Текст
МАТЕМАТИКА
Задачи и упражнения
на готовых
чертежах
В ПОМОЩЬ СТАРШЕКЛАССНИКАМ, ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
И АБИТУРИЕНТАМ
Е. М. Рабинович
Задачи
и упражнения
на готовых чертежах
10-11 классы
ГЕОМЕТРИЯ
«ИЛЕКСА»
«ГИМНАЗИЯ»
Москва—Харьков
2006
Рабинович Е. М.
Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы. Геометрия.—М.:
Илекса, 2006.—80 с.
ISSN 5-89237-068-2
ЛР № 064344 от 9.12.95. Подписано в печать 20.11.02.
Печать офсетная. Формат 70x90/16. Бумага книжно-журнальная.
Тираж 10 000 экз. Заказ 2576.
ООО «Илекса», 121354, г. Москва, а/я 282.
Заказы по телефонам: в Москве (495) 365-30-55
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени
«Чеховский полиграфический комбинат».
142300, г. Чехов Московской области,
тел./факс (501) 443-92-17, (272) 6-25-36.
E-mail: marketing® chpk.ru
ISBN 5-89237-068-2
© Рабинович Е. М., 2001
© ООО «Илекса», 2001
Предисловие
Учитель математики, работающий в старших классах,
хорошо знает, как трудно научить учеников делать наглядные и
правильные чертежи к стереометрическим задачам.
Из-за недостатка пространственного воображения
стереометрическая задача, к которой нужно сделать чертеж
самостоятельно, зачастую становится для ученика
непосильной.
Именно поэтому использование готовых чертежей к сте-
реометрическим задачам значительно увеличивает объем
рассматриваемого на уроке материала, повышает его
эффективность.
Предлагаемое пособие является дополнительным
сборником задач по геометрии для учащихся 10-11 классов
общеобразовательной школы и ориентировано на учебник
А.В. Погорелова "Геометрия 7—И". Оно является
продолжением аналогичного пособия для учащихся 7-9
классов.
Пособие составлено в виде таблиц и содержит более 350
задач. Задачи каждой таблицы соответствуют определенной
теме школьного курса геометрии 10-11 классов и расположены
внутри таблицы в порядке возрастания их сложности.
В пособии 24 таблицы для 10 класса и 26 таблиц для 11
класса, а также 4 таблицы на повторение курса планиметрии 7-
9 классов.
К большинству задач приведены ответы, указания и
решения.
Автор надеется, что использование данного пособия будет
способствовать развитию пространственного воображения у
учащихся и лучшему усвоению материала школьной
программы.
Повторение курса планиметрии
Повторение курса планиметрии
Таблица 1. Решение треугольников.
5
Повторение курса планиметрии
Таблица 2. Площадь треугольника.
О - центр окружности, описанной около ДАВС, - центр окружности,
вписанной в ДАВС. Найти площадь ДАВС.
6
Повторение курса планиметрии
Таблица 3. Площадь четырехугольника.
О - центр вписанной окружности.
7
Повторение курса планиметрии
Таблица 4. Площадь четырехугольника.
О - центр описанной окружности.
Найти площадь четырехугольника ABCD.
Дано:
ABCD - прямоугольник.
Дано: ABCD - паралле-
лограмм.
Дано: ABCD - паралле-
лограмм.
В С
А е D
Дано: ABCD - трапеция.
8
Стереометрия. 10 класс.
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Дано: точки Л, В, Си Z) не лежат в одной
плоскости.
Указать:
1) плоскости, которым принадлежит:
а) прямая АВ; б) точка F; в) точка С.
2) прямую пересечения плоскостей:
а) АВС и A CD;
б) ABD и DCF.
Дано: точка М лежит вне плоскости а, а точки
Л, В и С принадлежат этой плоскости.
1) Принадлежит ли точка F плоскости а?
2) Указать прямую пересечения плоскостей:
а) а и АВМ; б) АВМ и ВМС.
3) Может ли точка Е принадлежать плоскости
а?
4) Принадлежит ли прямая АС плоскости
МВ С?
3
Дано: плоскости а и 0 пересекаются
по прямой а. Может ли точка С
принадлежать плоскостям а и 0?
Дано: точка D лежит вне
плоскости АВС. Пересекаются ли
прямые DE и ВС1
Дано: лучи МА, МВ и МС лежат в
одной плоскости и пересекают
плоскость а в точках А, В и С.
Доказать, что точки А, В и С лежат
на одной прямой.
9
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.
Дано: прямые а, Ъ и с
пересекают плоскость а в
точках М.КнР.
Лежат ли прямые а, b и с в
одной плоскости?
Дано: прямая с - линия
пересечения плоскостей аир.
Прямые а и Ь принадлежат
плоскостям аир
соответственно.
Доказать: прямые а и b не
лежат в одной плоскости.
Дано: плоскости аир
пересекаются по прямой I.
Прямая т принадлежит
плоскости а.
Построить точку пересечения
прямой т и плоскости р.
Дано: плоскости аир
пересекаются по прямой а.
Точки А и В принадлежат
плоскости а, а точка С -
плоскости р.
Построить прямые
пересечения плоскости АВС с
плоскостями а и р.
10
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве.
Скрещивающиеся прямые.
3
Дано: а || Ь. Доказать: а, b и с
лежат в одной плоскости.
Дано: ABCD - параллелограмм. Точки А, В
и D лежат в плоскости а. Доказать: точка С
лежит в плоскости а.
4
Jiptotr. прямые а и b - скрещи-
вающиеся. Доказать: прямые с и
d - скрещивающиеся.
5
Дано: точка А лежит вне плоскости DNK,
Доказать: прямые AD и NK - скрещива-
ющиеся.
6
Дано: ABCD
Дано: b || ВС, прямая а не при-
надлежит плоскости АВС.
Доказать: прямые а и b - скре-
щивающиеся.
- простран-
ственный
четырех-
угольник.
ЛС=16
В£>=10
Найти
PEFKP
Дано: ААХ || ВВХ || ССР ВВХ=9.
Найти ССХ
Дано:
BD || СЕ
КМ=10
Доказать:
точки D и
Е лежат в
плоскости
АВС.
11
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.
1 Юк //В \ 2 А\ / в
А1 D Дано: точка К лежит вне плоскости параллелограмма ABCD. Указать пары параллельных прямых и плоскостей. D С Дано: точка К лежит вне плоскости трапеции ABCD. Доказать: CD || АКВ.
3 4
/ _а у / /с /^\ а/\а
Ч. ъ _Х ь \ \
X |Гх \ &А
Дано: плоскости аир пересекаются по прямой с. Прямые а и Ь принад- лежат плоскостям аир соответст- венно. а || Ь. Доказать: а |( b || с. Дано: плоскости аир пересекаются по прямой а. b || а, b || р. Доказать: b || а.
5 6
/ / /а / / гЧ /а Ь/
Дано: прямая b пересекает плоскость а в точке М. а || Ь. Доказать: а пересекает а. Дано: а || а, а || b, М - общая точка плоскости а и прямой Ь. Доказать: b принадлежит а.
7 К/\ В/Ч- — ' С Дано: плоскость а пересекает стороны АВ и Л С треуголь- ника АВС в точках Вх и Сх соответственно. ВХСХ \\ВС,АСХ.СХС = ЗА. Найти ВС.
12
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей.
Доказать параллельность плоскостей АВС и АХВХСХ:
Дано: ААХ || ВВ} || ССЬ АА}=ВВХ=ССХ
Дано: ААХСХВ и ССХВХВ -
параллелограммы
Дано: ABiDQDiBAiC- куб
Дано: ABCD - пространственный
четырехугольник
Дано: точка С лежит вне
плоскости параллелограмма ABCD
Дано: ABCD - пространственный
четырехугольник.
DAX :AXA = DBX .BXB = DCX : СХС
13
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей.
Плоскости а и /3 параллельны.
Jl&wy.
а|| b.
Доказать:
AB = AiBl
Дано:
прямые а и
b пересека-
ются в
точке О.
Доказать:
ЛВ\\А.В}
Дано:
а II Ъ || с.
Доказать:
дЛЯС =
ьА}В£\
Дано: а и b
- скрещи-
вающиеся
прямые.
Доказать:
прямые АВ
пА}В} -
скрещива-
ющиеся.
Дано: пря-
мые а и b
пересека-
ются в точ-
ке М. АА^З,
МВ}=\2.
Найти:
А}В}, МВ и
ввх
Дано: пря-
мые а и b
пересека-
ются в точ-
ке О.
Найти:
АВ и ОВ}
Дано: пря-
мые а и b
пересека-
ются в точ-
ке М.
Доказать:
ЬАВС-
£>Л\В\С\
14
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на
плоскости.
2
Могут ли точки А, В и С быть
параллельными проекциями вершин
дЛВС?
Могут ли прямые а и b быть
параллельными проекциями
параллельных прямых?
Какая из фигур может быть параллельной проекцией квадрата?
5
Bi
• Ci
Ai
Точки A j, Вх и Cj - параллельные
проекции вершин параллелограмма
ABCD.
Построить проекцию вершины D.
6
Ai
•
Bi . Ci.
Точки Л b By и Cj - параллельные
проекции вершин правильного шес-
тиугольника ABCDEF.
Построить проекцию шестиуголь-
ника.
Ai.
Точки Аи В} и Му - параллельные
проекции вершин А и В и точки
пересечения медиан ьАВС
соответственно.
Построить проекцию вершины С.
Четырехугольник ABCD - паралле-
льная проекция прямоугольника.
Построить проекции перпендику-
ляров, проведенных из точки М к
сторонам прямоугольника.
15
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на
плоскости.
2
Четырехугольник ABCD - паралле-
льная проекция ромба.
Построить проекцию перпендикуля-
ра, проведенного из точки М к диа-
гонали BD.
&АВС - параллельная проекция
равностороннего треугольника.
Построить проекции прямых, пер-
пендикулярных сторонам треуголь-
ника, проходящих через точкиРиК.
Четырехугольник ABCD - паралле-
льная проекция равнобокой
трапеции.
Построить проекцию высоты трапе-
ции, проведенной из вершины В.
\АХВХСХ - параллельная проекция
&АВС,АС = 2АВ.
Построить проекцию биссектрисы
ЛА.
5
Дана параллельная проекция окруж-
ности. АВ - проекция ее диаметра.
Построить проекцию диаметра,
перпендикулярного АВ.
Дана параллельная проекция окруж-
ности.
Построить проекцию центра окруж-
ности.
16
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Точка М лежит вне плоскости АВС.
Доказать: прямая АВ
перпендикулярна плоскости АМС.
Дано: BMDC - прямоугольник.
Доказать: прямая CD перпендику-
лярна плоскости АВС.
Дано: ABCD - прямоугольник.
Доказать: AD ± AM.
Доказать: ВС 1DE.
6
ABCD - параллелограмм.
Доказать: прямая МО перпендику-
лярна плоскости АВС.
Дано: ABCD - ромб.
Доказать: прямая BD перпендику-
лярна плоскости АМС.
17
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Прямая а перпендикулярна плоскости АВС.
Дано: ААСВ=90°, АС=4, MD=3.
Найти Л/С.
Дано: ьАВС - равносторонний.
АВ = 2 43 . MD=4.
Найти МС.
Дано: &АВС- равносторонний.
АВ = 47з . О- центр окружности,
описанной около &АВС. МО=3.
ЪШтлМВ.
Дано: О - центр окружности, опи-
санной около &АВС. ААСВ=120°,
АВ=6, МО=2.
Найти МС.
Найти МВ.
Дано: ABCD - прямоугольник.
MD=Z.
Найти АВ и AD.
18
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная.
АА{ - перпендикуляр к плоскости а, АВ и АС - наклонные.
Найти х и у.
19
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная.
ААj перпендикуляр к плоскости а, АВ и АС- наклонные.
Найти х и у.
20
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая а перпендикулярна плоскости АВС.
2
Дано: ABCD - ромб.
Доказать: МО ± BD.
Доказать: АВ = АС.
Дано: ABCD - параллелограмм.
Доказать: ABCD - прямоугольник.
6
Найти расстояние от точки М до
прямой ЯС.
Доказать: ВО - биссектриса угла
АВС.
21
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая а перпендикулярна плоскости АВС.
Построить перпендикуляры из точки
М к прямым АС и ВС.
Дано: &АВС- правильный.
Построить перпендикуляры из точки
М к прямым АС и ВС.
Построить перпендикуляр из точки
М к прямой ВС.
Найти расстояние от точки М до
прямых АС и ВС.
Дано: ДАВС- правильный.
Найти расстояние от точки М до
прямых АВ и BD.
Дано: ABCD - параллелограмм.
Найти расстояние от точки М до
прямых AD и DC.
22
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая а перпендикулярна плоскости АВС.
Дано: MD = 13. Найти МС.
Дано: АВ~ 14. Найти MD.
Дано: &АВС- правильный, О - центр
окружности, вписанной в &АВС,
АВ=\2, ОМ=4. Найти расстояние от
точки М до прямой ВС.
Дано: О - центр окружности,
вписанной в трапецию ABCD,
AD=BC, CD=9, АВ=\6, МЕ=\Ъ.
Найти ОМ.
Найти Z МСВ.
23
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.
Точка Млежит вне плоскости АВС.
1
Дано: ABCD - прямоугольник. Пря-
мая МВ перпендикулярна плоскости
АВС. Доказать перпендикулярность
плоскостей АМВ и МСВ.
Доказать перпендикулярность
плоскостей АМС и DMB.
Дано: ABCD - квадрат. Доказать
перпендикулярность плоскостей:
1) АМС и АВС\ 2) АМС и BMD.
Доказать перпендикулярность
плоскостей AMD и АВС.
6
Дано: прямая а - линия пересечения
перпендикулярных плоскостей а и р.
Прямая b принадлежит плоскости Р
и перпендикулярна прямой а.
Доказать: На.
Дано: плоскости АМВ и ВМС пер-
пендикулярны плоскости АВС.
Доказать: прямая МВ перпенди-
кулярна плоскости АВС.
24
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.
Плоскости aufiперпендикулярны.
Дано: ABCD и BCFE - прямоуголь-
ники. Найти расстояние между
прямой ВС и плоскостью ADF.
Дано: точки А и В принадлежат
плоскостям аир соответственно.
Найти АВ.
Дано: точки А и В принадлежат
плоскостям аир соответственно.
ЯД = 9.
Найти АВ.
Дано: точки А нВ принадлежат
плоскости а, а точки С и D -
плоскости р. АВ || CjZ)].
Найти АС.
ABCD - прямоугольник.
Плоскости АМВ и DNC пер-
пендикулярны плоскости
АВС.
Найти MN.
25
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. Найти расстояние
между прямыми а и АС (рис. 1-3).
2
Дано: ABCD - параллелограмм.
Плоскости АВС и ADE перпендику-
лярны. Прямая а принадлежит
плоскости ADE. Найти расстояние
между прямыми а и ВС
Дано: точка М лежит вне плоскости
АВС. Найти расстояние между
прямыми АС и ВМ.
Дано: ABCD - квадрат. Точка М ле-
жит вне плоскости АВС. Найти рас-
стояние между прямыми AM и BD.
26
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.
1
2
Найти координаты точек Л, В, С, D,
E,F
Дано: АВСО - квадрат, 2^2
Найти координаты точек А, В и С.
4
Дано: АВОСА'ВХОХС} - куб.
В,С=4Тз .
Найти координаты вершин куба.
Дано: ОР=1, AD=%.
Найти длину отрезка АВ и
координаты его середины.
Дано: АОВСАХОХВХСХ -
прямоугольный параллелепипед.
Найти периметр ьМРК.
Найти координаты точек Р и К и
длину отрезка РК.
27
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми.
Прямая МВ перпендикулярна плоскости АВС (рис. 1-3, 5, 6).
Дано: ABCD - прямоугольник.
Найти угол между прямыми:
\) МВ и AD,2) AM и CD\
3) AM и ВС.
Найти угол между прямыми АВ и
CD.
Дано: ABCD - ромб. Найти угол
между прямыми MD и АС.
Дано: точка D лежит вне плоскости
АВС. Найти угол между прямыми
ACmBD.
Дано: ABCD - квадрат. Найти угол
между прямыми MD и ВС.
Дано: ABCD - квадрат. Найти угол
между прямыми СМ и BD.
28
Стереометрия, 10 класс.
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью.
Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС.
Найти угол между прямой МВ и плоскостью АВС (рис. 3-6).
прямая МА перпендикулярна плоскости а.
Найти угол между прямой МВ и плоскостью а.
Дано: плоскости а и Р перпендику-
лярны. Найти угол между прямой АВ
и плоскостью р.
29
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.22. Угол между плоскостями.
Плоскости а и /3 пересекаются по прямой а.
Найти угол между плоскостями а и В.
Дано: прямая CD перпендикулярна
плоскости ADB, ZADB = 90°.
Найти угол между плоскостями АСВ
hADC.
Дано: ABCD - квадрат. Прямая МО
перпендикулярна плоскости АВС.
Найти угол между плоскостями
MDChABC.
30
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции
многоугольника.
Прямая МО перпендикулярна плоскости АОВ (рис. 1-4).
Дано: SamB = 8
Найти Saqb-
Дано: SaOB = 8, SamB = 8 V2 .
Найти угол между плоскостями АМВ
иАОВ.
Дано: АВ = 14, ОВ = 15, АО = 13.
Найти SamB-
Дано: &АВС - равносторонний.
SaMC = Q- Найти SABC
6
Bi Cl
Дано: ABCD - ромб. Прямые ВВХ и
СС| перпендикулярны плоскости
ABC. SabxCxD = 24^2.
Найти угол между плоскостями АВС
иАВхСх.
Дано: ABCD - трапеция. Прямые ВВХ
и ССХ перпендикулярны плоскости
ABC.AB = CD=\5.
Sabxcxd = 108 >/з . Найти угол между
плоскостями АВС и АВХСХ.
31
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.24. Векторы в пространстве.
1 в (-4; 3; 2) А(-3;-2; 4) Найти | АВ |. 2 В (4; -5; 0) А (2; -3; 1) D (7; -2; -3) С (5; 0; -4) Равны ли векторы АВ и CD? 3 ^<с B(2;4j7>-^ (4;3;-3) А(3;-1;2) Дано: ABCD - паралле- лограмм. Найти коорди- наты вершины С.
4 В (5; 1; -2) А (1; -3; 4) D (4; 2; -2) С (2; 0; 1) Коллинеарны ли векторы АВ и CD ? 5 В (5; 1;-2) А(1;-3; 4) С(-1;3;-3) D (0; 1; 6) Перпендикулярны ли векторы АВ и CD ? 6 В (-2; 4; 5) А (1; 2; -3)
/ С(3;-3;-1) / D (-1; 3; -4) Доказать: прямая АВ перпендикулярна плоскости A DC.
7 А(-3; 2; 1) В (4; 3;-2) С(1;0;-3) Найти соза 8 в а/ м^60’ _ >С ь Дано: | а | = 1, | b | = 2. Найти: 1)1« + ~Ь\ 2)|«_- Ь\_ 3) \2а -Зй| 9 Л ь 1207pt\150" Дано: | а | = 2, | b | = 3, Й = 1-_ Найти (а +с)(Ь- с)
32
Стереометрия. 11 класс.
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол.
MN - ребро двугранного угла. Точки АиВ лежат в разных гранях
двугранного угла (рис. 1-4). (abc) - трехгранный угол (рис. 5, 6).
Дано: величина двугранного угла
равна 60°. Найти АВ.
5
Найти /LADB.
6
Дано: Z(aZ>) = Z.(ac) = Z(bc) = 60°.
Найти величину двугранного угла
при ребре с.
Дано: Z(afc) = Z(ac) = 45°.
Найти Z(fec).
33
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.2. Прямая призма.
АхА2...АпАхА2...Ап - прямая призма.
Дано: AyA^^At - прямоугольник.
Найти: 1) 5бок; 2) 5полн.
Дано: А}А2АуА4 - ромб. А ХА3 = 24,
А 2^4 =10. Найти 5полн.
6
Дано: А ХА^уА4 - ромб.
Найти: АХА3, А2А4.
Дано: AxA^AyA4 - трапеция.
Найти 5полн.
34
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.3. Правильная призма.
АхА2...АпА\ А2... Ап - правильная призма.
Найти: 1) площадь боковой поверхности призмы;
35
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.4. Правильная призма.
А2... Ап А} А2... Ап - правильная призма.
Найти: 1) площадь боковой поверхности призмы;
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.5. Наклонная призма.
АхА2А3А{А2А3 - наклонная призма.
Найти площадь боковой поверхности призмы.
1
5
A
(*) Попробуйте доказать, что в условии задачи можно не указывать, что
ЛА]А]А2 = 90°
37
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.6. Параллелепипед.
ABCDAXBXCXDX - прямой параллелепипед.
Найти площадь полной поверхности параллелепипеда (рис. 2-6).
Найти: АХС, BXD.
5
38
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.7. Построение сечений призмы.
А1А2...АпА'} А2... Ап - призма. Построить сечение призмы плоскостью,
проходящей через точки К, Р и F.
Дано: AiA2A3A4 - параллелограмм.
4
39
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.8. Правильная пирамида.
SO - высота правильной пирамиды.
Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 2-6).
Найти площадь боковой
поверхности пирамиды.
Дано: SO = 2 V? .
5
Дано: АВ = а
40
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.9. Пирамида.
SO - высота пирамиды.
Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 1, 2, 5, 6).
Дано: ABCD - прямоугольник.
3
Дано: АВ = 5 у/з , ZACB = 150°.
Найти SO.
Дано: ABCD - трапеция. АВ = 9,
CD = 4, AD = ВС. О - центр
вписанной окружности.
41
Стереометрия. И класс.
Таблица 11.10. Пирамида.
SA - высота пирамиды.
Найти площадь полной поверхности пирамиды.
42
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.
SO - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности
пирамиды (рис. 1-3).
А1А2...АпА'1А2...Ап - правильная усеченная пирамида (рис. 4-6)
Найти площадь полной поверхности усеченной пирамиды.
43
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды.
S - вершина пирамиды. Построить сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через точки М, Р и К.
1 2
3
4
44
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.13. Цилиндр.
ООХ ось цилиндра, ААХВХВ - осевое сечение цилиндра.
Найти высоту и радиус основания
цилиндра.
3
Найти расстояние между прямыми
CXD и 00р
Дано: ЛОХЕО = 45°, ZEOC = 60°.
Найти ScoxD-
Найти высоту и радиус основания
цилиндра.
45
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.14. Конус.
SO - высота конуса.
Найти SO и ОВ.
Дано: ZCOB = 60°. Найти ZSEO.
Дано: SO = 16, SO} = 4.
Найти площадь сечения конуса плос-
костью, проходящй через точку О^
параллельно основанию конуса.
Дано: АС = 6. Найти 5д$С-
Найти SbsC-
Дано: CD = т. Найти S^SC-
46
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус.
SO - высота конуса (рис. 1-3), О и О\- центры оснований
усеченного конуса (рис. 4-6).
Дано: OD = а. Найти SbSC-
Найти Зсс^в.
47
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.16. Шар.
О - центр шара, Ох - центр круга - сечения шара плоскостью.
1
Дано: ООХ =5,ОР= 13. Найти
Найти площадь сечения шара
плоскостью.
4
площадь сечения шара плоскостью.
Найти О{А.
Дано: плоскость АВС пересекает
шар. АВ = 9, ВС = 12. Найти ООХ.
001 = 5. Найти радиус шара.
48
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар.
Найти радиус вписанного шара (рис. 1-2).
Найти радиус описанного шара (рис. 3-6).
2
Дано: SABC- правильная треуголь-
ная пирамида. Z.SDO = а.
Дано: SABCD - четырехугольная пи-
рамида. ABCD - прямоугольник.
АС= 12.
Дано: АВСАХВ\С} - правильная
треугольная призма.
5
Дано: SABC- правильная
четырехугольная пирамида.
Дано: SABC - правильная
треугольная пирамида.
Дано: SABC- правильная
четырехугольная пирамида.
49
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда.
ABCDAxBiCxDi - параллелепипед. Найти объем параллелепипеда.
Дано: АХС = 12, BXD = 10.
Дано: Ci О - высота параллеле-
пипеда.
Дано: BXD = d.
Дано: A iO- высота параллелепипе-
да, ABCD - квадрат. ААХАО = а.
50
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.19. Объем призмы.
А1А2...АпА1А2...Ап - призма. Найти объем призмы.
2
Дано: А^А^А^А^Аь - правильный
шестиугольник.
3
4
Дано: A'A^AyAi - трапеция.
Дано: - прямоугольник.
Дано: АХО-высота призмы.
Дано: правильный. А^О -
высота призмы.
51
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.20. Объем пирамиды.
SAjA2...An - пирамида, SO - высота пирамиды.
Найти объем пирамиды.
1 ГТ
Дано: АХА2 = А1А3 = 10, А^ = 12.
О - центр окружности, вписанной в
^А 2^3.
Дано: А}А2А3А4 - ромб.
5
Дано: Л ^гЛэЯд- прямоугольник.
Дано: A iA^A^ - трапеция.
А [А4 = А^. О - центр окружности,
вписанной в трапецию.
52
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.21. Объем пирамиды.
SA{A2...An - пирамида. SO - высота пирамиды (рис. 2, 4-6), SA3 -
высота пирамиды (рис.1, 3). Найти объем пирамиды.
Дано: SAiA^A^A^ - правильная
шестиугольная пирамида.
Дано: А}А2АЪА4 - параллелограмм.
Дано: AAzAyAi - трапеция.
Дано: АуА^Ад - прямоугольник.
53
Стереометрия. П класс.
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды.
5АхАг...А„ - правильная пирамида, SO-высота пирамиды (рис. 1-3);
SA 1А2 •.. Ап А1А2.. • Ап - правильная усеченная пирамида (рис. 4-6).
Найти объем пирамиды.
54
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра.
ОО} _ ось цилиндра. Найти объем и площадь боковой поверхности
цилиндра.
1
Дано: ОЕ = 6, CD = 16.
Дано: Sccfifi = Q-
55
Стереометрия. 11 класс.
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса.
SO - высота конуса. Найти объем и площадь боковой поверхности
конуса.
1
Дано: О} - центр круга - сечения
конуса плоскостью, SO = 15.
5
1)Дано: ВС =12.
2) Дано: 5В = 3 >/5 .
56
Стереометрия, 11 класс.
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь
боковой поверхности конуса. Площадь боковой
поверхности усеченного конуса.
SO - высота конуса (рис. 1-3), ОиОх~ центры оснований
усеченного конуса (рис. 4-6). Найти объем и площадь боковой
поверхности конуса.
57
Стереометрия. И класс.
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара.
О - центр шара, ОхиО2_ центры кругов - сечений шара
плоскостью. Найти объем и площадь поверхности шара (рис. 1-3).
58
Ответы, указания, решения
Ответы, указания, решения
Повторение.
Таблица 1. 3. ВС = b tgP, AB = b tgP sina, AC = b tgP cosa. 4. AB = AC =
w I 2mcosa
=------. 5. AB - AC = ---, BC = 21 tga. 6. AC = 2m cosa, AB = --,
2 sin j cosa sinP
Л Л « Г~5 7? I ~ AB sin a , „
BC = 2m cosa ctgp. 1.AB = Ja +b -2a6cosy , BC=---------, AC =
sin(a + P)
= ,8,AC = 2rctg% ,AB=BC= —. 9. ЛВ = 2Л sin(a+P), BC =
sin(a + P) 2 cosa
= 2R sina, AC = 2R sinp. 10. R = ——. 11. R = a a . 12. —-—.
2 sina 2 cos j 2sin|
Указание. Радиус окружности, описанной около трапеции ABCD, равен
a
радиусу окружности, описанной около &ABD, в котором Z.ADB =—.
Таблица 2. 3. 3 л/з . 4. 120. 5. 156. 6. 3-/3 . 7. 9 (1+>/з ). 8. 12^3 . 9. 32.
10.18. Указание. Бддвс = 8дВ0С + Зддос = “ OBOCsin30° +
+ у O/4 OCsinl50°. И. 60. Решение. Пусть г - радиус окружности,
вписанной в дЛВС. Тогда АС = г + 12, ВС = г + 5, (г + 5)2 + (г + 12)2 = 172,
откуда г = 3, АС = 15, ВС = 8. 12. r2ctg2ytga. Решение. Из &AO}D:
AD = rctg ~, из &ABD\ BD = rctg у tga. ЗддвС = ~ Л CBD =
К a ос 7 2a
= у -2rctg - rctg - tga = Hctg2 - tga.
Таблица 3. 3. 40. 4. 18 -Л . 8. 80. Указание. OE2 = AE ED. 10. 225. 11. 64.
Указание. Доказать, что высота трапеции равна её средней линии. 12. 150.
Указание. Из &АОВ (/.О = 90°) ОЁ2 = АЕ BE, откуда ОЕ = 6, CD = 12.
AB + CD = BC + AD = 25.
59
Ответы, указания, решения
™ ч „ ft2sinasm(a + P) тг
Таблица 4. 1. —сг sm2a. 2. nr(m+n) ctga. 3. -----------------— . Указание.
2 sinp
Из \ABD по теореме синусов AD ~ П— —. 4. — a(2b + acosp)sinp.
sin Р 2
Указание. Проведем BE ± AD. Из &АВЕ: BE = asinp, АЕ = - acosp. Тогда
BC = AD - АЕ = b + acosp. 5. ^-flPsin2a. Указание. АЕ - + ЕС).
6. 27?2sin2acosa. Указание. Из kACD (ZC = 90°): CD = 27?cosa. Проведем
СЕ 1AD. Из bCED\ СЕ = CDsina = 27?cosasina. Из kACE: АЕ = CEtga =
= 2Esin2a. АЕ = — (AD + ВС). 7. — (b2 - а2) • s-a- s^ . Указание. Проведем
2 2 sin(a + р)
„ и . n TI „ EDsina (b- a) sin a
СЕ | АВ. Из kCDE по теореме синусов: CD = --------------- = -------------.
sin(a + р) sin(a + Р)
Проведем CF 1 AD. Из &CDF CF = CPsinP = g)sLnasll^P . 8. 20 ^3 .
sin(a + Р)
Решение. Из &ABD по теореме косинусов: BD2 = З2 + 102 - 60cosZJ. Из
kBCD по теореме косинусов: BD2 = 52 + 82 + 80cosZ/4. Тогда cosZJ =
4л/з 1 4-ч/з г- 121>/з
sina= —у—, SABCD = - (3-10 + 5-8)--у =20V3.9. —у-. Указание. Из
дЖ: АС = 14. Проведем BE 1 АС. Т.к. ЛАВС = 120°, то ЛВС А = 30°, и
7
АЕ = ЕС = 7. Из &АВЕ\ ВЕ = —f= . SabCD = = $ДАВС + SAADC.
<3
Стереометрия. 10 класс.
Таблица 10.1. 4. Нет. Указание. Воспользоваться методом доказательства
от противного.
Таблица 10.2. 1. Нет. Указание. Если бы прямые a, b и с лежали в одной
плоскости, то точки М, К и Р лежали бы на одной прямой. 2.
Доказательство. Предположим, что прямые а и b лежат в одной плоскости.
Тогда прямая с также принадлежит этой плоскости. Через прямые а и с
можно провести единственную плоскость (плоскость а), которой будет
принадлежать и прямая Ь. Противоречие. 3. Указание. Искомая точка -
точка пересечения прямых т и /. 4. Указание. Прямая пересечения
плоскостей АВС и Р проходит через точку С и точку пересечения прямых АВ
и/.
Таблица 10.3, 3. Указание. Воспользоваться методом доказательства от
противного. 4. Указание. Воспользоваться методом доказательства от
противного. 5. Доказательство. Предположим, что прямые а и b не
60
Ответы, указания, решения
скрещивающиеся. Тогда они лежат в одной плоскости. Но через прямую Ь и
точку D проходит единственная плоскость, в которой лежит и прямая ВС
(ВС || Ь). Имеем: прямая а лежит в плоскости АВС, Противоречие. 6. 26.
Указание. Доказать, что EFKP ~ параллелограмм. 7. 9. Решение. ККХ -
средняя линия трапеции ААХВХВ, откуда ККХ = 7. DDX - средняя линия
трапеции ККХСХС, откуда ССХ = 9. 8. Указание. Проведем KF || BD. Тогда
ККХ - средняя линия трапеции BDEC, KF = 6. MF - средняя линия
треугольника ABC, MF = 4. MF + FK = КМ, то есть точки M,F и К лежат на
одной прямой, то есть прямая МК лежит в плоскости АВС,
Таблица 10.4, 3. Доказательство. Так как а || Ь, то а || р, откуда а || с,
4. Указание. Выбрать на прямой а точку А и провести через точку А и
прямую b плоскость у. Доказать, что прямая а лежит в этой плоскости.
5. Доказательство. Предположим, что а || а. Через М и а проведем
плоскость. Она пересекает плоскость а по прямой с, параллельной а. Тогда
через точку М проходят две прямые, переллельные прямой а. Противоречие.
7. 14. Указание. Рассмотреть подобные треугольники АВС и АВХСХ.
Таблица 10.5. 6. Доказательство. Так как ААХ ,AXD = ВВХ : BXD, то АВ || АХВХ,
Аналогично, ВС || ВХСХ, откуда плоскости АВС иАхВхСх параллельны.
Таблица 10.6. 5. Доказательство. Предположим, что прямые АВ и АХВХ
лежат в одной плоскости. Тогда и прямые ААХ и ВВХ лежат в одной
плоскости, что противоречит условию. 6. 6; 8; 4. 7. 10; 2,4.
8. Доказательство. АВ || АХВХ, &АМВ ~ &АХМВХ, откуда AM: МАХ = ВМ: МВХ =
= АВ : АХВХ, Из подобия треугольников ВМС и ВХМСХ. ВМ: МВХ =
= ЯС:В1С1«ЛС : АХСХ; из подобия треугольников АМС пАхМСх. AM: МАХ=
- АС: АХСЬ откуда дЛВС ~ лАхВхС (по трем сторонам).
Таблица 10.7. 4. Указание. Точка Dy - проекция точки D лежит на
пересечении прямых, параллельных прямым АХВХ и ВХСХ, проведенных через
точки Сх и A j соответствнно. 5. Решение. Пусть точка К - середина отрезка
АХВХ, Проведем луч КМХ и отложим на нем отрезок МХСХ = 2МХК, Точка Сх -
искомая.
6. Решение. Проведем прямые АХМ\\ВХСХ и
CjWH АХВХ, Точка пересечения этих прямых - точ-
ка Ох - проекция центра правильного шестиуголь-
ника. Далее строим точки Dx, Ех и Fx, симметрич-
ные точкам Л,, Вх и Сх соответственно относитель-
но точки О, Шестиугольник AXBXCXDXEXFX -
искомый (рис.1). 7. Указание. Искомые перпенди-
куляры параллельны сторонам четырехугольника
ABCD.
61
Ответы, указания, решения
Таблица 10.8. 1. Указание. Искомый перпендикуляр параллелен диагонали
АС. 2. Указание. Искомые перпендикуляры параллельны медианам дЛВС.
3. Указание. Искомая высота параллельна прямой, которая проходит через
середины отрезков ВС и AD. 4. Указание. Проекция биссектриссы угла А
делит сторону ВХСХ в отношении 2:1, считая от точки С. 5. Решение.
Проведем хорду, параллельную АВ. Через ее середину и точку О проведем
диаметр. Он и будет искомым. 6. Решение. Проведем две параллельные
хорды. Через их середины проведем хорду, которая будет проекцией
диаметра, а ее середина - проекцией центра окружности.
Таблица 10.9. 3. Решение. Прямая СВ перпендикулярна плоскости АМВ,
AD || ВС, откуда прямая AD перпендикулярна плоскости АМВ и AD ± AM.
4. Указание. Доказать, что прямая ВС перпендикулярна плоскости AMD.
5. Указание. МО - высота равнобедренных треугольников АМС и BMD.
6. Решение. МО ± BD, АС 1 BD, откуда прямая BD перпендикулярна
плоскости АМС.
Таблица 10.10. 1. 1. 2. 5. 3. 5. 4. 4. Решение. Радиус R окружности,
описанной около дЛВС, равен: R = ——— =---------------= 2>/з . Из &МОС
2 sin АВС 2 sin 120°
(ZO = 90°): МС = 7 МО2 + ОС2 = 4. 5. 12. Решение. Из ДЛВС:
АВ = —-— = 4-УЗ . Из &АМВ (АВ = 90°): МВ = ABtg60° = 12. 6. 2 Тб ; 4.
cos30°
Решение. Из ЛАМО (АА = 90°): AD = A/Dcos60° = 4, AM = A/Z>sin60° = 4 -Л.
Из ДЛЛ/В (АВ = 90°): АВ = АМ^- = 2 -Л
Таблица 10.11. 4. 6. 5. 18. 6. у]а2 - b2tg2a . 7. 4^21 . Решение. Из дЯЛ(С
(ААх=90°): АС = 16. Из &АВС: АВ = >1 АС2 + ВС2 = 20. Из дЛЛ,В (ААХ= 90°):
ВАХ = ^AB2-AAl = 4 721.8.12. 9. 16. Решение. Из ьААхС (ААх=90°):
АА} = А,С tg60° = 4 -Л, АС = 8. Из лАА,В (АА, = 90°): АВ = 8 Л. Из дЛВС:
ВС = у] АВ2 + АС2 =16.
Таблица 10.12. 1. . 2. 5 Ло . Решение. Из &AA,D (АА, = 90°):
A,D = 12; из bA,BD (AD = 90°): ВА, = 13, из ДЯЛ.В (АА, = 90°); АВ = 5 Ло .
3. 45°. Решение. АВ = АС = 2^2 . Проведем AD ± ВС. Из &ADC (ZD = 90°):
cosx = ~~ = —7= = -U, откуда х = 45°. 4. 60°. Решение. Из ^АА}С
2V2 V2
62
Ответы, указания, решения
(ZJr 90°): ААХ = ^Csin60° = 5 л/з , АХС = 5. Из лАВАх (ААХ = 90°): АХВ =
= у АВ2 - АА2 = 8. Из лАхВС по теореме косинусов:
= ВА2+СА2-ВС2 = 64 + 25-49 = J_
2-8-5 2’
. &sinBsina
arcsin-------- или
а
2АХВАХС
х=60°.
cosx =
actga
5. arcsin £
. hsinBsina
л - arcsin--------
а
_ т sinp sin а _ wsinp
7.-----------. Решение. Из &АВС по теореме синусов: АВ =-----.
sin у sin у
a2ctg2a .
6.
Из лАА,В (2Л|=90°): АА} = ABsma =----------“-----.
sin у
8. ^/(а2+Z>2-2aicos0)tg2a+Z>2 . Решение. Из &AtBC по теореме
косинусов: Л,С=^/а2 + b2 -2aZ>cos0 . Из &AAtC(^Ai=9Q°)-. AAt = AtCtga =
= yja2 +b2 - 2abcosp tga . Из tAA {B (ZA, = 90°): AB = Ja^ + AAj2 =
= ^(a2 +b2 - 2abcos(5)tg2a + b2 .
Таблица 10.13. 4. 30. 5. \m2 + a2 sin2 a . Решение. Проведем MD 1 AC,
BD JL 4С(по теореме о трех перпендикулярах). Из kBDC (AD = 90°): BD =
= a8ina. Из bBMD (АВ = 90°): MD = \lm2 + а2 sin2 a . 6. Доказательство.
Проведем MD 1 АВ и ME 1 ВС. OD 1 АВ, ОЕ 1 ВС (по теореме о трех
перпендикулярах). &MBD = &МВЕ (по гипотенузе и острому углу), откуда
MD ME. OD = ОЕ (как проекции равных наклонных). &BOD = ьВОЕ (по
катету и гипотенузе), откуда AOBD = АОВЕ.
Таблица 10.14. 2. Провести медианы ВМХ и АМ2. Провести DDX || ВМХ и
DD21| АМ2, где точки Dx и D2 лежат на сторонах АС и ВС соответственно.
A/Di и MD2 - искомые перпендикуляры. 3. Указание. Основание искомого
перпендикуляра - точка Мх такая, что ВС : СМХ = 2:1. 4. 13 и 15. 5. 8; 4 >/2 .
Решение. Проведем СЕ 1 АВ, СЕ = %4з . Проведем OF || АВ. OF = 4 7з .Из
Из &MOF (Z.O - 90е): MF = ^MO2+OF2 = 8. Проведем OK ± BD, ОК = 4.
Из &МОК (АО в 90°): МК = 4 V2 . MF и МК - искомые расстояния. 6. 10, 17.
Решение. Проведем BE 1 AD, BE = 6. Из &МВЕ (АВ = 90°): ME = 10. ME -
расстояние от точки М до прямой AD. Аналогично находим расстояние от
точки М до прямой АС.
63
Ответы, указания, решения
Таблица 10.15. 1. V14 . Решение. Из дЛ/ОС (ZO = 90°): ОС = 2. Из &ОСК
(ZA=90°, ОК=СК): ОК = СК = ^2 . Из ьМКС (Z/C=90°): МК =
= >1мС2-СК2 = V14. 2. 5. Решение. Из дЛВС (ZC = 90°): АВ = 25.
АС - ВС
CD LAB (по теореме о трех перпендикулярах). CD = ----------- = 12. Из
АВ
bMDC (ZC = 90°): МС = 5. 3. 13. Указание. Найти высоту CD треугольника
АВС, воспользовавшись тем, что Зддвс = ± CD-АВ. 4. 8. Указание. OD =
АВу[з
= —-— . 5. 8. Указание. Радиус окружности, вписанной в равнобокую
трапецию, можно найти по формуле r = ±4ab, где а и b - основания
трапеции. 6. arccos(cosacosp). Решение. Пусть АС = а. Тогда из &АСВ\
ВС = acos0. Из ДМСЯ (Z/4 = 90°): МС = —, из ьМСВ (ZB = 90°):
cosa
ВС
cosMCB =------ = cosacosB.
МС
Таблица 10.16. 1. Доказательство. 1 способ. МВ - линия пересечения
плоскостей АМВ и СМВ. АВ ± МВ, СВ ± МВ. Так как Z.ABC = 90°, то
плоскости АВМ и СВМ перпендикулярны. 2 способ. АВ 1 ВС, АВ ± МВ,
значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости МВС. Так как плоскость
АМВ проходит через прямую АВ, перпендикулярную плоскости МВС, то
плоскости АМВ и МВС перпендикулярны. 2. Указание. AC ± BD, AC ± MD.
Значит, прямая АС перпендикулярна плоскости DMB. 3. 1) Указание.
Доказать, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС. 2) Указание.
Доказать, что прямая АС перпендикулярна плоскости BMD. 4. Указание.
Доказать, что прямая МО перпендикулярна плоскости АВС.
5. Доказательство. Через точку А в плоскости а проведем прямую с, с ± а.
Плоскость, проходящая через прямые b и с, перпендикулярна прямой а. Так
как a 1 р, то угол между прямыми b и с равен 90°. Поскольку b ± а и b ± с,
то b 1 а. 6. Указание. Проведем через точку М прямую МВХ,
перпендикулярную АВ. Тогда МВ{ перпендикулярна плоскости АВС (задача
5). Аналогично, если прямая МВ2 перпендикулярна ВС, то МВ2
перпендикулярна плоскости АВС. Получаем, что через точку М проходят
два различных перпендикуляра к плоскости АВС. Противоречие.
Таблица 10.17. 1. 12. Указание. Искомое расстояние равно высоте
треугольника DFC, проведенной к стороне DF. 2. 17. Указание. АВ2 = АА2 +
+ ЛД2 + ВВ2. 3. 12V2.4. 10. Указание. DiB 1 АВ, С{А 1 АВ (теорема о
трех перпендикулярах). Тогда AC}D}B - прямоугольник, АСХ = BDX.
64
Ответы, указания, решения
5. 3^26. Указание. NC = 5, AM = 8. Проведем NK 1 AM. NK = АС = 15,
КМ = 3.
Таблица 10.18. 1. 5. 2. 12. 3. 2 V14.4. 2 у2 . Указание. Искомое расстояние
равно высоте BE параллелограмма ABCD, проведенной к стороне AD.
5. 3 >/2 . Указание. Искомое расстояние равно высоте EF &ЕМВ, где Е -
2>/2
середина АС. 6. —. Указание. Провести МО ± BD. Искомое расстояние
равно высоте ОЕ &АМО.
Таблица 10,19. 2. Л(2;0;0), В(2;0;-2), С(0;0; А-). 3. Указание. Сторона куба
равна 4. 4. 2^; М(А;8;5). Указание. Л(4;7;8), Я(-6 ;9;2). 5. Р(7б ;2;0),
К( Тб ;4; Тб). V10 . Решение. Из ДОЛЯ (ZB = 90°): ОВ = 4, АВ = 4 7з . Тогда
Я(0;4;0). Из дЛЯС (ZC = 90°): АС = ВС = 2>/б. Тогда С(2 ;4;0),
Л(27б;4;2-7б), откуда Xr(V6;4;V6), Р(у[б ;2;0), РК = V10.
6. 2^5 + 7ТЗ + V29 . Решение. Я,(6;0;4), Р - середина отрезка BtO. Тогда
Р(3;0;2). С(6; -8 ;0), К - середина отрезка ОС. Тогда ДЗ; -4 ;0). М(6; -8 ;2).
Тогда РК = 2^5 ,РМ= JT3,KM= ^29.
Таблица 10.20. 1. 1) 90°; 2) 45°; 3) 90°. 2. 90°. Решение. Проведем через
точку С прямую /, параллельную АВ. Тогда угол между CD и АВ равен углу
между CD и /. По теореме о трех перпендикулярах CD ± I. 3. 90°. Указание.
Провести через точку D прямую /, параллельную АС. Угол между MD и АС
равен углу между MD и I. 4. 90°. Указание. Через точку В провести прямую,
параллельную АС. 5. arctg41 . Решение. Угол между MD и ВС равен углу
между AD и MD. Пусть АВ = а, тогда AM = а 41 .Из &MAD tgMDA = 41 .
6. 60°. Решение. Через точку А проведем перпен-
дикуляр AN к плоскости АВС и отложим на нем отре-
зок AN = ВМ (рис.2). Тогда \AND = &ANB = &BCD (по
двум катетам), откуда ND = NB = BD. Так как
МС || ND, то угол между прямыми МС и BD равен
углу между прямыми ND и BD, т.е. искомый угол
равен 60°.
Таблица 10.21. 3. 45°. 4. 30°. Решение. Из дЛЯС АС = 2 у/з. Из дА/ЛЯ
cosA/ЯЛ = откУда ^МВА = 30°. 5. arctg. Решение. Пусть
65
Ответы, указания, решения
г- МА 1 Js
АС = а, тогда АВ = ajl . Из ШАВ teMBA = — = -^. 6. arctg—.
MB V2 5
Решение. Пусть МА = а, тогда BE = 2а. Из ьАЕВ АВ = а 4$ .Из ШВА
tgMBA=y.7. 30°.
Таблица 10.22. 2. 30°. Решение. Из ьВАС (АА = 30°): ВС = 25, AD = =
= 12. Из &AOD sxnADO = 0,5, zLADO = 30°. 3. 60°. 4. 60°. Указание. Через
точку В в плоскости р провести прямую, параллельную прямой а, и из точки
А провести перпендикуляр АС на эту прямую. ВС = ВХА{ = 10. Из &АВС
25/3"
ЯС = Л1 . Далее из ^АА}С найти угол АА{С 5. arctg—у. Указание. Пусть
V— avj
3 , АВ = 2а, DE = -у . Из bCDE tgCED =
= —у. 6. arctg( 5/2 tga). Указание. Пусть МО = а, тогда ОС = actga,
aji г~
ОЕ = —— ctga . Из &ОМЕ tgMEO = V2 tga.
Таблица 10.23. 2.45°. 3. 168. 4. 1,5Q. Решение. Бдвс ~ Бдов + Sboc +
+ SAoc = 3SBMC cos60° = 1,5Q. 5.45°. 6.30°.
Таблица 10.24. 3. С(3;8;2). Решение. 75(1;4;-5), BC(x-2;y-4;z-7).
AD-ВС, откуда х = 3, у = 8, z = 2. 6. Доказательство. Л2?(-3;2;8),
ЯС(2;-5;2), ЛП(-2;1;-1). Так как АВ АС = AB AD = 0, то АВ 1 АС и
19
АВ ± AD, откуда прямая АВ перпендикулярна плоскости ADC. 7. •
8.1) V7 ; 2) >/з ; 3) 4. Указание. l)|a + £|= yl(a + b)2 = V? +t>2 +2аЬ =
= a|2 +|6|2 +2-| a|-| b\- cos 60° .8. - 4 - л/2 - . Указание, (а + с)(6 - с) =
= a b - а с + Ь с - с с = |a|-|^cos 120°- |a|-|4cos45° + 16|-|с|-cos 150°- |с|2 .
Стереометрия. И класс.
Таблица 11.1. 2. 120°. 3. 9. Решение. Через точку Ах в плоскости AtBtB
проведем прямую, перпендикулярную прямой MN, и отложим на ней
отрезок А{С = 5. Из дЛЛ,С АС = 7. Из дЛВС (ZC = 90°) АВ = 9.
66
Ответы, указания, решения
4. arcsin(smasinP). Решение. Пусть АВ = а. Из &АВС АС = -- . Из &ACD
sina
AC а АВ
(ZC = 90°) AD = ----- = ---------. Из &ADB sxnADB = ---- = sinasinp.
sina sinasinp AD
5. arccos |. Решение. Проведем прямую AE перпендикулярно ребру b.
&AES = &ADS (по гипотенузе и острому углу), откуда AD = АЕ.
&AOD = &AOE (по катету и гипотенузе), откуда ОЕ = OD, т.е. точка О
равноудалена от сторон Z(6c), откуда SO - биссектриса этого угла. Пусть
OD = а. Из &SOD SD = а>/з . Из &ASD AD = SD 7з = За. Из &AOD
cosADO = = -. 6. arccos—. Решение. &SAB = &SAC (по катету и
О А 3 4
острому углу), откуда SB = SC, АВ = АС. Пусть АВ=АС=а. Из &АВС ВС = а.
Из MBS (М = 90°) SB = аVI. Из &SBC cosBSC = — +—. ~а— = - .
4а2 4
Таблица 11.2. 1. 1) 108; 2) 148. 2. 8(3+10 7з). 3. 5. 4. 916. 5. ^57; 5.
6.4(54+55 >/з ). Указание. Провести А3В ± Л,Л2. Тогда AtB = = 9,
А2В - 5. Из Д (гЛ| = 90°)Л|Л3= 15.
Таблица 11.3. 1. 1) 60; 2) 78. 2. 1) 36; 2) 4(9+2 >/з ). 3. 1) 48; 2) 12(4+-Л).
4.1) 216^2 ; 2) 72(2+3>/2 ). 5. 1) 72-у/б; 2) 36(3+2 л/б). 6. 1) |а2 sin 2а ;
Г 2
2) —(3sin2a + V3cos а).
Таблица 11.4.1. 1) 1024; 2) 1536. Указание. Пусть А{А4 =а, тогда Л,Л3 =
= aj2 . Из а2+2а2 =768, а - 16. 2. 1) 4a2sinaVcos2a ;
2) 2a2sina(sina + 2 Vcos2a ). Указание. Из д Я1Л2Я4 Л1Л2 =asina, АХА4 =
= acosa. Из д Я| Ai А4 (АА} = 90°) А} Ay = Va2 cos2 a - a2 sin2 a =
= aVcos2a . 3. 384^3; 2) 576л/з. 4. 1) 6/2 sin у ^1 -4 sin21 ;
2) 2/2 siny(3^1-4sin2 j + VIsiny). Указание. Из д A^A2A3 : A^ =
= 2/siny. Из ДЛ^!^: А^ = ^/2-4/2 sin2| = Z^l-4sin2f .
67
Ответы, указания, решения
5. 1)-----z— ; 2) —----у—(sin2a+cos2a). Решение. Пусть А}А2 = а. Тогда
1 + cos2 a 1 + cos2 a
A,0 = A2O = —. Из &a'2A2O: А2О = . Из ьАгОАх (АО = 90°)
2 2cosa
/—\2 z r-
ay[2 I I av2
----1 I '
2 J I2cosa
_ 4^2/cosa
^бок I ~
Vl + COS'
6ft2 -sin^
6. 1) ----------*
2 V2Zcosa - • V2/sina
= I , a = z =•. Из Д Л2 A2O: A2 A2 ~
' \l + cos2a
л/2/sina _ 4/2 sin 2a _4Z2sin2a
2 j ^полн 2
1 + cos a 1 + cos a
;2 a >/l + cos2a
2/z2 sin у
1 + 4 sin2 у
==;2)
sin2 у
*1 + cos2 a
4/2 cos2 a
1 + cos2 a
1 + 4 sin2 у + >/з sinyj . Решение.
« a » 7 a
Пусть/4^2 = a. Из дЯ1Я2Л3: Я2Л3 =--- ИзлА3А2А2: a +-------=— = h\
2 sin у 4 sin у
2Asin~ а2л/з ai /—\
a = 2 . = 3ah, SnMH = 3ah + = - 6A + а4з).
^l + 4sin2| 2 2' /
Таблица 11.5. 1. 76. 2. 300. 3. 20(1+-Л). 4. 252. Указание. Z A3A3A4 = 90°
(по теореме о трех перпендикулярах), откуда А3А3А4А4 - прямоугольник.
5. 108(2+V? ). Решение. Через точку А} проведем прямую I, параллельную
AzAy А}С 11. Тогда по теореме о трех перпендикулярах А^А^ 1 I. Так как
|| -^з^З и ^2^3 II то Z_ ^3^43^2 = 90°, т.е. А3А3А2А2 ~
прямоугольник. Из лА^А^О А^О = б4з , откуда А}А3 = 18. Из &А\А}В
а[в = ТбЗ . = 2-18- -УбЗ + 1218 = 108(2+3 у/1 ). 6. 36(2+ 7з ). Решение.
Z Ai Л1Я2 = 90° (по теореме о трех перпендикулярах), откуда AiAi А2А3 -
прямоугольник. Из д AiAjO АуО = А\О = 3 41 . Тогда АХА4 = 6. Из д AiOB
А[В ~ Зл/З. AiB J_ АхА4 (по теореме о трех перпендикулярах), тогда
Sfc, = 2-6-3 >/з + 2-6-6 = 36(2+ 7з ).
Таблица 11.6. 1. 2 457 ; 10. 2. 4 7з (15 + 16-Ло ). 3. 426. Указание. Пусть
АА} = х, АО = у, АВ = z. Тогда х2 + у1 = 106, х2 + z2 = 169, у2 + z2 - 225.
Сложив три уравнения, получим 2(х2 + у2 + z2) = 500, х2 + у2 + z2 = 250,
откуда х2= 25, >^=81, z2= 144, AAi = 5, AD = 9, АВ= 12. 4. 2tfcosa(cosasinp +
+ 2sina). Решение. Из д/)С1С(2С= 90°) С}С= rfsina, CD = rfcosa. SaBCD =
68
Ответы, указания, решения
"d2 а
= flPcos2asinp. = 4J2cosasina. 5. ------------(sin2p + cos2 Pcos— ). Решение. Из
silly 2
bBBxD (ЛВ = 90°) BD = Jcosp, BXB = Jsinp. Из &ABD AB = -C°s|3 . SABCD =
2siny
<Z2COS2p . 1 ,2 2 O 2 a _ 4JcosB , . o <Z2sin2p
= —7T7Tsina = j cos2 Pc#2-. 8^ = - . a -t/srnp = . p.
4 sin2 у 2 2 2 sin у sin у
6. 26/2(sinp-Jcos2 a - sin2 P + sinasinp + sin a-Jcos2 a - sin2 p). Решение.
Из bBBxD BBX = Jsina, BD = Jcosa. Из bBxCxD BXCX = Jsinp. Из &ABD
(ZA = 90°) AB = yjd2 cos2 a-d2 sin2 p . SABCD = d2 sin P^cos2 a - sin2 P .
8^= 2d2 sina(sinP + д/cos2 a-sin2 P).
Таблица 11.7. 1. Указание. Через точку Р провести прямую, параллельную
KF, Она пересекает отрезок А2А2 в точке Л/. KMPF - искомое сечение.
2. Указание. Прямая KF пересекает прямую А^ в точке В. Прямая ВР
пересекает АХА3 в точке М. KPMF - искомое сечение. 3. Указание. Прямые
KF и КР пересекают прямые и А2АЪ в точках В и С соответственно.
Прямая ВС пересекает отрезки АХА4 и Я3/14 в точках D и Е соответственно.
KPEDF - искомое сечение. 4. Указание. Через точки К и Р проведем пря-
мую, пересекающую прямые А^ и А^А^ в точках В и А соответственно.
Через точки А и F проведем прямую, пересекающую прямые Л4Л3 и А[ А2
в точках М и С соответственно. Прямая ВС пересекает АХА2 и А2А2 в точках
N и Е соответственно. NEFMPK - искомое сечение.
Таблица 11.8. 1. 54. 2. 48. Указание. = $-ABCD , 3. 336. Указание. Из
cos60°
д5ОС ОС = 412 . Тогда CD = 12. Проведем SE 1 CD. Из д5ЕС SE = 8.
4. у(г74/>2-а2 +а4з) . Указание. Провести SK ± CD. Из &SCK
1 ГП у ЗТЗЛ2 cosa(l + cosa) тт т
SK = —у41г - а2, .5. --------у----------. Указание. Из kSOE ОЕ = Actga.
2 sin2 a
Из дЛВС АС = 2 7з ОЕ. . 6. 1 + J4ctg2a +11. Указание,
cosa 4 V '
69
Ответы, указания, решения
Из ДЛ5С АО = ОЕ = Из лЗОА SO = АО ctga. Из &SOE
3 6
SE = yjsO2 + ОЕ2 .
Таблица 11.9. 1. 8( -Л + Тб ). Указание. S*. = Sabcd . 2. 8(11+3 у/2 ). 3. 5.
cos45°
Указание. Т.к. SA = SB = SC, то ОА = ОВ = ОС, т.е. точка О - центр окруж-
ности, описанной около дАВС. Тогда АО = ———. 4. 3 41 . Решение. Из
2 sin 150°
ВС
kSAO АО = 4. Из лАВС по теореме синусов АО = R = -----------, откуда
2 sin ВАС
sinBAC = —. Тогда cosBAC = . Из kABD AD = ABcosBAD =
4 4 2
AC = 2AD =3>/7. 5. 39(1+71). Указание. ОЕ = г = 0,5 4АВ CD = 3.
2 . ~ 2 3
Sa urn а Sin 2a COS
$о = ое=з. sabcd = (9+4)3 = 39. 6. ------——±.
cos45° 2cosp
1 2 1 9
Указание. Из дАВС AC = acosa. §ДВС = ~a cosasina = —a sin2a . Так
как О - точка пересечения биссектрис дАВС, то точка О - центр
окружности, вписанной в дАВС. Тогда S6oK = ,
cosp
Таблица 11.10. 1. 252. Указание. Провести SD ± СВ. Из дАОВ AD = 12, из
&SADSA = 15. 2. 18(3+3 7з+7б). Указание. Из лАВС АС = 6 7з , АВ = 12.
Из &SAC SA = 6л/з, CS = 6 Тб. ASCB = 90° (по теореме о трех
перпендикулярах). 3. 48(1+Тз). 4. 36(3+2 л/З). Указание. Из &АВС
АВ= 12 7з . Из &ACD AD = JCsin60° = 6 yfi . Из &SAD SA = 6, CD = 12.
5.18(3+3 >/з + Тб). Решение. Пусть SA = а, тогда АВ = CD - a, SD = 2а. Из
&SDC (AD = 90°) 4a2 + а1 = 36-5, а = 6. SA = АВ = f>, AD = б^З , SB = f>-j2 ,
SD = 12. Sn<M1H = 36yfi + 18у[з + 36 + 18>/б + 18 = 54у[з + 18^6 + 54.
6. P(cos2a + 0,5sin2a + cosa V- cos 2a ). Решение. Из &SCB (AB = 90°)
SB = /sina, BC = /cosa. Из &SAB SA = yjsB2 - AB2 = I yjsin2 a - cos2 a =
= I J- cos2a . SnonH= /2cos2a + O.Sfsinacosa + O^fsinacosa +
+ O.SfV- cos2a cosa + 0,5Pj-cos2a cosa. Замечание. Так как SB > AB,
AB = ВС, to SB > ВС. Из &SBC (AB = 90°) tga>l, откуда a>45°, 2a>90°, и
-cos2a>0.
70
Ответы, указания, решения
Таблица 11.11. 1. 10(29+7бТ). Указание. Из д5ОС SO = 12. Проведем
ОЕ ± АВ. Из bSOE SE = 2 >/бТ. Z.SDA = Z.SCB = 90° (по теореме о трех
перпендикулярах). 2. 24(1+2 >/з). Указание. Из &SOD OD = 2 . Из &OCD
(ZD = 90°, ZC = 60°) ОС = 4, откуда АС = 8. SABC = 16 >/з . S^c = $SAB-
&ОВС - ортогональная проекция hSBC на плоскость АВС. Тогда &SAB +
+ Ssbc= -S-Co =1бТз -2 = 32л/з ,S^SC = 24. 3. 36(4+27з + 41 +V15).
cos60°
Указание. Из ьАВС АВ = 24, ВС = 12 4з . АО = ОВ = 12. Из bSOB SO = 12,
SB = 12 V2 . Проведем SD 1 ВС nSE 1 АС. ТогдаDnE - середины сторон
ВС и АС соответственно. Из KSDB SD = ^SB2 - DB2 = 6 V5 . Из &SEC
SE = b41 . 4.14\/23. 5. 5>/з+18>/2. 6. 99 7з. Указание. Проведем
СЕ ± АХВ. СЕ - высота усеченной пирамиды. BE = - r2 = 2 >/з - 7з = 7з ,
где гх и г2 - радиусы окружностей, вписанных в Д/^Л^з и д А^А2А^
соответственно. Из &СВЕ СВ = 2. СВ - высота боковой грани усеченной
пирамиды.
Таблица 11.12.1. Указание. Т.к. РМ || АВ, то плоскость сечения пересекает
плоскость АВС по прямой КЕ, параллельной АВ. 2. Указание. Провести
прямую МК до пересечения с прямой АС (точка D). Прямая DP пересекает
АВ в точке Е. РКМЕ - искомое сечение. 3. Указание. Провести прямую МР
до пересечения с прямой DC (точка F). Прямая FK пересекает прямые AD и
ВС в точках Е и Т соответственно. Прямая ТМ пересекает прямую SB в
точке N. KNMPE - искомое сечение. 4. Указание. Проведем прямые КР и
МК jhq пересечения с прямыми CD и AD в точках Е и F соответственно.
Прямая EF пересекает прямую ВС в точке Г. Прямая ТР пересекает прямую
SB в точке L. MKPL - искомое сечение.
Таблица 11.13. 2. 18 V6. Указание. Из &ОЕОХ ОЕ = 3<2 . Из ьСОЕ
СЕ = з4б . DC = 2СЕ = 6>/б. 3. 3. Указание. Искомое расстояние равно
Zsin у
sin у
ZJsin2y-sin2y
длине перпендикуляра ОЕ к отрезку CD. 4. -------------
sin у
Решение. Проведем ОХЕ ± CD. Из &OXDE DE = Zsin . Из bODE (ZD = 90°)
J . В 1____________
Z Sin I , ТТ
OD = R = ----------Из *OXOD ООХ = h = ----------------Jsin2 ^-sin2 £ .
sin у siny v 1
71
Ответы, указания, решения
5.47?2sin2 у tgp. Решение. Из bCxOxDx CXDX = 2Z?siny. Из \CDXD (Z.D = 90°)
DDX = CDtgp = 2Z?sin|-tgp. ScciDiD = 4tf2siiAgp. 6. 2</2ctgactgP .
2 2 1 + 4ctg2 actg2 p
Решение. Пусть OO} = а. Из &OOXE OE = actga. Из kOCE CE = O£ctgp. CD =
»2
2CE = 2actgactgp. Из &CC}D a2 + 4a2ctg2actg2p = d2. a2 = --------5-----—.
1 + 4 ctg2 a ctg2 P
о о 2 x n 2</2ctgactgP
ScCiDxD = 2a2ctgactgp =--------f.
l + 4ctg actg p
Таблица 11.14. 2. 25я. 3. 45°. Решение. Из kCOE ОЕ = Зу/з. Из kSOE
\gSE0=\, ASEO = 45°. 4. 9 V15. Решение. Из ьАВС (АА = 90°) СВ = 12,
тогда ОС = 6. Из д50С SC = 12. Проведем SE 1 АС. Из kSEC
2 . 2
ES = у) SC2-ЕС2 =lJi5.SASc = 9V15.5. h S1"a . 6. —----------.
2 sin2 P 2 sin 2a
Таблица 11.15.1. IsinasinP; I ^/1-sin2 a sin2 P . Решение. Из tiSBD (ZD=90Q)
SB = Zsina. Из bSOD SO = Zsinasinp. Из ASOC ОС = у SC2 - SO2 .
2. 2a2fga . Решение. Из &ODE OE = —. Из bSOE SE =----------------- =
sinpsin2P sinp sin p cos p
2
= Из дСО£ СЕ = OEtga = SbsC == ,2» Q
sin2p sinp smPsin2p
7 • P
Tisin^
3. —r ---. Решение. Пусть SB =л. Из kSBD SD = xcosa, BD = xsina.
/ . 2 P• 2
Jsin j-sin a
Из kOBD (ZD=90°) OD = BDctg = xsinactg . Из &SOD x2sin2actg2 + h2 =
= x2cos2a, откудаx = .... =
cos2 a - sin2 a ctg2 j 11- sin2 a(l + ctg2
7. • P
Asin^ f- r
= —р 2----. 4. 30; 6V3 . Указание. Провести BXC 1 OB. 5. 108 V3 .
. 2 P • 2
J sin у -sin a
Решение. Проведем BtD ± ВС. Из &BXDB B{D = 6 7з , DB = 6. Тогда CD = 18.
72
Ответы, указания, решения
ScCiBiB = CD • BXD = 108 >/з . 6. 0,5m2sin2a. Проведем BXD 1 ВС. Из &CBXD
BXD = mcosa, CD = msina. ScC\B\B = CD • BXD = m2sinacosa = 0,5m2sin2a.
Таблица 11.16. 1. 144л. 3. 0S- . Решение. Из &AOB AO = ———. Из
sin у 2 sin у
mcosa л л
kAOxO АОХ = --------. 4. 4. Указание. Радиус г окружности, вписанной в
2 sin у
&АВС (/.В = 90°) находится по формуле: г = . 5. 5 >/26 .
Указание. Из &АВС ОХС = . 6. Jr2-----. Указание. Из
4$ АВС V 4 sin2 a
дАВС ОХА = .
2 sin a
Таблица 11.17. 1. -------. Решение. Проведем биссектрису DOt угла SDO
1 + cosa
(точка О, лежит на SO). Тогда 00 { - радиус шара, вписанного в пирамиду.
т a msiny
Из &OMD OD = -—. Из &OO}D OXD = О Dig- =-------------Ц— =
sin a 2 2 sin | cos2 y
= ———. 2. 3. Решение. SO - медиана равнобедренного zvlSC, откуда
1 + cosa
SO 1 AC. Аналогично, SO ± BD. Значит, SO - высота пирамиды. Из bOCD
(ОС = OD = 6) ОЕ = 3 VI. Проведем ЕОХ - биссектрису угла SEO (точка Ох
лежит на SO). Тогда Ох - центр вписанного шара. Из дС^ОЕ ООХ =
= (9£tg30°= 3. 3. 2>/7 . Решение. Из ьАВС МВ = = 2т/з. Центр
описанного шара - точка Ох - середина отрезка ММХ. ОХМ = 4. Из ьОхМВ
S
о 1 > Ь с
Si Рис.З.
ОХВ = yjo^2 + МВ2 = 2 V? . 4. 4. Решение. Продлим
высоту SO пирамиды до пересечения с поверхностью
шара (точка Тогда - диаметр шара, откуда Z.SCS{ =
= 90° (рис.3). Из aSOC SC = 4V3. Из &SCSX SSt = 8.
5. ———. Указание. Из &АВС ОВ = Продлим
3sin2a 3 н
высоту SO пирамиды до пересечения с поверхностью
шара (точка S^). Тогда SSt - диаметр шара. 6. юТз.
Решение. ОС = 12^2 . Из &SOE SO = C*£tg60° = 12 Vi. Рассмотрим aSCS(
73
Ответы, указания, решения
(рис.З), SS, - диаметр шара. ОС1 = SO OSX, тогда S,0 = 8 >/з , а 5^ = 8 7з +
+ 12>/з =2Ол/з .
Таблица 11.18. 1. 250^3 . Решение. Из &BBXD ВВХ = BD = 10. Из bBCD
CD = 5,BD = 5jl. К = 5-5 >/з 10 = 250 V3 . 2. 144>/з . Решение. Из ьААхС
АС = б4з ,АА, = 6. Из bBB'D BD = /^D2 “ вв\2 = 8-ABCD ~ ромб. Тогда
$ABCD = 0,5-ACBD = 24-Уз. V = 24 >/з-6 = 144 >/з . 3. 48>/з.
. a3 sin2 у sina sinp cosy _ „
4. ---------7-----г------. Решение. Из &АА}С АА} = acosy, АС = asiny. Из
sin(a + Р)
АС ВС a sin a sin у п
^ВС —-------ZT = — > откуда ВС = -----г- . Sabcd = 2$АВС =
sin(a + Р) sm a sin(a + Р)
„ . о a2 sin2 у sinasinp rz a3 sin2 у sinasinpcosy
= В С-Л С-Sinp = --------7----г---, И = --------7------г------.
sin(a + Р) sin(a + Р)
5. tfcosacosP ylsin2 а - cos2 Р . Указание. Из ^AB{D AD = Jcosa, АВ} = Jsina.
Из bDBxC CD = rfcosp. Из дЛВВ, BBX = \АВ2 - АВ2 = d/s'm2 а - cos2 Р .
6. a3sin2acosa.
Таблица 11.19.1. 840. 2. 96 >/з 3. 80. Указание. Т.к. А^А2 = А^, то
ЛА2А]А3= Z.A2AiAl = 2Яу4|Я4 = 30°. Тогда ZA2AiA4 = 60°. Из лА}А3А4 = А1А4 =
г 2
= 2 УЗ , Ау44 = 2. Проведем А2В 1А}А4. Из &А{А2В АХВ = , тогда =
УЗ
/“2 4 г~ г~
= 2 у!3----= —т= . 4. aftcsina. 5. 180 у2.6. 3 уЗ a3cos2asina. Решение. Из
V3 уз
ьА^ВО OB = flcosa, А^О = asina. Тогда А}А2 = 2>/3acosa,
rz 12a2 cos2 a-л/з о /Т з 2 •
V =---------------a sin a = 3 у 3 a cos asina.
4
Таблица 11.20. 1. 180 VJ . Указание. A=
12V3
J3
= 12. 2. 48 >/з . Указание.
Из дЯ,Л2В АХВ = V102 -62 = 8. Тогда SAlA2A3 = 48, ОВ = 102^12 = 3. Из
&SOB SO = 3 у[з . 3. 54. Указание. О - центр окружности, описанной около
6 Г- 1 3
ьА'АЛу Тогда А}О = ---------- = 6, SO = 6V3. 4. sin2asinatgP.
2 sin Ж 6
Указание. Из ОА3 = acosa, из &ОА3В OB = acosasina = jasin2a.
74
Ответы, указания, решения
Тогда SO = yasin2atgp. 5. yZ3 sinysiny^fcos2 y-sin2 у . Указание. Из
&SAyA4 AyA4 = 2Zsiny, из A/4j&44 AtA4 = 2Zsiny. Тогда ОА3 =
= Z^sin2y- + sin2y . Из д£ОЯ3 SO = Z^ cos2 у-sin2 у . 6. |a3sin2atgP.
Указание. Проведем А4С ± АХА2. А4С = asina, тогда OB = 0,5asina,
SO = 0,5asinatgP. = a2sina.
Таблица 11.21. 1. 3 л/б . 2. 36^2 . Указание. Из AXS = 6. Из ьА^А^
АХА6 = = 2л/з. Из &AXSO SO = 2 \/б . 3. |/z3ctgactgpsiny.
л 9 sin2pctga\/sin2a-sin2p тт ,
4. % г-----------------------. Решение. Из &SA}O AiO = lcos^,
J sina
SO = Zsinp. Из &SOA3 OA3 = Zsinpctga, SA3 = . Из aA}SA4 (Z^4 = 90°)
sina
J. 2
1- Jsin2 a - sin2 P . V= -.-V— Jsin2a-sin2p x
sin2a sina 3 sina
. « , . „ 2 ,3 sin2pctgaJsin2a-sin2p 1
x 2Zsinp • ctga • ZsrnP = —Z ----*-------------.5. -I x
3 sina 3
(z2cos2p-a2)tgasinp. Решение. Из &SA2O SO = Zsinp, OA2 = Zcosp, тогда
AiA2 = 2Zcosp. Проведем A4B 1 AXA2. Из &AXBA4 A4B = (Zcosp- a)tga .
V= | (Zcosp + a)(Zcosp - a) • tga-ZsinP
Z2 cos2 P - a2 ) tg a sin p
6. |-m3 tga tgP. Решение. Т.к. SA, = SA2 = SA3i to OAj = OA2 = OA3t откуда О
- центр окружности, описанной около ьА^^ и = 90°. ОВ -
средняя линия треугольника, тогда А ХА2 = 2т, A^A3 = 2mtga. Из ^SOB
11 2
SO = zntgp. V = - • — 4m2tga- mtgP = — m3tgatgp.
Таблица 11.22.1. j~a3ctga. Решение. AXO= . Из &A}SO SO = -^= ctga.
1 2 Vs a x a3 ctga _ 4 h3 cos2 a _ _
V = -a-------~r= ctga = -----. 2.-----------------. Решение. Пусть
3 4 7з 12 3 cos2a
AyA4=a. Проведем SB ± Яу44. Из Л^А4В SB = 0,5atga. Из &SOB
75
Ответы, указания, решения
,2 а1 1 2 2 2/icosa rz i 4/i3cos2a o
h +^ = -^<1 tg a, откуда a = , — —•. V - 4--------------. Замечание.
4 4 V- cos 2a 3 -cos 2a
Поскольку Z/44£43 < ZA4OAi9 to ZA4SA3 < 90°, тогда a > 45° и cos2a < 0.
„ /3vl2 +3tg2 a tga a a
3. —!----------r---. Решение. Пусть AXA^ = а, тогда OB =—AO = —?= .
(4 + tg2«)2 Л
Из &SOB SO= —^=tga. Из aSOA, —a2 tg2 a+ -a2 =/2 , откуда
2V3 12 3
a = г-. И = - • a = a .4. 126 т/з . Решение. Пусть
3 4 2VJ 24
О и О, - центры нижнего и верхнего оснований усеченной пирамиды со-
ответственно. Проведем А\С .LA^B. АХС = R ~ R{ = 4 4з - 2 >/з = 2 \/з , где
R и R{ - радиусы окружностей, описанных около нижнего и верхнего осно-
ваний соответственно. Из дЛ , А{ С АХС = 6. V =
-6(36>/3 +9 л/3 +18 >/з ) =
= 126 >/з . 5. - 7sina(3a2 + 6a/cosa + 412cos2a). Решение. Проведем ВХС L ОВ.
Из ьВ^ВСВ{С = /sina, ВС= /cosa, AtA4 = а + 2Zcosa. К= j /sinax
(2 2 \ 1
a2 +(a + 2/cosa) +a(a + 2/cosa)j = -• /sina(3a2 + 6a/cosa + 4/2cos2a).
6. —(а3 - b3)tga. Решение. Проведем BXC ± А2В. ВС = г - где г и г} -
24
радиусы окружностей, вписанных в нижнее и верхнее основания усеченной
(а- Ь)>/з (а-Ь)у/з
пирамиды соответственно. ВС= ---------—. Из д£2?]С2?1С= -----—tga. V
6 6
= ±(a_6)^tgaf^3+^ + ^ = ±(^3)
18 V ’ 6 V 4 4 4 J 24 \ >
Таблица 11.23. 1. 64>/з л; 32Л л. 2. 9000л; 600-Узл.
, 3200-УЗ
3. --------л
3
71 • 4. л f (sin2 Р cos2 a + cos2 0 j sinasin0; 2 л/2 sinasin0x
x у sin2 P cos2 a + cos2 p . 5. Q,5nQ yl2Qctga ; 2л£). Указание. CD = 2R, тогда
из &CDtD DXD = 2/Jtga. 4#2tga = Q, откуда R = ^Q,5Qctga , DDt =H=
76
Ответы, указания, решения
= ^2Qtga 6. 2 V2 7ta3tga; 4na2tga. Указание. Т.к. CD - диаметр, то
^CAD = 90°.
Таблица 11.24. 1. 24 л ; 8 л/з л . 2. - л/3 cos2asina; л ^cosa. 3. 720 л;
3
36 VST л. Указание. ~ &ASO. 4. 5. я •
3-V3 3 3
7л/37 л . 6. 1) 32л/з л; 24 >/5 л; 2) 36л; 18-^5 л. Указание. 2) Пусть
SO = Л, тогда из &SOD OD = h,SD = hJl .Из bCOD (ZD = 90°) ОС = 2OD =
= 2h>CD = h43 .Из &SDB 3h2 + 2 h2 = 45, h = 3.
ла3 J sin2 у - sin2 у
Таблица 11.25. 1. ------------; ------------у . Указание. Из \СОВ
o,bJa,;nP • Р
a a aJsin2|-sin2|
ОВ = —-—. Из &SCB SB = -----5-. Из &SOB SO = -*--------
2siny 2sin^ 2sinysin^
/ \ 2 I---------- I----------------
2. 4^3(sin2y + sin2y1 */cos—y^-cos—; л/2 Jsin2 у+ sin2 у . Указание.
~ ла3\3-4со82а
ADCB = 90°. 3. -—,=------
18<3 cosa
SC = a . Из &SOC SO =
2 cosa
n-a-^- . Указание. ОС = — . Из л£5С
b cosa 3
a1
4 cos2 a
1 9
a 3-4cos a
2cosa V 3
784л/3л
3 ’
128л. Указание. Проведем BfClOB. СВ = 4. Из &ВХСВ
В,С = 4 7з , В,В = 8. 5. 63 >/з л ; 54 л . Указание. Из дСВ.В СВ = 12, СВ, =
- 6 >/з . Проведем B,D ± ВС. Из &BB,D BD = 3, B,D = 3 >/з . В,О, =6-3 = 3.
6. (з sin2 р cos2 a + sin2 a cos2 p); л fsinPctga. Указание. Из &CB}B
12 sin2 a ' '
QC = s^n(a + P) , тогда og = /sin(a + p) пр0Ведем S D Из
sina 2sina
/sin(a + B) /sin(p-a)
В J) = /sinp, BD = Zcosp, тогда OXBX =-*---- ZcosP =-----------L .
2sina^ 2 sin a
77
Ответы, указания, решения
Таблица 11.26. 1. 256 V3 л ; 192 л . 2. 32 4з п ; 48 и . Указание. Из ьАВС
ОХВ = = 7з. 3. л ; 100л. Указание. OD = ----------^ЛВС-----
1 у/з 3 яв + вс+яс
4. 1984 л . 208 л . 5. 964-^ л ; 220 л . Указание. Объем шарового кольца
найдем как разность объема шара и суммы объемов двух шаровых
сегментов, высоты которых равны 6 и 3. Аналогично находится площадь
сферической части шарового кольца. 6. 1734 л ; 306 л .
78
Оглавление
Предисловие...............................................3
Повторение курса планиметрии..............................5
Таблица 1. Решение треугольников..........................5
Таблица 2. Площадь треугольника...........................6
Таблица 3. Площадь четырехугольника.......................7
Таблица 4. Площадь четырехугольника.......................8
Стереометрия. 10 класс....................................9
Таблица ЮЛ. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия ... 9
Таблица 10.2. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия . 10
Таблица 10.3. Параллельность прямых в пространстве.
Скрещивающиеся прямые.......................11
Таблица 10.4. Параллельность прямых и плоскостей.........12
Таблица 10.5. Признак параллельности плоскостей..........13
Таблица 10.6. Свойства параллельных плоскостей...........14
Таблица 10.7. Изображение пространственных фигур на плоскости 15
Таблица 10.8. Изображение пространственных фигур на плоскости 16
Таблица 10.9. Перпендикулярность прямой и плоскости......17
Таблица 10.10. Перпендикулярность прямой и плоскости.....18
Таблица 10.11. Перпендикуляр и наклонная.................19
Таблица 10.12. Перпендикуляр и наклонная.................20
Таблица 10.13. Теорема о трех перпендикулярах............21
Таблица 10.14. Теорема о трех перпендикулярах............22
Таблица 10.15. Теорема о трех перпендикулярах............23
Таблица 10.16. Перпендикулярность плоскостей.............24
Таблица 10.17. Перпендикулярность плоскостей.............25
Таблица 10.18. Расстояние между скрещивающимися прямыми..26
Таблица 10.19. Декартовы координаты в пространстве.......27
Таблица 10.20. Угол между скрещивающимися прямыми........28
Таблица 10.21. Угол между прямой и плоскостью............29
Таблица 10.22. Угол между плоскостями....................30
Таблица 10.23. Площадь ортогональной проекции многоугольника 31
Таблица 10.24. Векторы в пространстве....................32
Стереометрия. 11 класс...................................33
Таблица 11.1. Двугранный угол. Трехгранный угол..........33
Таблица 11.2. Прямая призма..............................34
Таблица 11.3. Правильная призма..........................35
Таблица 11.4. Правильная призма..........................36
Таблица 11.5. Наклонная призма...........................37
Таблица 11.6. Параллелепипед.............................38
79
Таблица 11.7. Построение сечений призмы.................39
Таблица 11.8. Правильная пирамида.........................40
Таблица 11.9. Пирамида....................................41
Таблица 11.10. Пирамида.................................42
Таблица 11.11. Пирамида. Усеченная пирамида.............43
Таблица 11.12. Построение сечений пирамиды..............44
Таблица 11.13. Цилиндр..................................45
Таблица 11.14. Конус....................................46
Таблица 11.15. Конус. Усеченный конус...................47
Таблица 11.16. Шар......................................48
Таблица 11.17. Вписанный и описанный шар................49
Таблица 11.18. Объем параллелепипеда....................50
Таблица 11.19. Объем призмы.............................51
Таблица 11.20. Объем пирамиды...........................52
Таблица 11.21. Объем пирамиды...........................53
Таблица 11.22. Объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды...54
Таблица 11.23. Объем и площадь боковой поверхности цилиндра ..55
Таблица 11.24. Объем и площадь боковой поверхности конуса.56
Таблица 11.25. Объем конуса. Объем усеченного конуса. Площадь
боковой поверхности конуса. Площадь боковой
поверхности усеченного конуса............................57
Таблица 11.26. Объем шара. Площадь поверхности шара.....58
Ответы, указания, решения............................. 59