/
Текст
||А'
&*&
а**е!ы*
о
Е.М.Рабинович
ГЕОМЕТРИЯ
7-9 классы
В ПОМОЩЬ СТАРШЕКЛАССНИКАМ, ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ
И АБИТУРИЕНТАМ
Е. М. Рабинович
Задачи
и упражнения
на готовых чертежах
7-9 классы
ГЕОМЕТРИЯ
«ИЛЕКСА»
«ГИМНАЗИЯ»
Москва — Харьков
1999
Рецензенты:
77 В. Апостолова — зав. сектором математики
Киевского Межрегионального института усовершенствования учителей,
кандидат физико-математических наук, доцент
М С. Якир — Заслуженный учитель Украины
Художник-оформитель М. Л. Курдюмов
Рабинович Е. М.
Задачи и упражнения на готовых чертежах. 7-9 классы. Геометрия.— М.
Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.— 56 с.
ISBN 5-89237-024-0
©Рабиновичи. М., 1999
© ООО «Илекса», 1999
ISBN 5-89237-024-0 © ТО «Гимназия», 1999
Предисловие
Хорошо известно, как много времени, особенно
на начальном этапе изучения геометрии, занимает
выполнение чертежей. Ученику зачастую легче ре-
шить задачу, чем сделать к ней рисунок. Именно
поэтому для отрабатывания навыков решения задач
выгодно пользоваться готовыми чертежами. Это
значительно увеличивает объем рассматриваемого
на уроке материала, повышает его эффективность.
Предлагаемое пособие является дополнитель-
ным сборником задач по геометрии для учащихся
7-9 классов и ориентировано на учебник А.В.
Погорелова «Геометрия 7-11». Пособие составлено
в виде таблиц и содержит более 400 задач и
упражнений по геометрии для учеников 7-9 классов.
Задачи каждой таблицы соответствуют опреде-
ленной теме школьного курса планиметрии.
В пособии 13 таблиц для 7 класса, 17 таблиц
для 8 класса и 14 таблиц для 9 класса. Оно
предназначено прежде всего для обучения школь-
ников самостоятельному решению задач по только
что изученному материалу. Задания пособия могут
также использоваться для организации самостоя-
тельных и проверочных работ.
Многие задания пособия могут быть решены
устно.
К большинству задач и упражений приведены
ответы, указания и решения.
При работе с пособием не следует, однако,
забывать, что ученик и сам должен уметь выполнять
чертежи к задачам.
5 Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.1. Измерение отрезков
1
1 А 1— - А л
1 А В С
Дано: АВ = 6 см, ВС = 9 см.
Найти: ЛС.
3 6,4 см 3,9 см
• • •
D E F
Дано: DF = 9,3 см.
Найти ошибку.
1 5
1 ^————■■—^—————■^^——^—^^
F H T D
Дано: FT =11 с ^ Ю = 9 см,
ЯГ =5 см.
Найти: FD.
1 7
1 9ттттття mmmm^fm Ш
К РЕ
Дано: КР - РЕ = Зсм, КЕ = 21 см.
Найти: Я/> и Р£.
Г 9
1 А -"■ ■*■
А С В
Дано: ЛВ = 28 см,
ЛС : СВ = 4 : 3.
Найти: АС и СВ.
2
• • •
М К Р
Дано: MP =12 см, ЯР = 3 см.
Найти: МК.
4
а а ■ -а л 1
К L М N 1
Дано: КМ = 9 см, ZJV = 8 см,
KN= 12 см.
Найти: LM.
6
^ А А Л 1
А В С D
1) Дано: АВ = CD.
Доказать: АС = BD.
2) Дано: АС = BD.
Доказать: АВ = CD.
8 '
D E F
Дано: DF = 24 см, FE = 3DE.
Найти: D£ и F£.
10
т 1 л / л и л И ш
W~m^~^^^^^^m^^m It W It Ш 1
ABC D E
Дано: АВ = ВС, CD = DE.
Найти: 1) BD, если АЕ = 20 см,
2) АЕ, если BD = 12 см.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
6
Таблица 7.2. Измерение углов
Найти: ZAOC.
Дано:
ZEDK = 36°.
Найти:
F ZFDK
A/D
В
Дано: ZABC = 72°,
ZDBC- ZABD = 26°
Найти: ZABD и ZDBC
С Дано: ZABD= 100°,
ZCBD = 4Zj4BC
Найти: ZABC и ZCBZ).
^
1) Дано:
ZBAC = ZD>4£.
Доказать:
ZBAD = ZC4£
6 |А
2) Дано: Z&4D=ZC>4£.
Доказать: ZBAC = ZDAE
Дано: Zi4£D=85°,
Е ZCBE = 45°.
Найти: ZABE.
Дано: ZMOK= 110°,
ZMOP= 73°,
Р ZNOP=64°.
Найти: ZWO/i:.
К
8
Дано: КО LAB, DOIOE.
Доказать: ZAOD = ZKOE,
ZDOK=ZEOB.
В
1) Дано: Z40£ = 96°
D Найти: ZBOD.
2) Дано: ZBOZ) = 42'
Е Найти: Z>40£
Дано: ZABD = 105°,
В V ZABC : ZCBZ) = 3:4.
D Найти: ZABQ ZCBD.
7
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.3. Смежные углы
!А£
Дано: а-р = 30°.
Найти: а, р.
VjL
Дано: а = 90° + р.
Найти: а, р.
™
Ч^
Дано: а = Зр.
Найти: а, р.
Дано: а : р = 1 : 5.
Найти: а, р.
6
Z1
Дано: Ч\
2
С Ё
Дано: Zl = Z4.
Доказать: Z2 = Z3.
Доказать: 1) ZABC = ZACB;
2) ZDBC = ZBCE.
7 Л> N* |С
_jk ж
8
\ Е В К F
Дано: Z1 = Z2, Z3 = Z4.
Найти ошибку.
\Р
В
Найти: ZZ>0£
10
Найти: ZBOC.
лаЯ»Г
Задачи и упражнения на готовых чертежах
8
Таблица 7.4. Смежные и вертикальные углы
1i A
Найти: ZAOB, ZAOD, ZCOD.
з f
А \
F ^<d С
оЬЧ5° Л
Е
Найти: ZFOE.
F А
Е ^Ч.^Г В
Найти: ZAOF
/1
^
/
Дано: Z\ = Z2.
Доказать 1) Zl = Z3;
2) Z3 + Z4 = 180°.
2 в С
л/°Чо
Найти: ZSOC.
4 А С
Дано: Z^OZ) + Z40C + ZCOB = 210°.
Найти: ZAOD и ZDOB.
6 \ е А
Е \JL/ В
Найти: ZEOD.
8 В
Дано: Zl = Z2.
Доказать: ZBAC + Zy4CZ) = 180°
9 Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.5. Признаки равенства треугольников
Найти пары равных треугольников и доказать их равенство:
1
-T-R
*'^^*00^с
э*с.
о^-^С
1 4
1 в .с
7\ /
/ V
А 'D
7 1
N ■■ ( ,р
ZS7
м к
Дано: ЛС = ЯС.
rVS>
К^л
w^*
12
м<
Р'
5
М
8
А\
11
F
V
\
f
V7
X
Л* \
А
'А
к
ki
В
^
V 1
D
V /
Л/
\ . \/ . г
N
Е
Е
\
Р
*
\
К ' Н ' Е
3
^fc
^Л
ъи/
&4
в |
М N 1
/х\
ArNU
дЬ^**-—«—JUbJ р 1
9 Дано: AD = BF.
Е
av у в Н
^г 1
С
12
А в
V%4
Л 7^
Задачи и упражнения на готовых чертежах
10
Таблица 7.6. Равнобедренный треугольник
Доказать: ААВС — равнобедренный.
В
В
D Е
Дано: ВО = BE.
В
Е
С
11
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.7. Признаки параллельности прямых
Параллельны ли прямые а и Ь?
1
у
ь /го»
/
3 а у
| b y<40»
/
5 а 7
/
| „ Д180«.а
I '
7 «Р , Е
3ZI
м
2
V
VJ250
ь ^
\
4 а V |
/"J
„ Д180»-а |
/
6 a D С |
з:
А В
в Ав
/\ Дано: АВ = ВС.\
а к/ \р
ш ж ЙП°\ I
|
Задачи и упражнения на готовых чертежах
12
Таблица 7.8. Признаки параллельности прямых
В задачах 1-6 найти х и у.
Дано- а | | Ь
A Ew D
Дано: ZABE = ZCBE.
8
D Дано: АВ \\ DE. Е
Доказать: Z1+Z2=Z3.
Дано: а \ \ Ь.
Доказать: ZMOE = 90°.
Дано: а || 6.
Доказать: Zl+Z2+Z3=360e
13
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.9. Сумма углов треугольника
Найти неизвестные углы ААВС.
1
в
л& **Ьк
1 «■■Г
1 А
4 A"j
°
7
А
10
1 >
i
А
с
\
1 Y
Лшшшшш—^В
А
/ ™°А
1 Qc
К\
\?\
с
[2
110"
"а
А
/ \
А С
5
>
С
8
i
11
А
V
\130°
: в
Л
/ \
к1 *с
дВ
/\ Дано:
/ \ АВ | | CD.
/ \ D
\ ео°/
\А501
с
3
J
\z
А
6
/1,
40°Уа
9
Z
А
12
Л*\
А
5^1200
V
с 1
В
' 105е 1
_, /J
С 1
VH
XL.
с
в
-А
1Л
С
Задачи и упражнения на готовых чертежах
14
Таблица 7.10. Сумма углов треугольника
|1
В|
г -w о
ж°
/ Найти: /ABC.
1 А
4
В
Лч
/ W
А С
Доказать: Zl > Z2.
~ Найти ошибку:
Z1=Z2;
* Z3=Z4.
zx
А С
\
\
**?
\2
в
/ \
/У&^\
А С
Найти: ZABC.
5
/
Л
U/--4*
Найти: а + р + у.
8 А
/\
1 s W201
//^ >&
^ Найти: Z.4 ^V
[B Ъ
Гз
в
Л'
л\
/л\ \
А
с
Доказать:
/ЛВС < ZADC. 1
j 6
D 1
А|
N
L Е
1>\
В 1
Доказать: АВ \\ CD.
9
А
рА-~.
3 1
А^ Е
А
Найти: ZEKC. |
15 Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.11. Прямоугольный треугольник
Найти равные треугольники (задачи 1-3).
I1 /
•А.
А4*-!
/ S?
//^
ьг -
1 А с
1 4
1 ^<^зо°
А
Найти: АВ.
7
А
К
С
&.
gf 45«Л
■■■■■■■■■■■■■на
Найти: АВ.
к
►
в
4
А
■ы
1
^
к
■
В
|2
1
А
5
8
^
■■
А
В
/
/
/
( ^
\
\
\
к \
■■■■■■■■■■■■■■■■■т
С
А
С
L Найти: ВС.
\
Л
В
В
«По* Лео- J
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
Е 7 С
Найти: АЕ.
Гз
1 в с 1
/*^^\
1 A D 1
Гб
А
1 Г^
6
С
к
\
h 4*\
в
Найти: НС. 1
В
А
А
ШшашшшшшшшшишшшшшшшяшшшШЛ
1 А С 1
Дано: ЛЯ = ВС.
Доказать: AD = С£.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
16
Таблица 7.12. Окружность
О — центр окружности.
1
Дано: AD\\BC
Доказать: AD=BC.
Доказать: АВ=ВС.
Доказать: Zl=Z2.
Доказать: Z2=2Z1
6 1) Дано: AB±OD.
Доказать: АК = КВ.
Доказать: CD = ВА.
2) Дано: АК = КВ.
Доказать: АВ ± OD.
8
Дано: AB=CD.
Доказать: ОК = ОР
Доказать: АВ \ \ CD.
Доказать: AD = ВС.
17 Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 7.13. Окружность и касательная
О и О, — центры окружностей.
п
1 А В С
ю
1) Дано: АВ = ВС.
1 Доказать: ОА = ОС.
2) Дано: ОА = ОС
Доказать: АВ = ВС.
4 /
X*)
V /в
Доказать: 1) A4j = В~ ,
2)Ке OOv
7 в
/ уА рЛ \ d
Доказать: АВ = С£>.
Доказать: Л лежит
на прямой OOv
5 , .—. у
а\ /в
Доказать: 1) ААХ - ВВХ\
2)СеООу
Щ
Доказать:
ZAOB = 2ZCAB.
Гз 1
Доказать: АВ = АС.
6 в
Доказать:
AB + CD = BC + AD.
щ
1) Дано ZABC = ZCDE.
Доказать:
AB = BC = CD = DE.
2) Дано:
AB = BC = CD = DE.
Доказать:
ZABC = ZCZ)£. |
Задачи и упражнения на готовых чертежах
18
Таблица 8Л. Определение и признаки параллелограмма
Доказать, что ABCD — параллелограмм.
1
в с
1 -■—ii^—^—
\^У
1 А D
4
В С
Vi
1 «■^■■■■■■■■■ш
A D
1 ?
1 в с
\Ж
1 А D
Дано: АЛОВ = ACOD.
1
в м с
ш
шшш—ш—шшшшшштшат—вш
А К D
Г5
в , с
^
А Ь
|8
В С
Kz\
A D
Дано: ААВС = ACDA.
3
В С 1
^
A D
6
В С
щ
A D 1
9
0 Е
и\
К А 1
Дано: АКСЕ —
параллелограмм.
19
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.2. Определение и признаки параллелограмма
Доказать, что ABCD — параллелограмм.
D F
Дано: AECF —
параллелограмм.
Дано: AMCN -
параллелограмм.
Дано: MBED —
параллелограмм.
N А
Дано: NBFD —
параллелограмм.
Дано: КРИТ -
параллелограмм.
Дано: MNPK —
параллелограмм.
A D
Дано: KBTD —
параллелограмм.
A D F
Дано: AECF —
параллелограмм.
Дано: AKCF —
параллелограмм.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
20
Таблица 8.3. Свойства параллелограмма
ABCD — параллелограмм.
А Найти углы па-
раллелограмма
ABCD.
В Е
A F D
Доказать: ОЕ = OF.
A D
Доказать: ZAOB = 90е
А Р
Доказать:
ZPBK = ZBCD
A D
Доказать: АР = СЕ.
Найти: Р
ABCD'
8
9
Найти: Р
abcd-
Найти: Р
abcd-
Найти углы парал-
лелограмма ABCD
21
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.4. Свойства параллелограмма
ABCD — прямоугольник
ABCD — ромб
1
А М N D
Доказать: BN = СМ.
Найти: ZBDC.
AM D
Доказать: ВМ = BN.
В
A D
Найти: ZCOD\ZACB.
10 в
A D
Найти: ZABC.
А Е D
Доказать: BE = DF.
В
A D
Дано: ОЕ = 4.
Найти: АС.
А7
Найти: ZBAD.
Доказать: ОК = ОР.
О
8
20°
В \ С
A D,
Доказать:
Найти: ZBAD.
ромб.
к Доказать: KB = KD.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
22
Таблица 8.5. Свойства параллелограмма
Дано: ABCD — ромб.
Доказать: ZABF=ZCBE.
Дано: ABCD — ромб.
Доказать: ZMBD=ZDBP.
Дано: ABCD — ромб.
Найти углы ABCD.
Дано: ABCD — па-
раллелограмм.
Доказать: ABCD — ромб.
A D
Дано: ABCD — па-
раллелограмм.
Доказать: MNPK —
прямоугольник.
Дано: ABCD — ромб.
Найти: ZBAD.
A D
Дано: ABCD — квадрат.
Доказать: BFDE — ромб.
В . Bt
-* D1 ' D
Дано: ABCD — квадрат.
Доказать: AXBXCXDX —
квадрат.
A D, -
Дано: ABCD — квадрат.
Доказать: AlBlClDl —
прямоугольник.
23
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.6. Трапеция
ABCD — трапеция.
Доказать: ZAOB = 90°.
Доказать: ВС = DF.
Доказать: АВ = CD.
В С
ВаС
В
€ N
Дано: BE \ \ CD
Найти углы трапеции.
^\
Найти углы трапеции.
А Е Ь
Дано: АВ = CD.
Найти АЕ и ED.
7 В
Е D
Дано: AD =
Найти: СЕ.
15.
0
В 5 С
Е А С
Дано: AD = 15.
Найти: периметр
трапеции.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
24
Таблица 8.7. Теорема Фалеса
Теорема о пропорциональных отрезках.
Дано: / | | т \ \ п
Найти: АК : KF : FE.
Дано: а \ \ Ь.
Найти: х.
Дано: КР
Найти: х.
Дано: DE = 30.
Найти: х и у.
Дано: AC \\ FD
Найти: х и у.
РК.
А 4 М 6 С
Найти: KN:NC.
7 В
Е 2,5 С
Найти: АК : KF.
но: ABCD —
параллелограмм.
Доказать: BM=MN=ND.
Доказать:
ВС LC
25
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.8. Средняя линия треугольника и трапеции
Дано: EF \ \ АС.
Найти: Pbef-
Дано: MN \\ АС.
Найти: Равс
А В,
Дано: Равс = 40.
Найти: Ра\В\С\.
Дано: ABCD
Доказать: АО
трапеция.
ОС.
Дано: ABCD — трапеция.
Найти: EF, ME, FN.
Доказать: MNPK —
параллелограмм.
* ' к Ь
Дано: ABCD — ромб.
Доказать: MNPK —
прямоугольник.
Дано: AF = FC, гч
ВР = PD.
Доказать: EFKP —
параллелограмм.
А Е D
Дано: ABCD — трапе-
ция; ME | | CD.
Доказать: ME = CD/ 2.
10 в PC
11 в
#
Дано: ABCD — трапеция.
Доказать: А В = CD.
12 В 2 С
8 D
Дано: ABCD — трапеция.
Найти: х, у, г.
Дано: ABCD — трапеция.
Найти: х, у.
Задачи и упражнения на готовых чертежах 26
Таблица 8.9. Неравенство треугольника
Существует ли треугольник ABC?
А
1 А в С
Zx
А 10 С
3 в 1
А 7 С 1
Дано: АВ - ВС = 10
[ В каких пределах меняется х? |
/х
1 А х с
7 В
А
1 А а с
\£к
А С
\2^L
А 6 С
6 в I
А
А х С 1
^
в
А х С 1
Дано: х е N
Дано: ААВС — равнобедренный. Найти АВ.
10
А
1 а а с
11
\Л
А х В
12 1
А
А 8 С 1
27
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.10. Решение прямоугольных треугольников
Найти х и у.
Дано: ABCD
моугольник.
D
пря-
А У D В
Дано: АВ = т.
7В
8 С
Дано: ABCD —
трапеция.
10
В 5 С
11
12
V3
А Е D
Дано: ABCD —
трапеция. AD = х.
А Е
Дано: BD = у.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
28
Таблица 8.11. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки
в прямоугольном треугольнике
Найти х и у.
Дано: АВ = 13.
Найти ошибку.
Дано:
АС = 8, BD
= 6.
В
А 5 Е D
Дано: ABCD
раллелограмм.
— па-
А D
Дано: ABCD —
квадрат.
Дано: АК = 8.
10 А
11
12
В 5 С
t
А Е
Дано: ABCD
трапеция; AD
= 9.
29
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.12. Декартовы координаты на плоскости
Определить координаты вершин прямоугольника
1
i
в
01
;У
С (6; 4)
А 1
3 х
В
А
АУ
(-5;1)
"о!
С(5;3)
;
■?.*
X
С(10;6)
Найти координаты точки С:
В(2;-1)
6Б
/
А
i
1 ,
LI •
L °
Г1
Дано:
e-j
ц
1 ч
_d
»*
*Х
\ав - з0(2:-1)
Записать уравнение окружности:
11
12
ДУ
в 1—
А(0;-6)
Задачи и упражнения на готовых чертежах
30
Таблица 8.13. Декартовы координаты на плоскости
С(1;2)
А(2;1) В(4;1)
Or х
Сравнить АВ и АС
М(5;12)
Найти: sin a, cos а, tg а
Составить уравнение прямой:
4
J
~5l
[у
^^^«
А(1;4)
—•—
X
|Р(-3;2)
Найти ошибку:
хНу*=4
х2+у8=25
х**у*=9
х**у*=16
31
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.14. Симметрия относительно точки
Доказать, что точка О — центр симметрии:
А О В
« / / ■
2
С
в
ABCD — параллелограмм
Доказать: О —
центр симметрии
в I
р\
А 1
К <
77
Р D
Доказать: ОК = ОР
Доказать: ME = ТК
Доказать: О —
центр симметрии
8
Дано: OF = 0{Е.
Доказать: АВ = CD.
Дано: 0{0 = 020.
Доказать: MN = КР.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
32
Таблица 8.15. Симметрия относительно прямой
Доказать, что точки А и В симметричны относительно прямой /:
В
1) Дано:
АК = КВ.
2) Дано:
ZAKO= 90°.
Дано: ОА = ОВ.
Доказать, что прямая / — ось симметрии:
Дано: ОК=КОу
Дано: ABCD —
прямоугольник.
Прямые / и т — оси симметрии:
Доказать: ABCD —
ромб.
11
В
А
к
/
О
С
\т
D
Доказать: ABCD
прямоугольник.
Доказать: ABCD
квадрат.
33
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 8.16. Векторы на плоскости
Дано: ABCD — квадрат.
Указать равные векторы.
Дано: ABCD — ромб.
Указать равные векторы.
В<2;7)
А(-1;3)
Найти: \АВ\.
(в;3)
(3;2)
(1:1)
О Равны ли_ х
векторы а и Ъ}
вектора А
Дано: ABCD — ромб, АС = 16;
BD - 10. Найти координаты
векторов АВ и AD.
В(2;1)
С(5;2)
А(-4;3) D(-1;4)
Доказать: ABCD —
параллелограмм.
A D Е
Дано: ABCD — паралле-
лограмм . Доказать:
EC+CB+BD=EC+BA.
Дано: ABCD — паралле-
лограмм^ Доказать:
BE + ED + DC=CD+AC.
12
Выразить DE через С?.
Выразить_РЯ через
ОА и ОВ.
А М
Доказать:
Ш = | (BAiBQ.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
34
Таблица 8.17. Векторы на плоскости
Выразить вектор х через векторы а и Ь (ABCD — параллелограмм)
Доказать: а + Ъ + с = 0.
-^
Дано:
|a| = |c|=l, Ь
|7 №
6 Дано: ABCD —
в прямоугольник. с
А 12
Найти:
\AB+AD-DC-OD
А(4;4)
8 Найти: ОА ОР
В(3;7) С(-4;8)
Найти: cos ZB.
I
А
4
О
У
Li
6
Н
(
в
р
X
АВ(3;1)
Найти
ошибку.
А(1;-2)
С{4;3)
11
О В
\а |=2, |5|=3.
Найти: \а+б |, |а-5
12
В(3;4)
Записать уравнение
прямой MP, касатель-
ной к окружности.
А(-2;3)
С(4;2)
Записать уравнение
высоты BD.
35
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.1. Подобные треугольники
Дано: ААВС ~ AAXBXCV Найти ху у, z:
АЛ
1 А * С А, 6 С,
Дано: -Ц%г = 3.
YLAiX
1 А у С А, 5 С,
5 В
1 А с С А, 20 С,
Дано: а : Ь : с = 4 : 3 : 5.
1 7 А
ДА
1 А ю С A, z С,
Дано: Ра,в,с, = 9-
Аа
А 8 С А, 4 С, I
!ДА
А 8 С A, z С, I
6 ,А
ЬЛгЛ
A z С А, с CJ
Дано: а : Ъ : с = 5 : 6 : 7. Рлвс = 108.
lZG
1 А 2 С А, 11 С, 1
Равс = 39, РлвсГ 26, а: Ь = 2:3.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
36
Таблица 9.2. Первый признак подобия треугольников
Указать подобные треугольники, доказать их подобие.
2 А
3 В
7 Е
Р D
Дано: ABCD —
трапеция.
9 N
М Е
10 В
11 в
A F D
Дано: ABCD —
параллелограмм.
А Дано: APFС С—
параллелограмм.
кА \Р М
14 В
15
В С
А Дано: ABCD — D
трапеция.
37
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.3. Второй и третий признаки подобия
треугольников
Указать подобные треугольники, доказать их подобие.
С F
24 Е F 3 N
А 7 D 9 С
D 24 С
Дано:
АВВК=СВ- ВР.
Доказать, что ААВС ~ АЛ,В, С и найти коэффициенты подобия:
11
12
Задачи и упражнения на готовых чертежах
38
Таблица 9.4. Вписанные углы
Найти х, у (О — центр окружности).
39
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.5. Вписанные углы. Угол между касательной
и хордой
О — центр окружности, В — точка касания
Найти: ZCBE
Найти: ZABC
Найти: ZADB
Найти: ZABE
Найти: ZAMK
Найти: х
Найти: ZKFP
Доказать: AADK <*> AFEK,
AKKE = DKKF
Найти: ME
Доказать:
AABD ~ ABCD
Доказать: АВ2= АО • АС
Доказать: *
PEPF = PM PK
Задачи и упражнения на готовых чертежах
40
Таблица 9.6. Решение треугольников
Найти х:
A D
Дано: АС = Ь
41
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.7. Решение треугольников
Найти х и у:
ж
V
в
^Г
^а
г
Г)
i
«d
/та
А
С
10 В
А х В
11
m В
4
D а
Задачи и упражнения на готовых чертежах
42
Таблица 9.8. Правильные многоугольники
а — сторона многоугольника, R (г) — радиус описанной
(вписанной) окружности, О — центр многоугольника
1
2
1 <
Гз
>
4
Найти количество сторон
многоугольника
О
А
\/\/
V V
А В
ч /
\ /
vr /
А В
С
\ /
\ Лю»
А В
\Л/
\А- V
А В
(о.
5
6
7
8
Зная один из
элементов
/? или г), найти два других 1
О
\ / п 1
г
\: h
м m
В
А
/ 5^
О
|г
N
В
А
О
у1
И
г
р
С
•С
\«/
О
Ь-
А К
Ч /а
о
В
\а
С
a С |
D J
D
>
/
j
F
43 Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.9. Площадь треугольника
О — центр окружности. Найти площадь ААВС.
Задачи и упражнения на готовых чертежах
44
Таблица 9.10. Площадь четырехугольника
Найти площадь ABCD:
Прямоугольник
Параллелограмм
Ромб
В
А 15 D
Дано: АС = 8, ВО = 5
10
вас
в
А
А
АЗЕ
А 4 Е 10 D
11
А Е
8
12
Дано: АС = 8, BD = 6
45
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.11. Площадь четырехугольника
Найти площадь трапеции ABCD:
в з с
А Е D
Дано: AD = 7
В
6
А Е D
Дано: BE = 5
В 3 с
A F 2 D
Дано: АВ\\ FE
в 13 С
Е D
В 7 С
В_7_С
8
13
17
10
11
12
В 11 С
25J
В 2 С
28
А 18 D
Дано: АС = 7, BD= 15
Задачи и упражнения на готовых чертежах
46
Таблица 9.12. Площади фигур
Найти отношение площадей -«-:
^2
8
A D
Дано: ABCD —
трапеция
А D
Дано: ABCD —
параллелограмм
Дано: ABCD —
трапеция
47
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.13. Площади фигур
Найти площадь х:
ABCD — параллелограмм
8
Найти: S
ABCD
Задачи и упражнения на готовых чертежах
48
Таблица 9.14. Площадь круга и его частей
R — радиус круга, О — центр.
Найти площадь заштрихованной фигуры.
Дано: #!=5; /?2= 3
Дано:
/?1=10; Я2=6; /?3=2
Дано: /? = 3
Дано: # = 6
В
11
1°'
A D
Дано: ABCD — прямо-
угольник; /?j = /?2 = 1
°i 20 О,
Дано: Rx = R2 = Д3 =
= /?4 = 2. Д5 = 3
Дано: /?1=/?2=/?3=/?4= 4
10
А 10 °i
Дано: #j = 10
Дано: Rl=R2=Rs=RA=.2
Дано: /?! = Я2 = Я3 = 4
Ответы. Указания. Решения.
7 класс.
Таблица 7.6. в. ААМН = APNH (по II признаку), т.к. ZMAP =
= ZNPA ZMPA = ZNAP, АР — общая сторона. ААМН = APNH (по
II признаку), т.к. AM - PNy ZAMH = ZPNH (из равенства ААМР и
ДРМ4), ZM;4//= ZNPH (ZMAH= 180° - Z,4#Af - ZAMH,
ZNPH = 180° - ZNHP - ZPNH).
Таблица 7.6. в. Указание: ZAEB = ZCER 9. Указание: восполь-
зоваться равенством AADF и ACDE, откуда
ZDAF= ZDCE и ZAEC= ZAFC
Таблица 7.7. 8. Да. Решение. ZBAC = ZBCA = 80°, тогда
Z&4P = 80° - 40° = 40°, ZKPA = ZPAK= 40:
откуда ZPAC = ZAPK и a || 6.
Таблица 7.8. в. 34°. Решение. ZNMP + ZMNK= 180°, откуда
Mf || Л1Я, ZAfPtf = 68°, Z/tP7 = 34°. Отсюда ZPTK=ZTPM = 34°.
7. Указание: через точку С провести прямую, параллельную Л£.
8. Доказательство. ZAME + ZBEM = 180°, тогда
ZOA1 £ + ZO£Af = 0,5 (Z4Af£ + ZBEM) = 90°,
тогда из AM£Q ZMO£ = 90°.
Таблица 7.9. 12. 30°, 60°, 90°.
Таблица 7.10. 1. 90° Решение. ZABD + ZBAD + ZCBD +
+ Z£C£ = 180°; 2 (Z,4j3D+ ZC£D) = 180°, ZABC = 90°. 2. 80°. Решение.
ZABC = 180° - 2 (ZCMC + ZOC4) =
= 180° - 2 (180° - ZAOQ = 180° - 2 • 50° = 80°.
5. 360°. 8. 20°. Решение. ZDFB = 110°, ZADC = 140°, откуда
Z>4 = 20o. 9. 180o-(a + p + y). Указание: ZBEC= a + p.
Таблица 7.11. 3. A4BD = ADC4; AABE = ADCE. 4. 8. Указание:
отложить на луче ВС отрезок CD = ВС. Рассмотреть AABD. 8. 14.
Указание: показать, что ААВЕ — равнобедренный.
Таблица 7.12. 3. Указание: рассмотреть ААОВ и АВОС. 5.
Доказательство. АВОЕ = ACOF (по III признаку), откуда ВА = CD
как соответствующие высоты. 8. Доказательство. ACOD = АДОВ (по
III признаку), откуда ZD = ZB и DC | | ВА.
Таблица 7.13. 1. Указание: провести ОВ. 2. Указание: провести
касательную к окружностям через точку А. в. Доказательство. Пусть
точки Му N, Ру К — точки касания сторон АВ, ВС, CD и DA с
окружностью соответственно. Тогда AM = АК, ВМ - BN, CN = СР,
Задачи и упражнения на готовых чертежах
50
DP = DK (задача 3), АВ + CD = AM + MB + СР+ PD = ЛЯ + BN +
+ NC + /CD = ЛЯ + ВС. 7. Указание: Доказать, что ДВОЛ1 = ADON.
8. Указание: ZCAB = 90° - ZBi40. 9. Указание: Доказать, что
ДОВ£> = AOCD.
8 класс.
Таблица 8.1. 9. Доказательство. Проведем АС. АС пересекает
ЕК в точке О. СО = ОА, ВО = ОК - KB, OD = ОЕ - DB. Так как
О/С = ОВ, то ОВ = = OD. Значит, ABCD — параллелограмм.
Таблица 8.2. 3. Доказательство. Так как ZADM = ZCBE, то
Z>4BC = ZADC. ZBAD = ZBCD (как соответствующие внешние углы
A4MD и АСВВ). Отсюда ABCD — параллелограмм, в. Доказательство.
ABNC = ADKA (по первому признаку), откуда ВС = Л£. Из равенства
ААВМ = АС/)/*. ЛВ = CD. Значит, ABCD — параллелограмм. 8. Ука-
зание: доказать равенство треугольников АВОС и ADOA. 9. Указание:
доказать, что АЛОВ = ACOD.
Таблица 8.3. 4. Доказательство. ZPBK + ZADC = 180°,
ZADC + ZBCD = 180°, откуда ZPBK=ZBCD. Б. Доказательство. Из
равенства Д4ВС и АСДЛ (по III признаку): ZPAD=ZBCE.
AADP = АСЕВ (по гипотенузе и острому углу). Отсюда АР = СВ.
Таблица 8.4. 3. Решение. Из АВОВ (ZE = 90°, ZB = 30°)
OB = 20В = 8, BD = 20B = 16. AC = BD = 16.
Таблица 8.5. 3. Решение. Пусть ZDBE = x9 тогда ZBDE = 2x.
Из ABBZ> jc + 2* + 120° = 180°. jc = 20°. ZЛDB = 40°. Тогда
ZADC = Z^BC = 80°, ZBAD = ZBCD = 100°. б. Доказательство.
ZBAN + ZABN = | (ZB4£> + Z4BC) = 90°, откуда "из AABN
ZN - 90°. Тогда ZMNP- 90°. Аналогично для других углов MNPK.
в. 60°. Указание: показать, что ABCD — равносторонний. 8. Доказа-
тельство. АХВХ = BjCj = CjZ), = DXAX (из равенства: Ad,BBj = ABjCCj=
= ACXDDX = AD,A4,). Пусть ZBB,^, = о, тогда
ZBAXBX = ZCB^, = 90° - a. Z^fijC, = 180° - (a + 90° - a) = 90°.
Значит, AXBXCXDX — квадрат.
Таблица 8.6. 5. 60°, 60°, 120°, 120°. Решение. ZBCA = ZCAD
(как внутренние накрест лежащие), ZCAD = ZB>4C = ~z ZBAD -
= ^ZADC Пусть ZCAD = x. Из AACD: x + 2x = 90°; jc = 30°;
ZCZX4 = ZB^D =60t ZABC= ZBCD = 120°. 6. ^y^; ^-|A 7. 10.
Указание: AACE — равнобедренный. 8. 15. Указание: треугольники
51 Задачи и упражнения на готовых чертежах
ABD и BCD — прямоугольные равнобедренные. Провести BE I AD.
9. 40. Решение. ZBCE = ZCED = 30? ZOAD = ZOEA + ZAOEy откуда
ZAOE=ZBOC = 30! ДВОС и АОАЕ — равнобедренные, ВО = О А =
= Л£ = 5. Из ABCD (ZC = 90°, Z£ = 30°): CD = | £D = 10.
Рлбсо = 6 + 15+10+10 = 40.
8 7
Таблица 8.7. 3. 6. 4. jc=16,*/=14. Решение. - =
* 30-х
х = 16, |/ = 14. 5. jc = 2,5; t/ = 4,375. в. 1:3. Решение. Проведем
КЕ | | ВМ. Л£ : ВЛ1 = Л/С : ЯД откуда АЕ = ЕМ = 2.
/CAT: NC = ЕМ : М С = 2 : 6 = 1 : 3.
7. 4:1. 9. Указание: ABDC — равнобедренный.
Таблица 8.8. 1. 14. 3. 20. Решение. РАВС= АХВХ + ВХСХ+ ДС, =
= g (Л£+ВС + ЛС)= 20. б. —у^; |; |- Решение. ME — средняя
линия ДЛВС ME = |. Аналогично, FN = |. В/7 = AMV - 2МЕ =
= —~— - а - —-—. в. Указание: провести диагонали BD и АС.
8. Указание: EF и РК — средние линии ААВС и ADBC соответственно.
9. Указание: провести BF \ \ CD. П. 5; 6; 7. 12. 4 и 6. Решение.
11 -4- 0 у i Q
Для трапеции РВСК: ^—z— = jc. Для трапеции AMND: —~— = у.
Решая систему, получаем: х = 4, г/ = 6.
Таблица 8.9. 3. Нет. АС + ВС = 7 + Б С, ЛЯ = 10 + ВС т.е.
Л£ > АС + ВС, что невозможно. 4. jc е (1; 9). Указание: ВС - АВ <
< х < АВ + ВС. 8. jc e (2; 10). Указание: продлить медиану CD на ее
длину (точка D,). Рассмотреть ACBDV 9. 2. 10. 7 или 8. П. 7.
Таблица 8.10. 3. / (cos a tg 2а - sin а); . Решение. Из
cos 2а
ДЛДС: ЛС = / cos а, DC = / sin а. Из ААВС:
I cos а
V = —; ВС = / cos а tg 2а. jc = ВС - DC = I cos а tg 2а - / sin а.
cos 2а
4. т (sin р - cos p tg (Р~а)). в. т cos а; т cos2a. 7. a ctg a sin P;
ctg a cos p. 9. 8. Решение. Проведем BE _L AD. ZABE = 30°. Из
AABE: ЛB = BBtg 30° = 2. AD = AE + ED= =8. 10. 7. Решение. Из
ACED: ED = CEctgZCDE=\. AD = ВС + 2BD = 5 + 2 = 7. 11. ^-.
Решение. Из ДЛОС: ЛС = 2DC = 8. АЕ = ЕС = 4.
Задачи и упражнения на готовых чертежах 52
Из ААВЕ: BE = АЕ tg 30е = —^-. 12. 10 л/3.
Таблица 8.11. 1. Решение. AD = 13 - 3 = 10. Из Л4£>С: АС =
= л/100 + 16 = VTl6\ Из ADBC: ВС = 5. Из ААВС: АС =
= Vl32 - 52 = 12. 12 * л/Пб. BD Ф 3 2. 4 Л и 8 ^. в. 12; 16.
Решение. Из ДАВС: tg Z4£C= Ц = ?. Из ДСОВ: tg ZCBD = -.
s 20 4 У
- = |. Пусть х = 36, у = 4£. (3fe)2+ (4£)2= 202. * = 4, х = 12, у = 16. 7.
О
- VT5. Решение. Пусть Л/) = у, тогда /Ж = 8 - у. Из ДЛЛШ:
MD2 = б2-у2. Из ДМ/Ж:
Ш)2 = 42 - (8 - у)2 = 36 - г/2 = 16 - (8 - у)2, у = Y'
Из AAMD: х = Vб2 - р^-Т = | Vl5". 8. 12 Vl3* и 18 л/1з\ Указание:
CD = ylAD^~DB =36. 9. 2 л/Гз. 10. 3 л/5. Решение.
AC2 = AB-AD. 36 = ЛЯ (ЛЯ-5). ЛЯ = 9.
Из АЛВС: х = л/ЛЯ2 - ЛС2 = 3 л/5. 11. 12 л/2 и 16. Решение. Из
АЛ/)С: CZ) = л/32. Из ААВС: 32 = 2 ■ Я£>. ЯЯ = 16. у =
= AD + DB=\8. Из ДС£>Я: х = ВС = Vl62 + 32 = 12 л/2. 12. 4 л/2.
Таблица 8.12. 7. (х - 2)2 + (у - 2f = 4. 8. (jc - З)2 +
+ (j/-3)2 = 25. 12. (x-2)2 + ^= 1.
4
Таблица 8.13. 3. 0,8; - 0,6; - ^. 5. х = - 3 в. */ = 1,5*. 8.
у = - V3 х + 4 V3. Решение, у = kx + b — общее уравнение прямой.
A» = tgl20°=- V3. y = -yfcx + b. Так как у (4) = 0, то -4^3+6 = 0,
6 = 4 V3. !/ = -^х + 4^. 10. Ъу - Ъх + 7 = 0. Указание: k и х
находятся из системы
4А + 6= 1,
- Л + 6 = - 2.
П. Решение. Прямая г/ = - 3 не пересекает окружность.
Таблица 8.14. 7. Указание: доказать, что О — середина отрезка
ОхОг 8. Указание: М — центр симметрии окружностей. 9. Указание:
доказать, что радиусы окружностей равны и О — центр симметрии.
Таблица 8.15. 5. Доказательство. AACD = ДЯСД откуда
ZACD = ZBCD. Отрезок АВ пересекает / в точке Е. ДЛС£ = ДЯСЯ,
откуда АЕ = BE, ZAEC = ZBEC = 90? 8. Указание: доказать равенство
радиусов окружностей. 11. Доказательство. Так как / — ось симметрии,
53
Задачи и упражнения на готовых чертежах
то ZA = ZD, ZB = ZC. Так как М — ось симметрии, то, ZA = ZB,
ZD = ZC. Тогда ZA = ZB = ZC = ZD = 90° и ЛВС£> — прямоугольник.
12. Указание: Так как / — ось симметрии, то ZA = ZC и
/4D = DC. Так как m — ось симметрии, то ZA = ZBf ZD - ZC.
Таблица 8.16. 4. Да. Решение, а = (2*"!), Ъ = (2-Т). 5. (- 3; 6).
в. АВ (8; 5), АР (8; - 5). 7. Доказательство. АВ (6; -2), DC (6; - 2).
Так как Л£ = DC, то Л£ = DC и АВ \ \ DC и ABCD — параллелограмм.
8. Доказательство. £С + 7ГВ + Ш> = £D. ЁС + БЛ = £С + С/) = Ш). 10.
D£ = - — С А 11. Р/С = — (О А - ОБ). 12. Указание: продлить медиану
ВМ на ее длину.
Таблица 8.17. 1. х = а - — Ь. 2. х = — (а - Ь). 3. ~х = Ь - — а. 4.
Доказательство. Сложив по правилу параллелограмма векторы а и
Ь, получим вектор d такой, что \d\ = \b\ = |a|, так как параллелограмм,
построенный на векторах Ъ и а будет ромбом с тупым углом 120°,
а меньшая диагональ такого ромба равна его стороне, d и с равны
по модулю и противоположно направлены, поэтому d + с - 0, т.е.
а + Ь + с = 0. 5. Указание: сложить векторы а и с. в. 6,5. Решение.
AB + AD = AC, АС-Т)С = ~А5у AD-OD = AO. \АО\ = 6,5. 7. -4г.
У/саза«^: cos ZB = .JJ'fi,. 8. 8. 9. ЛЯ • ЛС * О. 10. VT9,
|БЛ|_|БС|
V7. Решение. \а + б| = \(а + б)2 =\а2 + Р + 2а^ =
= V4 + 9 + 2 - 2 - 3 • 0,5 = Я19.
11. у = 9 - jc. Решение. ОМ (2; 2). Пусть точка Е (х; у) лежит на пря-
мой MP. Тогда ~МЁ (х - 4; у - 5). Af£ - ~ОМ = 0. 2* - 8 + 2у - 10 = О,
у = 9- х. 12. у = 6х- 14.
9 класс.
Таблица 9.1. 3. 10,5; 7,5. 4. 20; 18; 16. Указание: k =
= 2. 5. 16; 12. Решение. а : b : с = х : у : 20= 4 : 3 : 5.
р
ГА.ВС
ill
Р
ГАВС
x = 4ky y = 3ky 20 = 5Aj, k = 4. x=16, у =12. в. 30; 36; 42.
Таблица 9.2. 4. АЛВС со AC4D (по двум углам).
8. АЛВС «> MDB «> ABDC. 9. AAfP/f «> ДЛГ£Я «> AWPO со ШЕО.
12. АЛВС со APB/f со дрс/С. 13. ДЛБС со АКВР ~ АМЕР ~ NEC.
Таблица 9.3. 5. ДЛВС со ABDC Доказательство. ZC — общий,
СВ СА 4
-zTjz = ~^Б ~ "о- 9. АЛБС со АРВК. Доказательство. ZB — общий,
Задачи и упражнения на готовых чертежах
54
АВ ВС
775 = ITj?- Ю. ААСВ °° АА{СВГ Доказательство. ZC — общий. Из
АС В С А С В С
ААСАХ: cos ZC = -j^, из ДВСВ,: cos ZC = -£=, -j^ = -^ = cos ZC.
k = cos ZC, 11. ААВС со Д4ДС, £ = cos ZC. 12. ДАВС ~ дД^С,
& = COS ZC.
Таблица 9.4. 1. 60°. 3. 90°. 4. 140°. в. 160°. 9. 55°. Решение,
Проведем DC. ZDCA = ZDBA = 35°, ZADC = 90°. Из AADC:
ZDAC=55°. 10. 25°; 130°. Решение. Проведем ВС.
ZBCE = ZBAE = 25°, ZBCE = ZCBE = ZCAE = 25°, ZBAC = 50°,
ZBEC = 130°. 11. 50°. 12. 60°. Решение.
ZBAD= ZBAC + ZCAD. ZBAC= 20°, ZC/U>=40°, Z23i4D=60!
Таблица 9.5. 1. 50°. 3. 70е. Решение. ZAEB= 100°,
ZD££ = ZEAB = 30°, ZEDB= ZAEВ - ZDBE = 70*. 4. 30° 6. 50°. 7.
a + p. 8. Доказательство. ZDAE = ZDFE, ZDKA = Zf/C/7,
ADAK^AEFK (I признак), откуда ^ = 4§, DK • KF = AK KE. 9.
2. Указание: воспользоваться результатом задачи 8. П. Доказательство.
АВ AD
Проведем ВС и BD. AABD <» ААСВ (см. задачу 10). -т^ = ^д,
>4В2 = АС - AD. 12. Указание: провести из точки Р касательную к
окружности и воспользоваться результатом задачи 11.
Таблица 9.6. 1. 3^2. 2. V37. 3. 1.
QSin(a^P). 7. msinV Лш^нм.
sin a sin (a + P)
m _ ЛД - „ _ m sin у
sin P sin y' si n P
x AB
5.
Из AABD:
Из АДВС:
sin P sin (a + P)'
_ /w sin P sin у _
si n P sin (a + P)
_ m s'n У
sin (a + P)*
Рис. 1
найти
b sin a sin (a + p) y
sin p sin у
ЛВ из AABQ затем рассмотреть AABD 9. 12. Решение. Из ДЛВО
132+ 142- 152
cos Zi4 =
2 • 13 • 14
5 • /л 12
= T3s,nZ>l= Тз
55
Задачи и упражнения на ютовых чертежах
Из AABD. BD = АВ sin ZA = 12. 10. 1 и 3. Решение.
х2 л- 16- 2 • 4 - х • g = 13. д^-4х + 3 = 0, х = 1, jc = 3. Для обоих
случаев неравенство треугольника выполняется.
11. 2т \1 +
Л^
2 sin2
а
sin2 (а -»- Р)
4 sin а cos P
sin (а + Р)
Решение. Продлим медиану BD на ее длину (рис. 1).
Рассмотрим ABCD,. Из ДВСД: ВС = 2"*sina Из ADBC:
1 * sin(a + P)
пг - v m2 2m2sin2 a 4m2 sin a cos p
sin2 (a + P) sin (a + P)
AC = 2m Vl + -^«- - 4sinacosl
sin"* (a + P) sin (a + p)
или
12
105°. Решение. Из ДДВС:
1
■; sin ZC= -p; 1) ZC = 45° 2) ZC = 135°; 1) * = 105е,
sin ZC V2
12. 15'
6V2 _
2
2) x = 15е.
Таблица 9.7. 1. a C0S У **».
cos a sin p cos a sin P cos ф
a
ЛС
ЛВ
sin 30c
sin Z.C9
a cos у
AABC: AB =
a
cos a1
из AABD: AD =
cos a sin
Решение. Из
из MDE:
AE = a C0SY Q. Из Mf£:
cos a sin p
_ a cos Y tg Ф a cos у
cos a sin p ' cos a sin P cos ф
2 ft cos p sin Y » cos P sin у з ^tf + ft* - 2ЛС • ft • cos p, где
tg a tg ф tg a sin ф
ЛС = -*-. 4. cos* = »* + «,-«,dg,«. s. * sin? .
sin a Л?с cos a sin p
л с sin p sin a / ч
6. sin x = c (возможны два значения угла).
а
BD
_ m sin a sin В л tsu . ,n ч ЛГЧ Л/75 ^5 ^7~*
7. —:—: гт^. 8. jc = -—sin (p + y), BD = 4b2 + d2 - 2bd cos a.
sin (a - P)
sin y
9. sin x = ^t? • ВД где BD = ^Ш^, ВС = л/BD2 + a2 - 2BD a cos a
#<- sin P
Задачи и упражнения на готовых чертежах
56
г>/~ ДР sin (а + у) 44 л/д/fce . nr>2 ± iBC
DC = г-* LL. 11. х = V/wZr + ВС2 у tg у = -гт=, где
sin а MB
МВ = m S1" * ; ВС = V*>2 + m2 - 2bm cos (а + у).
sin(a + |3)
to СГ? + а2- В& on csin(p+y)
12. cosx = , где BD = ^—и,
2 • ВС • С£/ sin у
г)/- _ Д//>2 f5_s[n_pY 2bc sin p sin a
sin у
siny
360°
Таблица 9.8. 1. 18. Решение, п = ~к?^ = 18. 2. 12. Решение.
180° (п - 2) = 150° л, и = 12. 3. 9. Решение. Первый способ:
/.ABC- 140°, далее как в задаче 2. Второй способ: так как сумма внеш-
них углов выпуклого многоугольника 360°, то л = 360° : 40° = 9. 4. 10.
- а , 180° D a ft D a>/3 D л/3
5- г = 2 ctg "Г"- * =;—гет- 8- /? = а' г = т"- г=/?_2"-
2 sin
п
Таблица 9.9. 3. 16. Указание: АС = DC ^2 = 8 V2. 7. 27. Решение.
Проведем BD 1 ЛС. Из MOD: OD = 4, BD = ВО + OD = 9.
5лвс = | • 6 • 9 = 27. 8. 30. Решение. Для ДЛВС (ZC = 90}
а + b- с а + Ъ + с
г = = - с = р- с, р = с + г.
р = 13 + 2 = 15. S = р • г = 15 • 2 = 30. 9. 27 + + 18 ^3. Решение.
Проведем ОЕ ± АС. Из ААОЕ: АЕ = Зл/3. ЛС = 3 V3 + 3. Из Д4ВС:
АВ = 2 (3 V3 + 3).
5 = |.2(3 + Зл/3).(3 + Зл/3).^ = ~ (1 + лб" J2 = 9 >/3 (2 + л£ ).
10. 294. Решение. АС : СВ = AD : DB = 3 : 4. Пусть АС = Зх, ВС = Ах.
(Зх)Ч (4jc)2= 352, 5х = 35, jc = 7. ЛС = 21, ВС = 28. S = | - 21-28 = 294.
11. 336. Решение. AM = AD = \2У СК =CD = 14,
В/Г = ВМ = (84 - (2 • 12 + 2 - 14)) : 2 = 16.
ЛВ = 28, ВС = 30, АС = 26, S= Vp(p - а)(р - b)(p - с) = 336
12. 3000. Решение. Из ABCZ) (DC = 8jc, ZD = 90°) В£> = 15*.
РАВС = 25*. S„ec = 25* • 24 = £ • 16* • 15х, х = 5, S = 600- 5 = 3000.
57
Задачи и упражнения на готовых чертежах
Таблица 9.10. 3. 78. Решение. Из ААВС BE = V4 -9 = 6.
sabc = 1 • 6 • 13 = 39, SABCD = 25^ = 78. 4. 120. Решение. Пусть
AE = FC = х. Из ААВС: х (16 + х) = 36, х = 2. АС = =20, SAB(f= 60,
SABCD=\20. 7. 20л&. Решение. Из ААВЕ: ЛБ= ^-Д =4. Из ABDE:
DE=l, AD = 5y SABCD = 5 • 4 л/3 = 20 ^3 8. 12^. Решение.
Scod = | • 4 ♦ 3 • sin 45° = 3 V2. SABCD= 4SC0D= 12 V2. 11. 1404. Решение.
AB:AF = BE:EF=\3: 5. ЛЯ = 13x, AF = 5x. Из AABF:
BF = \2x = 36, x = 3. AD = AB = 39, S = 39 • 36 = 1404
12. 320. Решение. Из ДБОС: 4л2 = 64, x = 4, БС = 20,
S = 2 • 8 . 20 = 320.
Таблица 9.11. 3. 25. Решение. Проведем СК \ \ АВ.
OF = FK = 2. DK = 4, Л/) = 7. 5 = ^у^ 5 = 25. 4. 25 л/3. Указание;
ЛБ = g (Л£> + ВС). 5. 625. Указание: h=^ (AD + БС). в. 192. Решение.
Проведем СЕ ±AD. АЕ = | • (25 + 7) = 16. Из ДЛСБ:
С£ = л/20? - 162 = 12. 5 = 12 - 16 = 192.
7. 144. 8. 120 >J3. Решение. Из ДЛС/> ЛЯ = 12 л/3, Л С = 24. Проведем
BE 1 АС. АЕ = ЕС= 12. Из АВЕС: ВС = Д^ = 8^.
5лвся = 8 V • 12 = 120 V3. 9. 3630. Решение. Из ACOD
(ZCOD = 90°): ОБ = г = V25 • 36 = 3Q ЛВ = 2г = 60.
S„BCD = | (ЛБ + CD) • ЛБ = | (60 + 61) • 60= 3630
10. 65 |. 11. 468. Решение. Проведем СЕ \ \ АВ. СЕ = 25, Б£> = 17.
SC£D = 204. h= *§gB = ^f4 = 24. 5^ = ^4^-24 = 468 12.
42. Указание: провести СБ | | BD. Найти SACE.
Таблица 9.12. 2. 6:5. 5. 11:4. Решение.
s s -(s +s -s)-s - 95-43 - ^-Д
Oj . о2 - voj + о2 о2; . о2 - ~ 12 ~ 4
Задачи и упражнения на готовых чертежах
58
8. 5:4. Решение. S{ : S2 = ВК : KD = S3 : S4 = 5 : 4. 9. 2:7. 10. 1:3.
12. 1. Решение. SABE = SABD - SAED - SACD - SAED = SCDE.
Таблица 9.13. б. -г. Решение.
^ЬАВЕ = ]> ™В * "АВ ~ ~2 Авс°у 2 ^ABCD, ^ВСЕ = ^AED = ~^ ^ABCD = $>
7. 2S. 8. 2S. 9. SY + S2. Решение. Проведем EF. SPEF= SPBC= Sv
$fke = SAKD = S2 (см* заДачУ 12 таблица 9.12). SPEKF = sSt + S2. 10. 2S.
Решение. Проведем MP. MBCP и MADP — параллелограммы.
$мвср = *SMKP* Smadp ~ *SMEP, SABCD = 2 (oAf£/> + SMKP) = 25. 11. 5j + o2.
12. 5j + S2 + 53 + 54 Указание: провести МЯ, рассмотреть параллело-
граммы MBCP и MADP.
(Зя V2
Таблица 9.14. 2. 60л. 4. 24тс. 5.
-^- - — I Z?2. Решение.
°аор£ ~ 4 * ~ 360° ' Д0Р£ ~ 8 4
R ^Itc + ^I. 8. 300- 13л. Решение. Snooo = 15 • 20 = 300.
I S3 4
3 2 '" "* """ *""' * '"***""*1'- "о.о.о.о.
S = 300-4n-9rc = 300- 13я. 10. 12,5 п. 11. 16 - 4я. Решение.
SWA = 42= 16" S*"™ = »6 - 4*.
12. 16 лб" - 8л. Решение. S000 = ^^ = 16 >/3.
s*m = 16 >/3 - 0,5 • я • 42 = 16 л/3 - 8я.
Список использованной литературы
1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для
8-9 классов. — М.: Просвещение, 1991. — 415 с.
2. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина — 3-е изд. —
М.: Просвещение, 1992. — 335 с.
3. Гольдман A.M., Звавич Л.И. Учебные серии на уроках математики.
// Математика в школе. — 1990. — №5. — с. 19—22.
4. Грицаенко М.П. Усш вправи з математики для 8-10 клаав:
Метод, поабник. — К.: Рад. шк., 1984. — 152 с.
5. Грицаенко М.П. Усш вправи з математики для 4—8 клаав:
Поабник для вчителя. — К.: Рад. шк., 1988. — 158 с.
6. Задания по математике для экзамена за курс средней школы.
/ Сост. Литвиненко Г.Н., СобкоМ.С. — К.: Рад. шк., 1991. — 80 с.
7. Зив ВТ., Мейлер В.М., Баханский AT. Задачи по геометрии для
7-11 классов. — М.: Просвещение, 1991. — 171 с.
8. Иржавцева В.П., Федченко Л.Я. Систематизация и обобщение
знаний учащихся в процессе изучения математики: Пособие для учителя
/ Под ред. Н.Л. Калашинского. — К.: Рад. шк., 1989. — 208 с.
9. Матюшко I.C., Совко М.С. Завдання з геометри для 7 класу. —
К.: Рад. шк., 1988. — 112 с.
10. Погорелое А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. —
М.: Просвещение, 1990. — 384 с.
И. Рабинович Е.М. Равновеликие треугольники в задачах. //
Математика в школе. — 1993. — №6. — с. 63-65.
12. Рабинович Е.М. Сборник задач по планиметрии на готовых
чертежах. — К.: 1996. — 56 с.
13. РаухманА.С, СеньЯТ. Усш вправи з геометр1*У для 7-11
клаав. Поабник для вчителя. — К.: Рад. шк., 1989. — 160 с.
14. Рогановский Н.М. Поисковые задачи по геометрии // Мате-
матика в школе. — 1990. — № 5. — с. 22-26.
15. Саврасова СМ., Яспгребинецкий Г.А. Упражнения по планимет-
рии на готовых чертежах: Пособие для учителя. — М.: Просвещение,
1987. — 112 с.
16. Харитонов Б.Ф. Методика повторения приемов и методов
решения геометрических задач. // Математика в школе. — 1990. —
№4. — с. 36-38.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
7 класс
7.1. Измерение отрезков 5
7.2. Измерение углов 6
7.3. Смежные углы 7
7.4. Смежные и вертикальные углы 8
7.5. Признаки равенства треугольников 9
7.6. Равнобедренный треугольник 10
7.7. Признаки параллельности прямых 11
7.8. Признаки параллельности прямых 12
7.9. Сумма углов треугольника 13
7.10. Сумма углов треугольника 14
7.11. Прямоугольный треугольник 15
7.12. Окружность 16
7.13. Окружность и касательная 17
8 класс
8.1. Определение и признаки параллелограмма. ... 18
8.2. Определение и признаки параллелограмма. ... 19
8.3. Свойства параллелограмма 20
8.4. Свойства параллелограмма 21
8.5. Свойства параллелограмма 22
8.6. Трапеция 23
8.7. Теорема Фалеса 24
8.8. Средняя линия треугольника и трапеции 25
8.9. Неравенство треугольника 26
8.10. Решение прямоугольных треугольников 27
8.11. Теорема Пифагора. Пропорциональные отрезки
в прямоугольном треугольнике 28
8.12. Декартовы координаты на плоскости 29
8.13. Декартовы координаты на плоскости 30
8.14. Симметрия относительно точки 31
8.15. Симметрия относительно прямой 32
8.16. Векторы на плоскости 33
8.15. Векторы на плоскости 34
9 класс
9.1. Подобные треугольники 35
9.2. Первый признак подобия треугольников 36
9.3. Второй и третий признаки подобия треугольников. 37
9.4. Вписанные углы 38
9.5. Вписанные углы. Угол между касательной
и хордой 39
9.6. Решение треугольников 40
9.7. Решение треугольников 41
9.8. Правильные многоугольники 42
9.9. Площадь треугольника 43
9.10. Площадь четырехугольника 44
9.11. Площадь четырехугольника 45
9.12. Площади фигур 46
9.13. Площади фигур 47
9.14. Площадь круга и его частей 48
Ответы. Указания. Решения 49
Список использованной литературы 59
Учебное издание
Рабинович Ефим Михайлович
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ
ЛР № 064344 от 9.12.95. Подписано в печать 20.11.97.
Печать офсетная. Формат 70X90/16. Бумага книжно-журнальная.
Тираж 10 000 экз. Заказ 2Ш.
ООО «Илекса», 121354, г. Москва, а/я 282.
Творческое объединение «Гимназия», г. Харьков, ул. Тобольская, 46а
Заказы по телефонам: в Москве (095) 365-30-55,
в Харькове (0572) 11-80-62, 32-98-50
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат Комитета РФ по печати
142300, г. Чехов Московской области
МАТЕМАТИКА
Задачи и упражнения
на готовых
чертежах
?'-*"У'
ISBN 5-89237-024-0
■