Теги: физика математическая физика
Год: 1982
Текст
Варианты вступительных экзаменов в вузы в 1981 году Московский физико-технический институт Математика Письменный экзамен Вариант 1 1. Решите уравнение 2 log4 (4-х) =4—Iog2(—2—х). 2. В треугольнике с углом 120° длины сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найдите длины сторон треугольника. 3. Решите систему уравнений {У 7х + у + Ух+у =6 ¦фс+у— у+х = 2. 4. Точка D лежит на стороне АС треуголь- 2 ника ABC. Окружность радиуса , вписанная в треугольник ABD, касается стороны АВ в точке М, а окружность радиуса УЗ , вписанная в треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. Известно, что |ВУИ|=6, \BN\ =5. Найдите длины сторон треугольника ABC. 5. В правильной треугольной призме ./4ВС4,В|С, точка D — середина ребра А,С,. Правильная треугольная пирамида расположена так, что плоскость ее основания совпадает с плоскостью ABC, одно боковое ребро проходит через вершину В, другое — через точку D, а третье пересекает ребро ССХ. Найдите отношение объема пирамиды к объему призмы. Вариант 2 1. Решите уравнение (| ч CtgJCH—: I =1 sinx / 2. Решите систему уравнений 2 log4 (у + 1) 4- log2i/ = log2 (— —2 6 ¦ х log2— 3. На продолжении стороны АВ ромба ABCD за точку В взята точка М, причем \MD | = \МС | и MDC = arctg -|-. Найдите отно- о шение длин отрезков МА и MB. 4. Длина ребра куба i4flCDi4,fi,C,?)1 равна а. Точки Е и F — середины ребер ВС и ССу соответственно. Рассматриваются треугольники, вершинами которых служат 46 точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба, с прямыми AlE, DF, AD,. Найдите а) площадь того треугольника, плоскость которого проходит через середину ребра AAi\ б) наименьшее возможное значение площади рассматриваемых треугольников. 5. Решите систему уравнений —у—4г = — 4 2^ Вариант 3 1. Решите уравнение VF , . /Т+х !\+Х 2. Решите неравенство 4x+log2 9>log2(9 • 22x+1—5). 3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АС длины 2 см проведены медианы AM н CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности. 4. Решите систему уравнений -^-= (cosy—у) (l-t-2sin2x) 3 3 I \ sin у 5. В основании призмы ABCDAlBiCiDi с боковым ребром длины 8 лежит трапеция с основаниями \AD\ =12, \ВС\ =7;В^ВС = 60°. Отрезок, соединяющий вершину В с центром О грани AAlDiD, перпендикулярен ей; |ВО|=9. Рассматриваются цилиндры, расположенные внутри призмы, с основанием в грани ВВХСХС. Найдите а) наибольшее значение объема таких цилиндров с данной высотой h; б) наибольшее значение объема среди всех рассматриваемых цилиндров. • Физика Вариант 1 1. На неподвижный невозбуждениый атом водорода налетает другой невозбужденный атом водорода. Какова должна быть минимальная кинетическая энергия налетающего атома, чтобы в результате столкновения мог излучиться фотон? Энергия ионизации атома водорода ?н = 13,6 эВ. Частоты излучения атома водорода определяются формулой v=/J 1-у j \ где R — постоянная, п и т — целые числа. 2. Одинаковые по массе количества водорода (цн, = 2 г/моль) и гелия (цне=4 г/моль)" поместили в сосуд объемом К,, который отделен от пустого сосуда объемом V2 полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не пропускающей гелий. После установления равновесия давление в первом сосуде упало в 2 раза. Определите V2/V,. Температура постоянна. 3. В плоский конденсатор, между пластинами которого поддерживается постоянная разность потенциалов, вводится диэлектрическая пластина с диэлектрической проницаемостью е = 3. Во сколько раз изменится сила
N / Рис. 1. О 2 4 6 8 Рис. 3. / У Рис. 2. Рис. 4. электростатического взаимодействия между пластинами конденсатора? Толщина диэлектрической пластины составляет половину расстояния между пластинами конденсатора. 4. Собирающая линза диаметром D = 2 см н фокусным расстоянием F =20 см освещается широким параллельным пучком света (рис. 1). За линзой стоит идеальное плоское зеркало так, что 25% светового потока, прошедшего через линзу и отразившегося от зеркала, снова попадает на линзу. Найдите расстояние между линзой и зеркалом. Вариант 2 1. В заднюю стенку башни танка, идущего со скоростью чт = 72 км/ч, ударяется горизонтально летящая со скоростью ио = 75О м/с пуля и упруго отскакивает от нее (рнс. 2). С какой скоростью полетит отскочившая пуля? Стенка наклонена к вертикали под углом <р = 30°. 2. Герметичный шар-зонд, изготовленный из нерастягивающегося материала, должен поднять аппаратуру массой At = 10 кг иа высоту около 5,5 км, где плотность воздуха (цв = 29 г/моль) вдвое меньше, чем у поверхности Земли. Шар наполняют гелием (цне=4 г/моль) при внешних условиях (температура Г = 300 К, давление р = 1 атм). Объем шара К=100 м3. Определите массу квадратного метра материала оболочки шара. Универсальная газовая постоянная Л = =8,3 Дж/(моль • К). 3. Определите разность потенциалов между электродами газоразрядной трубки, заполненной гелием, прн которой начинается процесс ионизации атомов электронным ударом. Известно, что распределение потенциала (в относительных единицах) по длине трубки в этот момент имеет вид, изображенный на рисунке 3; длина свободного пробега электронов /= 10 4 м; потенциал ионизации атомов гелия Фи =24,5 В. 4. Точечный источник света S равномерно движется параллельно экрану, в котором имеются два маленьких отверстия на расстоянии d друг от друга; расстояние от источника Рис. 6. до экрана равно h (рис. 4). Приемник света А, расположенный на осн системы, регистрирует периодически изменяющуюся освещенность. Определите скорость движения источника v, если частота колебаний интенсивности ^ = 15 Гц; длина волны света Х = 6 • 10~7 м; d — 2 mm; Л= 1 м. Во время измерений источник движется вблизи оси системы. Вариант 3 1. Невесомая штанга длиной L одним концом закреплена в идеальном шарнире, а другим опирается на пружину жесткостью k (рнс. 5). Определите период малых колебаний штанги в зависимости от положения / на ней груза массой т. 2. С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка (применяемая в медицинской практике для лечения), если диаметр ее отверстия О =4 см? В момент прикладывания банки к телу воздух в ней прогрет до температуры f = 80°С, а температура окружающего воздуха /0=20°С. Атмосферное давление ро=1О3 Па. Изменением объема воздуха в банке (из-за втягивания кожи) пренебречь. 3. Две катушкн самоиндукции с индук- тивностямн ?, и L2 подключены через ключи /С, и К2 к источнику с постоянной ЭДС & и внутренним сопротивлением г (рис. 6). В начальный момент времени оба ключа разомкнуты. После того как ключ К, замкнули и ток через катушку L, достиг некоторого значения /0, замыкают ключ К2. Определите установившиеся значения токов через катушки после замыкания ключа К2- Активными сопротивлениями катушек пренебречь. 4. Положение звезды, видимое с Земли, немного отличается от истинного из-за преломления лучей атмосферой. Определите ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом а = 45" к вертикали. Среднее значение показателя преломления лучей атмосферой считать равным п= 1,0003. Публикацию подготовили А. Болибрух, А. Шеронов 47