/
Автор: Хлевнюк Н.Н.
Теги: воспитание обучение образование теория чисел методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе основы математики математическая логика математика алгебра математика для детей 7 класс точные науки
ISBN: 978-5-89237-378-4
Год: 2016
Текст
Н.Н. Хлевнюк
,{,
"
'.
ос " {'"
..
,./ /.
.r o;>_.. I: ..!"'>: <'_>. '<"I, J< ;>o; ":f"-'" _.:". ..... >' ",...t".... .(v.'". ., o'i,/: _:7.. ",.. ; ,"''':..'f...P:/' ?-" _ ;I
,. . -р .
,
-::".J< .,. :,. . >, ,. х>' . . f -L" ... .;< .,... .
I 3
ТЕМ
П Б
ffiOO ШIPШ
Е
"
\')'. , ,
ч · 't"
ИЛЕКСА
Н.Н. Хлевнюк
[}{] 2Ш Q{]
ДЛЯ РАЗВИТИЯ
МА ТЕМАТИЧЕСКИХ
СПОСОБНОСТЕЙ
Алzебра 7
Москва
ИЛЕКСА
2016
\\
v 1, \ J «)72):511
I I I 1. t 22.12
"
\ 11 1,1I1{)1( Н.Н.
\ 1"'l-l)l{счка для развития математических способностей
АIII t:t)pa 7. М.: ИЛЕКСА, 2016. 62 с.
I IJN 978 5 89237 378 4
«1\ Illпкечка для развития математических способностей. Алrебра 7»
l' () 11c'.PI\(HI из трёх «книжечек» по алrебре для 7, 8, 9 классов. Она может быть
. Yt.'II\;XOM использована для орrанизации дополнительных занятий с целью за
"РСIIJl\;IIИЯ знаний и создания прочной базы для обучения математике в 8 M
ЮШССС.
Содержание «книжечки» включает фундаментальные темы курса алrеб
рм 7, lIаправлено на развитие математических способностей, полностью COOT
не I'CTIJyeT проrpамме курса алrебры 7 и [осударственному стандарту обуче
IIIIЯ Md rсматике.
у никальность пособия в том, что оно, в первую очередь, адресовано уче
IIИК,lМ и их родителям. Ученик оценит свои 1нания и умения блаrодаря COBe
I,'M, критериям и образцам решения, а родитель познакомится с методикой
и l paMoTHo поможет своему ребёнку в обучении математике.
«Книжечка» поможет учителям и в особенности молодым педаrоrам op
П'lIизовать разноуровневое обучение; репетиторам проводить дополнитель
вые занятия. В пособии они найдут «упакованные» теоретические факты,
классификацию и характеристики уровневых заданий, описание «математиче
ских ловушек», прочие методические советы.
Пособие создано на основе мноrолетнеrо опыта преподавания математи
ки в общеобразовательной средней школе.
Автор «книжечки» учитель высшей квалификационной катеrории, OT
личник просвещения, победитель и призёр творческих конкурсов учителей Ma
тематики.
УДК 372.8(072):511
ББК 74.262+22.12
ISBN 978..5..89237..378..4
(Q Н.Н. Хлевнюк, 2015
(Q ИЛЕКСА, 2015
Оrпавпение
От автора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Рекомендации учителя
Советы ученику. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Правила работы с «Книжечкой» . . . . . . . . . . . . . . . 7
Примеры уровневых заданий по алrебре для 7 класса.. . 8
Теоретические факты алrебры 7. . . . . . . . . . . . . . . 9
Осторожно! Математические «ловушки»! . . .. .... 11
Уроки: части 1 и 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Приложение
Правила работы с математическими объектами:
числами, выражениями, уравнениями и функциями 34
Образцы выполнения заданий . . . . . . . . . . . . . . . 35
Классификация и характеристика заданий уровней А, В, С . 41
Теоретические факты, необходимые для выполнения
'"
задании. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. .44
46
. 52
О содержании, структуре и особенностях «Книжечки». .
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
От автора
Пожалуй, нет сложнее работы, чем учить и учиться. Учить
так, чтобы знание само раскрывалось перед обучающимися,
а учиться, чтобы от напряжения и осознания, что познаёшь, дух
захватывало! Только в этом случае учить и учиться самая
прекрасная работа мозrа и души человеческой и самый достой
ный союз учащих и учащихся!
С первоrо дня работы в школе задала себе вопрос: «Как об
леrчить обучение математике?». Если ученик способен к MaTeMa
тике, ero и учить то не нужно, знай только направляй и KOHTpO
ЛИРУЙ на пути познания. А KOMY TO ой, как сложно даётся этот
предмет! Долrие [оды педаrоrической деятельности искала ответ
на этот вопрос, оказалось, не TaK TO просто. HeMHoro успокоила
себя тем, что если бы это было иначе, то не развивалась бы педа
rоrика столетиями, и вопрос оптимизации методики отпал бы
сам по себе. Но от этоrо леrче не стало. Мои коллеrи, наверняка,
ставят перед собой ту же проблему: «Как помочь В обучении Ma
тематике, как передать ученику математические знания, чтобы
они приrодились в ero взрослой жизни. Как сделать так, чтобы
занятие математикой в школе доставляло психолоrический
комфорт и приносило удовольствие? )
Чтобы разрешить эту проблему, сначала нужно уяснить:
в чём сложность предмета «математика»?
Работая MHoro лет в общеобразовательных и профильных
классах, в классах с уrлублённым изучением математики, OCHO
вываясь на опыте обучения детей с разными математическими
способностями, сделала вывод: предмет «математика» не столько
сложен по содержанию, сколько специфичен. Эта специфика за
ключается в том, что отдельные единицы математическоrо зна
ния настолько плотно взаимосвязаны, что в случае потери хотя
бы одной из этих связей нарушается целостность системы MaTe
матических знаний, и ученику средних способностей тотчас же
4
становится непонятным сразу всё! По крайней мере, он так себя
психолоrически ощущает, и на уроке полностью выпадает из об
щеrо контекста работы класса. И тоrда этот ученик нуждается
в дополнительной индивидуальной помощи. Именно поэтому
каждое новое математическое знание должно быть тотчас же yc
воено, здесь и теперь, в противном случае MrHoBeHHo накаплива
ется непонимание предмета. Но ведь, кроме математики, CTpaдa
ют друrие смежные области: информатика, физика, химия,
rеоrpафия и др., вот почему так важно усваивать математику
своевременно и всеrда поддерживать математические знания на
достаточно высоком уровне, без явных пробелов и белых пятен.
Искренне надеюсь, что «Книжечка» поможет ликвидировать
пробелы в знаниях, сформировать прочные умения и навыки,
развить математические способности и удерживать качество Ma
тематических знаний на достойном уровне.
На чём основана эта надежда? объяснить в нескольких сло
вах сложно, но очень хочется. Об особенностях «Книжечки», её
конструкции, отборе содержания, некоторых приёмах обучения
и развития изложено в конце книrи, в приложении.
В определённой степени «Книжечку» можно рассматривать
как помощника в изучении математики, самоучителя тренажёра:
· для учеников, желающих получить прочные математиче
ские знания;
· для родителей, стремящихся помочь своим детям стать
успешными в овладении математикой;
· для учителей, желающих повысить свой методический
уровень.
Содержание «Книжечки для развития математических спо
собностей. Алrебра 7» включает все темы и виды заданий курса
алrебры 7, охватывает основные математические линии:
· вычислительная линия: действия с целыми и дробными
числами, с дробными выражениями, степенями;
· линия линейных уравнений;
· линия преобразования мноrочленов: приведение к CTaH
дартному виду, разложение на множители;
· линия прикладных задач: текстовые задачи, отношения,
пропорции, проценты, формулы.
5
\\
Задания пособия разноуровневые, для каждоrо из них, в за
висимости от сложности, определён уровень: А, В, С (или АВ,
ВС, классификация уровней дана в приложении пособия), что по
зволит учителю орrанизовать уровневое обучение, а выполняю
щему задания определить свои способности и качество овладе
ния математическими знаниями.
Пособие поможет в формировании системноrо подхода
в обучении, орrанизации сквозноrо повторения в течение учебно
ro rода в 7 M классе, а в летний каникулярный период позволит
сохранить математические знания и лучше подrотовиться к обу
чению математике в 8 M классе. «Книжечка.... Алrебра 7,8,9»
будет хорошим подспорьем в работе перед выходом «с математи
ческой тропинки на большую математическую дороrу» в про
фильной школе, при подrотовке к Еrэ.
Кроме банка тренировочных упражнений, пособие содержит
методические рекомендации, теоретические факты, образцы pe
шения математических задач, фраrменты заданий, в которых
чаще Bcero ошибаются ученики, так называемые «математиче
ские ловушки», а также некоторые соображения по методолоrии
предмета «математика».
В заключение несколько слов об идее создания «Книжечки».
Однажды родители девочки, с которой я работала, обратились
с просьбой: подобрать задания по алrебре для летних занятий,
чтобы лучше подrотовиться к изучению математики в следую
щем классе. Девочку звали Тамарочкой, так родилась математи
ческая «Книжечка для Тамарочки» . Не MOry не упомянуть её име
ни, поскольку именно она и её родители помоrли поднять
проблему: как помочь сохранить математические знания на кани
кулах? И тоrда родилась идея такой «Книжечкой» помочь всем
желающим.
Хлевнюк Н.Н.
6
Рекомендации учителя
Советы ученику
1. Учись выполнять быстро и качественно любую работу!
Если начал что то делать, обязательно доведи дело до конца!
2. Перед началом работы сосредоточься и настройся на успех!
3. Думай каждую секунду о том, что делаешь и как делаешь!
Не отвлекайся и контролируй правильность каждоrо cBoero шаrа!
4. Следи за темпом работы. Работай активно, без пауз, чтобы
не отвлечься от сути дела.
5. Если устал, оставь работу на 5 10 минут (но ненадолrо,
чтобы не расслабиться и не потерять темпа работы). После пере
рыва настрой себя на качественную работу и немедленно присту
пи к её выполнению.
Правила ра60Ть, е «Книжечкой»
1. «Книжечка» содержит 10 уроков: каждый из них имеет две
части: часть 1 и часть 11.
2. Сначала выполни задания части 1 каждоrо урока (20 пунк
тов). После проверки части 1:
· часть 11 каждоrо урока можно совсем не выполнять, если
все задания части 1 выполнены верно;
· частично выполнить те наборы заданий (5 штук) части 11,
в которых при решении аналоrичных заданий части 1 были
допуrценыошибки;
· полностью выполнить '-часть 11, если часть J выполнена
удовлетворительно или плохо.
3. Критерии оценивания части 1:
· если в 20 ти выполненных пунктах заданий имеется не бо
лее 3 x ошибок, при этом в каждом задании (их четыре
7
в каждом уроке) допущена только одна ошибка, тоrда MO
жешь отдохнуть и часть 11 не выполнять;
· если при выполнении части 1 допущены 2 ошибки, и обе
в одном задании, тоrда обязательно выполни аналоrичное
задание из части 11 (одно из четырёх, состоящее из
4 6 пунктов), стараясь действовать с учётом анализа допу
щенных ошибок в части 1;
· если Bcero ошибок при выполнении части 1 оказалось четы
ре или более, нужно полностью выполнить ещё и часть 11.
4. После выполнения обеих частей урока оцени в процентах
качество выполнения, пользуясь следующими «расценками»: вся
работа «стоит» 100% (20 пунктов), поэтому каждое верно выпол
ненное задание «стоит» 5 % .
5. Сохрани выполненную работу, чтобы по её окончании ещё
раз проанализировать решения, определить слабые места и про
белы. Лучше обратиться к опытному учителю, чтобы тот помоr
сделать объективный вывод об успехах и CMor спроrнозировать
процесс дальнейшеrо математическоrо обучения и развития.
Примеры уровневых заданий по алrебре дли 7 класса
Задание уровня А:
1. Решить уравнения:
а) 3х 1 == О;
2. Вычислить:
2 5
а ) 3 7: 9 2 . ( 4 4 ) .
3 11' ,
б) х + 7(х 2) == 4х + 6.
з4 .37
. б) (32)6.
Задачи уровня В:
. x 7
1. Решить уравнение: 4х 2 х( 4х 1) == .
3
u 045.176 з5.97
2. Сравнить значения выржении:' ' , и 4 ·
0,11 . 90 ( 27 2 )
Задачи уровня с:
1. При каких значениях параметра а уравнение
(а+3)х 2(x a) == О
а) имеет корень, б) не имеет корней?
8
Теоретические факты алrебры ....... 7
Важная Шllар" (, IKll
Перед выполнением практических заданий проверь свои IC()
ретические знания, ведь они необходимы для правильноrо и 011 ·
ративноrо выполнения практических заданий.
1) Заполни таблицу самостоятельно (лучше карандашом,
чтобы в случае необходимости исправить).
2) Проверь, насколько прочно усвоил теорию (сравни запол
ненную тобой таблицу с таблицей в конце пособия, в приложе
нии).
3) Приступай к выполнению практических заданий, по мере
необходимости обращаясь к таблице в приложении.
Важный совет
Поскольку теоретические факты необходимы для успешно
20 выполнения заданий, а, к сожалению, они часто забывают
ся, советую после заполнения таблицы карандашом, спустя He
которое время, записи стереть, а затем вновь восстановить их
в памяти и записать. Помни, что чем чаще повторяешь эту пpo
цедуру, тем прочнее знаешь теорию, тем точнее выполняешь
практические задания!
Применение.
Подумай, для вы
пОЛllеllИЯ каких Ma
Формула тематических yп
ражнеllий использу
ются эти тeope
тические знания!?
1. Формулы COKpa Квадрат суммы двух выражений:
щённоrо умножения
(записать формулы) Квадрат разности двух выраже
Bcero 7 формул ний:
Разность квадратов двух выраже
ний:
Разность кубов двух выражений:
Сумма кубов двух выражений:
9
Куб разности двух выражений:
Куб суммы двух выржений::
2. Свойства степеней Умножение степеней:
(записать формулы)
Bcero 5 формул Деление степеней:
Возведение степени в степень:
Возведение в степень произведе
ния:
Возведение в степень дроби:
3. Законы (свойства) Переместительный закон сложе
чисел ния и умножения:
Сочетательный закон сложения и
умножения:
Распределительный закон YMHO
жения:
4. Свойства равенств Умножение или деление обеих
частей равенства на число, не
равное нулю:
Перенос слаrаемых из одной час
ти равенства в друryю с измене
нием знака слаrаемоrо:
5. Основное свойство ..
дроби:
6. Основное свойство
пропорции:
7. Доли, части, про Нахождение части (процента) от
центы числа:
Нахождение числа по ero части
(по ero процентам):
Нахождение отношения (про
I центноro отношения) двух чисел:
10
Осторожно! Математические ссловушки»)!
Раскрою некий «учительский» секрет есть так называемые
математические «ловушки», которые применяются для проверки
rлубины и прочности знаний ученика.
Математические «ловушки» это такие места в заданиях,
rде ученик, если он не достаточно хорошо усвоил знания и не
приобрёл навыков решения, леrко может «споткнуться» И допус
тить ошибку.
И если ты нацелен на успех в овладении математикой, то обя
зан научиться распознавать математические «ловушки». Вот He
которые из них.
<сЛавушка» 1: Определение знака выражения,
содержащеrо степень.
Вопрос. Какие из выражений: ( 2)5; ( 2)4; 25; 24являются
положительными?
Ответ. Знак выражения зависит от порядка действий в Bыpa
жении!
( 2)5 == ( 2). ( 2). ( 2). ( 2). ( 2) == 32. Имеем знак « », так
как перемножаем нечётное количество отрицательных множите
лей.
( 2)4 =( 2).( 2).( 2).{ 2) ==16. Имеем знак «+», так как
перемножаем чётное количество отрицательных множителей.
25 = 2.2.2.2.2)== 32и 24 == 2.2.2.2)= 16. В обоих
случаях, независимо от чётности или нечётности показателя CTe
пени, имеем знак « », так как, соблюдая порядок действий в BЫ
ражении, сначала перемножаем число 2 на себя столько раз, Ka
ков показатель степени, а затем приписываем знак « ».
11
\\
>l <сЛовушка» 2: Выполнение арифметических действий
в дробных и сстрёхзтажных» выражениях
7
9
2
Ответ. Имеем две разные ситуации, и здесь важно обратить
внимание на положение «основной дробь черты».
В первом случае целое число 7 делится на дробь, во втором
случае дробь делится на целое число 2.
Чтобы не ошибиться, нужно пример записать в строчку, при
этом «основную дробь черту» заменить действием деления:
7 7. 9 7 . 9 7 2 14.
9 . 2 т. 2 Т. 9 9'
2
7
9772717
= :2= : = . = .
2 9 9 1 9 2 18
Вопрос. Как вычислить значения выражений:
7
9 ?
2
и
Ответы получились разными.
ссЛовушка» з: Формулы сокращённоrо умножения
1. Вопрос. Как разложить на множители следующие MHoro
члены:
1) а 2 ь 2 ... ;
2) а 2 2аЬ + Ь 2 =...;
3) а 2 + 2аЬ + Ь 2 =...;
4) а 2 ab +ь 2 = ...;
5) а 2 + аЬ + Ь 2 = ...;
6) а 2 + Ь 2 = ...?
Ответ. Первые три мноrочлена формулы сокращённоrо
умножения, которые раскладываются на множители так:
1)а 2 b2 =(a b).(a+b);
2) а 2 2аЬ + Ь 2 = ( а Ь) 2 = ( а Ь) . ( а Ь );
3)а 2 +2аь+ь 2 =(а+ь)2 =(а+Ь)'(а+Ь).
12
А вот следующие мноrочJ1ены:
4) а 2 аЬ + Ь 2 == ...; 5) а 2 + аЬ + Ь 2 == ...; 6) а 2 + Ь 2 == ... на
множители разложить нельзя!
Нельзя путать полные квадраты суммы и разности
а 2 2ab+b2 ==(a b)2; а 2 +2аь+ь 2 ==(а+ь)2
с неполными квадратами:
а 2 ab+b2; а 2 +аь+ь 2 !
Нельзя путать разность квадратов а 2 Ь 2 == ( а Ь) · (а + Ь)
с суммой квадратов а 2 + Ь 2 !
2. Вопрос. Как сократить дроби:
2 Ь 2 2 Ь 2 2 Ь 2
1) a ; 2) a ; 3) а + ?
a b а+Ь а+Ь
Ответ. Первые две дроби сокращаются так:
а 2 b2 (a b)(a+b)
1) == ==а+Ь;
a b a b
'а 2 b2 (a b)(a+b)
2) == == а Ь.
а+Ь а+Ь
а 2 + Ь 2
А вот третью дробь сократить нельзя!
а+Ь
з. Вопрос. Как сократить дроби:
. (a b)2 (а+ь)2
1) ; 2) ?
a b а+Ь
(a b)2 (a b)(a b)
Ответ. 1) == ==a b;
a b a b
(а+.ь)2 (а+Ь)(а+Ь)
2) == == а + Ь.
а+Ь а+Ь
4. Вопрос. А можно ли сократить такие дроби:
(a b)2 (b a)2 ( a b)2 ( a b)2 а 2 b2
1) ; 2) ; 3) 4) 5) ?
b a a b а+Ь a b b a
Ответ. Сначала нужно запомнить следующие верные paBeH
ства: (a b)2 ==(b a)2 и(а+ь)2 ==( b a)2.
И помнить неравенство:
a2 Ь 2 *- b2 а 2 ,
ведь a2 b2 и b2 a2 являются противоположными выражения
ми по значению.
13
Рассмотрим примеры и убедимся в этом на конкретных при
мерах:
Пример 1: (5 з)2 =22 =4 и (3 5)2 =( 2)2 =4, значения
выражений равныI.
Пример2:(5+з)2 =82 =64и( 3 5)2 =( 8)2 = 64, значения
выражений равны.
Пример 3: 52 з2 = 25 9 = 16 и 32 52 = 9 25 == 16, значе
ния выражений противоположны.
А теперь приступим к сокращению дробей:
2 2
1) = = = ь а.
b a b a b a
(Ь а)2
2) = а Ь получаем, рассуждая аналоrично, как
a b
и в примере 1.
( a b)2 (а+ь)2 (а+Ь)(а+Ь)
3) = = = а + Ь.
а+Ь а+Ь а+Ь
( a b)2 (а+ь)2 (а+Ь)(а+Ь)
4) сократить дробь
a b a b a b
нельзя!
а 2 b2 (a b)(a+b)
5) = пока сокращать нельзя. Нужно
b a b a
вынести знак « » или в числителе, или в знаменателе. Получим:
(a bXa+b) = b aXa+b) = a+b) = a b.
Ь а (Ь а) i
ссЛовушка» 4: Способ rруппировки для разложения
на множители
Как не ошибиться со знаками при разложении мноrочлена
на множители способом rруппировки?
Рассмотрим три примера. Первый пример разложения MHO
rочлена назовём лёrким, потому что в нём все слаrаемые поло
жительные, и за постановку знаков можно не волноваться.
1) 2ху + 4х 2 + у + 2х = (2ху + 4х 2 )+(у + 2Х) =
== 2х(у + 2х) + 1 (у + 2Х) = (у + 2х) (2х + 1).
14
Второй и третий примеры назовём трудными, потому что,
работая с ними, нужно быть предельно внимательными, следя
за постановкой знаков « ».
2) 2ху + 4х 2 у 2х == (2ху + 4х 2 ) +( y 2Х) ==
== 2х(у + 2х ) 1 (у + 2х) == (у + 2х) (2х 1).
3) 2ху 4х 2 У + 2х == (2ху 4х 2) + ( y + 2х) ==
== 2х(у 2х) 1 (у 2х) == (у 2х) (2х 1).
Во всех трёх случаях результаты получились разными. ВОТ
как важно обращать внимание на знаки в очень похожих внешне
мноrочленах.
Проверить, правильно ли мноrочлен разложен на множите
ли, очень просто: нужно раскрыть скобки и убедиться в том, что в
результате получен исходный мноrочлен!
15
Урок 1. Часть 1.
Переместительный закон умножения. Распределительный закон умноже
ния. Формулы сокращённоrо умножения. Свойства степеней.
«ШпарZШlка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
, Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, все20 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом:
1 (А) 123,8 . 56,9 + 56,9 . 76,2 ==
2 (АВ) 49,38 . ( 8,6) 49,38 . 1,4 ==
( 23 1 J
3 (АВ) 48. + 1 ==
24 16
4 (А) 0,25 . 15,6 . ( 0,4) ==
5 (В) 4872 3872 =
Задание 2. Разложи на множители:
6 (А) 14ас 35а 2 с =
7 (АВ) 12ху2 3х 3 =
8 (А) с 3 73 =
9 (А) 8а 3 + 1 =
10 (А) 16а 2 + 8а+ 1 =
11 (АВ) 48х 2 + 24ху + 3у2 =
Задание 3. Выполни действия со степенями:
12 (А) 39: з7 .32 =
13 (А) 24 .26: 29 =
56
14 (А) ==
53.52
15 (АВ) 8.26 ==
27
16 (АВ) з4 . 27 =
з9
Задание 4. Вставь в прямоуrольники пропущенные символы:
17 (В) I
18 (В) 36с +
19 (В) 36с
20 (В) I
14ax+ 1 1 =( 1 I lУ
1 + 1 1 =( 1 1 +5x 2 )2
1 =( 1 1 + 5ах 2 ).( 1
+ 1 1 =(c+ 1 1 ).( 1 I I
I I
1 +4)
1 )
16
Урок 1. Часть 11.
Переместительный закон умножения. Распределительный закон умноже
ния. Формулы сокращённоrо умножения. Свойства степеней.
«ШпарZQЛка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом:
1 (А) 123,8 . 56,9 56,9 . 23,8 ==
2 (АВ) 49,38 . ( 8,6) + 49,38 . 28,6 ==
3 (В) 52. ( 23 ) ==
26 13
4 (АВ) 0,05 . ( 8,6) .0,4 ==
5 (В) 4872 2. 487.387 + 3872 ==
Задание 2. Разложи на множители:
6 (А) 63ат 2 + 35а 2 ==
7 (АВ) 125х 4 5х 2 у2 ==
8 (А) 125 + с з ==
9 (АВ) 8а З х З 27 ==
10 (А) а 2 р2 12ар + 36 ==
11 (АВ) Зх З + 12х 2 у + 12ху2 ==
Задание 3. Вьmолни действия со степенями:
12 (А)7 6 .7:7 5 ==
13 (А) 49: 48 .42 ==
67
14 (А) 5 4
6 .6
15 (АВ) [25. 54 ==
57
216
16 (АВ) 7 ==
2 .32
Задание 4. Вставь в ПрЯl\10уrольники пропущенные символы:
17 (В) I 1 + 6с + I
18 (В) а 2 m 2 I
19 (В) а 2 m 2 I
20 (В) I I + I
1 == ( 1
1 + 3i
1 5)2
1 + 7 хЗ).( 1
1 ).( 1 I I
I I
J + 9)
1 )
1 == ( 1
1 ==( 1
1 =(x+ 1
1 + 1
17
-,
Урок 2. Часть 1.
Переместительный и сочетательный законы. Способ rруппировкн.
Формулы сокращёввоrо умножения. Свойства степеней.
«ШпарzалКfl»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов С ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом:
11 ( 2 3 J
1 (АВ) 15 2 + 4 ==
14 11 14
2 (АВ) 49,38 (9,9 + 19,38)==
( 2 9 J 21
3 (АВ) 7 + 4 2 ==
23 11 23
4 (А) 0,25 - 156 - 40 ==
5 (В) 48,52 2 - 48,5 . 38,5 + 38,52 ==
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 7 ас 3 28а З с ==
7 (В) 7 уЗ 56хЗ =
8 (В) с З 6са 2 + 9а 4 с=
9 (А) 8а З + 27Ь З =
10 (В) 6а 2 + 3ас+ 10аЬ + 5Ьс =
11 (В) 32х 2 + 16ху 2ху2 уЗ =
Задание 3. Вьmолнв действия со степенями:
12 (А) 6 - 66 : 65 =
13 (А) 75 .74 =
79
14 (А) з5 . з7 =
з8 . 32
15 (В) 36- 66 =
67
5 14
16 ( В ) =
59.625
Задание 4. Вставь в прямоуrолыlllкll пропущенные символы:
17 (В) I ' 10а 2 + I 1 = ( 1 ' 5)2
18 (В) 4а 2 с 4 + I 1 + 1 1 = ( 1 1 + 5)2
19 (В) 4а 2 с 4 I 1 =( 1 1 + 7 x2)'( 1 I I
20 (В) I ' I 1 ==( 1 ' 2а)-(25х 2 + 1
1 )
1 + 1
18
1)
Урок 2. Часть 11.
Переместительный и распределительный законы. Способ rруппировки.
Формулы сокращённоrо умножения. Свойства степеней.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Вычисли рациональным способом:
1 (АВ) 212,7 . 26,9 + 26,9 . 87,3 ==
2 (АВ) 53,76. ( 7,9) 53,76.2,1==
( 23 1 J
3 (АВ) 54. + l ==
, 27 18
4 (АВ) 0,125 . 32,6 . ( 8) ==
5 (АВ) 148,72 + 2.148,7.51,3 + 51,32 ==
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 50ас 2а 3 с ==
7 (В) 500у 3 + 2х 3 ==
8 (В) 100с 20сЗа+ а 2 с==
9 (В) 8 27 т 6 ==
10 (В) 6а 2 3ac+ 14ab 7bc=
11 (ВС) 32х 3 + 16х 2 у 2ху2 у3 ==
Задание 3. Выполни действия со степенями:
12 (А) 1011 : 106: 100 =
13 (А) 174 .173 ==
178
14 (А) 56.52 =
54.5
15 (в) ;5 =
3 .81
16 (В) 16.47 ==
410
Задание 4.. Вставь в прямоуrольникн пропущенные символы:
17 (В) I I 20с+ I
18 (В) 4а 2 + I
19 (В) 49а 2 с 4 I
20 (В) I 1 + 1
1 =( 1 1 5i
1 + 1 1 =( ; 1 +5c)2
1 =( 1 1 5x2).( 1
1 ==( 1 1 + 5ас).(9х2 I
1 + 1
1 + 1
1 )
1 )
19
\\
Урок 3. Часть 1.
Распределительный закон умножения. Формулы сокращённоrо умножения.
Основное свойство пропорцнн. Практические задачи.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1.
Какую часть от уrла 900 составляет:
1 (А) 30 о
2 (В) 4,50
Какую часть от суток составляют:
3 (А) 2 ч
4 (В) 30 мин
5 (ВС) 10 сек
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 16а 4 с 4 ==
7 (В) у6 х 3 ==
8 (ВС) с 6 2с?а З + а 6 ==
9 (В) а 6 + Ь 6 ==
1 О (ВС) а 2 Ь 2 + 2а 2Ь ==
11 (ВС) х 2 4 у2 Х + 2 у ==
Задание 3. Найди х из пропорцни:
2 6
12 (А) х == 7 ' х ==
lЗ ( АВ ) Зх = З х ==
1 8'
14 ( АВ ) 0,2 == х х ==
9 з"
а 9
15 (А) "3 == х ' х ==
Задание 4. Выполни действия:
16 (A)5a-( 1 a2 2 ) a3
2 ( 5 ) 1
17(A) x. Зх + X=
15 6 6
18 (АВ) Зтп. (т 2 п 2 )2 + 6(тп)3 ==
19 (В) (3а+ 2ь)2 (3a 2ЬУ==
20 (В) (За+ 2bX3a 2b) (3a 2ЬУ =
20
Урок 3. Часть 11.
Распределительный закон умножения. Формулы сокращёвноrо умножения.
Основное свойство пропорцви. Практические задачи.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которы,е не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1.
Какую часть от 100 см составляет:
1 (А) 1 дм ==
2 (А) 5 см ==
3 (В) 20 мм ==
Какую часть от числа 150 составляет:
4 (А) 18 ==
5 (В) 0,5 ==
Задание 2. Разложи на множители:
6 (А) а 4 х 4 25т 4 ==
7 (А) у6 + 27 ==
8 (В) с 4 2c?a2 + а 4 ==
9 (ВС) а 6 64ь 6 ==
10 (В) а 2 b2 + 3а+ 3Ь ==
11 (ВС) х 2 4 у2 Х 2 У ==
Задание 3. Найди х из пропорции:
3 х
12 ( А ) == х ==
8 5'
1 4
13 (АВ) = , х ==
3 6х
20 х
14 (В) == , х ==
х 0,2
4 1
15 (АВ) == , х ==
x 2 5
Задание 4. Выполни действия:
( ) 2
125
16 (АВ) 4а. 2 а 2 а + 16а==
2 2 ( 5 ) 1 2
17 (А) x . 3x x ==
366
18 (В) (2т2 п 2 )2 4(т 2 + п 2 )2 ==
19 (В) (3a 2ь)2 (3a + 2ЬУ ==
20 (В) (3а+ 2bX2b 3а)+ (3a 2bi ==
21
'\'"
Урок 4. Часть 1.
Распределительный закон умножения. Формулы сокращённоrо умножения.
Свойства равенств. Практические задачи.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, ecezo 20 пунктов)
Задание 1.
Сколько частей (сколько раз) по 50 r содержится:
1 (В) в 2 ц 000 частей
2 (А) в 5 Kr 000 частей
3 (В) в 1 т ... частей
Сколько частей по 200 см 2 содержится:
4 (В) в 1 м 2 ... частей
5 (ВС) в 2 ra ... частей
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 16 (a с)2 =
7 (В) у2 (2 Зу)2 =
8 (ВС) е c(2 зс)2 =
9 (ВС) аЗ + (а + 1 у =
10 (В) (2a+5i З6 =
11 (В) (5х + зу)2 (5x 2yi==
Задание 3. Вырази х нз р&йенства:
12 (А) 4 = 2а + х, х ==
13 (В) 4х 5y = 2, х :=
Х
14 (А) == 7 с, х ==
14
c l 3
15 ( В ) = х ==
2х 5'
Заданне 4. Выполни действия:
16 (А) 16 (a с)2 =
17 (А) у2 (2 Зу)2 =
18 (В) с c(2 зс)2 =
19 (ВС) аЗ + (а+ lУ =
20 (В) (5х + Зу)2 (5x 2у)2=:
22
Урок 4. Часть 11.
Распределительный закон умножения. Формулы сокращённоrо умножения.
Свойства равенств. Практвческие задачи.
«ШпарzШlКО»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1.
Сколько частей (сколько раз) по 25 r содержится:
1 (А) в 5 Kr ... частей
2 (В) в 2 т ... частей
3 (В) в 1 пуде ... частей
Сколько частей по 200 см 2 содержится:
4 (В) в 1 а ... частей
5 (В) в 1 км 2 ... частей
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 4l? (2a сУ =
7 (В) (у + li (2 Зу)2 ==
8 (ВС) 4 с(2 зс)2 =
9 (B)(x I)2 З(х I)=
10 (В) (2a 5b)2 25b2 =
11 (ВС) (2c 1)3 (2c 1) ==
Задание 3. Вырази х из равенства:
8
12 (А) 4 = , х ==
х
13 ( В ) х == 5 + а х ==
2 12'
14 (В) 12с 7х == 1, х ==
7 3
15 (В) = , х :;::
2х х 5
Задание 4. Выполни действия:
16 (В) 4r (2a cY =
17 (В)(у+ 1)2 (2 зу)2 =
18 (В) 4 c(2 зс)2 =
19 (B)(x I)2 З(х l)=
20 (В) (2a 5bY 25b2 =
23
\\
Урок s. Часть 1.
Нахождение части от числа и нахождение числа по ero части. Формулы co
кращённоrо умножения. Свойства равенств. Уравнения.
«ШпаРZШlКQ»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Поставь в прямоуrольник верное число:
1 (А) I I + 2,65 == 1,3
2 (А) 2,5 . 1 1 == 1
3 (А) (а О )2 == а 12
4 (А) Х О : X12 == r
5 (А) 24,03 == 13,3 I I
Задание 2. Вычисли, действуя рационально:
6 (А) 53,809 (238,091 247 Д91) ==
7 (В) 53,8092 153,8092 ==
8 (В) 237 ,922 37,922 ==
237,92 + 37,92
9 (В) 16,3762 47,372.16,376 ==
16,376 47,372
10 (В) 34,9з2 + 2.34,93.15,07 + 15,072 ==
11 (ВС) (288 + 356У 3562 ==
Задание 3.
Чему равно число, если оно составляет от числа 2400:
2
12 (А) части
3
13 (А) 2 части
Если число 15 составляет от числа х:
14 (А) 0,5 , то х ==
3
15 (А) , то х ==
7
Залание 4. Реши уравнение:
16 (А) 2х 5 == 7
1.5
17 (B)(y 1).(2 3y)== О
18 (В) с.(2 3с) == О
19 (ВС) с. ( 4 9С) == о
20 (В) (3а + 2У (3a lХ3а + 1) == 5
24
Урок 5. Часть 11.
Нахождение части от числа и нахождение числа по ero части. Формулы со..
кращёнвоrо умножения. Свойства равенств.
«ШпарZШlка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Поставь в прямоуrольник верное число:
1 (А) D 2,65 == 1,903
2 (А) 2,5 . D == 0,1
3 (А) с? . (с О )2 == с 12
4 (А) Х О : (х 3 )12 == r
5 (А) 2,43 == 13,3 D
Задание 2. Вычисли, действуя рационально:
6 (А) (238,091 247 ,191) 1238,091 ==
7 (В ) 243,872 143,872 ==
8 (ВС) 37,92 7,72 7,7 ==
З7,9 7,7
9 (ВС) 16,37 2 2 - 16,37 - 7,77 + 7,772 ==
8,6
10 (В) 34,962 + 2.34,96.2,52 ==
( 3 36 ) 5
11 (В) 36+ 3 . ==
5 55 18
Задание 3.
Чему равно число если оно составляет от числа 1.8:
2
12 (А) части
3
3
13 (А) части
2
Если число 1200 составляет от числа х:
14 (А) 0,25 , то х ==
7
15 (А) , то х ==
60
Задание 4. Реши уравнение:
16 (АВ) 2X5 5 О,5х 7
17 (В) ( 1 а) - (2а 3) == о
18 (В) 2c 3с == О
19 (В) (2 зс)2 == О
20 (В) (3а + 2)- За (3a lХ3а + 1) == 5
25
ф.
Урок 6. Часть 1.
Пропорциовальное деление. Формулы сокращённоrо умножения.
Основное свойство дроби. Свойства степеней.
«ШпарzалКа»: Запиши только те формулы., которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов С ошибками:
(каждый пункт 5%, Bcezo 20 пунктов)
Задание 1.
1 (А) Разбей число 16 на две части пропорционально числам 3 и 5.
2 (А) Раздели число 48 на части пропорционально числам 1, 3 и 4.
3 (А) Разбей 3600 в отношении 2 к 7.
4) (А) Раздели отрезок длиной 1 м в отношении 7 : 5 : 8.
Задание 2. Разложи на множители, если это возможно.
5 (А) у2 25х 2 ==
6 (А) у2 + 25х 2 ==
7 (ВС) с 6 т6 =
8 (В) с 6 + т 6 ==
9 (А) 16а 2 + 8а+ 1 ==
10 (А) 16а 2 + 4а+ 1 =
Задание 3. Вычисли, действуя рационально (используй основное свойство
дроби!)
11 (АВ) 1,6.22 :::
4. 1,1
12 (В) 0,2.4,8.5.34 ==
0,08.1,7
13 (АВ) 3,2. 18 ==
0,6. 16
14 (В) 1,7 . 3,6
5,1.0,25.7,2.4
Задание 4. найди значение выражений. Используй свойства степеней. Bнв
мание знак выражения!
15 (В) 5З .( 57) :58 =
16 (В) 39: з7 .( з)2 ==
17 (В) 24 .( 26) ==
29
18 (В) ( 5)6 ==
5З .52
19 (В) 8.( 26) ==
27
20 (В) ( з)4 . ( 27) ==
( з)9
26
Урок' б. Часть 11.
Пропорциональное деление. Формулы сокращённоrо умножения.
Основное свойство дроби. Свойства степеней.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1.
1 (А) Разбей число 48 на две части пропорционально числам 3 и 5.
2 (А) Раздели число 48 на части пропорционально числам З, 4 и 5.
3 (А) Разбей 3600 в отношении 5 к 7 .
4) (А) Раздели отрезок длиной 1 м в отношении 9 : 5 : 11.
Задание 2. Разложи на множители, если это возможно.
5 (А) х 2 у2 25 ==
6 (А) х 2 у2 + 25 ==
7 (ВС) с 6 1 ==
8 (В) с 6 + 1 ==
9 (А) 9а 2 6а + 1 ==
10 (А) 9а 2 3а+ 1 ==
Заданне 3. Вычисли, действуя рационально (используй основное свойство
дроби!)
11 (АВ) 0,26. 9 ==
13 . 1,8
12 (В) 0,2.0,16.25.34 ==
0,08.8,5
13 (АВ) 3,6.18 ==
0,09-120
14 (В) 1,9 -1,4
57 -0,25.7 .0,4
Задание 4. Найди значение выражений. Используй свойства степеней. BHH
мание знак выражения!
15 (В) 93'( 92) : 95 =
16 (В) ( 7)6 -7 :75 =
17 (В) 45.48 ==
( 4)11
18 ( В ) 67
65 . ( 6)4
19 (ВС) 125 - ( 54 )
( 5)7
20 (ВС) ( 2Y6
( 2)7 .( 32)
=
27
""
Урок 7. Часть 1.
Проценты. Основное свойство дроби.
Свойства степеней. Прапические задачи.
«ШпарZШlка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь.
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, Bcezo 20 пунктов)
Задание 1.
Вырази проценты дробью:
1 (А) 36% == 2 (А) 0,4% ==
Сколько процентов число 20 составляет:
3 (А) от 40 % 4 (А) от 5 %
5 (А) Число х составляет 25 % от числа у. Если У = 5, то х ==
6 (А) Если число 8 составляет от числа а 2 %, то а =
Задание 2. Реши задачи.
7 (В) В зале 26 рядов по 24 места в каждом ряду, все места пронумерованы,
начиная с 1 места. В каком ряду находится место с номером 375?
Ответ:
8 (В) Сколько одинаковых тетрадей можно купить на 300 рублей, если одна
такая тетрадь стоит 56 рублей?
Ответ:
9 (В) Сколько рейсов должно сделать такси ДЛЯ.перевозки 262 пассажиров,
если оно вмещает 15 человек?
Ответ:
10 (В) В каком подъезде и на каком этаже шестнадцатиэтажноrо дома Haxo
дится квартира N 125, если на каждом этаже дома по 4 квартиры и HYMepa
ция квартир с 1 ro этажа?
Ответ:
Задание 3. Обведи дробь, имеюUU'IO наименьшее значение
11 ( В ) 15 . . ! 12 ( В ) 6 . 10 . 13
14' 13' 4 7' 11' 15
13 ( В ) !. . 17 14 ( В ) !. . 17
2' 11' 35 з' 19' 50
15 ( В ) 6 . 1 О . 14
7' 11' 17
Задание 4. Найди значение выражений. Используй свойства степеней. Внн...
манне знак выражения!
16 (В) 6.( 66) : 65 ==
18 (В) з5 . з7 ==
( з)8 . ( з2)
20 (ВС) ( 514 ) ==
59 .( 625)
17 (В) 75. ( 7)4 ==
79
36.( 6)6
19 (ВС) 67
==
28
Урок 7. Часть 11.
Проценты. Основное свойство дроби.
Свойства степеней. Практические задачи.
«ШnарZQЛка»: Запиши только те формулы" которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1.
Вырази проценты дробью:
1 (А) 6% == 2 (А) 400% ==
Сколько процентов число 12 составляет:
3 (А) от 60 % 4 (А) от 6 %
5 (А) Число х составляет 15% от числа У. Если у == 45, то х ==
6 (А) Если число 4 составляет от числа а 0,8%, то а ==
Задание 2. Реши задачи.
7 (В) В зал нужно поставить 500 кресел, по 32 кресла в ряду. Сколько рядов
кресел придётся поставить?
Ответ:
8 (В) Сколько контейнеров потребуется для заrpузки 50 тонн rруза, если каж
дый из них вмещает по 3 центнера?
Ответ:
9 (В) Сколько одинаковых букетов можно сделать из 200 rвоздик, если один
букет составлен из 9 ти rвоздик?
Ответ:
10 (В) Сколько костюмов можно сшить из 100 м ткани, если на каждый KOC
ТЮМ уходит 3 м 70 см ткани?
Ответ:
Задание 3. Обведи дробь, имеющую наибольшее значение
11 ( В ) . . ! 12 ( В ) 37 . 17 .
19' 13' 4 75' 35' 25
13 ( B ) !. ' 17 14 ( B ) . 18 . 49
2' 13' 33 32' 19' 50
15 ( В С ) . 33 . 43
28' 68' 88
Задание 4. Найди значение выражений. Используй свойства степеней. Вни'"
мание знак выражения!
16 (В) 1011 : ( 10)6: 100 ==
18 (В) 56 .( 52) ==
( 5)4 .5
20 (В С) 16.( 47) ==
( 4 уо
17 (В) 174 .( 17)3 =
178
19 (ВС) 35.
( з)2 . ( 81)
=
29
Урок 8. Часть 1.
Основное свойство пропорции. Линейная ФУНIЩИЯ. Свойства степеней.
Оценка величины.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Найди х из пропорции:
а 6
1 (А) =; =: х ' х ==
с 4
2 (А) 3 =: 5х ' х ==
3 (АВ) =: , Х ==
Х + 1 3х
4 (АВ) 2: у . х ==
Задание 2. Найди значение Ь, если rрафик функции у = 2x + Ь проходит
через точку А(т; п).
5 (В) Если т == 4, п == О, то Ь ==
6 (В) Если т == О, п == 2, то Ь ==
7 (В) Если т == 2, п == 2, то Ь ==
Найди значение k, если rрафик функции у == kx 3 проходит через точку
А(т; п).
8 (В) Если т == 4, п == О, то k ==
9 (В) Если т == 1, п == 2, то k ==
1 О (В) Если т == 2, п == 2, то k ==
Задание 3. Поставь в квадратик верное число:
23 ( 22 ) 0 аО ( а 4 ) З
11 (В) =: 4 12 (В) .
27 d 7
13 ( а2 ) D
14 (В) =: a 16
а 5
1
=:
а 2
13 (В) ( 74)0:( 7YO == 49
Задание 4. Не вычисляя, сравни величины. Обоснуй полученный резуль
тат.
15 (В) 47 . 123 и 4699
16 (В) 1200 : 59 и 20
17 (В) 14 . 12 и 2699 : 27
18 (В) а 2 и (а+ 1)(a 1), rде а некоторое число.
a 1 а
19 (ВС) и , rде а некоторое натуральное число.
а а+l
20 (В) 20000 : 41 и 20 .26
30
Урок 8 Часть п.
Основное свойство пропорции. Линейная ФУНIЩИЯ. Свойства степеней.
Оценка величины.
«ШпарZQJIКll»: Запиши moлько те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(к дый нкт 5%,ваI020 нкто
Задание 1. найди х из пропорции:
1 (В) 30 = 2 , х ==
х 0,3 + О,lх
2 (А) == l1с , х ==
7с х
3 (В) (т 1) : х == 5 : т, х ==
2 3
4 (В) == , х ==
х з 5а
Задание 2. найди значение Ь, если rрафик Функции у == 3х Ь проходит че..
рез точку А(т; п).
5 (В) Если т == 4, п == о, то Ь ==
6 (В) Если т == o п == 2, то Ь ==
7 (В) Если т == 2, п == 2, то Ь ==
найди значение k, если rpафик ФуlllЩllll у = kx + 2 проходит через точку
А(т; п).
8 (В) Если т == 4, п == о, то k ==
9 (В) Если т == о, п == 2, то k ==
10 (В) Если т == 2, п == 2, то k ==
Задание 3. Поставь в DaдpaTIIК верное число:
2 s . ( 22 ) 0 1 аD . ( а 4 ) 3 1
11 (В) == 12 (В) ==
2 1З 4 а 21 а 6
аЗ . ( а 2 ) 0
13 (В)(74)O:( 7YO = 49 14 (в) t/ = аН
Задание 4. Не вычисляя, сравни Вe.JIИЧИИ Ы. Обосиуй полученный резуль..
тат.
15 (В) 46 . 99,9 и 4699
16 (в) 100000 : 51 и 2000
17 (В) 1,4 · 0,9 и 2,899 : 2
18 (ВС) (а+ 1)2 и а 2 + 1, rде а некоторое натуральное число.
а+ 1 а
19 (ВС) и , rде а некоторое натуральное число.
а a 1
20 (С) (а 1)2 и а 2 1, rде а некоторое натуральное число.
31
\\
Урок 9. Часть 1.
Уравнения. Формулы сокращённоrо умножения. Свойства равенств.
«ШпарZШlка»: Запиши только те формулы, которы,е не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, вееzо 20 пунктов)
Задание 1. Реши уравнение.
1 (В) (х 2)2 (х 2). (х + 1) == 6
2 (В) (2х + 1Х2х 1) (2x 3).(2х + 1) == 6
3 (А) х 4 == О
4 (В) х 2 4х == О
5 (В) х 2 4 == О
Jадание 2. Выполни действия:
6(В)2.(3х+ci 3{4Х+ c)=
7 (АВ) (5х 3yzi 10у(2 3xz) 25х 2 =
8 (В) (а+ l1bi + (11b а)2 =
9 (В) (а + llЬ i (11Ь а i ==
10 (В) (6а + 5bX5b 6a) (b 6аХ6а Ь) ==
11(В) (6а+ 5ЬХ5Ь 6a) (5b 6а)2 ==
Задание 3. Вырази переменную из формулы:
12 (А) т 1 == V 2 , т 2 ==
т 2
13 (А) 11 == F 2 1 2 ,
14 (А) Р == Р . g - h,
15 (АВ) Q == те. (t 2 11 ),
16 (В) Q == те-(1 2 (1)'
12 ==
р==
т==
11 ==
Задание 4. Вставь в прямоуrольники пропущенные символы:
17 (В) I I 6S1 + D == (О 6t)2
18 (В) 16а 4 + I 1 + I 1 == (О+ О,5е)2
19 (В) 81с 4 I 1 ==( 1 I 2ar) - (О +0)
20 (ВС) I I +D == ( 1 1 + О,3т). (4х 6 I 1 + 1 1 )
32
Урок 9. Часть 11.
Уравнения. Формулы сокращённоrо умножения. Свойства равенств.
«Шпарzалка»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, eeezo 20 пунктов)
Задание 1. Реши уравнение.
1 (В) (2х 3)2 (2x 3).(2х + 1) = 6
2 (В) (3х + lХ3х 1) (3x 2У = 6
3 (А) х + 4 = О
4 (В) х 2 + 4х = О
5 (В) х 2 + 4 = О
Задание 2. Выполни действия:
6 (В) 4.(0+ 2еУ 8a(2e+ 0,5а) =
7 (АВ) (4х+ yX4x y) 8x(2x у)+ у2 =
8 (В) (7 х 2 у)2 + (7 х + 2 у У ==
9 (В) (7 х 2уУ (7 х + 2уУ==
10 (В) (2а+ bX2a bX4a2 + Ь 2 ) =
11(ВС) (а+ lXa lХа2 + lХа4 + lХа8 + 1) =
Задание 3. Вырази переменную из формулы:
12 (А) т 1 = У 2 , =
т 2
13 (А) [1 = F 2 1 2 , F 2 =
14(A)P=p.g.h, h==
15 (АВ) Q = те. (12 tl)' е=
16 (В) Q = me-(t 2 (1)' 12 =
Задание 4. Вставь в прямоуrольниm пропущенные символы:
17 (В) I I 30ас2 + D == (o 5а)2
18 (В) 25 р 2 + I 1 + I 1 == (О+ 0,4)2
19 (В) 25 р 2 I 1 ==( 1 1 + O,4r) - (o o)
20 (ВС> I I D==( 11 3a2).(100x4+ 1 1 + \ 1 )
33
Урок 10. Часть 1.
Уравнения. Формулы сокращённоrо умножения. Дробные выражения.
Мноroчлены.
«ШпарZQJIКD»: Запиши только те формулы, которые не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пункт 5%, всеzо 20 пунктов)
Задание 1. Реши уравнение.
1 (В) 1 2x 3 == 2x 2+ х
5 3
2 (В) 0,72х 2 == 0,12( 4х + 1)
2 5 4х
3(B)x (2x 3)+ =0
7 3
4 (В) х 2 9х = О
5 (В) х 2 9 == О
Задание 2. Разложи на множители:
6 (В) 16а 4 с 4 т 4 =
7 (АВ) у6 + 64х 6 ==
8 (ВС) с 4 2С-а 2 + а 4 =
9 (С) 64 у 6 16y3 + 1 =
10 (ВС) 4а 2 + 4аЬ+ Ь 2 + 2а+ Ь ==
11 (ВС) 9х 2 12ху + 4у2 15х + 10у =
Задание 3. Вычисли:
1
2 1
12 (В) 7 2 =
7
14 (В) 0,2: 0,5 0,2.0,5 =
9 . 0,5 0,9 .5
з!
13 (В) 2 + =
14 7!
2
1 1 1
.1 9:2
15 (В) 3 2 + 4
3 8
Задание 4. Реши задачи:
16 (В) rепард бежит со скоростью 72 км/ч. Сколько метров пробеrает rепард за
1 минуту?
17 (В) Черепаха ползёт со скоростью 6 м/мин. Сколько метров проползает чере
пах а за 1 час?
18 (В) Антилопа бежит со скоростью 1500 м/мин. Сколько километров в час
пробеrает антилопа?
19 (ВС) Скорость стрекозы 10 м/с. а шмеля 18 км/ч. Кто из них летит быстрее
и во сколько раз?
20 (ВС) Скорость полёта сокола 23 м/с, а орла 1800 м/мин. Сможет ли орёл
доrнать сокола?
34
Урок 10. Часть 11.
Уравнения. Формулы сокращённоrо умножения. Дробное выражения.
Мноrочлены.
«ШпарzалКQ»: Запиши только те формулы, которы,е не помнишь:
Количество ошибок:
Процент выполнения:
Номера пунктов с ошибками:
(каждый пУllкт 5%, все20 20 пУllктов)
Задание 1. Реmи уравнение.
1 (В) х 2х 3 = 2 2 + х
5 4
2 7 4х
3(B)4+ (2x 3) =0
5 3
5 (В) х 2 + 9 == О
2 (В) О,6х 3 == О,I2(5х + 1)
4 (В) х 2 + 9х = О
Задание 2. Разложи на множители:
6 (ВС) 16с 4 625t 8 р4 =
7 (В) 125а 6 + Z9 х 6 ==
8 (В) с 4 2с а 2 + а 4 =
9 (С) а 16 256х 8 =
1 О (ВС) 9а 2 6аЬ + ь 2 9а + 3Ь ==
11 (С) 25х 2 + ху + о,Оl у 2 5х О,lу =
Задание 3. Вычисли:
2
3 2
12 (В) "5 "3 =
5
14 (В) 1,2 : 0,7
9.0,7
1,2. 0,7
0,9 . 7
=
2!
13 (В) + =
11 3!
3
2 .2! 11:2!
15 (В) 7 3 + 5
4 3
Задание 4. Реши задачи:
16 (В) Скорость Васи на 20 м/мин больше, чем скорость Пети, и путь от дома до
школы Вася идёт 14 мин, а Петя 18 мин. Определи скорость Пети.
17 (В) Скорость Васи 80 м/мин, а Маши 60 м/мин, и ПОЭТОМУ путь от дома до
школы Вася прошёл на 5 мин быстрее. Каков путь до школы?
18 (В) Петя ходит пешком на 100 м в МИНУТУ медленнее, чем беrает, и поэтому
900 м он пробежал за столько же времени, за сколько прошёл 400 м. С какой
скоростью Петя беrает?
[9 (ВС) Скорость Васи 80 м/мин, а ero путь в школу составляет 18 мин. Сначала
он идет 3 мин до автобусной остановки. Затем 5 мин ждёт автобуса и, наконец,
едет со скоростью 30 км/ч. Сколько км от дома до школы?
20 (В) Путь в 1,4 км до школы сначала идёт в ropKY, а потом под ropKY. CKO
рость Маши в ropKY 60 м/мин, под ropKY 80 м/мин. Какова длина пути в rop
ку, если Маша тратит одинаковое время на путь в ropxy и путь под ropKY?
35
Припожение
Правила ра60ТЬ' с математическими объектами:
числами, в..ражеИИJlМИ, уравиеиИJIМИ и ФУНКЦИJIМИ
Если хочешь, чтобы в математике получалось всё и всеrда
леrко, быстро и точно, следуй этим правилам.
1. Всеrда держи в rолове теоретические факты: правила, оп
ределения, формулы, свойства, которые используются при реше
нии, старайся установить связь между теорией и данным практи
ческим заданием.
2. Если допустил в решении ошибку, проанализируй её ха..
рактер:
· если ошибка возникла из за незнания теоретическоrо фак
та (забыл формулу, определение и т.д.), тоrда тотчас же
найди необходимое правило и запомни ero.
о если ошибка случилась от незнания или неумения решить
данную задачу (не знаешь алrоритма решения или не по
нимаешь, как в целом подступиться к решению задачи),
немедленно обратись к учителю, чтобы он объяснил её pe
шение.
· если ошибка появилась в результате невнимательности
(плохо прочитал задание, ошибся при переписывании за
дания, неверно вычислил и т. д.), тоrда каждое следующее
задание выполняй внимательнее, делая паузу на каждом
шаrе выполнения и контролируя себя: ещё раз перечитав
задание, ещё раз проверяя свои записи, ещё раз после это
ro пересчитывая пример.
Сделай вывод: как избежать появления ошибки в следую..
щий раз. Очень rлупо, если одна и та же ошибка допускается
MHoro MHoro раз, в этом случае трудно чему либо научиться.
36
3. Помни, что вернее Bcero помоrает способ «действуй по
аналоrnн!». Он заключается в том, что при выполнении каждоrо
математическоrо задания найди похожий, верно решённый при
мер образец. Этот образец покажет тебе: какую теорию нужно ис
пользовать, как следует рассуждать при решении данноrо зада
ния и как оформлять решение.
образцы В"lполиенИJI заданий
При возникновении трудностей с выполнением заданий
обращайсл к образцам и обязательно читай комментарий!
7
9
2
3
Задание 1. Вычислить:
Решение.
7
9
2
3
7 2 7.3 7 7 1
. 1
...... ........ ..... .............. ........
. .
9 3 9.2 3.2 6 6
1
Ответ: 1 .
6
Комментарий. Если работаешь с «трёх или четырёхэтаж
IlЫМИ» дробями, вычисление записывай в строчку; при этом ос..
новную «дробь..черту» заменяй знаком деления.
017.525
Задание 2. Вычислить: ' , .
2,5. 3,4. 0,2
Решение.
0,17 · 5,25 0,17 .5,25.10000 17 - 525
2,5.3,4. 0,2 2,5.3,4. 0,2 -10000 25 - 34. 20
525 == 525 == 0,525 или 525 3.!.
25.2.20 1000 25-2-20 40
Ответ: 0,525.
Комментарий. При вычислении дробных выражений, в пep
вую очередь, избавься от десятичных дробей в числителе и 3Ha
менателе, для чеzо используй основное свойство дроби: «если
числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на
37
одно и то же число, отличное от нуля, то получится дробь,
равная исходной». Умножь числитель и знаменатель на такую
разрядную единицу (в нашем примере на 10000) и сделай их oдHO
временно в 10000 раз больше, чтобы десятичные запятые «иc
чезли», при этом значение дроби останется прежним.
1254 .511
Задание 3. Вычислить: 3 ·
257 .(252)
Решение.
1254 _511 (53)4 _511 5]2 .511
251 -(25 2 У (52 У _(25)6 514 _(5 2 У
523 523 523 1 1
.............. ......
514 .512 526 523 .53 53 125 -
1
Ответ: .
125
Комментарий. При действиях со степенями представь ка..
ждую степень в виде степени с одинаковым, пpOCтblM (наи..
меньшим) основанием, а затем последовательно, применяя
свойства степеней, упрощай выражение. При этом будь пpe
дельно внимателен и всякий раз, умножая, деля степени или воз
водя степень в степень, обязательно проzоваривай cooтвeтcт
вующее правило (свойство степени) и только после этоzо
действуй, опираясь на несо. Знай, что со степенями предстоит
плотно работать на протяжении всех лет обучения в школе,
и прочный навык действий со степенями избавит от технuче
ских ошибок при изучении МНОсИХ тем, позволит оперативно и pa
ционально решать математические и физические задачи.
( 2)10 82
Задание 4. Вычислить: 7 ·
( 2) .( 32)
Решение. Это выражение так же, как и предыдущее, coдep
жит степени. Но отличается тем, что эти степени имеют ещё
и разные знаки. Поэтому, прежде чем начнёшь упрощать выp
жение, в первую очередь определи знак результата. Так как
( 2) 10 2 10 ( 2) 7 2 7 ( 2YO .82 210.82 Т
то епе р ь
, , 7 7 ( ) .
( 2) .( 32) 2. 32
38
ясно, что знак знаменателя «плюс», и поэтому знак результа
210 .82 210 .82 u u
та «минус». 7 = 7 · Теперь деиствуи, как в пре
2 .( 32) 2 .32
дьщущем задании. Приводи 82 и 32 к виду степени с основанием
2 : 82 = (23)2 = 26, 32 = 25, а затем, используя свойства степе
ней, окончательно вычисли значение дроби:
210 .82 210 .26 216 4
= = 2 = 16.
27 .32 27 .25 212
Ответ: 16.
3 5 В 16,372 2.16 7 .7,77 +7,772
адание . ычислить: .
4,3 · 2,79 + 4,3 · 5,81
Решение.
16,372 2.16,37 .7,77 +7,772 (16,37 7,77)2
4,3 . 2,79 + 4,3 .5,81 4,3 . (2,79 + 5,81)
8,62 = 8,6 = 2.
4,3 · 8,6 4,3
Ответ: 2.
Комментарий. При нахождении значения выражения поль..
зуйся рациОНШlьными nриёмами: в нашем пpuмepe фОРМУЛОЙ co
кращёННО20 выражения «квадратом суммы двух выражений»
в числителе и распределительным законом в знаменателе.
Задание 6. Выразить перемевную из равенства (формулы)
Q=тC.(1 2 (1)' 12 =?
Решение.. Раздели обе части равенства Q = тс · (1 2 11 ) на тс:
Q тС. ( 1 1 ) Q
= 2 1 И получи: = 12 11.
тс тс тс
Поменяй для удобства левую и правую части равенства Mec
тами, запиши: 12 11 = JL.
тс
И, наконец, перенеси в правую часть с противоположным
знаком слaraемое 11 ' получи: 12 = JL + 11 .
тс
Omвeт: 12 = JL + 11'
тс
39
\\
Комментарий. При выражении nеременных из формул вce
zда пользуйся свойствами (законами) равенств:
а) обе части равенства можно умножать или делить на
одно и то же число, не равное нулю.
б) из одной части равенства можно переносить слazаемое,
меняя ezo знак на противоположный.
Знай данные задания очень важны для решения nрактиче
ских задач по физике и zeOMempuu.
i
2х 3 2 + х
Задание 7. Решить уравнение: 1 == 2х .
5 3
Решение. Это уравнение называется дробно линейным, а это
очень неприятно, коrда работаешь с дробями. В первую очередь
следует избавить уравнение от знам,енателей! Для этоzо вос..
пользуйся одним из законов равенств: «Если обе части BepHozo
равенства умножить на одно и то же число, не равное нулю,
то получим верное равенство». Итак, коrда умножишь обе части
уравнения на 15 (так как 15 ==НОК(5; 3», то получишь такое ypaB
нение:
( 2X 3 ] ( 2+Х ]
15. 1 5 =15. 2x 3 ;15 3(2х з)=зох 5(2+х).
Раскрой скобки, приведи подобные слаrаемые и найди корень
уравнения:
15 6x +9==30х 10 5x; 6x зох +5х == 10 9 15;
34 3
31x == 34. х == . х == 1 .
, 31 ' 31
Задание 8. Решить уравнение: 2х 2 + 3х == о.
Решение. Разложи левую часть уравнения на множители:
х(2х +3) == о.
А теперь рассуждай так: получили произведение множите
лей х и (2х + 3), и оно равно нулю. Такое возможно только тоrда,
коrда один из множителей: либо х, либо 2х +3 равен нулю.
3
То есть получается, что: х == О или 2х +3 == О, 2х == 3; х == ;
2
х == 1,5. Итак, это уравнение имеет два корня, в чём можно убе
диться, подставив каждый корень в уравнение.
Ответ: х == о; х == 1,5.
3
Ответ: 1 .
31
40
Комментарий. Один из основных законов математики 2ла
сит: если произведение двух или нескольких множителей равно
пулю, то, по крайней мере, один из множителей обязан быть
равным нулю. Этот закон справедлив, поскольку при умножении
множителей, каждый из которых не равен нулю, нельзя в резуль
тате получить нуль. Теперь рассуждай обратно: если множите
ли неизвестны, но известно, что в результате умножения полу
чается нуль, то среди этих множителей обязательно найдётся
хотя бы один равный нулю. Этот закон хорошенько осмысли и
запомни, поскольку он очень важен и позволит успешно решать
более сложные уравнения на протяжении обучения математике
во всех классах, с вОСЬМ020 по одиннадцатый.
Задание 9. Разложить мноrочлены на множители:
Решение.
а) 32х З +16х 2 у 2ху2 уЗ == 16х 2 (2х + у) у2(2х + у) ==
== (2х + у)(16х 2 у2) == (2х + у)( 4х у)( 4х + у).
Комментарий. Для разложения на множители применяй
сначала способ zруппировки, а затем формулу <<разность квад..
ратов» .
б) х 2 4y2 x 2y ==(х 2y)(x +2y) (x +2у) ==
== (х + 2у)(х 2у 1).
Комментарий. Для разложения на множители применяй
сначала формулу <разность квадратов», а затем способ zpyппu..
ровки.
в)х 2 +4ху+4 у 2 x 2y==(x2 +4xy+4y2) (x+2y)==
==(х +2у)2 (x +2у) =(х +2у)(х +iy I).
Комментарий. Для разложения на множители приме..
нли сначала формулу «квадрат суммы», а затем способ zpyппu..
ровки.
r) (5т + зп)2 (5т 2п)2 ==
== (5т +Зп) (5т 2п))(5т +Зп) +(5т 2п») ==
== (5т +Зп 5т + 2п)(5т +Зп +5т 2п) == 5п(10т + п).
Комментарий. Для разложения на множители прuменяй
сначала формулу <<разность квадратов». Кстати, можешь вoc
пользоваться 2 M способом, но, возможно, менее рациональным.
Сначала раскрой все скобки u приведи МН020член к стандартному
виду:
41
\\
(5т +зп)2 (5т 2п)2 =
= (25т2 +зотп+9п2) (25т2 20тп+4п2)=
= 25т 2 + ЗОтп + 9п 25т 2 + 20тп 4п 2 =
= 50тп +5п 2 = 5п(10т + п).
Очевидно, ответ получился один и тот же.
д) с 3 (c + 1)3 = (с (c + 1»)(с 2 +с(с + 1) +(с + 1)2) =
= (с с 1)( с 2 + с 2 + с + с 2 + 2с + 1) =
= 1.(3c2 +3c+1)= 3c2 3c (
Комментарий. Для разложения на множители применяй
сначала формулу «разность кубов», затем упрощай выражения,
раскрыв скобки внутри в каждой скобке и приведя подобные
СЛll2аемые. После это20 получишь МНО20член 2 й степени, Koтo
рый на множители разложить невозможно. Ну что сказать в
таком случае? пример оказался неудачным с точки зрения
разложения на множители, но поучителен с точки зрения, что
«такое И1l0zда бывает!».
Задание 10. Представить мноrочлен с 3 (с + 1) 3 В стандарт..
НОМ виде:
Решение.
с 3 (c + 1)3 = с 3 (c3 +Зс 2 +3с + 1) =
=с З c3 Зс2 Зс 1 = Зс2 3c 1.
Комментарий. Для nриведенuя мноzочлена к стандартно..
му виду zлавное ....... раскрыть все скобки в соответствии с зако"
нами математики. Применяй ФОРМУVlу «куб суММЫ», затем aK
куратно раскрывай скобки с учётом знака «минус» перед ними
и приведи подобные сла2аемые.
Во всех примерах ......... zлавное: соблюдай порядок действий
при вычислении и следи за знаками.
Выполняй эти правила также и при работе
с буквенными выражениями!
42
Классификация и характеристика заданий
уровней А, В, С
Задание уровня А стандартная (базовая) задача, обычно
одно, реже двухшаrовая. Формулировка задания проста и понят
на, указывает на выполнение KOHKpeTHoro действия, например,
«раскройте скобки в выражении», «вычислите», «решите ypaBHe
ние», «решите неравенство», «постройте rpафик функции». Зада
ние, как правило, не предполаrает вариативности решения.
Для успешноrо выполнения задания уровня А ученик дол..
жен знать:
1) необходимый тезаурус,
2) алrоритм решения базовой задачи,
3) навык решения базовой задачи (уровня А).
Примеры заданий уровня А:
1) Приведите мноrочлен зх( а 2) + 2а(7 + 2х) 6(а х)
к стандартному виду (7 класс).
2) Решите уравнение 2х 2 7 х + 5 == О (8 класс).
3) Постройте rpафик функции у == х 2 4х 1 (9 класс).
Задание уровня В более сложная задача, решение кото..
рой имеет несколько шаrов, каждый из которых представляет
собой базовую задачу (уровня А) или в выполнении опирается на
неё. Задание имеет не всеrда конкретную формулировку, и уче
ник должен создать математическую модель (записать решение
задачи на языке уравнений, неравенств, функций) и понять: Ka
кие конкретные математические действия нужно выполнить для
её решения. Задание уровня В может иметь конкретную форму
лировку, но её решение будет состоять из выполнения мноrих
шаrов. Задание уровня В часто имеет несколько путей решения,
каждый из которых опирается на выбранный алrоритм.
43
Примеры заданий уровня В:
1
a+
1) Сравните значения выражения f при а, равном 2 и а,
a
а
равном 4 (6 класс).
2) Докажите, что для всех а выполняется неравенство:
4а 4 + 10> 12а 2 (8 класс).
3) На йдите область допустимых значений выражения:
.J 2x + 7
2 (9 класс).
х 4х + 3
Для успешноrо решения задания уровня В, помимо ка..
честв, необходимых при решении задания уровня А, ученик
должен:
1) распознать идею решения,
2) составить алrоритм, сводящий исходное задание к базовой
задаче,
3) иметь навык оперативноrо выполнения алrоритма.
Задание уровня С нестандартная задача по постановке,
формулировке и (или) подходам к её решению. Чаще Bcero зада..
ние содержит математическую «изюминку», В которой то И со..
держится ключ к решению, но её порой непросто распознать. Бы..
вает, задача уровня С имеет очень сложный, мноrошаrовый
алrоритм, на каждом шаrе исполнения KOToporo требуется анали..
зировать промежуточные результаты и, в зависимости от них,
корректировать дальнейший путь реализации алrоритма. Реше..
ние задачи уровня С предполаrает разные подходы и их комбина..
ции, например: аналитический и rpафический (в алrебре); с ис
пользованием разных методов: BeKTopHoro, координатноrо или
классическоrо на основе лоrической цепочки умозаключений
(в rеометрии).
Часто используемый для решения метод «переносится» из
одной темы (или предмета) в друryю.
Примеры заданий уровня с:
1) Решите у равнение: x 2 Зх +9 +.Jx 2 4x.J3 +16 ==5,
y2 з.J3у+9+ .J х2 4x.J3 +16+ x2 +у2 xy.J3 =5 (Пособие
44
и. Ф. Шарыrина, 10 11 класс.) Решить эти сложные алrебраиче
ские уравнения не представляется возможным без использования
rеометрическоrо подхода.
2) Ещё пример задания уровня С для любоrо класса: «Решите
текстовую задачу повышенной сложности».
З) Попробуем переформулировать задание уровня В для 6 ro
класса (см. выше) так, чтобы оно стало заданием уровня с: «Най
дите такое значение переменной а, при котором значение Bыpa
1 1
a+ a
жения будет меньше значения выражения » (Задание
a a+
а а
даётся сразу же после знакомства с отрицательными числами).
Для ycnemHOI'O реmения задания уровня С, помимо ка..
честв, необходимых при решении заданий уровней А и В, уче..
ник должен:
1) найти идею решения (что является основным и самым
сложным!),
2) изобрести новый, не использованный учеником до этоrо
подход к решению,
З) затем составить алrоритм решения и успешно реализовать
ero.
Кроме заданий уровней А, В и С, можно выделить и поду..
ровни: задачи АВ и задачи вс.
Часто предлаrают решить задачи не уровня А, а уровня АВ;
не С, а уровня ВС. Они MOryT отличаться сложностью преобразо
ваний и ВLIчислений, применением комбинированных знаний,
сложностью алrоритмов. Поэтому задание с вполне конкретной
формулировкой, например «Решить уравнение», может быть за
дачей уровня БС, если для ero решения требуется найти идею
(подход к решению), выполнить серьёзные преобразования, rpo
моздкие вычисления.
Например, задачу «Решить уравнение 2х2 +4+9 у 2 =
== 4х 6ху» (8 9 кл.) можно отнести к уровню ВС. Поскольку,
во первых, ученик сталкивается с необычным видом уравнения,
имеющеrо два неизвестных; BO BTOpЫX, не понятен подход к pe
шению: какие преобразования необходимо выполнить и к какому
виду следует привести уравнение.
45
Для выполнения таких задач требуется отличное знание Te
зауруса, развитое лоrическое мышление и математическое вооб
ражение, способность долrовременно удерживать внимание, точ
но и оперативно выполнять всевозможные, самые разнообразные
математические действия с выражениями и числами.
Теоретические факты' необходимые
u
для выполиеиИJI задании
«Маленькая шпарzалка» (проверь правильность заполнения)
Прнменение.
(Для каких MaтeMaти
Формула ческих упражнений иc
пользуются эти тeope
тuческuе знания)
1. Формулы Квадрат суммы двух выражений: Для рациональных BЫ
сокращённоrо (а+ ь)2 == а 2 + 2аЬ+ Ь 2 числений.
умножения Квадрат разности двух выржений:: ДЛЯ «быстроrо, co
(записать (a bY == а 2 2ab+ Ь 2 кращённоrо» умноже
ния мноrочленов
формулы) Разность квадратов двух выpже раскрытия скобок,
Bcero 7 фор ний: а 2 ь 2 == (a ЬХа+ Ь) для разложения MHoro
мул
Разность кубов двух выражений: члена на множители
аЗ ЬЗ ==(a bXa2+ab+b2)
Сумма кубов X выражений:
аЗ + Ь З == (а+ Ь а 2 ab+ Ь 2 )
Куб разности двух выражений
(a ьУ == аЗ 3а 2 ь+ 3аь 2 Ь З
Куб суммы двух выражений:
(а+ ьУ == аЗ + 3а 2 ь+ 3аь 2 + Ь З
2. Свойства Умножение степеней с одинаковы Для выполнения дей
степеней ми основаниями: а п . а т == а п + т ствий С выражениями
(записать Деление степеней с одинаковыми в виде степеней,
формулы,) основаниями: а п : а т == aп т для упрощения Bыpa
Bcero 5 фор Возведение степени в степень: жений, содержащих
мул (ап)m == а п - т степень (одночленов
и мноrочленов)
Возведение в степень произведе
ния: (а. Ь)т == а т . ь т
46
3. Законы
(свойства)
чисел
4. Свойства
равенств
5. Основное
свойство
дроби
6. Основное
свойство
пропорции
7. Доли,
части,
проценты
Возведение в степень дроби:
( : Т
Переместительные законы сложе
ния и умножения
а. Ь = Ь. а; а + Ь = Ь + а
Сочетательные законы сложения
и умножения
а+ (Ь+ с) = (а+ Ь)+ с;
а.(Ь. с) = (а.Ь). с
Распределительный закон умноже
ния относительно сложения и BЫ
читания
а.(Ь+ с) = а. Ь+ а. с;
a.(b c)=a.Ь a.c
Умножение или деление обеих
частей равенства на число, не paв
ное нулю
Если а == Ь, то а . с = Ь . с
а:с
или , rде с'* О
Ь:с
Переное слаrаемых из одной части
равенства в друryю с изменением
знака слаrаемоrо
Еслиа+Ь=с,тоа=с Ь
илиЬ=с а
Числитель и знаменатель дроби
можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное
а а.с а:с
нулю: = или , rде c О
Ь Ь.с Ь:с
Произведение крайних членов про
порции равно произведению сред
них членов.
а с
Если = тоа. d == Ь. с
Ь d'
Три базовые (стандартные) задачи:
· нахождение части (пропента) от
числа;
· нахождение числа по ero части
(по ero процентам);
· нахождение отношения (процент
Horo отношения) двух чисел
Для рациональных BЫ
числений;
для упрощения Bыpa
жений
Для рациональных BЫ
числений,
для раскрытия скобок,
для разложения MHoro
члена на множители
Для решения ypaBHe
ний,
для выражения пере
мен ной из формул
Для упрощения дроб
ных выражений,
для сокращения дpo
бей,
для сложения и вычи
тания дробей,
для сравнения дробей
Для решения пропор
ций нахождения He
известных её членов
При решении различ
ных текстовых задач:
на движение, работу,
стоимость и Т. д.
47
ii\
о содержании, структуре и особенностях
«Книжечки»
о содержании
Какие математические знания являются особенно важными?
Какие математические и общеучебные навыки в процессе обуче
пия должны приобрести ученики? Как способствовать развитию
математических способностей учеников? Какими должны быть
перспективы обучения математике в последующих классах?
Ответы на эти вопросы можно найти в «Книжечках для раз
вития математических способностей. Алrебра 7, 8, 9».
В 7 M классе ученики делают первые алrебраические шаrи,
знакомятся со сложным тезаурусом. Выражения, уравнения
и функции; одночлены и мноrочлены, их степень и стандартный
вид; функция и rpафик, aprYMeHT, абсцисса и ордината; OCHOBa
иие и показатель степени; формулы сокращённоrо умножения
и их разновидности; системы линейных уравнений... поневоле
потеряешься в изобилии таких неродных для ученика понятий.
Зачастую учитель, стараясь как можно больше вложить
в ученика, забывает о самом rлавном: в основе математических
знаний лежит элементарный счёт. Увлечение в 7 M классе рабо
той только с алrебраическими объектами часто препятствует yc
воению математических знаний, ведь выполнение математиче
ских законов нельзя проверить на алrебраических равенствах,
в результате ученики не при обретают навыка проверки, прикидки
результата; и их действия становятся оторванными от приклад
ной составляющей математики. Этоrо ни в коем случае нельзя
допускать, и поэтому, продолжая арифметические традиции Ma
тематики 5 6 x классов, в 7 M классе нужно больше работать
с числами. Но считать следует «хитро»: не нужно rpомоздких
и утомительных вычислений, это за нас леrко сделает калькуля
тор. Важен счёт рациональный и, в большей степени, устный,
48
с применением законов чисел и свойств степеней, с использова..
нием формул сокращёНDоrо умножения. В этом случае сразу
убиваем мноrих «математических зайцев»: развиваем критич
ность мышления, через счёт повторяем все математические зако
ны, тренируем оперативность выполнения работы и навыки ca
моконтроля. Очень важно работать с дробями, сравнивая их, ведь
при этом работает целый спектр умственных действий. Речь идёт
и о простой операции приведения дробей к общему знаменателю,
и о сравнении или оценке значений дробей. Полезно работать
с дробными выражениями, тем более что действия с ними BЫ
полняют на уроках физики и химии. Только техника при этом
должна быть безупречной и опираться на основное свойство дpo
би. А уж про действия со степенями и rоворить не приходится
буквально всё в математике «родом ИЗ степеней»: корни и лоrа
рифмы, с которыми ученик не расстанется вплоть до окончания
средней школы. В 7 M классе очень важно заложить прочный
фундамент работы со всеми видами рациональных чисел, с раз
личными числовыми выражениями, ведь, как правило, потом
бывает поздно.
Вот почему «Книжечка» содержит мносо заданий на нахож..
дение значений дробных выраженИЙ, на вычисления с исполь..
зованием переместительноrо, сочетательноrо и распредели..
тельноrо законов, формул сокращённоrо умножения,
с применением свойств степеней. Большое значение уделено
знаку числа, знаку степени и знаку выражения.
Безусловно, rлавной задачей курса алrебры ........ 7 является
формирование умений работать с мноrочленами. Ученика нуж
но научить выполнять две базовые задачи с ними. Первая ........
привести мноrочлен к стандартному виду, вторая........ разложить
мноrочлен на множители. Ученики 7 ro класса пока ещё не зна
ЮТ, насколько важны эти процедуры для усвоения математики
8 11 x классов при решении уравнений инеравенств любоrо
типа. Но зато об этом знаем мы, учителя, и к этому должны зара
нее rотовить семиклассников.
Большое место в «Книжечке» занимают, по сути, взаимно
обратные задачи: разложить мноrочлен на множители и при..
вести мноrочлен к стандартному виду, причём зачастую эти за..
49
дачи (специально!) даны в рамках одноrо урока и даже для од..
них и тех же мноrочленов. Сравнение двух различных
формулировок задач, направленных на преобразование одноrо
и Toro же мноrочлена, заставит задуматься ученика: в чём же OT
личие алrоритмов выполнения этих задач; и это ускорит форми
рование математическоrо языка, будет способствовать развитию
аналитических способностей.
В пособии отведено место для решения линейных и дроб..
но"линейных уравнений, уравнений"пропорций. Естественно,
это одна И основных тем курса алrебры 7, а кроме линейных
уравнений представлены пропедевтические неполные квадрат..
ные уравнения, а в образцах выполнения заданий имеется реше
ине с подробным рассуждением.
В 7"м классе продолжает развиваться лоrическое мышле..
иве ребят, необходимое для решения текстовых задач в задач
прикладноrо содержания, при этом самым rлавным звеном
этоrо развития является обучение работать с долями и частями,
процентами и пропорциями. Ученик должен уметь «физически
ощущать» величину доли, процента, части от целоrо, иначе He
возможно справиться даже с самой простой практической зада
чей! Именно для закрепления этоrо умения предложены в «Кии..
жечке» несложные практические задачи на проценты, доли,
части, пропорциональное деление и т .д. Эти задачи имеют, CKO
рее, диаrностический характер: в случае, если ученик с ними леr
ко справляется .:........ можно утверждать, что уровень лоrическоrо
мышления достаточен для успешноrо решения текстовых задач.
Если же ученик затрудняется с их выполнением это сиrпал
к дополнительной работе, и тоrда можно предложить для трени
ровки друrие подобные задачи. Кроме таких задач в «Книжечке»
содержатся задания, способствующие успешному усвоению зна
пий на уроках физики: это перевод единиц измерения, выраже..
вие переменной из формул.
В пособии мало места отводится теме «Линейная функция»,
поскольку, В 7 M классе функциональная линия только начинает
изучаться, все умения и навыки можно будет отработать в 8 M
классе, коrда материала будет rораздо больше, и тоrда можно
обобщить имеющиеся знания по данной теме. Кроме Toro,
50
в «Книжечке» не представлена тема «Системы линейных ypaBHe
пий». Во первых, эта тема изучается только в конце 7 ro класса,
и формирование навыков решения систем уравнений будет про
должаться на протяжении 8 1 O ro классов; BO BTOpЫX, системами
уравнений с двумя неизвестными нужно заниматься в тандеме
с изучением функций (для демонстрации rpафическоrо способа
решения), а в третьих, rлавной составляющей пособия является
всё таки нацеленность на формирование вычислительных HaBЫ
ков, на использование свойств чисел и степеней, на преобразова
ние мноrочленов.
Итак, подводя итоr вышесказанному, перечислим темы, на..
шедшие отражение в пособии:
1. Степени:
· Свойства,
· Знак степени.
2. Формулы сокращённоrо умножения:
· Разность квадратов,
· Квадрат разности и квадрат суммы,
· Сумма и разность кубов,
· Куб суммы и куб разности.
з. Оценка значений числовых выржений,, сравнение дробей.
4. Рациональные вычисления:
· Законы чисел,
· Формулы сокращённоrо умножения,
· Дробные выражения (важно для физики),
· Степенные выражения (важно для физики).
5. Пропорции, пропорциональное д;еление, проценты.
6. Свойства равенств:
· Решение уравнений,
· Выражение величин из формул.
7. Практические задания:
· Перевод единиц,
· Бытовые ситуативные задачи.
51
\\
о структуре и особенностях
в пособии собран необхо ый и достаточный набор уп
ражнений, при вьшолнении которых учащиеся MorYT полно..
стью раскрыть свои знания, умения и потенциал. «Книжечка»
позволяет объективно диаrностировать качество обученности
математике и выявить слабые места математических знанИЙ
ученика. В то же время структура уроков, заданий и caMoro по..
собия таковы, что с ero помощью можно успешно обучаться
и ликвидировать имеющиеся пробелы.
Уровень сложности заданий довольно высок, и, как правило,
они выстроены от простоrо к сложному, в каждом задании по 4 6
пунктов, они орrанично связаны между собой, как бы плавно пе
ретекая из одноrо в друrой. Однако особенность каждоrо зада..
ния такова, что каждый новый пункт в составе задания ...... не
есть похоЖИЙ по лоrике и отличающийся только буквами и циф..
рами. Скорее, наоборот. Часто за внешне схожими буквами
и цифрами выражениями кроется совсем друrая конструкция, HO
вый тип выражения, отличный от предыдущеrо, в результате
чеrо решение, зачастую, становится совсем друrим. Таким обра
зом, ученику нужно быть предельно внимательным, следить за
нюансами, определять тип выражения, анализировать и выби
рать для решения верные теоретические посылки. Блаrодаря это
му полнее осознаётся математическое знание, прочнее усваивает
ся материал, и ученик, выполняя задания, развивается.
А учитель, в свою очередь, опираясь на результаты выполненно
ro задания из нескольких разноуровневых пунктов, объективнее
оценит качество усвоения конкретной "Вемы. По этой же причине
пособие удобно использовать в классе для орrанизации иидиви"
дуальной и уровневой работы, каждое задание KOToporo пред..
ставляет собой тематическую карточку с набором заданий по
конкретной теме.
Все десять уроков имеют части I и 11, что также является
очень удобным и для ученика, и для учителя: ведь если ученик не
сумел справиться с заданиями части 1, у Hero есть шанс после pa
боты над ошибками доказать, что он проработал неусвоенный
вначале материал. Впрочем, об этом подробно написано в прави
лах работы с «Книжечкой».
52
Содержание пособия, ero конструкция и особенности направ
лены на развитие лоrики, так как при выполнении заданий уче
ник обязан использовать лоrическую операцию сравнения, YMe
иие подмечать сходство и различие между типами выражений
и формулировками заданий, определять закономерности и общие
подходы к изучению математики в целом.
В пособии нет rpомоздких преобразований и вычислений,
следующее задание является лоrическим продолжением преды
дущеrо, в записях разных пунктов задания специально MHoro по
вторяющихся букв и чисел, слеrка меняющиеся конструкции.
Чтобы распознать тонкости и отличия одноrо задания от друrоrо,
порой нужно быть не только очень внимательным, но и хорошо
осведомлённым в вопросах теории и практики. Коrда нюансы
выполнения задания не на поверхности, тоrда и происходит раз
Битие способностей, и в этом успех обучения.
А ещё нужно помнить, что пособие снабжено образцами ре..
mения заданИЙ, вызывающих часто затруднения у ребят.
И если ученик потерялся в решении, смело отправляем ero к об..
разцу ...... примеру и к инструкции по работе с математическими
объектами.
Поэтому данное пособие поможет также в воспитании само..
стоятельности при добывании званий, а это будет способство"
взть уверенности и внутреннему комфорту ученика при занятии
математикой.
53
Ответы
Урок 1. Часть 1.
Задание 1. 1)11380. 2) 493,8. 3) 5. 4) 1,5б. 5) 87400.
Задание 2. 'б) 7ас(2с 5a).
7) 3х(2у х)(2у +х).
8) (е 7)(е 2 + 7е + 49).
9) (2а + 1){ 4а 2 2а + i)
10) (4а+l)2. 11) З(4х + у)2.
Задание 3. 12) 81. 13) 2. 14) 5. 15) 4.
16) .!.
9
Задание 4. 17) 49а 2 х 2 14ax +1 == (7ах 1)2.
18)36с 2 + БQcx2 + 25х 4 == (6с +5х 2 )2.
19) 36с 2 25а 2 х 4 == {6с +5ах 2 Х 6с 5ax2).
20)е 3 +8==(е+2)(е 2 2c+4).
Урок 1. Часть 11.
Задание 1. 1) 5б90. 2) 987,б. З) 2б. 4) o, 172. 5) 10000.
Задание 2. 6) 7,-9т 2 +5а).
7) 5х (5х у)(5х + у).
8) (5 +с)(25 5c +с 2 ). i
9) (2ах 3)( 4а 2 х 2 + бах + 9}
10)(ар б)2. 11)3х(х+2у) .
Задание 3. 12) 49. 13) 64. 14) . 15) 1. 16) 16.
3б
Задание 4. 17) е 4 + 6с 2 + 9 == (е 2 +3У.
18) а 2 т 2 10ат + 25 == (ат 5)2 .
19) а 2 т 2 49x6 ==(aт+7x3)(aт 7x3).
20) х 3 + 27 == (х +3)( х 2 3x + 9).
54
Урок 2. Часть 1.
Задание 1. 1) 17 . 2) 20,1. 3) 5!. 4) 1560. 5) 100.
11 11
Задание 2. 6) 7 ас(с 2t9(c + 2а).
7)7(y 2xXi +2ху+4х 2 ).
8) с(с 3a2)2.
9) (2а + 3Ь)( 4а 2 6аЬ + 9ь 2 ).
10) (3а +5ь)(2а +с). 11) (lбх у2 Х2х + у).
Задание 3. 12) 36. 13) 1. 14) 9. 15) 6. 16) 5.
Задание 4. 17)а 4 10a2 +25=(а 2 5)2.
18) 4а 2 с 4 +20ас 2 +25 = (2ас 2 +5У.
19)4а 2 с 4 49x4 = (2ас 2 +7х2Х2ас2 7x2).
20) 125х 3 8а З = (5х 2а)( 25х + 10ха + 4а 2 ).
Урок 2. Часть 11.
Задание 1. 1) 8070. 2) 537,6. 3) 11. 4) 32,6. 5) 40000.
Задание 2.6) 2ас(5с 2 a)(5c2 + а).
7) 2(5у +х)(25у2 5xy + х 2 ).
8) с (1(k;2 a)2.
9)(2 зт2Х4+6т2 +9т 4 ).
10) {3a+7bX2a c). 11) (4х у)(4х + у)(2х + у).
Задание 3. 12) 1000. 13) . 14) 125. 15) !. 16) 0,25.
17 3
Задание 4. 17)4с 2 2Ос + 25 = (2с 5)2 .
18)4а 2 +20ас 2 +25с 4 =(2а+5с 2 У.
19) 49a2c4 25х 4 = (7ac2 5x2 Х7ас2+5х2).
20) 27х З +125а З с З =
= (3х +5ас)(9х 2 15acx + 25а 2 с 2 ).
Урок 3. Часть 1.
1 1 1 1 1
Задание 1. 1) . 2) . 3) . 4) . 5) .
3 20 12 48 8640
Задание 2. 6) ( 4а 2 + 2 )(2а с )(2а + с).
7)(у2 x)(.( +у2 х + х 2).
8) (с a)2{c2 +ас +а 2 у.
55
\\
9) (а 2 + Ь 2 )( а 4 а 2 ь 2 + Ь 4 )-
10) (а Ь)(а + Ь + 2). 11) (х 2у)(х + 2у 1).
Задание 3. 12) 2!. 13)!. 14).!. 15) 27 .
3 8 15 а
Задание 4. 16) О,5аЗ 10а.
221
17) x + x.
5 18
18) Зт 5 п +Зтп 5 .
19) 24аЬ.
20) 8b2 +12аЬ.
Урок 3. Часть 11.
1 1 1 3 1
Задание 1. 1) . 2) . 3) . 4) . 5) .
10 20 50 25 300
Задание 2. 6) a2 х2 5т2){ а 2 х 2 +5т 2 )-
7) у2 +3)(у4 зу2 +9)-
8) с a)2(c +а)2.
9) (а+ 2b)(a 2Ь( а 2 + 2аЬ +4ь 2 )(a2 200 + 4ь 2 ).
10) (а + Ь)(а Ь + З). 11) (х + 2уу(х 2у 1).
Задание 3. 12) 1 7 . 13) 2. 14) 2 или 2. 15) 22.
8
Задание 4. 16) 8аЗ + 32а.
17)2хз 13 х2.
18
18) 12т2п2 Зп4.
19) 24ab.
20) 8ь 2 12аЬ.
Урок 4. Часть 1.
Задание 1. 1) 4000. 2) 100. 3) 20000. 4) 50. 5) 1000000.
Задание 2. 6) (4 а +с)( 4 + а c).
7) (4у 2)(2 2у).
8) с{с 2 2 +Зс Хс2 + 2 Зс) .
9) (20 + 1)( а 2 + а + 1)-
10) (2а 1)(2а + 11).
11) 5у(10х + у).
Задание 3. 12) 4 20. 13)! + 5 у. 14) 9&. 15) 5(с 1) .
246
56
. :-. .... ',,;\:<.- ; .,.i. "$.'':'''' .i, .( ;i.::- 4,.i-Ei\!,..: :;ti.:':'. ;''>'';' ' '. i,.
..... ,..: . ::-
Задание 4. 16) 16 а 2 + 2ас' c2 .
17)12y 8y2 4.
18) 12с 2 &З 4c.
19) 2а З +3а 2 +3а+1.
20) 50ху +5 у 2 .
Урок 4. Часть 11.
Задание 1. 1) 200. 2) 80000. 3) 640. 4) 5000. 5) 50000000.
Задание 2. 6) (3с 2а)(с + 2а).
7) (4у 1)(3 2у).
8) 1:(С 2)(5с 2).
9) (х 1)(х 4).
10) 4a(a 5b).
11) 4с(с 1)(2с 1).
5 а 12 1
Задание 3. 12) 2. 13) + . 14) c . 15) 35.
6 6 7 7
Задание 4. 16) 3с 2 4а 2 + 4ас.
17) 14у 8y2 3.
18) 5c3 +12с 2 4c.
19) х 2 5x + 4.
20) 4а 2 20аЬ.
Урок 5. Часть 1.
Задание 1. 1) 1,35. 2) O,4. 3) 6. 4) 17. 5) 10,73.
Задание 2. 6) 62,909. 7) 20761,8. 8) 200.
9) 16,376. 10) 2500. 11) 288000.
Задание 3. 12) 1600. 13) 4800. 14) 30. 15) 35.
222
Задание 4. 16) 7,75. 17) 1; . 18) o; . 19) о; + . 20) о.
333
Урок s. Часть 11.
Задание 1. 1) 0,747. 2) 0,04. 3) 5. 4) 41. 5) 15,73.
Задание 2. 6) 1247 ,191. 7) 38774. 8) 37,9.
9
9) 8,6. 10) 1398,4. 11) 10 .
11
Задание 3. 12) 1.2. 13) 2,7. 14) 4800. 15) 72000 .
7
Задание 4. 16) 80. 17) 1; 1,5. 18) о; 2 . 19) 2 . 20) 2 .
333
57
\\
Урок 6. Часть 1.
Задание 1. 1) 6 и 10. 2) 6; 18; 24.
3) 800 и 2800. 4) 35 см; 25 см и 40 см.
Задание 2. 5) (у 5х )(у + 5х).
6) разложить нельзя.
7) C тXc +т"\{c2 cт +т 2 )(с 2 +ст +т 2 )-
8) с 2 + т2 Х с ' c2т2 +т 4 }'
9) 4а + 1) 2 .
10) разложить нельзя.
Задание 3. 11) 8. 12) 1200. 13) 6. 14) !.
6
Задание 4. 15) 25. 16) 81 17) 2. 18) 5. 19) 4. 20)!.
9
Урок 6. Часть 11.
Задание 1. 1) 18 и 30. 2) 11, 16 и 20.
3) 1500 и 2100. 4) 36 см, 20 см и 44 см.
Задание 2. 5) (ху 5)(xy +5).
6) разложить нельзя.
7) 1Xc +9(с 2 c +1Хс2 +с +1)-
8) с 2 + 1}( с c2 + 1)-
9) ( а 1) .
10) разложить нельзя.
Задание 3. 11) 0,1. 12) 40. 13) 6. 14) .
15
Задание 4. 15) 1. 16) 49. 17) 16. 18). 3 19) 1 20) 16.
Урок 7. Часть 1.
Задание 1. 1) 0,36. 2) 0,004. 3) 50%. 4) 400%.
5) 1,25. 6) 400.
Задание 2. 7) в 16 M ряду. 8) 5 тетрадей. 9) 18 рейсов.
10) во 2 M подъезде, на 16 этаже.
3 6 17 6 14
Задание 3. 11) . 12) . 13) . 14) . 15) .
13 7 35 19 17
Задание 4. 16) 36. 17) 1. 18) 9. 19) 6. 20) 5.
Урок 7. Часть 11.
Задание 1.1)0,06. 2)4. 3)20%. 4)200%. 5)6,75. 6)500.
58
Задание 2. 7) 16 РЯДОВ. 8) 167 контейнеров. 9) 22 букета.
10) 27 костюмов.
5 13 17 49 43
Задание 3. 11) . 12) . 13) . 14) . 15) .
19 25 33 50 88
Задание 4. 16) 1000. 17) J:... 18) 125. 19)!. 20)!.
17 3 4
Урок 8. Часть 1.
42 12 14+7у
Задание 1. 1) . 2) . 3) 0,2. 4) .
а 5с 3
Задание 2. 5) 8. 6) 2. 7) 6. 8) 0,75. 9) 5.
Задание 3. 11) 3. 12) 3. 13) 3. 14) 4.
Задание 4. 15) >. 16) >. 17) >. 18) >. 19) <.
Урок 8. Часть 11.
Задание 1. 1) 9.
10) 2,5.
20)<.
2) 77с 2 . 3) т(т I) . 4) 10 а+3.
953
Задание 2. 5) 12. 6) 2. 7).4 8) 4),5. 9) любое число.
Задание 3. 11) 3. 12) 3. 13) 3. 4) 5.
Задание 4. 15) <. 16) <. 17) <. 18) >. 19) <. 20) <.
10) о.
Урок 9. Часть 1.
Задание 1. 1) о. 2) 1. 3) 4. 4) о; 4. 5) 2; 2.
Задание 2. 6) 18х 2 .
7)9y2z2 20y.
8) 2а 2 + 242ь 2 .
9) 44аЬ.
10) 26ь 2 12аЬ.
11) 60аЬ 72а 2 .
3 2 тl У 1 3 F;.11 Р
Задание . 1 ) т 2 = . 1) 12 = . 14) Р = .
У 2 Р 2 gh
15) т = Q . 16) 1\ = 12 lL.
c(t 2 t 1 ) ст
Задание 4. 17) 25s 2 6st +36t 2 = (O,5s 6t)2 .
18) 16а 4 + 4а 2 с + 0,25с 2 = ( 4а 2 + 0,5с у .
19) 81с 4 4а 2 х 4 = (9с 2 2ах 2 Х 9с 2 + 2ах 2 ).
20) 8х 9 + 0,027 тЗ =
59
\\
= (2Х 3 +0,3тХ 4х6 0,6x3т+o,09т2).
Урок 9. Часть 'п.
11
Задание 1. 1) 0,75. 2) 12" 3) --4. 4) о; 4. 5) нет корней
Задание 2. 6) 16с 2 .
7) y2 +8ху.
8) 98х 2 +8 у 2 .
9) 56xy.
10) 16а 4 Ь 4 .
11) a l6 1.
тУ F:I Р
Задание 3.12) V; == 2 2 . 13) F 2 ==......!....!... 14) h == .
т] 12 gp
15) с = (Q . 16) t 2 = JL + t 1 .
т t 2 tl) ст
Задание 4. 17) 9с 4 30ac2 + 25а 2 = (3с 2 5a у .
18) 25 р 2 + 4р + 0,16 == (5р + 0,4)2 .
19) 25 р 2 0,l6x4 = (5р + 0,4х 2 Х 5 р 0,4x2).
20) 1000х 6 273 ==
= (1 ох 2 3a2Xl()()x4 +З0х 2 а 2 +9а 4 ).
Урок 10. Часть 1.
3 5 15
Задание 1. 1) 1 . 2) 8 . 3) 2 . 4) о; 9. 5) 3; 3.
. 31 6 19
Задание 2.6) (2ас т){2ас + т)< 4а 2 с 2 +т 2 ).
Тку2 +4х Х у 4 4x у2 +16х 4 ).
8>(с ..... а)2 (с + а)2 .
9>(2y I)2(4y2 +2у+1У.
10) (2а + Ь)(2а + Ь +1).
11) (зх ....2у)(3х +2у 5).
Задание 3. 12) 3 3 . 13) 67 . 14) . 15) 2 ,
7 105 15 3
Задание 4. 16) 1200 М.
17) 360 М.
18) 90 КМ.
60
19) Стрекоза летит быстрее в 2 раза.
20) Орёл сможет доrнать сокола, так как скорость
сокола 1380 м/мин.
Урок 10. Часть 11
1
Задание 1. 1) 1 . 2) нет корней.
17
4) о; 9. 5) нет корней.
7
3) .
32
Задание 2.6) 2с 5t2p Х2с +5t 2 р )(4с 2 + 25t 4 p2).
7) 5а 2 + zЗ х 2 Х 25а4 5a2 х 2 zз + Z6 х 4 }
8) С 2 а 2 у .
9) (a2 2х)(а 2 + 2х)(а 4 + 4х 2 )(а 8 +16х 4 ).
10) (3a b)(3a b 3).
11) (5х + о,lу)(5х + O,ly 1) .
1 31 з4 1
Задание 3. 12) 3 . 13) 1 . 14) . 15) 2 .
5 44 245 6
Задание 4. 16) 70 м/мин.
17) 1200 М.
18) 180 м/мин.
. 19) 5,24 КМ.
20) 0,6 КМ.
61
Для детей старше шести лет.
В соответствии с Федеральным законом
от 29 декабря 2010 r..N 436..ФЗ.
Учебное издание
Хлевнюк Наталья Николаевна
КНИЖЕЧКА
ДJIJI развития математических
способностей
AJlre6pa........ .,
Подписано в печать 10.06.2016. Формат 60х88/16.
Уел. печ. л. 3,79. Тираж 1500 ЭК3. Заказ2665.
000 «Илекса», 1 07023, r. Москва, ул. БужеНИНQва, д. 30, стр. 4,
сайт: www.ilexa.ru. E тail: real@ilexa.ru.
телефон: 8( 495) 964 35 67
Отпечатано в 000 «Типоrpафия «Мипель Пресс».
r. Москва. ул. Руставели. д. 14. стр. 6.
Тел./факс +7 (495) 619 О8 ЗО. 647 01 89.
E mail: mittelpress@mail.ru
Новые книrи по математике
издательства «Илекса»
." ,. . .. . 0.0.. ..' . о.. . ._._ 'v', ..... ." . .,-.
/;';;<у::;;:'\ ;:;;:i.J.(:,:"j ::"--' ;";( ;:;/>.;:;: ,:{?/.,,;,,';'::': 'Т",;' 7"';":: ,,>/; , '. .;;' ',;
"' :!(yR::::: i;::.:.'.,:I ,,'..
i. .:\ :';> / ;:': ' ';f .:.
<,'" ..: :/f.:'. > '/":: :,,'
-.. . .... . .' ........... .... ,. ... .... ',.' ....-..!,........ .
'..;;", , ':. ,::;' , -::: '" '/';:"ji ! !::\, ,;;:.:;": \:.'
", :' . :..[ ij:'
',', "" ОМ " Е ":' Т "' Р : И :;";'
,.' . . . ; " :. . .>: :': ' '.
. ,.... . . ,; .;: '1:... . ;
:. . : :.. ;i::: ':; f; :;:" ::: i ; : : . .' ::: ..) :; j ; ;:. . ; ;::':.:[:!: : :? ; t:; : f: : U; : ;.; ;.:".: '
- ;; ; .:::::':::.' :;;. '. ; f; '? :":':}':'_ ( ': ::: .<.:: \:;.;. '".:.f-::;: Ц:,::,;:;: -, :'_-:/:.;:::: f:'" :. . _: "..::: : %_ .;';;J
.. .,..:' ; ;..J ;i\' ,
: Л'
. .
. ...... .".' '-.--
..' ;'::j(':i-;.:,,:i.', ,;:.::j;: Jw(','! '/ ..",с,,,,".,,,,,, ,.., :,"
. . [',о .... '. . /."');;;'};";; :1 f.y ,!. .
..:".;..".;o::.'; .. .,//.,;;..:, ,.,;..<'J:::,' H';"i:,;'<:,;,":1,:';".iRi :
;. '.. . ..
Ершова А.И.
Сборники заданий для тематическоrо и итоrовоrо контроля
знаний. 7, 8 и 9 классы.
Пособия содержат самостоятельные и контрольные работы
к учебнику Атанасяна л.с. и др. «[еометрия 7 9». Пособия TaK
же MOryт быть использованы при работе по любому действую
щему учебнику и для самообразования.
Задания к самостоятельным работам разделены на темати
ческие блоки, соответствующие основным этапам изучения
rеометрии с 7 по 9 классы. Каждый блок состоит из трех видов
работ, реализующих различные дидактические цели, работы
по про верке теории, работы на rOToBbIX чертежах и письменные
работы. Все работы состоят из 4 вариантов двух уровней слож
ности И предназначены для орrанизации дифференцированно
ro обучения и контроля в общеобразовательных и профильных
школах.
ИЛЕКСА
Н.Н. Хлевнюк
Книжечка ДЛЯ развития
математических способностей.
Алrе6ра....7
«Книжечка для развития математических способностей.
Алrебра.....7».......... это первая из трёх «книжечек» по алrебре для 7, 8,
9 классов. Она может быть с успехом использована для орrани-
зации дополнительных занятий с целью закрепления знаний
и создания прочной базы для обучения математике в 8-м классе.
Содержание «книжечки» включает фундаментальные темы
курса алrебры....7, направлено на развитие математических
способностей, полностью соответствует nporpaMMe курса
алrебры.....7 и rосударственному стандарту обучения математике.
Уникальность пособия в том, что оно, в первую очередь,
адресовано ученикам и их родителям. Ученик оценит свои
знания и умения блаrодаря советам, критериям и образцам
решения, а родитель познакомится с методикой и rpaMoTHO
поможет своему ребёнку в обучении математике.
«Книжечка» поможет учителям и в особенности молодым
педаrоrам орrанизовать разноуровневое обучение; репетито-
рам проводить дополнительные занятия. В пособии они найдут
«упакованные» теоретические факты, классификацию и харак-
теристики уровневых заданий, описание «математических
ловушек», прочие методические советы.
Пособие создано на основе мноrолетнеrо опыта преподава-
ния математики в общеобразовательной средней школе.
Автор «книжечки» .......... учитель высшей квалификационной
катеrории, отличник просвещения, победитель и призёр твор-
ческих конкурсов учителей математики.
ISBN 978 5 89237 378 4
11 1 11 1 1 1
9 785892 373784