/
Автор: Кузьмин Ю.В.
Теги: алгебра математика топология естественные науки теория групп точные науки
ISBN: 5-88688-079-8
Год: 2006
Текст
5ТШ1Е5 1Ы МАТНЕМАТ1С5 АШ МЕСНАЫ1С5
8епе$ ЕйНогз
А. Т. РОМЕЫКО А. V. МЖНАЬЕУ
Уо1.
Уи. У.Кигтт Ното1одк:а1 Огоир ТНеогу [Киззгап ей.}
5ТШ1Е5 1Ы МАТНЕМАТ1СЗ АЫЭ МЕСНАМС5
Выпуск 1.
Ю. В. Кузьмин
ГОМОЛОГИИ ЕСК АЯ
ТЕОРИЯ ГРУПП
Москва
ФАКТОРИАЛ ПРЕСС
2006
УДК 512
ББК 22.14
К 89
К 89
Кузьмин Ю. В.
Гомологическая теория групп/Ю. В. Кузьмин. — М.: Изд-во
«Факториал Пресс», 2006. — 352 с. — (Айуапсей ЗШсИез т МаШе-
таМсз апй МесЬатсз; Вып. 1).
15ВЫ 5-88688-079-8
В книге дается систематическое изложение теории гомологии групп. Не
предполагается глубоких знаний в смежных дисциплинах (теории колец и мо-
модулей, топологии). В помощь читателю подобрано большое количество упраж-
упражнений. Упор сделан на различные приложения в теории групп. Значительная
часть книги, около трети объема, посвящена материалу, который ранее не из-
излагался в монографиях.
Книга рассчитана на студентов старших курсов университетов, аспирантов
и научных работников.
УДК 512
ББК 22.14
Серия
5ТШ1Е5 1Ы МАТНЕМАТ1С5 АШ МЕСНАЫ1С5
Выпуск 1
Научное издание
Юрий Викторович Кузьмин
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 27. Бумага офсетная №1. Гарнитура литературная. Под-
Подписано к печати 10.01.2006. Тираж 400 экз. Заказ № 2532.
Издательство «Факториал Пресс», 117449, Москва, а/я 331; ЛР ИД № 00316 от 22.10.99.
е-таП: !ас1опа1со@таЛ.ги
Отпечатано с готовых диапозитивов издательства «Факториал Пресс» в ППП типографии
«Наука» Академиздатцентра «Наука» РАН 121099, Москва Г-99, Шубинский пер., 6.
15ВЫ 5-88688-079-8
785886
880793
Факториал Пресс, 2006.
Все права защищены.
Памяти моих родителей
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
9
Глава 1. Расширения с абелевым ядром 13
§1. Модули над групповыми кольцами 13
§2. Индуцированные модули >. 17
§3. Модули и расширения 21
§4. Два примера 24
§5. Расщепляющиеся расширения 29
§6. Эквивалентность расширений 32
§7. Автоморфизмы 34
§8. Группа расширений 41
§ 9. Производные Фокса 49
§ 10. Продолжение эндоморфизмов 57
Глава 2. Когомологии групп 61
§1. Определение когомологии 62
§2. Когомологии и резольвенты 71
§3. Резольвенты и копредставления 82
§4. Когомологии свободных абелевых групп 91
§ 5. Длинная точная последовательность 98
§6. Сдвиг размерности 106
§7. Н3 как группа препятствий 109
Глава 3. Когомологии и функтор Ех1 117
§1. Ех1 на языке последовательностей 118
§2. Инъективные модули и резольвенты 125
§3. Использование проективных модулей 132
§4. Когомологии свободных конструкций 136
§5. Расширения групп и расширения модулей 141
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 149
8 Оглавление
§7. Когомологии групп с одним соотношением 160
§8. Эйлерова характеристика 165
Глава 4. Гомологии и функтор Тог 171
§1. Функторы Тог^ 172
§2. Определение и свойства групп гомологии 181
§3. Теоремы об универсальных коэффициентах 190
§4. #2 и определяющие соотношения 193
§5. #2 и центральные расширения 203
§6. Группы заузленных поверхностей 213
§ 7. Примеры неприводимых С-групп 223
§8. Группы вида Р/[Р,№\ 231
Глава 5. Гомологии расширений 243
§1. Гомологии прямого произведения 243
§2. Резольвенты для полупрямого произведения 250
§3. Спектральные последовательности , 255
§4. Спектральная последовательность расширения 264
§5. Пятичленная последовательность 270
§6. О дифференциалах $шк расщепляющегося
расширения с абелевым ядром 275
§ 7. О дифференциалах $шк расширения с абелевым ядром . . . 284
Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений 293
§1. Гомологии с рациональными коэффициентами 294
§ 2. Спектральная последовательность свободного абелева
расширения 297
§ 3. Две леммы 309
§4. Многочлены /п (#) 313
§ 5. Доказательство основной теоремы 323
Список литературы 339
Список обозначений 345
Предметный указатель 349
ПРЕДИСЛОВИЕ
Мне хотелось написать книгу, которая была бы интересна, по возмож-
возможности, более широкому кругу читателей-алгебраистов, прежде всего тем,
кто занимается теорией групп. Так сложилось, что, работая над груп-
групповыми задачами, я всё время сталкивался с необходимостью и есте-
естественностью использования гомологических соображений, сначала самых
простых, а затем и более сложных. Как пошутил Брайан Хартли, гомо-
гомологии — это неизбежное зло. Есть нечто загадочное в их появлении при
решении самых разных задач.
Комбинаторно-геометрическое определение гомологии было дано
Пуанкаре в 1895 году, и вплоть до сороковых годов прошлого века теория
гомологии оставалась, в основном, в ведении топологов. Постепенно выяс-
выяснилось, прежде всего благодаря работам Гуревича, что фундаментальная
группа несёт в себе существенную, а иногда и полную информацию о
гомологиях топологического пространства. Поскольку фундаментальная
группа может быть любой, появился соблазн определить гомологии груп-
группы как гомологии соответствующего пространства, а ещё лучше, минуя
топологию, каким-то алгебраическим способом. В этом контексте важ-
важную роль сыграла классическая работа Хопфа [70], в которой он сводил
топологию к алгебре, вычисляя вторую группу гомологии асферическо-
асферического пространства. Принято считать, что это —первая работа по гомоло-
гомологической теории групп, хотя общее, чисто алгебраическое определение
гомологии группы было дано несколько позже Эйленбергом и Маклей-
ном [82, 83]. Независимо, в то же самое время, алгебраическое опре-
определение групп гомологии было предложено Д. К. Фаддеевым [64]. С тех
пор гомологическая теория групп превратилась в самостоятельную дис-
дисциплину, которая активно взаимодействует с алгебраической топологией
и А^-теорией, имеет приложения в теории чисел, теории узлов, теории
представлений и собственно в теории групп. Без преувеличения можно
сказать, что знание основных фактов, касающихся гомологии групп, яв-
является теперь необходимой составляющей алгебраического образования.
10 Предисловие
Хорошо известно, что первая группа когомологий связана с автомор-
автоморфизмами, а вторая интерпретируется как группа расширений. С помощью
второй группы гомологии классифицируются центральные расширения
групп, кроме того, она связана с определяющими соотношениями. Чита-
Читатель, добравшийся до четвёртой главы (§4.6 и 4.7), сможет познакомить-
познакомиться с гомологической характеризацией групп, которые могут быть заданы
соотношениями вида х^ х^х^ — Х{ (эти группы тесно связаны с группа-
группами заузленных поверхностей). Некоторые считают, что первая и вторая
группы (ко)гомологий — это максимум, что может понадобиться специа-
специалисту по теории групп. Иногда, правда, вспоминают, что третья группа
когомологий описывает препятствия для расширений. Но прочтя §4.8,
читатель узнает о применении четвёртой группы гомологии к изучению
чисто групповых феноменов. Нелишне также напомнить, что гомологиче-
гомологическая алгебра привносит в теорию групп такие важные числовые инвари-
инварианты, как гомологическая размерность и эйлерова характеристика, а они
используют гомологии всех размерностей. Каким-то образом группы го-
гомологии несут в себе глубокую информацию о свойствах самой группы.
Скажем, свойство конечной группы быть нильпотентной или разрешимой
можно охарактеризовать в чисто гомологических терминах [63], [78].
Первое представление о содержании книги можно получить, позна-
познакомившись с оглавлением. Изложение начинается практически с нуля,
и чтение первых четырех глав не требует серьёзной алгебраической под-
подготовки. Предполагается, что читатель знаком с понятием кольца и мо-
модуля. Желательно понимать, что такое действие группы на множестве,
и знать определение тензорного произведения. Необходимые сведения по
теории групп также не слишком обширны: свободные группы, задание
групп образующими и определяющими соотношениями, понятие нильпо-
нильпотентной и разрешимой группы. Читатель по мере необходимости может
обращаться за помощью к таким книгам, как «Алгебра» Ленга, «Введе-
«Введение в алгебру» Кострикина, «Курс алгебры» Винберга, «Основы теории
групп» Каргаполова и Мерзлякова [47, 27, 13, 21]. Некоторые минималь-
минимальные сведения по топологии желательны при чтении §4.6, по крайней
мере, предполагается известным понятие фундаментальной группы. Ви-
Видимо, первые четыре главы примерно соответствуют уровню требований,
которые предъявляются к читателю в книгах известной серии «Огас1иа{е
Тех1з т Ма^ЬетаИсз». Каждый параграф заканчивается упражнениями,
основная цель которых — помочь читателю, а не изложить дополнитель-
дополнительный материал, причём большая часть упражнений снабжена указаниями.
Две последние главы несколько сложнее, хотя формально никаких
дополнительных сведений не требуется. В первых параграфах главы 5
Предисловие 11
излагается традиционный материал, связанный с гомологиями расшире-
расширений, и центр тяжести приходится здесь на спектральные последователь-
последовательности. В двух последних параграфах этой главы изучаются дифферен-
дифференциалы спектральной последовательности расширения с абелевым ядром.
Эти результаты (М.Андре и автор) ранее не излагались в монографи-
монографиях и могут представлять интерес для специалистов. Надо сказать, что
значительная часть книги посвящена материалу, которого нет в ранее
изданных монографиях. Кроме уже упомянутых последних параграфов
глав 4 и 5, это относится к §3.7, где с подробным доказательством про-
проводится построение свободной резольвенты для групп с одним опреде-
определяющим соотношением (Р. Линдон). Новым является материал главы 6.
Там представлены результаты автора о спектральных последовательно-
последовательностях свободных абелевых расширений и результаты совместной работы
Л. Ковача, Р. Штера и автора о гомологиях свободных абелевых расши-
расширений. Здесь необходимы некоторые пояснения. Дело в том, что один из
основных персонажей этой книги — расширения с абелевым ядром. Изу-
Изучаются как группы, являющиеся такими расширениями, так и гомологии
этих групп. Однако расширений с абелевым ядром слишком много, чтобы
можно было описать их гомологии. В подобной ситуации обычная стра-
стратегия тополога и алгебраиста состоит в том, чтобы попытаться описать
универсальный или свободный объект. Именно это и делается в послед-
последней главе: для произвольной группы изучаются гомологии её свободного
расширения с абелевым ядром.
В предлагаемой книге принят алгебраический подход и геометриче-
геометрические аспекты гомологической теории групп не обсуждаются. С ними мож-
можно познакомиться по книге К.Брауна «Когомологии групп» [11].
Книга Брауна до сих пор была единственной монографией, изданной
на русском языке, которая посвящена гомологической теории групп. Из
книг, не переведённых на русский, отметим «ТЬе соЬото1о§у оГ §гоирз»
Эванса [81]. Существует также несколько более специальных изданий
в серии «Ьес1иге по1ез» [18, 10, 77]. В некоторых книгах по гомологи-
гомологической алгебре гомологии групп рассматриваются как частный случай
общей теории. Из книг подобного рода мы прежде всего рекомендуем
читателю монографию Хилтона и Штаммбаха «А Соигзе т Ното1о§1са1
А1^еЬга» [68], а также давнишнюю монографию Маклейна «Гомология»,
которая до сих пор не потеряла своей актуальности.
К появлению этой книги, прямо или косвенно, имеют отношение
многие люди. Я сердечно благодарен моим учителям — профессору
А. Л. Шмелькину и профессору А. И. Кострикину. Многим я обязан и дру-
другим сотрудникам кафедры «Высшая алгебра» Московского государствен-
12 Предисловие
ного университета, с которыми долгое время общался на семинарах и кон-
конференциях. Большую помощь при написании книги оказал Ю. С. Семёнов.
Он был первым, кто прочитал текст, и его замечания помогли устранить
многие неточности. Неоднократно я получал поддержку от В. Н. Крупско-
го в моей борьбе с компьютером — отнюдь не всегда успешной. Он также
помог сделать электронную версию рисунков. Я искренне благодарен за
участие и поддержку моему сыну Д.Ю.Кузьмину.
Работа над этой книгой частично финансировалась Московским
государственным университетом путей сообщения, в котором я работаю.
Москва, январь 2006 Ю. В. Кузьмин
ГЛАВА 1
РАСШИРЕНИЯ С АБЕЛЕВЫМ ЯДРОМ
§ 1. Модули над групповыми кольцами
Исходным материалом для построения теории гомологии и изучения рас-
расширений служат модули над групповыми кольцами, поэтому мы начнём
с того, что напомним некоторые факты на эту тему. Пусть С — произволь-
произвольная группа. По определению её групповое кольцо ЪС свободно порожда-
порождается, как абелева группа, элементами д ЕС. Эти элементы перемножают-
перемножаются в кольце так же, как в группе, а их суммы с целыми коэффициентами
перемножаются по дистрибутивности. В качестве кольца коэффициентов
можно взять любое коммутативное кольцо с единицей, например, поле
рациональных чисел С} или кольцо вычетов Ъп. Предполагается, что ко-
коэффициенты коммутируют с элементами группы С.
Групповое кольцо зависит от С функториально в том смысле, что
гомоморфизм групп С —► Н единственным образом продолжается до го-
гомоморфизма колец ЪС —> ЪН. Более того, ЪС обладает следующим уни-
универсальным свойством. Если К — произвольное ассоциативное кольцо, то
гомоморфизм группы С в его мультипликативную группу единственным
образом продолжается до гомоморфизма ЪС —► К. Это, очевидно, следует
из линейной независимости элементов д б С.
Абелеву группу А назовём (правым) С-модулем, если каждому эле-
элементу д Е С сопоставлен автоморфизм группы А
а —> ад (а Е А, д Е С),
причём это соответствие является действием, то есть
{р.д\)д2 = а{д\д2) {а е А, й,й^С).
Действие группы продолжается по линейности до действия группового
14 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
кольца, то есть А становится 2С-модулем. По этой причине термины
С-модуль и 2С-модуль используются как синонимы.
Предположим, что группа С действует на множестве 5, которое, во-
вообще говоря, не является абелевой группой. Тогда можно рассмотреть
свободную абелеву группу 25, порождённую множеством 5, и действие
С на 5 продолжить до действия на 25. Модули, полученные таким спосо-
способом, называют перестановочными С-модулями. Если 5 = иЗг — разби-
разбиение множества 5 на орбиты, то 25 = ©25* — прямая сумма С-модулей.
Пусть С действует на 5 свободно, то есть действие любого элемента
д Е С (д ф 1) не имеет неподвижных точек. Тогда при фиксированном
е б 5 элементы вида ед (д Е С) линейно независимы, поэтому цикли-
циклический подмодуль, порождённый е, изоморфен свободному циклическому
модулю ЪС Выберем по представителю е* в каждой орбите 8{. Как сле-
следует из предыдущего, 25 —это свободный 2С-модуль со свободными
образующими е{. Пусть, например, С —подгруппа в некоторой большей
группе 5. Умножение справа на элементы д Е С определяет действие С
на 5. Соответствующий перестановочный модуль —это групповое кольцо
25, рассматриваемое как правый С-модуль. Орбитами действия С на 5
являются смежные классы еС. Так как это — свободное действие, то, вы-
выбрав по представителю е* в каждом смежном классе, мы получим систему
свободных образующих С-модуля 25.
Строить С-модули можно, используя прямую сумму и тензорное про-
произведение. Для произвольных абелевых групп А и А! будем обозначать
А® А' их тензорное произведение над 2. Если А и А' — С-модули, то на
А' можно ввести структуру С-модуля, считая, что
(а (8) а!)д = ад ® а'д (а е А.а' е А',д € С). A.1)
Правая часть линейна по а и а', поэтому отображение а ® а' -+ ад ® а'д
действительно продолжается до автоморфизма. Так определённое дей-
действие группы С называют диагональным. Подчеркнём, что в равенстве
A.1) нельзя заменить д на произвольный элемент г б 2С, следовательно,
в определении диагонального действия существенно, что рассматривается
групповое кольцо.
Как видно из предыдущего, мы отдаём предпочтение правым моду-
модулям. Тем не менее, есть ситуации, когда естественно рассматривать и ле-
левые модули. Пусть, например, А —правый, а Л' —левый С-модули. Тогда
можно ввести абелеву группу А®сА' — их тензорное произведение над С.
По определению А®сА' получается из А® А', добавлением соотношений
ад® а! = а <8> да' (а е А, а! Е А', д Е С).
§1. Модули над групповыми кольцами 15
Однако, имея дело с групповыми кольцами, нет необходимости делать
различие между правым и левым. Любой правый С-модуль А можно
считать также левым С-модулем относительно действия
да = ад~1 (а 6 Д д Е С).
Таким образом, тензорное произведение А®сА' имеет смысл для любых
С-модулей А и А' — как левых, так и правых. Определяющие соотноше-
соотношения имеют вид
ад (8) а = а (8) да = а (8) а'д1 = д~*а (8) а.
Отображение д —■> д~1 продолжается по линейности на все кольцо ЪС,
Образ элемента г е ЪС будем обозначать г*. Из равенства ад = д~ха
следует, что ат — г*а. Легко видеть, что отображение г -+ г* является
инволюцией, то есть
+ г2)* = г* + г*, (пг2У = 4г*г, (г*)* = г.
Для любого кольца с инволюцией можно переходить от правых модулей
к левым и наоборот.
Естественным источником модулей над групповым кольцом служат
его идеалы. Любой правый идеал кольца ЪС является модулем относи-
относительно правого регулярного действия, то есть относительно умножения
справа на элементы г е ЪС. Особого упоминания заслуживает фундамен-
фундаментальный идеал Ас. Он определяется как ядро гомоморфизма е: ЪС —■> 2,
который каждому элементу ^щд^ сопоставляет сумму его коэффициен-
коэффициентов щ. Очевидно, е — гомоморфизм колец. Его называют пополняющим
гомоморфизмом, а фундаментальный идеал Д^ называют иногда попол-
пополняющим идеалом. Факторгруппа по аддитивной подгруппе, порождённой
элементами д — 1 (д б С, д ф 1), изоморфна 2, поэтому эти элементы
порождают Ас как абелеву группу. Ясно, что они линейно независимы.
Назовём С-модуль А тривиальным, если ад = а для любых элементов
а е А,д Е С. Например, фактормодуль ЪС/Ас = 2 —это тривиальный
С-модуль. Любой модуль А можно тривиализовать, вводя соотношения
а(д — 1) = 0, то есть факторизуя по подмодулю ААс- Легко видеть, что
А/А Ас = А ®с 2. Изоморфизм задаётся формулой а + А Ас —> а <8> 1.
Для любой подгруппы НСС обозначим Ля правый идеал кольца
ЪС, порождённый элементами вида к— 1, где к е Н. Возникает некоторая
двусмысленность, так как мы использовали обозначение Ля для фунда-
фундаментального идеала кольца ЪН. В том случае, когда речь будет идти об
16 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
идеале подкольца, мы будем оговаривать это особо. Если С =
разложение группы С на смежные классы, то ЪС — ©BЯ)^, поэтому
любой элемент идеала Ас единственным образом представляется в ви-
виде линейной комбинации элементов (к — 1)#г- (к е Н). Если подгруп-
подгруппа Н нормальна, то Ля — двусторонний идеал. Он, очевидно, совпадает
с ядром естественного эпиморфизма кольца ЪС на групповое кольцо фак-
факторгруппы Ъ[С/Н]. Пусть А — произвольный С-модуль. Тогда А/ААн =
= А ®с Ъ[С/Н] — наибольший фактормодуль, на котором Н действует
тривиально. Понятно, что на этом фактормодуле определено действие
группы С/Н.
Упражнения
1. Предположим, что группа С порождается элементами д1,...,дп. Что мож-
можно взять в качестве системы образующих кольца ЪС?
2. Пусть подгруппа ЯСС порождается элементами к\,... ,кп. Какие эле-
элементы порождают С-модуль Ля? Предположим, что гюдгруппа Н нор-
нормальна, а к\,...,кп порождают Н как нормальную подгруппу. Какими
элементами порождается Ан как двусторонний идеал?
3. Группа С называется правоупорядоченной, если на множестве её эле-
элементов введено отношение линейного порядка <, которое согласованно
с умножением, то есть
х < у => хх < уг (х, у, г е С).
(Класс групп, допускающих такой порядок, содержит бесконечную цик-
циклическую группу. Он замкнут относительно подгрупп, прямых произведе-
произведений и расширений.) Докажите, что групповое кольцо правоупорядоченной
группы не имеет делителей нуля, а его обратимые элементы исчерпыва-
исчерпываются элементами группы С. (Указание: проследите за тем, что происходит
с максимальными и минимальными элементами при перемножении сумм
вида
4. Пусть С —конечная группа. Положим
дес
Проверьте, что элемент о порождает тривиальный подмодуль. В частности,
а является делителем нуля.
5. Покажите, что если элемент д € С имеет порядок 5, то д2 —д + \ — обрати-
обратимый элемент кольца ЪС. Этот пример допускает обобщение: если элемент
д е С имеет нечётный порядок п и р— нечётное простое число взаимно
§2. Индуцированные модули 17
простое с п, то элемент др г — др 2Н д-\-\ обратим в ЪС. (Указание:
так как /(х) = хр~х - хр~2 + • • • — х -+■ 1 — минимальный многочлен для
первообразного корня степени 2р из 1, то /(#п) делится на /(#); в то же
время /{дп) = 1.)
6. Докажите, что для любых С-модулей Л и А! имеет место изоморфизм
(А ® А') ®с Ъ ^
7. Пусть подгруппа Н нормальна в С и Л, А' — два С-модуля. Покажите, что
на Л(8># А' можно определить диагональное действие факторгруппы С/Н.
Постройте изоморфизм (А ® А') ®с 2[С/Я] = А ®я Аг-
8. Если А\\ А! — конечно порождённые С-модули и аддитивная группа одно-
одного из них конечно порождена, то и А® А' — конечно порождённый модуль.
Покажите, что ограничение на аддитивную группу отбросить нельзя, рас-
рассмотрев С-модуль ЪС^ЪС, где С — бесконечная группа.
9. На групповом кольце ЪС введём структуру правого С-модуля двумя спо-
способами:
1)год = гд 2)год = д-1г (г е ЪС, д <Е С).
Докажите, что эти модули изоморфны. Сформулируйте аналогичное утвер-
утверждение для левого действия на ЪС.
10. Пусть Л —левый и Л' —правый С-модули. Проверьте, что на абелевой
группе Нот (Л, Л') (гомоморфизмы над Ъ) можно ввести структуру С-мо-
дуля, считая, что
(/<?)(«) = 1(да)д (аеА,деС,/е Нот (Л, Л')).
Как нужно изменить эту формулу, если Л и А! — правые модули? Что
в этом случае представляют из себя гомоморфизмы, на которых С дей-
действует тривиально?
§2. Индуцированные модули
Пусть снова С — произвольная группа. Рассмотрим абелеву группу Л, не
предполагая, что С действует на А. На прямой сумме групп А(д) (д е С)
изоморфных А (при отображении а(д) —► а е А) определим действие С,
считая, что а(д)д' — а(дд'). Модули, полученные таким способом назы-
называют индуцированными. Например, если А — свободная абелева группа
со свободными образующими е\ (г е /), то соответствующий индуциро-
индуцированный модуль будет, очевидно, свободным 2С-модулем со свободными
образующими вгA).
18 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Индуцированные модули можно также ввести следующим образом.
Для любой абелевой группы А определим на А®ЪС структуру С-модуля,
используя правое регулярное действие на ЪС
= а® (гд) (а е А, г е ЪС, д е С).
При фиксированном д е С элементы вида а®д образуют подгруппу А®д
изоморфную А. Очевидно, А ® ЪС раскладывается в прямую сумму этих
подгрупп, поэтому А (8) ЪС — индуцированный модуль.
Рассмотрим вложение А —> А ® ЪС, при котором элемент а е А
переходит в а (8) 1. Оно обладает следующим универсальным свойством.
Предложение 2.1. Если А! — некоторый С-модуль и /: А —► А' — гомо-
гомоморфизм абелевых групп, то существует единственный гомоморфизм
С-модулей А (8) ЪС —► А', для которого диаграмма
А
\
А!
коммутативна.
Действительно, функция (а,г) —> ${а)г (а Е А,г € ЪС) билинейна, по-
поэтому определен гомоморфизм абелевых групп А (8) ЪС —► А\ который
переводит а (8) г в /(а)г. Это — гомоморфизм С-модулей и по построению
нужная диаграмма коммутативна. □
Будем обозначать Нот и Нот^ — группы гомоморфизмов 2-модулей
и, соответственно, 2С-модулей.
Следствие 2.2. Для любой абелевой группы А и С-модуля А' имеет
место изоморфизм
Нот (А, А') ^ Яотс(А ® ЪС, А').
Заметим, что если абелева группа А является С-модулем, то группа С
действует на А (8) ЪС двумя способами
(а (8) г)д = а®гд, (а (8) г)д — ад (8) гд.
На самом деле, эти модули изоморфны. Действительно, из универсально-
универсального свойства индуцированных модулей следует, что отображение а —■> а(8I
§2. Индуцированные модули 19
определяет гомоморфизм первого модуля во второй. При этом а ® д пе-
переходит в ад ® д, то есть на абелевой подгруппе А® д всё сводится
к умножению первого аргумента на д. Понятно, что такое отображение
взаимно однозначно. Существование построенного изоморфизма кажется
достаточно неожиданным, так как в определении индуцированного моду-
модуля участвует только аддитивная группа модуля А, а диагональное дей-
действие использует структуру С-модуля как по первому, так и по второму
аргументу.
Заменим теперь ® на Нот. Именно, для любой абелевой группы А
определим действие группы С на НотBС,Л), считая, что
ид)(г) = ?{дг) (деС,ге ЪО).
Модули полученные таким способом называют коиндуцированными. Рас-
Рассмотрим отображение Нот BС, А) —► А, которое каждому гомоморфизму
сопоставляет его значение в 1. Этот эпиморфизм, обладает следующим
универсальным свойством.
Предложение 2.3. Для любого С-модуля А! и любого гомоморфизма
абелевых групп /: А' —■> А существует единственный гомоморфизм
С-модулей А! —> Нот BС, А), для которого диаграмма
А
/
Нот BС, А) Т /
\
А'
коммутативна.
Доказательство. Есть только один способ определить нужный гомо-
гомоморфизм. Элементу а е А! сопоставим отображение <ра е НотBС, А),
значение которого в 1 равно /(а) (иначе диаграмма предложения 2.3 не
будет коммутативна). Из определения действия группы С на Нот BС, А)
следует, что <^а(#) — ((/р«р)A) Для произвольного элемента д е С. Но
соответствие а —> (ра должно быть гомоморфизмом С-модулей, поэто-
поэтому (рад = (раду а как мы уже знаем, <Ах#A) — Ка9)- Окончательно,
4>а{9) = Над). □
Следствие 2.4. Для любой абелевой группы А и С-модуля А' имеет
место изоморфизм
Нот (А', А) ^ Потс{А', Нот BС, А)).
20 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Следствие 2.5. Произвольный С-модуль вкладывается в коиндуциро-
ванный С-модуль.
Доказательство. Пусть А' = А и / = Мд. Тогда из предложения 2.3
следует, что существует мономорфизм А —■> Нот (ЪС, А). Элементу а е А
соответствует отображение </?а такое, что </?а(я0 — ОД- а
Понятия индуцированного и коиндуцированного модуля допускают
обобщение. Пусть Н — подгруппа в С и А — некоторый Я-модуль. В ин-
индуцированном С-модуле А ® ЪС введём дополнительно соотношения
= аН® д (а е А,Н е Н,д е С).
Полученный С-модуль будем обозначать А®НЪС. Такие модули называ-
называют индуцированными с подгруппы Я. При Я = 1 получаются индуци-
индуцированные модули. Пусть С — иНдг — разложение группы С на смежные
классы. Тогда аддитивная группа модуля Л®#2С? представляется в виде
прямой суммы подгрупп А®д{. Легко видеть, что если Я —нормальная
подгруппа, то это будет разложением в прямую сумму Я'-модулей. В лю-
любом случае элементы вида а ® 1 (а е А) образуют Я-подмодуль, и отоб-
отображение а —* а <8> 1 — мономорфизм Я-модулей А —► А ®н ЪС. Нетрудно
сформулировать его универсальное свойство. Это делается по аналогии
со случаем Я = 1. Надо лишь потребовать, чтобы в диаграмме пред-
предложения 2.1 отображение /: А —► А' было гомоморфизмом Я-модулей.
В качестве следствия получается изоморфизм
Нотя(Д А!) = Яотс{А ®н ЪС, А'),
что обобщает следствие 2.2.
Заменим теперь <8># на Нотя- Для любого Я-модуля А в коин-
дуцированном модуле НотBС, А) гомоморфизмы </?, удовлетворяющие
условию р(гк) = (р(г)Н (г е ЪС,Н € Я), то есть Я-гомоморфизмы,
образуют С-подмодуль Нот#BС, А). Такие С-модули называются ко-
индуцированными с подгруппы Я. Отображение, которое сопоставляет
Я-гомоморфизму <р его значение в 1, определяет эпиморфизм Я-модулей
Нот#BС, А) —> А. Мы оставляем читателю формулировку его универ-
универсального свойства и доказательство изоморфизма
Яотн(А',А) = Потс(А',Иотн(ЪС,А)).
Значение индуцированных и коиндуцированных модулей выяснится
позднее. Сейчас эти конструкции можно рассматривать как способ по-
построения С-модулей.
§3. Модули и расширения 21
Упражнения
1. Предположим, что группа С действует на множестве 5, и пусть А — произ-
произвольная абелева группа. На прямой сумме групп А(з) (з е 8) изоморфных
группе А (при отображении а(з) —> а (а е А)) определим действие группы
С по формуле а{з)д = а{зд). Покажите,что перестановочные и индуциро-
индуцированные модули являются частным случаем этой конструкции. (Указание:
для перестановочных модулей А — Е, а для индуцированных 5 = С.)
2. Постройте вложение индуцированного модуля А ® ЕС в коиндуцирован-
ный Нот (ЕС, А). (Указание: А 0 ЕС можно представить в виде дис-
дискретной прямой суммы абелевых групп А{д) (д е С), изоморфных А,
а Нот (ЕС, А) — в виде полной прямой суммы таких групп.)
3. Что можно сказать о вложении из предыдущего упражнения, если группа
С конечна?
4. Для любого С-модуля А действие группы С на Нот (ЕС, А) определено
двумя способами — как для коиндуцированного модуля и диагонально, как
в упражнении 10 предыдущего параграфа. Докажите, что эти два модуля
изоморфны. (Указание: гомоморфизму / надо сопоставить гомоморфизм у?,
определённый равенством {р(д) = /(д)д~1-)
5. Обобщите упражнения 2,3 на случай модулей (ко)индуцированных с под-
подгруппы?
6. Пусть Я — подгруппа группы С. Постройте вложение произвольного С-мо-
С-модуля А в С-модуль Нот#(ЕС, А) (Указание: это можно сделать по ана-
аналогии со случаем Н — 1, который был рассмотрен выше.)
7. Пусть ЬЭ К — конечное расширение Галуа. Аддитивную группу Ь+ мож-
можно рассматривать как модуль над группой Галуа С этого расширения.
По теореме о нормальном базисе ([47], гл. 8, §12) для некоторого е е
е Ь элементы ед (д е С) образуют базис Ь над К. Как сформули-
сформулировать эту теорему в терминах С-модулей? (Ответ: Ь+ — это С-модуль
(ко)индуцированный с К+: Ь+ ^ К+ О ЕС ^ Нот (ЕС,
§ 3. Модули и расширения
Теперь мы опишем типичную для теории групп ситуацию, в которой воз-
возникают модули над групповыми кольцами.
Определение 3.1. Группа С называется расширением группы С с по-
помощью группы А, если А вкладывается в С в качестве нормальной
подгруппы и С/А = С.
22 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Обычно расширение записывают в виде точной последовательности
A.2)
Напомним,что последовательность групп (или модулей) и их гомомор-
гомоморфизмов называется точной, если в ней образ очередного гомоморфизма
совпадает с ядром следующего. Точность в А означает, что отображение
А —■> С —мономорфизм. Точность в С означает, что ядро отображения
С —» С совпадает с подгруппой А, а точность в С — что это отображе-
отображение — эпиморфизм, и следовательно, С/А = С. Группу А называют ядром
расширения A.2).
Наряду с прямым и свободным произведением, расширение — это одна
из основных конструкций теории групп. Она является аналогом рассло-
расслоения в топологии. Роль базы играет группа С, а роль слоев —смежные
классы по подгруппе А. Мы в основном будем рассматривать расши-
расширения с абелевым ядром. Их изучению посвящена значительная часть
этой книги. Отметим, что класс разрешимых групп можно определить
как наименьший класс групп, содержащий все абелевы группы и замкну-
замкнутый относительно расширений. Аналогично класс нильпотентных групп
можно определить как наименьший класс групп, содержащий все абе-
абелевы группы и замкнутый относительно центральных расширений, то
есть таких, для которых А содержится в центре группы С. По этой при-
причине теория расширений с абелевым ядром служит основой для изучения
разрешимых и нильпотентных групп. Напомним некоторые стандартные
обозначения и терминологию.
Если В и С —подгруппы некоторой группы С, то их взаимным ком-
коммутантом [В, С] называется подгруппа, порождённая коммутаторами
[Ь,с] = Ь-1с~1Ъс (ЬеВ, се С).
Если В и С нормальны в С, то подгруппа [В, С] также нормальна и
[Б, С] С В П С. Члены ряда коммутантов группы С определяются по
индукции
При п = 1 и п = 2 используются обозначения С и С". Факторгруппа
СаЬ = С/С называется абелианизацией группы С.
Группа С называется разрешимой ступени п (или длины п), если
С(п) — 1, но С^п~^ Ф 1. Её можно представить как расширение группы
С/С^п~1^ — разрешимой группы ступени (п — 1) — с помощью абелевой
группы С^п~1^ Разрешимые группы ступени 2 называют метабелевыми.
§3. Модули и расширения 23
Пусть Р — свободная группа. Факторгруппа Ф = Р/р(п) называется сво-
свободной разрешимой группой ступени п. Если Р свободно порождается
элементами х\ (г е /), то их образы г/$ = х^Р^ называют свободными
образующими группы Ф. Свободная разрешимая группа определяется сту-
ступенью разрешимости и числом своих свободных образующих (которое на-
называют рангом). Для любой разрешимой группы С ступени ^ п и любых
элементов ^ € С (г Е /) отображение у г —■> д^ продолжается до гомомор-
гомоморфизма Ф —■> С. Это следует из того, что ядро гомоморфизма Р —* С, при
котором Х{ переходит в д{, содержит р(п\ Из сформулированного свой-
свойства также следует, что любая разрешимая группа является эпиморфным
образом свободной, соответствующей ступени разрешимости.
Члены нижнего центрального ряда определяются равенствами
Группа С называется нильпотентной класса п, если 7п+1(С?) = 1, но
7П(С?) ф 1. Её можно представить как центральное расширение С/^п{С)
— нильпотентной группы класса (п— 1) — с помощью группы 7п(С?). Фак-
Факторгруппа Ф = Р/^п+1(Р), где Р — свободная группа, называется свобод-
свободной нильпотентной группой класса п. Мы оставляем читателю форму-
формулировку универсального свойства множества её свободных порождаю-
порождающих.
Центр группы О будет обозначаться 2{С). Члены верхнего централь-
центрального ряда 2п{С) определяются по индукции: 20(С) = 1, 2п+1(С) — про-
прообраз в С группы 2(С/2п(С)). Легко видеть, что нильпотентность класса
п эквивалентна тому, что 2п(С) = С, но 2п-\{С) ф С.
Вернёмся к расширению A.2). Группа С действует на А сопряжени-
сопряжениями. При этом подгруппа А действует тривиально, так как мы предпо-
предполагаем, что она абелева. Отсюда следует, что на А определено действие
факторгруппы С/А = С, то есть А является С-модулем. Группа С запи-
записана мультипликативно, поэтому действие С на А естественно записать
в экспоненциальной форме: для а е А, г = ^щд^ е ЪС {д^ е С,щ е 2)
где Т}{ — прообраз элемента д\ в С. Можно также принять следующее со-
соглашение: группу А записать аддитивно, как это принято в теории моду-
модулей, а для С сохранить мультипликативную форму записи. Тогда- вместо
аг надо писать аг, а определение действия группы С принимает вид
24 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
В правой части смешались сложение и умножение, но, видимо, эта дву-
двусмысленность компенсируется очевидностью ситуации. Заметим также,
что записав А аддитивно, нужно в последовательности A.2) левую еди-
единицу заменить на ноль. В зависимости от контекста мы будем использо-
использовать как мультипликативную, так и аддитивную форму записи модуля А.
Отметим, что подмодули модуля А — это в точности нормальные под-
подгруппы группы С, содержащиеся в А. Очевидно, также, что расширение
центрально тогда и только тогда, когда А — тривиальный С-модуль.
Уже сам факт наличия на А структуры модуля над групповым кольцом
ЪС в сочетании с некоторыми результатами теории колец и модулей дает
возможность получать информацию о группах. В следующем параграфе
мы рассмотрим два примера на эту тему. Для расширения с произвольным
ядром А структуру С-модуля можно ввести на центре 2(А), что часто
также оказывается полезным.
Применения модулей в теории групп не сводятся к изучению расши-
расширений. Работая с модулями над групповыми кольцами, мы фактически
4
имеем дело с представлениями групп. Известно, что свойства представ-
представлений теснейшим образом связаны со свойствами самих групп. Другой
важный пример даёт алгебраическая теория чисел, где модули возника-
возникают в связи с действием группы Галуа на аддитивной и мультипликатив-
мультипликативной группе поля. И в вопросах связанных с расширениями, и в теории
представлений, и в алгебраической теории чисел существенную роль иг-
играют когомологии соответствующих групп. Видимо, они — естественный
и неизбежный спутник любой теории, в которой используются модули
над групповыми кольцами.
§ 4. Два примера
Говорят, что группа удовлетворяет условию максимальности для нор-
нормальных подгрупп, если любая строго возрастающая последовательность
ее нормальных подгрупп конечна. Это эквивалентно тому, что любая нор-
нормальная подгруппа совпадает с нормальным замыканием конечного числа
элементов.
Теорема 4.1. Конечно порождённая метабелева группа удовлетворя-
удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп. С точностью
до изоморфизма существует лишь счётное множество конечно поро-
порождённых метабелевых групп.
Доказательство. Пусть в расширении A.2) группы А и С абелевы,
а группа С конечно порождена. Можно считать, что А = С . Из уело-
§4. Два примера 25
вия следует, что ЪО — конечно порождённое коммутативное кольцо. По
теореме Гильберта о базисе оно нётерово, то есть удовлетворяет условию
максимальности для идеалов ([4], следствие 7.7). Коммутант порожда-
порождается как нормальная подгруппа коммутаторами от образующих, поэтому
А — конечно порождённый 2С-модуль. Пусть N — нормальная подгруппа
в С. Тогда N П А — конечно порождённый 2С-модулем (как подмодуль
конечно порождённого модуля над нётеровым кольцом). Это означает,
что N П А — нормальное замыкание конечного числа элементов. Так как
N/NAА = МА/А — конечно порождённая абелева группа, то и N — нор-
нормальное замыкание конечного числа элементов, что доказывает первую
часть теоремы. Докажем вторую часть. Любую метабелеву группу, ко-
которая порождается к элементами, можно представить как факторгруппу
свободной метабелевой группы Ф ранга к, поэтому достаточно доказать,
что Ф имеет счётное число нормальных подгрупп. Но, как мы уже знаем,
каждая нормальная подгруппа группы Ф порождается конечным числом
элементов, а число элементов в Ф, очевидно, счётно. □
Второй пример — это критерий аппроксимируемости метабелевых
групп нильпотентными. Пусть X — некоторый класс групп. Говорят, что
группа С аппроксимируется группами из X, если для любого неединич-
неединичного элемента д е С существует группа ЯбД'и гомоморфизм /: С —» Н
такой, что /(#) ф 1. Если Л' —класс всех конечных групп, то говорят о
финитно аппроксимируемых группах. Они появились в связи с попытка-
попытками решения алгоритмических задач для фундаментальных групп тополо-
топологических пространств. В качестве X часто рассматривался также класс
конечных р-групп, нильпотентных групп без кручения и всех нильпотент-
ных групп. Очевидно, образ элемента д Е С в некоторой нильпотентной
группе нетривиален тогда и только тогда, когда д ^ 7п(С?) для некоторо-
некоторого п, поэтому аппроксимируемость группы С нильпотентными группами
эквивалентна тому, что Пп^п(С) = 1. Мы собираемся сформулировать
критерий нильпотентной аппроксимируемости конечно порождённой ме-
метабелевой группы на языке уравнений.
Пусть у(х, х\,..., хп) — некоторое групповое слово, то есть элемент
свободной группы на свободных образующих х,х\,... ,жп. Фиксируем
группу С и элементы с\,..., сп Е С. Уравнением
у(х,С1,...,Сп) = 1 A.3)
в группе С будем называть задачу о нахождении элементов д е С таких,
что у(д, с\,..., сп) = 1. Таким образом, х — это неизвестная, а сх,..., сп
играют роль констант. Уравнение A.3) может не иметь решений в груп-
группе С, а если решение есть, то оно не обязано быть единственным. Будем
26 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
обозначать через а(у) сумму показателей, с которыми неизвестная х вхо-
входит в уравнение.
Теорема 4.2. Конечно порождённая метабелева группа аппроксими-
аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда лю-
любое уравнение A.3), в котором а(у) = 1, имеет в ней не более одного
решения.
Доказательство. Если группа, в которой ищется решение, абелева,
то в уравнении A.3) можно «привести подобные члены», после чего оно
перепишется в виде х = с (напомним, что а(у) = 1). Таким образом,
в абелевой группе такие уравнения имеют ровно одно решение. Очевид-
Очевидной индукцией по классу нильпотентности это утверждение можно рас-
распространить на нильпотентные группы. Пусть группа аппроксимируется
нильпотентными. Докажем, что каждое уравнение A.3) также имеет в
ней не более одного решения. Действительно, если д и д' — два различ-
различных решения, то д~1д' ф 1, но тогда образ элемента д~1д' при некотором
гомоморфизме в нильпотентную группу также отличен о*г 1, что дает два
различных решения в нильпотентной группе. Тем самым, в одну сторону
теорема верна без предположений о том, что группа конечно порождена
и метабелева.
Докажем теорему в обратную сторону. Для этого рассмотрим рас-
расширение A.2), в котором группы А и С абелевы, а группа С конечно
порождена. Если а € А, то [а, д] = а~1д~1ад = аР~1, или в аддитивной
форме [а,д] = а(д — 1), поэтому [Д С] = А Ас. Итерируя, получим
п раз
Так как С С АС С, то отсюда следует, что
и, значит,
С]1п(С) = [)ААЪ. A.4)
П П
По теореме Крулля о пересечении ([4], теорема 10.17) для любого идеала
/ коммутативного нётерового кольца К и любого конечно порождённого
Я-модуля М
М 1п — {а е М | а{\ + г) = 0 для некоторого г е /}. A.5)
п
§4. Два примера 27
Так как ЪС — коммутативное нётерово кольцо, то, беря / =
М = А и учитывая равенство A.4), получим
1п(О) = {а Е А | аA + г) = 0 для некоторого г е Ас}- A-6)
п
Нам надо доказать, что если в группе С любое уравнение A.3) с а(у) = 1
имеет не более одного решения, то
аA + г) = 0 => а = О (а е А, г € Ас),
или в мультипликативной форме
а1+г = 1 =ф а = 1.
Пусть а1+г = 1, где г = ]Г™ /ад Е Ас- Положим
п
-1^
' 5 15***5 ТХ) II 1
1
где сг — прообразы элементов д{ в С. Так как <т(г;) = 1 + ^Лг = 1, то
соответствующее уравнение A.3) по условию должно в С иметь не более
одного решения. Так как *;(а, сх,..., сп) = а1+г = 1, то ж = а — решение.
Очевидно, что х = 1 — также решение, поэтому а = 1. □
В теоремах 4.1 и 4.2 мы ограничились метабелевыми группами по
той причине, что в обоих случаях всё сводится к использованию хорошо
известных результатов коммутативной алгебры. На самом деле, обе тео-
теоремы допускают обобщения. Мы вкратце обсудим их без доказательства.
Группа С называется полициклической, если в ней есть конечный ряд
1 — Но С Н\ С ... С Нп-\ С Нп = С,
такой, что #й — нормальная подгруппа в Нь+\ и Н^\/Н^ — цикличе-
циклические группы. Рассуждая примерно так же, как при доказательстве те-
теоремы Гильберта о базисе, можно доказать, что групповое кольцо ЪС
такой группы нётерово, то есть удовлетворяет условию максимальности
для правых (соответственно, левых) идеалов. Теорема 4.1 справедлива
для любой конечно порождённой группы, которая является расширением
полициклической с помощью абелевой. Можно даже полициклические
группы заменить на почти полициклические, допустив среди факторов
Нь+г/Нь любые конечные группы. Эти результаты, ставшие уже класси-
классическими, принадлежат Ф. Холлу [69].
28 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Можно обобщить и теорему Крулля о пересечении. Именно, пусть
К — нётерово (не обязательно коммутативное) кольцо, и пусть / — его
двусторонний полицентральный идеал, то есть идеал допускающий си-
систему образующих 7*1,...,г^ такую, что тп принадлежит центру кольца
Я, а при к < п гь принадлежит центру факторкольца по идеалу, поро-
порождённому г^+1,..., гп. Тогда для любого конечно порождённого Я-модуля
М справедливо равенство A.5). Этот факт был доказан Габриэлем и
Нуазье [54], которых интересовал случай, когда Я —универсальная обер-
обертывающая конечномерной нильпотентной алгебры Ли (можно доказать,
что тогда любой двусторонний идеал полицентрален). Возьмём в качестве
Я групповое кольцо конечно порождённой нильпотентной группы. Такая
группа С полициклична, поэтому кольцо К нётерово. Его фундаменталь-
фундаментальный идеал, очевидно, полицентрален, следовательно для него имеет место
теорема о пересечении. Пользуясь этим, можно обобщить теорему 4.2 на
конечно порождённые группы, которые являются расширениями ниль-
потентных с помощью абелевых. Некоторые дополнительные сведения
приведены в упражнениях. Теорема 4.2 и её обобщения были получены
автором [30], [33].
Упражнения
1. Рассмотрим расширение A.2), в котором группа А не обязательно абеле-
ва, и пусть С = 2(А) — центр группы А. Сопряжение определяет на С
структуру С-модуля. Что можно сказать об этом модуле, если группа С
удовлетворяет условию максимальности для нормальных подгрупп?
2. Пусть А — свободная нильпотентная группа класса 2 со свободными обра-
образующими ип (п е Ъ), и пусть группа С получается из А присоединением
элемента х, который действует на образующие ип по формуле х~1ипх —
= ип+\. Докажите, что С — разрешимая группа ступени 3 с двумя образу-
образующими, которая не удовлетворяет условию максимальности для нормаль-
нормальных подгрупп. (Указание: используя то, что центр С группы А — свободная
абелева группа со свободными образующими [ит,ип} (т > п), докажите,
что С —свободный модуль со свободными образующими [иь,ио] (к > 0),
то есть модуль С не удовлетворяет условию максимальности.)
3. Пусть X — некоторый класс групп, замкнутый относительно конечных
прямых произведений. Докажите, что если группа аппроксимируется груп-
группами класса X, то для любых различных элементов д\,.-.,дп € С суще-
существует гомоморфизм /: С —> Я е X такой, что элементы /(ш),..., /(#п)
различны.
4. Покажите, что пересечение членов нижнего центрального ряда конечно
§5. Расщепляющиеся расширения 29
порождённой метабелевой группы совпадает с множеством решений урав-
уравнений вида
X — I I \Х, Сг\.
г
(Указание: воспользуйтесь равенством A.6).)
5. Докажите, что конечно порождённая метабелева группа аппроксимирует-
аппроксимируется нильпотентными группами без кручения (конечными р-группами) тогда
и только тогда, когда любое уравнение A.3), в котором а(у) ^ 0 (соответ-
(соответственно, <т(г>) не делится на р) имеет в ней не более одного решения. (Ука-
(Указание: используйте теорему Крулля для коммутативной нётеровой алгебры
С^С (соответственно для алгебры Ъ^С, где 2(р) — кольцо, состоящее из
рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на р).)
6. Выведите из предыдущего упражнения, что если конечно порождённая
метабелева группа аппроксимируется конечными р-группами для любого
р из некоторого бесконечного множества простых чисел, то она аппрок-
аппроксимируется нильпотентными. группами без кручения. (Верно и обратное,
более того, конечно порождённые нильпотентные группы без кручения
аппроксимируются конечными р-группами для любого простого р).
7. Используя замечания, сделанные в конце параграфа, обобщите упражне-
упражнения 4-6 на случай конечно порождённых групп, которые можно предста-
представить как расширения нильпотентных групп с помощью абелевых.
8. Предположим, что в группе С уравнения A.3), в которых а(у) — 1, имеют
не более одного решения (например это так, если С аппроксимируется
нильпотентными группами). Докажите, что группа С в расширении 1.2
обладает этим же свойством тогда и только тогда, когда С-модуль А удо-
удовлетворяет условию
а1+г = 1 => а = 1 (а е А, г е Дс).
(Указание: пусть е: ЪС —> Ъ — пополняющий гомоморфизм; индукцией по
длине слова V докажите, что если р,сх,... ,сп € С, то
у(да,си...,сп) = г>(#,сь...,сп)а5, где 5 е ЪС, ф) = а(у).)
§ 5. Расщепляющиеся расширения
Предположим, что задана группа С и некоторый С-модуль А. Напомним,
как строится полупрямое произведение СА, соответствующее модулю А.
По определению СА порождается группами С и А, причем С действует
на А сопряжениями так же, как С действует в модуле А
СА = (С, А | д~1ад = а9 (д€С,а€ А)). A.7)
30 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Более формально, полупрямое произведение можно определить как груп-
группу, состоящую из пар (#, а), где д е С, а б А, которые перемножаются по
формуле
E1,01X52,02) = {д1д2,а912а2).
Нетрудно проверить, что эта операция ассоциативна и для каждого эле-
элемента существует обратный. Из определения, очевидно, следует, что пары
вида (д, 1) образуют подгруппу изоморфную С, пары A, а) — подгруппу
изоморфную А, причём последняя подгруппа нормальна и
Благодаря этим изоморфизмам можно упростить обозначения
E,1) = 5, A,а)=а, (д,а) = да,
и мы приходим к первоначальному определению A.7). Из построения
следует, что СП Л = 1. Подгруппу С называют дополнением к нормальной
подгруппе А. Очевидно, отображение да —> д задаёт эпиморфизм С А —■>
—■> С, ядро которого совпадает с А, то есть С А — расширение группы С
с помощью А.
Во втором параграфе для любой абелевой группы А мы ввели индуци-
индуцированный и коиндуцированный модули: А®ЪС и НотBС,А). Соответ-
Соответствующие полупрямые произведения называются дискретным и полным
сплетением групп А и С и обозначаются
Эти конструкции используются в теории расширений и мы к ним ещё
вернёмся.
Пусть снова А — произвольный С-модуль. Рассмотрим расширение
A.8)
(предполагается, что сопряжение согласовано со структурой С-модуля).
Определение 5.1. Расширение A.8) называется расщепляющимся, ес-
если существует мономорфизм *у: С —> С, композиция которого с эпи-
эпиморфизмом а равна тождественному отображению
В этом случае ч(С) П /л(А) = 1 и любой элемент группы С можно един
ственным образом представить в виде 7E)^@), где д б С, а б А, следо
вательно, Е — полупрямое произведение групп С и А. Вложение 7 и До
полнительная подгруппа определены, вообще говоря, неоднозначно.
§5. Расщепляющиеся расширения 31
Вопрос о том, расщепляется ли данное расширение, может оказаться
отнюдь не простым. Ответ зависит как от группы С, так и от модуля А.
В § 1.8 мы рассмотрим два классических примера, а сейчас отметим лишь
следующий очевидный факт.
Предложение 5.2. Любое расширение свободной группы С расщепля-
расщепляется.
Действительно, рассмотрим расширение A.8) в котором группа А не обя-
обязательно абелева. Пусть Х{ (г Е /) —свободные образующие группы С
и уг — их прообразы в группе С. Отображение х% —► уг продолжается до
гомоморфизма 7: С -* С. Так как а{^{хг)) = Х{, то а^ = Ыс. □
Известная теорема Столлингса—Суона [59], [61] утверждает, что вер-
верно и обратное, при этом достаточно потребовать, чтобы расщеплялись
расширения с абелевым ядром.
Упражнения
1. Что можно сказать о полупрямом произведении, если дополнительная под-
подгруппа нормальна?
2. Опишите расширения бесконечной циклической группы с помощью бес-
бесконечной циклической группы,
3. Пусть Ф —свободная метабелева группа ранга 2. Докажите, что Ф7 —сво-
—свободный циклический модуль над групповым кольцом группы С — Фаь-
(Указание: если х и у — свободные образующие группы Ф, то Ф'— цик-
циклический С-модуль с образующим [хчу]\ в том, что это свободный цик-
циклический модуль, можно убедиться, рассматривая гомоморфизм группы Ф
в полупрямое произведение С А, где А — произвольный модуль без круче-
кручения (например, А —
4. Пусть А — абелева группа. Докажите, что для любого действия группы
С на А полупрямое произведение СА содержится в полном сплетении
(Указание: воспользуйтесь следствием 2.5.)
5. Пусть С и А — произвольные группы (А — не обязательно абелева). Пред-
Предположим, что задан гомоморфизм ф: С —> АиЬА, то есть С действует на А
автоморфизмами. Определите полупрямое произведение С А, соответству-
соответствующее этому действию. (Указание: С А — (С, А \ д~1ад — ф(д)(а)}.)
6. Определите дискретное и полное сплетение Л^гС, А\УгС для произ-
произвольных групп А и С. (Указание: используйте прямое и полное декартово
произведение групп А(д) изоморфных А (д е С).)
7. Обобщите упражнение 4 на случай произвольной группы.
32
Глава I. Расширения с абелевым ядром
§ 6. Эквивалентность расширений
Разумеется, существуют нерасщепляющиеся расширения. Например, ес-
если бы расщеплялись все центральные расширения, то любая нильпотент-
ная группа была бы абелевой. С точки зрения теории расширений расщеп-
расщепляющиеся расширения — это тривиальный случай, хотя на самом деле их
изучение включает в себя всю теорию модулей над групповыми кольцами.
Фиксируем группу С и С-модуль А. Как дать описание всевозмож-
всевозможных расширений группы С с помощью модуля А? Прежде всего надо
договориться о том, какие расширения следует считать одинаковыми.
Определение 6.1. Два расширения
(г = 1,2)
называются эквивалентными, если существует изоморфизм
/: С\ —> С?2, такой, что диаграмма
1
1
А -*
[гЛа \_!
А -» С2
С
а
с
1
1
коммутативна.
Подчеркнём, что вертикальные стрелки справа и слева должны быть тож-
тождественными отображениями. Это означает, что при задании расширения
существенно, каким образом С-модуль А отождествляется с нормальной
подгруппой, а группа С с факторгруппой. Поясним это на примере.
Для любого целого п рассмотрим группу Сп, заданную образующими
и определяющими соотношениями
Уп->
Уп\ =
Элемент гп лежит в центре, а факторгруппа Сп/(гп) — свободная абелева
группа ранга 2. Легко видеть, что гп имеет бесконечный порядок. Это,
например, следует из матричного представления группы Сп, при котором
образующие хп,уп,гп соответствуют матрицам
' 1
0
, 0
1
1
0
0 \
0
1 )
( 1
0
, 0
0
1
0
°\
1
1/
/ 1
0
1о
0
1
0
1/п
0
1
§6. Эквивалентность расширений 33
Пусть С —свободная абелева группа со свободными образующими #, к
и пусть А — бесконечная циклическая группа с образующим а. Группы
Сп определяют расширения
п
где /лп(а) = гп, <7п(хп) = д, ап(Уп) = Ъ. Очевидно, Ео — расщепляющееся
расширение. Если п ф О, то Сп/С'п — прямое произведение свободной
группы ранга 2 и циклической группы порядка |п|, поэтому, при т ф ±п
группы Сп, и Ст не изоморфны и расширения Еп и Ет не эквивалентны.
Рассмотрим случай т = —п. Из определяющих соотношений следует, что
отображение
Хп >• Х—п уп > У % > %
продолжается до изоморфизма /: Сп -+ С-п. Однако этот изоморфизм не
является эквивалентностью расширений Еп и Е-п, так как коммутативна
лишь диаграмма
А ^ Сп Л С -►
[г I/ [Ыс A.9)
где г (а) = а. Можно попробовать сделать / эквивалентностью, вводя
поправки
/(хп) = х-пс, /(уп) = у-пй, (с,A € (г-п))-
Однако независимо от с и с?
= Н[хтУп]) = [х-пС, У-пй] = [х-п,у-п] = г1%,
то есть заменить г на тождественное отображение Мл невозможно. Итак,
при п ф 0 расширения Еп и Е-п не эквивалентны. Читатель, может быть,
знает, что классы эквивалентных расширений образуют абелеву группу
(мы подробно разберём этот вопрос чуть позднее). Можно убедиться, что
в нашем примере Еп ■+- Еш = Еп+т. Если в определении эквивалентных
расширений не требовать, чтобы отображение А —► А в соответствующей
коммутативной диаграмме было тождественным, то Еп и Е-п были бы
эквивалентны. Неэквивалентные расширения сводятся тогда к расшире-
расширениям Еп, где п^Ои группы не получается. По этой причине разумным
определением является то, которое было сформулировано выше.
34 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Упражнения
1. Докажите, что с точностью до эквивалентности расширениями Еп исчер-
исчерпываются все центральные расширения свободной абелевой группы ранга
2 с помощью бесконечной циклической группы.
2. Постройте изоморфизм /: Сп —> С_п, для которого коммутативна диа-
диаграмма типа диаграммы A.9), где левое вертикальное отображение равно
у а правое меняет местами свободные образующие.
3. Покажите, что среди расширений циклической группы порядка р с по-
помощью циклической группы порядка р имеется ровно р неэквивалентных.
Одно из них — это прямое произведение, а во всех остальных соответству-
соответствующая группа С изоморфна циклической группе порядка р2.
4. Используем обозначения определения 6.1. Расширения Е\ и Е назовём
слабо эквивалентными, если существует изоморфизм /: С\ —> (?2> для ко-
которого коммутативна диаграмма типа 6.1, где, однако, левое вертикальное
отображение не обязательно тождественное. Докажите, что имеется два
класса слабой эквивалентности расширений циклической группы порядка
р с помощью циклической группы порядка р.
§7. Автоморфизмы
Рассмотрим произвольное расширение с абелевым ядром
Е:
Будет удобно отождествить А с нормальной подгруппой в С, а фактор-
факторгруппу О/А — с группой С. Пусть Аи!-Б —группа автоморфизмов рас-
расширения Е. По определению она состоит из автоэквивалентностей, то
есть из автоморфизмов /: С —► С, которые действуют тождественно на А
и в факторгруппе С. Отметим, что Ап1Е содержит группу 1ппЕ внутрен-
внутренних автоморфизмов, соответствующих элементам а Е А. Докажем прежде
всего, что Аи! 1? —абелева группа. Если / Е АиЬЕ, то для любого д Е
Е С /(д) = ~да, где а Е А. Так как / действует на А тождественно, то эле-
элемент а зависит только от смежного класса д = 'дА, то есть /(<?) = 'дф(д)
для некоторой функции ф: С —► А. Композиции автоморфизмов соответ-
соответствует произведение функций. Так как их область значений А — абелева
группа, то произведение не зависит от порядка. Если / Е 1пп^, то
= а~1да = д[д, а] = да1'9 (авА),
то есть ф{д) = ах~9, или в аддитивной форме ф{д) = а{1 — д).
§ 7. Автоморфизмы 35
Пусть, например, С = Р(Х) — свободная группа с множеством сво-
свободных образующих X. Тогда Е — расщепляющееся расширение, то есть
С = СА. Автоморфизм, действующий тождественно на Л, определяется
значениями на множестве X. Пусть /(ж) = хф(х) (х Е I). Так как груп-
группа Р свободна, то функцию ф: X —► А можно выбрать произвольно, то
есть группа кх&Е изоморфна группе функций Т(Х,А). Подгруппа ЫпЕ
состоит из функций фа (а б А) таких, что фа{хг) = аA — Хг).
Пусть снова Е — произвольное расширение, / б Аи! Е и /((/) = ~дф{д),
где ф: С —> А. Тот факт, что / — автоморфизм, накладывает некоторое
ограничение на функцию ф. Именно, равенство /E152) ~ /E1)/(Рг) озна~
чает, что
то есть
Ф(9192) = Ф(дг)92
«
или, в аддитивной форме,
= Ф{9\)92 + Ф{92)- A.10)
Наоборот, если это равенство выполнено, то отображение /: С —* С,
определённое равенством /(р) = ~дф{д) будет автоморфизмом. Функции ф,
удовлетворяющие равенству A.10) называются (правыми) дифференциро-
дифференцированиями группы С со значениями в С-модуле А. Множество всех диф-
дифференцирований обозначим Бег(С, А). Дифференцирования вида фа(д) =
= а{\ — д) называются главными. Сформулируем полученный результат.
Предложение 7.1. Для любого расширения Е
Аи! Е^ Бег (С, А),
при этом внутренним автоморфизмам соответствуют главные диф-
дифференцирования д —> а{\ — д) (д 6 С, а € А).
Из доказанного предложения следует, что группа автоморфизмов рас-
расширения зависит только от группы С и модуля А. При фиксированных
С и А одинаковые группы Аи! .Б имеют даже те расширения, в кото-
которых соответствующие группы С не изоморфны. Отметим особо случай
центральных расширений.
Следствие 7.2. Если расширение Е центрально, то
36 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Достаточно доказать, что Вег(С,А) = Нот(Саь, А). Для тривиального
С-модуля А условие A.10) означает, что ф — гомоморфизм ф: С —► А. Так
как его область значений абелева, то ф определяет гомоморфизм
Естественно считать, что подгруппа ЪтЕ С Ам1Е составляет про-
простейшую, тривиальную часть группы Аи! Е. Мерой их различия служит
группа классов автоморфизмов
АиЬЕ/ЫпЕ.
Группу Бег(С, А) называют также группой одномерных коциклов со зна-
значениями в Аи обозначают 21(С, А). Группу главных дифференцирований
называют группой одномерных кограниц и обозначают В1(С, А). Верх-
Верхний индекс соответствует тому, что эти группы описываются в терми-
терминах функций, зависящих от одного аргумента. Наконец первая группа
когомологий Н1{С, А) группы С с коэффициентами в А определяется
равенством
Н\С,А) = 2\С,А)/В\С,А).
Предложение 7.1 означает, что Н1{С,А) интерпретируется также, как
группа классов автоморфизмов. Для центральных расширений
Я1 (С, А) ^ Аи* Е ^ Нот (СаЬ, А).
Предположим, что расширение Е расщепляется, то есть рассмотрим по-
полупрямое произведение С А. Если / б АиЬЕ, то образ /(С?) дополнитель-
дополнительной подгруппы С также будет дополнительной подгруппой. Наоборот,
элементы любой дополнительной подгруппы имеют вид да, где д € С
и отображение д —► да продолжается до автоморфизма тождественно-
тождественного на А. Отсюда вытекает, что дополнения к нормальной подгруппе А
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы
Аи! Е, а классы сопряжённых дополнений — с элементами её факторгруп-
факторгруппы НХ{С,А) = АпЬЕ/ЫпЕ. Группа Н1(С,А) тривиальна тогда и только
тогда, когда все дополнения сопряжены. Рассмотрим пример.
Предложение 7.3. Для расширения Е, ядро которого — коиндуциро-
ванный модуль, имеет место равенство Аи! Е = 1пп^, то есть в пол-
полном сплетении Л\УгС все дополнения сопряжены.
Доказательство. Нам надо доказать, что любое дифференцирование
ф: С —► НотBС, А) является главным, то есть ф(д) = а о A — д) для
§ 7. Автоморфизмы 37
некоторого гомоморфизма а: ЪС —■> А (мы использовали о для обозначе-
обозначения действия, чтобы не спутать 1 — д с аргументом гомоморфизма). Так
как ф(д) е НотBС, А), то ф{д)(д') б Л для любого д' б С Положим по
определению а(р) = 0(</)A). Пользуясь тем, что ф — дифференцирование,
имеем
(а о A - д))(д>) = а(д') - а(дд') = ф(д')A) - ф(дд')A) =
= Ф(д')A) - (ФШ№) - Ф(д'Ш) = -ФШ)-
Остается исправить знак, заменив а на —а. □
Предложение 7.1 можно сформулировать иначе. Любая функция
ф: С —> А продолжается по линейности на групповое кольцо ЪС. Легко
видеть, что если ф Е Бег(С, Л), то соответствующее продолжение (кото-
(которое мы обозначим той же буквой) удовлетворяет равенству
ф(гг) = ф(г)г + е(г)ф{1), (г, * € ЪС)
«
где е — пополняющий гомоморфизм. Если г б Ас, то ф{г1) = ф{гI, то
есть ограничение ф на Дс — гомоморфизм С-модулей. Из равенства A.10)
при #2 = 1 следует, что фA) = 0, поэтому функция 0 однозначно опреде-
определяется своим ограничением на Дс следовательно,
Бег(С, Л) ^ Нотс(Дс, А).
Если 0(#) = аA — д) — главное дифференцирование, то продолжение ф
на ЪС имеет вид ф{г) = а(г(г) — г), а для г € Дс Ф(т) — —аг. От знака
можно избавиться, заменив а на —а. Подведём итог.
Предложение 7.4. Для любого расширения Е
при этом внутренние автоморфизмы соответствуют главным гомо-
гомоморфизмам г —> аг (г Е Дс, а €
Пример 7.5. Есуш Р — свободная группа со свободными образующими
Х{ (г б /), то Ар — свободный Р-модуль со свободными образующими
Действительно, пусть А — произвольный .Р-модуль и а^ Е Л (г Е /).
В полу прямом произведении РА отображение Хг —■> х^а^, продолжается
до автоморфизма тождественного на А. Ему соответствует гомоморфизм
Ар —■> Л, при котором \ — Хг переходит в а^ □
Рассмотрим теперь случай, когда группа С конечна.
38 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Предложение 7.6. Если С — конечная группа порядка п, то группа
Н1(С,А) имеет конечную экспоненту, которая делит п.
Доказательство. Нам надо доказать, что если ф е
то пф — главный гомоморфизм, то есть пф(г) — аг для некоторого а Е А.
В случае конечной группы определён элемент
дес
Очевидно, ад = да = а для любого элемента д б С, то есть а — непо-
неподвижная точка правого и левого регулярного действия группы С. Если
г б Дс> то аг = 0. Положим а = 0(п — <т). Тогда
аг = ф(п — <т)г = ф(пг — аг) — ф(пг) = пф(г). □
Будем говорить, что в абелевой группе Л можно делить на п, если
для любого а & А существует единственный элемент'с б Л такой, что
пс = а.
Следствие 7.7 (Цассенхауз). Если в расширении Е группа С конечна
порядка п, а в аддитивной группе модуля А можно делить на п, то
Аи! Е — 1пп2?, то есть в полупрямом произведении С А все дополнения
сопряжены.
Доказательство. Обозначим через Ас множество инвариантов мо-
модуля А, то есть множество неподвижных точек действия группы С. В
абелевых группах А и Ас можно делить на п, откуда вытекает, что
делить на п можно и в группе \хтЕ = А/А°. Как следует из предложе-
предложения 7.4, делить на п можно также в группе Аи! Е, но тогда то же самое
верно и для факторгруппы АиЬЕ/1ппЕ. С другой стороны, по предложе-
предложению 7.6 эта группа аннулируется умножением на п, поэтому она должна
быть тривиальна. □
Следствие 7.7, например, применимо, когда А— линейное простран-
пространство над полем характеристики 0 или когда аддитивная группа модуля А
периодическая и порядки её элементов взаимно просты с п.
Что можно сказать о дополнениях, если ядро расширения А не обя-
обязательно абелева группа? Приведём без доказательства следующий заме-
замечательный результат.
Теорема 7.8. В полупрямом произведении двух конечных групп взаим-
взаимно простых порядков все дополнительные подгруппы сопряжены.
§ 7. Автоморфизмы 39
Если нормальная подгруппа А разрешима, то сопряжённость дополне-
дополнений легко получается индукцией по ступени разрешимости (основанием
индукции служит следствие 7.7). Для случая, когда разрешима подгруп-
подгруппа С, теорема 7.8 была доказана Чунихиным [74]. Но если группы А и С
имеют взаимно простой порядок, то одна из них разрешима, так как по
теореме Томпсона—Фейта разрешима любая конечная группа нечётного
порядка.
Упражнения
1. Пусть А — нормальная подгруппа группы С (не обязательно абелева). По-
Покажите, что если / — автоморфизм группы С, действующий тождествен-
тождественно на А, то / действует тождественно в факторгруппе по централиза-
централизатору С/С(А). (Указание: если д е С, а е А, то д~1ад — /{д~гад) —
2. Покажите, что группа автоморфизмов Аи1Е любого расширения абелева.
(Указание: если / е АиЪЕ1,.™, как следует из предыдущего упражне-
упражнения, / действует тождественно в С/АГ)С(А) и на АГ\С(А), что сводит
доказательство к случаю расширения с абелевым ядром.)
3. Предположим, что в группе С фиксирован некоторый ряд 5, состоящий
из нормальных подгрупп
Обозначим Аи!: 5 группу автоморфизмов группы С, которые индуцируют
тождественное отображение в факторах Сь/Сь+1 {к — 0,..., п). Обобщая
предыдущее упражнение, докажите, что группа АиЪ 5 нильпотентна клас-
класса < п. (Указание: из индуктивных соображений достаточно проверить,
что автоморфизм / е АиЬЗ, который действует тождественно в С/Сп и на
С\ принадлежит центру группы Аи*; 5.)
4. Докажите, что если в расширении Е С-модуль А не имеет кручения, то
любой автоморфизм группы С, действующий тождественно на А, действу-
действует тождественно и в факторгруппе С. (Указание: воспользуйтесь упраж-
упражнением 1.)
5. В связи с расширением Е кроме группы АиЬЕ естественно также рас-
рассмотреть группу АиЬсС, состоящую из всех автоморфизмов группы С,
действующих тождественно в факторгруппе С. Покажите, что группа
АиЬЕ нормальна в Аи1сС, а соответствующая факторгруппа вкладыва-
вкладывается в группу Аи^сА автоморфизмов С-модуля А. Если расширение рас-
расщепляется, то имеет место точная последовательность
1 -> Аи!; Я -> Аи!^С -> Аи!;^ -> 1,
которая также расщепляется.
40 Глава I. Расширения с абелевым ядром
6. Пусть /: С —> С — автоморфизм группы С такой, что /(А) = А, и пусть
ф € Бег(С, А). Проверьте, что если отображение /*ф определено равен-
равенством (/*Ф){д) — НФA~1(д))), то /*ф е Бег(С, А) и соответствие ф —>
—> /*ф индуцирует автоморфизм
Г:Н\С,А)-*Н1{С,А).
Докажите, что если / = ах — внутренний автоморфизм, соответствующий
некоторому элементу х € С, то а* — тождественное отображение. (Указа-
(Указание: а^ф и ф отличаются на главное дифференцирование, соответствующее
элементу а — ф(х)).
7. Пусть С — (д) — циклическая группа порядка 2, которая действует на абе-
левой группе А инверсно: д~гад — а (а е А). Покажите, что Н1(С, А) =
8. Предположим, что в расширении Е с абелевым ядром А факторгруппа
— (д) — циклическая порядка п. Докажите, что
Е 9* (а е А | аA + д + • • • + дп~г) = 0), 1ппЕ ^ А{\ - д).
9. Пусть Ь Э К — конечное расширение Галуа. Рассмотрим аддитивную
группу Ь+ как модуль над группой Галуа С этого расширения. Тогда
Нг(С,Ь+) = 0. (Указание: по теореме о нормальном базисе (см.упражне-
(см.упражнение 7 к §2) Ь+ — коиндуцированный модуль.) Отметим, что это упражне-
упражнение допускает обобщение на группы когомологий больших размерностей.
10. Пусть СГ(рп) — поле из рп элементов. Как известно, группа его автомор-
автоморфизмов циклическая порядка п. Её образующим является автоморфизм
Фробениуса <р: а —> ар. Отображение Т: а —> а + ар Н \- оРп называ-
называется следом. Образ Т(а) любого элемента а инвариантен относительно ур,
и следовательно, принадлежит простому подполю 2Р. Докажите, что если
р и п взаимно просты, то
КегГ = {а - а? \ а € СГ(рп)}
(Указание: воспользуйтесь двумя предыдущими упражнениями.)
11. Пусть Ь Э К — конечное расширение Галуа. Рассмотрим мультиплика-
мультипликативную группу Ь* как модуль над группой Галуа С этого расширения.
Ниже приводится доказательство того, что группа Н1(С,Ь*) тривиальна.
Восстановите его детали.
Пусть /: С —> Ь* —дифференцирование. В мультипликативной форме это
означает, что /(д1г) — /(д)н/(^) {д-> к € С). Нужно доказать, что / — глав-
главное дифференцирование, то есть, что существует элемент а € Ь* такой,
что 1(д) = а/а9. Пусть х € Ь и пусть а = ^2с 1(9г)х9г- Проверьте, что для
любого д е С имеет место равенство /(д)а9 — а. Осталось доказать, что
а ф 0 для некоторого х е Ь. Воспользуйтесь леммой Артина о линейной
независимости характеров (см. [47] гл. 8, §4):
§8. Группа расширений 41
если 8 — произвольная полугруппа и Хг '• О —> Ь* — различные гомомор-
гомоморфизмы, то они линейно независимы над Ь.
Возьмите в качестве *§ группу I/*, а в качестве Хг автоморфизмы д{ Е С.
Это упражнение нельзя обобщить на группы когомологий больших раз-
размерностей. В частности, вторая группа когомологий Я2(С, Ь*) может быть
нетривиальна. Её изучение связано с группой Брауэра основного поля К
и теорией центральных простых алгебр.
12. Сформулируйте мультипликативный вариант упражнения 10. (Указание:
вместо следа Т(а) надо рассмотреть норму N@) = аар ... аР™ ).
13. Докажите обобщения упражнений 10 и 12 на произвольное расширение
с циклической группой Галуа (они известны как «теорема Гильберта 90».)
§ 8. Группа расширений
Снова фиксируем С-модуль А и рассмотрим расширение
Е:
Если оно расщепляется, то существует отображение С —* С, образ ко-
которого—дополнительная к А подгруппа. В любом случае мы можем для
каждого элемента д Е С выбрать некоторый его прообраз ^ Е С. Отоб-
Отображение д —► ~д называют системой представителей, или трансверсалью.
Это биекция группы С на некоторое подмножество в С, которое, вооб-
вообще говоря, не является подгруппой. Можно лишь утверждать, что для
любых д\, #2 € С
9192 = ШJа, гДе а€А.
Поправка а зависит от д\ и #2, поэтому выбору системы представителей
соответствует отображение
к: СхС^А.
Его называют системой факторов расширения. Можно нормировать си-
систему представителей условием 1 = 1. Тогда НA,д) = Н(д,1) = 0 для
любого д Е С. Очевидно, расширение расщепляется тогда и только тогда,
когда существует система представителей, для которой /1(^1,^2) — 0 при
любых р1,р2 Е С. Закон ассоциативности (#1#2)#з = #1(#2#з) накладыва-
накладывает на к некоторое ограничение
(9192)93 =
= 9Т929зН9192,9з)к(дъд2)93 =
42 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
поэтому
В аддитивной форме это равенство перепишется в виде
Ч9ъ92)9з ~ Ь>(9ъ929з) + Ъ>(9192,дз) ~ К92,9з) = 0. A.12)
Предположим, что мы выбрали другую систему представителей д —> ~д.
Тогда 'д = ~д<р(д) для некоторой функции ср: С —+ А и
= 9192^(9192)' К9ъ92)ф(д1)д2у(92).
Таким образом, при изменении системы представителей на функцию
(р: С—* А (она может быть выбрана произвольно) к системе факторов
Н добавляется функция 6(р: О х С —■» Л, где
«
= Ч>(91)92 ~ Ч>(9192) + рШ- A-13)
Функции Н: СхС —> А, удовлетворяющие условию A.12), называют дву-
двумерными коциклами. Они образуют группу, которая обозначается
22(С,А). Функции вида A.13) называют двумерными кограницами. Они
образуют некоторую подгруппу В2(О, А) С 22(С, А). Вторая группа ко-
гомологий Н2(С,А) группы С с коэффициентами в С-модуле А опреде-
определяется равенством
#2(С, А) = 22(С, А)/В2(С, А). A.14)
Каждому расширению Е группы С с помощью А мы сопоставили класс
смежности его системы факторов к + В2(С, А) € Н2(С,А). Пусть расши-
расширения Е\ и #2 эквивалентны (определение 6.1) и пусть /: С\ —> С?2 — со-
соответствующий изоморфизм. Если д —► ^ — система представителей пер-
первого расширения, то её композиция с / будет системой представителей
второго расширения. Она, очевидно, определяет ту же самую систему
факторов, то есть эквивалентным расширениям соответствует один и тот
же элемент группы Н2(С, А). Обозначим через ех!(С, А) множество клас-
классов эквивалентных расширений группы С с помощью А. Мы построили
отображение
Докажем, что на самом деле — это биекция. Для этого построим обратное
отображение. Любой элемент группы С расширения A.11) единственным
§8. Группа расширений 43
образом можно представить в виде да (д е С, а Е А). Два таких элемента
перемножаются по формуле
д1а{д2а2 = дТ92К91^92)а912а2, A.15)
что подсказывает конструкцию отображения Н2(С,А) —> ех1(С, А).
Пусть к Е 22(С,А). Определим умножение на множестве пар (#, а), счи-
считая, что
Легко доказать, что при этом получается группа. Например, ассоциатив-
ассоциативность для элементов вида (р, 1) равносильна тождеству A.12). Элементы
A,а) (а Е А) образуют нормальную подгруппу, факторгруппа по которой
изоморфна С. В качестве системы представителей построенного расши-
расширения можно взять отображение д —> (р, 1). Из определения умножения
следует, что соответствующая система факторов совпадает с функцией к.
Если к заменить на к + 6<р, где </?: С —* А — произвольная функция, то
получается эквивалентное расширение. При изоморфизме, задающем эк-
эквивалентность, пара (р, 1) переходит в пару (д,<р{д))- Итак, мы построили
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных рас-
расширений и элементами группы Н2(С,А). По этой причине вторую группу
когомологий Н2(С,А) называют также группой расширений.
Двумерный коцикл к Е 22(С,А) всегда можно продолжить до били-
билинейного отображения
к: 2Сх 2С-» А
Из A.12) следует, что для любых элементов г, 8,1 Е ЪО выполнено тож-
тождество
к(г, зI - к(г, з1) + Н(гз, I) - е{г)к{з, I) = 0 A.16)
(как и раньше, е: ЪС —► 2 — пополняющий гомоморфизм). Если считать,
что 1 = 1, то к(г,1) = к(г — е(г),1 — еA)), поэтому функция к{г,1) опре-
определяется своими значениями на элементах пополняющего идеала Ас-
Таким образом, реально, мы имеем дело с билинейной функцией
к: Ас х Ас —> А,
или, что то же самое, с линейным отображением
к: Ас®Ас-+ А.
При г € Ас равенство A.16) принимает вид
к(г (8) з)г - к(г (8) зг) + к{гз <8> *) = 0. A.17)
44 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Для линейного продолжения кограницы A.13) имеем
A.18)
где (р: ЪО —> А — продолжение соответствующей функции, определённой
на группе С. Если считать, что (рA) = 0, то есть, что 1 = 1, то можно
ограничиться значениями р на Ас —■> А. Для г, I б Ас
8<р(г (8) г) = <р{гI - <р(гг). A.19)
Эти замечания позволяют определить двумерные коциклы и кограницы
в терминах функций, аргументы которых принимают значения не в группе
С, а в фундаментальном идеале Ас-
Предложение 8.1. Группа двумерных коциклов 22{О,А) изоморфна
группе гомоморфизмов Н б Нот (Ас? (8) Ас, ^4), удовлетворяющих усло-
условию A.17). Кограницы соответствуют гомоморфизмам 6(р вида A.19),
где у Е Нот (Ас, А).
Если А— тривиальный С-модуль, то есть если рассматриваются цен-
центральные расширения, то условие A.17) на двумерные коциклы превра-
превращается в равенство
Н(гз (8) г) = Н(г (8) зг) г,8,1€Ас. A-20)
Поскольку /г —линейное отображение, можно считать, что в этом равен-
равенстве « — произвольный элемент кольца ЪС Равенство A.20) означает,
что Н Е Нот (Ас ®с Ас, А), где первый множитель Ас —модуль отно-
относительно правого, а второй — левого регулярного действия группы О. Для
тривиального модуля А кограницы A.19) с точностью до знака принимают
вид 6(р(г (8J) = р(гг). Подведем итог.
Предложение 8.2. Для тривиального О-модуля А группа двумерных
циклов 22(О,А) изоморфна группе Нот (Ас ®с Ас, А). Кограницы со-
соответствуют образам элементов </? Е Нот (Ас, ^4) при гомоморфизме,
который индуцирован отображением г ®1 —► Н (г, г Е Ас).
В предыдущем параграфе мы доказали, что первая группа когомологий
с коэффициентами в коиндуцированном модуле тривиальна (предложе-
(предложение 7.3). То же самое верно и для второй группы когомологий.
Предложение 8.3. Расширение, ядро которого — коиндуцированный
модуль, расщепляется, то есть #2(С,НотBС, А)) = 0 для любой
абелевой группы А.
§8. Группа расширений 45
Доказательство. Выберем систему представителей д —> д и рассмот-
рассмотрим соответствующую систему факторов Н: СхС —► НотBС, А). Таким
образом, /г(#1,#2) ~~ ЭТ0 гомоморфизм абелевых групп ЪС —■> А, то есть
/1@1,02X0) € Л для любого элемента д Е О. Нам надо выбрать «поправ-
«поправки» <^(#) б Нот BС, Л) так, чтобы множество элементов вида д = ]}(р(д)
было подгруппой. Для любого д' е О мы должны некоторым разумным
образом определить значение у{д)(д') € Л. Как и в доказательстве пред-
предложения 7.3, уменьшить число аргументов можно, приравняв один из них
единице. Точнее, положим по определению
Читатель легко проверит, что (если изменить знак!) при таком выборе
функции <р(д) действительно выполнено равенство ^хр2 — Ш92- п
Напомним, что полупрямое произведение СНотBС, А) называется
полным сплетением групп А и С и обозначается А\\1гС. Особая роль
сплетения в теории расширений определяется следующим фактом.
Предложение 8.4. Для любого расширения С группы С с помощью
С-модуля А существует вложение /л: С —► АУУгС, которое индуциру-
индуцирует тождественное отображение в факторгруппе С.
Доказательство. По следствию 2.5 имеется естественное вложение
\1\ А —► Нот BСУ, А). Пусть Н: СхС —> А — система факторов, задающая
группу С. Тогда композиция Н с /л, — это двумерный коцикл со значениями
в НотBС, А). С его помощью можно построить группу С — расширение
группы С с помощью С-модуля НотBС,Л). Очевидно, вложение А —►
—> НотBС, А) продолжается до вложения С —► С. Остаётся заметить,
что по предложению 8.3 С = А\\1гС. □
Следующее предложение является аналогом 7.6.
Предложение 8.5. Если С — конечная группа порядка пу то для любо-
любого С-модуля А группа Н2(С,А) имеет конечную экспоненту, которая
делит п.
Доказательство. Пусть а — ^29ес9- В соответствии с 8.1 двумерный
коцикл задаётся линейным отображением Н: Ас ® Ас —■> А. Определим
линейное отображение </?: Ас —■> А, положив ^р{1) = Н(а — п,1) (г Е Ас)-
Так как от = 0 для любого г б Ас, то, используя тождество A.17), имеем
= Н{а — п, гI — Н(а — п, Н) =
= —Н((а — п)г, I) — пк(г, I).
Таким образом, пН — кограница. □
46 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Следствие 8.6. Если С — конечная группа порядка п, а в аддитивной
группе модуля А можно делить на п, то Н2(С,А) — О, то есть любое
расширение О с помощью А расщепляется.
Как и следствие 7.7, это утверждение применимо, когда Л— линей-
линейное пространство над полем характеристики 0 или над полем конечной
характеристики, которая не делит порядок группы С, а также, когда А
и О — конечные группы взаимно простых порядков. В последнем случае
можно отказаться от предположения о том, что группа А абелева.
Теорема 8.7 (Шур.). Пусть С и Н — конечные группы взаимно про-
простых порядков. Тогда любое расширение С с помощью Я расщепля-
расщепляется.
Доказательство. Рассмотрим расширение
Е:
Теорема будет доказана индукцией по порядку группы С. Пусть р — про-
простой делитель порядка группы Н и 8 — её силовская р-подгруппа. Отме-
Отметим, что, так как р не делит порядок факторгруппы С = С/Н, то 5 —
силовская р-подгруппа и в группе С. Если 5 нормальная в О подгруппа,
то её центр А — нетривиальная абелева нормальная подгруппа. Группа
О/А — это расширение С с помощью Н/А. По индукции в С/А суще-
существует дополнительная подгруппа. Теперь можно рассмотреть её полный
прообраз С в С и применить следствие 8.6 к расширению
Если же подгруппа 5 не является нормальной то её нормализатор N
в группе С — собственная подгруппа. Доказательство будет закончено,
если применить предположение индукции к расширению
-♦ Я П N -♦ N -♦ N/11П N -> 1,
предварительно убедившись, что равны индексы |7У : Н П ЛГ| = \С : Н\.
Разложим индекс Н ПN в О двумя способами
\О : Н П Щ = \О :Щ\М :НПЩ = \С : Н\\Н : Я П
Нам достаточно доказать, что \С : Щ = \Н : НГ\Щ. Первый из индексов
равен числу подгрупп группы С сопряжённых с 8, то есть числу силов-
ских р-подгрупп. Но множество силовских р-подгрупп группы С совпада-
совпадает с множеством силовских р-подгрупп группы Я. Следовательно, число
§8. Группа расширений 47
элементов этого множества равно индексу нормализатора подгруппы
в Я, то есть индексу Н П N в Н. □
Упражнения
1. Пусть С — центральное расширение абелевой группы С с помощью абеле-
вой группы А. Какому условию должен удовлетворять соответствующий
коцикл к: С х С —> Л, чтобы группа С также была абелевой? Проверь-
Проверьте, что классы эквивалентных расширений с абелевой группой С образуют
подгруппу в группе всех расширений Н2{С, А) (её обозначают ЕхЪ(С, А)).
2. Пусть С — свободная абелева группа ранга 2 и А — бесконечная цик-
циклическая группа, на которой С действует тривиально. Покажите, что
Н2(С, А) — бесконечная циклическая группа. Она состоит из расшире-
расширений Еп (п е Ъ), определённых в параграфе 1.6, которые складываются
по формуле Еп + Еш — Еп+т. Расширение Е\ (так же как и Е_\) соот-
соответствует свободной нильпотентной группе класса 2 с двумя свободными
образующими.
4
3. Пусть С — центральное расширение абелевой группы С с помощью абе-
абелевой группы А. Рассмотрим систему представителей д —> ~д и соответ-
соответствующий 2-коцикл к: С х С —> А. Покажите, что /1(^1,^2) — ^{92-,9\) —
— [^1^2] (#ь 92 € С, [ , ] —коммутатор). Выведите отсюда, что функ-
функция к~{д\,д2) — к(д1,д2) — к{д\,д2) билинейна и соответствие к —> к~
определяет гомоморфизм а: Н2{С,А) -» Л2(С, А), где Л2(С, А) — группа
билинейных кососимметричных функций со значениями в А. (Указание:
билинейность функции к~ следует из коммутаторного тождества
справедливого в произвольной группе).
4. Покажите, что если С — свободная абелева группа, то гомоморфизм а из
упражнения 3 устанавливает изоморфизм Н2{С,А) = Л2(С, А). (Указа-
(Указания. 1. В нуль переходят симметричные коциклы, то есть те, для кото-
которых группа С абелева. Так как С — свободная абелева группа, то такое
расширение расщепляется, то есть а — мономорфизм. 2. Предположим,
для простоты, что множество свободных образующих хг абелевой груп-
группы С конечно A < г ^ п). Чтобы убедиться в том, что а — эпиморфизм,
достаточно доказать, что для любого элемента а € А и пары индексов
к,1 (I > к) существует коцикл к: С хС —> А такой, что к~(хг,х^) = а при
?' = 1,3 = к и к~(хг,х^) =0 в противном случае A < з < г < п). Пусть
группа С получается присоединением к А новых образующих хх,...хп,
коммутирующих с элементами из А и между собой, кроме пары з?ь^ь для
которых [хь^] = а. Проверьте, что С — центральное расширение группы
С с помощью А и что система представителей х™1... х™п —> х™1... х™п
определяет нужный коцикл к.)
48 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
5. Для любой абелевой группы С и тривиального С-модуля А ядро гомо-
гомоморфизма а: Н2(С,А) —> Л2(С, А) совпадает с подгруппой Ех.1(С,А) С
Н2(С,А) (см. упражнение 2). Верно также, что а — эпиморфизм, то есть
имеет место точная последовательность
О -» Ех*(С, А) -* Н2{С,А) -» Л2(С, Л) -+ 0.
Докажите это для случая, когда С — конечно порождённая абелева груп-
группа. (Указание: можно усовершенствовать конструкцию предыдущего
упражнения.)
6. Пусть / — автоморфизм группы С расширения Е такой, что /(А) — А
(мы отождествляем А с нормальной подгруппой в С). Выберем систему
представителей д —> ~д и рассмотрим соответствующую систему факторов
к: С х С —> А. Покажите, что отображение д —* /(/~1(д)) также опреде-
определяет систему представителей и что соответствующая ей система факторов
/*Н задаётся равенством
В частности к и /*к определяют один и тот же элемент группы Н2(С, А),
так как изменение системы представителей изменяет двумерный коцикл
на кограницу.
7. Пусть в предыдущем упражнении / = ах — внутренний автоморфизм, со-
соответствующий элементу х е С. Укажите явный вид функции ср: С —>
—> А такой, что к и а%к отличаются на кограницу 6<р. (Ответ: <р(д) =
= Н{хдх~1,х) — к{х,д).)
8. Докажите следующее обобщение следствия 8.6. Пусть С — конечная груп-
группа порядка п, а в группе Н существует ряд
Н = Н\ С Нч С ... С Нь С Нк+1 = 1
такой, что факторы Нг/Н^\ (г — 1,... ,/с) — абелевы группы, в которых
можно делить на п. Тогда любое расширение группы С с помощью Н
расщепляется и дополнительная подгруппа определена однозначно с точ-
точностью до сопряжения элементом из Н. (Например, это верно, когда Н —
группа унитреугольных матриц над полем нулевой характеристики, г С —
произвольная конечная группа.)
9. Покажите, что вложение С —> А№тС в предложении 8.4 может быть
задано следующим образом
а -> /а, где /а(д) = ад (а е А), д -> д/д, где /д(д) = Л(^,р7) (^,^ 6 С).
§9. Производные Фокса 49
10. Пусть С — расширение группы С с помощью С-модуля А и пусть в С вы-
выполнено некоторое свойство V. Будем говорить, что V можно сохранить
при расщеплении, если существует С-модуль С и вложение /х: С —> СС
такое, что ц(А) С С, /х индуцирует тождественное отображение в фактор-
факторгруппе Сив полупрямом произведении СС также выполнено свойство V.
Используя предложение 8.4, покажите, что следующие свойства можно
сохранить при расщеплении: 1) конечность; 2) конечную порождённость;
3) свойство иметь конечную экспоненту; 4) отсутствие элементов конеч-
конечного порядка; 5) разрешимость; 6) свойство быть конечно порождённой
нильпотентной группой. (Указание: для доказательства последнего пункта
воспользуйтесь тем, что фундаментальный идеал Ас группового кольца
конечно порождённой нильпотентной группы С удовлетворяет свойству
Артина—Рисса: если А — подмодуль конечно порождённого С-модуля М,
то для любого га существует п такое, что МД^ ПЛС АД™ [54].)
§ 9. Производные Фокса
Предположим, что мы умеем 'проводить вычисления в группе Сив
Омодуле А, а также знаем, как работать с системой факторов, зада-
задающих расширение. Тогда, в соответствии с равенством A.15) можно пе-
перемножить два элемента расширения. Мы собираемся описать некоторый
формализм, дающий возможность вычислять значения слов произвольной
длины. Рассмотрим сначала полупрямое произведение СА. Для любых
элементов д е С, а Е А имеет место равенство
. A.21)
Аналогичное вычисление можно провести для коммутатора
х х 1 х A.22)
~ 9\ 92 9\92^\ * а2 а\ п2 — 1Рьр2]^1 я2
Эти вычисления подсказывают, что для любого слова у — у{х\ ... ,жп)
и любых д\,... ,дп € ^ ах,..., ап Е Л имеет место равенство
1I Пл И л /7/7 1 7?I /7-1 /7 |/7 П "^
где Г1,.. .гп — некоторые элементы группового кольца 2С, зависящие от
г;. Чтобы дать аккуратную формулировку, рассмотрим полупрямое про-
произведение РР, где Р — свободная группа со свободными образующи-
образующими х\,...хп, а Р — свободный .Р-модуль со свободными образующими
/Э- /Э 11ТТСЮТЛ ПО/Л
,.. .еп. Очевидно,
50 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
где а € Р. Так как Р — свободный Р-модуль, то а единственным обра-
образом можно представить в виде а = е^ . ..е^п, где ^ €: ЪР. Элементы ^
называют частными производными (или производными Фокса) слова у
и обозначают ду/дх{. Например, если у = хп, то, как следует из A.21),
дь/дх = хп~х + • • • + х + 1. A.23)
Аналогично, из A.22) следует, что
д[хг,Х2]/дх2 = I - х^1х\х2. A.24)
Отметим также, что
г = 1, дх^/дхг = 0 (г ф у). A-25)
дхт1/дхг = -х'\ дх~1/дхг = 0 (г ф з). A.26)
Продолжим отображение Х{ —> д\ € С до гомоморфизма ЪР —> ЪС. Образ
элемента ду/дхг называют значением производной ду/дхг на элементах
д\,...дп и обозначают {дг)/дх1){д\,... ,дп) или, для краткости, ду/дд{.
Рассмотрим далее гомоморфизм РР —» ОА, при котором ^ переходит
в #г, а вг — в а^ (такой гомоморфизм существует, так как Р — свободная
группа, а Р —свободный Р-модуль). Очевидно, у{х\в\,... ,хпеп) перехо-
переходит в у(д\а1,... ,дпап). С другой стороны,
• • • 7
следовательно,
^у/д91^/д A.27)
Производную д/дхг можно рассматривать как функцию на группе Р
со значениями в кольце ЪР. Докажем, что д/дхг — дифференцирование,
то есть, что
д(уъо)/дхг = (ду/дхг)ъо + дъо/дхг. A-28)
Действительно, если / — эндоморфизм группы РР, действующий тожде-
тождественно тойР, то функция ф: Р —► Р, определённая равенством /(у) =
= уф(у) (у Е Р) будет дифференцированием. Композиция ^ функции ф
с проекцией на г-ю компоненту также, очевидно, будет дифференцирова-
дифференцированием. Если в качестве / взять гомоморфизм, продолжающий отображе-
отображение хь —» хъеъ(к — 1,...,п), то, как следует из определения производ-
производных, соответствующая функция ф± совпадает с д/дхг, то есть
дифференцирование. □
§9. Производные Фокса 51
г
Для любых элементов #1,...,дп € С значения производных ду/дд
определяют дифференцирования д/ддг'- Р —> ЪС. Можно было бы ожи-
ожидать, что если элементы 51,...,рп порождают группу С, то определе-
определены индуцированные отображения д/ддг: С —► ЪС. Это, однако, неверно
(см. упражнение 2 ниже).
Равенство A.28) вместе с начальными условиями A.25) и A.26) дает
возможность вычислять производные Фокса индукцией по длине сло-
слова. Полезно также «правило дифференцирования сложной функции» (см.
упражнения 3 и 4). Следующее свойство производных называют обычно
тождеством Фокса
п
ь-1 = }(хг - 1)дь/дхг (V € Р). A.29)
Для доказательства заметим, что если д,\,..., с1п — произвольные диффе-
дифференцирования со значениями в ЪР и п,..., гп Е ЪР, то линейная комби-
комбинация ^2г{A{ — также дифференцирование. Отсюда следует, что правая
часть A.29), как функция от у, является дифференцированием. То же
самое можно сказать о левой части, так как
уш — 1 = (у — 1)ъи + (ш — 1).
Равенство A.29) справедливо для у — х^. Но два дифференцирования,
принимающие одинаковые значения на образующих, совпадают. □
Фундаментальный идеал Ар — это свободный .Р-модуль со свободны-
свободными образующими Хг — 1 (пример 7.5). В частности, любой элемент у — 1
(у Е Р) можно единственным образом представить в виде линейной ком-
комбинации ^2(х{ — 1)гг. Отсюда следует, что с самого начала производные
ду/дхг можно было определить как коэффициенты этой линейной ком-
комбинации. Пусть С — произвольная группа и д\,... ,дп б С. Если к обеим
частям равенства A.29) применить гомоморфизм, продолжающий отоб-
отображение Хг —> д{, то получится аналог тождества Фокса для значений
частных производных
П
У[01,..., рп) — 1 = > (Оо — 1)оУ/иС1о. A.оО)
?=1
Опишем теперь формулу для вычисления значений слова у{х\, ..., хп)
в произвольном расширении
Е: !-♦ А-»С-»С-»1. A.31)
52 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Предложение 9.1. Пусть д —► # (д Е С) — система представителей
и пусть к: ЪС х ЪС —► А — линейное продолжение системы факторов
расширения Е (дгд2 = <71#2М#ъЫ)- Тогда
п
.. .,дпап) =
1=1
Предложение (9.1) доказывается индукцией по длине слова V. Надо ис-
использовать то, что д/ддг — дифференцирование, тождество A.16) для си-
системы факторов и тождество Фокса A.30). Подробности мы оставляем
читателю.
Наметим теперь вкратце две темы, в которых производные Фокса ока-
оказываются полезны. Первая касается тождеств расширения. Напомним,
что слово V = у(х1,... ,хп) называется тождеством в группе С (гово-
(говорят также, что тождество ь(х\,... ,хп) = 1 выполнено в группе С), если
г>(#1,..., дп) = 1 для любых элементов ^,...,рпЕС. Определим, напри-
например, левонормированные коммутаторы
С\ = ХЪ Сп+г = [сп,Хп+1] (П ^ 1).
Подгруппа, порождённая значениями сп+1(#1,... ,#п+1) (#ъ • • • >#п+1 € С)
совпадает с (п+1)-ым членом нижнего центрального ряда 7п+1(С?), поэто-
поэтому группа С нильпотентна класса ^ п тогда и только тогда, когда сп+1 —
тождество в группе С. С помощью тождеств задаётся и разрешимость.
Абелевы и метабелевы группы задаются тождествами
Положим
> 1).
Очевидно, группа С разрешима ступени < п в том и только том случае,
когда с(п) — тождество в группе С. Поставим следующий вопрос. Пусть
в группе С выполнено некоторое тождество V = у(х\^ ... ,г;п). В каком
случае оно выполнено в расширении С? Вот простейший пример.
Пример 9.2. Пусть группа С нильпотентна класса п. Тогда полупря-
полупрямое произведение С А — нильпотентная группа того же класса в том
и только том случае, когда модуль А аннулируется п-й степенью
фундаментального идеала Ас.
§9. Производные Фокса 53
Действительно, из равенства A.22) следует, что {СА)' С С'(ААс). Если
д Е С, а б А, то [а, д] = а(д — 1), откуда вытекает обратное включение.
Действуя по индукции, получим ^п+\{СА) = 'уп+1(С)(АА%;). □
Пусть теперь V — произвольное множество слов. Обозначим У (С)
подгруппу, порождённую их значениями ь(д\,...,дп) (у Е V). Очевидно,
она инвариантна относительно эндоморфизмов, в частности, относитель-
относительно внутренних автоморфизмов, и поэтому нормальна в С. Определим,
далее, дУ(С) как правый идеал группового кольца ЪС, порождённый
значениями ду/дх{{д\,... ,дп) производных ду/дх{ (у Е V). Этот идеал
инвариантен относительно эндоморфизмов, индуцированных эндоморфиз-
эндоморфизмами группы С, и поэтому является двусторонним идеалом.
Предложение 9.3. В полупрямом произведении СА имеет место ра-
равенство У(СА) = У(С)(АдУ(С)). В частности, в С А выполнены тож-
тождества у Е У в том и только том случае, когда они выполнены в С
и модуль А аннулируется идеалом дУ(С).
«
Из равенства A.27), очевидно, следует, что У(СА) С У(С)АдУ(С). Что-
Чтобы получить обратное включение, достаточно в этом же равенстве поло-
положить пг = а, а^ = 1 при з ф г. □
Вычисление, проделанное в примере (9.2), означает, что
Если несколько раз применить равенство {СА)' = С'{ААс), то получится
следующая формула для п-ого члена ряда коммутантов
то есть
В случае нерасщепляющихся расширений ситуация становится сложнее.
Предложение 9.4. Тождества у е У выполнены в группе С расшире
ния A.31) тогда и только тогда, когда
1) эти тождества выполнены в факторгруппе С;
2) модуль А аннулируется идеалом дУ{С);
3) для любого у ЕУ и любых элементов д\,... ,дп Е С
п
и ду/дхг{дъ ..., дп)) = О
(к: ЪС х ЪС —► А — линейное продолжение системы факторов).
Это доказывается с помощью предложения 9.1. Подробности мы опускаем.
54 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Для фиксированной группы С, в которой выполнены тождества V,
и модуля А, который аннулируется идеалом дУ(С), классы эквивалент-
эквивалентных расширений, удовлетворяющих условию 3, образуют некоторую под-
подгруппу Ну(С,А) в группе Н2(С,А). Появляется возможность строить
теорию расширений в классе групп, удовлетворяющих данному множе-
множеству тождеств. При этом роль группового кольца играет факторкольцо
ХС/дУ(С).
Вторая тема, использующая производные, — это инварианты Алексан-
дера. Предположим, что группа С задана конечным числом образующих
,... ,жп и конечным числом соотношений
, . . . , Хп) = 1, . . . , Гт(Х1) . . . , Хп) =
Обычно это записывают в виде
С = (хх,...,хп | гь...,гт) A.32)
и называют копредставлением группы С. Матрицей Якоби копредставле-
копредставления называют матрицу (дп/дх^, составленную из производных Фокса.
Таким образом, это т х п матрица с элементами из группового кольца
свободной группы Р = (#1,... ,хп). Рассмотрим образы у^ элементов х^
в абелианизации Саь. Тогда матрица Л = (дгг/ду^) значений производных
на элементах 2/1,...,г/п называется матрицей Александера копредставле-
копредставления A.32). Её элементы принадлежат конечно порождённому коммута-
коммутативному кольцу ЪСаъ- Группу С можно по-разному задать образующими
и определяющими соотношениями. По этой причине ни матрица Якоби,
ни матрица Александера не являются её инвариантами. Оказывается, для
построения инвариантов можно использовать миноры матрицы Алексан-
Александера. Пусть г — максимальный порядок ненулевых миноров. Рассмотрим
идеал 9, порождённый минорами порядка г. Тогда $ уже не зависит
от выбора копредставления группы С. Идея доказательства этого фак-
факта состоит в следующем. От одного копредставления к другому можно
перейти с помощью последовательности элементарных преобразований,
называемых преобразованиями Титце. При этом матрица Александера
также преобразуется. Может меняться её размер и ранг. Нетрудно, одна-
однако, убедиться в том, что идеал й при этом не меняется.
Иногда рассматривают семейство идеалов й^, порождённых минорами
порядка к, где к = 1,... ,г. Как следует из разложения определителя по
строкам и столбцам, Й&+1 С 9?*. (к < г), поэтому й = йг — наименьший
из этих идеалов. Идеал $ называют инвариантом Александера группы
С. Впервые он появился в связи с изучением групп узлов (определение
§9. Производные Фокса 55
группы узла см. §4.6). По сравнению с общим случаем здесь возникают
некоторые упрощения. Известно, что группа узла, в плоской проекции
которого имеется п точек самопересечения может быть задана п образу-
образующими Ж1,...,жп ип-1 определяющими соотношениями вида
-1
(в §4.6 мы обсудим геометрический смысл этого копредставления). Из
определяющих соотношений, очевидно, следует, что образы г/1?..., уп об-
образующих х\,...,хп в группе Саъ совпадают, то есть матрица Алексан-
Александера Л — это (п— 1) х п матрица с элементами из группового кольца Ъ{х)
бесконечной циклической группы. Легко видеть, что в результате приме-
применения к элементам матрицы Л пополняющего гомоморфизма получается
числовая матрица
' 1 -1 0 ... О
О 1 -1 ... О
О 0 ... 1 -1
поэтому её ранг равен п— 1. Покажем, что сумма столбцов матрицы Л
равна нулю. Действительно, для каждого определяющего соотношения
П = 1 (г = 1,... , п — 1) тождество Фокса A.30), связывающее значения
производных в группе Саъ, принимает вид
п
(ад - 1)дп/ду1 = 0.
.7=1
Так как у\ — • • • = уп = х, то в левой части появляется общий мно-
множитель х — 1. В кольце Ъ(х) нет делителей нуля, поэтому на этот об-
общий множитель можно сократить. Полученные для каждого г равенства
]С?=1 дгг1дУэ — 0 означают, что сумма столбцов равна нулю. Отсюда
следует, что п миноров порядка п — 1 матрицы Л отличаются друг от
друга не более, чем знаком, поэтому идеал 3, порождённый этими мино-
минорами, является главным идеалом и порождается любым из них. Образу-
Образующий идеала й определён с точностью до обратимого множителя. После
умножения на подходящую степень ж, можно считать, что это некоторый
целочисленный многочлен с ненулевым свободным членом. Его называют
многочленом Александера исходного узла. Если многочлены Александера
двух узлов различны, то различны и сами узлы. Это достаточно тонкий
инвариант. Например, известно, что имеется 84 узла с не более чем де-
девятью двойными точками. Из них лишь три пары узлов не различаются
56 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
с помощью многочленов Александера. Дополнительные сведения по это-
этому вопросу можно почерпнуть в книге Фокса [28]. Отметим, что кроме
многочленов Александера существуют и другие инварианты узлов [5].
Упражнения
1. Отображения д/дх^: Р —> ЪЕ можно продолжить по линейности до отоб-
отображений д/дхг\ ЪЕ —> ЪР. Во что при этом превращается тождество
Фокса?
2. Приведите пример ситуации, когда слово у(х\,. .. ,хп) является тожде-
тождеством в группе С, но ду/дхг(д\,... ,дп) ^ 0 для некоторых элементов
9\->---->9п € С. Почему это мешает определить отображения д/ддг'. С —►
—► ЕС? (Указание: возьмите, например, у — хп или у —
3. Докажите, что если у — у{уо\,... ,г^т), где ги$ — уОз{х\, ...,хп), то
т
3=1
4. Пользуясь предыдущим упражнением и формулами A.23, 1.24), вычислите
производные Фокса слов [^1,Х2]П и [я™,#2].
5. Рассмотрим два множества слов V и IV, записанных на дизъюнктных
множествах образующих. Тогда по определению [V, IV] — это множество
всевозможных коммутаторов [г;,ги], где у е V, ги € IV. Докажите следую-
следующее правило «дифференцирования произведения»
д[У, Щ{С) - дУ(С)Атс) + д\У(С)Ау{с)
(напомним, что для любой подгруппы Н С С Ля — это правый идеал
кольца ЪС, порождённый элементами вида Н — 1, где к е Н).
6. Пусть С — центрально-метабелева группа, то есть С" С 2{С), и пусть А —
некоторый С-модуль. Докажите, что группа С А также центрально-метабе-
центрально-метабелева в том и только том случае, когда А аннулируется идеалом АсАс'Ас+
+ Ас". (Указание: можно воспользоваться предыдущим упражнением, так
как речь идет о вычислении идеала ^[[[ягьжг], [#3,2:4]],
7. Пусть ^ — некоторое множество слов от х\,...,хп и пусть х ещё одна
переменная. Обозначим [У,х] — множество коммутаторов [у,х], где у еУ.
Докажите, что если идеал дУ{С) инвариантен относительно инво-
инволюции кольца ЪС, продолжающей отображение д —> д~1 (д е С), то
д[У,х](С) — дУ{С)Ас. (Указание: докажите, что из условия инвариант-
инвариантности относительно инволюции и тождества Фокса следует включение
Я дУ(С)Ао, а затем воспользуйтесь упражнением 5).
§ 10. Продолжение эндоморфизмов 57
8. Группы двух простейших нетривиальных узлов (трилистника и восьмёрки)
могут быть заданы копредставлениями
х2, х1~1х2х1 =
и, соответственно,
х\х2х~[1 —
Докажите, что группы С\ и С2 не изоморфны, и следовательно, трилист-
трилистник и восьмёрка — это два разных узла. (Указание: докажите, что по-
полиномы Александера групп С\ и С2 равны, соответственно, х2 — х + 1
и х2 -Зх+ 1.)
§ 10. Продолжение эндоморфизмов
Пусть задано полупрямое произведение С = С А. Если / — эндоморфизм
С-модуля А, то / можно продолжить до эндоморфизма / группы С, счи-
считая, что / действует на С тождественно. Можно построить и другие
продолжения, беря композицию / с любым автоморфизмом </? 6 АиЬЕ.
В этом параграфе мы рассмотрим следующий более общий вопрос. Пусть
задано произвольное расширение с абелевым ядром
Е: 1-* 4-> О-♦ С-♦ 1. A.33)
В каком случае эндоморфизм / модуля А можно продолжить до эндомор-
эндоморфизма /: С —■> С, который действует тождественно в факторгруппе С?
Заметим прежде всего, что если расширение Е не расщепляется, то та-
такое продолжение не всегда существует.
Пример 10.1. Пусть С — произвольная нильпотентная группа класса
2 и А = С. Рассмотрим соответствующее центральное расширение.
Тогда никакой эндоморфизм /: А —► А, отличный от тождественно-
тождественного нельзя продолжить до эндоморфизма группы С, тождественного
в С/А = СаЬ.
Это частный случай следующего элементарного факта.
Лемма 10.2. Если эндоморфизм / действует тождественно в фак-
факторгруппе по центру, то / действует тождественно на коммутанте.
Доказательство. Действительно, если /(ж) = жа, /(у) = уЬ, где
а, Ь— центральные элементы, то
,НУ)} = [ха,уЬ] = [х,у]. П
58 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Оказывается, в общем случае препятствие для продолжения эндомор-
эндоморфизма — это элемент группы расширений. Точнее, можно построить эле-
элемент группы Н2(С,А), который равен нулю тогда и только тогда, когда
продолжение существует. Для аккуратной формулировки результата нам
понадобится следующее соображение.
Пусть /: А\ —■» Л2 — гомоморфизм С-модулей и пусть к: С х С —>
—■» А} — двумерный коцикл со значениями в А\. Тогда композиция к с / —
это двумерный коцикл со значениями в Л2. Возникает индуцированное
отображение /*: Н2{С,А{) —► #2(С, Л2), которое, как легко видеть, яв-
является гомоморфизмом групп.
Теорема 10.3. Пусть задано расширение Е A.33) и пусть кв — соот-
соответствующий элемент группы Н2(С,А). Эндоморфизм / С-модуля
А можно продолжить до эндоморфизма / группы С, тождествен-
тождественного в факторгруппе С, тогда и только тогда, когда (/* — 1)/г# = О,
где /*: Я2(С, А) —► Я2(С, А) — индуцированный эндоморфизм. Если
и /2 — два продолжения, то /2 = Ду?, где <р б Аи1Е.
Доказательство. Предположим сначала, что продолжение / суще-
существует. Фиксируем некоторую систему представителей д —■> 'д и пусть
к: С х С -+ А — соответствующая система факторов. Рассмотрим также
функцию и: С —> А, определённую равенством /(#) = 'ди(д). Тогда
7(9192) = 7(Ш2%Ъ02)) = Ш92и(9192)ЯЧ9ъ92))
С другой стороны,
7E152) =7E1OEг) =~91и(9\)92и(92) =Ш2Ч9ъ92)и(д1
поэтому
КН9и92)) = Щъ 92)и{дх)дМ92)и{дт)-х. A.34)
Это означает, что композиция функций /I и (/ — 1) совпадает с #и, то
есть (/* — 1)кЕ = 0. Обратно, пусть (/* — 1)кв = 0. Тогда для некото-
некоторой функции и: С —■> А выполнено равенство A.34). Непосредственная
проверка показывает, что мы получим нужное продолжение, положив
/('да) = 'ди(д)/(а). Для доказательства второй части теоремы нам пона-
понадобится следующая лемма.
Лемма 10.4. Пусть /; (г = 1,... ,&) — эндоморфизмы группы С, дей-
действующие тождественно в С/А, и функции щ: С —> А определены
равенствами /^(х) = хщ(х). Если и(х) — Х\щ(х)п\ то отображение
= хи(х) также является эндоморфизмом.
§ 10. Продолжение эндоморфизмов 59
Доказательство. То, что отображение /^ — эндоморфизм, в точности
означает, что г^ — дифференцирование группы С со значениями в А.
Функция и, как линейная комбинация дифференцирований, также будет
дифференцированием, откуда следует, что (^ — эндоморфизм. □
Закончим доказательство теоремы. Пусть Д (г = 1,2) —два продол-
продолжения эндоморфизма / и /Дж) = хщ(х). Тогда по лемме 10.4 отобра-
отображение <р, определённое равенством (р(х) — хи2(х)щ(х)~1, является эн-
эндоморфизмом. Так как (р действует тождественно в А и в С, то <р —
автоморфизм. Кроме того,
= хщ(х) = /2(х)- п
Рассмотрим пример, когда ответ удается довести до явной формулы.
Предложение 10.5. Пусть 2{С) — центр группы С и г — ]Г щд%, где
дг е 2{О). Отображение /г: а —* аг (а Е А) продолжается до эн-
эндоморфизма группы С тождественного в С тогда и только тогда,
когда элемент Не € Н2(С,А), представляющий расширение Е, имеет
конечный порядок, который делит е(г) - 1.
Доказательство. Отображение /^: а —■> а91 (а б А) продолжается
до внутреннего автоморфизма, поэтому, как следует из теоремы 10.3,
= Ъ,е- Но тогда
(/г* - \)НЕ =(^пЛ* -\)НЕ = (е(г) - 1)НЕ.
Снова применяя теорему 10.3, получим, что /г продолжается на С в том
и только том случае, когда (е(г) — \)Не = 0. □
В частности, если е(г) = 1, то для любого С-модуля А отображение
а —► аг можно продолжить на группу С независимо от того, какое рас-
расширение мы рассматриваем. Пусть ^ — прообраз элемента ^ в С. Для
внутреннего автоморфизма, соответствующего элементу ~д{
х -* д^гхд{ = хщ(х), где щ(х) = [х,д{] (х е С).
Так как мы предполагаем, что г = ^щд^ где д\ € 2(С), то щ(х) € А.
По лемме 10.4 отображение
A.35)
является эндоморфизмом. Если х = а е А, то (в аддитивной записи)
а —► аA + ^ Пг(дг - 1)) = аA + г - е(г)) = аг,
то есть формула A.35) задаёт нужное продолжение.
60 Глава 1. Расширения с абелевым ядром
Эндоморфизмы вида A.35) естественно назвать внутренними эндо-
эндоморфизмами расширения. Некоторые их свойства отмечены в упражне-
упражнениях (см. также [31]).
Упражнения
1. Докажите, что если в A.35) элементы д{ заменить на дгпг (а* е Л), то
полученный эндоморфизм будет отличаться от исходного на внутренний
автоморфизм, соответствующий элементу а —
2. Эндоморфизмы вида A.35) образуют полугруппу. (Указание: каждый та-
такой эндоморфизм определяется элементом г = ^2щд{ е ЪС (д{ € 2(С))
и произведению соответствует композиция эндоморфизмов.)
3. Покажите, что полугруппа, состоящая из эндоморфизмов вида A.35),
«метабелева» в том смысле, что факторполугруппа по подгруппе внутрен-
внутренних автоморфизмов, соответствующих элементам а е А, абелева. (Указа-
(Указание: эта факторполугруппа может быть представлена как эпиморфный об-
образ полугруппы, состоящей из элементов группового кольца центра груп-
группы С таких, что е(г) — 1.)
4. Рассмотрим расширение Е и гомоморфизм /: В —> С некоторой группы В
в факторгруппу С — С/А. В каком случае / поднимается, то есть суще-
существует гомоморфизм /: В —> С такой, что композиция / с естественным
эпиморфизмом С —> С совпадает с /? Пусть к е 22{С, А) — двумерный
коцикл, задающий расширение Е и пусть коцикл /*Н е 22(В,А) задаётся
формулой /*/1F1,62) = М/6ь/62) Fь62 е В) (А считается Б-модулем
относительно действия аЬ = а(/6), а е А, Ь € В). Проверьте, что класс
коцикла /*к служит препятствием для существования /, то есть / суще-
существует тогда и только тогда, когда /*Н определяет нулевой элемент группы
Н2{В,А).
ГЛАВА 2
КОГОМОЛОГИИ ГРУПП
В этой главе мы определим группы когомологий группы О в произвольной
размерности п ^ 0. Человеку, который сталкивается с этим определением
впервые, вовсе не очевидно, что он на правильном пути. Сходная ситуа-
ситуация возникает в курсе линейной алгебры при изложении определителей.
Чтобы дать аудитории адаптироваться, сначала обычно рассматривают
определители второго и третьего порядка, связывая их появление с нахо-
нахождением площадей и объёмов. Затем вводят определители произвольно-
произвольного порядка и доказывают теорему о разложении по строкам и столбцам.
Тот факт, что определители полезны, подтверждается исследованием си-
систем линейных уравнений и решением других задач. Наконец выясняется,
что определитель —это единственная полилинейная кососимметричная
функция Ип —> К равная 1 на стандартном базисе. Следуя примерно той
же схеме, можно ввести когомологий групп. Мы уже рассмотрели пер-
первую и вторую группу когомологий. Они появились в связи с изучением
автоморфизмов и задачей классификации расширений. Теперь мы введём
группы когомологий произвольной размерности и докажем, что их можно
вычислять с помощью любой свободной резольвенты. Позднее появится
и аналог утверждения о равноправности строк и столбцов определителя —
возможность использования как проективных, так и инъективных резоль-
резольвент. Кроме того, мы докажем, что группы когомологий Нп(С, —) — это
единственное семейство функторов из категории С-модулей в категорию
абелевых групп, которые удовлетворяют трем простым условиям. Разум-
Разумность общего определения будет подтверждена различными приложения-
приложениями к теории групп.
62 Глава 2. Когомологии групп
§ 1. Определение когомологии
Пусть С — некоторая группа и А — произвольный С-модуль. В парагра-
параграфах 1.7 и 1.8 для п = 1 и п = 2 мы определили группу когомологии
Нп(С,А) как факторгруппу группы коциклов 2п(О,А) по подгруппе ко-
кограниц Вп(С, А). Проанализируем формулы, с помощью которых это бы-
было сделано.
Пусть / = а (а € А) — постоянная функция на группе С. Её кограница
6/: С —> А определяется равенством
я/Ы = /</-/ (<?ес). B.1)
Иными словами, 8$ — это главное дифференцирование, значение которо-
которого на элементе д равно а(д — 1). Как мы знаем, одномерные коциклы
(дифференцирования) /: С —> А выделяются условием
1(91)92 - 1(9192) + 1(92) = 0.
Если /: С —> А — произвольная функция, то её кограница 5/: СхС —► А
задаётся формулой
8!(9ъ 92) = 1(91)92 ~ 1(9192) + /Ы- B.2)
Двумерные коциклы — это функции, удовлетворяющие условию
!(91,92)9$ - 1(91,9293) + /E152,5з) - /E2,5з) = 0.
По аналогии с B.1) и B.2) будем считать, что произвольной функции
/: С х С —■> А соответствует кограница
<*/Eъ52,5з) = 1(91,92)93 ~ /Eь525з) + /E152,5з) - /E2,5з). B.3)
Равенство B.1) можно использовать для определения 0-мерных коцик-
коциклов — это постоянные функции /, для которых /5~/ — 0. Таким образом,
2°(С,А) состоит из элементов модуля А, инвариантных относительно
действия группы С. Естественно считать, что функций с отрицательным
числом аргументов не существует, поэтому В°(С, А) = 0. Это подсказы-
подсказывает определение нулевой группы когомологии
Я0(С, А) = (а е А | а(д - 1) = 0 для любого д е С).
В частности, Я°(С, 2) = 2 для любой группы С.
§1. Определение когомологий 63
Экстраполируем формулы B.2) и B.3) в большие размерности. Для
любой функции /, зависящей от п аргументов рх,... ,дп е С и принима-
принимающей значения в А, определим кограницу 5/ формулой
B.4)
Отметим, что структура С-модуля используется только в первом слагае-
слагаемом этой формулы. По аналогии со случаями п = 1 и п = 2 ограничимся
функциями /, для которых /E1,...,5п) — 0» если #г = 1 для некото-
некоторого г. Группу всех таких функций обозначим Рп{О,А). Их называют
п-мерными коцепями со значениями в А. Коцепи, имеющие нулевую ко-
кограницу, называют п-мерными коциклами. Коциклы образуют подгруппу
2п{О,А) С Тп{С, А). Взятие кограницы называют также дифференциро-
дифференцированием. Очевидно, это гомоморфизм абелевых групп
причём 2п(С,А) = Кег^. Образ 1т^-х называют группой п-мерных
кограниц и обозначают Вп(С,А).
Определение 1.1. Группой п-мерных когомологий группы С с коэффи-
коэффициентами в О-модуле А называется факторгруппа
Нп(С, А) = 2п{С, А)/Вп{С, А) (п ^ 0).
Для того, чтобы это определение имело смысл, нужно доказать включе-
включение Вп(С, А) С 2п(С,А), что эквивалентно следующему утверждению.
Лемма 1.2. Для любого п ^ 1 композиция 8п-\ и 6п равна нулю.
Для доказательства проследим за сокращениями в сумме, которая возни-
возникает при вычислении (#2/)(#х> • • • ,9п+\) (/ € ^ГП~1(С, А)). С точностью
до знака большинство слагаемых (порядка п2) имеют вид
1).
Каждое из них появляется дважды. Один раз — при вычислении функции
(-1)гг+1-г5/(рх,...,РгРг+Ь...,Ргг+1) СО ЗНаКОМ (-1)гг+1-'(-1)гг^, И ВТО-
рой раз —при вычислении функции (—
64 Глава 2. Когомологии групп
со знаком (—1)п+1-э(—хуМ*-1). Сравнивая знаки, убеждаемся, что эти
слагаемые сокращаются. Есть ещё слагаемые шести типов. Во-первых,
Их общее количество линейно зависит от п (^ 6п). И кроме того, по два
слагаемых вида
Д#Ъ • • • , дп-1)дп9п+11 1(92, • • • , #гс)#гс+Ъ /(#3, • • • , 9п+\)-
Рассмотрим, например, /(рз»---»5п+1)- Это слагаемое появляется со зна-
знаком «—» при вычислении (—1)п+16/(д2,... ,5^+1), что соответствует по-
последнему члену в формуле B.4), и со знаком «+» при вычислении
(—1)п6/(д1д2,... ,5п+1)» что соответствует значению г = 1 в средней сум-
сумме формулы B.4). Легко убедиться, что и во всех пяти нерассмотренных
случаях каждое слагаемое встречается ровно два раза и с противополож-
противоположными знаками. □
Опуская индексы, утверждение леммы можно записать в виде б2 = 0.
В упражнении 8 намечен другой вариант доказательства этого равенства.
В качестве побочного продукта оно появится также в параграфе 2.3 как
частный случай более общей конструкции.
Гомоморфизм С-модулей </?: А\ —> А^ определяет гомоморфизм
при котором коцикл / € ^(С, А\) переходит в композицию / и (р. Если
к тому же имеется гомоморфизм ф: А2 —■> Аз, то, очевидно, (фф)п — Фпфп-
Это означает, что при фиксированных Сип соответствие А —» Нп(С,А)
является ковариантным функтором из категории С-модулей в категорию
абелевых групп. Для любой группы С в качестве А можно взять триви-
тривиальный С-модуль 2. Группы Нп{С,Ъ) называют группами целочислен-
целочисленных когомологии. Они зависят только от С и обозначаются, как правило,
НпС Значение групп НпС связано с их топологическим происхожде-
происхождением. Дело в том, что для любой группы С существует топологическое
пространство, когомологии которого, определённые на геометрическом
языке, изоморфны когомологиям НпС Сами термины «дифференциал,
цепь, цикл, граница» имеют геометрическое происхождение, а приставка
«ко» соответствует вычислению функции /.
В определении когомологии вычисление функции и взятие дифферен-
дифференциала можно отделить друг от друга. Для этого рассмотрим свободный
§1. Определение когомологий 65
С-модуль Хп со свободными образующими (рх,... ,рп), где д\ Е С,
(считаем, что (рх? • • • >#п) = 0, если д\ = 1 для некоторого г). В частности,
Хо — свободный циклический модуль с образующим ( ), который удобно
отождествить с 1 € ЪС. Определим далее гомоморфизмы йп: Хп —► Хп_х,
имитируя формулу B.4)
,9п) =
Например, йх(р) = ( )# ~ ( ) — 9 ~ 1- Точно так же, как в лемме 1.2,
доказывается, что с^п+х = 0 (коротко с?2 = 0). Отображения с^, также
как и 6п, называют дифференциалами. Задание гомоморфизма С-модулей
Хп —> А эквивалентно заданию функции / б ^(О.А) на множестве сво-
свободных образующих, поэтому имеет место изоморфизм абелевых групп
B.5)
Если 9? —гомоморфизм, соответствующий функции /, то когранице
соответствует композиция с1п+1 и (р. Это означает, что с точностью до
отождествления B.5) 6п совпадает с гомоморфизмом
Иотс(Хп, А) -* Ношс(Хп+х, А),
который индуцирован дифференциалом
Итак, для произвольной группы С мы определили последовательность
свободных модулей и гомоморфизмов
причём когомологий Нп(С,А) могут быть вычислены с помощью после
довательности абелевых групп
0 -* Яотс(Х0, А) ^ Яотс(Хъ
., Л) Н Нотс(Хп+иА) Н1 ... B.7)
как факторгруппы Кегйп/1ш5п_х.
Напомним, что последовательность модулей и гомоморфизмов называ-
называется точной, если ядро очередного отображения совпадает с образом пре-
предыдущего. Группы когомологий измеряют отклонение от точности в каж-
каждом члене последовательности B.7). В то же время последовательность
B.6) является точной в каждом члене Хп, кроме
3 - 2532
66 Глава 2. Когомологии групп
Предложение 1.3. Для любого п ^ 1 Ьпйп+х =
Доказательство. Положим Кп = Кегйш 1п = Гтс^. Аддитивная
группа С-модуля 1п — свободная абелева (как подгруппа свободной абе-
левой группы Хп-\), поэтому точная последовательность абелевых групп
0-*Кп-*Хп-*1п-+0
расщепляется. Рассмотрим вложение гп: 1п —■> Хп такое, что йпгп =
= гй/п — тождественное отображение. Тогда Хп — Кп © гпAп). Если
верно, что Кп = /п+1, то полученное разложение можно переписать
в виде Хп = 1п+1 © гпAп). Определим гомоморфизм зп: Хп —► Хп+1,
считая, что «5П = 2^+1 на 1п+\ и зп = 0 на гпAп). Любой элемент а: Е
€ -Хп можно единственным образом представить в виде х = у + гп(г),
где у б /п+ь ^ € /п- Как следует непосредственно из определений у =
- На языке отображений это означает, что
- B.8)
Итак, если Кп = 1п-\-1, то существуют гомоморфизмы абелевых групп
вп: Хп —> Хп+1, удовлетворяющие равенствам B.8). Наоборот, предполо-
предположим, что такие гомоморфизмы существуют. Если х Е Кп, то, как следует
из B.8), х = д,п+\(зпх) е /п+1, то есть Кп С /п+1. Включение 1п+1 С К"п
уже доказано, поэтому /^Гп = /п+1. Остаётся построить отображения зп.
Положим
в частности, 5п(р1,... ,дп) = 0. Если х = (рь ... ,дп), то
= X.
Нетрудно проверить, что равенство B.8) выполнено для любого х =
В члене Хо последовательность B.6) не является точной, так как
= Хо = ЪС, \тй\ = Ас, и Кег^оДтс?! = 2. Пополним после-
последовательность B.6) справа тривиальным С-модулем 2, заменив й$ гомо-
гомоморфизмом е: ЪС —> 2 (это, кстати, объясняет термин «пополняющий
гомоморфизм»). Полученная последовательность
«п + 1 V Ап \г «п-1 &2 \г &\ \г & гж г\ /О П\
••• —> Лп -> Ап-1 -> ••• -> Ах -* Ао -♦ Л -^ У 1^.У)
будет точной уже без оговорок о младшей размерности. Её называют
стандартной резольвентой тривиального С-модуля 2 или стандартной
§1. Определение когомологий 67
резольвентой группы С. Для последовательностей B.6) и B.9) мы будем
использовать обозначения ЩС) и, соответственно, е: ЩС) —> 2. При
вычислении когомологий 2 нужно отбросить и рассматривать последова-
последовательность Нотс(ЩС), А).
Рассмотрим два примера применения построенной резольвенты. В пре-
предыдущей главе мы доказали, что первая и вторая группы когомологий
с коэффициентами в коиндуцированном модуле тривиальны G.3, 8.3). Те-
Теперь эти утверждения становятся частным случаем более общего факта.
Предложение 1.4. Для любой группы С и абелевой группы А
Нп(С, Нот BС, А)) = 0прип^1.
Доказательство. Используем последовательность B.7), взяв вместо
А коиндуцированный модуль НотBС,Л). По следствию 2.4
, Нот BС, А)) ^ Нот (Хп, А),
4
поэтому после такой подстановки получается последовательность
О -* Нот(Х0, А) ^ Нот(ХиА) ^ • • • ^ Нот(Хп, А) Н • • •
Надо доказать, что если / е Нот(Хгг,Л), п ^ 1 и 6п(/) = 0, то
/ = 6п-1((р) для некоторого гомоморфизма у? Е Нош(Хп_1, А). Подчерк-
Подчеркнём, что искомое отображение (р — это гомоморфизм абелевых групп, а не
С-модулей Доказательство его существования использует лишь то, что
B.6) — точная последовательность свободных абелевых групп. Равенство
<$„(/) = 0 означает, что /с^+1 = 0, то есть, что / = 0 на элементах из
/гг+1 = 1тс1п+1. В силу точности это эквивалентно тому, что / = 0 на
Кп = Кегйп. Рассмотрим индуцированный гомоморфизм /: Хп/Кп —> А.
Его можно переписать в виде /: 1п —■> А. Ещё раз используя точность,
имеем
— Хп-1/ Кп-1 = 1п-1-
Но 1п-\ — свободная абелева группа, поэтому Хп-\ = 1п©1п-\. Ясно, что
/ можно продолжить до гомоморфизма <р: Хп-\ —»• Л, считая, например,
что (р = 0 на 1п-1. По построению / = фйп. □
Предложения 7.6 и 8.5 также допускают обобщение.
Предложение 1.5. Пусть С — конечная группа порядка т. Тогда для
любого С-модуля А группа Нп{С,А) при п ^ 1 имеет конечную экс-
экспоненту, которая делит т.
з*
68 Глава 2. Когомологии групп
Доказательство. Предположим, что / б Нотс(Хп,А) — п-мерный
коцикл. Нам надо доказать, что га/ = 5п-цр для некоторого гомомор-
гомоморфизма (р е Нотс{Хп+1, А). Попытаемся действовать так же, как в до-
доказательстве предыдущего предложения. Равенство 6п($) = 0 означает,
что / = 0 на элементах из с1п+1(Хп+1) — Лн-ь В силу точности это
эквивалентно тому, что / = 0 на Кп = Кегйш поэтому можно рассмот-
рассмотреть индуцированный гомоморфизм /: 1п —> А. Как и раньше, строит-
строится разложение Хп-\ = 1п ® 1п-ъ однако неясно, как его использовать
для продолжения га/ с 1п на Хп-1, поскольку теперь нужное продолже-
продолжение (р должно быть гомоморфизмом С-модулей, а прямое слагаемое 1п-\
вкладывается в Хп-\ лишь как абелева группа. Допустим, нам удалось
построить мономорфизм С-модулей г: 1п-\ —► Хп-\ такой, что Aп-\г сов-
совпадает с умножением на га. Тогда для любого х е Хп-\ значение йп-\
на тх — г{йп-1х) равно нулю, поэтому тх — г{Aп-\х) е Кп_\ = 1п.
Положим по определению <р(х) = /(гаж — г^-!^)). Если х е 1п, то
(р(х) = га/(ж), следовательно, (^—продолжение гомоморфизма га/ с 1п
на Хп-1 и 8п-1{ф) — га/. Осталось доказать следующую лемму.
Лемма 1.6. Пусть С — конечная группа порядка га. Если короткая
точная последовательность С-модулей
расщепляется как последовательность абелевых групп, то существу-
существует гомоморфизм С-модулей М —► Ь, композиция которого с C совпа-
совпадает с умножением на га.
Доказательство. Формула
(8од)(х) = (з(хд-1))д (з € Нош (М,Ь),д еС,х<Е.М)
определяет действие группы С на Нот(М, Ь). Множество гомоморфиз-
гомоморфизмов, инвариантных относительно этого действия,— это не что иное как
Нотс(М, Ь). Простейший способ построения инвариантов в случае ко-
конечной группы операторов состоит в суммировании по всей группе. В на-
нашем случае, пусть з: М —> Ь — гомоморфизм абелевых групп такой, что
/Зз = Ым, и пусть а = Х}с#- Тогда з о а е Нотс(М,Ь). Для любого
д е С к х € Ь
Р((з о д){х)) = C{{з{хд-1))д) = {Р{з{хд-1)))д = (хд'^д = х,
поэтому /3((з о а){х)) = тх, то есть з о а — искомый гомоморфизм. □
§1. Определение когомологий 69
Напомним, что по определению в абелевой группе А можно делить на
ш, если для любого элемента а е А существует единственный элемент
а! €. А такой, что а = та'.
Следствие 1.7. Пусть С — конечная группа порядка т. Если в адди-
аддитивной группе О-модуля А можно делить на т, то Нп(С,А) = О для
любого п^
Понятно, что лемма 1.6 имеет прямое отношение к теории представ-
представлений. Если в аддитивной группе модуля М можно делить на га, то
точная последовательность леммы 1.6 расщепляется как последователь-
последовательность С-модулей. Особенно важен частный случай этого утверждения,
который обычно называют теоремой Машке.
Следствие 1.8. Пусть Р — поле характеристики 0 или конечной ха-
характеристики, которая не делит порядок группы С. Тогда любая ко-
короткая точная последовательность РС-модулей расщепляется.
Таким образом, если К — подмодуль ^С-модуля Ь, то Ь = К 0 Ь/К.
Предполагая дополнительно, что Ь конечномерен над Р, можно полу-
получить конечное разложение Ь = ®Кг, где Кг — неприводимые .РС-модули
(то есть модули, не имеющие собственных подмодулей). Лемма 1.6 —это,
видимо, простейший пример соприкосновения теории когомологий с тео-
теорией представлений.
Упражнения
1. Сколько имеется слагаемых в выражении для &п{&п-\1) (/ € ^п-\(С^А))
до сокращения? Каково минимальное п, при котором присутствуют все 7
типов слагаемых, указанных в доказательстве леммы 1.2? Сколько имеется
пар слагаемых каждого типа при этом минимальном п?
(Ответ: (п + 2)(п + 1); п — 3; число пар различных типов, как они
перечислены в лемме: 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1.)
2. Стандартная резольвента ЩС) —♦ Ъ зависит от С функториально, в том
смысле, что гомоморфизму групп соответствует некоторое отображение
стандартных резольвент. Дайте аккуратную формулировку этого утвер-
утверждения.
3. Пусть а: Сч —> С\ — гомоморфизм групп. Если группа С\ действует на А,
то А будет также Сг-модулем относительно действия ад — а(а(д)) (а 6
е А,д е С2). Покажите, что гомоморфизму а соответствует некоторый
гомоморфизм ап: Нп(С\,А) —♦ ЯП(С2,А), то есть при фиксированном
70 Глава 2. Когомологии групп
А группа Нп(С,А) является контравариантным функтором аргумента С.
(Указание: гомоморфизм 6?2 —♦ С\ индуцирует отображение
Нотс(8г(С1), А) -» Еотс(ЩС2), А).)
4. Используя последовательность Нотс(ЩС), А) покажите, что Н°(С,А) =
5. Как вычислить нулевую группу когомологии коиндуцированного модуля?
(Ответ: Я°(С, Нот BС, А,)) ^ Л.)
6. Предположим, что B.9) — произвольная точная последовательность, в ко-
которой аддитивные группы С-модулей Хп свободные абелевы. Покажите,
что если А — коиндуцированный С-модуль, то последовательность B.7)
является точной (не считая начального члена Нотс(Хо,А)). Как, сход-
сходным образом, обобщается предложение 1.5?
7. Пусть С —конечная группа порядка т и пусть / — некоторая п-мерная
коцепь. Положим
дес
Докажите, что если / — коцикл, то га/ = (—\)п8п-\{ф). Это даёт пря-
прямое доказательство предложения 1.5. (Указание: просуммируйте равен-
равенства B.4) по всем д\ — д е С.)
8. Рассмотрим свободные абелевы группы Хп с базисом из упорядоченных
наборов (до,. ■. ,дп) элементов группы С таких, что любые два соседних
элемента различны (считаем, что (#(ъ---,<7п) = 0, если д^ — <
некоторого г). Группа С действует на Хп диагонально
1о,---,9п)9 =
Определим гомоморфизмы
с. V . *у /1 • V
с помощью формул
п
е(до) = 1* Зп(до,. • • ,^п) —
1=0
где ^ означает пропуск д^. Проверьте, что Хп — свободные С-модули и что
0. Докажите, что построенная последовательность С-модулей
Ъ изоморфна стандартной резольвенте ЩС) —> Ъ. (Указание:
чтобы получить изоморфизм, согласованный с дифференциалами, элемен-
элементу (<7ъ-- • ,9п)9 ^ ЩС) надо сопоставить элемент (д'о,... ,д'п) € 3?°(С),
где д'п — д, д/к_1 = д^д'к (к = п,... 1).) Эти две формы записи стандарт-
стандартной резольвенты 3?(С) и 5К°(С) называют, соответственно, неоднородной
и однородной стандартной резольвентой.
§2. Когомологии и резольвенты 71
9. Пусть Ао = Ъ, а при и > О Ап = Ас®.. .0Ас (и- раз). Рассмотрим модули
Хп индуцированные с абелевых групп Дп. Другими словами, Хо = ЪС,
а Хп свободно порождается тензорными произведениями (д\ — 1) 0 ... 0
0 (дп — 1)- Гомоморфизм абелевых групп с?п: Ап —> Хп_1, определённый
формулой
г=п—1
е Ас), продолжается до гомоморфизма С-модулей
Покажите, что полученная последовательность изоморфна стандартной ре-
резольвенте ЩС) при изоморфизме (^1 - 1) 0 • • • 0 (дп — 1) —► {дг, • • • ,дп)-
Эту интерпретацию можно было бы назвать линеаризованным вариантом
стандартной резольвенты. Сравните формулу для дифференциалов с фор-
формулами A.17) и A.19).)
§ 2. Когомологии и резольвенты
В этом параграфе мы докажем, что когомологии групп можно вычис-
вычислять с помощью любой свободной резольвенты тривиального С?-модуля
2. Особая роль стандартной резольвенты связана с тем, что она канони-
канонически строится по группе С и зависит от С функториально. Однако для
некоторых групп (например, для свободных абелевых групп) существуют
другие, намного более удобные резольвенты.
Представим тривиальный ©-модуль 2 как фактормодуль некоторого
свободного модуля Хо, что эквивалентно заданию точной последователь-
последовательности
О -> Ко -> Хо ^ 2 -» 0.
В свою очередь, модуль Ко можно представить как фактормодуль сво-
свободного модуля Х\, построив точную последовательность
0 -> Кг -* Хг ^ Ко -> 0.
Соединим эти последовательности в одну
0 -♦ Кг -♦ Хг ^ Хо -^ 2 -> 0.
Действуя аналогично, получим длинную точную последовательность
1 Хп Н • • • ^ Хо ^ 2 -^ 0 , B.10)
72 Глава 2. Когомологий групп
в которой Хп — свободные 2©-модули. Любая такая последовательность
называется свободной резольвентой тривиального ©-модуля 2, или (ме-
(менее аккуратно) — свободной резольвентой группы ©. Отображения йп на-
называют дифференциалами. По построению 1тс?п = Кегс?п_1. Стоит отме-
тить, что последовательность B.10) вовсе не обязана быть бесконечной
влево. Если для некоторого п ядро Кп-\ гомоморфизма д,п-1 —свобод-
—свободный ©-модуль, то в качестве Хп можно взять Кп-\, а в качестве йп —
вложение. Все члены с большими номерами можно тогда считать нулями,
то есть резольвента имеет фактически конечную длину.
Пусть теперь А— произвольный ©-модуль. Рассмотрим последователь-
последовательность
0 -> Нота(Х0, Л) ^ • • • ^ Нота(Хп, А) Н • • • , B.11)
в которой гомоморфизмы 5п индуцированы дифференциалами д,п\
(*п(/))(я) = !{Лп+\{х)) / Е Потс(Хп,А),хе Хп+г.
Говорят, что последовательность B.11) получается из последовательно-
последовательности B.10) применением функтора Нот^. Из равенства с?пйп+1 = 0 сле-
следует, что 6п6п-1 = 0, то есть, что 1т 8п-\ С Кег5п. Это включение мо-
может быть строгим, то есть функтор Ноте?, вообще говоря, не сохраняет
точность. Действительно, пусть / Е Кег5п и мы хотим найти функцию
(р е Е.отс(Хп-1, А) такую, что / = 5п-\{ф). Условие / е Кег5п эквива-
эквивалентно тому, что / = 0 на 1тйп+1 = Кегс?п. Отображение / индуцирует
гомоморфизм /: Хп/К.егйп = 1тс?п —> А. Нужная функция (р должна
быть продолжением / с 1т4 на Хп-\, но гомоморфизм заданный на
подмодуле не всегда продолжается до гомоморфизма всего модуля.
Сформулируем теперь основной результат этого параграфа.
Теорема 2.1. Группы Кег5п/1т8п-\ не зависят от выбора свободной
резольвенты тривиального С-модуля Ъ, и следовательно, изоморфны
группам когомологий Нп(С,А), вычисленным с помощью стандартной
резольвенты.
На самом деле, мы докажем большее. Будет доказано, что для любых
двух свободных резольвент тривиального ©-модуля 2 существует един-
единственный изоморфизм групп Кег6п/1т6п-1, индуцированный некото-
некоторым отображением резольвент. Это следует из более общих фактов, и мы
начнём с того, что введём нескольких новых понятий.
Пусть Я — произвольное ассоциативное кольцо с единицей или алге-
алгебра над коммутативным кольцом. Основным для нас будет случай, когда
§2. Когомологии и резольвенты 73
Я — групповое кольцо. Последовательность Д-модулей и их гомоморфиз-
гомоморфизмов
называется комплексом, если композиция любых двух соседних гомо-
гомоморфизмов равна нулю, то есть для любого п 1тс?п С Кегйп_1. Мы
ограничимся рассмотрением неотрицательных комплексов, то есть таких,
для которых Сп = О при п < 0. Гомоморфизмы д,п независимо от их про-
происхождения называют дифференциалами. Элементы модуля Сп называ-
называют п-мерными цепями, а элементы его подмодулей Кегйп и \тд,п+\ —
п-мерными циклами и границами. Комплекс B.12) будем обозначать
С = (Сп,^). Группы гомологии комплекса С определяются равенством
НпС = Кегс1п/1тс1п+1. Если х Е Кег с(п, то соответствующий элемент
группы ЯПС обозначается с18(х). Говорят, что п-мерный цикл х представ-
представляет элемент Н е НпС, если Н = с18(ж). Циклы, представляющие один
и тот же элемент называют гомологичными. Наконец, ациклический ком-
комплекс — это точный комплекс, то есть такой, для которого НпС = 0 для
всех п.
Комплексы играют в теории гомологии роль модулей и рассматрива-
рассматриваются как некие единые объекты. Аналог подмодуля — это подкомплекс, то
есть семейство подмодулей С'п С Сп таких, что с?п(С^) С С'п_^. Вместе
с ограничениями в!п дифференциалов йп подмодули С'п образуют ком-
комплекс Я-модулей С = (С'п,д!п). Понятно, что определён и факторкомлекс
С" = С/С\ для которого С'Л = Сп/С'п, а дифференциалы с?" индуциро-
индуцированы дифференциалами Ап.
Аналогом гомоморфизмов служат цепные преобразования. Именно,
пусть имеются два комплекса /^-модулей С = {Сп,йп) и С = {С1п,д!п).
Цепным преобразованием /: С —> С называется семейство гомоморфиз-
гомоморфизмов /?г: Сп —> Сп, перестановочных с дифференциалами, то есть таких,
что /п-1^ = д!п_х$п- Это равенство означает коммутативность каждого
квадрата
Цп / |/п-1 B.13)
Су _Ч
п ~*
Вложение подкомплекса и отображение на факторкомплекс дают при-
примеры цепных преобразований. Очевидно также, что композиция цепных
преобразований /: С —> С и /': С —> С" снова будет цепным преоб-
преобразованием, а при фиксированных С и С всевозможные цепные преоб-
преобразования /: С —> С7 образуют группу относительно сложения. Из диа-
74 Глава 2. Когомологии групп
граммы B.13) следует, что гомоморфизмы /п переводят циклы в циклы,
а границы в границы, поэтому определены индуцированные отображения
гомологии НпС —> НпС. Сформулируем достаточное условие того, что
двум цепным преобразованиям соответствуют одни и те же отображения.
Предложение 2.2. Пусть /,<?: С —» С — цепные преобразования ком-
комплексов К-модулей. Если существуют гомоморфизмы абелевых групп
8п: Сп —> С'п+1 такие, что
п, B.14)
индуцированные отображения НпС —> НпС совпадают.
Действительно, если х — п-мерный цикл, то, как следует из равенства
B.14), /пх = дпх + <4+1($пж), то есть ск (/пж) = ск (дпх). □
Следствие 2.3. Предположим, что существуют гомоморфизмы абеле-
«
вш; групп вп: Сп —> Сп+\ такие, что 8п-\Aп-]-д!п^8п — тождественное
отображение. Тогда С — ациклический комплекс.
Для доказательства достаточно в предложении 2.2 взять в качестве /
тождественное, а в качестве д — нулевое отображение комплекса С. Фак-
Фактически мы уже использовали утверждение следствия 2.3 при доказа-
доказательстве точности стандартной резольвенты.
Принята следующая терминология, имеющая топологическое проис-
происхождение. Цепные преобразования /,<?: С —> С называются гомотоп-
гомотопными, если существует семейство гомоморфизмов 5 = (зп), для которых
выполнены равенства B.14), при этом 5 называется цепной гомотопи-
ей от / к д. Легко видеть, что отношение гомотопности является отно-
отношением эквивалентности и классы гомотопных цепных преобразований
образуют группу относительно сложения. Гомотопия между тождествен-
тождественным и нулевым отображением называется стягивающей гомотопией,
а комплекс, для которого стягивающая гомотопия существует, — стяги-
стягиваемым. В этой терминологии следствие 2.3 означает, что стягиваемый
цепной комплекс ацикличен. Если аддитивные группы модулей Сп сво-
свободные абелевы, то верно и обратное. Это частный случай следующего
предложения при С = С, / = гй.
Предложение 2.4. Пусть С = (Сп,йп) и С = (С'п,с1'п) — комплексы
К-модулей. Если аддитивные группы модулей Сп свободные абелевы,
а комплекс С ацикличен, то любое цепное отображение /: С —> С
гомотопно нулевому отображению.
§2. Когомологии и резольвенты 75
Доказательство. Нам нужно построить отображения зп: Сп
так, чтобы выполнялись равенства
/п == 8п—1^п т" ^т
Сделаем это индукцией по п. Отображение $о должно удовлетворять
условию /о = с^зо (ПРИ п < 0 8п = 0). Важно, что не требуется стро-
строить гомоморфизм /^-модулей. Достаточно, чтобы отображение во было
гомоморфизмом абелевых групп. Из равенства С$ = Кегс?0 и ациклично-
ацикличности комплекса С следует, что в!х — эпиморфизм. Это и даёт возможность
определить $0-' если хг~ свободные образующие аддитивной группы мо-
модуля Со, то в качестве $о#г можно взять любой элемент у{ е С[ такой,
что с1'оуг = /оХг. Предположим, что отображения $о> • • • > 8п-1 уже постро-
построены. Чтобы убедиться в существовании гомоморфизма зп: Сп —> С'п+1,
удовлетворяющего условию /п — 8п-\йп = д!п+18п, достаточно проверить,
что 1тб?^+1 С 1т}п — 8п-\йп. В силу ацикличности комплекса С мож-
можно 1тс^+1 заменить на Кегс?^, то есть задача сводится к проверке того,
что композиция отображений /п — 8п-\д,п и д!п равна нулю. Пользуясь
предположением индукции и тем, что / — цепное преобразование, имеем
= 0. □
Возможны вариации на тему предложения 2.4. Пусть 5 — подкольцо
кольца /?, содержащее 1. Предложение 2.4 останется верным, если усло-
условие на аддитивную группу модулей Сп заменить условием «Сп — свобод-
свободные 5-модули». Доказательство не меняется, а построенная гомотопия
оказывается гомотопией над 5, то есть зп — гомоморфизмы 5-модулей.
В частности, справедлив аналог предложения 2.4 для случая, когда Я —
алгебра над произвольным полем и для случая, когда Сп — свободные
/?-модули. Другие варианты связаны с пополненными комплексами и ре-
резольвентами. Пусть В — произвольный Н-модулъ. Комплексом над В, или
пополненным комплексом, назовём комплекс /^-модулей С = {Сп,йп) вме-
вместе с гомоморфизмом е: Со —> В таким, что ей\ = 0. Очевидно, последо-
последовательность
1 Сп ^ Сп_1 ^г.1 Сх ^ Со ^ В -> 0 B.15)
является комплексом в обычном смысле, если считать, что В = С-\ и
е = ф). Для пополненного комплекса B.15) будем использовать обозна-
е ее'
чение С —> В. Пусть С —> В и С —> В' — два пополненных комплекса
76 Глава 2. Когомологии групп
и а: В —> В' — гомоморфизм. Говорят, что цепное преобразование /: С
—> С накрывает а, если диаграмма
I /о I а B.16)
коммутативна, то есть / вместе с а определяет цепное преобразование
пополненных комплексов. Ациклический пополненный комплекс B.15)
называется резольвентой модуля В. Таким образом, С Д В — резоль-
резольвента, если НпС — О при п > О и ЩС = Б.
Предложение 2.5. Пусть а: В —» В' — гомоморфизм К-модулей, С Д
В — комплекс над В и С -* В' — резольвента. Если модули Сп сво-
свободны над некоторым подкольцом 8 кольца К, то любые два цепных
преобразования д,к: С —> С, накрывающие а гомотопны над 8.
Доказательство. Цепное преобразование / = д — Н накрывает нуле-
нулевое отображение. Нам нужно построить гомотопию между / и нулевым
отображением. Это делается так же, как в предложении 2.4. Меняется
лишь рассуждение при построении гомоморфизма $о: Со —> С{, удовле-
удовлетворяющего условию /о = й'г$о- Теперь в!х — не обязательно эпиморфизм.
Однако из коммутативности диаграммы B.16) (в которой а = 0) и точ-
точности в члене С^ следует, что 1т /о С Кегб' = 1т д!1. Так как Со—
свободный 5-модуль, этого достаточно, чтобы «провести» /о через й\. □
Пополненный комплекс /^-модулей С ^ В будем называть свобод-
свободным, если Д-модули Сп свободны. Следующую теорему называют тео-
теоремой сравнения. Это часто используемый, обиходный инструмент гомо-
гомологической алгебры. В формулировке имеется ввиду, что гомоморфизмы
и модули рассматриваются над одним и тем же кольцом К.
е е'
Теорема 2.6. Пусть С —► В — свободный комлексу а С1 —> В1 —резоль-
—резольвента. Тогда для любого гомоморфизма а: В —* В' существует един-
единственное с точностью до гомотопии цепное преобразование /: С —>
—> С, которое накрывает а.
Доказательство. Единственность следует из предложения 2.5. Суще-
Существование доказывается индукцией по размерности. Гомоморфизм /0, для
которого диаграмма B.16) коммутативна, существует благодаря тому, что
Со — свободный /?-модуль, а е' — эпиморфизм. Предположим, что отобра-
отображения /о,...,/п_1 уже построены так, что соответствующие диаграммы
§2. Когомологии и резольвенты 77
коммутативны. Чтобы построить отображение /п, для которого
= $п-\Aп, достаточно убедиться в том, что 1тв!п Э 1т/п-1Aп. В силу точ-
точности комплекса С это эквивалентно включению К.егв!п_х Э 1т/п_1С?п.
Пусть у = /п-1(йпж) (х е Сп). Тогда
= 0. □
Свободный комплекс над В, который является резольвентой, назовём
свободной резольвентой модуля В. Такая резольвента всегда существует,
так как любой модуль — эпиморфный образ свободного. Сравним с помо-
помощью теоремы 2.6 две свободных резольвенты одного и того же модуля.
Теорема 2.7. Пусть Х-+ВиХ'-+В — две свободные резольвенты
модуля В. Тогда существуют однозначно определённые с точностью
до гомотопии цепные преобразования /: X —> X' и д: X' —> X, накры-
накрывающие тождественное отображение В —> В. Композиции д/ и /д
гомотопны тождественному Цепному преобразованию гйх и, соот-
соответственно,
Доказательство. Первая часть, очевидно, следует из теоремы срав-
сравнения. Далее, композиция р/ —это цепное преобразование комплекса X,
накрывающее тождественное отображение гйв'- В —> В. Но тождествен-
тождественное цепное преобразование Ых'- X —> X также накрывает гйв- Применив
ещё раз теорему сравнения, получим гомотопность д/ и Ых- Точно так
же гомотопны /д и гйх1- а
Обсудим теперь комплексы групп гомоморфизмов. Пусть А — произ-
произвольный Я-модулъ и С = (Сщйп) — комплекс /^-модулей. Тогда опреде-
определена последовательность абелевых групп Нот^СС, А)
Нотя(Сп, А) Н Нотд(Сп+1, Л) ^ • • • , B.17)
в которой гомоморфизмы 6п индуцированны дифференциалами йп. После-
Последовательность B.17) —это комплекс, в том смысле, что 8п+\&п = 0. Раз-
Разница лишь в том, что отображения д,п понижают, а отображения 6п повы-
повышают размерность. Такие последовательности называют кокомплексами.
В обозначениях для кокомплекса принято использовать верхние индексы,
скажем, Нотп(Сп,А) = Кп и 6п вместо 8п. Если С —неотрицатель-
—неотрицательный комплекс Д-модулей, то кокомплекс абелевых групп Нотя(С, А) =
= (Кп,5п) = К запишется в виде
0-+ К* % К1 *>...*?? КП % кп+1
78 Глава 2. Когомологий групп
Можно рассматривать кокомплексы Я-модулей, не связывая их появле-
появление с функтором Нот, однако нам это не понадобится. Элементы группы
Кп называют п-мерными коцепями, а элементы групп Кегйп и 1т 5п~1 —
п-мерными коциклами и кограницами. Группы когомологий кокомплек-
са К определяются равенствами НпК = Кег6п/1т6п~^. Понятно как
определить коцепные преобразования и гомотопии между ними. В от-
отличие от случая комплексов гомотопия теперь не повышает, а понижа-
понижает размерность. Цепное преобразование комплексов /: С —> С инду-
индуцирует коцепное преобразование /*: К' —> К, где К = Нотя(С, А),
К' = Нотя(С,Л), а гомотопия 8 между цепными преобразованиями
/, д: С —> С индуцирует гомотопию 8* между соответствующими коцеп-
ными преобразованиями /* и д*. Теперь мы готовы сделать окончатель-
окончательные выводы.
Теорема 2.8. Пусть А и В — произвольные модули над кольцом И и
X —> В — свободная резольвента модуля В. Группы когомологий
«
Нп(Нотп(С, А)) не зависят от выбора X. Если X' —► В — другая сво-
свободная резольвента и /: X —> X' — цепное преобразование, накрыва-
накрывающее тождественное отображение В —> В (/ существует по те-
теореме сравнения), то / индуцирует изоморфизм групп когомологий
Нп{Н.отк{Х', А)) —> Яп(Нотя(^, А)), не зависящий от выбора преоб-
преобразования /.
Доказательство. По теореме сравнения существует также цепное
преобразование д: X' —> X такое, что композиции <?/ и /д гомотопны
тождественному цепному преобразованию. Но тогда каждое из коцепных
преобразований (<?/)* = /*<?* и (/<?)* = <?*/* также будет гомотопно тож-
тождественному, следовательно / и д индуцируют взаимно обратные отобра-
отображения групп когомологий. Преобразование / определено с точностью до
гомотопии, поэтому то же самое верно и для /*, следовательно отобра-
отображение групп когомологий не зависит от преобразования /. □
Очевидно, теорема 2.1 — это частный случай теоремы 2.8 при Я = ЪС,
В — Ъ. В то же время, появляется повод обобщить понятие групп кого-
когомологий Нп(С,А). Именно, для любого ассоциативного кольца И с еди-
единицей и любых /^-модулей А и В введём абелевы группы
Ех^(Б, А) = Нп{Яотя{Х, А)), п ^ О,
где X —> В — произвольная свободная резольвента /?-модуля В. Теоре-
Теорема 2.8 гарантирует корректность определения. Отметим, что
§2. Когомологии и резольвенты 79
Действительно, Хп = О при п < О, поэтому #°(Нотя(Х, Л)) — это груп-
группа 0-мерных коциклов, то есть гомоморфизмов Хо —> А, которые триви-
тривиальны на 1-мерных границах д,\{Х\). Так как Х^/й\{Х\) = Б, то речь
фактически идёт о гомоморфизмах В —> А.
Для любой группы © и ©-модуля А
В частности, Н°(С,А) = НотоB, А), что согласуется с описанием
Н°(С,А) как группы, состоящей из ©-инвариантных элементов моду-
модуля Л.
Рассмотрим пример ситуации, в которой действительно важно, что
когомологии можно вычислять с помощью произвольной свободной ре-
резольвенты. Пусть 5 — подгруппа группы © и © = ид^З — её разложение
на классы смежности. Тогда 2© — ®д\Ъ8 (прямая сумма 5-модулей),
поэтому любой свободный ©-модуль будет в то же время и свободным
5-модулем. Следовательно, любую свободную резольвенту тривиально-
тривиального ©-модуля можно также считать свободной резольвентой тривиального
5-модуля. Пусть, например, для группы © существует свободная резоль-
резольвента X —> 2 конечной длины г, то есть Хп = 0 при п > г, но Хг Ф 0.
Обозначим через г (С) минимальное возможное значение г (если таких
г не существует, то считаем, что г (С) = оо). Как вытекает из замеча-
замечания, сделанного выше, функция г(©) монотонна, то есть г(8) < г (С) для
любой подгруппы 8 С С Если п > г (С), то, очевидно,
Нп(С,А) = 0 для любого ©-модуля А. B.18)
Определение 2.9. Когомологической размерностью сс1© группы С на-
называется наименьшее число г такое, что для всех п > г выполнено
условие B.18). Если таких г не существует, то говорят, что когомо-
когомологическая размерность группы С бесконечна.
Тема размерности будет ещё неоднократно обсуждаться. В частности, мы
докажем, что ей© совпадает с минимальной длиной свободной резоль-
резольвенты г(©). На данный момент можно лишь утверждать, что ей© ^ т{С).
Разумеется из совпадения этих чисел следовала бы монотонность размер-
размерности
ей5 ^ ей© E - подгруппа в С). B.19)
Приведём доказательство неравенства B.19), основанное на описании ко-
когомологии модулей, коиндуцированных с подгруппы.
80 Глава 2. Когомологии групп
Предложение 2.10. Для любой подгруппы 8 группы С и 8-модуля А
имеют место изоморфизмы
Нп(8,А) ^ #п(С,Нот<?BС,
Доказательство. Воспользуемся тем, что для любого ©-модуля А'
Нот8(А',А) 2* Нотс(Л',Нот<?BС', А))
(этот изоморфизм обсуждался в § 1.2). Группы ЯпE', А) можно вычислять
с помощью свободной резольвенты ©-модулей X —> 7,
Нп(8,А) ^ Нп(Иот8{Х, А)) ^
^ Нп(Потс(Х, Нот5BС, А))) ^ #П(С, Нот5BС, Л)). П
Если п > ссЮ, то, как следует из предложения 2.10, ЯпE',А) = 0 для
любого 5-модуля А, откуда и получается неравенство B.19).
4
Упражнения
1. Приведите пример негомотопных цепных преобразований, которые инду-
индуцируют одно и то же отображение групп гомологии. (Указание: нулевое
и тождественное отображения точной последовательности
-4 Ъ/пЪ -> 0.
Это также и пример нестягиваемого ациклического комплекса.)
2. Стандартная резольвента состоит из свободных ЕС-модулей. Почему, тем
не менее, не удаётся построить стягивающую гомотопию 5 = (зп), в кото-
которой зп — гомоморфизмы ЕС-модулей? (Указание: приходится начинать не
со свободного, а с тривиального С-модуля.)
3. Почему стягивающую гомотопию стандартной резольвенты ЩС) нельзя
перенести на комплекс НотсC?(С), А)? (Указание: чтобы гомотопия
5 = ($п) между цепными преобразованиями /,д: С —> С комплексов
С-модулей индуцировала гомотопию между цепными преобразованиями
/*,<7*: Нотс(С',А) —> Нотс(С, А), нужно, чтобы отображения зп были
гомоморфизмами С-модулей.)
4. Будем писать / ~ д, если цепные преобразования / и д гомотопны. Пусть
заданы комплексы Л-модулей С, С, С" и цепные преобразования
Ъд:С->С /',</': С"-С".
Покажите, что если / ~ д и /' ~ </, то /'/ ~ д'д. (Указание: если 5 и $' —
гомотопии между /, д и /',</, то /'$ 4- з'д — гомотопия между /'/ и д'д.)
§2 Когомологии и резольвенты 81
5. Пользуясь предыдущим упражнением, определите композицию классов го-
гомотопных цепных преобразований (при условии, что имеет смысл компо-
композиция представителей этих классов). Какие классы играют роль изомор-
изоморфизмов? Проверьте, что классы гомотопных цепных преобразований ком-
комплекса в себя образуют кольцо.
6. Пусть Хп — свободные С-модули со свободными образующими
(<7ь--ч<7п), где Яг € С (не исключается случай дг = 1). Определим диф-
дифференциалы <1п: Хп —> Хп_1 теми же формулами, что и в стандартной
резольвенте ЩС). Покажите, что полученная последовательность также
является свободной резольвентой тривиального С-модуля Ъ. Это так на-
называемая ненормализованная стандартная резольвента. (Указание: отобра-
отображение (#1,... ,дп)д —> (<7ъ • • • ,дп,д) определяет стягивающую гомотопию.)
7. Пусть X —> Ъ — резольвента предыдущего упражнения. Рассмотрим под-
подмодули Уп С Хп, порождённые элементами (д1- — дп), в которых дг — 1
для некоторого г. Проверьте, что эти подмодули образуют подкомплекс
У такой, что Х/У = ЩС). Пусть /: X —> Х/У — естественное отобра-
отображение. Из теоремы 2.7 следует, что существует цепное преобразование
/': Х/У —» X, накрывающее тождественное отображение 2->2и тогда
/'/ ~ Ых-, //' ~ Мх/у* то есть / ~" изоморфизм в смысле упражнения 5.
Докажите, что /' можно выбрать так, что //' = Ых/у* и следовательно,
X ~ У ф ЩС). (Указание: в размерностях 1 и 2 отображение /' можно
определить равенствами
8. Пусть С-модуль Хп индуцирован с абелевой группы ЪС®.. .<8>2С (п раз)
Другими словами, Хп — свободный С-модуль со свободными образующи
ми <71<8>. • -®дп {9г ^ С). Определим дифференциалы д,п: Хп —> Хп_ь счи
тая, что на д\ ®.. .0^п значение (/„ вычисляется так же как на (#1,... ,^п
в ненормализованной стандартной резольвенте. Тогда для любых элемен
тов 7*1,..., гп е ЪС
п
) =
4"
Подмодули, порождённые элементами г\® ...®гп, где и е Ас образу-
образуют подкомплекс, изоморфный нормализованной стандартной резольвенте
ЩС) (см. упражнение 9 предыдущего параграфа). Покажите, что отобра-
отображение
/: (гг ® ... ® гп) -> (п - е{гг)) 0 ... ® (гп - е(гп))
является цепным преобразованием, которое действует тождественно на
подкомплексе 5К(С), и следовательно, X = У 0 5К(С), где У = Кег/.
Сравните этот результат с разложением предыдущего упражнения.
82 Глава 2. Когомологии групп
9. Опишите однородный вариант ненормализованной стандартной резольвен
ты. По какому подкомплексу нужно факторизовать, чтобы получить одно
родную резольвенту 5?°(С) упражнения 8 параграфа 2.1? (Указание: нуж
ный подкомплекс состоит из линейных комбинаций элементов (до, • • • чв
в которых д^ — дг+\ для некоторого г.)
10. Пусть А — некоторый С-модуль и пусть /: С —> С и (р: А —> А — автомор-
автоморфизмы, удовлетворяющие условию
фд) = ф)/{д). B.20)
Для любой п-мерной коцепи к: С х ... х С —» А определим коцепь
положив
Покажите, что отображение к —> к* индуцирует автоморфизм групп ко-
когомологии Нп(С,А). (Указание: отображение к —> к* является цепным
преобразованием кокомплекса Нотс(ЩС), А)).
11. Пусть в предыдущем упражнении / — внутренний автоморфизм, соответ-
соответствующий элементу х € С, и (р(а) — ах (а € А). Тогда / и <р удовлетворя-
удовлетворяют равенству B.20). Покажите, что индуцированное отображение групп
когомологии будет тождественным. Сравните этот результат с упражне-
упражнениями 1.7.6. и 1.8.8. (Указание: отображение
(#1,...,0П) -> (хд1х'\...,хдпх~1)х
продолжается до цепного преобразования стандартной резольвенты, кото-
которое накрывает тождественное отображение Ъ —> Ъ.)
§ 3. Резольвенты и копредставления
Когомологии данной группы нельзя вычислить раз и навсегда, поскольку
они зависят от модуля коэффициентов. По этой причине лучшее, что мож-
можно сделать, — это построить по возможности простую резольвенту триви-
тривиального С-модуля, которая учитывала бы специфику группы. Конечно,
есть и другие методы вычисления когомологии, например, спектральные
последовательности, однако резольвенты остаются наиболее универсаль-
универсальным средством. Мы покажем, как можно построить резольвенту, исходя
из задания группы образующими и определяющими соотношениями. Эта
конструкция была впервые указана Грюнбергом [18]. Как частный случай
она включает в себя стандартную резольвенту.
ПуОТЬ /^ — Свободная группа со свободными образующими х^ N — её
нормальная подгруппа, порождённая элементами у^ и С = Р/И. Задание
§3. Резольвенты и копредставления 83
группы С в виде С = Р/И называют её копредставлением. Любое множе-
множество слов, нормальное замыкание которого совпадает с N. является для
С множеством определяющих соотношений. Свободная резольвента три-
тривиального ©-модуля 2 будет построена по копредставлению и не зависит
от выбора образующих Х{ е Р и соотношений у$ Е N. Образующие групп
Р и N полезны при фактических вычислениях и играют роль системы
координат. Начнём со случая свободных и циклических групп.
Пусть С = Р — свободная группа со свободными образующими Х{.
В соответствии с примером 7.5 главы 1 фундаментальный идеал Д^ её
группового кольца — это свободный ^-модуль со свободными образующи-
образующими Х{ — 1. Отсюда следует, что в качестве свободной резольвенты триви-
тривиального ^-модуля 2 можно взять точную последовательность
О -* Ар ^ ЪР Д 2 -> 0, B.21)
где й\ — вложение, а е — пополняющий гомоморфизм. Применяя Нот/?,
получим последовательность
О -* Нот^B,Р, А) ^ Нот^ДР, А) -* О,
где 5о индуцируется вложением с?ь то есть 5о — ограничение с ЪР на Ар.
Очевидно, Нп(Р,А) = 0 при п > 1. Так как Ар — свободный ^-модуль,
то Нотр(Ар,А) можно описать как группу функций на множестве сво-
свободных образующих со значениями в А. Её подгруппа 1т 6$ состоит из
функций /а, имеющих вид /а(хг) — а(хг — 1) (а ^ А)> и
Н\Р,А) ^ИотГ(Ар, А)/1т60.
Наконец, Н°(Р, А) — это группа инвариантов модуля А. Пусть, например,
А = X и Р имеет конечный ранг г. Тогда
Группа Р имеет когомологическую размерность 1. Как мы уже упоминали,
верно и обратное: группа когомологической размерности 1 свободна [59],
[61].
Пусть теперь С = (д \ дп = 1) — циклическая группа порядка п. Ре-
Резольвенту тривиального С-модуля 2 всегда можно начать с пополняю-
пополняющего гомоморфизма е: ЪО —> 2. В нашем случае Ас — это циклический
модуль с образующим д — 1, поэтому умножение на д — 1 определяет
гомоморфизм й: ЪС —> ЪС такой, что 1тв, = Кегб. Чтобы вычислить
84 Глава 2. Когомологии групп
Кегй, заметим прежде всего, что (д — 1)(дп~1 Н \-д +1) = дп — 1 = 0.
Пусть, наоборот, (д — 1)г = 0. Рассмотрим бесконечную циклическую
группу Р = (х) и эпиморфизм ЪР —> 2С при котором х переходит
в д. Если г — прообраз элемента г, то (х — 1)г = (хп — 1I где I е ЪР.
В кольце 2^ нет делителей нуля, поэтому сокращая на х — 1, полу-
получим г = (хп~1 н Нж + 1)^. Таким образом, если (<? — 1)г = 0, то г
принадлежит идеалу, порождённому элементом дп~1 + -• - + д +1. Умно-
Умножение на этот элемент определяет гомоморфизм а: ЪС —> ЪС такой, что
1тсг = Кегс?. Точно так же доказывается, что Кегсг состоит из элементов
кратных д — 1, то есть совпадает с А^. Мы пришли к ситуации, с кото-
которой начинали, построив, тем самым, бесконечную свободную резольвенту
периода 2
• • • Л ЪС ^ ЪС Л ЪС ^ - • • Л ЪС Д 2 -* 0. B.22)
Пусть А — произвольный ©-модуль. Так как Нотс?B(?, А) = А, то для
вычисления когомологии Нп(С,А) получается последовательность
0-+ А-* А-* А-* -•- ,
где A — это умножение на д — 1, га — умножение на дп~1 + • • - + д + 1.
Отсюда следует, что
Н2к~1 (С, А) = (аеА\ а{дп~1 + ...+д + 1) = 0)/А(д - 1),
Н2к(С, А) = (аеА\а(д-1) = 0)/А(дп-1 + ...+д + 1) (к > 0),
в частности,
Мы видим, что конечные циклические группы имеют бесконечную кого-
когомологическую размерность. Более того, из свойства монотонности B.19)
следует, что любая группа, содержащая элементы конечного порядка,
имеет бесконечную когомологическую размерность.
Резольвенту B.22) можно записать иначе. Пусть снова Р = (х) —
бесконечная циклическая группа, N = {хп) и С = Р/И. Точной последо-
последовательности групп
1 -> N -> Р -> С -> 1
соответствует точная последовательность ^-модулей
0 —► Адг -* Ар -* Ас -* 0.
§3. Резольвенты и копредставления 85
Идеал Ар свободно порождается элементом х — 1, поэтому Ар/ Ар Адг —
свободный циклический ©-модуль. Ядро естественного отображения
Ар/АрА^ -* 2^/Адг равно, очевидно, Ддг/Д^Ддг. Идеал Адг свободно
порождается как ^-модуль элементом хп — 1, поэтому Адг/Ад^ — свобод-
свободный циклический ©-модуль. Это даёт начало свободной резольвенты
Адг/Д^ -* Ар/АрАм -* 2^/Ддг -* 2 -* О,
(все отображения индуцированы вложениями). Далее, ядро естественно-
естественного отображения Адг/А^ —> Ар/АрА^ равно АрА^/А2м. Идеал Д^Ддг
свободно порождается как ^-модуль элементом (х — 1)(хп — 1), поэтому
АрАн/АрА'н — свободный циклический ©-модуль. Следующим членом
будет Ддг/Ддг и так далее. В результате такого построения мы приходим
к свободной резольвенте
> Ад^/Ддг -^ Д^/Д^Адг -^ 2^/Ддг -^2-^0. B.23)
Для любого ^-модуля Ь
Ь/ЬАМ = Ь®р 2С,
поэтому резольвенту B.23) можно переписать в виде
> Акм ®р ЪС -> ^1
B.24)
Модуль п-мерных цепей в чётной размерности 2/с порождается элемен-
элементом в2& = (хп — 1)к ® 1, а в нечётной размерности 2/с — 1 — элементом
е2&_! = (ж — 1)(хп — 1)к~г ® 1. Так как дифференциалы индуцированы
вложениями
то для образующих имеем
1 • • • -Н 9 + 1);
- 1).
Из этих формул следует, что свободные резольвенты B.22) и B.24) цик-
циклической группы порядка п изоморфны.
Способ, которым была построена резольвента B.24), на самом деле,
носит общий характер Пусть кольцо Я представлено в виде Я = Т/1, где
86 Глава 2. Когомологии групп
Г —некоторое другое кольцо. Рассмотрим произвольный правый идеал
3 Э I и /?-модуль В = Т/'3\ Тогда, используя идеалы 1к и Лк, можно
построить последовательность /^-модулей
_+ лк~1/Лк _+ > ///2 _> 3)Л — я -* В -> О,
B.25)
в которой гомоморфизмы индуцированы вложениями. Все члены последо-
последовательности определены таким образом, что B.25) является резольвентой
Я-модуля В. Так как для любого Г-модуля Ь Ь/Ы = Ь ®т К, то эту
резольвенту можно переписать в виде
> 1к ®ТК-+ Лк~1 ®т Я —► • • •
B.26)
Лемма 3.1. Если I и 3 — свободные Т-модули, то B.26) — свободная
резольвента К-модуля В.
Доказательство. Достаточно доказать, что 1к и Лк — свободные
Г-модули. Из индуктивных соображений всё сводится к доказательству
того, что если Ь — правый идеал кольца Г, свободный как Г-модуль, то
Ы — также свободный Г-модуль. Пусть хг и у^ —свободные образующие
для Ь и, соответственно, /. Докажем, что всевозможные произведения
ХгУу свободно порождают Ы. Действительно, эти элементы порождают
Ы как Г-модуль благодаря тому, что / — двусторонний идеал. Так как
Хг — свободные образующие модуля Ь, из равенства ^2хгУзгц = 0 следу-
следует, что при фиксированном г, ^2Узггз =®- Н° у^ — свободные образую-
образующие модуля /, поэтому для любых г, ] Гц — 0. □
Используем эту конструкцию для построения свободной резольвенты
тривиального модуля 2 над групповым кольцом произвольной группы.
Для этого рассмотрим копредставление С = Р/И и положим К = 2С,
Г = ЪР, / = А^, ^ = А/г, В = 2. Тогда B.25) и B.26) превращаются
в B.23) и B.24) (разумеется, теперь эти последовательности состоят уже
не из циклических модулей). Резольвента B.21) также является част-
частным случаем резольвенты B.23). Чтобы убедиться в том, что получились
свободные резольвенты, проверим условия леммы 3.1. Мы уже знаем,
что фундаментальный идеал Д^ — это свободный .Г-модуль. По теореме
Нильсена—Шрайера подгруппа свободной группы свободна. Выберем си-
систему свободных образующих уг подгруппы N и докажем, что элементы
Уг — 1 свободно порождают .Г-модуль Ддг. Благодаря тому, что подгруп-
подгруппа N нормальна, идеал Ддг порождается элементами у\ — 1 как правый
§3. Резольвенты и копредставления 87
идеал. Предположим, что ХХу* ~~ 1)гг = 0 (г^ Е ЪР). Если ^ = ^
разложение группы Р на классы смежности, то любой элемент г е ЪР
единственным образом можно представить в виде
B.27)
В частности, п = Х^Д?, гДе 1ц 6 ЪЫ, поэтому ^2(Уг ~ 1Iгз9э = О
(суммирование по г и ^). В силу единственности представления B.27)
^2(Уг ~ 1)% = 0 при фиксированном ]. Но фундаментальный идеал коль-
кольца ЪN свободно порождается элементами уг — 1, поэтому 1ц = 0, и сле-
следовательно, Гг = 0. □
Из приведенного доказательства также следует, что если а^ — свобод-
свободные образующие группы Р, а у^ — свободные образующие её подгруппы
N. то модуль п-мерных цепей резольвенты B.24) при п ~ 2к свободно
порождается произведениями
Л -1) •••(%"* - 1)
а при п = 2к 4-1 — произведениями
н - 1)... (уи - 1) ® 1
Если группа С конечно порождена, то можно считать, что и группа Р
конечно порождена. Модуль 1-мерных цепей Д^®^2© в B.24) имеет тот
же свободный ранг, что и группа Р. Модуль 2-мерных цепей имеет тот
же свободный ранг, что и группа N. Как известно (см. [21], гл.5), ранг
нормальной подгруппы свободной группы конечен тогда и только тогда,
когда конечен её индекс. Отсюда следует, что модули, составляющие ре-
резольвенту B.24) конечно порождены тогда и только тогда, когда группа
С либо свободна, либо конечна. Для сравнения отметим, что у любой по-
почти полициклической группы С (см. §4 гл. 1) есть свободная резольвента,
состоящая из конечно порождённых модулей. Действительно, групповое
кольцо ЪС такой группы нётерово. Предположим, что мы уже построили
часть свободной резольвенты так, что для всех к ^ п модули /с-мерных
цепей имеют конечный свободный ранг. Ядро дифференциала с?п, как
подмодуль конечно порождённого модуля над нётеровым кольцом, так-
также имеет конечное число образующих. Но тогда это ядро — эпиморфный
образ свободного модуля конечного ранга, и мы можем продолжить по-
построение резольвенты, используя лишь конечно порождённые модули.
Пусть снова С — произвольная группа. Рассмотрим свободную группу
Р со свободными образующими хд1 которые индексированы элементами
Глава 2. Когомологии групп
д Е С дф\. Удобно считать, что хд = 1, если д — 1. Отображение хд —> д
определяет эпиморфизм Р —> С Легко доказать, что его ядро Л/' порожда-
порождается как подгруппа элементами ХдХ^х^, где <?,/г Е С, д,Нф I (не исклю-
исключается случай р/г = 1). Фактически это означает, что любое соотношение
в группе С можно разложить в цепочку элементарных соотношений типа
ХдХъ = Хдъ. Легко также доказать, что эти элементы свободно порожда-
порождают N. Просто в двух соседних множителях вида {хдх1гх~^)±1 не может
произойти более одного сокращения. Отсюда вытекает, что идеал Ддг
свободно порождается как ^-модуль элементами ХдХ^х^ — 1. Умножив
каждый образующий на обратимый элемент ж^, получим более удобную
для наших целей систему свободных образующих ХдХ^ — Хд^. Положим
для краткости (д) = хд — 1, (<?, к) = ХдХ^ — Хдь, а при п > 2
если п нечётно
если п четно.
Как было доказано, модуль п-мерных цепей резольвенты B.24) свободно
порождается элементами (рх,..., <?п). Так как дифференциалы индуциро-
индуцированы вложениями, то на первый взгляд неясно, что значит «вычислить
значение дифференциала». Скажем, двумерная цепь (р, К) ®1 Е Длг ®р
®р ЪС переходит в одномерную цепь (д, К) ® 1 Е Ар ®р ЪС. На самом
деле, Ар ®р ЪС — свободный 2С?-модуль со свободными образующими
(д) ® 1, и вычисление естественно интерпретировать как разложение по
свободному базису. Например, из равенства
= (Хд ~ 1) X Н ~ (Хд^ ~ 1) + {х Н ~ \) (д, Н Е С)
следует, что в Д/? ®р ЪС
C, К) ® 1 = {д) ® к - (дк) ® 1 + {Н) ® 1,
то есть в размерности 2 дифференциал резольвенты B.24) вычисляется
так же, как в стандартной резольвенте. Рассмотрим 3-мерные цепи. Для
любых /,#, к Е С имеем
- ХдН) = (Х{Хд ~ Х}д)Х}1 ~ (х^Хд^ ~ Х}дН) + (X}дХН ~
или в наших обозначениях
Х/(д,Н) - У,д)хн - и,дН) 4- (/Я,Л). B.28)
Вычитая из обеих частей (д,1г), получим
(/,Р, Ь) = (/,9)хн ~ (/,дЬ) 4- (/р, Л) - (у, К).
§3. Резольвенты и копредставления 89
Отсюда следует, что граница 3-мерной цепи (/, <?, К) е Д/^Ддг ®е 2©
в Дд^ ®Е ЪС равна
К - {/,дк) ® 1 4-
Эти вычисления подсказывают, что для копредставления, которое мы рас-
рассматриваем (можно было бы назвать его стандартным), резольвента B.24)
изоморфна стандартной резольвенте. Для доказательства достаточно про-
проверить, что в кольце ЪР выполнено равенство
г=п—1
E2,...,рп). B.29)
Считая, что п > 3, представим левую часть в виде произведения
Первый множитель распишем по индукции
После умножения на (дп-1->дп) возникает сумма, все слагаемые которой
кроме первого
(рь • • • 19п-з)хдп_2(дп-1,9п) B.30)
присутствуют и в формуле B.29). Нет лишь трех первых слагаемых этой
формулы
••• ,9п-1)Хдп - (#1,.. . , дп-2, 9п-\9п) + (рЬ- -••>9п-19п-2,9п)-
Но это в точности B.30), в чём легко убедиться, применив тождество
B.28) к двум последним множителям в B.30). □
Итак, мы доказали, что стандартная резольвента — это одна из ре-
резольвент, построенных по копредставлениям. Отметим, что последова-
последовательность B.23) является точной по построению, поэтому отпадает необ-
необходимость доказывать точность стандартной резольвенты, в частности,
проверять равенство с?2 = 0. Более экономным копредставлениям соот-
соответствуют резольвенты меньших размеров. Их изучение вполне может
90 Глава 2. Когомологии групп
оказаться источником новых конструкций. Автору представляется, что
эта тема ещё не исчерпана.
В этом параграфе мы использовали тот факт, что некоторые правые
идеалы кольца ЪР свободны как модули над ЪР. На самом деле развита
целая теория колец свободных идеалов ([гее Шеа1 пп§8). В частности,
если КР — групповая алгебра свободной группы Р над произвольным
полем К и М — свободный /ГГ-модуль, то любой его подмодуль также
свободен. Например, это верно, для любого правого идеала кольца КР.
За доказательством мы отсылаем читателя к монографии П. Кона [26].
Упражнения
1. Пусть С—конечная группа и X —> Ъ — свободная резольвента тривиаль-
тривиального С-модуля 2, в которой модули Хп имеют свободный ранг гп. Пока-
Покажите, что минимальное число образующих группы НпС не превосходит
гп_1 - гп_2 4- • • • 4- (-1)п-1г0 4- (-1L (Указание: Нотс(Хп, Ъ) = X*-
свободная абелева группа ранга гп. Группы НпС вычисляются с помо-
«
щью дифференциалов 5п: Х^ —> Х^_г. Если гп и кп — ранги свободных
абелевых групп 1т6п и Кег6п, то гп = гп + кп, а из того, что группа
НпС конечна, следует равенство кп — %п-\. Вместе с начальным услови-
условием ко = го — 1 это даёт возможность оценить числа кп.)
2. Пусть С — конечная группа порядка т. Рассмотрим копредставление
С = Р/Ы, в котором Р — свободная группа ранга г. Чему равно число сво-
свободных образующих гп модуля п-мерных цепей в соответствующей свобод-
свободной резольвенте? Используя предыдущее упражнение, дайте оценку ми-
минимального числа образующих группы НпС в терминах т и г. (Указание:
для вычисления гп воспользуйтесь тем, что число свободных образующих
подгруппы N равно 1 + т(г — 1) (см. [21], гл. 5).)
3. В резольвенте, соответствующей копредставлению С = Р/М, модуль од-
одномерных циклов имеет вид Адг/Д^Адг. Покажите, что если элементы
Уг порождают N как нормальную подгруппу, то образы элементов ^ — 1
порождают Адг/Д^Адт как С-модуль. Выведите отсюда, что для конечно
определённой группы С существует свободная резольвента тривиального
С-модуля Ъ такая, что модули п-мерных цепей при п = 0,1,2 конечно
порождены.
4. Морфизмом копредставлений С = Р\/^ и С = ^2/^2 назовём гомомор-
гомоморфизм /: Р\ —> Ръ такой, что диаграмма
1 -> Л^а -> ^ -> С -> 1
1 1 / ЦОс
1 -> ЛГ2 -> Р2 -> С -> 1
коммутативна. Проверьте, что морфизм копредставлений индуцирует цеп-
цепное преобразование соответствующих свободных резольвент.
§4. Когомологии свободных абелевых групп 91
5. Пусть Р$ = (хд | д € С,д Ф 1), С = РЪ/№ — стандартное когтредстав-
ление иС = Р/Ы — произвольное копредставление. Если ^ — свободные
образующие группы Р и д\ — их образы в группе С, то отображение Хг —>
—> х9л определяет морфизм копредставлений /: Р —> Р^ (как и раньше,
считаем, что хд = 1, если д = 1). Будем говорить, что копредставление
С = Р/Ы неизбыточно, если ^ ^ 1 и ^ ^ д^ при г ^ .7*. Например, стан-
стандартное копредставление неизбыточно. Покажите, что если С = Р/Ы —
неизбыточное копредставление, то существует морфизм р: Р$ —> Р та-
такой, что /Й/ = Ыр. Выведите отсюда, что резольвента, соответствующая
копредставлению С = Р/М, выделяется прямым слагаемым в стандартной
резольвенте.
§ 4. Когомологии свободных абелевых групп
Напомним прежде всего определения тензорной, симметрической и внеш-
внешней алгебры.
Пусть Я — произвольное коммутативное кольцо и М — некоторый
Я-модуль (основным будет случай Я = 2). Рассмотрим п-ую степень
Тп(М) = М®... ® М (тензорное произведение берётся над Я). По опре-
определению Т1(М) = М и Т°(М) = Я. На прямой сумме @Тп(М) оче-
очевидным образом вводится структура градуированной /?-алгебры, которая
называется тензорной алгеброй модуля М. Если ^,..., 1п Е М, то
771?
а суммы однородных элементов перемножаются по дистрибутивности. Ес-
Если М — свободный /?-модуль со свободными образующими Х{, то Тп(М)
— свободный Я-молулъ со свободными образующими Хгх ® ... ® ^п. Лю-
Любой элемент алгебры Т(М) единственным образом представляется в виде
линейной комбинации таких произведений, следовательно, Г(М) — сво-
свободная Я-алгебра со свободными образующими Х{.
Симметрическая алгебра 8(М) определяется как факторалгебра тен-
тензорной по соотношениям 4®з = з®)г (г,з е М). Однородную компоненту
8п(М) алгебры 8(М) называют п-й симметрической степенью модуля М.
Образ элемента 1\® ...®1п в 8п(М) обозначается 1\... 1п. Отображение
. . . 1
п
л.
G
где суммирование происходит по всем подстановкам сг, продолжается до
гомоморфизма градуированных /^-модулей 8ут: 8(М) —> Т(М). Это еле-
92 Глава 2. Когомологии групп
дует из того, что выражение справа симметрично и полилинейно относи-
относительно *х,..., 1п. Композиция 8ут с естественным отображением Т(М) —>
—> 8(М) совпадает с умножением на п\. Если М — свободный /?-модуль
со свободными образующими ж», то 8(М) — кольцо многочленов от Х{.
Предположим дополнительно, что аддитивная группа кольца К не имеет
кручения. Тогда в 8(М) умножение на п\ инъективно, и следовательно,
8ут — вложение.
Внешняя алгебра Л(М) определяется как факторалгебра тензорной по
соотношениям I® I = О {I Е М). Однородную компоненту Ап(М) алге-
алгебры А(М) называют п-й внешней степенью модуля М. Образ элемента
1\ ® ... ® 1п в Ап(М) обозначается 1\ А ... Л 1п. Из равенства
О = {I + б) Л (< + з) = I Л 5 + 8 Л I (*, 5 е М)
следует антикоммутативность внешнего умножения Л. Отображение
Л ... Л 1
п
где 81§п(сг) = ±1 в зависимости от чётности подстановки а, продолжает-
продолжается до гомоморфизма градуированных /^-модулей аН;: Л(М) —> Т(М). Это
следует из того, что альтернированная сумма справа полилинейна и рав-
равна нулю, если и = ^ для некоторых г,^. Композиция ак с естествен-
естественным отображением Т(М) —> Л(М) совпадает с умножением на п!. Если
М — свободный К-молулъ со свободными образующими ж^, то ЛП(М) —
свободный Д-модуль со свободными образующими Хгх Л ... Л Хгп, где
г1 < ... < гп. Действительно, образы этих элементов в Тп(М) линейно
независимы, так как в разложении каждого из них по базису имеется
ровно одно слагаемое с упорядоченными индексами. Заодно мы доказали,
что если М — свободный Я-модуль, то для любого кольца Я гомоморфизм
ак — вложение. Отметим, что если М имеет г свободных образующих, то
при п> г Ап(М) = 0, а при п ^ г число свободных образующих модуля
Ап(М) равно биномиальному коэффициенту Стп.
Основное свойство тензорной степени состоит в том, что для любого
/?-модуля А гомоморфизмы Тп(М) —> А находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с п-линейными функциями на М со значениями в А.
Точно так же Иотц(8п(М), А) и Нотя(Лп(М), А) — это симметрические
и, соответственно, кососимметрические функции.
Пусть С — произвольная мультипликативная группа и М — абелева
группа, записанная аддитивно. Индуцированный модуль Т(М) ® ЪС бу-
будем обозначать Тс(М). Сходный смысл имеют обозначения 8с(М) и
§4. Когомологии свободных абелевых групп 93
Кс{М). На Тс(М) определено умножение
Г2) = (*1 ® *2) ® (ПГ2) (*1,*2 Е ГС(М), П,Г2 6 2G)
Полученное кольцо называют тензорной алгеброй группы М над ЪС.
Аналогично определяется умножение на 8с{М) и Ас(М). Понятно, что
2 можно заменить на произвольное коммутативное кольцо коэффициен-
коэффициентов Е.
Дадим описание стандартной резольвенты группы С в терминах тен-
тензорной алгебры. Для этого возьмём в качестве М фундаментальный иде-
идеал Д и снабдим Тс(А) дифференциалом д, = (с?п), считая, что
= 1\ ® . . . ® <п_1 ® 1п
1=п—1
е А). Нетрудно проверить, что полученная последовательность
С-модулей, пополненная в размерности 0 гомоморфизмом е: ЪС —> 2,
изоморфна стандартной резольвенте е: ЩС) -^ 2. Изоморфизм задаётся
отображением
(91 ~ 1) ® • • • ® (Яп - 1) -* (рь • • • ,Рп).
Этот факт уже обсуждался в упражнении 9 §2.1.
Предположим теперь, что группа С коммутативна. Тогда в кольце
ЪС выполнено тождество ху — ух = 0, левая часть которого антиком-
мутативна. Благодаря этому кососимметрические элементы резольвенты
образуют подкомплекс. Например, для дифференциала
Вычитая из первого равенства второе, получим
Пусть аИ(^1,... ,^п) — альтернированная сумма тензорных произведений
элементов <х,... ,<п. В этих обозначениях
94 Глава 2. Когомологии групп
Точно так же обстоит дело при вычислении йп(ай(*1,.. Лп)). Благодаря
коммутативности умножения все слагаемые вида их®.. -®икик+1®- . -®ип
сократятся, и поэтому
йп(а1^1,... ,<п) <8> 1) = а1*(<1,... ,^п). B.31)
Аргументы правой части неравноправны. Последний не принадлежит
Г(Д), а появляется при построении индуцированного модуля Тс(А) —
— Г(Д) ® ЪС Чтобы подчеркнуть это различие, соберём вместе слагае-
слагаемые с фиксированным множителем и на последнем месте. Тогда формула
B.31) перепишется в виде
^ , B.32)
где 1{ означает пропуск 1{. Так как аддитивная группа идеала Д — свобод-
свободная абелева, то отображение &И: Л(Д) —> Г(Д) — мономорфизм, поэтому
можно считать, что Л^(Д) — подмодуль в Тс(А). Из B.32) следует, что
это подкомплекс. Итак, на однородных компонентах алгебры Лс?(Д) опре-
определены дифференциалы: если 1\,..., 1п Е Д, то
Л ... Л и Л ... Л 1п ® 1{. B.33)
В частности, д,\{1 ® 1) = I. В размерности 0 роль дифференциала иг-
играет пополняющий гомоморфизм. Из формулы B.33) вытекает следую-
следующий замечательный факт. Если М — произвольная подгруппа аддитив-
аддитивной группы идеала Д, то ©-подмодули Сп, порождённые произведениями
1\ Л... Л 1п ® 1, где 21}..., 1п е М, образуют подкомплекс в Лс(Д). Более
того, пусть ХСС, 1 ^ X, и М — аддитивная подгруппа, порождён-
порождённая элементами х — 1 (х е X). Тогда соответствующие подмодули Сп
свободно порождаются произведениями
гх - 1) Л ... Л (хгп - 1) ® 1, (хгк € X)
где хгх < ... < Х{п относительно некоторого линейного порядка на X. Это
следует из того, что множество таких произведений можно дополнить до
системы свободных образующих ©-модуля Л^(Д), продолжив отноше-
отношение порядка с X на С. Таким образом, Лс?(Д) содержит свободный под-
подкомплекс, изоморфный Ас(М). Для построения резольвенты свободной
абелевой группы естественно в качестве X взять множество свободных
образующих.
§4. Когомологии свободных абелевых групп 95
Теорема 4.1. Пусть С — свободная абелева группа, записанная муль-
мультипликативно. Фиксируем множество свободных образующих X, и
пусть С+ — подгруппа аддитивной группы кольца ЪС, порождённая
элементами ж — 1, где ж Е X. На внешней алгебре Ас(С+) определим
дифференциал д, = (йп), считая, что для элементов 1\,...,1п е С+
значение йп{1\ Л ... Л 1п) вычисляется по формуле B.33). Тогда попол-
пополненный комплекс Кс{С+) —> 2 будет свободной резольвентой триви-
тривиального С-модуля 2.
Доказательство. Осталось доказать точность построенного комплек-
комплекса. Для этого мы определим стягивающую гомотопию 5 = (зп). По анало-
аналогии со стандартной резольвентой хотелось бы определить зп равенством
5п(^1Л...Л^п®г) = <1Л...Л*пЛ(г-б:(г))<8>1 (<1,.. .,^Е С+,г Е ЪС).
Это невозможно, так как г—е(г), вообще говоря, не принадлежит С+. По-
Попробуем действовать индукцией по числу свободных образующих. Если
С = (х) —бесконечная циклическая группа, то С+ = (х — 1) и рассмат-
рассматриваемый комплекс принимает вид
О -> (х - 1) ® 2(ж) -^ 2(ж) -^
Разумеется, $_1: 2 —> 2(ж) переводит 1 в 1, а $1 = 0. Надо определить
отображение $о: 2(ж) —»> (ж — 1) ® 2(ж). Как уже говорилось, формула
5о(г) = (г — ^(г)) ® 1 не годится. Однако для любого г Е 2С существует
единственный элемент г' Е 2С такой, что г — б(г) = (х — \)г'. Формула
8о(г) — (х — 1)®г' уже имеет смысл. Легко проверить, что так определён-
определённые отображения $_1,$о,#1 действительно задают стягивающую гомото-
гомотопию. Пусть теперь С = Со х (х) и для Асо(С^) стягивающая гомотопия
уже построена. Рассмотрим проекцию а: ЪС —> 2©0- Для любого г Е ЪС
существует единственный элемент г' Е ЪС такой, что г — а{г) = (х — 1)г'.
Однородная компонента Л^(С+) представляется в виде прямой суммы
(х - 1} ® 2С) в (ЛП(С+) ® 2С).
Пусть 8п = 0 на первом слагаемом. Для а Е Ап(Сц),г Е 2С определим
5П на втором слагаемом формулой
зп(а ® г) = 5п(а ® (а(г) + (ж — 1)г')) = 5п(а ® а(г)) + а Л (ж - 1) ® г'.
Имеется ввиду, что значение зп на а®а(г) уже определено по индукции.
Проверку равенства из 4- зй = гс? мы оставляем читателю. П
96 Глава 2. Когомологий групп
Следствие 4.2. Пусть С — свободная абелева группа и А — тривиаль-
тривиальный С-модуль. Тогда группа когомологий Нп{С,А) изоморфна группе
п-линейных кососимметричных функций на С со значениями в А.
Действительно, для вычисления когомологий получается кокомплекс
Нота(Ла(С+), А) 9* Нот(Л(С+), А)
с нулевыми дифференциалами, поэтому Нп{С,А) = Нот(Лп(©+), А).
Остаётся заметить, что С+ = С. □
Предположим, что в С фиксирован базис Ж1,...,жг и А = 2. Со-
Сопоставим произведению х^ Л ... Л хгп п-линейную кососимметрическую
функцию, которая равна единице на (ж^, •• • ,#гп) и нулю на других упо-
упорядоченных наборах базисных элементов. Это соответствие определяет
изоморфизм НпС = ЛП(С), то есть целочисленные когомологий свобод-
свободной абелевой группы конечного ранга — это её внешние степени.
«
Следствие 4.3. Когомологическая размерность свободной абелевой
группы равна числу её свободных образующих.
Позднее мы покажем, что если С = С\ х С?2 —прямое произведение
двух групп, то свободная резольвента группы С строится как тензорное
произведение резольвент сомножителей. Это даст метод вычисления кого-
когомологий произвольной конечно порождённой абелевой группы и позволит
по-иному взглянуть на результаты этого параграфа.
Упражнения
1. Пусть Я — область целостности и М — свободный Я-модуль. Приведите
пример, показывающий, что отображение 8ут: 8(М) —> Т(М) может не
быть мономорфизмом. (Указание: возьмите в качестве М одномерное про-
пространство над полем вычетов Ър.)
2. Пусть й, 5 — однородные элементы алгебры Л(М). Как связаны между со-
собой I Л 5 и 5 Л 2? Верно ли, что I ЛI = 0, если I принадлежит идеалу, по-
порождённому элементами из М? (Ответ: отличаются множителем (—1)ктп,
где /с, та — степени элементов I и з; верно, если 2—• однородный элемент
нечётной степени, но в общем случае неверно.)
3. Используем обозначения теоремы 4.1. Пусть й: Ао(С+) —> Лс(С+) — го-
гомоморфизм абелевых групп, ограничение которого на п-ую однородную
компоненту совпадает с дифференциалом Aп. Покажите, что А — антидиф-
антидифференцирование, то есть для однородных элементов ё,A Л 5) = I Л с1(з) +
_1_ (—1)тй(^) л 5, где га — степень 5.
§4. Когомологии свободных абелевых групп 97
4. Пусть М — свободный Я-модуль. Докажите следующее универсальное
свойство алгебры Л(М): если С —левый Л(М)-модуль, то любое отоб-
отображение свободных образующих хг —> с\ 6 С единственным образом про-
продолжается до антидифференцирования й: Л(М) —» С, то есть гомоморфиз-
гомоморфизма ^-модулей такого, что <1{1 Л $) = Ы(з) ■+- (~1)ктзс1(г) (к, т — степени
элементов I и 5). В частности, это верно для М = С+, С = Лс(С+)
И С^ := Х^ Л.
5. Пусть С —свободная абелева группа. Как определить умножение на пря-
прямой сумме групп когомологии НпС, не используя изоморфизм
НпС = ЛП(С), зависящий от выбора базиса? (Указание: используйте
внешнее произведение кососимметрических функций. Если, например,
/,</?: С —> 2 —линейные функции, то
что не зависит от выбора базиса.)
6. Пусть С — произвольная абелева группа и А — тривиальный С-модуль.
Определите гомоморфизмы Ап: Нп(С,А) —> Нот(Лп(С), А), обобщая, тем
самым, следствие 4.2. (Указания. Коциклу /: ГП(Д) (8) ЪС —> А стандарт-
стандартной резольвенты надо сопоставить функцию </?, определённую равенством
<р{дъ...дп) =/(а1*;((р1 - 1) ® ... О (дп ~ 1))) {д\,-..9п € С).
Наметим доказательство того, что функция </? линейна. Линейность по
последнему аргументу означает, что элемент
(дп-г - 1) ® (^/п^п+1 - 1))-
{дп-1 ~ 1) ® (^п - 1))-
- 1) 0 ... ® (рп-1 -1H (яп+1 - 1))
принадлежит ядру отображения /. В силу равенства
{дп9п+\ ~ 1) ~ {дп ~ 1) ~ (Рп+1 - 1) = @п ~ 1)E'п+1 ~ 1)
это эквивалентно тому, что / обращается в ноль на
{дп-\ -1H {дп ~ 1)(^«+1 - !))• B.34)
Так как Л— тривиальный модуль, то / = 0 на ТП(Д) (8) А. Так как / —
коцикл, то / = 0 на границах. Следовательно, достаточно доказать, что
образ элемента B.34) в тривиализованном комплексе Тс{&)®сЪ является
границей. Проверьте, что он равен
где суммирование происходит по всем подстановкам, в которых п стоит
левее п +1.)
98 Глава 2. Когомологии групп
7. В силу результатов § 1.7 отображение А1: Н1(С,А) —> Нот (С, Л) преды-
предыдущего упражнения является изоморфизмом. Докажите, что Аг совпадает
с отображением, определённым в упражнении 5 к §1.8, и следователь-
следовательно, Аг — эпиморфизм. Чему равно Кег Аг, если С — конечная циклическая
группа и
8. Пусть 2[Х] — кольцо многочленов от множества переменных X. Построй-
Постройте свободную резольвенту тривиального модуля 2 над кольцом Ъ[Х]. (Ука-
(Указание: пусть А(Х) — внешняя алгебра аддитивной группы, порождённой
переменными; для построения искомой резольвенты можно использовать
К(Х)®Ъ[Х].)
§ 5. Длинная точная последовательность
Наиболее важным свойством когомологии является существование длин-
длинной точной последовательности, которая связывает между собой когомо-
когомологии разных размерностей. Речь идёт о следующей 'задаче. Предполо-
Предположим, что С-модуль А задан как расширение А!1 с помощью А', то есть
имеет место точная последовательность С-модулей
B.35)
Что можно сказать о когомологиях группы С с коэффициентами в А, если
когомологии с коэффициентами в А' и А" известны? Задача решается
совсем просто, если последовательность B.35) расщепляется, то есть,
если А = А! ® А" — прямая сумма C-модулей.
Предложение 5.1. Для любой группы С и С-модулей А\ А!1 имеет
место изоморфизм
#П(С, А' 0 А") ^ #П(С, А') 0 #П(С, А").
Доказательство. Пусть В — произвольный G-модуль. Гомоморфизм
/: В —► А1 ф А" задаётся парой гомоморфизмов /': В —► А' и /": В —►
—> А", по этой причине
Ноте (В, А' 0 А") ^ Иото(В, А') 0 Пото(В, А").
Если X —> 2 — свободная резольвента тривиального модуля, то коком-
плекс Ноте(X, А1 0 А") раскладывается в прямую сумму двух коком-
плексов, откуда и следует нужное утверждение. □
§5. Длинная точная последовательность 99
Для решения задачи в общем случае естественно рассмотреть после-
последовательность
О -> ЯП(С, Л') ^ Нп(С, А) Н Нп(С, А") -> О,
где ап,/Зп — гомоморфизмы, индуцированные гомоморфизмами последо-
последовательности B.35). Нетрудно доказать, что эта последовательность точна
в Нп(С,А). Действительно, пусть коцикл /: Хп —> А представляет неко-
некоторый элемент группы Нп(С,А). Предположим, что /?п(с1з(/)) = 0, то
есть /?/ = (рс1п для некоторого гомоморфизма <р: Хп-\ —> А". Мы хотим
доказать, что изменяя / на кограницу, можно получить коцикл ф, значе-
значения которого лежат в а(А'). Тогда ап(с1з(ф)) = с18(/). Так как Хп-\ —
свободный ©-модуль, существует отображение Тр, композиция которого
с /3 равна (р. Но тогда значения гомоморфизма ф = / — ТрАп лежат в А!,
что и требуется.
В то же время в Нп(С,А') и Нп(С,А") точность нарушается. Отобра-
Отображение ап не обязано быть мономорфизмом, а /Зп — эпиморфизмом.
Пусть, например, /: Хп —> А! — коцикл некоторой свободной резольвенты
(Хп,йп) тривиального модуля 2. Так как / = 0 на границах, то опреде-
определён индуцированный гомоморфизм /: 1тс?п —> А'. Если с18(/) ф 0, то /
нельзя продолжить до отображения (р: Хп-\ —> А'. Однако вполне мо-
может оказаться, что, расширяя область значений с А' до А, мы получим
гомоморфизм а/, который продолжается до отображения (р: Хп-\ —> А,
и ап(с1з(/)) = 0. Иными словами, нет оснований считать, что отображе-
отображение ап окажется мономорфизмом. Советуем читателю разобраться, поче-
почему не проходит доказательство того, что /Зп — эпиморфизм.
Чтобы исправить положение, надо описать ядро ап и коядро /Зп. Ока-
Оказывается, существуют так называемые связывающие гомоморфизмы
дп: Нп{С,А") -> Нп+1{С, А')
такие, что
Кег ап = 1т дп-\, 1т /Зп = Кег дп
(при п = 0 дп-1 = 0). Это означает, что определены точные последова-
последовательности
0 -> 1тд^ -, Нп(С,А') % Нп{С,А) Н Яп(С, А11) -*\тдп-+ 0,
которые можно склеить в одну длинную точную последовательность
групп когомологий
0 -> Я°(С, А!) ^ Я°(С, А) % Н\С,А") ^ Я1 (С, Л')
100 Глава 2. Когомологии групп
«
п
B.36)
Дадим определение связывающих гомоморфизмов. Пусть /: Хп —► А" —
коцикл свободной резольвенты X = (Хп,д,п) тривиального С-модуля 2,
представляющий некоторый элемент группы Нп{С,А"). Так как /? —эпи-
—эпиморфизм, а Хп — свободный С-модуль, существует гомоморфизм
/: Хп —> А такой, что /?/ = /. Отображение / может не быть коцик-
коциклом, то есть, вообще говоря, ]&п+\ Ф 0. Можно лишь утверждать, что
значения $д,п+\ лежат в А'. Коцепь /с/п+1: Хп+\ —► А! уже будет ко-
коциклом, так как_(/бгп+1)йп+2 = /(^4-1^+2) = 0. Конечно, ]йп+\— это
кограница для /, но если / ф 0, то 1т/ не содержится в А', поэтому
в Нотс?(Хп, А') коцикл /с/п+1 может не быть кограницей. Положим по
определению
с>п(с18(/)) =
Эта формула требует доказательства корректности. .Для фиксированного
коцикла /: Хп —> А" имеется произвол в выборе отображения /. Ес-
Если также /?/ = /, то / — / принимает значения в А\ и следовательно
Ми-1 -Ми-1 = (/-/)^п+1 — кограница в Нотс(Х, Л'). Кроме того, на-
надо проверить, что результат не изменится, если к / добавить кограницу
(рс1п ((р: Хп-\ —► А"). Так как Хп-\ —свободный Омодуль, существует
гомоморфизм Тр: Хп-1 —> А такой, что (Яр = (р. Если при вычислении
9п(с1в(/)) заменить / на / 4- (^йп то / заменится на / 4-<^с?п. Компо-
Композиция /йп+1 останется той же, так как во втором слагаемом возникает
Наконец, необходимо убедиться в том, что связывающие гомомор-
гомоморфизмы не зависят от выбора свободной резольвенты. Имеется ввиду сле-
следующее. Пусть X' —► 2 —другая свободная резольвента тривиального
С-модуля 2. По теореме 2.8 для любого модуля коэффициентов суще-
существуют однозначно определённые изоморфизмы
1п: Нп(Иотс(Х',-)) - Нп(Яотс(Х, -)),
которые индуцированы цепным преобразованием, накрывающим тожде-
тождественное отображение 2 —► 2. Тогда, если дп и д'п — связывающие го-
гомоморфизмы, построенные по резольвентам X и X', то следующая диа-
диаграмма коммутативна
Нп~1(Еот(Х',А")) -4
7п-1 I 1п
(Х,А")) ^ Нп(Нот(Х,
§5. Длинная точная последовательность 101
Действительно, связывающие гомоморфизмы определяются с помощью
дифференциалов, а они перестановочны с цепными преобразованиями.
Докажем теперь наш основной результат.
Теорема 5.2. Для любой короткой точной последовательности
С-модулей B.35) последовательность групп когомологий B.36) явля-
является точной.
Доказательство. Точность в Нп(С,А) мы уже доказали. Докажем
равенство Кег<Эп = 1т/?п, то есть точность в Нп{С,А"). Если ск(/) 6
Е 1т /Зп, то / = /3/, где /: Хп —> Л —коцикл. Из равенства /йп+1 = 0
следует, что 9п(с1з(/)) = ск(/с?п+1) = 0, поэтому 1т /Зп С Кег<Эп. Наобо-
Наоборот, пусть /: Хп —> Л" — коцикл, / = /3/. Если <Эп(с18 (/)) = ск (/с?п+1) =
= 0, то /йп+1 — кограница в Нот(Х, Л'), то есть /с?п+1 = у?с?п+1 для
некоторой коцепи (р: Хп —> Л'. Из этого равенства следует, что / — </? —
коцикл. Его образ в Нотс(Хп,'Л") равен /, так как значения (р лежат
в Л', поэтому Кетдп С.1ш/Зп.
Осталось доказать, что 1т дп = Кегап+1. Пусть (^ — коцикл размер-
размерности п+1 со значениями в А!. Если ап+1(с18 (<р)) = 0, то при расширении
области значений с Л' до Л коцикл р становится кограницей, то есть су-
существует коцепь ф: Хп —> Л такая, что фAп+1 = у>- Из этого равенства
следует, что значения ф на 1тйп+1 принадлежат Л', поэтому функция
/ = рф будет коциклом со значениями в А". Таким образом, ф играет
роль отображения, которое обозначалось ранее /. По определению,
<Эп(с18 (/)) = ск (/йп+1) = ск (М1+1) = с18 (^)-
Мы доказали, что Кегап+1 С 1ш9п. Обратно, пусть ск(^>) = 9п(ск(/)) =
= ск(/йп+1), где /: Хп —> Л" — коцикл и / = /3/. Образ коцикла
7 Нотс(Х,Л') в Нотс(Х,Л) будет кограницей для /, поэтому
/с^п+1) = 0, то есть ск(^>) Е Кегап+1- а
Отметим, что длинная точная последовательность функториально за-
зависит от последовательности B.35). Имеется ввиду следующее. Пусть
задан морфизм коротких точных последовательностей С-модулей, то есть
коммутативная диаграмма
0 -+ Л' -* Л -* Л" -4 0
I I 1
0 -> Б' -> В -> Б" -> 0.
102 Глава 2. Когомологии групп
Тогда имеется индуцированный морфизм длинных точных последователь-
последовательностей, то есть коммутативная диаграмма
- Нп{С,А') — Нп{С,А) -> Нп{С,А") ->
"♦■ -ф- -ф1 -ф-
-> Нп-1{С,В") -> Нп(С,В') -> Нп(С,В) -> Нп(С,В") ->
Действительно, пусть X —> 2 свободная резольвента тривиального
©-модуля. Морфизму точных последовательностей соответствует комму-
коммутативная диаграмма кокомплексов и цепных преобразований
0 -* Нотс(Х,Л') -* Нотс(Х,Л) -* Нотс(Х,Л") -* 0
I I I
0 -> Иотс(Х,В') -> Иотс(Х,В) -> Нотс(Х,Б") -* 0,
в которой строки точны. Очевидно, вычисление связывающего гомомор-
гомоморфизма можно перенести из верхней строки в нижнюю, откуда и следует
нужный результат.
Доказательство теоремы 5.2 может показаться довольно странным.
С одной стороны, сам факт существования длинной точной последова-
последовательности нетривиален. С другой стороны, для доказательства требуется
лишь понимание того, что дано и что нужно доказать. Это — удивитель-
удивительная особенность гомологической алгебры. Если объекты и стрелки опре-
определены правильно, то всё остальное становится почти тривиальным. Ока-
Оказывается, в теореме 5.2 даже не важно, что речь идёт о точной последо-
последовательности ©-модулей. Она следует из ещё более общего утверждения о
(ко)комплексах, которое часто называют «основной теоремой гомологиче-
гомологической алгебры». Пусть Я— произвольное кольцо и К,Ь,М — кокомплексы
/^-модулей (дифференциалы 6п повышают размерность). Будем говорить,
что задана точная последовательность
0-+#^ьЛм-+0, B.37)
если а, /3 — цепные преобразования и в любой размерности п последова-
последовательность
0 _> кп ^ Ьп ^ Мп -* 0
точна. Фактически это означает, что К — подкомплекс в!и Ь/К = М.
Пусть а Е Мп — коцикл комплекса М. Так как /Зп — эпиморфизм, суще-
существует элемент а Е Ьп такой, что /Зп(а) = а. Так как а —коцикл, г C —
цепное преобразование, то
= 0,
§5. Длинная точная последовательность 103
п
то есть 8п(а) е Кег/Зп+1. В силу точности существует элемент Ъ е К
такой, что ап+1(Ъ) = 8п(а). Из того, что ап+1(Ь) — кограница в Ь следует,
что Ъ — коцикл в К. Положим дп(с\з(а)) = с18(Ь). Нетрудно проверить,
что это равенство определяет гомоморфизм дп: НпМ —> Нп+1К.
Теорема 5.3. Для любой точной последовательности кокомплексов
B.37) имеет место длинная точная последовательность групп ко-
гомологий
... А^1 нп~1М дп-^1 НпК % НпЬ ^ НпМ ^ - - - .
Доказательство проводится так же, как доказательство теоремы 5.2 и мы
оставляем его читателю. Теорема 5.2 —это частный случай теоремы 5.3.
Действительно, достаточно проверить, что для любой точной последова-
последовательности С-модулей B.35) и свободной резольвенты X —> 2 имеет место
точная последовательность кокомплексов
4
0 -+ Иотс(Х, А) -* Нота(Х, А) -+ Нота(Х, А") -> 0.
Здесь не существенно, что X —> 2 — резольвента и что рассматриваются
модули над групповым кольцом. Важно лишь, что модули Хп свободны.
Выделим это утверждение в качестве самостоятельной леммы.
Лемма 5.4. Пусть B.35) — точная последовательность модулей над
кольцом К. Тогда для любого К-модуля В последовательность
0 -♦ Нотя(В, А1) -* Нотя(#, А) -* Нотя(В, А!') -+ 0
точна в Нотя(#,А') и Нотя(В, А). Если В свободный С-модуль, то
она точна также и в Нотя(В, А!').
Если Б —свободный Д-модуль, то любой гомоморфизм
можно поднять до гомоморфизма /:Б-^Л, что означает точность в
Нотд(В, А"). Остальные утверждения леммы проверяются столь же про-
просто.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему 5.2. В качестве после-
последовательности B.35) возьмём точную последовательность тривиальных
С-модулей
Соответствующий связывающий гомоморфизм
дп-. нп{с,гт) -. нп+\а,г) = нп+1с
104 Глава 2. Когомологии групп
называют гомоморфизмом Бокштейна. Пусть / — п-мерный коцикл
той т. Поднимем его до гомоморфизма / со значениями в 2. Значе-
Значения кограницы 6п(Л принадлежат тЪ и <ЭП(/) = A/га)#п(/). Длинная
точная последовательность когомологии запишется в виде
> НпС Д НпС -> #П(С, 2Ш) ^ #П+1С -5 Нп+1С -> - • •
Для любой абелевой группы Л обозначим через Тог(Д 2Ш) её подгруппу,
состоящую из элементов, порядок которых делит га. Мы доказали, что
имеет место точная последовательность
0 - НпС ® 2т -Н #П(С, 2т) ^ Тог(#п+1С, 2т) - 0, B.38)
где вложение гп индуцированно естественным эпиморфизмом 2 —► 2Ш,
а /?п получается сужением области значений связывающего гомоморфиз-
гомоморфизма. Пусть, например, С — циклическая группа порядка т. Тогда при
п > 0 НпС = Ът или НпС — 0 в зависимости от того, четно или нечётно
п. Из B.38) следует, что Д"П(С, 2т) = 2т для любого п.
Точная последовательность B.38) — это одна из разновидностей
утверждения, которое называют теоремой об универсальных коэффици-
коэффициентах. Она сводит вычисление (ко)гомологий с коэффициентами в произ-
произвольном тривиальном модуле к вычислению целочисленных (ко)гомоло-
гий. В дальнейшем мы докажем, что точные последовательности теоремы
об универсальных коэффициентах расщепляются. В частности,
Нп(С, Ът) ^ НпС ® 2т 0 Тог(#п+1С, 2Ш).
Укажем теперь интерпретацию связывающих гомоморфизмов на языке
коциклов стандартной резольвенты. Будем предполагать, что последова-
последовательность B.35) расщепляется как последовательность абелевых групп,
и пусть 7: А" —♦ Л — расщепляющий гомоморфизм. Введём функцию
(р: А" х С —> А\ которая учитывает тот факт, что 7 может не быть
гомоморфизмом ©-модулей
Функция (р аналогична системе факторов группового расширения. Если
она известна, то на прямой сумме абелевых групп А! 0 А!1 однозначно
восстанавливается структура С-модуля. Функцию (р называют иногда си-
системой факторов расширения модулей.
§5. Длинная точная последовательность 105
Предложение 5.5. Пусть / — коцикл стандартной резольвенты груп-
группы С, представляющий некоторый элемент группы Нп(С,А"). Тогда
коцикл
представляет образ 9п(с1в(/)) е #П+1(С, А') при связывающем гомо-
гомоморфизме, соответствующем последовательности B.35).
Доказательство. Поднимем / до коцепи / со значениями в А, считая,
что на свободных образующих
По определению связывающего гомоморфизма 9п(с1в(/)) представляется
кограницей <$п/, которую надо рассматривать как коцикл со значениями
в А!'. Используя систему факторов <р и тот факт, что 6п/ = 0, имеем
- П
Упражнения
1. Рассмотрим связывающий гомоморфизм до'- Н°(С,А") —>• Я1 (С, А'), со-
соответствующий точной последовательности B.35). Пусть а € Н°(С,А"),
то есть а Е А", а(д — 1) = 0 для любого д € С, и пусть а—прооб-
а—прообраз элемента а в А. Тогда подгруппа СМ/ полупрямого произведения СА
инвариантна относительно внутреннего автоморфизма /, который соответ-
соответствует элементу а. Ограничение / на СА' действует тождественно на А'
и в факторгруппе СА'/А' = С, поэтому / определяет некоторый элемент
группы Нг(С, А') (см.§1.7). Покажите, что это и есть до(а).
2. Покажите, что образ элемента 1 € Ъ = Н°(С,Ъ) при гомоморфизме
до: Н°(С,Ъ) —> Н1(С)Ас), отвечающем точной последовательности
0 -* Ас -* ЪС -> 2 -* 0, B.39)
представляется дифференцированием, которое каждый элемент </ б С пе-
переводит в элемент д — 1 € Д^. Выведите отсюда, что для любой нетриви-
нетривиальной группы С это дифференцирование представляет ненулевой элемент
группы ^1(С, Ас). В частности, нет групп когомологической размерно-
размерности 0. (Указание: воспользуйтесь предыдущим упражнением и тем, что
отображение Н®(С,ЪС) —> Н°{С,Ъ) не является эпиморфизмом.)
106 Глава 2. Когомологии групп
3. Пусть д\: Н1{С,А") —> Н2(С,А') — связывающий гомоморфизм, соответ-
соответствующий последовательности B.35). Элемент группы Нг(С, А") можно
интерпретировать как автоморфизм /: С А" —> СА'\ действующий тож-
тождественно на А" и в факторгруппе С А!1/А" = С. Пусть С — прообраз
подгруппы /(С) С С А" при эпиморфизме С А —> СА". Очевидно, А' < С
и С/А' — /(С) = С, поэтому С определяет некоторое расширение Е
группы С с помощью С-модуля А'. Покажите, что 9х(с18(/)) — с\ъ(Е).
(Указание: пусть /(д) = дф(д), где ф: С —> А" — дифференцирование, и
пусть ф: С —> А — коцепь со значениями в А такая, что ф(д)=ф(д)то(\А'.
Подсчитайте систему факторов, соответствующую системе представителей
4. Пусть С и Л —свободные абелевы группы со свободными образующими
х, у и, соответственно, а, 6, с, и пусть С действует на Л по формулам
ах = ау = а, 6х = 6 4- а, сх = с, сг/ = с 4- а, 6^/ — Ь.
Рассмотрим подмодуль Л', порождённый элементом .а и положим Л" —
= А/А'. Найдите группы Нп(С,А), используя длинную точную последо-
последовательность когомологии.
5. Пусть дп: Нп(С,Ъ) —> ЯП+1(С,Ас) — связывающий гомоморфизм, соот-
соответствующий точной последовательности B.39) и пусть г: Ъ —> ЪС — есте-
естественное вложение. Покажите, что если /: Хп -^Ъ — коцикл стандартной
резольвенты группы С, представляющий элемент с18(/) € Нп(С,Ъ), то
дп{с\$(/)) представляется коциклом 0: Хю+1 —* Д^, который на свобод-
свободных образующих (#1,.. .д-п+г) € ^п+1 вычисляется по формуле
-1)-
(Указание: воспользуйтесь предложением 5.5).
6. Пусть Л — абелева группа, не имеющая элементов, порядок которых делит
га, рассматриваемая как тривиальный С-модуль. Обобщая гомоморфизм
Бокштейна, определите отображение дп: Нп(С', Л 0 2т) —> Нп+1(С, А).
7. Сформулируйте и докажите теорему 5.3 для комплексов, то есть в том
случае, когда дифференциалы понижают размерность (тогда связывающие
гомоморфизмы также понижают размерность).
§ 6. Сдвиг размерности
Следствием теоремы 5.2 является метод, называемый сдвигом размерно-
размерности. Он основан на следующем утверждении.
§6. Сдвиг размерности 107
Предложение 6.1. Если в последовательности
0 -* А' -* А -+ А" -* 0 B.40)
А — коиндуцированный модуль, то
Нп{С, А') 9* Нп~1{С, А") {п > 1)
Н1(С,А') ** Сокег(Я°(С, А) -> Я°(С,
Действительно, по предложению 1.4 в положительных размерностях ко-
гомологии с коэффициентами в коиндуцированном модуле тривиальны,
поэтому длинная точная последовательность принимает вид
0 -> Н°(С, А') -♦ Я°(С, А) -> Н°(С, А") -+ Н1(С,А') -> 0
> 0 -> Нп-\С, А") -> ЯП(С, Л') -> 0 -> • • •
Отсюда, очевидно, и следует предложение 6.1 П.
По следствию 2.5 любой ©-модуль можно вложить в коиндуцирован-
коиндуцированный модуль, поэтому при п > 1 изоморфизмы сдвига размерности сводят
вычисление п-й группы когомологий с коэффициентами в произвольном
модуле А' к вычислению (п—1)-й группы когомологий с коэффициентами
в другом, быть может более сложном модуле А".
Используя сдвиг размерности, можно дать аксиоматическое определе-
определение когомологий.
Теорема 6.2. Пусть фиксирована группа С и задано семейство кова-
риантных функторов Нп(—) (п ^ 0) из категории С-моду лей в кате-
категорию абелевых групп. Предположим, что эти функторы удовлетво-
удовлетворяют следующим трём условиям.
1. Для любого С-модуля А Н°(А) = НотсB, А).
2. Если А — коиндуцированный С-модуль, то Нп(А) = 0 при п > 0.
3. Для любой точной последовательности С-модулей B.40) опре-
определены гомоморфизмы дп: Нп(О,А") —> Нп+1(С, А') такие, что
последовательность B.36), с заменой ЯП(С, —) на Нп(—), точна.
Тогда для любого С-модуля А Пп{А) ^ ЯП(С, А).
Доказательство. Из 2 и 3 следуют формулы сдвига размерности для
Нп(—), что даёт возможность определять Нп(—) индукцией по п. Из 1
следует, что Нп и Нп совпадают при п = 0, поэтому они совпадают при
любом п. □
108 Глава 2. Когомологии групп
В качестве побочного эффекта этой теоремы единственности наметим
доказательство изоморфизма
Нп(С, А) ^ Нп(С, НотсB<5, А)) (С - подгруппа в С), B.41)
отличное от доказательства, приведённого в предложении 2.10. При фик-
*****
сированных С,С и п правую часть можно рассматривать как некоторый
функтор Нп(—), на категории ©-модулей, поэтому для доказательства
изоморфизма B.41) достаточно проверить условия 1,2 и 3. Это делает-
делается достаточно просто. Например, для проверки третьего условия надо
сначала доказать, что функтор Нотс?BС, —) любую точную последова-
тельность ©-модулей переводит в точную последовательность ©-модулей,
а затем воспользоваться длинной точной последовательностью групп ко-
гомологий.
Приведём ещё один пример. В главе 1 было доказано, что если С —
конечная группа порядка т, то для любого С-модуля А группа Я1 (О, Л)
имеет конечную экспоненту, которая делит т (предложение 7.6). Исполь-
Используя сдвиг размерности, заключаем, что то же самое верно для Нп{С,А)
при любом п ^ 1. Таким образом, мы получили альтернативное доказа-
доказательство предложения 1.5.
Сдвиг размерности можно использовать и в индуктивных определе-
определениях. Вот типичный пример. Если 5 —подгруппа в С, то стандартная
резольвента Щ8) вкладывается в стандартную резольвенту ЩС). Любой
©-модуль А является в то же время и 5-модулем, а ограничение коцик-
коцикла / Е Нот^C?(С), А) на Щ8) — это коцикл комплекса Нот^C?E'), А).
Следовательно, определены отображения
Ке8п: Нп{С,А)-+Нп(8,А),
которые называют отображениями ограничения. Покажем, как определить
отображения коограничения Согп, идущие в обратном направлении, пред-
предполагая, что подгруппа 5 имеет конечный индекс. Выберем множество Г
представителей смежных классов 18 по подгруппе 5 и положим а — ^2и,
где суммирование происходит по всем представителям и е Т. Легко ви-
видеть, что если элемент а Е А инвариантен относительно действия под-
подгруппы 5, то элемент ао инвариантен относительно действия всей груп-
группы С. Таким образом, для любого С-модуля А определено отображение
Вложив теперь модуль А в коиндуцированный и рассуждая по индукции,
определяем теперь отображения
Согп: Нп(8, А) -> #П(С, А).
§7. Я3 как группа препятствий 109
для любого п. В размерности 0 композиция ограничения и коограничения
совпадает с умножением на индекс \С : 8\. По индукции этот результат
переносится на произвольную размерность, то есть
СогпКе8п — \С : 8\Ы.
Если 5=1 — тривиальная подгруппа, то при п ф О по необходимости
Согп = 0, следовательно умножение на \С\ оказывается нулевым отобра-
отображением. Мы приходим к уже известному нам факту: экспонента группы
, А) делит порядок группы С.
Упражнения
1. Докажите, что если Нп(С,А) — 0 для любого С-модуля Д то также
и Нп+1(С, А) = 0 для любого С-модуля А. (Указание: сдвиг размерности.)
2. Пусть С — группа когомологической размерности п. Покажите, что если
/: А —> В — эпиморфизм, то индуцированное отображение Нп(С,А) —>
—> Нп(С,В) — также эпиморфизм. (Указание: сдвиг размерности.)
3. Пусть С — группа когомологической размерности > п. Покажите, что то-
тогда существует эпиморфизм /: А —> В такой, что индуцированное отоб-
отображение Нп(С,А) —> Нп(С,В) — не является эпиморфизмом. (Указание:
если ЯП+1(С, С) ф 0 и С —> Нот (ЕС, С) вложение в коиндуцированный
модуль (см. §1.2), то в качестве / можно взять естественный эпиморфизм
Нот BС, С) -> Нот BС, С)/С.)
4. Пусть С — группа когомологической размерности > п. Покажите, что то-
тогда существует мономорфизм /: А —> В такой, что индуцированное отоб-
отображение Нп(С,А) —> Нп(С,В) — не является мономорфизмом. (Указание:
снова используйте вложение в коиндуцированный модуль.)
§ 7. Н3 как группа препятствий
В этом параграфе мы покажем, что элементы третьей группы когомо-
логий можно интерпретировать как препятствия для построения расши-
расширений. Это будет сделано для расширений с абелевым ядром, а затем
и в общем случае. Выяснится, что поведение расширений с неабелевым
ядром зависит от второй и третьей группы когомологий с коэффициента-
коэффициентами в центре. Если ядро абелево, то размерность 3 возникает благодаря
связывающему гомоморфизму, поэтому отчасти материал этого парагра-
параграфа можно рассматривать как иллюстрацию к теореме о длинной точной
последовательности.
ПО Глава 2. Когомологии групп
Начнем с нескольких простых замечаний общего характера. Если за
дан гомоморфизм /: С2 —► С\, то любому расширению группы С\
Ег:
можно сопоставить расширение группы С2
Точнее, нужно говорить о классах эквивалентных расширений. Если
группа А абелева, положим Е2 = Р{Е\), где /*: #2(С?1, А) —> Н2(С2,А)
— индуцированный гомоморфизм. Пусть Н: С\ х С] —> Л —коцикл,
задающий расширение Е^. Тогда Е2 задаётся коциклом (/*^) (<?,</) =
— М/#>/#') (<7></ € С2). Говорят, что #2 получается из Е] отступлением
вдоль /.
Нетрудно дать определение, в котором не участвуют коциклы. Для
этого рассмотрим прямое произведение С\ х С2 и еозьмём в качестве
С2 подгруппу, состоящую из пар (д,д') таких, что (Т1(д) = /(</). Эту
конструкцию называют коамальгамой, или расслоенным произведением.
Очевидно, отображение а —> (/^1(а),1) задаёт вложение ц2: А —> С2,
а проекция С\ х С2 —> С2 определяет эпиморфизм а2: С2 —> С2, причем
Кега2 — 1т//2- Предположим, что для расширения Е\ выбрана система
представителей д —» ~д (д е С\) \\ Н: С\ х С\ —> Л — соответствующая
система факторов. Тогда отображение д —> (/(р),р) (# Е С2) будет си-
системой представителей для расширения Е2, а соответствующая система
факторов совпадает с р{Ъ). Преимущество инвариантной конструкции
в том, что она применима в общем случае, когда группа А не обязатель-
обязательно абелева. Действительно, строя коамальгаму, мы не использовали ни
модули, ни коциклы.
Отметим, что проекция на первый множитель С\ х С2 —> О\ опре-
определяет гомоморфизм (р: С2 —► О\, который той Л индуцирует отобра-
отображение /: 6?2 -* С?1. Нетрудно доказать, что отступление вдоль / — это
единственное расширение, для которого такой гомоморфизм существует.
Точнее, если имеется расширение Е2 и коммутативная диаграмма
Е'2: 1 -> А Л С ^ С2
: 1 -*
то #2 и Е'2 эквивалентны. Эквивалентность задаётся отображением, со-
сопоставляющим элементу д ЕС пару(()^(()))
§7. Я3 как группа препятствий 111
Предположим теперь, что имеется расширение Е\ с С\ = С и го-
гомоморфизм ©-модулей /: В —> А. Можно ли определить отступления
вдоль /? Более аккуратно, существует ли расширение
которое можно включить в коммутативную диаграмму
Е2 : 1 -* В -* С2 -» С -* 1
I/ ^ |й B.42)
Ег: 1 -+ А -+ Сг -* С -+ 1.
Естественно предполагать, что / — эпиморфизм, то есть задана точная
последовательность
В противном случае может оказаться, что значения системы факторов
к: СхС —> А, задающей Е\, не принадлежат /(В) и тогда информацию о
расширении невозможно использовать. Фактически надо выяснить, когда
класс эквивалентности расширения Е\ принадлежит образу отображения
Обозначим через Н{д\,д2) прообраз элемента Л,(<?ъ<?2) в модуле В.
Поскольку Н — двумерный коцикл, кограница функции к
принимает значения в С Так как б2 = 0, то 6Н — это 3-мерный коцикл
со значениями в С. Его класс в Н3(С,С) есть не что иное, как значение
связывающего гомоморфизма
д:Н2(С,А)-+Нг(С,С)
на классе коцикла К. Последовательность
#2(С, В) ^ Я2(С, А) Л #3(С, С)
точна, как часть длинной точной последовательности когомологий, по-
поэтому
Ех еЬп/* <=>дЕг =0,
то есть элемент д{Е\) е Н3(С,С) служит препятствием для решения
поставленной задачи. Если препятствие тривиально, то /*(#г) — Е\ для
112 Глава 2. Когомологии групп
некоторого Е2 Е Н2(С,В). Другие решения получаются из Е2 добавле-
добавлением расширений Е Е Кег/*. Как следует из длинной точной последова-
последовательности, Кег/* = г*#2(С, С), где г* — гомоморфизм, индуцированный
вложением г: С —> В. Обратите внимание, что общее решение оказалось
не группой, а смежным классом Е2 4-г*Я2(С, С).
Рассмотрим ту же задачу для расширения с неабелевым ядром А.
Придется предположить, что подгруппа С = Кег/ содержится в цен-
центре %{В). Объясним прежде всего что служит заменой условия «/ —
гомоморфизм ©-модулей». Группа С\ в расширении Е\ действует на А
сопряжениями. Предположим, что искомое расширение Е2 существует.
Тогда группа С2 действует на В. Так как подгруппа С центральна, из
диаграммы B.42) следует, что определено индуцированное действие С\
на В. По этой причине мы с самого начала будем предполагать, что за-
задано действие группы С\ на В, которое согласовано с гомоморфизмом /.
Ограничение этого действия на С определяет на С структуру ©-модуля.
По аналогии с абелевым случаем, выберем для Е\ систему предста-
представителей д —> ~д (д Е С, ~д € С\) и определим систему факторов к: С х
х С —► Л, считая, что ~д{д2 — рГргМрьРг)- Из закона ассоциативности
следует, что
B.43)
Однако такие некоммутативные «коциклы» уже не образуют группу. Обо-
Обозначим через Л,(<?1,<?2) прообраз элемента Ъ(д\,д2) в Б и пусть
6к(дид2,дг) = Цд1д2,9з)Ц9ъ92)дзЦ92,9з)~1Ц91,929з)~1-
Здесь экспонента означает действие группы С\ на В. Из B.43) следует,
что функция 6Н принимает значения в С. Используя тот факт, что под-
подгруппа С лежит в центре, можно доказать, что 6Н — трехмерный коцикл,
а его класс когомологии зависит лишь от класса эквивалентности рас-
расширения Е\ (эквивалентность определяется так же, как в случае расши-
расширений с абелевым ядром). Положим по определению д{Е\) = с\ъ{5Н) Е
Е Я3(©, С). Если группа А коммутативна, то эта формула определяет
связывающий гомоморфизм. В некоммутативном случае нельзя говорить
о гомоморфизме, так как расширения не образуют группу. Тем не менее
д{Е\) остается препятствием: расширение Е2 и коммутативная диа-
диаграмма B.42) существуют тогда и только тогда, когда д{Е\) = 0. По-
Покажем, например, как построить Е2, если д(Е\) = 0. Равенство с\зFН) =
= 0 означает, что кограница некоторой функции (р: С х С —> С равна 6Н.
Заменим Н на к<р~1 (<р~1 означает не обратную функцию, а 1
§7. Я3 как группа препятствий 113
Тогда соответствующий трёхмерный коцикл равен нулю, поэтому можно
предполагать, что к удовлетворяет тому же тождеству B.43), что и к.
Определим С2 как множество пар (<?,Ь) (д € С,Ъ е В), которые перемно-
перемножаются по формуле
Легко проверить, что эта формула задаёт группу, которая является рас-
расширением С с помощью В. Отображение (<?, Ь) —> ~д$(Ъ) определяет го-
гомоморфизм С2 —> Съ который достраивается до диаграммы B.42). Как
и в коммутативном случае, полученное решение можно размножить, ис-
используя Н2{С,С). Действительно, пусть (р: С х С —> С —двумерный
коцикл. Введём на С2 новое умножение
о (р2, Ь2) =
Полученная группа также отображается на С\ и может быть включена
в диаграмму B.42). Тем самым, определено действие #2(С?, С) на множе-
множестве классов эквивалентных расширений С с помощью Б. Докажем, что
общее решение задачи об отступлении вдоль /: В —► А совпадает с ор-
орбитой этого действия. В описании Е2 с помощью множества пар (<?, Ь)
функцию к можно фиксировать — она зависит лишь от системы предста-
представителей расширения Е\л которое задано. Для различных Е2 и Е'2 разны-
ми могут оказаться только функции кик. Однако к{д\,д2) = к {д\,д2)
той С, то есть к — к^р для некоторой функции <р: С х С —> С. Так как
кик удовлетворяют тождеству B.43), то у? — двумерный коцикл.
Применим полученную информацию к изучению расширений с неабе-
левым ядром. Пусть задано расширение
Е:1-+А-*С-*С-+1.
Тогда С действует на Л, то есть определён гомоморфизм С —» Аи! А. Если
группа А абелева, то имеется индуцированный гомоморфизм С —> Аи1 А.
В общем случае можно лишь утверждать, что определён гомоморфизм
ф: С —> Аш; АДппЛ,
где 1пп А — группа внутренних автоморфизмов. Факторгруппа Ои1Л =
= Аи1Л/1ппЛ называется группой внешних автоморфизмов, а 0 —внеш-
—внешним действием О иг А. В задаче о классификации расширений пред-
предполагается, что задано внешнее действие и требуется описать классы
эквивалентных расширений группы С с помощью А.
114 Глава 2. Когомологии групп
Пусть Ф = ф(С) и Ф — полный прообраз группы Ф в АиЬА. По опре-
определению, имеет место точная последовательность
в: 1 —> 1ппА —> Ф —> Ф —> 1.
Как мы объяснили выше, с помощью коамальгамы можно построить от-
отступление вдоль гомоморфизма ф: С —> Ф. Это группа Сф и гомоморфизм
Сф —> Ф, которые однозначно определяются коммутативной диаграммой
Еф\ 1 -> 1ппЛ -> Сф -> С -> 1
в: 1 —> 1ппА —> Ф —> Ф —> 1.
Если Е1 — расширение С с помощью Л, соответствующее внешнему
действию ф, то образ С в Аи1;Л совпадает с Ф. Ядро действия С на Л
содержит центр 2!(А), следовательно определён индуцированный гомо-
гомоморфизм С/2(С) ->Фи диаграмма
-> 1ппА -> С/^(С) -> С -*
1 —► 1ппЛ —> Ф —> Ф —>
коммутативна. В силу единственности отступления вдоль ф отсюда сле-
следует, что С/2(А) = Сф и первая строка эквивалентна расширению Еф.
В частности, если А — группа без центра, то Е и Еф эквивалентны,
и тогда расширение, соответствующее данному внешнему действию, су-
существует и определено однозначно. В общем случае все расширения
получаются из Еф отступлением вдоль естественного эпиморфизма
А —► А/2(А) = 1ппА Как мы знаем, ситуация зависит от препятствия
д(Еф) Е Я3(С, 2(А)). Если <ЭB^) ^ 0, то нет ни одного расширения.
В противном случае множество расширений непусто и получается из од-
одного фиксированного действием группы Н2(С,2(А)). Мы рассматриваем
отступление вдоль эпиморфизма, ядро которого не просто центральная
подгруппа, а в точности центр. Благодаря этому возникает дополнитель-
дополнительное упрощение: группа Н2(С,2(А)) действует на множестве искомых
расширений свободно, то есть, если действие записать аддитивно, то об-
общее решение имеет вид Е+Н2{С, 2(А)). Для доказательства рассмотрим
двумерный коцикл <р: С х С —> 2(А), и пусть С° — группа, заданная на
том же множестве, что и С, с помощью умножения, «подкрученного на
91°92 = 9192(р(о-(д1),а{д2)) {91,92 ЕС;сг: С -» С).
§7. Я3 как группа препятствий 115
Если группы С и С определяют эквивалентные расширения, то суще-
существует автоморфизм а: С —■> С , который действует тождественно на А
и в С = С/А, с помощью которого новое умножение выражается через
старое: д\ о д2 = а(<?1)а(<?2)- Из равенства
р- ар = а(р~ ар) = а(р)~ аа(д) {деС,аеА)
следует, что д~ха{д) Е 2(А). Пусть а{д) — дз(д). Так как а зависит
лишь от класса смежности той Л, то 5 —это фактически функция на
С со значениями в 2(А). Непосредственно из определений следует, что
(р = 6з, и следовательно, с1з (ф) — 0.
В итоге мы доказали следующую теорему.
Теорема 7.1. Пусть задано внешнее действие ф: С —► ОиЬА. Рассмот-
Рассмотрим расширение Еф и элемент д(Еф) е #3(С, %(А)), определённые вы-
выше. Тогда множество расширений С с помощью А непусто в том
и только том случае, когда д(Еф) = 0. Если д(Еф) = 0, то классы
эквивалентных расширений С с помощью А находятся во взаимно
однозначном соответствии с элементами группы Н2(С, 2(А)).
Пример. Пусть С — (х\,..., хп | у{х\, ..., хп)) — группа с одним опреде-
определяющим соотношением, которое не является степенью в свободной груп-
группе Е{х\,.. .хп). По теореме Линдона (см. §3.7) когомологическая раз-
размерность такой группы ^ 2, поэтому для любой группы А и внешнего
действия С —> ОпЬА множество классов эквивалентных расширений С
с помощью А непусто и находится во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы Я2(С, 2(А)).
Упражнения
1. Покажите, что множество расширений С с помощью А, соответствующих
внешнему действию ф: С —> ОиЬА, содержит расщепляющееся расшире-
расширение тогда и только тогда, когда ф можно поднять до обычного действия
ф: С —* Аи! А. В этом случае классы эквивалентных расширений обра-
образуют группу изоморфную Н2{С,2(А)), и в каждом расширении можно
выбрать систему представителей, сопряжение с помощью которых инду-
индуцирует данное действие.
2. Пусть С и А — произвольные группы. Рассмотрим группу К, состоящую
из функций /: С —> А и определим действие С на К, считая что {$д)(д') =
— /(<?</)• Покажите, что любое расширение, соответствующее этому дей-
действию расщепляется. (Указание: воспользуйтесь предыдущим упражнени-
упражнением и тем, что 2(К) = НотBС, 2(А)) — коиндуцированный модуль.)
116 Глава 2. Когомологии групп
3. Сохраним обозначения предыдущего упражнения. Полупрямое произве-
произведение СК называется полным сплетением групп Л и С и обозначается
А\УгС Докажите, что любое расширение С группы С с помощью А
вкладывается в полное сплетение. (Указание: надо подправить вложение
упражнения 9 к §1.8; на системе представителей отображение не меня-
меняется, а элемент а € А переходит теперь в функцию /а, определённую
равенством /а(#) = а9 (~д — прообраз элемента д е С).)
ГЛАВА 3
КОГОМОЛОГИИ И ФУНКТОР Ех1
Пусть Аи В — модули над произвольным кольцом К. В предыдущей главе
были определены абелевы группы Ех^(Б, Л), п ^ 0. Это группы кого-
мологий комплекса Нотп(Х,А), где X —> В — произвольная свободная
резольвента модуля В. В частности, для любой группы С и С-модуля А
Гомоморфизму модулей а: А —> А' соответствует гомоморфизм абелевых
групп
ап: Ех^(Б, А) -> Ех$(В, А').
С другой стороны, если задан гомоморфизм /?: В —> Б', то по теореме 2.6
существует единственное, с точностью до гомотопии, цепное преобразо-
преобразование свободных резольвент X —> Х!, накрывающее /3. Оно индуцирует
цепное преобразование Нотя(Х',Л) —> Нотя(^, А), и следовательно,
гомоморфизмы
Таким образом, Ех1д(В, А) — это ковариантный функтор второго аргу-
аргумента и контравариантный — первого. Из определения следует, что
ЕхЬ°я(В, А) = Нотя(В, А). В первом параграфе будет показано, что груп-
группа Ех1^(Б, А) классифицирует расширения модуля В с помощью моду-
модуля А. Будут введены инъективные модули, близкие родственники коин-
дуцированных. По определению модуль А инъективен, если для любого
модуля В и п > 0 Ех1;д(В, А) = 0. Соответственно, модуль В проек-
тивен, если для любого модуля А при п > 0 Ех1^(Б, Л) = 0. Изуче-
Изучение проективных модулей и связанных с ними понятий составляет один
из важных и содержательных разделов гомологической алгебры. До сих
пор мы пользовались свободными резольвентами. Теперь появятся инъ-
ективные и проективные резольвенты. Будут построены длинные точные
118 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
последовательности и изоморфизмы сдвига размерности как по первому,
так и по второму аргументу функторов Ех1#.
Возвращаясь затем к группам, мы изучаем когомологии свободных
произведений, свободных произведений с объединённой подгруппой и
НЫЫ-расширений. Отдельный параграф посвящен подробному разъясне-
разъяснению изоморфизма
#2(С,Л)^Ех12С(Да,А) C.1)
(Ех!;1 обычно сокращается до ЕхЬ). Левая часть классифицирует расши-
расширения группы С, а правая — расширения фундаментального идеала. При-
Принято считать, что задачи о модулях проще, чем задачи о группах, поэтому
изоморфизм C.1) можно считать некоторой редукцией.
В классе расширений с абелевым ядром существуют свободные объек-
объекты. Мы докажем, что при изоморфизме C.1) свободному расширению со-
соответствует свободный модуль. Благодаря этому его ядро (модуль соотно-
соотношений) оказывается подмодулем свободного модуля. В качестве следствия
получаются два классических результата — вложение Магнуса и теорема
редукции Маклейна. Мы также доказываем теорему Линдона о строе-
строении модуля соотношений группы с одним определяющим соотношением.
Наконец, в последнем параграфе этой главы обсуждается эйлерова ха-
характеристика и некоторые её приложения.
§ 1. Ех( на языке последовательностей
Напомним, что точная последовательность /^-модулей
Е:
называется расширением В с помощью А. Два расширения Е и Е' назы
ваются эквивалентными, если существует коммутативная диаграмма
Е1 : 0 -* А -+ В' -* В -+ О
(/ по необходимости изоморфизм). Множество классов эквивалентных
расширений В с помощью А будет обозначаться ех1я(В,Л). Покажем,
как ввести на этом множестве структуру абелевой группы. Пусть Е е
Е ех1#(В, А). Предположим сначала, что Е расщепляется как последова-
последовательность абелевых групп. По аналогии с системой представителей зна-
значение расщепляющего гомоморфизма на элементе Ь обозначим Ъ. Так как
§1. Ех1 на языке последовательностей 119
отображение а: В —■> В — гомоморфизм Я-модулей, то
Ьг -Ьг Е А (Ье В, г € Я).
Обозначим эту разность через (р(Ъ,г). Функция (р: В х Я -+ А служит
аналогом системы факторов расширения групп. Из равенства (рг)з —
— Ь(гз) следует, что
, г)з — с^(Ь, гз) + (^(Ьг, 5) = 0. C.2)
Если Ь —> Ь — другой расщепляющий гомоморфизм, то Ь— Ь — ф(Ъ) е А.
Легко проверить, что функция у? изменится на слагаемое
,г) = ф(Ь)г-ф(Ьг). C.3)
Итак, каждому расщепляющемуся над 2 расширению мы сопоставили
функцию (р: В х Я —> Л, удовлетворяющую равенству C.2), которая
определена с точностью до слагаемого вида C.3). Наоборот, пусть за-
задана функция <р, удовлетворяющая равенству C.2). Введём структуру
Я-молуля на прямой сумме абелевых групп Б 0 Л, считая, что
(Ь, а)г = (Ьг, аг 4- с^(Ь, г)).
Непосредственно из определений следует, что действительно получает-
получается некоторый модуль В и что В — расширение В с помощью А. Если
ф: В —> Л —произвольный гомоморфизм абелевых групп, то функция
, г) 4- <^>(Ь)г — ф(Ьг)
также удовлетворяет равенству C.2), а соответствующее расширение эк-
эквивалентно построенному с помощью функции <р. Предположим, что ад-
аддитивная группа модуля В — свободная абелева. Тогда любое расширение
расщепляется над 2 и из предыдущего следует, что множество ех!я(В, Л)
находится во взаимно однозначном соответствии с группой функций, удо-
удовлетворяющих равенству C.2), по модулю функций вида C.3). Тем са-
самым, ех1ц{В,А) наделяется структурой абелевой группы. Её нулём, оче-
очевидно, служит прямая сумма модулей.
Если расширение Е не расщепляется над 2, то для задания модуля В
нужна также функция, которая позволяет описать сложение. Конструк-
Конструкция становится более громоздкой, и удобнее дать другое определение, не
зависящее от выбора системы представителей Ь —> Ъ. Пусть заданы два
расширения
: 0 -> А ^ В * ^ В -> 0 (г = 1,2).
120 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Рассмотрим подмодуль В С В\@В2, состоящий из пар F1,62) таких, что
0\{Ъ\) = сг2(Ъ2) (В — коамальгама расширений). Очевидно, имеет место
точная последовательность
о-+лел-+в-^в-+о. C.4)
Отождествим далее два экземпляра А, то есть профакторизуем В по под-
подмодулю, состоящему из пар (^г(а), — 112(а)). Полученный модуль В будет
уже расширением В с помощью А. Это расширение и называют суммой
Е\ + Е2. Если Е\ и Е2 расщепляются над 2 и у\,цJ\ В х К —> А —
соответствующие функции, то расширению C.4) соответствует функция
<рг ® <Р2Я- В х К —> А ® А, а после отождествления /Х1(а) = 112@) — про-
просто сумма <^1 4- <^2- Таким образом, определение суммы совпадает с пре-
предыдущим в случае расширений, расщепляющихся над 2. Мы оставляем
читателю проверку того, что классы эквивалентных расширений действи-
действительно образуют группу.
Предложение 1.1. Для любых Я-модулей А и В группы ехЬц(В,А) и
Ех1ц(В,А) изоморфны.
е
Доказательство. Пусть X —> Б —свободная резольвента модуля В.
Расширение Е также можно рассматривать как резольвенту. По теореме
сравнения 2.6 главы 3 существует цепное преобразование /: X —> Е,
накрывающее тождественное отображение В —> В
х Хо Д В -+ 0
1/1 1/о 1М C.5)
Из коммутативности этой диаграммы следует, что 1т с^ С Кег/х, поэто-
поэтому Л "" коцикл. Сопоставим расширению Е класс коцикла /х. Нетрудно
показать, что таким образом мы получаем корректно определённое отоб-
отображение ехЬц(В, А) —> Ех1д(Б, Л). Покажем, что это гомоморфизм. Если
Е\\\ Е<1 — два расширения и
— соответствующие цепные преобразования, то образ гомоморфизма
/о ® /о '- Хо -+ В\@ В2 содержится в коамальгаме В модулей В\ и #2. Из
диаграммы C.5), построенной для Е\ и Е2, следует равенство
§1. Ех1 на языке последовательностей
121
= е(х)
грамму
(х))у что даёт возможность построить коммутативную диа-
диаI
О
А®А
I /о
В
В
I
В
О
0.
Здесь /о получается из /дФ/о сужением области значений, а /1 = /{0/".
Чтобы из второй строки получить Е1! 4- #2, надо отождествить слагаемые
прямой суммы А® А. При этом /{ ф /" превратится в /{ + /", то есть
сумме расширений соответствует сумма коциклов.
Покажем, как строится обратное отображение. Пусть задан одномер-
одномерный коцикл /1: А"х —> А. Нам надо определить расширение Е, которое
включается в диаграмму C.5). Поскольку 1тс?2 С Кег/ь имеет место
коммутативная диаграмма
Х2
I
О
1/1
В
О
0.
Если вложение /3: Х\/К.ет $\ —* А — изоморфизм, то вторая строка и есть
нужное расширение. В общем случае надо «приклеить» А к Х^/й\{Кет}\)
по отображению /х. □
Получив интерпретацию группы Ех1^(В, А), естественно поставить
аналогичный вопрос о группах Ех^(В, А) при п > 1. Ответ формулиру-
формулируется в терминах классов эквивалентности точных последовательностей
Фиксируем модули А и В и рассмотрим точную последовательность
. I) —> Л
А
C.6)
При п = 1 она превращается в короткую точную последовательность, то
есть просто расширение В с помощью А. Число п называют кратностью
последовательности Е, или её длиной, хотя фактически в ней участвует
п + 2 модуля. Морфизмом /: Е —> Е' двух точных последовательностей
называется коммутативная диаграмма
Е: 0
Е' : 0
А
А
Л
I /п-
I /о
В
I
сг
п-1
В' ?% В
,
о
0.
C.7)
При п > 1 отображения /^ уже не обязаны быть изоморфизмами. Соответ-
Соответствующий пример приведён в упражнении 3. Будем писать Е = Е\ если
122 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
существует морфизм /: Е —> Е' или морфизм /': Е' —> Е1. Последова-
Последовательности Е \\ Е' назовём эквивалентными, если существуют Е\,..., Е&
такие, что
ТР с^. ТР с^ с^. ТР с^ /71'
Обозначим ех1;д(-В, А) множество классов эквивалентности точных после-
последовательностей длины п, и пусть Е,Е' Е ех^(-В, Л). Чтобы определить
сумму Е + Е1 рассмотрим сначала прямую сумму
а затем подправим начало и конец этой последовательности. Именно,
заменим Во @ В'о на коамальгаму В = {(Ъ,У) | сго(Ь) = сго(Ь')}, при
к = 1,..., п — 2 положим 2?д. = Вь®В'к, а ДП_1©Д^_1 заменим на модуль
-Вп_1, который получается отождествлением ^(А) и /л (А). По определе-
определению, последовательность
О —* А —> 2?п_1 —* • • • —> Во —> Б —* О
— это сумма Е\ 4- #2- Можно проверить, что введённая операция зада-
задаёт на ех!)д(-В, Л) структуру группы и что ех^(Б, Л) = Ех^(Б, Л). Не
вдаваясь в подробности, укажем, как строится этот изоморфизм. Пусть
Е представляет некоторый элемент группы ех^(-В, Л), и пусть X —>
—> В — свободная резольвента. Тогда существует цепное преобразование
/: X —> Е, накрывающее тождественное отображение В -* В. Из ком-
коммутативной диаграммы
—> Хп —> Хп_1 —> • • • —> Хо —> В —> О
I 1 /п I /п-1 I /о I М
О -^ Л -> Бп_1 -^ ••• -^ Бо -> В -> О
следует, что /п — коцикл со значениями в Л. Нетрудно доказать, что
отображение с1з(-Б) —> ск(/п) устанавливает нужный изоморфизм.
При п > 1 такая интерпретация Ех1^B?, Л) играет значительно мень-
меньшую роль, чем интерпретация ЕхЬ^В, Л) как группы расширений. Дело
в том, что расширение — это одна из конструкций, позволяющая строить
новые модули из уже имеющихся. Между тем, нет никакого разумно-
разумного способа сопоставить классу эквивалентности точной последовательно-
последовательности длины п > 1 некоторый модуль. Это обстоятельство иллюстрирует
упражнение 5.
§1. Ех1 на языке последовательностей 123
В заключение рассмотрим случай К = 2. Пусть В — абелева группа,
В = Р/К, где Р — свободная абелева группа. Тогда последовательность
О -* К -> ^ -> В -> О
является свободной резольвентой для В над 2. Отсюда следует, что
Ех^—, —) = 0 при п ^ 2. Обозначение Ех^ принято сокращать до
Ех1. Пусть, например, В = 2П. Тогда имеется резольвента
Для вычисления Ех1Bп,Л) надо применить функтор Нот(—, А), отбро-
отбросив 2П. Так как НотB, А) = Л, то получается последовательность
О <- Л Д Л <- О,
поэтому Ех1Bп,Л) = А/пА. Если Б —конечно порождённая абелева
группа, то Б раскладывается в прямую сумму циклических групп и этому
разложению соответствует разложение группы ЕхЪ(В,А).
Упражнения
1. Пусть в расширении Е для каждого элемента Ь е В выбран представитель
Ъ е В, и функции <р: В х Л —► А, ф: В х В -^ А определены равенствами
, г) = Ьг — Ьг ф(Ъ\, 62) =
Выпишите тождества для (риф, которые следуют из аксиом модуля. Опре-
Определите сумму расширений модулей с помощью функций (риф.
2. Дайте определение суммы расширений группы, не использующее системы
факторов. (Указание: надо произвести отождествление прямых слагаемых
в коамальгаме.)
3. В этом упражнении строится пример морфизма C.7), в котором отобра-
отображения Д не являются изоморфизмами. Рассмотрим диаграмму абелевых
групп
I И II
(к рядом со стрелкой означает отображение, которое 1 переводит в к).
Строки этой диаграммы — это резольвенты 2-модуля 22, а вертикальные
отображения задают цепное преобразование резольвент Дополнив первую
124 Глава 3. Когомологии и функтор Ех\
строчку (слева) тождественным отображением Ъ —► 2, постройте морфизм
/: Е —> Е1 точных последовательностей (Л = 2, Л = 2, В = 2
2 -> о
ф ф ф ф
24 -4 7,2 -> 0,
в котором два средних отображения не являются изоморфизмами. Суще
ствует ли морфизм /': Е' —> Е?
4. По аналогии со случаем п = 1 определите отображение Ех^(В, А) —
—► ех^(В, Л). В качестве следствия докажите, что любая точная после
довательность эквивалентна последовательности вида C.6), в которой мо
дули Вп_2, • • •, А) свободны.
5. Пусть задан модуль С и возрастающая цепочка его подмодулей
0 = Сп+\ ^ Сп С ... С Со ==:
Положим А = Сп, В = Со/Сь В^ = Ск/Ск+2 (к = 0,...п - 1). Эти
модули выстраиваются в точную последовательность C.6). Очевидно,
В&/сг/с+1(В/с+1) = Ск/Ск+г. Можно было бы пред положить, что и последо-
последовательности, которые эквивалентны построенной, сохраняют информацию
о факторах исходного ряда. Покажите, что это не так. Если п > 1, то при
переходе к эквивалентным последовательностям, факторы ^/^+1(^+1)
могут измениться. (Указание: используйте морфизм упражнения 3.)
6. Пусть В — произвольный Л-модуль и пусть Уп — тензорное произведение
над Ъ модуля В и п-кратного тензорного произведения кольца Я (п =
= 0,1...). Рассмотрим Л-модуль Хп индуцированный с Уп, то есть поло-
положим Хп = Уп 0 Л, где Я действует на последний аргумент. Определим,
далее, дифференциалы йп: Хп —> Хп_1 по аналогии со стандартной ре-
резольвентой
п
Л).
п-1
Пополним получившийся комплекс X гомоморфизмом Хо —> В, который
элемент 601 переводит в Ъ € В. Построив стягивающую гомотопию, убе-
убедитесь, что пополненный комплекс — это резольвента Л-модуля В. Пред-
Предположим, что аддитивная группа модуля В — свободная абелева. Тогда
X —► В — свободная резольвента, и следовательно, может быть использо-
использована для вычисления функторов Ех^(В, —). Покажите, что для любых
модулей Л и В группа /^1(Нотд(Х, А)) изоморфна группе расширений В
с помощью А, расщепляющихся над Ъ.
§2. Инъективные модули и резольвенты 125
7. Пусть Я — ЪС — групповое кольцо и пусть X —► Ъ — произвольная резоль-
резольвента тривиального С-модуля. Предположим, что аддитивная группа мо-
модуля В свободная абелева. Тогда тензорное умножение на В над Ъ сохра-
сохраняет точность, поэтому В <8> X —► В — резольвента для В. Это свободная
резольвента Д-модулей, если тензорное произведение рассматривать как
модуль относительно диагонального действия. Продумайте детали сфор-
сформулированных утверждений.
8. Пусть К — алгебра над некоторым коммутативным кольцом К. Проверьте,
что результаты этого параграфа справедливы не только для колец, но и для
/^-алгебр.
§ 2. Инъективные модули и резольвенты
Модуль А называется инъективным, если он выделяется прямым слагае-
слагаемым в любом большем модуле. Эквивалентно, Ех^(В, А) = О для любого
Я-модуля В. Например, абелева группа А инъективна как 2-модуль тогда
и только тогда, когда А — полная группа, то есть любое уравнение вида
пх = а (а Е Д п Е 2,п ф 0) разрешимо в А. Действительно, пусть Л —
полная абелева группа к А С С. Рассмотрим подгруппу В С С, которая
максимальна в множестве подгрупп, имеющих с А тривиальное пересе-
пересечение. Покажем, что С — А + В. Если с $_ А 4- В, то из максимальности
В следует, что пс = а + Ъ для некоторых аЕА,ЬЕВ,пЕ Ъ (п ф 0).
Пусть п минимально, то есть п — порядок образа элемента с в С/(А + В).
По условию а = па! для некоторого о! Е Л. Положим сг = с — а'. Тогда
псг Е В, откуда следует, что подгруппа (с') Л-В имеет с А тривиальное пе-
пересечение. Это противоречит максимальности группы В. Доказательство
обратной импликации мы оставляем читателю.
Определение инъективности можно сформулировать иначе.
Предложение 2.1. Модуль А инъективен тогда и только тогда, ко-
когда любой гомоморфизм В —> А, определённый на подмодуле, В С С
продолжается до гомоморфизма С —> А
Доказательство. Если это свойство выполнено и Л С С, то тож-
тождественное отображение А —> А продолжается до отображения С —> Л,
поэтому А выделяется прямым слагаемым. Наоборот, пусть модуль А
инъективен, и мы хотим продолжить отображение /: В —> А на модуль
СЭВ. Факторизуя по Кег/, можно предполагать, что / — вложение.
Пусть И — фактормодуль прямого произведения А © С по соотношениям
126 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
(/(Ь), — Ь) = 0. Тогда Л, С С В. Так как Л выделяется в В прямым слага-
слагаемым, существует проекция И на А. Её ограничение на С даёт нужное
отображение. □
Рассмотрим типичный пример. Пусть А — произвольная абелева груп-
группа. Введём структуру /?-модуля на группе Нот(/?, Л), считая, что
(/г)(а) = Лаг) {! Е Нот (Я,А),аеА,геЯ).
Если Я = ЪС — групповое кольцо, то получается коиндуцированный мо-
модуль. Как и в случае группового кольца, доказывается изоморфизм
Нотя(Б, Нот (Я, Л)) ^ Нот (Б, Л). C.8)
Отображению /: В —> Нот(/?, Л) нужно сопоставить гомоморфизм В —>
—> Л, значение которого на элементе Ь е В равно (/(Ь))A). Покажем,
что ес/ш Л — полная абелева группа, то Я-модуль I = Нот (/?, Л) ггя'ь-
ективен. Пусть I С В. Мы хотим доказать, что существует проекция
В —> /. Сопоставим каждому отображению 0 е Нот(/?, Л) = / его зна-
значение 0A) Е Л. Это определяет гомоморфизм абелевых групп / —> Л, ко-
который продолжается до гомоморфизма В —> Л, так как Л — инъективный
2-модуль. В силу C.8) гомоморфизму Б —> Л соответствует гомоморфизм
Д-модулей В —> /. Легко видеть, что он действует тождественно на /.
Из доказанного следует, что любой Я-модуль вкладывается в инъ-
инъективный. Действительно, несложно доказать, что аддитивная группа
модуля Л вкладывается в полную абелеву группу, скажем, Л*. Это вло-
вложение индуцирует вложение /^-модулей Нот(/?, Л) —> Нот(/?, Л*), по-
поэтому достаточно построить мономорфизм Л —> Нот (Я, А). Это делается
так же, как в случае групповых колец: элементу а Е Л надо сопоставить
функцию /: Я —> Л определённую равенством /(г) = аг.
Для точной последовательности /^-модулей
0 -+ Б" -* В -* Б' -* 0
и любого модуля Л последовательность абелевых групп
0 -> Нот (Б', Л) -^ Нот (Б, Л) -^ Нот (Б", Л)
является точной. Предложение 2.1 означает, что модуль Л инъективен
тогда и только тогда, когда точна последовательность
0 -+ Нот (Б', Л) -* Нот (Б, Л) -* Нот (Б", Л) -* 0.
§2. Инъективные модули и резольвенты 127
Иными словами, инъективность модуля Л эквивалентна тому, что функ-
функтор Нот(-,Л) переводит точные последовательности /^-модулей в точ-
точные последовательности абелевых групп. Легко видеть, что это спра-
справедливо для точных последовательностей произвольной длины, откуда
следует ещё одна характеризация инъективных модулей.
Предложение 2.2. Модуль А инъективен тогда и только тогда, когда
для любого модуля В и любого п ^ 1 Ех1^(Б, А) = 0.
Действительно, рассмотрим свободную резольвенту X —> В. Функтор
Нот(—,Л) сохраняет точность, поэтому комплекс Нотп(Х,А) в поло-
положительных размерностях имеет тривиальные когомологии. □
Предположим, что задана точная последовательность модулей
0 -> А" -> А -> А' -> 0, C.9)
и пусть снова X —> В — свободная резольвента. По лемме 5.4 главы 2
имеет место точная последовательность кокомплексов
0 -4 Нотя(Х, А") -+ Нотд(Х, А) -* Нотя(Х, А) -♦ 0.
Используя теорему 5.3 главы 2, получаем длинную точную последова-
последовательность для функторов
^, А') -* Ех*^(В, А") -> Ех*й(В, Л) -^ Ех$(В, Л') -^ • • •
C.10)
Связывающие гомоморфизмы
Ех^-^Б, А!) -> Ех^(Б, Л'')
вычисляются в соответствии с общим определением. Начало последова-
последовательности C.10) имеет вид
0 -> Нотд(Б, А") -> Нотя(#, Л) -* Нотя(В, Л') Д
откуда следует, что Ех1^ можно интерпретировать не только как груп-
группу расширений, но и как группу препятствий в задаче о подъёме гомо-
гомоморфизмов. Именно, пусть /' € Нотц(В,А'). Тогда /' поднимается до
гомоморфизма /: В —> Л тогда и только тогда, когда <Э(/') = 0.
Если последовательность C.9) расщепляется, то расщепляется и по-
последовательность C.10), то есть
, Л' в Л") ^ Ех^(Б, Л') в Ех^(Б, Л").
Из C.10) следуют изоморфизмы сдвига размерности.
128 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Предложение 2.3. Если в последовательности C.9) модуль А инъек-
тивен, то
Ех*%(В, А") ** Ех^-^Б, А') {п > 1)
Еу±1к{В,А") ^ Сокег(Нотя(#, А') -> Иотя{В, А)).
Размерность можно сдвигать сразу на несколько единиц. Если задана
точная последовательность
О _> А" -> Ак а^ Ак.г -> ... ^ Ах _> Л' -> О,
в которой модули Лх,..., Ак инъективны, то
п-к
, А") ^ Ех1пн-к(В, А') {п > к)
Ех1кя{В,А") ^ Сокег(Иотн(В,А') -> Нотя(В, Аг)).
Для доказательства этих формул надо последовательно осуществить
сдвиг от А' к 1та\, затем от 1т а\ к 1т «25 • • • от 1га^ к А".
Дадим аксиоматическое описание функторов Ех1^(Б, —). При фикси-
фиксированном В — это единственное семейство ковариантных функторов из
категории /^-модулей в категорию абелевых групп, которые удовлетворя-
удовлетворяют следующим условиям:
2. При п > 0 Ех1^(В, А) — 0 для любого инъективного модуля А.
3. Для любой точной последовательности C.9) определена длинная
точная последовательность C.10).
Доказательство, очевидно, следует из формул сдвига размерности.
Всё это похоже на то, что уже было сделано для когомологии. Допус-
Допускает обобщение и предложение 2.10 главы 2 о когомологиях с коэффици-
коэффициентами в коиндуцированном модуле.
Предложение 2.4. Пусть 8 — подгруппа группы С. Тогда для любого
8-модуля А и С-модуля В
, А)) ^ Ех*§(В, А).
§2. Инъективные модули и резольвенты 129
При п = О этот изоморфизм превращается в универсальное свойство
коиндуцированных модулей
Нотс(Б,Нот5BС, А)) 91 Пот8{В, А).
Чтобы вычислить Ех1^(В, —), выберем свободную резольвенту С-моду
лей X —» Б. Она же будет свободной резольвентой 5-модулей, и доказа
тельство сводится к случаю п = О, так как
, Л)) ^ Нот5(Х, Л).
Имеет место аналог утверждения 2.4 по первому аргументу. При этом
в формулировке коиндуцированные модули надо заменить на индуциро-
индуцированные.
Предложение 2.5. Пусть 8 — подгруппа группы С. Тогда для любого
С-модуля А и любого 8-модуля
2С, А) ^ Ех1§(Б, А).
Действительно, пусть X —> Б — свободная резольвента 5-модулей. После
тензорного домножения на ЪС над 5 получится свободная резольвента
С-модулей Х®§ЪС —► В®8ХС. Остаётся воспользоваться изоморфизмом
Яошс(Х ®8 ЪС, А)) ^ Нот5(Х, А).
Теперь мы сделаем принципиально новый шаг. Группы
определялись с помощью резольвенты модуля В. Второй аргумент А ис-
использовался в качестве модуля коэффициентов. На самом же деле аргу-
аргументы равноправны или, если угодно, двойственны, а группы Ех1^(Б, А)
можно вычислять и с помощью резольвенты модуля А. Точнее, назовём
инъективной резольвентой модуля А точную последовательность вида
О -> А -* Хо -+ >Х.
п
в которой модули Хп инъективны. Строго говоря, она не является ре-
резольвентой, и нужно говорить, скажем, о корезольвенте. Однако подоб-
подобной казуистикой обычно пренебрегают. Будем использовать обозначение
А —■> X, аналогичное обозначению резольвенты. Отметим, что инъектив-
ная резольвента всегда существует, так как любой модуль вкладывается
в инъективный.
130 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Теорема 2.6. Пусть А и В — произвольные К-модули и А —> X — инъ-
ективная резольвента. Тогда когомологии комплекса Нот#B?,Х) не
зависят от выбора резольвенты А —> X и имеет место изоморфизм
Нп(Иотя(В,Х)) * Ех*%(В, А). C.11)
Доказательство основано на приемах, которые уже были продемонстри-
продемонстрированы. Прежде всего докажем аналог теоремы сравнения.
Теорема 2.7. Пусть задан кокомплекс А —> X, в котором модули Хп
инъективны, и задана (ко)резольвента А —> У. Тогда существует
единственное с точностью до гомотопии коцепное преобразование
/: У —> X, продолжающее тождественное отображение А-* А.
Доказательство аналогично доказательству теоремы сравнения для сво-
свободных резольвент. Нам надо построить коммутативную диаграмму
0 —> А —> Уо —>• • • • —> Уп
1М I /о I
0 —> А —>
Из инъективности модуля Хо следует, что отображение А —> Хо про-
продолжается до гомоморфизма /о: Уо -* Хо. Далее можно действовать по
индукции. Гомотопия между двумя преобразованиями / и /' также стро-
строится из индуктивных соображений.
Из теоремы 2.7 выводится независимость групп Нп(Нотц(В, X)) от
выбора инъективной резольвенты А —► X. Впрочем, это следует и из
C.11), так как правая часть не зависит от X. Построим изоморфизм C.11).
Для этого воспользуемся интерпретацией группы Ех1^(Б, А) как группы
классов эквивалентности точных последовательностей ех^(-В, Л), кото-
которая была дана в предыдущем параграфе. Если А —* X — инъективная
резольвента и Е е ех1^(Б, А)
Е: 0->А-+В0-+ > Вп-1 -+ В -» 0,
то по теореме 2.7 существует коммутативная диаграмма
0 -* А -+ Во -+ ••• -> Вп-1 -^ В -+ 0
I гй 1 I I
0 —>
Отображение /п — это коцикл комплекса Нотя(^,^), и соответствие
с1в (Е1) —> с1в (/п) определяет гомоморфизм
, Л) ->
§2. Инъективные модули и резольвенты 131
Следуя схеме рассуждения, приведённого в предыдущем параграфе, легко
построить и обратное отображение. Подробности мы оставляем читателю.
Важным следствием теоремы 2.6 является длинная точная последо-
последовательность по первому аргументу функторов Ех1% Именно, для любой
точной последовательности /^-модулей
0-+Б" -+В-+В ->0 C.12)
имеет место точная последовательность абелевых групп
> Ех1пн-\В", А) -> Ех*%(В', А) -> ЕхЬпя(В, А) -> ЕтА%(В", А) -+ • • •
C.13)
Действительно, рассмотрим произвольную инъективную резольвенту
А —> X модуля А. Так как функтор Нот^ со значениями в инъективном
модуле сохраняет точность, то имеет место точная последовательность
комплексов
О -> Иотя(В\ А) -> Иотя{В, А) -> Иотя{В'\ А) -> 0.
Остаётся применить основную теорему гомологической алгебры 5.3 гла-
главы 2. Отметим, что если последовательность C.12) расщепляется, то рас-
расщепляется и последовательность C.13).
Если в последовательности C.12) В — свободный Я-модуль, то по оче-
очевидным причинам ЕхЬ^В, А) = 0 при п > 0 (свободная резольвента при-
принимает вид В —> В). Отсюда следуют изоморфизмы сдвига размерности
по первому аргументу
ЕхЬпя(В\ А) ^ ЕхЬпн-\В", А) (п > 1)
Ех11я{В',А) ^ Сокег(Нотя(Я, А) -> Нотя(В", А)).
На самом деле, модуль В не обязательно должен быть свободным. Для
того, чтобы сдвиг размерности был возможен, нужно, чтобы для любого
модуля А Ех1^(Б, А) = 0 при п > 0. Это условие заслуживает более при-
пристального внимания и приводит к понятию проективных модулей, которые
двойственны инъективным. Им посвящен следующий параграф.
Упражнения
1. Пусть А — А' 0 А" — прямая сумма Л-модулей. Докажите, что модуль А
инъективен тогда и только тогда, когда А' и А" инъективны.
2. Предположим, что кольцо К не имеет делителей нуля. Покажите, что
если модуль А инъективен, то для любого а € А и любого г € Я (г Ф 0)
существует элемент а' € А такой, что а'г = а. (Указание: отображение
свободного циклического модуля гК в А, при котором г переходит в а,
продолжается до гомоморфизма К —> А.)
132 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
3. Пусть К — область главных идеалов. Покажите, что Д-модуль инъективен
тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию сформулированному
в предыдущем упражнении.
4. Пусть С — конечная группа порядка га и Р — поле характеристики 0 или
конечной характеристики взаимно простой с га. Какие .РС-модули инъек-
тивны? (Ответ: по следствию 1.8 все .РС-модули инъективны.)
5. Предположим, что аддитивная группа кольца К свободная абелева. Дока-
Докажите, что тогда для любого Д-модуля А и Д-модуля В, аддитивная группа
которого свободная абелева,
Ех^(Б, Нот(Д, А)) = 0 (п> 0).
Во что превращается это утверждение при Д = ЪС и В — Ъ! (Указа-
(Указание: Пусть X —> В — свободная резольвента. Из условия следует, что она
стягивается над Ъ, поэтому стягивается комплекс Нот(Х, А), и остаётся
воспользоваться изоморфизмом C.8).)
4
§ 3. Использование проективных модулей
Модуль В называется проективным, если Ех1п(В,А) = 0 для любого
модуля А, то есть любое расширение с фактормодулем В расщепляется.
Предложение 3.1. Модуль В проективен тогда и только тогда, когда
он изоморфен прямому слагаемому свободного модуля.
Действительно, представим модуль В в виде В = Р/С, где ^ — сво-
свободный модуль. Если В проективен, то Р = В Ф С. Наоборот, пусть
Р = В ®С, где Р — свободный модуль. Тогда
, А) в Ех^(С, А) = Ех^(^5 А) = 0,
откуда следует, что Ех^(Б, А) = 0 для любого п > 0.
Из интерпретации Ех^ как группы препятствий следует аналог пред-
предложения 2.1.
Предложение 3.2. Модуль В проективен тогда и только тогда, когда
любой гомоморфизм В —> А' = А/А" поднимается до гомоморфизма
В-+А.
Действительно, если модуль В проективен, то длинная точная последо-
последовательность, построенная по точной последовательности
0 -> А" -> А -> А' -> 0,
§3. Использование проективных модулей 133
принимает вид
О -4 Нот (В, А") -* Нот (В, А) -> Нот (В, А) -> 0.
Другими словами, функтор Нот(В, —) переводит точные последователь-
последовательности Д-модулей в точные последовательности абелевых групп. В част-
частности любой гомоморфизм /' е Нот (В, А') является образом некоторого
гомоморфизма / е Нот (В, Л). Наоборот, пусть гомоморфизмы с обла-
областью определения В поднимаются. Представим В в виде В = Р/С, где
.Р —свободный модуль. Тогда изоморфизм В —» Р/С поднимается до го-
гомоморфизма В —> Р, откуда следует, что Р = В ©С, то есть модуль В
проективен.
Оказывается, при вычислении функтора Ех1^(Б, —) можно пользо-
пользоваться не только свободными, но и проективными резольвентами, то
есть, если X —> В — резольвента модуля В, состоящая из проективных
Д-модулей, то когомологии комплекса Нотц(Х,А) изоморфны группам
Ех1^(Л, В). Так как свободные модули —это частный случай проектив-
проективных, достаточно убедиться, что группы #п(Нотя(Х, А)) не зависят от
выбора проективной резольвенты. В случае свободных резольвент это
выводится из теоремы сравнения 2.6 главы 2. Доказательство использует
лишь тот факт, что любой гомоморфизм свободного модуля в фактормо-
дуль поднимается до гомоморфизма со значениями в модуле, поэтому из
предложения 3.2 следует, что теорема сравнения верна и для проектив-
проективных резольвент.
Приведём пример модулей, которые проективны, но не свободны.
Пусть С — конечная группа и И — её групповая алгебра над полем ха-
характеристики 0 или полем конечной характеристики, которая не делит
порядок группы. Тогда по следствию 1.8 главы 2 любая короткая точная
последовательность Д-модулей расщепляется, то есть Ех1п(В,А) = 0
для любых модулей А и В. Это означает, что все Д-модули и проектив-
проективны и инъективны. Пример противоположной ситуации дает произволь-
произвольная область главных идеалов. В этом случае любой проективный модуль
свободен, так как свободен любой подмодуль свободного модуля. Извест-
Известная теорема Суслина утверждает, что так же обстоит дело для кольца
многочленов от любого конечного числа переменных над полем. Запас
проективных модулей над данным кольцом — это одна из его важных ха-
характеристик. Конечно порождённые проективные модули над кольцом Д
образуют полугруппу относительно прямой суммы модулей. Если доба-
добавить противоположные элементы, то получится группа, которая обозна-
обозначается Ко(К) и изучается в рамках алгебраической К-теории (см. [53]).
134 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Читателю, интересующемуся проективными модулями, мы рекомендуем
также обзор [3].
В §2.2 была определена когомологическая размерность группы. Те-
Теперь мы рассмотрим аналогичное понятие для модулей над произвольным
кольцом К.
Определение 3.3. Пусть В — произвольный К-модуль. Его когомоло-
когомологической размерностью сс1 В называется минимальное число п такое,
что Ех^+1(Б, А) = О для любого модуля А. Если такого п не суще-
существует, то считаем, что сс1 В = ос.
Очевидно, когомологическая размерность группы С — это в точности ко-
когомологическая размерность тривиального С-модуля 2.
Предложение 3.4. Когомологическая размерность модуля равна ми-
минимальной длине его проективной резольвенты. В частности, если
ссЦЗ = п, то Ех17^(В, А) — О для любого т> п.
4
Доказательство. Достаточно проверить, что если ей В = п, то су-
существует проективная резольвента длины п. Начнём строить свободную
резольвенту, но остановимся на п-ом шаге. Пусть Р — ядро последнего
отображения. Тогда имеет место точная последовательность
О -* Р -> Рп-г > Ро -> В -> 0, C.14)
где ^о,... ,Рп-1 —свободные модули. Используя сдвиг размерности по
первому аргументу, имеем
^(Р, А) ^ Ех^+1(Б, А) = О
для любого модуля Л, то есть Р — проективный К-моцулъ. □
Удивительно, что в предложении 3.4 «проективный» можно заменить
на «свободный».
Предложение 3.5. Если К-модуль В имеет проективную резольвенту
длины п, то он имеет и свободную резольвенту длины п.
Следствие 3.6. Когомологическая размерность группы равна минима-
минимальной длине свободной резольвенты тривиального модуля 2.
Для доказательства попытаемся усовершенствовать резольвенту C.14),
заменив проективный модуль Р на некоторый свободный модуль.
Лемма 3.7. Для любого проективного модуля Р существует свобод-
свободный модуль Р такой, что Р © Р = Р.
§3. Использование проективных модулей 135
Предположим, что лемма уже доказана. Заменим тогда в C.14) Р и Рп-\
на Р ф Р и, соответственно, Рп-\ ф Р. Продолжим д,п-\ с Рп-^ на
Рп-1 Ф Р, считая, что на Р с?п_1 = 0. Продолжим также йп с Р на
Р ® Р, считая, что на Р с?п = г<2 —тождественное отображение. Полу-
Полученная последовательность будет, очевидно, свободной резольвентой. □
Чтобы доказать лемму, выберем модуль Р', для которого РфР'~
свободный модуль. В качестве Р возьмём прямую сумму счётного чис-
числа модулей изоморфных Р и счётного числа модулей изоморфных Р'.
Понятно, что Р — свободный модуль. С другой стороны, если выделить
одно слагаемое Р, то оставшаяся сумма также будет изоморфна Р. □
Предположим, что группа С имеет резольвенту конечной длины, со-
состоящую из конечно порождённых проективных ©-модулей. Такие груп-
группы называют группами типа РР (от французского Пш рпуесШ). Верно
ли, что для группы типа РР существует резольвента конечной длины,
состоящая из конечно порождённых свободных ©-модулей? Для дока-
доказательства достаточно было бы какого варианта леммы 3.7: если С —
группа конечной когомологической размерности, то для любого ко-
конечно порождённого проективного С-модуля Р существует конечно
порождённый свободный модуль Р такой, что Р ф Р — свободный мо-
модуль (такие модули Р называют стабильно свободными). Вряд ли это так,
однако контрпримеров на данный момент не известно.
Упражнения
1. Пусть С — конечная группа порядка т и К поле характеристики 0 или ко-
конечной характеристики взаимно простой с га. Укажите подмодуль Р С КС
изоморфный тривиальному модулю К такой, что КС = Ас 0 Р.
2. Пусть К = Ъп — кольцо вычетов. Покажите, что если п не является
степенью простого числа, то существуют проективные, но не свободные
Л-модули. (Указание: если п — кт, где кит взаимно просты, то
3. Пусть К — произвольное кольцо, и Р = К®. ..фК — свободный Л-модуль
ранга п. Тогда Р можно считать модулем над кольцом матриц Мп(К).
Покажите, что это проективный Мп(Л)-модуль. (Указание: Мп(К) =
(суммирование от к — 1 до п), где Р& = Р состоит из матриц
у которых гц — 0 при г ф к.)
4. Пусть 5 —> К — гомоморфизм колец и Р — проективный 5-модуль. Дока-
Докажите, что тогда Р®$ К— проективный Л-модуль.
136 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
5. Пусть С — произвольная группа и К — коммутативное кольцо. Докажите,
что если Р\,Р2 — проективные КС-модули, то Р\ ®к Р2 — проективный
КС- модуль.
6. Пусть В — произвольный С-модуль, аддитивная группа которого свобод-
свободная абелева. Покажите, что сдВ ^ сс!С (Указание: тензорное произведе-
произведение над Ъ модуля В и свободной резольвенты тривиального С-модуля Ъ
будет свободной резольвентой для В.)
7. Покажите, что ей В ^ 1+ссШ для любого С-модуля В. Приведите пример,
показывающий, что равенство может достигаться. (Указание: существует
эпиморфизм Р —> В, где Р — свободный С-модуль, но аддитивная группа
его ядра уже свободная абелева, поэтому можно воспользоваться преды-
предыдущим упражнением.)
8. Глобальной размерностью кольца К называется верхняя грань когомоло-
когомологических размерностей всех Л-модулей. Перечислите кольца, глобальная
размерность которых уже фактически нами вычислена.
§4. Когомологии свободных конструкций
В этом параграфе мы вычислим когомологии свободного произведения,
предполагая, что известны когомологии сомножителей. Аналогичная за-
задача будет решена для свободного произведения с объединённой подгруп-
подгруппой и для РШ1^-расширения.
Лемма 4.1. Пусть С = С\ * С?2 — свободное произведение групп С\
и Сч. Тогда вложения Д^ —> Ас (г — 1,2) определяют изоморфизм
(АС1 ®с± ЪО) в (АС2 ®с2 2С) -> Ас.
Следствие 4.2. Для любого С-модуля А при п ^ 2
Нп(С, А) ^ Нп{СъА) @ Нп{С2, А).
Докажем следствие. Благодаря точной последовательности
и изоморфизмам сдвига размерности достаточно убедиться в том, что
^, А) ** Ех^Дсх, А) Ф Ех^^Дс,, А).
Для этого надо воспользоваться леммой 4.1 и универсальным свойством
индуцированных модулей. □
§4. Когомологии свободных конструкций 137
Если А — тривиальный ©-модуль, то Я1 (С, А) = Нот (Саь, Л), поэто-
поэтому Я1 (С, А) = Я^СьЛ) еЯ1^,^). Случай произвольного модуля А
рассмотрен в упражнении 3.
Доказательство леммы. Любой элемент у е С (у Ф 1) можно
единственным образом представить в виде V = д^.-.дц, где д{. ф \
и соседние множители принадлежат разным группам Сг (г = 1,2). Число
/ называют длиной элемента у (по определению считаем, что длина 1
равна 0). Переходя к фундаментальному идеалу, имеем
V - 1 = дк - 1 = (д - \)к + (к - 1), C.15)
где либо д Е С\ и к начинается с элемента из С?2, либо д Е С?2 и
начинается с элемента из С4 (возможно к = 1). В любом случае /г имеет
меньшую длину, чем г>. Используя равенство C.15) и индукцию по длине,
легко доказать, что элементы вида (д — 1)к, где дик удовлетворяют
сформулированному выше условию, образуют базис аддитивной группы
идеала Ас- Но аналогичные элементы (д— 1)®к образуют базис прямой
суммы модулей Д<^ ®с?. 2С, откуда и следует лемма. □
Перейдём к свободному произведению с объединением.
Лемма 4.3. Пусть С = С\ *з С?2 — свободное произведение групп С\
и С2 с объединённой подгруппой 8. Рассмотрим отображения
: А8 (% ЪС ->
индуцированные вложениями 8 —> Сг, С% —* С Тогда имеет место
точная последовательность
0 - Дз ®з 2С а1-=?2 (ДС1 ®С1 2С) в (Дс2 ®с2 2С) ^2 Дс - 0.
Доказательство. Пусть Г1 и Г2 системы представителей смежных
классов С\ по 5 и С?2 по 5, отличных от 5. Как известно, любой эле-
элемент у Е С (у Ф 1) можно единственным образом представить в виде
у = зд^ ...<?гп Где «Е 5, дц € Т\ или р^- € Г2 и соседние множители
принадлежат разным множествам Т\ (г = 1,2). Число / называют длиной
элемента V (по определению длина элемента $ Е 5 равна 0). Объединив 5
с д1х, каноническую запись можно начинать с множителя д б С{. Элемент
у — 1 е Ас представляется в виде C.15), где либо д е С\ и к начинается
с множителя из Г2, либо д Е С<1 и к начинается с множителя из 7\, либо
д е Сг и к = 1. Индукцией по длине легко доказать, что элементы вида
(д — 1)/г, где д и к удовлетворяют сформулированному условию, образуют
базис аддитивной группы идеала Ас. Но такие же элементы (д — 1) ® к
138 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
образуют базис фактормодуля прямой суммы (Д^ ®а 2С?) © (Д<22 ®с2
®с2 ЪС) по подмодулю, порождённому элементами а\(з) — «2E) ($ е 5),
откуда и следует лемма. □
Следствие 4.4. Пусть С = С\*з С?2- 7огда имеет место длинная точ-
точная последовательность
> Нп(С,А) -* Нп(СъА)®Нп(С2,А) ^ Нп(8, А) ->
Это выводится из точной последовательности леммы 4.3. Надо выписать
соответствующую длинную точную последовательность функторов Ех1,
сдвинуть размерность и воспользоваться универсальным свойством ин-
индуцированных модулей. □
Отметим, что следствие 4.4 даёт описание группы Нп(С,А) как рас-
расширения Кег7п с помощью Сокег7п-ь Легко видеть, что 7п — это раз-
разность ограничений гезп: Нп{Сг,А) —> Нп(8,А) (г = 1,2). Таким образом,
вычисляя Нп{С,А), можно избежать вычисления связывающих гомомор-
гомоморфизмов.
Пусть теперь задана группа С, две её подгруппы 5,8' и изоморфизм
<р: 8 -* 8'. Напомним, что по этим данным строится группа С*, которую
называют НЫЫ-расширением группы С. По определению, С* получается
из свободного произведения С * (х) введением дополнительных соотно-
соотношений
х~18х — <^(з), 5 Е 5. C.16)
Элемент х называют проходной буквой, а 5 и 8' — ассоциированными
подгруппами. Пусть Т, Т' — множества представителей смежных классов
группы С по подгруппам 5,5" (считаем, что представителем в5и5" вы-
выбрана 1). Известно, что любой элемент НЫЫ-расширения С* можно един-
единственным образом представить в виде дхЕ1д\... хЕ1д\, где д е С, б{ = ±1,
а дг е Т, если е» = —1 и <# е Т\ если Ег = 1, причем д\ ф 1, когда Е{ =
= —Ег+\. Из существования нормальной формы следует, что С, (х) С С*.
В том случае, когда 8 = 8' = С, НЫЫ-расширение сводится к полупря-
полупрямому произведению С(х), а нормальная форма принимает вид дхп.
Чтобы описать фундаментальный идеал НЫЫ-расширения С*, рас-
рассмотрим вложения
а: Ас ®с 2С* -> Ас
§4. Когомологии свободных конструкций 139
которые индуцированы естественными отображениями С —> С* и (х) —>
—> С*. Если бы мы имели дело со свободным произведением С* (ж), то
прямая сумма а®/3 была бы изоморфизмом. Однако благодаря соотноше-
соотношениям C.16) возникает нетривиальное ядро К. Пусть а = (х~г — 1)(з — 1)г,
где з е 8,г е %С*. Очевидно, а е 1т /3. С другой стороны, а можно пе-
переписать в виде
(х~1зх - \)х~хг -{з- 1)г = {8 - 1)х~1г -{8- 1)г («' е 8'),
поэтому аЕ1та. Отсюда следует, что (а (а), —/3~1(а)) Е /С. Используя
нормальную форму, нетрудно доказать, что ядро исчерпывается элемен-
элементами такого сорта. Легко также видеть, что отображение
{х~1 - 1)(з - 1)г -> (з - 1) ® г
определяет изоморфизм К = Д# ® 2С*. Таким образом, справедлива
следующая лемма.
4
Лемма 4.5. Фундаментальный идеал Ас* НNN-расширения С* груп-
группы О с ассоциированными подгруппами 5,5" и проходной буквой х
можно включить в точную последовательность
О -> Д5 ® 2С* -^ Дс ®с 2С* в Д(Ж) ®(Ж) 2С* -^ Дс* -> 0.
Следствие 4.6. Для когомологии НЫЫ-расширения С* с коэффициен-
коэффициентами в модуле А имеет место точная последовательность
> Нп{С\ А) -> Нп(С, А) -> Нп(8, А) — Нп+1 {С*, А) -* • • •
Сделаем некоторые замечания об отображениях построенной последова-
последовательности. Пусть гп: Нп(С,А) —> Нп{8,А) — гомоморфизм ограничения
на подгруппу 8, \\ г'п — композиция ограничения на 8' с изоморфиз-
изоморфизмом Нп(8',А) —> ЯпE, Л). Можно доказать, что в последовательности
следствия 4.6 отображение ЯП(С, А) —> ЯпE', Л) совпадает с разностью
гп - г'п. Предыдущее отображение Нп(С*,А) —> Нп(С, А) — это просто
ограничение. Предположим, что элемент /г Е Нп(С,А) принадлежит его
образу. В группе С* подгруппы 8 к 8' сопряжены. Так как внутренние
автоморфизмы индуцируют тождественное отображение групп когомоло-
когомологии (см. упражнение 11 к §2.2), отсюда следует, что гп(Н) = г'п(Н), то
есть действительно Н содержится в ядре следующего отображения.
Упражнения
1. Пусть 5 —подгруппа произвольной группы С. Покажите, что вложение
5 —> О индуцирует мономорфизм Д$ <8)$ ЪС —> Ас.
140 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
2. Свободное произведение С = С\ * Съ характеризуется в категории групп
следующим универсальным свойством: для любой группы Я и гомомор-
гомоморфизмов аг: Сг —> Я (г — 1,2) существует единственный гомоморфизм
а: С —► Я, ограничение которого на Сг совпадает с щ. Докажите, что
фундаментальный идеал Ас свободного произведения характеризуется
в категории модулей аналогичным свойством и выведите отсюда лемму 4.1.
3. Пусть С — С\ * С?2 и А — произвольный С-модуль. Покажите, что для
любых дифференцирований /^: Сг —> А (г — 1,2) существует единственное
продолжение /: С —> А. Другими словами, группа дифференцирований
Бег(С, А) изоморфна прямой сумме групп Вет(Сг,А) (г — 1,2).
4. Пусть С = С\ * (?2- Покажите, что для любого С-модуля А имеет место
точная последовательность
о -♦ н°(с,А) -> я°(с?1, л) е я°(с2, л) -> л ->
-> Я1 (С, Л) -> Я1 (Ох тА)®!!1 (С2, Л) -> 0.
(Указания. Образ элемента а € А в группе
Н\С,А) ^ Сокег(НотсB;С, Л) -> Нотс(Ас, Л))
определяется как класс гомоморфизма / € Нотс(Дс,Л) такого, что
/(г) = аг, если г е Ас?!» и /(г) = 0, если г е Ас2- Это совпадает с клас-
классом гомоморфизма, для которого /(г) = 0, если г € Асг, и /(г) = —аг,
если г е АС2.)
5. Точная последовательность следствия 4.4 начинается в размерности 1 не
с групп когомологии, а с групп дифференцирований
0 -> Бег(С, Л) -> Вет(Си А) 0 Бег(С2, Л) -> ВегE, Л) Д Я2(С, Л) -> - • -
Интерпретируйте точность во втором члене как возможность продолже-
продолжения дифференцирований с групп С\,С2 на группу С = С\ *$ С?2- Дай-
Дайте описание расширения С с помощью Л, которое соответствует при
связывающем гомоморфизме дифференцированию / е БегE, Л). (Указа-
(Указания. Пусть а — автоморфизм полупрямого произведения 8А, соответству-
соответствующий /. Рассмотрите группу С, которая получается из свободного произ-
произведения (С\А) * (С2А) отождествлением подгрупп ЗА по изоморфизму а.
Очевидно, С является расширением группы С\ *$ Съ с помощью Л. При
связывающем гомоморфизме дифференцированию / соответствует класс
этого расширения.)
6. Пусть к — 18,т — И и Ъ^, Ъш, 2ц — циклические группы порядков /с, т и /.
Вычислите когомологии с целыми коэффициентами группы С — 2/с*2^ш-
(Ответ: коамальгама групп Ъ\~ и 2т в чётной и 0 в нечётной размерности.
§5. Расширения групп и расширения модулей 141
Точнее, пусть а: 2& —> Ъ\ и /?: 2т —> Ъ\ — естественные эпиморфизмы.
Тогда для чётного п > О группа НпС изоморфна подгруппе прямого про-
произведения Ъ\~ 0 2т, состоящей из пар (а, Ь) таких что а(а) — /3(Ь).)
7. Известно, что группа 51/2B) изоморфна свободному произведению цик-
циклических групп порядка 6 и 4 с объединённой подгруппой порядка 2.
В качестве образующих можно взять матрицы
Используя этот факт, определите целочисленные когомологии группы
51/2B). (Ответ: 2x2 или 0 в зависимости от того четна или нечётна раз-
размерность.)
8. Выпишите начало точной последовательности следствия 4.6 (в ней участ-
участвуют группы дифференцирований). Дайте описание связывающего гомо-
гомоморфизма БегE, А) —» Я2(С*, А). (Указание: Пусть а — автоморфизм по-
полупрямого произведения ЗА, соответствующий некоторому дифференци-
дифференцированию / € БегE, А). Рассмотрите НЫЫ-расширение с базовой группой
СА и ассоциированными подгруппами ЗА, 8'А, которые связаны изо-
изоморфизмом, действующим на А, как х € С*, а на 5, как композиция а
и <р:
9. Если 5 = 5' = С, то НЫЫ-расширение —это полупрямое произведение
С* — (х)С. Во что превращается точная последовательность леммы 4.6?
(Указания. Действие х на А и на С задаёт на Нп(С,А) структуру (х)-моду-
ля. Пусть 1п —эндоморфизм, определяемый действием х — 1. Последова-
Последовательность леммы 4.6 даёт описание абелевой группы Нп(С*,А) как рас-
расширения Кег^п с помощью Сокег^п_1.)
§ 5. Расширения групп и расширения модулей
Пусть С — произвольная группа и А — некоторый С-модуль. Как мы
знаем,
ЯП(С, А) ^
(договоримся Ех^с сокращать до ЕхЪ^). С помощью точной последова-
последовательности
сдвинем размерность по первому аргументу правой части
Ех1%B, А) ^ Ех^-^Дс, А) (п > 1).
142 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
В частности,
2 C.17)
то есть каждому групповому расширению
Я:1->А->С->С->1 C.18)
соответствует некоторое расширение С-модулей
Е1: О -> А -> ~АС -> Ас -> 0. C.19)
Изоморфизм C.17) проще всего описать на языке коциклов. Предполо-
Предположим, что расширение C.18) задаётся коциклом /: С х С —► Л. Тогда для
любых элементов #ъ #25 <7з € С выполнено равенство
/Eь5гMз - /Eъ525з) + /E152,5з) - /E2,5з) = 0.
Продолжим / по линейности на групповое кольцо 2С Для любых
П,г2,г3е2С
3 - /(ГЬГ2Г3) + /(Г1Г2,Г3) ~ ^(п)/(г2, ^з) = 0
: 2С —♦ 2 — пополняющий гомоморфизм). Если п = в е Ас?, то по-
последнее слагаемое пропадает и для любых ^,гб 2С
, *)г - /E, «г) + /(Л, г) = 0. C.20)
В §3.1 было показано, что функция /: Д^ х 2С —♦ Л, удовлетворяющая
равенству C.20), определяет на прямой сумме абелевых групп А © Д^
структуру 2С-модуля. Напомним, что при этом
(а, з)г = (аг + /E, г), зг) (а € А,з 6 Дс, г € 2С).
Полученный таким образом модуль Ас включается в точную последова-
последовательность C.19). Так как аддитивная группа идеала Ас свободная абе-
лева, то любое расширение модуля Ас может быть получено указанным
способом. Приведём также явное описание расширения C.19), не исполь-
использующее коциклы.
Пусть задано расширение C.18). Рассмотрим точную последователь-
последовательность С-модулей
0 -> АА - Д^ -> Ас -> 0,
где Аа — идеал кольца 2С, порождённый элементами а — 1 (а € А).
Чтобы перейти к С-модулям, введём в Д^ соотношения
з(а - 1) = 0 E 6 Д^, а € А),
§5. Расширения групп и расширения модулей 143
то есть профакторизуем по идеалу 7 = Д^Дд. Оказывается, полученная
точная последовательность
Е': О -> Ал/1 -> Д^/7 -> Дс -> 0 C.21)
— это и есть расширение С-модулей, соответствующее расширению групп
Е при изоморфизме C.17). Докажем, прежде всего, что ядро расширения
Е' можно отождествить с А.
Лемма 5.1. Отображение а —♦ а — 1 (а Е А) индуцирует изоморфизм
С-модулей уь\ А —> Дл/7 {первый записан мультипликативно, а вто-
второй — аддитивно).
Доказательство. Пусть д € С, а € А. Тогда
да-1 = (д-1)(а-1) + (д-1) + (а-1) = (д-1) + (а + 1) тоА I. C.22)
В частности для а\,а<1 € А
7,
то есть I{а\а2) = ^(а\) + /^2), и следовательно, /л — гомоморфизм абе-
левых групп. Далее,
а? - 1 = д-\а - 1)д = (д'1 - 1)(а - 1)д + (а - 1)д = (а - 1)$ той 7,
поэтому /Да5') = 1-1(а)д, следовательно, ^ — гомоморфизм С-модулей. Эле-
Элементы вида а — 1 (а Е А) порождают Дд как С-модуль, поэтому /л —
эпиморфизм. Докажем, что /л — мономорфизм. Пусть д —♦ ^ — система
представителей. Будем считать, что Т = 1. Любой элемент группы С
единственным образом представляется в виде ~да (а € А). Элементы ви-
вида ~да — 1 линейно независимы в Д^, поэтому отображение ~да — 1 —♦ а
продолжается до гомоморфизма абелевых групп г): Д^ —♦ А. Так как
г){{-да - 1){а' - 1)) = п((даа' - 1) - (да - 1) - {а' - 1)) = аа^аа')'1 = 1,
то 7 С Кег7у, следовательно определён индуцированный гомоморфизм
г]: Д^/7 —♦ А. Но г)(а — 1) = а, то есть ограничение г] на Дд/7 — это
отображение, обратное к /л. □
Пусть функция /: ЪС х 2С —> А продолжает 2-коцикл, соответству-
соответствующий системе представителей д —> ~д. Покажем, что расширение Д^/7,
которое мы построили, задаётся с помощью /, то есть, что второй способ
определения изоморфизма C.17) совпадает с первым.
144 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Система представителей д —» ~д определяет мономорфизм абелевых
групп Ас —♦ А^. Рассмотрим индуцированный мономорфизм г: Ас —♦
—♦ А^/1 и прямое разложение
Нам надо доказать, что для любых элементов 5 е Ас, г е ЪС
, г)).
В силу линейности достаточно проверить это равенство для в = </ — 1,
г = к, где д,к € С. Вычисляя правую часть, имеем
г((д - 1)Л) + ^(/(д, Л)) = г@/Л - 1) - (к - 1))
Объединим первое и третье слагаемые с помощью равенства C.22):
^ той/
По построению Д^// = Д^/Д^Дл — наибольший фактормодуль
С-модуля Д^т, на котором Л действует тривиально, поэтому
ё/1 = Ас ®с ъс-
Последовательность C.21) можно переписать в виде
О -> А -> Д^ ®^ ЪС -> Дс -> О
(элемент абЛ переходит в (а — 1) (8) 1). Подведём итог наших рассмот-
рассмотрений.
Теорема 5.2. Пусть С— расширение группы С с помощью С-модуля А.
Тогда С-модуль Ас = А^^-^ЪС является расширением Ас с помощью
А и соответствие С ~> Ас индуцирует изоморфизм
Описанную конструкцию можно использовать для вложения произ
вольного расширения в расщепляющееся.
Предложение 5.3. Пусть а: С —> С — естественный эпиморфизм. То
гда отображение ь>: С —> С Ас, определённое формулой
ь>(д) = (т(д)ад, где ад = (д-
является мономорфизмом.
§5. Расширения групп и расширения модулей 145
Доказательство. Для любой группы определено дифференцирование
д —♦ д — 1 со значениями в фундаментальном идеале, поэтому элементы
вида д(д —1)(дЕ С) полупрямого произведения СА^ образуют подгруп-
подгруппу, изоморфную С. Композиция вложения С —» ОА^ и естественного
эпиморфизма СА^ —* С Ас совпадает с г/, поэтому V — гомоморфизм.
Включение Кегг/ С А очевидно. Остаётся заметить, что ограничение V
на А совпадает с изоморфизмом леммы 5.1. □
Напомним, что в §1.8 было построено вложение С —» СС, где
С = НотBС, А) — коиндуцированный модуль. Возможны и другие вло-
вложения расширения С в расщепляющиеся расширения. Опишем универ-
универсальное свойство, которое выделяет отображение V предложения 5.3 в
множестве всех вложений.
Расщепляющим гомоморфизмом расширения С назовем любой гомо-
гомоморфизм в полупрямое произведение а: С -» ОС, который индуцирует
тождественное отображение в факторгруппе С.
Предложение 5.4. Любой расщепляющий гомоморфизм а единствен-
единственным образом можно провести через V, то есть существует однознач-
однозначно определённый гомоморфизм C: С Ас —> СС, тождественный на до-
дополнительной подгруппе С, для которого коммутативна диаграмма
V САа
С
\
а СС.
Доказательство. Пусть д € С и а(д) = а(д)сд, где сд € С. Отобра-
Отображение д —> сд — это дифференцирование С —> С. Но тогда отображение
д — 1 —> с9 — гомоморфизм С-модулей Д^ —> С, так как
(д - 1)Н = (дН - 1) - (Н - 1) -> сдН - сн = сдК.
Поскольку С является С-модулем, имеется индуцированный гомомор-
гомоморфизм Ас —> С. Он единственным образом продолжается до гомоморфиз-
гомоморфизма полупрямых произведений, тождественного на С. □
Рассмотрим один пример применения построенного вложения. Он ка-
касается решения уравнений в группах. Изучение уравнений и систем урав-
уравнений — это обширная и самостоятельная тема в теории групп. Иногда
исследуются свойства множества решений системы в данной группе, на-
например, свободной. Иногда ставится задача о разрешимости уравнений
146 Глава 3. Когомологии и функтор ЕхХ
в некоторой группе, содержащей данную. Видимо, простейший пример —
это уравнения вида хп = д (п е 2). Будем говорить, что группа С удо-
удовлетворяет условию единственности для корней, если для любой правой
части д е С и любого п е 2 уравнение хп = д имеет в С не более од-
одного решения. Группу С назовём группой с однозначным извлечением
корней, или (^-группой, если каждое такое уравнение (при п ф 0) имеет
в С ровно одно решение. Термин (^-группа объясняется тем, что если
указанное условие выполнено, то для любого рационального А = т/п
и любого д е С можно определить дх как единственное решение уравне-
уравнения хп — дт. При этом будут выполнены обычные свойства степеней
Наиболее популярная задача формулируется здесь следующим образом.
Пусть 3?—некоторый класс групп. Можно ли группу С Е 3? с услови-
условием единственности для корней вложить в (^-группу С* Е Ш Известная
теорема А. И. Мальцева [52] утверждает, что ответ положителен в том
случае, когда Ш состоит из всех нильпотентных групп класса ^ с. Для
нильпотентной группы С условие единственности для корней эквивалент-
эквивалентно тогда тому, что С без кручения. Можно также доказать, что мини-
минимальная (^-группа С*, содержащая группу С, определена однозначно.
Иначе обстоит дело, если К —класс всех разрешимых групп ступени ^ /.
Автор доказал, что ответ положителен для метабелевых групп, то есть
при / = 2, и отрицателен при / ^ 3 [29]. Доказывая подобные результаты
полезно знать, как ведёт себя условие единственности для корней при
расширениях.
Лемма 5.5. Пусть в расширении C.18) группа С удовлетворяет усло-
условию единственности для корней. Тогда группа С также удовлетво-
удовлетворяет этому условию в том и только том случае, когда для любых
д Е С, а е А и натурального п из равенства а8п^ = 1, где зп(д) = 1 +
4- д Н + дп~Ху следует, что а — 1.
Доказательство. Это легко вывести из тождества )
(<7 —прообраз д). Если а8п^ = 1 для некоторого а ф 1 (а Е А), то
и ~да — два различных решения уравнения хп = дп. Наоборот, предполо-
предположим, что х Е С — решение такого уравнения, отличное от ~д. Так как С
удовлетворяет условию единственности для корней, то х = ~да A ф а Е
Е А). Из равенства ('да)п = 1р тогда следует, что а8п^ = 1. □
§5. Расширения групп и расширения модулей 147
Предложение 5.6. Пусть в расширении C.18) группы С и С удовле-
удовлетворяют условию единственности для корней. Тогда С можно вло-
вложить в полупрямое произведение ОС, которое также удовлетворяет
этому условию.
Для доказательства рассмотрим вложение V. С —> С Ас предложения 5.3.
Нам надо проверить, что модуль Ас удовлетворяет условию, леммы 5.5.
Так как это условие выполнено для модуля Д то благодаря C.19) доста-
достаточно его проверить для Ас. Пусть азп(д) = О, где а Е Ас,д Е С (модуль
Ас записан аддитивно). Докажем, что а = 0. Очевидно, можно считать,
что д ф 1. Умножая обе части на д—1, получим а(дп — 1) = 0. Группа С не
имеет кручения, так как, если дп = 1, то 1 и д — два различных решения
уравнения хп = 1. Остаётся воспользоваться следующим элементарным
фактом (доказательство мы оставляем читателю)
Лемма 5.7. Пусть О — группа без кручения. Тогда элемент вида Н — 1,
где Н Е С, Н ф 1, не может быть делителем нуля в кольце ЪС.
Отметим, что не известно, может ли иметь делители нуля групповое
кольцо группы без кручения (проблема Капланского).
Пусть 3? — некоторый класс групп и уже доказано, что любая группа
С Е К с условием единственности для корней вкладывается в (^-группу
С* Е !К. Если мы хотим доказать аналогичное утверждение для расши-
расширений с абелевым ядром групп класса !К, то, как следует из предложе-
предложения 5.6, это достаточно сделать для расщепляющихся расширений. Дру-
Другими словами, задача сводится к некоторой задаче о модулях. В упражне-
упражнениях показано, как реализовать эти соображения, когда Ш — класс абеле-
вых групп, то есть, когда речь идёт об извлечении корней в метабелевых
группах.
Упражнения
1. При изоморфизме Я2(С, А) = ЕхЬ2с(Ас,А) расщепляющемуся расшире-
расширению С — С А соответствует прямая сумма Дс — Д^ ф А. Как устроено
универсальное вложение и: С А —> С Ас? Имеется также вложение а,
тождественное на подгруппе С, которое элемент а е А переводит в пару
@, а) Е Ас- Как пропустить а через V?
2. Докажите, что полупрямое произведение САс и вложение V однозначно
определяются универсальным свойством предложения 5.4. Почему в слу-
случае, когда С — С А — расщепляющееся расширение, тождественное отоб-
отображение СА —> СА не обладает универсальным свойством? (Указание:
у не разлагается в композицию V — Ы о /?, где /? действует тождественно
на дополнительной подгруппе С.)
148 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
3. Покажите, что всегда образ у(С) совпадает со своим нормализатором
в С Ас. Выведите отсюда, что индуцированное отображение групп ко-
гомологий Я1 (С, А) —> Я1 (С, Д^) — мономорфизм.
4. Покажите, что любая группа С вложима в некоторую группу С*, в кото-
которой все уравнения вида хп — д (д € С*) имеют хотя бы одно решение.
(Указание: присоединять корни можно, используя свободное произведение
с объединённой циклической подгруппой и трансфинитную индукцию.)
5. Пусть С — некоторая (^-группа. Покажите, что в расширении C.18) группа
С будет (^-группой в том и только том случае, когда для любого п € Ъ
и любых элементов д е С, а € А существует единственный элемент с € А
такой, что сзп(д) = а. (Указание: это доказывается аналогично лемме 5.5.)
6. Пусть С — абелева группа без кручения, А — некоторый С-модуль и полу-
полупрямое произведение С А удовлетворяет условию единственности для кор-
корней. Предположим, что для некоторого простого р из элемента К € С не
^^
извлекается корень степени р, и пусть С — абелева группа^ порождённая
^^
С и элементом х таким, что хр = К. Докажите, что существует С-модуль
А, содержащий А в качестве С-подмодуля, такой, что С А удовлетворяет
условию единственности для корней. (Указания. Пусть В — А®аЪС — А®
(8) 10... 0 А 0 хр~1 — коиндуцированный модуль. Отображение а —> а ® 1
определяет мономорфизм А —> В. Рассмотрим множество 5 произведений
элементов вида зп(д)у где д € С. Достаточно доказать, что подмодуль
р(В) = (а € В | аз — 0 для некоторого 5 € 5 ),
имеет тривиальное пересечение с А (8) 1. Тогда А вкладывается в А =
- В/р(В). Пусть
I
аз^О, где 5 = ]^[ зпД^г), а = а ® 1 е А ® 1.
г=1
Индукцией по / докажите, что а — 0. Можно использовать следующую
схему.
Пусть / = 1, 5 = зп(д). Если д € С, то а = 0, так как СА удо-
удовлетворяет условию единственности для корней. Если д ^ С и п =
= р/с + г @ ^ г < р), то проекция азп(д) на А®1 равна азк(др) и сно-
снова а — 0.
Пусть щ—р для всех г — 1,...,/. Тогда 0 = аз(дг — 1) =
где з' произведение меньшей длины. По индукции а(др — 1) = 0. Бу-
Будем считать, что д^ ^ С (иначе снова можно применить индукцию).
Пусть Я — подгруппа, порождённая элементами ди и пусть С — цен-
централизатор а в Я. Используя тот факт, что др € С, докажите, что
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 149
Н/С — циклическая группа порядка р. Пусть I — её образующий. То-
Тогда аз — а(8рA)У — 0. Для любого к в кольце Ъ(Ь) имеет место ра-
равенство 1к8рA) = 8РA), поэтому а(8р(г)У = ар1~18р(Ь). По индукции
ар1~1 = 0 и, значит, а — 0.
1771
• Разложите дтп — 1 на множители двумя способами: как (дп)'
и как {дт)п - 1. Выведите отсюда что 8п(д)8т{дп) = 8п(дт)8т{д).
Взяв в этом тождестве т — р, сведите общий случай к предыдущему.
7. Докажите, что метабелева группа с условием единственности для корней
вкладывается в метабелеву (^-группу. (Указания. Из предложения 5.6 сле-
следует, что достаточно рассматривать полупрямые произведения С Д где С
и А — абелевы группы. Предыдущее упражнение сводит доказательство
к случаю, когда С является (^-группой. Чтобы вложить С А в (^-группу
надо, в силу упражнения 5, обратить все прогрессии. Но для коммутатив-
коммутативных колец есть стандартная конструкция модуля частных.)
§6. Свободные расширения с абелевым ядром
Пусть С — произвольная группа. Рассмотрим категорию Еаъ{С), состоя-
состоящую из всевозможных расширений
Е: 1-> А-+С->С->1 C.23)
с абелевым ядром А. Мы считаем, что группа С фиксирована, а модуль
А может меняться. Морфизмами категории Еаъ(С) будем считать комму-
коммутативные диаграммы вида
1 -> А\ -> Сг -> С -> 1
1 -> А2 -> С2 -> С -> 1.
Оказывается, в 8аь{С) существуют свободные объекты. Они играют осо-
особую роль в теории расширений и изучались во многих работах.
Определение 6.1. Расширение
1 -> М -> Ф -> С -> 1 C.24)
категории Еаь{С) называется свободным со свободными образующими
и Е Ф (г Е /), если для любого расширения Е Е Саъ{С) и любых элемен-
элементов дг Е С таких, что образ <# в группе С равен образу и, существует
150 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
единственный морфизм
М -> Ф -> С -> 1
Л -> С -> С -> 1,
которого
Такие расширения будем называть свободными расширениями с абеле-
вым ядром, или короче, — свободными абелевыми расширениями. Что-
Чтобы дать явную конструкцию, рассмотрим произвольное копредставление
С = Р/№', где ^Р — свободная группа. Точную последовательность
естественно назвать абсолютно свободным расширением. Если а^ — сво-
свободные образующие группы Р, то для любого расширения C.23) и эле-
элементов дг е С отображение Хг —♦ ^ продолжается до Гомоморфизма
: Р —> С. Если образы элементов Х{ и д^ в группе С совпадают, то
имеет место коммутативная диаграмма
1 -> ТУ -> Г -> С -+
Этот факт не зависит от того, коммутативна ли группа А. Если А комму-
коммутативна, то ядро отображения (р содержит коммутант ТУ7, следовательно,
имеется индуцированный гомоморфизм /: Р/И' —> С. Мы видим, что
каждому копредставлению С = Р/И можно сопоставить свободное абе-
лево расширение C.24), в котором Ф = Р/№, М = 7Уа& = И/И', а эле-
элементы Ьг = хгИ' — свободные образующие. Наоборот, предположим, что
задано свободное абелево расширение C.24). Обозначим уг образы сво-
свободных образующих ^еФв группе С и рассмотрим свободную группу Р
со свободными образующими х^. Пусть Л7" —ядро гомоморфизма Р —> С,
при котором Хг переходит в ^. Тогда и отображение ^ —> х^1, и отобра-
отображение х^И' —♦ и продолжается до гомоморфизма, поэтому Ф = Р/№'.
Пусть, например, Р\ — /-й член ряда коммутантов свободной группы,
и Ф/ = Р/Р[ — свободная разрешимая группа ступени /. Тогда Ф/ = Р/И\
где N = Р1~г, то есть Ф/ — свободное абелево расширение группы Ф/_ь
Если N = 7с+\{Р) — (с+1)-й член нижнего центрального ряда, то группа
' свободна в классе групп, удовлетворяющих тождеству
..., хс+1], [ух,..., ус+г\] = 1-
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 151
Ядро М расширения C.24) называют модулем соотношений группы С.
Если группа задана определяющими соотношениями
то С = Р/И, где Р — свободная группа со свободными образующими жг-,
а N — нормальное замыкание элементов г^-. Очевидно, М = 7Уа& поро-
порождается как С-модуль образами соотношений г^, что объясняет термин
«модуль соотношений». Долгое время оставался открытым следующий
вопрос. Верно ли, что из конечной порождённости модуля соотношений
следует конечная определённость группы С? Это верно в классе метабеле-
вых групп [9]. Однако для общего случая были построены контрпримеры
[8, 20].
Подгруппа N свободной группы Р свободна, поэтому аддитивная
группа модуля М — свободная абелева.
Предложение 6.2. Для любого копредставления С = Р/И группа
не имеет кручения.
Доказательство. Рассмотрим подгруппу Н группы Р, порождённую
N и ещё одним элементом. Достаточно доказать, что Н/И' — группа без
кручения. Но Н/И' является расширением свободной абелевой группы
Н/Н' с помощью группы Н'/И' — подгруппы свободной абелевой группы
И/И1, и
Пусть, например, группа С — Р/И конечна. Тогда Р/№ — группа без
кручения, содержащая свободную абелеву подгруппу конечного индекса.
Конечно порождённые группы, обладающие этим свойством, называют
группами Бибербаха. Они возникают при изучении симметрии кристал-
кристаллов. Группы вида Р/И' с конечной факторгруппой Р/И называют свобод-
свободными группами Бибербаха. Остальные получаются как их гомоморфные
образы.
В предыдущем параграфе расширению групп C.23) мы сопоставили
расширение модулей
0 -> А -> Д^ ®с ЪС -> Ас -> 0.
В частности, свободному абелеву расширению F.1) соответствует точная
последовательность
0 -> М -> ДФ ®с ЪС -> Ас -> 0. C.25)
Предложение 6.3. В последовательности C.25) Дф ®с 2С — свобод-
свободный С-модуль со свободными образующими (и — 1) ® 1.
152 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Доказательство. Пусть уг — образ Ц в группе С, и пусть Р — сво-
свободный модуль со свободными образующими вг. Так как Ф —свободное
абелево расширение, отображение Ц —> ^е* продолжается до гомомор-
гомоморфизма а: Ф-+СР. С другой стороны, по предложению 5.3 определено
вложение V. Ф —» С А, где А = Дф ®с? 2С Из его универсального свой-
свойства (предложение 5.4) следует, что а можно пропустить через V, то есть
существует коммутативная диаграмма
V СА
\
а СР.
Ограничение /3 на А — это гомоморфизм С-модулей, при котором элемен
ты (и — 1) ® 1 переходят в свободные образующие е^. □
Предложение 5.3 и последовательность C.25) принимают теперь сле
дующий вид.
Теорема 6.4. Предположим, что задано свободное абелево расшире
ние C.24) со свободными образующими и. Пусть уг — образы элемен
тов и в группе Су Р — свободный С-модуль со свободными образую
щими вг и IV = СР. Тогда
(О гомоморфизм г]: Ф —> IV, при котором и переходит в у^е^ явля-
является вложением]
(и) имеет место точная последовательность
0-^мДр^Дс^О, C.26)
где ц — ограничение г] на М, а а(е() = у( — 1.
Вложение теоремы 6.4 называют вложением Магнуса. Оно служит удоб-
удобным инструментом для изучения групп вида Р/И*'. Последовательность
C.26) можно рассматривать как критерий принадлежности элемента
гП (п € 2С) образу //(М) С Р. Так как 1т /л = Кега, то
е ц(М) <=> ^2(уг - 1)гг = 0. C.27)
Сформулируем аналогичный критерий для элементов образа г](Ф) в IV
9
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 153
Действительно, легко видеть, что элементы группы \У, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию C.28), образуют подгруппу. Так как это условие выполнено
для угвг, отсюда следует, что оно выполнено для всех элементов группы
77(Ф). Наоборот, пусть уо = д^^ещ) и ХХз/г — 1)п = д — 1. Элементы
Уг порождают группу С, поэтому д = у(у\,... ,уп) для некоторого сло-
слова V. Рассмотрим элемент и = у(у\е\,.. ^упеп) = <?(][]ег5г)- Очевидно,
и Е Ф, следовательно, ^2(у% — 1)$г = д — 1. Так как и~1/ш = Х^ег(Гг ~ 8г)
и ^2(Уг ~ 1)(гг — 8г) = 0, то, в соответствии с C.27), и~1ъо е Ф, но тогда
Критерий C.28) был получен в работе [55]. На него можно взглянуть
иначе. Пусть V = у{1\,... ,<п) ~ произвольный элемент группы Ф. Тогда
г)(у) = у{у1еи • • •, упеп) = у(уи • • •, Уп)
где ду/дуг — значения производных Фокса слова у на элементах
УХч-'-чУп- Последнее равенство — это, по существу, определение произ-
производных. В §1.9 было доказано тождество Фокса
- 1)ду/дуг = у-1.
Оно и появляется в критерии C.28).
Продолжим последовательность теоремы 6.4 вправо, используя вложе-
вложение Ас —> ЪС Полученную таким образом точную последовательность
кратности 2
0->М->Р->2С->2->0 C.29)
называют последовательностью по соотношениям (ге1а1юп ^иепсе). Она
служит началом свободной резольвенты тривиального модуля 2. Чтобы
продолжить её влево, можно рассмотреть свободный модуль, образую-
образующие которого находятся во взаимно однозначном соответствии с опре-
определяющими соотношениями. Ядро очередного дифференциала описывает
соотношения между соотношениями и так далее.
Изоморфизмы сдвига размерности по первому аргументу функтора
, соответствующие последовательности C.29), имеют вид
#П(С, А) ^ Ехег2(М, А) (п > 2).
Укажем другой вариант этих формул. Из C.29) следует, что имеет место
точная последовательность
О -> Нот B, А) -> Нот BС, А) -> Нот (Р, А) -> Нот (М, А) -> 0.
154 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Когомологии с коэффициентами в Нот BС, А) и Нот (Р, А) тривиальны
Так как Нот B, А) = А, то, сдвигая размерность, получим
П-2
#П(С, А) 92 ЯП-2(С, Нот (М, Л)) (п > 2). C.30)
При п = 2 сдвиг попадает в нулевую размерность, поэтому
#2(С, А) ^ Сокег(Нот(Р, Л) -> Нот(М, Л)). C.31)
Формулы C.30) и C.31) называют теоремой редукции Маклейна для ко-
когомологии. Размерность понижается за счет усложнения модуля коэф-
коэффициентов. Можно дать «явную» формулу вычисления построенных изо-
изоморфизмов на языке стандартной резольвенты. Пусть </?: С х С —> М —
двумерный коцикл, задающий свободное абелево расширение C.24). Ис-
Используя лемму 5.5 главы 2, читатель легко проверит, что при изоморфиз-
изоморфизмах редукции (п — 2)-мерному коциклу / со значениями в Нот(М, А)
соответствует п-мерный коцикл ф со значениями в А, который вычисля-
вычисляется по формуле
= /E1 > • • • ,0п-
Модуль соотношений определяется выбором копредставления группы.
В свою очередь копредставление задаётся выбором системы образующих.
Однако этот произвол мало меняет модуль соотношений.
Предложение 6.5. Пусть С = Рг/Щ — два копредставления, Мг — со-
соответствующие модули соотношений и щ: Мг —> Р% — вложения тео-
теоремы 6.4 (г = 1, 2). Тогда Мг 0 Р2 = М2 0 Р\.
Это частный случай так называемой леммы Шануэля.
Лемма 6.6. Пусть К — произвольное кольцо и Кг С Рг — подмодули
проективных модулей Р{ (г = 1,2). Если Р\/К\ = Р2/К2, то К
^ К2 0 Ръ
\ 0 Р
Доказательство. Пусть Ь — общий фактормодуль и щ: Рг —> Ь —
естественные эпиморфизмы. В точной последовательности
рассмотрим подпоследовательность
0 -> Кг 0 К2 -> Р -> Ь -> 0,
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 155
в которой РСР1фР2- подмодуль, состоящий из пар (ах, а2) таких, что
(^1) = «2(^2)- Тогда Р/К\ = Р2 и, в силу проективности Р2, Р = К\®
Р2. Аналогично, Р = К2<&Р\. □
Рассмотрим в качестве примера модуль соотношений свободной абеле-
вой группы С. Пусть С+ — её аддитивная копия. Обозначим уг и, соответ-
соответственно, вг свободные образующие групп С и С". По теореме 4.1 главы 2
в качестве резольвенты тривиального С-модуля 2 можно взять внешнюю
алгебру группы С+ над групповым кольцом 2С Модуль п-мерных цепей
Хп свободно порождается внешними произведениями е^ Л ... Л е^, где
< ... < гп) и
Л ... Л вгп) = (-1)п~:) ^2е^ Л • • • Л ёЪ Л • • • Л
(как обычно, ё означает пропуск е). По определению, Хо = ЪС и резоль-
резольвента начинается с пополняющего гомоморфизма. Далее, Х\ — свободный
С-модуль со свободными образующими е^, причём й\{ег) = Уг — 1. Рассмот-
Рассмотрим свободную группу Р со свободными образующими хг и копредставле-
ние С = Р/Р\ при котором хг переходят в уг. Из теоремы 6.4 следует, что
модуль соотношений М = Р'/Р" группы С изоморфен ядру дифферен-
дифференциала й\. Очевидно, М порождается коммутаторами [^,
При вложении /л теоремы 6.4 им соответствуют элементы
2/7—1 1—2/7
=е е
или, в аддитивной записи,
Модуль двумерных цепей Х2 свободно порождается внешними произве
дениями вг А е^ (г < ]), причём
г л еэ) = ег(Уз - !) - ез(Уз ~ !)•
Таким образом, А,2 определяет эпиморфизм Х2 —> М, при котором е^ Л е^
переходит в [<г,<^]. Его ядро (соотношения между соотношениями) сов
падает с образом дифференциала с?з, то есть порождается элементами
е% Л е^{ук - 1) - е» Л ек{у^ - 1) + е^ Л е^(уг - 1).
В итоге мы доказали следующую теорему о строении модуля М
156 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Теорема 6.7. Пусть Ф = Р/Р" — свободная метабелева группа со сво
бодными образующими и. Положим
С = Ф/Ф', М = Ф', Уг = иФ', еу = [**,*,].
Тогда С-модуль М порождается элементами ец (г < ^) и определяю
щими соотношениями между ними служат соотношения
- 1) = 0. C.32)
Например, если Ф имеет два свободных образующих 1\ и 1^, то М-
свободный циклический модуль с образующим [^ь^]- Если свободных
образующих три, то М порождается тремя коммутаторами [*1, *г]? [*ъ*з]
и [*25 *з]» между которыми имеется одно соотношение. В общем случае
все определяющие соотношения получаются из одного заменой индексов.
Напомним, что действие элемента д — 1(деС) эквивалентно коммутиро-
коммутированию с прообразом элемента д. Отсюда следует, что соотношение C.32)
можно переписать в виде
и] + \Ькч и, ^] = о.
Получилось равенство, идентичное тождеству Якоби в алгебрах Ли. Вме-
Вместо свободных образующих можно подставлять любые элементы группы.
В этом смысле определяющим соотношением С-модуля М служит тож-
тождество Якоби.
Рассмотрим ещё один пример — модуль соотношений свободного про-
произведения.
Предложение 6.8. Пусть С = С\ * С^ — свободное произведение групп
С\ и С2, С г = Рг/Щ — их копредставления и Мг — соответствующие
модули соотношений (г = 1,2). Рассмотрим копредставление С =
— Р/И, где Р = Р\ * Р2, а N — нормальный делитель, порождённый
N1 и N2. Тогда модуль соотношений М для этого копредставления
равен прямой сумме индуцированных модулей Мг ®с. ЪС (г = 1,2).
Доказательство. По теореме 6.4 имеют место точные последователь-
последовательности
0 _> м -> Р -> Ас -> 0; 0 -> Мг -> Р{ -> Ас, -> 0 (г = 1,2).
Так как множество свободных образующих группы Р равно объединению
множеств свободных образующих групп Р\ и Р^, то
Р ^ (Рх ®Ог ЪС) 0 (Р2 ®с2 ЪС).
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 157
По лемме 4.1
Да = (Дс?! ®вг ЪС) 0 (Дс2 ®с21С).
Так как имеют место точные последовательности
О -> Мг ®с. 2С -> Д ®с€ 2С -> Ас, ®Сг 2>С->0 (г= 1,2),
то ядро отображения Р —♦ Ас равно (Мх (^ 2С) 0 (М2 ®с2 2С). □
Аналогичное утверждение можно доказать и для свободного произ-
произведения с объединённой подгруппой С = С\ *§ С^ Потребуем, чтобы
копредставления групп 8,С\,С2 и С были согласованы. Именно, будем
предполагать, что подгруппа 8 порождается некоторым подмножеством
образующих каждого из копредставлений С{ = Р{/Иг (г = 1,2) и зада-
задаётся теми определяющими соотношениями, которые используют только
элементы этого подмножества. Пусть в копредставлений С = Р/И груп-
группа Р — свободное произведение с объединённой подгруппой, порождённой
выделенными образующими, а N = (Л7!,N2)^. обозначим Мо,М\^М^М
— модули соотношений групп 5, С1,С2,С, соответствующие согласован-
согласованным копредставлениям. Тогда М равен прямой сумме индуцированных
модулей Мг ®Сг 2С? с объединённым подмодулем Мо <8)$ ЪС. Для доказа-
доказательства надо воспользоваться леммой 4.3 и теоремой 6.4. Подробности
мы опускаем.
В следующем параграфе нам понадобится простой частный случай
сформулированного утверждения. Пусть 8 —свободная подгруппа, по-
порождённая частью образующих. Тогда Мо = 0 и модуль соотношений
группы С = С\ *5 С?2 — это прямая сумма модулей М^ ®^ ЪС (г = 1,2).
В общем случае, если копредставление подгруппы 8 не согласова-
согласовано с копредставлениями групп Сг, описание модуля соотношений также
возможно. Оно дано в упражнениях. Там же обсуждается модуль соот-
соотношений 1ТО1\[-расширения.
Рассмотрим теперь произвольное множество слов V свободной группы
Р, и пусть У(ЛГ) — подгруппа, порождённая их значениями на элементах
нормального делителя 7У<|Р. Очевидно, Р/И' — это частный случай групп
вида Р/У{М). Для групп Р/У(И) А. Л.Шмелькин [76] доказал теорему
о вложении, которая обобщает основной результат параграфа — вложе-
вложение Магнуса. Эта теорема служит эффективным методом изучения таких
групп. Точная формулировка и доказательство приведены в упражнениях.
Упражнения
Во всех приведённых ниже упражнениях Р — свободная группа, N < Р, С =
= Р/Ы% Ф = Р^1 — свободное расширение с абелевым ядром, М — модуль
соотношений, М —► Р —вложение Магнуса.
158 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
1. Группу V/ = СР из теоремы 6.4 можно описать как дискретное сплетение
РаъъгтС (определение сплетения дано в §1.5). Покажите, что возможна
ещё одна интерпретация: группа И7 изоморфна группе матриц
ае Р, д еС
относительного обычного умножения (произведение элементов из Р и С
интерпретируется как результат модульного действия). Какие матрицы по-
порождают подгруппу изоморфную группе Ф?
2. Докажите, что элемент у € Р принадлежит № тогда и только тогда, когда
все его частные производные Эу/Эхг принадлежат идеалу Адг. (Указа-
(Указание: это утверждение эквивалентно тому, что отображение \х\ М —► Р —
мономорфизм.)
3. Отображение д —> д— 1 (д € С) является дифференцированием, и следова-
следовательно, определяет некоторый элемент группы Я1 (С, Ас). Докажите, что
его образ при связывающем гомоморфизме
соответствующем последовательности C.26), равен классу эквивалент-
эквивалентности свободного абелева расширения C.24). (Указание: воспользуйтесь
упражнением 3 к §2.5 и критерием принадлежности C.28).
4. Пусть образы элементов д, к € Ф в группе С имеют бесконечный порядок.
Покажите, что если дик коммутируют, то они лежат в одной цикли-
циклической подгруппе. (Указание: воспользуйтесь вложением Магнуса; можно
предполагать, что С —свободная абелева группа ранга ^ 2.)
5. Пусть образ элемента д е Ф в группе С имеет бесконечный, а образ
элемента к е Ф —конечный порядок. Покажите, что если к ^ 1, то д и к
не коммутируют. (Указание: достаточно доказать, что д не коммутирует
с элементами из М.)
6. Пусть образ элемента д е Ф в группе С имеет порядок п.а^М.В каком
случае дик коммутируют? (Ответ: дк = кд <=> к — а{\-\-д-\ Ь дп~1)
для некоторого а е М.)
7. Покажите, что Ф имеет нетривиальный центр в том и только том случае,
когда группа С конечна или когда Р = Ф — бесконечная циклическая
группа. (Указание: если группа С конечна и 5 — сумма всех элементов
д € С, то подгруппа Рз С М центральна в Ф.)
8. По предложению 6.2 Ф не имеет кручения независимо от того, какова
группа С. Покажите, что Ф удовлетворяет условию единственности для
корней тогда и только тогда, когда С без кручения. (Указание: используйте
предложение 5.5.)
§6. Свободные расширения с абелевым ядром 159
9. В этом упражнении обсуждается доказательство Шмелькина первой части
теоремы 6.4. Доказательство, приведённое выше, — это его модификация,
дающая возможность получить заодно и вторую часть теоремы.
Так как расширение Ф свободно, то отображение и — х^1 —> у^е^ продол-
продолжается до гомоморфизма г): Ф —> СР. С другой стороны, среди всевозмож-
всевозможных гомоморфизмов в расщепляющиеся расширения а: Ф —> С А, а{1г) =
= угпг (п{ е Л) есть мономорфизмы (например, вложение в полное сплете-
сплетение 8.4 гл.1 или вложение 5.3 гл.2). Выведите отсюда, что г\ — мономор-
мономорфизм. (Указание: так как Р — свободный С-модуль, а можно пропустить
через г), следовательно, Кетт] С Кета.)
10. Пусть V — произвольное множество тождеств. Рассмотрим свободную
группу Р° со свободными образующими хг{д) (д е С). Группа С действует
на Р°, переставляя образующие:(хг(д))д' = Хг(дд'); д,д' е С. Определено
индуцированное действие С на Ру = Р° /У(Р°), следовательно, име-
имеет смысл полупрямое произведение СРу (оно называется У-сплетением
групп Р/У(Р) и С и обозначается Р/У{Р)^туС). Из определений сле-
следует, что отображение ХгУ(Щ —> (хгМ)(хгA)У(Рс)) продолжается до го-
гомоморфизма т)у\ Р/У(Ы) —> СРу. Докажите, что г\у — мономорфизм (те-
(теорема Шмелькина о вложении). (Указание: используйте ту же схему, что
и в предыдущем упражнении; в качестве расщепляющего мономорфизма
а: Р/У(М) —> С А возьмите вложение в полное сплетение
построенное в упражнении 3 к §2.7.)
И. Пусть Сг = Рг/Мг и Мг — соответствующие модули соотношений (г = 1,2).
Тогда свободное произведение с объединением С = С\ *з С^ E С Сг)
можно представить в виде С = Р/И, где Р = Р\ * Р<2. Докажите, что
модуль соотношений М, соответствующий этому копредставлению, можно
включить в точную последовательность
О -> (Мг ®Сх ЪС) 0 (М2 ®с2 2С)->М -+ Д5 ®5 1С -> 0.
Указания. Пусть М —> Р и М{ —> Р{ — вложения Магнуса. Из равенства
Г = Рх * Р2 следует, что Р = {Рх ®О1 2С?) 0 (Р2 ®с21С)- Модуль соотно-
соотношений М = Кет (Р —> Ас) можно вычислить с помощью коммутативной
диаграммы
(Рг ®с1 ЪС) 0 (Р2 ®с2 Ю) -* (АС1 ®о1 ЪС) 0 (ДСз ®с2 ЪС)
X I
Р -> Ас
12. Пусть С* — НЫЫ-расширение с базовой группой С, проходной буквой х
и ассоциированными подгруппами 5,5' С С. Рассмотрим копредставление
С = Р/Ы и копредставление С* = Р*/Ы*, в котором Р* = Р * (х).
Докажите, что соответствующие модули соотношений М и М* можно
160 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
включить в точную последовательность
О -> М ®с 2С* -> М* -> Д5 <8>5 2С* -> 0.
(Указание: доказательство основано на теореме 6.4 и лемме 4.5 (подробнее
см. [65]).)
§ 7. Когомологии групп с одним соотношением
Рассмотрим группу, заданную одним определяющим соотношением
От — \Х\, • • • 5 %п I ^4^1.5 • • • 5 *^пу ~ ■*-/•
Эквивалентно, пусть С = -Р/ДО, где I7 — свободная группа со свободными
образующими Ж1,...,жп, а ТУ — нормальное замыкание элемента у е Р.
В этом параграфе мы изложим результаты Р. Линдона, дающие описа-
описание модуля соотношений М = Л^ и простую конструкцию свободной
резольвенты тривиального С-модуля 2 [49]. Удобно начать со случая,
когда слово у не является степенью.
Теорема 7.1. Пусть у нельзя представить в виде у = гпк, где гп Е Р
и к > 1. Тогда М — свободный циклический модуль с образующим уИ'.
Для группы С, удовлетворяющей условию теоремы, точная последова-
последовательность C.29) превращается в свободную резольвенту. Подробнее,
пусть Р — свободный С-модуль со свободными образующими ех,...,еп
и уг — хгИ. Напомним, что при вложении Магнуса М —> Р (теорема 6.4)
элемент у(х\,..., хп)М' переходит в у{у\е\,..., упеп) = Тл ег(ду/дуг).
Следствие 7.2. Последовательность
0 -> 2С ^ Р ^ 2G Л 2 -> 0,
1
является свободной резольвентой. В частности, сс1 С ^ 2.
Доказывая теорему, можно предполагать, что ^ — циклически приведён-
приведённое слово, то есть у имеет минимальную длину в своём классе сопря-
сопряжённости. Будем действовать индукцией по длине / слова у. Если / = 1,
то соотношение удаляет один из свободных образующих. Пусть это, на-
например, х\. Тогда С = Р/И — свободная группа, порождённая #2,.. .жп.
§7. Когомологии групп с одним соотношением 161
Как подгруппа, N порождается элементами вида и~гх1и, где и ЕС. Если
в несократимое слово длины к подставить такие элементы, то полученное
слово от #1,..., хп будет содержать к вхождений х\. Отсюда следует, что
элементы и~хх\и свободно порождают группу N. поэтому Л^, — свобод-
свободный циклический модуль с образующим х\№\
Пусть / > 1. Используем метод Магнуса, с помощью которого ре-
решаются многие задачи о группах с одним определяющим соотношени-
соотношением (подробнее см. [51], §4.4). Обозначим через сгг{у) сумму показате-
показателей, с которыми Х{ входит в слово V. Предположим сначала, что одно
из этих чисел равно нулю. Пусть, скажем, а\(у) = 0. Рассмотрим нор-
нормальный делитель К группы Р, состоящий из элементов и Е Р, для
которых а\{и) = 0. Очевидно, Р/К — бесконечная циклическая группа,
порождённая образом элемента х\. Чтобы описать С-модуль М, изучим
сначала действие подгруппы Н = К/И С С, а затем уже учтём действие
дополнительной подгруппы С/Н = (х\). Легко видеть, что множество
элементов
— Л ^Ъ^Л "> — *-'} -^ > 111^} • • • ) Ъ — &у ... 77/.
— это система свободных образующих группы К. Так как у Е К, то у
можно переписать как некоторое слово от этих образующих. Например,
если у = х^[1Х2Х^х^1х1х^2, то
У =
Полученное слово и = и{хы) имеет меньшую длину, чем исходное слово
у — у(хг) (разность длин равна числу вхождений х\ в у). Чтобы восполь-
воспользоваться предположением индукции, построим задание группы Н = К/И
образующими и определяющими соотношениями. Подгруппа N порожда-
порождается как нормальный делитель в К элементами
^ = ит(хы) (т = 0, ±1,...),
где ит получается из и добавлением т к первому индексу каждого об
разующего (наПОМНИМ, ЧТО Х^ = Х\кХгх\, ПОЭТОМУ Х^Х^Х™ = Ж(*:+
Отсюда следует, что Н имеет следующее задание
Н = {хы (к = 0, ±1,...; г = 2,..., п) | ит = 1 (т = 0, ±1,...)).
Покажем, что Н можно получить из групп с одним определяющим со-
соотношением с помощью свободного произведения с объединённой под-
подгруппой. Выделим образующий хм* который входит в слово и. Пусть,
162 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
для определённости, г — 2. Обозначим через 5 минимальное, а через Ь —
максимальное значение к, для которых х%2 входит в и. В качестве исход-
исходного материала для построения возьмём группу Со с образующими хы,
где при г = 2 5 ^ к ^ I. Единственным определяющим соотношением
группы Со считаем соотношение и = 1. По предположению индукции
модуль соотношений Мо группы Со свободно порождается образом слова
и. Рассмотрим также группы Ст (га = ±1, ±2,...) — изоморфные копии
Со, которые получаются сдвигом на т по первому индексу образующих
Ст = (хы (при г — 2 з + т ^к ^1 + т) \ ит = 1).
Если и = и(хкг), то ит = и{х(ь+т)г)- По индукции модуль соотноше-
соотношений Мт группы Ст также свободный циклический. Напомним теоре-
теорему Магнуса о свободе для групп с одним определяющим соотношени-
соотношением: если определяющее соотношение — циклически приведённое слово
и некоторый образующий входит в это соотношение, то подгруп-
подгруппа, порождённая всеми остальными образующими, свободна. В част-
частности, подгруппа группы Со, порождённая всеми х^ е Со, отличными
от х82, свободна. Аналогично, в С\ свободна подгруппа, порождённая
хы ^ С\, отличными от #(г+1J- Эту общую для Со и С\ свободную
подгруппу обозначим .Ро- Группа Со\ — Со *^0 ^1 содержит образующие
хм с к = з, ...1 + 1 и определяется уже двумя соотношениями. В конце
предыдущего параграфа было приведено описание модуля соотношений
свободного произведения с объединённой подгруппой. Из него следует,
что модуль соотношений Мог группы Со1 равен прямой сумме
0 Мх ®Сх 2С?оь
то есть Мо1 свободно порождается образами слов щ и щ. Продолжим
этот процесс. Группа Со\ содержит С\. Рассмотрим в С\ свободную под-
подгруппу Р\, порождённую элементами хы Е С\, отличными от ЖE+1J-
Такая же подгруппа Р\ содержится в С?2 (она порождается всеми хы Е С2
кроме #(г+2J)« Свободное произведение с объединённой подгруппой
Со2 = (Со *р0 С\) *рг С2 содержит на один образующий больше и опре-
определяется тремя соотношениями. Модуль соотношений Мог группы С?о2
свободно порождается их образами. Действуя по индукции, построим
группу Сот с модулем соотношений Мот, который свободно порождает-
порождается образами од, • • •, ит. Точно так же можно не увеличивать, а умень-
уменьшать первый индекс образующих, построив тем самым группу С-тт.
Если теперь взять объединение по всем га, то образующими предель-
предельной группы Ст$ будут элементы хы, уже без дополнительных ограни-
ограничений на индексы, а определяющими соотношениями — все соотношения
§7. Когомологии групп с одним соотношением 163
ит = 1 (га — 0, т = ±1,...). Это означает, что Ст{ = Я, поэтому пре-
предельный модуль соотношений Мт^ как С\пгмодуль, изоморфен Л^б = М.
С другой стороны, из построения следует, что М\п$ свободно порождает-
порождается образами слов иш (га = 0, ±1,...), то есть элементами ит№. Теперь
нужно вспомнить, что кроме подгруппы Н С С на М действует дополни-
дополнительная к Н циклическая подгруппа, порождённая образом элемента х\.
Но х\хитх\ — ит+\, что индуцирует свободное действие на образую-
образующих 77-модуля М. Отсюда следует, что М — свободный С-модуль со сво-
свободным образующим щИ'. Остаётся заметить, что слово ад появилось
просто как вариант записи элемента у е Р.
Теперь рассмотрим случай, когда определяющее соотношение у зави-
зависит по крайней мере от двух образующих и сумма показателей, с ко-
которыми они входят в слово у не равна 0. Предположим, что а\{у) =
= а, а2(у) = /3, где а,/? ф 0. Введём два новых образующих х и у,
которые связаны со старыми формулами х@ = х\, у = Х2Х~~а. Удалив
затем х\ и #2, перепишем слово у в новой системе образующих. Оче-
Очевидно, ах(у) = 0, что даёт повод воспользоваться предыдущим случаем.
Осталось уточнить детали. Добавление х означает переход к свободной
группе Г*, которая получается как свободное произведение с объеди-
объединённой подгруппой Р* = Р *я (х), где Н = (х\) = (х@). Пусть ТУ*—
нормальное замыкание N в Р* и С* = Р*/№. По теореме Магнуса о
свободе образ х\ в С имеет бесконечный порядок, откуда следует, что
С* = С *я (х), в частности, С С С*. В системе образующих ж,Ж2,...
группа С* задаётся одним определяющим соотношением. Предположим,
что теорема доказана для группы С*. Из коммутативной диаграммы
1 -> N -> Р -> С -> 1
ф ф ф
1 -> ЛГ* -> Р* -> С* -> 1
следует, что существует гомоморфизм С-модулей М —> М*, где М* =
= ^аб~модУль соотношений группы С*. Если М* — свободный цик-
циклический С*-модуль, то и С-подмодуль, порождённый его образующим,
также свободен, поэтому свободен С-модуль М. Займёмся группой С*.
Заменяя Х2 на у = Х2Х~а, мы не меняем Р и С*, а лишь переходим
к другой системе образующих. Хотя теперь уже ах(у) = 0, мы не мо-
можем непосредственно воспользоваться предыдущим случаем, так как за
счёт увеличения вхождений х длина слова у могла увеличиться. Если
попытаться всё же действовать по той же схеме, то надо рассмотреть
нормальный делитель К, порождённый х, и переписать слово у в соот-
соответствующей системе образующих этого нормального делителя. Но при
164 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
этом все х-символы пропадут и получится слово, которое имеет мень-
меньшую длину, чем слово у в первоначальной системе образующих #1, #2,...
Таким образом, мы снова можем применить предположение индукции. □
Предположим теперь, что определяющее соотношение у группы С яв-
является степенью, то есть у = гпп, где п > 1, гю Е Г. Будем считать, что
п максимально. Пусть и — образ гп в группе С. Используя метод Маг-
Магнуса, нетрудно доказать, что порядок и равен в точности п. Теперь уже
модуль соотношений М группы С не будет свободным модулем. Если
е = уЫ' — его образующий, то е(и — 1) = 0. Это следует из того, что
у и ш коммутируют. Таким образом, (и)-подмодуль, порождённый эле-
элементом е изоморфен тривиальному модулю 2. Оказывается, С-модуль М
индуцирован с этого подмодуля.
Теорема 7.3. Отображение 1 ® 1 —♦ у№ продолжается до изоморфиз-
изоморфизма 2 ®(и) ЪС = М.
Доказательство проводится индукцией по длине / слова' гп. Если / = 1,
то один из образующих порождает циклическую подгруппу (м) порядка
п и С = (и) *.#, где Н — свободная группа, порождённая остальными об-
образующими. Для естественного копредставления (м) = 2/п2 модуль со-
соотношений изоморфен тривиальному модулю 2, а для свободного произ-
произведения — вычисляется с помощью индуцирования. Затем доказательство
следует той же схеме, что и доказательство теоремы 7.1. Подробности мы
оставляем читателю. □
Теперь несложно построить свободную резольвенту для группы с од-
одним определяющим соотношением. Сохраним обозначения, введённые вы-
выше. Нам известна свободная резольвента для конечной циклической груп-
группы (м) (см. §2.3). Напомним, что это периодическая последовательность
• • • Л Ъ{и) А Ъ(и) Л Ъ(и) -+ 2 -> 0,
где I означает умножение на и — 1, а в — умножение на 1 + и-\ \-ип~1.
Переход к индуцированным модулям сохраняет точность, то есть после
тензорного домножения над (г^) на ЪС получим точную последователь-
последовательность
• • • Л ЪС А ЪС Л ЪС -> 2 ®{и) ЪС -> 0.
В силу теоремы 7.3 её можно срастить с точной последовательностью
теоремы 6.4. В итоге, искомая свободная резольвента имеет вид
ъс А ъс Л ъс Л р -> ъс -> 2 -> о.
§8. Эйлерова характеристика 165
Здесь Р — свободный С-модуль со свободными образующими е^, (их
столько, сколько образующих в копредставлении С = Р/М), а с? пере-
переводит 1 Е ЪС в Х]еггь гДе гг —образ производной дь/дхг в кольце ЪС.
Упражнения
1. Пусть С —группа с одним соотношением у = 1, где у е Р' (^ — свобод-
свободная группа). Используя построенную выше резольвенту, опишите Н2С, то
есть группу центральных расширений, ядро которых — бесконечная цик-
циклическая группа. (Ответ: Н2С = 2.)
2. То же, что в предыдущем упражнении, для случая, когда у ^ Р'. (От-
(Ответ: пусть т — наименьшее общее кратное чисел сгг(у) (сумма показателей
с которыми Х{ входит в у), тогда Н2С = Ът.)
Замечание. Пусть N — нормальное замыкание слова у. Изучив §4.3, читатель
мог бы доказать, что если у € Р\ то образующий группы Н2С = Ъ представля-
представляется расширением
1 -> Ы/[Р, Щ -> Р/[Р, #] -> С -* 1.
Если же у $. Р\ то образующий для Н2С = Ъш строится так. Рассмотрим
абелеву группу С = {Саь,г \ (уР')т = г). Очевидно, имеет место точная после-
последовательность
1 -* (г) -* С -* СаЬ -+ 1.
Расширение С, представляющее образующий, определяется как подгруппа пря-
прямого произведения С х С, состоящая из пар (д, с) таких, что образы д и с в Саъ
совпадают.
Из результатов §4.3 также понятно, как, имея описание группы Н2С, по-
получить описание группы Н2(С,А) для любого тривиального С-модуля А (что
соответствует центральным расширениям с ядром А).
§8. Эйлерова характеристика
Здесь мы вкратце обсудим эйлерову характеристику. Наряду с когомоло-
когомологической размерностью, это один из важнейших числовых инвариантов
группы.
Если Р — свободный С-модуль, то число его свободных образующих
равно рангу свободной абелевой группы Р®с%. Для проективного модуля
Р группа Р ®с Ъ также свободная абелева (как прямое слагаемое сво-
свободной абелевой группы). Назовём рангом гс(Р) конечно порождённого
проективного модуля Р ранг абелевой группы Р®СЪ, или, эквивалентно,
166 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
размерность пространства Р ®с ^• Предположим, что С —группа типа
РР, то есть существует проективная резольвента конечной длины
О -> Рт -> > Ро -> 2 -> 0, C.33)
состоящая из конечно порождённых проективных С-модулей. Эйлеровой
характеристикой группы С назовём целое число
т
Докажем, что х{С) можно выразить через ранги групп
НпС = #П(С,2).
В частности, эйлерова характеристика не зависит от выбора проективной
резольвенты C.33).
Предложение 8.1. Пусть гп = г(НпС) — число свободных образующих
факторгруппы группы НпС по её периодической части. Тогда
т
О
Доказательство. Положим Р* = Нотс?(Рп,C). Когомологии ком-
комплекса
изоморфны группам Нп{С,С1). Очевидно, <Итс1Нп(С,С1) = гп. Пусть
ап и Ьп — размерности ядра и, соответственно, образа отображения Р
(в частности Ьш — 0). Тогда
*
т
]Г(-1)пгп = од - (Л1 - йо) + • • ■ + (-1)т(ат - Ът-г) =
= (ао + Ьо) - (а1 + Ьх) + - - - + (-1)т(ат + Ьт) =
Так как (^ — тривиальный С-модуль, то для любого С-модуля А
Если А конечно порождён, то в силу двойственности для конечномерных
пространств
сИтдНотд(^4 ®с С}, С}) = <Ит<}А ®с ^^
Окончательно,

§8. Эйлерова характеристика 167
Рассмотрим некоторые примеры.
• Если С — свободная группа ранга г, то х(С) = 1 — г.
Пусть С — группа с одним определяющим соотношением, которое не
является степенью. Из результатов предыдущего параграфа следует,
что х(С?) = 2 — г.
Пусть С = С\ * (?2 — свободное произведение. Если С\ и
группы типа РР, то и С —группа типа РР. Это легко выводится
из результатов §4. Так как
нпс ^ #ПС1 е нпс2
то, учитывая размерность 0, имеем
Для свободного произведения с объединённой подгруппой
С = С\*н О2 имеет место формула
(предполагается, что х(Са)>х(С?2) и х(^0 определены).
Если С —свободная абелева групп ранга г, то НпС — свободная
абелева группа ранга тп — (^) (следствие 4.2), поэтому
Предположим, что имеется расширение
1 -> Я -> С -> С/Я -> 1
(группа Я не обязательно абелева). В § 5.4, посвященной спектраль-
спектральным последовательностям расширения, мы докажем, что
Х(С) = Х(Н)х(С/Н).
Предположим, что в группе С есть конечный нормальный ряд, фак-
факторы которого — бесконечные циклические группы. Тогда из двух
предыдущих примеров следует, что
168 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
Пусть теперь Я — подгруппа конечного индекса группы С, и <# — система
представителей смежных классов. Тогда 2С? — свободный Я-модуль со
свободными образующими дг, поэтому, если Р — свободный 2С-модуль,
то, как модуль над Я, он также свободен и
тн{Р) = \С : Н\гс(Р) C.34)
Отсюда, очевидно, следует, что если для тривиального С-модуля 2 су-
существует конечная резольвента, состоящая из свободных конечно поро-
порождённых С-модулей, то аналогичным свойством обладает группа Я и
Х(Я) = |С : Н\Х(С). C.35)
Это утверждение можно усилить: если С — группа типа РР, то и Н —
также группа типа РР и имеет место равенство C.35). Первое сле-
следует из того, что проективный С-модуль проективен и над Я. Для до-
доказательства второй части достаточно убедиться, что равенство C.34)
справедливо, когда Р = Р — произвольный конечно порождённый проек-
проективный С-модуль. Легко видеть, что если это равенство верно для под-
подгруппы Я, то оно верно и для любой содержащей её подгруппы, поэто-
поэтому можно ограничиться случаем, когда подгруппа Я нормальна. Абелева
группа Р®НЪ — это проективный С/Я-модуль. Факторизуя по Я, можно
считать, что Я = 1,аС- конечная группа. Интересующее нас равенство
перепишется тогда в виде
Доказательство завершается ссылкой на теорему Суона [62]: если С — ко-
конечная группа и Р — конечно порождённый проективный ЪС-модулъ,
то Р ® (^ — конечно порождённый свободный (^С-модуль.
Картину дополняет следующая теорема Серра [57]: Пусть С — груп-
группа без кручения и Я имеет конечный индекс в С. Если Я — группа
типа РР, то и С —также группа типа РР. Стоит напомнить, что
группа конечной когомологической размерности не может иметь круче-
кручения. В качестве иллюстрации изложенного рассмотрим одно применение
эйлеровой характеристики.
Предложение 8.2. Предположим, что в расширении
Е:
Я — группа типа РР, а С/Н — циклическая группа простого поряд-
порядка р. Тогда, если р взаимно просто с х{Н), то расширение Е расщеп-
расщепляется.
§8. Эйлерова характеристика 169
Действительно, если С не имеет кручения, то по теореме Серра С —
группа типа РР. Но тогда, в соответствии с равенством C.35), х(Н) —
— РХ(@) делится на р, что противоречит условию. Следовательно, в С
есть элемент д ф \ конечного порядка. Так как Н без кручения, то
д ф Н, но тогда д имеет порядок р. □
Серр, доказавший предложение 8.2, высказал гипотезу, что оно спра-
справедливо и том случае, когда С/Н — произвольная конечная р-группа. Бы-
Было доказано даже более общее утверждение.
Теорема 8.3. (К. Браун). Пусть Н — подгруппа типа РР, имеющая
в С конечный индекс п, и пусть А, — наибольший общий делитель п
и х(Н)- Тогда, если рк делит п/д,, то в С существует подгруппа по-
порядка рк.
В том случае, когда Н — нормальная подгруппа, п = рк и р взаимно про-
просто с х(Ю> это эквивалентно утверждению о расщепляемости. Отметим
также, что если Н — тривиальная подгруппа, то х(Н) = 1 и сформулиро-
сформулированная теорема превращается в первую теорему Силова.
Подробное обсуждение этой темы можно найти в книге Брауна [11].
Упражнения
1. Пусть С — конечная группа порядка т и К поле характеристики 0 или
конечной характеристики взаимно простой с т. Для любого КС-модуля
Р (Р всегда проективен) определим ранг гкс(Р) — дхткР ®кс К. Бы-
Бывают ли ненулевые модули ранга 0? Покажите, что гкс{Р) совпадает
с размерностью подпространства, состоящего из С-инвариантных элемен-
элементов модуля Р, то есть гко(Р) = 6ш1кН°(С,Р). (Указание: нулевой ранг
имеет, например, фундаментальный идеал.)
2. Сохраним обозначения предыдущего упражнения. Верно ли, что если Н —
подгруппа группы С, то гкн(Р) = \О : Н\гкс{Р)? (Указание: вообще
говоря, нет; возьмите Н — 1,Р = К.)
3. Назовём группу С группой типа УРР (виртуально РР), если в ней есть
подгруппа конечного индекса Н, которая имеет тип РР. Положим тогда
по определению
Х(С) = Х(Н)/\С\.
(в частности, если С —конечная группа, то х(^) = 1/1^1)- Докажите,
что это определение не зависит от выбора Н и что формула C.35) верна
в классе групп типа УРР.
170 Глава 3. Когомологии и функтор Ех1
4. Пусть С = С\ * Сч — свободное произведение конечных групп порядков
т\ и Ш2. Покажите, что
Х(С) = 1/ш! + 1/ш2 - 1.
(Указание: ядро естественного эпиморфизма С\ * (?2 —> (?1 х С?2 — сво-
свободная подгруппа конечного индекса, со свободными образующими
(91 € С?1,02 € С?2, #Ь#2 / 1))-
5. Докажите, что формулы для эйлеровой характеристики свободного про-
произведения и свободного произведения с объединённой подгруппой сохра-
сохраняются в классе групп типа УГР. Отсюда, в частности, следует решение
предыдущей задачи.
6. Пусть С — модулярная группа. Напомним, что С состоит из преобразова-
преобразований комплексной плоскости вида г —> (аг + Ь)/(сг + с?), где аи — Ьс = 1.
Покажите, что х{С) = —1/6. (Указание: воспользуйтесь тем, что С =
= С\ *(?2, где С\ — циклическая группа порядка 2, порождённая преобра-
преобразованием г —> — 1/я, а Сг — циклическая группа порядка 3, порождённая
преобразованием г —> 1 —
7. Пусть Р1 — свободная нормальная подгруппа группы С ранга г и индекса
р^ (р —простое число). Выведите из теоремы Брауна, что если г
тос1 р, то для ^ существует дополнительная подгруппа.
8. Покажите, что теорема Брауна эквивалентна следующему утверждению:
если х(О) — з/1 ф 0 (.5 и I взаимно просты) и рк делит I, то в С существует
подгруппа порядка рк.
9. Напомним, что группа называется почти полициклической, если в ней
существует конечный нормальный ряд, факторы которого либо конечны,
либо бесконечные циклические группы. Докажите, что если почти поли-
полициклическая группа бесконечна, то её эйлерова характеристика равна 0.
(Указание: в такой группе есть подгруппа конечного индекса, имеющая
нормальный ряд с бесконечными циклическими факторами.)
ГЛАВА 4
ГОМОЛОГИИ И ФУНКТОР Тог
Пусть Н — произвольное кольцо. Тогда для точной последовательности
(правых) Д-модулей
0-> А' -> А-> А"->0 D.1)
«
и Д-модуля В имеет место точная последовательность абелевых групп
О -> Нотя(В, А1) -> Нотя(Я, А) -> Нотя(Я, А").
Её нельзя дополнить нулём справа, сохранив точность. Однако существу-
существуют, как мы знаем, функторы Ех1^G3, —), с помощью которых последо-
последовательность D.1) продолжается до длинной точной последовательности.
Если К = 2С —групповое кольцо и В = 2 — тривиальный С-модуль, то
Ех1д(Б, А) = Нп(С,А) и получается длинная точная последовательность
групп когомологий.
В указанной схеме можно заменить Нотя на ®я- Именно, если D.1)
— точная последовательность левых й-модулей, а В — правый Л-модуль,
то имеет место точная последовательность абелевых групп
В (8>я А' -> В ®д А -> В ®д А" -> 0, D.2)
которую нельзя дополнить нулём слева, сохранив точность. Однако суще-
существует стандартный способ построить функторы Тог-^(Б, —), с помощью
которых D.2) продолжается (влево) до длинной точной последовательно-
последовательности. Если К = ЪС — групповое кольцо и В = 2 — тривиальный С-модуль,
то по определению Тог^(В,Л) = ЯП(С, А) — группы гомологии группы
С с коэффициентами в А.
Определение функторов Тог^(Б, А) даётся в §1 этой главы. В следу-
следующем параграфе обсуждаются группы гомологии Нп(С,А) и их важней-
важнейшие свойства. Затем доказываются теоремы об универсальных коэффици-
коэффициентах, устанавливающие связь между группами когомологий и гомологии
172 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
с коэффициентами в произвольном тривиальном С-модуле А и тривиаль-
тривиальном модуле 2. Последние пять параграфов главы посвящены приложени-
приложениям к теории групп. Здесь имеется как традиционный материал (определя-
(определяющие соотношения, центральные расширения), так и две темы впервые
вошедшие в монографию. Одна из них — полученная автором характери-
зация групп с определяющими соотношениями вида х^х^хъ = Х{. Эти
группы имеют геометрическое происхождение. Характеризация исполь-
использует вторую группу гомологии и сходна по формулировке с известной
теоремой Кервера о группах трёхмерных узлов. Другая тема —описание
периодической части свободного центрального расширения групп вида
Р/И'. Автор доказал, что её экспонента всегда делит 4 (в формулиров-
формулировках появляются четвёртая и третья группа гомологии).
§ 1. Функторы Тог
с
п
Пусть Я — произвольное кольцо, В — правый Д-модуль и А — левый Д-мо-
дуль. Напомним, что тензорное произведение В®цА над К определяется
как факторгруппа тензорного произведения В ® А над 2 по подгруппе,
порождённой элементами вида
Ьг ®а — Ь®га (а е А,Ъ е В,г € К).
Подчеркнём, что В ®д А — абелева группа, но не Д-модуль.
Если а : А —> А" — эпиморфизм, то, очевидно, индуцированное отоб-
отображение \®а: В ®д А —» В ®д А" — также эпиморфизм.
Лемма 1.1. Пусть А' = Кег а. Тогда Кег 1 (8) о совпадает с подгруппой
К С В ®я А порождённой элементами Ь (8 а!, где Ь 6 В, а! Е А\
Доказательство. Включение К С Кег 1 (8) о очевидно. С другой сто-
стороны, если а" Е А", и а —прообраз элемента а" в Л, то по модулю К
элемент Ь®а не зависит от выбора а. Из определяющих соотношений тен-
тензорного произведения следует, что, сопоставляя паре (Ъ,а") произведение
Ь®а, мы получим индуцированный гомоморфизм В®КА" —> (В®НА)/К,
поэтому К = Кег 1 <8> а. □
Как вытекает из леммы 1.1, точной последовательности Д-модулей
О _> А" — А -> А' -> 0 D.3)
соответствует точная последовательность абелевых групп
В ®н А1 -> В ®д А -> В ®д А" -> 0.
.с
§1. Функторы Тог„ 173
Отображение слева может не быть мономорфизмом. Рассмотрим, напри-
например, последовательность абелевых групп, то есть 2-модулей
О -> 2 А 2 -> 2/п2 -> 0, D.4)
и пусть В —абелева группа, содержащая элемент Ь порядка п. После
тензорного умножения на В, получим последовательность
В А В -> В/пВ -> 0.
Ядро отображения В —> В, очевидно, содержит Ь.
Правый Д-модуль В назовём плоским, если для любой точной после-
последовательности Д-модулей D.3) последовательность абелевых групп
0 -> В ®я А' -► В ®я ^4 -> В ®я 4" -* 0
точна. Как мы доказали, это эквивалентно тому, что функтор В®д со-
сохраняет мономорфизмы. Напомним, что проективные модули определя-
определялись, как модули В, для которых функтор Нотя(В, —) сохраняет эпи-
эпиморфизмы. Очевидно, К®к А = А, поэтому К — плоский Л-модуль. Класс
плоских модулей замкнут относительно прямых сумм, откуда следует,
что свободные модули являются плоскими. Прямое слагаемое плоского
модуля также будет плоским, поэтому и проективные модули — прямые
слагаемые свободных — это плоские модули. Наконец, класс плоских мо-
модулей замкнут относительно прямых пределов, в частности, относительно
объединений. Это следует из того, что равенство нулю фиксированного
элемента тензорного произведения устанавливается исходя из определяю-
определяющих соотношений, которые используют лишь конечное число элементов.
Например, любая абелева группа В без кручения представляется в виде
объединения своих конечно порождённых подгрупп. Так как они свобод-
свободны, то В является плоским 2-модулем. Напротив, как следует из при-
примера, приведённого выше, абелева группа, имеющая элементы конечного
порядка, не может быть плоским 2-модулем.
Нетрудно доказать, что если кольцо К нётерово, то любой конеч-
конечно порождённый плоский Я-модуль проективен. В случае произвольного
кольца любой плоский Д-модуль представляется в виде прямого предела
свободных (см. [12] § 1.6). Мы оставим эти факты без доказательства. Как
будет видно из дальнейшего, определяя функторы Тог^(В,—), в принци-
принципе, можно обойтись свободными модулями.
Левый Д-модуль А назовем плоским, если (по симметрии) для любой
точной последовательности правых Д-модулей
0 -> В' -> В -> В" -> 0
174 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
точна последовательность
О -> В' ®я А -> В ®д Л -» Б" ®я Л -> 0.
Напомним, что в случае группового кольца ЪС правый модуль А можно
превратить в левый модуль, считая, что да = ад~1 (а е А,д € С). При
этом плоским модулям соответствуют плоские.
Фиксируем теперь некоторую резольвенту X Д В правого Д-модуля
Лп —>••-—> Ло —> г> —> II,
в которой Хп — свободные (проективные, плоские) модули. Для любого
левого Я-модуля А определим абелевы группы Тог^(Б, А) как группы
гомологии комплекса X ®ц А. Более подробно, рассмотрим комплекс
Лп (8) Л —♦ • • • —> Ло (8) л —♦ 0.
По определению
^, А) = Кег D ® 1)/1т (^п+1 ® 1).
В случае кольца ЪС будем пользоваться обозначением Тог^(Б, Л). Обыч
но Тог^ сокращают до Тогп.
Гомоморфизму Я-модулей Л —> А! соответствует цепное преобразова
ние X (8>я Л —> X ®ц Л7, и следовательно, гомоморфизм абелевых групп
Если Л = А' ф А", то, очевидно,
Тог^(В, А) * Тот%(В, А')
Функторы Тог^(Б, —) обладают также следующими свойствами.
2. Если Л — плоский Д-модуль, то при п > 0 Тог^(Я, Л) = 0.
3. Для любой точной последовательности Д-модулей D.3) имеет место
длинная точная последовательность
Тог«+1(В, А") -> Тог«(Я,
^(В, Л) - Тог^(В, Л") -> • • •
, А") -» В ®я Л" -» Б ®д Л -» В <8>л Л' -» 0.
§1. Функторы Тог^ 175
Доказательство. Так как Х^/й^Хх) = В, то
Хо ®я ^/(Й1 ® 1)(Хг
откуда следует 1. Домножение на плоский модуль сохраняет точность,
поэтому комплекс Х%Ав положительных размерностях имеет триви-
тривиальные гомологии, откуда следует 2. Наконец, поскольку в резольвенте
X —♦ В модули Хп плоские, для любой точной последовательности D.3)
имеет место точная последовательность комплексов
О -> X ®д А1 -> X ®я А -> X ®я А" -> 0.
По основной теореме гомологической алгебры (теорема 5.3 гл. 2) ей соот-
соответствует длинная точная последовательность групп гомологии, что до-
доказывает свойство 3. П
Пусть в D.3) модуль А плоский, например, свободный. Из 2 и 3,
следуют изоморфизмы сдвига размерности
4
Тог?(В, А") 2 Кег (В ®НА' ^В ®н А)
Тог*+1(Я, А") 9* Тог%(В, А') (п > 0).
Поскольку любой модуль представляется как фактормодуль свободного,
это дает возможность вычислять Тог^(Б, —) по индукции A служит на-
начальным условием). Таким образом, Тог^(В, А) однозначно определяется
свойствами 1-3, в частности, не зависит от выбора свободной резольвен-
резольвенты модуля В.
Из существования длинной точной последовательности следует, что
если Тог^(Б, —) = 0, то В — плоский Д-модуль. Наоборот, если В —
плоский модуль, то В имеет плоскую резольвенту В —> В, которая три-
тривиальна в положительных размерностях, и следовательно Тог^(Б, А) = 0
при любом п > 0. Таким образом, свойство 2 симметрично. Оказывает-
Оказывается и длинную точную последовательность можно построить не только
по второму, но и по первому аргументу. Выберем для этого свободную
резольвенту У —♦ А и определим абелевы группы, скажем, 1ог^(Б, А),
как группы гомологии комплекса В ®я У. По аргументу В они обладают
свойствами, аналогичными свойствам 1-3. Априори не ясно, почему
Чтобы убедиться в этом, мы докажем что и левая и правая части изоморф-
изоморфны гомологиям тензорного произведения X ®д У, где X —>ВиУ-> А —
резольвенты, для В и А. Введём необходимые определения.
176
Глава 4. Гомологии и функтор Тог
3 = п
Рис. 1.
Пусть X — комплекс правых, а У —левых Д-модулей. Их тензорным
произведением X ®п У назовём комплекс абелевых групп IV, в котором
\уп — @(Хг ®д 1}), где суммирование происходит по парам (г,^), удо-
удовлетворяющим условию г + у = п. Значение дифференциала на элементе
х (8 у (х € Хг, у е У^) определяется формулой
Л(х (8 у) = {Ах)
{Ау).
D.5)
Знак (—1)г гарантирует равенство сР = 0. Цепным преобразованиям
/: X —> X' и (р: У —> Уг соответствует цепное преобразование
/ <8> <р: I % ^ -> Х; ®д Кг, для которого (/ ® <р) (ж <Е> у) = /(ж) (8) </?(у).
Нетрудно доказать, что если / и </? заменить на гомотопные преобразова-
преобразования, то их произведение будет гомотопно / (8 (р. Подробности приведены
в упражнении 8. Группе Х{ ®д У^ удобно сопоставить точку плоскости
с координатами (г,э). Тогда группе п-мерных цепей комплекса X ®л У
соответствуют точки (г,^'), лежащие на прямой г + з = п. В формуле для
дифференциала D.5) первое слагаемое попадает в (г — 1,7"), а второе —
в {], г — 1). На рисунке это изображено двумя стрелками.
Тензорное произведение комплексов играет в дальнейшем существен-
существенную роль. В частности, с его помощью строятся резольвенты для прямого
и полупрямого произведения. Кроме того, тензорные произведения, как
важный пример бикомплексов, появляются при построении спектральных
последовательностей.
Вернемся к доказательству того, что аргументы функторов Тог^ рав-
равноправны. Нам достаточно доказать следующее предложение.
Лемма 1.2. Пусть X Д В и У -^ А — свободные (плоские) резольвен-
резольвенты правого К-модуля В и, соответственно, левого Я-модуля А. Тогда
Нп{В ®д У) 2* Нп{Х ®я У) *< Нп{Х ®д А).
§1. Функторы Тог^ 177
Доказательство. Рассмотрим, например, первый изоморфизм (второй
рассматривается аналогично). Пусть х е Х^у е У у Определим отобра-
отображение
считая, что /(х{, ® ад) = 0, если г > 0 и /(ж* (8) ад) = е(ж) (8 у, если г = 0.
Легко проверить, что / — цепное преобразование (что-то вроде проекции
множителя X на В). Достаточно доказать, что / индуцирует изоморфизм
групп гомологии. Выделим в Х®цУ подкомплекс 8к, порождённый под-
подгруппами Хг ®д 15, для которых ] ^ к. На рисунке 1 точки, соответству-
соответствующие подкомплексу 5*. ограничены сверху горизонтальной прямой ] = к.
Аналогично, пусть Тк — подкомплекс в В ®д У> состоящий из подгрупп
В ®д У $ с ] ^ к. Другими словами, Т& = /E^). Очевидно,
Более того, при к^ п + 1
поэтому достаточно доказать, что ограничение / на 8к индуцирует изо-
изоморфизмы Дп: Нп(8к) —♦ Нп(Тк). Будем рассуждать индукцией по к.
В комплексе То имеется одна ненулевая группа ВфдУЬ в размерности 0.
С другой стороны, 5о = X ®я Уо- Но X — свободная резольвента модуля
Б, а Уо — свободный Д-модуль. Отсюда следует, что X ®д Уо — резоль-
резольвента абелевой группы В ®я Уо, то есть X ®я Уо имеет единственную
нетривиальную группу гомологии Но(Х ®я Уо), изоморфную В ®д Уо-
Этот изоморфизм индуцируется отображением е (8) 1, что совпадает на
А" ®д Уо с цепным преобразованием /. Чтобы сделать шаг индукции,
сравним две точные последовательности комплексов
0 - 5*_1 -> 8к -> Х®дП -> 0
0 -> Г^_! -> Тк -> В®дП -> 0.
Соответствующая диаграмма длинных точных последовательностей име-
имеет вид
I Ркп-1 I 1к-1п I 1кп I
дЛх -> Нп(В®КУк)
178 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Первая строка описывает группу Нп{8к) как расширение Кехдп с помо-
помощью Сокег#п+1. Аналогичное описание группы Нп(Тк) даёт вторая стро-
строка, поэтому для доказательства того, что /&п — изоморфизмы, достаточно
доказать это для отображений ркт и /к-1т при любом га. К /к-1т можно
применить предположение индукции. Что же касается р^т, то здесь есть
единственная размерность га = к, в которой возможна ненулевая груп-
группа гомологии Нк(8к) — Нк(Тк) = В ®я У^, и дело обстоит так же, как
в случае к = 0. □
Доведём до конца идею равноправности аргументов функтора Тог^,
сформулировав её в виде изоморфизма. Для этого на аддитивной группе
кольца Я определим новое умножение о, считая, что з о I = 1з. По-
Полученное кольцо называется противоположным к К. Мы обозначим его
Я*. Непосредственно проверяется, что любой правый 7?-модуль В можно
превратить в левый Я*-модуль В* считая, что тЬ = Ьг (Ь е В, г Е Я). Ана-
Аналогично, левому Я-модулю А соответствует правый Я*-модуль А*. Легко
видеть, что транспозиция т(Ь®а) = а®Ъ продолжается дд изоморфизма
абелевых групп В ®д А = А* ®н* В*. Если X —> В и У —> Л —плос-
—плоские резольвенты Я-модулей, то им соответствуют плоские резольвенты
X* —> В* и У* -» А* модулей над Я*. Транспозиция переносится на
т(х (8) у) = (-1)уу ® х )
Именно при таком выборе знака г будет цепным преобразованием. Так
как г2 = Ы, то г — цепная эквивалентность, откуда следует, что
Если К = ЪС — групповое кольцо, то его инволюция д —> д~1 (д е С)
определяет изоморфизм К = К*. Любые 2С-модули Л, В будут одновре-
одновременно и правыми, и левыми модулями, а симметрия принимает вид
Рассмотрим ещё один естественный изоморфизм, связанный с моду-
модулями над групповыми кольцами. Как мы знаем, тензорное произведение
над 2 двух С-модулей В ® А можно считать С-модулем относительно
диагонального действия. Если С — еще один С-модуль, то
С ®с (В (8) А) ^ (С ® В) ®с А. D.6)
Изоморфизм индуцируется отображением
с®(Ь®а)-+(с®Ь)®а (а е А,Ь е В,с Е С).
§1. Функторы Тог^ 179
Чтобы проверить корректность, убедимся в том, что образы элементов
сд ® {Ъ® а) ис8 (дЬ (8 да) совпадают:
сд ® (Ь (8 а) -> (сд ® Ь) ® а) = (с ® Ьр)^ ® а),
с® (дЪ® да) —♦ (с® #6) ® ра) = (с ® Ьр) (8 да.
Изоморфизм D.6) допускает обобщение в положительные размерности.
Предложение 1.3. Если аддитивная группа С-модуля В не имеет кру
чения, то для любых С-модулей А и С
В, А) ** Тог^(С, В (8 А).
В доказательстве используется лемма, представляющая и самостоятель-
самостоятельный интерес.
Лемма 1.4. Если В — плоский С-модулъ, а аддитивная группа модуля
В не имеет кручения, то Б ® В — также плоский С-модулъ.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность С-модулей
О -> А! -> А -> А" -> 0. D.7)
Нам надо доказать, что домножая тензорно на И ® В над С, мы так-
также получим точную последовательность. Так как В — плоский 2-модуль,
имеет место точная последовательность
Так как Б — плоский С-модуль, то после тензорного умножения на
точность сохранится
0 -> Л (8>с (В (8) А') -> Л ®с (В ® А) -> Л ®с (Б (8) А/г) -> 0.
Остаётся к каждому из этих модулей применить изоморфизм D.6). □
Докажем предложение 1.3. Пусть X —> С — плоская резольвента С-мо-
С-модуля С. Из леммы 1.4 следует, что Х®В —> Ѯ — плоская резольвента
С-модуля С (8) В, поэтому
Нп((Х (8 В) ®с Л) * Тог^(С (8 В, Л).
Но в соответствии с D.6)
Нп((Х (8 В) (8С А) ^ ЯП(Х (8С E ® Л)) ^ Тог^(С, В (8 Л). П
Отметим ещё одну лемму о плоских модулях.
180 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Лемма 1.5. Пусть Я — произвольное кольцо. Предположим, что в по-
последовательности D.7) модуль А" плоский. Тогда модуль А также
плоский в том и только том случае, когда А' плоский. В частности,
класс плоских модулей замкнут относительно расширений.
Доказательство. Действительно, по условию Тог{*(—, Л") = 0, по-
поэтому из длинной точной последовательности следует, что Тог{*(—, А') =
= Тог{*(—, А). В частности, эти функторы равны или не равны нулю од-
одновременно. □
В заключение рассмотрим случай Я — Ъ. Если А — абелева груп-
группа и А = Р/К, где группа Р — свободная абелева, то К — также сво-
свободная абелева группа, следовательно Тог^(—,—) = 0 при п ^ 2. Обо-
Обозначение Тог^ обычно сокращают до Тог. Для любой абелевой группы
В Тог(Б, 2П) можно отождествить с подгруппой группы Б, состоящей из
элементов, порядок которых делит п. Для доказательства надо свободную
резольвенту D.4) группы Ъп домножить тензорно на В.
Упражнения
1. Пусть Л —область главных идеалов. Покажите, что В — плоский Я-мо-
дуль тогда и только тогда, когда В — модуль без кручения, то есть, когда
из равенства Ьг — 0 (Ь € В,г € Я) следует, что либо 6 = 0, либо г — 0.
(Указание: это делается так же, как в случае К — Ъ.)
2. Пусть К — область главных идеалов, которая не является полем. Пока-
Покажите, что поле частных кольца К — это плоский, но не проективный
К- модуль.
3. Пусть К — произвольное кольцо. Докажите, что любой проективный К-мо-
дуль Р можно представить в виде прямого предела свободных. (Указания.
Пусть Р 0 Р' = Р — свободный /?-модуль. Положим Рг — Ру и пусть
Иг : Рг —> Рг+\ — проекция Р на Р. Тогда модули Р{ и отображения /^
образуют индуктивную систему, предел которой равен Р).
4. Пусть 5 — подкольцо в К. Покажите, что если В — плоский 5-модуль, то
В ®з К — плоский /?-модуль. (Указание: (В ®3 К) ®# А = В ®3 А для
любого Я-модуля А.)
5 Пусть 5 —подкольцо в /?, такое, что Я—плоский 5-модуль. Покажите,
что любой плоский Я-модуль является также и плоским модулем над 5.
Выведите отсюда, что аддитивная группа плоского модуля над группо-
групповым кольцом не имеет кручения. (Указание: В ®$ А = (В ®д Я) ®5 А =
§2. Определение и свойства групп гомологии 181
6. Можно ли в формулировке леммы A.5) поменять местами модули А" и А'?
(Ответ: нет, нельзя; если А и А' — плоские модули, то модуль А" может
и не быть плоским.)
7. Пусть /, <р: X —> У — цепные преобразования и /', <//: X —► У — гомотоп-
гомотопные им преобразования. Обозначим через 5 гомотопию от / к /' и через
I — гомотопию от у? к ф'. Проверьте, что отображение
х ® ?/ -> 5(х) ® у?(у) + (-1)*/'(я) ® 1(у) (х <Е Хк)
— это гомотопия от / ® {р к /' 0 ^'. (Проверку можно упростить, указав
гомотопию от / ® (/? к /' ® у?, а затем от /' ® у? к /' 0 (/
8. Приведите пример, показывающий, что в предложении 1.3 ограничение
на аддитивную группу модуля А отбросить нельзя. (Указание: возьмите
§ 2. Определение и свойства групп гомологии
Гомологии группы С с коэффициентами в С-модуле А определяются ра-
равенством
ЯП(О, А) = Тог^B, А) (п = О,1...)
B — тривиальный С-модуль). Следующие свойства непосредственно вы-
вытекают из свойств функторов Тог^1
1. Но(С,А) = 2 ®B А— наибольший фактормодуль модуля А, на ко
тором С действует тривиально.
2. Если А — плоский С-модуль, то Нп(С, А) = 0.
3. Для любой точной последовательности С-модулей
0 -> А' -> А -> А!' -> 0
имеет место длинная точная последовательность групп гомологии
■ ■ ■ -> ЯП+1(С, А!') дпЛ1 яп(С, Л') -> ЯП(С, Л) ->
Так как в определении групп ЯП(С, —) первый аргумент фиксирован,
такая последовательность имеет смысл лишь по второму аргументу. Для
182 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
случая, когда А — плоский С-модуль, длинная точная последовательность
даёт изоморфизмы сдвига размерности
НХ(С,А") = Кег(Я0(С, А') -> Я0(С, А)),
откуда следует, что свойства 1 — 3 определяют группы гомологии одно-
однозначно индукцией по п. Интересно отметить, что для любого G-модуля
В, аддитивная группа которого не имеет кручения, функтор Тог^(Б, —)
выражается через группы гомологии Нп(С, —). Действительно, из пред-
предложения 1.3 (при С = 2) следует, что
^, А) * Тог^B, В ® А) 9* Нп(С, В ® А).
Чтобы найти группы Нп(С,А), можно попытаться построить по воз-
возможности простую свободную резольвенту X —♦ 2 тривиального модуля
2, а затем вычислять Нп(С,А) как гомологии комплекса Х®СА. В край-
крайнем случае всегда есть стандартная резольвента (см. §2.1). С другой сто-
стороны, если есть удобная резольвента V —» А модуля А, то Нп(С,А)
можно вычислить и как гомологии комплекса 2 ®с У.
В §2.3 мы описали свободную резольвенту тривиального С-модуля 2
для циклической группы С порядка т. В частности, для целочисленных
гомологии НпС = Нп(С, 2) получается следующий ответ: НпС = Ът,
если п нечётно, и ЯПС = 0, если п четно (п > 0). В §2.4 было дока-
доказано, что для свободной абелевой группы С резольвентой тривиального
модуля служит внешняя алгебра Ас(С+) над кольцом ЪС её аддитивной
копии С+. Отсюда, в частности, следует, что НпС = ЛП(С+) — внешняя
п-ая степень над 2. В дальнейшем будут рассмотрены другие примеры.
Группы когомологий с коэффициентами в коиндуцированном моду-
модуле тривиальны. Это свойство имеет аналог для гомологии. Напомним,
что С-модулем индуцированным с абелевой группы А называется модуль
ЪС (8) А. Имеется в виду левое регулярное действие группы С. Оно сов-
совпадает с диагональным действием, если считать, что А — тривиальный
С-модуль. Если Л —свободная абелева группа, то ЪС (8) А — свободный
С-модуль. Из леммы 1.4 следует, что для абелевой группы А без круче-
кручения модуль ЪС® А плоский. Оказывается, гомологии с коэффициентами
в индуцированном модуле тривиальны, даже если А имеет кручение.
Предложение 2.1. Для любой группы С и любой абелевой группы А
Нп(С, ЪС®А) = 0прип> 0.
§2. Определение и свойства групп гомологии 183
Доказательство. Возьмём в предложении 1.3С = 2,В = ЪС. Тогда
#П(С, ЪС ® А) = Тог^B, ЪС ® А) ^ Тог^BС, Л) = 0. О
Предложение 2.1 допускает следующее обобщение. Пусть 5 —подгруппа
группы С. Тогда для любого 5-модуля А абелеву группу ЪС®$ А можно
считать С-модулем относительно левого регулярного действия. Такие мо-
модули называют индуцированными с подгруппы 5 (точнее, с 5-модуля А).
Предложение 2.2. Для любой подгруппы 8 С С и 8-модуля А
Доказательство. Выберем свободную резольвенту 5-модуля А. Так
как ЪС — свободный 5-модуль, то ЪС ®§ X —» ЪС ®$ А — свободная
резольвента С-модуля ЪС (8з А. Гомологии группы С с коэффициентами
в этом модуле изоморфны гомологиям комплекса
{ЪС ®8 X) ^ B ®с ЪС)
то есть изоморфны Нп(8,А). □
Аналогичное рассуждение показывает, что для любого С-модуля В
и 5-модуля А
^, ЪС ®5 А) * Тог^(В, А).
В силу симметрии имеется такой же изоморфизм, когда индуцированный
модуль стоит на первом месте.
В §3.4 мы доказали, что фундаментальный идеал свободного произ-
произведения С = С\ *С?2 изоморфен прямой сумме модулей, индуцированных
с фундаментальных идеалов сомножителей
Отсюда следует, что для любого С-модуля А
Тог^(ДС2, А).
С помощью последовательности
сдвинем размерность по первому аргументу. Тогда
Нп(С,А)^Нп(СиА)фНп(С2,А)
184 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Переформулировку в терминах гомологии допускают и другие результа-
результаты § 3.4. Если С — С\ *з Съ — свободное произведение с объединённой
подгруппой, то имеет место точная последовательность
#пE, А) -> Нп(Си А)®Нп(С2, А) -> Нп(С, А) -> Яп_гE, Л)
Далее, пусть С* — НЫЫ-расширение с базовой группой С, ассоциирован
ными подгруппами 5,5" и проходной буквой х. Напомним, что
С* = (С,х\ ж-^я; = </?($) E Е 5)},
где </?: 5 —♦ 5" — фиксированный изоморфизм. В случае гомологии длин
ная точная последовательность НЫЫ-расширения принимает вид
• • • -> #пE, А) '-=? ЯП(С, А) -> ЯП(С*, Л) -> Нп-г(З.А) -> • • •
Обозначение 1 - х использовано для разности отображений индуциро-
индуцированных вложением 5 —> С и композицией <р с вложением 5' —> С.
В группе С* 9? превращается в ограничение внутреннего автоморфизма,
соответствующего элементу х. Так же как для когомологий, внутрен-
внутренние автоморфизмы группы индуцируют тождественное отображение её
групп гомологии, поэтому действительно ядро отображения ЯП(С, А) —>
—> ЯП(С*, А) содержит образ группы ЯпE, А).
Остановимся подробнее на действии, которое индуцировано сопряже-
сопряжением. Пусть N — нормальная подгруппа в С и ЩИ) — её стандартная
резольвента. Для любого С-модуля А комплекс К(Л0 (8>лг А можно пре-
превратить в G-модуль, считая, что
..., Нп) (8) а) о д = (д~1к1д,..., д~хКпд) (8) д~1а. D.8)
Легко видеть, что отображение /д: ЩИ) (8>дг А —> 3?(ЛГ) (8)^ А соответ-
соответствующее элементу д € С, является цепным преобразованием, поэтому
определено индуцированное действие С на Нп(И,А). Проверим, что эле-
элементы д € N действуют тривиально, то есть, что Нп{М,А) — это модуль
над факторгруппой С/И. Если д е N. то в формуле D.8) множитель д~1
можно перебросить на первый аргумент тензорного произведения, поэто-
поэтому /д = ад (8 гй, где
Нетрудно проверить, что ад — цепное преобразование резольвенты
накрывающее тождественное отображение 2 —> 2. По теореме сравнения
§2. Определение и свойства групп гомологии 185
ад гомотопно тождественному отображению, но тогда тождественному
отображению гомотопно и /д = ад (8 гй, следовательно /д действует на
#П(ЛГ, А) тривиально.
Вложение N —> С индуцирует гомоморфизм ЯП(АГ, А) —> ЯП(С, А).
Из определений, приведённых выше, следует, что это гомоморфизм
С-модулей. Так как С действует тривиально на Нп(С, А), определён даже
гомоморфизм
Пусть, например, Л7" —свободная абелева нормальная подгруппа в С. Как
мы знаем, в качестве свободной резольвенты группы N можно взять
внешнюю алгебру Л^СЛ^). В §2.4 алгебра Л#(^+) появилась как под-
подкомплекс стандартной резольвенты. Проследив описанные там отожде-
отождествления, легко убедиться, что на Л#СЛ/"+) ®м А = Л(АГ+) (8 Л, форму-
формула D.8) принимает вид
Л ... Л Нп (8) а) о д = Н\д Л ... Л Нпд
— результат действия д на элемент Нг Е И+). В частности, если А
2 — тривиальный С-модуль, то ЯПGУ, А) = НпМ = ЛПGУ+) и
{Н\ Л ... Л Нп) од — Н\д Л ... Л Нпд.
Такое действие группы С на ЛП(ЛГ+) называют диагональным. Вложение
N —> С индуцирует гомоморфизм
НпС.
п
Пусть теперь 5 — произвольная подгруппа группы С, не обязательно
нормальная. Вложение 8 —> С индуцирует отображения
согп:Нп(8,А)-+Нп(С,А),
которые называют гомоморфизмами коограничения. Если 5 имеет конеч-
конечный индекс га, то можно определить и гомоморфизмы ограничения
Выберем для этого систему представителей д^ смежных классов 8д. В раз
мерности 0 определим ограничение гезо: 2 (8с? А —♦ 2 ®$ А равенством
ге8оA (8 а) = ^ 1 ® 9%а
186 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Легко видеть, что гезо не зависит от выбора системы представителей.
При п > 0 гезп определяется по индукции с помощью сдвига размер-
размерности. Очевидно, композиция ге8о и сого совпадает с умножением на га.
То же самое верно для любого п, что опять-таки доказывается сдвигом
размерности. Подробности мы опускаем.
Рассмотрим пример применения, построенных отображений.
Предложение 2.3. Пусть С — конечная группа порядка га. Тогда для
любого С-модуля А экспонента группы Нп{С,А) (п > 0) делит га.
Доказательство. Возьмем 5 = 1. Тогда при п > 0 композиция гезп
и согп по необходимости равна 0. С другой стороны, эта композиция
совпадает с умножением на га, следовательно тНп{С,А) = 0. □
Читатель, видимо, уже заметил, что все обсуждаемые в этом пара-
параграфе понятия и факты имеют аналоги для когомологий. Это же каса-
касается и понятия размерности (см. §3.3). Назовём гомологической раз-
размерностью ЬAВ С-модуля В минимальное п такое, что для любого
С-модуля А Тог^+1(Я, А) = 0. Если такого п не существует, счита-
считаем, что ЪйВ = оо. В этом определении Тог^(В^А) можно заменить на
ТоГп(А,В). В силу симметрии получится то же самое число. Из сдвига
размерности следует, что если ЪйВ = п, то Тог^(Б, —) = 0 для любого
га > п. Гомологическая размерность модуля В равна минимальной длине
его плоской резольвенты. Это доказывается точно так же, как в случае
когомологической размерности ей В с заменой проективных модулей на
плоские. Так как любая проективная резольвента является в то же время
и плоской, справедливо неравенство ей В ^ ЪйВ.
Предложение 2.4. Если группа С и модуль В не более, чем счётны,
то либо ей В = ЬА В, либо ей В = Ы В + 1.
Доказательство. Пусть М В — п. Начнём строить свободную резоль-
резольвенту модуля В и остановимся на (п — 1)-ом шаге. В результате получится
точная последовательность
0 -> С -> Хп_! -> > Хо -> В -> 0,
в которой модули Х& свободны, а С = Кег(Хп_1 —> Хп_2). Из сдвига
размерности следует, что для любого С-модуля А
то есть С — плоский С-модуль. Таким образом, мы построили плоскую
резольвенту длины п, в которой все модули, кроме быть может послед-
последнего, свободны. Если С —проективный С-модуль, то ей В = ЪйВ. Так
§2. Определение и свойства групп гомологии 187
как С и В не более, чем счётны, можно предполагать, что и С не бо-
более, чем счётен. Чтобы закончить доказательство, достаточно убедиться,
что С = Х/У, где X и У —свободные модули. Воспользуемся тем, что
плоский модуль С представляется в виде прямого предела свободных.
В наших предположениях существует счётная последовательность сво-
свободных С-модулей Гг (г= 1,2...) и гомоморфизмов /»: -Р* —> ^г+ъ предел
которой равен С. Положим X = ©^ и определим вложение //: X —♦ X,
считая что ограничение /л на Гг равно гй — /*. Тогда Х/[л(Х) = С. □
Гомологической размерностью ЬсШ группы С назовем минимальное
п такое, что Яп+х(С, А) = 0 для любого С-модуля А. Другими слова-
словами, Ъд.С — это гомологическая размерность тривиального С-модуля 2,
то есть минимальная длина его плоской резольвенты. Напомним, что
когомологическая размерность ей С определялась аналогично с заменой
групп #*(С, —) на #*(С, —) и плоских модулей на проективные. Если
8 — подгруппа в С, то любой плоский С-модуль будет также и плос-
плоским 5-модулем, поэтому размерность монотонна: Ьс!,? ^ МС Отсюда,
в частности, следует, что группа конечной гомологической размерности
не имеет кручения.
Укажем типичную причину, по которой ЪАС и ей С могут быть раз-
различны. Предположим, что С —прямой предел, например объединение,
групп Са, и пусть А — произвольный С-модуль. Тогда группы Нп(Са,А)
образуют индуктивную систему и её предел равен Нп(С,А). Действи-
Действительно, стандартная резольвента ЩС) — это прямой предел резольвент
ЩСа). Так же обстоит дело для комплекса ЩС) ®с А, а значит и для
его групп гомологии. Отсюда следует, что если Ъ6.Са ^ г при всех а,
то и МС? < г. В то же время когомологическая размерность при пере-
переходе к прямому пределу может увеличиться. Например, любая локально
свободная группа, как объединение свободных, имеет гомологическую
размерность 1. С другой стороны, когомологическая размерность группы
равна 1 тогда и только тогда, когда она свободна (теорема Столлингса
и Суона). Конкретный пример разобран в упражнениях 12 и 13.
Пусть С — свободная абелева группа ранга г. Из того факта, что п-ая
компонента внешней алгебры Ас(С+) тривиальна при п > г, следует,
что Ъ6.С = г. Рассмотрим пополнение С* группы С. Если С записывать
аддитивно, то по определению С* = С ®С1 — линейное пространство раз-
размерности г над полем рациональных чисел С}. Так как С* — объединение
свободных абелевых групп ранга г, то ЪйС* = г. В силу монотонности
для любой промежуточной группы С С Я С С* также МЯ = г.
Для произвольной абелевой группы С (записанной аддитивно) опреде-
определим её рациональный ранг г^С как размерность пространства С ® С}. Из
188 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
предыдущих замечаний следует, что если С без кручения, то ЫС? =
Понятие рационального ранга можно ввести для любой разрешимой груп-
группы, считая, что это сумма рангов факторов ее ряда коммутантов. Равен-
Равенство ЫС = г^С имеет место для любой разрешимой группы без круче-
кручения.
Упражнения
1. Пусть ЩС) — стандартная резольвента группы С. Все одномерные цепи
комплекса ЩС) ®^ % являются циклами. Это свободная абелева группа,
порождённая элементами вида (д) (д € С). Какими элементами порожда-
порождается группа одномерных границ? Покажите, что отображение (д) —> дС
индуцирует изоморфизм Н\С —► Саь-
2. С помощью точной последовательности
используя сдвиг размерности, покажите, что Н\С = Д/Д2. Проверьте,
что отображение (д — 1) 4- Д2 —> дС определяет изоморфизм аддитивной
группы Д/Д2 и мультипликативной группы Саь-
3. Пусть 5 — подгруппа конечного индекса группы С. Выберем систему пред-
представителей Т смежных классов 8д. Для любого <# € Т и д € С произ-
произведение дгд можно единственным образом представить в виде Кд^, где
€ Т, К € 5. Так как Н зависит от дг и д% имеет смысл обозначение
— Нг(д). Докажите, что если отображение ге81: Н\С —> ^5 интер-
интерпретировать как гомоморфизм факторгрупп Саь —> 8аъ> то элементу дС
соответствует элемент $5', где 5 = Пг^г(#)- (Указание: используя сдвиг
размерности, замените вычисление ге81 вычислением отображения
после чего задача сводится к доказательству равенства
в группе Ъ
4. Пусть С — С\ * Съ — свободное произведение. Докажите, что для любого
С-модуля А имеет место точная последовательность
О -> Нг{СиА) е Нг(СъА) ^ Нг(С,А) ^
-» Н0(СиА) е Я0(С2, А) -> Я0(О, А) -> 0.
(Указание: воспользуйтесь разложением идеала Д^ и тем, что Н\{С, А) =
= Кег
§2. Определение и свойства групп гомологии 189
5. Пусть С — (а) — циклическая группа порядка т. Рассмотрим её периоди-
периодическую резольвенту X из § 2.3
X: > е2ЪС -> ехЪС -> е0ЪС -> Ъ -> О,
где й(еп) = еп-\{а — 1) при нечётном п и о\(еп) = еп_1A + аН а™) при
чётном п. Постройте цепную эквивалентность /: X —> Э?(С), где
стандартная резольвента. (Ответ:
т
/(еп) = ^ (а,а*1,.. .,а,аг/с,а) при п = 2к + 1
т
/(еп) = У^ (а, а*1,..., а, а**) при п —
6. Пусть С —циклическая группа порядка т. Тогда Щк+хС = 2т (А: > 0)
и Яг/^С = 0 (& > 0). Из предыдущего упражнения следует, что в качестве
образующего группы Н2к+\С можно взять цикл
т
комплекса ЩС) ®с 2. Рассмотрим полупрямое произведение (х)С, где
(х) —бесконечная циклическая группа и х~1ах = а. Используя с*., вы-
вычислите индуцированное действие х на Н2к+\О. (Ответ: действие х сов-
совпадает с умножением на (—\)к+1. Указание: например, при к — 1 цикл
ох — ^А<оГх,аг,а~х) ® 1 отличается от с& на границу цепи
7. Вычислите гомологии группы С* — (х)С предыдущего упражнения. (Ука-
(Указание: рассмотрите С* как НЫЫ-расширение группы С с ассоциирован-
ассоциированными подгруппами 5 = 8' = С и воспользуйтесь результатом вычисления
автоморфизма Н2к+\С —► Н2к+\С, который индуцирован х. (Ответ: на-
например, если т нечётно, то НпС* — 2т при п — 0; 3 тех! 4 (п > 0)
и ЯПС* = 0 при п = 1; 2 тоё 4 (п > 1).)
8. Пусть 5 — силовская р-подгруппа конечной группы С. Так как Нп(8, А) —
абелева р-группа, то примарные компоненты группы Нп(С,А) кроме,быть
может, её р-компоненты содержатся в ядре отображения
согп: ЯП(С, А) -> Нп{8, А) (п > 0).
Покажите, что ограничение согп на р-компоненту является вложением
(Указание: композиция согп и гезп совпадает с умножением на число вза-
взаимно простое с р.)
190 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
9. Может ли гомологическая размерность С-модуля быть больше, чем гомо-
гомологическая размерность группы С? (Ответ: если аддитивная группа моду-
модуля В не имеет кручения, то \к\В ^ ЪёС; в противном случае возможно
равенство М В — М С 4- 1.)
10. Предположим, что С-модуль А представлен как прямой предел модулей
Аа. Докажите, что для любого С-модуля В группы Тог^(Б, Аа) образуют
индуктивную систему, предел которой равен Тог^(Б, А) (аналогично по
первому аргументу).
11. Покажите, что класс С-модулей, гомологическая размерность которых не
превосходит г, замкнут относительно расширений и прямых пределов.
12. Пусть С — 2[1/2] —аддитивная группа двоично-рациональных чисел (то
есть чисел вида т/2к). Так как С — локально-циклическая группа, то
МС = 1. Покажите, что сНС — 2, построив нерасщепляющееся расшире-
расширение С группы С с помощью тривиального модуля Ъ. (Указание: возьмите
13. Пусть С — 2[1/2]. Тогда Д^ — объединение последовательности свобод-
свободных модулей. Пользуясь этим, постройте свободную резольвенту длины 2
тривиального С-модуля Ъ. Какому 2-коциклу этой резольвенты соответ-
соответствует расширение С, указанное в предыдущем упражнении?
§ 3. Теоремы об универсальных коэффициентах
Пусть С — произвольная группа и А — тривиальный С-модуль. Опишем
некоторый способ вычисления групп Нп(С,А), использующий гомоло-
гомологии с коэффициентами в тривиальном модуле 2. Рассмотрим для этого
свободную над ЪС резольвенту X —> 2, и воспользуемся очевидным изо-
изоморфизмом
X ®с А ^ (X ®с 2) ® Л,
то есть сначала перейдём к комплексу V = X ®с? 2, с помощью ко-
которого вычисляются группы НпС, а затем уже осуществим тензорное
домножение на А над 2. Обозначим через йп дифференциал комплекса
У, и пусть Кп = Кегйп,/П = 1т Ап — группы циклов и границ. Так как
X — комплекс свободных 2С-модулей, то У —комплекс свободных абе-
левых групп, в частности, группа 1п С Уп-\ —свободная абелева. Отсюда
следует, что в Уп существует подгруппа 1п дополнительная к Кп, кото-
которая изоморфно отображается на 1п. После тензорного домножения на А
имеем
Уп (8) А ^ (Кп ® А) 0 Aп ® А). D.9)
§ 3. Теоремы об универсальных коэффициентах 191
Нам надо вычислить группу Нп(С,А) = Кег {йп ® 1)/1т(йп+1 ® 1). Из
прямого разложения D.9) очевидно, что Кег^ ® 1) = {Кп ® Л) 0 Дп,
где Лп — ядро ограничения гомоморфизма йп ® 1 на /„ ® А. Так как
1т(йи+1 01)С^^Д то
Д, =
Для вычисления второго слагаемого рассмотрим последовательность
О —> 1п —> Кп—\ —> Нп—\С —>• 0.
Домножая на Л, получим
0 -> Тог(Яг?_1С, Л) -> /п ® Л -> ^_! (8) Л ->••-,
откуда видно, что Л„ = Тог(Яг?_хС, Л). Окончательно,
„(С, Л) ^ ((Я„С) ® Л) © Тог(Яг?_1С, Л).
Не существует канонического способа выбора дополнительной подгруп-
подгруппы 1п, и следовательно, подгруппы Ип С Нп(С,А). По этой причине
полученный результат обычно формулируют следующим образом.
Теорема 3.1. Для любого тривиального С-модуля А существует рас-
расщепляющаяся точная последовательность
0 -> НпС (8) Л -> Я„(С, Л) -> Тэг(Я„_1С?, Л) -> 0.
Отображения этой последовательности уже не зависят от выбора прооб-
прообразов или представителей. Отметим также, что, как следует из доказа-
доказательства, образ элемента (с1я/1)®а Е НпС®А в Нп(С,А) равен с18(Л®а).
Часто используется частный случай теоремы.
Следствие 3.2. Если абелева группа А не имеет кручения, то
Существует вариант теоремы об универсальных коэффициентах, в кото-
котором когомологии выражаются через гомологии (ещё две разновидности
отмечены в упражнениях).
Теорема 3.3. Для любого тривиального С-модуля А существует рас-
расщепляющаяся точная последовательность
0 -> Ех*(Яп_1С, Л) -> Нп(С, А) -> Нот(Яг?С, Л) -> 0.
192 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Действительно, вычисляя группу Нп(С,А) с помощью свободной резоль-
резольвенты X —> А, мы рассматриваем G-гомоморфизмы Хп —» А. Так как
модуль А тривиален, то фактически надо иметь дело с отображениями
Уп —♦ Л, где V = X ®с 2 — это комплекс, с помощью которого вычисля-
вычисляются гомологии НпС Дальнейшее рассуждение следует доказательству
теоремы 3.1. □
В теоремах 3.1 и 3.3 кольцо коэффициентов 2 можно заменить на лю-
любую область главных идеалов Т, так как в доказательстве был необходим
лишь тот факт, что подмодуль свободного модуля свободен. Например,
точная последовательность теоремы 3.3 принимает вид
О -> ЕхЪ(Нп-1(С,Г),А) -> Нп(С,А) -> Нот(Я„(С7,.Р), А) -> 0, D.10)
где А — произвольный ^С-модуль, на котором С действует тривиально,
и Т также рассматривается как тривиальный С-модуль.
Если Т — поле и А = Т, то точная последовательность D.10) превра-
превращается в изоморфизм
Это означает, что когомологии можно интерпретировать как линейные
функционалы на гомологиях, то есть Нп{С^) — двойственное простран-
пространство к Нп(С,Т).
Рассмотрим ещё один частный случай. Точная последовательность те-
теоремы 3.1 при А = Ът принимает вид
0 -> НпС®Ът -> Я„(О, 2т) -> Тэг(Яп_!С, 2т) -> 0.
Группа справа содержится в Нп-\С (это элементы, порядок которых де-
делит га), поэтому определено отображение ЯП(С, 2т) —> Нп-\С — гомо-
гомоморфизм Бокштейна для гомологии. Выписанная последовательность даёт
описание его ядра и образа. Напомним, что гомоморфизм Бокштейна для
когомологии был определён в §2.5 как некоторый связывающий гомомор-
гомоморфизм.
Упражнения
1. Дайте явное определение гомоморфизма Нп(С,А) —> Нот(ЯпС, А) в те-
теореме 3.3.
2. Предположим, что для тривиального С-модуля Ъ существует свободная
резольвента, состоящая из конечно порождённых свободных С-модулей.
Это, например, верно в случае конечной или полициклической группы
§4. #2 и определяющие соотношения 193
С, а также для многих групп геометрического происхождения. Докажите,
что тогда для любого тривиального модуля А существует расщепляющаяся
точная последовательность
О -> НпС® А -> ЯП(С, А) -> Тог(Яп+1С, А) -> 0. D.11)
(Указание: для любого С-модуля В определите естественное отображение
Ноте?E,2) ® А —> Нотс(В, А) и докажите, что это изоморфизм, если
В — свободный С-модуль конечного ранга.)
3. Сформулируйте ещё один вариант теоремы об универсальных коэффици-
коэффициентах, в котором гомологии с коэффициентами в тривиальном С-модуле
выражались бы через когомологии Н*С (Указание: ключевую роль иг-
играет отображение В ®с А —> Нот(Нотс{В, 2), А), которое становится
изоморфизмом, если В — свободный С-модуль конечного ранга.)
4. Покажите, что гомоморфизм Бокштейна Нп(С, 2т) —> Нп-\С можно
определить как связывающий гомоморфизм в длинной точной последо-
последовательности, построенной по последовательности коэффициентов
0 -+ 2 ^> 2 -+ 2™ -> 0.
т
5. Какое отношение гомоморфизм Бокштейна Нп(С,Ъш) —> Нп+1С из §2.5
имеет к точной последовательности D.11)?
§ 4. Я'2 и определяющие соотношения
Как мы уже отмечали, группы НпС = ЯП(С, 2) называют группами це-
целочисленных гомологии. Очевидно, ЩС = 2. Используем точную после-
последовательность
для доказательства того, что Н\С = Саь (см. также упражнения 1 и 2
к §4.2). Пусть А — произвольный С-модуль. Применяя сдвиг размерности
и изоморфизм предложения 1.3 при п > 1, имеем
, А) * Тог^B, А) 9* ТЪг^Дс, А) *
<* Тог^Ъ, &с® А) ^Нп-^С, Ас® А),
а при п = 1
, А) ^ Кег (Дс ®с Л -> Л).
В частности, для А = 2 получается изоморфизм #хС =
Из леммы 5.1 главы 3 следует, что Д^/Д^ = Саб при отображении
(д - 1) + Да —♦ ^Сг (это легко доказать и непосредственно).
2532
194 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Пусть С = Р/Н, где Р — свободная группа. В § 3.6 была построена
точная последовательность
где М = Иаь — модуль соотношений группы С, а Р — свободный модуль.
Сдвинув размерность на 2 единицы, получим изоморфизмы редукции Ма-
клейна для гомологии
#П(С, А) ^ #П_2(С, М®А) (п > 2)
#2(С, А) ^ Кег (М ®с Л -> Р ®с А). D.12)
Из последнего соотношения следует формула, дающая выражение для
в терминах копредставления группы С.
Предложение 4.1 (формула Хопфа). Если С = Р/И, где Р — свобод-
свободная группа, то Н2С = N П Р'/[М, Р].
Доказательство. Сформулированное утверждение можно переписать
в виде
Н2С ^ Кег (И/[И, Р) -> Р/Р').
Из D.12) при А — Ъ следует, что
Н2С ^ Кег {М®с Ъ->Р®с 2).
Так как М = И/И', то М ®с Ъ = Н/[Н, Р] — наибольший фактормодуль
модуля соотношений, на котором С действует тривиально. Кроме того,
по построению свободные образующие ег- модуля Р находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии со свободными образующими хг группы
Р, поэтому Р ®с 2 = Р/Р'. Осталось проверить, что указанные отож-
отождествления согласованы с отображениями двух предыдущих формул, то
есть, что диаграмма
Н/[Н,Р] -> Р/Р'
I Т
коммутативна. Образ элемента V б N в Р/Р' равен Пж? > гДе ег(у)~~
сумма показателей, с которыми Х{ входит в г;. С другой стороны, при
вложении Магнуса М —♦ Р элемент ^Л^7 переходит в ^е^дь/дхг). Его
образ в группе Р ®^ 2 равен ^е^ (8) е(дь/дхг), где е — пополняющий
§4. Яг и определяющие соотношения 195
гомоморфизм. Равенство е(ду/дхг) = вг(у) легко доказывается индукцией
по длине слова у. □
Так как Р/Р'И = С/С, полученное утверждение можно записать
в виде точной последовательности абелевых групп
О — #2С -> ТУ/[ТУ, Р] -> Р/Р' -> С/С' — 1. D.13)
Пусть В — образ группы ТУ/[ТУ, ,Р] в Р//*1'. Так как Р/Р' — свободная
абелева группа, то это же верно и для Л, поэтому Р/[Ы, Р] = Я2С © Л.
Рассмотрим пример. Пусть С — группа с одним определяющим соотно-
соотношением, то есть С = Р|N, где ТУ порождается как нормальной делитель
одним элементом у е ТУ. Из описания модуля соотношений М = ТУа& дан-
данного в § 3.7 следует, что ТУ/[ТУ, .Г] = М ®<з 2 — бесконечная циклическая
группа, поэтому если у е Р', то Н^С — также бесконечная циклическая
группа, а если у ф Р\ то Н^С = 0.
Предположим, что N С .Р'. Тогда Н^С = ТУ/[ТУ, Р]. Пусть, например,
ЛГ = 7с+1(^) — член нижнего центрального ряда, то есть С =
— свободная нильпотентная группа. Тогда Я2С =
фактор нижнего центрального ряда группы Р. Известно, что это —сво-
—свободная абелева группа, порождённая образами базисных коммутаторов
веса с+ 1. Напомним, что базисные коммутаторы веса 1,2 и 3 от образу-
образующих Хг имеют вид
Пусть базисные коммутаторы веса < п уже определены и упорядочены по
возрастанию веса, а внутри данного веса произвольным, но фиксирован-
фиксированным образом. Если и,у,цо — базисные коммутаторы суммарного веса п, то
коммутатор [[г/, г;], г^] называется базисным веса п, если и > у ^ яи. По-
Построенные коммутаторы упорядочим и будем считать, что они следуют за
коммутаторами веса < п (подробнее см. [56]). Уже этот пример показыва-
показывает, что формулу Хопфа не стоит считать окончательным ответом. С точки
зрения теории групп интерес часто представляет как раз правая часть,
и иногда её удаётся вычислить исходя из гомологических соображений
с помощью левой части. С подобной ситуацией мы встретимся в §8.
Отметим, что если N С Р' (ЛГ ф 1), то равенство ЩС = 0 невоз-
невозможно. Дело в том, что, если [ТУ, Р] = Л7", то [ТУ, Р,..., Р] = ТУ, откуда
следует, что ТУ С Пп7п(^)- Как хорошо известно, это пересечение триви-
тривиально (см. [45] §36).
Уже сейчас можно объяснить, какого рода информацию содержит в се-
себе группа ЩС. Во-первых, расширение
0 -> ТУ/[ТУ, Р] -> ^/[ТУ, Р] -> Р^ -> 0 D.14)
196 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
— это свободный объект в классе всех центральных расширений группы
С = Р/И. Нетрудно уточнить смысл этого высказывания по аналогии
со случаем свободных абелевых расширений (см. §3.6). Как видно из
формулы Хопфа, группа Н2С — это наиболее существенная часть ядра
расширения D.14). Так как произвольное центральное расширение яв-
является эпиморфным образом свободного, это позволяет дать описание
центральных расширений в терминах группы Н2С
Во-вторых, нормальный делитель N порождается соотношениями, и
следовательно, абелева группа ДО/[ДО, Р] порождается их образами, что
даёт возможность связать Н2С с соотношениями.
Предложение 4.2. Пусть й, — минимальное число определяющих соот-
соотношений, необходимых для задания группы С, а г = г(Н2С) — мини-
минимальное число образующих группы Н2С Тогда А ^ г. В частности,
если Н2С не порождается конечным числом элементов, то группа С
не может быть задана конечным числом соотношений.
«
Действительно, если в копредставлении С = Р/И нормальный делитель
ДО порождается д, элементами то Л > г (ДО/[ДО, Р]). Но Н2С — прямое сла-
слагаемое в N/[N,2], поэтому г(ДО/[ДО,Г]) > г(Н2С).
Подчеркнём, что неравенство А^ г связывает числа, которые зависят
лишь от группы С, но не зависят от выбора её копредставления. Неслож-
Несложно указать конечно порождённые группы С, для которых Н2С — 0, но
которые не могут быть заданы конечным числом соотношений [6].
Рассмотрим один простой, но принципиально важный пример. Грубо
говоря, он состоит в том, что нильпотентность задаётся конечным числом
соотношений, а разрешимость — нет. Точнее, пусть С — группа с т поро-
порождающими р1,...,Рш (т > 1)- Тогда С нильпотентна класса ^ с в том
и только том случае, когда в С тривиальны левонормированные комму-
коммутаторы веса с 4-1 от образующих, то есть выполнены все соотношения
вида
Напомним, что левонормированные коммутаторы определяются по индук-
индукции равенствами
Х2] = Х\ХХ^Х\Х2, [жь . . • , Хк+1] = [[XI, . . . , Хк], Хк+\].
При с — \ сформулированное утверждение очевидно. Пусть с > 1. Из
D.15) следует, что коммутаторы [^15... ,<#с] лежат в центре 2(С). По
индукции заключаем, что группа С/2{С) нильпотентна класса ^ с — 1,
следовательно, С нильпотентна класса ^ с.
§4. #2 и определяющие соотношения 197
Иначе обстоит дело с разрешимостью. Пусть т, / > 1. Докажем, что
не существует конечного множества слов Уг(х\^ ..., хт) (г = 1,..., п), ко-
которые были бы тождествами во всех разрешимых группах ступени ^ /
и обладали бы следующим свойством: если группа С порождается эле-
элементами </1,..., дт, то из равенств
= ! (г=
следует, что С разрешимая группа ступени ^ /. Наличие такого мно-
множества слов означало бы, очевидно, конечную определённость свободной
разрешимой группы р/рA) (Р = (х\,..., хт) — свободная группа, Р® —
1-й член её ряда коммутантов). Однако это неверно.
Предложение 4.3. Свободная разрешимая не циклическая группа сту-
ступени I > 1 не может быть задана конечным числом определяющих
соотношений.
Доказательство. Мы подробно разберём случай / = 2, а затем ука-
укажем, как нужно действовать в общем случае. Пусть Ф = Р/Р" — свобод-
свободная метабелева группа. Достаточно доказать, что ЩФ = Р" /[Р,Р"\ не
порождается конечным числом элементов. Так как группа Р' свободна,
то Ь = Р'/[Р',Р"] — свободная нильпотентная группа класса 2.
Лемма 4.4. Пусть М = ЬаЬ = Р'/Р". Тогда V = М Л М — внешнее
произведение над 2.
Доказательство. Действительно, в нильпотентных группах класса 2
коммутатор линеен: [а\а2,Ъ] = [аьЬ][а2,Ь]. В любой группе коммутатор
кососимметричен: [а,Ь] = [Ь, а]. Кроме того, элемент [а, Ь] зависит лишь
от смежных классов а, Ь тосИ/, поэтому определён гомоморфизм
М Л М —> I/, при котором внешнему произведению соответствует комму-
коммутатор. Если уг — свободные образующие группы Р\ то образы элементов
[УиУз] (* > з) составляют базу абелевой группы V = Р"/[Р',Р"], откуда
следует, что построенное отображение — изоморфизм. □
Сопряжение элементами из Р индуцирует на V структуру модуля
над группой С = Р/Р1. Так как [а, Ь]9 = [аР,Щ, то изоморфизм V =
= М А М леммы 4.4 является изоморфизмом С-модулей, если внеш-
внешнее произведение считать модулем относительно диагонального действия.
Группа #2Ф = Р"/[Р,Р"] получается из V = Р"/[Р',Р"\ введением со-
соотношений [а,Ь]9~1 — 1 (а,Ь Е I/,д € С), которые в МЛ М принимают
вид (а Л Ъ){д — 1) = 0, поэтому
D.16)
198 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Доказывая предложение 4.3, можно предполагать, что Ф имеет два сво-
свободных образующих. Действительно, если бы конечное задание Ф было
возможно в случае большего ранга, то приравнивая единице все образу-
образующие кроме двух, мы получили бы конечное задание в ранге 2. Пусть
х и у — свободные образующие группы Ф. Тогда С-модуль М = Ф' поро-
порождается образом коммутатора [х,у]. Благодаря вложению Магнуса, М —
подмодуль свободного С-модуля. Так как группа С свободная абелева, от-
отсюда следует, что М — модуль без кручения, то есть М = ЪС — свобод-
свободный циклический модуль. Итак, если Ф —свободная метабелева группа
ранга 2, то изоморфизм 4.16 принимает вид
Я2Ф ^ BС Л 2С)
Нам достаточно доказать, что ЪС Л ЪС — свободный С-модуль счётного
ранга. Это вытекает из следующей более общей леммы.
Лемма 4.5. Пусть С — произвольная упорядочиваемая -группа. Тогда
ЪС Л ЪС — свободный С-модуль со свободными образующими дА1, где
Напомним, что группа С называется упорядочиваемой, если на множе-
множестве её элементов можно ввести отношение порядка, которое согласовано
с умножением
51 > 92 => д\д > дъд (яъ,яг,9 € С)
(предполагается, что любые два элемента сравнимы). Понятно, что сво-
свободная абелева группа допускает лексикографический порядок. Нетрудно
показать, что класс упорядочиваемых групп замкнут относительно рас-
расширений, поэтому свободная разрешимая группа любой ступени упоря-
упорядочиваема.
Докажем лемму. Очевидно, произведения вида д Л 1 порождают
С-модуль ЪСлЪС. Если д < 1, то д~1 > 1 и д/\1 = -(д~1 Л1)р, поэтому
достаточно произведений, в которых д > 1. Осталось проверить линейную
независимость элементов вида (<# Л 1)/^ (д%,Н^ еС,^> 1). Рассмотрим
конечную сумму ]П щ(дг Л 1)Н^ с п^ ф 0, и пусть д = тах <&, к = тахНу
Тогда по очевидным причинам элемент (д Л 1)Н этой суммы не может
сократиться ни с одним другим. □
Пусть теперь Ф = р/рA) — свободная разрешимая группа ступени /.
Точно так же доказывается изоморфизм D.16), где М = рA~1)/рЮ — по-
последний нетривиальный коммутант группы Ф, который рассматривается
как модуль над группой С = Р/рУ~1\ При / > 2, даже если ограничиться
§4. Яг и определяющие соотношения 199
двумя свободными образующими, М уже не будет циклическим модулем.
Однако можно предложить следующий трюк, который сводит доказатель-
доказательство к циклическим подмодулям. Фиксируем ненулевой элемент т е М.
Так как в силу леммы 4.5 группа BС Л 2G) <8><з 2 имеет бесконечный
ранг, нам достаточно доказать, что отображение
E1 Л #2) <8> 1 -> (гпдх Л тпд2) <8> 1 (#ъ #2 6 С)
продолжается до мономорфизма
BС Л 2С) %2-^(МлМ) ®а 2.
С помощью вложения Магнуса ц: М —> Р всё сводится к аналогичной
задаче для группы (РлР)(8>с?2 с заменой га на /л(га). Так как Р — свобод-
свободный модуль, существует гомоморфизм тг: Р —» 2С такой, что тг(//(га)) =
= г ^ 0. Таким образом, мы вернулись к группе BG Л 2С) ®<з 2, точнее
к её подгруппе, порождённой элементами вида {гд\/\гд2)®1. Однако она
изоморфна группе BС Л 2С) ®<з 2, что доказывается с помощью стан-
стандартного рассуждения, использующего максимальный и минимальный из
элементов д^ в разложении г = ]>^ р*. □
Доказывая предложение 4.3, мы рассматривали свободную разреши-
разрешимую группу ступени / как расширение свободной разрешимой группы
ступени / — 1. На самом деле, то же самое рассуждение показывает, что
свободное абелево расширение упорядочиваемой группы С не может быть
задано конечным числом образующих. Оставаясь в рамках примерно этой
же техники, условие на группу С можно ослабить. Достаточно всего
лишь потребовать, чтобы группа С была бесконечной (см. Баумслаг [7]).
В то же время понятно, что если группа С конечна, то её свободное
абелево расширение (с конечным числом свободных образующих) имеет
конечное задание.
Интересная ситуация возникает в нильпотентном случае. Пусть С —
нильпотентная группа. Как хорошо известно, элементы д% Е С порожда-
порождают С тогда и только тогда, когда их образы порождают Саь. Так как
СаЬ ^ Н\С, можно сказать, что любая система образующих поднимает-
поднимается из Н\С в С. Можно ли образующие группы Н^С поднять до опре-
определяющих соотношений группы С? Из формулы Хопфа ясно, что Н2С
учитывает лишь соотношения, лежащие в коммутанте, поэтому будем
предполагать, что группа Саь — свободная абелева, а в копредставлении
С ^ Р/И РаЪ = СаЬ. Таким образом, N С Р9 и Н2С ^ М/[Р,1Ч].
Пусть элементы к\,...,кг порождают группу Н2С Выберем их прооб-
прообразы 171,...,г;г Е Р и рассмотрим группу Е, заданную определяющими
200 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
соотношениями ^ = 1 (г = 1,...,г). Поскольку Уг б Л7", имеется гомо-
гомоморфизм Е —> С. Можно ли выбрать уг так, чтобы это отображение было
изоморфизмом, то есть группа С задавалась бы соотношениями у^ = 1?
Ответ на данный момент неизвестен. Имеется лишь следующее необхо-
необходимое и достаточное условие.
Теорема 4.6. Отображение Е —> С, определённое выше, является изо-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда нормальное замыкание эле-
элементов у\,...,уг содержит некоторый член нижнего центрального
ряда 7г?(^)> то есть из соотношений Уг — 1 (г = 1,...,г) следует
нильпотентность.
К сожалению условие этой теоремы не так просто проверить. Пусть, на-
например, С = Р/7с+\{Р) — свободная нильпотентная группа класса с. То-
Тогда в качестве Уг естественно взять базисные коммутаторы веса с + 1.
Неизвестно, будет ли группа нильпотентной, если приравнять их к 1.
Теорема 4.6, очевидно, вытекает из следующего утверждения, дока-
доказанного Столлингсом.
Теорема 4.7. Пусть задан гомоморфизм групп <р: Е —> С. Если инду-
индуцированное отображение (р\\ Н\Е —> Н\С — изоморфизм, а </?2 • Н2Е —»
—» Н^С — эпиморфизм, то для всех к (р индуцирует изоморфизмы
Е/1к{Е) -> С/1к{С).
Мы выведем эту теорему из так называемой пятичленной последователь-
последовательности, которая связывает гомологии малых размерностей группы и фак-
факторгруппы.
Предложение 4.8. Для произвольного расширения групп
1->7У->С->С-> 1 D.17)
имеет место точная последовательность
Н2С -> Н2С -> И/р, Ы] -> НгС -> НХС -> 0, D.18)
которая функториально зависит от расширения.
Отметим, что если С —свободная группа, то Н2С = 0 и последователь
ность D.18) превращается в D.13), то есть просто в формулу Хопфа
Докажем теорему 4.7, предполагая, что предложение 4.8 уже доказа
но. Положим для краткости 7&(С0 = С^ и рассмотрим расширение
Ск - С - С/Ск - 1.
§4. Н2 и определяющие соотношения 201
Соответствующая пятичленная последовательность имеет вид
Н2С -> Н2(С/Ск) -> Ск/См -> #1<2 -> Нх{С/Ск) -> 0.
Мы видим, что группа Ск/Ск+\ описывается как расширение ядра К
отображения Н\С —» Н\{С/Ск) с помощью коядра С отображения
Я2С —» Н2(С/Ск). Аналогично описывается Ек/Ек+\. По индукции мож-
можно предполагать, что Е/Ек = С/Ск, поэтому из условия и функториаль-
ности пятичленной последовательности следует, что ядро К' отображе-
отображения НхЕ —» Н1(Е/Ек) изоморфно ЙГ, а коядро С отображения Н2Е —♦
—* Н2(Е/Ек) изоморфно Сг. Более того, имеет место коммутативная диа-
диаграмма
О -» С -» Д*/Д*+1 -» К' -» 0
О -> С -» С^/С^+1 -. К -> 0,
«
в которой отображения, соответствующие вертикальным стрелкам, ин-
индуцированы гомоморфизмом Е —► С. Отсюда следует, что отображение
Ек/Ек+\ —» Ск/Ск+1 — изоморфизм, поэтому и отображение Е/Ек+1 —»
—> С/Ск+1 также будет изоморфизмом. П
Осталось доказать предложение 4.8. Заметим прежде всего, что пя-
пятичленная последовательность не изменится, если в ней заменить N на
7Уаь, поэтому можно предполагать, что N — абелев нормальный делитель.
Напомним, что в §3.5 каждому расширению с абелевым ядром D.17) мы
сопоставили расширение С-модулей
0 -> N -> Д^ ®5 ЪС -> Ас -> 0.
Домножим эту последовательность тензорно на 2 (над О) и выпишим
начало соответствующей длинной точной последовательности
^(8)^2С, 2) -> Тог^(Дс?, 2) -> 7У(8)С2 -> Д^с2 "^ Ас®с2> ~> 0.
Все члены, кроме первого слева, изоморфны соответствующим членам
последовательности D.18), поэтому достаточно построить естественный
эпиморфизм
^^, 2) -> Тог^(Д^ (8>о 2С, 2).
Обратите внимание на то, что здесь должна произойти замена колец.
В первом случае Тог вычисляется над ЪС, а во втором — над ЪС. Нужный
эпиморфизм появляется как частный случай следующего утверждения.
202 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Лемма 4.9. Для любого С-модуля А и С-модуля В существуют есте-
естественные гомоморфизмы
, А) -> э
ш п = 0 это отображение — изоморфизм, а при п = 1 — эпиморфизм.
Доказательство. При п = 0 речь идет об изоморфизме
В ®5 Л ^ (Б ®5 2С) ®с? А
который очевиден. Чтобы рассмотреть случай п = 1, запишем Л в виде
Л = Р/К, где Р —свободный С-модуль. Домножив точную последова-
последовательность
0-* К -> Р-> Л->0 D.19)
тензорно на С-модуль В ®^ 2С, получим
0 -> Тэг?(Б®52С, Л) -> В^ЪС^сК -> В®^ЪС®СР -* • • • D.20)
Как мы знаем (случай п = 0), функтор В^-^Т/С^с совпадает на С-моду-
лях с функтором В(8)<2, поэтому из D.20) следует, что
5 2С, Л) ^ Кег (В ^ К-^ В ^ Р). D.21)
С другой стороны, последовательность D.19) можно рассматривать как
последовательность С-модулей. Если применить к ней функтор В®^
то из соответствующей длинной точной последовательности следует, что
имеется эпиморфизм
Тэгр(В, Л) -* Кег (В®сК -> В®с р)-
Сравнив это выражение с D.21), получим утверждение леммы при п = 1.
Соответствующие гомоморфизмы для п > 1 нам не понадобятся. □
Упражнения
1. Докажите формулу Хопфа, применив функтор ®с?21 к точной последова-
последовательности предложения 6.3 гл. 3 (по сравнению с вариантом доказатель-
доказательства, который приведен выше, здесь отпадает необходимость обсуждать
производные Фокса).
2. Пусть С — не циклическая нильпотентная группа такая, что группа Саь —
свободная абелева. Докажите, что Н^С ф 0. (Указание: такая группа име-
имеет копредставление С = Р/И, в котором N С Г'.)
§5. Яг и центральные расширения 203
3. Утверждение предыдущего упражнения не верно для разрешимых, даже
для метабелевых групп. В качестве примера рассмотрите группу с двумя
образующими х, у и одним соотношением х~1ух — у2.
4. Докажите, что минимальное число соотношений, которыми можно задать
свободную нильпотентную группу класса 2 с г свободными образующими
равно числу базисных коммутаторов веса 3 на г образующих. (Указание:
число соотношений такой группы С не может быть меньше, так как базис-
базисные коммутаторы веса 3 определяют минимальную систему образующих
группы Я2С; для доказательства того, что из тривиальности базисных
коммутаторов веса 3 следует, что группа нильпотентна класса 2 восполь-
воспользуйтесь тождествами, которые справедливы в любой группе:
[а, б] = [6,а], [аЬ,с\ = [а,с]ь[6,с], [а,Ь,са][с,а,Ьс][Ь,с,аь] == 1.
5. Докажите следующее обобщение предложения 4.8: для С-модуля А име-
имеет место точная последовательность
Н2(С,А) -> Н2(С,А) -> АГаЬ ®с А -> Д^ ®с А -> Дс ®с А -> 0.
(Указание: доказательство почти такое же, как для предложения 4.8.)
6. Докажите, что для когомологий имеет место точная последовательность
0 -> Иотс(Ас,А) -> Нот^(Д^, А)
§ 5. Я2 и центральные расширения
Расширение групп
D.22)
называется центральным, если подгруппа А С С лежит в центре груп-
группы С. Это эквивалентно тому, что А — тривиальный 2С-модуль. Пусть
/: СхС —> А — коцикл, задающий расширение D.22). Напомним, что для
произвольного расширения с абелевым ядром и д\,92->дъ € С выполнено
равенство
1(91,92)93 - /@Ь020з) + /@102, 03) ~ /@2, 03) = 0.
После продолжения / на групповое кольцо ЪС имеем
, г)* - /E, г*) + /(вг, *) - е(в)/(г, *) = 0 (в, г, * Е ЪС).
204 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Если расширение центрально, то для любых 5, Ь Е Д^, г Е ЪС выполнено
равенство
/(«г,*) = /E,г<). D.23)
При построении / по системе представителей смежных классов в ка-
качестве представителя в А всегда можно выбрать 1. Тогда /A, —) =
= /(—, 1) = 0, поэтому / определяется своими значениями /($, ^) на эле-
элементах 5,1 Е Д. Равенство D.23) означает, что коцикл / можно интер-
интерпретировать, как гомоморфизм абелевых групп
(мы сокращаем обозначение Ас до Д). Если </?: С —» А — произвольная
функция, нормированная условием </?A) = 0, то её кограница имеет вид
= <Р(9г)92 ~ <Р(9192)
После линейного продолжения на 2С получается равенство
Благодаря условию срA) — 0 достаточно рассматривать ограничение
на Д. Если А — тривиальный модуль, то для 5,1 Е Д
Таким образом, для вычисления (с точностью до знака) кограницы гомо-
гомоморфизма (р: Д —> А надо рассмотреть его ограничение на Д2, а затем
отступить вдоль отображения
Д(8>с:Д—>Д2 (в
Подведём итог.
Предложение 5.1. Для любого тривиального С-модуля А
Я2(С, А) ^ Нот(Д ®с Д, Л)/1т(Нот(Д, А) -> Нот(Д2, А))
Полученная интерпретация даёт возможность связать группу когомоло-
гий Я2(С, А) с группой гомологии ЩС. Именно, домножив точную по-
последовательность
0->Д-*2С-*2-*0 D.24)
тензорно на Д над С, получим
0 -> Тогс(Д, 2) -> Д ®с Д -» Д -> Д2/Д -> 0. D.25)
§5. Нъ и центральные расширения 205
Из той же последовательности D.24) следует, что
Тог(Д, 2) ^Я2С
(сдвиг размерности), поэтому имеет место точная последовательность
0 -> Н2С -> Д ®с А -> А2 -> 0.
Так как А2 — свободная абелева группа, эта последовательность расщеп-
расщепляется. Применяя функтор Нот(—, А) (над 2), получим расщепляющую-
расщепляющуюся последовательность
0 -> Нот(Д2, А) -> Нот(Д ®с Д, Л) -> Нот(Я2С, А) -> 0. D.26)
Чтобы использовать предложение 5.1, профакторизуем первые два члена
по образу группы Нот(Д, А):
0 -> Нот(Д2, Л)/1т(Нот(Д, А)) -> Я2(С, А) -> Нот(Я2С, Л) -► 0.
В этой последовательности первый член также допускает простую интер
претацию—это группа, изоморфная Ех1(Са&, Л). Действительно, приме-
применив к точной последовательности
0 -> Д2 -^ Д -> СаЬ -> 0
функтор Нот, имеем
0 -> Нот(Са6, А) -> Нот(Д, А) -> Нот(Д2, А) -> Ех1(Са6, Л) -► 0.
D.27)
В итоге мы доказали следующее предложение.
Предложение 5.2. Имеет место точная последовательность
0 -> Ех^(Са6, Л) -> Я2(С, А) -> Нот(Я2С, Л) -> 0,
которая расщепляется как последовательность абелевых групп
На самом деле это частный случай теоремы об универсальных коэффици-
коэффициентах 3.3 при п = 2. Мы привели альтернативное доказательство, чтобы
продемонстрировать технику, типичную для малых размерностей.
Следствие 5.3. Если группа Саь — свободная абелева, то
Н2(С,А)^Иот(Н2С,А).
206 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Поучительно описать на групповом языке расширения, соответствующие
подгруппе ЕхЬ(Саь, Л) С Н2(С,А). Пусть е е Ех1(СаЬ,А)
-> В ->
(В — абелева группа), и пусть Е — его образ в группе #2(С, А)
Предложение 5.4. 5 точной последовательности Е группа С изо-
изоморфна подгруппе прямого произведения СхВ, состоящей из пар (<;, Ь)
таких, что образы элементов д и Ь в Саь совпадают. Отображение
С —> С индуцирует изоморфизмы С = С и Саь = В.
Таким образом, расширения, соответствующие элементам из ЕхЪ(Са&, А)
меняют лишь факторгруппу по коммутанту. Мы приведём набросок
доказательства, оставляя подробности читателю. Из точной последова-
последовательности D.26) следует, что расширение Е определяется коциклом
/: Д®сА->Д который получается из некоторого гомоморфизма
(р: Д2 —♦ А отступлением вдоль отображения Д ®<з Д —♦ Д2, точнее,
/(8®*) = -<рЫ) (в,*Е Д).
Отсюда следует, что группу С в расширении Е можно реализовать как
множество пар (#,а), которые перемножаются по правилу
, а2) = E1Р2, аг 4- а2 -
Расширение е получается применением к </? связывающего гомоморфизма
последовательности D.27). Соответствующая группа В имеет вид
В = А + А/(8 = ф) | 5 е Д2).
Надо доказать, что группа С, определённая выше, изоморфна подгруппе
группы СхВ, состоящей из пар (р, Ь) таких, что д тоб. С = Ь той А.
Проверьте, что такой изоморфизм можно задать с помощью отображения
(Р, °) -> (Р, ьM гДе ь = (Р - !,а)-
Пары вида (р, 1), где д Е С, содержатся в подгруппе С С С х В, поэтому
С" С С. Так как С/С?; = В - абелева группа, то С' = С. и
Теперь мы введём понятие свободного центрального расширения. Для
случая, когда группа Саь свободная абелева, будет также введено уни-
универсальное центральное расширение.
§5. #2 и центральные расширения 207
Определение. Фиксируем группу С. Центральное расширение
: 1 _> С -> Сй -> С -> 1
называется свободным со свободными образующими и, если для лю-
любого центрального расширения группы С
Е: 1-> Л-+С-^С-> 1
г/ любых элементов д\ таких, что д^ той Л = ^ той С, существует
единственный морфизм /: Е^ -^ Е такой, что /(^) = <^.
Рассмотрим произвольное копредставление С = ^/Л7", где .Р — сво-
свободная группа. Положим С$ = Р/[Р, Л7"], С = М/[Р, М] и пусть Е$ — соот-
соответствующее центральное расширение. Тогда Е$ свободно со свободными
образующими и, которые являются образами свободных образующих х%
группы Р. Действительно, любое отображение хг —> дг продолжается до
гомоморфизма Р —> С. Так как А лежит в центре, то [Р, IV] содержит-
содержится в ядре, поэтому определён индуцированный гомоморфизм /: С$ —> С.
Условие дг той А = ^ той С гарантирует то, что индуцированное отоб-
отображение факторгрупп С^/С = С /А будет тождественным. Читатель легко
докажет, что указанным способом может быть получено любое свободное
центральное расширение (это делается так же, как в случае свободных
абелевых расширений).
Напомним, что по формуле Хопфа
Н2С ^ Кег (ЛГ/[,Р, ТУ] -> Р/Р').
Образ Б группы С = М/[Р, Ы] в свободной абелевой группе Р/Р' — это
также свободная абелева группа и С = Н^С 0 Л. В частности, периоди-
периодическая часть ядра свободного абелева расширения не зависит от выбора
копредставления С = Р/И.
Среди свободных центральных расширений можно выделить канони-
каноническое, или стандартное расширение. Именно, рассмотрим копредставле-
копредставление С = Р/И, в котором Р — свободная группа со свободными образу-
образующими хд, которые индексированы элементами д Е С (д ф 1), и пусть
Р —> С — эпиморфизм, при котором Хд переходит в д. В соответствующем
центральном расширении Е$ в качестве системы представителей д —> д €
Е С$ можно, очевидно, взять элементы д = хд, добавив представитель
1 ЕС.
Предложение 5.5. Ядро С построенного расширения изоморфно
Д ®(з Д, а коцикл /: Д ®<з Д —> Д ®с &> соответствующий системе
представителей х9 Е С$, совпадает с тождественным отображением.
208 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Доказательство. Построим центральное расширение С, взяв в каче-
качестве определяющего 2-коцикла тождественное отображение Д ®с Д —»
—» Д ®с? Д. Группа С реализуется как множество пар (#, а), где д Е С,
а Е Д Фа Д, причём
- 1)). D.28)
Если /: Д ®с Д —> С — коцикл, задающий С^, то
Ы - 1) (8) (да ~ !))• D.29)
Поскольку / — гомоморфизм абелевых групп, то сравнивая формулы
D.28) и D.29), мы видим, что отображение (р,0) —» а^ продолжается
до гомоморфизма С —» С11. С другой стороны, отображение хд —> (р,0)
продолжается до гомоморфизма по универсальному свойству свободного
расширения. □
Предположим теперь, что группа Саь — свободная абелева, и пусть
С* = Р/[Р,Л7"] —свободное центральное расширение, соответствующее
некоторому копредставлению С = Р/И. Как и раньше, пусть Б — образ
группы И/[Р,Щ в Р/Р'. Факторизуя Р/Р по Л, получим Са&. Если
Саб — свободная абелева группа, то Р/Р' = О®Саъ. Спроектируем Р/Р'
на Б и рассмотрим гомоморфизм С?Й —> Л — композицию естественного
отображения С$ —♦ /^/Р17 и проекции. Пусть С —его ядро. Из построения
следует, что имеет место точная последовательность
Ё: 0 -> Я2С -> С -> С -> 1. D.30)
Очевидно также, что Саъ — &аъ, то есть образ Н^С в С содержится
в коммутанте. Построенное центральное расширение группы С называют
её универсальным центральным расширением. Это название объясняет-
объясняется следующим свойством.
Предложение 5.6. Для любого центрального расширения Е группы С
существует морфизм </?: Е —> Е. Если (риф' — два таких морфизма,
то (р' = сир для некоторого однозначно определённого автоморфизма
а: Е -> Е.
Доказательство. Пусть и —свободные образующие свободного цен-
центрального расширения Е$. Обозначим ^ их образы в группе С и ~дг про-
прообразы элементов ^ в группе С расширения Е. Тогда отображение и —>
—> ~дг продолжается до гомоморфизма (р: С$ —> С. Его ограничение на
подгруппу С определяет нужный морфизм (р. Вторая часть предложения
справедлива в более общей ситуации.
§5. Я2 и центральные расширения 209
Предложение 5.7. Пусть </?, <//: Е\ —♦ Е^ — морфизмы центральных
расширений
Ег: 1 -> Д->С?г ->С-> 1 (г = 1,2).
Тогда
О) значения <р и <р' совпадают на коммутанте
(и) естш значения (р и </?' совпадают на подгруппе А\, то существует
единственный автоморфизм а: С^ —> С?2, действующий тожде-
тождественно на А^и в факторгруппе С = С2/А2, такой, что </?' = ар;
(Ш) образ любого морфизма содержит коммутант.
Второе утверждение можно применить к морфизмам универсального рас-
расширения Е. Отметим также частный случай первой части предложения.
Следствие 5.8. Если /: Е —* Е — эндоморфизм центрального расши-
расширения, то / действует тождественно на коммутанте.
Для доказательства надо положить <р = / и </?' = Ы. □
Докажем предложение 5.7. Если у? и у/ — два морфизма, то
Так как подгруппа А^ центральна, отсюда следует, что
[(р'(х),(р'(у)] = [(р(х), (р(у)] для любых х,уеСи
поэтому (р и (р совпадают на коммутанте.
Вторая часть предложения 5.7 верна для любых расширений с абе-
левым ядром, не обязательно центральных. Действительно, легко прове-
проверить, что функция 7: С?1 —> ^2, определённая равенством ^(х) =
= (р(х)~~1(р\х) является дифференцированием. Если <р и <р' совпадают на
А\, то ограничение 7 на ^1 тривиально, откуда следует, что 7 индуци-
индуцирует дифференцирование /3: С —> Л2. Но как мы знаем из общей теории,
такое дифференцирование определяет автоморфизм а: С^ —> С?2, тожде-
тождественный на ^2 и в факторгруппе С. Напомним, что если Н Е С?2 и ^ —
образ элемента к в С, то а(Н) = кC{д). В частности, для Л = с/?(ж) имеем
а(<р(х)) = ^(^(^(ж)^7^)) = </?/(ж)»
что доказывает существование нужного автоморфизма. На подгруппе
</?(Сп) С С?2 значения а однозначно определяются условием а((р(х)) =
= (р'(х). На подгруппе Л2 автоморфизм а должен быть тождественным.
210 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Так как подгруппы Аъ и (р(С\) порождают С?2, это доказывает единствен-
единственность а. Доказательство третьего пункта предложения 5.7 мы оставляем
читателю. □
Если Е] и Е*2 — два центральных расширения группы С, обладаю-
обладающих универсальным свойством предложения 5.6, то существуют морфиз-
мы Е\ —> Е2 и Еъ —» Е\, композиция которых —автоморфизм. Отсюда
вытекает, что универсальное центральное расширение (в отличие от сво-
свободного) определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Часто встречается случай, когда расширяемая группа С совпадает со
своим коммутантом. Тогда тем же свойством обладает группа С в универ-
сальном центральном расширении Е, и, как следует из предложения 5.7,
для любого центрального расширения Е существует единственный мор-
физм Е —> Е. Отметим ещё ряд особенностей, характерных для случая,
когда С = С.
Предложение 5.9. Пусть С — центральное расширение группы С та-
кой, что С = С. Тогда прообраз с любого центрального элемента
а € С лежит в центре группы С.
Доказательство. Рассмотрим внутренний автоморфизм ас группы С,
соответствующий элементу с. Он действует тождественно в С и на Л,
следовательно по лемме 5.8 ас действует тождественно на С , но С =
= АС , поэтому ас — тождественный автоморфизм. □
Предложение 5.10. Пусть С = С. Тогда центральное расширение С
группы С является универсальным в том и только том случае, когда
С —С и любое центральное расширение группы С расщепляется, то
есть Н^С = 0.
Доказательство. Пусть сначала С — универсальное центральное рас-
ширение. Тогда, как мы знаем, Саь = С?а&, то есть С = С. Чтобы дока-
доказать второе свойство, предположим, что задано центральное расширение
группы С _
Из предложения 5.9 следует, что прообраз центра группы С будет цен-
центром группы С, поэтому С можно рассматривать и как центральное рас-
расширение группы С. По универсальному свойству существует гомомор-
гомоморфизм С —♦ С, действующий тождественно в С. Его композиция с есте-
естественным эпиморфизмом С —> С должна быть тождественным отоб-
отображением (как единственный возможный морфизм С —> С). Но тогда
с ^ с е с.
§5. #2 и центральные расширения 211
Наоборот, пусть расширение С обладает свойствами, указанными в
предложении, и пусть С — универсальное центральное расширение груп-
группы С. Существует морфизм /: С —> С. Образ любого морфизма содер-
содержит коммутант, поэтому / — эпиморфизм. Его ядро С лежит в центре,
а так как по условию центральные расширения группы С расщепляются,
существует морфизм <р: О —> О. Композиция / и <р должна быть тожде-
тождественным отображением, поэтому С = С. □
В следующих трёх параграфах рассматриваются примеры, иллюстри-
иллюстрирующие применения универсальных и свободных центральных расшире-
расширений.
В заключение отметим ещё одно свойство, которое понадобится нам
в дальнейшем.
Предложение 5.11. Пусть ядро А центрального расширения содер-
содержится в коммутанте группы С. Если элементы д^ б С — С/А по-
порождают группу С, то любые их прообразы "91^.0 порождают С.
Доказательство. Пусть Н — подгруппа, порождённая элементами ~дг.
По условию НА — О, поэтому
Н Э [Я, Я] - [НА, НА] = [С, С] Э Л,
следовательно, Я = НА. □
Упражнения
1. Как мы знаем, ядро К отображения А <8>с А —> А изоморфно Н2С Пусть
С —свободная абелева группа со свободными образующими x^. Укажи-
Укажите в явном виде базу группы К. (Ответ: в качестве базы можно взять
элементы {х^ — 1) <8> (х^ - 1) — (х$ — 1) <8> (#г — 1)> где г < у. (Указание:
доказательство сводится к вычислению связывающего гомоморфизма в по-
следовательности D.25), при этом группу Тог (А, Ъ) удобно интерпрети-
интерпретировать в резольвенте, построенной с помощью внешней алгебры; можно
обойтись и элементарными соображениями, доказав, что если А <8>с А
профакторизовать по подгруппе, порождённой указанными элементами,
то действительно получится А2.)
2. Пусть С — произвольная группа. Напомним, что гомологии можно вычис-
вычислять с помощью линеаризованной стандартной резольвенты (см. упражне-
упражнения к §2.1). Тогда НпС интерпретируется как п-ая группа гомологии ком-
комплекса, в котором группа п-мерных цепей — это п-ая тензорная степень
(над Ъ) фундаментального идеала А, а дифференциал задаётся формулой
1
F> • • • 49 I п) — / ^
г—п—1
212 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Что получается при п = 2? (Ответ: Н2С интерпретируется как ядро отоб-
отображения Д ®с А —> А).
3. Пусть С = Р/И — копредставление группы С. По формуле Хопфа Н2С =
= /^ П АУ[^, -/V]. Фиксируем свободные образующие ггь... ,хп группы Р.
Напомним, что для элементов д1,--.,дп € О мы обозначили
(ду/дхг)(д1,... ,дп) значения производных Фокса слова у € Р в групповом
кольце ЪС. Если у € I*1', то (ду/дхг)(дг1...,#п) € Л и элемент
принадлежит ядру К отображения Д®с А —♦ А (это следует из тождества
Фокса (см §9.1). Докажите, что отображение у —> к индуцирует изомор-
изоморфизм Р' Г\ ИЦР, Щ = К. (Указание: постройте цепное преобразование ре-
резольвенты, соответствующей копредставлению группы С, в стандартную
резольвенту.)
4. Пусть К — произвольное кольцо. Рассмотрим точную последовательность
Д-модулей
О -> С -> С -> С" -> О,
и для Я-модуля А построим длинную точную последовательность
О -* НошдСС^, А) -> Нотя(С, А) -+
-> Нотя(С, А) -> Ех^СС'7, А)
Докажите, что если <р е Нотп(С, А)у то в расширении
О -» А -+ В -+ С/; -^ О,
которое является образом <р при связывающем гомоморфизме, Я-модуль
В можно описать как фактормодуль прямого произведения С х А по со-
соотношениям с = </?(с), где с € С (частный случай этого утверждения
использовался при доказательстве предложения 5.4).
5. Пусть Саь — свободная абелева группа. Покажите, что при изоморфизме
Н2(С,Н2С) * Яот(Н2С,Н2С)
универсальное центральное расширение D.30) соответствует тождествен-
тождественному отображению Ы\ Н2С —> Н2С. (Указание: проверьте, что централь-
центральное расширение, построенное с помощью тождественного отображения об-
обладает соответствующим универсальным свойством.)
6. Пусть группа Саь — свободная абелева и пусть А — тривиальный
С-модуль. Докажите, что если отображение / е Иот(Н2С,А) —эпимор-
—эпиморфизм, то в соответствующем ему центральном расширении Е € Н2(С,А)
отображение С —> С индуцирует изоморфизм Саь —> &аъ- (Указание: эпи-
эпиморфизму / соответствует эпиморфизм универсального центрального рас-
ширения Е —> Е.)
§6. Группы заузленных поверхностей
213
7. Пусть С — нильпотентная группа. Используя предложение 5.11, докажите
лемму Бернсайда: если элементы дг порождают Саъ> то любые их прооб-
прообразы д{ € С порождают С.
§ 6. Группы заузленных поверхностей
В этом параграфе мы рассмотрим одно из применений второй группы го-
гомологии и универсальных центральных расширений. Речь пойдёт о груп-
группах, заданных соотношениями сопряжения
гр гр . гр. — гр .
к 3 к — *"
D.31)
По разным поводам и под разными названиями они появлялись во многих
работах. Важным примером таких групп служат группы узлов.
Напомним, что узел —это простая замкнутая кривая в трехмерном
пространстве, а группа узла определяется как фундаментальная группа
её дополнения. Чтобы избежать «диких» случаев, обычно ограничиваются
гладкими кривыми. Опишем вкратце задание группы узла образующими
и определяющими соотношениями. Для этого рассмотрим его проекцию
на некоторую горизонтальную плоскость. В двойных точках проекции ту
часть кривой, которая идет ниже принято изображать разрывной лини-
линией. Например, проекция простейшего нетривиального узла (трилистника)
выглядит так, как показано на рисунке 2.
Разрывы разбивают проекцию на несколько дуг. Фиксируем некото-
некоторую точку О, расположенную выше узла, и для каждой из дуг рассмотрим
петлю с базисной точкой О, которая обходит эту дугу. Обычно, выбрав
направление обхода узла, движение по петле согласуют с правилом бу-
буравчика. Построенные петли определяют образующие группы узла. На-
Например, группа трилистника порождается тремя образующими (рис. 3).
214
Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Рис. 3. Образующие группы трилистника.
Рис. 4. Дуги г, ,7, к и соответствующие им петли.
Пусть в некоторой двойной точке сходятся г-ая, ]-гя и к-ая дуги, на
которые распадается проекция и пусть х^х^х^ —соответствующие им
петли (рис. 4).
На рисунке 5 изображена петля х^х^Хк* а на рисунке 6 —петля, ко-
которую можно получить из неё непрерывной деформацией. Она гомотопна
Хг, то есть в группе узла выполнено соотношение х^х^х^ = Х{.
Можно доказать, что выписав такие соотношения для каждой двойной
точки, мы получим определяющие соотношения. Это — так называемое
копредставление Виртингера группы узла. Отметим на всякий случай,
что мы рассматриваем проекцию узла, находящегося в регулярном поло-
положении, то есть предполагаем, что точки самопересечения проекции могут
быть только двойными точками и их число конечно. При помощи сколь
§6. Группы заузленных поверхностей
215
Рис. 5. Петля х
-1
-1
Рис. 6. Промежуточный момент деформации от хк х^хь к
216 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
угодно малой деформации любой узел можно перевести в регулярное по-
положение.
Для группы трилистника копредставление Виртингера выглядит сле-
следующим образом
(х,у, г | у~1ху = г, г~хуг = х,х~1гх = у).
По группам узлов существует огромная литература. Несмотря на это мно-
многие естественные вопросы далеки от решения. Как, например, узнать яв-
является ли данная группа группой некоторого узла? Ответ не известен.
Можно лишь указать ряд свойств, которым удовлетворяют группы узлов.
Например, любая группа узла С является нормальным замыканием одно-
одного элемента, так как в копредставлении Виртингера все образующие Хг
сопряжены. Очевидно также, что в факторгруппе по коммутанту Саь об-
образующие склеиваются и следовательно Саь — бесконечная циклическая
группа. Пользуясь геометрическими соображениями, можно доказать, что
гомологическая размерность группы нетривиального узла равна 2. Так
как в группах конечной гомологической размерности нет элементов ко-
конечного порядка, то группы узлов — это группы без кручения. Из сооб-
соображений, связанных с двойственностью Александера, следует ещё одно
важное свойство: для группы любого узла ЩС — 0.
Можно рассматривать и узлы большей размерности. По определе-
определению п-мерный узел — это гомеоморфный образ сферы 8п в простран-
пространстве Кп+2. Группой узла называют фундаментальную группу его допол-
дополнения. Можно доказать, что она также имеет конечное копредставление
с определяющими соотношениями вида D.31). Как и для обычных узлов,
группа С любого п-мерного узла обладает следующими свойствами:
1. С — нормальное замыкание одного элемента;
2. Саь — 2;
3. Н2С = 0.
Любая группа п-мерного узла изоморфна группе некоторого
(п + 1)-мерного узла. Пусть, например, К — одномерный узел. Разрежем
его в одной точке и поместим, не развязывая, в полупространство К+.
Сделаем это так, чтобы концы лежали в плоскости К2, которая ограничи-
ограничивает К^, но чтобы других общих точек с К2 не было. Нетрудно доказать,
что, вращая К в К4 вокруг плоскости К2, мы получим двумерный узел,
группа которого изоморфна группе узла К. Точно так же осуществляется
переход от п-мерного узла к (п + 1)-мерному.
§6. Группы заузленных поверхностей 217
Групп двумерных узлов больше, чем одномерных. Например, суще-
существуют двумерные узлы, группы которых содержат кручение. Вот про-
простейший пример такого сорта
= (х,у | х~1ух = у, у3 = 1).
Конструкцию соответствующего узла можно найти в книге Кроуэлла
и Фокса [28] (приложение 1 §2). Как и в одномерном случае, не известна
алгебраическая характеризация групп двумерных узлов. В то же время,
для трёхмерных узлов аналогичный вопрос имеет простой и законченный
ответ. Как доказал М. Кервер [22],
конечно определённая группа С изоморфна группе трёхмерного узла
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям 1, 2 и 3,
сформулированным выше.
Групп трёхмерных узлов действительно больше, чем двумерных. Мож-
Можно, например, доказать, что группы двумерных узлов удовлетворяют усло-
условию
Если С — абелева группа, то получается неравенство
п (С Л С
(Л —внешнее произведение над 2). Это приводит к ограничению на раз
мерность (см. [67] гл. 6)
Между тем, нетрудно привести примеры групп, удовлетворяющих услови-
условиям 1, 2, 3, у которых коммутант — свободная абелева группа сколь угодно
большого ранга. Удивительно, что в размерности 3 происходит стабили-
стабилизация. При п ^ 3 группа любого п-мерного узла удовлетворяет условиям
1, 2, 3 и по теореме Кервера она изоморфна группе некоторого трёхмер-
трёхмерного узла. По существу, это отрицательный результат. Он означает, что
с ростом размерности группы все хуже различают узлы — узлов стано-
становится больше, а класс групп не меняется.
Вместо того, чтобы увеличивать размерность, можно расширить ас-
ассортимент заузливаемых многообразий. В одномерном случае единствен-
единственное компактное связное замкнутое многообразие — это окружность.
В размерности 2 имеется счетная серия —сферы с ручками. Напомним,
218 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
что число ручек называют родом поверхности. Поверхность рода д обозна-
обозначим 8д. Заузленной поверхностью будем называть непрерывное (гладкое)
вложение 5^ —> К4, а группой заузленной поверхности — фундаменталь-
фундаментальную группу дополнения к образу этого вложения. Как и для узлов, эту
группу С можно задать соотношениями вида D.31). Снова С удовлетво-
удовлетворяет свойствам 1 и 2, однако свойство 3 уже не имеет места. Более того,
как доказал Гордон [15],
Н2С может быть произвольной конечно порождённой абелевой
группой.
В качестве промежуточного результата он установил следующее:
конечно определённая группа С изоморфна группе заузленной поверх-
поверхности тогда и только тогда, когда она имеет конечное копредстав-
ление вида D.31), в котором все образующие сопряжены.
Гордон не выделил это утверждение в качестве теоремы. Видимо по
этой причине оно осталось незамеченным. Десять лет спустя независимо
друг от друга Куликов [42], а также Гилберт и Хауви [14] опубликовали
свои доказательства этого же результата.
Следуя Куликову, группу, которая может быть задана определяющи-
определяющими соотношениями вида D.31), будем называть С-группой (по первой
букве слова «согуи^аИоп»). Назовём С-группу неприводимой, если в её
копредставлении все образующие сопряжены. Это эквивалентно тому, что
Саъ = 2.
Если заузливать многообразия размерности > 2, то новых групп не
появится. Подробнее, пусть Мп — некоторое п-мерное компактное ориен-
ориентируемое связное многообразие (коре). Рассмотрим его вложение в Кп+2,
и пусть С — фундаментальная группа дополнения к образу. Тогда, как
и во всех предыдущих случаях, С — конечно определённая неприводимая
С-группа. Но тогда её можно реализовать, заузливая поверхность. Подво-
Подводя итог, можно сказать, что узлы и некоторые их обобщения определяют
четыре класса групп:
• группы обычных (одномерных) узлов;
• группы двумерных узлов;
• группы трехмерных узлов;
• группы заузленных поверхностей.
Алгебраическая характеризация первых двух классов неизвестна. Ха-
рактеризацию третьего дает теорема Кервера. Группы, принадлежащие
§6. Группы заузленных поверхностей 219
четвертому классу описываются как конечно определённые неприводи-
неприводимые С-труппы. В последнем случае есть, однако, некоторое неудобство.
Если имеется абстрактная группа, то иногда отнюдь не просто сказать,
может ли она быть задана соотношениями вида D.31). Рассмотрим, на-
например, группу
Сп = (д,а,Ь\ аЪ = Ьа,ап = Ьп = 1,д~гад = Ь,д~1Ьд = аЬ'1). D.32)
Легко видеть, что она порождается классом сопряжённости элемента д
и Сп/Сп = (д) — бесконечная циклическая группа. Будет ли С неприво-
неприводимой С-группой? Забегая вперёд, приведём ответ: «да», если п нечётно,
и «нет», если п четно.
Автор получил характеризацию неприводимых С-групп, которая ис-
использует (как и теорема Кервера) группу Н2С [39]. Тем самым, инфор-
информация о гомологиях даёт возможность сделать вывод о характере опре-
определяющих соотношений. Это тем более неожиданно, что для заузленной
поверхности группа ЩС может быть любой конечно порождённой абеле-
вой группой. Мы дадим краткое изложение этих результатов.
Наше первое замечание касается соотношений, которые можно ис-
использовать при задании С-групп. Очевидно, допустимы соотношения ви-
вида ХкХ^х^1 — Хг (их можно переписать в виде х^х^х^ — х^). Более
того, допустимы соотношения гю~1х^гю — Х{, где ги — произвольное слово
от образующих. Действительно, пусть уо — иу. Введём дополнительный
образующий элемент х, два соотношения и~1х^и — х, у~1ху — Хг и уда-
удалим соотношение уо~1х^уо — Хг. Очевидно, исходная группа не изменится.
Продолжая этот процесс измельчения, получим нужное копредставление.
Заданию группы С соотношениями С = (X \ К) соответствует эпи-
эпиморфизм /: Р —> С, где .Р —свободная группа с множеством свободных
образующих X. Всегда можно предполагать, что /(х^ ф /(^) при % ф
Ф 2. Если это не так, то удалим х^ из системы образующих, предвари-
предварительно заменив его на Хг во всех определяющих соотношениях. Итак,
пусть отображение / инъективно на X. Удобно считать, что X С С и со-
соотношения выписаны для элементов группы С. Если С — неприводимая
С-группа, то все элементы множества X сопряжены между собой. По-
Покажем, что существует копредставление, в котором X — полный класс
сопряжённых элементов, а определяющие соотношения — это все соотно-
соотношения вида х^х^хь = Хг {х^х^х^ € X), выполненные в группе С. Такое
копредставление будем называть полным. Пусть х^х^ Е X и х^х^х^ —
— х. Если х — Хг Е X, но этого соотношения нет в множестве определя-
определяющих соотношений К, то добавим его к К. Если же х ^ X, то добавим
220 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
и новый образующий х и соотношение. Чтобы получить полное копред-
ставление, осталось провести стандартное рассуждение, использующее
лемму Цорна.
Пусть Сг — (Хг \ Яг) (г = 1,2) — полные копредставления. Гомомор-
Гомоморфизм /: С\ —> С<2 назовём С-гомоморфизмом, если /(Х\) С Х%. Из опре-
определений следует, что / — изоморфизм тогда и только тогда, когда / опре-
определяет биекцию Х\ <-> Хг.
Укажем простой и в то же время универсальный способ построе-
построения неприводимых С-групп. Исходным материалом будут служить па-
пары (С, У), где С —группа, которая порождается классом сопряжённых
элементов У С С. Паре (С, У) сопоставим неприводимую С-группу С* —
= (С, У)* —её универсальное С-накрытие. По определению С* поро-
порождается множеством X — {хд \ д Е У}, то есть образующие индексиру-
индексируются элементами д Е У. Соотношения группы С* копируют соотношения
сопряжённости в У:
«
С* = (X \ х^1хдхн = хн-1дН\ д,кеУ).
Отображение хд —> д продолжается до эпиморфизма а: С* —> С. Легко
видеть, что С* — наименьшая С-группа, которая эпиморфно отображает-
отображается на С. Точнее, а обладает следующим универсальным свойством. Если
Н = (Т | Я) — полное копредставление некоторой С-группы и /: Н —>
—> С — гомоморфизм такой, что /(Г) С У, то существует единственный
С-гомоморфизм /*: Н —> С* такой, что / — композиция /* и а. Для до-
доказательства надо определить /* на образующих I € Т единственным
возможным способом: /*B) — #/(г)-
Как следует из определений, универсальное С-накрытие пары (С*,Х)
изоморфно группе С*. В этом смысле (С*)* — С*. Очевидно также, что
С — неприводимая С-группа в том и только том случае, когда для некото-
некоторого выбора класса сопряжённых элементов У отображение а: С* —> С —
изоморфизм.
Лемма 6.1. Пусть ю Е С* и хд Е X. Тогда гю~1хдуо — х
Доказательство. При гю — х^ получается определяющее соотношение
группы С*. Далее можно использовать очевидную индукцию по длине
слова уо. □
Рассмотрим частный случай, когда а{гю) — 1. Из леммы следует, что ги
лежит в центре 2(С*), то есть С* — центральное расширение группы С.
Более того, из леммы вытекает следующее свойство этого расширения.
Следствие 6.2. уо е 2(С*) <=> а(ю) е 2(С).
§6. Группы заузленных поверхностей 221
Следующая лемма устанавливает связь между С-группами и универ-
универсальным центральным расширением D.30).
Лемма 6.3. Пусть группа О порождается классом сопряжённости
некоторого элемента д и пусть Саь — бесконечная циклическая груп-
группа. Тогда универсальное центральное расширение С является непри-
неприводимой С-группой. Точнее, если X — класс сопряжённости прообраза
элемента д} то С = (С, X)*.
Доказательство. По предложению 5.11 группа С порождается мно-
жеством X. Рассмотрим универсальное С-накрытие С* — (С, X)* и есте-
^^ч ^^ч
ственный эпиморфизм а: С* —* С. Надо доказать, что Кегсг — 1. Пусть
^^ч ^^ч,
А — полный прообраз в С* центральной подгруппы Н^С С С. По след-
следствию 6.2 А лежит в центре, то есть С* — центральное расширение груп-
группы С. Так как С — универсальное центральное расширение, то существу-
существует гомоморфизм <р: С —> С*, действующий тождественно в факторгруппе
С. Рассмотрим композицию / отображений а и ср. Очевидно, / — эндо-
эндоморфизм группы С*, тождественно действующий в С. Так как А содер-
содержится в коммутанте, то по следствию 5.8 / действует тождественно на А,
в частности, на Кегсг С А. Отсюда ясно, что Кегсг — 1. □
Сформулируем теперь наш основной результат. Пусть С — произволь-
произвольная группа. Для любых коммутирующих элементов д,к € С определим
элемент д АН Е Н2С. Это можно сделать несколькими эквивалентными
способами. Используем, например, универсальное центральное расшире-
ние С. По определению дАк— \д, /г], где §,11 е С — прообразы элементов
д и к в группе С. Поскольку расширение центрально, этот коммутатор
не зависит от выбора прообразов. Нетрудно доказать, что в стандарт-
стандартном комплексе д Ак представляется двумерным циклом (д, к) - {к,д). Из
свойств коммутаторов следует, что
дАд = 0, дАк——кАд, дА (/11/12) — дАк\+дАк2, дАк~1 — —дАк.
Обозначим С(д) централизатор элемента д. При фиксированном д эле-
элементы вида дАк, где к Е С(д), образуют подгруппу в Н^С Она является
образом группы С(д)аь при гомоморфизме, который индуцирован отобра-
отображением к —> д А к.
Теорема 6.4. Группа С является неприводимой С-группой тогда и
только тогда, когда существует элемент д € С такой, что
О) С порождается классом сопряжённости элемента д;
222 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
00 Саь — бесконечная циклическая группа;
(ш) Н^С состоит из элементов вида д Л Н, где Н е С(д).
Доказательство. Предположим сначала, что условия A)—A11) выпол-
выполнены. Рассмотрим универсальное центральное расширение С, и пусть
X — класс сопряжённости некоторого прообраза # е С элемента д. По
лемме 6.3 С — (С, X)* — неприводимая С-группа. По условию ядро рас-
расширения С состоит из коммутаторов \д, /г], где Н € С(д), Н — прообраз Н
в С. Это означает, что группу С можно получить из С-группы С, вводя
дополнительные соотношения
Н~1дН = д (НеС(д)). D.33)
Но # Е X, а элемент Н можно записать в виде некоторого слова от
образующих Хг € X. Как мы знаем, такие соотношения допустимы при
задании С-групп. Отметим, что если группа С конечно определена, то
группа Н^С конечно порождена, и тогда С получается из С введением
конечного числа соотношений D.33).
Пусть наоборот, О — неприводимая С-группа. Рассмотрим её полное
задание С — (X \ К) и пусть д € X. Свойства @ и (и) очевидны. Докажем
свойство A11). Надо доказать, что факторгруппа Н2С/(д АН) (Не С(д))
тривиальна, то есть, что, вводя в С соотношения D.33), мы получим груп-
группу С. В любом случае мы получим некоторую неприводимую С-группу С.
Пусть ~д — образ элемента <? в С. Тогда С имеет полное копредставление
(X \ Н), где X — класс сопряжённости элемента ~д, а К—все соотно-
соотношения сопряжения между элементами из X. Естественное отображение
/: С —> С является С-гомоморфизмом, поэтому, чтобы доказать, что / —
изоморфизм, достаточно проверить, что / индуцирует взаимно однознач-
однозначное соответствие классов сопряжённости X —> X. Это эквивалентно то-
тому, что / индуцирует взаимно однозначное соответствие между классами
смежности С по С(~д) и С по С(д). Так как Кег/ С СG/), это, в свою
очередь, означает, что / индуцирует эпиморфизм С(р) —> С(д). Пусть Н €
€ С(д). Тогда любой прообраз элемента Н в С принадлежит СG/) просто
по той причине, что мы определили С как факторгруппу группы С по
соотношениям D.33). Теорема полностью доказана. □
Упражнения
I. Пусть неприводимая С-группа С задана копредставлением
С=(Х\Я), теХс = Х.
§ 7. Примеры неприводимых С" групп 223
Нормальную подгруппу N С С назовём С-нормальной, если естественное
отображение С —> С/ТУ является С-эпиморфизмом. Это означает, что если
X — образ множества X в С/ТУ, то С/ТУ задаётся образующими X и со-
соотношениями сопряжения между элементами из X, которые выполнены
в группе С/N. Фиксируем элемент д € X и положим X' = {[#,Л] | к €
€ С}. Докажите, что
(О подгруппа ТУ С-нормальна тогда и только тогда, когда N совпадает
с нормальным замыканием множества А/" П Х'\
(и) если УУо — нормальное замыкание множества ТУ Г) X' (наибольшая
С-нормальная подгруппа, содержащаяся в ТУ), то N/N0 — централь-
центральный фактор.
2. Пусть С—центральное расширение неприводимой С-группы С. Докажи-
Докажите, что С в том и только том случае является неприводимой С-группой,
когда естественное отображение С —> С индуцирует изоморфизм Саь —
— &аь- (Указание: по лемме 6.3 универсальное центральное расширение
С группы С является неприводимой С-группой; по теореме 6.4 ядро ЩС
этого расширения состоит из коммутаторов определённого вида, а С мож-
но получить из С, приравняв к I часть из них.)
^■•^
3. Пусть ТУ — простая группа и ТУ — её универсальное центральное расши-
расширение. Докажите, что прямое произведение С = (г) х N — неприводимая
С-группа. (Указание: докажите, что С = С и используйте лемму 6.3.)
§ 7. Примеры неприводимых С-групп
Напомним, что строя примеры конечно определённых неприводимых
С-групп, мы получаем группы заузленных поверхностей. Докажем снача-
сначала нескольких лемм, облегчающих проверку условий теоремы 6.4, а затем
рассмотрим примеры.
Если группа С совпадает с нормальным замыканием элемента д € С,
то, очевидно, Саь — циклическая группа с образующим дС. Для разре-
разрешимых групп верно и обратное.
Лемма 7.1. Пусть С — разрешимая группа. Тогда О совпадает с нор-
нормальным замыканием элемента д в том и только том случае, когда
Саь — циклическая группа с образующим дС.
Доказательство. Лемма очевидна, если С —абелева группа. Пусть
С имеет ступень разрешимости / > 1 и пусть А — С^) — последний
224 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
нетривиальный член ряда коммутантов. Если N — нормальное замыкание
элемента д, то по индукции С — NА1 поэтому
С/ЛГ - NА/N - А/А П N
— абелева группа, следовательно, С' С ЛГ. Так как С порождается по
модулю С элементом д, отсюда следует, что С — N. □
В общем случае нет ничего похожего на лемму 7.1. Пусть, например,
Н — произвольная группа без кручения, совпадающая со своим комму-
коммутантом, и пусть С — (д) * Н — её свободное произведение с бесконечной
циклической группой. Тогда Саь = (#), однако, как доказал Клячко [23],
С не совпадает с нормальным замыканием никакого своего элемента.
Лемма 7.2. Пусть Саь ~ циклическая группа с образующим дС Тогда
элемент д — 1Е 2(#) действует сюръективно в С /С". Если к тому же
группа С конечно порождена, то действие д — 1 в С /С" биективно.
Доказательство. Очевидно, можно предполагать, что С" = 1. Тогда
для любых а, Ь Е С
{дпа,дтЬ} = [дп,Ь}[а, дт\ = Ь^а*"-1 = с*
где с Е С. Отсюда видно, что С состоит из элементов вида с9~1, где
(с € С). Если группа О конечно порождена, то С — конечно порождён-
порождённый модуль над нётеровым кольцом 2(д). Пусть / — эндоморфизм этого
модуля, определённый действием д—1. Если Кег / ф 0, то, поскольку / —
эпиморфизм, цепочка подмодулей
Кег/ С Кег/2 С • • • С Кег/п С ...
строго возрастает. Это противоречит нётеровости модуля С. □
Следствие 7.3. Если С — неприводимая С-группа, то С /С" не может
быть циклической группой чётного порядка.
Действительно, если С /С" — циклическая группа чётного порядка с об-
образующим а, то а9 — а*\ где к € 2, к нечётно. Тогда ад~1 — ак~1, но
возведение в чётную степень не будет отображением «на». □
Лемма 7.4. Пусть группа С конечно порождена и Саь — бесконечная
циклическая группа. Тогда вложение С —* С индуцирует изоморфизм
Н2С ®о 2 = Н2С.
§7. Примеры неприводимых С" групп 225
Доказательство. По условию С = (д)С — полупрямое произведение
бесконечной циклической группы и коммутанта. Можно представлять се-
себе С как 1-^Ы-расширение с проходной буквой д и базовой группой С\
в котором ассоциированные подгруппы совпадают с С. Действие д на С
индуцирует на группе НпС структуру 2(#)-модуля. Пусть ап: НпС —*
—> НпС — эндоморфизм, определяемый умножением на д—1. В § 2.4 была
выписана длинная точная последовательность для гомологии ЬШЫ-рас-
ширения. В нашем случае получается следующее описание группы Н2С
с помощью короткой точной последовательности
О -> Сокегс^ -> Н2С -> Кегаг -> 0.
Так как Н\С' = С /С", а по лемме 7.2 д—1 действует на С /О" биективно,
то Кега1 = 0. В то же время, Сокега2 — это максимальный фактормодуль
модуля ЩС, на котором д действует тривиально, то есть ЩС ®с 2 =
^Н2С. □
Замечание. Используя леммы 7:1, 7.2 и 7.4 полезно иметь ввиду, что, ес-
если Л/"оС, С/Ы — циклическая группа с образующим дМ и д — 1 действует
сюръективно в ЛГа^, то N = С.
Действительно, так как N ^С Э Л/"', можно предполагать, что группа
ЛГ абелева. Тогда по условию для любого а Е N существует элемент с Е N
такой, что а = с9~1 = [с,р] € С, откуда N = С □.
Неприводимые С-группы естественно изучать в зависимости от
свойств коммутанта. Следующая характеризация неприводимых С-групп
с абелевым коммутантом была получена в работе автора [38].
Теорема 7.5. Пусть С — конечно порождённая метабелева группа.
Тогда следующие условия эквивалентны
1. О — неприводимая С-группа;
2. Саь — бесконечная циклическая группа и Н2О = 0;
3. С = (д)М — полупрямое произведение бесконечной циклической
группы (д) и абелева нормального делителя М, причем д—1 дей-
действует сюръективно в М и М А М.
Отметим, что в формулировке этой теоремы имеется в виду, что д дей-
действует во внешнем произведении МАМ диагонально, то есть
А гп2)(д — 1) = т\д А гп2д — т\ А гп2 (шх, Ш2 €Е М).
Доказательство. Пусть С —конечно порождённая метабелева груп-
группа. Чтобы доказать импликацию 1 => 2, достаточно проверить, что если
8 - 2532
226 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
С — неприводимая С-группа, то Н2С — 0. По лемме 7.2 д — 1 действует
биективно в С, следовательно, если а ф 1, а € С, то [а, д] — ад~1 ф 1. Это
означает, что С(д) — (д). Так как д А д = 0, то, применяя теорему 6.4,
имеем Н2С = 0. Импликация 2 =^ 1 вытекает из леммы 7.1 и теоре-
теоремы 6.4. Проверим, что 2 =Ф> 3. Если выполнено условие 2, то С = (д)М,
где М = С и по лемме 7.2 р— 1 действует на М биективно. По лемме 7.4
Н2С ^ Н2М ®{д) 2,^ (МАМ) ®{д) Ъ.
Так как Я2С = 0, это означает сюръективность действия д — 1 иг МАМ.
Импликация 3 => 2 получается из леммы 7.4 и замечания после этой
леммы. □
Пример 7.6. Пусть группа Сп задана копредставлением D.32)
Сп — (д, а, Ь | аЬ — Ьа, ап — Ьп — 1,д~1ад = Ь,д~1Ъд = 1
Тогда Сп является неприводимой С-группой в том и только том слу-
случае, когда п нечётно.
Очевидно, Сп — (д)М, где М — свободный 2п-модуль с образующими а
и Ь. Эндоморфизм, который индуцирует на М элемент д — 1, задаётся
матрицей
' -1 1
1 -2
имеющей определитель 1. Модуль МАМ порождается элементом аАЬ и,
как легко проверить, на него д—1 действует как умножение на —2. Для
получения нужного результата остаётся применить теорему 7.5. □
Другие примеры С-групп с абелевым коммутантом можно найти в ра-
работе [38]. Там же указана неприводимая С-группа С такая, что О" лежит
в центре, но Н2С ф 0.
Рассмотрим теперь пример, связанный с матричными группами. Пусть
Р8Ь(п, д) — проективная специальная линейная группа над полем из д
элементов. Напомним, что она определяется как факторгруппа специ-
специальной линейной группы 8Ь{п,д) по подгруппе скалярных матриц. Если
(п,д) ф B,2), B,3), то, как известно, Р8Ь(п, д) — простая группа. Если
к тому же (п,д) ф B,4), B,9), C,2), C,4), D,2), то группа 8Ь(п,д)-её
универсальное центральное расширение [16, табл.4.1].
Предложение 7.7. Прямое произведение С — (г) х Р8Ь(п,д), за ис-
исключением семи случаев, перечисленных выше, является неприводимой
С-группой.
§7. Примеры неприводимых С" групп
227
Доказательство. Пусть для краткости N — Р8Ь{п,д). Рассмотрим
образ х в группе N следующей матрицы у € 8Ь(п, д)
' 0
1
0
0 ...
0 ...
1 ...
0 (
0
0
—1)
0
0
О О
1
О
Так как группа N проста, С совпадает с нормальным замыканием
элемента д — 1х. Проверим, что Н2С состоит из элементов вида д/\к, где
к € С(д). Группа {г) действует на N тривиально, поэтому из леммы 7.4
следует, что ЩС = Н^. Очевидно также, что Сс{д) — I х Сдг(ж). Так
как для г Е С^{х) 1х/\1г — хЛг, то нам достаточно проверить, что Н2N
исчерпывается элементами х Л г. Группа Н^ естественно отождествля-
отождествляется с ядром отображения N —> N. то есть с группой скалярных матриц
аЕ с определителем 1. Пусть г ё С^(ж) и уо — матрица, являющаяся про-
прообразом элемента г в группе N. Тогда х Л г = [у, го]. Надо доказать, что,
меняя г, мы получим все скалярные матрицы с определителем 1. Пусть
Рд — основное поле. Достаточно найти матрицу ъи такую, что [у, уо\ = аЕ,
где а — первообразный корень из 1 степени й = (п,^— 1). Рассмотрим
эквивалентное равенство
ууо — ауоу. D.34)
Пусть и) — диагональная матрица с элементами ап~1^ап~2^..., 1 по диа-
диагонали. Легко проверить, что тогда равенство D.34) выполнено. Если п
нечётно, то Ае1{уо) — ап(п~1^2 — 1 и -ш — искомая матрица. То же самое
верно, если характеристика поля равна 2. Пусть п четно, д — нечётно,
и т = п/Л. Если т четно, то АеЦ<ш) - (а71/2O1 - (а<*)(т/2)(п-1) = 1
и снова диагональная матрица даёт решение. Предположим, что т нечёт-
нечётно. Тогда 6в\,{ь)) = (а"/2)^) = (а^/2)т(^) = -1. Пусть / = (д - 1)/±
Если / четно, то а — Ь2, где Ь € Рд. Заменив ги на Ъги, мы не нарушим
равенство D.34), но теперь уже Ае1{Ьгю) — —Ьп — —а^2^ — 1. Рассмотрим
случай, когда / нечётно, то есть а не является квадратом в Рд.
Легко проверить, что любая матрица вида
со
— Сп_1
-Сп-2
С1
со
-Сп-1
С2
С1
со
сз
с2
СП-1
СП-2
сп_з
\
-с\
-Сп-1
С0
D.35)
228 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
где со,С1,... ,сп_1 Е ^, перестановочна с у, поэтому, заменяя гю на
мы не нарушим равенство D.34). Если доказать, что существуют эле-
элементы со,С1,... ,сп-1 е Рд такие, что АеЦс) = —1, то гис будет искомой
матрицей.
Доказательство распадается на два случая. Предположим сначала,
что т = 1, то есть, что п = А делит # — 1. Так как а не является
квадратом в поле Рд, квадратичное расширение Рд2 состоит из элементов
вида а + /?Ь, где а,/? Е Рд, Ь2 = а. Поскольку а — первообразный корень
степени п из 1, поле ^2 содержит все корни п-й степени из —1
Ь\ = Ь, &2 = Ьа,..., Ьп = Ьап~г.
Непосредственно проверяется, что векторы
= A, ЬЛ, Ь|,..., ЩГ1) (к = 1,..., п)
— собственные векторы матрицы с, соответствующие собственным значе
ниям
Л = с0
Так как эти векторы линейно независимы, отсюда следует, что матрица с
диагонализируема над Рд2, поэтому
п
к=1
Вектор щ можно представить в виде ад = у^ + Ь^ю^, где координаты
векторов
= (со, 0, с2Ъ\, 0,..., сп_2Ь^~2,0),
Ь)к = @, СЬ 0, СзЬ^, . . . , 0, Сп_1^~2
уже принадлежат полю Ря. Корни чётной степени п из — 1 встреча-
встречаются парами ±Ъь. Каждой такой паре соответствует двумерное над Рд
инвариантное подпространство, порождённое векторами у^уо^. Векторы
г>1, г«;1,..., уп/2ч ^п/2 образуют базис, в котором матрица с распадается на
блоки размера 2x2
§7. Примеры неприводимых С" групп 229
Здесь ак + Ьфк = Аь то есть
Н
Отсюда получается выражение для определителя, использующее только
элементы поля Рд
п/2
к=1
Легко видеть, что матрица коэффициентов, с помощью которых элементы
#1, /?1,..., ап/2, /?п/2 выражаются через со,..., сп_ь невырождена, поэто-
поэтому эти элементы независимо пробегают поле Рд. Доказательство (в слу-
случае т — 1) будет закончено, если мы покажем, что для любого фик-
фиксированного ненулевого элемента е Е Рд квадратичная форма х2 + ех\
принимает в Рд все значения. Беря Х2 = 0, получим все квадраты по-
поля Рд. Если е не является квадратом в Рд, то при х\ = 0 получаются
все элементы из Р* \ (РдJ. Пусть е € (РдJ. После очевидной замены
дело сводится к форме х\ + х\. Если для всех х\,хъ € Рд х2 + х\ —
квадрат в поле Рд, то множество всех квадратов (вместе с нулём) обра-
образуют подполе, содержащее (# + 1)/2 элементов. Это невозможно, так как
# и (# + 1)/2 взаимно просты. Итак, х\ + х\^ (РдJ для некоторой пары
(#ъ#2)- Пропорциональные пары дадут все остальные элементы смежно-
смежного класса Р* \ (РдJ.
Пусть теперь т — произвольное нечётное число. Как и раньше,
(I — (п, # — 1). Мы уже доказали, что существуют элементы Сд,..., с/а_1 €
Е ^ такие, что определитель их й матрицы с' вида D.35) равен —1. По-
Положим со = с[), ст — с?1,..., с^_!)т = с^_х и С( = 0 при г 7^ 0 той т @ ^
^ г ^ п — 1). Несложная выкладка показывает, что для соответствующей
п х п матрицы с
лР+(г\ — ГНр+ГгЛ'!771 — Г—Лт — —1
На этом заканчивается доказательство предложения 7.7.
Различные примеры С-групп рассмотрены в работе [58]. С некоторы-
некоторыми другими геометрическими свойствами С-групп можно познакомиться
по работам [43, 44]. Там же имеются дополнительные ссылки.
230 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Упражнения
1. Пусть М — конечномерное пространство над полем Ър и / — его невыро-
невырожденное линейное преобразование. Рассмотрим полупрямое произведение
С = (д}Му в котором д действует на М, как линейное преобразование /.
Докажите, что группа С будет неприводимой С-группой в том и только
том случае, когда собственные значения Л^ преобразования / в алгебраи-
алгебраическом замыкании поля Ър удовлетворяют условиям
(Указание: именно эти условия гарантируют, что д — 1 индуцирует на М
и М Л М невырожденные линейные преобразования.)
2. Пусть неприводимые С-группы С\ и С2 заданы своими копредставлениями
= (Хг\Ег) (г = 1,2), где X?* = X,. D.36)
Докажите, что группа С, которую мы будем обозначать С\ х с<?2> с мно-
множеством образующих
€ Х2}
и определяющими соотношениями
является прямым произведением в категории неприводимых С-групп и
С-гомоморфизмов. (Указание: проекции (иа,ур) —>• иа и (иа,Ур) —> у@
определяют эпиморфизмы щ: С —> С», для которых выполнено соответ-
соответствующее универсальное свойство.)
3. Пусть С = {уо,а\уо~1ауо = а~1,а? = 1). Из теоремы 7.5 следует, что С —
неприводимая С-группа с множеством С-образующих X = {ги,гш, эда2}.
Рассмотрим прямое произведение С х ^С в категории неприводимых
С-групп. Покажите, что (С х с О)' ^С'х С. (Указание: С = 2з в то вре-
время как (С х с*?)' — нильпотентная группа класса 2: расширение 2з х
с помощью ^з
4. Пусть неприводимые С-группы Сп и (?2 заданы копредставлениями D.36).
Фиксируем элементы и € Х\ н у € Х2. Свободным произведением
С\ *с С2 в категории неприводимых С-групп назовём факторгруппу обыч-
обычного свободного произведения С\ * С2 по соотношению и = у. Проверь-
Проверьте универсальное свойство этого произведения, которое, с точностью до
С-изоморфизма, не зависит от выбора элементов и € Х\,у € Х2.
§8. Группы вида Г/[Г,&] 231
§8. Группы вида Р/[Р,М']
Как мы знаем, в свободном абелевом расширении произвольной груп-
группы нет кручения (см. §6 гл. 3). В то же время в свободных центральных
расширениях могут появляться элементы произвольного конечного поряд-
порядка. Действительно, пусть С — прямое произведение бесконечной цикличе-
циклической группы Ъ и циклической группы Ъп порядка п. Тогда ЩС = Ъп, что
легко следует из формулы Хопфа. Группы гомологии свободного произве-
произведения изоморфны прямой сумме групп гомологии сомножителей. Отсюда
следует, что Н^С может быть произвольной конечно порождённой абе-
левой группой. Остаётся вспомнить, что ядро свободного центрального
расширения группы С содержит Н^С.
Попробуем скомбинировать две эти конструкции, рассматривая сво-
свободные центральные расширения свободных абелевых расширений.
Элементы каких порядков здесь возможны? Ответ оказался достаточно
неожиданным [34].
Теорема 8.1. Пусть С = Р/И — непредставление произвольной группы
С. Рассмотрим свободное абелево расширение Ф = Р/И' и его свобод-
свободное центральное расширение Ф** = Р/[Р,М']. Тогда любой неединичный
элемент группы Ф$ имеет либо бесконечный порядок, либо порядок 2,
либо порядок 4.
Доказательство. Группа Ф' разбивается на три этажа. Верхний — это
группа С = -Р/ЛГ, затем — её модуль соотношений М = ЛГ/ЛГ', причём
Ф = р/№ не имеет кручения, и наконец, нижний этаж — центральная
подгруппа Ы'/[Р^И'} = #2Ф. Опишем нижний этаж в терминах модуля
соотношений.
Лемма 8.2. Имеет место изоморфизм И'/\Р, №] = (М Л М) ®с Ъ, при
котором коммутатор [ж, у] переходит в х /\ у ® 1 (х,у — прообразы
элементов х,у € М в М/[Р,Л/7]).
Доказательство. При N = Р' утверждение леммы превращается
в изоморфизм D.16). Аналогично и её доказательство. Докажем сначала,
что Л^'/[Л^ ТУ7] = МАМ. Действительно, в нильпотентной группе класса 2
ЛГ/[Л/", ТУ'] коммутатор билинеен, кососимметричен и зависит лишь от
смежного класса той ./V7, поэтому определён гомоморфизм
Выберем элементы щ Е ^/[ЛГ, Л/7], образы которых в абелевой груп-
группе М = Л/уЛ/7 являются её системой свободных образующих. Так как
232 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
,Л/"']—свободная нильпотентная группа класса 2, коммутаторы
[щ,^] (г > ^) — это база группы -ЛГ'/^-Л/7]. Их образы во внешнем про-
произведении М Л М линейно независимы, следовательно, / — изоморфизм.
Переход от Л/7/[ТУ, ТУ'] к ТУ'/[/% Л/"'] эквивалентен тривиализации
С-модуля ЛГ'/[АГ, ТУ7]. После применения / это означает переход от МАМ
к (МАМ) ®с 2. □
Доказательство теоремы 8.1 сводится, таким образом, к описанию эле-
элементов конечного порядка группы (М Л М) ®с 2. Для этого естественно
использовать вложение Магнуса модуля соотношений М в свободный
С-модуль Р (теорема 6.4). Напомним, что имеет место точная последо-
последовательность
0->М-+Р->Д^0, D.37)
где Д = Ас — фундаментальный идеал кольца ЪС. Тем самым, имеется
индуцированное отображение М А М —> Р А Р. Удобнее однако исполь-
использовать вложение М А М —> Р ® М, при котором т\ А Ш2 (гаь гаг € М)
переходит в т\ (8>Ш2 — гп2®т\. Докажем, что это действительно вложе-
вложение. Аддитивная группа модуля Р представляется в виде прямой суммы
МфД, поэтому Р®М= (М (8) М) © (Д ® М) и достаточно проверить,
что отображение аи: М А М -> М ® М будет вложением. Его компози-
композиция с естественным отображением М ® М -* М А М переводит Ш1 Л Ш2
в 2ш1 Л Ш2 (гах,т2 Е М). Но М Л М — свободная абелева группа (так
как М — свободная абелева группа), поэтому умножение на 2 —моно-
—мономорфизм. Отсюда следует, что и ядро отображения аИ тривиально. Его
коядро изоморфно (МоМ)ф(Д®М), где о означает симметрическое про-
произведение (га1ош2 = ГП2ОГП1). Допуская некоторую вольность, обозначим
это коядро Р о М. Из прямого разложения
Р о Р ^ (М о М) © (М ® Д) ф (Д о Д)
следует, что естественное отображение Р о М —> Р о Р является вложе-
вложением, а его коядро изоморфно Д о Д.
Мы построили две точные последовательности
0->МЛМ->Р®М->РоМ-.0 D.38)
0->РоМ-»РоР->ДоД->0. D.39)
Если их срастить (взять произведение Ионеды), то получится точная по-
последовательность
0->МЛМ->Р(8>М->РоР-+ДоД->0. D.40)
§8. Группы вида Р/[Г,М'] 233
Все участвующие в ней абелевы группы — это С-модули относительно
диагонального действия группы С, а все отображения — гомоморфизмы
С-модулей.
Теперь понятно как действовать дальше. Надо домножить D.40) тен-
зорно на 2 (над С) и, используя длинные точные последовательности
групп гомологии, двигаться слева направо от группы (М/\М)®сЪ к функ-
функторам от более простого C-модуля Д о Д.
Средний член последовательности D.38) — это свободный С-модуль.
Действительно, Р®М можно представить в виде прямой суммы модулей
вида ЪС ® М. Но это свободные модули, так как они индуцированы со
свободной абелевой группы М. Сдвигая размерность, имеем
Кег ((М ЛМHС2-^(Р®М) ®с 2) ^ Нг(С, Р о М).
Так как (Р®М)®с 2 —свободная абелева группа, то для доказательства
теоремы нам достаточно убедиться, что группа Н\{С,РоМ) имеет конеч-
конечную экспоненту, которая делит 4. Домножим последовательность D.39)
тензорно на 2 и выпишем интересующую нас часть длинной точной по-
последовательности групп гомологии
> Н2(С, Д о Д) -> Щ (С, Р о М) -> #1 (С, Р о Р) -> ...
Достаточно доказать, что группы Н\(С,РоР) и Я2(С, ДоД) аннулируют-
аннулируются умножением на 2, то есть экспонента 4 возникает благодаря равенству
2x2 = 4.
Пусть Яг — циклический подмодуль модуля Р, порождённый свобод-
свободным образующим вг. Тогда РоР распадается в прямую сумму подмодулей
К{ о Яг и Кг <8> Щ, где г > ^ (последние соответствуют линейным комби-
комбинациям элементов е^ о е^д' (д,д' € С)). Очевидно, Кг (8) К^ —свободный
С-модуль со свободными образующими вгд®е^ (д € С, г > ]). Опишем
строение Кг о Кг.
Лемма 8.3. Пусть К = ЪС — свободный циклический модуль. Тогда
Ко К разлагается в прямую сумму свободного С-модуля и индуциро-
индуцированных модулей вида 2 ®^ ЪС, где суммирование происходит по всем
циклическим подгруппам (д) С С порядка 2.
Доказательство. База В аддитивной группы С-модуля К о К состоит
из элементов вида дод', взятых по одному для каждой неупорядоченной
пары д,д' Е С. Очевидно, С действует на множестве В. Разбиению В
на орбиты Ва соответствует разложение модуля Ко К в прямую сумму
циклических подмодулей Са. В качестве образующего модуля Са можно
234 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
взять любой элемент д о д' е Ва. В частности, в каждой орбите можно
выбрать элемент вида до 1. Если стабилизатор 5 элемента до1 тривиа-
тривиален, то соответствующий циклический подмодуль Са свободен. В любом
случае Са = 2®# ЪС. Пусть к е 5, то есть дкоН — до1. Если к ф 1, то
/г = д и #/г — 1, следовательно, #2 — 1. Итак, 5^1 тогда и только тогда,
когда д — элемент порядка 2 и в этом случае 8 — (д) □.
Следствие 8.4. Пусть С — произвольная группа и Р — свободный
С-модуль. Тогда 2ЯП(С, Р о Р) = О при нечётном п и Нп(С, Р о Р) — 0
при чётном п > 0. Если в С нет элементов порядка 2, то РоР-
свободный С-модуль.
Действительно, мы доказали, что с точностью до свободного прямо-
прямого слагаемого модуль Р о Р изоморфен прямой сумме индуцированных
модулей 2 ®(у) ЪС, где д2 — 1. По предложению 2.2
а для циклической группы (д) порядка к Нп((д), 2) = 2^ при нечётном п
и Нп((д), 2) — 0 при чётном п > 0 П.
Теперь рассмотрим группу Н2(С, ДоД). Чтобы закончить доказатель-
доказательство теоремы 8.1, достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 8.5. Для любого чётного п > 0 2Нп(С, Д о Д) = 0.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
D.41)
Здесь первое отображение индуцированно вложением Д —> К, а второе
переводит г\ог2 в е(г1)г2+Г1б(г2). Очевидно, образ Ь последнего отобра-
отображения равен Д0 22 (прямая сумма абелевых групп), поэтому его коядро
изоморфно 22. Если п > 0 четно, то по следствию 8.4 Нп(С,Ко К) = 0,
поэтому домножив последовательность
тензорно на 2 над С, получим
> #П+1(С, Дой)-> ЯП+1(С, Ь) -> #П(С, Д о Д) -> 0.
В то же время из точной последовательности
следует, что #П+1(С, I,) = #П+2(С, 22), в частности, 2#П+1(С, ^) — 0. □
§8. Группы вида Г/[Р,М'] 235
Ситуация упрощается, если в группе нет элементов порядка 2. Тогда
симметрические произведения Ро Р и Ко К — это свободные С-модули.
Из D.40) следует, что ядро Г отображения
(М Л М) ®с 2 -» (Р ® М)
изоморфно Я2(С,Д о Д), а из D.41) —что эта группа изоморфна
#4(С, 22). Так как (Р ® М) ®с 2 — свободная абелева группа, то Т сов-
совпадает с периодической частью группы (М Л М) ®с 2 = М'/[Р, ЛГ'].
Следствие 8.6. Ясли С = ^/Л^ яе имеет элементов порядка 2, то
риодическая часть группы Ф^ = ^/[^, ЛГ'] содержится в её централь-
центральной подгруппе Ы'/[Р^1] и изоморфна Н/^С^Ъ^). В частности, любой
неединичный элемент имеет либо бесконечный порядок, либо поря-
порядок 2.
По теореме об универсальных коэффициентах
, 22) ^ #4(С, 2) (8) 22 0 Тог(Я3(С, 2), 22).
Существует много групп, для которых Н±{С, 22) ф 0, поэтому теорема 8.6
показывает, что элементы порядка 2 действительно возможны. Пример,
когда появляются и элементы порядка 4, будет приведён ниже.
Даёт ли следствие 8.6 описание периодической части группы Ф^? Ведь
вычислить четвёртую группу гомологии не так просто. Можно ответить
следующим образом. Формула
Нп(Сг * С2) - НпСг 0 НпС2 (п > 0)
даёт описание гомологии свободного произведения в предположении, что
у нас есть информация о сомножителях. Точно так же и в следствии 8.6.
Интересуясь группой Ф^ = Р/[Р,М'], мы предполагаем, что группа
С — Р/М нам известна.
На следствие 8.6 можно взглянуть иначе. Для абелевой группы А че-
через 1А будем обозначать её периодическую часть. Мы доказали (в пред-
предположении, что ъ С — Р/И нет элементов порядка 2), что
Эта формула является интерпретацией группы Я4(С, 22) сходной с фор-
формулой Хопфа
236 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Отметим также, что Л/7/^, ЛГ'] = #2(^7^'), поэтому 8.6 можно перепи-
переписать в следующем виде
Здесь просматривается сдвиг размерности, напоминающий теорему ре-
редукции Маклейна.
Пусть, например, N — Г1\ Тогда С = Р/И — Р/Р' — свободная абе-
лева группа Группа Ф = Р/Ы' = Р/Р" — свободная метабелева, а Ф^ =
= Р/[Р,№] — Р/[Р,Р"] называют свободной центрально-метабелевой
группой. Она свободна в классе групп, у которых факторгруппа по центру
метабелева. Легко видеть, что этот класс выделяется тождеством
, хъ] = 1. D.42)
Для свободной абелевой группы С
— четвёртая внешняя степень А4С над 22. Следовательно, если г — чис-
число свободных образующих, то периодическая часть группы Ф^ тривиальна
при г < 4 и является элементарной 2-группой ранга Су при г > 4. Впер-
Впервые этот результат был получен Кантой Гуптой [19] с помощью комбина-
комбинаторных методов, никак не использовавших гомологическую алгебру. Она
же указала явный вид слова, значения которого задают периодическую
часть
D.43)
где суммирование происходит по подстановкам а из подгруппы, поро-
порождённой циклом B,3,4) (первый индекс остаётся на месте).
Появление 2-кручения в группе, заданной тождеством D.42), было в
своё время сюрпризом. Дело в том, что свободные нильпотентные груп-
группы, свободные разрешимые группы и некоторые их обобщения кручения
не имеют. Более того, если, скажем, С —свободная разрешимая группа
и Сп — /2-й член её нижнего центрального ряда, то Сп/Сп+\ — свобод-
свободные абелевы группы и ПпСп = 1 [75]. Группы, обладающие этими двумя
свойствами называют магнусовыми. Какое-то время существовало пред-
предположение, что если класс групп задаётся полилинейным коммутатором,
то есть коммутаторным тождеством, в которое каждая переменная входит
§8. Группы вида Г/[Г,М'] 237
не более одного раза, то свободные группы этого класса являются маг-
нусовыми, в частности, не имеют кручения. Тождество D.42) оказалось
первым контрпримером.
Предположим, что группа С — Р/И свободна в классе групп, удовле-
удовлетворяющих полилинейному коммутаторному тождеству [ал,... ,жп] = 1
(с некоторой расстановкой скобок). Тогда Р/[Р, ЛГ;] определяется комму-
коммутатором
[[[ж1,...,а;п], [уь---» Уп]], А->
который также полилинеен. Следствие 8.6 показывает, что наличие
2-кручения в группах такого вида является скорее нормой, чем исклю-
исключением.
Вернёмся к формуле D.43) для слова г>, задающего подгруппу круче-
кручения Г - 1{Р"/[Р,Р"\) группы Фв = Р/\Р,Р"}. Отображение Л4(С) ->
—♦ Т можно вычислить сдвигая размерность, с помощью точных по-
последовательностей D.41) и D.40). Оказывается, внешнее произведение
91 ^92^93^94 элементов <7ъ#2,#з><74 €Е С переходит при этом в значение
слова V на их прообразах /11,/г2>^з>^4 € Ф^ (технические подробности
можно восстановить по работе [32]). Из этого факта и свойств внешнего
произведения теперь следует, что
значения в свободной центрально-метабелевой группе слова у, опре-
определённого равенством D.43), обладают следующими свойствами:
• они не меняются при перестановке аргументов;
• тривиальны, если два аргумента совпадают;
• определяют мультипликативную функцию каждого аргумента;
• зависят лишь от классов смежности по модулю нормального
делителя, порождённого квадратами.
Наиболее неожиданным здесь кажется первое свойство, поскольку
в правой части формулы D.43) первый аргумент играет особую роль.
Построим теперь пример, показывающий, что в теореме 8.1 нельзя ис-
исключить появление элементов порядка 4. Пусть С — прямое произведение
двух циклических групп порядка 2. Рассмотрим её копредставление С —
— Р/И, в котором Р имеет два свободных образующих х и у, а нормаль-
нормальная подгруппа N порождается элементами х2,у2 и [ж,у]. Тогда группа
фй — р/\р^М'\ свободна в классе групп, у которых коммутатор квадра-
квадратов любых двух элементов лежит в центре. Укажем причину появления
элементов порядка 4.
238 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
Предложение 8.7. Из тождества [[ж2, у2], г] — 1 следует тождество
Доказательство. Пусть з и I — образы элементов [ж,у] и у2 в модуле
соотношений М — Л^>- По лемме 8.2 нам достаточно доказать, что поря-
порядок элемента {з/\1)®1 € {М/\М)®СЪ делит 4. Для этого мы используем
отображение
(( 2,
индуцированное вложением Магнуса М —> Р (Р — свободный С-модуль
со свободными образующими е^ег). Доказывая теорему 8.1, мы выясни-
выяснили, что ядро отображения (М/\М)®СЪ —> (Р®М)®с2 — это подгруппа
кручения. В точной последовательности
все модули свободны, поэтому после тензорного домножения на любой
С-модуль, в частности, на тривиальный модуль 2, точность сохранится,
следовательно, отображение (Р (8> М) ®о 2 —> (Р ® Р) ®с 2 является
вложением. Рассмотрим сквозное отображение
(М Л М) ®о 2 -^ (Р Л Р) ®с 2 -> (Р ® Р) ®с 2
в свободную абелеву группу (Р ® Р) 0с 2. Из сказанного выше следует,
что ядро этой композиции — подгруппа кручения, поэтому нам достаточ-
достаточно проверить, что 2гу((з Л I) (8) 1) — 0. Пусть а и Ь — образы свободных
порождающих ж, у в группе С. При вложении Магнуса элемент 5 — [ж, у]
переходит в е\(Ь — 1) — в2(а — 1), а элемент 2 — в в2(Ь + 1), поэтому
и((з Л *) ® 1) - ЫЬ - 1) Л е2(Ь + 1)) ® 1 - (е2(а - 1) Л е2(Ь + 1)) ® 1.
Непосредственно проверяется, что первое слагаемое равно 0, а второе
преобразуется к виду (е2 Ае^аЬ) ® 1). То, что последний элемент аннули-
аннулируется умножением на 2 вытекает из следующей леммы.
Лемма 8.8. Пусть Н — произвольная группа и Л — некоторый Н-мо-
дуль Если т € А, с е Н и с2 — 1, то 2(га Л тс) ® 1 = 0 в (Л Л Л) ®я
Доказательство. Действительно,
(га Л гас) (8> 1 — (гас Л га) ® 1 о с — (гас Л га) (8) 1 = —(га Л гас) ® 1
Вернёмся к рассмотрению примера.
§8. Группы вида Р/[Р^'J39
Предложение 8.9. Образ элемента [[ж,?/],?/2] в группе Ф$ имеет
порядок 4.
Надо доказать, что 2((«Л<)®1) Ф О, где 5 — [х,у]М',1 — у2М'. Рассмотрим
проекцию модуля Р на второе слагаемое. Если /л — вложение Магнуса, то
тг/Дж2) = 0, тф(?/2) = 6 + 1, 7ф([ж, у]) = 1 - а.
Пусть / — идеал кольца 2С, порождённый элементами а — 1 и 6+1.
Отображение тг/л, индуцирует отображение
/: (М Л М) ®с 2 -> (/ Л /) ®а 2.
Достаточно доказать, что /(з Л I) имеет порядок 4. Из равенств
(Ь + 1N = 6+ 1, (а - 1)а = 1 - а,
(а - 1N = F + 1)а - (а - 1) - F + 1)
следует, что в качестве аддитивной базы идеала / можно взять элементы
6+ 1,а — 1, F+ 1)а (их линейная независимость в групповом кольце оче-
очевидна). Внешнее произведение / Л / — свободная абелева группа с базой
(а-
D.44)
Чтобы получить (I Л I) ®с 2 из I Л / надо ввести соотношения
Л ГП2 — ГП1 Л Ш2а, тхб Л т2 — тх Л га2б, где
(напомним, что а2 = Ь2 — 1). Так как в качестве т\,т2 достаточно брать
пары различных образующих 6 + 1,а — 1,F+ 1)а, то всего получается
6 соотношений. Рассмотрим, например, соотношение
(а - 1N Л F + 1) - (а - 1) Л F + 1N.
Поскольку F+1N — 6+1, правая часть равна с\. С учётом равенств D.44)
для левой части получается следующее выражение
F + 1)а Л F + 1) - (а - 1) Л F + 1) - F + 1) Л F + 1) - с2 - сь
то есть с\ — С2 — сь или с2 = 2с\. Рассматривая аналогично другие 5
соотношений, легко убедиться, что два из них тривиальны, два совпадают
240 Глава 4. Гомологии и функтор Тог
и имеют вид сз — —сь а последнее приводится к виду с2 = 2сз. В итоге
(/ Л /) (8>с 2 — абелева группа с образующими сь с2, сз и соотношениями
с2 — 2сь с3 —-сь с2 — 2с3.
Из этих равенств видно, что достаточно одного образующего сь первые
два соотношения лишние, а третье относительно С1 перепишется в виде
2с\ — — 2сь или 4с1 = 0. Мы доказали, что (/ Л /) (8>с 2 — циклическая
группа порядка 4 с образующим сь Остаётся заметить, что /(з Л I) —
= A- а) Л (Ы-1) = сь □
Теперь, не приводя доказательств, дадим описание периодической ча-
части групп вида Р/[Р,М'] без предположения, что группа С — Р/Ы не
содержит инволюций, то есть элементов порядка 2. Доказательства чи-
читатель может найти в работе [40]. Вместо изоморфизма 1(М' /\Р,М']) =
= Н±(С, 7л2)) появляется гомоморфизм
Его ядро состоит из линейных комбинаций циклов, которые в стандарт-
стандартном комплексе с коэффициентами в 22 имеют вид (Ь, Ь, Ь, 6), где Ь2 — 1
(достаточно брать по одному представителю из каждого класса сопряжён-
сопряжённых инволюций). Коядро вкладывается в группу (Р Л Р) ®с 2 и может
быть представлено в виде прямой суммы Т^®Т\. Первое прямое слагаемое
порождается элементами т Л тЬ, где т Е М С Р, Ь2 = 1. По лемме 8.8
такие элементы имеют порядок 2 или тривиальны. Второе слагаемое мож-
можно описать следующим образом. Рассмотрим группу 0С(Ь)/(С(Ь)J, где
С(Ь) — централизатор инволюции Ь, (С(Ь)J — его подгруппа, порождён-
порождённая квадратами, а прямая сумма берётся по представителям классов со-
сопряжённых инволюций. Если д € С(Ь), то элемент
О/, Ь, Ь) + (Ь, 5, Ь) +
стандартного комплекса с коэффициентами в 22 является циклом и опре-
определяет некоторый элемент группы Щ{С, 22). Возникает гомоморфизм
и Тх —ядро этого гомоморфизма. На самом деле группа То поднимается
до прямого слагаемого периодической части, так что элементы порядка 4
могут появиться только как прообразы элементов группы 7\.
Результаты этого параграфа, полученные в работах автора [32]-[40],
были дополнены и развиты Р. Штером. Он изучал группы вида Ф$ —
— Р/[Р, 7с(А0] Gс(№) — член нижнего центрального ряда). Обобщая те-
теорему 8.1, Штер доказал, что при с > 2 экспонента периодической части
§8. Группы вида Г/[Г,МГ]241
группы фИ делит с. Таким образом, случай с = 2, где появляется экспонен-
экспонента 4 оказался особым. Если с — р— простое число и в группе С — Р/М
нет элементов порядка р, то периодическая часть группы фй изоморфна
#4(С,2Р) [79,80].
Упражнения
1. Пусть К = ЪС — свободный С-модуль ранга 1. Докажите, что К АЯ-
прямая сумма свободного С-модуля и модулей Ъ ф^ ЪС, где д2 = 1 и д
действует на Ъ как умножение на —1. (Указание: доказательство анало-
аналогично доказательству предложения 8.3.)
2. Пусть Р — свободный С-модуль со свободными образующими е*. Докажи-
Докажите, что (Р А Р) ®с 2 — прямая сумма свободной абелевой группы и эле-
элементарной 2-группы, в качестве базы которой можно взять элементы вида
(е$ Лвгд) (8) 1, где д2 = 1. (Указание: воспользуйтесь предыдущим упраж-
упражнением.)
«
3. Пусть Фй — свободная центрально-метабелева группа ранга 2. Тогда её
центр — свободная абелева группа. Укажите в явном виде базу центра.
(Указание: модуль соотношений свободной абелевой группы ранга 2 — это
свободный циклический модуль.)
4. Пусть С = Р/Ы — группа гомологической размерности ^ 3. Покажите,
что Ф11 = Р/[Р,№] не имеет кручения, а группа АГ'/[.Р, ДГ'] — свободная
абелева (в частности это верно, когда С —группа узла).
5. То же самое, что в предыдущем упражнении, для случая, когда С — конеч-
конечная группа нечётного порядка. (Указание: для группы нечётного порядка
Я4(О,22)=0.)
6. То же самое, что в двух предыдущих упражнениях, для случая, когда
С — группа с одним определяющим соотношением, которое не является
квадратом в свободной группе. (Указание: из результатов §7 гл. 3 следует,
что для такой группы Н^С, Ъ^) = 0.)
7. Пусть С — нециклическая группа, заданная одним определяющим соотно-
соотношением у = 1, где у — чётная степень некоторого элемента уо свободной
группы Е. Докажите, что периодическая часть группы Ф*1 = Е/[Е,№] име-
имеет экспоненту 2 и порождается образами элементов вида [у,и~1уи]> где
и — элементы сопряжённые с уо71^2. (Указание: докажите, что из групп,
участвующих в описании периодической части, нетривиальной остаётся
только группа То; можно также, используя описание модуля соотношений
М группы С, построить базу группы (М Л М) ®с 2.)
ГЛАВА 5
ГОМОЛОГИИ РАСШИРЕНИЙ
Пусть С — расширение группы В с помощью Л, то есть имеет место
точная последовательность 1—>Л—>С—> В —> 1.
Как вычислить гомологии группы С по гомологиям групп А и В?
Обратите внимание, что мы даже изменили обозначения. До этого группа
С была факторгруппой. Зная её (ко)гомологии, мы делали выводы о рас-
расширении. Теперь же мы будем интересоваться (ко)гомологиями группы С,
которая сама является расширением. Для решения этой задачи и сходных
задач в категории топологических пространств была разработана техника
спектральных последовательностей. В топологии эта деятельность связа-
связана с именами Лере, Серра и других известных математиков. Для групп
основные черты спектральных последовательностей были отмечены Лин-
доном [48] и затем формализованы Хохшильдом и Серром [71]. Метод
спектральных последовательностей является мощным инструментом изу-
изучения гомологии, но всё же указывает лишь путь решения задачи, а не
окончательный ответ, хотя в общем случае и нельзя рассчитывать на
большее.
В этой главе мы сначала обсудим резольвенты для прямого и полу-
полупрямого произведения, а затем займёмся спектральными последователь-
последовательностями произвольного расширения. В двух последних параграфах рас-
рассматривается важный частный случай, когда ядро расширения — абелева
группа без кручения. Полученные результаты будут использованы в сле-
следующей главе.
§ 1. Гомологии прямого произведения
Читатель, видимо, заметил, что мы до сих пор не вычислили гомоло-
гомологии прямого произведения с коэффициентами, скажем, в тривиальном
244 Глава 5. Гомологии расширений
модуле Дело в том, что с гомологической точки зрения прямое про-
произведение — операция более сложная, чем свободное произведение или
НЫ1М-расширение. С другой стороны, прямое произведение — это про-
простейший случай расширения групп, поэтому с него мы и начнём эту
главу.
Пусть С\ и С?2 — произвольные группы. На тензорном произведении
ЪС\ ® 2С?2 можно ввести умножение, считая, что
, г = 1,2).
Элементы вида д\ ® #2 (д\ Е С\,д2 Е С2) перемножаются, как в прямом
произведении С\ х С2 и линейно независимы, поэтому
хС2].
Если Д — модуль над 2С?г (г = 1,2), то ^1 ® Л2 — модуль над ЪС\ ® 2С2
относительно действия
Легко также доказать, что если А{ — свободный Сг-модуль со свободными
образующими е^- (г — 1,2), то А\ 0 А2 —свободный модуль над С\ х
х С2 со свободными образующими е^. ® еР. Эти простые соображения
позволяют построить свободную резольвенту для прямого произведения,
если имеются резольвенты сомножителей.
Предложение 1.1. Предположим, что X —> Ъ и У —> 2 — свободные
резольвенты тривиального С\-модуля и, соответственно, С2-модуля,
и пусть С = С\ х Съ Тогда тензорное произведение X ® У —> 2 будет
свободной резольвентой тривиального С-модуля.
Действительно, из леммы 1.2 главы 4 следует, что X ® У —► 2 — точный
(ациклический) комплекс абелевых групп. В то же время, все группы
X^®У^ — свободные С-модули. □
Напомним, что группа п-мерных цепей комплекса IV = Х®У опреде-
определяется равенством \\1п — ® Хг®У^ где прямая сумма берётся по г+] — п.
ЕСЛИ IV = ^ ^г ® %» ТО
В случае тривиального модуля тензорное произведение резольвент уда-
удаётся использовать для того, чтобы выразить гомологии группы С через
§1. Гомологии прямого произведения 245
гомологии сомножителей С?1,С?2. Благодаря теореме об универсальных
коэффициентах (теорема 3.1 главы 4) достаточно рассмотреть случай три-
тривиального модуля 2.
Теорема 1.2. Пусть О — О\ х О2 — прямое произведение двух групп.
Тогда существует расщепляющаяся точная последовательность
О -> 0 ЩСг ® Н,С2 - НпС -> 0 Тог(Я*Сь Я,С2) -> 0.
Гомоморфизмы #гС?1 ® Я^Сг —* #ПС определяются равенством сЬ(ж)
®с1з(у) —> с1з(а;®2/). Как и в теореме об универсальных коэффициентах,
расщепляющий гомоморфизм нельзя выбрать каноническим образом. От-
Отметим также, что если группы Н{С\,НуС2 раскладываются в прямую
сумму циклических, то вычисление функторов Тог сводится к вычис-
вычислению групп ТогBт,2&). В соответствии с замечаниями в конце §4.1
«
эта группа изоморфна 2^, где А = (га, к) — наибольший общий делитель.
Точно так же 2т ® 2^ = 2^.
Для доказательства теоремы рассмотрим свободную резольвенту вида
X (8) У —> 2 (предложение 1.1). Тогда
Г) ®с 2) ^ Нп((Х ®в1 2) ® (Г ®Сз 2)).
Очевидно, X ®С1 2 и У ®с2 2 —комплексы свободных абелевых групп,
и нам надо выразить гомологии их тензорного произведения через го-
гомологии сомножителей. Достаточно доказать следующее утверждение —
теорему Кюннета для абелевых групп.
Теорема 1.3. Пусть X и У — комплексы свободных абелевых групп.
Тогда существует расщепляющаяся точная последовательность
0 -> ф Щ(Х)®Щ(У) -> Нп{Х®У) -> ф Тог(#г-(Х), Н^У)) ^ 0.
1+3—п ъ+з=п— 1
Прежде чем доказывать теорему, сделаем несколько простых замечаний.
Пусть X — комплекс абелевых групп и А — абелева группа без круче-
кручения. Предположим, что Нп(Х) — 0, то есть X — ациклический комплекс.
Тогда и Нп(А ® X) — 0, так как умножение на плоский 2-модуль сохра-
сохраняет точность. Докажем, что без предположения об ацикличности
Нп(А ®Х)^А® Нп(Х). E.1)
246 Глава 5. Гомологии расширений
Пусть А — дифференциал комплекса X, 1п = 1тс?п, Кп — Кегс?п. Рас
смотрим точную последовательность
О -> /п+1 -> Кп -> Я„(Х) - 0.
Так как А не имеет кручения, последовательность
0 -* Л ® /п+1 -> Л ® Кп -» Л ® ЯП(Х) -> 0 E.2)
также является точной. Вложение /п+1 —» Хп определяет мономорфизм
А® /п+1 —^ А ® ^п» поэтому 1т 1 ® Aп+\ = А® /п+1- Из точной последо-
последовательности
следует, что Кег 1 ® с?п = А ® Кп, поэтому
= Кег 1 ® б?п/1т 1 ® йп+1 ^ Сокег(А ® 7п+1 -»- А
что, с учётом E.2), изоморфно группе Л®ЯП(Х). □
Пусть, как и раньше, К = {Кп}, I — {/п} — группы циклов и границ
комплекса X. Будем считать, что К,1 — комплексы с нулевыми диффе-
дифференциалами. Тогда последовательность
0 -> К -> X -> / -> 0
— точная последовательность комплексов. Наше второе замечание каса-
касается связывающего гомоморфизма дп+\: Нп+\A) —> Нп(К) соответству-
соответствующей длинной точной последовательности. Так как комплекс / имеет ну-
нулевые дифференциалы, то Нп+\{1) = 1п+1- Следуя общему определению,
для вычисления дп+1(а) (а Е Лн-О надо выбрать прообраз а элемента
а в Хп+1 и применить дифференциал Aп+\. После этого мы вернёмся
к тому же элементу а, который надо теперь рассматривать как элемент
группы Кп. Окончательно: дп+1{а) = с?п+1(а). Допуская некоторую воль-
вольность, можно написать дп+\ — йп+\.
Если X — комплекс абелевых групп без кручения, а У — произволь-
произвольный комплекс абелевых групп, то имеет место точная последовательность
комплексов
0->К(8>У->Х®У->/®У->0. E.3)
Читатель без труда проверит, что в этом случае связывающий гомомор-
гомоморфизм
дп+1: Нп+1A ® У) -> Нп(К ® У)
вычисляется как ф(^+1®1^), где 1^ означает тождественное отображение
У2 —> У], а суммирование происходит по г + ] = п.
§1. Гомологии прямого произведения 247
Доказательство теоремы. Сохраним предыдущие обозначения. Мы
собираемся вычислить группы Нп(Х ® У) с помощью длинной точной
последовательности групп гомологии, построенной по точной последова-
последовательности комплексов E.3)
^Н1 Нп(К®У) -> Нп(Х
-> НпA ® У) ^ ЯП(К ® У) ->
Можно написать следующую короткую точную последовательность
О -» Сокег дп+1 -> Нп(Х ® У) -> Кег дп -> 0.
Для вычисления ядра и коядра домножим последовательность
0 -> /г+1 ->Кг-> Щ(Х) -> 0
тензорно на Н^(У) и просуммируем по г + ^ — п. Так как по условию
группы Кг не имеют кручения, получается точная последовательность
0 -* (г(), ^()) .+1 ® ^
о. E.4)
Учитывая изоморфизм E.1), два средних члена можно переписать в виде
Яп+хG®У) —* Нп(К®У). Это отображение индуцировано отображением
®(с^+1 ® 1^)» где г + з = п, поэтому оно совпадает, как мы знаем, с дп+\.
Из E.4) теперь следует, что
Сокег
Заменив п на п — 1, из той же последовательности E.4) получим
Тог(Я,(Х),Я,-(У)).
Это доказывает существование точной последовательности теоремы 1.3.
Осталось доказать, что она расщепляется. Отметим, что до сих пор мы
пользовались только тем, что группы Хп не имеют кручения. Для доказа-
доказательства расщепляемости этого условия также достаточно. Мы, однако,
будем для простоты предполагать, что X и У — комплексы свободных
абелевых групп. Достаточно построить проекцию
Нп(Х ® У) -> @Нг{Х)
248 Глава 5. Гомологии расширений
Так как 1{ — свободные абелевы группы, то существует разложение Х{ —
— Кг © 1г, где группа 1{ изоморфно отображается на /^ Композиция про-
проекции Х{ —> Кг и естественного эпиморфизма даёт отображение
Хг —> Нг(Х). Точно так же строится гомоморфизм У^ —> Н^(У). Рассмот-
Рассмотрим индуцированный гомоморфизм ФХг- ® У, —> фЯг(Х) ® ЯДУ) (сумма
по г + 2 — п). Легко видеть, что он тривиален на границах комплекса
X ® У, откуда и следует существование нужной проекции. Теоремы 1.3
и 1.2 доказаны. □
В этих теоремах кольцо коэффициентов 2 можно заменить на любую
область главных идеалов Т. Если Т — поле, то, поскольку Тог^(—, —) = 0,
формула для гомологии прямого произведения принимает вид
Частным случаем теоремы Кюннета является теорема об. универсаль-
универсальных коэффициентах 3.1. Для доказательства рассмотрим свободную ре-
резольвенту Ш —> А тривиального С-модуля А {С — произвольная группа).
Положим X — IV ®с? 2 и пусть У — комплекс, который тривиален в по-
положительных размерностях, а в размерности 0 имеет группу цепей изо-
изоморфную А. Тогда Нп(Х) = НпС, Нп(Х ®У) — Нп{С,А). Мы доказали
существование точной последовательности теоремы Кюннета в предполо-
предположении, что X — комплекс абелевых групп без кручения. Правда, дока-
доказывая, что эта последовательность расщепляется, мы предполагали, что
X и У — комплексы свободных абелевых групп. Для X это верно, а вот
в аддитивной группе модуля А возможно кручение. Тем не менее, это не
мешает построению нужной проекции ввиду малости комплекса У: там
проекция совпадает с тождественным отображением. Точная последова-
последовательность теоремы Кюннета принимает вид
О -> НпС ® А -> Нп(С, А) -> Тог(Яп_1С, А) -> 0.
Сделаем несколько замечаний о когомологиях. Зная гомологии с коэф-
коэффициентами в тривиальном модуле, можно когомологии вычислять с по-
помощью теоремы об универсальных коэффициентах 3.3. Для случая ре-
резольвент конечного типа, то есть резольвент со свободными модулями
конечного ранга, существует более удобная прямая формула.
Теорема 1.4. Пусть С\,С<2 — некоторые группы, С — С\Х Съ- Предпо-
Предположим, что для тривиального С\-модуля и тривиального С2-модуля 2
существуют резольвенты конечного типа. Тогда имеет место точная
§1. Гомологии прямого произведения 249
расщепляющаяся последовательность
О -> 0 Н1ОХ ® №С2 -> НпО -> 0 Тог(Я*Сь ШСъ) -> 0.
Доказательство. Пусть У —» 2 и IV —> 2 соответствующие свобод-
свободные резольвенты. Вычислим гомологии комплекса Нотс(У ® И7, 2). Так
как 2 — тривиальный С-модуль, то этот комплекс изоморфен
1 2) ® (^ ®С2 2), 2).
Из условия следует, что X — V ®ах 2 и У — IV <Е>с2 2 — комплексы сво-
свободных конечно порождённых абелевых групп. В этом случае существует
естественный изоморфизм
Нот(Х ® У, 2) ^ Нот(Х, 2) ® Нот(У, 2)
4
(доказательство с помощью прямых сумм сводится к случаю X = У = 2
и изоморфизму 2(8J^2® 2). В правой части стоит тензорное произве-
произведение комплексов свободных абелевых групп. Применив к ним теорему
Кюннета, получим точную последовательность теоремы 1.4. □
Упражнения
1. Вычислите гомологии прямого произведения двух циклических групп,
(рассмотрите отдельно чётную и нечётную размерность).
2. Пусть С^ — свободная абелева группа ранга г. Используя теорему 1.2
и индукцию по г докажите, что НпС^ — свободная абелева группа ранга
С™. (Указание: в итоге дело сводится к формуле С™_х + С™2\ — С™.)
3. Пусть С{ = (хг) (г = 1,...г) — бесконечная циклическая группа и пусть
Х^ — свободная резольвента тривиального С^-модуля Ъ
: 0 -4 2С@ х^1 2С(*) -> Ъ -> 0 (г = 1,... г).
Тогда Х^ (8).. .®Х^ — свободная резольвента для прямого произведения
С = С?1 х ... х Сг. Докажите, что она изоморфна внешней алгебре (над
кольцом ЪС) аддитивной копии С+ группы С
4. Для второй группы гомологии прямого произведения С = С\ х С2 теоре-
теорема 1.2 даёт формулу
н2с =
250 Глава 5. Гомологии расширений
Копредставления Сг = Р%/^ определяют копредставление С = Р/Му где
Р = Р\ * Р2у а N — ядро отображения Р —> С, продолжающее эпиморфиз-
эпиморфизмы Рг ->Сг{г = 1,2). По формуле Хопфа Н2С ^ Р'П ИЦР, Щ. Образами
каких соотношений группы С порождается в этом факторе каждое из трёх
выписанных слагаемых?
§ 2. Резольвенты для полупрямого произведения
Пусть С — В А — полупрямое произведение групп В и А (А < С, В дей-
действует на А). Не предполагается, что группа А абелева. Какого-либо про-
простого способа выразить гомологии группы С через гомологии А и В не
существует. Однако, используя тензорное произведение комплексов, мож-
можно строить свободные резольвенты тривиального С-модуля 2, которые
иногда удаётся использовать в реальных вычислениях. Мы рассмотрим
общую конструкцию и некоторые примеры.
Пусть 1->2иУ->2- свободные резольвенты тривиального В-мо-
дуля и, соответственно, Л-модуля 2. Если С — В х А — прямое произ-
произведение, то на X и У можно определить структуру С-модуля, считая,
что А действует тривиально на X, а В на У. Тогда X ® У будет ком-
комплексом С-модулей относительно диагонального действия, и мы получаем
свободную резольвенту тривиального С-модуля 2 (теорема 1.2). Если С =
= В А — полупрямое произведение, то снова X можно считать С-модулем,
на котором А действует тривиально. Поступить аналогично с комплексом
Л-модулей У, вообще говоря, нельзя. Дело в том, что если В действует
тривиально на У, то, поскольку ядро действия нормально, тривиально
действует и взаимный коммутант [5, Л], что может противоречить исход-
исходной структуре Л-модуля. По этой причине приходится заранее предпола-
предполагать, что У — это комплекс С-модулей.
Предложение 2.1. Пусть С = В А — полупрямое произведение. Пред-
Предположим, что задана свободная резольвента В-модулей X —> 2 и ре-
резольвента С-модулей У—> 2, которая свободна как резольвента над А.
Продолжим действие В на X до действия группы С, считая, что А
действует тривиально. Тогда комплекс С-модулей X ® У —> 2 явля-
является свободной резольвентой.
Доказательство. Как и для прямого произведения, из леммы 1.2 гла-
главы 4 при А — В — К — Ъ следует, что X ® У —> 2 — резольвента. Надо
доказать, что Хг ® У, — свободные С-модули. Пусть ех,.. .е8 — свобод-
свободные образующие Хг как Б-модуля, а е'ъ.. .е'ь — свободные образующие
§2. Резольвенты для полупрямого произведения 251
У2 как Л-модуля. Покажем, что элементы вида (ек®е'т)аЪ (а € А,Ъ € В)
линейно независимы. Очевидно,
к,Ь
(прямая сумма абелевых групп), а так как
(ек ® е'т)аЬ = еф®у (у
то рассматриваемые элементы с различными Ь лежат в разных прямых
слагаемых. Отсюда следует, что достаточно доказать линейную независи-
независимость элементов (ек ® е'т)аЪ при фиксированном Ь и различных а. Умно-
Умножив на б (это автоморфизм абелевой группы Х{ ® У^), можно считать,
что Ь — 1. Но элементы вида ек®е'та линейно независимы, так как е'т —
свободные образующие Л-модуля У у П
Возьмём, например, в качестве резольвенты У группы А её стандарт-
стандартную резольвенту ЩА) —> 2. Напомним, что группа п-мерных цепей сво-
свободно порождается как2Л-модуль упорядоченными наборами (ах,..., ап),
где щ б А, а дифференциал задаётся формулой
,... ,ап) —
1
г=п—1
Продолжим действие группы Л на !К(Л) до действия полупрямого произ-
произведения С — В А, считая, что для Ъ € В
((аь ..., ап)г)Ъ — (Ъ~ а\Ъ,..., Ь~ апЬ)(Ь~ гЬ) (г Е ЪА).
Непосредственно проверяется, что дифференциал стандартной резольвен-
резольвенты перестановочен с этим действием. Из предложения 2.1 следует, что
для любой свободной резольвенты X —* 2 тривиального Б-модуля 2
комплекс X ® !К(Л) —> 2 является свободной резольвентой тривиального
С-модуля 2. В частности, если в качестве X взять стандартную резоль-
резольвенту ЩВ), то получится некоторая каноническая свободная резольвен-
резольвента ЩВ) ® ЩА) для полупрямого произведения. Произвольное расшире-
расширение можно вложить в полупрямое произведение ВС. Его каноническая
свободная резольвента будет также свободной резольвентой для любой
подгруппы. Например, если группа А абелева, то имеется универсаль-
универсальное вложение в расщепляющееся расширение (см. предложения 5.3 и 5.4
главы 3). Впоследствии мы используем эти соображения при изучении
дифференциалов спектральной последовательности расширения.
252 Глава 5. Гомологии расширений
Рассмотрим второй пример: А — свободная абелева группа. Пусть
А(А) — внешняя алгебра группы А над 2 и АА(А) = А(А) 0 ЪА — её
внешняя алгебра над 2А Отметим, что в А(А) группа А записана адди-
аддитивно, а в групповом кольце ЪА, по необходимости, мультипликативно.
В §2.4 на алгебре Аа{А) был определён дифференциал. Если е^ — сво-
свободные образующие группы А, то
А ... Л е*п) ®1 = ]^(-1)п~-?(е<1 Л ... Л ег. Л ... Л егп) 0 (е^. - 1),
где е^. означает пропуск е^. Вместе с пополняющим гомоморфизмом
ЪА —> 2 это даёт свободную резольвенту тривиального модуля 2. Пусть
С — БЛ — полупрямое произведение. Тогда структура Б-модуля перено-
переносится с Л на алгебру Аа(А) с помощью диагонального действия. Если
щ € А (г — 1,... ,п),г € ЪА,Ь € В, то
~1аЬ Л Л Ь~1аЬ 0 Ъ~1
(а! Л ... Л ап 0 г)Ь — Ь~1а\Ь Л ... Л Ь~1апЬ 0 Ъ~1гЬ.
Может возникнуть подозрение, что если X —* 2 — свободная резольвента
тривиального Б-модуля, то (в соответствии с 2.1) X 0 Аа(А) —> 2 —
свободная резольвента тривиального С-модуля. Это, однако, верно лишь
в редких случаях.
Предложение 2.2. Диагональное действие группы В на внешней ал-
алгебре Аа(А) перестановочно с её дифференциалом й тогда и толь-
только тогда, когда база 8 — (е^), с помощью которой определяется й,
В-инвариантна (то есть е^ Е 5 => еф Е 8 для любого Ь Е В).
Доказательство. Предположим сначала, что действие группы В пе-
перестановочно с дифференциалом. В частности, {<Л{ег 0 1))Ь = й{(вг 0 1)Ь).
Левая часть равна Ь~1еф— 1. Пусть Ъ^еф — ^2,кПке^ где п& б 2,е& б 5.
Тогда правую часть можно переписать в виде
A ((ег 0 1)Ь) = й (Ь~1еф 0 1) = й I ^ п*^ 0 1 1 = ]Г пл(ел - 1).
V А; /к
Равенство Ъ~1еф— 1 = Х^п&(е& — 1) в кольце 2Л возможно лишь в том
случае, когда сумма справа сводится к одному слагаемому е& — 1, следо-
следовательно, Ь~1еф — е& Е 5.
Наоборот, пусть база 5 инвариантна. Тогда
§2. Резольвенты для полупрямого произведения 253
и следовательно, дифференциал с? перестановочен с действием группы
В на образующих е^ ® 1 алгебры Лд(Л). Как мы уже отмечали в § 2.4
(см. упражнения 3 и 4), дифференциал внешней алгебры является анти-
антидифференцированием, то есть для однородных элементов х, у € Ал(А)
выполнено равенство
д,(х Л у) = й(ж) Л у + (-1)шж Л
где т — степень элемента ж. Теперь можно закончить доказательство при-
применив индукцию, так как дифференцирование произведения х А у сво-
сводится к дифференцированию элементов х и у, которые имеют меньшую
степень. □
Предложение 2.3. Если в полупрямом произведении С = В А модуль
А имеет В-инвариантную базу, то НпС = ®Нт(В,Ак(А)), где к-ая
внешняя степень Ак(А) (над Ъ) рассматривается как В-модуль от-
относительно диагонального действия, а сумма берётся по всем т, к
таким, что т + к — п.
Доказательство. Выберем произвольную свободную над В резоль-
резольвенту X —> 2. Из предложений 2.1 и 2.2 следует, что комплекс X ®
® Аа(А) —> 2 —свободная резольвента тривиального С-модуля. Исполь-
Используем её для вычисления групп НпС. Для любых Б-модулей Ь, М, N
(это изоморфизм D.6) в других обозначениях). Положим
Тогда
(X ® АА(А)) ®ог^{Х® А{А)) ®вг^Х®в А(А).
Дифференциал алгебры А(А) равен нулю, поэтому комплекс X ®в А(А)
распадается в прямую сумму комплексов X ®в Ак(А), следовательно,
Нт(В,Ак(А)). □
т+к=п
Отметим, что модули с Б-инвариантной базой — это в точности пере-
перестановочные модули, упоминавшиеся в § 1.1. Один из важных примеров —
свободный Б-модуль. Если в1,. ..еп — свободные образующие модуля Р,
то его Б-инвариантная база состоит из элементов еф (Ь б В). Полупрямое
254 Глава 5. Гомологии расширений
произведение IV — ВР можно интерпретировать как дискретное сплете-
сплетение свободной абелевой группы со свободными образующими в1,...,еп
и группы В (см. §1.5). Эта же группа появляется в теореме Магнуса о
вложении 6.4.
Предложение 2.4. Пусть В — группа без кручения, Р — свободный
В-модуль и № = ВР. Тогда Нп\У = Ап(Р) ®в Ъ © НпВ.
Лемма 2.5. Если В — группа без кручения, то для любого к внешняя
степень Ак(Р) — свободный С-модуль.
Очевидно, предложение 2.4 следует из леммы 2.5 и предложения 2.3. Кро-
Кроме того, из 2.5 следует, что первое слагаемое в выражении для Нп\№ —
свободная абелева группа.
Доказательство леммы. Положим К — ЪВ. Очевидно, Ак(Р) — пря-
прямая сумма модулей вида Ак1(К) ® ... ® Акз(К), где ]Г&г = к. Тензорное
произведение свободных модулей — снова свободный модуль, поэтому до-
достаточно доказать лемму для Р = К. Упорядочим произвольно элементы
группы В. Аддитивную базу Б-модуля Ак(К) образуют произведения
А ... Л Ь&, где Ъг € В, Ь\ < ... <
Они находятся во взаимно однозначном соответствии с /^-элементными
подмножествами группы В. Осталось показать, что В действует на мно-
множестве своих конечных подмножествах 8 С В свободно. Пусть Ъ' Е 8
и Ь е В. Тогда элементы Ъ'Ъ,..., Ь'Ьт ... различны, так как по условию В
не имеет кручения. Поскольку 5 — конечное множество, отсюда следует,
что 8Ьф8. П
Упражнения
1. Предположим, что группа В действует на свободной группе Е и нормаль-
нормальный делитель М<Е инвариантен относительно этого действия. Тогда В
действует на группе А = Е/И, и следовательно, определено полупрямое
произведение С = В А. Копредставлению А = Е/И группы А соответству-
соответствует свободная резольвента тривиального Л-модуля Ъ — резольвента Грюн-
Грюнберга (см. §2.3). Покажите, что действие группы А на этой резольвенте
продолжается до действия группы С (что даёт возможность использовать
предложение 2.1).
2. Пусть группа В действует на группе А. Рассмотрим свободную группу
Е со свободными образующими хау которые индексированы элементами
а € А (а ^ 1). Группа Ву действуя на индексы, переставляет образую-
образующие ха. Это действие продолжается на группу Е. Отображение ха —> а
§3. Спектральные последовательности 255
определяет копредставление А = Е/И. Одним словом, мы имеем частный
случай конструкции предыдущего упражнения. Покажите, что при этом
получается стандартная резольвента, на которой В действует так, как это
описано в примере после предложения 2.1.(Указание: тот факт, что по-
получается стандартная резольвента, доказан в §2.3, надо лишь проверить
совпадение действий.)
3. Пусть С = (х, у | х2 = 1, хух = г/), то есть С = В А, где В — циклическая
группа порядка 2, А — бесконечная циклическая группа. Для А имеется
очевидная резольвента
О -> Ды -> 2(|/) -> Ъ -> 0.
Определите действие группы В на этой резольвенте и вычислите гомо-
гомологии НпС, используя периодическую резольвенту конечной циклической
группы (см. §2.3) и предложение 2.1. (Ответ: 22 0 22 для нечётного п и 0
для чётного п > 0.)
4. Проделайте то же, что и в предыдущем упражнении, для группы
С=(х,у\ х~1ух = у~\ уш = 1).
Для циклической группы (г/) используйте периодическую резольвенту, ин-
интерпретируя её как резольвенту Грюнберга копредставления Ъш = Ъ/тЪ
(см. §2.3). (Ответ: например, если т нечётно, то НпС = Ъш при
п = 0; 3 тос! 4 (п > 0) и НпС = 0 при п = 1; 2 тос! 4 (п > 1).)
5. Сделайте проверку ответов двух предыдущих упражнений, опираясь на
тот факт, что в первом случае группа С — свободное произведение двух
циклических групп порядка 2, а во втором — НЫЫ-расширение конечной
циклической группы.
6. Пусть В — произвольная группа и К = ЪВ. Докажите, что Л^(К) — пря-
прямая сумма свободных циклических модулей и индуцированных модулей
вида Ъ ®с Д Для некоторых конечных подгрупп С, порядок которых де-
делит к. Здесь Ъ может быть модулем как с тривиальным, так и нетривиаль-
нетривиальным действием группы С (Указание: надо доказать, что (в обозначениях
доказательства леммы 2.5) порядок стабилизатора любого подмножества
8^8 делит к.)
§ 3. Спектральные последовательности
В этом параграфе мы приведём некоторые сведения о спектральных по-
последовательностях. Для нас они будут прежде всего служить методом
вычисления (ко)гомологий расширения. Полных доказательств не приво-
приводится, хотя мы пытаемся подробно объяснить существо метода.
256 Глава 5. Гомологии расширений
Пусть (К, 6) — неотрицательный комплекс, на котором задана возрас-
возрастающая фильтрация
о с рок с рх к с ... с ртк с ...
(при т < О считаем РтК — 0). Предполагается, что для каждого т
РтК — подкомплекс в К, то есть задана фильтрация РтКп в каждой
размерности п и й{РтКп) С РшКп-\.
Простейший пример — фильтрация длины 2
о с ад с ргк =
Это, по существу, точная последовательность комплексов
0 -> К' -* К -> К" -> 0,
где К' — -Ро^, ^ = Р\К/РъК. Как мы знаем, можно построить длин-
длинную точную последовательность, которая связывает группы гомологии
комплексов К', К и К". Предполагая, что гомологии Н{К') и Н{К")
известны, мы можем, исходя из этого, получать информацию о гомоло-
гиях Н(К). С помощью спектральных последовательностей аналогичная
задача решается для фильтрации произвольной длины, правда, ответ по-
получается существенно сложнее.
Рассмотрим фильтрацию тензорного произведения, которую в даль-
дальнейшем полезно иметь ввиду как основную модель. Пусть X — комплекс
правых, а У — левых модулей над кольцом К. Считаем, что X и У —
неотрицательные комплексы. Как нам известно, определён комплекс абе-
левых групп К — X ®я У- Положим
Если группу Хг ®я Уз представлять себе расположенной в точке
координатной плоскости хОу, то суммирование происходит левее и на
вертикальной прямой х — т. Аналогично определяется фильтрация, соот-
соответствующая горизонтальным прямым (кстати, она уже появлялась в до-
доказательстве теоремы 1.2 главы 4). В тензорном произведении группа
п-мерных цепей Кп — это сумма групп, расположенных на прямой х +
-\-у — п (рис. 7). Отсюда видно, что в каждой размерности п фильтрация
РтКп конечна в том смысле, что РшКп — Кп при т ^ п. Для просто-
простоты мы будем рассматривать только фильтрации, удовлетворяющие этому
условию. Для тензорного произведения
РтКп/Рт-1Кп = Хт (8>я V*, где т + к = п
§3. Спектральные последовательности
257
11Ь
Рис. 7.
В общем случае также оказываются полезны факторы фильтрации. Обо-
Обозначим их через Кш\~ (т + к — п). Принята следующая терминология:
т — степень фильтрации, к — дополнительная степень, п — полная сте-
степень, или размерность. Группы Ктк будем также представлять целочис-
целочисленными точками плоскости. Благодаря соглашению о том, что РшКп —
= Кп при т ^ п, ненулевые группы Кт^ (точнее, соответствующие им
точки) лежат в первом квадранте.
Объясним, в чём состоит наша цель. Вложение РтК —> К индуциру-
индуцирует гомоморфизм Нп(РтК) —» Нп(К). Пусть РтНп — его образ. Группы
РтНп образуют в Нп{К) возрастающую фильтрацию. Положим Нт^ =
= РтНп/Рт-1Нп (здесь и далее п = т + к). Мы разбили Нп(К) на
факторы (этажи)
Отметим, что в общем случае Нп(К) не является их прямой суммой.
Спектральная последовательность указывает процедуру, позволяющую в
принципе вычислить группы #ть осуществляя некоторый процесс итера-
итераций. В целом их число неограниченно, но в каждой размерности п оно не
превосходит п+ 1. Группы, участвующие в итерациях, будут обозначать-
обозначаться Егшк, где г— номер итерации. Начальным условием Е^к считаются
факторы фильтрации Ктк- При каждом фиксированном г группы ЕТшк,
как и Е^пк, удобно представлять целочисленными точками первого квад-
квадранта. Иногда семейство {Е!^к} называют г-и страницей спектральной
последовательности (тогда {Е^к} — её титульный лист). Перелистывая
страницы, мы постепенно вычисляем факторы Иш^. Перейдём к точным
формулировкам. Ниже подразумевается, что г = 0,1,2 —
Обозначим через 2>гшк множество элементов а е РшКп таких, что
й(а) Е Рш-гКп-\. Смысл в том, что а, вообще говоря, не является цик-
циклом, но фильтрационная степень его границы как минимум на г единиц
9 - 2532
258 Глава 5. Гомологии расширений
меньше. Очевидно, имеются включения
РтКп = 2тк I) 2тк Э ... I) 71гтк Э ...
Так как Рт-ТК — 0 при г > т, то эта цепочка стабилизируется не
позднее, чем на (т + 1)-ом шаге. Стабильная группа, которую принято
обозначать 2™ к* совпаДает с группой п-мерных циклов комплекса РтК.
Пусть, далее, Вгтк = A{Рт+г-\Кп+1) П РтКп. Таким образом, Вгтк
состоит из границ Л(а), попадающих в РшКп, причем допускаются только
элементы а е Кп+\, степень фильтрации которых может превышать т не
более, чем на г — 1. Можно также сказать, что
Первый нижний индекс в правой части понятен из определения, а второй
написан исходя из того, что в сумме должно получиться п + 1. Имеют
место включения
Втк С Втк С ... С Втк С ...
С ростом г здесь также происходит стабилизация и В™к состоит из
п-мерных цепей комплекса РтК, которые являются границами элементов
комплекса К.
Можно было бы ожидать, что обещанные выше группы ЕТтк появятся
теперь как факторы 27тк/В1!П1к. Однако правильное определение включает
факторизацию и по элементам, которые имеют степень фильтрации не
большую т — 1. Итак, положим
Е
тк
тк
Етк =
Вспоминая определение факторов фильтрации Нтк группы Нп(К), мы
видим, что они совпадают с Е™к. Для вычисления Е™к достаточно на-
научиться вычислять последовательные итерации ЕТтк. Отметим, что, как
следует из определений, 7^пк — РтКп, откуда легко получаются началь-
начальные условия Е^пк = Ктк — РтКп1Рш-\Кп — факторы фильтрации.
Сформулируем теперь теорему, которая связывает очередную итера-
итерацию со следующей. За доказательством мы отсылаем читателя к книгам
[50] и [68]. Оно достаточно громоздко, хотя (что типично для гомологи-
гомологической алгебры) все вытекает непосредственно из определений.
§3. Спектральные последовательности 259
Теорема 3.1. Дифференциал А фильтрованного комплекса К индуци-
индуцирует гомоморфизмы
игп к ' ^тп к ^гп—г к+г— 1
причём Ег^ = Н{Егтк)} точнее
Етк = Кег <4*/1тат+г к-г+1
Говорят, что спектральная последовательность (Е^^^^ сходится к
Н(К)У выражая этим тот факт, что стабильные группы Е™к изоморф-
изоморфны факторам фильтрации группы Нп(К). Гомоморфизмы йгтк называют
дифференциалами. Удобно изображать йгтк в виде стрелки, идущей из
точки (т,к) в точку (т — г, к + г — 1). В частности, <^пк «делает ход
конём» (т, к) —* (т — 2, к + 1).
Как вычислять дифференциалы? Совсем нетрудно описать дифферен-
дифференциал с^л. Он направлен из точки (т,к) в точку (т, к—1) (по вертикали).
Как мы знаем, Е^к = ГтКп/Рт^1КПу то есть
п/Ет-\Кп —> ГтКп-1/Рт-1Кп-1.
Это отображение индуцируется дифференциалом комплекса К. Понятно,
что получается дифференциал факторкомплекса РтК/Рт-1К. Отсюда
вытекает, что Е]пк — Нп{РтК/Рт-1К). Обсуждение следующей итера-
итерации начнём с простого примера.
Пример 1. В начале параграфа мы упоминали, что задание точной по-
последовательности комплексов
О -> К' -> К -> К" -> О
эквивалентно заданию фильтрации длины 2: РоК — К', Р\К — К. Нену-
Ненулевые группы Егтк соответствующей спектральной последовательности
возможны лишь при т — 0,1, то есть расположены на двух вертикаль-
вертикальных прямых. Факторы фильтрации — К' и К", поэтому
'
Ненулевыми могут быть только дифференциалы д\к: Е\к —> Е^к. Пусть
с—цикл комплекса К", представляющий элемент К Е Нь+хК" — Е\к.
Чтобы вычислить д\к{к), надо выбрать прообраз с цикла с в К&+1 и,
поскольку й\к индуцируется дифференциалом А комплекса К, вычислить
с?(с). Это будет цикл комплекса К\ представляющий некоторый элемент
260 Глава 5. Гомологии расширений
из НкК' = Ецк, который и равен б\к(Н). Но именно так вычисляется
связывающий гомоморфизм
Тем самым, мы доказали, что
9
Е1т =
Начиная со второй страницы все дифференциалы равны 0, так как они
заканчиваются вне первого квадранта. Таким образом, происходит ста-
стабилизация. На прямой х + у = п возможны лишь две нетривиальные
группы, поэтому имеет место точная последовательность
О -> Е20п -> НпК - Е\п_х -» 0.
С учётом E.5), это даёт точную последовательность
—> НпК —» НпК —> НпК -% Нп-\К .
После продолжения в обе стороны получается известная нам длинная
точная последовательность.
В следующем примере понадобится понятие бикомплекса. Бикомплекс
К определяется семейством модулей Ктк (т ^ 0, к ^ 0) и двумя диффе-
дифференциалами
Требуется, чтобы были выполнены равенства
{в!J = 0, (Л"J - 0, 6!в!' + 6!'6! - 0. E.6)
С бикомплексом связан обычный комплекс, который мы также обозначим
К, а его дифференциал обозначим А. По определению
т+к—п
Из равенств E.6) следует, что с?2 = 0. На К имеется фильтрация
которая определяет спектральную последовательность Егтк, сходящуюся
к гомологиям комплекса К. Типичный пример бикомплекса — тензорное
произведение двух комплексов ^-модулей X и У.
§3. Спектральные последовательности 261
Тогда Ктк = Хт ®я Ук и
б!{х ® у) = {д!х)
где с?', 6," — дифференциалы комплексов X и, соответственно, У.
На бикомплексе определены итерированные гомологии Н'тНк{К).
Имеется ввиду следующее. Дифференциал й" определяет «вертикальные»
гомологии
Ннтк(К) = Кег(<Г: Ктк - Ктк.1)/д!'Ктк+1.
На семействе групп Н'^пк определён «горизонтальный» дифференциал
в!: Н'^пк —> Н'^п_1к, индуцированный исходным дифференциалом й'. По
определению,
Н'тЩ(К) =
Пример 2. Для спектральной последовательности Егтк, ассоцииро-
ассоциированной с бикомплексом К имеет место изоморфизм Е<^пк = Н'тН'^{К).
Доказательство. Как мы знаем, Е\пк = Нп{РшКIРШ-\К). Из опре-
определения фильтрации бикомплекса очевидно, что ЕтКп/Ет-1Кп = Кш^,
откуда следует изоморфизм Е^д. = Н'^к(К). Далее, дифференциал
^тк: ^тк ~* ^т-1к индуцируется дифференциалом 6, — й' + й". Второе
слагаемое действует на Н"(К) тривиально, поэтому всё сводится к диф-
дифференциалу индуцированному в!, следовательно Е^пк = Н'тНк{К). □
Пример 3. Вычисление $тк для бикомплексов.
Пусть К — бикомплекс. В соответствии с общим определением
Выясним, в каком случае элемент а € ЕшКп принадлежит 2^к. Пред-
Представим а в виде
О» = О"тк + ат-1Л+1 + «т-2А;+2 Н »
где а^- Е АГ^'- Выпишем й(а), объединяя вместе члены одной бистепени
д,(а) = ЛтА; + {й'а>тк + ^«т—1Л+1) + (^От-1Л+1 + <%"а»т-2к+2) Н •
Из этого выражения видно, что а е ^л тогда и только тогда, когда
к
= 0. E.7)
При вычислении Е^^ происходит также факторизация по Ет-1Кп. По
этой причине Е^пк можно описать как группу элементов ат& Е
удовлетворяющих условиям E.7) при некотором ат_1&+1 Е
приведённую по модулю В^ +
262 Глава 5. Гомологии расширений
Предложение 3.2. Пусть элемент атк е Ктк удовлетворяет услови-
условиям E.7), то есть представляет некоторый элемент с1з(атк) Е
Тогда
Доказательство. Из предыдущих замечаний следует, что в качестве
прообраза элемента с18(атк) в 2^к можно взять а = атк + ат-1к+1. Так
как №шк индуцируется дифференциалом й — в! + д!' комплекса К, то нам
надо вычислить й(а). Учитывая E.7), имеем
= Л'атк
Тот факт, что д!ат-1к+1 €Е ^-1&+1 очевиДен» т^к как этот элемент явля-
является границей. Остаётся перейти к образу с1з(й'ат_1Д;+1) € Е^_1к+1. □
Отметим, что если группы Ктк изображать точками плоскости, то
путь, который надо проделать при вычислении $тк выглядит так, как это
показано на следующей схеме
Т E.8)
О к < О"гп к
Пример 4. Здесь мы собираемся использовать предыдущее предложе-
предложение для описания дифференциалов $тк в терминах связывающих гомо-
гомоморфизмов (для бикомплексов частного вида).
Пусть В — некоторая группа и К = X ®# У, где X — свободная
резольвента тривиального В-модуля 2, а У — произвольный комплекс
В-модулей. Рассмотрим спектральную последовательность, сходящуюся
к гомологиям комплекса К. В соответствии с примером 2 члены Е^к
изоморфны итерированным гомологиям Н'тНк(К). При тензорном до-
множении на свободный комплекс X гомологии комплекса У домножа-
ются на X (это несложное обобщение того факта, что при тензорном
умножении на свободный модуль точность сохраняется). Таким образом,
Нк(К) = X ®в Нк(У). Используя этот изоморфизм, имеем
Е2тк - Н'тН^{К) - Н'т{Х ®в Нк{У)) - Нт(В, Нк(У)). E.9)
Последний изоморфизм следует из того, что X — свободная резольвента.
Рассмотрим, далее, точную последовательность
О -> Я*+1(У) - П+1/В*+1 -* С* -> Нк(У) -, 0, E.10)
§3. Спектральные последовательности 263
где В&+1 — группа границ, а Ск — группа циклов комплекса У. Эту по-
последовательность можно представить в виде композиции двух коротких
точных последовательностей
О -> Нк+1(У) -> Ук+1/Вк+1 -> Вк -> О,
О -> В* -> Ск -> Я*(У) -> 0.
Они определяют два связывающих гомоморфизма
Нт-г(В,Вк) -> Нт-2{В,Нк+1{У)).
Обозначим через 5т& их композицию
6тк: Нт(В,Нк(У)) -> Ят_2(В,#*+1(У)).
Такую композицию называют умножением на последовательность E.10)
Мы оставляем читателю доказательство того, что умножение на эквива
лентные последовательности даёт один и тот же гомоморфизм (опреде
ление эквивалентных последовательностей см. §3.1). В силу изоморфиз
мов E.9) 6тк можно переписать в виде
°тк-
Предложение 3.3. В предположениях, сделанных выше, (№шк = дтк,
то есть <№тк совпадает с умножением на последовательность E.10).
Доказательство. Домножим E.10) тензорно на комплекс X. Так как
X состоит из свободных модулей, то получится точная последователь-
последовательность комплексов. Она является композицией двух коротких точных по-
последовательностей, каждая из которых определяет связывающий гомо-
гомоморфизм. Для вычисления их композиции нужно в следующей диаграмме
пройти путь, отмеченный двойными стрелками
ч- Хш®вНк+1{У)
I I
<— Хт
Хт-2 ®Б Ск <г- Хт-1 ®В Ск <г- Хт ®В Ск
Нк(У) ч- Хт^®вНк(У) 4- Хт®вНк{У)
264 Глава 5. Гомологии расширений
Так как Нт(Х ®в Н^(У)) = -Еу^&» то правая нижняя двойная стрелка —
это выбор представителя ат& е Хт ®в С& С Ктк для элемента из Ё*ъ.
Очевидный диаграмный поиск показывает, что ат& удовлетворяет усло-
условиям E.7). Три стрелки в средних строках 3 в точности соответствуют
схеме E.8) вычисления с^^., а левая верхняя просто означает, что полу-
получившийся элемент принадлежит нужной подгруппе. □
В дальнейшем мы дважды используем доказанное предложение для
описания дифференциалов $тк спектральной последовательности груп-
группового расширения.
Упражнения
1. Как на бикомплексе определить «горизонтальную» фильтрацию? Перефор-
Переформулируйте соответствующие определения и предложения для этого слу-
случая.
2. Выше было сформулировано следующее утверждение: при. тензорном до-
множении на свободный комплекс гомологии домножаются на этот ком-
комплекс. Приведите подробное доказательство по аналогии с рассуждени-
рассуждением в начале доказательства теоремы 1.3. (Предостережение: нужно будет
устранить разницу в обозначениях.)
3. Предложение 3.3 было доказано для тензорного произведения над группо-
групповым кольцом. Сформулируйте и докажите его для тензорного произведе-
произведения над произвольным кольцом.
4. Пусть X — комплекс Я-модулей с дифференциалами йш\ Хш —»
а У — кокомплекс Д-модулей с дифференциалами йк:Ук —> Ук+1. Поло-
Положим Кшк = Нотд(Х,У). Покажите, что абелевы группы Ктк образуют
бикомплекс, в котором дифференциалы й' и й" повышают степень. (Ука-
(Указание: при определении с?" нужно правильно ввести знак.)
§ 4. Спектральная последовательность расширения
В этом параграфе будет построена спектральная последовательность, ко-
которая сходится к гомологиям расширения групп. Её часто называют спек-
спектральной последовательностью Линдона—Хохшильда—Серра (сокращён-
(сокращённо ЬН5). Рассмотрим сначала расширение с абелевым ядром.
1->А->С-*В->1. E.11)
Для нас этот случай будет основным. Группу С можно вложить в рас-
расщепляющееся расширение ВС, где Б-модуль С содержит А в качестве
§4. Спектральная последовательность расширения 265
подмодуля. Это делается разными способами. Например, по предложе-
предложению 8.4 главы 1 существует вложение в полное сплетение. Можно исполь-
использовать и более экономную конструкцию, описанную в предложении 5.3
главы 3. Для полупрямого произведения свободная резольвента строит-
строится с помощью тензорного произведения (см. §2). Она служит свободной
резольвентой и для подгруппы С. В то же время, тензорное произве-
произведение комплексов имеет стандартную фильтрацию, с помощью которой
строится нужная спектральная последовательность. Реализуем эту идею
подробнее.
Итак, группа С (расширение В с помощью А) вложена в IV = ВС.
Пусть X —» 2 — произвольная свободная резольвента тривиального В-мо-
дуля, а ЩС) —> 2 — стандартная резольвента тривиального С-модуля. Их
можно считать резольвентами ^-модулей: на X подгруппа С действует
тривиально, а на ЩС) подгруппа В —с помощью сопряжений (§2). Из
предложения 2.1 следует, что X (8) ЩС) —> 2 будет свободной резоль-
резольвентой тривиального И^-модуля -2, а значит и свободной резольвентой
тривиального С-модуля 2. Если М — произвольный С-модуль, то группы
Нп(С,М) изоморфны группам гомологии комплекса
{X ® ЩС))
Напомним, что для любых С-модулей П^ и
2,
— это частный случай изоморфизма D.6). Применяя его к построенному
комплексу, получим
(X ® ЩС) ® М) ®с 2.
Тензорное домножение на 2 над С осуществим в два этапа: сначала
применим функтор ®д2, а затем функтор ®в2. Так как А действует на
X тривиально, то первый шаг даёт
X ® ({ЩС) ®М)®АЪ)^Х® (ЩС) ®А М).
Второй шаг приводит к комплексу Х®в(Ш(С)®аМ). С такими комплек-
комплексами мы имели дело в примере 4 предыдущего параграфа. Точнее, это
частный случай при У = ЩС) (8>д М. Была вычислена вторая страница
соответствующей спектральной последовательности
Етк = Нт(В,Нк(У)).
266 Глава 5. Гомологии расширений
Так как Н^(У) = #&(ДМ)), то построена спектральная последователь
ность, сходящаяся к гомологиям Нп(С,М), для которой
Отметим, что по предложению 3.3 её дифференциалы й^пк можно вычис-
вычислять с помощью умножения на последовательность E.10).
Рассмотрим теперь общий случай. Можно было бы и здесь исполь-
использовать вложение в расщепляющееся расширение (например, в полное
сплетение), но мы приведём более традиционную конструкцию. Снова
рассмотрим произвольную свободную резольвенту X —» 2 тривиального
Б-модуля, а в качестве второго множителя — стандартную резольвенту
ЩС) —► 2. Комплекс X ® ЩС) —> 2 можно рассматривать как свобод-
свободную резольвенту тривиального С-модуля. Имеется ввиду диагональное
действие на тензорном произведении, причём подгруппа А действует на X
тривиально, а С действует на ЩС) регулярно. Присутствие дополнитель-
«
ного множителя X кажется странным — ведь достаточно одной стандарт-
стандартной резольвенты. Однако тензорное произведение позволяет построить
спектральную последовательность, а из следующей выкладки видно, что
ЩС) фактически используется лишь как резольвента над подгруппой А.
Пусть М — произвольный С-модуль. Тогда
(X ® ЩС)) ®СМ^{Х® ЩС) ® М) ®с 2 ^
^ ((X ® ЩС) ® М) ®А 2) ®в 2 ^ (X (8) (ЩС) ®А М)) ®в 2 -
Снова тензорному произведению соответствует спектральная последова-
последовательность, сходящаяся к Нп(С,М) и Е^пк — Нт(В,Нк(А,М)).
В предыдущих построениях имеется некоторая свобода выбора. В пер-
первом случае можно по-разному строить вложение в полупрямое произведе-
произведение. Есть произвол в выборе свободной резольвенты X —> 2. Кроме того,
если подгруппа А абелева, то можно действовать как первым, так и вто-
вторым способом. Тем не менее, члены Е^пк получаются одни и те же. Это
верно и для следующих страниц. Дело в том, что по теореме сравнения
свободные резольвенты, построенные для одной и той же группы, связа-
связаны цепной эквивалентностью. Возникают гомоморфизмы соответствую-
соответствующих фильтрованных комплексов, а значит и гомоморфизмы спектральных
последовательностей. Если на г-й странице гомоморфизм оказался изо-
изоморфизмом, то это же верно для г + 1-й страницы, так как по теореме 3.1
члены Ег+1 определяются членами ЕТ.
§4. Спектральная последовательность расширения 267
Возникает вопрос, зачем рассматривать варианты, если в итоге по-
получается одно и то же. Дело в том, что дифференциалы спектральной
последовательности индуцируются дифференциалом исходного фильтро-
фильтрованного комплекса, поэтому при вычислении <Гтк вовсе не безразлично,
с чего начинать.
Члены Е^о — ЯШ(В,М®^2), расположенные на прямой к — О,
называют членами базы. Очевидно, Е™к — подгруппа в Е^п0. Так как
Е^п0 — верхний этаж фильтрации группы Нт{С,М), имеется гомомор-
гомоморфизм Нт(С,М) —> Е^п0, образ которого совпадает с Е™0.
Члены Е$к — Нь(А,М) ®в 2 называют членами слоя. Имеется эпи-
эпиморфизм Е^к —> Е™к на нижний этаж фильтрации, который вкладывается
Из самого факта существования спектральной последовательности
расширения можно вывести содержательные утверждения, даже не вы-
вычисляя дифференциалы. Рассмотрим два классических примера.
Предложение 4.1. Предположим, что А и В — группы конечной гомо-
гомологической размерности й\ и, соответственно, с?2- Если С — расшире-
расширение В с помощью А, то группа С также имеет конечную гомологиче-
гомологическую размерность, которая не превосходит й\ +
Для доказательства рассмотрим спектральную последовательность рас-
расширения. Если п > й\ + с?2, то для любого С-модуля М
так как либо к > й\ и тогда Нк(А,М)) = 0, либо т > й<2 и тогда
Нт(В, -) = 0, поэтому Е™к = 0 при п > й\+й2, откуда #П(С,М) = 0. □
Второй пример связан с эйлеровой характеристикой. Рангом г(А) ко-
конечно порождённой абелевой группы назовём число свободных образую-
образующих её факторгруппы по периодической части. Эйлерова характеристика
группы С определяется равенством
п
Не стремясь к максимальной общности, будем предполагать, что для три-
тривиального С-модуля 2 существует свободная резольвента конечной дли-
длины (Рп,с?п), состоящая из конечно порождённых модулей. Тогда, очевид-
очевидно, х(С0 существует и, как было доказано в § 3.8,
п
268 Глава 5. Гомологии расширений
Аналогично доказывается, что
2),
п п
то есть эйлерову характеристику можно вычислять с помощью гомоло-
гомологии. Более того, если каждый модуль Рп домножить тензорно на 2Р (р —
простое число),то правая часть предыдущего равенства не изменится, от-
откуда следует, что
E.12)
П
Точно так же, если К — комплекс конечной длины, состоящий из конечно
порождённых абелевых групп, то
Х(К) =
п п
Если К — биградуированное семейство абелевых групп, на которых задан
дифференциал, то (при соответствующих условиях конечности)
Х(К) =
т,к т,к
Применим эти соображения к спектральной последовательности расши
рения, сходящейся к НпС Так как Ег+1 = Н(ЕГ), то
Но ранг г аддитивен относительно фильтрации, поэтому
т-\-к=п
Просуммировав (с соответствующими знаками) по всем п, убеждаемся,
что х(^°°) — х(@)- Подведём итог.
Предложение 4.2. Пусть группа С является расширением группы В
с помощью нормального делителя А. Если для групп А и В существу-
существуют свободные резольвенты конечного типа, то
Х(С) = Х{Е2) =
т,к
§4. Спектральная последовательность расширения 269
Выведем отсюда равенство
Х(С) = Х(А)х(В). E.13)
Пусть р — простое число. Вычислим х(&) с помощью равенства E.12).
Для этого рассмотрим спектральную последовательность расширения,
сходящуюся к группам #П(С, 2Р). Гомологии #П(Д 2Р) конечны, поэто-
поэтому некоторая подгруппа конечного индекса Во С В действует на них
тривиально. Если заменить С на Со — полный прообраз группы Во в С,
то и левая и правая часть равенства E.13) умножатся на индекс под-
подгруппы (равенство C.35)), поэтому с самого начала можно предполагать,
что В действует тривиально на группах Нп(А, 2р). Тогда по теореме об
универсальных коэффициентах для поля
ТрЛ тт ( о *7 \ /О\ ТТ (Л ^7 \
*-~*т 1с — -*■* ТП V -*-^ 1 ^Т) ) ^~у7 ■**■ к V ■**■} ^Т) ) •
Если теперь просуммировать по га и к с соответствующими знаками, то,
очевидно, получится произведение х(А)х(В) а-
Можно построить спектральную последовательность расширения и
для когомологий. При этом функтор ® заменяется на Нот. В результате
появляются кокомплексы, индексы пишут сверху и меняется направление
стрелок. Окончательно:
для любого С-модуля М существует спектральная последователь-
последовательность {ЕИр'к^(Щ1'к)9 сходящаяся к Нп(С,М), для которой
Дифференциалы направлены не влево и вверх, как для гомологии, а впра-
вправо и вниз, точнее, д%}к идёт из точки (т^к) в точку (га + г,п — г + 1). При
т — 0 получаются члены слоя Е^71 = Нп(А,М)в — п-мерные коциклы,
инвариантные относительно В. Краевые гомоморфизмы — это отображе-
отображения ограничения
Ке8п:
Группа Е^ содержится вЕ^и является верхним этажом фильтрации
группы #П(Д М), поэтому Е^ — образ ограничения. Аналогично, на ба-
базе Е^° — Нп{В,МА) и определено отображение инфляции
Группа Е®^ — эпиморфный образ группы Е%°. Это нижний этаж филь-
фильтрации группы Нп{С,М), поэтому Е^ можно описать как факторгруппу
группы Е™к по ядру инфляции.
270 Глава 5. Гомологии расширений
Упражнения
1. Приведите пример, когда гомологическая размерность расширения стро-
строго меньше суммы размерностей факторгруппы и нормального делителя.
(Указание: возьмите в качестве С свободную группу.)
2. Докажите аналог предложения D.1) для когомологической размерности.
3. Докажите, что гомологическая и когомологическая размерность конечно-
порождённой нильпотентной группы С без кручения равна сумме рангов
членов её верхнего центрального ряда. (Указание: если г —сумма рангов,
то НГС ^ 0, что доказывается с помощью спектральной последовательно-
последовательности индукцией по г.)
4. Докажите, что эйлерова характеристика конечно порождённой нильпо-
нильпотентной группы без кручения равна 0. (Указание: воспользуйтесь равен-
равенством E.13).)
§ 5. Пятичленная последовательность
Вновь рассмотрим расширение групп
Спектральная последовательность даёт возможность построить точную
последовательность, связывающую группы (ко)гомологий малых размер-
размерностей. Пусть Ь — произвольный С-модуль. Фильтрация группы
Н1{С,Ь), к которой сходится спектральная последовательность, состоит
из двух групп Е^ и Е^, то есть имеет место точная последовательность
0 -> Е™ -> Н\С, Ь) -> Е^ -> 0. E.14)
Очевидно, Е™ — Еср, поэтому
Е™ = Н\В, Н°(М, Ь)) = Н\В, Ьм)
(Ьм — неподвижные точки действия группы Л/"). Существует только один
(быть может) ненулевой дифференциал с^1: Е®1 —> #!°> в котором участ-
участвуют группы Е$г, следовательно, Е^ — Кегс^1, то есть имеется точная
последовательность
0 -> Ей - Я201 - Е$>. E.15)
Непосредственно из определений следует, что
$° = Н2(В Я°(ЛГ Ь)) = Н2(В Ьи
Е$° = Н2(В, Я°(ЛГ, Ь)) = Н2(В, Ьи).
§5. Пятичленная последовательность 271
Напомним, как группа В действует на Нг(М,Ь). Если /: N —> Ь —
дифференцирование, то /д (д е С) определяется равенством
1 С1 € Л/"). Если к тому же д € N. то
/A) - /(<?) = /(Л)
Это означает, что (/д — /) — главное дифференцирование, соответствую-
соответствующее элементу $(д). Таким образом, действие N на Н1(М,Ь) тривиально,
поэтому определено индуцированное действие группы В — С /Л/".
Сращивая последовательности E.14) и E.15), получим пятичленную
точную последовательность
Здесь г1 —ограничение: дифференцированию /: С —> /> сопоставляется
его ограничение на нормальный делитель N. Отображение I1 — инфля-
инфляция: дифференцированию /: В —> 1Л соответствует отступление вдоль
естественного эпиморфизма С->Ви расширение области значений. Ана-
Аналогично определяется инфляция I2. Ниже будет дано и явное определение
гомоморфизма 6.
Пятичленную последовательность называют также фундаментальной
точной последовательностью. Она часто оказывается полезной, так как
в приложениях прежде всего используется 1-ая и 2-ая группа когомо-
логий. Один из ярких примеров — когомологическая формулировка тео-
теории полей классов [1]. Дадим непосредственный «кустарный» вывод пя-
тичленной последовательности. Это поможет читателю закрепить навык
работы с когомологиями малых размерностей.
Отметим прежде всего, что композиция 1п и гп равна нулю для любо-
любого п. Действительно, Bп/)(<7ь • • • ,дп) — 0, если дг Е N для некоторого г
(ведь достаточно рассматривать нормализованные коциклы). В частно-
частности, г111 — 0. Проверим, что г1 — мономорфизм. Пусть /: В —> Ьм —
дифференцирование, и отображение у. С —* Ь определено равенством
<р(д) — /(дЛ/"). Если с18((р) — 0, то (р(д) = а(д — 1) для некоторого а е Ь.
Из равенства /A) = 0 следует, что (р(к) — 0 для любого к Е N. поэтому
а(к — 1) — 0, то есть а Е Ьм и с1в (/) = 0.
Докажем, что Кегг1 С 1т г1. Пусть ограничение дифференцирования
/: С —> Ь является главным, то есть /(/г) — а(к — 1) для некоторого
а Е Ь (к Е ЛГ). Положим (р(д) = /(д) — а(д — 1) (д Е С). Тогда <р — диф-
дифференцирование и сЬ(/) — с\$((р). Если к Е N. то (р(к) — 0, более того,
272 Глава 5. Гомологии расширений
— <р(к)д + ср(д) = (р(д), поэтому (р определяет дифференцирование
Тр: В —> Ь. Если к е М,д е С, то
~г
<р(д)к = (р(дН) - <р(к) = (р(дНд~гд) =
поэтому Тр принимает значения в Ьм, то есть ск(^) € Н1(В^ЬМ). В то
же время,
то есть с1в(/) е1шг1.
Определим теперь отображение 6: Я1^, Ь)в —> Я2(Б, Ьм) (оно сход-
сходно со связывающим гомоморфизмом). Пусть /: ЛГ —> Ь — дифференциро-
дифференцирование такое, что ск (/) инвариантен относительно С, то есть /д — / (д е
ЕС)-главное дифференцирование. Это означает, что
E.16)
4
где <р: С -+ Ь — некоторая функция. Если д € N. то можно просто поло-
положить <р(д) — /(д). Действительно, при д,к Е N
/A) - /0/) - /(/г) = /(</)(Л - 1).
Попробуем продолжить <р с N на С.
Лемма 5.1. Существует функция <р: С —> Ь, удовлетворяющая равен-
равенству E.16), которая совпадает с / на подгруппе N и обладает следу-
следующими свойствами:
Ч>(Ъ9) = У>(% + Ч>{9), Ч>(9Щ = ^Ы^ + У>(^) {кеИ,де С). E.17)
Доказательство. Рассмотрим систему представителей Ь —>Ъ (Ъ е В)
и для д — Ъ выберем любое значение (р(д) Е Ь, удовлетворяющее равен-
равенству E.16). Так как элемент д е С единственным образом записывается
в виде д = кЪ (к € Н), то можно по определению положить (р(кЬ) —
— (р(к)Ъ-\-(р(Ъ), что соответствует первому из равенств E.17). Второе
равенство следует из первого и условий леммы. Действительно,
(р(дк) = у{дкд~1д) - (р(дкд~1)д + (р(д) = !{дкд~1)д + (р(д)
- /СО
§5. Пятичленная последовательность 273
Рассмотрим теперь кограницу йу функции (р. Мы утверждаем, что её
значения лежат в Ьм. Действительно, для к е N и дг,д2 Е С
- 1).
По формуле E.16) это можно переписать в виде
((/51 - Ж^^1))^ - (/5152 - 1){Ъ) + (/52 - /)(Л).
Вспоминая определение действия группы С, окончательно имеем
^ 1 - 1{д1д<2Щ\д2)~1)д\д<2+
Таким образом, мы построили коцепь йу. СхС —> Ьм. Так как с?2 = 0, то
это — коцикл. Подчеркнём, что A<р является кограницей функции ср: С —>
—► Ь, значения которой не обязаны принадлежать Ьм, поэтому А(ф) мо-
может представлять ненулевой элемент группы Н2(С,ЬМ). Из леммы 5.1
следует, что
Аналогичное равенство справедливо и для первого аргумента. Отсюда
вытекает, что йц> определяет коцикл йу. В х В —> Ь^. Читатель легко
проверит, что с\в{йф) Е Н2(В^Ь) не зависит от произвола, имеющегося
в лемме 5.1.
Итак, для любого дифференцирования /: N —> Ь такого, что с1з(/) Е
€ Н1^,Ь)В, мы определили элемент с18(с?<^) € Я2(Б, Л^ь). Покажем,
что он зависит лишь от с18(/) Е Нг(М, Ь)в. Очевидно, соответствие / —>
—-> с\з (йф) является гомоморфизмом, поэтому достаточно проверить, что
если / — главное дифференцирование, то й^р — 0. Пусть /(к) — а(к — 1)
для некоторого а Е Ь. Тогда
{!9 - /)Л - /(дкд-^д ~ /(Л) - а{дНд-г - 1)д - а(к - 1) =
= ад(к -I)- а(к - 1) - а(д - 1)(Л - 1),
поэтому в E.16) можно положить <р(д) — а(^— 1). Тогда (р: С —* Ь — диф-
дифференцирование, следовательно, Aср — 0. Для любого элемента с1з (/) Е
Е Я1(Л/Г, 1/)Б можно теперь определить
Докажем точность пятичленной последовательности в Нг(М,Ь)в и
^. По существу, это — непосредственное следствие определений.
274 Глава 5. Гомологии расширений
Точность в Н1^,Ь)в. 1) Если /:(?—> Ь — дифференцирование,
то, вычисляя значение 6 на классе ограничения / на ТУ, мы можем в ра-
равенстве E.18) положить (р — /. Так как й/ — 0, то композиция ограниче-
ограничения г1 и с? равна 0.
2) Пусть с1в(/) е Н\М,Ь)В и <5(сЬз(/)) = 0. Покажем, что тогда /
будет ограничением некоторого дифференцирования С —> Ь. Условие
5(с1з(/)) = 0 означает, что для функции <р в равенстве E.18) суще-
существует (нормализованная) функция а: В —> Ьм такая, что д,ц) = йа.
Пусть /3: С —> Ьм — композиция проекции с а (отметим, что /3(к) — 0
для к б -/V). Тогда с?(р = й/3, поэтому с1((р — /3)—0. Это означает, что
(^ — /3: С -+ Ь — дифференцирование. Кроме того, ((р—/3)(к) = <р(/г) + 0 =
— /(/г), то есть ограничение </? — /3 на ТУ совпадает с /.
Точность в Н2{В,ЬМ). 1) Чтобы вычислить ^2(с18(й(^)), надо под-
поднять йу. ВхВ —> Ь^ до отображения с?<р: СхС -* Ь, но с?<р— кограница
для функции (р: С —> Ь, то есть 0 в Я2(С, Ь). Таким образом, композиция
5 с 22 тривиальна.
2) Пусть а: В х В —> Ьм — коцикл, и/3:СхС-+Ь — его образ при 22.
Если ск(/?) € Кег^2, то существует функция (р: С —» Ь такая, что
Так как о; — нормализованная функция, то /3(к,д) — /3(д,к) — 0 для
ДеЛ^, д Е С, поэтому </? удовлетворяет равенствам E.17). Положим
/(/г) — (р(/г) при ке N. Тогда /—дифференцирование, сЬ(/)еН1(М,Ь)в
и
(/5 - /)(Л) - /(^)^ - /(Л) - фкд-^д - ф).
Если заменить в первом из равенств E.17) к на дкд~1, это преобразуется
к виду
(р(дк) - (р(д) - <р(к) = у>(#)Л + (р(к) - <р(д) - (р(к) - (р(д)(Н - 1).
Из определения гомоморфизма 6 теперь следует, что <5(с1в(/)) — с1з(а).
Упражнения
1. С помощью спектральной последовательности расширения докажите су
ществование точной пятичленной последовательности групп гомологии
Н2(С,Ь) -» Н2(В.ЬМ) -» Я1(^,1)в -♦ Я!(С,1) -» Я^В.Ьдг) -» 0
(для произвольной группы Я и Я-модуля Г> 2?я = ^ ®я 2).
§6. О дифференциалах е^*, расщепляющегосярасшпрения с абелевым ядром 275
2. Докажите существование точной последовательности предыдущего
упражнения, не используя спектральную последовательность.
3. Во что превращается пятичленнная последовательность групп гомологии
в случае Ь = 2?
§ 6. О дифференциалах (Ртк расщепляющегося
расширения с абелевым ядром
Если С — С\ х С?2 — прямое произведение двух групп, то по теореме
Кюннета
О- 0 НтС1®НкО2->НпС^ 0 Тог(НтСиНкС2)^0,
т+к—п т+к=п—1
или, учитывая теорему об универсальных коэффициентах,
т+к=п
Так как в спектральной последовательности расширения
1 -> С2 -> С -> Сг -> 1
— Нт(С\,НкС2), отсюда следует, что спектральная последователь-
последовательность стабилизируется в члене Е2У то есть (Гтк — 0 для всех г > 2. Более
того, соответствующая фильтрация группы НпС расщепляется.
Некоторое время существовало предположение, что и в спектраль-
спектральной последовательности полупрямого произведения, сходящейся к цело-
целочисленным (ко)гомологиям, дифференциалы также тривиальны. В общем
случае это не так. Верно лишь, что тривиальны дифференциалы, начина-
начинающиеся на базе.
Предложение 6.1. Пусть С = В А — полупрямое произведение. Тогда
НпВ выделяется прямым слагаемым в НпС и в спектральной после-
последовательности, сходящейся к НпС, (Ит0 — 0 для любого г > 2.
Доказательство. Действительно, композиция вложения и естествен-
естественного эпиморфизма равна тождественному отображению, поэтому то же
самое верно для композиции индуцированных гомоморфизмов НпВ —>
—> НпС и НпС —> НпВ. Отсюда следует первое утверждение. Что-
Чтобы отображение НпС —> НпВ было эпиморфизмом, необходимо, чтобы
= 0. □
276 Глава 5. Гомологии расширений
Предпринимались попытки вычисления дифференциалов в терминах
гомологических умножений [73]. Однако даже в случае абелевой нор-
нормальной подгруппы А никакого общего ответа дано не было.
Пусть С — В А — полупрямое произведение, в котором нормальный
делитель А — абелева группа без кручения. В этом параграфе мы при-
приведём описание дифференциалов А^пк спектральной последовательности
(ЕГ,AГ), сходящейся к гомологиям НпС (теорема 6.4), полученное авто-
автором в работе [36]. Будет указана точная последовательность, зависящая
от Б-модуля А и от /с, но не зависящая от т, такая, что $шк совпадает
с композицией соответствующего связывающего гомоморфизма и гомо-
гомоморфизма Бокштейна. При г > 2 о дифференциалах йгтк практически
ничего не известно. Это обстоятельство смягчается тем, что во многих
интересных случаях в члене Еъ происходит стабилизация.
Отметим прежде всего особую роль двойки.
Предложение 6.2. Предположим, что в полупрямом произведении
С — В А абелева группа А не имеет кручения. Тогда образ диффе-
дифференциала <$тк спектральной последовательности, сходящейся к НпС,
аннулируется умножением на 2.
Доказательство. Пусть (^ — автоморфизм группы С, тождественный
на В и отображающий каждый элемент а Е А в а~1 (—а, если использу-
используется аддитивная запись). Рассмотрим индуцированный автоморфизм <р*
спектральной последовательности. На её второй странице Е2 (р* ре-
реализуется как семейство автоморфизмов <р^, которые перестановочны
с дифференциалами
€ Е2тк). E.19)
Так как Л —абелева группа без кручения, то Н&А = Ак(А) — внешняя
степень, поэтому Е^к — Нт(В,Ак(А)). На Ак(А) автоморфизм (р инду-
индуцирует умножение на (—1)*, следовательно, так же ^тк действует и на
группе Е^к. Аналогично, ^т_2 к+1 индуцирует на Е^_2к+1 умножение на
(-1)^+1. Равенство E.19) перепишется в виде (-1)к^пк = (-1)л+1с^л,
откуда 2A2тк = 0. □
Теперь мы построим точную последовательность В-модулей, которая
будет использована при вычислении дифференциалов. Введём сначала
абелевы группы пк(А) (к — 0,1,...). По определению, Ик(А) получа-
получается из Ак+1(А) (8) 22 присоединением новых образующих, которые мы
обозначим «1 П... Под (щ Е А). При к — 0 такое произведение считается
равным 1, а при к — 1 — элементу а е А. На эти образующие наложим
следующие соотношения:
§6.0 дифференциалах й2шк расщепляющегосярасширения с абелевым ядром 277
1) кососимметричность;
2) квазилинейность
а\ П ...П (щ +а[) П...Па& = а\ П.. .Пщ П.. .Па^ + а\ П.. . Па^П.. .
Л ... Л а^ Л щ Л ... Л
Поправка ах Л.. .АщАа'{А.. .Ла&, отличающая это тождество от обычного
тождества линейности, интерпретируется как элемент из Ак+1(А) ® 22,
точнее, его образ в Ик(А). Так как (& + 1)-ая степень приведена по моду-
модулю 2, поправка не изменится, если щ + а[ заменить на а^ + щ. Пока можно
лишь утверждать, что существует гомоморфизм Ак+1(А) ® 22 —> СЛ(Л).
Докажем, что на самом деле, это — вложение.
Лемма 6.3. Имеет место точная последовательность
О -> Ак+1(А) (8) 22 -> Ик(А) -> Ак(А) -> 0. E.20)
На группе Ик(А) можно ввести структуру В-модуля. Действительно, из
определяющих соотношений следует, что для любого Ь € В отображение
а\ П ... П ак —■* сцЪ П ... П
А ... Л а/с+1 —> «1& Л ... Л
продолжается до автоморфизма. Таким образом, последовательность
E.20) становится последовательностью В-модулей. Прежде чем доказы-
доказывать лемму, сформулируем основной результат параграфа.
Теорема 6.4. Пусть С = В А — полупрямое произведение абелевой
группы без кручения А и произвольной группы В. Тогда дифферен-
дифференциал ^тк спектральной последовательности расширения, сходящейся
к группам гомологии НпС, равен композиции связывающего гомомор-
гомоморфизма
Нт(В,Ак(А)) -+
отвечающего последовательности E.20), и гомоморфизма Бокштейна
отвечающего последовательности
О -> Ак+\А) Л Ак+\А) -> Ак+1(А) ® 22 -> 0.
278 Глава 5. Гомологии расширений
Доказательство леммы. Собственно, доказательства требует лишь
тот факт, что отображение Ак+1 ® 22 —* Ик{А) — мономорфизм. Если
некоторый элемент переходит в 0, то это устанавливается с помощью
конечного числа соотношений, то есть можно предполагать, что груп-
группа А конечно порождена, и следовательно, свободная абелева. Пусть
{вг\ — база группы А. Нам достаточно построить изоморфизм абелевых
групп Ик(А) = Ак+1(А) ® 22 © Ак(А). Обозначим через II{А) факторал-
гебру симметрической алгебры 8(А) по идеалу, порождённому элемента-
элементами е?. Очевидно, аддитивной базой алгебры 11(А) служат произведения
е^ ---е^, в которых г\ < ... < г8. Если а —сумма таких произведений,
отличных от 1, то при возведении в квадрат останутся только удвоен-
удвоенные произведения, то есть а2 Е 211 (А). Отсюда следует, что, приводя
по модулю 2, мы получим внешнюю алгебру над 22, то есть имеется
гомоморфизм алгебр
продолжающий естественное отображение А —* А ® 22. Для' доказатель-
доказательства леммы 6.3 нам достаточно доказать следующее.
Лемма 6.5. Отображение
П ... П ак —> т(A/2)ах... ак{а\ + • • • + а^)) + а\ Л ... Л а&
€ А) продолжается до изоморфизма абелевых групп
Бк{А) ^ Кк+1{А) (8) 22 © Ак(А).
Доказательство. Как мы отметили выше, элементы а\ е 1?(А) де-
делятся на 2, поэтому выражение A/2)а1.. .а^{а\ -\ \- а&) имеет смысл.
Так как 1) и 2) — определяющие соотношения группы Ок{А), то, чтобы
доказать лемму, достаточно проверить, что функция
..., ак) = т(A/2)а1... ак(аг Н 1- ак)) +а1Л...Лак
кососимметрична и квазилинейна.
Кососимметричность очевидна, поскольку оба слагаемых в правой ча-
части кососимметричны. Второе слагаемое линейно, поэтому квазилиней-
квазилинейность достаточно проверить для первого. Так как элементы щ равноправ-
равноправны, можно ограничиться первым аргументом. Надо убедиться в том, что
а[ + а2 Н Ь ак)) —
\-ак))-\-т(A/2)а[а2 ...ак(а[+а2-\
+а\ Л а[ Л «2 Л ... Л ак. E.21)
§6. О дифференциалах д?гпк расщепляющегосярасширения с абелевым ядром 279
Непосредственно проверяется, что
(аг + а[)а2 ... ак{а\ + а[ + а2 Н \-ак) — а\а2 ... ак[а\ + а2-\ \- ак)+
+ага2 ... ак(а[ + а2 Н Н а&) + 2а1«1а2 ... ак
(это верно в любом коммутативном кольце). Деля на 2 и применяя к обе-
обеим частям т, получим равенство E.21). □
Используя лемму 6.5, можно структуру Б-модуля перенести с Ик(А)
на Ак+1(А) ® 22 © Л* (Л). Приведём окончательную формулу
{а\ Л ... Л а&)Ь = &!& Л ... Л
... (акЬ)(а1Ь + ••• + акЬ)) + (г(A/2)а1... аЛ(а1 + • • • + ак)))Ь.
Таким образом, определяя аддитивную группу модуля Ик(А) как прямую
сумму, мы усложняем формулу для действия группы В. Наше первона-
первоначальное определение обладает также тем преимуществом, что не зависит
от выбора базы.
Доказательство теоремы. Используем обозначения Ик = Ик(А) и
дл _ л&(^4). Сращивая точную последовательность E.20) и последова-
последовательность, определяющую гомоморфизм Бокштейна, получим
0 _> Л*+1 Л Л*+1 -> Вк -> Л^ -> 0. E.22)
С другой стороны, пусть X —> 2 — резольвента тривиального Б-модуля
и 3?(Л) —> 2 — стандартная резольвента тривиального Л-модуля. Тогда
(см. §5.4) вычислять гомологии группы С — В А можно с помощью ком-
комплекса Х®ВУ, где У — ЩА)®АЪ. Этот комплекс определяет спектраль-
спектральную последовательность, сходящуюся к гомологиям НпС, причём
, Нк(А, 2)).
По лемме 3.1 д^к совпадает с умножением на последовательность
0 -> НМ(У) -> Ук+1/Вк+1 -*Ск^> Нк(У) -> 0, E.23)
где Ск — группа циклов, а Вк+\ — группа границ. Для того, чтобы дока-
доказать теорему, достаточно убедиться в том, что последовательности E.22)
и E.23) эквивалентны: умножение на эквивалентные последовательности
даёт одно и то же (определение см. §3.1). В E.23) участвует стандарт-
стандартный комплекс У = ЩА) ®А 2, в то время как основу последовательно-
последовательности E.22) составляют внешние степени. Для того, чтобы доказать экви-
эквивалентность E.23) и E.22), желательно понять, каким образом внешние
280 Глава 5. Гомологии расширений
степени присутствуют в стандартном комплексе. Эта тема уже обсужда
лась в § 2.4. Было, в частности, установлено, что элементы
е А)
(зщп(и) = ±1 в зависимости от чётности подстановки и) представляют
циклы комплекса У. Эти элементы, очевидно, кососимметричны, одна-
однако отображение а\ Л ... Л ап —» а1Ъ(а1,... ,ап) не продолжается до го-
гомоморфизма. Причина понятна: в отличие от внешнего произведения,
а11(а1,... ,ап) не является линейной функцией своих аргументов. Нам
понадобится явный вид невязки. В силу кососимметричности можно огра-
ограничиться одним аргументом, например, последним.
Лемма 6.6. В комплексе У = ЩА) ®д 2 справедливо тождество
суммирование происходит по подстановкам и> € 5п+1, в которых
п стоит левее п + 1.
Доказательство. Чтобы вычислить сумму
выделим слагаемые, соответствующие образу одного из элементов
(аа>A)> • • • >аа>(п+1))- Среди них имеется п внутренних элементов
и два крайних
Если бы суммирование происходило по всем подстановкам и) Е 5п+1, то
все внутренние слагаемые сократились бы уже в ЩА). В ЩА) (8>д 2 со-
сократились бы и крайние слагаемые. Нам надо проследить за тем, что
изменится, если суммировать только по подстановкам, удовлетворяю-
удовлетворяющим условию «п стоит левее, чем п + 1». Первые слагаемые элемен-
элементов й(ац1),...,а(д;(п),ап+1) имеют вид (аищ,... ,а^п)) и в сумме дают
§6. О дифференциалах с^ расщепляющегосярасширения с абелевым ядром 281
аИ;(а1,... ,ап-\,ап). Они должны были бы сократиться с последними сла-
слагаемыми элементов вида A(ап+1^а^2)^ • • • >ао;(п+1))» но их нет» посколь-
поскольку ап+\ не может стоять слева. Рассмотрим далее подстановки, в ко-
которых иA) = п. Последние слагаемые элементов ^(ап^а^) - • • тЯп+х)
имеют вид (аиBI ••• 1ап+ \) и в сумме дают а11;(а1,...,ап_1,ап+1). Они
должны были бы сократиться с первыми элементами в суммах типа
^(ао;A)>- •• ,аи;(пIап)> но по условию ап не может стоять справа.
Наконец, не сократятся и внутренние слагаемые вида (ацх),.. .,ап +
+ ап_|_ь • • • >ао;(п+1))» возникающие при дифференцировании элементов,
в которых ап и ап+1 стоят рядом и ап предшествует ап+\. Собирая их вме-
вместе, получим — а11;(а1,.. .,ап-\,ап + ап+\). Легко видеть, что все осталь-
остальные элементы сократятся, откуда и следует лемма 6.6. □
Следствие 6.7. Пусть Сп и Вп-— подгруппы циклов и границ стан-
стандартного комплекса. Тогда отображение
а\ А ... Л ап —► а11(аг,..., ап) -\- Вп
определяет изоморфизм Ап(А) = Сп/Вп = НпА.
Благодаря этому следствию последовательность 5.23 можно переписать
в виде
О _> Л^1 -* Гк+1/Вк+1 ^Ск-+Ак-+0, E.24)
где отображение Ак+г —> Ук+\/Вк+\ определяется, как в следствии 6.7,
а эпиморфизм Ск —* Лк переводит а11;(а1,..., а^) в а\ Л ... Л а*, (границы
Вь = A(Ук+х) переходят в 0). Займёмся двумя средними членами по-
последовательности E.24.) Для этого определим отображение /: У —> Л,
идущее в противоположном направлении
/п((«ь ••••> «п)) = «1 Л ... Л ап.
Отметим, что / — гомоморфизм В-модулей (относительно диагонального
действия группы В). Очевидно также, что
,..., ап)) = п\ а\ А ... Л ап.
Легко видеть, что /п равно нулю на границах. Действительно
••••> «п+1)) = а\ А ... Л ап+
Л ... Л (о* + щ+г) А ... Л ап+1 + (-1)п+1а2 Л ... Л ап
г=п
282 Глава 5. Гомологии расширений
Если по дистрибутивности раскрыть скобки, все слагаемые сократятся.
Из этого свойства следует, что определено индуцированное отображе-
отображение <р: У/с+х/Б/с+х —» Ак+1. Попробуем его использовать для построения
коммутативной диаграммы
о _> л**1 -> гк+1/вк+1 Д ск -> л* -> о
IV II
О _> Л*+1 (*^1)! Ак+1 -> ? - А* -» 0.
Недостающая позиция может быть заполнена единственным образом.
Действительно, если мы построили диаграмму
0 _ а*+х - Уш/Вш Д С* -> Л* -> 0
E.25)
0 _> Л^1 №1?)! Л*+1 Д Р* - Л* - 0,
то, как показывает диаграмный поиск, отображение ф — эпиморфизм, то
есть Рк — это фактормодуль модуля циклов С&. Ядро отображения ф
должно совпадать с (к + 1)!ЛЛ+1. Пусть Bк+1 — прообраз этого подмо-
подмодуля при отображении <р. Чтобы средний квадрат диаграммы был ком-
коммутативен, нужно, чтобы выполнялось равенство д,{С}к+1) = Кег0, по-
поэтому Р^ = Сь/с1((дк+1). Отображение ф — это просто естественный эпи-
эпиморфизм, а ф = фд,цГх {$гх означает выбор прообраза). Построенная
диаграмма устанавливает эквивалентность её верхней и нижней строки.
Таким образом, мы доказали, что дифференциал $тк совпадает с умно-
умножением на последовательность
0 _> а**1 (*±>1)! Ак+1 ^Рк-+Ак^0. E.26)
Это уже мало отличается от требуемого результата. Надо лишь (к + 1)!
заменить на 2. Выделим правую часть последовательности E.26)
0 -> Л*+1 ® 25(л+1), ^ Рк -* Ак -> 0. E.27)
Пусть
П ... П аь = ф(аИ(п1,..., аь)) € Р .
Как видно из дальнейшего, это обозначение согласуется с обозначением
для элементов модуля Бк. Докажем, что в Рк выполнено тождество
а\ П ... П (а{ + а[) П ... П а*. = а\ П ... П щ П ... П
+а\ П...ПщП...Пак + A/2)(^ + 1)!а1 Л • • • л аг А Щ Л ... Л а*. E.28)
§6. О дифференциалах с^к расщепляющегосярасширения с абелевым ядром 283
Последнее слагаемое интерпретируется как элемент из Л*4
и имеет порядок 2. Так как элементы а\ П ... П ак кососимметричны,
достаточно рассмотреть случай г = к. Положим ак+\ = а'к. По лемме 6.6
для элемента аИ(а\,... ,а&_1,а&+а&+1) поправка к тождеству линейности
имеет вид A(у), где
у
...,
(суммирование по всем подстановкам, в которых к стоит левее к + 1).
Нам надо доказать, что ф(с1(у)) совпадает с поправкой в формуле E.28).
Из диаграммы E.25) следует, что ф{й{у)) = ф((р(у)). По определению
л... л аи{к+1) е Ак+1.
Применение ф означает, что мы приводим Л^+1 по модулю (к + 1)!. Так
как внешнее произведение кососимметрично, а количество подстановок,
по которым происходит суммирование, равно A/2)(А + 1)!, результат со-
согласуется с E.28).
Из доказанной формулы следует, что подгруппа модуля Рк, порождён-
порождённая элементами
1)\а\ Л ... Л а&+1, а\ П ... П
изоморфна модулю Ик, причём имеет место коммутативная диаграмма
О _> Л^+1 Л Л^+1 -* Ок -+ Ак -+ О
II 1« 1 II
О ^ Л^+1 {к^У' Ак+1 -* Рк -+ Л^ ^ О,
где а — умножение на A/2)(к+ 1)!. Это заканчивает доказательство эк-
эквивалентности последовательностей E.23) и E.22), и следовательно, те-
теоремы 6.4. □
Упражнения
1. Пусть А — абелева группа без кручения и С = В А. Выведите равенство
с[тп0 — о из того факта, что #° = А ф Ъ — прямая сумма Б-модулей.
2. Пусть А —свободная абелева группа, имеющая Б-инвариантную базу. До-
Докажите, что тогда Вк = Ак+1(А)®212®Ак(А) — прямая сумма Б-модулей,
в частности, 6^пк — 0.
284 Глава 5. Гомологии расширений
3. Опишите действие группы В на И1 как на прямой сумме абелевых групп
Л2 <8> Ъ2 0 А. (Ответ: @, а)Ь = (с, аЬ), где с = т(A/2)(а&J) + (т(A/2)а2)N;
т: 11(А) —> Л(А) ® ^2 — отображение, определённое выше.)
4. Является ли Б-модулем алгебра С/(А)? (Указание: идеал симметрической
алгебры, порождённый квадратами элементов базы не является
Б-подмодулем.)
5. Проверьте утверждение леммы 6.6 непосредственным вычислением при
п — 2. (Указание: нужно будет выписать дифференциалы трёх элементов,
при этом возникнет 12 слагаемых, 6 из которых сократятся.)
§ 7. О дифференциалах ^пк расширения с абелевым ядром
Рассмотрим расширение
E.29)
в котором А — абелева группа без кручения. В этом параграфе мы иссле-
исследуем дифференциалы <^к спектральной последовательности, сходящейся
к гомологиям НпС. Читателю полезно предварительно просмотреть ма-
материал § 3.5. Напомним, что там было построено каноническое вложение
произвольного расширения с абелевым ядром в расщепляющееся расши-
расширение. Пусть
Рс =
где А а — идеал кольца ЪС, порождённый элементами вида а — 1 (а е А).
Рассмотрим полупрямое произведение Шс = ВРс. Тогда отображение
(Ь — образ элемента д е С в группе В) определяет вложение и: С —»
—> \Ус- Элемент а е А переходит в ((а — 1) + Ас А а) Е Рс- Мы будем
отождествлять группу Л с её образом в Рс- Имеет место точная после-
последовательность
О -> А -> Рс -> Ав -+ 0. E.30)
Сращивая её с последовательностью 0 —> Ас —> %В —> 2 —> 0, получим
0 -> А -* Рс -> ЪВ -+ Ъ -* 0. E.31)
Класс эквивалентности этой точной последовательности в группе
, А) называют характеристическим классом расширения.
§7. О дифференциалах й^к расширения с абелевым ядром 285
Домножим характеристический класс тензорно над 2 на внешнюю
степень Ак{А). Так как А — абелева группа без кручения, имеет место
точная последовательность
О -* Ак{А) ® А -> Ак(А) ®РО-+ Ак(А) ® Ав -* 0.
Обозначим через Ак(А) А Рс факторгруппу тензорного произведения
Ак(А) ® Рс по соотношениям
а\ Л ... Л а& ® зд+1 = —а\ Л ... Л а^+\ ® а& (а 6 А).
Вводя эти соотношения, получим
0 -> Ак+1(А) -* А*(Л) Л Рс -> АЛ(Л) ® ДБ -> 0. E.32)
Композиция с
0 -+ А*(Л) ® Аб -> Ак(А) ® 2Б -^ А*(Л) -> 0 E.33)
даёт последовательность
: 0 -> АЛ+1(Л) -* А*(Л) Л Рс -> А*(Л) ® 2В -> АЛ(Л) -* 0. E.34)
Класс эквивалентности Хк в группе ЕхЬв(Ак(А), Ак+1(А)) назовём харак-
характеристическим классом к-ого порядка. При к = 0 получается обычный
характеристический класс.
Умножение на хк определяет гомоморфизмы
Хтк: Нт(В,Ак(А)) -
Это — композиция двух связывающих гомоморфизмов, соответствующих
последовательностям E.33) и E.32). Отметим, что первый является изо-
изоморфизмом, так как Ак(А) ® ЪВ — свободный В-модуль. В спектральной
последовательности расширения E.29), сходящейся к НпС,
Е2тк = Нт(В,Нк(А)) = Нт{В,к\А)),
поэтому Хтк можно переписать в виде
Хтк-
Сформулируем основной результат этого параграфа
286 Глава 5. Гомологии расширений
Теорема 7.1. Пусть А — абелева группа без кручения. Дифференциалы
<1тк спектральной последовательности расширения E.29), сходящей-
сходящейся к гомологиям НпС, можно представить в виде суммы
,2 _ , -/2
ат к ~ Хт к ~г 0>т к,
Хтк — умножение на характеристический класс к-ого порядка хь
—2
а Aтк — дифференциалы спектральной последовательности полу пря-
прямого произведения В А.
В предыдущем параграфе дифференциалы йтк были описаны в терминах
умножения на некоторую точную последовательность. Было доказано, что
образ аннулируется умножением на 2, поэтому, если присоединить 1/2,
то второе слагаемое пропадает.
Следствие 7.2. Дифференциалы йтк спектральной последовательно-
последовательности, сходящейся к Нп{С, 2[1/2]) совпадают с умножением на
Если расширение центрально, то нет надобности присоединять 1/2, так
как соответствующее полупрямое произведение превращается в прямое
произведение, а в этом случае дифференциалы (Гтк тривиальны.
Пусть А — свободная абелева группа, имеющая базу, инвариантную
относительно действия группы В. Тогда дифференциалы йтк спектраль-
спектральной последовательности, сходящейся к НпС, также совпадают с умноже-
умножением на хк- Это следует из упражнения 2 к §5.6 и теоремы 7.1.
По предложению 6.1 для полупрямого произведения дифференциалы,
идущие с базы, тривиальны, поэтому частным случаем теоремы является
следующее утверждение.
Следствие 7.3. Дифференциалы йт0 спектральной последовательно-
последовательности, сходящейся к НпС, совпадают с умножением на характеристи-
характеристический класс E.31).
В последнем следствии можно отказаться от предположения о том, что
А не имеет кручения, но мы на этом останавливаться не будем.
Теорема 7.1 —это версия результата М. Андре [2]. У него, правда,
не было подробной информации о втором слагаемом. Описание перво-
первого слагаемого у Андре даётся в терминах П-произведения. Это эквива-
эквивалентно нашему подходу, однако для дальнейшего более удобен вариант,
использующий точную последовательность E.34). Изложение следует ра-
работе [36].
§7. О дифференциалах е?^ расширения с абелевым ядром 287
_2
Доказательство теоремы. Дифференциалы д,тк реализуются как
умножение на последовательность
ак: 0 - А*+1(Л) Д А*+1(Л) -* #*И) - А* (Л) -* О,
— композицию двух коротких точных последовательностей теоремы 6.4.
Напомним, что Б-модуль Ик = Ик(А) получается из А*+1(л4)®22 добав-
добавлением образующих а\ П.. .Па&, которые кососимметричны, удовлетворя-
удовлетворяют соотношению квазилинейности и на которые В действует диагонально
(см. §5.6). Мы начнём с того, что построим последовательность р&, кон-
конгруэнтную сумме Хк + &к- Положим для краткости Ак(А) = Ак и пусть
= Ак АРс/2Ак+1. Очевидно, имеют место точные последовательности
О _> л*+1 Л Ак л Рс -* Ьк -> О,
О — Ал+1 ® 22 -> ^ -^ Л* ® Дб -^ 0.
Определим В-модуль Д^ = Кк(А). Как абелева группа Дл равен прямой
сумме аддитивных групп модулей Ик и Ьк с объединённой подгруппой
А^+1 ® 22- Будем считать, что Ьк — подмодуль в Кк, а действие группы
В на элементы а\ П ... П ак € Ик зададим формулой
(а\ П ... П ак)Ь = а\Ь П ... П а&6 + 2а\Ъ А ... Л аф ® F — 1). E.35)
Второе слагаемое требует пояснений. Имеется естественный эпиморфизм
Ьк —» Ак® Ав- Прообраз а\ЪА.. .Ла/с6®F—1) в Ьк определён с точностью
до слагаемого из Л*4 ®22- После умножения на 2 получается корректно
определённый элемент. Мы оставляем читателю проверку того, что левая
и правая часть тождества квазилинейности в результате действия Ъ дают
одно и то же, то есть, что формула E.35) согласована с определяющими
соотношениями. Проверим равенство
((«1 П ... П ак)Ъ)Ъ' = (а\ П ... П ак){ЪЪ').
Левая часть:
(а\Ъ П ... П акЬ + 2а\Ь А ... Л аф ®{Ь —
— а\ЪЬ'Г\.. .ПакЬЬ''+2а\ЪЪ*А.. .АакЪЪ1 ®(Ъ> — 1)-\-2а\ЪЬ'А.. .АакЪЪ'®(Ъ—1)У.
Правая часть:
а\ЬЪ П ... П акЬЬ + 2а166 П ... П афЬ ® F6 — 1).
288 Глава 5. Гомологии расширений
Нужное равенство следует из тождества
(У - 1) + (Ь - 1N' = (ЬУ - 1) (Ь, У е В).
По построению имеет место точная последовательность
рк: О -> Л*+1 Л Л'2 Л Рс -* Д* -* Л* -* 0.
Лемма 7.4. Последовательность рк эквивалентна сумме хк + 07с-
Доказательство. Рассмотрим модуль Бк, который получается из Як,
если отбросить второе слагаемое в равенстве E.35). Можно описать Ик
как прямую сумму Бк и Ьк с объединённым подмодулем Л^®22. В част-
частности, Ик содержится в Бк в качестве подмодуля. Рассмотрим коммута-
коммутативную диаграмму
0 _+ Л^+1 Л Л*+1 -^ Г>* -^ Ак -^ 0
II | I ||
0 _► л+1 Л ^
где Ик —> Ик — вложение. Эта диаграмма устанавливает эквивалентность
верхней и нижней строки. Рассмотрим также модуль Кк, который полу-
получается из Нк, если тождество квазилинейности заменить на тождество
линейности. Аддитивная группа модуля Кк представляется в виде пря-
прямой суммы кк © Ь^. Можно построить коммутативную диаграмму
0 _> д*+1 -► Л^лРс -> кк®ЪВ -> Ак -* 0
II 12 I ||
0 _> л^+1 Д Л^лРс -► П$ -* Ак -+ 0.
Гомоморфизм Ак ® ЪВ —> /?§ продолжает тождественное отображение
Ак ® 1 —> Л'2 С Д§. Продолжение существует, поскольку Л'2 ® 2В — ин-
индуцированный модуль. Обозначим а'к и х'ь нижние строки построенных
диаграмм. Нам достаточно доказать, что х'к + °'к ~ Рк- Рассмотрим ко-
короткие точные последовательности
ек : Ак+1 ->
гк:Ьк-^ Ек -► Ак,
4 : Ьк-По- А*,
г'к : Ьк->Кк0-+ Ак
§7. О дифференциалах е^ расширения с абелевым ядром 289
(нули на концах подразумеваются). Докажем, что гк = гк + д!к. Сумма
определяется как точная последовательность
О -* Ьк -+ Кк -+ Ак -* О,
где Кк получается из Кк © Бк переходом к подмодулю, состоящему из
пар (с, с?) таких, что образы с и с1 в Ак совпадают, и отождествлением
подмодулей Ьк С Д§, Ьк С /}§. Изоморфизм Я^ —> Я^ определяется
следующим образом. Элемент а] П ... П ак переходит в пару
(ах П ... П ак, а\ А ... Л
а подмодуль Ьд. отображается тождественно. Наконец, \'к — екгк ~ ком
позиция е/с и гк. Аналогично, ак = е&е^, поэтому
= ек(гк + 4) = е^г/, = рк. П
Теперь, чтобы доказать теорему, нам достаточно убедиться, что ^пк
совпадает с умножением на рк. Для построения спектральной последова-
последовательности используем вложение
С -+ Ц?с = ВРС.
Если X —> 2 — произвольная резольвента группы Б, а 38(Рс) -^ 2 —
стандартная резольвента, то Х®$?(Рс) —> 2 — свободная резольвента для
И^с, и следовательно, для С. Группы НПО изоморфны группам гомологии
комплекса
(X ® (К(РС) ®А 2)) ®В2^Х®ВУ,
где У = ЩРс) ®л 2. Подобную выкладку мы уже несколько раз прово-
проводили в двух предыдущих параграфах. Тензорное произведение X ®в У
определяет спектральную последовательность, сходящуюся к НПС. Её
дифференциалы по предложению 3.3 можно вычислять как умножение
на последовательность
О -> Нк+1(У) -+ Ук+1/Вк+1 -*Ск-> Нк(У) -+ 0 E.36)
(Ск, Вк — группы циклов и границ комплекса У). Нам достаточно дока-
доказать, что эта последовательность эквивалентна последовательности рк
В доказательстве будут нужны некоторые соотношения, выполненные
в комплексе У. Пусть Уп(Рс) — свободная абелева группа с базой из
элементов (сх,..., сп), где сг е Рс- Тогда ЩРс) = У(Рс) ® %Рс- Так как
Рс/А = Д^ (последовательность E.30)), то
у = щрс) ®Аг = у(рс)
290 Глава 5. Гомологии расширений
Используем для элементов с е Д# С 2Д# экспоненциальную форму
записи ес. Так как при вложении О —> ВРс элемент д переходит в
Ь((д — 1) + Д^Дд) (Ь —образ д в В), то при индуцированном вложении
В —> ВАв элемент Ь переходит в бе6. Отсюда следует, что в комплексе
У имеет место равенство
((си •••,<*) ® ес)Ь = (сгЬ,..., спЬ) ® есЬ^ь~1\ E.37)
Лемма 7.5. Для любых а\,.. .ап е А,Ь е В в комплексе У
где а — прообраз элемента Ъ — 1 е Д# в модуле Рс (&И — альтерниро
вание).
Доказательство. В стандартной резольвенте
, • • •, с», • • •, сп) ® (е^" - 1).
Это (в других обозначениях) — равенство B.32), справедливое в стан
дартной резольвенте любой абелевой группы. Из него следует, что
,..., апЪ, а)) = з1Ь(а\Ь^..., апЬ) (& (е —
— все остальные слагаемые сократятся, так как щ Е А. Полученный эле-
элемент, благодаря формуле E.37) (при с = 0), равен
а11(аь ..., ап)Ъ — а11(а1б,..., апЬ). □
Вернёмся к доказательству теоремы 7.1. Оно сходно с доказатель-
доказательством теоремы 6.4. Прежде всего заменим в E.36) гомологии НпУ на
внешние степени
0 _> л*+1 -+ Ук+1/Вк+1 -+
Так же, как в следствии 6.7, при отображении Л^+1 —> 1^+1/Вг+1 произ-
произведение а\ Л ... Л ак+\ переходит в дИ(а\,..., ак+\) -Н 5^+1.
Как мы знаем, аддитивную базу группы Уп = §?(Рс) ®д 2 образуют
элементы
(сь • • •, Сп) ® ес, где с{ е Рс,с€ Дд.
Рассмотрим отображение /: У —> Л(Р^), при котором (с^ .. .,сп) ® ес
переходит в сх Л ... Л с^. Очевидно,
/(аЙ(сх,..., Сп) ® ес) = п!сх Л ... Л
§7. О дифференциалах с^ расширения с абелевым ядром 291
Это аналог отображения /, введённого в §5.6 после следствия 6.7. Точно
так же проверяется, что / равно 0 на границах, поэтому имеется инду-
индуцированный гомоморфизм
Аналогом диаграммы E.25) служит диаграмма
п ^ Л^^ ► Уи IВь. —» Си ^ Л^ ► О
IФ II E.38)
О _» Ак+1 Ч"А"' Ак+1(Ра) А Рк -» Л* -» 0.
Модуль Рк определяется как фактормодуль Ск по подмодулю
где Bк+1 = у~1((к + 1)!Л^+1), а ф = фй^гх. Именно такие определе-
определения делают диаграмму коммутативной. Мы доказали, что й^пк совпадает
с умножением на последовательность
0 _ Л*+1 (*±»1)! Ак+\РС)
По построению имеет место точная последовательность
0^Ь'к-* Л(РС) -> Ак - 0,
где Ь'к = Ак+1(Рс)/(к + 1)!ЛЛ+1. Точно так же, как в §5.6 доказывается,
что элементы
а\ П ... П а& =
удовлетворяют соотношению
а\ П ... П (а{ + а^) П ... П ак = а\ П ... П щ П ... П
+ах П ... П а- П ... П ак + A/2)(к + 1)!а1 Л ... Л щ Л а- Л ... Л ак. E.39)
Докажем, что
П ... П а/с)Ь = аг6 П ... П акЬ + (к + 1)\а\ П ... П ак ® F - 1). E.40)
Так как 0 — гомоморфизм В-модулей, достаточно вычислить элемент
а11(ах,... ,ак)Ъ. По лемме 7.5 он равен сумме двух слагаемых. Значе-
Значение ф на первом равно а\Ъ П ... П акЬ. Вычислим значение ф на втором,
учитывая коммутативность диаграммы E.38),
,а))) = ^((^(аН^ахЬ,... ,акЬ,а))) =
= Ф((к + 1)\а1Ь Л ... Л акЬ Л а) = (к + 1)!а1б Л ... Л а/.Ь ® F — 1)
(напомним, что а —прообраз (Ъ— 1) в Р^) П.
ю
292 Глава 5. Гомологии расширений
Рассмотрим в Рк подгруппу Рк, порождённую образом Ак Л Рс при
отображении ф и элементами а\ П ... П а^. Из E.40) следует, что Рк
является В-подмодулем. Имеется коммутативная диаграмма
0 _> л*+] (к^I Ак+1(РС) - Рк - Л* -> 0
II Т Т ||
0 _ л^1 (^1)! АклРс ^ Рок - Л* - О,
где средние вертикальные стрелки — естественные вложения. Таким об-
образом, последовательность E.36) эквивалентна нижней строке построен-
построенной диаграммы. Имеет место точная последовательность
0 -» 4' -> Р$ -> Ак -> 0, E.41)
где Ь^ = Л/сЛРс/(А:-|-1)!ЛА;+1. На данный момент наш результат отличает-
отличается от требуемого множителем (к+1)\ вместо 2. Рассмотрим в Рк подгруп-
подгруппу Нк, порождённую элементами а\ П... П а^ и A/2)(к + 1)!^о(Л^ Л Рс).
Из E.40) следует, что Кк — подмодуль, а из E.39), E.40) и E.41), что
имеет место точная последовательность
0 -♦ I* -* Я* -> Л* -* 0,
где Ьк = A/2)(А; + 1)!^ - A/2)(Д; + 1)!А* Л Рс/(к + 1)!АЛ+1. Так как
АклРс и Ак АРс/А^1 = Ак®Ав — группы без кручения, то для любых
5 И ^
Л РС/*1АШ =Ак/\
поэтому Ьь = АкЛ Рс/2Ак+1. Учитывая этот изоморфизм, получим ком-
коммутативную диаграмму
0 _ д*+1 (/с±,1)! А*+1(Рс) -* Рк -* Ак -* 0
II Т Т II
0 _^ л*+1 Л Л^лРс -^ Д* -+ Л'2 -* 0,
где левая вертикальная стрелка — умножение на A/2)(к+ 1)!. Нижняя
строка совпадает с нужной последовательностью р&.Теорема 7.1 доказана.
ГЛАВА 6
ГОМОЛОГИИ СВОБОДНЫХ АБЕЛЕВЫХ
РАСШИРЕНИЙ
Одной из задач гомологической теории групп является вычисление го-
гомологии свободных конструкций. В §4.2 был указан способ вычисле-
вычисления гомологии свободного произведения с объединённой подгруппой и
НЫЫ-расширения. В §5.1 выведена формула Кюннета, дающая описание
целочисленных гомологии прямого произведения. Сходную задачу можно
поставить в категории расширений с абелевым ядром. Речь идёт о го-
мологиях свободного абелева расширения данной группы — конструкции,
которая подробно рассматривалась в § 3.6. Прежде чем знакомиться с ма-
материалом этой главы, полезно ещё раз просмотреть §3.6. Тем не менее,
мы напомним основные определения, чтобы зафиксировать обозначения.
Они будут использоваться на протяжении всей главы.
Фиксируем группу В и представим её в виде факторгруппы свобод-
свободной группы: В = Р^. Пусть М = Л^ = ТУ/ТУ7 — модуль соотношений
группы В (ТУ7 — коммутант) иФ = Р/Ы1'. Расширение
называют свободным абелевым расширением группы В. Образы в Ф сво-
свободных образующих группы Е будут свободными образующими расшире-
расширения. Любое расширение с абелевым ядром группы В является эпиморф-
ным образом свободного. В этой главе решается задача о вычислении це-
целочисленных гомологии НпФ. Подчеркнём, что речь идёт не о конкретной
группе, а о некоторой свободной конструкции, поскольку базовая группа
В произвольна. Естественно предполагать, что нам известны гомологии
группы В и цель состоит в том, чтобы выразить через них и через модуль
соотношений гомологии НпФ. Это обычная точка зрения. Например, если
294 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
мы пишем формулу для гомологии свободного произведения
Нп(Сг * С2) = НпСх @ НпС2 (п > 0),
то предполагается, что есть информация о гомологиях сомножителей.
Чтобы дать представление о характере полученных результатов, сфор-
сформулируем два из них.
Пусть В — произвольная группа без кручения, Тп — периодическая
часть группы НпФ и Тп — её факторгруппа по подгруппе 2-кручения.
Обозначим через тг(п) произведение нечётных простых чисел, которые
делят п. Тогда экспонента группы Тп делит тг(п).
Как это часто бывает в алгебре и топологии, двойка играет особую
роль. Группу Тп удалось полностью описать в терминах гомологии груп-
группы В. Также лишь в качестве примера приведём следующий факт:
если р —нечётное простое число, то Тр = НР+2(В, Ър).
Это означает, что в свободном абелевом расширении «живут» некие уни-
универсальные циклы, за которые ответственна группа В. Их образы при
эпиморфизме в другое расширение с абелевым ядром могут также ока-
оказаться нетривиальны.
Так как многие доказательства в этой главе достаточно сложны, мы
каждый раз начинаем с описания результатов, чтобы можно было соста-
составить общее впечатление при первом знакомстве с материалом.
Основной метод — использование спектральных последовательностей.
Удивительный факт состоит в том, что по модулю 2-кручения для любой
группы В спектральная последовательность свободного абелева расшире-
расширения стабилизируется в члене Е*3, а дифференциалы вычисляются единооб-
единообразно. Второй инструмент, который постоянно используется — вложение
Магнуса модуля соотношений М в свободный модуль Р (см. §3.6). Это
записывается в виде точной последовательности
0-+М-+Р — 2В -+ 2 ^ 0.
§ 1. Гомологии с рациональными коэффициентами
С рациональными гомологиями все обстоит просто, хотя и достаточ-
достаточно неожиданно. Пусть Ак(М) — к-я внешняя степень модуля соотноше-
соотношений группы В (мы используем обозначения, введённые выше). Положим
Лд(М) = Ак(М)®(%. При вычислении групп #&(Ф, С}) решающим явля-
является следующее утверждение.
§1. Гомологии с рациональными коэффициентами 295
Теорема 1.1. Для любой группы В и к > 2 Лп(М)— плоский В-модуль.
В теореме имеется ввиду диагональное действие группы В на внешней
степени. Определение плоских модулей обсуждалось в §4.1.
При к = 1 теорема неверна. Модуль М ® (^ может иметь любую
гомологическую размерность. Действительно, по теореме редукции D.12)
Понятно, что для сколь угодно больших п правая часть может быть от-
отлична от нуля.
Прежде чем доказывать теорему 1.1, выведем из неё теорему о гомоло-
гиях с рациональными коэффициентами. Вложение М —> Ф индуцирует
гомоморфизм
(подробнее см.§4.2). Так как М—свободная абелева группа, этот гомо-
гомоморфизм можно переписать в виде
Теорема 1.2. Для любой группы В при п ^ 2 вложение М —> Ф инду-
индуцирует изоморфизм
Отметим, что эта теорема носит отрицательный характер. Она утвер-
утверждает, что кроме очевидных циклов, связанных с внешней степенью, не
существует циклов с рациональными коэффициентами, которые бы при-
присутствовали во всех расширениях группы В с абелевым ядром.
Доказательство теоремы 1.2. В спектральной последовательности
свободного абелева расширения, сходящейся к
Е2тк = Нт(В,Нк(М,С1)) -
Из теоремы 1.1 следует, что Е^пк = 0 при т > 0, к > 1. По следствию 7.3
гл.5 с?от совпадает с умножением на характеристический класс E.31),
а по предложению 6.3 главы 3 для свободного абелева расширения модуль
Рс из E.31) свободен. Отсюда вытекает, что при т > 2 дифференциалы
о~ изоморфизмы, а^о" мономорфизм, следовательно, при п ^ 2
яп(Ф, <э) = е1п = е\п = ЩМ). и
296
Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Рис. 8. Ё2 и Е3 с рациональными коэффициентами.
Доказательство теоремы 1.1. Воспользуемся индукцией по к. При
к = 2 нужное утверждение следует из результатов §4.8. Действительно,
пусть для краткости К = ЪВ. В § 4.8 были указаны точные последова-
последовательности D.40) и D.41). Если их срастить и домножить тензорно на
получится точная последовательность
(Р® М)
(РоР)
(Ко К)
К®
Модули К и Р®М свободны. По лемме 8.3 и замечанию, которое ей пред-
предшествует, Ко К и РоР можно представить в виде прямой суммы свобод-
свободного модуля и модулей, индуцированных с подгрупп порядка 2. Отсюда,
очевидно, следует, что они становятся плоскими Б-модулями уже при
тензорном домножении на 2[1/2] — кольцо двоично-рациональных чисел.
Используя выписанную последовательность и сдвиг размерности, заклю-
заключаем, что Лд(М)— плоский Б-модуль.
Чтобы сделать шаг индукции, рассмотрим альтернирование
ак:
По определению,
Л ... Л
%
т\ Л ... Л Шг Л ... Л
ТП{
г=к
(тп{ — пропуск Шг). Легко видеть, что правая часть равенства кососим-
метрична, поэтому это отображение продолжается до линейного отобра-
отображения. Рассмотрим также естественное отображение
§ 2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 297
Композиция аи и /3% совпадает с умножением на к, следовательно, это же
верно для композиции индуцированных отображений
% М),
0? : Тог*(Ь, Л^М) ® М) -> * ^
(здесь Ь — произвольный В-модуль). Так как мы присоединили рацио-
рациональные коэффициенты, умножение на к обратимо, поэтому а™ — вложе-
вложение. Таким образом, достаточно доказать, что плоским является модуль
Лд~1(М) ® М. Используя предложение 1.3 главы 4 и теорему редукции,
имеем
М) ^
^ ^, 2) - Тог^+2(Ь, Л^ЧМ)) = О
— последнее равенство по предположению индукции, й
Теоремы 1.1 и 1.2 были доказаны автором в работе [40]. В работе [72]
Церк вычислил размерности групп Нп(Ф,0) для случая, когда расширя-
расширяемая группа В конечна.
Упражнения
1. Как описать Н\(Ф,0,)? (Ответ: пространство, размерность которого равна
числу свободных образующих.)
2. Пусть Хд(М) — тензорная степень над <2 модуля соотношений произволь-
произвольной группы В. Докажите, что при к ^ 2 Б-модули Лд(М) ® Хд(М)
плоские (доказательство мало отличается от доказательства теоремы 1.1).
Верно ли это при к = 1?
3. Сформулируйте и докажите аналог теоремы 1.2 для когомологий. (Указа-
(Указание: надо рассмотреть отображение ограничения
ЯП(Ф, С» ^ НотБB, Нп(М, С*)).)
§ 2. Спектральная последовательность свободного
абелева расширения
В этом параграфе исследуется спектральная последовательность свобод-
свободного абелева расширения произвольной группы в случае целых коэф-
коэффициентов. Излагаются результаты, полученные автором в статьях [40]
и [37]. Большая часть результатов не учитывает элементы порядка 2, что
298 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
связано со сложностями при вычислении дифференциалов спектральной
последовательности. Фактически, это означает, что мы работаем с коль-
кольцом двоично-рациональных чисел 2[1/2]. Чтобы упростить обозначения,
мы будем выписывать утверждения и формулы, используя кольцо целых
чисел 2. То, что элементы порядка 2 остаются за кадром, подразумева-
подразумевается. Напоминанием о таком соглашении будет служить фраза «с точ-
точностью до 2-кручения». Во второй группе гомологии свободного абелева
расширения 2-кручение играло решающую роль и было полностью опи-
описано в §4.8.
Введём некоторые обозначения. Пусть А — абелева группа. Её перио-
периодическую часть будем обозначать гА. Если п — натуральное число, то по
определению 1пА — множество элементов а € А таких, что пка = 0 для
некоторого к > 1. Другими словами, 1пА — это сумма р-компонент пери-
периодической части, взятая по всем простым делителям р числа п. В част-
частности, 1рА — р-компонента группы 1А. Будем также пользоваться обозна-
обозначениями, введёнными в преамбуле к этой главе.
Итогом вычислений в спектральной последовательности является сле-
следующий результат.
Теорема 2.1. Пусть В — произвольная группа и Ф — её свободное абе-
лево расширение. Рассмотрим отображение
Ап(М) ®ВЪ-+ #ПФ,
п
индуцированное вложением модуля соотношений М —> Ф. Пусть К
и Сп— ядро и коядро этого отображения, аТп — периодическая часть
группы НпФ. Тогда с точностью до 2-кручения
Кп 9* ^_1Я2(ДЛП-1(М)), Сп 9* «и-
Экспоненты групп Кп и Сп делят п — 1, а экспонента Тп делит п.
Таким образом, существует жёсткая связь между порядками элемен-
элементов и размерностью. Например, в группе #зФ, независимо от базовой
группы В, элементами нечётного порядка могут быть только элементы
порядка 3, а ядро и коядро отображения Л3(М) ®в Ъ —» #зФ являются
2-группами.
Если В — группа без кручения, то удаётся даже выразить Кп, Сп и Тп
через гомологии группы В с коэффициентами в 2Р, а не во внешних
степенях модуля М. Это позволяет улучшить и оценки экспонент. Точные
формулировки мы отложим до § 6.4.
§2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 299
Для того, чтобы доказать теорему 2.1, исследуем спектральную по-
последовательность свободного абелева расширения. Напомним, что
Е2тк = Нт(В,Ак(М)).
По следствию 7.3 гл.5 и предложению 6.3 гл.З ^0 —изоморфизм при
т > 2, и мономорфизм при га = 0. Это означает, что группы Е^п0 при
га ^ 2 тривиальны, также как тривиальны группы Е^п1 при га ^ 1.
Остаточные явления в левом нижнем углу описывают #0Ф и ЯхФ, что
очевидно, поэтому интерес представляет вычисление Е^пк при к > 1.
Теорема 2.2. Пусть к > 1. Спектральная последовательность, схо-
сходящаяся к группам гомологии свободного абелева расширения НпФ,
обладает (с точностью до 2-кручения) следующими свойствами:
0)
(И)
при
при
т
га
>
>
0
1 Ке]
г2
^тк
1к-\Етк,
ь и с^пк индуцирует изоморфизм
По определению,
а из теоремы 2.2 следует, что при га > 1
то есть Е^д. = 0 при га > 1. Происходит следующее: в Е^пк слагаемое
гкЕ^пк исчезает, так как имеет нулевое пересечение с ядром, а слагае-
слагаемое 1к^\Е^пк исчезает, поскольку оказывается образом. Это соответствует
следующей схеме (стрелки изображают дифференциалы ^ ^
-2 к+\
к
к-\
300
Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
71
ч
\
\ ^1 п-1 ~ ьп-
4 га + к = п
п-1
Рис. 9. Е3 с коэффициентами в 2[1/2].
Мы видим, что ненулевые члены Е*3 сосредоточены на двух верти-
вертикальных прямых га = 1 и га = О (рис. 9).
Следствие 2.3. Имеет место точная последовательность
О
п
Я.Ф -> Е\
п
0.
Из той же теоремы 2.2 следует, что Кег(Е$п —> Е^п) = 1п-\Е\п_х. Это
означает, что
Кп = Кег (Лп(М) ®Б 2 -+ ЯпФ) ^ гп
как и утверждается в теореме 2.1. Аналогично,
~
(М))
Хуже обстоит дело с подгруппой кручения Тп. Из теоремы 2.2 следует
лишь то, что периодическая часть образа группы Е$п = ЛП(М) ®Б 2
в ЯПФ изоморфна 1п{Кп{М) ®в 2). Но образ не совпадает со всей груп-
группой. Имеется периодическое коядро. Удивительно, что независимо от В
прообразы любого элемента коядра имеют в НпФ бесконечный порядок,
то есть справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.4. С точностью до 2-кручения периодическая часть группы
НпФ содержится в образе группы Ап(М) ®Б 2.
Мы отложим доказательство этой леммы до следующего параграфа, а
сейчас, предполагая, что теорема 2.2 и первая часть теоремы 2.1 уже до-
доказаны, выведем утверждение, касающееся экспонент групп Кп,Сп и Тп.
Нам достаточно вывести такую лемму.
§2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 301
Лемма 2.5. При к ^ 2 с точностью до 2-кручения экспонента группы
Нт(В,Ак(М)) и экспонента периодической части группы Ак{М)®вЪ
делят к(к — 1).
Доказательство. Будем действовать так же, как при доказательстве
теоремы 1.1. При к — 2 надо просто сослаться на пункт 0) теоремы 2.2.
Чтобы сделать шаг индукции, рассмотрим альтернирование
ак: Ак(М) -+ Ак-г(М) ® М
и естественное отображение
/Зк: Ак-\М) ® М -> Ак(М).
Композиция ак и /?& совпадает с умножением на к, следовательно, это же
верно для композиции индуцированных отображений
Отсюда вытекает, что экспонента группы Кег а™ делит к. Оценим экспо
ненту образа 1т а™. Используя предложение 1.3 главы 4, имеем
М) ^ Тог%(Ак-1(М), М).
Из точной последовательности
следует, что
*(Ак-
Тог*(Ак-\М),М) -
Кег (Ак-г(М) ®ВМ-+ Ак-\М) ®в Р) ^ Тот^(Ак'1(М), 2).
По индукции экспоненты групп, стоящих справа, делят (к — 1)(к — 2),
поэтому экспоненты групп Нт(В,Ак(М)) и 1(Ак(М) ®в 2) делят
к(к - 1)(к-2). По пункту A) теоремы 2.2 к -2 можно отбросить, так как
общим множителем к и к — 2 может быть только 2. й
Доказательство теоремы 2.2. Будут постоянно использоваться
внешние степени, поэтому имеет смысл упростить обозначения, положив
Ак(А) — Ак для любой абелевой группы А. Введём ещё некоторые обо-
обозначения и определения. Пусть А — абелева группа и 5 = г + ]. Альтер-
Альтернированием а{^ назовём гомоморфизм
аг^: А8 -> Аг
302 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
определённый равенством
Л... Л а3) = 1/{гЩ У^ 8щп(и;)аиA) Л ... Л пф\ ® а.ф+х\ Л... Л
где а; пробегает симметрическую группу на множестве индексов 1,... ,5,
а 81§п(а;) = ±1 в зависимости от чётности подстановки ш. Мы уже ис-
использовали такие отображения при ] = 1. Композиция щ3 с естественным
отображением
: А1 ® Л' -* Л5
совпадает с умножением на я\/(г\]\). Отсюда следует, что если А не имеет
кручения, то а.х2 — вложение. Если А является 5-модулем, то альтерни-
альтернирование — гомоморфизм В-модулей. Обозначим через Аг о А? его коядро.
По определению, имеет место точная последовательность
0 -* А8 -* А* ® А* -* А1 о А1 -> 0.
Очевидно, АгоАЭ = А* оАг. Без труда также доказывается, что если С —
подгруппа в А и А/С без кручения, то Сг о 0 С Аг о Л^.
Существенную роль в дальнешем будет играть вложение Мк —> Рл,
индуцированное вложением Магнуса М —> Р. Мы будем отождествлять
модуль М^ с его образом в Р*. Изучим прежде всего Рк. Если В —
группа без кручения, то, как было доказано в лемме 2.5 главы 5, Рк —
свободный модуль. Оказывается, в общем случае дело сводится к моду-
модулям, индуцированным с конечных подгрупп. В формулировке следующего
предложения 7№ (е = ±) означает Б-модуль 2, на котором В действу-
действует не обязательно тривиально: (+) соответствует тривиальному, а (—) —
нетривиальному действию. Так как группа автоморфизмов бесконечной
циклической группы имеет порядок 2, то ядро нетривиального действия —
нормальный делитель индекса 2.
Предложение 2.6. Пусть Р — свободный В-модуль. Тогда внешняя
степень Рк является прямой суммой индуцированных модулей вида
®с ЪВ для некоторых подгрупп С С В, порядок которых делит к.
Доказательство. Положим ЪВ = К. Очевидно, Рк — прямая сумма
модулей ®{Кк\ где Х^&г = к. Предположим, уже доказано, что Ккг —
прямая сумма индуцированных модулей вида Ъ^ ®# ЪВ, где порядки
подгрупп В делят к{. Известно (см. [46] гл. VII §44), что тензорное про-
произведение индуцированных модулей А% ®#. К является прямой суммой
§2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 303
индуцированных модулей вида (®гА{)®сК, гДе С = П»^1/?^ для неко-
некоторых Х{ € В. В частности, порядок подгруппы С делит каждое из чисел
к{, и следовательно, делит к. Таким образом, достаточно рассмотреть сте-
степень циклического модуля Як.
Упорядочим произвольно элементы группы В. Произведения
Ъ\ А ... Л Ьк (ЬгЕ В,Ьг < ... <Ьк) F.1)
образуют аддитивную базу в Кк. Пусть ^ — множество /с-элементных
подмножеств 8 С В. Элементы F.1) находятся во взаимно однозначном
соответствии с ^-элементными подмножествами. В этом смысле 8и — база
в Кк. Умножение справа определяет действие В на 8%, причём разбиению
8к на орбиты соответствует разложение модуля Кк в прямую сумму цик-
циклических подмодулей. Пусть С—подгруппа изотропии некоторого под-
подмножества 5 е 8и- Если с е С, то
(Ь\ Л ... Л Ъь)с = ±Ь\ Л ... Л Ь&,
поэтому аддитивная подгруппа 2/ порождённая Ь\ Л ... Л Ьь являет-
является С-подмодулем, изоморфным 7^е\ Циклический В-подмодуль, поро-
порождённый этим элементом, очевидно, изоморфен индуцированному моду-
модулю т№ ®с -й- Если Ь Е 5, с Е С, то Ьс е 5, то есть 5 — объединение левых
смежных классов по подгруппе С, откуда следует, что \С\ делит к. □
Следствие 2.7. Группа Рк ®в 2 либо свободная абелева, либо прямая
сумма свободной абелевой группы и группы экспоненты 2. Если к
нечётно или В не имеет элементов порядка 2, то возможен лишь
первый случай.
Доказательство. Если в прямом слагаемом 2^ ®с-К группа С дей-
действует на 2 нетривиально, то \С\ — чётное число, поэтому к четно и
®с = 22.
В случае тривиального действия
2(+) ®2 =
□
Рассмотрим подмодули Рк модуля Рк. По определению, Рк состоит
из линейных комбинаций произведений а\ Л ... Л а^ е Рк, в которых по
крайней мере г элементов щ лежат в М. Удобно считать, что Р^+1 = 0.
Эти подмодули образуют убывающий ряд
= 0. F.2)
304 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Благодаря изоморфизму Р/М = Д имеем
Рк/Рк+1 ^
(здесь и далее фундаментальный идеал Д# обозначается просто Д). Мо-
Модули Рк/Рк+1 будем называть этажами ряда F.2). Строение Рк нам уже
известно. С другой стороны, Рк/Мк складывается из этажей вида Мг ®
® Ак~т, где г < /с, что даёт повод для индукции. Наконец, определим
В-модули РД, которые будем называть секциями ряда F.2)
тук I тук
то есть секция объединяет несколько этажей. Например, секция
занимает два нижних этажа.
Доказывая теорему 2.2, удобно провести локализацию. Фиксируем
простое число р и обозначим Ъи^ кольцо, состоящее из рациональных
чисел, знаменатель которых взаимно прост с р №(р) называют локализа-
локализацией кольца 2 по простому идеалу (р)).
Лемма 2.8. Если к ф 0; 1 тос! р, то Мк ® Ъи^ — плоский В-модуль.
Лемма 2.9. Если к ф 0 той р, г — 0 той р (г < к), то Рк+1 {
плоский В-модуль.
Мы докажем леммы 2.8 и 2.9 совместной индукцией по к. При к = 1 лем-
лемма 2.8 не требует доказательства, а лемма 2.9 утверждает, что Р®2(р) =
= Р1ъ®2цр) — плоский В-модуль. Предположим, что леммы доказаны для
чисел меньших к и докажем для данного к утверждение леммы 2.9. Пусть
сначала г+1 < к. Рассмотрим альтернирование Рк —> Рг+1®Рк~1~1. Ядро
индуцированного отображения Рк —> Рг+1 ® Д^"* содержит, очевидно,
Д2, поэтому определено отображение секций
р/с рг+1 ^ д/с-г-1
На нижнем этаже Мг+1® Д^"* оно является изоморфизмом. На следу
ющем этаже по модулю Мг+1 ® Д^"^1 индуцированное отображение
АР ® Д^"' -^ М^ ® Д
действует тождественно на Мг и совпадает с альтернированием на Ак~\
следовательно, имеет место точная последовательность
0 -* Рг+и "* Н1и ® Д^ -* А^ ® (Д о Д*-*-1) -> 0.
§2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 305
По предположению индукции Р^{ <8> %(р) — плоский В-модуль, поэтому
то же самое верно для Р^{ ® Д^"* ® 2(р) (лемма 1.4 гл.4), откуда
вытекает, что для любого Б-модуля А
Ъ{р)) * Тог*+1(Д М1® (Д о
М\ Д о Д^) ® 25(р). F.3)
Лемма 2.10. Для любого В-модуля В $2Тог^(Д Д о Д8) = 0.
Эта лемма (также, как лемма 2.4) будет доказана в следующем параграфе,
а сейчас используем её, чтобы закончить доказательство.
Из леммы 2.10 следует, что группа F.3) аннулируется умножением
на (к — гJ, но по условию к ф 0 тос! р, г = 0 тос! р, то есть (к — г) —
обратимый элемент кольца 2(р), поэтому эта группа равна нулю, что
и требуется.
Пусть теперь г + 1 = к, то есть секция Р^и = -Р^-1 занимает Два
нижних этажа. Поскольку к ф 0 тос! р, то, как вытекает из предложе-
предложения 2.6, модуль Рк®Ъ(р) плоский. Нам достаточно доказать, что плоским
будет модуль (Рк/Р^к_1)®21^ = Р%_2о (лемма 1.5 гл.4). В ^_2о®2(р)
построим ряд, факторы которого либо изоморфны Мг ® Ак~г ® 2^, где
г ф 0;1 той р и г < /с, либо имеют вид Р^+1г ® 2(р), где г = 0 той р
и г -|- 1 < к (напомним, что по секции Р^д.-1 мы профакторизовали).
Из предположения индукции следует, что модули первого типа плоские.
То, что модули второго типа плоские, мы только что доказали. Остаётся
воспользоваться тем, что класс плоских модулей замкнут относительно
расширений (лемма 1.5 гл.5).
Теперь докажем для данного к лемму 2.8. Снова по предложению 2.6
модуль Рк®Ъ(р) плоский, так как к ф 0 тех! р. Нам достаточно доказать,
что {Рк/Мк) ® 2(р) = Рк_ю ® 2(р) — плоский модуль. Условие к ф 1
тех! р гарантирует существование в Р^_10 ® 25(р) ряда с факторами либо
^г+1г ® 25(р), где г = 0 той р, либо Мг 0 2(р), где г</сиг/0,1 тос! р.
В первом случае можно сослаться на то, что для данного к лемма 2.9
уже доказана, а во втором — на предположение индукции, й
Из доказанных лемм выводится локальный вариант теоремы о спек-
спектральной последовательности.
Теорема 2.11. Пусть р — нечётное простое число. Тогда спектраль-
спектральная последовательность свободного абелева расширения, сходящаяся
к группам Нп(Ф,2(р)), обладает следующими свойствами:
306
Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
2р
Р
Рис. 10. Е2 и Е3 с коэффициентами в 2(р), (р = 5).
(О если к ф 0; 1 той р, то Е^к = 0 при т > 0 и гЕ%к — 0;
(и) если к — 0 той р, то ^тк — изоморфизм при т > 2, а А\к инду-
индуцирует изоморфизм Е\к и гЕ^к+1 (к > 0).
Сформулированная теорема означает, что ненулевые члены спектральной
последовательности, сходящейся к гомологиям ЯП(Ф,2(^), расположены
так, как это показано на рисунке 10.
Доказательство. Утверждение о том, что Е^пк = 0, если к Ф
Ф 0; 1 той р, — это лемма 2.8. Далее, плоский модуль является прямым
пределом свободных, откуда легко следует, что при к ф 0; 1 той р Мк®в
®в 2(р) — абелева группа без кручения. Это доказывает пункт A). Дока-
Докажем (и). Так как 1/2 е 2^, то по следствию 7.2 главы 5 дифференциалы
спектральной последовательности, сходящейся к Яп(Ф,2(р)), реализуют-
реализуются как умножения на последовательность
0 -* М*4 -* Мк А Р -> Мк ® Я -> М
к
0.
Модуль Мк®К свободен. Модуль Мк лР — это секция ряда 6.2, занима-
занимающая два нижних этажа, то есть Мк А Р = Рк^^- Пусть к = 0 той р.
По лемме 2.9 Рк+1к ® 2(р) — плоский В-модуль. Отсюда следует, что при
§ 2. Спектральная последовательность свободного абелева расширения 307
к — изоморфизм, а й2/с индуцирует изоморфизм между
и ядром отображения
Так как при к > 1 #2E, М^Я^)) — периодическая группа, то это ядро
содержится в периодической части группы Мк+1 ®в Ъ^у Но поскольку
модуль Р^Х\к®^{р) плоский, то группа ^^®в2(р) не имеет кручения,
то есть ядро совпадает с периодической частью. Итак, й^к осуществляет
изоморфизм между
и
{к+1 )) $ □
Теорема 2.11 — это та же теорема 2.2, но расписанная по р-компо-
р-компонентам. Тем самым, заканчивается и доказательство теоремы 2.2.
Существует параллельная (или, точнее, двойственная) теория когомо-
логий свободных абелевых расширений. Вместо Ап(М) ®в 2 надо рас-
рассматривать группу Нот(Лп(М),2)Б инвариантных кососимметрических
функций
Нот(Лп(М), Ъ)в ^ НотвB, Нот(Лп(М), 2)).
Это приносит некоторые упрощения, так как в отличие от ЛП(М) ®в 2
группа Нот(Лп(М),2)в С Нот(Лп(М),2) не имеет кручения. Отобра-
Отображение Ап(М) ®в 2 —» НпФ заменяется на отображение ограничения
Кевп: НпФ -> Нот(Лп(М),2)Б.
Вместо трёх групп Кп, Сп и Тп остаются две
Кп = Кег Ке8п, Сп = Сокег Ке8п .
По определению, имеет место точная последовательность
О -> Кп -> Нп(Ф) -> Нот(Л71(М), 2)Б -> Сп -> 0.
Положим для краткости Нот(Лп(М),2) = ЛП(М). Аналог теоремы 2.1
формулируется следующим образом.
308 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Теорема 2.12. Для свободного абелева расширения произвольной груп
пы с точностью до 2-кручения
Кп * 1п-хН\В, А„(М)), Сп * 1п-1Н2(В, Ап(М))
и экспоненты групп Кп и Сп делят п — 1.
Следствие 2.13. Периодическая часть группы НпФ совпадает с ядром
отображения ограничения НпФ —> Ап(М)в и её экспонента делит
п — 1 (в кольце 2[1/2]).
Упражнения
Мы пользуемся введёнными выше обозначениями и будем предполагать, что
леммы 2.4 и 2.10 (а значит и сформулированные выше теоремы) доказаны.
1. Докажите, что независимо от базовой группы В группа ЯПФ —прямая
сумма циклических групп. (Указание: экспонента периодической части
группы НпФ, включая и 2-кручение, ограничена, поэтому по теореме Прю-
фера она раскладывается в прямую сумму циклических групп; то, что
факторгруппа по периодической части свободная абелева, можно дока-
доказать, рассматривая композицию альтернирования Мк ®в 2 —» Мк~1 ®в М
с гомоморфизмом в свободную абелеву группу Мк~1 ®в Р.)
2. Пусть В — группа с одним определяющим соотношением, которое не яв-
является степенью. Докажите, что тогда НпФ — свободная абелева группа
изоморфная Мп®вЪ. (Указание: как доказано в §3.7, в этом случае М-—
свободный циклический модуль.)
3. Пусть В — группа с одним определяющим соотношением, которое не яв-
является квадратом. Докажите, что тогда НпФ — свободная абелева группа.
(Указание: из результатов §3.7 следует, что тогда М = 2 ®<ц) 2Б, где
(и) — циклическая группа нечётного порядка.)
4. Пусть Б-—конечная группа нечётного порядка \В\. Докажите, что экспо-
экспонента группы Тп делит наибольший общий делитель (|Б|,п), а экспоненты
групп Кп и Сп делят (|Б|,п— 1). Это же верно для любой группы, если
делимость рассматривать в кольце 2[1/2]. (Указание: При тп > 0 экспонен-
экспонента группы Е^пк = Нп(В,Мк) делит |Б|; это же верно для периодической
части группы Е^п = Мп <8>в 2.)
5. Пусть В — конечная р-группа порядка рг (р ф 2). Докажите, что
(О если п не делится на р, то НпФ — свободная абелева группа конеч-
конечного ранга;
§3. Две леммы 309
(II) если п делится на р, то экспонента периодической части группы НпФ
делит (рг,п), причём НпФ = Мп ®в 2. (Указание: это легко следует
из предыдущего упражнения.)
6. Не проводя подробного доказательства, опишите поведение спектральной
последовательности свободного абелева расширения, сходящейся к кого-
мологиям ЯПФ, по аналогии с теоремой 2.2.
§ 3. Две леммы
Мы сохраним обозначения предыдущего параграфа. Остались недоказан-
недоказанными леммы 2.4 и 2.10.
Докажем лемму 2.10. Формулировка: $2Тог^A), Д8 о Д) = 0 для
любого Б-модуля В (га > 0, 5 > 1).
Как и раньше, пусть Я = ЪВ. Рассмотрим точную последовательность
0 -* Д8 о Д -> К8'1 о Я -> Ь8 -+ 0
(по определению Ь8 — коядро соответствующего отображения). Нам до-
достаточно доказать следующие два утверждения.
A)
(и) Тог^(Д Ь8) * Тог^(Л, Д5-1 ® 2в)
8~г
Докажем О). По определению модуля К8~г о Я имеет место точная
последовательность
0 -> Д5 -^ Я8'1 ®Я-+ Я8'1 о
Так как Я8 ® Я — свободный В-модуль, то для гп > 1
^( Д Я8 о К) <* Тот^И, Е8)
и можно воспользоваться предложением 2.6 (с заменой Р на Я и к на
При гп = 1
1 о Я) ^ Кег (Я8 ®Б 2 ^ (Я8 ® Я) ®Б 2),
где а — альтернирование. Определён гомоморфизм /?®1, идущий в обрат-
обратном направлении, где /3: Д8 ® Я —> Д8 — естественное отображение.
Композиция этих отображений совпадает с умножением на $, поэтому
«Кег а = 0. □
310 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Чтобы доказать (и), рассмотрим модуль К8'1 &К/А8 ® Д. Как абе-
лева группа он представляется в виде прямой суммы трёх слагаемых
8 ® 2) 0 (Д8~2 ® 2 ® Д) 0 (Д8
(Д8 ® 2) 0 (Д8~2 ® 2 ® Д) 0 (Д8 ® 2 ® 2). F.4)
Интересующий нас модуль 1/5 получается из этого модуля введением со-
соотношений альтернирования
1
]Г(-1)8-'п Л ... Л п Л ... Л г8_1 ® п = О (п Е Я). F.5)
Это соотношение линейно, поэтому его достаточно ввести в следующих
случаях, соответствующих разложению F.4)
1) гь...,г8_1 е Д, г8 = 1;
2) п,..., г8_2 € Д, г8_1 = 1, г8 Е Д;
3) гь...,г5_2 € Л, г8_1 = г8 = 1.
Для элементов типа 3) все слагаемые в F.5) равны нулю* кроме двух,
которые соответствуют значениям Ь = з и Ь = з—1. Соотношение превра-
превращается в равенство
г\ Л ... Л г8_2 Л1®1 — Г1Л...Л г8_2 Л 1 ® 1 = О,
выполненное тождественно. Элементы типов 1) и 2) отличаются переста-
перестановкой двух последних аргументов. Но левая часть соотношения F.5) ко-
сосимметрична, поэтому мы можем ограничиться лишь элементами пер-
первого типа. Для них в F.5) одно слагаемое имеет тип 1), а все остальные —
тип 2), то есть это соотношение удаляет прямое слагаемое Д8 ® 2.
Мы видим, что
8 ® 2 ® Д) 0 (Д8
Ь8 ^ (Д8 ® 2 ® Д) 0 (Д8 ® 2 ® 2)
—- изоморфизм абелевых групп. Нетрудно проверить, что соответствую-
соответствующая точная последовательность
О -+ Д8 ® 2 ® Д -+ Ь8 -* Д8 ® 2 ® 2 -^ 0 F.6)
является последовательностью В-модулей. Например, в Ь8
(г\ Л ... Л г8_2 ® 1 ® г8)Ъ — г\Ь Л ... Л г8_2& ® 1 ® г8Ь,
то есть Д8~2®2®Д — подмодуль. Рассмотрим точную последовательность
О -> Д8 ® Д -> Д8 ® К -* Д8 -* 0. F.7)
§3. Две леммы 311
В F.6) и F.7) подмодули изоморфны и фактормодули изоморфны. В то же
время средний член последовательности F.7) — индуцированный модуль.
Естественно рассмотреть отображение /: Д8~2®Я —» Ь81 продолжающее
изоморфизм абелевых групп Д8~2 —♦ Д8~~2®2®2. Легко проверить, что /
индуцирует изоморфизм фактормодулей Д8 = Д6~2 ® 2 ® 2. Вычислим
/ на подмодуле Д8~2 ® Д. Пусть п е Д (г = 1,...,в - 1). Докажем,
что /(п Л ... Л г8_2 ® г8_1) является образом в Ь8 следующего элемента
модуля К8'1 ® К/А8'1 ® Д
Л ... Л г5_2 Л г8_1 ® 1 + Г1 Л ... Л г8_2 Л 1 <8> г8_1. F.8)
В силу линейности достаточно рассмотреть случай г8_1 = Ь € В. Тогда
Л . . . Л Г8_2 ® F — 1) =
1 Л ... Л г^Ь ® 1N - п Л ... Л г8_2 ® 1
Ь Л ... Л Г5-2& ® 1 ® 1N - п Л ... Л г8_2 ® 1 ® 1
Этот элемент является образом в Ь8 элемента
П Л ... Л г8_2 Лб®6 + пЛ...Л г8_2 Л 1 ® 1,
что по модулю Д8 ® Д сводится к
Л ... Л г8_2 Л F - 1) ® 1 + П Л ... Л г8_2 Л 1 ® F - 1).
Благодаря соотношению альтернирования образ в Ь8 первого слагаемо-
слагаемого F.8) можно переписать в виде
о
^ (-1)(8-1)~~*П Л ... Л п Л ... Л г8_1 ® 1 ® п.
1=8-1
Отождествим абелевы группы Д8 ® Д и Д8 ® 2 ® Д, опуская 2. Мы
доказали, что если а е Д8 ® А, то /(а) = а(а) + а, где а —компо-
—композиция естественного отображения Д8~2 ® Д —> Д8 и альтернирования
Д5-1 _^ Д8~2®Д. Если а Е Кег/, то а = —а(а). Так как элемент а(а) ко-
кососимметричен, то и элемент а кососимметричен, но тогда а(а) = (з—1)а.
Таким образом, из равенства а(а) +а = 0 следует, что 5а = 0. Поскольку
Д8~2® Д — абелева группа без кручения, то а = 0, поэтому / — мономор-
мономорфизм. Пусть Ы8 — коядро отображения /. Так как Д8~2 ® К — свободный
модуль, то
312 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Так как / индуцирует изоморфизм фактормодулей, то 7У8 — это коядро
ограничения / на Д8~2 ® Д. Таким образом, 7У8 получается из Д8~2 ® Д
как фактормодуль по соотношениям а(а) + а = 0. Из этих соотноше-
соотношений следует, что элементы модуля 7У8 кососимметричны, поэтому 7У8 —
фактормодуль модуля Д8. Подгруппа порождённая в Д8 элементами
а(а) + а = 0 совпадает с зД8, следовательно, 7У8 = Д8 ® 28. й
Перейдём к лемме 2.4. Достаточно доказать следующий локальный
вариант.
Лемма 3.1. Для любого простого рф2 грНп(Ф) С 1т(Мп ®в
Доказательство. Так как лемма 2.10 уже доказана, мы можем поль-
пользоваться той частью теоремы 2.11, которая касается ядра Кп и коядра Сп.
Следовательно, если п ф 1 той ру то Нп(Ф) ® 2(р) = Мп ®в 2(р). Бу-
Будем поэтому считать, что п = 1 той р. Рассмотрим группу \У = ВР.
Вложение Магнуса Ф —> \У (см. §3.8) индуцирует гомоморфизм
яп(Ф) ® г{р) - яп(юч ® 2(р). ' F.9)
Из предложения 2.3 главы 5 следует, что
т-\-к=п
В правой части присутствует слагаемое Рп®вЪ (т — 0). Рассмотрим ком-
композицию / отображения F.9) и проекции Нп(\У) ® 2(р) —^ Рп ®в^{р)-
Так как р ф 2, то по следствию 2.7 главы 5 Р71 ®в %(р) ~ группа без
кручения. Нам достаточно доказать, что если а е Нп(Ф) ® 2^, но
а ^ 1т (Мп ®в 2(р)), то /(а) / 0, или, что композиция / с естественным
отображением /7: Рп ®в 2(р) -> (Рп/Мп) ®в 2(р) индуцирует вложение
коядра Сп ® 2(р). Построенное отображение
ЯП(Ф)
можно заменить следующей цепочкой
Я„(Ф) ® 2^) Д Я:(Б, М^1) ® 2(р) X
4 *1 А)
Здесь 5 — естественное отображение на коядро Сп ® 2,^ (напомним, что
по теореме 2.1 с точностью до 2-кручения Сп = Н\(В,Мк~1)). Далее,
з' — связывающий гомоморфизм, определяемый последовательностью
§4. Многочлены №\х) 313
Наконец, з" — гомоморфизм, индуцированный вложением Мп г ® Д —>
—► Рп/Мп (М71 ® Д —второй этаж модуля Рп). Очевидно, Кегз' = 0.
Покажем, что Кегз" = 0. Имеет место точная последовательность
,//
{Рп/мп)®вг{р)
поэтому достаточно доказать, что Н\{В,Р™_2о ® 2^) = 0. Так как
п = 1 той р, то Р%-20 ® 2(р) — последовательное расширение модулей
М* ® Дп~* ® 2(р), где г Ф 0; 1 той р и модулей РДИ ® 2(р), где г = 0
той р. Из лемм 2.8 и 2.9 следует, что ^_2о ® ^5(р)"~ плоский В-модуль,
поэтому Кег57/ = 0. Мы видим, что композиция 5, $', и з" индуцирует
вложение Сп®Ъ^ —> (Рп/Мп)®вХ^1 следовательно, это же верно для
композиции / и /'. В этом месте мы пользуемся эвристическим принци-
принципом: в гомологической алгебре все диаграммы коммутативны. На самом
деле, коммутативность интересующей нас диаграммы доказывается не
так просто. За подробностями мы отсылаем читателя к работе [40]. □
«
§4. Многочлены /п (ж)
Пусть, как и раньше, Ф свободное абелево расширение группы Б, Тп —
периодическая часть её группы гомологии ЯПФ, а Кп, Сп — ядро и коядро
отображения
Ап(М) ®ВЪ-+ ЯПФ,
индуцированного вложением М —» Ф модуля соотношений. В этом па-
параграфе приводится описание, с точностью до 2-кручения, групп Тп,Кп
и Сп в терминах гомологии группы В (при определённых ограничениях
на кручение в В.)
Нам понадобятся некоторые обозначения. Для абелевой группы А
и натурального га положим гпА = А © ... © А (га слагаемых), гпА = 0
при га = 0. Если /(ж) = ^2ткХк — многочлен с неотрицательными коэф-
коэффициентами и Л —некоторый В-модуль, то по определению,
/Я„(В, А) = ($ткНп+к(В,А).
к
Для п > 1 и простого р введём многочлены /п (ж). Если п ^ 0,1 той р,
то /п = 0. При п = 1 той р /„ = х1п-\- Наконец, если п = 0 той р,
то
АР) = *2№Р + /1%; (п > р), /р« = х\ F.10)
314 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Необычно в этой формуле сочетание рекурсии аддитивной п—р и мульти-
мультипликативной п/р. Приведём примеры вычисления многочленов /^ . Если
1 < г < р, то /г(^ = х2/((^_1)р, поэтому /$ = х2г. Далее,
F
Другие примеры приведены в упражнениях. Многочлены /п (ж), вве-
введённые автором, позволили облегчить формулировку и доказательство
некоторых результатов о группах НпФ.
Напомним, что для абелевой группы А и простого числа р мы обо-
обозначили 1РА р-компоненту группы А. Из теоремы 2.1 следует, что для
любой группы В и нечётного р
1рКп — 1рСп = 0, если п ф 1 той р,
= 0, если п фО той р.
Основной результат, который обсуждается в этом параграфе, состоит
в следующем.
Теорема 4.1. Пусть р —нечётное простое число и В —группа без
р-кручения. Если п—1 той р, то
/Н(В 2) ЬС
Если п = 0 той р, то
Эта теорема была доказана в совместной работе Ковача, Штера и автора
[25]. Отметим, что сначала были рассмотрены случаи п = р и п = р2 в ра-
работах [40] и, соответственно, [66]. Из теоремы 4.1 вытекают следующие
утверждения.
Следствие 4.2. Предположим, что в группе В нет р-кручения для всех
нечётных простых р, делящих п. Тогда
V
где суммирование происходит по всем нечётным р, делящим п.
§4. Многочлены №\х) 315
Следствие 4.3. Пусть группа В удовлетворяет условиям предыдуще-
предыдущего следствия. Тогда экспонента группы Тп ® 2[1/2] делит тг(п) — про-
произведение нечётных простых делителей числа п.
Аналогичные следствия справедливы для Кп и Сп. Надо потребовать,
чтобы в В не было р-кручения для нечётных простых р, делящих п — 1,
и суммировать по этим р. С точностью до 2-кручения экспоненты групп
Кп и Сп делят тг(п — 1). Понятно, что если Б — группа без кручения, то
соответствующие утверждения верны для всех п > 1.
Пусть, например, п = 12 и в группе В нет элементов порядка 3. Так
как 12 = З2 + 3, то в силу формулы 6.11
следовательно, (с точностью до 2-кручения)
Тп = Н20(В, 23) е Н16(В, 23) е Н15(В, 23)
«
Если дополнительно в В нет элементов порядка 11, то
, 2ц), С12 = Ни(В, 2ц).
=
Сформулируем аналог теоремы 4.1 для когомологий. В конце §6.2 мы
отметили, что в этом случае основную роль играет отображение ограни-
ограничения
#пФ-+Нот(Лп(М),2)Б.
Пусть К71,С71 —его ядро и коядро (периодическая часть группы НпФ
совпадает с К71). В теореме 2.12 были указаны выражения для Кп и Сп
в терминах группы В и модуля М. Обе эти группы имеют конечную
экспоненту, которая делит п — 1. Их выражения, не использующие модуль
соотношений, выглядят следующим образом.
Теорема 4.4. Пусть р — нечётное простое число. Если п ф 1 той р,
то Кп = Сп = 0. Если п = 1 той р, то
В частности, если в Б нет элементов, порядок которых делит п — 1, то
экспоненты групп С71 и К71 делят тг(п — 1) (делимость в 2[1/2]).
Доказательство теоремы 4.1 будет дано в следующем параграфе. Ис-
Используя связь между когомологиями и гомологиями, из неё нетрудно вы-
вывести теорему 4.4. В этом параграфе мы изучим свойства многочленов
п (х) и сделаем выводы из этих свойств.
316 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Предложение 4.5. Пусть п = тр. Тогда /тр имеет степень 2т и его
старший коэффициент равен 1.
Доказательство почти очевидно. Это верно при т = 1. По индукции из
основного рекурентного соотношения F.10) следует, что старшая степень
/тр совпадает со старшей степенью х2/!^_1ч , то есть на две единицы
больше. При этом старший коэффициент 1 сохраняется. □
Более экзотическим образом ведёт себя младшая степень многочлена
/п . Любое натуральное число п можно единственным образом пред-
представить в виде п = ^щрг, где 0 ^ щ ^ р — 1. Такое представление
называют р-адическим разложением числа п, а коэффициенты щ — его
р-адическими цифрами. Например, 52= 1 -33 + 2-32 + 2-3 + 1. Обозначим
через ар(п) сумму р-адических цифр, ер(п) — число ненулевых цифр щ
и положим
6р(п) = 2ар(п) — Ер(п)
«
Предложение 4.6. Наименьшая степень х в многочлене /^ равна
5р(п). Коэффициент при этой степени равен 1.
Это, очевидно, верно если п = р и п = р+1, что даёт основание индукции.
Пусть п ^ 2р. Рассмотрим сначала случай п = 1 той р. Тогда /^ =
= х/п_1» Т0 есть наименьшие степени х в /^ и /^_2 имеют одинаковые
коэффициенты и эти степени различаются на 1. Это согласуется с нашим
утверждением, так как ар(п) = ар(п — 1) + 1 и ер(п) = ер(п — 1) + 1,
поэтому 6р(п) = 6р(п— 1) + 1. Пусть теперь п = 0 той р. Поскольку при
сложении многочленов с неотрицательными коэффициентами не может
произойти сокращение и /^ = х2/^_р + №, то (по индукции) младшая
степень многочлена /п равна
тт{6р(п - р) + 2, <5р(п/р)}.
По очевидным причинам 8р(п/р) = 6р(п), поэтому, чтобы доказать, что
минимум равен 8р{п)у достаточно доказать, что имеет место неравенство
8р{п — р) ^ <5р(п), причём равенство достигается тогда и только тогда,
когда (п/р) ф 0; 1 той р (в этом случае щ = 0). Пусть р* — макси-
максимальная степень р, которая делит п, то есть п = ^2ч>1щрг, где ^ >
и п* > 0. Тогда
п — р =
г=1
§4. Многочлены /Ьр)(х) 317
поэтому ар(п~р) = (<-1)(р-1)+<7р(п)-1, а ер(п-р) =
где 7 — 1' ес™ Щ — 1 и 7 = 0, если п* > 1. Отсюда следует, что
- р) + 2 = 5р(п) + (* - 1)Bр - 3) р
Очевидно, равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда I =
= 1, а щ > 1, а это эквивалентно тому, что (п/р) / 0; 1 той р. Из
индуктивных соображений также следует, что коэффициент при младшей
степени равен 1. й
В переводе на язык гомологии это означает следующее
Теорема 4.7. Пусть р —нечётное простое число и В —группа без
р-кручения. Тогда в разложении
, Ър) =
к
группы гомологии максимальной и минимальной размерности встре-
встречаются с кратностью /. Максимальная размерность равна п + 2п/р,
а минимальная равна п + 5р(п).
Следствие 4.8. Пусть р — нечётное простое число и В — группа ко-
конечной гомологической размерности й. Тогда, если п + 8р(п) > (I, то
Понятно, что аналогичные результаты справедливы для групп Сп и Кп.
Очевидно, 6р(рг) = 2 — 1 + 1 = 2. Легко видеть, что это минимум
функции 5Р. Если п не является степенью р, то 5р(п) > 2, что позволяет
дать более простую, хотя и более грубую, чем в предыдущем следствии,
оценку.
Следствие 4.9. Если В — группа конечной гомологической размерно-
размерности (I, то для любого нечётного простого р и любого п > А — 2
1рТп = 1рКп = 1рСп = 0, то есть с точностью до 2-кручения НпФ —
свободная абелева группа изоморфная Ап(М) ®# 2.
Таким образом, для свободных абелевых расширений групп конечной го-
гомологической размерности происходит стабилизация и их целочисленные
гомологии начинают вести себя подобно гомологиям с рациональными
коэффициентами.
Теперь мы рассмотрим следующий вопрос. В основной теореме этого
параграфа указаны разложения р-компонент групп Тп,Кп и Сп. Много ли
318 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
они содержат прямых слагаемых? Точнее, мы собираемся (следуя работе
[41]) дать асимптотическую оценку числа слагаемых в зависимости от
размерности. Выяснится, в частности, что это функции промежуточного
роста. По определению, функция ^{п) имеет промежуточный рост, если
для любого натурального 5 итп_юо ^{п)/п8 = оо, но для любого а > 1
Итп^оо7(гг)/а8 = 0.
Конечно, некоторые (и даже все) группы гомологии Н*(В,21Р) в те-
теореме 4.1 могут быть тривиальны. Это зависит от группы В. Однако
в общем случае число прямых слагаемых равно, очевидно, /^_!A) для
1рКп, 1рСп, когда р\(п — 1) и равно /п A) для грТп, когда р\п. Так как
в обоих случаях р делит нижний индекс многочлена, мы рассмотрим
функцию 7(т) = 1гпр(Х) (тп = 1,2,...). Очевидно, 7A) = 1. Пусть га > 1.
Из определения многочленов /п следует, что если га / 0; 1 той р, то
функция 7 не меняет своего значения при переходе от га—1 к га. Наконец,
-у(кр+ 1) =
то есть, если р делит га, то при переходе от га — 1 кгаиотгак
га -I- 1 оба раза возникает приращение ^{тп/р). Близкие по виду функции
рассматривались и раньше в связи с разложением натуральных чисел
в сумму степеней простого р (случай р = 2 встречается ещё у Эйлера).
Совсем несложно объяснить, почему 7(т) растёт быстрее, чем любая
степень га. Действительно, так как приращение т(т) на каждом отрезке
вида [(г — 1)р + 1, гр + 1] равно 27(г), то
() (б-12)
*=1
Из этого равенства следует, что ^(кр+1) ^ 1+2&, поэтому
для некоторой линейной функции ^\{т) (например, можно взять 1р\(т) =
= 1 + 2(га — 1)/р). Из того же равенства F.12) имеем
к
^1 (г).
Сумма значений линейной функции — это уже многочлен степени 2. Про-
Продолжая аналогичным образом, убеждаемся, что существует многочлен
(р8(т) степени 5 такой, что 7(т) ^ ^Д771)- Так как 5 произвольно, то
= оо.
§4. Многочлены №\х) 319
Дадим теперь точные оценки. Условимся писать а(т) -< /?(т), если
а(га)//?(га) = 0.
Теорема 4.10. Для любого е > 0 имеют место асимптотические
оценки
тA/2-е)\о%рт
Напомним, что оценка функции 7 эквивалентна оценке суммы коэффици-
коэффициентов многочлена /^, а стало быть, даёт оценку числа прямых слагаемых
в разложении интересующих нас групп.
Прежде всего объясним, откуда берётся 1/2. Приращение функции 7
на отрезке [(/с —1)р+1, кр+1] равно 2^(к). Разделив на р (длину отрезка),
получим
Ыкр + 1) - 7((А? - 1)р + 1))/р = B/рO(*0-
Это равенство наводит на мысль, что непрерывной моделью для 7(т)
должна быть функция /(ж) такая, что /7(ж) = Х/(х/р) для некоторого
действительного А > 0. Возьмём, например, /(х) = ах (а > 1). Тогда
= (а* 1п
то есть ах растёт слишком быстро. Попробуем
Читатель легко проверит, что при таком выборе
= (/(хJа\оёрх)/х, ${х/р) - (/(х)ра)/х2а,
поэтому
^1х. F.13)
Отсюда следует, что Г(х)//(х/р) —> 0 или оо в зависимости от того
а < 1/2 или а ^ 1/2, то есть 1/2 действительно играет особую роль
Доказательство теоремы 4.10. Рассмотрим верхнюю оценку 7(т) -<
-^ /(т) = т^1/2^10^771. Для этого мы сравним приращения функций /(га)
и 7(т) на отрезке [кр + 1,(А + 1)р + 1]. По теореме о промежуточном
значении
Д/ = /((Л + 1)р + 1) - /(Лр + 1) = /'(х)р
для некоторого ж € [&р+ 1, (Л+ 1)р + 1]. Благодаря равенству F.13), при
а = 1/2,
р х/у/р)р > /(к)
320 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
С другой стороны, Д7 = 2у(к + 1) < 4гу(к), поэтому
л7 < 1Г777Т*
А/ 1о§р А; /(/с)
Если заменить / на пропорциональную функцию а/, то неравенство 6.14
останется верным, так как не нарушится равенство F.13). С другой сто-
стороны, не изменится и асимптотика. Выбрав соответствующее значение а,
можно считать, что в F.14) вторая дробь в правой части меньше 1 вплоть
до достаточно больших значений аргумента. Но тогда она будет оставать-
оставаться меньше 1 и дальше, так как Д7/А/, будет меньше 1. Из того же нера-
неравенства F.14) можно теперь сделать вывод, что Д7/Д/ —► 0, поскольку
первая дробь стремится к 0. Этого, очевидно, достаточно, чтобы утвер-
утверждать, что 7(т) ^ /(т)- Аналогично доказывается, что та1°ерт -< 7(т)
при а < 1/2. □
В заключение мы докажем, что в разложениях теоремы 4.1 число
прямых слагаемых Я* (Б, Ър) чётной и нечётной размерности примерно
одинаково. Точнее, пусть Н+(Тп) и Нр(Тп) — число слагаемых чётной и,
соответственно, нечётной размерности в разложении р-компоненты пе-
периодической части Тп. Аналогичный смысл имеют обозначения Нр(Сп)
и Нр(Кп). Максимальное 5 такое, что р8 делит п обозначим через \\п\\р
(это р-адическая норма числа п).
Предложение 4.11. Для любого нечётного простого р имеют место
равенства
Н+(Кп) - Н-(Кп) = (-1)«+1||„_ 1||р, F.15)
Пусть п = рт. Как мы знаем, сумма чисел Н+(Тп) и Н~(Тп) имеет про-
промежуточный рост как функция от т. С другой стороны, их разность
мажорируется функцией 1о%рп ^ \\п\\р, которая растёт медленно. Отсюда
следует, что и Н+ = Н+(Трт), и Ы = Нр(Трт) имеют промежуточный
рост. На бесконечности они эквивалентны: если обе части третьего ра-
равенства F.15) разделить на Н~~, то справа в пределе будет 0, а слева
(Н+/Н~) — 1. Аналогично ведут себя Нр(Сп) и Нр(Кп).
Докажем предложение 4.11, например, последнюю формулу. Если
п ф 0 той р, то правая и левая часть равны 0. При п = 0 той р из
теоремы 4.1 следует, что интересующая нас разность равна значению мно-
многочлена /п (х)хп при х = —1, то есть надо доказать, что /^ (—1) = \\п\\р.
§4. Многочлены Др)(ж) 321
В соответствии с предложением 4.5 степень многочлена /п равна 2п/р.
Из рекурентного соотношения
Ар) _ Т2 Ар) , Ар)
./п Л ./п-р ~ *
следует, что если п/р делится на р, то (благодаря второму слагаемому) в
/\г/ т-1Г\1ЛГ>\ттг*ТП\ТС±Т грАТЬ/Р \\т\С\Х\С\ ПМ^СЮ СЛТ/ЛТ ПГЛ/~\1ЮГ*Г* А/ПОМ^ П ООКД/^О ОТ/Л •РК"/
можно представить в виде суммы
где 5 = ||^||р, з дп (х) также имеет неотрицательные коэффициенты.
Чтобы закончить доказательство предложения 4.11, достаточно убедить-
убедиться, что <7п (—1) = 0- При п = р имеем дп(х) = х2 — х2 — 0. При п > р
используем индукцию по п. Если п/р ф 0; 1 той р, то /У^ = 0, то есть
/пр) = х21п-Р- в этом случае ||п||р = ||п -р\\р = 1 и
-1) = 0.
Если п/р = 0 той р, то ||п — р||р = 1, поэтому
Наконец, если п/р— 1тойр, то
Ар) _ Х2 Ар)
./п ~х
поэтому
-1) = 0. □
322 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Упражнения
1. Как мы отмечали выше, /^ = х2г1 A ^ т\ < р— 1). Докажите следующие
формулы
с) У х A^^*2^Р — 1I
г=1
Г2
х V1 ^ ' 1-) ' 2 ^ р — 1;,
г=1
р-1
+ х2р4-х24-A4-:
г=1
2. Покажите, что д:2(р+1) встречается в /^ 2 с коэффициентом, большим 1.
(Указание: ^рг\р2 = ^2/р?+(р-1)р + /р2^р; старшая степень второго слагае-
слагаемого равна 2(р+ 1), а если к первому слагаемому применить многократно
рекурсию, то х2(р+1) обнаружится и здесь.)
3. Пусть В — группа конечной гомологической размерности А. Напишите
формулу для р-компоненты периодической части Тп при условии, что
п 4- 5(п) = A. (Указание: в формуле остаётся одно слагаемое.)
4. Покажите, что функция 5Р не ограничена сверху, то есть оценка след-
следствия 4.8 существенно лучше, чем в следствии 4.9. (Указание: вычислите
5. Пусть //(га) — максимальный коэффициент многочлена /^. Покажите,
что для //(га) справедливы те же асимптотические оценки, что и для у(гп).
В частности, максимальный коэффициент растет быстрее, чем любая сте-
степень размерности. Что это означает для разложения в прямую сумму групп
Тп,Кп и Сп? (Указание: неравенство //(га) ^ т(т) очевидно, так как
7(га) — сумма всех коэффициентов; с другой стороны, //(га) > 'у(т)/2т,
так как 2га —степень многочлена /тр.)
6. Рассмотрим производящую функцию
со
Покажите, что Ф(^,х) = Ь{1,х) + М(г,х)Ф(гр,х), где
Ш,х) = 7г-хЧр, МA,х) =
V ; 1 - д;2*р V у 1
§ 5. Доказательство основной теоремы 323
7. Пользуясь предыдущей задачей, докажите, что
оо й-1
Л
, х) = Ь(г, ж) + ]Г Ь^Р<'х) П
Два последних упражнения предложены Ю.С.Семёновым.
§ 5. Доказательство основной теоремы
Имеется ввиду теорема 4.1. Изложение будет следовать первоначальному
доказательству автора, которое несколько отличается от приведённого
в работе [25]. Фиксируем нечётное простое число р и будем предпола-
предполагать, что группа В не имеет р-кручения. Как и раньше, 2(р) — кольцо
рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на р.
Редукция к симметрическим степеням идеала Ав
Теорема 2.1 даёт выражения для Тп,Сп \\ Кп ъ терминах группы В и мо-
модуля М:
1рТп ^ гр(Ап(М) ®б 2)
(в случае Кп и Сп п = 1 той р, ав случае Тп п = 0 той р). Чтобы
доказать теорему 4.1, достаточно установить изоморфизм
F.16)
Формула для 1рТп получается тогда при га = 0, а формулы для Спи Кп —
при га=1ига = 2с заменой п на п — 1. Попробуем упростить левую
часть соотношения F.16).
Лемма 5.1. Пусть 1С — коммутативное кольцо с 1, А', А" — свободные
К-модули и А = А' ® А". Тогда имеет место точная последователь-
последовательность
О _> лп(Л') ^ К71-1 {А') ® Л ^ Ап~2(А')
-2
0. F.17)
324 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Здесь внешние степени Ап и симметрические степени 8п берутся над
кольцом К, с?о — естественный эпиморфизм, а при к ^
Доказательство. Рассмотрим сначала случай А" = 0. Тогда мы име-
имеем дело с последовательностью
0 -> Ап(А) ->
-* Л ® В"-1 (А) -> ^(Л) -* 0. F.18)
Будем рассуждать индукцией по числу свободных образующих /С-моду-
ля А. Если Л —свободный циклический модуль со свободным образую-
образующим е, то п = 1 и
= /С, ЛХ(Л) = е/С, 5°(Л) = /С, 5Х(Л) = е'/С.
Последовательность принимает вид
Е: 0 -* Лг(Л) ® /С Л /С ® 5Х(Л) -* 0
(с/(е ® 1) = 1 ® е') и её точность не вызывает сомнений. Сделаем бо-
более формальное заявление: последовательность Е стягиваема, то есть су-
существует гомотопия 5 между нулевым и тождественным отображением.
Легко проверить, что такая гомотопия задаётся отображением
е' —> е; е —> 0.
Возьмём теперь п копий Е\,...,Еп последовательности Е и рассмотрим
их тензорное произведение. Получится комплекс, который также стяги-
стягивается, в то же время он изоморфен комплексу F.18).
В общем случае, если А = А' © А", то
При фиксированном у подмодули
образуют подкомплекс и F.17) распадается в прямую сумму этих под
комплексов, откуда следует утверждение леммы. □
§5. Доказательство основной теоремы 325
Следствие 5.2. Для всех п ^ 1 и к ^ 0 имеют место изоморфизмы
1рНт(В, Ап(М)) 9* грНт+п(В, 8п(А)) (т, п > 0)
(Д = Ав — фундаментальный идеал).
Доказательство. Последовательность
0 -♦ М -> Р -+ А -+ 0
расщепляется над 2, поэтому по лемме 5.1 имеет место точная последо-
последовательность абелевых групп
0 -> ЛП(М) ^ ЛП(М) ® Р ^ ЛП~2(М)
М ® 5П-:(Р) ^ 5"(Р) ^ 5"(Д) -» 0. F.19)
Она, очевидно, является и последовательностью 5-модулей. Домножая
«
тензорно на 2(р) (над 2), получим точную последовательность модулей
над кольцом 2цр)В. Из теоремы об универсальных коэффициентах сле-
следует, что для любого В-модуля А
Нт(В, А ® 2(р)) ^ Ят(В, Л) ® 2(р).
В частности, группы Нт(В,А) и Ят(Б,Л®2(р)) имеют одинаковые
р-компоненты. Отсюда понятно, что, доказывая следствие 5.2, можно
кольцо коэффициентов 2 заменить на 2(р).
Докажем, что симметрические степени 8к(Р) ® 2(р) проективны как
модули над 2(р)В. Тензорное произведение проективных модулей —про-
—проективный модуль, что сводит задачу к случаю свободного циклического
модуля. База его симметрической степени состоит из упорядоченных про-
произведений Ь\ о ... о Ьк (Ы Е В). Группа В действует на этой базе и раз-
разбиению на орбиты соответствует разложение в прямую сумму цикличе-
циклических подмодулей. Пусть С — подгруппа изотропии некоторого элемента
Ь\ о ... о Ьк. Тогда прямое слагаемое, соответствующее его орбите будет
индуцированным модулем 2(р) ®с %(р)В- Если сх,..., с^ — различные эле-
элементы группы С, то элементы Ъ\С\,... ,Ъ\С1 различны и должны принад-
принадлежать множеству {Ь1,...Ък}, поэтому группа С конечна. По предполо-
предположению в В нет элементов порядка р, следовательно порядок подгруппы С
обратим в 2(р). Отсюда следует, что С-модуль 2(р) проективен над
(следствие 1.7 главы 2), но тогда индуцированный Я-модуль
проективен над
326 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Теперь следствие 5.2 получается сдвигом размерности с помощью по-
последовательности F.19). О
Наша задача свелась к доказательству изоморфизма
, 8п(А)) * йр)Нт(В, 2р). F.20)
Так как в дальнейшем нам предстоит иметь дело только с симметриче-
симметрическими степенями, упростим обозначения: для любой абелевой группы А
положим 8п(А) = Ап.
Теорема 5.3. Пусть В — группа без р-кручения и А — фундаменталь-
фундаментальный идеал кольца Ъ(Р)В. Тогда для любого т > 0
Нт(В, Ап) = 0 при п ф 0; 1 той р,
(и) Ят(Б, Ап) <* Ят+1(Б, А71'1) прип = 1 той р,
(ш) Ят(В, Ап) ^ #т+2(#, Ап'р) в Ят(Я, Дп/Р) при п = 0 той р,
(IV)
Из 5.3 следует F.20), а значит и наш основной результат — теорема 4.1.
Чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить утверждения теоремы 5.3
и рекурентные формулы в определении многочленов /^ (начало §6.4).
Доказательство пунктов A) и (и) теоремы с помощью следствия 5.2 сво-
сводится к внешним степеням модуля соотношений. Затем надо применить
леммы 2.8 и 2.9. Последний пункт (начальное условие) доказывается до-
достаточно просто. Большая часть параграфа посвящена доказательству
пункта (ш). Попутно получат независимое доказательство и утвержде-
утверждения @, (и).
Секции симметрической степени кольца
Пусть К = %(Р)В и Д — фундаментальный идеал кольца К. Рассмотрим
точную последовательность
0 -> Дп -* Еп -+ Пп/Ап -+ 0.
Так как в В нет р-кручения, а в 2(р) обратимы простые числа ^ ф р, то,
как мы только что доказали, Кп — проективный Д-модуль, поэтому
Яте(В, Ап) * Ят+1(В, Кп/Ап).
§5. Доказательство основной теоремы 327
Таким образом, задача сводится к изучению гомологии модуля Кп/Ап.
Обозначим через К™ (г = 0,... , п) подмодуль в Кп, состоящий из линей-
линейных комбинаций элементов
И о ...огп (г^ е Д),
в которых по крайней мере г сомножителей лежат в Д. Удобно считать,
что К™+1 = 0. Рассмотрим ряд
ОСДП = ^С...СД|1С...С^СД^ЙП. F.21)
Это аналог ряда F.2), который мы использовали при исследовании внеш-
внешних степеней модуля соотношений. Очевидно, Щ/Щ+1 = Д\ где г < п.
Как и в случае модуля соотношений, это даёт повод для индукции.
Назовём секциями ряда F.21) модули Л^ = К^/К^+1 (з ^ г). Важ-
Важную роль в дальнейшем будут играть проекции эт": Кп —► Кг. Чтобы
определить тг|\ рассмотрим сначала гомоморфизм Яп —► Яг ® Кп~г, про-
продолжающий отображение
П о ... о г
п
где суммирование происходит по всем подстановкам ш на множестве ин-
индексов {1,..., п}. Применяя к последним п — г аргументам пополняющий
гомоморфизм, получим гомоморфизм Нг (8) Яп~г —► Кг. Композиция этих
двух отображений и есть по определению проекция тг™. Читатель без
труда проверит следующее утверждение.
Лемма 5.4. На факторе Щ/Щ+х = #1/#1+1 = &к (к < г ^ п) проек-
• 1
ция тг^ совпадает с умножением на биномиальный коэффициент С^~ к.
Следствие 5.5. Кегтг^ = #^+1; проекция п™ индуцирует вложение
При использовании проекций полезно знать, в каком случае С™~к — обра
тимый элемент кольца 2(р). Следующая элементарная лемма даёт крите
рий того, что биномиальный коэффициент не делится на р.
Лемма 5.6. Пусть а = ^ аара и Ь=^2 ЪрР^ @ ^ аа, Ьр ^ р — 1). Тогда
% ф 0 той р <=> Ьа ^ аа для всех а.
328 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Доказательство. Вычислим (\Л-х)ь в кольце многочленов Ър\х[ двумя
способами. С одной стороны, A + х)ь = ^г С1хг. В то же время,
= ПЕ
а
а а. а. 8=0
Первый способ даёт коэффициент при ха равный С%. Поскольку а един-
единственным образом представляется в виде а = ^а аара, где 0 ^ аа ^ р— 1,
то второй способ даёт коэффициент при ха равный Па^ь"» следователь-
следовательно,
Сь = П Сь2 т°йр- F.22)
а
Правда, так как суммирование по 5 происходит лишь до Ьа, то в том
случае, когда хотя бы для одного значения индекса Ьа < аа, в разло-
разложении A + х)ь слагаемое ха будет отсутствовать. Это означает, что С%
(коэффициент при ха) = Отойр. Напротив, если Ьа ^ аа для всех а,
то равенство F.22) имеет смысл и в его правой части все множители
отличны от 0 по модулю р, так как 0 < аа, Ьа < р — 1. П
Определение. Секцию Я{^ будем называть регулярной, если числа
Сгс-1 пРи к = г,г — 1,...,з обратимы в 2(р).
Ограничение проекции тг^1 на регулярную секцию является, очевидно,
изоморфизмом.
Пусть, как и раньше, ||п||р — р-адическая норма числа п (максималь-
(максимальное I такое, что р1 делит п). Удобно считать, что ||0||р = оо. Следующие
три леммы дают примеры регулярных секций.
Лемма 5.7. Пусть г — з — Р8- Если ||г||р, \п\\р ^ з, то секция
регулярна.
Доказательство. Надо проверить, что при А; = г, г — 1,..., ^ +1 числа
С^. не делятся на р. Так как \\п — г\\р ^ 5, то п — г = ^ аара, где а^ з.
Кроме того, г — к < р8у поэтому п — к = (п — г) + (г — к) = ^ ^аРа, где
аа = Ьа при а ^ з. Остаётся воспользоваться леммой 5.6. □
Лемма 5.8. Пусть г - з — 2р8, где \\г\\р — ||Л|Р = ||п||р = з, а
г+,7')/2||р > 5. Тогда секция Щ$+\ регулярна.
Доказательство. Пусть т = (г + з)/2, тогда г — т — р8 и при к = г,
г — 1,... т + 1 числа С1гХ не Делятся на р по лемме 5.7 (?' надо заменить
на т). Совершенно аналогично рассматривается секция
§5. Доказательство основной теоремы 329
Лемма 5.9. Пусть \\п\\р = з. Тогда секция НрЧ0 регулярна.
Действительно, для секции К™» г это следует из леммы 5.7. Для верхнего
этажа С^_~^ ф 0 той р. □
Определение. Элементарной назовём секцию одного из следующих
трёх типов
A) Я?,.+1, где г~з= р\ \\%\\р = \ЩР = в < ||п||р;
(И) Щ+г, где г - з = 2?, \\г\\р = \\з\\р = \\п\\р = *, ||(г+^)/2||р > «;
(Ш) Я™.,0, где 5 = ||п||р.
Лемма 5.10. Есла Щк — элементарная секция, то Нт(В, Щк) = 0 при
т > 0.
Доказательство. Используем индукцию по п. При п = 1 имеется
единственная элементарная секция К\о = К, для которой лемма очевид-
очевидна. Пусть п > 1. По леммам 5.7, 5.8 и 5.9 элементарные секции регу-
регулярны, поэтому, используя проекции и предположение индукции, можно
считать, что при г < п лемма доказана. Пусть г = п. Если при этом
к = 0, то И%к — Яп и утверждение леммы справедливо. Если к > 0, то,
как следует из определения элементарных секций, Щк = Щ+\> где ли-
либо з = п — р8, либо з = п — 2р5 и ||п||р = ||Л|Р = з. В любом случае
в Нп/Н^+1 можно построить ряд, факторы которого — элементарные сек-
секции /$у. Так как г' < п, то Нт{В,Щу) = 0 при т > 0, следовательно,
Нт(В,Нп/Н™_]_1) = 0. Так как и Нт(В,Кп) = 0, то утверждение леммы
следует из точной последовательности
0 -> Я*+1 -> Яп -> ЯГ/Щ+г -> 0. П
Рассмотрим частный случай леммы 5.10, когда п не делится на р, то
есть, когда в пунктах 0)-(ш) определения 5 = 0. Элементарные секции
принимают следующий вид:
-, где г ф 0; 1 той р; Я^-1> гДе * = 1 тОA
Так как Щ1 = Д*, то равенство Нт(В,Щ{) = 0 доказывает утверждение
(О теоремы 5.3. Рассматривая точную последовательность
О-* Д*-> 1&.!-> Д*-* О,
мы видим, что из равенства Ят(В,Я^_1) = 0 следует и утверждение (и).
В полном объёме мы используем лемму 5.10 в следующем пункте этого
раздела.
330 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Предположим, что числа г,^,п удовлетворяют условиям леммы 5.7.
Тогда проекция тг™ индуцирует изоморфизм Я^+} = Я*+1. В этом смысле
секция Щ^ не зависит от п. Удобно представлять себе модуль ДУ
как секцию в Яп для любого п, удовлетворяющего условию ||п||р ^ 5.
Лемма 5.11. Если числа г,з,п удовлетворяют условиям леммы 5.7 и
> 1ми т°
9*
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
—> О,
где & определяется равенством ] — к = р5. Модуль /%+1 = ^^+1"" эт0
элементарная секция типа A1). Применив лемму 5.10, имеем
Остаётся спроектировать регулярную секцию /2^+1 на
Доказанные леммы об элементарных секциях справедливы для любо-
любого коммутативного кольца коэффициентов, в котором обратимы простые
числа я ^ р. Нам будет важно, что в качестве такого кольца кроме 2(р)
можно взять поле вычетов Ър. Расхождение между 2(р) и Ър появляет-
появляется в случае секций с ненулевыми гомологиями, например, в следующей
лемме и её следствии.
Лемма 5.12. Пусть \\п\\р = 5 + 1. Тогда Нт(В, Яр*0) = Нт+\(В, 2Р) и
, Ярв0 0 2Р) = Нт+\{В, 2Р) ф
Доказательство. По следствию 5.5 проекция тг^1 индуцирует вложе-
вложение Я™0 —» Яг. В частности, имеет место точная последовательность
♦ КР" -+ Сокег я-", -> 0. F.23)
Как следует из леммы 5.7, тг^ч отображает изоморфно Щ на Я\ . В то
с
же время на верхнем этаже Я^о = Я%0 = Ъ^ проекция к™* совпадает
с умножением на Си . По условию п = р5+1га, где (т,р) = 1. Легко ви-
видеть, что тогда Сп делится на р, но не делится на р2. Отсюда следует,
что Сокегтг]^ = 2Р. Первое утверждение леммы следует теперь из F.23).
Второе утверждение можно доказать аналогично, но проще воспользо-
воспользоваться теоремой об универсальных коэффициентах.
§5. Доказательство основной теоремы 331
Следствие 5.13. Для любого т > 0 Нт(В,Ар) = #т+2(#, 2Р) и
#т(В, Ар ® 2Р) ^ Ят+2(В, 2Р) 0 Нт+1(В, 2Р).
Действительно,
По уже доказанному пункту A) теоремы 5.3 Нь(В,Аг) = 0 при г
= р — 1,...,2, поэтому
Теперь можно применить лемму 5.12 при п = р, 5 = 0. □
Отметим, что первое утверждение следствия — это пункт (IV) теоре-
теоремы 5.3.
Доказательство теоремы 5.3 по модулю р
В этом параграфе кольцом коэффициентов будет поле вычетов 2Р. Мы
не будем менять обозначения, подразумевая, что теперь Я = ЪРВ, Д —
фундаментальный идеал этого кольца, 5(А) — симметрическая алгебра
над 2р и так далее. Теорема 5.3 по модулю р формулируется так же,
за исключением начального условия. Теперь в соответствии со следстви-
следствием 5.13
Нт(В,АР) * Ят+2(В, 2р) 0 #те+1(В, Д). F.24)
Так как пункты (\), (и) и (IV) теоремы уже доказаны, мы сосредоточимся
на пункте (ш). Отметим, что над Ър рекуррентная формула пункта (Ш)
справедлива и при п — р. Действительно, при п — р имеем
#те(в, д*) = нт+2(в, д°) е нт(в, д),
что, очевидно, совпадает с предыдущей формулой. Таким образом, значе-
значение п — р можно взять за основание индукции.
Объясним, прежде всего, в чём преимущество Ър перед 2(р). Пусть
А — произвольная коммутативная алгебра над 2Р. Тогда определён эндо-
эндоморфизм Фробениуса
: А —> А, (р{а) = ар (а Е А).
В частности, имеется отображение симметрической алгебры
332 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
Это, очевидно, — мономорфизм 2рВ-модулей. Если п делится на р, то,
ограничив ф на Дп/р, получим отображения
Именно так возникает прямое слагаемое Нт(В,Ап/р) в Нт(В,Ап). Пе-
Перейдём к подробному изложению.
Определение. Пусть ||п||р = I. Базисными секциями модуля Яп назовём
секции следующих трёх типов
я+ря
(О КУрчл .еслиО<в<«;
00 яп-2р*+1'если Ип-%
A11) Що, если п = рг.
Легко видеть, что модули, указанные в определении, действительно
можно считать секциями вйпв соответствии с замечанием перед лем-
леммой 5.11.
Лемма 5.14. Для любого 8 ^ I в модуле Дп/Д^_ря+1 существует ряд,
факторы которого — некоторые элементарные секции и все базисные
секции, не содержащиеся в К™_р
Доказательство. Промежуток между двумя базисными секциями
заполняется элементарными секциями
Если п = р*, то нужный ряд образуют базисные секции вместе с ука-
указанными элементарными. Если I < \\п — рг\\р < оо, то надо ещё добавить
элементарные секции, образующие ряд в К>п/К™_2р1+1- Аналогично, если
Нп~-.Р*||р — ^» т0 надо ещё добавить элементарные секции, образующие
ряд в Пп/Н%_р1+1. П
Рекуррентную формулу теоремы5.3 будем доказывать индукцией поп.
Чтобы усилить предположение индукции, удобно доказывать сразу три
утверждения: пусть п > 0, п = 0 той р и I = \\п\\р, тогда
(а) Нт(В, Д") = Нт+2(В, Ап-р) е Нт(В, Ап
§5. Доказательство основной теоремы 333
(Ь) для любого 5
где суммирование происходит по всем базисным секциям, не содер-
содержащимся в К™_р.ч+1.
(с) для любого положительного 5 ^ I отображение Фробениуса
{р. цп/р _> дп индуцирует изоморфизм
Доказательство. Пусть п = р. утверждение (а) уже проверено. Про-
Проверим (Ь). При 5 — 1 (Ь) превращается в равенство
которое очевидно из определений. При 5 = 0 надо доказывать, что
Нп(В, №/!%) * Нп(В, ЯГ1) 0 Нп(В, Пр00).
Это эквивалентно изоморфизму
р) * ЯТО(В, Д) 0 Нт(В, 2Р),
что представляет собой разновидность F.24). Наконец, в утверждении
(с) при 5 = 1 речь идёт об отображении Ят(В, Д) —> Нт(В,Щ), инду-
индуцированном отображением Фробениуса (р: К —> НР. Тот факт, что это —
изоморфизм следует из коммутативной диаграммы
1 I 1
о -> Щ -> яр -> гр -> о.
Пусть п> р. Сделаем шаг индукции. Разберём три возможных случая
1) п/р ф 0; 1 той р\ 2) п/р = 1 тоё р; 3) п/р = 0 той р.
В первом случае I = 1 и в Кп имеется лишь одна базисная секция
^п-ю+1 — Дп~р+1. В Кп/К^__р+1 можно построить ряд из элементарных
секций, поэтому
= 0, Ю
что доказывает (Ь). Далее,
Нт(В, Ап) * Нт+1(В, Кп/Е1) <* Нт+1(В, Д"-^1) ^ Нт+2(В,
334 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
(последнее равенство по пункту (и) теоремы 5.3). Это доказывает (а), по-
поскольку при п/р ф 0; 1 той р второе слагаемое в (а) тривиально (пункт
(О теоремы 5.3). Наконец, легко видеть, что обе группы, изоморфизм
которых утверждается в (с) также тривиальны.
Во втором случае также I = 1. В (с) по необходимости « = 1и надо
доказать, что изоморфизмом является отображение
По лемме 5.11 последнее отображение можно заменить на гомоморфизм
Нт(В, Д"/?-1) -> Ят(Д ЕЩ+1). F.25)
Остаётся, используя индукцию, применить утверждение (с) при 5 = 1,
заменив пнап-р.
Докажем во втором случае утверждение (Ь). При I — 1 в Кп имеется
ровно две базисные секции — #™1р+| — Ап~~р+1 и ^1^+1- Если 5 = 1,
то в правой части формулы (Ь) имеется лишь одно слагаемое, что делает
её очевидной. Если 5 = 0, то в (Ь) утверждается, что
, Еп/Ап) <- Нт(В, Д^+1) 0 Нт(В, <1^+1). F.26)
В силу пункта 0) теоремы 5.3 левую часть можно заменить на
- Рассмотрим точную последовательность
п-2р+1
Нам достаточно доказать, что связывающие гомоморфизмы, соответству-
соответствующие этой точной последовательности тривиальны. Рассмотрим гомомор-
гомоморфизм
. Т?п/Р IЛ П/Р ь
индуцированный отображением Фробениуса. Так как Д71/^ — подмо-
подмодуль в Кп/р/Ап/р, то ^(А71^-1)- подмодуль в Нп/К%_р+2. Очевидно,
дп-р+1 __ также подмодуль в Кп/К™_р+2* причём пересечение этих двух
подмодулей тривиально. Рассмотрим коммутативную диаграмму
I Т Т
0 -> Дп-р+1 -> Ап-р+1 ® (р(Ап/р-1) -> ф(Ап1р-1) -> 0.
Как было доказано выше, вертикальное отображение справа индуцирует
изоморфизм. Поскольку в нижней строке для прямого произведения свя-
связывающие гомоморфизмы равны нулю, то связывающие гомоморфизмы
равны нулю и в верхней строке, что и требовалось доказать.
§5. Доказательство основной теоремы 335
Используя F.25), F.26) и пункут (и) теоремы 5.3, имеем
Нт(В,Ап) *< Нт+1(В,Кп/Ап) *<
-г)
, Ап~р 0 Нт(В, Ап'р),
что доказывает утверждение (а).
Наконец, рассмотрим третий случай: п/р = 0 той р. Здесь важной
особенностью является то, что к п/р можно применить предположение
индукции. Начнём с утверждения (Ь). Пусть сначала 5 > 0. Рассмотрим
отображение Фробениуса
уп/р I г>п/р Ф. г>п
Между базисными секциями области определения и области значений
существует взаимно однозначное соответствие, индуцированное отобра-
отображением (р. По индукции Ят(Б,/?п/р//?^ у х) раскладывается в пря-
прямую сумму гомологии соответствующих базисных секций, поэтому нам
достаточно доказать, что на гомологиях базисных секций <р индуцирует
изоморфизм. Это очевидно для базисных секций типа A11). Для секций
типа (и) — следует из (с) по индукции (с заменой п на п—р1). Рассмотрим
секции типа @. Нас интересуют отображения гомологии, индуцирован-
индуцированные гомоморфизмами
Используя лемму 5.11, эти отображения можно заменить на
р(п-р<*)/р г>п-р
П'(п-р<*)/р-ра-2+1 "П/(п
Остаётся применить (с), подставив п — ра вместо п. Пусть теперь 5 = 0.
Тогда в (Ь) речь идёт о вычислении Нт(В,Кп/Ап). Вновь рассмотрим
отображение
у?: Еп/р/Ап/р -* Кп/Ап. F.28)
По только что доказанному (F.27) при 5 = 1) <р индуцирует изоморфизм
- Нт(В,
но в Кп/Ап на одну базисную секцию больше, чем в Яп/р/Ап/р. Имен-
Именно, в Кп/Ап базисной является секция ^1^+} — Ап~~р+1, не имеющая
прообраза в К71/А71. Нам достаточно доказать, что
Нп(В, Кп/Ап) *< Нт(В, Ап~р+1) 0 Нп(В, Еп/КЦ_р+1).
336 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
В левой части Кп/Ап можно заменить на Яп/К^__р+2. Используя F.28)
и F.29), последнее равенство можно переписать в виде
нп(в, д7К-р+2) = ят(в, дп-^+1) е
Последнее равенство следует из того, что модули дп-р+1 и (р(Кп1р /Ап/р)
образуют в Кп/К™_р+2 прямую сумму.
Докажем (с). Гомоморфизм F.27) можно включить в коммутативную
диаграмму
О -
т т г
п V -рп/Р Т?п/р V Г>п/р I т>п Р
Так как средняя и правая вертикальные стрелки индуцируют изоморфизм
гомологии, то это же верно и для левой стрелки.
Наконец, последний пункт — утверждение (а). Рассматривая утвер-
утверждение (Ь) при 5 = 0, мы доказали, что
, яп/Ап) * нт(в, Ап-р+1) е ят(в,
поэтому
Нт(В,Ап) 9* Нт+1(В, А"
* нт+2(в, Ап~р) е нт(в,
На этом доказательство утверждений (а)-(с), а значит и теоремы 5.3 по
модулю р, закончено.
Доказательство теоремы 5.3
Рассмотрим точную последовательность 2(р)Б-модулей
0 -> А1 -* А -+ Л" -+ 0. F.30)
Если она расщепляется над 2^, то последовательность
0 -> А! ® Ър -> Л ® 2Р -^ Л7/ ® Ър -* 0 F.31)
также точна. Переход от Ър к Ъ<^ основан на следующем почти очевид-
очевидном соображении.
Лемма 5.15. Если группы Нт(В,А') и Нт(В,А") аннулируются умно-
умножением на р, а связывающие гомоморфизмы, соответствующие по-
последовательности F.31) тривиальны, то тривиальны и связывающие
гомоморфизмы, соответствующие последовательности F.30).
§5. Доказательство основной теоремы 337
Доказательство. Как следует из условия, в коммутативной диа-
диаграмме
- Нт+Х(В,А") -> Нт(В,А') -> Нт(В,А) ->
1« 1/3 |
-* Нт+1(В,А"®2,Р) -* Нт(В,А'®2>р) -> Нт{В,А®Ър) -»
отображения а и /3 — мономорфизмы. Отсюда очевидно, что связывающий
гомоморфизм в верхней строке тривиален. □
В случае кольца коэффициентов Ъ^ полезно немного изменить опре-
деление базисных секций. При п — 1^ в Кп над Ър секции /Р\_1 г = К\
и Що считались базисными. Над 2(р) будем считать, что вместо этих
двух секций базисной является только их объединение — секция /?7\_1().
По лемме 5.12 её гомологии аннулируются умножением на р (в отличие
от секций Я^.х г и Що).
Лемма 5.16. Пусть п = 0 той р*/0^$^^ = \\п\\р- Тогда (над
\
суммирование происходит по всем базисным секциям модуля Кп,
не содержащимся в
Эта лемма (с учётом модификации понятия базисной секции) является
непосредственным следствием утверждения (Ь) предыдущего параграфа
и леммы 5.15.
Попытаемся использовать эту лемму для вычисления групп
Ят(В,Дп), обходясь без отображения Фробениуса, которое над 2(р) не
определено. При этом модуль Д71 появится у нас как частный случай
модуля #™_р5+1 при 5 = 0. Возможны три случая:
п = р1. F.32)
Расписывая в явном виде лемму 5.16 в зависимости от этих трёх случаев,
получим
н(вкп/к)
п , п 1
(И)
№
Применив леммы 5.11 и 5.12, эти выражения можно преобразовать к
следующему виду
338 Глава 6. Гомологии свободных абелевых расширений
-.Ос
(и) е + С^^и)
^в+1^т+2(В, ^1^_^_1 + 1) 0 Ят+2(В, Ър).
Введём многочлены Д'8, где 0 ^ 5 < I = ||п||р, с помощью рекуррентных
формул, которые соответствуют трем случаям F.32).
№ У т2
п — 2
Из этих определений и выписанных выше формул следует, что
нт(в, яЕ-р*+1) — 1п8нт(в, ър). (б.зз)
Лемма 5.17. /^'5 = /^у я (напомним, что в терминах многочленов /п
формулируется основная теорема).
Доказательство. Используем индукцию по п. При п = р /р'° =
— /р — ^2- Шаг индукции зависит от трёх случаев F.32). В первом
2гР,а-1_
1
случае имеем
р \ Т2гР,а-1_ / инпукпии\ _  Т№
п — /^ 1п-р°< — 1П0 индукции; — ^ х 1п/ра-1-р
а=8+1 а=8+1
С другой стороны,
р) _^ Т2 {Р,Р-1 =г 2 Ар) \^ 2
(второе равенство также по индукции) Аналогично рассматриваются вто-
второй и третий случай. Пользуясь равенством F.33) при 5 = 0, доказанной
леммой и определением многочленов /^ окончательно получим
Нт(В, Дп) ^ №° р р
^ Ят+2(Б, Д"-Р) в
На этом заканчивается доказательство теоремы 5.3 и теоремы 4.1. □
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Алгебраическая теория чисел//под редакцией Касселса Дж. и Фрё-
лиха А., —М.: Мир, 1969.
[2] Андре (Апйгё М.) Ье 6,2 с1е 1а зш1е зрес1га1е еп соЬото1о§1е йез
§гоирез//С.К. Асай. 5с1. Рапз. - 1965. - V. 260. - р. 2669-2671.
[3] Артамонов В. А. Квантовая проблема Серра//Успехи мат. наук.—
1998. - т. 53, вып. 4 C22). - с. 3-76.
*
[4] Атъя М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:
Факториал Пресс, 2003.
[5] Атья М. Геометрия и физика узлов. — М.: Мир, 1995.
[6] Баумслаг (Ваитз1а§ О.) А НшЫу §епега{ес1, тйшЫу геЫес!
дгоир шНЬ 1хма1 тик1рИса1ог //Ви11. Аиз1;г. Ма1Ь. Зое. — 1971. —
V. 5. — р. 131-136.
[7] Баумслаг, Штребель, Томпсон. (Ваитз1ад О., 51геЬе1 К., ТЬотр-
5оп М.) Оп 1Ье ти1ир11са!ог оГ Г/^СК//3. Риге Арр1. А1^еЬга.—
1980. - V. 16, № 2. - р. 121-132.
[8] Бествина, Бреди (ВезМпа М., Вгас1у 1М.) Могзе 1Ьеогу апс! Пп1
ргорег^ез оГ §гоир5//1пуеп1. Ма*Ь. — 1997. — V. 129. — р. 445-470.
[9] Бири, Штребель (В\ет\ К., 51геЬе1 К.) Уа1иа11оп5 апс! ПпИ;е1у
ргезеп1;ес1 теЫэеНап дгоирз//Ргос. Ьопс1оп МаШ. 5ос. — 1980. —
у.41, № 3. - р. 439-464.
[10] Бири (В1еп К.) Ното1о^1са1 сНтепзюп оГ сИзсге^е ^гоирз. — Ь.:
Магу Со11еде Ма1Ьета11С5 N0165, 1976.
[11] Браун К. С. Когомологии групп. — М.: Наука, 1987.
340 Список литературы
[12] Бурбаки Н. Элементы математики, гл.X.Гомологическая алгебра.—
М.: Наука, 1987.
[13] Винберг Э.Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
[14] Гильберт, Хауви. (ОНЬег* N. Нош1е Л.) ЬОО дгоирз апс! сусНс1у
рге$еп1ес1 дгоирз//Л. А1§еЬга. — 1995. — V. 174. — р. 118-131.
[15] Гордон (Оопкш с. МсА.) Ното1о^у оГ §гоирз оГ зигГасез т 1\\е
4-зрЬеге // Ма*Ь. Ргос. СатЬ. РЫ1.5ос. - 1981. - V. 89. - р. 113-117.
[16] Горенстейн Д. Конечные простые группы. —М.: Мир, 1985.
[17] Грюнберг (ОшпЬегд К. Ш.) КезокШопз Ьу ге1аиоп5//Л.Ьопс1оп
МаШ. 5ос. - 1960. - V. 35. - р. 481-494.
[18] Грюнберг (ОшпЬегд К. Ш.) СоЬото1о^1са1 (оргсз 1п дгоир Шеогу//
ЬесШге Ыо^ез 1П МаШ. — 5рг1П§ег, 1970. — V. 143.
[19] Гупта (Оир1;а С. К.) ТЬе Ггее сеп^ге-Ьу-те^аЬе11ап дгоирз//Л. Аиз{га1.
МаШ. 5ос. - 1969. - V. 10. - р. 451-464.
[20] Дике, Лери (Оюкз Ш, Ьеагу I.) Ргезеп1;аиоп5 Гог зиЬ^гоирз оГ Аг^п
дгоирз//Ргос. Атег. МаШ. 5ос. - 1999. - V. 127. - р. 343-348.
[21] Каргаполов М. И. Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — М.: На-
Наука, 1972.
[22] Кервер (Кегуа1ге М. А.) Оп Н1§Ьег О1теп5юпа1 Кпо15//ОШ. СотЬ.
Тор. — Рппсе*оп \}п\\. Ргезз, 1965. — р. 105-119.
[23] Клячко (ЮуасЬко А. А.) А Гиппу ргорег^у оГ зрЬеге гпА е^иаиоп8
оуег §гоирз//Сотт. А1^еЬга. — 1993. — V. 21, №7. — с. 2555-2575.
[24] Кнут (КпиШ О.) Ап а1то5{ Нпеаг гесиггепсе//р1Ьоппас1 <Эиаг4.—
1966.-V.4.-р. 117-128.
[25] Ковач Л. Г., Кузьмин Ю. В., Штер Р. Гомологии свободных абеле-
вых расширений групп//Матем.сб. — 1991. — т. 182, № 4.— с.526-
542.
[26] Кон П. Свободные кольца и их связи. —М.: Мир, 1975.
[27] Кострикин А. И. Введение в Алгебру. — М.: Физ. мат. лит., т. 1, 2, 3,
2000.
Список литературы 341
[28] Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М.: Мир, 1967.
[29] Кузьмин Ю.В. Многообразие метабелевых О-групп//Изв. АН
СССР, сер. матем. - 1972. - т. 36. - с. 765-788.
[30] Кузьмин Ю.В. Аппроксимация метабелевых групп//Алгебра и ло-
логика. - 1974. - т. 13. - с. 300-310.
[31] Кузьмин Ю.В. Внутренние эндоморфизмы метабелевых групп//
Сиб. мат. жур. — 1975. — т. 16. — с. 736-744.
[32] Кузьмин Ю. В. Свободные центрально-метабелевы группы, алге-
алгебры Ли и Э-группы // Изв. АН СССР, сер. матем. — 1977. — т. 41. —
с. 3-33.
[33] Кузьмин Ю. В. О некоторых аппроксимационных свойствах много-
многообразия АЛССII Успехи мат. наук. — 1978. — т. 33. — с. 217-218.
[34] Кузьмин Ю. В. Об элементах конечного порядка в свободных груп-
группах некоторых многообразий//Матем. сб. — 1982. — т. 119 A61). —
с. 119-131.
[35] Кузьмин Ю. В. Строение свободных групп некоторых многообра-
многообразий // Матем. сб. - 1984. - т. 125 A67). - с. 128-142.
[36] Кузьмин Ю. В. О дифференциалах спектральной последователь-
последовательности группового расширения // Матем. сб. — 1987. — т. 133 A75). —
с. 49-63.
[37] Кузьмин Ю. В. О некоторых свойствах свободных абелевых расши-
расширений // Матем. сб. - 1989. - т. 180, № 6. - с. 850-862.
[38] Кузьмин Ю.В. Об одном способе построения С-групп//Изв. РАН,
сер. матем. — 1995. — т. 4. — с. 105-124.
[39] Кузьмин Ю. В. Группы заузленных компактных поверхностей и цен-
центральные расширения // Мат. сборник. — 1996. — т. 187. — с. 81-102.
[40] Кузьмин (Кигтт Уи. V.) Ното1о^у Шеогу оГ Ггее аЬеНатгес!
ех{еп5ЮП5//Сотт. А1&. — V. 16, № 12. — р. 2447-2533.
[41] Кузьмин (Кигтт Уи. V.) Оп Ше дгошШ ГипсМоп оГ сИгес! йесотро-
зШоп а550С1а{ес1 т1Ъ Ьото1о^у оГ Ггее аЬеНашгес! ех^епзюпз// Л. Риге
АррИеё А1&еЬга. - 1993. - V. 86. - р. 223-229.
342 Список литературы
[42] Куликов Вик.С. Геометрическая реализация С-групп//Изв. РАН,
сер. матем. — 1994. — т. 58. — с. 194-204.
[43] Куликов Вик. С. Формула разложения на множители полного пово-
поворота с удвоенным числом нитей//Изв. РАН, сер. матем. — 2004. —
т.68.-с. 125-158.
[44] Куликова О. В. О фундаментальных группах дополнений к кривым
Гурвица // Изв. РАН, сер. матем. - 2005. - т. 69. - с. 125-132.
[45] Курош А. Г. Теория групп. — М.: Наука, 1967.
[46] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ас-
ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.
[47] Лет С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
[48] Линдон Р. (ЬупсЬп К.) ТЬе соЬото1о^у Шеогу оГ §гоир
Ма1Ь, Л. - 1948. - V. 15. - р. 271-292.
[49] Линдон Р. (Ьупйоп К.) СоЬото1о^у Шеогу оГ дгоирз шКЬ а
геЫюп// Апп. Ма№. — 1950. — V. 52. — с. 650-665.
[50] Маклейн С. Гомология. —М.: Мир. 1966.
[51] Магнус В.Каррас А. Солитер Д Комбинаторная теория групп.—
М.: Наука, 1974.
[52] Мальцев А. И. Об одном классе однородных пространств//Изв. АН
СССР, сер. матем. - 1949. - № 1. - с. 9-32.
[53] Милнор Дж. Введение в алгебраическую /Г-теорию. — М.: Мир,
1974.
[54] Нуазье, Габриэль (Шиггё V. (ЗаЬпе1 Р.) Нёаих ргегшегзйе Га1§ёЬге
епуе1оррап*е сГипе а1^ёЬге с1е 1ле ш1ро1еп1е//Л. А1§еЬга. — 1967.—
V. 1.-р. 77-99.
[55] Ремесленников В.Н., Соколов В.Г. Некоторые свойства вложения
Магнуса//Алгебра и логика. — 1970. — т. 9. — с. 566-578.
[56] Серр Ж. П. Группы Ли и алгебры Ли. —М.: Мир, 1969.
[57] Серр Eегг Л. Р.) СоЬогпо1о^1е йез дгоирз сН5сге{5//Апп. МаШ. 5{и-
сНез. — 1971. — V. 70. — р. 77-169. (Русский перевод: Математика. —
1974. - т. 18, № 3. - с. 123-144, № 4. - с. 3-33.)
Список литературы 343
[58] Семёнов Ю.С О коммутантах неприводимых С-групп//Матем.
сборник. - 1996. - т. 4. с. 93-102.
[59] Столлингс (ЗЫНп^з Л. К.) Оп {огзюп-Ггее дгоирз ш1\\ тйпеЫу
тапу епйз// Апп. Ма№. - 1968. - V. 88. - р. 312-334.
[60] Столлингс (ЗЫНп^з Л. К.) Ното1о^у апс! Сеп1га1 Зепез оГ
Огоирз//Л. А1&еЬга. - 1965. - V. 2. - р. 170-181.
[61] Суон Eшап К. О.) (Згоирз оГ соЬото1о^1са1 сПтепИоп опе//Л.А1^е-
Ьга. - 1969. - V. 12. - р. 588-610.
[62] Суон Eшап К. О.) 1пс1исес1 гергезепЫюпз апс! ргсуесМуе тос1и1ез//
Апп. МаШ. — 1960. — V. 71. — р. 552-578. (Русский перевод: Матема-
Математика. - 1964. - т. 8, № 1. - с. 3-28.)
[63] Уонг (Шопд Ш.) А соЬото1о^1са1 сЬагас1епга1юп оГ йш1е П11ро1еп1;
дгоирз // Ргос. Атег. Ма*Ь. 5ос. - 1968. - V. 19. - р. 689-691.
[64] Фаддеев Д. К. О фактор-системах в абелевых группах с оператора-
операторами // ДАН СССР - 1947. - т. 58. - с. 361-364.
[65] Ханнебауэр (НаппеЬаиег Т.) КеЫюп тос1и1е оГ Ггее ргойис*
ата1^атаиоп апс! оГ РШМ-ех{епзюп//СНаз&о Ма^Ь. Л.— 1989.—
у.31, № 3. - р. 263-270.
[66] Хартли, Штер (Наг11у В., 51бЬг К.) А по1е оп Ше Ьото1о^у
Ггее аЬе11ап12ей ех*езюпз//Ргос. Атег. МаШ.Зос. — 1991. — V. 113. —
р. 923-932.
[67] Хилман (НШтап Л.) 2-Кпо*з апс! 1\\е\г Огоирз//Аиз^га11ап МаШ. 5ос.
Ьес. 5ег.-1989.-№5.
[68] Хилтон, Штаммбах (НШоп Р. Л., З^аттЬасЬ Ы.) А Соигзе 1п Ното-
А1деЬга//Огас1иа{е Тех^з 1п МаШетаисз. — Зрпп^ег, 1996.
[69] Холл (На11 РЬ.) Рткепезз сопйМюпз Гог зо1иЫе дгоирз//Ргос. Ьопйоп
Ма№. 5ос. — 1954. — V. 4. — р. 419-436. (Русский перевод в сборнике
«Разрешимые и простые бесконечные группы». —М.: Мир, 1981.)
[70] Хопф (НорГ Н.) РипйатепЫ&шрре ипс! гше^е ВеШзсЬе Огирре//
Соттеп^. Ма№. Не1у. - 1942. - V. 14. - р. 257-309.
[71] Хохшильд, Серр (НосЬзсЬНс! С, Зегге Л. Р.) СЬоЬото1о^у оГ
ех*епзюпз//Тгапз. АМ5. - 1953. - V. 74. - р. 110-134.
344 Список литературы
[72] Церк Bегск К.) Оп 1Ье Ьото1оду оГ Ггее аЬеПатгес! ех^епзюпз оГ
ПпИе §гоирз//Л. Риге Арр1. А1§еЬга. - 1990. - V. 67. - р. 189-199.
[73] Чарлап, Васкез (СЬаНар Ь. Мащиет. А.) ТЬе соЬото1о^у оГ дгоир
ех1епиоп5//Тгап5. Атег. Ма№. Зое. — 1969. — V. 124. — р. 24-40.
[74] Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп. — Минск, 1964.
[75] Шмелькин А. Л. Свободные полинильпотентные группы//Изв. АН
СССР, сер. матем. - 1965. - т. 29. - с. 91-122.
[76] Шмелькин А. Л. Замечание к работе Шмелькина «Сплетения и мно-
многообразия групп» // Изв. АН СССР, сер. матем. — 1967. — т. 31. —
с. 443-444.
[77] Штамбах E1аттЬасЬ II.) Ното1о^у т Огоир ТЬеогу//Ьес1иге
N0^5 1п Ма*Ь. - Зрп^ег, 1973. - V. 359.
[78] Штамбах E{аттЬасЬ 11) СоЬото1о^1са1 сЬагас{е12а{юп оГ пп
зо1иЫе апс! т1ро{еп{ дгоирз//Л. Риге Арр1. А1^еЬга. — 1977. — № 11. —
р. 293-301.
[79] Штер E{оЬг К.) Оп Оир{а КергезепЫюпз оГ Сеп{га1 Ех1еп51ОП5//
Ма*Ь. 2. - 1984. - V. 187, № 2. - р. 259-267.
[80] Штер E{оЬг К.) Оп Тогзюп т Ргее Сеп^га! Ех1еп510П5 оГ Зоте
Тогз1оп-Ггее Огоирз//Л.Риге Арр1. А1§г. - 1987. -V. 46. - р. 249-289.
[81] Эванс (Еуепз Ь.) ТЬе СоЬото1о^у о\ Огоирз. — С1агепс1оп Ргезз, 1991.
[82] Эйленберг, Маклейн (ЕПепЬегд 5., Мас1апе 5.) СоЬото1о^у Шеогу
1п аЬз^гас^ &гоирз 1//Апп.МаШ. — 1947. — V. 48. — р. 51-78.
[83] Эйленберг, Маклейн (ЕНепЬегд 5., Мас1апе 5.) СоЬото1о^у Шеогу
1п аЫгас* §гоирз II//Апп. Ма№. - 1947. -V.48. -р. 326-341.
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
2 — кольцо целых чисел
Ъп — кольцо вычетов по модулю п
— кольцо рациональных чисел, знаменатель которых — степень про-
простого числа р
— поле рациональных чисел
К — поле действительных чисел .
(т, п) — наибольший общий делитель чисел тип
С™ = (^) — биномиальный коэффициент
ЪС — групповое кольцо (аналогично С}С и т. д.) с. 13
е: ЪС —» 2 — пополняющий гомоморфизм с. 15
Ас — фундаментальный идеал (ядро пополняющего гомоморфизма) с. 15
дн = Н~1дН — сопряжение в группе
[<7, Н] = д~1Н~1дН — коммутатор в группе
[Л, В] — подгруппа, порождённая каммутаторами [а, Ь] (а е Л, Ь е В)
С — [С?, С] — коммутант группы
Саь = С/С — абелианизация с. 22
С(п) _п.ый член ряда коммутантов: С?(о) = С,С(П+1) = [С^п\С^]
1п{р) —п-ый член нижнего центрального ряда: 71 (О) = С, 7п+1(С?) =
— центр группы С
2п(О) —п-ый член верхнего центрального ряда: 2о(С) = 1, 2п+\(С)—
прообраз 2{С/2п{С)) в группе С
,\Уг —дискретное и полное сплетение с.30
= М — модуль соотношений группы С = Р/Н с. 151
346 Список обозначений
С = Р/И — копредставление группы С (Р — свободная группа)
Ф = Р^аъ — свободное абелево расширение группы С = Р/И с. 149
С — группа автоморфизмов группы С
Е — группа автоморфизмов расширения Е с. 34
1т / — образ отображения /
Кег / — ядро отображения /
Сокег/ —коядро отображения / (фактормодуль по образу)
А° — наибольший подмодуль, на котором С действует тривиально
Ас — наибольший фактормодуль, на котором С действует тривиально
<8>, ®с> ®я —тензорное произведение над 2, над групповым кольцом
ЪС, над произвольным кольцом К с. 14
Нот, Ноте, Нот# — гомоморфизмы над 2, над групповым кольцом
ЪС, над произвольным кольцом К
Вег(С, А) — дифференцирования со значениями в С-модуле А с. 35
Нп(С) —группы гомологии комплекса С с. 73
Нп(С,А), Нп(С,А) — группы когомологий и гомологии с коэффициен-
коэффициентами в С-модуле А с. 63, с. 181
#ПС?, НпС — группы когомологий и гомологии с коэффициентами в 2
Ех*, Ех*|з, Ех*д - функтор Ех1 над 2, над групповым кольцом ЪС, над
произвольным кольцом К с. 78, с. 117
Тог, Тог^, Тог^ — функтор Тог над 2, над групповым кольцом ЪС, над
произвольным кольцом К с. 174
Т(А),Тп(А) —тензорная алгебра и тензорная степень модуля А с.91
8(А),8п(А) —симметрическая алгебра и симметрическая степень моду-
модуля А с. 91
Л(Л),ЛП(Л) —внешняя алгебра и внешняя степень модуля А с.92
Ке8п, Согп —отображения ограничения и коограничения для когомоло-
когомологий с. 108
согп, ге8п —отображения коограничения и ограничения для гомологии
с. 185
ей С, М С — когомологическая и гомологическая размерность группы С
с. 79, с. 186
Список обозначений 347
ЩС) —> 2 — стандартная резольвента тривиального С-модуля 2 с. 67
^A7П1к) —спектральная последовательность с.259
— эйлерова характеристика группы С с. 166
С\ * С?2 — свободное произведение групп С?1 и С?2
*5 С^2 — свободное произведение с объединённой подгруппой 5
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелианизация 22
автоморфизмы расширения 34
Бикомплекс 260
Вложение Магнуса 152
внешняя алгебра 92
—степень 92
Главное дифференцирование 35
гомологии группы 181
—комплекса 73
гомологическая размерность 186
гомологичные циклы 73
гомоморфизм Бокштейна 104
—коограничения для гомологии 186
—ограничения для когомологий 108
гомотопные цепные преобразования 74
границы 73
группа заузленной поверхности 218
—нильпотентная 23
—метабелева 22
—полициклическая 27
—разрешимая 22, 23
—расширений группы 42, 43
модуля 120
—свободная нильпотентная 23
разрешимая 23
центрально-метабелева 236
—с однозначным извлечением
корней 146
—узла 213
—упорядочиваемая 16, 198
—типа РР 135
—с условием единственности для
корней 146
групповое кольцо 13
Действие группы 13
—диагональное 14
—регулярное 15
—свободное 14
дифференциал 63, 73
дифференцирование 35
длинная точная последова-
последовательность 99, 103, 130
Инволюция 15
Когомологий группы 63
—комплекса 78
—свободной абелевой группы 96
—свободного произведения с объеди-
объединённой подгруппой 137, 138
—циклической группы 84
—НЫЫ-расширения 139
когомологическая размерность
группы 79
—модуля 134
кограница 63
кокомплекс 77
коммутатор 22
—базисный 195
—левонормированный 196
комплекс 73
—ациклический 73
—стягиваемый 74
копредставление Виртингера группы
узла 214
копредставление группы 54, 83
коцепь 63
коцикл 63
Модуль
—индуцированный 17
—инъективный 129
350
Предметный указатель
—коиндуцированноый 19
—перестановочный 14
—плоский 173
—проективный 132
—модуль соотношений 151
группы с одним определяющим
соотношением 160, 164
свободной абелевой группы 156
свободного произведения 156
свободного поизведения с
объединённой подгруппой 159
—тривиальный 15
матрица Якоби 54
—Александера 54
Пополненный комплекс 75
пополняющий гомоморфизм 15
препятствие 58, 111
производные Фокса 50
пятичленная последовательность 271
Расширение
—групп 21
—модулей 118
—расщепляющееся 30
—с абелевым ядром 20
—свободное абелево 150
—свободное центральное 207
—центральное 203
—универсальное центральное 208
резольвента модуля 76
—инъективная 129
—проективная 133
—свободная 72, 77
—стандартная 67, 93
ряд верхний центральный 23
—коммутантов 22
—нижний центральный 23
Связывающий гомоморфизм 99
С-группа 218
-неприводимая 218
сдвиг размерности 106
симметрическая алгебра 91
спектральная последовательность 259
—расширения групп 265
сплетение 30
стягивающая гомотопия 74
Тензорная алгебра 91
тензорное произведение 14
—комплексов 176
теорема Кюннета 245
—Магнуса 152
—об универсальных
коэффициентах 191
—о длинной точной
последовательности 101
—основная теорема гомологической
алгебры 103
—редукции Маклейна 154, 194
—сравнения 76, 78
—Шмелькина о вложении 157, 159
тождество в группе 52
точная последовательность 22
тождество Фокса 51
Универсальное С-накрытие 220
Фильтрация комплекса 256
формула Хопфа 194
фундаментальный идеал 15
Цепная гомотопия 74
цепное преобразование 73
циклы 73
Эквивалентные расширения групп 32
—модулей 118
—точные последовательности
модулей 121
эйлерова характеристика группы 166
Ядро расширения 22