Теги: математика экзамен задачи по математике
Год: 1985
Похожие
Текст
Варианты вступительных экзаменов
Московский
физико-технический
институт
Математика
Письменный экзамен Вариант 1
1. Решите неравенство
jH-3>log3(26+3-*).
2. Решите уравнение
Г 3
V х = 7
3. Через точку А (3; —4) проведена каса-
12
тельная I к гиперболе #= . Найдите
радиус окружности с центром иа оси ординат, касающейся прямой / и оси абсцисс. Найдите все решения.
4. Найдите все значения хну, такие, что числа -
-g-ctgx, 2cos(x-\-y), 4sin 2х, 16sin(x—у)
являются последовательными членами геометрической прогрессии.
5. В основании прямой призмы ABCDA\B\C\D\ лежит ромб ABCD, в котором |ЛС|=4, |ВО |=2. Точки М и JV лежат на ребрах AD и В\С\ соответственно, причем \AM\:\MD\=\C,N\:\NBi |=3:2, |ЛШ|=л/5- Найдите объем призмы.
Из всех плоскостей, проходящих через прямую (МЛ/), выбрана та плоскость Р, проекция на которую отрезка АА\ имеет минимальную длину. В каком отношении плоскость Р делит отрезок АС?
Вариант 2
1. Решите неравенство
(I \ Здг2 т) Ш
2. Найдите все решения уравнения
cos 2x=2tg2 x—cos2 x.
удовлетворяющие неравенству
3. Бригада лесорубов должна была по плану заготовить за несколько дней 216 м3 древесины. Первые три дня бригада выполняла ежедневно установленную планом норму, а затем каждый день заготавливала 8 м3 сверх плана. Поэтому за день до срока было заготовлено 232 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины в день должна была бригада заготавливать по плану?
4. Вершина С прямоугольника ABCD лежит на стороне КМ равнобедренной трапеции АВКМ((ВК)\\(АМ)), Р — точка пересечения отрезков AM и CD. Найдите углы трапеции и отношение площадей прямоугольника и трапеции, если \АВ\=2\ВС\, \АР\ = 3\ВК\.
5. Сфера касается плоскости основания и всех боковых ребер правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF (S — вершина). Найдите объем пирамиды, если радиус сферы
/\ равен R, а угол SAB равен а.
Плоскость проходит через точку S, касается указанной сферы и пересекает прямые (BE) и (AD) соответственно в точках М и N (\ЕМ\>\ВМ\, \AN\>\DN\). Найдите
а) отношение |?)Л/|: |Л?)|, если |В,М| = = \DN\.
б) отношение \DN\: \AD\, если \ВМ\:\ВЕ\ = = 3:22.
Вариант 3
1. Решите неравенство
~2=7>| + 7+2~-
2. Решите уравнение
-\/3sin 2x =4-\/—sin x-tg x
3. Решите систему уравнений
{5+'og6,x2=—log^- у, (logs*/)2 _6
4. Точка О — центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC (\АВ\=\ВС\). Прямая (АО) пересекает отрезок ВС в точке М. Найдите углы и площадь треугольника ABC, если |ЛО|=3, |ОЛ1| =
_ 27 ~ТТ"
5. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина, |S/4|=4) точка D лежит на ребре SC, |С?)|=3, а расстояние от точки А до прямой (BD) равно 2. Найдите объем пирамиды.
Дана сфера радиуса 1 с центром в точке А. Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдр*,! MNPQ, такие, что точки М и N лежат иа прямой (BD), а прямая (PQ) касается сферы в одной из точек отрезка PQ. Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.
Физика
Письменный экзамен
Вариант 1
1. Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами (рис. 1). Оказалось, что центр масс С такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры имеют одинаковые площади сечения, но изготовлены из различных материалов с плотностями q и 2е- Определите отношение масс цилиндров.
2. На рисунке 2 изображена изотерма влажного воздуха. Давление воздуха в точках /, 2 и 3 равно р\, р2 и рз соответственно. Определите относительную влажность воздуха в этих точках.
3. В схеме, изображенной на рисунке 3 (величины С, R, ю известны), при разомкнутом ключе К заряд левой пластины плоского конденсатора равен нулю. Определите начальный
55
с
Pf
.
Рис. 1.
Рис. 2. L
U
Рис. 4.
Рис. 5.
v
\
Puc. 3.
Д
К
! d
Puc. 6.
заряд правой пластины конденсатора, если после замыкания ключа на резисторе с сопротивлением R выделяется такое же количество теплоты, как и в случае, копда конденсатор вначале не заряжен.
4. Тонкая линза создает изображение небольшого предмета, находящегося в ее фокальной плоскости. Определите высоту предмета, если высота изображения г/=0,7 см.
Вариант 2
1. Под каким углом к горизонту надо бросить камень, чтобы его кинетическая энергия в точке максимального подъема составляла 25 % от его кинетической энергии в точке бросания?
2. В сосуде длиной L, разделенном на три части легкими поршнями, находятся азот, водород и гелий (рис. 4). Материал, из которого изготовлен правый поршень, оказался проницаемым для водорода и гелия. Левый поршень проницаем только для водорода. Найдите смещения поршней после установления равновесия в системе. Первоначальные давления и температуры газов одинаковы, объем, занимаемый водородом, больше объемов азота и гелия в два раза.
3. Для подзарядки автомобильного аккумулятора с ЭДС ? =12 В от сети с постоянным напряжением (/=5 В собрана схема (рис. 5), содержащая катушку с индуктивностью /.= =0,1 Гн, идеальный диод Д н прерыватель К, который периодически замыкается и размыкается на одинаковое врем» ti=t2=0,1 с. За сколько времени можно' таким образом осуществить подзарядку аккумулятора на 20 А-ч (ампер- часов)? Сопротивлением всех узлов схемы и диода в прямом направлении пренебречь.
4. Оптическая система, показанная на рисунке 6, состоит из положительной линзы с фокусным расстоянием F|=9 см и отрицательной линзы с фокусным расстоянием (по модулю) ^2=5 см. Расстояние между линзами /.=22 см. При каких расстояниях d от положительной линзы до предмета эта система будет давать перевернутое мнимое увеличенное изображение предмета?
Публикацию подготовили П. Б. Гусятников. А. В. Шелагин
Московский институт
электронного машиностроения
Математика
Письменный экзамен Вариант 1
1. Решите уравнение
-\/2sin x=—\J3tg х.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а; боковое ребро равно Ь. Определите ее объем и площадь сечения, проходящего через сторону основания перпендикулярно к боковому ребру, противолежащему этой стороне.
3. Что значит a^fc? Докажите, что если а>Ь и Ь^с, то а>с.
4. Расположите в порядке возрастания следующие числа:
1; 0,37; g; g; tg 33°; tg(-314°).
5. Докажите, что если f{x)=
2f (х+2) +f(-x-1) =х Верно ли обратное утверждение?.
Вариант 2
1. Решите уравнение
|sin x+s'wQ.x\{2x—5)=sin x+sin 2x.
2. В кубе ABCDAiB\C\D\ с ребром длины а последовательно соединены середины ребер АА,, AiB,, Bid, C,C. CD. DA н АА,. Докажите, что полученная фигура — правильный шестиугольник и вычислите его площадь.
3. а) При a=fc=2 решите уравнение
7 + х~+Л + х~=А = °"
б) Изобразите на координатной плоскости множество точек М (а; Ь), для которых это уравнение имеет единственное решение.
4. Расположите в порядке возрастания следующие числа:
56