Автор: Балаян Э.Н.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике геометрия задачи подготовка к экзаменам учебное пособие
ISBN: 978-5-222-20490-0
Год: 2013
Текст
Геометрия задачи на готовых чертежах для подготовки
Большая перемена
Э.Н. Балаян
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах для подготовки кГИА и ЕГЭ 7-9 классы
Издание пятое, исправленное и дополненное
Ростов-на-Дону /феникс 2013
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ : 7-9 классы / Э.Н. Балаян. — Изд. 5-е, исправл. и дополн. — Ростовн/Д : Феникс, 2013. — 223с.— (Большая перемена).
ISBN 978-5-222-20490-0
Предлагаемое вниманию читателя пособие содержит более 1000 разноуровневых задач и упражнений по основным темам программы геометрии (планиметрии) 7-9 классов, скомпонованных в 3 комплекта по готовым чертежам. 7 класс содержит 12 таблиц, 8 класс — 25, 9 — 12 таблиц.
Эти упражнения дают возможность учителю в течение минимума времени решить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, приводятся краткие теоретические сведения по курсу геометрии 7-9 классов, сопровождаемые определениями, теоремами, основными свойствами и необходимыми справочными материалами. К наиболее трудным задачам приведены решения и указания.
Пособие адресовано учителям математики, репетиторам, студентам — будущим учителям, учащимся общеобразовательных школ, лицеев, колледжей, а также выпускникам для подготовки к ГИА и ЕГЭ.
УДК 373.167.1:51
ISBN 978-5-222-20490-0 ББК 22.1я72
© Балаян Э.Н., 2012
©Оформление, ООО «Феникс», 2013
Предисловие
На начальном этапе изучения геометрии основную трудность для учащихся представляет выполнение чертежа. Кроме того, на его выполнение расходуется много времени.
Предлагаемое вниманию читателя пособие ставит целью устранить этот пробел с помощью готовых чертежей.
На уроках геометрии очень часто каждое высказывание и ответ на вопрос должны, как правило, сопровождаться демонстрацией чертежа, причем чертеж и данные из условия задачи должны находиться перед глазами учащихся в процессе решения задачи. Когда учащиеся наглядно видят условие, то легче решают задачи. По этой причине упражнения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь в усвоении и закреплении новых понятий и теорем, дают возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы на уроках.
Кроме того, эти упражнения способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся, обучают умению грамотно рассуждать, находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопоставлять, делать правильные выводы.
В пособии на всех чертежах равные углы и отрезки отмечены одинаковыми знаками, прямые углы — квадратиками, это дает возможность учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях задачи. Большинство задач предназначены в качестве устных упражнений. Учитель может по своему усмотрению заранее подготовить их на доске или плакатах и отводить на решение по 10-15 минут в начале каждого урока. Поскольку задачи есть и посложнее (они расположены, как правило, в конце каждой таблицы), то учитель может выбрать те или иные упражнения в зависимости от уровня подготовленности класса.
При выполнении упражнений происходит активная мыслительная деятельность учащихся, что в свою очередь приводит к эффективному непроизвольному запоминанию определений, свойств и признаков изучаемых фигур. Определения, свойства и признаки рассматриваемых фигур периодически повторяются в процессе выполнения разнообразных упражнений, что приводит в итоге к продуктивному запоминанию. Большое значение имеет и то, что учащиеся с большим удовольствием предпочитают выполнять эти упражнения, чем отвечать на теоретические вопросы.
Наконец, предлагаемые упражнения быстро готовят учащихся к запоминанию и самостоятельному решению таких задач, для которых эти упражнения являются элементами.
4 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Предлагаемая методика проведения уроков с использованием упражнений на готовых чертежах, несомненно, способствует повышению творческой активности учащихся, развитию логического мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления теоретического материала.
Пособие представляет собой три комплекта упражнений по геометрии для учащихся 7-9 классов, составленных в виде таблиц. Все задания соответствуют ныне действующей программе по геометрии (планиметрии). Пособие может быть использовано учителями, работающими по учебнику Л.С. Атанасяна «Геометрия, 7-11» и другим книгам.
В пособии 12 таблиц для 7 класса, 25 для 8 и 12 для 9 класса. В каждой таблице количество задач различно. Как правило, они составлены в порядке возрастающей трудности, что дает возможность учителю проводить работу дифференцированно.
К наиболее трудным задачам приведены подробные решения с пояснениями, а к остальным — указания и ответы, что дает возможность проверить правильность решения.
Отметим, что предлагаемые упражнения не ставят целью заменить систему задач из вышеуказанных пособий, а являются лишь дополнением к ней. Они дают возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усилению практической направленности преподавания геометрии.
Раздел I
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Планиметрия
1.Углы
Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОВ — стороны угла.
Обозначение: ZAOB или Zab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым (рис. 4).
Рис. 4
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5).
ZAOC и ZDOB; ZBOC и ZAOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: ZAOC = ZDOB и ZBOC = ZAOD.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), ZAOC и ZBOC— смежные.
Рис. 6
6 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9).
При пересечении двух прямых а и & третьей с (секущей) образуется 8
углов (рис. 10):
соответственные углы:
Z1 и Z5, Z2 и Z6, Z4 и Z8, Z3 и Z7;
внутренние накрест лежащие:
Z4 и Z6, Z3 и Z5;
внешние накрест лежащие:
Z1 и Z7, Z2 и Z8;
внутренние односторонние:
Z4 и Z5, Z3 и Z6;
внешние односторонние:
Z1 и Z8, Z2 и Z7.
2. Многоугольник
Рис. 11
ABCDE — пятиугольник (рис. 11).
Точки А, Ву С, D, Е — вершины многоугольника; ZA, ZB, ZC, ZB, Z.E— углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки AC, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + ... + ЕА — периметр многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым (рис. 11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 7
его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).
Свойства:
1. Сумма внутренних углов произвольного n-угольника равна 180° • (п - 2).
2. Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
3. В выпуклом n-угольнике из каждой
вершины можно провести (п - 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (п -
2) треугольников.
4. В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно ~ п(п - 3).
&
3. Правильные многоугольники
Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства:
. „ . 180°(п-2)
1. Каждый угол правильного n-угольника равен а„ =-------.
п
2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.
3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.
4. Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах.
5. Центр окружности, описанной около правильного п-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же п-угольник.
6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окруж-
„ • 180°
ность радиуса л, равна a = 2R sin-.
п
7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около х 180°
окружности радиуса г, равна а = 2r tg-.
п
4. Треугольник
Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Точки А, В, С — вершины ДАВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ZA, ZB и ZC — углы.
Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13):
АВ = с, ВС = а, АС = Ь.
Р = а + b + с — периметр треугольника.
Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (рис. 13).
Треугольник, у которого угол прямой, называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а и Ь), а сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15).
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным (рис. 16).
Рис. 15
Рис. 16
А
Равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис. 17).
Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Рис. 17
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.
3. Высота, проведенная к основанию, является одновременно медианой и биссектрисой.
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 9
4. Медиана, проведенная к основанию, является одновременно высотой и биссектрисой.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (рис. 18).
ZCBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (рис. 18): Z.CBD = ZA + ZC.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19).
5. Признаки равенства треугольников
I признак (признак равенства по двум сторонам и углу между
ними )
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 20).
АВ = А^, АС = AiCp ZA = ZAP
II признак (признак равенства по стороне и прилежащим к ней уг-
лам )
Если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 21).
АВ = AjBp ZA = ZAP ZB = ZB P
III признак (признак равенства по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 22).
АВ = А1В1, ВС = BjCp АС = AjCp
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
1 0 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
6. Неравенства треугольника
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон: a < b + с, b < a + с, с < a + Ь.
7. Определение вида треугольника по его сторонам
Пусть с — наибольшая сторона, тогда:
а) если с2 < а2 + Ь2, то треугольник остроугольный;
б) если с2 > а2 + Ъ2, то треугольник тупоугольный;
в) если с2 = а2 + Ь2, то треугольник прямоугольный.
8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства)
1) Сумма острых углов равна 90° (рис. 23). ZA + ZB = 90°.
2) Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (рис. 24).
3) Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° (рис. 24).
Рис. 24
9. Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны (рис. 25).
АС = А1С1,ВС = В1С1.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны (рис. 26).
АС = АХСХ, АА= ААХ.
3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 11
соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны (рис. 27).
AB=AlB1, ZA = ZAP
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны (рис. 28).
АВ=А1В1,АС=А1С1.
10. Четыре замечательные точки треугольника
С каждым треугольником связаны 4 точки:
1) точка пересечения медиан;
2) точка пересечения биссектрис;
3) точка пересечения высот (или их продолжений);
4) точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.
Высотой треугольника называется длина перпендикуляра, опущенного из любой его вершины на противолежащую сторону или ее продолжение.
В тупоугольном треугольнике (рис. 29) две высоты падают на продолжение сторон и лежат вне треугольника, а третья внутри.
В остроугольном треугольнике (рис. 30) все три высоты лежат внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике катеты одновременно служат и высотами (рис. 31).
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника. В прямоугольном треугольнике он совпадает с вершиной прямого угла.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
1 2 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника (рис. 32).
Эта точка делит каждую медиану в отношении 2 :1 (считая от соответствующей вершины).
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла от вершины до пересечения с противолежащей стороной.
Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанного круга (рис. 33).
Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные через их середины (рис. 34, 35, 36), пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.
В тупоугольном треугольнике (рис. 34) эта
точка лежит вне треугольника, в остроуголь-Рис.ЗЗ ном (рис. 35) — внутри, в прямоугольном —
на середине гипотенузы.
Ортоцентр, центр тяжести, центр вписанной и описанной окружностей совпадают друг с другом только в равностороннем треугольнике.
11. Произвольный треугольник
1) Свойство биссектрисы (рис. 37) внутреннего угла треугольника:
CL 61^
ь ~ ~ь~х'
2) Длина биссектрисы:
Zc= Jab-ofo ;
_ y[ab(a + b + c)(a + b-c)
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 1 3
3) Длина медианы:
пс = |72(о2 +62)-е2 .
4) Длина высоты:
hc = ->]p(p-a)(p-b)(p-c) , с
где а, Ь, с — стороны треугольника,
р= —(а + Ь + с) — полупериметр,
hc — высота, проведенная к стороне с.
5) Зависимость между сторонами и высотами:
ha : hb : hc = | : -.
а b с
6) Зависимость между высотами и радиусом вписанной окружности: 1111
— + — + — — —.
ha hb hc Г
12. Теорема Чевы
Для того чтобы прямые ВЕУ AD и CF (рис. 38) пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ВС СЕ CD АЕ
Рис. 38
BF
13. Теорема Менелая
Если на сторонах ВС, АВ и продолжении стороны AC &АВС за точку С отмечены соответственно точки С1 и В1У лежащие на одной прямой, то
AQ ВАг СВХ СГВ АХС В^А ~ *
Рис. 39
14 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
14. Теорема синусов
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
а Ь с
= =-- = 2R, sin a-------------sin[3-sin у
где R — радиус окружности, описанной около треугольника.
15. Теорема косинусов
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
а2 = Ь2 + с2 - 2bc cos а, Ъ2 = с2 + а2 - 2са cos [3, с2 = а2 + Ъ2 - 2аЪ cos у.
16. Плошадь треугольника
1)S= |аЛа;
2) S = sin у;
3) S = у]p(p-a)(p~b)(p-c) (формула Герона);
4) S = р г, где р = | (а + b + с);
5)S=^;
4Я
a2sinBsinC о) о = --------.
2 sin А
17. Равносторонний (правильный) треугольник (рис. 40)
а2х/з г- г- Л
S = ----; а = Я\3 = 2г\3 ; / \
4 / \
Рис. 40
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 1 5
18. Подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого (рис. 41).
АВ и ВС и В1С1,АСиА1С1— сходственные стороны.
Из подобия треугольников следует:
ZA = ZAP ZB = ZBn ZC = ZCP
AB ВС CA ---- = ---- =----- = k, A|B| B^C*
где k — коэффициент подобия.
Обозначение: AABC ~ АА^В-^С^.
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей равно Л2, т* е- &ДАВС • = k2.
19. Признаки подобия треугольников
I признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны (рис. 42).
ZA=AP ZB = ВР
II признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между ними, равны, то такие треугольники подобны (рис. 43).
ZA = ZAP АВ _ АС АА - ДС, •
III признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны (рис. 44).
АВ = ВС = АС
АУВХ ВХСУ AjQ
Рис. 44
1 6 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах лля полготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Площади подобных фигур (в частности, многоугольников) пропорциональны квадратам их сходственных сторон.
В частности, площади кругов относятся как квадраты радиусов (или диаметров).
20. Четырехугольник
Рис. 47
1. Произвольный выпуклый (d! и d2 — диагонали, ср — угол между ними) (рис. 45).
S = — d^d2 sin ср.
2
2. Вписанный (рис. 46). а + у = р + 5= 180°.
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Верно и обратное.
ас + bd = dxd2
(теорема Птолемея).
S = yJ(p- а)(р -b)(p - с)(р - d),
где р = — (а + b + с 4- d).
2
3. Описанный.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (рис. 47).
а + с = b + d, S = р • г.
21. Параллелограмм
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (рис. 48).
АВ || DC, AD || ВС
(аиЬ — смежные стороны; а — угол между ними; ha — высота, проведенная к стороне а).
df + d2 = 2(а2 + b2) — зависимость между сторонами и диагоналями;
S = а ' ha = ab sin а = d1d2 sin ср —
площадь параллелограмма.
Рис. 48
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 1 7
Некоторые свойства:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы равны (АВ = = DC; AD = ВС; АА = ZC; ZB = ZD).
2. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (АО = ОС; ВО = OD).
3. Сумма углов, прилежащих к одной сто-
роне, равна 180° (ZA -I- ZB = 180° и т. д.). / / /
4. Диагональ параллелограмма делит его J s' / на два равных треугольника (bADC = ДАВС, / s' / LABD = ABCD). Лг /
5. Биссектриса угла параллелограмма от-
секает от него равнобедренный треугольник Рис. 49
(рис. 49).
Признаки параллелограмма (рис. 48)
1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (ZA = ZC; ZB = ZZ>), то такой четырехугольник — параллелограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
22. Трапеция
а и b - основания; h — высота; и d2 — диагонали; (р — угол между ними (рис. 50).
Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две не параллельны.
АВ || DC, АВ и DC — основания трапеции, AD и ВС — боковые стороны.
Отрезок I, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
I = — (а 4- Ь) — длина средней линии трапеции.
тп || а || Ь, тп =
2аЪ а + Ь *
ZA + ZD = 180° ; ZB + ZC = 180°.
S = I - h = — (а + b)' h = — dr • d2 sin ср — площадь трапеции.
1 8 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 52
Рис. 53
1. Равнобедренная трапеция
Если у трапеции боковые стороны равны, то такая трапеция называется равнобедренной (рис. 51).
AD = BC.
В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны (ZA = ZB; ZC = = ZD) и диагонали равны (АС = BD).
AE=±(a-b).
Если AC ± BD, то В = Л2.
АВ + CD = 2AD (рис. 52).
h = 2r, г — радиус вписанной окружности; h = y/ab .
R — радиус описанной окружности.
Точка О — центр окружности, описанной около любого треугольника, вершины которого совпадают с вершинами трапеции (рис. 53).
2. Прямоугольная трапеция
Если в трапеции один из углов прямой, то такая трапеция называется прямоугольной (рис. 54).
ZD = ZC = 90°.
BE = CD = h (высота трапеции).
АЕ = a - Ь.
23. Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (рис. 55).
Рис. 54
Рис. 55
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 1 9
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, у прямоугольника диагонали равны.
Стороны прямоугольника одновременно являются и высотами. d2 = a2 + b2.
S = ab = — d2 sin
2
ф.
24. Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 56).
Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми его свойствами.
Кроме того, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
АС 1BD.
АС — биссектриса угловА и С; BD — биссектриса углов В и D. d% + d% = 4а2.
S = а • ha = a2 sin а = — dx • d2 — площадь ромба.
2
25. Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (рис. 57).
Можно сказать, что квадрат — это ромб с прямым углом.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Основные свойства
Рис. 57
1. У квадрата все углы прямые.
2. У квадрата диагонали равны, взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
26. Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 58).
Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом.
20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Обозначение: г или R.
На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.
Часть окружности (например, CmD) называется дугой.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.
АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.
Обозначение: d или D.
D = 2R.
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.
Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (ACOD на рис. 58).
Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ZABC).
27. Свойства касательных к окружности
Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (ZACB на рис. 59).
1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.
28. Окружность и треугольник
1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 60).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 61).
Рис. 60
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 21
Рис. 61
29. Окружность и четырехугольник
1. Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противоположных углов была равна 180° (рис. 62).
а + р = 180°.
2. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны (рис. 63).
a + с = b + d.
Рис. 63
30. Углы и окружность
Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается (рис. 64).
ЛАО В - 'uAmB.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (рис. 65).
ZABC = ^иА/пС.
2
Рис. 64
22 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Рис. 65
Угол между хордой и касательной измеряется половиной дуги, заключенной внутри него (рис. 66).
ZABC = -иВтпС.
2
Угол между двумя касательными измеряется полуразностью дуг (рис. 67).
ZABC = ^(оАтпС - оАпС).
Угол между двумя хордами измеряется полусуммой дуг, на которые он опирается (рис. 68).
/АЕС = ^(иАтпС + oBnD).
Угол между секущими измеряется полуразностью дуг между ними (рис. 69).
/АВС = —СэАшС — oEnD).
Угол между касательной и секущей измеряется полуразностью отсекаемых ими дуг, прилежащих к касательной (рис. 70).
/АВС = — (oAmC - uCnD).
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 2
31. Метрические соотношения в окружности
Если хорды АВ и CD пересекаются в точке Е, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой (рис. 71).
АЕ • ЕВ = СЕ • ED.
Если из точки В к окружности проведены две секущие BDA и ВЕС, то
DB • АВ = ЕВ • СВ (рис. 72).
Если из точки В к окружности проведены секущая BDA и касательная ВС, то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной (рис. 73).
АВ • DB = ВС2.
Рис. 72
Рис. 73
32. Длина окружности. Плошадь круга и его частей
Зкр
С = 2tiR = tiD — длина окружности;
_ TiRn° _
Z = = Ra. — длина дуги окружности;
180
= tiR2 = — tiD2 = CR — площадь круга;
с „
я = — «3,14 — отношение длины окруж-
Рис. 74
ности к ее диаметру;
nR2n
5сект = ~360-площадь сектора.
24 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
33. Понятие вектора
Вектором называется направленный отрезок (рис. 75).
Всякий вектор характеризуется: _
1) начальной точкой;
2) направлением; А
3) длиной (модулем). Рис. 75
Длиной (модулем) ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ и обозначается | АВ | или |а|.
34. Равенство векторов
Если ненулевые векторы лежат на одной прямой или параллельных
прямых, то они называются коллинеарными (рис. 76).
Коллинеарные векторы:
а, fn, CD, КР, AA = Q.
Неколлинеарные векторы:
CD и ST, КР и ST.
Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они имеют одинаковые направления.
Например, a ft т, a tt КР, т^КР.
Коллинеарные векторы называются противоположно направленными, если они имеют разные направления.
Например, а и CD , т и CD , CD и КР .
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
35. Координаты вектора
Пусть А(хг; У)) — начало вектора а, В(х2; у2) — конец вектора а (рис. 75).
Координатами вектора а называют числа ах = х2 - хх, а2 = у2 - ух и обозначают а(ах', а2).
Тогда абсолютная величина (модуль) вектора с координатами аТ, а2 равна |d|= 7ai +а2‘
Если векторы равны, то у них равны соответствующие координаты. И обратно, если у векторов равны соответствующие координаты, то векторы равны.
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 25
36. Действия над векторами
1. Сумма двух векторов.
Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство (рис. 77):
АВ + ВС = АС (правило треугольника), или a + 6 = с.
2. Векторы складываются геометрически по правилу параллелограмма (рис. 78): сумма двух векторов а и В, имеющих общее начало, изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
3. Для векторов справедливы переместительный и сочетательный законы сложения:
а + В = В + а и а + (В + с) = (а + В) + с.
4. Разностью векторов a{aY\ а2) и B(bY; Ь2) называется такой вектор c(cY; с2), который в сумме с вектором В дает вектор а, т. е.
В + с = а (рис. 79).
5. Умножение вектора на число.
Произведением вектора a(aY; а2) на число k называется вектор ka(kaY\ ka2).
Из определения следует, что:
1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;
2) для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны. Основные свойства умножения вектора на число:
1) (kl)a = k(la) — сочетательный закон;
2) (k + l)a = ka + la — I распределительный закон;
3) k(a + В) = ka + kB — II распределительный закон.
37. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов назы- _
вается произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними (рис. 80).
а • В = |d| • |£| • cos а.
1) Если а ± В, то а = 90°, cos а = 0, тогда а • В = 0. g
Верно и обратное: если а • В = 0, то а ± В. рис
2) Если а < 90°, то а • В > 0; если а > 90°, то а • В < 0.
26 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
38. Скалярное произведение в координатах
Если a{xx; z/J, В{х2; у2}, то а • Ъ = ххх2 + уху2.
Следствие 1. а ± Ъ тогда и только тогда, когда ххх2 + у^у2 = 0.
„ „ о х.х.,+у.у.?
Следствие 2. cos а-------------- ., где а — угол между ненулевы-
у-^1 *" У\ ' у 'Ey 2
ми векторами d{xp z/J, b{x2, у2}.
39. Свойства скалярного произведения векторов
1) а • а = )а|2;
2) а • b = Ъ • а (переместительный закон);
3) (а + Ъ) • с = а • с + b • с (распределительный закон);
4) (&п) • Ь = k(a • b) (сочетательный закон).
40. Уравнение окружности
Если центром окружности является начало координат (рис. 81), то уравнение окружности имеет вид
х2 + у2 = R2.
Если центр окружности М(х0; z/0), то уравнение окружности имеет вид (рис. 82)
(х - х0)2 + (у - z/0)2 = R2.
41. Уравнение прямой
1) Любая прямая в декартовых координатах х и у задается уравнением вида ах + by + с = 0, где а и b — коэффициенты при неизвестных, с — свободный член.
Раздел I. Краткие теоретические сведения •» 27
с 2) Если а = 0, 6 0, то у = уравнение b У ( с
прямой, параллельной оси Ох (рис. 83). 0 у ь X
Рис. 83
с
3) Если 6 = 0, а * 0, то х =-уравнение
a
прямой, параллельной оси Оу (рис. 84).
4) Если с = 0, а * О, b ф 0, то ax + by = 0 — уравнение прямой, проходящей через начало координат (0; 0) (рис. 85).
Рис. 85
Раздел II
УПРАЖНЕНИЯ В ТАБЛИЦАХ
VII класс
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Раздел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 29
Окончание табл. 1
ZBCD = 120°
ZBCE — 1
ZSOQ — ?
30 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Таблица 2
Разлел //. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 31
Окончание табл. 2
32 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 3
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
Раздел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 33
Продолжение табл. 3
34 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 3
Разлел //. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 35
36 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЕРИМЕТР РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 4
Раздел //. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 37
Окончание табл. 4
38 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 39
Продолжение табл. 5
40 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 5
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Таблица 6
Укажите пары параллельных прямых (отрезков) и докажите их параллельность.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 41
Продолжение табл. 6
42 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 6
Раздел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 43
44 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 45
СВОЙСТВА УГЛОВ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Таблица 7
1
Ф с — секущая Zl - Z2 = 32° Zl, Z2 — ?
КР || NM ZNKP = 120° Z7V, ZM — ?
k\\d
I — секущая Z1 = 2,6 Z2 Zl, Z2 — ?
4
AC || BK
ZA, ZABC — 2
Ф
с — секущая
4
Z2 = — Zl
5
Zl, Z2 — ?
46 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 7
ТЕ || RP
ZRPF, ZSFT — ?
СЕ || ВА Z3 = 130°
Раздел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 47
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 8
ZA : ZC = 2 : 5 ZA, ZC — ?
AM = 2 АК
М К
AQPK = 3,5 AQPM AM : ZQ = 3:4 AM, AQ, AQPM — ?
ASTM = 2 AS AS, ASTR — Ч
В
48 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 8
УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 9
Найдите все неизвестные углы треугольника.
Раздел II. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 49
50 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 9
Разлел II. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 51
Продолжение табл. 9
52 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 9
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 10
Раздел П. Упражнения в таблицах (VII класс) •» 53
Продолжение табл. 10
54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел //. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 55
Окончание табл. 10
56 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 11
Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство.
Разлел //. Упражнения в таблииах (VII класс) •» 57
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
Таблица 12
Найдите расстояние от точки М до прямой АВ.
58 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 59
VIII класс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 1
Докажите, что ABCD — параллелограмм.
60 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 61
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 2
Найдите периметр параллелограмма.
62 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблинах (VIII класс) •» 63
64 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 3
Найдите неизвестные углы.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 65
Продолжение табл. 3
66 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 3
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 4
Найдите углы параллелограмма.
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 67
Окончание табл. 4
68 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Таблица 5
Найдите стороны параллелограмма, если Р = 36.
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 69
70 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 6
Раздел //. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 71
71 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблица 7
ТРАПЕЦИЯ
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 73
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
74 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 8
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 75
Окончание табл. 8
15
&&EKF -28
DC:AD=7 :4
76 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Таблица 9
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 77
Продолжение табл. 9
78 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 9
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 79
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 10
80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 81
82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Таблица 11
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 83
Продолжение табл. 11
84 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 11
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 85
Окончание табл. 11
86 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 87
Продолжение табл. 12
88 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 12
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 89
Продолжение табл. 12
90 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 91
92 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 93
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 13 Найдите х, у, z.
\АВС ~ AAiBiCi
ААВС ~ AAiBiCi АВ : ВС : АС = =6:4:3
Р ЬАХВХСХ = 91
AKLM ~
KL : LM : КМ = 6:7:5
7 \MKN ~ МК : KN : MN = 9:7:8
МК : KN : MN = 9:7:8
94 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 13
i\MNT - \MxNxTr S&MNT = 75
= 225
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 95
Продолжение табл. 13
\RMN ~ ДАСВ
S&RMN ~ 18, Вддсв — 32
96 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 13
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 97
Окончание табл. 13
АС = ВС
98 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 14
Найдите х, у.
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 99
1 00 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 14
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 101
1 02 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Таблица 15
Укажите пары подобных треугольников и докажите их подобие.
Разлел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 103
Продолжение табл. 15
104 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Раздел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 1 05
Окон чан lie m абл. 15
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 16
Дано: \АВС
АВ = 16
ВС= 18
N АС = 20 Р \MNK ?
С
1 06 «• Геометрия. Залами на готовых чертежах лля подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 16
Раздел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 1 07
Окончание табл. 16
Дано: AMEN MN -KL = 6
N
1 7 Дано: ATLM
--- TL : LM : TM = 4 : 3 : 5
1 08 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 17
Найдите неизвестные линейные элементы &MNK (Z.K = 90°).
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 1 09
Окончание табл. 17
TMNK — трапеция
15
МК = 15
110 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 18
Найдите х.
Раздел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 111
112 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Таблица 19
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 113
Продолжение табл. 19
АВ = 5 ВС sin ZB — ?
11 4 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 19
17 ZACB = 90° 20 AMNK
cos а — ? ctg а — ?
N
В
12
— трапеция ZA = 40° sin а — ? tg а — ?
М
18
А
&abcd ~ 12>/2
21
В
CF — медиана
AB = 12 sin ZA — ? cos ZA — ?
А
С
22
cos ZB — ? ctg ZB — ?
MNEF — трапеция ME = 8, sin а — ?
19
Раздел II. Упражнения в таблицах (VIII класс) •» 1 1 5
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ
Таблица 20
ZACB = 90°
116 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 20
Разлел //. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 117
Окончание тпабл. 20
118 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Найдите х.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
Таблица 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 1 19
Продолжение табл. 21
1 20 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 121
Продолжение табл. 21
М
122 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 123
Продолжение табл. 21
1 24 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 21
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 125
ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Таблица 22
126 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 22
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 127
Окончание табл. 22
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ
Таблица 23
128 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 1 29
Продолжение табл. 23
130 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 131
Продолжение табл. 23
1 32 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 133
Продолжение табл. 23
134 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
ABCD — прямоугольник AD = 10, АО — ?
60
MNKP — трапеция
MP = NK, SMNKP - ?
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 135
Продолжение табл. 23
65 EFMN — трапеция
--- NE = MF
EF + MN — 2
68 BC\\AD,AB = CD,AD — ?
136 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 23
ME || ВК, МВ = ЕК &МЕКВ ?
MP II NK, MN = РК
MP - NK = 6, SMPKN — ?
EF || TR, TR-EF = 14
Раздел II. Упражнения в таблинах (VIII класс) •» 137
Продолжение табл. 23
77 АВ = CD, BC\\AD
&ABCD ?
80
ABCD — прямоугольник АО — ?
MNFE — прямоугольник КР — ?
138 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 23
ВЕКТОРЫ
Таблица 24
Укажите векторы:
а) сонаправленные с вектором тп;
б) сонаправленные с вектором п;
в) противоположно направленные с т и п
MNKP — параллелограмм Укажите векторы:
а) коллинеарные;
б) сонаправленные;
в) противоположные;
г) равные
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 139
Продолжение табл. 24
EFQL — параллелограмм Укажите векторы: а) коллинеарные; б) сонаправлен-ные; в) противоположные; г) равные
Постройте вектор b - а
8
Постройте вектор е + f двумя способами
А, В, С, D, Е — произвольные точки.
Найдите сумму
AB + CD + EA + ^C + DE
9
М, N, Е, F, К — произвольные точки.
Доказать, что
ME + KN + EK + NF = MN + EF + NE
Постройте вектор а 4- б двумя способами
Постройте вектор а + б + с
140 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 24
MFEN — параллелограмм Доказать, что
МО + FE + OF + EN = ME + FM
RSTK — параллелограмм ____
Выразите векторы RK, КТ, SR через векторы тип
12
Найдите X, если
CD+ Х + ВС + АВ = EF+ АЕ
MNFE — параллелограмм Выразите векторы ЕА и FB через векторы FN = т и MN = п
13
а
17
м
Выразите вектор SM через SR = а и ST = b
Выразите вектор .ЙГО через векторы МК = а и MN = b
18
MNKP — параллелограмм____
Выразите векторы ОМ и МА через векторы МР = а и MN = b
АВ CD — параллелограмм DK : КС = 1 : 3 ___ ____.
Выразите векторы АК и КВ через векторы AD = а и АВ = Ъ
Разлел //. Упражнения в таблинах (VIII класс) •» 141
Продолжение табл. 24
N — середина АС _________________. 1 _____. ___.
Доказать, что MN = ~ (AD + СВ )
МК:KN=3:2
Выразите вектор AM через векторы а = АК и b = AN
Выразите_вектор КЕ через векторы т = КА и n = KF
24
КА = 8
Найдите | АК - AN + КМ |
Доказать, что
AM + AN+AK = ()
142 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 24
КР= 12
Найдите | КР - KS + РТ |
31
р = АВ 4- АС - ВС и-?
Я = ВС + ВА - СА |£|-?
Найдите | KE - КМ + KN |
Найдите: | АВ |, | ВС |, | DC |, | МС |
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 1 43
Окончание табл. 24
ABCD — трапеция а = CD - ВС + АВ Найдите: |а|
36
Найдите: a)|ME + MV|, д б) IМК + KN I, в) | МК + NK |, / \ г) | КМ - KN |, / \ д) | МК - MN |
МсА-----
а
37
Найдите: 1)|ЁМ|-|ЁЕ|, 2) | ЕМ - EF\, 3) | ЕМ | + \EF |, 4) | ЕМ 4- EF |, 5) | ME | + \EF |, 6) | ME + EF I, 7) I ME | -\EF I, 8) | ME - EF |
144 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ
Таблица 25
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 145
Продолжение табл. 25
АС = 16, MN — ?
1 46 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 25
AD = 2BC,EF — ?
20
ОМ = 6, ON = 8, EF — ?
Разлел II. Упражнения в таблииах (VIII класс) •» 147
1 48 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
IX класс
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Таблица 1
MNKL — параллелограмм Выразите векторы LN и КМ через векторы тип
TMNS — параллелограмм___
Выразите векторы ТМ и ST через векторы а и б
MKEF — параллелограмм
FT : ТК - 3 : 1
Разложите вектор FT по векторам m и п
ABCD — параллелограмм___
Выразите векторы ВЛ и СА через векторы а и 5
M
FKME — прямоугольник____
Выразите векторы ЕК и FM через векторы тип
a) FN = k- FO;
6) MO = k • ME: в) ON - k • NF;
r) FM = k • NE;
д) MN = k • EF;
Е FENM — * параллелограмм
Найдите (если это возможно) такое число k, чтобы выполнялось равенство:
е) FA = k- NF; ж) AN = k FA; 3)FN = k-NA; n)NE = k‘ EF; к) FO = k • ME
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 149
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В КООРДИНАТАХ
Таблица 2
1 Дано: ОК = 3, ОМ = 2 Найдите координаты вершин &МОК
Дано: М (3; 5), N (-2; 4) Найдите координаты вектора MN
Дано: ТОСМ — прямо-
угольник
Найдите координаты вер-v шин О, Т, М, С
С <). ,, о М
3
6 Дано: А (2; 6), В (6; 2) Найдите координаты точки М
Дано: MQPN — квадрат
М (-2; -2)
Найдите координаты вершин
7
Дано: А (2; 4), В (0; 18) Найдите координаты точки С
Дано: TQMR — параллелограмм Я(0; 0), М (10; 0), Q (24; 6) Найдите координату вершины Т
Дано: М (4; 6), N (х; 1) Найдите: х
1 50 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 2
9 Дано: S (2х; -2), Т (6; 4х)
Найдите: х
Т 14 S
10 Дано: А (1; 2), В (х; 0)
Найдите: х
к рА
01 В X
11 Дано: А (3; 0), В (2; 5)
Найдите: АВ
к
О А \
12 Дано: С (1; 4), D (0; 3)
Найдите: CD
Yt к рС
D
О
13 Дано: А (3; 3)
Найдите координаты
Yj k рА
о \
14 Дано: А (1; 2), В (7; 10) АС : СВ = 1 : 3 Найдите координаты точки С В С А
15 Дано: В (6; 3), М (14; 9) PM : МК =2:1 Найдите координаты точки К К
16 Дано: Е (2; 2), F (6; 10), К (х; 0) Найдите: х Yk Q 5 К *х
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 151
Окончание табл. 2
1 7 Дано: &MTN
М (8; 0), N (6; -1), Т (3; -4) Найдите: P^mtn
19 Дано: &MQR
М(6; 3), Q (0; 2), Я(1;-5)
Найдите: RE
Дано: ОВСА — параллелограмм
В (3; 2), ОА = 6
Найдите: АС, ОС и координаты вершины С
20 Дано: О АВС — трапеция АВ = 5, ОС = 12, А (2; 4) Найдите: ВС, ОВ
152 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Таблица 3
1 Дано: AMKN КР = 80, MN = 40 Найдите: MF и NE
4 Дано: ААВС
В (0; 0), С (6; 2^3), А (4; 4^3)
Найдите: ZA, ZB, ZC
.?_ Дано: ATRS
RT=TS ТЕ = S, RS = 24 Найдите: SK
Дано: ААВС
BD = 12
Найдите: АЕ
3 Дано: \MCN
--- CD = 20
Найдите: NF
Дано: AM KF ZKMF = 45° Найдите: ME
Раздел II. Упражнения в таблинах (IX класс) •» 153
Окончание табл. 3
1 54 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Таблица 4
U Дано: Oi (-4; 2), А (0; 5) Составьте уравнение окружности
Дано: К (-2; 6), М (2; 0) Составьте уравнение окружности
Какие из точек А (0; 4), В (5; 0), С (3;-4), В (4; -3) принадлежат окружности?
5 Дано: М (0; 2), Н (6; -2) Составьте уравнение окружности
Дано: Oi (2; -4), М(5; 0) Составьте уравнение окружности
Дано: Т (-2; 3) Составьте уравнение окружности
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 155
Продолжение табл. 4
7 Дано: Oi (4; 5), ОгМ = 3 Составьте уравнение окружности
На окружности найдите точки:
а) с абсциссой х = 2;
б) с ординатой у = 4
8 Дано: ОК = 5, А (4; -3), В (3; 4)
Докажите, что АВ — хорда окружности
11 Дано: В (-2; 6)
Составьте уравнение окружности, проходящей через точку В
Найдите точки:
а) с абсциссой х = 2;
б) с ординатой у = 3
12 Дано: А (0; 2), В (-3; 1) Составьте уравнение окружности, проходящей через точку В
1 56 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 4
13 Дано: М (-3; 0), N (0; 9), Oi (0; уо)
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки М nN
14 Дано: М (-2; 3), N (4; -3), MN — диаметр
Составьте уравнение окружности, проходящей через точки М и N
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Таблица 5
1 Дано: А (3; 9) 2 Дано: В (-3; 10)
Составьте уравнение прямой MN Составьте уравнение прямой КТ
Y. М К в Y‘ к г
А< > |_
Г
О N *Х о *Х
Раздел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 157
Продолжение табл. 5
Найдите: S^0N
6 Дано: А (1; 10), В (-1;-4) Составьте уравнение прямой АВ
Дано: А (2; -10)
Составьте уравнение прямой, проходящей через точки О и А
Найдите:
8 Дано: ЛАВС
А (8; 12), В (-8; 0), С (-2; -8) Составьте уравнение медианы СМ
158 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 5
Дано: MTLK — трапеция М (-4; -4), Т (-6; 2), £(14; 14), К (6; 2)
Составьте уравнение диагонали ML
10 Дано: ABCD — ромб АС = 20, BD = 8 Составьте уравнение прямых, содержащих стороны ромба
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 159
1 60 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 6
9 Дано: MNEF — параллело- 12 Дано: ABCD — параллело
грамм cos ZB - -0,6 Найдите: S^cd
грамм
Smnef = 25л/2
Найдите: PMnef
10
16
10
Дано: ABCD — параллелограмм
BD = 16, АС = 20
Найдите: ВдвСр
13
Дано: ABCD — прямоугольник
АС = 26
Найдите: В^ср
30°
F
с
D
11
Дано: KEMR — параллелограмм
КМ = 12, RE = 20 Найдите: SKEMR
14
Дано: MNKL — параллелограмм Найдите: S^KF — ?
м
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 161
Окончание табл. 6
15 Дано: TKNM — параллелограмм
Найдите: STKNM
1 7 Дано: ABCD — параллелограмм
sin ZADB = 4/5 Найдите: Sabcd
16 Дано: ABCD — параллелограмм
cos ZA =1/3 Найдите: SABCD
Дано: ABCD — трапеция
AC = 8
Найдите: SABCD
19 Дано: KLMT — трапеция
——I Найдите: SKLMT
1 62 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Таблица 7 Найдите х, у.
Раздел //. Упражнения в таблицах (IX класс) •» 163
1 64 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 7
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Таблица 8 Найдите х, у.
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 65
1 66 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 8
Разлел II. Упражнения в таблицах (IX класс) •» 167
1 68 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Таблица 9
MNKP — квадрат
Найдите: MP, МК
ABCD — прямоугольник | ВА\ = 6, | ВС | = 8 Найдите: | BD |
Найдите: NM • NS
Найдите: MN • МК
Найдите: QR • RT
р {3;-4},д {15,8} Найдите: cos а
Разлел II. Упражнения в таблицах (IX класс) •» 1 69
Продолжение табл. 9
Z.KML = 90°, KL = 2у/2 Найдите: MN • KL
Ю ДАВС
АВ АС = ВС __ Найдите: АВ • CD
С
А (-4; 8), В (2; 14), С (4; 0)
MNKP — прямоугольник
Найдите: cos ZC
Найдите: ОР • ОМ
9 AFEM
FE = ЕМ = FM Найдите: EF • ЕМ
REFT — прямоугольник Найдите: OF • FT
Е
170 «• Геометрия. Залачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 71
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ДЛИНА ДУГИ
Таблица 10
С — длина окружности, I — длина дуги.
172 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 10
Найдите: С
С = 4л
Найдите: SKMNT
ОМ = 12, АВ = 10
Найдите: С
5
иАтВ = 120°, С = 8лд/з
Найдите: АВ
MN = 48, ОК = 10 Найдите: С
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 173
Продолжение табл. 10
иТтМ = 120° Найдите: I
\jAmB - иВА = 90°
Найдите: иАтиВ, иВА
С = 24тг
Найдите: иАтиВ
Р — периметр
С-Р = 7 Найдите: С
174 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Продолжение табл. 10
МЕ = 7л/б
АВ || MN, MN = 16, АВ = 12
КМ = 6, RT = 14
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 175
Окончание табл. 10
176 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица 11
С — длина окружности, I — длина дуги . Найдите SKp.
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 1 77
Продолжение табл. 11
ABCD — трапеция AD = ВС = 6, S = 12
ABCD — трапеция
AB = CD,
178 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 11
Разлел II. Упражнения в таблииах (IX класс) •» 179
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Таблица 12
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
1 80 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Окончание табл. 12
Раздел III
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
VII класс
К таблице 1
8. Пусть APOS = ASOT = х, ATOQ = AQOR = у. Так как APOR = 180°, тох + х + у + у = 180, или х + у = 90. Значит, ASOQ = х + у = 90°.
Ответ: 90°.
11. AMSK + APSN = 180° - 90° = 90°. Так как AMSP = ANSK (по условию), то AMSK = APSN = 90° : 2 = 45°, тогда AMSP = AMSK + AKSP = = 45° + 90° = 135°.
Ответ: 135°.
К таблице 2
5. Пусть Zl = Z3 = х, Z2 = Z4 = у (по свойству вертикальных углов), тогда получим 2 • (х + х) = у + у, откуда у = 2х; Zl + Z2 = 180° (по свойству смежных углов). Значит, х + у = 180. Так как у = 2х, то х + 2х = 180, Зх = 180, х = 60, у = 120. Итак, Zl = Z3 = 60°, Z2 = Z4 = 120°.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.
11. Пусть Z2 = Z3 = х, тогда Z1 = 180° - (Z2 + Z3) = 180 - 2х. По условию Zl - Z2 = 75°. Значит, 180 - 2х - х = 75, откуда х = 35, т. е. Z2 = = Z3 = 35°, Z1 = 180° - 70° = 110°.
Ответ: 110°, 35°, 35°.
К таблице 3
17. Так как АС = BD, ВС = AD (по условию) и АВ — общая сторона, то ДАСВ = ДАСВ (по III признаку).
Из равенства этих треугольников следует, что ZC = AD и так как ВС = AD, АО = ВО, то СО = OD. Кроме того, ZAOC = ABOD (как вертикальные). Значит, ДАОС = &BOD (по II признаку).
Замечание. ЛАС В = AADB по I признаку, так как АС = BD, АСАВ = =AABD и АВ — общая сторона.
32. 1) &DOE = ЛСОР (по I признаку), тогда DE = CF.
2) Д DEF = ЛСРЕ (по III признаку), так как EF — общая сторона, DE = CF (по доказанному), DF = СЕ по условию (DO = ОС и ОЕ = OF), тогда ADFE = ACEF.
1 82 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
3) NDAF = ДСВЕ (по I признаку), так как DF = СЕ, AF = BE (АЕ = = BF по условию), EF — общая часть) и ADFA = АСЕВ (по доказанному), тогда AD = ВС.
4) ^AED = ДВР С (по III признаку).
К таблице 4
14. Pj = МК + KS + MS = 12 + 6 + MS = 18 + MS;
Р2 = MS + SN + MN = MS + 6 + MN.
По условию P2 - Pi = 3, или MS + 6 + MN - (18 + MS) = 3,
MN -12 = 3, MN =15.
Ответ: 15.
К таблице 5
17. В ДАМС AM = МС (по условию), медиана MN является биссектрисой, тогда ААМС = 50° • 2 = 100°, АСМВ = АСВА = 180° - 100° = 80° (СВ = СМ по условию).
Ответ: 80°.
К таблице 6
33. Так как AQNR — равнобедренный (QN = QR) и ANQR = 30°, тогда ARNQ = ANRQ = (180° - 30°) : 2 = 75°, тогда AKNQ = 30° + 75° = 105°. Но ANQM = 30° + 45° = 75° и, так как AKNQ + ANQM = 105° + 75° = 180°, то KN || MQ (по III признаку параллельности прямых).
К таблице 7
13.1 способ. АА = Zl + Z2 = 60°, АС = 25°, тогда АВ = 180° - (60° + 25°) = = 95°, значит, ААЕВ = 180° - (30° + 95°) = 55°.
II способ. ААЕС = 180° - (Z2 + АС) = 180° - 55° = 125°, тогда ААЕВ = = 180° - 125° = 55°.
Замечание. Задачу можно решить иначе, используя элементы ДАЛЕ. Ответ: 55°.
К таблице 8
10. Так как RO ± PS и РО = OS, то APRS — равнобедренный, тогда АР = ARSP (по свойству).
Пусть ATSR = Зх, ARSP = АР = 5х, тогда ATSP = Зх + 5х = 8х. Так как АТ = 115°, то получим уравнение 115 + 5х + 8х = 180, откуда х = 5, т. е. АР = 5х = 25°, ATSP = 8х = 40°.
Ответ: 25°, 40°.
К таблице 9
30. По условию МК = KS, значит, AMKS — равнобедренный, тогда AM = AMSK = 35°. Аналогично в NSPN APSN = 25°. В AMSN AMSN = = 180° - (35° + 25°) = 120°. Следовательно, AKSP = AMSN - (AMSK + + APSN) = 120° - 60° = 60°.
Ответ: 60°.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 1 83
К таблице 10
10. AMKN — равносторонний (по условию), тогда АК = 60°; RK ± PR, значит, &PRK прямоугольный, тогда ARPK = 90° - 60° = 30°, т. е. RK =
= — РК. Но РК = — МК = -MN = 6,5, т. е. РК = — = 3,25 и NR = 13 -
2 2 2 4
-3,25 = 9,75.
Ответ: 9,75.
21. В ДАМЕ ZMAE = 90° - 65° = 25°. В ДВСЕ АСЕВ = 90° - 40° = 50°, АВЕМ = АСВЕ = 40°, тогда в ДАЕВ ZBEA = 90° + 40° = 130°, значит, ZEBA = 180° - (25° + 130°) = 25°, т. е. BE = АЕ.
В ДАЕВ ZBEA = 90°, ZEBA = 45°, тогда ZBAE = 45°, АЕ = BE. Следовательно, BE = BE, значит кВ ED — равнобедренный, где ABED = 40°, тогда ZBBE = (180° - 40°): 2 = 70°.
Ответ: 70°.
К таблице 11
9. Так как АВ = BF, DC = CF (по условию), то ДАСВ — равнобедренный, тогда ZA = ZB (по свойству). Значит, kAED = kBMF (по гипотенузе и острому углу).
К таблице 12
16. MN — искомое расстояние. По условию ВС = ВМ = МА = МС = 8, значит, кВСМ — равносторонний, т. е. АСМВ = 60°, тогда ZBMA = = 180° - 60° = 120°, и, так как MN — высота равнобедренного ДАМВ, то MN — биссектриса, т. е. AAMN = 60°, тогда ZA = 30°, значит MN =
= -МА = 4.
2
Замечание. Можно использовать теорему Фалеса и теорему о средней линии треугольника.
Ответ: 4.
VIII класс
К таблице 2
24. В параллелограмме АВСВ ZB = ZB = 90°, тогда ZA = ADCB = 90°, т. е. ABCD — прямоугольник и, так как ВС = СВ, то АВСВ — квадрат.
Поскольку АМСВ = 60° и ZB = 90°, то АСМВ = 30°, тогда СВ = — МС = 9
2
(по свойству катета, лежащего против угла в 30°).
Следовательно, Р = 9 • 4 = 36.
Ответ: 36.
1 84 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. /-9 классы
К таблице 4
8. Так как SFTM — параллелограмм и SF = SM (по условию), то SFTM — ромб, тогда ST 1 FM и диагонали ST и FM ромба являются биссектрисами его углов. Пусть Z2 = х, тогда Z1 = 10 + х, значит, Z1 + + Z2 = 90°, или 10 + х + х = 90, 2х = 80, х = 40, т. е. Z2 = 40°, Z1 = 10° + + 40° = 50°, тогда AFSM = AFTM = 80°, ASFT = ASMT = 100°.
Ответ: 80°; 80°; 100°; 100°.
К таблице 5
10. В параллелограмме ZB = 90°, значит, EMKR — прямоугольник. Так как AEFM = 45° и ZB = AM = 90°, то AEMF — равнобедренный и ME = MF.
Пусть FK = х, тогда ME = MF = х + 6 и МК = 2х + 6. По условию задачи Р = 36, тогда имеем уравнение 2((х + 6) + (2х + 6)) = 36, откуда находим х = 2, значит, ME = KR = х + 6 = 8, МК = ER = 2х + 6 = 10.
Ответ: 8; 8; 10; 10.
К таблице 6
18. Так как ABCD — трапеция, то АВ || NM, тогда AANM = 70°, AN АВ = 180° - 70° = 110°.
Поскольку NB — биссектриса AANM (по условию), то AANB = = ABNM =35°. Но ABNM = г = 35° — как накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и NM и секущей ВМ, тогда AN МВ = z + 45° = = 80° и ААВМ = 180° - 80° = 100°.
Ответ: 110°; 70°; 100°; 80°.
К таблице 8
15. По условию DE = FC = — EF, т. е. EF = 2DE = 2FC. В NEKF про-2
ведем высоту КМ, тогда ЕМ = MF = DE = FC. Заметим, что AADE = = АКМЕ (DE = ЕМ и AAED = АКЕМ-, AD = АЕМК = 90°) и ЛЕМК = = AFMK (по двум катетам). Аналогично AKMF = AFCB.
Пусть DC = 7х, тогда AD - 4х и S^cd = 7х • 4х = 28х2. По условию
1 7
S^ekf = 28. Но EF = DE + FC = -DC = -х и КМ = AD = 4х, тогда 2 2
S^EKF ~
i EF • КМ, или S 2
ЛЕ KF —
— х-4х = 28, или 7х2 = 28, х2 = 4, х = 2, 2 2
тогда Sabcd = 28х2 = 28 • 4 = 112.
Замечание. Можно показать, что SABCD = 48Д£А^-.
Ответ: 112.
К таблице 9
17. Указание. Обозначить AD = х, АВ = у, тогда 2(х + у) = 20. Пусть S — площадь параллелограмма, тогда х • 2 • 4 = у • 2 • 6. Далее решить систему уравнений х + у = 10; 2х = Зу, и т. д.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 185
22. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC = drn BD = d2, где AC = 16, BD = 12. Так как АО = ОС и ВО = OD, то \АОВ = bCOD (по I признаку равенства треугольников) и АВОС = &AOD (по той же причине). Но равные многоугольники имеют равные площади, т. е. S^0B = SACOD и S&AOD = Вдвое’ значит, = 28ддов + 2Вавос = 2(ЗЛАОв + ^двос)*
Но Зддов = —АО - ВО - sin 60° = - — dx id2sin 60° = —drd2sm 60°;
2 2 2 2 8
Вдвое = -ВО- ОС -sin (180° -60°)= --d2 -d^ sin 60° - id^sin 60°. 2 2 2 2 8
Следовательно, SABCD = 2 • | id^sineCT’ + id^sineO01 = v 8 8 )
= i d^sin 60°.
>/з
Поскольку dx = 16, d2 = 12, sin 60° = —, то 2
Sabcd- j 16-12 ^- = 48>/з.
Замечание 1. Фактически мы доказали, что площадь параллелограм-
ма S = — d^d2 sin ф, где dr и d2 — диагонали, ф — угол между ними. 2
Замечание 2. Полученная формула верна для любого выпуклого четырехугольника.
Ответ: 48л/з .
К таблице 10
11. Задачу можно решить по формуле Герона. Покажем другое решение, основанное на применении формулы S = —a-h, которое приводит к 2 относительно более простым вычислениям.
Проведем высоту BD. Пусть DC = х. Из АЛОВ BD2 = (V5)2 - (V18 - х)2; из \BDC BD2 = (V10)2 -х2. Сравнивая правые части полученных равенств, имеем 5-(V18-х)2 = 10 - х2, откуда после упрощений находим г- 191 4R2
х = 23/6>/2, тогда BD2 = 10 - х2, или BD2 = --=----, откуда BD =
72 144
= V382 /12. Следовательно, S = —АС - BD = V191 /4.
2
Ответ: V191 /4.
1 86 «• Геоллетрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИД и ЕГЭ. 7-9 классы
12. Указание. Достроить ДАВС до параллелограмма ABCD, затем применить свойство d^ + d% = 2(п2 + &2), где и d2 — диагонали, а и b — смежные стороны параллелограмма.
Замечание. Задачу можно решить и по формуле S = — а • h (см. № 11).
2
чп 17 Здбес DC СЕ 5
19. Указание, _— Далее обозначить S^dec — х,
^давс СВ СА 12 АП£С
(х _ 5
^ддвс = У и решить систему уравнений < у 12 ’
[х + у = 51.
К таблице 11
18. Пусть ВС = x, тогда AD = 2x. Проведем высоту MN. По условию
задачи = 120, или — AD • MN = 120, или — • 2х • h = 120, xh = 120, 2 2
где h = MN — высота AAMD (и трапеции). SABCD = — \—BMh
2 к 2
+ S^amd + —[ — MC h j — — xh + 120.
2 у 2 у 2
Так как xh = 120, то 5^^ = 180.
Замечание. Нетрудно заметить, что S^abm = S^CD = —xhn S^amd =
4
т. е. <8 дамп — 2(8давм + SLMCD).
20. Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD трапеции ABCD, где AD = ВС. Так как AC ± BD (по условию), то S = S^ac + S^abc =
= —AC • OD + —AC • OB = —AC • (OD + OB) = —AC • BD.
2 2 2 2
Ho AC = BD = 8, тогда S = | • 82 = 32.
Замечание. Фактически мы доказали, что «если в трапеции диагонали перпендикулярны, то площадь 8 = d2, где d1 и d2 — длины диа-
2
гоналей. В частности, если трапеция равнобедренная, то d\ = d2 — d, тогда S = ^^2>>-
26. По условию задачи S^BOC = 4 м2 и S^aod = 25 м2. Заметим, что S&aob = Здсоо (доказать самостоятельно).
Разлел III. Решения некоторых задач •» 187
Тогда S^aob * Вдвое ~ B^od • ^дсов» откуда находим S&A0B - Ssc0D = S^boc S^AOO “ 100, тогда S^ob = S&cod = 1° (м2), значит S = вдвое + + «mod + 2вдлов = 4 + 25 + 2 • 10 = 49.
Ответ: 49.
К таблице 12
42. Пусть TL = а, МТ = Ь, тогда Pmklt = 2(а 4- Ь) = 40, или a + Ъ = 20. Заметим, что SMKLT = TL • 2СО = МТ • 2ВО, где ВО = х, значит, 8а = 2Ьх =
12
= 48, а = 6, & = 20-6 = 14, тогда 2Ъх = 48, х = —.
12
Ответ: —.
7
45. Пусть LT = a, RQ = Ь, тогда МТ = — (а - Ь). По условию SLRqt =
а 4" Ъ Л__ ОЛЛ в + Ъ
х, где QM = х — высота трапеции, SLRqT = 300, или х = 300, 2----------------------------------------------------2
(а + Ь)х = 600. LM = LT - МТ = a --(a - b) =-(а + Ь)2.
2 2
„ и 600 гя>г 300 „ Г 300? 2
Но а + Ь =----, тогда LM =-------. Из &LMQ имеем ----------- 4-х =625,
X X < X J
или
90000
4-х2 = 625.
Решая полученное биквадратное уравнение, находим Xj = 15; х2 = 20.
Ответ: 15; 20.
50. Указание. Из точки С провести прямую, параллельную диагонали BD до пересечения с продолжением основания AD в точке Е. Далее доказать, что ДАСВ — прямоугольный.
54. Указание. Провести высоту DEy обозначив АЕ = yt где у = — (20 - х). 2
Для нахождения DC = х, составить систему уравнений у = |(20-х),
I .,2 . д2 I п2 у +п =13 , (20 + х)Л = 360, в результате чего получится уравнение (20 4- х)2(6 4- х)(46 - х) = 7202, а после упрощений решить уравнение х4 - 1476 х2 - 27 040 х 4- 408 000 = 0. Далее доказать, что х = 10 — единственный корень.
Ответ: 10.
1 88 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
К таблице 13
22. Пусть QN = a, QE = EF = Ь, ЕМ = с. Так как QE = EF, то &QEF — равнобедренный, тогда /FQE = Z.QFE. Но EF ± NM и QN ±NM, значит, QN || EF, тогда Z.NQF = AEFQ, т. е. QF — биссектриса ANQM, следова-
NF QN тельно, --=----, или
FM QM
а
Ь + с
4
5’
& + с с
Из подобия AMFE и t±MNQ, имеем-----= —, или
8 + 10 10
Кроме того, из &MFE с2 - Ь2 = 100.
50
9 5 находим с=—,
с2-&2=100, 3
Решая систему <
Ь + с _ с
~<Г~5
. 40
Ь =—; так как 3
---= —, то а = 24. Значит, P^mnq =х=а+Ь+с+ 18 = 72. Ь + с 5
Ответ: 72.
36. Пусть AD = a, DC = Ь. По условию АС = ВС = а + Ь, АС - АВ = 4,8 и а _ 3
?"5‘
_ „ л а АВ АВ АВ , . D л о
По свойству биссектрисы = и (а + Ь) - АВ = 4,8, от-
, _ _ „ . _ а Д В 3 . 3 . ,1ч
куда АВ = (а + Ь) - 4,8, тогда — =-=—, АВ = - (а + о), значит,
Ь а+Ь 5 5
q 24
— (а + Ь) = (а + Ь) - —, или а + Ь = 12.
5 5
Так как Рдавс = х, то х = АВ + 2АС = — (а + Ь) + 2(а + Ь) = — 12 + Ь 5
+ 2- 12= 12-f- + 2^ = — =31,2.
<5 ) 5
Ответ: 31,2.
К таблице 14
24. Пусть ZE = Z4, тогда в AMEL Zl + Z3 + Z4 = 180°; AMLF = Z5, тогда Z5 = Zl + Z4 = 180° - Z3; ZF = 180° - (Z2 + Z5) = 180° - (Z2 + + 180° - Z3) = Z3 - Z2.
Так как Z3 = Zl + Z2 (по условию), то ZF = Z1, значит, AEML ~ ~ AMEF (по I признаку), тогда EL : ЕМ = ЕМ : EF, или х2 = 8 • 18, х = 12.
Ответ: 12.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 189
28. Поскольку ВС || AD, то ABCD — трапеция, тогда ЛВОС ~ &AOD (по
X
I признаку). Следовательно, — = k, где k — коэффициент подобия. По У
условию 5двос : S\aod = 1:9, или k2 =—; k = —. Значит, — =—, откуда
9 3 у 3
у = Зх. Но х 4- у = 9,6, тогда Зх + х = 9,6, х = 2,4; у = 2,4 • 3 = 7,2.
Ответ: х = 2,4; у = 7,2.
К таблице 17
15. Через вершину N проведем прямую NA || ME до пересечения с продолжением ТК в точке А. Заметим, что &TNA — прямоугольный. Кроме того, S^TNA = STMNA (доказать самостоятельно).
Пусть MN = х, ТЕ = у. Из ШЕК EK = д/152 -92 = 12;
Stmna = |(х 4-1/4-12)-9.
С другой стороны, STMNA = S&TNA = i • 15 • TN, где TN2 = 81 + (x + у)2.
2
15 9 3
Значит, —TN = — (x + i/ + 12), откуда TN = —(х + у + 12), тогда 2 2 5
9
— (х + у + 12)2 = 81 4- (х + у)2, или, после упрощений имеем 16(х + у)2 -25
27
- 216(х 4- у) + 729 = 0, или (4(х + у) - 27)2 = 0, откуда находим х + у =—,
4
9 Г27 тогда STMNK = - • — +12 2^4 Ответ: 84,375.
675 aA
---- = 84,375.
8
К таблице 18
13. Указание. Из вершины В опустить высоту на сторону АС.
К таблице 19
17. Указание. Учесть, что AD = BD = CD = R, где R — радиус описанной окружности с центром в точке D.
21. Так как CF — медиана ЛАВС и ZACB = 90°, то FA = FC = FB = 6 — радиус описанной окружности. Из &.CEF СЕ = д/б2 -(3>/3)2 = 3; из ДАЕС находим АС = д/аЕ2 4-СЕ2, или АС = д/зб>/з +72 = 6д/2 +>/з.
1 90 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Тогда sin ZA = — , cos ZA = = —(^2 + ^3).
АС зТГГТз AC
Замечание. Можно показать, что 2 + л/з = —(л/З+1)2, тогда
2
sin ZA = ^-(л/3 -1) и cos ZA = — (\/з +1).
4 4
К таблице 20
19. Пусть Е — точка касания касательной АВ к окружности, тогда NA = АЕ и BE = ВК. По условию Рдмав = 48, или МА 4- МВ 4-+ АВ = 48, где АВ = АЕ 4- ЕВ = AN + ВК, тогда МА + МВ + AN + ВК = = (MA+AN) 4- (МВ 4- ВК) = MN 4- МК = 48. Но MN = МК, тогда MN = = МК = 24.
Ответ: MN = МК = 24.
К таблице 21
9. Указание. Предварительно доказать, что ZEAF = —(oEF~oBC).
45. Указание. Учесть, что ZBMC = —(uBC + uAD).
54. Указание. Пусть оАВ = 10/?, тогда оСА = 12k. Далее решить уравнение 10/? 4- 12/? 4- 140 = 360.
К таблице 22
13. Указание. Продолжить RK до пересечения с основанием MN в точке Р. Далее учесть, что по свойству медиан RK = 2КР.
17. Из прямоугольного AM DC, где МС = 26, MD = —MN = 10, имеем:
CD = V262-102 = 24.
По условию Oj — точка пересечения медиан NCMN. Пусть OrD = х, тогда О\С = 2х, тогда х 4- 2х = 24, откуда х = 8, О±С = 2х = 16.
Пусть OD = у, получим ОО± = DC - (2х 4- у) = 24 - (16 4- у) = 8 - у.
Заметим, что S^NC = —MN • DC = —МС • NB, или 20 • 24 = 26 • NB, от-2 2
куда находим NB =---
240
Ответ: ---
13
Разлел III. Решения некоторых задач •» 191
К таблице 23
11. Так как ДАВС — прямоугольный, то АВ = >/242 +102 = 26. Пусть OD = г — радиус вписанной окружности. Заметим, что ВМ = BN, AN = = AD и МС = CD = OD = г. Пусть N — точка касания АВ и окружности, тогда АВ = BN + AN = ВМ + AD = (ВС - г) + (АС - г) = АС + ВС - 2г,
откуда находим г = — (АС + ВС - АВ) = 4.
2
Ответ: 4.
21. RT = 13 + 5 = 18. S^REF = | • 18 • EF = 9EF. Пусть RE = RF = х, ЕТ = TF = I/, тогда S^REF = 18z/. Из AERT х2 - у2 = 182. Кроме того, 8&ref = —-> где a = b = RE = х, с = EF = 2у, В = 13 — радиус описанной 4В
*2ill окружности. Значит, SAREF = -— = 13у, откуда х2 = 26 • 18.
413
Но х2 - у2 = 182, тогда у2 = 18 • (26 - 18) = 144, у = 12, тогда SAREF = = 18 12 = 216.
Ответ: 216.
36. Пусть ВС = а, АС = Ь, АВ = с, г = 4, тогда г = —(а + Ь-с) (см.
2
№ 11), или — (а + Ъ - 20) = 4, где с = AM + МВ = 20. Значит, а + Ъ = 28. 2
Кроме того, а2 + Ъ2 = 400. Имеем систему уравнений <|а
[а + 6 = 28,
(а + Ь)2 = 400 + 2о6, или 400 + 2аЪ = 784, откуда аЬ = 192.
Значит, Вддвс = —ab = 96.
2
Ответ: 96.
42. Поскольку QP = 4, QM = 2 и QM ± РМ, то ZP = 30° => <jQR = = 60°, значит, ZO = 60°. Так как QO = OR, то ZOQR = ZORQ = 60°, т. е. &QOR — равносторонний, тогда OR = 6.
Ответ: 6.
44.1 способ.
В равнобедренном ДАВС АС = ВС = 10, ОМ — радиус вписанной окружности, тогда ОМ АВ. Проведем высоту МС, тогда в &АМС cos ZA =
= = 0,6, значит, AM = 10 • 0,6 = 6, тогда АВ = 12. По теореме Пифа-
1 92 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
гора МС == л/102 -62 = 8, = —АВ • МС, а с другой стороны, =
2
= р • г = i (АС + ВС + АВ) • ОМ, тогда 12 • 8 = (10 + 10 + 12) • ОМ, откуда
ОМ = 96 : 32 = 3.
Ответ: 3.
II способ.
Пусть К — точка касания окружности и касательной АС. Заметим, что ААМС ~ &СКО (как прямоугольные, имеющие общий острый
/АСМ). Из подобия имеем: = = 6, МС = 8. Кроме того,
6 4
КС = 10 - АК = 10 - AM = 4, значит, КО - - = 3. Но КО = ОМ, т. е.
8
ОМ = 3.
Ответ: 3.
48. Проведем высоту КМ на основание EF, тогда в равнобедренном AKEF (KE = KF), высота КМ является и медианой, т. е. ЕМ = MF = 24.
8&ekf = — • 48 • КМ = 24КМ; с другой стороны, S^EKF = где a = 2 4R
= ЕК, b = KF, с = EF, R = ЕО = 25, тогда имеем: 24 • КМ = K—-—F-12.
25
12 г2
Пусть КМ = h, KE = KF -- х, тогда 24 • h - -----, или х2 = 50h.
25
Из АКМЕ х2 = h2 + 242, тогда получим 50Л = h2 + 576, или h2 - 50/z + 576 == 0, откуда находим hr = 18, h2 = 32. Значит, х2 = 50 • 18 = 900, откуда х = 30, или х2 = 32 • 50 = 1600, х = 40. Следовательно, ЕК = 30, или ЕК = 40.
Ответ: 30, или 40.
59.1 способ.
Проведем высоту трапеции BE. Так как ZA = 60°, то /АВЕ = 30°. Точка О — центр вписанной окружности, значит, АО — биссектриса угла А, т. е. /ОАК = 30°, тогда ААВЕ ~ Г\АОК как прямоугольные, имеющие равные острые углы.
Пусть AD = 2х, ВС = 2у, MN = 20, тогда (2х + 2z/) : 2 = 20, или 2х + + 2у = 40.
Но АВ + CD = ВС + АО (по свойству описанного четырехугольника), или 2АВ = 2х + 2у = 40, АВ = 20. Следовательно, АВ : BE = АО : АК, или
10 : ОК = АО : х. Из ААОК, где /ОАК = 30° => ОК = тогда АО = = 2 • ОК, т. е. 10 : ОК = 2 • ОК : х2.
Разлел III. Решения некоторых залач •» 193
U + QHO Х К 10 2 0К 5 1
Но ctg 30 = --- => х = ОКх/3, тогда -=----/=•, или--= —от-
ок ок ок4з ок
куда ОК = 5^3 .
II способ.
MN = 20, х + у = 10, 2АВ = 40, АВ = 20 (см. I способ).
Из АВЕ A cos 30° = — = =—, откуда ОК = 5х/з .
АВ 20 2
Ответ: 5х/з .
63. По условию MNRK — прямоугольная трапеция. Заметим, что Z.N + ZR = 180° (как сумма односторонних углов). Но точка О — центр вписанной окружности, OR и ON — соответственно биссектрисы углов R и N, тогда ZORN + ZONR = 90°, т. е. ARON — прямоугольный, значит RN = х/б2+82 = 10.
Высота ARON равна радиусу вписанной в трапецию окружности, тогда высота трапеции равна диаметру этой окружности. Пусть ОТ — высо-
та AORN, тогда SXRON = —ОТ? • ON = — RN • ОТ, или 6 • 8 = 10 • ОТ, отку-2 2
да ОТ = 4,8, значит, RE = 2 • ОТ = 9,6, где RE — высота трапеции, опущенная на основание MN.
Но MN + KR = КМ + RN (по свойству описанного четырехугольника), значит, КМ + RN = RE + RN = 19,6, тогда SMNRK = — (MN + KR) • RE = 2
= ±(KM + RN) • RE = i^-9,6 =94,08.
Ответ: 94,08.
67. Проведем высоты EF и QK на основание МТ. Так как EQ || МТ, то MTQE — трапеция (равнобедренная). По условию MQ — биссектриса ZM.
Заметим, что ZQMT = ZMQE = 30° (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых МТ и EQ и секущей MQ). Тогда ZEMQ = ZMQE = 30°, т. е. AMQE — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника). Пусть EQ = 2х, МТ = 2у, ME = EQ = 2х.
Из AMEF MF = — ME = х, EF = ^х2-х2 = х/зх2 = хх/З.
2
Из ШОК MQ = 2 • QK = 2 • EF = 2хТз.
х/з = xz/х/З; с другой стороны,
S&mqt ~ 7) МТ • QK — — • 2у • х 4^ 4^
1 94 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Q MQ QT МТ Q V3 2 гх V3 2
Samqt = --гти;---’ или S&MQT = —гх У' значит, хух/3=-— х у,
4 • QO 4 4
откуда х = 4.
Следовательно, SMTQE = —{МТ 4- QE) • EF = (х 4- у) • х>/3.
2
Но МТ = 2MF 4- FK = 2MF + EQ = 4х, или 2у = 4х, у = 8, значит, Smtqe = (4 + 8) • 4^3 = 48-УЗ .
Ответ: 48V3.
76. Так как EF || TR, то TRFE — трапеция. По свойству описанного четырехугольника TR 4- EF = ЕТ + FR, или TR 4- EF = 28. Но TR - EF = = 14. Пусть TR = х, EF = г/, где х > 0. Имеем систему уравнений (х + у = 28, Г2х = 42, Гх = 21, [х —z/ = 14; [2z/ = 14; [у = 7.
Итак, TR = 21, EF = 7.
Проведем высоты АЕ и FB трапеции. Пусть ТА = г, тогда АВ = EF = 7, BR = 21 - {z 4- 7) = 14 - г.
Vte^TAE ЕА2 = 132 - 22; из &FBR FB2 = 152 - (14 - г)2. Так как ЕА = = ЕВ, то 132 - 22 = 152 - (14 - г)2, или (14 - г)2 - 22 = 152 - 132, откуда находим г = 5, тогда ЕА2 = 132 - 52, ЕА = 12.
Значит, STRFE = ±(TR + EF) • ЕА = | • 28 • 12 = 168.
Ответ: 168.
83. ABCD — ромб (по условию). Пусть АВ = х, тогда Р = ААВ = = 4х = 80, откуда х = 20. Так как АС = 32, то АО = 16. Из ААОЕ АО2 = = АЕ2 4- ОЕ2, или АЕ2 4- ОЕ2 = 256. Так как АС 1BD (по свойству ромба), то ААОВ — прямоугольный и, так как ОЕ ± АВ, то АО2 = АВ • АЕ, или 162 = 20 • АЕ, откуда АЕ = 64/5.
/ 64 7 64 V 64 Л
Значит, — 4- ОЕ2 = 162, или ОЕ2 = 16--16 + — , или ОЕ2 =
V 5 ) I 5 Д 5 )
16 144 412 л с
—---откуда ОЕ = —— = 9,6.
5 5 5
Ответ: 9,6.
86. Угол А правильного шестиугольника равен: ZA = 180° • (6 - 2): 6 = = 120°; АО — биссектриса ZA, т. е. Z.OAM = 60°, где М — точка касания /— л/з 15
с окружностью. Из ЛАОМ ОМ = АО • sin 60° = 5уЗ---—.
2 2
Но ОМ = тогда АВ = 15.
Ответ: 15.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 195
К таблице 24
20. Пусть ЕА = 2х, AF = 5х, тогда EF = 7х. По правилу треугольника KE + EF-KF, или КЕ + 7х = п.
Аналогично КА + AF = KF, или т + 5х = п; КЕ + ЕА = КА, или КЕ + 2х = т, откуда КЕ = т-2х. Так как КЕ + 7х = п, то т-2х + 7х = п, ~ - - -1-1- — - .( 1- 1-^1
или 5х = п-т, откуда х = —т + — п, значит, КЕ = т-2 \—т + — п\ = 5 5 15 5 7
7- 2
= — т-----п
5
Ответ: КЕ~ — т—п.
5 5
23. Поскольку М — середина АС, то AM = МС; аналогично BN = ND.
MN = MC + CN = —AC + (CD + DN) = —(AD + DC) + CD +—DB = 2 2 2
= —AD +—DC + CD +—(DC + CB) = —AD+—DC+CD+—DC+—CB =
2 2 2 2 2 2 2
= ^АР + ^СВ + (1)С + С1)) = — AD +—CB = —(AD + CB), что и требовалось 2 2 2 2 2
доказать.
30. По условию MNKE — прямоугольная трапеция, где МК = 2л/2 , AMKN = 45° и АМКЕ = 90°.
Проведем высоту KF к основанию ME. Заметим, что AMKN = АКМЕ = = 45°, как внутренние накрестлежащие углы при параллельных прямых NK и ME и секущей МК. Но тогда АЕ = 45°, т. е. АМКЕ — равнобедренный, и МК = КЕ. Кроме того, NM = KF (как высоты трапеции) и NM || KF, значит, \KE-ICM + KN\ = \KE + MK + KN\ = \KE + MN\ =
= \KE + FK\=\FE\.
Из ШКЕ, где АМКЕ = 90°, МК = КЕ = 2^2, ME2 = (2^2)2 + (2V2)2 = 16,
откуда ME = 4. Тогда FE = 2, значит, | FE 1=2.
Ответ: 2.
35. Из точки С проведем CF || АВ и соединим точки В и F. Из точки С проведем СЕ || BF, тогда AF = FE = ВС = 5 (по построению) и ED = = AD - (AF + FE) = 3.
1 96 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Действительно, a-CD-BC + AB = FA + CD + AB = CD + FB = = CD + FC + CB = CB + (FC + CD) = CB + FD = FA + FD = FA + (FE + ED) = = FA-FA + ED = ED. Значит, | a |=|ED | =3.
Ответ: 3.
К таблице 25
11. Проведем высоту СЕ трапеции ABCD, где АВ = CD, АС = 16, тогда MN= |(АО + ВС).
Пусть DE = х, ВС = у, тогда MN = — (2х + 2у) = х + у.
2
Так как ZCAD = 60°, то ZACE = 30° АЕ = —АС - 8. Но АЕ = х + у, 2 У
значит, х + у = 8 и MN = АЕ = 8.
Ответ: 8.
16. Проведем высоту FT трапеции CEFK, где СЕ = FK, MN = 4,
SCEFK = 8. Scefk = —(СК 4- EF) FT = 8, или MN FT — 8, где MN = 2
= -(СК + EF) = 4, значит, 4ЕТ = 8, FT = 2.
2
Пусть EF = х, СК = у, тогда ТК = —(у - х), СТ = СК - ТК =
2
= у- ~(у - х)= i(x + у) = MN = 4. л
FT 2
Из ACFT tg а = — = ± = 0,5.
СТ 4
Ответ: 0,5.
20. Поскольку О — центр вписанной окружности, то МО и NO — биссектрисы углов KNM и LMN, тогда
Z.OMN + Z.0NM = —(ZKNM + ZLMN) = i • 180° = 90°, т. е.
2 2
ZMON = 90°, тогда MN = л/36 + 64 = V100 = 10. Заметим, что высота О А NOMN является одновременно и радиусом вписанной окружности.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 197
Тогда SAMON = — ОА • MN = ~ ОМ • ON, откуда ОА = 4,8 (ОА — высота 2 2
\OMN, опущенная на MN). Значит, KL = 2 • ОА = 9,6, так как KL = = 2г — диаметр вписанной окружности. По свойству описанного четырехугольника KN 4- LM = KL 4- MN = 10 4- 9,6 = 19,6, тогда
EF = ^(KN + LM) = 9,8.
Ответ: 9,8.
23. Пусть ВС = х, CD = 2х, AD = у. Так как EF — средняя линия трапеция ABCD, то Х + У = 20, или х 4- у = 40. Из AADC, где ZADC = 90°, 2
имеем: АС = ^4х2 + у2.
Проведем высоту ВМ, тогда из NDMB DB = \1вМ2 + DM2, где ВМ = = CD = 2х; DM = х, тогда DB = >]4х2 +х2 = \lbx2 = Xxfa.
Так как AC ± BD, то S^cd = —АС • BD (см. № 478 «Геометрия 7-9»
Л.С. Атанасян и др.). Sabcd = — ^4х2 + z/2 • Хл/б. С другой стороны, S^cd
= — (х + у)- 2х, тогда получим — ^4х2 + z/2 -хл/б =i (х 4- у) • 2х, или 2 2 2
>/5(4х2 + у2) = 2(х 4- у), х Ф 0.
Но х 4- у = 40, тогда ^5(4х2 + у2) = 80, или 4х2 4- у2 = 1280.
„ „ (4х2 + у2 = 1280, (4х2+ (40-х)2 =1280,
Имеем систему уравнении < i
[x + z/ = 40; [z/ = 40-x.
Упрощая первое уравнение системы, получим х2 - 16х 4- 64 = 0, или
(х - 8)2 = 0, откуда х = 8. Значит, ВС = х = 8.
Ответ: 8.
26. Предварительно докажем, что «если в трапеции сумма углов при основании равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности».
Пусть точки К nF — середины основанийAD и ВС. ПустьAD = 2х и ВС = 2у. Проведем КЕ || АВ и KL || CD. Заметим, что /.KEF = ZA = 70° и Z.KLF = AD = 20°, тогда AEKL = 90°, т. е. NEKL — прямоугольный и
KF — медиана MEKL и, значит, KE = KF = FL = — EL = — (AD - ВС), что 2 2
и требовалось доказать.
1 98 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Следовательно, — (2х - 2у) = 2, или х - у = 2.
Кроме того, MN = — (AD + ВС) = 4, или х + у = 4.
Решая систему уравнений < у ’ способом сложения, находим |x-z/ = 2
2х = 6, 2у = 2, т. е. AD = 6, ВС = 2.
Ответ: ВС = 2, AD = 6.
IX класс
К таблице 1
6. а) Так как векторы FN
и FO сонаправлены, то k > 0, значит,
FN
FO
FN FN
- FN ±FN 2 2
б) Аналогично имеем: k > О,
МО }МЕ
_______ __
ME ME
1
2
в) Векторы ON и NF противоположно направлены, значит, k < О,
тогда k = -
ON -NF _2 1
NF NF 2
FM FM
r)/?<0, FM = NE, k = - NE NE ~
MN
д) k < О, MN = EF,
k = ~l=\ \EF\
MN
EF
e) k <0, FA=AO =
1 1
— FO = -FN; k =--
2 4 NF
-FN
= _4__
FN
1
4
Разлел III. Решения некоторых задач •» 199
Q
1 3 AN
ж) ft > О, FA = —FN,AN = 3FA = — FN, ft =-=- = 4-= 3.
4 4 FA 1fn
1 4
i о FN
з)/г<0, NA = FN-FA = FN - —FN = —FN, k = --= 4 4 NA
FN _ 4
-FN 3 4
и) Так как стороны NE и EF параллелограмма не параллельны, то векторы NE и EF не коллинеарны, т. е. число k не существует.
к) Аналогично и) число k не существует.
11 14
Ответ: а) 2; б) —; в) —; г) -1; д) -1; е) —; ж) 3; з) —; и), к) число
2 2 4 3
k не существует.
К таблице 2
14. Пусть D — середина отрезка АВ, тогда
xD - + Хв) = i(l + 7) = 4; yD = |(2 + 10) = 6.
Сл & и
Значит, 0(4; 6). Но точка С — середина отрезка АО, тогда хс - i (1 + 4) = 2,5; ус = | (2 + 6) = 4, т. е. С(2,5; 4).
Ответ: (2,5; 4).
16. По условию ЕК = KF. Но ЕК = 7(х - 2)2 + (0 - 2)2 = 7(х-2)2+4;
KF = 7(6-х)2+(Ю-0)2 = 7(6-х)2+100.
Значит, \j(x-2)2 + 4 = л/(6-х)2 + 100, или (х - 2)2 + 4 = (6 - х)2 + 100, откуда находим х = 16.
18. Координаты вершин параллелограмма ОАСВ: 0(0; 0), А(6; 0), С(х; у), В(3; 2).
Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то О В = АС.
ОВ {3 - 0; 2 - 0} = АС {х - 6; у - 0}; ОВ {3; 2} = АС {х - 6; у}.
Так как ОВ = АС, то 3 = х - 6; 2 = у, т. е. х = 9; у = 2.
Значит, координаты точки С(9; 2).
200 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Тогда АС = 7(9-6)2+(2-0)2 = 713; ОС = 792+22 = Т§5.
Ответ: АС = 713; ОС = Т§5; С(9; 2).
20. Координаты вершин трапеции ОАВС: 0(0; 0), А(2; 4), В(х; у), С(12; 0). Так как АВ || Ох, то АВ {5; 0}. С другой стороны, АВ {х - 2; у - 4}, тогда имеем: x-2 = 5;z/-4 = 0, т. е. х = 7;г/ = 4. Значит, точка В имеет координаты (7; 4). Следовательно, СВ = ^/(7 —12)2 +(4-0)2 = 741; ОВ =
= л/72+42 = Тб5.
Ответ: ВС = Til, OB = Тб5.
К таблице 3
5. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы АС совпало с осью Ox, BD — с осью Оу, а точка D — с началом координат. Найдем координаты точки Е — середины отрезка ВС:
хЕ = i(xB + хс) = ~(0 + 16) = 8; уЕ = “(12 + 0) = 6. Значит, Е(8; 6).
Так как ZABD - 45° и ZADB = 90°, то ZBAD = 90° - 45° = 45°, т. е. AD = = BD = 12, т. е. А(-12; 0).
Теперь находим АЕ: АЕ = д/(8 + 12)2 +(6-0)2 =
= 7400 + 36 = 7436=27109.
9. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы основание КР совпало с осью Ох, а ось Оу прошла через вершину D перпендикулярно КР. Пусть О — начало координат. В AKOD, где ZK = 45°, KD = 472, ZKOD = 90°, находим: KD2 = КО2 + OD2. Так как ZKDO = 90° - 45° = 45°,
то DO = КО, т. е. 2 • КО2 = KD2, откуда КО = DO = - 4.
72
Значит, 0(0; 4), К(-А; 0), Р(5; 0) (так как ОР = КР - КО = 5).
По условию Е — середина DP, тогда хЕ = — (xD + хР) = i(0 + 5) = 2,5;
2 2
уЕ= i(4 + 0) = 2,T. е. Е(2,5; 2).
&
Следовательно, КЕ = 7(2,5 + 4)2 + (2-О)2 = 742,25 + 4 = ^46,25 =
= 7185/4 = 7185/2.
Ответ: 7185 /2.
Разлел Ш. Решения некоторых задач •» 201
К таблице 4
13. Уравнение окружности с центром в точке 01(0; уц) имеет вид (х - Xq)2 + (у - у о)2 = г2. Так как точки М(-3; 0) и N(0; 9) принадлежат окружности, то имеем: 9 4- (0 - уо)2 = г2, или 9 4- у% = г2 и (0 - О)2 4-4- (9 - у о)2 = г2, или (9 - у о)2 = г2. Сравнивая левые части полученных равенств, получим 9 4- yl = (9 - уо)2, или 9 4- = 81 - 18г/0 4- у^, 18t/0 = 72,
у о = 4, тогда г2 = 9 4- 42 = 25. Значит, уравнение окружности имеет вид х2 4- (у - 4)2 = 25.
Ответ: х2 4- (у - 4)2 = 25.
14. Центр окружности расположен на оси Ох, значит О1(х0; 0), тогда (х - х0)2 4- у2 = г2. MN — диаметр окружности, тогда — середина MN, Т.е.х0=1(хм + х„)=|(-2 + 4)=1.
Имеем: (х - I)2 4- у2 = г2.
Точки М(-2; 3) и N(4; -3) принадлежат окружности, тогда получим: (-2 - I)2 4- З2 = г2, или г2 = 18.
Значит, уравнение окружности запишется в виде (х - I)2 4- у2 = 18.
Ответ: (х - I)2 4- у2 = 18.
К таблице 5
3. Прямая 2х 4- у 4- 4 = 0 пересекает оси координат в точках М и N. Так как точка М принадлежит оси Ох, то у = 0, тогда 2х 4- 0 4- 4 = 0; х = -2, т. е. М(-2; 0). Аналогично, х = 0, тогда 2*04-1/4-4 = 0, у = -4, т. е. А(0; -4).
В AMON ZMON = 90°, МО = 2 и NO = 4, тогда S^qn = ~МО ON = 4. 2
Ответ: 4.
8. Найдем координаты точки М — середины отрезка АВ:
Хм = + хв) = i(8 4- (-8)) = 0, ум = “(12 4- 0) = 6.
Сл Сл Li
Значит, М(0; 6).
Уравнение медианы (прямой) СМ имеет вид ах 4- by 4- с = 0. Так как точки С и М принадлежат прямой СМ, то их координаты удовлетворяют уравнению прямой: а • (-2) 4- b • (-8) 4- с = 0, или -2а - Sb 4- с = 0 и
а-О + Ь- б4-с = О, или 6Ь 4- с = О, откуда b = -—с, тогда
6
( 1 А 7
-2а - 8 ♦ —с 4- с = 0, т. е. а = —с.
I 6 J 6
Подставляя значения а и b в уравнение прямой, получим:
7 ( 1 А 7 1
—с-х+ —с -а 4- с = 0, где с ф 0, или — х — у 4- 1 = 0, т. е.
6 6 ) 6 6
202 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
7х - I/ 4- 6 = 0 — уравнение медианы СМ. Ответ: 7х - у 4- 6 = 0.
10. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох прошла через АС, а диагональ BD оказалась на оси Оу, где О — начало координат (точка пересечения диагоналей АС и BD).
Запишем координаты вершин ромба: А(-10; 0), В(0; 4), С(10; 0), П(0; -4).
Уравнение прямой АВ имеет вид ах 4- by 4- с = 0. Так как точки А и В принадлежат прямой АВ, то
|а(-10) + &0 + с = 0, Г-10а + с = 0, (а = 0,1с,
[а-0 + М + с = 0; [4Ь + с = 0; [Ь = -0,25с.
Подставляя значения а и Ь в уравнение прямой, имеем:
0,1с • х 4- (-0,25с) • у 4- с = 0; с 0, или 0,1х - 0,25г/ 4-1 = 0, или, умножив обе части полученного уравнения на 20, получим 2х - 5у 4- 20 = 0.
& = -—с,
4
1
а =---с.
10
„ „ „„ [а-0 + Ь-4 + с = 0, [4Ь + с = 0,
Для прямой ВС имеем: < , , Л < Л
1а10 + Ь0 + с = 0; 110а + с = 0;
Значит, уравнение ВС примет вид ~^СХ~^СУ + с = 0, с * 0, или 2х 4- 5у - 20 = 0.
Аналогично для прямых DC и АО получим соответственно (решить самостоятельно): 2х - оу - 20 = 0 и 2х 4- оу 4- 20 = 0.
Замечание. Относительно осей Ох и Оу ромб может иметь и другое расположение, что равносильно замене оси Ох на Оу и, наоборот. Тогда придется заменить х на у и у на х.
Ответ: 2х - оу + 20 = 0, 2х - оу - 20 = 0, 2х + 5у - 20 = 0, 2х 4- оу 4-4-20 = 0.
К таблице 6
10. Предварительно докажем, что SABCI) = —АС • BD • sin а, где а =
= ZAOB. Поскольку ABCD — параллелограмм, то АО = ОС и ВО = OD
(по свойству), тогда SABCD = 2SAAOB 4- 2Sab0C = 2 •
i AO -BO sin а 4-2
4- — ОВ-ОС-sin(l80°-а) | = 2 • i • ВО • (АО sin а 4- ОС sin а) = 2 у 2
= ВО sin а • (АО 4- ОС) = ВО • АС ♦ sin а = —АС ♦ BD sin а, ч. т. д.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 203
Следовательно, SabCD = — • 16 • 20 • sin 60° = 160 • —— = 80>/з.
2 2
Ответ: 80>/3.
14. Так как MNKL — параллелограмм (по условию) и ZM = ZK = 60° (по свойству), то AKEF — равносторонний. Кроме того, NK = KL = 24 и
KE = — NK = 12.
2
Значит, S&EKF = — ЕК • KF • sin 60° = - • 12 • 12 • — = 36>/3.
2 2 2
Ответ: 36>/3.
17. Так как ABCD — параллелограмм, то диагональ BD делит его на два равных треугольника (AABD = &BDC — по III признаку). А равные многоугольники имеют равные площади (по свойству многоугольника).
1 4
Значит, Sabcd = %S\abd = 2 • — AD • BD • sin ZADB = AD • 5 • — = 4AD.
2 5
Из AABD по теореме косинусов имеем АВ2 = AD2 4- BD2 - 2AD • BD • cos ZADB, или 41 = AD2 + 25 - 2 • AD • 5 • cos ZADB.
cos ZADB = Vl-sin2 ZADB
I 16 = LsT_3
V 25 x25 5’
где cos ZADB > 0 (ZADB — острый).
Следовательно, 41 = AD2 + 25-10 - AD •
Q
-, или AD2 - 6 • AD - 16 - 0, 5
откуда находим AD = 8 или AD = -2 (не имеет смысла). Итак, AD = 8, тогда Sabcd = 8 • 4 = 32.
Ответ: 32.
К таблице 7
12. В АМКТ КМ = КТ = у (по условию), ZKMT = ZKTM = 30° (как углы при основании равнобедренного треугольника), тогда ZK = 180° -- (30° + 30°) = 120°.
„ МТ КМ V2 у
По теореме синусов имеем: --------=----------, ------= —-—.
sin ZMKT sin ZMTK sin 120° sin 30°
х/ч 1
Ho sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = — и sin 30° = —, тогда
2 2
V2sin30° V2 Тб
у =--------- = —j=-—.
sin 120° 7з 3
Так как ME — биссектриса, то ZKME = ZEMT = 15°.
204 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
В АКМЕ -----------=------------, где АКЕМ = 180° - (120° + 15°) = 45°,
sin 120° sin АКЕМ
u-sinl20° 76-73-72 6
тогда х = ---------- = ----------=---- = 1.
sin45° 3-2 3-2
Итак, ME = х = 1, КМ = КТ = у = —.
3
Замечание. Если провести высоту KN на сторону МТ, то КМ = у мож-
\/2
но найти из соотношения у = — : cos 30°, где KN — медиана AM КТ.
2
„ ! 7б
Ответ: х = 1; и = —.
3
16. Проведем высоту BE к основанию AD. Заметим, что ABAD = 60° (соответственные углы при параллельных прямых АВ и CD равны).
Sabcd =ЛВ • AD • sin 60° = 8 • 12 • — = 4вТз.
2
С другой стороны, Sabcd = AD ' BE = 12 • BE = 4вТз, откуда BE = 4>/з.
В ААВЕ ААВЕ= 90° - 60° = 30° => АЕ = —АВ = 4. Значит, ED = AD -2
- АЕ = 8. Из ABED, где BD = у, имеем:
у2 = BE2 4- ED2, у = 7(4^3)2 + 82 = 7112 = 4^7.
По свойству параллелограмма АС2 4- BD2 = 2(AD2 4- DC2), или х2 4- у2 =
= 2 • (122 + 82), х2 = 416 - 112, х = 7304 =4719.
Замечание. Задачу можно решить другими способами.
Ответ: х = 4719, у = 477.
К таблице 8
л аЬс 1.
4. RO = х — радиус описанной окружности. S^ref =--, гДе а, о, с —
4х
о 10-5-7 175
стороны треугольника. S^ref = ------=----5 с другой стороны, по фор-
4-х 4х
муле Герона S^ref = у] p(p-a)(p-b)(p-c), где р = |(10 4- 54- 7) = 11,
Saref = 711-1-6-4 =2Тб6, значит, i^ = 2766, откуда х = -~т=-2х 4л/66
Ответ:
175
4766*
Разлел Ш. Решения некоторых задач •» 205
Далее решить систему уравнений <
12. Указание. Применить теорему косинусов.
х2 л-у2 — ху = 1764,
х _ 3
.У 8’
Ответ: х = 18, у = 48.
14. Указание. Дважды применить теорему косинусов для ДАВС и AABjD для угла А.
Ответ: х = 13.
50-у 50 50-1/ 5 __
или ----- = —; ----- = —. Из i\MFE по теореме Пифагора
х 60 х 6
15. Так как ME || FT, то &KFT ~ АКМЕ (по двум углам), тогда
FK KM FT ~ ME ’
FE2 = 602 - у2, а из AKFE FE2 = 502 - (50 - у)2.
Сравнивая полученные равенства, имеем 602 - у2 = 502 - (50 - у)2,
_ 50-1/ 5 14 5
откуда находим у = 36. Поскольку--— = — и у = 36, то — = —, откуда
х 6 х 6
х= — = 16,8.
5
Ответ: х = 16,8; у = 36.
19. Пусть МК = a,NP = Ъ. Из AMPR МР = у/402-242 = 32.
Пусть APMR = а. Заметим, что AMKN ~ AN PR (Z.K = ZP = 90° и
32 4
AKNM = APNR как вертикальные), тогда cos а = — = —. Из по
4 теореме косинусов у2 = х2 + 402 - 2 • х • 40 • —, или у2 = х2 - 64х + 1600.
5
Пусть Z.KMN = ANRP = р, тогда cos р = — = —, откуда а = х у у
f \2 2
Из AMKN а2 = х2 - 49, значит, | | =х2-49, или -х2-49.
I У ) У
Подставляя значение у2, имеем (х2 - 64х + 1600)(х2 - 49) = 576х2.
Упрощая полученное уравнение, получим х4 - 64х3 + 975х2 + 3136х - 78 400 = 0.
Можно проверить, что х = 25 — корень уравнения, тогда х3(х - 25) -- 39х2(х - 25) + 3136(х - 25) = 0, или (х - 25)(х3 - 39х2 + 3136) = 0, откуда Xi = 25, тогда у2 = 252 - 64 • 25 4- 1600, у2 = 252, у = 25.
Итак, х = 25, у = 25 одно из решений задачи. Остается решить уравнение х3 - 39х2 + 3136 = 0. Можно убедиться, что оно не имеет целых
( 56 V
корней. Запишем его в виде х2(39 - х) = 3136, или 39 - х = — .
I х J
206 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Графическое решение показывает, что полученное уравнение имеет еще три корня, из которых один отрицательный, что не удовлетворяет условию задачи, так как х > 0.
Два других корня можно вычислить приближенно: х2 ~ 10,5, х3 ® 36,7, тогда у2 = 10,52 - 64 • 10,5 4- 1600, откуда находим у2 ~ 32,2.
Аналогично у$ = 36,72 - 64 • 36,7 4-1600, у3 » 24,5. Как видим, задача оказалась довольно сложной.
Ответ: хг = 25, уг = 25; х2 ~ 10,5, у2 « 32,2; х3 « 36,7, у2 « 24,5.
22. Из ЛАВС (АС = 90°) х2 - у2 = 324. Пусть СК = а, КВ = Ь, тогда а 4- Ь = 18. Так как МК (а значит, и АК) — биссектриса АСМВ, то a 10 5 5,
- = — = откуда а - -Ъ. & 14 7 7
_ 21 5
откуда Ь = —, тогда а = — 2 7
5 12
Так как а 4- b = 18, то — b 4- b = 18, —b = 18, 7 7
2115
2 2
Пусть АСАК - АКАВ = а. Из ЛАВС cos2а =—, а из /ААСК tga = х
а_ 15
У 2У
тл 1 - tg2 a
Известно, что cos 2a = -----5—, следовательно,
14- tg a
415?
l2t/J = у
(I 5 Л2 X
1+ —
[%У )
4г/2-225 у
или —, или 4у2 +225 х
Л4у2-225
ч4у2+225
=А
х2
Но х2 - у2 = 324, х2 = у2 + 324, тогда получим
9 \2
4у2-225 |
4у2+225) ” у2+ 324
У2
„ 9 Л Г4е-225? t
Пусть y—t, где t > 0, тогда уравнение примет вид -- = —-—,
^4£ + 225j £ + 324
или (4£ - 225)2(£ 4- 324) = t(4t + 225)2. После преобразований получим уравнение 1584£2 - 583 200£ + 16 402 500 = 0, или 44£2 - 16 200£ +
Л 1350 1350
+ 455 625 = 0, откуда находим tx =—-—, t2
, 1350 2 1350 15л/б 2 2j_,o. 2646
1) Если t ----, то у =----, у =----, тогда хл = ул + 324 = -,
4 4 2 4
21Уб / А
х =-----. Оба значения подходят, так как у < х (по смыслу задачи).
2
Разлел III. Решения некоторых залач •» 207
„чт, 1350 2 1350 15 Гб" 15^66
2) Если t =-, то у =-, у =—J—=---, тогда
44 * 44 2 Ш 22
2 675 15 606 51 Гб" 51V66
х = -^- + 324 =———, откуда х = —J— =———, где условие у < х также выполняется.
Л 21Тб 15-Уб 51766 15л/б6
Ответ: 1) х =------, у - ——; 2) х =----, у =-----.
2 2 22 22
24. По свойству параллелограмма 2 • (AD2 + АВ2) = АС2 + BD2, где AD = х, АВ = у, AD = BD = х, тогда 2(х2 + у2) = АС2 4- х2, откуда х2 + + 2у2 = АС2.
По условию АС - BD = 2, или АС = х + 2, тогда х2 + 2у2 = (х + 2)2, откуда у2 = 2х + 2. Кроме того, х - у = 11. Следовательно, получим систе-о [у2=2х + 2, f(x-ll)2 =2х + 2, му уравнении: <v ’
[x-i/ = ll; |^ = х-11.
Из первого уравнения системы имеем х2 - 22х +121-2х-2 = 0, или х2 - 24х + 119 = 0, откуда хх = 17, х2 = 7, тогда у± = 6, у2 = 7 - 11 = -4 (не имеет смысла). Поскольку х - у = 11, т. е. х > z/, то х = 17, у = 6.
Ответ: х = 17, у = 6.
К таблице 9
8. cos ZC = ,___ i_... Найдем координаты векторов СА и СВ;
|СА|-|СВ|
СА {-4 - 4; 8 - 0) = {-8; 8}, СВ {2 - 4; 14 - 0} = {-2; 14}, тогда |са| = 7(-8)2 + 82 =8л/2, |св| = 7(-2)2 +142 = >/200 = 10л/2. САСВ = = -8 • (-2) + 8 • 14 = - 16 + 112 = 96.
96 12
Следовательно, cos ZC = —т=---т= =-- = 0,6.
8V210T2 210
Ответ: 0,6.
16. АВ-АС = |АВ|-|АС|-cos а, где а = ZCAB. По условию А(2; 4), В(2; 8), С(6; 4), тогда АВ {2 - 2; 8 - 4} = {0; 4}, АС = {6 - 2; 4 - 4} == {4; 0}. |ab| = Vo2+42 =4; |ac| = V42+02 =4. АВ -AC = 0 • 4 + 4 • 0 = 0, cos а =
= — = 0, т. е. ZCAB = 90°.
4-4
Ответ: 90°.
208 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
20. Найдем координаты векторов MN и LT : MN {6 - 1; 2 - 5} = {5; -3}, LT{3 - 4,5; 3 - 5,5} = {-1,5; -2,5}. Тогда MN LT = 5 • (-1,5) 4-4- (-3) • (-2,5) = -7,5 4- 7,5 = 0. Следовательно, MN ± LT, т. е. ALON = 90°.
Ответ: 90°.
К таблице 10
5. По условию С = 8лл/з. Но С = 2л7?, тогда 2 л 7? = 8лл/з, R = 4л/з.
Так как оАтВ = 120°, то ААОВ = 120°, где АО = OB = R = 4л/з.
Из центра О окружности опустим перпендикуляр ОС на хорду АВ.
ОС — медиана равнобедренного АЛОВ, где АОАВ = АОВА = 30°.
Из ААОСАС=АО • cos 30° - 4^3 •— = 6. Значит, АВ = 2 • АС = 12.
2
Ответ: 12.
9. Так как иТтМ = 120°, то АТОМ = 120°. В равнобедренном АТОМ (ТО = МО = R); АОТМ = АОМТ = 30°.
5 10
Проведем высоту ОК, тогда из АОТК, где ТК = 5, ОТ = ----- =
cos30° л/З
, л7? л 10 20 л 20лТз
следовательно, l = ——a =------^120 = —т=- =------
180 180 V3 3V3 9
л 20лТз
Ответ: ------.
9
15.1 способ.
эАМ = <jBN — как дуги окружности, заключенные между параллельными хордами АВ и MN (АВ || MN — по условию).
Но тогда AM = BN, т. е. ABNM — равнобедренная трапеции.
Проведем диагональ AN. Так как MN = 16, АВ = 12, то
МК = |(16-12) = 2.
Из ААМК AM = V22 +142 = 10х/2. KN = MN - MK = 14.
Из AAKN, rp.eAK = KN=14,AN = 14x/2.
тт О a^C , „
Известно, что = ------, где a, b, c — стороны, R — радиус описанной
47?
и c? 1 10x/2 16 14x/2 p
окружности. Ho = — • 16 • 14 ------—-------, откуда R = 10.
2
47?
Тогда С = 2л7? = 20л.
Разлел III. Решения некоторых задач •» 209
II способ.
Соединим точки В и N с центром окружности, тогда OB = ON = R. Проведем диаметр EF, перпендикулярный данным хордам. Пусть L и Т соответственно точки пересечения хорд АВ и MN с диаметром EF, тогда LT =АК = 14, LB = 1 АВ = 6 и TN = -MN = 8. Пусть ОТ = х, тогда 2 2
f fi2 + Л 4 - г^2 — 7?2
OL = 14 - х. Из ЛОЬВ и NJTN имеем: ’
[82+x2=R2.
Сравнивая левые части системы, получим: 36 4- 196 - 28х 4- х2 = — 64 4- х2, 28х = 168, откуда х = 6. Значит, В2 = 64 4- 36 = 100, R = 10 и С = 2tiR = 20л.
III способ.
Пусть EL = х, TF = у, тогда получим систему:
f TN2 = ЕТ • TF, Г 1/(14 4- х) = 64,
[BL2=ELLF; [х(14 +1/) = 36.
Вычитая из I уравнения II, получим 14(г/ - х) = 28, у-х = 2, у = х + 2. Подставим значение у в одно из уравнений системы (х 4- 2)(14 4- х) = 64, или х2 4- 16х - 36 = 0, откуда хг = 2, х2 = ~ 18 (не имеем смысла). Если х = 2, то у = 4, тогда EF = 2R = х + у + LT = 20, откуда R = 10, значит, С = 2nR = 20л.
Ответ: 20л.
22.1 способ.
По условию AM = ВМ = 14, т. е. ЛАМВ — равнобедренный. Проведем высоту ME, тогда ME — медиана ЛМАВ; АЕ = BE = 4.
Ядамв = —АВ • ME = i • 8 • ME = АМЕ. Из ЛАМЕ МЕ2=АМ2-АЕ2, 2 2
ME = V142-42 = 6-Уб. Smmb = 24^5.
abc
С другой стороны, Вддмв =--, гДе а, Ь, с — стороны ЛАМ В, R — ра-
4R
диус описанной окружности.
1414-8 г 49
Значит, -------= 24у5, откуда R =—р тогда
AR Зу5
С = 2nR = 2л •
49 _ 98л>/5
3^5 15
II способ.
Соединим точку А с центром О окружности. ME = 6>/5 (см. I способ), АО = МО = R. Из ЛАОЕ АО2 - ОЕ2 = АЕ2, или В2 - (6>/5 - R)2 = 16, откуда 49 находим R = и т- Д* (см- I способ).
210 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
К таблице 11
8. Проведем высоту NK. Пусть ЕК = х. Так как ZE = 45°, то AENK = = 45°, т. е. NK = ЕК = х. Пусть MN = у, тогда EF = 2х + у = 24. По условию EN — FM, тогда по свойству описанного четырехугольника, имеем: 2EN = EF + NM = 2х 4- 2у, или EN = х 4- у. Из \ENK EN2 = ЕК2 4- NK2, или (х 4- у)2 = 2х2, х + у = ху/2. Так как 2х 4- у = 24, то у = 24 - 2х, зна-
I— /— 24 I—
чит, х 4- 24 - 2х = хх/2, xN2 4-1) = 24, откуда х = -у=— = 24(д/2 -1).
V2+1
Но х = 2г, тогда г = 12(42 -1).
Следовательно, 8кр = лг2 = 144л (3-2д/2).
Ответ: 144л(3-2д/2).
10. Проведем диаметр окружности АВ ± MN и АВ ± ТК, проходящий через центр О окружности. По условию ТМ = KN, STMNK = 125 и EF = 8 — расстояние между точками касания ее боковых сторон.
Пусть ЕМ = МА = тп, ТЕ = ТВ = b, ЕО = г — радиус вписанной окруж-
ности; АВ = 2r, ЕС = —EF = 4, где С — точка пересечения EF и АВ.
2
Из АЕОС ОС = д/г2 -16, тогда АС = АО - ОС = г-д/г2-16, ВС = ВО + 4- ОС = r + \Jr2 -16; следовательно, ME : ЕТ = АС : ВС, или тп : п = = (г-Vr2-16):(г + д/г2-16). Из \МОТ, где ЛМОТ = 90° (МО и ТО — биссектрисы углов TMN и МТК, где Z.TMN 4- АМТК = 180°), имеем: ОЕ2 = ME • ЕТ, или тп = г2.
По условию STMnk = 125, или —(MN 4- ТК) АВ = 125.
2
Но 2МТ = MN 4- ТК (по свойству описанного четырехугольника), тогда 2(т 4- п) = MN 4- ТК, или (т 4- п) • 2г = 125. Имеем систему урав-
нений: <
т: п = (г - д/г2 -16): (г 4- д/г2 -16), тп - г2, 2(т + п)г = 125.
Пусть для краткости г-д/г2 -16 =а, г 4- xjr2 -16 = 0, тогда т = —п и
_ _. ОС о о ттт
II уравнение системы примет вид — п ~г , следовательно, III уравне
ние преобразуется к виду 2• — п + п • г = 125, или 2пг\ —н 1 = 125.
Разлел III. Решения некоторых залач •» 211
Преобразуем выражения — +1 и
а _ г - л/г2 -16 _ 2г
Р г + л/г2 —16 г + л/г2 -16 V Р Р г + л/г2 —16
= 4
г + л/г2 -16
2 2z* 4
Следовательно, 2г2----. = 125 •----. , или г3 = 125,г=5.
r + ^Jr2-16 г + л/г2—16
Тогда SKp> = nr2 = 25л.
Ответ: 25л.
19. Соединим точку М с центром окружности, тогда МО = NO = = КО = R — радиус описанной окружности. Пусть ОТ = х. По условию NMKN — равнобедренный, где высота КТ — медиана и биссектриса.
Тогда МТ = 7, КТ = 24 (по условию).
Из NMKT МК = л/242+72 = л/б25 = 25. Заметим, что КТ = R + х = 24, а из NMOT R2 - х2 = 49. Имеем систему уравнений:
Гй + х = 24, |Я + х = 24, р? + х = 24, |Л+* = до
(Я2-х2=49; |(й-х)(Я + х) = 49; [24(Я-х) = 49; |Я-х = ^.
Складывая почленно уравнения полученной системы, имеем:
2Я — 24+—; 2R=™,R-™
24 24 48
Следовательно, SKp> = nR2 = л•
п (625f
Ответ: л ----- .
I 48 J
К таблице 12
1. ДАОВ — равносторонний (по условию), где ОА = 12, тогда
с а2 у/з . „
од = ---- (площадь правильного треугольника со стороной а).
4
nR2
Зсект. = 7^7'а’ где в = ОА = 12, а = 60°.
ооО
212 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
л-122 122 л/з
СлвДОВаТвЛЬНО, *^сект. ^даов __ *60 -
360 4
л-12—12 л/з =24д_ зб7з=12(2л-3л/3). 6 4
Ответ: 12(2л-За/3).
6. £ф. = SKp. - SKB. = л • ОА2 - SKB#, R = ОА = 10, a = Rx/2, где а — сторона квадрата, R — радиус описанной окружности, тогда SKB. = а2 = = (Rx/2)2 = 200, значит, SKp. = л • 100 - 200 = 100(л - 2).
Ответ: 100(л - 2).
10. Пусть а = 15 — сторона правильного треугольника, тогда
о па2 а24з „ л-152 152а/з 152 R
s* = Т~~Г’ или s*'= ----------------г~= V<2”-3V3) “
= 37,5 • (2л-За/3) = 75(л-1,5а/3).
Ответ: 75(л-1,5>/3).
12. Зф. = SMNKT ~ — SKp.«
SMnkt = а2 = 122 = 144; SKp. = nR2 = л • 122 - 144л, тогда
-jSKp = ~ * 144л = 36л. Значит, = 144 - 36л = 36(4 - л).
Ответ: 36(4 - л).
кр.
ОТВЕТЫ
7 класс
Таблииа 1
1. Zac = 77°30'; Zeb = 102°30'. 2. Zmk = 160°; Zkn = 20°. 3. ZADC = 80°; ZCDB = 100°. 4. ZMPK = 130°; ZKPN = 50°. 5. ZPLR = 100°; ZRLS = 80°. 6.160°. 7.150°. 8. 90°. 9.160°. 10.105°. 11.135°. 12. ZAMN = ZBMN = 90°.
Таблииа 2
1. Za^ = 120°; Zab^ = 60°. 2. 145°; 145°. 3. 120°. 4. Z3 = 150°; Z4 = 30°. 5. Zl = Z3 = 60°; Z2 = Z4 = 120°. 6. 60°. 7. Zl = 120°; Z2 = Z3 = 60°. 8. 135°. 9. Z2 = 50°; Z3 = 40°; Z4 = 140°. 10. Z2 = Z3 = 55°; Z4 = 35°. 11. Zl = 110°; Z2 = Z3 = 35°. 12. 180°. 13. 110°.
Таблииа 4
1. AC = ВС = 8; AB = 4. 2. MK = KN = 12; MN = 2. 3. 0,6; 0,6. 4. QR = = RE = 2,8; QE = 0,8. 5. EF = 15; EM = MF = 10. 6. 0,8. 7. 4,9. 8. 50. 9. 10. 10. RT = TS = 12, RS = 21. 11. 10; 10. 12. 6; 6. 13. 9. 14. 15.
Таблииа 5
1. 75°. 2. 140°. 3. 30°. 4. 135°. 5. 50°. 6. 120°. 7. 90°. 8. 40°. 9. 60°. 10. 30°. 11. 40°. 12. 20°. 13. 60°. 14. 60°. 15. 60°. 16. 110°. 17. 80°. 18. 50°.
Таблииа 7
1. Zl = 106°; Z2 = 74°. 2. Zl = 108°; Z2 = 72°. 3. Zl = 130°; Z2 = 50°. 4. Zl = 100°; Z2 = 80°. 5. Zl = 67° 30'; Z2 = 112° 30'. 6. ZN = 60°; ZM = 30°. 7. ZA = 60°; ZABC = 30°. 8. 43°. 9. 68°. 10. 65°. 11. 30°; 30°. 12. 74°. 13. 55°.
Таблииа 8
1. ZR = 45°; ZP = 105°; ZQ = 30°. 2. ZM = 80°; ZN = 60°; ZK = 40°. 3. ZP = ZR = 67°30'; ZS = 45°. 4. ZQ = ZM = 40°; ZL = 100°. 5. ZA = 40°; ZC = 100°. 6. ZM = 60°; ZQ = 80°; ZQPM = 40°. 7. ZS = 70°; ZSTR = 40°. 8. ZBAC ~ ZB = 72°; ZC = 36°. 9. ZM = 75°; ZMNP = 70°; ZP = 35°. 10. ZP = 25°; ZTSP = 40°.
214 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблииа 9
1. 120°. 2. 80°. 3. ZT = 90°; ZS = 60°. 4. ZB = 70°; ZC = 40°. 5. 60°; 60°; 60°. 6. ZE = 90°; ZP = 30°. 7. 40°; 40°. 8. ZA = 50°; ZC = 70°. 9. ZM = = ZK = 50°; ZN = 80°. 10. ZD = 60°; ZE = 40°. 11. ZA = 30°; ZB = 60°; ZC = 90°. 12. ZA = ZB = 45°; ZD = 90°. 13. 60°; 60°. 14. ZS = ZP = 65°; ZSKP = 50°. 15. ZP = ZR = 45°; ZPQR = 90°. 16. ZD = ZE = 45°; ZDEF = 90°. 17. ZBAC = 60°; ZABC = 30°; ZC = 90°. 18. ZL = 65°; ZMKN = ZKNL = 45°; ZNKL = 70°. 19. ZCOB = ZAOD = 90°; ZB = 65°; ZD = 25°. 20. ZQOC - ZMOR = 55°; ZM=45°; ZR=80°. 21. ZKMN= 70°; ZKML = ZLMN=35°; ZMLK= 105°; ZMLN= 7Ey>.<22.ZPMA=^-,ZAPM=EPP-,ZA=irp.2B.ZMSL=7^ZL=^P.2AZMPL=ZMLP= 60°; ZPNL=ZMNL=90°; ZPKM = ZPKL = 90°. 25. ZC = 90°; ZB = 50°; ZA = 40°. 26. ZP = 40°; ZPTS = 60°. 27. ZT = 40°; ZMRK = 10°; ZKPT = 50°; ZRKT = 90°. 28.ZAB£>=70o;Z£>=30o;ZABC=40o;ZCBB = 30o;ZBCB = 120o.29.ZP=30°; ZKMP = 50°; ZNMP = 30°; ZMNP = 120°. 30. ZMSN = 120°; ZMSK = 35°; ZPSN = 25°; ZMKS = 110°; ZSPN = 130°; ZSKP = 70°; ZSPK = 50°; ZKSP = 60°. 31. 165°. 32. 125°.
Таблииа 10
l.AB = S;BC = 4. 2. 15. 3. MP = 27; PN = 9. 4. 54. 5. 18. 6. 26. 7. 110°. 8.15°. 9. AB = 24; BC = 12.10.9,75.11.14.12. ZA - ZB = 30°; ZACB = 120°. 13. ZT = 50°; ZTPS = ZTSP = 65°. 14.115°. 15. ZKNM = 90°; ZNKM = 36°; ZKNM = 54°. 16. CB = 27; CD = 9. 17. SQ = 15,6; ZRQT = 150°. 18. 6. 19. 44. 20. 45°. 21. 70°.
Таблииа 12
1. 13. 2. 15. 3. 10. 4. 6. 5. 4. 6. 7,5. 7. 6. 8. 5. 9. 14. 10. 7. 11. 8. 12. 10. 13. 13. 14. 13. 15. 7. 16. 4.
8 класс
Таблииа 2
1. 20. 2. 10. 3. 14. 4. 16. 5. 22. 6. 28. 7. 22. 8. 24. 9. 22. 10. 32. 11. 40. 12. 52. 13. 60. 14. 32. 15. 48. 16. 48. 17. 64. 18. 16. 19. 20. 20. 112. 21. 72. 22. 28. 23. 60. 24. 36.
Таблииа 3
1. ZM = ZP = 70°; ZMNP = ZMKP = 110°. 2. ZA = ZC = 70°; ZB = = ZADC = 110°. 3. ZL = ZS = ZK = ZR = 90°. 4. ZM = ZE = ZMFE =
Ответы •» 215
= ZMDE = 9Q°.5.ZP = ZM = 60°; ZPNM = ZPLM = 120°. 6. ZE = ZM = 120°; ZEFM = ZEKM = 60°. 7. ZD = ZB = ZDAB = ZBCD = 90°. 8. ZP = ZV = 65°; ZPMN = ZPKN = 115°. 9. ZKFE = ZKNE = ZFKN = ZFEN = 90°. 10. ZS = ZL = 70°; ZSPL = ZSML = 110°. 11. ZLKN = ZLMW = ZKLM = = ZKNM = 90°. 12. ZB = ZD = ZDAB = ZDCB = 90°. 13. ZADC = ZDCB = = ZCBA = ZDAB = 90°. 14. ZM = 60°; ZMKL = ZMSL = 120°. 15. ZMRK = = ZRKL = ZMLK = ZLMR = 90°. 16. ZW = ZT = 70°; ZS = ZATT = 110°. 17. ZPLK = ZPTK = 80°; ZTPL = ZTKL = 100°. 18. ZA = ZC = 60°; ZABC = = ZD = 120°.
Таблииа 4
l.ZM = ZR = 70°; ZP = ZN = 110°. 2. ZA = ZC = 60°; ZB = ZD = 120°. 3. ZR = ZL = 60°; ZS = ZM = 120°. 4. ZM = ZR = ZK = ZN = 90°. 5. ZTPK = ZPKS = ZKST = ZSTK = 90°. 6. ZDAB = ZDCB = 60°; ZADC = = ZABC = 120°. 7. ZRMK = ZMKL = ZKLR = ZMRL = 90°. 8. ZFSM = = ZFTM = 80°; ZSFT = ZSMT = 100°. 9. ZDAB = ZDCB = 36°; ZADC = = ZABC = 144°.
Таблииа 5
1. Квадрат co стороной 9. 2. Ромб co стороной 9. 3. 8,5; 8,5; 9,5; 9,5. 4. 7,2; 7,2; 10,8; 10,8. 5. Квадрат со стороной 9. 6. 6; 6; 12; 12. 7. 6; 6; 12; 12. 8. 6,75; 6,75; 11,25; 11,25. 9. 8; 8; 10; 10. 10. 8; 8; 10; 10. 11. 4; 4; 14; 14. 12. 8; 8; 10; 10.
Таблииа 6
1. ZB = 110°; ZC = 130°. 2. ZE = ZN = 80°; ZM = 100°. 3. ZP = 105°; ZS = 80°. 4. ZE = ZF = 90°; ZM = 115°. 5. ZK = ZKLM = 120°; ZM = = ZKNM = 60°. 6. ZRFK = ZK = 55°; ZR = ZRMK = 125°. 7. ZBAD = 60°; ZB = ZBCD = 120°. 8. ZSMK = 90°; ZK = 65°; ZSRK = 115°. 9. ZPTO = 90°; ZO = 55°; ZPLO = 125°. 10. ZENM = ZFMN = 60°; ZNEF = ZMFE = 120°. 11. ZTKF = 90°; ZTMF =120°. 12. ZKRT = 90°; ZKFT = 135°. 13. ZABC = = 105°; ZC = 125°; ZD = 55°. 14. ZM = 70°; ZT = 50°; ZMLS = 110°; ZLST = 130°. 15. ZT = ZTRF = 70°; ZTEF = ZF = 120°. 16. ZNOE = 65°; ZONM = 115°; ZOEM = 75°; ZNME = 105°. 17. ZMSK = 65; ZSMN = 115; ZMNK = 100°; ZSKN = 80°. 18. ZNAB = 110; ZANM = 70; ZABM = 100°; ZNMB = 80°.
Таблииа 7
1. 44. 2. 84. 3. 132. 4. 20. 5. 34. 6. 84. 7. 62. 8. 68,8. 9. 50. 10. 36.
216 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
Таблииа 8
1. 18. 2. 49. 3. 60. 4. 108. 5. 36. 6. 72. 7. 100. 8. 33. 9. 40. 10. 75 л/з . 11. 48 л/з . 12. 64. 13. 126. 14. 108. 15. 112.
Таблица 9
1. 32. 2. 156. 3. 32. 4. 126. 5. 162л/з. 6. 60л/з . 7. 72. 8. 112,5. 9. 864. 10. 160. 11. 40. 12. 768. 13. 84,5л/з . 14. 480,5. 15. 48. 16. 373^. 17. 48.
3
18. 140. 19. 48. 20. 262,5. 21. 144. 22. 48л/з . 23. 200. 24. 48.
Таблица 10
1. 165. 2. 18. 3. 60. 4. 169. 5. 16 л/з . 6. 80. 7. 96. 8. 84. 9. 8. 10. 18,5. 11. J191 /4. 12. 270. 13. 24 V5.14. 168. 15. 196. 16. 64. 17. 8 л/з . 18. 288 >/з . 19. 36. 20. 25. 21. 84.
Таблица 11
1. 32. 2. 240. 3. 58,5. 4. 264. 5. 96. 6. 214,5. 7. 36. 8. 47,5. 9. 144. 10. 176. 11. 300. 12. 108. 13. 96. 14. 294. 15. 48. 16. 58л/з. 17. 292. 18. 180. 19. 784. 20. 32. 21. 216. 22. 45. 23. 204. 24. 160. 25. 70. 26. 49. 27. 64.
Таблица 12
1. 5. 2. V153.3. V10.4. 3. 5. 15. 6. 3>/3 .7. 16/>/з .8. 24. 9. 12л/з . 10. 60/13. 11. 120/13. 12. 13. 13. 16. 14. 14^6/5. 15. 4>/13 . 16. 128/17. 17. 5л/з . 18. 8>/2.19. 782.20.10. 21. 5>/з . 22. 8. 23. 8. 24. 12>/з . 25. 7,2. 26. 10. 27. 16>/2(л/3-1). 28. 4. 29. 13. 30. 8. 31. >/937 .32. 2. 33. V17 . 34. 5. 35. 6. 36. 15. 37. 10. 38. 15. 39. 20. 40. 120/13. 41. 29. 42. 12/7. 43. 9. 44. 34. 45. 15; 20. 46. 7. 47. 6. 48. 22. 49. 9. 50. 10. 51. 3. 52. 26. 53. 8л/з . 54. 10.
Таблица 13
1. 24. 2. х = 8; у = 14; z = 12. 3. х = 18; у = 15. 4. х = 8; у = 12; z = 16. 5. х - 20; у = 50; z = 40. 6. х = 42; у = 28; z = 21. 7. х = 27; у - 21; z = 24. 8. х = 27; у = 21; z = 24. 9. 100. 10. 5. 11. 3\3 . 12. х = 72; у = 98. 13.13,125.14. х = 5; у = 7.15. х = 14; у = 21.16.48.17. х = 40; у = 90.18. х = 39; у = 52. 19. 6. 20. 60. 21. 168. 22. 72. 23. 18. 24. 48. 25. 64. 26. 92. 27. 60.
Ответы •» 217
28. 7,5. 29. 10,8. 30. х = 11-; у = 8~. 31. 5^. 32. х = 54; у = 48. 33. 45.
7 7 3
5 6
34. х = 9; у = 15. 35. х = 15— ; у = 18— . 36. 31,2.
У 11 11
Таблииа 14
15
1. х = 15; у = 8. 2. х = 12; у = 14. 3. 20. 4. 8,75. 5. 5 —. 6. х = 12; у = 36.
7. х = 18; у = 30. 8. х = 12; у = 13. 9. 2,5. 10. 25,6. 11. х = 4; у = 8. 12. 4. 13. х = 24; у = 40. 14. х = 20; у = 16. 15. х = 11-; у = 4-. 16. 2-. 17. 37^.
7 7 7 3
18. х = 8; у = 12.19. 8у. 20. х = 9,6; у = 22,4. 21.16. 22. х = 12; у = 4. 23. х = 4; у = 6. 24.12. 25. х = 6 7з ; у = 12 7з . 26. х = 3,5; у = 3,75. 27. х = 36; у = 12. 28. х = 2,4; у = 7,2.
Таблииа 16
1. 27. 2. 12. 3. 48. 4. 120. 5. 62. 6. АК = 6; КС = 12. 7. RS = 8; RF = 6. 8. 28. 9. 18. 10. 9 7з /2. 11. 3 7з (7з + 1). 12. EF = MN = 24. 13. 12. 14. 0,5. 15. 4(1 + 2 72 ).16. MR = 4,8; MS = 9,6; RS = 6,4. 17. FE = 12,5; EC = 10; FC = 7,5.
Таблииа 17
1. KN = 24; MT = 50/13; TN = 288/13. 2. NL = 9; LM = 16; NK = 15; KM = 20. 3. ME = 4,5; MK = 7,5; KN = 10. 4. MT = 25/13; TN = 144/13. 5. KN = 5 721; ME = 4; EN = 21. 6. KN = 30; KM = 40; NF = 18; FM = 32. 7. KM = 5 V61; KN = б7б1 ; MN = 61; MT = 25; TN = 36. 8. MN = 9; ME = EN = 4,5; EF = 0,5; FN = 4. 9. 90. 10. 246. 11. 144/13. 12. 64л/з . 13. 54/13. 14. 156. 15. 84,375.
Таблииа 18
1. 9л/з . 2. 16>/2.3. 4л/з . 4. 15. 5. 5. 6. 1572.7. эТз . 8. бТз . 9. 1242. 10.12.11. 643.12. 4(4 + 43 ). 13.10(73 + 1). 14.107б /3.15. 6л/б . 16. 5 72 .
Таблииа 19
Г- Г- 5 Г-
1.36. 2.64Тз .3.217з .4. -(5Тз +6). 5. 73,5. 6. АХ = 7,5; cos АК = 0,6. 2
7. 8173 /4; cos ААСВ = 0,5. 8. sin AF = 3/ 713 ; cos AF = 2/ 713 ; tg ZF = 3/2;
218 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы
ctg ZF = 2/3. 9. 2/3. 10. (ч/з - 1). 11. 192 ч/б . 12. sin ZK = 3/ V10 ;
cos ZK = 1/ J10 ; tg ZK = 3; ctg ZK - 1/3.13. sin ZB = 2 ч/б /5; cos ZB = 1/5; tg ZB = 2/ ч/б ; ctg ZB - 1/2 ч/б . 14. sin a = 12/13; cos a = 5/13; tg a = 12/5; ctg a = 5/12. 15. sin ZK = 0,8; cos ZK = 0,6. 16. sin ZB = ч/з /2; tg ZB = ч/з . 17. cos a = 0,4; ctg a = 2/ч/21 . 18. sin ZA = ч/2 /6; tg ZA = ч/17 /17. 19. cos ZB = 7/25; ctg ZB = 7/24. 20. sin a ® 0,46; tg a » 0,52. 21. sin ZA = = ^(ч/з - i); cos ZA = ^(ч/З + i). 22. 0,8.
Таблииа 20
1. 6 ч/з . 2. 60°. 3. 30°. 4. 120°. 5. 9. 6. 3 ч/з ; 3 ч/з . 7. 16 или 9. 8. 60°. 9. 15. 10. AM = 10; ВМ = 10ч/б . 11. АВ = 12; CD = 16. 12. 2. 13. 20; 20. 14.1,2 ч/б. 15. 20.16.40; 40.17.14.18.6.19. 24; 24. 20. 8,5; 8,5. 21.12(2 + ч/з). 22. 70. 23. 2,8ч/51 .
Таблииа 21
1. 39°. 2. 8. 3. 32ч/2.4. 70°. 5. 100°. 6. 28°. 7. 110°. 8. 101°. 9. 44°. 10. 32°. 11. 40°. 12. 3,5. 13. 12. 14. 50°. 15. 1,4. 16. 40°. 17. 4. 18. 18°. 19. 157°. 20. 45°. 21. 100°. 22. 75°. 23. 5ч/з . 24. 80°. 25. 30. 26. 10. 27.114°. 28.16. 29.10. 30. 28,125. 31. 15. 32.1. 33. 8ч/з . 34.14,4. 35.12. 36. 30ч/3.37.100°. 38. 7,5. 39. 8ч/з . 40.10. 41.15. 42.8 ч/б.43. 6. 44.4ч/145 . 45. 157°30'. 46. 70°. 47. 40°. 48. 123°45'. 49. 40°. 50. 100°. 51. 82°30'. 52. 108°. 53. 67°30'. 54. 10°.
Таблииа 22
1. 20. 2. 24°. 3. 38°. 4. 7. 5. 24. 6. 10. 7. 2 ч/б!. 8. 20ч/з . 9. 130°. 10. 4. 11. 10. 12. 4,8. 13. 180. 14. 80. 15. 15. 16. 64ч/з . 17. 240/13.
Таблииа 23
1. 20/3. 2. 120. 3. 60. 4. 27. 5. 40. 6. 80. 7. ZL = ZM = 63°; ZE = 54°. 8. ZA = 66°; ZB = 24°; ZACB = 90°. 9. 5ч/3 . 10. 100°. 11. 4. 12. 6. 13. 9. 14. 20(ч/з + 1). 15. 25/8. 16. 4. 17. 16. 18. 10. 19. 12ч/з . 20. 60°. 21. 216. 22. 128. 23. 40. 24. 3. 25. 8. 26. 15. 27. 4. 28. 6. 29. 8. 30. 13. 31. 6. 32. 48ч/3(2 +ч/3). 33. 8. 34. 4(ч/з+ 1). 35. ME = 8ч/б ; EF = 12. 36. 96.
Ответы •» 219
37. RK = 18; QK = 24. 38. 30. 39. 25. 40. 4. 41. 28. 42. 6. 43. 10. 44. 3. 45. 13/4 V61.46. 16. 47. 960. 48. 30 или 40. 49. 25/6. 50. 240. 51. 1,2. 52. 80. 53. АВ = 24; DC = 30. 54. ZM = 127°; ZW = 105°. 55. 10. 56. 12. 57. 30. 58. MN = 6; NK = 18; KL = 21; LM = 9. 59. 5л/з . 60. 100>/2 . 61. 36. 62. 66°; 66°; 114°; 14°. 63. 94,08. 64. 384. 65. 16. 66. 10. 67. 48л/з . 68. 4. 69. 10. 70. 5 42.71. 3. 72. 20. 73. 80. 74. 20. 75. 3. 76. 168. 77. 720. 78. 6. 79. 10. 80. 10. 81. 30°. 82. 588. 83. 9,6. 84. 42 >/б . 85. 11. 86. 15.
Таблииа 24
1. a) mTTe; mVtp; б) nttf; в) тп1Чс; mt Id; ntia; п\^Ъ. 2. а) с и п; с и m; m и n; а и 6; б) сТТтп; attB; в) с1Чп; п1Чтп; г) a = b, с = гп. 3. a) m и а; mnb; пи d; б) а’ТТЬ; в) mt Xd; mtXB; г) нет. 8. 0. 12. DF. 13. —а + — b.
2 4
14. OM = --d-— B;MA = -d + b. 15.RK = -n; KT = -fn + n; SR = fn- n. 2 2 2
1G.EA = -fn + -n;FB = -m-n. 17. KO = -a + -Б. 18. AK = d + 2 2 2 4 4 4
KB = -a + -6. 19. AM = -a - -Б. 20. KE = -fn - -n. 21. BM = - fn; 4 2 2 5 5
NC = n; MN =-fn + n; BN = -2m + n. 26. 12. 27. 6. 28. 13. 29. 8. 30. 2. 31. 32. 32. 36. 33. >/73.34. \BD\ = 7194 ; \CD\ = 5 42 ; |AC| = 789.35. 3. 36. a) a43 ; б) а; в) а 4з ; г) а; д) a. 37. 1) -4; 2) 20; 3) 28; 4) 20; 5) 28; 6) 20; 7) -4; 8) 20.
Таблица 25
1. 80. 2. 7,5. 3. SM = 16; QR = 24. 4. NE = 20; MF = 40. 5. 8. 6. ST = 10; MN = 20. 7. 10. 8. RT = 26; EF = 18. 9. MN = 5; DC = 3. 10. 6. 11. 8. 12. 4. 13. 6. 14. 9. 15. 9,5. 16. 0,5. 17. 30. 18. 14. 19. 12. 20. 9,8. 21. 3^2/2. 22. 5. 23. 8. 24. 10. 25. 14,15. 26. BC = 2; AD = 6.
9 класс
Таблица 1
1. LN = fn - n; KM = fn + n. 2. BD = -a - b; CA = -a + b. 3. EK =
= -fn + n; FM = m + n. 4. TM = a - b; ST = -a - b. 5. FT = — fn + — n. 4 4
220 «• Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИЛ и ЕГЭ. 7-9 классы
6. а) 2; б) —; в) ; г) -1; д) -1; е) ; ж) 3; з) ; и), к) число не сущест-2 2 4 3
вует.
Таблииа 2
1. 0(0; 0), К(3; 0), М(0; 2). 2. 0(0; 0), Т(6; 0), М(6; 3), 0(0; 3). 3. Q(-2; 2), Р(2; 2), М2; -2). 4. Т(14; -6). 5. МЛГ{-5; -1}. 6. М(4; 4). 7. С(-2; 32). 8.16 или -8. 9. 3 или -2,6. 10. 75 . 11. 726.12. 42.13. М(-3; 3). 14. 0(2,5; 4). 15. М18; 12). 16.16.17. -12,9. 18. АС = 713 ; ОС = 785 ; 0(9; 2). 19. 7241 /2. 20. ВС = 741; ОВ = Тб5 .
Таблииа 3
1. 50; 50. 2. 2 785.3. 26. 4. ZA = 60°; ZB = 30°; ZC = 90°. 5. 27109 . 6. 2 753.7. 2719.8. ZM = ZP = 45°; Z7V = 90°. 9. 7185 /2.
Таблииа 4
1. (х + 4)2 + (у - 2)2 = 25. 2. В, С, D. 3. (х — 2)2 + (у + 4)2 = 25. 4. х2 + + (у - З)2 = 13. 5. (х — З)2 + у2 = 13. 6. х2 + у2 - 13. 7. (х - 4)2 + (у - 5)2 = 9. 9. а) (2; -3), (2; 3); б) (-2; 3), (2; 3). 10. а) (2; 7), (2; 1); б) (5; 4), (-1; 4). 11. х2 + у2 = 40. 12. х2 + (у - 2)2 = 10. 13. х2 + (у - 4)2 = 25. 14. (х - I)2 + + у2 = 18.
Таблииа 5
1. х = 3. 2. у = 10. 3. 4. 4. у + 5х = 0. 5. 1. 6. 7х - у + 3 = 0. 7. 13,5. 8. 7х - у + 6 = 0. 9. х - у = 0. 10. 2х - 5г/ + 20 = 0; 2х + 5г/ - 20 = 0; 2х - 5г/ - 20 = 0; 2х + 5г/ + 20 = 0.
Таблииа 6
1. 72.2. 25 73 /4. 3. 4 75.4. 24. 5. 60. 6. 25 72/4. 7. бТз . 8. 50. 9. 30. 10. 8ОТЗ . 11. 6072.12. 128. 13. 169. 14. ЗбТз . 15. бТз . 16. 1бТ2 . 17. 32. 18. 16 72.19. 16.
Таблииа 7
1. х = 8 72 ; г/ = 4 72 (1 + 7з ). 2. х - 19,9; у « 25,6. 3.x- 16,3; у « 22,3. 4. х « 13,9; у * 9,8. 5. х - 1,8; у « 0,5. 6. х - 8,8; г/ « 12. 7. х « 10,4; у « 14,1. 8. х » 14,1; у « 19,3. 9. х - 6,5; у ~ 4,9. 10. х » 8,3; у « 14,3. 11. х « 9,9; у ~ 9,6. 12. х = 1; у = 7б/3. 13. х « 27,3; у « 17,8.
Ответы •» 221
14. х=7б2-24>/2 * 4,2; у =л/б2 + 24>/2 « 9,3. 15. х = у « 11. 16. х = 4>/19 ; у = 4^7 . 17. х » 22,7; у » 24,3.
Таблииа 8
1. « 30,8. 2. « 18°. 3. V13.4. 175/4^66 . 5. х = 4л/14 /3; у = 26/3. 6. л/63.7. х « 5,8; у ® 4,1. 8. х « 15,5; у « 18,4. 9. х « 3,9; у « 10,3. 10. х = 13; у = 21. 11. х = 7; у = 15. 12. х = 18; у = 48. 13. х = 9; у = 12. 14. 13. 15. х = 16,8; у = 36. 16. х = 8; у = 30. 17. х = 168 >/2 /5; у = 25. 18. х = 10; у = 15.19. хг = 25; уг = 25; х2 » 10,5; у2 « 32,2; х3 « 36,7; у3 « 24,5;. 20. х = 20; у = 30. 21. V118/2. 22. 1) х = 21 Тб /2; у = 15^6/2; 2) х = 51^66/22; у = 15 л/бб /22. 23. х = 11; у = 7. 24. х = 17; у = 6.
Таблииа 9
1. 45°. 2. 10. 3. -32. 4. -10. 5. 3 >/2.6. 0,2. 7. 0. 8. 0,6. 9. 50. 10. 0. 11. 8. 12. -12,5. 13. 6,75. 14. 2. 15. 1. 16. 90°. 17. 60°. 18. 0. 19. -60. 20. 90°.
Таблииа 10
1. 6л. 2. 67,5. 3. 12тг. 4. 8. 5. 12. 6. 8 >/з л. 7. 26л. 8. 52л. 9. 20л >/з /9. 10. 60°. 11. 144°; 216°. 12. 225°; 135°. 13. 7л/л — 3. 14. 40л. 15. 20л. 16. 40л. 17. 32л. 18. 8л >/з . 19. 7^5 л. 20. у л. 21. 32л/V3.22. 98л V5 /15. 23. 16л/7з .24. 8л( >/з - 1). 25. 20л. 26. 6л( V2 - 1). 27. 15л.
Таблииа 11
1. 4. 2. 64л. 3. 100л/(2 +^2-73 )2 « 49,5. 4. 12л. 5. 20л. 6. 18л (2 -V3 ). г- 27
7. 4л. 8. 144л(3 - 2V2 ). 9. л. 10. 25л. 11. — л. 12. л. 13. 50л. 14. 25л.
32
15. 60,5л. 16. 86л/4 - л. 17. 456л/л - 2. 18. —л. 19. f—1 л « 169,5л.
3 I 48 J
20. 3. 21. 6,25л. 22. 8. 23. 5л. 24. 32л.
Таблииа 12
1.12(2л - 3 7з ). 2. « 7,6. 3. 9. 4. « 413,2. 5. Юл. 6.100(л - 2). 7.128л/3. 8.16(4 - л). 9. 25(8 - л). 10. 75(л - 1,5>/з )« 40,6.11. ® 182,5.12.36(4 - л)« 31.
Содержание
Предисловие..................................................... 3
Раздел I. Краткие теоретические сведения........................ 5
Раздел II. Упражнения в таблицах................................28
VII класс
Таблица 1. Смежные углы.......................................28
Таблица 2. Вертикальные углы..................................30
Таблица 3. Признаки равенства треугольников...................32
Таблица 4. Периметр равнобедренного треугольника..............36
Таблица 5. Свойства равнобедренного треугольника..............38
Таблица 6. Признаки параллельности прямых.....................40
Таблица 7. Свойства углов при параллельных прямых.............45
Таблица 8. Углы треугольника..................................47
Таблица 9. Углы треугольника..................................48
Таблица 10. Некоторые свойства прямоугольных треугольников....52
Таблица 11. Признаки равенства прямоугольных треугольников....56
Таблица 12. Расстояние от точки до прямой.....................57
VIII класс
Таблица 1. Определение и признаки параллелограмма.............59
Таблица 2. Свойства параллелограмма...........................61
Таблица 3. Свойства параллелограмма...........................64
Таблица 4. Параллелограмм.....................................66
Таблица 5. Параллелограмм.....................................68
Таблица 6. Трапеция...........................................69
Таблица 7. Трапеция...........................................72
Таблица 8. Площадь прямоугольника.............................73
Таблица 9. Площадь параллелограмма............................76
Таблица 10. Площадь треугольника..............................79
Таблица 11. Площадь трапеции..................................82
Таблица 12. Теорема Пифагора..................................86
Содержание •» 223
Таблица 13. Определение подобных треугольников.................93
Таблица 14. Признаки подобия треугольников.....................98
Таблица 15. Признаки подобия треугольников....................102
Таблица 16. Средняя линия треугольника........................105
Таблица 17. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике..............................................108
Таблица 18. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике..............................110
Таблица 19. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике..............................112
Таблица 20. Касательная к окружности..........................115
Таблица 21. Центральные и вписанные углы......................118
Таблица 22. Четыре замечательные точки треугольника...........125
Таблица 23. Вписанная и описанная окружности..................127
Таблица 24. Векторы...........................................138
Таблица 25. Средняя линия трапеции............................144
IX класс
Таблица 1. Координаты вектора.................................148
Таблица 2. Простейшие задачи в координатах....................149
Таблица 3. Применение метода координат к решению задач...........................................152
Таблица 4. Уравнение окружности...............................154
Таблица 5. Уравнение прямой...................................156
Таблица 6. Решение треугольников. Площадь треугольника........158
Таблица 7. Решение треугольников. Теорема синусов.............162
Таблица 8. Решение треугольников. Теорема косинусов...........164
Таблица 9. Скалярное произведение векторов....................168
Таблица 10. Длина окружности. Длина дуги......................171
Таблица 11. Площадь круга.....................................176
Таблица 12. Площадь круга.....................................179
Раздел III. Решения некоторых задач.............................181
VII класс....................................................181
VIII класс....................................................183
IX класс.....................................................198
Ответы..........................................................213
Серия «Большая перемена»
Балаян Эдуард Николаевич
ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ
7-9 классы
Ответственный редактор С.Осташов Технический редактор Л. Багрянцева
Подписано в печать 12.11.2012.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Школьная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 15,48. Тираж 3000 экз.
Заказ № 4699/1
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Сайт издательства: www.phoenixrostov.ru Интернет-магазин: www.phoenixbooks.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ООО «Кубаньпечать»
350059, г. Краснодар, ул. Уральская, 98/2