты:
а = Ь = 8,65 ± 0,005 м и с = 5,76 + 0,001 м.
3. Докажите, что при | х | < 0,01 абсолютная погрешность фор-
мулы (1 + х)2 ~ 1 + 2х не больше 1% от | х |.
Квадратный корень из числа
С-42
Вариант 1
1. Вычислите:
1 - л/^09 • V81 + 732 + 42 • V0,0625.
2. Расположите в порядке возрастания числа 2V5, V10, Зл/2,
определив, в каких пределах находятся указанные числа.
3. Докажите, что треугольник АВС с вершинами А (1; 3),
В (2; 5), С (3; 2) равнобедренный.
54
Вариант 2
1. Вычислите:
2. Расположите в порядке возрастания числа 2 VT, V14, 3-/5,
определив, в каких пределах находятся указанные числа.
3. Докажите, что треугольник АВС с вершинами А (1; 1),
В (3; 5), С (-1; 3) равнобедренный.
Вариант 3
1. Вычислите: - VO,0016 • 736 + 752 - 42 • 70,0256.
2. Расположите в порядке возрастания числа 2-Уз, -Уб, Зд/2,
определив, в каких пределах находятся указанные числа.
3. Докажите, что треугольник с вершинами А (2; 1), В (6; 1),
С (2; 4) прямоугольный.
Вариант 4
1. Вычислите: ^5 | - 7^09 • 7121 + 7б2 - З2 • 70,0225.
2. Расположите в порядке возрастания числа 5д/2, V14, 2-75,
определив, в каких пределах находятся указанные числа.
3. Докажите, что треугольник с вершинами А (1; 2), В (6; 2),
С (1; 5) прямоугольный.
С-43
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) х2 + 5 = 0; б) (х + З)2 = 25; в) 4 + 7-25х = 7.
yja2 - J4a2 - 4а + i
2. Упростите выражение ------------- при а > 1.
1 - а
3. Найдите область допустимых значений выражения
77^з+—^+5 .
7х2 - Юх + 25
4. Запишите без знака модуля выражение |2х —1| + -———
|х + 2|
55
Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) х2 + 7 = 0; б) (х - 4)2 = 36; в) 11-4 лДбх = 3.
л/ба + 5 + da2 + 8а2 + 16
2. Упростите выражение 2----------------- при а < -3.
2а + 6
3. Найдите область допустимых значений выражения
4. Запишите без знака модуля выражение 2 (х + | х |)---.
х2 + 1
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) х2 + 12 = 0; б) (х - 7)2 = 16; в) 4 + Т=5х = 5.
da2 + 7 + 2 d$a2 - 6а2 +Т i
2. Упростите выражение ------------------------ при а < —.
3. Найдите область допустимых значений выражения
д/4х2 + 8х + 4
о
4. Запишите без знака модуля выражение | х - 3 | + ---.
| 2х + 1|
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) х2 + 15 = 0; б) (х - 2)2 = 9; в) 5 + Лх = 4.
л/За2 - 2а - J~4a4 - 4а2 -ГТ
2. Упростите выражение ---------------------- при а > 1.
1 - а
3. Найдите область допустимых значений выражения
V9 - 6х + х2
, „ , । „ „| 3 - I х - 11
4. Запишите без знака модуля выражение Зле — 2-;.
2х + 1
56
С-44
Вариант 1
1. Вычислите:
a) 73 -727 +722 •
в) 775 + 1 775 - 1
ТТб - 1 775 + 1
б) у/б + ТИ • Тб-711 + (2 + 7з) J2 ;
V2 + 7з
2. Расставьте в порядке возрастания числа Зл/З, 2-Уб,
(а - 5) -Ул - 5 при а > 8.
3. Вынесите общий множитель за скобки:
105 ^0,36 • Ь2с3 - у/4Ь4с5 при условии Ъ < 0, с > 0.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
Вариант 2
1. Вычислите:
a) 72 • 798 + ТЗЗ • в) У?. + 7f .
’П Тз + Тб >13- Тб
б) 77 + 713 • 77 - 713 + (3 + Тб) J3"^;
V 3 + v5
2. Расставьте в порядке возрастания числа ЗТ7, 5Тб,
(а + 2) Та+ 2 при 2 а < 3.
3. Вынесите общий множитель за скобки:
а2 у/9а3с6 - 10с ^0,098а5с2 при условии а > 0, с < 0.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
7з-75
7з + 75 +78'
Вариант 3
1. Вычислите:
в) 7710 + 1 7710-1
TTio-1 7710 + 1’
б) 78 + 715 • 78-715 + (4 + 712) /4~ 712 .
1/4+712
57
2. Расставьте в порядке возрастания числа ЗУб, 2У7,
(а + 3) Уа + 3 при а > 1.
3. Вынесите общий множитель за скобки:
8а • a2d4c3 + У128а4д3с2 при условии а < О, Ь > 0, с > 0.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
Уб-У2
У2 +Уб +У7 ’
Вариант 4
1. Вычислите: a) Уз • У108 + У34 • ;
б) У9 + У17 • У9-У17 + (6 + УП) J6 ~ /П ;
V 6 + УП
в) ( У2 + Уз _ У2 - Уз j _ 1
1У2-УЗ У2 + Уз J Уз’
2. Расставьте в порядке возрастания числа 4У2, 2У7,
(а - 4) Уа - 4 при 4 < а 7.
3. Вынесите общий множитель за скобки:
6с У27а4д4с2 - У8,1а3д4с2 при условии а > 0.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби
У7-Уз
Уз + У7+ У!о‘
С-45
Вариант 1
1. Выполните действия:
а) 2Уб+^|-4^|; б) (1 + -Jb + УТЛ) (1 + 4b - УТЛ).
2. Сократите дробь: а) ; б) —~
УЗ-У2 зУа+2У&
о Уа3Ь2 + Уа2д3 X Уттппртитр* 2 Уа5д5 > О h > О
Уа3Ь2 - Уа2Ь3 о, а3Ь2 - а2Ь3 ’ Vj и V•
4. Вычислите: ^7 + -^2 Уб - ^7 - -/2 Уб .
58
Вариант 2
1. Выполните действия:
3) 5721 + ^-9^;
б) (V2 + УЗа + -У За + 2) (V2 + -УЗа - УЗа + 2).
on Л а 8 + 2-У15 7а -9Ъ
2. Сократите дробь: а) —=--б) —==-----------
V3 + л/5 + 3 4b
_ _т Ja4b2 + 2a3d3 + a2d4 Ja3b2 + а2д3 - 1
3. Упростите: -—, ---------—----—--— , a>b> О
^(а-Ь)-(а2 -Ь2) {4а - VF) -(Va + VF)
4. Вычислите: ^9 + 4 V2 - ^9 - 4 V2 .
Вариант 3
1. Выполните действия:
а) 4715-6^ + 10^;
б) (Уз + 45с + -J5c + 3) (Уз + 45с - У5с + 3).
on л 7 + 2 У10 5а — 4Ь
2. Сократите дробь: а) ——-б)
42+45 444-24b
3. Упростите выражение
44а6Ь2 + 12а5&3 + 9а4Ь4~ 72а7М - За6Ь5
7(2а + ЗЬ)(4а2 -9b2) (42а - 43b) (42а + 43b) ’
4. Вычислите: J13 + 4 V3 - -J16 - 8 л/З .
Вариант 4
1. Выполните действия:
а) 7Т10-10^+41/|;
б) (45 + 42с + 42с + 5) (45 + 42с - 42с + 5).
2. Сократите дробь: а) ——-б) ——-------==.
45+45 а4?+4зъ
3.
V_____________________ >/8а3Ь2 + V4a2fe3 V128a5&5
Упростите выражение ---,--------------------.
4344b2 - V4a2fe3 8a3b2 - 4а2£>3
4. Вычислите: ^/19 + 6 42 - ^19 - 6 V2 .
59
Доказательство тождественных неравенств
С-46
Вариант 1
у Ч- 2
1. Докажите справедливость неравенства —===== > 2 для всех
значений х > -1. х + 1
2. Используя неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим двух чисел, докажите выполнение
неравенства а4 4- 2d4 + с4 4асЬ2 для всех положительных зна-
чений а, Ь, с.
Вариант 2
1. Докажите справедливость неравенства - - - 4 для всех
значений х > 3. vx - 3
2. Используя неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим двух чисел, докажите справедли-
вость неравенства а6 4- 2d6 4- с6 4асЬ3 4ас для всех положи-
тельных значений а, Ъу с.
Вариант 3
X 4- 11
1. Докажите справедливость неравенства - - - 6 для всех
Vx + 2
значений х > -2.
Докажите, что для любых положительных значений а и Ь вы-
полняется неравенство — 4- — 2.
Ъ а
2. Используя неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим двух чисел, докажите выполнение
(1 о 1^1
неравенства (а 4- 2Ь 4- с) —I- —ь - > 16 для всех положи-
ла Ъ с)
тельных значений а, Ь, с.
Вариант 4
1. Докажите справедливость неравенства 8 для всех
Vx - 2
значений х > 2.
Докажите, что для любых а и Ь, отличных от нуля, выполня-
1 1^2
ется неравенство — 4- — .
а2 Ъ2 ab
2. Используя неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим двух чисел, докажите выполнение
неравенства — 4- - 4- - —= 4- 4- —= для всех положи-
а Ь с у!Ъс Jac Jab
тельных значений а, д, с.
60
Решение квадратных уравнений.
Теорема Виета
С-47
Вариант 1
1. Найдите корни квадратного уравнения или докажите, что оно
не имеет корней:
а) Зх2 + 5х = 0; б) 5х2 + 4 = 0; в) 4 (х - 2)2 - 64 = 0.
2. Решите уравнение, используя выделение полного квадрата
и разложение на множители:
а) 3 (х + 5) (х - 1) = 9 (х + 2); б) (2х + З)2 - 8 = 4х + 6.
3. Составьте квадратное уравнение, имеющее коэффициент
при х2, равный 5, а корни -2 и 3.
Вариант 2
1. Найдите корни квадратного уравнения или докажите, что оно
не имеет корней:
а) 5х2 - 7х = 0; б) 4х2 + 1 = 0; в) 9 (х + З)2 - 25 = 0.
2. Решите уравнение, используя выделение полного квадрата
и разложение на множители;
а) 2 (х - 3) (х + 4) = 4 (х + 9); б) (Зх - I)2 - 5 = 6х - 2.
3. Составьте квадратное уравнение, имеющее коэффициент
при х2, равный 4, а корни -1 и 5.
Вариант 3
1. Найдите корни квадратного уравнения или докажите, что оно
не имеет корней:
а) 7х2 - 5х = 0; б) 4х2 + 3 = 0; в) (х + 5)2 - 36 = 0.
2. Решите уравнение, используя выделение полного квадрата
и разложение на множители:
а) 12 (х + 2) (х - 4) = 24 (2х + 16); б) (Зх - I)2 - 1 = 6х - 2.
3. Составьте квадратное уравнение, имеющее коэффициент
при х2, равный 2, а корни 2 и 3.
Вариант 4
1. Найдите корни квадратного уравнения или докажите, что оно
не имеет корней:
а) Их2 - 8х = 0; б) 13х2 + 5 = 0; в) 4 (2х - I)2 - 64 = 0.
2. Решите уравнение, используя выделение полного квадрата
и разложение на множители:
а) (х - 5) (х + Ъ) = Зх + 5; б) (5х + З)2 - 7 = 10х + 6.
3. Составьте квадратное уравнение, имеющее коэффициент
при х2, равный 3, а корни -3 и 2.
61
С-48
Вариант 1
1. С помощью формул решения квадратных уравнений найдите
корни уравнения:
а) Зх2 + 5х - 2 = О; б) х2 + 6х + 7 = 0; в) V7x2 - 12х = 4V7.
2. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:
а) 5х2 - 7х + 2 = 0; б) Зх2 + 4х - 3 = 0; в) х2 - 4х + 5 = 0.
3. Докажите, что если в уравнении ах2 + 5х + с = 0 коэффициен-
ты а и с имеют одинаковые знаки и а2, 4- с2 12, то уравнение
имеет два различных корня.
Сократите дробь
х2 - Ьх 4- (2аЬ - 4а2)
х2 4- 2ах 4- (2аЬ - Ь2)
Вариант 2
1. С помощью формул решения квадратных уравнений найдите
корни уравнения:
а) 2х2 - 7х + 3 = 0; б) х2 - 8х - 13 = 0; в) -УЗх2 - х = V3.
2. Из данных уравнений выберите те, которые имеют два раз-
личных корня:
а) Зх2 + 7х - 2 = 0; б) Зх2 - 2 73х + 1 = 0; в) 7х2 + 4х + 2 = 0.
3. Докажите, что если в уравнении ах2 + 7х + с = 0 коэффициен-
ты а и с имеют одинаковые знаки и а2 + с2 24, то уравнение
имеет два различных корня.
4.
Сократите дробь
х2 + Зах + (бад - 4&2)
х2 - бах - (Юад + 4&2)
Вариант 3
1. С помощью формул решения квадратных уравнений найдите
корни уравнения:
а) Зх2 - 14х -5 = 0; б) х2 - 5х + 3 = 0; в) -Убх2 - -Уб = 6х.
2. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:
а) 2х2 - Их + 14 = 0; б) х2 - 2х - 12 = 0; в) 5х2 - 9х + 6 = 0.
3. Докажите, что если в уравнении ах2 + Зх + с = 0 коэффициен-
ты а и с имеют одинаковые знаки и , то уравнение
а2 с2 2
не имеет действительных корней.
4. Сократите дробь —--------------—.
х2 - 4ах + (4аЬ - Ь2)
62
Вариант 4
1. С помощью формул решения квадратных уравнений найдите
корни уравнения:
а) 4х2 + 7х + 3 = 0; б) х2 - 12х + 27 = 0; в) Тбх2 - 2 л/ё = 8х.
2. Из данных уравнений выберите те, которые имеют два раз-
личных корня:
а) 2х2 - 13х +16 = 0; б) х2 - 4х - 1 = 0; в) 7х2 - 9х + 4 = 0.
3. Докажите, что если в уравнении ах2 - 8х + с = 0 коэффициен-
ты а и с имеют одинаковые знаки и , то это урав-
а2 с2 8
нение не имеет действительных корней.
. _ х2 - бах 4- (6аЬ - Ь2)
4. Сократите дробь —--------------—.
х2 4- Зах - (Зад 4- Ь2)
С-49
Вариант 1
1. Один из корней уравнения х2 - х 4- с = 0 равен 2. Найдите
другой корень и коэффициент с.
2. Дано уравнение х2 4- рх 4- 1 = 0, корни которого хх и х2.
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны
х + хи_^ + _
Х1 х2 хг 4- 1 х2 4- 1
3. Докажите, что если а 4- Ь 4- с = 0, то уравнение ах2, 4- Ьх 4- с = 0
имеет корни хг = 1, х2 = —.
а
Вариант 2
1. Один из корней уравнения 2х2 4- Ьх 4- 6 = 0 равен 3. Найдите
другой корень и коэффициент Ь.
2. Дано уравнение х2 4- рх 4- 2 = 0, корни которого хг и х2.
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны
| Х1 - х2 I и —-- .
*1 х2
3. Докажите, что если а - Ь 4- с = 0, то уравнение ах2 4- Ьх 4- с = 0
имеет корни хг = -1, х2 = - —.
а
Вариант 3
1. Один из корней уравнения ах2 - 4х 4- 2 = 0 равен -2. Найдите
другой корень и коэффициент а.
2. Дано уравнение х2 4- рх - 1 = 0, корни которого хг и х2.
63
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны
*1 + *2 И + Л-’
Xj2 X2
3. Докажите, что если а + Ь - с = 0, то уравнение ах2, 4- Ъх - с = О
имеет корни хг = 1, х2 = .
а
Вариант 4
1. Один из корней уравнения х2 4- Ъх 4- с = 0 равен V3. Найдите
целые значения коэффициентов Ъ и с.
2. Дано уравнение х2 4- рх - 2 = 0, корни которого хг и х2.
Составьте квадратное уравнение, корни которого равны
Х1 Х2 (1 Х1 V-. Х2
х2 Х1 к Х2 ) к Х1 )
3. Докажите, что если а 4- Ъ 4- с = 0, то уравнение ах2 - Ьх 4- с = О
имеет корни х1 = -1, х2 = - —.
Решение уравнений и задач,
приводящих к квадратным уравнениям.
Системы нелинейных уравнений
С-50
Вариант 1
. _ 2у - 1 3z/ 4- 4
1. Решите уравнение --=------.
У + 7 у - 1
2. Два куска латуни имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит
5 кг чистой меди, а второй кусок — 4 кг. Сколько процентов
меди содержит первый кусок латуни, если второй содержит
меди на 15% больше первого?
3. Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дня. Сменив-
шая ее бригада закончила работу за 6 дней. Сколько дней вы-
полняла бы задание каждая из бригад, если известно, что вто-
рая бригада выполняла бы задание на 5 дней больше первой?
Вариант 2
х — 1 2х — 3
1. Решите уравнение --=------.
х 2 х + 1
2. Сплав золота с серебром, содержащий 8 г золота, сплавлен
с 10 г чистого золота. В результате содержание золота в спла-
ве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%.
Сколько серебра в сплаве?
64
3. Рабочий выполняет задание на 2 ч быстрее, чем ученик. По-
сле того как рабочий проработал один 2 ч 20 мин, к нему при-
соединился ученик и они через час закончили работу. Сколь-
ко времени понадобилось бы рабочему для выполнения зада-
ния одному?
Вариант 3
1 О У + 3 У - 2
1. Решите уравнение ----j = -——.
2. Площадь приусадебного участка прямоугольной формы равна
600 м2. Найдите длину и ширину приусадебного участка, если
длина на 10 м больше ширины.
3. Учебник первоначально стоил 50 р. После двух последова-
тельных снижений цен он стал стоить 36 р. При этом процент
снижения во второй раз был в 2 раза больше, чем процент
снижения в первый раз. На сколько процентов снижалась
цена в первый раз?
Вариант 4
у _ 7 Y _ 1
1. Решите уравнение ----=-------.
2x4-3 3x4-4
2. Велосипедист, имея среднюю скорость на 10 км/ч больше,
чем его соперник, прошел дистанцию 60 км на 30 мин быст-
рее соперника. С какой средней скоростью двигался его сопер-
ник?
3. Лыжник прошел 39 км в безветренную погоду. После чего
поднялся ветер, дувший ему в спину, и лыжник прошел
оставшиеся 90 км со скоростью на 3 км/ч выше, чем прежде.
В результате он пришел в конечный пункт на 1 ч раньше. Ка-
кая скорость была у лыжника в безветренную погоду?
С-51
Вариант 1
1. Решите уравнение:
а) х4 - 5х2 4-4 = 0;
б) (х2 - З)2 + Зх2 - 7 = 0;
V2x - 1 + 1 + V2x - 1 + 2
„ „ , (2х + I)4 - 4(2х + I)2 - 45
2. Сократите дробь -----------------------.
X3 4- X2 4- X - 3
3. Докажите, что если в уравнении х4 4- Ъх2 4- с = 0 с < 0, то
уравнение не может иметь четыре различных корня.
4*. Решите уравнение х4 - 5х3 4- 6х2 - 5х 4- 1 = 0.
3 Сурпилло
65
Вариант 2
1. Решите уравнение:
а) х4 - 8х2 + 15 = 0;
б) (х2 + х)2 - Зх2 - Зх - 4 = 0;
в) f х -------
л/Зх 4- 2 v3x + 2 + 1
о п , (5х + 2)4 - 3 (5х + 2)2 - 4
2. Сократите дробь ----------------------.
5х3 4- 4х2 4- X
3. Докажите, что если уравнение х4 4- Ьх2 4- с = 0 имеет четыре
различных корня хп х2, х3, х4, то хх 4- х2 4- х3 4- х4 = 0.
4*. Решите уравнение 6х4 4- 7х3 - 36х2 - 7х + 6 = 0.
Vx + 7 Vx + 7 4- 3
Вариант 3
1. Решите уравнение:
а) х4 - х2 - 12 = 0; в)
б) (2х2 - I)2 + 4х2 - 5 = 0;
о п . (х + З)4 + 2 (х + З)2 - 3
2. Сократите дробь -------------------.
X3 4- х2 - 2х
3. Докажите, что если биквадратное уравнение ах4 4- Ьх2 4- с = 0
имеет действительные корни, то их сумма равна нулю.
4*. Решите уравнение х4 - Зх3 4- 4х2 - Зх 4- 1 = 0.
Вариант 4
1. Решите уравнение:
а) х4 - 4х2 -5 = 0;
б) (х2 - х)2 - 4х2 4- 4х - 12 = 0;
V2x + 1 + >/2х + 1+3
о n . (2х - I)4 - 8 (2х - I)2 - 9
2. Сократите дробь -----------------------
х3 + х2 - 4х - 4
3. Для биквадратного уравнения х4 + Ьх2 + с = 0 известно, что
Ь > 0, с > 0. Докажите, что уравнение не имеет действитель-
ных корней.
4*. Решите уравнение х4 - 6х3 + 7х2 - 6х + 1 = 0.
С-52
Вариант 1
1. Решите систему уравнений:
2х - у = 3, б (Зх2 - ху - 2у2 = 0,
ху = 2; [х2 + у2 = 2
в*)
х2у + ху2 = 12,
1 + 1 = з.
I* У
66
Вариант 2
1. Решите систему уравнений:
ч |3х + у = 5, _ (х2 - 2ху - Зу2 = О,
аИ о б> 2 2 л
[ху = 2; |х2 + у2 = 4;
в*)
X2 4- у2 = 18,
— + — = 6.
У х
Вариант 3
1. Решите систему уравнений:
|5х - у = 2, (5х2 - 6xz/ 4- у2 = 0, (2х + 2у - ху = -2,
} [ху = 7; ' [х2 + у2 = 4; ' (х2 + у2 = 1.
Вариант 4
1. Решите систему уравнений:
|4х - у = -6, (х2 - ху - 2у2 = 0, fax2 - ху + Зу2 = 5,
[ху = -2; [2х2 4- у2, = 3; [х 4- у - ху = -3.
Уравнения и системы уравнений с параметрами.
Уравнения, содержащие знак модуля
С-53
Вариант 1
1. При каких значениях параметра а уравнение
х2 - (2 - а) х - 2а = О
имеет два различных положительных корня?
2. При каких натуральных значениях п корни хх и х2 уравнения
х2 - (1 4- п) х - 3 = 0 удовлетворяют соотношению хх = -Зх2?
3. При каких значениях параметра р система
не имеет решений?
х2 - 2ху = р,
х - Зу = -2
Вариант 2
1. При каких значениях параметра а уравнение
х2 4- (1 - 2а) х - 2а = О
имеет два различных отрицательных корня?
2. При каких натуральных значениях k уравнение
Зх2 - kx - 12 = 0 имеет корни хг и х2, удовлетворяющие со-
отношению 2хг 4- х2 = 2?
о тт f*2 - 3xz/ = -5а,
3. При каких значениях параметра а система < *
[х - у = 2
не имеет решений?
67
Вариант 3
1. При каких значениях параметра а уравнение
(х + 1) (х 4- а) + (х + 3) (х - а) = 0 имеет два различных отри-
цательных корня?
2. Найдите все значения параметра а, при которых корни урав-
Q
нения х---= -2а удовлетворяют условию хг = -5х2.
х
о т-г \х2 - ху = 2р,
3. При каких значениях параметра р система < *
не имеет решений?
Вариант 4
1. При каких значениях параметра а уравнение
(х 4- 1) (х - 2а) 4- (х 4- 3) (х 4- 2а) = 0 имеет два различных от-
рицательных корня?
2. Найдите все значения параметра а, при которых корни урав-
3
нения х---= а 4-1 удовлетворяют условию хг = -2х2.
х
о тт 2х2 - Зху =-р,
3. При каких значениях параметра р система < 2
не имеет решений?
С-54
Вариант 1
I X - 2 I 4- 3
1. Решите уравнение: а) --------- = 2; б) | 1 - Зх2 | = х2.
7 - | х - 2|
2. Решите уравнение |х-2|-|х + 3| + |2х + 3| = 2.
3*. Найдите корни уравнения х2 — 4 | х | 4- р = О в зависимости
от значений параметра р.
Вариант 2
1x4-11-4
1. Решите уравнение: а) !---—!--- = 1; б) | 2 - 7х2 | = х2.
8 - I X 4- 1|
2. Решите уравнение |2х-1| + |х + 2|-|Зх-7| = 3.
3*. Найдите корни уравнения х2-2|х|4-а = 0 в зависимости
от значений параметра а.
Вариант 3
1. Решите уравнение: a) +..?. = 2; б) | 2 - 5х2 | = 2х2.
1 4- I 2х - 1|
2. Решите уравнение |х + 3| + |2х + 1|-|х-4| = 2.
3*. Найдите корни уравнения х2 - 6 | х | - 2р = О в зависимости
от значений параметра р.
68
Вариант 4
-g т> \ | 3 2х | + 7 _ I .. о 21 л 2
1. Решите уравнение: а) '---!---- = 3; б) 11 - 8xz| = 4х<
2 + I 3 - 2х I
2. Решите уравнение |х-5|-|Зх + 5| + |7-х| = 3.
3*. Найдите корни уравнения х2-12|х|4-р = 0 в зависимости
от значений параметра р.
Графический метод решения уравнений
и систем уравнений
С-55
Вариант 1
1. Решите графически уравнение | 3 - х | - | х - 1| = 0.
2. Решите графически уравнение ;—- - | х - 11 = 0.
1*1
_|_ j»2 _ 2
4у - Зх = 0.
Вариант 2
1. Решите графически уравнение |2-х|-|х+1| = 0.
2. Изобразите графически решение уравнения —Ц - | х - 2 | = 0.
И
о TI * \х2 4- у2 4- 2х - у = 0,
3. Изобразите графически решение системы < л
[4у 4- х = 0.
Вариант 3
1. Решите графически уравнение |х + 3|-|х-1| = 0.
п
2. Решите графически уравнение -—- = | х 4- 11.
I х I
Q т, - л. \х2 + У2 ~ - 2у = 4,
3. Изобразите графически решение системы < п
Вариант 4
1. Решите графически уравнение | х 4- 2 | - | х - 11 = 0.
2. Изобразите графически решение уравнения = | х 4- 2 |.
|х|
3.
Изобразите графически решение системы
X2 + у2 - X - у = ^,
у + Зх = 0.
69
Решение неравенств 1-й и 2-й степени
С-56
Вариант 1
1. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси:
а) 5 - 42 х <13-3 V2x; б) > 1 + -.
3 2 6
2. Решите неравенство 5х - 2 4- 7 > (3 4х 4- 1) (Vx - 1).
3. Найдите множество значений х, для которых точки прямой
у = 2х 4- 7 расположены ниже точек прямой у = - х 4- 3.
4. Найдите множество значений а, при которых имеет числовое
а ч- 7 >/2а 4" 9
значение выражение —==-----t - --.
>12-а у] а2 - 6а + 9
Вариант 2
1. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси:
а) Зх - 5 > 23 - 4х; б) х - + £±2- С
2 3 4
2. Решите неравенство 4 - 7х - 2х2 (2х 4- 3) (5 - х).
3. Найдите множество значений х, для которых точки прямой
х 2
у = — 4- 2 расположены выше точек прямой у = — х - 1.
3 5
4. Найдите множество значений а, при которых имеет числовое
л/За - 1 >/2а - 11
значение выражение------------------>
2 - a ^Ja2 _ 4д 4- 4
Вариант 3
1. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси:
а) 2 - ТЗх < 8+ 2 ТЗх; б) х - %*-+! + 3^2х xjJ.
3 2 6
2. Решите неравенство 2 - 4-/х 4- Зх 3= (4х - 1) (3 Vx + 1).
3. Найдите множество значений х, для которых точки прямой
у = Зх - 2 расположены выше точек прямой у = 6х 4- 1.
4. Найдите множество значений а, при которых имеет числовое
значение выражение ^.g -+-----~ _________.
1 у!4а2 -12а + 9
70
Вариант 4
1. Решите неравенство и изобразите решение на числовой оси:
а) 3-V2x>2x + 5; б) _ 2 - Зх
3 4 6
2. Решите неравенство 5 + Зх - 2х2 (2х - 1) (3 - х).
3. Найдите множество значений х, для которых точки прямой
у = 3 - 2х расположены ниже точек прямой у = 4х + 1.
4. Найдите все значения д, при которых имеет числовое значе-
л/ЗЬ - 1 , л/5 - 2Ь
ние выражение ______:----.
Ь2 - 4 ^Ь2 + 12Ъ+±
С-57
Вариант 1
1. Решите неравенство:
а) х2 + 2х - 15 0; б) 4х2 + 4х + 1 > 0; в) х2 + Зх + 3 < 0.
2. Найдите все целые решения неравенства
(х - I)2 2 (х - 1) (х - 3).
3. Найдите множество значений х, для которых выполняются
одновременно неравенства х2 - 1 > 0 и х2 - х < 0.
4*. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство
(а - 3) х2 - 2 (а + 1) х + 2а < 0 выполняется при любых зна-
чениях х.
Вариант 2
1. Решите неравенство:
а) х2 - 2х - 8 0; б) 9х2 - 6х + 1 > 0; в) х2 + 2х + 5 > 0.
2. Найдите все целые решения неравенства
(2х - I)2 (2х - 1) (3 - х).
3. Найдите множество значений х, для которых выполняются
одновременно неравенства х2 - 2 < 0 и х2 - 2х - 3 0.
4*. Найдите все значения параметра а, при которых решением
неравенства (а - 2) х2 - 2 (а + 3) х + За > 0 является пустое
множество.
Вариант 3
1. Решите неравенство:
а) х2 + 4х - 5 > 0; б) 9х2 - 6х + 1 > 0; в) х2 - Зх + 5 < 0.
2. Найдите все натуральные решения неравенства
(Зх + I)2 8 (х - 1) (х + 1) + 5х + 29.
71
3. Найдите множество значений х, для которых выполняются
одновременно неравенства х2 3 - 3 < 0 и х2 4- х - 6 < 0.
4*. Найдите все значения параметра р, при которых неравенство
рх2 - 2(р + х)х-2<0 выполняется при любых значениях х.
Вариант 4
1. Решите неравенство:
а) х2 - 5х + 6 0; б) 9х2 + 18х + 9 > 0; в) 7 - х - х2 > 0.
2. Найдите все целые положительные решения неравенства
(2х - I)2 < 3 (х - 3) (х + 3) + 10 (х + 1).
3. Найдите множество значений х, для которых выполняются
одновременно неравенства х2 - 4 0 и х2 4- 2х - 15 < 0.
4*. Найдите все значения параметра д, при которых решением
неравенства (д-1)х2-2(д + 1)х + д>0 является пустое
множество.
С-58
Вариант 1
2 х 4“ 7
1. Решите неравенство ——-j-y 1.
2. Найдите все натуральные числа и, для которых справедливо
(п-2)(п-7) _
неравенство ----------- 0.
(и - З)2
3. Найдите множество значений х, при которых имеет числовое
значение выражение J(x2 - 2х 4- 1) • ~ 5 .
V х + 3
4*. Найдите решение неравенства х2 4- (а - 8) х - 8а > 0 в зави-
симости от значений параметра а.
Вариант 2
Зх + 2 1
1. Решите неравенство -—— .
2. Найдите все натуральные числа и, для которых справедливо
(п + 1)(п-8) _
неравенство ----------0.
(и - 5)2
3. Найдите множество значений х, при которых имеет числовое
значение выражение J-—— (4х2 -12x4-9).
4*. Найдите решение неравенства х2 - (а 4- 3) х 4- За > 0 в зави-
симости от значений параметра а.
72
Вариант 3
2х + 5
1. Решите неравенство -----— < 1.
2. Найдите все натуральные числа и, при которых справедливо
неравенство ——0.
(П - 2)2
3.
Найдите множество значений х, при которых имеет числовое
значение выражение J(2x2 - 2j2x + 1)
Зх + 2
5 - 2х ’
4*. Найдите решение неравенства х2 + (р - 5) х - 5р < О в зави-
симости от значений параметра р.
Вариант 4
Зх — 7
1. Решите неравенство —----> 1.
2.
Найдите все натуральные числа
(7 - и) (и + 2)
неравенство ________ О.
Vn2 - 6га + 9
и, при которых справедливо
3.
Найдите множество значений х, при которых имеет числовое
значение выражение J(4x2 - 4-УЗх + 3) •
5х - 2
2х - 7
4*. Найдите решение неравенства х2 + (а - 3) х - За > 0 в зави-
симости от значений параметра а.
Решение систем неравенств
С-59
Вариант 1
1. Решите систему неравенств
О Y 2 X + 1 < О (
I 3 ’ б) [*2 - 10х + 34 < 5х - 16,
Зх - 1 > |х2 - 4х + 20 < 8х - 7.
5-х
2. Найдите множество значений х, для которых имеет числовое
V15 - Зх • J|6 + 5х - х2|
значение выражение ----------=====-----------.
у/х2 + 6х - 7
73
Вариант 2
1. Решите систему неравенств
3 72х ~ 4х * х + 2’ 1х2 + Зх - 7 5х - 4,
2х - 1 [х2 - 4х + 2 < 3 - х - х2.
. х + 3
2. Найдите множество значений х, для которых имеет числовое
V3-2x • J|4-3x-x2|
значение выражение -------=====----------.
74х2 - 5х + 1
Вариант 3
1. Решите систему неравенств
L. 5х-2 .
* + 2 ’ Iх2 ~8Х +2 < 4-Зх,
2х-ьЗ (х2 4- 10х - 9 > 8х + 6.
4х - 1
2. Найдите множество значений х, для которых имеет числовое
у/7 -2х • л/|3-5х+9х2|
значение выражение -------. .
д/х2 4-9x4-18
Вариант 4
1. Решите систему неравенств
о 5 + х < 4
ч ~з 4’ Гх2 - 5х + 9 < 7 - 2х,
a) s ° б) < Л
Зх - 2 2- Iх2 - х + 11 > Зх - 8.
. х 4- 1
2. Найдите множество значений х, для которых имеет числовое
Jx2 + 7х + 12 • V5 - 2х
значение выражение -------—=====---------.
VI 7 + 4х + 4х2|
С-60
Вариант 1
1. Изобразите на координатной плоскости решение системы не-
равенств
ч \у - Зх > 1, _ [х2 + у2 - 4х - 6г/ 3,
а|Ъ + 5«<1; б) |зх - 2у ? -в.
2. Изобразите на координатной плоскости решение неравенства
а) >1; б*) | у - Зх | > 2.
У + х
74
Вариант 2
1. Изобразите на координатной плоскости решение системы не-
равенств
1г/ - Зх 1, [х2 + z/2 - 4х - 4z/ 8,
а) -г б) < я *
[2у + х 2; [у + 2х 4.
2. Изобразите на координатной плоскости решение неравенства
х + 3 < ।
- 2х
б*) I х - 2у I «S 3.
Вариант 3
1. Изобразите на координатной плоскости решение системы не-
равенств
12у - Зх > у + 1,
[г/ + 5х < Зх + 1;
б)
х2 + у2- х- у^^,
и
4у + х > 0.
2. Изобразите на координатной плоскости решение неравенства
а) Зх -1 > 1; б*) । Зх + 2 । > 1.
У + 5
Вариант 4
1. Изобразите на координатной плоскости решение системы не-
равенств
ч (у + 4х > 2х - 1, _ [х2 + у2 + 2х - Зу 3,
а) < б) < у
[Зу - 5х < 2у + 1; [4у - Зх > 0.
2. Изобразите на координатной плоскости решение неравенства
а) 2х ~3 < 1; б*) I 2х - Зу I 5= 3.
У + 1
ТЕСТЫ
Дроби
ТЕСТ 1
Вариант 1
1. Вычислите без помощи калькулятора:
Г _ \2 / \2
116 * 564 *1^) "160 i) -3; 2) 48; 3) 153;
1---------------------• 4) 18; 5) 13.
о w - « - , 2а2-ЗаЪ + Ьъ
2. Найдите значение алгебраической дроби ------—------- при
а =-2, & = -1. 1) 1; 2) -1; 3) -2; 4) 0; 5) 2.
о ас2 - 3&С
3. Сократите дробь --------.
ас - ЗЬс
1) с; 2) 1; 3) 4) 5)
а — Зо —2 а — 3
(2а3 х4)5
4. Упростите выражение -------г—.
Х°)
1) 2) 3) — а14х19; 4) 32aL; 5) 16 7
’ Зх2 243х 7 81 ’ 81х4 81
_ „ ~ 2,4а2у ..,094
5. Приведите дробь ----- к знаменателю 14хауг2*.
3,5xz
2,4а2у 2,4a2x3i/3z4 9,6a2x2z/3z3
14x3i/2z4 ’ 14x3i/2z4 ’ 14x3z/224
a2x3y3z4 . x3y2z4
14x3y2z4 9 14xsy2z4
Вариант 2
1. Вычислите без помощи калькулятора:
( 1 У fi V
I14) * 428 49) -18° i) -3; 2) 81; 3) 150;
----------у--------• 4) 84; 5) 13.
[з)
а2 — 4аЬ + Ь7
2. Найдите значение алгебраической дроби ---—------- при
а = -3, &=-1. 4; 2) —; 3) -4; 4) 5) -.
5 5 5
76
3.
Зах2 - 7 Ьх
Сократите дробь -----------.
2ах - 7Ьх
1) ЗХ; 2) Зх - 1; 3) -$g ~А; 4) 3axzJ_b. 5j 3
'2 ' ' 2а-7b 2а-7b ’ 2
. ,т (ЗЬ3,2)6
4. Упростите выражение -—-——.
(5d2i/5)4
ЗЬ . 9Ч 729d10. 3d10. 729Ь. 9Ь4
5i/3 625i/8 5z/8 625г/ 25 г/
_ „ 3,la3y2 -.-.^«94
5. Приведите дробь --------— к знаменателю ll,5x°azz.
2,3x2z
З,1а3г/2 3,la5x6y2z3 35,65a5 x3y2z3
ll,5x6a2z3 ’ ll,5x6a2z3 ’ ll,5x6a2z3
15,5a5x4y2z2 3,la5x4y2z2
ll,5x6a2z3 ’ 11,5х6а2г3
Вариант 3
1. Вычислите без помощи калькулятора:
( 1 У
-М •129 - 80
127 )
1) 32; 2) 243; 3) —;
2.
М2 4) 5) -81.
1з J 9
а2 + 5ad + Ь3
Найдите значение алгебраической дроби -------------- при
а = -1, Ь = 2. ЗЬ-а,
1) 1; 2) -1; 3) 1; 4) 5)
О < (
3.
Сократите дробь
5Ьу2 - 2ау
ЗЬу - 2ау
5у 5Ьу-2а^ 5&-2д.
3 ’ 9 ЗЬ-2а ’ ' ЗЬ- 2а'
4) |; 5) (,-1.
4. Упростите выражение ——
1) 2) 4aV-. 3) 4) 5)
з,2 у З,3 27,3 Зу
здь3,2 ,
5. Приведите дробь -------—— к знаменателю 10a°x4z .
2,5о х
З,1&31/2 3,1Ь3у2а3х423 . 12,4b3y2a3x2z3
10a5x4z3 ’ 10a5x4z3 ’ 10a5x4z3
39lb3y2a3x2z3 e b3y2
10a5x423 ’ 10a5x4z3
77
ТЕСТ 2
Вариант 1
1. Найдите произведение дробей и сократите получившуюся
6Ь2с 2х +
дробь, если это возможно: --------------—.
х + 2у 18Ьгу
b2c (2х + 4у) с (2х + 4j/) 2с 4) 54Ь4су 12Ь2с
(х+2у)Ь2у’ (х + 2у)у' Зу’ (х + 2у)2’ 18Ь2у'
2. Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь,
если это возможно:
3a3b3 . 9a5fe8 9а8Ьп . 2) 9а2Ь5
4х -5у ’ 12х - 15у ’ (4х - 5г/)2 ’ (4х - 5у)2 9
3) аЗЬ5Ц12* ~. .15у); 4) —Ц-; 5) а2Ь5.
За^Ь3 (4х - 5у) а2Ь5
3.
Выполните указанные действия и сократите получившуюся
7х 8и 52
дробь, если это возможно: — +------.
аЬ Ьс ас
7x+8z/-52 7 + 8yab - bzab
£ » ---------• 1 -------------• $ 1
abc ab
7xbc + 8yab - 5zbc - 3 _ 7xabc2 + 8ya2bc - 5zab2c
------------------; 5)
7сх + 8ау - 5bz
abc
4.
4)
ab2c2
Упростите выражение
(За } 2Ь
I Ь2с а2с
а2Ъ2с2
15а3 +10&3
За2Ь2с2
1)
О
2) Зс; 3)
15а3 +10b3
(За +2b)с. з
5а3 + 2Ь3 ’ 5 ‘
5. Выполните указанные действия:
(_^2(ЗаИ4 1) а~3а2^; 2) - 3) д2 ~81а8У.
U3) I У2 ) ’ У3 ’ У3 ’ У5
а2и2 — 81а8 а2у2 — 81а8
4> ——s-----’ 5> —п-------•
у& у14
Вариант 2
1. Найдите произведение дробей и сократите получившуюся
6х3г/ 4а + 6Ь
дробь, если это возможно: ------------—.
2а + ЗЬ 18х3а
х3у (4а + 6Ь) # у (4а + 6Ь) 2у За. 54х6ау
’ (2а + ЗЬ)Зх3а’ J(2a + 3b)3a’ 9 За’ }2у’ ' (2а + ЗЬ)2 ’
78
2. Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь,
2т2п2 4т3п2
если это возможно: --:---------.
х - у Зх - Зу
1) 8m5n5 2) _3_. 3) 2тп. 4) _3х~3у 5) J
3 (х - у)2 2тп 3 тп(х-у) 2тп
3. Выполните указанные действия и сократите получившуюся
2а ЗЬ . 4с
дробь, если это возможно:----------+-----.
2ху 4xz 8yz
2а - ЗЬ + 4с 2а - ЗЬ + 4с 8а - 6Ь + 4с
64x2y2z2 ’ 8х2 у2 22 ’ 8xyz
4) 8az - 6Ьу + 4сх 4az - ЗЬу + 2сх
8хуг 9 4xyz
4.
Упростите выражение
2х
yZ3
2х-у
5.
У3Х23
4х2 - 2z3
а2
; 2) 3)
У
ху2
4х2 - 2z3 ’
Выполните указанные действия:
(2х - у)(4х2 - 2z3)
4) 5)
У
y5zQx2
2х2у2
4х2 - 2х3
1) 2)
У6
Ъ2 -2Ьу b4(b2-16y2).
> >
У у6
1-16у\
---к ’ 5> г-
у6-----------У5
4)
Вариант 3
1. Найдите произведение дробей и сократите получившуюся
Л За2Ь 6х - Зу
дробь, если это возможно: ---•------—.
2х - у 27ab2
а2Ь (бх-Зу) _а # 9Ь. 5) 27а3Ь3
’ (2х-у)9аЬ2’ 7 9b' f 8b’ ’ 2а ’ (2х - у)2 ’
2. Найдите частное дробей и сократите получившуюся дробь,
если это возможно: ------ :------.
2х + у 18х + 9г/
,, 25Ь5с5 . ЗЬ. оч (18x + 9y)b Ь . .. 3(2х+у)2
3 (2х + у)2 с (2х+у)3с Зс 25Ь5с5
79
3. Выполните указанные действия и сократите получившуюся
дробь, если это возможно: —— + —-----—.
Зху 6xz 9yz
1)
а + Ь - 2с . 9\ а + Ъ - 2с. ох д + £ - 2с.
102x2y2z2 ’ 9yz 9 ISxyz
6az + 3by - 4сх 6az + 3by - 4сх
ISxyz 9 lSx2y2z2
4. Упростите выражение------------------------—.
Vn2p3 тр2 ) 9m2-3n3p
1) 2} 3 3) (Зт~п)тп. 4) (Зтп-п)пт
3 ’ пт9 9т2-3п3р9 р2 (9т2 - Зп2р)9
(Зт2р2 - и3р3) пт
р2 (9т2 - Зп3р)
/ о \2 / \3
[ ьз । ( 2Ъ I
5. Выполните указанные действия: —- - —
\У2 ) I У )
Ъ3—2by b6 * *-8b3y b6-8b3y
*
Ь‘-2Ьу. b“-f,b‘
У4 * ' У4
Обратно пропорциональная зависимость.
к
Функция у = —
ТЕСТ 3
Вариант 1
1. Лыжник на соревновании прошел трассу в 1,5 раза быстрее,
чем на тренировке. Как изменилась его скорость на соревно-
вании по сравнению со скоростью на тренировке?
1) Не изменилась; 2) уменьшилась в 1,5 раза; 3) увеличи-
лась в 1,5 раза; 4) увеличилась на 1,5 км/ч; 5) уменьшилась
на 1,5 км/ч.
2. Задана функция у = —. Какое из приведенных утверждений
х
верно:
1) у = 1 при х = 1; 2) график функции проходит через начало
координат; 3) не существует значения х, при котором функ-
2 лч
ция примет значение —; 4) не существует значения х, при
3
котором функция примет значение 0; 5) график функции
проходит через точку А (1; 5)?
80
3. Найдите наименьшее значение функции у = —, если -2 х 5.
х
1) Наименьшего значения не существует;
2) -2; 3) -1; 4) 0,4; 5) 0.
4. Сколько корней имеет уравнение х = — ?
х
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Вариант 2
1. Ежегодно для школы выделяют а рублей на покупку учебни-
ков. Как изменится количество приобретаемых учебников,
если цены увеличатся в среднем на 50% ?
1) Не изменится; 2) уменьшится в 2 раза; 3) уменьшится
о
в — раза; 4) увеличится на 50%; 5) уменьшится на 50%.
3
2. Укажите точку, которая принадлежит графику функции
у =1) А (1; 3); 2) В (-1; -3); 3) С (3; -3);
( I Q А
4) D (3; -1); 5) Е |± .
\ и J
5
3. Найдите наибольшее значение функции у = —, если -5 х -1.
х
1) 1; 2) -1; 3) -5; 4) наибольшего значения
не существует; 5) 5.
4. Сколько корней имеет уравнение х = ?
х
1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Вариант 3
1. Длину прямоугольного участка площадью 30 м увеличили
в 1,5 раза. Как должна измениться ширина участка, чтобы
его площадь осталась неизменной?
2
1) Увеличится в — раза; 2) не изменится; 3) уменьшится
о
2 3
в — раза; 4) уменьшится в 1,5 раза; 5) увеличится в — раза.
о 2
2. Задана функция у = - —. Какое из приведенных высказыва-
ет
ний верно?
1) График функции пересекает ось Ох; 2) график функции
расположен в первой и третьей четвертях; 3) график функ-
ции симметричен относительно начала координат; 4) график
функции симметричен относительно оси Ох; 5) графику функ-
ции не принадлежит ни одна точка с положительной абсцис-
сой.
4 Сурвилло
81
3. Найдите наибольшее значение функции у = —, если
-6<х^-1. х
1) 2) 2; 3) 4) -3; 5) 3.
2
4. Сколько корней имеет уравнение х = — ?
х
1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 3.
Многочлены. Действия над многочленами
ТЕСТ 4
Вариант 1
1. Найдите значение
х = 2.
10х6 - 15х5 + 5х4 - х3
выражения ---------------------
5х4
при
1) 15,9; 2) 2,9; 3) 3,1; 4) 15,1; 5) 2,5.
2. Решите уравнение 7х (2х + 5) - 2х (3 + 7х) = 60 - х.
1) х = —; 2) х = —; 3) х = 2; 4) х = 1; 5) х =
7 2 3
3. Выберите выражение, которое не зависит от значений пе-
ременной: а) 7аЬ (2а + ЗЬ) - Sab (5а + 7Ь); б) а (2а + 1) -
- а2 (а + 2) + а3 - а + 3; в) 6t (2t - Зп) - St (St - 2п).
1) а; 2) б; 3) в; 4) а, б; 5) таких выражений нет.
4.
Найдите частное двух дробей и сократите получившуюся
s 6а2 +18а 4а3 +12а2
дробь, если это возможно: --------:-----------.
9Ь4 + 45Ь2 4Ь3 + 20Ь
2 . оч 2а3 (а + З)2 оч 2 (а2 + За) (Ь3 + 55) За5. 2
---» ) ; о) ; 41 ; о) —.
Sab ЗЬ2 (Ь + 5)---------------------------------3 (Ь4 +Ь2)(а3 + а2)-2-3
5. Решите уравнение 7х (х + 3) - 14 (х + 3) = 0.
1) х = -3; 2) х = -2; 3) х = -3, х = 2; 4) х =-3, х =-2;
5) х = 3, х = 2.
. „ 4x2i/2 - Sx3y2 + 2х2у3
1. Найдите значение выражения -------------——-------- при
X = -16, у = 8. 4xV
1) 12; 2) 15; 3) -2; 4) 17; 5) 14.
2. Решите уравнение 9х (2х + 11) + Зх(7 - 6х) = 60.
1) х = —; 2) х = —; 3) х = 1; 4) x = -li; 5) х =-3.
4 2 ’ 6 2
3. Выберите выражение, которое не зависит от значений перемен-
82
ной: а) 5у (у + 2) - 15г/ (у - 3); б) с2 (5 + с) + с (с2 - 5с + 2) -
- 2с (1 + с2); в) 2х (х + 7) - 5х (2х + 3).
1) а; 2) б; 3) в; 4) б, в; 5) таких выражений нет.
4. Найдите произведение двух дробей и сократите получившую-
~ Юху - 15xc 60ас - 40с2
ся дробь, если это возможно: ----------•--------------.
Юу2 - 12ус Юу2 - Юус
5сх (2у - Зс)2 5(ху-3хс)(3ус-2с2) 5сх.
Зу2 (Зу - 2с)2 ’ 3 (у2 - 2ус) (2у2 - Зус) ’ Зу2 ’
5сх. гч Юсх
4) 5) ТТ"*
6г/2 Зу2
5. Найдите значение выражения
За3Ь5 (а - 2b) + 5а6Ь7 (а - 2b) r _
---------------------------— при а = 5, Ь = -3.
3 (За + 2Ь)а3&5 + 5 (За + 2Ь)а6Ь7
1) И; 2) 3) —; 4) ; 5) —.
7 9 9 21 7 21 ’ 21
Вариант 3
. __ „ 7 х5у6 - 6х4г/4 + 12х6г/4
1. Найдите значение выражения ----------—---------- при
х = -5, у = 6. Зх у
1) 10,1; 2) 16,1; 3) 12,1; 4) 11,9; 5) 10,9.
2. Решите уравнение 10х (2х + 3) - 4х (5х - 2) = 114.
1) х = -|; 2) х = |; 3) х = 3; 4) х = 19; 5) х =
3. Выберите выражение, которое не зависит от значений пере-
менной: а) 5аЬ (2а2 + Ъ) - 2а2Ъ (5а - ЗЬ); б) 4у3 (у2 - 1) +
+ 2z/3 (Зу2 + 2у); в) 4х2 (Зх + 1) - 2х (6х2 + 2х + 3) + 6х.
1) а; 2) б; 3) в; 4) а, в; 5) таких выражений нет.
4. Найдите произведение двух дробей и сократите получившую-
- ЗаЬ 6х2у - 15ху2
ся дробь, если это возможно: —--------------------.
4х3 - 10х2у 9ас
b (2xsy - 5ху2) by_ by (6х - 15у)
2с (2х3 - 5х2у)9 2хс’ Зас(4х-Юу)9
4) 9а2Ьс 5) 2хс
2х3у (2 - 5у)2 ’ by
„ „ „ 485 (За + Ь) - 484 (За + Ъ)
5. Найдите значение выражения ---------------------- при
а = 14, b = -19. 245 (2а - Ь) - 244 (2а - Ь)
1) -X; 2) 24; 3) 16; 4) 14; 5) 32.
83
ТЕСТ 5
Вариант 1
1. Решите уравнение (х + 4) (х - 7) - (х - 8) (х - 1) = 2.
1) х = -|; 2) х = |; 3) х = Ж 4) х = 3; 5) х = 6.
ООО
2. На какое из указанных чисел делится выражение
(п2 + Зп + 1) (п + 2) - (п2 + п + 3) (п - 1)
при всех натуральных значениях п?
1) 6; 2) 4; 3) 5; 4) 3; 5) 12.
3. Разложите на множители многочлен х2 + ах - а2у - аху.
1) (х - а) (х - ау); 2) (х + а) (х + ау); 3) (х + а) (х - ау);
4) (х - а) (х + ау); 5) (х - а2) (х - ау).
л Зх + by + Ьх + Зу
4. Вычислите значение выражения --------------- при х = 2,
у = 1, Ъ = 573. ~i от
1) -2И_; 2) 1; 3) —; 4) 5) 23.
7 1728 7 7 12 7 432 7
ху - Зх + Зу - у2
5. Сократите дробь —-------------.
х2 + 7х - ху - 7у
1) 2) 3) 4) — 3; 5)
х х 7 х + 7 у + 7
Вариант 2
1. Решите уравнение (х — 2) (х + 3) — (х + 1) (х - 5) = 3.
1) х = 2; 2) х = -3; 3) х = |; 4) х = -^; 5) х =
5 5 5
2. На какое из указанных чисел делится выражение
(а - 1) (а + 1) - (а - 7) (а - 5)
при всех целых значениях а?
1) 5; 2) 7; 3) 12; 4) 24; 5) 8.
3. Разложите на множители многочлен а2, + ЗаЬ - 5ау2 — 15Ьу2.
1) (а + ЗЬ) (а - 5у2); 2) (а - ЗЬ) (а - 5у2); 3) (а - ЗЬ) (а + 5г/2);
4) (а + ЗЬ) (а + 5^2); 5) (а + 5Ь) (а - Зу2).
. _ 6х + 2ау + ах + 12у
4. Вычислите значение выражения -------------------— при
5х + 10^
х = 15, у =17, а = 9.
1) Г’ 2) 3) 7; 4> 3; 5> Г
5 49
_ „ , 5ху - 7х + 7у - 5у2
5. Сократите дробь —---------------.
х2 + Зх - ху - Зу
5У 5У~1 ох 5У ,х 5j/ + 7 5у + 7
х х + 3 х х + 3 х-3
84
Вариант 3
1. Решите уравнение (х + 2) (х - 4) - (х + 3) (х - 2) = 4.
1) х = 2; 2) х =-2; 3) х = --; 4) х =-; 5) х =-4.
3 3
2. На какое из указанных чисел делится выражение
(п - 1) (п + 1) - (п - 7) (п - 5)
при всех нечетных натуральных значениях п?
1) 9; 2) 5; 3) 24; 4) 7; 5) 11.
3. Разложите на множители многочлен а1 2 + 7аЬ - 4ау3 - 2&Ъу3.
1) (а - 7Ь) (а - 4у3); 2) (а + 7Ь) (а - 4у3); 3) (а - 7b) (а + 4i/3);
4) (а + 7Ь) (а + 4^3); 5) (а + 4Ь) (а - 7у3),
. _ 4х + Зау + ах + 12у
4. Вычислите значение выражения ---------------------- при
7x + 21i/
а = 45, х= 172, */ = -21.
1) 5; 2) 7; 3) 4) 5) 1.
_ llxy - 5х + 5у - Hi/2
5. Сократите дробь -------------------.
2х2 + 7х - 2ху - 7 у
Пу — 5 Пу 4-5 Пу-5. 11у 4-5 Пу
' 2х + 7’ ' 2x4-7’ ' 2x4-7’ ’ 2х - 7 ’ ' 2х '
Формулы сокращенного умножения
ТЕСТ 6
Вариант 1
, <» 472 -372
1. Вычислите: --------—.
1262 - 742
1) 2) Ь 3) 4) 5)
260 9 7 52 50 5
2. Выполните действия: ——- - - - - ч—.
а + b а — b а2 — Ь2
n 9ab . 2) -9ab . 3) ab . 4) 2 (а2 4- Ь2 4- ab)
а2 - Ь2 ’ а2 - Ь2 ’ а2 - Ь2 ’ ’ а2 -Ь2
(а2 + b2 - ab)
5) ...........
о _ 8х - х2 - 16
3. Сократите дробь -----———.
1) 4^х. 2) х^4. 3) х+4. 4) 4+х. 5) х _ 4
4-ьх х 4-4 х —4 4—х
85
4. Среди заданных уравнений укажите то, которое не имеет
ни одного корня: а) 4х2 - 12х + 5 = 0; б) х2 + 6х + 10 = 0;
в) JL + 4 + 4 = 0.
х2 х 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) в; 5) б, в.
5. Найдите значение выражения —----------- при а = 57.
а2 + 6а + 5
1) 2) 2^; 3) 145 4) 3; 5) 1,2.
30 29 5
Вариант 2
1. Вычислите:
322 - 222
372 - 172 '
1) 2; 2) 3) |; 4) |; 5) 3.
Л „ х - у х л- у 4ху
2. Выполните действия: ---+-----+---------.
х + у х — у х2 — у2
„ „ - (2а + I)2 - 4 (2а + 1) + 4
3. Сократите дробь -------------------------.
4а2 - 1
1) 2) 2а ~ 3) 1 + 2а; 4) 2а - 1; 5) 1-2а.
’ 2а-1 ’ 2а+ 1 7 1 - 2а 7 2а +1
4. Среди заданных уравнений укажите то, которое не имеет
ни одного корня: а) х2 - 8х + 18 = 0; б) 4х2 + —Ц- + 3 = 0;
4х2
в) х2 + 10х + 24 = 0. 1) а; 2) б; 3) в; 4) а, б; 5) б, в.
5. Найдите значение выражения —-------- при а = 13.
а2 + 8а + 15
1) 2) —; 3) 4) 5) 3.
7 10 8 3
Вариант 3
II2 — 82 1 1 2 2
1. Вычислите: —------. 1) А; 2) 3; 3) 4) 5)
302 - 272 9 3 9 3
2.
Упростите выражение
((а + &)(а - Ь))2
2аЬ (а2 + Ъ2)
1) 3; 2) -4; 3) 2; 4) 1; 5) 0.
о „ s (2а- Ъ)2 + 45 (2а - Ь) + 4Ь2
3. Сократите дробь -----------------------.
4а2 - Ъ2
1) 2а—Ь. 2) Ъ^2а. Зч 2а + Ь. Ь + 2а. 2а + &
2а + & b + 2а 2а — b Ь — 2а
86
4. Среди заданных уравнений укажите то, которое не имеет
ни одного корня: а) 4х2 - 8х + 17 = 0; б) + — + 10 = 0;
X2 х
В) X2 + ~ = 2. 1) а; 2) б; 3) а, б; 4) а, в; 5) в.
_ -т „ х2 + 10х + 16 _ _
5. Найдите значение выражения —------------ при х = 36.
х2 + 6х - 16
1) И; 2) —; 3) 1,88; 4) —; 5)
’ 19 ’ 17 ’ ’ 25 ' 47
ТЕСТ 7
Вариант 1
„ _ х3 + Зх2у + Зху2 + у3
1. Вычислите значение выражения ------------- при
1 _ х2+2ху+у2
х = 2|, </ = |. 13 11
33 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 5)
о 3
„ Ъ + a2b2 + ab3 ь
2. Выполните действия: -------------.
а3Ь — Ь4 а + Ь
(а + Ь)2 . (а + Ь)2 . а2 + &2 4) a±b . 5. ab
а2 — Ъ2 a3 — b3 а2 — Ь2 а3 — Ь3 ’ а3 — Ь3
3. Умножьте дроби и сократите произведение:
8х3 - у3 4х2 - 2ху + у2
8х3 +у3 2х - у
1 4х2 + 2ху + у2 4х2 + 2ху + у2 .
4х2—у2' 2х + у ’ 4х2 - у2
4) 5)
2х - у 2х л-у
4. Упростите выражение
( 49_________а + 3 ] . а (а3 + 27) + 4 - 9а - а2
^а3+27 а2-За+ 9) 16 - а2 а + 4
1) —2; 2) 1; 3) 27; 4) а; 5) а2.
5. Решите уравнение х3 —1- + I х + — 1 х2 + -Д- -1=2.
X3 V X J ( х2 J 1
1) -1; 2) -2; 3) 1; 4) 3; 5)
87
Вариант 2
. _ x3 - Зх2у + Зху2 - у3
1. Вычислите значение выражения ----------------- при
12 13 х2—2ху+у2
х = ~, у = 7 1
5 5 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 5) -±.
5 5
„ a4b3 - a3b4 + а2Ь5 за
2. Выполните действия: ---------------------.
a5b2 + a2b5 а + Ъ
!ч Ь . 9ЛЬ-За. ~Ь2 -2аЬ-За2 ъ +За. г, b2 + 4аЬ + За2
1) —ГТ’ 2’--ГТГ; 3>---9--Го---’ 4>--ГГ; 5>---9---ГГ-•
а + b а + b а2 — b2 а + Ъ а2 — Ь2
3. Разделите дроби и сократите частное:
х2 + ху + у2 . х3 - у3
(х + у)3 - Зху (х +у) (х - у)2 + ху'
1) 2) 3) 4) 5) -U
х-у х2-у2 х—у х+у х+у
4. Упростите выражение
9а _ J . f g + 12°2 ~9а + 9 "1
(3 - а)2 \а-3 27-а3 a2+3a + 9j'
1) —2; 2) 2; 3) а + 3; 4) -1; 5) 1.
5. Решите уравнение х3 + + I х - — I х2 + + 1=2.
X3 V X ) X2 )
1) -1; 2) 1; 3) 2; 4) -2; 5) |.
Вариант 3
. _ х4 - Зх3у + Зх2у2 - ху3
1. Вычислите значение выражения------------------при
у3 - 2ху2 + х2у
io 380 190 . 9_ 4„
9 9 9 40
„ 4a2b3 + 2аЬ4 + Ь5 2а
2. Выполните действия: --——---------------.
8а3Ь2 -Ъ3 2а-Ъ
h 2 Ь2 — 2а
1) -1; 2) 1; 3) —Ц-; 4) -А_-; 5) ----
2а-Ь 2а-Ъ 2а — Ь
3. Умножьте дроби и сократите произведение:
(х + у)2 - у2(2ху^ + у2) (4х2 - 2ху + у2)
(2х + у)3 - Зху (2х + у) (х + 2у)
1) _Ч!_; 2) ху, 3| ^1^1, 4) 5)
х+2у х + 2у 2х + у 2х + у
88
4. Упростите выражение
1 . ( 6а _ а _ 2 W а3 ~ Юа2 _ 2а____4 1
а + 2 ^а + 2 J а3+8 а + 2 а2 - 2а + 4)
1) 0; 2) -1; 3) 2; 4) 1; 5) 3.
_ X3+lf
5. Решите уравнение ----h х---\ \ % + —т + 1=9.
х3 V х J х2 )
1) -1; 2) 1; 3) —2; 4) 2; 5) 1.
Делимость чисел
ТЕСТ 8
Вариант 1
1. Какое из следующих высказываний не является верным:
1) если одно из слагаемых делится на 3, а другое не делится
на 3, то их сумма не делится на 3; 2) если каждое из двух
слагаемых не делится на 3, то их сумма не делится на 3;
3) если каждый из двух сомножителей не делится на 3, то их
произведение не делится на 3; 4) если один из сомножителей
делится на 3, то их произведение делится на 3; 5) если четное
число делится на 3, то оно делится на 6?
2. Из приведенных выражений выберите то, которое при любых
натуральных значениях п делится на 6:
1) Зп2 + 21п; 2) 8п2 + 4; 3) Зп2 + 15п;
4) п2 - 2п\ 5) 2п2 - Зп.
3. Известно, что число п не делится на 3. Какие остатки могут
получиться при делении числа п2 на 3?
1) 3; 2) 2; 3) 1; 4) 0; 5) 4.
4. Для целых чисел а и Ъ известно, что ab : 7, а + b : 7. Какие
из приведенных ниже высказываний не верны:
1) а2 + Ъ2 : 7; 2) а3 + Ъ3 : 7; 3) а2 - Ъ27; 4) (а + Ь)3 : 7;
5) (2а + 2Ъ - 2) : 7?
5. Известно, что а = b + 5. Число а5Ь - Ь5а делят на 5. Какой
остаток может при этом получиться?
1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
Вариант 2
1. Какое из следующих высказываний не является верным:
1) если одно слагаемое делится на 4, а другое не делится
на 4, то их сумма не делится на 4; 2) если каждое из двух
слагаемых не делится на 4, то их сумма не делится на 4;
89
3) если один из сомножителей делится на 4, то их произве-
дение делится на 4; 4) если каждый из двух сомножите-
лей не делится на 4, то их произведение не делится на 4;
5) если число, кратное 3, делится на 4, то оно делится на 12?
2. Из приведенных выражений выберите то, которое при любых
натуральных значениях п делится на 6:
1) и3 - п; 2) и3 - Зп2 - 5и; 3) 7п3 - 1;
4) п (п + 1) (и + 2); 5) 7п3 + 1.
3. Известно, что число п не делится на 4. Какие остатки могут
получиться при делении числа п2 на 4?
1) О; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
4. Для целых чисел а иЬ известно, что ab \ 11, а + Ъ : 11. Какие
из приведенных ниже высказываний не верны:
1) а2 + Ь2 • 11; 2) а2 - Ь2 : 11; 3) а3 - &3 : 11;
4) а-Ь + 12 ; 11; 5) а3 + &3 : 11?
5. Для целых чисел а и Ь известно, что а = 7 - Ь. Какие остатки
могут получиться при делении числа а5&3 + а2Ь6 на 7?
1) 2; 2) 5; 3) 6; 4) 0; 5) 1.
Вариант 3
1. Какое из следующих высказываний не является верным:
1) если одно слагаемое делится на 6, а другое не делится
на 6, то их сумма не делится на 6; 2) если один из сомножи-
телей делится на 6, то их произведение делится на 6; 3) если
каждое из двух слагаемых не делится на 6, то их сумма не де-
лится на 6; 4) если каждый из двух сомножителей не делится
на 6, то их произведение не делится на 6; 5) если четное чис-
ло делится на 3, то оно делится на 6?
2. Из приведенных выражений выберите то, которое при любых
натуральных значениях п делится на 5:
1) (5п + I)2 + 4; 2) (5п - 1) (5п + 2) + 7; 3) п2 + 4;
4) и2 + 4п; 5) (Зп + I)2 - 4.
3. Известно, что число п не делится на 5. Какие остатки могут
получиться при делении числа п2 на 5?
1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.
4. Для целых чисел а и Ъ известно, что ab : 6, а + Ъ : 6. Какие
из приведенных ниже высказываний не верны:
1) а2 + Ь2 : 6; 2) а3 + &3 : 6; 3) (а + 6)3 : 6;
4) а2 - Ъ2 : 6; 5) все верны?
5. Для целых чисел а и & известно, что а = Ъ + 11. Укажите остат-
ки, которые могут быть при делении числа а8&4 - а5&7 на 11.
1) 0; 2) 1; 3) 4; 4) 3; 5) среди указанных чисел
нет остатков.
90
ТЕСТ 9
Вариант 1
1. Какие из следующих высказываний истинны:
1) НОД трех последовательных чисел всегда число простое;
2) НОД двух чисел равен разности между большим и мень-
шим числами; 3) если а и Ь — составные числа, то D (а; Ь) —
число составное; 4) если числа а и & взаимно просты, то и их
квадраты взаимно просты; 5) существует два четных числа а
и &, такие, что D (а; &) = 1?
2. Известно, что последняя цифра числа п равна 3. Какова по-
следняя цифра числа и3?
1) 3; 2) 1; 3) 9; 4) 7.
3. Из указанных чисел выберите те, которые при делении на 3
дают остаток 1:
1) 357 102; 2) 457 102; 3) 458 102; 4) 458 103; 5) 498 102.
4. Найдите D (390; 2002).
1) 2; 2) 13; 3) 26; 4) 11; 5) 35.
5. Найдите К (462; 1155).
1) 2310; 2) 1155; 3) 6930; 4) 16 170; 5) 25 410.
Вариант 2
1. Какие из следующих высказываний истинны:
1) НОК двух чисел всегда равно их произведению; 2) НОК
двух различных чисел, отличных от 1, — число составное;
3) произведение двух четных чисел кратно 8; 4) два нечет-
ных числа всегда взаимно просты; 5) четное число а делится
на 8, если делится на 4 двузначное число, составленное из
двух последних цифр числа а?
2. Какие из данных чисел делятся на 12:
1) 23 833; 2) 23 842; 3) 23 211; 4) 23 832; 5) 23 865?
3. Выберите из заданных пар чисел ту, которая является парой
взаимно простых чисел:
1) 27 и 88; 2) 51 и 66; 3) 1155 и 333;
4) 1071 и 2922; 5) 162 и 324.
4. Найдите D (770; 3003).
1) 11; 2) 77; 3) 7; 4) 39; 5) 26.
5. Найдите К (455; 390).
1) 910; 2) 1365; 3) 2730; 4) 1950; 5) 5070.
Вариант 3
1. Укажите, какие из высказываний верны
1) если числа а иЬ взаимно просты с числом с, то и произве-
дение ab взаимно просто с числом с; 2) если числа а и b со-
ставные, то они не могут быть взаимно простыми; 3) наи-
91
меньшее общее кратное двух нечетных чисел всегда равно
произведению этих чисел; 4) если а и Ъ — натуральные чис-
ла, причем а > Ь, то наибольшие общие делители пар чисел
а - Ъ, Ъ и а, Ь равны; 5) произведение любых двух последова-
тельных натуральных чисел делится на 2.
2. Какие из данных чисел делятся на 6:
1) 57 312; 2) 47 301; 3) 67 302; 4) 59 612; 5) 29 229?
3. Выберите из заданных пар чисел ту, которая является парой
взаимно простых чисел:
1) 70 и 429; 2) 210 и 429; 3) 143 и 165;
4) 187 и 51; 5) 111 и 2532.
4. Найдите D (372; 156).
1) 2; 2) 4; 3) 12; 4) 3; 5) 31.
5. Найдите К (544; 720).
1) 720; 2) 24 480; 3) 198 720; 4) 2160; 5) 2880.
ТЕСТ 10
Вариант 1
1. Укажите неверные высказывания:
1) только одно простое число делится на 3; 2) любое состав-
ное число имеет более двух делителей 4; 3) сумма двух
составных чисел всегда число составное; 4) существуют три
последовательных натуральных числа, два из которых про-
стые; 5) любые два простых числа взаимно просты.
2. Сколько делителей имеет число 6075?
1) 4; 2) 3; 3) 12; 4) 18; 5) 16.
3. Найдите решение диофантова уравнения 5х + Sy = 29.
1) х — 1 + t, у = 3 + t; 2) х = 1 + 3t, у = 3 + t;
3) х = 1 + St, у = 3 + 5t; 4) х — 1 - St, у = 3 + 5t;
5) х = S — t, у = 5 + 3t.
4. Среди данных уравнений выберите те, которые имеют реше-
ния в целых числах:
1) 2х2 + 36х = 99; 2) х (х + 3) = 41;
3) х (х + 1) (х + 2) = 2378; 4) х2 + 12 = 64; 5) х2 + 4х = 12.
Вариант 2
1. Укажите неверные высказывания:
1) существует бесконечное множество чисел, имеющих толь-
ко два делителя; 2) только одно простое число делится на 7;
3) все нечетные числа являются простыми; 4) если длина
стороны квадрата выражается натуральным числом, то пло-
щадь квадрата не может выражаться простым числом;
5) сумма двух простых чисел может быть простым числом.
92
2. Сколько делителей имеет число 2622?
1) 6; 2) 16; 3) 5; 4) 20; 5) 24.
3. Найдите решение диофантова уравнения 16х + 4z/ = 44.
1) х - 2 + 4f; у - 3 + 1б£; 2) х = 2 - 4£, у = 3 + 16Z;
3) х = 21 + St, у - 3 + 5t; 4) х - 2 + t, у - 3 + t;
5) х = 2 — t, у = 3 + it.
4. Среди данных уравнений выберите те, которые имеют реше-
ния в целых числах:
1) 4х2 - 28х = 2534; 2) х(х + 5)=11;
3) (х + 2) (х + 3) (х + 4) = 121; 4) х2 - 6х = -8; 5) х2 + 5 = 3.
Вариант 3
1. Укажите верные высказывания:
1) существуют два простых числа, отличающиеся друг от
друга на 1; 2) существует натуральное число, куб которого
является простым числом; 3) любое составное число имеет
более двух делителей; 4) НОД нескольких чисел всегда число
простое; 5) если произведение чисел делится на простое чис-
ло, то хотя бы один из сомножителей делится на это число.
2. Сколько делителей имеет число 972?
1) 6; 2) 3; 3) 9; 4) 18; 5) 10.
3. Найдите решение диофантова уравнения 5х - 7 у = 34.
1) х = 4 + t, y = -2-t; 2) х = 4 + 7t, у =-2 + 5t;
3) х = 4 - 7t, у = -2 + 5t; 4) x = 4 + 7t, у — -2 - 5t;
5) x - 5 + 4t, у - -7 - 2t.
4. Среди данных уравнений выберите те, которые имеют реше-
ния в целых числах:
1) 6х2 + 8х - 237; 2) х2 + 8х = 20; 3) х2 + 7 = 3;
4) х (х + 3) = 15; 5) (х + 5х) (х + 6) (х + 7) = 124.
Действительные числа
ТЕСТ 11
Вариант 1
1. Укажите неверные высказывания:
1) если на координатной прямой точки расположены на оди-
наковом расстоянии от начала отсчета, но по разные стороны,
то координаты этих точек являются противоположными дей-
ствительными числами; 2) сумма двух иррациональных чи-
сел необязательно иррациональное число; 3) модулем числа а
называется расстояние от начала координат до точки коорди-
натной прямой, изображающей это число; 4) если перемно-
жить 11 отрицательных чисел и 10 положительных, то полу-
ченное произведение будет положительным; 5) сумма двух
рациональных чисел будет числом рациональным.
93
2. Решите уравнение | х - 2 | = 3.
1) х = 5; 2) х = -1; 3) хг = 5, х2 = -1; 4) х = 1; 5) х = 2.
3. Какие из данных чисел являются иррациональными:
1) 1,32(11); 2) 11,(232); 3) 12,3131131113...;
4) 15,3279; 5) 0,2020020002?
4. Вычислите: | -0,12 | : | 0,3 | -11,(22) | + | -11.
1) -2—; 2) 3) —; 4) 2^; 5) .
45 45 45 45 15
5. Решите неравенство | х - 11 < 1.
1) х < 0; 2) х < 2; 3) 0 < х < 2; 4) х < 0 или х > 2; 5) х > 2.
Вариант 2
1. Укажите неверные высказывания:
1) два положительных числа не могут быть противополож-
ными; 2) три различных числа не могут иметь один и тот же
модуль; 3) сумма двух бесконечных непериодических дробей
есть всегда дробь непериодическая; 4) любое действительное
число является либо рациональным, либо иррациональным;
5) не существует рационального числа, квадрат которого ра-
вен 6.
2. Решите уравнение | х + 3 | = 1.
1) х = —2; 2) х =-4; 3) хх = -3;
4) хх =-2, х2 = -4; 5) х = 4.
3. Какие из данных чисел являются иррациональными:
1) -2,135013500135000...; 2) 3,7(11); 3) -4,(283);
4) 0,123123312333; 5) 16,78?
4. Вычислите: | -0,271 : 10,31 - | 2,(63) | + I - 2 - I.
I 5 I
1) 2) -13 —; 3) -17 —; 4) 17 —; 5) 13 —.
110 11 11 11 11
5. Решите неравенство | х - 2 | < 2.
1) х < 0; 2) х > 0; 3) х < 4; 4) 0 < х < 4; 5) х > 4.
Вариант 3
1. Укажите неверные высказывания:
1) два противоположных числа являются координатами то-
чек координатной прямой, равноудаленных от начала отсче-
та; 2) так как модуль числа а равен расстоянию от начала
отсчета до точки, изображающей на координатной прямой
число а, то модуль числа не может быть отрицательным;
3) произведение двух иррациональных чисел может быть
не иррациональным числом; 4) сумма двух периодических
десятичных дробей всегда будет периодической десятичной
94
дробью; 5) разность двух различных иррациональных чисел
всегда будет иррациональным числом.
2. Решите уравнение | х - 5 | = 2.
1) х = 3; 2) хг = 3, х2 = 7; 3) xt = 7, х2 = -3;
4) х = 5; 5) х =-7.
3. Какие из данных чисел являются иррациональными:
1) 3,75; 2) 12,(713); 3) -7,23(57);
4) -3,270270027000...; 5) 0,01345?
4. Вычислите: 11,32 | : |-0,4 | - | 3,(27) | 4-1-2,4 |.
1) -8 —; 2) 2 -4L; 3) 4 —; 4) -2 —; 5) -2 AL.
’ 110 110 7 11 110 110
5. Решите неравенство | х 4- 3 | < 1.
1) -4 < х <-2; 2) х<-2; 3) х <-4; 4) х >-2; 5) х >-4.
Неравенства и их свойства
ТЕСТ 12
Вариант 1
1. Укажите верные высказывания:
1) из неравенств а < Ъ и с < d следует неравенство а - с < Ъ - d;
2) не существует таких чисел а и Ь, что а - Ь > а 4- &; 3) из
неравенств а > Ь, с> d следует неравенство ас > bd- 4) из не-
равенств а > Ь, с < d следует неравенство — > —; 5) из нера-
с d
венств а < b, с < d следует неравенство а + с < Ъ 4- d.
2. Известно, что -3<х<7, —2<z/<5. Сколько натуральных
значений может принимать выражение Зх - 2у?
1) 42; 2) 24; 3) 6; 4) 25; 5) 26.
3. При каких положительных значениях b корень уравнения
2b - St = 1 больше корня уравнения ЗЬ - 4t = 2?
1) b > 2) b > 2; 3) b < 2; 4) 0 < Ь < 2; 5) 0 < Ь < 1.
4. Из приведенных неравенств выберите то, которое выполняет-
ся не для всех ненулевых значений переменных:
1) А + А^ А; 2) + 3) А + А^ 12.
а2 Ь2 аЪ 9а2 25Ь2 15а£> а2 Ъ2 ab
4) 4- + 4- > 2; 5) —Ц- + —Ч > —•
а2 b2 (ab)2 (cd)2 abed
5. Какие из заданных неравенств выполняются не для любых
значений переменных:
1) х2 - Зх 4- 3 > 0; 2) 5х2 4- 2х 4- 1 > 0; 3) х6 - 4х3 4- 5 > 0;
4) 6х2 - 2ху 4- у2 0; 5) 9х2 - 6х - 5 > 0?
95
Вариант 2
1. Укажите верные высказывания:
1) для любых чисел а и Ь выполняется неравенство а - Ъ < а;
2) не существует чисел а и Ь, для которых а + b > ab; 3) из
неравенств а > b, с > d следует неравенство — > —; 4) из нера-
с d
венств а > Ъ, с < d следует неравенство а - с > Ь - d; 5) из не-
равенства а > Ь следует неравенство — <
а Ъ
2. Известно, что -1 < х < 3, -2 < у < 2. Сколько целых значений
может принимать выражение 2х - 3z/?
1) 18; 2) 11; 3) 19; 4) 7; 5) 4.
3. При каких неотрицательных значениях Ъ корень уравнения
- b + 5£ = 2 меньше корня уравнения 2b + 4t = 3?
1) ь < 1; 2) 0 < b < 3) 0 Ь < 4) Ъ > 0; 5) Ъ >
L 6 L &
4.
Из приведенных неравенств выберите то, которое выполняет-
ся не для всех ненулевых значений переменных:
1) — + — > 2; 2) — + — 2; 3) - + - > 2;
Ь2 а2 4 а2 Ъ а
4)а^1 + Ь^1.2; 5)«i
Ъ2 + 1 а2 + 1 7
5. Какие из заданных неравенств выполняются не для любых
значений переменных:
1) х2 - 2х + 3 > 0; 2) х2 - х + 1 > 0; 3) 4х2 - 8х + 2 0;
4) + х + 3 > 0; 5) Зх2 - 4ху + 4у2 > 0?
4
Вариант 3
1. Укажите верные высказывания:
1) из неравенств а < Ь, с > d следует неравенство а + с < Ь + d;
2) не существует таких чисел а и Ь, что а + Ъ < Ъ; 3) из нера-
венства а < Ь < 0 следует неравенство — > —; 4) из неравенств
а Ь
а > Ъ, с < 0 следует неравенство ас > Ьс; 5) из неравенства
а > b следует неравенство а4 > Ь4.
2. Известно, что -1 < х < 1, -3 < у < 4. Сколько неотрицатель-
ных целых значений может принимать выражение 4х - 2у?
1) 10; 2) 11; 3) 21; 4) 12; 5) 13.
3. При каких неотрицательных значениях Ъ корень уравнения
-ЗЬ + t = -1 меньше корня уравнения 2t - Ъ = 3?
1) 0< feel; 2) 0 С feci; 3) Ъ > 1; 4) Ъ > 1; 5)
96
4. Из приведенных неравенств выберите то, которое выполняет-
ся не для любых ненулевых значений переменных:
1) а2 + > 2; 2) 25а2 + > 2; 3) а2 +Ь2 + 1 „ 2;
а2 25а2 а2 +Ь2
4) а2 + 1 > 1; 5) а + 1 2.
а2 + 1 а
5. Какие из заданных неравенств выполняются не для любых
значений переменных:
1) х2 - 8х + 17 > О; 2) 4х2 - 16х + 3 > О;
3) 5х2 + 4х2у2 + у2 0; 4) 5у2 — бху + 2х2 > 0;
5) х4 + 6х2 + 11 > 0?
Квадратные корни и их свойства
ТЕСТ 13
Вариант 1
1. Укажите верные высказывания:
1) не существует рационального числа, квадрат которого ра-
вен 5; 2) если а и Ь — положительные рациональные числа,
то 4а • 4b также рациональное число; 3) для любых положи-
тельных рациональных чисел а иЬ число а + 4b иррациональ-
ное; 4) если для неотрицательных чисел аиЬ числа 4а + 4b
и 4а • 4b рациональные, то оба числа а и b рациональные;
5) не существует рациональных чисел а и Ъ, таких, чтобы
число а + ь4ь было рациональным.
2. Найдите область допустимых значений переменной выраже-
ния >/3 - х - д/х - 1 + у/16х2 + 8х + 1.
1) (1; +оо); 2) (-со; 3); 3) [1; +оо); 4) [1; 3]; 5) (1; 3).
3. Решите уравнение jx2 + 2х + 1 - у]х2 - 12х + 36 = 1, если
х 6 [-1; 6].
1) х = -1; 2) х = 6; 3) х = 3; 4) х = -1, х = 6; 5) нет корней.
А ТТ । 11. VИ - 7 44 Ц-г'п П Ггг 2
4. Упростите выражение J----=-----—— + V77 + y(V7 - 3) .
V V11 - 47
1) V1I + 2 44 - 3; 2) Л1 + 3; 3) 3 44 + 44 - 3;
4) 3 V2 - 41 + 3; 5) V11 - 3.
5. Упростив, вычислите значение выражения
С 2 + Л _ 1 . х^-Д + llx-ll при х _ 81
\4х + 1 X -1 ) X
1) 2; 2) 10; 3) 20; 4) 4V5; 5) 8.
97
Вариант 2
1. Укажите верные высказывания
1) не существует неравных положительных чисел а и Ь, та-
ких, чтобы разность 4а - 4ь была числом рациональным;
2) существует рациональное число, квадрат которого равен 3;
3) для любых положительных чисел а и Ъ число ра-
4ъ
циональное; 4) существует единственное рациональное значе-
ние Ь, такое, чтобы при любом рациональном значении а чис-
ло а + & 43 было рациональным; 5) не существует действитель-
ного числа а, такого, чтобы числа а • (2 - Тб) и а + (2 - Тб)
были рациональными.
2. Найдите область допустимых значений переменной выраже-
ния Vх + 3 - Тх - 2 + 74х2 + 4х + 1.
1) (-оо; -3); 2) (-3; +оо); 3) [2; +оо); 4) [-3; 2]; 5) (2; +оо).
3. Решите уравнение д/х2 - 8х + 16 + yjx2 + 2х + 1 = бх, если
х g [-1; 4].
1) х = -1; 2) корней нет; 3) х = б; 4) х = 1; б) х = -1, х = б.
. __ 13 43 + б Тб / t /✓ 2
4. Упростите выражение J——----—---V15 + - 3) .
V 4з + Тб
1) З-ТЗ; 2) ТЗ-З; 3) 2T5-T3-3; 4) Тб-ТЗ; б) ТЗ-Тб.
5. Упростив, вычислите значение выражения
Г Va + V& _ : при а = 18, b = 14.
\Т& Та ) (у а + Jb) Jab
1) ТЗ; 2) 2; 3) бТ2; 4) ЗТ2; б) 3.
Вариант 3
1. Укажите верные высказывания:
1) не существует положительных иррациональных чисел а
и &, для которых число а + b рациональное; 2) если Та и
4b — иррациональные неравные числа, то не может быть
Jb
рациональным числом; 3) если числа а Ф Ь, 4а — 4b рацио-
нальны, то числа Та и 4b рациональны; 4) не существует ра-
циональных чисел а, Ь, с, для которых число а + b 42 + с ТЗ
рационально; б) существует рациональное число Ь, такое, что
число Тб + b рационально.
2. Найдите область допустимых значений переменной выраже-
ния Т2 + х - Тх - б + д/х2 + 2х + 3.
1) [-2; +оо); 2) (5; +оо); 3) [-2; б); 4) [б; +оо);
б) (-оо; -2) U (б; +оо).
3. Решите уравнение у]х2 - 6х + 9 - у/х2 - 10х + 25 = 2, если
х е [3; 5].
1) Корней нет; 2) х = 3; 3) х = 5; 4) х - 3 и х = 5;
5) х =-3.
(V(V6 - з)2 - V2.7з) (1 - V6)
4. Упростите выражение —--------------—----------.
3 - V6
1) 5; 2) З + 2-Уб; 3) Зл/б-1; 4) 1; 5) |.
5. Упростив, вычислите значение выражения
1) 2) 9; 3) 4) 5; 5) 3.
Квадратные уравнения
ТЕСТ 14
Вариант 1
1. Решите уравнение (л/З + 1)2 = (2 л/З - 7) х - 1.
1) х1 = 2, х2 = —; 2) хг = —2, х2 = — —; 3) х± = 4, х2 = —;
о о о
4) хх — 6, х2 = 1; 5) х1 — -6, х2 = -1.
2. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1) 5х - у х2 = О; 2) х2 — 25 = 0; 3) Зх2 - 2х - 5 = 0;
4) 5х2 - х + 6 = 0; 5) х2 — 4х + 4 = 0?
о - 2х2 - 5х - 7
3. Сократите дробь --------.
Зх2 + 5х + 2
U 2х + 7 . 2) 2х - 7 . дч 2х - 7 . 2х + 7 . 2
' Зх + 2’ ’ Зх - 2 ’ ' Зх + 2’ ' Зх-2’ 3‘
4. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни хг = V2,
х2 = -1 и коэффициент при х2, равный 3.
1) Зх2 + (1 - V2) х - V2 = 0; 2) Зх2 - (1 + V2) х + 42 = 0;
3) Зх2 + (1 + 42) х + 42 = 0; 4) Зх2 + 3 (1 - 42) х - 3 42 = 0;
5) Зх2 - 3 (1 + 42) х + 3 42 = 0.
5. При каких значениях параметра р квадратное уравнение
2х2 - Зх + р = 0 имеет один корень?
1) р = 4,5; 2) р = |; 3) р = 4) р = 5) р = -%.
8 4 8 4
99
Вариант 2
1. Решите уравнение (V2х - З)2 = 4(3 - 42 х).
1) x1 = ~^V2, x2 = ^V2; 2) корней нет; 3) хх = --42,
2 2 2
х2 = |л/2; 4) x, = ^V2, x, = -iV2;
2 2 1 4 2 4
5) хг = 42 4- V5, х2 - 42 - 4&.
2. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1) Зх2 - 7х = 0; 2) 5х2 - 4 = 0; 3) 4х2 - х - 3 = 0;
4) Зх2 - 2 д/Зх + 1 = 0; 5) 2х2 - 6х + 5 = 0?
„ _ , Зх2 + 14х + 5
3. Сократите дробь ------------.
3 х 7x4-2
1) * + 5. 2) х - 5. х - 5, х 4- 5. gx 14х - 5
х-2’ х-2’ х 4- 2 ’ х 4- 2 ’ -7x4-2*
4. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни хг = -1,
42
х2 = —— и коэффициент при х2, равный 2.
1) 2х2 - (2 + V2) х + V2 = 0; 2) 2х2 + (2 + V2) х + V2 = 0;
3) 2х2 - I 1 + -Ы х + -4= = 0; 4) 2х2 + | 1 + 4= | х + 4= = 0;
I 42) 42 I 42) 42
5) 2х2 + | 2 + 4= I х + 4= = 0-
I 42) 42
5. При каких значениях параметра р квадратное уравнение
Зх2 4- 6х - р = 0 имеет два различных корня?
1) р<3; 2) рСЗ; 3) р > -3; 4) р > -3; 5) р>-~.
Вариант 3
1. Решите уравнение (V5x 4- 4) (V5x - 2) = V5x - 6.
2. Какое из данных уравнений не имеет корней:
1) 5х - 42 х2 = 0; 2) Зх2 - 6 43х 4-9 = 0; 3) 5х2 - 4х - 3 = 0;
4) Зх2 - 2 43х 4-1 = 0; 5) Зх2 - 2х 4- 2 = 0?
or. 2х24-7х-15
3. Сократите дробь ---------.
Зх2 4- 14х - 5
1 \ 7х 16 пх 2х 3, 2x4-3. yjx 2х — 3, 2x4-3
11 hT^s’ 2) зТТГ 3) зТТТ- 4) 5)
100
4. Составьте квадратное уравнение, имеющее корни хх = —,
х2 = -2 и коэффициент при х2, равный 5.
1) 5х2 - 13х + 6 = 0; 2) 5х2 + 7х - 6 = 0; 3) 5х2 - х + 6 = 0;
4) 5х2 - 5х + 6 = 0; 5) 5х2 + 5х + 6 - 0.
5. При каких значениях параметра р квадратное уравнение
Зх2 - 6х + р = 0 имеет два различных корня?
1) р<3; 2) р^З; 3) р > -3; 4) р < 9; 5) р > -9.
Теорема Виета
ТЕСТ 15
Вариант 1
1. Известно, что корни уравнения х2 + Ьх + с = 0 равны 1 и -3.
Найдите Ь + с.
1) -5; 2) 5; 3) -1; 4) 1; 5) -2.
2. Разложите квадратный трехчлен х2 + Ьх - (Ь - 3) на множите-
ли, если один из корней уравнения х2 + Ьх - (Ь - 3) = 0 равен 2.
1) (х - 1) (х + 2); 2) (х + 1) (х - 2); 3) (х - 1) (х - 2);
4) (х + 1) (х + 2); 5) |х + ||(х-2).
3. Составьте приведенное квадратное уравнение с корнями V3 и
-V12.
1) x2+V3x + 6 = 0; 2) х2 - л/Зх - 6 = 0; 3) x2+V3x-6 = 0;
4) х2 - 73х + 6 = 0; 5) х2 + 2 73х -6 = 0.
4. Найдите значения а и Ь, при которых уравнение
Зх2 + ах + Ь - 0 имеет корнями числа 1 и 3.
1) а = 4, Ь = 3; 2) а = -12, Ь = 9; 3) а = 4, Ь = 3;
4) а = -|, Ь = 1; 5) а = |, Ь = 1.
О о
5. Известно, что хх и х2 — корни квадратного уравнения
х2 - 7х + 12 = 0. Найдите xf + х|.
1) 91; 2) 37; 3) -91; 4) -37; 5) 133.
Вариант 2
1. Известно, что корни уравнения х2 4- Ьх 4- с = 0 равны -2 и 3.
Найдите Ь - с.
1) -7; 2) -5; 3) 5; 4) 7; 5) 1.
2. Разложите квадратный трехчлен х2 4- Ьх 4- ЗЬ на множители,
если один из корней уравнения х2 4- Ьх 4- ЗЬ = 0 равен -2.
1) (х 4-6) (х 4-2); 2) (х — 6) (х 4-2); 3) (х - 6) (х - 2);
4) (х + 6) (х - 2); 5) fx-|l(x-2).
\ о J
101
3. Составьте приведенное квадратное уравнение с корнями 42 и
-V32.
1) x2-3V2x-8 = 0; 2) х2 - 3 V2x + 8 = 0;
3) x2+3V2x-8 = 0; 4) х2+3>/2х + 8 = 0;
5) х2 +5>/2х - 8 = 0.
4. Найдите значения а и Ъ, при которых уравнение
5х2 - ах + Ъ = 0 имеет корнями числа -1 и 2.
1) а = 5, д = -10; 2) а = 1, Ъ = -2; 3) а = -1, Ъ = 2;
4) а =-5, Ь = 10; 5) а = 5, Ъ = 10.
5. Известно, что хг и х2 — корни квадратного уравнения
2х2 - Зх - 5 = 0. Найдите — + —.
Xi х2
1) 5. 2) 3) 4) 5) —.
7 3 7 3 ’ 5 5 '10
Вариант 3
1. Известно, что корни уравнения х2 + Ьх + с = 0 равны -4 и 2.
Найдите Ь + с.
1) 10; 2) 6; 3) -6; 4) -10; 5) -2.
2. Разложите квадратный трехчлен х2 + Ъх - 6& на множители,
если один из корней уравнения х2 +bx - 6Ь = 0 равен 3.
1) (х - 6) (х + 3); 2) (х - 6) (х - 3); 3) (х + 6) (х + 3);
4) (х + 6) (х - 3); 5) (х - 3) (х - 5).
3. Составьте приведенное квадратное уравнение с корнями - V5
и 420.
1) х2 - 4Ьх - 10 = 0; 2) х2 + 45 х -10 = 0;
3) х2 - V5x + 10 = 0; 4) х2 + 4$х + 10 = 0;
5) х2 -3 V5x - 10 = 0.
4. Найдите значения а и Ь, при которых уравнение
2х2 + ах - b = 0 имеет корнями числа -2 и 5.
1) а = 3, Ъ = 10; 2) а = -3, Ь = 10; 3) а = -6, b = 20;
4) а = 6, b = 20; 5) а = -6, Ь = -20.
5. Известно, что хг и х2 — корни квадратного уравнения
Зх2 + 2х - 6 = 0. Найдите
х2 х2
К 2) И; 3) — |; 4) 2; 5) |.
102
Решение неравенств
ТЕСТ 16
Вариант 1
1. Решите неравенство 2 (х — 3) + 7х < 5х + 2.
1) оо; 2) (-оо; 2); 3) + оо^;
4) оо; 5) (2; +оо).
Jx2 - 2х - 15
2. При каких значениях х выражение ----------имеет чис-
ловое значение? х ~ х + 2
1) (-3; 5); 2) (-3; -1) U (-1; 2) U (2; 5); 3) (-оо; -3) U (5; +оо);
4) [-3; -1) U (-1; 2) U (2; 5]; 5) [-3; 1) U (2; 5].
3.
Зх 4- 2
Решите неравенство ------— > 0.
1) |-оо; -||; 2) |-|; 3|; 3) |-оо; -
I 3; к 3 J I 3)
4) (3; +OO); 5)
U (3; +оо);
Решите систему неравенств
х2 - х - 2 > 0,
Зх + 2 > 5 + 2 (х - 3).
1) (-3; -1); 2) (2; +оо); 3) (-3; -1) U (2; +оо);
4) (-3; -1) U (-1; 2); 5) (-3; 2).
Вариант 2
1.
Решите неравенство 6 (х + 2) - Зх > 29 - 2х.
+оо|; 3) (-7;+оо);
5 )
1) (-оо; -7); 2)
4) (-оо; -7); 5)
17
— оо: ---
5
з .
3 J
2.
3.
Jx2 - 4х + 3
При каких значениях х выражение . -— имеет чис-
-/х^ — 4х 4- 4
ловое значение?
1) (-1; 3); 2) [1; 2) U (2; 3]; 3) (-оо; 1) U (3; +оо);
4) (-оо; 1] U [3; +оо); 5) [1; 3].
5х — 1
Решите неравенство —------- < (
1) з\ 2)
-; 3 I; 3)
5 ) ’
-оо; 1 U (3; +оо); 5) I 3 I.
5 I 5 )
-оо; | U (3; +оо);
1 .
5
103
4. Решите систему неравенств
х2 + 4х + 3 < О,
(|х + 3|< 1.
1) (-4; -2); 2) (-3; -1); 3) (-3; -2);
4) (-4; -3); 5) (-оо; -4) U (-1; +оо).
Вариант 3
1. Решите неравенство 4 (х + 3) - 7х < 2х - 3.
1) (-оо; 3); 2) (0; 3); 3) (-3; +оо);
4) (3; +оо); 5) (-оо; -3).
2. При каких значениях х выражение Jx2 + х - 6 +
Г у 2 _ Л у । Q
имеет числовое значение? V* -г
1) (-оо; -3); 2) (-оо; -3) U (2; +оо);
3) (-оо; 3] U [2; 3) U (3; +оо); 4) [-3; 2]; 5) (-оо; -3) U (2; +оо).
1 _ О у
3. Решите неравенство ---------< 0.
х + 4
. п \х2 -Зх-10^0,
4. Решите систему неравенств •!. .
|] х - 31 < 4.
1) (-2; 5]; 2) (-1;5]; 3) [-2; 5];
4) (-оо; -2) U (5; +оо); 5) (-оо; -1] U [5; +оо).
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
К-1
Вариант 1
1. Упростите выражение
3 (z + 2)2 у. Г3(z+ 2) у _ (ху2)3 х
2 (х - Зу)3 ) ’ t х - Зу ) z (х — Зу) (х2у3)2
и вычислите его значение при z = 2, х = —, у = —
3 6
2.
Укажите, при каких значениях
16-46
46 -Ъ2
12а - 246
6 (За-66)
равно нулю.
а и 6 выражение
3. Ученик проходит расстояние от дома до школы, делая 420 ша-
гов при длине шага 0,4 м. Сколько шагов сделает ученик,
если увеличит шаг на 50% ?
Вариант 2
1. Упростите выражение
(2 (х + у)5 У ( z — 3 у + (~х2у)3 (2х3у2)3
I (2-3)4 ) \(Х + у)2 J (2 - З)2 (Ху)2
и вычислите его значение при z = 4, х = ^, у = ^.
2.
Укажите, при каких
9т - 18п_____27 - 9т
т (4т - 8п) 12т - 4т2
значениях т
равно нулю.
и п выражение
3. Поезд, движущийся со скоростью 60 км/ч, прошел расстоя-
ние между двумя станциями за 10 ч. За какое время поезд
пройдет тот же путь, если увеличит скорость на 75% ?
К-2
Вариант 1
1. Разложите на множители многочлен 2a2b + 4ab2 — 4b2c — 2abc.
2. Решите уравнение (х + З)2 - 4х2 + 4х = 1.
3. Докажите, что многочлен 4а2Ь2 - 20а6 + 26 ни при каких зна-
чениях а и 6 не обращается в нуль.
4.
Упростите:
„2 к2 4а2Ъ - 4аЪ2 ) ( а , 6 262
а— о--------------------1----1— ----
а + 6 ) \а -Ъ 6 + а а2 - 62
105
Вариант 2
1. Разложите на множители многочлен
6a2b + 12abc - 9аЬ2 - 18Ь2с.
2. Решите уравнение (5х - I)2 - 9х2 + 12х = 4.
3. Докажите, что выражение 9 (а + Ь)2 - 6 (а + Ь) + 2 принимает
только положительные значения при любых значениях а и Ь.
Упростите:
f 2 t 186
[4а-36 962 - 16а2
4
4а + 36
+ 16а2 + 962 "I
+ 16а2 - 962 )
к-з
Вариант 1
1. Выполните действия:
12xi/ + 4z/2 8х2у + ху2 4
х6 + 6х4у + 12х2у2 + Sy3 х5 + 4x3z/ + 4xz/2 х2 - 2у
а3 + а2 + а — 3
2. Сократите дробь —----.
а3 + 2а2 + За
3. Решите уравнение (х + 2)3 - (х - 2)3 = 28.
4*. Докажите тождество
—1—+—1—+—1—+—1________________________
(а + 3)(а + 4) (а + 4)(а + 5) (а + 5)(а + 6) (а + 6)(а + 7)
= 4
(а + 3) (а + 7)
Вариант 2
1. Выполните действия:
5x3i/ - 15x2z/2 х3у2 - Зх2у3 5
х3 - 3x2z/2 + 3xz/4 - у6 х2у - 2xz/3 + у5 х + у2
а3 — а2 + а + 3
2. Сократите дробь -----.
а3 - 2а2 4- За
3. Решите уравнение (2х 4- I)3 4- (1 - 2х)3 = 26.
4*. Докажите тождество
—1—+—1—+—1—+—1—
(а + 1)(а + 3) (а + 3)(а + 5) (а + 5)(а + 7) (а + 7)(а + 9)
= 4
(а + 1) (а + 9)
106
К-4
Вариант 1
1. Докажите, что если к трехзначному числу прибавить удвоен-
ную сумму его цифр, то полученное число будет делиться на 3.
2. Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равно 18,
а их наибольший общий делитель равен 3. Найдите все пары
этих чисел.
3. Докажите, что число 2 735 146 не может быть квадратом це-
лого числа.
4. Семнадцать человек необходимо разбить на группы по 3 и
5 человек. Сколько групп каждого состава может при этом по-
лучиться?
Вариант 2
1. Докажите, что если от трехзначного числа отнять сумму его
цифр, то полученное число будет делиться на 9.
2. Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел равно
168, а их наибольший общий делитель равен 14. Найдите эти
числа, если известно, что их сумма равна 98.
3. Докажите, что число 3 195 482 не может быть квадратом це-
лого числа.
4. Двадцать литров воды необходимо разлить в кувшины вмес-
тимостью 6 л и 4 л. Какими способами это можно сделать?
К-5
Вариант 1
1. Вычислите: 2,5(3) • | + 21 : 0,2(44).
2. На числовой оси укажите множество точек х, для которых
выполняется неравенство |х| + |х-3|>4.
3. Докажите, что для любых положительных значений а, Ъ, с
выполняется неравенство а + & + с^6- — - -- -.
а Ъ с
4. Найдите приближенное значение: (3,8608 - 1,12) -4,1.
Вариант 2
1. Вычислите: 1,7(2) • | - 31 : 2,3(66).
2. На числовой оси укажите множество точек х, для которых
выполняется неравенство |х-1| + |х + 1|^3.
3. Докажите, что для любых, не равных нулю значений а, Ь, с
2 ,2 2 а2^2 + + а2°2 а
выполняется неравенство а* + Ь* + с* +---------6.
а2Ь2с2
4. Найдите приближенное значение: (2,6807 + 3,251) : 2,3.
107
К-6
Вариант 1 ( _ . ____
1. Вычислите: 4 J5 - J45 +-=— • 0,9 J1 + 0,3 J0.0144
I 75 и V 9
Л „ a2j4a2&4 - 10 JO,04 • а4Ь6
2. Упростите выражение---------— ------ - —---, а > 0, Ъ > 0.
V4a5&4 + 2 Va4fr5
3. Упростив, вычислите значение выражения
при х = 625, у = 484.
4. В прямоугольном бассейне ABCD, у которого длина
АВ = 64 м, ширина AD = 48 м, из точек А и D одновременно
стартуют два пловца. Один движется вдоль бортика длин-
ной стороны АВ, а другой пересекает бассейн по диагонали.
Но достигают угла бассейна в точке В они одновременно. Во
сколько раз скорость одного пловца больше скорости другого?
Вариант 2
1. Вычислите: ( 2 73 - J108 + ~ 42 | • I - .14 — + 2 J0.0363 I.
V л/з ) <7 V 12 )
„ „ J9a9i>4 - 10 JO,09 • a6b7
2. Упростите выражение -------- -------— ---, а > 0, Ъ > 0.
3Va7fr4 -V9a6&5
3. Упростив, вычислите значение выражения
при а = 49, Ъ = 25.
4. Докажите, что четырехугольник с вершинами А (2; 1),
В (2; 3), С (5; 3), D (5; 1) является прямоугольником.
К-7
Вариант 1
1. Решите уравнение: а) (2х + 1) (х + 2) - (х - 1) (Зх + 1) = 1;
б) х2 - J12X-5 = 0; в) |х2 - Зх - 2 | = х - 5.
2. Известно, что хг и х2 — корни квадратного уравнения
Зх2 - 5х + 2 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа и | хх - х2 |, а коэффициент
при х2 равен 12. xi х2
108
3. Докажите, что при любом значении р уравнение
х2 + 2 (р - 2) х - 2р = 0 имеет два действительных корня.
4. Двое рабочих вместе выполнили задание за 12 ч. За какое
время каждый из рабочих выполнил бы это задание, если из-
вестно, что один из них выполнил бы задание на 10 ч быст-
рее, чем другой?
Вариант 2
1. Решите уравнение: а) (Зх - 1) (х - 2) 4- (х 4- 1) (х 4- 2) = 12;
б) х2 + V20x -4 = 0; в) | х2 — 2х 4- 6 | = х — 3.
2. Известно, что хг и х2 — корни квадратного уравнения
5х2 4- 2х - 3 = 0. Составьте квадратное уравнение, корнями
которого являются числа | х2 - х2 | и | х2х2 + ххх2 |, а коэффи-
циент при х2 равен 625.
3. Докажите, что при любом значении а уравнение
х2 - 2 (а - 3) х - 2а + 4 = 0 имеет два действительных корня.
4. Лодка прошла 7 км по течению и 10 км против течения, за-
тратив на первый путь на 30 мин меньше, чем на второй.
Найдите скорость лодки против течения реки, если скорость
течения реки равна 2 км/ч.
К-8
Вариант 1
. f2x-11|4x-2|_
1. Решите уравнение —--- + —-----= 3.
t*2+2j х2 4-2
о „ [х2 - Зху 4- 2у2 = 0,
2. Решите систему уравнении < п
|х2 + у2 = 3.
3. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет корни
одинакового знака:
х2 - (4а + 2) х + 12а - 7 = 0.
4. С помощью графиков определите, сколько решений имеет си-
« [у = I х - 2 |,
стема уравнении s ' о
(х2 + у- 2х.
Вариант 2
Г х + 1 I Зх 4- 31
1. Решите уравнение --- 4-------= 4.
I X2 4- 1 ) X2 4- 1
2. Решите систему уравнений
х2 4- 2ху - Зу2 = 0,
Зх2 - 9у2 = 6.
109
3. Найдите все значения р, при которых уравнение имеет корни
одинакового знака:
(х - р) (х + Зр) + (2р + 4)х + Зр2 + 8р - 1 = 0.
4. С помощью графиков определите, сколько решений имеет си-
„ (у = | X 4- 2 | ,
стема уравнении у о _
[X2 4- у2 = 2р.
К-9
Вариант 1
1. Найдите область допустимых значений выражения
х2 - Зх 4- 2
д/х2 - 4х 4- 4
2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х (ах - 2) - 3 = а (2х 4- 1) имеет хотя бы один корень.
[Зх + 5 4х - 9,
3. Решите систему неравенств < 2x4-1 > 1
1бх -2 ' 2
4. Решите неравенство | х2 - 5х 4- 11 3.
Вариант 2
1. Найдите область допустимых значений выражения
— Г-1.- -Jr2 +2 Jar + 2
2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
х (ах 4- 2) 4- 1 = х (2а - х) 4- 5а имеет хотя бы один корень.
3. Решите систему неравенств
(2х - 1) (х + 2) С (х - 3) (2х + 1),
х -5 1
Зх + 22
4. Решите неравенство | х2 + Зх + 7 | 5.
110
Итоговая контрольная работа
в (а + Ъ)2
ab
К—10 (итоговая)
Вариант 1
1. Упростите:
а3 - д3 (1 1
------А-------------------
-4- —v (а4Ь2 4- Ь4а2 4- а3д3)
Ъ2 а2 )
2. Остаток от деления целого числа Ъ на 3 равен 2. Найдите
чему равен остаток от деления на 3 числа 2Ъ2 4- Ъ.
3. Вычислите значение выражения
V3 4- 7? - 4 V3 } xjy
—. ----. 7----- при х = 121, у = 16.
Х2у3 4- у]х3у2
4. Решите уравнение (2х 4- З)2 - 3 | 2х 4- 3 | = 10.
„ [х 4- 2у = 5,
5. Решите систему уравнении < о о
|х2 4- у2 = 8.
Зх 4- 1
6. Решите неравенство . 0.
у/х2 -5x4-6
Вариант 2
Л ЛТ а3 +Ь3 , 3 з х ab . 2Ъ
1. Упростите: тг : (a3b - ab3 )-----------1----.
Г1 1А ' 7 а2 -Ъ2 а + Ъ
& 7
Вычислите:
765 • 1836
НОК (765,1836)*
3. Вычислите значение выражения
(J7 + 4 V3 + J7 - 4д/з)
±---------------------<---- при X = 144, у = 256.
х2у - 2 у]х3у3 4- ху2
4. Решите уравнение (2 - 5х)2 - 4|2-5х| = 12.
е тэ « ~ 2у = 4t
5. Решите систему уравнении < _
|х2 4- у2 = 7.
6. Решите неравенство (5х 4- 2) у[х2 - 7х - 18 С 0.
111
Ответы, указания, решения
С-1
В-1\ 1. 3^. 2. б).
4
В-3
В-2\ 1. 1в|. 2. б).
В-4
1.
1.
2- а)‘
ОУ
2. а).
С-2
|В-1| 1. a) xy3z2; б) а2Ь2с3. 2. а*Ь5ху2. 3. а) и —.
10x3i/5 10x3z/5
2 (а+ 5)с2 21аЬ2
о) ~ ~ и ~ ~ •
12ab3c2 12аЬ3с2
1. a) x2y2z2', б) а2Ь3с3. 2. а2Ьс3х*у*. 3. а) и —;
* * ’ 6а2Ь5у2 6а2Ь5у2
bc3(a-b) 4(а + с)а2
8a3bc3 8а3Ьс3
\В-3\ 1. a) x2yz*; б) а2Ь*с5. 2. a*b3c2d3. 3. а) 3 - + * и 5
---- У 15x2z/32 15x2z/3z
б) 20а2Ь и 21Ьс
35а2Ь3с2 35а2Ь3с2
|В-^| 1. a) m2n2t3; б) а3Ь5с6. 2. x3y3z2b$. 3. а) и
8х3 у2 z3
4(2a + 3fr)z2 25a и 21abc
8х3у2г3 ’ 15а3Ь2с3 15а3Ь2с3
С-3
И1' а| 5Fie>d^ 2-a|2?S>il’"o-!'"2xi6’’t;“‘o-
у . О. « = 3. 3. и 3(3Л<-2)(2„-1)
35m2 (2п - 1) 35m2 (2п - 1)
|В-2| 1. а) б) 2. а) —; a = 0, a = -4b; б) %; z = О, х = -5у.
--- 2Ь2 ЗЬ у 3 *
2Оху 3(2х+1) (2-у)
12х2(2-у) И 12х2(2-у)
И 1. а) ^1; б) ± 2. а) + х = О, у = Зх; б) b = О,
az2 2Ь З(у-З) у
„ q 9а(Зх-2) (х + Зу)(& + 2)
9a2 (5 + 2) 9a2 (5 + 2)
112
GO
со
to
H
CO
co
H
to
to
гл 00
? к
to
po
CO
£
OX
to
H
H
to
to
CO
о
to
po
ft
to
H
OX
a
co
CO
s'
Oi
H
co
Oi
Oils
to
РО
to
H
OX
to
co
СП
H
СП
CO I
^1°
to
po
a
co
H
OX
о
О)
О |О
о
U1
ро
to +
to
to
H
tolcn
to
co
PO
to
co
P5
Oi
8?
ft
OX
co
H
to
H
co
po
Cn
H
to
О
СП
to
co
po
to
co
H
4=
to
CO
Oi
H
co
OX
OX
to
cn
S’
СЛ
H
H
ft
3
H
to
a
CO
H
OX
to
S’
£
3
co
a
S’
СЛ
H
c?
H
ft
to
H
$
H
to
to
to
to
PO
PO
PO
PO
о
to
co
co
8?
8
to
OX
S’
a
to
a
to
PO
CO
H
H
H
to
OX
a
co
to
H
OX
co
8?
H
cn
H
e?
to
H
00
H
s
£
to
"to
tj
to
OX
to
a
cn
H
<C!
OX
3
H
co
H
<C!
to
to
ti
to
СЛ
H
OX
Ih-
С-7
|В-7~| 1. 2 ч 20 мин. 2.
|В-2| 1. 7 ч 20 мин. 2.
| В-3 1. Уменьшилась в
б) k = 3.
|В-4 1. Увеличилась в
Рис. 1. 3. а) Не существует;
Рис. 2. 3. а) Не существует;
о
- раза. 2. Рис. 3. 3. а) Не
о
раза. 2. Рис. 4. 3. а) Не
4
б) k = 2.
б) k = 6.
существует;
существует;
б) k = 5.
С-8
В-1\ 1. а) -2х3 - 4х2 - х - 5, многочлен степени 3;
б) 15а2Ь--10ab2 + 2аЬ, многочлен степени 3.
2. -з|. 3. а = 0, Ь = 3, с = 4, d = -2.
|В-2| 1. а) х4 + Зх2 - 1, многочлен степени 4; б) -15a3b + 6ab2 - 1,
многочлен степени 4. 2. 9,05. 3. с = 0, d = 3, а = -4, Ъ = -8.
114
В-31 1. a) 8i/4 - 2у3 + 9у2 - 7у 4- 15, многочлен степени 4;
б) 1Отп2и2 4- 12тпи2 4- 8тп - Зп 4- 5, многочлен степени 4.
2. 92|. 3. d = 7, с =-3, а =-5, b = 6.
2
В-4\ 1. а) -4х6 - Зх3 - х2 4- х 4- 15, многочлен степени 6;
б) -2а5Ь3 4- За4Ь3 4- 1,5а3&4, многочлен степени 8.
2. 0,026. 3. с =-4, d = 5, а = -5, b = -6.
С-9
Bl 1. -2b2 + 6ab. 2. r=-i
---- 2
B-2\ 1. a2 + 6a + 11. 2. x = 3.
B-3 1. 6ab. 2. x=i.
---- 3
B-4\ 1. 8x2 - 8xj/ + y2 - 2y. 2. x = -
C-10
jB-.fl 1.
3.
25a2b2 + 13a2b + 4ab2 + 7a2.
a)
-2x2y 3 4
5 5x 5y’
6) 3a5 -^a2 + ^-
5 5a
5a3 5a4
B-2\ 1.
3.
12p3g3 - $p2q3 - 12p2q2 4- 2p3 4- 2pq.
. x 1 ± 4 . 1 2 5 1 2 1
a i--------------; о i — a a 4--------------.
9 4x 15x2 6 6 6 3a 6a2
B-3| 1. 5ab3 - a2b2 - 3a2b + 3a3.
3. a) ~t;x3 +£-y--^--, 6) -----Ц- + ^—.
15 10 5xy 4 4 4m 2m3 4m4
B-4\ 1.
3.
25?nn3 - 5m3n 4- m2n2 4- 5mn2 - 15n2.
2 14 5x2j/ 2x3 3 3n n3 3n4
C-11
B-l\ 1. a) a2x4y3 (2ax5 + 3a2y2 - 4xy4); 6) 3n “ 1 (b - 3a • 2n + 18).
2. .> 6> 3*2-2 .
' 3ax’ ' 6x(x + 2)
B-2\ 1.
a) 3a2b2c2 (5a4b2 - ac + 3bc2); 6) 7n (49a + b 2n - 5).
2.
v 2a-b. б> Юху2 - 2ax- 2a
’ 2x2 ’ ’ y(x+l)
115
[В-31 1. a) 2b2x2y3 (b - 2х2у + ЪЬху2)-, б) 5" ' 2 (а - 25b • 2" + 125).
2. а) 4x^9, б) 16b
' 12ах2у ' 7(а-Ь)
[В-4| 1. а) -За3Ь2с2 (с + 2а2с + 3ab2 - 4abc);
б) 4"-2 (а + 16b • 3" - 16). 2. а) ^=-^; б) 2У2 ~ 5а<х ~2).
2х3 2у(х-2)
С-12
[B-Zi 1. х5 + х3 + 2х2 + х + 16. 2. -,п + }---. 3. х = 0. 4. Рас-
5(Зх-2)(х+1)
крыв скобки и приведя подобные, получим 5 (п2 - п - 4). Так
как по условию п четно, то и = 2k. Подставьте теперь значе-
ние п в полученное выражение.
И. . л . ч Л Л 17х2-х-16
1. 4а5 - а4 + 4а3 + 7а2 - За + 2. 2. —---—--3. х = 2.
2(х-3)(2- х)
4. Указание. Следует учесть, что любое нечетное натураль-
ное число можно представить в виде и = 2k - 1 (k = 1, 2, 3, ...).
[вЗ 1. -у5 + 2у4 - Зу3 + 9у2 - 7у + 2. 2. 3. х =-1.
(о — а) (2а — о)
И 1. 10у5 + 15у4 + у3 + 4у2 - 14у + 6. 2. •
(4Ь + 1) (5Ь + 2)
3. х = 4. 4. См. указание к варианту 2.
С-13
[вЛ 1.
а) (Ь - Зс) (За - с); б) (х3 + 2х - 1) (Зх3 + у - 3). 2. ух = 8,
х-2у
У2 = -5. 3.
2-х
[B-2J 1. а) (с - 3k) (Зс + 14fe); б) (х2 - х + 2) (-2х2 - Зх + 7). 2. хх = 5,
х2 = 4. 3. 2^#.
2 а + b
[В-3| 1. а) (5х - 2) (17х + бу); б) (у2 - Зу + 2) (5у2 - 10у + 3). 2. хх = 3,
1 „ х + Зу
х2 = -±. 3. -----
2 3 х-у+3
В-4\ 1. а) (2а - b) (17b + 29с); б) (х2 + 6х - 4) (14 - 17х - 4х2).
2. xj = i х2 = -11. 3. о7а ~ *.
1 4 2 За + 4Ь
С-14
!В-11 1. а) (т - х) (тп - х); б) (ху + 2) (5х2 - ЗЬу). 2. хг = 0, х2 = 1,
[В-2] 1. а) (х - by) (х + Ь); б) (8п2 - 7а) (тп - 3). 2. Xj = 0, х2 = -2,
х3 = —6. 3. х Ц-.
3 х+1
116
В-31 1. а) b (За + 2Ь) (а - Ь2); б) (у + 2) (7х3 - 2bt/2). 2. хт = 0, х2 = 1,
_ О о 4х + 29
Хз - 8‘ 3- “хТТ" •
|В-4| 1. a) (р - х) (3pq2 - х2); б) у (5у + 3) (Зу - 2с2). 2. хг = 0, х2 = 1,
х — 2 Ч %х ~ 1
Хз_2. 3. —т.
С-15
\В-1\ 1. (50 - 1) (50 + 1) = 2499. 2. (2х + 7у) (2х - 7у - 1).
У2 - 2, !/з - 3.
т3 - Зт2п - 3
ли2 - 9и2
3. У1 - -2,
В-2\ 1. (60 - 1) (60 + 1) = 3599. 2. (4а + ЗЬ) (4а - ЗЬ - 1). 3.
х1 = -2,
х2 = -8, х3 = 2.4.--—
т+у
[в^}\ 1. (50 - 2) (50 + 2) = 2496. 2. (х - 2у) (х + 2у + 2).
х2 = 3, х3 = 2,5. 4.
-а
4 (а2 -9Ь2)
3. Xj — —3,
[В-4] 1. (60 - 2) (60 + 2) = 3596. 2. (Зх - 2р) (Зх + 2у + 2). 3. Xj = 3,
” х =3 х =-3 4 30
2 2’ 3 2’ 2(9а2-452)’
С-16
\В-1\ 1. а) (70 + 1)2 = 5041; б) (11 + 19)2 = 900. 2. а) 50х2 + 4у2;
б) 3&2 + 2аЬ. 3. (2х - у - 3) (2х + у + 1).
|В-2| 1. а) (70 - I)2 = 4761; б) (15 + II)2 = 676. 2. а) 18х2 + 2у2;
б) Зш2 - бтп, 3. (х - у - 5) (х + у - 1).
|В-3| 1. а) (50 + I)2 = 2601; б) (13 + 17)2 = 900. 2. а) 6х2 - 8ху + 19у2;
б) 5а2 - 32ab - 21b2. 3. (Зх - 4у - 2) (Зх + 4г/).
|В-4| 1. а) (50 - I)2 = 2401; б) (14 + 16)2 = 900. 2. а) 21х2 - 42ху +
+ 28р2; б) Зр2 + 2 Opg - 7g2. 3. (х - Зу - 5) (х + Зу - 3).
С-17
[в-1\ 1.
3.
|В-2| 1.
3.
Используйте выделение полного квадрата. 2. хг = -
3 (х - 3) (Зх + 1). 4*. 52" + 2 • 5" - 1 = (5" + I)2 - 2.
Х2=|.
2 3
Используйте выделение полного квадрата. 2. хг = 5, х2 = -2.
4 (х - 1) (х + 3). 4*. 9 • 52л - 6 • 5Л - 1 = (3 • 5Л - I)2 - 2.
\В-4\
1.
3.
1.
2.
4.
Используйте выделение полного квадрата.
2 х - 5 х --1
4. Xj-4, Х2- 4-
3 (Зх + 2) (х + 2). 4*. 72п + 2 • 7Л - 3 = (7n + I)2 - 4.
Указание. Используйте выделение полного квадрата.
Хд = 3, х2 = 4. 3. (х + 2) (х - 4).
32л - 2 • Зл - 5 = (Зл - I)2 - 6.
117
С-18
I В-11 1. а) х =-3; б) у = в) х2 = 1, х2 = -4. 2. 10 км/ч.
5
|В-2| 1. а) у = 2о|; б) х = в) х = -1. 2. 30 дней и 20 дней.
4 5
|В-3| 1. а) х =-4; б) у= -в) хг = х2 = 2. 18 дней,
о о
|В-4| 1. а) у = 6^; б) х = -з|; в) х = |. 2. 8 км/ч.
4 6 7
С-19
|К7] 2. 2х - 5. 3. 27. |В-2| 1. х = 2. 2. Зх - 1. 3. 970 299.
|В-3| 2. За + 2& 3 64 |в-4| 1. х = о, х2 = |. 2.
1---' а2 ---- 2 аЬ
3. 1 030 301.
С-20
B /i 1. Зх - 4у. 2. х=-|.
В-3
1.
__2х__ о х =____—
(х2-1)2’ ’ 12
1.
1.
2.
2. «-1
Х+ у 2
х (х + 2)
(9 - 4х2) (2х + 3) ’
С-21
----1 Х^ 4- X2 4- 1
В-1\ 1. ---------. 2. 19 608. У казание. Воспользуйтесь форму-
X2 4- 1
лой х2* — 1 = (х — 1) (х2* -1 + X2* - 2 + ... + 1). 3*. ---------
(x4-2l/4-3z)2
[вГз] 1.
X6 4- X3 4- 1
X3 4- 1
. 2. 7775. 3*.
16х4 4- 4х2 4- 1
4х2 4- 1
2. 32 767.
3
(1+X+J/)2
3* ____________
(2а + с - ЗЬ)2 ’
В4 1.
81х4 + 9х2 + 1
9х2 + 1
2. 16 806. 3*. ------------—-.
(т + п - 2р)2
С-22
|В-/] 1. Указание. Обратите внимание, что
х -2 = 1_____1—. у —2 = 1 + 1 .
(у - х) (у - 2) у-х у - 2’ (х - 2) (у - х) у - х х-2’
У - х = 1___]_
(у -2) (х-2) х-2 у -2’
118
3. Указание. Обратите внимание, что числители и знамена-
тели данных дробей являются однородными многочленами.
Разделив почленно числитель и знаменатель обеих дробей, на-
2 + У
пример, на х, можно ввести новую переменную t = — и наити
х
значение t из заданного условия.
В-2\ 1. Указание. Используйте равенство
______________________1______= 1_________1
(а + п) (а + п +1) а + п а + п +1'
3. См. вариант 1.
В-3| 1. Указание. Приведите выражение в левой части к общему
знаменателю (а - Ь) (а - с) (Ь - с). 3. См. вариант 1.
\В-4\ 3. См. вариант 3.
С-23
|В-1| 1. Введем обозначения = х + у, <з2 = ХУ- Из условия
х + у - ху = 1 находим, что о2 - о2 = 1, или ai = 1 + о2.
х2 + ху + у2 = of -о2 = о2 -О2 =
1 + ху + х2у2 (1 4- о2)2 - о2 - о2
2. х4 + у4 + (х + у)4 = о/ - 4о2о2 4- 2а2 4- о/ =
= 2 (о/ - 2ofo2 + of) = 2 (of - о2)2;
2 (х2 + ху + у2)2 = 2 (of - о2)2.
Получим 2 (of - о2)2 = 2 (о2 - о2)2.
|В-2| 1. Из условия х 4- у 4- ху = 3 находим, что = 3 - о2.
х2 + 7ху + у2 _ (of - 2о2) 4- 7о2 _ (3 - о2)2 4- 5о2 _
х2у2-ху + 9 о| - о2 4-9 о| - о2 4- 9
2. Учитывая, что х3 + у3 = (о2 - Зо2), получим
X3 + 6х2 у + бху2 + у3 Oi (о? - Зо2) 4-6о1о2
-----о--------о = о------- = О | = X + у,
х2 4- 5ху + у2--------------------------of - 2о2 4- 5о2
|В-3| 1. Из условия х + у + ху = 1 находим, что Oj = 1 - о2.
X2 4- У2 +3ху _ (of -2о2) 4-Зо2 _ of 4- О2 _ (1-о2)2 4- О2 _
X2l/2-XZ/4-l о|-О24-1 о|-О24-1 о| - О2 4-1
2. Учитывая, что х4 4- у4 = о/ - 4а2а2 4- 2а2, х2 + у2 = <з2 - 2а2,
получим
х4 4- 2х3у 4- 2х2у2 4- 2ху3 + у4 = (х4 4- у4) 4- 2ху (х2 + ху + у2) =
= о/ - 2ofo2 = of (of - 2о2) = (х + у)2 (х2 + у2).
|В-^| 1. Из условия х + у + 2ху = 1 находим, что or = 1 - 2о2.
X2 + у2 О2 - 2о2 _ (1- 2о2)2 - 2о2 = !
4х2у2 - бху + 1 4о| - 6о2 + 1 4о2 - 6о2 + 1
119
2. Учитывая, что х4 + у4 = G4 - 4g2g2 + 2g2, х2 + у2 = Gf - 2g2,
получим
х4 - х3у - 4х2у2 - ху3 + у4 = (х4 4- у4) - ху (х2 4- 4ху 4- у2) =
= G4 - 4g^g2 4- 2g| - G2 (G2 4- 2g2) = G4 - 5g^g2 =
= G2 (Gf - 5g2) = (x 4- y)2 (x2 + y2 - 3xi/).
C-24
2.
3.
B2] 1.
2.
3.
1Гз] 1.
2.
3.
B-4\ 1.
2.
A = {1}, В = {1, 2, 3, 4}, C =
Да. {1}. Указание.
__6l
13]’
6n- 1 = (6n + 4) - 5 = 2 _ 5
3n 4- 2 3n 4- 2 3n 4- 2
. C = {-1}.
4n+ 1 = (4n + 6) - 5 = _ 5
2n 4- 3 ’
A = {0}, В = {1, 2, 3},
Указание. _
2n 4- 3 2n 4- 3
A = {1}, В = {1, 2}, C = {0,4}.
Да. {5}. Указание. ~
1 ' 2n + 3
(8n+12)-13 = 4_i3
2n 4- 3*
2n 4- 3
A = {3}, В = {2, 3, 4, 5, 6}, C =
2j’
,7 4n -1 (4n +1) -2 , 2
Указание. ------- = —----— = 1 - -—
3.
C—25
|B-2| 1. DUC. 2. а) Рис. 5; б) рис. 6.
[В-2| 1. А П В. 2. а) Рис. 7; б) рис. 8.
|В-3| 1. {х: -3 < х < 1} U {х: 6 « х < 7}. 2. а) Рис. 9; б) рис. 10.
Гв^~] 1. {х: 0 < х < 7}. 2. а) Рис. 11; б) рис. 12.
120
121
С-26
IB-ll 1. 7. 2. {(1,5), (1,11), (1,15), (2,5), (2,11), (2,15), (3,5), (3,11),
(3,15)}.
IВ-21 1. 8. 2. {(5,8), (5,3), (5,6), (11,8), (11,3), (11,6), (15,8), (15,3),
(15,6)}.
|1Гз| 1. 5. 2. {(-1,2), (-1,4), (-1,6), (-2,2), (-2,4), (-2,6), (-3,2), (-3,4),
(-3,6)}.
[в^] 1. 11. 2. {(-2,3), (-2,5), (-2,7), (-3,3), (-3,5), (-3,7), (-4,3),
(-4,5), (-4,7)}.
С-27
|В-1| 1. Указание. Используйте равенство Ь2 = а2 - (а + Ь) (а - Ь).
2. 2. 3. Указание. Используйте равенство т = 72g + 68 =
= 24 (3g + 2) + 20. 4. Указание. Используйте то, что при
любом натуральном значении а число а2 при делении на 5
может иметь остатки 0; 1; 4.
[В-2| 1. Указание. Используйте равенство
Ь3 = (а + b) (а2 - ab + Ь2) - а3.
2. 0. 3. Указание. Используйте равенство
т = 64g + 49 = 16 (4g + 3) + 1.
4. См. вариант 1.
|В-3| 1. Указание. Используйте равенство
Ъ4 = а4 - (а - b) (а3 + a2b + ab2 + Ь3).
2. 0. 3. Указание. Используйте равенство
тп = 57g + 48 = 19 (3g + 2) + 10.
4. Указание. Используйте тот факт, что при любом нату-
ральном значении а число а2 при делении на 4 может иметь
остатки 0; 1.
|В-4~] 1. Указание. Используйте равенство
Ь3 = а3 - (а - b) (а2 + ab + Ь2).
2. 0. 3. Указание. Используйте равенство
т = 44g + 27 = 11 (4g + 2) + 5.
4. См. вариант 3.
С-28
|В-1| 1. Используя равенство D (a; b) = D (а - Ь; Ь), а > Ь, получаем
D (21п + 4; 14п + 3) = D (14п + 3; 7п + 1) = D (7п + 2; 7п + 1) =
= D (7п + 1; 1) = 1.
2. а = 8, b = 36; а = 4, b = 72. 3. а = 77, b = 33; а = 11, b = 231.
\В-2\ 1. п = 3k + 1. 2. а = 120, b = 24. 3. а = 21, b = 35; а = 7, b = 105.
|В-3| 1. п = 3k + 2. 2. а = 9, b = 12; а = 3, b = 36. 3. а = 10, b = 14;
а = 2, b = 70.
И 1. D (20п + 4; 15п + 3) = D (15п + 3; 5п + 1) = D (10п + 2; 5n + 1) =
= D (5п + 1; 5п + 1) = 5n + 1.
Значит, при любом п = 1, 2, ... числитель и знаменатель имеют
общий делитель, отличный от 1. 2. а = 14, Ъ = 84; а = 28,
b = 70; а = 42, b = 56. 3. а = 3, b = 117; а = 9, b = 39.
122
С-29
I В-71 1. Указание. Предположив, что существует натуральное
число а > 3, такое, что а2 = 1001000100, рассмотрите три слу-
чая: а = ЗА, а = ЗА + 1, а = ЗА + 2. 2. а) 127 536 или 127 576;
б) 4752. 3. Указание. Докажите, что данное число делится
на 2, но не делится на 9.
[В-2\ 1. См. вариант 1. 2. а) 357 424; б) 3531. 3. Докажите, что
данное число делится на 3, но не делится на 4.
|В-3| 1. Указание. Предположив, что существует натуральное
число а > 2, такое, что а2 = 12012001200010, рассмотрите
два случая: а = 2k, а = 2А + 1. 2. а) 535 136, 535 336, 535 536,
535 736, 535 936; б) 5731. 3. Указание. Докажите, что дан-
ное число делится на 5, но не делится на 3.
|В-4| 1. См. вариант 3. 2. а) 5 372 336 или 5 372 736; б) 7821.
3. Указание. Докажите, что данное число делится на 9,
но не делится на 4.
Указание. Проверкой убеждаемся, что р = 3 удовлетворя-
условию, а р = 2 не удовлетворяет условию. Предположив,
рассмотрите два случая: р = ЗА + 1, р = ЗА + 2.
С-30
[вУ; 1.
ет
что р > 3,
2. a) D (тп; п) = 22 • 11; б) К (тп; n) = 210 • 3 • 7 • II2; в) число
делителей числа тп равно 18, числа п — 44.
4. Указание. Используйте то, что n! = 1 • 2 • 3 • 4 • ... • п.
|В-2| 1. См. вариант 1. 2. a) D (тп; п) = 23 • 52 • 7; б) К (тп; п) =
= 24 • 53 • 73; в) число делителей числа тп равно 32, числа п — 60.
|В-3| 1. Проверкой убеждаемся, что р = 2 удовлетворяет условию,
ар = 3 не удовлетворяет условию. Предположив, чтор > 3, рас-
смотрите два случая: р = ЗА + 1, р = ЗА + 2.
2. a) D (тп; п) = 3; б) К (тп; п) = 210 • З2 • 132 • 5 • 11; в) число
делителей числа тп равно 18, числа п — 44.
|В-4| 1. См. вариант 1.
2. a) D (тп; п) = З4 • 24; б) К (тп; п) = З6 • 28 • 53; в) число де-
лителей числа тп равно 63, числа п — 100.
С-31
\В-11 1. а), в). 2. х = 4 + 5t, у = 1 + 3t, t = 0, 1, ... . 3. Возможны
следующие способы: (2р, 5р) ~ (4,7), (9,5), (14,3), (19,1).
|В-2| 1. а). 2. х = 4 + 3t, у = -1 + 2t, t = 1, 2, .... 3. 8 стопок по
5 книг и 3 стопки по 7 книг или 1 стопка по 5 книг и 8 стопок
по 7 книг.
|В-3| 1. а), б), в). 2. х = -2 + 7t, у =-1 + 2t, t = 0, -1, -2, -3, ... .
3. Возможны следующие способы: (5р, Юр) ~ (2,5), (4,4), (6,3),
(8,2), (10,1), (12,0), (0,6).
\В-4\ 1. б), в). 2. х = 1 + 2t, y = -2 + 5t, t = -1, -2, -3, ... . 3. 91.
123
С-32
I В-1] 1. При делении натурального числа на 80 возможны 80 значе-
ний остатков (0, 1, 2, 3, ... , 79). Разложим числа в 80 ящиков,
складывая в один ящик числа, имеющие равные остатки. Так
как всего чисел 83, то неизбежно в один из ящиков попадет
хотя бы 2 числа. Эти числа имеют одинаковые остатки при де-
лении на 80, значит, их разность делится на 80.
2. На 100 нет. Например, множество чисел {1, 2, 3, ..., 47}
не имеет ни одной пары чисел, сумма или разность которых де-
лилась бы на 100. На 90 да. Рассмотрим остатки г1? г2, ••• > г47
от деления данных чисел на 90. Если есть равные остатки,
то разность соответствующих чисел делится на 90 и задача
решена.
Предположим теперь, что все остатки различны. Рассмотрим
пары чисел {0, 90}, (1, 89}, {2, 88}, ... , {44, 46}, {45, 45}. Каж-
дый из остатков г1? г2, ... , г47 входит в состав какой-либо
пары. А так как остатков 47, а построенных пар чисел 46,
то по принципу Дирихле два какие-либо остатка гт, гп войдут
в одну из пар. В этом случае гт + гп = 90 и, значит, сумма пары
данных чисел, которым соответствуют остатки гт и гл, делится
на 90.
[В-2\ 2. На 100 да, на 200 нет.
|В-3| 2. На 94 да, на 100 нет.
В4 2. На 150 да, на 200 нет.
с-зз
[В-1| 1. а) 0,3125; б) 0,(428571). 2. Данная бесконечная десятич-
ная дробь не может быть периодической, так как между двумя
ближайшими цифрами 2 никогда не повторяется одинаковое
количество раз цифра 1. Следовательно, этой дробью записа-
но иррациональное число. 3. 0,25(27) < 0,25273. 4. Проведите
рассуждения от противного, предполагая существование несо-
2
кратимой дроби —, такой, что —2,4, или 5тп2 = 12п2.
п п2
[В^З] 1. а) 0,052; б) 0,(846153). 2. См. вариант 1.
3. 0,71(54) > 0,715448.
|В-3| 1. а) 0,21875; б) 0,(769230). 2. См. вариант 1.
3. 0,17(32) > 0,173223.
|В-1| 1. а) 0,112; б) 0,(54). 2. См. вариант 1.
3. 0,35(29) > 0,352914.
С-34
---1 3 11 1
В-1\ 1. 3 —. 2.------= —-----. Если предположить, что дробь
56 п п + 1 п (n + 1)
—— ---- может быть представлена чисто периодической деся-
п (п + 1)
124
1 тп1тп2 ... mk
тичной дробью, то --------=-------------. Тогда выполняется
п(п+1) 99... 9
равенство 99...9 = тп1тп2 ... mk • п (п + 1). Однако это равенство
невозможно, так как его правая часть — четное число при лю-
бом натуральном значении п, а левая часть — число нечетное.
3. 2,44(8). 4. Для доказательства проведите рассуждения ме-
тодом от противного, полагая, что а • b — рациональное число.
I---1 5 1
\В-2\ 1. 2——. 2. Если предположить, что дробь —--------——---— мо-
---- 27 п (п + 1) (п + 2)
жет быть представлена в виде конечной десятичной дроби О,
1 т.т? ... mk m
7П17П2...7П/г, то----— ---— = —Ц--------—. Тогда выполняется
1 2 k п (п + 1) (п + 2) 100...О
равенство 100...0 = тп1тп2 ... mk • п (n + 1) (п + 2). Однако это ра-
венство невозможно, так как его правая часть делится на 3 при
любом натуральном значении п, а число в левой части не де-
лится на 3.
3. 1,86(8). 4. Для доказательства проведите рассуждения ме-
тодом от противного, полагая, что — — рациональное число.
а
\В-3\ 1. 1 77^7. 2. См. вариант 1. 3. 2,84(8). 4. Утверждение
2530
неверно. Например, числа а = 0,10100100010... и
b = 0,01011011101... иррациональные. Однако их сумма
а + b = 0,1111... = 0,(1) — рациональное число.
----1 7
В-4\ 1. 1 —-. 2. См. вариант 2. 3. 1,66(8). 4. Докажите справед-
18
ливость высказывания, используя метод от противного.
С-35
ГвЛ 1.
lB^2] 1.
И 1
И 1.
Xi = 2, х2 = 4.
хг = 0, х2 = 6.
хг = 0, х2 = 4.
хг = 0, х2 = 2.
2. а) Рис. 13; б)
2. а) Рис. 16; б)
2. а) Рис. 19; б)
2. а) Рис. 21; б)
рис. 14; в) рис 15.
рис. 17; в) рис. 18
рис. 20; в) рис 20.
рис. 22; в) рис. 23
2
—।--и-•—।—।--►
-10 12 х
Рис. 13
—2 0 2 х
Рис. 14
у'уууу'/уу'Ъ I I I I I
_7. 0 3. х
2 2
Рис. 15
125
—I—I—•—I—I---
-3 -10 1 X
Рис. 16
। 1/Z//4////4///Z4_
-2 0 1
Рис. 20
x
-3 0 2 X
Рис. 17
-2-10123 x
Рис. 18
Рис. 21
«rzzzzzzzzzzzzzf_।----1----->.
-5 -2 0 х
Рис. 22
н----1---|—^Ч----1—I------------►- q'zzz^zzzzyzzz^zzzz^zzzz^zzzz^zzzzzzzzz^zzzzfr.
_ 1 О 1 2 X -6-5 0 2 3 х
2 Рис. 23
Рис. 19
А В
Рис. 24 С
Рис. 27
С-36
в-1\ 1.
Рис.
24.
2.
(3; 7].
3. В; С.
В-2\ 1.
Рис.
25.
2.
(-4; 2].
3. В.
В-3| 1.
Рис.
26.
2.
(4; 5].
3. с.
В-4\ 1.
Рис.
27.
2.
(-5; -3) U (3; 6). 3. А.
126
С-37
I В-71 1. Все правильные неотрицательные чисто периодические дро-
би можно разбить на группы по длине периода. В первую груп-
пу войдут все дроби с длиной периода 1, во вторую — с длиной
периода 2 и т. д. В каждой группе будет конечное число дро-
бей: в первой — 9 дробей, во второй — 99 и т. д. Если пере-
нумеровать дроби в первой группе, а затем во второй и т. д., то
перенумерованными окажутся все указанные дроби и при этом
будут израсходованы все натуральные числа.
2. Перенумеровать можно тем же способом, что и в первой
задаче.
3. Множества А и В равномощны, если между ними можно
установить взаимно-однозначное соответствие. Соответствие
между данными множествами можно установить геометриче-
ски (рис. 28).
Рис. 28
Рис. 29
\В-2\ 1. Каждая положительная правильная смешанная периодиче-
ская дробь может быть записана в виде положительной несо-
кратимой правильной рациональной дроби —. Этой дроби мож-
п
но поставить в соответствие натуральное число 2т • Зл, причем
разным смешанным периодическим дробям будут соответство-
вать различные числа 2т • Зл. Расположим эти натуральные
числа в порядке возрастания и перенумеруем, тем самым будут
перенумерованы и заданные периодические дроби.
В-3| 2. Рис. 29.
С-38
В/ 2. -5, 0, 1, с, Зс. 3. а) 8 < 2а + ЗЬ < 21; б) -9 < а - 2b < -1;
С
в) 2 < ab < 15; г) |
О О 2
4. Все целые числа от -2 до 6
включительно.
127
2. -2b, 0, 1, 3, b, b2. 3. a) 7 < 3a + 6 < 15;
b
6) 4 < 5a - 2b < 18; в) 2 < ab < 12; r) | < £ < 4. 4. Все целые
3 b
числа от 4 до 17 включительно.
В-3| 2. -2, О, £, с, 1, i. 3. а) 5 < а + 2Ь < 10; б) -1 < За - b < 4;
---1 2 с
в) 2 < ab < 8; г) 1 < — < 4. 4. Все целые числа от 10 до 15
а
включительно.
В-4\ 2. i, -1, с, 0, с2, 1. 3. а) 7 < 2a + b < 11; б) -11 < 2а - ЗЬ < -3;
С
b 5
в) 6 < ab < 15; г) 1 < — < -. 4. Все целые числа от 7 до 150
а 2
включительно.
С-39
|В-1| 2. Докажите, что неравенства a + — 2 иа2 + -Д- > 2 справедли-
а а2
вы для любых положительных значений а, и используйте их
для доказательства данного неравенства.
3. х4 + у4 + 32 - 16ху = х4 + у4 + 2х2у2 - 2х2у2 - 16ху + 32 =
= (х2 - у2)+ 2 (ху - 4)2 > 0.
4. Предположим, что с > 2. Тогда из условия с d следует, что
d > 2 и сумма с + d > 4. Учитывая, что по условию b > а 0,
то a + b + c + d>4, а это противоречит условию.
|В-2| 3. х2 + у2 - 2 (х + у - 1) = (х - I)2 + (у - I)2 > 0 для любых зна-
чений х и у. 4. Если предположить, что х3 >|, то из условия
о
следует, что х4 > i х5 > Тогда хх + х2 + х3 + х4 + х5 > 1, что
о о
противоречит условию.
В-3\ 2. Используйте неравенства 9а2 + —>2 и 2а + > 2, спра-
9a2 2а
ведливые для всех значений а > 0.
3. х8 + у3 + 18 - 12х2у2 = х8 + у3 - 2х4у4 + 2х4у4 - 12х2у2 + 18 =
= (х4 - у4)2 + 2 (х2у2 - З)2 > 0.
2 f JL + оИ _ (_1_ + Г| = 8 +а9 _ 2 +а3 = (2 + а3) (2 - а3)2 Q
\а6 4 ) 2J 4а6 2а3 4а6
3. Неравенство равносильно неравенству х6 + yQ - 2х3 -
- 2у3 + 2 > 0, или (х3 - I)2 + (у3 - I)2 > 0.
С-40
|В-2| 1. 1,222 • 108. 2. у = 0,03; 53,68 кг. 3. 94° ± 0,19°.
|В-2| 1. 3,1 • 102. 2. h = 0,3; 60,4 м. 3. 275 ± 0,28 г.
|В-3| 1. 2,3803 • 108. 2. h = 0,03; 5,68 м. 3. 5,6 + 0,006 а.
|В-4| 1. 1,178164 • 108. 2. Л = 0,0015; 12,3735 мг. 3. 8,72 + 0,022
рентген.
128
С-41
I В-/1 1. = 10,36. 2. 12,30 ±0,006. |В-2| 1. =2,4.2. 47,29 ± 0,012.
|В-3| 1. =8,5. 2. 12,2 ±0,06. |В-4| 1. «3,5.2. 23,06 ± 0,011.
С-42
[в7] 1.
НО
-0,05. 2. Л0, 3V2, 2>/5. 3. Для доказательства достаточ-
вычислить длины сторон треугольника, используя формулу
расстояния между двумя точками.
ЦГЛ 1. 3,4. 2. Л4, 241, 3V5. 3. См. вариант 1.
|в-3| 1. 1,74. 2. 4б, 243, 342. 3. Для доказательства достаточно
показать, что квадрат длины одной из сторон равен сумме
квадратов длин двух других сторон.
|В-4| 1. -11. 2. V14, 2V5, 5V2. 3. См. вариант 3.
С-43
|В-/| 1. а) Корней нет; б) хг = 2, х2 = -8; в) х = -11. 2. -1.
25
Зх
7(х + 2)2 ’
|В-2| 1. а) Корней нет; б) хг = 10, х2 = -2; в) х = -^. 2.-1.
о 2
J(2x - З)2
х2 + 1
В-3| 1. а) Корней нет; б) хг = 11, х2 = 3; в) х = -^. 2. -1.
5
[5;+оо). 4. J(x-3)2 + , 3 .
7(2х+1)2
а) Корней нет; б) Xj = 5, х2=-1; в) корней нет. 2. -1.
,------5- 3-J(x-l)2
(3;+оо). 4. V(3x-2)2+
V(2x +1)2
3. [3; 5) U (5; +оо). 4. J(2x - I)2 +
3. [2; 3) U (3; +оо). 4. 2 (х + уГх2 )
3.
В-4\ 1.
3.
С-44
В-1\ 1. а) 11; б) 6; в) 1. 2. V24 < V27 < J(a - 5)3 .
3. -2ЛЛ(3 + е). 4. - Ло - 1)
\В-2\ 1. а) 23; б) 8; в) 3. 2. 4бЗ < у/(а + 2)3 < V125.
3. а2с2 4^(740^ ~3ас). 4.
15
129
ВЗ 1. а) 27; б) 9; в) |. 2. Лв < Лб < 7(а + З)3.
3. 8а2&с(Лд-2бЛДЛ). 4. 715.
В-4\ 1. а) 20; б) 13; в) 2. 2. ^(а - 4)3 < V28 < Л2.
3. 9аЬ2 |с| (2 Лас - ЛЛ). 4. .
С-45
|В-/| 1. а) б) 2 Л. 2. а) Л-Л; б) ЗЛ -2Л. 3. 4. 2.
3 а - b
|В-2| 1. a) yV2l; б) 2Ла. 2. а) Л+Л; б) 41а-34ь.
3. —Ц-. 4. 2.
a-b
|В-3| 1. а) 4-У15; б) 2 Лбе. 2. а) Л +Л; б) Ла+ 2 Л.
a2b(l-ab)
о. —. 4. 3.
Ла-36
|В-4| 1. a) 7-ЛО; б) 2Л0с. 2. а) Л+Л; б) а 41 -43b.
3. 2®±£. 4. 2.
2а - Ъ
С-46 _____
ГдЛ 1 х + 2 9- V(x+1)2 - 2Л + 1 + 1_ (Vx+1-l)2
ллТ’2----------------ЛТТ =^х'ТТ >0-
2. а4 + 2&4 + с4 > 2a2b2 + 2b2c2 = 2Ь2 (а2 + с2) > 4Ь2ас.
Гв^21 1 X+1 _ 4 = У(х~3)2 - 4Л-3+4 (Ух-3-2)2
4х^з 4х^з 4х^з
2. а6 + 2&6 + с6 > 2а3Ь3 + 2&3с3 = 2Ь3 (а3 + с3) > 4b3ac Jac.
3 1. х+11 _6 = л/<х + 2)2 ~бУх+~2 + 9 = (Л72-3)2 0
Vx + 2 >/х + 2 Jxa-2
2. (а+ 26 +с) f- + r + -l > (2Лб +2 Ле) 12 +2j±) =
\а b с J \ Nab N be)
л Z г- Г\( 1 1 "I ла + с + 24ас
= 4 (Та + 4с) -— + ~^= 1 = 4-—----
\Ja у!с J Jac
л 2 Jac 4- 2 Jac п
> 4-----—-----=16.
Jac
, х+14 я_7(х-2)2 -8Л^2 + 16_ (Л^2-4)2
-Ух - 2 4х-2 4х-2
о 2.2.2_(l.lVfl.f|.(l.l>|> 2 . 2 . 2
abc \b с) \а с) \а b) 4fc 4^ Лб
130
С-47
----1 5
В-11 1. а) хг = 0, х2 = б) корней нет, сумма неотрицательного и
о
положительного чисел не может быть равна нулю; в) хг = 6,
х2 =-2. 2. a) X1 = -|-|V5, x2 = -| + |V5;6) х1 = |,х2 = -|.
3. 5х2 * - 5х - 30 = 0.
В-2\ 1. a) Xi = 0, х2 = -^; б) корней нет; в) хг = х2 -
5 3 3
2. а) х1 = 6, х2 =-5; б) хх = х2 =
3. 4х2 - 16х - 20 = 0.
----1 5
В-3| 1. а) хг = 0, х2 = —; б) корней нет; в) = 1, х2 = -11.
2. а) х1=-4, х2 = 10; б) хх = , х2 =
3. 2х2 - 10х + 12 = 0.
В-4
1.
2.
3.
a) Xi = 0, х2 = уу; б)
а) хх = 7, х2 = -5; б)
Зх2 + Зх - 18 = 0.
5 3
корней нет; в) хх = -, х2 =
-2 + 242 2 + 242
Х1 = ~5~ ’ *2 = —г-
С-48
В-/| 1. а) хх = |, х2 =-2; б) xlt 2 = -3 ± 42; в) хх = 241, х2 = -^47.
2. в). 3. По условию ас > 0. Используя неравенство между
средним арифметическим и средним геометрическим двух чи-
сел, имеем 2ас = 2|а||с|^а2 + с2^ 12, откуда 4ас 24. Следо-
вательно, дискриминант уравнения D = 25 - 4ас > 0. 4. -—.
х + b
В-2
1.
а) хх = 3, х2 =
б) Xlt 2 = 4 ± 429; в) Xj 2 =
1± V13
243
2. а).
_____ 1 л х 2Ь 4" Зд
. См. вариант 1. 4. -—--—.
х - 2Ь - 5а
В-3 1. а) хх = 5, х2 = -1; б) хх> 2 = 5±/13; в) хх, 2 = 3±/^П.
о z V5
2. в). 3. По условию ас > 0. Используя неравенство меж-
ду средним арифметическим и средним геометрическим
2 2^11^1
двух чисел, имеем — = -——- -, откуда ас > 4,
ас \а j с I а2 с2 2
или 4ас >16. Следовательно,
£> = 9 - 4ас < 0. 4. * + & + 3а.
х + Ь - 4а
дискриминант уравнения
В-4 1. a) Xi = х2 = -1; б) Xj = 9,
х2 = 3; в) хъ 2 =
2. а), б). 3. См. вариант 3. 4. x +
х + Ь + За
4±2У7
4б
131
С-49
B-l\ 1. с = -2, х2 = -1. 2. х2 * + (р - 1) х -р = 0.
В2 1. & =-8, х2 = 1- 2. х2 -|л/Р2 -8 • х + |(Р2 - 8) = 0.
В-3\ 1. а = -1, *! = ^. 2. х2 - 2 (р2 + 2) • х + (р2 + 2)2 = 0.
2 5
В-4\ 1. b = 0, с = -3. 2. 4х2 + 4 (р2 + 2) • х + (р4 * * * + 4р2) = 0.
С-50
|В-1| 1. ух = -27, р2 = -1. 2. 25%. 3. 7 дней и 12 дней.
|В-2| 1. х, 2 = 7±УП. 2. 12 г. 3. 4 ч.
---- 2 2
|в-3| 1. у12 = -15± -^221. 2. 20 м и 30 м. 3. 10%.
|В-4| 1. хг 2 = 9± V106. 2. 30 км/ч. 3. 15 км/ч.
С-51
И 1. a)xli2 = ±l, x3i4 = ±2;6)x1i2 = ±V2, х3>4=±1; в)х = ^^.
„ 8(х + 2)(2х2+2х + 3) „ „
2. ------------------. 3. При заданных условиях задачи
х2 + 2х + 3
-b + Jb2 - 4с
Ь2 - 4с > Ь2, поэтому х2 =--------> 0 при любом значе-
—& — Jb2 — 4с
нии Ь, но ----------- < 0 при любом значении Ь.
4. х12 = 2±л/3. Данное уравнение является возвратным, по-
этому целесообразно обе части уравнения разделить на х2.
В-2^ 1. a) xlf 2 — — хз, 4 ~ б) xlt 2 — п
в) X = -
toll-4
2. 25 (5х + 4). 4. Х1 = -3, х2 = х3 = 2, х4 = -|.
о Z
В-3\ 1. a) xlt 2 = ±2; б) 2 = ±1; в) х =
2 (х2 + 6х + 12) (х + 4) 4 х = 1
х (х — 1)
----1 г- 13-3V21
В-4\ 1. а) 2 = ± V5; б) хг = 3, х2 = -2; в) х =---
8(2х2-2х + 1) 5± J21
х + 2 ' ‘ *112 2 '
132
С-52
И 1. а) (2; 1), I-Л б) (1; 1), (-1; -1),
•> (3+V7;3-V7),
(-3-7П; -3 + Л1), (-3+7П; -3-ЛТ).
В-2| 1. а) (1; 2), 3 ; б) ^710; |V10
13 J 15 5
(з - Ji; 3 + Ji),
(-Л; Л), (Л; - Л); в) (Л +Л; Л-Л), (Л-Л; Л +Л),
(-Л + Л; -Л-Л), (-Л-Л; -Л + Л).
S 1. a) б), (-1; -7); б) (Л; Л), (-Л; -Л),
Нй;-5Ш в> №-1). (-1; 0).
Ш 1. (-1; 2), (-1;4 6) --L), (-1; 1), (!;-»;
В) (-1; -1).
С-53
|В-/| 1. а < 0, а * -2. 2. n = 1. 3. р < -
В-2 1. а < 0, а * - j. 2. k = 9. 3. а <-0,9.
---- 2
В-3| 1. -1 < а < 0. 2. а = ±2-/|. 3. р <
V 5 о
вЗ 1- 0<a<i 2. а = -1±Л. 3. р<-%.
---- 2 V2 7
С-54
BI 1. a) хх =И X2 = -|; б) х1>2 = ±|, х3.4 = ±^.
О о С
2. Г 2|. 3. х = ± (2 + 7^ ” р)» если р < 0; х = ± (2 ± -у/4 - р),
если 0 р 4; корней нет, если р > 4.
Ю 1. а) х1 = 5, х2 = -7; б) х1>2 = ±|, х3>4 = ±^.
Ci о
2. х = 3. х = ± (1 + V1 - а), если а < 0; х = ± (1 ± V1 - а),
Ci
если 0 а 1; корней нет, если а > 1.
133
ВЗ 1. а) X! = 1,
х2 = 0; б) х1>2 = ±^|, х3>4 = ±^|. 2. х1=-5,
х2 = 3. Корней нет, если р < х = ± (3 ± ^/9 + 2р),
Ci Ci
-1 р 0; х = ± (3 + ^/9 + 2р), если р > 0.
если
вЗ 1. а)х1=5, х2 = j; б)х12 = ±|, х3,4 = ±^. 2. Xj= -14,
4 4 2 о
х2 = ^. 3. х = ± (б + 736— р), если р < 0; х = ± (б ± у/36 - р),
если 0 р 36; корней нет, если р > 36.
С-55
|В-/| 1. Рис. 30: х = 2. 2. Рис. 31: хх = -1, х2 = 2. 3. Рис. 32.
|В-2| 1. Рис. 33: х= |. 2. Рис. 34. 3. Рис. 35.
---- 2
|В-3 1. Рис. 36: х = -1. 2. Рис. 37: х1 = -2, х2 = 1. 3. Рис. 38.
|В~4| 1. Рис. 39: х = 2. Рис. 40. 3. Рис. 41.
1--- 2
134
135
С-56
I Д-J I 1. a) (-oo;2V2); 6) l-oo; б|
4. f-l’ 2\
2 )
B-2\ 1.
a) (4;+oo);
4.
11.
2 ’
oo .
B-3\ 1.
x ( 2л/3
a) —Г
3.
(-oo; -1). 4.
6
5
l-1
3. 8
2’ 3 ’
2. [0; +oo).
— oo; ——
4
3.
— oo; —
CO |
3. (-oo; 45).
B-4\ 1.
3.
a) (-oo;V2-2); 6) [0; +oo). 2. [2; +oo).
fl.
1з’
1
3
5
2 *
C-57
a) (-oo; -5] U [3; +oo); 6) -oo;
2.
B-2\ 1.
a) [-2; 4]; 6)
; в) (-oo; +oo).
2.
б-зТё’
— oo;---------
2
B-3\ 1.
a) (-oo; -5] U [1; +oo); 6)
; в) 0.
2.
B-4\ 1.
2.
a) [2; 3]; 6) (-oo; -1) U (-1; +oo); в)
2
{n I n e N, 2 « n 12}. 3. (-5; -2] U [2; 3). 4. -co; - | .
C—58
4.
6 . 2. {2, 4, 5, 6, 7}. 3. (-00; -3) U +00 U{1}.
у о 2 j
(-00; -8) U (-a; +00), если a < -8; (-00; 8) U (8; +00), если
a = -8; (-00; -a) U (8; +00), если a > -8.
136
В-3| 1. (-8; 3). 2. {1, 3, 4, 5}. 3.
В^2] 1. (-оо; -0,3] U (0,25; +оо). 2. {п | п е N, 1 п 8, п * 5}.
3. -|;3. 4. (-оо; a] U [3; + оо), если а < 3; (-оо; +оо), если
\
а = 3; (-оо; 3] U [а; +оо), если а > 3.
”1’ о Iе 4- (5; -р)» если р < -5; 0,
3 2у
если р = -5; (-р; 5), если р > -5.
ВЗ 1- 12; 2||. 2. {n I п е N, 1 « п =S 7, п * 3}.
\ 47
3. f—оо; -
4. (-оо; 3) U (-а; + оо), если а < -3; (-оо; 3) U (3; +оо), если
а = -3; (-оо; -a) U (3; +оо), если а > -3.
U
С-59
а)
(-2; 1]; б) (5; 9). 2. (-оо;-7) U (1; 5].
В-2| 1.
а)
[4; +оо); б)
В-3| 1.
а)
4 Л
I I [ 1 , 4 ] . [о. 5 + V 33 | rt z .
Ul4 7 Г б) Г ------2---Г 2’ (
3
2
В-4\ 1.
а)
(-оо; -1)U 0;
17
8
б) (1; 2). 2. (-оо; -4] U -3; | .
Л
4
7
2 ’
С-60
В-1\ 1. Рис. 42. 2. Рис. 43. 3. Рис. 44. 4. Рис. 45.
137
138
139
Рис. 57
|со
1.
1.
1.
Рис. 46.
Рис. 50.
Рис. 54.
2. Рис. 47.
2. Рис. 51.
2. Рис. 55.
3. Рис. 48.
3. Рис. 52.
3. Рис. 56.
4. Рис. 49.
4. Рис. 53.
4. Рис. 57.
140
Тесты
Номер вари- анта Номер зада- ния Номер теста
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 3 3 2 3 1 2 2
2 2 4 4 3 3 3 3 1, з
3 3 3 1 2 3 1 2 3
4 4 1 3 1 2 2 2 5
5 3 4 — 3 4 2 3 2
2 1 2 3 3 4 3 2 3 2, 4
2 3 2 4 2 3 3 2 1, 4
3 4 5 2 2 1 2 2 1, 2
4 2 2 2 5 4 4 4 4
5 4 3 — 1 2 3 2 4
3 1 2 3 3 2 2 3 3 3, 4
2 4 2 3 3 3 2 1 1, 2
3 2 4 1 3 2 3 2 2, 5
4 4 1 2 2 2 3 4 5
5 3 3 — 3 1 2 4 1
Номер вари- анта Номер зада- ния Номер теста
9 10 11 12 13 14 15 16
1 1 1, 4 3 4 5 1, 5 2 3 2
2 4 4 3 2 4 4 2 3
3 2 4 3 4 3 3 3 3
4 3 5 2 4 2 4 2 3
5 1 — 3 5 3 2 1 —
2 1 2 3 3 4 4 3 3 2
2 4 2 4 3 3 5 2 4
3 1 2, 5 1 3 4 1 3 4
4 2 4 1 3 1 2 1 3
5 3 — 4 3 2 3 3 —
3 1 1, 4, 5 1, 3, 5 5 3 3 2 3 4
2 1, з 4 2 1 4 5 4 3
3 1 2 4 2 3 4 1 4
4 3 2 2 5 1 2 3 2
5 2 — 1 2 2 1 2 —
141
Контрольные работы
К-1
|В-1| 1.4. 2. Ь 4, а Ф 2Ь. 3. 280 шагов.
|В-2| 1. 3. 2. т ф 3, т * 2п. 3. 5 ч.
7
К-2
|В-1| 1. 2b (а + 2b) (а - с). 2. хг = -х2 = 4. 4. (а - Ь)2.
3
|В-2| 1. ЗЬ (2а - ЗЬ) (а + 2с). 2. хх = хг = |. 4.
К-3
|В-/| 1. 2. а ~ 1. 3. Xj=-1, х2 = 1. 4. Используйте тот
х4 -4 у2 а
факт, что ---— ----— = — ----------—-.
(а + п) (а + п + 1) а + п а + п + 1
|В^2] 1. 2. 3. х1=-1, х2 = 1.
х2 - у4 а
венство --------------= —-------------.
(а + &) (а + ^ + 1) а + k а + k + 2
4. Используйте ра-
К-4
\В-1\ 2. 3 и 18; 6 и 9.
3. Если существует целое число а, такое, что а2 = 2 735 146, то
а > 4 и может быть представлено в виде а = 4k, а = 4k 4- 1,
а = 4k 4- 2, а = 4k + 3. Сравните теперь возможные остатки от
деления а2 на 4 и остаток от деления данного числа на 4.
4. 4 группы по 3 человека и 1 группа по 5 человек.
|В-2| 2. 42 и 56. 4. 4 л — 5 кувшинов или 4 л — 2 кувшина и
6 л — 2 кувшина.
К-5
В-11 1. 12-?-.
55
2,
-0,5
4. — 11,2.
В-2\ 1.
139
1704’
-1,5
1,5 х
4. — 2,6.
2
К-6
[вЛ 1. 2. 4а-4b. 3. 4. | раза.
|В-2| 1. -2,66. 2. a + b + 4ab. 3. 12.
142
К-7
В-ll 1. а) ~ ’ б) '/3±2>/2; в) корней нет.
2. 12х2 - 43х + 13 = О. 4. 20 ч и 30 ч.
В-2\ 1. а) х1=-1, х2 = 2; б) -У5 ± 3; в) корней нет.
2. 625х2 - 125х - 96 = 0. 4. 10 км/ч.
К-8
и * * -1-2- № Л)- - Л). № Л). (~2 Л; - ЛУ
3. а > Л- 4. 2.
12
Н 1. х1 = 0, х2 = 1. 2. [-V3; рЗ;-^Ю. 3. р > ± 4. 2.
К-9
2.
4.
;-4--У15] U [-4+-У15;+оо). 3. f; 4 .
и[1;4]иГ5^^-
В-2\ 1.
2.
— оо; ----
2
:-оо; -3) U (-3; -VS - 1] и [—л/з + 1; 3) и (3; +оо).
U [0;+оо). 3. -12; -|1. 4. [-2;-1].
— оо;
2
3
Итоговая контрольная работа
|В-/| 1. 0. 2. 1. 3. 0,1. 4. Xj = 1, х2 =-4. 5. 11-^715; 2+
V 5 5 )
11 + ^715; 2-^|. 6. 2| U (3;+оо).
у 5 5 ) |_ 3 J
О 1. 1- 2. 153. 3. ± 4. х1 = -1 х2 = |.
о4 э э
„ f12+10-УЗ -8+15V31 f12-10-УЗ -8-ISVS'! „ ,
5. --------; -------- , ---------; -------- . 6. (-оо; -21.
13 13 J Ц 13 13 J v ’ J
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................... 3
Примерное планирование учебного материала........... 4
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
С—1 — С—7. Дроби.................................... 10
С—8 — С—23. Многочлены.............................. 19
С—24 — С—26. Элементы теории множеств.............. 36
С—27 — С—32. Делимость чисел. Простые и составные
числа.............................................. 39
С—33 — С—60. Действительные числа.................. 45
ТЕСТЫ
1—2. Дроби........................................ 76
3. Обратно пропорциональная зависимость.
Функция у = —................................ 80
X
4—5. Многочлены. Действия над многочленами........ 82
6—7. Формулы сокращенного умножения............... 85
8—10. Делимость чисел............................. 89
11. Действительные числа......................... 93
12. Неравенства и их свойства.................... 95
13. Квадратные корни и их свойства............... 97
14. Квадратные уравнения......................... 99
15. Теорема Виета................................101
16. Решение неравенств...........................103
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ.................................105
Ответы, указания, решения..........................112