Теги: физика математическая физика
Год: 1981
Похожие
Текст
Варианты вступительных экзаменов в вузы в 1980 году
Московский
физико-технический
институт
Математика
Письменный экзамен Вариант 1
1. Решить уравнение
10 cos2 х—16 sin x = cos 2х + 15.
2. На ^ординатной плоскости дан круг радиуса ^1 с центром в точке (2;3). Найти все точки вне этого круга, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
3* + Зу
4,
3. Длины боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD равны соответственно 8 см и 10 см, а длина основания ВС равна 2 см. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны АВ. Найти площадь трапеции.
4. Высота правильной четырехугольной пирамиды вдвое больше диагонали ее основания,, объем пирамиды равен V. Рассматриваются правильные четырехугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что их боковые ребра параллельны диагонали основания пирамиды, одна боковая грань принадлежит этому основанию, вершины противоположной боковой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найти:
а) объем той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 4:1, считая от вершины;
б) наибольшее значение объема рассматриваемых призм.
5. Решить систему уравнений
2xyxyz z, xz + 3y4z2=\0x2if, А Й22'*
Вариант 2
1. Решить неравенство
(±)'-з2ЦГ'<о.
2. Решить уравнение
(sin 2x' . , f?- n
I l-cosx— sin2 x— V2 sin x) =2.
3. В круге проведены две взаимно перпендикулярные и пересекающиеся хорды АВ и CD. Известно, что |/1B|=|BC|=|CD|. Установить, что больше: площадь круга или площадь квадрата со стороной АВ.
4. Найти все значения а, при которых система уравнений
( l— у.2х)=а3,
2*"
а) не имеет решений;
б) имеет конечное множество решений;
в) имеет бесконечное множество решений. В случаях б), в) найти все решения.
5. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, длина
о
апофемы пирамиды равна -=- а. Ортогональной проекцией пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней, является равнобедренная трапеция. Найти площадь этой трапеции.
Вариант 3
1. Решить уравнение
2х—
—Зх = 0.
2. Решить неравенство
'°gx-i_ (V6~- 2x)<0.
5jr—6
3. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как 3 к 5. Найти отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.
4. На координатной плоскости рассматривается множество N всех точек, координаты (а; Ь) которых удовлетворяют условиям а<Ь, \а\< 3, \Ь\< 3 и таковы, что уравнение
(а3—Ь
—Ц- а—Ь
не имеет корней.
а) Принадлежит ли точка Р(—2; —1) множеству N?
б) Найти площадь многоугольника, внутренней областью которого является множество Л'.
5. На ребре ВВ, куба ABCDA^^C^, взята точка F так, что I B,f| =— | ВВ,|, на ребре
о
C,D, — точка Е так, что \D,E\=jr\C,D,\. Какое наибольшее значение может прини-
\АР\ мать отношение , где точка Р лежит
иа луче (DE), а точка Q — на прямой A,F? Решение задач варианта 1
1. Выразив cos2 х и cos 2x через i/ = sin x, получим систему
откуда у = г. Осталось решить уравнение
sinx = — -1.
48
Ответ. х=(—1)"— + лп (n?z). 6
Эта задача очень проста, однако некоторые абитуриенты не сумели правильно ее решить. Основная ошибка состояла в том, что они не отбрасывали второй корень
3 у =—=- квадратного уравнения и рассматри
вали выражение arcsin ( —- ) . Плохое знание обратных тригонометрических функций было также заметно и на устном экзамене. 2. Из второго уравнения сразу получаем,
что либо у = 2х — у, либо у = 2х + ^.
В первом случае получаем уравнение Зх + 3"~2 = 4, которое заменой г = 3'~] приводится к квадратному уравнению z2 + 3z—4 = 0 с корнями z,=—4, 22=1.
Так как 2>0, получаем Зх~' = 1, откуда
!
Во втором случае, как и в первом, приходим к уравнению 3z2 + z—4 = 0, где z = 3*;
решая его, находим х = 0, у = -~.
Найденные решения могут быть изображены на координатной плоскости точками
М \\; —J и N уО; —) . Расстояние от точки. М до центра 0(2:3) данного круга равно
\ОМ\-У{1-2)*+(±-з)'—'
Точно так же |OyV|=
(0—2)2+ (J- — з)
Таким образом, вне круга лежит лишь точка М.
Ответ.
{(¦4)}
При решении этой задачи некоторые абитуриенты не смогли правильно записать условие того, что точка (х; у) лежит вие заданного круга.
3. Пусть ? — середина отрезка АВ. Проведем среднюю линию EF трапеции ABCD. Поскольку AD'E^DE'F, (EF)||(AD)^h AD^= = EDF (no условию), получаем DEF = EDF,
то есть треугольник EFD Значит, \EF\=\FD\=^-\CD\=5.
равнобедренный. Поэтому
\AD\=2\EF\—\BC\=8. Проведем отрезок BG, параллельный стороне CD (рис. 1). Имеем |BG|=10; \AG\=\AD\—\DG\=\AD\—\BC\= = 6 (BCDG — параллелограмм). Зная длины сторон треугольника ABG, можно вычислить угол BAG. По теореме косинусов
= 0,
2\AB\\AG\
_ 100—64—36 2-8-6
то есть BAG = 90°. Значит,АВ — высота трапеции ABCD, а площадь трапеции равна 8-5 = 40.
Ответ. 40 см2.
К сожалению, лишь немногие из абитуриентов иашли приведенное здесь простое геометрическое решение. Некоторые пытались решить задачу с помощью векторов, другие вводили большое количество новых параметров (например, углы трапеции) и многократно применяли теорему косинусов, третьи пользовались теоремой об отношении, в котором делит сторону треугольника основание биссектрисы.
4. Обозначим точки пересечения плоскости «верхней» боковой грани призмы с боковыми ребрами пирамиды SABCD через А,. В,, С,, D, (рис. 2), а точку пересечения высоты SO пирамиды с этой плоскостью — через О,. Обозначим длину ребра ЕН через Ь, длину стороны ЕЕ, основания призмы через а, высоту пирамиды SABCD через Н. Пусть точка О, делит высоту в отношении
i^- = X (ясно, что Х?]0;1[).
Поскольку |О,О|=|?,?|=а, имеем а = \Н. Рассмотрим квадрат AlBlClDl (рис. 3). Из условия задачи следует, что отрезки F,G, ?,//, и Л,С, попарно параллельны. Найдем длину диагонали А,С,. Из подобия треуголь-
\А,С,\ [SO А \АС\ \SO\ •
ников ASC и AtSCt имеем
откуда
Найдем длину Ь бокового ребра ?,//, призмы: Ь=\А,С\ |-2|/С?, |=И,С, |- \ElFl \=
49
Объем Vnp призмы EFGHElFlGlHl равен Vnp = a2fc=Xs(l—ЗЛ) ~. Поскольку щ№= V, окончательно получаем
Кпр=12Х2(1-ЗХ)К, где к ? ]0; 1 [.
Теперь можно ответить иа вопрос а). Значение X в этом случае равно -—— = -=-, и по-
24 ,. этому ^nP=-j25"K-
Для того чтобы ответить на вопрос б), найдем максимум функции Vnf (Л) на интервале ]0; 1 [. Приравняем нулю производную
V'np(l)=2l—9Х2 = 0, откуда Х = -^ . Так как
при Х<-| К'пр(Х)>0, а при Х> -| V'np[k)<0
2
функция Vnp(X) имеет при ^ = -q наибольшее значение иа интервале ]0; 1 [, равное
соотношением (2),
Ответ, а)
J±- у б) I6 V 125 ' ' 81
Многие из абитуриентов не сумели правильно выбрать тот параметр, через который выражается объем призмы, хотя в условии а) имеется на этот счет явная подсказка. При исследовании функции Vnp(X) на экстремум лишь немногие абитуриенты доказали,
2 что при *. = -jr имеет место именно максимум.
У
5. Умножив первое уравнение на 5у и сложив с вторым, получим
2ytz2 = -5xy9z + xz. (1)
Возможны два случая: 2 = 0 и zj=O. В первом случае из третьего уравнения получим х = 0, а значения у могут при этом быть любыми. Получаем бесконечное множество решений: (0, а, 0), a €R.
Если у = 0, то из третьего и первого уравнений получаем х = 0 и 2 = 0, то есть одно из уже найденных решений. Если же х = 0, то из первого уравнения 2=0 и вновь мы приходим к решениям (0, а, 0), a ?R.
Пусть теперь 2^0, yj=O. xj=0. Из (1) получаем
два решения:
Во втором случае, действуя так же, как и в первом, находим еще два решения: (1; 15-'^; 5 • 15~5/9), (5; 15-|/9; 25 ¦ 15-5/9).
OTBeT.{(0;a;0),a€R; (--|;1;|-);
(1; 1; —2); (1; 15^"9; 5- 15"5/9); (5; 15 |/9; 25- 15"5/9)}.
Решение этой задачи требовало некоторой изобретательности, и лишь немногие справились с ней полностью. Однако и те, кто продвинулся в решении задачи достаточно далеко, часто теряли решения (0; а; 0), а 6 R, указывая лишь (0,0,0). Многие абитуриенты не сумели увидеть полученного ими квадратного уравнения относительно ys и не знали, что с ним дальше делать.
Физика
Письменный экзамен
Вариант 1
1. На неподвижный груз массой т= 10 кг, лежащий на горизонтальном столе и прикрепленный к стене пружиной жесткостью k = " = 4 - 103 Н/м, на некоторое время т прикладывается постоянная сила F (рис. 4). При каких значениях т после прекращения действия силы F груз будет снова неподвижным? Трением пренебречь.
2. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду (рис. 5), пока уровень воды в сосуде не изменится на ДА = 8 см. Показание динамометра при этом изменилось на |Д?|=0,5 Н. Определите сечение сосуда.
3. На две плоскопараллельные сетки, между которыми приложена разность потенциалов Uo, падает параллельный пучок отрицательно заряженных частиц под углом а = 60° (рис.6). При каких энергиях частицы смогут пройти через сетки, если заряд частиц равен q?
Подставив это соотношение в первое уравнение системы, получим после преобразований уравнение
15у18— 16i/9-l-l=0.
Положим t=y^. Решая уравнение 15<2—16< + + 1=0, получаем <| = 1, ^^ге. откуда
Из соотношения (2) получаем
в первом случае и
во втором.
Разберем первый случай. Подставив уАг в третье уравнение, получим \2х1—2х 10 = 0.
откуда Х| = =-, х2=\.
Рис. 4.
Воспользовавшись рис. 5.
50
4. На некотором расстоянии за тонкой отрицательной линзой с фокусным расстоянием ^=10 см находится сферическое вогнутое зеркало. Система линза + зеркало создает прямое изображение предмета в натуральную величину. Затем зеркало отодвинули от лии- зы на 1 = 2 см, при этом вновь получилось изображение предмета в натуральную величину. Определите расстояние от предмета до линзы.
Вар и-а н т 2
1. Ядерная реакция l4N + 4He-»-l7O-|-p может идти, если налетающие на неподвижные ядра азота а-частицы имеют энергию, превышающую пороговую энергию ?л = = 1,45 МэВ. На сколько энергия а-частиц должна быть больше пороговой, чтобы кинетическая энергия образующихся в реакции протонов была равна нулю?
2. В горизонтально расположенном цилиндре сечением S находится массивный поршень (рис. 7). В начальный момент поршень удерживается на расстоянии /„ от дна сосуда, для чего к нему пришлось приложить силу F. После прекращения действия силы F поршень начинает двигаться без трения. На каком расстоянии от диа поршень будет иметь наибольшую скорость? Процесс считать изотермическим. Внешнее давление равно р0.
3. Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и конденсатора, через ключ К подключен к источнику постоянной ЭДС с внутренним сопротивлением г (рис. 8). Первоначально ключ К замкнут. После установления стационарного режима ключ размыкают, и в контуре возникают колебания с периодом Т. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в п раз больше ЭДС батареи. Найдите индуктивность катушки и емкость конденсатора. Омическим сопротивлением катушки пренебречь.
4. Предмет и его изображение, создаваемое тонкой положительной линзой, находятся по одну сторону от линзы. Расстояние между предметом и изображением а, =4 см. Точно такое же изображение того же предмета получено с помощью сферического зеркала, имеющего такое же, как у линзы, фокусное расстояние. При этом расстояние между предметом и изображением оказалось равным а2 = 8 см. Определите фокусное расстояние линзы.
Вариант 3
1. С какой минимальной горизонтальной силой F надо действовать на брусок массой т = \ кг, находящийся на наклонной плоскости с углом наклона а = 30°, чтобы брусок покоился (рис. 9) ? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость ц = 0,2.
2. Из баллона объемом V, =200 л, содержащего гелий при температуре 7",=273 К под давлением Р| =2 • 106Н/м2, израсходовали часть газа, занявшего при нормальных условиях объем У2=1000 л. При повторном измерении давления в баллоне получено значение р2—\А ' Ю6 Н/м2. При какой температуре проведено это измерение?
"о
-
Рис. 6.
Рис. 7.
Рис. 8.
Рис. 9.
Рис. II.
Рис. 12.
51
Рис. 13.
3. Цепь, состоящая из даух конденсаторов емкостью С, и С2 и катушки с иидук- тиаиостью L, первоначально разомкнута (рис. 10). Конденсатор емкостью Ct заряжают до разности потенциалов U, а конденсатор емкостью С3 остается незаряженным. Определите максимальную величину силы тока а цепи после замыкания ключа К- Активным сопротивлением катушки пренебречь.
4. С помощью сферического зеркала получено изображение А'В' предмета АВ (рис. 11). Построением определите местоположение зеркала и его фокус.
Вариант 4
1. На дио сферы радиусом R насыпали горсть песка (рис.12). Определите, где будут находиться песчинки после того, как сферу привели во аращеиие вокруг вертикальной оси с угловой скоростью" со. Трением песчинок о сферу пренебречь.
2. Плотность раствора соли с глубиной Л меняется по закону Q=Q0+Ah, где qo = 1 г/см3, Л =0,01 г/см*. В раствор опущены два шарика, связанные нитью длиной /=5 см. Объем каждого шарика V= 1 см3, а массы тх —1,2 г, /л2=1,4 г. На какой глубине каждый шарик будет находиться а раа новесии, если известно, что нить натянута?
3. При исследовании вакуумного фотоэлемента оквзвлось, что при звдерживвющей рвзности потенцивлов U3=l,5 В между катодом К и внодом А (рис. 13) фототок с поверхности катода, освещаемого светом с длиной волны Ао, прекращается Определите А^,, если работа выходе материалов квтодв и вно- да А=4 эВ. Постоянная Пленка ^Г=Н,05х Х10~34 Дж • с, заряд электрона е=1,6х ХЮ"19 Кл.
4. За тонкой положительной линзой с фокусным расстоянием F, = 15 см расположено выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F2=5 см. Эта система создает прямое изображение предмета в натуральную величину независимо от его удаления от линзы. Определите рвсстояние между линзой и зерквлом. (Зерквло ивходится между линзой и ее фокусом.)
Решение звдвч ввривитв 1
1. Во время действия силы F груз со- вершвет гврмонические колебвния с периодом 7"=2nV"i/fe«0,3 с около нового положения равновесия, определяемого условием kxo = = |Л, где х0 — смещение нового положения рааиоаесия относительно стврого. При этом вмплитудв колебвний тоже рввнв х„ =
= |Л/*, в прввое крайнее положение грузе совпадает с его первоначальным положением. Очевидно, что скорость груза и его ускорение в этот момент рввны нулю. Поэтому, если действие силы прекрвщвется именно в этом положении, груз будет оствввться неподвижным. Итвк, время т действия силы должно быть равно т=пТ, где п=1, 2, 3, ... Характерной ошибкой при решении этой задачи было непрввильное понимание вопросе зедечи. После прекрещения действия силы груз будет оставаться неподвижным, если и скорость, и ускорение грузе рааиы нулю. Это будет только в крайнем прввом положении. (В крейнем левом положении скорость грузе действительно рвенв нулю, но ускорение его отлично от нуля. В тот момент, когде силы урееиоеешеиы и ускорение грузе раано нулю, отличив от нуля его скорость.)
2. Изменение покезания динамометра сея зеио с действием ив гирю выталкивающей силы, которвя ревнв весу воды в объеме погруженной чести гири:
откудв
Эта простея звдача окезвлвсь с «подводным кемнем», который подевляющее большинство вбитуриентов ие земетили и совершенно формально написали правильное решение. При устном обсуждении зедечи многие ие могли ответить на вопрос, почему они зепи-
S=LAIU6,25 см*. gA/i
Рис. 14. 52
сали именно такое выражение для выталкивающей силы. Некоторые, например, утверждали, что в данном случае выталкивающая сила равна весу вытесненной воды и равна ggSA/i. В этом утверждении содержится сразу две ошибки, которые исключают друг друга, и в результате получается формально правильный ответ. Первое ошибочное утверждение — в данном случае выталкивающая сила равна весу вытесненной воды, второе — объем вытесненной воды равен SAA.
3. Частицы будут проходить через сетки (преодолевать задерживающую разность потенциалов Uo), если их энергия будет больше некоторой минимальной энергии ?min. При скорости "1?J, соответствующей ?min (Emln = mvl/2), проекция скорости частицы на направление вдоль поля у поверхности второй сетки равна нулю; следовательно,
mv% cos2 a _
2
Проекция скорости на направление, перпендикулярное полю, равная v0 sin а, не изменяется. Согласно закону сохранения энергии,
,n sin2 a.
откуда
Таким образом, при энергиях E>4qU0 частицы смогут проходить через сетки.
Большинство абитуриентов успешно справились с этой задачей. Некоторые допустили характерную ошибку: при записи закона сохранения полной энергии частицы не учитывали кинетическую энергию, связанную с проекцией скорости на направление, перпендикулярное линиям электрического поля, и получали, что результат ие зависит от угла а. Тогда, пытаясь ввести угол а, они делали еще более грубую ошибку: умножали начальную энергию на cos а, то есть пытались «проектировать» энергию.
4. Данная оптическая система дает прямое изображение предмета в натуральную величину, если в первом случае центр кривизны зеркала совпадает с ближайшим к предмету фокусом линзы, а во втором случае центр кривизны зеркала находится в той же плоскости, что и первое изобра
жение, создаваемое линзой. Ход лучей для первого случая показан на рисунке 14; для наглядности изображена эквивалентная схема: зеркало заменено собирающей линзой с тем же фокусным расстоянием, равным половине радиуса кривизны R зеркала. Из этого рисунка видно, что изображение предмета действительно прямое и натуральной величины. Если сдвинуть зеркало (или эквивалентную ему положительную линзу) вправо на расстояние l = FA—/, то центр кривизны зеркала попадет в плоскость первого изображения, создаваемого лиизой, и окончательное изображение опять будет прямым и в натуральную величину (сделайте самостоятельно соответствующий чертеж). Тогда по формуле линзы
Заметим, что это типичная задача, требующая неформального подхода к ее решению. Прежде всего необходимо выяснить, прн каких взаимных расположениях отрицательной линзы и вогнутого зеркала может получиться прямое изображение натуральной величины. Для данной системы это возможно только в двух, указанных выше, случаях. А, например, для системы положительная линза плюс вогнутое зеркало — четыре таких взаимных расположения (попробуйте их найти). Наиболее характерная ошибка при решении этой задачи связана с непониманием того, что формирование изображения в данной оптической системе происходит в три этапа: преломление лучей в линзе, отражение от зеркала и опять преломление в линзе. Последний этап многие не учитывали. Большинство абитуриентов пытались решить задачу формально — записать систему соответствующих уравнений и решить ее. Даже при условии, что система составлена правильно, для ее решения требовалось много времени. Лишь единицы сумели довести все математические выкладки до конца, остальные безнадежно запутались.
А. Болибрух, В. Можаев
Рассказывает «Фотон»
С сентября 1980 года в Москве в Центральном лектории Всесоюзного общества «Знание» работает молодежный лекторий «Фотон». Ои рассчитан на старшеклассников, увлекающихся физикой,и на его заседаниях, которые происходят ежемесячно, регулярно присутствует несколько сот
московских школьников. Особенно многолюдным было заседание, проведенное в январе 1981 года. Доктор физико-математических иаук М. Каганов и писатель-фантаст А. Стругацкий более трех часов вели разговор о том, как в современном мире взаимодействуют наука и фантастика. В феврале состоялась встреча с учеными Дубиы, работающими в Объединенном институте ядерных исследований. Они рассказали о современных и будущих ускорителях заряженных частиц, о поисках
кварков и новых трансурановых элементов. До этого в гостях у школьников побывали академики Е. Лифшиц, А. Мигдал и действительный член Академии педагогических наук В. Фабрикант. Они рассказывали о «черных дырах», нейтронных звездах и других интереснейших проблемах физики и астрофизики. В марте «Фотон» организует встречу с журналом «Природа», а в апреле — с учеными Академии наук СССР и московских вузов.
В. Л.
S3