Теги: математика
Год: 1984
Текст
Варианты вступительных экзаменов Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов в вузы в 1983 году. Московский физико-технический институт Математика Письменный экзамен Вариант I I. Найдите область определения функции f (х)= log2 sin х+ V9jc— 2х2—4. 2. На координатной плоскости цана точка М (2; 4). Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси Оу и лежат на дуге параболы у — Зх2, выделяемой условием - 1 <jc< 1, а точка М является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найдите эту площадь. 3. В равнобедренной трапеции ABCD углы при основании AD равны 30е, диагональ АС является биссектрисой угла BAD. Биссектриса угла BCD пересекает основание AD в точке М, а отрезок ВМ пересекает диагональ АС в точке N. Найдите площадь треугольника ANM, если площадь трапеции ABCD равна (2 + V3) см2. 4. Найдите все решения системы уравнений ( 5 sin jc-sin y+ — cos jc-cosj/ = 2 1 i\ ^ cos x-sin у—2 sin x-cos y= ^ , удовлетворяющие условиям 0<л:<л, 0<{/<л. 5. На ребре SB пирамиды SABC выбраны точки О и ?так, 4to|SO| = |D?| = 1,|В?| =2. Сечения пирамиды плоскостями, перпендику- , лярными ребру SB и проходящими через точки D и ?, имеют площади 5 и 16 соответственно, причем первое из этих сечений — треугольник, одна из вершин которого делит ребро SA в отношении 2:1. считая от вершины S. Найдите объем пирамиды. Вариант 2 1. Решите неравенство -4 Ы <з-ф +2' 2. Решите уравнение 'у — - "5 ) = -^ ) = COSX + у. 3. Из вершины В тупого угла ромба ABCD проведены высоты ВМ и BN. В четырехугольник BMDN вписана окружностьмдиуса 1 см. Найдите сторону ромба, если АВС = 2 arctg2. 4. В основании прямой призмы ABCDAlBiClDi лежит ромб ABCD с углом /1 =60°, все ребра призмы имеют длину а. Точка К является ортогональной проекцией точки 6, на плоскость DA^Ct, а точка L — ортогональной проекцией точки К на плоскость DDxCtC. Найдите объем пирамиды DCLK. 5. Решите систему уравнений С шит С \ Вариант 3 1. Решите уравнение bg2(jt—2)+log2(8—x)=\+2 log, (х— 2. Решите неравенство 2—Зл:< V4 + 9x—9г*. 3. Решите уравнение tg (^ л-cos2 2х\ ig (2n-cos2x). 4. В остроугольном треугольнике ABC высота AD. медиана BE и биссектриса CF пересекаются в точке О. Найдите ?. если IОЕI = =2|ОС|. 5. Сторона основания правильной призмы ABCAfB^Ci имеет длину а, а боковое ребро — 9 длину — а. Точка ? — середина ребра А В, а точка М лежит на отрезке ЕС и | ЕМ \ = = -.-|?С|. Вторая призма симметрична призме ABCAlBiCl относительно прямой MCt. Найдите объем общей части этих призм. Физика Письменный экзамен Вариант I 1. Диск может вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости (рис. 1). На диске на расстоянии R от оси лежит небольшой брусок массы М. На горизонтальной поверхности бруска находится шайба массы т. прикрепленная к оси нитью. Диск вместе с бруском и шайбой очень медленно увеличивает свою угловую скорость. Коэффициент трения скольжения между шайбой и бруском ц. Считая трение между бруском и диском пренебрежимо малым, определите, при какой угловой скорости со брусок начнет выскальзывать из-под шайбы. 2. Во время профилактического ремонта дно лодки-плоскодонки оклеили слоем пластика толщиной й =3 см. После этого высота надводной части лодки уменьшилась на величину Л =1,8 см. Определите плотность пластика Q. 3. Напряженность однородного электрического поля слева от бесконечной заряженной плоской пластины равна ?,, а справа Е2 (рис. 2). Определите силу f, действующую на единицу площади пластины со стороны электрического поля 4. С помощью тонкой линзы получено изображение трезубца ABCEDG, у которого |/1В| = |ВС] (рис. 3). Основание трезубца 56
c 1—f- R — m i I'm I I'm: J _j|_rYVV^ I'llC ¦> E D С И С В А JA\ \ f I'nc (i i к AC лежит на главной оптической оси линзы. Отрезок АВ изображается с увеличением Р,=6, а отрезок ВС — с увеличением Р2 = 3- Определите, с каким увеличением Го изображается отрезок BD. Вариант 2 1. Тело массы М налетает на две последовательно соединенные пружины жесткости k, и k2 (рис. 4). Максимальная энергия деформации пружины 2 оказалась равной Е. Определите начальную скорость тела v. 2. При нагревании серебряного проводника сечения S = 5 • 10~2 мм2 его сопротивление возросло на Д/?= 1,5 • 10~2 Ом, а внутренняя энергия увеличилась на Д[/ = 1,6 Дж. Найдите температурный коэффициент сопротивления серебра а. Плотность серебра q = = 10,5 • 103 кг/м3, удельная теплоемкость с = 235 Дж/ (кг • К), удельная проводимость а = 0.62 • 106 Ом -' • см-'. 3. В колебательном LCR-контуре (рис. 5) сопротивление невелико, так что колебания в нем затухают слабо. Для получения незатухающих колебаний поступают следующим образом: дважды за период в моменты, когда заряд конденсатора максимален, его пластины быстро раздвигают от расстояния d, до расстояния d2, а в моменты, когда заряд равен нулю, их быстро сдвигают до прежнего расстояния (так называемый параметрический резонанс). При каком относительном из-, менении расстояния между обкладками Ad/d колебания в контуре затухать не будут? 4. За положительной линзой Л с фокусным расстоянием f = 24 см на расстоянии 1=4 см расположено выпуклое сферическое зеркало 3. Эта система линза + зеркало отражает лучи, параллельные оптической оси линзы, точно в обратном направлении. Определите радиус кривизны зеркала R (рис. 6). Публикацию подготовили С. П. Коновалов, А. В. Шелагин Московский институт электронного машиностроения Математика Письменный экзамен Вариант 1 I. Решите систему уравнений x+y+z=& 2. При повороте координатной плоскости на угол а с центром в точке М точка А (1; 2) переходит в Л, (6; 5), а в (1; 4) в в( (4; 5). Найдите образ точки С (1; 3). Найдите образ еще одной точки (по Вашему выбору). Найдите величину угла а и координаты точки М. 3. Какие из графиков функций у = 2х*—х. ^-7—l— имеют центр симметрии? 4. При каких значениях а наименьшее значение функции на отрезке [0; 2] равно - -4? 5. При каких значениях а. Ь. с равенство a-cos (Зл: ^ ) +fc-sin 2 (х+ — ) + + c-sin (х + л) =0 /л п л\, „ выполняется при xgf —,—, —- f? При каких 4 о 4 6 ' значениях а, Ь, с это равенство выполняется для всех [—-; — J ? Вариант 2 1. Решите систему уравнений (х—3i/ = — 5 х__2у _ 23 Зу х 6' 2. Точки Л (1; 1) и В (5; 1) являются вершинами острых углов равнобедренного 'прямо- 57