Практикум абитуриента
Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов в вузы в 1982 году.
Московский физико-технический институт
Математика
Письменный экзамен Вариант  1
1.	Решите неравенство
81х+32*+1>54.
2.	В трапеции ABCD BAD =90°, A DC = 30°. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых АВ, ВС и CD. Найдите плошадь трапеции, если известно, что радиус окружности равен R.
3.	Решите систему уравнений
4.	Из точки М( 1; 1) проведены касательные к двум ветвям гиперболы у= —  (k<0), касающиеся этих ветвей в точках А и В, причем треугольник  МАВ  —   правильный.   Найдите коэффициент k и площадь треугольника МАВ.
5.	В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF   (S —  вершина)   длина  стороны основания равна 2. Вершины АС и М ромба KLMFF лежат на ребрах АВ и SD соответственно и |АСМ|=3,  а отрезок  ACL пересекает ребро SB. Найдите объем пирамиды.
Вариант 2
1. Решите уравнение
2	6
2. Решите уравнение cos Зх
 3+Iog3x'
 =   gX
sin Зх—2 sin х , 3. Равнобедренный треугольник ABC (С=90°) и треугольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне АВ, а точка Е — на продолжении стороны АВ за точку А. Отрезок KL является средней линией   в   обоих  треугольниках,   и   площадь
четырехугольника DKLB составляет -^  пло-
щади треугольника ABC. Найдите DEF.
4. Найдите площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости системой неравенств
 у> Зх2—4х—32 < 0 (Зх—2у)(3у—*+10)>0.
5. В правильной призме АВСАХВ1С1 длина бокового ребра равна 3. Точка М — середина ребра АС, точка N лежит на ребре В1С1, а точка Р принадлежит грани АА^Вф и удалена от плоскости ABC на расстояние 1. Известно, что угол в 30° образуют прямые РМ и PN — с плоскостью ААфф и прямая PN — с плоскостью ВВКСХС. Найдите объем призмы.
Вариант 3
1. Решите уравнение
2х+\ 2. Решите неравенство
3.	Квадрат ABCD и окружность расположены так, что окружность касается  прямой АС ъ точке  С,  а  центр  окружности  лежит по ту же сторону от прямой АС, что и точка D. Касательные к окружности, проведенные из   точки   D,  образуют  угол   120°.   Найдите отношение   площади   квадрата   к   площади круга,   ограниченного  данной   окружностью.
4.	Решите систему уравнений
(  3 cos (4х—2у) = V2~cos (2x—2y) \  V2 sin (x+y)=3s\n (y—x).
5.	Сферы с  центрами  в точках  О,  и  О2 радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку М, удаленную от О2 на расстояние  3,   проведены  две   прямые,   каждая. из которых касается обеих сфер, причем точки касания лежат на  прямых  по одну сторону от точки М. Найдите угол  между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой Ofiz угол 45°.
Физика
Письменный экзамен Вари ант 1
1.	Собака  С бежит с  постоянной  скоростью   м0   по   тропинке   АВ,   составляющей угол а = 60° с горизонтально натянутой проволокой МЛ' (рис. 1). К ошейнику собаки привязан легкий, горизонтально висящий трос длины I. Трос соединен с кольцом АС массы т, которое  может  скользить  по  проволоке  без трения. Найдите натяжение троса  в момент, когда кольцо и собака находятся на одинаковых расстояниях от места пересечения D тропинки и проволоки.
2.	Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной температуре То =300 К. Оказалось, что в итоге газу передано количество   теплоты   Q = 5000  Дж.   Во   сколько   раз изменился      объем,      занимаемый      газом?

Рис. I.
Рис. 2.
Рис. 3.
R
Универсальная     газовая     постоянная = 8,31 Дж/(моль • К).
3.	Три   плоские   металлические  пластины образуют сложный конденсатор (рис. 2). На пластине / находится заряд Q, а незаряженные пластины 2 и 3 закорочены проводником. Определите   силу,   действующую   на   пластину   2. Площадь каждой пластины S.
4.	На плоскопараллельную пластинку, составленную   из   двух   прямоугольных   призм, падает тонкий монохроматический пучок света с длиной волны ). = 6,56 • 10~7м (рис. 3). Одна призма изготовлена из кристаллического фтористого натрия NaF, показатель преломления которого для указанной длины волны равен п, = 1,324. Другая призма изготовлена из кристаллической окиси бария ВаО, показатель преломления которой равен л2= 1,958. При каких значениях угла « свет не пройдет через границу раздела призм?
Вариант2
1.	Баскетболист   бросает   мяч   в   кольцо. Скорость   мяча   сразу   после   броска   равна у„ =8 м/с и составляет угол а = 60° с горизонтом. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если  он долетел  до  него за  одну секунду? Сопротивление воздуха не учитывать. Ускорение   свободного   падения    принять    равным 10 м/с2.
2.	Кристаллическая  решетка  железа  при комнатной      температуре      —       кубическая объемно   центрированная.      Это      означает, что элементарной   ячейкой  является  куб,  во всех вершинах которого, а также в центре — на   пересечении   пространственных   диагоналей — находятся атомы железа. Сколько атомов   приходится   на   объем,   равный   объему одной элементарной ячейки  в кристалле железа?   Определите   минимальное   расстояние между атомами железа в кристалле, зная его молярную массу А = 56 кг/кмоль и плотность 0 = 7870   кг/м3.   Постоянная   Авогадро   NA = = 6-1026 кмоль-1.
3.	Катушка из п, витков, площадь каждого из которых равна S, расположена в однородном магнитном поле. Вектор индукции поля В   перпендикулярен виткам катушки (рис. 4). Вне поля расположена вторая катушка. Обе катушки соединены проводниками. Пренебрегая омическим сопротивлением катушек и проводников,  определите величину тока,   возникающую в катушках после выключения поля. Индуктивности катушек равны Ly и L2 соответственно.
4.	На главной оптической оси тонкой положительной линзы диаметром D находится то
чечный источник света. Из линзы выходит пучок расходящихся лучей с углом расхождения а. Определите, каким будет угол расхождения лучей, если вместо положительной линзы на то же место поставить отрицательную линзу этого же диаметра и с тем же фокусным расстоянием (по модулю). Расстояние между источником и линзой равно d.
Вариант  3
1.	Частоты излучения возбужденного атомарного    водорода    описываются    формулой vnm = /?(l/n2— I/m2), где R — некоторая постоянная, пит —  целые числа. Первоначально невозбужденный водород начинает излучать фотоны,  если   через  него  пропустить пучок   электронов,   прошедших   ускоряющую разность потенциалов не менее Uo = 10,2 В. Какую минимальную ускоряющую разность по- теиииалов должен пройти пучок протонов, чтобы прн пропускании их через первоначально невозбужденный водород последний начал излучать фотоны? Чему равна энергия ионизации   атома   водорода    (в   электронвольтах)? Считать, что масса электрона много меньше массы  протона  и  что  атом   водорода   перед ударом неподвижен.
2.	В теплоизолированный сосуд объемом V = 22,4 дм3, содержащий п, = 1 моль водорода при температуре Г, =200  К, добавляют т2 = = 4 г водорода. После установления равновесия   давление   в   сосуде   оказалось   равным р = 3 • 105   Па.   Определите   первоначальную температуру добавленного водорода.
3.	В схеме, показанной на рисунке 5, в начальный момент ключ АС замкнут и по цепи течет  установившийся   постоянный  ток.   Затем ключ размыкают. Определите количество теплоты, которое выделится в резисторе сопротивлением /?,, при следующих параметрах цепи: ЭДС источника $    его внутреннее сопротив-
1
1
i
в
lA
Puc. 4.
$6

Рис. 5.
ление равно сопротивлению обоих резисторов: r=Rt=R2 = R, индуктивность катушки L.
4. С помощью тонкой линзы на экране получено изображение предмета с увеличением Г, =2. Предмет передвинули на /=1 см. Для того чтобы снова получить резкое изображение, пришлось передвинуть экран. При этом увеличение предмета оказалось равным Г2 = 4. На какое расстояние передвинули экран?
Публикацию подготовили С. П. Коновалов, А. А. Шеронов
Московский институт
электронного
машиностроения
Математика Письменный экзамен Вариант   1
1.	Решите уравнение
V*+2—V*—а + 2 = 1.
2.	На координатной плоскости заданы точки А(\; 0). В(0; 1) и С(5; 5). Вычислите площадь треугольника А ВС и укажите все перемещения плоскости, при которых он отображается на себя.
3.	Решите уравнение
д/2 sin х = — -у/3 tg х.
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
а) на отрезке [0; 2], б) на промежутке ]2; 4|. 5. Решите уравнение
и определите значения а, при которых оно имеет единственное решение.
Вариант 2
1. Решите систему уравнений
<logx_ \х + у
Укажите все перемещения плоскости, при которых треугольник ABC отображается на себя.
3.	Решите уравнение
sin x + cos x = Vl +tgx.
4.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
((х) = **—3|х—3|— Ъх+ 10
а)   на промежутке   [0; 2[, б)   на  промежутке [2; 4 [.
5.	Решите уравнение
gx_2(	+
х + у— 3 = о—а2.
2. Даиы две вершины равностороннего треугольника ^4{— 1; 1) и В(—1; 3). Найдите его площадь и координаты третьей вершины С.
и определите значения а, при которых оно имеет единственное решение.
Физика
Задачи устного экзамена
*1. Человек начинает подниматься по движущемуся вверх эскалатору метро с ускорением а = 0,21 м/с . Добежав до середины эскалатора, он поворачивает и начинает спускаться вниз с тем же ускорением. Сколько времени человек находился на эскалаторе, если длина эскалатора /=100 м, а скорость движения эскалатора v = 2 м/с?
2. В некоторый момент времени протон и а-частица покоятся на расстоянии а=10 А друг от друга. С какими скоростями будут двигаться эти частицы, когда расстояние между ними удвоится? Масса протона тр — = 1,67-10-" кг,  его заряд e=l,6-10~19 Кл.
УЗ- В сосуд, имеющий форму прямого круго- 'вого усеченного конуса с радиусом основания /?= 10 см, налита вода так, что ее уровень находится на высоте Л =10 см от дна. Определите силу F давления воды на боковую поверхность сосуда, если образующая конуса составляет угол а = 45° с его высотой.
*4. Свинцовая пуля, летящая горизонтально со скоростью vv =500 м/с, пробивает доску на высоте Л = 2 м над поверхностью земли, не изменяя направления своей скорости. На каком расстоянии от доски пуля упадет на землю, если при движении через доску она нагрелась на Д/ = 200° С? Считать, что все выделившееся при движении через доску количество теплоты пошло на нагревание пули. Удельная теплоемкость свинца с=130 Дж/(кг • К). Сопротивлением воздуха пренебречь.
*5. Цилиндр разделен на две части поршнем. В одной его части находится азот, а в другой — воздух. Температуры газов одинаковы и равны То ='300 К, а соотношение их масс таково, что поршень делит цилиндр на две равные части объемом V0 = l,3 л каждая. На какое расстояние сместится поршень, если температура газа в одной из половин цилиндра увеличится на ДГ = 50 К, а в другой останется неизменной? Сечение цилиндра S = 100 см2.
6. Два одноименно заряженных шарика массой m 0,5 г каждый подвешены в вакууме на очень тонких невесомых, нерастяжимых и непроводящих нитях одинаковой длины (рис. 1). Каждая из нитей образует с вертикалью угол а = 30°. Затем вся система погружается в неэлектропроводящую жидкость с плотностью, равной плотности материала шариков, и диэлектрической проницаемостью е = 2. Найдите силу натяжения нитей после погружения в жидкость. Каков характер равновесия шариков?
57