Серия учебной и познавательной литературы "Магистр"
ЗАДАЧИ К УРОКАМ
ГЕОМЕТРИИ «7-11 кл.
Мир и Семья-95, Интерлайн. С-Петербург, 1998

В.ГЗИВ
ЗАДАЧИ
К УРОКАМ
ГЕОМЕТРИИ
7-11 КЛАССЫ
Рекомендовано
Главным управлением развития
общего среднего образования
Министерства образования
Российской Федерации
Издание 5-е,
исправленное
НПО "МИР И СЕМЬЯ-95"
Санкт-Петербург
1998
ISBN 5-87445-056-4
ЗИВ Б.Г.
3-59 Задачи к урокам геометрии. 7-11 классы. — С.-Петербург, 1998.
НПО «Мир и семья-95» — 624 с.: илл.
Книга известного петербургского математика, методиста и педагога Бориса Герма-
новича Зива составлена на основе весьма популярных дидактических материалов,
изданный ранее издательством «Просвещение», но со значительными доработками и
изменениями. Также в рамках этой книги впервые публикуются дидактические материлы
по курсу геометрии 11 класса.
Охраняется Закопан РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой
ее части запрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения
закона будут преследоваться в судебном порядке.
Издание подготовлено в НПО «МИР И СЕМЬЯ-95»
(С.-Петербург, ул. Уральская 17, т. 3501774, 3502721 /доб.244/)
Редакторы:
Татьяна Ильинична Клименко, завуч 196 средней школы Санкт-Петербурга
Анна Семеновна Пивоварова, учитель математики 526 школы Санкт-Петербурга
Александр Витальевич Сычев, учитель математики 196 школы Санкт-Петербурга
Компьютерный набор: Екатерина Пеняева
Компьютерная верстка: Ирина Константинова, Ирина Межебурская
Художник: Игорь Хойхин
Ответственный за подготовку издания: Александр Полуда
Ответственный за выпуск: Наталия Емельянова
Ответственная за распространение: Елена Михайлова
© НПО «МИР И СЕМЬЯ-95», текст, оригинал-макет, иллюстрации, 1995 г.
© Гольдич В., предисловие, 1995 г.
В оформлении книги использована гравюра
Альбрехта Дюрера «Меланхолия»
По вопросам оптовых продаж обращаться в
О.О.О. ’’Книжный Дом ЛОКУС”
125212 г. Москва, Ленинградское шоссе, д. 58.
т/ф. (095) 452-07-72, 459-90-39
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вы держите в руках уникальную книгу. Если Вы начинающий учи-
тель математики, немедленно вынимайте деньги, остальную часть
предисловия прочитаете дома, в спокойной обстановке. Впрочем,
опытный преподаватель и вовсе не станет читать предисловие — фа-
милия Автора, стоящая на обложке, является абсолютной гарантией
качества. Если же — и тут Вам можно только посочувствовать — Вы не
являетесь учителем, или не привыкли доверять рекламным заверени-
ям, читайте дальше.
Данный сборник содержит полный набор задач для уроков и конт-
рольных заданий по всему курсу геометрии с 7 по 11 классы по учебни-
ку Атанасяна — самому распространенному сейчас в России. Кроме то-
го, здесь Вы найдете диктанты, обширные работы на повторение и даже
задачи олимпиадного характера. Все контрольные задания — Автор
представил по четыре варианта каждого — имеют одинаковый уровень
сложности, рассчитанный на проверку усвоения пройденного материа-
ла средним учеником. Совсем иное дело задачи к уроку — тут Вы пол-
учите истинное удовольствие. Охвачены все темы курса — в строгом
соответствии с действующим учебником. Варианты 1 и 2 рассчитаны
на совсем слабого ученика — это минимальный уровень, за который
можно поставить «три». Варианты 3 и 4 — базовый уровень, короче —
«четверка». Варианты 5 и 6 достаточно сложны — их следует предла-
гать наиболее способным учащимся. Варианты 7 и 8 вполне можно ис-
пользовать для кружковой работы — попробуйте решить их сами и, ес-
ли Вам будет сопутствовать успех, гарантирую, Вы получите истинное
эстетическое удовольствие. Если же какая-то задача и не поддается, не
расстраивайтесь — решения, которые приводит Автор, изложены на-
столько четко, что Вы легко в них разберетесь. Таким образом, если
Вы станете счастливым обладателем этой Книги, Вам не потребуется
перерывать десятки решебников в поисках подходящей задачи — из-
бавьтесь от них, не захламляйте свой дом, у Вас теперь есть все, что
необходимо для того, чтобы научиться или научить решать любые за-
дачи по геометрии.
учитель-методист физико-математического лицея № 366
Санкт-Петербурга
Владимир Гольдич
3
ОТ АВТОРА
Основная цель данной книги — помочь учителям организовать рабо-
ту с учащимися по решению геометрических задач в классе и дома с
учетом их индивидуальных особенностей и уровня подготовки. Книга
состоит из 5 глав, каждая из которых содержит необходимый задачный
материал по курсу 7—11 классов. Каждая глава содержит следующие
разделы:
1.	Задачи для работы на уроке и дома, сгруппированные по четырем
уровням сложности от простейших до достаточно сложных, которые
можно использовать и для работы в классах с углубленным изучением
математики.
2.	Контрольные задания в четырех вариантах, составленные из на-
иболее типичных задач соответствующих тем (звездочками отмечены
дополнительные задачи для наиболее сильных учеников).
3.	Устные задачи ко всем основным темам курса.
4.	Работы на повторение, в том числе и для подготовки к экзаме-
нам в 9 и 11 классах.
В конце книги приведены ответы, даны указания к задачам, могу-
щим вызвать затруднения, и помещены решения наиболее сложных
задач.
Книга ориентирована на изучение геометрии по учебникам геомет-
рии 7—9 и 10—11 классов под редакцией Л. С. Атанасяна, но может с
успехом использоваться и при работе по другим учебникам. Книга мо-
жет быть полезна и учащимся для их самостоятельной работы дома.
При составлении материала для 7-х и 8-х классов непосредственное
участие принимал нижегородский учитель Вениамин Михайлович
Мейлер.
Автор выражает искреннюю благодарность методисту С.-Петербург-
ского Университета педагогического мастерства Владимиру Борисови-
чу Некрасову за труд прочтения всей рукописи и за весьма ценные за-
мечания и советы.
Автор благодарит всех редакторов книги и сотрудников издательства
«МИР И СЕМЬЯ—95», в особенности Ирину Константинову, Екате-
рину Пеняеву и Наталью Емельянову, которые в необычайно корот-
кий срок подготовили эту книгу к изданию.
4
7 КЛАСС
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф	Тема
1	Прямая и отрезок
2	Луч и угол
3	Сравнение отрезков и углов
4	Измерение отрезков и углов
5	Перпендикулярные прямые, смежные и вертикальные углы
6	Треугольник
7 8	Первый признак равенства треугольников Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Свойства равнобедренного треугольника
9 10*	Второй и третий признаки равенства треугольников Равенство треугольников
11	Окружность
12	Построение циркулем и линейкой
13	Признаки параллельности двух прямых
14	Практические способы построения параллельных прямых. Аксиома па- раллельных прямых и следствия из нее
15	Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секу- щей. (Свойства параллельных прямых)
16 17	Параллельные прямые Теорема о сумме углов треугольника. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
18	Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
19	Неравенство треугольника
20	Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник с углом в 30е.
21	Признаки равенства прямоугольных треугольников
22	Перпендикуляр и наклонная. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми
23*	Множество точек, равноудаленных от данной прямой
24	Построение треугольника по трем элементам
25*	Более сложные случаи построения треугольников
26	Итоговое повторение
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики
6
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Прямая и отрезок
1.	(Рис. 1)
1.	Пересекаются ли отрезки АВ и CD?
2.	Пересекаются ли прямые АВ и CD?
3.	Отметьте точку М так, чтобы она
лежала на прямой CD, но не лежала
ни на отрезке АВ, ни на отрезке CD.
4.	Отметьте точку N, которая лежит
на прямой CD между точками А и В.
Как вы назовете такую точку?
2.	(Рис. 2)
1.	Пересекает ли прямая KL отрезок ЕЕ!
2.	Пересекает ли прямая KL прямую
ЕЕ!
3.	Отметьте точку А, которая лежит на
прямой EF, но не лежит на прямой
KL.
4.	Существуют ли точки, которые одно-
временно лежат на отрезке EF и пря-
мой UC!
3. (Рис. 3)
1. Сколько существует различных от-
резков с концами в точках А, В, С и
D.
2. Пересекаются ли прямые АВ и CD?
3. Какая из точек, А или D, лежит меж-
ду точками В и С?
4. Отметьте точку М, которая лежит на
прямой AD, но не лежит на отрезке
ВС.
Рис. 3
5. Проведите прямую, проходящую через точку Е, которая пересекает
прямые АВ и ВС, но не пересекает отрезок AD.
7
4. (Рис. 4)
1.	Сколько существует различных от-
резков с концами в точках £, F, М и
7V?
2.	Пересекаются ли прямые EN и FM?
3.	Какая из точек, А или N, лежит меж-
ду точками ЕнП
4.	Отметьте точку В, которая лежит на
отрезке MN, но не лежит на прямой
EF.
5.	Проведите прямую, проходящую че-
рез точку Л, которая пересекает пря-
мые EF и MN, но не пересекает отре-
зок FM.
5.
1. Начертите две пересекающиеся прямые и
расположите на них два отрезка, не имею-
щие общих точек.
2. Сколько точек надо взять между точками А и
В, чтобы вместе с отрезком АВ получилось
шесть различных отрезков?
3. Даны отрезок АВ, точка Е, не лежащая на
прямой АВ, и точка С, лежащая на прямой
АВ. Каково взаимное положение прямой ЕС
и отрезка АВ?
4. Можно ли провести прямую, не проходящую
через точку А, так, чтобы она пересекла од-
новременно прямые АВ, АС и AD (рис. 5).
8
6.
1.	Начертите две пересекающиеся прямые и расположите на них два
непересекающихся отрезка так, чтобы точка пересечения прямых
принадлежала одному из них.
2.	Проведите прямую, которая пересекает некоторые из указанных на
рисунке 6 отрезков, так, чтобы вместе с данными отрезками образо-
валось шесть отрезков.
3.	Дана прямая EF, А £ EF, В £ EF. Может ли прямая АВ не пересе-
кать отрезок EF!
4.	Может ли прямая, не проходящая через точку О, одновременно пе-
ресекать прямые ОЛ, ОВ, ОС и OD (рис. 7)?
7.
1. Сколько различных прямых можно
провести через четыре точки? Сде-
лайте чертежи.
2. По рисунку 8 определите число от-
резков с концами в обозначенных
точках.
9
8.
1. Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно пересекаю-
щиеся прямые? Для каждого случая сделайте рисунок.
2. По рисунку 9 определите число отрезков с концами в обозначенных
точках.
10
8 2. Луч и угол.
1. 1) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 10?
2) Сколько углов изображено на этом рисунке?
3) Постройте луч ОМ так, чтобы угол АОМ был развернутым.
2. Начертите угол. Отметьте точку Af, которая лежит на стороне угла,
точку N, лежащую во внутренней области угла, и точку Ё, принад-
лежащую его внешней области.
Рис. ю
2.
1. 1) Сколько лучей с началом в точке О изображено на рисунке 11?
2) Сколько углов изображено на этом рисунке?
3) Начертите луч ОА так, чтобы угол AON был развернутым.
2. Начертите угол. Изобразите отрезок: а) все точки которого лежат во
внутренней области угла; б) все точки которого лежат во внешней
области угла; в) часть точек которого лежит во внутренней области
угла.
11
3.
1. 1) Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображе-
но на рисунке 12?
2) Проведите лучи с началом в точке В, один из которых пересекал
бы луч АС, а другой не пересекал бы его.
2. Даны угол MEF и точка А, лежащая в его внутренней области
(рис. 13). Проведите луч с началом в точке Е так, чтобы образова-
лись два угла, такие, что точка А не принадлежала бы их внутрен-
ним областям.
4.
1. 1) Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображе-
но на рисунке 14?
2) Начертите луч CD, проведите два луча с началом в точке А, один
из которых пересекал бы луч CD, а другой не пересекал бы его.
2. Даны угол EKL и точка М, не лежащая в его внутренней области
(рис. 15). Проведите из точки К луч так, чтобы образовалось еще
два угла, такие, что точка М не лежала бы в их внутренней области.
12
5.
1.	Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображено
на рисунке 16?
2.	С началом в точке £ (рис. 17) проведите лучи, один из которых пе-
ресекает луч СЛ, а другой не пересекает луч ВС. Рассмотрите воз-
можные варианты.
3.	Дан неразвернутый угол АВС. Проведите лучи с началом в точке В,
чтобы образовались при этом шесть углов, из которых один был бы
6.
1.	Сколько неразвернутых и сколько развернутых углов изображено
на рисунке 18?
2.	С началом в точке Е проведите лучи, один из которых пересекает
луч ВС, а другой не пересекает луч АС (рис. 19). Рассмотрите воз-
можные варианты.
3.	Через заданную точку проведите столько прямых, чтобы при их пе-
13
. 
7.
Углы АОВ, ВОС, COD, DOE и ЕОА имеют общую вершину О. Прямая
а, не проходящая через точку О, пересекает не менее двух лучей, ко-
торые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные
случаи. Сделайте чертежи.
8.
Углы MAF, FAK, КАР, PAQ, QAM имеют общую вершину А. Прямая
т, не проходящая через точку А, пересекает не более трех лучей, ко-
торые являются сторонами этих углов. Рассмотрите все возможные
случаи. Сделайте рисунки.
14
8 3. Сравнение отрезков и углов
1. На рисунке 20 СВ - BE, DE > АС. Сравните отрезки АВ и DB.
2. На рисунке 21 ААОВ = L DOC. Есть ли еще на рисунке равные уг-
лы?
2.
1. На рисунке 22 ЕО = NO, ОК > OL. Сравните отрезки ЕК и NL.
2. На рисунке 23 L MOL = L KON. Есть ли еще на рисунке равные уг-
лы?
15
3.
1. На прямой а от точки А в одном
направлении отложены два отрез-
ка АВ и АС (АС > АВ). От точки С
на этой прямой отложите такой
отрезок СЕ, чтобы АС = BE. Что
вы можете сказать о длине отрез-
ка СЕ?
2. Z АОС = Z BOD, ОМ — биссект-
риса Z АОВ (рис. 24). Докажите,
что ОМ — биссектриса Z COD.
Рис. 24
4.
1. На прямой т от точки А отложены два
отрезка так, что АС > АВ и точка А ле-
жит между точками В и С. От точки С
отложен отрезок СМ так, что ВМ = АС.
Сравните отрезки МС и АВ.
2. На рисунке 25 Z АОС = Z ВОС и
Z АОЕ = Z BOF. Является ли луч ОС
биссектрисой угла EOF!
5.
1. Если на прямой даны точки А, В, С и
D (точка С лежит между А и В) так,
что АВ - CD, то является ли середина
отрезка AD также серединой отрезка
ВС? Обоснуйте ответ.
2. На рисунке 26 ОВ — луч, принадле-
жащий внутренней области угла
АОС. Как нужно провести луч ОЕ,
чтобы Z АОС = Z ВОЕ? Покажите
Рис. 26
на рисунках возможные варианты.
16
6.
1. АВ и AC — отрезки одной прямой (Л
лежит между точками В и С), точка
М — середина отрезка АВ, N — сере-
дина АС. Верно ли, что ВС = 2MN?
Ответ обоснуйте.
2. На рисунке 27 ОС — луч, принадле-
жащий внутренней области угла
ЛОВ. Как нужно провести луч OD,
чтобы L AOD = L СОВ? Покажите
на рисунке возможные варианты.
1. На прямой а от точки А отло-
жены два отрезка АВ и АС, причем
АВ < АС < 1,99АВ. Сравните отрез-
ки ВС и АВ. Ответ обоснуйте.
2. На рисунке 28 L АОС = Z. BOD, ОМ
и ON — биссектрисы углов АОВ и
COD. Сравните углы MON и АОС.
8.
1. На прямой т от точки А отложены два
отрезка АВ и АС, причем
0,51 АВ < АС < АВ. Сравните отрезки
ВС и АС. Ответ обоснуйте.
2. На рисунке 29 ОМ и ON — биссектри-
сы углов АОВ и COD, A MON-
= Z АОС. Сравните углы А( >С и BOD.
Рис. 27
17
§ 4. Измерение отрезков и углов
1. На прямой т лежат точки M,N и X, причем MN - 85 мм, NK=
= 1,15 дм. Какой может быть длина отрезка МК в сантиметрах?
2. L ЛОВ - 90°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 45°
(рассмотрите два случая).
1)	Чему равен угол СОВ?
2)	Каким углом: острым, тупым или развернутым — является угол
СОВ?
3)	Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?
1.	Точки Л, В и С лежат на прямой а, причем АВ = 5,7 м, ВС = 730 см.
Какой может быть длина отрезка АС в дециметрах?
2.	Z. АОВ = 120°. Проведите луч ОС так, чтобы угол АОС равнялся 60°
(рассмотрите два случая).
1)	Чему равен угол СОВ?
2)	Каким углом: острым, тупым или развернутым — является угол
СОВ?
3)	Является ли луч ОС биссектрисой угла АОВ?
3.
1. На отрезке MN, равном 8 дм, лежат точки Л и В по разные стороны
от середины С отрезка MN, СА = 7 см, СВ = 0,24 м. Найдите длины
отрезков AN и BN в дециметрах.
2. Z. АОВ = 80°. Луч ОС делит этот угол на два угла так, что
Z. ЛОС=4г СОВ.
1) Найдите эти углы. 2) Найдите угол DOB, если луч OD проведен
так, что О А — биссектриса угла DOB. Каким углом: острым или ту-
пым — является этот угол?
1. Точка М — середина отрезка EF, длина которого равна 1,2 м. От
точки М, по разные стороны от нее, отложены два отрезкаМР"
= 1,6 дм и MQ = 40 см. Найдите длины отрезков ЕР и QF в сантимет-
рах.
2. Z. АОВ = 100°, луч Отделит этот угол на два угла так, что Z. ВОЕ ~
= 3Z АОЕ.
1) Найдите эти углы.
2) Найдите угол AOF, если луч OF проведен так, что ОЕ — биссек-
триса угла FOB. Каким углом: острым или тупым — является этот
угол?
18
5.
1. На отрезке АВ, равном 192 дм, дана точка С, такая, что АС:СВ - 1:3.
На отрезке АС отложен отрезок CD, равный ВС. Найдите рассто-
яние между серединами отрезков AD и СВ.
2. Угол АОВ расположен во внутренней области угла COD. ОЕ и OF—
биссектрисы углов СОА и BOD соответственно. Объясните, почему
угол EOF прямой, если L COD + L АОВ - 180°.
6.
1.	На прямой отложены два равных отрезка АС и СВ. На отрезке СВ
дана точка D, такая, что 5CD = 4DB. Найдите длину отрезка, кон-
цами которого являются середины отрезков АС и DB, если CD -
“12 м.
2.	Угол ЛОВ принадлежит внутренней области угла COD', LCOD-
- 140°, a L АОВ - 100°. Найдите угол, образованный биссектрисами
углов АОС и BOD, если луч ОВ принадлежит внутренней области
угла AOD.
7.
1.	Длина отрезка АВ равна 14 см. Найдите на прямой АВ все такие точ-
ки D, для которых ОЛ“ЗОВ.
2.	Прямой угол разделен лучом, исходящим из его вершины, на два уг-
ла, такие, что половина одного угла равна трети другого. Найдите
эти углы.
8.
1.	Длина отрезка АВ равна 12 см. Найдите на прямой АВ все такие точ-
ки М, для которых МА “ 2МВ.
2.	Прямой угол двумя лучами, исходящими из его вершины, разделен
на три угла, один из которых равен разности двух других углов.
Найдите величину большего из этих углов.
19
§ 5. Перпендикулярные прямые, смежные
и вертикальные углы
1.
1. Смежные углы относятся как 4:1.
Найдите эти углы.
2. На рисунке 30 прямые а и b перпенди-
кулярны, L 1 = 40°. Найдите углы 2,
Зи4.
2.
1.	Один из смежных углов больше другого
на 40°. Найдите эти углы.
2.	На рисунке 31 прямые а и b перпенди-
кулярны, L 1 = 130°. Найдите углы 2,3
и 4.
Рис. 31
3.
1. Из точки О проведены лучи О А,
ОВ и ОС, причем OB ± ОА
(рис. 32). Угол, образованный
биссектрисами углов АОВ и
ВОС, равен 75°. Найдите углы
АОВ,ВОСиАОС.
2. При пересечении двух прямых
образовалось четыре угла мень-
ше развернутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на 60°
больше половины другого.
20
1. Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и
ОС (рис. 33), причем ОВ ± О А.
Угол, образованный биссектрисами
углов ЛОВ и ВОС, равен 20°. Найди-
те углы АОВ, АОС и СОВ.
2. При пересечении двух прямых обра-
зовались четыре угла меньше развер-
нутого. Найдите эти углы, зная, что
градусные меры двух из них относят-
ся как 4 : 5.
5.
1. Даны два угла АОВ и ВОС с общей
вершиной. Стороны одного угла
перпендикулярны к сторонам дру-
гого (рис. 34). Найдите эти углы, ес-
ли разность между ними равна пря-
мому углу.
2. Углы АОВ и ВОС смежные, ОМ —
биссектриса угла АОВ, луч ON при-
надлежит внутренней области угла
ВОС и перпендикулярен ОМ. Явля-
ется ли ON биссектрисой угла ВОС?
Почему?
6.
1. Два равных тупых угла имеют общую сторону, а две другие стороны
взаимно перпендикулярны. Найдите величину тупого угла.
2. Из вершины развернутого угла проведены два луча, которые делят
его на три равные части. Покажите, что биссектриса среднего угла
перпендикулярна сторонам развернутого угла.
21
Докажите, что сумма каждых трех углов, не прилежащих один к дру-
гому и образуемых тремя прямыми, проходящими через одну точку,
равна двум прямым углам.
8.
Докажите, что сумма каждых пяти углов, не прилежащих один к дру-
гому и образуемых пятью прямыми, проходящими через одну точку,
равна двум прямым углам.
22
§ 6. Треугольник
4 > s Л	ч
1.
1. Д МЕР = Д ABC,LE= 45°. Найди-
те угол В.
2. На рисунке 35 BD - DC. Сравните
периметры треугольников АВС и
ABD.
2.
1. ДЛРС-ДМГВ, Z.P-Z.M, гв =
= 17 см. Найдите АС.
2. На рисунке 36 ED - DK. Сравните
периметры треугольников DFK и
EFK.
В
Рис. 35
3.
1. Д АВС - Д ADC, L АВС - 70° (рис. 37). Найдите L MDC.
2.
На рисунке 28 АВвВСвЛС, AD*=CD. Периметр треугольника
АВС равен 36 см, а
периметр тре-
угольника ADC
равен 40 см. Най-
дите длины сторон
этих треугольни-
ков.
23
4.
1. На рисунке 39 A ABD = &CDB, С FAB = 160°. Найдите Z. BCD.
2. На рисунке 40 АВ = ВС и ВС = BD = DC. Периметр треугольника
АВС равен 42 см, АС =12 см. Найдите периметр треугольника BDC.
Рис. 39
5.
1. На рисунке 41 A ABD = &CBD, AD - DC, L АВС = 110°, Z. BAD =
= 90°. Найдите угол ABD и докажите, что ВС A. CD.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 8 см, ЕЕ ВС, причем BE = ЕС.
Точка Е делит периметр треугольника ЛВС на две части, из которых
одна больше другой на 2 см. Найдите АВ.
24
6.
1. На рисунке 42 &ABE = AECD, L АВЕ =
= £ CDE, АЕ=1 см, АВА. АС. Найдите АС
и £ ECD.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС = 12 мм. Точ-
ка М лежит на стороне ВС, причем ВМ =
= МС. Точка М делит периметр треуголь-
ника АВС на две части, из которых одна
меньше другой на 3 мм. Найдите сторону
АС.
7.
1.
2.
В треугольнике АВС АВ = АС. Внут-
ри треугольника выбрана точка О
так, что £ АОВ = £ АОС, £ АОВ -
= 120°. Докажите, что АО — биссек-
триса угла ВАС, и найдите угол
ВОС.
На рисунке 42 А АВС = &ADC, АВ =
= CD =20 см, ВО ~ DO = 5 см. Пе-
риметр треугольника АВС равен
50 см. Найдите периметр треуголь-
ника АОС, если АО больше АС на 15 см.
8.
1. В треугольнике АВС выбрана точка
О так, что А АОВ = А СОВ, ОА =
= ОС, £ АОС - 140°. Докажите, что
ВО — биссектриса угла АВС, и най-
дите угол АОВ.
2. На рисунке 44 А АОМ = &FOE,
£ AM О = £ AEF. Периметр тре-
угольника OEF равен 40 см, AF =
= 20 см. Найдите периметр треу-
гольника AEF.
25
7
1выи признак
венства т
тольников

1. На рисунке 45 BD - АС, ОВ - ОС. Докажите, что А АОВ = &COD.
2. На рисунке 46 ОА « ОС, L 1 - L 2. Докажите, что АВ - ВС.
2.
1. На рисунке 47 AAt -CCi, BC-BtCi, ВСЛ. AC, BiCt± AtCt. Дока-
жите, что А АСВ - ЛА1 Ci Bt.
2. На рисунке 48 АВ - ВС, L 1 -= L 2. Докажите, что £ ADB “ L CDB.
26
3.
1. На рисунке 49 L BDC — L BEA, AD — ЕС, BD - BE. Докажите, что
A ABD - &.ВЕС. Чему равен L BAD, если L ВСЕ = 40°?
2. На рисунке 50 АВ - AD, АС - АЕ и Z. BAD = Z. САЕ. Равны ли от-
резки ВС и DE, углы MCA и КЕА!
1. На рисунке 51 L АВЕ - Z. ECD, BE - СЕ и ВК e LC. Докажите, что
А ВЕК - A ELC. Чему равен Z. ELC, если L ВКЕ • 110°?
2. На рисунке 52 АС - ВС - DC - ЕС, ACS. CD и ВС А. ЕС.
1) Докажите, что АВ - DE.
2) Сравните периметры треугольника ABD и EBD.
27
5.
1. На рисунке 53 О А = ОС и L АОВ -
= L ВОС. Докажите, что Д АВК=
=д свк.
2. В треугольнике АВС и Л1В|С1 АС -
= А{С{> AB^AiBi и =
z>e вс и dc = 2bd, d{ е и
DiCi-2B[Di. Докажите, что AD =
= A{D{.
6.
1. На рисунке 54 О А = ОС и L AOD =
= Z. COD. Докажите, что Д ABD =
= Д CBD.
2. Даны треугольники DEF и D\E{ F{, точ-
ки М и М\ лежат соответственно на сто-
ронах DF и D\F{i причем DM = 3MF
и АЛ1! = ЗЛ/jFj, DE=D\E\, ЕМ =
= EiMi и L DEM - L DiEiMt. Дока-
жите, что EF = E[F[.
7.
На рисунке 55 СО - OD и АО = ОВ,
М — середина отрезка АВ. Докажите,
что МС - MD.
28
8.
На рисунке 56 АО = OB, OD = ОС и DE = CF. Докажите, что АЕ = BF.
Рис. 56
29
§ 8. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника
1. Проведите общую для всех изображенных на рисунке 57 треуголь-
ников высоту. Для какого из треугольников эта высота расположена
вне его?
2. На рисунке 58 АВ - ВС, BE— медиана треугольника ABC. L АВЕ -
- 40°30'. Найдите L АВС и Z FEC.
1. Проведите общую высоту для всех изображенных на рисунке 59 тре-
угольников. Для каких треугольников эта высота лежит внутри тре-
угольника?
2. На рисунке 60 АВ - ВС, L FEC - 90°, АЕ = 10 дм, L АВС = 130°30'.
Найдите АС и Z. ЕВС.
30
1. На рисунке 61 L ADB - L CDB, AD = DC. Докажите, что L ВАС =
- L ВС А и BD1. АС.
2. На рисунке 62 АВ = ВС и АО = ОС, ОК — биссектриса треугольника
ВОС. Найдите угол АО К.
Рис. 62
1. На рисунке 63 AD = DC, L ADB = L CDB. Докажите, что L ВАС —
= L ВС А и AM = МС.
2. На рисунке 64 АВ = ВС, ОМ — биссектриса треугольника АОВ,
L МОС - 135°. Докажите, что L ABO = L ОВС.
31
5.
I. На рисунке 65 АВ = ВС и АЕ = FC.
Докажите, что Z. АЕС = Z. AFC.
2. В треугольнике АВС на продолжении
стороны ВС за точку С отложен отрезок
С£>, равный СА, и точки А и D соедине-
ны отрезком, СЕ — биссектриса треу-
гольника ЛСВ, a CF — медиана треу-
гольника ACD. Докажите, что CF1. СЕ.
6.
1.	На рисунке 66 АЕ = ЕС и BE = ED.
Докажите, что L ACD - Z. С АВ.
2.	На отрезке АС по разные стороны от
него построены два равнобедренных А
треугольника АВС и ADC. Вершины
этих треугольников соединены пря-
мой BD. Докажите, что BDA. АС.
7.
В треугольнике АВС АВ = ВС = АС. На его сторонах взяты точки М, Р
и К так, что AM '.MB e ВР'.РС « СК'.КА = 1:3. Докажите, что
&МРК равносторонний.
8.
Стороны равностороннего треугольника АВС продлены на отрезки
ЛЛ4, СР и ВК так, что МА'.АВ - РС:АС - ВК'.СВ “2:1. Докажите, что
треугольник МРК равносторонний.
32
§ 9. Второй и третий признак равенства треугольников
;	'	.г j  ' л.
1.	На рисунке 67 АВ = ВС, АК - КС, L AKE = L РКС. Докажите, что
Д АКБ = Д КРС.
2.	На рисунке 68 АВ - ВС и AD = DC. Докажите, что BD — биссектри-
са угла АВС.
2.
1. На рисунке 69 АВ - ВС, МА - PC, L AMO - L ОРС. Докажите, что
&АМО = ДОРС.
2. На рисунке 70 АВ - CD, ВС = AD. Докажите, что L 1 — L 2.
2 Зив Б. Г.
33
3.
1. На рисунке 71 АМ-МС, АЕ-DC,
L BDA = L FEC. Докажите, что
AB = FC.
2. На стороне АС как на основании по-
строены по одну сторону от нее два
равнобедренных треугольника АВС и
АМС. Докажите, что прямая ВМ пе-
ресекает сторону АС в ее середине.
Рис. 71
1. На рисунке 74 L ВАС = LF,L\-L 2,AD = CF,L Е- 90е, EF =
= 15 дм. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную из вер-
шины А.
2. Отрезок прямой EF точками К и L В
делится на три равные части. Вне
отрезка EF по разные стороны от //	\
прямой EF взяты точки А и В так, что	I/	\
АЕ= BF и AL = ВК. Градусные меры А о С F
углов AEL и KFB относятся как т: 1.
Найдите т.	Рис. 74
4.
1. На рисунке 72 АВ = ВС, AF = KC,
L DKA = Z EFC. Докажите, что AD -
-ЕС.
2. На отрезке АС как на основании постро-
ены по разные стороны от него два рав-
нобедренных треугольника АВС и ЛВС.
Докажите, что BD ± АС.
1. На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки D и В, на
другой стороне — С и Етак, что AD = АС - 3 см, АВ - АЕ = 4 см. До-
кажите, что:
а) ВС = ED-,
б) КВ = КЕ, где К — точка пересечения отрезков ВС и ED.
2. АВС и Л] Bi Ci — равнобедренные треугольники с основаниями АС и
А1 Ci, точки Ми Mi — середины сторон ВС и BiCi, АВ = А{В{, AM =
= А [ М1. Докажите, что Д АВС = ДЛ j Bi Ct.
1. На рисунке 73 L А = L D, L 1 = L 2,
AB = CD, ЕС~\§ см, LAEC = 90°.
Найдите высоту треугольника BKD,
опущенную из вершины В.
2. Отрезок прямой АВ точками Р и Q де-
лится на три равные части. Вне отрез-
ка АВ по одну сторону от него взяты
точки С и D так, что АС = BD и CQ =
= DP, L DPB + Z CQA = 140°. Найди-
те углы DPB и CQA.
8.
1.	На одной стороне угла с вершиной В отмечены точки М и О, на дру-
гой — К и Р так, что ВМ = ВР, ВО< ВМ, ВК < BP, a L ОРВ =
= Z. КМВ. Докажите, что:
а)	МК = ОР',
б)	ТМ = ТР, где Т — точка пересечения отрезков МК и ОР.
2.	АС и Л]С] — основания равнобедренных треугольников АВС и
Л Bi Ci, точки М и Mi — середины сторон ВС и Вх Ci, AC = Ai Ct,
AB = AiBi. Докажите, что Д ABM = &A1B1M1.
34
35
§ 10*. Равенство треугольников
1.
В треугольниках АВС и AlBlCl АВ- А{В\, L А = L Alf L В = L Bit
точки D и D[ лежат соответственно на сторонах АС и Л,С[, причем
CD = С[ Di. Докажите, что A BDC - АВ{ D{ Ci. Сравните отрезки BD и
В^.
2.
В треугольниках АВС и А\В\ С( АВ = А\В\, АС = AtCi, L А = L Alt точ-
ки D и D[ лежат соответственно на сторонах АС и At Ci, L DBC =
= L DiBiCi. Докажите, что A BDC = ABiD{C{. Сравните углы BDC и
BiDiCi.
3.
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Точки £> и Е
лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, AD = СЕ. DC пересекает
АЕ в точке О. Докажите, что треугольник АОС равнобедренный.
4.
Два равнобедренных треугольника АВС и ADC имеют общее основа-
ние АС. ВершиныBhD расположены по разные стороны от АС. Точка
Е лежит на отрезке BD, но не лежит на отрезке АС. Докажите, что
L ЕАС = L АСЕ.
36
5.
Два прямоугольных треугольника ВОК
и COL, где углы ВОК и COL прямые, име-
ют общую вершину О (рис. 75), О—А—К,
O—D—L, L КАВ = Z. CDL, AO = OD и
АК = DL. Докажите, что КВ = CL.
6.
Отрезки AD и BE пересекаются в точке С,
L ВАС = L DEC. Углы, смежные с углами
АВС и CDE, равны между собой, АВ = DE.
Докажите, что Д АВЕ = Д ADE (рис. 76).
Рис. 75
7.
В треугольниках АВС и AtBiC, ВС = В\С\, L С = L С1 и АВ + АС =
= AiBi + ДС], BD и B[Di —медианы этих треугольников. Докажи-
те, что BD = B\D{.
8.
Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые
медиана разбивает угол треугольника.
37
§ И. Окружность
1. На рисунке 77 хорды АВ и CD равны. Докажите, что Z. АОВ =
= Z. COD.
2. Начертите отрезок и луч. На данном луче от его начала отложите
отрезок, длина которого в 2 раза больше длины данного отрезка.
2.
1. На рисунке 78 Z. MON - L QOP. Докажите, что хорды MN и QP
равны.
2. На данной прямой отметьте две точки так, чтобы расстояние между
ними было вдвое больше данного отрезка.
38
3.
1. На рисунке 79 АВ = CD и точкиEwF
— середины хорд АВ и CD. Докажите,
что ОЕ= OF.
2. Постройте окружность данного ра-
диуса, которая проходит через дан-
ную точку М и центр которой ле-
жит на данной прямой а (М (£ а).
4.
1. На рисунке 80 MN = EF, OP ± MN и
OD -L EF. Докажите, что OP = OD.
2. Постройте окружность данного радиуса
R, которая проходит через данную точ-
ку М и центр которой лежит на данной
окружности (точка М не принадлежит
данной окружности).
Рис. 79
Рис. 80
5.
1. На рисунке 81 АВ = CD. Докажите, что АС - BD.
2. На сторонах угла ВАС найдите точки, удаленные от точки М на за-
данное расстояние а (рис. 82). Рассмотрите возможные случаи в за-
висимости от длины отрезка а.
39
6.
1. На рисунке 83 АС = BD. Докажите, что АВ = CD.
2. На сторонах угла ВАС постройте точки, удаленные от точки М на
заданное расстояние b (рис.84). Рассмотрите возможные случаи в
зависимости от длины отрезка Ь.
7.
Отрезок BD — высота треугольника АВС. От вершины В на прямой СВ
по обе стороны от точки В отложены отрезки BE и ВК, равные АВ. На
АС от точки D отложен отрезок DF, равный DA. Докажите, что точки
Л, Et К и Улежат на одной окружности.
8.
АВ и CD — два диаметра окружности с центром в точке О. Луч ОЕ —
биссектриса угла АОС. ОЕ пересекает окружность в точке К, причем
КЕ - КО. Периметр треугольника КСО в 3 раза больше радиуса ок-
ружности. Докажите, что точки Е, Л, С и О лежат на одной окружно-
сти.
40
112. Построение циркулем и линейкой*
1. Даны острые углы АВС и MON. От стороны АВ во внешнюю область
угла АВС отложите угол, равный углу MON.
2. Постройте прямой угол и его биссектрису.
2.
1.	Даны острый угол MNK и тупой угол АВС. От стороны АВ во внут-
реннюю область угла АВС отложите угол, равный углу MNK.
2.	Постройте отрезок, соединяющий середины двух данных отрезков.
3.
1. Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и по-
стройте точку пересечения высоту BD и биссектрисы AL этого тре-
угольника.
2. От данного луча отложите угол, равный данного угла.
4.
1. Начертите произвольный остроугольный треугольник АВС и по-
стройте точку пересечения высоты AD и медианы ВМ этого тре-
угольника.
2. От данного луча отложите угол, который в полтора раза больше дан-
ного угла.
1. 1) Постройте угол, равный 135°.
2) От его вершины А на сторонах отло-
жите два равных отрезка АВ и АС и
постройте окружность, проходящую
через точки Л, Я и С.
2. Дан треугольник АВС. На прямых АС
и ВС постройте точки X и У, такие,
что ХА = ХВ и УЛ = YB (рис. 85).
41
6.
1. 1) Постройте угол, равный 45°.
2) От его вершины В на сторонах отло-
жите отрезки ВА и ВС, такие, что
В А - 2ВС. Постройте окружность, про-
ходящую через точки А, В и С.
2. Дан треугольник FEK (рис. 86). На пря-
мых ЕК и FK постройте точки М и N,
такие, что ME = MF и NE = NF.
Рис. 86
1. Постройте точку, равноудаленную от
точек А и В и удаленную от точки С на
расстояние, равное PQ (рис. 87). Выяс-
ните число решений этой задачи в зави-
симости от расположения данных точек	• с
и длины отрезка PQ.
2. Как с помощью циркуля и линейки р	। Q
можно разделить угол в 54° на три рав-
ные части?	Рис. 87
8.
1. С помощью циркуля и линейки по-
стройте точку М, такую, чтобы она
была удалена от точки А на расстоя-
ние, равное PQ, и так, чтобы L МЕО=
= L MFO (ОЕ = OF) (рис. 88). Выяс-
ните число решений этой задачи в за-
висимости от длины отрезка PQ.
2. Как с помощью циркуля и линейки
можно разделить угол в 35° на 7 рав-
ных частей?
Рис. 88
42
§13. Признаки параллельности двух прямых
1.	Параллельны ли прямые а и b (рис. 89), если:
1)	Z. 1 = £ 3;
2)	L 1 = L 4;
3)	L 1 + L 2 = 180°;
4)	L 5 + L 6 = 90°?
2.	На рисунке 90 А АВС = A CDE, ВС - DE. Докажите, что АВ ||CD.
1. Параллельны ли прямые а и b на рисунке 91, если:
1) L 1 = L 2 = 90°;	3) L 4 = L 5;
2) Z. 3 = £ 4;	4) Z. 4 + Z. 6 = 180°?
2. На рисунке 92 A ABD-L ECF, AD = CF. Докажите, что АВ ||Е^.
43
3.
1. На рисунке 93 АВ = ВС, L А = 60°, CD — биссектриса угла ВСЕ. До-
кажите, что АВ || CD.
2. На рисунке 94 АВ = CD и ВС -AD. Докажите, что ВС || AD.
Рис. 93	Рис. 94
1. На рисунке 95 АВ = ВС, L А =30°,
L DCE e L ВСЕ. Докажите, что
AB\\CD.
2. Отрезки BD и АС пересекаются в
точке О так, что АО = ОС и ВО =
= OD. Докажите, что BC^AD.
5.
1. На рисунке 96 L 1 = L 2, ВС - EF, AD = CF. Докажите, что
2. На рисунке 97 L 1 = L 2, BD ± АС, АС — биссектриса угла ВАЕ.
Докажите, что ВС || АЕ.
44
6.
I. На рисунке 98 L1 = £2, ED - ВС, EF=AC. Докажите, что ВВЦЛС.
2. На рисунке 99 АС — биссектриса угла BAD, BE ± АС и АЕ = ЕС.
Докажите, что Л£)||ВС.
7.
На рисунке 100 AM = MD, DE — DF
и АЕ = AF. Докажите, что MD^AF.
8.
На рисунке 101 АС — биссектриса угла
ВАМ, AD - СЕ, BE = BD, L В DA -
= £ ВЕС. Докажите, что AM ||ВС.
45
§14. Практические способы построения прямых.
Аксиома параллельных прямых и следствие из нее
1. С помощью угольника и линейки через вершины В и D (рис. 102)
проведите прямые а и Ь, параллельные АС. Будет ли а || № Объясни-
те.
2. На рисунке 103 прямая d пересекает прямую Ь. Пересечет ли эта
прямая прямую а! Почему?
2.
1. С помощью угольника и линейки проведите через точки А и С
(рис. 104) прямые тип, параллельные BD. Будет ли т ||п? Дайте
объяснение.
2. На рисунке 105 а ± с и 5 ± с. Прямая d пересекает прямую а. Пере-
секает ли эта прямая прямую 5? Почему?
Рис. 104
46
1. С помощью угольника и линейки через вершины А, В тл С проведите
прямые а, b и с, параллельные прямой I. Параллельны ли эти пря-
мые между собой? Пересечет ли прямая АС прямую Z? Дайте объяс-
нение (рис. 106).
2. На рисунке 107 L 1 = £ 2, £ 2я £ 3. Докажите, что а || с.
1. С помощью угольника и линейки через вершины В, А и С тре-
угольника ЛВС проведите прямые а, b и с, параллельные I
(рис. 108). Параллельны ли эти прямые между собой? Пересечет
ли эти прямые прямая, проведенная через вершину А и отличная
от а? Почему?
2. На рисунке 109 L 1 + L 2 = 180° и L 2 = L 3. Докажите, что а ||с.
47
1. С помощью циркуля и линейки через вершину С треугольника АВС
проведите прямую, параллельную АВ.
2. Используя данные, приведенные на рисунке 110, выясните, пересе-
кает ли прямая а прямую DE. Ответ поясните.
6.
1. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, параллельную
одной стороне треугольника и проходящую через середину одной из
двух других его сторон.
2. На рисунке 111 прямая т пересекает прямую DE. Пересекает ли эта
прямая прямую АВ? Ответ поясните.
48
7.
1. На рисунке 112Л7? = CD и ВС = DE, L АВС = L BCD = L С DE. До-
кажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямой.
2. В равнобедренном треугольнике ЛВС (АВ = ВС) BD — медиана.
Пусть М— середина ВС. Пользуясь циркулем и линейкой, построй-
те прямую, проходящую через точку М и параллельную BD.
8.
1. На рисунке 113 АВ = ВС = CD = DE, L ABC = L BCD = L CDE. До-
кажите, что точки А, С и Е лежат на одной прямой.
2. В треугольнике ABC BD — биссектриса угла АВС, М — середина
АВ. Постройте прямую, проходящую через точку М и параллель-
ную BD (используя циркуль и линейку).
Рис. 113
49
§ 15. Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей.
(Свойства параллельных прямых)
1.
1. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пере-
сечении двух параллельных прямых третьей, в 3 раза больше друго-
го. Чему равны эти углы?
2. Дан прямоугольный треугольник АСВ (LC = 90°), Е G AC, F G АВ,
причем EF ||СВ, ЕК — биссектриса треугольника AEF. Чему равен
угол АЕК'1
2.
1.	Один из внутренних односторонних углов, образованных при пере-
сечении двух параллельных прямых третьей прямой, больше друго-
го на 64°. Чему равны эти углы?
2.	Дан прямоугольный треугольник MEF (£Е= 90°). С G. ME,
D G MF, причем CD ||EF, К G MD, L KCD = 40°. Чему равен угол
МСК1
3.
1. На рисунке 114 AC || BD и АС = АВ, L МАС = 40°. Найдите L CBD.
2. Отрезки CD и АВ пересекаются в точке О так, что АО = ОВ, AC ||DB.
Докажите, что А АОС = A DOB.
50
4.
1. На рисунке 115 АВ || CD и АС = АВ, L BCD =20°. Найдите угол
САВ.
2. На рисунке 116 ВС = AD и ВС ||Л/Л Докажите, что Д АВС = Д ADC.
5.
1. На рисунке 117 АВ = BD = ВС, BE || DC. Докажите, что DC А. АС.
2. На рисунке 118 BE || AF, АВ || DE, АВ = CD. Докажите, что Д ВСЕ =
= Д ADF.
51
1. На рисунке 119 АВ = АС, AD^DE, DE ||ЛС. Докажите, что
АЕ ± ВС.
2. На рисунке 120 АВ || CD, ВС ||Л£>, DF ||BE. Докажите, что A FAD -
= А С BE.
Рис. 119
Рис. 120
На прямой MN между точками М и N выбрана точка А и проведены по
одну сторону от MN лучи АВ, АС и AD. На луче АВ выбрана точка К и
через нее проведена прямая, параллельная MN и пересекающая лучи
АС и AD соответственно в точках Р и Е, КР = РА == РЕ. Докажите, что
АВ ± AD.
На отрезке АВ взята точка С. Через точки А и В проведены по одну
сторону от АВ параллельные лучи. На них отложены отрезки AD = АС
и BE = ВС. Точка С соединена отрезками прямых с точками D и Е. До-
кажите, что DC -L СЕ.
52
§16. Параллельные прямые
1. Используя данные на рисунке 121, найдите углы 1,2 и 3.
2. На рисунке 122 AjBt ||ЛВ, AiKi — биссектриса угла МЛ{В{, ЛК —
биссектриса угла МАВ. Докажите, что L МА\К\ = L МАК. Могут
ли пересекаться прямые At К[ и АК?
2.
1. Используя данные рисунка 123, найдите углы 1,2 и 3.
2. На рисунке 124 DE || АС, ЕМ — биссектриса угла DEC, CN — бис
сектриса угла ВСК. Докажите, что L МЕС = Z ЕС К. Имеют ли об-
щие точки прямые ME и CN1
А	МОК
Рис. 1 24
53
1. Один из углов, образованных при пересечении прямой d прямыми а
и Л, равен 50° (рис. 125). Может ли один из остальных семи углов
равняться 20°? Почему?
2. На рисунке 126 В А || DE. Докажите, что Z. BCD = 2. В + 2. D.
1. Может ли еще один из семи остальных углов, образованных при пе-
ресечении прямых а и b прямой d (рис. 127), быть равен 110°? Равен
60°? Почему?
2. На рисунке 128 В А || DE, L СВ А = 140°, L CDE= 130°. Докажите,
что ВС ± CD.
5.
I. На рисунке 129 Z_BED = 1W,
L EDC = 20°, АВ ||CD. Найдите угол
АВС.
2. Внутри треугольника АВС отмечена
точка F. Через нее проведены прямые,
параллельные сторонам АС и АВ и пе-
ресекающие сторону ВС соответ-
ственно в точках М и Е, FM = МС,
FE = ЕВ. Докажите, что F — точка
пересечения биссектрис треугольника
АВС.
54
6.
1. На рисунке 130 АВ || CD, Z. АВС =
= 30°, Z. CDE =40°. Найдите угол
BED.
2. Внутри треугольника АВС выбрана
точка М. Через нее проведена пря-
мая, параллельная АС и пересекаю-
щая стороны АВ и ВС соответственно
в точках D и Е, причем MD = AD и
ME = ЕС. Докажите, что М — точка
пересечения биссектрис треугольни-
ка.
7.
На рисунке 131 BD — медиана тре-
угольника АВС, причем АВ = 2BD.
Докажите, что ВС — биссектриса угла
DBF.
8.
На рисунке 132 АВ = ВС, АО = OD и
ВО = ОС. Докажите, что BD — бис-
сектриса L ЕВС.
55
§ 17. Теорема о сумме углов треугольника.
Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный
треугольники
1. Могут ли углы треугольника быть равными 60° 13', 69°48', 50°?
2. Внешний угол треугольника больше углов, не смежных с ним, соот-
ветственно на 60° и 50°. Является ли этот треугольник остроуголь-
ным?
1.	Внешний угол треугольника равен 150°. Могут ли два его угла быть
равными 90°ЗГ и 58°42'?
2.	Первый угол треугольника на 30° меньше второго и на 30° больше
третьего. Является ли этот треугольник прямоугольным?
3.
1.	В треугольнике АВС АВ = ВС, L В = 80°. Биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке М. Найдите угол АМС.
2.	В треугольнике ABC LC— 15°. На стороне АС отмечена точка D
так, что Z. ABD = 12°, L ADB = 80°. Докажите, что треугольник
АВС нс является прямоугольным.
4.
1.	Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продол-
жении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите угол ACD, если
L АСВ = 60°, L АВС = 50°.
2.	В треугольнике АВС биссектрисы ЛЛ( и ВВ\ пересекаются в точке О,
Z. ЛВС = 30°, Z. АОВ = 107°. Докажите, что треугольник АВС не яв-
ляется остроугольным.
56
5.
1. На сторонах угла А, равного 45°, отмечены точки В и С, а во внут-
ренней области угла — точка D так, что £ ABD = 95°, L ACD = 90°.
Найдите угол В DC.
2. В треугольнике ABC L В = 60°. Внутри треугольника отмечена точ-
ка О, равноудаленная от его вершин. Докажите, что треугольник
АОС является тупоугольным.
6.
1.	На сторонах угла А, равного 127°, отмечены точки В и С, а внутри
угла — точка D так, что £ ABD= 25°, LACD= 19°. Найдите угол
BDC.
2.	Треугольники АВС и DAC имеют общую сторону АС. Отрезок BD
пересекает отрезок АС. Известно, что BD - AD = CD. Докажите,
что треугольник ADC является тупоугольным, если £ АВС = 130°.
7.
1.	В треугольнике АВС угол В тупой. Внутри треугольника отмечены
точки О и Р. На луче PC вне треугольника взята точка D. Существу-
ет ли расположение точек О и Р, при котором £ ABO > £ ACD1
2.	В треугольнике АВС АС - ВС, D — точка пересечения биссектрис
треугольника, а О — точка, равноудаленная от всех вершин треу-
гольника. Известно, что отрезок OD пересекает сторону АВ в точке
Е и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треуголь-
ника АВС.
8.
1.	В треугольнике АВС угол В тупой. Можно ли внутри треугольника
отметить точки О и Р так, чтобы угол О ВС был не меньше угла ЛРС?
2.	В треугольнике АВС АВ = ВС. Биссектрисы внешних углов при вер-
шинах Л и С лежат на прямых, пересекающихся в точке О. Может
ли выполняться равенство АО - О В = ОС?
57
§18. Теорема о соотношении между сторонами
и углами треугольника
1. Даны треугольники АВС и МРК, АВ - МР = 5 см, АС = МК = 3 см,
L А = L М. Сравните углы В и К.
2. В треугольнике ABC L А = L С,М — середина стороны АС. Найдите
угол AM В.
1. Даны треугольники АВС и МРК, АС = МК, L A - L М - 60°, L С ~
= L К ~ 50°. Сравните отрезки АВ и РК.
2. В треугольнике ABC L А = L В, СЕ — биссектриса. Сравните от-
резки АЕ и BE.
1. В треугольнике ABC L С - 90°. Точка М лежит на стороне АС. До-
кажите, что ВС < ВМ < АВ.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС. На продолжении сторон АС и ВС за
вершину С отмечены точки D и Е соответственно. Известно, что
DE\\AB. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.
1. В треугольнике ABC L СМ = 90°, СМ — медиана треугольника.
Докажите, что L СМВ > L CAB > L АСМ.
2. В треугольнике АВС АС = ВС. Отрезки ВС и ВА продолжены за вер-
шины С и Л. На продолжениях отмечены точки Етл D соответствен-
но. Известно, что DE^AC. Докажите, что треугольник BDE равно-
бедренный.
58
5.
1. В треугольнике ЛВС BD — медиана, LABD<L BAC + L ВСА.
Докажите, что BD > 0,5ВС.
2. Дан треугольник АВС. Прямая CD параллельна биссектрисе внеш-
него угла треугольника при вершине В и пересекает сторону АВ в
точке D. Из точки D к прямой ВС проведен перпендикуляр DK.
Сравните отрезки DK и ВС.
6.
1. В треугольнике ABC BD — медиана, АВ > 2BD. Докажите, что
L ВАС + L BCD < L DBC.
2. В треугольнике АВС через вершину С проведена прямая, парал-
лельная биссектрисе BD и пересекающая прямую АВ в точке К.
BE — высота треугольника АВС. Сравните отрезки BE и ВК.
1. Отрезки АС и BD пересекаются во внутренней точке так, что
АВ > АС. Докажите, что BD > CD.
2. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке М. Известно,
что L МАВ - L MBA, L МСВ = L МВС. Найдите угол АВС.
8.
1. Внутри треугольника АВС взята точка D. Известно, что L BCD +
+ L BAD> L DAC. Докажите, что АС > DC.
2. В тупоугольном треугольнике АВС продолжения высот пересекают-
ся в точке О так, что L ВОС = L ВСО, L ВО А = L В АО. Найдите
угол ВСА.
59
§19. Неравенство треугольников
1.
1. Можно ли из проволоки длиной 12 см согнуть равнобедренный тре-
угольник с боковой стороной в 3 см?
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки DviE, при-
чем точка D является серединой отрезка АВ, АЕ =12 см, DE = 1 см.
Может ли длина отрезка АВ быть равной 27 см?
2.
1. Можно ли из проволоки длиной 15 см согнуть равнобедренный тре-
угольник с основанием 8 см?
2. На протяжении стороны АВ треугольника АВС за вершину В отме-
чена точка D, АС = 18 см, ВС = 5 см. Может ли отрезок AD быть рав-
ным 12 см?
1. Расстояние между центрами двух
окружностей (рис. 133) равно 10 см.
Может ли радиус окружности с
центром О\ быть равным 5 см, а ра-
диус окружности с центром Oz быть
равным 3 см?
2. Треугольники ABD и BCD располо-
жены по разные стороны стороны от
прямой BD, L ABD = L В DC,
L ADB = L DBC. Докажите, что
BD + ВС> АВ.
1. Радиус окружности, изображен-
ной на рисунке 134, равен 6 см. Отре-
зок АВ пересекает окружность,
АО =13 см. Может ли отрезок АВ
равняться 4 см?
2. Треугольники ABD и BCD располо-
жены по разные стороны от прямой
BD, L ADB = L В DC,	L ABD =
- L DBC. Докажите, что BD < АВ +
+ ВС.
60
1. В треугольнике АВС ВВ\ —медиана.
Докажите, чтоВВХ < 0,5 (АВ + ВС).
2. В треугольнике ABC L А- 40°, L В = 70°. Из вершины С вне тре-
угольника проведен луч CD так, что угол BCD равен 109°59'. Может
ли выполняться равенство AD = АС + CD?
1. В треугольнике АВС ВВХ — медиана.
Докажите, чтоВВ^ > 0,5 (АВ—ВС).
2. В треугольнике ABC LA- 35°, Z. В = 71°. На продолжении стороны
АС за вершину С взята точка D. Из вершины С проведен луч СВ так,
что точки Ей В лежат по разные стороны от прямой AD и Z. ECD -
- 74° Г. Может ли выполняться равенство BE + СЕ = ВС?
7.
1. Докажите, что сумма двух медиан треугольника больше полусуммы
двух сторон, к которым эти медианы проведены.
2. Внутри равностороннего треугольника АВС отмечена точка Е. До-
кажите, что ЕА < ЕВ + ЕС.
8.
1. Отрезки АС и BD пересекаются во внутренней точке. Докажите, что
2(BD + АС) > BC + AD + AB + CD.
2. Вне равностороннего треугольника АВС отмечена точка Е, а внутри
его — точка М. Докажите, что МА < BE + ЕС.
61
§ 20. Сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника. Прямоугольный треугольник
с углом в 30°
1.
1. На рисунке 135 L BAD = L BCD =
= 90°, L ADB = 15°, L BDC = 75°.
Докажите, что A2?|[Z)C.
2. В треугольнике ABC, L С = 60°,
L В = 90°. Высота ВВ\ равна 2 см.
Найдите ВА.
2.
1.	На рисунке 136 LAOD = 90°,
LOAD = 20°, LOCB- 70°. Дока-
жите, что AD = СВ.
2.	В треугольнике ABC LC = 90°,
СС\ — высота, СС] = 5 см, ВС =
= 10 см. Найдите угол САВ.
3.
1. На рисунке 137 L ВАС - L DEC =
= 90°, L АВС = 55°, L CDE = 35°.
Докажите, что ВС ± CD.
2. В треугольнике ABC L С = 90°,
внешний угол при вершине В ра-
вен 150°, АД] — биссектриса, АД] =
= 20 см. Найдите At С.
4.
2.
На рисунке 138 LABC=LCDE~
= 90°, L ВАС = 46°, L CED = 44°. До-
кажите, что ВС ± CD.
В треугольнике ABC L В - 90°, CCt —
биссектриса, CCi - 16 см, ВС{ = 8 см.
Найдите внешний угол при вершине А.
62
5.
1. В треугольнике АВС угол АСВ тупой. Продолжения высот AAi, ВВ}
и СС[ пересекаются в точке О. Докажите, что Z. АВС = L АОС и
L О АС - L ОВС.
2. В треугольнике ABC L С = 90° , CD — высота треугольника, ВС -
= 2BD. Докажите, что AD - 3DB.
6.
1.	В треугольнике АВС угол В тупой. Продолжения высот AAt, ВВХ,
CCi пересекаются в точке О. Докажите, что L АВС =180° —
— L АОС.
2.	В треугольнике ABC L В = 90°, BD — высота, АВ = 2BD. Докажите,
что ЗАС = 4AD.
7.
1.	В треугольнике ABC L С = 90°, L В = 40°. На сторонах АВ и ВС от-
мечены точки D и Е соответственно, L EAD = 5°, Z ECD = 10°.
Найдите L EDC.
2.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника ЛВС взята точка Е,
а внутри треугольника — точка D. Перпендикуляр ЕМ к прямой АС
делит катет АС пополам, L В = 45°, Z. CDA = 90°, Z. DC А = 60°. До-
кажите, что ЕМ = DC.
8.
1.	В треугольнике ABC L В- 90°. Из точки Р, взятой на стороне ВС,
проведен отрезок DE, перпендикулярный к ВС и пересекающий АС
в точке О, L DOC = 70°, L DEC = 45°, L BAD = 50°. Найдите угол
AED.
2.	В треугольнике ABC L С - 90°, L В = 45°. Отрезок СЕ пересекает
сторону АВ, L СЕА = 90°. На сторонах АВ и АС взяты точки Р и М
так, что М — середина АС и PM ± AC, PM = ЕА. Найдите угол
ЕАС.
63
§21. Признаки равенства прямоугольных
треугольников
1.
1. На рисунке 139 диаметры АВ и CD ок-
ружности дожат на перпендикулярных
прямых, МО = ЕО. Докажите, что AM =
= BE.
2. Внутри неразвернутого угла А взята
точка D. Из этой точки проведены пер-
пендикуляры DB и DC к сторонам угла.
Z. ADB = L. ADC. Докажите, что луч
AD — биссектриса угла А.
2.
1.	На рисунке 140 О — центр окруж-
ности. Через концы отрезка АВ про-
ведены прямые AD и ВС, перпенди-
кулярные к прямой АВ. Докажите,
что L ADO = L ОС В.
2.	Два прямоугольных треугольника
АВС и ABD имеют общую гипотену-
зу АВ и лежат по разные стороны от
нес. Известно, что AD^BC. Дока-
жите, что Z. CAB = Z DBA.
Рис. 140
3.
1.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точкиDhE соот-
ветственно. Из этих точек к прямой АС проведены перпендикуляры
DK и ЕР, причем ЛК = PC и DK = РЕ. Докажите, что АВ - ВС.
2.	Треугольники АВС и А\В}Ci равны, причем ВС — В\С\, ВА — В]Ль
Докажите, что высоты BD и В} D\ треугольников равны.
4.
1.	На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки DvlE соответ-
ственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DK и ЕР к пря-
мой AC, DK = ЕР, L ADK = L РЕС. Докажите, что АВ = ВС.
2.	Треугольники АВС и AJi}C\ равны, причем высота BD треугольни-
ка АВС равна высоте Вх D} треугольника At В\ Ct, L С = L Ct. Дока-
жите, что L Л = L At.
64
5.
1. Через середину стороны АВ треугольника АВС проведена прямая,
перпендикулярная к АВ, пересекающая ВС в точке Е. ВС = 24 см,
периметр треугольника АЕС равен 30 см. Найдите АС.
2. Две биссектрисы треугольника пересекаются в точке О. Докажите,
что третья биссектриса проходит через точку О.
6.
1.	Через точку К, взятую на стороне АВ треугольника АВС, проведена
прямая, перпендикулярная АВ и пересекающая сторону АС в точке
D. Известно, что L KDB - L KDA, АС - 30 см, ВС =15 см. Найдите
периметр треугольника BDC.
2.	Докажите, что биссектриса угла А треугольника АВС проходит че-
рез точку пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних
углов при вершинах В и С.
7.
1.	В треугольнике АВС высоты AAt и СС\ равны, АС\ = ВАХ. Найдите
угол В.
2.	На рисунке 141 L АВС-35°, L ВАС = 55°, L AMiM = 90°. Точки
Ai и Bi — середины отрезков ВС и АС соответственно, AAt = AM,
BBi - Bi К. Докажите, что AMi = BAt.
3	ЗивБ. Г.
65
8.
1. В треугольнике АВС высоты AAt и CCj пересекаются в точке О,
L ВАА\ = L АССХ ^АуО-С^О. Докажите, что АС = 2BAt.
2. На рисунке 142 L АВС - 50°, С ВАС = 40°, L АМХМ=> 90°, АМХ =
« ВА\, At А - AM. Докажите, что DCi = CjC, если точки Ai и С] —
середины ВС и АВ соответственно.
66
§ 22.	Перпендикуляр и наклонная.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми
1.	Даны две параллельные прямые а и Ь. На прямой а взяты точки А и
В, из которых к прямой b проведена наклонная АС и перпендикуляр
BD. Сравните отрезки АС и BD.
2.	В треугольнике ABC LC = 30°, АС = 10 см, ВС = 8 см. Через верши-
ну А проведена прямая а, параллельная ВС. Найдите:
а)	расстояние от точки В до прямой АС;
б)	расстояние между прямыми а и ВС.
2.
1.	По разные стороны от прямой а взяты точки А и В, равноудаленные
от этой прямой. Из точки А к прямой а проведена наклонная АС, а
из точки В — перпендикуляр BD. Сравните отрезки АС и BD.
2.	В треугольнике МКР сторона МР равна 20 см. Расстояние от точки
К до прямой МР равно ^КР. Через точку М проведена прямая х, па-
раллельная КР. Найдите:
а)	угол МРК;
б)	расстояние между прямыми х и КР.
3.
1.	Из точки А к некоторой прямой проведены две наклонные АВ и АС и
перпендикуляр AD так, что точка D лежит на отрезке ВС, L DAC =
= 45°. Сравните отрезки АВ и DC.
2.	Через концы Л и В отрезка АВ проведены параллельные прямые а и
b соответственно. Прямые АВ и b не перпендикулярны. С — середи-
на отрезка АВ.
а)	Докажите, что точка С находится на одинаковом расстоянии от
прямых а и Ь.
б)	Докажите, что сумма расстояний от точки С до прямых а и Ъ рав-
на расстоянию между этими прямыми.
67
4.
1.	Из точки М к прямой а проведены две наклонные МР и ME и пер-
пендикуляр МК так, что луч МК проходит внутри угла РМЕ.
ЕРЕМ = 50°. Сравните отрезки РМ и КЕ.
2.	Точка С — середина отрезка АВ. Через точки С и В проведены па-
раллельные прямые с и b соответственно так, что прямые АВ и b не
перпендикулярны.
а)	Докажите, что расстояние от точки А до прямой с равно расстоя-
нию от точки С до прямой Ь.
б)	Докажите, что расстояние от точки А до прямой b вдвое больше
расстояния между прямыми Ьис.
5.
1.	Из точки А к некоторой прямой проведены перпендикуляр АВ и на-
клонная АС, а из точки D — наклонная DE так, что отрезки DE и АВ
пересекаются в точке О, OD - OB, Е OAD + Z. ВОЕ = 90°. Сравните
отрезки АС и DE.
2.	В треугольнике ABC Е А = 70°, ЕВ — 80°, BE — биссектриса. Через
точку Е проведена прямая а, параллельная ВС, ЕС - х.
а)	Найдите расстояние между прямыми а и ВС.
б)	Найдите расстояние от точки Е до прямой АВ.
6.
1.	Из точки М к прямой а проведен перпендикуляр МР, а из точки К —
наклонная КН. Отрезки МР и КН пересекаются в точке О, ОН -
= ОМ, Е ОМ К < Е ОНР. Докажите, что отрезок НК меньше любой
наклонной, проведенной из точки М к прямой а.
2.	В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, AM = ВМ = МС = х.
Через точку М проведена прямая, параллельная прямой ВС.
а)	Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
б)	Найдите расстояние между прямыми а и ВС.
68
7.
1. Из точки А к некоторой прямой проведены наклонные АВ и АС и
перпендикуляр AD так, что точка С является серединой отрезка BD.
Может ли выполнятся неравенство АВ > 2АС?
2. В треугольнике ABC L С = 90°. На стороне АВ взята точка М так,
что АВ - ЗАМ. Через точку М проведена прямая а, параллельная
АС. Докажите, что расстояние от точки В до прямой а вдвое больше
расстояния между прямыми а и АС.
8.
1. Из точки А к некоторой прямой проведены перпендикуляр АС и на-
клонная АВ. Точки ЕмО принадлежат отрезкам АВ и АС соответст-
венно. Докажите, что ED < АВ.
2. В треугольнике МКР L Р = 90°. Через точки А и В, взятые на сторо-
нах МК и КР соответственно, проведена прямая АВ, параллельная
МР. Расстояние между прямыми АВ и МР вдвое больше расстояния
от точки К до прямой АВ. Докажите, что МР = ЗАВ.
69
§ 23*. Множество точек, равноудаленных
от данной прямой
1.
1. Середина отрезка АВ перемещается по
некоторой прямой а так, что прямые
АВ и а в любой момент времени взаим-
но перпендикулярны (рис. 143). Что
представляет собой фигура, которую
описывают точки А и В2
2. Даны неразвернутый угол АВС и отре-
зок QP. На стороне В А угла АВС постройте точку, удаленную от
прямой ВС на расстояние QP.
2.
1. Сторона АВ треугольника АВС пере-
мещается вдоль некоторой прямой,
на которой она расположена
(рис. 144). Что представляет собой
фигура, которую описывает верши-
на С?
2. Даны треугольник АВС и точка М,
лежащая на стороне ВС. На стороне
АВ постройте точку, удаленную от
прямой АС на то же расстояние, что
и точка М.
3.
1.
2.
На рисунке 145точки АиВ равно-
удалены от прямой CD, а точки А
и D — от прямой ВС. Докажите,
что АВ = CD.
Даны прямая а, точка А, не лежа-
щая на этой прямой, и отрезок
ОР, больший, чем перпендику-
ляр, опущенный из точки А на
прямую а. Постройте точки, уда-
ленные от прямой а и точки А на расстояние, равное отрезку ОР.
70
1. На рисунке 146точки Рул К равноудалены
от прямой ME, а точки К и Е равноудале-
ны от прямой МР. Докажите, что
L МРК = L МЕК.
2. Даны прямая а, точка А, взятая на этой
прямой, и отрезки ОР и КМ (КМ > ОР).
Постройте точку В, удаленную от прямой
а на расстояние, равное ОР, так, чтобы
АВ = КМ.
5.
1. На рисунке 147 точки В ул С равно-
удалены от прямой AD, ВО-ОС.
Докажите, что треугольники АВС и
CBD равны.
2. Даны неразвернутый угол и отре-
зок. Внутри данного угла постройте
точку, удаленную от сторон угла на
расстояние, равное данному отрез-
ку-
6.
1. На рисунке 148 точки М и Т равноудалены
от прямой РК. L KMT = Z. РТМ. Докажи-
те, что треугольники РМК и РКТ равны.
2. Даны прямая а, точка А, не лежащая на
данной прямой, и некоторый отрезок. (Точ-
ка А удалена от прямой а на расстояние,
меньшее удвоенной длины данного отрез-
ка.) Постройте точки, удаленные от пря-
мой а и точки А на расстояние, равное дан-
ному отрезку.
71
7.
1. На рисунке 149 точки ВмЕ равноудалены от прямой AD, а точки С и
М — середины отрезков AD и ВС соответственно. Докажите, что
ВС = ED.
2. Даны две точки А и В, отрезок РО. Постройте точки, удаленные от
прямой АВ на расстояние РО и равноудаленные от концов отрезка
АВ.
8.
1. На рисунке 150 АВ = ВС, точки В и D равноудалены от прямой АС.
Докажите, что 2ВС < AD + DC.
2. Дан угол АВС, через вершину которого вне угла проведена прямая
а, и отрезок РО. Внутри угла АВС постройте точку, удаленную от
прямой а на расстояние РО и равноудаленную от прямых АВ и ВС.
72
§ 24. Построение треугольника по трем элементам
1.
1. Дан треугольник МРК. Постройте треугольник АВС, в котором
L А = L М, АВ = МР, АС = 2МК.
2. Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона вдвое
меньше данного отрезка.
2.
1.	Дан треугольник МКР. Постройте треугольник АВС, в котором
L А = L М, С В = L К, АВ - 2МК.
2.	Постройте равнобедренный треугольник, у которого боковая сторо-
на равна данному отрезку, а основание в 2 раза меньше боковой сто-
роны.
3.
1. Даны неразвернутый угол и отрезок. Постройте треугольник, у ко-
торого одна сторона в 2 раза больше другой и равна данному отрез-
ку, а угол, заключенный между этими сторонами, равен данному
углу.
2. Постройте остроугольный равнобедренный треугольник по основа-
нию и разности двух неравных сторон.
1. Даны два острых угла и отрезок. Постройте треугольник, у которого
сторона равна половине данного отрезка, а прилежащие к ней углы
— двум данным углам.
2. Постройте равнобедренный треугольник по периметру и боковой
стороне.
5.
1. Постройте треугольник АВС со стороной АВ, равной данному отрез-
ку, и с углами А и С, равными 60° и 105° соответственно.
2. В треугольнике АВС биссектрисы BBi и CCi пересекаются в точке О.
Постройте треугольник АВС по отрезкам ОВ\, ОС, В\ С.
73
1. Постройте треугольник АВС со сторонами АВ и АС, равными соот-
ветственно данным отрезкам, так, чтобы L В = 120°, Z. С = 45°.
2. В треугольнике АВС высоты пересекаются в точке О. Постройте
этот треугольник по отрезкам О А, ВО, АВ.
7.
1. Даны прямая а и отрезок АВ, пересекающий эту прямую. Постройте
на прямой а точку С так, чтобы эта прямая содержала биссектрису
угла треугольника АВС.
2. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно
точки М, Р, К так, что МК ||2?С, РК ||ЛВ. Как построить треуголь-
ник АВС по отрезкам КМ, КВ, КР и углу РКС'1
8.
1. Даны угол А и точка М внутри его. Постройте на сторонах угла точ-
ки В и С так, чтобы отрезок AM был медианой треугольника АВС.
2. Даны отрезки PQ, Р\ Qi» P2Q2 и угол hk. Как построить треугольник
АВС, в котором отрезок AM, равный PQ, лежал бы на стороне АВ,
отрезок СЕ, равный P\Q\, — на стороне ВС, АС — МЕ = P2Q2,
ME |)ЛС, L АМС = Z hkl
74
§ 25*. Более сложные случаи построения
треугольников
1.
1. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и меди-
ане, проведенной к основанию.
2. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник МРК, в котором
МР = 2 АВ, /_ М = А А, а высота КЕ равна высоте CD треугольника
АВС.
2.
1.	Постройте равнобедренный треугольник по биссектрисе, проведен-
ной к основанию и углу, противолежащему основанию.
2.	Дан треугольник МКР. Постройте треугольник АВС так, чтобы
АВ = МК, АС= 2МР, высота CD была равна высоте РЕ треугольника
МРК.
3.
1.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, прове-
денный к другому катету.
2.	Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, про-
тиволежащему этому основанию.
4.
1.	Постройте остроугольный треугольник по высоте и двум острым уг-
лам, которые эта высота образует со сторонами треугольника.
2.	Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и высоте,
проведенной из вершины прямого угла.
5.
1. Постройте треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему
одной из этих сторон. Всегда ли эта задача имеет решение?
2. Постройте треугольник по углу и двум высотам, проведенным к сто-
ронам этого угла.
75
6.
1. Постройте треугольник по двум углам и стороне, противолежащей
одному из этих углов. Всегда ли эта задача имеет решение?
2. Постройте остроугольный треугольник по углу и двум высотам, од-
на из которых проведена из вершины угла, а другая опущена на од-
ну из его сторон.
1. На стороне АС треугольника АВС взята точка М. Постройте тре-
угольник АВС по отрезкам АВ, ВМ и углам АМВ, ВСМ.
2. Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А,
высоте BD и стороне АС.
1. На стороне АС треугольника АВС взята точка М. Постройте тре-
угольник АВС по отрезкам ВС, AM и углам АВМ, АМВ.
2. Постройте остроугольный треугольник АВС по разности углов А и В,
высоте CD и стороне ВС.
76
§ 26.	Итоговое повторение'
На рисунке 151 L ВАС - 50°, L ЛВС =
= 80°, L DBC = 50°, точка О — середи-
на отрезков АВ и МС.
1)	Докажите, что треугольник АВС
равнобедренный.
2)	Докажите, что прямые BD и АС не
пересекаются.
3)	Найдите Z МАВ.
4)	Сравните отрезки AM и АС.
2.
На рисунке 152 L ЕМ К = 40°, L МКЕ = 70°, прямые МС и ЕК не име-
ют общих точек, отрезки BE и КА являются высотами треугольника
ЕМК.
1)	Докажите, что треугольник ЕМК равнобедренный.
2)	Найдите угол СМЕ.
3)	Докажите, что КА = BE.
4)	Сравните отрезки МВ и АК.
77
3.
На рисунке 153 L ADB - Z. DBC = 90°, AD = ВС, L ABD = 60°.
1)	Докажите, что прямые AD и ВС не пересекаются.
2)	Между какими целыми числами заключена длина отрезка AD, если
В£> = 4?
3)	Докажите, что треугольник AED равнобедренный, если DE— меди-
ана треугольника ADB.
в	с
Рис. 153
4.
На рисунке 154 Z. ЕРМ = Z. РМК = 90°, L МЕР = L МКР = 30°,
МЕ = 10.
1)	Докажите, что прямые ЕМ и КР не имеют общих точек.
2)	Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР?
3)	Найдите длину медианы MD треугольника РМК.
м	к
Е	р
Рис. 154
78
5.
На рисунке 155 АВ = ВС = CD = DA.
1)	Докажите, что АВ ||CD, AD ||ВС.
2)	Докажите, что ВТ = DT.
3)	Докажите, что АС > DB, если Z. ТВС = 90° и ТС > АТ.
4)	Докажите, что точка Т равноудалена от прямых АВ и AD.
6.
На рисунке 156 КТ = ТМ = МР = РК.
1)	Докажите, что ТМ ||/СР и КТ ||РЛ/.
2)	Докажите, что ТО = ОР.
3)	Докажите, что TP > КМ, если Z. ОТК = 44° и КО > ОМ.
4)	Докажите, что точка О равноудалена от прямых ТМ и МР.
79
7.
На окружности с центром О последовательно отмечены точки А, В, С,
D так, что прямые AD и ВС параллельны, точка О лежит между ними,
AD > ВС и L ОБА = L OCD.
1)	Докажите, что Z. АОВ = Z. COD.
2)	Докажите, что АС = BD.
3)	Докажите, что L DBC - Z. CAD.
4)	Сравните расстояния от точки О до прямых AD и ВС.
8.
В некоторой окружности проведены две равные хорды КМ и PH,
пересекающиеся в точке Т. Центр окружности О расположен внутри
треугольника КНТ, причем расстояние от точки О до прямой НК
меньше расстояния от точки О до прямой РЛ/, L МРН = L МКН.
1)	Докажите, что L КОМ = L РОН.
2)	Докажите, что Z РОК + 2Z. ОМН = 180°.
3)	Докажите, что РМ ||КЯ.
4)	Сравните отрезки РМ и КН.
80
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Начальные геометрические сведения
Вариант 1.
1.	На рисунке 157 луч ОС является
биссектрисой угла АОВ. Найдите угол
BOD, если угол АОВ прямой.
2.	На прямой отмечены точки Д, В,
С, D так, что точка С лежит между
точками А и В, а точка В принадлежит
отрезку CD. АС = 65 см, BD = 6,4 дм.
Сравните отрезки АВ и CD.
3.	Прямые AD и ВС пересекаются в
точке О. Внутри угла АОВ взята точка
М, а внутри угла COD — точка К.
LAOB = $W, Л MOB = 30°, LKOD =
= 40°.
а)	Найдите углы АОМ и СОК.
б)	Являются ли углы МОВ и СОК вертикальными? Ответ объясни-
те.
4*. Даны три прямые, каждая из которых пересекает хотя бы одну
другую. Сколько всего точек пересечения могут иметь такие прямые?
Вариант 2.
1.	На рисунке 158 угол ВОС прямой.
Найдите Z1, если L 2 = 70°.
2.	Точка С — середина отрезка ЛВ,
точка D — середина отрезка AC, BD =
= 15,3 см. Найдите длину отрезка АС.
Ответ выразите в миллиметрах.
3.	Отрезки РЕ и НМ лежат на пер-
пендикулярных прямых и пересекают-
ся в точке К. Внутри угла РКН взята
точка А, а внутри угла МКЕ — точка
В, LAKH = 40°, £МКВ = 50°.
а)	Найдите углы РКА и ВКЕ.
б)	Лежат ли точки А, К, В на одной
Рис. 158
прямой? Ответ объясните.
4*. Расположите шесть отрезков так, чтобы каждый из них имел
общие точки ровно с тремя другими и число всех этих точек было рав-
но пяти.
81
Вариант 3.
1.	На рисунке 159 прямые АВ и CD
взаимно перпендикулярны. LKOD =
= 135°. Является ли луч ОК биссект-
рисой угла АОС‘1 Ответ объясните.
2.	На отрезке PH отмечены точки К
и М так, что точка К лежит между
точками Р и М, НК = 53,5 см, РМ =
= 535 мм. Сравните отрезки РК и НМ.
3.	Развернутый угол ЛОВ разделяет
плоскость на две части. Точка Е ле-
жит в одной части, точка Р — в дру-
гой; LEOB - 50°, LPOB = 130°.
а)	Равны ли углы ЕОВ и РОАЧ
б)	Являются ли углы ЕОВ и РОЛ
вертикальн ыми ?
Ответы на вопросы объясните.
4*. Можно ли расположить шесть точек на четырех отрезках, не ле-
жащих на одной прямой, так, чтобы каждому отрезку принадлежало
по три точки?
Вариант 4.
1.	На рисунке 160 прямые а и b вза-
имно перпендикулярны. Найдите сум-
му углов 1 и 2.
2.	Точка Е лежит на прямой между
точками Р и К, а точка К принадле-
жит отрезку ЕМ\ РЕ =5 см, ЕК =
- 6 см, КМ - 8 см. Найдите расстоя-
ние между серединами отрезков РЕ и
КМ. Ответ выразите в миллиметрах.
3.	Развернутый угол АОВ разделяет
плоскость на две части. Луч ОМ ле-
жит в одной части, а луч ОК — в дру-
гой. Известно, что углы МОА и КОВ
прямые.
а)	Равны ли углы ВОМ и КОАЧ
б)	Являются ли прямые МК и АВ взаимно перпендикулярными?
Ответы на вопросы объясните.
4*. На сколько частей могут разделить плоскость три прямые, среди
которых есть пересекающиеся?
82
№ 2. Треугольники
Вариант!.
1.	На рисунке 161 отрезки АВ и CD
имеют общую середину. Докажите, что
треугольники АОС и HOD равны.
2.	Даны прямая и отрезок. Постройте
точку, такую, чтобы перпендикуляр,
опущенный из этой точки на прямую,
равнялся данному отрезку.
3.	В треугольнике ЛВС АВ = ВС. На
медиане BE отмечена точка М, а на
сторонах АВ и ВС — точки Р и К соот-
ветственно. (Точки Р, М и К не лежат на одной прямой.) Известно,
что LBMP = LBMK. Докажите, что:
а)	углы BMP и ВКМ равны;
б)	прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.
4*. Дан угол в 54°. Можно ли с помощью циркуля и линейки по-
строить угол в 18°?
Вариант 2.
1.	На рисунке 162 луч BD является биссект-
рисой угла АВС> а луч DB является биссектри-
сой угла ADC. Докажите, что треугольники
ABD и CBD равны.
2.	Дан отрезок. Постройте две какие-либо
взаимно перпендикулярные прямые и на одной
из них от точки пересечения отложите отре-
зок, равный данному.
3.	Внутри треугольника ЛВС взята точка О,
причем LBOC = А ВО Л, АО = ОС.
а)	Докажите, что углы ВАС и ВСА равны.
б)	Докажите, что прямая ВО проходит через
середину отрезка АС.
4*. Как с помощью циркуля и линейки по-
строить угол в 1Г15' ?
Рис. 162
83
Вариант 3.
1.	На рисунке 163 отрезок АВ равен
отрезку CD, а отрезок ВС равен отрез-
ку AD. Докажите, что треугольники
ABD и CBD равны.
2.	Даны неразвернутый угол и отре-
зок. Постройте точку, удаленную от
вершины угла на расстояние, равное
половине данного отрезка.
3.	На высоте равнобедренного треу-	рИс. 163
гольника АВС, проведенной к основа-
нию АС, взята точка Р, а на сторонах
АВ и ВС — точки М и К соответственно. (Точки М, Р и К не лежат
на одной прямой.) Известно, что ВМ = ВК.
а)	Докажите, что углы BMP и ВКР равны.
б)	Докажите, что углы КМР и РКМ равны.
4*. Дан угол в 34°. Можно ли с помощью циркуля и линейки по-
строить угол в 12°?
Вариант 4.
1.	На рисунке 164 отрезки АВ и CD
являются диаметрами окружности.
Докажите, что треугольники AOD и
ВОС равны.
2.	Даны неразвернутый угол и отре-
зок. Постройте какой-либо угол, рав-
ный данному, и на его стороне по-
стройте точку, удаленную от вершины
угла на расстояние, равное половине
данного отрезка.
3.	На сторонах АВ, ВС, АС равно-
бедренного треугольника АВС с осно-
ванием АС отмечены точки М, К, Р
соответственно так, что LAMP =
= LPKC и АМ=КС.
а)	Докажите, что MP = РК.
б)	Докажите, что прямые МК и ВР
взаимно перпендикулярны.
4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 67°30' ?
84
№ 3. Параллельные прямые
Вариант 1.
1.	На рисунке 165 L1 + Z.2 = 180°,
Z.3 = 50°. Найдите Z4.
2.	Могут ли две стороны треуголь-
ника быть параллельными одной пря-
мой?
3.	На сторонах ЛВ, ВС, АС тре-
угольника ЛВС отмечены точки Т, Р,
М соответственно; L МРС = 51°,
ЛЛВС = 52°, £Л7* 1Л/ = 52°.
а)	Найдите угол ТМР.
б)	Докажите, что прямые МР и ВТ
имеют одну общую точку.
4*. Из картона вырезан шаблон в
виде полосы с параллельными краями
(рис. 166). Как с помощью этого шаб-
лона построить угол, равный данному?
Вариант 2.
1. На рисунке 167 Z.1 = Z.2, Z.3 =
= 140°. Найдите Z.4.
2. Через точку, взятую во внутрен-
ней области угла ЛВС, проведена
прямая, параллельная прямой АВ.
Пересекает ли эта прямая прямую
ВС?
3. На прямой последовательно от-
ложены отрезки ЛВ, ВС, CD. Точки Е
и Р лежат по разные стороны от этой
прямой.	L АВЕ = L PCD = 143°,
LPBD = 49°, ЛЛС£=48°.
а) Докажите, что прямые BE и PC
параллельны.
б) Докажите, что прямые РВ и СЕ
пересекаются.
4*. Из картона вырезан шаблон в
виде полосы с параллельными краями
(рис. 168). Как с помощью этого шаб-
лона построить два не смежных угла,
дающих в сумме 180°?
Рис. 166
Рис. 167
Рис. 168
85
Вариант 3.
1.	На рисунке 169 L 1 = Z.2, Z.3= 120°. Найдите Z.4.
2.	Даны три прямые a, Z>, с; a||Z>, Z>||c. Сколько общих точек имеют
прямые а и с?
3.	Из точек Ли В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены
перпендикуляры АС и BD к этой прямой; Л В АС = 117°.
а)	Найдите угол ABD.
б)	Докажите, что прямые АВ и CD пересекаются.
4*. Из картона вырезан шаблон в виде неразвернутого угла
(рис. 170). Как построить с помощью этого шаблона два отрезка, ле-
жащих на параллельных прямых?
Вариант 4.
1.	На рисунке 171 Z. 1 = Z.2, АВ La. Найдите Z.3.
2.	Даны три прямые а, Ь, с; а\\Ь, прямая а пересекает прямую с.
Сколько общих точек имеют прямые b и с?
3.	На сторонах угла Л, равного 43°, отмечены точки В и С, а внутри
угла — точка D так, что LABD= 137°, LBDC - 45°.
а)	Найдите угол ACD.
б)	Докажите, что прямые АВ и DC имеют одну общую точку.
4*. Из картона вырезан шаблон в виде неразвернутого угла (рис.
172). Как с помощью этого шаблона и линейки без делений проверить
параллельность двух прямых?
86
№ 4. Соотношение между сторонами
и углами треугольника
Вариант 1.
1.	В треугольнике ЛВС АВ = 70°, АС = 60°. Сравните отрезки АС и
ВС.
2.	Даны два треугольника АВС и МРК, АЛ = АМ = 90°, АС = АК,
ВС = КР, АС = ^ВС. Найдите угол Р.
3.	В треугольнике ЛВС АА = 90°, АС = 15°. На стороне АС отмечена
точка D так, что ADBC = 15°.
а)	Докажите, что BD = 2АВ.
б)	Докажите, что ВС<4АВ.
4*. В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли
этот треугольник разрезать на равносторонние треугольники?
Вариант 2.
1.	В треугольнике ЛВС АВ>ВС>АС. Найдите А А, АВ, АС, если
известно, что один из углов треугольника равен 120°, а другой 40°.
2.	В треугольниках ЛВС и МКР А А = AM = 90°, АВ = МР, ВС = КР,
АВ = 30°. Докажите, что КМ = ^КР.
3.	В треугольнике АВС АС = 60°. На стороне АС отмечена точка D
так, что ABDC = 60°, AABD = 30°.
а)	Докажите, что AD = ВС.
б)	Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин
отрезка ВС.
4*. Можно ли из каких-либо четырех равнобедренных треугольни-
ков сложить равнобедренный треугольник?
Вариант 3.
1.	Внешний угол при вершине В треугольника АВС равен 40°, а
один из внутренних углов этого треугольника равен 20°. Сравните от-
резки АВ и ВС.
2.	Даны треугольники ЛВС и МРК, в которых АЛ = AM =	,
ВС = РК, АС = А К. Докажите, что АВ + РК> АС.
3.	В треугольнике ЛВС угол В прямой, BD — высота треугольника.
а)	Докажите, что АЛ = ADBC.
б)	Докажите, что если АА<АС, то AD>DC.
4*. Можно ли какой-либо прямоугольный треугольник разрезать на
два треугольника, один из которых равносторонний, другой равнобед-
ренный?
87
Вариант 4.
1.	В треугольнике АВС углы А и С равны, BD — высота треуголь-
ника. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны.
2.	В треугольнике ABC LA = 90°, Z.C = 60°. Докажите, что
АВ<2АС.
3.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки М и Н
соответственно так, что углы АВС и СМИ равны.
а)	Докажите, что углы МНС и САВ равны.
б)	Докажите, что если МН<СМ, то АВ<ВС.
4*. В треугольнике все стороны имеют разные длины. Можно ли
этот треугольник разрезать на два равных треугольника?
88
№ 5. Построение треугольника по трем элементам.
Повторение.
Вариант 1.
В треугольнике ABC LA = /_С = 45°.
а)	Установите вид треугольника и постройте его на стороне АВ.
б)	Докажите, что медиана BD делит треугольник АВС на два рав-
ных треугольника.
в)	Докажите, что прямая ВК, перпендикулярная медиане BD тре-
угольника АВС, не имеет общих точек с прямой АС.
г)	Докажите, что прямая ВК, перпендикулярная медиане BD тре-
угольника АВС, содержит биссектрису одного из внешних углов этого
треугольника.
д)* Возможно ли равенство АЕ = ЕС, если точка Е не лежит на пря-
мой, содержащей медиану BD треугольника АВС?
Вариант 2.
В треугольнике ABC LA = LC = 60°.
а)	Установите вид треугольника и постройте его по стороне АВ.
б)	Докажите, что треугольник МВН равен треугольнику ИКС, если
М, Н, К — середины сторон АВ, ВС и АС треугольника АВС соответ-
ственно.
в)	Найдите угол ВМН и докажите, что МН^АС, если М и Н — се-
редины сторон АВ и ВС соответственно.
г)	Докажите, что расстояние от точки В до прямой НМ равно рас-
стоянию между прямыми МН и АС, если М и Н — середины сторон
АВ и ВС треугольника АВС соответственно.
д)* Как построить точку, равноудаленную от вершин треугольника
ЛВС?
Вариант 3.
В треугольнике АВС ЛЛ = 60°, LC = 30°.
а)	Установите вид треугольника и постройте его по стороне АВ.
б)	Докажите, что треугольники СМА и АВС равны, если точка М
расположена вне треугольника АВС так, что МЛ fl ВС и MCflAB.
в)	Докажите, что АВ±МА, ВС±МС, СМ±МА, если точка М рас-
положена вне треугольника АВС и MAflBC, MCflAB.
г)	Найдите угол ВО А, если О — середина отрезка АС.
д)* Можно ли провести окружность через точки А, В, С, М, если
точка М расположена вне треугольника АВС и МАЛ. ВС, MCflAB?
89
Вариант 4.
Равные отрезки ЛИ и CD пересекаются в точке О, которая является
серединой каждого из них, причем AD = АО.
а)	Установите вид треугольника ADO и постройте отрезки АВ и CD,
о которых говорится в условии задачи, если дан отрезок AD.
б)	Докажите, что ВС ||Л£>.
в)	Сравните отрезки ОМ и СО, если М — середина отрезка AD.
г)	Найдите угол ЛЕС, если Е — точка пересечения биссектрис уг-
лов ВСО и DAO.
д)* Является ли точка О серединой отрезка МН, если М — середи-
на AD, Н — середина ВС?
90
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Начальные геометрические сведения
ВАРИАНТ 1
1.	Начертите две пересекающиеся пря-
мые и выберите на одной из них от-	/
резок, не имеющий общих точек с	/
другой прямой. Укажите точку, ко-	/
торая одновременно принадлежит	/
обеим прямым.	I
2.	Сколько лучей с началом в указан-	/
ных точках изображено на рисунке	^-Х*'***-^
173?
3.	Начертите неразвернутый угол АОВ.
Проведите луч ОМ во внутренней	ис
его области. Отметьте точку К, кото-
рая принадлежит внутренней области угла ЛОЛ/, и точку А, при-
надлежащую внешней области угла АОВ.
4.	а) Серединой отрезка называется...
б)	На рисунке 174 ОС — биссектриса угла АОВ.
Сравните углы АОМ и МОВ.
5.	Точки А, В и С лежат на одной прямой; АВ = 4 см, АС - 10 см. Дли-
на отрезка ВС равна...
6.	АС = 17 см, АВ = 10 см, ВС = 8 см. Лежат ли точки А, В и С на од-
ной прямой?
7.	Угол, равный 160°, делится лучом с началом в вершине угла на два
угла, один из которых больше другого на 20°. Тогда эти углы рав-
ны...
8.	На рисунке 175 Z.COA = 40°, ОМ — биссектриса АСОВ. Тогда
LMOB -...
В
91
9.	Какой еще из углов, изображенных на рисунке 176, равен 40°?
Почему?
10.	На рисунке 177 ABA.BF. Может ли угол ACF быть равным 90°?
Почему?
ВАРИАНТ 2
1.	Начертите две пересекающиеся прямые и выберите на одной из них
отрезок, который имеет общую точку с другой прямой. Укажите
точку, которая лежит на одной из этих прямых, но не принадлежит
выбранному отрезку.
2.	Сколько лучей с началом в указанных точках изображено на ри-
сунке 178?
3.	Начертите неразвернутый угол COD. Проведите луч ОЕ по внут-
ренней его области. Отметьте точку А, которая принадлежит внут-
ренней области угла DOE, и точку В, которая одновременно при-
надлежит внутренней области угла COD и внешней области угла
DOE.
4.	а) Биссектрисой угла называется...
б)	На рисунке 179 О — середина отрезка АВ. Сравните отрезки АС
и СВ.
5.	Точки Е, F и М лежат на одной прямой; EF= 5 дм, ЕМ = 12 дм.
Длина отрезка FM равна...
		 /	ь / А [о Рис. 178		1—1	1 ОС в Рис. 179
92
Рис. 180
6.	EF =25 см, ЕМ = 10 см, MF =
= 16 см. Лежат ли точки В, М и F
на одной прямой?
7.	Угол, равный 80°, делится лучом
с началом в вершине угла на два
угла, такие, что градусная мера
одного угла в три раза больше
другого. Тогда эти углы равны...
8.	На рисунке 180 LAOF= 100°,
О В — биссектриса LAOE. Тогда
ААОВ=...
9.	Какой еще из углов, изображн-
ных на рисунке 181, равен 150°?
Почему?
10. На рисунке 182 с±/>. Может ли быть, что cl. а! Почему?
№ 2. Треугольники
ВАРИАНТ 1
1.	ААВС = АЛ1В1С1, ВС = В1С1, £Л = 35°. Тогда АА\ = ...
2.	На рисунке 183 АВ = FM, АС = ЕМ, ABAC = LFME. Найдите
93
Рис. 186
3.	Медианой треугольника называется...
4.	При помощи линейки и угольника начертите высоты, опущенные
из вершин В и С (рис. 184).
5.	На рисунке 185 АВ = ВС, LBAC = 40°, AD = DC. Найдите Z.1 и
LBDC.
6.	Укажите пару равных треугольников, изображенных на рисунке
186. Обоснуйте.
7.	На рисунке 187 АВ = AD и ВС = CD. Является ли СА биссектрисой
угла BCD?
8.	На рисунке 188 укажите отрезки с концами в обозначенных точ-
ках, которые являются радиусами, диаметрами и хордами окруж-
ности.
9.	Начертите произвольный угол и произвольный луч. С помощью
циркуля и линейки от данного луча отложите угол, равный дан-
ному.
10.	Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки разделите его
пополам.
Рис. 187
94
ВАРИАНТ 2
1.	A EFM = A	LF= LF\, E\MX = 7 см. Тогда EM = ...
2.	На рисунке 189 EL = AF, LK = AM, LELK= LMAF, ...ZE = 40c.
Тогда LF=...
3.	Высотой треугольника называется...
4.	При промощи линейки и угольника начертите высоты, проведен-
ные из вершин К и N (рис. 190).
5.	На рисунке 191 EF=FM, LEFA = LMFA, £ FEA = 50°. Найдите
Z.1 и LFAE.
6.	Укажите пару равных треугольников, изображенных на рисунке
192. Обоснуйте.
Рис. 189
95
7.	На рисунке 193 AD = DC и АВ - ВС. Является ли BD биссектрисой
угла АВС?
8.	На рисунке 194 укажите отрезки с концами в обозначенных точ-
ках, которые являются радиусами, диаметрами и хордами окруж-
ности.
9.	Начертите произвольный угол и с помощью циркуля и линейки
постройте его биссектрису.
10.	Начертите произвольную прямую и выберите на ней произволь-
ную точку. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, ко-
торая проходит через данную точку перпендикулярно к данной
прямой.
№ 3. Параллельные прямые
ВАРИАНТ 1
1. Укажите пары накрест лежащих, односторонних и соответствен-
96
2.	Какие из указанных прямых на рисунке 196 параллельны? Поче-
му?
3.	На рисунке 197 АВ = CD, АС = СЕ, ABAC = ADCE. Имеют ли об-
щие точки прямые ВС и DE2
4.	Пересекаются ли изображенные на рисунке 198 прямые а и с? По-
чему?
5.	а±с, Ь±с. Прямая d пересекает прямую а. Пересекает ли эта пря-
мая прямую Z>? Почему?
6.	При помощи угольника и линейки проведите прямые, параллель-
ные прямой Z и проходящие через концы отрезка АВ (рис. 199).
7.	Начертите произвольную прямую и выберите точку вне ее. С по-
мощью циркуля и линейки через данную точку проведите пря-
мую, параллельную данной прямой.
8.	На рисунке 200 a||Z>. Чему равен А1. Почему?
4 Зив Б. Г.
97
9. На рисунке 201 a\\b. Чему равен угол ВАС?
10. На рисунке 202 Zl = Z.2. Равны ли углы 3 и 4? Почему?
ВАРИАНТ 2
1. Укажите пары накрест лежащих, односторонних и соответствен-
ных углов, изображенных на рисунке 203.
2. Какие из указанных прямых на рисунке 204 параллельны? Поче-
98
3.	На рисунке 205 АВ = CD, АС = СЕ, ВС = DE. Имеют ли общие точ-
ки прямые АВ и CD?
4.	Пересекаются ли изображенные на рисунке 206 прямые тик? По-
чему?
5.	В прямоугольном треугольнике ABC LC- 90°, Е G ВС. Через точ-
ку Е проведена прямая, перпендикулярная к ВС. Пересечет ли эта
прямая прямую ЛС? Почему?
6.	При помощи угольника и линейки проведите прямые, параллель-
ные прямой т и проходящие через концы отрезка Ей F (рис. 207).
7.	Начертите произвольный треугольник АВС и с помощью циркуля
и линейки проведите прямую, проходящую через вершину В и па-
раллельную прямой АС.
8.	На рисунке 208 тЦп. Чему равен Z.1? Почему?
99
9.	На рисунке 209 m||n. Чему равен угол ВАС!
10.	На рисунке 210 L1 + Z.2 = 180°. Равны ли углы 3 и 4? Почему?
№ 4. Соотношение между сторонами и углами
треугольника
ВАРИАНТ 1
1.	В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20°. Тог-
да угол при вершине треугольника равен...
2.	В треугольнике АВС АВ = 10 см, ВС =11 см. Сравните углы С и А.
3.	В треугольнике АВС /~А = Z.C, BD — медиана. Тогда LBDC ра-
вен. ..
4.	Две стороны треугольника равны 1 см и 0,9 см. Найдите третью
сторону, если ее длина выражается целым числом.
5.	Треугольники на рисунке 211 прямоугольные. По данным рисунка
АС
найдите отношение .
6.	В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) АС = 10 см, LB =
= 60°. Тогда расстояние от вершины С до гипотенузы АВ равно...
100
7.	a ||Z>, A E a, В G b, C G a, AB ± b, AB = 7 см. Расстояние от точки
С до прямой b равно...
8.	Начертите две параллельные прямые и изобразите множество то-
чек, равноудаленных от этих прямых.
9.	Начертите тупоугольный треугольник ABC (LC тупой). Построй-
те остроугольный треугольник с основанием АС и имеющий вы-
соту, опущенную на сторону АС, равную высоте данного тре-
угольника, опущенной на прямую, содержащую их общую сторо-
ну.
10.	Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный тре-
угольник по основанию и углу при основании.
ВАРИАНТ 2
1.	В треугольнике ABC LA = 30°, Z.B=100°. Тогда внешний угол
при вершине С равен...
2.	В треугольнике ABC LA = 40°, LC = 4Г. Сравните стороны ВС и
АВ.
3.	В треугольнике EFK LE= LK, FMLEK. Сравните углы EFM и
MFK.
4.	Две стороны треугольника равны 0,9 см и 1,9 см. Найдите третью
сторону, если ее длина выражается целым числом.
5.	Треугольники на рисунке 212 прямоугольные. По данным рисун-
ка найдите разность NF—N\ F{.
6.	В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) LB = 60°. Рассто-
яние от вершины С до гипотенузы АВ равно 8 см. Тогда АС =...
7.	я||А, АЕа, BEb, АВ .La, АВ= 12 см. Тогда расстояние между пря-
мыми а и b равно...
8.	Начертите прямую и некоторый отрезок. Изобразите множество
точек, удаленных от данной прямой на расстояние, равное длине
данного отрезка.
101
9.	Начертите остроугольный треугольник АВС. Постройте тупо-
угольный треугольник с основанием АС и тупым углом при
вершине С, такой, чтобы его высота, опущенная на прямую
АС, была равна высоте данного треугольника, проведенной из
вершины В.
10.	Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный тре-
угольник по боковой стороне и углу при вершине.
102
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
• 1.
1.	4. Точка пересечения прямых.
2.	4. Нет.
3.	3. Точка D.
4.	3. Точка 7V.
5.	3. Пересекаются или не имеют общих точек. 4. Можно.
6.	3. Может. 4. Может.
7.	1. Шесть, четыре или одну (рис. 213). 2. 15.
8.	1. Шесть, четыре или одну (рис. 214). 2. 15.
12.
1.	1. 1) Три; 2) три.
2.	1. 1) Три; 2) три.
3.	1. 1) 12 неразвернутых углов и 6 развернутых углов.
4.	1. 1) 16 неразвернутых углов и 8 развернутых углов.
5.	1. 12 неразвернутых углов и 3 развернутых угла.
6.	1. 8 неразвернутых углов и 2 развернутых угла.
Рис. 213
Рис. 214
103
S3.
1.	1. AB<DB. 2.LAOC-LDOB.
2.	1. EK>NL. 2. LMOK~ LNOL.
3.	X.CE^AB.
4.	l.MC - AB. 2. Да, является.
5.	1. Да.
7. 1. BC<AB или ВО AB. 2. LMON = LAOC.
8. 1. ВО AC или BC<AC. 2. LAOC = LBOD.
§4.
1.	1. 20 см или 3 см. 2. 1) 45° или 135°; 2) острым или тупым; 3) да, если
луч ОС проведен во внутренней области угла АОВ.
2.	1. 130 дм или 16 дм. 2. 1) 60° или 180°; 2) острым или развернутым; 3) да,
если луч ОС проведен во внутренней области угла АОВ.
3.	1. 4,7 дм и 1,6 дм, или 3,3 дм и 6,4 дм. 2. 1) 16°, 64°; 2) 160°, тупым.
4.	1. 44 см и 20 см или 76 см и 100 см. 2. 1) 25° и 75°; 2) 50°, острым.
5.	1. 102 см.
6.	1. 33 м. 2. 120°.
7.	1. Точка D лежит между точками А и В, DB - 3,5 см или точка В лежит
между точками А и D, DB •* 7 см. 2. 36° и 54°.
8.	1. Точка М лежит между точками А и В, МВ -4 см или точка В лежит
между точками А и М, МВ - 12 см. 2. 45°.
S 5.
1.	1. 36° и 144°. 2. 50°, 40°, 130°.
2.	1. 70° и 110°. 2. 50°, 50°, 40°.
3.	1. 90°, 60°, 150°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.
4.	1. 90°, 50°, 40°. 2. 80°, 100°, 80°, 100°.
5.	1. 45°, 135°. 2. Да.
6.	1. 135°.
8 6.
1.	1. 45°. 2. Pabc>Pabd-
2.	1. 17 см. 2. Pdfk<Phfk-
3.	1. 110°. 2. 12 см, 12 см, 12 см; 12 см, 14 см, 14 см.
4.	1. 20°. 2. 45 см.
5.	1. 55°. 2. 10 см или 6 см.
6.	1. 14 см; 90°. 2. 9 мм или 15 мм.
7.	1. 120°. 2. 35 см.
8.	1. 110°. 2. 60 см.
§7.
3. 1. 40°. 2. Да; да.
4. 1. 110°. 2. Pabd “ Pebd-
104
§ 8.
1.	1. Для ДА DC. 2. LABC- 81°, LFEC- 90°.	В
2.	1. Для ДЕ1К и ДЫК. 2. 20 дм; 65° 15'.
3.	2. 135°.	/
* A D С
8 9.	Bi
5. 1. 10 см. 2. 70°, 70°.
6. 1. 15 дм. 2. т~ 1.	\
Ei Ai D\ Ci
3 10.
Рис. 215
1. BD — B\D\.
2. LBDC — LB\D\C\.
7.	На прямых AC и AiCi за точки А и Ai отложены отрезки АЕ и AiEi,
соответственно равные АВ и Ai Bi (рис. 215). Точки Е и В, Е\ и В\ соединим
отрезками, Д ЕВС - Д Е\В\С\, так как ВС - В\С\, LC = Z.C1 и СЕ — С\Е\ (СЕ —
- АС + АВ и С\Е\ - AiCi +Л1В1). Из равенства этих треугольников следует, что
ЕВ — Е\В\ и LBEC — LB\E\C\. Тогда ДЕАВ — ДЕ\А\В\ и АЕ — А\Е\. В таком
случае AC^AiCi и дальнейшее доказательство очевидно.
8.	Пусть ВМ и В\М\ — медианы треугольников АВС и AiBiCi, причем
BM—B\Mi. Кроме того, ДАВМ — ДА1В1М1 и Z.MBC — Z-MiBiCi (рис. 216). Про-
должим ВМ и В] М1, как указано на рисунке, так, что МD — МВ и Мi D\ - М\ В\,
Д ВМС = Д DMA и Д BiMiCi - Д D\M\A\. Отсюда следует, что Z. BDA — А.МВС и
LB\D\A{ — LM\B\C\. Так как BD — B\D\, LABM — LA\B\M\ и £_BDA —
- L B\D\A\, то Д ABD — Д AiBiDi. Отсюда АВ — А]В]. Аналогично можно доказать,
что ВС — BiCi. В таком случае ЛАВС - AiBiCi по двум сторонам и углу между
ними.
8И.
7.	Точки А, Е, К и F лежат на окружности с центром в точке В (рис. 217).
8.	Точки А, Е, С и О лежат на окружности с центром в точке К.
Рис. 216	Рис. 217
105
§ 12.
7. 2. Необходимо учесть, что 54° : 3 - 18° и 54° • 3 - 162°. Тогда, учитывая, что
162°- 180° - 18°, легко построить угол в 18° и разделить данный угол в 54° на три
равные части.
8. 1. Точка М является точкой пересечения окружности с центром в точке А и
радиусом, равным PQ, с биссектрисой угла EOF. Таких точек может быть две, одна
или ни одной. 2. Необходимо учесть, что 35° : 7 - 5° и 35° -5-175°. Тогда, учитывая,
что 175° - 180° — 5°, легко построить угол в 5° и разделить данный угол в 35° на
семь равных частей.
§13.
1. 1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да.
2. 1. 1) Да; 2) да; 3) да; 4) да.
7. Соединим точки А и D, A AED - A AFD по трем сторонам. Отсюда LEAD -
= LDAF. Так как треугольник AMD равнобедренный, то LEAD - LMDA. В таком
случае LMDA = LDAF, тогда MD^AC.
8. A ADB - А СЕВ по двум сторонам и углу между ними. Тогда АВ - ВС, и
отсюда LBAC - LBCA. По условию LBAC - LMAC. Поэтому LMAC - LBCA и
АМ||ВС.
§14-
1.	1. Да. 2. Да.
2.	1. Да. 2. Да.
3.	1. Да, да.
4.	1. Да, да.
7. 1. Соединим точки А и С, В и D, С и Е, А ABC* A BCD-* ACDE по двум
сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников вытекает, что LDBC —
— LACB и LBDC — LDCE. Тогда С А ||ЯО и С/<||ЯЛ. Но через точку С можно
провести только одну прямую, параллельную BD. Поэтому точки А, С и Е лежат
на одной прямой.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
§15.
1.	1. 45° и 135°. 2. 45°.
2.	1. 58° и 122°. 2. 50°.
3.	1. 20°.
4.	1. 140°.
5.	1. A DBC равнобедренный, а потому LB DC - LBCD. Т. к. BE\\DC, то
LABE = LBDC и LEBC-LBCD. Из этого следует, что LABE- LEBC, BE —
биссектриса равнобедренного треугольника АВС и потому В Ел. АС. А так как DCftBE,
то DC± АС.
6.	1. Так как ЛЕЦАС, то LDEA — LEAC, а так как треугольник АОЕ равнобед-
ренный, то LDEA — LDAE. Тогда имеем, что LDAE — LEAC и АС — биссектриса
равнобедренного треугольника ВАС, а потому АЕ1. ВС.
106
7.	Пусть LPKA-x и LPEA — y (рис. 218). Так как КР-РА и РЕ-РА, то
LKAP-x и LPAE-y. По условию KE\\MN, а потому LKAM -х и LEAN —у. Так
как LMAN — развернутый угол, то 2х + 2у - 180°. Отсюда х + у - 90°, т.е.
LKAE - 90° и ABA. AD.
8.	Через точку С проведем луч СМ, параллельный AD и BE (рис. 219). Пусть
LADC — x и LCEB — y. Так как треугольники A DC и СВЕ равнобедренные, то
LACD-x и LBCE — y. По построению СМ параллельна AD и BE, а потому
LDCM — х и LECM — у. LACB развернутый, а потому 2х + 2у- 180° и х + у-=
-90°, т.е. LDCE- 90° и DCa.CE.
«16.
1.	1. 50°. 130°. 50°. 2. Нет.
2.	1. 120°, 120°, 120°. 2. Нет.
3.	1. Нет.
4.	1. Нет.
5.	1. 50°. Указание. Через точку Е провести луч ЕМ параллельно лучу CD.
6.	1. 70°.
7.	Продолжим отрезок BD за точку D и отложим отрезок DE, равный BD. Точки
А и Е соединим отрезком; Д В DC — & ADE по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда следует, что LCBE — LBEA, а потому ВС ||ЛЕ. Так как АВ - 2BD, то АВ -
-BE и Д АВЕ равнобедренный. Поэтому LBAE-LBEA. По доказанному ВС||Л£,
отсюда LEBC — LBAE и LBAE — LCBF. Таким образом, LEBC — LCBF, т.е. ВС —
биссектриса угла DBF.
8.	Задача решается аналогично задаче 7.
«17.
1.	1. Нет. 2. Да.
2.	1. Нет. 2. Да.
3.	1. 130°.
4.	1. 85°.
107
5.	1. Сумма углов двух треугольников АБС и BCD равна 360° (рис. 220). Значит,
LABD + LACD + Z. А + LBDC = 360°, откуда LBDC = 130°.
2.	Продлим отрезок ВО до пересечения со стороной АС в точке (рис. 221).
Тогда Z.1=Z.2 + Z.3, Z.4 - Z.5 + Z.6. Так как ОА = ОВ и ОВ-ОС, то Z.3 - Z.2,
Z.5 = Z.6. Тогда LАОС = 2LABC - 120°.
6.	1. Продлим отрезок AD, как показано на рисунке 222. LBDE = LBAD +
+ LABD, LEDC = LCAD + LACD. Значит, LBDC - LABD + LACD + LA - 171°.
2.	Так как Л1)= DB, то LADB = 180° - 2LDBA (рис. 223). Аналогично по-
лучаем, что LBDC = 180°- 2LDBC. Значит, LADC - 360° - 2(LDBA + LDBC} -
= 360° - 2LABC = 100°.
7.	1. Па продолжении стороны ВС за точку С отметим точку Е (рис. 224).
LACE- LA + LABC >LABC. Ho LABO <LABC, a LACE<LACD, значит,
LACD>LABO при любом расположении точек О и Р.
108
Рис. 226
2. Пусть Е — середина стороны АВ (рис. 225). Из того, что АО-ВО и АС -
— ВС, можно доказать, что точки О, Е, D лежат на одной прямой и DO А. АВ. Пусть
LAOD = х. Тогда LACO — 90° — так как АО — СО. Из треугольников АСЕ и АОЕ
получаем, что АСАВ — ^г, АОАЕ = 9(У'— х. Значит, ADAE^~ (так как AD —
2	4
биссектриса угла С АВ). Но треугольники DAE и ОАЕ равны. Следовательно,
90 — х “ д’ откУДа х “ 72. Значит, можно доказать, что углы треугольника АВС
равны 36°, 36° и 108°.
8.	1. Так как внешний угол треугольника больше внутреннего несмежного с ним
(рис. 226), то LAPC>LAKP>LABC>LOBC. Ответ. Нельзя.
2. Предположим, что О А — ОВ = ОС. Из того, что треугольники АВС и АОС
равнобедренные, можно доказать, что середина отрезка АС — точка Е (рис. 227)
— лежит на прямой ВО и ВО А. АС. Пусть £.АОВ = х, тогда 2.АВО - 90° —так
как AO-OB. С другой стороны, из треугольника АОЕ получаем LOAE — 90° - х,
LKAO- 90° - х (так как АО — биссектриса угла КАЕ). Значит, /.ВАС — 180° - (180°
х
- 2х) = 2х, откуда 2х - и х — 0. Полученное противоречие говорит о том, что
равенство О А = ОВ = ОС выполняться не может.
518.
1. 1. LB<AK. 2. 90°.
2. 1. АВ<РК. 2.АЕ — ВЕ.
5.	1. Продлим медиану BD на ее длину, как показано
на рисунке 228. Так как треугольники ADE и CDB
равны, то ВС — АЕ, LCAE — LBCA. Значит,
LABE<LBAE. Следовательно, в треугольнике АВЕ
ВЕ>АЕ, откуда 2BD>BC.
2.	У к а з а и и е. Докажите, что BD — ВС, и
сравните DK и DB.
109
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7.	1. LBCA>LABC, так как АВ>АС (рис. 229). Значит,
LBCD> LBCA>LABC>LDBC, откуда из треугольника BDC получаем BD>CD.
2.	Указание. Докажите, что МА — МВ - МС. Отсюда следует, что
медианы треугольника АВС являются его высотами. Значит, треугольник АВС рав-
носторонний.
8.	1. Z.1-Z.2+Z.3, Z.4-Z.5 + Z.6 (рис. 230). Значит, Z.1>Z.3, Z.4>Z.6. Отсюда
следует, что LADOLBCD+ LBAD. Учитывая условие задачи, получаем, что
LADOLDAC. Значит, АО DC.
2. Указание. Аналогично тому, как это сделано в задаче 5 (2), докажите,
что треугольник АОС равносторонний (рис. 231). О т в е т: LBCA — 30°.
§19.
1.	1. Нет. 2. Нет.
2.	1. Нет. 2. Нет.
3.	1. Нет.
4.	1. Нет.
5.	1. Продлим отрезок ВВ\ на его длину, как
показано на рисунке 232. Можно доказать, что
треугольники АВВ\ и DCB\ равны. Учитывая, что
BD<BC + CD, получаем, что 2BBi<BC + АВ.
2.	Не может.
6.	Задачи решаются аналогично задачам
5 (1, 2).
Рис. 232
ПО
7.	1. Пусть в треугольнике АВС медианы AAi и BBi пересекаются в точке О.
Тогда АО + ОВ\>АВ\ и ВО + ОА\>ВА\, значит,
АО + ОВ\ +ВО + OAi >АВ\ + BAi.
Следовательно,
ЛА\ + ВВ\ >0,5(ЛС + ВС).
2.	Пусть прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке D, тогда один из углов
ADB или ADC не острый. Пусть для определенности это будет угол ADB. Тогда из
треугольника ADB AB>AD, а из треугольника ВЕС ЕВ + ЕС>ВС. Так как АВ — ВС,
то AD<EB + EC. Но EA<AD.
8.	1. Пусть отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Тогда
АО + ВО>АВ, АО + OD>AD, OD + ОС>DC, ВО + ООВС.
Значит,
АО + ВО + АО + DO + OD + ОС + ВО + ОС> АВ + AD + DC + ВС,
откуда получаем, что
2(АС + BD) > АВ + AD + DC + ВС.
2.	Пусть прямая AM пересекает сторону ВС в точке D. Можно доказать, что
AB>AD>AM (см. задачу 7(2)). С другой стороны, СЕ + ЕВ>СВ, но СВ — АВ. Значит,
МА<ВЕ +ЕС.
§20.
1.	2. 4 см.
2.	2. 60°.
3.	2. 10 см.
4.	2. 150’.
5.	2. Так как BD-2BC, то £DCB-30° (рис. 233). Значит £САВ- 30°. Отсюда
получаем, что АВ - 2ВС — 4BD, тогда AD — АВ - BD — 3DB.
6.	1. LABB\ -Z.1+Z.2, так как £АВВ\ — внешний угол треугольника АВО
(рис. 234). Аналогично LCBB\ - Z.3 + Z.4. Тогда LABC - L1 + L.2 + L3 + Z.4 -
- LAOC + L2 + Z.4. Из треугольников AOCi и COAi получаем Z.2- 90° - LАОС,
Z.4 - 90° - LAOC. Значит, LABC - 180° - LAOC.
2.	Задача решается аналогично задаче 5 (2).
С ,		□	X д	о в Рис. 233	О /А а Рис. 234 111
г
7.	1. В треугольнике ABC ABAC —90°— АСВА — 50° (рис. 235). Тогда АЕАС -
= 45°, откуда АСЕА —45°. Значит, ЕС - АС. С другой стороны, A DC А — 80° и из
треугольника CDA ACDA — 50°. Следовательно, СЛ-СЛ, значит, СЕ —CD. Из тре-
угольника CED находим, что AEDC = 85°.
2.	В треугольнике ABC АС АВ —90°— АВ-45° (рис. 236). В треугольнике
АЕМ АМЕ А -90° - AMАЕ - 45°. Значит, ME —МА. В треугольнике CDA ACAD —
- 90° - A DC А = 30°. Значит, CD — 0,5 АС — МА. Следовательно, CD - ME.
8.	1. В треугольнике DOC АОС D —20°, в треугольнике ABD ABDA — 40°
(рис. 237). Значит, AADE — 50° и AADC —140° . Тогда в треугольнике ADC
ADAC -20°. Следовательно, DA —DC. С другой стороны, в треугольнике EDC
AECD — 45° и DC — DE. Тогда AD—DE, и из треугольника DEA имеем ADEA -
= 65°.
2. В треугольнике ABC ABAC - 90° - АСВА - 45° (рис. 238). В треугольнике
РМА АМРА — 45°. Значит, МР — МА и АС — 2ЕА, откуда A ЕСА —"50° и АЕАС =
= 60°.
112
921.
5.	1. Пусть D — середина стороны АВ. Тогда треугольники ADE и DBE равны
ио двум катетам. Следовательно, АЕ-ВЕ. Периметр треугольника ЛЕС равен
АС + АЕ + СЕ = АС + BE + СЕ = АС + ВС = АС + 24, откуда находим, что АС = 6 см.
6.	1. Треугольники ADK и BDK равны по катету и острому углу. Значит,
AD — BD. Далее задача решается аналогично задаче 5 (1).
2.	Пусть ВО и СО — биссектрисы внешних углов при вершинах В и С
треугольника АВС (рис. 239). Из точки О проведите перпендикуляры ОМ, ОК, ОР
на прямые АВ, ВС, АС соответственно. Докажите сначала, что ОМ - ОК и ОК =
- ОР, а затем, что АМАО - АРАО.
7.	1. Треугольники ABAt и ACCt равны по двум катетам. Значит, АВ —АС.
Далее можно доказать, что ВС\ = А1С и ВС-АС. Следовательно, треугольник АВС
равносторонний и АВ - 60°.
2.	Из треугольника АВС находим Z.C - 90°. Треугольники BBtC и В\АК равны
по двум сторонам и углу между ними. Значит, можно доказать, что AMAMt =
= AAAiC. Следовательно, треугольники MAMt и AAiC равны по гипотенузе и
острому углу. Значит, AMi -At С, а так как Ai — середина отрезка ВС, то AMi -
-ВА\.
8.	1. Треугольники AOCt и At ОС равны по катету и острому углу (рис. 240),
значит, АОС At - A At АВ и АО-ОС. Следовательно, CCt-AAt и треугольники
ACCi и ACAt равны по катету и гипотенузе. Значит, AAtАС = ACtCA. Таким
образом, каждый из отрезков A At и CCt является одновременно высотой и биссек-
трисой треугольника АВС. Следовательно, этот треугольник равносторонний и АС —
- 2ВА1.
2. Из треугольника АВС находим, что угол ВСА равен 90°. Так как At —
середина ВС, то AMi — At С и треугольники AMMt и AAiC равны по катету и
гипотенузе. Отсюда можно доказать, что прямые ВС и DA параллельны. Следова-
тельно, A DAB — А АВС. Значит, треугольники ADCt и BCtC равны по стороне и
двум прилежащим к ней углам и /JCi — CCt.
113
§22.
1.	1. AC>BD. 2. a) 4 см; 6) 5 cm.
2.	1. AOBD. 2. a) 30°; 6) 10 cm.
3.	1. AB>DC.
4.	1. PM>KE.
5.	1. Один из возможных чертежей к задаче изображен на рисунке 241. Из
условия Z.OAD + LBOE — 90“ получаем, что Z.4ZX7-90’. Треугольники ВОЕ и АОВ
равны по катету и острому углу. Значит, АО-ЕО, откуда AB — DE. Но АС> АВ,
следовательно, AODE.
2.	а) 0,5х; б) 0,5х.
6.	1. Отложим от луча МР угол ЕМР, равный углу O1IP (рис. 242). Треугольники
ОМЕ и ОНР равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда ОЕ — ОР
и НЕ — МР, но НЕ>НК, значит, НК<МР. Любая наклонная, проведенная из точки
М к прямой а, больше МР, и, следовательно, она больше НК.
2. а) Можно доказать, что треугольник АВМ равносторонний (рис. 243).
Значит, все его углы равны 60°. Зная внешний угол равнобедренного треугольника
ВМС при вершине М, найдем, что Z.C - LMBC — 30°. Тогда LABC - 90°. Значит,
АВ — расстояние от точки А до прямой ВС. Из треугольника АВМ находим, что
АВ — х.
б) Проведем МК ± ВС, МС — расстояние между прямыми а и ВС. Из
треугольника МКС находим, что МК-0,5х.
7. 1. Если предположить, что АВ>2АС, тогда на продолжении отрезка АС за
точку С можно отложить последовательно отрезки СК и КЕ так, что СК —АС и
АВ — АЕ (рис. 244). Треугольники В КС и ACD равны но двум сторонам и углу
между ними. Значит, АКВС- 90“ и LBKC острый. Следовательно, Z. В КС <£. КВ С.
Но LABE>£KBC, а £-ВКС>LBEC. Получаем LABE>LBEC, чего быть не может,
т. к. АВ — АЕ. Значит, неравенство АВ>2АС выполняться не может.
2. Пусть прямая а пересекает сторону ВС в точке К (рис. 245). Пусть Е —
середина отрезка МВ. Проведем МТ ± АС, ЕР ± а, ЕО ± ВС. Треугольники АМТ,
МЕР, ЕВО равны по гипотенузе и острому углу. Тогда МТ - ЕР — ВО. Но ЕР — ОК,
так как можно доказать, что ЕО ||а, значит, ВК — 2МТ, причем ВК — это расстояние
от точки В до прямой а, а МТ — расстояние между прямыми а и АС.
8. 1. Если £1)ЕА> 90°, то и в треугольнике ADE AD>ED (рис. 246). Но
AD<AC<AB, значит, ED<AB. Если Z. ДЕЛ <90°, то LDEB — тупой и в треугольнике
Рис. 241
114
Рис. 247
BDE DB>DE. С другой стороны, LBDA>LBCA - 90°. Значит, в треугольнике ABD
AB>DB. Следовательно, ED<AB.
2. Здесь Е — середина МА, ED\\MP (рис. 247), ЕТ\\КР, АО\\КР. Далее задача
решается аналогично задаче 7 (2).
923.
1. 1. Параллельные прямые.
2. 1. Прямую, параллельную прямой АВ.
5. 1. ЯС||ЛЛ, так как точки В и С равноудалены от прямой AD. Учитывая, что
ВО-'ОС, можно доказать, что LOCB-LOBC и AO-OIJ. Треугольники АВС и
CBD равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Построим две прямые, соответственно параллелльные сторонам угла,
115
Рис. 250
удаленные от них на расстояние, равное данному отрезку (рис. 248). Точка А пересечения
данных прямых будет искомой.
6.	2. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на ней (рис. 249). Построим
окружность с центром А и радиусом, равным данному отрезку, и прямую Ь, парал-
лельную а, удаленную от прямой а на расстояние, равное данному отрезку. Точки
В и С пересечения построенных окружности и прямой b являются искомыми.
7.	1. BE\\AD, так как точки В и Е равноудалены от прямой AD. Проведем
отрезки BE и BD (рис. 250). Треугольники ВМЕ и АМС равны по стороне и двум
прилежащим углам. Значит, AC BE CD. Треугольники BCD и BED равны по
стороне и двум прилежащим углам. Значит, ВС = ED.
2.	Через точку С — середину отрезка АВ проведем прямую а, перпендику-
лярную АВ (рис. 251). От точки С на прямой а отложим отрезки МС и М\С,
равные РО. Точки М и М\ будут искомыми. В самом деле, треугольники АМС и
ВМС равны по двум катетам, значит, МА - МВ, МС - РО по построению. Аналогично
проводится доказательство для точки Mi.
8.	1. ЛЛ||АС, так как точки В и D равноудалены от прямой АС. Построим
ЕС ± BD, ЕО- ОС (рис. 252). Тогда ED=CD, так как треугольники EOD и COD
равны ио двум катетам. Аналогично BE = ВС. В треугольнике AED АЕ< AD + DE.
Тогда, учитывая доказанное и условие, получаем, что 2BC<AD + DC.
2. Построение дано на рисунке 253.
§24.
5.	1. Так как LB= 15°, то треугольник АВС можно построить по стороне АВ и
двум прилежащим к ней углам.
116
Рис. 252
2.	Построим треугольник В\ ОС по трем сторонам. Затем построим треугольник
ВОС по стороне ОС, углу ВСО, равному угла В\СО и углу ВОС, смежному с углом
Bi ОС (рис. 254). Аналогичным образом строим треугольник АВВ[.
6.	1. Если Z.S=120“, Z.C = 45°, LA 15°. Для построения угла в 15° построим
произвольный равносторонний треугольник и разделим один из его углов на четыре
равные части. Теперь треугольник АВС можно построить по двум сторонам АВ и
АС и углу между ними.
7.	1. Пусть прямая А пересекает отрезок АВ в точке D. Построим отрезок В Ел
BE ± а, ВО = ОЕ (рис. 255). Искомая точка С получается при пересечении прямых
а и АЕ.
2. Построим треугольник МВК по трем сторонам так, чтобы МВ — РК. Затем
построим ВР\\МК, РК\\МВ (рис. 256). Треугольник РКС построим по стороне РК,
углу КРС, смежному с углом ВРК, и данному углу РКС. Точку А получим пере-
сечением прямых МВ и СК. Треугольник АВС искомый. В самом деле, МК\\ВС,
КРЦАВ по построению. Можно доказать, что треугольники МВК и ВРК равны по
стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, МВ - РК.
8.	1. Пусть стороны угла А лежат на прямых Ь и с. Построим отрезок AD с
серединой в точке М (рис. 257). Затем через точку D проведем прямую а, парал-
лельную прямой с. В — точка пересечения прямых а и Ь. Точку С построим как
пересечение ВМ и с. Точки В и С являются искомыми. В самом деле, можно
Рис. 254
Рис. 256
В
117
Рис. 257
Рис. 258
доказать, что треугольники BMD и АМС равны по стороне и двум прилежащим к
ней углам. Значит, ВМ - МС и отрезок AM является медианой треугольника АВС.
2.	Построим треугольник АМК по трем сторонам так, чтобы AM — PQ, МК —
-Pl Qi, KA-P2Q2 (рис. 258). Треугольник АМС построим по стороне AM, углу А
и углу АМС, равному hk. Построим МЕЦАС, ЕСЦМК. Точку В получим как пере-
сечение прямых AM и ЕС. Треугольник АВС будет искомым.
В самом деле, Л/ЕЦЛС по построению. Можно доказать, что треугольники МКС
и МЕС равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, МК — ЕС. Кроме
того, 4.АМС, АС — ME, AM равны данным по построению.
9 25.
3.	1. Пусть требуется построить треугольник АВС с прямым углом С по катету
ВС и медиане ВМ. Построим сначала треугольник ВМС по катету и гипотенузе.
Далее построим треугольник АВС по двум катетам ВС и АС - 2МС.
2,	Пусть угол при вершине искомого треугольника равен х. Тогда угол при
основании равен 90° — 0,5х. Построив этот угол, можно затем построить искомый
треугольник по основанию и двум прилежащим углам.
4.	1. Пусть требуется построить остроугольный треугольник АВС по высоте ВМ
и углам АВМ и МВС. Треугольники АВМ и СВМ строим по катету и прилежащему
острому углу. Треугольник АВС будет искомым.
2.	Пусть требуется построить треугольник АВС с прямым углом С по высоте
CD и углу В. Вначале построим треугольник CBD по катету CD и противолежащему
углу В. Треугольник АВС строим по катету ВС и острому углу В, прилежащему к
этому катету.
5.	1. Пусть даны отрезки Р\О\ и Р2О2 и угол hk. Требуется построить треугольник
АВС, в котором АВ — Р\О\, LA — Lhk, ВС — Р2О2.
Проведем прямую а, на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный
отрезку Р\ Oi (рис. 259). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk. Далее
построим окружность с центром В и радиусом Р2О2. Соединив точку В с точкой
С— точкой пересечения окружности и луча AM, построим искомый треугольник
АВС. Задача может не иметь решения, если окружность не пересечет луч AM, или
иметь два решения, если окружность пересечет луч AM в двух точках.
2.	Пусть требуется построить треугольник АВС по высотам BBi и CCt и углу
А. Построим треугольники ABBt и ACCt по катету и противолежащему углу
(рис. 260). Далее соединим точки В и С отрезком.
118
Pl H-4-4O1
P2 '-H—lo2
Рис. 260	Рис. 261
Рис. 259
6.	1. Вначале постройте угол, равный третьему углу треугольника, а затем
выполните построение треугольника по стороне и двум прилегающим углам. Задача
может не иметь решения, если сумма данных углов не меньше 18°.
2.	Пусть требуется построить треугольник АВС по высотам ВВ\ и AAi и углу
А. Построим сначала треугольник ABBi по катету и противолежащему углу, а затем
треугольник ABAi по гипотенузе АВ и катету AAi (рис. 261). Точка С получается
пересечением прямых ABi и BAi.
7.	1. Вначале построим треугольник АВМ по двум сторонам АВ и ВМ и углу
АМВ, противолежащему одной из них. Затем строим треугольник АВС но углам А
и ВСМ и стороне АВ.
2.	Вначале построим угол С, равный 180°—(АВ+АА). Затем построим
треугольник CDB по катету BD и противолежащему ему углу С. Треугольник АВС
строится по сторонам АС и ВС и углу С между ними.
8.	1. Сначала построим треугольник АВМ по двум углам АВМ и AM В и стороне
AM, противолежащей одному из них. Треугольник АВС строится по сторонам АВ
и ВС и углу А, противолежащему стороне ВС.
2. Сначала построим треугольник BCD по катету CD и гипотенузе ВС. Затем,
используя данную разность углов А и В, построим угол hk, равный углу А. После
этого построим угол, равный разности прямого угла и построенного угла h/c. Угол,
равный построенному, отложим от луча CD в сторону, противоположную вершине
В. Сторона этого угла пересечет прямую BD в точке А. Треугольник АВС — искомый.
|26.
1.	3. 80°. 4. АОЛМ.
2.	2. 70°. 4. МВ>АК.
3.	2. 4<AD<8.
4.	2. 5<ЕР< 10. 3. 5.
5.	3. Треугольник BAD равнобедренный, АС — биссектриса угла BAD. Тогда
AC ± BD. Пусть О — точка пересечения отрезков АС и BD. Можно доказать, что
АО-ОС, BO — OD, АОВА- АОВС, ААВО>45°, так как £АЯС>90° и ТО АТ.
Значит, АВАО<45°, ААВО>АВАО. Следовательно, АО>ВО и AC>BD.
4.	Если из точки Т провести перпендикуляры ТМ и ТК соответственно на
прямые AD и АВ, то получившиеся прямоугольные треугольники АМТ и АНТ равны
по гипотенузе и острому углу. Отсюда следует, что ТМ = TH.
6.	3. Пусть ТР и КМ пересекаются в точке Л. ТА-АР, МК1.ТР, так как
треугольник ТМР равнобедренный. Так как КТ—ТМ, то АК —AM, АКТА — AATM,
119
LKTA<45°, так как КО>ОМ и LOTK= 44°. Значит, LTKA>45°. Следовательно,
АТЖА и ТР>КМ.
4..	Пусть ОВ и ОС — перпендикуляры, проведенные к прямым ТМ и МР
из точки О. Треугольники ОВМ и ОСМ равны по гипотенузе и острому углу, значит,
ОВ = ОС.
7.	Рис. 262. 1. Так как ОВ = ОА, то LBOA = 180° — 2LABO, аналогично LCOD
= 180° — 2LOCD. Значит, LAOB = LCOD.
2.	LAOC = LAOB + LBOC, LBOD = LCOD + LBOC. Значит, LAOC -= LBOD.
Тогда треугольники АОС и BOD равны по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, АС = BD.
3.	Треугольники АВО и COD равны по двум сторонам и углу между ними.
Значит, АВ = CD. Тогда треугольники ЛВС и BDC равны по трем сторонам. Тогда
LDBC = LACB. Аналогично LCAD = BDA. Но LDBC = LADB, так как BC[[AD.
Следовательно, LDBC = LCAD.
4.	Проведем перпендикуляры ОР и ОК из точки О к прямым AD и ВС\
АР = PD, ВК = КС, так как треугольники AOD и BOD равнобедренные, значит,
PD>KC. Отметим на отрезке PD точку А так, что РЕ - КС. Проведем £7'||ОР и
TH\\PD. РЕ “НТ, так как ETLOP, значит, треугольники О КС и ОНТ равны по
гипотенузе и катету, поэтому ОН -= ОК. 'Гак как ОН>ОР, то ОК>ОР.
8.	1. Треугольники КОМ и РОН (рис. 263) равны по трем сторонам, значит,
LKOM = LPOH.
2.	LPOK - LKOM — РОМ, LMOH = LPOH — LPOM, значит, LPOK =
= LMOH. Тогда треугольники РОК и МОН равны по двум сторонам и углу между
ними. Значит, LKPO = LOM11. Но LPOK + 2LKPO - 180°, так как треугольник РКО
равнобедренный. Значит, LPOK + 2LOMH- 180°.
3.	РК = МН, так как треугольники РОК и МОН равны. Тогда треугольники
КРМ и НМР равны по трем сторонам. Значит, LKMP “ LHPM. Аналогично
LMKH=LP11K. Но так как по условию LMPH=LMKH, то LKMP— LMKH. А
отсюда следует, что РМЦКН.
4.	Опустим перпендикуляры ОА и ОВ из точки О на прямые КН и РМ
соответственно. Тогда ОА<ОВ, АН = АК, РВ“ВМ, так как треугольники РОМ и
КОН равнобедренные. Отложим на луче О А отрезок ОС, равный ОВ (см. рис. 263).
Проведем CDLOA, /7А||ЛС. Треугольники ОВМ и OCD равны по катету и гипотенузе,
значит, BM“CD. С другой стороны, AE“CD, так как AC||ED. Но АЕ<АН, сле-
довательно, ВМ<АН и РМ<КН.
Рис. 263
120
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№ 1
1.	1. 135°. 2. AB>CD. 3. а) 50°, 40°; б) углы МОВ и СОК не являются
вертикальными, так как их градусные меры не равны. 4. Одну, две или три точки
(рис. 264).
2.	1. 20°. 2. 102 мм. 3. а) 50°, 40°; б) если бы точки А, К, В лежали на одной
прямой, то углы АКН и МКВ были бы вертикальными, но эти углы не равны.
Значит, точки А, К, В не лежат на одной прямой. 4. См. рис. 265.
3.	1. Да. 2. РК- НМ. 3. а) Да; б) LEOB + АРОВ - РОЕ. Значит, LPOE-* 180°,
т.е. угол РОЕ является развернутым и точки Р, О, Е лежат на одной прямой.
Следовательно, углы ЕОВ и РОА будут вертикальными. 4. Можно (рис. 266).
4.	1. 90°. 2. 125 мм. 3. а) /Да; б) задача решается аналогично задаче 3 (Зб) -
4. На шесть или семь частей (рис. 264).
№2
1.	4. Построить угол, равный разности прямого и данного, и разделить полученный
угол пополам.
121
2.	4. Разделить прямой угол на восемь равных частей и взять одну из них.
3.	4. Отложить данный угол последовательно 3 раза и вычесть из построенного
прямой угол.
4.	Построить угол, равный 0,25 прямого, и найти разность между прямым и
построенным.
№3
1.	1. 50е. 2. Нс могут. 3. а) 51°.
2.	1. 40°. 2. Да.
3.	1. 120°. 2. Ни одной, так как а||с. 3. а) 63°.
4.	1. 90°. 2. Одну. 3. а) 135°.
№4
1.	1. АС>ВС. 2. 2. 30°.	3. б) По неравенству треугольника BC<DC + BD-
-2BD - ДАВ. 4. Если все стороны треугольника имеют разные длины, то методом
доказательства от противного можно доказать, что один из его углов меньше 60°.
Значит, при любом разрезании данного треугольника один из образовавшихся тре-
угольников будет иметь угол меньше 60°, а следовательно, не будет равносторонним.
Ответ: нельзя.
2.	1. Z.C-120°, LA - 40°, 419-20°. 3. б) Находим ADBC — 60°. Значит, ВС-
- DC - AD, АВ<АС - 2ВС, откуда и следует утверждение, которое требуется доказать.
4. Рис. 267. Можно доказать, что при данном составлении равнобедренных прямо-
угольных треугольников ADP, BDP, ВЕР и РЕС точки Р, D и Е будут лежать
соответственно на отрезках АС, АВ, ВС, а отрезки АВ и ВС будут равными. Ответ:
можно.
3.	1. АВ - ВС. 3. б) Аналогично заданию а) можно доказать, что LABD — LC.
Тогда в треугольнике ABD AD>BD, а в треугольнике BCD BDLDC. Значит, AD>DC.
4. Рис. 268. Здесь Z./MC-30°, LABD — 30°, А АВС -90°. Можно доказать, что тре-
угольник DBC равносторонний, а треугольник ABD равнобедренный. Ответ:
можно.
4.	3. Из треугольника МНС получаем АС<АМНС, значит АС<АВАС. Тогда в
треугольнике АВС АВ<ВС.
4. Треугольник можно разрезать на два треугольника только прямым разрезом,
проходящим через вершину. Пусть отрезок AM (М G ВС) разделил разносторонний
треугольник АВС на два равных треугольника АМВ и АВС, тогда АВ — АС. Значит,
АВ — АС, чего быть не может. Ответ: нельзя.
122
№5
1.	д) Если предположить, что АЕ - ЕС, то отрезок ED будет высотой и медианой
треугольника ЛЕС. Тогда через точку D на прямой АС будут проведены две прямые
BD и DE, перпендикулярные АС, чего быть не может.
2.	д) Можно доказать, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС
равноудалена от его вершин.
3.	д) Так как LBCA - 30°, LABC - 90°, то АВ - 2ЛС. Можно доказать , что
ВО - АО - ОС. С другой стороны, треугольники ВСО и МОЛ равны по двум сторонам
и углу между ними. Значит, ВО - ОМ. Таким образом, точка О равноудалена от
точек А, В, С, М. Значит, через эти точки можно провести окружность с центром
О.
4.	д) Можно доказать, что треугольники НСО и MOD равны, причем НО -
-ОМ и LCOH - LMOD - 30°. Тогда LHOM - L АОМ + LAOC + + LCOH - 180°,
Значит, точки Н, О, М лежат на одной прямой. Следовательно, точка О является
серединой отрезка МН.
8 КЛАСС
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24*
25
26
27
28*
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Тема
Многоугольник, четырехугольник
Параллелограмм и его свойства
Признаки параллелограмма
Трапеция
Задачи на построение параллелограмма и трапеции
Прямоугольник
Ромб и квадрат
Задачи на построение прямоугольника, ромба, квадрата
Свойства площадей многоугольников, площадь квадрата и прямоугольни-
ка
Площадь параллелограмма
Площадь треугольника
Площадь трапеции
Теорема Пифагора
Площади многоугольников
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников.
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй и третий признаки подобия треугольников
Средняя линия треугольника. Свойство медиан треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Задачи на построение, решаемые методом подобия
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника и их
значение для углов 30°, 45° и 60°
Решение прямоугольных треугольников
Подобие треугольников
Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружно-
сти
Теорема о вписанном угле
Теорема о произведении отрезков хорд
Окружность
Четыре замечательные точки треугольника
Вписанная окружность
Описанная окружность
Понятие вектора
Сложение векторов
Вычитание векторов
Умножение вектора на число
Применение векторов к решению задач
Средняя линия трапеции
Итоговое повторение (четырехугольники, площади, подобные треугольни-
ки)
Итоговое повторение (окружность)
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики
126
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Многоугольник, четырехугольник
1.
1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE вершина В соединена равными
диагоналями с двумя другими вершинами. Известно, что LABE* 1*
= LCBD, LBEA = LBDC. Докажите, что периметры четырех-
угольников ABDE и BEDC равны.
2. Дан выпуклый девятиугольник с равными углами. Найдите эти уг-
лы.
2.
1.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEF АВ = AF. Из вершины А к
двум не соседним вершинам проведены равные диагонали, причем
LBAC = LEAF. Докажите, что периметры четырехугольников
ЛВСЕ и ACEF равны.
2.	Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его
углов равна 540°?
3.
1. Выпуклый четырехугольник ABCD имеет две пары равных между
собой смежных сторон: АВ = AD, ВС = CD, О — точка пересечения
диагоналей четырехугольника. Сравните периметры пятиугольни-
ков ABCOD и ABOCD.
2. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника не
зависит от числа сторон многоугольника.
4.
1. Диагональ АС невыпуклого четырехугольника ABCD разделяет
этот четырехугольник на два треугольника, причем АВ > ВС,
AB = AD, ВС-CD, а прямые, содержащие диагонали четырех-
угольника, пересекаются в точке О. Сравните периметры пяти-
угольников BCODA и DCOBA.
2. Докажите, что разность сумм углов выпуклых n-угольника и
(п — 1)-угольника не зависит от п.
127
5.
1.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Большая
диагональ, проведенная из вершины А, параллельна стороне ВС,
LBAD= LCDA. Сравните периметры пятиугольников ABDEF и
ACDEF.
2.	Сумма углов выпуклого 2п-угольника в к раз больше суммы углов
выпуклого n-угольника, где к — нечетное число. Найдите к.
6.
1.	В выпуклом пятиугольнике ABCDE все стороны имеют равные дли-
ны. Диагональ, проведенная из вершины Л, параллельна стороне
ED, L ЕАС = L DC А. Сравните периметры четырехугольников
ЕАВС и DCBA.
2.	Сумма углов выпуклого n-угольника в к раз больше суммы углов
выпуклого (п — 1)-угольника (к — натуральное число). Найдите к.
7.
1.	Может ли многоугольник иметь 25 диагоналей?
2.	Сколько углов с градусной мерой меньше 10° может быть в выпук-
лом многоугольнике?
8.
1.	Существует ли многоугольник с 27 диагоналями?
2.	В выпуклом многоугольнике имеется 5 углов с градусной мерой
140° каждый, остальные углы острые. Найдите число сторон этого
многоугольника.
128
§ 2. Параллелограмм и его свойства
1.
1.	В четырехугольнике ABCD АВ || CD, ВС || AD, АС = 20 см, BD =
= 10 см, АВ= 13 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в
точке О. Найдите периметр треугольника COD.
2.	Из вершины В параллелограмма ABCD с острым углом А проведен
перпендикуляр ВК к прямой AD\ ВК = ^АВ. Найдите L С и L D.
2.
1.	В четырехугольнике ABCD АВ ||CD, ВС ||XD, О — точка пересе-
чения диагоналей. Периметр треугольника AOD равен 25 см, АС =
= 16 см, BD= 14 см. Найдите ВС.
2.	Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. Из вершины В опу-
щен перпендикуляр ВК к прямой AD, АК = ВК. Найдите L С и
LD.
3.
1.	В четырехугольнике ABCD L Л + LB = 180°, АВ ||CD. На сторонах
ВС и AD отмечены точки М и К соответственно так, что ВМ = KD.
Докажите, что точки М и К находятся на одинаковом расстоянии
от точки пересечения диагоналей четырехугольника.
2.	На сторонах РК и МН параллелограмма МРКН взяты точки Аи В
соответственно, МР = РВ = АК, LMPB = 60°. Найдите углы парал-
лелограмма и сравните отрезки ВМ и АН.
4.
1.	В четырехугольнике МРКН L РМК = LHKM, РК §МН. Через точ-
ку пересечения диагоналей проведена прямая, пересекающая сто-
роны РК и МН в точках Л и В соответственно. Докажите, что
АР = НВ.
2.	На сторонах ВС и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К,
АВ = ВМ= KD, LAMB = 30°. Найдите углы параллелограмма и
сравните отрезки AM и СК.
5 Зив Б. Г.
129
5.
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD L А + АВ = АВ + АС = 180°.
Через точку О пересечения диагоналей четырехугольника прове-
дена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках М и К со-
ответственно; Z. ВОМ = 90°. Докажите, что ВК = ВМ.
2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки М и
Н соответственно так, что отрезки ВН и MD пересекаются в точке
О', ABHD = 95°, ADMC = 90°, ABOD =155°. Найдите отношение
длин отрезков АВ и MD и углы параллелограмма.
6.
1.	В выпуклом четырехугольнике МРКН А М + АР = 180°, А МКН =
= АКМР. На сторонах МН и РК отмечены точки А и В так, что
РВ = РА. Отрезок АВ проходит через точку пересечения диагона-
лей четырехугольника. Докажите, что HP ± АВ.
2.	На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD взяты точки К и
М соответственно. Отрезки ВМ и KD пересекаются в точке О,
ABOD = 140°, ADKB =110°, £ВЛ/С = 90°. Найдите отношение
длин отрезков МС и AD и углы параллелограмма.
7.
1.	В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС взяты точки К и Е
соответственно так, что АКВЕ = 90° и отрезок ЕК проходит через
точку О пересечения диагоналей. Докажите, что ВО = ОЕ.
2.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки DiaE со-
ответственно, а внутри треугольника — точка М так, что четырех-
угольник DCEM является параллелограммом и DE ||ЛВ. Прямая
DM пересекает отрезок АВ в точке К, а прямая ЕМ — в точке Н.
Докажите, что АК = НВ.
8.
1.	В параллелограмме ABCD через точку О — пересечения диагоналей
— проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и
Е соответственно, ВО = ОЕ. Найдите угол КВЕ.
2.	На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD взяты точки М и К
соответственно, МК ||/Ш. Прямая МК пересекает луч СВ в точке
Е, а луч CD — в точке Р. Докажите, что ЕМ = КР.
130
§ 3. Признаки параллелограмма
1.
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD АВ = CD. L В = 70°, LBCA =
= 60°, L ACD = 50°. Докажите, что ВС = AD.
2. Середина отрезка BD является центром окружности с диаметром
АС, причем точки А, В, С, D нс лежат на одной прямой. Докажите,
что L АВС = LADC.
2.
1.	В выпуклом шестиугольнике ABCDEP все стороны равны, LA =
= L D. Докажите, что ВР ||С£.
2.	Дан параллелограмм ABCD. На продолжении диагонали АС за вер-
шины Л и С отмечены точки At и С} соответственно так, что АА[ =
= СС[. Докажите, что L ВАХ D= L ВС\ D.
3.
1.	На основании АС равнобедренного треугольника АВС отмечена
точка К, а на сторонах АВ и ВС — точки Л/ и Р соответственно,
причем РК = MB, LKPC = 80°, LC = 50°. Докажите, что L КМВ +
+ LMBP = 180°.
2.	Внутри треугольника АВС отмечена точка М, а на сторонах АВ и
АС — точки К и Н соответственно так, что отрезки AM и КН име-
ют общую середину, a LKMH= L С. Докажите, что треугольник
АВС является равнобедренным.
4.
1.	В треугольнике МРК LM = 65°. На сторонах МК, МР, РК отмече-
ны точки А, В, С соответственно так, что середина стороны РК —
точка С, AM = КС, BP = AC, L ВАМ = 50°. Докажите, что
LCPB+ L АВР = 180°.
2.	Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. На сторо-
нах АВ, ВС, АС отмечены точки D, Е, Р соответственно так, что
отрезки АЕ и DP имеют общую середину. Докажите, что L DEP =
= L ВСА.
131
5.
1. Точки М и К являются соответственно серединами сторон АВ и ВС
треугольника АВС. Через вершину С вне треугольника проведена
прямая, параллельная АВ и пересекающая луч МК в точке Е. До-
кажите, что КЕ = ^АС.
2. На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD соответ-
ственно взяты точки М и К так, что пары отрезков AM и ВК, КС и
MD имеют общие середины. Докажите, что LBAD~ LBCD.
6.
1.	Точки А и В принадлежат соответственно сторонам РЕ и ЕТ тре-
угольника РЕТ. Прямая, проходящая через вершину Т вне тре-
угольника, пересекает луч АВ в точке X, АР = КТ. АВ = В К = ^РТ.
Докажите, что точка А является серединой отрезка РЕ.
2.	На стороне ВС выпуклого четырехугольника ABCD отмечена точка
Л/, а вне четырехугольника — точка К так, что пары отрезков АК и
ВМ, KD и МС имеют общие середины. Докажите, что LABC**
= LADC.
7.
1.	На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD отмече-
ны точки К и М соответственно. Отрезок АК пересекает диагональ
BD в точке Р, а отрезок СМ — в точке Е. Известно, что АК ||СЛ/,
РК = ЕМ, BP = ED, КС = AM. Докажите, что Z. BAD - LBCD.
2.	В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О, ВО ~ OD, АО < ОС. Докажите, что Z. BAD > LBCD.
8.
1.	На сторонах ВС и AD выпуклого четырехугольника ABCD отмече-
ны точки КпР соответственно. Диагональ BD пересекает отрезок
PC в точке Е, а отрезок АК — в точке Т. Известно, что КС « АР,
АТ = ЕС, ТК - ЕР. Докажите, что L АВС = LADC.
2.	В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в
точке О, ВО ~ OD, LBAD > L BCD. Докажите, что АО < ОС.
132
§ 4 о Трапеция
1.
1.	В трапеции ABCD ВС — меньшее основание. На отрезке AD взята
точка Е так, что BE ||CZ>; L АВЕ = 70°, АВЕ А = 50°. Найдите углы
трапеции.
2.	В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боко-
вая сторона и меньшее основание равны по 10 см. Найдите большее
основание.
2.
1.	В трапеции МНРК МК — большее основание. Прямые МН и РК
пересекаются в точке Е, АМЕК = 80°, АЕНР = 40°. Найдите углы
трапеции.
2.	В прямоугольной трапеции острый угол равен 60°. Большая боко-
вая сторона и большее основание равны по 20 см. Найдите меньшее
основание.
3.
I.	В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой сторо-
ной угол в 120°. Боковая сторона равна меньшему основанию. Най-
дите углы трапеции.
2.	В прямоугольной трапеции острый угол и угол, который составляет
меньшая диагональ с меньшим основанием, равны по 60°. Найдите
отношение оснований.
4.
1.	В равнобедренной трапеции большее основание в два раза превос-
ходит меньшее. Середина большего основания удалена от вершины
тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания. Най-
дите углы трапеции.
2.	В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой
стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение оснований.
133
5.
1.	Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции ABCD проведен
перпендикуляр СЕ к прямой AD, содержащей большее основание.
Докажите, что АЕ = (AD + ВС).
2.	В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны.
Большая диагональ составляет с меньшей боковой стороной угол в
60°. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований
трапеции.
6.
1.	Диагонали равнобедренной трапеции ABCD взаимно перпендику-
лярны. Докажите, что расстояние между прямыми AD и ВС, содер-
жащими основания, равно ~ (AD + ВС).
2.	Из вершины прямого угла меньшего основания прямоугольной тра-
пеции под углом 45° к этому основанию проведен луч, который
проходит через середину большей боковой стороны. Докажите, что
меньшая боковая сторона этой трапеции равна сумме оснований.
7.
1.	Докажите, что сумма боковых сторон любой трапеции больше раз-
ности ее большего и меньшего оснований.
2.	Найдите связь между сторонами трапеции, если известно, что
внутри трапеции существует точка, равноудаленная от прямых,
содержащих се стороны.
8.
1.	Докажите, что сумма диагоналей любой трапеции больше суммы
ее оснований.
2.	Найдите связь между противоположными углами трапеции, если
известно, что внутри се существует точка, равноудаленная от вер-
шин трапеции.
134
§ 5. Задачи на построение параллелограмма
и трапеции
1.
1. Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей диагона-
ли и углу между ними.
2. Постройте прямоугольную трапецию по меньшему основанию и бо-
ковым сторонам.
2.
1.	Постройте параллелограмм по меньшей стороне, острому углу и уг-
лу между этой стороной и меньшей диагональю.
2.	Постройте прямоугольную трапецию по меньшей диагонали, боль-
шему основанию и большей боковой стороне.
3.
1.	Постройте параллелограмм по двум диагоналям и большей стороне.
2.	Постройте равнобедренную трапецию по боковой стороне, больше-
му основанию и отрезку длиной, равной расстоянию между прямы-
ми, содержащими основания трапеции.
4.
1.	Постройте параллелограмм по меньшей диагонали, меньшему углу
между диагоналями и углу между меньшей диагональю и меньшей
стороной.
2.	Постройте равнобедренную трапецию по диагонали, большему ос-
нованию и перпендикуляру, проведенному из вершины тупого угла
к прямой, содержащей большее основание трапеции.
5.
1. Постройте параллелограмм по диагонали, стороне и отрезку дли-
ной, равной расстоянию между прямыми, содержащими данную
сторону и ей противоположную.
2. Постройте равнобедренную трапецию по острому углу, диагонали
и перпендикуляру, проведенному из вершины острого угла к пря-
мой, содержащей меньшее основание трапеции.
135
6.
1. Постройте параллелограмм по двум диагоналям и перпендикуляру,
проведенному из конца одной диагонали к прямой, содержащей
другую диагональ.
2. Постройте равнобедренную трапецию по двум углам, на которые
диагональ делит тупой угол, и отрезку длиной, равной расстоянию
между прямыми, содержащими основание трапеции.
7.
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и углу, противо-
лежащему этой диагонали.
2. Постройте трапецию по двум диагоналям, углу между ними и од-
ной из боковых сторон.
8.
1. Постройте параллелограмм по стороне, диагонали и углу, который
эта диагональ составляет с другой стороной.
2. Постройте трапецию по четырем сторонам.
136
§ 6. Прямоугольник
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Е —
середина стороны АВ, LBAC = 50°. Найдите угол EOD.
2. Дана окружность с диаметрами АВ и CD. Докажите, что четырех-
угольник ACBD является прямоугольником.
2.
1. В прямоугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О.
Отрезок ОД является высотой треугольника MOP, L АОР =15°.
Найдите LOHK.
2. В параллелограмме ABCD с острым углом А диагонали пересекают-
ся в точке О. На отрезках АО и ОС взяты точки РпК соответствен-
но, OP “ OD, ОК » ОВ. Докажите, что четырехугольник PBKD яв-
ляется прямоугольником.
1. В прямоугольнике ABCD О — точка пересечения диагоналей,
ВН и DE — высоты треугольников АВО и COD соответственно,
LBOH -60°, АН = 5 см. Найдите ОЕ.
2. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О;
АО - OD, ВО - ОС, L ВАС = LDCA. Найдите L АВС.
4.
1. В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диагоналей, РА
и НВ — перпендикуляры, проведенные из вершин Р и Н к прямой
МК. Известно, что МА = ОВ. Найдите угол РОМ.
2. В четырехугольнике МРКН диагонали пересекаются в точке О,
LOMH - LOHM, PH - МК, РК - МН. Найдите угол МНК.
137
5.
1. В прямоугольнике ABCD точки М и К — середины сторон АВ и AD
соответственно. На прямой АС взята точка Р, на прямой BD — точ-
ка Е, МР ± AC, KE ± BD. Известно, что 4КЕ = AD. Найдите от-
ношение сторон АР и PC.
2. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка
Р, а на сторонах АВ и ВС — соответственно точки Ми К, AM = СК,
1МК = АС = 4АР. Найдите угол РМК.
6.
1.	В прямоугольнике МРКН О — точка пересечения диагоналей. Точ-
ки Л и В — середины сторон МР и МН соответственно. Точка С
делит отрезок МК в отношении 1 : 7, считая от точки М; АС ± МК.
Найдите отношение сторон ВО и PH.
2.	Некая прямая, параллельная основанию МК равнобедренного тре-
угольника МРК, пересекает стороны МР и РК в точках В и С соот-
ветственно. Точка А делит отрезок МК в отношении 1:3, считая от
точки М; ВС = 2АМ. Найдите угол МАВ.
7.
1.	На диагонали АС прямоугольника ABCD взята точка Е. Известно,
что Z. EDC = LCAD = 15°. Докажите, что BE < 5ED.
2.	Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На отрезке АС как
на диаметре построена окружность, которая пересекает луч DB в
точке Е, лежащий вне параллелограмма; LBAE+ LBCE = 60°.
Найдите расстояние между прямыми ВС и AD, если АВ =10 см.
8.
1.	На отрезках МН и МК в прямоугольнике МРКН взяты точки Е и
Т соответственно, Z. КЕН = 30°, ЕТ ± МК, L КМН = 15°. Докажи-
те, что РТ > 0,49 КН.
2.	Дан параллелограмм МРКН с тупым углом Р. На диагонали PH
как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок МК
в точке А; АКРА + LKHA = 45°, КВ — перпендикуляр, проведен-
ный к прямой НМ. Найдите НВ, если КВ =10 см.
138
§ 7. Ромб и квадрат
1.
1. В ромбе ABCD Z.A = 3i°. Диаго-
нали пересекаются в точке О.
Найдите углы треугольника ВОС.
2. На рисунке 1 четырехугольник
ABCD — квадрат, АК = PD =
= ЕС - ВМ. Докажите, что вы-
пуклый четырехугольник МЕРК
также является квадратом.
2.
1.	В ромбе МРКН с тупым углом К
диагонали пересекаются в точке
Е. Один из углов треугольника
РКЕ равен 16°30' . Найдите ос-
тальные углы этого треугольника
и угол РМН.
2.	На рисунке 2 четырехугольник
ABCD — прямоугольник, Z. 1 =
= Z2, Z3 = Z4, Z5=Z6, Z7 =
= Z.8. Докажите, что выпуклый
четырехугольник МКНР является
квадратом.
Рис. 1
Рис. 2
3.
1. В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей, ОМ, ОК, ОЕ
— перпендикуляры, опущенные на стороны АВ, ВС, CD соответ-
ственно. Докажите, что ОМ = ОК, и найдите сумму углов МОВ и
СОЕ.
2. В треугольнике ABC L В- 90°, АВ - ВС. На сторонах АВ и ВС взя-
ты точки М и Р, а на стороне АС — точки К и Н так, что четырех-
угольник МРНК является квадратом, МР = а. Найдите АС.
139
4.
1. В ромбе МРНК диагонали пересекаются в точке О. На сторонах МК,
КН, PH взяты точки А, В, С соответственно, АК = КВ = PC. Дока-
жите, что О А = ОВ, и найдите сумму углов РОС и МО А.
2. В треугольнике МРК Z.M-900, МР= МК. На сторонах МР, РК,
МК отмечены точки А, В, С соответственно так, что четырехуголь-
ник МАВС является квадратом, АС = а. Найдите РК.
5.
1.	В ромбе ABCD угол В тупой. На стороне AD взята точка К,
ВК ± AD. Прямые ВК и АС пересекаются в точке О, АС = 2ВК.
Найдите угол АОВ.
2.	На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки М и К соот-
ветственно, МС = KD. Отрезки DM и АК пересекаются в точке О,
20 М = AM. Найдите угол AM О.
6.
1.	В ромбе МРНК угол М острый. Отрезок РЕ является перпендикуля-
ром к прямой МК, О — точка пересечения диагоналей, а Г — общая
точка прямых РЕ и МН, LMTP = 120°, ОН = а. Найдите РЕ.
2.	На сторонах АВ, ВС, CD квадрата ABCD отмечены соответственно
точки М, К, Р, МР ± АК. Сравните отрезки МР и АК.
7.
1.	Два равных ромба имеют общую точку пересечения диагоналей,
причем меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикуляр-
ны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна сто-
роне другого.
2.	На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС построены
квадраты АМКС и CFPB. Докажите, что сумма расстояний от то-
чек М и Р до прямой АВ равна АВ.
8.
1.	Два равных ромба ABCD и АВХ Сх Dx имеют общую вершину острого
угла, причем АСАСХ = 90°, а лучи BD и DXBX пересекаются в точке
Е\О — точка пересечения диагоналей ромба ABCD, ОР — биссект-
риса треугольника ВОС. Докажите, что РА = РЕ.
2.	На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС построены
квадраты АКМС и СРЕВ. Прямые КМ и РЕ пересекаются в точке
Т. Докажите, что ТС ± АВ.
140
§ 8. Задачи на построение прямоугольника, ромба,
квадрата
1. Постройте прямоугольник по его стороне и периметру.
2. Дан отрезок, равный перпендикуляру, опущенному из вершины
некоторого квадрата на диагональ. Постройте этот квадрат.
2.
1.	Постройте ромб по тупому углу и меньшей диагонали.
2.	Дан отрезок, равный перпендикуляру, проведенному из точки пе-
ресечения диагоналей некоторого квадрата на его сторону. По-
стройте этот квадрат.
3.
1. Постройте прямоугольник по диагонали и углу, который эта диа-
гональ образует со стороной.
2. Внутри данного острого угла постройте квадрат с данной стороной
так, чтобы две вершины квадрата принадлежали одной стороне уг-
ла, а третья — другой.
4.
1. Постройте ромб по диагонали и углу, который образует другая диа-
гональ со стороной.
2. Постройте квадрат по данной диагонали так, чтобы две противопо-
ложные вершины этого квадрата лежали на разных сторонах дан-
ного острого угла.
5.
1. Постройте прямоугольник по углу между стороной и диагональю и
перпендикуляру, проведенному из вершины прямоугольника к
прямой, содержащей эту диагональ.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ, равному биссектрисе АЕ
треугольника АВС.
141
6.
1. Постройте ромб по острому углу и отрезку, длина которого равна
расстоянию между прямыми, содержащими противоположные сто-
роны ромба.
2. Постройте квадрат ABCD по отрезку PQ и углу hk, если PQ = ВМ,
L hk = LDBM (М — середина отрезка AD).
7.
1. Постройте прямоугольник по диагонали и периметру.
2. Постройте квадрат по разности диагонали и стороны.
8.
1. Постройте ромб по стороне и разности диагоналей.
2. Постройте квадрат по сумме диагонали и стороны.
142
§ 9. Свойства площадей многоугольников,
площадь квадрата и прямоугольника
1.
1. Составьте формулу для вычисле-
ния площади фигуры, изображен-
ной на рисунке 3.
2. Периметр прямоугольника равен
26 см, а одна из его сторон 9 см.
Найдите сторону квадрата, имею-
щего такую же площадь, как этот
многоугольник.
2.
1.	Составьте формулу для вычисле-
ния площади фигуры, изображен-
ной на рисунке 4.
2.	Периметр квадрата равен 32 см, а
одна сторона прямоугольника 4 см.
Найдите другую сторону прямо-
угольника, если известно, что он
имеет площадь такую же, как квад-
рат.
3.
1.	На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка М. Докажите,
что площадь параллелограмма вдвое больше площади треугольника
AMD.
2.	На продолжении стороны AD квадрата ABCD за вершину А взята
точка М, МС = 20 дм, LCMD = 30°. Найдите площадь квадрата.
4.
1.	В трапеции ABCD AD — большее основание. Через середину сторо-
ны CD и вершину В проведена прямая, пересекающая луч AD в точ-
ке Е. Докажите, что площадь трапеции равна площади треугольни-
ка АВЕ.
2.	Биссектриса угла В прямоугольника ABCD пересекает сторону AD
в точке К, АК = 5 см, KD = 7 см. Найдите площадь прямоугольни-
ка.
143
5.
1. На стороне АВ параллелограмма ABCD отмечена точка Е так, что
DE ± АВ. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD равна
DE*AB.
2. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его
диагоналей.
6.
1. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что
BD ± АС. Докажите, что площадь треугольника равна ~BD*AC.
2. Докажите, что площадь квадрата равна половине квадрата его диа-
гонали.
7.
1. Докажите, что медиана любого треугольника делит этот треуголь-
ник на треугольники с равными площадями.
2. В трапеции ABCD LA = 45°, L С = 100°. Диагональ BD составляет с
боковой стороной CD угол в 35°. На стороне АВ построен паралле-
лограмм АВР К так, что точка D принадлежит отрезку ВР и
BD : DP = 2:1. Найдите площадь параллелограмма, если его пери-
метр равен 30 см.
8.
1. В остроугольном треугольнике АВС проведена высота BD. Точка Dx
симметрична точке D относительно точки В. Найдите отношение
площадей треугольников ADi С и АВС.
2. В трапеции МРКО LM - 45° и Z. Л=135°. На стороне МР построен
параллелограмм MPDT так, что его сторона параллельна прямой
КО и пересекает сторону МО в точке А, причем РА : AD =1:3.
Площадь параллелограмма равна 36 см2. Найдите его периметр.
144
§ 10. Площадь параллелограмма
1.
1. В параллелограмме ABCD угол В тупой. На продолжении стороны
AD за вершину D отмечена точка Е так, что AECD = 60°,
LCED = 90°, АВ - 4 см, AD =10 см. Найдите площадь параллело-
грамма.
2. В параллелограмме ABCD точки М и К — середины сторон ВС и
AD соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника
АВМК равна площади треугольника ACD.
2.
1.	В параллелограмме МРКТ на стороне МТ отмечена точка Е,
ЕРЕМ = 90°, LEPT = 45°, ME = 4 см, ЕТ = 7 см. Найдите площадь
параллелограмма.
2.	В параллелограмме ABCD точки М, Р, К, Т являются серединами
сторон АВ, ВС, CD, AD соответственно. Докажите, что площади
четырехугольников АВРТ и AMKD равны.
3.
1.	Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см2, а
высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон
на отрезки 2 см и 8 см, считая от вершины острого угла.
2.	Сравните площади параллелограмма и прямоугольника, если они
имеют одинаковые основания и одинаковые периметры.
4.
1.	Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 40 см2, а
стороны 10 см и 8 см.
2.	Сравните площади квадрата и параллелограмма, если они имеют
одинаковые параметры и сторона квадрата равна высоте паралле-
лограмма. (Параллелограмм не является прямоугольником).
145
5.
1. Высоты, проведенные из вершины ту-
пого угла параллелограмма, составля-
ют угол 45°. Одна из высот делит сто-
рону, на которую она опущена, на от-
резки 2 см и 8 см, считая от вершины
острого угла. Найдите площадь парал-
лелограмма.
2. На рисунке 5 АВС — равнобедрен-
ный треугольник с основанием ЛС,
КТ ||ВС, МР^АВ, ЕО ||ЛС. Докажите,
что площади четырехугольников
АЕМН и МОСТ относятся как
ВР: ВК.
6.
1. В ромбе ABCD ВМ — биссектриса треугольника ABD, ABMD =
= 157°30'. Найдите площадь ромба, если его высота равна 10 см.
2. На рисунке 6 ABCD — ромб. НТ ||ЛВ, МР ||ВС. Докажите, что про-
изведение площадей четырехугольников АМОТ и ОНСР равно
произведению площадей четырехугольников МВНО и TOPD.
Рис. 6
146
7.
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с. От вершины
меньшего острого угла на катете отложен отрезок длиной а, из кон-
ца которого к гипотенузе проведен перпендикуляр длиной Ь. Найди-
те меньший катет исходного треугольника.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. На стороне ВС взята точка
М, а через вершину D проведена прямая, параллельная AM и пере-
секающая луч МС в точке К. Точка Е принадлежит отрезку AM.
На прямой ЕМ отмечена точка Р так, что DE\KP. Сравните пло-
щади невыпуклых пятиугольников ABMED и DKPMC.
8.
1. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны а и b (а > Ь).
Меньшее основание равно с. Найдите расстояние от вершины пря-
мого угла меньшего основания до прямой, содержащей большую
боковую сторону.
2. В параллелограмме ABCD угол А тупой. Вне параллелограмма на
луче ВС отмечены точки Ми К, а на луче DC — точкиЕиР, при-
чем AM ||Z>K, ЕА ||ВР. Докажите, что площади невыпуклых пяти-
угольников АВРСМ и ADKCE равны.
147
§11. Площадь треугольника
1.
1. В прямоугольнике ABCD BD — 12 см. Вершина В удалена от прямой
АС на 4 см. Найдите площадь треугольника АВС.
2. В треугольнике ABC LC- 135°, АС = 6 дм, высота BD равна 2 дм.
Найдите площадь треугольника ABD.
1.	Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с
гипотенузой 10 см.
2.	На стороне АС треугольника АВС с площадью 36 см* 1 2 взята точка D,
AD : DC =1:5. Найдите площадь треугольника ABD.
3.
1.	В треугольнике ABC LB= 130°, АВ = а, ВС = Ь, а в параллелограмме
МРКН МР = а, МН - Ь, £М-50°. Найдите отношение площади
треугольника к площади параллелограмма.
2.	В прямоугольном треугольнике АВС точка О — середина медианы
СЯ, проведенной к гипотенузе ЛВ, АС = 6 см, ВС = 8 см. Найдите
площадь треугольника ОВС.
4.
1.	В треугольнике АВС АВ = х, АС = у, LA = 15°, а в треугольнике
МРККР = х, МК = у, Z.K= 165°. Сравните площади этих треуголь-
ников.
2.	В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята
точка М так, что AM: МС = 4:1. Найдите площадь треугольника
AMD.
5.
1. Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка М. Докажите, что
сумма площадей треугольников AMD и ВМС равна половине пло-
щади параллелограмма.
2. В треугольнике ABC LC = 90°. На сторонах АС, АВ, ВС соответст-
венно взяты точки М, Р, К так, что четырехугольник СМРК явля-
ется квадратом, АС = 6 см, ВС = 14 см. Найдите сторону МС.
148
6.
1.	Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре
треугольника, имеющих одинаковую площадь.
2.	В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются
в точке О, которая удалена от прямой CD на 4 см. Найдите пло-
щадь треугольника АОВ, если CD = 8 см.
7.
1.	В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 12 см и пересекаются
под углом 30° друг к другу. Найдите площадь этого четырехуголь-
ника.
2.	Точка Е — середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н
делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН = НС. Найдите
площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС рав-
на 5.
8.
1.	В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой,
содержащей одну из сторон, на 1,5 см. Периметр треугольника ра-
вен 16 см. Найдите его площадь.
2.	На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки М, К,
Р соответственно так, что AM: МВ = В К : КС = PC : АР = 2:1. Пло-
щадь треугольника АВС равна S. Найдите площадь четырехуголь-
ника МВКР.
149
§12. Площадь трапеции
1.
1. Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая сторона
5 см, площадь 44 см* 1 2. Найдите высоту трапеции.
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 10 см и 8 см соответ-
ственно. Площадь треугольника ACD равна 30 см2. Найдите пло-
щадь трапеции.
2.
1.	В прямоугольной трапеции площадь равна 30 см2, периметр 28 см,
а меньшая боковая сторона 3 см. Найдите большую боковую сто-
рону.
2.	В трапеции МРКТ меньшее основание РК равно 6 см, а высота тра-
пеции 8 см. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольни-
ка МКТ равна 48 см2.
3.
1. В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 3 дм и
составляет с меньшей диагональю угол 45°. Острый угол трапеции
также равен 45°. Найдите площадь трапеции.
2. Высоты, проведенные из вершин меньшего основания равнобедрен-
ной трапеции, делят большее основание на три отрезка, сумма
двух из которых равна третьему. Найдите площадь этой трапеции,
если ее меньшее основание и высота равны по 6 см.
4.
1. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 4 см и состав-
ляет с меньшей диагональю угол 45°. Найдите площадь трапеции,
если ее тупой угол равен 135°.
2. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины тупого
угла и делящая большее основание на два отрезка, один из которых
равен половине меньшего основания, равна 6 см. Большее основа-
ние превосходит меньшее на 2 см. Найдите площадь трапеции.
150
5.
1. В трапеции ABCD AD — большее основание, LD = 60°. Биссектри-
сы углов С и D пересекаются в точке О, OD - а, ВС = b, AD = с.
Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции МРНК МК — большее основание. Площади треуголь-
ников МН К и КНР равны Si и S2 соответственно. Найдите площадь
трапеции.
6.
1. В трапеции МНРК МН = НК, точка А — середина большего осно-
вания МК, а точка В — середина боковой стороны МН, ВА ± МН,
МК = a, HP - b. Найдите площадь трапеции.
2. Отрезок ЕР пересекает основания ВС и AD трапеции ABCD так,
что точки А и Е лежат по разные стороны от прямой ВС и ЕР ± ВС.
Основания трапеции делят отрезок ЕР на три равные части. Пло-
щади треугольников ВЕС и APD равны Si и S2 соответственно.
Найдите площадь трапеции.
7.
1. В трапеции ABCD AD — большее основание. Прямые, проходящие
через середины сторон АВ, ВС, DC перпендикулярно к этим сто-
ронам, пересекаются в точке О; L BCD =150°, АВ = а, ВС = Ь,
AD = с. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции МНРК основания МК и HP относятся как 3:1. На от-
резке МК отмечены точки А и В так, что МА « АВ - КВ. Отрезки
НВ и АР пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если
площадь треугольника НОР равна 5 см* 1 2.
8.
1. В трапеции МРКН МН\\РК. Биссектрисы углов М, К, Н, Р пере-
секаются в точке О. Расстояние от точки О до прямой РК равно а,
РМ = Ъ, КН = с. Найдите площадь трапеции.
2. В трапеции ABCD AD — большее основание. Диагонали пересека-
ются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD равны 5 см2 и
20 см2 соответственно. Найдите площадь трапеции.
151
§ 13. Теорема Пифагора
1. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а большее
основание 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее осно-
вание равно 8 см.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1,	,2.
2.
1. Основания прямоугольной трапеции равны 9 см и 18 см, а большая
боковая сторона 15 см. Найдите площадь трапеции.
2. Определите углы треугольника со сторонами 1,1, \/2.
3.
1. В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона, выходящие из
вершины тупого угла, равны 26 см и Т577 см соответственно, высо-
та трапеции 24 см, меньшее основание 7 см. Найдите площадь тра-
пеции.
2. В треугольнике АВС АВ - ТУ, ВС = 2. На стороне АС отмечена точ-
ка М так, что AM = 1, ВМ = 1. Найдите LABC.
1. В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и
V82 см соответственно. Большая диагональ 15 см. Найдите площадь
параллелограмма.
2. В треугольнике МРК РК = 2. На стороне МК отмечена точка А так,
что МА = АР - ТУ, АК = 1. Найдите L МРК.
152
5.
1. В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диаго-
налями боковая сторона равна 26 см. Высота, проведенная из вер-
шины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший
из которых равен 24 см. Найдите площадь трапеции.
2. Боковые стороны трапеции равны 9 см и 12 см, а основания 30 см и
15 см. Найдите угол, который образуют продолжения боковых сто-
рон трапеции.
1. В равнобедренной трапеции диагональ равна 25 см, а высота 15 см.
Найдите площадь трапеции.
2. Диагонали некоторой трапеции равны 5 см и 12 см, а основания
3 см и 10 см. Найдите углы между диагоналями этой трапеции.
7.
1. В остроугольном треугольнике АВС ВН — высота. Докажите, что
ВС* 1 2 = АВ2 + АС2 — 2АС*АН.
2. Дан треугольник со сторонами a, Z>, с. Определите вид треугольни-
ка, если с2 > а2 + Ь2.
8.
1. В треугольнике НРК угол Н тупой, РЕ — высота треугольника. До-
кажите, что РК2 = HP2 + НК2 + 2НЕ*НК.
2. В треугольнике со сторонами а,Ь,сс — большая сторона. Опреде-
лите вид треугольника, если с2 < а2 + Ь2.
153
§ 14. Площади многоугольников
1.
1. Перечертите фигуру, изображен-
ную на рисунке 7. Проведите необ-
ходимые измерения и вычислите
площадь этой фигуры.
2. На стороне АВ квадрата ABCD, рав-
ной 12 см, отмечена точка М так,
что МС - 13 см. Найдите площадь
четырехугольника AMCD.
2.
1.	Перечертите фигуру, изображенную на ри-
сунке 8. Проведите необходимые измерения
и вычислите площадь этой фигуры.
2.	На стороне РК прямоугольника МРКН от-
мечена точка Е, МЕ=\5 см, РЛ/=12см,
ЕК = 6 см. Найдите площадь четырехуголь-
ника МЕКН.
3.
1. Ученику надо было вычислить площадь многоугольника, изобра-
женного на рисунке 9. В его распоряжении оказалась только масш-
табная линейка. После измерений ученик установил, что АВ = РЕ =
= 3 см, АР = BE = 4 см, АЕ = 5 см, ВС = 1 см, DC = 12 см, DE = 13 см
и точки С, В, Е лежат на одной прямой. Может ли ученик, пользуясь
этими результатами измерений, вычислить площадь? Чему равно ее
значение?
2. В равнобедренной трапеции диагональ, меньшее основание и высо-
та равны V35 см, 3 см и VT6 см соответственно. Найдите площадь
трапеции.
154
1. Ученику необходимо было вычислить площадь многоугольника,
изображенного на рисунке 10. В его распоряжении была только
масштабная линейка. В результате измерений установлено, что
МР = ЯТ = 4см, Л/7 = РЯ = Зсм, МН = 5 см , ЕН = 10 см, РК =
- 5 см, КЕ= 12 см. Точки Р, Н, Е лежат на одной прямой. Мог ли
ученик вычислить площадь по этим результатам? Чему эта пло-
щадь равна?
2. Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит большую
сторону на отрезки, каждый из которых равен по 3 см. Найдите
большую высоту параллелограмма.
5.
1. В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна (V1T +
+ 1) см* 1 2. Найдите меньшую высоту треугольника.
2. Диагональ ромба в четыре раза больше расстояния от точки пересе-
чения его диагоналей до стороны. Найдите площадь ромба, если его
сторона равна 2 см.
6.
1. Большее основание трапеции равно 6 см, а меньшее 4 см. Углы при
большем основании 30° и 45°. Найдите площадь трапеции.
2. Высоты параллелограмма равны 6 см и 7,8 см, а его площадь
78 см2. Найдите длину меньшей диагонали.
155
7.
1. В трапеции МРКЕ точка А принадлежит большему основанию ME,
AM = MP = а, АЕ = ЕК. Найдите площадь трапеции, если ее диаго-
нали проходят через точку пересечения медиан треугольника РАК.
2. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его высота,
проведенная к основанию, и отрезок, соединяющий середины осно-
вания и боковой стороны, равны по 12 см.
8.
1. В трапеции ABCD М — середина большего основания AD, АВ =
= ВС = CD = а. Точка пересечения диагоналей трапеции совпадает
с точкой пересечения высот треугольника ВМС. Найдите площадь
трапеции.
2. Диагональ параллелограмма составляет со сторонами углы 90° и
15°. Найдите площадь параллелограмма, если его большая сторона
равна 12 см.
156
§ 15. Пропорциональные отрезки
1. Отрезки АВ, CD и EF, MN пропорциональны друг другу. Найдите
EF, если АВ = 5 см, CD = 80 мм, MN - 1 дм.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90° ) АС = 6 см, ВС =
= 8 см, CD — биссектриса. Найдите АВ, AD, DB.
1.	Отрезки КР, MN и DO, AL пропорциональны друг другу. Найдите
AL, если КР = 8 дм, MN = 40 см, DO = 1 м.
2.	В прямоугольном треугольнике ABC (LC — 90°) АВ = 20 см, АС =
= 16 см, АК — биссектриса. Найдите ВС, ВК, КС.
3.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
CD = 10 см. Найдите периметр параллелограмма, если
2. В равнобедренном треугольнике основание меньше боковой сторо-
ны на 9,6 см, а биссектриса делит боковую сторону на отрезки, ко-
торые относятся как 3 : 5. Найдите периметр треугольника.
1. В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС. Площади тре-
угольников АВК и КВС относятся как 1:3, ВС = 10 см. Найдите
АС, если^§ = ^.
2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 мм, а биссект-
риса делит боковую сторону на отрезки, из которых прилежащий к
основанию равен 12 мм. Найдите периметр треугольника.
157
5.
1.	Даны два отрезка АВ и ЕК. Точки С и М лежат соответственно на
отрезках АВ и ЕК. Отрезки АС, СВ и ЕМ, МК пропорциональны.
Докажите, что АВ*МК = СВ*ЕК.
2.	Треугольник АВС прямоугольный (Z.С = 90°), D Е АС и Е Е АВ,
причем DE ||Z?C и DE= DC, АЕ= 15 мм, ЕВ = 20 мм. Найдите пе-
риметр треугольника АВС.
6.
1.	Даны два отрезка КР и ЕС. Точки М и L лежат соответственно на
отрезках КР и ЕС. Отрезки КР, МР и ЕС, LC пропорциональны.
Докажите, что KM*LC = MP*EL.
2.	Треугольник АВС прямоугольный (Z.C = 90°), Р Е АС и К Е АВ,
причем РК |ВС и РК - КВ, АР = 5 дм, PC - 4 дм. Найдите пери-
метр треугольника АВС.
7.
1.	В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Докажите, что
AC AR
если > 4^, то LABD > LDBC.
2.	В треугольнике АВС АВ = 8 см, ВС = 9 см, АС = 2 см. На сколько
нужно продолжить сторону АС до пересечения с биссектрисой
внешнего угла при вершине В?
8.
1.	В треугольнике АВС на стороне АС взята точка D. Докажите, что
если LABD > LDBC, то
2.	Стороны треугольника ABC (L В меньший из углов треугольника)
равны 16 см, 20 см, 24 см. Найдите расстояние между точками пе-
ресечения биссектрисы угла В и биссектрисы внешнего угла при
вершине В с меньшей стороной треугольника и ее продолжением.
158
§16. Определение подобных треугольников
1.
1. Треугольники АВС и DEF подобны. LA - LD, А.С = A F, EF= 14,
DF = 20, ВС = 21. Найдите АС.
2. Площади двух подобных треугольников равны 16 см2 и 25 см2. Од-
на из сторон первого треугольника равна 2 см. Найдите сходствен-
ную ей сторону второго треугольника.
2.
1. Треугольники KPF и ЕМТ подобны, причем	= AF =
MlZ Ml El
= 20°, AE = 40°. Найдите остальные углы этих треугольников.
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и
5 см. Площадь первого треугольника 8 см2. Найдите площадь вто-
рого треугольника.
3.
1. На рисунке 11 АВЕС ДЛВС, АЕ =
= 16 см, СЕ= 9 см. Углы АВС и ВЕС
тупые. Найдите ВС.
2. Периметры подобных треугольников
относятся как 2:3, сумма их площа-
дей равна 260 см2. Найдите площадь
каждого треугольника.
4.
1. На рисунке 12 треугольники АВС и
DEC подобны, причем DE^AB, AD =
= 3 см, DC = 5 см, ВС = 7 см. Найди-
те СЕ.
2. Площади двух подобных треуголь-
ников равны 50 дм2 и 32 дм2, сум-
ма их периметров равна 117 дм.
Найдите периметр каждого тре-
угольника.
Рис. 12
В
A D	С
159
5.
J. Диагональ AC делит трапецию ABCD на два подобных треугольни-
ка АВС и ACD, ВС = 4 см, AD = 9 см. Найдите АС.
2. Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает
от него треугольник DBE, стороны которого в три раза меньше сто-
рон данного треугольника. Найдите площадь трапеции ADEC, если
площадь треугольника АВС равна 27 см2.
6.
1.	В трапеции ABCD (AD\\BC) AC — биссектриса угла А делит тра-
пецию на два подобных треугольника АВС и ACD, АВ = 9 см,
CD= 12 см. Найдите периметр трапеции.
2.	Прямая DE, параллельная стороне АС треугольника АВС, отсекает
от него треугольник DBC, стороны которого в четыре раза меньше
сторон данного треугольника. Найдите площадь треугольника
АВС, если площадь трапеции ADEC равна 30 см2.
7.
Отрезок ВК (К G АС) разбивает треугольник АВС на два подобных
треугольника АВК и КВС, причем в— = Найдите углы треуголь-
нике л
ника.
8.
Отрезок FP разбивает треугольник EFM на два подобных треугольни-
ка EFP и PFM, причем LPFM = 60°. Площадь треугольника PFM рав-
на 30 см2. Найдите площадь треугольника EFM.
160
§ 17. Первый признак подобия треугольников
1.
1.	Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пе-
ресекающая сторону ВС в точке Е, а продолжение стороны PC —
в точке F. Докажите, что ЕАВЕ со EEFC.
2.	В треугольниках АВС и А\В\С\ LB\-LC, LB= LA\, АС = 2,
В\С\ = 4, AiCi больше АВ на 2,2, AtBi = 2,8. Найдите неизвестные
стороны треугольников.
2.
1.	Через вершину С параллелограмма проведена прямая, пересекаю-
щая сторону AD в точке Е, а продолжение стороны ВА — в точке
F. Докажите, что &ECD со AFBC.
2.	В треугольниках АВС и DEF LA = LE, ЕС = EF, АС = Ь, EF=2,
АВ = 3,3. Сторона DF меньше стороны ВС на 3,2. Найдите неизве-
стные стороны треугольников.
3.
1.	В треугольнике АВС через точку Р, лежащую на стороне ВС, про-
ведены прямые, пересекающие стороны АВ и АС соответственно в
точках Q и R и параллельные АС и АВ. Докажите, что PQ- PR =
= BQCR.
2.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади тре-
угольников ВОС и AOD относятся как 1 : 9. Сумма оснований ВС и
AD равна 4,8 см. Найдите основания трапеции.
4.
1.	На продолжении сторон DC (за точку С) и ВА (за точку А) парал-
лелограмма ABCD взяты соответственно точки К и Е. КЕ пересе-
кает сторону ВС в точке М, а сторону AD — в точке F. Докажите,
что AEMC = KCAF.
2.	Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Периметры
треугольников ВОС и AOD относятся как 2:3, АС = 20. Найдите
длины отрезков АО и ОС.
6 Зив Б. Г.
161
5.
1. В остроугольном треугольнике ABC BD и АЕ — высоты. Докажите,
что DC-АС = ЕС-ВС.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) точка К лежит на сторо-
не CZ>, причем СК: KD =1:2. АК пересекает BD в точке О. Дока-
жите, что если ВС : AD = 1 : 2, то ВО = OD.
6.
1.	В остроугольном треугольнике АВС его высоты BD и АЕ пересека-
ются в точке О. Докажите, что ВО- OD ж АО- ОЕ.
2.	В трапеции ABCD (AD||BC) точка М лежит на стороне CD, причем
СМ: MD = 2:3, АВ - AD, ВС : AD=1 : 3. Докажите, что BD ± AM
7.
1.	В треугольнике АВС угол А в два раза больше угла В, ВС = а,
АС - Ь, АВ = с. Докажите, что а2 - Ьс + Ь2.
2.	В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС выбраны соответственно
точки D и Е. CD и АЕ пересекаются в точке О, Sado = *$сео = 8,
•Sdoe = 4. Найдите площадь треугольника АВС.
8.
1.	Катеты прямоугольного треугольника АС В (Z.C = 90°) ВС = а,
АС = Ь, ЕЕ АВ, причем АЕ: ЕВ = 1:2. Докажите, что
гр -	+~^
СЕ- 3
2.	В треугольнике АВС точки DuE лежат соответственно на сторонах
АВ и ВС; АЕ и CD пересекаются в точке О, SADC = <Saec , Sdoe = 2,
Saoc = 8. Найдите площадь треугольника АВС.
162
§18. Второй и третий признаки подобия
треугольников
1.
1. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, ~~ = Докажите,
что LCBO = LDAO.
2. Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке 13, по-
добны, и выясните взаимное положение прямых АВ и DE.
2.
I.	Дан параллелограмм ABCD. Точки £, F, Л/, 7V принадлежат соот-
.	_ ЕВ DM „
ветственно сторонам АВ, ВС, CD, AD,	Докажите, что
LBEF= LNMD.
2.	Докажите, что треугольники, изображенные на рисунке 14, по-
добны, и выясните взаимное положение прямых ВС и DF.
3.
1.	В треугольниках АВС и А\В\С\ BD и BXD\ — медианы, LA = LA\,
LBDA = LB\D\A\. Докажите, что треугольник BDC подобен тре-
угольнику В\ D\ Ci.
2.	В треугольнике АВС АВ - 4, ВС - 6, АС = 9. Точка Е лежит на сто-
7
роне ВС. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ -1^,
2
ME - 2у СЕ - 2. Докажите, что МЕ^АС.
163
4.
1.	В треугольниках АВС и AtBiCi BE и BtEi — биссектрисы, LB =
= LВ\,	Докажите, что Д ABE cv Д АуВхЕ\.
2.	В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 6, АС = 7. Точка Е лежит на сто-
роне АВ. Внутри треугольника взята точка М так, что МВ = 5^,
ME = 4^, АЕ = 1. Прямая ВМ пересекает АС в точке Р. Докажите,
что&АРВ равнобедренный.
5.
1.	В трапеции ABCD основания AD = а, ВС = Ь, АС = уГаЬ. Докажите,
что LBAC = LADC.
2.	В четырехугольниках ABCD и AjBiCiDi LBAC = LB\A\C\,
LADB = LA\D\B\, LCAD = LC\A\D\, и LACD = LA\C\D\.
Докажите, что Д ЛВС cvAAjBiCi.
6.
1.	В треугольнике АВС точка D лежит на стороне AC, DC = а, АС =
= Ь, ВС = >ГаЬ. Докажите, что LBAC = LDBC.
2.	В четырехугольниках ABCD и AjBiCiDi диагонали пересекаются в
точках О и Oi, причем АО = ОС и AiOi = OiCi, LAOD= LA1O1D1
и LADO= LA\D\O\, LABO = LA\B\O\. Докажите, что
Д ABC вэД A\B\C\.
7.
1.	Внутри треугольника АВС взята точка D и соединена с его вершина-
ми А и В. На стороне ВС вне его построен треугольник ВСЕ
так, что LEBC = LABD и LECB= LBAD. Докажите, что
Д DBE ~ Д АВС.
2.	В треугольнике ЛВС ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Докажите, что если
а2 = Ьс + 62, то LA = 2LB.
8.
1.	В — середина отрезка АС. ТочкиDhE находятся по одну сторону от
прямой АС, причем LADB= LEBC и LDAB= LBCE. Докажите,
4toLBDE~ LADB.
2.	ABCD — параллелограмм. На сторонах АВ, ВС, CD, DA отмечены
AM	АР	1
соответственно точки М, К, Т, Р, причем	МТ и КР
С1	се	2>
пересекаются в точке Е. В каком отношении эта точка делит отре-
зок МП_______________________________________________________
164
§ 19. Средняя линия треугольника.
Свойство медиан треугольника
1.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, К —
середина стороны АВ, АК = 3 см, КО - 4 см. Найдите периметр па-
раллелограмма. Сравните углы КОА и ВСА.
2. В треугольнике АВС АС =12 см. Через точку пересечения медиан
проведена прямая DE (D Е АВ, Е Е ВС), параллельная АС. Най-
дите DE.
2.
1.	В ромбе ABCD О — точка пересечения диагоналей, EnF — середи-
ны сторон ВС и DC. Докажите, что EF — ВО и EF ± АС.
2.	Через точку пересечения медиан треугольника МРК проведен от-
резок CD, параллельный МК (С Е МР, D Е РК), CD= 18 см.
Найдите МК.
3.
1.	Четырехугольники ABCD и DCEF имеют общую сторону CD. Точ-
ки A, D, F не лежат на одной прямой, АВ - CD = EF, АВ || CD ||EF.
Диагонали четырехугольников ABCD и DCEF пересекаются соот-
ветственно в точках Oi и О2. Докажите, что AF ||OiO2 и AF =
= 2О\О2.
2.	В треугольнике АВС АВ = ВС. Медианы треугольника пересекают-
ся в точке О, ОА = 5, ОВ = 6. Найдите площадь треугольника АВС.
4.
1.	ABCD — параллелограмм. От вершин А и В на сторонах AD и ВС
отложены равные отрезки AQ и BP, Е и F — точки пересечения
диагоналей четырехугольников ABPQ и QPCD. Докажите, что
EF\\BC и EF = ^BC.
2.	В прямоугольном треугольнике АВС (ЕС = 90°) ВС-9. Медианы
треугольника пересекаются в точке О, ОВ =10. Найдите площадь
треугольника АВС.
165
5.
1. В четырехугольнике ABCD точки Af, N, Р, Q соответственно сере-
дины сторон АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что отрезки МР и NQ точ-
кой пересечения делятся пополам.
2. В параллелограмме ABCD F — середина ВС. AF пересекает BD в
точке Е, СЕ пересекает АВ в точке К; КВ = 5, AD в 12, LA = 30°.
Найдите площадь параллелограмма.
6.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD равны между собой.
Точки М, Р, К, Т соответственно середины сторон АВ, ВС, CD, AD.
Докажите, что МК ± РТ.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите
расстояние от точки пересечения медиан треугольника до гипоте-
нузы.
7.
1. В параллелограмме ABCD LA острый, СЕ ± АВ, ВС e 2АВ, М —
середина AD. Докажите, что LEMD~ 3LAEM.
2. В треугольнике АВС медианы АЕ и CD пересекаются в точке О;
АЕ = 9, CD в 12, АС = 10. Найдите площадь треугольника АВС.
8.
1. ABCD — ромб. Сторона ромба равна а, АЕ и DF — биссектрисы
внешних углов А и D, BE ± АЕ и CF ± DF. Докажите, что EF*
= 2а.
2. Площадь треугольника АВС равна 12 см* 1 2. Медианы АЕ и CD пере-
секаются в точке О, LAOC в 150°, АЕ= 3 см. Найдите CD.
166
§ 20. Пропорциональные отрезки в прямоугольном
треугольнике
1.
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ = CD ± АВ,
АС 1
= 2« Найдите отношение площадей треугольников ACD и CDB.
2.	В параллелограмме ABCD BD ± АВ, BE ± AD, BE = 6 см, АЕ =
= 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
2.
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) CD ± АВ,
AD 2
= у Найдите отношение площадей треугольников ADC и АСВ.
2.	ABCD — прямоугольная трапеция (LD = LC = 90°), ВС = 3, CD =
= 6, BD ± АВ. Найдите площадь трапеции.
3.
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена
медиана BD, DE ± ВС, yQ = р Площадь треугольника DEC рав-
на 20 см* 1 2. Найдите площадь треугольника АВС.
2. ABCD — прямоугольник. АВ = 4, ВС = 6, BE ± АС. Через точку Е
проведена прямая, параллельная AD, до пересечения в точке F со
стороной CD. Найдите EF.
4.
1. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, АС : BD = 3 : 2,
ОЕ ± АВ. Площадь треугольника АЕО равна 27 см2. Найдите пло-
щадь ромба.
2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = СВ) BD — биссектриса,
АЕ 4
DE ± АВ, -== = тг, BD + АС =14. Найдите периметр треугольника
ЕН У
АВС.
167
5.
1. В прямоугольнике ABCD BE ± АС, АЕ: ЕС =1:3. Найдите углы,
которые составляет со сторонами прямоугольника его диагональ.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) BE ± AD, ВС : AD =
= 1:2, BE: ED= 3 : 4. Площадь треугольника АВЕ равна 18 см* 1 2 * *.
Найдите площадь трапеции.
6.
1. В трапеции ABCD АВ ± AD, AC ± CD, ВС = 6, AD = 8. Найдите уг-
лы трапеции.
2. В параллелограмме ABCD BD ± АВ, АВ : AD =1:2, BE ± AD, АЕ =
= 4 см. Найдите площадь параллелограмма.
7.
1. В трапеции ABCD AC ± BD, СЕ ± AD, АС = 15 см, АЕ = 9 см. Най-
дите площадь трапеции.
2. В треугольнике АВС СМ — биссектриса внешнего угла С,
ВМ ± СМ. Угол В в два раза меньше этого внешнего угла,
BF ± AM, AF: FM = 3:1. Найдите угол ВАМ.
8.
AC V7!
1. В трапеции ABCD AC ± BD, = -гг. Высота трапеции равна
2\^6 см. Найдите площадь трапеции.
2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке О, OK ± AD,
Найдите углы ромба.
b()KD 1
168
§21. Задачи на построение, решаемые
методом подобия
1. Постройте треугольник АВС по данным углам А и С и медиане AM.
2. Данный отрезок разделите в отношении 2:3:5.
2.
1.	Постройте треугольник АВС по данному углу С, отношению двух
сторон АС : СВ = 2 : 3 и биссектрисе CD.
2.	Данный отрезок разделите в отношении 1:4:7.
3.
1. Постройте треугольник АВС по тупому углу В, отношению сторон
АВ : ВС = 3 : 2 и высоте AD.
cP"
2. Даны два отрезка а и Ь. Постройте отрезок х =
о
1. Постройте треугольник АВС по углу А, отношению сторон АВ : АС =
= 1 : 3 и расстоянию от точки пересечения медиан до вершины В.
ЭТТ	А П “	(а + b) b
2. Даны два отрезка аио. Построите отрезок х =  ---—.
1. В остроугольный треугольник впишите прямоугольник, у которого
одна сторона в два раза больше другой, так, чтобы большая сторона
прямоугольника лежала на одной стороне треугольника, а две его
вершины лежали на двух других сторонах треугольника.
2. На рисунке 15 тЦп. Постройте на
прямой п только с помощью линей-	j	j
ки отрезок С\ D\ такой, чтобы	'	1	~ т
АВ _ АХВ{
CD Ci DC
Вч n
Рис. 15
169
6.
1.	В остроугольный треугольник впишите равнобедренный прямо-
угольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла лежала на
стороне треугольника, а гипотенуза была параллельна этой стороне
и ее концы располагались на двух других сторонах треугольника.
2.	На рисунке 16 а|6. При помощи только линейки постройте отрезок
_ _	„ .АВ CiDi
CiD\ такой, чтобы
А В С D
Ч-------1	I---
о
।--------1----------------------
Ai В1	&
Рис. 16
7.
1.	Постройте прямоугольный треугольник, если катеты относятся как
2:3, и, если известен его периметр.
2.	Постройте треугольник АВС по двум острым углам А и С (АЛ +
+ ZC > 90°) и расстоянию от точки пересечения высот до вер-
шины В.
8.
1.	Постройте равнобедренный Д АВС (АВ = ВС), если высота BD от-
носится к боковой стороне как 1 : 4, и если известен его периметр.
2.	Постройте треугольник АВС по данному углу В, по расстоя-
нию от точки пересечения биссектрис до вершины В, если
АВ : ВС = 1 : 2
170
§ 22. Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника и их значение
для углов 30е, 45е и 60е
г	г	<•	' > * * $	г
1.
1. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 20, а боковая сто-
рона 15. Найдите синус, косинус и тангенс острого угла трапеции.
2. В окружности АВ и CD — два не взаимно перпендикулярных диа-
метра, DE ± АВ, CD = 4, DE = у/З. Найдите острый угол между
диаметрами.
2.
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ (ЕС = 90°) CD ± АВ, AD = 2,
DB = 3. Найдите синус, косинус и тангенс угла А.
2.	ABCD — прямоугольная трапеция (ED = ЕС = 90°), ВС = 2, AD =
= 4, CD = 2у/3. Найдите угол А.
3.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (ED= ЕС = 90°, АС и BD — ос-
нования) АВ = 9, BD =12, AD = 15. Найдите синус, косинус и тан-
генс угла CBD.
2. В трапеции ABCD AD = 2ВС, BD = 3^3, AC = 3, BD ± AC. Найдите
углы, которые образуют с основанием диагонали трапеции.
1. В трапеции ABCD GW||BC) АВ= 12, BD= 16, AD= 20, СЕ ± BD.
Найдите синус, косинус и тангенс угла ВСЕ.
2. Площадь ромба равна 4у/2, а его сторона 2у/2. Найдите углы
ромба.
171
5.
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (Z.C = 90°) СЕ ± АВ, CD —
медиана, АВ = 4, ED = V3. Найдите углы треугольника.
2. В треугольнике АВС АВ = ВС = 5, АС = 6. Найдите синус, косинус и
тангенс угла АВС.
6.
В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) D Е. АВ, DE ||ЛС,
BD _ 1
DA 7з'
DE = ЕС,
Найдите углы треугольника.
2. Диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Найдите синус, косинус и тан-
генс острого угла ромба.
7.
1. Постройте угол, синус которого в два раза больше его косинуса.
2. Вычислите sin 75°.
8.
1. Постройте угол, косинус которого в три раза меньше его синуса.
2. Вычислите sin 15°.
172
§ 23. Решение прямоугольных треугольников
1.
1.	В параллелограмме стороны равны а и Ь, острый угол а. Найдите
площадь параллелограмма. Вычислите эту площадь, если а = 2,3,
Ь= 3,7, а = 40°37'.
2.	В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) L ВАС = 45°, АВ =
= 10, D G ВС (В — D — С), LDAC = 30°. Найдите DC.
2.
1.	Высота ромба равна А, острый угол а. Найдите площадь ромба. Вы-
числите эту площадь, если А = 17,3, а = 52°43'.
2.	В треугольнике ABC L А- 60°, LC = 45°, BD ± AC, AD = 3. Найди-
те ВС.
3.
1.	В ромбе ABCD острый угол равен а. Меньшая диагональ равна d.
Найдите площадь ромба. Вычислите площадь, если d— 12,3, а =
= 62°50'.
2.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z-C- 90°) точка М лежит на
катете ВС. Эта точка находится на равном расстоянии от АВ и АС,
МС = 2,7, AM = 4,1. Найдите углы треугольника АВС.
4.
1.	В трапеции ABCD GW||BC) AD = 2a, ВС = a, BD А. АВ, LCBD =
= а. Найдите площадь трапеции. Вычислите площадь, если
я = 7,6, а =54°2Г.
2.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°) CD — медиана.
Найдите угол DCB, если CD = 5,3, ВС = 4,7.
173
5.
1. Площадь прямоугольного треугольника равна S, а один из острых
углов а. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу. Вычислите
длину высоты, если S = 42,3 и а = 50°27'.
2. В прямоугольной трапеции ABCD (Z.D= АС = 90°) ABAD =
= 40°27', АВ = 12,7, АС = 18,1. Найдите угол CAD.
6.
1.	В равнобедренной трапеции ABCD АВ = CD. Площадь трапеции
равна 5, LBDA = а. Найдите высоту трапеции. Вычислите высоту,
если S = 234,6 и а = 23°46'.
2.	В треугольнике АВС ВС = 2,7, АВ = 4,2 L АСВ = 132°40'. Найдите
угол ВАС.
7.
1.	В трапеции ABCD (АС и BD — основания) /_CAD=fl, LCBD = а,
BD = d. Найдите АС. Вычислите АС, если d = 15,9, а = 27°30',
/3 = 4О°15'.
2.	В равнобедренном треугольнике медиана составляет с основани-
ем угол а. Найдите угол при вершине треугольника, если а =
= 37°23'.
8.
1.	В трапеции ABCD LA + L £> = 90°, AD = ТВС, Е Е AD, причем
АЕ 1
ВЕ = а, СА=а. Найдите площадь трапеции. Вычислите
ED о
площадь, если а= 17,3, а = 40°23'.
2.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине таков, что его
косинус равен пг. Найдите тангенс угла между высотой, опущенной
на боковую сторону, и основанием.
174
1. В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) ЛС = 4, ВСв6,
ЕЕ АВ (А — Е— В), EF ± ВС, ED ± AC; EF: ED = 1:2. Найдите
площадь прямоугольника DEFC,
3-/3
2. В ромбе ABCD L А = 60°, а высота равна 2 • На продолжении сто-
роны АВ за точку В взята точка М, ВМ = 4. Отрезок MD пересекает
ВС в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок ВС?
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ (LC = 90°) D Е АВ
(Л — D — В), DE ± ВС, DE = 3, DC = 5, АС = 2ВС. Найдите пло-
щадь треугольника АВС.
8<3
2.	Диагональ АС прямоугольника ABCD равна --у- и составляет со
стороной AD угол 30°. Сторона AD продолжена за точку D на отре-
зок DE, равный 3. Отрезок BE пересекает сторону CD в точке К. В
каком отношении отрезок BE делит сторону CD?
3.
1. В равнобедренный треугольник вписан прямоугольник, стороны ко-
торого относятся как 1:3. Меньшая сторона прямоугольника лежит
на основании треугольника, а две его вершины лежат на боковых
сторонах треугольника. Стороны треугольника равны 10, 10, 12.
Найдите площадь прямоугольника.
3
2. В прямоугольном треугольнике ABC (LC- 90°) cos LB = v. Найди-
те соотношение отрезков, на которые биссектриса угла А делит ка-
тет ВС.
4.
1. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) вписан равнобед-
ренный прямоугольный треугольник так, что вершина прямого угла
лежит на основании данного треугольника, а гипотенуза параллель-
на основанию (вершины острых углов лежат на боковых сторонах
треугольника). Найдите площадь прямоугольного треугольника, ес-
ли высота BF = 16 см, а АВ - 20 см.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (LC = 90°) BD — биссектриса.
Площади треугольников ABD и BCD относятся как 17:8. Найдите
синус угла АВС.
175
5.
1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4, а угол 30°. В
этот треугольник вписан прямоугольник, у которого одна сторона в
два раза больше другой. Найдите площадь прямоугольника, если его
большая сторона лежит на гипотенузе, а две вершины — на катетах.
2. В треугольнике АВС угол АСВ тупой, ВО ± AC, OF ± АВ,
OD ± ВС. Докажите, что А АСВ = LDFB.
6.
1.	В ромб вписан прямоугольник так, что все его вершины лежат на
сторонах ромба, причем большая сторона прямоугольника парал-
лельна большей диагонали ромба. Найдите площадь прямоугольни-
ка, если его стороны относятся как 1:2, сторона ромба равна а, ост-
рый угол 60°.
2.	В остроугольном треугольнике ABC BD ± AC, DE ± АВ и DF ± ВС.
Докажите, что Д EBF со Д АВС.
7.
1.	Основание треугольника равно Ь. В этот треугольник вписана трапе-
ция, у которой три стороны равны а, а острый угол 60°. Меньшее ос-
нование трапеции лежит на основании треугольника, а большее ос-
нование трапеции параллельно основанию, и его концы лежат на
двух других сторонах треугольника. Найдите площадь треугольни-
ка.
2.	В Д ABC BD — медиана, М — произвольная точка, лежащая на ме-
диане. Прямые AM и СМ пересекают стороны треугольника соот-
ветственно в точках EiaF. Докажите, что .Е7г||ЛС.
8.
1.	В треугольник АВС вписана прямоугольная трапеция FDEM
(ADFM - 90°), у которой большее основание DE параллельно АС,
D Е АВ, Е Е ВС, а меньшее основание FM лежит на АС. Меньшее
«73	-
основание а, высота трапеции ~у-, а большая диагональ делит ост-
рый угол пополам. Найдите площадь треугольника, если высота
треугольника, опущенная из вершины В, равна А.
2.	В остроугольном треугольнике основание делится высотой на части,
равные а и Ъ. Найдите эту высоту, если ее часть от основания до
точки пересечения высот равна т.
176
§ 25. Взаимное расположение прямой и окружности
I.
1.	В прямоугольном треугольнике АСВ (ZC = 90°), АВ = 10, LABC =
= 30°. С центром в точке А проведена окружность. Каким должен
быть радиус этой окружности, чтобы:
а)	окружность казалась прямой ВС;
б)	не имела с ней общих точек;
в)	имела с ней две общие точки?
2.	На касательной к окружности от точки касания по обе стороны от
нес отмечены две точки М и Т, удаленные от центра окружности
на расстояние, равное 20 см; ТМ = 32 см. Найдите радиус окружно-
сти.
2.
1.	ABCD — квадрат, АС = 10\/зГ, О — середина AD. С центром в точке
О проведена окружность. Каким должен быть радиус этой окруж-
ности, чтобы:
а)	окружность касалась прямых АВ и CD?
б)	не имела с ними общих точек;
в)	имела бы две общие точки с каждой прямой?
2.	На касательной к окружности от точки касания С отложены по обе
стороны от нее два отрезка С А и СВ, причем А АОС = LBOC (О —
центр окружности). Радиус окружности равен 8, АВ = 30. Найдите
расстояние от центра окружности до точек А и В.
3.
1.	АВ и CD — два взаимно перпендикулярных диаметра окружности.
Хорда СВ проложена за точку В на отрезок BE, равный СВ. Каково
взаимное положение прямой DE и окружности?
2.	Диаметр АВ окружности продолжен за точку В на отрезок ВС,
CD — касательная к окружности (D — точка касания). Через точ-
ку В проведена хорда, параллельная CD. Радиус окружности равен
10 см, а расстояние от центра окружности до хорды равно 4 см.
Найдите АС.
177
4.
1. Катеты прямоугольного треугольника АВС (£Св90°) ЛС = 3,
ВС - 4. С центром в точке С проведена окружность радиуса, равного
2,4. Каково взаимное положение этой окружности и прямой АВ?
2. На касательной к окружности от точки касания Р по обе стороны от
нее отложены два отрезка РА и РВ. Точки Аи В соединены отрез-
ками с центром окружности О. АО пересекает окружность в точке
С, а ВО — в точке D. Найдите CD, если радиус окружности равен
7, а ОА = ОВ = 25.
5.
1. В трапеции ABCD АВ = ВС = CD, AD = 2ВС. С центром в точке А
проведена окружность радиусом, равным АВ. Каково взаимное по-
ложение этой окружности и прямой BD?
2. Из точки проведены две касательные к окружности, которые обра-
зуют между собой угол а. Радиус окружности равен г. Найдите рас-
стояние между точками касания.
6.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (АС DA »90°) BC*=CD, AD** 1
= 2ВС. С центром в точке D проведена окружность радиусом, рав-
ным BD. Каково взаимное положение этой окружности и прямой
АВ?
2. Из некоторой точки проведены две касательные к окружности, ко-
торые образуют между собой угол а. Расстояние от центра окруж-
ности до хорды, которая соединяет точки касания, равно т. Найди-
те длины отрезков касательных от данной точки до точки касания.
7.
1. Две окружности разных радиусов внешне касаются. Докажите, что
отрезок их общей касательной, заключенный между точками каса-
ния, есть среднее пропорциональное между диаметрами этих ок-
ружностей.
2. Через концы диаметра АВ окружности проведены две касательные
к ней. Третья касательная пересекает первые две в точках С и D.
Докажите, что квадрат радиуса этой окружности равен произведе-
нию отрезков СА и DB.
178
8.
1. Две окружности разных диаметров внешне касаются. К ним про-
ведены две общие касательные АС и BD, где А и В — точки касания
с первой окружностью, а С и D — со второй. Докажите, что ACDB
— равнобедренная трапеция.
2. АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Окружность ради-
уса гис центром в точке Oi внутренне касается первой окружности
в точке В. Через конец А диаметра большей окружности проведены
две хорды, которые касаются меньшей окружности. Угол между
хордами равен 60°. Найдите длины этих хорд.
179
§ 26. Теорема о вписанном угле
1.
1. Дуга АВ окружности с центром в точке О равна 60°. Найдите рассто-
яние от точки А до радиуса ОВ, если радиус окружности равен 6 см.
2. АВ и АС — хорды окружности. Z ВАС = 70°, <;АВ = 120°. Найдите
градусную меру дуги АС.
2.
1.	В окружности с центром в точке О проведены два радиуса ОА и ОВ
так, что расстояние от точки А до радиуса ОВ в два раза меньше дли-
ны радиуса. Найдите градусную меру дуги АВ.
2.	В окружности проведены диаметр АВ и хорда АС. Найдите угол
ВАС, если градусные меры дуг АС и СВ относятся как 7 : 2.
3.
1.	МА и МВ — хорды окружности с центром в точке О, LAMB = 30°.
Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 10 см.
2.	На катете АС прямоугольного треугольника ABC (LC = 90°) как на
диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в
точке D; BD = 4 см, AD = 9 см. Найдите CD.
4.
1.	КА и КВ — хорды окружности с центром в точке О, LAKB = 45°,
АВ = 3VT. Найдите длину радиуса этой окружности.
2.	В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ. На стороне АС как
на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в
точке D', CD =18, AD =16. Найдите площадь треугольника.
5.
1. На диаметре окружности АВ отмечена произвольная точка С. На
отрезке СВ как на диаметре построена окружность, BE и BF — хор-
ды большей окружности, которые пересекают меньшую окруж-
ность соответственно в точках Р и К. Докажите, что
ru KJJ
2. В точке А к окружности проведена касательная АВ, АС — хорда
этой окружности, LBAC острый, vj AM = vj МС (точка М лежит
на дуге АС и расположена во внутренней области угла ВАС). Рас-
стояние от точки М до АС равно 5 см. Найдите расстояние от точки
М до АВ.
180
6.
1. На диаметре АВ окружности отмечены точка М. С центром в этой
точке проведены две окружности, которые расположены внутри
данной; ВК и ВКХ — хорды большей окружности, которые касаются
двух меньших окружностей в точках Р и Pi соответственно. Дока-
КР _ К.Рг
жите, что рв р в .
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. На
боковой стороне как на хорде построена окружность, которая каса-
ется основания в его конце. Две вершины и точка пересечения ок-
ружности с другой стороной делят окружность на три части. Най-
дите их.
7.
1. Через точку пересечения окружности с биссектрисой вписанного
угла проведена хорда, параллельная одной стороне угла. Докажи-
те, что эта хорда равна другой стороне вписанного угла.
2. Через точку К окружности с центром О проведены хорда КА и ка-
сательная ВС (В — К — С). Прямая, проведенная через центр О
перпендикулярно к радиусу О А, пересекает ЛК в точке М и ВС —
в точке N. Докажите, что NK = NM.
8.
1. Окружность проходит через вершины В, С, D трапеции ABCD (AD
и ВС — основания) и касается стороны АВ в точке В. Докажите,
что BD = \lBC AD.
2. Вершины четырехугольника ABCD принадлежат окружности с
центром в точке О, АВ + CD = 180°. Диагонали АС и BD пере-
секаются в точке Е. Вершины Д AED принадлежат окружности с
центром в точке О\, О\Е = Ъ см. Найдите AD.
181
§ 27. Теорема о произведении отрезков хорд
1.
1. Через точку Л/, расположенную внутри круга, проведены две хор-
ды АВ и CD, причем AM = МВ, СМ =16 см, DM : МС =1:4. Най-
дите АВ.
2. АВ — диаметр окружности. Точка С лежит на окружности.
CD 1. АВ, AD = 3, DB = 5. Найдите CD.
2.
1. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. АЕ: ЕВ =
= 1 : 3, CD = 20, DE = 5. Найдите АВ.
2. АВ — диаметр окружности. Точка Е лежит на окружности
EF ± АВ, FB = 4, EF= 6. Найдите радиус окружности.
3.
1. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде АВ, АВ и CD пе-
ресекаются в точке Е, СЕ = 2 см. Сумма АВ и СЕ равна диаметру
окружности. Найдите радиус окружности.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок средний пропор-
циональный между отрезками, длины которых равны 1 см и 2 см.
1. Диаметр CD окружности с центром в точке О пересекается с хордой
АВ в точке К, ОК = 5 см. Расстояние от центра окружности до хор-
ды равно 4 см. Найдите радиус окружности, если длина хорды рав-
на 16 см.
2. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок, длина которого
равна V2x3 см.
182
5.
1.	AB — диаметр окружности с центром в точке О. На отрезке ОВ как
на диаметре построена окружность с центром в точке Хорда
большей окружности ВС пересекает меньшую окружность в точке
Е. Через точки Oi и Е проведена прямая, которая пересекает боль-
шую окружность в точках К и F (К — Е — F), КЕ = 2 см, EF = 8 см.
Найдите ВС.
2.	Две окружности пересекаются в точках А и В. На продолжении их
общей хорды АВ выбрана точка М. Из этой точки проведены каса-
тельные ME и MF к этим окружностям (Е и F — точки касания).
Докажите, что ME = МF.
6.
1.	Вершины треугольника АВС лежат на окружности, АВ : ВС = 2:3.
Точка D делит дугу АС пополам. BD пересекает АС в точке Е. Через
точку Е проведена хорда КМ, КЕ = 4 см, МЕ = 6 см. Найдите АС.
2.	Две окружности внешне касаются в точке F. Через эту точку прове-
дена общая касательная к этим окружностям. На этой касательной
выбрана точка М. Из этой точки к этим окружностям проведены се-
кущие, которые пересекают первую окружность в точках А и В
(М — А — В), а вторую — в точкахChD (М— С — D), МА = МС.
Докажите, что АВ = CD.
7.
1.	QP — диаметр окружности с центром в точке О. На диаметре QP
между точками О и Р выбрана точка Ot и с центром в этой точке ра-
диусом OiP проведена окружность. Прямая, проходящая через
центр О\ меньшей окружности, пересекает большую окружность в
точках А и D, а меньшую — в точках В и С. Найдите если
АВ: ВС: CD = 2: 4:3.
2.	Две окружности касаются внешне в точке К. Через эту точку прове-
дена прямая, которая, пересекаясь с окружностями, образует хорды
КР и KQ. Из точек Р и Q проведены к окружностям касательные РТ\
и QTi, где Т\ и Т2 — точки касания. Докажите, что PT? + QT% =
= PQ2.
8.
1.	На диаметре CD окружности выбрана точка Е. Через эту точку про-
ведена хорда ЛВ, АЕ = 4, BE = 3, AD = 6,5, L ABC = 60°. Найдите СЕ
и ED.
2.	В треугольнике АВС угол В тупой. Постройте на основании АС точ-
ку D такую, что АВ2 = AD х АС.
183
§ 28*. Окружность
1.
1. Две окружности имеют общий центр. Радиус большей окружности
равен R, а меньший — г. Найдите длину хорды большей окружно-
сти, которая касается меньшей.
2. Две окружности имеют равные радиусы и пересекаются в точках А
и В. Через точку А проведена прямая, которая пересекает одну ок-
ружность в точке С, а другую — в точке D. Докажите, что ВС =
= В D.
2.
1.	АВ — диаметр окружности с центром в точке О. На отрезке ОВ как
на диаметре построена окружность радиуса г. Из точки А проведена
касательная АК к меньшей окружности (X — точка касания). Най-
дите АК.
2.	На окружности отмечены четыре точки А, В, С, D. ВС = AD.
Докажите, что AB^CD.
3.
1. Две окружности, радиусы которых равны 8 см и 2 см, касаются
внешним образом. Найдите длину их общей касательной.
2. Точка D лежит на радиусе ОА окружности с центром в точке О.
Хорда ВС, проходящая через точку D, перпендикулярна АО. В точ-
ке С к окружности проведена касательная до пересечения с продол-
жением О А в точке Е. Докажите, что С А — биссектриса угла
ВСЕ.
4.
1. Две окружности, радиусы которых 4 и 6, касаются внешним обра-
зом. Их общие внешние касательные пересекаются в точке М. Най-
дите расстояние от точки М до центра меньшей из окружностей.
2. В окружности проведены хорды АВ и AC, DE и DF, причем AB\\DE
и AC||DF. Докажите, что FB||CE.
184
5.
1. Две окружности, радиусы которых равны 1 и 3, внешне касаются
в точке С; АВ — их общая внешняя касательная (А и В — точки
касания). Найдите площадь треугольника АСВ.
2. Вершины А, В, С остроугольного треугольника АВС лежат на ок-
ружности с центром в точке О; АН ± ВС. Докажите, что А О АС =
= LBAH.
6.
1.	Окружности с радиусами, равными 4 см и 1 см, внутренне касают-
ся. Хорда АВ большей окружности касается меньшей окружности,
и прямая АВ образует с общей касательной в окружности угол 60°.
Найдите АВ.
2.	Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А про-
ведены отрезки АС и AD, каждый из которых является хордой од-
ной из окружностей и касается другой. Докажите, что АС*ВА =
= AD*BC.
7.
1.	Даны два круга одного и того же радиуса г. Расстояние между их цент-
рами равно d. Вычислите площадь четырехугольника, образованного
касательными, проведенными к каждому кругу из центра другого.
2.	Вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности, причем АС
— биссектриса угла DAB. Докажите, что AC*BD = AD*DC + АВ*ВС.
8.
1.	Вершины квадрата ABCD лежат на окружности с центром в точке
О. Квадрат EMPF расположен так, что сторона EF лежит на сто-
роне ВС данного квадрата, а вершины М и Р лежат на окружности.
Найдите сторону квадрата EMPF, если сторона квадрата ABCD
равна а.
2.	Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Пусть
АВ — хорда большей окружности, которая касается меньшей в точ-
ке Т. Докажите, что МТ — биссектриса угла АМВ.
185
§ 29. Четыре замечательные точки треугольника
1. В остроугольном треугольнике ABC AD ± ВС, CF ± АВ, AD пере-
секает CF в точке М. Докажите, что Z. АВМ = LMCA.
2. В прямоугольном треугольнике АСВ (АС = 90°) АЕ — биссектриса,
СЕ = 5, АВ =14. Найдите площадь треугольника АВЕ.
2.
1.	В прямоугольном треугольнике АВС (АС = 90°) р — серединный
перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К, АК = 5, ВС = 4.
Найдите периметр треугольника ВКС.
2.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, медианы АЕ и CF
пересекаются в точке К, ВК = 6, АС =10. Найдите площадь тре-
угольника АВС.
3.
1.	В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке
М, ВМ = т, А АВС = а. Найдите расстояние от точки М до стороны
АС.
2.	Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в
точке О, ОА = 4, OD = 3, BD = 4. Найдите расстояние от точки О до
стороны АС.
4.
1.	В остроугольном треугольнике ABC hup — серединные перпенди-
куляры к сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF =10,
АВ = 16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.
2.	Вершины треугольника АВС лежат на окружности. А А = 2АВ. Бис-
сектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО пересекает окруж-
ность в точке К. Докажите, что КС ||ЛВ.
186
5.
1. В треугольнике ABC LACB = 120°, ЛС = СВ = а. Серединные пер-
пендикуляры к сторонам АС и СВ пересекаются в точке М. Най-
дите расстояние от точки М до середины стороны АВ.
2. Из точки М к окружности с центром в точке О проведены касатель-
ные МА и МВ (А и В — точки касания), BF ± AM. BF пересекает
МО в точке К, МО « 2ОВ. Найдите угол КАВ.
6.
1.	В треугольнике ABC LABC тупой. Продолжения высот AD и СЕ пе-
ресекаются в точке Л/, МВ - 5, АС в 10. Найдите площадь четырех-
угольника АМСВ.
2.	Во внутренней области треугольника АВС взята точка О, равноуда-
ленная от его сторон. Найдите Z.AOC, если LABC - 2а.
7.
1.	Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором
расстояние между точками пересечения медиан и биссектрис равно
данному отрезку т.
2.	Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 6, а боко-
вая сторона равна 5. Найдите расстояние между точками пересече-
ния медиан и высот этого треугольника.
8.
1.	Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором
расстояние между точками пересечения высот и биссектрис равно
данному отрезку р.
2.	Основание АС равнобедренного треугольника равно 6, а боковая
сторона равна 5. Найдите расстояние между точками пересечения
медиан и биссектрис этого треугольника.
187
§ 30. Вписанная окружность
1. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний тре-
угольник, если сторона треугольника равна 2VT см.
2. Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, периметр
которой равен 10 см. Найдите длину боковой стороны.
2.
1.	Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, ра-
вен v3 см. Найдите сторону треугольника.
2.	Вокруг окружности описана равнобедренная трапеция, угол при ос-
новании которой равен 30°. Высота трапеции равна 4 см. Найдите
сумму длин оснований трапеции.
3.
1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторона-
ми 10 см, 10 см, 12 см.
2. Периметр ромба равен 80 см, а одна из диагоналей 32 см. Найдите
радиус вписанной в ромб окружности.
1. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее каса-
ния с гипотенузой делит ее на части, равные 6 см и 4 см. Найдите
радиус окружности.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапе-
цию, если ее основания равны 8 см и 2 см.
5.
1. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписана окружность, ра-
диус которой равен 2VT см. Найдите площадь этого треугольника.
2. Расстояния от центра вписанной в прямоугольную трапецию ок-
ружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см.
Найдите площадь трапеции.
188
6.
1. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной
окружности до вершины не равного угла равно 5 см. Боковая сто-
рона равна 10 см. Найдите длину этого радиуса.
2. Около круга, радиус которого равен 2, описана прямоугольная тра-
пеция. Меньшее основание трапеции равно 3. Найдите площадь
трапеции.
7.
1. В треугольник со сторонами 20, 20, 24 вписана окружность. Другая
окружность касается основания, боковой стороны и данной окруж-
ности. Найдите радиус этой окружности.
2. В трапеции ABCD биссектриса угла А пересекает основание ВС
(или его продолжение) в точке Е. В треугольник АВЕ вписана ок-
ружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны BE в точке
Р. Найдите угол BAD, если известно, что ВМ = МР.
8.
1. В равнобедренную трапецию, основания которой равны 2 см и 8 см,
вписана окружность. Другая окружность касается большего осно-
вания, боковой стороны и данной окружности. Найдите радиус этой
окружности.
2. В ромб ABCD со стороной, равной 4 см, и углом BAD, равным 60°,
вписана окружность. К ней проведена касательная, пересекающая
АВ в точке М и AD — в точке Р. Найдите МВ и PD, если МР = 2 см.
189
§31. Описанная окружность
1.
1. Вокруг равностороннего треугольника описана окружность, радиус
которой равен 3\^3. Найдите периметр треугольника.
2. В окружность, радиус которой равен 10, вписан прямоугольный
треугольник, один из катетов которого равен 16. Найдите площадь
этого треугольника.
2.
1.	Треугольник АВС вписан в окружность. Найдите радиус этой ок-
ружности, если АВ = 24 см, а центр окружности удален от этой сто-
роны на 5 см.
2.	Найдите периметр прямоугольного треугольника, вписанного в ок-
ружность радиуса 7,5 см, если один из катетов равен 9 см.
3.
1.	Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сто-
ронами 10 см, 10 см, 12 см.
2.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность так, что сторона AD
является диаметром этой окружности, А АВС = 130°, ABCD = 140°.
Найдите углы BAD, CDA, АСВ.
4.
1.	Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно
24 см, а радиус описанной около него окружности 13 см. Найдите
боковую сторону треугольника.
2.	Сторона равностороннего треугольника АВС равна V3 см. Высоты
треугольника AD и BE пересекаются в точке М. Докажите, что
вокруг четырехугольника MDCE можно описать окружность, и
найдите ее радиус.
190
5.
1. Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и уг-
лом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок,
соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения
продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной ок-
ружности.
2. Трапеция вписана в окружность. Ее основания равны 6 дм и 8 дм, а
высота 1 дм. Найдите радиус этой окружности, если известно, что
основания трапеции находятся по одну сторону от центра.
6.
1.	Угол при вершине В равнобедренного треугольника АВС {АВ = ВС)
равен 72°. Через вершину А и центр описанной окружности прове-
дена прямая до пересечения в точке К со стороной ВС, ВК = а. Най-
дите радиус описанной окружности.
2.	Трапеция ABCD {AD и ВС — основания) вписана в окружность,
радиус которой равен 4 см; АС — биссектриса угла A, LBCA - 30°.
Найдите площадь трапеции.
7.
1.	Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот тре-
угольника АВС относительно его сторон, лежат на окружности,
описанной около этого треугольника.
2.	Вокруг треугольника АВС описана окружность, радиус которой ра-
вен R; АС - а, ВС = Ь. Точка D лежит на стороне AC, L АВС =
= LBDC. Найдите радиус окружности, описанной около треуголь-
ника BDC.
8.
1.	Пусть AAt, BBlt CCi — высоты треугольника АВС. Докажите, что
биссектрисы треугольника AtBtC[ лежат на этих высотах.
2.	В окружность вписан треугольник ABC, АС = Ь, АВ = с. К окружно-
сти в точке А проведена касательная. Прямая СВ пересекает эту
касательную в точке М {С — В — М). Радиус окружности, описан-
ной около треугольника АМС, равен R. Найдите радиус окружно-
сти, описанной около треугольника АМВ.
191
§ 32.	Понятие вектора
1.
ABCD — параллелограмм. Укажите
пары векторов, изображенных на ри-
сунке 17, которые: а) коллинеарны;
б) сонаправлены; в) противоположно
направлены; г) равны.
Можно ли на прямой АС от точки А от-
ложить вектор, равный вектору о?
ABCD — параллелограмм. Укажите
пары векторов, изображенных на
рисунке 18, которые:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	имеют равные длины.
Можно ли на прямой АВ от точки В
отложить вектор, равный вектору е?
3.
1.	АВС — прямоугольный треугольник
(Z С - 90°), LA = 45°. Какие из сле-
ду кццих записей имеют смысл:
а)	АВ^> ВС\
б)	L/IB |_> | ВС |;
в)	АС*=ВС;
г)	| АС | = I ВС |;
2.	Какие из векторов, изображенных
на рисунке 19:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной точки.
192
1.	ABCD — прямоугольник. Какие из
следующих записей иуеют^смысл:
a)	AD< АС‘, в) ACpBD‘,
б)	| AD | < | АС |; г) | АС | = | BD | ?
2.	Какие из векторов, изображенных на
рисунке 20:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	имеют равные длины?
Отложите эти векторы от одной точ-
ки.
5.
1.	В четырехугольнике ABCD АВ = DC. Через точку О пересечения
его диагоналей проведена прямая, пересекающая стороны В£ и
соответственно в точках Е и F. Какие из векторов АЕ, ЕС, AF,
DF:
а)	коллинеарны;
б)	сонаправлены;
в)	противоположно направлены;
г)	равны;
д)	имеют равные длины?
2.	В круге проведены диаметр АС и хорда АВ. Внутри круга выбрана
точка М. От этой точки_ртло^сны векторы MN и MF, соответст-
венно равные векторам АВ и АС. Чему равен угол MNF?
1.	В четырехугольнике ABCD АВ = DC, точка Е — середина ВС. Пц^-
м£я Ар п^рссс^каст продолжение DC в точке F. Среди векторов АВ,
BE, СЕ, AD, CF укажите пары:
а)	коллинеарных векторов;
б)	сонаправленных векторов;
в)	противоположно направленных векторов;
г)	равных векторов;
д)	векторов, имеющих равные длинны.
2.	В ромбе ABCJJ | АС | = 12 см, | вр | = 16 см. От вершины А уло-
жен вектор АЕ, равный вектору BD. Найдите длину вектора ЕС.
7 Зин н. г.
193
1. На рисунке 21 ABCD и EFCD —
параллелограммы. Сколько суще-
ствует различных векторов с на-
чалом и с концом в вершинах
данных параллелограммов?
2. Точка М лежит внутри треуголь-
ника АВС. Отстой трчкиотложе-
ны векторы MF, ME, MD соот-
ветственно равные векторам АВ,
АС, ВС. Докажите, что MFED —
параллелограмм.
1. На рисунке 22 ABCD и FADE — па-
раллелограммы. Сколько существует
различных векторов с началом и с
концом в вершинах данных паралле-
лограммов?
2. АВС — правильный треугольник.
Точка М лежит вне треугольника.
Qj точно М отложены векторы МК,
ML, МР,_* соответственно равные
векторам АВ, АС, ВС. Докажите, что
ML LKP.
Рис. 22
194
§ 33. Сложение векторов
1. На рисунке 23 изображены векторы
а и а. Постройте вектор а + ёГдвумя
способами.
2. М, Н, Р,О, S — произвольные точ-
кд. Нагите думму^ »
МН + РО+ SM+ HP + OS.
2.
1. На рисунке 24 изображены два векто-
ра т и п. Постройте вектор т + п
двумя способами.
2. Даны произвольные т^очки В, Q, D,
Е. Докажете, ^го CD + ВС =
= АС + ЕВ + СЕ + BD.
3.
1. На рисунке 25 изображены векторы "а, £ т, п.
1) Постройте сумму д + ZT+
2) Постройте сумму т + п.
2. В параллелограмме AJ3CD _£иагощши пересекаются в точке М.
Докажите, что AM + DC + MD + СВ — AC + DA.
195
1. На рисунке 26 изображены векторы т, ~р, ~а, 7?.
1) Постройте сумму т + 7Т + J).
2) Постройте сумму а+ £
2. ABCD — прямоугольник Диагрнали его^перес^каются в точке О.
Докажите, что | АО + DC + OD | = | DA + DC |.
5.
1. Угол между векторами а и а и_* ~с равен 120°,
| гГ| = |	= | сГ|. Докажите, что а + 7?+ ёГ= 0.
2. На рисунке 27^£BCD_p CFED — ц^ралдрлограммы. Укажите такой
вектор х, что АВ + AD + DE + CD + х = AD.
Рис. 27
196
1. Угол между векторами а и 7? равен
90°, а углы между векторами и
ZT и с* равны 135°, | бГ| = | Zf| = 1,
| ?| = V2~. Докажите, что
а+ 7?+ (t
2. На рисунке 28 ABCD и ADEF — па-
раллелограммы. ^кажи^е так§й век-
тор js что АВ + AD + CD + AF + ~у= AF.
1. Д^ны дв£ параллелограмма ABCD и A\BC\D. Докажите, что
АА{ =CiC.
2. В треугольнике АВС М — точка пересечения медиан. Докажите,
что МА + МВ + NtC = Й
8.
1. Даны два треугольник ABC^ia ABtCi, имеющие общую медиану
ЛЛ,. Докажите, что СВ, = С, В.
2. ABCD — параллелограмм. Оточ^са пересечения его диагоналей.
Докажите, что РА + РВ + PC + PD = 4РО, где Р — любая точка
плоскости.
197
§ 34. Вычитание векторов
1.	На рисунке 29 изображены векторы а
и Zl Постройте вектор а — ZT.
2.	Дан треугольник АВС. _J3w разите
вектор СВ через векторы АС и АВ.
3.	В равнобедренном треугольнике АВС
точка М — с£рсдин§ основания АС.
Найдите | МВ — МС + ВА |, если
АВ = 5 см, ВМ = 4 см.
2.
1.	На рисунке 30 изображены векторы (Т и
а Постройте вектор ZT—с
2.	треугольник АЦС. Выразите вектор
В А через векторы СВ и С А.
3.	СМ — медиана равнобедренного прямо-
угольного треугольника АВС, проведен-
ная из вершимы С прямого угла. Най-
дите | АВ — АС + ВМ |, если АВ - 10.
1.	На рисунке 31 изображены векторы ~р, 1с, т, ci, Ze
1)	Постройте вектор — /Г -Ь т.
2)	Постройте вектор а — Z>*.
2.	^параллелограмме ABCD СА - a, CD = с. Выразите векторы АВ ,
ВС, DA через векторы <?и с
3.	В прямоугольнике ABCQAD =^12, CD = 5, Q — точка пересечения
диагоналей. Найдите | АВ + AD — DC — OD |.
198
1.	На рисунке 32 изображены векторы o’, £ а, т, п.
1)	Постройте вектор ёГ — 5* — а
2)	Постройте вектор п — т.
2.	В^пардллелограмме ABCD АВ = <а, АС = ZT. Выразите векторы СВ,
AD, DC через векторы ёГи ZT.
3.	В ромбе ABCD А£) = 20^ BD ^24, О*— точка пересечения диагона-
лей. Найдите | AD 4- АВ - ВС — ОВ |.
5.
1.	Выразит^ ве^тор^ДВ в виде алгебраической суммы следующих век-
торов: AC, DC, BD.
2.	Даны параллелограмм ABQD произвольная точка О. Выразите
вектор ОА через векторы ОВ, ОС, OD.
3.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) с прямым углом А про-
ведана диагональ AC, LBCA = 45°, Z. ACD = 90°, АС = а. Найдите
| СВ - СА + CD |.
6.
1.	Выразит^ ee^Topj/lB в виде алгебраической суммы следующих век-
торов: DA, DC, СВ.	_*_*_*_*
2.	В четырехугольнике ABCD ОВ 4- OD = ОА 4- ОС, где О — произ-
вольная точка плоскости. Докажите, что ABCD — параллело-
грамм.
3.	В трапеции РКНМ (РМ и КН — основания) с прямым углом Р про-
веяна gpar0Ha5b £-PHK=3Qa, LPHM = NF. Найдите
| КР 4- МК — МН |, если РМ = а.
199
7.
1.	В треугодьник^ЛВС Q — точка пересечения его медиан. Постройте
вектор ОА + ОВ — ОС и найдите его длину, если медиана СС| рав-
на т.
2.	В треугольнике АВС М и N соответственно середины сторон АВ и
АС, О — произвольная точка, Mt — точка, симметричная точке М
относительно центра О, а М — точка, симметричная точке N отно-
сительно того же центра. Используя векторы, докажите, что
||7iC и что Mt Nt = | ВС.
8.
1. О — торчка цересеч^ния медиан треугольника АВС. Постройте век-
тор ОА — ОВ — ОС и найдите его длину, если медиана АА{ равна
т.
2. Дан треугольник АВС. О — произвольная точка, At, Bt, Ct — точ-
ки, симметричные соответственно точкам А, В, С относительно
точки О. Используя векторы, докажите, что А АВС = А АХВ\С\ и
что стороны их соответственно параллельны.
200
§ 35. Умножение вектора на число
1.
1. Начертите два неколлинсарных вектора а и Постройте вектор
2а +
2. В параллелограмме ABCD О — точка пересечение диагоналей, К
— середину стороны CD. Выразите векторы ОА и АК через векторы
АВ = 1а и AD = о.
2.
1. Начертите два неколлинеарных вектора т и п. Постройте вектор
1 ->
от—2 п.
2. В параллелограмме ABCD Р — точкр пересечения диагоналей, Л/
— еередина ВС. Выразите векторы DP и DM через векторы DA = р
и DC = т.
3.
1. Дан треугольник АВС. Постройте вектор — j (АВ 4- ВС — АС).
2. На стороне ВС параллелограмма ABCD взята точка К так, что
ВК : КС = 1:4. Выразите векторы Т^К и 1CD через векторы 1?В = ри
4.
1. Дан треугольник АВС. Постройте вектор —3 (АС — АВ + СВ).
2. На стороне НК ромба МН КС взята точка Е так, что KE = jHls,
Т — середина стрроны МН. Выразите векторы СЕ и ЕТ через век-
торы СК =	СМ = а.
201
5.
1. Даны четыре точки О, А, М, В такие, что ОМ = О А + ОВ. До-
кажите, что точки Л, М, В лежат на одной прямой.
2. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, а точка
Н — на стороне AD, причем AM : МС = 2:1 и АН^= HD. Выразите
вектор МЪ через векторы йир, где а =	и'р- AD.
6.
->	9 _>	2 ->
1. Даны четыре точки Е, К, F, О такие, что ОЕ - у ОК — у OF. До-
кажите, что точки £, К, F лежат на одной прямой.
2. Точка Т лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, а точка Е —
на его диагонали BD, причем BE : ED = 2:1 и Bg = ТС. Выразите
вектор ЁТ через векторы аир, где a- DA и JT= DC.
7.
1. На сторонах ВС, СА, АВ треугольника АЦС отмечсны^соот^етствен-
но точки Л1, Bi, Ci такие,_что АС\ =кАВ, ВА{ = кВС, СВ{ = кС*Л.
Найдите сумму векторов AAt, ВВ{, CCi.
2. В шестиугольнике ABCDEF АВ рЯ ||CF, ВС |EF ||ЛЯ, CD||/A Ис-
пользуя векторы, докажите, что BE ||ZF.
8.
J. На сторонах АВ, BC^CD, QE щгралл^юг^мма^BCjQ даны^точки
Р, Е, F, М так, что АР - кАВ, BE = кВС, CF - kCD, DM = kDA. До-
кажите, что PEFM — параллелограмм.
2. В окружности с центром О проведены две перпендикулярные хорды
АВ и CD. Хорды или их продолжения пересекаются в точке М. До-
кажите, что
ОМ =	+ ОВ + ОС + OD).
202
§ 36. Применение векторов к решению задач
1.
1. В треугольнике АВС АЛ{ — медиана, М — середина AAt. Выразите
вектор ВМ через векторы <Г= В А и 2Гв ВС.
2. В четырехугольнике ABCD ВС — ^AD. В каком отношении диаго-
нали этого четырехугольника делятся точкой их пересечения?
2.
1.	В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в^очке О, К —
середина ВО. Выразите вектор через АВ = т и АС = ~р.
2.	Даны^четьщсхугодьник ABCD и произвольная точка О. Известно,
что АВ + OD = ОС , L А = 15°. Найдите остальные углы этого че-
тырехугольника.
3.
1. На сторонах АВ и ВС треугольника ЛВС отмечены соответственно
точки М и Н так, что АВ = ЗВМ, ВС = ЗВН. Используя векторы,
докажите, что МН ((АС и МН = ~ АС.
2. Ей F — середины сторон ВС и J^D четырехугольника ABCD. Выра-
зите вектор ЁЕ через векторы В А и CD.
4.
1. Отрезки В А и CD пересекаются в точке О, причем АО = 2ОВ и
OD = 2ОС. Используя векторы, докажите, что ВС ^AD и ВС - AD.
2. Дан треугольник АВС. Точки Л., В\, Ci — середины соответствен-
но _^торон^ ВС, ^АС, АВ. Докажите, что ОА + ОВ + ОС =
= OAi + OBi + OCi , где О — произвольная точка плоскости.
203
5.
1. ABCD и A\B\C\DX — параллелограммы, Л/, Р, F, Н — середины со-
ответственно отрезков AAt, BBt, CCi, DDt. Докажите, что точки
Л/, Р, Р, Н являются вершинами параллелограмма или лежат на
одной прямой.
2. Докажите, что в треугольнике АВС ОМ < j (ОА + ОВ + ОС), где
М — точка пересечения медиан, а О — произвольная точка пло-
скости.
6.
1.	ABCD — произвольный четырехугольник, Ей F — середины соот-
ветственно сторон АВ и CD. Докажите, что середины отрезков 2ГС,
BF, AF, ED служат вершинами параллелограмма или лежат на од-
ной прямой.
2.	Используя векторы, докажите, что диагонали параллелограмма пе-
ресекаются и точкой пересечения делятся пополам.
7.
1.	Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Точка
К лежит на стороне ВС, а точка Е — на стороне AD, причем
ВК : КС = DE : АЕ = 1:2. Используя векторы, докажите, что точка
О — середина КЕ.
2.	Используя векторы, докажите, что в любом треугольнике медианы
пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в от-
ношении 2:1, считая от вершины.
8.
1.	Два параллелограмма ABCD и AB^C^Dx имеют общую вершину А.
Докажите, что CCi < BBj + DD].
2.	Точка At лежит на стороне ВС, а точка Bt — на стороне АС тре-
угольника АВС; О — точка пересечения отрезков АА[ и BBi, при-
чем АО : OAi = ВО : ОВ{ =2:1. Используя векторы, докажите, что
АА{ и BBi — медианы треугольника АВС.
204
§37. Средняя линия трапеции
1.
1. Разность оснований трапеции равна 4 см, а средняя линия 10 см.
Найдите основание трапеции.
2. В равнобедренной трапеции ABCD перпендикуляр, проведенный из
вершины В на большее основание AD трапеции, делит его на отрез-
ки, равные 4 см и 10 см. Найдите основания и среднюю линию тра-
пеции.
2.
1.	В трапеции одно из оснований больше другого в два раза. Средняя
линия трапеции равна 15 см. Найдите основания трапеции.
2.	В равнобедренной трапеции МНКР проведен перпендикуляр НЕ к
большему основанию МР, МЕ-(> см, НК - 10 см. Найдите боль-
шее основание и среднюю линию трапеции.
3.
1.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) LA = 90°, L С — 135°,
АВ — 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если ее диагональ
перпендикулярна к боковой стороне.
2.	В равнобедренной трапеции острые углы равны по 60°, боковая сто-
рона равна 10 см, а большее основание 15 см. Найдите меньшее ос-
нование и среднюю линию трапеции.
4.
1.	В трапеции МНКР (МР и НК — основания) LM — 90°, АК = 150°,
НК = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что
ее диагональ перпендикулярна к боковой стороне.
2.	В равнобедренной трапеции острые углы равны по 45°, меньшее ос-
нование равно 5 см, а высота трапеции 4 см. Найдите большее ос-
нование и среднюю линию трапеции.
205
. 
5.
1.	В равнобедренной трапеции диагональ, равная 4 см, составляет с
основанием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
2.	Докажите, что если трапецию можно разделить двумя прямыми на
три равносторонних треугольника, то средняя линия такой трапе-
ции в полтора раза больше меньшего основания.
6.
1.	В равнобедренной трапеции диагональ составляет с основанием
угол 45°. Высота трапеции равна 8 см. Найдите среднюю линию
трапеции.
2.	Докажите, что если трапецию можно разделить одной прямой на
ромб и равносторонний треугольник, то средняя линия трапеции
3 .
составляет -т большего основания.
4
7.
1.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) К — точка пересечения
биссектрис внешних углов А и В трапеции, a L — точка пересече-
ния биссектрис внешних углов D и С. Вычислите периметр трапе-
ции ABCD, если KL = 25 см.
2.	В прямоугольной трапеции ABCD (А С = LD-900) ВС : CD= 1:2.
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Средняя линия
трапеции равна 10 см. Найдите основания трапеции.
8.
1.	В равнобедренной трапеции ABCD (AD ||/?С) диагонали взаимно
перпендикулярны, высота трапеции равна 12 см. Расстояние от
вершины А до прямой CD в три раза больше, чем расстояние от вер-
шины В до этой прямой. Найдите основания трапеции.
2.	В трапеции ABCD угол при вершине А прямой, а угол при вершине
D равен 30°. Окружность, центр которой лежит на стороне AD, ка-
сается прямых АВ, ВС, CD. Найдите радиус окружности, если
средняя линия трапеции равна 6 — V3.
206
§ 38. Итоговое повторение (четырехугольники,
площади, подобные треугольники)
1.
ABCD — квадрат со стороной 4 см. На сторонах АВ и CD отложены от-
резки AM и КС так, что AM = КС = 3.
а)	Докажите, что MBKD — параллелограмм.
б)	Найдите его периметр и площадь.
2.
В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки М и К
соответственно так, что LBAM - 40D, LDCK = 50°. Известно, что СК -
= 8 см, ВС = 20 см.
а)	Докажите, что ВМ : CD = AM : КС.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите отрезки KD, CD, ВМ и
площадь четырехугольника АМСК.
3.
ABCD — прямоугольник. АВ = 8 см, ВС = 4 см. На сторонах АВ и CD
отмечены точки К и Р соответственно так, что АК : АВ = СР : CD = 3:8.
а) Докажите, что KBPD — ромб.
б)	Найдите его периметр и площадь.
4.
В прямоугольнике ABCD точка М делит сторону АВ в отношении 2:1,
считая от вершины А. Прямые MD и ВС пересекаются в точке Е,
AMDA = 40°,AD = 10 см.
а)	Докажите, что треугольники AMD и ECD подобны.
б)	С помощью микрокалькулятора вычислите площадь треугольника
DCE.
5.
В ромбе ABCD АВ = 5 см, BD - 2^5 см. На сторонах АВ и CD отмече-
ны точки М и К соответственно так, что AM: МВ = СК : KD = 1,5.
а)	Докажите, что MBKD — прямоугольник.
б)	Найдите его периметр и площадь.
207
6.
1. В параллелограмме ABCD диагональ BD перпендикулярна стороне
ВС. На стороне ВС выбрана точка Е. Отрезки АЕ и BD пересека-
ются в точке О, причем ВО : OD = 2:3, ВС = 9 см и АЕ = 20 см.
С помощью микрокалькулятора вычислите L AOD.
2. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС соответственно отмечены
точки Н и Р так, что PC = 8 см, LHPC - LABC. Площади тре-
4
угольников РНС и АВС относятся как 4:25, cos LC-^. Найдите
высоту BE треугольника АВС.
7.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) LABC = LACD, ВС -
- 2 см, AD = 8 см, LCAD = 40°. Используя микрокалькулятор, най-
дите площадь трапеции.
2. В параллелограмме ABCD угол А острый. Из вершины А проведены
высоты параллелограмма AM и АН к сторонам ВС и CD соответст-
венно, МН : АС = 3:4. Найдите отношение площадей треугольни-
ков МАН и АВС.
8.
1. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) LABC = LACD, ВС =
= 2 см, AD = 8 см, LCAD = 40°. Используя микрокалькулятор, най-
дите площадь трапеции.
2. В параллелограмме ABCD угол Л острый, ВМ и ВН — высоты па-
раллелограмма, проведенные к сторонам AD и DC соответственно,
МН : BD = 2 : 3. Найдите отношение площадей треугольников
МНВ и BDC.
208
§ 39. Итоговое повторение (окружность)
1. Через точку А, лежащую на окружности радиуса 10 см с центром
О, проведена касательная AM. Отрезок ОМ пересекает окружность
в точке В. Найдите градусную меру меньшей из дуг АВ, если
AM = 10\^3" см.
2. Треугольник вписан в окружность так, что одна из его сторон про-
ходит через центр окружности, а две другие удалены от него на
3 см и 3V3 см. Найдите радиус окружности.
2.
1.	Отрезок АВ — диаметр некоторой окружности радиуса 5 см, прямая
ВС — касательная к ней, АС = 10V2 см. Найдите градусную меру
дуги данной окружности, заключенной внутри треугольника АВС.
2.	В треугольник АВС, в котором LA = 90°, вписана окружность с
центром О. Найдите отрезки, на которые точка касания этой ок-
ружности и прямой АС делит сторону АС, если ОС = 5 дм и АО =
= 3^2 дм.
3.
1.	Через концы хорды АВ окружности с центром О проведены каса-
тельные, пересекающиеся в точке М. Найдите градусную меру
меньшей из дуг АВ, если AM =10 см, а периметр четырехугольника
О AM В равен 40 см.
2.	Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30°, а
центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит этому
основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона
равна 2 см.
4.
1.	АВ и AD — две касательные к некоторой окружности радиуса 5 см
(В и D — точки касания). Точка С принадлежит большей из дуг BD.
Найдите /-BCD, если АВ = 5 см.
2.	В некоторой трапеции один из углов прямой, а другой равен 30°.
Большая боковая сторона трапеции равна 12 см. Найдите площадь
трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.
209
5.
1.	АВ и AC — касательные к окружности с центром О (С и В — точки
касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг ВС, если рас-
стояние от центра окружности до точки А равно 8 см, а до хорды
ВС равно 6 см.
2.	Где внутри трапеции: вне или на основании — расположен центр
окружности, описанной около равнобедренной трапеции с основа-
ниями 10 см, 24 см и высотой 17 см?
6.
1.	Из точки А к окружности диаметром ВС проведена касательная АС.
Отрезок АВ пересекается с окружностью в точке D, AD = 2 см,
BD = 6 см. Найдите градусную меру дуги окружности, заключен-
ной внутри треугольника АВС.
2.	В выпуклом четырехугольнике ABCD угол А прямой. Диагональ BD
образует со сторонами ВС, CD, AD углы 90°, 45°, 30° соответствен-
но. Могут ли биссектрисы углов данного четырехугольника пересе-
каться в одной точке?
7.
Два круга, касающиеся друг друга, вписаны в полукруг. Найдите отно-
шение радиусов этих кругов, если радиус одного из них в три раза
меньше радиуса полукруга, а точки касания с диаметром полукруга
лежат по разные стороны от его центра.
8.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ - ВС) на стороне АС вы-
брана точка D, причем AD = a, DC = b. В треугольники ABD и DBC
вписаны окружности. Первая окружность касается BD в точке Е, а
вторая — в точке F. Найдите расстояние между Е и F.
210
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Четырехугольники
Вариант 1
1°. В трапеции ABCD точка Е — се-
редина большего основания AD, ED -
= ВС, L В = 120°. Найдите углы ЛЕС и
ВСЕ.
2°. Постройте ромб по его диагонали
и стороне.
3.	В прямоугольнике ABCD точка О
является центром симметрии, а точки
Р и К — середины сторон АВ и ВС со-
ответственно.
а)	Определите вид выпуклого четы-
рехугольника ОРВК.
б)	Докажите, что РК = OD.
4*. Найдите сумму углов, отмечен-
ных на рисунке 33.
Вариант 2
1°. Дан четырехугольник ABCD, в котором диагонали имеют об-
щую середину. На продолжении стороны AD за вершину D взята точ-
ка Е, DC = ЕС. Докажите, что четырехугольник АВСЕ является рав-
нобедренной трапецией.
2°. Постройте прямоугольник по стороне и углу, который эта сторо-
на образует с диагональю.
3.	В ромбе ABCD точка О является центром симметрии, а точки Р
и К принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно, так что ОР\\ВС,
ОКЦЛВ.
а)	Определите вид выпуклого четырехугольника ОРВК.
б)	Найдите угол ВСА, если угол ВРК равен 40°.
4*. Может ли выпуклый шестиугольник иметь четыре острых угла?
211
ВариантЗ
1°. В четырехугольнике ABCD АВ =
= CD, ВС - AD. L А = 30°. На стороне
ВС взята точка Е так, что L CDE =
= 60°. Докажите, что четырехугольник
ABED является прямоугольной трапе-
цией.
2°. Постройте квадрат по его пери-
метру.
3.	На сторонах АВ, ВС, CD, AD ром-
ба ABCD взяты точки Р, К, Н, М соот-
ветственно. Каждая из прямых РМ,
КН, РК параллельна одной из осей
симметрии ромба. Диагональ АС пере-
секает отрезок РМ в точке Е, а отре-
зок КН — в точке Т.
а)	Докажите, что диагонали четы-
рехугольника ЕРКТ равны.
б)	Определите вид выпуклого четы-
рехугольника МРКН.
4*. Чему равна сумма углов, отме-
ченных на рисунке 34?
Вариант 4
1°. В трапеции ABCD на большем основании AD взята точка Е. Из-
вестно, что £ АВС — 130°, L ВСЕ = 50°. Докажите, что отрезки АС и
BE имеют общую середину.
2°. Постройте ромб по диагонали и углу между стороной и этой ди-
агональю.
3.	Ось симметрии прямоугольника ABCD пересекает его стороны
ВС и AD в точках М и К соответственно. На стороне АВ взята точка
Р, на стороне CD — точка Т, причем РМ\КТ, РМ - РК.
а)	Определите вид выпуклого четырехугольника РМТК.
б)	Докажите, что расстояние от точки пересечения диагоналей че-
тырехугольника РМТК до точки С равно РК.
4*. В некотором выпуклом n-угольнике сумма (п — 1) углов равна
359°. Найдите п.
212
№ 2. Площадь
Вариант 1
Рис. 35
1°. На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка Е так, что
ЛЕ = 4 см, ED = 5 см, ВЕ= 12 см, BD = 13 см. Докажите, что тре-
угольник BED прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.
2°. В остроугольном треугольнике
АВС проведены высоты АК и СЕ,
СЕ = 12 см, BE = 9 см, ЛХ=10см.
Найдите площадь треугольника АВС.
3.	В равнобедренной трапеции
ABCD AD\\BC, L Л = 30°, высота ВК
равна 1 см, ВС = см.
а)	Найдите площадь трапеции.
б)	Найдите площадь треугольника
AMD, если М — середина отрезка
BD.
4*. На рисунке 35 площади четы-
рехугольников ABDE и ACDE равны.
Докажите, что BC^AD.
Вариант?
1°. В трапеции ABCD AD и ВС — основания, L А = 90°, ВС = 4 см,
CD = 10 см. Высота СК равна 8 см. Найдите площадь трапеции.
2°. В остроугольном треугольнике ABC L Л = 45°, ВС = 13 см. На
стороне АС взята точка D так, что DC = 5 см, BD- 12 см. Докажите,
что треугольник BDC прямоугольный, и найдите площадь треуголь-
ника АВС.
3. В параллелограмме ABCD L Л = 60°, диагональ BD перпендику-
лярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD
— точку М — параллельно AD, пе-
ресекает сторону АВ в точке К,
МК - 4 см.
а)	Найдите площадь параллело-
грамма ABCD.
б)	Найдите площадь треугольника
AMD.
4*. На рисунке 36 ЕСЦ/СО. Дока-
жите, что площадь четырехугольни-
ка AKCD равна площади треуголь-
ника ABD.
Рис. 36
213
ВариантЗ
1°. В трапеции ABCD AD — большее основание, СК — высота,
АВ = 5 см. На отрезке АК взята точка Е так, что АЕ = 3 см, ЕК =
= 6 см, KD= 1 см, ВЕ-^ см. Определите вид треугольника АВЕ и
найдите площадь трапеции.
2°. В треугольнике АВС угол А тупой, ВК и CD — высоты, ВК =
= 12 см, АК = 9 см, CD = 10 см. Найдите площадь треугольника АВС.
3.	В ромбе ABCD АС= 10 дм, BD =
- 24 дм. Высота А К проведена к сто-
роне ВС.
а)	Найдите АК.
б)	Найдите площадь треугольника
АОМ, если О — точка пересечения
диагоналей ромба, М — середина сто-
роны АВ.
4*. На рисунке 37 площади четы-
рехугольников АВСР и DTBC равны.
Докажите, что TP^AD.
Рис. 37
В а ри а н т 4.
1°. В параллелограмме ABCD ВК и ВТ — высоты. Точки К и Т при-
надлежат сторонам AD и £>С, ВК = 10 см, ВТ = 9 см, ТС = 12 см. Най-
дите площадь параллелограмма.
2°. В треугольнике ABC L А = 45°, L С — тупой, ВС= 17 см. На
продолжении стороны АС за точку С взята точка D так, что CD =
= 8 см, BD- 15 см. Докажите, что треугольник BCD прямоугольный,
и найдите площадь треугольника
ABD.
3.	В трапеции ABCD LA- 90°, боко-
вая сторона CD перпендикулярна диа-
гонали AC, CD = 3 см, AD = 5 см.
а)	Найдите площадь трапеции.
б)	Найдите площадь треугольника
AMD, если М — середина CD.
4*. На рисунке 38 площади нсвы-
пуклых пятиугольников ABOCD и
АВОСВ равны. Докажите, что AB^DC.
214
№ 3. Подобные треугольники
Вариант 1
1°. В выпуклом четырехугольнике ABCD все стороны имеют разные
длины. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС =
= 5 см, ОВ = 6 см, ОА = 15 см, OD = 18 см.
а)	Докажите, что четырехугольник ABCD является трапецией.
б)	Найдите отношение площадей треугольников AOD и ВОС.
2. В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и М
соответственно, причем L KMC + L А = 180°.
ч„	КМ ВК
а) Докажите, что
б) Найдите отношение АВ: ВМ, если площадь четырехугольника
АКМС относится к площади треугольника ВКМ как 8:1.
3*. В трапеции ABCD на меньшем основании ВС и на боковой сто-
роне CD взяты точки Е vi К соответственно, а на отрезке АЕ отмечена
точка О. Найдите отношение если КС = 2 см, KD - 3 см, OKllAD,
BE	1
L ОВА = L ОВЕ.
Вариант 2
1°. Через точку М стороны АВ треугольника АВС проведена пря-
мая, перпендикулярная высоте BD и пересекающая сторону ВС в точ-
ке Р; ВМ = 5 см, ВР - 8 см, ВС = 24 см.
а) Найдите АВ.
б) Найдите отношение площадей треугольников МРВ и ЛВС.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD делит угол В
ЯП2 ло
пополам, = АВ.
а) Докажите, что Z. BAD = Z. BDC.
б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABCD и тре-
угольника ABD, если DC = 1,5 AD.
3*. На боковых сторонах АВ и CD трапеции ABCD взяты точки Р и
К соответственно так, что PK||AD, L DBK = Z. КВС, ВС : BD = 3 : 4.
Найдите ВР: РА.
215
Вариант 3
1°. На сторонах АВ, ВС, АС треугольника АВС отмечены точки D,
Е, Р соответственно, АВ = 9 см, AD = 3 см, АР = 6 см, DP = 4 см, BE =
= 8 см, DE= 12 см.
а)	Докажите, что DE\AC.
б)	Найдите отношение площадей треугольников DBE и ADP.
2.	В трапеции ABCD L А = 90°. Высота СЕ делит основание AD на
два равных отрезка, точка О — середина отрезка АС.
ч п	ВО CD
а)	Докажите, что
б)	Найдите площадь треугольника ACD, если площадь нсвыпуклого
пятиугольника AOBCD равна S.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки М и К со-
ответственно так, что Z МКВ = L А. Отрезок ВО является биссектри-
сой треугольника МВК, МО = 2 см, ОК = 3 см. Найдите ВС : АВ.
Вариант 4
1°. В трапеции ABCD точка О — середина меньшего основания ВС.
Прямые АО и CD пересекаются в точке Е, AD = 6 дм, ВС = 4 дм.
ЕС
а) Найдите
б) Найдите отношение площадей треугольников ЕОС и AED.
2. В выпуклом четырехугольнике ABCD AD = 2ВС, AC = CD, О —
середина AC, L OBC = L ОСВ.
а) Докажите, что BC^AD.
б) Найдите отношение площадей треугольника ВОС и выпуклого
пятиугольника AOBCD.
3*. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки D и Е.
Биссектриса ВК этого треугольника пересекает отрезок DE в точке Т,
DT - 3 дм, ТЕ = 4 дм, АК = 8 дм, КС = 6 дм. Докажите, что L С =
= LBDE.
216
№ 4. Применение подобия, решение прямоугольных
треугольников
Вариант 1
1°. На рисунке 39 ВС1.АС, ЕС1.МВ,
О — точка пересечения медиан треу-
гольника АВС, МС = 30 мм, ME =
= 20 мм. Найдите cos А ЕМС и ОМ.
2
2°. Постройте отрезок, равный дан-
ного отрезка.
3.	В трапеции ABCD BC\AD,
AB1.BD, точки М и К — середины от-
резков ВС и CD соответственно, МК -
= Vy см, AD = 2V10 см.
Рис. 39
а)	Найдите L DBC.
б)	Найдите BE, если СЕ — высота треугольника BCD, а тангенс уг-
ла ECD равен 3.
4*. Будут ли подобны внешний и внутренний прямоугольники рам-
ки для картины, если ее ширина в любом месте одинакова?
Вариант 2
1°. На рисунке 40 АВ1.ВС, BD1.AC,
точки Е й Т — середины отрезков BD и
ВС, AD - 25 дм, ЕТ = 8 дм. Найдите BD и
tg LA.
2°. Даны отрезки PXQX, P2Q2, P3Q3. По-
стройте отрезок АВ такой, что
PxQx = P3Qt
P2Q2 АВ *
3. В треугольнике АВС медиана BD со-
ставляет со стороной ВС угол DBC, рав-
ный 60°. Точка пересечения медиан удалена от прямой ВС на см.
а) Найдите BD.
б) Найдите АВ, если Z. ABD = 30°.
4*. Прямая, проходящая через середины противоположных сторон
прямоугольника, разделяет этот прямоугольник на два. Может ли
один из образовавшихся прямоугольников быть подобным данному?
217
Вариант 3
1°. На рисунке 41 Z 1?СЛ = 90°, О —
точка пересечения медиан треугольника
АВС, С СОМ-90", ОМ-41 дм. Найдите
ОС и tg LOBC.
2.	Постройте отрезок, равный данного
отрезка.
3.	В трапеции ABCD L А = 90°. Расстоя-
ние между серединами большего основа-
ния AD и боковой стороны CD равно
VT8 см, ВС = 6 см.
Рис. 41
а)	Найдите угол CAD.
б)	Найдите расстояние от точки D до прямой АС, если тангенс угла
ACD равен 2.
4*. Можно ли разрезать квадрат на два подобных не равных прямо-
угольника?
Вариант 4
1°. На рисунке 42 АС±ВС, CD С МВ.
Точки Е и К — середины отрезков АВ
и AM, ЕК — 12,5 см, DM = 9 см. Най-
дите СМ и sin Z МВС.
2°. Даны отрезки PIQI и PiQz- По-
стройте отрезок АВ так, чтобы
Л Qi PzQz
P2Q2 АВ *
3. В треугольнике ABC BD — меди-
ана, О — точка пересечения медиан,
Z BDC = 60°. Из точки О опущен пер-
пендикуляр ОМ к прямой АС, ОМ =
= 2'/3 дм.
а) Найдите BD.
б) Найдите расстояние от точки пе-
ресечения прямых ОМ и АВ до верши-
ны А, если Z ABD= 30°.
4*. Можно ли разрезать прямоугольник на два подобных не равных
прямоугольника?
218
№5. Окружность
Вариант 1
1°. В равностороннем треугольнике сторона равна 2\Аз см. Найдите
радиус окружности, вписанной в треугольник.
2°. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность.
Точка О пересечения серединных перпендикуляров удалена от пря-
мой АВ на 6 см. Найдите L ОВА и радиус окружности, если L АОС =
= 90°, L ОВС=Л5>°.
3. В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45°, и стороной AD,
равной lOVT дм, вписана окружность.
а)	Найдите радиус окружности.
б)	Найдите с помощью микрокалькулятора сумму расстояний от
вершины D до точек касания окружности с прямыми AD и DC.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О внутри нес. Исполь-
зуя только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки О
на прямую АВ.
Вариант 2
1°. В равнобедренном треугольнике ABC L В = 120°. Радиус окруж-
ности, описанной около треугольника, равен 2 см. Найдите сторону
АВ.
2°. В треугольник АВС с прямым углом С вписана окружность с
центром О, касающаяся сторон треугольника АВ, ВС, АС в точках М,
Т, Р соответственно. Расстояние от точки пересечения биссектрис
треугольника АВС до вершины С равно V1T см. Найдите радиус ок-
ружности, угол ТОР и угол ТМР.
3. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD, вписанного в окруж-
ность радиуса 4 см, параллельны и имеют равные длины, L ADB =
= 60°.
а) Найдите АВ.
б) Какие значения может принимать угол МВС, если М — точка
окружности равноудалена от концов отрезка ВС?
4*. Даны два отрезка PQ и ЕТ (ET>PQ). Постройте четырехуголь-
ник ABCD, в котором АВ = ВС = PQ, BD = ЕТ, диагонали пересекают-
ся в точке О и АО*ОС = BO*OD.
219
Вариант 3
1°. В треугольнике ABC L А = 60°. Радиус окружности, вписанной в
этот треугольник, равен 1 см. Найдите расстояние от точки касания
окружности и прямой АС до вершины А.
2°. В А АВС с тупым углом ВО — точка пересечения серединных
перпендикуляров, АС = 4\f2 дм, L АОС = 90°. Найдите радиус ок-
ружности, описанной около треугольника, и Z. АВС.
3.	В трапецию ABCD вписана окружность с центром О и радиуса
6 см, L CAD = 45°, L ACD = 90°.
а)	Найдите ВС + AD, если АВ = lOVT см.
б)	Найдите OC*OD.
4*. Даны окружность диаметра АВ и точка О вне ее. Используя
только линейку без делений, опустите перпендикуляр из точки О на
прямую АВ.
Вариант 4
1°. Радиус окружности, описанной около A ABC, V& см, а два угла
треугольника равны по 45°. Найдите стороны А АВС.
2°. В равнобедренном треугольнике ABC L В - 120°, О — точка пе-
ресечения биссектрис. Окружность радиуса см вписана в этот
треугольник и касается прямых ВС и АС в точках DmE соответствен-
но. Найдите ВО и BED.
3. Трапеция ABCD вписана в окружность, L А = 60°, L ABD = 90°,
CD = 4 см.
а) Найдите радиус окружности.
б) Какие значения может принимать угол ВМС, если М — произ-
вольная точка окружности?
4*. Даны два отрезка PQ, ЕТ и угол Я. Постройте четырехугольник
ABCD, в котором О — точка пересечения диагоналей, ВО = PQ, DO =
» ЕТ, L DOC Ни АО*ОС = DO*OB.
220
№ 6. Векторы
Вариант 1
2
1°. Начертите параллелограмм ABCD и постройте векторы +
+ СЪ, —
4
2. В треугольнике АВС Вх — середина ЛС, М — точка пересечения
медиан.
а)0 Выразите МВ\ через KtA и Л7с.
б) Выразите через СВ и Сл.
в) Выразите через Т^В и ЛЪ\ если At G ВС и ВАХ : AtC - 1 : 2.
г)* Используя векторы, покажите, что середина отрезка ВВХ лежит
на прямой AAi, если Ах Е ВС и ВАХ : At С = 1 : 2.
Вариант 2
1°. Начертите два неколлинеарных вектора ZT и £ отложенных от
разных точек. Постройте векторы ?= ^а + 7?и lt=ci—
2. В трапеции ABCD основания AD и ВС относятся как 3:1. Диа-
гонали трапеции пересекаются в точке О.
а)0 Выразите ЛТ? через rfB и ЛЪ.
б) Выразите ДЪ через Л1> и ЛЪ.
в) Выразите ЛЪ через &Е и если точки Е и М — середины сто-
рон АВ и ВС соответственно.
2	1
г)* Докажите, что DE < ^DA + соли точка Е — середина сто-
роны АВ.
221
Вариант 3
1°. Начертите треугольник ЛВС и постройте векторы Л^ + и
2. В параллелограмме ABCD точка М — середина стороны ВС, от-
резки BD и ЛМ пересекаются в точке О.
а)0 Выразите Л%/ через и ЛЪ.
б) Выразите Bt> через Л/l и УС.
в) Выразите (Уо через Л^ и ЛХ/, если Р — середина отрезка CD.
2	1
г)* Докажите, что OP<-^AD + ^Л/i, если Р — середина отрезка CD.
Вариант 4
1°. Начертите Два неколлинеарных вектора а и отложенных от
разных точек. Постройте векторы У-^а + Тэн ct= — а.
2. Основания ВС и AD трапеции ABCD относятся как 1 : 2, Е — се-
редина стороны CD, О — точка пересечения диагоналей.
а)0 Выразите (УЕ через (УС и (УЕ).
б) Выразите УС через ЛЪ и УВ.
в) Выразите Ct) через УВ и» УЪ.
г)* Используя векторы, докажите, что точка М, делящая отрезок
АЕ в отношении 1:4, считая от точки Е, принадлежит прямой BD.
222
№ 7. Итоговое повторение
Вариант 1
1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы А и В — прямые,
ВС = 6, AD = 8, АВ = 2уГЗ.
а)0 Найдите площадь четырехугольника ABCD.
б)° Найдите углы С и D четырехугольника ABCD.
в)0 Найдите длину отрезка, соединяющего середины сторон АВ и
CD.
г)° Выясните, можно ли вписать в четырехугольник ABCD окруж-
ность.
д)° Выясните, можно ли провести окружность через точки А, В, С,
D.
е) Выясните, подобны ли треугольники АВС и ACD.
ж) Выразите вектор СА через векторы (Тв и СЪ.
2*. Постройте отрезок, длина которого в V5 раз больше данного от-
резка.
Вариант 2
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен 120°, точки М
и Н — середины сторон АВ и ВС соответственно, АС = 4\Г$.
а)0 Найдите площадь треугольника АВС.
б)° Найдите расстояние между серединами отрезков AM и НС.
в)0 Докажите, что треугольники АВС и МВН подобны, и найдите
отношение их площадей.
г)° Выразите вектор Л/В через векторы ЛЪ и 1Тв.
д)° Выясните, можно ли провести окружность через точки Л, М, И,
С.
е) Найдите синус угла НМЕ, если точка Е — основание перпенди-
куляра НЕ, проведенного к прямой АС.
ж) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник МВН.
2*. Постройте отрезок, длина которого в VT2 раз больше данного.
223
Вариант 3
1. На окружности с центром О и диаметром АВ, равным 4, взята
точка М, расположенная ближе к точке А, чем к точке В. Через точку
М проведена касательная к окружности, а через точки А и В — лучи,
перпендикулярные к АВ и пересекающие касательную в точках D и С
соответственно, Z. DCB = 60°.
а)0 Найдите углы ОСВ, ADC, ODC.
б)° Найдите отрезки AD и СВ.
в)0 Найдите площадь четырехугольника ABCD.
г)° Найдите углы четырехугольника МОВС.
д)° Докажите, что треугольники AOD и СОВ подобны.
е) Докажите, что расстояние от точки О до середины отрезка DC
равно 0,5 ( MD + ВС ).
ж) Выразите OV через ОЪ и CfC.
2*. Постройте отрезок, длина которого в VT4 раз больше данного.
Вариант 4
1. В параллелограмме ABCD L Л = 45°, Л£) = 4. На продолжении
стороны АВ отложен отрезок ВР так, что угол PDA равен 90°. Отрезки
ВС и PD пересекаются в точке 7, PT : TD = 3:1.
а)0 Докажите, что треугольники ВРТ и TCD подобны, и найдите от-
ношение их площадей.
б>° Найдите площадь параллелограмма ABCD.
в)0 Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и TD.
г)° Выясните, можно ли провести окружность через точки А, В, Т,
D.
д)° Выразите вектор /Ф? через векторы С/1 и 7^?.
е) Найдите синус угла CAD.
ж) Найдите градусные меры дуг, на которые точки касания делят
окружность, вписанную в треугольник ВРТ.
2*. Постройте отрезок, длина которого в раз меньше данного.
224
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Четырехугольники
вариант 1
1.	Найдите углы четырехугольника, если три угла его равны между
собой, а четвертый меньше одного из них на 40°.
2.	В параллелограмме ABCD Z_C = 40°. Точка Е лежит на стороне
ВС, причем LBAE = 20°. ЕС = 2 см; АВ = 10 см. Найдите AD.
3.	В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 10 см. Диагонали АС
и BD пересекаются в точке О и соответственно равны 14 см и
10 см. Найдите периметр треугольника АОВ.
4.	В четырехугольнике ABCD АВ = CD и АВ ||CD. LCBD — 15°. Че-
му равен LBDA?
5.	В параллелограмме ABCD на сторонах АВ и CD от вершин Л и С
отложены равные отрезки AF и СЕ. В четырехугольнике FBED
LBFD - 50°. Чему равен угол BED?
6.	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О.
LCOD = 60°. CD = 10 см. Чему равны диагонали прямоугольника?
7.	Угол между высотами ромба, проведенными из одной из его вер-
шин, равен 30°. Высота ромба равна 5 см. Найдите периметр ром-
ба.
8.	В квадрате сумма расстояний от его центра до сторон равна 20 см.
Чему равен периметр квадрата?
9.	В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания) диа-
гонали взаимно перпендикулярны. BE ± AD. ED = 4 см. Чему
равна высота трапеции?
10.	В прямоугольном треугольнике ABC LA = 45° (LC — 90°). Е —
середина АВ. Через точку Е проведена прямая, параллельная АС,
которая пересекает ВС в точке F. EF= 10 см. Найдите ВС.
ВАРИАНТ 2
1.	Найдите углы четырехугольника, если три угла его равны между
собой, а четвертый больше одного из них на 80°.
2.	В параллелограмме ABCD LB = 140°. Точка F лежит на стороне
ВС, причем LADF= 70°, BF= 5 см. AD - 20 см. Найдите АВ.
3.	В параллелограмме диагонали пересекаются в точке О. Сторона
ВС равна 18 см, BD= 16 см. Периметр треугольника ВОС равен
38 см. Найдите длину диагонали АС.
В Зив Б. Г.
225
4.	В четырехугольнике ABCD ВС - AD и ВС ||ЛВ. LBAC + L ACD -
- 80°. Найдите эти углы.
5.	В параллелограмме ABCD на сторонах AD и ВС от вершин В и D
отложены равные отрезки BE и DF. В четырехугольнике AECF
диагонали пересекаются в точке О. АС + ££=30 см. Найдите
АО + OF.
6.	В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаюся в точке О.
LACD - 60°. BD » 10 см. Чему равна сторона CD?
7.	Высота ромба делит его сторону пополам. Чему равен угол между
высотами ромба, проведенными из одной из его вершин.
8.	Периметр квадрата равен 80 см. Чему равно расстояние от его
центра до стороны?
9.	В равнобедренной трапеции ABCD (AD и BD — основания). Диа-
гонали взаимно перпендикулярны. В К ±AD, В К « 7 см. Чему рав-
на длина отрезка KD2
10.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°, LB — 45°). О —
середина АВ. Через точку О проведена прямая, параллельная ЛС,
которая пересекает ВС в точке К. ВС - 18 см. Найдите длину от-
резка ОК.
№ 2. Площадь
ВАРИАНТ 1
1.	Сторона квадрата равна 4 см. На его диагонали построен новый
квадрат. Его площадь равна ...
2.	В параллелограмме ABCD диагональ АС =12 см, а сторона AD -
= 10 см. L CAD = 30°. Найдите площадь параллелограмма.
3.	В параллелограмме ABCD на диагонали АС взята точка М. Пло-
щадь треугольника ВМС равна Q. Чему равна площадь треуголь-
ника DMC2
4.	Основания треугольника равны, а высота одного из треугольников
в три раза больше высоты другого. Найдите отношение площадей
этих треугольников.
5.	В треугольнике АВС АЕ и BD — высоты. АС = 10, BD = 8, ВС ~ 16.
Найдите АЕ.
6.	В прямоугольной трапеции ABCD (AD и ВС — основания),
LCDA = 90°. ВС » 2 см, AD » 6 см, АВ » 10 см; L А - 30°. Пло-
щадь трапеции равна ...
7.	В прямоугольнике диагональ равна 25, а одна из сторон — 15.
Найдите катеты равновеликого ему равноберденного прямоуголь-
ного треугольника.
226
8.	В треугольнике АВС АВ = ли, ВС = п (п > т). BD — высота тре-
угольника и BD = h. Найдите АС.
9.	В ромбе один из углов равен 60°. Меньшая диагональ равна V1T.
Высота ромба равна ...
10.	Стороны треугольника равны 7, 24 и 25. Найдите площадь тре-
угольника.
ВАРИАНТ 2
1.	На диагонали квадрата построен новый квадрат, площадь которо-
го равна 8 см2. Сторона квадрата равна...
2.	В параллелограмме ABCD диагональ АС = 10 см, а расстояние от
вершины В до этой диагонали в два раза меньше ее длины. Най-
дите площадь параллелограмма.
3.	В параллелограмме ABCD на продолжении диагонали BD за точку
D взята точка Р. Площадь треугольника ADP равна 5. Чему равна
площадь треугольника С DPI
4.	Высоты треугольников равны, а основание одного из них в два ра-
за меньше другого. Найдите отношение площадей этих треуголь-
ников.
5.	В треугольнике ABC BD и CF — высоты. BD =12, CF = 10; АС =
= 5. Найдите АВ.
6.	В прямоугольной трапеции (AD и ВС — основания) ACDA = 90°.
LА = 45°; ВС = 2; CD = 6. Площадь трапеции равна...
7.	В прямоугольнике расстояния от точки пересечения диагоналей
до вершин и до одной из его сторон соответственно равны 6,5 и 6.
Найдите сторону равновеликого ему квадрата.
8.	В прямоугольном треугольнике ABC {LC- 90°). Точка D принад-
лежит стороне ВС, АВ = a; AD - Ь; АС = т. Найдите BD.
9.	В ромбе один из углов равен 60°. Высота ромба равна V3. Найдите
длину меньшей диагонали.
10.	Сторона треугольника равна 8, 15 и 17. Найдите площадь тре-
угольника.
№ 3. Подобные треугольники
вариант 1
В треугольнике АВС -т^= — -р. AD — биссектриса угла . Площадь
треугольника ABD равна 9 см2. Площадь треугольника ACD рав-
на...
227
AR 2
2.	В треугольниках АВС и MPL L A = LM; LC- LL,	AC =
= 10 см. Сторона ML равна...
3.	В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты соответственно
ЕВ ВС
точки Е и F; — = LBFE = 40°. Чему равен угол А?
Вг АВ
. „	.	„ АВ ВС АС 5 ~
4.	В треугольниках АВС и AtBiCt -з р- = р = . „ = Сумма
BfCi
площадей этих треугольников равна 58 см1 2. Найдите площадь
каждого треугольника.
5.	В треугольнике АВС медианы АЕ и BF пересекаются в точке О.
Площадь треугольника АВС равна 12 см2. Найдите площадь тре-
угольника АВО.
6.	Площадь треугольника АВС равна 12 см2. DE — средняя линия
(D Е АВ; Е Е ВС). Найдите площадь трапеции ADEC.
7.	СК — высота прямоугольного треугольника ABC (LC = 90е),
АС 3
= у. Как относятся площади треугольников АКС и ВКСЧ
ВС 4
8.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, BD J_ AC, BD - 12;
AC = 10. Найдите: cosZ. А и sinZ.ABD.
9.	В ромбе ABCD LA = a; AC = d. Найдите сторону ромба.
10.	Диагонали параллелограмма равны тип, угол между ними равен
60°. Найдите площадь параллелограмма.
ВАРИАНТ 2
1. В треугольнике АВС ВМ — биссектриса. Площади треугольников
АВМ и СВМ относятся как 1:3; АВ = 4 см. Сторона равна...
ЕР 2
2. В треугольниках EPF и CDK LP = LD и LF = LK. = -j;
3.
DK = 10 см. Сторона PF равна...
В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС взяты соответственно
BD ВК
точки D и К, -хх = -т-х;
В1^ лв
L ВСА = 50°. Чему равен угол BDK2
В треугольниках АВС и AiBiCi
АВ = ВС = АС
А\В\ BiCi AiCi
Sa вс
SAiBiCi
g
= -7-т. AC + Ai Ai = 14 см. Найдите эти стороны.
Io
5.	В треугольнике АВС медианы ВК и CD пересекаются в точке О.
Площадь треугольника СОК равна 30 см2. Найдите площадь тре-
угольника АВС.
228
6.	EF — средняя линия треугольника ABC (Е G АВ; F G АС). Пло-
щадь трапеции EBCF равна 9 см2. Найдите площадь треугольника
АВС.
7.	CD — высота прямоугольного треугольника ABC (LC = 90°).
-~^DC = 4Z. Как относятся катеты АС и СВ?
8.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, BD ± АС, АВ =
= 25, АС = 48. Найдите: sin Z.A и cos LABD.
9.	В ромбе ABCD LA = a\ сторона ромба равна а. Найдите диагональ
АС.
10.	Диагонали параллелограмма равны d\ и с/2, угол между ними ра-
вен 45°. Найдите площадь параллелограмма.
№ 4. Окружность
ВАРИАНТ 1
1.	В прямоугольном треугольнике ABC (L С = 90°) Z.B = 60°, ВС =
= ^3 с центром в точке А проведена окружность, радиус которой
равен 2,7. Сколько общих точек имеет эта окружность с прямой
ВС?
2.	Дана окружность с центром в точке О. Радиус окружности равен
5 см. Прямая I касается окружности в точке А. На касательной от
точки А отложен отрезок АВ, равный 12 см. Отрезок ОВ пересе-
кает окружность в точке К. Отрезок КВ равен...
3.	Из точки М к окружности с центром в точке О проведены две ка-
сательные МА и MB {A vlB — точки касания). Радиус окружности
равен 2^3 , LAMB = 60°. Расстояние между точками касания
АВ равно...
4.	Вписанный в окружность угол ВАС, равный 45°, опирается на ду-
гу ВС. Радиус окружности равен а. Найдите площадь треугольни-
ка ВОС (О — центр окружности).
5.	АВ — хорда окружности. Прямая I касается окружности в точке
А. На прямой I выбрана точка М такая, что L МАВ — тупой. Впи-
санный в окружность угол АС В опирается на дугу АВ и равен 20°.
Чему равен угол МАИ?
6.	Из точки С, принадлежащей окружности, на диаметр АВ опущен
перпендикуляр СК. АК = 2; СК = 4. Чему равен отрезок КВ?
7.	Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Радиус впи-
санной в треугольник окружности равен...
229
8.	В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность (AD и
ВС — основания). CD ± AD. А Л “30е. CD — 10 см. Периметр
трапеции равен...
9.	В прямоугольном треугольнике АВС (А С “90°)А А -а, ВС —а.
Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности.
10.	Вокруг трапеции описана окружность. Один из ее углов равен 40°.
Остальные углы трапеции равны...
ВАРИАНТ 2
1.	В прямоугольном треугольнике АВС (А С — 90°) АА - 30°, АС -
= 2V3. С центром в точке В проведена окружность, радиус кото-
рой равен 2,2. Сколько общих точек имеет эта окружность с пря-
мой АС?
2.	Прямая I касается окружности с центром в точке О. Радиус ок-
ружности равен 8 см. На касательной от точки Р отложен отрезок
РМ. Отрезок ОМ пересекает окружность в точке F. FM — 9 см.
Отрезок РМ равен...
3.	Из точки Р к окружности с центром в точке О проведены каса-
тельные РА и РВ (А и В — точки касания) ААРВ - 90°. Расстоя-
ние между точками касания АВ равно у/~5 . Чему равно расстояние
ОРЧ
4.	В окружность с центром в точке О вписан угол ВАС, равный 30°.
ВС = а. Найдите площадь треугольника ВОС.
5.	РК — хорда окружности. Прямая т касается окружности в точке
Р. На прямой т выбрана точка F такая, что A FPK — 160°. Угол
PDK вписан в окружность и опирается на дугу РК. Чему равен
угол PDICI
6.	Из точки Р, принадлежащей окружности, на диаметр EF опущен
перпендикуляр РК. ЕК - 4; KF — 9. Чему равен отрезок РК?
7.	Стороны треугольника равны 13, 13 и 24. Радиус вписанной в тре-
угольник окружности равен...
8.	В прямоугольную трапецию ABCD вписана окружность (AZ) и ВС
— основания), CD ± AZ), А А — 30°. Периметр трапеции равен
24 см. Чему равны стороны АВ и CD1
9.	В прямоугольном треугольнике АВС (А С-90°) АВ—ft. АС- Ь.
Найдите радиус описанной вокруг треугольника окружности.
10.	Вокруг трапеции описана окружность. Один из углов трапеции
равен 160°. Остальные углы трапеции равны...
230
ВАРИАНТ 1
1.	В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точ-
ке О. М Е AD.
О^Какисдтз уддзанн^х век^горов_£оллинсарны:
AM и ВС; АВ и MD; АО и СА?
2| Какде из^указднны^ векторов равны:
АВ и CD; ВО и OD; АС и ДР?
2.	Найдите сумму векторов: АВ + CD + gC + _£)А.
3.	Выразите вектор FK через векторы EJF и EJC
4.	При каких к вдрно равенство: АВ + ВС + CD = k(DE + ЁА)?
5.	Векторы а * 0 и О неколлинеарны. Найдите х и у из равен-
ства: 3 а + 51) = х"а+ (2у+ 1)1£
АК 1
6.	В параллелограмме ABCD К Е AD, причем -туг = у, Р — середина
АВ. Выразите вектор ВК через векторы ВР и ВС.
7.	В прямоугольном треугольнике ABC (LC =90°); АВ = 10, СА +
+ СВ = 2СМ. Найдите | СМ |. _*
8.	Из точки О выходят два вектора ОА = а и ОВ = Ь. Найдите какой-
нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла АОВ.
9.	В трапеции^АВСГ) (В£ и Ар — основания) EF — средняя линия.
Выразите EF через ВС и DA.
10.	В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окружность.
Средняя линия трапеции равна 12. Чему равен радиус вписанной
окружности?
ВАРИАНТ 2
1.	В параллелограмме ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точ-
ке О, Е Е АВ.
Ц Как^е и^указднныд векторов коллинеарны:
BE и CD; AD и BE; OD и DB?
2^ Как^е и^указднны^ векторов равны:
AD и ВС; ОА и ОС; АВ и Ар?	_
2.	Найдите сумму векторов: CD + FK + _pF +_КС.
3.	Выразите вектор КМ через векторы РМ и РК.
4.	При каких к §£рно равенство: РК + КЕ + ЕС = к (АР - АС)?
5.	Векторы 0 и 0 неколлинеарны. Найдите х и у из равенст-
ва: (2х - 6) а + 31?= 2а + (у - 3) К
231
6.
7.
8.
9.
10.
BE 2
В параллелограмме ABCD Е G. ВС, причем -=^ = т; F —
►
середина АВ. Выразите вектор АЕ через _векторы AF и AD.
В параллелограмме ABCD BD=\A\ 2BF = BA + BC. Найдите
Из точки О выходят два вектора ОА = т и ОВ = ti. Найдите
какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе угла, верти-
кального с углом АОВ.
В трапеции ABCD (ВС и AD — основания) РК — средняя
линия. Выразите вектор РК через векторы СВ и AD.
В равнобедренную трапецию с углом 90° вписана окружность с
радиусом, равным 6 см. Чему равна средняя линия трапеции?
232
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
• 1.
1.	2. 140°.
2.	2. 5.
3.	1. Периметры равны.
4.	1. Периметры равны.
2ц__2
5.	1. Периметры равны. 2. ----— = к, откуда 2 +------ = к. Значит, п — 2 -
П — L	П — 2
- 1 или п — 2—2. Учитывая нечетность к, получаем к — 3.
6.	1. Периметры равны.
2.	Задача решается аналогично задаче 5 (2). Ответ, к -2.
7.	1. Нет, не существует. Можно доказать, что число диагоналей и-угольника
равно	------. Тогда п(п — 3) — 2x5*5, чего быть не может.
2.	Можно доказать, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника,
взятых по одному при каждой веррине, равна 360°. Тогда такой многоугольник может
иметь не более двух внешних углов, больших 170°. Это означает, что острых углов
с градусной мерой, меньшей 10°, может быть не более двух. Случай наличия двух
таких углов реализуется для треугольника с углами 1°, 2°, 177°.
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Ответ. Существует, девяти-
угольник имеет 27 диагоналей. 2. п - 6.
82.
1. 1. 28 см. 2. 30°, 150°.	3. 2. 60°, 120°; ВМ-АН.
2. 1. 10 см. 2. 45°, 135°.	4. 2. 60°, 120°; AM -СК.
5.	1. Докажите сначала, что ОК - ОМ.
2.	В четырехугольнике МОНС LMOH-\55°, £ОНС-85°, L ОМС -90°.
Значит, L С - 30°. Тогда MD — 0,5CD и MD — 0,5АВ. Углы параллелограмма равны
30° и 150°.
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
2.	Углы параллелограмма равны 60° и 120°.
7.	1. Последовательно доказываем, что Д ВОЕ - A KOD, А ВКО - Д OED, ED\\BK,
ED - ВК, Д ВКЕ - Д BED, L. ВКЕ - LBDE, L КЕВ - L DBE. Значит, ОВ - ОЕ.
2.	В параллелограммах ADEN и KDEB АН - DE и КВ - DE. Значит, АН -
-КВ. Следовательно, АК-НВ.
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7 (1), L КВЕ-90°.
2. Докажите сначала, что EK - BD - МР.
233
»з.
5.	1. Докажите, что &.МВК-Д КСЕ, АМЕС — параллелограмм и МК-КЕ.
2.	Докажите, что четырехугольники АВМК и MKDC являются параллелограм-
мами.
6.	Задачи решаются аналогично задачам варианта 5 (1, 2).
7.	1. Докажем последовательно, что Д ВРК — A MED, ВС||Л£), BC — AD, ABCD
— параллелограмм.
2.	Отметим на отрезке ОС точку Е так, что АО — ОЕ. Тогда четырехугольник
ABED будет параллелофаммом. Используя теорему о внешнем угле треугольника,
докажем, что Z. BED> L BCD. Значит, L BAD> L BCD.
8.	Задачи решаются аналогично задачам 7 (1,2). В задаче 2 доказательство
приведите методом от противного.
84.
1.	1. 60°, 120°, 50°, 130°. 2. 20 см.
2.	1. 60°, 120°, 40°, 140°. 2. 10 см.
3.	1. 40°, 140°. 2. 1 : 2.
4.	1. 60°, 120°. 2. 1:2.
5.	1. АЕ - AD — ED - AD — 0,5(AZ) — ВС) - 0,5(AD + ВС).
2.	Пусть дана трапеция ABCD, в которой Z. А - 90°, AD — большее основание,
диагонали пересекаются в точке О, L ABD - 60°, Z. AOD — 90°. Тогда Z. ADO ~
= L СВО - 30°, AD - 2АО, ВС - 2СО. Значит, АС- ^(ВС + AD).
6.	1. Проведем через точку О — точку пересечения диагоналей трапеции,
перпендикуляры ОК и ОМ к прямым ВС и AD соответственно. Тогда ОК — 0,5ВС
и ОМ — Q,5AD, так как треугольники ВОС и AOD равнобедренные и прямоугольные.
Значит, КМ — 0,5(.AD + ВС).
2.	Продлите большее основание до пересечения с лучом.
7.	1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание. Через вершину В
проведем прямую, параллельную CD, пересекающую AD в точке Е.
Тогда АЕ<АВ + BE. Значит, АВ + CD>AD — ВС.
2.	Пусть в трапеции ABCD с основаниями AD и ВС О — точка, равноудаленная
от всех сторон. Проведем перпендикуляры ОК, ОМ, OP, ОЕ к прямым ВС, CD,
AD, ВА соответственно. Из равенства треугольников следует, что КС — МС. Аналогично
MD — PD, АР — АЕ, ВЕ — ВК. Значит, BC + AD — AB + CD.
8.	1. Пусть в трапеции ABCD AD — большее основание. На продолжении отрезка
AD за вершину D отметим точку Е так, чтобы
прямые BD и СЕ были параллельны. Тогда
АС + СЕ>АЕ. Значит, АС + BD>AD + ВС.
Рис. 43
2. На рисунке 43 ABCD — трапеция. Точка
О равноудалена от вершин трапеции. По теореме
о сумме углов многоугольника Z.1 + Z.2 + Z.3 +
+ Z.4+Z.5 + Z.6 + Z.7 + Z.8 -360°. Но L 1 -
= £ 7, Z.2-Z.3, Z.4-Z.5, Z.6-Z.8. Значит,
L 1 + L 2+ L 5 + L 6- 180°, т.е. LBCD +
+ L BAD — 180°. Аналогично Z. АВС + Z. ADC —
- 180°.
234
J5.
5.	1. Один из треугольников, на которые данная диагональ разделяет искомый
параллелограмм, строится по двум сторонам и высоте, проведенной к одной из них.
Затем построенный треугольник достраивается до параллелограмма.
2.	Пусть требуется построить равнобедренную трапецию ABCD с большим
основанием AD по отрезку АС, углу BAD и перпендикуляру АК, проведенному к
прямой ВС. Сначала строим треугольник АКС по катету и гипотенузе, затем проводим
прямую AD параллельно прямой КС и на отрезке КС отмечаем точку В так, что
L BAD равен данному. Далее треугольник АВС достраиваем до трапеции.
6.	1. Пусть требуется построить параллелограмм ABCD, в котором О — точка
пересечения диагоналей. Треугольник АОВ строится по двум сторонам и высоте,
проведенной к одной из них. Затем этот треугольник достраивается до параллело-
грамма.
7.	1. Один из треугольников, на которые данная диагональ разделяет паралле-
лограмм, строится по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них. Затем
этот треугольник достраивается до параллелограмма.
2.	Пусть следует построить трапецию ABCD с большим основанием AD, в
которой О — точка пересечения диагоналей, по отрезкам AC, BD, CD и углу AOD.
Рассмотрим треугольник САЕ, где EG AD, CE\\BD. В этом треугольнике BD—CE,
L АСЕ — L AOD. Значит, треугольник САЕ можно построить по двум сторонам и
углу между ними. Точку D можно получить, проведя окружность с центром в
вершине С и радиуса CD. Далее треугольник ACD достраивается до трапеции.
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2.	В задаче выполняется дополнительное построение, аналогичное построению
в задаче 7 (1) из §4.
И-
1.	1. 140°. 2. 1. 75". 3. 1. 5 см. 2. 90". 4. 1. 60". 2. 90°.
5.	1. 2КЕ - KD. Значит, Z. ADB - 30° и треугольник АВО равносторонний, О —
точка пересечения диагоналей прямоугольника, АР — 0,5AM. Значит, АР -0,25АО,
АР : PC- 1 : 7.
2.	Из условия задачи следует, что МК - ^АС, АР - ^АС. Отметим на отрезке
АС точку Е так, чтобы ЕС - АР. Тогда РЕ - МК и Д АРМ — Д ЕКС. Значит, четы-
рехугольник РМКЕ — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно
равны. Но РК — ME из равенства треугольников АМЕ и СРК. Следовательно, РМКЕ
— прямоугольник и Z. РМК — 90°.
6.	1. ВО: PH — 1 : 4. 2. 90°. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7.	1. Пусть О — точка пересечения диагоналей данного прямоугольника. Тогда
L ACD - 75°, L DEC - 90°, L EOD - 30°, ED -	- \bD, BE<ED + BD- 5ED.
2	4
2. Пусть окружность пересекает прямую BD в точке Р. Тогда четырехугольник
АЕСР является прямоугольником, L АЕС — 90°. С помощью свойства внешнего угла
треугольника можно доказать, что L АВС — L. АЕС + Z. ВАЕ— 150°.
Значит, Z. BAD - 30°. Искомое расстояние равно 5 см.
235
8. 1. ЕМКЕ-\5°. Значит, ME-EK и MT —
— TK. Следовательно, P7’>0,5X//> 0,49X77.
2. Задача решается аналогично задаче 7 (2),
НВ - 10 см.
§7.
1.	1. 15°30', 74°30', 90°.
2.	1. 90°, 73°30', 147°.
3.	1. 90°. 2. За.
4.	1. 90°. 2. 2а.
5.	1. Докажите, что диагональ АС составляет
со стороной ромба угол в 30°, Z. АОВ - 120°.
2. Треугольники AKD и MCD равны. Зна-
чит, Z. MDK + Z. AKD - 90°. Но Z. AOD - L. AKD +
+ LMDK по свойству внешнего угла треугольника
OKD. Значит, Z. AOD - 90°, L АМО - 60°.
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2). О т в е т: 1. а. 2. МР-АК.
7.	1. На рисунке 44 изображены ромбы, данные в условии задачи, CM — MD.
Следует доказать, что угол MPD\ прямой. Проведем МК1.ОС, ME1.OD. Так как
Д СКМ - Д MED, то ME-ОК-СК и L МСО - L МОС. Значит, L POD\ - L. ОСМ.
Тогда L PODi +LPD1O- 90°, Z. PDi О - L.ODC и ОР1.Аi D\.
2.	Пусть ME, СО, PD — перпендикуляры к прямой АВ. Тогда можно доказать,
что Д МАЕ - Е АОС и Д ВОС - Е BPD, причем ME - АО, PD - ВО.
8.	1. Пусть Oi — точка пересечения диагоналей ромба ABiCiDi. Тогда четы-
рехугольник AOEOi является квадратом и прямая OOi содержит отрезок РО. Точки
А и Е являются концами другой диагонали квадрата. Значит, РА — РЕ.
2.	Пусть прямые ТС и АВ пересекаются в точке О. Обозначим Z. МТС — а.
Тогда L TCP — a-L АСО. Треугольники АСВ и МСТ равны по двум катетам. Значит,
Z. ОВС -a, L ОСВ - 90“ — а. Поэтому L СОВ - 90°.
88.
90°
5.	2. Сначала постройте треугольник АВЕ по L АВЕ — 90°, Z. ВАЕ — и стороне
АЕ, а затем достройте этот треугольник до квадрата.
6.	2. Сначала постройте треугольник BMD по углу MBD, углу BMD, равному
180° — L MBD—45° и стороне BM — PQ. А затем достройте этот треугольник до
квадрата.
7.	1. Пусть требуется построить прямоугольник ABCD по диагонали АС и
периметру Р. На продолжении стороны ВС за вершину В отметим точку М так,
чтобы выполнялось равенство АВ — МВ. Тогда треугольник АМС можно построить
по стороне МС, равной —Р, стороне АС и углу М, равному 45°. Затем треугольник
АМС достраивается до прямоугольника.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. На диагонали BD возьмем точку
90°
М так, чтобы MD — AD. Тогда в треугольнике ВМА ВМ — BD — AD, L ABD —
L ВМА - ^х90“. Сначала построим треугольник ВМА, а затем достроим его до
квадрата.
236
8. 1. Пусть требуется построить ромб ABCD с точкой пересечения диагоналей
О, в котором АС — меньшая диагональ. На отрезке ОВ возьмем точку М так, чтобы
g	gj)__
ОМ - ОС. Тогда Z. ВМС ~ —*90°, ВМ —----------• Значит, сначала можно построить
треугольник ВМС, а затем достроить его до ромба.
2. Пусть требуется построить квадрат ABCD. Продлим отрезок АС за вершину
А и отложим на продолжении отрезок АЕ - AD. Треугольник ECD можно построить
90°	90°
по стороне ЕС, равной АС + AD, L Е — L ECD — Затем достроим этот
треугольник до квадрата.
89.
л bd
1.	I. (а + b + c)(l + f)—г +~2~- Предполагается, что площадь выреза в виде
прямоугольного треугольника вычисляется достраиванием этого треугольника до пря-
моугольника. 2. 6 см.
л	bd
2.	1. г + (а + Ь + с)1 — Площадь выреза в виде прямоугольного треугольника
вычисляется достраиванием до прямоугольника. 2. 16 см.
3.	2. 100 см2. 4. 2. 60 см2.
5.	1. Достройте каждый из треугольников ADE и BDE до прямоугольника.
2.	Проведите прямые, параллельные диагонали ромба и проходящие через его
вершины.
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7.	1. Пусть в треугольнике АВС ВМ — медиана. Если ВА - ВС, то решение
задачи очевидно. Пусть АВ>ВС. Проведем через точку М прямую МР^АВ (рис. 45)
и перпендикуляры МТ, СЕ, ВР. Тогда Д ТВМ - Д ВРМ, Д ATM - Д MCE, Д ЕКС -
= Д ВКР, откуда получаем, что площади треугольников АВМ и ВМС равны.
2. Из треугольника BCD находим Z. CBD — 45°. Так как Z. АВС — 135°, то
Z. ABD — 90°. Значит, параллелограмм АВРК является прямоугольником, Z. ADB -
- 45°. Следовательно, АВ — BD и АВ : ВР -2:3. Зная периметр прямоугольника
АВРК, находим, что его площадь равна 54 см2.
8.	1. Дополнительное построение показано на рисунке 46. Пользуясь полученным
чертежом, можно доказать, что площадь треугольника AD\ С равна половине площади
прямоугольника АРЕС, а площадь треуголь-
ника АВС равна половине площади прямо-
угольника АТ КС. Но площади прямоуголь-
ников АТ КС и АР ЕС относятся как 1 : 2.
2.	Задача решается аналогично задаче
7 (2). О т в е т. 30 см.
8Ю.
1.	1. 20 см2.
2.	1. 77 см2.
3.	1. 45°, 135°.
2. Площадь прямоугольника больше пло-
щади параллелограмма.
4.	1. 30°, 150°.
2.	Площадь квадрата больше площади
параллелограмма.
237
5.	1. Находим, что углы параллелограмма
равны 45° и 135°. Отсюда его площадь равна
20 см2.
2. Saemh : Sbpmk - АЕ : ВК,
Sbpmk : Stmoc — РВ-.ОС. Перемножая запи-
санные равенства и учитывая, что АЕ - ОС,
получаем то, что требуется доказать.
6.	1. Z. MDB — 2L MBD — 15°. Значит, ос-
трый угол ромба равен 30°, а его высота 10 см.
Находим, что сторона ромба равна 20 см.
Ответ. 200 см2.
2. Sam от’. Sm вно - ОТ : ОН -
— Stopd : Sqhcp, откуда получаем то, что тре-
буется доказать.
7.	1. Пусть дан треугольник РМК, в котором
Z.P-900, РМ<РК. Проведем дополнительное
построение параллелограмма КТЕМ, как пока-
зано на рисунке 47. Тогда площадь этого па-
раллелограмма, с одной стороны, равна Ьс, а
с другой — МР*а, откуда получаем, что РМ ——.
2. Площадь параллелограмма ABCD равна площади параллелограмма AMKD,
так как эти параллелограммы имеют общее основание AD и равные высоты. Ана-
логично равны площади параллелограммов AMKD и EPKD. Тогда равны и площади
параллелограммов ABCD и EPKD. Четырехугольник EMCD общий для этих парал-
лелограммов. Отсюда можно доказать, что Sabmea — Sdkpmc-
8.	1. Пусть дана прямоугольная трапеция МРКЕ, в которой L М - 90°, МР — Ь,
РК-с, КЕ — а. Проведем РТ^КЕ, РО1.КЕ, как показано на рисунке 48. Тогда
площадь параллелограмма ТРКЕ, с одной стороны, равна РО*а, а с другой — Ь*с.
Ьс
Значит, РО — —. 2. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
•11-
1.	1. 24 см2. 2. 8 см2.
2.	1. 25 см2. 2. 6 см2.
3.	1. 1 : 2. 2. 6 см2.
2
4. 1. Площади равны. 2. 12 см .
5.	1. Докажите, что сумма высот этих треугольников, проведенных к противо-
положным сторонам параллелограмма, равна его высоте.
2.	Пусть МС — х. Тогда, выражая площадь треугольника АСВ различными
е	6х . 14х	21
способами, получаем уравнение	— 42, откуда находим х - — см.
6.	1. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
2.	Площадь треугольника COD равна 16 см2. Далее можно доказать, что
площади треугольников АОВ и COD равны.
7.	1. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О и
Z. АОВ — 30°. Проведем перпендикуляры ВК и DE к прямой АС. Тогда площадь
238
Рис. 48
четырехугольника равна
АС*ВР
4
-24 см2.
ВКкАС + DE*AC _ 1АС (вк + DE) _ 1АС jlBO + 1 о J _
Л»	Л»	Л/	л» I JL	л» I
2. Semн - -^Sebc - зХ2^Л вс ~ 6’
8.	1. Пусть в треугольнике АВС О — точка пересечения биссектрис. Можно
доказать, что точка О удалена от каждой из сторон треугольника на 1,5 см. Тогда
_	1,5 АВ	I,SBC	1,5 АС 1,5.1,5 w	г
Sabc -—j— + —2— 4-2—~~2~(АВ + ЕС + АС) “"у х 16- 12 см .
2 12	2
2. Samp • S — (AM* АР) : (АВ* АС) “^х^х‘д- Значит, Samp ~~д- Аналогично
2	5
SpKS~gS, откуда искомая площадь равна gS.
•12.
1.	1. 4 см. 2. 54 см2.
2.	1. 5 см. 2. 72 см2.
3.	1. 13,5 см2. 2. 54 см2.
4.	1. 24 см2. 2. 18 см2.
5.	1. Из точки О опустим перпендикуляры ОР, ОК, ОМ на стороны AD, CD,
ВС соответственно. Можно доказать, что ОР - ОК — ОМ. Из треугольника OKD
находим ОК-0,5а. Тогда площадь трапеции будет равна 0,5а(6 + с).
2.	Можно доказать, что площади треугольников МРН и РНК равны. Тогда
площадь трапеции равна Si + S2.
6.	1. AM —АН, так как АВ1.МН и МВ — ВН-, НА1.МК, так как МН —НК и
AM — АК. Значит, отрезок НА является высотой трапеции и равен уа. Площадь
трапеции равна (а + Ь).
2. Проведем диагональ АС трапеции ABCD. Тогда Sabc~S\, Sacd~S2-
Площадь трапеции равна Si + S2.
239
7. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех вершин трапеции. Тогда
из задачи 1 варианта 8 § 4 следует, что L А - 30°. Площадь трапеции будет равна
(Л + с).
2. Проведем через точку О прямую, параллельную МК, пересекающую отрезки
МН и РК в точках Е и Т соответственно. Можно доказать, что АЕЦР/С, 5Т||Л/Я.
Таким образом, трапеция разбивается на 8 треугольников, равных треугольнику НОР.
Следовательно, площадь трапеции равна 40 см2.
8. 1. Можно доказать, что точка О равноудалена от всех сторон трапеции. Тогда
из задачи 2 варианта 7 § 4 вытекает, что РК + МН - Ь + с. Площадь трапеции будет
равна ~а (Ь + с).
2. Можно доказать, что площади треугольников АОВ и COD равны. Тогда
Saob : Sboc • Saod : Sdoc, откуда получаем Saob - sioD ~ Saod x Sboc - 100.
О т в e t. 45 cm2.
S13.
1.	1. 50 cm2. 2. 90°, 60°, 30°.
2.	1. 162 cm2. 2. 90°, 45°, 45°.
3.	1. 216 cm2. 2. 105°.
4.	1. 99 cm2. 2. 75°.	r__r—T
5.	1. Высота трапеции равна V 262 — 242 - 10 см. Так как диагонали трапеции
взаимно перпендикулярны, то полусумма ее оснований равна высоте (см. задачу
6 (1) из §4.) Значит, площадь трапеции равна 100 см2.
2.	Пусть в трапеции ABCD АВ - 9 см, ВС - 15 см, DC - 12 см, AZ)- 30 см.
Проведем прямую BE\\CD (EG AD). Тогда можно доказать, что ЕВ — CD — 12 см.
ED — ВС, АЕ = 15 см. Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаем,
что £ АВЕ - 90°. Значит, искомый угол прямой.
6.	1. Задача решается с использованием задачи 5 (1) из § 4. Площадь трапеции
равна 300 см2.
2.	Пусть в трапеции ABCD AD — 10 см, Z?C — 3 см, АС “5 см, BD — 12 см.
Через вершину С проведем прямую, пересекающую луч AD в точке Е и параллельную
BD. Тогда можно доказать, что СЕ - BD, DE — ВС. По теореме, обратной теореме
Пифагора, устанавливаем, что LACE- 90°. Значит, искомый угол также прямой.
7.	1. ВС2 — СН2 - АВ2 — АН2, ВС2 - СН2 + АВ2 — АН2 - АС2 — АН2 + АВ2 —
— АН2 - АС2 + АВ2 — 2АС*АН.
2.	Пусть в треугольнике МЕР большая сторона равна с, ME — а, ЕР - Ь.
Докажите методом от противного, что треугольник МЕР тупоугольный. В самом
деле, треугольник МЕР не может быть прямоугольным, так как это противоречило
бы обратной теореме Пифагора. Если предположить, что треугольник МЕР остро-
угольный, то по утверждению задачи 1 данного варианта МР2<МЕ2 + ЕР2, что
противоречит тому, что с2>а2 +62. Значит, треугольник МЕР тупоугольный.
8.	Задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
§14.
1.	1. 9,5 см2. 2. 114 см2.
2.	1. 6 см2. 2. 126 см2.
3.	1. Следует доказать, что треугольники ^ЕС, АВЕ, АРЕ прямоугольные.
Площадь многоугольника равна 42 см2. 2. 5VT0 см2.
240
Рис. 50
1. Задача решается аналогично задаче 1 варианта 3. О т в е т. 42 см2,
см.
4.
2. 4,8
5.	1. Третий угол треугольника равен 30°. Пусть меньшая высота равна х. Можно
доказать, что большая сторона равна +1). Составляем уравнение	-
= /3 + 1, откуда х - V2.
2.	Следует доказать, что острый угол ромба равен 60°. Ответ. 2/3 см2.
6.	1. Задача решается аналогично задаче 5 (1). Ответ. 5(/J —1).
2.	Пусть дан параллелограмм ABCD с площадью, равной 78 см2. BE и В К —
высоты, проведенные к сторонам AD и ВС соответственно, BE — 6 см, ВК — 7,8 см.
Используя формулу площади параллелограмма, находим AD- 13 см, CD - 10 см. Из
треугольника АВЕ АЕ - 8 см, тогда ED - 5 см, и из треугольника BED получаем
BD--/SV см.
7.	I. На рисунке 49 изображена трапеция МРКЕ, о которой говорится в условии
задачи. Так как О — точка пересечения медиан треугольника АРК, то РТ-АТ и
А МТА - А РТК. Следовательно, РК - а. Далее площадь равнобедренной трапеции
3 2
МРКЕ легко найти. Ответ, —а/3.
4
2.	Пусть в треугольнике АВС АВ — ВС, М и К — середины сторон АС и ВС
соответственно, ВМ - МК- 12 см. Проведем КРЛ.ВМ, КЕЛ. AC, Pf-BM, Е G МС.
Тогда Р — середина ВМ, т.е. ВК — КМ. Следовательно, L МВК — 60°. Площадь
треугольника АВС равна 144/ЗГ см2.
8.	1. На рисунке 50 изображена трапеция, о которой говорится в условии задачи.
Так как О — точка пересечения высот треугольника ВМС, то АС±ВМ. Значит,
АТ — ТС. Далее, A ATM — А ВТС. Следовательно, AM — a — MD. Площадь равнобед-
3o2/J
ренной трапеции ABCD будет равна —-—.
2. Пусть в параллелограмме ABCD L ABD-90°, L ADB— 15°, AD-12 см.
Отметим на диагонали BD точку К так, что L ВАК — 60°. Тогда L АКБ - 30°,
Z. KAD - 15°. Пусть В А - х. Получим АК - KD - 2х, ВК - у/з, BD - x(V3 + 2), AD2
- АВ2 + BD2. Тогда х2 + X2 (/3 + 2)2 - 144, откуда X2 -	Площадь параллелог-
рамма
равна АВ х BD - ^(/З + 2), или 36 см2.
|15.
2	5
1.	1. 6,25 см. 2. 10 см, 4— см, 5— см.
7	7
2	1
2.	1. 5 дм. 2. 12 см, 6— см, 5^ см.
3.	1. 60 см. 2. 62,4 см.
241
4.	1. 30 см. 2.. 90 мм.
5.	2. 84 мм. Докажите, что СЕ — биссектриса угла С. 6. 2. 36 дм. Докажите,
что ВР — биссектриса угла В.
„ . „ оп ,	„ ADi АВ „	ADAB
7.	1. Пусть BDi — биссектриса угла АВС. Тогда в —. По условию
D{ L	Въ,	Dbs Въ,
Отсюда	1»	ToiW DC<DiC и Z. ABD>£ DBC.
L/C L/j ** Uxs L/j v Uxs L/f V*
2.	16 см. Продолжим сторону ВС за точку В на отрезок BD, равный АВ.
Пусть биссектриса внешнего угла при вершине В пересекает продолжение стороны
АС в точке Е. Легко доказать, что AE — DE и что ЕВ — биссектриса угла DEC.
,г ВС ЕА + АС л	,х
Тогда 7777 “---777;—. Отсюда можно получить АЕ- 16 см.
Ud UiL
8.	1. Если предположить, что 7777-7777, то тогда можно доказать, что BD —
L/C иС
AD АВ
биссектриса угла АВС. Если же	то L ABD<L DBC (см. задачу 1 варианта
L/C />с
7 б 15). В том и другом случае мы получаем результат, который противоречит
„ ADAB
условию. Поэтому -7^7>-=77.
L/C х>С
3
2. 87-j-r см (см. задачу 7 (2)).
в 16.
1.	1. 30. 2. 2,5 см.
2.	1. L Т-20", L К-40", L Р-L М- 120°. 2. 50 см2.
3.	1. 15. 2. 80 см2, 180 см2.
4.	1. 5у см. 2. 65 дм, 52 дм.
5.	1. 6 см. 2. 24 см2.
6.	1. 46 см. 2. 32 см2.
7.	30°, 60°, 90°. Нужно исключить случаи: 1. Z ABC# 90° и BKLAC. 2. L В КС
тупой (или острый). 3. ВК1.АС и L АВК в L КВС.
Во всех этих случаях треугольники АВК и КВС не могут быть подобны. Остается
единственно возможный вариант, когда Z. АВС ” 90° и BKLAC. Так как - -L
Sbkc 3
АК 1	АК КВ
то 777 - -jt. Из подобия треугольников АВК и КВС следует, что - 777. Так
АС * □	Ах/ АС
как
АК “ -^у, т0 КС “ BKTS. Из треугольника КВС следует, что ВС2 - ВК2 + ЗВХ2, т.е.
7^-7. Отсюда L ВСК -30°.
£/С
8.	40 см2 (см. задачу 7 (7)).
§П.
1.	2. АВ-2,2, ВС-1,4, AiCi-4,4.
2.	2. ВС-4,8, DF-1,6, DE-1,1.
3.	2. 1,2 см, 3,6 см.
4.	2. 8 см, 12 см.
242
5.	2. Необходимо продолжить АК до пересечения с продолжением ВС в точке
Е и доказать, что ABED — параллелограмм.
6.	2. Необходимо продолжить AM до пересечения с продолжением ВС в точке
Е и доказать, чтг ABED — ромб.
7.	1. Продолжим отрезок АС за точку А на отрезок AD, равный АВ. Очевидно,
что L BDC - L АВС. Тогда A В DC со ЬАВС и	BC2-CD*AC, а2-
“ (b + с) Ь, т.е. а2 - Ьс + Ь2.
2.	48. Sade = Sc de- Отсюда следует, что ОЕЦАС. Так как Sado“8, а
Sdoe - 4, то -р A DOE со А АОС. Коэффициент подобия Тогда Sa ос “
1	3
“ 16 и Sadec “36; DE ——АС и & DBE & АВС. Тогда Sadec "‘-tSabc- Отсюда
Z	4
Sa вс - 48.
8.	1. Через вершину А проведем прямую, параллельную ВС и пересекающую
„„	г? л лее л ееп п	AF АЕ EF 1
продолжение СЕ в точке В; A AEF со А СЕВ. Отсюда	= тг, так как
ЛуС ho	L
по условию АЕ : ЕВ -1:2; AF - у. Из прямоугольного треугольника CAF следует,
что	CE-|cr-3^Z.
2. 24 (см. задачу 7 (2)).
§18.
1. 2. Прямые АВ и DE параллельны.
2. 2. Прямые ВС и DF параллельны.
5.	1. Необходимо доказать подобие треугольников АВС и ACD.
2.	Так как Z. CAD “ Z. CtAtOi и Z. ACD- L А1С1О1, то A ADC со A AiOiCi.
АС АП
Отсюда --------(1). Так как LADB — LAiDiBi и LBAD= LBiAiDi, то
AiCi AfOi
AABD с* AAiBiDi. Отсюда ~	Из равенств (1) и (2) следует, что
. Кроме того, L ВАС “ L Bi Ai Ci, а поэтому A ABC со Л AiBiCi.
AjBi AiCi
6.	1. Необходимо доказать подобие треугольников BDC и АВС.
2.	Так как L AOD “ L Ai Oi Di и L ADO “ Z.A1 Oi Oi, to A AOD co A AfOiDi.
~	AO AD	л л	ле л е	АС
Отсюда °8 д[» и так как О и Oi — середины АС и AiCi, то “
АО
= ;  _	(1). Так как LABO = Z-AiBiOi и	Z.ADO = ZAi Di Oi,	то
Ai Of
AB AD
&ABD co &A1B1D1 и : 	»  _ (2). Из равенств (1 ) и (2) следует, что
At Bi Af Of
AC	AB
-г~ё- — .-« • Легко доказать, что Z. ВАС - L BiAiCi. Отсюда A ABC A AiBiCi.
AfCi	AfBf
7.	2. Продолжим сторону АС за точку А на отрезок АО, равный АВ. По условию
а2 - b (с + Ь), т. е. ВС2 - AC х DC, или
ЛС />с
L ВСА у треугольников АВС и
ОВС общий, а потому A ABC со A DBC. Отсюда легко доказать, что L А “ 2Z В.
243
€г
AD DB
8.	1. A ADB co А ВЕС. Из этого следует, что -^--^77. Но АВ-ВС, поэтому
£>С ВВ
4? - Легко доказать, что Z. DBE - Z. DAB. Тогда A ADB со A BDE и L BDE -
лв вв
= L ADB.
2. 0,5. Необходимо доказать, что треугольники АМР и КСТ подобны. Отсюда
следует, что КТ\\МР и МКТР — трапеция. Из подобия треугольников МЕР и КЕТ
имеем ME : ЕТ — 1 : 2.
§19	.
1.	1.	28 см, L KOA-L ВС А. 2. 8 см.
2.	2.	27 см.
3.	2.	36.
4.	2.	108.
5.	2.	60 см2.
6.	2.	0,8 см.
7.	1. Соединим отрезком прямой точки Е и М. Пусть Mi — середина СЕ. Тогда
ММ\ — медиана треугольника ЕМС. Так как MMi ЦАЕ, то ММ\ J.CE. В таком
случае А ЕМС равнобедренный и Z. EMMi — L Mi МС. Обозначим точку пересечения
ММ\ со стороной ВС Ъуккял F. Тогда MFCD — ромб и L MiMC - L CMD. Кроме
того, L АЕМ - L EMMi. Отсюда следует, что Z. EMD - 3Z. АЕМ. 2. 72.
8.	1. Пусть АЕ пересекает прямую ВС в точке Р, a DF — в точке Т. Треугольник
РВА равнобедренный (РВ - ВА) и ВЕ±АЕ. Отсюда Е — середина АР. Аналогично
F — середина DT. Легко доказать, что EF\\P'I'. Пусть EF пересекает АВ в точке М,
a CD — в точке N. Имеем ЕМ - NF-^а, MN-BC-a. Поэтому EF-2a. 2. 12 см.
§20	.
1.	1.	2. 90 см2.
4
2.	1.	2. 54 см2.
3.	1. 200 см2. 2. 4^.
4.	1. 156 см2. 2. 4VTJ + 8.
_ .	_ __	2	Sabe 9	Sbcd 1
5.	1.	30 , 60 . 2. 75 см .	Нужно учесть, что -к-"тт и	-с---“ о-
&BED 16 ОЛДС 2
6.	1. 60°, 120°, 90°, 90°. 2. 64/У см2.
7.	1. 150 см2. Через вершину С провести прямую, параллельную BD, до пере-
сечения с продолжением AD в точке М и рассмотреть прямоугольный треугольник
АСМ.
2. 30°. Необходимо доказать, что АВМ — прямоугольный треугольник.
8.	1. 10 7б см. (см. указания к задаче 7 (1)).
2. 60°, 120°, 60°, 120°.
§21.
5.	2. Найти точку М пересечения прямых AiA и BiB. Прямые МС и MD
пересекают прямую п соответственно в точках Ci и Di. Легко доказать, что отрезок
CiDi искомый.
244
6.	Найти точку М пересечения прямых At D и Bt С. Прямые AM и ВМ пересекают
прямую b соответственно в точках Dt и Ci. Легко доказать, что отрезок CtDt
искомый.
7.	1. Отрезок, равный периметру, разделить в отношении 2:3: /ТЗ и построить
треугольник по трем сторонам.
8.	1. Отрезок, равный периметру, разделить в отношении 4 : /У : /У и построить
треугольник по трем сторонам.
§22.
1	. >.	2. 60".
2	- VP VTO-
3	4 4
3.	1.	4, у. 2. 30е, 60°.
3	3 4
4	3 4
4.	1. j, 2. 45", 135°.
5.	1. 60°, 30°, 90°. 2. у, yj, у.
6.	1. 60°, 30°, 90°. 2. Ц, у.
7.	1. Пусть а — искомый угол. По условию sin а - 2 cos а. Отсюда tg а - 2.
Поэтому необходимо построить прямоугольный треугольник ABC (L С-90°), у ко-
ВС 2
торого - у. Тогда Z. А будет искомым.
2. — (/6 + /2). Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ABD
(Z. ADB - 90°) и прямоугольный треугольник В DC (Z. BDC - 90°) с углом DBC,
равным 30°. Точки A, D, С лежат на одной прямой (А — D — С). Очевидно, что
Z. АВС - 75°. Пусть AD - BD - 1. Тогда Sabc -1 х 1 х (1 +	-1(3 + /3) (1).
a I alb
/2 2/3	/6
С другой стороны, Sabc “у- • -у—sin 75°“у—sin 75° (2). Из равенств (1) и (2)
следует ответ 1 (/6 + /2).
8. 1. См. решение задачи 7 (1).
2. 1 (/6—/2). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC	с
углом А, равным 30°. Пусть AD — биссектриса треугольника; L DAC- 15°. Пусть
ВС-1, тогда АВ-2 и АС-^3. Используя свойства биссектрисы треугольника,
можно доказать, что CD - 2/3 — 3. Из треугольника ACD имеем AD -
= /24-12/3 - 2/3 х /2-/3, sin 15° -	- —у— -
AD 2	4
§23.
5/6
1.	1. S - аЬ sin а; 5,54. 2. -у—.
А2
2.	1. S--T—; 376,16. 2. 3/6.
sin а
245
d2
3.	1. S--2—; 123,85. 2. 82°23', ГЗТ.
2tgj
4.	1. S-За2 sin a • cos a; 82,07. 2. 63"4Г.
5.	1. ft - V 25 sin a cos a; 6,44. 2. 27’5'.
6.	1. ft-VST^a; 10,16. 2. 28’13'.
_ , dsina
7.	1. —$—Д-; 11,36. 2. 47 8 .
sin/3
8.	1. 6a sin a cos a; 886,24.
Через вершину В проведем прямую, параллельную CD, до пересечения с AD в
точке F. Треугольник ABF прямоугольный, так как L ABF- 90е. Исходя из условия
Е — середина AF, а потому AF—2a\ АВ “2а cos а. Высота трапеции Л-
- АВ sin а ~ 2а cos а. Тогда площадь трапеции S - 6a2 sin a cos a.
Vl — m2
2. —।	—. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углом С при
вершине, равным а, причем cos а - т, ВЕ1.АС. Обозначим Z. ЕВА - х. Пусть BE -
А	А
-Л. Из треугольника СЕВ имеем ВС - АС - -j—; СЕ - Из треугольника АЕВ
АЕ -h tg х. AC - СЕ + ЕА\	+ h tg х. Отсюда tg х - -— S086* _
_______	sin a tga	°	sin a
_ 1 — m V1 —
Vl — m2 1 + m
824.
1. 1. Ж 2. *.
1 49	3
2 1^2^
4 ’	3’
3	1 14-3— 2 —
'• 14Т2Г 2* 5'
4.	1. 47^ см2. 2.
5.	1. 24 (7 —4<3).
В(^
2.	Из прямоугольного треугольника АОВ следует, что	(В. Из пря-
всР“
моугольного треугольника ВОС следует, что BD-~=^- (2).
ВС
FB BC
Из равенств (1) и (2) имеем	Кроме того, в треугольниках DFB и АСВ
угол АВС общий. Отсюда следует, что A ABC со A DFB, а потому L АСВ - L DFB.
6.	1. 6a2 (2 — VJ)2.
BD^
2.	Из прямоугольного треугольника ADB следует, что	(1). Из
В1^
прямоугольного треугольника В DC следует, что FB- —— (2). Из равенств (1) и (2)
ВС
ЕВ ВС
имеем	® треугольниках EBF и АВС угол АВС общий. Отсюда следует,
что A EBF со А АВС.
246
* 4(b — 2d)’
2.	Через точку М проведем прямую, параллельную АС и пересекающую
стороны АВ и ВС соответственно в точках К и L. Так как BD — медиана, то легко
доказать, что КМ-ML. Из подобия
FM КМ „	,
Из подобия треугольников
 <>	г,	jFA/ ЕМ
КМ — ML. Поэтому — ~дЁ'
A FME го А АМС. Отсюда L EFM - L MCA. Поэтому EF||AC.
8. 1. -^-7кг~—ттг-	Пусть в треугольнике АВС высоты BD и АЕ
2 । 2Л  Cl v 3 J /и
'	BD DC
пересекаются в точке О; А В DC го А АЕС. Отсюда	(1); А АЕС го A AOD.
Аг гд^
AD-DC ab
OD “ т‘
треугольников KFM и AFC следует, что
 /nr л	£А/ ML
MEL и АЕС следует, что “777 ““ТТ"’ но
Аг. .АС
тЙ-7Т7- Тогда, так как LFME-AMC,
МС МА
е.
ЕС АЕ
Отсюда	Из равенств (1) и (2) следует, что BD-
§25.
1.	1. a) R - 5; б) /?< 5; в) R> 5. 2. 12.
2.	1. a) R-5-, б) R< 5; в) R> 5. 2. 17.
3.	1. Прямая DE является касательной к окружности. 2. 35 см.
4.	1. Окружность касается прямой АВ. 2. 13,44.
5.	1. Прямая BD касается этой окружности. 2. 2г cos у.
6.	1. Прямая АВ касается этой окружности. 2. ———.
*«2sln2
7.	2. Пусть О — центр окружности. Необходимо доказать, что A COD прямо-
угольный. Радиус окружности ОК, проведенный в точку касания CD с окружностью,
является высотой треугольника COD. Поэтому ОК1 - СК  KD, но АС = СК и
DB = KD, а потому ОК2 = AC-DB.
826.
1.	3VJ см. 2. 100°.
2.	1. 30°. 2. 20°.
3.	1. 10 см. 2. 6 см.
4.	1. 3. 2. 288.
5.	2. 5 см.
6.	2. 220°, 80°, 60°.
7.	1. Пусть угол АВС вписан в окружность и BD — его биссектриса (D лежит
на окружности). Хорда DE параллельна АВ. Нужно доказать, что DE - ВС. Так как
ЛЕЦЛВ и BD — биссектриса угла АВС, то Z. ABD - L BDE - L DBC\ L DCB -
— L DEB как вписанный, опирающийся на одну и ту же дугу; A DCB - ADEB по
стороне и двум углам. Отсюда DE - ВС.
2. L 1 измеряется половиной дуги КА (рис. 51), <jKA-\jKF+\jFA-
= kjXF+90°; Z. 2 измеряется полусуммой дуг KF и ЕА, но ЕА - 90°. Отсюда
L 1 - L 2. Поэтому A KNM равнобедренный и NK — NM.
247
8.	1. Так ВС||АО, то L 1 - L 2 (рис. 52); L 3 измеряется половиной дуги BED',
L 4 измеряется половиной этой же дуги, поэтому L 3 - L. 4. Тогда A ABD со A BCD
по двум углам. Дальнейшее решение очевидно.
2. 16 см. Необходимо доказать, что A AED прямоугольный.
§27.
1.	1. 16 см. 2. /И.
2.	1. 20. 2. 6,5.
3.	1. 5.
4.	1. 4V5.
5.	1. 8 см. Докажите, что точка Е — середина хорды ВС.
6-	1. 10 см.
1	3	3
7. 1. у. Имеем ВС = 2г, АВ - г, CD - — х 2г - ^г. Необходимо учесть, что
OiP-OiQ-OiA • OiD. Так как Oi|2“22?— г, OiP'-r, OiA — r + r — 2r, O\D —
= г + 77г •= ^г, запишем (2r — г) х г= 5г2. Отсюда = 4.
Z Z	/С и
2. Воспользуйтесь теоремой о касательной и секущей.
8. 1. 12; 1.
2. Необходимо построить окружность, проходящую через точки В и С и
касающуюся АВ в точке В. Эта окружность пересечет сторону АС в искомой точке
D.
828.
1.	1. 2VR2 —
2.	1. 2г/2.
3.	1. 8 см.
4.	1. 20.
3VJ
5.	1.	-. Пусть О и 01 — центры соответственно большей и меньшей окруж-
ностей. Необходимо доказать, что L АОС - 60°, a L ВО\ С - 120°. Кроме того, тре-
угольник АСВ прямоугольный.
2. Проведем диаметр AD; A CDA прямоугольный; L CDA - L СВА как опи-
рающиеся на одну и ту же дугу АС. Из этого вытекает, что L О АС - L ВАН.
248
6. 1. >АбЗ. Пусть О и Oi — центры соответственно большей и меньшей окруж-
ностей; OOi - 3. Через точку О проведем прямую, параллельную АВ. Обозначим
точку касания АВ с меньшей окружностью через К-, О\К пересекает проведенную
3
прямую в точке Р. Из треугольника ОО\Р следует, что РО\ , так как по условию
3
L РОО\ - 30°; ОМ±АВ, ОМ-РК-РО\ — KOi - —
Из А АОМ : AM-
4 - ав - V5J.
4	2
2. Докажите, что A ABC со A ABD.
7 1
2. Пусть АС пересекает BD в точке О; L DAC •= L ВАС по условию, а
L ВАС = L BDC как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Тогда
AD АС
AADC со A COD по двум углам (Z. DC А общий). Отсюда следует, что =
и AD к ВС - АС х DO (1). Аналогично можно доказать, что А АВС со А ВОС. Тогда
АВ* ВС— АС* ВО (2). Складывая почленно равенства (1) и (2), можно получить
АС х BD - AD х DC + АВ * ВС.
2. Проведем общую касательную двух окружностей, и пусть АВ пересекает
эту касательную в точке С (рис. 53). Так как СТ - СМ как отрезки касательных,
проведенных из точки С к меньшей окружности, то Z. СМТ - L СТМ. Кроме
того, L САМ - L ВМС, L АМТ - L СТМ — L САМ - L СТМ — L ВМС -
- L СМТ — LBMC - L ВМТ. Следовательно, МТ — биссектриса Z. АМВ.
§29.
1.	2. 35.
2.	1. 12. 2. 45.
3.	1. m х siny. 2. 2,4.
4.	1. 6.
5.	1.	2. 30°.
6.	1. 25. 2. 90° + а.
7.	1. Строим вспомогательный прямоугольный
треугольник с некоторым катетом, равным а, и по-
строением находим отрезок, соединяющий точки пе-
ресечения биссектрис и медиан. Пусть этот отрезок
имеет длину, равную Ь. Все равнобедренные прямо-
угольные треугольники подобны. Обозначим сторону
а b „
искомого треугольника через х. Тогда — -—. По-
строением находим отрезок х. Дальнейшее построение очевидно. 2. —.
8.
1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). 2
* 6'
249
§30.
1.	1. 1 см. 2. 2,5 см.
2.	1. 6 см. 2. 16 см.
3.	1. 3 см. 2. 9,6 см.
4.	1. 2 см. 2. 2 см.
5.	1. 6VJ(VJ + I)2.
2.	94,08 см2. Если обозначить центр вписанной окружности через О, то нужно
доказать, что А АОВ прямоугольный. Высота этого треугольника равна радиусу
вписанной в трапецию окружности. Высота трапеции равна диаметру этой окружности.
Кроме того, AD + ВС “ АВ + CD.
6.	1. 3 см. 2. 18.
7.	1. 3 (3 — V5).
2.	120е. Очевидно, что АВ-BE и ВМ-ВР (рис. 54). Отсюда ттг? =
ИМ ВР
Тогда А МВР со А АВЕ. Из подобия треугольников следует, что A BMP равнобедрен-
ный и L BMP - L BPM’, так как по условию ВМ - МР, a Z. BPM - L МРВ, то
А МРВ равносторонний, а потому и подобный ему треугольник АВЕ равносторонний
и LBAE-W, т.е. ZB4D-120".
8.	1. 3 — '/S см.
2.	МВ — PD — 2 см. Очевидно, что радиус вписанной окружности равен VJ см
и AE—AF—3 см (рис. 55). Исходя из свойств касательных, проведенных из одной
точки к окружности, имеем АР + РК — АЕ и AM + МК — AF.
Складывая эти равенства, получим, что Рамр “ 6 см, а так как МР - 2 см, то
АР + AM - 4 см. Пусть МТ — высота А АМР. Обозначим AM через х. Тогда МТ -
у л/3	у	Чу	Чу2	Оу2
= АТ-1 — из АМТР следует, что ^- + 16 — 12х + ^—4.
2	2	2	4	4
Отсюда х — 2. Итак, AM — АР - 2 см. Тогда и МВ - PD - 2 см.
§31.
1.	1. 27. 2. 96.
2.	1. 13 см. 2. 36 см.
3.	1. 6,25 см. 2. 40°, 50", 50".
4.	1. 4дГГ? см. 2. 0,5 см.
5.	2. 5 дм.
250
6.	1. a. 2. 12VJ см. Необходимо доказать, что AD — диаметр описанной
окружности.
7.	1. На рисунке 56 точки Ai, Bi, Ci симметричны точке пересечения высот Н
относительно сторон ВС, АС, АВ. Очевидно, что A ACiB - А АНВ. Отсюда
L ACiB - L АНВ, но LDHE-LAHB. В четырехугольнике EHDC углы НЕС и
HDC прямые, а потому L DHE + Z. ВСА - 180". Следовательно, L АС\В + L ВСА ”
- 180°. Это значит, что точка Ci лежит на окружности, описанной около треугольника
АВС. Аналогичные рассуждения можно провести относительно точек Ai и Bi.
2 —
а '
8.	1. На рисунке 57 Н — точка пересечения высот AAi, ВВ\, CCi. Около
четырехугольника ACiHBi можно описать окружность; Z HCiBi - Z. НАВ\ как впи-
санные, опирающиеся на одну и ту же дугу. Обозначим эти углы через а\
A AiBCi го А АВС, Л BCiAi-ВСА-90"— а. Тогда L А\С\Н- 90° — 90’ +а -а.
Следовательно, Z.A1C1H- L HC\Bi, т.е. CiC — биссектриса L AiCiBi. Аналогично
можно доказать, что А1А — биссектриса L С1А1В1, а ВВ\ — биссектриса L С1В1А1.
§32.
1.	1. аи$ аи$1?ис;?и&2. ? и f н ? 3. ? и ZT и а
4. 7* и е\ нельзя.
2.	1. си?, си??ие, аи?2.	3.
4. а и Й; да, можно.
3.	2. а) ? и if, а и ct, с и с; б) с* и а; в) ёГи®?и^г)?иЙ
4.	2. а) т и п, ти$пис;б)тип;в)%ис!пис;г)([иа
5.	1. а) BE и	ЕС, AF и DF,	BE	и AF,	BE и	DF,	ЕС и	AF,	ЕС и
DE, б) BE и ЕС,	BE и AF, ЕС и	АЕ,	в) BE	и DF,	ЕС	и DF,	AF	и DF;
г) ЕС и АЕ, д) ЕС и AF, BE и DF. 2. 90°.
6.	1. а) АВ и	DC, АВ и CF,	DC	и CF,	BE и	СЕ,	BE и	AD,	СЕ и
АО; б) АВ и DC,	АВ и CF, DC и	CF,	BE и	AD; в)	СЕ	и AD,	СЕ	и ВЕ-,
г) АВ и DC, АВ и CF, CF и ОС; д) BE и СЕ. 2. 20 см.
7.	1. 21. Необходимо учесть 0.
8.	1. 21. Необходимо учесть 0.
251
бзз.
1. 2u0.	_5. 2. ED. J>. 2. Е/ .
8. CBi - CAi +A1S1, CiB - CiAi + AiB, AiBi -CiAi, CAi -AiB. Отсюда еле-
дует, что CjBj - Ci В.
§34.
1.	2. AB-AC. 3. 6 см.
2.	2. СА - СВ. 3. 5.
3.	2. — G ?— а, а - ci 3. 6,5.
4.	2. a —it, it—а, а. 3. 16.
5.	1. АС - DC - BD. 2. (УЬ + (ТВ - (tC. 3.
6.	1. — DA + DC + СВ. 3. -у.
7.	1. -у; ОА + ОВ — ОС = ОВ + СА. Построение показано на рисунке 58.
8.	1. ys ОА — ОВ — ОС = ВА — ОС. От точки О откладываем вектор
—>	-> -> “♦ “>
ОЕ — ВА (рис. 59). Тогда ОЕ — ОС = СЕ. Продолжим AAi, как показано на
рисунке, на отрезок AiP, равный OAi. Тогда ОВРС — параллелограмм и
PC ||OZ? ||АЕ, РС-ОВ-АЕ. Отсюда следует, что ЕАРС — параллелограмм и
|СЕ|“.
2. AiBi = OBl — OAi - — ОВ — (— ОА) - ОА — ОВ - ВА. Отсюда следует,
что Al Bi - ВА и Ai Bi ||ВА. Дальнейшее очевидно.
§35.
1.	2. ОА- ±а-^£ АК = ^а + £
2.	2. DP = ^т + ^р, DM = in + ^р.
3.	2. р + jT- р.
252
— 1 — 5 — 1 -
4-	2-₽+6fl’ 6fl~2₽-
,	2	2 - ,1 ->	2 -> 1 -
5-	-3fl"3₽+ 2₽=-3fl"6₽-
с О 1 — . 2 —
6’ 2' 6 ° + 3Р’
7. 1. 0; AAi + BBi + CCi =	— &А + dt —СВ + i — Л£- кВС + АВ +
+ кСА + ВС + кАВ + СА - к * (ВС + СА + АВ ) -0.
2. Пусть АВ = а, ВС = К, CD = ? (рис. 60), FE = OD = а + с", AF-kCD
- Пс, BE = ВА + AF + FE = — а - Ис+ (а + 3 - (к + 1) с". Это значит, что £М?||АК
“♦ “♦ “♦ “♦
8. 1. РЕ = BE — ВР — кВС — (к — 1 ) АВ. Аналогично можно получить, что
MF - kAD — (к — 1) DC. Так как ВС = AD и АВ = DC, то РЕ = MF, а потому
PEFM — параллелограмм.
2. Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке М (рис. 61); ОК ± АВ,
ОЕ LCD, ОМ = ОК + ОЕ,
ОК = ОА + АК = ОА Е 0,5 АВ = ОА +0,5 (ОВ - О А) = 0,5 ОА + 0,5 ОВ.
Аналогично ОЕ — 0,5 ОС + 0,5 OD,
ОМ = ОК + ОЕ = 0,5 (ОА + ОВ + ОС + OD).
§36.
1.	1. ВМ =	+	2.
2	4	3
2.	1. АК= + ^р. 2. 15”, 165”, 165”.
2	4
1 -* 1 -*
3.	2. | ВА + | CD.
5. 2. Докажите, что ОМ = у (ОА + ОВ + ОС ).
->	2~*	1~»	2~*	1~*
7. 1. Легко получить ОК = ОВ + ОС и ОЕ = OD + ОА.
253
Имеем OD = — ОВ, ОА = — ОС. Отсюда ОК — —ОЕ. Это значит, что точки
К, О, Е лежат на одной прямой и О — середина отрезка КЕ.
2. Пусть медианы AAi и BBi пересекаются в точке М и пусть
ВМ т т* т . _ . п _ т т* п + ...
—— = —; AM =------;--ABl +-----;-АВ = 777---—г АС +-----;--АВ (1),
MBi п т + п т+ п 2 (т + и) т + п
-♦	А -♦ к "*
AM - кАА\ - | ЛС + ^АВ. (2)
Из выражений (1) и (2) следует, что --------—----г и —Отсюда
z , ч к т+п L
2 (m+n) = 2
— = т. е- = т- Если теперь предположить, что медианы ВВ\ и CCi
П 1	МВ I
ВМ 2
пересекаются в точке Мi, то аналогично можно доказать, что д = у.
Следовательно, точки М и Mi совпадут. Этим и доказывается данное положение.
8. 1. CCi = СВ + BBi + B?Ci = DA + BBi + ADi = DA + ADi + BB\ =
= DDi + BB\. Отсюда | CC\ | < | DDi | + | BB\ |, t. e. CC\ < BB\ + DD\.
2.	AB = AO + OB = 2041 — 2OBi = 2B?Ai (♦), AB = СВ — CA =
= xCAi — yCBi; BAi = CAi — CB\. Из равенства (♦) следует, что
xCAi — yCBi = 2CAi — 2СВ\; (x — 2) CAi = (y — 2) CBi. Отсюда x - 2 и у - 2.
Это значит, что Ai и Bi — середины сторон ВС и АС, т. е. AAi и BBi —
медианы.
§37.
1.	1. 12 см и 8 см. 2. 14 см, 6 см, 10 см.
2.	1. 10 см и 20 см. 2. 22 см, 16 см.
3.	1. 3 см. 2. 5 см, 10 см.
4.	1. 5 см. 2. 13 см, 9 см.
5.	1. 2 см.
6.	1. 8 см.
7.	1. 50 см. Необходимо доказать, что KL параллельна прямым ВС и AD и
находится на равном расстоянии от них. Пусть KL пересекает АВ в точке Р, a CD
— в точке Т. Тогда РТ — средняя линия трапеции. Треугольники ВКА и CLD
прямоугольные, и АВ - 2* КР, CD - 2* LT. Отсюда периметр трапеции равен 50 см.
2. 4 см и 16 см.
8.	1. 18 см и 6 см. 2. 2. Из прямоугольного треугольника DKO (рис. 62) находим
DK- R-/3 и DO-2R, где R — радиус окружности. Из треугольника CPD имеем
DC “ 2R, КС -2R — R VJ. Необходимо учесть, что СМ - СК -2R — R /5, AD - ЗЯ;
ВС -R + 2R — RJ3 = 3R — Ryf3. Так как средняя линия трапеция равна 6 — V5,
3R + 3R- RJ3 .	~ п __
то--------j---------= 6 - V 3. Отсюда R - 2.
§38.
1.	6) 4 см2; 12 см.
2.	б) 6,1 см, 5,1 см, 4,3 см, 13,9 см2.
254
Рис. 62
3.	6) 20 см, 20 см1 2 3 4 5 6.
4.	б) 94,4 см2.
5.	а) Легко доказать, что МВ - KD-2 см и MB\\KD. Значит, MBKD — парал-
лелограмм. Далее проведем высоту ромба DE к стороне АВ. Тогда из треугольника
DBE DE2 - (2 ТУ)2 — BE2, а из треугольника DAE DE2 - 52 — (5 — BE)2. Если
точка Е не попадает на отрезок АВ, то DE2 = 52 — (ЛЕ — 5)2 - 25 — (5 — BE)2,
т. е. 20 — BE2 - 25 — (5 — ЛЕ)2, откуда BE - 2 см. Значит, точки Е и М совпадают
и, следовательно, L BMD - 90е, т. е. MBKD — прямоугольник, б) DM - DE - 4.
Значит, периметр прямоугольника равен 12 см, а площадь 8 см2.
6.	1. 48’35'. 2. 12 см.
7.	1. 12,9 см2. Можно доказать, что треугольники АВС и ADC подобны, причем
«•—» т.е. ЛС2 - BC*AD, откуда АС - 4. Высота СЕ трапеции находится из
AC AD
прямоугольного треугольника ВАЕ.
2.	Пусть угол АВС равен х, тогда L МСН - 180е — х, L МАН - х; так как
сумма углов четырехугольника АМСН равна 360е, то L MAH — L АВС. Известно
также, что две высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам парал-
AM	АН AM	АН „
лелограмма, на которые они опущены. Тогда -хтг = нлн “ ‘йтг- Следова-
С А/	Ad	dU
тельно, треугольники МАН и АВС подобны по двум сторонам и углу между ними.
Их коэффициент подобия равен МН. АС — ЗА. Тогда искомое отношение равно 9:16.
8.	1. 12,9 см2. 2. 4:9. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
839.
1. 1. 60е. 2. 6 см.
2. 1. 90е. 2. 3 дм, 4 дм.
3. 1. 90е. 2. 3 уГ5 см2.
4. 1. 45е. 2. 54 см2.
5. 1. 60е. 2. Внутри трапеции. Пусть ABCD — данная трапеция, в которой
AD- 24 см, ВС-10 см, высота BE равна .17 см. Окружность, описанная около
трапеции, будет также описана около треугольника ABD. Можно доказать, что
АЕ-7 см, ED — 17 см. Тогда угол DBE равен 45е. Отложим на луче ЕА от точки
Е отрезок ЕК, равный 17 см. Тогда Z. ЯВЕ-45е, a L АВЕ -45е. Следовательно,
L ABD<9Q°. Таким образом, очевидно, что треугольник ABD является остроугольным.
Значит, центр окружности, описанной около него, лежит внутри этого треугольника.
6. 1. 60е.
255
2.	Нет, не могут. Пусть BD - х, тогда из прямоугольных треугольников ABD
и BCD находим АВ - 0,5х, AD - 0,5 VJx, ВС - х, CD - х VJ. Если предположить,
что биссектрисы всех углов четырехугольника ABCD пересекаются в одной точке,
то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника, т. е. в этот
четырехугольник можно вписать окружность. Значит, должно выполняться условие
АВ + CD - ВС + AD. Но 0,5х + х уП # х + 0,5 VJx. Значит, наше предположение не-
верно и биссектрисы в одной точке не пересекаются.
7. Примем радиус окружности с центром в точке Oi за 1, а с центром в точке
Ог — за х (рис. 63). Тогда радиус полукруга равен 3, ОО\ - 2, ООг "3 — х. Из
АО1ЕО имеем ОЕ-у/з, а из bOtFO OF-V(3 — х)2 — х2 = V9 — 6х ; EF-
- ОЕ + OF- у[з + V9 — 6х. Рассмотрим А О\КОг (OiKi. OzF): O2O1 - 1 + х, ОгК~
-х— 1, Oi/C-FF-'/з + V9 - 6х.
Тогда, используя теорему Пифагора, имеем (^3 + V9 — 6х)2 - (х + I)2 — (х — I)2.
Отсюда 3 V 3 — 2х - 5х — 6 и 25х2 — 42х + 9-0. Учитывая, что х > |, получаем
8. Пусть в некоторый треугольник MPN вписана окружность и пусть PN - т.
Тогда расстояние от вершины до точек касания окружности со сторонами МР и MN
равно р — т, где р — полупериметр A MPN. В нашем случае, используя этот факт.
имеем
_ АВ + BD + а
BE =-----г----
а,
ВС + BD+ b
EF = | BE- BF | =
AB + BD - a
2
BC + BD — b I _ I b - a I
2	’	2
256
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№ I.
1.	1. 120°, 60°. 3. а) Прямоугольник. 4. Сумма отмеченных углов равна сумме
углов пятиугольника АСЕКТ, т. е. 540°.
2.	3. а) Ромб; б) 40°. 4. Сумма углов выпуклого шестиугольника равна 720°.
Сумма четырех острых углов меньше 360°. Значит, сумма двух оставшихся углов
больше 360°, чего быть не может.
3.	3. 6) Пятиугольник. 4. Сумма отмеченных углов равна сумме углов шести-
угольника ACEHNO.
4.	4. n-угольник может быть четырехугольником, в котором один из углов равен
1°. Докажем, что и - 4. и не может быть равно 3, так как сумма углов треугольника
всего лишь 180°. При и > 5 сумма углов n-угольника не меньше 720°. Тогда и-й
угол будет больше 361°, чего быть не может. Значит, и-4.
№2.
2	э Зл/ 3 э
1.	1. 108 см . 2. 75 см. 3. а) 3 VJ см ; б) —у см . 4. Если равны площади
четырехугольников ABDE и ACDE, то равны и площади треугольников ABD и ACD.
Значит, точки В и С равноудалены от прямой AD, откуда следует, что Z?C||4D.
2.	1. 56 см2. 2. 102 см2. 3. а) 16 см2; б) 4<3 см2.
4. Задача решается аналогично задаче 4 варианта 1.
2	2	120	2
3.	1. 32 см . 2. 75 см . 3. а) -уу- см; б) 15 см . 4. Задача решается аналогично
задаче 4 варианта 1.
4.	1. 150 см2. 2. см2. 3. а) —у см2; б) 3 см2.
№3.
' . «ч » .	. ж,	АО DK АВ АО
1.	1. б) 9:1. 2. б) 3:1. Можно доказать, что 77= = 7777, но ® ’X7F, так как
CZfl СЛ ВВ ОН
АВ 3
луч ВО — биссектриса угла АВЕ. Значит,	— —.
ВВ 2
з
2.	1. а) 15 см; б) 1:9. 2. 13:4. 3. у Задача решается аналогично задаче (1)3.
4
3.	1. б) 4:1. 2. 6) у 3. Треугольники МВК и АВС подобны по двум углам.
„ ВС МВ МВ МО 2
Значит, -77г = -Г77, но	= —, так как ВО — биссектриса треугольника
АВ ВК ВК ОК 3
МВК.
4.	1. а) 1:2; б) 1:9. 2. б) 1:5. 3. Задача решается аналогично задаче 3(3).
257
93ив1>. Г.
№ 4.
2
1. 1. —, 15 мм. 3. а) 45°; б) см. 4*. Пусть внешний прямоугольник имеет
измерения а и Ь (а>Ь), а ширина рамки равна с. Тогда для подобия внешнего и
внутреннего прямоугольников рамки должно выполняться одно из условий:
Ь - 2с а - 2с b - 2с а - 2с ..
—	или —-— = —g—. Можно доказать, что выполнение этих равенств
образовавшегося прямоугольника и данного
а а	а	b „
2^ = у или 2^ = д • Последнее условие вы-
b а
невозможно.
4	г~
2.	1. 20 дм, у. 3. а) 3 см; б) 3 V3 см. 4*. Пусть данный прямоугольник имеет
измерения а и Ь. Тогда для подобия
должно выполняться одно из условий:
полняется при a- V2b, что говорит о том, что образовавшийся и данный прямо-
угольники могут быть подобными.
V2	z-
3.	1. 2 дм, ~2~. 3. а) 45°; б) 4V2. 4*. Пусть квадрат со стороной а разрезан
на два прямоугольника со сторонами а, b и а — Ь,а. Для подобия этих прямоугольников
о а а а - b
должно выполняться одно из условий: у e д _ у или у = —-—. Можно доказать.
что эти равенства невозможны.
3	28
4.	1. 15 см, у. 3. а) 12 см; б) см. 4*. Пусть прямоугольник со сторонами
а и Ь разрезан на прямоугольники со сторонами Ь, с и а — с, Ь. Для того чтобы
образовавшиеся прямоугольники были подобны, должно выполняться одно из условий:
с а — с Ь а — с _
-г = —г— или — = —г—. Последнее условие может выполняться, например, при
о b со
а - 2,5, b - 1, с - 2, что говорит о том, что образовавшиеся прямоугольники могут
быть подобными.
№5.
1.	I. 1 см. 2. 30°, 12 см. 3. а) 5 см; б) 4,1 см. 4. Через точку О проведем лучи
АО и ВО, пересекающие окружность в точках М и Н соотвественно. Пусть прямые
АН и ВМ пересекаются в точке О. Можно доказать, что L АНВ - Z. АМВ - 90°.
Тогда искомый перпендикуляр лежит на прямой СО.
2.	1. 2 см. 2. 2 см, 90°, 45". 3. а) 4 /3 см; б) 15° или 75°. 4. Построим
окружность с диаметром BD-ЕТ и окружность с центром в точке В и радиусом,
равным отрезку РО. Пусть вторая окружность пересекает первую в точках А и С.
Четырехугольник ABCD будет искомым.
3.	1. >/з см. 2. 4 см, 135°. 3. а) 22^2 см; б) 72 V2. 4. Задача решается
аналогично задаче 1 (4).
4.	1. 4^2 см, 4 см, 4 см. 2. 4 см, 15°. 3. а) 4 см; б) 30°, 150°. 4. Задача
решается аналогично задаче 2 (4).
258
№6.
1. 2. a) MBi-^MAi + ~MC\ 6) CM = |сЛ + \cB\ в) MAi = AB + O AC\
Л*	L	и	□	и
-♦ 1	1
г) пусть точка Т — середина отрезка ВВ\. Тогда АТ = — АВ + — АС. С другой
Z	4
-*	2 -*	1 -*	-* 4 -»
стороны, AAi = у АВ + — АС.	Следовательно, ЛЛ( = — АТ.	Значит,	А,	Т,	Ai	лежат
на одной прямой.
2.	2. а) АС = АВ + | AD\ б)	ВО	= | AD - |лЪ; в)	АО =	1,5 DM	-	1,5	DE\
г) de = \da + \db = \da	+ I	(DC	+ ^DA\ = ^DA +	~DC.
At	A,	At	\	i / Л	2t
2	1	-♦	-♦
Значит, DE < — DA + -^DC, так как векторы DA и DC иеколлинеарны.
3.	2. a) AM = AB + | AD, 6) BO = | BA + | BC\ в) ОD = ~ АР - ~ ЛЛ7;
X	о	О	О	w
-♦	-♦	-♦	1 -♦	2 "♦	1 -♦	2 -♦	1-*
г) OP = AP - AO = AD +4 AB - £ AB - 4 AD = AD - 4 AB. Значит,
Z 3	3	3	6
2	1	-♦	-»
OP < — AD + — AD, так как векторы AD и AB неколлинеарны.
4.	2. a) DE = |OC + | OD; 6) BO = AD - \ AB\ в) CO = - | AB - | AD\
L L	3	3	3	6
-»	1 -*	4 -•	-»	-»
г)* OM = — О A + — ОЕ. С другой стороны, OD = О A + 4OE. Следовательно,
OD - SOM. Значит, точки О, D, M лежат на одной прямой.
№ 7.
1. 1. а) 14 уГЗ\ б) 120°, 60°; в) 7; г) нет; д) нет; е) да; ж) СА = CD + j СВ.
2. Примите данный отрезок за единицу и постройте прямоугольный треугольник
с катетами 1 и 2.
г— г—	-*!-•-*	V13
2.	1, а) 4 v3; б) 3v3; в) 4:1; г) МВ =-^ЛС + НВ\ д) можно; е) —ру;
ж) 2/3—3.
2.	Пусть дан отрезок РО. Отложим на некоторой прямой последовательно два
отрезка АВ - ЗРО и ВС - 4РО. Построим полуокружность с диаметром АС. Через
точку В проведем прямую, перпендикулярную АС, которая пересечет полуокружность
в точке D. Отрезок BD будет искомым.
3.	1. а) 30°, 120°, 60°; б) ^у-, 2<3; в) -6у^-; г) 90°, 60°, 90°, 120°;
-*	3 -*	1 -*
ж) ОМ = — OD + — ОС. 2. Задача решается аналогично задаче 2 (2).
4	4
4.	1. а) 1:9; б) 4; в) 3,5; г) нет; д) лЬ = 177? - СЛ; е) ж) 90°, 135°,
о	2о
135°. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету, равному данному отрезку
и прилежащему углу в 30°, тогда другой катет будет искомым отрезком.
259
9КЛАСС
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф	Тема
1 2 3	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Координаты вектора Связь между координатами вектора и координатами его начала и кошка. Простейшие задачи в координатах
4 5 6 7 8 9 10 11 12	Применение метода координат к решению задач Уравнение окружности Уравнение прямой Использование уравнений окружности и прямой при решении задач Площадь треугольника Теорема синусов Теоема косинусов Решение треугольников Скалярное произведение векторов, скалярное поизведение векторов в ко-
13	Свойства скалярного произведения векторов. Применение скалярного про- изведения векторов к решению задач
14	Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника. Окружность, вписанная в правильный многоугольник
15	Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его сто- роны и радиуса вписанной окружности. Построение правильных много- угольников
16 17 18 19 20	Длина окружности Площади круга и кругового сектора Понятие движения. Осевая и центральная симметрии Параллельный перепое Поворот
262
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Разложение вектора
1.
1. На рисунке 1 ABCD — трапе-
ция, у которой АВ - CD = 4,
ВС = 2, AD = 5. Найдите, если
это возможно, такое число Л,
чдо:
1) ВС = kAD\ 2) АВ = kDC.
Рис. 1
2. В треугольнике АВС точка М
— середина стороны ВС, а Е —
середина отрезка AM. Разле-
йте вектор АЕ по векторам
АВ = а и АС = Zt
2.
1. На рисунке 2 ABCD — трапе-
ция, у которой ЛС = В£)=15,
ВС = 7, AD = 20. Найдите, если
это возможно, дакое число т,
что: \)DA = mBQ
2) АС = mDB.
2. В треугольнике ЕМК точка Р —
середина стороны EK, а Т — се-
редина МК. Разложите вектор
MJ3 по векторам ME = т и
МТ = п.
Рис. 2
263
3.
1. В трапеции ABCD AD и ВС — основания. АС и BD пересекаются в
точке О, причем: О£ = 3 : Найдете, если возможно, такое
число Л, что: 1) AD = кВС‘, 2) СО = кАО.
2. В параллелограмме ABCD ME QD приче^СЛ/: MD = 3 : 2. Разло-
жите вектор DM по векторам АС = а и DA = &.
1. В треугольнике АВС медианы BE и СК пересекаются в точке О.
Через точку О проведена прямая, параллельная АС и пересекаю-
щая стороны АВ и ВС^в точках Р и Найдете, если возможно, та-
кое число к, что: 1) ТР = кАС\ 2) ВО = кОЕ.
2. В параллелограмме ABCD КЕАВ, причем АК : КВ = 4:3. Разло-
жите вектор КВ по векторам AD = m и АС = п.
1. В треугольнике АВС ЕЕ^ ВС, прцчем BE : ЕС = 3 : 5. Разложите
вектор АЕ по векторам АВ = аи АС = 2?
2. В треугольнике ABC D G АВ и Е G ВС, причем	Ис-
пользуя векторы, докажите, что DE|| АС.
6.
1. В треугольнике МРО КЕ$4Р, причем МК : КР -3:7. Разложите
вектор ОМ по векторам ОК = /ли ОР = п.
2. В параллелограмме ABCD ЕЕ АВ, РЕВС, TECD, MEAD, причем
АЕ : ЕВ = AM : MD = 2: 5 и ВР : РС = DT : ТС = 3 : 7. Используя
векторы, докажите, что MEfPT.
7.
1. В треугольнике АВС ЕЕВС и DEAC, причем и - Я, АЕ
ВО
пересекает BD в точке О. Найдите 2. В трапеции ABCD, где
AD и ВС — основания, МЕАВ и NECD, причем MN^AD. Докажи-
те, что если BN||AfD, то и МС ||A/V.
264
8.
1.
В треугольнике MET AGMT, ВЕ^ЕТ, АЕ и МВ пересекаются в точ-
ке О, причем тту =
ОА
4 МА 2 „ „ ЕВ
3 й ~АТ 'у Найдите—.
2. В параллелограмме ABCD NGAC и MEiAD, причем AN: NC =1:5
и AM: MD =1:4. Докажите, что точки В, N и М лежат на одной
прямой.
265
§ 2. Координаты векто
1.	Запишите координаты векторов:
1) а=57*—<2) Я= — 3/?
2.	На рисунке 3 ОАВС — квадрату ОВ = 2/2. Разложите вектор ОВ
по координатным векторам i и /.
3.	Даны два вектора а { — 2; 3} и 2Г{1; 1}:
1)	найдите координаты вектора а + 1г,
2)	будут ли векторы а 4- ?Ги ?{ — 2; 8} коллинеарными?
2.
Рис. 4
1. Запишите координаты векторов:
1) т = —3Z*+7/T2) /Г= —4гГ
2. На рисунке 4 ОРТЕ — квадрат,
ОТ - SJ7!. Разложите вектор
ОТ по координатным векторам 1
Л 3. Даны два вектора р { — 3; 4} и
Г{1; 2}-
1) Найдите координаты вектора
р-г	_ „
2) Будут ли векторы р — Ги
к {4; — 2} коллинеарными?
266
3.
1.	Докажите, что лучи, задающие векторы а = 7*4- /*и 2Г= г*— вза-
имно перпендикулярны.
2.	Ца р^сунк^ 5 ОА = ОВ - 5, ОМ ~ 3 (ABfOx). Разложите векторы
АВ,О В и ОА по координатным векторам г*и /Г
3.	Даны два вектора а { — 2; 4}и b {1; 3}
1) Найдите координаты вектора т = 2а — 3?Г
2) Сонаправлены или противоположно направлены векторы т и
п {— 14; —2}?
1.	Докажите, что лучи, задающие векторы т = — i + ]м п = Z*+ л
взаимно перпендикулярны.
2.	Ца ри^унке_£ ОМ = ОР= 17, ОК=8 (Л/РЦОУ). Разложите векторы
МР, ОМ и ОР по координатным векторам 7*и /Г
3.	Даны два вектора 7*{3; — 2} и /?{ — 4; 1}.
1) Найдите координаты вектора а = 37*— 2р.
2) Сонаправлены или противоположно направлены векторы а и
£{ —34; 16}?
267
5.
1. а= "И — 3/, ?Г= Z*+ 2 Построй-
те вектор, равный сумме векторов
а и £ Какие координаты имеет
этот вектор?
2. На рисунке 7 треугольник ОАВ
равносторонний со стороной,_рав-
н§й а. Разложите векторы ОМ и
BN по координатным векторам 7*и
/Г если М и N — середины сторон
АВ и ОА.
*3. а { — 1; 5}, b {т; 2}. При каких
значениях т эти векторы будут
коллинеарными?
6.
1.	т = 3 i — 4 /, п = — 51 + 6/. Постройте вектор, равный разности
векторов тип. Какие координаты имеет этот вектор?
2.	На рисунке 8 треугольник QAB равносторонний со стороной, рав-
ной т. Разложите векторы АЕ и BF по координатным векторам i и
если F и Е — середины сторон ОА и ОВ.
3.	а {4; — 3}, /Г{т; 0}. При каких значениях т векторы а и ^кол-
линеарны?
268
1.	Даны три вектора Z? {3; — 1}, ^1; — 2} и с{ — 1; 7}. Найдите
разложение вектора р = а + &+ ?по векторам а и Zt*
2.	На рисунке 9 AM = 5, МВ =12. Разложите вектор AM по коорди-
натным векторам г*и /Г
3.	Цекторы АВ и CD заданы своими координатами АВ {3; 4},
CD { — 2; 1}. Найдите координаты вектора — АВ + 4DC.
8.
1.	Даны три вектора т { — 1; 2},^Д4;_*— 2} и 7*{2; — 3}. Разложите
вектор а = т + 27*по векторам т и ~р.
2.	Ца рисунке 10 АВ = ВС = 5, АС = 6, AF±BC. Разложите вектор
КА по координатным векторам 7*и /Г
Рис. 10
3.	Векторы АВ и CD заданы своими координатами ЛВ{2; — 1}
и CD {3; 1}. Найдите координаты вектора 2ВА + DC.
269
§ 3. Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца.
Простейшие задачи в координатах
1.
1.	Точка А лежит на положительной полуоси Оу, а точка С — на по-
ложительной полуоси Ох.
1)	Найдите координаты вершин трапеции ОАВС, если ОА = АВ = 3,
ОС = 5.
2)	Каковы координаты середин диагоналей трапеции?
3)	Чему равно расстояние между этими серединами?
2.	а= 2i — 5^Т)= —37* *+ Найдите |<Г+ #].
2.
1.
1)
2)
3)
2.
Точка А лежит на положительной полуоси Оу, а точка С — на от-
рицательной полуоси Ох.
Найдите координаты вершин трапеции ОАВС, если ОА = 4,
ОС = 2, АВ - 8.
Каковы координаты середин диагоналей трапеции?
Чему равно расстояние между этими серединами?
= — 27*+ 3* гГ= 37*+ 5лНайдите |in — nj.
3.
Рис. 11
1. На рисунке 11 ОА = 5, ОВ =
= 4уГ2. Луч ОВ составляет с по-
ложительным направлением
оси Ох угол 45°. Точка А удале-
на от оси Ох на расстояние,
равное 3.
1) Найдите координаты точек А
и В.
- 2) Найдите длину отрезка АВ.
*3) Найдите длину медианы тре-
угольника АОВ, проведенной
из вершины О.
2. Даны точки А ( — 1; 3) и
В (1; 1). На оси Ох найдите точку, удаленную от точки А на рас-
стояние, в два раза большее, чем до точки В.
270
1.	На рисунке 12 ОЛ = 8/2,
ОВ « 10. Луч ОА составляет с от-
рицательным направлением оси
Ох угол 45°, а точка В удалена
от оси Оу на расстояние, равное
8.
1)	Найдите координаты точек А и
В.
2)	Найдите длину отрезка АВ.
3)	Найдите длину медианы тре-
угольника АОВ, проведенную из
вершины О.
2.	Даны точки М (3; — 1) и
Р ( 8; 2). На оси Оу найдите точ-
ку, удаленную от точки М на
расстояние, в два раза меньшее,
чем до точки Р.
Рис. 12
5.
1. Даны точки А (2; 3), В (5; 5), С (8; 3) и D (5; 1). Докажите, что
отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся по-
полам.
2. Треугольник F задан координатами своих вершин: А (1; 3),
В ( — 1; 1), С (2; 2). Определите вид треугольника. Найдите коор-
динаты центра описанной вокруг треугольника окружности и ее
радиус.
6.
1. Даны точки Л ( — 4; — 6), В (2; 8), С (16; 14) и D (10; 0). Дока-
жите, что отрезки АС и BD пересекаются и взаимно перпендику-
лярны.
2. Треугольник задан координатами своих вершин А (1; 0), В (2; 1),
3 ““ /3 /3 + 1
С (--2 »—2—Найдите радиус описанной вокруг треуголь-
ника окружности.
271
7.
1.	Точки А к В имеют координаты А (1; 2), В (7; 10). Найдите коор-
динаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 1:3, считая от
точки А.
2.	Лежат ли точки А ( — 3; 2), В (2; 2) и С (2; 14) на одной прямой?
3.	Найдите координаты единичного вектора ? (| ?| =1), сонаправ-
ленного с вектором а = ЗГ+ 4j.
8.
1.	Точка М делит отрезок РК в отношении 3:1, считая от точки Р.
Найдите координаты точки Р, если заданы координаты точек М и
К: М (2; —4), К (3; 5).
2.	Лежат ли точки М (1; — 2), Я (3; — 5) и Р (5; — 8) на одной
прямой?
3.	Найдите координаты единичного вектора ?| =1), противопо-
ложно направленного вектору т = 5i — 12/Г
272
§ 4. Применение метода координат к решению задач
В треугольнике АВС проведена высота ВН. Найдите длину медианы,
проведенной из вершины А, если LABH = 45°, ВН = 6, НС = 8.
В треугольнике МКР с углом Af, равным 45°, высота КН делит сторо-
ну МР на отрезки, длины который 4 и 6, считая от вершины Af.
Найдите длину медианы, проведенной из вершины Af.
В треугольнике АВС АВ = 4, АС = 6, LA = 60°. Найдите медиану, про-
веденную из вершины А.
В треугольнике КНР КН = 8/7, КР = 18, LK = 45°. Найдите медиану,
проведенную из вершины К.
В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), АС = 3, АВ = 5,
AM — биссектриса угла САВ. Найдите длину медианы ME тре-
угольника АМВ.
В прямоугольной трапеции ABCD AD и ВС — основания, LBAD =
= 90°,ЛВ = AD = 4, АС пересекает BD в точке О, причем ВО : OD =
= 1:3. Найдите длину медианы СЕ треугольника BCD.
Докажите методом координат, что медианы треугольника пересека-
ются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вер-
шин треугольника.
273
8.
Дан прямоугольник ABCD и точка М. Докажите, что равенство
МВ2 + MD2 = МЛ2 4- МС2 не зависит от положения точки М.
274
1.
1. Окружность задана уравне-
нием
(х — 2)* 1 2 + (у + 4)2 = 20.
1)	Найдите координаты центра
этой окружности и ее радиус.
2)	Проходит ли эта окружность
через начало координат?
3)	На рисунке 13 окружность
касается осей координат,
OOi = 2/2. Напишите урав-
нение этой окружности.
2.
1. Окружность задана уравне-
НИ СМ
(х + 1)2 + (у—2)2 = 40.
1) Найдите координаты центра
этой окружности и ее радиус.
2) Пересекает ли эта окруж-
ность ось Ох в точке
(5; 0)?
2. На рисунке 14 окружность
касается осей координат,
ОО\ = 3/2. Напишите урав-
нение этой окружности.
Рис. 13
275
3.
1. Окружность задана уравнением (л 4- I)2 + (у— 2)2 =16. Дока-
жите, что отрезок АВ, где А ( — 1; 6) и В ( — 1; — 2), является
диаметром этой окружности.
2. На рисунке 15 окружность касается оси Ох в точке F, а луча ОМ
— в точке £; LFO\E= 120°, ОО\ » 273. Напишите уравнение этой
окружности.
Рис. 15
4.
Окружность задана уравнением
(х 4- З)2 4- у2 = 9. Является ли
отрезок МН, где М ( — 1; 75)
и Н ( — 5; — 75), диаметром
этой окружности?
На рисунке 16 окружность ка-
сается оси Оу в точке К, а луча
ОЕ — в точке Р, LKOP = 60°,
КР = 273. Напишите уравне-
ние этой окружности.
276
5.
1. Докажите, что линия, заданная уравнением л* 1 2 — 8х + у2 + 15 = 0,
есть окружность. Каково взаимное положение этой окружности и
окружности (х — 2)2 + (у + I)2 = 4.
2. В прямоугольной системе координат треугольник АВС задан коор-
динатами своих вершин: А ( — 4; — 1), В (0; 2), С (4; — 1). На-
пишите уравнение окружности, вписанной в этот треугольник.
6.
1. Докажите, что линия, заданная уравнением х2 + у2 — бу + 5 = 0,
есть окружность. Каково взаимное положение этой окружности и
окружности (х — 4)2 4- у2 = 9?
2. В прямоугольной системе координат треугольник АВС задан коор-
динатами своих вершин. Л (1; 3), В (1; — 3), С ( — 3; 0). Напи-
шите уравнение окружности, описанной около этого треугольника.
7.
1. В квадрат вписана окружность. Докажите, что сумма квадратов
расстояний от любой точки окружности до вершин квадрата есть
величина постоянная.
2. Дана окружность х2 + у2 — 4х — 5 = 0и точка С (5; 4). Напишите
уравнение окружности, имеющей центр в данной точке и касаю-
щейся данной окружности внешним образом.
8.
1. Около квадрата описана окружность. Докажите, что сумма квадра-
тов расстояний от точки окружности до вершин квадрата не зави-
сит от выбора точки на окружности.
2. Дана окружность х2 + у2 — 4х — 2у — 11=0 и точка М (3; 1).
Напишите уравнение окружности, имеющей центр в данной точке
и касающейся данной окружности внутренним образом.
277
1.
1. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (9; 3) и
перпендикулярную оси Ох.
2. Треугольник задан координатами своих вершин: А (2; —6),
В (4; 2) и С (0; — 4). Напишите уравнение прямой, содержащей
среднюю линию треугольника, которая параллельна стороне АС.
2.
1.	Напишите уравнение прямой, проходящей через точку В (— 3; 10)
и перпендикулярную оси Оу.
2.	В треугольнике АВС РК — средняя линия треугольника, парал-
лельная АВ, Р (2; 3), X ( — 1, 2) и С (0; 0). Напишите уравнение
прямой, содержащей сторону АВ.
3.
1. Даны три последовательные вершины параллелограмма ABCD.
А (2; 2), В (4; 8) и С ( — 6; 10). Напишите уравнение прямой AD.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у + х = 0,
у — х + 6 = 0 и осью Ох.
1. Даны три последовательных вершины параллелограмма МРКТ
М ( — 1; 2), Р (3; 1) и К (1; — 2). Напишите уравнение прямой
РТ.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у — х —
— 4 = 0, у + х = 0 и осью ординат.
5.
1. Составьте уравнение прямой, если точка С (3; 4) служит основа-
нием перпендикуляра, проведенного из начала координат на эту
прямую.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми
у — х = 0, у + х = 0иу — 2х + 4 = 0.
278
6.
1. Прямая у + 2х— 1=0 пересекает ось Оу в точке А. Напишите
уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной
к данной прямой.
2. Найдите площадь треугольника, ограниченного прямыми у + х =0,
у + 2х — 4 = 0 и у — Зх — 4 = 0.
1. При каких значениях к прямая у — кх — 5 = 0 удалена от начала
координат на расстояние, равное 3?
2. Пусть М — точка пересечения медиан треугольника ЛВС,
А (—1; 2), В (2; 3) и М (1; 2). Напишите уравнение прямой АС и
найдите координаты вершины С.
8.
1. Прямая у — тх — 4 = 0 пересекает оси координат в точках Л и В.
При каких значениях т длина медианы ОЕ треугольника АОВ
равна 7?
2. Даны вершины треугольника ЛВС: Л (4; 6), В ( — 4; 0),
С ( — 1; — 4). Составьте уравнение биссектрисы угла В.
279
§ 7. Использование уравнений окружности и прямой
при решении задач
ШНМНМННМНЙННВШННМННМ
1. Выясните взаимное положение прямой х=19 и окружности
(х — 7)* 1 2 4- (у + 6)2 = 81.
2. Найдите множество точек, удаленных от окружности х2 4- у2 = 16
на расстояние, равное 3.
1. Выясните взаимное положение прямой у =20 и окружности
(х — 5)24-(у— 10)2 = 100.
2. Даны две точки А (2; 0) и В (6; 0). Найдите множество всех таких
точек Л/, для которых МА = МВ.
1. Выясните взаимное положение прямой х +у — 3 = 0и окружности
х2 4-у2 = 4.
2. Даны точки А (0; 0) и В (0; 2). Найдите множество таких точек М,
что МВ = 2МА.
4.
1. Выясните взаимное положение прямой у — х — 4 = 0 и окружно-
сти х2 + у2 = 8.
2. Даны точки А ( — 1; 2) и В (2; — 2). Найдите множество точек М
таких, что МА = МВ.
1. Прямая 2у + х — 4 = 0 пересекает окружность х2 + у2 = 5. Найдите
длину хорды, которая отсекается этой окружностью на прямой.
2. Даны две точки Л и В, расстояние между которыми равно 4. Най-
дите множество всех точек М, для которых МА2 4- МВ2 =10.
6.
1. На прямой 4у + Зх — 12 = 0 окружность с центром в начале коор-
динат отсекает хорду, длина которой равна 2. Напишите уравнение
этой окружности.
2. Даны две точки А и В, расстояние между которыми равно 4. Най-
дите множество точек М, для которых МА2 — МВ2 — 4.
280
7.
1. Составьте уравнение окружности, если ее центр находится в точке
С (5; 4) и окружность отсекает от прямой х + 2у — 3 = 0 хорду,
длина которой равна 8.
2. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а и b (АС = 90°).
Найдите множество точек М, для которых МА2 + МВ2 = 2МС2.
8.
1. Прямая у + 2х — 4 = 0 пересекает окружность (х — 4)2 + (у — 2)2 =
= 16. Найдите длину хорды, которая отсекается этой окружностью
от прямой.
2. Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами а и b (LC = 90°).
Найдите множество точек М, для которых МА2 — МВ2 = 2МС2.
281
1. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая
сторона равна 2 см, а угол при основании 15°.
2. Найдите сторону ромба, если его площадь равна 877см* 1 2 , а угол
равен 45°.
1.	В треугольнике ABC Z.ABC = 120°, АВ = 6. Площадь треугольника
равна 675. Найдите ВС.
2.	В параллелограмме ABCD ВС**3>ГЗ см, LBAD = 30°, BD**BC.
Найдите площадь параллелограмма.
3.
1. В треугольнике АВС АВ^З, ВСж4, BD — биссектриса,
LABD - а. Найдите площадь треугольника ABD.
2. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны
10 см и 8 см и угол между ними равен 60°.
1. В треугольнике АВС АС = 8, ВС = 6, Z.C-G, АА, и ВВХ медианы
треугольника. Они пересекаются в точке О. Найдите площадь тре-
угольника АОВХ.
2. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 10 см, а угол между ни-
ми — 45°. Найдите площадь параллелограмма.
5.
1. В треугольнике ABC AAi и СС\ — медианы. Они пересекаются в
точке О. AAj = 9 см, СС| - 12 см, LAOC = 120°. Найдите площадь
треугольника.
2. Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) вписана в окружность
так, что основание AD — диаметр окружности. Диагональ трапе-
ции равна 10 см, а ее площадь — 25 см2. Найдите углы трапеции.
282
6.
1. В треугольнике ABC АЛ] и CCj — медианы, они пересекаются в
9
точке О, АЛ] = 2, CCi = 6. Площадь треугольника АВС равна 9.
Найдите LAOC.
2. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания)
AD - т, BDJ.AB, LBAD = a. Найдите площадь трапеции.
7.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке О. SBoc = 20 см* 1 2, SCod = 40 см2, SAOD = 60 см2, АВ - 12 см,
ОА - 10 см, LAOB > 31°. Найдите LBAO.
2. В треугольнике АВС АВ = а, ВС - b, LABC - а. Точка D лежит на
стороне AC, LABC=fl. Найдите BD.
8.
1. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в
точке О, SBoc = 30 см2, SCod “ 60 см2, SAOD = 90 см2, ОА = 10 см,
ОВ - 9/2 см, LBAO + LAOB < 46°. Найдите LAOB.
2. В треугольнике АВС точка D лежт на стороне AC, BD = т, ВС =
- п, LABD - a, LDBC =fl. Найдите длину стороны АВ.
283
§ 9. Теорема синусов
1. В треугольнике ABC А А = 45°, Z.C = 15°, ВС = 4/7). Найдите АС.
2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) АА=а, АС = Ь,
АЕ — биссектриса. Найдите АЕ.
2.
1. В прямоугольном треугольнике ABC (ZC = 90°) CD — биссектри-
са, ZX = 15°, АС = тГЗ. Найдите AD.
2. В остроугольном треугольнике ABC BD±AC, АА = а, АВ BD =
» Л. Найдите АС.
1. В параллелограмме ABCD диагональ АС разбивает угол А на два
угла: а и /?; АС = d. Найдите площадь параллелограмма.
2. В треугольнике АВС А А = 10°, АС = 20°, АС = 10 см. Найдите ра-
диус окружности, описанной около этого треугольника.
1. В равнобедренной трапеции ABCD (AD и ВС — основания),
ABCA=fl, ACDA =а, AD = т. Найдите площадь трапеции.
2. Треугольник АВС вписан в окружность, радиус которой равен
2/3, А А = 80°, АС = 40°. Найдите АС.
1. В треугольнике АВС АА = а, АС = у. Точка D лежит на стороне
ВС, ADAC=fl. Найдите отношение площадей треугольников ABD
и ADC.
2. В треугольнике АВС АВ = 5, ВС = 9, BEJLAC, ВЕ = 3 (А — Е — С).
Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
6.
1. В треугольнике АВС АВ = ВС, BD — высота. Через середину высо-
ты проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е
и F соответственно. Найдите EF, если BD = h, AABC=fl и
ABEF = а.
2. Треугольник АВС вписан в окружность, радиус которой равен 5,
BDAAC (А — D — С), АВ = 5, AD = 3. Найдите ВС.
284
7.
1. Из вершины А равностороннего треугольника АВС проведен луч,
пересекающий сторону ВС и на нем выбрана некоторая точка Л/,
LAMB = 20°, LAMC = 30°. Найдите LMAB.
2. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны т и п, а при-
лежащие к основанию т углы равны а и ft.
8.
1. Угол при вершине В, противолежащий основанию АС равнобед-
ренного треугольника ЛВС, равен 20°. На стороне АВ выбрана точ-
ка D так, что LACD = 50°, а на стороне ВС — точка F так, что
Z.B4C = 60°. Найдите LAFD.
2. Около треугольника ЛВС описана окружность, ВС = а, Z.B = tz,
LC* (5. Биссектриса угла Л пересекает окружность в точке К. Най-
дите АК.
285
1. Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 120°, если
две другие стороны равны 6 см и 10 см.
2. Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треу-
гольник, стороны которого равны 3, 5, 7?
2.
1.	Найдите сторону треугольника, лежащую против угла в 135°, если
две другие стороны равны 2/2 см и 3 см.
2.	Остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треу-
гольник, стороны которого равны 4, 5, 6?
3.
1. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине В равен
120°, АС = 2/7Т. Найдите длину медианы AM.
2. Стороны треугольника равны 5, 7 и 8. Найдите угол, лежащий
против средней по величине стороны.
1. В параллелограмме ABCD AD-*2, LBAD = 6Q°, BE±AD, BE =
- 2/3. Найдите длину большей диагонали параллелограмма.
2. Стороны треугольника равны 3, 5 и 7. Найдите наибольший угол
треугольника.
5.
1. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС - 5. Площадь треугольника равна
5уГЗ. Найдите высоту, опущенную из вершины В, если
cos Z-ABC < 0.
2. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус описан-
ной около треугольника окружности.
286
6.
1. В треугольнике АВС АВ = 4>Г5,ВС - 3. Площадь треугольника рав-
на 3/3. Найдите радиус описанной около треугольника окружно-
сти, если ее центр лежит внутри треугольника.
2. Стороны треугольника равны 25, 39, 56. Найдите высоту, опущен-
ную на большую сторону.
1. Пусть CD — диаметр окружности с центром в точке О и АВ — па-
раллельная этому диаметру хорда. На диаметре CD выбрана точка
М. Докажите, что сумма МА1 2 + МВ2 не зависит от положения хор-
ды АВ.
2. Докажите, что в любом треугольнике углы А, В и С связаны соот-
ветственно соотношением:
cos2 А = cos2 С + sin2 В - 2sin A sin В cos С.
1. Дан угол ВАС. Внутри него выбрана точка Л/, удаленная от сторон
угла на расстояния а и Ь. Найдите ЛМ, если LВАС - а.
2. Докажите, что в любом треугольнике углы А, В и С связаны соот-
ветственно соотношением:
2 sin A sin В cos С - 1 = cos2 С — cos2 А — cos2 В.
287
§11. Решение треугольников
1.
1. В треугольнике ABC £ = 0,3; ZX = 32°; LB = 10°. Найдите неизве-
стные элементы треугольника.
2. В треугольнике АВС а = 28, b = 35, с = 42. Найдите угол, лежащий
против меньшей стороны.
1.	В треугольнике ABC b = 18; с = 12; LA = 50°. Найдите неизвестные
элементы треугольника.
2.	В треугольнике ЕКР ЕР = 0,75', LP = 40°, LK = 25°. Найдите РК.
3.
1.	В треугольнике АВС LA = 25°30' ; b = 10,8 ,ВЕ ± АС ; BE = 7,6.
Найдите неизвестные элементы треугольника.
2.	В треугольнике ABC LA = 52°, LB = 70°. Радиус описанной около
треугольника окружности равен 7. Найдите площадь треугольника.
4.
1.	В треугольнике АВС а = 3,9, b = 4,1, с = 2,8. Найдите неизвестные
элементы треугольника.
2.	В треугольнике АВС а-20, £ = 48. Радиус описанной около тре-
угольника окружности равен 25. Найдите площадь треугольника.
5.
1. В треугольнике АВС а + £ = 21, LA = 64°, LB — 50°. Найдите неиз-
вестные элементы треугольника.
2. В треугольнике АВС ВС = 3,4, LABC = 130°. Площадь треугольни-
ка равна 3,6. Найдите АС.
6.
1. В треугольнике АВС а — £ = 0,85, LA = 112°, LB = 36°. Найдите
неизвестные элементы треугольника.
2. В треугольнике АВС АВ = 2,1, ВС = 3,2, LABC = 53°. Найдите ра-
диус окружности, описанной около треугольника.
288
1. В параллелограмме ABCD AB = 27,1, ЛС = 34,5, LCAD = 36°15'.
Найдите периметр параллелограмма.
2. В четырехугольнике ABCD АВ - 3, ВС ~ 5, CD = 6, AD = 4, AC = 7.
Диагонали пересекаются в точке О. Найдите LAOB.
8.
1. В параллелограмме ABCD ЛС = 28,3, CD “25,7, LBCA = 55е30'.
Найдите площадь параллелограмма.
2. ABCD — выпуклая ломаная линия. АВ = 4, ВС - 5, CD = 7,
LABC “110°, LBCD= 140°. Найдите расстояние между точками А
и D.
ЮЗивБ.Г.
289
Г
§ 12. Скалярное произведение векторов,
скалярное произведение векторов в координатах
ЖЖ®>> у- ? ’ Ч>:Ж ЖЖЖЖЖ : ;
1. В квадрате ABCD сторона равна 1. Диагонали пересекаются в точ-
ке*О. Црйдите_£каляуэные произведения:
1) АО • BD; 2) СО • CD; 3) АВ  DB.
2. Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами ~а и
3£ если а{ — 1; 3}, ?{2; 1}.
1.	Сторона равностороннего треугольника АВС равна 1, MN — сред-
ня^ линря (Л/ТУЦЛО^Найди^е ск^тярные произведения:
1) MN • СЛ; 2) NM • СВ; 3) АС • СВ.
2.	Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами т и
- ^п, если т (3; — 1), п (2; 4).
3.
1.	В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) BD — медиана,
E^BD^AC = %±BD = 3. Нац^итескалярные произведения:
1) АВ  АС; 2) АВ • BD; 3) BE • СЛ.
2.	Прямая задана двумя точками Л (4; — 7) и В ( — 2; 3). Исполь-
зуя микрокалькулятор, найдите угол между прямой АВ и положи-
тельным направлением оси Ох.
4.
1.	Сторона ромба ABCD равна 10, диагональ АС равна 16, FE.AC,
скдлярныс^прои^ведения:
1) АВ • АС; 2) АВ - BD; 3) KD • FC.
2.	Прямая задана двумя точками Р( — 4; 6) и Т (2; — 3). Используя
микрокалькулятор, найдите угол между прямой РТ и положитель-
ным направлением оси Оу.
290
5.
1. В прямоугольной трапеции ABCD (AD и ВС — основания)
LA = 90°, AD = 6, ВС = 2, АВ = 3. Найдите скалярные произведе-
нця:	_
1) ВА • CD; 2) AD • DC; 3) ВС • DA.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), А (х; 3), В (1; 1)
и С ( — 2; 4). Используя микрокалькулятор, найдите угол между
медианой СЕ и гипотенузой АВ.
6.
1. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС соответст-
венно равны 15 и 5, CD= 13, CE1.AD. Найдите скалярные произ-
ве^ени^:	_>	_>	_>	_>
1) DC • DA; 2) СЕ • АВ; 3) ВС - AD.
2. В четырехугольнике ABCD А(1; —3), В (х; —1), С (2; 1),
D (1; 2), AC±BD, М— середина АВ. Используя микрокалькуля-
тор, найдите угол между прямыми DM и DA.
1.
1. В прямоугольной трапеции ABCD LA- 90°, AJJ и ЦС основа-
ния^ _*AD ВС - 3. Найдите АВ  ВС + ВС • CD +
+ DA • АВ + CD • DA .
2. В треугольнике АВС А (3; 2), В (4; 5) и С (7; 10). Найдите высоту,
опущенную из вершины А.
8.
1. ^равцрбедценнор традеци^АВСр ADji ВС — основания. Найдите
АВ • ВС + ВС  CD + CD • DA + DA • AB, если разность оснований
равна т.
2. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин
А (—1; 2), В (1; — 2), С (2; 0) и D (1; 6). Докажите, что ABCD —
трапеция, и найдите ее высоту.
291
§ 13. Свойства скалярного произведения векторов.
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
1.
1. |	= 2/2, | ZT| = 4, al) = 135°. Найдите | а + 2 ZTl.
2. ABCD — квадрат, F — середина CD, а Е — середина AD. Исполь-
зуя векторы, докажите, что BEA.AF.
2.
1.	| oj = 2/3, | ZT| =2, а^- 150°. Найдите |2о’— Th.
2.	В прямоугольнике ABCD AD = ^AB, EElCD, причем DE = ^DC.
Используя векторы, докажите, что BDA.AE.
3.
1.	Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами ~а и
~а + £ если | Z? | = 2, | ZTl = 1 и о2Г= 60°.
2.	В треугольнике АВС АВ = 2, АС - 3/2, LBAC = 45°. Найдите дли-
ну медианы AD.
4.
1.	Используя микрокалькулятор, найдите угол между векторами т и
т — 1г, если | т | = 3, | аГ| =2 и тп = 120°.
2.	В треугольнике EFK FE= 2, FK = ЗхП, LEFK = 135°. Найдите дли-
ну медианы FM.
1. В треугольнику ABC* AD_^ BE и CF — медианы. Вычислите
ВС • ЛЬ + С А • BE + АВ • CF.
2. В треугольнике ABC CD — медиана, причем CD1 2 > АВ2. Дока-
жите, что LC — острый.
292
6.
1. Даны три точки, для которых АС1 2 + ВС2 — Докажите, что
АС + ВС = 0.
2. В треугольнике АВС ВС > AC, CD — медиана. Докажите, что
LBDC — тупой.
1. ABCD — прямоугольник. Докажите, что МА2 + МС2 =
= МВ2 + МЕР, где М — произвольная точка плоскости.
2. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны.
Докажите, что высота трапеции есть среднее пропорциональное
между ее основаниями.
1. Докажите, что в трапеции ABCD с основаниями АВ и CD выпол-
няется равенство: АС2 + ВЕР = АЕР + ВС2 + 2АВ • DC.
2. В треугольнике ABC LB — fff, AD — медиана, ЕЕ АС, причем
СЕ : ЕА = 1 : 3, ADA. BE, АВ = 2. Найдите ВС.
293
§ 14. Правильный многоугольник.
Окружность, описанная около правильного
многоугольника.
Окружность, вписанная в правильный многоугольник
1. Найдите углы правильного двадцатиугольника.
2. Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна а. Найди-
те сторону шестиугольника и его большую диагональ.
1. Угол правильного многоугольника равен 144°. Найдите число его
сторон.
2. Сторона правильного шестиугольника равна Ь. Найдите его диаго-
нали.
1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность, радиус
которой равен R. Стороны многоугольника удалены от его центра
Я „
на расстояние, равное Чему равно число сторон этого много-
угольника?
2. Докажите, что в правильном пятиугольнике ABCDE диагонали АС
и AD делят угол ВАЕ на три равные части.
1. Вокруг правильного многоугольника описана окружность, радиус
которой равен R. Сторона этого многоугольника удалена от центра
я 73 „
окружности на расстояние, равное ——• Чему равно число сторон
этого многоугольника?
2. Докажите, что произведения отрезков двух пересекающихся диа-
гоналей правильного многоугольника равны между собой.
1. ABCDEF — правильный шестиугольник. Площадь треугольника
АВС равна 12 см1 2. Найдите площадь шестиугольника.
2. Сторона правильного пятиугольника ABCDE равна 2. Диагонали
AD и BE пересекаются в точке О. Найдите АО.
294
6.
1. Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна 144 см* 1 2.
Найдите площадь треугольника АВС.
2. В правильном пятиугольнике ABCDE диагонали АС и BE пересе-
каются в точке О, ВО = 2. Найдите сторону пятиугольника.
7.
1. Какими равными правильными многоугольниками можно покрыть
плоскость без просветов?
2. От каждой вершины квадрата на его сторонах отложены отрезки,
равные половине его диагонали. Полученные восемь точек после-
довательно соединены отрезками. Определите вид полученного
восьмиугольника.
8.
1. Можно ли покрыть плоскость без просвета правильными четырех-
угольниками и восьмиугольниками? Если да, то в каком-то из воз-
можных случаев найдите отношение их сторон.
2. Прямоугольник пересечен двумя парами параллельных прямых
так, что получился правильный шестиугольник. Найдите отноше-
ние сторон прямоугольника.
295
§ 15. Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности.
Построение правильных многоугольников
1.	Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
73 см. Найдите периметр и площадь треугольника.
2.	Хорда окружности, равная а, стягивает дугу в 90°. Найдите радиус
окружности.
3.	С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность пра-
вильный четырехугольник.
2.
1.	Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, ра-
вен 273 см. Найдите периметр и площадь шестиугольника.
2.	Хорда окружности, равная т, стягивает дугу 120°. Найдите ради-
ус окружности.
3.	С помощью циркуля и линейки впишите в данную окружность
правильный треугольник.
3.
1.	В окружность вписаны квадрат и правильный треугольник. Пло-
щадь квадрата равна Q. Найдите сторону и площадь треугольника.
2.	В окружность вписан правильный шестиугольник, и вокруг окруж-
ности описан правильный шестиугольник. Найдите отношение их
площадей.
3.	С помощью циркуля и линейки опишите около окружности пра-
вильный четырехугольник.
1. В окружность вписаны правильный шестиугольник и квадрат.
Площадь шестиугольника равна Q. Найдите сторону и площадь
квадрата.
2. В окружность вписан правильный треугольник, и вокруг окружно-
сти описан правильный треугольник. Найдите отношение их пло-
щадей.
3. С помощью циркуля и линейки опишите около окружности пра-
вильный треугольник.
296
5.
1.	По данному радиусу R найдите сторону и площадь правильного
вписанного в окружность двенадцатиугольника.
2.	Центры двух окружностей расположены по разные стороны от их
общей хорды. Хорда равна а и служит в одной окружности стороной
правильного вписанного треугольника, а в другой — правильного
вписанного шестиугольник а. Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3.	С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиуголь-
ник по отрезку, равному его апофеме.
6.
1.	По данному радиусу R найдите сторону и площадь правильного
вписанного в окружность восьмиугольника.
2.	Центры двух пересекающихся окружностей расположены по одну
сторону от их общей хорды. Хорда равна а и служит в одной ок-
ружности стороной правильного вписанного треугольника, а в дру-
гой — вписанного квадрата. Найдите расстояние между центрами
этих окружностей.
3.	С помощью циркуля и линейки постройте правильный шести-
угольник по отрезку, равному его меньшей диагонали.
7.
1. Сторона правильного двенадцатиугольника AiA2...Ai2 равна
аV2 — /з . Найдите площадь четырехугольника А1АьА7Ан.
2. В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) меньшее основание рав-
но а, углы, прилежащие к этому основанию, равны 105°, диагонали
взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.
3. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиуголь-
ник, площадь которого в два раза больше площади данного пра-
вильного шестиугольника.
297
8.
1.	Сторона правильного восьмиугольника AiA2...A8 равна
nV 2 — /2. Найдите площадь четырехугольника А1А4А5А6.
2.	В окружность, радиус которой равен Л, вписана трапеция, ее вер-
шины делят окружность в отношении 2 : 3 : 2 : 5. Найдите площадь
трапеции.
3.	С помощью циркуля и линейки постройте правильный шести-
угольник, площадь которого в два раза меньше площади данного
правильного шестиугольника.
298
§16. Длина окружности
1. Длина окружности, описанной около квадрата, равна 8л см. Най-
дите периметр квадрата.
2. С помощью микрокалькулятора найдите длину дуги, содержащей
105° и радиус которой равен 22 дм.
2.
1.	Длина окружности, описанной около правильного треугольника,
равна 12л см. Найдите периметр треугольника.
2.	С помощью микрокалькулятора найдите радиус дуги окружности,
если дуга содержит 138° и ее длина равна 15 см.
3.
1. Найдите периметр заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке 17, если радиус окружности с центром О равен Л, а
^АМВ= 120°.
2. Окружность радиуса 12 см разогнута в дугу, центральный угол ко-
торой равен 135°. Найдите радиус дуги.
4.
1. Найдите периметр заштрихованной фигуры, изображенной на
рисунке 18, если радиус окружности с центром О равен Л,
<jAMB = 90°.
2. Дуга, радиус окружности которой равен 6 см и центральный
угол 120°, свернута в окружность. Найдите радиус окружности.
Рис. 18
299
5.
1.
2.
На рисунке 19 AM В, АКС, CLD, DPB полуокружности с диаметра-
ми АВ, AC, CD и DB. Докажите, что путь от Л до В по полуокруж-
ности АМВ равен пути по полуокружностям АКС, CLD и DPB.
В сегмент, дуга которого содержит 120° и длина дуги которого равна
Z, вписана наибольшая окружность (рис. 20). Найдите длину этой
окружности.
6.
1.
На рисунке 21 АТ В, ЛЕС, CFD и DM В полуокружности с диамет-
рами АВ, AC, CD и DB. Докажите, что путь от Л до В по полуок-
ружности АТВ равен пути по полуокружностям AEC, CFD и DMB.
Рис. 21
2.
Из точки М к окружности проведены касательные МА и МВ
(рис. 22), дуга АРВ = 120°, а ее длина равна I. Найдите длину ок-
ружности, вписанной в фигуру МАРВ.
300
7.
1. Три окружности, длины которых равны с, касаются друг друга.
Найдите длину окружности, которая внутренним образом касается
трех данных окружностей.
2. Найдите длину приводного ремня (рис. 23), если и О2 — цент-
ры двух шкивов, радиусы которых 8 дм и 2 дм. Расстояние между
центрами равно 12 дм.
301
8.
1. Даны четыре окружности, каждая из которых касается двух дру-
гих. Длины окружностей равны с. Найдите длину окружности, ко-
торая внутренним образом касается всех данных окружностей.
2. Найдите длину приводного ремня (рис. 24), если Oi и О2 — цент-
ры шкивов, радиусы которых равны 25 см, а расстояния между
центрами — 100 см.
302
§17. Площади круга и кругового сектора
1.	Площадь круга больше площади правильного вписанного в него
шестиугольника на 4л — 6/3. Найдите радиус круга.
2.	С помощью микрокалькулятора найдите площадь сектора, дуга ко-
торого содержит 115° и радиус которого равен 12,7 см.
3.	Постройте круг, площадь которого в 9 раз больше площади данного
круга.
2.
1.	Площадь правильного треугольника больше площади вписанного в
него круга на 27/3 — 9л. Найдите радиус круга.
2.	Радиус сектора равен 9,7 см, а его площадь — 162 см1 2 3. Сколько
градусов содержит дуга сектора? Вычислите с помощью микрокаль-
кулятора.
3.	Постройте круг, площадь которого в 4 раза меньше площади дан-
ного круга.
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите
площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 25.
2. Дуга АВ содержит 120°, а радиус равен R. Найдите площадь за-
штрихованной фигуры, изображенной на рисунке 26.
3. Постройте круг, площадь которого равна разности площадей двух
данных кругов.
303
1.	Стороны треугольника равны 5, 5 и 8. Найдите площадь заштрихо-
ванной фигуры, изображенной на рисунке 27.
Рис. 27
2.	Дуга АВ равна 60°, а радиус окружности — R. Найдите площадь
заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 28.
3.	Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей двух
данных кругов.
5.
Рис. 29
1. Даны две концентрические ок-
ружности. Хорда большей окруж-
ности, которая касается мень-
шей, равна а. Найдите площадь
кольца.
2. На рисунке 29 изображен полу-
круг с диаметром Л£), дуга АВ
равна дуге CD и равна 30°. Пло-
щадь полукруга равна Q. Найди-
те площадь заштрихованной фи-
гуры.
3. Данный круг разделить окруж-
ностью, концентрической его ок-
ружности, на две равные по пло-
щади части.
304
6.
1. Даны две концентрические ок-
ружности. Хорда большей окруж-
ности касается меньшей. Найди-
те длину хорды, если площадь
кольца равна 4л см* 1 2 3.
На рисунке 30 изображен полу-
круг с диаметром AD, дуга АВ
равна дуге CD и равна 45°. Пло-
щадь заштрихованной фигуры
равна Q. Найдите площадь полу-
круга.
3. Постройте круг, имеющий такую
же площадь, что и данное коль-
цо.
Рис. 30
7.
1. Две окружности, имеющие радиусы г и Зг, внешне касаются. АВ
— их общая касательная. Найдите площадь заштрихованной фигу-
ры, изображенной на рисунке 31.
2. АВС — прямоугольный треугольник (Z.C = 90°), ЛС = Л, ВС = а,
CD± АВ. Длина окружности, вписанной в треугольник ADC равна
с. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник CDB.
3. Данный круг разделить двумя окружностями, концентрическими
окружности круга, на три части, имеющие равные площади.
305
1.	В сектор с центральным углом в 60° и радиусом, равным R, вписа-
на окружность. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изо-
браженной на рисунке 32.
2.	В треугольнике ABC EG.AB и FElBC, причем LBEF= LBCA,
BF - иг, АВ - п. Длина окружности, вписанной в треугольник EBF,
равна с. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник АВС.
3.	Постройте круг, площадь которого равна сумме площадей трех
данных кругов.
306
§18. Понятие движения.
Осевая и центральная симметрии
яиинимммммшммйммммм
1. На рисунке 33 изображен угол АВС. Постройте угол, симметрич-
ный данному относительно оси I.
2. Докажите, что при движении вертикальны углы отображаются на
вертикальные углы.
2.
1. На рисунке 34 изображен угол АВС. Постройте угол, симметрич-
ный данному относительно центра О.
2. Докажите, что при движении смежные углы отображаются на
смежные.
3.
1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии
относительно прямой, содержащей биссектрису одного из его внеш-
них углов.
2. Докажите, что при движении подобные ромбы отображаются на по-
добные ромбы.
307
1. Постройте произвольный треугольник и его образ при симметрии
относительно точки пересечения его высот.
2. Докажите, что при движении подобные прямоугольники отобража-
ются на подобные прямоугольники.
1. При помощи одной линейки постройте ось симметрии равнобед-
ренной трапеции.
2. При некотором движении отрезок АВ отображается на отрезок ЕР,
АВ = 12 см. Точка М принадлежит отрезку АВ, AM = 2 см. Точка
М отображается на точку Н. Найдите НЕ.
1. На рисунке 35 отрезки АВ и А\В{ центрально симметричны отно-
сительно некоторого центра. С помощью одной линейки постройте
образ точки М при этой симметрии.
В
м

А
By
Рис. 35
2. Точка К принадлежит отрезку МН и делит его в отношении 3 : 2,
считая от точки М. При некотором движении отрезок МН отобра-
жается на отрезок ЕР, а точка К — на точку Т. Найдите отноше-
ние ЕТ: ТР.
308
1. На рисунке 36 изображены две окружности и прямая I. Найдите на
этих окружностях точки, симметричные друг другу относительно
прямой I.
2. Докажите, что равнобедренные трапеции ABCD и AXBXCXDX (АВ и
CD — основания) равны, если АВ = A i Вх, AD = AXDX	и
LBAD= LBXAXDX.
8.
1. На рисунке 37 изображены прямые а и b и точка О. Найдите на
этих прямых точки, симметричные друг другу относительно центра
О.
2. Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол
между ними одного параллелограмма равны диагоналям и углу
между ними другого параллелограмма.
309
§ 19. Параллельный перенос
Рис. 38
вл	1. Постройте образ угла МОН
IVI (рис. 38) при параллельном
переносе на вектор AAi.
!. Используя параллельный пе-
ренос, докажите, что если од-
на из двух параллельных пря-
мых перпендикулярна третьей
прямой, то и вторая прямая
перпендикулярна этой пря-
мой.
2.
1.	Постройте образ угла EOF
(рис. 39) при параллельном
переносе на вектор ММХ.
2.	Используя параллельный пе-
ренос, докажите, что углы при
основании равнобедренной
трапеции равны между собой.
3.
1. В произвольном треугольнике ABC BD — медиана. Точки Е и F
принадлежат медиане BD (В—F—E). Постройте^рбраз треугольни-
ка АВС при параллельном переносе на вектор FE.
2. Даны две равные окружности с центрами в точках О и Oi, ОО{ =
= 15 см. Прямая /, параллельная прямой ООН пересекает эти ок-
ружности в точках А, В, С и D (Л—В—С—D). Найдите длину от-
резка АС.
310
4.
1. В прямоугольном треугольнике АВС АЕ — биссектриса. Точки К и
Р принадлежат биссектрисе АЕ (А—К—Р). Постройте_£>браз тре-
угольника АВС при параллельном переносе на вектор РК.
2. Даны два равных треугольника АВС и AiBiO, основания которых
АС и AiCi лежат на одной прямой I. Расстояние между точками пе-
ресечения медиан этих треугольников М и Мх равно 8 см. Прямая
р, параллельная /, пересекает стороны этих треугольников в точках
Е, F, К и Р (Е—F—K—Р). Найдите длину отрезка FP.
5.
Рис. 40
1.
2.
На рисунке 40 изображена прямо-
угольная трапеция ABCD. По-
стройте образ этой трапеции при
параллельном переносе на вектор а. а
Затем только при помощи циркуля/
постройте образ точки X при этом
переносе.
Постройте трапецию ABCD с осно-
ваниями AD и ВС такую, чтобы
LBAD = 90°, AC1.BD и диагонали
были бы равны двум данным отрез-
кам (BD > АО.
6.
На рисунке 41 изображена трапе-
ция ABCD. Постройте образ этой
трапеции при параллельном пере- /
носе на вектор т. Затем только при<
помощи циркуля постройте образ
точки Y при этом переносе.
Постройте трапецию по двум диа-
гоналям, углу между ними и одной
из боковых сторон.
Рис. 40
311
1. На рисунке 42 изображены две окружности с центрами в точках
О] и О2 и прямая т. Провести прямую Z, параллельную т так, что-
бы эти окружности на этой прямой высекали равны хорды.
2. Докажите, что если в треугольнике медианы равны, то треуголь-
ник равнобедренный.
Рис. 42
8.
1. Даны два неравных равнобедренных треугольника, расположен-
ные так, что их основания лежат на одной прямой I (рис. 43). Про-
ведите прямую т, параллельную Z, так, чтобы отрезки прямой т,
которые образуются при пересечении этой прямой со сторонами
треугольника, были равны (отрезки, заключенные между сторона-
ми треугольников).
2. Прямые, которые принадлежат боковым сторонам трапеции, пер-
пендикулярны. Докажите, что отрезок, соединяющий середины ос-
нований, равен полуразности оснований.
312
§ 20. Поворот
1. Постройте образ AjBj хорды АВ при ее повороте вокруг центра ок-
ружности на 45° против часовой стрелки. Сравните длины АВ и
ЛВ,.
2. Докажите, что при вращении правильного шестиугольника вокруг
его центра на 120° он отображается сам на себя.
1. Точки А и В принадлежат окружности с центром О. Постройте об-
раз Л1 ОВ\ сектора АОВ при вращении вокруг центра О на 60° по
часовой стрелке. Сравнить дуги АВ и Л1 В{.
2. Докажите, что при вращении квадрата вокруг его центра на 180°
он отображается сам на себя.
А
1. Постройте образ угла АВС
(рис. 44), полученный пово-
ротом вокруг центра О на 60°
по часовой стрелке.
2. Хорды одной и той же окруж-
ности находятся на одинако-
вом расстоянии от центра ок-
ружности. Докажите, что они
равны.
Рис. 44
313
1. Постройте образ угла МНР (рис. 45), полученного поворотом во-
круг центра О на 120° против часовой стрелки.
2. На окружности, центром которой является точка О, отмечены в од-
ном направлении последовательно точки А, В, С и £), так что
LAOB - LCOD. Докажите, что AC - BD.
Рис. 46
Рис. 45
5.
1. На двух данных окружностях (рис. 46) найдите такую пару точек,
что поворот вокруг данной точки О на 60° отображает одну точку
этой пары на другую.
2. Через центр О правильного треугольника АВС проведены две пря-
мые, образующие между собой угол, равный 60°. Докажите, что от-
резки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны.
314
6.
1. Укажите соответственно на
данных прямой и отрезке такие
две точки (рис. 47), чтобы одну
из них можно было бы отобра-
зить на другую поворотом во-
круг данной точки О на 30°.
2. Дан квадрат ABCD. Через
центр квадрата проведены две
взаимно перпендикулярны
прямые, отличные от прямых
АС и BD. Докажите, что отрез-
ки этих прямых, заключенные
внутри квадрата, равны.
1. Постройте правильный треугольник так, чтобы одна его вершина
совпадала с точкой Р, другая принадлежала прямой а, а третья —
прямой b (рис. 48).
2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС постройте квадраты АВЕР
и АСНМ, расположенные с треугольником АВС в разных полупло-
скостях соответственно с границами АВ и АС. Докажите, что PC =
= ВМ и РС1.ВМ.
315
1. Постройте правильный треугольник, одна вершина которого совпа-
дает с данной точкой А, а две другие принадлежат двум данным ок-
ружностям (рис. 49).
А
2. Даны два одинаково ориентированных квадрата ABCD и AEFK.
Докажите, что ЕВ = KD и ЕВ ± KD.
316
РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
№ 1. Треугольники
1.	На рисунке 50 ДЛВС — равнобедренный (ЛВ = ВС), £)В||ЛС и
СВ||ЛВ, ЛВ» 13, BD = 1, АС =10.
1)	Докажите, что &ADE = &CED.
2)	Докажите, что &ECF со ДЛВС.
3)	Найдите EF.
4)	Найдите высоту треугольника ЛВС, опущенную на боковую
сторону.
5)	Найдите отношение площадей треугольников ADE и DCF.
2.	Начертите тупоугольный треугольник и постройте точку пересе-
чения прямых, которым принадлежат высоты треугольника.
2.
1.	На рисунке 51 ДЛВС — равнобедрен-
ный (ЛВ = ВС), BD ± ЛС, LAKM =
= LBMA, АВ =17, АС = 16, MD=6.
1)	Докажите, что &АВМ = &ВМС.
2)	Докажите, что &АКМ со \ВМС.
3)	Найдите КМ.
4)	Найдите радиус окружности, впи-
санной в ДЛВС.
5)	Найдите площадь треугольника
АКМ.
2.	Начертите остроугольный треугольник
и опишите около него окружность.
317
3.
1.
На рисунке 52 ДЛВС — прямоугольный,
LC = 90°, М — середина АВ, DM ± АВ,
Л^ЦВС, CK\\DM, DM~%, МВ~\5.
1)	Докажите, что tbAFM = &DMB.
2)	Докажите, что &AFM со ДЛВС.
3)	Найдите стороны ДЛВС.
4)	Найдите радиус вписанной в тре-
угольник DMB окружности и длину ме-
дианы в треугольнике АВС, проведенной
из вершины прямого угла.
5)	Найдите отношение площадей тре-
угольников АКС и СКВ.
Начертите тупоугольный треугольник и
Рис. 52
опишите около него ок-
ружность.
1.	На рисунке 53 AAt и BBt — медианы, AAt в 12, BBt в 9, В}Е = 3,
BiK~9, BiP~ 21, LAMBx - 60°.
1)	Докажите, что ДД СЕ = \АМВ{.
2)	Найдите АС и докажите, что &ВхРК со ДЛМД.
3)	Найдите КР.
4)	Докажите, что КРЦЛЛ].
5)	Найдите площадь треугольника АВС.
2.	Начертите треугольник и впишите в него окружность.
318
1.	В треугольнике АВС АВ = 7, ВС = 8, АС-3
(рис. 54), ВВ{ — биссектриса, £ВВ|Л =
= LBBiE, МС\\В{Е.
1)	Докажите, что ^ВВ{А = \ВВ{Е.
2)	Докажите, что &ВСМ со ДВЛВ].
3)	Найдите МС.
4)	Найдите площадь треугольника АВС.
5)	Найдите радиус окружности, описанной
около треугольника В{ЕС.
2.	Начертите треугольник и постройте какой-
либо треугольник, площадь которого в 2,25
раза больше данного.
1.	На рисунке 55 ЛВвЛ£в4, £Лв25°, LAFC = LAED = 100°,
BC\\DE.
1)	Докажите, что &FKD = \ЕКС.
2)	Докажите, что А ЛВС со ДЛВС.
3)	Найдите стороны треугольника AFC.
4)	Найдите отношение периметров треугольников AFC и АВС.
5)	Найдите площадь треугольника АВС.
2.	Начертите прямоугольный треугольник и постройте точку пере-
сечения его медиан.
319
№ 2. Четырехугольники
1.
Через середину О диагонали АС прямоугольника ABCD проведена
прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках Р и К соответ-
ственно.
1)	Докажите, что АРСК — параллелограмм.
2)	Найдите площадь АРСК, если ЛХ = 4, KD = % и АС= 13.
3)	Найдите РК.
4)	С помощью микрокалькулятора найдите угол АОК.
2.
На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD выбраны точки Р,
Е, F и К такие, что ЛР = ВЕ= CF- DK~ 1, £Л=10, ЕК и PF
пересекаются в точке М.
1)	Докажите, что PF ± ЕК. Найдите площадь PEFK.
2)	Найдите стороны квадрата ABCD.
3)	Докажите, что около четырехугольника АРМК можно описать
окружность.
4)	Найдите радиус этой окружности.
3.
В параллелограмме ABCD через середину О диагонали BD перпен-
дикулярно к ней проведена прямая, пересекающая ВС в точке М,
a AD — в точке F, BD = 8, MF=b, AF = 5.
1)	Докажите, что BMDF — ромб.
2)	Найдите радиус вписанной в этот ромб окружности.
3)	С помощью микрокалькулятора найдите угол ODF.
4)	Найдите периметр параллелограмма ABCD.
320
4.
В равнобедренной трапеции ABCD диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны, Е, F, М и К — середины сторон АВ, ВС, CD и
DA соответственно, Sefmk =100.
1)	Докажите, что EFMK — квадрат.
2)	Найдите диагонали трапеции и ее площадь.
3)	Найдите высоту трапеции.
4)	Найдите основания трапеции, если ее средняя линия пересекает
АС в точке Т, BD — в точке Q и TQ« 2 VT.
5.
Диагонали ромба ABCD равны 16 и 12. Через точку пересечения
диагоналей О проведена высота ромба FE (ЕЕ ВС, FE AD). Через
точки Е и F проведены прямые, параллельные АС до пересечения
со сторонами АВ и CD в точках М и К соответственно.
1)	Докажите, что MEKF — прямоугольника.
2)	Найдите диагонали этого прямоугольника.
3)	С помощью микрокалькулятора найдите острый угол ромба.
4)	Найдите площадь прямоугольника.
6.
ABCD — параллелограмм, АВ = 5, AD = 8. Высота параллелограмма
равна 4. На стороне ВС выбрана точка Е.
1)	Найдите BE так, чтобы трапеция ABED была равнобедренной.
2)	Докажите, что в эту трапецию можно вписать окружность и
найдите площадь вписанного в эту трапецию круга.
3)	Найдите диагонали параллелограмма.
4)	С помощью микрокалькулятора найдите острый угол между его
диагоналями.
11 Зив б. г.
321
№ 3. Окружность
1.
Треугольник ЛВС вписан в окружность, LC = 45°. Из точки М,
расположенной вне круга, проведены касательные МВ и МТ, каса-
ющиеся окружности в точках А и В соответственно (Р—А—М,
Т—В—М), МА + МВ = 20, ВС = 5.
1)	Докажите, что ОАМВ — квадрат, где О — центр окружности.
2)	Найдите сторону АВ.
3)	Докажите, что L СВТ = L С АВ.
4)	Найдите градусные меры дуг ВС и СА.
2.
АВ — диаметр окружности с центром в точке О, хорда EF пересекает
диаметр в точке К (А—К—О), ЕК = 4, KF=6, ОК = 5.
1)	Найдите радиус окружности.
2)	Найдите расстояние от центра окружности до хорды BF.
3)	Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.
4)	Чему равна хорда FM, если ЕМ — хорда, параллельная АВ.
3.
Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены
три секущие: первая секущая пересекает окружность в точках В и А
(М—В—А), вторая — в точках D и С (М—D—С), а третья пересекает
окружность в точках F и Е (М—F—Е) и проходит через центр окруж-
ности, АВ = 4, ВМ = 5, FM = 3.
1)	Докажите, что если AB = CD, то LAME = LCME.
2)	Найдите радиус окружности.
3)	Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окруж-
ности.
4)	Найдите величину угла ЛЕВ.
322
Остроугольный треугольник АВС вписан в окружность с центром О,
BE — диаметр этой окружности, ВС = 4'/3. Сторона ВС удалена
от центра окружности на расстояние, равное 2, BN1. AC, BN-5.
1)	Докажите, что LEBC = LABN.
2)	Найдите радиус окружности.
3)	Найдите АВ.
4)	Найдите градусную меру дуги АВ.
5.
В прямоугольном треугольнике ABC LC = 9G°, LA = (W. В этот
треугольник вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС
и АС соответственно в точках D, Е и F. На дуге DF выбрана точка
К и проведена касательная к окружности в этой точке. Касательная
пересекает АВ в точке Р, а АС — в точке Т.
1)	В каком отношении точки D, Е и F делят окружность?
2)	Найдите радиус окружности, если се центр удален от вершины
С на расстояние, равное 4 V2.
3)	Найдите периметр треугольника APT.
4)	Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
6.
АВ — диаметр окружности с центром в точке О. Радиус этой
окружности равен 4, О( — середина ОА. С центром в точке О\
проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А.
Хорда CD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает
АВ в точке К. EnF — точки пересечения CD с меньшей окружностью
(С—Е—К— F— D), АК = 3.
1)	Найдите длины хорд АЕ и АС.
2)	Найдите градусную меру дуги AF и ее длину.
3)	Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой EF.
4)	Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.
323
№ 4. Координаты и векторы
1.
ABCD — параллелограмм, Л (1; — 2), В (2; 4), С (—1; 5).
1)	Найдите координаты вершины D.
2)	Торчка Е принадлежит С£), причем СЕ = 2DE. Разложите вектор
ЕВ по векторам АВ и AD.
3)	Найдите угол А.
4)	Напишите уравнение прямой АС и уравнение окружности с диа-
метром, равным АС.
2.
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (—6; 10);
В (8; 8); С (2; 2).
1)	Определите вид этого треугольника.
2)	Медианы ААХ и ДВХ треугольника^персс^каются в точке М. Раз-
ложите вектор AM по векторам СА и СВ.
3)	Найдите острый угол между этими медианами.
4)	Напишите уравнение прямой ЛЛ1 и уравнение описанной около
этого треугольника окружности.
3.
Трапеция ABCD задана координатами своих вершин: А (— 1; 0),
В (— 1; 3), С (4; 6), D (4; 0), М — середина ВС.
1)	Разложите вектор AM по векторам АВ и AD.
2)	Найдите координату точки Н пересечения прямых АС и BD.
3)	Разложите вектор АН по векторам 7*и у.
4)	Найдите острый угол между прямыми AM и BD и площадь
четырехугольника ABMD.
324
4.
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (0; 12),
В (9; 0), С (0; — 12), О — центр вписанной в треугольник окруж-
ности.
1)	Найдите длину медианы СМ этого треугольника.
2)	Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности и
уравнение этой окружности.
3)	Найдите угол межд^ прямыми АО и^ВС.
4)	Разложите вектор ОВ по векторам ОА и ОС.
5.
Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин
А (— 2; — 3), В (1; 4), С (8; 7), D (5; 0).
1)	Доказать, чт§ ABQD — ром£.
2)	Вычислите АВ • АС + АС • BD + ВС • АС.
3)	Найдите углы ромба.
4)	Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб.
325
6.
Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А (2; — 1),
В (2; 2), С (— 3; 5), MG АС, причем AM : МС = 1 : 3.
1)	Разложите вектор ВМ по векторам В А и ВС.
2)	Найдите координаты точки К пересечения медиан этого тре-
угольника.
3)	Цайдите координаты вектора о*, сонапра_§ленного с вектором
АС, длина которого равна длине^вектора АВ.
4)	Найдите угол между вектором АС и осью абсцисс.
326
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Метод координат
Вариант 1
1.	Даны точки: Л (1; —2); В (2; 4); С (—1; 4); D (1; 16).
1)	Разложите вектор А В по координатным векторам 7*и/Г
2)	Докажите, что ЛВ||С£).
3)	Напишите уравнение прямой AD.
2.	Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (—4; 1),
В (0; 1), С(—2; 4).
1)	Докажите, что LA - Z.B.
2)	Найдите длину высоты CD треугольника АВС.
3.	Сколько общих точек имеют линии ( х — 2) * 1 2 3 + (у + 1\ 2 = 1 и
У = ~27	->	_
4*. Даны векторы а{—4; 3}, о {1; — 4}, с {6; 2}. Разложите вектор
с*по векторам и £
Вариант 2
1. АВ = 21*—
1) Найдите координаты точки А, если В (—1; 4).
2) Найдите координаты середины отрезка АВ.
3) Напишите уравнение прямой АВ.
2. Даны точки А (—3; 4), В (2; 1), С(—1; а). Известно, что АВ =
= ВС. Найдите а.
3. Радиус окружности равен 6. Центр окружности принадлежит
оси Ох и имеет положительную абсциссу. Окружность проходит через
точку (5; 0). Напишите уравнение окружности.
4*. Вектор ясонаправлен с вектором ZT {—1; 2} и имеет длину век-
тора ~с {—3; 4}. Найдите координаты вектора а.
327
Вариант 3
1.	Даны точки Е (—1;Д), М (2; —3), F (1; —3) и К (4; 4h
1)	Разложите вектор ЕМ по координатным векторам i и /Г
2)	Докажите, что ЕМ пересекает FK.
3)	Напишите уравнение прямой MF.
2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (0; 1),
В (1; —4), С (5; 2).
1)	Найдите координаты середины D стороны ВС.
2)	Докажите, что AD± ВС.
3)	Сколько общих точек имеют линии: /х+2\* 1 2 3 * * * + (у — 1) = 4 и
х = — 3?	\	7
4*. Даны векторы т {—4; 5}, п {—7; 1}, I {6; 8}. Разложите вектор
I по векторам /и и и.
Вариант 4
1. EF = (n — 6]*
1) Найдите координаты точки F, если Е (—2; 1).
2) Найдите координаты середины отрезка EF.
3) Напишите уравнение прямой EF.
2. Даны точки: С (т; 3), D (4; 1), F (2; 4). Известно, что CD~ DF.
Найдите т.
3. Радиус окружности равен 4. Центр окружности принадлежит оси
Оу и имеет отрицательную ординату. Окружность проходит через
точку (0; —2). Напишите уравнение окружности.
4*. Вектор т противоположно направлен вектору ZT{—2; 4} и име-
ет длину вектора а {2; 2}. Найдите координаты вектора т.
328
№ 2. Соотношение между сторонами
и углами треугольника
Вариант 1
1. В треугольнике ABC LA = 40°, LC = 75°, ВС =17. Найдите неиз-
вестные элементы треугольника и радиус описанной около него ок-
ружности.
2. В треугольнике РКП РК =6, КН = 5, LPKH = 100°, NF — меди-
ана. Найдите HF и площадь треугольника PFH.
3*. В треугольнике ABC АВ = ВС, LBAC = 2а, АЕ — биссектриса,
BE = а. Найдите площадь треугольника АВС.
Вариант 2
1. В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5, LB = 110°. Найдите неизве-
стные элементы треугольника.
2. В параллелограмме ABCD Е — середина ВС, АВ = 5, LEAD =
= 30°, Z. ЛВС = 100°. Найдите площадь параллелограмма и радиус
описанной около треугольника АВЕ окружности.
3*. Площадь треугольника РКТ равна 5, LP-a, LT = ft. Найдите
сторону РК.
Вариант 3
1. В треугольнике ABC LA = 20°, Z.C = 50°, АС = 15. Найдите неиз-
вестные элементы треугольника и радиус описанной около него ок-
ружности.
2. В параллелограмме ABCD АВ = 4, AD = 5, BD = b. Найдите
Z.CBD и площадь параллелограмма.
3*. В ромбе ABCD АР — биссектриса треугольника CAD, LBAD =
= 2а, PD — а. Найдите площадь ромба.
329
Вариант 4
1. В треугольнике РКМ LK = 40°, РК = 2, КМ = 5. Найдите неизве-
стные элементы треугольника.
2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, LA = 65°. Через
середину Е стороны АВ проведена прямая, пересекающая ВС в точке
К, LKEB = 20°. Найдите площадь треугольника ВЕК и радиус окруж-
ности, описанной около треугольника АВС, если ВК = 5.
3*. Площадь треугольника равна S и два угла его равны а и/3. Най-
дите радиус описанной около треугольника окружности.
330
№ 3. Скалярные произведения вектора
Вариант 1
1. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 4, Z.B = 120°, М
и N — середины АВ и ВС соответственно. Найдите: 1) ВА • ВС;
2) ВА • АС; 3) MN • АС.
2. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А (0; 4);
В (—3; 5),С (—1; 3).
1) Найдите острей угрл ме^кду г^сдианой AM и стороной АС.
2) Вычислите: АВ • ВС + АВ • СА.
3*. Найдите координаты вектора а, если яХТГ и {1;—3},
|о| = /10 и угол между вектором ~а и осью Ох острый.
Вариант 2
1. В прямоугольнике ABCD АС - 6, LACD = 60°.
Найдите: 1) СА • CD; 2) AD • СА; 3) ВС • DA.
2.Даны точки Л (— 1; 4), В (1; —2),С (0; —4), D (2; 2),Ен F — се-
редины АВ и CD соответственно.
1) Найдите острый угол между EF и CD.
2) Вычислите: CD • ВС — CD • BD.
3*. В треугольнике ABC_AD, BE и CF — медианы. Вычислите:
ВС  AD + СА • ВЕ + АВ • CF.
Вариант 3
1. В прямоугольном треугольнике ABC LC = 90°, LABC = 30°, AC =
= 2, EmF — середины AB и ВС соответственно.
Найдите: 1) В А • ВС; 2) ВЛ • АС; 3) EF • ВС.
2. Треугольник ЛВС задан координатами своих вершин: А (—1; 4),
В (3; 2), С(1; —3).
1) Найдите острый угол между медианой CF и стороной АС.
2) Вычислите: CF • FA — FC • АС.
3*. Найдите координаты вектора т, если т±7си 7с {2; —1}, |/и| =
= 4/5 и угол между вектором т и осью Оу тупой.
331
Вариант 4
1. ABCD — ромб, Л2? = 6, £Л = 60°. Найдите: 1) АВ • АС;
2) AD  DB; 3) (АВ + AD) (AB — AD).
2. Даны два отрезка ЕК и РМ, причем ЕК1.РМ, Е(—3; 1),
К (1; 4), М (2; 1), Р (—4; а).
1) Найдите острый угол между РЕ и ЕК.
2) Вычислите: ЕК • МК — КЕ КР.
3*. ABCD — прямоугольник, М — произвольная точка. Докажи-
те, что МА • МС - МВ  MD.
332
№ 4. Правильные многоугольники.
Длина окружности и площадь круга
Вариант 1
1.	Около правильного шестиугольника опи-
сана окружность и в него вписана окружность.
Длина большей окружности равна 4л. Найди-
те площадь кольца и площадь шестиугольни- /|
ка.
2.	Хорда окружности равна 5^2 и стягивает
дугу в 90°. Найдите длину дуги и площадь со-
ответствующего сектора.
3.	На рисунке 56 хорды АВ и АС стягивают
дуги в 60° и 120°. Радиус окружности равен R.	с
Найдите площадь заштрихованной фигуры.	Рис 56
4*. Докажите, что в правильном много-
угольнике сумма длин перпендикуляров, про-
веденных из точки, взятой внутри этого многоугольника, на все его
стороны, равна радиусу вписанной в этот многоугольник окружности,
умноженному на число сторон.
Вариант 2
1.	Около правильного треугольника описана	_
окружность и в него вписана окружность.
Длина меньшей окружности равна 8л. Найди- f/у	\
те площадь кольца и площадь треугольника. q g	\
2.	Хорда окружности равна 6 и стягивает &	• q 1
дугу в 60°. Найдите длину дуги и площадь со-	/
ответствующего сектора.	у
3.	На рисунке 57 хорды CD и СН стягивают
дуги в 90°. Радиус окружности равен R. Най-	Н
дите площадь заштрихованной фигуры.	рис 57
4*	. На сторонах правильного 8—угольника
Л1Л2...Л8 вне его построены квадраты. Докажите, что многоугольник,
образованный вершинами этих квадратов, отличных от А1г А2, А3, ...,
Л8, не является правильным.
ззз
Вариант 3
1.	В квадрат вписана окружность и около
него описана окружность. Длина большей ок-
ружности равна 8 л. Найдите площадь кольца
и площадь квадрата.
2.	Хорда окружности равна 12 и стягивает
дугу в 120°. Найдите длину дуги и площадь со-
ответствующего сектора.
3.	На рисунке 58 хорды МК и МТ стягива-
ют дуги в 60“ и 120°. Радиус окружности равен
R. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
4*. Докажите, что площадь правильного
□	—	na"R	в
2п—угольника равна —, где R — радиус
Рис. 58
описанной окружности, ап — сторона правильного п—угольника,
вписанного в ту же окружность.
Вариант 4
1.	Около правильного треугольника описана
окружность и в него вписана окружность. Сто-
рона треугольника равна 4. Найдите площадь
кольца и длину меньшей окружности.
2.	Хорда стягивает дугу в 60°. Длина дуги
равна 2л. Найдите длину хорды и площадь со-
ответствующего сектора.
3.	На рисунке 59 хорды EF и ЕК стягивают
дуги в 90“. Радиус окружности равен R. Най-
дите площадь заштрихованной фигуры.
4*. ABCDEF — правильный шестиуголь-
ник. Стороны FA, АВ, ВС, CD, DE и EF про-
должены за вершины А, В, С, D, Е и F на рав-
ные отрезки АА], ВВ\, CCi, DDX, ЕЕ{ и
AIZ?1CI DXE\ Fi — правильный шестиугольник.
F
Рис. 59
FFi. Докажите, что
334
№ 5. Движение
Вариант 1
1.	Начертите квадрат ABCD и отметьте на диагонали точку М, не
совпадающую с точкой пересечения дцагоналей. Постройте образ это-
го квадрата при переносе на вектор AM.
2)	Дан прямоугольный треугольник ABC (LC = 90°). Постройте его
образ при повороте вокруг центра С на 90° по часовой стрелке. Чему
равен угол между АВ и Л/Л. если АВ -> А\ВХ1
2.	Каким условиям должны удовлетворять два угла, чтобы один из
них можно было получить из другого при помощи параллельного пе-
реноса.
3.	Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллель-
ных хорд окружности, проходит через ее центр.
4*. Начертите два непараллельных отрезка АВ и CD, длины кото-
рых равны. Постройте центр поворота, отображающего отрезок АВ на
CD (А-+ С-, В-+ D).
Вариант 2
1.	1) Начертите параллелограмм ABCD и отметьте на стороне ВС
произвольную точкуПостройте образ этого параллелограмма при
переносе на вектор AM.
2)	Начертите произвольный треугольник АВС и постройте его об-
раз при повороте вокруг центра С на 60° против часовой стрелки. Че-
му будет равен угол между АВ и А\В{, если АВ -» A^Bi?
2.	Дан угол АОВ, ОС — биссектриса этого угла, М G ОА и
К G ОВ, причем ОМ = ОК. Докажите, что точки М и К симметричны
относительно прямой ОС.
3.	Даны две точки А (—5; 3) и В (3; 5). Докажите, что точка В мо-
жет быть получена из точки А поворотом вокруг начала координат на
90° по часовой стрелке.
4*. Постройте тре-	/
угольник, равный дан-	/
ному, так, чтобы осно-	/
вание его принадлежа-	хл	/
ло данной прямой а, а s' \	/
вершина — данной д \	/
прямой Ъ (рис.60).	а
С
Рис. 60
335
Вариант 3
1.	1) Начертите трапецию ABCD {AD
и ВС — основания) и отметьте на диа-
гонали BD точку М. Постройте образ
э^рй трапеции при переносе на вектор
MD.
2)	Начертите прямоугольник ABCD и
постройте его образ при повороте вокруг
центра А на 90° по часовой стрелке. Че-
му будет равен угол между BD и BXDX,
если В Bi и D Dj?
2.	Каким условиям должны удовлет-
ворять два угла, чтобы один из них мож-
но было получить из другого при помощи центральной симметрии?
3.	Отрезок АВ отображается параллельным переносом на отрезок
Ах Bi, который другим параллельным переносом отображается на от-
резок А2В2. Можно ли отрезок АВ отобразить на А2В2 одним парал-
лельным переносом? Сделайте рисунок и укажите соответствующий
вектор.
4*. На данных окружности и прямой найдите такие пары точек,
что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной
точки Н на 60° (рис.61).
Вариант 4
1.	1) Начертите прямоугольную трапецию ABCD {AD и ВС — ос-
нования, LA в 90°) и отметьте на стороне CQ точку Р. Постройте об-
раз этой трапеции при переносе на вектор РА.
2)	Начертите правильный треугольник АВС и постройте его образ
при повороте вокруг середины АС на угол 60° по часовой стрелке. Че-
му будет равен угол между АВ и AiBi, если АВ -» AiВi?
2.	Докажите, что любая прямая, проходящая через центр паралле-
лограмма, делит его на две равные фигуры.
3.	Даны две точки А {—2; —и В (2\^3~; 2). Докажите, что точ-
ка В может быть получена из точки А поворотом вокруг начала коор-
динат на 150° против часовой стрелки.
4*. На рисунке
62 a||Z> и c||J. Ука-
жите такой вектор,
что при параллель-
ном переносе на
этот вектор а -> b и
с -> d.
336
№ 6. Повторение
Вариант 1
В прямоугольном треугольнике ABC (LC - 90°), CD±AB, АС =
= 3 см, CD = 2,4 см.
1)	Докажите подобие треугольников АВС и ADC и найдите неизве-
стные стороны треугольника АВС и его площадь.
2)	Найдите площадь вписанного в треугольник круга.
3)	Найдите отношение длин окружностей, описанных около тре-
угольников ADC и BDC._^	? э
4)	Разложите вектор Ср поректорам СА и СВ.
5)	Вычислите (ВС — ВА) (АС + СВ).
Вариант 2
В параллелограмме ABCD AD =12 см, АВ = 6 см, LBAD = 60°. Бис-
сектриса угла D пересекает ВС в точке Е.
1)	Найдите высоты параллелограмма и его площадь.
2)	Определите вид треугольника ECD и найдите длину описанной
около треугольника окружности.
3)	Найдите длину большей диагонали даралделограмма.
4)	Разложите вектор ЦЕ по^вектодам CD и СВ.
5)	Вычислите: (АВ + BE) (СЕ — CD).
Вариант 3
В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и ВС равны соот-
ветственно 10 см и 6 см, LA = 30°.
1)	Найдите высоту BE и площадь трапеции.
2)	Докажите подобие треугольников AOD и ВОС и найдите отно-
шение их площадей, если О — точка пересечения диагоналей трапе-
ции.
3)	Найдите радиус опдсанной около тр^пеццр окружности.
4)	Разложите вектор по^екто^м ВА и BD.
5)	Вычислите: (BC + CD) (АЕ — АВ).
337
Вариант 4
В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см,
BD и АК — высоты.
1)	Найдите площадь треугольника АВС и sin Z.ABC.
2)	Докажите, что треугольники АКС и BDC подобны и найдите
длину СК.
3)	Найдите длину окружности, описанной около треугольника
АВС.	->	->
4)	Разложите вектор ДК по^векторам АС и СВ.
5)	Вычислите: (ВА + ВС) • АС .
338
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Координаты вектора
вариант 1
1.	ZT и — нсколлинеарныс векторы, ха + у?Г= — За. Найдите х и
У-
2.	Запишите координаты вектора т = — 3F*+ 2J*
3.	Среди векторов ~а {— 4; 5}, ZT{— 8; 10}, с|2; — 2,5} укажите пару
коллинеарных векторов.
4	.а{3; — 2}, ?Г{— 2; 3}, <Г{—1; 1}. Чему равен угол между лучами,
задающими векторы ?Ги
5.	Найдите расстояние между точками А (а; 0) и В	0).
6.	Е(— 2; 3), F (1; 2). Найдите координаты вектора EF и его длину.
7.	АВ — диаметр окружности, Л (1; —5), В (3; 1). Найдите коорди-
наты центра окружности.
8.	Напишите уравнение окружности с центром в точке С (— 4; 3) и
радиусом R = 5.
9.	Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями
у = х — 2, у = — х — 2, у = 0.
10.	х2 + у2 = 4, у = а. При каких значениях а эти линии имеют две
общие точки?
ВАРИАНТ 2
1.	тип — неколлинеарныс векторы, хт + у/Г= 5п. Найдите х и у.
2.	Запишите ^разложение вектора 7с {5; — 2} по координатным век-
торам i и j.
3.	Среди векторов ~с	—4	т {— 1; 8}, п {0,25; 2} укажите па-
ру коллинеарных векторов.
4.	"а {2; — 3}, о {1; —2}, с {1; 1}. Чему равен угол между лучами,
задающими векторы ci — ?Ги "с.
5.	Найдите расстояние между точками Е (0; т) и F (Оуг).
6.	F (1; — 4), М (3; 1). Найдите координаты вектора FM и его дли-
ну-
7.	ЕК — диагональ параллелограмма EFKD, Е (— 4; 3), К (2; 5).
Найдите координаты точки пересечения диагоналей параллело-
грамма.
8.	Напишите уравнение окружности с центром в точке М (2; — 4) и
радиусом R = 3.
339
9.	Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями
у = х — 3, у — — х + 3 и х = 0.
10.	х2 + у2 = 16, х = т. При каких значениях т эти линии не имеют
общих точек?
№ 2. Соотношение между сторонами и углами
треугольника. Скалярное произведение векторов
вариант 1
1.	В треугольнике АВС АВ = 1, ВС = 2, LA = 20°, LC = 10°. Найдите
площадь треугольника.
2.	Сторона ромба равна 2 см, а его площадь — 2 см2. Найдите ост-
рый угол ромба.
3.	В треугольнике ABC LA = 3ff, LB = 45° . Найдите отношение
ВС
АС'
4.	В треугольнике АВС АВ = 2 VT, LC = 45°. Найдите радиус окруж-
ности, описанной около этого треугольника.
5.	Стороны треугольника равны 4, 7, 8. Как по отношению к этому
треугольнику расположен центр описанной около него окружно-
сти?
6.	4йГ= 70°. Найдите угол между векторами 2а и — 31).
7.	Сторера квадрата ^ВСД^равна Д. Наедите:
1)	АС • AD; 2) АС • BD; 3) AD • СВ.
8.	?{2; — 3}, Я1; 1}. Какой угол (острый, прямой или тупой) между
этими векторами?
9.	&А£С — прямоугольный, Z.C = 90°. Вычислите:
(ВС — ВА± (АС —АВ).
10.	е{х; у}, | е | s 1. Угол между вектором ~е и положительным на-
правлением оси Ох равен а. Найдите х.
ВАРИАНТ 2
1.	В треугольнике МЕК ME = у[3, ЕК = 2. Внешний угол при верши-
не Е равен 120°. Найдите площадь треугольника.
2.	Стороны параллелограмма равны 1 см и >/3 см, а его пло-
3
щадь — 2 см2. Найдите острый угол параллелограмма.
3.	В треугольнике ABC LA-fffi, Z.C = 45°. Найдите отношение
ВС
АВ'
340
4.	В треугольнике EHF LH = 60°. Радиус описанной около треуголь-
ника окружности равен у/З. Найдите сторону EF.
5.	Стороны треугольника равны 4, 6, 9. Как по отношению к этому
треугольнику располагается центр описанной около него окруж-
ности?
6.	тп = 130°. Найдите угол между векторами — у т и 5п.
7.	Стоуна ^рмба A£CD д^авна Наймите:
1)	АВ • AD\ 2) АС • BD; 3) АВ • DC.
8.	т {2; — 1}, /Г{3;2}. Какой угол (острый, прямой или тупой)
между этими векторами?
9.	ABCD — прямоугольник. Вычислите (CD^- СА) (BD — ВС).
10.	у}, | е | = 1. Угол между вектором ~е и положительным на-
правлением оси Оу равен /3. Найдите у.
№ 3. Длина окружности и площадь круга
ВАРИАНТ 1
1.	Сторона правильного n-угольника стягивает дугу, равную а. Че-
му равен внешний угол этого многоугольника?
2.	Угол правильного и-угольника равен 160°. Найдите п.
3.	В окружность радиуса R вписан треугольник, две стороны кото-
рого равны R и R V3. Найдите площадь треугольника.
4.	Найдите отношение сторон правильного вписанного шестиуголь-
ника и описанного квадрата около одной и той же окружности.
5.	В окружность, радиус которой равен R, вписан правильный
12-угольник. Чему равна его площадь?
6.	Длина окружности увеличилась на 1 м. На сколько при этом уве-
личился радиус окружности?
7.	Длина окружности равна 6 л. Ее дуга, содержащая 120°, свернута
в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
8.	Один из углов ромба равен 30°. Найдите отношение длины впи-
санной в ромб окружности к его периметру.
9.	Радиусы двух концентрических окружностей равны 1 и 3. Как от-
носится площадь кольца к площади меньшего круга?
10.	Площадь сектора с углом 30° равна 3 л. Найдите радиус сектора.
ВАРИАНТ 2
1.	Внешний угол правильного «-угольника равен /3. Найдите вели-
чину дуги, которая стягивается стороной этого многоугольника.
2.	Угол правильного «-угольника равен 140°. Найдите п.
341
3.	В окружность, радиуса R вписан треугольник, две стороны кото-
рого равны по R v2. Найдите площадь треугольника.
4.	Найдите отношение сторон правильного вписанного треугольника
и описанного квадрата около одной и той же окружности.
5.	В окружность, радиус которой равен Л, вписан правильный
8-угольник. Чему равна его площадь?
6.	Радиус окружности увеличился на 1 м. На сколько при этом уве-
личилась длина окружности?
7.	Длина окружности равна 8 л. Ее дуга, содержащая 90°, свернута
в окружность. Чему равен радиус этой окружности?
8.	В равнобедренную трапецию с углом 30° вписана окружность.
Найдите отношение длины этой окружности к периметру трапе-
ции.
9.	Радиусы двух концентрических окружностей равны 2 и 5. Как от-
носится площадь кольца к площади большего круга?
10.	Площадь сектора с углом 20° равна 20 л. Найдите радиус сектора.
№ 4. Движение
ВАРИАНТ 1
1.	При некотором движении а -♦ at, и b -> Ь\. Каково взаимное
положение прямых <21 и Ь\ 2
2.	Назовите четырехугольник, который имеет только одну ось сим-
метрии.
3.	Прямые у=Зх+Ьиу=кх+4 симметричны относительно нача-
ла координат. Найдите к и Ь.
4.	Фигура состоит из трех прямых, из которых две параллельные, а
третья пересекает первые две. Имеет ли эта фигура центр симмет-
рии?
5.	Параллельный перенос задан парой точек О (0; 0) -♦ М (— 2; 0).
Запишите координаты образа точки В (4; 1).
6.	Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона
квадрата отображается на другую его сторону?
7.	При некотором параллельном переносе квадрат ABCD отобража-
ется на квадрат Z>i, при этом общей частью квадрата и его
образа тоже является квадрат. Укажите направление параллель-
ного переноса.
8.	Начертите прямую а и отметьте точку О вне ее. Постройте образ
прямой а при повороте вокруг точки О на 45° против часовой
стрелки.
9.	Прямоугольник ABCD при повороте на 170° против часовой стрел-
ки вокруг центра D отображается на прямоугольник A\B\C\D\,
АС -* AtCi. Чему равен острый угол между этими прямыми?
342
10.	Даны две прямые х = 3 и у = 2. Укажите координаты точки на оси
Ох, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на
другую.
ВАРИАНТ 2
1.	Прямые а и b пересекаются под углом а. При некотором движении
а -* <21 и b -♦ Ь\. Чему равен угол между прямыми <21 и Ь\ ?
2.	Назовите треугольник, который имеет более одной оси симмет-
рии.
3.	Прямые у= — 2х + b и у = кх + 1 симметричны относительно
начала координат. Найдите к и Ь.
4.	Какие правильные многоугольники имеют центр симметрии?
5.	Параллельный перенос задан парой точек О (0; 0) -> Р (3; 0). За-
пишите координаты образа точки Т (— 2; 5).
6.	Существует ли параллельный перенос, при котором одна сторона
треугольника отображается на другую его сторону?
7.	При некотором параллельном переносе параллелограмм ABCD
отображается на параллелограмм At Bt Ct D{. Общая часть этих па-
раллелограммов есть некоторый четырехугольник. Определите
его вид.
8.	Начертите прямую b и отметьте точку О вне ее. Постройте об-
раз прямой b при повороте вокруг точки О на 60° по часовой
стрелке.
9.	Параллелограмм ABCD при повороте на 160° по часовой стрелке
вокруг центра А отображается на параллелограмм AB\C\D\,
BD -* Bi D\. Чему равен острый угол между прямыми BD и Вх Dt'!
10.	Даны две прямые х = 3 и у = 2. Укажите координаты точки на оси
Оу, при повороте вокруг которой одна прямая отображается на
другую.
№ 4. Повторение курса 7—8 классов
ВАРИАНТ 1
1.	В треугольнике АВС АВ = 20°. Биссектрисы AAt и CCt пересека-
ются в точке О. Найдите угол АОС.
2.	В трапеции ABCD (AD и ВС — основания) АС — биссектриса угла
А, АВ = 6, AD = 10. Найдите среднюю линию трапеции.
3.	В треугольнике АВС точка Е принадлежит стороне AC, ААВС =
= А ВЕС, АС = 5, ВС = 3. Найдите отношение площадей треуголь-
ников ВЕС и АВС.
343
. 
4.	В трапеции ABCD AC = 4, AD = 8, LCAD - 30°. Найдите площадь
треугольника ABD.
5.	В равнобедренном треугольнике основание равно 8. Высота,
опущенная на основание, равна 3. Найдите высоту, опущенную
на боковую сторону.
6.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), CD ± АВ,
AD = 2, АВ = 8. Найдите АС.
7.	Угол AM В — вписанный в окружность с центром О, LAMB =
= 30°. Радиус окружности равен 5. Найдите периметр треуголь-
ника АОВ.
8.	Из точки М, удаленной от центра окружности О на расстояние,
равное 10, проведены касательные МА и МВ (А и В — точки
касания), Z. АМВ =120°. Найдите МА + МВ.
9.	Точка М, расположенная вне окружности, соединена отрезком
с концами диаметра АВ, МА пересекает окружность в точке Е,
АЕ = 3, ME = 2. Радиус окружности равен 2,5. Найдите площадь
треугольника АМВ.
10.	Хорды АВ и CD пересекаются в точке М, MD = 4, МС = 5,
AM = 2. Какая из хорд расположена ближе к центру?
ВАРИАНТ 2
1.	В треугольнике АВС биссектрисы АА1 и СС1 пересекаются в
точке О, LAOC- 140°. Найдите угол В.
2.	В прямоугольной трапеции ABCD (Z.A = 90°, AD и ВС — осно-
вания) DB — биссектриса угла D, CD = 5, АВ = 4. Найдите
среднюю линию трапеции.
3.	В треугольнике АВС точка К принадлежит стороне АВ,
LBCK = LBAC, ВК=>4, ВС = 7. Найдите отношение периметров
треугольников ВКС и АВС.
4.	В параллелограмме ABCD BD = 10, AD - 6, LBDA = 30°. Найдите
площадь треугольника ACD.
5.	Диагонали ромба равны б и 8. Найдите его высоту.
6.	В прямоугольном треугольнике ABC (Z.C = 90°), CD ± АВ,
AD = 2, DB = 8. Найдите CD.
7.	Угол АМВ вписан в окружность с центром О, LAMB — 45°.
Радиус окружности равен 2. Найдите длину хорды АВ.
8.	Из точки М, расположенной вне окружности, проведены касатель-
ные МА и МВ (А и В — точки касания). LAMB = 90°, АВ - 10.
Найдите расстояние от точки М до центра окружности О.
9.	Из точки М проведена касательная МА к окружности (А —
точка касания), АС — диаметр окружности, МС пересекает
окружность в точке Е, МА = 5. Радиус окружности равен 6.
Найдите АЕ.
10.	Хорды АВ и CD пересекаются в точке М, AM = 5, МВ = 8,
СМ = 4. Какая из хорд расположена дальше от центра?
344
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
§1
1.	1. 1) к =	2) Такого числа нет. 2.. АЕ = ±а + -у#
5	4	4
20	* *♦!-*-*
2.	1.	1)	к =-2)	Такого числа нет.	2.	МР — — т + п.
3.	1.	1)	к = 3; 2) к =	—	2.	DM = ~a +
2	*♦	3	3 >
4.	1.	1)	к = —	2) к = 2.	2.	КВ = | п	— | т.
-*	->	-»	-»	з	-»
5.	1. АЕ = АВ + BE = АВ + ВС =
О
->	3 -*	->	->	3 -*	3 -*	S -*	3
= АВ + £ (АС — АВ\ = АВ + АС — £ АВ = £ АВ + £ АС.
О \	/	О	ООО
Ответ: АЕ = а + К
О о
-*	-*	->	3 -*	3	3 *♦	3
2. DE = BE — BD = “ ВС — ~ ВА = ~ АС. Так как DE = | АС, то DEftAC.
6. 1. ОМ = — т— у п. 2. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. 1.
.. ВО т
ПустьбВ'п’
АО = —— Л1) + —” АО = —- ЛИ +
т + п т + п т + п
2т
->	->	-> 5Jt Лк
АС	(1), АО — кАЕ	= -у- АВ +	-у- АС	(2). Из	равенств	(1) и (2) следует,
п	'	5к 2т	4к	л	т	2	л	ВО	2
что —;—	=	"тг	и	-=-]—;—г- =	-з;-.	Отсюда	—	=	-г-	Ответ:	777г	= —.
т+п	9	5(т + п}	9	п	1	OD	1
2. Пусть продолжения сторон АВ и CD пересекаются в точке О. Тогда
ОА = к\ОВ и OD = к\ОС‘, ОМ = к2ОВ и OD — k2ON. Отсюда ОВ — у- ОМ и
*2
ON = 4- OD. Тогда ОА = ~~ОМ и ON = ^-ОС ', NA = О А — ON =
к2	к2	кг
к	м к •+	м к »
= (ОМ —ОС} =7^- СМ. Итак, NA = -Д СМ, значит AN\lMC.
«2 \	/	«2	*2
ЕВ 8
8. 1.	— тгг. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
Di Z1
2. AN = АВ+ ^AD, AM = | AD, BN = AN — AB = AD — AB,
О О	э	о о
NM^ AM —AN = 4x^D—^ АВ. Тогда BN « 5 (AD — 1	« SNM.
JO O	130 о j
Имеем: BN = SNM. Это означает, что точки В, N и М лежат на одной прямой.
345
§2
1.	I. 1) iT{5; — 4}; 2) ZT{0; — 3}. 2. OB = 2г*—2/Гз. 1) аЧ ?Гимсет координаты
{— 1; 4}; 2) да, будут.
2.	1. 1) т {— 3; 7}; 2) р { 4; 0}. 2. ОТ = — 5г*— 5р 3. 1) {— 4; 2}; 2) да, бу-
дут.
3.	2. АВ = 8гГ ОВ = 4i*+ 3/Г ОА = —4г*+ 3/Г 3. 1) т {— 7; — 1}; 2) сонаправ-
лены.
4.	2. МР = — 30/ТОЛ/ = — 8г*+ iS^OP = — 81*— 15/Г3. 1) а{17; — 8}; 2) про-
тивоположно направлены.
_>	3	а/З »-» з ~	а/3 -	2
5.	1. {3; — 1}. 2.	ОМ = — ai + —т— i,BN =	—— aj +	—т— j.	3.	m = — =.
44	4	4	5
, ,	7* 3m mV3 _ 3m mV3 +
6.	1. {8; — 10}. 2. AE = —-r-1--—j, Bt = ——— i--7—J-	3.tn - 0.
4	4	4	4
7.	1. Очевидно, что /Г{3; 4}, ~р = xa + у& Так как а{3\— 1} и ZT{1; — 2}, то
р*{Зх + у; — х — 2у}. Отсюда следует, что
| Зх + у = 3
[ — х — 2у = 4
Тогда х = 2,у = — 3. Ответ: jp = 2а — ЗК.
2.	ЕAMВ — прямоугольный. Пусть МК ± АВ. Тогда легко найти, что АК =
25	60 о .-*	25	60
= тзи мк=тз- Отс,ола' лм
3.	{5; —8}.
8.	1. а =—+ 3 ^адача Решастся аналогично задаче 7 (1).
2. Находим высоту АЕ треугольника ABC. AF—^-; FC = V36 — 4^ =
Так как АЛКО подобен &AFC, то ~ = и =	= ОА — ОК —
Аг гС	4
9 -►	“*	9
= —31 — — /.О т в е т: КА = 31 — — j.
4	4
3. {- 7; - 1}.
§3
1.	1. 1) (0;0), (0; 3), (3; 3), (5; 0); 2)	; 3) 1. 2. /17.
2.	1. 1) (0; 0), (0; 4), (—8; 4), (— 2; 0); 2) (—4; 2); (—1; 2); 3) 3. 2. /29.
3.	1. 1) А (— 4; 3), В (4; 4); 2) /б5. 3) 3,5.
2.
-V3T
3
; о
346
4.	1. 1)4 (—8; 8); В (8; —6); 2) 2/пЗ; 3) 1.
2.
' — 6 — 2/301 L — 6 + 2/30
0;----------- или 0;--------5-----
5. 2.
1.3) п-
2’2 ’	2 '
6. 2.
R з-
Указание. Необходимо доказать, что треугольник АВС равносторонний.
3 л
7. 1. С (2,5; 4). 2. Нет, не лежат. 3.	—
8. 1.
-Л 5 121
Р (— 1; —31). 2. Да, лежат. 3. ej—13* Уз г
§4
1.	/109.
2.	/53.
3.	/19.
4.	/185.
5.	Поместим треугольник АВС в прямоугольную систему координат так, чтобы
вершина С совпала с началом координат, а вершины А и В располагались на
положительных полуосях Оу и Ох соответственно. Используя свойства биссектрисы
СМ _ 3	„	3	\
угла треугольника, находим -ггг. — Тогда СМ = — им х; 0 . Пусть Е — середина
Ivl 15 О	X 1 X J
АВ. Тогда Е ^2; и ME -	Ответ:	•
3	-
6.	/^0- Указание. Необходимо поместить трапецию в прямоугольную си-
стему координат так, чтобы вершина А совпадала с началом координат, а вершины
В и D располагались на положительных полуосях Оу и Ох соответственно. Из
(4	\
4). Дальнейшее решение очевидно.
7. Поместим треугольник АВС в прямоугольную систему координат. Пусть
Л (0; 0), С (а; 0) и B(b,h). Рассмотрим медиану BE и точку М на ней, такую,
чт0 = Т- Зная координаты точек В (b', h) и Е |^; 0| находим координаты точки
ME 1	12	1
(а+ b h\
М: М I—g—I. Рассмотрим теперь медиану AF и точку М] на ней такую, что
АМ\ 2	(а + b h\
“ у- Зная координаты точек А (0; 0) и F I—-—; — I, находим координаты
347
точки М[: Мj	; —j . Отсюда следует, что точки М и совпадают. Аналогично
поступаем и с третьей медианой. Этим доказывается, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1.
8. Поместим прямоугольник ABCD в прямоугольную систему координат. Пусть
А (0; 0), В (0; £), С (а; Ь) и D (а\ 0). Рассмотрим на плоскости произвольную точку
М (х;у). Имеем:
МВ2 + MD2 = х2 + (у — />) 2 + (х — в) 2 + у2 = 2л2 + 2/ — 2ах — 2by, (1)
МА2 + МС2 = х2 + у2 + (х — 2) 2 + (у — Ь) 2 = 2Х2 + 2у2 — 2ах — 2Ьу. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, что равенство МВ2 + МЕЗ2 — МА2 + МС2 не
зависит от* положения точки М.
§5
1. 1. 1) С (2; — 4), R- 2Vs; 2) да, проходит.
2. 2) (х + 2) 2 + (у + 2) 2 = 4.
2.	1. 1) С(—1; 2), /?-2VT0; 2) да, пересекает.
2.	(х - 3) 2 + (у + 3) 2 = 9.
3.	2. (х + З)2 + (у — VI)2 = 3.
4.	1. Да, является. 2. (х — 2) 2 + (у + 2л4з) 2 = 4.
5.	1. Окружности пересекаются. Указание. Необходимо доказать, что рас-
стояние между центрами этих окружностей меньше суммы их радиусов и больше
модуля их разности.
2. Легко увидеть, что треугольник АВС — равнобедренный, причем АВ =
- ВС = 5 и АС - 8. Неравная высота треугольника равна 3. По этим данным находим
4
радиус вписанной в этот треугольник окружности: г = Находим координаты центра
этой окружности Oi [ 0; -х]. Отсюда уравнение искомой окружности имеет вид:
*2 +	3 J	9 ’
6.	1. Окружности касаются. Необходимо доказать, что расстояние между цент-
рами этих окружностей равно сумме их радиусов.
/	।\2	625
2.	|х — 7г| + у2 = -ту. Задача решается аналогично задаче 6 (2), при этом
\	°/	о4
радиус описанной вокруг треугольника окружности равен Зтг.
О
348
7.	1. Поместим квадрат ABCD в прямоугольную систему координат так, чтобы
центр квадрата совпадал с началом координат. Пусть А (— а; а), В (— а; — а),
С (а; а) и D (а;— а). Уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид:
j^ + y2 = а2. Выберем на окружности произвольную точку М с координатами х и
у. Тогда МА - ^(х + а)2 + (у + а)2, МВ =	+ а)2 + (у — а)2, МС =
= (х — а)2 + (у — а)2 , MD = ^(х— а)2. Учитывая, что х2 + у2 = а2, имеем
Л/Л2 + МВ2 + МС2 + MD2 — 12а2, где 12а2 — величина постоянная.
2. (х-5)2+ (у-4)2 = 4.
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. (х-3)2 + (у- I)2 = 9.
§6
1.	1. х = 9. 2. у + х — 1=0.
2.	1. у = 10. 2. Зу — х —14 = 0.
3.	1. 5у + х — 12 = 0. 2. 9 кв. ед.
4.	1. Зу — х = 0. 2. 4 кв. ед.
5.	1. Пусть через точку С (3; 4) проведена прямая АВ, перпендикулярная к ОС,
причем точка А принадлежит положительной полуоси Оу, а В — положительной
полуоси Ох. АОСВ — прямоугольный (LOCB- 90°). Проведем CD ± ОВ. Очевидно,
25	/25 \
что OD-3, a CD -4. Тогда легко найти длину ОВ: ОВ = -^- и В l-g-jOl. Зная
координаты точек С и В, можно написать уравнение прямой.
Ответ: Зх + 4у — 25 = 0.
о с1
2. 5— кв. ед.
6.	1. 2у — х — 2 = 0. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
2. 10 кв. ед.
пересекает оси координат в точках А (0; 5) и В
7.	1. Прямая у — кх — 5 = 0
oj , ОА = 5, ОВ = jjj-. Проведем ОМ ± АВ. ОМ — расстояние от начала
- ОА ОВ 25	5
координат до прямой. ОМ-----м------R|V„+ Щ ’ТРТТ'
к2
5	4
По условию 1 = 3. Отсюда к =
2. Зу + х — 5 = 0. С (2; 1).
349
8.	1. т = ± Указание. Необходимо учесть, что медиана прямоугольного
треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. 7у + х + 4 = 0.
§7
1. 1. Прямая и окружность не имеют общих точек.
2. Две окружности с центром в начале координат и с радиусами, равными 7
и 1.
2. 1. Окружность и прямая имеют одну общую точку.
2.	Прямая х = 4.
3.	1. Прямая и окружность не имеют общих точек.
(	2\2	16
2. Окружность х2 + у + — I =
4.	1. Окружность и прямая имеют одну общую точку.
2.	11рямая 8у — 6х + 3 = 0.
5.	1.	. Указание. Необходимо найти расстояние от центра окружности
(0; 0) до прямой 1у + х — 4 = 0. Зная радиус окружности и расстояние от се центра
до хорды, легко найти длину хорды.
2. Окружность с центром в середине отрезка АП и радиусом, равным 1.
?	?	169
6. l.x + уг = ~2^~- Указание. Необ-
ходимо найти расстояние от центра окруж-
ности (0; 0) до прямой 4у + Зх — 12 = 0.
Зная расстояние от центра окружности до
хорды и длину хорды, находим радиус ок-
ружности.
2. Пусть А (— 2; 0) и В (2; 0). Иско-
1
мым множеством является прямая х = %-
7- 1. Для решения задачи нужно найти
расстояние от точки С (5; 4) до прямой
Д' + 2у — 3 = 0. Па рисунке 63 BE = 2,
3
СЕ = 4, ОВ = 3, ОА - —. В таком случае
&СВЕ подобен А, АО В. Поэтому, LABO +
350
+ LCBE - - 90°. Отсюда СВ ± АВ и СВ — расстояние от точки С до прямой
у = — — х + ; СВ — V16 + 4=2 у[5 . Так как длина хорды равна 8, то R =
V^20 + 16 =6. Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид:
(л- — 5) 2 + (у — 4) 2 = 36.
2. Поместим прямоугольный треугольник АВС в прямоугольную систему ко-
ординат так, чтобы вершина прямого угла С находилась в начале координат, а
вершины А и В на положительных полуосях Оу и Ох соответственно. А (0; а) и В
(/>; 0). Рассмотрим произвольную точку М (х;у), МА2 = у? + (у — а)2,
МС2 = х2 + у2,МВ2 = (х — b'j2 + у2. По условию МА2 + МВ2 = 2МС2, а поэтому
х2 + (у —а)2 + (х — Ь)2 = 2х2 + гу2.
Отсюда 2ау + 2Ьх = а2 + Ь2 — уравнение прямой. Ответ: прямая.
8. 1. ——. В задаче используются идеи, рассмотренные при решении задачи
7 (1).
2. Задача решается аналогично задаче 7 (2). Если положить А (0; а) и
„	_	(	Ь\2 . ( . а\2 За2 -Ь2 А
В (о; 0), то получим: х— тН + У +	=----------• А это есть уравнение ок-
ружности (Ь < а/З}. Ответ: окружность.
§8
1.
1. 1 см2. 2. 4 см.
2.
. л 27VJ 2
1. 4. 2. —-— См
4
см .
3.	1. —sin 2а. 2. 20 уГЗ см2.
4.	1. 4sin «. 2. 15 V^2 см2.
5.	1. 36^3 см2. 2. 75°; 105°; 105°; 75°.
6.	1. 30° или 150°. 2. ~m2sin2 crsin2a.
7.	1.
^Л ОБ _ АО &АОР _ АО
$БОС ОС' SCOD ОС
Отсюда:
$АОБ _ $АОР $АОБ _ 60
$вос Scop' 20	40’
С другой стороны, SAOu = ОА -АВ sin LB АО. Тогда s\nLBAO = .	~ = 4. В таком
X	1 М * 1
случае, LBAO = 30° или LBAO=\50°, но второй случай невозможен, так как
LAOB>31°. Ответ: 30°.
351
2. Пусть BD = x. Так как SABC “ sabd + Spec, то
ab sin а = ха sin Д + xb sin (а — Д).
л	об sin а
Отсюда: х = ——д-- , •:
a sin р + Ь sin (а — р)
8. 1. 135°. 2. —-------jit— ----;---. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
п sin (а + р\ — т sin а	*
89
h sin Д
sin a sin (а + /3) '
3.
1.
d2 sin a • sin
sin (a + Д)
—. 2. 10 cm.
л . m2 sin2 a-sin 2B _ ,
4. I. ------x~.---——. 2. 6.
2 sin2 (a + f}\
_ , sinysm/a+/n „ £	„	BD
5.	1. ——д . v—, 1 . Необходимо найти отношение -=-7?, применив теорему
sin р sin hz + p)	DC
синусов для треугольников ABD и ACD.
3	ВС	9 • 5
2.	sin Л - —. ВС - 2R sin А. В таком случае R = -х—:—- =	= 7,5.
5	2 sin А 2-3
Ответ: 7,5.
h sin Д-sinla + Ы
6.	1. п ;------к—;—2. Задача решается аналогично задаче 5 (2).
2 sin(a + р) -sin а
7.	1. Из ААВМ имеем:	——. ..... = ——а из ДАСА/ —
sin LABM sin 20
AM AC ,,	sin Z.ACA/ sin 30°
——,	Учитывая, что AB = AC, получим: ——;	= —	< >• Пусть
sin Z.ACM sm 30	sin Z.ABM sin 20
Z.MAB = x. Тогда A ABM = 180° — Or + 20°), LCAM = 60° — x и LACM - 90° + x. Из
равенства (*) следует, что	= 2^2^' Далее sin (х +	=
= 2 sin 20° -cos х; sin (х — 20°) = 0 и х = 20. Ответ: 20°.
2.	0^--"—П ) s‘n^s‘n <?. Пусть ABCD — трапеция и ее основания AD и ВС
2 sin 1 а + р\
соответственно равны т и п, LBAD = a, Z.CDA=p. Необходимо’через вершину В
352
провести прямую, параллельную CD до пересечения с AD в точке Е. После этого
рассмотреть треугольник АВЕ, где Z.4 = a, Z.BEA и АЕ = т — п.
8.	1. 30°. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
a — ft
a cos—
2. s-n (а + ру Необходимо рассмотреть треугольник АКС и учесть, что
LAKC -Z.B-a.
§ Ю
1.	1. 14 см. 2. Тупоугольный.
2.	1. /29 см. 2. Остроугольный.
3.	1. 7. 2. 60°.
4.	1. 2/7. 2. 120°.
Ю/ТвЗ
61
2. 1) По теореме косинусов 225= 169+ 196 — 2-13-14-cos а. Отсюда
- 35	.	84 _	D 15-91 455
cos cr = jjz- и sin a = —. Так как 15 = 2R sin а, то R = -ууцу “
xl	1	Z’OH DO
2)	Можно воспользоваться формулой R = а площадь треугольника найти
по формуле Герона. Ответ:
О
6.	1. /21 .
2.	15. Можно по теореме косинусов найти, например, косинус угла, лежащего
12
против стороны, длина которой равна 25. cos а = —,	тогда
Л = 39 sin а = 39= 15. Проще же найти площадь по формуле Герона и тогда
,	25
воспользоваться тем, что па в —.
и л
7.	1. Соединим концы хорды АВ с центром окружности. Из треугольника имеем:
ВМ2 = R2 + ОМ2 — 2R-OM-cos Z.BOM, а из треугольника МО А : МА2 =
= R2 + ОМ2 — 2R- ОМ cos LAOM. Так как АВЦСО, то LAOM - 180° — Z-BOM и
cos LAOM = — cos Z.BOM. Тогда, сложив полученные равенства, имеем:
МА2 + МВ2 = 2R2 + 2ОМ2, т. е. эта сумма не зависит от положения хорды АВ.
2.	По теореме косинусов с2 = а2 + Ь2 — 2bc cos С, а = 2R sin А,
b = 2R sin В, с = 2R sin С. Тогда
123ив Б. Г.
353
sin2 С = sin2 A + sin2 В — 2 sin A sin В = cosC,
no
sin2 C = 1 — cos2 С и sin2 A = 1 — cos2 A.
Отсюда cos2 A = cos2 C + sin2 В — 2 sin A-sin В-cos C.
8.	1. Пусть ME ± AB и MD ± AC, ME = a, MD-b. Так как в четырехугольнике
AEMD сумма противоположных углов равна 180°, то около него можно описать
окружность, диаметр которой равен AM. LF.MD = 180°—а. Из треугольника EMD
имеем:
ED = уГа? + />2 + 2ab cos а.
у/ а1 + Ьг + 2aZ> cos а
С другой стороны ED = 2R sin а - AM- sin а. Тогда АМ =---------sirTo-------'
уГа? +	+ lab cos а
Ответ: -----------:----------.
sin а
2.	Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§И
1.	1. а» 0,17, с» 0,31, Z.C» 78°. 2. » 41°25’.
2.	1. а» 13,8, Z.C» 4Г47’ , Z.P» 88°13'. 2. » 1,6.
3.	1. а» 9,2, LB~ 30°2Г, Z.C» 124°9'. 2. » 61,5.
4.	1. Z.A- 64“44', LB~ 73°24', Z.C» 4Г52'. 2. « 475,8.
5.	1. а» 11,3, />» 9,7, с» 11,6, Z.C-66". 2.» 5,6.
6.	1.	2,32, Ь~ 1,47, с» 1,33, LC- 32°. 2.« 1,6.
7.	1. Pi» 145,6 или Рг» 74,2.
2.	» 93°9'. Из треугольника АВС находим угол ВАС, а из треугольника ACD
— LCAD. В таком случае LBAD известен. Тогда из треугольника ABD можно
найти BD, а затем и LABD. После этого из треугольника АВО легко найти и
LAOB.
8.	1. 4’1» 627,4 или 52s® 119,9.
2.	» 11,8. Из треугольника АВС находим АС, а затем и LACB. После этого
находим LACD и тогда из треугольника ACD находим AD.
§12
1.	1. 1) 0; 2)	3) 1. 2. » 8Г52'.
2.	1. 1) —	2) Ь 3) —	2. » 98°8'.
2	4	2
354
3.	1. 1) 32; 2) —9; 3) 0. 2. » 120°58'.
4.	1. 1) 128; 2) - 72; 3) 0. 2. » 146°19'.
5.	1. 1) 9; 2) — 24; 3) — 12. 2. » 36°52'.
6.	1. 1) 75; 2) — 156; 3) 75. 2. « 56°19'.
7.	1. Обозначим Z.CDA=a. Тогда
АВВС + CDDA + BCCD + DAAB = 0 + 3-CDcoscr + 5CD(— cosa) + 0 =
= CD cos a - (3 — 5) = — 2CD cos a.
Ho CD cos a = AD — BC = 2. Ответ: — 4.
2V3?
2- —
8.	1.— m2. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
8 VJ
2. ——. Необходимо найти угол между диагоналями АС и BD и площадь
трапеции по формуле ± did? sin а, где а — угол между диагоналями. Дальнейшее
решение очевидно.
§13
1. 1. 2/10.
2. 1. 2/19.
5. 1. BCAD + САВЕ + ABCF=^(BC (АВ + АС} + С А {ВА + ВС} +
+ АВ(СА + СВ)) = ^(ВСАВ + ВС АС + АВ АС — ВС АС — АС АВ —
— АВ ВС) = 0.
2. CD = ± (СА + СВ} и АВ = СВ — СА. Из условия следует, что
CD2>| АВ2. Тогда:	А + СВ}2>^СВ — СА}2, 2СА• СВ> —2СА СВ и
СА-СВ>0. Следовательно, Z.C — острый.
6. 1. Из условия следует, что АС2 + ВС2 — ± АВ2,АС2 + ВС2 =
= | (АС — ВС} 2, АС2 + ВС2 = | АС2 — АС ВС + |яС2, 2АС2 + 2ВС2 =
= АС2 —-2 АС-ВС + ВС2, АС2 + 2АС-ВС + ВС2 = 0. Отсюда (АС + ВС} 2 = 0 и
значит АС + ВС = (Г.
355
2. CD = | (СВ + CA), AB = CB — CA, CD AB = | (СВ2 + CA2). Так как
—> —>	—>	—>
BC>AC, то CDAli>0 и угол между векторами CD и АВ острый. Следовательно,
Z.BDC — тупой.
JE 1. Предположим, что МА2 _+ МС2 = МВ2 + MD2.^ Тогда МА2 + МС2 =
= МВ2 + MD2. Составим разность МА2 + МС2 — МВ2 —MD2. Имеем:
(МА + Л/D) (МА — MD} (МС + Л/В) (МС — МВ} =
= (МА + MD} DA + (МС + МВ} ВС = DA-(МА + MD — МС — МВ} =
= DA-(ВА + CD} = 2D А-НА = 0.
Отсюда обратными преобразованиями получим искомое равенство. При доказательстве
было использовано то, что DA = СВ и DA ± ВА.
2. Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD (AD и ВС — основания),
LBAD = 90°. ACBD = 0, так как по условию AC ± BD,
(АВ + ВС}^ (AD — AB} =0, AB-AD + BCAD — АВ2— ВС АВ =
= 0, 0 + BCAD — АВ2— 0 = 0.
Отсюда следует, что ВС-AD = АВ2 и АВ = VВС• AD. При решении учли, что
АВ X AD, ВС X АВ и ВС сонаправлен AD.
8. 1. Предположим, что АС2 + BD2 = AD? + ВС2 + 2 АВ-DC. Тогда:
АС2 + BD2 = AD? + ВС2 + 2AB-DC (АВ f t DC} •
Составим разность: АС2 + BD2 — AD2 — ВС2 — 2АВ • DC.
Имеем:
(АС — AD} (АС + AD} + (BD — ВС} (BD + ВС} — 2 АВ-DC =
= DC (АС + AD} + CD (BD + ВС} — 2ABDC =
= DC (AC + AD — BD —ВС} —2 AB-DC = DC (AB + AB} — 2AB DC =
= 2AB DC = 0.
Отсюда обратными преобразованиями мы получим искомое равенство.
-»	-»	-»	1 -»	> -»	1 з -»
2. AD = BD — ВА = ВС — В А,BE = 4 ВА + ~ ВС,
2	4	4
(1 -*	\ 11 -*	3~*\
4вс —ВА 4ВА + 4ВС =0,
2	j 14	4 1
~ВС ВА — уВА2 + |вС2 ^ВС ВА = 0, |вС2 — уВА2 — ^ВС ВА = 0.
8	4	8	4	8	4	8
3,1	51	•>
Пусть ВС - л, тогда -z-jr — —• 4 — -^х-2-— = О.Злг — 5х — 8 = 0. Отсюда
о 4 о Z
2	2
х = 2—. Ответ: ВС = 2—.
356
§14
1	'• 162‘-2-
2.	1. 10. 2. />V3; 2b.
3.	1. /1 = 3.
4.	1. л = 6.
2	1
5.	1. 72 см . Необходимо доказать, что $двс = $а вс def •
2.	л/У — 1. Необходимо оказать, что EODE — равнобедренный и рассмотреть
подобие треугольников АОЕ и ADE.
6.	1. 24 см2.
2.	yfs + 1. Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2).
7.	1. Правильные треугольники, четырехугольники и шестиугольники.
2.	На рисунке 64 CQ = PD - DN = AM = АК = BL = BF = СЕ. По условию длина
этих отрезков равна половине диагонали квадрата. Пусть сторона квадрата равна а.
сгП. .	a V2.	гк
Тогда СР = DQ = а — —и PQ — а — 2(а------------—) = #*2 — а. Очевидно, что
MN = KL = EF— PQ. Из треугольника FCP следует, что FP = а /2 — а. Тогда можно
утверждать, что стороны многоугольника FPQMNLKE равны между собой. Кроме
того, углы этого многоугольника равны 135°. Следовательно, данный восьмиугольник
является правильным.
8.	1. Да, стороны должны быть равными.
2.	На рисунке 65 пара параллельных прямых а и а.\, Ь и Ь\ пересекают
прямоугольник AiBjCjDi так, что образовался правильный шестиугольник ABCDEF,
причем F и С — середины сторон А[В[ и С] Dp Пусть сторона шестиугольника
х
равна х. В прямоугольном треугольнике AB[F Z.B\AF = 60°. Тогда В\А^~ и B\F =
Х>Г5	гк
= —2~. Отсюда следует, что BjCt = 2х и А]В] = xv3. Следовательно, стороны
прямоугольника относятся между собой, как : 2.
357
§15
6. 1. Я V2 —VI, 2Я2 72. 2. | (
1.	1. 18 см, 9 V3 см2. 2. ^г.
2.	1. 24 см, 24 <3 см2. 2.
, . У5£ 3g 72	3
Л ’ 2 ’	8 ’	4’
4.	1.	|<2^. 2. i
5.	1. Л 72 —72, ЗЯ2. 2.
3-7J).
7. 1. Площадь четырехугольника А^А^АуА^ равна ^Л|Л-ЛсЛ8, А\Ау « 2Я,
ЛбЛ8 “Я, S “^-2Я Я = Я2. Но легко доказать, что Я = а. Значит, S-a2.
2. Опишем вокруг трапеции окружность. Углы при большем основании равны
75е. Так' как диагонали взаимно перпендикулярны, то Z.CAD - LBDA - 45°. Тогда
LBAC - 30° и ВС  60°. В таком случае, радиус окружности равен а. С другой
стороны угол между диагоналями равен полусумме дуг ВС и AD. Поэтому
AD = 120° и AD-ауГз. Дальнейшее решение очевидно. Ответ: —.
8. 1. ahfl. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Трапеция ABCD, где AD и ВС — основания, вписана в окружность радиуса
Я, <jA11 = vCD= 60°, vj ВС “ 90° и о AD = 150°; vj АС = о АВ + ВС «
ш 150°. В таком случае AD — AC. LCAD- 30° и CD-R, так как kJ CD" 60°. Пусть
AC - AD - л. По теореме косинусов имеем:
Я2 = 2х2 — 2х2-^, х2 = Я2 (2 + ТУ).
Угол между диагоналями АС и BD равен 120°. Тогда Sabcd “
1 7 73 _ х2 73	_ Я2 /
? Т ~4~,т'е‘ «Л»сп-Т(3+ 2V3J.
$16
1.	1. 16 V12 см. 2. «40,3 дм.
2.	1. 18 V3 см. 2. «6,23 см.
3.	1.	‘ (4 + 3 V3). 2. 32 см.
4.	1.	(V2 + 1). 2. 2 см.
358
5 2 Л
X * 4‘
6. 2. I.
7. 1. -2. 12 (VJ + я) дм.
= LBO2C~ 120".
Необходимо доказать, что LAO\D-
8. 1. с — 1) . 2.	(2л + 3 <3)
см. Задача решается аналогично задаче
7 (2).
8 »7
1.	1. 2. 2. » 161,9 см2.
2.	1. 3. 2. « 197'18'.
п2
3.	1. (6 — я) см2. 2.	(4л — 3V3) .
4.	1. -1о8„т:..?6я. 2. ^(2л -3<3).
5	1. —
э.1. 4 .
2
2. -$Q. Необходимо доказать, что площадь фигуры равна площади сектора с
дугой ВС.
6. 1. 4. 2. 2Q. Задача решается аналогично задаче 5 (2).
г2
7. 1.	(24 уГЗ— Ил). Необходимо доказать, что Z-AOi С -120°, a LBO2C-=
- 60°. Площадь искомой фигуры равна площади трапеции	без площадей
двух секторов АО\С и ВО2С.
агС^
2.		=-. Треугольники ADC и CBD подобны и радиусы вписанных окружностей
4л Zr
относятся между собой как b : а.
- „ ,	R
3.	Необходимо построить окружности с радиусами, равными и
8. 1. — (5л — 6V3). 2. Необходимо доказать, что радиус вписанной окруж-
д
ности г в — и затем найти площадь фигуры, состоящей из четырехугольника OCOi D
и сектора CEDO[, дуга которого равна 240°. Дальнейшее решение очевидно.
пг(?
2.		=-. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
4л nr
359
3.	Необходимо построить прямоугольный треугольник с катетами /?! и Л2» а
затем на гипотенузе построенного треугольника, как на катете, построить еще один
прямоугольный треугольник с катетом R$. Гипотенуза последнего треугольника и
будет являться радиусом искомого круга.
§18
5.	1. Решение показано на рисунке 66. 2. 2 см или 10 см.
2	3
6.	1. Решение показано на рисунке 67. 2. или —.
7.	1. Необходимо построить окружность, симметричную относительно прямой I,
например, с центром О. Дальнейшее решение смотри на рисунке 68. При данном
расположении окружностей и прямой имеется две пары симметричных точек X и
Х{, У и Kj.
8.	1. Необходимо построить прямую Ь\, симметричную прямой Ь относительно
центра О. Дальнейшее решение смотри на рисунке 69. При данном расположении
360
прямых а и b и центра О имеется одна пара центрально-симметричных точек X и
Х1.
§19
3.	2. 15 см.
4.	2. 8 см.
5.	1. Пусть А -» 41 и Z)-» D\. Так как при движении сохраняются расстояния,
то следует провести окружности с центрами в точках А\ и D\ и радиусами, равными
АХ и DX. Точка пересечения этих окружностей, располагающаяся ниже прямой
Ai D\, и будет искомой точкой X].
2.	Предположим, что трапеция ABCD построена. Осуществим параллельный
перенос диагонали BD на вектор ВС. Пусть BD -»CD\. Треугольник ACD\ —
прямоугольный (Z.ACDt = 90°) с известными катетами АС и CDt. Отсюда вытекает
построение: строим прямоугольный треугольник ACD\ по двум катетам, равным
данным отрезкам. Затем через точку А строим прямую, перпендикулярную AD\ и
через точку С прямую, параллельную AD\. Точка их пересечения и есть
вершина В. После этого отрезок СО] параллельно переносим на вектор СВ, при
этом Dt -* D. Трапеция ABCD — искомая.
6.	Задача решается аналогично задачам 5 (1,2).
7.	1. Опустим перпендикуляры О[ F и OiF (рис. 70) на прямую т. Осуществим
параллельный перенос окружности с центром О2 на вектор EF. Полученная окруж-
ность пересекает окружность с центром в точке О[ в точках А и В. Через эти точки
проведем прямую /. Эта прямая пересекает окружность с центром в точке О2 в
точках Л] и Др Легко доказать, что АВ*=А\В\.
2. Пусть АЕ и CF медианы треугольника АВС, причем АЕ= CF. Осуществим
параллельный перенос медианы CF на вектор FE, при этом FC -» ЕС\. Мы получим
равнобедренный треугольник АЕС\. Отсюда следует, что LEAC\ = Z-EC\A. Так как
LFCA - LEC\A, то LEAC = LFCA. Дальнейшее доказательство очевидно.
361
. 
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
2. Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и ВС. Р — середина ВС,
а К — середина AD. Осуществим параллельный перенос АВ на вектор BP, a CD
— на вектор КР. Тогда ВА -♦ РА\, a CD -♦ PD], треугольник AjPDj — прямоугольный
(LAiPDi -90°) и РК медиана этого треугольника (докажите!), PK-^A\D\. Даль-
нейшее доказательство очевидно.
820
1. 1. AB-AiBt.
2. 1. \уАВ -
5.	1. Следует осуществить поворот окружности с центром в точке О] относительно
центра О на 60° против часовой стрелки.
2.	Пусть прямая I пересекает стороны АВ и АС соответственно в точках Е
и F, а прямая т — стороны ВС и АС в точках Р и К. При повороте вокруг центра
О на 120° АВ -» АС, АС -» ВС и / -» т. Очевидно, что Е -* К и F -* Р. Тогда
EF-> КР и EF-KP.
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1,2).
7.	Необходимо осуществить поворот прямой а относительно центра Р на 60°.
Построение показано на рисунке 71.
Рис. 71
2.	При повороте на 90° относительно центра А Р -> В \л С -> М. Следовательно,
PC -» ВМ и PC - ВМ и PC ± РМ.
8.	1. Задачи решаются аналогично задачам 7 (1,2).
362
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К РАБОТАМ НА ПОВТОРЕНИЕ
№1
1.	1. 3) 4^; 4) 9^; 5)
2.	1. 3) S±; 4) 4.8; Я
3.	I. 3) 4-i. 2f£. 30; 4) 3, 15; 5)
1 /	1 /	&СКБ
4.	1. 2) 14; 3) 24; 5) 36/З.
г- 7
5.	1. 3) 1,6; 4) 6V3. 5) L^-.
6.	1. 3) 4, « 2,2, « 4,8; 4) -^—«0,8; 5) «5,9.
РаВС
№2
1.	2) 20; 3) V41; 4) «28° 13' . Воспользоваться тем, что
Sapck = |лС РК ып LAOK.
2.	1) 50; 2) 8; 4)
12	4
3.	2)	3) 36°52' ; 4) 32. Необходимо найти cos LODF =
4.	1) 20, 200; 3) 10 VI. Необходимо учесть, что если ВР — высота трапеции,
то длина отрезка PD равна ее средней линии. SABCn = РВ2, так как из условия
следует, что LBPD — равнобедренный. 4) 8 VI, 12 VI. Необходимо доказать, что
гс.Л«^вс.
5.	2) 9,6; 3) «73°44* ; 4) «44,2. Для нахождения площади прямоугольника
можно найти sin LMOF » sin LB AD — 0,96.
6.	1) 2; 2) 4л; 3) /4?, V?37; 4) «58°39°.
№3
1.	1) 10 VI; 3) »28°58', «24Г02'.
2.	1) 7; 2) 2/6; 3) «78°28'; 4) «13,7.
3.	2) 6; 3) 3/5; 4) «19°28'.
4.	2) 4; 3)	4) «92°23' .
363
г
5.	1) 4 : 5 : 3; 2) 4; 3) 8 /3; 4) 4 (/3 + 1).
6.	1) 2/3, 2/6; 2) 120°,	3)	—/3; 4) 2/2.
№4
-►	2	7	4
1. 1) D (— 2; — 1);	2) ЕВ = ^АВ — AD\ 3) «81°2';	4)у=—^х+|;
-»	2 *	1 ->
2. 1) Треугольник прямоугольный; 2) AM = —^СА + ~СВ\ 3) »35°45';
4) у = —~х + JY ,(х — 1)2 + (у — 9)2 = 50.
3.
1)
->	3 ->	1 ->	/2	\	-►	5
AM = - АВ + ?AD\ 2) Н 2 ; 3) АН = Г+ 2/Г 4) «88°6', « 15.
1)
«18,6; 2) 4,
(х — 4)2 + у2 = 16; 3) »55”18'; 4) ОВ = — ^ОА — ^ОС.
\	•	о о
5. 2) 200; 3) 43°36', «136°24'; 4) (х— 3)2+ (у— 2)2=^-
6. 1) ВМ = ^ВС + ^ВА-, 2) К	21; 3) о|-4) «129°48'.
364
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№1
1.	1. 1) АВ = Г+ 6/Г 3) х= 1. 2. 2) 3. 3. Одну общую точку.
4*. а+К имеет координаты	{—3; —1}, а вектор с*{6; 2}. Тогда
?= — 2?— 2/Г
3	5
2.	1. 1) А (— 3; 7); 2) (— 2; 5,5); 3) у = -|х +
2.	а = 6 или а = — 4.
3.	(х — II)2 + у2 = 36.
4*. Так как of то а — к^, где k>Q. Пусть <?{х; у}. Тогда
х — —к, у = 2к, у/к1 + 4кг — 1^9 +16. Так как к>0, то к = V^5.
Ответ. (1{—v^5;2v^5}.
3.	1. 1) ЕМ = ЗГ+ 7л 3) у----3. 2. 1) (3; —1).
3.	Две общие точки.
4* Г= 2т — 2п.
4.	1. 1) F(4; —5); 2) (1; —2); 3) у = - х— 1.
2. т - 7 или т = 1.
3. х2 + (у + 6) 2 = 16.
№2
1. 1. АВ~25,5, 4C«24, Z5 = 65°, Я-13,2.
2. /7F«6,3, 5«=7,4.
□* с - fl2sin2 3(2
О •	»
2 sin а
2. 1. 4С«7,4; ZX~39°25', ZC®30°35'.
2.	S«75,4; R - 5.
3*. РК = 4 2S sin /3 (sin a sin (a +	.
3.	1. ЯС«5,5, 4Л~12,2, 2.5=110°, Я-8.
2. Z.C5D«41°25'; 5«19,8.
7 . о 3<Z	_
(Г sin4 — • sin 2a
365
4.	1. PM~3,7; ZA/“20°20'; ZP«119°40'.
2. 5—26,3; Л«15,1.
3*. R = V 5 (2 sin a sin/3 sin (a +	
№3
1.	1. 1) —8; 2) —24; 3) 24.
2.	1) ~5°54'; 2) —90.
3*	. o{3; !}.
2.	1. 1) 9; 2) —27; 3) —27.
2.	1) 45°; 2) —40.
3*. BC AD + CA SE + AB-CF = BC — -y — + СЛ — * BC + AB
BC AB + ВС АС + СА ВА AC ВС + AB-BC + CA BA
-------------2-----------------------2-----------= 0-
3.	1. 1) 12; 2) —4; 3) 0.
2.	1) «15°57' ; 2) —36. 3* m {— 2; —4}.
4.	1. 1) 54; 2) —18; 3) 0.
2. «604 5'; 2) 0.
3. MA MC = (MD + DA}  (MB + BC} =
= MDMB + DA-MB + MDBC + DABC= MDMB + DA-MC + MD BC -
= MDMB + DA-MC — DA-MD = MDMB + DA-DC =
= MD MB + 0 = MD MB.
№4
. -	, гх ~ 5л 25л
1. 1. л\ 6 V3. 2. -7Г-, -г-.
2	4
3. -у (л + V 3 J. Площадь фигуры складываем из площади прямоугольного тре-
угольника ВАС с катетами R и R 5^3 и площади полукруга.
4*. Пусть длины перпендикуляров, опущенных из точки М на стороны много-
угольника, равны /], /2, .... /п. Рассмотрим треугольники с вершиной в точке М и
с основаниями, которыми служат стороны многоугольника. Тогда площадь много-
угольника равна ^а„ (1\ + 12 + ... + I,,}, где ап — сторона многоугольника. С другой
366
пап
стороны, площадь многоугольника равна	где г„ — радиус вписанной окруж-
ности. Тогда /] + /2 + ••• + In ~ гп 'п-
2.	1. 48л, 48 V3. 2. 2л, 6л. 3. —(л — 2) . Площадь фигуры можно получить
как разность площади полукруга и площади прямоугольного треугольника, катеты
которого равны яТг.
3.	1. 8л, 32. 2.	, 16л. 3. (я - V3).
4*. Рассмотрим четырехугольник, образованный двумя соседними сторонами пра-
вильного 2л-угольника АВ и ВС и радиусами ОА и ОС, где О — центр многоугольника.
В таком случае, АС — сторона правильного n-угольника. Так как АС ± ОВ, то
1
$оавс ~ -^АС-ОВ =	. Наш 2н-угольник состоит из п таких четырехугольников.
nanR
Поэтому S2n “ 2 •
4.	1. 4л;	2. 6, 6л. 3. ^.(л + 2).
№5
1.	1. 2) 90°. 2. Величины углов равны и стороны сонаправлсны.
3. Нужно доказать, что прямая, содержащая середины параллельных хорд,
является осью симметрии окружности.
4*. Центром поворота является точка пересечения серединных перпендику-
ляров АС и ВО.
2.	1. 2) 60°. 4*. Строим треугольник AiB^C], равный данному треугольнику
АВС так, чтобы его основание A[Cj лежало на прямой а. Затем через вершину В[
проводим прямую, параллельную а, до пересечения с прямой b в точке Z?2- После
этого осуществляем перенос треугольника Л] Bj С[ на вектор В1В2.
3.	1. 2) 90°.
2.	Величины углов должны быть равны, а стороны противоположно направ-
лены.
4*. Необходимо построить образ этой прямой при повороте на 60" вокруг
данной точки Н по часовой стрелке (против часовой стрелки) и затем найти точки
пересечения образа этой прямой с окружностью. Дальнейшее решение очевидно.
4.	1. 2) 60°.
4*	. Пусть а пересекает с в точке X, а b пересекает d в точке Y. Тогда XY —
искомый вектор.
367
. 
№6
1.1)4 см, 5 см, 6 см2; 2) л см2; 3) 3 : 4; 4) 0.64СА + 0,36СВ; 5) 9.
2.	1) 3 73 см, б/З см, 36/3 см2;
2)	Треугольник правильный 4л см. 3) 2 V63; 4) —CD + 0,562?; 5) 0.
з.	D 1^. см, с„2; 2> 9: 25;
14-/J	1 ->	4 ->	4
3)	-у- см; 4)	+ |z?A; 5) у
о 24	->	->
4.	1) 12 см2, 2) 3,6 см; 3) 6,25л см; 4) АС + 0.72СВ; 5) О.
368
10 КЛАСС
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф	Тема
1	Аксиомы стереометрии и следствия из них
2	Взаимное расположение прямых в пространстве
3	Параллельность прямой и плоскости
4	Параллельность плоскостей
5	Тетраэдр и параллелепипед
6	Задачи на построение сечений
7	Перпендикулярность прямой и плоскости. Параллельные прямые, пер пендикулярные к плоскости
8	Признак перпендикулярности прямой и плоскости
9	Расстояние от точки до плоскости
10	Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью
11	Двугранный угол
12	Перпендикулярные плоскости. Прямоугольный параллелепипед
13	Прямые призма и параллелепипед
14	Площадь поверхности прямой призмы
15	Наклонная призма. Площадь поверхности
16	Правильная пирамиды
17	Неправильная пирамида. Площадь поверхности
18	Сечения в пирамиде. Усеченная пирамида
19	Понятие вектора в пространстве
20	Сложение и вычитание векторов
21	Умножение вектора на число
22	Компланарные векторы. Применение векторов к решению задач
23	Повторение
24*	Параллельная проекция фигуры. Изображение фигур
25*	Многогранные углы. Теорема косинусов для трехгранного угла
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики.
370
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них
1.
1. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. ME АВ, К Е АС,
ХЕ МК. Докажите, что точка X лежит в плоскости АВС.
2. Плоскости а и fl пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в
плоскости а и пересекает плоскость fl. Пересекаются ли прямые а
и т? Почему?
1. Прямые а и b пересекаются в точке О. АЕ a, BE b', YE АВ. Дока-
жите, что прямые а и b и точка У лежат в одной плоскости.
2. Даны пересекающиеся плоскости а и fl. Прямая а лежит в плоско-
сти а и пересекает плоскость fl в точке А. Прямая b лежит в пло-
скости fl и пересекает плоскость а в точке В. Докажите, что АВ —
линия пересечения плоскостей а и fl.
1.	В чем ошибка чертежа на рис. 1. Дайте объяснение. Сделайте вер-
ный чертеж.
2.	По данным рисунка 2 постройте:
1)	точки пересечения прямой EF с плоскостями АВС и А}В}С\;
2)	линию пересечения плоскостей ADF и EFD',
3)	линию пересечения плоскостей EFD и АВС.
371
1.	В чем ошибка чертежа, где О Е EF (рис. 3)? Дайте объяснение.
Сделайте верный чертеж.
2.	По данным рисунка 4 постройте:
1)	точку пересечения прямой РМ с плоскостями DCC\ и АА\В\;
2)	линию пересечения плоскостей РВХ М и АВХ М;
3)	линию пересечения плоскостей РМСХ и DDX Сх.
5.
Рис. 5
В трапеции ABCD (AD и ВС —
основания) АВ пересекает CD в
точке М, Е — середина AD.
ОЕ. ВС. Точка К расположена
вне плоскости трапеции. При
каком условии точки К, М, О и
Е лежат в одной плоскости?
Постройте линию пересечения
плоскостей АВ! С и АХСХВ
(рис. 5).
372
6.
1.	В треугольнике АВС биссект-
рисы углов А и С пересекают-
ся в точке О; АВ : ВС = 2:3;
ЕЕ AC. D лежит вне плоско-
сти АВС. При каком условии
можно провести плоскость че-
рез точки D, В, О и Е?
2.	Постройте линию пересечения
плоскостей РКТ и MCE
(рис. 6).
7.
1. Точка К лежит в плоскости
АВС. Постройте точку пересе-
чения прямой DK и плоскости
EFM (рис. 7).
2. Точка О — центр окружности,
описанной около треугольника
АВС. Принадлежит ли точка С
плоскости, в которой лежат
точки А, В и О?
8.
1. Точка М лежит в плоскости
BDC. Постройте точку пересе-
чения прямой AM с плоскостью
DBE (рис. 8).
2. Точка О — центр окружности,
описанной около четырех-
угольника ABCD. Точки Л, О и
С принадлежат плоскости а.
Принадлежит ли этой плоско-
сти вершина D?
373
§ 2. Взаимное расположение прямых в пространстве
1.	На рис. 9 плоскости а и 0 пересекаются по прямой EF. Прямая АВ
лежит в плоскости а. В плоскости/3 через точку С провести прямую
так, чтобы она:
1)	пересекала прямую АВ\
2)	была бы скрещивающейся с прямой АВ\
3)	была бы параллельна прямой АВ.
2.	На рис. 10 AAi||CCi,	ВВ\ = С’С|. Докажите, что В\С\ в
~ВС.
374
2.
1.	На рис. 11 плоскости а и /9 пересекаются по прямой EF. Прямая
АВ лежмг в плоскости а и параллельна EF. В плоскости ft через
точку С провести прямую так, чтобы она:
1)	пересекала прямую АВ;
2)	была бы скрещивающейся с прямой АВ;
3)	была бы параллельна прямой АВ.
2.	На рис. 12 AiCi - ЛС; А{С\ ||АС; AiBi - АВ; А}В\ ||A/i. Докажите,
что CCi ||BBj.
3.
1. Докажите, что прямые AAt и
Ci D]; ЛА| и B\D; АС и B\D\
являются скрещивающимися
(рис. 13).
2. Прямая b лежит в плоскости а.
Прямая а не лежит в плоскости
а и параллельна прямой Ь. Через
точку М, лежащую в плоскости
а (М (Ё Ь), проведена прямая с,
параллельная а. Докажите, что с
лежит в плоскости а.
315
4.
1. Докажите, что прямые AD и
CiDc, AiD и DXC; D{C и АВ}
являются скрещивающимися
(рис. 14).
2. Даны две параллельные прямые а
и b и точка М, не лежащая ни на
одной из них. Лежит ли точка М
в одной плоскости с прямыми а и
Ь, если известно, что через точку
М можно провести прямую, пе-
ресекающую только одну из дан-
ных прямых.
5.
1. На рис. 15 прямые а и b — скрещивающиеся. Каково взаимное по-
ложение прямых EF и a, EF и 5?
2. На рис. 16 точки Е, F, Р и М — середины отрезков AD, CD, ВС и
АВ соответственно. Докажите, что ЕР и MF пересекаются и точкой
пересечения делятся пополам.
376
6.
1. На рис. 17 прямые а и b — скрещивающиеся. Каково взаимное по-
ложение прямых PQ и a, PQ и Ы
2. На рис. 18 Е, F, Р и М — середины A-Di, DXC, CD и AXD соответ-
ственно. Докажите, что ЕР и MF пересекаются и точкой пересече-
ния делятся пополам.
7.
1. Точка О не лежит на плоскости у, которая задается параллельными
прямыми а и Ь. Плоскость а проходит через точку О и прямую а,
а плоскость fl проходит через точку О и прямую Ь. Докажите, что
линия пересечения этих плоскостей параллельна прямым а и Ь.
2. В плоскости а расположен треугольник АВС. Через его вершины
проведены параллельные между собой отрезки ВВХ и CCi,
расположенные по одну сторону от плоскости a; ААХ = ВВХ - ССХ.
Точки Е, F и М — середины отрезков АВ, ВС и АС соответственно.
Докажите, что отрезки AXF, ВХМ и СХЕ пересекаются в одной точ-
ке. В каком отношении точка пересечения делит эти отрезки?
8.
1. Пусть а и b — скрещивающиеся прямые и точка М не принадле-
жит ни одной из них. Всегда ли существует прямая, проходящая
через точку М и пересекающая обе данные прямые?
2. В плоскости а расположен треугольник АВС. Через его вершины
проведены параллельные между собой отрезки ААХ, ВВХ и ССХ,
расположенные по одну сторону от плоскости а; ААХ = ВВх =ССХ.
Точки F, Е и М — середины отрезков ВХС, АСХ и АхВ соответствен-
но. Докажите, что треугольники EMF и АВС подобны.
377
§ 3. Параллельность прямой и плоскости
1.
1. В параллелограмме ABCD точки Е и F принадлежат сторонам АВ
и CD, причем BE : ЕА - CF: FD. Через эти точки проведена пло-
скость а. Докажите, что ВС||а.
2. Прямая а параллельна плоскости а. Через прямую а проведена
плоскость 0, пересекающая плоскость а по прямой Ь. В плоскости
а существует прямая с, которая параллельна а. Докажите, что Л||с.
2.
1. Точки Ей F принадлежат сторонам АВ и ВС треугольника АВС со-
ответственно, причем ВЕ'.ЕА - 2:3. Через эти точки проведена пло-
скость, параллельная АС. Найдите отношение BF: FC.
2. В плоскости а выбраны точки А и В. С концами в этих точках про-
ведены в одном направлении от плоскости а равные и параллель-
ные между собой отрезки АА[ и BBX. Докажите, что А\В\ ||а.
1. а||6; а||а. В каком взаимном положе-
нии находятся прямая b и плоскость
а? Дайте объяснение.
2. На рис. 19 ABCD — параллелограмм.
L АВС = 130°. AAi \\ВВ{ ЦОД ||DD, и
AAi ~BBi “CCj -DDl
1) Постройте линии пересечения плоско-
сти AMD с плоскостями AAtBt, BBtCi
и DDtCi.
2) Найдите угол между прямыми АВ и
AtDt.
378
4.
1. a||tz, MG а. Докажите, что в пло-
скости а существует прямая Ь, про-
ходящая через точку М и парал-
лельная прямой а.
2. На рис. 20 ABCD — параллело-
грамм, L ADC “ 100е, AAi “ ВВ\ =
- ССх = DDi и AAi ||ВД ЦОС, IlDDj.
1) Постройте линии пересечения пло-
скости AAiE с плоскостями AxDxCit
DDjCi и ABC.
2) Чему равен угол между прямыми
ADuDiCt?
5.
1. Треугольники АВС и DBC не лежат в одной плоскости. Точки М,
Н и К — середины соответственных отрезков BD, CD и АС соот-
ветственно. Плоскость МКН пересекает отрезок АВ в точке Р. До-
кажите, что отрезки PH и МК пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам.
2. На рис. 21 ABCD — параллелограмм,
- ССХ = DDx и AAt ЦВВх ЦСС, flDD,.
1)	Постройте линию пересечения
ООх плоскостей, проходящих че-
рез прямую ААх и точку М и пря-
мую DDx и точку К.
2)	Каково взаимное положение пря-
мых ООх и ААх?
3)	Чему равен угол между прямыми
ООх и AD?
L ВССх “ 120°, ААх -
Рис. 21
379
6.
1. Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сторону AD и
лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и сере-
дину отрезка PD — точку К проведена плоскость, которая пересе-
кает прямую АР в точке Л/, AD = 2ВС. Докажите, что отрезки МС
и ВК пересекаются и точкой пере-
Рис. 22
сечения делятся пополам.
2. На рис. 22 ABCD — параллело-
грамм, L АВС = 110°, ЛЛ1 - ВВХ =
= ССХ = DDX и ААХ ||ВВХ ||CCj ||ОД.
1)	Постройте линию пересечения ККХ
плоскостей, проходящих через
прямую AD и точку М и прямую
Ах Dx и точку Е.
2)	Каково взаимное положение пря-
мых ККХ и ВС?
3)	Чему равен угол между прямыми
ККХ и ВС?
1. Параллельна ли плоскость АМС прямой, проходящей через точки Н
и Нх пересечения медиан треугольников MAD и MCD1 Дайте объяс-
нение (рис. 23).
2. На рис. 24 точки Л/, F и Е — середины отрезков СВ, ВС и АВ со-
ответственно.
1) Постройте линии пересечения плоскости MFE с плоскостями ЛВС,
CDB, ADC и ADB. Дайте объяснение.
2) Найдите угол между прямыми АС и ВВ, если АС =10, ВВ = 20, а
площадь четырехугольника, образованного построенными линиями
380
8.
1. Параллельна ли плоскость АНС прямой, проходящей через точки
М и Л/, пересечения медиан треугольников АВС и НАВ (рис. 25)?
2. На рис. 26 ABCD — параллелограмм. АА, = ВВХ = ССХ = DDX и
||ВВ| ||СС1	. Точки К, МкР — середины отрезков АВ, АХВ
и AD соответственно; ААХ = 20; BD «= 40. Угол между прямыми ССХ
и BD прямой.
1) Постройте линии пересечения плоскости МКР с плоскостями
ААХВ, BAXD, AAXDX и АВС.
2) Найдите площадь четырехугольника, образованного построенными
линиями пересечения.
381
§ 4. Параллельность плоскостей
1. Дано: L ЕМС = Е MCA и L РЕВ - L ЕВС (рис. 27). Докажите,
что плоскости МЕР и АВС параллельны.
2. Отрезок CD лежит в плоскости а. Концы отрезка ЕМ лежат на па-
раллельных плоскостях а и /9 (рис. 28). Постройте линии пересече-
ния плоскостей ECD, ЕМС и EMD с плоскостью /9.
_ DE DK DM .
Дано: -тгт = ~р^р = ~р~р (рис. 29). Докажите, что плоскости ЕКМ и
L/Л U\^ Ud
АВС параллельны.
2. Концы отрезков АВ и CD лежат на параллельных плоскостях а и
Д (рис. 30). Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоско-
стью а и плоскости В DC с плоскостью /9.
382
3.
1. На рис. 31 £'F||F1F1 и ЕМ\\Е}М{. Докажите, что Z. DFM—
— A DF\ М\.
2. Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных плоско-
стях а и ft (рис. 32). Что можно сказать о взаимном расположении
прямых AD и ВС?
1. На рис. 33 о||Л||с и не лежат в одной плоскости. ЛВ|Л|В( и
ВС ЦЯ] Ci. Докажите, что АС = А{ Ct.
2. Отрезки АВ и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях
а и $ (рис. 34). Что можно сказать о взаимных положениях пря-
мых АС и BD?
383
5.
1. Три плоскости параллельны. Скрещивающиеся прямые 1\ и 12 пе-
ресекают эти плоскости в точках Лн Л2, А3 и Bi, В2, В3. Известно,
что BiB2 - 5 см, Л2Л3 = 6 см, AtA2 : В2В3 = 8:15. Найдите длину от-
резков А1А3 и В[В3.
2. Пересекающиеся прямые р и q лежат в плоскости а; А&. а\ ЛВ||р,
ЛС|#, АЕ ft", СЕ 0. Каково взаимное положение плоскостей а и /9?
6.
1. Три плоскости параллельны между собой. Скрещивающиеся пря-
мые Д и 12 пересекают эти плоскости соответственно в точках А{,
Л2, А3 и В{, В2, В3; А{А2 • 4 см, В2В3 = 9 см, Л2Л3 = В{В2. Найдите
длину отрезков Л1Л3 и В{В3.
2. Дано: а\\а; а||/9; 5||а; 5||/9. Каково должно быть взаимное положение
данных прямых, чтобы плоскости а и /9 были бы параллельными?
7.
1. На рис. 35 AAi ||CCi и AAi = BBi = CCi. M лежит в плоскости
AAi Ci. Через точку M проведена плоскость, параллельная плоско-
сти Bi ВК. Постройте линию пересечения этой плоскости с плоско-
стью AAiB\.
2. М& а. Где расположены все прямые, проходящие через точку М и
параллельные плоскости а?
384
8.
1. На рис. 36 АА, ||BBi ||CCi ||ВВ, и AAt = BBt - CCt - DDt. Точка M
лежит в плоскости АА\В]. Через точку М проведена плоскость, па-
раллельная плоскости С\СЕ. Постройте линию пересечения этой
плоскости с ПЛОСКОСТЬЮ AA\D\.
2. Дано: а ||/3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Точки Л и С
лежат в плоскости a, a D и В — в плоскости /9. Докажите, что
AM = СМ_
MB MD'
133ивБ. Г.
385
. 
§ 5. Тетраэдр и параллелепипед
1. ABCDAXB\C\D\ — параллелепипед. BE лежит в плоскости AiBD.
Докажите, что BE параллельна плоскости BiDtC.
2. В тетраэдре DABC L ВВС = L DBA = Z. АВС = 90°. BD = ВА = ВС =
- 2 см. Найдите площадь грани ADC.
1.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. АК лежит в плоскости ADtC.
Докажите, что АК параллельна плоскости AtCiB.
2.	В тетраэдре DABC L DBC = L DBA = L АВС = 60°. BD = ВА = ВС -
= 4 см. Найдите площадь грани АОС.
3.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi точки Е и F — середины ВХС\
и Cj Z>i соответственно, AAt ± EF. Докажите, что ByD = BD{.
2. В тетраэдре DABC L DBC = L DBA = 60°. BA = ВС = 5 см; DB =
= 8 см, AC = 8 см. Найдите площадь треугольника ADC.
4.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi точки Р и К — середины АВ и
ВС соответственно, AiC = ACi. Найдите угол между прямыми DDi
и РК.
2. В тетраэдре DABC ребро DA - &J2 см, АВ = АС =14 см, L DAB =
= Z. DAC - 45°, ВС = 16 см. Найдите площадь грани В DC.
5.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi EE^BiCi, F Е AD, причем
В\ Е: ЕС\ - FD : AF = 5:2. Докажите, что точки EnF симметричны
относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда.
2. Докажите, что сумма квадратов ребер тетраэдра в четыре раза
больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины проти-
волежащих ребер.
386
6.
1. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX KG АХВХ и PE DC, причем
A! К : K\ В - СР : PD = 3:1. Докажите, что точкиКиР симметричны
относительно точки пересечения диагоналей параллелепипеда.
2. Докажите, что прямые, проходящие через вершины тетраэдра и
точки пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются
в одной точке.
7.
1. Дано: ABCD — четырехугольник. ААХ ||BBj ||CCi Ц-O^i и ААХ =
= ВВХ = ССХ - DDX, причем указанные отрезки расположены по од-
ну сторону от плоскости АВС. Отрезки АСХ, АХС, BXD и BDX пере-
секаются в одной точке. Докажите, что ABCDAXBXC\DX — парал-
лелепипед.
2. В тетраэдре DABC боковое ребро равно 3 см. Углы при основании в
боковых гранях равны 75°. Точка А начинает двигаться по грани
ADC, затем по грани CDB и наконец по грани ADB и возвращается
в исходное положение. Какой наименьший путь проходит эта точ-
ка?
8.
1. Докажите, что диагональ АСХ параллелепипеда ABCDAtBtCtDx
проходит через точку пересечения медиан сечения BDAt.
2. В тетраэдре DABC угол при основании боковых граней равен 70°.
Точка А начинает двигаться по грани ADC, затем по грани CDB и
наконец по грани ADB и возвращается в исходное положение. На-
именьший путь, который проходит точка, равен 12\/У. Найдите
длину бокового ребра.
387
1.
1. Постройте сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через
точки Р, М и К, где РЕ AD, ME DB и КЕ ВС, причем АР - PD и
DM •МВ.
2. В параллелепипеде ABCDA\BiC\D\ основание ABCD — квадрат со
стороной, равной 8 см, остальные грани — прямоугольники. Боко-
вое ребро равно 3 см. Е — середина АХВ{. Постройте сечение па-
раллелепипеда плоскостью, проходящей через АС и точку Е, и
найдите периметр сечения.
2.
1.	В тетраэдре DABC DA • DC • 13, АС • 10; Е — середина ВС. По-
стройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Е
параллельно плоскости ADC, и найдите площадь сечения.
2.	В параллелепипеде ABCDA\B\C\Di РЕ AtDi и КЕ ВХС\. Построй-
те сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
Р и К и параллельной AAi.
3.
1.	В тетраэдре DABC точка М — середина AD, Р Е DC и DP: PC •
- 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точки М и Р и параллельно ВС. Найдите площадь сечения, если все
ребра тетраэдра равны а.
2.	Постройте сечение параллелепипеда ABCDAiBiCiDi плоскостью,
проходящей через точки М, Р и Е, где ME В\ Ci, РЕ ССХ и ЕЕ АВ.
4.
1.	В тетраэдре DABC точка Р — середина AD, ЕЕ DB, причем
DE:EB= 1:3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходя-
щей через точки Р и Е и параллельной АС, и найдите площадь се-
чения, если все ребра тетраэдра равны а.
2.	В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi ME D{Ci, РЕ DDX и КЕ ВС.
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей че-
рез точки М, Р и К.
388
5.
1. Дан куб ABCDAiBiCtDit ребро которого равно 8 см. Точки Р, М
и Т соответственно середины ребер Л/Л, CtC и AD. Постройте се-
чение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, М
и Т и найдите площадь сечения.
2. DABC — тетраэдр. Р Е АВ\ DE — медиана грани CDB. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и Р и па-
раллельной DE.
6.
1. Дан куб ABCDAxBiC\Di, ребро которого равно 4 см. Диагонали ос-
нований ABCD и Л1В1С1В1 пересекаются в точках О и Oi соответ-
ственно. Р — середина AD, аТ — середина CD. Постройте сечение
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, Т и сере-
дину отрезка ОО\ и найдите площадь сечения.
2. В тетраэдре DABC РЕ АВ, СЕ — медиана грани DCB. Постройте
сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки D и Р и
параллельной СЕ.
1. В тетраэдре DABC АЕ —
высота треугольника АВС,
О — середина АЕ\ DO ± АЕ
и DO ± ВС', К Е АС, причем
АК'.КС^З'Л', ВС = а; DO =
- b. Постройте сечение тет-
раэдра плоскостью, проходя-
щей через точку К и парал-
лельной прямым ВС и DO, и
найдите площадь сечения.
2. ABCDAiBiCiDi — паралле-
лепипед. Точка Р лежит в
грани АА\В\В, R — в грани
AA{D{D и ТЕС1Л;
М Е ЛЛ1. Постройте сечение
параллелепипеда плоско-
стью, которая проходит че-
рез точку М и параллельна
плоскости PRT (рис. 37).
389
г
8.
1. В тетраэдре DABC АС =12; DB = 9; О — точка пересечения медиан
треугольника АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, ко-
торая проходит через точку О и параллельна прямым АС и DB.
Найдите площадь сечения, если угол между прямыми АС и DB ра-
вен 60°.
2. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед; ТЕ AiBi; ME DDi\ К лежит в
плоскости грани DDiCiC, а Е — в плоскости грани AA{D\D. По-
стройте сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит
через точку М параллельно плоскости ТЕК (рис. 38).
390
§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Параллельные прямые,
перпендикулярные к плоскости
1.
1. АВС — правильный треугольник, О — его центр, ОМ — перпен-
дикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3.
Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
2. ABCD — параллелограмм, BE и FD — перпендикуляры к плоско-
сти АВС. Докажите, что плоскости АВЕ и DFC параллельны.
2.
1.	ABCD — квадрат со стороной, равной V2, О — точка пересечения
его диагоналей, ОЕ — перпендикуляр к плоскости АВС, ОЕ - VJ.
Найдите расстояние от точки Е до вершин квадрата.
2.	Дан треугольник ABC. AD и BE — перпендикуляры к плоскости
АВС. Каково взаимное положение линии пересечения плоскостей
DAC и ЕВС и прямых AD и ВЕР.
3.
1. Отрезок АВ не пересекает плоскость а, ЛС± а и BDA. а, АС = 20,
BD - 30, ME АВ, причем AM : МВ = 2:3, ММХ ± а. Найдите ММХ.
2. а± а и а± ft. Плоскость у пересекает плоскость а по прямой Ь, а
плоскость ft — по прямой с. Каково взаимное положение прямых b
и ci
4.
1. Отрезок АВ пересекает плоскость а, АСА. а и BDA. а, АС= 14;
BD = 10, Е — середина АВ, EEt ± а. Найдите ЕЕ\.
2. а А. а; Ь± а (Ь £ а). Через прямую b проведена плоскость ft, пересе-
кающая плоскость а по прямой с. Каково взаимное положение пря-
мых bvici
391
5.
1. Через вершину А треугольни-
ка АВС проведена плоскость а,
параллельная ВС, BBt х а _и
CCi X а; CCi - 4; ACi - V209;
ABi - V33. L ВАС - 60е. Найди-
те ВС.
2. Плоскости а и /3 параллельны.
а± а и пересекает плоскость а в
точке Л, b.L fi и пересекает пло-
скость /3 в точке В, РР\ пересека-
ет плоскость а в точке М. По-
стройте точки пересечения пря-
мой а с плоскостью /3 и прямой b
с плоскостью а. Дайте обоснова-
ние (рис. 39).
6.
1. Через вершину Е треугольника
EFM проведена плоскость а, па-
раллельная FM, MMi±a*
ММ\ - 12 см; Р — точка пересе-
чения медиан треугольника,
РР\1. а. Найдите PPi.
2. Плоскости а и fi параллельны,
тХ ft и пХ а. Прямая п пересе-
кает плоскость а в точке Р, а
прямая т пересекает плоскость
/3 в точке М. Прямая ЕТ пересе-
кает плоскость 0 в точке К. По-
стройте точки пересечения пря-
мой т с плоскостью а и прямой п
с плоскостью Д. Дайте обоснова-
ние (рис. 40).
392
7.
1. ABCD — параллелограмм. Из точек Л, В, С и D на плоскость а опу-
щены перпендикуляры AAt, BBi, CCi и DDX. AAt в 13; BBi = 36 и
CCi - 19. Найдите DDt.
2. На данной прямой найдите точки, равноудаленные от двух данных
точек.
8.
1. Плоскость а параллельна наибольшей средней линии прямоуголь-
ного треугольника ABC {L С-90е). AAiХа; ВВхк а и СС,Х а;
CiBi = 11 см; CiAi - 12 см; AiBt - 19 см. Найдите площадь тре-
угольника.
2. На данной плоскости найдите точки, равноудаленные от двух дан-
ных точек.
393
§ 8. Признак перпендикулярности
прямой и плоскости
1.
1. ABCD — квадрат, ЕЛА. ВС ; /СЕ ЕВ. Докажите, что ВСА. АК.
2. Через сторону АС треугольника ABC (Z.C = 90°) проведена пло-
скость а. ВВХА. a, CBt± АС, АВ-25, АС-2А. Найдите площадь
треугольника АВС.
2.
1.	Дан прямоугольный треугольник ABC (А С = 90°), ЕЕ. ВС,
ЕМ А. АВС. Докажите, что ЛС± МВ.
2.	ABCD — параллелограмм. AD = 4, CD = 6. Отрезок МС перпенди-
кулярен плоскости ABC, MDA. AD. Найдите площадь параллело-
грамма.
3.
1.	ABCD — квадрат. Отрезок MD перпендикулярен плоскости АВС.
Докажите, что MBA. АС.
2.	ABCD — прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости
АВС. ЕВ= 15, ЕС = 24, FD = 20. Доказать, что треугольник EDC
прямоугольный и найдите АЕ.
4.
1.	Треугольник АВС — равнобедренный, АВ- АС, точка D — сере-
дина ВС, прямая ED перпендикулярна плоскости АВС. Докажите,
что АЕА. ВС.
2.	Точка А принадлежит окружности, АК — перпендикуляр к ее пло-
скости, АК - 1 см, АВ — диаметр, ВС — хорда окружности, состав-
ляющая с АВ угол 45°. Радиус окружности равен 2 см. Докажите,
что треугольник КСВ прямоугольный и найдите КС.
5.
1. В тетраэдре DABC АВ = ВС, L DBC — L DBA. Докажите, что
АСА. DB.
2. DABC — тетраэдр, все ребра которого равны а, точка Е — середина
ВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через
точку Е и перпендикулярной DB, и найдите площадь сечения.
394
6.
1. В тетраэдре DABC L DAC = Z DAB и Z ADC = Z ADB. Докажите,
что ВСА. AD.
2. В тетраэдре DABC ребро DB перпендикулярно плоскости АВС.
Z АСВ = 90°, ВС - BD, точка F — середина AD. Постройте сечение
тетраэдра плоскостью, проходящей через точку F и перпендику-
лярной CD.
7.
1.	Все грани параллелепипеда ABCDAiBiC^Di — равные ромбы; углы
между ребрами, имеющие общую точку At, равны. Докажите, что
/IjC-L B\D\.
2.	Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — прямоугольники.
М — внутренняя точка сечения AAtCtC. Постройте сечение парал-
лелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендику-
лярной BBi.
8.
1.	В параллелепипеде МРКНМ\Р\К\НХ все грани — ромбы,
Z МХМН + Z М\МР- 180°. Докажите, что Р^НА. МК.
2.	Все грани параллелепипеда ABCDA{B{C{Dt — прямоугольники.
М — внутренняя точка сечения АА\С\С. Постройте сечение парал-
лелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендику-
лярной ВС.
395
9.	Расстояние от точки до плоскости
1.
Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, длина которых
18 см и 2V109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как
3:4. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.
Из точки М к плоскости а проведены две наклонные, которые обра-
зуют со своими проекциями на плоскость а углы 30°. Угол между
наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основаниями
наклонных, если расстояние от точки М до плоскости а равно
VT см.
3.
Плоскости а и @ параллельны. Из точки М (плоскости а и Д располо-
жены по одну сторону от точки М) проведены две прямые. Первая
прямая пересекает плоскости а и 0 соответственно в точках А и В,
а вторая — в точках С и D, AM- CD, МС - 16, АВ = 25. Расстоя-
ние от точки М до плоскости а равно 12. Найдите расстояние меж-
ду плоскостями.
4.
Точка М расположена между параллельными плоскостями а и /3. Че-
рез точку М проведены две прямые. Первая прямая пересекает
плоскость а в точке А, а плоскость Р — в точке В. Вторая пересе-
кает эти плоскости соответственно в точках С и D; MA-MD',
МС - 32; МВ - 50. Расстояние от точки М до плоскости а равно 24.
Найдите расстояние между плоскостями.
5.
Вершины А и D параллелограмма ABCD лежат в плоскости а, а две
другие — вне этой плоскости, Ав» 15 см, ВС- 19 см. Проекции
диагоналей параллелограмма на плоскости а равны 20 и 22 см.
Найдите расстояние от стороны ВС до плоскости а.
396
6.
Одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Средняя линия
трапеции параллельна плоскости а и удалена от нее на 13 см, точ-
ка пересечения диагноналей трапеции удалена от плоскости на
15 см. Найдите расстояние от оснований трапеции до плоскости а.
7.
Дан квадрат ABCD со стороной, равной 1, МВ1. АВС, МВ « 1. Найди-
те расстояние между прямыми АС и MD.
8.
Отрезки АВ и CD упираются своими концами в две параллельные пло-
скости а ир, причем точки Л и С лежат в плоскости а, а точки В и
D — в плоскости/?, АВ1 а. Найдите расстояние между АВ и CD, ес-
ли АВ - 20; CD - 25; АС - 14 и BD - 13.
397
§ 10. Теорема о трех перпендикулярах.
Угол между прямой и плоскостью
1.
1. В треугольнике АВС АВ = ВС = 25, АС ~ 48, BD — перпендикуляр
к плоскости ЛВС. BD-yfiS. Найдите расстояние от точки D до
прямой АС.
2. В параллелепипеде ABCDAi В\ Ci Dx ABCD — квадрат со стороной,
равной 2 см. Все боковые грани — прямоугольники. BXD = 5 см.
Найдите углы между В{ D и плоскостью АВС и между BXD и пло-
скостью DDiCi.
2.
1.	Треугольник АВС — прямоугольный (Z С = 90°). L А = 30°, АС-
оуГЗ
= a, MCA. АВС, МС =	• Найдите расстояние от точки М до пря-
мой АВ.
2.	В параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ ABCD — прямоугольник. Все
боковые грани тоже прямоугольники. AD=12, CD-5, AiC=15.
Найдите углы между At С и плоскостью АВС и между А! С и плоско-
стью ВВ\С\.
3.
1.	ABCD — ромб со стороной, равной a, L А = 60°, AMI. ABC, AM -
= j. Найдите расстояние от точки М до прямой CD.
2.	В треугольнике АВС АС - СВ = 8, L АСВ = 130°. Точка М удалена
от плоскости АВС на расстояние, равное 12, и находится на равном
расстоянии от вершин треугольника АВС. Найдите угол между МА
и плоскостью АВС.
4.
1.	В треугольнике АВС АС - ВС = т; L АСВ = 120°; РЛ± АВС. Точка
Р удалена на расстояние, равное т, от прямой ВС. Найдите рассто-
яние от точки Р до плоскости АВС.
2.	Треугольник АВС — прямоугольный (Z. С » 90°), L А- 20°; АС =
= 15. Точка М удалена на расстояние, равное 25, от каждой верши-
ны треугольника. Найдите угол между МС и плоскостью АВС.
398
5.
1. Точка М удалена от каждой стороны равнобедренной трапеции на
расстояние, равное 12 см. Основания трапеции равны 18 см и
32 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости трапеции.
2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведена наклонная AM
к плоскости прямоугольника, составляющих угол 50° со сторонами
AD и АВ. Найдите угол между этой наклонной и плоскостью пря-
моугольника.
6.
1.	Средняя линия прямоугольной трапеции равна 6. Острый угол ра-
вен 30°. Точка М удалена от плоскости трапеции на расстояние,
равное 2\^3, и находится на равном расстоянии от ее сторон. Най-
дите расстояние от точки М до сторон трапеции.
2.	Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая ЛЛ/, со-
ставляющая с плоскостью прямоугольника угол 40°, Z. MAD =
= Z. МАВ. Найдите эти углы.
7.
1.	В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi все грани — квадраты, Е и
F — середины ребер AD и AAt соответственно, К — точка пересе-
чения диагоналей грани DD{CiC. Докажите, что BiEl. FK.
2.	В тетраэдре DABC АВС — правильный треугольник со стороной,
равной 2^3. DA = DB = DC, DOS. ABC', DO - V3. Найдите угол
между АС и плоскостью BDC.
8.
1.	В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi все грани — прямоугольники.
К — середина АА}, L — точка пересечения диагоналей грани
DDi Ci С; ЕЕ AD; AD = 4; CD = 2; АЕ = j. Докажите, что BtE ± KL.
2.	ABCD — квадрат. О — точка пересечения его диагоналей.
МО ± ABC, F — середина АВ. Сторона квадрата равна 4, МО -
= 2>Гз. Найдите угол между FD и плоскостью DMC.
399
1.
1. Чему равен угол между ребром двугранного угла и любой прямой,
лежащей в плоскости его линейного угла?
2. Треугольник АВС — прямоугольный (Z. С = 90°), Z. А = 30°, АС =
- a, DC± ABC. DC “ -j-a. Чему равен угол между плоскостями
ADB и АСВ?
1.	Плоскость а пересекают грани двугранного угла по прямым АВ и
АС. Две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости а, перпен-
дикулярны к ребру этого угла. Докажите, что Z ВАС — линейный
угол этого двугранного угла.
2.	ABCD — ромб. L А - 60°, АВ = т, ВЕЛ. ABC, BE = Найдите
угол между плоскостями AED и АВС.
3.
1. На гранях двугранного угла взяты две точки, удаленные от ребра
двугранного угла на 6 см и 10 см. Известно, что одна из этих точек
удалена от второй грани на 7,5 см. Найдите расстояние от второй
точки до противоположной грани двугранного угла.
2. Через сторону ромба ABCD проведена плоскость а. Сторона АВ со-
ставляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол между плоско-
стью ромба и плоскостью а, если острый угол ромба равен 45°.
1. Две точки лежат на грани двугранного угла и удалены от второй
грани соответственно на 48 см и 60 см. Одна из этих точек отстает
от ребра двугранного угла на 50 см. Найдите расстояние от второй
точки до ребра двугранного угла.
2. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного
треугольника АВС проведена плоскость а, параллельная гипотену-
зе и составляющая с катетом угол 30°. Найдите угол между плоско-
стью АВС и плоскостью а.
400
5.
1. Концы отрезка АВ - 25 см лежат на гранях двугранного угла, равно-
го 60°. Из точек Л и В опущены перпендикуляры АС и BD на ребро
двугранного угла. АС = 5 см, BD = 8 см. Найдите CD.
2. ABCD — квадрат, О — точка пересечения диагоналей, ОМ± АВС,
ОМ = 3. Сторона квадрата равна 4 VT. Найдите угол между плоско-
стями ВМС и DMC.
6.
1. Концы отрезка АВ = 16 см лежат на гранях двугранного угла, равно-
го 120°. Из точек Л и В опущены перпендикуляры АС и BD на ребро
двугранного угла. Найдите CD, если АС = 7 см и BD =11 см.
2. АВС — правильный треугольник, О — середина AC, ODA. АВС,
OD = 3. Сторона треугольника равна —Найдите угол между пло-
скостями ABD и CBD.
1.
1. Равнобедренные треугольники АВС
и ADC образуют острый двугранный
угол (рис. 41). Прямая т, которая
перпендикулярна к ребру угла АС,
пересекает одну из граней в точке X.
Постройте точку пересечения этой
прямой с другой гранью.
2. ABCD — квадрат со стороной, равной
а, ВМ1. АВС, ВМ = а. Найдите дву-
гранный угол, образованный граня-
ми AMD и CMD.
1.
2.
В плоскостях а и /3 расположены рав-
нобедренные трапеции ABCD и
ADEF (рис. 42). Прямая а перпенди-
кулярна ребру а острого двугранного
угла, образованного этими плоско-
стями. Прямая а пересекает плоско-
сть fl в точке X. Постройте точку ее
пересечения с плоскостью а.
В параллелепипеде ABCDA\BKC\D{
все грани — квадраты. Найдите ве-
личину двугранного угла, который
образован сечениями параллелепипеда AB\C{D и CB\AXD.
401
§12. Перпендикулярные плоскости.
Прямоугольный параллелепипед
1.
1. Треугольник AM В и прямоугольник ABCD расположены так, что
их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол
MAD — прямой.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXB\C\D\ точки Е, F и
К — середины ребер А^В^ A\DX и AD соответственно; АВ = 4,
AAt =6, AtC = V56.
1) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей че-
рез точки Е, F и К, и докажите, что плоскости сечения и основания
взаимно перпендикулярны.
2) Найдите AD.
2.
1. Прямоугольник ABCD и параллелограмм ВЕМС расположены так,
что их плоскости взаимно перпендикулярны. Докажите, что
Z. MCD — прямой.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi точка Е — се-
редина Ci Di, AD « 5, АВ = 4, BiD = VT7.
1)	Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей че-
рез AD и точку Е и докажите, что плоскость сечения перпендику-
лярна плоскости боковой грани DDiCiC.
2)	Найдите AAt.
3.
1. Два правильных треугольника АВС и DBC расположены так, что
их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугран-
ного угла, образованного плоскостями ADC и АВС.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi основание
ABCD — квадрат, AD = 2; АСХ = 2\/б.
1) Найдите CCt.
2) Докажите, что плоскости ACCt и BBtDi взаимно перпендикуляр-
ны.
402
4.
1. Сторона правильного треугольника АВС равна 4. Треугольник
DBC — равнобедренный (Z>B = Z>C). Их плоскости взаимно пер-
пендикулярны. Плоскость ADC составляет с плоскостью АВС угол
60°. Найдите площадь треугольника DBC.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX боковая грань
DDXCXC — квадрат, DC = 3; BDX
1) Найдите ВС.
2) Докажите, что плоскости BCDX и DCXBX взаимно перпендикуляр-
ны.
5.
1. В прямоугольнике ABCD АВ = 3; AD = 4. Этот прямоугольник пе-
регнут по диагонали АС так, что образовался прямой двугранный
угол. Найдите расстояние между вершинами В и D.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDAX АВ = 4‘, АВХ -
= 15; BXD = V305. Найдите расстояние между АВ и BXD и изобра-
зите на рисунке общий перпендикуляр этих скрещиваемых пря-
мых.
6.
1. В параллелограмме ABCD АВ = 4-, АС = 5. L BAC = hW. Этот па-
раллелограмм перегнут по диагонали АС так, что образовался пря-
мой двугранный угол. Найдите расстояние между вершинами В и
D.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основание
ABCD — квадрат со стороной 5 см. Расстояние между ВС и АСХ
равно 4 см. Найдите АСХ и изобразите на рисунке общий перпен-
дикуляр этих скрещивающихся прямых.
7.
1. Катет и гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника
лежат в разных гранях прямого двугранного угла. Вершина прямо-
го угла треугольника удалена от ребра на расстояние, равное 2 см,
а вершина острого угла — расстояние, равное VT5 см. Найдите
площадь треугольника.
2. Стороны основания и боковое ребро прямоугольного параллелепи-
педа равны 3, 4 и 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного
через середины двух смежных сторон основания и точку пересече-
ния диагоналей параллелепипеда.
403
8.
1. Два равных квадрата ABCD и CEFK расположены в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях так, что их стороны CD и СЕ лежат
на линии пересечения этих плоскостей по разным сторонам от об-
щей вершины С. Найдите угол между прямыми DB и ЕК.
2. В параллелепипеде ABCDAXB\C\D\ ADb4\ CD-3 и СС\  14. По-
стройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через
середины AD и DC и параллельной В{ D. Найдите площадь сечения.
404
13. П мне призма и параллелепипед
1.
1. В правильной треугольной призме АВСА\В\С\ стороны основания
равны а боковое ребро — М — центр грани СС\В{В.
Найдите угол между прямой AM и плоскостью основания.
2. В правильной четырехугольной призме стороны основания равны
4 см. Через диагональ основания под углом 45° к плоскости основа-
ния проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите
площадь сечения.
2.
1.	В правильной четырехугольной призме ABCDA\B\C\D\ сторона ос-
нования равна 1, а боковое ребро — К — центр грани АА^В^В.
Найдите угол между прямой КС и плоскостью основания.
2.	В правильной треугольной призме через среднюю линию основания
под углом 60° к плоскости основания проведена плоскость, пересе-
кающая боковое ребро. Найдите площадь сечения, если сторона ос-
нования равна 4 см.
3.
1. В правильной треугольной призме АВСА\ВХС\ сторона основания
равна 4 см. Через середину Л1 и сторону основания ВС проведена
плоскость. Найдите площадь сечения, если длина бокового ребра
равна 2 см.
2. В прямом параллелепипеде ABCDAXB\C\DX основанием служит
ромб со стороной, равной a, L BAD = 60е. Через сторону AD и вер-
шину В\ проведена плоскость, составляющая с плоскостью основа-
ния угол 45°. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
405
4.
1. В правильной четырехугольной призме ABCDAi В\ Ci D\ сторона ос-
aV"14
нования равна я, а боковое ребро----. Через диагональ осно-
вания BD и середину D\ Ci проведена плоскость. Найдите площадь
сечения.
2. В прямом параллелепипеде ABCD A\B}C\D\ основанием служит
ромб со стороной, равной m, L ADC = 135°. Через сторону DC и
вершину Ai проведена плоскость под углом 60° к плоскости основа-
ния. Найдите длину бокового ребра и площадь сечения.
5.
1. В правильной треугольной призме ABCAiBtCi все ребра равны
2x^3. Через сторону основания под углом 60° к его плоскости про-
ведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы рав-
на Q. Найдите площадь сечения, перпендикулярного к меньшей
диагонали основания и делящего эту диагональ пополам.
6.
1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна
8 см, а боковое ребро — 3x^2 см. Через диагональ основания под
углом 45° к его плоскости проведено сечение. Найдите его пло-
щадь.
2. Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна
Q. Найдите площадь сечения, которое перпендикулярно к большей
диагонали основания и делит эту диагональ пополам.
7.
1. В правильной треугольной призме ABCAiB^Ci все ребра равны
между собой. Найдите угол между диагоналями АС\ и В\ С ее боко-
вых граней.
2. В правильной шестиугольной призме меньшая диагональ основания
равна боковому ребру. Проведено сечение, которое перпендику-
лярно меньшей диагонали призмы и делит ее пополам. Найдите
площадь сечения, если сторона основания равна а.
406
8.
1. В прямой треугольной призме ЛВСЛ1 В] Ci основанием служит пря-
моугольный треугольник ABC (Z. С = 90°), АС = 4; ВС = 3, ВВХ в 4.
Найдите угол между диагоналями АСХ и ВХС двух боковых граней.
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\BXC\DXEXFX сторо-
на основания равна а, а боковое ребро — 2а. Через середину диаго-
нали Fx С и перпендикулярно к ней проведено сечение. Найдите его
площадь.
407
В основании прямой призмы АВСА{В{С\ лежит прямоугольный тре-
угольник АСВ (/. С = 90°), АС = 4, ВС = 3. Через сторону АС и вер-
шину Bi проведена плоскость; Z. Вх АС = 60°. Найдите площадь бо-
ковой поверхности призмы.
2.
В основании прямой призмы ABCA[B[Ci лежит прямоугольный тре-
угольник АСВ (L С- 90°). Через сторону ВС и вершину Л{ прове-
дена плоскость; L ВА! С = 30°, А\В= 10, АС = 5. Найдите площадь
боковой поверхности призмы.
3.
В прямом параллелепипеде ABCDA\В{ Ct D\ АВ - 1, ВС = 7 VJ.
Z. АВС = 150°. Через диагональ АС и вершину В\ проведена плос-
кость, составляющая с плоскостью основания угол в 60°. Найдите
площадь боковой поверхности параллелепипеда.
4.
В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\Di ВС = 7; CD= 15. L BCD =
= 60°. Через диагональ BD и вершину Сх проведена плоскость под
углом 45° к плоскости основания. Найдите площадь боковой по-
верхности.
В прямой призме ABCAiBiCi АВ =13; ВС = 21; АС = 20. Диагональ
боковой грани А|С составляет с плоскостью грани CCjBiB угол 30°.
Найдите площадь полной поверхности призмы.
6.
В прямом параллелепипеде ABCDA{BiCiDi AD = 17; DC = 28; АС =
= 39. Диагональ боковой грани AiD составляет с плоскостью боко-
вой грани DDiC|C угол 45°. Найдите площадь полной поверхности
параллелепипеда.
408
7.
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA\B{C\D{ служит ромб
ABCD. Угол между ребром ЛЛ1 и диагональю B}D равен 60°, а рас-
стояние между ними равно 3 см. Расстояние между диагональю ос-
нования АС и В{ D равно 2 см. Найдите площадь полной поверхно-
сти параллелепипеда.
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ служит ромб
ABCD, L BAD = 60°. Длина бокового ребра равна 4 см, а расстоя-
12
ние между AD и D\C равно см. Найдите площадь полной по-
верхности параллелепипеда.
409
§ 15. Наклонная призма. Площадь поверхности
1. В наклонной треугольной призме АВСА{ВХС\ основанием служит
прямоугольный треугольник АСВ (ZC = 90°). Плоскость грани
AAjCiC перпендикулярна к плоскости основания. Докажите, что
CCiBiB — прямоугольник.
2. В наклонной треугольной призме площади двух граней равны
70 см* 1 2 и 105 см2, угол между ними 60°. Боковое ребро равно 10 см.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2.
1.	Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAiBtCiDi служит
прямоугольник ABCD. Грань AAi D\ D перпендикулярна к плоско-
сти основания. Докажите, что DD\СХС — прямоугольник.
2.	В наклонной треугольной призме площади двух граней равны
15 см2 и 25 см2. Угол между ними 120°. Длина бокового ребра рав-
на 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
3.
1. Основанием наклонной призмы ABCAiBiCi служит правильный
треугольник со стороной, равной а. Длина бокового ребра равна Ь,
L AtAC = L А} АВ. Найдите площадь грани СС\В\В.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi боковое ребро рав-
но 10, а площадь боковой поверхности — 420. Расстояние между
ребрами AAt и DDt на 11 больше расстояния между ребрами AAt и
ВВ^ Расстояние между ребрами ВВ] и DDi равно 19. Найдите углы
между смежными боковыми гранями.
4.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi основанием служит
квадрат ABCD со стороной, равной a, AAi = b, L AXAD= L AiAB.
Найдите площадь диагонального сечения BBt Di D.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi боковое ребро равно
10, а площадь боковой поверхности — 880. Расстояния от ребра
DDi до ребер CCi и АЛ} относятся, как 7:15. Расстояние между ре-
брами AAi и CCi равно 26. Найдите углы между смежными боко-
выми гранями параллелепипеда.
410
5.
1. В наклонной треугольной призме АВСА\В\С\ все ребра равны меж-
ду собой. Ребро AAi составляет с плоскостью основания угол 60°,
L А,АС = L АХАВ < 90°. Площадь грани СС\В\В равна Q. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAxBiC\Di расстояние от ребра
AAt до ребра DDt равно 10, а от AAt до BBt — 17. Площадь диаго-
нального сечения BBt Dt D равна 210. Расстояние между ребром AAi
и диагональю Bi D равно 8. Найдите площадь боковой поверхности
параллелепипеда.
6.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDAiBiClDi основанием служит
квадрат ABCD. Все ребра параллелепипеда равны между собой. Бо-
ковое ребро AAi составляет с плоскостью основания угол 60°,
L AXAD= L Ai АВ<90°. Площадь диагонального сечения BB\D\D
равна Q. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. В наклонной треугольной призме ABCAiBiCi двугранныые углы с
ребрами CCi и ВВ{ соответственно равны 45° и 30°. Расстояние от
ребра AAi до диагонали Bi С грани CCi Bt В равно 1. Площадь грани
CCiBiB равна 4(1 + V3h Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
7.
1. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi служит
ромб ABCD, АС = 40; ВВ = 30;	AA=2V17, Z_ AXAD =
= L Ai АВ < 90°. Высота параллелепипеда равна 2. Найдите пло-
щадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. Основанием наклонной треугольной призмы ABCAiBiCi служит
прямоугольный треугольник ABC (L C = 9W), у которого ВС-а.
Вершина Bi проектируется в точку С. Двугранный угол с ребром
BBi равен <р. Боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол а. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
411
8.
1. В наклонном параллелепипеде ABCDА! Вх Ci D} основанием служит
параллелограмм ABCD, AD = 15, BD = 7, L BDA = 60°. L AXAD =
= Z ЛЛВ < 90°, A\D составляет с плоскостью основания угол 45°.
Вершина At проектируется на BD. Найдите площадь боковой по-
верхности параллелепипеда.
2. Основанием наклонной призмы ABCAt В\ Ci служит прямоугольный
треугольник ABC {L С “90°). Вершина В\ проектируется на сере-
дину ВС. Боковое ребро равно I и составляет с плоскостью основа-
ния угол <р. Двугранный угол с ребром ВВ{ равен а. Найдите пло-
щадь боковой поверхности призмы.
412
16. Правильная пирамида
1.
1. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, а дли-
на диагонали основания — 6^2 см. Найдите площадь полной по-
верхности пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
высота — 2а. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых гра-
ней к плоскости основания.
2.
1.	В правильной треугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота
основания — 15 см. Найдите площадь полной поверхности пира-
миды.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а высота — За. Найдите углы наклона боковых ребер и боковых
граней к плоскости основания.
3.
1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Расстояние от вершины основания до бо-
ковой грани равно 3^3. Найдите площадь боковой поверхности пи-
рамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
4 см, а расстояние от центра основания до бокового ребра — 2 см.
Найдите:
1) угол между смежными боковыми гранями;
2) плоский угол при вершине пирамиды.
4.
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклоне-
ны к основанию под углом 60°, а расстояние от середины стороны
основания до противоположной боковой грани равно 4VJ. Найдите
площадь боковой поверхности.
2. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна 2VJ,
а расстояние от середины стороны основания до противоположного
бокового ребра — 3 см. Найдите:
1) угол между боковыми гранями;
2) плоский угол при вершине пирамиды.
413
5.
1.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2.	В правильной n-угольной пирамиде боковые грани наклонены к ос-
нованию под углом <р. Найдите плоский угол при вершине пирами-
ды и вычислите его при <р = 40° и п = 10.
6.
1.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна т.
Угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
2.	В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине ра-
вен а. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основа-
ния и вычислите его, если а = 10° и и = 20.
7.
1.	В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания
равна а, а высота — 2а. Найдите угол между стороной основания
АС и плоскостью грани СМВ.
2.	В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF сторона основа-
ния равна а, угол между гранями РВС и PAF равен а. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
8.
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона основа-
ния равна а, а высота — ау[2. Найдите угол между боковым ребром
МА и плоскостью DMC.
2.	В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна а,
угол между смежными боковыми гранями <р. Найдите площадь бо-
ковой поверхности пирамиды.
414
§17. Неправильная пирамида. Площадь поверхности
1.
1.	Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
ABC (L С = 90°), ВС = а, LA-3W. Боковые ребра пирамиды на-
клонены к основанию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.
2.	В пирамиде МАВС боковое ребро МА перпендикулярно к плоско-
сти основания ЛВС, а грань МВС составляет с ним угол 60°, АВ =
= ЛС = 10, ВС= 16. Найдите площадь боковой поверхности пира-
миды.
2.
1.	В основании пирамиды МАВС лежит треугольник ЛВС, у которого
ЛВ = а и L АСВ = 150°. Боковые ребра наклонены к основанию под
углом 45°. Найдите высоту пирамиды.
2.	Основанием пирамиды PEFM служит равнобедренный треуголь-
ник, EF= ЕМ, MF=2&/b. Боковое ребро РЕ равно 10 и перпенди-
кулярно к плоскости основания. Угол между РЕ и плоскостью MPF
равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.
1.	Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основа-
ния которой равны 2 см и 8 см. Боковые грани наклонены к осно-
ванию под углом 60°. Найдите высоту пирамиды и площадь ее бо-
ковой поверхности.
2.	В основании пирамиды лежит ромб со стороной, равной а, и углом
60°. Боковые грани, проходящие через стороны острого угла ромба,
перпендикулярны плоскости основания, а остальные две боковые
грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды.
4.
1.	Основанием пирамиды служит ромб, сторона которого равна а, а
острый угол 60°. Боковые грани наклонены к основанию под углом
45е. Найдите высоту пирамиды и площадь ее боковой поверхности.
2.	В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник
ABC, АС = СВ = а, L АСВ — 120°. Грани DAC и DAB перпендику-
лярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол
45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
415
5.
1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого
АВ s ВС, АС * b и L А в а. Боковые грани наклонены к плоскости
основания под углом <р. Найдите высоту пирамиды и площадь ее бо-
ковой поверхности.
2. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого
АВ = АС = 50, ВС = 80, L МАС = L МАВ < 90°. Плоскости МВС и
АВС взаимно перпендикулярны. Основание высоты пирамиды уда-
лено от грани АМС на расстояние, равное 12VJ. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
6.
1. В основании пирамиды МАВС лежит треугольник АВС, у которого
АВ = АС, ВС = а, L ВАС = а. Боковые ребра пирамиды равно на-
клонены к плоскости основания, а боковые грани, проходящие че-
рез равные стороны основания, наклонены к плоскости основания
под углом <р. Найдите высоту пирамиды и площадь каждой из этих
граней.
2. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник
ABC (L Св90°), АС = 4 см; ВС-3 см. Грань МАС перпендику-
лярна к плоскости основания, а остальные две грани равно накло-
нены к плоскости основания. Расстояние от основания высоты до
3^
грани ВМС равно см. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
7.
1. Основанием треугольной пирамиды служит правильный треуголь-
ник со стороной, равной а. Боковые грани имеют равные площади.
Высота пирамиды равна а. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
2. Бели высота треугольной пирамиды проходит через точку пересе-
чения высот основания, то суммы квадратов скрещивающихся ре-
бер пирамиды равны между собой. Докажите.
416
8.
1. В пирамиде МАСВ основанием служит равнобедренный треуголь-
ник АВС, у которого АВ = АС, ВС = 24, а высота АК = 5. Высоты бо-
ковых граней, проведенные из вершины М, равны между собой.
Высота пирамиды равна 12. Найдите площадь боковой поверхно-
сти, если известно, что Z. МАВ Ф LMAC.
2. Если одна из высот треугольной пирамиды проектируется в точку
пересечения высот соответствующей грани, то и другая высота
имеет такое же свойство. Докажите.
143ивБ.Г.
417
§ 18. Сечения в пирамиде. Усеченная пирамида
1.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
боковые грани наклонены к нему под углом 60°. Найдите площадь
сечения, проведенного через среднюю линию основания параллель-
но боковой грани.
2. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны основа-
ний равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2.
1.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через диагональ основания параллельно боковому ребру про-
ведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2.	В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.
1. В правильной четырехугольной пирамиде стороны основания рав-
ны а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через центр основания параллельно боковой грани проведена
плоскость. Найдите площадь сечения.
2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны осно-
ваний равны 10 см и 6 см, а площадь диагонального сечения —
8"/10 см* 1 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
4.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
60°. Через сторону основания перпендикулярно к противополож-
ной боковой грани проведена плоскость. Найдите площадь сечения.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 8<3 и 6V3 см. Через боковое ребро и середину противопо-
ложной стороны верхнего основания проведена плоскость. Пло-
21V3	2 „ .	,	.
щадь сечения равна —— см . Найдите площадь боковой поверх-
ности пирамиды.
418
5.
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD через середины
сторон АВ и AD параллельно боковому ребру AM проведена пло-
скость. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а,
а боковое ребро — Ь.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований
равны 8^3 и 6v3. Через вершину верхнего основания перпендику-
лярно к плоскости основания и параллельно противолежащей сто-
роне основания проведена плоскость. Площадь сечения равна 4V2.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной
пирамиды, частью которой является данная усеченная пирамида.
6.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а
боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Через центр основания проведена плоскость, параллельная стороне
основания и перпендикулярная грани, проходящей через эту сто-
рону. Найдите площадь сечения.
2. В правильной треугольной усеченной пирамиде сторона верхнего
основания равна 2. Плоский угол при вершине нижнего основания
равен 60°. Через сторону верхнего основания параллельно боково-
му ребру проведена плоскость. Площадь сечения равна 8. Найдите
площадь боковой поверхности пирамиды и высоту полной пирами-
ды, частью которой является данная усеченная.
7.
1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Через вершину основания проведена плоскость, перпендикулярная
противоположному боковому ребру. Найдите площадь сечения.
2. В основании пирамиды лежит правильный треугольник со сторо-
„ 7 * * * * * * * * * * * * 20^ п '
нои, равной —з—. Одна боковая грань перпендикулярна к плоско-
сти основания, а остальные две наклонены к нему под равными уг-
лами. Высота пирамиды равна 12. На одном из боковых ребер вы-
брана точка, которая делит его в отношении 2:3, считая от
вершины. Через эту точку проведена плоскость, параллельная ос-
нованию. Найдите площадь боковой поверхности образовавшейся
усеченной пирамиды.
419
8.
1. В основании пирамиды MABCD лежит ромб с диагоналями АС =
= 32 см и BD= 18 см. Грани, проходящие через стороны АВ и AD
основания перпендикулярны к плоскости основания. Их общее
ребро равно 24 см. Через точку А и середину ребра МС проведена
плоскость, параллельная BD. Найдите площадь сечения.
2. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты
которого 32 см и 10 см. Боковые ребра пирамиды равно наклонены
к плоскости основания. Высота пирамиды равна 12 см. На боковом
ребре выбрана точка, которая делит боковое ребро в отношении
1:3, считая от вершины. Через эту точку проведена плоскость, па-
раллельная основанию. Найдите площадь боковой поверхности об-
разовавшейся усеченной пирамиды.
420
§ 19. Понятие вектора в пространстве
1.
1. Дан параллелепипед ABCDAxBxCxDx, ABCD — прямоугольник, Е
nF — середины ребер BjCi и CjDi соответственно. Запишите век-
торы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:
1)	сонаправлены с вектором ЁЕ,
2)	противоположно направлены вектору АВХ,
3)	имеют длину, равную длине вектора А~Х\.
2. Прямая а не лежит в плоскости а. Через прямую а проходит пло-
скость /3, пересекающая плоскость а по прямой Ь. Даны четыре
точки: ЛЕ а, а, Се Z>, De b. При каком условии векторы Т^В и
ЁЬ будут коллинеарными?
1. В прямом параллелепипеде ABCDAxBxCxDx точки К и М — сере-
дины ребер AD и DDx соответственно. Запишите векторы с началом
и концом в вершинах параллелепипеда, которые:
1)	противоположно направлены вектору
2)	сонаправлены с вектором ЁС;
3)	имеют длину, равную длине вектора А^В.
2. Пусть плоскость у пересекает плоскости а и /3 по прямым а и b со-
ответственно: ЛЕ а, В(Е а, С(Е b, D(E Ь. Могут ли векторы ЁВ и
ЁВ быть коллинеарными? Если да, то укажите хотя бы одну из та-
ких возможностей.
3.
1. Дана призма АВСАхВхСх, АВ = AC; L AtAC = L Ах АВ, EnF — се-
редины ребер АС и АВ соответственно. Запишите векторы с нача-
лом и концом в вершинах призмы, которые:
1)	сонаправлены с вектором ЁР;
2)	противоположно направлены вектору (ЁС;
3)	имеют длину, равную длине вектора ЁВХ •
2. Прямые АВ и CD параллельны. Через эти прямые проведены соот-
ветственно плоскости а и /8, которые пересекаются по прямой EF.
Будут ли коллинеарными векторы ЁР и ЁВ; ЁР и ЁВ? Если да, то
почему?
421
4.
1. Дан параллелепипед ABCDAX В{ С\ Dx, ABCD — ромб, L A\AD^
— L AiAB, точки Evi F — середины ребер Л1В1 и AXDX соответст-
венно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах парал-
лелепипеда, которые:
1)	сонаправлены с вектором
2)	противоположно направлены вектору ;
3)	имеют длину, равную длине вектора B^D.
2. Плоскости а и ft перпендикулярны к плоскости у и пересекаются по
прямой АВ. Прямая CD, не принадлежащая этим плоскостям, тоже
перпендикулярна плоскости у. Будут ли коллинеарными векторы
Л2? и СЪ? Если да, то почему?
5.
1.	В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, М, Т и К —
середины соответственно ребер DC, DB, ВА и АС.
1)	Перечислите пары противоположно направленных векторов, не ле-
жащих на одной прямой и с началом и концом в точках Е, М,Т и
К.
2)	Перечислите пары равных векторов с началом и концом в точках
Е, М, Т и К.
3)	Перечислите векторы, имеющие равные длины, с концами в точ-
ках Е, М, Т и К.
2.	На рис. 43 MABCD — правильная пирамида, ME- ЕС. Какие из
указанных на рисунке векторов коллинеарны? Почему?
Рис. 43
422
6.
1. В правильной четырехугольной
пирамиде PABCD точки К, М,
Т и Е — середины соответст-
венно ребер АВ, РА, PC и ВС.
1)	Перечислите пары сонаправ-
ленных векторов с концами в
точках К, М, Т и Е.
2)	Перечислите пары равных век-
торов с концами в точках К, М,
ТиЕ.
3)	Перечислите векторы, имею-
щие равные длины, с концами
в точках К, М, Т и Е.
2. На рис. 44 АВСА\В\С\ — правильная призма,EnF — середины ре-
бер CCi и В\В. Какие из указанных на рисунке векторов коллинеар-
ны? Почему?
7.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAiB\C\D\E\F\ О —
центр нижнего основания, ME AAi.
1) Запишите векторы с началом и концом в вершинах призмы, кото-
рые: а) сонаправлены с вектором dt; б) равны вектору РЪ.
2) От точки М отложите векторы, равные векторам /1) и &С.
2. В тетраэдре DABC F и Е — точки пересечения медиан граней ADB
и CDB соответственно, ME AB; NE ВС, причем AM: МВ-
= CN: NB.
1) Докажите, что векторы ЕЕ и KtN коллинеарны.
2) Найдите | Ffe |, если АС - 18 см.
8.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\ В\ Ci Di Ех F\ О\ —
центр верхнего основания.
1) Запишите векторы с началом и концом в вершинах призмы, кото-
рые:
а)	противоположно направлены вектору OfF;
б)	имеют равные с вектором ЕС длины.
2) От точки Ai отложите векторы, равные векторам B^D и dfe.
2. В пирамиде PABCD основанием служит параллелограмм ABCD. Р
и 7 — точки пересечения медиан граней В PC и DPC, точки Е и
F — середины ребер АВ и CD соответственно.
1) Докажите, что векторы Ег и ЕЕ коллинеарны.
2) Найдите | ЕЕ |, если РТ - 6 см.
423
§ 20. Сложение и вычитание векторов
1.
1. ABCDA\B\C\DX — параллелепипед. Укажите вектор, равный сум-
ме + B^Ei 4- 2Й), 4- СЪ.
2. Докажите, что векторы АЕ{ — Л1? 4- и А?А — СВ 4- Л^ проти-
воположны.
1. ABCDA\ Bi С\ Di — параллелепипед. Укажите вектор, равный сум-
ме ЁЕ 4- СГЪ, 4- ЛМ 4- D%i.
2. Докажите, что векторы — ЁЕ 4- ЁЕ — ЁЕ и life - КТк — ЁЕ про-
тивоположны.
1. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме
В& 4- ЁВ 4- Bbl + СВХ + ЁЕ + А?А.
2. В пирамиде MABCD основанием служит прямоугольник ABCD,
АВ = 8 см; ВС = 15 см. Найдите | К?В 4- ЛЪ - Л^4|.
4.
1. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Укажите вектор, равный сумме
ЁА 4- ЛЬ 4- A^Di + СВ + ЁА + ЁЕ.
2. В треугольной призме ABCA\BiCi основанием служит правильный
треугольник АВС, сторона которого равна см, О — середина
АВ. Найдите: | Лр4 — (ТА — А^С |.
1. EABCDF — правильный октаэдр с ребром, равным а. Найдите
| ЁА + ЁЕ + ПЕ + ЁА\.
2. Два треугольника АВС и At Bi Ci произвольно расположены в про-
странстве. Докажите, что A^i 4- ЕЁ 4- Ct1 2, = АЁ 4- bEi 4- (T\i.
1. PABCDT — правильный октаэдр с ребром, равным а, К — середи-
на ребра PC. Найдите: | ЁЬ 4- лВ 4- СТ 4- ЁР |.
2. Два четырехугольника ABCD и AiBiCiDi произвольно расположе-
ны в пространстве. Докажите, что ЛЁ 4- вЕ{ 4- СЪХ 4- ЁЁ —
= ЛЛ, 4- ЁЁ 4- CEi 4- Dbi.
424
1. Дан параллелепипед ABCDA\B\C\DX. Представить вектор ЛЙ] как
алгебраическую сумму векторов D^i, и DBi.
2. ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Укажите такую точку М,
для которой верно равенство 1ЙА 4- Ь?В 4- itfC 4- 1&D 4- AM] +
4- Л?^1 4- A7t\ 4- Л/Ъ] = (Г
1. Дан параллелепипед ABCDAiBiCiDi. Представить вектор ЁВ как
алгебраическую сумму векторов D^i,	и Dti.
2. EABCDF — правильный октаэдр. Укажите такую точку К, что
1&+£А + ЙВ + К£ + КЪ+&=$.
425
• • •
8 21. Умножение вектора на число
1. DABC — тетраэдр. Изобразите вектор Dbl = 20А —
2. Точка К не лежит в плоскости треугольника ЛВС, Е и Р — сере-
дины отрезков АВ и ВС соответственно. Выразите ЁЁ — СР через
вектор Л^.
2.
1.	FABC — тетраэдр. Изобразите вектор Рк =1,5 СВ + 0,5 СР.
2.	В треугольнике АВС точки Е и F — середины сторон АВ и ВС со-
ответственно. Точка М не лежит в плоскости треугольника АВС.
Выразите вектор Cl через разность векторов KPf и КРЕ.
3.
1. В треугольной призме АВСА\ В{ Ci диагонали грани ВВ{ Ci С пересе-
каются в точке М. Выразите вектор ЛЛ/ через векторы Jit?, ВВ] и
Bt.
2. Диагонали параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ пересекаются в точке
О. При каком значении к справедливо соотношение
ДВ + B[t, + Ct) = кСАЧ
1. В тетраэдре МАВС СЕ — медиана грани ВМС, точка К — середи-
на СЕ. Выразите вектор £к через векторы Л£?, СВ и B%f.
2. Диагонали параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ пересекаются в точке
О. При каком значении к справедливо соотношение
к {CD + СА + ЛЪ) = ЛГС?
5.
1. Точка М расположена вне плоскости правильного треугольника
ЛВС на равном расстоянии от его вершин, МО — перпендикуляр,
опущенный из точки М на плоскость треугольника. Выразить век-
тор кРо через векторы КРв, PC и Cl.
2. Векторы аи ^отличны от нулевого вектора и неколлинеарны. Най-
дите тип, если За 4- 51Р = та+ ( 2п +1 ) £
426
6.
1. В наклонной треугольной призме ABCAtBtCi точка Е — середина
Bi В\ Ci В пересекает СЕ в точке Р. Выразите вектор ЙР через век-
торы ЛС], (ЛЗ и СЬ1.
2. Векторы ап ^отличны от нулевого вектора и неколлинеарны. Най-
дите хи у, если (х + у - 1) а+ (2х - у) &=&.
7.
1. В тетраэдре DABC L DAC = Z DAB. Грань DBC перпендикулярна
плоскости ЛВС, DM — высота тетраэдра; АС = а; АВ = b; AD = с.
От точки А отложены единичные векторы е{, % п ё%, сонаправлен-
ные соответственно с векторами ЛТ?, Л^? и ЛЪ. Выразите вектор
D&f через векторы е!, ёъ и ез.
2. Точка О находится вне плоскости трапеции ABCD (AD и ВС — ос-
нования) , AD в к раз больше ВС. Выразите вектор (Й> через векто-
ры (Х1 = t?, (Хз = ?Ги (Тс = с
8.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi L AXAD- L Л]ЛВ, AD = a\
АВ - b (а>ЬУ, AAi - c, AiM — высота параллелепипеда, AM пере-
секает ВС в точке Р. Выразите вектор ЛГр через единичные векто-
ры ef, ~ei и ез, отложенные от вершины А и сонаправленные соот-
ветственно с векторами ЛЪ, Л1? и Л%.
2. В треугольнике АВС точки Е и F лежат на сторонах АВ и ВС, при-
АЕ	CF	3 ~
чем	Точка О расположена вне плоскости треуголь-
211/	rli	L
ника АВС. Выразите вектор (Tf через векторы (ТЕ-т, (ТА = ~р и
(TC = t.
427
§ 22. Компланарные векторы.
Применение векторов к решению задач
1.
1. Дан тетраэдр DABC, К — середина ребра АС, М — середина отрез-
ка KD, &А = 11, &В = 1), Разложите вектор по векторам
а, £ с!
2. В параллелепипеде ABCDAiBxCiDi М — точка пересечения меди-
ан треугольника АВХВ. Разложите вектор по векторам 1Та,
ЁС и йЪх.
2.
1.	ABCDAXBXCXDX — параллелепипед. М — точка пересечения DCX и
D] С; Л^? = а; ЛЪ = ЛЯ] = а Разложите вектор Лл/ по векторам а",
?Ги а
2.	В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан треугольника
АВС. Разложите вектор DKf по векторам (ЁА, (ТВ и CD.
3.
1.	В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX ME AD, причем AM : MD =
= 1:3, a PG DC, причем DP: PCX = 2:5. Разложите вектор КТР по
векторам ЯВ, ЛЪ и А%х.
2.	Используя векторы, докажите, что отрезки, соединяющие середи-
ны противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке
и делятся ею пополам.
4.
1.	В тетраэдре DABC О — точка пересечения медиан треугольника
ABC, F G AD, причем AF: FD = 3:1. Разложите вектор uF по век-
торам С51, (?В и СЪ.
2.	Используя векторы, докажите, что диагонали параллелепипеда пе-
ресекаются в одной точке и делятся ею пополам.
428
5.
1. Длина стороны основания ABCDEF правильной шестиугольной
призмы ABCDEF A\B\C\D\ExF\ равна а. Диагональ АВХ боковой
грани АЛ\В\В наклонена к стороне АВ основания под углом <р.
Пусть 62 и — единичные векторы, сонаправлснные с векто-
рами Л5?, и А%1 соответственно. Разложите вектор по век-
торам е[, ёъ, ез.
2. В наклонной треугольной призме проведена плоскость, пересекаю-
щая три боковых ребра и параллельная основаниям. Докажите, что
точки пересечения медиан оснований и сечения лежат на одной
прямой.
6.
1. В правильной шестиугольной пирамиде МABCDEF сторона осно-
вания равна а, а боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол <р, Р Е МС, причем МР : PC = 2:3. Пусть е[, и — единич-
ные векторы, сонаправлснные с векторами /51, /55 и FKf. Разложи-
те вектор FP по векторам е[, и
2. В треугольной пирамиде проведены две плоскости, параллельные
основанию и пересекающие три боковых ребра. Докажите, что точ-
ки пересечения медиан основания и полученных сечений лежат на
одной прямой.
1. Основанием пирамиды PABCD служит параллелограмм ABCD.
М G BD hNE PC, причем	где F — середина РВ. Найдите
MN
отношение -
AF
2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А ВС. Докажите, что
если 6Й) = х(Тл + убЙ? + гбЙ?, причем х + у + z = 1 и О — произ-
вольная точка пространства, то эти точки принадлежат одной пло-
скости.
8.
1. В параллелепипеде ABCDAiBiCiDi ME BD и NE ВХС, причем
MxdNr Ы	ВМ B[N
MNtiACi. Найдите отношения и -г^-.
MD NC
2. Даны четыре точки А, В, С и D, причем А £ ВС. Докажите, что
если эти точки принадлежат одной плоскости, то
бЙ) = хСТА + уСТВ + z(Tc, причем х + у + z = 1 и О — произвольная
точка пространства.
429
§ 23.	Повторение
1.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ = 2 см, АА{ = 1 см.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью АСВ{.
3)	Найдите угол, который составляет прямая ABi с плоскостью АВС.
4)	Найдите угол между плоскостями АВ\ С и АВС.
5)	Найдите длину вектора ЛЙ1 —	+ 2ff^B — С?С.
6)	Докажите, что прямая A^Ci параллельна плоскости АСВ\.
2.
В правильной четырехугольной пирамиде EABCD ребро ЕА = 2VT см,
АВ - 2 см.
1)	Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью АЕС.
3)	Найдите угол, который составляет прямая ЕС с плоскостью АВС.
4)	Найдите угол между плоскостями ECD и АВС.
5)	Найдите длину вектора ЁЁ + ЁС — ЁВ + ЁЕ.
6)	Докажите, что плоскости АЕС и АВС взаимно перпендикулярны.
3.
В прямой призме ABCAiBiCi L ABC = 4W, L CAB = 60°, AB = 2 см,
AAj = 2V3 см.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью АХВС.
3)	Найдите угол между плоскостями А\ВС и АВС.
4)	Найдите угол между прямой СС\ и плоскостью АХВС.
5)	Разложите вектор ЛД/ по векторам А?А, А?В, А?С, если М — точ-
ка пересечения медиан треугольника АВС.
6)	Найдите угол между плоскостями AAiBt и А\ВС.
430
4.
В пирамиде DABC ребро AD перпендикулярно основанию, AD =
= см, АВ = 2 см, L АВС - 90°, L ВАС - 60°, М — середина от-
резка DA.
1)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМС.
3)	Найдите угол между плоскостями МВС и АВС.
4)	Найдите угол, который составляет прямая BD с плоскостью ВМС.
5)	Разложите вектор по векторам 2X4, 2X3, 25t?, если О — точка
пересечения медиан треугольника АВС.
6)	Найдите угол между плоскостями МВС и ABD.
5.
В прямой призме АВСА\В{С\ АС= 13 см, АВ- 14 см, ВС - 15 см,
AAi = 10 см. Точки М и Н — середины ребер AAi и ВВ, соответст-
венно.
1)	Найдите площадь полной поверхности призмы.
2)	Найдите площадь сечения призмы плоскостью МНС.
3)	Найдите угол между плоскостями МНС и АВС.
4)	Найдите угол между прямой AAt и плоскостью МНС.
5)	Разложите вектор 1ЙК по векторам	и Лй, если К — сере-
дина отрезка СН.
6)	Постройте линию пересечения плоскостей МНС и АВС.
6.
В пирамиде DABC DA = DB = DC = AC = 2 см, AB = BC, L ABC = 90°.
Точки M и H — середины ребер AD и DC соответственно.
1)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ВМН.
3)	Найдите угол между плоскостями ВМН и АВС.
4)	Найдите угол между прямой BD и плоскостью ВМН.
5)	Разложите вектор МК по векторам ЛЬ, ЁВ, ЛТ?, если К — середина
отрезка ВН.
6)	Постройте линию пересечения плоскостей МВН и АВС.
431
7.
В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ основанием служит ромб
ABCD, АС ~ 8 см; BD = 6 см, ВВ{ = 6 см.
1. Через сторону AD и точку Р (РЕ ВВ\ и РВ = 2 см) проведена пло-
скость. Найдите площадь боковой поверхности образовавшейся
треугольной призмы.
2. Через диагональ параллелепипеда В{ D параллельно диагонали АС
основания проведена плоскость
1)	Найдите площадь сечения.
2)	Найдите расстояние ОК от точки пересечения диагоналей ромба
ABCD до плоскости сечения.
3)	Найдите расстояние между АА{ и BtD.
4)	Разложите вектор Cft по векторам 7ft?, ЛЪ и ЛЙ].
5)	Найдите угол между AD и плоскостью сечения.
8.
Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD со стороной,
равной а. Грань МАВ — правильный треугольник — перпендику-
лярна к плоскости основания.
1)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2)	Найдите площадь сечения, проведенного через середину ребра MD
перпендикулярно плоскости основания и параллельно АВ.
3)	Найдите угол между плоскостями АМВ и DMC.
4)	Найдите угол между MD и плоскостью сечения.
5)	Пусть Н — точка пересечения диагоналей сечения. Разложите век-
тор Л?/ по векторам 7ft?, 7ft) и Л%/.
6)	Найдите расстояние между ВС и MD.
432
§ 24*. Параллельная проекция фигуры.
Изображение фигур
1.	Три точки проектируются на плоскость. Сколько при этом может
получиться точек на плоскости проекции?
2.	Изобразите ромб с перпендикулярами, опущенными из середины
одной из сторон на его диагонали.
3.	Изобразите правильный шестиугольник с перпендикуляром, опу-
щенным из его центра на одну из его сторон.
2.
1.	Что из себя представляют проекции двух параллельных прямых на
плоскость?
2.	Изобразите равнобедренный треугольник с перпендикуляром, опу-
щенным из середины боковой стороны на основание.
3.	Изобразите правильный шестиугольник с перпендикуляром, опу-
щенным из его центра на меньшую диагональ.
3.
1.	Перечислите, какие свойства прямоугольника сохраняются при па-
раллельном проектировании.
2.	Изобразите правильный шестиугольник с биссектрисой одного из
его внешних углов.
3.	Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника ABC {L С = 90°) от-
носятся как 2:3. Изобразите треугольник вместе с высотой, опу-
щенной из вершины прямого угла.
433
1.	Перечислите, какие свойства ромба сохраняются при параллельном
проектировании.
2.	Изобразите ромб с углом 60° и перпендикуляром, опущенным из
точки пересечения диагоналей на сторону.
3.	Изобразите равнобедренный треугольник ЛВС, у которого АВ =
= ВС - 4 и АС = 5 с центром вписанной в треугольник окружности.
5.
1.	Что из себя представляют проекции двух скрещивающихся прямых
на плоскости?
2.	Изобразите квадрат ABCD с перпендикуляром, опущенным из вер-
шины С на отрезок BE, где Е — середина AD.
3.	Изобразите равнобедеренную трапецию ABCD (AD и ВС — основа-
ния) с углом при основании 45° и с центром описанной около нее
окружности.
6.
1.	Проекции двух прямых на плоскости параллельны. Каково взаим-
ное положение самих прямых?
2.	Дано изображение некоторого треугольника и центра его описан-
ной окружности, расположенного внутри треугольника. Постройте
изображение высот этого треугольника.
3.	Изобразите равнобедренный прямоугольный треугольник с квадра-
том, построенным на его гипотенузе (квадрат расположен вне тре-
угольника).
434
§ 25*. Многогранные углы.
Теорема косинусов для трехгранного угла
1.	Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 90°; 20°;
120°, б) 40°; 30°; 70°?
2.	В трехгранном угле ОАВС все плоские углы равны 60°. Какой угол
с плоскостью ВОС составляет ребро ОА?
3.	Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 60° и 90°. Найдите дву-
гранный угол, лежащий против плоского угла в 60°.
2.
1.	Существует ли трехгранный угол с плоскими углами: а) 100°; 150°;
110°, б) 60°; 90°; 120°?
2.	В трехгранном угле ОАВС L АОС = L АОВ; L ВОС = 90°. Ребро
ОА составляет с плоскостью противолежащего плоского угла угол
45°. Найдите равные плоские углы.
3.	В трехгранном угле плоские углы равны 120°; 120° и 90°. Найдите
двугранный угол, лежащий против меньшего плоского угла.
3.
1.	В трехгранном угле два плоских угла равны 110° и 100°. В каких
границах может находиться третий плоский угол?
2.	В пирамиде DABC L DAC = L DAB = 30°. Двугранный угол при
ребре AD равен 90°, DC1. АС и DBA. АВ, DC = DB = 20. Найдите
прощадь грани BDC.
3.	Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Если сечение
этого угла плоскостью, перпендикулярной к грани с наибольшим
плоским углом, имеет форму равнобедренного треугольника (осно-
вание треугольника лежит в плоскости прямого угла), то секущая
плоскость отсекает на ребрах трехгранного угла равные отрезки.
Докажите.
435
4.
1.	В каких границах могут изменяться плоские углы при стороне ос-
нования правильной пятиугольной пирамиды?
2.	В пирамиде DABC L DAC = L DAB = 60° . Двугранный угол при
ребре AD равен 120°, DC± AC, DB± ЛВ, ВС = V39. Найдите ради-
ус окружности, описанной около треугольника BDC.
3.	Плоские углы трехгранного угла 60°, 60° и 90°. Докажите, что пло-
скость, отсекающая от ребер три равных отрезка, перпендикулярна
плоскости прямого угла.
5.
1.	Докажите, что в трехгранном угле против равных плоских углов
лежат равные двугранные углы.
2.	В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ £АХАС = 45°;
L АХАВ = (Ю, L ВАС = Ы°, АС = Л\ АВ = 2'/3. ААХ =5. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
3.	Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а.
Грань МАВ — правильный треугольник, плоскость которого пер-
пендикулярна плоскости основания. Найдите двугранный угол при
ребре MD.
6.
1.	Докажите, что в трехгранном угле против равных двугранных уг-
лов лежат равные плоские углы.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при бо-
ковом ребре равен 120°, а высота боковой грани т. Найдите пло-
щадь боковой поверхности пирамиды.
3.	Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной а.
Ребро МВ равно а и перпендикулярно плоскости основания. Най-
дите величину двугранного угла с ребром MD.
436
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Аксиомы стереометрии. Взаимное положение
прямых. Параллельность прямой и плоскостей
Вариант 1
1. На рис. 45 точки А, С, М и Р лежат в
плоскости а, а точка В(£ а. Постройте
точку пересечения прямой МР с пло-
скостью АВС. Поясните.
2. Треугольники АВС и ADC лежат в
разных плоскостях и имеют общую
сторону АС. Точка Е лежит на сторо-
не АВ, a F — на стороне ВС, причем
EF параллельна плоскости ADC. Р —
середина AD, а К — середина DC.
1) Докажите, что EF\\PK.
2) Каково взаимное положение прямых
РК и АВ? Чему равен угол между
в
этими прямыми, если £ АВС = 40° и £ ВС А = 80°.
3. Плоскости а и /? пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в пло-
скости а. Каково возможное взаимное положение прямой а и пло-
скости fl? Сделайте рисунок и поясните.
4*. Используя рисунок 46, постройте линию пересечения плоскости
EFM с плоскостью а. Поясните.
437
Вариант 2
1. На рис. 47 точки А и В лежат в плоскости a, a С — в плоскости
/3. Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями а
2. Треугольники АВС и DCE лежат в разных плоскостях и имеют об-
щую вершину С, AB\\DE.
1) Постройте линию пересечения плоскостей АВС и DCE. Поясните.
2) Каково взаимное положение прямых АВ и DF, где F лежит на сто-
роне СЕР. Чему равен угол между этими прямыми, если L FED -
- 60° и L DFE - 100°? Поясните.
3. Прямая а параллельна плоскости а, точка М и прямая с лежат в
плоскости а (М £ с). Через точку М проведена прямая Ь, парал-
лельная а. Каково взаимное положение прямых b и с? Поясните.
4*. Плоскости а и (3 пересекаются по прямой т (рис. 48). Прямая АВ
лежит в плоскости a, a CD — в плоскости /?. Что нужно изменить
в условии, чтобы прямые EF и МК могли быть параллельными?
Поясните.
438
Вариант 3
1.
2.
1)
2)
На рис. 49 точки А, С, Е и F ле-
жат в плоскости а, а точка В(£ а.
Постройте точку пересечения
прямой EF с плоскостью АВС.
Поясните.
Трапеция ABCD (AD и ВС —
основания) и треугольник AED
имеют общую сторону AD и ле-
жат в разных плоскостях. Точка
М лежит на стороне АЕ, а Р —
на стороне DE, причем МР па-
раллельна плоскости трапеции.
Докажите, что МР\\ВС.
Каково взаимное положение
прямых МР и АВ‘! Чему равен
угол между этими прямыми, ес-
ли Z. АВС = 110°? Поясните.
В
Рис. 49
3. Плоскости а и ft пересекаются по прямой т. Прямая а лежит в пло-
скости а, а b — в плоскости/?. Какие возможны взаимные положе-
ния прямых а и Ь. Сделайте рисунок и поясните.
4*. Используя рисунок 50, постройте линию пересечения плоскости
МРК с плоскостью а. Поясните.
Рис. 50
439
Вариант 4
1. На рис. 51 точки Е и F лежат в плоскости /3, а М — в плоскости
а. Постройте линии пересечения плоскости EFM с плоскостями а
2. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости а. Через точки
В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость
а в точках Е и F соответственно.
1)	Докажите, что BCFE — параллелограмм.
2)	Каково взаимное положение прямых EF и АВ? Чему равен угол
между ними, если L АВС= 150°? Поясните.
3.	Отрезок АВ параллелен плоскости а, а отрезок CD лежит в этой
плоскости, причем АВ = CD. Можно ли утверждать, что четырех-
угольник ABDC — параллелограмм? Поясните.
4*. Плоскости а и (3 пересекаются по прямой т (рис. 52). Прямая АВ
лежит в плоскости a, a CD — в плоскости /3. Что нужно изменить
в условии, чтобы прямые АС и BD могли пересекаться? В каком
случае это возможно?
440
№ 2. Параллельные плоскости.
Построение сечений
Вариант 1
1.	Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и име-
ют общую сторону AD. Прямая т, параллельная ВС, пересекает
плоскости АВЕ и DCFсоответственно в точках Н и Р. Докажите, что
HPFE— параллелограмм.
2.	На рис. 53 плоскости аи(3 параллельны, я||я]. Прямая а пересека-
ет плоскости а и fl соответственно в точках А и В, а прямая а\ пе-
ресекает плоскость а в точке Л\. Постройте точку пересечения <7| с
плоскостью fl. Поясните.
3.	В тетраэдре DABC L DBA =
= L DBC = 90°, DB = 6, AB =
= BC = %, AC = 12. Постройте
сечение тетраэдра плоско-
стью, проходящей через сере-
дину DB и параллельной пло-
скости ADC. Найдите пло-
щадь сечения.
4*. Постройте сечение паралле-
лепипеда плоскостью, прохо-
дящей через точки Е и F и
параллельной прямой а
(рис. 54).
Рис. 54
441
Вариант 2
1.	Вне плоскости а расположен треугольник ЛВС, у которого медианы
ЛЛ( и ВВН параллельны плоскости а. Через вершины В и С тре-
угольника проведены параллельные прямые, которые пересекают
плоскость а соответственно в точках Е и F. Докажите, что ECBF
2.	На рис. 55 плоскости а и fl параллельны. Прямая а пересекает пло-
скости а и fl соответственно в точках Л и В, а прямая Ь — в точках
С и D. Найдите взаимное положение прямых а и Ь. Поясните.
3.	Все грани параллелепипеда ABCDA\B\C\D} квадраты со стороной а.
Через середину ребра AD параллельно плоскости DA\B\ проведена
плоскость. Найдите периметр сечения.
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точ-
ки С и К и параллельной прямой а. (рис. 56).
442
Вариант 3
м
Рис. 571
1.
2.
Прямоугольники ABCD и EBCF ле-
жат в разных плоскостях и имеют об-
щую сторону ВС. Прямая а парал-
лельна AD и пересекает плоскости
АВЕ и DCF соответственно в точках Р
и Н. Докажите, что РВСН — парал-
лелограмм.
На рис. 57 плоскости а и fl парал-
лельны. Прямые an b пересекаются в
точке М. Прямая а пересекает пло-
скости а и fl соответственно в точках
А и В, а прямая b пересекает плоско-
сть fl в точке D. Постройте точку пе-
ресечения прямой h с плоскостью а.
В тетраэдре DABC точка М — середина AC, DB = 6, MD** 10,
L DBM —90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходя-
щей через середину ребра DC, параллельной плоскости DMB, и
найдите площадь сечения.
4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей че-
рез точки Е и Р и параллельной прямой а (рис. 58).
3.
443
Вариант 4
1.	Трапеция ABCD (AD и ВС — основания) расположена вне плоско-
сти а. Диагонали трапеции параллельны плоскости а. Через вер-
шины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают
плоскость а в точках Е и F соответственно. Докажите, что EABF
— параллелограмм.
2.	На рис. 59 плоскости а и fl параллельны. Прямая а пересекает пло-
скости а и^8 соответственно в точках ЛиВ, а прямая b — в точках
С и D. Каково взаимное положение прямые а и Л? Поясните.
3.	Дан параллелепипед ABCDAXBXC\D\, все грани которого прямо-
угольники, AD = 4, DC - 8; CCi = 6. Постройте сечение параллеле-
пипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC и парал-
лельной плоскости ABt Ci, и найдите периметр сечения.
4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точ-
ки С и М и параллельной прямой а (рис. 60).
444
№ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Вариант 1
1. В треугольнике АВС АС = СВ - 10 см, L А = 30°, ВК— перпенди-
куляр к плоскости треугольника и равен 5уГь см. Найдите рас-
стояние от точки К до АС.
2. Точка М равноудалена от всех вершин равнобеденного прямо-
угольного треугольника АСВ (А С = 90°), АС = ВС - 4 см. Расстоя-
ние от точки М до плоскости треугольника равно 2VJ см.
1)	Докажите, что плоскость АМВ перпендикулярна плоскости АВС.
2)	Какой угол плоскость ВМС составляет с плоскостью АВС7.
3)	Найдите угол между МС и плоскостью АВС.
3*. Найдите расстояние от точки Е — середины стороны АС — до
плоскости ВМС.
Вариант 2
1. Через сторону АС треугольника АВС проведена плоскость «, уда-
ленная от вершины В на расстояние, равное 4 см, АС = ВС = 8 см,
Z АВС = 22°30' . Найдите угол между плоскостями АВС и а.
2. ABCD — квадрат со стороной, равной 4 см. Треугольник АМВ
имеет общую сторону АВ с квадратом, AM = ВМ = см. Плоско-
сти треугольника и квадрата взаимно перпендикулярны.
1) Докажите, что ВС Л. AM.
2) Найдите угол между МС и плоскостью квадрата.
3*. Найдите расстояние от точки А до плоскости DMC.
Вариант 3
1. ABCD — ромб со стороной 4 см, L ADC - 150°, ВМ— перпендику-
ляр к плоскости ромба и равен 2\^3 см. Найдите расстояние от точ-
ки М до AD.
2. Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника
АВС, сторона которого равна 4 см. Расстояние от точки М до пло-
скости АВС равно 2 см.
1)	Докажите, что плоскость АМО перпендикулярна плоскости ВМС
(О — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на пло-
скость АВС).
2)	Найдите угол между плоскостью ВМС и плоскостью АВС.
3)	Найдите угол между МС и плоскостью АВС.
3*. Точка Е принадлежит АС, причем АЕ : ЕС = 2:1. Найдите расстоя-
ние от точки Е до плоскости ВМС.
445
. 
Вариант 4
1. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость а, удаленная
от НС на расстояние, равное 3VJ см. Сторона ромба — 12 см,
L BCD - 30°. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью
а.
2. Треугольник АСВ — прямоугольный (Z С = 90°), АС = СВ = Зсм.
Треугольник АМС имеет общую сторону АС с треугольником АСВ\
AM - СМ = у/b см. Плоскости треугольников взаимно перпендику-
лярны.
1) Докажите, что МСЛ. ВС.
2) Найдите угол между МВ и плоскостью АВС.
3*. Найдите расстояние от середины АВ — точки Е — до плоскости
ВМС.
446
№ 4. Многогранники
Вариант 1
1. В основании прямого параллелепипеда ABCDAXBX Ci D{ лежит ромб
ABCD со стороной, равной а, и углом BAD, равным 60°. Плоскость
BC\D составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите пло-
щадь полной поверхности параллелепипеда.
2. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник
ABC, L С = 90°, L А - 30°, ВС = 10. Боковые ребра пирамиды равно
наклонены к плоскости основания. Высота пирамиды равна 5. Най-
дите площадь боковой поверхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между прямыми АС и
DB.
Вариант 2
1. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм со
сторонами 3 см и 5 см. Острый угол параллелограмма равен 60°.
Площадь большего диагонального сечения равна 63 см2. Найдите
площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб ABCD, ЛС = 8; BD-
- 6. Высота пирамиды равна 1. Все двугранные углы при основании
равны. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите угол между гранями ВМС и
DMC.
Вариант 3
1. В основании прямого параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ лежит па-
раллелограмм ABCD, у которого BDA. АВ; АВ ~ 3 см; BD - 4 см.
Плоскость ABi Ci составляет с плоскостью основания угол 45°. Най-
дите площадь полной поверхности параллелепипеда.
2. В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной,
равной 12. Грани MBA и МВС перпендикулярны к плоскости ос-
нования. Высота пирамиды равна 5. Найдите площадь полной по-
верхности пирамиды.
3*. В указанной выше пирамиде найдите расстояние между прямыми
ВС и MD.
447
Вариант 4
1. В прямом параллелепипеде ABCDA। В, Ci D\ основанием служит па-
раллелограмм ABCD, AD = 2, DC - 2VJ, L A = 30°. Большая диа-
гональ составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите пло-
щадь боковой поверхности параллелепипеда.
2. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
АВС, катеты которого АС = 8 см; ВС - 6 см. Высота пирамиды рав-
на 3VJ см. Двугранные углы при основании пирамиды равны меж-
ду собой. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3*. В указанном выше параллелепипеде найдите угол между А\С и
плоскостью грани DDiCtC.
448
№ 5. Векторы в пространстве
Вариант 1
1. Дан параллелепипед ABCDAi В\ Ci D\. Изобразите на рисунке век-
торы, равные:
1) ACi + DA\ + В{В + ВА;
2) BA — B^Ci.
2. В тетраэдре DABC М — точка переселения медиан грауи BjpC,
Е*— середина АС. Разложите вектор ЕМ по векторам АС, АВ и
AD.
3. Даны три неколлинеарных вектора а, с. Найдите значения р и
q, при которых векторы 7п = pa + ql) + %смп = а+рК+ ^колли-
неарны.
4*. В тетраэдре DABC точки М и Н — середины соответственно ребер
AD и ВС. Докажите, используя векторы, что прямые АВ, НМ и DC
параллелльны одной плоскости.
Вариант!
1. Дан параллелепипед ABCDAi В\ С[ D{. Изобразите на рисунке век-
торы, равные:
1) B^Ci + АВ + CCi + Bi А "
2) DC — CBi.
2. В тетраэдре DABC точка Е — середина ребра AD, а>М — точка пе-
ресечения г^сдиан грани BDC. Разложите вектор ЕМ по векторам
АВ, АС и AD.
3. Докажите, что векторы /и = о’ч-ZT—а, п = 2а — ZT+? и
р^ = 8? — ?Г+ с* компланарны.
4*. В тетраэдре DABC точки М и N — середины АВ и CD соответст-
венно. Докажите, что середины отрезков МС, MD, NA и NB явля-
ются вершинами параллелограмма.
153ив б. г.
449
Вариант 3
1.	Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Изобразите на рисунке век-
торы, равные:
1)	ВС + CXD± + ВХВ + DXAX;
2)	ЛС! — АХВ.
2.	В тетраэдре DABC точка Е — середина DB, а Л/ — точка переселе-
ния медиан грани АВС. Разложите вектор ЕМ по векторам ОЛ,
DB и DC.
3.	Даны три неколлинеарных вектора а, 5*и Найдите значение Л,
при котором векторы т — ка + к* 1 2 31? + 2с и п = la + kl? + коллине-
арны.
4*. В кубе ABCDAXBXCXDX точки Е и F — середины отрезков BD и
С\С. Докажите, используя векторы, что прямые ВСХ, EF и DC па-
раллельны одной плоскости.
Вариант 4
1. Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX; изобразите на рисунке век-
трры, р^вные^
1) АВ + В\В + CD+ DA;
2) DB — АВХ.
2. В тетраэдре DABC М — точка пересечения медиан гран^ЛС^), а
К*— середина АВ. Разложите вектор КМ по векторам ВЛ, ВС и
3. Докажите, что векторы т = a + 2?Г + Зс\ 1п=21а— и
~р= Уа — 41?— 5сГкомпланраны.
4*. В пространстве расположен параллелограмм ABCD и произволь-
ный четырехугольник AXBXCXDX. Докажите, что точки пересечения
медиан треугольников АХВВХ, ВХССХ, CXDDX и AXADX являются вер-
шинами параллелограмма.
450
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскости
ВАРИАНТ 1
1.	В каком случае три точки в пространстве нс определяют положе-
ние плоскости, проходящей через эти точки?
2.	Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точ-
ку?
3.	Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые,
пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?
4.	Каково взаимное положение прямых:
1)	A£>i и MN; 2) ADX и ВСХ\ 3) MN и DC? (рис. 61).
5.	Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b
пересекаться?
Рис. 61	Рис. 62	Рис. 63
6.	Прямая а параллелльна плоскости а. Существует ли на плоскости
а прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное по-
ложение?
7.	На рис. 62 прямые тип пересекаются в точке М, АЕ. т\ BE п; b лежит
в плоскости а, а||А Каково взаимное положение прямых b и с?
8.	Даны треугольник АВС и плоскость а, АВ||а; АС||а. Каково взаим-
ное положение прямой ВС и плоскости а?
9.	На рис. 63 плоскости а и fl параллельны. Пересекающиеся в точке
М прямые а и b пересекают плоскость а в точках А и С, а плоскость
В — в точках В и D,	Найдите отношение 4^.
ЛЬ Л	MD
10.	Плоскость а пересекает только боковые ребра параллелепипеда.
Определите вид сечения.
451
г
ВАРИАНТ 2
1.	Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имею-
щих три общие точки, не лежащие на одной прямой?
2.	Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?
3.	Прямые а и h пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая
через точку М, пересекает прямые а и Ь. Лежат ли все эти три пря-
мые в одной плоскости?
4.	Каково взаимное положение прямых:
1)	AtD и MN;
2)	A\D и Bi С;
Рис. 64	Рис. 65	Рис. 66
5.	Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b
быть параллельными?
6.	Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли ут-
верждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то
каково их взаимное положение?
7.	На рис. 65 прямые тип параллелльны. Точки А и В соответствен-
но принадлежат прямым тип; 5 лежит в плоскости a, a||Z>. Каково
взаимное положение прямых b и с?
8.	Даны четырехугольник ABCD и плоскость а. Его диагонали АС и
BD параллельны плоскости а. Каково взаимное положение АВ и
плоскости а?
9.	На рис. 66 плоскости а и ft параллельны. Пересекающиеся в точ-
ке М прямые а и b пересекают плоскость а соответственно в точ-
ЕМ 2
ках В и Л, а плоскость ft — в точках Е и F.	Найдите
r	MF 5
МВ
отношение ттт-
МА
10.	Плоскость а проходит через диагональ основания параллелепипе-
да и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид
сечения.
452
№ 2. Перпендикулярность прямых и плоскости
ВАРИАНТ 1
1.	АВА. a; CD1. а; BE а; DE а; АВ= CD. Каково взаимное положе-
ние прямой АС и плоскости а?
2.	К плоскости поведены две равные наклонные. Равны ли их проекции?
3.	Точка М равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольни-
ка, катеты которого 6 см и 8 см. Расстояние от точки М до плоско-
сти треугольника равно 12 см. Найдите расстояние от точки М до
вершин треугольника.
4.	Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат со
стороной, равной а. Расстояние от бокового ребра до скрещиваю-
щейся с ним диагонали параллелепипеда равно ...
5.	На рис. 67 ABCD — квадрат.
АЕ — перпендикуляр к плоско-
сти квадрата. КЕ ЕВ. Чему ра-
вен угол между ВС и АК?
6.	В треугольнике АВС АВ =10;
L А = 30°, BD± ABC, BD-12.
Расстояние от точки D до АС
равно ...
7.	Основанием прямоугольного па-
раллелепипеда служит квадрат
со стороной, равной 4. Диаго-
наль параллелепипеда равна 8.
Угол между диагональю и боко-
вой гранью равен ...
8.	Точка М равноудалена от всех сторон квадрата ABCD, сторона ко-
торого равна 8 см. Расстояние от точки М до плоскости квадрата
равно 4 см. Угол между плоскостью MCD и плоскостью квадрата
равен ...
9.	Прямая а и плоскость а перпендикулярны плоскости /8. Каково вза-
имное положение прямой а и плоскости а?
10.	Треугольник МАВ и квадрат ABCD имеют общую сторону АВ и их
плоскости взаимно перпендикулярны. Угол MAD равен ...
ВАРИАНТ 2
1.	ABA. a; CD\\AB (BE a; DE а), Е Е a, L ECD=4Q°. Тогда Z CED
равен ...
2.	Две наклонные, проведенные к плоскости, имеют равные проек-
ции. Равны ли сами наклонные?
3.	Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника и
находится на расстоянии в 3 см от его плоскости. Высота треуголь-
453
ника равна 6 см. Расстояние от
точки D до вершин треугольника
равно ...
4.	Основанием прямоугольного па-
раллелепипеда служит квадрат со
стороной, равной а. Расстояние
между скрещивающимися диаго-
налями противоположных граней
параллелепипеда равно ...
5.	На рис. 68 ABCD — квадрат.
АЕ — перпендикуляр к плоскости
Рис. 68	квадрата, MG ЕС. Угол между BD
и AM равен ...
6. В треугольнике АВС АВ - 16 см, L А - 30°, ВК — перпендикуляр к
плоскости треугольника. Найдите ВК, если расстояние от точки К
до АС равно 17 см.
7.	В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат.
Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью
боковой грани угол 60°. Найдите стороны основания.
8.	Точка D равноудалена от всех сторон правильного треугольника
АВС. Расстояние от точки D до плоскости треугольника равно
Радиус описанной около треугольника окружности равен 4.
Угол между плоскостью CDB и плоскостью треугольника равен ...
9.	Две плоскости перпендикулярны к третьей. Линии пересечения
этих плоскостей с третьей плоскостью параллельны. Каково взаим-
ное положение этих плоскостей?
10. Прямоугольный треугольник АСВ {L С = 90°) и треугольник СМВ
имеют общую сторону ВС. Плоскости треугольников взаимно пер-
пендикулярны. Угол АСМ равен ...
454
№ 3. Многогранники
ВАРИАНТ 1
1.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
ABCDAxBxC\Di равна 4 см, а боковое ребро — 5 см. Найдите пло-
щадь сечения, которое проходит через ребро АА( и вершину С.
2.	В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а
диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол
60°. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
3.	В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две
противоположные боковые грани перпендикулярны к плоскости ос-
нования. Все ребра параллелепипеда равны 4 см. Найдите площадь
каждой из наклонных боковых граней.
4.	В наклонной треугольной призме ABCAiBiCi основанием служит
правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро рав-
но b, L AiАС = L AiАВ. Площадь грани CCiBiB равна ...
5.	В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 10 см. Пло-
щади двух боковых граней равны 30 см2 и 40 см2, угол между ними
прямой. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
6.	В правильной четырехугольной пирамиде угол между диагональю
основания и скрещивающимся с ней боковым ребром равен ...
7.	В правильной четырехугольной пирамиде угол между противопо-
ложными боковыми гранями равен 40°. Найдите угол наклона бо-
ковых граней к плоскости основания.
8.	Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
8 см, и противоположным этой стороне углом в 150°. Боковые реб-
ра наклонены к основанию под углом 45°. Высота пирамиды рав-
на ...
9.	Основанием пирамиды служит трапеция, основания которой равны
2 см и 8 см. Боковые грани пирамиды равно наклонены к плоско-
сти основания. Высота одной из боковых граней равна 10 см. Най-
дите площадь боковой поверхности пирамиды.
10.	В пирамиде MABCD основанием служит квадрат со стороной, рав-
ной а. Грань МАВ — правильный треугольник, плоскость которого
перпендикулярна к плоскости основания. Площади граней MAD и
МВС равны ...
ВАРИАНТ 2
1.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы
ABCDAi Bi Ci Di равна 3 см, а боковое ребро — 4 см. Найдите пло-
щадь сечения, которое проходит через сторону основания AD и
вершину Ci.
455
2.	В правильной треугольной призме боковое ребро равно 4 см, а
диагональ боковой грани составляет с плоскостью основания угол
45°. Площадь боковой поверхности призмы равна ...
3.	В наклонном параллелепипеде основанием служит квадрат. Две
противоположные боковые грани перпендикулярны к плоскости ос-
нования. Все ребра параллелепипеда равны между собой. Площадь
наклонной боковой грани равна 25 см2. Длина ребра параллелепи-
педа равна ...
4.	Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA\B\C\D{ служит
квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро равно Ь. Вершина At
равноудалена от всех вершин нижнего основания. Площадь диаго-
нального сечения BBt Dt D равна ...
5.	В наклонной треугольной призме боковое ребро равно 5 см. Площа-
ди двух боковых граней равны 20 см2, угол между ними — 60°.
Площадь боковой поверхности призмы равна ...
6.	В правильной треугольной пирамиде угол между скрещивающими-
ся ребрами равен ...
7.	В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклоне-
ны к основанию под углом 50°. Угол между противоположными бо-
ковыми гранями пирамиды равен ...
8.	В пирамиде основанием служит треугольник со стороной в 6 см и
противолежащим углом 30°. Боковые ребра наклонены к основа-
нию под углом 60°. Длина бокового ребра равна ...
9.	Основанием пирамиды служит трапеция, боковые стороны которой
равны 2 см и 4 см. Боковые грани пирамиды равно наклонены к
плоскости основания. Высота одной из боковых граней равна 5 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
10.	Основанием пирамиды MABCD служит квадрат со стороной 6 см.
Ребро МВ перпендикулярно к плоскости основания. Равные боко-
вые ребра равны 8 см. Площадь наклонных боковых граней рав-
на ...
456
№ 4. Векторы в пространстве
ВАРИАНТ 1
1.	DABC — правильная треугольная пирамида. Сторона основания
равна у/З. Боковые ребра наклонены к о снованию под углом 60°.
Найдите: | ВА + ВВ + At? |.
2.	Ребро куба ABCDAiBiCiDi равно 1. Найдите: |	|.
3.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед, А(С пересекает B(D в точке Л/,
Bi*D = х Bbf. Найдите х.
4.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Укажите какой-нибудь вектор
с началом и концом в вершинах параллелепипеда, который был бы
компланарен с векторами АВХ и АС.
5.	At? = хВВ + уАЪ. Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающи-
мися?
6.	т = <а— ^+с\ п = 2<а— ZT+2с”	]р=3а— 4ZT+1с =
= За— 22Г+ Зс. Укажите тройку компланарных векторов.
7.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Найдите: ВА + ВС + БВХ.
8.	ABCDAxBxCiCi — параллелепипед. DXC пересекает CXD в точке М.
Выразите вектор AV через векторы АЪХ и At?.
9.	PABCD — пирамида, ABCD — параллелограмм, ВА = а" ВВ = 1г,
ВС = Выразите вектор BD = jcчерез векторы а, Ви В.
10.	В правильной треугольной пирамиде DABC отрезок DO — высота.
Разложите вектор ВС) по векторам ВА, ВВ и ВС.
ВАРИАНТ 2
1.	Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
АСВ (L С = 90°); АС = 6; ВС = 8. Боковые ребра пирамиды накло-
нены к основанию под углом 60°. Найдите: | At? + вХ/ + ВВ |.
2.	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ сторона основания
равна 1, точка Е — середина Ах Сх. Найдите: | Ci? — СВХ |.
3.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед, ЛХС пересекает BxDn точке М,
А^С = хСК/. Найдите х.
4.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед, Ей F — середины AD и CD со-
ответственно. Будут ли компланарны векторы At?, ВВ и ВЪХ ?
5.	т = 2ci— В+ с\ п = —~а + В— 2с\	= ci+ 2/Г + с* 1с =
= За+ ZT+ 2? Укажите тройку компланарных векторов.
6.	At? * хАВ + уАЪ. При всех х и у АВ и АЪ не являются коллинеар-
ными. Могут ли пересекаться прямые АС и BD?
7.	ABCDAiBiCiDi — параллелепипед. Найдите: С?7?1 + С\ЪХ + CjC.
8.	ABCDAxBxCiDi — параллелепипед. АВХ пересекает АхВ в точке Е.
Выразите вектор BE через векторы ВВХ и ВА.
457
ж
9. _J3 пирамиде ЕАВСр основанием служит параллелограмм ABCD.
ЕВ = т\ ЕС = n; ЕD = р; ЕА = у Выразите вектор jZчерез век-
торы т, п и р.
10. В тетраэдре DABC отрезки DE и CF — мсдданы грани В DC. ЦЕ
ngpeceijaeT CF в точке О. Выразите вектор AD через векторы ЛО,
АС и АВ.
458
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
§1
1. 2. Да, пересекаются.
3. 1. Точки А, М и В должны лежать на одной прямой.
2. 1) Прямая EF пересекает ВС в точке X, а Вх С( — в точке У. Тогда X — точка
пересечения EF с плоскостью АВС, а У — с плоскостью Л( Вх С,.
2)	Линией пересечения плоскостей ADF и EFD является прямая FD.
3)	Линией пересечения плоскостей EFD и АВС является прямая XD.
5.	1. При условии, что ВО - ОС.
2.	Пусть АВХ и А. В пересекаются в точке X, а ВСХ и ВХС — в точке У. Тогда
можно доказать, что Хг — линия пересечения плоскостей АВХ С и АХСХВ.
6.	1. При условии, что АЕ : ЕС - 2:3.
2.	Пусть ME пересекается с РТ в точке X. Тогда можно доказать, что ХК — ли-
ния пересечения плоскостей РТК и MCE.
7.	1. Пусть В К пересекает АС в точке Р, a PD пересекает EF в точке L. Искомой
точкой X является точка пересечения DK и LM. Это требует доказательства.
2. Если L С - 90°, то центр описанной окружности О принадлежит АВ. Через эту
прямую можно провести плоскость, в которой только С не лежит. Поэтому точка С не
обязательно лежит в плоскости АВС.
8.	1. Пусть DM пересекает ВС в точке L, a AL пересекает BE в точке Р. Искомой
точкой У является точка пересечения AM и DP. Это требует доказательства.
2. Не обязательно.
§2
1.1. 1) Прямая ВС.
2) Любая прямая, лежащая в плоскости fl и проходящая через точку С, но не
совпадающая с ВС.
3) Таких прямых нет.
2. 1. 1) Таких прямых нет.
2) Любая прямая, лежащая в плоскости fl и проходящая через точку С, но не
параллельная EF.
3) Прямая, проходящая через точку С и параллельная прямой EF.
4.	2. Нет, не лежит.
5.	1. Прямые EF и a, EF и b — скрещивающиеся, т.к. в противном случае прямые
ЛЛ( и ВВХ лежали бы в одной плоскости, что невозможно.
6.	1. Задача решается аналогично задаче 5.(1).
7.	1. Прямые с и а лежат в одной плоскости и нс пересекаются. Если предположить,
что с и а пересекаются в точке X, то тогда легко установить, что точка X принадлежит
трем плоскостям a, fl и у, а значит, что она лежит и на линиях пересечения этих пло-
скостей, взятых попарно. Но тогда прямые а и Ь будут иметь общую точку X, что про-
тиворечит условию. Аналогично доказывается, что с\\Ь.
2. Рассмотрим отрезки Л( F и С( Е. ЕЕЦЛС, т.к. EF — средняя линия треугольни-
ка АВС. Легко доказать, что ЛСЦЛ^. Отсюда следует, что ЕРЦЛ|СГ В таком случае
EFCXAX — трапеция, основания которой EF и Л^, причем EF: Л(С] ” 1:2. Пусть
диагонали этой трапеции AXF и С.Е пересекаются в точке К. Из подобия треугольни-
ков А{ХСх и EKF следует, что Л(к : KF-* СХК : КЕ= 1:2. Рассмотрим теперь отрезки
Л( F и Вх М. Аналогично можно доказать, что они пересекаются в некоторой точке Кх,
причем Л|/С| : KXF — ВХКХ : КХМ- 1 : 2. В таком случае точки К и Кх совпадают. Этим
и доказывается данное утверждение.
459
г
8.	1. Через прямую а и точку М проходит плоскость а. Если эта плоскость пересе-
кает прямую b в некоторой точке X, то прямая ХМ, если она не параллельна а, является
искомой.
2.	Легко доказать, что СС^В^В, AAtCtC и AAtBtB — параллелограммы и точки
F, Е и М — точки пересечения их диагоналей; EF — средняя линия треугольника
АС^В и EF-^AB. Аналогично, MF — ^-AC и ЕМ ’"—ВС. Отсюда следует подобие тре-
угольников EMF и АВС по трем сторонам.
S3
2.	1. BF: FC - 2:3.
3.	1. Прямая b либо параллельна плоскости а, либо лежит в этой плоскости.
2.	2) 50°.
4.	2. 2) 80°.
5.	1. Необходимо доказать, что четырехугольник РКНМ является параллелограм-
мом.
2. 2) ОО1 ||АА(.
3) 60°.
6. 1. Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. 2) КК{ ||ВС.
3) 70°.
7. 1. Пусть ME и MF медианы треугольников AMD и DMC. Рассмотрим треуголь-
МН	МН1	2
ники EMF и НМН., -г-=; = —г—- = —. Кроме того, у этих треугольников L EMF — об-
1 ME	Mr	3
щий. Отсюда следует, что A EMF подобен А НМН^. В таком случае НН{ ||£F, т.к. EF
— средняя линия треугольника A DC, то EF||AC. Поэтому ННХ ||АС и ННХ параллельна
плоскости АМС.
2. MF и EF — линия пересечения плоскости MFE с плоскостями CDB и АВС.
Линия пересечения с плоскостью ADC проходит через точку М и параллельна АС.
Пусть ее точка пересечения с AD есть точка Р. Тогда РЕ — линия пересечения с пло-
скостью ADB, PMFE — параллелограмм, Z. EFM — угол между скрещивающимися
прямыми АС и DB, EF”5\ MF" 10, S = EF x MF sinZ. EFM, 25V3 - 50 sinZ. EFM;
Vi
sin Z. EFM = ~2~; 4. EFM = 60° (угол между скрещивающимися прямыми острый или
прямой).
8. 1. Да, параллельны.
2.	200. Задача решается аналогично задаче 7. (2).
§4
3.	2. Если прямые АВ и CD скрещивающиеся, то AD и ВС тоже скрещивающиеся
прямые. Если же АВ||С7), то AD и ВС пересекаются или параллельны.
4.	2. АС и BD скрещивающиеся, пересекающиеся или параллельные. См. ответ к
задаче 3 (2).
5.	1. 10 см; 12,5 см.
2.	О положении плоскостей судить нельзя.
6.	1. 10 см; 15 см.
2.	Прямые должны пересекаться или скрещиваться.
7.	1. Через точку М проводим прямую, параллельную ВВ{ до пересечения с АС в
точке Е. Через точку Е проводим прямую, параллельную КВ до пересечения с прямой
АВ в точке Р. Через точку Р проводим прямую, параллельную ВВХ. Легко доказать, что
эта прямая является линией пересечения указанной плоскости с плоскостью АВВХ.
2. В плоскости, проходящей через точку М и параллельно плоскости а.
460
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7.(1).
§5
1.	2. 2^3 см2.
2.	2. 4^3 см2.
3.	2. 4^33 см2.
4.	1. 90°.
2. 48 см2.
5.	2. Каждые два из указанных отрезков являются диагоналями параллелограмма,
причем стороны этого параллелограмма являются средними линиями соответствующих
граней тетраэдра. Для доказательства следует воспользоваться теоремой о сумме квад-
ратов диагоналей параллелограмма.
6.	2. Рассмотрите любые два отрезка указанных прямых и докажите, что, пересека-
ясь, они делятся в настоящем отношении (1:3).
7.	1. Для решения задачи нужно доказать, что ABCD — параллелограмм. Пусть
указанные отрезки пересекаются в точке О. ААХСХС — параллелограмм, т.к. АА{ ||СС(
и АА( - СС]. Тогда Л( О - ОС и АО - ОСХ. ВВХ DXD — параллелограмм, т.к. ВВХ
и ВВХ = DDX. Тогда ВХО = OD и ВО = ODX. В четырехугольнике Ах Вх CD А. О = ОС и
Вх О = OD. В таком случае Ах Вх CD — параллелограмм и А(Вх ||CD, но А (Вх ||Л/?, а по-
тому A/?||CD. Аналогично можно доказать ВС ||AD и тогда ABCD — параллелограмм. В
таком случае ABCDAX BXCXDX — параллелепипед.
2. Необходимо сделать развертку боковой поверхности тетраэдра (рис. 69).
Наименьший путь равен длине отрезка АА'. L ADA’ = 30° х 3 = 90°. Тогда АА' =
- 3V2 см.
8.	1. Плоскости BDAX и ААХ С( пересекаются по прямой Ах О, где О — точка пере-
сечения диагоналей параллелограмма ABCD. АС. пересекает АХО в точке М. Это и
есть точка пересечения АСХ и плоскости BDAX. Обозначим точку пересечения АСХ и
АХС через Р. Тогда АР и АХО — медианы треугольника ААХС. В таком случае
Ах М : МО = 2:1, а это и означает, что М — точка пересечения медиан сечения BDAX.
2. 12 см. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
§6
1.2.	(10+ 12^2) см.
2. 1. 15.
a2Vll
3	- 1- —
64
а V 2
4	-I6--
5	. 1. Построение сечения показано на
рис. 70. Необходимо доказать, что в сече-
нии получился правильный шестиуголь-
ник со стороной, равной см. Его
площадь равна 48 у/з см2.
2. Построение сечения показано на
рис. 71. Секущая плоскость пересекает
плоскость BDC по прямой СХ, парал-
лельной DE. Доказательство построения
очевидно.
461
Bl	К	Cl
6.	1. Построение сечения показано на рис. 72. Необходимо доказать, что в сечении
получился правильный шестиугольник со стороной, равной 2V 2 см. Его площадь рав-
на I2V3 см2.
2.	Задача решается аналогично задаче 5.(2).
7.	1. Построение сечечения показано на рис. 73. В сечении получилась трапеция
KPTL, у которой основание KL -	и РТ - Высота трапеции FM - Тогда площадь
5аЬ
трапеции равна -rz~-
10
2.	Построение сечения показано на рис. 74. При построении использовалось
свойство параллельных плоскостей.
8.	1. Сечением является параллелограмм, стороны которого равны 8 и 3, а угол —
60°. Тогда площадь сечения равна 12V 3.
2. Задача решается аналогично задаче 7.(2).
S7
1.1. 2.
2.	1. 2.
2.	Линия пересечения параллельна прямым АО и BE.
3.	1. 24.
2.	д||с.
4.	1. 2.
2.	*||с.
5.	1. 13.
2.	Точка пересечения прямой b с плоскостью а есть точка пересечения прямой
AM с прямой Ь. Точкой пересечения прямой а с плоскостью ft является точка пересече-
ния а с прямой, проходящей через точку В и параллельной прямой AM.
6.	1. 8 см.
2.	Задача решается аналогично задаче 5 (2).
7.	1. Рассмотрим случай, когда вершина параллелограмма расположена по одну
сторону от плоскости а. Пусть АС и BD пересекаются в точке О, а А}СХ и BjDt — в
точке О]. Легко доказать, что ОО1 параллельна прямым АА}, ВВ} ,СС} и DD}. В та-
ком случае ОО} — средняя линия в трапециях АСС^А^ и BDD}B{.
462
463
ОО, = |(AA] + CC] ) и OO, = |(BB] + DD, ) Отсюда ЛА, + CC, = BB, + DD, .
Исходя из условий задачи 13+19-36 + DD,, чего быть не может. Это означает, что
точка D находится но другую сторону от плоскости по отношению к точкам А, В и С.
В таком случае в плоскости ВВ, D,D мы имеем пересекающиеся отрезки BD и В. D.,
ВВ, A. B,D, и DD, -L В, D,, ВВ, - 36. Расстояние ОО, между серединами BD и Д Д
равно 16. Тогда легко получить, что DD, - 4.
2. Рассмотрим две точки А и В и искомую прямую tn. Множеством точек, одина-
ково удаленных от точек А и В, является плоскость а, перпендикулярная АВ и прохо-
дящая через середину ЛВ. Если т||а, то таких точек нет, если а пересекает прямую tn,
то искомой является эта точка пересечения, если т лежит в плоскости а, то условию
удовлеторяет каждая точка прямой т.
8.	1. Легко доказать, что АВЦа и ЛВ - А, В, =19. Через точку С проведена плоско-
сть^, параллельная плоскости а. Эта плоскость пересекает ВВ, в точке В2, а АЛ, — в
точке Л2. СВ2 - 11 см; СЛ2 = 12 см и Л2В2 - 19 см. Треугольники СВ2В и СА,А —
прямоугольные. Пусть ВВ2-= АА2 - х. СВ2 - х2 + 121; СА2-*2 + 144; АВ2 = С А2 +
+ СВ2; х2 + 121 + х2 + 144 -361. Отсюда х2 -48. СА-V48 + 121 - 13;
СВ-^48+144 -вТз. S.rn- | • 8^3 • 13 = 52^3 см2.
л с о 2,
2. Множеством точек, равноудаленных от двух данных точек А и В является пло-
скость Д, перпендикулярная к АВ и проходящая через середину АВ. Если плоскость fl
пересекает данную плоскость а, то искомым множеством является линия пересечения
плоскостей а и fl. Если fl ||я, то таких точек нет. Если же а и fl совпадут, то данному
условию удовлетворяет любая точка плоскости а.
S8
1.	2. 84.
2.	2. 24.
3.	2. 7.
4.	2. 3 см.
5.	1. Из равенства треугольников DBC и DBA вытекает, что DA - DC. Пусть Е —
середина АС, тогда DE и BE медианы треугольников АВС и АВС. Так как эти тре-
угольники равнобедренные, то АСА. ЕВ и АС± ED, т.е. АС — перпендикуляр к пло-
скости DEB, а значит, АСА. DB.
2. Пусть F — середина DB. Так как все грани тетраэдра правильные треугольни-
ки, то CFA. DB и AFA. DB. Строим EM\\CF и МКЦАВ, ME DB. Тогда треугольник
а V 2
КМЕ — искомое сечение. Его площадь равна —7-7—.
1о
6.	1. Задача решается аналогично задаче 5(1).
2.	Строим FE параллельно АС и соединяем точки Е и В; FEB — искомое сече-
ние. Легко доказать, что FEA. CD и ЕВА. CD, т.е. плоскость FEB перпендикулярна CD.
7.	1. Треугольники AA,D, и АА.В, равны, а потому АВ. = AD,. Пусть О — сере-
дина отрезка B,D,. Тогда B,D,± АО и B,D,A. А,С,, т.е. B,D, — перпендикуляр к
плоскости АСС,, а потому B,D, ± А, С, т.к. А, С лежит в этой плоскости.
2.	Через точку М проводим прямую, параллельную АС, через точку пересечения
этой прямой с ребром АА,, проводим прямую, параллельную АВ. Дальнейшее постро-
ение очевидно.
8.	Задачи решаются аналогично задачам 7(1) и 7(2).
§9
1. 6\f~5 см.
464
2.	4 см.
3.	15.
4.	54.
5.	12 см. Необходимо воспользоваться теоремой о сумме квадратов диагоналей па-
раллелограмма.
6.	Пусть AAj, ВВ}, СС] и DD} — перпендикуляры к плоскости а. Плоскости опре-
делены параллельными прямыми AA[t CCt и ВВ^ DD} пересекаются по прямой ОО}.
Очевидно, что ОО{ ± а и OOf - 15 см. Так как средняя линия трапеции параллельна и
основания трапеции AD и ВС. Пусть АА} - х. Так как средняя линия трапеции удалена
от плоскости а на расстояние, равное 13, то ВВ^ -26 — х. Рассмотрим трапецию
BDD. Вх. Так как основания трапеции относятся как 1:2, то очевидно, что и ВО : OD -
= 1:2. Итак, в трапеции BDD} Bf ВВ{ - 26 — х; DD^ — х\ OOj ||/?Л], причем ВО : OD -
- 1:2. Отсюда легко найти, что х- 7. Тогда расстояния от оснований до плоскости а рав-
ны 7 см и 19 см.
7.	В треугольнике MBD необходимо опустить перпендикуляр ОК па прямую MD,
где О — точка пересечения диагоналей квадрата. Легко доказать, что ОК — искомое
V6
расстояние. Из подобия треугольников MBD и OKD находим, что ОК-——.
8.	Из точки С опустим перпендикуляр СС, на плоскость а; СС, - 20. Из треуголь-
ника СС] D находим, что DC} - 15. Легко доказать, что искомое расстояние будет равно
высоте треугольника ВС {D, опущенной на сторону DCl.
Ответ: 11,2.
§10
1.	1. 8.
2.	55’33' ; 23’35' .
2.	1. а.
2.	29’56’ ; 19’28' .
3.	1. а.
2.	51’45' .
4.	1. у.
2.	28’42' .
5.	1. Точка М лежит в плоскости трапеции.
2.	32’57' . Пусть ММ{ ± АВС. М} лежит на биссектрисе угла BAD. Опустим из
точки Мj перпендикуляр М} Е на сторону AD и соединим точки М и Е. Легко доказать,
что МЕ1. AD. Пусть AM - а. Тогда из треугольника АМЕ находим АЕ, а затем из тре-
угольника АЕМj — AM]. Зная AMj, находим косинус искомого угла.
6. 1. 4.
2. 57’12' . Задача решается аналогично задаче 5(2).
7. 1. Пусть КК{ ± АВС (К^Е. CD). Очевидно, что АК} ||F/l. Легко доказать, что в
квадрате отрезки BE и АК{ взаимно перпендикулярны. Тогда, используя теорему о
трех перпендикулярах, можно доказать, что В} Е1. АК{, а так как	, то и
BtE± FK.
2. 48’35' . Вершина D проектируется в центр О правильного треугольника АВС.
Опустим перпендикуляр AM на плоскость CDB. Необходимо доказать, что точка М ле-
жит на высоте DF грани CDB. L АСМ — искомый. Для нахождения синуса этого угла
достаточно найти высоту AM треугольника ADF.
8. 2. 50’46' . Обе задачи решаются аналогично задачам 7(1), 7(2).
1. 1.
2.
90“.
60°.
§П
465
2.	2. 45°.
3.	1. 4,5 см.
2.	45°.
4.	I. 62,5 см.
2.	45°.
5.	1. 24 см.
2.	118D4' .
6.	1. 3.
2.	87“48’ .
7.	1. Необходимо построить линейный угол, одна из сторон которого проходила бы
через данную точку X. Стороны этого угла параллельны высотам, опущенным на об-
щую сторону треугольников.
2. 120°. Необходимо из точки О пересечения диагоналей квадрата опустить пер-
пендикуляр ОК на ребро MD и точку К соединить отрезками с вершинами Л и С. Тогда
Z. АКС — линейный угол искомого двугранного угла. Из треугольника BMD находим,
aV2
Ч’° ОК-^.
Дальнейшее решение очевидно.
8.	1. Задача решается аналогично задаче 7(1).
2. 120°. Ребром двугранного угла является прямая В} D. Линейным углом двугран-
ного угла является угол, образованный высотами А{К и С.К равных треугольников
В{ А [ D и B.C.D, опущенными на общее основание D. Легко подсчитать, что этот
угол равен 120°.
1г6°.
§12
2.
6.
1.2.	2)
2.	2. 2)
3.	1. 2.
2.	1) 4.
4.	1. 6.
1)	2.
2.
5.	1.
337
5
4V1045
---—— (рис. 75).
На этом рисунке АЕ± А{ D, EF|| CD и
QP || АЕ, QP — общий перпендикуляр скре-
щивающихся прямых АВ и В. D.
6.	1. 5.
5^34
2.	—-— см. Задача решается аналогично задаче 5(2).
7.	1. Пусть АС - СВ - х. Тогда АВ - хуП. (рис. 76). Из прямоугольных треугольни-
ков АЕС и СЕВ имеем АЕ - BE - Vx2 — 4. Из треугольника EFB: EF -
•= Vx2 — 4 — 15 = Vx2 — 19, AF- Vx2 — 4 + Vx2 — 19. Из треугольника AFB
получаем уравнение
2.
2х2 = х2 — 4 + х2 — 19+ гХ^Сх2—4ХХ2—19) + 15.
466
Рис. 76
Рис 77
Отсюда х4—23Х2 + 60 = 0 и х2 = 20. Тогда SACB - 10. О т в е т: 10 см2.
2. На рис. 77 показано искомое сечение ML\\ EF, EF-^\ ML *=5. Строим
РКХ. EF и точки О и К соединяем отрезком. Тогда OKI. EF. РК равняется половине
высоты треугольника ADC, т.е. РК = Из треугольника ОРК имеем:
ок- V g	S„ | (KF + МО)ОК-|/1261.
-25„,.„;-|<12бТ.От,1ет:|Л2бГ см2.
8. 1. Построим квадрат DCKM, как это показано на рис. 78. Тогда СМ\\ЕК. На
квадрате DCKM построим куб. Очевидно, что MT^DB. Треугольник МТС — равносто-
ронний и £ СМТ - 60°, а это и есть угол между данными скрещивающимися прямыми.
Ответ: 60°.
2. Построение сечения показано на рис. 79. MN ||/^ D и К£||ЛС. Строим ВР1. EF.
Тогда и МРХ. EF. 5сечения - Л/£ +
+ $EKLF- Пусть МР-A. SKML-^AC QM',
1 3
(KL- АСУ, SEKlF-^  | -АС-QP. Из по-
добия треугольников МБР и QTP следует,
что MQ-jh и	Тогда $сечс11ия “
1 _ 2 , 1 3 h _ 7 • АС • Л
= 2ЛС 3Л+2’2 ЛС	~12---
18	3
Легко получить, что ВР - -j~, МВ — —;
21
ВВ} =—. Это следует из подобия тре-
угольников B}BD и MBN. Тогда из треу-
гольника МБР следует, что MP-h —
467
By	С1
	
IW /1' t Bsi	Ol ’ Ji г м ijfcJ
468
PT 1
XBfel. Из подобия треугольников И^ТиО.С. следует, что = — и
ti । О ।
г~	2V3
РТ -= V 3. Из треугольника КМЕ (Л. КМЕ - 90°) имеем, что КЕ - ———— = 4:
sin 60
1	\ЬУ/з	16^3
Течения ~ ^РТ + АСУ  КЕ---—. О т в е т:
2. 2Q.
6. 1. 30^2 см2. Задача решается аналогично задаче 5(1).
2. оУз.
7. 1. Необходимо достроить призму до прямого параллелепипеда ABCI)A[B{ClD{
основанием которого будет ромб ADBC. В таком случае угол между АС} и В{С равен
величине угла П}АС}. Этот угол можно найти, используя теорему косинусов, из тре-
угольника D]AC], где АО] - АС} - ау/~2 и DlCl -аУз (ребро призмы принято за а).
Ответ: arccos 4 я’75°31' .
4
2. Искомое сечение изображено на рис. 81. Сечение строим перпендикулярно
диагонали F, В. Следует отметить, что т. к. В, F{ FB — квадрат, то меньшая диагональ
F]B перпендикулярна B{F. Кроме того легко доказать, что F}B± ВС, а т. к. РТ\\ВС, то
BF{ ± РТ. Таким образом диагональ Fj В перпендикулярна двум пересекающимся пря-
мым РТ и В] F, которые и задают плоскость сечения. Плоскость сечения составляет с
S0CH 3a2V3	За2\^6
основанием угол 45°. Тогда 5сечения	=-----j~ = —•
2 VT
Рис. 81
469
ЪаЧ1>
О т в е т: —-—.
2^2
8. 1. arccos g- «• 55“33' . Задача решается аналогично задаче 7(1).
2. Искомое сечение изображено на рис. 82. Следует отметить, что FF^C^ —
квадрат, а потому F} С±С} F. Кроме того С± АЕ, а т.к. PQ || АЕ, то F, С ± PQ. Таким
образом, диагональ F}C — перпендикуляр двум пересекающимся прямым CXF и PQ,
которые задают плоскость сечения. При построении учитывалось, что плоскость сече-
ния пересекает плоскость ВВ{ по прямой МТ, параллельной PQ. Плоскость сечения
л сп с	5осн За /б
составляет с плоскостью основания угол 45.5’	=---— = —-— .
J	сечения COS45 2
За2/б
Ответ: ——•
§14
1.	12/з9.
2.	50(/г + 1).
21 Г~
3.	(7 V3 + 1).
470
2310 VJ
4.	-------.
13
5.	36 (7 + 6VTT).
6.	30(зТТбГ + 28).
7.	Пусть диагонали основания пересекаются в точке О. Тогда АО = 3; L ВВ} В = 60°.
В плоскости ВВ} D опускаем из точки О перпендикуляр ОК на В. D. Можно доказать,
что длина ОК есть расстояние между АС и Bt D, которое равно 2. дальнейшее решение
очевидно.
Ответу (10V3 + 9) см2.
8.	Расстояние между AD и Dj С равно расстоянию между AD и плоскостью сечения
ВА\ DjC. Из точки А опускаем перпендикуляр АМ на прямую ВС (М нс принадлежит
стороне ВС} и точку М соединяем с точкой А}. В треугольнике AM опускаем высоту
АК на Л, М. Можно доказать, что длина АК и есть расстояние между АЙ и D. С, кото-
12
рое равно у. Из треугольника А{М находим, что AM - 3. Дальнейшее решение оче-
видно.
О т в е т: 44 а/з см2.
§15
1.	2. 350 см2.
2.	2. 75 см2.
3.	1. ab.
2.	120°; 60°.
4.	1. o/Vz.
2.	60°; 120°.
5.	1. |(2(2 + 77з ).
2.	Строим перпендикулярное сечение параллелепипеда Л2В2С21)2. Тогда
Л2/?2 равно 17, a A2D2 - 10. Длина высоты А2К треугольника B2A2D2 и есть расстоя-
ние между АА. и ВуЙ, которое равно 8. Из треугольника В2А2£>2 находим, что B2D2
равно 21 или 9. Зная площадь диагонального сечения BB}DlD, находим возможную
70
длину бокового ребра, которая равна 10 или -у. В таком случае площадь боковой по-
верхности равна 540 или 1260.
Ответ: 540 или 1260.
6.	1. Q V7.
2.	4(3 + V2 + >/з). Задача решает-
ся аналогично задаче 5(2).
7.	1. Высота Л] К параллелепипеда
проектируется на диагональ основания АС.
Из точки К опускаем перпендикуляр на
AD и точки А. и М соединяем. Легко дока-
зать, что А{М — высота боковой грани
AA^D\D. Из треугольника АА^К находим,
что АК = 8. Используя подобие треуголь-
ников АКМ и AOD (О — точка пересечс-
24
ния АС и BD), находим, что КМ *= Из
471
26
треугольника А^КМ находим, что Л[Л/*= —. Тогда 5бок *=520. Ответ: 520.
2. Применяя теорему о трех перпендикулярах, можно доказать, что АС± В}В
(рис. 83). Перпендикулярным сечением призмы является прямоугольный треугольник
ACF (A ACF-9W). CF-=a  sin а; AC = a sin а • tg со; AF =
COSp
Периметр перпендикулярного сечения Р —
(,	1	(1 + cos со + sin ф\	,, . „ „
1 + tgf> +---- -аsin а ---------------— . Из А В, С В находим, что
COStpl	cosp 1	1
„„ а	а2 tg а (1 + cosp + sinp) 2 z
ВВ. *=----. Sf =-------------------------- = a tg a (sec ф + tg ф + 1).
1 COSCt 6ок	COSp	е \ у- ьу /
Ответ: .a 2tg a (sec <р + tg <р + 1)
8. 1. Пусть А}К — высота параллелепипеда, KG BD. Так как Z. Л( AD — Z. АВ,
то АК — биссектриса треугольника ABD. По теореме косинусов находим, что АВ - 13
и, используя свойство биссектрисы треугольника, находим, что KD - —. Тогда высота
параллелепипеда A j К -	(.£. А] 1Ж - 45°). Из точки К опускаем перпендикуляр KF па
AD и точки А. и F соединяем. A}F — высота боковой грани AA}D}I). KF—KD*
15V3
х sin 60° — —-—. Из треугольника A. KF находим, что
О	1
15/7
8 ‘
15V7
Легко доказать, что высота грани АА. В. В тоже равна—=—.
1 1	о
5бок =56	= 105 V1. Ответ: 105 V?.
О
2. / 2sin 2tp (1 + sec а + tg а). Задача решается аналогично задаче 7 (2).
AiF-
§16
1. 1. 96 см2.
2. arctg 2V3 « 73°54' ; arctg 4^3 « 81°47' .
2.	1. 270 у[з см2.
2.	arctg 6» 80°32' ; arctg 3^2 «= 76°44' .
3.	1. 24^3.
2.	1)2 arctg V2 « 109°28' ; 2) 60°.
4.	1. 128.
2.	1) 2 arctg j «> 67°23' ;
V77
2)	180° —2 arctg« 51 ° 19'.
5.	1. aVL
2. 2arctg (cos <р • tg -Цр-) ~ 27°57' .
472
Рис. 84
2. arccos (tg • ctg——— ) » 56°28' .
2 П
7.	1. На рис. 84 АК1. MF. Можно доказать, что АК — перпендикуляр к плоскости
СМВ. Тогда LACK есть угол между АС и плоскостью СМВ, OF — —7=-; MF —
2V3

. „ .... ....	. „ „	.„ МО  AF 6а . . АК
АК • MF- МО • Af. Отсюда следует, что АК-----------— = —sin Z АСК =	=
MF 7	AC
= —. Z ACK 59°. Ответ: arcsin^ » 59°.
7	7
2. Плоскости PBC и PAF пересекаются по прямой NP (рис. 85), KM1. PN. Мож-
но доказать, что Z BMA-a-, MK-^- ctgy. Из подобия треугольников NMK и NPO
РО NO „	NO  МК „	_____
следует, что	Отсюда РО = ——. Из треугольника NMK следует, что
.	2	2	, -п..	u v о vtg
MN - V ------— С<Е2 — = ~ V 3 — ctg2 В таком случае РО - »	==у.
4	4 3 2 2	2	V3 — ctg2|
Из треугольника POL следует, что апофема пирамиды
PL —
За2 3 clg2 2 2
4 3-«^
аУЗ У 3 + Л ctgj
2 уГз - ctg2|
5бок “ 2 Росн‘
9а2
________За_______
2 sin V3"—-ctg2^
9 а2
а /-------2-«’ ° Т В е Т:	а I-------та'
2 sin—V 3 — ctg2 —	2 sin—V 3 — ctg2
8. 1. На рис. 86 EK — перпендикуляр к плоскости CMD. Плоскость, определяемая
прямыми АВ и ЕК, пересекает плоскость CMD но прямой, параллельной АВ\ ЛР||ЛХ,
а т. к. Е К — перпендикуляр к плоскости CMD, то и АР — перпендикуляр к той же
плоскости. В таком случае L АМР •= а — искомый; MF — V 2 а2 +	MO-EF —
473
МО  EF 2 а V 2	2 a V2
= EK • MF. Отсюда EK “ — » но A P~ EK ~. Из треугольника
АР	!—2-----Го2" eVu)”	4V5
AMP имеем, что sin	AM—У 2 a 4—— =—-—. Тогда sin а = ——z- и
AM	4	2	15
4V5	4V5
а = arc sin —« 36“36' .Ответ: arc sin » 36°36' .
2.--------- ——. Задача решается аналогично задаче 7 (2).
2sin| <i _3ctg2 |
§17
1. 1. а/з.
2. 12 (5 V3 + 8).
2. 1. а.
2. 100 (3 + 2^6).
3. 1. 1) 2/3 см; 2) 40 см2.
2. у (3 + 2^3).
2	/-г-
2.	(3 +V6 + V3).
4
Ь о
5А. 1) 2’8 2 ’ tg?>’
Рис. 86
4cosp
2. 480 (5 + 2V3). Необходимо учесть, что грани МАС и МАВ наклонены к осно-
ванию под углом 60”.
a tg Ф „ а2
6. 1. 1) —2-77; 2)	;
. а 8 sin а cosm
4 cosy
2. 3 (1 + 2V2 ) см2. Необходимо учесть, что грани МАВ и МАС наклонены к осно-
ванию под углом 45”.
7. 1. Так как площади боковых граней равны между собой и в основании пирамиды
лежит правильный треугольник, то высоты боковых граней, опущенные из вершины
пирамиды, равны между собой. Это значит, что вершина пирамиды одинаково удалена
от сторон основания или от прямых, на которых лежат эти стороны. В таком случае
вершины пирамиды проектируются либо в центр вписанной в основание окружности,
либо в один из центров вневписанных окружностей. Для данного случая возможно
только два различных варианта (см. рис. 87а, Ь). В случае а) радиус вписанной окруж-
а	,	„	./ 2 . З2 а>Г\3
ности равен "~г~ и высота боковой грани равна V а + — =	.
474
Рис. 87
Т™ S60K • Росн
,	За с^З а2 * *739 п ,ч
’ Лбок.граии = У • У/У = —4—- В слУчае б *> РадИУС вне'
вписанной окружности определяется по формуле га =
5
------, где г, — радиус вневпи-
р — а а
санной окружности, которая касается стороны a. S — площадь треугольника, ар — его
полупериметр. В нашем случае радиус вневписанной окружности
а2>/з а>Гз	/ 2 -------я-
г ~ —13а---V * —2—' Т°гДа высоты боковых граней равны V а ~г 0,75а = ——•
С	.А -За аУП _За2уП
“бок. 'Jj осн пбок.грани 2	2	4	'
а27з9	За/?
Ответ:-------— или —-—.
4	4
2, Пусть высоты AD, BE и СК треугольника АВС, лежащего в основании пира-
миды МАВС пересекаются в точке О. По условию МО — высота пирамиды. По теоре-
ме о трех перпендикулярах МЕ1. АС. Тогда из треугольников МЕА и МЕС следует, что
ME2 - МА2 — АЕ2 и М^-МС2 — ЕС2. Отсюда МА2 — МС2 - АЕ2 — ЕС2
(1). Из треугольников ВЕА и ВЕС следует, что АЕ2 - АВ2 — BE2 и ЕС2 - ВС2 — BE2.
Отсюда АЕ2 — ЕС2 - АВ2 — ВС2 (2). Из (1) и (2) имеем: МА2 — МС2 - АВ2 — ВС2,
т. е. МА2 + ВС2 — МС2 + АВ2 (МА и ВС', МС и АВ — скрещивающиеся ребра пира-
миды). Аналогично можно получить, что МА2 + ВС2 " МВ2 + АС2.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Следует только учесть, что, т. к.
L МАВ * L МАС, то вершина пирамиды может проектироваться только в центры
вневписанных окружностей, которые касаются равных сторон основания. SABC - 60;
р - 25. Радиус вневписанной окружности г -	= 5. Тогда высота боковых гра-
ней равна 13 и 5^ - -1Р осн • й 6ок грани - 25 х 1 з - 325. Ответ: 325.
2. Пусть высоты АЕ, ВР и СТ треугольника АВС, лежащего в основании пира-
миды МАВС, пересекаются в точке О и пусть МО — перпендикуляр к плоскости
АВС. Докажем, что высота АК пирамиды, опущенная из вершины А, проектируется в
точку К — точку пересечения высот грани МВС. По теореме о трех перпендикулярах
МЕ1. ВС (рис. 88). По построению AKL ME. Тогда легко доказать, что АК — пер-
пендикуляр к плоскости МВС. Теперь имеем: АК1. МВС, АС — наклонная к этой пло-
475
скости, СК — ее проекция на эту плоскость. МВ лежит в этой плоскости и МВ1. АС
(доказывается элементарно). Тогда на основании теоремы о трех перпендикулярах
СК1. МВ, т. е. и CF.LMB. Это значит, что точка К — точка пересечения высот грани
МВС. Для остальных высот пирамиды доказательство аналогично.
§18
2va
1.	1.	.	2. 28Vi см2.
24
2.	1. у. 2. 14 Vi см2.
1 Л
3.	1.	2. 96 см2.
О
3a2Vi	г- 7
4.	1. —г .	2. 42V3 см2.
О
Sab'll
5.	1. ———. Сечение показано на рис. 89. Необходимо учесть, что EQTF — пря-
моугольник.
2. 105 Vi; 8 Vi.
17а2
6. 1.	. Сечение показано на рис. 90. ОК — перпендикуляр к плоскости АМВ.
РТ|| АВ и находится из подобия треугольников РМТ и АМВ.
2. 24 Vi; 2 уГь . Необходимо доказать, что сечением служит прямоугольник.
Тогда длина бокового ребра равна 4. Дальнейшее решение очевидно.
7. 1. Сечение показано па рис. 9Г, API. МС и EF\\BD, причем KE — KF и EF1. АР.
1	/— Vi а\1б
^сечения “ 2	~ о* 2 ‘ "у = —2—' ^очка к — центр правильного треуголь-
2	2 Г~	1 а'1б 2 г~ a2 Vi
ника BMD, а потому EF--BD = ~а V2; 5сечения --	 аУ 2 = —у—.
a2 Vi
Ответ: —-—.
476
Рис. 90
Рис. 91
2. Необходимо сначала найти площадь боковой поверхности полной пирамиды,
380 Тз
которая равна-------• Площади боковых поверхностей треугольной отсеченной пира-
миды и полной пирамиды относятся, как 4 : 25. Тогда S6ok усеченной пирамиды =
21	21 38oV3	532V3	532^3
- 25 ’ 5бок полной пирамиды -	•---3--------5---• Ответ: —$—.
? 1
8. 1. 120 см . Сечение показано на рис. 92. Необходимо учесть, что АК- — МС и
точка Р — точка пересечения медиан треугольника BMD. В остальном задача решается
аналогично задаче 7(1).
2.	(77 + 3 V281) см2. Принцип решения задачи аналогичен задаче 7(2).
8 19
1. 1. 1) BD.
2) B\A\C\D.	М
3) С^*А1; В^Ь{; D?Bi; BD-, DB\ АС\ СА.
2. Если а||а.
2. 1. 1) D?A; С?В.
2) АЪ; А	.
3) ДЙ,; АЙ,; В^А\ D^C', С2>,; D'C,; C?D.
2. Да, могут. Например, если а |^.
3. 1. 1) СВ\ С^ВХ.
2) Ct,; ВЙ,; АА,.
3) В^С\ С?В; ВЪ}.
2. Да, будут.
4. 1. 1) В,1),;ВЪ.	Рис. 92
477
г
2) Ji\A.
3) ДЙ]; ВЪ}; Е^В.
2. Да, будут.
5.1. 1) Eh и Ек; Ег и Ute; Th и Ек; ЙТ и Eli.
2) Er и Eh; fk и lite; Ек и л?7'; Eli и Th.
3) Er, fk, Eh и ite; EE, Ek, rtr и Th; Er, 'Eli, Eh и Kte.
2. Eh и Eli.
6. i. i) Atr и Её, Th и Ek, lite и Её, Eh и Er.
2) hr и Её, Th и Ek, Kte и Её, Eh и Er.
3) EfT, Th, Её и Ek; lite, Eh, Её и Er-, Er, 'Ek, Kte и Eh.
2. и EC.
7. 1. 1) a) EC, Eli, ЕЬ, Л,Л?1, £11?!, Fjtj.
6) At, Г\Ь\, A \ C].
2) Необходимо через точку M провести плоскость, параллельную плоскости
основания. Пусть эта плоскость пересечет ребра ВВ} и СС] соответственно в точках К
и Р. Тогда Ute = ЕЬ и Kte = ЕС.
2. 1) Точки F и Е лежат на медианах АР и СР треугольников ADB и CDB. Так
ЕР ЕР 1
как АР = СР = 3’ Т°	Из второю условия следует, что Л/Л'ЦАС. Тогда FE\\MN
и векторы FE и MN коллинеарны.
2) | ЕЁ | - 6 см.
8. 1. 1) а) Р]Т]; ЕС; у1Г2?1 ; Е^; Eli; ЕЬ.
б) ЕЕ, ЛЬ, Еа, Её, ЕЕ, сЕёх , /’Л'], Д]1>1, Dpi], в^Ех, е?Е 
2) А^Е и Aj>i.
2. 1) Задача решается аналогично задаче 7(1,2).
2) I EE I = 9 см.
§20
1.1. аД.
2.	1. (t
3.	1. Atr
2.	17 см.
4.	1. ЕС.
2.	3 см.
5.	1. а\П. Необходимо учесть, что ЕС = ЛЪ и Еа = ЕЕ. Тогда
Еа + ЕС + ЕС + Еа = Ел + АЪ + ЕС + ЕЕ = ЕЕ. | Её: | -о^2.
2.	Составим разность:
+ вЪх + Ct] — л’Й] — ;;t] — с\ =
= (ЛЛ] —АВ^ + (ВВ] —вс^ 4- (СС| — СА]) =
= /?1 А] + С] Р| + А] С] = А] С] + С, Л] + В^ А] = А] А] =0.
Этим и доказывается справедливость этою равенства.
478
6.	1. | KD + AB + CT + CP | = | KD + DC + Cl’ + TA | = | KA |. Треугольник
APC — прямоугольный (Z. APC - 90”). Тогда
KA = V AP2 + PK2 - Va2 +
4	2
aV5
Ответ: ——.
Задача решается аналогично задаче 5(2).
АА, = DA, — DA = DA , - CBt = DAt — (DBt — DCX) = DAX — DBX + DCX
M — точка пересечения диагоналей параллелепипеда.
2.
7. 1.
2.
8. 1. /ft? = Zfc + Ct = A&t + Cft] =
= D^i — D^i + Dft] — Dtj = 2/ft?] — dAi — D^i.
К — центр симметрии октаэдра.
2.
§21
-1Л.
3.
1. 2.
2. 2. 2 (rfE — rfF).
1. At + | ВВХ — | ВСХ.
4.
5.
2--r
1. At + ict + ^B%f.
2	4
2. — 2.
1.	+ | fit + | C/1.
2. Из данного равенства следует, что (3 — tri) -а = ( 2п — 4) /Г Отсюда т - 3 и
п-2.
6.	1. АР = АС, + С,Р = АС, + ^С,В = АС, + (СВ - СС,) =
-»	2 -*	2 -»
= АС, + — СВ - — СС, Необходимо учесть, что Р — точка пересечения медиан тре-
угольника СВ. В.
1	2
2. х — у - у Задача решается аналогично задаче 5(2).
7.	1. Основание высоты DM точка М лежит на стороне ВС, причем AM — биссек-
триса треугольника АВС. В таком случае
rffvf = AKf — At; AV = At + —At'.
MB b	а + b а + b
Отсюда /5%/ = —~~т ЯЬ -•-^—7 At —AD', А7? At = ае"\ и At = се^.
а + b а + b
л», ab -* ab ->	-> „	ab ab ->	->
Ответ:
479
2. ()D = ОА + AD — ОА + к ВС = ОА+k ( ОС — OB ) = a + k(?—kl).
Ответ: o+Jt?— kl).
8. 1. Исходя из условия следует, что вершина проектируется на биссектрису АР
угла BAD (Р е ВС). В таком случае
АВ - ВР = Ь; МР = Л^ — Л%,Л> = Лй + Л> = Лй + ^ЛЪ.
Тогда МР = АВ + -AD — AA. = АР = АВ + ВР =
1	а	1
= АВ + - AD — АА. = Бе. + Беэ — се,.
q	1	I	L	О
О т в е т: Ь et + b е2 — с е3.
Ер 2
2. Из подобия треугольников ЕРР и АВС следует, что = $
OF = ОЕ + EF = OE+~ AC = ОЕ + (ОС — ОА} =rh + | Г— | ~р.
„	- , 2 J» 2 ->
Ответ: ли + — к — р.
§22
1. 1. £
4	4
2. &А + | ЙС + | Dbx.
„ . 1-* 1-»
2.	1. о + -ja + 2е'
2.	|с>1 + |с& — СЪ.
3.	1. | ЛЬ + у ЛЙ + у ЛЛ,.
2.	Рассмотрим тетраэдр DABC. Пусть Е — середина ребра ЛС, a F — середина
ребра DB и пусть О — середина отрезка EF. СО = у (СЕ + CF} =
= ~ СА + СВ + CD. Пусть теперь Р — середина AD, F — середина ВС и О} —
середина PF. Тогда С?>( = С51 СВ + ~ CD. Если теперь рассмотрим точку О2 —
середину отрезка, соединяющего середины ребер АВ и ВС, то и в этом случае получим,
что СО, = т Сй + 4	+ 4 СЪ. Отсюда вытекает, что СЪ = С&, = С?>9, т. е. точки
О, О{ и О2 совпадают. Этим и доказывается данное утверждение.
4.	1. -^(51 —+ |СО.
12	3	4
2.	Задача решается аналогично задаче 3(2).
5.	1. лД =	+ DT)\ = 2Л^ +2Л^ + Dl)\ = 2ае\ + 2ае^ + о ^з-
Ответ: 2ае\ + 2аег + a tgp е$.
2.	Рассмотрим призму АВСА{ В} С^. Пусть А2В2С2 — сечение призмы плоско-
стью, параллельной основаниям. М. и М — точки пересечения медиан соответственно
верхнего и нижнего оснований, а м2 — точка пересечения медуан сечения. Выберем в
пространстве произвольную точку О. Тогда Мj М2 — ОМ2 — ОМ^ —
480
= | (дл2 + дв2 + дс2 - OAt - OBt - 6с0 = | (а^а2 + в^в2 + с/?2).
Аналогично, Mf М = (Aj А + В{В + С}С ) .
Отметим, что
AjB2 _ BiB2 _ С1С2
AiA Bi В CiC
Тогда М{ М2 = к •^(AJA + BIJ3 + CIC) = kMf М. Это значит, что точки М{, М2
и М лежат на одной прямой.
, , 4 -» , 4 -» , За -» „	,
6. 1. -= а е, + -=• а е. + -е,. Задача решается аналогично задаче 5(1).
5	1	5	1	5соэр	л
2. Задача решается аналогично задаче 5(2).
_	,	,,	ВМ	х	PN	т
7-	1.	Пусть	-гут; = —	и	—7	= —;
MD	у	NC	п
MN = MD + DC+ CN= —BD + АВ + —-— СР
х + у	т+п
Bb = Ab-Ab-,
СР = —АВ — AD + АР.
Тогда
MN = —(AD — АВ) + АВ + —~ (—АВ — AD + АР) =
х + у	'	т+п	'	(1)
=	АВ + -^—АР
lx+у т + п) \ х + у т + п/ т + п
/lF =	+ — Я7< Так как МАЦА/-', то
= к 	=
Из равенств (1) и (2) следует, что
(2).
У----"_ = о
+ у т+п
_ у_____п _ к
х + у т+п 2'
п _ к
т+п 2
к = Так как MN = к  ^F, то
... MN 2
= I Л |, т.е. = у
Отсюда можно получить, что
| MN | = | к |  | А> | и
гч	2
О т в е т: j.
2. 4 = 1 —j — у_± OD = х-ОА + уОВ^+ (1 —л;— у) Qc CD*= OD^- ОС =
= x-ОА + у Ор + ОС — х-ОС —уОС — ОС	—J)C) + у(ОВ — ОС) =
= х-СА + у СВ. Отсюда следует, что векторы CD, С А и СВ компланарны, т. е. точки
А, В, С и D лежат в одной плоскости.
О1 „	ВМ т B\N х
8.1. Пусть . “г = — и	= —.
J	MD	п	NC	у
rfN = bfo+lfc + C%= П ffb+ 0С + —У— СЪ. =
т + п	х + у 1
163ивБ. Г.
481
" - ( AD — AB ) + AB + —X— ( AA. — AD)
m + n	x + у 1
-------I AD + ( 1------\ЛБ + —%— AA.
\tn+n x + yj \ m+n/ x + y 1	(1).
ЛС, - AD +*AB + AA*.
T. к. JWVpCj, to MN = к  AC\ = к • AD + к • AB + к • AAt (2). Из равенств (1)
и (2) следует, что
Отсюда следует, что
, 1	т	1	х	2	„	ВМ	1	B\N	2
к - -z; — = -z и - = т. Следовательно, -ттт- = х и = т.
3	п	2	у	1	MD	2	NC	1
„	1 2
О т в е т: у-
2. Если точки А, В, С и D принадлежат одной плоскости, то CD = х-СА + у СВ.
Пусть О — произвольная точка пространства, тогда СЪ = CD — СС\ Са = Са — СС\
СВ = (ТВ — CD. В таком случае CD — СС — х СА — х СС + у CD — у СС и
CD = х СА + у Св + ( 1 — х — у ) Л? = х ОА + у CD + х СС, где х + у + z = 1.
8 23
1. 1) (6 + 2/3) см2 * 4 5. 2) 2 см2. 3) arclg 4) 30". 5) 2 см.
2. 1) 4 (V7 + 1) см2. 2) 2V3 см2. 3) 60°. 4) arccos^U; 5) 2^2 см.
3.1) 4 ( 4^3 + 3) см2 ; 2)4"\/з см2 ; 3) 60°; 4 30°; 5) А^М - ^А +
=	+ |л?С; 6) 90°.
4.	1) (12/3 +VT56) см2. 2) 4 Уз см2. 3)60°. 4) arclg 2^3 - 60°.
5) DO = I DA + I DB +| DC. 6) 90°.
5. По данным задачи легко найти площадь треугольника ABC. SABC - 84. Площадь
поверхности S“PABC • AAt+ 2 SABC = 588 (рис. 93).
МНС — сечение, площадь которого надо найти. Плоскости МНС и АВС пересекают-
ся по прямой PQ, причем PQftAB. Из точки Л опускаем перпендикуляр АР на прямую
PQ и точки М и Р соединяем. МР — высота треугольника МНС. АР-
2Sabc 2-84
-——— = —=12. Из треугольника МАР следует, что Л/Р-13. SMHC-
' 14 - 13 = 91; L МРА — линейный угол двугранного угла, образованного плоско-
АР	12	12
стями МНС и АВС ; cos L МРА “ тттт = 74"> отсюда £ MPA - arccos 77; L АМР —
МВ	13	13
угол между прямой AAt и плоскостью МНС ; £ АМР - arccos^.
482
By	D
Рис. 93	Рис. 94
“*	1 “*	1 “*	1 “*	1 “*	1 “*	1 “*	1 “*	1 ->
MK = ±MC + ±MH = ±MA+±AC + ±AB = — у AA. + ~AC + ~AB. Ответ:
2	2	22	2	4*22
1) 588 см2. 2) 91 cm2. 3) arccos 77; 4) arccos 75S 5) - 7	+ 4 .At? + 4	6) рис. 93.
13	13	4	1	2	2
6. Так как DA - DB - DC, то вершина D проектируется в центр описанной около
основания окружности, в данном случае на середину гипотенузы АС (рис. 94). Из точ-
ки О опускаем перпендикуляр ОЕ на АВ и точки D и Е соединяем. DE — высота бо-
Г У2
ковой грани	ADB, DO - V 3;	ОЕ - —у. Из треугольника DOE следует, что DE -
- Уч + 1. =	>Г1-\	5боК “ хЛС •	DO + 2 •	• АВ  DE - У7 + Уз ; FB —	высота сече-
2	2	2	2
ния ВМН.	Из	треугольника FOB	следует, что FB - У^ + 1 =	-у. 5сеч -
1	1	1 „ У7
-	МН • FB —— АС • FB =— • 2  —— s ——; Z. FBO — линейный угол двугранного
FO Уз
угла, образованного плоскостями ВМН и АВС\ tg LFBO -	= -у. Отсюда L FBO -
Уз
-	arctg ~~2~\ £- DBF — угол между прямой BD и плоскостью ВМН\ tg L DBO -
-	= Уз. Отсюда L DBO - 60°. Тогда Z. DBF - 60° - arctg —у;
МК = I МВ + 7 МН = 7 МА + 7 АВ + 4 АС = - 7 AD + 7 АВ + 7 АС.
22224	424
Г Г 7 У? , Уз	Уз
Ответ: 1) (V7+V3) см2; 2) —у см2; 3) arctg —у;	4) 60° — arctg -у;
5) - 7 AD + I АВ + 7 АС-, 6) рис. 94.
4	2	4
7. 1. Сечение, проведенное через AD и точку Р, показано на рис. 95, а ; PQHAD. Из
точки В опускаем перпендикуляр ВТ на сторону AD и точки РиТ соединяем. Очевид-
483
Рис. 95
но, что РТХ. AD; РВТ — перпендикулярное сечение призмы APBDQC. Sf)0K = Ppbt*
х AD* AD-5' ВТ^. PT = V^+4 = ~6; Р„ерпсеч =	+ 2 = 12. 56ок =
= 12x5 = 60.
2. Сечение, проходящее через B}D и параллельное АС показано на рис. 95, б,
причем £Р||ЛС и EF ± В{ D\
5сеч	н0 EF-АС. Тогда 5сеч = ~ • 8 • 6 у/~2 = 24 у/~2. В плоскости
ВВ10, опускаем перпендикуляр ОК из точки О на В, D. Можно доказать, что ОК пер-
3^2
пендикулярно плоскости сечения. ОК’-——• Расстояние между AAt и B}D является
длиной отрезка АО. АО = 4. Очевидно, что В^К: KD = 3 : 1. Тогда имеем
ОК = ОВ. + 4 OD =4 ( ОВ + В~В.\ + %BD =
4	1	4	4 \	‘/о
= ~ \-^вЬ+АА. 1 + ^BD = ^BD+ |лЛ. =4 (AD-АВ\ + у А А. =
412	*18	4	4	1	4 \	/	4	1
---4 ЛЬ + ЛЬ + у Л/l..
4	4	4	1
Плоскость, заданная пересекающимися прямыми АС и ОК, пересекает плоскость
сечения по прямой ХУ, которая параллельна АС. В этой плоскости проводим
Очевидно, что AN перпендикулярно плоскости сечения и Z. ADN - а есть угол между
AN 3V2	3 yfl	,
AD и плоскостями сечения, sin а = -77г = —• а = агс s*n —ттг-• Ответ: 1. 60 см .
AD 10	10
г-	,	V2	,	1 а	1 -♦	1 -♦	3V2
2. 1)	24 V 2	см2.	2)	3—-	см2. 3)	4 см.	4)	- 4 £В	+	4 AD +	^ЛЛ.; 5)	arcsin ——-.
2	4	4	4	1	10
8.	1)	Площадь	боковой	поверхности	пирамиды равна сумме	площадей боковых гра-
ней, причем треугольники MAD и МВС равные равнобедренные прямоугольные тре-
aVi
угольники. Высота пирамиды МО“—j- Фис- 96).
На рисунке ОЕХ. CD, тогда и МЕХ. CD. Высота треугольника DMC ME -
ТОГ» sfoK + 2 . р +	4 . <<3 + V7 +4).
4	2	D0K4	2224
484
При построении сечения учитывалось, что плоскость сечения и грани АМН параллель-
а	1	а ^3	1
ны. РТ = —; FK = а, а высота сечения равна — МО, т. е. —-—. Тогда - х (а +
2	2	4	ссч Z
а аУГъ 3 а2у/1
+ — ) х —— = ———. Легко доказать, что линейным углом двугранного угла, обра-
ОЕ 2-/з
зованного гранями DMC и АМВ, является Z. ОМЕ - a; tg а=	— и
2\/з
а = arctg —-—. Так как AD — перпендикуляр к плоскости АМВ, то Z. AMD есть угол
между AD и плоскостью АМВ, но плоскость сечения параллельна плоскости АМВ, а
потому искомый угол равен величине угла AMD, т. е. 45°. Из подобия треугольников
РНТ и FHK следует, что НТ : HF~ 1 : 2.
Тогда
ля = |лт + |лг = |-|/лм+лс) +||л"Ъ =
= | AM + | АС	+ 4 AD =	| AM +	| (AD+	АВ\ + | AD =| AM + | AD +	^АВ.
3	□ О	□	□ \	/ о Л 2.	□
Расстояние между ВС и MD равно расстоянию между ВС и плоскостью AMD, ко-
торая параллельна ВС. Это расстояние равно длине высоты BN треугольника АМВ,
т. е. — 
а1 Г Г	За2/з	2 /3
Ответ: 1) — (V3 +V7 +4).	2) ———.	3) arctg—-—.	4) 45°.
4	1о	о
5) | ЛВ + | ЛО + | AM. 6)
485
в 24
1.1. Одна, две или три точки.
2. 1. Две параллельные прямые, одна прямая или две точки.
3. 1. Сохраняются все свойства прямоугольника как параллелограмма.
2.	Рис. 97. На рисунке биссектриса / параллельна Ot М.
3.	Изображением служит произвольный треугольник	Так как катеты
треугольника относятся как 2 : 3, то их проекции на гипотенузу относятся, как 4 : 9.
Поэтому на изображении гипотенузы нужно построить такую точку К^, что
HjXj : KiBl - 4 : 9. Тогда С[К[ — изображение высоты треугольника.
4.	1. Сохраняются все свойства ромба как параллелограмма.
2.	Пусть ABCD ромб с углом BAD, равным 60°. Тогда треугольник ABD правиль-
ный, и высота BE, опущенная на сторону AD, делит ее пополам. Перпендикуляр OF,
опущенный из точки пересечения диагоналей О на AD параллелен BE. Изображением
ромба служит произвольный параллелограмм	Строим медиану В{Е{ тре-
угольника AlBlDl и проводим Ot Ft || BtEt;	— искомый перпендикуляр.
3.	Центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его бис-
сектрис. Пусть произвольный треугольник А[ В\ С[ есть изображение данного треуголь-
ника. Медиана В\Е\ есть изображение одной из биссектрис этого треугольника. Чтобы
построить изображение другой биссектрисы, необходимо на стороне В\ Ci построить та-
кую точку К\, что Bi : Ki Ci - 4 : 5. Тогда A[K[ — изображение второй биссектрисы.
Точка их пересечения и есть изображение центра вписанной в треугольник окружно-
сти.
5.	1. Две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, прямая и точка.
2.	Пусть параллелограмм AlBlClDl есть изображение данного квадрата и точка
Е} — середина D.. В оригинале катеты треугольника ВАЕ относятся как 2:1. Стро-
им изображение А^М, высоты этого треугольника (см. указание к задаче 3(3)). Теперь
на изображении строим С[Р[ ||у1|	. Это и будет изображение перпендикуляра, опу-
щенного из точки С на BE.
3.	Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпен-
дикуляров. Один из этих перпендикуляров есть ось симметрии данной трапеции, а дру-
гой проходит через основание высоты BE этой трапеции. Построение показано на
рис. 98.
6.	1. Прямые параллельные или скрещивающиеся.
2.	Пусть треугольник AlBJCl есть изображение треугольника АВС и О1 — изо-
бражение центра описанной окружности. На рис. 99 D{ и Е{ — середины сторон Вх С^
и А^В^ Тогда О[^| и О1Е1 — изображение серединных перпендикуляров. В таком
486
случае изображения высот AtP. и Cj/Cj
параллельны O[D[ и О{Е{. Изображе-
ние третьей высоты В{ Т{ проходит через
точку пересечениия изображений пер-
вых двух высот.
3.	Построение показано на рис. 100.
Параллелограмм AlBlClDl — изображе-
ние искомого квадрата.
л]	с’
в 25	рис. кх)
1.1. а) Нет. б) Нет.
2. arccos « 70°32' .
3. 45°. При решении необходимо использовать теорему косинусов для трехгран-
ного угла.
2. 1. а) Нет. б) Да.
2. 60°.
3. arccos ( -	« 109°28' . См. указание к задаче 1 (3).
3. 1. Пусть х — величина третьего плоского угла. Исходя из свойств плоских углов
трехгранного угла имеем: х > 10°
х < 210°
х + 100° + 110° < 360°
Отсюда 10° < х < 150°.
Ответ: 10° < х <150°.
2.	Рассмотрим трехгранный угол DABC, у которого два плоских угла ADC и ADB
равны 60°. Двугранный угол с ребром AD равен 90°. Тогда по теореме косинусов
cos L В DC - cos2 60° + sin2 60° * cos 90° - 4;
_ 4
SRnc “ I • 400 V1—= 200 •	= 50 /15. Ответ: 50 /15.
нос 2	16	4
3.	Рассмотрим трехгранный угол ОАВС, у которого Z. АОВ — L АОС - 60°;
L ВОС = 90°. Плоскость ВАС перпендикулярна к плоскости ВОС и АВ - АС. Тогда
перпендикуляр AM, опущенный из точки А на плоскость ВОС, попадет в точку М —
середину ВС, т.е. в центр описанной около прямоугольного треугольника ВОС окруж-
487
ное™. Отсюда следует, что АВ - АС - АО. Так как Z. АОС - Z. АОВ = 60°, то тогда
ОА = ОВ = ОС, что и требовалось доказать.
4.	1. 54°< х < 90°. Необходимо учесть, что сумма плоских углов при вершине пи-
рамиды должна быть меньше 360°.
2.	Задача решается аналогично задаче 3(2). По теореме косинусов находим, что
5	V§9	ВС V39 • 8
cos Z. BDC = о. Тогда sin Z. BDC - —— и R - ——	® — - г-- = 4. Ответ: 4.
8	8	2sin Л. В DC	2v39
3.	Рассмотрим трехгранный угол О АВС, у которого Z. АОВ - Z. АОС - 60°,
Z. ВОС - 90°. Пусть ОА - ОВ - ОС. Легко доказать, что тогда АО - АВ - АС, и точка
проектируется в центр описанной около прямоугольного треугольника окружности,
т. е. на середину ВС. В таком случае плоскость ВАС перпендикулярна плоскости пря-
мого угла.
5.	2. Построим перпендикулярное сечение ^тризмы Л2Л2С2; Л2С2 - AC sin 45° =
= \^6 •	= Vs; А2В2 = АВ sin 60° - 2\Гз • -у = 3. Угол В2А2С2 находим, ис-
пользуя теорему косинусов для трехгранного угла. Имеем: cos 90° - cos 45° • cos 60° +
+ sin 45° x sin 60° • cos Z. B2A2C2.
V2 Vf>	1
—— + у • cos Z./?^2C2 = 0; cos Z.Z?^2C2 = —	Сторону B2C2 находим no
теореме косинусов. B2C2 - V9 + 3 — 2-Зл<3(	3-/2; b c “3 + /з +
'бок
cos 90° = cos 45° • тД
Ответ: 5^3 (Уз + 1 + /б).
3.	Необходимо рассмотреть трехгранный угол DAMC, у которого L MDA - 45°;
Z. ADC - 90° и cos Z. MDC -	. Пусть искомый двугранный угол — а. Тогда
V7 г-	1
+ sin 45° • -— V 2 • cos а. Отсюда: cos а - — -7= и
2	V7
а — arccos	» 112°12' .
Ответ: arccos (-	) ®» 112°12'
6.	2. Рассмотрим правильную пирамиду MABCD. В трехгранном угле CMBD один
плоский угол BCD прямой, а два других MCD и МСВ обозначим за а. Двугранный угол
при ребре МС равен 120°. Тогда по теореме косинусов для трехгранного угла имеем:
cos 90° - cos2 а + sin2 a cos 120°. Отсюда tg2 а - 2. Пусть МК — высота боковой грани
DMC. Тогда КС = ш • ctg а = В таком случае сторона основания равна т >11.
V2
S,- = "Ь ’ МК = 2т у!~2  т = 2 т2 Ур2. Ответ: 2 т 2 ^2.
оок осн
3. Необходимо рассмотреть трехгранный угол DAMC, у которого
cos Z. MDA = cos L MDC = -т=-; Z. ADC “ 90°. Пусть a — величина искомого двугран-
пого угла. Тогда cos 90° =
и а = 120°. Ответ: 120°.
—\ 2
21	1
-—I • cos a . Отсюд a cos a = — —
3 1	*
488
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№ 1
1.2. 2) Прямые скрещивающиеся; 60°.
3. Любое.
2.	2. 1) Линия пересечения проходит через вершину С и параллельна прямым АВ
и DE.
2)	Прямые скрещивающиеся; 20°.
3.	Пересекаются или параллельны.
4.	Прямые EF и МК являются скрещивающимися. Они могут быть параллельными,
если АВ пересекает CD или AB\\CD.
3. 2. 2) Прямые скрещивающиеся; 70°.
3. Прямые могут быть в любых взаимных положениях.
4. 2. 2) Прямые скрещивающиеся; 30°.
3. Нет, нельзя.
4. Прямые АС и BD являются скрещивающимися. Они могут пересекаться, если
АВ пересекает CD или ABjjCD.
№2
1. 3. 12.
2. 2. Прямые скрещивающиеся.
3. 2а + a Vl.
3. 3. 6
4. 2. Прямые скрещивающиеся.
3. 18.
№3
1.1.	15 см.
2. 2) 60°. 3) arctg -у-.
3*. V3 см. Необходимо учесть, что ЕО ||ЛС, где О — основание перпендикуляра
МО, опущенного из точки М на плоскость АВС', О — середина гипотенузы. Расстояние
от точки Е до плоскости ВМС равно расстоянию от точки О до этой плоскости.
2.	1. 45°.
2.	2) 45°.
4^5
3*. —-—. Необходимо учесть, что ЛЛ||С/>.
3.	1. 4 см.
7з
2.	2) 60°. 3) arctg
3*. 1 см. Необходимо учесть, что £О||ЛС, где О — основание перпендикуляра,
опущенного из точки М па плоскости АВС.
4.	1. 60°.
2.	2) 30°.
489
3^10
3*. —5— см. Необходимо учесть, что ЕОЦВС, где О — основание перпендикуля-
О
ра, опущенного из точки М на плоскость АВС.
№4
1.	1. а2 (6 +7з).
2.	25 (4 + Тб).
3*	. Необходимо достроить пирамиду до пирамиды, основанием которой будет
прямоугольник ACBF. Для решения задачи следует найти величину угла DBF. В тре-
/—	г-	5/3	V15
угольнике DBF DB - DF — 5 V 5. FB - 10 V 3. Тогда cos L DBF - —»= —т—.
5V5	5
/I?
Ответ: arccos -	.
2.	1. 3 (48 + 5/э) см2.
2. 50.
3*. Необходимо из основания высоты точки О опустить перпендикуляр ОЕ на
ребро МС. Тогда угол BED искомый. Из треугольника	МОС ОЕ-
МО • ОС	1 • 4	4	3 /17
“ —— e I— ~ Г • Отсюда tg L OED - —-—. В таком случае Z. 0ED -
мс V17	V17	4
з/17	з/17	з/17
- arctg —— и L BED - 2 arctg ——. Ответ: 2 arctg —-—.
4	4	4
3.	1. 62,4 см2.
2.	360.
3*. Расстоянием будет являться длина высоты треугольника MBA, опущенная из
о лл 60
вершины В. Ответ: уу.
4.	1. 8 W (1 +/3).
2. 108 см2.
3*. Необходимо в плоскости верхнего основания из вершины А1 опустить перпен-
дикуляр А{К на Cj-Dj. Так как Z. AlDlCl - 150 °, то точка К не принадлежит стороне
D{С( ; AjК -	“ I- AtC “ 2V14. Для решения задачи следует найти величину
А(Х 1	i
угла AtCK; sin L А{СК--^~^ = Ответ: arcsin^-^y.
№5
1.	1. 1) ААр 2) СА.
2.	±АВ — |лс + |аЪ.
3.	Векторы тип будут коллинеарными, если т = кп (к * 0). Тогда pa + ql) +
+ 8 ка + кр1з + kqc". Отсюда:
Р в к
Q = кр
8 = kq
Решая систему, получим, что к-2, р - 2 и q - 4. Ответ: р - 2, q - 4.
490
4*. Необходимо доказать, что векторы НМ, АВ и DC компланарны.
НМ ~ DM — DH = ^DA — ^DC — ^DB (1); АВ + DC DB — DA + DC (2). Из
(1) и (2) следует, что НМ ~ ~ АВ — ОС, т. е. векторы /7Х/, Лй и компланар-
ны, а потому прямые НМ, АВ и DC параллельны одной плоскости.
2.	1. 1) ЛЪ. 2) Л?С.
2.	-|лЪ + |лр + |л£.
ООО
3.	2тж2а+2 К- 2 а 3 1 = 61 — 31) + За
Отсюда 2т+3и = 8а — 1? + (?, т. е. р = 2 in + 3 it Это и значит, что указанные век-
торы компланарны.
4*. Пусть Р[, Р2, Рз и Р4 — середины соответственно отрезков NA, MD, NB и
МС. Выберем в пространстве произвольную точку О.
Р^Р2 = ОР2 —дР{ = | (ОМ + OD—OA —ON} = | (AM + ND} (1),
Рр’з = ОР3 — ОР< = | (ОВ + ON — ОМ — ОС } = д (МВ + CN } (2),
но AM = МВ и ND e CN. Тогда из (1) и (2) вытекает, что Р,Р2 в ^4^3’ т- е-
— параллелограмм (предварительно нужно доказать, что точки Р^, Р2, Р3 и Р4 не лежат
на одной прямой).
3.	1. 1) В?А\ 2) Ct,.
2.	—	+
□ о 3
3.	к - 2. Задача решается аналогично задаче 1. 3.
4*. Задача решается аналогично задаче 1 (4*).
4.	1. 1) D^A. 2) С?В.
2.	| BD — | В А + | ВС.
3 о 3
3.	Необходимо доказать, что р в 2 п — т.
4*. Пусть М[, М2, М3, М4 — точки пересечения медиан соответственно тре-
угольников AtBBi, В\СС\, C\DD\ и AiADt. В пространстве выбираем произвольную
точку О. Тогда М[М2 s ОМ2 — ОМ\ = j (ОВ[ + ОС\ + ОС) —
- 1 (ОР, + ОЛ, + ОР) = | (А^ + ВС)	(1)
М^М3 = Otf3 — Ofo4 = I (OD + Ot, + 01),) —
-1 (ста, + ста + od,) =| (л^?, + лЪ)	(2)
Так как ABCD параллелограмм, то ifc = JCb. Тогда из (1) и (2) следует, что
в М^Лз, т. е. М^М2МзМ4 — параллелограмм (предварительно нужно дока-
зать, что точки-М\, М2, М3 и М4 нс лежат на одной прямой).
491
. 
11 КЛАСС
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
Параграф	Тема
1 2	Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах
3 4 5 6 7 8 9	Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Вычисление углов между прямыми в пространстве Движения Применение движений пространства к решению задач Цилиндр. Комбинация цилиндра с многогранниками Конус, усеченный конус Площадь поверхности тел вращения. Комбинации конуса с многогранниками
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20*	Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости Сфера Комбинация сферы с другими геометрическими телами Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы и цилиндра Объем наклонной призмы Объем пирамиды Объем конуса Объем усеченной пирамиды и усеченного конуса Объем шара и его частей. Площадь сферы Уравнение плоскости
* Задачи предназначены для классов с углубленным изучением математики.
494
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРОКА
§ 1. Прямоугольная система координат
в пространстве. Координаты вектора _
ЙШММММИММММММММ
1.
2.
Куб ABCDA[BiCiD[ помещен в прямоугольную систему координат
(рис. 1). А (2; —2; 0).
1) Найдите координаты всех остальных дершир куба.
2) Найдите кдоддинаты векторов OD, OCi, ОМ и разложите их
по векторам i, j и к.
Даны векторы а {2; — 1; 3},	{— 3; 2; 1} и с{—10; 6; —4}.
Будут ли коллинеарными векторы а—и ~с!
Рис. 1
495
2.
1.	Куб ABCDAtBtCiDt по-
мещен в прямоугольную
систему координат
(рис. 2) С (— 2; 4; 0).
1)	Найдите координаты
всех остальных вершин
куба.
2)	Найдите^коорд^иаты
векторов ОС, OBi и
ОК и разложите их по
векторам ц /*и 7с.
2.	Даны векторы
а{— 1; 3; —2};
^{2; — 1; 3} и
?{-3; -1; -4}.
Будут ли коллинеарны
векторы а + 2?и р ?
Рис. 2
3.
1. Тетраэдр DABC помещен в прямо-
угольную систему координат
(рис. 3). £ЛСВ = 90°; LBAC =
= 30°; ЛЯ =10; DB1. АВС', плос-
кость ADC составляет с плоско-
стью АВС угол 60°.
1) Найдите координаты вершин
тетраэдра.
2^ Найдите координаты вектора
СМ, где М — точка пересечения
медиан A ADB, и разложите этот
вектор по векторам ц J*vi 7с.
2. В пространстве заданы четыре
т^чки А, В, С д О, причем
O4J1; — 1; 2}; ОВ {3; —2; 4}
и ОС {5; — 3; 6}. Лежат ли точ-
ки Л, В и С на одной прямой?
496
1. Тетраэдр DABC помещен в пря-
моугольную систему координат
(рис. 4). ZZCD = 90°; АВ = 8;
£ВЛС = 60°. DB1. АВС\ плос-
кость ADC составляет с плоско-
стью АВС угол 60°.
1) Найдите координаты вершин
тетраэдра.
2^ Найдите координаты вектора
АК, где К — точка пересечения
медиан грани DBC, и разложите
этот вектор по векторам ц 7с.
2. В пространстве д^ны точки А, В
и* С, причем АВ {2; 3; — 1} и
АС {— 4; т; п}. При каких т и
п эти точки лежат на одной пря-
мой?
5.
1. Тетраэдр DABC помещен
в прямоугольную систе-
му координат (рис. 5)
АВ = АС = 25; ВС = 30;
ВО = ОС. Грань ADC со-
ставляет с плоскостью
основания угол 45°.
1) Найдите координаты
вершин тетраэдра.
2) Найдите координаты
вектора ОК, где К — ос-
нование перпендикуля-
ра, опущенного из точки
О на грань ACD, и раз-
ложите этот вектор по
векторам ц 7с.
2. При каких значениях т
векторы бГ{2; — 1; 3},
^{1; 3;—2} и с{т; 2; 1}
компланарны?
497
1. Правильная треугольная пирамида DABC помещена в прямоуголь-
ную систему координат (рис. 6). Сторона основания равна 2,
боковая грань наклонена к основанию под углом 60°.
1) Найдите координаты вершин пирамиды.
2) Найдите координаты вектора Йл, где OKI. AD и разложите
этот вектор по векторам zf 7*и £
2. При каких значениях у векторы т {2; — 1; 3}, п {3; 4; — 2} и
р" {10; у; 2} компланарны?
7.
1. В прямой треугольной призме ABCA[B]Ci точки F, М и К —
соответственно середины ребер AAt, A[Bt и ВС, а точка Е делит
ребро BtCi в отношении 1 : 5, считая от вершины Blt LABC - 90е.
Боковые ребра призмы и катеты основания равны между собой.
Используя метод координат, установите, лежат ли точки F, М, Е
и К в одной плоскости.
2. Даны три некомпланарных вектора ~р {1; — 2; 1}, "q {2; 0; — 1},
т Д— 1; 1; 2}. Разложите вектор а {1; 2; — 2} по векторам "р, ~q
и т.
498
8.
1. В кубе ABCDAiBiCiDi точки М, Р, F и К — середины ребер AD,
AAlt At Bt и Ci С соответственно. Используя метод координат,
установите, лежат ли точки М, Р, F и К в одной плоскости.
2. Разложите вектор т {1; 1; 1} по трем некомпланарным векторам
а {1; 1; —2}, ^{1; — 1; 0} и ?{0;2;3}.
499
§ 2. Связь между координатами векторов
и координатами точек.
Простейшие задачи в координатах
1.	Даны два вектора ci {— 2; 1; — 1) и ZT{1; —3; 2;}.
Найдите: | а 4- 21) | и | ~а | 4- | 2d |.
2.	В треугольнике АВС ВМ — медиана.
А (— 1; 2; 2); В (2; —2; — 6); М (1; 1; — 1).
1)	Найдите координаты точки С.
2)	Найдите длину стороны ВС.
3)	Разложите вектор ВС по векторам г, / и k.
1.	Даны два вектора т {— 2; 1; — 1} и п {1; 3; 2}.
Найдите: | 2т — п | и | 2т | — | лГ | .
2.	В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О.
А (1; 3; — 1); В (—2; 1; 0); О (0; 1,5; 0).
1)	Найдите координаты вершин С и D.
2)	Найдите длину стороны ВС.
3)	Разложите вектор AD по векторам ц /*и £
3.
1.	Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ). А (1; —2; 1),
В (3; 2; — 3). Вершина С лежит на оси ординат.
Найдите площадь треугольника АВС.
2.	Вектор а сонаправлен с вектором	{— 2; 2; 1}.
Найдите координаты вектора о*, если | а | =12.
4.
1.	В треугольнике ABC ВС = V3 АС. Л (1;— 1; 1); В (— 1; — 1; 3).
Вершина С лежит на отрицательной полуоси OZ.
Найдите длину медианы СМ.
2.	Вектор т противоположно направлен вектору ]) {— 1; 2; 1}.
Найдите координаты вектора т, если | т | = 3 Vti.
500
5.
1. В правильной четырехугольной призме ABCDA\B\C\DX сторона
основания равна 2, а боковое ребро — 4. Е — середина CD и
К — середина С\С. DK пересекает DXC в точке Р. Найдите
расстояние между серединой М отрезка В\Е и точкой Р.
2. Прямая АВ задана двумя точками А (— 1; 2; 1) и В (2; 1; — 1).
Найдите координаты точки М, лежащей на этой прямой, если
ЛЛ/ = ЗТТ4.
6.
1. В прямой треугольной призме ABCAjBjCi LABC = 90°, АВ = 6,
ВС = 8, ВВ\ = 8. Через вершину А и середину Р ребра В{В прове-
дена плоскость, параллельная ВС. Найдите расстояние от центра
К описанной вокруг основания окружности до точки М пересече-
ния медиан сечения.
2. Прямая EF задана двумя точками Е (— 1; 2; 2) и F (2; 1; 3).
Точка Р лежит на луче, противоположном лучу EF. ЕР =
= 5 VTT. Найдите координаты точки Р.
7.
1. В тетраэдре DABC DBA. ABC DB = 4, AB = ВС, BEL AC, BE =
= AC = 4. Точка P равноудалена от всех вершин тетраэдра. Най-
дите расстояние от точки Р до вершин тетраэдра.________________
2. Решите уравнение: V(x — I)* 1 2 4- у2 4-z2 + Vx2 4- (у— I)2 + z2 =
= 1.
8.
1. В тетраэдре DABC AD± ABC, AD = 2, LACB = 90°, ЛС = СВ = 4.
Точка М равноудалена от всех вершин тетраэдра. Найдите рас-
стояние от этой точки до вершин тетраэдра.
2. Укажите в пространственной системе координат все решения урав-
нения Vx2 + у2 4- (z — I)2 4- V( х — 1 )2 4- у2 4- z2 = уП .
501
§ 3. Угол между векторами.
1. Ребра правильного тетраэдра DABC равны а. К — середина ВС.
Найдите:
1) fy-Af.
2) DA • ВС.
2. В кубе ABCDAiB\C\D\ М — центр грани DD\QC. Ка^ой угол,
острый, прямой или тупой, между векторами AM и BD\1
2.
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD все ребра равны
а. Н^йдит^:
1)	Л£Л •
2)	МА  DB
2.	В кубе ABCDA\B\C\D\ К — центр грани АА\В±В. Кассой угол,
острый, прямой или тупой, между векторами А\С и KD?
3.
1. В прямом параллелепипеде ABCDAi В\ С\ D\ все ребра равны а.
LBAJ^-ЬХ^. Найдите:
1) C±D • Др,
2) B\D • АС.
2. Точки А (1; 1; 5); В (4; 7; 5); С (8; 5; 5); D (5; — 1; 5) явля-
ются вершинами прямоугольника ABCD. Найдите больший угол
между диагоналями прямоугольника.
1. В правильной треугольной призме АВСА\В}СХ все ребра равны а.
Р —^середдна AiBx. Найдите:
1) QP  ВХС
2) АР • PCi
2. Точки А (14; — 8; — 1); В (7; 3; — 1); С (— 6; 4; — 1);
D (1; —7;—1) являются вершинами ромба ABCD.
Найдите острый угол ромба.
502
5.
1. Вектор а образует с векторами г*и ^соответственно углы в 120°
и 135°. Найдите угол между векторами а и
2. В кубе ABCDAiBiCiDi М — центр грани AAiBxB\ К — середина
AD. Найдите площадь треугольника МСХК, если ребро куба рав-
но 1.
6.
1. Вектор т образует с векторами 7*и 7*углы по 60°. Найдите угол,
который образует этот вектор с вектором £
2. В кубе ABCDAiBiCiDi Е — середина AAt, a F — центр грани
DDiCiC. Найдите площадь треугольника EB\F, если ребро куба
равно 1.
1. В основании пирамиды MABCD, помещенной в прямугольную
систему координат, лежит ромб ABCD. А (— 3; 10; — 5);
С (3; 4; 1), М (5; 8; — 3). LMAD** А МАВ. Найдите высоту пи-
рамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее
значение выражения vsin* 1 2 х 4- 0,5 + Vcos2 х — 0,5 + V0,5. При
каком значении х оно достигается?
8.
1. В тетраэдре DABC, помещенном в прямоугольную систему коор-
динат, основанием служит равнобедренный треугольник АВС.
АВ^АС. Высоты граней ADC и ADB, проведенные из вершины
D, равны между собой. А (1; 0; — 2); D (2; — 1; 1); К (0; 1; — 1)
— середина ВС. Найдите высоту пирамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее
значение суммы V1 + х + V1 — х + 1. При каком х это значение
суммы достигается?
503
§ 4. Вычисление углов между прямыми
в пространстве
1. | а\ = \/2; | ?Г| =1; а^= 135°. Найдите угол между векторами
а + 1) и а—-2 К
2. В тетраэдре DABC основанием служит равнобедренный треуголь-
ник АВС. АВ = AC. ADAC = A DAB. Используя векторы, докажите,
что AD1. ВС.
2.
1.	| а | = 2; | ?Г| = 1. а^= 120°. Найдите угол между векторами
а — 1? и а + 2Zt
2.	В параллелепипеде АВСОА^С^ основанием служит ромб
ABCD. AA\AD= АА\АВ. Используя векторы, докажите, что
BD1. AAt.
3.
1. В тетраэдре BACg АВрС =J~BDA = АЦСА = 90°. ВС = 3; АС = 4.
Найдите сумму АВ  АС + ВС • ВА + СА • СВ.
2. В прямой треугольной призме ABCAiB^Ci основанием служит
равнобедренный треугольник АВС. АС = СВ = а. ААСВ = 120°.
ААх = а. Ей F — середины соответственно ребер СА и ВВ}.
Найдите: 1) длину EF,
2) угол между прямыми EF и АА^
1. В пирамиде PH КМ ре£ро РМ является _высотс^й. АР КН = 90°.
Найдите сумму МН • МК + НК • НМ + КМ • ХЯ, если МК = 6;
КН = Ъ.
2. В тетраэдре МАВС МС1. АСВ; А АС В = 135°; АС = ау/1; ВС =
= МС = а; Е и F — середины соответственно ребер СА и ВМ.
Найдите:
1) длину EF;
2) угол между прямыми EF и СМ.
504
5.
1. В прямой треугольной призме ABCA}B}Ci основанием служит
равнобедренный треугольник АВС {АВ = ВС). BD1. AC. BD =
= АС = 4. BBt = 2. Через середину диагонали ВХС боковой грани
перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите угол между
прямой АВ\ и этой плоскостью.
2. В тетраэдре АВ DC BD = BC = BA‘ LABD = LABC = 60°; LCBD =
= 90°. Используя векторы, докажите, что плоскости DAC и DBC
перпендикулярны.
6.
1. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник
ABC (ZC = 90°), BD1. ABC, АС = СВ=1, BD = 2. Через середину
ребра DC перпендикулярно к нему проведена плоскость. Найдите
угол между AD и этой плоскостью.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi АВ = 2, ВС =
= AAi - 1. Докажите, что диагональ BDi не перпендикулярна пло-
скости AiCiD.
7.
1. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник
ABC (LC = 90°), АС = 3, ВС = 5. Ребро AM перпендикулярно сто-
роне основания AC. AM = 4, MB = ^3Q. Найдите высоту пирами-
ды.
2. В тетраэдре DABC углы ADB, ADC и BDC — тупые. AD = BD =
= CD. Докажите, что треугольник АВС остроугольный.
8.
1. В тетраэдре DABC DB = DC = СВ = AC = 3 VI. AD = 3, L АСВ =
= 90°. Найдите высоту пирамиды, опущенную из вершины D.
2. В пирамиде MEFKP плоские углы при вершине М равны а.
Вычислите угол fl при вершине диагонального сечения ЕМК.
505
S 5* Движения
1.	Найдите координаты точек, в которые переходит точка
А (100; 200; 1) при:
а)	центральной симметрии относительно начала координат;
б)	зеркальной симметрии относительно плоскости OXY.
2.	Докажите, что при движении треугольник отображается на равный
ему треугольник.
1.	Найдите координаты точек, в которые переходит точка
В (0,01; 0,02; — 1) при:
а)	осевой симметрии относительно оси OZ;
б)	параллельном переносе на вектор JT {0,09; 0,08; 1}.
2.	Докажите, что при движении угол отображается на равный ему
угол.
1. а) Докажите, что точки А (1; 2; 3) и В (— 1; — 2; — 3) симмет-
ричны относительно начала координат.
б) Докажите, что точки В (3; — 4; 5) и С (3; 4; 5) симметричны
относительно плоскости OXZ.
2. Докажите, что при движении двугранный угол отображается на
равный ему двугранный угол.
4.
1. а) Пусть при параллельном переносе на вектор jp точка
А (1; 2; 3) переходит в В (4; 5; 6). Найдите координаты
б) Докажите, что точки А (5; 6; 7) и В (— 5; 6; — 7) симметрич-
ны относительно оси OY.
2. Докажите, что при движении прямая и плоскость, составляющие
угол <р, отображаются на прямую и плоскость, составляющие угол
<Р-
506
5.
1. Прямая а содержит биссектрису угла, образованного координат-
ными осями ОХ и OY. Найдите координаты точки At, в которую
переходит точка Л (10; 20; 0) при осевой симметрии относительно
прямой а.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (х; у; z) переходит в точку
с координатами (2х; 2у; 2z)?
6.
1. Плоскость а содержит ось ОХ и биссектрису угла, образованного
осями OZ и OY. Найдите координаты точки, в которую переходит
точка В (0; 20; 10) при зеркальной симметрии относительно пло-
скости а.
2. Является ли движение отображением пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (х; у; z) переходит в точку
(х — 5; у + 3; z — 7)?
7.
1. Пусть mi и m2 — пересекающиеся перпендикулярные прямые.
Докажите, что композиция симметрий относительно этих прямых
есть симметрия относительно прямой, которая перпендикулярна
этим прямым.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (х; у; z) переходит в точку
(— х + 2; — у —3; — z +1). Если да, то каким образом может
быть получена такая точка?
8.
1. Докажите, что композиция трех центральных симметрий относи-
тельно точек А, В и С (точки не лежат на одной прямой) есть
центральная симметрия относительно точки D, являющейся вер-
шиной параллелограмма ABCD.
2. Является ли движением отображение пространства на себя, при
котором любая точка с координатами (х; у; z) переходит в точку
(х — 1; — у — 2; z + 1). Если да, то каким образом может быть
получена такая точка?
507
§ 6. Применение движений пространства
к решению задач
1.
1)	Докажите, что при движении прямая, перпендикулярная плоско-
сти, отображается на прямую, перпендикулярную плоскости.
2)	Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если одна из
двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и
другая перпендикулярна этой плоскости.
2.
1)	Докажите, что при движении плоскость, перпендикулярная пря-
мой, отображается на плоскость, перпендикулярную прямой.
2)	Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если одна из
двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и
другая плоскость перпендикулярна этой прямой.
3.
1)	Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной четырех-
угольной пирамиды, является ее осью симметрии.
2)	Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое сечение
правильной четырехугольной пирамиды, содержащее ее высоту,
является равнобедренным треугольником.
4.
1) Докажите, что прямая, содержащая точки пересечения диагона-
лей противоположных граней прямоугольного параллелепипеда,
являются его осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое сечение
прямоугольного параллелепипеда плоскостью, содержащей точки
пересечения диагоналей противоположных граней, является пря-
моугольником.
508
5.
1) Докажите, что прямая, содержащая середины противоположных
ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каждая пло-
скость, проведенная через середины противоположных ребер пра-
вильного тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равные части.
6.
1) Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда
является его центром симметрии.
2) Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каждая пло-
скость, проведенная через точку пересечения диагоналей парал-
лелепипеда, делит его на равные части.
7.
1. Даны осевые симметрии Sp и Sq пространства, р и q — оси
симметрии, которые не совпадают. <Sq-Sp и Sp-Sq — композиции
этих симметрий. Докажите, что если Sq • 5Р = Sp  Sq, то р и q —
пересекающиеся прямые.
2. На данной прямой I найдите точку, симметричную данной точке
А относительно точки, лежащей в плоскости а (I пересекает
плоскость в точке М).
8.
1. Докажите, что биссектриса линейного угла двугранного угла яв-
ляется осью симметрии двугранного угла.
2. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его гра-
ней. На этих отрезках, как на ребрах, построен параллелепипед.
Докажите, что противоположная вершина данного параллелепи-
педа служит центром симметрии построенного.
509
г
§ 7. Цилиндр
1.
1. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых
одно — осевое с площадью, равной S. Угол между плоскостями
сечений равен 30°. Найдите площадь второго сечения.
2. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите пло-
щадь его поверхности, если сторона основания призмы равна 2VJ, а
высота — 3.
2.
1.	Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых
одно осевое. Площадь меньшего из сечений равна Q. Угол между
плоскостями сечений равен 60°. Найдите площадь осевого сечения.
2.	Вокруг правильной треугольной призмы описан цилиндр. Найдите
площадь поверхности цилиндра, если высота призмы равна 4, а вы-
сота основания призмы — 6.
3.
1. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со
стороной основания развертки угол <р. Найдите угол между диа-
гональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды рав-
на 10, боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. В
эту пирамиду вписан цилиндр, одно основание которого лежит в
плоскости основания пирамиды, а окружность верхнего основания
касается боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь боко-
вой поверхности цилиндра, если радиус основания равен 2.
4.
1. Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра и плоскостью
его основания равен а. Найдите угол между диагональю раз-
вертки его боковой поверхности и стороной основания развертки.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр, нижнее
основание которого лежит в плоскости основания пирамиды, а
окружность верхнего основания касается боковой поверхности
пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
сторона основания пирамиды равна 8 ^3, а высота цилиндра —
2. Боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания
угол 45°.
510
5.
1. В цилиндр, высота которого равна а, вписан прямоугольник, у
которого одна сторона равна а, а вторая наклонена к плоскости
основания цилиндра под углом в 60°. Зная, что вершины прямо-
угольника находятся на окружностях оснований цилиндра, най-
дите площадь осевого сечения цилиндра.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны по а", боковые
ребра ее являются осями цилиндрических поверхностей радиуса а.
Найдите площадь боковой поверхности тела, ограниченного ука-
занными цилиндрическими поверхностями и плоскостями осно-
ваний призмы.
6.
1. Вершины прямоугольника лежат на окружностях оснований ци-
линдра. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 2, причем
меньшие стороны лежат в плоскостях оснований. Высота цилиндра
равна 5, а радиус основания — 2 V5. Плоскость прямоугольника
пересекает ось цилиндра. Найдите площадь прямоугольника.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Боковые
ребра ее являются осями цилиндрических поверхностей радиуса
Найдите площадь боковой поверхности тела, ограниченного
указанными цилиндрическими поверхностями, плоскостями осно-
ваний призмы и лежащего внутри призмы.
7.
1. ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осевых сечения
цилиндра, причем AD и EL — диаметры одного основания. М —
середина образующей АВ. ML А. АС. Площадь осевого сечения
равна 4. Найти площадь поверхности цилиндра.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона осно-
вания равна а, а боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом <р - arctg 2. В эту пирамиду вписан равносторонний
цилиндр (осевое сечение — квадрат), у которого одна образующая
принадлежит плоскости основания, а окружности оснований ка-
саются апофем граней АМВ и DMC. Найдите площадь боковой
поверхности цилиндра.
511
8.
1. ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осевых сечений
цилиндра, причем AD и EL — диаметры одного основания. М —
середина FA, a N — середина AL, MN = y[\l. Площадь осевого
сечения равна 16. Найдите площадь поверхности цилиндра.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна
а. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
60°. В эту пирамиду вписан цилиндр, боковая поверхность кото-
рого касается пирамиды, а окружности оснований — боковых
граней, причем образующая цилиндра расположена на диагонали
основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если
его высота равна А.
512
§ 8. Конус, усеченный конус
1.
1. В конусе через его вершину проведена плоскость, пересекающая
основание по хорде, длина которой равна а и стягивающей дугу
90°. Наибольший угол между образующими конуса равен 60°.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. Длины окружностей оснований усеченного конуса равны 4л и
10 л. Высота конуса равна 4. Найдите площадь поверхности
усеченного конуса.
2.
1.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая осно-
вание по хорде, длина которой равна т. Угол между образующими
в сечении прямой, а наибольший угол между образующими конуса
120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2.	Найдите радиусы основания усеченного конуса, если его боковая
поверхность равна 208 л, образующая — 13, а высота — 5.
3.
1.	Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
120°. Площадь боковой поверхности равна 12 л. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
2.	Образующая усеченного конуса равна I и составляет с плоскостью
основания угол а. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна
образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
4.
1.	Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
240°. Высота конуса — 5 V5. Найдите площадь боковой поверх-
ности конуса.
2.	Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего
основания угол <р. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна
образующей конуса. Сумма длин окружностей оснований равна
2 л т. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
17 3ивБ. Г.
513
5.
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса ра-
вен 270°. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей
площади. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания.
2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная
основанию. Площади полных поверхностей частей конуса, которые
при этом образовались, относятся как 3:11. Найдите угол между
образующей конуса и плоскостью основания.
6.
1.	Центральный угол в развертке боковой поверхности конуса равен
200°. Через вершину конуса проведено сечение наибольшей пло-
щади. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью
основания.
2.	Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 2. Через се-
редину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основа-
ниям, которая делит конус на части, полные поверхности которых
относятся как 23 : 39. Найдите угол наклона образующей к плоско-
сти основания.
7.
1.	Точки А (1; 2; — 2); В (4; 2; — 2); С (3; 4; — 2) лежат на ок-
ружности основания конуса, высота которого равна 3. Конус
пересекает плоскость z = 0. Найдите площадь сечения конуса этой
плоскостью, координаты вершины конуса и площадь боковой
поверхности конуса.
2.	Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендику-
лярны. Площадь боковой поверхности усеченного конуса относится
к площади боковой поверхности конуса, образующей которого слу-
жит диагональ сечения, а радиусом основания его высота, как
V6 : 3. Найдите угол наклона образующей к плоскости основания.
8.
1.	Точки А (1; — 1; 2); В (— 2; — 1; 2); С (— 2; 3; 2) лежат на ок-
ружности основания конуса. Точка М (0;	6) лежит на его боковой
поверхности. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2.	Образующая усеченного конуса равна 1, диагонали осевого сече-
ния взаимно перпендикулярны. Площадь полной поверхности ко-
нуса равна у + 1). Найдите угол наклона образующей к
плоскости основания.
514
§ 9. Площадь поверхности тел вращения.
Комбинации конуса с многогранниками
1.
1.	Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и 4, враща-
ется вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь
поверхности тела вращения.
2.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
45°. Найдите площадь боковой поверхности, вписанного в пира-
миду конуса.
2.
1.	Равнобедренный треугольник, у которого основание равно 4 V3,
а угол при вершине 120°, вращается вокруг прямой, содержащей
основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.
2.	Вокруг правильной треугольной пирамиды описан конус. Найдите
площадь боковой поверхности конуса, если сторона основания
пирамиды равна а, а боковые ребра наклонены к основанию под
углом 30°.
3.
1.	В прямоугольной трапеции ABCD (ВС и AD — основания) LBAD
= 90°; ВС = АВ = a; AD - 2а. Найдите площадь поверхности тела,
образованного при вращении этой трапеции вокруг прямой, со-
держащей основание трапеции AD.
2.	В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный треугольник
АВС, у которого АС = АВ = a, ABAC = а. Вокруг пирамиды описан
конус. Найдите площадь его боковой поверхности, если ADAC =
= 0-
4.
1.	Диагонали ромба равны 6 и 8. Этот ромб вращается вокруг
прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите площадь по-
верхности полученного тела.
2.	В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, бо-
ковая сторона которого равна а, угол при основании а. Боковые
грани пирамиды наклонены к основанию под углом <р. Найдите
площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.
515
5.
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна а, а угол
при вершине равен 120°. Треугольник вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину треугольника, которая параллельна
биссектрисе угла при основании. Найдите площадь поверхности
тела вращения.
2. В правильной пятиугольной пирамиде боковые ребра наклонены к
плоскости основания под углом у?. Образующая вписанного в пира-
миду конуса равна т. Найдите площадь осевого сечения конуса.
6.
1. Периметр параллелограмма равен Р, а диагональ — d. Парал-
лелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину
параллелограмма и перпендикулярной его диагонали. Найдите
площадь поверхности тела вращения.
2. В правильной пятиугольной пирамиде угол наклона боковой грани к
плоскости основания равен <р, образующая описанного около пира-
миды конуса равна I. Найдите площадь осевого сечения конуса.
7.
1. На рис. 7 изображена 8-звеньевая ломаная линия, все звенья
которой равны а, а угол между звеньями а. Найдите площадь
поверхности, которая образуется при вращении этой ломаной
вокруг оси I.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Четыре вер-
шины призмы лежат в плоскости основания конуса, а две другие
— на его боковой поверхности. Образующая конуса составляет с
плоскостью основания угол <р. Найдите площадь осевого сечения
конуса и ее наименьшее возможное значение. При каком значении
угла <р это достигается?
516
8.
1. На рис. 8 изображено три квадрата со стороной, равной а. Найдите
площадь поверхности, которая образуется при вращении этой
фигуры вокруг оси I.
2. Правильная треугольная призма, все ребра которой равны а,
вписана в конус, причем три ее вершины лежат на боковой
поверхности конуса, а три — в плоскости основания. Образующая
конуса составляет с плоскостью основания угол <р. Найдите пло-
щадь осевого сечения конуса и ее наименьшее значение. При
каком значении <р оно достигается?
517
§ 10. Уравнение сферы. Взаимное расположение
сферы и плоскости
1.
1.	Точка А (0; V2; V5) лежит на сфере с центром О (3; 0; 0).
а)	Напишите уравнение сферы.
б)	Принадлежат ли этой сфере точки с координатами
(5; 0; 2 73); (4; — 1; 0)?
2.	Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и V351
лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра
сферы до плоскости треугольника равно 5.
2.
1. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера проходит через
точку (2Vz; 0; 5).
1) Напишите уравнение сферы.
2) Принадлежат ли сфере точки с координатами (3; 1; 5);
(0; V5; 6)?
2. Все стороны квадрата касаются сферы. Диагональ квадрата равна
10 VT. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра сферы до
плоскости квадрата равно 12.
3.
1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, если изве-
стно, что центр сферы лежит в плоскости OXZ, а сама сфера
проходит через начало координат и точку А (1; 1; 0).
2. Сторона ромба равна а, острый угол в ромбе а. Все стороны ромба
касаются шара, площадь большего круга которого равна Най-
О
дите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
4.
1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если известно,
что центр сферы лежит на оси OZ и сфера проходит через точку
К (—2; —2; 1).
2. Точки А, В и С лежат на поверхности шара. Хорды АВ и ВС
равны а, угол между ними а. На каком расстоянии от центра
шара находится плоскость АВС, если площадь большего круга
ла* 1 2
шара равна —
518
5.
1. Дана сфера х* 1 2 + у2 + z2=4 и на ней точка А (VT; VT; z). Через
точки А и Б (—;2>Г2	) проведена прямая. Найдите коор-
динаты точек пересечения этой прямой и сферы.
2. Плоскость проходит через точки А (3; 0; 0); В (0; 4; 0);
С (0;	0;	1). Пересекает ли эта плоскость сферу
9 Э (	1 \ Э 49
xL + у + I z — 21 = = Тб9‘ Если да’ т0 наиДите длину линии пере-
сечения.
6.
1. Прямая задана точками А (1; 2; — 1) и В (3; 0; 2). Найдите ко-
ординаты точек пересечения прямой АВ со сферой (х—1)2 +
+ (у-2) 2 + (z+ 1)2 = -у.
2. Плоскость проходит через точки А (2; 0; 0); В (0; 0; 3);
С (0; 1; 0). Выясните взаимное положение сферы х2 +
/	2\2
+ у — •=•	+ z2 = R2 и плоскости АВС в зависимости от R.
7.
1. Сферы х2 4- у2 + z2 — 2 х + 2 z — 2 = 0 и х2 + у2 + z2 +
+ 2 х — 2 у — 2 z —6 = 0 пересекаются. Найдите длину линии
пересечения этих сфер.
2. Найдите множество точек, расположенных вдвое ближе к точке
А (2; 0; 0), чем к точке В (— 4; 0; 0).
8.
1. Даны две сферы х2 + у2 + z2 — 2х — 4у — 20 = 0 и сфера с цен-
тром в точке Ог (2; 4; 2). Они пересекаются по окружности, длина
которой равна 2 л V2T. Найдите уравнение второй сферы.
2. Найдите множество точек, расположенный вдвое ближе к точке
М (0; 2; 0), чем к точке Р (0; 4; 0).
519
1. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра
сферы на 8, имеет длину 12 л. Найдите площадь поверхности
сферы.
2. Плоскость пересекает шар. Диаметр, проведенный в одну из точек
линии пересечения, составляет с плоскостью угол 45°. Найдите
площадь сечения, если диаметр шара, равен 4 V3.
2.
1. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 12, имеет
площадь 25 л. Определите площадь поверхности шара.
2. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведенный в одну
из точек линии пересечения, имеет длину 4 ^2 и составляет с
плоскостью угол 45°. Найдите длину линии пересечения.
3.
1. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, между кото-
рыми лежит центр шара, имеют площади 144 л и 25 л. Найдите
площадь поверхности шара, если расстояние между параллельны-
ми плоскостями равно 17.
2. Через точку, не лежащую на сфере, проведены две плоскости,
касающиеся сферы. Найдите расстояние от центра сферы до линии
пересечения плоскостей, если угол между плоскостями равен 60°,
а площадь сферы 32 л.
1. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями имеют длины
10 л и 24 л. Найдите площадь сферы, если расстояние между
плоскостями равно 7 и центры сечений лежат на одном радиусе.
2. Через точку на поверхности шара проведены две плоскости, пе-
ресекающие его. Обе плоскости удалены от центра сферы на
расстояние 2 VJ, угол между ними равен 60°. Найдите площадь
получившихся сечений.
520
5.
1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хор-
ду длиной 12. Зная, что площади этих сечений 100 л и 64 л,
найдите радиус шара.
2. Конус, осевое сечение которого прямоугольный треугольник, и по-
лушар с радиусом R имеют общее основание. Параллельно основа-
нию полушара проведена плоскость. Найдите расстояние от прове-
денной плоскости до центра полушара так, чтобы площадь кольца,
которое образовалось при пересечении полушара и конуса с этой
плоскостью, была наибольшей.
6.
1. Площадь большего круга шара равна 50 л. Два взаимно перпен-
дикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 6. Найдите
расстояние от центра шара до плоскостей сечений, если площадь
одного из них 25 л.
2. Полушар пересечен плоскостью, параллельной основанию. По-
лучившееся сечение служит верхним основанием цилиндра, ниж-
нее основание которого лежит в плоскости основания полушара.
Найдите расстояние от плоскости сечения до центра полушара
так, чтобы площадь боковой поверхности цилиндра была наи-
большей.
7.
1. Из точки поверхности шара проведены три равные хорды под
углом а одна к другой. Найдите их длину, если радиус шара равен
R.
2. Из одной точки сферы проведены три попарно перпендикулярные
хорды длиной а, b и с. Найдите площадь сферы.
8.
1. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый шар каса-
ется трех других. Найдите радиус сферы, которая внутренним
образом касается данных шаров.
2. Шар касается всех ребер тетраэдра. Сравните суммы длин скре-
щивающихся ребер тетраэдра.
521
§12. Комбинация сферы с другими
геометрическими телами
1.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3,
а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°. Найдите
радиус описанной вокруг пирамиды сферы.
2. В правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите
отношение площади полной поверхности призмы к площади сфе-
ры.
2.
1.	В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4,
а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите
радиус вписанной в эту пирамиду сферы.
2.	В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 2,
а боковое ребро — 2 V2. Найдите площадь описанной около
призмы сферы.
3.
1. В основании пирамиды лежит треугольник, одна из сторон кото-
рого равна 4, а противолежащий ей угол равен 30°. Боковые ребра
пирамиды равны 5. Найдите расстояние от центра описанного
около пирамиды шара до плоскости основания.
2. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с острым уг-
лом а. В этот параллелепипед вписан шар. Найдите угол между
большей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
4.
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, катеты
которого равны 3 и 4. Вершина пирамиды удалена от каждой
стороны основания на расстояние, равное 3. Найдите радиус впи-
санного в пирамиду шара.
2. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной,
равной 5. Угол, лежащий против этой стороны, равен 150°. Высота
призмы равна 24. Найдите площадь описанной около призмы
сферы.
522
5.
1. В шар с радиусом R вписана пирамида, в основании которой лежит
квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости
основания, а наибольшее боковое ребро образует с ней угол 30°.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Около шара описана правильная треугольная усеченная пирамида,
стороны основания которой равны а и Ь. Найдите площадь боковой
поверхности пирамиды.
6.
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а.
Поверхность вписанного в пирамиду шара делит высоту пирамиды
пополам. Найдите боковое ребро пирамиды.
2. В шар с радиусом R вписана правильная шестиугольная призма.
Радиус, проведенный в вершину призмы, образует с плоскостью
боковой грани угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности
призмы.
7.
1. Все ребра четырехугольной пирамиды равны по а. Высота пира-
миды является диаметром шара. Найдите длину линии пересече-
ния поверхностей этих тел.
2. В куб с ребром, равным а, вписан шар. Затем в один из трех-
гранных углов при вершине куба вписан второй шар, касающийся
первого шара. Найдите радиус второго шара.
8.
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а.
Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота
пирамиды является диаметром шара. Найдите длину линии пе-
ресечения поверхностей этих тел.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
двугранный угол при основании пирамиды 60°. В пирамиду впи-
саны три равных шара, каждый из которых касается двух других
шаров, плоскости основания и одной из боковых граней пирамиды.
Зная, что точки касания шаров с основанием лежат на апофемах
основания, найдите радиус шара.
523
§13. Объем прямоугольного параллелепипеда
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как
2:3:4. Диагональ параллелепипеда равна V29. Найдите его
объем.
2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник
с углом 30°. Расстояние от бокового ребра, проходящего через
вершину прямого угла, до противолежащей боковой грани равно
боковому ребру и равно 6. Найдите объем призмы.
2.
1.	Стороны оснований и диагональ прямоугольного параллелепипеда
относятся как 1:2:3. Длина бокового ребра равна 4. Найдите
объем параллелепипеда.
2.	В основании прямой призмы лежит равнобедренный прямоуголь-
ный треугольник. Диагональ большей боковой грани равна 12 и
составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
призмы.
3.
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат.
Диагональ параллелепипеда равна d и составляет с боковой гранью
угол 30°. Найдите его объем.
2. Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит прямоугольный
треугольник АВС (С = 90°). АС - 4; С - 2 ААВ\С = 30°. Найди-
те объем призмы.
4.
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со
стороной а. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой
гранью угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСАХВ\С\ служит прямоугольный
треугольник АВС (АС = 90°). АС = 5. Плоскость АВ^С составляет
с плоскостью основания угол 45°. Расстояние от вершины В до
этой плоскости равно 2 VT. Найдите объем призмы.
524
5.
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 6 и
8. Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная
диагонали параллелепипеда. Эта плоскость составляет с плоско-
стью основания угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит прямоугольный
треугольник АВС 90°); АС = ВС = а. Диагональ боковой гра-
ни В\С составляет с плоскостью грани AAiBiB угол а. Найдите
объем призмы.
6.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBiCiDi АВ = 6;
Через диагональ основания и вершину Bi проведена
ВС =
пло-
скость, удаленная от вершины В на расстояние, равное 2,4. Най-
дите объем параллелепипеда.
2. В прямой призме ABCAiBiCi основанием служит прямоугольный
треугольник ABC (LC- 90°); LABC Через диагональ боковой
грани BiC проведена плоскость, перпендикулярная грани AAiB{B
и составляющая с плоскостью основания угол а. Высота призмы
равна Л. Найдите объем призмы.
7.
1. Стороны АВ и ВС основания прямоугольного параллелепипеда
ABCDAi Bi Ci Di равны соответственно 6 и 8. Через середины сто-
рон AD и CD и вершину В, проведена плоскость, составляющая
с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем параллелепи-
педа.
2. Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит прямоугольный
треугольник ABC (Z.C = 90°). ВС = 4; BBi = 3. Угол между диа-
гоналями граней ACi и CBt равен arccos . Найдите объем
призмы.
525
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BXC\D} АВ = 5, ВС-
= 12. Через диагональ параллелепипеда B\D параллельно диаго-
нали основания АС проведена плоскость, составляющая с плоско-
стью основания угол в 60°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ служит прямоугольный
треугольник ABC =	АС~3; СВ-Ь. М — точка пересе-
чения медиан треугольника ЛВС, а Р — центр симметрии грани
СС\В\В. Прямая МР составляет с плоскостью грани AAjCjC угол
arcsin Найдите объем призмы.
526
§ 14. Объем прямой призмы и цилиндра
1.
1.	Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами
10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего основания и середину
противоположного бокового ребра проведена плоскость под углом
60° к плоскости основания. Найдите объем призмы.
2.	Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от окружности
основания дугу 120°. Радиус основания цилиндра равен R, а угол
между диагональю сечения и осью цилиндра равен 30°. Найдите
объем цилиндра.
2.
1.	Основанием прямой призмы ABCA\B\Ci служит треугольник АВС,
у которого АВ = ВС - 10; LABC = 30°. Через ребро AAi проведена
плоскость, перпендикулярная к грани CC\BiB. Диагональ сечения
составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объем
призмы.
2.	Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на рас-
стояние, равное 15. Диагональ получившегося сечения равна 20,
а радиус основания цилиндра — 17. Найдите объем цилиндра.
3.
1.	В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали
которого равны 6 и 8. Плоскость сечения, проходящего через два
противоположных ребра верхнего и нижнего оснований, состав-
ляет с основанием угол 60°. Найдите объем палаллелепипеда.
2.	Радиус основания конуса равен 4, а его высота — 10. В этот конус
вписан цилиндр так, что его верхнее основание касается боковой
поверхности конуса, а нижнее лежит в плоскости его основания.
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
4.
1.	Основанием прямого параллелепипеда ABCDAiBiCiDi служит па-
раллелограмм ABCD. BD = 6; LABD = 90°; LBDA - 30°. Плоскость
сечения, проходящая через большие два ребра оснований, состав-
ляет с основанием угол 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2.	Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды рав-
на 8, а ее высота — 16. В эту пирамиду вписан цилиндр так,
что окружность верхнего основания касается боковой поверхности
пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости ее основания.
Осевое сечение цилиндра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
527
5.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFAXB\C\D\E\FX диа-
гонали BXF и ВХЕ равны соответственно 24 и 25. Найдите объем
призмы.
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу 120°. Найдите отношение объемов частей, на
которые эта плоскость разделила цилиндр.
6.
1.	В правильной шестиугольной призме ABCDEFA\B}C]D\E]F\
С{Е = 3, EFCiE = arctg j. Найдите объем призмы.
2.	Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности
основания дугу 60°. Найдите отношение объемов частей, на ко-
торые эта плоскость разделила цилиндр.
7.
1.	Около куба описана призма так, что все вершины куба являются
серединами сторон оснований призмы. Основанием призмы служит
трапеция, основания которой равны а и Ь. Найдите объем призмы.
2.	Корыто полуцилиндрической формы наполнено до краев жидко-
стью. Сколько процентов жидкости выльется, если корыто накло-
нить на 30° так, чтобы образующие цилиндра оставались гори-
зонтальными.
8.
1.	Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна
Q. Через боковое ребро проведено сечение, которое разделило
призму на части, объемы которых относятся как 1:3. Найдите
площадь сечения.
2.	Две образующие цилиндра с квадратным осевым сечением лежат
на основаниях другого цилиндра, а окружности его оснований
касаются боковой поверхности другого цилиндра. Найдите отно-
шение объемов этих цилиндров.
528
§ 15. Объем наклонной призмы
1.
1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник.
Одна из боковых граней является ромбом с диагоналями, равными
6 и 8. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.
Найдите объем призмы.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ боковое ребро равно
10. Расстояние между ребром AAi и ребрами BBi и DD\ соответст-
венно равно 5 и 12, а расстояние между AAi и CCi равно 13. Найдите
объем параллелепипеда.
2.
1.	Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб, одна из
диагоналей которого равна 6. Диагональ одной из боковых граней
равна 5 V3 и перпендикулярна к плоскости основания. Боковые
ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите
объем параллелепипеда.
2.	В наклонной треугольной призме ЛВСА\В\С\ боковое ребро равно
10, расстояния от ребра AAi до ребер CCi и BBi равны 13, а расстоя-
ние от AAi до противолежащей боковой грани — 5. Найдите объем
призмы.
3.
1.	Основанием наклонной призмы ABCAiBiCi служит правильный
треугольник ABC. LAiAC = LAiAB = 60°. Сторона основания рав-
на а, а боковое ребро — Ь. Найдите объем призмы.
2.	В наклонном параллелепипеде боковое ребро наклонено к осно-
ванию под углом 60°. Высота параллелепипеда равна 5 V3. Пло-
щади двух смежных боковых граней равны 40 и 60. Угол между
ними равен 45°. Найдите объем параллелепипеда.
4.
1.	Основанием наклонного параллелепипеда служит прямоугольник
со сторонами, равными а и Ь. Боковое ребро, равное с, составляет
с прилежащими сторонами основания угол 60°. Найдите объем
параллелепипеда.
2.	В наклонной треугольной призме высота равна 10 а боковые
ребра составляют с плоскостью основания угол 45°. Площади двух
граней равны 100 и 200, а угол между ними 120°. Найдите объем
призмы.
529
5.
1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник.
Все ребра призмы равны между собой. Одно из боковых ребер
составляет с прилежащими сторонами основания угол 45°. Пло-
щадь боковой поверхности призмы равна 4 (1 + VT). Найдите
объем призмы.
2. В наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра
до диагонали противолежащей боковой грани равно 5, а площадь
этой грани 40. Найдите объем призмы.
6.
1.	Основанием наклонной призмы АВСА\В{С\ служит прямоуголь-
ный треугольник ABC (LC = 90°). Плоскость грани AAtCiC пер-
пендикулярна плоскости основания. Боковое ребро призмы на-
клонено к основанию под углом 60° и равно катетам основания.
Площадь боковой поверхности призмы равна 2 (VT + ^3 + 2).
Найдите объем призмы.
2.	В наклонной треугольной призме угол между боковым ребром и
скрещивающимся с ним стороной основания равен 45°. Длина этой
стороны равна 6, а расстояние от бокового ребра до боковой грани,
содержащей эту сторону, равно 4. Длина бокового ребра равна 5.
Найдите объем призмы.
7.
1.	Основанием наклонной треугольной призмы ABCA^BiCi служит
правильный треугольник АВС со стороной, равной а. Боковое
ребро равно Ь. АА\АС = 60°; АА^АВ = 45°. Найдите объем призмы.
2.	В наклонной четырехугольной призме ABCDA\BiC\D\ основанием
служит четырехугольник ABCD, у которого АС = 5; BD = 4 и
ACJL BD. Диагональное сечение BB\DiD — прямоугольник, а пло-
щадь сечения ААi С\С равна 30. Найдите объем призмы.
8.
1.	Основанием наклонной призмы ABCAiBiCi служит треугольник
АВС, у которого Лв = 50; АС - 40 и LВАС = 60°, AAt =25. Рас-
стояние от вершины А{ до стороны АС равно 7, а до стороны
АВ — 20. Найдите объем призмы.
2.	Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA{BiCiDi служит
квадрат со стороной, равной а. Боковые ребра тоже равны а.
LAXAD=L AiAB<90°. Двугранный угол при ребре AAt равен 120°.
Найдите объем параллелепипеда.
530
§16. Объем пирамиды
1.
1. В правильной треугольной пирамиде высота основания равна А,
боковые ребра наклонены к основанию под углом а. Найдите
объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб со стороной а и
острым углом А, равным а. Боковое ребро МВ перпендикулярно
к плоскости основания, а грани MAD и MDC наклонены к нему
под углом р. Найдите объем пирамиды.
2.
1. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ основания
равна d. Боковые грани наклонены к основанию под углом а.
Найдите объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник
АВС. АВ = ВС -a, LABC = а. Ребро BD перпендикулярно к пло-
скости основания, а грань ADC составляет с ним угол /3. Найдите
объем пирамиды.
3.
1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна А, а плоский
угол при вершине а. Найдите объем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами V5,
и 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°.
Найдите объем пирамиды.
4.
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна А, а плоский
угол при вершине пирамиды — а. Найдите объем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с углом
30°. Боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Высота
пирамиды равна 3 у/З. Найдите объем пирамиды.
531
5.
1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный треугольник
ABC. LC = (MX\ LA = a. Грань АМВ перпендикулярна плоскости
основания, а остальные две грани наклонены к нему под углом
fl. Расстояние от основания высоты до грани ВМС равно d.
Найдите объем пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а,
а угол между смежными боковыми гранями а. Найдите объем
пирамиды.
6.
1.	Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный треугольник
АВС. АВ в ВС, L АВС = а. Грань ADC перпендикулярна плоскости
основания, а остальные две грани наклонены к нему под углом Д
Расстояние от основания высоты до боковой грани BDC равно d.
Найдите объем пирамиды.
2.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна
а, а угол между смежными боковыми гранями а. Найдите объем пи-
рамиды.
7.
1.	В основании треугольной пирамиды МАВС лежит правильный
треугольник АВС со стороной, равной ^2. МА = Vz. Боковые
грани пирамиды имеют равные площади. Найдите объем пирами-
ды.
2.	В тетраэдре DABC ME АВ, причем AM - - j- AB. P — середина
медианы AF грани ABC, a К — середина медианы AL грани ADB.
Через точки М, К и Р проведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
8.
1.	В основании пирамиды МАВС лежит правильный треугольник
АВС со стороной, равной V3. МА = 6. Боковые грани имеют
равные площади. Найдите объем пирамиды.
2.	В треугольной пирамиде МАВС МА = 4, МВ = 6, МС = 5. На реб-
рах МА, МВ и МС выбраны точки А[, В{ и так, что МА{ = 1;
МВ[ = 3 и MCi = 2. В каком отношении плоскость A[B{Ci делит
объем пирамиды?
532
§ 17. Объем конуса
1.
1. Через вершину конуса проведена плоскость под углом 60° к
плоскости основания и пересекающая основание по хорде, стяги-
вающей дугу 60°. Высота конуса равна 4 VJ. Найдите объем
конуса.
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найдите
отношение объемов конуса и пирамиды.
2.
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая ок-
ружность основания по хорде, равной 6 и стягивающей дугу
120°. Плоскость составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите объем конуса.
2. Вокруг правильной четырехугольной пирамиды описан конус.
Найдите отношение объемов конуса и пирамиды.
3.
1.
2.
Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°. Площадь
боковой поверхности конуса равна 3 тг. Найдите объем конуса.
В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона ос-
нования пирамиды равна 10 V3. Расстояние от середины высоты
<	-	30
пирамиды до боковой грани равно уу.
Найдите объем конуса.
4.
1. Длина хорды и радиус развертки боковой поверхности конуса
соответственно равны 6 V3 и 6. Найдите объем конуса.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона ос-
нования пирамиды равна 6 V3\ Расстояние от вершины основания
до противоположной боковой грани равна V56. Найдите объем
конуса.
533
5.
1.	Два конуса расположены так, что основания их параллельны и
вершина каждого из них расположена в центре основания другого.
Найдите объем общей части конусов, если образующая одного из
них равна а и составляет с высотой угол /3, а наибольший угол
между образующими другого конуса равен а.
2.	Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, основа-
ния которой равны 10 и 20, а боковая сторона равна 10. Объем опи-
1000 л>ГЗ тт „
санного около пирамиды конуса равен--------• Найдите угол на-
клона боковых ребер к плоскости основания.
6.
1.	Два конуса расположены так, что основания их параллельны и
вершины каждого из них расположены в центре основания дру-
гого. Найдите объем общей части этих конусов, если радиусы их
оснований равны 4 и 6, а общая высота — 15.
2.	Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит прямоуголь-
ная трапеция, основания которой равны 2 и 4. Объем конуса равен
. Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания,
о!
7.
1.	Через вершину конуса проведено сечение, имеющее наибольшую
площадь. Плоскость этого сечения составляет с плоскостью осно-
вания угол arccos Образующая конуса равна I. Найдите объем
меньшей части конуса, отсеченной этой плоскостью.
2.	Длина бокового ребра правильной треугольной пирамиды равна 10,
длина стороны основания — 12. Боковая грань пирамиды вписана в
окружность основания конуса, образующей которого принадлежит
боковое ребро пирамиды. Найдите объем конуса.
8.
1.	Через вершину конуса проведено сечение, имеющее наибольшую
площадь. Плоскость этого сечения составляет с плоскостью ос-
нования угол arctg V2. Высота конуса равна Н. Найдите объем
большей части конуса, отсеченного этой плоскостью.
2.	Основанием пирамиды служит прямоугольник, стороны которого
12 и 4. Боковые ребра пирамиды равны 10. Боковая грань,
проходящая через большую сторону прямоугольника, вписана в
окружность основания конуса, а образующая конуса принадлежит
высоте противоположной боковой грани, проведенной из вершины
пирамиды. Найдите объем конуса.
534
§18. Объем усеченной пирамиды
и усеченного конуса
1.
1. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пи-
рамиды равны 6 V2 и 4 V2. Площадь диагонального сечения равна
90. Найдите объем пирамиды.
2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1 : 3. Обра-
зующая конуса равна 4 и составляет с плоскостью основания угол
60°. Найдите объем конуса.
2.
1.	Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды
равны 8 V3 и 4 V3. Площадь сечения, проходящего через боковое
ребро пирамиды и середину противоположной стороны основания
равно 54. Найдите объем пирамиды.
2.	Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого сечения
— 13. Радиусы оснований относятся как 1 : 2. Найдите объем
конуса.
3.
1.	В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания
равны а и Ъ (а> Ь). Боковое ребро равно а — Ь. Найдите объем
пирамиды.
2.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ - ВС = 10; АС = 12. Тре-
угольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину С и
перпендикулярный АС. Найдите объем тела вращения.
4.
1.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны ос-
э л»	О “
новании равны т и 2т , апофема пирамиды равна ——• Найдите
объем пирамиды.
2.	В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ = 25, АВ = 48. Тре-
угольник вращается вокруг оси, проходящей через вершину В и
перпендикулярной АВ. Найдите объем тела вращения.
535
г
5.
1. Основаниями треугольной усеченной пирамиды служат правиль-
ные треугольники со сторонами 4 и 12. Одна боковая грань
перпендикулярна плоскости основания, а две другие составляют
с ней угол 60°. Найдите объем пирамиды.
2. Параллелограмм ABCD вращается вокруг прямой, проходящей че-
рез вершину А параллельно меньшей диагонали BD. Найдите объем
тела вращения, если в данном параллелограмме LA- 60°, большая
сторона 6, а меньшая диагональ перпендикулярна стороне.
6.
1.	Основаниями усеченной пирамиды служат ромбы. Диагонали ниж-
него основания равны 12 и 16, а верхнего — 8 и 6. Две боковые
грани, проходящие через стороны тупых углов ромбов, перпенди-
кулярны плоскости основания, а остальные две из них составляют
с основанием угол 45°. Найдите объем пирамиды.
2.	Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из
вершины тупого угла ромба на его стороны, равно 20. Найдите объ-
ем тела, полученного от вращения ромба вокруг оси, проходящей
через вершину острого угла, равного 60°, и перпендикулярной боль-
шей диагонали.
7.
1.	Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пира-
миды равны а и b (&>Ь). Через противоположные стороны верх-
него и нижнего оснований проведена плоскость. В каком отноше-
нии эта плоскость делит объем пирамиды?
2.	Прямоугольный треугольник АВС (АС = 90°), у которого катет ВС =
= а и L А = 60° вращается вокруг прямой, проходящей через верши-
ну Л и перпендикулярной биссектрисе угла А. Найдите объем тела
вращения.
8.
1.	Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пи-
рамиды относятся как 1 :2. Через центр нижнего основания и
среднюю линию одной из боковых граней проведена плоскость. В
каком отношении эта плоскость разделила объем пирамиды?
2.	В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 120°, а
основание — а. Этот треугольник вращается вокруг оси, прохо-
дящей через точку пересечения высот треугольника и параллель-
ной основанию этого треугольника. Найдите объем тела вращения.
536
§ 19. Объем шара и его частей.
Площадь сферы.
1.
1. Площадь поверхности полушара равна 48 л. Найдите его объем.
2. В конус, осевое сечение которого правильный треугольник, вписан
шар. Найдите отношение их объемов.
2.
1	32 я „
1.	Объем шара равен . Найдите площадь поверхности полуша-
ра.
2.	Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит правильный
треугольник, описан шар. Найдите отношение их объемов.
3.
1. Шар, радиус которого равен 5, касается плоскости. Через точку
касания проведена плоскость, пересекающая шар под углом
3
arccos к касательной плоскости. Найдите объем меньшей части
шара, отсеченный этой плоскостью.
2. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой поверхности
— 60 л. Найдите объем вписанного в конус шара.
4.
1. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой сектор.
Высота сегмента равна 1, а объем конуса — 12 л. Найдите объем
шарового сектора.
2. Объем конуса равен 128 я, а его высота — 6. Найдите объем описан-
ного около конуса шара.
5.
1. Найдите объем двояковыпуклого стекла, у которого радиусы по-
верхностей 13 и 20, а расстояние между центрами — 21.
2. Объем конуса в 2 раза больше объема вписанного в него шара.
Найдите величину угла между образующей конуса и плоскостью
основания.
537
6.
1. Найдите объем выпукло-вогнутой линзы, у которой радиусы по-
верхностей равны 25 и 29, а расстояние между центрами — 6.
2. Отношение объема конуса к объему вписанного в конус шара
равно 8 : 3. Найдите величину угла при вершине осевого сечения
конуса.
7.
1. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со сторо-
ной, равной 1. Основание К высоты пирамиды лежит на рассто-
янии 2 — от центра О этого треугольника, причем луч ОК
проходит через одну из его вершин. Найдите площадь поверхности
вписанного в пирамиду шара, если высота пирамиды равна уТ.
2. Полый шар радиуса 9 см, толщина стенок которого 3 см, плывет
в воде, причем из воды выступает его часть высотой 6 см. Най-
дите плотность материала, из которого изготовлен шар.
8.
1. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со
стороной 1. Основание К высоты пирамиды лежит на расстоянии
от центра О этого треугольника, причем луч ОК проходит
через середину одной из его сторон. Найдите площадь поверхности
2
шара, вписанного в пирамиду, если ее высота равна
2. Полый металлический шар, внешний радиус которого /?, плавает,
будчи наполовину погруженным в воду. Плотность материала d.
Найдите толщину стенок шара.
538
§ 20*. Уравнение плоскости
1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; — 1; 3) и параллельной плоскости 2х — Зу + z — 4 = 0.
2. Найдите угол между плоскостями 2х + у — z+l=0 и
х — 2у + 3z — 2 = 0.
2.
1. Даны точки А (2; т; — 1) и В (1; 2; т) и плоскость
2х — Зу + z — 1=0. При каком значении т эта плоскость парал-
лельна прямой АВ1
2. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью
2х — 2у + z — 3 = 0, если А (— 1; 2; 1) и В (2; — 1; — 2).
1. Дан шар, ограниченный сферой (х + I)* 1 2 + (у — З)2 + (z — 2)2 =
= 1 и плоскостью 2х — у + 2z — 1 = 0. Пересекает ли эта плос-
кость шар? Если да, то найдите площадь сечения.
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки
Л (1; 0; — 2) и В (0; 3; 1), которая параллельна оси OZ.
1. Докажите, что плоскость х — 2y+2z — 9 = 0 является касатель-
ной к сфере (х — З)2 + (у — 2)2 + (z + 4)2 = 36.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
Е (— 1; 2; 0) и F (1; 0; — 2), и которая параллельна оси ОХ.
5.
1. Даны плоскость х+у — z — 2 = 0 и точка А (1; 1; 1). Найдите
координаты точки Ль которая симметрична данной точке А от-
носительно указанной плоскости.
2. Плоскость а проходит через точку М (1; 1; — 2) и пересекает
плоскость XOY по прямой у — х=1. Напишите уравнение этой
плоскости.
539
1. Даны прямая EF, где Е (1;-2; 1) и F (2; - 1; 3) и плоскость
х — 2у + z — 3 = 0. Найдите координаты точки Р пересечения
этой прямой с плоскостью.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1; - 1; 1) и В (2; 1; - 1), которая перпендикулярна плоскости
х — 2у + z — 1 = 0.
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона осно-
вания равна 2, а высота — 1. Используя метод координат, най-
дите угол между AM и плоскостью DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки
А (1; — 1; 1) и В (2; 0; — 1), которая была бы параллельна на-
правлению вектора т {3; 1; — 1}.
1. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, где
АВ = 2, AD=\. Грань АМВ — равнобедренный треугольник
(AM - ВМ), плоскость которого перпендикулярна плоскости осно-
вания. Высота пирамиды МО=\. Используя метод координат,
найдите угол между гранями AMD и DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1; 1; 1) и перпендикулярную линии пересечения плоскостей
2х — у + z — 1 =0 и х + у — 2z — 2 = 0.
540
РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
№ 1. Взаимное положение прямых и плоскости.
Перпендикулярность прямых и плоскости
1.
В основании пирамиды DABC лежит правильный треугольник АВС со
стороной, равной а. Две боковые грани ADB и CDB перпендикулярны
к плоскости основания. Их общее ребро тоже равно а.
1.	Каково взаимное положение прямых:
1)	АВ и CD; 2) BD и АС; 3) PQ и -4С, где Р и Q соответственно
середины ребер АВ и CD. Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через центр
основания палаллельно ребрам АС и BD. Определите вид сечения
и найдите его площадь.
3.	Найдите угол между гранями: 1) ADB и CDB; 2) DAC и АВС.
4.	Чему равен угол между BD и гранью ADC?
5.	Найдите угол между АВ и DC.
6.	Чему равно расстояние между АВ и DC?
2.
Основанием прямой призмы ABCAiBtCi служит прямоугольный тре-
угольник АВС (АС - 90°), АС = СВ = а. Боковые ребра тоже равны а.
1.	Каково взаимное положение прямых: 1) АА{ и ВС;
2)	AiCy и ВС; 3) EF и АС, где Е G АВХ (АЕ: ЕВХ = 1 : 2) и
F G СВХ (CF: FB{ = 2 : 1). Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через АС и
середину B{Ci. Определите вид сечения и найдите его площадь.
3.	Найдите угол: 1) между плоскостью сечения и плоскостью осно-
вания; 2) между плоскостью сечения и плоскостью грани СС^В^В.
4.	Чему равен угол между В{С и плоскостью грани АД ДБ?
5.	Найдите угол между АВ и В{С.
6.	Чему равно расстояние между АВ и В^С?
541
3.
Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD со стороной,
равной а. Грань АМВ является правильным треугольником и перпен-
дикулярна плоскости основания.
1.	Каково взаимное положение прямых: 1) МВ и AD; 2) АС и MD;
3) EF и РТ, где Е, F, Т и Р соответственно середины ребер МА,
МС, CD и AD. Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через се-
редину AD параллельно грани АМВ. Определите вид сечения и
найдите его площадь.
3.	Чему равен угол между плоскостями: 1) АВС и DMC; 2) АМВ
и DMC1
4.	Чему равен угол между MD и плоскостью АМВ1
5.	Чему равен угол между MD и ЛС?
6.	Найдите расстояние между ВС и MD.
4.
В тетраэдре DABC грани АВС и DBC — правильные треугольники со
стороной, равной а. Плоскости этих граней перпендикулярны.
1.	Каково взаимное положение прямых: 1) АС и DB; 2) AD и ВС;
3)EF и ВС, где Е и F соответственно середины ребер АС и BD.
Дайте обоснование.
2.	Через вершину А и середину М ребра DC проведите плоскость
параллельно ВС. Определите вид сечения и найдите его площадь.
3.	Найдите угол между плоскостями: 1) ADC и АВС; 2) ADC и
ADB.
4.	Найдите угол между медианой грани ADC, проведенной из вер-
шины А, и плоскостью АВС.
5.	Найдите угол между: 1) AD и ВС; 2) АВ и DC.
6.	Найдите расстояние между AD и ВС.
542
№ 2. Многогранники
1.
В прямом параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ основанием служит ромб,
диагонали которого АС = 8 и BD = 6. Через диагональ BD и середину
ребра СС] проведена плоскость, составляющая с плоскостью основа-
ния угол 45°.
1)	На какие части эта плоскость делить объем параллелепипеда?
2)	Найдите площадь поверхности призмы AB\BDC\C.
3)	Чему равен угол между диагональю AtC и плоскостью грани
DD,C,C7
2.
Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный прямоугольный
треугольник ABC {LACB = 90°), АС = СВ = 4. Боковые ребра наклоне-
ны к основанию под углом 60°.
1)	На какие части делит объем пирамиды плоскость CEF, где F —
середина BD, а точка Е лежит на ребре АВ, причем АВ: ЕВ =
= 1:3.
2)	Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3)	Чему равен двугранный угол, образованный гранями ADC и BDC7
3.
Основанием наклонной призмы АВСАХВ\С\ служит правильный тре-
угольник со стороной, равной 4 V3. Вершина А} проектируется на се-
редину стороны ВС, боковые ребра составляют с плоскостью основания
угол 45°.
1)	Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2)	Через сторону основания ВС проведена плоскость, перпендику-
лярная грани CC]BiB. В каком отношении она делит объем приз-
мы?
3)	Найдите расстояние от вершины В до боковой грани АА^С^С.
543
4.
В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный треугольник
АВС. АВ = ВС = 10; АС =12. Высота пирамиды равна 4. Боковые грани
пирамиды равнонаклонены к основанию.
1)	Через точки А, О и Е, где Е — середина МВ, а О — основание
высоты пирамиды МО проведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость делит объем пирамиды?
2)	Найдите площадь поверхности пирамиды.
3)	Чему равен угол между МВ и плоскостью грани АМС1
544
№ 3. Тела и вращения
1.
Наибольший угол между образующими конуса равен 120°. Площадь
осевого сечения равна 16 V3.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Найдите центральный угол в развертке баковой поверхности ко-
нуса.
3)	В данный конус вписан другой конус, основание которого парал-
лельно основанию данного конуса и делит его высоту в отношении
1:2, считая от вершины. Вершина вписанного конуса совпадает
с центром основания данного. Найдите отношение объемов этих
конусов.
4)	Найдите площадь поверхности описанного около данного конуса
шара.
2.
В цилиндре, высота которого равна 8, через его образующую проведе-
ны две плоскости, угол между которыми 60°. Площади сечений равны
32 <3.
1)	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2)	Найдите острый угол между диагоналями развертки боковой по-
верхности цилиндра.
3)	Выясните, можно ли в данный цилиндр вписать шар, и если да,
то найдите отношение их объемов.
4)	Найдите площадь поверхности, описанной около этого цилиндра
шара.
3.
В усеченный конус вписан шар, диаметр которого равен 5 V3. Образу-
ющие конуса составляют с плоскостью основания угол 60°.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Найдите объем конуса.
3)	Укажите размеры развертки боковой поверхности конуса (цент-
ральный угол развертки, радиусы концентрических окружностей).
4)	Какова площадь поверхности описанного около конуса шара?
18 ЗивБ.Г.
545
4.
Цилиндр, осевое сечение которого квадрат, вписан в конус так, что ок-
ружность верхнего основания цилиндра касается боковой поверхности
конуса, а нижнее основание лежит на основании конуса. Площадь бо-
ковой поверхности цилиндра равна 16 л, а образующая конуса состав-
ляет с плоскостью основания угол 45°.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Какова наибольшая возможная площадь сечения, проведенного
через вершину конуса?
3)	Найдите отношение объемов конуса, отсеченного от данного ко-
нуса верхним основанием цилиндра, к объему цилиндра.
4)	Найдите объем вписанного в конус шара.
546
№ 4. Координаты и векторы
1.
1. 1) В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
a. LAXAC- LAxAB-W. Используя векторы найдите угол между
Л1С и медианой АК основания.
2) Используя векторы, докажите, что грань ССХВХВ — прямо-
угольник.
2. Призма АВСАХВХСХ задана координатами своих вершин:
А (1; 2; 2); В (— 1; — 1; 2); С (3; — 2; 2); Ах (1; 2; 5). Найдите
угол между прямой АЕ, где Е — середина АХСХ и плоскостью,
которая перпендикулярна диагонали грани ВХС.
2.
1.	В тетраэдре МАВС основанием служит правильный треугольник
АВС со стороной a, AM -2а; LMAC- LMAB- 45°. Используя
векторы:
1)	Докажите, что АМ1. СВ;
2)	Найдите расстояние между серединами ребер АЕ и ВМ.
2.	Пирамида MABCD задана координатами своих вершин
М (— 1; 2; 5); А (1; — 1; 2); В (—2; 1; 2); С (— 1; 3; 2); D (3;
1; 2). Найдите объем пирамиды.
3.
1. В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
ромб ABCD со стороной а и углом А, равным 60°. Боковые ребра
тоже равны а. Используя векторы:
1) Найдите угол между АЕ и BD, где Е — центр симметрии грани
DDXCXC.
2) Докажите, что BD.
2. В кубе ABCDAi Вх Сх Dx, используя метод координат, найдите угол
между FE, где F — середина DC, а Е — середина ВХСХ и
плоскостью AXBD.
547
4.
1. В правильном тетраэдре DABC ребра равны а. М — точка пере-
сечения медиан грани В DC, а Е — середина ребра AD. Используя
векторы:
1) Найдите расстояние ЕМ\
2) Докажите, что РКА. AD, где Р и К — соответственно середины
ребер DC и DB.
2. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник ABCD, где
АВ = 2 и Л£>=1. Грань АМВ — равнобедренный треугольПик,
плоскость которого перпендикулярна основанию пирамиды. Вы-
сота пирамиды равна 1. Используя метод координат, найдите угол
между AF и DE, где F — середина MD, а Е — середина МС.
548
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
№ 1. Координаты и векторы
Вариант 1
1.	Какой угол образуют единичные векторы ёГ и если известно,
что векторы а+ 22Ги 5а— 4ZT взаимно перпендикулярны?
2.	В кубе ABCDAXB\C\D\ длина ребра равна 1. М — центр грани
DDiCyC. Используя метод координат, найдите:
1)	Угол между прямыми AM и BXD.
2)	Расстояние между серединами отрезков AM и B\D.
3.	Даны две точки: А, лежащая на оси ординат, и В (1; 0; 1). Прямая
АВ составляет с плоскостью OXZ угол 30°. Найдите координаты
точки А.
4*. Найдите координаты вектора а, коллинеарного вектору
ZT {6; 8 — 7,5} и образующего тупой угол с координатным век-
тором £ если | а | =50.
Вариант 2
1.	Даны точки А (- 1; 2; 1); В (3; 0; 1); С (2; - 1; 0) и D (2; 1; 2).
Найдите:
1)	Угол между векторами и СЪ.
2)	Расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
2.	Основанием прямой призмы ABCAiBiCi служит равнобедренный
треугольник ABC. Z.ACB- 120°. АС = СВ = BBi. Используя век-
торы, найдите угол между прямыми АВ и СВ}.
3.	Даны две точки: At, лежащая в плоскости ОХУ, и В (1; 1; 1),
причем абсцисса точки А равна ее ординате. Прямая АВ состав-
ляет с плоскостью OZY угол 30°. Найдите координаты точки А.
4*. Даны векторы а {7; 0; 0} и ZT{0; 0; 3}. Найдите множество точек
М, для каждой из которых выполняются условия (3Kf • <?= 0 и
OU • Zf= 0, где О — начало координат.
549
Вариант 3
1.	Даны векторы а и 2? I а | = 1, | 2Г| = у/1. а&= 135°. Найдите
| а — 2й |.
2.	В кубе ABCDA\B\C\D\ длина ребра равна 1. М — середина ребра
AXDX. Используя метод координат, найдите:
1)	Угол между прямыми АХС и СХМ.
2)	Расстояние между серединами отрезков АХС и СХМ.
3.	Даны две точки: А, лежащая на оси аппликат, и В (2; 2; 0).
Прямая АВ составляет с плоскостью ОХУ угол 60°. Найдите
координаты точки А.
4*. Вектор коллинеарный вектору ZT {8; - 10; 13} составляет с по-
ложительным направлением оси OZ острый угол. | Zf| = V37.
Найдите координаты вектора Zt
Вариант 4
1.	Даны точки Е <1; - 2; 2>; F (3; 0; 2); К (0; - 2; 3); Т (2; 4; 1).
Найдите:
1)	Угол между векторами ЁЕ и ЁТ.
2)	Расстояние между серединами отрезков EF и КТ.
2.	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра равны
между собой. Используя векторы, найдите угол между прямыми
АХС и АВ.
3.	Даны две точки: М, лежащая в плоскости OXZ, и Р (1; 2; 1),
причем абсцисса точки М равна ее аппликате. Прямая РМ со-
ставляет с плоскостью XOY угол 30°. Найдите координаты точки
М.
4*. Даны векторы "с {0; - 2; 0} и {0; 0; 5}. Найдите множество точек
Е* для каждой из которых выполнимо условие (ЗЕ • Zf= 0 и
ОЕ • "с- 0, где О — начало координат.
550
№ 2. Цилиндр, конус, шар
Вариант 1
1. Прямоугольная трапеция с углом 45° вращается вокруг прямой,
содержащей большее основание. Найдите площадь поверхности
тела вращения, если основания трапеции равны 3 и 5.
2. В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая составляет
с плоскостью основания угол <р.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Если <р = 30°, то найдите наибольшую возможную площадь
сечения, проходящего через вершину конуса.
3*. Сфера х* 1 2 + у2 + (z — I)2 = 4 пересекает оси координат в точках
А, В и С. А — точка пересечения с осью ОХ, В — с осью OY,
а С — с осью OZ (координаты этих точек положительны). Найдите
угол между плоскостями АВС и плоскостью z = 0.
Вариант 2
1. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая
от окружности основания дугу 90°. Диагональ сечения равна 10
и удалена от оси на расстояние, равное 4. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра.
2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. В эту пирамиду вписан шар радиуса
R.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите длину окружности, по которой поверхность шара
касается боковых граней пирамиды.
3*. Из точки М (- 7; 3; - 4) проведена касательная к сфере
х2 + у2 + z2 — 2х — 4у — 27 = 0. Найдите длину касательной от
точки М до точки касания.
551
Вариант 3
1. Ромб ABCD со стороной а и углом А, равным 60°, вращается
вокруг прямой, проходящей через вершину С и перпендикулярной
диагонали АС. Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а,
а боковые ребра наклонены к основанию под углом а.
1) Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
2) Если а = 30°, то найдите угол между радиусом сферы, прове-
денным в одну из вершин основания, и плоскостью основания.
3*. Сфера (х — I)* 1 2 + у2 + z2 = 5 пересекает ось ординат в точке А
(у<0). Через точку М (1; 1; 0) проведена прямая, параллельная
оси OZ и пересекающая сферу в точке В (z > 0). Найдите угол
между прямой АВ и плоскостью XOY.
Вариант 4
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая осно-
вание по хорде, длина которой равна 3, и стягивающей дугу 120°.
Плоскость сечения составляет с плоскостью основания угол 45°.
Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние
от центра шара до вершины пирамиды равно а. Боковые грани
наклонены к основанию под углом 60°.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, по ко-
торой сфера касается боковой поверхности пирамиды.
3*. Через точку М (4; 2; 8) проведена плоскость, которая парал-
лельна оси OZ и составляет с плоскостями OXZ и OXY угол 45°.
Найдите длину окружности, по которой сфера х2 + у2 + z2 = 25
пересекает эту плоскость.
552
№ 3. Объем тел
Вариант 1
1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Расстояние от центра основания до
боковой грани равно 2 \Аз. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая
отсекает от окружности основания дугу 2 а. Диагональ получен-
ного сечения составляет с осью цилиндра угол <р и удалена от
нее на расстояние, равное d. Найдите объем цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, касающийся боковой
поверхности пирамиды по некоторой окружности. Плоскость, ко-
торой принадлежит эта окружность, делит шар на две части.
Найдите объем меньшей из этих частей.
Вариант 2
1. В правильной четырехугольной призме ABCDAiBxC\Di через кон-
цы трех ребер, исходящих из вершины С, проведена плоскость на
расстоянии 4 VT от этой вершины и составляющая с плоскостью
основания угол 45°. Найдите объем призмы.
2. В конусе через его вершину под углом <р к плоскости основания
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу
2а. Радиус основания конуса равен R. Найдите объем конуса.
3*. В призме, данной в задаче 1, проведена плоскость, перпенди-
кулярная диагонали призмы и делящая ее в отношении 1 : 3.
Указанная плоскость делит описанный около призмы шар на две
части. Найдите объем меньшей из этих частей.
Вариант 3
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклоне-
ны к основанию под углом 60°. Расстояние от середины высоты
пирамиды до боковой грани равно 2. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая
отсекает от окружности основания дугу <р. Диагональ полученного
сечения равна 2т и удалена от оси цилиндра на расстояние,
равное т. Найдите объем цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, касающийся бо-
ковой поверхности пирамиды по некоторой окружности. Плоско-
сть, которой принадлежит эта окружность, делит шар на две
части. Найдите объем меньшей из этих частей.
553
Вариант 4
1. В правильной треугольной призме АВС А [ Вх Ci через сторону ниж-
него основания ВС и противолежащую вершину At проведена
плоскость под углом 45° к плоскости основания. Расстояние от
этой плоскости до вершины А равно 2. Найдите объем призмы.
2. В конусе через его вершину под углом к плоскости основания
проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу
а. Высота конуса равна Л. Найдите объем конуса.
3*. Вокруг призмы, данной в задаче 1, описан шар. Найдите объем
меньшей части шара, которая отсекается от него плоскостью
боковой грани.
554
№ 4. Итоговое повторение
Вариант 1
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторона осно-
вания равна 6, а боковое ребро — 5. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды,
2)	объем пирамиды,
3)	угол наклона боковой грани к плоскости основания,
4)	скалярное произведение векторов (AD + АВ) • AKf,
5)	площадь описанной около пирамиды сферы,
6)* угол между BD и плоскостью DMC.
Вариант 2
1.	В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания
равна 4 VT, а боковое ребро — 5. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды,
2)	объем пирамиды,
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания,
4)	скалярное произведение векторов (J&B + ЛТС) • бА, где Е —
середина ВС,
5)	объем вписанного в пирамиду шара.
6)* угол между стороной основания и плоскостью боковой грани.
Вариант 3
1.	В правильной четырехугольной пирамиде MABCD боковое ребро
равно 8 и наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды,
2)	объем пирамиды,
3)	угол между противоположными боковыми гранями,
4)	скалярное произведение векторов (Л/Л + АТС) • ME, где
Е — середина DC,
5)	объем описанного около пирамиды шара,
6)* угол между боковым ребром AM и плоскостью DMC.
555
Вариант 4
В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона основания равна
2 V3, а боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды,
2)	объем пирамиды,
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основания,
4)	скалярное произведение векторов + КТВ) • где О —
основание высоты пирамиды,
5)	площадь вписанной в пирамиду сферы,
6)* угол между ME, где Е — середина ВС, и плоскостью АМС.
556
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ
№ 1. Координаты и векторы
ВАРИАНТ 1
1.	Дана точка М (1; 3; 2). Найдите координаты точки Мх — проек-
ции точки М на плоскость OXZ и координаты точки М2 — про-
екции точки М на ось OZ.
2.	Даны точки Е (— 1; 2; 3) и F (1; — 1; 4). Разложите вектор ЁЕ по
векторам ц /*и 7с.
3.	Найдите угол между векторами 7*и т — 2 z*— 3 £
4.	В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Ах (1; 2; — 4) и Ci (3; 0; 2).
Найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
5.	Даны точки А, В и С, причем Л^? {— 2; 4; 3} и ЛЬ {4; — 8; — 6}.
Лежат ли эти точки на одной прямой?
6.	Дан вектор т {1; 2; 2}. Найдите координаты единичного вектора
сонагцэавленного с вектором т.
7.	Вектор а составляет с положительным направлением оси ОХ угол
135°. Найдите абсциссу вектора а, если | 2Г| =2.
8.	DABC — правильный тетраэдр. Упростите выражение
(Л& +• (Л& —+ЛЪ • (Л£ — Л&).
9. Даны векторы "а и Й; | 2Г| - 1; | Zf| = 2;	120°. Найдите
(а + Й • "а.
10. В треугольнике АВС А (0; 0; 0); В (1; 2; 1); С (1; — 1; 1). Найди-
те координаты центра описанной около треугольника окружности.
ВАРИАНТ 2
1.	Дана точка Е (2; — 1; 3). Найдите координаты точки Ех — про-
екции точки Е на плоскости OYZ и координаты точки Е2 —
проекции точки Е на ось OY.
2.	Д^ны точки К (2; — 1; 3) и М (1; — 2; 1). Разложите вектор
КМ по векторам ц у*и 7с.
3.	Найдите угол между векторами Ги дГ= — 2 J*+ £
4.	В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Вх (— 1; 3; 2), а точка пере-
сечения диагоналей параллелепипеда М (2; — 1; 1). Найдите ко-
ординаты вершины D.
5.	Даны точки Е, F и К, причем ЁЕ {1; — 2; 3} и Ёк {— 2; 4; 6}.
Лежат ли эти точки на одной прямой?
6.	Дан вектор Jp {— 2; — 2; 1}. Найдите координаты единичного век-
тора е, противоположно направленного вектору /Г
557
7.	Вектор а составляет с положительным направлением оси ОУ угол
135°. Найдите ординату вектора "а, если | ZT | = 2 V3.
8.	В пирамиде НРМКЕ все ребра равны. Упростите выражение
(Л — ЙК) • (Pfr + НТК) + ffK (KfK + ^).
9.	Даны векторы т и п. | in | = 2, | ill = V2. тп= 135°. Найдите
(in — п) • п.
10.	В треугольнике MFP М (0; 0; 0); F (2; — 1; 3); Р (— 1; 1; 1).
Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольни-
ка.
№ 2. Цилиндр, конус, шар
ВАРИАНТ 1
1.	Сечение, параллельное оси цилиндра, отстает от его оси на рас-
стояние, равное 3. Найдите площадь сечения, если радиус осно-
вания цилиндра равен 5, а его высота — 10.
2.	Основанием прямой призмы служит треугольник со сторона-
ми 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Площадь боковой поверх-
ности описанного около призмы цилиндра равна...
3.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая осно-
вание по хорде, длина которой равна а. Эта хорда стягивает дугу
90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Площадь бо-
ковой поверхности конуса равна...
4.	Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
10 и противолежащим ей углом 30°. Боковые ребра пирамиды на-
клонены к основанию под углом 60°. Площадь боковой поверхно-
сти описанного около пирамиды конуса равна...
5.	Найдите множество точек, удаленных на а от точки М и на b от
точки Р.
6.	Укажите множество центров всех сфер, которые касаются плоско-
сти в заданной точке.
7.	Через точку А (3; 4; 12), принадлежащую сфере х2 + у2 + z2 =
= 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси OZ. Найдите
радиус сечения.
8.	Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 4. В этот конус
вписан шар. Площадь боковой поверхности конуса равна...
9.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3.
Боковые ребра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь
описанной около пирамиды сферы равна...
10.	В пирамиду с равно наклоненными к основанию гранями вписан
шар. Центр шара делит высоту в отношении 2:1, считая от вер-
шины. Угол наклона боковых граней к основанию равен...
558
ВАРИАНТ 2
1.	В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси. Диагональ
сечения равна 16 и составляет угол 60° с плоскостью основания.
Радиус основания цилиндра равен 5. Найдите расстояние от оси
цилиндра до плоскости сечения.
2.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной,
равной 4 и углом в 60°. Высота параллелепипеда равна 5. Пло-
щадь боковой поверхности вписанного в параллелепипед цилинд-
ра равна...
3.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая осно-
вание по хорде, длина которой равна т. Эта хорда стягивает дугу
60°. Угол между образующими в сечении прямой. Площадь боко-
вой поверхности конуса равна...
4.	В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона ос-
нования пирамиды равна 6, а ее высота — 1. Площадь боковой
поверхности конуса равна...
5.	Найдите множество точек, из которых данный отрезок виден под
прямым углом.
6.	Укажите множество центров всех шаров данного радиуса, кото-
рые касаются данной плоскости.
7.	Через точку В (3; 4; 12) принадлежащей сфере х2 + у2 +
+ z2 = 169 проведена плоскость, перпендикулярная оси ОХ. Най-
дите радиус сечения.
8.	Образующая усеченного конуса равна 6. В этот конус вписан шар.
Площадь боковой поверхности конуса равна...
9.	В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра наклоне-
ны к основанию под углом 45°. Площадь описанной около пира-
миды сферы равна 64 л. Сторона основания пирамиды равна...
10.	Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
В эту пирамиду вписан шар. В каком отношении, считая от вер-
шины, центр этого шара делит высоту пирамиды?
№ 3. Объем тел
ВАРИАНТ 1
1.	Основанием правильной четырехугольной призмы служит квад-
рат, диагональ которого равна d. Через диагональ основания и
противолежащую вершину верхнего основания проведена плоско-
сть под углом 45° к нему. Объем призмы равен...
559
2.	В наклонной треугольной призме площади двух граней равны 30
и 40. Угол между ними прямой. Боковое ребро равно 10. Найдите
объем призмы.
3.	Объем наклонной треугольной призмы равен V. Через среднюю
линию основания и середину бокового ребра, проходящего через
вершину основания, противолежащую средней линии, проведена
плоскость. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
4.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, кате-
ты которого равны 3 и 4. Боковые грани наклонены к основанию
под углом 45°. Объем пирамиды равен...
5.	Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пи-
рамиды равна S, а расстояние от центра основания до боковых
граней — d. Найдите объем пирамиды.
6.	Объем пирамиды равен V. Боковое ребро пирамиды разделено на
три равные части и через точки деления проведены плоскости, па-
раллельные основанию. Объем усеченной пирамиды, заключен-
ной между параллельными плоскостями, равен....
7.	Через середину образующей конуса проведена плоскость парал-
лельно плоскости основания. Полученное сечение служит верх-
ним основанием цилиндра, нижнее основание которого лежит на
основании конуса. Объем конуса равен 40. Чему равен объем ци-
линдра?
8.	Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 45°.
Основанием пирамиды служит треугольник со стороной, равной
10 и противолежащим углом 30°. Чему равен объем описанного
около пирамиды конуса?
9.	В правильную треугольную призму, сторона основания которой
равна 2 \Аз, вписан шар. Найдите объем этого шара.
10.	Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит этот диаметр
на две части, равные 3 и 9. Найдите объем меньшей из этих час-
тей.
ВАРИАНТ 2
1.	В правильной треугольной призме сторона основания равна а. Че-
рез сторону основания и противолежащую вершину верхнего ос-
нования проведена плоскость под углом 45° к основанию. Чему
равен объем призмы?
2.	В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно пер-
пендикулярны, их площади равны 20 и 30. Боковые ребра равны
5. Найдите объем призмы.
3.	В наклонном параллелепипеде через диагональ основания и сере-
дину противолежащего бокового ребра проведена плоскость. Объ-
560
ем параллелепипеда равен V. Чему равен объем отсеченной тре-
угольной пирамиды?
4.	Основанием пирамиды служит ромб с углом 30° и стороной, рав-
ной а. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под уг-
лом 60°. Найдите объем пирамиды.
5.	Объем правильной треугольной пирамиды равен V, а площадь ее
боковой поверхности — S. Найдите расстояние от центра основа-
ния до боковых граней.
6.	Боковые ребра пирамиды разделены на три части в отношении
1:2:1. Через точки деления проведены плоскости, параллельные
основанию. Найдите отношение объема усеченной пирамиды, за-
ключенной между параллельными плоскостями, к объему отсе-
ченной пирамиды.
7.	Через середину образующей конуса проведена плоскость парал-
лельно плоскости основания. Полученное сечение служит верх-
ним основанием цилиндра, нижнее основание которого лежит на
основании конуса. Объем цилиндра равен 9. Найдите объем кону-
са.
8.	Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6, 8 и
10. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом
60°. Объем описанного около пирамиды конуса равен...
9.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной,
равной 4	, и угломв 60°. В этот параллелепипед вписан шар.
Чему равен его объем?
10.	В круговом секторе радиус равен 6, а угол — 60°. Этот сектор вра-
щается вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих его
радиусов. Найдите объем тела вращения.
193ивБ.Г.
561
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ЗАДАЧАМ ДЛЯ УРОКА
S1
1. 1. 1) В (— 2; — 2; 0); D (2; 2; 0); С (— 2; 2; 0); At (2; — 2; 4);
Bi (— 2; — 2; 4); D{ (2; 2; 4); Ci (—2; 2; 4).
2) OD{2; 2; 0}; ОС{ {— 2; 2; 4}; ОМ {0; 2; 2}. OD = 2?*+ 2J*+ 01c,
ОСi = — 2i*+ 2/*+ 4^ OM = 0 • Г+ 2j*+ 2Jc.
2. J\a, будут.
2. 1. 1) A (2; 0; 0) ; В {— 2;0;0); D (2;4;0); Ai (2;0;4); B{ (— 2; 0; 4);
Ci (—2; 4; 4); A (2; 4; 4).
2) ОС {— 2; 4; 0}; OBt {— 2; 0; 4}; OK {— 2; 2; 2}. ОС---------2i*+ 4/*+ 01c,
OBt = — 2i*+ 0 • J*+ 41c, OK= — 2i*+ 2/*+ 2t
2. Да, будут.
3.
1. 1) С (0;0;0); В <— 5;0; 0); A (0; — 5VJ;0); D (—5;0;5VJ);
ъЛ/! 10	ЛЬ- 10*
2>	-j-pW—ji------Г' + -Г*-
2. Да, лежат.
4. 1. 1) A (0;0;0); C (0; 4; 0); В (— 4VJ;4;0); D (—4V5;4;12).
2) AK {— ^y; 4; 4}; АК- — ^yf+ 4/*+ 4t
2. tn- — 6; n- 2.
5. 1. Из точки О опускаем перпендикуляр ОЕ на АС и точку Е соединяем с
точкой D. Тогда LDEO — 45°; ОЕ — OD—V2. D(0;0; 12). В треугольнике DOE опу-
скаем перпендикуляр ОК на DE. Легко доказать, что OK1.ADC. ОК =
= ^ОЕ + OD}, где К — середина ED {ОЕ — OD). Для решения задачи необходимо
найти координаты точки Е. Строим EFA.OC и из подобия треугольников OFE и
36	48	48	36
АОС находим EF--$- и OF “у. Тогда Е (у; — у; 0). Дальнейшее решение
очевидно.
Ответ: 1) А (0; — 20; 0); В (— 15; 0; 0); С (15; 0; 0); D (0; 0; 12).
2) ОК {4,8; — 3,6; 6}; ОК = 4,8?*— 3,6/*+ 61с.
2. При т — 3. В этом случае ?= сГ+ ZT и векторы компланарны.
562
1	1	2
6. 1. 1) A (^j; — 1; 0); C (^y; 1; 0); В (—	0; 0); D (0; 0; 1).
2
2) Так как О A - ^y, a OD = 1, to
АК _ AO2 _ 4 ,,,	/» _ 4 ,»	3
KD Do2 3' Т°ГДа °K lOD+ 7 °A'
Дальнейшее решение очевидно.
г»	/iV Г 3	3 41 л* _ 3 :» 3 т» 4 7>
OtBet: ок р?3; - г 1f ок т?3  - 7 ‘ + 7 Г
2. При у =6. В этом случае jT= 2т + 2п и векторы компланарны.
7. 1. Поместим призму в прямоугольную систему координат так, чтобы В было
бы началом координат, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с лучами В А,
ВС и ВВ\ соответственно. Пусть боковые ребра призмы и катеты основания равны
1. Тогда F (1; 0; ^); М (^; 0; 1); Е (0;	1) и К (0;	0). Необходимо установить,
компланарны ли векторы ЕК, ЕМ и EF. ЕМ — ВМ— ВЕ\ ЯМ{^;0; 1};
-» I	-*•	1	1	-»	1 1
BE {0; —;	1}. Тогда	ЕМ	{—; — —; 0}.	Аналогично получим, что	EF	{1;— — ; — —}	и
О	X	О	О
** 1
ЕК {0; у; — 1}. Если указанные векторы компланарны, то должны существовать
такие х и у, что ЕК = х ЕМ + у EF. Тогда получим систему
|х+,=0
1 1 1
-6Л~6У=3
t Эта ^истема* имеет решение х - — 4 и у = 2. Следовательно,
ЕК = — 4ЕМ + 2EF. Тем самым доказывается, что указанные точки лежат в одной
плоскости.
2. а = хр + yq'+ zm.
хр{х', — 2х;х}', у^{2у; 0; — у}; zm {— z; z; 2z}.
a{x + 2y — z\ — 2x + z; x — у + 2z}, так как разложение по базису единственное,
то
х + 2у — z = 1
— 2х + z — 2
х — у + 2z = — 2z = — 2
Отсюда: х“—1, у= 1 и z-О. Ответ: а = —+ $Г+ От.
8. 1. Задача решается аналогично задаче 7 (1). Если куб с ребром, равным 1,
поместить в прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат было
в точке В, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с лучами ВА, ВС и ВВ\
соответственно, то можно получить, что РК = 2PF + 2РМ. Этим доказываем, что
указанные точки лежат в одной плоскости.
563
2. т
2	3 >
= ja +	Задача решается аналогично задаче 7 (2).
«2
1. 1.	/& + 2/Г?.
2. 1) С (3; 0; —4); 2) ВС - 3; 3) ВС = Г+ 2*+ 2&
2.	1. v<41; 2VK — VTJ.
2. 1) С (—1; 0; 1); D (2;2;0). 2) BC-J3; AD-T—T+t.
3.	1. 9.
2. а {— 8; 8; 4}.
4.	1. /ГО.
2. т {3; — 6; — 3}.
5.	1. Поместим призму в прямоугольную систему координат так, чтобы начало
координат совпадало с точкой В, а оси OX, OY и OZ были бы сонаправлены с
лучами ВА, ВС и ВВ\ соответственно. При решении нужно учесть, что точка Р —
точка пересечения медиан треугольника DC\C и МР « (МС\ + МС + MD^. Ответ:
6 '
2. AM « к АВ, т. к. точка М лежит на прямой АВ. Пусть координаты точки
М (х; у; а). Тогда АЛ/ {х + 1; у — 2; z — 1}. С другой стороны AM {ЗЛ; — к', — 2к}.
| АЛ/ | = V9A2 + Л2 + 4Л2 = | к | VT?. По условию | AM | = 3 /Г?. Тогда к в ± 3.
	х + 1 = Зк	х» 8	х “ — 10
Так как	у — 2 е — к , то	у “ — 1	или	У = 5
	z— 1 » — 2к	z в — 5	z = 7
Ответ: М (8; — 1; — 5) или М (— 10; 5; 7).
2. Р (— 16; 7; — 3). Задача решается аналогично задаче 5 (2).
7. 1. Поместим тетраэдр в прямоугольную систему координат так, чтобы начало
координат совпадало с точкой Е. Пусть ось ОХ противоположно направлена лучу
ЕВ, ось OY сонаправлена с лучом ЕС, а ось OZ сонаправлена с лучом BD. Пусть
Р (х; у; z). В выбранной системе координат А (0; — 2; 0); В (— 4; 0; 0);
С (0; 2; 0); D (— 4; 0; 4). Так как точка Р равноудалена от всех вершин тетраэдра,
564
то
Vx2+(y + 2)2+ z2 = Vx2 + (у — 2)2 + z2 - V(x + 4)2 + y2 + z2 -
" V(x + 4)2 + y2 + (z —4)2. Решая эту систему, получим: х- — у у - О и z - 2.
а	г—------2--------уГ£\	л/ЗТ
Р (—	0; 2); АР - V ( 3) + 4 + 4 - Ответ:
Z	2]	2	2
2. V(x — I)2 + у2 + z2 есть расстояние между точками М (х; у; z) и
А (х; у; z), a Vx2 + (у — I)2 + z2 — между точками М (х; у; z) и В (0; 1; 0).
Так как АВ - V2, то МА + МВ > V2, а по условию МА + МВ “ 1 • Следовательно,
уравнение не имеет решения.
8. 1. 3.
2. Решением уравнения служат координаты всех точек отрезка АВ, где
А (0; 0; 1) и В (1; 0; 0). Задача решается аналогично задаче 7.
1. 1. 1) -у; 2) 0.
2. Острый.
2. 1. 1) — о2; 2) 0.
2.	Тупой.
2
3.	1. 1) —	2) 0; 2) 180° — arccos-Д-.
Id
4.	1. 1)	2) 0.
4
, з
2. arccos—.
5.	1. Пусть вектор а {х; у; z} составляет с вектором Тугол а, с вектором j —
угол р, а с вектором it — угол у. cosa-j-ij; cos/? --j-Лгр cosy" |'7|‘ ^огда
cos2a + cos2/? + cos2y » Х +	+ Х - 1. По условию а - 120°; у “ 135*. Тогда
аг
2	1
-1. Отсюда cos/?-±—. Ответ: 60° или 120*.
(-I)2 +
2^/2
2. —г—. Необходимо куб поместить в прямоугольную систему координат и
О
найти синус одного из углов треугольника.
6.	1. 45° или 135°.
565
2. ——. Смотрите указания к задачам 5 (1), 5 (2).
О
7.	1. 27?. Необходимо учесть, что вершина М пирамиды проектируется на
биссектрису угла BAD, т.е. на АС. Для решения задачи необходимо найти синус
угла между векторами AM и АС.
2, Рассмотрим векторы гГ { Vsin2 х + 0,5; V cos2x—0,5; 75} и ZT{1; 1; 1}.
Их скалярное произведение: а • sin2x + 0,5 + V cos2x — 0,5 + 70,5. С другой
стороны,
а -	| ?| • | ZT| cos tp, где | ?| = V sin2x + 0,5 + cos2x — 0,5 + 0,5 -
| Zf | = 75 • а • ZT= • 75 • cos <р = cos $р. Наибольшее значение скалярного про-
3
изведения равно	Таким образом, наибольшее значение выраже-
ния V sin2x + 0,5 + V cos2 х + 70^5 равно 3 70,5. Оно достигается при х = лк, где
Лег.
8.	1. 2 72. Необходимо учесть, что вершина D проектируется на биссектрису
угла ВАС, т.е. на АК. Для решения задачи необходимо найти синус угла между
векторами AD и АК.
2. Рассмотрим векторы а {71 + х; 71 — х} и ZT{1; 1}. Их скалярное произ-
ведение а •	| ?| • | Zf| • cos $₽,. где <р ~ сиг, | гГ| = 71 + х+ 1 — х = 72; | Zf| -
= 72, сГ- Zf = 72 - 72 cos 9? = 2 cos p.. Наибольшее значение скалярного произведе-
ния равно 2. Таким образом, наибольшее значение выражения
71+х + 71 — х + 1 равно 3. Оно достигается при х = 0.
S4
1.	1. arccos	« 71’34' .
2.	1. arccos	» .79’6'.
3.	1. Необходимо доказать, что LACB ° 90° и тогда АВ~5.
АВ • АС + ВС • ВА + СА • СВ = ЛЯ • АС + АВ • СВ + СА • СВ =
= АВ  (АС + СВ} + СА • СВ = АВ2 + СА- СВ -25 + 0 = 25. Ответ: 25.
2.	Пусть СА, СВ и CCi — базисные векторы.
Тогда EF = ЕС + СВ + BF = — | СА + СВ +~ CCi.
EF2 = ~СА2 + СВ2 + ±CCi2 — CACB — ±CACCi+CBCCi=±a2 + a2 +
4	4	2	4
566
+ -U2 * — a2 I— I) — 0 + 0 = 2a2. EF-afL EF • CCi = |cc? = |a2.
4	\	2/	2	2
I EF  CCi I a2 1	1
cos«,~|/f|  |cc,| "zJ-^TT- 2Л *’-агсс“г7Т"=6’°18 
Ответ: 1) a 72; 2) ~ 69°18'.
4.	1. 100.
2.	1)	2) arccos «» 65°54' . Задача решается аналогично задаче 3 (1, 2).
5.	1. Поместим призму в прямоугольную систему координат. Пусть D будет
началом координат. Положительное направление оси ОХ противоположно лучу DB,
положительное направление оси OY сонаправлено с лучом DC, а положительное
направление оси OZ совпадает с лучом СС\. Обозначим искомый угол за <р'.
-»	->	| СВ\  ABi |
СВ} {— 4; — 2; 2}; АВ, {— 4; 2; 2}. sin <р = —--ДД- =
I СВ, |  | АВ, I
16—4+4	2	2
“ 716+^+4^~716+4+3 “ з " arcsin з ~ 41 49 ’
2. Пусть BD- ВС = ВА “ 1 и пусть Е —	середина	DC.
АЕ = BE — ВА = ^BD + ~ВС — ВА. ЛЕ  BD = ( ^ BD + ВС	- В А)  BD	=
= | BD2 + | ВС BD- В А • BD = | + 0 — | =	0.
Отсюда следует, что АЕ1. BD. Аналогично можно доказать, что АЕА.	ВС.	В
таком случае АЕ ± DBC и плоскости DAC и DBC перпендикулярны.
6.	1. arcsin ~ 43°59'. Задача решается аналогично задаче 5 (1).
6
2.	Пусть ВА, ВС и ВВ, — базисные векторы. В£>, = ВА + ВС + ВВ,;
А,~С, = АС = ВС — ВА.
BD} • А,"С, = (ВА + ВС + ВС,) • (ВС — ВА\ = ВС2 — ВА2 = 1 — 4 = —3 * 0.
Следовательно, BD, не перпендикулярен к А, С, и BD, не перпендикулярен плоскости
A,C,D.
7.	1. Опустим из вершины М перпендикуляр МО на плоскость АВС. По теореме
о трех перпендикулярах OAJL АС. Очевидно, что точка О находится вне треугольника
АВС. Пусть AM АО = <р. AM АО = 180° — &М?А. МВ = МА + АС + СВ;
МВ2 = МА2 + АС2 + СВ2 + 2МА  АС + 2МА • СВ + 2АС  СВ =
= 16+9 + 25 + 0 +2-4- cos (180° —	+ 0 =50 + 40 cos (180° — <р). По условию
МВ = 730. Тогда 50 — 40 cos <р = 30; cos <р = и <р = 60°. Высота пирамиды МО =
73
= МА • sin 60° - 4 • -у = 273.
2. Пусть DA - DB - DC - 1 и пусть L ADC ° a; AADB = fl; ACDB = у.
АС • АВ = (DC — DA) (DB — DA) = DC  DB — DA • DB — DC DA + DA2 =
567
= cosy — cos fl — cos a + 1. cos fl < 0; cos a < 0. Значит, — cos fl > 0 и —cos a > 0;
| cosy | < 1, а потому 1 + cosy > 0. В таком случае AC  AB>0 и Z.ACB — острый.
Аналогично доказываем, что и все остальные углы острые.
8.	1. -г-. Задача решается аналогично задаче 7 (1).
4
2. От вершины М отложим единичные векторы МА, МВ, МС и MD, сона-
пдшвленные с ^ектора^и MjE, MF,* МК и МР. Тогда ABCD — квадрат и
АВ • ВС - 0. {МВ — МА) • {МС — МВ) -0.
МВ • МС — МА • МС — МВ2 + МА • МВ - 0 .
cos а — cos fl — 1 + cos а = 0; cos fl “ 2 cos a — 1 и fl = arccos (2 cos a — 1).
85
1.	1. a) (— 100; — 200; — 1). 6) (100; 200; — 1).
2.	Так как при движении отрезок отображается на равный отрезок, то каждая
сторона треугольника отображается на равный ей отрезок, и, следовательно, тре-
угольник отображается на треугольник с соответственно равными сторонами, т. е.
на равный треугольник.
2.	1. а) (—0,01;—0,02; — 1); б) (0,1; 0,1; 0).
2.	Задача решается аналогично задаче 1 (2).
3.	1. Указание: а) вычислите координаты середины отрезка АВ. 6) Вычислите
координаты середины отрезка ВС.
2,	Рассмотрим двугранный угол, образованный полуплоскостями а и fl с
границей а и линейным углом 1к, где I и к — лучи, принадлежащие полуплоскостям
а и fl соответственно. Пусть при движении а -» flj; а -♦ а।; fl -* fl^k -* kf, I -♦ /j .
Очевидно, что прямая ai будет общей границей полуплоскостей at и fl\, в которых
будут соответственно лежать лучи /t и к\. Так как при движении углы сохраняются,
то углы 1к и 1\к{ равны между собой. Следовательно, при движении двугранный
угол отображается на равный ему двугранный угол.
4.	1. а) {3; 3; 3}; б) указание: найдите середину отрезка АВ.
2.	Пусть прямая АВ пересекает плоскость а в точке А и образует с ней угол
<р. Пусть С — проекция точки В на плоскость а. Проведем в плоскости а через
точку С прямую Ь. Очевидно, что ВС1. Ь. Пусть при движении а -♦ or j; А -* At;
ВBi‘, С -» Ci и Очевидно, что прямая AiBt будет пересекать плоскость
О], а прямые А\С[ и Ь\ будут лежать в плоскости at. Так как при движении углы
сохраняются, то будет выполняться Z?tCi± b, fijCjX AjCj, т.е. BjCiXa, и
Z.A]A]Ci —угол между АХВ\ и плоскостью at. Так как при движении углы
сохраняются, то LB\ Ai Cj = LBAC-tp. Следовательно, при движении прямая и
плоскость, составляющие угол отображаются на прямую и плоскость, составляющие
угол <р-
568
5.	1. Заметим прежде всего, что точка А (10; 20; 0) лежит в плоскости OXY.
Пусть при осевой симметрии относительно прямой а точка А отображается на точку
В (х; у, z). Тогда середина отрезка АВ — точка М имеет координаты (Л; к', 0), где
к * 0, так как принадлежит прямой а и не совпадает с началом координат — О.
Значит, МА X МО и (10 — к) к + (20 — к) к “ 0. Откуда к = 15. Используя формулы
10 + х 20 + у _ 0+z
координат середины отрезка, получаем 15-—-—» 15 = —— и 0 = Откуда
Ai (20; 10; 0).
2. При данном отображении пространства на себя произвольные точки
A (xi; yi; zj) и В (хг; уг', *г) переходят в точки Ai (2xj; 2у\; 2zj) и
В\ (2x2; 2у; 2z). Пользуясь координатной формулой для нахождения расстояния
между точками, находим, что АВ # Aj В\. Это значит, что данное отображение
движением нс является.
6.	Задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
Ответ: 1. (0; 10; 20). 2. да, является.
7.	1. Введем прямоугольную систему координат, будем рассматривать прямые
mi и m2 в качестве осей ОХ и OY. При симметрии относительно оси ОХ
А (х; у; z) -* В (х;—у; — z), а при симметрии относительно оси OY
В (х; — у; — z) -* С (— х; — у; z). В таком случае точки Л и С симметричны
относительно оси OZ, которая перпендикулярна к ОХ и ОУ.
2.	Да, будет. Такая точка может быть получена композицией центральной
симметрии относительно начала координат и параллельного переноса на вектор
Р {2; - 3; 1}.
8.	1. При симметрии относительно Л: М -» М\, при симметрии относительно В:
Mi -* Л/г, а при симметрии относительно С : Мг -* Мз. Образовался пространственный
четырехугольник ММ1М2М3. Точки М и Мз будут симметричны относительно точки
D — середины ММз. Точки А, В, С и D — последовательно середины сторон
указанного четырехугольника. Тогда легко доказать, что ABCD — параллелограмм.
2. Да, будет. Такая точка может быть получена композицией зеркальной
симметрии относительно плоскости OXZ и параллельного переноса на вектор
Р {- 1; —2; 1}.
S6
1. 1) Рассмотрим прямую а, перпендикулярную некоторой плоскости а, и две
пересекающиеся прямые b и с, лежащие в плоскости а. Очевидно, что а X b и
ale. Пусть при движении а -» Ci, b -* bi, с -* cj, а ~*а\. Легко доказать, что
прямые Ci и bi лежат в плоскости aj, а прямая ai пересекает плоскость ai . Так
как при движении углы сохраняются, то ai X bi и щ X а. Значит, ai-L а\, т. е. при
движении прямая, перпендикулярная плоскости, отображается на прямую, перпен-
дикулярную к плоскости.
569
2)	Очевидно, что если одна из двух параллельных прямых пересекает
плоскость а, то и другая пересекает ее. Пусть данные прямые а и Ь пересекают
данную плоскость а в точках А и В соответственно. Значит, при параллельном
переносе на вектор АВ а -* Ь, а -» а\ . Тогда по доказанному в пункте а) прямая
b будет перпендикулярна плоскости а.
2.	Указание: задача решается аналогично задаче 1 (1).
3.	1) Пусть дана правильная четырехугольная пирамида EABCD с высотой ЕО.
При симметрии относительно прямой ЕО Е -» Е, Л -» С, С -» А, В -» D, D -» В.
Значит квадрат ABCD отображается на себя. Следовательно, ЕО — ось симметрии
пирамиды.
2)	Пусть Н — произвольная точка пирамиды. Рассмотрим сечение пирамиды
плоскостью ЕОН. Очевидно, оно является треугольником. По указанному в пункте
1) при симметрии относительно прямой ЕО точка Н отображается на точку Н\,
принадлежащую пирамиде. Но очевидно также, что точка Н\ принадлежит плоскости
ЕОН, т. е. принадлежит сечению. Это означает, что треугольник, полученный в
сечении, отображается на себя при симметрии относительно прямой ЕО, проходящей
через одну из его вершин. Значит, этот треугольник равнобедреннй.
4.	Указание. Задача решается аналогично задачам 3 (1, 2).
5.	1) Указание. Задача решается аналогично задаче 3 (1).
2)	Проведем плоскость а через прямую с, содержащую середины противопо-
ложных ребер правильного тетраэдра. Пусть точка М принадлежит сечению тетраэдра
плоскостью а. Тогда по доказанному в задаче 1 при симметрии относительно прямой
с точка М отображается на точку М\, принадлежащую одновременно плоскости а
и тетраэдру. Значит, сечение при симметрии относительно прямой отобразится на
себя. Возьмем теперь произвольную точку Н, принадлежащую одной из двух частей,
на которые плоскость а делит тетраэдр. По доказанному в пункте 1) при симметрии
относительно прямой с точка Н отображается на точку Н\, принадлежащую тетраэдру.
По определению симметричных точек отрезок НН\ пересекает прямую с, а значит,
и плоскость а. Следовательно, точки Н и Н\ принадлежат разным частям тетраэдра.
Значит, эти части отображаются друг на друга при симметрии относительно, прямой
с. Отсюда следует, что плоскость а делит тетраэдр на две равные части.
6.	Указание. Задача решается аналогично задачам 5 (1), 5 (2).
7.	1. Пусть р ||<7 (рис. 9 а). Композицией осевых симметрий последовательно
относительно осей р и q является параллельный перенос на вектор 2 АВ, который
отображает точку х на точку Х2- Композиция же симметрий последовательно отно-
сительно осей q и р есть параллельный перенос на вектор 2 В А, который отображает
точку Х2 на точку х. Исходя из условия 2 АВ « 2 ВА, т. е. АВ = 0, что противоречит
условию. Пусть теперь р и q — скрещивающиеся прямые (рис. 9 б). В таком случае
Sq * Sp отображает общий перпендикуляр прямых р и q на себя, причем это
отображение прямой т есть перенос с * 0, но тогда Sp -Sq # S4 • Sp, что снова
противоречит условию. Отсюда следует, что р и q — пересекающиеся прямые.
570
571
2. Через точку А и прямую / (рис. 10) проводим плоскость fl, которая
пересекает плоскость а, по прямой р. В плоскости fl строим прямую т, параллельную
/. Пусть эта прямая пересекает р в точке L. Через середину О, отрезок ML и точку
А проводим прямую до пересечения с / в точке Ai. Легко доказать, что Ai —
искомая точка.
8.	1. На рис. 11 угол POR — линейный угол двугранного угла aafl и / — его
биссектриса. Выберем в грани а произвольную точку А и докажем, что при осевой
симметрии относительно оси / она отображается на точку, принадлежащую грани
fl. Для этого через точку А проведем плоскость, параллельную ребру а и перпен-
дикулярную /. Эта плоскость пересекает грани а и fl по параллельным прямым т
и п, а плоскость линейного угла у по прямой СВ. СВ пересекает / в точке М. Через
точки А и М проводим прямую до пересечения с гранью fl в точке Ai. Тогда легко
доказать, что /± AAi и А1М — МА. Этим доказываем, что точки А и Ai симметричны
относительно оси /. Аналогично можно доказать, что каждая точка грани а имеет
себе симметричную точку в грани fl и наоборот. Значит при симметрии относительно
оси /двугранный уголaafl отображается на себя. Следовательно, / — ось симметрии
двугранного угла.
2. На рис. 12 DB + 0% + DCt - DA + DC + DA + £>£>!+ DC + DD\ =
= 2DA + 2DC + 2DDj«2 (DA + DC DD^ “ 2Z)Di. Это значит, что точка В\ есть
середина диагонали построенного на отрезках DB, DA\ и DC\ параллелепипеда,
т. е. центр его симметрии.
572
S7
SVJ
1.	1.	-у-.	2. 8л.
2.	1.	2Q.	2. 64л.
3.	1.	arctg (л	tg р).	2. 12л V5.
4.	1. arctg ). 2. 8 л.
5.	1.
2.	л а2. Указание: боковая поверхность состоит из трех частей, которые вместе
составляют половину площади боковой поверхности цилиндра с высотой, равной а
и радиусом оснований а (рис. 13).
573
в
Рис. 13
6.	1. 42.
яд2	,
2. Указание: боковая поверхность состоит из трех частей, которые вместе
составляют половину площади боковой поверхности цилиндра с высотой, равной а
и радиусом основании — — (рис. 14).
7.	1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему координат, как это указано
на рис. 15. Пусть R — радиус основания, а Л — высота цилиндра. А (Л;0;0);
С (— Л; 0; Л); М (Л; 0; |); L (0; Я; 0). АС {— 2Я; 0; Л}; ML {— Я; R,— ^}. Так как
АСА. ML, то AC-ML^O, т.е. 2 Л2---у = 0. Кроме того 2 Rh = 4 и А = —.
X	1ъ
•>	2
Тогда 2R1----z — 0 и Я - 1; Л “ 2. S = 4л + 2л -1 = 6л. Ответ: 6л.
Л2
2. На рис. 16 EFKL — осевое сечение цилиндра. По условию KL~ EL“2 R\
LP-^ — R. ^£ = tgp = 2. y^-“2. Отсюда Я-|. 5бок - 2л R2 R - 4лЯ2 =
l~R
. о2	яд2	яд2
= 4л-— = -г-. Ответ: —т~.
16	4	4
574
Рис. 15
8. 1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему координат, аналогично задаче
7 (1). Пусть R — радиус основания, а Л — высота цилиндра- N
R. h\	/ дИ
; —I. MN- у Л2 + — . Исходя из условия, имеем
Л о);
2’ 2 Г
,	Г .	8
Я2 + ^- = !7 .	R
2Rh = 16	r2 +	= 17'
ЛС
Л4 - 17 R2 + 16 - 0. Л1 - 1, /?2 “ 4. Отсюда hi =8, hi ~ 2.
Тогда Si = 16я + 2л-1 = 18тг; $2 " 16я + 2л• 16 = 48тг. Ответ: 18лг или 48тг.
2. Как указано на рис. 17 окружности оснований цилиндра, вписаны в
правильные треугольники EFK и Е\ F\ К\. Это вытекает из того, что плоскости
Рис. 17
Рис. 16
575
оснований цилиндра параллельны плоскости диагонального сечения BMD, а само
диагональное сечение, исходя из условия, правильный треугольник. АС-аЛ.\
АР - ~~2—РаДиУс основания цилиндра г -	“
а>П — h „	_ ,	_ а>П — Л ,яА . _.
2ТТ~- «6о«-2ягЛ-2я—
Ответ:	(aV2 — Л).
88
1. 1. яд2.	2. 64я.
лт2 УЗ 4	2. 2 и 14.
3. 1. 8 VI.	2. я/2 sin a tg а
4. 1. 150л.	2 nm2ctgy> sin (р ‘
5. 1. Если наибольший угол между образующими конуса тупой, то наибольшую
площадь имеет сечение с взаимно перпендикулярными образующими, а если острый
или прямой — то осевое сечение. Если а — центральный угол развертки, то
р з УЗ
sln 2 4 2 •
площадь имеет
R	R 3
а » — • 360’ и тогда — = —. Пусть $ .— наибольший угол между образующими и
Отсюда 45’< у <90’, т. е. 90’ <<р <180°. Следовательно, наибольшую
сечение с взаимно перпендикулярными образующими. Если fl —
н
то sin В » -г, где Н — высота конуса, а Л — высота сечения.
Л
~7	Л	. УТ?
L » -у-; Лш —. Тогда sipp “ —т~. Ответ: arcsin —т~.
4	i	4	4
искомый угол.
16
2. 60’.
6. 1. 90*. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (1), но в данном
случае наибольшую площадь имеет осевое сечение.
2. 60’.
7. 1. Основание конуса лежит в плоскости z = — 2. Пусть М (х; у; — 2) —
центр окружности основания. МА - МВ - МС. >/(х — 1) 2 + (у-2)2»
 У(х — 4) 2 + (у — 2) 2 » У(х—-3) 2 + (у — 4)7. Отсюда следует, что
— 2х — 4у + 5 - — 8х — 4у + 20
— 2х — 4у + 5 » — 6х —- 8у + 25
основания
у- — и z «— 2. Координаты вершины конуса М ; 1J. Радиус
/о 1 УТТТ	/ in
Я - у	« —2~. Образующая / = у + 9 » ——. Sgor “ nRL =
576
TIC) 745 л 7115
=я •	• —— s —j—•	Сечение делит высоту конуса в отношении 1 : 3.
с	5л	1	5л	5л
Оосн “ -у и 8сеч = - • S0CH « ув. Ответ: 5сеч -	; координаты вершины
„ (5.5 .X _ яТПЗ
м [г-2' J’ 5бок--------Т~’
2. Пусть ABCD — осевое сечение конуса и АС± BD. ВК — высота конуса.
Легко доказать, что ВК = KD, KD К + г, где R и г — радиусы основания. Пусть
/ — образующая конуса и р— угол между ней и плоскостью основания. Отсюда
ВК~ KD — Ismtp.B таком случае Я + r-Zsinp и 5бок.ус.конуса “я/2 ship. Площадь
боковой поверхности второго конуса равна л BK-BD~nl sin sin р -
в л/2 77 sin2p.. По условию —Отсюда sin р “ и р = 60°.
лгу! sinzp 3.	2
Ответ: 60°.
8. 1. —у~. Указание. Необходимо учесть, что треугольник АВС прямоугольный
5
и радиус основания конуса равен у.
2. 60°.
«9
, , 84л	_ лс^'П
'• '• —	х ~п~-
2. 1. 16л	2. "ф	.
3. 1. ла2 (3 + 77).	2.------------
4cos у- cos
4. 1. 96л.
л • о2 cos2 а • tg2 £
2. ---------------------
cosp
5. 1. Обозначим через Sa площадь поверхности, которая образуется при вращении
отрезка а вокруг оси. Тогда Хт.вращ.”л АС (АО\ + СОгХ +лаАО\ +
+ ла СОг = л (AOi + СОг) (АС + а) (рис. 18). ABAC - LBCA -30°; LBAE-
• LO\BA~\5'\ £ОгВС~ 45’-, АС-а^Ъ\ AOi=asin 15°; СОт.-~~.
Тогда S  ла2 (sin 15° +	(75 + 1).
2	я
т ctg р cosy
2. S =--------------
1 + Ctgzp COS у
577
6. 1. 5т.»р.“лВС-ВО1 + лАВ-(AC + BOi) + лАО(АС + DO2) +nDC DOi
(рис. 19). Так как АВ = CD и ВС = AD, то
S-лВС  ВО\ + л АВ • (АС + BOi} + л ВС • (АС + DO1X + л АВ • DO2 =
= л ВС • (BOi + DO2 + АС\ + л АВ (ВО\ + DO2 + АС} =
= л (АВ + ВС} (BOi + DO2 + АС};
АВ + ВС “ ВО\ + DO2 = АС. Тогда S = л • 2АС = л Pd. Ответ: л Pd.
L	л»
,2	n
LT Ctg ф : COfrr-
2. ---------------
ctg2$p + COS2y
7. 1. Можно доказать, что площадь поверхности, образованной при вращении
ломаной линии вокруг оси / (рис. 20) равна площади поверхности, которая образуется
при вращении отрезка МР вокруг той же оси. МР = 8а; АРМО — РО “8а sin^-.
а э а	2 а
Sr-вращ. = л-РО-РМ = n-Sa-Sasin^ = Мла sin у. О т в е т: 64ла sin у.
2. На рис. 21 изображено осевое сечение конуса. ОС = ВС — высота
а/5
правильного треугольника, лежащего в основании призмы. ВС - ——. Радиус осно-
fl	а , гк- \
вания конуса	—^—cXgtp. Высота конуса Я=2 П + v3 ctg<р} • tgjp.
578
Рис. 21
_ Й2
Кп в —т-
2
•Soceaoro сечения=
tg <р + —— = 75
tg <р
о2 /	3	\
•	=-4- (tg*° + 1£7 + 27Jj:
+ 7Гт] ^75. 5цаим — a2 75. Это достигается, если tg <р =
ft /	о	\
= 75, т. е. <р = 60°. Ответ: S = — tg+ —- + 2 75 ; $наим -а275; <р = 60”.
4 I tg р	J	г
8. 1. 36л с275.
1 S = y ^ + ^+2^1;	р-60-.
Задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
$10
1.	1. а) (х — 3 ) 2 + у2 + z2 “ 16. б) да; нет.
2.	13.
2. 1. а) х2 + у2 + (z — 4) 2 = 9. б) нет; да.
2. 13.
579
3.	1. (х — I)2 * * 5 + у2 + (z — 77) 2 = 4 или (x — I)2 + у2 + (z + 7J)2 = 4-
~ aVl cos 2a
*-----4---
4.	1. x2 + y2 + z2 = 9 или x2 + у2 + (z - 2) 2 = 9.
gVcosa
„ a'
2 cos —
5.	1. Очевидно, что z-0. Пусть M (x;_^; z) — искомая точка пересечения. Она
лежит на прямой АВ. Это значит, что AM = кАВ. AM {х — 77; у — 77; z};
АВ {— 277; 77; 77}.
х — 77 = — 2Л 77
. у — 77 = к
z к41
С другой стороны эта
у = к V2
z = к 77
Следовательно,
точка лежит на сфере. Тогда /77 /1 —2к\\ 2
2 - 4. Отсюда 6к2 — 2к = 0; к{ = 3,	“ 0; кг = 3.
—5 77
У1 = 4 77
zi = 377
Ответ: (—5 41‘, 4 77; 3 77) и
ха = 77
 Уг = 77
Z2 = О
(77; 77; 0).
*1 =
1	7
2. Отметим, что центр сферы О\ (0; 0; ^) и ее радиус равен Опустим из
12
начала координат перпендикуляр ОК на АВ. ОК“-^-. Соединим точки С и К. В
VI44	|3
~25 + ' = ~5'
12
OAf-—. ОМ — расстояние от точки О до плоскости АВС. Построим OjAf1± СК,
O\Mi — расстояние от центра сферы Ot до плоскости АВС. О\МХ -^ОМ°
6	7
= —<—. Следовательно, пересечением сферы и плоскости является окружность с
_/~49 Зб" 717 1Т „	„ 2л 7Т7
радиусом г - у -tTq —	= "ПГ" Длина этой окружности С = —г=—.
* 107	1О7 10	10
2 л 7ТЗ
Ответ: да, пересекает, длина линии пересечения ———.
6.	1. (2; 1;|); (0; 3; — |).
2	2
2. Если /?>у, то сфера и плоскость пересекаются по окружности. Если R =
2
то сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Если Я<у, то сфера и
плоскость общих точек не имеют. Указание: задачи решаются аналогично задачам
5 (1, 2).
580
7.	1. Перепишем уравнения данных сфер в каноническом виде:
(х — 1)2 + у2 + (z + 1)2 = 4 и (х+ 1J2 + (у — 1)2 + (z — 1)2 s 9. Первая сфера
имеет центр в точке Oi (1;0; — 1), а вторая — в точке Ог (—1; 1; 1).
Радиусы сфер Ri =2; Яг = 3. Расстояние между центрами Oi Ог “ V4 + 1 + 4 - 3;
Яг — Ri<OiOz<Ri + Яг- Следовательно, сферы пересекаются. Пусть А — общая
точка этих сфер. Тогда высота h треугольника О1ЛО2 есть радиус линии пересечения
4V2
этих сфер. Oi Ог “ 3; О\ А — 2; Ог А = 3. SAO1 АОг — 2 V2. h ~	. Тогда длина
„ 8лЛ „ 8луГ2
окружности С = —g—. Ответ: ——.
2.	Пусть М (х; у; z) принадлежит	искомому	множеству
МА = V(x — 2)2 + у2 + z2 ; МВ = /(х + 4)2 + у2 + z2;	2 МА - МВ.
2 V(x — 2)2 + у2 + z2 = V(x + 4) 2 + у2 + z2.
4 (х — 2)2 + Ay2 + 4г2 = (х + 4)2 + у2 + z2. Отсюда имеем, что
(х — 4) + у2 + z2 = 16. Ответ: искомым множеством является сфера
(х — 4) 2 + у2 + z2 = 16.
8.	1. (х — 2)2 + (у— 4)2 + (z — 2)2 «22.
Указание: задача решается аналогично задаче 7 (2).
fill		
1.	1. 400л.	2. 6л.
2.	1. 676л.	2. 4л.
3.	1. 676л.	2. 4л уГ2.
4.	1. 676л.	2. 36л, 36л.
5.	1. 8/7.	
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус большей окружности кольца
равен	а радиус меньшей окружности — (Я — х). Последнее следует из
того, что осевое сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник. 5КОльца °*
« л (Я2, — х2 — (Я — х)2) = 2л (— х2 + Rx). Легко догадаться, что наибольшее зна-
R	R
чение этой функции достигается при х = —. Ответ: —.
6.	1. 4 и 5.
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус основания цилиндра равен
V Я2 — х2. Площадь боковой поверхности цилиндра S « 2л х V Я2 — х2 =
= 2л Я2‘хг — х4. Рассмотрим функцию р(х) « Я2 х2 — х4, где 0<х<Я. Эта функ-
ция, а значит и площадь боковой поверхности цилиндра, достигает наибольшего
Я _	Я
значения при х = Ответ:
581
7.	1. Концы хорд МА, МВ и МС лежат на поверхности шара и являются
вершинами правильного треугольника АВС. Образовалась правильная пирамида
МАВС. Пусть МО\ — высота этой пирамиды. Тогда центр шара О лежит в точке
пересечения серединного перпендикуляра КО к ребру МА (К — середина AM).
AM2
Легко доказать, что ЬКОМ со &МО\А. Отсюда Вш » МО » ~. Пусть длина
а
хорды равна а. Тогда АС - 2osin — и
a2 >Г5	2R V 3 - 4 sin2^
R =---7-------rrzr. Отсюда a =-—m------
2a V3-4sin2^	V3
2R Vl + 2 cos a
Ответ: -----.
„ а
2а sin у
ЛО‘-----73-• МО\ V3 — 4sin2|;
2R Vl + 2 cos a
73------'
2.	л (a1 + b2 + с2). Указание: диаметром сфер служит диагональ параллеле-
пипеда, построенного на этих хордах.
8.	1. Центры этих шаров являются вершинами правильного тетраэдра, длина
ребра которого равна 2R. Центр искомой сферы совпадает с центром названного
тетраэдра. Ее радиус равен разности радиуса сферы, которой принадлежат вершины
тетраэдра и радиуса шара. Радиус сферы можно найти, например, способом, который
R/5
показан в задаче 7 (1). Ее радиус равен . Тогда радиус искомой сферы равен
Ryft „ в	R / гт л R / гт п\
~72----J “Т(^-2)’ Ответ: - (76 - 2) .
2.	Суммы длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны между собой. Указание:
необходимо воспользоваться тем, что отрезки касательных, проведенных из одной
точки к сфере, равны между собой.
§12
1. 1. 2.	2.
л
2
2. 1.	2. 16л .
4
3.
1.
Указание: центр описанного шара лежит ниже плоскости основания.
Для нахождения радиуса описанного шара можно, например, воспользоваться тем,
L2
что Ru = где L — длина бокового ребра пирамиды, а Н — ее высота.
2Н
„	(  аУ
2. arctg Isin—I.
582
4. 1.
2. 676л.
5. 1. На рис. 22 изображена пирамида
MABCD. ABCD — квадрат, МС1. АВС. Центр
описанного шара лежит на середине О ребра
AM (в точке пересечения перпендикуляра к
плоскости основания, проведенного через центр
Oi квадрата, и серединного перпендикуляра ОК
к ребру МС). Пусть сторона квадрата равна а.
Тогда АС “ а ft. С другой стороны
АС = 2Л cos 30° = R VI; a ft = R ft. Отсюда:
Рис. 22
МС = aft • tg 30° = -рг
MD-
$бок ~ MC'CD +
, ./n . n a2 VI a2 ft a2 . „	ЗЛ2 , „	R2 VI , „
+ MD-AD - -yj- + -773— = (VI + VI) = (VI + VI) = (VI + VI) .
R2 VI
Ответ:	(ft + VI) .
(a + b)2 VI
2. ---------. Указание: апофема рассматриваемой пирамиды равна сумме
апофем ее оснований.
6. 1. Пусть МАВС — правильная треугольная пирамида. МО\±АВС. Опустим
из точки Oi перпендикуляр О1К на ребро АС и соединим точки М и К. АМКО\
— линейный угол двугранного угла, который образуется боковой гранью с плоскостью
основания. Центр шара лежит в точке О пересечения биссектрисы КО этого линейного
угла с высотой пирамиды МО\. Исходя из условия - 4. Исходя из свойств
им 3
, КО' 1 М Л
биссектрисы угла треугольника следует, что и	= —. Исходя из свойств биссек-
им з
КО\	1	1
трисы угла треугольника следует, что и	. Это значит, что cos Z_MKO\ - -х;
КМ 3	3
О\К = Тогда MK^-j^j = ~2~' боковое ребро AM
Ответ: а.
2. 4/?2 VI.
7. 1. Легко доказать, что данная пирамида является правильной. Линия пере-
сечения состоит из четырех равных дуг окружностей, которые получаются при
пересечении сферы с гранями пирамиды (рис. 23). Для нахождения радиуса этих
окружностей необходимо определить расстояние от центра шара до граней пирамиды.
1	МР  PF	aft
На рисунке РК± DMC и ОО\ ± DMC. ООХ - zzPK. РК « ———; ME =
2	ME	2
a2 = aft	_ afta2 _ a ft
~4 = 2 ’	“ 2-2aVI “ 2 VI’
РЕ = МР =
OOj = Радиус окружности МО\ - V МО2 — ОО2
2а2
16-3
— а
~ 2VT
583
Градусная мера каждой
_ ла-120 ла
” 2 VI-180 = 3 VI’ В
4ла 4ла VI _
зТТ “ —9—‘ ° т в е т:
из дуг линии пересечения равна 120°. Тогда /-
таком случае длина линии пересечения равна
4ла VI
9.
2. На рис. 24 изображено диагональное сечение BBiDiD куба ABCDAiBiCiDi
вместе с большими кругами вписанных шаров. AOi LD го AOKD. Пусть радиус малого
шара равен х. Тогда 77 » R = Отсюда ОК-xVI; из треугольника OKD
к	a v i	Z
имеем OD - V 2 л2 * * * * * + х2 = х VI; диагональ куба Bi D — сгГ5. OiD-x+R + x VI;
aV 3 а пг n	а	1 а	л
—у- - х + 2 +	3. В таком случае х = ‘ VTTT = 2	' Ответ:
-Л).
9а
8. 1. -у arctg-y. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1). Плоский
VI
угол при вершине пирамиды равен 2arctg-^- радиан.
2. На рис. 25 а) изображен вид сверху правильной пирамиды DABC с изобра-
жениями вписанных в нее шаров. На рис. 25 б) изображен треугольник D0M, где
DO — высота пирамиды, DM — ее апофема. Окружность с центром в точке Р —
изображение сечения шара плоскостью DAM. Пусть радиус шара равен х. Тогда
Oi М — х ctg 30° = х VI. ОМ - Треугольник Oi O2O3 — правильный со стороной,
равной 2 х; OOi - ОМ - О\М + OOi;	= х VI + Отсюда х =
п	а
Ответ: —.
584
585
S13
1.	1.	24.	2.	144/5.
2.	1.	32.	2.	54/5.
3.	1. —5—.	2. 24/5.
О
4.	1. a3 /5.	2. 40.
5.	1. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О. В плоскости DBBi
проводим через точку О прямую, параллельную DBi, до пересечения с ребром BBi
в точке Е. Эту точку соединим с вершинами Л и С. Сечение АЕС — искомое. Из
точки В опускаем перпендикуляр ВК на АС и точку К соединяем с Е. Z.EKB — 45°,
ВЕ-ВК-™, BBi~2BE-^, V-6-8-J-460,8. Ответ: 460,8.
„ з V2 cos 2a	„
2. а • s-n &  Указание: из вершины С необходимо опустить перпенди-
куляр СК на АВ. Легко доказать, что СК 1. AAiBi. В таком случае Z-CBiK^a.
Дальнейшее решение очевидно.
, , 216/5	_ h3ctg2atg/3
5	2 cosz Р
Указание: задачи решаются аналогично задачам 5 (1, 2).
7. 1. На рис. 26 показано сечение параллелепипеда указанной плоскостью.
BKL EF. Z-B1KB “ 45°. Так как R и Т — середины сторон AD и СО, то легко
получить, что BE “9; BF“ 12. В таком случае EF—X5 и ВК-	= Др
BBi - V —6 • 8 • у - 345,6. Ответ: 345,6.
2. Достроим треугольную призму ABCAiBiCi до прямоугольного параллеле-
пипеда ADBCA1D1B1C1 (рис. 27). В таком случае угол между АС1 и Bi С равен
3/5
углу D1AC1. По условию Z-D1AC1 -arccos . Пусть АС - X. Тогда ACi —
= Vx2 + 9, DC = АВ = Vx2 + 16 и ADi - 5. По теореме косинусов имеем:
х2 + 16 = 25 + х2 + 9 — 2 • 5-V9 + х2 •	16 = 34 — 3/5 • V9 + х2;
3/5-V9+ х2 = 18; V9+ х2 = 3/5; 9 + х2 = 18; х2 = 9; х- 3.
5осн. • 3 • 4-6. У-6-3“ 18. Ответ: 18.
586
Рис. 26
Di	Bl
di
Рис. 27
587
8. 1. Сечение показано на рис. 28. Линия пересечения EF с плоскостью основания
параллельна диагонали основания AC. ВК1. EF. LBKB\ -60°. ЕВ - 10; BF-24. В
таком случае EF-26. ВК -	ВВ\ - 120 - V = 5-12-	-
Иг Id	Id	Id
2. Поместим призму в прямоугольную систему координат с началом в вершине
С. Пусть СА принадлежит оси ОХ, СВ — оси OY и СС\ — оси OZ. Тогда
А*(3; 0; 0); В (0; 6; 0); Р (0; 3; z) (z > 0). Точка пересечения медиан М (1; 2; 0);
МР {— 1; 1; z}. Если — угол между МР и плоскостью XOZ (грань АА\С\С
принадлежит этой плоскости), то sinjp = ।	—j-Lp ГДе
| МР | = Vl + 1 + z2 = V2+ z2. 7'2"+'?  1 ~7Т- Л-Тг+Т'; ?-1; 2-1
(z > 0). Тогда СС1-2. И-|-3-6-2-18.
Ответ: 18.
§14
1. 1. 768 VJ.	2. ЗлЯ2.
2. 1. 125.	2. 3468л.
588
576/5
1600л
2* 729 ’
441/Ш
5 Ь 2
Указание: необходимо доказать, что треугольник Bi FE прямоугольный с прямым
углом B\FE.
У1 = 4 - 3/5
2> У2 8 + 3/5'
Указание: объем меньшей отсеченной части равен от разности объемов цилиндра
и правильной треугольной призмы, вписанной в этот цилиндр.
6.
9/2
*• 2 '
Hi = 2л — 3/5
2* К = 10л + 3/5'
7.	1. На рис. 29 показан вид сверху на куб и описанную около него призму.
Пусть х — длина ребра куба. АС — средняя линия трапеции. АС — х 'П. Высота
трапеции BIJ-x'Fl. 5Трап. - х /2 • х /2 = 2л2. Высота призмы равна х. Рпр. -
= 2Х2 • х = 2л3. Очевидно, что 2х/5 = а + Ь х =
V. г (“+*)’	+	(о+4)3Л
V 2 ТбЛ-----------16	• °твет 16	•
2. На рис. 30 заштрихована та часть жидкости, которая останется после поворота
корыта на 30°. Пусть радиус основания цилицдра — R, а его высота — Н. Тогда
.	ч	/?2Я(4л—3/5) „	_
объем оставшейся части жидкости равен--------• Этот результат был получен
при решении задачи 5(1). Объем вылившейся жидкости ДИ -—
589
R2 Н (4 л — 3VJ) R2H
-----= -jj- (to + 3 V3).
% = ^И(2*+ЗД) _ to + WJ _ I Л „ 0j61 Ответ:„61
V 12 1^ЯЛ 6	3 &
8. 1. Очевидно, что плоскость сечения пересечет грань, которая проходит через
сторону основания AF (рис. 31). Пусть KF — х и сторона основания — а. Необходимо
учесть, что объемы призм с одинаковой высотой относятся между собой, как площади
их оснований. Плоскость сечения делит призму на две призмы. Объем призмы с
основанием KDEF составляет от объема всей призмы. Skdef “
о2/3	1	_ „	„ о v'J	a2J3 1 pc- 1 Зо2/? Л
= —— + тгха-V3. Sabcdef = За2 • Тогда —------------— ха>Г5 = -г--=—. От-
4	2	2	4	2	4	2
V“2-------- 7а
— + За2 =-г- $сеч “ KD-hi где Л — высота
-т	1о	4
Tah	7	7
призмы. Хсеч “ ——. По усовию ah - Q. В таком случае 5сеч - -т Q. Ответ: — Q.
4	4	4
2. На рис. 32 показан вид сверху на два данных цилиндра. Пусть диаметр
основания и высота вписанного цилиндра равна х и пусть радиус основания большего
цилиндра — R. Очевидно, что высота этого цилиндра равна х. Тогда его объем
Vi = nR2x. V2 = л • ~~ -х = *	. Но х = R-fl. Тогда Vj - и V2 -	.
„	И2 1 „	1
В таком случае -р- = Ответ: —
S 15
1. 1.	2. 600.
О
2. 1. 120VJ.	2. 600.
а26
4 '
2. 120 '/’1.
590
. , аЬс^П
4. 1. -j-.
2. 250/5.
5. 1. Пусть в наклонной треугольной призме ABCAjBiCi основанием служит
правильный треугольник АВС, и пусть Z_A\ АС - £А\ АС - 45°. Тогда легко доказать,
что грань CCiBiB — квадрат. Обозначим длину каждого ребра за х.
2	2 2x^/5
Тогда 5ааicic = Saaibibi =——* а Sccibib “х . По условию х +—“
= 4 11 + /2А. Отсюда х - 2. Зная длину ребер призмы, легко найти ее высоту,
'	’	2	2
которая равна Soch -/5. В таком случае Рпр.“-^j-/5 = 2. Ответ: 2.
2. Рассояние от бокового ребра до диагонали противоположной грани равно
расстоянию от бокового ребра до этой грани. Построим перпендикулярное сечение
призмы. Пусть d — расстояние от бокового ребра до противолежащей боковой грани,
т — сторона перпендикулярного сечения, противолежащая этому боковому ребру
и / — боковое ребро призмы. V- Snepn.cen.-где Q — площадь
боковой грани. Тогда ’ 5-40- 100. Ответ: 100.
6. 1. Пусть в наклонной треугольной призме ABCAiBiCi основанием служит
прямоугольный треугольник ABC (Z.C - 90°) и пусть плоскость грани AAi ^1С
перпендикулярны плоскости основания. В таком случае можно доказать, что СС\ВВ
— квадрат и высота призмы А\О проектируется на сторону основания АС. Примем
х>Г5
равные ребра призмы за х. Тогда А\О- —. Опустим из точки О перпендикуляр
х
ОК на АВ и соединим точки К и А\. В таком случае Л]К± АВ; АО-—, ОК*
„ х л v	_	х/7 ру = х2/7\ _
2/Т’	V * “ "g"	2/J’ Ллл1в1в 2/Т’ xVZ	—2~’ Ллл1С1С =
г2 /Т	г2 /7 х2 /з
= —2— • ^СС]В]В = л2- По условию —— + —2— +	~ 2	+ /5 + 2).
х/5 х3/! „	„	. „ _ „
Отсюда х“ 2. И- — • —х— - ——. Так как х = 2, то V— 2 /5. Ответ: 2 /5.
2	2	4
2. 30/2. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (2).
7.	1. На рис. 33 МРК перпендикулярна сечению призмы. Рпр.“ Smpk -AAi.
Для нахождения площади перпендикулярного сечения необходимо найти угол РМК,
т. е. угол между скрещивающимися прямыми ЕВ и FC, где ЕВ ± AAi и FC ± AAi.
а'/’Ё	а.у[3 а^П а
ЕВ - -у-; ЕС “ —2—’	“ —2~' ГА " 2’ ^сли — искомый угол, то cos -
-ft -»
1	ER*FC I -*-*-*	->->->	-> ->	->-*-*-*
= I rn. i ; ЕВ - ЕА + AB-, FC - FA + AC; EB • FC - (EA+AB) • (FA+AC) -
I EB | | rC |
= tfA FA + AB FA + EA AC + AB AC = f I— -y-| +
591
+	(— 41 + а-а~ в — а	(2 —	. Отметим, что /51; АЬ - 135°
2 I 2 J	22	4	4\	/	___
.__	д2(2 —/2)	/2 — 1 . лЛ 3—2/2 V2/2
и £51;Л?-120; со^-	---73—. sinp-Vl----3-----73“’
4“^-----2~
1 a V3 а?П 2 /2	д2/? /2 4 д2 4 д2 ЬуП
J— ~2~*“Э------------в- ?!-Л -Т Л; V-----------4~
Smpk
Ответ: -----
4
2	. По условию BBt D\D — прямоугольник. Из этого следует, что BD ± DDt, а
так как АА\ ||DDi, то BD ± AAi, a BD ± АС по условию. Отсюда плоскость АВС
перпендикулярна плоскости диагонального сечения AAtCtC. Поэтому высота At О
. Л Sxxicic 30 , „	1 . .
призмы лежит в плоскости этого сечения. А] О-——- — — о; 5осн.-^-4-5 =
-10; V-Лоси. • At 0-60. Ответ: 60.
8.	1. Пусть AtO — высота призмы. Опустим из точки О перпендикуляры ОЕ
и OF соответственно на АС и АВ. Тогда AiE ± АС и AtF ± АВ. По условию
AtE-7 и AiF-20. Продолжим FO до пересечения с АС в точке К. Получим
прямоугольный треугольник AFK, где Z.FKA — 30°. Из AAAjE имеем, что АЕ-24,
а из AAAtF получим, что AF— 15. Тогда из прямоугольного треугольника AFK
6 ^3	__
получим, что АК— 30 и ЕК 6. Из КОЕК имеем ОЕ — ЕК-tg 30° — —-— — 2 VJ. Теперь
можно найти AiO-AiO-VAiF2 — ОЕ^ - V49 — 12 - V3T; So - • 40-50•-^--
-500VJ. И-500VJ-V37 -500/ПТ. Ответ: 500/ПТ.
2.	Диагональное сечение BB\D\D разбивает параллелепипед на две равные
призмы. Исходя из условия, можно доказать, что ВВ\ D\D — квадрат. Пусть диагонали
592
квадрата пересекаются в точке О. Опустим из точки О перпендикуляр ОК на АА\
и точку К соединим с точками В и D. Легко доказать, что BKD — перпендикулярное
сечение призмы ABDA\B\D\, BD^crTl. OK- tg 30° -	Sbkd""
_£ „ а Л с2 Л „ a2V3 = t?/3	_ сРуГЗ
2ttVZ' 6 ”	6 ’	6	‘ ЮГДа •'параллелепипеда 3
О т в e т: о3/?.
§16
2й3 V3tg а
27
d3 >П • tga
24
ft3 /3 sin2
4. 1. -7;----------~
2cos а + 1
a3 sin2 а • tg fl
'	3
_ a3 . a
2. -^--sm a-cos-^-tgp.
2-i-
2. 72/3.
d3 (I + sin 2a)
3sin2 fl • cos fl • sin 2a
2. Пусть DABC — правильная треугольная пирамида и DO — ее высота.
Построим высоту BE основания и из точки Е опустим перпендикуляр ЕЕ на ребро
DB. Точку F соединим с точками А и С. 2.AFC ~а — линейный угол двугранного
угла, образованного двумя смежными боковыми гранями. Из подобия треугольников
1- е »	DO ОВ _	„ „ EF  ОВ a t а
DOB и ЕЕВ следует, что —= —. Отсюда DO----------------——; Лй =-ctg
11г го	or	I Z
fl
О В =	Из треугольника EFB следует, что FB - у — "^-‘Ctg2 у =
а
~	a-ctg^
З-c^j. Тогда
а	з а
la2/! Q-Ct*5 =	° с*2
3	4 /3 -^3- etg2^ 12 Уз —c/g2^’
3 a	1 a
a etg —	a3 cos
° T B ° T’ 12 V 3 — rig2 12V4sin2^— 1’
9.3	a3/?cos^
6.	1. ---------------.	2.	----------
3sin2 fl • cos fl • sin a	6v cos a
Указание: задача решается аналогично задаче 5 (2).
20 Зив Б.Г.
593
7.	Если боковые грани имеют равные площади, то высоты этих граней равны
и вершина М равноудалена от прямых, на которых лежат стороны оснований. Так
как в основании лежит правильный треугольник, то возможны три различных
варианта, которые показаны на рис. 34.
v2	/22
а)	О — центр вписанной окружности. АО ~ -рт\ МО = у 2 — — = -г*
„	2 Л _1
sABC‘-Y,	3-
594
б)	О — центр вневписанной ок-
ружности. Радиус этой окружности может
25
быть вычислен по формуле г =-------г---,
а + b — с
где 5 площадь треугольника, а а, b и с —
ее стороны. В нашем случае
/3	_ VI _ V6
r fS + yTS-Jl 2‘ АО“АК+
+ КО —	= /6 > AM. Следователь-
но, этот вариант не реализуется.
в)	О — центр вневписанной ок-
VI уГБ
ружности.	Г = ~2~' АО~
= V| + | = 'П = АМ. Следовательно, и
1
этот вариант не реализуется. Ответ:
2. Покажем, что точки М, Р и С
МР = АР — АМ = | Al' — | АВ = |-| (АВ -
1 -*>	1	->	1	-*>
— АВ =-7 АС — ~АВ (1)
3	4	12
Рис. 35
лежат на одной прямой (рис. 35).
—>	1 -*>	1 —>	1 —>
ЛС\ — АВ = -7 АВ + - АС —
/3	4	4
-»	-»	-»	-» 1	-»	1	-»	ч -» 1 -»
PC =	ЛС — АР	=	АС — 4	АВ — 4 АС	=	у АС — у АВ	(2)
4	4	4 4
—►
Исходя из (1) и (2) имеем, что РС — ЗМР. Это и значит, что указанные три
точки лежат на одной прямой. Аналогично и точки Л/, К и D лежат на одной
прямой. В таком случае речь идет о плоскости MDC, которая делит пирамиду на
две части, объемы которых относятся, как 1:2. Ответ: 1:2.
_ . VTO5 9. ЗУТТ
8 *•	4 ; 4’	4 ’
Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1), но в этом случае реализуются
все три различные возможности.
2. Рассмотрим пирамиду, изображенную на рис. 36. В пирамиде МА\В\С\ пло-
щадь основания Si = | MCi -МВ\ -sin а. Высота пирамиды hi - МА\ -sin <р.
Рис. 36
У1 = | | MCl МВ\ sin a МА\ х
х sin <р =— МС\ -MAi sin a -sin <р.
Аналогично для пирамиды МАВС
V = ^--МС-МВ-МА sina-sin^..
6
Vi МА\МВ\МС\
1огда у - мА-МВ-МС
Vi 1-3-2
В нашем случае —= . , _
V 4-6-5
Ответ: 1:19.
20‘
595
S 17
256л уГЗ	л
9.	• 4*
1.	36 л .	2.
2 г-
- л 42.	2. 100 л.
16л 42	18я УТ4
3	’	* 2‘	5	’
л • а3 * * * 7 • sin 2 2 fl • cos fl  sin2 у
12 sin2 + |j
2. 60°. Указание: необходимо доказать, что большее основание трапеции яв-
ляется диаметром основания конуса.
144л
6 •
2. 45°. Указание: необходимо учесть, что суммы противоположных сторон тра-
пеции должны быть равны. Если меныную из боковых сторон принять за х, то
V х2 + 4 + х = 6. Отсюда х - у и радиус основания конуса равен у. Остальное
решение очевидно.
7. 1. По условию сечение наибольшей площади нс совпадает с осевым сечением.
Значит угол между образующими в этом сечении прямой. Пусть сечением является
треугольник АВМ, где М — вершина конуса. Опустим из центра основания О
перпендикуляр ОК на АВ и точки К и М соединим. LMKO = arccos Треугольник
142	1
АМВ — равнобедренный и прямоугольный. МК - —у. МО •= МК • sin (arccos ^у) -
К = ВО - V/2 - у /2 =
Следовательно 4.АОВ“ 120° и АВ —
случае треугольник АМВ есть грань
/Л /2	/
=  - 2 - ’ ^у = ^у-; Радиус основания конуса
142 ™	ОК 1
=	; ОК = ^у ; cos L КОВ =	= 2
сторона правильного треугольника. В таком
правильной треугольной пирамиды, вписанной в этот конус, причем боковые ребра
I3
этой пирамиды взаимно перпендикулярны. Объем пирамиды равен —. Объем конуса
6
1 р2 „ 1	2/2 л 1_2 !343л
равен -лЛ // = - -г~-
1	_ I3 (л п ох
V 3 I 27 б) 162	9).
. Объем отсеченной части
I3
О т в е т:	— 9).
596
2.	На рис. 37 FM, FO и МО соответственно
образующая, высота и радиус основания конуса.
Зная длины сторон треугольника СМВ, можно
найти радиус описанной около него окружности:
25
МО = —. Из треугольника АМЕ, где AM - 10,
ME “ 8 и АЕ - 6 'TS, находим косинус угла АМЕ’.
108 = 100 + 64 — 280 cos LAME, cos LAME-
3л/39
Тогда Ig L АМЕ = FO-МО • tgZ. АМЕ -
_ 25 3/39_75/3^	1	625 75/39
4	7	28 ’ У 3 ” ‘ 16 ‘ 28
15625л/39 Л	15625л/39
-----448-- °ТВСТ: ----448--•
Г/З
8. 1. ^т-(8л + 3/5).
1 о
15625 л/ПГ
1344
Указание: задачи решаются аналогично задачам 7 (1, 2).
_ 560 л
’ 3.
2. 576 л.
2. 8064л.
§ 18
1. 1. 456.
2. 1. 168/5.
12
. . 7ш3/1
4. 1. —.
5.	1. Достроим усеченную пирамиду до полной пирамиды, частью которой
является данная усеченная. Можно найти, что объем такой пирамиды равен
108 /5. Плоскость верхнего основания усеченной пирамиды делит объем полной
пирамиды в отношении 1 : 27 (стороны основания относятся как 1:3). В таком
случае объем усеченной пирамиды ' Ю8/3 = 104/5. Ответ: 104/5.
2.	54 /5.
6.	1. 268,8. Указание: задача решается аналогично задаче 5 (1). Объем полной
1536	.	„	„ 7 1536 _ о,о -
пирамиды равен —-—, а объем усеченной пирамиды и- — • —-— = 268,8.
5	о о
„ 32000 л/5
2-—1—
7.	1. На рис. 38 плоскости ЕА\Р и FB\L перпендикулярны к плоскости основания.
Многогранник AA\DBB\C разбился этими плоскостями на прямую призму EA\PFB\L
597
м
Рис. 38
усеченной пирамиды V2 = j (а2 + ab + Ь2^ —
и две равные пирамиды AiAEPD и B1BCLF. Пусть высота усеченной пирамиды
равна Л. Тогда объем призмы V'-^ahb, а объем пирамиды V" -
= ~а  -----  h = 4 а (а — b) h. Объем многогранника AAi DBBiC: Vi + V' 4- 2V" “
Л i	о
abh , a(a — b) h ha.. n	h'" /2	, .2\
= -у- 4-----5----= -j- (b + 2a). Объем усеченной пирамиды V- —у- \cr+al+b ).
Объем второго многогранника, который дополняет рассмотренный многогранник до
а + 2by
v' = а(^+2а) о а(Ь+ 2а)
У2 b (а + 2b)	b (а + 2ЬУ
Л
6а
Л
2.		--. Указание: объем тела вращения может быть получен, если из
объема усеченного конуса, полученного вращением трапеции OBCOi вокруг оси /,
вычесть объемы конусов, полученных вращением треугольников ОВА и OiCA вокруг
той же оси (рис. 39).
8.	1. —. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1).
2л о3
2.	—g—. Указание: объем тела вращения может быть получен, если из объема
цилиндра, полученного вращением прямоугольника AEFC вокруг оси /, вычесть
объемы двух усеченных конусов, полученных вращением трапеций АЕОВ и CFOB
вокруг той же оси (рис. 40). Следует отметить, что LAOC- 60°.
598
50л	_ 62500л
4. 1. -у.	2.
5. I. На рис. 41 изображено осевое сечение рассматриваемой фигуры.
So 1КО2 “ *26, КО “ 12; OOi - 5; ООг = 16. Высота первого сегмента hi - 13 — 5 •=
“8. Тогда его объем Vi = л-64 ^13 — -|j _ ^984л Высота второго сегмента
/12 = 20 — 16 = 4. Тогда его o6i>cm V2 = л • 16 ^20 —	. Отсюда объем
1984	,896 _ПАЛ_ л	пап
двояковыпуклого стекла К =——л —3—л — 960л. Ответ: 960л.
2. Пусть R — радиус вписанного шара, <р — величина угла между образующей
конуса и плоскостью основания. Радиус основания конуса г = R etg Высота конуса
599
Рис. 42
H-R ctg^  tgp;	VK0HVCa -1 л Я2 ctg2  R ctg^ • tgp = —-=
2	Л	1	3tg3|
2 л Ri	4 _з
=--------7--------г-; Kiana - -я- л Я . Исходя из условия, имеем
3^1 (-•4)
2 л Я3	9	,, э Р л ™
-----—7-------у- = -г. Пусть tg -х- = а >0. Тогда получаем уравнение
з««2Ц1-ig2|) 4	2
9а2 — 9а + 2 = О, корпи которого aj - а2 - у tgy = и <р = 60° или
<р	~	v^6 Л	_ЛО _ Vt>
tg у = Т и = 2 arctg -j-. Ответ: 60 или 2 arctg -у.
1 444тг
6.	1. —-—• Указание: необходимо учесть, что центры шаров лежат по одну
сторону от плоскости окружности, по которой пересекаются их поверхности.
„	,1	„	/3 „
2.	л — 4 arctg — или л— 4 arctg-у. Указание: задача решается аналогично
задаче 5 (2).
7.	1. Данная пирамида изображена на рис. 42. В любой тетраэдр можно вписать
3 V
шар. Радиус этого шара Я может быть вычислен по формуле Я - ——, где V —
«э
объем тетраэдра, aS — площадь его поверхности. Из точки К опустим перпендикуляр
на сторону ВС и продолжим стороны АС и АВ. Тогда по теореме о трех перпеп-
дикулярах	можно	доказать, что	MD ± АВ, ML ± АВ и	МР	± AC. KD -	2-— +
V3	уГЗ „ 2VJ	1	„
+ -у- “2 — -т-’,	КА	=	2-х---у = 2--КР “ — КА ~	1--—.	Из	треуголь-
О	О	w	v	ох	о
600
V2	2 v3 3)	7 v3	7 v3
-ТЯ-+ 4 — =- +	=~7—-Sbmc—pr-. Из треугольника
V j з	ль j	о	iz
I 2	2 <3	/3
~rr + 11---~—f у. I ~ —z—• Sm a c “ Sm ab “	5 “
V «Э t	J zf I	J	J
2/3	7/3 /3	3/J j_ /3	-\/T = ^	yfi.
3	12	+ 4	2 ’	*3 ’ 4	V 3	12	V з ’
R =	=2~1/2 • 3	= 4Я  2”'  3	- 2^. O r „ E
2. Объем полого шара К-^-л (я3 —г3}. Так как толщина стенок 3 см, то
4	3
г=6см. Тогда У=^л (729 — 216) - 684 л см . Вес шара Р равен 684лр(г),
где р — плотность материала. Погруженная в воду часть шара есть шаровой сегмент,
/12'1	з
объем которого К =л • 144 9 ----^-1 = 720 л см . Выталкивающая сила
Г =720 л • 1 =720 л (1 г/см3 — плотность воды). По закону Архимеда P^F, т. е.
684 л • р = 720 л. Отсюда р « 1,05 г/см3.
8. 1. ~2^-. Указание: задача решается аналогично задаче 7 (1). Необходимо учесть
КЕ = КР — KF (рис. 43). Тогда высоты боковых граней пирамиды равны между собой
и 5бок “ • Ра вс МР.
601
2. Вес полого шара Р- — п (/?3— г2^  d, а выталкивающая сила F—
“•|л/?3-1. Так как P^F, то (я3— r3^ d = ~л R3-, 2 (r3— г3} d = R3-,
2 с -	) <* = i- (i) =1 -	и r=rV1~5t То,да тол-
щина стенок шара R — г = R fl — V1 — — ). Ответ: R (1 — V1 —	.
§20
1. 1. 2х — Зу + z — 10 = 0.
2. 1. т =
4
„ 3V7T
2. arccos .д—.
42
2. arcsin -3-.
3. 1. Можно доказать, что расстояние от точки А (хо; уо; zo) до плоскости
ах + by + cz +d = 0 может быть вычислено по формуле
,	| ахо + byo + czo + d |	I — 2 — 3 + 4 — 1 I 2
do =--------г*-»-—---------- В нашем случае do = J, .--------------------L — —
Усг + b + с	V4 + 1 + 4	3
(Я - 1). Радиус сечения г = V/?2 — di = S = Ответ:
2. Общий вид уравнения плоскости, которая параллельна оси OZ.
ах + by + d = 0. Так как точки А (1; 0; — 2) и В (0; 3; 1) принадлежат этой пло-
скости, то а + d = 0 и 3b + d = 0. Отсюда а = — dub = —
Тогда имеем — dx — — у + d = 0 и так как d* 0, то получим Зх + у — 3 = 0.
Ответ: Зх + у — 3 = 0.
4. 1. Указание: необходимо доказать, что расстояние от центра шара
М (3; 2; — 4 ) до указанной плоскости равно 6.
2. у — z — 2 = 0. Указание: задача решается аналогично задаче 3(2). 5
5. 1. Пусть Ai (х; у; z) — искомая точка и пусть отрезок AAi пересекает
указанную плоскость а в точке Р. Вектор, перпендикулярный плоскости,
п {1; 1; —1}. Так как АА\ J- а , то AAi = ktv, AAi {к; к: — к}.
С другой стороны AAi {х — 1; у — 1; z — 1}.
Тогда имеем х - 1 = к и у — 1 = А: и z -1 = - А , т. с. х = к + \, у = к + I и
z = 1 — к.
602
Точка Р является серединой отрезка АА[ и Р —-—; —-—;—J • Так как
к+2 к+2	2—к„п^
точка Р принадлежит плоскости а, то —--Н —----------2 = 0. Отсюда к -
2	5	5	1 Л .,5 5 1.
-Зих = з; у=з;г з Ответ: Л (з;з;з>-
2. Указанная прямая пересекает ось ОХ в точке А (— 1; 0; 0) и ось ОУ в
точке В (0; 1; 0). Точки А, В и М определяют плоскость ах + by + cz + d = 0.
Так как указанные точки принадлежат плоскости, то — а + d = 0 и b + d = 0 и
а + b — 2с + d = 0
Отсюда следует, что а = d и b = — d и с =
В таком случае уравнение плоскости имеет вид: 2х — 2у + z + 2 = 0.
От в е т: 2х — 2у + z + 2 = 0.
6. 1. Пусть Р (x\y\z). Так как точка Р лежит на прямой EF, то
ЕР = к • EF; EF {1; 1; 2}, ЕР {х — l;y+2;z— 1}.
Отсюда
х — 1 = к, у + 2 = к viz — \ = 2к х = к + \, у = к — 2 и z = 2к + 1
С другой стороны точка Р лежит на плоскости, а потому
к + 1 — 2 (к — 2\ + 2к +1-3 = 0 и к = — 3.	В таком случае
х = — 2, у = — 5 и z = — 5. Ответ: Р (—2; —5; —5).
2. Пусть искомая плоскость имеет вид: ах + by + cz + d = 0. Так как плоскость
х — 2у + z — 1=0 и искомая перпендикулярны, то векторы, перпендикулярные
этим плоскостям, ni {а, Ь, с} и П2 {1\ — 2; — 1} тоже перпендикулярны между собой.
Тогда а — 2Ь + с = 0. Кроме того, координаты данных точек Е и F удовлетворят
уравнению плоскости, т. е. а — b + с + d = 0 н 2а + b — с +d = 0. Решив получен-
ную систему уравнений, получаем уравнение искомой плоскости
2х + Зу + 4z — 3 = 0. Ответ: 2х + Зу + 4z — 3 = 0.
7. 1. Пусть МО — высота пирамиды. Поместим пирамиду в прямоугольную
систему координат. О — начало координат, ось ОХ сонаправлена с лучом ВА, ось
ОУ — с лучом AD, а ось OZ — с лучом ОМ. Напишем уравнение плоскости DMC
D (1; 1; 0); С (— 1; 1;0); М (0; 0; 1). Координаты этих точек удовлетворяют урав-
нению ах + by + cz + d = 0. Имеем систему уравнений
а + b + d = 0, — a + b + d=s0Mc+d = 0. Отсюда можно получить, что урав-
нение плоскости имеет вид: у + z — 1 =0. Вектор, перпендикулярный этой плоскости
п {0; 1; 1}. Если <р — искомый угол, то sin у> - ।	” L ।;
I 1 + 11	•/б	. /6
sin <р -	= -j-; <р = arcsin Ответ: arcsin
2. Так как искомая плоскость должна быть параллельна направлению вектора
т, то в плоскости должна быть прямая, параллельная этому направлению. Для этого
найдем третью точку С искомой плоскости как образ точки А (1; —1; 1) при
параллельном переносе на вектор т {3; 1; — 1}: С (4; 0; 0). Теперь мы имеем три
603
точки А, В и С, определяющие искомую плоскость. Теперь достаточно просто
надписать уравнение этой плоскости. Ответ: х — Sy — 2z — 4 = 0.
8. 1. 60°. Указание: необходимо поместить пирамиду в прямоугольную систему
координат и найти уравнение плоскостей AMD и DMC. Тогда, если щ и —
векторы, перпендикулярные этим плоскостям и <р — искомый угол, то cos <р -
_ IJu •
I I • I «2 Г
2.	Найдем две точки А и В, принадлежащие линии пересечения плоскостей.
1) Пусть х — 0. Тогда — у + z — 1 = 0 и у — 2 — 2 = 0
Отсюда у = — 4; z = — ЗиЛ (0; — 4; — 3).
2) Пусть z“О. Тогда
Отсюда х = 1 и у = 1 и В (1; 1; 0). Плоскость, проходящая через точку М,
должна быть перпендикулярна вектору АВ {1; 5; 3}. Тогда уравнение плоскости имеет
вид 1 (х — 1) + 5 (у — 1) + 3 (z — 1) = 0, т. е. х + 5у + 3z — 9 = 0.
Отв е т :х + 5у + 3z — 9 = 0.
2х — у — 1 =0
х+ у — 2 = 0 ’
604
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К РАБОТАМ НА ПОВТОРЕНИЕ
№ 1
1.	1) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) скрещивающиеся.
о п	2а2
2.	Прямоугольник;
3.	1) 60°.	2) arctg-у—.
ЗуП	2/J
4.	arcsin -у-. Возможен ответ: 90° — arctg —у.
5.	Для нахождения угла между АВ и DC проведем прямую /||Л£? (рис. 44). Угол
между DC и I является искомым. Из точки В опустим перпендикуляр Л7? на^ и
точку Е соединим с точкой D. Легко доказать, что DE J. СЕ. DE — V с? + -у =
- BE = СЕ = Тогда tg L DCE »	» т<7 и A DCE- arctg /7.
2	2	2	СЕ
Ответ: arctg Vl.
6.	Плоскость CDE\[AB. Расстояние между прямыми АВ и /X.' равно расстоянию
от прямой А В до плоскости CDE. Можно доказать, что оно равно высоте ВК
, лич BE • DB aJ3 a-2 а ^2Г
треугольника DBE (рис. 44); ВК**——-—2а - V7— = —7—’
а 72Г
О т в с т: —-—.
4. 1. I) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) пересекающиеся.
605
м
2.	Прямоугольная трапеция;
1а2>Г5
8 •
3.	1) arctg 2. 2) 90°.
4.	30°.
5.	60°.
6.	g—. Указание: задачи 5 и 6 решаются аналогичнно задачам 1 (5, 6).
3. 1. 1) скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) параллельные.
2.	Равнобедренная трапеция;
3а2/3
16 ‘
/Т	2
3.	1) arctg -у; 2) arctg-у.
4.	45°.
5.	Все необходимые построения показаны на рис. 45. ОК - МО = -°
4	2
„„ Jia1 18о2 о/ЗП	t у МК с/30 -4
МК=У-— +	= —-—; KD » —tgZ. MDK - —— - ----= /ТУ; LMDK=
4	16	4	4	KD 4 • a v 2
= arctg VT3. Ответ: arctg /Т5.
6.	Расстояние между ВС и MD равно высоте BN треугольника ЛМВ. Необходимо
учесть, что BC^AMD, a BN есть расстояние между ВС и плоскостью AMD, т. с.
ла	а
расстояние между указанными скрещивающимися прямыми. Ответ: —
606
4. 1. 1) Скрещивающиеся, 2) скрещивающиеся, 3) скрещивающиеся.
„	.	.	а2 3/!!
2.	Равнобедренный треугольник; —.
V6
3.	1) arctg 2. 2) 2 arctg-3-.
VU
4.	arctg-jy.
5.	1) 90°. 2) arcsin-^-. Указание: смотри построения, данные на рис. 46.
а /6
6-	~
№2
1. 1)
V1 11
V2“ 1 '
2)	8(13-t- ТУТ). Указание: целесообразно построить перпендикулярное сече-
ние призмы и находить площадь боковой поверхности как произведение периметра
перпендикулярного сечения на боковое ребро.
3 Т2
3)	arcsin ——.
2) 8 (ТУ + /7).
_	2/5
3) 2 arctg з .
607
3. 1) 24 (VK +/ТУ) . Указание: площадь боковой поверхности целесообразно
находить суммированием площадей боковых граней, учитывая, что грань СС\В\В
является прямоугольником.
3) —. Указание: искомым расстоянием является длина высоты треуголь-
ника, полученного при построении сечения, указанном в предыдущем пункте.
V1
4. 1) vA
V2
Указание: плоскость сечения пересекает плоскость основания по
биссектрисе AFiO^AF), которая делит сторону основания в отношении 5:6. В
таком случае SAFB
2) 128.
. 32/4Т
3) arcsin _ .
№3
.	.	Vi о
1. 1) 32л/3 . 2) 180°/3= 31Г46'. 3) ту--—;. 4) 256л.
V2 27
1	V	7
2. 1) 64 л. 2) 2 arctg — «* 35° 19'. 3) да, можно; —4) 128л.
Л	"цил.	4
3. 1) 100л . 2) 	• 3) 180°; 15 и 5. 4) Пусть ABCD — осевое сечение
усеченного конуса. ЛД—15; ВС “5; ЛВ-CD-IO. Радиус описанного шара равен
радиусу описанной около треугольника ABD окружности. BD =
= V100 + 225 — 2 • 10 • 15 | = 5/7; 5 /7 = 2Rlu • sin 60°. Отсюда Rlu = и
5-4л
700 л
3
4. 1) 36 л VI.
2) 36. Указание: наибольшую площадь имеет осевое сечение.
3)
К 1
Уц ” 6
4) Пусть треугольник АМВ — осевое сечение конуса. Тогда радиус вписанной
окружности является радиусом вписанного в конус шара. Центр шара делит высоту
конуса в отношении 1 : /2, считая от основания (используется свойство биссектрисы
угла треугольника). Отсюда следует, что 7?w ° -j- = 6 ^/2—1) ;	=
- |л R3 4 = 288 л (V2 — I)3. Ответ: 288 (V2 — I)3.
608
№ 4
, , ,v /3
1. 1. 1) arccos —.
о

,	2. Очевидно, что С[ (3; —2; 5), В\ (—1; —5; 5) и £ (2; 0; 5). АЕ {1; —2; 3};
СВ| {— 4; 1; 3}. По условию плоскость перпендикулярна СВ{. В таком случае, если
| АЕ • CBt |	-»
искомый угол, то sin	—[’	= — — 2 + 9 = 3.
___	-»	___ 3	3 V9T	з V9T
| АЕ | = V 14; | СВ[ | - V 26. sin <р =	= 182~’ Р =arcsin . Ответ:
. 3V9T
arcsm -J82-.
2.	1. 2) Пусть Е — середина АС, а F — середина MB. EF = (АМ + СВ};
EF2 = — (АМ2 + СВ2 + 2 • АМ  СВ}. В пункте 1) было доказано, что AM X СВ.
Поэтому EF2 =	(4а2 + а2 + 6} = Отсюда: EF=  Ответ:	•
2. Основание пирамиды ABCD лежит в плоскости z = 2. Тогда, исходя из
условия, следует, ^что высота пирамиды Л = 3. АС {— 2; 4; О}; BD {5; 0; 0};
| АС | = 2 V5; | BD | = 5; АС  BD = — 10. Если <р — угол между диагоналями
• АС • BD • sin fp;
Vi э	1	7	1
1 — | = ^; S = | • 2	• 5 •	= 10. Еп » J • 10 • 3 = 10.
оснований,
то
АС • BD\ 1
cos<p= I ле I • ГдвТ = ?Г-
•^осн.
Ответ: 10.
3.	1. 1) arccos -5-.
О
/2
2. arcsin -g-. Указание: необходимо куб поместить в прямоугольную систему
координат и учесть, что диагональ ACi перпендикулярна плоскости AiDB. Тогда,
| ЛС1 • Е£|
если <р — искомый угол, то sin<р = ^j~| .	•
4.	1. 1) Разложим вектор ЕМ по базисным векторам АС, АВ и AD.
ЕМ = АМ — АЕ = | (АВ + АС + AD] — | АВ = | АВ + | АС — | AD =
3 \	/233	6
= | рЯ + АС — | Л1^ ;
ЕМ2 = | | АВ2 + ЛС2 + т AD2 + 2АВ  AC — АВ AD — АС  лЪ| =
9 14	)
1 ( ? , 2 . о2 . з о2 а2^ а2 . а	а
= -^ + o2 + T+o2----j=-. ЕМ-2' Ответу.
V33
2. arccos 11 • Указание: пусть МО — высота пирамиды. Тогда целесообразно
точку О принять за начало координат. Ось ОХ направить по лучу, сонаправленному
с лучом ОА, ось OY направить по лучу, сонаправленному с лучами ВС и AD, а
ось OZ — по лучу ОМ.
609
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ
№ 1
1.	1. 60°.
2.	1) 90°. 2)
4
3.	Пусть А (0; у, 0) и пусть <р — искомый угол, sin <р = | cos (А’В',]*} |;
-»	-»	I — VI 1 у2 1
АВ {1; - у; 1}; j {0; 1; 0}; sin <р =	Отсюда у = ± -у.
/б	Тб
Ответ: (0; тх-; 0) или (0;—0).
j	о
„	„ /	~,255 Т 25
4*. Пусть a {64:; 8к‘, —7,54:}. у 364:2 + 644г Ч—у к2 = у |4:| . По условию
25	_>	-*
у|4;| =5, отсюда |4:| - 4. Угол между вектором а и вектором j {0; 1;0} тупой.
Это значит, что «-/<0. Имеем 0+84: — 0<0. Отсюда к<0 и к = — 4. Ответ:
а {— 24; 32; 30}.
2. 1. 1) 180° — arccos -~zr
2) уГ2.
2. Рассмотрим базисные векторы С А, СВ и СС]. Пусть ЛС=СВвВВ] = а.
АВ = СВ — СА-,
СВ\ = СВ + CCi • COS <р -	р АВСВ\ =
= (СВ —СА} (СВ + CCi) - а2 — а2 + 0 — 0 = у-. |ЛВ| »а/3;
I СВ\ I = а уП. cos ф ~Ответ: arccos
11	r 2aV3aV2 4	4
3. Пусть А (х; х; 0) и пусть </> — искомый угол.
sin <р = | cos (AB; ij| : i (1; 0; 0), i* {1; 0; 0}; AB {x — l;x — 1; — 1}.
I	Z j	\ Z	Z/
4 (x — I)2 = 2(x— I)2 + 1;
x = 1--2~. Ответ:
4*. Пусть ОМ {x; у; z}. Из условия следует, что 7х = 0 и 3z = 0. Следова-
тельно, искомое множество есть пересечение плоскостей OYZ и OXY, т. е. ось OY.
Ответ: ось OY.
610
3. 1. 2<5.
n	717	^5
2.	1) arccos —2)	.
5	4
3.	A (0;0;2\<6) или A (0; 0; — 2<6).
8	10 13
4*. b {^; ——; —}. Задача решается аналогично задаче 1 (4*).
2 722 г-
4.	1. 1) arccos—2) 75.
2. arccos—
4
3. Af(7I+l;0;72 + 1) или M (1 — 72; 0; 1 — 72).
4*. Ось OX.
№2
1. 1. 4 n (72 + 4).
2. 1) 4 n R2 sin2 <p-cosp.
R2
2) —. Указание: так как угол <р s 30°, то наибольший угол между образу-
ющими тупой, а потому наибольшую площадь имеет сечение с взаимно перпепди-
/2
кулярными образующими. Площадь такого сечения равна
3*. Точки А, В и С имеют координаты А (\^3; 0; 0), В (0; ^3; 0), С (0; 0; 3).
Из точки О опустим перпендикуляр ОК на АВ и точку К соединяем с точкой С.
73 72 _ 76	( ОС 3-2 ,	..
Z.CKO ^<р — искомый. ОК - —-— = tg <р = у— = —гр- = 6.	Ответ:
L L	UK ’ О
<р = arctg /К.
2. 1. 48 л 72.
2. 1) 18 R2 73'. 2) л Я 73.
3*. Уравнение сферы имеет вид: (х— I)2 + (у— 2 j 2 + z2 = 32. Центр сферы
О (1; 2; 0). Пусть Т — точка касания. Тогда треугольник ОТМ — прямоугольный
Ш)ТМ- 90°). ОМ = 7б~41ПТГб = 9. Ml =781~’32 =7. Ответ: 7.
3. 1. 4л«27з.
2. 2)
4 л с2
3 sin22a
2) 30°.
3*. Находим координаты точек А и В. А (0; — 2; 0). Точка В, принадлежащая
сфере, имеет координаты (1; l;z). Исходя из уравнения сферы имеем:
611
0 + 1 + z 2 = 5; z = ± 2. Так как z>0, то В (1; 1; 2). AB - Vl + 9+ 4 = V14. Длина
перпендикуляра, опущенного из точки В на плоскость XOZ, равна 2. Если <р —
2 /П	/Т4
искомый угол, то sin <р =	= -у-; / ~ arcsin ——.
„	• VT4
Ответ: arcsin ——•
.	3 л J5
д 1	------
3*. Данная плоскость пересекает плоскость OXY по прямой, проходящей через
точку К (4; 2; 0) и пересекает ось ОХ в точке А, а ось OY — в точке В. Исходя
из условия, треугольник АОВ — равнобедренный прямоугольный, причем О А - ОВ~
- 6. Высота этого треугольника ОР равна 3V2. Это и есть расстояние от центра
шара до данной плоскости. £/*=ЗЛ<Л. Тогда радиус линии пересечения
г = V/?2 — d? = V25 — 18 = V7. Отсюда длина искомой окружности равна
2 л /7. Ответ: 2 л /7.
№3
1.	1. 192.
, 2 л d 3 tg а
"	2	'
cos a-tgp
3*. На рис. 47 LDEO - 60° — линейный угол двугранного угла, образованного
плоскостью боковой грани и плоскости основания. ЕО\ — биссектриса этого угла,
Oi — центр вписанного шара. О{ О -О\ К (О\К J. DC) — радиусы этого шара.
МК — радиус окружности, по которой поверхность шара касается боковой повер-
хности пирамиды. АМО\ К - ADEO - 60°.
МО\ - Oi К — расстояние от центра шара
до плоскости сечения. Rm - ОЕ tg 30° =
4/3
3 ’
Рис. 47
Лсегм. “ *in МО\ — д
4-3 /4/3	2/5'
*сегм =7Г ’ 9 I з 9
2/3	2/3
3	3 ’
40 л /5
’	27 ’
Ответ:
2. 1.
2.
27
1024.
л Ri cosa-tgff
3
612
3*. Диагональ призмы является диаметром описанного около нее шара и
равна 8 У5. Так как плоскость, перпендикулярная к диагонали, делит ее в отношении
1 : 3, то высота меныпего сегмента, отсеченного этой плоскостью от шара, равна
2 V5. Радиус шара равен 4 У5.	- л • 20
2уГ5\	200 л
3 I 3
2048
9
ч* 320 я
81 ’
Указание: задача решается аналогично задаче 1 (3*).
16 Уб
л h3 etg2 </>
3 cos 2
3*. Центр описанного шара лежит на середине высоты призмы, проведенной
через центр описанной вокруг основания окружности. В таком случае
Rlu = ’ [yI + /?2 , где II — высота призмы, a R —радиус описанной вокруг
4 У2 «/	32	5 У2
основания окружности. Н - 2У2, a R - —z—; Rlu - V 2 + т = —z—. Расстояние
□	УЗ
от центра шара до боковой грани равно радиусу вписанной в основание окружности,
2У2	„	, 5 У2	2У2	„
т.	е. —j—.	В	таком случае высота сегмента Л = —------—— = V2.	Рсегм	“
_	(5 У2 V2\	8 л _	8 л
= 2 л	— -3- = —-—. Ответ: —-—.
№4
1.	48.
2.	12 У7.
а	3
3.	arccos—.
4
4.	36.
625 л
5.	7 .
6*. На рис. 48 изображена правильная четырехугольная пирамида DABC. Пло-
скость EMF (ME и MF — апофемы пирамиды) перпендикулярна плоскости основания.
ЕК J. MF. Можно доказать, что EK1.DMC. Через АВ и ЕК проведена плоскость,
которая пересекает плоскость DMC по прямой /, параллельной АВ. В этой плоскости
строим ВР\\ЕК. Тогда BP ± DMC и £_BDP = <p — угол между BD и плоскостью
613
DMC. Необходимо учесть, что ВР - ЕК; MF—4', MO — V1. EK-MF = MO-EF.
MO-EF V7-6	3/7	BP 3/7	/Г4	. /Т4
Отсюда EK-----=	= г~ sin = BD = 2TVT “ “Г ; = arCS,n “Г’
Г\	 ^4
Ответ: arcsin——.
О
2.	1. 6/3?.
2. 12/3.
,	4
3.	arccos—.
4.	— 12.
5.
^(/l3-2)3
6*. На рис. 49 изображена правильная треугольная пирамида МАВС. МК —
апофема пирамиды. В плоскости АМК проводим АЕ ± МК. Можно доказать, что
ЛЕ± ВМС\ МК-хГГЗ-, АО = 4; МО-3. АКМО-АЕ  МК. АЕ - АК‘!^° -	°
МК V1J
”	4.ЛСЕ ” <р	—угол	между АС и плоскостью ВМС.
АЕ 18 /ГЗ 3/39	. 3/39 Л	. 3/35
sinф =	А-г^ =	—нт—.	р = arcsin 57 -.	Ответ: arcsin к,	.
r	АС 13 • 4 V 3	26	26	26
2. 1. 32/7.
614
128 /3
з •
3. 2 arctg
о
4. 48.
2048/3
5’	27 '
6*. Ha pnc. 50 изображена правильная четырехугольная пирамида MABCD.
ЕК ± DMC. Плоскость, проходящая через АВ и ЕК, пересекает плоскость DMC по
прямой /||ЛВ. В этой плоскости строим АР || ЕК. Тогда АР ± DMC и LAMP — tp —
угол между АМ и плоскостью DMC. ОС = 4; Л1О = 4/2; АС = 8; EF — CD = 4 /2;
FC = 2/2.
MO-EF
MF
MF- V64— 8 = 2 /14;
/3-4/2	8/3	,
2714
EK -MF = MO EF.
АР /2Т
S,n^=7M = "7“:	=
Отсюда
/2Г
arcsin ——
EK-
Ответ: arcsin - -  .
4. 1. 6/3.
2.	3.
,	<3
3.	arctg-y.
4.	—3.
5.	j n.
Рис. 50	Рис. 51
615
6*. На рис. 51 изображена правильная треугольная пирамида МАВС. ВТ ± АМС.
Через середину ВС точку Е строим прямую, параллельную АС. Она пересекает ВК
в точке F. В плоскости КМВ строим FD\\BT. Тогда FD J. АМС. Плоскость, проходящая
через FE и FD, пересекает плоскость АМС ио прямой /ЦЛ7-'. В этой плоскости
строим EP\\FD. Тогда ЕР ± АМС, причем EP—FD. АРМЕ = <р — угол между ME
и плоскостью АМС. MO-V3-, ВК-3\ МЕ = МК~2‘, ВТ  КМ = МО • КВ\ ВТ =
МО-КВ	/3-3 3/3	3/3	3/3
— “х— = —~; PD = —-—, а так как ЕР =11), то ЕР----------------А—.
2	2	4	4
3 /J	3 /J	3 /3
—5—; <р = arcsin —5. Ответ: <р = arcsin —5.
О	О	о
км
РЕ
s,n * = МЁ
СОДЕРЖАНИЕ
КЛАСС 7 ...................................... 5
Задачи для урока ............................. 7
Контрольные задания.......................... 81
Математические диктанты...................... 91
Ответы и указания к задачам для	урока.	103
Ответы и указания к контрольным	заданиям ...	121
КЛАСС 8 .................................... 125
Задачи для урока ........................... 127
Контрольные задания......................... 211
Математические диктанты..................... 225
Ответы и указания к задачам для	урока.	233
Ответы и указания к контрольным	заданиям ...	257
КЛАСС 9 .................................... 261
Задачи для урока ........................... 263
Работы на повторение........................ 317
Контрольные задания......................... 327
Математические диктанты..................... 339
Ответы и указания к задачам для	урока.	345
Ответы и указания к работам на повторение ... 363
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 365
617
. 
КЛАСС 10 ................................. 369
Задачи для урока............................ 371
Контрольные задания......................... 437
Математические диктанты .................... 451
Ответы и указания к задачам для	урока ... 459
Ответы и указания к контрольным	заданиям ...	489
КЛАСС 11 ................................. 493
Задачи для урока............................ 495
Работы на повторение........................ 541
Контрольные задания......................... 549
Математические диктанты .................... 557
Ответы и указания к задачам для	урока ... 562
Ответы и указания к работам на повторение ... 605
Ответы и указания к контрольным заданиям ... 610
618
Издательская фирма «МИР И СЕМЬЯ-95»
представляет Вашему вниманию серию учебной
и педагогической литературы «МАГИСТР»
(Математика, Алгебра, Геометрия, Искусство, История)
Серию «МАГИСТР» открывает став-
шая уже известной по всей России книга
петербургского математика и методиста
Бориса Германовича Зива «Задачи к уро-
кам геометрии. 7—-И классы», выдержав-
шая за 1996 г. 4 издания!
1.	Зив Б. Г. Задачи к урокам геометрии.
7-11 классы.
2.	Зив Б. Г. Комплект раздаточных ма-
териалов. 7-11 кл.
Все вошедшие в книгу Б. Г. Зива задачи
представлены здесь в виде карточек, кото-
рые Вы можете разрезать и раздавать уча-
щимся на уроках геометрии. Все ответы к
помещенным в раздаточных материалах
задачам и указания к решению наиболее
сложных задач приведены в конце книги
Б. Г. Зива «Задачи к урокам геометрии.
7-11 классы».
3.	Зив Б. Г. Задачи но алгебре и началам
анализа от простейших до более сложных.
Книга носит ярко выраженный обоб-
щающий характер как по широте охвата
материала, так и по глубине его прора-
ботки.
Сюда вошли подготовительные уп-
ражнения, облегчающие усвоение уча-
щимися нового материала; система
устных упражнений теоретического
плана помогает учителю эффективно
проверить теоретические знания; сис-
тематизирующие устные контрольные
работы, большое число графических
упражнений.
4.	Зив Б. Г. Математика—11. Уроки
повторения.
Набор материалов для проведения
обобщающих уроков и домашних заданий
по алгебре, началам анализа и геометрии в
11 классах. Дополнительные упражнения
для наиболее сильных учеников.
5.	Гольднч В. Л., Злотин С. Е. 3000
задач по алгебре для 5-9 кл.
Сборник, составленный известными
математиками-методистами, содержит на-
бор самостоятельных и контрольных ра-
бот по математике и алгебре для 5-9 клас-
сов, дополнительные задачи к урокам.
Весь материал разработан и составлен в со-
ответствии с действующей программой. За-
дачи снабжены методическими указаниями,
ответ ами и типовыми решениями. Авторы —
лауреаты Соросовских премий.
6.	Карп А. П. Задачи по алгебре. 8-9 кл.
Автор собственной нестандартной ме-
тодики, направленной на максимальное
усвоение математических знаний учащими-
ся, А. Карп рекомендует свой новый задач-
ник для занятий в классах различного уров-
ня и направленности, а также для ученичес-
кого самоконтроля. В каждой из тем курса
алгебры выделен ряд идей, с которыми уча-
щиеся знакомятся, выполняя задания, объ-
единенные в тематические блоки, открываю-
щиеся указаниями и примерами. Автор •—
кандидат педагогических наук, председа-
тель Государственной экзаменационной ко-
миссии СПб.
7.	Егоров В. А., Орлов В. П., Соло-
вьев В. А. Экзамен на степень бакалавра
(Математика).
Пособие для подготовки к сдаче экзаме-
на по математике (задания, система прове-
рочных тестов) в вузы научно-технического
профиля европейских стран и США. Для
тех, кто хочет учиться за рубежом, также
содержится объективная информация об
услових приема российских студентов.
8.	Беккер Б. М., Некрасов В. Б. Приме-
нение векторов дня решения задач.
Большинство заданий, помещенных в
данное учебное пособие, предлагается на
вступительных экзаменах в ведущие вузы
Москвы и Санкт-Петербурга. Все они
снабжены подробными решениями и от-
ветами.
Цель сборника — ознакомить учащихся
и показать, какое преимущество даст при-
менение векторного аппарата для реше-
ния различных задач школьного курса
математики.
9.	Саакян С. М., Атанасян Л. С., Бу-
тузов В. Ф. Рекомендации по работе с
учебником геометрии.
Издание содержит рекомендации но
планированию учебного материала по
первой теме программы 11 класса «Метод
координат в пространстве», анализ наибо-
лее существенных теоретических вопро-
сов, относящихся к этой теме, текст ы мате-
матических диктантов и самостоятельных
работ, примерные варианты контрольных
работ, решения некоторых задач учебни-
ка, образцы слайдов, карточки-задания
для проведения зачета по теме.
10.	Муравнн К. С., Муравнн Г. К. За-
дачи и упражнения по алгебре для 7-9 кл.
Разрабатывая систему упражнений, ав-
торы поставили перед собой задачу со-
здать ее такой, чтобы она обеспечивала
эффективное усвоение курса и одновре-
менно позволила осуществить дифферен-
циацию обучения.
В систему упражнений включены зада-
ния, выполнение которых представляет со-
бой относительно завершенный исследова-
тельский цикл: от частных наблюдений к
гипотезе, затем к проверке гипотезы — это
лабораторные и исследовательские работы.
В сборнике приведены 18 различных видов
работ (по 6 на каждый год обучения).
II.	Лбчук В. А. Путь к успеху. Курс
бизнеса.
Эта книга — о бизнесе в России — по-
строена на отечественных законах, приме-
нительно к школьной программе по эконо-
мике, и ориентирована, в первую очередь,
на учащихся старших классов, экономичес-
ких лицеев и колледжей, специальных про-
фессиональных учебных заведений.
Значительное внимание уделено управле-
нию конкретными вадами предприятий, эконо-
мическим методам менеджмента, маркетингу.
Нагляд ные схемы, иннмагипт* х рисунки, ме-
тодические разработки. Практикум по биз-
несу, задачи по всем разделам учебного
пособия и образцы их решений.
12.	Гринченко Б. И. Как решать задачи
по физике. Курс физики в задачах. 9-11 кл.
Рассмотрены общие подходы и методы
решения задач по фундаментальным раз-
делам школьного курса физики.
В решениях специально отобранных по
каждой теме серий задач отражены основ-
ные идеи и приемы, которые используют-
ся в экзаменационных и олимпиадных за-
даниях.
Автор — кандидат физико-математичес-
ких наук, доцент.
Книга адресована широкому кругу чи-
тателей: может быть эффективно исполь-
зована как в качестве пособия при работе
в классе, так и в качестве самоучителя.
12.	Парахуда В. А. Химические за-
кономерности периодической системы
элементов Д. И. Менделеева.
В книге последовательно рассмотрены
семь основных закономерностей и свыше
25 правил периодичности свойств элемен-
тов, раскрыто значение принципа перио-
дичности в других разделах естествознания.
Современному подходу в преподавании
химии полностью соответствует конспек-
тивный стиль изложения материала. Это
удобно и для начинающих изучать химию
в 8-9 классах, и для продолжающих обуче-
ние в 10—11 классах, и для абитуриентов.
13.	Вакс Э. П., Афонина Е. П. «The
Spirit of Saint Petersburg» («Дух Санкт-
Петербурга»). Издание 2-е, испр. и дои.
Лингво-страноведческое учебное посо-
бие для учащихся старших классов, сту-
дентов и всех изучающих английский
язык. В оригинальной и наглядной форме
изложены интереснейшие материалы по
истории, литературе, культуре и архитек-
туре Санкт-Петербурга. Издание богато
иллюстрировано. Британский Совет по
культуре одобрил неординарную разра-
ботку петербургских методистов, оценив
ее как прекрасное учебное пособие для
изучающих язык.
15.	Роговер Е. С. В мире эстетических
ценностей. Очерки о прекрасном и сочине-
ния учащихся.
Предлагаемое учебное пособие исследу-
ст основные категории эстетики и виды
искусства на материалах созданных за ты-
сячелетия произведений во всех областях
творчества: слово, архитектура, живо-
пись, скульптура, графика, музыка, театр,
кино, цирк.
Исследование сопровождается множе-
ством иллюстраций, воспроизводящих
шедевры мирового искусства.
В издание включены сочинения стар-
шеклассников, написанные в жанрах рас-
суждения, письма, диалога, раздумья, ки-
носценария, эссе, дневника, критической
статьи и т.д.
Адресуется преподавателям, учащимся
и всем интересующимся наукой о прекрас-
ном.
16.	Пролет Е. В., Яценко О. А. В начале
жнзнн школу помню я...
Книга о лицейских годах А. С. Пушки-
на. Написана доступно и увлекательно,
оформлена уникальными силуэтными ил-
люстрациями известного художника
К. Е. Севастьянова.
Адресована учащимся начальной и
средней школы. Крупный, четкий шрифт
позволяет использовать издание для вне-
классного чтения.
Издание рекомендовано комитетом
по образованию для дополнительного
чтения учащимися и внесено в «Образо-
вательные стандарты Петербургской
школы».
17.	Лейкин В. Каждый четверг в четы-
реста сорок восьмой.
Книга петербургского поэта-педагога
Вячеслава Лейкина — это умный и веселый
рассказ об опыте общения с одаренными
ребятами па занятиях поэтического кружка
при редакции одной из детских газет.
Режиссер Юрий Мамии уговорил поэ-
та опубликовать работы учеников, и, на-
конец, мы можем предложить Вашему
вниманию сочинения юных дарований.
Это великолепный материал для вне-
классного чтения и факультативных заня-
тий по литературе.
18.	Будза Л. А. Йога внутреннего ху-
дожника или Как развить творческие спо-
собности.
Книга послужит верной опорой в про-
цессе обучения различным дисциплинам,
реализации себя в любой области искусст-
ва, в бизнесе, в научной и медицинской
сферах — в любом виде созидательной дея-
тельности. Особенно данный метод реко-
мендуется в помощь тем, кого затрагивает
проблема отставания в учебе школьников,
студентов. Он также поможет решить во-
прос об их социальной и психологи-
ческой адаптации.
Результаты обучения методу в эзотери-
ческих школах России и Западной Евро-
пы. Применение метода во время экспеди-
ций в Египет — к пирамидам Гизы и Сак-
кара, в Индию — в буддийские храмы
Аджанты и храмовый комплекс Эллоры, а
также в ашрам Сатья Саи Бабы. Медита-
тивные аспекты творчества Леонардо да
Винчи, Сальвадора Дали и А. С. Пушки-
на. Издание дополнено альбомом медита-
тивных рисунков автора.
19.	Мсдведовский И. Д., Платонов В. В.
и др. Атака через Internet (под редакцией
проф. П. Д. Зегжды).
Каждые 20 минут происходит преступ-
ление с использованием программных
средств. В более чем 80% случаев компью-
терных преступлений “взломщики” про-
никают в атакуемые системы через гло-
бальную сеть Internet.
Российские авторы подробно излагают
механизмы удаленных атак и рассматри-
вают возможные способы защиты от них.
Подобный анализ впервые произведен на
базе исследований российских специалис-
тов с учетом местной специфики.
20.	Зегжда Д. II. Как построить защи-
щенную информационную систему.
Тематически продолжает и дополня-
ет «Атаку через Internet». Опираясь на
собственные исследования и последние
мировые достижения в области инфор-
мационной безопасности, авторы раз-
работали и описали основные принци-
пы построения защищенных систем обра-
ботки информации, применимые к
российским условиям.
СЕРИЯ “Нить судьбы”
21.	Жолт Харшаньн. Грезы любви.
Роман о жизни, творчестве и любви Фе-
ренца Листа.
Невероятное произведение — жизнь ве-
ликого музыканта от рождения до смерти!
Блестящий взлет, жизнь, похожая на вол-
шебный сон! А за красивым фасадом —
поиски настоящего понимания и преда-
тельство, запутанные отношения с люби-
мыми, жажда божественного откровения.
Роман еще не публиковался на русском
языке, хотя вышел на всех языках мира.
Книга богато иллюстрирована мастера-
ми книжной графики. Издание осущест-
влено как подарочное — объемистый том
(1200 сграниц!), удобный для чтения
шрифт, изысканное оформление.
22.	Молин Ю. А. Тайпы гибели великих.
Ретроспективный анализ биографий и
обстоятельств смерти исторических лич-
ностей — от Смугного времени и до начала
XX века. Мифы и загадки русской старины
подвергаются аналитической дешифров-
ке под пристальным взглядом нашего со-
временника, судебно-медицинского экспер-
та. Яркий, захватывающий детектив о дра-
матических событиях прошлого Руси.
СЕРИЯ
“Библиотека европейской классики”
23.	Шарлотта Бронте. Учитель.
Открывает серию первое крупное про-
изведение выдающейся британской писа-
тельницы Шарлотты Бронте, ранее не
переводившееся с английского языка и не
выходившее отдельным изданием.
Роман, который целое столетие был не-
заслуженно забыт, впервые становится
доступным читателю. Топкая языковая
игра автора и персонажей чугко уловлена
и передана переводчиком.
Классический викторианский роман о
любви, о борьбе разума и чувств.
Окупитесь в столь непонятную и стран-
ную для нас викторианскую эпоху, ощути-
те мерное, тягучее течение того времени,
попробуйте попять его противоречия.
Готовится к выпуску
24.	Л. фон Захер-Мазох. Утоление мерт-
вым неведомо.
Впервые в России переведены произ-
ведения самого скандального и невер-
но интерпретируемого классика XIX
столетия. Сборник повестей этого пи-
сателя в нашем издании позволит Вам
по-новому взглянуть на творчество ав-
тора “Венеры в мехах’’, германского
романтика, подавленного культом Ве-
ликой Матери.
Научно - популярная медицинская серия
25.	Улнговскнн С. Б. Сохрани улыбку.
Уникальное издание, посвященное акту-
альной проблеме — профилактике и лече-
нию стоматологических заболеваний. Ос-
новным достоинством этого стоматологи-
ческого «ликбеза» является простой,
доступный язык.
Примеры из личного профессионального
опыта, «специфичный» медицинский юмор и
анекдоты, старинные народные заговоры от
зубной боли делают чтение крайне увлека-
тельным.
Гопювится к выпуску
26.	Улитовский С. Б. Приключения Ко-
ролевы Зубной Щетки.
В новую книгу Сергея Улитовского —
заслуженного врача России — войдут за-
мечательная волшебная сказка «Приключе-
ния Королевы Зубной Щетки», раскраска-
комикс для малышей и ряд полезных ре-
комендаций для их родителей. Это
наглядное пособие, красочно оформлен-
ное, дополненное кроссвордами, ребуса-
ми, веселыми задачками, поможет детям
освоить навыки гигиены полости рта и
ухода за зубами.
Дополнительная информация об услуге
«КНИГА-ПОЧТОЙ»
Почтовая карточка, вложенная в при-
обретенное Вами издание, позволит Вам
заказать заинтересовавшие Вас книги на-
ложенным платежом. Но прежде чем за-
полнил, карточку, советуем прочитал,
информацию полностью.
Воспользуйтесь следующими указаниями:
А. На .пниной стропе гючгигюй кар-
точки;
I. Отчетливо (лучше печатными буквами)
укажите полный почтовый адрес с индексом,
фамилию, имя и отчество отправителя.
2. Приклейте марки.
Б. Нацбшюгс нячтсмюп карточки;
1. Укажите количество экземпляров вы-
бранного Вами издания.
2. Продублируйте Ваш полный почто-
вый адрес, фамилию, имя, отчество и, но
возможности, укажите свой телефон (с ко-
дом города).
Вышлите нам эту карточку — если дове-
ряете почте — как обычную открытку или
же в конверте, а если нс доверяете — то с
уведомлением о вручении.
Во избежание недоразумений при от-
правке и получении посылки пишите свои
имя и отчество полностью. Не рекоменду-
ем указывать в заявке адрес организации
(например школы), так как в этом случае
значительно возрастают почтовые расходы.
Просим учесть, что мы не сможем вы-
слать книги «до востребования» или на
абонентский ящик.
Отправляя почтовую карточку. Вы даете
гарантию выкупа посылки, отправленной
наложенным платежом. Если Вы нс увере-
ны в этом, то не стоит высылать и заявку.
Заказанные книги, имеющиеся на мо-
мент отправки в наличии, высылаются
единовременно. Сроки исполнения заявок
зависят во многом от почты и очереднос-
ти в компьютерном банке данных изда-
тельства. В первую очередь выполняются
заявки постоянных клиентов и но предва-
рительной оплате.
При изменении почтовых тарифов изме-
няется стоимость наложенного платежа.
Наши рекомендации:
I.	Обращайтесь напрямую в издательст-
во или в методические центры, если Вас
заинтересовали наши книги, так как роз-
ничная торговля (книжные магазины,
книготорговые фирмы), реализуя пашу
продукцию, делает большие наценки.
2.	Поймггте, что все ггроставленные на на-
гни издания цены абсолютно реальные, ос-
нованы на экономическом расчете, учитыва-
ют Ванги и наши интересы и соответствуют
экономическому положению в стране.
3.	Даже earn Вы не решились заказат ь что-
либо, то все равгго зарегистрируйтесь в па-
шей баге данных, эго даст Вам возможност ь
бесплатно получать каталог изданий.
Распространением книг издательства
“Мир и Семья-95" занимается книготор-
говая фирма "Интерлайн".
Ждем Вас от 10.00 до 17.00 часов еже-
дневно, кроме субботы и воскресенья.
Наш адрес:
199155, г. Санкт-Петербург, Ураль-
ская, 17 (4-й этаж), (ст. метро «Василео-
стровская», «Приморская»),
тел./ факс: 350-17-74, телефон коммута-
тора: 350-27-21, доб.244.
От станции метро «Василеостровская»
можно добраться трамваем № 6, автобу-
сами №41, 151 до остановки «ул. Желез-
новодская».
Издательство «Мир и Семья-95» готово
к сотрудничеству с авторами, издателями
и распространителями книг в регионах.
По вопросам:
—	оптовых закупок обращаться к ком-
мерческому директору ООО "Интерлайп"
Елене Петровне МИХАЙЛОВОЙ;
—	наложенного платежа к Виолетте
Витальевне ДАНИЛОВОЙ или к Светлане
Викторовне ЗАЙЦЕВОЙ;
—	новых изданий — к начальнику из-
дательского отдела Нине Николаевне
АТАМАНЕНКО.
Дополнительно предлагаем подарочные книги:
А. С. Пушкин. Руслам и Людмила.
Знаменитая поэма выпускается в честь
200-летия со дня рождения А. С. Пушкина.
Книга для детей и взрослых, в которой
великий русский поэт умело объединил
сказочные мотивы и исторические собы-
тия жизни Киевской Руси.
Высокая романтика, героические дея-
ния, любовь и коварство, благородство и
черная зависть — все это составляет узор-
чатый ковер поэтического шедевра.
Книга богато иллюстрирована Санкт-
Петербургским художником В. Канивец.
Подарочное издание.
Формат 84 х 108/16, 120 стр., переплет.
Книга отпечатана на высококачественной
белой бумаге.
Тысяча и одна ночь.
В книгу вошли пересказанные для детей
самые популярные восточные сказки из
широко известного памятника средневе-
ковой арабской литературы: “Рассказ о
царе Шахриярс”, “Синдбад-Мореход”,
“Алладин и волшебная лампа”, “Али-
Баба и сорок разбойников”. “Лентяй Абу-
Мухаммед” и “Конь из черного дерева”.
Книга украшена более чем 100 ориги-
нальными цветными иллюстрациями
Санкт-Петербургского художника В. Ка-
нивец.
Подарочное издание.
Формат 84 х 108/16, 200 сгр., переплет.
г
Учебное издание
Борис Германович ЗИВ
ЗАДАЧИ К УРОКАМ ГЕОМЕТРИИ. 7-11 КЛАССЫ
ЗА О НПО «Мир и Семья-95»
С.-Петербург, ул. Уральская 17, т.(812)3501774, 3502721 (доб. 244)
Редакторы:
Татьяна Ильинична КЛИМЕНКО, завуч 196 средней школы С.-Петербурга
Анна Семеновна ПИВОВАРОВА, учитель математики 526 школы
С.-Петербурга
Александр Витальевич СЫЧЕВ, учитель математики 196 школы С.-Псгербурга
Компьютерный набор: Екатерина Пеняева
Компьютерная верстка: Ирина Константинова, Ирина Межебурская
Художник: Игорь Хойхин
Ответственный за подготовку издания: Александр Полуда
Ответственная за выпуск: Наталия Емельянова
Ответственная за распространение: Елена Михайлова
Транспорт ное обеспечение: Владимир Минин
ЛР № 062918 от 09.08.93.
Подписано в печать 23.02.98. Формат 60X90/16. Объем 39 п. л. Гарнитура «Таймс».
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Тираж 10 000 экз. Заказ № 1306.
Отпечатано с диапозитивов в ГПП «Печатный Двор»
Государственного комитета РФ по печати.
197110, С.-Петербург, Чкаловский пр., 15.
Книга напечатана на бумаге производства
Каменогорской фабрики офсетных бумаг, г. Каменогорск,
Ленинградская область, Ленинградское шоссе, д. 54.
Представительство в С.-Петербурге
т/ф: (812) 278-84-59, 278-84-60


Борис Германович ЗИВ родился
25.02.1928 г. в Ленинграде в семье
научного работника. Одним из первых
в СССР окончил школу с золотой
медалью. Выпускник физического
факультета Лениградского универ-
ситета. После службы в армии рабо-
тал преподавателем математики и
физики 217 и 222 школах Ленинграда.
С 196& г. по настоящее время препо-
дает в 524 гимназии С.-Петербурга.
С 1967 г. отличник народного просве-
щения РФ. В 197& г. получил звание
"Учитель-методист". В 1990 г. присвое-
но звание "Заслуженный учитель РФ".
В 1994 г. стал Ооросовскиг/ учителем.
Автор 11 книг и многочисленных
статей. Широко известен как лектор
и методист. Его разработками руковод-
ствуется целая плеяда учителей мате-
матики в Санкт-Петербурге и други-
городах, В 1995 г, в издательстве
"Мир и Семья-95" вышла книга Б.Г.Зива
"Задачи к урокам геометрии. 7-11 кл",
получившая широкое признание среди
специалистов и учителей. На ее основе
КНИГИ Б.Г.ЗИВА В СЕРИИ УЧЕБНОЙ И
ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
в 1996 г. выпущены комплекты "Разда-
точные материалы к урокам геометрии"
для 7-11 кл. Сотрудничество автора и
издательства продолжилось - "Задачи
"МАГИСТР"
по алгебре и началам анализа", 1997 г.,
"Математика-11. Уроки повторения",
1998 г., подготовленная к 70 летнему
юбилею автора.
ЗИВ

К SPOKflM ГЕОМЕТРии. 7 м.
НПО "MLP 11 СЕМНЙ-9Е"
Книги
издательства
"Мир и Семья-95"
реализует
фирма
кл"Интерлайн
Я 5-'
наб.
t
।	§ Малый пр.
1 х
1 с Средний пр
1 “
 со -ВАСИЛЕ '
>ленки.
Мир и Семья-95, Интерлайн. С-Петербург, 1998