Текст
А. Г. КУРОШ
ЛЕКЦИИ
по
ОБШЕЙ АЛГЕБРЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
Ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «.НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1973
517.1
К 93
УДК 512.8
0223-1797
042@2)-73
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора 5
Предисловие 7
Глава первая. Отношения 11
§ 1. Множества 11
§ 2, Бинарные отношения 14
§ 3. Отношения эквивалентности 17
§ 4. Частичная упорядоченность 20
§ 5. Условие минимальности 23
§ 6. Теоремы, равносильные аксиоме выбора 28
Глава вторая. Группы и кольца 33
§ 1. Группоиды, полугруппы, группы 33
§ 2. Кольца, тела, поля 39
§ 3. Подгруппы, подкольца 47
§ 4. Изоморфизм 52
§ 5. Вложение полугрупп в группы и колец в тела ... 58
§ 6. Неассоциативные тела, квазигруппы. Изотопия . . 66
§ 7. Нормальные делители, идеалы 72
§ 8. Гауссовы полугруппы 81
§ 9. Гауссовы кольца 89
.§ 10. Дедекиндовы кольца 97
Глава третья. Универсальные алгебры. Группы с мульти-
операторами 107
§ 1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы 107
§ 2. Группы с мультиоператорами 114
§ 3. Автоморфизмы, эндоморфизмы. Поле р-адических
чисел 125
§ 4. Нормальные и композиционные ряды 136
§ 5. Абелевы, нильпотентные и разрешимые О-группы . 142
§ 6. Примитивные классы универсальных алгебр .... 150
§ 7. Свободные универсальные алгебры 154
§ 8. Свободные произведения групп 165
Глава четвертая. Структуры 178
§ 1. Структуры, полные структуры 178
§ 2. Дедекиндовы структуры 187
§ 3. Прямые объединения. Теорема Шмидта—Орэ .... 195
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Прямые разложения &-групп 204
§ 5 Полные прямые суммы универсальных алгебр . . . 209
§ 6. Дистрибутивные структуры 214
Глава пятая. Операторные группы и кольца. Модули.
Линейные алгебры 220
§ 1. Операторные группы и кольца 220
§ 2. Свободные модули. Абелевы группы 228
§ 3. Векторные пространства над телами 236
§ 4. Кольца линейных преобразований 241
§ 5. Простые кольца. Теорема Джекобсона 248
§ 6. Линейные алгебры. Алгебра кватернионов и алгебра
Кэли 255
§ 7. Альтернативные кольца. Теорема Артина 264
§ 8. Обобщенная 1еорема Фробениуса 270
§ 9. Теорема Биркгофа—Витта о лиевых алгебрах . . . 279
§ 10. Дифференцирования. Дифференциальные кольца . . 286
Глава шестая. Упорядоченные и топологические группы и
кольца. Нормированные кольца 293
§ 1. Упорядоченные группы 293
§ 2. Упорядоченные кольца 300
§ 3. Архимедовы группы и кольца 307
§ 4. Нормированные кольца 315
§ 5. Логарифмические нормирования полей 321
§ 6. Теорема Алберта о нормированных алгебрах . . . 327
§ 7. Замыкания. Топологические пространства 334
§ 8. Частные типы топологических пространств .... 342
§ 9. Топологические группы 347
§ 10. Связь топологии и нормирования в кольцах и
телах 354
§ 11. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа 363
Указатель литературы 373
Предметный указатель 393
ОТ РЕДАКТОРА
Вышедшие в 1962 году своим первым изданием «Лекции
по общей алгебре» А. Г. Куроша подводили итог громадной
работы одного из крупнейших современных алгебраистов по
пропаганде идей и методов абстрактной, теоретико-множест-
теоретико-множественной («общей», как любил говорить А. Г. Курош) алгебры
среди широких кругов математиков.
Книга сразу стала библиографической редкостью. Ее автор
в последние годы своей жизни мечтал о широком пополне-
пополнении книги. Об этом говорится в введении к ротапринтному
изданию Московского университета «А. Г. Курош. Общая
алгебра (лекции 1969/70 учебного года). Москва—1970» его
автором следующее: «В 1962 г. вышла из печати моя книга
«Лекции по общей алгебре», позже появились ее переводы
на английский, немецкий, французский, польский, чешский,
японский и китайский языки. Настоящий курс не опирается
на эту книгу и имеет с нею сравнительно немного перекры-
перекрытий, хотя идейно к ней весьма близок. Надеюсь, что в буду-
будущем я смогу объединить материал этой книги и этого курса
в одну новую книгу».
К сожалению, этому не суждено было сбыться...
Настоящее издание книги было предпринято уже после
ухода ее автора из жизни (Александр Геннадиевич Курош
скончался 18 мая 1971 года). Оно полностью воспроизводит,
без каких-либо существенных изменений, текст первого изда-
издания; исправлены лишь отдельные неточности и опечатки.
Однако, в интересах читателя, широко пополнен «Указа-
«Указатель литературы», помещенный в конце книги. За последние
Ю лет бурное развитие общей алгебры сопровождалось еще
более бурно возраставшим потоком книг по алгебре во всем
мире. Положение сложилось таким, что пришлось почти пол-
полностью отказаться от дополнительного включения в «Указатель»
О ОТ РЕДАКТОРА
журнальных статей (даже и обзорного характера), а также
книг ротапринтного и препринтного изданий. (Некоторое
предпочтение в этом отношении дано лишь двум направ-
направлениям в алгебре, особенно увлекшим А. Г. Куроша в пос-
последние годы его жизни, — теории категорий и теории уни-
универсальных алгебр.)
Правда, в значительной степени этот урон компенсиру-
компенсируется перечислением в «Указателе» всех обзоров по алгебре,
вышедших в серии сборников «Итоги науки, ВИНИТИ АН
СССР», каждый из которых снабжен весьма подробной би-
библиографией.
Наконец, в интересах прежде всего более молодых чита-
читателей книги, в «Указатель литературы» включено несколько
книг по теории множеств, математической логике и топо-
топологии, а также по некоторым приложениям алгебры.
О. Н. Головин
ПРЕДИСЛОВИЕ
На рубеже двадцатых и тридцатых годов нашего века
широкие круги математиков обнаружили, что в алгебре, одной
из старейших ветвей математики, произошла радикальная
перестройка. Эта перестройка, а именно превращение алгебры
в теоретико-множественную, аксиоматическую науку, имеющую
основным объектом изучения алгебраические операции, про-
производимые над элементами произвольной природы, была под-
подготовлена, конечно, всем предшествующим развитием алгебры.
Началась она еще в конце девятнадцатого века, продолжа-
продолжалась, постепенно усиливаясь, в первых десятилетиях двадца-
двадцатого века, но лишь выход в 1930 и 1931 гг. двухтомной
«Современной алгебры» Ван-дер-Вардена сделал идеи, резуль-
результаты и методы этой «новой» алгебры доступными всем мате-
математикам-неалгебраистам.
Общеизвестно, сколь значительным, а иногда и решаю-
решающим, было в дальнейшем влияние этой современной алгебры
на развитие многих областей математики, из которых в пер-
первую очередь назовем топологию и функциональный анализ.
Одновременно в последние три десятилетия продолжалось
интенсивное и даже бурное развитие самой алгебры, обна-
обнаружились ее многочисленные новые связи со смежными раз-
разделами науки, и в результате лицо современной или, как
мы предпочитаем-говорить, общей алгебры стало сейчас совсем
иным, чем оно было тридцать лет тому назад.
За эти десятилетия весьма далеко идущее развитие испы-
испытали те более старые ветви общей алгебры— теория полей и
теория ассоциативных и ассоциативно-коммутативных колец, —
которым была в основном посвящена книга Ван-дер-Вардена.
Еще более решительной была перестройка теории групп,
старейшей среди всех ветвей общей алгебры. Вместе с тем
теория колец в значительной мере стала сейчас теорией неас-
неассоциативных колец, включающей в себя в качестве составной
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
части теорию лиевых колец и алгебр. Возникла и заняла
весьма заметное место топологическая алгебра, развилась
параллельная ей теория упорядоченных алгебраических обра-
образований. Появилась и быстро развилась теория структур,
в самые последние годы возникла параллельная ей теория
категорий, имеющая, несомненно, очень большое будущее.
В рамках классических разделов общей алгебры оформились
такие самостоятельные направления, как гомологическая алгеб-
алгебра, уже нашедшая многочисленные выходы в топологию и ал-
алгебраическую геометрию, проективная алгебра, включившая
в себя основное содержание проективной геометрии, и диф-
дифференциальная алгебра, открывающая общей алгебре непо-
непосредственные выходы в теорию дифференциальных уравне-
уравнений. Теории полугрупп и квазигрупп перестали быть просто
теориями «обобщенных» групп и нашли собственные пути
развития и собственные области приложений. Возникла, нако-
наконец, общая теория универсальных алгебр и еще более общая,
переплетающаяся с математической логикой, теория моделей.
Казалось бы, что основные идеи и важнейшие результаты,
накопленные к настоящему времени общей алгеброй, должны
были бы в той же мере входить в научный багаж всякого
культурного математика, как это было в тридцатых годах,
когда экзамен по современной алгебре сдавался большинст-
большинством аспирантов-математиков. На самом деле, однако, это
далеко не так — знакомство широких кругов математиков
с достижениями общей алгебры остается сейчас в значитель-
значительной мере на уровне начала тридцатых годов.
Причину этого указать легко. Основным пособием, по
которому молодые математики изучают общую алгебру, у нас
остается книга Ван-дер-Вардена, хотя эта книга, безусловно
замечательная и сыгравшая в истории математики двадцатого
века выдающуюся роль, уже так далека от современного
состояния алгебры, что сам автор, выпуская ее четвертое
издание, назвал ее просто «Алгеброй».
В зарубежной литературе имеются и другие книги, более
свежие. Некоторые из них, несколько модернизируя материал,
изложенный в книге Ван-дер-Вардена, в основном дополняют
и развивают его в сторону личных научных интересов автора.
Получаются полезные книги, не дающие, однако, правильного
представления о современном состоянии общей алгебры. Кроме
того, это обычно книги большого объема, адресующиеся
скорее к алгебраистам, чем к математикам всех специальное-
ПРЕДИСЛОВИЕ д
тей. Книги другого типа представляют собой по существу
свод основных алгебраических понятий и их простейших
свойств. Полезные в качестве справочных пособий, такие
книги не дают читателю возможности почувствовать все свое-
своеобразие и глубину современной алгебраической науки —самые
глубокие и самые значительные результаты в них или отсут-
отсутствуют совсем, или же формулируются среди упражнений.
Для того, чтобы показать математикам современное лицо
общей алгебры, более подошла бы книга иного характера.
Не очень большая по объему, она должна была бы адресо-
адресоваться к читателю, владеющему университетским курсом
высшей алгебры и желающему пополнить свое алгебраическое
образование, но, быть может, не предполагающему выбирать
алгебру своей научной специальностью. Этим не исключается,
конечно, возможность того, что и алгебраист в вопросах,
далеких от своих специальных интересов, мог бы найти
в этой книге кое-что для себя полезное.
Эта книга не должна и не могла бы заменить моногра-
монографий по отдельным разделам общей алгебры. Не должна она
быть и коллекцией вводных глав из этих монографий. Зада-
Задачей книги был бы показ основных разделов современной
общей алгебры, преимущественно в их взаимной связи, при-
причем изложение доводилось бы до отдельных глубоких теорем
и нацеливалось бы на эти теоремы. Отбор весьма неболь-
небольшого числа таких теорем в каждом из основных разделов
общей алгебры неизбежно определялся бы субъективными
оценками автора книги. Сами эти теоремы вовсе не должны
были бы излагаться в наибольшей общности, достигнутой
к настоящему времени.
Содержание этой книги было бы, понятно, весьма мозаич-
мозаичным, и читателю пришлось бы, следуя за автором, иногда
в пределах одного параграфа переходить из одной ветви
общей алгебры в другую. Разбивка материала на главы была
бы столь условной, что о схеме зависимости глав не могло
бы быть речи.
О желательности появления книги такого характера мне
привелось говорить в 1951 г. на Всесоюзном совещании по
алгебре и теории чисел (см. Успехи матем. наук 7:3 A952),
стр. 167), а писать ее я начал в 1956 г. За четыре года,
прошедших с этого времени, работа над книгой неоднократно
прерывалась и возобновлялась, план книги много раз менялся,
многие параграфы писались но нескольку раз, написанный
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
материал переставлялся, переделывался, выбрасывался. Иными
словами, работа приобретала такой характер, что все чаще и
чаще приходилось вспоминать новеллу Бальзака «Неведомый
шедевр»... Было разумно поэтому завершить работу, не
стремясь довести книгу до того состояния, которое соответ-
соответствовало бы изложенной выше программе. Читатель без труда
обнаружит, в чем именно книга отступает от этой программы.
Замечу, что название книги полностью оправдывается
тем, что в основе ее лежат три больших специальных курса
по общей алгебре, прочитанные мною за последние десять
лет в Московском университете.
В книгу местами включены формулировки некоторых
результатов, в самой книге не доказываемых и не исполь-
используемых. Предполагается, что эти формулировки, выделенные
из общего текста звездочками, читателем не будут про-
пропускаться. Вряд ли нужно специально подчеркивать, что
включение в книгу этих дополнительных указаний не озна-
означает доведения соответствующих мест книги до самых
последних результатов, к настоящему времени полученных.
Ссылки на журнальную литературу, встречающиеся в тексте
книги, в общем довольно случайны и не могут рассматри-
рассматриваться как материал по истории алгебры в двадцатом веке.
С другой стороны, к книге приложен достаточно полный
указатель книг по различным разделам общей алгебры, вышед-
вышедших за последние тридцать лет. В него включены и некото-
некоторые обзорные статьи.
Ввиду большой многоплановости и мозаичности книги в ней
пришлось весьма часто делать ссылки на предшествующий мате-
материал, хотя ясно, что в большинстве случаев читатель будет
находить эти ссылки для себя излишними. Ссылка У.З.б озна-
означает: глава пятая, параграф 3, пункт 6.
И первоначальный план книги, и ряд ее глав, притом неко-
некоторые в различных редакциях, я имел удовольствие докла-
докладывать на семинаре по общей алгебре Московского универ-
университета. Я приношу моим товарищам по семинару за их интерес
к моей работе, за советы и критику свою искреннюю благо-
благодарность. Я горячо благодарю также Олега Николаевича
Головина, взявшего на себя большой труд редактирования
книги, внимательно прочитавшего рукопись и сделавшего
много полезных замечаний.
^РЛ?' А Курош
май 1960 г. шХк
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОТНОШЕНИЯ
§ 1. Множества
1. В основе общей алгебры лежат понятия и методы тео-
теории множеств. Читатель, приступающий к изучению общей
алгебры, не нуждается, конечно, в том, чтобы ему напоми-
напоминали определения таких теоретико-множественных понятий,
как подмножество, дополнение подмножества в множестве,
пустое множество, пересечение и объединение множеств.
Отметим, что для обозначения пересечения и объединения
множеств мы будем употреблять соответственно символы П
и у, для обозначения принадлежности подмножества и эле-
элемента к множеству — соответственно символы с: и е, а до-
дополнение подмножества А в множестве М будем обозначать
через М\А
Операции пересечения и объединения множеств связаны
между собою следующими двойственными друг другу зако-
законами дистрибутивности', для любых трех множеств
А, В, С
A)
B)
Докажем хотя бы второе из этих тождеств. Так как
В()С<=В, то
аналогично
А[)(В[\С)<=А[)С,
и поэтому левая часть равенства B) содержится в его пра-
правой части. С другой стороны, если элемент х содержится
12 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
в правой части равенства B), то одновременно
C)
Если хеД то х содержится в левой части равенства B).
Если же х к А не принадлежит, то из C) следует, что х
принадлежит и к В, и к С, т. е. содержится в пересечении
В П С, а поэтому х снова содержится в левой части равен-
равенства B). Вся правая часть равенства B) входит, следовательно,
в его левую часть. Равенство B) доказано.
2. Читатель знаком, далее, с понятием отображения,
или соответствия, или однозначной функции. Если ф —
отображение множества А в множество В, т. е. на все В
или на его подмножество, то будем употреблять символ ф:
А —>- В, а образ элемента аеД при отображении ф будем
обозначать через аф.
Если ф: А—>В, гр: В-+С, то последовательное выполне-
выполнение отображений ф и г|э приводит к вполне определенному
отображению множества А в множество С, которое мы обо-
обозначим через фг|? и назовем произведением отображения ф
на отображение г|). Таким образом, для всех а из Л
а (ф-ф) = (аф) гр. D)
Это умножение отображений можно назвать частич-
н ы м: если даны два любых отображения, ф: А-+В и г[): А'-*-В',
то произведение ф\|) существует не всегда; оно существует
тогда и только тогда, когда для всех а е А йф е Л'. Отсюда
следует, что для отображений любого множества А в себя
произведение всегда существует.
Умножение отображений ассоциативно: если даны ото-
отображения
<р: А->#, гр: #->С, %: С->Д E)
то
(Фгр) х = Ф СФХ>- F)
Действительно, если а -— произвольный элемент из Л, то
ввиду D)
а Кфф) X] = [«(Ф^)] X = [(«ф) 1|>] X =
Ввиду равенства F) результат последовательного выпол-
выполнения отображений E) можно записать через
§ ц МНОЖЕСТВА 13
3. Тождественное отображение множества А в себя
условимся обозначать через ел', таким образом,
агА = а для всех а
Тождественное отображение играет при умножении ото-
отображений роль единицы, так как для любых отображений
ср: А ->- В и гр: С -> А
Читатель знаком с понятием взаимно однозначного ото-
отображения множества А на множество В (т. е. взаимно одно-
однозначного соответствия между этими множествами). Очевидно,
что отображение ср: А-+В тогда и только тогда будет взаимно
однозначным отображением А на В, если для него существует
обратное отображение, т. е. отображение ф: В-*-А, удов-
удовлетворяющее условиям
1 —ел,
Как известно, если существует взаимно однозначное ото-
отображение множества А на множество В, то множества А и
В называются равномощными или, как говорят, они имеют
одну и ту же мощность. При этом мощность конечного
множества совпадает с числом его элементов, множества,
равномощные с множеством всех натуральных чисел, назы-
называются счетными, а о множествах, равномощных с множе-
множеством всех действительных чисел, говорят, что они имеют
мощность континуума.
4. При изучении бесконечных множеств весьма часто
приходится использовать следующую аксиому выбора:
Если дано множество М, то существует функция ф, со-
сопоставляющая каждому непустому подмножеству А из М
один определенный элемент ф (А) этого подмножества.
Иными словами, функция ф отмечает по одному эле-
элементу в каждом из непустых подмножеств множества М.
Вопрос о логических основах этой аксиомы и о закон-
законности ее использования принадлежит к числу самых трудных
и спорных вопросов обоснования теории множеств. Мы не
смогли бы, однако, обойтись без аксиомы выбора. Для счет-
счетных множеств она может быть, впрочем, легко доказана:
если элементы множества М пронумерованы натуральными
числами, то мы получим требуемую функцию, если в каждом
ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
подмножестве А из М отметим тот его элемент, который
имеет наименьший номер.
В 1.6.3 будут приведены некоторые утверждения, равно-
равносильные аксиоме выбора.
§ 2. Бинарные отношения
1. Если дано множество Ж, то его квадратом МхМ
называется множество всех упорядоченных пар (а, Ь\ где
а, Ь^М. Пусть /? — любое подмножество из М X М. Оно
следующим образом определяет в множестве М бинарное
отношение, которое мы также будем обозначать символом /?
(в конкретных случаях для записи отношений используются
различные специальные символы): если а, /?е Ж, то говорят,
что элемент а находится в отношении /? к эле-
элементу Ь, и записывают это через аЯЬ в том и только
в том случае, если пара (а, Ь) принадлежит к подмножеству Я\
таким образом, записи
аЯЬ и (а, Ь) е Я
равносильны.
Изучение бинарных отношений в множестве М не отли-
отличается, следовательно, от изучения подмножеств множества
МхМ. Можно говорить, в частности, о включении бинар-
бинарного отношения Я в бинарное отношение Я', Я. 9= /?', а также
о пересечении и объединении бинарных отношений. Допол-
Дополнением к бинарному отношению /? является_ бинарное отно-
отношение /?, определяемое подмножеством Я = (М X М) \ /?;
иными словами, аЯЪ тогда и только тогда, если (а, Ь)
2. С другой стороны, то обстоятельство, что бинарные
отношения задаются множествами упорядоченных пар эле-
элементов из М, делает алгебру бинарных отношений более
богатой, чем простая алгебра подмножеств произвольного
множества. Так, пусть в множестве М заданы произвольные
бинарные отношения /? и 5. Назовем их произведением Я8
бинарное отношение, определяемое следующим образом:
а(Я8)Ь тогда и только тогда, когда в М существует хотя бы
один такой элемент с, что аЯс и с8Ь.
Умножение бинарных отношений ассоциативно,
(Я8) Т =
так как элемент а тогда и только тогда находится в каждом
из отношений G?^) Т и Я (8Т) к элементу Ь, если сущест-
2|
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ 15
вуют такие элементы с и йу что
аР{с, с8й, йТЪ,
Умножение бинарных отношений не является, однако, ком-
коммутативным; бинарные отношения /? и 5 лишь иногда будут
перестановочными,
Если в множестве М даны бинарные отношения
(/ пробегает множество индексов I) и 8, то
/е/
Действительно, а
и *\ *
равносильно существованию
такого элемента с, что а 11 ] /?Л с и с5^. Это равносильно,
однако, существованию такого индекса /0, что а/?,- с и с8Ъ,
т.е. а(К^8)Ь, и поэтому а
Заметим, что в равенствах A) объединения нельзя заме-
заменить пересечениями.
Из A) следует, что если даны бинарные отношения /?,
' и 8, причем /? с= /?',
/?5 ^ /?'5, 5/? е 5/?'. B)
Действительно, включение Я ^ Я! равносильно равенству
II /?' = /?', из которого вытекает равенство
Равносильное включению
3. Для всякого бинарного отношения /? в множестве М
существует обратное отношение Я, определяемое следую-
шим образом: аЯ~1Ь тогда и только тогда, когда ЬКа. Ясно,
что
1 - Я
что из /? с 5 следует /Г1 ^ 5.
16
ОТНОШЕНИЯ ГГЛ. I
Если в множестве М даны бинарные отношения
, 8 и Т, то
D)
1 = Г^*. E)
Действительно, а / П /?Л Ь означает, что ь1Г\ /?И а, т. е.
г-а для всех /е/, откуда аК^Ь для всех /е/, и поэтому
а { I I ^~1]^* Аналогично доказывается и равенство D). Нако-
\ /
нец, а (87)"^ означает, .что ^ E7") а, т. е. существует такой
элемент с, что #&г и с7а, а поэтому аГ*; и с8~хЬ, откуда
а G~18-1) Ь.
4. Единичное отношение Е определяется следующим
образом: аЕЪ тогда и только тогда, если а = Ь\ иными сло-
словами, отношение Е задается множеством всех пар вида (а, а),
аеЖ. Очевидно, что Е~1 = Е и что для любого бинарного
отношения /?
рр — рр = р
Отметим также пустое отношение О, определяемое
пустым подмножеством множества М X М. Ясно, что для
любого бинарного отношения /? в множестве М
<=К и НО = ОН =
5. В ближайших параграфах мы встретимся с такими
бинарными отношениями /?, заданными в множестве М, кото-
которые обладают некоторыми из следующих четырех свойств:
Рефлексивность: аНа для всех аеУИ; иными словами,
7ранзитивность: если аНЪ и ЬНс, то аКс; иными сло-
словами, /?/?с=/?.
Симметричность: если аЩ), то ЬПа\ иными словами,
/Г1 = К.
Антисимметричность: если аЩ) и ЬЦа, то а = Ь\ иными
словами, К[\Н~1 ^ Е.
3] ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Если бинарное отношение /? обладает любым из ука
занных четырех свойств, то обратное отношение Я
обладает этим же свойством.
В самом деле, если Е<=,Н, то
<= /Г1.
Если /?/? ^ /?, то
Если Н'1 = /?, то
Наконец, если /? П К — ^> то
К П (Я) = К'1 П
6. Пусть в множестве Ж выбрано подмножество N. Би-
Бинарное отношение /?, заданное в Ж, естественным образом
индуцирует бинарное отношение Ны в множестве УУ: если
а, & ^ УУ, то а/?^ тогда и только тогда, когда в М спра-
справедливо аНЬ. Иными словами, учитывая, что NxN является
подмножеством множества Ж X Ж,
Легко проверяются следующие равенства:
7. Понятие бинарного отношения допускает различные
обобщения. Так, рассмотрим п-ю степень Мп множества Ж,
т. е. множество всех упорядоченных систем (аь а2, ..., ап)
из п элементов множества Ж. Тогда любое подмножество /?
множества Мп определяет в множестве Ж п-арное отноше-
Н1*е (при п=3 — тернарное отношение). Множества, в кото-
которых задано некоторое число таких отношений, называются
•Моделями и являются предметом самостоятельной теории.
§ 3. Отношения эквивалентности
1. Важным типом бинарных отношений являются отно-
отношения эквивалентноети, т. е. бинарные отношения, обла-
обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности
и симметричности (см. 1.2.5). Из многочисленных
18 отношения [гл. т
известных читателю конкретных примеров таких отношений
напомним хотя бы равенство дробей и сравнимость целых
чисел по некоторому модулю. Для записи отношений экви-
эквивалентности чаще всего используются символы ~ и =.
2. Отношения эквивалентности, определенные на множе-
множестве М, весьма тесно связаны с разбиениями множества М
на непересекающиеся классы. Под разбиением следует
понимать такой выбор в множестве М системы непустых
подмножеств (классов этого разбиения), что всякий элемент
из М принадлежит к одному и только одному из этих
подмножеств.
Всякое разбиение я множества М определяет в М
отношение эквивалентности.
Действительно, если а, Ь е М и если мы положим а г^>Ъ
в том и только в том случае, когда а и Ъ принадлежат к одному
классу разбиения я, то получим в М бинарное отношение,
удовлетворяющее, очевидно, всем требованиям определения
отношения экзивалентности.
Обратно, всякое отношение эквивалентности /?, заданное
в множестве М, определяет разбиение этого множества.
В самом деле, назовем классом элемента а и обозначим
через Ка множество всех тех элементов х из М, для которых
аПх. Из рефлексивности отношения /? вытекает включение
а е Ка, т. е. система классов Ка, а е Ж, покрывает все
множество М. Далее, симметричность отношения /? показывает,
что из Ь е Ка следует а е Къ> транзитивность же отношения /?
приводит к тому, что если Ь е Ка, то из се Кь следует
с е Ка, т. е. Кь != Ка> Эти последние замечания приводят
вместе к тому, что если Ь е Ка, то Кь = Ка> т- е. класс
определяется любым своим элементом. Если, наконец, Ка и
Кь~два произвольных класса с непустым пересечением,
содержащим, например, элемент с, то Ка — Кс и Кь = Кс, т. е.
классы Ка и Кь совпадают. Мы доказали, что система всех
различных классов вида Ка является разбиением множества М.
Очевидно, что переход от разбиения я множества М
к определяемому им отношению эквивалентности, а затем
к определяемому последним разбиению множества М приводит
снова к разбиению я. Между отношениями эквивалентности
в множестве М и разбиениями множества М на непере-
непересекающиеся классы установлено, следовательно, взаимно
однозначное соответствие.
§3]
ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 19
3. Если в множестве М заданы отношения эквивалент-
эквивалентности /?/, I ^ /, то их пересечение также будет отноше-
отношением эквивалентности.
В самом деле, из аПга для всех / е / следует а\ | 1 /?И а.
\
Далее, если а( П #п * и ь( П Яг \ с, то аНф и ЬН(с для
/ /
всех / е /, откуда аК(с для всех / е /, а поэтому а I | ] /?Л с.
Наконец, если а I П /?Л ^7, то аЯгЪ для всех / е /, т. е.
для всех /е/, откуда Ь\ П /?И а.
Без труда проверяется, что если отношениям эквивалент-
эквивалентности Ни I е /, соответствуют разбиения пг множества Ж,
/, то отношению эквивалентности I | Н( соответствует
разбиение, классами которого служат все непустые пересечения
классов, взятых по одному в каждом из разбиений щ, I е /.
Это разбиение мы назовем пересечением разбиений щ, I е /.
Если в множестве М заданы отношения эквивалентности Цг>
I е /, то их объединение, понимаемое в смысле объединения
бинарных отношений, уже не будет, вообще говоря, отношением
эквивалентности. В множестве М существует, однако,
такое отношение эквивалентности, которое включает
в себя все отношения Нь ^' е / (в смысле включения бинарных
отношений), но само включается в любое другое отношение
эквивалентности, включающее в себя все Цг, I е /. Это
отношение эквивалентности может быть названо объединением
отношений эквивалентности Ць I е /.
Для доказательства определим в множестве М бинарное
отношение 5 следующим образом: а8Ь тогда и только тогда,
когда в М можно хотя бы одним способом выбрать такую
конечную систему элементов
а = с0, с^, с%, ..., сп_1, сп = Ь, A)
что для &=1, 2, ..., п существует хотя бы один такой
индекс 1к ^ /, дЛя которого ск^гНгкСь- Отношение 51 является,
чевидно, рефлексивным, транзитивным и симметричным. Если
— любое отношение эквивалентности, включающее в себя
20
ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
все /?г, /е/, и если а^ЭД, причем этим элементам соответствует
система элементов A), то из ск_^1кск следует ск_{Гск, к—\,
2, ..., п, а поэтому ввиду транзитивности отношения Т имеет
место аТЬ.
■к Произведение /?5 двух отношений эквивалентности /?и5
тогда и только тогда является отношением эквивалентности,
если отношения /? и 5 перестановочны, /?<? = ч$7?. Если это
имеет место, то объединение отношений эквивалентности /?
и 51 совпадает с их произведением как бинарных отношений
[Шик, 8р1$у уус!. рг1го<3оуос1е !аки1{. Ма$агукоуу ишу. A954),
№ 3, 97—102]. х
4. Множество классов разбиения, соответствующего дан-
данному отношению эквивалентности /? в множестве М, мы
будем обозначать через М/К и называть фактор-множеством
множества М по отношению эквивалентности /?. Отображение
множества М на фактор-множество М/Н, сопоставляющее
всякому элементу а е М тот класс разбиения, соответствую-
соответствующего /?, в котором лежит элемент а, называется естествен-
естественным отображением М на М/Р{.
Между отношениями эквивалентности, имеющимися в мно-
множестве М, и отображениями этого множества на некоторые
другие множества существует тесная связь, являющаяся про-
прототипом так называемых «теорем о гомоморфизмах», с кото-
которыми мы неоднократно будем встречаться в следующих главах
книги. Именно, если дано отображение ср множества М
на некоторое множество Ы, то ему соответствует вполне
определенное отношение эквивалентности /? в множестве М
(т. е. разбиение этого множества): для элементов а, Ъ е М
полагаем аЩ) в том и только в том случае, если аф = Ьц>.
Сопоставляя каждому элементу х из N класс тех элементов
из М, которые имеют х своим образом при отображении ср,
мы получаем взаимно однозначное отображение ^ мно-
множества N на множество М/К, причем произведение ф^
совпадает с естественным отображением М на М/Р{.
§ 4. Частичная упорядоченность
1. Другим очень важным типом бинарных отношений
являются отношения частичной упорядоченности, т. е.
бинарные отношения, обладающие свойствами рефлексив-
рефлексивности, транзитивности и антисимметричности.
4] частичная упорядоченность 21
Множество М с заданной в нем частичной упорядоченностью
называется частично упорядоченным. Для записи частичной
упорядоченности будет употребляться символ ^; если
а Ь е М и а ^ Ъ, то, в зависимости от обстоятельств, будем
говорить, что а меньше или равно Ъ, а содержится в Ь,
а предшествует Ь.
Если а ^Ь и афЬ, то будем писать а<С,Ь и говорить,
что а меньше Ь, а строго содержится в Ь и т. д. Бинарное
отношение < уже не будет, конечно, рефлексивным. Через ^
и >> будут записываться отношения, обратные к отношениям
^ и <<, т. е., например, а^Ь {а больше или равно Ь,
а содержит Ъ, а следует за Ь) тогда и только тогда,
когда Ь^а.
Пусть в множестве М задана частичная упорядоченность.
Элементы а и Ь этого множества будут называться сравнимыми,
если а^Ь или Ь^а. Далеко не всякие два элемента из М
обязаны быть сравнимыми — именно по этой причине мы
говорим о «частичной» упорядоченности. Так, мы получим
тривиальную частичную упорядоченность множества М, если
положим, что а ^ Ь лишь при а = Ь; различные элементы из М
будут в этом случае несравнимыми. Частично упорядоченное
множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется
упорядоченным множеством или линейно упорядоченным
множеством, или цепью.
2. В различных разделах математики упорядоченные и
частично упорядоченные множества встречаются чрезвычайно
часто. В качестве первых примеров упорядоченных множеств
можно указать множество натуральных чисел и множество
точек прямой линии (т. е. множество всех действительных
чисел), оба в их естественной упорядоченности. Приме-
Примерами частично (но не линейно) упорядоченных множеств
служат:
множество N всех подмножеств некоторого данного множе-
множества ДГ с отношением теоретико-множественного включе-
Ния с в качестве отношения частичной упорядоченности;
множество всех непрерывных действительных функций,
°пределенных на отрезке [0, 1], если /^^ означает, что
Для всех х из этого отрезка /(х)^§(х);
множество всех натуральных чисел, если а^Ъ понимать
т°м смысле, что Ь делится нацело на а.
22 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
■х Всякая частичная упорядоченность данного множества М
может быть продолжена до линейной упорядоченности этого
множества, т. е. может быть включена в линейную упорядо-
упорядоченность (в смысле включения бинарных отношений, см. 1.2.1)
[Шпиль рай и, РипА МаШ. 16 A930), 386—389]. *
3. Пусть между частично упорядоченными множествами М
и М' установлено взаимно однозначное соответствие ф,
= а', а<= М, а' е М'.
Если из а^Ь, где а, Ь е М, всегда следует ау^Ьср и
обратно, то ф называется изоморфизмом между М и М',
а сами множества М и Мг — изоморфными частично упорядо-
упорядоченными множествами. Очевидно, что в тех случаях, когда
частичная упорядоченность является самостоятельным объектом
изучения, а природа элементов, из которых составлены рас-
рассматриваемые множества, не играет роли, изомофные множества
можно считать тождественными.
4. Мы знаем (см. 1.2.6), что частичная упорядоченность,
заданная в множестве Ж, индуцирует во всяком подмножестве
этого множества некоторое бинарное отношение; легко видеть,
что оно также будет частичной упорядоченностью. Будем
говорить, что частично упорядоченное множество М изо-
изоморфно вкладывается в частично упорядоченное множество УУ,
если существует изоморфное отображение множества М
на некоторое подмножество ЛГ множества УУ, причем Ы'
рассматривается с частичной упорядоченностью, индуциро-
индуцированной в нем частичной упорядоченностью множества N.
5. Следующая теорема подчеркивает особую роль перво-
первого из указанных в 1.4.2 примеров частично упорядоченного
множества.
Всякое частично упорядоченное множество М изо-
морфно вкладывается в множество N всех подмножеств
некоторого множества Л/, частично упорядоченное по
включению. В качестве множества N можно взять,
например, само М.
В самом деле, поставим в соответствие каждому эле-
элементу а из Ж подмножество А, составленное из всех таких
элементов х е М, что х ^ а. Пусть а, Ь е М, а Л, В
соответствующие им подмножества. Если А — В, то
5] УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ * 23
, откуда а = Ь. Этим доказано, что соответствие а~
является взаимно однозначным отображением множества М
в множество М всех его подмножеств. Если, далэг, а^Ь,
то из х ^ а будет следовать х ^ Ь, т. е. А с= В. Об-
Обратно, если А 9= Д то а е Д т. е. а^Ь. Таким обра-
образом, соответствие а —> Л является изоморфным вложением
в Ж.
6. Как вытекает из доказанного в 1.2.5, отношение,
обратное к отношению частичной упорядоченности, само
будет частичной упорядоченностью.
Частично упорядоченные множества М и М' называются
инверсно изоморфными, если одно из них изоморфно дру-
другому, взятому с обратной частичной упорядоченностью, т. е.
если между ними существует такое взаимно однозначное
соответствие ф,
= а', се М, а' е М'у
что а ^ Ь, где а, Ь е М, тогда и только тогда, когда
аф ^ Ь(р.
§ 5. Условие минимальности
1. Элемент а частично упорядоченного множества М
называется минимальным элементом этого множества, если
в М нет ни одного элемента х, удовлетворяющего условию
х <^ а. Ясно, что М может содержать много различных
минимальных элементов, но может также не иметь ни одного
такого элемента.
Гак, множество N всех подмножеств некоторого мно-
множества N обладает единственным минимальным элементом —
это будет пустое подмножество. В множестве всех непустых
подмножеств множества N минимальными элементами явля-
являются все подмножества, состоящие из одного элемента.
Наконец, если множество N бесконечное, то множество всех
его бесконечных подмножеств вообще не имеет минимальных
элементов.
Понятие минимального элемента будет сейчас использо-
использовано в определении одного специального класса частично
упорядоченных множеств, более широкого, чем класс конеч-
конечных частично упорядоченных множеств. Это будет класс
24
ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
частично упорядоченных множеств, удовлетворяющих следую-
следующим условиям, между собою эквивалентным:
Условие минимальности. Всякое непустое подмно-
подмножество N частично упорядоченного множества М обла-
обладает хотя бы одним минимальным (в А/) элементом.
Условие обрыва убывающих цепей а). Всякая строго
убывающая цепь элементов частичо упорядоченного мно-
множества М,
обрывается на конечном месте. Иными словами, для
всякой убывающей цепи элементов
ап
существует такой индекс п, на котором эта цепь ста
билизуется, т. е.
Условие индуктивности. Все элементы частично упо-
упорядоченного множества М обладают некоторым свой-
свойством §, если этим свойством обладают все минималь-
минимальные элементы этого множества (в случае, когда они
существуют) и если из справедливости свойства % для
всех элементов, строго предшествующих некоторому
элементу а, может быть выведена справедливость этого
свойства для самого элемента а.
2. Докажем эквивалентность указанных трех условий.
Из условия минимальности вытекает условие индук-
индуктивности.
В самом деле, пусть частично упорядоченное множество М
удовлетворяет условию минимальности и пусть в нем для
некоторого свойства % выполняются посылки условия индук-
индуктивности. Если тем не менее в М существуют элементы,
которые не обладают свойством % то пусть а будет одним
из минимальных среди таких элементов — существование
элемента а вытекает из условия минимальности. Элемент а
не может быть минимальным во всем М, что следует из
) Понятие убывающей цепи, о котором идет речь в этом усло-
условии, является частным случаем общего понятия цепи, введенного
в 1.4.1.
УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ 25
первой посылки условия индуктивности, а так как все эле-
элементы, строго предшествующие а, свойством & уже облада-
обладают, то, по второй посылке условия индуктивности, и сам
элемент а должен обладать свойством &, т. е. мы приходим
к противоречию.
Из условия индуктивности вытекает условие обрыва
убывающих цепей.
Пусть, в самом деле, частично упорядоченное множество М
удовлетворяет условию индуктивности. Применим это усло-
условие к следующему свойству: элемент а обладает свойством %,
если всякая строго убывающая цепь элементов, начинающаяся
от элемента а, обрывается на конечном месте. Этим свойством
обладают, очевидно, все минимальные элементы множества Ж,
если они существуют. С другой стороны, пусть все элемен-
элементы, строго предшествующие элементу а, обладают нашим
свойством &. В этом случае второй член любой строго убы-
убывающей цепи, начинающейся от элемента а, будет обладать
свойством % а поэтому рассматриваемая цепь должна обры-
обрываться, т. е. элемент а также обладает свойством §. Из
условия индуктивности теперь следует, что нашим свойством
§ обладают вообще все элементы множества Ж, т. е. в Ж
обрывается всякая строго убывающая цепь — она начинается,
понятно, с некоторого элемента.
Из условия обрыва убывающих цепей вытекает усло-
условие минимальноети.
Для доказательства предположим, что частично упорядо-
упорядоченное множество Ж условию минимальности не удовлетво-
удовлетворяет, а именно пусть его непустое подмножество N не имеет
минимальных элементов. Пользуясь аксиомой выбора (см. 1.1.4),
отметим по одному элементу в каждом непустом подмно-
подмножестве из Д^, а затем следующим образом построим после-
последовательность элементов
ап, п= 1, 2,... A)
° качестве аг возьмем элемент, отмеченный в самом подмно-
подмножестве М Если элемент ап уже построен и ап е М то
в качестве ап+1 берем элемент, отмеченный в непустом (так
как Д/ не имеет минимальных элементов) множестве элемен-
элементов из ТУ, строго предшествующих ап. Последовательность
(*) является, очевидно, бесконечной строго убывающей
цепью, т. е. множество М не может удовлетворять условию
обрыва убывающих цепей.
26 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. [
3. Условие индуктивности позволяет проводить не только
доказательства по индукции, но и построения по индукции.
Именно, пусть М — частично упорядоченное множество с усло-
условием минимальности и пусть мы хотим определить на этом
множестве функцию ф (х), относящую всякому элементу х
из М некоторый элемент вспомогательного множества 5.
Будем считать при этом, что функция ф (х) должна удо-
удовлетворять некоторым рекуррентным соотношениям, т. е.
соотношениям, однозначно определяющим для всякого а е М
значение ф (а) по значениям ф(#) для всех Ь, строго мень-
меньших а. Докажем, что существует, и притом единствен-
единственная, функция ф(х), определенная на всем множестве М,
удовлетворяющая указанным рекуррентным соотноше-
соотношениям и принимающая произвольные заданные значения на
всех минимальных элементах множества М.
Начнем с доказательства единственности. Пусть
на М существуют две различные функции, ф (х) и г|? (х),
удовлетворяющие нашим условиям. В непустом множестве
тех элементов х, для которых ф (х) Ф- г|? (х), существует,
ввиду условия минимальности, хотя бы один минимальный
элемент а. Этот элемент не может быть минимальным во
всем Ж, так как на минимальных элементах множества М
функции ф (х) и г|? (х) по условию совпадают. Существуют,
следовательно, такие элементы Ь, что Ь<С.а, причем для
всех этих элементов у(Ь) = \р(Ь). Рекуррентные соотноше-
соотношения однозначно определяют, однако, значения рассматри-
рассматриваемых функций для х = а по их значениям для всех Ъ <С #>
а поэтому ф(а) = г|?(а), т. е. мы пришли к противоречию.
Переходим к доказательству существования искомой
функции ф (х), предполагая, что на минимальных элементах
ее значения уже заданы. Будем говорить, что элемент а е М
обладает свойством §, если на множестве А всех таких х,
что х ^ а, может быть определена функция фа (х), удовлетво-
удовлетворяющая заданным рекуррентным соотношениям и принимающая
заданные значения на минимальных элементах из М, содер-
содержащихся в а.
Все минимальные элементы из М обладают, очевидно, свой-
свойством §. С другой стороны, если а и Ь обладают свойством
§ и Ь<^а, то, применяя доказанную выше единственность
искомой функции вместо М к множеству В тех х, для кото-
которых х^Ь, мы получим, что для всех этих х
(х) = фа (х).
5]
УСЛОВИЕ МИНИМАЛЬНОСТИ 27
Отсюда следует, что если все элементы Ъ, строго предшест-
предшествующие данному элементу а, обладают свойством %, то этим
свойством обладает и сам элемент а: мы получим функцию
Фа (х)> УД°влетвоРяюш-Ую всем требованиям, если для всякого
Ь, Ь<Са, положим
г в качестве фа (а) возьмем то значение, которое однозначно
определяется рекуррентными соотношениями.
На основании условия индуктивности, выполняющегося
в множестве Ж, можно теперь утверждать, что все элементы
этого множества обладают свойством §. Полагая, наконец,
для всех а е М
мы определим функцию ф (х), обладающую всеми нужными
свойствами, и этим закончим доказательство теоремы.
4. Линейно упорядоченное множество, удовлетворяющее
условию минимальности, а поэтому и двум другим условиям,
с ним эквивалентным, называется вполне упорядоченным. При-
Примером вполне упорядоченного множества служит множество
натуральных чисел в его естественной упорядоченности. Вся-
Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само
вполне упорядочено. Из определения вполне упорядоченного
множества следует, что оно обладает единственным мини-
минимальным элементом.
Во вполне упорядоченном множестве для всякого эле-
элемента а существует элемент, непосредственно следующий за
я (за единственным возможным исключением, если а являет-
является максимальным (см. 1.5.5) элементом). Элемент а может
не иметь, однако, непосредственно предшествующего
элемента; в этом случае он называется предельным эле-
элементом.
Частично упорядоченное множество тогда и только
тогда удовлетворяет условию минимальности, если все его
Цепи (т. е. линейно упорядоченные подмножества) вполне
Упорядочены.
Действительно, если частично упорядоченное множество М
Удовлетворяет условию минимальности, то это же верно для
Вс^х его подмножеств, в частности для всех цепей. Обратное
Утверждение вытекает из того, что в формулировке условия
28 отношения [гл. I
обрыва убывающих цепей, эквивалентного условию минималь-
минимальности, используются лишь цепи множества М.
5. В частично упорядоченном множестве М можно перейти
к обратной частичной упорядоченности. Минимальные элементы
этой обратной упорядоченности называются максимальными
элементами множества М в его исходной упорядоченности,
а убывающие цепи в обратной упорядоченности называются
возрастающими цепями множества М. Вообще, этим путем
для всякого понятия (или утверждения), связанного с частич-
частичной упорядоченностью, можно получить двойственное
понятие (утверждение).
Пусть частично упорядоченное множество М удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности. Беря в М обратную частичную
упорядоченность, мы получим частично упорядоченное мно-
множество, удовлетворяющее условию максимальности. Для
множеств с условием максимальности остается справедливым,
после замены отношения ^ на отношение ^ и обратно, все,
сказанное выше о множествах с условием минимальности.
§ 6. Теоремы, равносильные аксиоме выбора
1. Пусть N—подмножество частично упорядоченного мно-
множества М. Всякий элемент а из М (не обязательно содержа-
содержащийся в Ы)у удовлетворяющий условию а^х для всех ^еМ
называется верхней гранью подмножества N в множестве М.
Двойственным является понятие нижней грани.
2. С другой стороны, если М — частично упорядоченное
множество, то множество всех его цепей само будет частично
упорядоченным при помощи теоретико-множественного вклю-
включения. Максимальные элементы этого последнего множества,
если они существуют, естественно называть максимальными
цепями множества М.
3. Эти понятия используются в формулировке двух из
следующих трех теорем, каждая из которых, как будет сей-
сейчас доказано, эквивалентна аксиоме выбора (см. 1.1.4).
Теорема Цермело. Всякое множество можно вполне
упорядочить.
Теорема Хаусдорфа. Всякая цепь частично упорядочен-
упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной
цепи.
§6]
ТЕОРЕМЫ, РАВНОСИЛЬНЫЕ АКСИОМЕ ВЫБОРА 29
Теорема Куратовского — Цорна. Если всякая цепь час-
частично упорядоченного множества М обладает верхней
гранью, то всякий элемент множества М меньше {или
равен) некоторого максимального элемента.
4. Докажем эквивалентность этих теорем и аксиомы выбора.
Из аксиомы выбора следует теорема Цермело.
Будем называть отрезком некоторого вполне упорядочен-
упорядоченного множества А всякое. его подмножество В, содержащее
вместе с любым своим элементом Ь все такие ^еД что
х^Ь. Множество элементов, строго предшествующих неко-
некоторому элементу а из Л, будет истинным отрезком множества
А (т. е. отрезком, отличным от самого А), и этим исчерпы-
исчерпываются все истинные отрезки: если В — такой отрезок, то В
состоит из всех элементов, строго предшествующих минималь-
минимальному элементу дополнения Л\/?, т. е. определяется этим
элементом. Пустое подмножество мы также будем считать
истинным отрезком множества А\ он определяется минималь-
минимальным элементом этого множества.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть дано произ-
произвольное множество М. На основании аксиомы выбора отме-
отметим в каждом его непустом подмножестве N по одному эле-
элементу ф (Л/). Будем называть непустое подмножество А из М
отмеченным, если оно может быть вполне упорядочено, при-
причем так, что для всякого а е А
где А — отрезок множества А в указанной полной упоря-
упорядоченности, определяемый элементом а. Отмеченные подмно-
подмножества в М существуют; таково, например, подмножество^
состоящее из одного элемента ф (М).
Пусть А и .в —два отмеченных подмножества, для кото-
которых выбраны полные упорядоченности, обладающие свойством,
указанным в предыдущем абзаце. Тогда оба эти подмноже-
подмножества имеют ф(Ж) в качестве первого элемента и поэтому
обладают непустыми совпадающими отрезками. Объединение С
всех совпадающих отрезков этих двух подмножеств будет,
очевидно, отрезком в каждом из них; это наибольший среди
совпадающих отрезков. Если бы отрезок С был отличен и
От А, и от В, то, по определению отмеченного подмножества,
Отрезок С определялся бы и в А, и в В элементом ф(Ж\С),
30 ОТНОШЕНИЯ [ГЛ. I
а тогда А и В обладали бы большим, чем С, совпадающим
отрезком, состоящим из С и элемента ф (М \ С). Это про-
противоречие с определением С показывает, что одно из
двух отмеченных подмножеств А и В является отрезком
другого.
Отсюда следует, что объединение Ь всех отмеченных
подмножеств из М само будет отмеченным. Действительно,
если а и Ь из Ь принадлежат соответственно к отмеченным
подмножествам Л и В, то они оба лежат в большем из этих
подмножеств, например в А. Полагая а^Ь в I, если а^Ь
в этом Л, мы получим в Ь линейную упорядоченность, кото-
которая будет даже полной упорядоченностью: всякая убывающая
цепочка элементов в Ь целиком содержится в некотором
отмеченном подмножестве А и поэтому должна обрываться.
Наконец, если а е Ь, то а содержится в некотором отмечен-
отмеченном подмножестве А и определяет в Ь и в А один и тот же
отрезок А', причем а = ф (М \ Л'). Этим доказана отмечен-
отмеченность множества Ь.
Для окончания доказательства теоремы остается указать,
что если бы Ь было отлично от Ж, то, в противоречие с
определением I, мы получили бы большее, чем I, отмеченное
подмножество, присоединяя к Ь элемент ф (М \ Ь) и считая
этот элемент следующим за всеми элементами из I.
Из теоремы Цермело следует теорема Хаусдорфа.
Пусть в частично упорядоченном множестве М взята про-
произвольная цепь А. Если А=М, то доказывать нечего, в про-
противном же случае будем считать, на основании теоремы
Цермело, множество В = М\А вполне упорядоченным; эта
полная упорядоченность никак не связана с частичной упоря-
упорядоченностью В как подмножества множества М.
Отнесем первый элемент множества В к первому классу,
если он в множестве М сравним (см. 1.4.1) с каждым эле-
элементом из Л, и ко второму классу в противоположном
случае. Пусть теперь Ъ — произвольный элемент из В и пусть
каждый из элементов множества В, строго предшествующих
элементу Ъ в смысле заданной в В полной упорядоченности,
уже отнесен' к первому или ко второму классу. Тогда мы
отнесем элемент Ь к первому классу, если он в Ж сравним
как с каждым элементом из Л, так и с каждым из тех эле-
элементов, ему предшествующих в В, которые отнесены к пер-
первому классу; в противоположном же случае элемент Ь будет
отнесен ко второму классу.
§ 6] ТЕОРЕМЫ, РАВНОСИЛЬНЫЕ АКСИОМЕ ВЫБОРА 31
Мы проводим, таким образом, индуктивное построение
по вполне упорядоченному множеству В, и поэтому можно
считать (см. 1.5.3), что всякий элемент из В однозначным
образом отнесен к первому или второму классу. Множество
С, содержащее все элементы цепи А и все элементы первого
класса из В, будет в множестве Ж цепью, так как любые
два элемента из С сравнимы в Ж между собой. Эта цепь
будет в М максимальной, так как всякий элемент второго
класса из В несравним хотя бы с одним элементом из С.
Теорема доказана.
Из теоремы Хаусдорфа следует теорема Куратов-
ского — Цорна.
В самом деле, пусть дано такое частично упорядоченное
множество Ж, в котором всякая цепь обладает верхней
гранью, и пусть а е Ж. Цепь, состоящая из одного элемента а,
по теореме Хаусдорфа содержится в некоторой максимальной
цепи С. Если элемент с — верхняя грань цепи С, то а< с.
С другой стороны, элемент с максимален в Ж: если сущест-
существует такой элемент Ь, что с<СЬ, то для всех хеС ввиду
х^с будет х<#, т. е., присоединяя к цепи С элемент Ъ>
мы получим большую цепь в противоречие с максимальностью
цепи С. Теорема доказана.
Из теоремы Куратовского — Цорна следует аксиома
выбора.
Пусть дано произвольное множество Ж. Рассмотрим такие
системы непустых подмножеств из Ж, на которых возможно
задание (хотя бы одним способом) функции, отмечающей
в каждом подмножестве А данной системы один из его эле-
элементов ф(Л). Системы такого рода существуют — таковы,
например, системы, состоящие из одного непустого множества.
Ооознглим через Ф множество всех функций указанного вида,
заданных на всевозможных системах подмножеств, на которых
задание таких функций возможно.
Пусть фиг): — две функции, принадлежащие к Ф и задан-
заданные соответственно на системах подмножеств 5 и Т. Поло-
Положим ф^г|), если 5^Ги на системе 5 функции ф и г|) сов-
совпадают. Этим в множестве Ф определяется частичная упоря-
упорядоченность. Возьмем в Ф произвольную цепь Г (в смысле
^той частичной упорядоченности), состоящую из функций фа,
заданных соответственно на системах 5а. На системе ^ = I I 5а
а
32 ОТНОШЕНИЯ {ГЛ. I
может быть определена функция гр, совпадающая на каждой
системе 5а с функцией фа. Ясно, что г|? принадлежит к Ф
и служит верхней гранью для цепи Г.
К множеству Ф применима, следовательно, теорема Кура-
товского — Цорна, а поэтому Ф обладает максимальными
элементами. Пусть % будет один из этих элементов. Если бы
система V, на которой определена функция %, не содержала
непустого подмножества А из М, то на системе, полученной
из V присоединением Л, можно было бы определить функции,
строго большие, чем %: это была бы всякая функция, совпа-
совпадающая с х на системе {] и отмечающая в подмножестве А
один из его элементов. Полученное противоречие с макси-
максимальностью функции х показывает, что система {] совпадает
на самом деле с системой всех непустых подмножеств мно-
множества М. Теорема доказана.
* Утверждение, что всякое множество может быть линейно
упорядочено, является более слабым, чем аксиома выбора
[Мостовский, РиМ МаШ. 32A939), 201—252].*
ГЛАВА ВТОРАЯ
ГРУППЫ И КОЛЬЦА
§ 1. Группоиды, полугруппы, группы
1. В основе всех понятий, изучаемых в различных отде-
отделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции. Огра-
Ограничимся пока рассмотрением бинарных операций. В самом
широком понимании это будет закон, по которому некото-
некоторым упорядоченным парам элементов данного множества М
(т.е. некоторым элементам из квадрата множества Ж, см. 1.2.1)
ставятся в соответствие элементы из Л1, один или много.
Если мы назовем эту операцию умножением и будем упот-
употреблять для нее обычную мультипликативную запись, то
равенство
аЬ = с A)
будет иметь тот смысл, что для пары элементов а, Ь из М
произведение определено и что одним из значений этого про-
произведения служит элемент с.
Понятие бинарной алгебраической операции, рассмат-
рассматриваемое в этом широком смысле, равносильно понятию
заданного в множестве М тернарного отношения (см.
1.2.7).
Действительно, если в М задана бинарная операция, то
мы введем в М тернарное отношение /?, полагая, что /?(а, Ь> с)
тогда и только тогда, когда имеет место равенство A).
Обратно, если в М задано тернарное отношение /?, то будем
считать, что равенство A) имеет место тогда и только тогда,
когда справедливо /?(а, Ь, с).
2. В дальнейшем бинарная алгебраическая операция
будет пониматься, как правило, в более узком смысле:
2 А, Г. Курош
34 ОТНОШЕНИЯ (ГЛ. И
произведение должно быть определено для любой упорядо-
упорядоченной пары элементов и должно быть однозначным. Вся-
Всякое непустое множество, в котором задана алгебраическая опе-
операция этого типа, называется группоидом.
Это понятие все еще слишком широко. Более узким
будет имеющее разнообразные применения понятие полу-
полугруппы, т. е. группоида, в котором выполняется закон ассо-
ассоциативности: для любых элементов а, Ь и с
(аЬ) с = а (Ьс). B)
Равенство B) придает однозначный смысл произведению
аЬс любых трех элементов полугруппы. Отсюда легко сле-
следует, что при всех п произведение а^а^ ... ап любых п эле-
элементов, взятых в указанном порядке, также будет однозначно
определенным элементом полугруппы.
3. Еще более узким является понятие группы, одно из
самых важных алгебраических понятий. Группой называется
полугруппа, в которой выполнимы обратные операции, т. е.
для любых элементов а и Ь каждое из уравнений
ах = Ъ, уа — Ъ C)
обладает решением, притом единственным.
Заметим, что единственность решений каждого из урав-
уравнений C) позволяет производить в группе левосторонние и
правосторонние сокращения: если
х 2 или
то #1 = Ъ%.
Решения х и у уравнений C) в случае произвольной
группы не обязаны совпадать. Дело в том, что алгебраиче-
алгебраическая операция не предполагается нами коммутативной, т. е.
произведение может зависеть от порядка сомножителей. Груп-
Группа (или полугруппа, или группоид), для любых двух элемен-
элементов а, Ь которой выполняется закон коммутативности
аЪ = Ъа>
называется коммутативной или абелевой.
4. Всякая группа О обладает однозначно определенным
элементом е} удовлетворяющим условию
ае
для всех элементов а
§п
ГРУППОИДЫ, ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ 35
Действительно, из определения группы следует существо-
существование в О для любого элемента а такого элемента е'а> что
ае'а = ау причем этот элемент еа однозначно определен. Если
Ь — любой другой элемент группы О, а у — элемент группы,
удовлетворяющий равенству уа = Ь, то, ввиду закона ассо-
ассоциативности,
'а = (у а) еа =у (ае'а) =уа = Ь,
откуда е'ь = е'а. Элемент е'а не зависит, следовательно, от
элемента а; обозначим его через е'. Таким образом,
ае' — а для всех а^О. D)
Аналогично доказывается существование и единственность
такого элемента е", что
е"а — а для всех а^О. E)
Применяя, однако, равенства D) и E) к произведению е"е'у
мы получаем е"е —е" и е"е =е'у откуда е" = е'. Теорема
доказана.
Элемент е, существование и единственность которого
утверждаются в этой теореме, называется единицей группы О
и обычно обозначается символом 1.
Для всякого элемента а группы О существует такой
однозначно определенный элемент а'1, что
Действительно, из определения группы вытекает существо-
существование таких однозначно определенных элементов а' и а", что
аа' = 1, а" а = 1.
Однако, применяя закон ассоциативности, мы получаем
а"аа'' = а"'(аа') = а"-\=а",
а"аа ={а"а)аг — \ - а' —а',
откуда а" = а'.
Элемент а называется обратным элементом для а.
Ясно, что обратным для яГ1 служит сам элемент а и что
* 1==1. Легко видеть также, что для любых элеменюв
аь #2, • • • > ап
2*
36 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. II
5. Следующая теорема часто облегчает проверку того,
что данная полугруппа является группой:
Полугруппа О тогда и только тогда будет группой,
если в О существует по меньшей мере одна правая еди-
единица е} обладающая свойством
ае = а для всех а е О,
причем это е можно выбрать так, что для всякого а
существует по меньшей мере один правый обратный эле-
элемент а~х, удовлетворяющий условию
ааГ1 = е.
В одну сторону эта теорема доказана в предшествующем
пункте. Пусть теперь дана полугруппа О, удовлетворяющая
условиям теоремы. Покажем, что элемент е будет и левой
единицей для О. Если аеОи а'1 — один из его правых об-
обратных элементов, то
еаа'1 = ее = е — аа~х.
Умножая обе части этого равенства справа на один из эле-
элементов, правых обратных для а, и используя однозначность
произведения в полугруппе, мы получим
еае = ае,
откуда еа = а, что мы и хотели показать.
Если теперь е —любая правая единица для О, е" — лю-
любая левая единица, то, как и в доказательстве первой тео-
теоремы предшествующего пункта, мы получим, что е" = е',
т. е. докажем существование и единственность в О единицы е.
Пусть, далее, снова а^О и а~1 — один из правых обрат-
обратных элементов для а. Умножая равенство аа~1 = е слева на
а~\ мы получим
аГхааГх — а'1.
Умножая это последнее равенство справа на один из правых
обратных элементов для а'1, мы приходим к равенству
а~хае — е,
откуда а~1а = е. Элемент сГ1 оказался и левым обратным для а.
Теперь, как и в доказательстве второй теоремы пред-
предшествующего пункта, легко проверяется, что любой левый
обратный элемент для а равен любому правому обратному
§ ,] ГРУППОИДЫ, ПОЛУГРУППЫ, ГРУППЫ 37
элементу. Отсюда следует существование в О для всякого
элемента а однозначно определенного обратного элемента а.
Для завершения доказательства теоремы укажем, что ре-
решениями уравнений C) служат соответственно элементы
х = а~хЬ и у = ЬсГ1.
Единственность этих решений следует из того, что если, на-
например, ах1 = ах2, то, умножая это равенство слева на а,
мы получим хх = х2.
6. Иногда, в частности при изучении абелевых групп, ис-
используется не мультипликативная, а аддитивная запись: группо-
групповая операция называется сложением, сумма записывается че-
через а-\-Ъ, единица группы называется нулем и обозначается
символом 0, а вместо обратного элемента говорят о проти-
противоположном элементе и обозначают его через —а.
При аддитивной записи для абелевых групп обратная опе-
операция— в этом случае она будет, конечно, единственной —
называется вычитанием. Решение уравнения
называется разностью и записывается в виде Ь — а. Ясно, что
Ь — а = Ь + (— а),
и поэтому
Ь — (ах + а2) = & ■— ах — а2.
7. Многочисленные важные примеры абелевых групп дают
нам обычные операции над числами. Так, беря все целые
числа — положительные, нуль и отрицательные — и рассматри-
рассматривая в этом множестве операцию сложения, мы получаем абелеву
группу, называемую аддитивной группой целых чисел, Абе-
Абелеву группу по сложению составляют также все рациональ-
рациональные числа — это аддитивная группа рациональных чисел.
Можно говорить и об аддитивных группах всех действитель-
действительных и всех комплексных чисел.
Если же взять лишь натуральные числа, то они составляют
по сложению полугруппу, называемую аддитивной полугруп-
полугруппой натуральных чисел, но не группу, так как вычитание
здесь не всегда выполнимо.
При составлении из чисел групп по умножению следует
помнить, что ни в одну из них не войдет число нуль, так как
Деление на нуль невозможно. Мультипликативную группу
составляют, например, все отличные от нуля рациональные
38 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. 1|
числа, равно как и лишь строго положительные рациональные
числа. С другой стороны, по умножению полугруппами, но не
группами, будут системы всех целых чисел, всех целых
неотрицательных чисел и всех натуральных чисел.
Как пример конечной абелевой группы назовем мульти-
мультипликативную группу корней п-й степени из единицы. Поря-
Порядок этой группы — а порядком конечной группы называется
число ее элементов —- равен п.
8. Перейдем к примерам некоммутативных групп и полу-
полугрупп. Назовем преобразованием множества М любое ото-
отображение этого множества в себя (т. е. на некоторое его подмно-
подмножество). Частным случаем преобразования является подстанов-
подстановка, т. е. взаимно однозначное отображение множества М на себя.
В 1.1.2. введено умножение отображений, понимаемое
как их последовательное выполнение, и доказана ассоциатив-
ассоциативность этой операции. В применении к случаю преобразований
мы получаем, что относительно операции последовательного
выполнения все преобразования данного множества М соста-
составляют полугруппу; она называется симметрической полугруп-
полугруппой на множестве М.
Так как последовательное выполнение двух подстановок
множества М снова будет подстановкой, то можно говорить
и о полугруппе подстановок на М. Тождественная подста-
подстановка, оставляющая на месте каждый элемент из М9 является
единицей этой полугруппы. С другой стороны, если х— про-
произвольная подстановка, переводящая всякий элемент а из Ж в
элемент ах, то обратное преобразование, переводящее ах в а
для всех йеД также будет подстановкой; она служит для х
обратной подстановкой. Таким образом, ввиду II. 1.5, по
операции последовательного выполнения все подстановки дан-
данного множества М составляют группу; она называется сим-
симметрической группой на множестве М.
Если множество М конечно и состоит из п элементов, то
симметрическая группа на М, называемая симметрической
группой п-й степени и обозначаемая через 6^, будет конеч-
конечной и имеет порядок п\. Конечной♦ будет и симметрическая
полугруппа на конечном множестве Ж.
Другим примером некоммутативной группы является сово-
совокупность всех невырожденных квадратных матриц порядка п
(где п ^ 2) с действительными элементами, рассматриваемая
относительно операции умножения матриц.
2] КОЛЬЦА, ТЕЛА. ПОЛЯ 39
§ 2. Кольца, тела, поля
1. Вторым важнейшим алгебраическим понятием, наряду с
понятием группы, является понятие кольца. Кольцом назы-
называется множество /?, в котором заданы две бинарные алге-
алгебраические операции (в смысле II.1.2) — сложение и умноже-
умножение, причем по сложению это должна быть абелева группа —
аддитивная группа кольца К, — а умножение должно быть
связано со сложением законами дистрибутивности:
ас, (Ь-\-с)а = Ьа-\-са. A)
На само умножение в общем случае не накладывается
никаких ограничений, т. е. кольцо Н по умножению является
лишь группоидом — это будет мультипликативный груп-
группоид кольца /?. Если умножение в кольце ассоциативно, то
мы называем кольцо ассоциативным кольцом и говорим о его
мультипликативной полугруппе; если же умножение в кольце
и ассоциативно, и коммутативно, то кольцо называется ассо-
ассоциативно-коммутативным.
Во всяком кольце законы дистрибутивности вы-
выполняются и для разности, т. е.
а{Ь — с) = аЬ — ас, (Ь — с)а =^Ъа — са. B)
Действительно, по II.1.6,
Умножая обе части этого равенства слева на а, а затем при-
1меняя в левой части равенства первый из законов дистрибу-
дистрибутивности A), мы получим
ас -(- а ф — с) = аЬ,
откуда, снова по II. 1.6, вытекает первое из равенств B).
2. Всякая абелева группа О служит аддитивной груп-
группой некоторого кольца: достаточно предположить, что группо-
групповая операция группы О записывается аддитивно, а затем
Ввести в О нулевое умножение, т. е. положить
Для любых а и Ь из О. Выполнение законов дистрибутив-
дистрибутивности A) очевидно. Это нулевое кольцо с аддитивной груп-
группой О будет, конечно, ассоциативно-коммутативным. В теории
40 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ Ц;|
"8
колец нулевые кольца играют роль, параллельную той роли,^
которую в теории групп играют абелевы группы. ]
Первым примером ненулевого ассоциативно-коммутатив--
ного кольца служит кольцо целых чисел. В качестве при-
примера ассоциативного, но не коммутативного кольца напомним
кольцо квадратных матриц порядка п (где п ^ 2) с дей-
действительными элементами: операциями в этом кольце служат
вводимые в курсе высшей алгебры сложение и умножение
матриц.
Укажем, наконец, один пример неассоциативного кольца.
Это будет кольцо векторов трехмерного евклидова про-
пространства, причем операциями служат обычное сложение
векторов и определяемое в курсе аналитической геометрии
векторное умножение векторов. Легко проверяется, что это
умножение не будет ни ассоциативным, ни коммутативным,
но что со сложением оно связано законами дистрибутив-
дистрибутивности A).
Читатель легко проверит также (или же найдет в учеб-
учебниках по векторной алгебре), что в построенном нами кольце
для любых векторов а, Ь, с выполняются следующие ра-
равенства:
а2 = 0 C)
и тождество Якоба
(аЬ) с + (Ьс) а + (са) Ь = 0. D)
Заметим, что из C) вытекает закон антикоммутатив-
антикоммутативности
Ьа = — аЬ.
Действительно, так как
а2 = #! =
то
0 = (а + ЬJ = а2 + аЬ + Ьа + Ь* = аЬ + Ьа.
3. Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям C) и D),
называется лиевым кольцом. Лиевы кольца составляют важ-
важный класс колец, в общем случае неассоциативных; к ним
принадлежат, впрочем, все нулевые кольца.
Между ассоциативными и лиевыми кольцами существует
следующая любопытная связь:
Если Н — произвольное ассоциативное кольцо, то, со-
сохраняя аддитивную группу этого кольца, а операцию
§ 2]
КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ 41
умножения аЬ заменяя операцией коммутирования
мы получим лиево кольцо
В самом деле, проверим справедливость законов дистри-
дистрибутивности; можно проверить хотя бы первый из законов A)
а ° (Ь -\- с) = а (Ь -\- с) — (Ь -\- с) а = аЬ -{- ас — Ьа — са —
= (аЬ — Ьа) -\- (ас — са) = а°Ь-\-а<>с.
Таким образом, множество /?, рассматриваемое с операциями
сложения и коммутирования, оказывается кольцом; обозначим
его через ^~\ Остается проверить справедливость равенств C)
и D):
а о а = аа — аа — О,
(а°Ь)°с-\-(Ь°с)<>а-\-(с<>а)<>Ь = (аЬ — Ьа) с — с (аЬ — Ьа) -\-
-\- (Ьс — сЬ) а — а {Ье- сЬ) + (са — ас)Ь — Ь (са — ас) = 0.
Кольцо /?^~) оказалось лиевым.
4. Если в ассоциативном кольце Н сохранить его
аддитивную группу, а операцию умножения аЬ заменить
операцией симметрирования
а- Ь — аЬ-\-Ьа,
то будет получено кольцо /?(+), в котором для любых
элементов а, Ь выполняются равенства
а-Ь = Ь- а, E)
[(а • а) • Ь] • а = (а • а) • (Ь • а). F)
В самом деле, проверим хотя бы первый из законов ди-
дистрибутивности A):
а' (Ь -\- с) = а(Ь + с) + (Ь + с)а = аЬ + ас -\- Ьа + са ~
= (аЬ-\-Ьа) + (ас-\-са) — а-Ь-\-а* с.
Проверим теперь справедливость равенств E) и F):
а • Ь = аЬ + Ьа — Ьа -\- аЬ = Ь • а,
[{а • а) • Ь] • а = [(аа + аа) Ь-\-Ь (аа + аа)] а +
а [(аа ~\- аа) Ь-\-Ь (аа + аа)] — ааЬа
ааЬа -|- ^?ааа + Ьааа -\- аааЬ -|- ааа&
аЬаа = (аа + ^а) фа -\- аЬ)
аа) = (а • а) • (& • а).
42 группы и кольца [гл
Всякое кольцо, удовлетворяющее условиям E) и F), на
зывается йордановым. В общем случае оно неассоциативное
к йордановым кольцам принадлежат, впрочем, все ассоциа
тивно-коммутативные кольца.
5. Во всяком кольце Ц любое произведение, в кото
ром хотя бы один из сомножителей равен нулю, самк
равно нулю. Иными словами,
для всех элементов а кольца /?. \
В самом деле, если х — произвольный вспомогательный
элемент кольца /?, то, ввиду B),
а • 0 = а (х — х) = ах — ах — 0.
Если а и Ъ —любые элементы произвольного кольца /?,
то
(_ а) Ь = а( — 1
Действительно,
аЬ + (— а) Ь = [а -\- ( -
V) = - аЬ,
- а)] Ь = 0 •
0.
(8)
(9)
Так же проверяется и вторая половина равенства (8). С дру-
другой стороны, используя (8), получаем
чем доказано и (9).
6. Заметим, что обращение утверждения, выражаемого
равенством G), справедливое в случае числовых колец, в об-
общем случае не имеет места: существуют кольца, обладающие
делителями нуляУ т. е. такими отличными от нуля элементами
а и Ь, произведение которых равно нулю:
Примерами таких колец помимо любого нулевого кольца,
являются кольца матриц. Мы уже упоминали кольцо дей-
действительных квадратных матриц. Вообще, если /? — произволь-
произвольное кольцо, то можно рассмотреть всевозможные квадратные
матрицы порядка п с элементами из /?. Определяя для них
обычным способом сложение и умножение, мы получим, как
§21
КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ
43
легко проверить, кольцо, даже ассоциативное, если ассоциа-
ассоциативно исходное кольцо /?. Нулем этого кольца служит нуле-
нулевая матрица, составленная из нулей. Построенное кольцо
называется полным кольцом матриц порядка п над кольцом
# и обозначается через Нп.
Если п^2, а кольцо /? состоит не только из одного
нуля, то полное кольцо матриц Нп обладает делителями
нуля.
Действительно, если а —отличный от нуля элемент из
то матрицы
/а 0 ... 0\
О 0 ... О
0 ... О/
/°
О 0\
о ... о о
\0 ... О а/
отличны от нулевой матрицы, но их произведение равно нулю.
Примерами колец с делителями нуля являются также пол-
полные кольца функций. Пусть даны произвольное множе-
множество М и произвольное кольцо /?. Рассмотрим множество
всевозможных функций на М со значениями в /?, т. е. всевоз-
всевозможных отображений / множества М в кольцо /?; образ
элемента х^М при отображении / будем обозначать здесь
через /(х). Это множество функций превращается в кольцо,
если сумма и произведение функций будут определены, как
обычно, равенствами
т- е. при помощи сложения и умножения значений заданных
Функций для всех х из М. Легко проверяется, что все тре-
требования, входящие в определение кольца, выполняются и что
полученное кольцо будет ассоциативным или коммутативным,
если только ассоциативно или соответственно коммутативно
исходное кольцо /?.
Построенное кольцо называется полным кольцом функций
на множестве М со значениями в кольце /?. Если М — мно-
множество точек числовой прямой, а /? — совокупность действи-
действительных чисел, то наше кольцо будет обычным кольцом
Всех действительных функций действительного переменного.
44 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ Ц
Всякое полное кольцо функций на множестве М, содер-
содержащем не менее двух элементов, со значениями в кольце /?,
состоящем не из одного нуля, обладает делителями нуля,
В самом деле, роль нуля в этом кольце играет нулевая
функция, тождественно (т. е. для всех х из М) равная нулю.
Если же мы разобьем множество М на два непустых непере-
непересекающихся подмножества А и В, то существуют, очевидно,
такие ненулевые функции / и §, что / принимает нулевые
значения на Л, а ^—на В. Ясно, что произведение /^ будет
нулевой функцией.
7. Ассоциативно-коммутативное кольцо без делителей нуля
называется областью целостности; таковы, в частности, все-
всевозможные числовые кольца. Важные примеры областей цело-
целостности можно получить, используя следующую конструкцию.
Если /?—произвольное ассоциативно-коммутативное кольцо,
то можно рассмотреть всевозможные многочлены
а0 + агх + а2х2 +... + апхпу п
относительно неизвестного х с коэффициентами а0, аь ...
..., ап из /?; если ап Ф О, то п будет степенью этого много-
многочлена. Определяя сложение и умножение многочленов так
же, как это делается в курсе высшей алгебры, мы получим, как
нетрудно проверить, кольцо, называемое кольцом многочленов
К [х] от неизвестного х над кольцом /?; это кольцо также
будет ассоциативно-коммутативным. Нулем кольца многочленов
служит многочлен, все коэффициенты которого равны нулю.
Аналогично определяется кольцо многочленов /? [хь х2,...
..., хп] от любого конечного числа неизвестных; оно будет
при этом просто кольцом многочленов от одного неизвестного
хп над кольцом К [хь ..., хп_^\. Можно говорить и о кольце
многочленов над /? от любого бесконечного множества неиз-
неизвестных, считая при этом, что каждый отдельный многочлен
зависит лишь от некоторого конечного числа неизвестных.
Если К — область целостности, то любое кольцо
многочленов над Н также будет областью целостности.
Справедливость этого утверждения для кольца многочле-
многочленов /? [х] от одного неизвестного вытекает из того, что если
многочлены / и § отличны от нуля, а в /? нет делителей
нуля, то степень произведения /§ равна сумме степеней сомно-
сомножителей, т. е. это произведение также отлично от нуля.
Переход к случаю любого конечного числа неизвестных
2]
КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ 45
достигается простой индукцией, а в случае колец многочле-
многочленов от бесконечного множества неизвестных достаточно учесть,
Ч1О всякий многочлен записывается через конечное число
неизвестных.
8. Над произвольным ассоциативно-коммутативным коль-
кольцом К можно рассматривать не только многочлены, но и (фор-
(формальные) степенные ряды
со
ао-\-а1х
от неизвестного х. Определение операций переносится с мно
гочленов на степенные ряды без всяких затруднений:
оо оо со
.к
акх" + ^ Ькхк = ^ (в* + Ьк)
6=0 6=0
оо со оо
к
где
ст=
Как и в случае многочленов, проверяется, что мы полу-
получаем ассоциативно-коммутативное кольцо; оно называется
кольцом степенных рядов от неизвестного х над коль-
кольцом /? и обозначается через Н {х}.
Переход к кольцам степенных рядов над Н от любого
конечного числа, а затем и от бесконечного множества
неизвестных совершается так же, как для колец многочле-
многочленов, причем в случае бесконечного множества неизвестных
целесообразно наложить требование, что каждый степенной
ряд зависит лишь от конечного числа неизвестных.
Если К — область целостности, то любое кольцо сте-
степенных рядов над /? также будет областью целост-
целостности.
Достаточно рассмотреть случай кольца Н {х} от одного
неизвестноге. Если мы назовем нижней степенью степенного
ряда A0) число п в том случае, когда
а0 = ах ==...== ал„! = 0, ап=^ 0,
всякий ненулевой степенной ряд будет обладать ниж-
нижней степенью. Ввиду отсутствия в /^ делителей нуля нижняя
46 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ II
степень произведения двух степенных рядов равна сумме ниж-
нижних степеней сомножителей. Отсюда следует наше утверж-
утверждение.
9. Понятие единицы, введенное в II. 1.4 для случая
группы, переносится, конечно, на случай любого группоида
или кольца /?: это будет такой элемент 1, что для всех эле-
элементов а из Я.
а • 1 = 1 . а — а.
Если единица в кольце /? существует, то только одна. Ее
может, однако, и не быть, как показывает пример кольца чет-
четных чисел.
Всякое лиево кольцо (см. 11.2.3), состоящее не только
из одного нуля, является кольцом без единицы.
Действительно, пусть лиево кольцо ^ обладает единицей 1.
Тогда, по C), полагая а=\, получаем 12 = 0. Таким обра-
образом, 1 = 0, откуда, ввиду G), вытекает, что кольцо Ь состоит
лишь из нуля.
Если кольцо /? обладает единицей, то единицами обла-
обладают также всевозможные кольца матриц над К, кольца
функций со значениями в К, а в ассоциативно-коммута-
ассоциативно-коммутативном случае и кольца многочленов и кольца степенных
рядов над Н от любого числа неизвестных.
Действительно, единицей кольца матриц служит единичная
матрица, по главной диагонали которой стоит 1, а все эле-
элементы вне диагонали равны нулю. Единицей кольца функций
является функция, тождественно равная 1. Наконец, единицей
кольца многочленов (или кольца степенных рядов) служит
многочлен (степенной ряд), все коэффициенты которого равны
нулю, кроме а0, равного 1.
10. Всякое кольцо является по умножению группоидом
а ассоциативное кольцо — полугруппой. Никакое кольцо, состо-
состоящее не только из нуля, не может быть по умножению груп-
группой, как вытекает из мультипликативного свойства нуля G).
Может оказаться, однако, что все отличные от нуля элементы
кольца составляют группу по умножению. Такое кольцо —
оно непременно будет ассоциативным — называется телом,
а группа по умножению его отличных от нуля элементов —
мультипликативной группой этого тела.
Тело с коммутативным умножением называется полем.
Основные примеры полей — поле рациональных чисел, поле
$ 31 ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛЬЦА 47
действительных чисел и поле комплексных чисел. Пример
некоммутативного тела будет указан в V. 6.8.
Из определения тела следует, что тело не содержит
делителей нуля. Далее, всякое тело обладает единицей —
действительно, единица мультипликативной группы этого тела
служит, ввиду G), единицей для всего тела. Наконец, во вся-
всяком теле каждое из уравнений
ах = Ь, уа — Ь, где афО, A1)
обладает решением, притом единственным.
Действительно, если ЬфО, то оба уравнения A1) обла-
обладают однозначно определенными решениями в мультиплика-
мультипликативной группе тела, а нуль не может удовлетворять ни одному
из этих уравнений. Если же # = 0, то нуль служит решением
для каждого из уравнений A1) и никаких других решений
нет ввиду отсутствия делителей нуля.
Обратно, ассоциативное кольцо К будет телом, если
в нем каждое из уравнений вида A1) при любом афО
и произвольном Ъ обладает хотя бы одним решением.
Покажем прежде всего, что в /? нет делителей нуля.
Если афО и ЬфО, но аЬ = 0, то обозначим через е одно
из решений уравнения ах— а, а через с —одно из реше-
решений уравнения Ьх — е. Тогда
0 = 0 • с = аЪс = ае — а,
что противоречит условию.
Отсюда следует, что множество отличных от нуля эле-
элементов кольца /? будет мультипликативной полугруппой. Оно
будет даже группой, так как уравнения A1) обладают
при афО и ЬфО решениями в самом этом множестве,
а единственность этих решений следует из отсутствия в /?
делителей нуля: если, например, ах1 = ах2 и афО, то
а(х1~х2) = 0 и поэтому хг = х2. Теорема доказана.
С вопросом о перенесении понятия тела на случай неас-
неассоциативных колец мы встретимся в 11.6.1.
§ 3. Подгруппы, подкольца
1. Непустое подмножество А группоида О называется под-
группоидом в О, если произведение любых двух элементов
из А само принадлежит к А. Если О —полугруппа, то под-
группоид А естественно назвать подполугруппой. Если же
48 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. И
О — группа, то подгруппой этой группы мы назовем такую
подполугруппу А, которая сама является группой относи-
относительно операции, определенной в группе О; для этого доста-
достаточно, чтобы подполугруппа А вместе со всяким своим эле-
элементом а содержала и его обратный элемент от1.
Не всякая подполугруппа некоторой группы обязана быть
подгруппой этой группы, как показывает пример аддитивной
полугруппы натуральных чисел, являющейся подполугруп-
подполугруппой, но не подгруппой, аддитивной группы всех целых чисел.
Заметим, что имеет смысл говорить и о подгруппах
любой полугруппы. Так, симметрическая группа на произ-
произвольном множестве Ж (см. II. 1.8) является подгруппой сим-
симметрической полугруппы на этом же множестве.
2. Подкольцом кольца /? называется всякое подмноже-
подмножество А этого кольца, само являющееся кольцом относительно
операций, определенных в /?. Иными словами, А должно
быть подгруппой аддитивной группы кольца Н и подгруп-
подгруппоидом мультипликативного группоида этого кольца: законы
дистрибутивности, будучи справедливыми в /?, выполняются,
конечно, и в Л.
Можно говорить, в частности, о подкольце тела или
поля. Так, кольцо целых чисел является подкольцом поля
рациональных чисел.
Аналогично определяются понятия подтела и подполя.
Можно говорить при этом о подтеле (подполе) не только
тела, но и любого кольца. Так, в кольце многочленов Р [х]
над произвольным полем Р многочлены нулевой степени,
к которым добавлен нуль, составляют подполе.
3. Подгруппами всякой группы О являются, в частности,
сама эта группа и единичная подгруппа Е, составленная из
одной единицы. Аналогично подкольцами всякого кольца /?
служат само это кольцо и ну ль-под кольцо, составленное из
одного нуля.
Для получения более интересных примеров подгрупп вве-
введем понятие о степенях элементов. Пусть О — произвольная
полугруппа и а — ее элемент. Ассоциативность умножения
позволяет обычным путем определить положительные сте-
степени ап элемента а, я=1, 2, ..., причем, как обычно,
а*.а/ = а*+/, A)
(акI = акК B)
ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛЬЦА 49
A) следует, что все положительные степени элемента а
составляют в полугруппе О абелеву подполугруппу, называе-
называемую циклической подполугруппой элемента а.
Если же О—группа, то мы положим а0—1, а затем
введем отрицательные степени элемента а. Именно, если
п— любое натуральное число, то легко проверяется равенство
ап(а-1)п=1,
из которого вытекает, что
(а-1)" = (а")-1. C)
Элемент, равный обеим частям равенства C), мы и обозна-
обозначим через а~п. Равенства A) и B) остаются справедливыми
для любых степеней элемента а группы О, а поэтому все
степени элемента а, включая нулевую и отрицательные,
составляют в группе О абелеву подгруппу, называемую ци-
циклической подгруппой элемента а и обозначаемую через {а}.
При аддитивной записи групповой операции вместо сте-
степеней элемента следует говорить о кратных этого элемента.
4. Степени элемента а группы О, имеющие различные
показатели, не обязаны быть различными элементами этой
группы, как вытекает хотя бы из существования конечных
групп. Если все степени элемента а действительно различны,
то а называется элементом бесконечного порядка, а в про-
противном случае — элементом конечного порядка. В этом
втором случае существуют такие целые числа к и /, что
*>/, но
ак = а1.
Отсюда ак~1 = 1, причем & — />0, т. е. существуют равные
единице степени элемента а с натуральными показателями.
Наименьший среди таких показателей называется порядком
элемента а.
Если а — элемент конечного порядка п, то степени
1 = а°, а, а2, ..., а* D)
будут, очевидно, различными элементами группы. Всякая
Другая степень ак элемента а, положительная или отрица-
отрицательная, равна одному из элементов D). Действительно, если
к = щ + г, 0 <: г
50 группы и кольца [гл.
то, ввиду A), B) и равенства ап—\,
■|
Отсюда следует, что порядок п элемента конечного
порядка а совпадает с порядком (см. II. 1.7) его циклщ
ческой подгруппы {а}. I
Группа, все элементы которой имеют конечные порядки^
не обязательно ограниченные в совокупности, называется;
периодической. С другой стороны, группа называется груп-
группой без кручения, если все ее элементы, кроме 1, беско-
бесконечного порядка.
5. В случае колец возникает естественный вопрос об
аналоге циклической подгруппы, т. е. о минимальном под-
кольце, содержащем данный элемент. Пусть /? — произволь-
произвольное (не обязательно ассоциативное) кольцо и а — его эле-
элемент. Всякое подкольцо кольца /?, содержащее а, содержит
также всевозможные произведения но п множителей, равных
а (я=1, 2, 3, ...); эти произведения играют роль положи-
положительных степеней элемента а. Ввиду возможной неассоциатив-
неассоциативности умножения во всяком таком произведении должны
быть некоторым образом распределены скобки, причем так,
чтобы каждый раз перемножались лишь два элемента кольца.
Для п = 3 таких произведений будет два — (аа) а и а (аа),
для п — 4 — пять, и т. д.
Всякое подкольцо, содержащее а, содержит и всевозмож-
всевозможные суммы любого конечного числа указанных произведений,
взятых с любыми целыми коэффициентами. Элементы кольца
/?, записываемые в виде таких сумм (быть может, и неодно-
неоднозначно), сами составляют, однако, подкольцо в /?; это и бу-
будет искомое подкольцо, порожденное элементом а.
Из сказанного следует, что если кольцо /? ассоциативно,
то подкольцо, порожденное элементом а, состоит из всех
тех элементов кольца /?, которые хотя бы одним способом
записываются в виде суммы (с целыми коэффициентами)
положительных степеней элемента а. Это подкольцо будет,
таким образом, коммутативным.
6. Всякая подгруппа группы О содержит единицу этой
группы, всякое подкольцо кольца Н — нуль этого кольца.
Пересечение любой системы подгрупп группы О (любой
системы подколец кольца /?) будет, следовательно, непустым.
§ 3] ПОДГРУППЫ, ПОДКОЛЫДА 51
Пересечение любой системы подгрупп группы О является
подгруппой этой группы. Аналогично, пересечение любой
системы подколец кольца Н будет подкольцом этого
кольца, пересечение любой системы подполугрупп неко-
некоторой полугруппы, если оно не пусто, будет под-
подполугруппой, и т. д.
Докажем хотя бы первое утверждение. Пусть в группе О
взята произвольная система подгрупп Аа, где а пробегает
некоторое множество индексов, и пусть О — пересечение этих
подгрупп. Если Ь и с — любые элементы из Д то их про-
произведение Ьс содержится в каждой из подгрупп Аау т. е.
содержится в В. С другой стороны, для любого Ь ^.Ъ эле-
элемент Ьл принадлежит к каждой из подгрупп Аа, а поэтому
Ъ~х е О. Множество В будет, следовательно, подгруппой
группы О.
7. Пусть О будет или группой, или кольцом, или телом,
или полугруппой, или алгебраической системой каксго-либо
другого из встречавшихся нам типов. Если Ж —любое под-
подмножество из О, то существует минимальная подгруппа
(соответственно подкольцо, подтело и т. д.), содержащая
подмножество Ж, — подгруппа, порожденная множеством Ж;
обозначается она через {Ж}. Именно, это будет пересечение
всех подгрупп группы О, целиком содержащих Ж; по мень-
меньшей мере одна такая подгруппа существует, а именно —
сама О.
Легко проверить, обобщая данное в II.3.3 определение
циклических подгрупп, что подгруппа \М) состоит из тех
и только тех элементов группы О, которые хотя бы
одним способом могут быть записаны в виде некоторого
произведения степеней конечного числа элементов из Ж.
Аналогично, обобщая сказанное в II.3.5, мы получим,
что подкольцо, порожденное в кольце П множеством Ж,
состоит из всех тех элементов кольца Н> которые хотя
бы одним способом могут быть записаны в виде суммы
(с Целыми коэффициентами) произведений конечного числа
элементов из Ж; в неассоциативном случае эти произведе-
произведения рассматриваются, конечно, с некоторым распределением
скобок.
8. Применяя сказанное выше к случаю, когда в группе О
задана некоторая система подгрупп Л,-, / е /, а множество Ж
52 группы и кольца [гл. ц]
является объединением »сех Аь мы придем к понятию поЪ\
группы, порожденной заданной системой подгрупп; обо-!
значается она через {Аь I е /} в общем случае, через {Л, В}^
если речь идет об объединении двух подгрупп А и В, и т. д,{
Аналогичный смысл имеет понятие подкольца, порожденного
в кольце заданной системой подколец. .
9. Если О — или группа, или кольцо, и т. д., то в О
существуют такие подмножества Ж —само О, например,—
что
{М} = О.
Всякое такое подмножество М называется системой обра-
образующих для О.
Если О обладает хотя бы одной конечной системой обра-
образующих, то говорят, что О — группа (или полугруппа, или
кольцо) с конечным числом образующих. Система образую-
образующих может состоять, в частности, из одного элемента. Груп-
Группы, обладающие одним образующим элементом, т. е. совпа-
совпадающие с одной из своих циклических подгрупп, называются
циклическими группами. Полное обозрение циклических
групп будет дано в следующем параграфе.
§ 4. Изоморфизм
1. Понятие изоморфизма может быть введено для каж-
каждого из рассматриваемых в этой главе типов алгебраических
систем, причем оно играет здесь ту же роль, что и для
частично упорядоченных множеств (см. 1.4.3): изоморфные
группы, например, могут рассматриваться как тождественные,
как два экземпляра одной и той же группы всякий раз,
когда изучается сама групповая операция, а природа эле-
элементов, из которых группы составлены, не играет роли.
Переходим к определениям. Группоиды О и О' назы-
называются изоморфными, если существует такое взаимно одно-
однозначное отображение ф группоида О на группоид О', что
для любых элементов а, Ъ еО
(аЬ) ф = аф • Ьср.
Само отображение ф с этими свойствами называется изо-
изоморфным отображением. Ясно, что свойство группоидов
быть изоморфными симметрично (отображение, обратное изо-
§ 4] ИЗОМОРФИЗМ 53
морфному, само будет изоморфным) и транзитивно; оно и
рефлексивно — достаточно рассмотреть тождественное отобра-
отображение группоида на себя. Изоморфизм группоидов О и О'
записывается обычно символом
О ~ О'.
Этот же символ будет использоваться нами для записи изо-
изоморфизма и в случае других алгебраических образований.
Понятно, что при изоморфном отображении сохраняются
все свойства группоида, формулируемые на языке операции,
заданной в этом группоиде, в частности такие, как ассо-
ассоциативность, коммутативность, существование единицы и
обратных элементов. Покажем на простом примере, как
доказываются такого рода утверждения. Пусть О —комму-
—коммутативный группоид, а ф — его изоморфное отображение на
группоид О'. Если а' и Ь' — любые элементы из О', а а и
Ь — такие элементы из О, что
аср — а', Ьу = Ь',
то
(аЬ) ф = а'Ь', фа) ф = Ь'а\
и из равенства аЬ — Ьа и однозначности отображения выте-
вытекает равенство а'Ь'—Ь'а'.
Отсюда следует, что изоморфным образом полугруппы,
группы или абелевой группы будет полугруппа или соот-
соответственно группа, или абелева группа.
Два кольца называются изоморфными, если между ними
можно установить взаимно однозначное соответствие, являю-
являющееся изоморфизмом как для аддитивных групп, так и для
мультипликативных группоидов этих колец. Ясно, что при
изоморфизме сохраняется свойство кольца быть ассоциатив-
ассоциативным, коммутативным, лиевым или йордановым, а также свой-
свойство 6елть телом.
Укажем один интересный пример изоморфизма групп:
•мультипликативная группа положительных действитель-
ных чисел изоморфна аддитивной группе всех действи-
действительных чисел. В самом деле, ставя в соответствие каждому
положительному числу его логарифм по некоторому фикси-
фиксированному основанию, мы получим взаимно однозначное
отображение первой из указанных групп на вторую. Изо-
морфность этого отображения вытекает из того, что лога-
логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
54 группы и кольца [гл г
2. Переходя к обещанному в 11.3.9 обозрению ^
циклических групп, начнем с некоторых примеров. Аддитив-1
ная группа целых чисел служит примером бесконечной
лической группы, так как всякое целое число кратно
лу 1. С другой стороны, мультипликативная группа корней
#-й степени из единицы служит примером конечной цикли-*
ческой группы порядка п, как вытекает из существования
первообразного корня п-й степени из единицы.
Все бесконечные циклические группы изоморфны адди-
аддитивной группе целых чисел и поэтому изоморфны между
собой. Все конечные циклические группы порядка п изо-
изоморфны мультипликативной группе корней п-й степени
из единицы и поэтому изоморфны между собой.
Докажем первое из этих утверждений. Если О —беско-
—бесконечная циклическая группа с образующим элементом а, то
соответствие
будет взаимно однозначным отображением группы О на всю
аддитивную группу целых чисел. Изоморфность этого ото-
отображения вытекает из Н.3.3, формула A).
Для доказательства второго утверждения достаточно
установить соответствие между степенями (с одинаковыми
показателями) образующего элемента заданной циклической
группы и соответствующего первообразного корня из еди-
единицы.
В силу этой теоремы для того, чтобы получить, напри-
например, обозрение всех подгрупп бесконечной циклической
группы, достаточно рассмотреть аддитивную группу целых
чисел.
Все ненулевые подгруппы аддитивной группы целых
чисел исчерпываются совокупностями чисел, кратных
некоторому натуральному числу п.
Ясно, в самом деле, что все целые числа, кратные нату-
натуральному числу п, составляют подгруппу, а именно цикли-
циклическую подгруппу числа я, причем при различных п эти
подгруппы различны. С другой стороны, если Л — любая
ненулевая подгруппа аддитивной группы целых чисел, то она
не может состоять лишь из отрицательных чисел, так как
вместе со всяким числом должна содержать и число, ему
противоположное. Пусть п — наименьшее натуральное число,
содержащееся в подгруппе Л. Если а — любое число из А,
4] изоморфизм 55
т0 пусть
у 0 ^ Г < П.
Тогда
г — а — цп^. А,
а поэтому, ввиду выбора числа п, г = 0, т. е. а = дп, что и
требовалось доказать.
Таким образом, всякая подгруппа бесконечной цикличе-
циклической группы сама является циклической. Это же верно и
для конечных циклических групп.
3. Говорят, что группоид О изоморфно вкладывается
в группоид О', если существует изоморфное отображение
группоида О на некоторый подгруппоид группоида О'. Это
понятие переносится, конечно, и на случай колец.
Всякое кольцо К изоморфно вкладывается в полное
кольцо матриц Яп (см. II.2.6).
В самом деле, скалярные матрицы, т. е. матрицы, имею-
имеющие на главной диагонали один и тот же элемент а, а вне
этой диагонали нули, составляют в Нп подкольцо, изоморф-
изоморфное кольцу /?.
Всякое кольцо Н изоморфно вклгдывается в полное
кольцо функций на данном множестве М со значениями
в /? (см. П.2.6).
Действительно, функции, принимающие для всех х из М
одно и тоже значение деК, составляют в кольце функций
подкольцо, изоморфное кольцу /?.
Для произвольного ассоциативно-коммутативного
кольца /? кольцо многочленов Н [х] изоморфно вклады-
вкладывается в кольцо степенных рядов Н {х} (см. II.2.8).
В самом деле, степенные ряды, имеющие не более конеч-
конечного числа отличных от нуля коэффициентов, составляют
в Я {х} подкольцо, изоморфное кольцу /? [х].
4. Несколько больше усилий требует доказательство сле-
следующей теоремы:
Всякое кольцо Я изоморфно вкладывается в кольцо
с единицей. Если при этом кольцо /? ассоциативно или
коммутативно, то его можно вложить соответственно
в ассоциативное или коммутативное кольцо с единицей.
Доказательство. Рассмотрим множество всевозмож-
всевозможных пар вида (а, к), где а е /?, к — целое число. Определим
ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ
сумму и произведение таких пар равенствами:
(а, к) + (Ь, 1) = (а + Ь, к + 1), A)
(а, к)(Ь, 1) = (аЬ+1а + кЬ, к1). B)
По сложению мы получаем, очевидно, абелеву группу.
Так как
[(а, к) + (Ь, 1)](с, т) = (а + Ь, к + 1)(с, /
— (ас + та + кс + Ъс + тЬ + 1су кт + 1т) ==
= (ас + та + кс, кт) + (Ьс +тЬ+1с, 1т) =
= (а, к) (с, т) + (Ьу 1)(с, т)
и так же проверяется второй закон дистрибутивности, то
нами построено кольцо. Из B) следует, что
(а, А) @, 1) = @, 1)(а, к) = (а, к),
т. е. пара @, 1) служит единицей этого кольца. Наконец,
ввиду A) и B),
(а, 0) + (*, О) = (а + Ь, 0),
(а, 0)(Ь, 0) = (а*, 0),
т. е. пары вида (а, 0) составляют в нашем кольце пар под-
кольцо, изоморфное кольцу /?.
Этим доказано первое утверждение теоремы. Второе
утверждение легко следует из B).
Заметим, что построенное нами кольцо вовсе не является
единственным (или минимальным) кольцом с единицей, содер-
содержащим (в смысле изоморфного вложения) заданное коль-
кольцо /?—-так, уже само кольцо /? могло обладать единицей.
5. Всякий группоид изоморфно вкладывается в муль-
мультипликативный группоид некоторого кольца, причем ассо-
ассоциативный или коммутативный группоид может быть
вложен в кольцо, обладающее таким же свойством.
Для доказательства рассмотрим всевозможные суммы вида
ко, C)
где а пробегает все элементы данного группоида О, а коэф-
коэффициенты ка являются целыми числами, причем не более
конечного числа этих коэффициентов отлич-
§ 4] изоморфизм 57
но от нуля. Следующим образом определим сложение и
умножение сумм вида C):
2 М+ 2 1а*= 2 (*« + '«)*> D)
оеС оеС ае(?
2 м- 2 /»*== 2 т^>
Ь
где тс является суммой всех отличных от нуля произведе-
произведений ка1ь для таких а и Ь, что аЬ = с. Ясно, что правые
части равенств D) и E) являются суммами вида C); так,
равенство E) имеет тот смысл, что конечные суммы, входя-
входящие в качестве множителей в левую часть этого равенста,
должны перемножаться почленно, далее,
каа • 1ЬЪ = (ка1ь) (аЬ),
причем произведение аЬ следует понимать в смысле опера-
операции, заданной в группоиде О, а затем выполняется приведе-
приведение подобных членов.
По сложению мы получаем, конечно, абелеву группу.
Проверка законов дистрибутивности, а также доказательство
того, что из ассоциативности или коммутативности умноже-
умножения в группоиде О следует это же для умножения сумм
вида C), несколько громоздки, но не представляют никаких
принципиальных трудностей, и их проведение предоставляет-
предоставляется читателю.
Таким образом, всевозможные суммы вида C) составляют
кольцо относительно операций, определенных равенствами D)
и E). Те суммы вида C), у которых ка=\ для какого-то
одного элемента а из О, а все остальные коэффициенты
равны нулю, составляют, как вытекает из E), подгруппоид
мультипликативного группоида этого кольца, изоморфный
заданному группоиду О. Теорема доказана.
Построенное нами кольцо называется целочисленным
группоидным кольцом группоида О. Если группоид О явля-
является полугруппой или группой, то говорят соответственно о
Целочисленном полугрупповом кольце и целочисленном
групповом кольце.
6. Всякая группа О изоморфно вкладывается в сим-
симметрическую группу на некотором множестве М
(см. II. 1.8). В качестве М можно взять при этом мно-
множество элементов самой группы О.
58 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ
В самом деле, поставим в соответствие каждому эле-;
менту а группы О преобразование этой группы, переводящее?
любой элемент х из О в элемент ха. Так как из хфу
следует хафуа и, кроме того, для любого х из О имеет
место равенство
(ха'1) а — х,
то преобразование х-^ха отображает О на себя взаимно
однозначно, т. е. является подстановкой. Далее, если аф Ь,
то и подстановки, соответствующие этим элементам, будут
различными, так как, например, 1 • а Ф 1 • Ь. Наконец, равен-
равенство
(ха) Ъ = х (аЪ)
показывает, что подстановка, соответствующая произведе-
произведению аЬ, совпадает с результатом последовательного выпол-
выполнения подстановок, соответствующих элементам а и Ъ.
Всякая полугруппа О изоморфно вкладывается в сим-
симметрическую полугруппу на некотором множестве М
(см. II. 1.8).
Для доказательства изоморфно вложим полугруппу О,
используя II.4.5, в мультипликативную полугруппу некото-
некоторого ассоциативного кольца /?, изоморфно вложим затем это
кольцо, по И.4.4, в ассоциативное кольцо ^ с единицей и
обозначим через О мультипликативную полугруппу этого
последнего кольца. Так как в О существует такой элемент 1,
что из а Ф Ь следует 1 • а Ф 1 • Ь, то, почти дословно повто-
повторяя доказательство предшествующей теоремы, мы получим,
что полугруппа О изоморфно вкладывается в симметрическую
полугруппу на самом множестве О. Этим достигается иско-
искомое вложение и для заданной полугруппы О.
Заметим, что возможность вложения любого группоида
(и, в частности, любой полугруппы) в группоид (полугруппу)
с единицей можно было бы доказать и непосредственно, без
перехода к кольцам.
§ 5. Вложение полугрупп в группы и колец в тела
1. Не всякая полугруппа О может быть изоморфно вло-
вложена в какую-либо группу — необходимым условием для этого
является выполнимость в О закона сокращения (см. II. 1.3):
Из ас = Ьс, а также из са = сЬ следует а = Ь.
§ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА
59
Пример полугруппы, не удовлетворяющей этому условию,
построить очень легко.
Аналогично не всякое ассоциативное кольцо /^ может
быть изоморфно вложено в какое-либо тело —для этого
необходимо (см. 11.2.10) отсутствие в /? делителей нуля.
Указанные необходимые условия в общем случае вовсе
не являются достаточными.
х Необходимые и достаточные условия для вложимости
полугруппы в группу выражаются в виде бесконечного мно-
множества требований вида: «из данной системы равенств сле-
следует такое-то равенство»; они не могут быть записаны при
помощи конечного числа таких требований [А. И. Маль-
Мальцев, Мат. сб. 6 A939), 331—336; 8 A940), 251—264].
Существуют ассоциативные кольца без делителей нуля,
которые не могут быть вложены в 1ело [А. И. Мальцев,
МаШ. Апп. ИЗ A937), 686—691]. *
2. Целью этого параграфа является доказательство того,
что приведенные выше необходимые условия
для вложимости полугруппы в группу и ас-
ассоциативного кольца в тело будут в комму-
коммутативном случае и достаточными. Начнем с дока-
доказательства следующего вспомогательного утверждения:
Пусть в абелевой полугруппе О выделена подполу-
подполугруппа 5, причем в О можно выполнять сокращение на
элементы из 5, т. е. из ах = Ьх, где хе5, а, Ь^О,
всегда следует а = Ь. Тогда полугруппу О можно изо-
изоморфно вложить в такую абелеву полугруппу О с еди-
единицей, что всякий элемент из 8 обладает в О обратным
элементом.
Рассмотрим множество всевозможных дробей вида —э
где а^.0, х ^ 8, понимая под этим просто упорядоченную
пару элементов а, х. Дроби — и — будем считать равными,
х у
а Ь
х у '
в том и только в том случае, если ау = Ьх. Это отношение
Равенства будет, очевидно, рефлексивным и симметричным.
^ и транзитивно, так как если также
60 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. 1|
т. е. Ъг = су, то .,|
ауг = Ьхг = сух, |
откуда, после сокращения на у е 5, получаем ах = сх илк|
а с ')
Таким образом (см. I. 3.2), все множество дробей распа-
распадается на непересекающиеся классы равных дробей. Мно*
жество этих классов обозначим через О.
Определим умножение дробей равенством
(О
Это определение
Если
имеет
а
X
а о
х у
смысл,
ах
Ч '
аЬ
ху
так
Ь
У
•
как
Ул
B)
т. е.
ах± = ахх, Ьу1 = Ъ1у, C)
то
откуда
аЬ а1Ь1
Таким образом, заменяя в левой части равенства A) множи-
множители равными им дробями, мы получим произведение, равное
правой части равенства A).
Это позволяет рассматривать равенство A) как определе-
определение умножения классов равных дробей. Ассоциативность и
коммутативность этого умножения очевидны, а поэтому О
превращено нами в абелеву полугруппу.
Все дроби вида —, г ^ 8, равны между собой. С другой
стороны, если
а __ г
х ~~ г '
то ах = хх, т. е., после сокращения на х, а = х. Дроби вида
— составляют, следовательно, отдельный класс. Этот класс
г 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 61
играет роль единицы полугруппы О. Действительно, так как
дроби можно сокращать на общий множитель, принадлежа-
принадлежащий к 5:
аг а
хг х '
ввиду (аг) х = а (хг), то
а г аг а
х г хг х
Если а — фиксированный элемент из О, то все дроби вида
— равны между собой: из (ах)у = (ау)х следует
Л/
С другой стороны,
то аху — Ьх, т. е. Ь =
ах
X
если
ах
X
ау
ь
У '
ау. Наконец,
ах
Ьу
если
х у '
то аху = Ьух, откуда а = Ь. Таким образом, ставя в соот-
соответствие каждому элементу а из О класс равных между со-
бою дробей вида —, мы получаем взаимно однозначное ото-
бражение полугруппы О в полугруппу О. Изоморфность этого
отображения вытекает из равенства
ах Ьу (аЬ) (ху)
х у ху
Для завершения доказательства заметим, что элементу ге5
соответствует класс дробей вида —. Существование в полу-
полугруппе О обратного элемента для этого класса вытекает из
следующего замечания:
Класс дробей, равных дроби —, где х, у е 5, обладает
в полугруппе О обратным элементом. Им служит класс
дробей, равных дроби —.
Действительно,
ух ух г '
62 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ Ц
3. Из доказанного выше утверждения и последнего заме-
замечания предшествующего пункта вытекает теорема (случай
5=0):
Всякая абелева полугруппа с законом сокращения мо-
может быть изоморфно вложена в абелеву группу.
Так, применяя изложенную конструкцию к аддитивной
полугруппе натуральных чисел, являющейся абелевой полу-
полугруппой с законом сокращения, читатель получит обычное
вложение этой полугруппы в аддитивную группу целых чисел.
4. Пусть в ассоциативно-коммутативном кольце
выделено множество N элементов, отличных от нуля
и не являющихся делителями нуля. Тогда кольцо /? можно
изоморфно вложить в такое ассоциативно-коммутатив-
ассоциативно-коммутативное кольцо Я с единицей, что всякий элемент из N обла-
обладает в К обратным элементом.
Заметим сперва, что подполугруппа 5 мультипликативной
полугруппы кольца /?, порожденная множеством N (см. II. 3. 7),
также не содержит ни нуля, ни делителей нуля. Действительно,
5 состоит из всевозможных произведений элементов из А7.
Однако, если а Ф О, Ь Ф 0 и оба эти элемента не являются
делителями нуля, то аЬ фО и из (аЬ) с = 0 следует Ьс — О
и поэтому с = 0.
Таким образом, в мультипликативной полугруппе кольца
/? можно выполнять сокращение на элементы из 5, а поэтому
по II.5,2 эта полугруппа вкладывается в такую коммутатив-
коммутативную полугруппу /? с единицей, в которой всякий элемент
из 5 и, в частности, из N обладает обратным элементом.
Будем считать, что полугруппа /? получена конструкцией,
указанной в II.5.2.
Желая превратить /? в кольцо, определим сложение дро-
дробей вида —, ае/?, хе5, равенством
х
у ху
Это определение имеет смысл, так как ху е 5.
Если имеют место равенства B) и поэтому C), то
(ау + Ъх) х1у1 = аух1у1 -(- ЬхххУ\ =
й ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА 63
т. е-
ау + Ьх __ агух + Ьххх
ху ххух
Таким образом, равенство D) можно рассматривать как опре-
определение сложения классов равных дробей, т. е. сложения
в /?. Коммутативность этого сложения очевидна, а ассоциа-
ассоциативность легко проверяется на основании D).
Все дроби вида — равны между собою и составляют
полный класс равных дробей. Этот класс играет в /? роль
нуля, так как
а , 0 _ аг а
х * г хг х '
Далее, всякий элемент из /? обладает противоположным
элементом, так как
а , (—а) ах + (—а) х __ О
17 "г
X ' X X2 X2 '
Мы получаем, следовательно, что /? будет по сложению абе-
левой группой.
Сложение и умножение связаны в /? законом дистрибу-
дистрибутивности:
а_ с , Ь с ас , Ьс асуг-\-Ьсхг асу-\-Ьсх
х * г * у ' г ~ хг ■" уг ~~ хуг2 ~~ х~уг ~~
х с / а , Ь \ с
ху г \^^/ г
Таким образом, /? оказывается ассоциативно-коммутатив-
ассоциативно-коммутативным кольцом. Как мы знаем, отображение, переводящее каж-
каждый элемент а е Н в класс равных между собою дробей вида
~^-, изоморфно по умножению. Оно изоморфно и по сложе-
сложению, как показывает равенство
ах , Ьу аху-\-Ьух (а-\-Ь)ху
х ' у ху ху
Доказательство теоремы закончено. Кольцо /?, построен-
построенное нами, называется кольцом дробей кольца /? по множе-
множеству неделителей нуля N (или по мультипликативной полу-
гРУппе неделителей нуля 5). Как мы знаем из II.5.2, в кольце
дробей /? обратными элементами обладают не только
64 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ 1||
все элементы из 8, но и вообще все элементы, предста*
вимые дробями вида —, где х, у е5. |
5. Применим полученные результаты к случаю, когда
является областью целостности (см. II. 2.7). В этом случае!
можно положить Л/ = /?\0, причем 5 = Л/. Мы приходи^
к очень важной теореме: |
Всякая область целостности Я изоморфно вклады^
вается в поле. \
Действительно, в этом случае в виде —, где х, .уе^
записывается всякий элемент из Я, _отличный от нуля, т. &
всякий такой элемент обладает в /? обратным элементом*
Кольцо /? будет, следовательно, полем; это — поле дробей
области целостности /?.
# Пусть ассоциативное кольцо /? без делителей нуля удо-'
влетворяет следующему условию, в коммутативном случав;
всегда выполняющемуся: для любых элементов а и Ь из /?,
отличных от нуля, в /? можно найти такие отличные от нуля
элементы х и у, чго ах — Ьу. Тогда Я изоморфно вклады-^
вается в тело [Орэ, Апп. о! Ма1;п. 32 A931), 463—477]. *
6. Установленная выше теорема существования поля дро-
дробей дополняется следующей теоремой единственности:
Пусть Я —область целостности, Я,—ее поле дробей;
пусть, с другой стороны, Я является подкольцом некото-
некоторого поля Р, причем подполе поля Р, порожденное мно-
множеством /?, совпадает с самим Р. Тогда между Я и Р
существует изоморфное соответствие ф, тождественно
отображающее кольцо Н на себя, причем это соответ-
соответствие ф однозначно определено.
Условимся элемент а кольца /?, рассматриваемый как эле*
мент поля Р, обозначить через а'. Таким образом, соответ-
соответствие а —> а' есть тождественное отображение кольца /? на
себя.
Докажем сначала, что если изоморфное отображение ф
поля Я на поле Р, тождественное на /?, существует, то она
однозначно определено. Действительно, если -т—произволь-
-т—произвольная дробь, то из
Ъ- 6=а
^ 5] ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ И КОЛЕЦ В ТЕЛА
следует
' а
т. е., ввиду
65
!)„ = а'.
Таким образом, изоморфизм ф переводит элемент -г поля
в частное элементов а' и У поля Р и поэтому определен
однозначно.
Переходим к доказательству основного утверждения тео-
теоремы. Поставим в соответствие элементу -г поля ^ частное
а' г иг г> а' (а\
-гг элементов а и о поля Р, причем положим -гг ==1\~т)(Р'
Если т = -т, т. е. аЛ — Ьс, то в Р справедливо равенство
,1, и, , иг а' г *
а а —о с у а поэтому, ввиду равенства о • -гг = а , будет
Ь'Л' • — - а'Л' -
откуда
а'
Ь' " ?
т. е. -р- = —. Отображение ф не зависит, следовательно,
от выбора записи элемента поля /^ в виде дроби, т. е. явля-
является однозначным отображением поля Я в поле Р. Оно будет
даже взаимно однозначным отображением, так как если в поле Р
а' с'
имеет место равенство -гг = -р-, то а'йг=Ь'с', а поэтому
в кольце /? будет ас1 = Ьс, откуда в поле /? вытекает равен-
равенство -?- = 4-
Изоморфность отображения ф следует из того, что равен-
равенства A) и D), определяющие умножение и сложение дробей,
заведомо справедливы для частных в произвольном поле Р.
Мы получили изоморфное отображение поля дробей /?
в поле Р. Оно будет тождественным на кольце /?, так как
Для любого ае/?
(аЬ\ а'Ь'
3 А, Г. Курош
66 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ п
Наконец, мы знаем, что изоморфным образом поля всегда
является поле. Следовательно, те элементы поля Р, которые
записываются в виде частных элементов из /?, составляют
в поле Р подполе, содержащее все кольцо /? и поэтому, по
условию теоремы, совпадающее с Р. Нами построено, следо-
следовательно, изморфное отображение ф поля /? на все поле Р,
тождественное на /?.
7. Полем дробей для кольца целых чисел служит поле
рациональных чисел.
Если Р —произвольное поле, то кольцо многочленов Р[х]
является областью целостности (см. II.2.7) и поэтому вкла-
вкладывается в поле дробей. Это поле обозначается через Р(х)
и называется полем рациональных дробей от неизвестного
()
х над полем Р. Его элементы имеют вид дробей • , . , где
ё Vе)
/(х) и §(х) — многочлены из Р [х], причем &(х)фО, а равен-
равенство этих дробей и операции над ними определяются в соот-
соответствии с II. 5.2 и II. 5.4.
Аналогичный смысл имеет понятие поля рациональных
дробей Р (хь х2, ..., хп) от нескольких неизвестных.
* Поле дробей для кольца степенных рядов Р {х} над
полем Р (см. II. 2.8) изоморфно полю «лорановых» степен-
степенных рядов над Р, т. е. рядов вида
апхп + ап+1хп^ +..., E)
где п может быть больше, равно или меньше нуля, а все
коэффициенты принадлежат к Р; ряд E) в общем случае
содержит, следовательно, конечное число членов с отрица-
отрицательными степенями неизвестного х и бесконечно много чле-
членов с его положительными степенями. Операции над этими
рядами выполняются по правилам, естественно обобщающим
правила операций в кольце Р {х}. #
§ 6. Неассоциативные тела, квазигруппы. Изотопия
1. Понятие тела можно перенести на неассоциативный слу-
случай несколькими неэквивалентными способами. Так, можно
рассматривать такие кольца, в которых для любых элементов
а и Ь, где а =^ 0, уравнения
ах — Ь, уа—Ь A)
«61 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ
67
обладают решениями, не обязательно однозначно определен-
определенными. Всякое такое кольцо мы будем называть кольцом
с делением) из нашего определения вытекает, что кольцо
с делением может обладать делителями нуля.
Кольцо с делением, в котором уравнения A) обладают
однозначными решениями, назовем квазителом. Дели-
Делителей нуля квазитело содержать не может, и поэтому отлич-
отличные от нуля элементы квазитела составляют по умножению
группоид. Это будет квазигруппа, т. е. группоид, в котором
для любых элементов а и Ь однозначно разрешимы уравне-
уравнения A).
Наконец, термин тело мы сохраним для квазитела, обла-
обладающего единицей. Отличные от нуля элементы тела состав-
составляют по умножению квазигруппу с единицей, т. е. лупу.
* Всякое (не обязательно ассоциативное) кольцо без дели-
делителей нуля вкладывается в квазитело [Б. Н е й м а н, Ргос. Ьоп-
с!оп Ма1Ь. 5ос. 1A951), 241-256].*
2. Существуют квазитела, на являющиеся телами, и ква-
квазигруппы, не являющиеся лупами. Дело в том, что хотя
в квазигруппе О для всякого элемента а уравнения
ах~ а, уа = а B)
однозначно разрешимы, но эти решения не обязаны совпадать
и не обязаны служить соответственно правой или левой еди-
единицей для других элементов из О.
Всякое подквазигруппа А лупы О с единицей е явля-
является подлупой с той же единицей е.
Действительно, для всякого а е= А уравнения B) обладают
в О единственным решением е, которое должно, следовательно,
содержаться в подквазигруппе А.
3. На квазигруппы и в особенности на лупы переносится
ряд результатов, относящихся к группам. Мы не будем этого
Дальше касаться и введем лишь одно обобщение понятия изо-
изоморфизма, играющее в теории квазигрупп заметную роль.
Пусть дан группоид О с умножением а • Ь и пусть ф, г|?
и X"" произвольные взаимно однозначные отображения множе-
множества О на себя, не обязательно различные. Мы получим на
множестве О новый группоид, если для любых а,Ь е О положим
а°Ь = (а<р • йг|з)х- C)
3*
68 ГРУППЫ И КОЛЬЦА \ТЛ 1Т
Этот новый группоид не обязан быть изоморфным старому,
но в какой-то мере они близки.
В соответствии с этим группоид О с умножением а°Ъ
называется изотопным группоиду О' с умножением а' • Ь\
если существуют такие три взаимно однозначных отображе-
отображения ф, г[) и х1 О "а О\ что для любых а, Ь еО
(а о 6) х = лф • М|>. D)
Ясно, что при ф = г[) = х~1 мы получаем изоморфное ото-
отображение О на О'.
Легко проверяется, что отношение изотопии рефлексивно,
транзитивно и симметрично.
Во многих случаях удобно считать, что обе операции,
а о Ъ и а • Ь, заданы на одном и том же множестве О
и что ф, г[) и х» входящие в C) или D), являются некоторыми
взаимно однозначными отображениями этого множества на себя.
4. Всякий группоид, изотопный квазигруппе, сам явля-
является квазигруппой.
В самом деле, пусть на множестве О заданы группоид
с умножением а°Ь и квазигруппа с умножением а-Ъ, при-
причем они изотопны, т. е. имеет место C). Докажем, что, напри
мер, уравнение
а°х = Ъ E)
имеет однозначное решение для любых а, ^О. Мы знаем,
что уравнение
Щ 'У =
обладает однозначно определенным решением с. Положим
х = сф. Тогда
а о х = а о ар = (а<р • с) % = (^Х) X = *•
С другой стороны, если х'— любое решение уравнения E),
то
откуда х'г[) = с, т. е. х' = сф.
5. Всякая квазигруппа изотопна лупе [А лбе р т, Тгапз.
Атег. Ма1п. 5ос. 54 A943), 507-519]."
Действительно, фиксируем в квазигруппе О с умножением
а • Ь произвольный элемент е. Тогда в О существует такой
. а! НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ 69
элемент /, что
е-/=е. F)
Пусть а —произвольный элемент из О. Обозначим через аф
и аур такие однозначно определенные элементы, что
/=а, е-ау\) = а. G)
Отображения а—>аф и а—- агр, где а пробегает все мно-
множество О, будут взаимно однозначными отображениями О на
себя. Так, если аф = #ф, то аф-/=#ф-/, т. е. а — Ъ. С дру-
другой стороны, если с— произвольный элемент из О, то
Отсюда следует, что, полагая для всех а, Ь еО
а о Ъ = аф • М[э, (8)
мы определим на О новый группоид, изотопный с исходной
квазигруппой; роль % здесь играет тождественное отображе-
отображение, т. е. это будет, как говорят, главный изотоп. Ввиду
доказанного в предшествующем пункте полученный группоид
будет сам квазигруппой. Он будет даже лупой, так как еди-
единицей для него служит элемент е. В самом деле, так как
по F) и G)
то, ввиду (8) и G),
а°е = ац) •/= а,
е о а = е • агр = а.
Теорема доказана.
6. Если группоид с единицей изотопен полугруппе, то
они изоморфны и поэтому оба ассоциативны и оба обла-
обладают единицей [Брак, Тгапз. Атег. МаШ. 5ос. 60 A946),
245-354; X ь ю з, X Ьопс1оп Ма1Ь. Зое. 32 A957), 510 —511].
Действительно, пусть на множестве О заданы группоид
с умножением а • Ъ, обладающий единицей е, и полугруппа
с умножением а°#, причем они изотопны,
а о Ь = (аф • Щ %,
где ф, гр, х — взаимно однозначные отображения множества О
на себя. Так как для любых а, Ъ, с еО
(а °Ь) ° с = а ° (Ь о с),
70 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. Ц
ТО
[(аф • Ьу) ХФ • су] X = [Щ' Фч> • су) %у] х,
откуда
(аф • Ьу) ХФ • су = аф • (&ф • п|>) хф- (9)
Полагая в этом равенстве аф = а[) = е, мы для всех Ь ^ О
получаем
Полагая в (9), далее, аф = е и используя A0), получаем
Ьц%У * су = (йф • су)
или, заменяя Ьу на а и сф на &,
аХ^ 'ъ = (а • й) хф
для всех а, Ъ е О. Наконец, полагая в (9) гф = е и исполь-
используя A0), получаем
(аф • Ьу) хф = аф • Ьу%у
или, заменяя аф на а и М|) на ^,
(а-#)хФ = а-#ХФ A2)
для всех а, Ь е О.
Используя (И), A2) и A0), мы приходим к следующему
равенству: для любых а, Ъ
(а о й) фХФ = («ф • Ьу)
Это равенство показывает, что произведение фХФ> являю-
являющееся взаимно однозначным отображением множества О. на
себя, будет изоморфизмом между заданными полугруппой
и группоидом. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает теорема Алберта (Тгапз.
Атег. МаШ. 8ос. 54 A943), 507—519): Если лупа изотопна
группе, то они изоморфны. Отсюда, в частности, следует,
что изотопные группы всегда изоморфны, и поэтому для
применения изотопии в теории групп нет оснований.
7. Понятие изотопии можно перенести в теорию неассо-
неассоциативных колец. Именно, рассматривая кольца с одной
и той же аддитивной группой О, определим изотопию
колец равенством C), как и выше, но будем считать, что
отображения ф, ф и % являются изоморфными о т о б р а-
\ «1 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ ТЕЛА, КВАЗИГРУППЫ. ИЗОТОПИЯ 71
гениями группы О на себя (т. е. ее автоморфизмами
в смысле III. 3.1). Из результатов, полученных выше, и ме-
юдов> использованных при их доказательстве, вытекают те-
следующие результаты:
Всякое кольцо, изотопное квазителу, само является
фазителом.
Г В самом деле, пусть на аддитивной абелевой группе О
заданы кольцо с умножением а°Ъ и изотопное ему квази-
$фло с умножением а • Ъ. Если а ° Ъ = 0, то
(аф • &ф) х = О,
Я так как при изоморфизме х группы О нуль остается на
месте, то
аф • &ф = 0.
Поэтому один из сомножителей равен нулю, например аф = 0,
откуда а = 0, т. е. заданное кольцо не содержит делителей
нуля. Таким образом, на множестве О \ 0 заданы группоид
и квазигруппа, а так как отображения ф, г|) и х можно рас-
рассматривать как взаимно однозначные отображения этого мно-
множества на себя, то остается применить II. 6.4.
Всякое квазитело изотопно (неассоциативному) телу.
В самом деле, если дано квазитело К с умножением а • Ь,
то, по II. 6.5, мультипликативная квазигруппа его отличных
От нуля элементов изотопна лупе с умножением а°Ъ, опреде-
определенным равенством (8), где взаимно однозначные отображе-
отображения ф и г|) множества /С\0 определяются равенствами G).
Дополнительно положим Оф = Ог|) = О, что согласуется с G),
И докажем, что ф и г|) являются теперь изоморф-
йыми отображениями аддитивной группы тела
а на себя. Так, из
(аф -{- Ьу) •/= аф •/+ #ф •/= а -\*Ъ
Следует
л (а -{- Ъ) ф = аф + Ь(р.
Полагая дополнительно а°0 = 0° а = 0 для всех а е АГ, оп-
определяем умножение ° для всех элементов из К, причем еди-
единица е построенной выше лупы будет единицей и для этого
Умножения. Остается доказать дистрибутивность этого
Умножения относительно сложения. Так, по (8),
; (а -]- Ь) о с = (а + Ь) ф • <д|) = (аф + &ф) • сф =
! г = аф • сф -[- #ф • с\[) = а • с
Теорема доказана.
72 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. П
Если кольцо с единицей изотопно ассоциативному
кольцу, то они изоморфны.
Действительно, пусть на аддитивной абелевой группе О
заданы кольцо с умножением а • Ь, обладающее единицей е,
и ассоциативное кольцо с умножением а°Ь, причем для лю-
любых а, Ь еО имеет место равенство C), где ф, г|? и % — изо-
изоморфные отображения группы О на себя. Тогда произведе-
произведение "фхф, являющееся, очевидно, изоморфным отображением
группы О на себя, будет, в силу доказанного в II. 6.6, изо-
морфизмОхМ между заданными кольцами.
# Ассоциативное кольцо с единицей может обладать не-
неассоциативным изотопом. Существуют ассоциативные кольца
без единицы, между собою изотопные, но не изоморфные
[Алберт, Апп. о! Ма*Ь. 43 A942), 685—707]. *
§ 7. Нормальные делители, идеалы
1. Пусть дана группа О и в ней подгруппа Н. Если
а — произвольный элемент из О, то совокупность аН все-
всевозможных произведений вида аН, где Н пробегает под-
подгруппу Ну называется левым смежным классом группы О
по подгруппе Н, определяемым элементом а. Ясно, что а е=
е аН, так как подгруппа Н содержит единицу.
Если элемент Ь содержится в классе аН, то ЪН = аН, т. е.
всякий левый смежный класс группы О по подгруппе Н
определяется любым из своих элементов. Действительно,
если Ъ = аН0, Но е //, то для любых /г', И" е Н
) и аНт =
т. е. ЪН<=,аН и аН е ЪН.
Отсюда следует, что два любых левых смежных класса
группы О по подгруппе Н или совпадают, или же имеют
пустое пересечение. Мы получаем разбиение группы О на
непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Н
Оно называется левосторонним разложением группы О по
подгруппе Я. Одним из классов этого разложения будет
сама подгруппа Н: если аеЯ, то аН =
2. Аналогичным путем можно получить правостороннее
разложение группы О по подгруппе Н, составленное из пра-
правых смежных классов На, оеО. В некоммутативном слу-
случае правостороннее разложение О по Н действительно мо-
7| НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ИДЕАЛЫ 73
ясет отличаться от левостороннего. Эти оба разложения
состоят, однако, из одного и того же числа классов: отображе-
отображение, переводящее каждый элемент а группы О в элемент от1,
является взаимно однозначным отображением О на себя, пе-
переводящим всякий левый смежный класс аН в правый смеж-
смежный класс На-1 и обратно.
Число смежных классов в любом из двух разложений
группы О по подгруппе Н, если оно конечно, называется
индексом подгруппы Н в группе О.
3. Если О—конечная группа порядка я, а И — ее под-
подгруппа порядка к и индекса у, то всякий смежный класс аН
состоит ровно из к элементов, а поэтому
п =
Отсюда вытекает
Теорема Лагранжа. Порядок и индекс любой подгруппы
конечной группы являются делителями порядка самой
группы.
Из этой теоремы следует, ввиду II. 3.4, что порядок
любого элемента конечной группы является делителем
порядка группы. Из теоремы Лагранжа следует также, что
всякая конечная группа, порядок которой является про-
простым числом, будет циклической. Действительно, эта
группа должна совпадать с циклической подгруппой, поро-
порожденной любым ее элементом, отличным от 1.
4. Подгруппа И называется нормальным делителем
(или инвариантной подгруппой) группы О, если левосторон-
левостороннее разложение группы О по подгруппе Н совпадает с пра-
правосторонним, т. е. если для любого а е О имеет место равен-
равенство (понимаемое в смысле совпадения обоих подмножеств в О)
аН = На. A)
Можно говорить, следовательно, просто о разложении
группы О по нормальному делителю Н.
Укажем некоторые другие определения нормального де-
делителя, равносильные приведенному выше.
Элементы х и у группы О называются сопряженными
в О, если в О можно найти такой элемент а, чго
у = а
у получается из х трансформированием элементом а.
74 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. Ц
Подгруппа И группы О тогда и только тогда будет
нормальным делителем в О, если И вместе со всяким
своим элементом содержит и все элементы, сопряжен-
сопряженные с ним в О.
Действительно, если // — нормальный делитель в О, Н — лю-
любой элемент из И, а —любой элемент из О, то, по A), в Н
существует такой элемент к', что
аЪ! = На, B)
откуда
а-Ча = Н' ей C)
Обратно, если для любых Н е И и а еО в И существует
элемент к', удовлетворяющий равенствам C) и поэтому B),
то На с= аИ. Это включение справедливо при всех а, в част-
частности при от1, т. е. На-1 ^ а~1Н, откуда следует аН ст На,
а поэтому на самом деле имеет место равенство A).
Подгруппы Ц и V группы О называются сопряженными
в О, если в О существует такой элемент а, трансформиро-
трансформирование которым подгруппы V переводит ее в V, т. е.
агЮа = V.
Заметим, что множество а~хИа при любой подгруппе V
и любом а еО будет подгруппой^ притом изоморфной с II.
Действительно, если иь и2 е V, то
(сгхиха) (а~1и^а) = а (ихи^) а\
с другой стороны, из
следует их = и2, а поэтому отображение и->дг^а, и
будет изоморфным отображением {/ на а~х1]а и, следова-
следовательно, а~1Ца является подгруппой.
Всякий нормальный делитель группы О совпадает со
всеми подгруппами, сопряженными с ним в О. Обратно,
если подгруппа И группы О содержит все подгруппы, соп-
сопряженные с нею в О, то она будет нормальным дели-
делителем.
В самом деле, из A) вытекает равенство
а 1Иа = Я, D)
[^ ^ НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ИДЕАЛЫ 75
что доказывает первое утверждение теоремы. С другой сто-
стороны, если
а^Иа с: Н,
причем включение строгое, то
//с аНа-1 = (а1)'1 На-1.
Таким образом, если подгруппа Н должна содержать все
подгруппы, с нею сопряженные, то она непременно совпадает
$ ними, т. е. при любом а еО имеет место равенство D),
а поэтому и вытекающее из него равенство A).
5. Пересечение любого множества нормальных дели-
делителей группы О само является нормальным делителем в О.
Действительно, если В есть пересечение нормальных дели-
делителей Л/, / е /, то В будет подгруппой в О (см. II. 3.6),
#1, кроме того, всякий элемент, сопряженный с элементом из
Д содержится в каждом из нормальных делителей Аг и поэ-
поэтому принадлежит к Л.
Подгруппа, порожденная любой системой нормальных
делителей группы О (см. II. 3.8), сама будет нормальным
делителем в О.
Пусть, в самом деле, заданы нормальные делители Л/,
1&1, и пусть В будет подгруппа, ими порожденная. Как
указано в И. 3.7, всякий элемент Ь из В может быть запи-
записан в виде
Ъ =
где а; е Аг , /=1, 2, ..., п. Если $— любой элемент из О,
НО
| так как
V ё~1а^ е Л/у, 7=1, 2, ..., п,
ТО
В. Все подгруппы абелевой группы будут в ней, конечно,
Нормальными делителями. С другой стороны, для всякой
Группы О нормальными делителями служат единичная под-
подгруппа Е и сама группа О. Группа, не имеющая нормальных
$&лителей, отличных от нее самой и от Е, называется простой.
76 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. 1Г
Простыми абелевыми группами являются конечные
циклические группы простых порядков и только они.
Действительно, если абелева группа О простая, то она
вообще не содержит нетривиальных подгрупп, а так как
циклические подгруппы в ней должны существовать, то она
сама будет циклической. Бесконечная циклическая группа
обладает, однако, нетривиальными подгруппами — в аддитив-
аддитивной группе целых чисел содержится в качестве истинной под-
подгруппы группа четных чисел. Далее, если группа 0 = {а} —
циклическая конечного порядка п, то при составном числе п,
п — к1, подгруппа {ак} будет иметь порядок /, т. е. отлична
и от О, и от Е. Если же, однако, группа О—{а} имеет
простой порядок /?, то она не может иметь нетривиальных
подгрупп, как вытекает из теоремы Лагранжа.
7. Существуют и некоммутативные простые группы, как
конечные, так и бесконечные. Рассмотрим, например, в сим-
симметрической группе #-й степени $я (см. II .1.8) подмноже-
подмножество Ап четных подстановок. Как доказывается в учебниках
по высшей алгебре, четность подстановки #-й степени совпа-
совпадает с четностью числа сомножителей в любом разложении
этой подстановки в произведение транспозиций. Отсюда выте-
вытекает, что произведение четных подстановок #-й степени всег-
всегда четно, а так как подстановка, обратная к четной, сама
четная, то мы получаем, что Ап будет подгруппой груп-
группы 5Л.
Группа Ап называется знакопеременной группой п-й сте-
степени и имеет порядок -^-п\. Заметим, что она будет в 5Л не
только подгруппой, но даже нормальным делителем: индекс
Ап в 5Л равен двум, причем оба разложения группы 5Л по
подгруппе Ап совпадают, состоя из двух классов — сама под-
подгруппа Ап и класс нечетных подстановок.
Группа А3 имеет порядок 3 и поэтому является цикли-
циклической группой простого порядка, т. е. простой. Группа Л4
не будет простой — легко проверяется, что четные подста-
подстановки х)
A2) C4), A3) B4), A4) B3)
Напомним, что при записи подстановки через циклы за каж-
каждым символом пишется тот символ, в который он переходит при рас-
рассматриваемой подстановке. Цикл закрывается, когда мы доходим до
НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ИДЕАЛЫ
77
составляют вместе с единицей нормальный делитель этой
группы.
Знакопеременная группа п-й степени Лп является при
простой.
Покажем сперва, что циклы G/к) длины 3, являю-
являющиеся, как легко видеть, четными подстановками, состав-
составляют для группы Лп систему образующих
(см. И. 3.9). Действительно, всякая четная подстановка раз-
разлагается в произведение четного числа транспозиций, а по-
поэтому и в произведение циклов длины 3, так как
Докажем, далее, что всякий нормальный дели-
делитель И группы Ап, содержащий хотя бы один
цикл ((/&) длины 3, содержит и любой другой
цикл {1г]гкг) длины 3 и поэтому, как показано выше, со-
совпадает с Ап. Действительно, если символы / и т отличны
от /, у и к, то подстановка я-й степени
(I ] к I т ..
\ь ] к Г т ..
которую можно сделать четной, транспонируя, если нужно,
символы /' и т' в нижней строке, такова, что
Остается показать, что всякий нормальный де-
делитель И группы Ап> п^б, отличный от Д со-
символа, переходящего в первый символ цикла. Символы, остающиеся
при нашей подстановке на месте, при разложении в циклы опуска-
опускаются. Так,
р
ются. Так,
1 2 3 4 5
,4 6 1 3 5
Другой стороны
если, конечно, известно, что это подстановка 4-й степени. Напомним
также, что четность подстановки совпадает с четностью разности
«ежду^ числом символов, действительно переставляемых этой подста-
подстановкой, и числом циклов в ее разложении.
78 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. п
держит хотя бы один цикл длины 3. Возьмем в Н
такой отличный от 1 элемент а, который оставляет непод-
неподвижными возможно больше символов. Если подстановка а не
является циклом длины 3, то она будет иметь один из сле-
следующих двух видов:
1) Разложение а в циклы содержит хотя бы один цикл,
длина которого не меньше трех:
а = {1]к ...) ...
При этом а, будучи четной подстановкой, не может быть
циклом A/к1) длины 4, а поэтому а перемещает по меньшей
мере два символа, отличных от /, у и к\ пусть это будут / и т.
2) Подстановка а разлагается в произведение независимых
циклов длины 2, которых будет не меньше двух:
В этом случае, так как п ^ 5, существует символ т, отлич-
отличный от /, /, к и I.
Пусть р = (Ыт). Тогда Р^оф е Н, так как Р е Ап, и поэ-
поэтому
Подстановка у отлична от 1, так как в случае 1) подста-
подстановка Р^оф переводит символ / не в символ к, как это делает
а, а в символ /; в случае же 2) подстановка Р^сф переводит
символ / в символ т, а не в символ к, как это производится
подстановкой а.
С другой стороны, подстановка у оставляет на месте в пер-
первом случае все символы, оставляемые на месте подстановкой
а, так как все они отличны от к, I и т, а во втором слу-
случае — все символы, остающиеся на месте при а, кроме, быть
может, символа т. Легко проверяется, однако, что в первом
случае подстановка у дополнительно оставляет на месте сим-
символ /, а во втором случае — символы / и у. Таким образом,
в обоих случаях при у остается больше неподвижных симво-
символов, чем при а. Это противоречие с выбором подстановки а
показывает, что а должно быть циклом длины 3, т. е. дока-
доказывает теорему.
Заметим, что знакопеременными группами Ап, п^Ь, далеко
не исчерпываются все конечные некоммутативные простые
группы.
;
НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ИДЕАЛЫ 79
л 8. В следующей главе будет показано, что та роль, кото-
которую в теории групп играет понятие нормального делителя,
'%■ теории колец принадлежит понятию идеала.
1!\. Подмножество А произвольного кольца Я называется идеа-
%оМ в /?, если оно является подгруппой аддитивной группы
"кольца /? — для этого достаточно, чтобы разность любых двух
из А принадлежала к А — и если, кроме того, для
^р элементов йе^ и ге/? оба произведения аг и га
Додержатся в А.
Из этого определения следует, что всякий идеал кольца
будет в Н подкольцом. Легко видеть, далее, что пересече-
пересечение любой системы идеалов кольца Я само будет идеалом.
'.(> другой стороны, подгруппа аддитивной группы кольца Я,
прирожденная данной системой идеалов Аг, I е /, также
0удегп идеалом: эта подгруппа состоит из всевозможных
конечных сумм элементов из идеалов Л,-, но умножение такой
$уммы слева или справа на любой элемент кольца /? снова
приводит к сумме такого же вида.
В II. 4. 2 дано описание всех подгрупп аддитивной группы
делых чисел. Все эти подгруппы (включая нулевую) и,
конечно, только они являются идеалами в кольце целых
чисел, так как произведение числа, кратного я, на любое
аелое число само кратно п.
9. Во всяком кольце Я идеалами будут само Я и нуль-
идеал О, состоящий из одного нуля. Кольцо, не содержащее
Других идеалов, кроме этих двух, называется простым.
Всякое тело и вообще всякое кольцо с делением (см.
;П. 6.1) является простым кольцом.
Действительно, пусть дано кольцо с делением /С. Если
Ш нем задан идеал А, отличный от О, и если йеД а Ф О,
;]ТО, ввиду разрешимости в К уравнений A) из II. 6.1, к А
будет принадлежать любой элемент Ь из /?, т. е. Л = /?.
Полное кольцо матриц Кп любого порядка п над
"Любым кольцом с делением К является простым кольцом.
Пусть, в самом деле, в кольце Кп задан ненулевой идеал
А Если а = (а/у) — ненулевая матрица, принадлежащая к Л,
ТО пусть, например, а^фО. Условимся обозначать через 5Сц
^матрицу из Кп, у которой на месте (/, у) стоит элемент х
из Ку а все остальные места заняты нулями. Предположим,
|Далее, что &—-произвольный элемент из К, а 5 и ^ — произ-
произвольные индексы, 1^5, г-^п. Ввиду разрешимости в К
80 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ Ц
уравнений A) из II. 6.1 в К существуют такие элементы х
и у, что
Применяя правило умножения матриц, получаем, что
Таким образом, все матрицы вида Ъ8г принадлежат к идеалу А,
а так как всякая матрица из Кп представима в виде суммы
матриц этого вида, то А = Кп, что и требовалось доказать.
10. Если в определении идеала отказаться от требования,
что для любого а из идеала А и любого г из кольца /? оба
произведения аг и га принадлежат к А, и требовать это
лишь для произведения аг и л и произведения га, то мы
придем к понятию одностороннего идеала, а именно пра-
правого идеала, если аг е А для всех аЕ/1 и Гб/?, и лево-
го идеала, если гаеА В коммутативном случае, равно как
и в антикоммутативном, в частности в лиевых и в йордано-
вых кольцах (см. 11.2.3 и 11.2.4), всякий односторонний идеал
будет, конечно, идеалом (или, как иногда говорят, двусто-
двусторонним идеалом).
Так как в приведенном выше доказательстве простоты
любого кольца с делением достаточно было использовать
разрешимость лишь одного из уравнений A) из 11.6.1, то
можно утверждать, что никакое кольцо с делением К не
содержит односторонних идеалов, отличных от К и О.
Если ассоциативное кольцо /? не содержит других одно-
односторонних идеалов, кроме К и О, и не является кольцом
с нулевым умножением (см. II.2.2), то оно будет телом.
В самом деле, назовем левым аннулятором кольца Я
всякий такой элемент а, что аг = 0 для всех гбй Левые
аннуляторы составляют в ассоциативном кольце /? идеал,
даже двусторонний. Этот идеал в нашем случае равен нулю —
если бы он равнялся /?, то кольцо /? было бы нулевым.
Таким образом, для любого ненулевого элемента а множе-
множество аН всевозможных произведений вида аг, гб/?, являю-
являющееся в ассоциативном кольце правым идеалом, будет от-
отлично от О и поэтому а# = /?. Отсюда следует, что для
любого элемента Ь е /? в /? разрешимо уравнение ах — Ь.
Аналогично доказывается разрешимость в /? всякого уравнения
видака = Ь, а Ф 0, а поэтому, по 11.2.10, /? будет телом.
_8] гауссовы полугруппы 81
Из сказанного легко вытекает, что ненулевое ассоциа-
тивно-коммутативное кольцо будет простым тогда и
только тогда, если оно является полем. С другой сто-
стороны, так как в нулевом кольце всякая подгруппа аддитив-
аддитивной группы будет идеалом, то, ввиду 11.7.6, нулевые про-
простые кольца исчерпываются нулевыми кольцгми на цик-
циклических аддитивных группах простых порядков.
11. Определения идеала и одностороннего идеала легко
переносятся на случай любого группоида — достаточно исклю-
исключить из этих определений упоминания об аддитивной группе.
Всякий идеал, а также левый или правый идеал кольца будут,
очевидно, соответственно идеалом, левым или правым идеа-
идеалом мультипликативного группоида этого кольца. Обратное,
однако, не имеет места: в кольце целых чисел совокупность
чисел, кратных хотя бы одному из чисел 2 и 3, не будет
идеалом, хотя и будет идеалом мультипликативной полугруп-
полугруппы этого кольца.
§ 8. Гауссовы полугруппы
1. Ка< известно, в кольце целых чисел Сив кольце
многочленов Р [х] над любым полем Р имеют место совер-
совершенно параллельные теории делимости. В настоящем и сле-
следующем параграфах будут установлены причины этого парал-
параллелизма.
Пусть дана абелева полугруппа Ос единицей 1,
удовлетворяющая закону сокращения (см.
11.5.1). Делители единицы этой полугруппы, т. е. такие
элементы е, для которых в О существует обратный эле-
элемент е,
88 = 1,
составляют в ней подгруппу, так как и произведение дели-
делителей единицы, и элемент, обратный к делителю единицы,
сами будут делителями единицы. С другой стороны, если
произведение элементов аь а2, ..., ап^ О является дели-
делителем единицы,
то каждый из элементов п{, /=1, 2, ..., п, сам будет
делителем единицы. Действительно,
• • сц-\а1л . •. Ял8' /=1, 2, ..., п.
ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ Ц
2. Если элементы а, Ъ е О таковы, что а = Ьс, то эле-
элемент Ь называется делителем элемента а; говорят также,
что а делится на Ъ. Элементы а и Ь называются ассоции-
ассоциированными, если каждый из них служит делителем для дру-
другого,
а — Ьс, Ъ — ай. A)
Так как из A) следует
а = а (са1),
т. е., ввиду закона сокращения,
са1— 1,
то и с Мб/ будут делителями единицы, С другой стороны,
для любого делителя единицы 8 элементы а и га ассо-
ассоциированы между собой, так как
а = г'1 (га).
Отсюда же следует, что всякий делитель единицы служит
делителем для любого элемента полугруппы О.
Отношение ассоциированности является, очевидно, отно-
отношением эквивалентности, и поэтому вся полугруппа О рас-
распадается на классы ассоциированных элементов] одним из
этих классов будет группа делителей единицы. С другой
стороны, отношение «Ь служит делителем для а» рефлек-
рефлексивно и транзитивно. Вместе с тем для любых делителей
единицы г1 и е2 из
а = Ьс
следует
= (гф)
т. е. гф служит делителем для гга. Мы получим, таким обра-
образом, частичную упорядоченность в множестве классов
ассоциированных элементов полугруппы О, если для клас-
классов А, В положим В^А в том случае, когда хотя бы один
(и, следовательно, всякий) элемент из В служит делителем
хотя бы для одного (и, следовательно, для всякого) эле-
элемента из А. Класс делителей единицы будет минимальным
элементом этого множества (см. 1.5.1), притом единственным.
3. Элемент /?бО, не являющийся делителем единицы,
называется неприводимым, если его делителями служат,
помимо делителей единицы, лишь элементы, с ним самим
'Ш*. ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 83
ассоциированные, т. е. если из
следует, что один из элементов а, & является дели-
$ единицы, а поэтому другой ассоциирован с р. Вместе
$■ р неприводимыми будут, очевидно, все элементы, с р
ф^социированные. Классы ассоциированных неприводимых
"элементов, если такие элементы в полугруппе О вообще
существуют, будут в точности минимальными элементами
•частично упорядоченного множества классов ассоциирован-
пух элементов, отличных от класса делителей единицы.
Элемент р^О, не являющийся делителем единицы, назы-
ц^ется простым, если произведение аЬ может делиться на р
дашь в том случае, когда хотя бы один из элементов а, Ь
делится на р. Всякий элемент, ассоциированный с простым
элементом р, будет, очевидно, простым. Индукцией
ПО п легко доказывается также, что если произведение
й^2 • • • ап делится на простой элемент р, то на р де-
$хтся хотя бы один из элементов аь / = 1, 2, ..., п.
Всякий простой элемент р является неприводимым.
Действительно, если
р = аЬУ
то, ввиду простоты р, хотя бы один из сомножителей, на-
например а, делится на р. Однако р делится в свою очередь
на пу т. е. р и а ассоциированы, а поэтому элемент Ь будет
делителем единицы.
Заметим, что обратное утверждение в общем случае не
И|леет места.
I 4. Если а, ^еО, то элемент а1 е О называется наиболь-
наибольшим общим делителем элементов а и Ь и записывается
!, Н B)
если б/ служит для а и Ь общим делителем и если ^ сам
Делится на любой другой общий делитель элементов а и Ь.
Если также а1' = (а, &), то й и еГ должны делиться друг
друга, т. е. они ассоциированы. С другой стороны, если
|1# = (а, Ь) и 8Х, 82, 83 — произвольные делители единицы, то и
гф),
84 группы и кольца [гл. и
т. е. замена в равенстве B) всех входящих
в него элементов любыми элементами, сними
ассоциированными, не нарушает этого равен-
равенства. Иными словами, если А, В, й — соответственно классы
элементов, ассоциированных с а, Ъ и й, то равенство B)
можно переписать в виде
, В).
Класс В будет единственным максимальным элементом
(см. 1.5.5) в частично упорядоченном множестве всех таких
классов X, что Х^А и А^<Д а символ (А, В) следует
рассматривать как обозначение для этого класса.
Конечно, элементы а, Ъ еО могут, вообще говоря, не
иметь наибольшего общего делителя. Однако, если а де-
делится на Ь, то (а, Ь) существует, причем
(а, Ь) — Ь.
5. Если наибольший общий делитель существует для
любой пары элементов а, /?еО, то всякий неприводимый
элемент полугруппы О будет простым.
Докажем сперва, что при наших предположе-
предположениях для любых а, Ь, с еО
(ас, Ьс) = (а, Ь)с. C)
В самом деле, так как а делится на (а, Ь), то ас де-
делится на (а, Ь) с. Аналогично и Ъс делится на (а, Ь) с, а по-
поэтому левая часть равенства C) делится на правую,
(ас, Ьс) = (а, Ъ)сй. D)
Отсюда
ас = (ас, Ьс) и = (а, Ь) сс1и,
т. е., в силу закона сокращения,
а —(а, Ь)с1и. E)
Аналогично
Ь = (а, Ь)йо. (б)
Из E) и F) следует, что элемент (а,Ь)с1 служит общим
делителем для а и Ь, а так как он сам делится на (а, Ь),
то элемент й должен быть делителем единицы. Этим дока-
доказано, что от равенства D) можно перейти к равенству C).
ввТ ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 85
Iе'
Покажем теперь, что для любых трех элементов
а, Ь, с €= О
((а, *), с) = (а, (Ь, с)). G)
Действительно, элемент ((а, Ь), с) служит общим делите-
делителем Для (а> Ъ) и с> а поэтому общим делителем и для эле-
элементов а, Ь, с. С другой стороны, всякий общий делитель
этих трех элементов служит общим делителем для (а, Ь) и
с а поэтому он будет делителем и для ((а, Ъ), с). Это же
самое можно утверждать и для элемента (а, (Ь, с)), а по-
поэтому левая и правая части равенства G) ассоциированы,
что по существу и выражается равенством G).
Назовем, далее, элементы а, Ь еО взаимно простыми,
если их общими делителями служат лишь делители единицы;
это можно записать равенством
(а, Ь)=\.
Если (а, Ь)=\ и (а, с)=1, то и (а, Ьс)=1.
Действительно, так как а служит делителем для ас, то
(а, ас) = а.
Далее, из (а, Ь) — 1 следует, ввиду C),
(ас, Ьс) = с.
Поэтому, ввиду G),
(а, Ьс) = ((а, ас), Ьс) = (а, (ас, Ьс)) = (а, с)=\.
Переходим к доказательству самой теоремы. Пусть р —
неприводимый элемент полугруппы О и пусть произведение аЬ
делится на р. Если бы ни а, ии Ь на р не делились, то,
ввиду неприводимости р, общими делителями для аир
(а также для Ь и р) служили бы лишь делители единицы,
т. е. а и р (а также Ь и р) были бы взаимно просты,
(а, р)= 1, (Ь, р)= 1.
Но тогда, как доказано выше, мы имели бы и
(аЬ, /?)=1,
хОтя по условию аЬ делится на р, а р не является делителем
Единицы. Этим противоречием доказана простота элемента р.
36 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ 1Г
I. Пусть, как и раньше, О будет абелева полугруппа
с 1, удовлетворяющая закону сокращения. Если
а = фгь
и если элементы гь е2, ..., ел таковы, что
— все эти элементы будут, следовательно, делителями еди-
единицы, ■— то имеет место также равенство
а = (еА) (М>2) • • • (8А)- (9)
Два разложения элемента а в произведение нескольких
элементов, (8) и
.. с1} A0)
будут называться ассоциированными разложениями, если
1—к и если, быть может, после изменения нумерации мно-
множителей во втором из этих разложений элементы Ъ[ и с-г
ассоциированы, 1=1, 2, ..., к, т. е. A0) имеет вид (9).
Абелева полугруппа О с единицей, удовлетворяющая за-
закону сокращения, называется гауссовой полугруппой, если
всякий ее элемент а, не являющийся делителем единицы,
разлагается в произведение неприводимых элементов, причем
любые два таких разложения элемента а между собою ас-
ассоциированы.
К числу гауссовых полугрупп принадлежат все абелевы
группы —они не содержат элементов, не являющихся дели-
делителями единицы. Гауссовой будет и мультипликативная полу-
полугруппа отличных от нуля целых чисел. Делителями единицы
в этой полугруппе служат числа 1 и —1, а неприводимыми
элементами являются все простые числа, взятые со знаком -\~
или —. Мультипликативная полугруппа отличных от нуля
многочленов от неизвестного х с коэффициентами из поля Р
также принадлежит к числу гауссовых полугрупп. Ее дели-
делителями единицы являются все отличные от нуля элементы
поля Р, а неприводимые элементы совпадают с неприводи-
неприводимыми многочленами.
7. Абелева полугруппа О с единицей, удовлетворяющая
закону сокращения, тогда и только тогда будет гаус-
гауссовой, если она удовлетворяет любому из следующих
Ш:'м ГАУССОВЫ ПОЛУГРУППЫ 87
49 *
^бивалентных между собою наборов условий: (а, Р')>
Ш, Р")> где Условия а> Р' и Р" таковы:
(а) частично упорядоченное множество классов ассо-
ассоциированных элементов полугруппы О (см. II. 8.2) удовле-
$0$оряет условию минимальности (см. I. 5.1);
гм ф') любые два элемента полугруппы О обладают наи-
наибольшим общим делителем)
ф") всякий неприводимый элемент полугруппы О яв-
А$ется простым.
Так как, по II. 8.5, из ф') следует (Р"), то эта теорема
сводится на доказываемые ниже два утверждения.
8. Всякая гауссова полугруппа О удовлетворяет усло-
условиям (а) и ф').
В самом деле, назовем длиной элемента а гауссовой по-
полугруппы О число множителей в любом разложении эле-
элемента а в произведение неприводимых множителей. Если
а = Ьс, причем Ъ — истинный делитель для а, т. е. ни Ь,
ни с не являются делителями единицы, то мы получим раз-
разложение элемента а в произведение неприводимых множи-
множителей, перемножая разложения такого рода, взятые для эле-
элементов Ь и с. Таким образом, длина элемента а равна сумме
длин элементов Ь и с, а поэтому длина истинного делителя
элемента а строго меньше длины самого а. Отсюда следует,
что всякая такая последовательность
Элементов полугруппы О, что ап+{ является истинным дели-
далем для ап, #=1, 2, ..., обрывается на конечном месте.
Этим доказана справедливость условия (а).
С другой стороны, пусть а, />еО и пусть
Рь Ръ ..-> Рп (И)
будет такой набор неприводимых элементов, что всякий не-
неприводимый делитель как элемента а, так и элемента Ь ассо-
ассоциирован с одним и только одним элементом из A1); отсюда
следует, что среди элементов A1) нет ассоциированных. Эле-
Элементы а и Ь можно записать теперь в виде
а
.../,*», Ь = е>У/... //»,
где е, е'—-делители единицы, а некоторые из показателей
* #2> •••> &п> ^ь ?2> •••> К могут равняться нулю. Так как
ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ ц
любой делитель с элемента а может быть записан в виде
5
ГMП
где е" — делитель единицы и О^з^^к^ /=1, 2, ..., п, ц
аналогичное утверждение справедливо для делителей элемен-
элемента Ь, то наибольшим общим делителем элементов аи/?
будет служить элемент
.т.
где /я,- = гш'п (къ /,-), /=1, 2, ..., п. Таким образом, выпол-
выполняется и условие (C').
9. Всякая абелева полугруппа О с единицей, удовлет-
удовлетворяющая закону сокращения и условиям (ос) и (|3"), яв-
является гауссовой.
Нам нужно доказать, что всякий элемент а е О, не являю-
являющийся делителем единицы, обладает разложением в произ-
произведение неприводимых элементов и что это разложение оп-
определено однозначно с точностью до ассоциированности.
Сперва заметим, что если это утверждение выполняется для а,
то оно выполняется и для любого элемента, ассоциирован-
ассоциированного с а. Это позволяет, ввиду (а) и I. 5.1, доказывать наше
утверждение индукцией по частично упорядоченному мно-
множеству классов ассоциированных элементов полугруппы О.
Это утверждение заведомо выполняется для неприводи-
неприводимых элементов, т. е. для элементов из минимальных классов,
отличных от класса делителей единицы. Будем считать по-
поэтому все доказанным для всех истинных делителей эле-
элемента а. Если а не является неприводимым элементом, то
а = Ьс,
где Ь и с — истинные делители для а. В силу индуктивного
предположения
где все р-„ /=1, 2, ..., п, неприводимы. Отсюда
а = Р1Р2 • • • РкРь+гРк+2 -<-Рп- A 2)
Пусть, далее,
A3)
л1 ГАУССОВЫ КОЛЬЦА $9
§ 9]
будет любое другое разложение элемента а в произведение
неприводимых множителей. Так как, по ф")> неприводимый
элемент Ц\ является простым, то, но 11.8.3, хотя бы один из
элементов р» /=1, 2, ..., п, должен делиться на цх. Пусть
это будет элемент рг. Он, однако, неприводим, а поэтому
элементы рг и дх ассоциированы,
A4)
Отсюда, ввиду закона сокращения,
Левая и правая части равенства A5) являются разложе-
разложениями на неприводимые множители для истинного делителя
элемента а, а поэтому, по индуктивному предположению,
они ассоциированы. Отсюда и из A4) вытекает, однако,
ассоциированность разложений A2) и A3) элемента а—дей-
а—действительно, из ассоциированности элемента е/?2 с элементом
^<2кУ например, следует ассоциированность элементов р2 и <72«
§ 9. Гауссовы кольца
1. Напомним, что если /?■— область целостности (см.
II. 2.7), то множество К/0 будет по умножению абелевой
полугруппой, удовлетворяющей закону сокращения.
Область целостности /? с единицей называется гауссовым
кольцом, если мультипликативная полугруппа отличных от
нуля элементов из /? является гауссовой полугруппой.
К числу гауссовых колец тривиальным образом принад-
принадлежат все поля. Однако не всякая область целостности
с единицей будет гауссовым кольцом.
X Совокупность комплексных чисел вида* а-\-Ь]/ — 3,
где а и Ь — любые целые числа, будет областью целостности
с единицей, но не гауссовым кольцом. Так,
4 = 2 • 2 = A +1/^3) A - У—3)
бу'дут в этом кольце два неассоциированных разложения
числа 4 в произведение неприводимых множителей, -к
2. Пусть дана область целостности /? с единицей. Если
а ^ /?, то множество
(а) = а/?,
90 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. 1|
т. е. совокупность элементов вида ату ге/?, будет идеалон
в /? (см. 11.7.8.). Это главный идеалу порожденный элемеш
том а. Ясно, что а содержится в идеале (а), так как а — а
Если в /? все идеалы главные, т. е. всякий идеал из
порождается некоторым элементом, то /? называется кольцом
главных идеалов.
Всякое кольцо главных идеалов Я является гауссов
выл кольцом.
Ввиду И.8.7 достаточно доказать, что в мультипликатив-
мультипликативной полугруппе отличных от нуля элементов из /? выпол-
выполняются условия (а) и (($').
Если элемент а делится на элемент Ьу а = Ъсу то аЕ (Ь)
и поэтому (а) с; (руу верно и обратное. Таким образом, если|
в последовательности ненулевых элементов |
1
каждый элемент ап делится на ап+ь п=1, 2, ..., то соот-1]
ветствующие главные идеалы будут составлять возрастающую!]
последовательность, ]
с= ... B)]
Легко проверяется, что теоретико-множественное объедине-.|
ние этой возрастающей последовательности идеалов само,?
будет идеалом в /?, т. е., в силу наших предположений об)
/?, некоторым главным идеалом; обозначим его через (Ь)."
Элемент Ьу принадлежа к объединению возрастающей после-*
довательности B), должен содержаться в некотором идеале;
(ап) и поэтому во всех идеалах (аг) при 1^п. Для всех..;
этих / будет, следовательно, (Ь) ^ (а^), что вместе с (а,-)с=;(&)|
дает (а/) = (&).. Таким образом, элементы аг и Ь служат дели- ]
телями друг для друга, т. е. ассоциированы. Этим доказано, |
что в последовательности A) ассоциированы между собокМ
все элементы а/ при 1^пу т. е. условие (а) выполняется.^
С другой стороны, если а, Ь е /?, то совокупность эле-]
ментов вида аг-\-Ьз} где г я 8 независимо пробегают все!
кольцо /?, будет идеалом и, следовательно, главным идеалом;^
обозначим его через (а1). Тогда |
(О) =2 (а), (<*) = (Ь), \
так как -;
§9]
ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 91
и поэтому элемент с1 служит общим делителем для а и Ь.
Если же с — любой общий делитель для а и ЬУ то
а поэтому идеал (б1) содержит всякий элемент, имеющий вид
аг-\-Ьз, т. е. (б1) ^ (б/), откуда следует, что с служит делите-
делителем и для с1. Мы получаем, что а* является наибольшим
общим делителем для а и Ъ. Этим доказано, что условие (}'
также выполняется.
3. Область целостности /? с единицей называется евкли-
евклидовым кольцом, если всякому элементу а е /?, отличному
от нуля, поставлено в соответствие неотрицательное целое
число п(а), причем выполняется следующее требование: для
любых элементов а, Ь ^ /?, где Ь =^= 0> в кольце /? можно
так подобрать элементы ц и г, что
г>
причем или г = 0, или же п(г)<.п(Ь).
Всякое евклидово кольцо является кольцом главных
идеалов и, следовательно, гауссовым кольцом.
В самом деле, пусть в евклидовом кольце /? взят идеал А.
Если А = О, то А = @). Если же АфО, то пусть а0 будет
один из тех ненулевых элементов из Л, что п(ао)^п(а),
каков бы ни был ненулевой элемент яеА Тогда для про-
произвольного а ^ А можно, по условию, найти в /? такие
элементы ц и г, что
+ г,
причем если гфО, то п(г)<Сп(а0). Однако
г == а — ао<7
и мы приходим к противоречию с выбором элемента а0.
Поэтому г = 0, т. е. а = ад, чем доказано, что Л является
Равным идеалом, порожденным элементом а0.
К числу евклидовых колец принадлежат кольцо целых
чисел С, а также кольцо многочленов Р[х] над полем Р:
в первом кольце роль п(а) играет абсолютная величина \а\
числа а, а во втором — степень многочлена а. Кольца С и
р[х] будут, следовательно, кольцами главных идеалов и
гаУссовыми кольцами.
92 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. ц
■к Во всяком евклидовом кольце для разыскания наи-
наибольшего общего делителя двух элементов можно применять
известный читателю алгоритм Евклида.
Существуют кольца главных идеалов, не являющиеся
евклидовыми кольцами [Моцкин, Ви11. Атег. МаШ. 5ос
65 A949), 1142—1146].*
4. Мы закончим параграф доказательством следующей
теоремы:
Если К — гауссово кольцо, то кольцо многочленов К [х]
также будет гауссовым.
Мы знаем из Н.2.7, что кольцо К[х] будет в нашем слу-
случае областью целостности с единицей. Нужно доказать, ввиду
II.8.7, что в мультипликативной полугруппе отличных от
нуля элементов из Н[х] выполняются условия (ос) и ф")
из Н.8.7.
Начнем с замечания, что в кольце /? [х] делителями
единицы служат делители единицы кольца К и только
они. Отметим, далее, что так как для ненулевых элементов
гауссова кольца /? выполняется условие (Р') из II.8.7, то,
ввиду G) из II. 8.5, можно говорить о наибольшем общем
делителе любой конечной системы ненулевых элементов
из Ну причем он определен однозначно с точностью до
ассоциированности. Ясно, что это остается справедливым и
в том случае, когда к рассматриваемой системе добавлено
несколько элементов, равных нулю.
Многочлен Ц)(х) называется примитивным, если наиболь-
наибольший общий делитель системы его коэффициентов является
делителем единицы и поэтому может быть принят равным 1.
Многочлен, ассоциированный с примитивным многочленом,
сам, очевидно, примитивен. Среди многочленов нулевой сте-
степени примитивными будут делители единицы и только они.
Если /(х) — произвольный ненулевой многочлен и а —
наибольший общий делитель его коэффициентов, то
/(х) = ац) (х), C)
где многочлен ф (х) примитивен. Если имеет место также
равенство
/(х) = Ь^ (х),
где /?б/?, а \р(х) — примитивный многочлен, то Ь, будучи
делителем для всех коэффициентов многочлена /(х), служит
. ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 03
§ ад
делителем и для а,
Поэтому, ввиду отсутствия в /? [х] делителей нуля,
(х) = су (х),
откуда, ввиду примитивности г|з (х), элемент с должен быть
делителем единицы.
Этим доказано, что в записи вида C) для многочлена
их) и элемент а из К, и примитивный многочлен ф(х)
определены однозначно с точностью до множителя, явля-
являющегося делителем единицы, т. е. с точностью до ассо-
ассоциированности. Будем называть запись вида C) каноничес-
канонической записью многочлена /(х).
5. Лемма Гаусса. Произведение примитивных много-
многочленов само примитивно.
В самом деле, пусть даны примитивные многочлены
/(х) = аохк + аххк~х +... + а(хкЧ +... + ак9
§ (х) = Ьохл
и пусть их произведение
/С*) е С*) =
не является примитивным. Отсюда следует, так как кольцо /?
гауссово, что коэффициенты с0, сь ..., скН обладают общим
неприводимым делителем р. Так как многочлены /(х)
и #(х) примитивны, то ни у одного из них все коэффици-
коэффициенты не могут делиться на р. Пусть а,- и Ъ] будут коэффи-
коэффициенты этих многочленов с наименьшими индексами,, не деля-
делящиеся на р. Однако
с1+/ = а{Ъ} + а|-_1&/+1 + а|-_ай/+а+.. .+а{+1Ьу1 + а/+айу_2+... D)
Так как, по условию, все коэффициенты а(-{, а;_2, ... и
Ь/-1, Ь;-2, ... делятся на /?, то на р делятся как левая часть
равенства D), так и все слагаемые правой части, кроме пер-
первого. Отсюда следует, что на р делится и произведение афр
а так как неприводимый элемент р является в гауссовом
кольце /? простым (см. И.8.7.), то на р должен делиться
хотя бы один из элементов а,-, Ь1 в противоречие с их выбо-
выбором. Лемма доказана»
94 группы и кольца [гл ц
Отсюда следует, что если даны ненулевые многочлены
/г(х), /=1, 2, ..., пу с каноническими записями
/.(х) = а/ф/(х), 1=1, 2, ..., я,
и если
п п п
/С*) = П Л (■*)> а = П а'*' Ф И = П Ф' (х>1>
1=1 1=\ 1=\
то
/(х) = аф (д;)
будет канонической записью многочлена /(дг). Отсюда
следует, что если произведение нескольких многочленов
равно примитивному многочлену, то каждый из сомно-
сомножителей будет примитивным многочленом. Отметим
также, что если даны многочлены /(х) и §(х) с канони-
каноническими записями
/ (х) = ац) (х), в (х) =
и если /(х) делится на &(х), то а делится на Ь, а ф(х)
делится на
6. Пусть в кольце Н[х] дана такая последовательное^
ненулевых многочленов
А(*)> к(*)> •••> /п(х), ..., E)
что /п(х) делится на /я+1(л^), п=1, 2, ... Если
/п С*) = апчп (х), п = 1, 2,
— канонические записи этих многочленов, то в каждой из
последовательностей
всякий элемент делится на следующий.
Так как кольцо /? гауссово и так как, с другой стороны,
в последовательности G) степени многочленов идут не воз-
возрастая, то найдется натуральное число N со следующими
свойствами: 1) все элементы ап^Н при п^Ы между
собою ассоциированы; 2) все многочлены фл(х) имеют при
п^Ы одну и ту же степень, т. е. отличаются друг от
друга множителями из /?, которые, ввиду примитивности
» . ГАУССОВЫ КОЛЬЦА 95
многочленов фДх), должны быть делителями единицы.
Отсюда следует, что все многочлены /„(х) из E) будут
при П^М ассоциированными между собою, а поэтому для
отличных от нуля многочленов из /?[х] выпол-
выполняется условие (а).
7. Пусть теперь неприводимый многочлен р(х) слу-
служит делителем для произведения /(х)^(х). Если
/(х) = а<р (■*)> § (х) = ЬЦ (х)
канонические записи многочленов /(х) и #(х), то
будет канонической записью произведения /(х)#(х). С дру-
другой стороны, для многочлена р(х) также существует кано-
каноническая запись, а поэтому, ввиду его неприводимости, р(х)
будет или неприводимым элементом р кольца /?, или же
неприводимым примитивным многочленом л(х).
В первом случае элемент р служит делителем для про-
произведения аЬ, а поэтому, ввиду того, что кольцо /? гауссово,
р будет делителем хотя бы для одного из элементов а, Ь, напри-
например для а. В этом случае элемент р будет делителем и для
многочлена аср (х) =/(дг).
8. Остается более трудный второй случай. Здесь много-
многочлен п(х) будет служить делителем для произведения при-
примитивных многочленов (р(х)ур(х).
Как известно из II. 5.5, область целостности К вклады-
вкладывается в поле дробей; обозначим его через С. Всякий мно-
/Трчлен из кольца К[х] будет, конечно, многочленом и из
::Кольца С}[х]. С другой стороны, если ^(х)— произвольный
/Ненулевой многочлен из B (х), то, приводя дроби, служащие
%Фго коэффициентами, к общему знаменателю и вынося за
^кобки этот знаменатель, а затем и наибольший общий дели-
';,Тель числителей, мы придем к записи
!
=у <р (*), (8)
ф (дг) — примитивный многочлен из /? [х].
Если
Ч (*) = ^
96 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. Ц
— другая запись вида (8) для ц (х), т. е. многочлен
принадлежит к /? [х] и примитивен, то
(аа1) ф (х) = (Ьс) ур (х), (9)
а поэтому левая и правая части равенства (9) будут кано-
каноническими записями одного и того же многочлена из кольца
/? [х], т. е. между собою ассоциированы. Таким образом,
примитивный многочлен ф (х) определен для многочлена ц(х)
однозначно с точностью до ассоциированности. Назовем
запись вида (8) канонической записью многочлена д (х)
из B [х].
Если даны ненулевые многочлены ^(х), ^2(х) из <Э Iх]
с каноническими записями
ц. (х) = - ф,- (х), /=1,2, A0)
то
п п
(И)
будет, в силу леммы Гаусса, канонической записью для
произведения цх (-*0 #2 (х)-
Неприводимый примитивный многочлен л (х) остается
неприводимым и в кольце B [х]. Действительно, если
я (х) = <7х (х) ?2 (х),
где Я\{х), ^М^ОМ и имеют канонические записи A0),
то, по A1), я (х) ассоциирован с произведением Ф1(х)ф2(х).
Поэтому один из многочленов ф,- (х), /=1, 2, должен иметь
степень 0; это же верно для соответствующего <?/(х).
Мы знаем из II.9.3, что кольцо С [х] является гауссовым.
Отсюда следует, так как я (х) служит делителем для про-
произведения ф(х)г|?(х), что один из этих сомножителей, напри-
например ф (х), делится на я (х) в кольце С [х],
ф (х) = я (х) ц (х), # (х) е <3 [х].
Если ц(х) имеет каноническую запись
то из примитивности многочленов ф (х) и я (х) следует,
что ф(х) ассоциировано с произведением я(х)%(-*^)> а поэтому
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 97
(Р (х) делится на я (х) уже в кольце /? [х]. На я (х)
делится, следовательно, и многочлен /(х) = аср (х).
Таким образом, в кольце К[х] выполняется и
условие (Р")« Теорема Н.9.4 доказана.
9. Из этой теоремы немедленно следует, что кольцо
многочленов К[хь х2, ..., хп] от любого конечного
числа неизвестных над любым гауссовым кольцом /?
само будет гауссовым. В частности, гауссовым является
кольцо многочленов Р [хь х2, ..., хп] над любым полем Р.
Теперь легко показать, что существуют гауссовы
кольца, не являющиеся кольцами главных идеалов. Так,
в кольце многочленов /? = Р [х, у] над полем Р множество
А многочленов без свободного члена будет идеалом, отлич-
отличным от /?. Этот идеал не является, однако, главным, так
как общими делителями входящих в него многочленов х ну
служат лишь отличные от нуля элементы из Р.
§ 10. Дедекиндовы кольца
1. Как и в предшествующем параграфе, будем рассматри-
рассматривать область целостности /? с единицей. Напомним (см. II.5.5
и II.5.6), чго область целостности /? содержится в одно-
однозначно определенном поле дробей.
Если А и В — идеалы из /?, то их произведением АВ
называется идеал, порожденный всевозможными произведе-
произведениями вида аЬ, где а еА, Ъ е В. Легко видеть, что идеал АВ
состоит из тех и только тех элементов кольца /?, которые
хотя бы одним способом могут быть записаны в виде
п
2аД-> в/еА, ^ Е Я A)
1=1
Из ассоциативности операций в /? сейчас же вытекает
ассоциативность умножения идеалов. Можно говорить, сле-
следовательно, о полугруппе идеалов кольца /?; коммутативность
этой полугруппы очевидна.
Так как всякий элемент вида A) принадлежит и к пере-
пересечению идеалов А и В, то
АВ е А П В.
С другой стороны, из В <= В' следует, очевидно,
АВ ^ АВ'. B)
4 А, Г. Курош
98 группы и кольца [гл. ц
2. Идеал С называется простым, если из включения
ху^С, х, _у е/?, всегда следует, что хотя бы один из эле-
элементов х, у содержится в С. Этому определению удовлет-
удовлетворяют, очевидно, идеалы /? и О. Вдальнейшем, говоря
о простых идеалах, мы будем эти два идеала
исключать из рассмотрения.
Идеал С тогда и только тогда будет простым,
если для любых идеалов А, В из АВ ст С следует, что
или А^С, или В ^ С.
В самом деле, пусть АВ ^ С, но А $Ё С, В ^ С. Суще-
Существуют, следовательно, такие йеД Ь е В, которые не
содержатся в С, хотя аЪ е С. Идеал С не является, таким
образом, простым. Обратно, если идеал С не простой, то
существуют а и Ь, лежащие вне С, но аЬ е С. Переходя
к главным идеалам, получаем, что (а) $2 С, (Ъ) §Ё С, но
(а) (*) е С.
Будем понимать ниже под максимальным идеалом
нашего кольца /? всякий максимальный среди истинных
(т. е. отличных от /?) идеалов.
Всякий максимальный идеал М является простым.
Действительно, пусть а ф М, Ь ф М, но
аЬ е М. C)
Идеал (Ж, а), порожденный идеалом М и элементом а,
совпадает с /?. Он состоит, однако, из элементов, записыва-
записываемых в виде т + ха, т е= М, х е /?, и поэтому может
быть записан в виде М -\-Яа. Аналогично (М, Ь) = /? и этот
идеал может быть записан в виде М-\-НЬ. Поэтому, ввиду
C), мы приходим к противоречию:
=/?/? = (Ж +/?а
3. В кольце главных идеалов (см. Н.9.2) простые идеалы
совпадают с идеалами вида (р), где р — простой элемент
(см. Н.8.3)
Действительно, если ху е (р), то
а поэтому, по определению простого элемента, хотя бы один
из элементов х, у делится на /?, т. е. содержится в идеале
(/?). Если же элемент # не простой, то, по 11.8.7, он приво-
приводим, д = аЬ, где ни а, ни Ь не являются делителями единицы.
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 99
Отсюда аЬ е (д)> однако, например, если а е (д), то
у» ввиду отсутствия делителей нуля, Ьс=\, т. е. Ь ока-
Ййлось бы делителем единицы.
г й кольце главных идеалов всякий идеал, отличный от
$сего кольца и от нуля, является произведением конеч-
конечного числа простых идеалов.
Действительно, если элемент а не является делителем
единицы и не равен нулю, то существует разложение а в
произведение простых множителей,
а=ргр2
а тогда
О) =
Область целостности П с единицей называется дедекиндо-
вым кольцом, если всякий идеал из /?, отличный от самого
Я и от О, представим в виде произведения конечного числа
простых идеалов. Ниже будет указана некоторая характе-
ризация дедекиндовых колец.
4. Пусть /? — область целостности с 1, Р — ее поле дро-
дробей. Подгруппу А аддитивной группы поля Р назовем дроб-
дробным идеалом кольца /?, если выполняются следующие два
условия: 1) если сеД хеК, то ах е А; 2) все элементы
из А можно записать в виде дробей с общим знаменателем,
*. е.
А = ±А0, Аод=#, йеЯ, ЛфО. D)
Ясно, что Ао будет идеалом в Н и что при этом условии
равенство D) можно считать определением дробного идеала.
К числу дробных идеалов принадлежат идеалы самого
кольца /? или, как мы будем сейчас говорить, его целые
идеалы. С другой стороны, главным дробным идеалом будет
называться дробный идеал вида -г-^я), где (а) — главный
Целый идеал. Этот главный дробный идеал содержит, в част-
частности, элемент -г поля Р и порождается этим элементом,
а поэтому его можно было бы записать в виде (~г-
4*
100 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. 1г
Вообще, так как пересечение любого множества дробных
идеалов является дробным идеалом, то можно говорить
о дробном идеале, порожденном данным конечным мно-
множеством элементов из Р: так как все эти элементы можно
записать в виде дробей с общим знаменателем б/, то все они
лежат в дробном идеале -т /?, а поэтому можно говорить
о пересечении всех дробных идеалов, содержащих заданные
элементы.
5. На дробные идеалы переносится и определение про-
произведения идеалов, причем если
1 1
— "г ^о> ~Я °'
ТО
т. е. это произведение является дробным идеалом Так как
умножение остается ассоциативным (и коммутативным) и так
как произведение ненулевых дробных идеалов само отлично
от нуля, то можно говорить о полугруппе ненулевых дробных
идеалов кольца /?. Единицей этой полугруппы служит само /?.
Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Область целостности Н с единицей тогда и только
тогда будет дедекиндовым кольцом, если его полугруппа
ненулевых дробных идеалов является группой.
6. Пусть /? — снова область целостности с единицей. Ее
дробный идеал Л называется обратимым, если существует
такой дробный идеал Л, что
Всякий ненулевой главный дробный идеал обратим,
так как
1а
\Ь
Всякий обратимый дробный идеал порождается конеч-
конечным числом элементов.
В самом деле, если АА'1 = /?, то для единицы существует
запись вида
п
1 = У. я/Я/, п1 ^ Л, Я/ €Е Л, / = 1, 2,..., /г.
10, дедекиндовы кольца 101
Отсюда для любого а е А будет
п
Я = 2 а1(а1а)>
а так как ща^Н, /=1,2,..., л, то
Л = (ах, а2, ..., ал).
й ^^лм дробный идеал В обратим, то каждый из дробных
идеалов А/, / = 1, 2,..., п, также будет обратимым, так как
1\1Ф1
7. Если простые идеалы Сь С2, ..., Сп, рассматриваемые
как дробные идеалы, обратимы, то
А = С]С2 •. • Сп E)
будет единственным представлением целого идеала А в виде
произведения простых идеалов.
Будем вести доказательство индукцией по п. Если л=1,
то покажем, что представление идеала Сх в виде произведе-
произведения двух целых идеалов, отличных от
вообще невозможно. Именно, так как идеал Сх простой, то,
по И. 10.2, будет, например, Вг д= Сх. Отсюда, так как, по усло-
условию, идеал Сх обратим, а включение B) имеет место и в случае
дробного идеала Л,
~ С*хо2 3 С~ В-^В^ = С
что невозможно.
Переходим к общему случаю. Пусть идеал Л обладает
представлением E), так и представлением
Л = Я^2... Оь (б)
где идеалы Ду, у= 1, 2,...,/г, простые. Пусть Сх — один из
Минимальных среди идеалов Сь /=1,2,..., л. Так как Л
содержится в простом идеале Сь то, ввиду (б) и II. 10.2, будет,
Например, ^1 е Сг. Аналогично существует такое /, что
102 ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ.
( с= /)х. Отсюда, ввиду минимальности Сь следует
Приравнивая теперь правые части равенств E) и F), умно
женные на С", мы получаем
откуда, по индуктивному предположению, п = к и, после
возможной перенумерации, СГ- = Д-, / = 2, ..., я.
8. # дедекиндовом кольце /? всякий простой идеал
максимален и обратим.
Предположим сперва, что простой идеал С обратим, и
докажем его максимальность. Пусть существует такой эле-
элемент а е /?, лежащий вне С, что идеал (С, а) = С-\-На от-
отличен от /?. Тогда тем более отличен от /? идеал С-|~^#2>
так как С ~\-%а2 я=. С-{-%а> и, ввиду дедекиндовости кольца,
для этих двух идеалов существуют разложения в произведе-
произведения простых идеалов,
п к
П. G)

Сейчас нам необходимо построить кольцо, которое в III.2.С
будет названо фактор-кольцом кольца /? по
идеалу С. Разложим аддитивную группу кольца Н в смеж-
смежные классы по подгруппе С. Если С~\-х и С-4-_у~-~Два любых
смежных класса, то, умножая любой элемент первого класса
на любой элемент второго, мы получим (так как С —идеал)
элемент смежного класса С-{-ху. Это позволяет говорить об
умножении смежных классов. Можно говорить и о сложении
смежных классов, так как сумма любого элемента из С-\-х
с любым элементом из С ~\-у лежит в смежном классе С +
-\-(х-{-у). Легко проверяется, что множество смежных клас-
классов по С составляет относительно этих операций кольцо К;
его нулем служит С, а единицей С+1.
В нашем случае кольцо /? не имеет делителей нуля, так
как из х ф Су у ф С и
(С + х)(С+у) = С
следовало бы ху еСв противоречие с простотой идеала С.
К кольцу /? применимы, следовательно, результаты пред-
предшествующих пунктов.
-у
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА ЮЗ
'Так как, по G), С<^СЬ /=1, 2, ..., л, то простой
идеал С,- распадается на смежные классы по С, которые,
я*К легко проверяется, составляют в Я простой идеал С& ана-
аналогично вводятся простые идеалы В^ у = 1, 2, ..., &. Если
положим а=С-\-а, то из G) для главного идеала На выте-
вытер разложение
п
аПоэтому
(«аJ ^Й^ПС^р/. (8)
Все простые множители, входящие в разложения (8) для
дивного и поэтому, по 11.10.6, обратимого идеала На , сами
обратимы, и, следовательно, по II. 10.7, разложения (8) совпа-
совпадают. Отсюда вытекает, что к = 2п и, после перенумерации,
%1 %1 /=1, 2, ..., П.
5 Таким образом,
откуда
Для всякого ^бС существуют, следовательно, такие _уеС2
и ^е /?, что
х—у-\-га.
Отсюда га^С, а так как идеал С простой и а ф С, то г е С.
Таким образом,
• так как обратное включение очевидно, то
Умножая обе части на идеал С, существующий ввиду обра-
^« С, получаем
• противоречие с предположением. Максимальность идеала С
*>казана.
104 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ ц
Докажем теперь обратимость всякого простого идеала с.
Пусть х е С, х Ф 0. Тогда
ях=1\ с1У
1= 1
где идеалы С,-, /=1, 2, ..., п, простые и, по II.10.6, обра-
обратимые (так как идеал Ях главный и поэтому обратимый),
т. е., по доказанному выше, они максимальны. Так как, однако,
Ях 9С и идеал С простой, то хотя бы для одного I будет
Сг с= С, т. е., ввиду максимальности С,-, С,- = С, а поэтому
идеал С обратим.
9. Из результатов двух предшествующих пунктов выте-
вытекает следующее важное утверждение:
В дедекиндовом кольце всякий идеал, отличный от Я
и О, обладает единственным разложением в произведение
простых идеалов.
10. Покажем теперь, что всякий ненулевой дробный идеал А
дедекиндова кольца Я разлагается в произведение положи-
положительных или отрицательных степеней простых идеалов
и поэтому обратим.
Действительно, пусть А = -т Ло. Тогда
п к
Си
где все С,- и ^у■ простые, а так как все простые идеалы
= 1, 2, ..., к, обратимы, то
Этим в одну сторону доказана основная
теорема И.10.5.
11. Докажем обратное утверждение этой
теоремы. Если ненулевые дробные идеалы области целостно-
целостности Я с единицей составляют по умножению группу и поэтому
обратимы, то, по II. 10.6, каждый (целый) идеал из Я поро-
порождается конечным числом элементов. Отсюда следует, что
в Я выполняется условие максимальности для идеалов:
10] дедекиндовы кольца 105
объединение В возрастающей цепочки идеалов
Аг ^ Л2 ^ ... е Ап &..
само будет идеалом и поэтому порождается конечным числом
элементов. Найдется такое п, что все эти элементы уже лежат
в Ап, а тогда
п> л
а — пп —
Утверждение, что кольцо /? дедекиндово, будет, ввиду
Ц.10.2, доказано, если мы покажем, что всякий целый идеал
из К, отличный от Я и О, является произведением макси-
максимальных идеалов. Если это не так, то пусть А будет одним
из максимальных среди тех идеалов, которые не могут быть
так представлены. Он не будет максимальным идеалом кольца /?,
но, ввиду условия максимальности, существует содержащий
его максимальный идеал Ж. Так как А^М и М~гМ = К,
то М~гА <= /?, т. е. М~1А является целым идеалом. Из
А = НА = М {М~М) (9)
следует
А с Ж А
Если бы это включение было строгим, то идеал М~1А
разлагался бы в произведение максимальных идеалов, а тогда,
по (9), и для А существовало бы такое представление про-
против предположения. Поэтому М~1А — А, т. е.
А = МА. A0)
Приведем это к противоречию, показав, что существует такой
элемент г е М, что произведение элемента 1 — г на любой
элемент из А равно нулю, хотя г^1,ав/? нет делителей нуля.
Пусть идеал А порождается элементами хь х2, ..., хп,
Л = {XI, Х%, . . . , Хп).
Положим
и АЛ+1 —о и докажем существование такого г,- Е Ж, 1 =
^ 1, 2, ..., #+ 1, что
(И)
как Аг = А, то можно взять 1г1 = 0. Пусть .г, со свой-
свойством A1) уже найдено. Тогда, ввиду A0),
A - г{) А = A - *
106 ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ4 ц
а так как всякий элемент идеала МА( можно представить
в виде суммы произведений элементов дг,-, дг1 + 1, ..., хп на
некоторые элементы из М, то
п
A — г0 х1 == Д] 2г|улгу, *,у е М.
Отсюда
и поэтому
где
ясно, что ^+1е1 Элемент «гп+1 и будет искомым элемен-
элементом г. Теорема доказана.
# Область целостности /? с единицей тогда и только
тогда будет дедекиндовым кольцом, если удовлетворяются
следующие условия: 1) условие максимальности для идеалов;
2) всякий простой идеал максимален; 3) кольцо /? целозам-
кнуто в своем поле дробей Р, т. е. всякий элемент из Р,
являющийся корнем многочлена с коэффициентами из /? и
со старшим коэффициентом 1, сам принадлежит к /?. х
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГРУППЫ
С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ
§ 1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы
1. Параллелизм между теорией групп и теорией колец,
неоднократно проявлявшийся в предшествующей главе, обна-
обнаруживается и во многих других разделах этих теорий. Во
многих случаях оказывается целесообразным не рассматри-
рассматривать группы и кольца отдельно, а строить единую теорию,
83 которой результаты, относящиеся к группам и к коль-
кольцам, вытекали бы в качестве простых следствий. Именно
с этой целью было начато изучение алгебраических образо-
образований с произвольным числом алгебраических операций,
притом не обязательно бинарных.
■?; 2. Пусть дано множество О. Будем говорить, что в О
определена п-арная алгебраическая операция со (где п —
Целое неотрицательное число), если любой упорядоченной
системе из п элементов аь а2,..., ап множества О сопо-
сопоставлен однозначно определенный элемент этого же
'Множества; этот результат применения операции со к указан-
указанной системе элементов будет записываться через ага2.. .алсо.
В некоторых случаях приходится отказываться от требова-
требования, чтобы #-арная операция со была определена для любых
Упорядоченных систем из п элементов, т. е. эта операция
будет лишь частичной. Требование однозначности операции
будет, однако, обычно сохраняться, и поэтому понятие #-арной
Операции является лишь частным случаем понятия (п-\- 1)-арного
Отношения (ср. II. 1.1).
При п = 2 мы приходим к привычному нам понятию би-
Нарной операции (см. 11.1.2), при п = Ъ получаем тернарную
108 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1ц
операцию, и т. д. С другой стороны, при п — 1 мы бу-
будем говорить об унарной операции. Эта операция сопостав-
сопоставляет всякому элементу а е О однозначно определенный
элемент асо е О, т. е. является некоторым однозначным ото-
отображением множества О в себя. Наконец, случай /7 = 0, т. е.
случай нульарной операции, означает, что в множестве О
фиксируется некоторый определенный элемент, который не
зависит от выбора в О каких-либо элементов или систем
элементов. Так, беря единицу группы, мы применяем к этой
группе нульарную операцию; такими же операциями в случае
кольца будет взятие его нуля или единицы (если последняя
существует).
3. Множество О называется универсальной алгеброй,
если в нем задана некоторая система й #-арных алгебраи-
алгебраических операций, причем для различных операций соей
числа п могут быть как различными, так и совпадающими.
Эта система операций может быть и бесконечной — приме-
примерами универсальных алгебр такого рода служат векторные
пространства над бесконечными полями: здесь имеется одна
бинарная операция, а именно сложение, бесконечное мно-
множество унарных операций, а именно умножений на элементы
основного поля, и одна нульарная, фиксирующая нулевой
элемент.
В предшествующей главе мы встречали много различных
видов универсальных алгебр — группоиды, группы, квази-
квазигруппы, кольца и т. д. Заметим, что мы умеем двумя спосо-
способами рассматривать группу как универсальную алгебру:
с одной стороны, это множество с тремя бинарными опера-
операциями—умножением и левым и правым делениями; с другой
стороны, это множество с одной бинарной операцией — умно-
умножением, с одной унарной операцией —- взятием обратного
элемента и с одной нульарной оцерацией — взятием единицы.
К вопросу о различных способах задания одной и той же
алгебраической системы в качестве универсальной алгебры
мы вернемся еще в III.6.6.
Заметим также, что тела можно будет считать универ-
универсальными алгебрами лишь в том случае, если к рассмотре-
рассмотрению будут допущены частичные алгебраические операции,
так как именно таковы и левое и правое деление в теле,
и взятие обратного элемента.
. ц УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ Ю9
4. Пусть дана универсальная алгебра О с системой опе-
операций Й. Подмножество А с= О будет называться подалгеб-
подалгеброй универсальной алгебры О, если для любой операции
йеЙ из «!, а2,..., ап е Л, где л — арность операции со,
всегда следует
А.
Частными случаями этого понятия являются, очевидно,
подгруппоид группоида, подгруппа группы, подкольцо кольца.
Отметим, впрочем, что если кольцо /? обладает единицей и
если оно рассматривается как универсальная алгебра, в число
операций которой включена нульарная операция взятия еди-
единицы, то подалгебрами будут лишь те подкольца кольца /?
(см. Н.3.2), которые содержат единицу кольца /?, а не любые
подкольца, даже если они обладают своей собственной еди-
единицей.
Так же, как в 11.3.6, доказывается, что пересечение любой
системы подалгебр универсальной алгебры О, если оно
не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.
Отсюда следует, что если в универсальной алгебре О
взято произвольное непустое подмножество М, то суще-
ствует однозначно определенная подалгебра {М}у мини-
мальная среди подалгебр, целиком содержащих М. Это
будет пересечение всех подалгебр из О, содержащих М, —
одной из таких подалгебр будет само О. Если [М] = О, то
М будет системой образующих для О.
5. Универсальные алгебры О и О', в которых заданы
соответственно системы операций & и й', называются одно-
однотипными, если можно установить такое взаимно однознач-
однозначное соответствие между системами й и й', при котором
любая операция шей и соответствующая ей операция
й'ей' будут я-арными содним и тем же п. Можно
считать, следовательно, что в однотипных универсальных
алгебрах задана одна и та же система операций й.
Однотипные универсальные алгебры О и О' с одной и
той же системой операций О, называются изоморфными,
если существует такое взаимно однозначное отображение ф
алгебры О на алгебру О', что для любой л-арной операции
и любых элементов аь а2,..., йле0
(а2ф)... (а„ф) со. A)
НО УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Понятие изоморфизма универсальных алгебр играет ц
точности ту же роль, какую оно играло для групп, колец
или частично упорядоченных множеств. Сейчас будет введено
одно его обобщение, а именно понятие гомоморфизма,
очень важное для всей дальнейшей теории. Именно, сохраняя
требование A), но считая, что ф является лишь однозначным
(а не обязательно взаимно однозначным) отображением
алгебры О в алгебру О' (т. е. не обязательно на всю эту
алгебру), мы приходим к определению гомоморфного ото-
отображения одной универсальной алгебры в другую, ей одно-
однотипную.
Из определения гомоморфизма легко следует, что про-
произведение гомоморфизмов (в смысле 1.1.2) само будет
гомоморфизмом. Действительно, если даны однотипные
алгебры О, О', О" с одной и той же системой операций &
и гомоморфизмы ф: О->О' и г|): О' -*О'\ то для любой
/г-арной операции соейи любых элементов аь а2,..., ап е О
будет
апсо) (фг|)) = [(а^... апы) ф]
°] * = [(а1ф) *] К°2ф) *] • • • [(вЛф) 1|3] (О =
К
чем и доказано, что произведение ф1|) будет гомоморфизмом
алгебры О в алгебру О".
Из A) следует также, что если Оф есть образ алгебры О
при гомоморфном отображении ф в алгебру О', то Оф будет
подалгеброй алгебры О'.
Если Оф —С, то мы говорим о гомоморфном отображении
на О' и называем О' гомоморфным образом алгебры О.
6. Применим понятие гомоморфизма к случаю группоидов
и колец. Ясно, что в случае бинарного умножения равенство
A) превращается в равенство
(аЬ) ф = аф • #ф B)
и что универсальная алгебра, однотипная с группоидом, сама
будет группоидом. Легко проверяется, как и в случае изо-
изоморфизма (см. 11.4.1), что при гомоморфном отображении
группоида О на группоид О' сохраняются такие свойства
операции, заданной в О, как коммутативность и ассоциатив-
ассоциативность.
ш- !] УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ П1
Пусть ф — гомоморфное отображение группоида О на
группоид О'. Если О обладает единицей е, то еу будет
единицей в О'. Если, сверх того, элемент Ь еО является
одним из {правых) обратных элементов для а еО, то
будет одним из {правых) обратных элементов для аф.
Действительно, для аЕО из ае = еа = а и B) следует
Яф^ф = <?ф- аф== аф, а так как элемент аф пробегает весь
группоид О', когда а пробегает группоид О, то ец> действи-
действительно будет единицей в С. С другой стороны, из аЬ — е
и B) следует аф • Ьу = <?ф.
Таким образом, гомоморфный образ полугруппы или
группы будет полугруппой и соответственно группой.
Рассмотрим теперь гомоморфное отображение ф кольца /?
на однотипную ему универсальную алгебру /?'. Из сказанного
выше следует, что Я' будет абелевой группой по сложению
я группоидом по умножению. Докажем, что в К! выполня-
выполняются законы дистрибутивности. Если а\ Ь', с' е /?', а эле-
элементы а, Ъ, сеК таковы, что ац) = а', Ьу = Ь'у сц> = с',
то из равенства
(а + #) с = ас
справедливого в кольце /?, следует равенство
Так же проверяется и второй закон дистрибутивности.
Таким образом, гомоморфный образ кольца будет коль-
кольцом. Из сказанного выше следует, что при гомоморфизме
колец нуль переходит в нуль и что гомоморфным образом
ассоциативного или коммутативного кольца будет кольцо
с таким же свойством.
7. Существует некоторый способ обозрения всех гомо-
гомоморфных отображений данной универсальной алгебры О. Вве-
Введем сперва следующее понятие.
Рассмотрим универсальную алгебру О с системой опе-
операций Й. Отношение эквивалентности л; (см. 1.3.1), задан-
заданное в О, называется конгруенцией в О, если для любой
л-арной операции шей и любых элементов
а,-, а} ^0, 1= 1, 2,..., п,
ИЗ
112 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
следует
( ) п
Иными словами, если взяты произвольные классы Ль
,..., Лп разбиения, определяемого отношением эквива-
эквивалентности п (см. 1.3.2), то класс В, содержащий элемент
а1а2... «лсо, где а,- е 4 /= 1, 2,..., п, не зависит от выбора
элементов а{ в их классах Аь /=1,2,...,п. Это позволяет
определить я-арную операцию со в фактор-множестве О/п
(см. 1.3.4), полагая
ЛгЛ2... Апи> = В. C)
Так как это справедливо для всех операций юеО, то
в результате О/п превращается в универсальную алгебру
с той же системой операций Й, что и исходная алгебра О.
Эта алгебра О/п называется фактор-алгеброй универсальной
алгебры О по конгруенции л;.
Определение C) операций в фактор-алгебре О/п и опре-
определение гомоморфизма A) показывают, что естественное ото-
отображение алгебры О на фактор-алгебру О/п (см. 1.3.4) будет
гомоморфизмом. Он называется естественным гомомор-
гомоморфизмом О на О/п.
Из существования естественного гомоморфизма О на О/п
и сказанного в предшествующем пункте следует, что фак-
фактор-алгебры группоидов, групп, колец сами будут соот-
соответственно группоидами, группами, кольцами. Можно гово-
говорить, следовательно, о фактор-группоиде (или фактор-группе,
или фактор-кольце) О/п группоида (группы, кольца) О по
некоторой конгруенции п.
8. Обращением сказанного в предшествующем пункте
служит следующая теорема о гомоморфизмах, даю-
дающая обозрение всех гомоморфных отображений универсаль-
универсальных алгебр.
Если О —универсальная алгебра с системой операций Й,
а ер — ее гомоморфное отображение на однотипную уни-
универсальную алгебру О', Оф = О', то в О существует
такая конгруенция п, что алгебра О' изоморфна фак-
фактор-алгебре О/п. Больше того, существует такое изо-
изоморфное отображение г|) алгебры О' на фактор-алгебру
О/п, что произведение фг|) совпадает с естественным гомо-
гомоморфизмом О на О/п.
ц УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ, ГОМОМОРФИЗМЫ ИЗ
В самом деле, мы получим разбиение алгебры О на
непересекающиеся классы, относя в один класс такие эле-
элементы из О, образы которых при гомоморфизме ср совпа-
совпадают. Отношение эквивалентности л;, определяемое этим раз-
разбиением, будет в алгебре О конгруенцией. Действительно,
для любой #-арной операции о)ЕЙ из
я/ф — а^, /== 1, 2,..., пу
следует, по A),
а2ф)... (алф) со =
= (Й1ф) (Й2ф) • • • Ояф) СО = («1^2 . . . ЙЛ(О) ф,
т. е. элементы а1а2...алсо и а1а2...ап(д также принадлежат
к одному классу разбиения п.
Существует, следовательно, фактор-алгебра О/л. Ставя
в соответствие всякому элементу а' е С класс А разбиения
я, составленный из всех прообразов элемента а' при гомо-
гомоморфизме ф, мы получим взаимно однозначное отображение
г|) алгебры С на фактор-алгебру О/л. Докажем, что г|) явля-
является изоморфизмом.
Пусть #-арная операция со — любая операция из Й, а
, I = 1, 2,..., п, — любые элементы из О'. Полагая
/= 1, 2,..., л,
и выбирая элементы а; е Л/, /= 1, 2,..., я, откуда
й^ф = п1у I = 1, 2,..., п,
мы получим, по A),
(я^*.. алсо)ф = #1^... я^со. D)
Так как, по C),
то из D) следует
= А{А2 ... Ллсо = (а|'ф)(а2'ф) ... Сй«г|)) со,
что и доказывает изоморфность отображения г|).
Наконец, если а — произвольный элемент алгебры О и если
аф = а\ аЧ|) = Л,
то, ввиду определения отображения г|), йеА Этим пока-
показано, что произведение ф\|) совпадает с естественным гомо-
гомоморфизмом О на О/л. Теорема о гомоморфизмах доказана.
П4 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
§ 2. Группы с мультиоператорами
1. Как мы увидим ниже, существует весьма тесная связь
между конгруенциями и, следовательно, гомоморфизмами
групп и колец, с одной стороны, и нормальными делителями
групп и идеалами колец, с другой стороны. Эта связь не может
быть в полной мере распространена на случай любых уни-
универсальных алгебр, в частности на случай группоидов или
полугрупп. Она целиком сохраняется, однако, для одного
специального класса универсальных алгебр, введенного недавно
Хиггинсом (Ргос. Ьопс!оп Ма1Ь. 5ос. 6 A956), 366—416) и
представляющего собою весьма удачное объединение классов
групп и колец.
Пусть дана группа О. Эта группа не обязана
быть коммутативной, но нам будет удобно использовать
для нее аддитивную запись; в частности, нулевой эле-
элемент этой группы будет, как обычно, обозначаться символом 0.
Группа О будет называться группой с системой мульти-
операторое & или, короче, (^-группой, если в О задана
помимо сложения еще некоторая система #-арных алгебраи-
алгебраических операций О, (при некоторых /?, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию п^\)У причем для всех соей должно
выполняться условие
00 ... 0со = 0, A)
где слева элемент 0 стоит п раз, если операция со #-арна.
Ясно, что при пустой системе операций п мы получаем
понятие группы. С другой стороны, понятие й-группы
превращается в понятие кольца, если аддитивная группа
этой й-группы— условимся так называть группу по сложе-
сложению— коммутативна и если система операций О, состоит из
одного бинарного умножения, связанного со сложением
законами дистрибутивности; условие A) отсюда, как мы
знаем, следует.
2. й-группу О можно считать универсальной алгеброй
относительно операций аддитивной группы и операций из &.
Всякая подалгебра этой алгебры (см. III.1.4) будет подгруп-
подгруппой аддитивной группы и поэтому содержит 0, условие A)
продолжает выполняться, и поэтому она сама является
^-группой. Будем говорить поэтому не о подалгебрах, а об
О>-подгруппах Й-группы О.
ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 115
Отсюда, ввиду III. 1.4, следует, что пересечение любой
гпем п-подгрупп 0>-группы О само будет ^-подгруппой
л в частности, содержит элемент 0. С другой стороны,
А~подгруппой будет и подалгебра {М}, порожденная непус-
непустым подмножеством М й-группы О.
Заметим, что, ввиду A), нулевая подгруппа аддитивной
|группы будет Й-подгруппой.
3. Если Й-группа О гомоморфизмом ф (см. III. 1.5) отоб-
отображается на однотипную ей универсальную алгебру (У, то
это будет, в частности, гомоморфизм для аддитивной группы
^-группы О, а поэтому алгебра (У по операциям, соответст-
соответствующим операциям аддитивной группы Й-группы О, сама
будет группой. Будем считать эту группу записанной адди-
аддитивно и ее нуль обозначать через 0'. Так как ф — гомомор-
гомоморфизм, а Оф — 0', то для любой операции соей будет, ввиду A),
О'О' ... 0'<о = О'.
Таким образом, всякий гомоморфный образ ^-группы
сам будет ^-группой. В частности, фактор-алгебр и 0>-групп
(см. III. 1.7) сами являются ^-группами. Можно говорить поэ-
поэтому об 0>-фактор-группе О/я Й-группы О по конгруенции п.
4. Непустое подмножество А й-группы О называется
идеалом в О, если выполняются следующие два условия:
1) А является нормальным делителем аддитивной группы;
2) для всякой #-арной операции оеЙ, любого элемента
а^А и любых элементов хь х2, ..., хп^О должно при
1=1, 2, ..., п иметь место включение
— (х±х2... хпы) + х1...Х1_1(а + Х1)х1+1... дгд(о е А B)
Для групп определенное сейчас понятие идеала совпа-
совпадает с понятием нормального делителя, так как, ввиду
пустоты системы операций й, условие 2) отпадает.
Для колец наше новое понятие идеала совпадает с поня-
понятием (двустороннего) идеала, введенным в Н.7.8.
Действительно, в этом случае условие 1) требует, чтобы А
было подгруппой аддитивной группы кольца, условие же 2)
Превращается для операции умнежения и любых аЕ А,
при / = 1 в
а -(- х±) х2 ==- — х^х2 -\- ах2 -|- х±х% = ах% ^ А,
П6 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. щ
а при / = 2 в
— х^х2 —р х-^ (л —р х2)==' — х^Хъ -\- х^а -|- х^х2== х^а еее А.,
что и требовалось доказать.
Заметим, что включение B) может быть переписано в виде
х\ ••• ^-П^ + ^Л^т ••• хп(д^х1х2 ... лг„со + А C)
/= 1, 2, ..., /2,
где справа стоит смежный класс по нормальному делителю Л,
порожденный элементом хгх2... хп(й. Применяя включение C)
несколько раз, мы приходим к следующему утверждению:
Для любого идеала А 0,-группы О, любой п-арной опе-
операции со е Й, любых элементов аь а2, ..., ап^ А и любых
элементов Х\, хг, ..., хп^О имеет место включение
хг) (а2 + х2)... (ап + хп) со е ^1Х2... лгяоз + А. D)
Отсюда следует, что всякий идеал А {^-группы О является
ее О>-подгруппой. Действительно, А будет подгруппой адди-
аддитивной группы в силу условия 1), а из D) для любой я-арной
операции шей и любых аь я2, ..., ап ^ А следует при
х1 = х2 = ... = хп = 0, ввиду равенства A),
аха2 ... а„со е А.
Ясно, что идеалами Й-группы О будут, в частности, само
0 и нулевая подгруппа О. Если в О нет других идеалов,
то это будет простая й-группа.
Без труда проверяется, что пересечение любой системы
идеалов 0,-группы О само будет идеалом, а поэтому можно
говорить и об идеале, порожденном любой системой элемен-
элементов М.
Заметим, что идеал, порожденный системой идеалов Д-,
1 е /, 0>-группы О, совпадает с порожденной этими идеалами
подгруппой В аддитивной группы.
Действительно, из II.7.5. мы знаем, что В={АЬ I е /}
является нормальным делителем аддитивной группы и что
всякий элемент из В записывается в виде
=1, 2, ..., к. E)
Пусть даны парная операция соей, элемент Ъ е В с записью
E) и элементы хь х2> ..., хле0. Так как Л/4, Д-2, ..., А\и
-2] ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ П7
являются идеалами, то, используя C) и E), мы получим
XI ... Х1_1(Ь + Х1)Х1 + 1 ... Хп(й е ЗД ... Х„С
что и требовалось доказать.
Идеал # = {Лр /е/} будет называться суммой идеалов
5. Сейчас будет доказана теорема, выясняющая родь поня-
понятия идеала в теории й-групп. Заметим, что, говоря о разло-
разложении 0,-группы О по идеалу А, мы будем понимать под
этим разложение аддитивной группы этой й-группы по А
как по нормальному делителю.
Все конгруенции в произвольной &-группе О исчерпы-
исчерпываются ее разложениями по различным идеалам.
В самом деле, пусть А будет произвольный идеал Й-группы О.
Для любых аь а2 е А и хь х2 е О существует, в силу
определения нормального делителя, такой элемент а3 е А, что
#1 ~\~ #2 = х2 -\- а3,
а поэтому
(хх + ах) + (х2 + а2) = (хг + х2) + (а3 + а2) е (хг + х2) + А
С другой стороны, для любой /г-арной операции соей,
любых элементов аь а2, ,.., ап е- А и хь х2, ..., х„еО
имеет место включение D). Эти включения показывают, что
разложение О в смежные классы по А действительно явля-
является конгруенцией в Й-группе О.
Пусть теперь в О дана произвольная конгруенция л;. Обоз-
Обозначим через А тот класс разбиения л, в котором содержится
нуль аддитивной группы; элементы йе/1 характеризуются,
Следовательно, тем, что имеет место алО. Если аь а2 е Л,
то ахл;0, а2л0, а поэтому, по определению конгруенции,
(а1-\-а2) я @ + 0), т. е. (а1 + а2)я0,
откуда ах-\-а2^ А. Далее, если йеД то
т. е. — алО, откуда — йеА Наконец, если йеД д:еО,
то
(— х 4- а + х) л (— х + 0 + х),
т. е. (—х -\- а-\- х) яО, откуда — х -\- а -\- х е А. Этим дока-
доказано, что А является нормальным делителем ад-
аддитивной группы
дитивной группы
118 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Если теперь даны #-арная операция йей, элемент йб/1
и элементы хь х2, ..., хп е О, то
(а + •*/) л @ + дг,-), т- е- (а + •**•)я хь
откуда
[лгх ... дг/_х(а + дг/)ДГ/ +1 ... хпы]л(х1х2 ... дгла>),
а поэтому
— ххх2 ... д:л(о + ^1 ... Х1-1(а-\-хдх1+1 ••• Д^лСо е Л,
Мы получаем, что класс А будет даже идеалом
Й-г р у п п ы О.
Рассмотрим, наконец, произвольный класс В разбиения я.
Если /?еД а е Л, т. е. ал;0, то
т. е.
откуда для смежного класса Ь-\-А следует включение
С другой стороны, если V — произвольный элемент из класса
В, то из Ъ'пЬ следует (— Ь -\- У) пО или
т.е.
Этим доказано равенство 5=& + А т- е* доказано, что
всякий класс разбиения я является смежным
классом по идеалу А. Теорема доказана.
6. В силу этой теоремы мы будем говорить в дальней-
дальнейшем не об Й-фактор-группе О/я Й-группы О по некоторой
конгруенции я, а об &-фактор-группе по идеалу А и обо-
обозначать ее через О/А Идеал А будет, очевидно, нулем этой
й-фактор-группы.
Применяя все сказанное к случаю групп, мы получаем,
что все конгруенции в группе О исчерпываются ее разло-
разложениями по различным нормальным делителям. Можно
говорить, следовательно, о фактор-группе группы О по нор-
нормальному делителю А и обозначать ее через 01 А.
С другой стороны, все конгруенции в кольце Я. исчер-
исчерпываются его разложениями по различным (двусторонним)
идеалам, а поэтому мы будем говорить о фактор-кольце
кольца /? по идеалу А и обозначать его через
. 2] группы с мультиоператорами 119
Из доказанной выше теоремы вытекает еще одно заме-
замечание. Если ф — гомоморфное отображение й-группы О на
$2-группу О', то ядром гомоморфизма ф называется сово-
совокупность тех элементов из О, которые при ф отображаются
в нуль й-группы О'. Из теоремы III.2.5 и из теоремы о гомо-
гомоморфизмах III. 1.8. следует:
Ядрами гомоморфизмов &-группы служат ее идеалы
и только они. Гомоморфный образ ^-группы определяется
с точностью до изоморфизма ядром рассматриваемого
гомоморфизма.
7. Рассмотрим некоторые простейшие, но важные примеры.
Всякий гомоморфный образ циклической группы саму
является циклической группой.
Действительно, если (У — образ циклической группы О = [а]
при гомоморфизме ф, причем аф = а\ то для любого эле-
элемента § е (У можно найти прообраз ак е О, а поэтому
т. е.
Найдем теперь все гомоморфные образы бесконечной
циклической группы, в качестве которой, по И.4.2, можно
взять аддитивную группу целых чисел. В II.4.2 дано обо-
обозрение подгрупп этой группы, причем все они будут, конечно,
нормальными делителями. Если {п} — подгруппа, составленная
из чисел, кратных натуральному числу п, то два числа тогда
и только тогда будут принадлежать к одному смежному
классу по этой подгруппе, если их разность нацело делится
на п, т. е. если эти числа при делении на п дают один и
тот же остаток. Так как остатками при делении целых чисел
на п могут служить лишь числа 0, 1, 2, ..., п—1, то фак-
фактор-группа аддитивной группы целых чисел по подгруппе {п}
будет конечной группой порядка л, притом, как показано
выше, циклической. Число п было произвольным, а поэтому,
учитывая описание циклических групп, данное в II.4.2, мы
приходим к следующему результату:
Гомоморфными образами бесконечной циклической
группы служат всевозможные циклические группы и
только они.
8. Найдем теперь все гомоморфные образы кольца целых
чисел С. Как отмечено в II.7.8, все подгруппы аддитивной
120 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1ц
группы этого кольца служат в нем идеалами, а поэтому нам
остается рассмотреть фактор-кольца по этим идеалам.
Фактор-кольцо по нуль-идеалу изоморфно, конечно, самому
кольцу С. Фактор-кольцо кольца С по идеалу чисел, кратных
натуральному числу п, мы обозначим через Сп и назовем
кольцом вычетов по модулю п. Из сказанного в предыду-
предыдущем пункте следует, что это кольцо конечно и состоит из п
элементов, что его аддитивная группа циклическая и что
в смежных классах, составляющих это кольцо, в качестве
представителей можно выбрать числа 0, 1, 2, ..., п—\.
В соответствии с этим сами элементы кольца Сп могут быть
обозначены через 6, 1, 2, ..., п—\.
Из определения операций в фактор-кольце (ср. III. 1.7)
вытекают следующие правила оперирования в кольце Сп:
если О^к, 1<Сп и к^-1 — щх-\-гь Ы~Щ2-{-Гъ где
0 ^ гь г2 < /7, то _ _
к-\-1=гь к-1=г2.
В частности, элемент 0 будет нулем кольца Сп, элемент 1 —
его единицей.
Кольцо Сп обладает делителями нуля при составном
числе п, но является полем, если число п простое.
В самом деле, если п — к1, \<^к, 1<Сп, то элементы к
и /кольца Сп отличны от нуля 0 эгого кольца, но к-1=6.
Если же число п простое, п=р^2, то всякое число к,
удовлетворяющее неравенствам Х^к^р — 1, будет с /;
взаимно простым. Существуют, следовательно, такие целые
числа I и т, что имеет место равенство
к1-\-рт— 1,
причем число / можно выбрать так, что \ ^1^.р — 1.
Отсюда следует, что в кольце вычетов Ср выполняется равен-
равенство
к- 7= Г,
т. е. всякий элемент из Ср отличный от нуля, обладает
в кольце Ср обратным элементом, а поэтому это кольцо
будет полем.
Кольца вычетов Ср по простым модулям р, р = 2, 3, 5, ..,,
являются первыми примерами конечных полей, причем они
играют в теории полей и тел весьма важную роль, как
будет сейчас показано.
- 2| ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 1^1
9. Пусть дано тело /С, не обязательно ассоциативное
(см. И.6.1). Пересечение всех подтел тела К само будет
подтелом, которое мы временно назовем простым под-
подтелом тела К. Нашей целью является описание строения
этого подтела.
Назовем центром произвольного кольца Я совокупность
элементов а из К, перестановочных с каждым элементом
кольца Н, т. е.
ах — ха (б)
для всех х е Ну и, кроме того, удовлетворяющих для всех
х} у ^ К условиям
(ах)у = а(ху)} (ху) а = х (уа), G)
а поэтому и условию
(ха)у = х(ау),
так как, по (б) и G),
(ха)у = {ах)у = а (ху) == (лгу) а = х (уа) = х (ау).
Нуль кольца Н, а также его единица, если она существует,
принадлежат, понятно, к центру этого кольца.
Центр кольца /^ является ассоциативно-коммутатив-
ассоциативно-коммутативным подкольцом. Центр тела является подполем.
Действительно, если элементы а и Ь входят в центр
кольца /?, то для любых лг, у
(а ± Ь) х = ах ± Ьх = ха ± хЬ = х (а ± Ь),
[(а ± Ь) х]у — (ах ± Ьх)у = (ах)у ± (Ьх)у =
= а (ху) ± Ь (ху) = (а±Ь) (ху);
так же проверяется и второе из условий G). С другой сто-
стороны,
(аЪ) х = а (Ьх) = а (хЬ) = (ах) Ъ = (ха) Ь = х (аЪ),
[(аЬ) х]у = [а (Ьх)]у = а \(Ьх)у] = а[Ь (ху)] = (аЬ) (ху).
Таким образом, центр кольца /? оказался подкольцом, притом,
очевидно, ассоциативно-коммутативным.
Если же /? — тело с единицей е и а —элемент из его
центра, причем афО, то, решая уравнения ах — е и уа — е
и учитывая, что а содержится в центре, мы найдем одно-
122 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ГЦ
значно определенный обратный элемент а'1, одновременно
левый и правый. Тогда для любых х, у
аг 1х = (а' гх) (аа~х) = [(а~хх) а]а~1 = [а~1 (ха)] а'1 =
= [а (ах)] а'1 = [(а" 1а) х] а'1 = ха~х>
(аг1х)у = (а~ 1а) [(а" 1х)у] = а {а [(а~1лг)_у]} =
= а'1 {[а (а-1х)]у) = а {[(аа'1) л:]^} = а (лгу);
так же проверяется и второе из условий G). Этим доказано,
что элемент а'1 принадлежит к центру тела Н, а поэтому
центр будет полем.
10. Вообще говоря, центр кольца может случайно состоять
лишь из одного нуля. Если же К — тело с единицей е, то его
центр непременно содержит е, а также все кратные пе,
где п — любое целое число. Все эти кратные составляют
в К ассоциативно-коммутативное подкольцо С^к\ содержа-
содержащееся во всех подтелах тела /С, а поэтому и в его простом
подтеле. С другой стороны, простое подтело должно содер-
содержаться в центре тела /С, так как центр является подполем,
а поэтому простое подтело ассоциативно и коммута-
коммутативно. В дальнейшем можно говорить, следовательно, не
о простом подтеле, а о простом подполе тела К.
Простое подполе тела К изоморфно или полю рацио-
рациональных чисел, или же одному из полей вычетов Ср по
простому модулю р.
Для доказательства рассмотрим отображение п-> пе кольца
целых чисел С на кольцо С(К\ Это отображение будет гомо-
гомоморфным, а поэтому, как показано в 111.2.8, кольцо ОК)
изоморфно или кольцу целых чисел С, или же некоторому
кольцу вычетов Сп, даже некоторому полю вычетов Ср по
простому модулю ру так как в теле К нет делителей нуля.
В последнем случае поле Ср и будет искомым простым под-
подполем тела К. Если же имеет место первый случай, то центр
тела К, являющийся полем и содержащий подкольцо С(/Ч
изоморфное кольцу целых чисел, будет содержать и поле
дробей этого подкольца, изоморфное (см. П.5.7) полю рацио-
рациональных чисел. Это поле и будет простым подполем тела /С.
11. Если простое подполе тела К изоморфно полю рацио-
рациональных чисел, то говорят, что гело К без характеристики
ГРУППЫ С МУЛЬТИОПЕРАТОРАМИ 123
Цц чт0 оно имеет характеристику нуль); таковы, в част-
частности, все числовые поля. Если же простое подполе тела К
^фзоморфно нолю вычетов Ср по простому модулю р, то К
Сматывается телом конечной характеристики или простой
} характеристики, а именно характеристики р.
Всякий отличный от нуля элемент тела К без харак-
характеристики {характеристики р) имеет в аддитивной группе
итого тела бесконечный порядок (порядок р).
1 Действительно, если тело К без характеристики и а е К,
0, то из па = 0 следовало бы (пе)-а = 0, т. е. пе — 0,
как в К нет делителей нуля, откуда п — 0. Если же
характеристика тела К равна /?, то для любого а из К будет
ра = (ре) а = 0 • а = 0,
а поэтому, если а Ф 0, порядок этого элемента будет равен
простому числу р.
12. Вернемся к рассмотрению произвольной й-группы О.
Возьмем в ней идеал А и Й-фактор-группу по нему (У = О/А.
Пусть В — произвольная Й-подгруппы Й-группы С, а В — ее
полный прообраз в О при естественном гомоморфизме
О на (У, т. е. совокупность тех элементов из О, которые
лежат в смежных классах, составляющих В. Докажем, что
В будет в О О>-подгруппой.
В самом деле, если ху у е В, т. е. х-{-А, у-\-А^ В\ то
•'% е. х-\-у^В, —х е В. С другой стороны, для я-арной
-Операции шей и элементов хь х2, ..., хп^В из включе-
/;|ний л:,- + А е Я, равенств ^ + Л == Л + хь I = 1, 2,
/'Й включения D) следует равенство
...,
л ^\Х2 , , , ХцЩ} ~у~ /л — 1*^1 ~т" **/ \*^2 *~Т" / • • • \ п ~~\ *^/ ^ ^~~ /Э ,
: а поэтому хгх2 ... хпа> е В.
:, й-подгруппа Д построенная нами, содержит, конечно,
,;*.идеал А. Обратно, если дана произвольная ^-подгруппа В
[й-группы О, содержащая идеал А, то ее образ В при
' Мм
; естественном гомоморфизме 0,-группы 0 на ^-группу
Й^^О/Л будет &-подгруппой, причем В служит для В
^■Полным прообразом.
124 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Действительно, естественный гомоморфизм О на С инду-
индуцирует гомоморфизм В в (У, а поэтому, в силу сказанного
в III. 1.5, В будет Й-подгруппой в О'. С другой стороны,
из В ;=> А следует, что всякий элемент из О, входящий
в смежный класс по идеалу Л, принадлежащий к В\ будет
содержаться в В.
Нами доказана следующая теорема:
Относя всякой 0,-подгруппе &-ф актор-группы О'==О/А
ее полный прообраз при естественном гомоморфизме О на
О\ мы получаем взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее отношение включения, между всеми 0,-под-
группами ^-группы 0г и всеми теми И-под группами
0,-группы О, которые содержат идеал А.
13. Дополним этот результат следующей теоремой:
При соответствии, указанном в предшествующей тео-
теореме, идеалу одной из &-групп О, О' соответствует
идеал другой 0,-группы, причем 0>-ф актор-группы по соот-
соответствующим друг другу идеалам изоморфны между
собой.
В самом деле, если Вг является идеалом й-группы О' = О/А,
а В — его полным прообразом в О, то последовательное
выполнение естественных гомоморфизмов О на О' и О' на
О"~(У1ВГ будет, как следует из сказанного в III. 1.5, гомо-
гомоморфизмом О на О". Ядро этого гомоморфизма (см. III.2.б)
составляют те элементы из О, которые при отображении О
на (У отображаются в В\ т. е. элементы, составляющие
й-подгруппу В. Отсюда следует, ввиду Ш.2.6, III.2.5 и
111.1.8, что В будет идеалом Й-группы О и что ^-фактор-
группы О/В и 011В изоморфны между собой.
Пусть теперь В будет идеалом Й-группы О, а В — его
образом при естественном гомоморфизме О на О'. Если
Д х <= О, то Ь + А^&, х + А^(У. Так как
— х-\-Ь-\-х е В,
то
т. е. В является нормальным делителем аддитивной группы
й-группы О'. Если же дана #-арная операция л е & и про-
произвольные элементы Ь е В и хь х2> ..., хп е О, т. е.
• о1 ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 125
, 1=1, 2, ..., л, то из
/ 19 и
следует
..
А)(х2+А) ... (дгп + Л)со + (хх + Л) ...
I .1 + Л) [(й + Л) + (** + Л)] (^+1 + А) . . . (Хл + Л) @ -
о , I = \ у 2у .. .у п.
Этим доказано, что Б' будет идеалом в
Заметим, что в последней части доказатель-
доказательства мы не пользовались предположением,
что 5зА
§ 3. Автоморфизмы, эндоморфизмы.
Поле /7-адических чисел
1. Пусть О —универсальная алгебра. Всякое изоморфное
отображение алгебры О на себя называется автоморфизмом.
Так, О всегда обладает тождественным автоморфизмом —
ато будет тождественное отображение О на себя. Примерами
нетривиальных автоморфизмов служат автоморфизм аддитив-
аддитивной группы целых чисел, переводящий всякое целое число к
в число — ку а также автоморфизм поля комплексных чисел,
переводящий всякое комплексное число а-\-Ы в число а — Ы.
Результат последовательного выполнения автоморфизмов
алгебры О снова будет автоморфизмом. По этому умножению,
ассоциативному ввиду 1.1.2, все автоморфизмы алгебры О
составляют группу, так как единицей служит тождественный
автоморфизм, а обратное отображение для любого автомор-
автоморфизма также будет автоморфизмом; эта группа называется груп-
группой автоморфизмов универсальной алгебры О.
х Всякая группа изоморфна группе всех автоморфизмов
некоторой универсальной алгебры [Б и р к г о ф, КеУ15(а 11шопе
Ма*. Аг^епг-ша 11 A946), 155—157].
Всякая группа изоморфно вкладывается в группу автомор-
автоморфизмов некоторой абелевой группы. #
2. Пусть дана некоммутативная полугруппа О, обла-
обладающая единицей, и в ней выбран делитель единицы е, т. е.
Элемент, для которого в О существует обратный элемент е-1,
126 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. щ
одновременно левый и правый (ср. 11.8.1). Трансформируя полу,
группу О элементом 8, т. е. отображая всякий элемент х из О
в элемент е-1хе, мы получаем автоморфизм полугруппы О,
называемый ее внутренним автоморфизмом. Действительно,
из
следует х=у, т. е. рассматриваемое отображение взаимно
однозначно. Далее, из
х
вытекает, что это будет отображение на всю полугруппу О.
Наконец, равенство
е (ху)г = г~гхг • г~1уг
доказывает изоморфность этого отображения.
Ясно, что коммутативная полугруппа с единицей, в част-
частности всякая абелева группа, обладает единственным внут-
внутренним автоморфизмом, а именно тождественным.
Легко проверяется, что произведение трансформирований
полугруппы с единицей элементами е и б совпадает с транс-
трансформированием элементом ей, а обратным для трансформи-
трансформирования элементом 8 служит трансформирование элементом е.
Отсюда следует, что внутренние автоморфизмы полугруппы
с единицей составляют подгруппу в группе всех автомор-
автоморфизмов этой полугруппы.
Подгруппа внутренних автоморфизмов будет даже нор-
нормальным делителем в группе всех автоморфизмов рас-
рассматриваемой полугруппы О. В самом деле, пусть даны про-
произвольный автоморфизм ф полугруппы О и ее внутренний
автоморфизм а, порожденный делителем единицы 8. Тогда для
любого л
х (ф-1аф) = [8 (хор'1) е] ф =
= (8" г) ф • (ДГф- *) ф • (8ф) = (8ф)X (8ф),
т. е. автоморфизм ф~1аф является внутренним и порождается
делителем единицы еф.
С другой стороны, если О—группа и, следовательно,
все элементы из О являются делителями единицы, то мы полу-
получаем гомоморфное отображение всей группы О на группу ее
внутренних автоморфизмов, ставя в соответствие всякому эле-
элементу из О порождаемый им внутренний автоморфизм. Ядром
ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ I27
«того гомоморфизма (см. III.2.б) служит совокупность элемен-
элементов из О, перестановочных с каждым элементом этой группы;
%на называется центром группы О. Из теоремы о гомомор-
гомоморфизмах вытекает, что центр группы О является нормаль-
шм делителем, а группа внутренних автоморфизмов
группы О изоморфна фактор-группе группы О по ее центру.
3. Понятие внутреннего автоморфизма переносится на слу-
ча# любого ассоциативного кольца с единицей.
Именно, всякий внутренний автоморфизм мультиплика-
мультипликативной полугруппы ассоциативного кольца Н с единицей
будет автоморфизмом самого этого кольца, так как
е~* (х -{-у) г~г~~1хг-{-г~ гуг.
Такой автоморфизм естественно назвать внутренним авто-
автоморфизмом кольца Я-
4. Всякое гомоморфное отображение универсальной алгеб-
алгебры О в себя называется ее эндоморфизмом. К числу эндоморфиз-
эндоморфизмов принадлежат, в частности, все автоморфизмы, а также все
изоморфные отображения О в себя и все гомоморфные отоб-
отображения О на себя.
Результат последовательного выполнения эндоморфизмов
снова будет эндоморфизмом, а поэтому все эндоморфизмы
составляют по этому умножению, ассоциативному ввиду 1.1.2,
Полугруппу, называемую полугруппой эндоморфизмов универ-
универсальной алгебры О.
,. * Эта полугруппа эндоморфизмов обладает единицей — ею
служит тождественный автоморфизм. Делителями единицы
полугруппы эндоморфизмов являются автоморфизмы и только
Они, так как только в случае автоморфизмов возможно одно-
однозначное обратное отображение.
Полезно отметить, что тождественный автоморфизм уни-
универсальной алгебры О играет роль единицы не только для
|$Ндоморфизмов этой алгебры: он является, очевидно, левой
•Единицей для всех гомоморфных отображений алгебры О
'!•* любые другие алгебры, а также является правой еди-
единицей для всех гомоморфных отображений некоторых алгебр
'^ алгебру О.
<- 5. Займемся сейчас рассмотрением гомоморфных
^"Отображений Й-групп. Если ф и г^ — два гомоморфизма
128 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. щ
й-группы О в й-группу О', то отображение
а (Ф +1|0 = шр + яф, «еО, A)
в общем случае не является гомоморфизмом. Оно тогда и толь-
только тогда будет гомоморфизмом (см. III. 1.5), если для любых
т. е. если
йф + агф = агф + Ьу, B)
и если для любой #-арной операции «ЕЙ и любых аь а2, ...
(а±а2... апсо) (ф + я|>) = [а± (ф + я|?)] [а2 (ф + я|>)] ... [ап (ф + я|>)] о,
т. е. если
(я2ф) .. - (Ялф) о) + (Яхф) (а2я|?) ... (ап\р) со =
(а2ф + а2г|)) ... (алф + аяя|>)со. C)
Если условия B) и C) выполняются, то гомоморфизмы
ф и г|) называются суммируемы лай а гомоморфизм ф + 'ф —
их суммой.
Условие B) показывает для случая групп без муль-
тиоператоров, что гомоморфизмы ф и г|) группы О
в группу О' тогда и только тогда суммируемы, если под-
подгруппы Оф и Оур группы О' поэлементно перестановочны.
Если же рассматриваются гомоморфизмы ф и г|) кольца Я
в кольцо /?', то условие B) выполняется автоматически,
а условие C) превращается в условие: для любых а, Ь
т. е.
6. Нами определено частичное сложение гомоморфиз-
гомоморфизмов й-группы О в й-группу О'. Это сложение коммутативно,
так как из B) для всех а^О следует
т. е., ввиду A), ф4-'ф = 'ф + ф. Оно и ассоциативно, так как
для всех а е= О
« 1(Ф + *) + Х1 = « [ф + ('Ф + X)] = «Ф + а-ф + ах
ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 129
$\ Отсюда следует, что если сумма V Ф« гомоморфизмов
2 ' лювв^шк
2 '
'у 2=1, 2, ..., п, является гомоморфизмом, то она
определена. Заметим, что можно говорить и о сумме
семейства гомоморфизмов ср/: О —^ О', I е /,
# дополнительно предположить, что для любого а^О
лишь конечное число элементов аф/, I е /, отлично от нуля.
Если гомоморфизмы ф и г|) ^-группы О в ^-группу С
Суммируемы, то для любых 0,-групп И и Р и любых гомо-
ШОрфизмов о: И -> О и т: О' -> ^ гомоморфизмы оц> и о\р,
а также фт и г|)т (см. III. 1.5) будут суммируемыми и
о (ф + г|)) = аф + аг|), (ф + ^) т = фт + грт. D)
Действительно, если деЯ, то
г (ф + я|?)] = (ао) (ф + -ф) = (аа) ф + (аа) -ф =
= а (аф) + & (о"Ф) = а (аф + а-ф),
1(г. е. отображение аф + аг|) будет гомоморфизмом и имеет
:1|есто. первое из равенств D). Столь же просто доказывается
^второе утверждение теоремы. Заметим, что из существо-
существования сумм, стоящих в правых частях равенств D), не вы-
еает существование сумм, стоящих в их левых частях.
7; Ввиду равенства 0-)-0 = 0, где 0 —нуль й-группы, и
равенства A) из III.2.1 отображение, переводящее всякий эле-
элемент Й-группы О в нуль й-группы О', будет гомоморфизмом;
$то нулевой гомоморфизм О в О'.
, Немедленно проверяются следующие утверждения: всякий
гомоморфизм ф*.0->0' суммируем с нулевым гомоморфиз-
гомоморфизмом, причем сумма равна ф; если гомоморфизмы ф, г|):
Суммируемы и
гомоморфизм г|) нулевой; наконец, для любых й-групп Н
й р и любых гомоморфизмов а: И->0 и т: С-** Р произ-
произведение а на нулевой гомоморфизм О в О' равно нулевому
гомоморфизму Я в О', а произведение нулевого гомоморфизма
О в О' на т равно нулевому гомоморфизму О в р.
8. Рассмотрим гомоморфизмы некоторой группы О (без
иультиоператоров) в абелеву группу О'; будем считать
5 А, Г. Курош
130 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. щ
первую группу записанной мультипликативно, а вторую адди.
тивно. В этом случае, ввиду B), любые два гомоморфизма
суммируемы. С другой стороны, для любого гомоморфизма
ф: О-+О' отображение — ф, определяемое равенством
а (— ф)= — аФ> а
будет в этом случае гомоморфизмом, так как для любых
а, Ъ е О
(аЬ) (— ф) = — (аЬ) ср = — (аф + йср) = (— аф) + (— Ыр) =
= а(—Ф) + *(—Ф).
Этот гомоморфизм будет противоположным для ф, так как
для йбО
а [ф 4" (— ф)] — аФ "Ь а (— ф) — щ ~~ аФ — о»
т. е. ф + (—ф) равно нулевому гомоморфизму.
Таким образом, гомоморфизмы любой группы О в абе-
леву группу С составляют по сложению абе леву группу.
Рассмотрим, в частности, эндоморфизмы абелевой
группы О. Они составляют по сложению абелеву группу,
а по умножению полугруппу с единицей (см. III.3.4), причем
справедливы законы дистрибутивности D). Мы получаем, что
эндоморфизмы абелевой группы О составляют относи-
относительно операций сложения и умножения эндоморфизмов
ассоциативное кольцо с единицей. Это кольцо называется
кольцом эндоморфизмов абелевой группы О.
Всякое ассоциативное кольцо изоморфно вкладывается
в кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы.
Ввиду II.4.4 можно считать, что рассматриваемое ассоци-
ассоциативное кольцо /? обладает единицей 1. Если а — любой эле-
элемент из /?, то отображение, переводящее всякий элемент х
из /? в элемент ха, будет эндоморфизмом аддитивной группы
кольца /?, так как
(х +_у) а = ха -{-уа.
Сумме и произведению элементов из /? соответствуют сумма
и произведение соответствующих эндоморфизмов, как пока-
показывают равенства
х (а + Ь) = ха + хЬу
х (аЬ) = (ха) Ь.
Наконец, различным элементам из /? соответствуют различ-
различные эндоморфизмы, так как из а ф. Ь следует 1 • а Ф 1 • Ь.
3]
ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
4
9. Кольцо эндоморфизмов бесконечной циклической
группы изоморфно кольцу целых чисел С.
В самом деле, если а — образующий элемент заданной
группы, записанной аддитивно, и если эндоморфизм ф пере-
переводит элемент а в элемент ка, где к — некоторое целое
число, то
(па) ф = пка, E)
т. е. эндоморфизм ф вполне определяется заданием числа к.
Обратно, отображение ф нашей группы, определяемое равен-
равенством E), действительно будет эндоморфизмом. Таким образом,
между эндоморфизмами бесконечной циклической группы {а}
и целыми числами установлено взаимно однозначное соот-
соответствие. Изоморфность этого соответствия вытекает из того,
что если
аф = ка, алр = 1а,
то
а (ф +1|0 = Щ + аУР — &а + 1>а = (& + 0 а>
а (фг|)) = (аф) г|) = (ка) г|) —
Так как в кольце целых чисел лишь числа 1 и —1 обла-
обладают обратными, то группа автоморфизмов бесконечной
циклической группы [а] является циклической группой вто-
второго порядка, причем состоит из тождественного автомор-
автоморфизма и автоморфизма, переводящего всякий элемент группы
в его противоположный.
X Кольцо эндоморфизмов конечной циклической группы
порядка п изоморфно кольцу вычетов Сп по модулю п.
Кольцо эндоморфизмов аддитивной группы рациональных
чисел изоморфно полю рациональных чисел. Таким образом,
всякий ненулевой эндоморфизм этой группы является автомор-
автоморфизмом, х
10. В теории абелевых групп очень большую роль играе1
группа типа /?°°, где р — простое число: это мультипликатив-
мультипликативная группа всех тех комплексных чисел, которые являются
корнями из единицы некоторой степени рп, п=1, 2, ... Как
известно, группа корней из единицы степени рп, где п фикси-
фиксировано, будет циклической порядка рп с образующим эле-
элементом
2л , . . 2л
5*
132 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Группа типа р°° будет, следовательно, абелевой и бесконеч-
бесконечной, а именно объединением возрастающей последователь-
последовательности циклических подгрупп {ап}> п=\, 2, ... Система эле-
элементов
аП9 п=1, 2, ..., F)
служит для этой группы системой образующих. Если мы усло-
условимся употреблять для группы типа р°° аддитивную запись
вместо мультипликативной, то образующие элементы (б) будут
связаны равенствами
+ 1 = ап, л=1, 2, ... G)
Найдем кольцо эндоморфизмов группы типа р°°. Если
ф — эндоморфизм этой группы, то он вполне определяется
заданием образов всех образующих элементов (б). Так как
элемент ап имеет порядок рп, то и порядок элемента алф
не может превосходить числа рп. Все такие элементы лежат,
однако, в циклической подгруппе {пп}, а поэтому
алФ = ^Ял> л= 1, 2, ..., (8)
где
Л (9)
Далее, равенства G), справедливые для элементов (б), должны
выполняться и для их образов при эндоморфизме ф, а поэтому
откуда
+ 1ап +1) = кп + гап = кп ап.
Отсюда следует, что разность кп+1~~кп должна нацело
делиться на порядок рп элемента ап, или, используя симво
лику, принятую в теории чисел,
кп + 1 = кп(то6рп). A0)
Таким образом, всякому эндоморфизму ф группы типа р°°
соответствует последовательность целых неотрицательных
чисел
подчиненных условиям (9) и A0). Двум различным эндомор-
эндоморфизмам соответствуют при этом различные последователь-
последовательности вида A1), так как хотя бы один из образующих эле-
элементов F) имеет при этих эндоморфизмах различные образы.
ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 133
Обратно, всякая последовательность вида A1), подчинен-
,я условиям (9) и A0), соответствует некоторому эндомор-
эндоморфизму Ф группы типа р°°. Именно, на основании равенств (8)
>жно определить отображение ф для всех элементов нашей
Группы, причем легко проверяется, что это отображение будет
1|$доморфизмом.
^Г Если в группе типа /?°° взяты два эндоморфизма, ф и
«заданные соответственно последовательностями A1) и
V"
Мф
справедливости для последовательностей A1) и A2) усло
вий типа условия A0) следует, что
:.
= К1п (той /771);
сравнения не нарушатся, если их левые части будут заме-
заменены положительными вычетами по модулю /?л+1 (т. е. остат-
остатками от деления на рп+1)> а правые —по модулю /Л чем
достигается выполнение и условий (9).
Таким образом, кольцо эндоморфизмов группы типа р°°
изоморфно кольцу последовательностей целых неотрицатель-
неотрицательных чисел вида A1), удовлетворяющих условиям (9) и A0),
причем сложение и умножение этих последовательностей про-
.) изводятся покомпонентно с последующим переходом на каж-
чудом п-м месте к вычету по модулю рп. Это коммутативное
^Кольцо называется кольцом целых р-адических чисел. Его
41'рулем служит последовательность @, 0, ..., 0, ...), соответ-
соответствующая нулевому эндоморфизму группы типа /?°°; а едини-
единицей --последовательность A, 1, ..., 1, ...), соответствующая
Тождественному автоморфизму этой группы.
*!>. 11. Для целых /?-адических чисел возможна и другая запись.
ч|Пусть целое /?-адическое число а задано последовательностью
неотрицательных чисел A1), подчиненной условиям
и A0). Если мы положим
*я+1~*я л=1,2,..„ A3)
134 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
то все ап, п = 0, 1, 2, ..., будут целыми, а именно буду?"]
некоторыми положительными вычетами по модулю р, т. е.
0^ап<:р, л = 0, 1, 2, ... (Щ
Так как, по A3),
-1, п=1, 2, ...,
то целому /?-адическому числу а можно поставить в соответ»]
ствие бесконечный ряд
I
различным целым /?-адическим числам соответствуют при этом, 5
очевидно, различные ряды вида A6). Обратно, если произволь-.
ный ряд вида A6), коэффициенты которого целые и подчи-.'
нены условиям A4), то, определяя числа кп равенствами A5),
мы получим последовательность вида A1), удовлетворяющую
условиям (9) и A0).
Между всеми целыми /?-адическими числами и всеми рядами
вида A6), коэффициенты которых являются вычетами по мо-
модулю р, мы установили взаимно однозначное соответствие.
Используя A5), легко перенести операции, определенные для
целых /?-адических чисел, на ряды вида A6): если число а
задается рядом A6), а число р —рядом
также удовлетворяющим условиям A4), то
... +спрп+ ...,
где все коэффициенты сп являются вычетами по модулю р,
причем
= «о
> л=1, 2, ...;
с другой стороны,
... +с1прп+ ...,
где коэффициенты с1п также будут вычетами по модулю р,
причем
п-г—рВп' п==:1> 2> ...
3]
ЭНДОМОРФИЗМЫ. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 135
12. Из этого описания умножения немедленно следует,
ввиду простоты числа р, что кольцо целых р-адических
чисел не содержит делителей нуля и поэтому, по П.5.5,
для него существует поле дробей, называемое полем р-ади-
р-адических чисел. Это поле можно построить следующим образом.
Рассмотрим всевозможные ряды вида
.., A7)
где все коэффициенты ап являются вычетами по модулю р,
а к больше, равно или меньше нуля; ряд A7) может содер-
содержать, следовательно,, конечное число членов с отрицатель-
отрицательными степенями числа р. Если при этом не все коэффициенты
ряда A7) равны нулю, то будем считать, что ак Ф 0; с дру-
другой стороны, ряды с нулевыми коэффициентами все счита-
считаются между собою тождественными.
Перенося естественным путем определение операций над
рядами вида A6) на ряды вида A7), мы получим, что эти
последние ряды составляют ассоциативно-коммутативное
кольцо, единицей которого служит такой ряд вида A7), у
которого а0—1, а все остальные коэффициенты равны нулю.
Это кольцо будет даже полем: если ряд A7) отличен от нуля,
т. е. ак Ф 0, то обратным для него будет ряд
коэффициенты которого, являющиеся вычетами по модулю р,
последовательно находятся из следующих уравнений, разре-
разрешимых ввиду простоты числа р:
= 0,
Я А
Те ряды вида A7), у которых к ^ 0, составляют в пост-
построенном нами поле подкольцо, изоморфное кольцу целых
р-адических чисел. Само это поле служит для него полем
Дробей: всякий ряд вида A7) после умножения (в смысле
нашего определения этой операции) на некоторую положи-
положительную степень числа р (которая является, конечно, целым
р-адическим числом) превращается в ряд вида A6), т. е.
в целое р-адическое число.
136 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. ц
1
§ 4. Нормальные и композиционные ряды
1. Если в 0,-группе О даны идеал А и ^-подгруппа ^
то порожденная ими 0,-подгруппа {А, В} состоит из тещ
элементов из О, которые хотя бы одним способом могуп4
быть записаны в виде а-\-Ь, где а ее А, Ь е В, а поэтом^
имеет смысл запись I
{А, В} = А |
Ясно, в самом деле, что всякий элемент вида а-\-Ь при-
принадлежит к {Л, В). Покажем, что эти элементы сами состав
вляют ^-подгруппу, которая содержит, понятно, и Л и Я,
Действительно, если а, а! е Л, Ь, Ьг е В, то Ь-\- а! — Ь ^ А,
так как Л является нормальным делителем аддитивной группы.
Поэтому
= а"+ Ь"У
где а" е Л, Ъ" е В. Далее, 0 — 0 + 0, но нуль содержится и в
Л, и в В. Если же дан элемент а-\-Ъ> то противоположным для
него будет элемент а' — Ь, где а! = —Ь — а-\-Ь е Л. Нако-
Наконец, для любой я-арной операции йей и любых элементов
аь а2,...,ап^А и Ъь Ь2,..., Ьп е В,
в силу D) из Ш.2.4, имеем
(а1 + Ь1)(а2-\-Ь2)...(ап + Ьп)«)<==: ЬгЬ2...Ьп(о +
но
ЬгЬ2... Ьпсо = Ь е В,
так как В является Й-группой, а Ь-\-А — А-\-Ь.
2. Следующая теорема об изоморфизме весьма
часто используется.
Если А и В — 0>-подгруппы ^-группы 0, причем А явля-
является идеалом в ^-подгруппе {А, В}, то пересечение А [\ В
будет идеалом в В и имеет место изоморфизм
{Л, В}/А ~ В/(А П В). B)
Действительно, равенство A) показывает, что всякий смеж-
смежный класс Й-группы {Л, В} по идеалу Л содержит хотя бы
один элемент из В. Таким образом, при естественном гомо-
гомоморфном отображении {Л, В} на {Л, В}/А Й-подгруппа В
будет гомо!морфно отображаться на всю эту й-фактор-группу.
§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 137
Ядром указанного гомоморфизма (см. III.2.6) служит, оче-
очевидно, пересечение А[\В. Оно будет, следовательно, идеалом
в В, а справедливость изоморфизма B) вытекает из теорем
Ш.1.8 и Ш.2.5.
3. Сейчас будет доказана лемма Цасенхауза, обоб-
обобщающая теорему об изоморфизме и существенно используе-
используемая ниже в доказательстве теоремы Шрейера.
Если в О.-группе О даны ^-подгруппы А, Аг, В и В\
причем А' и В' являются соответственно идеалами в А
и в В, то А' -\-(А[\В') и В'-\-(В[\Аг) будут соответст-
соответственно идеалами в А'-\-(А[\В) и в В'^\-(В[\А) и имеет
место изоморфизм
(А() ВIА' + (А П В') ~ # + (Я П АIВГ + (В(] А'). C)
Эта лемма превращается, очевидно, в теорему об изомор
физме при А=эВ и В' = 0.
Для доказательства леммы положим
С = А П В.
Так как В' — идеал в В, а С с= В, то, по теореме об изомор
физме,
будет идеалом в С. Это же верно и для пересечения В [\ А,
а поэтому и для суммы С этих двух идеалов (см. III.2.4),
D)
Положим
В - С 1С.
С другой стороны, так как N является идеалом в А, то,
по Ш.4.1,
Произвольный элемент этой суммы имеет вид а'-\-с> где
о! е^', с е С Поставим ему в соответствие смежный класс
(т. е. элемент группы П) С-\-с. Если элемент а!-\-с обла-
обладает другой записью этого же вида,
аг + с — а\ -\- сь а[ е А\ сх е С,
то
— а\ -У а* = сх - с е Аг [\ С с= К [\ В <=-. С,
138 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1Ц
а поэтому
сг = ( - а\ + а') + с е= С + с.
Мы получаем однозначное отображение й-группы А-\-С
в Й-группу Д даже на всю эту й-группу, так как всякий
элемент сеС, принадлежащий, конечно, к А-\-С, отобра-
отображается при этом в свой смежный класс С-\-с. Это отобра-
отображение гомоморфно: так как Л' —идеал в А-\-С, то
сх) + (Да
и, по D) из III.2.4, для любой я-арной операции
сп) со = ао
где ао е Л', а с1!^... слсо е С, так как С является й-группой.
Ядром пострсенного гомоморфизма служит сумма А -{-
-\- (А Г) Вг). Действительно, эта сумма входит в ядро, так как
А[\ВГ <^С. С другой стороны, если элемент а'-\-с ^ А-\-С
отображается при рассматриваемом гомоморфизме в С, то
', и поэтому, по D), можно записать:
, где и^В[\А\ у<= А[\В'
— ясно, что при записи суммы двух идеалов слагаемые можно
писать в любом порядке. Таким образом,
а' -\-с = (аг -\-и) + у ЕЕ А + (А() В').
Отсюда следует, что А-\-(А[\В') будет идеалом в А
С = А-\-(А[\В) и, кроме того, имеет место изоморфизм
По соображениям симметрии можно утверждать, что Вг -\-
(В(]А) будет идеалом в В + (В[\А) и
Изоморфизм C) этим доказан.
4. Конечная система вложенных друг в друга Й-подгрупп
й-группы О,
О = Ао =) Аг =) А2 =)... =) Ак = О, E)
начинающаяся с самой О и оканчивающаяся нулем, называ-
называется нормальным рядом этой й-группы, если всякая Й-под-
группа Ар 1=1, 2,,,., к, является истинным идеалом в
5 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 139
(чогя и не обязательно в А^ при у <С/— 1). Число к называ-
называется длиною нормального ряда E), а Й-фактор-группы
— факторами этого ряда.
Всякая Й-группа О обладает нормальными рядами —таков
ряд ОзО, а также, если в О имеется нетривиальный идеал
Л, ряд О^э А^э О.
Нормальный ряд
О = Во =Э Вх =)#2 =Э . . . Эй/ - О
называется уплотнением ряда E), если всякая О, -подгруппа
Л;, /=1, 2,..., &—1, совпадает с одной из Й-подгрупп В/,
ясно, что 1^к.
Наконец, два нормальных ряда Й-группы О называются
изоморфными, если их длины равны, а между факторами
можно установить такое взаимно однозначное соответствие,
что соответствующие факторы будут изоморфными й-груп-
пами. При этом не предполагается, что указанное соответст-
соответствие сохраняет взаимное расположение факторов, т. е. /-й фак-
фактор первого ряда не обязан быть изоморфным /-му же фак-
фактору второго ряда.
5. Теорема Шрейера. Всякие два нормальных ряда
произвольной ^-группы О обладают изоморфными уплот-
уплотнениями.
В самом деле, пусть в О даны нормальные ряды
Положим
О = Л0=э
Аг
В1
ИЭ Л% ИЭ .
.. => Ак =
0,
О.
F)
G)
1=\, 2,..., А, у = 0, 1,,..,/;
у-1 П М У=1> 2,...,/, / = 0, 1,...,*.
Эти записи имеют смысл в силу Ш.4.1, так как, например,
Л/ является идеалом, а Л/_х П ^у — й-подгруппой в Л/_х. Отме-
Отметим, что для 1=1, 2,.,., ^ и у = 1, 2,..., / имеют место
включения
Ввиду леммы Цасенхауза (см. Ш.4.3) А-ч- и Вуг будут со-
соответственно идеалами в А-г^-х и В^1-ь а соответствующие
140 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
й-фактор-группы изоморфны:
Если мы вставим в ряд (б) между А-г_х и Л,, /=1, 2,...^
..., к, все А 1р у=1, 2,...,/—1, то получим, вообще говоря, |
для ряда F) уплотнение с повторениями, так как равенство
Л^у-_1 = Л,-у случайно может иметь место. Аналогично полу-!
чается уплотнение с повторениями и для ряда G). Эти уплот-
уплотнения, ввиду (8), изоморфны.
Для окончания доказательства остается перейти к уплот-
уплотнениям без повторений. Если Лг>у_1 = Л^, т. е.
то, по (8), и В]1-х~Вуи Отсюда следует, что, не нарушая
изоморфизма рассматриваемых уплотнений, можно одновре-
одновременно исключить из них все повторения. Теорема доказана.
■X Возрастающим нормальным рядом й-группы О назы-
называется система ее ^-подгрупп Ла, удовлетворяющая следую-
следующим условиям:
1. Индексы а составляют вполне упорядоченное множе-
множество (см. 1.5.4) с первым элементом 0 и последним элемен-
элементом \к.
2. А0 = О, ЛЦ = О.
3. Если а<Р, то Аа а А$.
4. Если индекс, непосредственно следующий за а, обо-
обозначим через а+1, то для всех а Аа является идеалом
5. Если индекс а предельный, то Аа является теоретико-
множе:твенным объединением всех Лр, Р<а.
Любые два возрастающих нормальных ряда произволь-
произвольной й-группы О обладают изоморфными уплотнениями, также
являющимися возрастающими нормальными рядами [Л. Г. Ку-
рош, Мат. сб. 16 A945), 59-~ 72]. Пример бесконечной цик-
циклической группы показывает, что для бесконечных убываю-
убывающих нормальных рядов аналогичная теорема не имеет места. #
6. Нормальный ряд ^-группы, не имеющий уплотнений,
отличных от него самого, называется композиционным рядом
этой й-группы. Ввиду 1112.13 нормальный ряд 0,-группы тогда
и только тогда будет композиционным, если все его фак-
факторы являются простыми ^-группами (см. 111.2.4).
§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 141
Из теоремы Шрейера вытекают следующие две теоремы:
Теоремы Жордана — Гельдера. Вели 0>-группа О обла-
обладает композиционными рядами, то всякие два ее компо-
композиционных ряда изоморфны.
Если ^-группа О обладает композиционными рядами,
то всякий ее нормальный ряд может быть уплотнен до
композиционного ряда и поэтому имеет длину, не превос-
превосходящую длины композиционных рядов этой ^-группы.
Для доказательства этой второй теоремы достаточно при-
применить теорему Шрейера к данному нормальному ряду и
к одному из композиционных рядов рассматриваемой группы.
Применяя введенные понятия к случаю групп без мульти-
операторов, заметим, что композиционными рядами обладают
как все конечные, так и некоторые бесконечные группы.
Однако ни бесконечная циклическая группа, ни группа типа
/7е0 (см. 111,3.10) композиционных рядов не имеют.
7. Инвариантным рядом Й-гругшы О называется упоря-
упорядоченная по включению конечная система идеалов самой
Й-группы О, начинающаяся с О и оканчивающаяся нулем.
Это понятие является частным случаем понятия нормального
ряда, а поэтому для него имеют смысл понятия изоморфизма
рядов и уплотнения ряда, введенные в III.4.4. Инвариантный
ряд, не имеющий уплотнений, отличных от него самого и
также являющихся инвариантными рядами, называется глав-
главным рядом. Имеют место теоремы:
Всякие два инвариантных ряда произвольной ^-группы
могут быть уплотнены до изоморфных инвариантных
рядов.
Если ^-группа обладает главными рядами, то всякие
два ее главных ряда изоморфны, а любой инвариантный
ряд может быть уплотнен до главного ряда.
Легко проверяется, что эти теоремы могут быть дока
заны теми же методами, как и соответствующие теоремы
для нормальных рядов. Они, впрочем, немедленно вытекают
из теорем, доказанных выше, если воспользоваться следую-
следующей конструкцией. Пусть дана й-группа О. Расширим систему
мультиоператоров й до системы &', добавляя к ^ некото-
некоторую, в общем случае бесконечную, систему унарных опера-
операций. Именно, к & добавляются все внутренние автоморфизмы
аддитивной группы О, а также все отображения О в себя,
определяемые следующим образом: для любой я-арной
142 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
операции шей, любых элементов хь х2,..., хп е О и лю-
любого числа /, 1 ^ / ^ /2, берется отображение, переводящее вся-
всякий элемент йеОв элемент
— Х±Х2 . . . Хп(& -\- Х± . . . Х(-1 уп -\- Х() Х(+1 . . . ХП(О.
Все добавленные унарные операции переводят нуль в нуль,
т. е. удовлетворяют условию A) из III.2.1, а поэтому О явля-
является Й'-группой. В силу определения идеала (см. III.2.4)
О!-подгруппами в О будут идеалы ^-группы О и только
они, а поэтому нормальные (композиционные) ряды Й'-группы
О совпадают с инвариантными (главными) рядами й-группы О.
§ б. Абелевы, нильпотентные и разрешимые й-группы
1. Пусть в й-группе О взяты Й-подгруппы Л и В. Вза-
Взаимным коммутантом [А, В] этих й-подгрупп называется
идеал й-подгруппы {Л, В}} порожденный в ней множеством
всех элементов следующих двух видов:
[а, Ь] = —а — Ь-\-а-\-Ь, а е Л, Ъ е В, A)
— этот элемент называется коммутатором элементов а и
Ь, — и
,..., Ъп\ со] = — п±а2... йлсо —
— ЬгЬ2 ...Ьпсо + (аг + Ьг) (а2 + Ь2)... (ап + Ъп) со, B)
где со —д-арная операция из &, аь а2,..., ап^А, Ьь Ь2}...
Таким образом, в случае группы О без мультиоператоров
взаимный коммутант [А, В] двух подгрупп А, В <=:(} явля-
является нормальным делителем, порожденным в подгруппе {А, В}
всевозможными коммутаторами [а, Ъ\ где йбД Ь ^ В.
Если же рассматривается кольцо Н, то [а, #] всегда равно
нулю, а элементы B) принимают вид
[аь а2\ Ъь Ъ2) = — а!а2 - Ъф2 + («1 + Ьг) (аа
1» °; 0» *2] + [0» Й2; К 0].
В этом случае, следовательно, взаимный коммутант [Л,
двух подколец А, В <==,Я является идеалом, порожденным в
подкольце {Л, В) всевозможными произведениями аЪ и Ьа,
где йеА й е Я
§ 5] АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ Й-ГРУППЫ 143
Из определения идеала немедленно следует, что если
в Й-группе О взята й-подгруипа Л, а в ней некоторое под-
подмножество Ж, то идеал, порожденный множеством Ж в Л,
содержится в идеале, порожденном Ж в О. Отсюда вытекает,
что если в ^-группе О даны ^-подгруппы А', В', Л, В, при-
причем А' ^ А, В' <^ В, то
[А', В'] с= [Л, В].
х В группе без мультиоператоров взаимный коммутант
[А, В] совпадает с подгруппой, порожденной всеми ком-
коммутаторами [а, >], абА, 6Я
2. Для любых 0.-подгрупп А и В ^-группы О имеет
место равенство
[А, В] = [В, А]. C)
Действительно, для любых Ь е В, й
[Ь, а]= -а + [-а, Ь] + а<=[А} В], D)
так как [Л, В] по сложению является нормальным делителем
в {А, В}. С другой стороны, для любой /2-арной операции
со е Й и любых Ьь Ь2у..., Ьп^ В, аь а2,..., ап е Л
12 п 1Ъ п Л
и поэтому, ввиду D),
[Ь±Ь2... Ьпа>, а±а2... апсо] е [Л, В].
Далее
а так как, по D),
[ — Ьь — а(] е [Л, 5], /=1,2,..., я,
и [Л, В] является идеалом в {Л, В}} то, в силу D) из III.2.4,
а2)... FЛ + ал) со =
Ь2)... (ал + йл) со
где ^ е [Л, В]. Мы получаем, что
«1> а2,..., а„; со] = [й^2... 6яю, а^а... алсо]
, а2,..., ап; Ъь *2,..., *л; со] + ^€Е[Л, В]. E)
144 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Из D) и E) вытекает включение
[Д А] <= [Л, 5],
из которого по соображениям симметрии следует равенство C),'
3. Как показывает определение, взаимный коммутант [Л, 0]^
любой й-подгруппы Л с самой й-группой О является иде-!
алом в О. Это справедливо, в частности, для ,]
О'=[О, О]. ]
Этот идеал называется коммутантом й-группы О. !1
Для группы О без мультиоператоров коммутант О' будет,
следовательно, нормальным делителем, порожденным всеми
коммутаторами [а, Ь], а, Ь^О. Для кольца Н коммутант
является идеалом, порожденным всеми произведениями аЬ>
а} Ь е И', в теории колец этот идеал называется обычно квад-
квадратом кольца /?.
О.~подгруппа А О.~группы О тогда и только тогда яв-
является идеалом в О, если
[А, О] я: А. F)
Действительно, если Л — идеал в О, то для всех й
х е О в Л содержится элемент — х-\-а-\-х, а поэтому и
элемент [а, х]. С другой стороны, ввиду D) из III.2.4, для
всякой #-арпой операции ооеЙ и всех аь а2,..., ап е А,
-^2» • • •> -*тг ^ О в Л содержится элемент
а поэтому и элемент
Идеал Л содержит, следовательно, и идеал, порожденный
всеми указанными элементами, т. е. идеал [Л, О].
Обратно, если выполняется (б), то Л содержит, в частно-
частности, все коммутаторы [а, х], а е Л, х е О, откуда — х-\- а +
|^еД т. е. условие 1) из Ш.2.4 выполняется. Выполня-
Выполняется и условие 2); действительно, B) из Ш.2.4 следует из
[О,..., О, а, 0,..., 0; хь х2,..., хп\ со] е А,
так как 0 ... ОаО ...ОоеА
Из этой теоремы вытекает, ввиду включения
[л, о] с= [о, о] = о;
§ 5] АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ ^-ГРУППЫ 145
что всякая 0,-подгруппа А ^-группы 0, содержащая ком-
мутант (У, будет в О идеалом,
4. Й-гр_уппа О называется абелевой, если ее коммутант
равен нулю,
[О, О] = О.
Эго означает, в частности, что для всех а,
[а, Ь] = 0,
откуда следует
, G)
т. е. абелева 0,-группа имеет абелеву аддитивную группу.
С другой стороны, для всякой /2-арной операции о)ЕЙ и
любых аь а2,..., аю Ьь Ь2,..., Ьп^О будет
[аь а2,..., ап\ Ьь Ь2,..., Ьп; со] = О,
т. е., ввиду G),
(аг + Ьг) (а2 + Ь2)... (ап -\-Ьп)@ = аха2... апсо + Ьф2... Ьпсо. (8)
Для групп без мультиоператоров это понятие превраща-
превращается в понятие обычной абелевой группы, а для колец —
в понятие кольца с нулевым умножением, так как условие
(8) равносильно для колец условию аЬ = 0 для всех а и Ь.
Всякая ^-подгруппа А абелевой ^-группы О является
в О идеалом, так как А =2 О' = 0.
Всякая 0,-подгруппа А ы всякая 0>-фактор-группа 01А
абелевой ^-группы О сами абелевы, так как из справедли-
справедливости в О условий G) и (8) вытекает их справедливость и
в Л, и в О/А.
5. &-фактор-группа О/А 0,-группы О тогда и только
тогда абелева, если идеал А содержит коммутант Ог
И-группы О,
А э О'. (9)
Действительно, абелевость Й-фактор-группы 01А означает,
что для всех х, у е О
и для всякой «-арной операции шей и любых хь х2,...
•' •> хп> Уъ У%> • • •> Уп €= О
) у1-\-А,у2-\-А,...,уп-\-А\ оо] = А
146
УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. 1Ц
Это равносильно, однако, включениям
[х, у] <= Л,
[, Х2, . . ., Хп\ _Ух? Уъ> .. .> Уп\ 0)] ЕЕ Л,
т. е. равносильно включению (9).
В частности, абелевой будет 0>-ф актор-группа О/(У
0,-группы О по ее коммутанту.
6. Нормальный ряд
Л Л Л 0 A0)
й-группы О (см. III.4.4) называется центральным рядом,
если
1 = 0, 1,..., А-1. A1)
Заметим, что из A1) вытекает для всех / включение
[Ль О] <= Л,,
а поэтому, по Ш.5.3, все Л,- будут идеалами в О, т. е. вся-
всякий центральный ряд является инвариантным рядом (см.
Ш.4.7).
й-группа О называется нильпотентной, если она обла-
обладает хотя бы одним центральным рядом. К числу ни ль побит-
побитных й-групп принадлежит, в частности, всякая абелева
й-группа О, так как для нее ряд 013 О служит централь-
центральным рядом.
Нижней центральной цепью произвольной Й-группы О
называется убывающая цепь идеалов
О = О0 = Ох э О2 =э ... ^ О,; =2 ..., A2)
где
Ь О], / = 0, 1, 2,... A3)
Заметим, что если уже доказано, что О; является идеа-
идеалом, то идеал О;+1 будет содержаться в О;.
0,-группа О тогда и только тогда нильпотентна, если
ее нижняя центральная цепь A2) после конечного числа
шагов достигает нулевой подгруппы, т. е. Ок = О при неко-
некотором к.
В самом деле, если Ок = О, то цепь A2) превращается,
ввиду A3), в конечный центральный ряд. Обратно, пусть
Й-группа О обладает центральным рядом A0). Тогда О0 =
, 51 АБЕЛЕВЫ, НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ О-ГРУППЫ 147
_ о_-г= Ао. Если уже доказано, что О,- д= Д., то, по A3) и A1),
Отсюда следует, что
т. е.
Всякая ^-подгруппа А нильпотентной 0>-группы О сама
нильпотентна.
Действительно, пусть
А = Ао ^ Аг з Л2 => ... ^ Аг з ...
будет нижняя центральная цепь й-группы Д. Тогда
Ло = А с О = О0.
Пусть уже доказано, что Л^ с= О-. Тогда
Из Ок = О следует теперь Ак = О.
Всякий гомоморфный образ /7=Оф нильпотентной
п-группы О сам нильпотентен.
Действительно, пусть A2) и
И =
будут соответственно нижними центральными цепями й-групп
О и Я. Тогда
Ио = И — Сф = О0ф.
Пусть уже доказано, что
^<=О;ф. A4)
Если а'^Н^ Ь'^ Н, то существуют, ввиду A4), такие
^еО| и & е О, что аф = а', ^ф = Ь\ а поэтому, в силу опре-
определения гомоморфизма,
[а, й]ср = [а', П A5)
Аналогично для любой л-арной операции (оеО и любых
аь а[1У..., а^Е Я;, й|, й.2> • • •' Ь'п^И существуют такие аь
аъ ..., ап €= О/ и йх, ^2> ..ч*леО, что агф = а;, й,-ф = й'*,
^=1> 2,...,/2, а поэтому
..., ая; йх, й2, ..., Ьп\ со] ф =
\, а'ъ...,а'п\ Ь\, Ыг,...уЪп\ со]. A6)
148 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ. ЦН
Так как, в силу замечания, сделанного в конце 111.2.13, образ!
О/+1ф идеала О1+1 является идеалом в И, то, ввиду A5) и A6),\
Нм = [Ни Н] <= СмФ. )
Отсюда и из Ок = О следует Ик = О. \
7. Нормальный ряд '<
О = А0^э ЛХ1Э Л2=э...=) Ак = О A7)»
Й-группы О называется разрешимым рядом, если все фак-!
торы I
]
этого ряда являются абелевыми й-группами, т. е., ввиду {
III.5.5, если
.?
й-группа О называется разрешимой, если она обладает хотя
бы одним разрешимым рядом.
Всякая нильпотентная ^-группа О разрешима.
Действительно, если в О задан центральный ряд A0), то,
ввиду A1),
[Аь А(] с [Аь О] != А1+ь I = 0, 1,...,
что и требовалось доказать.
Цепью коммутантов Й-группы О называется убываю-
убывающая цепь й-подгрупп
О = 0(о) зО'эО"з...2 Ои) =? ..., A9)
где
() @ 'О / = о, 1, 2,... B0)
^-группа О тогда и только тогда разрешима, если ее
цепь коммутантов A9) после конечного числа шагов
достигает нуля, т. е. 0^ = О /2/?и некотором к.
В самом деле, если О^==ОУ то цепь A9) превращается,
ввиду B0), в конечный разрешимый ряд. Обратно, пусть
Й-группа О обладает разрешимым рядом A7). Тогда О@) =
= О = А0. Если уже доказано, что О(г) <= Д-, то, по B0)
и A8),
0<М) = [0@, 0@] с [Д,
Отсюда следует, что
О(й) ^ Лл = О,
т. е. О^) = О.
$ Ч АБЕЛЕВЫ. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ И РАЗРЕШИМЫЕ П-ГРУППЫ И9
Всякая И-подгруп]га А разрешимой И-группы О сама
разрешима.
В самом деле, пусть
А = Д<°) з Л' =2 А" => ... => &
будет цепь коммутантов й-группы Л. Тогда
Если уже доказано, что Д@ д= о(О? то
с [0@, 0@] =
Из 0(/г) = О следует теперь Л(А) = О.
Всякий гомоморфный образ разрешимой (^-группы О
сам разрешим.
Достаточно доказать это утверждение для й-фактор-
группы О/А. Так как всякое уплотнение разрешимого ряда
само разрешимо, то, по теореме Шрейера Ш.4.5, для нор-
нормального ряда О и) Л 1э О существует в нашем случае раз-
разрешимое уплотнение, которое, по 111.2.12 и Ш.2.13, опреде-
определяет разрешимый ряд в О/А.
. И в случае групп, и в случае неассоциативных, в част-
частности лиевых, колец разрешимость оказывается существенно
шире нильпотентности. Иное положение в случае ассоциатив-
ассоциативных колец:
Всякое разрешимое ассоциативное кольцо нильпотентно.
Заметим сперва, что если даны ассоциативное кольцо
Н и натуральное число п, то идеал, порожденный в /?
множеством всевозможных произведений по п элементов
из /?, совпадает с подгруппой, порожденной этим мно-
множеством в аддитивной группе кольца /?. В самом деле,
указанная подгруппа состоит из нуля и всевозможных сумм
конечного числа произведений по п элементов. Умножая такую
сумму слева или справа на любой элемент из /?, мы полу-
получим сумму нескольких произведений по п-\-\ элементу каж-
каждое. Заменяя, однако, в каждом из членов этой суммы одну
пару соседних сомножителей их произведением, мы снова
придем к сумме произведений по п элементов.
Отсюда легко выводятся следующие два утверждения.
В ассоциативном кольце Я 1-й член цепи коммутан-
коммутантов /^@ совпадает с идеалом, порожденным в Н множе-
множеством всевозможных произведений по 21 элементов из /?.
150 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
Для 1—1 это известно нам из III.5.3. Пусть утверждение
уже доказано для /, т. е. /?(/) состоит из сумм произведений
по 21 элементов. Тогда /^<+1) является, ввиду B0), подгруп-
подгруппой аддитивной группы кольца К, порожденной всевозмож-
всевозможными произведениями пар элементов из %У\ т. е., ввиду
законов дистрибутивности, порожденной всевозможными про-
произведениями по 2/+1 элементов.
В ассоциативном кольце Я 1-й член нижней централь-
центральной цепи Я{ совпадает с идеалом, порожденным в /? мно-
множеством всевозможных произведений по I --[- 1 элементу
из /?.
Для /—1 это верно. Пусть наше утверждение уже до-
доказано для /, т. е. #1 состоит из сумм произведений по 1-\-\
элементу. Тогда /?г+1 является, ввиду A3) и 111.5.1, идеалом,
порожденным в /? произведениями элементов из /?г на любые
элементы из /?, слева или справа, т. е., ввиду законов дист-
дистрибутивности, порожденным всевозможными произведениями
по I -\- 2 элемента.
Таким образом, для ассоциативного кольца
а поэтому из Н{к) — О следует Н2ь_х ~О, что и требовалось
доказать.
§ 6. Примитивные классы универсальных алгебр
1. Вернемся к изучению произвольных универсальных
алгебр. Понятие однотипности алгебр (см. III. 1.5) является
слишком общим для того, чтобы выделять разумные классы
алгебраических образований. Так, далеко не всякая универ-
универсальная алгебра с одной бинарной операцией (умножение),
одной унарной операцией (взятие обратного элемента) и
одной нульарной операцией (взятие единицы) будет группой,
хотя она и однотипна с группами. Группы выделяются среди
всех этих алгебр тем, что в них, как мы хорошо знаем,
имеют место следующие тождественные соотноше-
н и я: для любых х, у, г
Мы хотим определить понятие тождественного соотно-
соотношения для случая универсальных алгебр с любой фиксиро-
фиксированной системой операций {д
§ 6] ПРИМИТИВНЫЕ КЛАССЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 151
2. Пусть дано некоторое непустое вспомогательное мно-
множество X, элементы которого будут называться свободными
элементами и обозначаться через х с индексами, а также
через у, г и т. д. С другой стороны, всем нульарным опе-
операциям из й, если такие существуют, сопоставим некоторые
символы, которые будут называться символами нульарных
операций.
Определим понятие слова. Прежде всего, словами будут
считаться все свободные элементы и все символы нульарных
операций. Если же мы уже знаем, что выражения т&г, х&2,...
,.., шп являются словами, то для любой л-арной операции
соей, где я^1, формальное выражение
со A)
также будет считаться словом.
Таким образом, всякое слово будет конечным выраже-
выражением, в котором участвуют свободные элементы, символы
нульарных операций и символы со для я-арных операций из
й, /2^1, причем с любым числом повторений; при этом
символ я-арной операции со всегда «действует» на п пред-
предшествующих ему слов.
Так, пусть в & входят тернарная операция со, унарные
операции со' и со" и нульарная операция с символом 0. Тогда
словами будут, например, выражения
[(лгсо'H_уа)]лг(_усо'/)со или (хугсо) (хсо') (_усо') со.
Понятно, что эти слова можно было бы записать без вся-
всяких скобок:
Будем называть слова хюь щ, ..., №„ полсловами слова
П). Будем считать, далее, что свойство быть полсловом
транзитивно, и поэтому подслова слов щ, %02,..., 1юп будут
подсловами и для слова A), и т. д. В частности, полсловами
слова A) будут все входящие в его запись свободные эле-
элементы и символы нульарных операций. Условимся считать
также, что всякое слово является своим собственным пол-
полсловом.
Ясно, что понятие слова по существу зависит от системы
операций й. Рассматривая универсальные алгебры с систе-
системой операций й, мы будем, разумеется, использовать лишь
слова, имеющие смысл в
152 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ.
3. Пусть даны слова х&г и щ, относящиеся к систе1
операций й. Обозначим через хь х2,..., хк все различи!
свободные элементы, встречающиеся хотя бы в одном из этиз
слов, а через 0ь 02, ..., О/ — все встречающиеся хотя бь|
в одном из этих слов символы нульарных операций. Буде*
говорить, что в универсальной алгебре О с системой опера-|
ций й выполняется тождественное соотношение
и\ = щ, BI
Л
если равенство B) имеет место в О при замене свободных!
элементов хь / = 1, 2, ..., к, произвольными элемен-1
тами п1 е О, не обязательно различными. При этом символы 0у,|
/=1, 2, ..., /, заменяются, понятно, теми элементами из О,
взятие которых означает в О соответствующую нульарнуюй
операцию, и, вообще, операции из & выполняются по пра-;
вилам оперирования в алгебре О.
Если дано множество тождественных соотношений Л, то;
все универсальные алгебры с системой операций &, в кото-
которых выполняются все тождественные соотношения из Л, со-
составляют примитивный класс алгебр. Условимся обозначать
этот примитивный класс той же буквой Л, что и опреде-
определяющее его множество тождественных соотношений.
Так, примитивный класс составляют группы, рассматри-
рассматриваемые как алгебры с одной бинарной, одной унарной и
одной нульарной операциями. Абелевы группы составляют
более узкий примитивный класс —здесь накладывается до-
дополнительное тождественное соотношение ху =ух. Еще более
узкий примитивный класс мы получим, налагая тождествен-
тождественное соотношение х2=1.
Кольца, ассоциативные кольца, ассоциативно-коммутатив-
ассоциативно-коммутативные кольца, лиевы кольца, йордановы кольца также будут
примитивными классами универсальных алгебр.
Весь класс однотипных между собою универсальных ал-
алгебр с системой операций й также можно считать прими-
примитивным классом, а именно для пустого множества тождествен-
тождественных соотношений. Примитивным классом будет и класс Й-групп
с данной системой операций й — он определяется тождествен-
тождественными соотношениями, входящими в определение группы, и
соотношениями A) из III. 2.1. С другой стороны, множество
тождественных соотношений Л может оказаться таким, что
из него следует тождественное соотношение х=у} т. е. соот-
§ 61 ПРИМИТИВНЫЕ КЛАССЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 153
ве1С'1вующий примитивный класс состоит из одной-единствен-
ной алгебры, содержащей лишь один элемент.
4. Всякий примитивный класс универсальных алгебр
вместе со всякой своей алгеброй содержит все ее подал-
подалгебры и все ее гомоморфные образы.
Ясно, что если в алгебре О выполняется тождественное
соотношение B), то оно выполняется, в частности, и для
элементов из любой подалгебры. С другой стороны, пусть
в О выполняется тождественное соотношение B) и пусть
задан гомоморфизм ф алгебры О на одногипную алгебру И.
Обозначим через щ, %ю'{ те элементы из И, которые полу-
получаются после подстановки в слова хю1 и х&2 вместо свобод-
свободных элементов хь / = 1, 2,..., /г, некоторых элементов Ъг е Я,
/=1, 2, ..., к. Выберем в алгебре О такие элементы а-1У
1= 1, 2, ..., к, что а|-ф = ^ для всех /, и обозначим через щ,
ш те элементы из О, которые получаются после подста-
подстановки п( вместо хь /=1, 2, ..., к, в слова %юх и 1Ю2. Из
определения гомоморфизма следует, что
у = 1, 2,
а так как щ — х&%у то и хм'^ — х&ъ что и требовалось доказать.
5. Понятие слова может быть использовано и для других
целей. Рассмотрим универсальную алгебру О с системой опе-
операций & и возьмем произвольное слово
Х2У . .., Хп)
в этих операциях относительно свободных элементов хь
х2, ..., хю п^\. Заменим к из этих элементов, 0 ^к^п,
например элементы хп-к + ь хп_к^у ..., хю некоторыми
фиксированными элементами Ьь Ъъ ..., Ьк^О. Выражение
которое будет при этом получено, следующим образом опре-
де/яет в множестве О (п — ^)-арную операцию: системе эле-
элементов аь аъ ..., ап_к^О эта операция сопоставляет одно-
однозначно определенный элемент
хю(аь а2, ..., ап_к, Ьь Ъъ ..., Ьк).
Все операции, которые этим путем могут быть в О по-
получены, называются производными операциями алгебры О.
'54 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ Щ
Понятно, что различные выражения вида C) могут случайно
определять в О одну и ту же производную операцию. Про-
Производная операция будет называться главной, если /г = 0, т.е.
если в слове хю не производится никакой предварительной
замены части свободных элементов элементами из О. К числу
главных производных операций алгебры й принадлежат,
в частности, операции из самой системы й.
6. Пусть на множестве О заданы две универсальные ал-
алгебры, соответственно с системами операций й и й'. Будем
говорить, что эти две алгебры определяют на О одну и ту
же алгебраическую систему, если в О всякая операция из й'
является производной от операций системы й и обратно; сами та-
такие системы операций й и й' назовем эквивалентными в О.
Если алгебры О и Н однотипны относительно системы
операций й и если в О мы перейдем к эквивалентной системе
операций Й', то в И такой переход в общем случае не имеет
смысла — если производная операция была получена в О заме-
заменой в некотором слове части свободных элементов фиксиро-
фиксированными элементами из О, то в И эта операция не может
быть однозначно определена. Отсюда следует, что понятие
гомоморфизма относится лишь к данной системе опера-
операций Й и может потерять смысл при переходе к эквивалентной
системе операций й'. Это же имеет место и для понятия
подалгебры — достаточно учесть, что те элементы Ьь
Ь2, ...> Ък, которые участвуют в выражении C), не обязаны
принадлежать к рассматриваемой подалгебре (относительно
операций из Й).
Читатель без труда проверит, что положение будет иным,
если всякая операция любой из систем й, Й' является глав-
главной производной операцией от другой системы. Отсюда сле-
следует, что те два способа рассмотрения группы
как универсальной алгебры, которые указаны
в III. 1.3, с точки зрения гомоморфизмов и под-
подгрупп действительно равносильны, что, впрочем,
мы знали и ранее.
§ 7. Свободные универсальные алгебры
1. Множество всевозможных слов относительно системы
операций Й и множества свободных элементов X можно
рассматривать как алгебру с системой операций й. Именно,
если даны я-арная операция соей, д^1, и слова
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 155
<к'2, •••> ^л» то слово те^а ... ^оо будет считаться резуль-
результатом применения операции со к заданным словам. Применение
же любой нульарной операции из & будет пониматься как
взятие символа этой нульарной операции, принадлежащего,
как мы знаем, к множеству слов.
Обозначим эту алгебру слов через 5(Й, X). Понятно,
чю в ней не выполняется никакое нетривиальное тождествен-
тождественное соотношение, т. е. соотношение вида
A)
где п\ и щ — различные слова. Понятно также, что мно-
множество А' служит для згой алгебры системой образующих
(см. III. 1.4). Если же дано подмножество X' а X, то оно
порождает в 8(<&,Х) подалгебру, являющуюся алгеброй слов
2. Рассмотрим теперь произвольную систему тождествен-
тождественных соотношений Л. Слова г/ и Vй будут называться экви-
эквивалентными относительно Л, если от одного к другому
можно перейти конечным числом преобразований следующего
вида: пусть в системе Л содержится соотношение A); заменим
входящие в него свободные элементы Х(, 1=1, 2, ... к,
некоторыми слонами, после чего левая и правая части соот-
соотношения A) превращаются в слова шх и Щ\ если й)х (или
служит подсловом слова у', то оно заменяется в слове г/
на Щ (или соответственно на
Это отношение будет, очевидно, рефлексивным, транзи-
транзитивным и симметричным, т. е. в алгебру 6*(й, А') введено
отношение эквивалентности. Это будет даже конгруен-
ция (см. 111.1.7), так как если дано слово 1ю^г ••• ^п^>
полученное из слов ъиь и'2...} 1юп применением операции
а), то замена слов щ, /=1, 2, ..., п, словами, им эквива-
эквивалентными, может быть осуществлена применением к дан-
данному слову конечного числа преобразований описанного вы-
выше вида.
Фактор-алгебра алгебры 5(Й, А") по построенной нами
конгруенции (см. 111.1.7) будет обозначаться символом
^(й> X, А) и называться свободной алгеброй примитивного
класса Л, а множество А" —ее системой свободных обра-
образующих. Конечно, на самом деле системой образующих для
этой алгебры служит не само множество X, а множество
соответствующих классов эквивалентных слов; мы будем
156 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
обозначать его, однако, той же буквой X. Всякая ад*
гебра, изоморфная алгебре 6*(Й, X, А), также будет назьь
ваться свободной, а множество образов элементов
X при этом изоморфизме — системой свободных образу*
ющих.
Из определения свободной алгебры 5@, X, А) следует*
что в ней выполняются все тождественные соотношения из Л,
т. е. алгебра 8 (Й, X, Л) принадлежит к примитивному
классу Л.
3. Пусть в универсальной алгебре О примитивного]
класса Л выбрана система образующих М. Алгебра 0|
тогда и только тогда будет свободной алгеброй в при-
примитивном классе Л, а М — ее системой свободных обра-
образующих, если выполняется следующее условие: для любой
алгебры Н класса А и любого однозначного отображения
Ф множества М в алгебру Н существует, притом един-
единственное, гомоморфное отображение О в Н, совпадающее
с ф на множестве М.
Положим сперва, что 0 = 5(й, X, Л), М = Х и уже задано I
отображение ф множества X в алгебру И. Отображение ф |
всей алгебры 6* (О, X, А) в алгебру Н определим следующим ^
образом: на множестве X оно совпадает с ф; символы нуль- '*
арных операций ф отображает в те элементы из Н, взятие а
которых означает в И соответствующую нульарную операцию: |
наконец, если для слов %&)ь щ, ..., хюп образы при ф уже |,
однозначно определены, а операция шей я-арна, то пола- ||
гаем ]
ясно, что образ слова щщ ... ж^со при отображении ф может
быть определен лишь равенством B), если мы хотим, чтобы ;
это отображение было гомоморфным.
Заметим, что применение отображения ф к слову, эквива-
эквивалентному слову 10^2 • • • ^„@ в смысле III. 7.2, дает элемент,
равный в алгебре И правой части равенства B), так как в Н
выполняются все тождественные соотношения из Л. Таким
—_ *
образом, отображение ф определено для элементов алгебры
5(й, X, Л); его гомоморфность и однозначная определенность
следуют из B).
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 157
Пусть теперь даны алгебра О и ее система образующих
д|, удовлетворяющие условию нашей теоремы. Возьмем в каче-
качестве алгебры И такую свободную алгебру 6*(Й, X, Л), что
множества М и X равномощны, т. е. существует взаимно
однозначное отображение ф множества М на X. По условию,
существует гомоморфизм г|г. 0->8(&, X, А), совпадающий с
ф на М. С другой стороны, из сказанного выше следует, что
существует гомоморфизм %: 6*(й, X, Л)->0, совпадающий на
X с ф1.
Произведение %г|) будет эндоморфизмом алгебры 5(Й, А', Л),
тождественным на системе образующих Х} а произведе-
произведение 1])% — эндоморфизмом алгебры О, тождественным на сис-
системе образующих М. Из условия единственности, предполо-
предположенного для алгебры О и уже доказанного для 5(й, Х} Л),
следует, что эти эндоморфизмы будут тождественными авто-
автоморфизмами указанных алгебр. Отсюда вытекает, что каждый
из гомоморфизмов г|), % будет в действительности изомор-
изоморфизмом между алгебрами О и 5*(Й, X, А), что и требовалось
доказать.
4. Из доказанной теоремы вытекает следующий резуль-
результат, выясняющий истинное значение понятия свободной
алгебры:
Всякая алгебра О примитивного класса А является
гомоморфным образом некоторой свободной алгебры этого
класса.
В самом деле, возьмем в О любую систему образующих
М и рассмотрим такую свободную алгебру §(&,Х,А), что
существует отображение ер множества X на множество Л4,
т. е. мощность X больше или равна мощности М. Тогда, по
доказанному, отображение ф можно продолжить до,гомомор-
до,гомоморфизма ф: 5(й, Х} Л)->0, причем это будет гомоморфизм на
всю алгебру О, так как образ алгебры 5(й, X, Л) при ф
содержит все множество М.
5. Ясно, что если множества X и У равномощны, то сво-
свободные алгебры 5(Й, Л', Л) и 5(Й, У, Л) будут изоморфными.
На вопрос, следует ли, обратно, из изоморфизма указанных
свободных алгебр равномощность множеств свободных обра-
образующих X и К, ответ в общем случае будет отрицатель-
отрицательным, как показывает отмеченный в III. 6.3 примитивный класс,
158 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
состоящий из одной одноэлементной алгебры; этот класс, в:
котором выполняются, конечно, любые тождественные соот*
ношения, условимся называть абсолютно вырожденным.
Справедливы следующие теоремы Фудзивары [Ргос
Ларап. Асад. 31 A955), 135-136]:
Если примитивный класс Л не является абсолютна,
вырожденным и если свободные алгебры 8@,, X, Л) е
5(й, У, Л) изоморфны, причем хотя бы одно из мноч
жесте X, У бесконечно, то эти множества равномощньЦ
Пусть это не так и пусть, например, мощность множества'
X больше мощности множества Уг). Можно считать, что рассмат-
рассматриваемые алгебры не только изоморфны, но даже совпадают,
=$(&, у, л) = 5. C)
Всякий элемент из У записывается, следовательно, в виде
слова относительно конечного числа свободных образующих
из X. Фиксируя для каждого у е У одну такую запись и :
собирая все элементы из X, которые используются в этих.'
записях для всех з/еК, мы получим подмножество X' си X,
имеющее заведомо меньшую мощность, чем X: оно конечно,
если конечно множество У} и имеет мощность, не превосхо- |
дящую мощности У} если У бесконечно. Можно выбрать,;!
следовательно, элемент х0^ Х\Х'. )
Элемент х0 записывается в виде слова от конечного числа ]
элементов из У. Записывая в свою очередь эти элементы I
через элементы из X', мы получим, что х0 равно в алгебре^
некоторому слову х&0 от элементов из Л"',
Хо = XV 0.
Это равенство означает эквивалентность слов х0 и Х0О в )
алгебре слов (см. III.7.2), т. е. оно получено применением '•
тождественных соотношений из Л. Но тогда, учитывая, что
в слово Х0О свободный элемент х0 не входит, мы могли бы
при помощи тех же тождественных соотношений получить
в алгебре 5 равенство а = XV 0, где а — произвольный элемент
из 5. Таким образом, в 5 все элементы равны между собой,
т. е. из тождественных соотношений Л вытекает тождествен-
тождественное соотношение х=у, а поэтому примитивный класс Л
оказывается абсолютно вырожденным против предположения.
Теорема доказана.
1) Здесь используется основанное на аксиоме выбора утверждение,
что всякие две мощности можно сравнивать по величине.
§7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
6. Пусть систему тождественных соотношений Л
можно расширить до такой системы Л*, что примитив-
примитивный класс Л* не является абсолютно вырожденным, но
конечные множества свободных образующих порождают
в нем конечные свободные алгебры. Тогда в классе Л изо-
изоморфные свободные алгебры обладают равномощными сис-
системами свободных образующих.
Пусть, в самом деле, в классе Л даны изоморфные сво-
свободные алгебры с системами свободных образующих X и У.
Как и выше, можно считать, что эти алгебры совпадают, т. е.
имеют место равенства C). Кроме того, в силу предшест-
предшествующей теоремы оба множества X, У можно считать конеч-
конечными.
Предположим, что X содержит больше элементов, чем У.
Наложим на алгебру 5 тождественные соотношения из сис-
системы Л*\Л, т. е. перейдем к фактор-алгебре 5* по соот-
соответствующей конгруенции. Это будет, очевидно, свободная
алгебра в примитивном классе Л*, причем она в силу усло-
условий теоремы конечна, так как имеет своими системами сво-
свободных образующих конечные множества X и У.
Пусть подмножество X' с: X содержит столько же эле-
элементов, как и У. Тогда подалгебра {Л"} алгебры 5*, являясь
свободной алгеброй 5(й, X', Л*), должна в действительности
состоять из стольких же элементов, как и 5*, т. е. она сов-
совпадает со всей алгеброй 5*. Отсюда следует, что всякий эле-
элемент хоеЛг\Аг' записывается в виде слова ог элементов
из Х'} что, однако, как и в доказательстве предшествующей
теоремы, приводит к противоречию.
7. Класс группоидов является примитивным классом
относительно одной бинарной операции и пустого множества
тождественных соотношений; будем, как обычно, называть
эту операцию умножением и записывать в виде аЬ. Свобод-
Свободный группоид с множеством X свободных образующих сов-
совпадает с группоидом слов. Словом в этом случае будет вся-
всякая конечная упорядоченная система элементов из Ху
с любыми повторениями, причем в этой системе задано рас-
распределение скобок', каждый из символов хь 1=1, 2, ..., п,
считается взятым в скобки, а затем скобки расставлены
так, чго каждый раз «перемножаются» лишь две скобки.
160 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ.|
\
Произведение двух слов означает, что заданные слова берутся \
в скобки и пишутся одно за другим.
Конечно, записывая слова в группоидах, можно писать,
например,
а не
л
!. Класс полугрупп является примитивным классом-
с тождественным соотношением ассоциативности. В этом
случае слово относительно множества X свободных образую-
образующих может быть записано в виде
... хп, /1^1, D)'
уже без всяких скобок. Произведение двух слов D)
означает теперь, что заданные слова записываются одна!
за другим без скобок.
Утверждение, что нами построена свободная полугруппа |
с множеством X свободных образующих, будет обосновано
лишь после того, как мы покажем, что различные слова
вида D) будут в этой полугруппе различными элементами.
Однако умножение слов, определенное в предшествующем ^
абзаце, превращает, очевидно, множество всех слов вида D), !|
в полугруппу с множеством образующих X. Эта полугруппа ^
является гомоморфным образом свободной полугруппы с мно-
множеством X свободных образующих, а так как в ней различные "
слова вида D) являются различными элементами, то это же ■•]
верно и для свободной полугруппы. На самом деле указан- "|
ный гомоморфизм является, конечно, изоморфизмом. %
Использование степеней элементов позволяет записывать |
слова в полугруппах короче: вместо слова х^х^х^х^х^х^х^ \
можно писать х\х2ххх\.
9. Рассмотрим теперь примитивный класс всех групп
с операциями умножения, взятия обратного элемента и взятия
единицы. Тождественные соотношения позволяют записать
всякое слово относительно множества X свободных образую-
образующих или в виде 1— это слово, не содержащее ни одного
свободного элемента, называется пустым, — или же в виде
= Х^Х^ ... Х^п, П^-1, E)
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 161
1де Хг, /=1, 2, ..., п, — элементы из А', не обязательно
различные, е,- = ±1, 1= 1, 2, ..., п} причем если х1=х1+ь
ю и е^ = е,-+1; иными словами, в E) не могут стоять рядом
элемент х е X и его обратный элемент х~х. Число п назовем
длиной слова E).
Различные слова вида E) являются различными эле-
элементами свободной группы с множеством X свободных
образующих и не равны в этой группе пустому слову.
Для доказательства построим группу, элементами которой
служат пустое слово и всевозможные слова вида E). Умно-
Умножение слов определим в соответствии с тем, как оно выпол-
выполнялось бы в свободной группе. Именно, пустое слово должно
играть роль единицы. Если же даны два слова вида E),
где, понятно, з/; е ^, /=1, 2, ..., т} то записываем эти
слова одно за другим,
Если при этом хп=ух и &п =—%, то выполняем сокраще-
сокращение. После этого станут соседними элементы х^1 и у^} и,
быть может, снова придется выполнить сокращение. Так
продолжаем до такого первого места к, что или хп-к^=ук+1>
или хп-к=ук+1, но и гп-к = щ+1- Тогда полагаем
щщ = х*:х1> ... х^у^у**? ... Уу. F)
Ясно, что справа в (б) стоит слово вида E), если пф т
или же п — т} но к<^п, в противном же случае справа
будет стоять пустое слово. Мы получаем, следовательно, что
обратным для слова E) будет слово
Введенное нами умножение слое ассоциативно.
Будем доказывать равенство
G)
индукцией по длине слова г^2, причем все слова щ, щ, щ
можно считать отличными от пустого слова.
Пусть сперва хю^~У1, где у ^ X, х\ = ±1. Если послед-
последний символ слова хю^ и первый символ слова Х03 таковы, что
хотя бы один из них отличен от у~\ то хотя бы в одном
6 А. Г. Курош
162 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
из произведений щщ, и>2щ сокращения не будут выпол-
выполняться и поэтому равенство G) имеет место. Если же
ТО
будет словом вида E), равным как левой, так и правой
части равенства G).
Пусть теперь щ = Щ'У^ту где слово Х02 имеет вид
Считая равенство G) доказанным для случая, когда длина
слова щ меньше т, получаем
щ (щщ) = щ [(^2 • уУ) щ] = щ [хв>'2 (у
] щ =
[ {У)] Щ = (ЩЩ) Щ>
что и требовалось доказать.
Мы построили группу из слов вида E) и пустого слова,
причем множество X служит для нее системой образующих.
Эта группа является гомоморфным образом свободной группы
с множеством X свободных образующих. Поэтому указанные
слова являются различными и в свободной группе, что и
требовалось доказать. Построенная нами группа сама ока-
оказывается, следовательно, свободной группой с системой
свободных образующих X.
Слова вида E) можно, понятно, записывать короче,
используя, как и в случае полугрупп, степени элементов,
на этот раз и отрицательные.
Свободная группа с одним свободным обра-
образующим х будет, очевидно, бесконечной цик-
циклической группой {х). Если же множество свободных
образующих X содержит больше одного элемента, то порож-
порожденная им свободная группа некоммутативна,
так как слова ху и ух, где х, у ^ Ху будут в ней различ-
различными элементами.
В Ш.8.12 будет дано описание подгрупп свободной
группы.
§ 7] СВОБОДНЫЕ УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ 163
10. В примитивном классе всех абелевых групп,
записываемых аддитивно, словами относительно множества X
свободных образующих будут суммы конечного числа раз-
различных элементов из X, взятых с некоторыми целыми коэф-
коэффициентами, отличными от нуля, а также пустое слово 0.
Определим сложение таких слов как сложение коэффициен-
коэффициентов при одинаковых элементах х ^ X; если при этом в одно
из слов элемент х не входит, то считаем коэффициент при
нем равным нулю. Немедленно проверяется, что мы получаем
абелеву группу, которая и будет свободной абелевой груп-
группой с множеством X свободных образующих.
11. Перейдем к рассмотрению примитивного класса всех
колец. Рассуждая так же, как в случае полугрупп или
групп, мы получим, что аддитивная группа свободного кольца
с множеством X свободных образующих является свободной
абелевой группой (см. 111.7.10) относительно множества сво-
свободных образующих X, которое в свою очередь является
свободным мультипликативным группоидом с множеством X
свободных образующих (см. III.7.7). Умножение в свободном
кольце сводится, в силу закона дистрибутивности, на умно-
умножение элементов из X, которое производится по правилу
умножения слов в свободном группоиде (см. Ш.7.7).
Все сказанное остается справедливым и для свободного
ассоциативного кольца с множеством X свободных обра-
образующих. Множество X будет в этом случае, однако, свобод-
свободной полугруппой с множеством X свободных образующих
(см. 111.7.8), и умножение элементов из X производится
по правилу умножения слов в свободной полугруппе.
Наконец, свободное ассоциативно-коммутативное кольцо
с множеством X свободных образующих является просто коль-
кольцом многочленов от элементов из X с целыми коэффициентами.
Заметим, что далеко не для всякого примитивного класса
универсальных алгебр удается получить такую однозначную
(«каноническую») запись элементов свободных алгебр этого
класса, какая получена в рассмотренных выше случаях.
12. Свободные абелевы группы (а также свободные
группы, свободные кольца, свободные ассоциативные или
ассоциативно-коммутативные кольца) изоморфны тогда
и только тогда, если их системы свободных образующих
равно мощны,
6*
164 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Ш
Действительно, накладывая на абелевы группы тождест-
тождественное соотношение 2.хт = 0, мы получаем примитивный класс
тех абелевых групп, все ненулевые элементы которых имеют
порядок 2. Возьмем конечную систему свободных обра-
образующих X, состоящую из элементов хь х2, ..., хп. Тогда
словом в рассматриваемом случае будет выражение вида
где все к^ / = 1, 2, ..., п, равны единице или нулю.
Сложение слов сводится на сложение коэффициентов при
одинаковых элементах хь выполняемое по модулю 2, т. е.
1 + 1=0. Мы получаем, что в рассматриваемом примитив-
примитивном классе свободные группы, порожденные конечными
системами свободных образующих, сами конечны.
К этому же примитивному классу мы придем, накладывая
на класс групп тождественные соотношения ху=ух их2=1
(легко видеть, впрочем, что первое из них вытекает из вто-
второго). По существу этот же примитивный класс получается
при наложении на указанные в формулировке теоремы классы
колец тождественных соотношений
ху = 0, 2х = 0.
Для доказательства теоремы теперь остается сослаться
на вторую теорему Фудзивары (Ш.7.6).
13. Рассмотрим произвольный примитивный класс й-групп.
Всякая й-группа О этого класса является, по III.7.4, гомо-
гомоморфным образом некоторой свободной Й-группы 6* этого
же класса, т. е„ по III.2.б и Ш.1.8, изоморфна Й-фактор-
группе свободной Й-группы 5 по некоторому идеалу А.
Пусть элементы 5/, где / пробегает множество индексов /,
порождают А как идеал й-группы 5. Соответствующие эле-
элементы в О равны нулю. Система равенств
5/ = 0, / €= /, (8)
где 5; считаются записанными через свободные образующие
свободной й-группы 5, вполне определяет идеал А в свобод-
свободной Й-группе 5, т. е. определяет Й-фактор-группу 8/Ау
а поэтому с точностью до изоморфизма определяет исходную
й-группу О. Система равенств (8) называется системой
определяющих соотношений для й-группы О.
Ы
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 165
Таким образом, всякая Й-группа, в частности всякая группа
1\ всякое кольцо, может быть задана системой определяющих
соотношений в некоторой системе образующих. Это задание,
конечно, отнюдь не является однозначным.
Пример. Симметрическая группа 3-й степени 53 (см. 11.1.8)
может быть задана в классе групп двумя образующими а, Ь
и определяющими соотношениями
=\у аЬаЬ=1. (9)
Действительно, подстановки
/123
порождают всю группу 53 и удовлетворяют соотношениям (9).
С другой стороны, из (9) следует равенство Ьа = агЪ, а
поэтому всякий элемент группы, заданной определяющими
соотношениями (9), может быть записан в виде акЪ1, где
# = 0,1,2, / = 0,1, т. е. эта группа состоит не более чем
из шести элементов; порядок группы 6*3 равен, однако,
шести.
§ 8. Свободные произведения групп
1. Указанное в III.7.3 характерное свойство свободных
алгебр данного примитивного класса Л подсказывает следую-
следующее определение. Если Аь г е /, —- семейство алгебр класса Л,
то назовем алгебру О класса Л свободным объединением
этого семейства, если Л; с: О, / е /, и если для любой
алгебры И класса Л и любого набора гомоморфизмов фг
алгебр Л; в алгебру Я, / е /, существует, притом единствен-
единственный, гомоморфизм ф алгебры О в алгебру /У, совпадающий
с ф,- на подалгебре Аь I е /.
Если свободным объединением алгебр Аь I е /, служат
как алгебра О, так и алгебра О', то между О и О'
существует изоморфизм, продолжающий тождественные
автоморфизмы подалгебр Аь I е /.
Действительно, указанные тождественные автоморфизмы
можно рассматривать как гомоморфизмы фг- подалгебр
алгебры О, I е /, в алгебру О', а также как гомоморфизмы %
подалгебр А-ь алгебры О', /е/, в алгебру О. Они индуциру-
индуцируют, следовательно, гомоморфизмы ф: О -> О' и г|): О' -> О. Про-
Произведение фг|з является тем единственным гомоморфизмом О
166 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ.
в себя, который определяется изоморфными вложениями всех
А1 в О в качестве подалгебр, т. е. это будет тождествен-
тождественный автоморфизм алгебры О. Аналогично 1|хр является
тождественным автоморфизмом алгебры С, а поэтому ф и \|)
будут обратными друг другу изоморфизмами.
Свободное объединение О алгебр Лр I е /, совпадает
с подалгеброй, порожденной в О всеми Аь I е /.
Пусть, в самом деле, подалгебры Аь I е /, порождают
в О подалгебру О0 (см. Ш.1.4). Если заданы алгебра И
класса Л и гомоморфизмы ф,: А(-+Н, I е /, то определяемый
этими гомоморфизмами гомоморфизм ф: О-+Н индуцирует
гомоморфизм ф0: О0 -> //, совпадающий с ф, на подалгебре
Лр I е /. Это будет единственный гомоморфизм О0 в Н
с указанным свойством. Действительно, без труда проверяется,
что подалгебра О0 состоит из тех и только из тех элементов
алгебры О, которые хотя бы одним способом выражаются
через элементы подалгебр Аь I е /, при помощи операций
алгебры О, применяемых конечное число раз. Гомоморфизмы
фр / е /, могут порождать, следовательно, лишь один гомо-
гомоморфизм алгебры О0.
Таким образом, алгебра О0 сама оказалась свободным
объединением алгебр Лр I е /. Тогда существует, как дока-
доказано, изоморфизм ф алгебры О0 на алгебру О, продолжающий
тождественные автоморфизмы алгебр А„ I е /. Но, ввиду
сказанного в предшествующем абзаце, эти тождественные
автоморфизмы могут порождать лишь тождественный авто-
автоморфизм алгебры О0, а поэтому О0 —
2. Группа О называется свободным произведением своих
подгрупп Аь I е /, если эти подгруппы порождают вместе
всю группу О и если всякий отличный от 1 элемент ^еО
обладает единственным разложением в произведение
вида
... ат п^\, A)
где ак е А( и ак Ф 1, к — 1, 2, ..., я, причем рядом не могут
стоять элементы из одной и той же подгруппы Аг, т. е.
П
Произведение с этими свойствами, стоящее в A) справа,
будем называть несократимой записью элемента §. Число п
назовем длиной этого элемента и обозначим ее через
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП • 167
Индексы 1г и 1п будем называть соответственно первым
индексом и последним индексом элемента §. Дополнительно
положим Л, A) = 0.
Для записи свободного произведения будем использовать
символ
или, если число свободных множителей конечно,
Сопоставление с III.7.9 показывает, что свободная группа
является свободным произведением бесконечных цикличе-
циклических групп.
Если группа О является свободным произведением
подгрупп Аь I е /, то О будет свободным объединением
групп Аг в примитивном классе групп.
В самом деле, если для набора гомоморфизмов ф,- под-
подгрупп Л( в некоторую группу Н> I е /, существует такой
гомоморфизм ф группы О в //, что ф = ф; на подгруппе Ар
/е/, то, по A), для всех ^еО
#ф = Л1ф/! ' «2ф/2 • • • ОЛф/л, B)
т. е. ф определено однозначно. Легко проверяется, с другой
стороны, что если B) считать определением отображения ср
группы О в группу И, то ф будет гомоморфизмом.
Эта теорема допускает обращение, как немедленно следует,
ввиду теоремы, доказываемой в следующем пункте, из резуль-
результатов настоящего и предшествующего пунктов.
3. Докажем, что для любого семейства групп Аь г е /,
существует свободное произведение этого семейства группу
т. е., точнее, свободное произведение групп, изоморфных
заданным.
Будем называть словом формально написанное выражение
ага2 ... ап, п~^ 1, C)
где ^ е ^, акф\у к=\у 2, ..., я, и 1кф1к+ъ Ь=1,
2, ..., п— 1.
Введем также пустое слово (случай п — 0). Множество
всех слов обозначим через Ж, а симметрическую группу
а этом множестве (см. И.1.8) — через 6\
168 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ГГЛ [Ц
Всякий элемент ое ^ следующим образом определяет
отображение а множества М в себя: пустое слово переходит
в слово а длины 1, откуда следует, что при афЬ, а, Ь ^ А^
будет афЪ] с другой стороны, для слова вида C) полагаем
... ап) а =
а1а2 ... апа, если 1п ф I;
... (апа), если 1п = 1 и апа Ф 1;
ап-ь если 1п = 1 и апа==1.
Отсюда следует, в частности, что единице группы Л1 соот-
соответствует тождественное отображение множества М на себя.
Легко проверяется, что
аЬ = аЬу а, Ь <= Аь
где произведение справа понимается в смысле умножения
отображений, а поэтому отображение а'1 обратно отобра-
отображению а. Таким образом, всякое отображение а будет под-
подстановкой в множестве М и, следовательно, отображения й,
взятые для всех а е А„ составляют в группе 6* подгруппу Л;,
изоморфную группе Л,-.
Обозначим через О подгруппу группы 5, порожденную
всеми подгруппами Л,-, Ь е /. Группа О будет свободным
произведением подгрупп Аь I е /: всякий элемент из О,
отличный от единицы, может быть записан в виде произ-
произведения
... йя, D)
где аха2 ... ап — слово, причем эта запись единственная, так,
как подстановка D) переводит пустое слово как раз в слово
... а
п.
4. Докажем следующую теорему о подгруппах,
свободного произведения групп [А. Г. Курош,
Ма1Ь. Апп. 109 A934), 647—660]:
Если
О = П* А* E)
то всякая подгруппа II группы О является свободным
произведением подгрупп, сопряженных в О (см. 11.74)
с некоторыми подгруппами свободных множителей Л,-,
и некоторой свободной подгруппы.
$ 81 СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 169
Для того, чтобы указать более развернутую формулировку
этой теоремы, введем следующее понятие. Элементы х, у ^ О
назовем эквивалентными по двойному модулю (Аь (У), если
у — аьхи> а( е Аь и
Так как А1 и Ц — подгруппы, то мы получаем разбиение
группы О на непересекающиеся классы вида А{х1], которое
назовем разложением (А(, (У).
Заметим, что если Г)-— класс из разложения {А„ [/), то В
вместе со всяким своим элементом х содержит и весь левый
смежный класс х11, т. е. состоит из нескольких левых
классов по Ц.
Развернутая формулировка теоремы о подгруппах такова:
Если имеет место E) м [/ с О, то во всех классах В
каждого из разложений (А^ Ц), I е А можно так выбрать
по одному представителю
5 = 5 (/, О),
что
* Р, F)
где Р — свободная подгруппа. Выбор представителей воз-
возможен при этом такой, что для всех I е / единица будет
представителем своего класса А^, т. е. все пересечения
О П А(} I е /, отличные от Е, входят свободными множи-
множителями в разложение (б).
5. Доказательство этой теоремы, приводимое ниже, при-
принадлежит Маклейну [Ма^петаИка 5 A958), 13—19].
Лемма 1. Существуют такие, зависящие от / е/,
выборы систем представителей г^С) во всех левых
смежных классах С по подгруппе Ц, что выполняются
следующие требования:
2) если а-г е Аь то г{ {аьС) = а^1 (С), где а/
3) если Г/ (С) = аь§, где аь е А1 (а^ может при этом
равняться единице), а 8 Ф 1 и первый индекс ] элемента 5
отличен от /, то
Будем вести выбор представителей гг (С) индукцией
по минимальной длине Х(А^С) элементов того класса
170 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ ГЦ
разложения по двойному модулю {Аь Ц), в состав которого
входит С. Будем считать при этом, что выполняется также
следующее требование
4) X (г, (С)) < 1 +X (ЛС).
Если Х(А1С) = 0, т. е. А(С = Лг 1 • 17 = Л,-17, то в С
имеются элементы из Л,- и в качестве Т{ (С) берем любой
из этих элементов, полагая лишь Г;(G)=1. Требования 1),
2) и 4) проверяются без затруднений, а требование 3) в рас-
рассматриваемом случае бессодержательно.
Пусть теперь класс В разложения (Лг-, II) таков, что
Х(В) = п^1. Если ^еЛ и Х(§) — п, то В — А^Ц, а пер-
первый индекс у элемента § отличен от /, так как иначе
в классе В нашелся бы элемент, длина которого меньше п.
Так как Х(А^Ц) <^п, то по индуктивному предположению,
уже выбран представитель г;(^У) —5> причем, по 4), X($)^п.
Так как В — А^Ц, то п=-Х(В)^Х(8) и, следовательно,
X (з) = п, а поэтому первый индекс к элемента 5 отличен от /,
причем, по индуктивному предположению (условие 3)),
г к EG) = 5.
Выбираем теперь представителей г,- (С) для всех С, вхо-
входящих в состав В. Именно, если С — зЦ, то полагаем
г((С) = 8; для всякого другого СдЛв качестве гг(С) берем
один из содержащихся в С элементов а(8, а1 е А(. Ясно, что
требования 2), 3) и 4) выполняются, а требование 1) к случаю
п^\ не имеет отношения.
Лемма доказана. Одновременно мы получили, что в каждом
классе В е (Л/, I]) среди представителей г*(С) для всех
левых классов С, входящих в Д имеется ровно один такой
представитель 5, который или равен 1, или же его первый
индекс отличен от /. Именно этот представитель выбирается
в качестве $(/, В). Еще раз отметим, что для всякого класса С,
входящего в Д представитель г^С) отличается от $(/,
левым множителем, принадлежащим к Л,-.
6. Лемма 2. Подгруппа V порождается всеми элемен-
элементами гу1 (С) г] (С), где I, /е/, а С пробегает левые смеж-
смежные классы по 0, и всеми пересечениями G Л (з^Л/з), гдг
$ = $(/, В), В<=(А1, Ц), 1ее1.
Заметим сперва, что представители г ((С) и Г]{С) оба
принадлежат к С, т. е. отличаются друг от друга правым
множителем из С/, а поэтому г, (С)г;(С) е (/.
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 171
Возьмем теперь произвольный элемент ^еО, его про-
произвольную (не обязательно несократимую) запись вида
§==а1а2 ...ая, ак<=А1к, к=\, 2, ..., п, G)
и любой левый класс С по Ц. Тогда легкая проверка, которую
целесообразно вести снизу вверх, показывает справедливость
следующего равенства, в правой части которого стоит про-
произведение элементов, взятых в квадратные скобки:
г и (#С) • § - г1п (С) = п1 ($С) • ага2 ... ап-г1п (С) =
ги(а2 ... апС)\-
• [г11п_г (й«-1йлС) • ая-1 • г1п1 (апС)] •
В каждой строчке первый множитель имеет вид
гт1 (С) Т] (С).
Рассмотрим любой из вторых множителей,
Х ~ Г~1\г (пЬаЬ+1 • • • апС) • 0>к • Г1к (ак+1 • • • ал0>
Г* 1 , ^, • • • , И-)
и покажем, что он содержится в пересечении И [\
где 5 = 5 Aк, п), В <= (Л1к, Ц) и С ^ Д причем
Действительно, так как
г/й (акС) = а//г5,
где а; , а] е Л/ , то
к к к
С другой стороны, если С — сЦ, то
-1 ' \ — I а
к к 1к) 1к
поэтому х = и11и2
Заметим теперь, что если С =11 и ^е(/, то
172 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ Ц|
и поэтому полученное выше основное равенство превраща-
превращается в выражение для §, доказывающее найду лемму.
7. Введем в рассмотрение символы [С, /, у] для любых
/, у Е / и любых левых классов С по II. Обозначим через Р
группу, которая имеет множество всех этих символов своей
системой образующих и задается в этих образующих систе-
системой определяющих соотношений (см. 111.7.13), состоящей
из всевозможных равенств следующих типов:
(а) [С, /, у] [С, у, к] = [С, /, к],
(б) [Ц, и У] = 1,
(в) [з11, I, у] = 1, если 5 ==5 (/, й), а у—первый индекс
элемента 5.
Лемма 3. Группа Р является свободной группой.
В самом деле, из (а) следует равенство
[С, /, у] = [С, /, к] • [С, у, к]~\
а поэтому в системе образующих можно оставить лишь сим-
символы [С, /, к] с фиксированным вторым индексом к. Опре-
Определяющими соотношениями в этих образующих являются
равенства следующих типов:
(а') [С, к, к] = \,
(б') [Ц, I, к] = \,
(в) [зЦ, I, к] = [зЦ, у, к\ где 5 = 5(/, п), а у —первый
индекс элемента 5.
Выбрасывая, наконец, все образующие, равные 1, и
оставляя в каждом классе равных между собою образующих
лишь по одному представителю, мы получим для Р систему
образующих, не связанных никакими нетривиальными соот-
соотношениями, т. е. систему свободных образующих.
8. Сопоставим каждой группе Ц {] я~М^, где з==зA,п),
В е {Аь II), I е /, изоморфную ей группу Всго и фикси-
фиксируем определенный изоморфизм о^о: В^о ->(^П я^^)-
С другой стороны, сопоставим каждому элементу [С, /, у]
группы Р элемент г~{ (С) г .(С) подгруппы II. Так как после
такой замены равенства (а), (б) и (в) не нарушаются (см. 1)
и 3) из леммы 1), то этим определяется гомоморфизм о?
группы Р в группу [I.
Возьмем теперь, в соответствии с III.8.3, группу
= П* Вио*Р. (8)
/6/, ОЕ(Л/( Ц)
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 173
Набор всех гомоморфизмов о^ о и вр индуцирует, по
III.8.2, однозначно определенный гомоморфизм о группы Б
в группу I], даже, по лемме 2, на Ц.
9. Вернемся к рассмотрению основной формулы из III.8.6,
дающей выражение для элемента г~1 (§С)-§- г. (С). Если
в правой части этой формулы всякий множитель вида
гг1(С)г.(С) заменим соответствующим элементом [С, I, у]
из Р, а всякий множитель из подгруппы вида [/П$~М/$ —
соответствующим ему при изоморфизме о~1п элементом
из Б/, о, то получим вполне определенный элемент группы В,
который обозначим через т{§, С).
Лемма 4. Элемент т {§, С) не зависит от выбора
записи G) для элемента § и обладает следующими свой-
свойствами:
т (#й, С) = т (# НС) • [НС, I, )} • т (И, С), (9)
где I — последний индекс элемента §, ] — первый индекс
элемента Н\
/иA, С)=1, A0)
т (Г1, О = яг* (& ^С). A1)
Все эти утверждения без труда вытекают из определения
элемента т{§, С). Нужно лишь учесть, что элемент ^ обла-
обладает единственной несократимой записью относительно сво-
свободного разложения E) и что от одной записи вида G) для
элемента § можно перейти к любой другой такой записи
конечным числом следующих преобразований и преобразо-
преобразований, к ним обратных: если 1к — 1к+1 и акак+1 = а' е А1к, то
в G) отрезок акаку1 заменяется элементом а' при а' =^= 1 и
выбрасывается при а' = 1.
Равенство (9) при С — II и & /1Е[/ показывает, ввиду (б)
из Ш.8.7, что отображение %, сопоставляющее каждому
элементу § е {] элемент т(§, Ц) е В, будет гомомор-
гомоморфизмом I] в В.
Лемма 5. Произведение та является тождественным
отображением группы I] на себя.
Действительно, из определения гомоморфизма а и эле-
элемента т (§, С) следует, что
г1п(С), A2)
ГС
174 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. III
а поэтому для ^е[/, ввиду 1) из леммы 1,
10. Лемма б. Если г = Г/(С), то т(г, Ц)=1.
Доказательство ведем индукцией по X (г), так как для г = 1
утверждение леммы следует из A0). Пусть г — а§, где а е Л7-,
К (§) = К (г) — I и поэтому или ^= 1, или же первый индекс к
элемента § отличен от у. Если ]фЬ, то, по 3) из леммы 1,
г, а поэтому, снова по 3) из леммы 1, будет
= &". Отсюда по индуктивному предположению
Пусть ^=7^= 1. Тогда, по (9),
т (г, Ц) = т (а§, Ц) = т (а, §11) • [§11, у, к] • т (§, II).
Однако, из у фк следует (см. последний абзац в Ш.8.5),
что ^"=5(у, Б), где О = А]§11, а поэтому, по (в) из III.8.7,
Отсюда и из A3) следует, что
т(г, 1]) —
Это равенство справедливо, очевидно, и при §= 1. Так как,
наконец, а е Ар то, по определению элемента т (§, С),
т(г, Ц) = т(а, $Ц) = [гу1(гЦ).а- г.(§Ц)] от1п
11. Л е м м а 7. Произведение от является тождествен-
тождественным отображением группы В на себя.
Достаточно, ввиду (8), найти образы при от для элемен-
элементов вида [С, и у] и для элементов из подгрупп В[% о.
Если Ь = [С, /, у], то
Ь (от) = (Ьар) т = [г-1 (С) Г/ (С)] т.
Положим гДС) —г, г;(С)==г0 и обозначим первые индексы
этих элементов соответственно через к и &0. Тогда,
ввиду г~1г0 <= (/ и (9),
й (ат) = (г"хг0) т = /и (г^Го, (/) =
= ^ (г, го(/) [г0Ц, к, к0] пг (г0, (/).
§ 8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП ' 175
Но, по лемме б и A1),
т(г0, Ц)= 1,
т (г~\ г0Ц) = пг1 (г, /-%(/) = т'1 (г, V) = 1
и поэтому, так как г0
, к, к0].
Если к = 1, ко=], то Ь(ох) — Ь. Если коф]у то, так
как го = г;-(С), то го = $(у, Г)) для соответствующего Б.
Поэтому, по (в) из Ш.8.7, [г0Ц, у, к0] = 1, а тогда, по (а)
из Ш.8.7,
Ь (от) = [С, А, к0) = [С, А, у] [С, у, Ао] = [С, А, у].
Если, наконец, и к-фи то аналогичные рассмотрения позво-
позволяют заменить /г через /, т. е. снова Ъ (от) = Ь.
Пусть теперь Ь е Ви о. Тогда
A4)
где йе4 $ = $(/, й). В то же время Ьо^Ц, а поэтому
A5)
Отсюда, ввиду (9), если через у обозначим первый индекс
элемента 5, у Ф I,
= т E, а§{]) • [й51/, у, /] • т (а, $(/) • [зЦ, I, у] • /^ E, Ц).
Но, по лемме б и A1)
т(з, {/)= 1,
/^E, а8Ц)=т~1(8, 8~1а8Ц) = /я E, (/)=1.
С другой стороны, по (в), (а) и (а') из Ш.8.7 и A5),
, у, /] = [зЦ, у, /] - [$Ц9 и у] = 1-
получаем, ввиду A4) и A5), что
Ь (от) = т(а, зЦ) = [г~1 (азЦ) -а- г1 (зЦ)\ о~ 1О =
что и требовалось доказать.
176 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Щ
12. Из лемм 5 и 7 вытекает, что каждое из отображе-
отображений а и т является изоморфизмом между V и В. Этим,
ввиду (8), определения а и леммы 3, доказано основ-
основное утверждение теоремы о подгруппах. Ее
второе утверждение доказано при выборе представителей
8A, п) в Ш.8.5.
Так как всякая подгруппа, сопряженная внутри некоторой
группы с подгруппой бесконечной циклической группы, сама
является бесконечной циклической группой, а свободное про-
произведение свободных групп само будет свободной группой,
то из доказанной теоремы вытекает
Теорема Нильсена — Шрейера. Всякая подгруппа сво-
свободной группы, отличная от единичной подгруппы, сама
свободна.
13. Отметим следующее очевидное свойство свободных
произведений:
Если
1Е/
то
Свободное разложение A7) называется продолжением
свободного разложения A6).
Два свободных разложения группы О,
называются изоморфными, если /^ и Я являются изоморф-
изоморфными свободными группами, а между свободными множите-
множителями Аь и В] можно установить такое взаимно однозначное
соответствие, что соответствующие множители сопряжены
в группе О.
Справедлива следующая теорема [А. Г. К у р о ш, МаШ.
Апп. 109 A934), 647 — 660; Бэр и Лев и, Сотр. Ма1Ь. 3
A936), 391-398]:
Два любых свободных разложения произвольной группы
обладают изоморфными продолжениями.
8] СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП 177
В самом деле, если
г'6/ /е;
то, применяя теорему о подгруппах, получаем
1П5"
^ = 5 (у, О'),
Этим определяются продолжения свободных разложений A8),
и мы хотим доказать их изоморфность.
Фиксируем пару индексов /е/,уе7 и заметим, что
если ^ е (Л;, #у), то совокупность О" элементов, обратных
ко всем элементам из Д будет классом разложения (Вр ЛД
причем этим путем между классами указанных двух разло-
разложений устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Докажем сопряженность в О подгрупп В1-{\ з'М^ и Л,- р)
где 5 = 5 (/, Ь), г = 5 (у, О"). Так как
то
г = Ь;-8~1аь Ь] е Яу, а; е Л,-.
Поэтому
Л. П {-*В{=
= А.Г\ а-18в.5-1а. = а-15(8-1 Л.5
Ь \ $ Ь Ъ Ь I
Для окончания доказательства остается отметить, что нор-
нормальный делитель, порожденный в группе некоторой систе-
системой подгрупп, не меняется, если каждая из этих подгрупп
заменяется подгруппой, с нею сопряженной, а затем восполь-
воспользоваться следующим свойством свободного произведения:
Вели О = АхВ и А порождает в О нормальный дели-
делитель Л, то В изоморфно фактор-группе О/А.
В самом деле, нормальный делитель Л состоит из тех
" только тех элементов из О, для которых произведение
элементов из В, входящих в их несократимую запись (с сохра-
сохранением их взаимного порядка) равно 1. Отсюда следует,
4го всякий смежный класс О по Л содержит ровно один
элемент из В.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СТРУКТУРЫ
§ 1. Структуры, полные структуры
1. Параллелизм между теорией групп и теорией колец
привел к введению в алгебру, наряду с понятием й-группы,
и некоторых других понятий. Одно из них, а именно поня-
понятие структуры, подсказано тем, что и множества всех под-
подгрупп или всех нормальных делителей некоторой группы, и
множества всех подколец или всех идеалов (двусторонних,
левых или правых) некоторого кольца частично упорядочены
по теорегико-множественному включению, причем эта частич-
частичная упорядоченность обладает некоторыми дополнительными
свойствами.
Частично упорядоченное множество 5 называется струк-
структурой, если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
\±. Для всякой пары элементов а, йе*? в 5 существует
такой элемент с = а [\ Ь, пересечение элементов а и Ь, что
с ^ а, с ^Ь,
причем если некоторый элемент с' также обладает свойствами
с' ^ а, с' ^ Ь, то с' ^ с.
12. Для всякой пары элементов а, йе5в 5 существует
такой элемент с1 = а {] Ь, объединение элементов а и Ь, что
й ^= а, й ^ Ь,
причем если некоторый элемент й! также обладает свойствами
с1' ^ а, (I' ^ Ь, то с1' ^ й.
Ясно, что и пересечение а(]Ь, и объединение а\]Ь эле-
элементов а и Ь определены однозначно. Ясно также, что частично
упорядоченное множество, инверсно изоморфное структуре
§ 1) СТРУКТУРЫ, ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 179
(см. 1.4.6.), само будет структурой, причем понятия пересече-
пересечения и объединения двойственны друг другу (см. 1.5.5).
Мы видим, что можно говорить о структуре подгрупп
и структуре нормальных делителей некоторой группы О,
а также о структуре подколец, структуре идеалов, струк-
структуре левых (правых) идеалов некоторого кольца /?. Во всех
этих случаях пересечением подгрупп (или подколец) А и В
является их теоретико-множественное пересечение А(] В, г
роль объединения играет подгруппа (подкольцо) {Л, В), порож-
порожденная этими подгруппами (подкольцами). Можно говорить,
вообще, о структуре подалгебр данной универсальной
алгебры, а также о структуре ^-подгрупп и о структуре
идеалов данной й-группы.
Укажем некоторые другие примеры структур. Так, все
подмножества множества М составляют структуру по теоре-
теоретико-множественному включению, причем пересечение и объ-
объединение имеют теоретико-множественный смысл; эта струк-
тура подмножеств М будет в дальнейшем использоваться.
Всякое линейно упорядоченное множество Ь является
структурой, причем если а, йе! и а^^, то
а[\Ь — а, а{]Ь = Ь.
Множество натуральных чисел будет структурой, если
в качестве отношения порядка принять отношение делимости.
Роль пересечения играет здесь наибольший общий делитель,
а объединением будет наименьшее общее кратное.
2. Структуры могут рассматриваться как частный случай
универсальных алгебр. Именно, понятие структуры может
быть определено без использования частичной упорядочен-
упорядоченности, а лишь при помощи свойств бинарных операций пере-
пересечения и объединения:
Множество 8 с двумя бинарными операциями а[\Ь и
п[]Ь тогда и только тогда будет структурой, если эти
операции удовлетворяют следующим тождественным
соотношениям:
Н^ а П а = а,
И2. а[\Ъ =
И3. (а{]Ь){]с = а{](Ь{]с)9 (а [} Ь)[} с = а{] (Ь{] с))
П4. а П (а О Ь) = а, а [} (а П Ь) = а.
Предположим сперва, что дана структура 5, т. е. что
операции а[\Ь и а\]Ь определены условиями \г и 12. Тогда
180 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ [ГЛ. Т||
выполнение свойств [\1 и 112 очевидно. Проверим свойству
И3, например для пересечения. Так как, по 11}
[а П Ъ) П с ^ а П Ь ^ а,
то, снова по
Аналогично
а поэтому имеет место И3.
С другой стороны, ясно, ввиду 11} что
однако а^а и, по 12, а^а{]Ь, а поэтому, по 1^
а ^ а П (а II Ь).
Отсюда следует справедливость П4.
Пусть теперь дано множество 6* с двумя бинарными опе-
операциями, обладающими свойствами 11Х—П4. Если а, Ь е 5, то
равенства
A)
одновременно выполняются или не выпол-
выполняются. Действительно, если а(]Ь = а, то, по П4 и Н2,
если же а[)Ь — Ьу то, по П4,
= а[\(а\]Ъ) = а.
Если равенства A) для элементов а и Ь имеют место,
то положим а^Ь. Этим в множество 5 введена
частичная упорядоченность. Действительно, а^а
ввиду II!. Далее, если а^Ь и Ь^с, т. е. а(]Ь — а, Ъ[\с~Ь,
то, в силу Н3,
т. е. а ^ с. Наконец, если а^Ь и Ъ^ а, т. е. а Г) & = а,
а == &, то, ввиду Н2, а = Ь.
Покажем, что выполняется условие 1Х. Из (а Г) #) П а ~
= а П (а П ^) = (а П а) П * = а П * следует а П й ^ а. Анало-
§ 1] СТРУКТУРЫ. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 181
гично а Г) Ь г=с Ь. Если же в 5 взяг произвольный элемент с\
удовлетворяющий условиям с' ^ а, с'^Ь, т. е. с'()а = с',
= с', то
откуда с' ^ а П Ь. Элемент а[\Ь является, следовательно, пере-
пересечением элементов а и Ь в смысле условия 1Г Аналогичным
образом доказывается, что элемент а \] Ь будет объединением
элементов а и й в смысле условия 12.
3. Полученное нами второе определение понятия струк-
структуры показывает, что структуры составляют примитив-
примитивный класс универсальных алгебр с двумя бинарными опе-
операциями (см. Ш.6.3). Это определение по существу должно
считаться основным, как следует из приводимых ниже опре-
определений подструктуры и изоморфного вложения структур.
Именно, подмножество Т структуры 5 называется под-
подструктурой этой структуры, если оно является подалгеброй
структуры 5, рассматриваемой как универсальная алгебра
в смысле определения IV. 1.2. Иными словами, Т вместе
со всякими своими элементами а и Ь содержит их пересече-
пересечение а Г) Ь и их объединение а[)Ь, понимаемые в смысле опе-
операций в структуре 5, т. е. Т само является структурой отно-
относительно операций, определенных в 5.
Следует учесть, что подмножество Т структуры 5 может
оказаться структурой по той частичной упорядоченности,
которая индуцируется в Т частичной упорядоченностью,задан-
упорядоченностью,заданной в 5, не являясь подструктурой в смысле данного выше
определения. Так, хотя в структуре подгрупп группы О упо-
упорядоченность теоретико-множественная, однако эта структура
не будет подструктурой в структуре всех подмножеств мно-
множества О, так как объединения в этих двух структурах имеют
разный смысл. Аналогично структура подколец кольца /?
не будет подструктурой структуры подгрупп аддитивной
группы этого кольца.
Структура нормальных делителей группы О является
подструктурой структуры всех подгрупп этой группы,
как показано в 11.7.5. Вообще, из сказанного в 111.2.4 сле-
следует, что структура идеалов {^-группы О будет подструк-
подструктурой как в структуре всех {^-подгрупп этой {^-группы,
и в структуре подгрупп ее аддитивной группы.
182 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
4. Взаимно однозначное отображение ф структуры
в структуру 6" называется изоморфным отображением или
изоморфным вложением 8 в 5', если для любых а, Ь е 5
(а Г) Ь) ф = аф Г) Ьу, (а[)Ь)у~ац){) Ьср.
Иными словами, это будет изоморфизм структур, рассматри-
рассматриваемых как универсальные алгебры (см. III. 1.5).
Изоморфное вложение ф структуры 8 в структуру 8'
является изоморфным вложением 8 в 8' в смысле изо-
изоморфизма частично упорядоченных множеств (см. 1.4.4).
Действительно, пусть а, Ь ^ 8. Если а^Ь, т. е. а[}Ь = а, то
(а Г) Ь) ф = аф Г) Ьц) = аф
откуда аф^&ф. Проводя эти рассуждения в обратном порядке
и используя взаимную однозначность отображения ф, мы полу-
получим, что из аф ^ Ьу следует а^Ь.
Примеры, приведенные выше, показывают, что обрат-
обратное утверждение не имеет места: если даны частич-
частично упорядоченные множества 5и5'иф- изоморфное отобра-
отображение 5 в 5', то в том случае, когда 5 и 5' являются струк-
структурами, ф не обязано быть изоморфным отображением струк-
структуры 5 в структуру 5'. Положение будет, впрочем, иным,
если рассматриваются изоморфные отображения 5 на 8':
Если даны структуры 8 и 8', то всякое изоморфное
отображение 8 на 8', понимаемое в смысле частичной
упорядоченности, будет изоморфным отображением струк-
структуры 8 на структуру 8'.
Действительно, если а, Ь ^ 8, то из а[]^<а следует
(ар#)ф^саф; аналогично (а[)Ь)ц)^Ь(р. Если же элемент
с' ^ 8' таков, что с' ^ аф и с'^Ьу, и если с — тот элемент
из 5, для которого сц) = с', то с ^ а и с ^ Ь, т. е. с ^ а Г) Ь,
откуда су^(а О Ъ) ф. Этим доказано, что
(а Г) Ъ) ф — аф Г) Ьц).
Так же проводится доказательство и для объединения.
Заметим, что на структуры можно перенести также поня-
понятие гомоморфизма и вообще все, что относится к произ-
произвольным примитивным классам универсальных алгебр; в част-
частности, в соответствии с III.7.2, имеет смысл понятие сво-
свободной структуры с данным множеством X свободных
образующих.
§ 1] СТРУКТУРЫ. ПОЛНЫЕ СТРУКТУРЫ 183
5. Как следует из 1.2.1, бинарные отношения на мно-
множестве М составляют структуру, совпадающую со структурой
всех подмножеств множества МхМ. Отношения эквивалент-
эквивалентности на множестве М также составляют структуру, как
доказано в 1.3.3. Эта структура отношений эквивалент-
эквивалентности не является, однако, подструктурой структуры бинар-
бинарных отношений.
* Всякая структура изоморфно вкладывается в структуру
отношений эквивалентности, определенных в некотором мно-
множестве [У и т м э н, Ви11. Ашег. МаШ. 5ос. 52 A946), 507—522].
Структура отношений эквивалентности, определенных
в произвольно заданном множестве, изоморфно вкладывается
в структуру подгрупп некоторой группы [Б и р к г о ф, Ргос.
СатЬг. РЫ1О5. Зое. 31 A935), 433—454].
Таким образом, всякая структура изоморфно вкладывается
в структуру подгрупп некоторой группы, х
6. Многие из структур, отмечавшихся выше-—структура
подмножеств множества М, структура подгрупп группы О,
структура подколец кольца /? (и, вообще, структура й-под-
групп й-группы О), структура отношений эквивалентности
на множестве М, — обладают тем свойством, что пересечения
и объединения определены в них не только для двух и поэтому,
в силу ассоциативности, для любого конечного числа элемен-
элементов, но и для любых бесконечных подмножеств. Иными сло-
словами, эти структуры являются полными структурами в смысле
следующего определения:
Частично упорядоченное множество 5 называется полной
структурой, если для любого непустого подмножества А с= 5
в 5 существуют элементы с и с1 со следующими свойствами:
\[. Для всех йе/1 выполняется неравенство с^а, причем
если некоторый элемент с также удовлетворяет условию
с' ^ а для всех йеД то с' ^ с.
12. Для всех йе/1 выполняется неравенство й~^а, при-
причем если некоторый элемент й' также удовлетворяет условию
&' ^ а для всех а е А то й' ^ й.
Однозначно определенные элементы с и й называются
соответственно пересечением и объединением элементов под-
подмножества А. Записываться они будут следующим образом:
= П а'
184
структуры гг.п
или, если элементы из А обозначены через аа, где индекс о&
пробегает некоторое множество М,
с = | | аш а = у аа.
Ясно, что полная структура является и просто структурой!
7. Пересечение всех элементов полной структуры 5 назы<|
вается нулем этой структуры и будет обозначаться симво?!
лом 0. Этот элемент однозначно определяется любым из сле-|
дующих трех условий: для всех а
1) 0 <с а; 2) 0 П а = 0; 3) 0 у а = а.
Объединение всех элементов полной структуры называется,
единичным элементом этой структуры и будет обозначаться;
символом 1. Этот элемент однозначно определяется любым
из следующих трех условий: для всех й
2') \{}а=\; У) 1 П а = а.
Нулем и единичным элементом (или одним из них) могут
обладать, понятно, и структуры, не являющиеся полными.
Роль нуля и единичного элемента в структуре подгрупп
группы О играют соответственно единичная подгруппа и сама
группа О, в структуре подколец кольца Н — нуль-подкольцо
и само кольцо Н, в структуре подмножеств множества М —
пустое подмножество и само множество Ж. В структуре
натуральных чисел, упорядоченных по делимости, а также
в цепи натуральных чисел с их естественной упорядочен-
упорядоченностью, нулем служит число 1, а единичный элемент отсут-
отсутствует.
8. Частично упорядоченное множество 8 тогда и
только тогда будет полной структурой, если оно обла-
обладает единичным элементом и если в нем существует
пересечение элементов для каждого непустого подмно-
подмножества.
В доказательстве нуждается лишь утверждение, что если
в 6* существуют единичный элемент и все пересечения, то
существуют и объединения. Пусть А — непустое подмножество
из 5. В 5 существуют такие элементы Ь, что Ь^ а для всех
а е А; таким элементом во всяком случае является 1. Пусть
§ П структуры полные структуры 185
/>' будет непустое множество всех этих элементов Ьу а с/ —
их пересечение,
й= р Ь.
Докажем, что а1 является объединением эле-
элементов подмножества Л. В самом деле, если «еД
то а^Ь для всех Ъ е В, а поэтому а^а1. С другой сто-
стороны, если элемент 5е5 таков, что 8^а для всех й
то 5ЕЙ а поэтому й <; 5. Таким образом,
= У а.
Так как свойство частично упорядоченного множества
быть полной структурой (как и свойство быть структурой)
сохраняется при инверсном изоморфизме (см. 1.4.6), то
в доказанной сейчас теореме можно было бы требовать
существование нуля и объединений для всех непустых под-
подмножеств.
# Назовем отображение ф частично упорядоченного мно-
множества М в частично упорядоченное множество Л/ моно-
монотонным, если для а, Ь е М из а^Ъ всегда следует аф^/кр.
Сфуктура 5 тогда и только тогда будет полной структурой,
если для любого монотонного отображения ф структуры 5
в себя существуют неподвижные элементы, т. е. такие эле-
элементы а, что ац) = а [Т а р с к и й, Раа!. Л. МаШ.
5 A955), 285-309; Д э й в и с, Рас!!. Л. МаШ. 5 A955),
311-319]. *
9. В 1.4.5 было доказано, что всякое частично упорядо-
упорядоченное множество М изоморфно вкладывается в полную
структуру М всех своих подмножеств. Сейчас мы хотим
доказать следующую теорему:
Всякая структура может быть изоморфно вложена
{в смысле изоморфизма структур, см. IV. 1.4) в полную
структуру.
Эта теорема вытекает, впрочем, из следующего утвер-
утверждения, усиливающего теорему 1.4.5:
Всякое частично упорядоченное множество М изо-
изоморфно вкладывается в некоторую полную структуру 8,
причем так, что для всякого подмножества Ая^М, для
186
СТРУКТУРЫ [ГЛ ТУ
которого в М существуют пересечение или объединение,
они сохраняются при этом вложении ф, т. е,
B)
Ясно, что вложение Ж в Ж, построенное в 1.4.5, не
удовлетворяет поставленным требованиям. Мы поступим сле-
следующим образом. Будем считать, прежде всего, что мно-
множество М обладает нулем 0, так как иначе его можно
было бы присоединить к М. Непустое подмножество Х^М
назовем идеалом в М, если: 1) X вместе со всяким своим
элементом х содержит и все такие элементы у е М, что
у ^ х; 2) для всякого Хг <= X, для которого в М сущест-
существует объединение, это объединение содержится в X.
Множество 6* всех идеалов множества М частично упо-
упорядочено по теоретико-множественному включению. Так как 5
обладает единичным элементом — М будет, очевидно, идеалом
в самом себе —и так как теоретико-множественное пересе-
пересечение любого множества идеалов содержит нуль и удовлет-
удовлетворяет всем требованиям, входящим в определение идеала,
то множество 5 будет, по IV. 1.8, полной структурой.
Для любого элемента а е М множество (а) всех таких
элементов Ь е М, что Ь ^ а, будет идеалом; это главный
идеалу порожденный элементом а. Ставя в соответствие
всякому а е М порожденный им главный идеал (а), мы
получим, как и в 1.4.5, изоморфное вложение ф частично упо-
упорядоченного множества М в полную структуру <?.
Предположим теперь, что для подмножества А 9= М в М
существует пересечение
Тогда с ^ а и поэтому (с) <= (а) для всех йеА Если же
теоретико-множественное пересечение всех главных идеалов
(а), йеД содержит элемент х, то х^а для всех а
и поэтому х ^ с. Таким образом,
@= П (а))
аЕ А
что доказывает первое из равенств B).
§ 2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 187
Наконец, пусть для подмножества А 9= М в М сущест-
существует объединение , •
а1 = I I а.
ЯЕ А
Тогда {а1) =2 (а) для всех а е Л. Если же некоторый идеал X
содержит все йеД то, по определению идеала, он содер-
содержит и их объединение й> а поэтому (а1) д= X. Таким образом,
(Л) = у (а).
Этим доказано и второе из равенств B), т. е. закончено
доказательство теоремы.
Читатель без труда проверит, что конструкция, исполь-
использованная в этом доказательстве, в применении к упорядо-
упорядоченному множеству рациональных чисел по существу дает
обычное пополнение системы рациональных чисел дедекин-
довыми сечениями.
10» Частично упорядоченное множество 8 тогда и
только тогда будет полной структурой, если 8 обладает
нулем и если в 8 всякий идеал является главным.
Действительно, если 5 — полная структура, то для любого
идеала X существует объединение а всех его элементов,
причем, в силу определения идеала, а е X, а гоэтому Х = (а).
Обратно, пусть в частично упорядоченном множестве 5
существует нуль и всякий идеал является главным. Главным
идеалом будет, в частности, и само 5, а поэтому в 5 суще-
существует единичный элемент. Если же А — непустое подмно-
подмножество из 5, то совокупность X всех таких элементов
л:е5, что х ^ а для всех оеД содержит 0 и является
идеалом. Этот идеал должен быть главным, Х = (Ь), и эле-
элемент Ь будет пересечением подмножества А Ввиду IV. 1.8
5 оказалось полной структурой.
Таким образом, применение к полным структурам конст-
конструкции, изложенной в предшествующем пункте, не может
дать ничего нового.
§ 2. Дедекиндовы структуры
1. Среди аксиом Пх — И4, определяющих структуру
(см. 1У.1.2), лишь аксиома И4 связывает операции пересечения и
объединения. Эта связь очень слаба. Некоторые структуры,
например структура всех подмпожеств некоторого множества,
188 структуры [гл. п|
4
дополнительно удовлетворяют условию дистрибутивности I
Щ
(см. 1.1.1). Структуры, удовлетворяющие этому условию дли;
любых а, Ь и с, называются дистрибутивными и будут*
изучаться в § б настоящей главы. Однако структуры нор*
мальных делителей групп и тем более структуры всех под-1
групп, как правило, не являются дистрибутивными. I
Желание выделить по возможности узкий класс струну
тур, к которому принадлежали бы структуры нормальных
делителей произвольных групп (хотя и не обязательно струк~
туры всех подгрупп), приводит к следующему определению:
Структура 5 называется дедекиндовой (или модулярной)^
если для любых а, Ь, с ^ 8, удовлетворяющих усло-
условию а^Ь, выполняется равенство
аПФ[)с) = Ь[)(аГ\с). B)
Всякая дистрибутивная структура является дедекин-
довой} так как из а^Ь вытекает а[\Ъ = Ъ и поэтому при
условии а^Ъ из A) следует B).
Всякая подструктура Т дедекиндовой структуры 5
(см. IV. 1.3) сама дедекиндова, так как равенство B) должно
выполняться, в частности, для элементов а, Ь, с е Т, удо-
удовлетворяющих условию а^Ь.
Свойство дедекиндовости сохраняется, само собою разу-
разумеется, при изоморфизме структур. С другой стороны,
структура, инверсно изоморфная дедекиндовой структуре,
сама дедекиндова, так как, меняя в определении дедекин-
дедекиндовой структуры символ ^ на символ ^ и переставляя
символы [] и [|, мы придем к тому же определению с пере-
переставленными лишь буквами а и Ь.
2. Структура всех нормальных делителей произволь-
произвольной группы является дедекиндовой.
Действительно, пусть в группе О даны нормальные дели-
делители Д В и С, причем А =2 В. Нужно доказать, учитывая A)
из Ш.4.1, что
C)
Так как В ^ А и В ^ ВС, то В содержится в левой
части равенства C). Там же содержится и А [\ С, так как
§21
ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 189
С с= ВС. Отсюда следует включение
А{)ВС=>В(А(\С). D)
С другой стороны, любой элемент, содержащийся в нор-
нормальном делителе А [\ ВС, является элементом «еД допу-
допускающим в то же время запись
а = Ьс, E)
где Ь е В, с е С. Отсюда с = &~1а е Л, так как # с= Д т. е.
с^{А ПС).
Поэтому, ввиду E), всякий элемент левой части равенства C)
содержится в его правой части, что вместе с включением D)
доказывает это равенство.
Идеалы произвольной ^-группы составляют, в силу
сказанного в III.2.4, подструктуру структуры нормаль-
нормальных делителей аддитивной группы этой ^-группы, т. е.
составляют дедекиндову структуру. Отсюда следует, что
структура всех идеалов произвольного кольца будет
дедекиндовой.
Отметим, что структура всех подгрупп некоммутативной
группы, как правило, не является дедекиндовой.
3. Существует много различных определений дедекин-
доной структуры, равносильных приведенному выше. Укажем
некоторые из них.
Структура 8 тогда и только тогда дедекиндова,
если для любых а, Ь, се5
аШПЬ)[)с] = (аОЬ)[)(а()с). F)
Действительно, если структура 5 дедекиндова, то, так как
о ^ а П Ь, (б) следует из B). Обратно, если в структуре 5
выполняется условие (б), то для а^Ь из (б) следует B),
так как в этом случае а{]Ъ = Ь.
Мы видим, таким образом, что дедекиндовы структуры
составляют примитивный класс универсальных алгебр.
4. Структура 8 тогда и только тогда дедекиндова,
если из того, что элементы а, Ъ, с ^8 удовлетворяют
Условиям
а^Ъ, а{\с=^Ь{\с) а[]с = Ь[)с> G)
следует а =
структуры
[гл. гу|
Действительно, если структура 5 дедекиндова и эле-
элементы а, Ь, с удовлетворяют условиям G), то
Пусть теперь выполняются посылки обратного утвержде-1!
ния и пусть в 5 даны элементы а, Ь, с, причем а ^ ЬЛ
Легко проверяется (см. вывод неравенства D)), что, какова^"
бы ни была структура 5, из а^Ь следует
Вместе с тем
(8)
а так как при
то
т. е.
[} (а П с),
Из (9) и A0) следует, что при а
A0)
A1)
Переходя от равенства A1) к двойственному равенству,
т. е. переставляя символы (] я {], а также меняя местами
буквы а и Ь, мы получим
с, A2)
причем неравенство а^Ь сохраняется, так как символ
мы также должны заменить на ^. Мы видим, что (8), A1)
и A2) имеют вид условий G), а поэтому, в силу сделанных
предположений, при а^Ь имеет место равенство B), что
и требовалось доказать.
5. В теорию дедекиндовых структур можно было бы
перенести известные нам из 111.4.7 свойства инвариантных
и главных рядов й-групп. Мы не будем этого делать в пол-
полном объеме и ограничимся результатами, необходимыми для
дальнейшего.
Пусть дана дедекиндовая стуктура 5, обладающая нулем
и единичным элементом. Упорядоченная конечная система
§2]
ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 191
элементов,
О = а0 < аг < а2 < ... <а/г_1 <а* = 1, A3)
называется нормальным рядом этой структуры х); число
длина этого ряда. Нормальный ряд
= 1 (Н)
называется уплотнением ряда A3), если всякий элемент а,-,
/ — О, 1, ,.., к, равен одному из элементов Ьр
6. Всякие два нормальных ряда дедекиндовой струк-
структуры 8 обладают уплотнениями одинаковой длины.
Пусть, в самом деле, в 5 заданы произвольные нормаль-
нормальные ряды A3) и A4). Положим, в некоторой мере повторяя
то, что мы делали в III.4.5,
П Ы * = 0> Ь ..., * — !> 7 = 0,
/П а*)» 7 = 0» Ь ...,
Так как
я*о= аь аи =
и
7 == О» 1» ..• 5 ^ — 1»
то элементы а^ составляют нормальный ряд, быть может
с повторениями, являющийся уплотнением ряда A3). Анало-
Аналогично элементы Ъ^ составляют уплотнение ряда A4). Эти
два новых ряда имеют одну и ту же длину А/, и поэтому
остается показать, что они обладают равным числом повто-
повторений.
Действительно, пусть
Используя последовательно определение элемента а^ у+1, равен-
равенство A5), неравенство а^-^а^, определение элемента а^
и, наконец, определение B) дедекиндовой структуры вместе
с неравенством а1+1[\Ь;-^Ь;-+1, мы получим:
П Ь^г = аи у+1 П (ат П *у+1> = «// П («л-1 П *у+1> =
= яу П ^'+1 = \а1 У (ям П *у)] П Ьт = (а/ П *у+1) II (а»+1 П
Такова принятая здесь терминология, хогя было бы после-
последовательнее говорить об инвариантных рядах.
192 СТРУКТУРЫ [ГЛ.
Этот результат вместе с определением элементов Ь^1 и Ъ] {+1
и очевидным неравенством аг+1[\Ъ]^Ъ] приводит к равенствам
= Ь] II (а1+1 П Ьт) = Ь1, 1+1-
Мы доказали, что повторения в построенных нами уплотне-
уплотнениях нормальных рядов A3) и A4) находятся во взаимно
однозначном соответствии, т. е. могут быть одновременно
удалены. Теорема доказана.
7. Будем называть главным рядом дедекиндовой струк-
структуры такой ее нормальный ряд, который не может быть
уплотнен без повторений. Как и в 111.4.6, из доказанной выше
теоремы вытекают следующие результаты:
Если дедекиндова структура обладает главными рядами,
то все ее главные ряды имеют одинаковую длину.
Если дедекиндова структура обладает главными рядами,
то всякий ее нормальный ряд может быть уплотнен дощ
главного ряда.
Отсюда следует, что всякая подструктура Т дедекин-
дедекиндовой структуры 8, обладающей главными рядами, сама
обладает главными рядами. В самом деле, если главные
ряды структуры 5 имеют длину к, то длины цепей под-
подструктуры Т не могут превосходить к. Если
— одна из цепей "максимальной длины, содержащихся в 7\
то с0 и сг будут соответственно нулем и единичным элементом
структуры Ту а A6)-—одним из главных рядов этой структуры.
8. Полученные результаты позволяют указать еще одну
форму определения дедекиндовой структуры:
Структура 8 тогда и только тогда дедекиндова, если
во всякой ее подструктуре, обладающей главными рядами,
все главные ряды имеют одинаковую длину.
Действительно, если структура 5 дедекиндова, то доста-
достаточно сослаться на IV.2.1 и 1У.2.7. Если же структура 5
не дедекиндова, то из 1У.2.4 следует существование в 5 таких
элементов а, Ь, с, что выполняются условия G), но афЬ.
Легко проверяется, что при этих условиях элементы а, Ь, с,
а[\с и а[)с составляют подструктуру структуры 5, причем
§ 2] ДЕДЕКИНДОВЫ СТРУКТУРЫ 193
последние два элемента служат соответственно нулем и еди-
единичным элементом этой подструктуры. Построенная подструк-
подструктура обладает, однако, двумя главными рядами различной
длины, а именно рядами
а[\с <С.с <С а[]с.
9. Дедекиндова структура 8 тогда и только тогда
обладает главными рядами, если она удовлетворяет усло-
условиям обрыва убывающих и возрастающих цепей (см. 1.5.1
и 1.5.5).
Действительно, если дедекиндова структура 5 обладает
главными рядами длины к, то длины ее нормальных рядов
не превосходят к. Однако всякая конечная цепь структуры 5
после добавления, если нужно, нуля и единичного элемента
превращается в нормальный ряд этой структуры. Этим дока-
доказано, что в 5 не может быть бесконечных цепей.
Обратно, пусть в структуре 5 выполняются условия обрыва
убывающих и возрастающих цепей, а поэтому и условия, им
эквивалентные (см. 1.5.1). Ввиду условия минимальности в 5
существуют минимальные элементы, а так как пересечение
двух минимальных элементов должно совпадать с каждым
из них, то в действительности в 6* существует лишь один
такой элемент; он будет нулем нашей структуры. Аналогично
в 5 существует и единичный элемент.
Если аЕ*5 и аф\, то в непустом множестве таких эле-
элементов х, что лг> а, существуют минимальные элементы,
т. е., как говорят, элементы, покрывающие элемент а. Поль-
Пользуясь аксиомой выбора, для каждого а, аф\, отметим один
из покрывающих его элементов; обозначим его через а'. Цепь
О = а0 <^ а± <С #2 "^ • • • ^ ап <С • • • > A7)
где
ап == а^—1, п==:: I, ^, ...»
по условию должна обрываться. Существует, следовательно,
такое п, что а„=1, т. е. цепь A7) будет главным рядом
структуры 5.
10. Если в произвольной структуре 5 взяты элементы а
и Ь, причем а^Ь, то совокупность таких элементов х} что
а ^ х ^ Ь, будет в 5 подструктурой, имеющей Ь своим нулем
7 А, Г. Курош
СТРУКТУРЫ ГГЛ. IV
и а— единичным элементом. Обозначим эту подструктуру
через а/Ь.
Если в дедекиндовой структуре 8 взяты произвольные
элементы а и Ь, то подструктуры (а [] Ь)/а и Ь/(а П Ь)
изоморфны.
Действительно, если х е Ь/(а Г) Ь), т. е.
а[}Ь ^х^
то положим
= х {] а.
Ясно, что а ^ хц) ^ а [] Ь, т. е. лгф е (а [] Ь)[а.
Если бы существовал такой элемент у, а[\Ь^у
отличный от х, что уц) = лгф, то элемент ,г = хи^ был бы
заведомо отличен хотя бы от одного из элементов х, у,
например от первого, т. е. г^>х. Однако
и поэтому, ввиду а{] а = а,
г \] а = х \}у \] а = (х {] а) [] (у [] а) = хф у _уср = хф = х [} а,
г[\а = а[\Ъ = х[\а,
■что противоречит дедекиндовости структуры 5 ввиду 1У.2.4
С другой стороны, если х' ^(а{] Ь)/а, т. е.
а ^ х' ^ а \] Ь,
то, в силу дедекиндовости структуры,
а так как
то
х' = (Ь П х') ф.
Отображение ф оказалось взаимно однозначным отобра-
отображением подструктуры Ь/(а [\ Ь) на всю подструктуру (а{]Ь)/а.
Докажем изоморфность этого отображения. Если х, у
е Ъ\(а П Ь), то из х ^у следует х \] а ^у \] а, т. е. дгф
С другой стороны, если Хф ^з^ф, т. е. х{] а ^у [] а, то
(х [}У) [} а = (х [) а) [} (у [} а) =у [} а.
т. е. (х[)у)ср =^ф, откуда, ввиду взаимной однозначности
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 195
отображения ер, х\]у=у, т. е. х^у. Теперь остается сос-
сослаться на последний результат из IV.!.4.
11. Пусть дедекиндова структура 5 обладает главными
рядами. Тогда для любого аЕ5 подструктура а/0 также
обладает главными рядами; обозначим длину этих рядов /(а).
Для любых элементов а и Ь дедекиндовой структуры
5, обладающей главными рядами, имеет место равенство
1(а{]Ь) = 1(а)+1ф)-/(аОЬ). A8)
В самом деле, выше доказано, что подструктуры (а [] Ь)/а
и Ь\{а Г) Ь) изоморфны. Их главные ряды имеют, следовательно,
одну и ту же длину. Эта длина для первой подструктуры
равна, однако, числу Ь(а \)Ъ) — /(а), для второй—числу
ЦЪ)-1(а[\Ъ).
§ 3. Прямые объединения. Теорема Шмидта — Орэ
1. В теории групп весьма употребительна одна конструк-
конструкция, называемая прямым произведением групп или,
в случае аддитивной записи групповой операции, их прямой
суммой. В теории колец аналогичную роль играет дву-
двусторонняя прямая сумма колец. Изучение этих поня-
понятий приводит к совершенно параллельным теориям, которые
в действительности являются частными проявлениями одной
теории, относящейся к дедекиндовым структурам. Именно
в этой общности мы и будем вести изложение, а в следующем
параграфе дополним его замечаниями, относящимися специально
к группам, кольцам или й-группам.
2. Пусть дана дедекиндова структура 5, обладающая
нулем. Элемент аЕ5 называется прямым объединением
элементов Ьь Ь2, ..., Ьк е 5 и будет записываться в виде
а = Ь1хЬ2Х...ХЬк, A)
если а является объединением этих элементов,
а = Ьг[)Ь2[)...[}Ьк, B)
и если для /== 1, 2, ..., к
Ф1\}...\}Ъи\)Ъ1+1\)...\)Ък)[\ъ1 = о. C)
Если структура 5 полная (см. IV. 1.6), то можно опре-
определить и бесконечные прямые объединения: элемент а
7*
196 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV!
будет прямым объединением элементов Ъь где I пробегает
некоторое множество индексов /, если
D)
и если для всех /
г П */ = 0, E)
где
у
3. Приступим к изучению основных свойств прямых объе-
объединений в дедекиндовой структуре 5 с нулем. Мы ограни-
ограничимся при этом случаем конечных прямых объединений.
Дедекиндовость структуры 5, в самом определении IV.3.2
не игравшая никакой роли, во многих местах будет теперь
существенно использована.
В определении IV.3.2 условие C) может быть заменено
следующим условием, ему равносильным:
= 0, / = 2, 3, ..., к. F)
Ясно, что (б) следует из C). Для доказательства того,
что из F) следует C), мы будем индукцией по / доказывать,
что пересечение каждого из / элементов Ьь Ь2, ..., Ьь 2^
*^1^к, с объединением остальных 1—1 элементов этой
системы равно нулю. Действительно, для 1=2 это утвержде-
утверждение следует из (б) при / = 2. Пусть наше утверждение уже
доказано для /—1. Из (б) следует равенство
G)
Если же /<С/, то применение неравенства
дедекиндовости структуры 5, равенства G) и индуктивного
предположения дает
П */ =
Наше утверждение доказано, следовательно, для всех /, в том
числе и для / = А, что и приводит к условию C).
§3)
ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА *= ОРЭ 197
4. Пользуясь условием (б), читатель немедленно докажет
следующие свойства прямого объединения:
Если а = Ь1хЬ2х...хЬк и Ьх \] Ь2 {] ... \] Ьь = с, 1<.к, то
а — сХ Ьь+1 Х...хЬк.
Если а = Ь1хЬ2Х...хЬк и Ь1 = с1Х с2х... X сь то
а = с1Хс2Х...Хс1хЬ2Х...ХЬк.
Учитывая, что в определении IV.3.2 нумерация элементов
Ьь Ь2, ..., Ьк не играет роли, мы придем, применяя несколь-
несколько раз второе из указанных сейчас утверждений, к такому ре-
результату:
Если
а = йх X й2 X ... X йй (8)
и если элементы Ьь все или некоторые, сами разложены
в прямое объединение,
Ь I = 1, 2, ...,
то элемент а будет прямым объединением всех элемен-
элементов сц, 1^у^/ь /=1, 2, ..., к. Это новое прямое разло-
разложение элемента а называется продолжением прямого разло-
разложения (8).
С другой стороны, из определения прямого объединения
следует, что если в прямом разложении (8) мы возьмем эле-
элементы Ьь Ь2>..., Ьь / <Г К и положим Ьг \] Ь2 [)... У Ьь = с, то
С = Ь1ХЬ2Х...ХЬ1.
Отсюда и из первого из утверждений настоящего пункта
вытекает следующий результат:
Если дано прямое разложение (8) элемента а и если
система элементов Ъь Ь2, ..., Ьк разбита на непересека*-
ющиеся подсистемы, то, заменяя каждую из подсистем
объединением входящих в нее элементов, мы получим но-
новое прямое разложение элемента а, для которого разло-
разложение (8) служит продолжением,
5. Пусть дано прямое разложение (8) элемента а.
выбраны элементы Ь\, О ^Ъ\^ЪЬ / = 1, 2,..., к, и если
а'= Ь\{) %
то
а! == Ь\ X Ъ* X ... X Ъ'к. (9)
Ъ\ <; Ь} хотя бы для одного I, то а' < а.
198 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV,
В самом деле, для /= 1, 2, ..., к
чем доказано утверждение (9). С другой стороны, если а' = а,
то, используя дедекиндовость структуры 5, получаем для
I — 1, ^, . . . , К. \
так как
6. Если а = Ьхс и элемент а' удовлетворяет усло-
условиям Ь ^ а' ^ а, то
а' = Ь X (а' П с).
Действительно, ввиду условия дедекиндовости,
а' = а' [\а = а' [\{Ъ\}с) = Ъ\)(аг [\ с),
С другой стороны,
Ь П (а' П О < Ъ П ^ = 0.
7. Заметим, что если дедекиндова структура 5 обладает
главными рядами и если а = Ьхс} то, по A8) из IV.2.11,
1(а) = 1(Ь) + 1(с). A0)
Вообще, если а = Ь1хЬ2Х...хЬкУ то
(И)
8. В тех случаях, когда используется понятие прямого
объединения, важную роль играет обычно вопрос об изомор-
изоморфизме различных прямых разложений данной группы (или
данного кольца). Этот вопрос явился предметом многочислен-
многочисленных исследований, преимущественно в рамках теории дедекин-
довых структур. Мы ограничимся изложением одного частного,
но важного результата, явившегося началом этих исследований.
Введем одно вспомогательное понятие. Пусть дана де-
дедекиндова структура 5, обладающая нулем 0 и единичным
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА—ОРЭ 199
элементом 1, и пусть дано прямое разложение
1 =ахх а2Х...Х ак. A2)
Положим, как обычно, что
б,- = ах [}... У аЬ1 II а/+1 II... II аА, /=1,2,...,*, A3)
откуда, по 1У.3.4,
1 =а1ха1> /= 1, 2, ..., *. A4)
Если Ь ^ 8, то назовем компонентой этого элемента
в сомножителе а^ прямого разложения A2) элемент
A5)
9. Элемент Ь содержится в объединении всех своих
компонент относительно прямого разложения A2),
Действительно, используя A5), а также несколько раз
применяя определение дедекиндовой структуры, получаем:
= {а1[)а2[}[а,Г\(Ь[}аЛ\\)...[)[а11(\(Ь[)ак)]}(\(Ь\}а1П
Заметим, что в этом доказательстве мы использовали такие
неравенства, как, например,
I. Назовем элементы а и Ь нашей структуры 5 прямо
подобными, если в 5 существует такой элемент су что
Два прямых разложения единичного элемента структуры
назовем прямо подобными, если они состоят из одинакового чи-
С сомножителей и если между этими прямыми сомножителями
СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
можно установить такое взаимно однозначное соответствие,
что соответствующие сомножители прямо подобны в 5.
Назовем, наконец, ненулевой элемент а структуры $
неразложимым, если он не может быть разложен в прямое
объединение двух элементов, отличных от нуля.
11. Если дано прямое разложение
1 = ах X а2 X ... X ак
единичного элемента структуры 5, то, полагая
Сг = а1 X «2 X ... X аь 1^ку
мы получим в 5* нормальный ряд длины к:
0 = с0 < сг < с2 < ... < ск == 1.
Отсюда следует, ввиду IV.2.7, что если дедекиндова струк-
структура 8 обладает главными рядами и если длина этих
рядов равна п, то всякое прямое разложение единичного
элемента состоит не более чем из п сомножителей
и, следовательно, может быть продолжено (см. IV.3.4) до
прямого разложения с неразложимыми сомножителями,
12. Нашей целью является доказательство следующей тео-
теоремы [О. Ю. Шмидт, МаШ. 2еИзспг. 29A928), 34—41;
Орэ, Апп. о\ МаШ. 37A936), 265—292]:
В дедекиндовой структуре 8, обладающей главными
рядами, любые два разложения единичного элемента в пря-
прямое объединение неразложимых элементов прямо подобны
(см. 1У.3.10).
Эта теорема вытекает, впрочем, из следующей теоремы:
Если в дедекиндовой структуре 8, обладающей глав-
главными рядами, даны два любых разложения единичного
элемента в прямое объединение неразложимых элементов,
1 = а!ХааХ...Хай, A6)
1=Ь1ХЬ2Х...ХЬ1, A7)
то всякий сомножитель любого из этих разложений
может быть замещен некоторым сомножителем из дру-
другого разложения.
ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 201
При этом под возможностью замещения элемента а{
4'! разложении A6) некоторым сомножителем Ъ] из разложе-
'"' я A7) следует понимать существование прямого разложения
1 = Ъ] X а2 X ... X ак,
>& е., в силу A4),
а1. A8)
1 Первая из указанных теорем действительно
^ытекает из второй. В самом деле, если элемент Ь]
",0$ A7) замещает элемент ах в A6), то, как показывают
равенства A4) (для /—1) и A8), элементы ах и Ъ; прямо
подобны в 5. Пусть уже построено прямое разложение
1 = Ь^ X ... X Ъ!т X ат+1 X ... X ак, A9)
Где 1 ^ тп <С к, причем Ь}-, ..., Ь; являются различными
сомножителями из разложения A7) и элементы а-х и #у^
1» 1, 2, ..., /п, прямо подобны в 5. Применим вторую тео-
теорему к прямым разложениям A9) и A7). Элемент ат+1 дол-
должен замещаться в A9) некоторым сомножителем Ъ] из A7),
а поэтому ат+1 и #/т+1 прямо подобны. При этом индекс ут+1
отличен от всех индексов ]ь ..., /т, так как из
1 = Ь]х X ... X Ъ]т х Ь1т+1 X ат+2 Х...Хак
следует
Продолжая так далее, мы придем к прямому разложению
/ X 6/ X ... X
■'1 -/2
откуда к^1. Сопоставляя с прямым разложением A7), мы
получаем, что на самом деле к — I и что прямые разложения
A6) и A7) прямо подобны.
13. Доказательство второй теоремы мы будем
вести индукцией по длине главных рядов рассматриваемых
структур, так как главный ряд длины 1 имеет лишь струк-
структура, состоящая из двух элементов, нуля и единицы, а для
|Этой структуры доказываемая теорема, очевидно, справедлива.
■: Пусть нужно заместить элемент ах из прямого разложе-
|йия A6). Обозначим через а\ компоненту (смЛУ.3.8) элемента
■■Щ в прямом сомножителе Ьь разложения A7). Предположим
202 СТРУКТУРЫ [ГЛ.
сперва, что хотя бы при одном I элемент а[ отличен от Ь1%
Тогда, полагая
в силу 1У.3.5, получаем \
8=а\ха\х...Ха[, B0),
причем §<С 1. Так как, по 1У.3.9, #1^#, то, по 1У.3.6, ?
#=01 Хй, B1M
где |
= 8 П (а2 X ... X ак). B2)|
По индуктивному предположению для структуры #/01
теорема уже доказана. Поэтому, продолжая разложения B1)
и B0) до прямых разложений с неразложимыми сомножи-
сомножителями—обозначим эти разложения через B1') и B0'),—
можно будет заместить неразложимый элемент ах в B1')
некоторым неразложимым сомножителем сг из B0'), т. е.
B3)
Для определенности пусть с± ^ а\.
Из B3), B2) и неравенства ^1^# следует
= С\ П Л = сх П 8 П (я2 х • • • х а^)= С1 П («2 X ... X ак),
т. е. объединение
(а2 X ... Х
будет прямым,
Н = с1 X а2 X .
Из прямого подобия элементов а± и ^ в ^ следует, ввиду
A0) из 1У.3.7, что 1(а1) = 1@^, а поэтому, по A1) из 1У.3.7,
/(/г)==/A), откуда й=1.
Таким образом,
1=^X^2 X ... Х%
Однако с1! ^ а\ ^ Ьь а так как элемент Ьх неразложимый,
то, в силу 1У.3.6,
сг = а\ = *! B4)
и поэтому
1^ Х ... Хак.
Мы получаем, что элемент ах заметается в прямом разло-
разложении A6) элементом #х; элементы аг и /?д будут, следова-
§ 3] ПРЯМЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ. ТЕОРЕМА ШМИДТА-ОРЭ 203
тельно, прямо подобными. Заметим, кроме того, что, по B4),
компонента элемента ах в сомножителе Ьг пря-
прямого разложения A7) совпадает с Ьь
Покажем, что в рассматриваемом случае элемент Ь1
в свою очередь замещается в прямом разложе-
разложении A7) элементом ах. Действительно, так как, по B4),
\ Ь т. е., по A5),
то
а поэтому
С другой стороны, из прямого подобия элементов ах и
следует 1{а{) = 1{Ь^9 а поэтому, в силу A8) из 1У.2Л1 и
A0) из 1У.3.7,
откуда
Этим доказано существование прямого разложения
1 = ах X Ьх = ах X Ь2 X... X Ьь
14. Предположим теперь, что компоненты элемента ах
во всех сомножителях Ьь разложения A7) совпадают с са-
самими Ь{ и в то же время компонента в сомножителе ах раз-
разложения A6) хотя бы для одного Ьь например для Ьь совпа-
совпадает с ах. В этом случае, как мы знаем из рассмотрений
предшествующего абзаца,
011^1=1, Ь^а^Х. B5)
Из A6), A7) и B5) следует, ввиду A8) из 1У.2.11 и A0)
из 1У.3.7, что
Сопоставляя эти равенства и неравенства, получаем
204 СТРУКТУРЫ [ГЛ.
и, следовательно,
т. е.
1 = ах X Ьг X ... X Ь1 = #х X а2 X ... X
15. Остается рассмотреть тот случай, когда компонент!*
элемента ах во всех сомножителях Ьг разложения A7) со-:
впадают с самими Ь^ но компоненты всех Ь„ г=1, 2, ...,
в сомножителе аг разложения A6) отличны от аг. В
случае все прямые сомножители разложения A7) находятся?
в тех же условиях, в каких находился элемент аг в рас-
рассмотренном выше первом случае. Сомножители Ьь I = 1,
2, ..., /, можно, таким образом, последовательно замещать
в разложении A7) сомножителями из разложения A6). Как
мы знаем из 1У.3.12, при этом последовательном замещении
найдется такое Ьъ которое замещается элементом аь Но тогда,
как показано в IV. 3.13, компонента элемента Ьь в прямом
сомножителе аг разложения A6) должна совпадать с аг про-
против предположения.
Это противоречие показывает, что рассматриваемый по-
последний случай вообще невозможен. Теорема доказана.
§ 4. Прямые разложения Й-групп
1. Как мы знаем, структура нормальных делителей про-
произвольной группы, структура идеалов произвольного кольца
и, вообще, структура идеалов произвольной Й-группы яв-
являются и дедекиндовыми, и полными. Применяя определе-
определения 1У.3.2 к этим структурам, причем к тому случаю,
когда в качестве а берется сама группа, само кольцо или,
вообще, сама Й-группа (т. е. единичные элементы указанных
структур), мы получим определение разложения группы в
прямое произведение ее нормальных делителей и разложе-
разложения кольца или Й-группы в прямую сумму их идеалов.
2. Эти теоретико-структурные определения могут быть
переформулированы на языке операций, заданных в группе,
кольце или й-группе. Сделаем это сразу для й-группы.
Пусть в й-группе О заданы й-подгруппы В„ 1^1. Обо-
Обозначим через В{ Й-подгруппу, порожденную в О всеми Вр
где /е/, ]фи й-группа О есть прямая сумма своих О>-под-
групп Вр 1^1, если выполняются следующие условия а) и ф
§ 4] ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Й-ГРУПП 205
а) Взаимный коммутант (см. III. 5.1) й-подгруип Вг и
равен нулю для всех /е/,
[Вь В(] = О, /е=/. A)
Отметим сразу же, что из условия а) следует равенство
при 1ф]. B)
Поэтому равны нулю, в частности, все коммутаторы [Ьь у
где Ьг^Въ Ъ;^.Вр т. е. при 1ф] любые элементы,
взятые по одному из подгрупп ^ и Вр между
собою перестановочны.
Р) Всякий ненулевой элемент а еО однозначно (с точ-
точностью до порядка слагаемых) записывается в виде суммы
конечного числа ненулевых элементов, взятых по одному
в некоторых из ^-подгрупп Вь т. е.
C)
где й/еВ^, 1=1, 2, ..., к, и иф1т при 1фт.
3. Докажем равносильность этих двух определений.
Пусть Й-группа О является прямым объединением своих
идеалов Вь 1^1, в смысле 1У.3.2. Тогда, по Ш.2.4, В(,
/, также будет идеалом. Поэтому, по Ш.5.3,
[Ви Щ с [Вь О] с Вь
\ВЬ Щ = [О, Щ = В),
а так как В1[)Вг — О по E) из 1У.3.2, то условие а) до-
доказано.
С другой стороны, равенство D) из 1У.3.2 (где в каче-
качестве а берется само О) и последняя теорема из Ш.2.4 по-
показывают, ввиду вытекающей из а) перестановочности эле-
элементов, взятых в различных подгруппах В(, что для любого
элемента а е- О существует запись вида C). Пусть этих за-
записей две, а именно C) и
без ограничения общности — достаточно добавить к обеим
записям, если нужно, несколько слагаемых, равных нулю, —
можно считать, что в них одно и то же число слагаемых
и что #/,/=1,2,..., к, содержится в той же Й-подгруппе В;,
206 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
что и #л Если при этом, например, ЬгфЬ'1У т. е. —Ь\-\-Ь1ф
'Ф0, то
что противоречит равенству E) из 1У.3.2.
Пусть теперь й-группа О является прямой суммой своих
й-п о д г р у п п Вь / е /, в смысле определения 1У.4.2. Дока-
Докажем, что всякая Й-подгруппа Вг является в О
идеалом.
Если хе^ийеО, то для а существует запись вида C),
а так как элементы из различных Вр ] е /, между собою
перестановочны, то
— а + х + а = — Ь( + х + Ьг
этим доказано, что Б,- является нормальным делителем адди-
аддитивной группы.
С другой стороны, из равенства A) следует, ввиду B)
из Н1.5.1, что для любой я-арной операции шей и любых
элементов Ьь Ь2, ..., Ьп е Вг и Ьь Ъ2, ..., Ьп
D)
Пусть теперь заданы /г-арная операция оей, элементы ах,
а2, ..., ал е О, элемент Ъ ^В-г и число А, 1 ^ к ^ я. Ввиду
существует запись
Используя D), E) и перестановочность элементов из под-
подгрупп В( и 5/, получаем
= —Ьг ... Ьп(й —
© Е В/.
Этим доказано, что все Б/, / е /, являются идеалами в О.
Из условия C) следует, далее, что идеалы Вг порождают
вместе всю Й-группу О. Наконец, если бы пересечение
( П В} содержало ненулевой элемент а, то для него мы
§ 4] ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ Й-ГРУПП 207
имели бы две различных записи вида C) в противоречие с Р):
в. одной из них из подгруппы Вг берется элемент а, а из
других подгрупп — нули, в другой же элемент а представляется
в виде суммы элементов, взятых по одному в нескольких
подгруппах Вр где у Ф и Теорема доказана.
4. Для групп условие а) из определения УЧЛ.2 может
быть заменено условием:
а') любые элементы, взятые по одному из любых двух
подгрупп В[ и Вр при 1ф] перестановочны между собой.
Для колец условие а) может быть заменено условием:
а") произведение любых элементов, взятых по одному
из любых двух подколец Вг и Вр при 1ф] равно нулю.
Из сказнного в III.5.1 и включения
[Вь Яу]с=1в,, Щ,
вытекает, что из а) следуют соответственно а') и а").
С другой стороны, в случае групп из а!) следует переста-
перестановочность элементов из В[ и В„ т. е., снова по Ш.5.1,
сле-дует а). В случае же колец из Р) следует, что всякий
элемент из В>г обладает записью вида C) со слагаемыми,
взятыми в некоторых из подгрупп Вр у ф г. Поэтому, в силу
законов дистрибутивности, из а") вытекает, что если х е Вь
У е Ъь то
ху=ух = 0,
а это, по Ш.5.1, влечет за собою а).
5. Пусть нормальные делители А и В группы О прямо
подобны в смысле 1У.3.10, т. е. существует такой нормаль-
нормальный делитель С, что имеют место прямые разложения
О^АхС^ВхС. F)
Тогда А и В изоморфны фактор-группе О/С, т. е. изо-
морфны между собой. При этом изоморфизме сопоставляются
такие элементы а ^ А и Ь е Ву что
а — Ьс, сеС,
причем элемент с принадлежит к центру группы О
(см. III.3.2), а поэтому указанный изоморфизм между А и В
называется центральным
называется центральным
208 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
В самом деле, в силу второго из разложений F) эле-
элемент с перестановочен с каждым элементом из В. С другой
стороны, для любого с' е С из первого из разложений F)
следует равенство
асг = сга>
т. е.
фс) с' = с' (Ьс)у
откуда, ввиду сказанного выше, следует
Элемент с перестановочен, следовательно, с элементами как
из В> так и из С, а поэтому и со всеми элементами группы О.
Аналогично, если даны прямо подобные идеалы А и В
кольца /?, т. е. имеют место разложения в прямую сумму
/? = Л + С = Я + С, G)
то А и В изоморфны фактор-кольцу /?/С, а поэтому
изоморфны между собой. При этом изоморфизме соответ-
соответствуют друг другу такие элементы а ^ А и ^ей что
а = Ь + су с е С, (8)
причем элемент с принадлежит к аннулятору кольца
а поэтому указанный изоморфизм между А и В можно наз-
назвать аннуляторным. Отметим, что аннулятором кольца /?
называется совокупность таких элементов а е /?, что
ах = ха = 0
для всех х е /?.
Докажем, что элемент с из (8) обладает этим свойством.
Из второго из разложений G) следует, что для всех V е В,
с'<=С
Ъ'с' = с'Ь' = 0, (9)
в частности
Ь'с = сЬг = 0. A0)
С другой стороны, из первого из разложений G) следует,
что для любого с' б= С
асг = с а = 0,
т. е., по (8),
§ 5] ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 209
откуда, в силу (9),
' ' A1)
Из A0) и A1) следует, ввиду второго из разложений G),
принадлежность с к аннулятору кольца /?.
Из доказанного следует, что прямо подобные прямые
разложения в группах и кольцах (см. IV. 3.10) будут соот-
соответственно центрально изоморфными и аннуляторно изо-
изоморфными. Обратное, понятно, не утверждается.
6. Из теоремы Шмидта — Орэ (см. IV.3.12) вытекают те-
теперь следующие теоремы:
Если группа О обладает главными рядами, то любые
ее два прямых разложения с неразложимыми сомножи-
сомножителями центрально изоморфны.
Если кольцо /? обладает главными рядами, то любые
его два прямых разложения с неразложимыми слагаемыми
аннуляторно изоморфны.
* Если все гомоморфные образы группы (кольца) О, лежащие
в ее центре (в его аннуляторе), удовлетворяют условию мини-
минимальности для подгрупп (подколец), то любые два прямых
разложения О, причем число прямых сомножителей (слагаемых)
может быть и бесконечным, обладают центрально (аннуля-
(аннуляторно) изоморфными продолжениями. Условия этой теоремы
выполняются, в частности, в том случае, когда центр (аннуля-
тор) О или фактор-группа О по коммутанту (фактор-кольцо
по квадрату) удовлетворяют условию минимальности [А. Г. К у-
рош, Изв. АН СССР, сер. матем. 10 A946), 47—72].*
§ 5. Полные прямые суммы универсальных алгебр
1. Пусть дано семейство универсальных алгебр О,- с одной
и той же системой операций & и относящихся к одному и
тому же примитивному классу Л (см. Ш.б.З); индекс I про-
пробегает некоторое множество /, конечное или бесконечное.
Рассмотрим множество О, элементами которого являются
всевозможные системы а = (а,1) элементов, взятых по одному
в каждой из алгебр О() т. е. а{ е О,-, I е /. Элемент а-г будет
называться 1-й компонентой (или компонентой в алгебре О,-)
элемента а.
Множество О можно превратить в универсальную алгеб-
РУ с системой операций й, полагая, что операции из
210 структуры Ггл. IV
выполняются в О покомпонентно: если даны //-арная
операция шей и л элементов из О,
п(&) = (п(к)\ & = 1 2 /7
ТО
Это определение операций показывает, что в алгебре О
будут выполняться все тождественные соотношения из Л.
Алгебра О называется полной прямой суммой алгебр
/б/, и будет записываться в виде
0 =
/Е/
Можно говорить, в частности, о группе, являющейся полной
прямой суммой (или полным прямым произведением) данного
семейства групп, и т. д.
2. Подалгебра А алгебры О, представленной в виде A)
называется подпрямой суммой алгебр О,-, / е /, если для
всякого /е/ Ь-е компоненты всех элементов из А исчерпы-
исчерпывают всю алгебру О/. Ясно, что к числу таких подалгебр
принадлежит сама алгебра О, но в О существуют, вообще
говоря, и истинные подалгебры с этим свойством.
Если алгебра А является подпрямой суммой алгебр О/,
/ е /, то для всякого I е / мы получим гомоморфное отобра-
отображение ф; алгебры А на алгебру О,-, сопоставляя всякому
элементу
А
его /-ю компоненту сц. Как мы знаем из III. 1.8, гомомор-
гомоморфизм ф; определяет на алгебре А конгруенцию щ, причем
алгебры О; и А/щ изоморфны.
Пересечение конгруенций щУ I е / (см. 1.3.3), является
нулевой конгруенцией, т. е. разбиением алгебры А на
отдельные элементы.
Действительно, если в А даны два различных элемента,
то хотя бы при одном / они имеют различные 1-е компоненты,
а поэтому принадлежат к различным классам конгруенций
3. Справедлива обратная теорема:
Если в универсальной алгебре А задана система кон-
конгруенций пг, 1^1, с нулевым пересечением, то алгебра А
§5] ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 211
изоморфна подпрямой сумме фактор-алгебр
/6/.
Для доказательства обозначим через О полную прямую
сумму алгебр Л/я,-, / е /,
0= 2
Отобразим алгебру Л в алгебру О, сопоставляя каждому
элементу а е А тот элемент из О, /-я компонента которого
для всякого / е / является классом конгруенций Я/, содер-
содержащим элемент а. Это отображение будет гомоморфизмом,
так как в алгебре О операции производятся покомпонентно,
а в алгебре Л/я*, /е/, применение операций к классам
конгруенций я* определяется через применение операций
к элементам из Л, выбранным по одному в этих классах.
Полученный гомоморфизм будет даже изоморфизмом, так
как из условия, что пересечение конгруенций Я/ должно
быть нулевым, следует, что для любых двух различных эле-
элементов из Л найдется хотя бы одно такое I е /, что эти
элементы лежат в разных классах конгруенций Я/, а поэтому
их образы в О имеют разные 1-е компоненты. Наконец, та
подалгебра алгебры О, на которую алгебра Л изоморфно
отображается, будет подпрямой суммой алгебр Л/я,-, / е /,
1ак как для всех /е/ любой класс конгруенций Я/, т. е.
любой элемент алгебры Л/я,, служит 1-й компонентой образов
в О всех своих элементов.
В случае Й-групп конгруенций задаются идеалами, как
мы знаем из III. 2.5, причем легко видеть, что пересечение
конгруенций определяется пересечением соответствующих
идеалов. Таким образом, представления любой ^-группы
(в частности, группы, кольца) в виде подпрямой суммы
взаимно однозначно соответствуют системам ее идеалов
(нормальных делителей) с нулевым пересечением.
4. Универсальная алгебра Л называется подпрямо нераз-
неразложимой, если в ней любая система ненулевых конгруенций
обладает ненулевым пересечением. Из сказанного в IV. 5.2
и IV. 5.3 следует, что это будет тогда и только тогда, если
при любом представлении алгебры Л в виде подпрямой
суммы некоторых алгебр О,, / е /, хотя бы для одного /
гомоморфизм ф;, отображающий всякий элемент из Л в его
*'-ю компоненту, будет изоморфизмом между Л и
212
СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
Имеет место следующая теорема [Биркгоф, Ви11. Атег»
МаШ. 5ос. 50 A944), 764—768]:
Всякая универсальная алгебра А разлагается в под-
прямую сумму подпрямо неразложимых алгебр, принад-
принадлежащих к тому же примитивному классу, что и
алгебра А.
Для доказательства рассмотрим любую пару различных
элементов ху у е А и обозначим через М (ху у) множество
всех конгруенции на алгебре Л, разделяющих эти элементы,
т. е. таких, что х и у для каждой из этих конгруенции
принадлежат к различным классам. Множество М(х, у) не
является пустым, так как в нем содержится нулевая кон-
груенция (см. IV. 5.2). Покажем, что эго множество, частично
упорядоченное в соответствии с 1.2.1, обладает максималь-
максимальными элементами.
Для этого, в силу теоремы Куратовского — Цорна (см.
1.6.3), достаточно показать, что всякая цепь множества
М(х,у) обладает верхней гранью. Пусть конгруенции
я, е М (ху у), где / пробегает упорядоченное множество /,
составляют цепь, т. е. я*<Яу при /<Су. Тогда бинарное
отношение я*, определяемое условием, что Ьп*с тогда и
только тогда, если существует такое I е /, что Ьп^, будет,
очевидно, отношением эквивалентности. Оно будет и кон-
груенцией: если в А взяты элементы Ьь #2, ..., Ьп и
сь с2, ..., сПУ причем Ь]П*Ср /=1, 2, ..., п, то существуют
такие гь /2, ..., 1п^1, что Ь^п^^р у=1, 2, ..., п. Если
10 — наибольший из индексов 1Ь 12, ..., 1ПУ то Ь/Щ0Ср
у—1, 2, ..., п. Пусть со —любая я-арная операция, заданная
в алгебре А. Так как щ0 является конгруенцией, то
... Ьпсо) щ0 (схс2 ... спсо),
а поэтому и
... спсо),
т. е. я* действительно является конгруенцией. Эта конгруен-
ция разделяет элементы х и у, так как они разделялись
каждой из конгруенции Я;, /е/, и служит, очевидно, верх-
верхней гранью для заданной цепи конгруенции.
Фиксируем теперь для каждой пары различных эле-
элементов ху у е А одну из максимальных конгруенции, их
разделяющих; обозначим ее через я (ху у). Пересечение всех
этих конгруенции является нулевым, так как любая пара
§ 51 ПОЛНЫЕ ПРЯМЫЕ СУММЫ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР 213
различных элементов из А разделяется хотя бы одной из
этих конгруенций. Поэтому, по теореме IV. 5.3, алгебра А
является гюдпрямой суммой всех фактор-алгебр А/л(х9у).
Остается показать, что каждая фактор-алгебра А/л (х, у)
подпрямо неразложима. Для этого заметим, что между всеми
конгруенциями этой фактор-алгебры и всеми теми конгруен-
циями алгебры Л, которые содержат конгруенцию л(х, у\
существует естественное взаимно однозначное соответствие,
сохраняющее отношение включения. Однако пересечение всех
конгруенций алгебры Л, строго больших чем л (х> у)у само
строго больше этой конгруенций, так как все указанные
конгруенций не разделяют элементов х и у, в то время как
л(х,у) их разделяет. Отсюда следует, что пересечение всех
ненулевых конгруенций алгебры А/л(ху у) само будет нену-
ненулевым. Теорема доказана.
5. Рассмотрим теперь полную прямую сумму й-групп О/,
Из сказанного в IV. 5.1 следует, что О само будет й-груп-
пой того же примитивного класса, к которому принадлежат
все О/, / е /. Ее нулем будет служить элемент, всякая ком-
компонента которого равна нулю соответствующей Й-группы О,.
Подмножество С й-группы О, состоящее из всех тех
элементов а = (а,-), у которых лишь конечное число
компонент а/, /е/, отлично от нуля, будет в О
& -подгруппой, так как покомпонентное применение к эле-
элементам из О' сложения или вычитания, а также операций
из Й не выводит за пределы С.
й-группа С называется прямой суммой й-групп Оь
I е /. Основанием для этого служит следующая теорема:
п-группа О' является прямой суммой (в смысле- опре-
определений IV, 3.2 и IV. 4.2) своих идеалов 0\, I е /, соответ-
соответственно изоморфных 0>-группам О(.
Для доказательства обозначим через 0\ подмножество
тех элементов из С, у которых все компоненты, кроме, быть
может, /-й, равны нулю. Ввиду покомпонентного выполнения
операций это 0\ будет в С п-подгруппой и даже идеалом,
причем оно изоморфно, очевидно, й-группе
214 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
Заметим, далее, что всякий элемент из С имеет лишь
конечное число ненулевых компонент и поэтому может быть
представлен в виде суммы конечного числа элементов, каждый
из которых обладает лишь одной ненулевой компонентой.
Отсюда следует, что С является суммой (см^ III. 2.4) всех
идеалов О], 1^1. С другой стороны, сумма О\ всех идеа-
идеалов О/, где /е/ и / Ф и состоит из тех и только тех эле-
элементов из О', 1-я компонента которых равна нулю. Ясно,
наконец, что
т. е. все требования, входящие в определение IV. 3.2, вы-
выполняются.
6. Мы имеем, следовательно, для понятия прямой суммы
й-групп три равносильных определения: теоретико-струк-
теоретико-структурное определение IV. 3.2, «-внутреннее» определение IV. 4.2
и «внешнее» определение IV. 5.5, являющееся конструкцией,
позволяющей говорить о прямой сумме любых наперед за-
заданных Й-групп. Заметим, что понятие полной прямой суммы
бесконечного числа прямых слагаемых не является теоретико-
структурным.
§ 6. Дистрибутивные структуры
1. В IV. 2.1 структура 5 была названа дистрибутивной,
если в ней тождественно выполняется равенство
аП(Ь\)с) = (аПЬ)\)(аПс). A)
Покажем, что тождество A) равносильно двойственному
ему тождеству
а[)(Ь(]с) = (а[)Ь)П(а[}с). B)
Действительно, применяя A) и определение структуры
IV. 1.2, получаем:
а[)(ЬПс)=[а[}(а[\с)]1)(ЬГ)с)=а[Ц(а()с)[)(ЬП с)] =
= а II [(а [) Ь) П с] = [(а []Ь)(]а}[) [(а (] Ь) П с] = (а \] Ь) {] (а [] с).
Двойственные рассмотрения позволяют вывести A) из B).
§ 6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 215
Если структура 8 дистрибутивна, то в ней для любых
элементов а, Ь, с из
следует а = Ь. Действительно,
•X Доказанное сейчас свойство дистрибутивных структур
может быть принято в качестве их определения, -х-
2. Как мы знаем из I. 1.1, структура всех подмножеств
любого множества дистрибутивна. Это же справедливо и для
любых подструктур таких структур, т. е», как мы будем
говорить, для любых структур множеств. Оказывается,
что этим по существу исчерпываются все дистрибутивные
структуры.
Всякая дистрибутивная структура изоморфна неко-
некоторой структуре мнооюеств.
3. Дистрибутивные структуры составляют примитивный
класс универсальных алгебр, и поэтому к ним применима
теорема IV. 5.4: всякая дистрибутивная структура является
подпрямой суммой подпрямо неразложимых дистрибутивных
структур.
Примером подпрямо неразложимой дистри-
дистрибутивной структуры служит структура Г,
состоящая из двух элементов — нуля и еди-
единиц ы. Дистрибутивность этой структуры очевидна. Если бы
структура Т была подпрямо разложимой, то она была бы
подструктурой полной прямой суммы структур Т(, I е /,
причем существовали бы гомоморфизмы ф,-:7—> 7^-, /е/,
не являющиеся изоморфизмами. Но в этом случае всякая
структура Т>о I е /, состояла бы из одного элемента, а тогда
и прямая сумма этих структур была бы одноэлементной и не
могла бы содержать 7.
Всякая подпрямо неразложимая дистрибутивная
структура, состоящая не только из одного элемента,
изоморфна структуре Т.
В самом деле, пусть дана дистрибутивная структура 5.
Если она состоит из двух элементов, то изоморфна, очевидно,
216 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
структуре Т. Если же в 5 содержится не менее трех эле-
элементов, то найдется элемент ау отличный как от нуля, так
и от единицы, если в 5 имеются нуль или единица. Обозна-
Обозначим через V подструктуру всех элементов х из 5, удовлет-
удовлетворяющих условию х^а, а через V — подструктуру таких
хе5, что х^а. Ввиду условий, наложенных на выбор
элемента а, каждая из подструктур {/, V состоит не только
из одного элемента а.
Обозначим через I] -\- V полную прямую сумму структур
V и V в смысле IV. 5.1: ее элементами служат пары (иу V),
и е II, V е V, операции над которыми производятся поком-
покомпонентно. Сопоставим всякому хе5 пару (х (]а, х[]а)Е
е 11-\- V- Это отображение 5 в V-\- V взаимно однозначно,
так как для х, у е 5 из
х(]а=у(]а, х[)а=у[)а
следует, как доказано в IV. 6.1, х=у.
Это отображение является даже изоморфным, так как
а, у[}а)\
{{х{]у){]а,(х{]у)\)а) = {{х{]а){]{у(\а), (х [) а) (] (у [) а)) =
Можно считать, следовательно, 5 подструктурой струк-
структуры и-\- У- Так как элементу х е V соответствует пара
{ху а), а элементу х^ У—пара (а, х), то мы получаем,
что гомоморфизмы, отображающие всякий элемент из 5
соответственно в его первую или вторую компоненты, будут
отображать 5 на все V и соответственно на все V и не
являются изоморфизмами. Структура 5 оказалась, следова-
следовательно, подпрямо разложимой.
4. Докажем теперь основную т е о р е м у IV. 6.2.
Если дана дистрибутивная структура 5, то, по сказанному
выше, она является подпрямой суммой структур Ть I е /, где
всякое Тг состоит из двух элементов — нуля 0^ и единицы 1$
(одноэлементные прямые слагаемые можно, конечно, исключить
из рассмотрения). Обозначим через М множество всех еди-
единиц \ь /е/, и сопоставим всякому элементу йе5 подмно-
подмножество А множества М, состоящее из всех тех единиц \ь
которые являются /-ми компонентами в записи а как элемента
§ 6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 217
полной прямой суммы структур Ть I е I Ясно, что если
аф Ь, то и соответствующие им множества будут различ-
различными. С другой стороны, из покомпонентного выполнения
операций в полной прямой сумме структур Ть I е /, и свойств
единицы и нуля сейчас же следует, что элементу а {] Ь
соответствует теоретико-множественное объединение А[) В
множеств А и В, и элементу а ("] Ь — теоретико-множествен-
теоретико-множественное пересечение А [\ В этих множеств. Теорема доказана.
Заметим, что если дистрибутивная структура 8 обла-
обладает нулем и единицей, то в полученном выше представ-
представлении множествами нулю будет соответствовать
пустое подмножество множества М, а единице — само М.
Заметим также, что если структура 8 конечная, то, как
показывает доказательство теоремы IV. 5.4, она будет под-
прямой суммой конечного числа подпрямо неразложимых
структур, а поэтому она будет изоморфной некоторой
структуре подмножеств конечного множества.
5. Дистрибутивная структура 5 с нулем и единицей на-
называется булевой структурой (или булевой алгеброй),
если всякий элемент ае5 обладает дополнением ау где
а[}й=\.
Всякий элемент йе5 обладает единственным допол-
дополнением, как вытекает из доказанного в IV. 6.1.
Структура всех подмножеств некоторого множества
является булевой структурой, так как для всякого подмно-
подмножества А существует теоретико-множественное дополнение Д.
Структуру множеств (см. IV. 6.2), содержащую вместе со
всяким подмножеством и его теоретико-множественное
дополнение, будем называть булевой структурой мно-
множеств.
Всякая булева структура 8 изоморфна некоторой
булевой структуре множеств.
Эта теорема уже доказана по существу в предшествую-
предшествующем пункте. Именно, если элементу а е- 5 соответствует под-
подмножество А <= М, то дополнению а будет соответствовать
теоретико-множественное дополнение А множества А в М:
записи элементов а и а в полной прямой сумме структур
218 СТРУКТУРЫ [ГЛ. IV
/, таковы, что если 1-я компонента в одной из них есть 1,-,
то в другой она будет 0;, и обратно.
6. Всякая конечная булева структура 3 изоморфна
структуре всех подмножеств некоторого конечного мно-
множества.
Действительно, полученные выше результаты позволяют
считать структуру 5 булевой структурой подмножеств ко-
конечного множества М. Обозначим через N множество всех
тех подмножеств из М, которые являются минимальными от-
отличными от нуля элементами структуры 5.
Всякое подмножество Д являющееся элементом струк-
структуры 5, совпадает с объединением Ло всех содержащихся
в нем подмножеств, входящих в Л/. В самом деле, в против-
противном случае пересечение А (] Ло было бы непустым элементом
из 5 (так как Ао е 5), т. е. содержало бы хотя бы одно из
входящих в N подмножеств в противоречие с определением
множества Ао.
Теперь легко видеть, что, сопоставляя всякому Ле5мно-
Ле5множество всех содержащихся в нем элементов из Nу мы по-
получаем взаимно однозначное и даже изоморфное отобра-
отображение структуры 5 на структуру всех подмножеств мно-
множества N.
7. Ассоциативное кольцо /? с единицей называется буле-
булевым кольцом, если все его элементы идемпотентны, т. е.
а2 = ау а е /?. C)
Всякое булево кольцо коммутативно и удовлетворяет
тождеству
2а = 0. D)
Действительно, для любых а, Ь е /? из C) следует
откуда
а = 0. E)
Полагая в E) Ь = а и учитывая C), мы получаем D), т. е.
а = — а, а тогда E) можно переписать в виде
аЬ — Ьа = 0.
§ 6] ДИСТРИБУТИВНЫЕ СТРУКТУРЫ 219
■Х- Всякую булеву структуру можно превратить в булево
кольцо, если положить
В) {] (а (] Ь), аЬ = а [\ Ь.
Обратно, всякое булево кольцо можно превратить в булеву
структуру, если положить
а [} Ь= а-\-Ь — аЬ, а [\ Ь = аЬ.
Этим путем между булевыми структурами и булевыми коль-
кольцами устанавливается взаимно однозначное соответствие
[Стоун, Тгап8. Атег. МаШ. 5ос. 40 A936), 37—111]. *
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ.
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ
§ 1. Операторные группы и кольца
1. Как известно, действительное векторное пространство
является абелевой группой по сложению, в которой допол-
дополнительно определено умножение векторов на действитель-
действительные числа, связанное известными аксиомами со сложением
векторов. Умножение на действительные числа имеет смысл
также и в кольце действительных функций действительного
переменного, и в кольце действительных квадратных матриц
данного порядка. Эги и многие другие примеры привели
к введению операторных алгебраических образований.
Если дан группоид (в частности, полугруппа или группа)
О, то в нем можно выбрать произвольную систему эндомор-
эндоморфизмов Е (см. III. 3.4) и рассматривать лишь те подгруп-
подгруппоиды, которые отображаются в себя при всех эндоморфиз-
эндоморфизмах из Е. Обобщая эту идею, обозначим через Е некоторое
множество, составленное из элементов а, р, ..., и будем го-
говорить, что группоид О является ^-операторным, а мно-
множество Е называть его областью операторов, если всякому
элементу «еИ поставлен в соответствие некоторый эндо-
эндоморфизм группоида О. Различным элементам из Е может
соответствовать при этом один и тот же эндоморфизм.
Оператор а можно считать символом соответствующего ему
эндоморфизма, так что для любых а, Ь е О и любого а еЕ
A)
Если О —Е-операторная группа с единицей е, то из A)
следует
еа = е, а е 2,
§ ц ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 221
Таким образом, операторная группа является частным
случаем мультиоператорной группы (см. Ш.2.1): все муль-
тиоператоры унарны и для каждого из них выполняется
условие A).
2. Подгруппоид А Е-операторного группоида О назы-
называется ^-допустимым, если при всех эндоморфизмах, соот-
соответствующих операторам из Е, он отображается в себя, т. е.
для всех «еИ
Аа е А
Любой оператор а е Е порождает, следовательно, некоторый
эндоморфизм во всяком Е-допустимом подгруппоиде А, что
позволяет считать этот подгруппоид операторным с той же
областью операторов Е.
Пересечение любой системы Е-допустимых подгруппои-
подгруппоидов, если оно не пусто, само будет, конечно, Е-допустимым.
С другой стороны, используя A) и П.3.8, можно легко по-
показать, что подгруппоид, порожденный некоторой системой
2-допустимых подгруппоидов, сам будет Е-допустимым.
Операторные группоиды О и С с одной и той же
областью операторов Е называются ^-операторно изоморф-
изоморфными, если существует такое изоморфное отображение ср
группоида О на группоид С, называемое ^-операторным
изоморфизмом, что для любых йеО и йеН
(аа) ф = (аф) а. B)
При помощи равенства B) определяются и ^-операторные
гомоморфизмы. Можно говорить, в частности, о ^-опера-
^-операторных эндоморфизмах и автоморфизмах Е-операторного
группоида О.
Из B) вытекает, что эндоморфизм ф ^-операторного
группоида О тогда и только тогда будет ^-оператор-
ным, если он перестановочен (в полугруппе эндоморфиз-
эндоморфизмов, см. III.3.4) со всеми эндоморфизмами, соответст-
соответствующими операторам из Е.
Заметим,, что если множество Е пусто или же состоит
лишь из одного тождественного автоморфизма группоида О,
то изучение О как Е-операторного группоида равносильно
изучению его как группоида без операторов.
3. Пусть даны полугруппа Е и Е-операторный груп-
п°ид О. Будем говорить, что О является группоидом с
222 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
полугруппой операторов Е, если для любого йеОи любых
а, р<=2
а (сф) == (аа) р. C)
Заметим, что условие C) заведомо выполняется, если в ка-
качестве 2 взята подполугруппа полугруппы всех эндоморфиз-
эндоморфизмов группоида О.
Произвольное множество Е можно так вложить в по-
полугруппу Г, что всякий ^-операторный группоид будет
группоидом с полугруппой операторов Г. При этом ^-до-
^-допустимые подгруппоиды будут и Т-допустимыми, а бопе-
бопера тор но изоморфные группоиды останутся и Г-опера-
тор но изоморфными.
В качестве множества Г можно взять множество всевоз-
всевозможных слов вида
... ап, D)
т. е. конечных упорядоченных систем элементов из Е, где
я^1, а элементы аь а2, ..., ап не обязаны быть различ-
различными. Определяя умножение слов равенством
(ага2 ... (ХлКРхРз ... $3) = а1а21 ... ап^2 ... Р5, E)
мы превращаем Г в полугруппу. Ставя в соответствие
слову D) эндоморфизм Е-операторного группоида О, являю-
являющийся произведением эндоморфизмов, соответствующих опе-
операторам аь а2, ..., сбя, мы делаем группоид О Г-оператор-
ным, причем требование C) будет, ввиду E), удовлетворяться.
Все остальные утверждения теоремы также будут, очевидно,
справедливыми.
4. Пусть О — аддитивно записанная абелева группа,
а /? — ассоциативное кольцо. Группа О называется абелевой
группой с кольцом операторов /? или ^-модулем, если О
является /^-операторной группой, т. е. для любых а, Ь еО
и а е /? имеет место равенство A), записываемое теперь
в виде
(а + Ь) а = аа + Ьа, F)
и если, кроме того, для любых сеО и а, Ре/? выполня-
выполняются равенства
а + $) = аа + а$, G)
а (сф) = (аа) р.
^ 1] ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 223
Естественность этого понятия вытекает из того, что вся-
всякая абелева группа будет модулем относительно любого
подкольца своего кольца эндоморфизмов, так как, по III.3.8,
в этом случае условия F) —(8) выполняются.
Этот пример подсказывает следующее дополнительное
требование: если кольцо /? обладает единицей е, то будем
рассматривать такие /^-модули, что е служит для них тож-
тождественным оператором) иными словами, оператору е соот-
соответствует тождественный автоморфизм группы О,
аг = а, а еО. (9)
/^-модули со свойством (9) называются унитарными /?-мо-
дулями.
■х Если /? — ассоциативное кольцо с единицей, то изуче-
изучение произвольных /^-модулей полностью сводится на изуче-
изучение унитарных /^-модулей и таких /^-модулей, в которых
операторы из /? действуют тривиально, т. е. для любого а
из модуля и а из
Произвольное множество Е можно так вложить в ассо-
ассоциативное кольцо /? с единицей, что всякая 2-операторная
абелева группа будет унитарным /^-модулем, 2-допустимые
подгруппы останутся /^-допустимыми, т. е. будут подмоду-
подмодулями /^-модуля, а 2-операторно изоморфные абелевы группы
останутся изоморфными /^-модулями, х
5. Рассмотрим некоторые примеры.
Для произвольной группы О группа ее внутренних авто-
автоморфизмов (см. Ш.3.2) служит группой операторов, так как,
как мы знаем, условия A) и C) выполняются. Допустимыми
подгруппами относительно этой области операторов будут
нормальные делители группы О и только они.
Для группы О группой операторов служит также группа
всех ее автоморфизмов, а полугруппой операторов — полугруппа
всех эндоморфизмов (см. III. 3.4). Подгруппы, допустимые
относительно этих областей операторов, называются соответ-
соответственно характеристическими и вполне характеристичес-
характеристическими.
Действительное «-мерное векторное пространство является
Унитарным модулем над полем действительных чисел. Подмоду-
Подмодулями этого модуля служат линейные подпространства, а опера-
операторными эндоморфизмами(см.У. 1.2) — линейные преобразования»
224 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ.
6. Если в произвольном кольце /? взят элемент а, тс*Л
отображение х -> ха, хе/?, будет эндоморфизмом аддитивной4!
группы кольца /?, как вытекает из закона дистрибутивности; \
этот эндоморфизм называется правым умножением. Ад
тивную группу кольца /? можно считать, следовательно, опе-ц
раторной с самим множеством Я в качестве области опера-1
торов; допустимыми подгруппами будут п р ц|
этом правые идеалы кольца/? (см. II.7.10) и толь
ко они. Аналогично определяются левые умножения, т. е.
еще раз выступает в качестве области операторов для свое$
аддитивной группы, причем в этом случае допустим ымф
подгруппами б у д )гг левые идеалы. Наконец, об
единяя эти две области операторов, мы получим для аддитив*Ц
ной группы кольца /? такую область операторов, при котЫ
рой допустимыми подгруппами будут лиш
(двусторонние) идеалы.
Если кольцо /? ассоциативно, то оно, рассматриваемое
как множество правых умножений, будет служить дли
своей аддитивной группы даже кольцом операторов в смы*\
еле V. 1.4, так как условиия G), (8) и, в случае кольца <
единицей, (9) заведомо выполняются. Если же рассматривать
как множество левых умножений, то равенство (8) выполнятьс
не будет. В этом случае, как показывает справедливое в
равенство
а = Ь (са),
щ
•к
И
кольцом операторов, для аддитивной группы кольца
считать кольцо, антиизоморфное кольцу /?. Отметим, чтоЛ
кольца /? и /?' называются антиизоморфными, если существ
вует такой изоморфизм ф между аддитивными группами этих
колец, что для всех а, Ь
4
ш
(аЬ) ф = Ьср
7. При определении понятия операторов для колец можно^|
конечно, использовать, по аналогии со случаем групп, эндо*
морфизмы кольца. Примеры, а именно умножение на числ<*
в кольце функций и в кольце матриц, подсказывают и ДРУ%
гой путь, — рассмотрение тех эндоморфизмов ф аддитивно^
группы кольца /?, которые перестановочны (в смысле умно4;
жения эндоморфизмов) с правыми и левыми умножениями
(см. МЛ.6), т. е. удовлетворяют условию (для всех а, Ь е Кц
(аЬ) у = (ау) Ь = а AЩ
§ 1] ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 225
Именно этот путь мы и избираем. Таким образом, если
2—множество с элементами а, р, ..., то кольцо /? называ-
называется Е-операторным, если 2-операторна его аддитивная
группа и если, кроме того, для любых а, Ь^Я и любого
(аЬ) а == (аа) Ь == а (Ьа). A1)
Понятия 2 -допустимого под кольца, ^-допустимого идеала,
^-операторного изоморфизма и ^-операторного гомомор-
гомоморфизма определяются по аналогии с тем, как это делалось
в случае групп.
Если ^-операторное кольцо Я обладает единицей, то
эндоморфизмы, соответствующие операторам из 2, сами
являются умножениями (одновременно правыми и левыми)
на элементы кольца Я, перестановочные со всеми элемен-
элементами из Я, а поэтому все идеалы и все односторонние
идеалы кольца Я будут ^-допустимыми.
Действительно, для всех йе/? и к
= а -Aа),
й) а = Aа)« а,
откуда
а, а е Я
Заметим, не развивая этого далее, что определение 2-опе-
раторного кольца без труда переносится на случай любой
мультиоператорной группы.
8. Те эндоморфизмы аддитивной группы кольца Я,
которые удовлетворяют условию A0), составляют под-
кольцо в кольце всех эндоморфизмов этой группы. Дейст-
Действительно, если эндоморфизмы ф и я|э обладают свойством
(Ю), то, например,
(аЬ) (ф ± г|>) = (аЬ) ф ± (аи) я|э = (а<р) Ь ± (ал|э) Ь =
= (аф ± агр) Ь — [а (ф ± г];)]
Ф] ф = [(аф) *] ф = [(аф) г|з] Ь = [а
Этим оправдывается следующее понятие. Если 2 — неко-
некоторое ассоциативное кольцо, то кольцо /? называется опера-
операторным с кольцом операторов 2, если оно 2-операторно
и если, сверх того, кольцо 2 служит для аддитивной группы
кольца /? кольцом операторов в смысле У.1.4.
8 А4 Г. Курош
226 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Заметим, что если п — целое число, то отображение а ->%
определенное для всех элементов а кольца /?, будет эндо-
эндоморфизмом аддитивной группы этого кольца, причем выпол-
выполняются также условия G), (8), (9) и A1). Таким образом,
всякое кольцо /? можно считать операторным с кольцом
целых чисел в качестве кольца операторов. Все подкольца
кольца Я будут при этом допустимыми, все изоморфизмы —
операторными.
9. Пусть эндоморфизмы ф и я|) аддитивной группы кольца
Я удовлетворяют условию A0). Если ф\|) =^ г|хр, то сущест-
существует такой элемент а е- /?, что
Тогда для любого х е /? мы получим, используя A0):
(аф4>) х = (аф • х) яр = аф • х^ = (а • лгф) ф =
= [(ах) 1р] Ф = (ачр • х) ф = (аярф) х.
Отсюда следует, что отличный от нуля элемент
Ь = афг|; — аг|хр
удовлетворяет равенству
для всех х е /?, т. е. служит для кольца /? левым аннуля-
тором. Так же проверяется, что Ь будет для /? и правым
аннулятором, поэтому и вообще аннулятором, т. е. (см.
1У.4.6)
Ьх = хЬ = 0
для всех ^ей
Конечно, кольца, обладающие аннуляторами, существуют —
так, всякое нулевое кольцо (см. 11.2.2) состоит только из
аннуляторов. Можно считать тем не менее достаточно оправ-
оправданным, если мы, изучая кольца с кольцом операторов 2,
будем предполагать это кольцо 2 не только
ассоциативным, но и коммутативным.
10, 2 -операторные группы (Е-операторные кольца) состав-
составляют при данном 2 примитивный класс мультиоператорных
групп. К тому, что было сказано в главе третьей, в част-
частности о гомоморфизмах мультиоператорных групп, мы доба-
добавим лишь несколько замечаний.
§ 1] ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 227
Идеалы ^-операторных групп {колец), рассматривае-
рассматриваемых как мулыпиопер а торные группы, совпадают с их
^-допустимыми нормальными делителями (Ъ-допусти-
мыми идеалами).
В самом деле, если О—2-операторная группа, то для ее
нормального делителя А включения аа ^ А для всех деД
имеют место тогда и только тогда, если для всех
хеО, й
1 (аа) (ха) = (ха)~1 (ах) а
Последнее включение является, однако, переписанным для
нашего случая включением B) из Ш.2.4.
С другой стороны, если А — подгруппа аддитивной группы
2-операторного кольца /?, то для всех аЕД^Е^Н
включения аа е- А и
— ха -\-аа-\- ха = — ха + (я + х) а е А
рйьносильны; последнее включение снова является, однако,
включением B) из Ш.2.4. Мы знаем, вместе с тем, что для
кольца, рассматриваемого как мультиоператорная группа,
понятие идеала совпадает с понятием (двустороннего) идеала.
11. Операторные эндоморфизмы ^-операторной абеле-
вой группы О составляют подколъцо в кольце всех эндо-
эндоморфизмов этой группы (см. III.3.8). Это без труда следует
из определения сложения и умножения эндоморфизмов, если
использовать характеризацию операторных эндоморфизмов,
указанную в УЛ.2. Полученное подкольцо называется коль-
кольцом операторных эндоморфизмов 2-операторной абелевой
группы О.
Так, кольцом операторных эндоморфизмов для я-мерного
действительного векторного пространства (см. У.1.5) служит
кольцо линейных преобразований, изоморфное, как известно
из курса высшей алгебры, кольцу действительных квадрат-
квадратных матриц порядка п.
12. Пусть О будет группа (кольцо) с произвольной
областью операторов 2, а Н—ее допустимый нормаль-
ньш делитель (его допустимый идеал). Тогда фактор-
группу (фактор-кольцо) О/Н можно сделать оператор-
операторской с областью операторов 2, причем так, что естест-
естественный гомоморфизм О на О/Н будет ^-операторным.
8*
228
ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Действительно, если О —группа, то для любых а
(аН) а = аа • На = аа • Н\
где Ы е И ввиду допустимости И. Это позволяет опреде-
определить действие оператора а на элемент аН фактор-группы
О/Н равенством
A2)
Справедливость условия A) из УЛЛ проверяется без затруд-
затруднений:
(аН-ЬН) а = (аЬН) а = (аЬ) а • #== (аа • йа) Я =
= (аа • Я) (йа • Н) = (аН) а • (ЬН) а.
Группа О/Н оказалась Е -операторной; последнее утвержде-
утверждение теоремы непосредственно следует из A2).
Если же О— кольцо, то равенство A2), определяющее
действие операторов в О/Н, перепишется в виде
(а + Н) а = аа + Н
Проверим справедливость условия A1) из УЛ.7:
[(а + Н)(Ь + Н)]а = (аЬ + Н)а = (аЬ) а + Н=
Так же проверяется и вторая половина условия A1). Теорема
доказана.
Читатель без труда проверит, что если О является
группой с полугруппой операторов Е, или абелевой группой
с кольцом операторов Е, или же кольцом с кольцом
операторов 2, то это же можно утверждать и для О/Н,
где Н—-Ш-допустимый нормальный делитель или идеал.
§ 2. Свободные модули. Абелевы группы
1. Все модули, рассматриваемые ниже, являются унитар-
унитарными модулями над ассоциативным кольцом /^ с единицей;
выполняются, следовательно, тождества F) — (9) из УЛ.4.
Все эти модули составляют относительно операций абелевой
группы и операторов из Я. примитивный класс универсальных
алгебр (Ш.б.З), а поэтому можно говорить о свободных
Н-модулях (Ш.7.2). Систему свободных образующих сво-
свободного /^-модуля будем называть его базой.
§ 2] СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 229
Применяя определение абелевой группы и упомянутые
выше тождества F) — (9), мы сейчас же получаем, что
всякий элемент свободного /^-модуля 5 с базой
X записывается в виде конечной суммы
где х{, х2, ..., хп — различные элементы из X,
аь а2, ... > ап^ Я. и отличны от н у л я, п ^ 0. Покажем,
что эта запись однозначнау после чего будем говорить о ней
как о записи рассматриваемого элемента в базе X.
Для доказательства сопоставим каждому х ^ X ^-мо-
^-модуль /?л-, изоморфный кольцу /?, рассматриваемому как
правый модуль над самим собою (см. У.1.6), и возьмем,
в соответствии с IV.5.5, прямую сумму 5' всех этих моду-
модулей ЯХУ хеХ Если элемент модуля Нх> соответствующий
единице кольца /?, мы обозначим через х, то, по 1У.4.2,
всякий элемент модуля 5' однозначно записывается в виде A).
Доказываемое нами утверждение вытекает теперь из того,
что, по Ш.7.3, существует гомоморфизм 5 в 5', переводящий
всякий элемент хеХ в элемент х соответствующего моду-
модуля Ях.
Одновременно мы доказали, что всякий свободный
Я-модуль является прямой суммой некоторого множества
Я-модулей, изоморфных самому Я как правому Я-модулю,
и обратно.
2. Правый идеал В ассоциативного кольца /^ с единицей
назовем главным, если существует такой элемент Ре Д что
всякий элемент из В хотя бы одним способом записы-
записывается в виде Ра, аЕ/?. Будем записывать в этом слу-
случае В = ф).
Если все правые идеалы кольца Н являются главными
и Н не содержит делителей нуля, то всякий ненулевой
подмодуль свободного Я-модуля сам будет свободным
К-модулем.
В самом деле, пусть в свободном /^-модуле 5 с базой X
взят ненулевой подмодуль Ц. Множество элементов У с= {]
назовем допустимым, если выполняются следующие требо-
требования:
1) подмодуль {У}, порожденный множеством У, является
свободным и имеет У своей базой;
230 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
2) если Ху есть множество всех элементов из Ху входя-
входящих в записи в базе X для каких-либо элементов из К, то
Вопрос о существовании допустимых множеств оставим
пока открытым, но отметим, что если они существуют и если
дана цепь из допустимых множеств, то ее объединение также
будет допустимым. Поэтому, по теореме Куратовского —
Цорна A.6.3), существуют максимальные среди допусти-
допустимых множеств. Пусть У будет одно из них.
Теорема будет доказана, ввиду 1), если мы покажем, что
= И. Пусть
{ У] <= и; B)
это будет иметь место и в том случае, когда допустимые
множества отсутствуют, если заменим подмодуль {У} нуле-
нулевым подмодулем. Покажем, что B) приводит к противоречию.
Ввиду условия 2) в записи любого элемента из Ц, лежа-
лежащего вне {У}> должны встречаться элементы из X, лежащие
вне Ху. Пусть минимальное возможное число таких элемен-
элементов будет /I, /1^1, и пусть в б^Ч^К} существуют элементы,
в записях которых встречаются элементы хь х2, ..., хп
из А'ХА^ и только они. Коэффициенты при хп в записях
всех этих элементов составляют, после добавления к ним нуля,
правый идеал кольца /?, т. е., по условию, главный правый
идеал (Р).
Обозначим через г тот из рассматриваемых элементов
из У\ {У}У в записи которого коэффициент при хп есть как
раз р, и покажем, что, в противоречие с максималь-
максимальностью К, после добавления к У элемента г мы
снова получаем допустимое множество.
Действительно, если бы не выполнялось условие 1), то
элементы из подмодуля {У, г) обладали бы неоднозначной
записью через элементы множества У\]г, а тогда нашелся бы
такой отличный от нуля элемент а е- /?> что
га е= {У}.
Это невозможно, однако, так как в запись элемента х входят
с ненулевыми коэффициентами элементы хь х2, ..., хп е
^Х\ХУ, а тогда, ввиду отсутствия в кольце /? делителей
нуля, они имеют ненулевые коэффициенты и в записи эле-
элемента
§ 2] СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 231
С другой стороны, для проверки условия 2) возьмем любой
элемент I е {А^у*} П У- В его запись в базе X входят неко-
некоторые элементы из Хуу а также элементы хь х2, ...» хп>
причем коэффициент при хп содержится в правом идеале @),
т. е. имеет вид [Зу, уеЯ Отсюда следует, что в запись раз-
разности г — гу элемент хп уже не входит, а тогда, ввиду мини-
минимальности числа п, не входят и элементы хь х%,..., лгл_1, т. е.
{Хг} {] О = {У},
откуда
* ее {К, г}.
Теорема доказана.
3. Всякая абелева группа является модулем над кольцом
целых чисел, и это кольцо есть кольцо главных идеалов
(см. П.9.3). Применяя к этому случаю полученные выше резуль-
результаты и учитывая, что аддитивная группа кольца целых чисел
является бесконечной циклической группой, получаем:
Всякая свободная абелева группа (см. III.7.10) является
прямой суммой бесконечных циклических групп. Число этих
циклических прямых слагаемых (или мощность их множества)
не зависит, по 111.7.12, от выбора прямого разложения и назы-
называется рангом этой свободной абелевой группы.
Всякая ненулевая подгруппа свободной абелевой группы
сама свободна.
В свободной абелевой группе 8 конечного ранга п ранг
всякой подгруппы конечен и не превосходит п.
В самом деле, пусть хь х2, ..., хп будет база группы
Возьмем в 5 любые к элементов уь у2, ..., ук, где
Тогда
=1, 2, ..., к.
71
Система из к целочисленных «-мерных векторов
ввиду к^>п линейно зависима, как известно, а поэтому можно
подобрать такие целые числа //, не все равные нулю,
*= 1, 2, ..., к, что
Элементы уь у2, ..., ук не могут входить, следовательно,
Б базу какой-либо подгруппы группы
232 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
4. Докажем следующую основную теорему об
абелевых группах с конечным числом обра-
образующих:
Всякая абелева группа с конечным числом образующих
является прямой суммой конечного числа циклических
групп.
Доказательство этой теоремы, излагаемое ниже, принад-
принадлежит Радо [Лоигп. Ьопс1оп Ма1Ь. 5ос. 26 A951), 74—75].
Пусть абелева группа О обладает системами из п обра-
образующих. Рассмотрим всевозможные такие системы, допуская,
что в них могут встречаться и равные элементы, и элементы,
равные нулю. Пусть
..., ап C)
— одна из этих систем образующих, причем положим, обо-
обозначая через о (а) порядок элемента а, что
о (ах) < о (а2) <... < о (ап). D)
Таким образом, если в C) встречаются нули, то они стоят
в начале, а если входят элементы бесконечного порядка, то
они стоят в конце.
Систему C) можно выбрать так, что система чисел D)
будет в лексикографическом смысле минимальной из возмож-
возможных, т. е. если Ьь Ь2,..., ^ — другая система образующих и
о (*1)< о (*а)< ... < о (Ьп),
то нет такого /, 1 <: I ^ п, что
Покажем, что если система образующих C)
выбрана указанным способом, то группа О
будет прямой суммой циклических подгрупп
{а^, {а2}, ..., {ап}. Если это не так, то запись элементов
группы О в виде суммы элементов из указанных циклических
подгрупп не будет однозначной, а поэтому можно получить
равенство
в котором не все слагаемые равны нулю. Пусть
к^1 =... = к^_^а^_^ = 0, (о)
но ^;а;=^0, у'^1; можно считать, очевидно, что
G)
§2]
СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
233
Обозначим через к наибольший общий делитель чисел кр
п* Т» с.
• • • >
> • • •> п,
(8)
и числа Шр т^+^ ..., тп в совокупности взаимно просты.
Докажем следующее вспомогательное утверждение:
5. Если даны абелева группа А = \ар #у+1> • • •> ап} п
система взаимно простых целых чисел т}-, т^ь ..., тп,
то в А можно так выбрать новую систему образующих,
..., Ьп)у
что
га}
тпап.
(9)
A0)
+
+ ...+
Будем доказывать это индукцией по сумме абсолютных
величин
т-
так как при т = 1 утверждение тривиально. Если
то хотя бы два из системы взаимно простых чисел
/тгу+1,..., тп должны быть отличными от нуля. Пусть, например,
т
у
Тогда или /#/ +
или
Т Р
п
для одного из двух знаков будет
Так как
то, учитывая A1) и применяя индуктивное предположение,
мы получим (9), где
+2ау+2
что и требовалось доказать.
*ппап,
6. Возвращаясь к доказательству основной теоремы и
применяя доказанное утверждение, мы получим для группы О
новую систему образующих,
— \ах> • • •» #у_:Ь
234 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
где Ь] удовлетворяет равенству A0). Из E), F) и (8) сле-
следует, однако, что кЬ; = О, а поэтому, ввиду G),
о (йу) ^к^к;<о (а/),
что противоречит выбору системы образующих C). Теорема
доказана.
7. Бесконечная циклическая группа неразложима в пря-
прямую сумму (см. 1У.3.10), так как, по II.4.2, всякие две ее
ненулевые подгруппы имеют ненулевое пересечение.
Конечная циклическая группа {а} порядка рп, где р —
простое число, также неразложима, так как все ее нену-
ненулевые подгруппы исчерпываются циклическими подгруппами
элементов а, ра, р2а, ..., рп~1а, которые вложены друг
в друга. Назовем такие циклические группы примарными.
Конечная циклическая группа {а}, имеющая порядок
т=рп\рп2 ... рпк
где рь р2, ..., Рк~различные простые числа и к^2у
разлагается в прямую сумму примарных циклических
групп, имеющих соответственно порядки рп\, рп2, ..., рпь.
Действительно, введем обозначение
пм, /=1, 2, ..., к.
к
Тогда циклическая подгруппа {^а} имеет порядок
/=1, 2, ..., к. Сумма этих подгрупп будет, по 1У.3.2, их
прямой суммой, так как порядки всех элементов суммы под-
подгрупп {<7/а}, ]Фи взаимно просты с числом рь и поэтому
пересечение этой последней суммы с подгруппой {ц{0\ равно
нулю. Так как, однако, порядок прямой суммы конечного
числа конечных групп равен произведению порядков прямых
слагаемых, то порядок прямой суммы всех подгрупп {^-а},
/=1, 2, ..., к, равен т, т. е. эта прямая сумма совпадает
со всей группой {а}.
Отсюда, ввиду 1У.3.4, вытекает следующее усиление
основной теоремы:
Всякая абелева группа с конечным числом образующих
является прямой суммой конечного числа неразложимых
циклических групп, частью бесконечных, частью конеч-
конечных примарных.
§ 21 СВОБОДНЫЕ МОДУЛИ. АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 235
8. В 1У.4.5 было введено понятие изоморфизма прямых
разложений (прилагательное «центральный» для абелевых
групп можно, конечно, опустить).
Всякие два разложения абелевой группы О с конечным
числом образующих в прямую сумму неразложимых
циклических групп изоморфны.
Действительно, пусть эти разложения будут
где элементы а имеют конечные порядки, элементы Ь бес-
бесконечного порядка. Без труда проверяется, что в абелевой
группе совокупность элементов конечных порядков является
подгруппой, которая называется периодической частью этой
группы. Если ^ — периодическая часть нашей группы О, то
так как всякий элемент из О, в запись которого в одном
из разложений A2) хотя бы один из элементов Ь входит
с отличным от нуля коэффициентом, будет непременно бес-
бесконечного порядка.
Группа Р конечная и поэтому обладает главными рядами,
а тогда изомофизм прямых разложений A3) вытекает, по 1У.4.6,
из теоремы Шмидта — Орэ. С другой стороны, свободные
абелевы группы {^} + ... + 1М и {^1} + ..- + {^/} соответст-
соответственно рангов 5 и г изоморфны, по 1У.4.5, фактор-группе О//7,
т. е. изоморфны между собой, а тогда $ = г (см. У.2.3).
# Всякие два разложения произвольной абелевой группы
в прямую сумму неразложимых циклических групп изоморфны,
если группа обладает такими разложениями (быть может
с бесконечным множеством прямых слагаемых).
Всякая подгруппа прямой суммы циклических групп сама
разлагается в прямую сумму циклических групп [Л. Я. Кули-
Куликов, Мат. сб. 16 A945), 129-162]. *
9. Абелева группа называется примарной по простому числу
Р> если порядок всякого ее элемента есть степень числа р.
Элемент а примарной (по р) абелевой группы О имеет
конечную высоту п, п^О, если уравнение
рЪх = а
Разрешимо в О тогда и только тогда, когда
236 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
■х Всякая периодическая (см. II.3.4) абелева группа разла-
разлагается в прямую сумму примарных групп по различным
простым числам.
Примарная абелева группа О тогда и только тогда раз-
разлагается в прямую сумму циклических групп, если она явля-
является объединением возрастающей последовательности
Л с— А г~ с~~ А г~
1 1= ^2 — • • • — **п — • • •
таких своих подгрупп, что у каждой из них отличные от
нуля элементы имеют конечные и в совокупности ограничен-
ограниченные высоты (в О) [Л. Я. Куликов, там же].
Всякая примарная абелева группа с ограниченными в сово-
совокупности порядками элементов разлагается в прямую сумму
циклических групп [Прюфер, Ма1:п. 2еНзсЬг. 17 A923),
35 — 61].
Всякая счетная примарная абелева группа, все ненулевые
элементы которой имеют конечные высоты, разлагается в пря-
прямую сумму циклических групп [Прюфер, там же].-*
§ 3. Векторные пространства над телами
1. Изучим /^-модули в том частном случае, когда ассоциа-
ассоциативное кольцо /? является телом, не обязательно коммутатив-
коммутативным. Всякий унитарный модуль над ассоциативным телом К
называется векторным (или линейным) пространством над
этим телом. Следует помнить, что умножение элементов век-
векторного пространства на элементы тела К подчинено усло-
условиям F) — (9) из V. 1.4.
Подмодули (т. е. /^-допустимые подгруппы) векторного
пространства называются его линейными подпространствами.
Изоморфизм векторных пространств над телом К всегда по-
понимается, в соответствии с УЛ.2, как их /С-операторный изо-
изоморфизм.
2. Для любого подпространства А векторного про*
странства V над телом К существует дополнение, т. е.
такое подпространство В пространства V, что
А П В = О, {А, В} = V.
Иными словами, пространство V будет прямой суммой
подпространств А и В,
§ 3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛАМИ 237
Действительно, рассмотрим все те подпространства век-
векторного пространства V, пересечения которых с А равны
нулю. Множество М всех таких подпространств не пусто,
так как содержит нулевое подпространство. Далее, это мно-
множество частично упорядочено по теоретико-множественному
включению, причем оно удовлетворяет условиям теоремы Ку-
ратовского — Цорна (см. 1.6.3).
В самом деле, если в М дана любая цепь Ь, то объедине-
объединение С подпространств С/, составляющих эту цепь (/ пробе-
пробегает некоторое множество индексов), само будет подпростран-
подпространством в V: если х, у е- С, то существуют такие / и у, что
х^С(, у&Ср а поэтому, полагая, например, С,- ^ Ср полу-
получим х, у^Ср т. е. х±у е Су и, следовательно, х±;/еС;
с другой стороны, из х е С; следует ха е С; для всех аеК,
а поэтому ха еС. Из С/ П ^ — О для всех / следует, оче-
очевидно, что С (}А~О, а поэтому подпространство С служит
верхней гранью в множестве М для цепи Ь.
В множестве Ж существуют, таким образом, максималь-
максимальные элементы. Пусть подпространство В будет одним из этих
максимальных элементов. Тогда А[)В — О, как вытекает из
определения множества /И. Покажем, что {А, В} = V.
Если х е V, х ф В, то подпространство {В, х] состоит
из всех элементов вида Ь-\-ха, где Ь^В, кеК. Это под-
подпространство строго больше В, а поэтому, ввиду максималь-
максимальности В в М, пересечение А ("] {В, х) содержит отличный от
нуля элемент а = Ь-\-ха. Так как афО—иначе было бы
а^В в противоречие с равенством А ("] В = О, — то х —
= аоС1 — Ьа~1 е {А, В], что и требовалось доказать.
Дополнение для подпространства А может быть выбрано
в пространстве V, вообще говоря, многими способами. Все
эти дополнения изоморфны, однако, между собою, так как,
по теореме об изоморфизме III. 4.2 или по IV. 4.5, все они
изоморфны фактор-пространству VIА.
3. Понятие линейной зависимости, играющее очень боль-
большую роль в теории конечномерных векторных пространств
над полем, изучаемой в курсе высшей алгебры, переносится
и на рассматриваемый сейчас общий случай. Именно, конечная
система элементов
векторного пространства V над телом К называется линейно
зависимой, если в К существуют такие элементы а1} а2,..., <хк>
238 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
не все равные нулю, что
а2а2
и линейно независимой в противоположном случае. Как
обычно, линейная зависимость системы A) равносильна тому,
что хотя бы один элемент из A) линейно выражается через
другие элементы этой системы (с коэффициентами из тела К).
Все основные свойства линейной зависимости, устанавли-
устанавливаемые в курсе высшей алгебры, без всяких затруднений
распространяются на случай произвольных векторных про-
пространств над любыми ассоциативными телами. Мы не будем
поэтому приводить доказательств этих свойств и ограничимся
лишь формулировкой важнейших из них:
Если в векторном пространстве V над телом К
заданы две конечные системы элементов,
и
из которых первая линейно независимая и, кроме того,
всякий ее элемент линейно выражается через вторую
систему, то к ^ /.
Отсюда вытекает, что если в векторном пространстве У
над телом К заданы две конечные линейно независимые
системы элементов, причем любой элемент каждой из
этих систем линейно выражается через другую систему,
то эти две системы состоят из одного и того же числа
элементов.
4. Некоторая, не обязательно конечная, система элемен-
элементов X векторного пространства V над телом К называется
линейно зависимой, если в X содержится хотя бы одна
конечная линейно зависимая подсистема элементов, и линейно
независимой, если все конечные подсистемы системы X
линейно независимы. Ясно, что всякая линейно независимая
система является подмножеством и что всякая ее часть сама
линейно независима.
Пространство V обладает линейно независимыми подмно-
подмножествами; таковы, например, подмножества, состоящие из
одного ненулевого элемента. Множество М всех линейно
независимых подмножеств пространства V частично упорядо-
упорядочено по включению, причем удовлетворяет условиям теоремы
§ 3] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛАМИ 239
Куратовского — Цорна (см. 1.6.3). Именно, если в М дана
цепь Ь, то объединение X линейно независимых подмножеств
Хь составляющих эту цепь, само будет линейно независимым:
если в X взята конечная система элементов
то существует такое линейно независимое подмножество р
входящее в цепь I, которое содержит всю систему B),
а поэтому система B) должна быть линейно независимой.
Подмножество X служит, следовательно, верхней гранью
цепи I в множестве М.
Этим доказано, что векторное пространство V над
телом К обладает максимальными линейно независимыми
подмножествами, причем всякое линейно независимое
подмножество этого пространства содержится в неко-
некоторой максимальном.
Всякое максимальное линейно независимое подмножество
векторного пространства V называется базой этого прост-
пространства.
5. Подмножество X, составленное из элементов Хг
(I пробегает некоторое множество индексов), тогда и
только тогда будет базой векторного пространства V
над телом К, если всякий отличный от нуля элемент а
из V обладает однозначной записью
а = Х(ха> + х^а? +... + х^ак, C)
где Х{Т, XI, ..., Х{. ^ X, а1, а2, ..., ак — отличные от нуля
2» *ъ
2»
элементы тела К, а к
Действительно, пусть X — база пространства V, но отлич-
отличный от нуля элемент а из V не может быть записан в виде
C); отсюда, в частности, вытекает, что а ф X. Тогда,
добавляя элемент а к любой конечной подсистеме множе-
множества X, мы получим линейно независимую систему, а поэтому,
добавляя а ко всей базе X, мы вновь получим линейно
независимое множество в противоречие с определением базы.
Если же элемент а обладает двумя различными записями
через базу X, а именно C) и
то объединение конечных подсистем Х{., ..., х,- и х,-., ...
• • ч Хц базы X будет линейно зависимым, что снова
240 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
противоречит определению базы. Проверка обратного утверж-
утверждения теоремы столь же проста и предоставляется читателю.
Вместо записи C) для всех элементов а векторного про-
пространства V можно употреблять, конечно, однозначно опре-
определенную запись
в которой не более конечного числа коэффициентов а1
отлично от нуля. Ввиду УЛ.4 сложение элементов, записан-
записанных в виде C'), сводится к сложению коэффициентов при
одинаковых х^ а умножение элемента а на элемент р тела
К равносильно умножению всех коэффициентов а1 из C')
на Р справа.
Ввиду 1У.4.2 можно сказать, что векторное простран-
пространство V над телом К с базой X является прямой суммой
векторных пространств хК, х е А'.
6. Все базы векторного пространства V над телом К
имеют одну и ту же мощность.
Пусть, в самом деле, в пространстве V взяты базы X и
У. Если хотя бы одна из них, например X, конечна и
состоит из т элементов, то, как немедленно следует из У.3.3,
база У также конечна и также состоит из т элементов.
Пусть, однако, обе базы А", У бесконечны и имеют соот-
соответственно мощности т и п, причем предположим, что т < п.
Всякий элемент х базы X обладает, по У.3.5, записью вида
C) через конечную систему элементов Ух из базы У. Объе-
Объединение У всех таких конечных подсистем УХ9 где х про-
пробегает всю базу X, будет истинным подмножеством базы К,
так как оно, как объединение множества конечных множеств,
имеющего мощность т, само имеет мощность т. Пусть у—
любой элемент из УХO'. По У.3.5 он линейно выражается
через конечную систему элементов хь х2, ..., х& из X,
к
а поэтому и через конечную подсистему II Ух множества У\
что противоречит, однако, линейной независимости базы К
Теорема доказана.
Мощность любой базы векторного пространства V назы-
называется размерностью этого пространства. Если, в частности,
эта мощность конечна, то мы говорим с конечномерном
пространстве. Так, векторное пространство хК одномерно.
§ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 241
7. Для всякой мощности \п, конечной или бесконечной,
существует векторное пространство над телом К, имею-
имеющее размерность т.
Пусть А'-—любое множество мощности т. Тогда прямая
сумма одномерных векторных пространств хК для всех
х е X (ее существование вытекает из 1У.5.5) будет искомым
векторным пространством. Здесь хК есть совокупность эле-
ментоз вида ха} «е/С, с естественными определениями
операций сложения и умножения на элемент из К-
Векторные пространства V и И7 над телом К изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну
и ту же размерность.
В самом деле, если существует изоморфное отображение
ф пространства V на пространство УР и если X— база про-
пространства V, то А'ф будет базой пространства №. Этим
в одну сторону теорема доказана.
Пусть, с другой стороны, пространства V к ЧР обладают
соответственно базами Аг и Уу имеющими одну и ту же
мощность. Фиксируем некоторое взаимно однозначное ото-
отображение ф базы X на базу У,
У для всех х е Аг,
и следующим образом распространим его на все пространство
V: если элемент а из V имеет запись C') через базу Ху
то положим
Мы получаем, очевидно, взаимно однозначное отображение
пространства V на все пространство №; изоморфность этого
отображения следует из сказанного в У.3.5.
Мы видим, что теоремы настоящего пункта дают исчер-
исчерпывающее описание всех векторных пространств над любым
телом К.
§ 4. Кольца линейных преобразований
1. Операторные эндоморфизмы векторного пространства V
над телом К называются линейными преобразованиями
этого пространства. По УЛ.11 линейные преобразования
составляют подкольцо в кольце всех эндоморфизмов абелевой
гРуппы V. Будем обозначать кольцо линейных преобразова-
преобразований через /?(\/, К).
242 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ ГГЛ. V
Мы хотим показать, что заданием этого кольца опреде-
определяется и тело К, и само пространство V. Для того чтобы
точнее сформулировать это утверждение, введем следующее
понятие, обобщающее понятие изоморфизма двух векторных
пространств над одним и тем же телом.
Пусть даны векторные пространства V над телом К и №
над телом Ь. Будем говорить, что между этими пространст-
пространствами установлено полулинейное соответствие а, если
существует изоморфизм а тела К на тело Ь и изоморфизм,
который также обозначим через а, группы V на группу 1X7,
причем для всех йе V, а е К
(аа) а — ао - ав.
Таким образом, если К=Ь и а является тождественным
автоморфизмом тела КУ то полулинейное соответствие пре-
превращается в изоморфизм векторных пространств V и Ш над
телом К.
2. Если векторные пространства V над телом К и
№ над телом Ь находятся в полулинейном соответст-
соответствии о, то кольца линейных преобразований /?A/, К) и
/?(№, V) этих пространств изоморфны.
В самом деле, пусть фЕ/?A/, К). Тогда а~1фа будет
отображением \^ в себя, являющимся линейным преобразо-
преобразованием, так как, учитывая, что ф является линейным преоб-
преобразованием, для любых Ьу Ьг е \^, Ре! получим
(Ь + V) (о'^а) = * (<г 1фа) + V (а~ ^а),
(<тфа) = (Ьо~г • ра) фа = фо~\ • Ра) в = Ь(в~ 1ц>а) • р.
Соответствие ф -> а" хфа является гомоморфным отображе-
отображением кольца /?(У, /0 в кольцо /?(№, I), так как для любого
*б1?и любых ф, я|?е/?(К, АЭ
й [а~х (ф + 'ф) а] = Ь [а~ хфа + о
й [а (ф'ф) а] = й (а~1фа) (о~
Это будет отображение на все кольцо /?(и7, I), так как
если ф'е/?(\^, I), то
<р' = <Гх (аФга" 1) а, афла-х е /? (^ К).
Это соответствие будет, наконец, изоморфизмом, так как если
преобразование а^фа нулевое, т. е. для всех
Ъ (а' хфа) = О,
$ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 243
то для всех й
аср — (ао) (сгЧрст) а = Ост1 — О,
т. е. линейное преобразование ф также будет нулевым.
Будем говорить, что построенный нами изоморфизм между
кольцами К(У, К) и /^A*7, 1) индуцируется полулинейным
соответствием а.
3. Справедливо обратное утверждение (см., например,
книгу Р. Бэра «Линейная алгебра и проективная геометрия»):
# Всякий изоморфизм между кольцами линейных преобразо-
преобразований Н(У, К) и &(№, I) индуцируется некоторым полу-
полулинейным соответствием между пространствами V и \^. #
Мы будем доказывать, впрочем, следующее более слабое
утверждение:
Задание, с точностью до изоморфизма, кольца линей-
линейных преобразований Н(УУК) определяет, также с то-
точностью до изоморфизма, и тело К, и пространство V
(т. е. определяет размерность этого пространства).
4. Фиксируем в пространстве V базу X с элементами
хгу I <= /. Как обычно, линейное преобразование ф вполне
определяется, ввиду B) из УЛ.2, заданием образов хгц> всех
элементов базы X. Сопоставим преобразованию ф бесконеч-
бесконечную матрицу, строки и столбцы которой пронумерованы
всевозможными индексами / е- /, причем в 1-й столбце
ставим коэффициенты записи элемента хгц> в базе Х\ понятно,
что лишь конечное число этих коэффициентов отлично
от нуля.
Обратно, всякая матрица указанного вида, содержа-
содержащая в каждом столбце лишь конечное число
ненулевых элементов, соответствует некоторому ли-
линейному преобразованию. Множество Кг всех таких мат-
матриц будет кольцом при обычном определении операций
над матрицами, и это кольцо антиизоморфно кольцу
^(У>К) (см. УЛ.6). Мы проверим лишь следующие два
утверждения:
Если ДБе К и той ЛВе/С/. Действительно, если / е /
и 1-Ш столбец матрицы В имеет ненулевые элементы лишь
^ строках с номерами Д, у'з,.,.,^, то рассмотрим столбцы с
этими же номерами в матрице А. В них содержится лишь
конечное число ненулевых элементов, которые расположены
244 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
в конечном числе строк, а поэтому в 1-м столбце произведе-
произведения АВ будет лишь конечное число ненулевых элементов.
Если ф, }р^Н(У,К) и им соответствуют мат-
матрицы (РуО> Суду) ^ Кь то произведению фяр соот-
соответствует матрица (уА;)• (Р;7).
Действительно, для всех / е- / из
следует
/ е= /
5. Нам нужно, следовательно, доказать, что задание кольца
/С/ как абстрактного кольца определяет и тело /С (с точ-
точностью до изоморфизма), и мощность множества индексов /.
Фиксируем конечную систему индексов
}ъ /г, ...,;'„ е/, л^: 1, A)
и систему отличных от нуля элементов Ц €= К, 5, 2=
2,..., л, подчиненных следующим условиям:
Обозначим через
Л,...,Л; ^, 5, 2 = 1, 2,..., «) C)
совокупность матриц из Ки У которых лишь строки с номе-
номерами из A) могут быть ненулевыми, причем для 5, 2=1,
2,..., п /5-я строка получается умножением слева /гй
строки на Ц%
Множество 3 является минимальным правым идеа-
идеалом кольца К/.
Утверждение, что 5 будет правым идеалом в /С/, прове-
проверяется без затруднений. Этот идеал состоит не только из
нуля —одну строку с номером из A) в матрице из 5 можно,
очевидно, задать произвольно.
Для доказательства минимальности идеала 5 введем обо-
обозначение, которым будем пользоваться и дальше: если а^К,
то через (а)у7 обозначим матрицу из Кь у которой на месте
(у, /) стоит элемент а, а все остальные элементы равны нулю.
§ 41 КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 245
Возьмем в 5 любую ненулевую матрицу Л; пусть у нее
на месте (у, ь), где у из системы A), стоит элемент афО.
Умножая А справа на матрицу (а~г)ц, мы получим матрицу
из 5 с одним ненулевым 1-ы столбцом, причем на месте (у, I)
стоит единица. Умножая, наконец, полученную матрицу справа
на некоторую матрицу из К/, у которой лишь 1-я строка
может быть ненулевой, можно получить, очевидно, любую
матрицу из 5.
Идеалами вида C) исчерпываются все минимальные
правые идеалы кольца /С/.
Действительно, возьмем в /С/ произвольный ненулевой
правый идеал Т, а в нем матрицу с ненулевым 1-м столбцом.
Умножая эту матрицу справа на A)^, мы получим матрицу
А из Т, содержащую лишь один этот ненулевой 1-й стол-
столбец. Пусть отличные от нуля элементы этого столбца будут
Положим
условия B) выполняются. Теперь легко видеть, что содер-
содержащийся в Т правый идеал, порожденный матрицей А, есть
идеал 5 из C).
6. Все минимальные правые идеалы кольца Ки рас-
рассматриваемые как правые модули над /С/, изоморфны
между собой.
Действительно, пусть 5 и 5' будут два идеала вида C).
Отметим по одному индексу, у и у', из относящихся к этим
идеалам систем индексов A). Всякая матрица из 5 вполне
определяется своей у'-й строкой, которая может быть произ-
произвольной; эго же относится к 5" и у'. Мы получим, следова-
следовательно, взаимно однозначное соответствие между 5 и 5',
если сопоставим друг другу матрицы, у'-я и соответственно
/-я строки которых совпадают. Это соответствие является
на самом деле изоморфизмом /^/-модулей 5 и 5'.
Отсюда следует, что изоморфны между собою и кольца
операторных эндоморфизмов минимальных правых идеа-
идеалов кольца Ки рассматриваемых как Кгмодули. Пока-
Покажем, что эти кольца антиизоморфны телу /С.
Не нарушая общности, рассмотрим такой идеал 5 вида
3) для которого я=1, т. е. система A) состоит из одного
246 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
индекса у. Ясно, что умножение слева всех элементов всех
матриц из 5 на элемент а е К будет /(/-операторным эндо-
эндоморфизмом идеала 5.
Пусть теперь ф будет любой /(/-операторный эндомор-
эндоморфизм идеала 5. Так как A)^ е 5, то найдем AOуф. Если
бы эта матрица, содержащая одну ненулевую у'-ю строку,
имела отличный от нуля элемент на месте (у, /), у =^= и то
мы получили бы, в противоречие с /(/-операторностью эндо-
эндоморфизма ф, ЧТО
Таким образом,
A)пУ = (а)л> а ее К.
Всякая матрица А из 5 равна, однако, своему произведению
слева на A)/у> а поэтому
Ф = A )ууф • А = (а)ууА
Последнее произведение означает, однако, что все элементы
матрицы А умножаются слева на а.
Мы получаем, что все /(/-операторные эндоморфизмы
идеала 5 исчерпываются умножениями слева на элементы
тела К. При этом сумме эндоморфизмов соответствует сумма
соответствующих элементов из /С, а произведению, так как
умножение на а е К производится слева, — произведение
элементов из К в обратном порядке.
Этим доказано, что тело К определяется с точностью
до изоморфизма заданием кольца Н(УУК) как абстрактного
кольца. Именно, тело К антиизоморфно кольцу
/?'- операторных эндоморфизмов любого ми-
минимального правого идеала кольца /?'(= /(/),
антиизоморфного кольцу /?(К, К).
7. Переходим к вопросу о мощности множества индексов /.
Предположим сначала, что множество / конечно и состоит
из индексов 1, 2, ..., п. Совокупность 5(у) матриц из Кь
лишь у-я строка которых может быть отличной от нуля,
/= 1, 2, ..., п, будет, по У.4.5, минимальным правым идеалом
кольца А"/. Эти идеалы составляют прямую сумму (см. 1У.3.2),
совпадающую со всем кольцом Кь а поэтому в Кь как
§ 4] КОЛЬЦА ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 247
в правом /С/-модуле, имеется композиционный ряд длины п
(см. Ш.4.6)
п
Г).— С*/ \/—СЛ "\ _1_ С/"9\/— *—
Число п инвариантно определяется, следовательно, ввиду тео-
теоремы Жордана — Гельдера, самим /^/-модулем К\.
Рассмотрим теперь случай бесконечного множества /.
Назовем систему минимальных правых идеалов кольца К\
независимой, если правый идеал, порожденный всеми идеа-
идеалами этой системы, является их прямой суммой. Система идеа-
идеалов $(/") (см. выше), взятых для всех у е /, будет независимой
системой, притом даже максимальной, так как всякий идеал
5 вида C) содержится в прямой сумме идеалов 5 (у), где
/ — из системы A), и поэтому не может быть добавлен к сис-
системе всех идеалов 5 (у), /е/, без нарушения ее независимо-
независимости. Мощность системы идеалов 5 (у) совпадает, понятно,
с мощностью множества /.
Мощность любой независимой системы минимальных
правых идеалов кольца К\ не больше мощности множе-
множества I.
В самом деле, если дана система идеалов вида C), то
множество связанных с ними систем индексов A) будет частью
множества всех конечных подмножеств (бесконечного) мно-
множества /, и поэтому его мощность не превосходит мощности
/. С другой стороны, из тех же результатов о композицион-
композиционных рядах (см. Ш.4.6) следует, что независимая система идеа-
идеалов вида C), связанных с данной системой индексов A), может
быть лишь конечной.
Таким образом, и мощность множества / (т. е. размерность
векторного пространства V) однозначно определяется зада-
заданием кольца Н(У> К) как абстрактного кольца. Именно, эта
мощность является максимальной мощностью
независимой системы минимальных правых
идеалов кольца, антиизоморфного кольцу
К). Теорема доказана.
8. Если в кольце /? взято множество М, то назовем пра-
правым аннулятором этого множества совокупность таких
элементов г е Н, что хг = 0 для всех х е М. Правый анну-
лятор любого множества будет, очевидно, правым идеалом
кольца Я Аналогично определяется левый аннулятор.
248 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
X Ассоциативное кольцо /? тогда и только тогда изо-
изоморфно кольцу Н(У, К) всех линейных преобразований
некоторого векторного пространства V над некоторым телом
К, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) /? обла-
обладает единицей; 2) /? обладает минимальными односторонними
идеалами, которые все содержатся в каждом ненулевом дву-
двустороннем идеале; 3) если правый аннулятор левого идеала
равен нулю, то этот левый идеал содержит все минимальные
левые идеалы; 4) сумма любых двух правых (левых) аннуля-
торов сама является таким же аннулятором [В у л ф с о н,
Атег. Лоигп. Ма«1. 75A953), 358—386]. *
§ 5. Простые кольца. Теорема Джекобсона
1. Из сказанного в П.7.9 следует, что полное кольцо мат-
матриц данного порядка п над ассоциативным телом К (т. е.
кольцо всех линейных преобразований ^-мерного векторного
пространства над К) будет простым кольцом. Сейчас мы хотим
изучить один много более широкий класс простых ассоци-
ассоциативных колец.
Рассмотрим произвольное векторное пространство V над
ассоциативным телом К. Образ 1Лр этого пространства при
линейном преобразовании ф будет, очевидно, линейным под-
подпространством (см. У.3.1). Говорят, что ф есть линейное пре-
преобразование конечного ранга, если подпространство Уу конеч-
конечномерно. Ясно, что сумма и разность линейных преобразований
конечного ранга, а также произведение линейных преобразо-
преобразований, хотя бы одно из которых является преобразованием
конечного ранга, сами будут преобразованиями конечного
ранга, а поэтому множество К'(V, К) всех таких пре-
преобразований будет подкольцом и даже идеа-
идеалом кольца всех линейных преобразований
Н(У, К).
Подкольцо /?0 кольца К(У, К) называется плотным коль-
кольцом линейных преобразований, если для любой линейно
независимой конечной системы элементов хь х2, ..., хп е- V
и произвольной системы элементов уь у2, .. .,уп е V в кольце
/?0 найдется такое линейное преобразование ф, что
/=1, 2, ..., п.
2. Всякое плотное кольцо линейных преобразований
конечного ранга является простым кольцом,
§ 51 ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 249
Действительно, пусть Ко — плотное кольцо линейных пре-
преобразований конечного ранга в векторном пространстве V
над телом К и пусть /?0 обладает ненулевым идеалом А
Докажем, что для всякого конечномерного подпростран-
подпространства Ь можно найти в идеале А пр оекцию V на Ь,
т. е. такое преобразование яеД что Уа — Ь и для всякого
у е Ь имеет место уа =у.
Пусть сперва подпространство I одномерно, Ь = хК,
х ф 0. Возьмем сеА а Ф 0. Подпространство Уа конечно-
конечномерно; пусть уь у я ..., уп будет его база. Тогда существует
такое х1 е У, что хха =3/1. Ввиду плотности /?0 существует
такое ф е /?0» что
Так как А— идеал, то аф = а' е Л и, по A), Уа'=
причем х^а' = хг. Существуют, далее, такие фх, ф2 е /?0>
Поэтому
а так как ф1а'ф2 е Л, то это и будет искомая проекция.
Пусть теперь наше утверждение уже доказано для под-
подпространств размерности п—\ и пусть подпространство I.
п-мерно, п^>\. Возьмем в нем (я—1)-мерное подпростран-
подпространство //; по предположению, существует проекция й'е4
пространства У на подпространство V. Тогда 1а' = 1'. Ядро
/" этого преобразования является одномерным подпростран-
подпространством, I"а =0, и
Существует проекция а" е А пространства У на подпрост-
подпространство V. Тогда
'а"
а = а'-\-а" — а'а
и будет искомой проекцией V на I.. В самом деле, для всех
X (= У
ха = ха' + ха" — (яга') а
х е ^/, то
250 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
если хе1", то ха'— 0 и
ха — ха — х%
Доказательство теоремы проходит теперь без затрудне*
ний. Для любого фЕ/?0 подпространство Уц> конечномерна
и, по доказанному, существует аЕД являющееся проекцией
V на У<р. Поэтому фа = ф, откуда фЕД т. е. А = /?0.
3. Всякое плотное кольцо линейных преобразований
конечного ранга обладает минимальными правыми идеалами.
В самом деле, пусть /?0 — снова плотное кольцо линейных
преобразований конечного ранга в векторном пространстве
У над телом К и пусть Ь — любое одномерное подпростран-
подпространство из V. Применяя доказанное выше утверждение к слу-
случаю А = /?о, можно утверждать существование такого а е /?Оэ
которое является проекцией У на I. Обозначим через V
совокупность таких /е^, что у'а = 0. Тогда 1[\1' = О
и
. B)
Обозначим через А совокупность таких а' е /?0> что
Vа' = 0. Ясно, что а е А, т. е. А состоит не только из нуля,
и что А будет правым идеалом кольца /?0- Докажем, что этот
идеал минимальный. Пусть а± и а.2— любые ненулевые эле-
элементы из А. Если I. = хК, то хах Ф- 0, так как иначе было
бы У ах — О, т. е. ах = 0. Поэтому, ввиду плотности кольца
/?0, существует такое ф е- /?
0>
(хаг) ф = ха2, C)
а так как
то, ввиду B) и C),
= а2,
т. е. правый идеал А порождается своим произвольным нену-
ненулевым элементом
4. Обращением полученных результатов служит следую-
следующая теорема Джекобсона [Тгапз. Атег. Ма1;п. Зое.
57 A945), 228—245]:
Всякое ненулевое (см. П.2.2) простое кольцо /?, обла-
обладающее минимальными правыми идеалами, изоморфно пло/п-
$ 51 ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 251
ному кольцу линейных преобразований конечного ранга не-
некоторого векторного пространства над некоторым телом.
Возьмем в нашем кольце Я минимальный правый идеал
Л. Умножение идеала А справа на элемент г е Я определяет
эндоморфизм аддитивной группы А Так как сумме (произ-
(произведению) элементов из /? соответствует сумма (произведение)
соответствующих эндоморфизмов, то мы имеем гомоморфизм
кольца Я в кольцо эндоморфизмов аддитивной группы А
Из простоты кольца /? следует, что этот гомоморфизм
будет или изоморфизмом, или же отображением в нуль. По-
Последнее, однако, невозможно. Из АЯ = О (т. е. аг = 0 для
всех йеД г е /?) следовало бы А2 = О, а тогда ненулевой
двусторонний идеал
т. е. совокупность элементов вида
п
Г{аг + а, VI е Я, аьа^. А, I = 1, 2, ..., п
1=1
(при всевозможных натуральных п), обладал бы свойством
В2 = О. Из простоты кольца /? вытекает, однако, В = Н,
а гогда /?2=О в противоречие с тем, что кольцо /? по усло-
условию ненулевое.
5. Можно считать, следовательно, что /? является некото-
некоторым кольцом эндоморфизмов (т. е. подкольцом кольца всех
эндоморфизмов) аддитивной группы идеала А. Так как пра-
правый идеал А минимальный, то в группе А нет нетривиальной
подгруппы, допустимой (см. У.1.2) относительно всех эндо-
эндоморфизмов из Н, т. е., как говорят, кольцо эндоморфизмов
^ неприводимо.
Лемма Шура. Если задано некоторое неприводимое
кольцо эндоморфизмов Я абелевой группы А, то совокуп-
совокупность К тех эндоморфизмов группы А, которые переста-
перестановочны (в смысле умножения эндоморфизмов) с каждым
эндоморфизмом из Я, будет телом.
Ясно, в самом деле, что К является подкольцом кольца
всех эндоморфизмов группы А и содержит тождественный
автоморфизм группы А Пусть теперь а е К и а Ф 0. Тогда
АафО и так как подгруппа Аа выдерживает умножение
С11Рава на все элементы из Я, а кольцо эндоморфизмов Я
252 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
неприводимое, то Аа = А Ядро эндоморфизма а будет /?-до-
пустимой подгруппой, т. е., ввиду неприводимости кольца /?»
оно равно нулю. Эндоморфизм а оказался, следовательно,
автоморфизмом, а тогда существует обратный автоморфизм
а, перестановочный, как и а, со всеми эндоморфизмами
из /?; поэтому а'1 е К.
Применяя лемму Шура к доказываемой нами теореме, мы
получаем, что аддитивная группа идеала А явля-
является векторным пространством над телом КУ
а так как всякий эндоморфизм из /? перестановочен с каж-
каждым эндоморфизмом из К, то /? будет некоторым
кольцом линейных преобразований этого
векторного пространства.
6. Кольцо К является плотным кольцом линейных
преобразований.
Пусть сперва в А даны элементы а и а\ причем а ф 0.
Множество аН является правым идеалом кольца /?. Если
аП = О, то множество всех хеД для которых хН = О,
будет состоять не только из одного нуля, а так как это
правый идеал в /?, то, ввиду минимальности Л, он совпадает
с А. Отсюда следует, однако, Л/? = О, что, как показано
в У.5.4, невозможно. Поэтому аЯ= А, а тогда существует
такое г е /?, что аг = а'.
Пусть теперь в А даны линейно независимые над К эле-
элементы а1} а2, ..., ап и произвольные элементы а[, аъ ..., ап,
п^> 1. Предположим, что уже доказано существование таких
элементов гг е Н, / = 1, 2, ..., п, что
а1г1ф 0, а^[ = 0 при ] = 1, ..., /—1, /+ 1, ..., п.
По доказанному выше, существуют такие т\ е /?, /= 1, 2, ...
..., я, что
Поэтому элемент
обладает тем свойством, что
= Я/, [=1, 2, ..., л.
7. Нам нужно, следовательно, доказать, что для любой
линейно независимой над К системы элементов аг, аа, ...
5] ПРОСТЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА ДЖЕКОБСОНА 253
а„бДй>1, существует такой элемент г е Я, что
— 0, а^г =^= 0.
Пусть сперва п = 2. Предположим, что из ахг = 0 всегда
следует а2г — 0. Для всякого йеУ1 существует такое г е /?,
что а = а^. Если также а = а^г', то ах (г — г') = 0, а поэтому,
по предположению, и а2(г — г') — 0, откуда а2г — агг'. Мы
определим, следовательно, однозначное отображение а группы
А в себя, если для а — а±г положим
Отображение а является эндоморфизмом группы Л, так
как из а = а1г, Ь — а^' следует а +^ = а±(г + г') и поэтому
(а + Ь) а = а2 (г + г') = а
Эндоморфизм а перестановочен с каждым эндоморфизмом
Гь^И, так как из а — а^ следует аго = а1(гго), откуда
(а г о) а = а2(гг0) = (аа) г0.
Этим доказано, что аЕ^. Так как
(а±а) г = (агг) а = а2г, г е /?,
то
— а2) г = 0, г
а поэтому, как мы знаем из У.5.6, а±а — а2==0 в противо-
противоречие с линейной независимостью над К системы элементов аь а2>
8. Пусть теперь п произвольное и для п — 1 утверждение
\7.5.7 уже доказано. Существует, следовательно, такое г' е /?,
что
ахг' =... = ап_2г' = 0, ап_хг' Ф 0;
обозначим через /?' множество всех таких г'. Если элементы
а^г' и апт' линейно независимы над К, то, по доказанному,
существует такое г" е /?, что
= 0, апг'г"
можно положить г~г'г".
Пусть, однако,
е/С, Р^0. D)
254 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Используя снова индуктивное предположение, можно найти
такое г0 е /?, что
ахг0 ==... = ап_2г0 = 0, {ап_х — ап§) г0 ф 0. (б)
Если апг0 = 0, ап^г0 Ф 0, то найдется такое гх е /?, что
а<п-1гог1 — ап-1г'у а тогда можно положить т = т' — гогь так
как апг = апг' Ф 0. Если ап^г0 = 0, алг0 ^= 0, то будет про-
просто г = г0. Если ал_хГ0 и апг0 линейно независимы, то, так
как г0 е /?', существование искомого г выше уже доказано.
Остается рассмотреть случай
<*п-1Го = (Д/е^о) Т» Те/С,7^°; F)
из E) следует § Фу. Существует такое г2 е /?, что
«/1-1^0^2 =а/1-1^/- G)
Тогда, по F), G) и D),
откуда
ал(г/рт-1-^2) = 0. (8)
Теперь можно положить г = г' — г0г2: ясно, что
если бы было и апг = 0, то, ввиду (8), мы имели бы
а так как р-у-1^!, то получили бы алг' = 0, что не имеет
места.
9. Кольцо /? состоит из линейных преобразований ко-
конечного ранга.
Достаточно доказать, что /? содержит хотя бы одно нену-
ненулевое линейное преобразование конечного ранга, так как тогда
пересечение /? с идеалом /?'(Л, К) кольца /?(Л, /С) (см. У.5.1)
будет отличным от нуля идеалом кольца /? и, ввиду простоты
кольца /?, будет совпадать с /?.
Мы знаем из У.5.4, что А2 Ф О. Отсюда и из минималь-
минимальности правого идеала Л следует, что для любого данного
ненулевого аЕ/1 будет а А = А. Существует, в частности,
такое ?еД е Ф 0, что ае = а. Отсюда
а (е* - е) = 0,
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 255
а поэтому е2 = е, так как элементы из А, аннулирующие а
справа, составляют правый идеал; элемент е является, следо-
следовательно, идемпотентом. Ясно, что А = е#.
Рассматривая теперь е как принадлежащее к кольцу /?
линейное преобразование векторного пространства А над
телом /С, покажем, что оно конечного ранга. Именно, под-
подпространство Ае одномерно. Действительно, если
бы в нем содержались линейно независимые над К элементы
а' и а", то, ввиду идемпотентности е>
а'е = а', а"е = а". (9)
В соответствии с У.5.7 существует такое г е- /?, что
а'г = 0, а"гфО.
Отсюда
= 0, а"(ег)фО,
т. с. ег Ф 0. Так как ег е А, то множество элементов из А
аннулирующих а' справа, состоит не только из нуля. Это
множество является правым идеалом и поэтому совпадает
с Л, что противоречит, однако, первому из равенств (9).
Теорема Джекобсона доказана.
# Если /?г, /=1, 2, является плотным кольцом линейных
преобразований конечного ранга в векторном пространстве
Уь над телом К-г и если существует изоморфизм т между
кольцами /?х и /?2, то между пространствами Ух и 1/2 суще-
существует такое полулинейное соответствие а (см. У.4.1), что
для всех аеК], гб/?1
(аг) ст = аст • гт.
Полные кольца матриц конечных порядков над телами
и только они являются ненулевыми простыми ассоциативными
кольцами, удовлетворяющими условию минимальности для пра-
правых идеалов. #
§ 6. Линейные алгебры. Алгебра кватернионов
и алгебра Кэли
1. Переходя к операторным кольцам (см. УЛ.7), есте-
естественно в качестве частного случая рассмотреть кольца, до-
допускающие в качестве кольца операторов (см. УЛ.8) неко-
некоторое ассоциативное тело. При этом, учитывая сказанное
256 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
в УЛ.9, мы будем предполагать, что это тело коммутативно,
т. е. является полем.
Кольцо /?, имеющее поле Р своим кольцом операторов,
называется линейной алгеброй над полем Р. Обычно, впро-
впрочем, говорят просто об алгебре над полем, так как нет
опасности смешать это понятие с понятием универсальной
алгебры. Если при этом /? является ассоциативным телом,
то принято говорить об (ассоциативной) алгебре с делением.
В неассоциативном случае в соответствии с терминоло-
терминологией, введенной в 11.6.1, мы будем называть алгеброй с де-
делением всякое кольцо с делением, являющееся алгеброй над
данным полем. Аналогичный смысл имеет понятие алгебры
с однозначным делением. Если же алгеброй над полем
является тело, то, как будет показано ниже, это всего лишь
означает, что в центре нашего тела выделено некоторое под-
подполе; впрочем, иногда мы будем все же говорить об алгебре
с однозначным делением и с единицей.
Все сказанное в УЛ.7 применимо и к случаю алгебр.
Так, изоморфизмы и гомоморфизмы алгебр над полем Р
следует понимать как их Р-операторные изоморфизмы и гомо-
гомоморфизмы. Р-допустимые подкольца алгебры называются ее
подалгебрами. Под идеалом алгебры всегда понимается ее
Р-допустимый идеал. Понятен также смысл термина фактор-
алгебра.
Аддитивная группа всякой алгебры /? над полем Р является
векторным пространством над этим полем, как немедленно
вытекает из определения алгебры. Векторные пространства
поддаются изучению много легче, чем, например, произволь-
произвольные абелевы группы без операторов. По этой причине тео-
теория алгебр во многих отношениях проще и разработана
заметно дальше, чем параллельная ей теория колец без опе-
операторов.
2, В Ш.2.9 было введено понятие центра кольца; напом-
напомним, что единица кольца, если она существует, содержится
в его центре.
Если кольцо Н обладает единицей е и если в центре
кольца Я лежит подполе Р, содержащее е, то Я. будет
алгеброй над Р.
Действительно, если произведение элементов из Я на эле-
элементы поля Р понимать в смысле умножения, заданного
в кольце Н) то выполненность всех требований, входящих
$ б] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 257
в определение алгебры, немедленно вытекает из свойств опе-
операций в кольце и определения центра.
Так, поле комплексных чисел является алгеброй с деле-
делением над полем действительных чисел. Кольцо многочленов
Р \х] над полем Р будет алгеброй над этим полем, так как
многочлены нулевой степени составляют в Р [х] подполе,
изоморфное полю Р и содержащее единицу кольца. Всякое
тело будет алгеброй над своим центром, так как последний,
как показано в III.2.9, является полем.
Если алгебра /? над полем Р обладает единицей е, то
в центре этой алгебры лежит подполе, содержащее е
и изоморфное полю Р.
Для доказательства обозначим через Р' совокупность эле-
элементов вида еа> где аеР. Ввиду G) и (8) из У.1.4 и A1)
из У.1.7
е(а ± р) = еа ±
е (оф) = (ее) (оф) = [(ее) а] Р = (еа • е) Р = еа •
Отсюда следует, что отображение а->^а будет гомоморфным
отображением Р на Р', притом даже изоморфным, так как
Р — поле и, ввиду (9) из УЛ.4,
где 1 — единица поля Р.
Докажем, наконец, что подполе Р' содержится в центре
алгебры Щ. В самом деле, для любых х, у е /?
(еа) х = (ех) а = (хе) а = х (еа),
[(еа) х] у = \(ех) а] у = ха • у = (ху) а — \е (ху)] а = (еа) (ху),
(ху) (еа) = [(ху) е) а = (ху) а = х-уа = х [(уе)<х] = х [у (еа)].
Теорема доказана.
3„ Пусть дана алгебра Я над полем Р и пусть в адди-
аддитивном векторном пространстве этой алгебры выбрана база X,
составленная из элементов хг (где I пробегает некоторое
множество индексов). Всякий элемент а из К обладает одно-
однозначной записью вида C') из У.3.5, т. е. вида
а = 2 х'га^ а* ^ р>
причем сложение элементов из К и их умножение на эле-
элемент р поля Р сводятся на сложение соответственных коэф-
коэффициентов и на умножение коэффициентов на р.
9 А, Г. Курош
258 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
Если хь X] е X, то произведение хгх ^ будучи элементом
из ЯУ также обладает записью через базу X,
причем при данных I и } лишь конечное число коэффициен-
коэффициентов гк. может быть отлично от нуля. Система элементов гк.
Ч I]
поля Р полностью определяет умножение в алгебре /?.'
Действительно, для любых а, РеР
хк (е?уар).
Если же в /? даны произвольные элементы
то, учитывая, что лишь конечное число коэффициентов а1
и $ может быть отлично от нуля, на основании законов
дистрибутивности получаем
аЪ = И И (*<«'') ^/Р') = 2 л* (е*/о'рО. C)
/, /,
Понятно, что при переходе от базы X к другой базе
алгебры Я числа е^. меняются, т. е. алгебра Я будет в этой
новой базе определяться «таблицей умножения», отличной
от A).
4. Если в векторном пространстве V над полем Р
выбрана база X, составленная из элементов хь I е /,
/
р
а в поле Р взяты произвольные элементы е*., и /, к е /,
то существует алгебра над полем Р, имеющая V своим
аддитивным векторным пространством и задаваемая
в базе X таблицей умножения A) с этими коэффициен-
коэффициентами гкг.
Действительно, если для любых элементов а> Ь е V,
записываемых в базе X в виде B), мы определим произве-
произведение формулой C), то, как легко проверить, будут выпол-
выполняться и законы дистрибутивности, и требование A1) из УЛ.7,
а элементы базы X будут перемножаться в соответствии с (!)•
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 259
Ясно, что алгебра, построенная этим путем, в общем случае
(т. е. если выбор чисел е*. не подчинен дополнительным
ограничениям) не будет ни ассоциативной, ни коммутативной.
Легко проверить, используя законы дистрибутивности, запись
элементов алгебры через базу и свойства умножения в поле,
что если в алгебре Я над полем Р выбрана база X, то
для того чтобы эта алгебра была ассоциативной, ком-
коммутативной или лиевой (см. И.2.3), не только необходимо
{что очевидно), но и достаточно, чтобы для любых хь
X выполнялись соответственно равенства
1Х/) Хк ~ Х1
или
или, наконец,
Хк ~Т~ (,х;хк) Х1 "Ь (хкхд Х] =
5. Применим результаты \Л3.7 и У.6.4 к построению
одного специального типа алгебр. Возьмем произвольный
группоид О и произвольное поле Р, а затем построим век-
векторное пространство над Р, имеющее множество О своей
базой. Определяя произведение для элементов этой базы
как их произведение в группоиде О, мы получим алгебру,
называемую группоидной алгеброй группоида О над полем Р.
Читатель сравнит, конечно, это понятие с понятием целочис-
целочисленного группоидного кольца из Н.4.5.
Группоидная алгебра будет ассоциативной, если груп-
группоид О является полугруппой или, в частности, группой.
В этом случае говорят о полугрупповой и соответственно
групповой алгебре.
Так, алгебра многочленов Р [х] над полем Р будет полу-
полугрупповой алгеброй: ее базой служит совокупность степеней
л:0=1, х, х2, ..., хп, ... неизвестного х, составляющая
по умножению полугруппу, изоморфную аддитивной полу-
полугруппе целых неотрицательных чисел.
6. Если аддитивное векторное пространство алгебры
над полем Р конечномерно (см. У.3.6), то и сама алгебра
называется конечномерной) ее размерность иногда назы-
называется также рангом.
Так, кольцо матриц Рп над полем Р (см. Н.2.6) является,
ввиду У.6.2, алгеброй над этим полем, так как центр кольца Рп
260 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
содержит совокупность скалярных матриц (см. И.4.3), содер-
содержащую единичную матрицу и изоморфную полю Р. Алгебра
матриц Рп имеет при этом конечную размерность я2, так как
ее базу составляют матрицы е^-, I, у= 1, 2, ..., п, у которых
на месте (/, /) стоит 1, а па всех остальных местах —нули.
Таблица умножения алгебры Рп в этой базе такова:
= ° ПРИ
7. Как уже было отмечено в У.6.2, поле комплексных
чисел К является алгеброй с делением над полем действи-
действительных чисел или, как мы будем говорить, действительной
алгеброй с делением. Эта алгебра имеет размерность 2, так
как числа 1 и / составляют ее базу. Алгебра К имеет в этой
базе следующую таблицу умножения:
12=1, 1 - / == /. 1 = /, /а== — 1.
Построим теперь четырехмерную действительную ассо:
циативную алгебру с делением (Р, называемую алгеброй
кватернионов. Это будет алгебра с базой 1, /, у, к и
следующей таблицей умножения:
1
1
7
к
1
1
/
7
к
1
1
\
— к
7
7
7
к
— 1
к
к
_____ *
1
— 1
D)
При разыскании в этой таблице произведения, например /
на у, следует брать пересечение строки с номером / со столб-
столбцом с номером у, т е. I] = к.
Из таблицы умножения D) сразу следует, что элемент 1
является единицей алгебры (р и что эта алгебра некоммута-
некоммутативна. Алгебра (Р будет, однако, ассоциативной: так как
элементы /, /, к входят в таблицу умножения D) равноправным
(с точностью до знаков) образом, то, ввиду У.6.4, достаточно
проверить справедливость равенств
что предоставляется читателю.
01
ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 261
9. Всякий кватернион (т. е. элемент алгебры C) а обла-
обладает однозначной записью
а = а + 1Ь + )с + кй
с действительными коэффициентами а, Ь, с, &. Кватернион
а — а — 1Ь —}с — кй
называется сопряженным кватерниону а. Легко проверяется,
что
сф = Ра, а + р = а + р E)
и что
аа = аа = а2 + Ь2+ с2 + Л2. F)
Неотрицательное действительное число
п (а) = аа = аа, G)
равное нулю лишь при а = 0, называется нормой кватер-
кватерниона а. Легко проверить, что
п (ар) = п (а) • п (р), (8)
а поэтому алгебра кватернионов не содержит делителей
нуля. Действительно, ввиду G) и E),
п (оф) = (аР).(оф) = аРРа = (аа) • л (Р) = п (а) • я (Р).
Если а^О и поэтому п(а)фО, то, по G),
а •(—т-та)==(—т-та ) • а = 1.
\п(а) ] \п(а) )
Для всякого отличного от нуля кватерниона а существует,
следовательно, обратный кватернион, а поэтому алгебра
кватернионов является телом.
10. Построим, наконец, одну восьмимерную действительную
неассоциативную алгебру с однозначным делением и с еди-
единицей, называемую алгеброй Кэли.
Рассмотрим всевозможные выражения вида а + Р^, где
с: и р— кватернионы, а е — новый символ; в частности,
вместо а + Р^ при Р = 0 мы будем писать просто а, а при
а = 0 —просто Р^. Определяя для рассматриваемых выра-
выражений сложение и умножение на действительное число а
равенствами
+ (у + 6О = (а + у) + (р + 6)е, (9)
(а + р<?) а = (аа) + (Ра) е, A0)
262
ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ
[ГЛ V
мы получаем восьмимерное действительное векторное про-
пространство с базой
1, /, у, к, е, 1е, ]е, ке. A1)
Определим в этом пространстве умножение равенством
(а + Р<0 (у + 8е) = («V - Ц) + (бес + 0?) е. A2)
Легко проверяется дистрибутивность этого умножения отно-
относительно сложения (9), а также, ввиду A0), справедливость
равенств
Таблица умножения полученной алгебры Кэли в базе A1)
без труда выводится из A2). Это будет следующая таблица:
1
/
У
к
е
ге
•
ке
1
1
/
У
к
е
1е
]е
ке
1
1
— 1
— к
У
— 1е
е
ке
I
У
к
— 1
■ гСС
е
1е
к
к
—— /
/
- 1
— ке
•
— 1е
е
е
е
1е
)е
ке
- 1
~-~ 1
—— /
""- гС
1е
1е
-е
ке
— ]е
1
— 1
к
-У
Iе
]е
-ке
— е
1е
У
~~~ ГУ
— 1
/
ке
ке
Iе
— 1е
— р
к
У
— /
-1
Мы видим, что элементы вида а=а + 0^ составляют
в алгебре Кэли подалгебру, изоморфную алгебре кватер-
кватернионов. С другой стороны, из (9) и A2) вытекает, что
в записи а-\-§е элементов алгебры Кэли и сложение, и
умножение можно понимать в смысле операций, определенных
в этой алгебре.
Алгебра Кэли не является ни коммутативной, ни ассоциа-
ассоциативной. Так,
(/у) е — ке, I (]е) = — ке.
11. Если Е = а-{-§е — элемент алгебры Кэли, то назовем
сопряженным ему элемент
§ 6] ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ 263
11а основании A2) и E) легко проверяется, что для любых
элементов ^ и г] алгебры Кэли
A3)
и что для ^ = а + $е
A4)
Это неотрицательное действительное число, равное нулю
лишь при 5 = 0, называется нормой элемента !• и обозначается
через п(%).
Если ^ = а + Р^, Ц = у-\-Ье, то из A2) и A4) следует,
ввиду E), что
где
а — ба^Р +
й = а^Рб +
Так как, по E), вторые слагаемые в выражениях для а и Ь
сопряжены с первыми слагаемыми, то а и Ь будут действи-
действительными числами. Если 6 = 0, то, очевидно, а = # = 0 и
поэтому а — Ь — 0. Если же б Ф 0 и поэтому п (б) =^= 0, то,
ввиду действительности числа а,
а/1 (б) = §аб = Ъп (б),
откуда а — Ь, т. е. снова а — Ь = 0.
Таким образом,
п Йл) = [л (^ + п (р)] [л (V) + л (б)] = л (Б) л (Л)-
Отсюда следует, что алгебра Кэли не содержит делите-
делителей нуля.
12. Равенство A2) показывает, что элемент 1 = 1
является единицей алгебры Кэли.
С другой стороны, если даны элементы 1> = а-\-§е и
— у-\-8е, причем 1ф0> то уравнение
264 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
обладает решением, притом единственным ввиду отсутствия
делителей нуля. Именно,
« - Р7) 4
Читатель без труда проверит, используя A2) и E), что
элемент ^ действительно удовлетворяет уравнению A6).
Аналогично единственным решением уравнения
служит элемент
Мы получаем, что алгебра Кэли является {не ассоциатив-
ассоциативным) телом.
§ 7. Альтернативные кольца. Теорема Артина
1. Алгебру кватернионов и алгебру Кэли вовсе не следует
считать случайными примерами действительных алгебр с деле-
делением — их особая роль устанавливается во многих теоремах,
некоторые из которых будут доказаны или упомянуты в сле-
следующем параграфе, а также в §§ 6 и 10 следующей главы.
Укажем сначала одну простую классификацию всех колец.
Закон ассоциативности связывает, как известно, три элемента,
а поэтому всякое кольцо, все подкольца которого, порож-
порожденные тремя элементами, ассоциативны, само будет
ассоциативным. Более широкий класс колец составляют
альтернативные кольца, т. е. те кольца, в которых ассо-
ассоциативны все подкольца, порожденные двумя элементами.
Еще более широким будет класс колец с ассоциативными
степенями, т. е. тех колец, в которых ассоциативны все
подкольца, порожденные одним элементом; этот класс
не исчерпывает, конечно, всех колец.
2. Если а, Ь, с — элементы некоторого кольца Н, то назовем
ассоциатором этих элементов элемент
[а, Ь, с] = (аЬ)с — а(Ьс). A)
Очевидно, что
[а, Ь9 с]=;0
§ 7] АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА АРТИНА 265
тогда и только тогда, если для элементов а, Ь, с выпол-
выполняется закон ассоциативности
(аЬ) с = а (Ьс).
Из A) следует, что
а'9 Ь, с] = [а, Ь, с] + [а', Ь, с]; B)
аналогичные равенства справедливы и для мест, занимаемых
в ассоциаторе элементами Ъ и с. С другой стороны,
[ — а, Ь, с]= — [а, Ь, с].
На основании A) легко проверяется следующее равенство,
справедливое для любых элементов а, Ь, с, с1 е /?:
[аду с, с1] — [а, Ьс, й] -\- [а, Ь, сЛ] = а [Ь, с, й] + [а, Ь, с] (I. C)
3. Теорема Артина. Кольцо /? тогда и только тогда
альтернативно, если для любых а, Ь ^Н имеют место
равенства
= а(аЬ), (Ъа)а = Ь(ааI). D)
Очевидно, что в альтернативном кольце условия D)
выполняются. Будем считать поэтому, что дано кольцо /?,
в котором для любых элементов а и Ь выполняются равен-
равенства D); эти равенства могут быть записаны в виде
[а, а, &] = 0, [Ь, а, а] = 0. E)
4. В кольце /? для любых а и Ь справедливо равенство
[а, Ь, а] = 0. F)
Действительно, ввиду E) и B),
= [а, а-\-Ь, а-\-Ь] — [а, а, а]-\-[а, а, Ь\-\-
, Ь, а] + [а, Ь, Ь] = [а, Ьу а].
Если в кольце Я элементы а, Ь, с подвергнуты неко-
некоторой, перестановке, то ассоциатор [а, Ь, с] не меняется,
если эта перестановка четная, и меняет знак, если она
нечетная.
1) Читатель может принять тождества D) в качестве определения
альтернативного кольца и без ущерба для дальнейшего опустить
Доказательство теоремы Артина. Мы видим, что альтернативные кольца
вставляют примитивный класс универсальных алгебр (см. III.6.3).
266 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Достаточно, как известно, рассмотреть лишь случай
транспозиций двух элементов. Ввиду E) и B)
= [а, Ь, Ь] + [а9 Ь, с] + [а, с,
+ [а, с, с] = [а, Ь, с]-\-[а, с, Ь\
откуда
[а, Ь, с] = — [а, с, Ь\
Аналогично доказываются равенства
[а, Ь, с] = — [Ь, а, с]
и, ввиду F),
[а, Ь, с] = — [с, Ь, а].
5. Если А, В, С —подмножества нашего кольца /?, то
условимся писать
[А, В, С] = О,
если [а, Ь, с] = 0 для всех йеД Ь ^ В, с е С.
Подмножество А кольца /? назовем а~множесп1вом, если
[Л, Д Щ = О, G)
и поэтому, на основании доказанного выше,
[А, К, А] = О, [/?, Л, А] = О. (8)
Из E) следует, что множество, состоящее из одного эле-
элемента, будет а-множеством.
Подкольцо кольца /?, порожденное а-множеством А,
само будет а-множеством, т. е., короче, будет а-под-
кольцом.
Действительно, из B) следует, что, добавляя к множе-
множеству А всевозможные суммы и разности его элементов, мы
снова получим а-множество. Покажем, что это же имеет место
и тогда, когда к А добавляются произведения всевозможных
пар его элементов. В самом деле, если аь а2, а3, а4 е- А, то,
ввиду C),
[аха2, х, а3] — [аь а2х, а3] + [а1» аъ ха3] =
= а1[а2, х, а3]-\-[аь а2, х]а3,
откуда, ввиду G) и (8),
[аха2, х, а3] = 0. (9)
Далее, снова по C),
а2х, а3аА] + [а19 а2, х(а3а4)] =
[а2, хг а3а±] -\- [аь а2, х]
§ 71 АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА. ТЕОРЕМА АРТИНА 267
01 куда, ввиду G), (8) и (9),
х, а3а4] = 0.
Таким образом, если мы, начиная от множества А, будем
поочередно добавлять к построенному а-множеству или все
суммы и разности его элементов, или же все произведения
пар его элементов, мы получим в /? возрастающую последо-
последовательность а-множеств. Объединение этой последовательно-
последовательности будет, конечно, а-множеством и вместе с тем оно будет
совпадать с подкольцом, порожденным множеством А.
Из этого результата вытекает, что всякое подкольцо
кольца Н, порожденное одним элементом, будет а-под-
кольцом и поэтому будет ассоциативным.
6. Если А и В будут а-подкольцами кольца /?, то обо-
обозначим через С множество всех таких элементов с из /?, что
[А, В, с] = О.
Ясно, что
С=*(А[)В) A0)
и что С замкнуто относительно сложения и вычитания.
Если с е С, то для любых а' е А и Ь' е В имеют
место включения
а'с, са', Ь'с, сЪ' е С.
Действительно, если йеД Ь е В, то, по C),
[аа', с, Ь] — [а, а'с, #] + [я> а\ сЬ\ = а[а', с, Ь\-\-[а, а\ с\Ь>
[Ьс, а\ а] — \Ь, са\ а]-|-[#, с, а'а]=Ь[с, а*, а\-\-\Ь, с, а'] а
или, учитывая, что А является а-подкольцом, а с
[а, а'с, Ь] = 0,
[Ь, са', а] = 0,
т. е. а'с е С, са' е С. Так же доказываются и два других
включения.
Ввиду Н.3.7 любой элемент подкольца [А, В) представим
в виде суммы произведений вида хю = ХхХ2 ...хю где вся-
всякое XI, 1=1, 2, ..., п, принадлежит к А или к В\ назовем п
длиной этого произведения, п — 1(хю). В произведении ш не-
некоторым способом распределены скобки, причем всякая скобка
является произведением ровно двух меньших скобок. Произ-
Произведение Г0 длины п назовем нормальным элементом, если
268 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ V
всякая скобка длины к, 2 ^ к ^ я, входящая в состав этого
произведения, является произведением скобки длины к — 1
на элемент из А или из В, слева или справа. Таким образом,
произведение (аЬ)(Ь'аг) не будет нормальным, а произведение
Ь'[(аЬ)а] нормально.
Из доказанного выше следует, ввиду A0), что всякий
нормальный элемент хю принадлежит к множеству С, т. е. для
всех йеД Ь е В
[а, Ь, хв>] = 0. A1)
7. Всякое произведение нормальных элементов пред-
ставимо в виде суммы нормальных элементов.
Достаточно доказать это для произведения двух нормаль-
нормальных элементов V и хю. Будем вести доказательство индук-
индукцией по длине элемента V, так как при 1{р)=\ нормальность
произведения хт очевидна.
Если ю = ю'а, /(г/) = /(г>) — 1, йеД то
) , а, ш\ =
= V1 (ах0) — [г;', Х2>, а] = ю'(ах0) — (ю'х0) а-{-ю'(Х0а),
но каждое из трех слагаемых полученной суммы предста-
вимо, по индуктивному предположению, в виде суммы нор-
нормальных элементов. На этот случай сводится и случай
V =
— а (%)'хю) — (г/, а, хю) = а(р'ш) — ^'а)х0-\-у' (ахм).
Отсюда следует, что всякий элемент из {А, В} пред-
представим в виде суммы нормальных элементов.
8. Если V, Х0 — нормальные элементы, то для любых
а е Л, Ь е В
[а, V, Х0] = [Ь, V, «;] = 0. A2)
Если /(г»)=1, то A2) следует из A1). Будем поэтому
вести доказательство индукцией по длине элемента V. Если
т> = й'г>', где /(г/) = /(гО-1, *'ей, то, по C),
[Ь'у', хюу а] —[У, ъ'хю, п\-\-\Ъ\ V', Х0а\ =
= Ь'[о', Х0, а] + [Ь', V', хю\а.
Отсюда, используя индуктивное предположение, а также A1)
и результат, доказанный в предшествующем пункте, мы по-
$ 71 АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА ТЕОРЕМА АРТИНА 269
лучаем
V, до, а] = [г;, до, а] = [а, V, до] = 0.
.' Г 1-1
В случаях ю~ю а , ю = ау и у = уЬ также применяется
тождество C), причем в качестве элементов а, Ь, с, & нужно
соответственно брать до, г/, а'', а или а, а', г/, до, или, на-
наконец, г/, #', до, а.
9. Если и, г;, до — нормальные элементы, то
[и, V, хв>] = 0. A3)
Ввиду A2) можно вести доказательство индукцией по
длине элемента и. Если и = и'а, 1{и') = 1(и)— 1, йеД то,
но C),
[и'а, г>, до] — [и', а^, до] + [м', а, ^и;] = м' [а, V, до]
или, используя индуктивное предположение и результат из
\Г7.7,
[и'а, V, до] = [и, г;, до] = 0.
Так же рассматриваются и другие возможные случаи.
Отсюда, учитывая, что всякий элемент подкольца {Л, Б}
является суммой нормальных элементов, мы получаем, что
подкольцо {Л, В}, порожденное а-подкольцами А и В, будет
ассоциативным. Если же в качестве А и В мы возьмем под-
подкольца, каждое из которых порождено одним элементом, то
получим, ввиду последнего результата из У.7.5, что всякое
подкольцо кольца Н, порожденное двумя элементами, ассо-
ассоциативно, и этим закончим доказательство теоремы Артина.
*Если аддитивная группа кольца /? не содержит отлич-
отличных от нуля элементов конечного порядка, то /? тогда и
только тогда будет кольцом с ассоциативными степенями,
если для всякого элемента й из
(аа) а = а (аа), [(аа) а]а = (аа) (аа).
[Алберт, 5шпта Вгаз. МаШ. 2 A948), 21—33; см. также
А. Т. Гайнов, Успехи мат. наук 12:3 A957), 141 — 146].*
10. Докажем теперь, что алгебра Кэли альтернативна.
Достаточно проверить, ввиду теоремы Артина, что в алгебре
Кэли выполняются равенства D). Проверим хотя бы первое
них. Если
I = а + Ре, т] = у
270 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V
то, по A2) из У.6.10,
Т1 = [(а* - РР) V - б (Ра + Р«)]+[б (а'-ДОЖРа + ра)?] е,
= [а (ау - бр) - Fа + р?) РЖ(в«+Рт)а+Р (а?-бР)] а
Правые части этих равенств будут, однако, совпадать, как
легко показать на основании E) из У.6.9, если учесть, что
и а + а, и рр = рр являются действительными числами и
поэтому перестановочны с любым кватернионом.
§ 8. Обобщенная теорема Фробениуса
1. Поле действительных чисел и поле комплексных
чисел являются единственными конечномерными действи-
действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без
делителей нуля.
Тело кватернионов является единственной конечно-
конечномерной действительной ассоциативной, но не коммута-
коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Алгебра Кэли является единственной конечномерной
действительной альтернативной, но не ассоциативной
алгеброй без делителей нуля.
Объединение первых двух теорем называется теоремой
Фробениуса] объединение всех трех теорем мы будем назы-
называть обобщенной теоремой Фробениуса.
2. Докажем сперва следующую общую теорему:
Всякая конечномерная алгебра Я без делителей нуля
над произвольным полем Р является алгеброй с однознач-
однозначным делением.
Докажем однозначную разрешимость хотя бы первого из
уравнений
0)
где афО. Обозначим через аН совокупность элементов
вида аг для всевозможных г из Я Ясно, что аЯ будет ли-
линейным подпространством аддитивного векторного простран-
пространства алгебры /?. Если это подпространство отлично от всей
алгебры /?, то оно имеет строго меньшую размерность. Взяв,
следовательно, любую базу
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 271
алгебры /?, мы получим, что элементы
ах±, ах^ . • • > ах'п
линейно зависимы, т. е. в поле Р существуют такие эле-
элементы аь а2, ..., ап, не все равные нулю, что
(ахд о&1 + (ах2) а2 +...+ (ахп) ап = 0.
Отсюда, однако, следует
а{х-^х-1 -\-х^ъ-{-... -}~хпссп) = 0,
где оба множителя отличны от нуля, что противоречит от-
отсутствию в алгебре /? делителей нуля.
Мы получаем, что аР{ = Н- Существует, следовательно,
такой элемент геЯ что
аг — Ь,
т. е. первое из уравнений A) действительно оказалось разре-
разрешимым. Единственность его решения вытекает из отсутствия
в алгебре Н делителей нуля. Теорема доказана.
Для дальнейшего отметим, что в альтернативной алгебре
ассоциативно не только всякое подкольцо, порожденное двумя
элементами, но даже всякая подалгебра с двумя образующи-
образующими—достаточно учесть, как выражаются элементы указанной
подалгебры через элементы подкольда, порожденного этими
же двумя образующими.
Всякая альтернативная конечномерная алгебра с одно-
однозначным делением Я над произвольным полем Р обладает
единицей.
В ассоциативном случае утверждение этой теоремы не-
немедленно следует из 11.2.10. Если же алгебра Ц лишь аль-
альтернативна, то всякая ее подалгебра с двумя образующими
будет ассоциативной конечномерной алгеброй без делителей
нуля, т. е., по предшествующей теореме, алгеброй с деле-
делением и, следовательно, обладает единицей. Пусть, однако, две
такие подалгебры обладают различными единицами, ех и е2.
Подалгебра, порожденная этими двумя элементами, сама
будет ассоциативной алгеброй с делением, и мы приходим
к противоречию, так как в ассоциативном теле не может быть
Двух различных ненулевых идемпотентных элементов,
т- е. элементов, равных своему квадрату.
3. Мы можем теперь, приступая к доказательству обоб-
обобщенной теоремы Фробениуса, считать, что нам дана действи-
272 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
тельная альтернативная (в частности, ассоциативная или даже
ассоциативно-коммутативная) алгебра с однозначным деле-
делением /? конечной размерности п, обладающая единицей.
Как показано в У.6.2, в центре алгебры /? содержится
подполе Д изоморфное полю действительных чисел — это
будет совокупность элементов, кратных единице 1 алгебры /^.
Если элемент а алгебры К лежит вне подполя О, то
порожденная им подалгебра {а} содержит это подполе и
изоморфна полю комплексных чисел.
В самом деле, ввиду альтернативности алгебры /?, под-
подалгебра {а} ассоциативна, т. е. можно, в обычном смысле го-
говорить о степенях элемента а. Так как алгебра /? имеет раз-
размерность п, то элементы
1, а, а2, ..., ап
линейно зависимы. Существует, следовательно, такой много-
многочлен /(х) с действительными коэффициентами, степени не
выше я, который обращается в нуль элементом а. Из основ-
основной теоремы алгебры комплексных чисел следует, что /(х)
разлагается на линейные и неприводимые квадратные множи-
множители с действительными коэффициентами, а так как в алгебре /?
нет делителей нуля, то элемент а обращает в нуль один из
этих множителей; обозначим его через ф (х).
Так как а лежит вне подполя В и поэтому не может
удовлетворять никакому уравнению первой степени с действи-
действительными коэффициентами, то
у(х) = х2 + $х + у, у^О. B)
Таким образом,
а*+$а + у = 0, C)
т. е. у е {а} и поэтому в подалгебре {а} содержится все
подполе О. Из C) следует, что подалгебра {а} двумерна и
что ее базу составляют элементы 1, а, причем
а2 = — у - ра.
Обозначим, с другой стороны, через а комплексное число,
являющееся корнем квадратного трехчлена B). Число ее не
является действительным, а поэтому числа 1, ее составляют
базу алгебры комплексных чисел. Таблица умножения, опре-
определяющая алгебру комплексных чисел в этой базе, совпадает,
очевидно, с таблицей умножения, определяющей подалгебру
{а} в базе 1, а. Отсюда, по У.б.З, вытекает изоморфизм под-
подалгебры {а} с полем комплексных чисел.
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 273
4. Если элементы а и Ь алгебры Я лежат вне под-
поля В и порождают различные подалгебры {а}, {Ь}, то
подалгебра {а, Ь) изоморфна алгебре кватернионов.
Так как подалгебра {а} изоморфна полю комплексных
чисел, то в ней можно выбрать базу 1, и причем
/2 = — 1. D)
Аналогично в подалгебре {Ь} существует база 1, /0, где
Л = -1. (б)
Ясно, что {1} = {а}, {]0} = {Ь}, откуда {I, ]0} = {а, Ь} и, так
как ]оф{а}> элементы 1, /, ]0 линейно независимы.
Каждый из элементов /+Уо» *~Уо лежит поэтому вне
подполя В и, следовательно, должен удовлетворять некото-
некоторому неприводимому квадратному многочлену с действитель-
действительными коэффициентами, а тогда * квадраты этих элементов
должны выражаться через их первые степени и единицу. Су-
Существуют, следовательно, такие действительные числа а, р,
у, б, что
(I +УоJ - -2 + О/о +7о9 = «(/ +у0) + р,
^ -УоJ = -2 - (//0 +УоО = Т (/ -Уо) + б. 1 ;
Складывая эти равенства, получаем
откуда, ввиду линейной независимости элементов 1, /,у0, сле-
следует а + 7==а~?==^' т- е- а = у = 0. Из F) мы получаем
теперь, что элемент (/0+УУ будет действительным числом,
которое обозначим через 2|л; именно,
/Уо+ЛЬ=2ц = р + 2 = -F + 2). G)
Так как квадратные трехчлены, которым удовлетворяют
элементы /+Уо и 1—]0, неприводимы, то, ввиду а = 7г=^'
должно быть Р <С 0, б <С 0> откуда, по G),
Число
следовательно, отличным от нуля действительным
числом.
Рассмотрим теперь лежащий в подалгебре {а, Ъ] элемент
^74 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Так как VфО, то элементы 1, /, у линейно независимы, а на
основании G) и (8) легко проверяются равенства
2 = -1> (9)
= 0. A0)
Введем обозначение
А = // = -Д A1)
Если бы имело место равенство
с
действительными коэффициентами а, р, у, то, умножая обе
его части справа на I, мы получили бы, ввиду A1),
/ = а/ — р — у к = <х1 — Р — у (а + р/ + у/)-
Приравнивая здесь, однако, коэффициенты при у, мы пришли
бы к равенству
что невозможно, так как число у действительное.
Элементы 1, /, у, # оказываются, следовательно, линейно
независимыми. Эти элементы лежат в ассоциативной (ввиду
альтернативности алгебры /?) подалгебре {а, Ь) и даже по-
порождают эту подалгебру. Поэтому, на основании D), (9) и
(И), без труда проверяется, что для элементов 1, и у, ^вы-
^выполняются все равенства D) из У.6.8. Так, например,
= (//) (-У0 = -/ (У2) / = г2 = -1,
Этим показано, что элементы 1, /, у, ^ составляют базу по-
порождаемой ими подалгебры {а, Ь] и что эта подалгебра изо-
изоморфна алгебре кватернионов.
Таким образом, первая из теорем У.8.1 уже доказана.
5. Если бы доказательство второй из теорем У.8.1
было нашей конечной целью, то нам осталось бы проделать
весьма немногое. Пусть рассматриваемая алгебра /? ассоциа-
ассоциативна и пусть в ней найдена подалгебра {а, Ь}, изоморфная
алгебре кватернионов, и лежащий вне ее элемент с. Обозна-
Обозначим через 1, /, у, к базу подалгебры {а, Ъ) с обычной для
алгебры кватернионов таблицей умножения — будем называть
такую базу канонической. С другой стороны, подалгебра {с}
при наших предположениях изоморфна полю комплексных
§ 8] ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 275
чисел и поэтому в ней содержится такой элемент е, что
причем
Повторяя рассуждения, использованные при выводе равен-
равенства G), можно утверждать существование таких действи-
действительных чисел а, р, у, что
[е -}- е'г = а, )е -\- е] — р, ке + ек = у.
Отсюда, используя ассоциативность алгебры /^, получаем
ек = (е1) у = а/ — / (<?у) = а/ — р/ + ((/) <? =
= ау — р/ + ке = ау — р/ + 7 —
т. е.
2ек = ау —
или, после умножения справа на к,
— 2е = ш + Ру + У к.
Эго приводит, однако, к включению е е {а, Ь}, что невоз-
невозможно. Вторая из теорем У.8.1 доказана.
6. Возвращаемся к доказательству обобщенной теоремы
Фробениуса.
Если элементы а, Ь и с алгебры Я таковы, что {а, Ь],
{а, с) и {Ь, с) являются различными подалгебрами, изо-
изоморфными телу кватернионов, то подалгебра {а, Ь, с}
изоморфна алгебре Кэли.
Так как подалгебра {а, Ъ) изоморфна телу кватернионов,
то она обладает канонической базой 1, /, у, к. С другой
стороны, в подалгебре {с} содержится такой элемент е0, что
0
причем {е0} = {с}.
Подалгебра {/, е0} изоморфна телу кватернионов, так как
из {/} = {е0} следовало бы с е {а, Ь]. Поэтому, как пока-
показано в У.8.4, существует такой элемент
е1 = а11 + ^1е0 A2)
с действительными ах и рх, причем рх Ф 0, что элементы 1,
и еь [ех составляют каноническую базу подалгебры {/, е0}.
Из |у} = {^1} следовало бы, ввиду A2), что е0 е {а, Ъ),
что невозможно. Подалгебра {у, ех) изоморфна, следова-
276
ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ. V!
тельно, телу кватернионов и поэтому в ней существует такой
элемент
с действительными а2 и [32, причем р2 Ф О, что элементы 1;
]> е2> ]е2 составляют каноническую базу подалгебры {/, е^\
Покажем, что подалгебра {I, е2} также изоморфна
телу кватернионов и имеет систему элементов 1, I, е2, 1е%
своей канонической базой. Действительно, из Щ = {е2} сле-
следовало бы, ввиду A3) и A2), что ех^{а, Ь}, откуда и
е0 е {а, Ь)у что невозможно. Этим доказано первое утвер-
утверждение. Так как, далее, уже известно, что
то для доказательства второго утверждения достаточно, как
мы знаем из У.8.4, установить справедливость равенства
= 0.
Учитывая, однако, что имеют место равенства
I] +у7 = 0, 1ех -\- ех1 = 0,
мы получаем
1е2 + е21 = I (а2; + $2ех) + (а2; + р2^) / =
= <*2 (у +70 + р2 Aег + ^0 = 0.
7. Как и выше, подалгебра {к, е2} изоморфна телу ква-
кватернионов и обладает канонической базой 1, к, е, ке, где
г = а3й + Рз^2 О4)
с действительными а3 и рз> причем рз Ф 0- Отметим, что
|#, ^2} = |^, ^}. Таким же путем, как в предшествующем
пункте, проверяется, что подалгебры {I, е) и {/, ^} также
изоморфны телу кватернионов и имеют своими каноническими
базами соответственно системы элементов 1, I, е, 1е и 1, у,
8. Система элементов
A5)
линейно независима.
Действительно, если бы она была линейно зависимой, то
в подалгебре {/, ]} = {а, #} существовали бы такие эле-
81 ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 277
менты и, V, причем у^О, что
A6)
Так как подалгебра {^} изоморфна полю комплексных или
действительных чисел, то элемент гг1 содержится в ней и
поэтому в ассоциативной подалгебре {V, е). Отсюда
) е = еу
т. е. из A6) мы получили бы
е = у~1и е {а, Ь}у
что невозможно.
9, Для элементов A5) выполняется таблица умно-
эюения алгебры Кэли (см. У.б.Ю).
Мы знаем, что системы элементов
A, /, ], к), A, и еу 1е)9 A, ;, е, ]ё)9 A, ку е, кё) A7)
являются каноническими базами порождаемых ими подалгебр,
изоморфных алгебре кватернионов. Ввиду этого в указанной
таблице остается проверить - немного мест. Покажем на
нескольких типичных случаях, как это делается.
Так как подалгебра \е-\-1, ]) ассоциативна, то
откуда, используя сказанное выше о системах A7), получаем
—У + Ф) I - ке -'] = — 2/,
т. е.
цеI = ке. A8)
Далее, из равенства
получаем, используя A8), что
Щё) = —ке. A9)
Наконец, из ассоциативности подалгебры {к} 1-\-]е\ выте-
вытекает равенство
[(/ +]е) (I +]е)] к = {1 +]е) [(I +]е) к],
из которого, используя равенства A8), A9) и аналогично
доказываемое равенство
/V) к = —1е,
278 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ V
мы получаем
(]ё) {гё) = к.
Этим путем будет показано, что элементы A5) состав-
составляют базу порождаемой ими подалгебры {а, Ь, с) и что эта
подалгебра изоморфна алгебре Кэли.
Условимся базу подалгебры Кэли, удовлетворяющую
таблице умножения из У.б.Ю, называть канонической.
10, Предположим, наконец, что алгебра /? содержит как
подалгебру, изоморфную алгебре Кэли и имеющую своей
канонической базой систему элементов
*■ у 1>у /у /V, Су ьС у }Су НСу
так и некоторый элемент, лежащий вне этой подалгебры.
Тогда, обобщая рассмотрения, проведенные в предшествую-
предшествующих пунктах, мы нашли бы в алгебре /? такой элемент /,
что каждая из следующих систем элементов порождала бы
подалгебру, изоморфную алгебре Кэли, и служила бы для
нее канонической базой:
1, и и к>
1, и е, 1е, /, I/, е/, (и?)/;
1, ]е, и ке, /, (/е)/, I/, (ке)/.
Соответствующие построения весьма громоздки, но не пред-
представляют принципиальных трудностей и поэтому могут быть
предоставлены читателю. •
Из каноничности указанных баз вытекают следующие
равенства:
р2 — 1 // /Л2 — 1
Используя эти равенства, мы из равенства
О/) 1(е +1/) (е +1/)} = ЮЛ (* + V)] (е
справедливого ввиду альтернативности алгебры /?, получаем
-2 ил=[- (м/+ к\ (е+т=-2 ил+
т. е. ке = 0, что невозможно.
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 279
Полученное противоречие заканчивает доказательство
обобщенной теоремы Фробениуса.
■к Всякое альтернативное тело или ассоциативно, или же,
рассматриваемое как алгебра над своим центром (см. У.6.2),
конечномерно, а именно, имеет размерность 8 и является так
называемой алгеброй Кэли — Диксона, т. е. некоторым обоб-
обобщением алгебры Кэли на случай произвольного основного
поля [Л. А. Скорняков, Укр. мат. журнал 2:1 A950),
70 — 85; Брак и К л е й н ф и л д, Ргос. Атег. Ма1Ь. 5ос. 2
A951), 878—890]. х
11. Теорема Фробениуса не может быть обобщена на слу-
случай неальтернативных алгебр, так как существует, например,
весьма много различных конечномерных действительных
алгебр с ассоциативными степенями, являющихся алгебрами
с однозначным делением.
х Размерность конечномерной действительной алгебры
без делителей нуля может принимать лишь значения п—\,
2, 4 или 8 [Ми л нор, Ви11. Атег. МаШ. 5ос. 64 A958),
87—89].*
12. Рассуждения, параллельные тем, которые использо-
использованы в У.8.3, немедленно приводят к следующей теореме:
Единственной конечномерной алгеброй с ассоциатив-
ассоциативными степенями над полем комплексных чисел, обладаю-
обладающей единицей, но не содержащей делителей нуля, явля-
является само поле комплексных чисел.
§ 9. Теорема Биркгофа — Витта о лиевых алгебрах
1. В II.2.3 доказано, что, заменяя в ассоциативном кольце
^ операцию умножения аЬ операцией коммутирования
а°Ь = аЬ — Ьа,
мы получаем лиево кольцо /„ (/?).
Если кольцо К является ^-операторным (см. УЛ. 7),
то и кольцо Ь(Н) будет ^-операторным.
Так как указанные кольца имеют одну и ту же аддитив-
аддитивную группу, то нужно проверить лишь справедливость усло-
условия (И) из У.1.7. Если а, Ь <= К, а е 2, то
= (аЬ — Ьа)а = {аЬ) а — (Ьа) а =
~ (аа) Ь — Ь (аа) = (аа) ° Ь.
280 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
Так же проверяется и равенство
(а о Ь) а = а
В частности, ^суш /? является алгеброй над полем Рг
то и Ь (/?) будет алгеброй над этим же полем.
2, Для случая алгебр некоторым обращением результата
из П.2.3 служит следующая теорема [Б и р к г о ф, Апп. о!
Ма1п. 38 A937), 526—532; Витт, Л. геше ипс! ап^еш. Ма1п.
177 A937), 152—160]:
Для всякой лиевой алгебры Ь над любым полем Р
существует такая ассоциативная алгебра Я над этим
же полем, что алгебра Ь изоморфно вкладывается в
алгебру Ь (/?).
Доказательство. Выбираем базу алгебры Ь над
полем Р. Считая эту базу, в соответствии с теоремой Цер-
мело (см. 1.6.3), вполне упорядоченной, запишем ее в виде
• • >
(^ 1 ^
Если для записи умножения в алгебре Ь будет употребляться
символ X, то
еа X е$ =
V
ясно, что при данных аир лишь конечное число коэффици-
коэффициентов су„ может быть отлично от нуля.
Будем называть словом всякую упорядоченную конечную
систему элементов из базы A), не обязательно различных.
Если дано слово
C)
длины к, к^ 1, — элементы, составляющие это слово, мы
записываем друг за другом, не разделяя запятыми,— то, как
обычно, назовем инверсией в этом слове всякую пару еа.у
еа. входящих в него элементов, для которой /</, но
а/^хзЬу- в смысле упорядоченности базы A).
Будем рассматривать, далее, суммы слов, т. е. конечные
неупорядоченные системы слов, не обязательно различных,
взятых с некоторыми отличными от нуля коэффициентами
из поля Р. В записи сумм слов мы будем формально соеди-
соединять слова знаком -{-.
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 281
Наибольшую длину слов, входящих в данную сумму
слов 5, назовем степенью этой суммы. Если п — степень
суммы слов 5, то обозначим через /,-, 1 = п, п— 1, ..., 2,
общее число инверсий в словах длины I, входящих в 5; если
же в 5 слова длины / не входят совсем, то положим 1( = 0.
Ясно, что /х можно не рассматривать. Символ
D)
называется высотой суммы слов 5.
3. Считая п фиксированным, введем в множество высот
вида D), т. е. степени п, лексикографическую упорядочен-
упорядоченность: если
то будем считать сг<<сг', если есть такое I, что 1{<С1'и но
(При 1<ПIП=ГП, ..., /,-+1 =/;+!.
Лексикографическая упорядоченность высот степени п
делает множество этих высот вполне упорядоченным.
Очевидно, что это будет линейная упорядоченность. Рас-
Рассмотрим строго убывающую последовательность высот
(?1 > СГ2 > . . . > СГ* > . . . , E)
где
®к — (А/г> 4, п-Ъ • • • » 4г)> к=\, 2 ...
Ясно, что
и поэтому существует такое кь что
Отсюда следует, что
41? м — 1 =^ ^1 + 1, « — 1 ^ • • • >
и поэтому существует такое ^2> ^2 ^ ^1> чт0
/ /
ск2, п — \ — ск2 + 1. л — 1 —
Продолжая далее для я —2, ..., 2, мы докажем, что после-
последовательность E) обрывается.
4. Пусть в сумму слов 5 входит с коэффициентом
слово Х0 = хм1е$еа<№2у где Р>а в смысле упорядоченности
базы A), <&)ь Х02 — некоторые слова, из которых одно или
282 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. V
оба могут отсутствовать. Назовем редукцией суммы слов 5
замену в 5 слагаемого ахм суммой слов
аще^^щ + ^ (ас^) ще^щ. I
у I
Редукция не меняет, очевидно, степень суммы слов 5, на
понижает ее высоту. I
Отсюда следует, ввиду полной упорядоченности множен
ства высот, что всякую сумму слов 5 можно превратить по|
следовательными редукциями в сумму слов высоты @, 0,..., Щ
т. е. в сумму слов без инверсий или, как мы будем говорит^
нормальных слов, В полученной сумме слов мы соверши^
затем приведение подобных членов, что может уменьшить,
конечно, степень этой суммы, но не нарушит ее свойства
быть суммой нормальных слов, и этим приведем сумму слов $
к нормальному виду.
5. Лемма. Всякая сумма слов приводится к одному
единственному нормальному виду, не зависящему от вы-
выполняемой последовательности редукций.
Утверждение леммы выполняется для сумм высоты
(О, 0, ..., 0), так как в этом случае совершается лишь при-
приведение подобных членов. Это позволяет вести доказатель-
доказательство индукцией по вполне упорядоченному множеству высот.
Пусть сумма слов 5 двумя последовательностями редук-
редукций приводится соответственно к нормальным видам $х и $2.
Если обе цепочки редукций начинаются с одной и той же
редукции, переводящей 5 в 5', то, так как высота суммы 5'
меньше высоты суммы 5, можно применить индуктивное пред-
положение и поэтому 51 = $2.
Пусть, с другой стороны, начальные редукции обоих
цепочек редукций относились к различным словам суммы 5,
причем они переводили 5 соответственно в 5' и з". В сумме 5'
можно выполнить начальную редукцию второй цепочки ре-
редукций, после чего придем к некоторой сумме слов $'";
эту же сумму слов $'" мы получим, выполняя в $" началь-
начальную редукцию первой цепочки. Приводя $'" некоторым спо-
способом к нормальному виду $3 и учитывая, что высоты сумм 5
и $" меньше высоты суммы 5, мы получим, что $1 = $3> $2 = $з>
т. е. $1 = 52»
Эти же рассуждения применимы и к тому случаю, когда
начальные редукции обеих цепочек редукций относятся к ука-
$ 91 ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 283
занным двум местам слова
Р б (б)
коэффициент которого мы опускаем; слово щ может, конечно,
и отсутствовать. В этом случае, однако, для перехода от
сумм 5' и 5" к одной и той же сумме $'" необходимо вы-
выполнить начальную редукцию второй (первой) цепочки во всех
тех словах суммы / (суммы з"), которые появились вместо
слова (б).
6. Остается рассмотреть случай, когда начальные редук-
редукции обеих цепочек редукций относятся к указанным двум
местам слова
V > Р > а. G)
Пусть, как и выше, 5' и з" будут суммы слов, полученные
после этих начальных редукций. Если начальная редукция
первой цепочки относилась к месту (у, Р), то в слове той же
длины, появившемся вместо слова G) после этой редукции,
можно выполнить еще редукцию на месте (у, а), а затем и
на месте ф, а). В результате от суммы 5' мы придем к сумме $",
которая будет отличаться от исходной суммы 5 тем, что вместо
слова G) стоит сумма
б
1у (8)
б б
Аналогично от суммы з" можно перейти несколькими редук-
редукциями к сумме 5з", отличающейся от суммы 5 тем, что слово
G) заменено суммой
+ 2 С
б
з (9)
б б
7. Сравним суммы (8) и (9). В них входят соответственно
слагаемые
^^Щ и Су^еаеьЩ. A0)
Если 6 = а, то слагаемые A0) совпадают. Если б>а, то
в первом из этих слагаемых возможна редукция, переводя-
переводящая его во второе слагаемое, к которому прибавлена сумма
284 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ |Г/1
' Если же а > б, то редукция во втором
слагаемых A0) переводит его в сумму первого слагаемого а
суммы ^]су$Сабщевщ. 1
е •
Аналогичные рассмотрения применимы и к другим ела-*
гаемым сумм (8) и (9). Отсюда следует, что эти суммь*
после соответствующих редукций могут быть превращен^
в такие суммы — обозначим их через (8') и (9'), —которые
отличаются друг от друга лишь словами вида Х01еехц}2- Легко!
видеть, однако, что сумма коэффициентов при данном слове
в сумме (8') равна
с + 2 сс + 2 сс A О
б>а 6<Э б>7
а в сумме (9')—.
Л ^ 2 е A2)
6<а
Эти две суммы коэффициентов равны между собой. Дей-1
ствительно, применяя к справедливому в алгебре I равенству!
(еу X ер) X еа + (е$ X еа) X еу + (еа X еу) X
таблицу умножения B) и приравнивая нулю коэффициент!
1
!
при ее, мы получим равенство |
б е I б е | б е \ л
^^а + ^ра^бт + ^ат^бр ) = 0.
б
Отсюда следует равенство нулю разности сумм A1) и A2),
если учесть, что для любых а, Р и б из
1
■1
^<х X 6 а = <?д X б?а I
%
следует равенство |
б б / 1 о у||
а из |
е у р - О Я
— равенство |
Теперь можно утверждать, что существуют цепочки ре-|
дукций, приводящие суммы слов ь\ и я^ к одному и тому же|
§ 9] ТЕОРЕМА БИРКГОФА - ВИТТА О ЛИЕВЫХ АЛГЕБРАХ 285
нормальному виду % Дальнейшие рассмотрения идут так же,
как в предшествующих случаях. Доказательство леммы за-
закончено.
8. Построим теперь над полем Р алгебру /?, базой кото-
которой служит множество всех нормальных слов (см. V. 9.4).
Произведением нормальных слов хюх и хюг будем считать тот
нормальный вид, к которому приводится слово хюхЩ. Ввиду
леммы это произведение однозначно и ассоциативно.
Перейдем от полученной ассоциативной алгебры /? к со-
соответствующей лиевой алгебре I (/?), обозначая умножение
в последней символом ° . Найдем ее подалгебру, порожден-
порожденную всеми элементами еа, которые, будучи нормальными сло-
словами, входят в базу алгебр /? и I (/?). Для этого покажем,
что при любых а и Р
Действительно, если а = |3, то
еа • еа = 0 = еа X еа.
Если а>р, то, ввиду B),
V
У
Если же а<Ср? то, ввиду A3),
еа о е$ = еае$ —
1 г«
У
Таким образом, в алгебре I (Я) мы нашли подалгебру, изо-
изоморфную алгебре I. Теорема Биркгофа —Витта доказана.
* Если I — конечномерная лиева алгебра над полем без
характеристики (см. III. 2.11), то существует такая конечно-
конечномерная ассоциативная алгебра /? над этим же полем, что I
изоморфно вкладывается в 1{Я) [И. Д. А до, Изв. Каз.
физ.-мат. о-ва 7 A934—1935), 1—43; см. также И. Д. А до,
Успехи мат. наук 2:6A947), 159—173; X а р и ш-Ч а н д р а,
Апп. о! МаШ. 50 A949), 68—76].
Теорема, аналогичная теореме Биркгофа —Витта, спра-
справедлива для лиевых колец без операторов [Л а з а р, С. К., Рапз
286 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ ГГЛ V
234:8 A952), 788 — 791]. На лиевы кольца с произвольной
областью операторов эта теорема не может быть распро-
распространена [А. И. Ширшов, Уепехи мат. наук 8:5 A953),
173 — 175].*
§ 10. Дифференцирования. Дифференциальные кольца
1. В V. 1.7, вводя понятие операторного кольца, мы ис-
использовали не эндоморфизмы кольца Я т. е. не такие эндо-
эндоморфизмы ф аддитивной группы этого кольца, которые удо-
удовлетворяют условию
(аЬ) ф = аф • #ф, а, Ь^Я
а те эндоморфизмы ф аддитивной группы, которые переста-
перестановочны со всеми правыми и левыми умножениями, т. е.
удовлетворяют условию
= а(Ьц>), а,
Выбор именно этих преобразований можно, конечно,
оправдать историческими соображениями. Однако во многих
вопросах существенно используются и такие эндоморфизмы б
аддитивной группы кольца Я для которых выполняется
условие
(аЬ) б = (аб) Ь + а (йб), а, Ь<=Я A)
Это условие аналогично правилу дифференцирования произ-
произведения, а так как б, как эндоморфизм аддитивной группы
кольца Я удовлетворяет и условию
а, Ь<=Я B)
аналогичному правилу дифференцирования суммы, то б назы-
называется дифференцированием кольца /?.
Если кольцо /? операторное, в частности алгебра над
некоторым полем, то в определении дифференцирования есте-
естественно предполагать, что б — операторный эндоморфизм
аддитивной группы. Иными словами, б должно удовлетворять
помимо условий A) и B) также условию
(аа)б — (яб)а, C)
где а^Я а — произвольный оператор.
Нулевой эндоморфизм любого кольца /? (см. III. 3.7)
является, очевидно, его дифференцированием. Примером не-
'*§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 287
тривиального дифференцирования служит обычное дифферен-
дифференцирование в кольце многочленов Р [х] от одного неизвест-
неизвестного над полем Р.
2. Если О —произвольная абелева группа, то ее кольцо
эндоморфизмов (III. 3.8) ассоциативно. Заменяя в этом кольце
операцию умножения операцией
мы получаем, по II. 2.3, лиево кольцо, которое назовем лие-
лиевым кольцом эндоморфизмов абелевой группы О.
У , Совокупность дифференцирований произвольного коль-
кольца Я является подкольцом в лиевом кольце эндоморфиз-
эндоморфизмов аддитивной группы кольца Я.
В самом деле, если бх и б2— дифференцирования кольца Я,
то эндоморфизм аддитивной группы бх + бг также будет диф-
дифференцированием, так как для любых а,
(аЪ) (бх + б2) = (аЬ) бх + (аЬ) б2 = (а&1)Ь + а (Ь&Д + (аб2)
аб2) Ь + а
Выше уже отмечено, далее, что нулевой эндоморфизм
является дифференцированием. Эндоморфизм — б, противо-
противоположный дифференцированию б, сам будет дифференциро-
дифференцированием, так как для а,
(аЬ) (— 6) = — [(аЬ) б] - — [(аб) Ь + а (йб)] =
= И-6)] * + *[*(-6)].
Наконец, лиево произведение
о б2 = бхб2 —
дифференцирований б1? б2 само будет дифференцированием,
так как для а,
• ',, {пЬ) (бх о 62) = (аЬ) (бхб2 — б^х) = [(аЬ) бх] б2 — [(аЬ) б2] бх =
>х) Ь + а (#бх)] б2 — [(а62) Ь-\-а (#62)] бх =
Ь] б2 + [а {ЬЬ{>\ б2 ~ [(аба) Ь]Ьг - [а (^б2)] 6Х -
== [(а^1) ^г] Ъ + (а^г) (^62) + (а62) (Ь&г) + а [№г) й2] —
\г]Ь-
Теорема доказана.
288 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА МОДУЛИ [ГЛ. у
Заметим, что если /?-— алгебра над полем Р, то и колыю
операторных эндоморфизмов аддитивной группы кольца
будет алгеброй над Р: если ф —такой эндоморфизм,
и ае/?, то следует положить
а (фа) = (аф) а = (аа) ф. D)
Алгеброй над Р будет и лиево кольцо операторных эндо-
эндоморфизмов аддитивной группы кольца /?, так как, ввиду D),
а [(фх о ф2) а] = [а (фхф2 - фаф^] а =
= [^ (Фха)] ф2 - (аф2) (фха) = а [(фха) » ф2]}
т. е.
(ф1 ° ф2)а = (ф1а) ■ ф2
и, аналогично,
о ф2) а — фх о (ф2а).
Наконец, лиево кольцо дифференцирований алгебры
будет подалгеброй этой лиевой алгебры эндоморфизмов,
так как если б —дифференцирование, аЕР, то для а,
(аи) (ба) — [(аи) 6] а = [(аб) й + а (йб)] а - [а (ба)] й + а [й Fа)],
Это замечание переносится, понятно, на случай колец
с произвольной системой операторов.
3. Пусть дано ассоциативное кольцо /?. Если ге/?, то
определим отображение бг, полагая для всех й
г — аг — га. E)
Это отображение будет дифференцированием, так как для
а,
(аЬ) бг = аЬг — гаЬ = аЬг — гаЬ-\- агЬ — агЬ = (абг) Ь-\-а (Ь8Г).
Оно называется внутренним дифференцированием кольца /?,
определяемым элементом г. Ясно, что среди ассоциативных
колец ассоциативно-коммутативные кольца и только они не
имеют внутренних дифференцирований, отличных от нуле-
нулевого эндоморфизма.
$ Ю] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 289
4. Если /? — лиево кольцо и ге/?, то правое умножение
г, т. е. отображение бг, определяемое равенством
а6г = аг, F)
а^Я, является дифференцированием кольца Я- В самом
$Деле, из УЛ.б мы знаем, что с% будет эндоморфизмом ад-
'[. дитивной группы кольца /?. С другой стороны, если а, Ь^Я,
3,хо, используя тождество Якоби и закон антикоммутатив-
антикоммутативности (см. II. 2.2), получаем:
'* (аЬ) Ьг = (аЬ) г = — (#г) а — (га) Ь = (аг) Ь-\-а (Ьг) =
? = (абг) й + а
I Дифференцирование бг называется внутренним диффе-
дифференцированием лиева кольца /?, определяемым элементом г.
^Очевидно, что среди лиевых колец нулевые кольца и только
они не "имеют внутренних дифференцирований, отличных от
Нулевого эндоморфизма со.
! Внутренние дифференцирования составляют идеал
4 в лиевом кольце всех дифференцирований лиева кольца Я,
так как
*;
;»*
бг о б' =
,%де г, $е/?, 6' — произвольное дифференцирование.
ч; Действительно, если ае/?, то
а (бг — б5) ~аг — а8 —
= (аб') г + а (гб') - (аб') г =
Отображение
% является гомоморфизмом лиева кольца Я на лиево кольцо
; его внутренних дифференцирований.
В самом деле, если а, г, 5Е/?, то
а (г -\-8) = аг -}- аз = абг + аЬ8 = а (бг + б5),
= а (г5) = — (Г5) а = Eа) г + (аг) 5 = (аг) 8 — (аз) г =
= а FД — 6А) = а (бг ° б5).
ж * Ядром этого гомоморфизма служит, очевидно, совокупность
1&Ннуляторов кольца /? (см. УЛ.9).
10 А. Г. Курош
^90 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ ГГЛ V
Результаты этого пункта весьма напоминают результаты
из Ш.3.2 о внутренних автоморфизмах групп.
5. Если /? —ассоциативное кольцо, а I — лиево кольцо,
соответствующее ему в смысле II.2.3, то всякое диффе-
дифференцирование б кольца Я будет дифференцированием и
в Ь. Действительно,
(а
= (аб
Обратное, вообще говоря, не имеет места. Однако внут-
внутренние дифференцирования кольца Я будут внутренними
дифференцированиями и в кольце Ь и обратно. В самом
деле, E) можно переписать в виде
а8г = а с г;
с другой стороны, (б) должно быть записано теперь в виде
адг — а * г
и поэтому
&г = аг — га.
Из результатов этого и предшествующего пунктов вы-
вытекает, что внутренние дифференцирования ассоциатив-
ассоциативного кольца Я составляют идеал в лиевом кольце всех
дифференцирований кольца Я.
Заметим, что все результаты, полученные в этих послед-
последних пунктах, справедливы для колец с произвольной обла-
областью операторов и, в частности, для алгебр.
* Понятие внутреннего дифференцирования может быть
распространено со случая ассоциативных и лиевых колец на
случай произвольных колец, причем так, что внутренние
дифференцирования будут составлять идеал в лиевом кольце
всех дифференцирований [Ш э ф е р, Ви11. Атег. Ма1Ь. 5ос
65 A949), 769-776].*
6. Вполне аналогичным понятию операторного кольца
является понятие дифференциального кольца. Кольцо Я на-
называется дифференциальным кольцом с системой диф-
дифференцирований А, если задано множество А и всякому эле-
элементу б ^ А поставлено в соответствие некоторое диффе-
дифференцирование кольца /?; при этом не предполагается, что
§ Ю] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КОЛЬЦА 291
различным элементам из А должны соответствовать различ-
различные дифференцирования. Отметим, не давая точных форму-
формулировок, что можно было бы считать А лиевым кольцом и
определить понятие дифференциального кольца с лиевым
кольцом дифференцирований А.
Если /? — дифференциальное кольцо с системой диффе-
дифференцирований А, то под дифференциальным подкольцом
'(идеалом) кольца К следует понимать такое подкольцо (идеал)
А из Н, что для всех аеД бА
Естественным образом определяются также понятия изомор-
изоморфизма и гомоморфизма дифференциальных колец с одной
и той же системой дифференцирований А.
7. Рассмотрим дифференциальное кольцо /? с одним
дифференцированием б, причем условимся употреблять запись,
привычную из курса математического анализа: если йеК, то
Равенства A) и B) перепишутся теперь в виде
(аЬ)'= а'Ь + аЬ', G)
(а + ЬУ = а' + Ь'9 (8)
откуда, в частности,
0' = 0, (9)
(—а)' = —а\ A0)
Если кольцо /? обладает единицей еу то, по G), для
а' = (ае)' = а'е + ае' = а' -\- ае',
т. е. ае'= 0. Кольцо с единицей не может, однако, обла-
обладать аннулятором, отличным от нуля, и поэтому
е' = 0. A1)
Пусть /? — поле, а, Ь^К, афО и с — решение уравне-
уравнения ах = Ь. Тогда
Ь' = (ас)' = а'с + ас',
Откуда
с' = а- 1Ь' - а-Ч'с = а~2 (аЬ' - а'Ь). A2)
10*
292 ОПЕРАТОРНЫЕ ГРУППЫ И КОЛЬЦА. МОДУЛИ [ГЛ.
8, Элемент а кольца /? называется константой отнс
сительно рассматриваемого дифференцирования, если
а' = 0.
Из G) —A1) следует, что константы составляют в
подкольцо, содержащее единицу, если Н — кольцо с едини-
единицей. Таким образом, в кольце целых чисел нет никаких
дифференцирований, отличных от нулевого эндоморфизма.!
Это же справедливо для поля рациональных чисел, так как,
ввиду A2), в поле константы составляют подполе.
9. Пусть /?--ассоциативно-коммутативное дифферен-
дифференциальное кольцо с одним дифференцированием. Рассмотрим \
кольцо многочленов . I
/\ == /\ [X, X , X у . . .,
над кольцом /? от счетного множества неизвестных (см. \
11.2.7). Полагая *
<>'<ч /1=1,2,..., ;
можно, опираясь на G) и (8) и используя однозначность
записи элемента из К в виде многочлена, распространить ]
— *
дифференцирование, заданное в /?, на все кольцо /?. Про- !
верка того, что при этом будут выполнены все требования, |
входящие в определение дифференцирования, предоставляется.]
читателю. :
г
В полученном дифференциальном кольце /? дифферен-:
циальное подкольцо, порожденное подкольцом /? и элемен-1
том х, совпадает со всем /?. По этой причине кольцо /?, ?
рассматриваемое с введенным нами дифференцированием, у
называется кольцом дифференциальных многочленов над <|
кольцом /? от одного неизвестного х.
Эта конструкция без труда переносится на случай несколь-1
ких неизвестных, а также нескольких дифференцирований.
•х Кольцо /? не содержит никаких констант, отличных^
от констант кольца /?. В частности, если кольцо /? рас-
рассматривалось с нулевым дифференцированием, то Н. и будет ]
служить подкольцом констант кольца /?. -^
ГЛАВА ШЕСТАЯ
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
И КОЛЬЦА. НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА
§ 1. Упорядоченные группы
1, Как правило, те основные алгебраические образования,
с которыми обычно приходится иметь дело математикам, не
являются группами, кольцами или полями в чистом виде.
Уже рассмотренные нами операторные группы и кольца и
дифференциальные кольца представляют собою некоторое
приближение к тем конкретным алгебраическим системам,
какие встречаются в неалгебраических исследованиях. В на-
настоящей главе мы пойдем другими путями, но в этом же
направлении. Начнем с рассмотрения упорядоченных образо-
образований.
Аддитивные группы целых чисел, рациональных чисел и
действительных чисел одновременно являются и группами, и
линейно упорядоченными множествами (см. 1.4.1). Аддитив-
Аддитивная группа действительных функций действительного пере-
переменного х} определенных для всех значений х> превра-
превращается в частично упорядоченное множество, если поло-
положить, что /^^ тогда и только тогда, когда /(х)^§(х)
Для всех значений х.
Во всех этих группах упорядоченность и групповая опе-
операция связаны следующим образом: неравенство между эле-
элементами группы не нарушается, если к обеим его частям
пРибавить один и тот же элемент. Это приводит к следую-
следующему определению, причем мы перейдем к мультипликатив-
Н°Й записи:
Группоид О называется линейно упорядоченным (соответ-
Сгйенно частично упор ядоченным), если для его элементов
3аДана линейная (соответственно частичная) упорядоченность,
294 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. V!
причем из а^Ь следует ах^Ьх и ха^хЬ для всех
Из этого определения вытекает, что если для элементов
а, Ь, с, а1 частично (в частности, линейно) упорядоченного
группоида О имеют место неравенства
то
ас^Ьй. A)
Очевидно, что если А — подгруппоид группоида О, то
частичная упорядоченность группоида О индуцирует частич-
частичную упорядоченность в А
Частично упорядоченные группоиды О и О' называются
изоморфными, если существует взаимно однозначное отобра-
отображение О на О', являющееся изоморфизмом и в смысле ал-
алгебраической операции и в смысле частичной упорядочен-
упорядоченности (см. II. 4.1 и 1.4.3). Всякий группоид можно считать
частично упорядоченным, рассматривая его тривиальную
частичную упорядоченность (см. 1.4.1).
2, Назовем монотонным преобразованием частично
упорядоченного множества М такое отображение ф мно-
множества М в себя, что из а^Ь всегда следует аср ^#ср.
Произведение монотонных преобразований само будет моно-
монотонным, т. е. эти преобразования составляют подполугруппу
в симметрической полугруппе на множестве М (см. II. 1.8),
причем подполугруппу с единицей, так как тождественное
преобразование монотонно.
Если ф, 1|э — монотонные преобразования множества М>
то положим ф^г|), если •Гф^.гф для всех хеЖ Этим
полугруппа монотонных преобразований частично упорядо-
упорядочивается: если % — любое монотонное преобразование, то из
следует х (ф%) ^ х (я|)%) для всех х (= Му т. е.
с Другой стороны, из (х%) ф ^ (х%) \р для всех
следует х (%ф) ^ х (хф), т. е. ХФ^Х'Ф-
Справедлива следующая теорема Кришнана [ВиП-
5ос. Ма1Ь. Рг. 78 A950), 235-263]:
Всякая частично упорядоченная полугруппа О с еди-
единицей изоморфно вкладывается в частично упорядочен-
упорядоченную полугруппу монотонных преобразований самого
частично упорядоченного множества О.
§ 1] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 295
Действительно, поставим в соответствие всякому эле-
элементу а^О преобразование фа, полагая для всех хе
= ха.
Так как из х ^у следует ха ^уа, то преобразование фа
монотонно. С другой стороны, из II. 4.6 мы знаем, что
благодаря наличию в О единицы отображение а -> фа, а е О,
является изоморфным отображением полугруппы О в сим-
симметрическую полугруппу на О, т. е., следовательно, в полу-
полугруппу монотонных преобразований множества О. Наконец,
если а^Ьу то для всех х будет ха ^ хЬ, т. е. сра ^ ф6;
обратно, из фд^Фг, следует, в частности, 1 • а ^ 1 • Ь, т. е.
а^Ь. Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что всякая частично упоря-
упорядоченная группа О изоморфно вкладывается в частично
упорядоченную группу монотонных подстановок самого
частично упорядоченного множества О.
3. Элемент а частично упорядоченной группы О назы-
называется положительным, если а ^ 1 (или, при аддитивной
записи, если а^О), и отрицательным, если а^1. В ли-
линейно упорядоченной группе всякий элемент или положите-
положителен или отрицателен.
Из A) следует, что произведение положительных эле-
элементов частично упорядоченной группы О положительно,
т. е. положительные элементы составляют в О подполу-
подполугруппу, которую мы назовем полугруппой положительных
элементов частично упорядоченной группы О. Впрочем, и
отрицательные элементы составляют подполугруппу.
Частичная упорядоченность группы О полностью
определяется заданием полугруппы положительных эле-
элементов, так как а^Ь тогда и только тогда, когда 1 ^Ьа'1.
}' Подполугруппа Р группы О тогда и только тогда
'ФЛужит полугруппой положительных элементов при не-
некоторой частичной упорядоченности группы О, если вы-
выполняются следующие условия:
1) 1 6= Р;
2) если а е Р и а 1 е Р, то а = 1;
,г 3) если а е Р, х е О, то х~гах е Р.
/* Действительно, если Р —полугруппа положительных
Элементов частично упорядоченной группы О, то 1) 1
296 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI!
■I
2) из а г :>: 1 следует 1 ^ а, а так как дано, что а ^ 1|
то а=1; 3) из а^1 следует х~1ах^х~1х=\.
Обратно, пусть подполугруппа Р группы О обладае;
свойствами 1) —3). Положим а^Ь, если ЪаГ1 ЕР,а поэтом
ввиду 3), и а~гЬ == а фа1) а (^ Р. Это будет частична
упорядоченность группы О:
а^а, так как, по 1), аа = 1 Е Р;
если а^Ь и Ь^а, т. е. Ьа~1 еРи а/?" = (Ьа~1)~1
то, по 2), Ыгг = 1, т. е. Ь = а;
если а <: # и Ь^с, т. е. ^а е Р и с/? е Р,
са'1 = (сЬ'1)фаг1) еР, т. е. а< с\
наконец, если а^Ь, т. е. Ьа е Р, то (^^(ах)
= Ьа'1 ^ Р, т. е. ах^Ьх, и, ввиду 3), (х#) (.га) =*
= х (^а) х'1 е Р, т. е. ха ^ лгй.
При этой частичной упорядоченности положительным
будут элементы из Р и только они, так как а ^ 1 тогд
и только тогда, если а-1~1 = аеР. Теорема доказана.
Подполугруппа Р группы О тогда и только тогд%
определяет линейную упорядоченность этой группы, ее
она удовлетворяет помимо условий 1) — 3) также условия*
4) для любого а еО или а е Р, гшг а е Р. ?
В самом деле, если группа О линейно упорядочена
элемент а не является положительным, то а<^1, откуда!]
следует 1 <С сГ1, т. е. элемент аг1 положителен. Обратно,,)
пусть подполугруппа Р удовлетворяет условиям 1)—4) й
а, Ь^О. Если Ьа~1^.Р, то а^Ь в смысле частичной упо*
рядоченности, определяемой полугруппой Р. Если же ЬаГ1
ф Р, то, по 4), фаГ1)'1 = аЬ'1 е Р, т. е. й ^ а.
■^ Частично упорядоченное множество М называете!
направленным, если для любых а, Ь ^ М существует так
элемент сбД что
а ^ с, Ь ^ с. 1
Можно говорить, следовательно, о направленной групЩ
Частично упорядоченная группа тогда и только тогда буд$1
направленной, если она совпадает с подгруппой, порожден^
ной всеми ее положительными элементами. #
4. В частично упорядоченной группе О из а
дует ап^\ для всех натуральных п. Поэтому, ввиду
ства 2) полугруппы положительных элементов, всякщ
строго положительный элемент а (т. е. такой, что а
1] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 297
должен иметь бесконечный порядок: если ап=\, п
то ап~1 = а~1. Отсюда следует (определения см. в II. 3.4):
Всякая линейно упорядоченная группа является груп-
группой без кручения.
Периодическая группа не допускает никаких частич-
частичных упорядочений, кроме тривиального.
5. Если в группе О заданы два частичных упорядочения,
соответственно с полугруппами положительных элементов Рх
и Р2> то второе частичное упорядочение назовем продолже-
продолжением первого, если Р2 :э Рг> т. е. если из а^Ь в первом
упорядочении всегда следует это же неравенство во втором
упорядочении.
Множество всех подполугрупп группы О, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям 1) —3) из VI. 1.3, частично упорядочено по
включению. Объединение любой цепи из таких подполу-
подполугрупп само будет подполугруппой со свойствами 1)—3),
а поэтому, по теореме Куратовского — Цорна, всякая под-
подполугруппа со свойствами 1)—3) содержится в максималь-
максимальной такой подполугруппе, т. е. всякая частичная упорядо-
упорядоченность группы О продолжается до максимальной (далее
не продолжаемой) частичной упорядоченности.
Если группа О допускает линейные упорядоченности,
то всякая ее линейная упорядоченность максимальна.
Это очевидное утверждение мы дополним одним крите-
критерием того, когда все максимальные упорядоченности группы О
линейны [Ох ни си, Озака МаШ. 1 2 A950), 161 — 164].
6, Начнем с некоторых замечаний о подполугруппах
группы О, обладающих свойствами 1)—3). Если Р — такая
подполугруппа, то множество Р всех элементов /Г1, где
РЕР, также будет, очевидно, подполугруппой со свой-
свойствами 1)—3). Отметим, что
РП^ = 1. B)
так как иначе будет нарушено свойство 2).
Лемма 1. Если Р и С} —подполугруппы группы О,
обладающие свойствами 1)-—3), и
Р П О = 1, C)
*по множество РО. всех элементов группы О, предста-
представим ых в виде рд, р е Р, ц е= <3, само будет подполугруп-
подполугруппой со свойствами 1)—3).
298 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI;
Действительно,
) (РъЧъ) = (Рг * ЯгРгЯ^) (Яг9ъ> = РъЧъ D)
где /?3 еЯ, <7з ^ 0- Этим доказано, что РС} — подполугруппа.!
Далее, 1 = Ые Р0- С другой стороны, если рц = 1^
го /? = <7~1, откуда, ввиду C), следует р = д=\. Из I
будет вытекать поэтому (см. D)), что р3 = ^3=1, т. е.,
так как полугруппы Р и Р обладают свойством 2),
= /72 = 1.
Наконец, для любого хеО
= (х~грх) (х~1дх) = р'ц' е Р^.
Лемма доказана.
Пересечение любой системы подполугрупп группы О,
обладающих свойствами 1)— 3), само будет, очевидно, под-
подполугруппой с этими же свойствами. Отсюда следует, что
если элемент а вообще содержится хотя бы в одной такой
подполугруппе, то существует минимальная подполугруппа
со свойствами 1)—3), содержащая элемент а\ обозначим ее
через Ра.
7, Тогда и только тогда все максимальные упорядо-
упорядоченности группы О линейны, если:
5- Ра существует для всякого а^О.
II. Из Ь, с е Ра> а е О, и Ьф\, с =^ 1, следует, что
Рь (] Р
Доказательство. Если группа О допускает линей-
линейную упорядоченность с полугруппой положительных элемен-
элементов Р, то а е Р или а е- Р~1, а поэтому свойство I выпол-
выполняется.
Пусть теперь всякая частичная упорядоченность группы О
продолжается до линейной. Если Ь, с е Ра, Ьф\, с Ф I,
но Рь П Рс=1> то> п0 лемме 1, Р&Р7* будет подполугруп-
подполугруппой со свойствами 1)—3). Частичная упорядоченность, опре-
определяемая этой подполугруппой, по условию может быть
продолжена до линейной, определяемой подполугруппой
положительных элементов Р. Таким образом,
Р,
§ 1] УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ 299
а поэтому с е Р. Мы приходим к противоречию с тем,
чю или а е- Р, т. е. Ра^ Ру и поэтому Ра [} Р'1 — 1, или
же а Е Р, т. е. Ра^Р'1, и тогда Ра (] Р=1. Этим
доказано, что выполняется и свойство П.
Предположим теперь, что группа О обладает свойствами 1
и II и что в О взяты элемент а и подполугруппа Р со
свойствами 1)— 3).
Лемма 2. Если Р [) Раф 1, то Р П ^а1 = 1.
В самом деле, пусть х е Р П ^а» -^^1 й вместе с тем
)/еРA Ра\ 3/ =^= 1. Тогда х е Ра-ь ^ е Р? = Ра-1, а по-
поэтому, по II,
/V* П ^
Однако х е Р, _у еР, т. е. Р*-х ^ Р, Ру<=: Р, а по-
поэтому Р [] Р^=1, что противоречит B). Лемма доказана.
Для окончания доказательства теоремы возьмем в группе О
любую подполугруппу Р, определяющую максимальную
упорядоченность. Если эта упорядоченность еще не линей-
линейная, то условие 4) из VI. 1.3 не выполняется, т. е. сущест-
существует такой элемент йеО, что а фР и сГ1 ф Р. В силу
условия I подполугруппа Ра существует, причем, ввиду
леммы 2, можно считать (заменяя, если нужно, а на от1),
что Р{]Р~^—\, Поэтому, по лемме 1, произведение РРа
будет подполугруппой со свойствами 1) —3), притом строго
большей чем Р, что противоречит, однако, выбору подполу-
подполугруппы Р. Теорема доказана.
8. Из доказанного критерия вытекает следующая тео-
теорема Е. П. Шимбиревой [Мат. сб. 20 A947), 145 — 178]:
Все максимальные упорядоченности абелевой группы
без кручения линейны.
В самом деле, если а — отличный от 1 элемент абелевой
группы без кручения О, то подполугруппа Ра состоит из
всех степеней ап, # = 0, 1, 2, ... Так как, кроме того,
всегда Р1=1, то условие I выполняется. Выполняется и
Условие II, так как если Ь = ак, с = а1, к^1, /^ 1, то
аы ф 1 и ак1 еР^П Рс.
Частным случаем этой теоремы является теорема Леви
. Ра1егто 35 A913), 225-236]:
Всякая абелева группа без кручения может быть
линейно упорядочена.
300 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
■х Существуют, притом в различных формах, необходимые
и достаточные условия для того, чтобы группу можно было
линейно упорядочить [И в а с а в а, 3. Ма1п. 5ос. Лар. 1 A948),
1 — 9; А. И. Мальцев, Изв. АН СССР, серия матем. 13
A949), 473-482; В. Д. Поддерюгин, Изв. АН СССР,
серия матем. 21 A957), 199 — 208]. *
§ 2. Упорядоченные кольца
1. Все упорядоченные группы, перечисленные во втором
абзаце VI. 1.1, являются аддитивными группами некоторых
колец или полей. Эти примеры упорядоченных колец (полей)
подсказывают следующее определение, которое можно было
бы сформулировать сразу для любой группы с мультиопе-
раторами (см. III.2.1):
Кольцо /^ называется линейно (частично) упорядочен-
упорядоченным, если линейно (частично) упорядочена его аддитивная
группа (см. VI. 1.1), и поэтому, по VI. 1.3, можно говорить
о положительных элементах, и если, сверх того, произведе-
произведение положительных элементов положительно, т. е. из а ^ 0,
Ъ ^ 0 следует аЬ ^ 0.
Из этого определения следует, что тривиальная частич-
частичная упорядоченность аддитивной группы любого кольца
будет (тривиальной же) частичной упорядоченностью самого
кольца.
Требование о произведении положительных элементов,
входящее в наше определение, равносильно, очевидно, тому,
что если а ^ Ь и с ^ 0, то ас^Ьс и са^сЬ. Отметим,
далее, что так как из а^0 следует — а^ 0 — достаточно
прибавить — а к обеим частям первого неравенства, — и,
обратно, из а ^ 0 следует — а ^ 0, то справедливо сле-
следующее правило знаков:
если а ^ 0, Ь ^ 0, то а^О и^<0;
если а ^ 0, Ь ^ 0, то аЬ ^ 0.
Отсюда следует, что было бы невозможно определить
упорядоченное кольцо как кольцо, в котором задана такая
упорядоченность, по которой и аддитивная группа, и мульти-
мультипликативный группоид этого кольца являются упорядочен-
упорядоченными в смысле VI. 1.1.
Отметим, что в случае колец без делителей нуля условие
о произведении положительных элементов, входящее в олре-
$ 2] УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 301
Деление упорядоченного кольца, можно изложить в следую-
следующей редакции: произведение строго положительных элементов
строго положительно, т. е. из а>0, Ь^>0 следует аЬ*>0.
Это равносильно тому, что если а<^Ъ и с>0, то ас <С.Ьс
и са<^сЬ.
Укажем, наконец, что изоморфизм упорядоченных колец
определяется по существу так же, как в VI. 1.1 для упо-
упорядоченных группоидов.
2. Ввиду VI.1.3 любая частичная упорядоченность
кольца /? определяется аддитивной полугруппой поло-
положительных элементов Р: а^Ь тогда и только тогда, если
Ь — а^Р. Из VI.1.3 и определения упорядоченного кольца
следует:
Подполугруппа Р аддитивной группы кольца Н тогда
и только тогда служит полугруппой положительных
элементов при некоторой частичной упорядоченности
этого кольца, если выполняются следующие условия:
Г) ОеР;
2 ) если а е Р и — а е Р, то а = 0;
3') если а е Р и Ъ е Р, то аЬ^ Р.
Частичная упорядоченность кольца Н, определяемая
аддитивной полугруппой Р со свойствами Г)—3'), тогда
и только тогда будет линейной, если выполняется также
условие:
4') для любого ае/? или а^Р, или —а е Р.
3. Если аь а2, ..., ап — отличные от нуля элементы коль-
кольца /?, то под их произведением будем понимать сейчас вся-
всякое произведение (в неассоциативном случае —с некоторым
распределением скобок), всякий множитель которого явля-
является одним из аь /=1, 2, ..., п> причем каждое а-г может
встречаться в этом произведении несколько раз, в том числе
не встречаться ни одного раза. Произведение элементов
аь а2, ...> ап будет называться четным, если каждое аь
$=1, 2, ..., п, входит в него четное число раз. Наконец,
говоря о сумме произведений некоторых элементов, мы бу-
будем считать, что все эти произведения входят в рассматри-
рассматриваемую сумму со знаком плюс.
Справедлива следующая теорема [см. Й о н с о н, Ргос.
Атег. Ма!п. §ос. 3 A952), 414—416; В. Д. Поддерюгин,
Успехи мат. наук 9:4 A954), 211—216]:
302 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Кольцо Я тогда и только тогда является кольцом
без делителей нуля, допускающим линейную упорядочен-
упорядоченность, если всякая сумма четных произведений его эле-
элементов отлична от нуля.
В самом деле, пусть /? — линейно упорядоченное кольцо
без делителей нуля и пусть дано некоторое четное произве-
произведение его элементов. Это произведение не изменится, если
все входящие в него отрицательные множители будут заме-
заменены противоположными элементами, а поэтому оно равно
произведению строго положительных элементов, т. е., ввиду
отсутствия делителей нуля, само строго положительно. Строго
положительной и поэтому отличной от нуля будет, следова-
следовательно, и всякая сумма четных произведений.
4. Наоборот, если кольцо /? таково, что любая сумма
четных произведений его элементов отлична от нуля, то /?
не может содержать делителей нуля, так как из аЬ — 0,
афО, Ь=фО, следовало бы, что равно нулю четное произ-
произведение (аЬ)(аЬ).
Назовем подмножество (р нашего кольца Я правильным,
если оно удовлетворяет следующим требованиям:
а) 0 ф 0;
б) если а е б, то —афО;,
в) если аь а2> ..., ап е 0, п ^ 0, и хь х2, ..., хк —
отличные от нуля элементы из Я, к^О, причем п-\-к^>0,
а а — некоторая сумма произведений всех этих элементов,
то существует хотя бы одна такая замена элементов х^ эле-
элементами х}, где
х) = Х] или х} = — Хр /=1, 2, ..., к, A)
после которой сумма о будет отлична от нуля.
Лемма 1. Пустое множество является правильным.
В самом деле, пусть сумма о произведений отличных от
нуля элементов хь х2, ..., хк е Н, к^>), остается равной
нулю при любой замене вида A). Если элемент хх входит
в каждый член этой суммы нечетное число раз, то ахг бу-
будет суммой, каждый член которой содержит множитель Хх
уже четное число раз, причем эта сумма снова остается рав-
равной нулю, какая бы замена вида A) ни была выполнена.
Пусть, с другой стороны, некоторые члены суммы а со-
содержат множитель хг четное число раз, а другие — нечетное.
§ 21 УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 303
Обозначим сумму первых через аь сумму вторых—через ог2:
от = аг + ог2.
Таким образом, сумма Сх + а2 равна нулю при любой замене
вида A). Это же верно, следовательно, и для суммы, полу-
получающейся из нее после замены хг на — Хх — эту сумму
можно записать, очевидно, в виде о*! — ог2, —а поэтому и
и для суммы 2ах, каждый член которой содержит множи-
множитель хг уже четное число раз.
Проделывая эти преобразования последовательно для
каждого из элементов хь лг2, ..., Х&, мы придем, наконец,
к равной нулю сумме четных произведений этих элементов,
что противоречит, однако, нашим предположениям. Лемма
доказана.
Лемма 2. Если правильное множество B не содер-
содержит ни элемента а, ни элемента — а, где афО, то
хотя бы одно из объединений С}{) а, ($[}(—а) будет пра-
правильным.
Пусть существует, в самом деле, такая сумма ах произ-
произведений некоторых элементов из С}, элемента а и отличных
от нуля элементов
которая равна нулю, какая бы замена вида A) для элемен-
элементов B) ни была выполнена. Пусть, с другой стороны, суще-
существует такая сумма а2 произведений некоторых элементов
из B, элемента а и отличных от нуля элементов
Уь У* • • • > Уь C)
которая остается равной нулю, если элемент а заменяется
на —а, а элементы C) подвергаются любой замене вида A).
Тогда ага2 будет такой суммой произведений некоторых
элементов из 0 и элементов
п, Ху х2, ..., х%, Уъ> у%, ..,, у [у D)
которая равна нулю при всякой замене вида A), применен-
примененной к элементам D). Это противоречит, однако, правильно-
правильности множества 0. Лемма доказана.
5. Объединение всякой цепи правильных подмножеств на-
нашего кольца /? будет, очевидно, правильным. Поэтому, по тео-
теореме Куратовского — Цорна, в /? существуют максимальные
304 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
правильные подмножества. Пусть C — одно из них. В силу
леммы 2 для всякого а е /?, а ф 0, или а, или —а принад-
принадлежит к Р.
Если а, Ъ е С, то и а-\-Ь е <3. Действительно, а + ^ =^= 0
ввиду б) из определения правильного множества. Если бы
множество C содержало элемент с = —(а-\-Ь), то имело бы
место равенство
в противоречие с правильностью множества
Если а, Ь е <3, то и аЬ е <3. Действительно, аЬфО
ввиду а) из определения правильного множества и отсутствия
делителей нуля. Если бы множество C содержало элемент
= — аЬ, то имело бы место равенство
в противоречие с правильностью множества
Отсюда следует, что объединение Р — С}{]0 будет адди-
аддитивной подполугруппой кольца /?, удовлетворяющей всем
условиям 1') —4') из VI. 2.2. Этим теорема VI. 2.3 доказана.
6. Из этой теоремы следует:
Коммутативно-ассоциативное кольцо тогда и только
тогда является областью целостности, допускающей ли"
нейную упорядоченность, если никакая сумма квадратов
его элементов, отличных от нуля, не будет равна нулю.
Отсюда вытекает, что поле комплексных чисел не допу-
допускает линейной упорядоченности: в этом поле имеет место
равенство
■х Поле степенных рядов над упорядоченным полем Р
(см. II. 5.7), а поэтому и поле рациональных дробей над та-
таким полем Р — могут быть линейно упорядочены. -х-
7. Если линейно упорядоченное кольцо /? обладает еди-
единицей, то оно обладает подкольцом, изоморфным кольцу
целых чисел с его обычной упорядоченностью.
В самом деле, единица должна быть строго положитель-
положительной, так как она совпадает со своим квадратом. Строго по-
положительны, следовательно, и все положительные кратные
единицы, которые все различны в силу VI. 1.4.
§ 2] УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОЛЬЦА 305
Отсюда следует, что обычная упорядоченность кольца
целых чисел является его единственной возможной линей-
линейной упорядоченностью.
■к Кольцо целых чисел является единственным линейно
упорядоченным кольцом без делителей нуля и с единицей,
упорядоченное подмножество положительных элементов кото-
которого вполне упорядочено (см. I. 5.4). -х
8. Упорядоченность области целостности Я может
быть распространена, и притом единственным способом,
на ее поле дробей /?.
Предположим сперва, что упорядоченность кольца /? уже
распространена на поле /?. Если -г^>0, то, так как из ЬфО
следует 62>0, мы получаем, что
~ . Ь2 = аЬ > 0.
Обратно, если аЬ^>0 в /?, то, так как F~1J>0, будет
Отсюда уже вытекает единственность возможного распро-
распространения упорядоченности с /? на /?.
Для доказательства существования такого распростране-
распространения положим, что -*Г>0 тогда и только тогда, если а6>0.
Если — = —,- т. е. ай = Ьс (см. II. 5.2), то аЬA2 — Ь2сс1. По-
Ъ а
этому, ввиду (I2 ^> 0, Ь2 > 0, из аЬ^>0 будет следовать
0, т. е. -г > 0; наше определение строгой положитель-
положительности в поле /? является, следовательно, законным.
Если а, Ъ е /?, причем а Ф 0, Ъ Ф 0, то лишь один из
элементов аЬ, (—а)Ъ будет в /? строго положительным,
а (х а
а поэтому или — >> 0, или же — -г = -т- >> 0 (см. II. 5.4),
причем эти случаи исключают друг друга.
Если у>0, -^->0, т. е. ай>0, с^>0, то аЫ2 > 0,
0, откуда
306
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
т. е. (см. II. 5.4)
Ь
При тех же предположениях будет
{ас) ф&) = (аЬ) {ей) > 0,
т. е. (см. II. 5.2)
Этим доказано, что множество Р, состоящее из нуля и
всех строго положительных элементов поля /?, удовлетво-
удовлетворяет всем условиям из VI. 2.2, т. е. определяет в ^ линей-
линейную упорядоченность. Эта упорядоченность является распро-
распространением заданной линейной упорядоченности кольца /?,
так как, по II. 5.2,
аЬ
но из а > 0 следует (аЬ) Ь = аЬ2 >0 и обратно.
Из этой теоремы и VI. 2.7 вытекает, что обычная упо-
упорядоченность пот рациональных чисел является его
единственной возможной линейной упорядоченностью.
Так как аддитивная группа любого линейно упорядочен-
упорядоченного тела К является, по VII.4, группой без кручения, то К
будет телом без характеристики (см. III. 2.11), т. е., ввиду
сказанного выше, всякое линейно упорядоченное тело К
содерэюит в качестве простого подполя поле рациональ-
рациональных чисел с его обычной упорядоченностью.
9. Упорядоченное множество 01 строго положитель-
положительных элементов любого линейно упорядоченного ассоциа-
ассоциативного тела К составляет по умножению линейно упо-
упорядоченную группу.
Действительно, из VI. 2.7 мы знаем, что единица тела К
принадлежит к 0. Далее, если а ^ B, т. е. а > 0, то и
а е 5, так как из а-1<0 следовало бы, по VI. 2.1, что
аа'1 = 1 < 0. Множество B оказывается, следовательно, муль-
мультипликативной группой. Остальные утверждения теоремы сле-
следуют из определения упорядоченности кольца без делителей
нуля (см. VI. 2.1).
$ 6} АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 307
х Всякая линейно упорядоченная группа может быть изо-
изоморфно вложена в линейно упорядоченную мультипликатив-
мультипликативную группу строго положительных элементов некоторого
линейно упорядоченного ассоциативного тела [А. И. Маль-
Мальцев, Докл. АН СССР 60 A948), 1499—1501; Нейман,
Тгапз. Атег. Ма«1. Зое. 66 A949), 202—252]. *
§ 3. Архимедовы группы и кольца
1. Подмножество N частично упорядоченного множества М
называется выпуклым, если оно вместе со всякими своими
сравнимыми элементами а и Ь, а<^Ъ, содержит и все эле-
элементы х множества М, удовлетворяющие неравенствам
а ^ х ^ Ь.
Подгруппа А частично упорядоченной группы О тог-
тогда и только тогда будет выпуклой, если в ней вместе
со всяким положительным элементом а содержатся все
положительные элементы х группы О, удовлетворяющие
неравенству х ^ а.
В самом деле, неравенства а^х^Ь и 1^а~1х^а~1^
равносильны.
Пусть О и О' — частично упорядоченные группы, РиР' —
их полугруппы положительных элементов, ср — отображение О
на О'. Отображение ф мы назовем монотонным гомомор-
гомоморфизмом, если оно является гомоморфизмом в теоретико-
групповом смысле и если, сверх того, Рф = Р'. Этим не ут-
утверждается, конечно, что Р служит для Р' полным прообра-
прообразом—достаточно вспомнить 2) из VI. 1.3.
Ядро А монотонного гомоморфизма ф является вы-
выпуклым нормальным делителем.
Пусть, в самом деле, а ^ А, а^\ и л:еО, 1
Из х'^\ и определения гомоморфизма ф следует
^Г. A)
С другой стороны, так как х'1а^1 и аф=1', то
1' <; (х~~га) ф = (хф) (аф) = (хф). B)
Из A) и B) следует хф=Г, т. е. л
Вели А — выпуклый нормальный делитель частично
Упорядоченной группы О, то фактор-группу О' = О/А
можно так частично упорядочить, что естественное
308
упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл.
гомоморфное отображение О на С будет монотонныц
гомоморфизмом. I
Действительно, если Р — полугруппа положительных эле|
ментов группы О, то обозначим через Р' совокупность смеж|
ных классов по А, содержащих хотя бы по одному элемент^
из Р. Теорема будет доказана, если мы покажем, что Р|
является подполугруппой группы О' и обладает свойствам^
1)—3) из У1Л.З. Требует проверки, впрочем, лишь свой-*:
ство 2), так как остальные утверждения очевидны. '\
Пусть /?еР, т. е. рА е Р', и пусть вместе с тем (рА)'1 ы
= р~хА е Р'. Существует, следовательно, такой элемен^
ро = р~1а, что ро^Ру а е А Поэтому рр0 = а, т. е. а ^ 1^
а так как 1 ^р0, то
Отсюда, ввиду неравенства 1 ^/? и выпуклости А, следует!
т. е. рА = Д что и требовалось доказать.
л
2. Выпуклыми подгруппами любой частично упорядочен*,
ной группы О являются сама группа О и единичная под-|
группа Е. Из определения выпуклой подгруппы следует, что!
пересечение любого множества выпуклых подгрупп и объеди^
нение любой цепи выпуклых подгрупп сами будут выпук>;
лыми. ;
Выпуклые подгруппы линейно упорядоченной группы
составляют цепь по теоретико-множественному ^
чению. ;
Пусть, в самом деле, в группе О взяты выпуклые под-г
группы А и В, причем в В содержится элемент Ь, лежащий]
вне Л; без ограничения общности можно считать, что 6>Ь|
Если бы в А существовал такой элемент а, что Ь <С.а, тол
ввиду выпуклости А, было бы 6еА против предположения.^
Таким образом, все положительные элементы подгруппы \А|
будут меньше Ь, т. е., ввиду выпуклости В, все они принад-»|
лежат к В, а поэтому А а В. Теорема доказана. ,|
Если а — строго положительный элемент линейно упо- \
рядоченной группы О, то множество А, состоящее ив
всех таких элементов х, что \^х^ап при некото**
ром натуральном п, и элементов, им обратных, буде/^1
минимальной выпуклой подгруппой, содержащей элемент а* А
Все указанные элементы действительно должны принад- ^
лежать ко всякой выпуклой подгруппе, содержащей а. Пусть,.!
§ 31 АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 309
далее,
* 1 ^ х ^ак,
при некоторых натуральных к и /. Тогда, по A) из VI. 1.1,
ху ^ а
т. е. хуЕД а поэтому и (х^'^/^еА С другой
стороны, из C) следует
а'1 ^у'1^ 1,
а поэтому
аГ1 ^ ху~1
Таким образом, если 1 <; ху~\ то ху'1 е Л Если же
ху'1 < 1, то
1 < (ху) < а',
т. е. (ху'1)'1 еД а тогда и ху е А Теперь очевидно,
что А является подгруппой, притом содержащей а и выпуклой.
3. Строго положительные элементы а и Ь линейно упо-
упорядоченной группы О называются относящимися к одному
архимедову классу, если они порождают одну и ту же
выпуклую подгруппу группы О. Все строго положительные
элементы распадаются, следовательно, на непересекающиеся
архимедовы классы. Удобно считать также, что элемент 1
составляет отдельный архимедов класс.
Множество архимедовых классов группы О линейно упо-
упорядочивается в соответствии с естественной линейной упоря-
упорядоченностью скачков (т. е. пар соседних подгрупп) в цепи
выпуклых подгрупп группы О.
Линейно упорядоченная группа О называется архимедовой,
если в ней нет выпуклых подгрупп, отличных от О и Е.
Из последней из теорем Л/1.3.2 следует:
Линейно упорядоченная группа О тогда и только
тогда будет архимедовой, если для любой пары а, Ь ее
строго положительных элементов можно указать такое
натуральное число п = п(а, Ъ), что ап >> Ь.
Примерами архимедовых групп служат подгруппы адди-
аддитивной группы действительных чисел с их естественной
упорядоченностью.
310 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
4. Теорема Гельдера. Всякая архимедова группа ком-
коммутативна и изоморфна некоторой птдгруппе аддитивной
группы действительных чисел с ее естественной упоря-
упорядоченностью.
Пусть архимедова группа О обладает минимальным строго
положительным элементом а. Если Ь — любой строго поло-
положительный элемент из О, то существует такое натуральное
число п> что
ап ^ Ь < ая+1.
Отсюда
1 ^ Ьа'п < а,
а поэтому Ьа~п=\, т. е. Ь = ап. Все строго положительные
элементы группы О исчерпываются, следовательно, степенями
элемента а, а так как, по VI. 1.1,
1 < а < а2 <... < ап <...,
то О оказывается изоморфной аддитивной группе целых
чисел с ее естественной упорядоченностью.
Предположим теперь, что среди строго положительных
элементов архимедовой группы О нет минимального. В этом
случае для всякого а^> 1 существует такое й> 1, что
Действительно, существует такой элемент с> что
откуда \<^с~1а. Если с2^а, то Ь = с. Если же с
то 1> с^ас'1, т. е. а > (с~1аJ и поэтому Ь = с~ха.
Для доказательства коммутативности группы О достаточно
показать перестановочность любой пары ее строго положи-
положительных элементов а, Ъ. Если аЬфЬа, то без ограничения
общности можно положить, что
Как доказано, существует такой элемент а1, что 1<Сс/ и
с12^с. Можно считать при этом, что A<^а и с/<<6, а
поэтому существуют такие натуральные числа к и /, что
Отсюда
§ 3] АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 311
т. е.
а так как, по условию, й2 ^ с, то мы приходим к противо-
противоречию. Коммутативность группы О доказана.
5. Нам удобно перейти теперь к аддитивной записи
операции в группе О. Фиксируем в О некоторый строго
положительный элемент е и поставим в соответствие всякому
элементу аеа класс иа всех таких рациональных чисел —-,
п^>0, для которых
те ^ па. D)
Если — е Vп и — ^~% то и -- е Vт так как из D) и
рп ^ <7т следует
(рп) е ^ (цгп) е ^ {ЦП) а,
откуда
ре ^ ^а.
о т Т1 р т Р тт
В частности, если —^1!п и ~ = — то и — е с/^, т. е.
класс ^7а на самом деле можно считать множеством рацио-
рациональных чисел.
Класс 1]а содержит не все рациональные числа: ввиду
архимедовости группы О существует такое натуральное
число т, что те^>ау а поэтому тф IIа. Класс I]а является,
следовательно, первым классом некоторого сечения в системе
рациональных чисел, т. е. определяет, в силу дедекиндовой
теории действительных чисел, некоторое действительное
число а. Положим
, так как из D) и
6. Если а^Ь,
следует
т. е. иа с {/й.
Докажем, далее,
Действительно, если
то аб ^
те
что
т ,,
п ~ а
Р_
Я
E)
312 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ, VI
т. е.
те ^ па, ре ^ цЬ,
то
(тц + пр) е^щ{а-\- Ь),
откуда
тд + пр _ т р
щ п ^ ц
С другой стороны, таким же путем может быть показано,
что если
ТО И
т р
л -г- —
откуда следует E).
Отображение 0 является, следовательно, монотонным гомо-
гомоморфным отображением группы О на некоторую подгруппу
аддитивной группы действительных чисел. При этом гомо-
гомоморфизме в нуль переходит лишь нуль группы О: если а > О,
то, ввиду архимедовости группы О, существует такое нату-
натуральное число т, что та > е, т. е. — е Vга, а поэтому
> 0. Гомоморфизм 6 будет, следовательно, изоморфизмом,
притом сохраняющим отношение порядка. Теорема доказана.
Отметим, что подгруппа 09 аддитивной группы действи-
действительных чисел, на которую нами изоморфно отображена
аддитивная группа О, содержит число 1, так как еб = 1.
7. Лемма. Если А и В — подгруппы аддитивной группы
действительных чисел с ее естественной упорядоченностью,
а ф~монотонный гомоморфизм А на В, то существует
такое действительное число г, г ^ 0, что для всех а е А
аср = аг. F)
Действительно, если существует такое яеД а>0, что
— 0, то и (яа)ф = 0 для всех натуральных п, т. е.
В = Лф —0. В этом случае г = 0.
Предположим поэтому, что ф является изоморфизмом.
Если аь а2^А, а1^>0, а2>0, то и ахф^>0, а2ф>0. Если
— <С —, то существует такое положительное рациональное
^1 2»
3] АРХИМЕДОВЫ ГРУППЫ И КОЛЬЦА 313
т
число —, что
п •
т
п
Отсюда пах^> та2, т. е. п(ахф)> т (а2ф)> хотя из G) следует
# (а1ф) <Г яг (а2ф)- К такому же противоречию мы придем
и в предположении, что —>—. Таким образом,
Дф #
а тогда
^ а>0.
Действительно, если а' < 0, то
а'ф = — (— а!) ф = —( — а')г = а'г,
т. е. число г удовлетворяет условию F) для всех элементов
из А. Лемма доказана.
Назовем гомоморфизм ф линейно упорядоченной группы О
на линейно упорядоченную группу О' инверсным гомомор-
гомоморфизмом, если из а еО, а ^ 0 следует аср ^ 0. Доказанная
нами лемма справедлива и тогда, если ф — инверсный гомо-
гомоморфизм; в этом случае, однако, г ^ 0.
В самом деле, если ф — инверсный гомоморфизм А на В,
то отображение — ф, где
а (— ф) — — аФ> а ^ А, •
будет монотонным гомоморфизмом. Существует, следова-
следовательно, такое действительное число г, г ^ 0, что
а (— ф) = аг, а е Д
но тогда
#ф == ~ [а (— ф)] = —аг = а( — г), ае А,
где — г ^ 0.
Линейно упорядоченное кольцо /? называется архи-
архимедовым, если его аддитивная группа является архимедовой.
Справедлива следующая теорема [Я. В. X и о н, Успехи мат.
наук 9:4 A954), 237—242; Таллинн, АШ Ассас!.
Ыпсе!, Кепс1. 18 A955), 367—373]:
314
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Всякое архимедово кольцо Я ассоциативно и комму-
коммутативно. Больше того, оно или является нулевым коль-
кольцом на некоторой подгруппе аддитивной группы действи-
действительных чисел, или же изоморфно некоторому подкольцу
поля действительных чисел с его естественной упорядо-
упорядоченностью.
Действительно, на основании теоремы Гельдера (см. У1.3.4)
можно считать, что аддитивная группа кольца Я уже является
подгруппой аддитивной группы действительных чисел. Однако,
умножение в Я не будет, вообще говоря, совпадать с обыч-
обычным умножением действительных чисел и, в отличие от послед-
последнего, мы будем записывать его через а -Ь.
Если а е Я, то преобразование х -> х • а, х е Я, будет
эндоморфизмом аддитивной группы кольца Я, монотонным
при а^О и инверсным при а^О. Поэтому, по VI.3.7,
существует такое действительное число га, что
х • а = хгп, х е /?,
причем из а^О следует га
Так как для всех х е Я
= хга + хгъ = х (га
т. е. га+ь = га -\- гъ, то отображение а->га будет монотон-
монотонным гомоморфизмом аддитивной группы кольца К в адди-
аддитивную группу действительных чисел. Поэтому, по лемме,
существует такое действительное число 5, 5^0, что для
всех й
г а = аз.
Если 5 = 0, то га = 0 для всех а, т. е. Я будет нулевым
кольцом. Если же 5^>0, то отображение а-+га будет
монотонным изоморфизмом аддитивной группы. Вместе с тем из
а»Ь = агъ = а {Ь$) = (аЬ) 8
следует
= [(аЬ) 8}$ = (аз) (Ьз) = г^.
Таким образом, при $;>0 соответствие а->га отображает
кольцо Я монотонно и изоморфно на некоторое подкольцо
поля действительных чисел с его естественной упорядочен-
упорядоченностью. Теорема доказана.
§ 4] НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА 315
§ 4. Нормированные кольца
1. В поле действительных чисел определено понятие
абсолютной величины, в поле комплексных чисел — понятие
модуля. Вспоминая привычные свойства этих понятий и
учитывая, в частности, что и абсолютная величина и модуль
являются неотрицательными действительными числами, а поле
действительных чисел линейно упорядочено, мы приходим
к следующему общему определению:
Пусть \У— линейно упорядоченное кольцо (см. У1.2.1).
Некоторое кольцо Я будет называться нормированным
кольцом со значениями нормы в кольце УР, если всякому
элементу а е Я поставлен в соответствие некоторый элемент
ъу(а)^. №— норма элемента а,— причем выполняются сле-
следующие условия:
1. ^@) = 0; ^(а)>0 при а ф 0;
2. хй) (аЬ) = хй)(а)х& {Ь)\
3. хю{а — Ь)^хм(а) + ш(Ь).
Из 3 и 1 следует, что для всех Ь е Я будет %ю (—Ь) ^ %ю (Ь\
а так как Ь= —( — 6), то
Отсюда вытекает
32. х&)(а-\-Ь)^х&)(а)-\-х&) (Ь).
Помимо полей действительных и комплексных чисел
примерами нормированных тел с действительной нормой
могут служить тело кватернионов и алгебра Кэли.
Именно, в этих телах в качестве нормы элемента а нужно
взять квадратный корень из той нормы /2(а), которая введена
соответственно в У.6.9 и У.6.11. Так определенная норма
будет совпадать с длиною вектора а соответственно в четы-
четырех- и восьмимерном евклидовом пространстве, а поэтому
условие 3 выполняется. Выполнение условия 1 очевидно,
справедливость же условия 2 вытекает из равенств (8) и A5)
§ 6 гл. V.
Всякое линейно упорядоченное кольцо Н можно нор-
мировать со значениями нормы в самом кольце /?.
Действительно, назовем абсолютной величиной \ а \ эле-
элемента а е К положительный из числа элементов а и —а.
Абсолютная величина удовлетворяет требованиям, входящим
в определение нормы. В самом деле, выполнение условия 1
316
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
очевидно. Условие 2 легко следует из правила знаков
(см. У1.2.1):
если а ^ О, Ь ^ 0, то
если а ^ О, Ь ^ О, то
0, то
если а ^ 0,
а
а
а
Ь
Ь
= (— а)Ь = —аЬ =
= ("" а) (— Ъ) = аЬ =
Покажем, что выполняется и условие 3. Если а
то
и а
—- #, а поэтому
= а
+ ь
Если а ^ 0 ^ Ь> то
а — й| =
Если
Если
Если
>, то —
а —
и
а
а
то с __
— (а — Ь) =
— а и
— 6?, а поэтому
— а, а поэтому
а, то
— а) =\а\-\-\Ь
Если, наконец,
а поэтому
Теорема доказана.
то
и
+
2. Во всех примерах, рассмотренных выше, все положи-
положительные элементы кольца 117 служат нормами некоторых
элементов кольца /?. В этом случае мы будем говорить, что
Ш является кольцом значений нормы.
Пусть Я — нормированное кольцо с кольцом значений и?.
Если кольцо Я обладает единицей 1, то го){\) служит
единицей кольца \^. Действительно, если йе^, то
т. е. Х0(\) служит единицей для всех положительных эле-
элементов из N7, а поэтому и для элементов, им противо-
противоположных.
Кольца Я и XV одновременно обладают или не обладают
делителями нуля.
НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА 317
В самом деле, если а, Ь е /?, афО, ЬфО, но аЬ = 0} то
0, но
хю (а) хю{р) — хю (аЬ) == 0.
Обратно, если кольцо УР обладает делителями нуля, то в нем
можно найти такие строго положительные, элементы ос, р,
что оф — 0. Тогда в К существуют такие элементы а, Ь,
что хй>(а) — а, ху(Ь) = $, и поэтому а=^=0, ЬфО. Однако
хю (аЬ) *=хм(а)ш (Ь) = оф *= 0,
откуда аЬ = 0.
Если кольцо /? коммутативно или ассоциативно, то
это же можно утверждать и для кольца Ш.
В самом деле, справедливость закона коммутативности
или ассоциативности для положительных элементов кольца УР
немедленно следует из условия 2 в определении нормирован-
нормированного кольца, все же другие элементы кольца \^ являются
противоположными для положительных элементов.
Из этих же соображений вытекает и следующее утверж-
утверждение:
Если Я является кольцом с делением {или кольцом
с однозначным делением, или телом), то это же верно
и для
3. Если линейно упорядоченное кольцо № обладает
единицей 1, то любое кольцо Я допускает следующее три-
тривиальное нормирование со значениями в №:
@) = 0, ш (а) = 1 для всех ае/?, а Ф 0.
Ясно, что все условия 1—3 из У1.4.1 выполняются. Выпол-
Выполняется даже следующее условие, более сильное, чем условие 3:
3'. %ю{а — &)^тах (%ю(а), Х0
Отсюда, как и раньше, следует
а поэтому
ад (а + Ь) == %ю [а — (— Ь)] <: тах (по (а), %ю (— Щ) =
= тах {хю (а), %ю (Ь)),
т. е.
З2. хю (а + Ь) ^ тах (хм (а), хю ф)).
Нормирование, подчиненное условиям 1, 2 и 3', назы-
называется неархимедовым, в противоположность архимедову
нормированию, при котором условие 3' не выполняется и
^
318 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл.
имеет место лишь условие 3. Перечисленные в VI.4.1 обычные
нормирования полей действительных и комплексных чисел
тела кватернионов и алгебры Кэли являются архимедовыми
Таково же и указанное в VI.4.1 нормирование линейно
упорядоченного кольца.
4. В определении неархимедова нормирования, т.
в аксиомах 1, 2 и 3', используются лишь упорядоченное
и умножение положительных элементов кольца \^. Это опре-
определение можно дословно перенести поэтому на случай,
нормирования кольца К элементами некоторого линейно]
упорядоченного мультипликативного группоида О с нулем,!
т. е. с таким элементом 0, что для всех х е О, 0 ^ х,
х. О = 0 • х = 0.
Именно в таком смысле будут пониматься дальше неархи-
неархимедовы нормирования кольца /?. Мы будем при этом говорить!
о нормировании кольца Н с группоидом значений О, если|
всякий элемент из О служит нормой некоторого элемента из
Пусть в кольце Н задано неархимедово нормирование х&)(а)\
с группоидом значений О. В этом случае имеют место
результаты, аналогичные указанным в VI.4.2 и доказываемые
теми же рассуждениями. Можно отметить, впрочем, что Ц
в рассматриваемом нами случае норма определяет гомоморф-
гомоморфное отображение мультипликативного группоида кольца К
на группоид О.
Если кольцо /? обладает единицей 1, то хю{\) служит
единицей группоида О.
Кольцо Н и группоид О одновременно обладают или
не обладают делителями нуля —смысл понятия делителей
нуля в группоиде с нулем очевиден.
Если кольцо Н ассоциативно, то группоид О будет А
полугруппой. Из коммутативности кольца /? следует |
коммутативность О.
Если Н является ассоциативным телом, то отличные
от нуля элементы из О составляют группу по умножению,
заданному в О.
5. Пусть /? —линейно упорядоченное кольцо, О —упо-
—упорядоченное множество архимедовых классов его аддитивной
группы (см. VI.3.3); класс, содержащий элемент а О
будем обозначать через а. Если а, Ь ее
4]
НОРМИРОВАННЫЕ КОЛЬЦА
319
о1 куда
то положим
аЬ — аЪ.
0)
Равенство A) превращает множество О в линейно
упорядоченный группоид с нулем, называемый группоидом
архимедовых классов кольца Н-
Действительно, если а1 — а2, то пусть, например, ах^а2.
Существует, однако, такое натуральное число п, что а2 ^ паь
а поэтому ввиду 6^0,
аф ^ аф ^ п (аф),
откуда аф = а2Ь. Этим доказано, что равенство A) на самом
деле является определением умножения в множестве О.
Далее, если ах <С йъ то аг <С аъ а поэтому для любого
аф ^ аф,
01 куда для любого Ь
аф
Ьах ^ Ьа
Ьах ^ Ьа2.
Таким образом, группоид О оказывается линейно упорядо-
упорядоченным (см. VI. 1.1).
Наконец, класс 0 будет, очевидно, нулем линейно упоря-
упорядоченного группоида О.
Справедлива следующая теорема [Я. В. X и о н, Изв. АН
СССР, серия матем. 21 A957), 311—328]:
Всякое линейно упорядоченное кольцо Я допускает
неархимедово нормирование со своим группоидом архиме-
архимедовых классов в качестве группоида значений.
В самом деле, для каждого аЕ/) возьмем в качестве
10 (а) тот архимедов класс, к которому принадлежит абсо-
абсолютная величина \а\ (см. \^1.4.1). Условие 1 выполняется оче-
очевидным образом, справедливость условия 2 следует из спра-
справедливости этого условия для абсолютной величины и равен-
равенства A). Покажем, что выполняется и условие 3'. Действительно,
ввиду
а
-Ь
и У1.4.1,
а
+
2 тах (I а
а поэтому
т. е.
а
тах
а
(а — Ь) ^ тах (хю (а), но (Ь)).
320 упорядоченные и тополог, группы и кольца [гл.
6. Пусть в кольце /? задана неархимедова норма со зна|
чениями в линейно упорядоченном группоиде О с нулем|
Перейдем в группоиде О от мультипликативной записи опе-
операции, как до сих пор предполагалось, к аддитивной запис
и, кроме того, заменим упорядоченность в О на инверсну
(ср. 1.4.6). Элемент 0 естественно обозначить теперь символом!
оо, причем для всех х е О
СО ^ X, X + ОО = ОО 4" X = ОО. B|
Неархимедово нормирование, заданное в кольце /?, пре-
превращается этим путем в так называемое логарифмическое
нормирование со значениями в аддитивном группоиде О, при*
чем условия 1, 2 и 3' принимают вид:
10. т0(О) = оо, Х0(а)<^оо при а Ф 0;
20. хю (аЬ) = хю (а) + м {Ь)\ ;
3'0. Х0(а — Ь)^т'т (хм (а), хю(Ь)).
Обратный переход также, конечно, возможен.
Если в Н было задано неархимедово нормирование
с (неотрицательными) действительными значениями, то
полученное из него логарифмическое нормирование также
можно считать действительным, а именно со значениями
в упорядоченной аддитивной группе действительных чисел,;
пополненной символом со. В самом деле, описанное выше
преобразование группоида значений нормы можно в рассмат-
рассматриваемом случае получить, заменив всякое положительное
действительное число а числом — 1п а.
Возьмем поле Р и рассмотрим в качестве Н любое из
следующих трех колец: кольцо многочленов Р [х] (см. П.2.7)*
кольцо степенных рядов Р {х} (см. 11.2.8), поле лорановыХ
степенных рядов (см. П.5.7). Если аЕЙ а Ф 0, то пусть
х&)(а) будет показатель наименьшей степени неизвестного х,
входящей в запись многочлена (ряда) а с отличным от нуля
коэффициентом; положим, кроме того, ^@) = со. Этим в
кольце Я вводится целочисленное логарифмическое норми-
нормирование—проверка условий 10, 20, Зо не представляет зат*
руднений.
7. Возвращаясь к общему понятию нормирования (сщ
У1.4.1), отметим, что иногда условие 2 заменяется более
слабым условием
2'. хю(аЬ)^х0(а)хй)(Ь).
В этом случае говорят о псевдонормировании.
$ 5] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 321
Важные призеры псевдонормированыых колец представ-
представляют некоторые кольца функций. Так, рассмотрим кольцо
всех непрерывных действительных функций /(х), определен-
определенных на отрезке [0, 1] числовой прямой. Полагая
хв)(/)= тах \/(х)\,
мы вводим в это кольцо действительную псевдонорму, так
как условия 1, 2' (но не 2) и 3 выполняются.
§ б. Логарифмические нормирования полей
1. Логарифмические нормирования существенно исполь-
используются в теории полей и теории областей целостности, при-
причем их применения основываются, в частности, на излагаемых
в этом параграфе понятиях и результатах.
Пусть в поле Р задано логарифмическое нормирование %ю
(им. У1.4.6) с группоидом значений О. Из результатов, ука-
указанных в VI.4.4, и определения логарифмической нормы выте-
вытекает, что О будет аддитивно записанной линейно упорядо-
упорядоченной абелевой группой, пополненной символом сю.
Обозначим через Нт множество всех тех элементов аЕ Р,
для которых т(а)^0. Ввиду 10, 20 и Зо Нт будет подколь-
цом поля Р; оно называется кольцом нормирования т
в поле Р.
Так как норма %ю определяет гомоморфное отображение
мультипликативной группы поля Р на группу О, то единица
поля Р принадлежит к Нж
С другой стороны, если а е Р, то т (а) = 0 тогда и только
'югда, если и а, и а принадлежат к Р(т, т. е. если а явля-
является обратимым элементом кольца /?^, так как
даA) = 0. A)
2. Пусть в поле Р заданы логарифмические нормиро-
нормирования 10 и Х0Г с группами значений О и О', пополненными
символом оо, соответственно. Кольца этих нормирований,
рассматриваемые как подкольца поля Р, тогда и только
тогда совпадают,
когда существует такое изоморфное отображение ф упо-
упорядоченной группы О на упорядоченную группу О', что для
11 А. Г. Курош
322
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ
всех отличных от нуля элементов а е Р
(ш (а)) ф = по' (а). C]
Действительно, пусть имеет место равенство B) и пус
ы)(а) = 0. Тогда, как отмечено выше, а будет обратимьи
элементом кольца %т и, следовательно, кольца /?Ш', т.
' (а)— 0. Верно, конечно, и обратное утверждение.
Таким образом, нормирования чю т тю' определяют такиф!
гомоморфизмы мультипликативной группы поля Р, которые
обладают одним и тем же ядром. Поэтому, по III. 2.6, суще-
существует изоморфизм ф группы О на группу О', удовлетворяв
ющий условию C).
Наконец, если аЕО и а^О, то в Цт существует такова
элемент а, что <ш(а) = а. Из B) следует тогда, что ю'(а)=*]1
= осф^О в О'. Изоморфизм ф отображает, таким образом^
положительные элементы группы Она положительные элемент!
О' и, следовательно, удовлетворяет всем требованиям теоремы.
Обратное утверждение теоремы очевидно.
3. Мы видим, что обозрение всех возможных логариф*
мических нормирований поля Р сводится на обозрение всех!
таких подколец этого поля, которые могут служить для него|
кольцами нормирования.
Подкольцо /? поля Р тогда и только тогда может
служить для этого поля кольцом нормирования, если для \
всякого а ^ Р, афО, хотя бы один из элементов а, агг
принадлежит к /?.
В одну сторону утверждение теоремы почти очевидно:]!
если а ф Н^, т. е. Х0(а)<сО, то из A) следует № (аг1) ^> 0>'
а поэтому а-1 е= Нж
Пусть теперь подкольцо Н удовлетворяет условию тео-;
ремы. Оно содержит, следовательно, единицу поля Р. Мно-
Множество 5 обратимых элементов кольца Н будет, очевидно,']
подгруппой мультипликативной группы Р* поля Р. Обозна-|
чим через О фактор-группу Р*/8, записанную аддитивно».]
Так как кольцо /? не содержит делителей нуля, то отлич-|
ные от нуля элементы из /? составляют подполугруппу Я^^
группы Р*. Ввиду включения 5сЛ* в группе О = Р*
выделяется подполугруппа //==/?*/5. Покажем, что Н служит ^
полугруппой положительных элементов при некоторой линей- |
ной упорядоченности группы О, т. е. проверим условиЯ||
1)-4) из VI. 1.3.
$ 5] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 323
В самом деле, условие 1) следует из того, что нулем
группы О служит подгруппа 5, содержащаяся в /?*. Далее,
если а е И и — а е И, то к /?* принадлежат и элементы,
составляющие смежный класс а, и элементы, им обратные,
а тогда все эти элементы входят в 5, т. е. а будет нулем
группы О; этим доказано условие 2). Справедливость условия
3) очевидна. Наконец, условие 4) вытекает из предположе-
предположения, сделанного о подкольце /? в формулировке теоремы.
Пополним теперь линейно упорядоченную группу О сим-
символом оо со свойствами B) из VI. 4.6. Полагая х^@) = оо,
а для каждого а е Р, афО, беря в качестве х&)(а) тот эле-
элемент группы О, который, как смежный класс по 5, содержит
элемент а, мы получим логарифмическое нормирование поля Р.
Действительно, выполнение условия 10 очевидно. Справе-
Справедливость условия 20 в случае, когда оба элемента а, Ь отли-
отличны от нуля, вытекает из того, что отображение а—>т(а),
а Ф 0, является гомоморфизмом группы Р* на группу О; если
же хотя бы один из эмементов а, Ь равен нулю, то 20 сле-
следует из B) в VI. 4.6.
Проверим, наконец, условие 3'0. Так как, по A) и 20,
а группа О не содержит, по VI. 1.4, отличных от нуля эле-
элементов конечного порядка, то ш(— 1) = 0 и поэтому, снова
по 20, для всех Ь е Р
(Ь).
Условие З'о равносильно, следовательно, в нашем случае условию
(а-\-Ь) ^ т\п (т& (а), хю(Ь)),
которое и будет доказываться.
Оно выполняется, очевидно, если хотя бы один из эле-
элементов а, Ь равен нулю. Если же они оба отличны от нуля,
то пусть, например, хю(Ь)^хю(а), т. е. т-еЯ Поэтому, так
как единица поля Р содержится в /?, и 1+гЕК, т. е„
ввиду 20 и A),
О ^ Х0 (\ + у) = хй> [(а + Ь) Ь~1] = х&) (а + Ъ) + хй)(Ь-1) =
= хе> (а + Ь) — XV (Ъ).
324 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ, VI
Отсюда
Теорема доказана.
4. Если в поле Р задано логарифмическое нормирование
Х0 с кольцом нормирования Г(т, то те элементы а е Р, для
которых Х0(а)^>О, составляют в Ню идеал 1т (см. II. 7.8),
называемый идеалом нормирования %ю. Действительно, если
а, Ь е /щ,, то из Зо следует, что а — Ь^ 1т\ если а
, т. е. ^(а)>0, ^(х)^0, то, по 20,
(ах) = ад (а) + ад С*) >* О,
т. е. ах е /^.
Так как, по VI. 5.1, всякий элемент аЕ/?ш, афЗ^ обра-
обратим в /^, то фактор-кольцо Н^/1т будет полем; оно назы-
называется полем вычетов нормирования т.
5. В качестве важного примера найдем все нетри-
нетривиальные логарифмические нормирования по-
поля рациональных чисел. Пусть %ю — такое нормирова-
нормирование, Нт и 1т — соответственно кольцо и идеал этого норми-
нормирования. Так как 1 е /?щ„ 1 ф 1т, то в Нт содержится все
кольцо целых чисел С, а пересечение /^ П С будет истинным
идеалом в С. Это пересечение отлично от нуля, так как ина-
иначе все ненулевые целые числа были бы обратимыми в кольце
Яту т. е. это кольцо совпадало бы со всем полем рациональных
чисел, что для нетривиального нормирования невозможно.
Поэтому, по II. 7.8 и И. 4.2, идеал 1т(\С является совокуп-
совокупностью (/?) целых чисел, кратных некоторому натуральному
числу р, /7> 1.
Так как фактор-кольцо Нт/1т будет полем, то произведе-
произведение двух целых чисел, лежащих вне (р), не может попасть
в (/?). Это равносильно, очевидно, утверждению, что число р
должно быть простым.
Всякое целое число п, взаимно простое с р, лежит вне
идеала 1т и поэтому, по VI. 5.1, обратимо в кольце Нт, т. е.
п-1 е Яж Этим доказано, что в кольце Я,т содержится все
кольцо Нр тех рациональных чисел, знаменатели кото-
которых взаимно просты с р.
На самом деле даже
5] ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ 325
Действительно, если кольцо Я.т содержит такое рациональ-
ное число —, что (т,р)=\, а п^(р), то тф1тг т. е.
пг1 е /?щ„ а тогда
1-И
к,
т. е. число п оказывается обратимым в кольце Я^ в проти-
противоречие с тем, что п е 1Ж
Обратно, подкольцо Нр поля рациональных чисел при
любом простом р удовлетворяет условию теоремы VI. 5.3.
Таким образом, кольца нормирований поля рациональных
чисел исчерпываются кольцами Яр, где р пробегает все
простые числа.
6. Найдем то логарифмическое нормирование поля рацио-
рациональных чисел, для которого кольцом нормирования служит Кр-
Всякое рациональное число а, а Ф 0, однозначно записы-
записывается в виде
\ D)
где числа тип взаимно просты между собою и с р, а целое
число к больше, равно или меньше нуля. Положим
(а) = к, аф 0; E)
кроме того, пусть
@) = оо.
Мы получаем логарифмическое нормирование поля рациональ-
рациональных чисел со значениями в упорядоченной аддитивной группе
целых чисел, пополненной символом оо,—проверка условий
10, 20 и Зо не представляет никаких затруднений. Это норми-
нормирование называется р-адпческим нормированием поля рацио-
рациональных чисел.
Из D) и E) следует, что кольцом и идеалом р-адического
нормирования служат соответственно кольцо Нр и его
идеал Нр, составленный из тех рациональных чисел, чис-
числители несократимых записей которых делятся на р.
Отметим, что
Кр = { Кр, С}, F)
где С —кольцо целых чисел. Действительно, если - е/?р, то
326
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
из (/г, р)=\ следует, что числа 8п, 5 = 0, 1, 2, ..., /7—1,
лежат в различных смежных классах кольца С по идеалу (/?).
Это верно тогда и для чисел т-\-$п, 5 = 0, 1, 2, ..., р— 1,
а поэтому одно из этих чисел, например т-\-Ы, делится на
р. Тогда
п
но
т
п п
Используя F), а также равенство Р^р(]С = (р) и то, что
является идеалом в /?р, мы на основании теоремы об
изоморфизме (см. III. 4.2) получаем, что
~ ад.
Поле вычетов р-адического нормирования изоморфно, сле-
следовательно, простому полю Ср характеристики р (см.
III. 2.8 и III. 2.11).
7. Понятно, что /?-адическое нормирование поля рацио-
рациональных чисел можно рассматривать также не как логариф-
логарифмическое нормирование, а как неархимедово нормирование
в смысле VI. 4.3. Для того чтобы совершить переход, обрат-
обратный к описанному в VI. 4.6, достаточно взять любое дейст-
действительное число г, /*^>1, и для рационального числа а,
записанного в виде D), положить
(а) = г"Л
приняв, кроме того,
■хДля всякого архимедова нормирования т поля рацио-
рациональных чисел можно указать такое действительное число а,
1, что для всех рациональных чисел а
%ю (а) =
а
а
где | а | — абсолютная величина числа а [Островский, Ас1а
Ма«1. 41A918), 271-284].*
8. Пусть в поле Р задана действительная норма т в смысле
VI. 4.1. Последовательность элементов
из Р называется фундаментальной последовательностью,
если для любого действительного числа 8 > 0 существует
$ 61 ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 327
такое натуральное число Д/ = Л/(е), что
хю(ап — ат)<^г при п, т^>Л/.
Фундаментальная последовательность G) называется схо-
сходящейся, если в поле Р можно найти такой элемент а — пре-
предел этой последовательности, — что для всякого е ^> 0 суще-
существует натуральное число УУ = УУ(е), удовлетворяющее условию
хю(ап — а)<се при п^>Ы.
Сходящаяся последовательность, имеющая пределом 0, назы-
называется нулевой последовательностью.
Поле Р называется полным по норме х&, если всякая его
фундаментальная последовательность является сходящейся.
■к Для всякого поля Р с действительной нормой хю суще-
существует пополнение, т. е. такое поле Р^ действительной нормой
т, полное по этой норме, что Р с= Р, норма Щ является про-
продолжением нормы хю и всякий элемент поля Р служит преде-
пределом некоторой фундаментальной последовательности из поля Р.
Если поле рациональных чисел нормировано при помощи
абсолютной величины, то его пополнением служит поле дей-
действительных чисел, также с абсолютной величиной в каче-
качестве нормы. Если же поле рациональных чисел рассматри-
рассматривается с /7-адической нормой, то пополнением служит поле
/ведических чисел (см. III. 3.12). При этом логарифмической
нормой отличного от нуля /7-адического числа, записанного
в виде A7) из Ш.3.12, считается целое число к.*
9. Нормированные поля Р и Р' с действительными нормами
называются изоморфными, если между ними существует такой
изоморфизм, при котором нулевые последовательности одного
из этих полей переходят в нулевые последовательности дру-
другого поля и обратно.
# Всякое поле с архимедовой действительной нормой
изоморфно подполю поля комплексных чисел, нормирован-
нормированному при помощи модулей комплексных чисел [Остров-
[Островский, Ас1а МаШ. 41A918), 271-284].*
§ 6. Теорема Алберта о нормированных алгебрах
1. Пусть в поле Р задана действительная норма, которую
будем обозначать теперь через | а |, аЕР. Пусть, далее, Я
-— алгебра над полем Р и пусть в /?, как в кольце, задана
Действительная норма хю со свойствами 1—3 из VI 4.1.
328 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Будем называть Н нормированной алгеброй, если для любых
, кеР выполняется равенство
а \ хм (а). A)
Справедливость этого же равенства будет предполагаться
и в том случае, когда мы будем говорить о псевдонормиро-
ванной алгебре (см. VI. 4.7).
2. Всякая действительная конечномерная алгебра
может быть псевдонормирована [А л б е р т, Апп. о\ МаШ
48A947), 495-501].
Пусть, в самом деле, в алгебре Я выбрана база х^ 1 =
= 1, 2, ..., п, с таблицей умножения
п
ш Л/т
Если \х — отличное от нуля действительное число, то базу
алгебры Н будут составлять также элементы уг = \кх^ 1 =
= 1, 2, ..., п, причем
п
к=\
где
б?/ = це?7.
Подберем, что легко сделать, число \к так, чтобы для всех
, 2, ..., п было
п
где | б | — абсолютная величина числа б. Тогда, определяя
(а) для любого элемента а е /?, записываемого в виде
а = 2]ос*_У/, равенством
/г
мы введем в алгебру /^ псевдонорму
6] ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 329
Действительно, если
п п
то
а поэтому, ввиду B),
п
Х0 (аЬ) =
2
/г
п
Этим доказана справедливость условия 2' из У1.4.7, выпол-
выполнение же всех других условий, входящих в определение
псевдонормированной алгебры, очевидно.
3. Справедлива, с другой стороны, следующая теорема
Алберта [Апп. о! Ма!п. 48 A947), 495—501]:
Поля действительных и комплексных чисел, тело
кватернионов и алгебра Кэли являются единственными
конечномерными действительными нормированными алгеб-
алгебрами с единицей.
Заметим, что указанные четыре алгебры на самом деле
удовлетворяют всем условиям теоремы (см. У1.4.1). С дру-
другой стороны, если в кольце Я задана действительная
норма хю, то в Н нет делителей нуля: если а, Ь е /?, а Ф 0,
ЬфО, аЬ=0, то Х0(а)Ф 0, хю{Ъ)Ф 0, но хй)(а)хй)(Ь)==хй)(аЬ)=<ду
что невозможно. Поэтому, ввиду обобщенной теоремы Фро-
бениуса (см. У.8.1), требует доказательства лишь следующее
утверждение:
Всякая конечномерная действительная нормированная
алгебра К, обладающая единицей, альтернативна.
4. Начнем доказательство с некоторых замечаний. Прежде
всего условимся обозначать норму в алгебре К через | а |,
где а е К.
Далее, как отмечено выше, в алгебре К нет делителей нуля,
а поэтому, ввиду У.8.2, К будет алгеброй с однозначным
330
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI
делением. Отсюда следует, что при афО, а ^ К, правое ум-
умножение на элемент а (см. УЛ.6), являющееся линейным
преобразованием аддитивного векторного пространства ал-
алгебры К, будет невырожденным. Условимся обозначать это
правое умножение через На\ тождественное линейное преоб-
преобразование будем обозначать через Е.
Наконец, так как алгебра К обладает единицей 1, то, по
\Л6.2, в ее центре содержится подполе Д изоморфное полю
действительных чисел; это будет совокупность элементов
вида а-1=а, где а —действительное число.
Лемма 1. Если а ф Д то линейное преобразование На
не имеет действительных характеристических корней.
В самом деле, если а -— такой корень, то линейное пре-
преобразование Ка — аЕ = На-а будет вырожденным, т. е., как
отмечено выше, а — а = 0, откуда а = а
5. Лемма 2. Если а ф Б и \ а I = а, то модуль любого
характеристического корня Яо линейного преобразования На
равен а.
В самом деле, пусть
о = р (СО8 ф -|- I 51П ф).
C)
Линейное преобразование Ка — Х0Е комплексного вектор-
векторного пространства, являющегося расширением действительного
аддитивного векторного пространства алгебры К, должно
быть вырожденным. Поэтому в К существуют такие эле-
элементы Ь и с, что
откуда
и
Отсюда
и поэтому
6=\Ь\ + \с\>0
D)
(Ь+ с1)(На
(Ь + С1) На =
E)
для всех натуральных т. Так как На является линейным пре-
преобразованием действительного векторного пространства К%
§ 61 ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 331
то из E) и C) вытекают равенства
% = рт (Ь СО8 т(р — С 81П
СИ.а = Р (Ь 51П ПМф + С СО8 ШЦ)).
Используя определение нормированной алгебры, в частно-
частности A), а также D) и неравенства | со8/#ф
мы из F) получаем
Ъ
Отсюда, ввиду D), бат^2ртб, т. е. (ар)™ ^ 2, а так как
число т произвольно, то а^р.
С другой стороны, из F) вытекают равенства
(Ь со8 ту + с 81П
(с со8 тф — ^? 81п тер) Н™ = ртс,
которые приводят к неравенствам
рт | Ъ | < бат, рт I с | ^ бат.
Отсюда ртб ^ 2бат, т. е. (роГ1)™ ^2, а поэтому р ^ а.
В результате мы получаем р = а, что и требовалось доказать.
6. Лемма 3. Если афО, то характеристический
многочлен линейного преобразования Ка является сте-
степенью неприводимого квадратного трехчлена.
В самом деле, если Хо — характеристический корень для
%а и Ь = а-\-\, то #ь — %а-\-Е, и поэтому число Яо+1
будет характеристическим корнем для /?&. Пусть а-\-$1,
у-\-Ы — два характеристических корня преобразования /?а.
Из леммы 2 следует, что эти корни имеют равные модули,
т. е.
Применяя это же к характеристическим корням преобразо-
преобразования Кь— ясно, что Ь ф й, — мы получим
Отсюда 2а = 2-у, т. е. а = у, а поэтому |32 = б2, т. е. 0 = ± 6.
Эти результаты вместе с леммой 1 заканчивают доказатель-
доказательство леммы.
332
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
7. Лемма 4. Если а ф О, то минимальный многочлен
линейного преобразования На является неприводимым квад-
квадратным трехчленом.
В силу леммы 3 характеристический многочлен преобра-
преобразования Яа имеет вид
х (Я) = (К* -аХ- $)\
где
Поэтому минимальным многочленом будет
ф
т. е.
Ъ - аНа - №)" = 0.
G)
Пусть
\. Если
так что Ь
то равенства
я - РЕ)'= 0 и
будут равносильными. Таким образом,
(8)
Так как число / служит для линейного преобразования
характеристическим корнем, то, по лемме 2, | Ь \ = 1. Поэтому,
полагая 8 = Н1у мы для любого с^К получаем
Отсюда
(сЪ)Ь
с8т
для всех се/( и всех натуральных т.
Если Т = (§-\-Е)к~2 — здесь используется, что
по (8),
Т ф 0, 7 (^ + 5) ^ 0, 7 (^ + ЕJ = 0.
(9)
2, — то,
Существует, следовательно, такой элемент с', что
т. е.
A0)
$ 6] ТЕОРЕМА АЛБЕРТА О НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ 333
Из последнего равенства вытекает, что с\§2 = — сB8-\-Е)>
т. е. при т = 2 выполняется равенство
с8т = (— 1 У71'1 с [т8 + (т - 1) Е\ A1)
Если равенство A1) уже доказано для данного т, то
—\у* с [2т8 + тЕ — (т —
т. е. A1) справедливо для всех т. Несколько меняя запись
этого равенства и беря нормы от обеих его частей, мы по-
получим, ввиду (9), что
с\ = \тс(8+Е)-с\. A2)
Если
то, ввиду A0), 6>0. Однако
тс {8 + Е) — с | ^ тб — \ с |,
т. е., по A2), при всех т справедливо неравенство
2 | с | ^ ягб,
что невозможно. Этим доказано, что к = \, т. е. доказана
лемма 4.
. Отсюда, ввиду G), следует равенство
т. е., ввиду существования в алгебре К единицы,
а2 = аа-\- р.
Поэтому для любого Ь ^ К
фа) а = Ы?а = Ь (аКа + $Е) = аЬа + $Ь = Ь (аа + р) - Ьа2.
Таким образом, равенство (Ьа)а — Ь(аа) доказано для
а ф д оно справедливо, однако, и при аЕО, так как п
содержится в центре алгебры К. Равенство а(аЬ) = (аа)Ь
проверяется аналогичным путем. Этим, в силу теоремы Ар-
тина (см. У.7.3), доказана альтернативность алгебры /С, т. е.
доказана теорема Алберта.
*Поля действительных и комплексных чисел, тело кватер-
кватернионов и алгебра Кэли являются единственными действитель-
действительными нормированными алгебрами с делением, обладающими
334 упорядоченные и тополог, группы и кольца ггл
единицей; конечномерность этих алгебр заранее не предпола**
гается [Алберт, ВиП. Атег. Ма1п. 8ос. 55 A949), 763—76
Райт, Ргос. N31. Асад. Ы5А 39 A953), 330—332]. 1
Поля действительных и комплексных чисел и тело ква4
тернионов являются единственными псевдонормированным
действительными ассоциативными алгебрами, не содержащим]
отличного от нуля элемента х9 для которого существу
такая последовательность уп, не являющаяся нулевой после
довательностью (см. У1.5.8), что хотя бы одна из последов*'
тельностей хуп или упх будет нулевой [К а п л а н с к и
Быке Ма1п. 3. 16 A949), 399—418].
Само поле комплексных чисел является единственной?
псевдонормированной комплексной ассоциативной алгеброй
с деланием [Мазур, С. К. Рапз 207 A938), 1025—102
И. М. Гельфанд, Мат. сб. 9 A941), 3—24].*
§ 7. Замыкания. Топологические пространства
1. Будем говорить, что в частично упорядоченном мно*|
жестве М задано отношение замыкания, если всякому э
менту а е М сопоставлен однозначно определенный элемент!
йеД называемый замыканием элемента а, причем ялЩ
всех а, Ь е М выполняются следующие требования:
20) если а ^ Ь, то а ^ Ь;
30) о" = #, т. е. замыкание любого элемента совпадает со<
своим замыканием.
Элемент а назовем замкнутым, если он совпадает сок
своим замыканием. Ввиду 30) замкнутыми будут замыкания"
всех элементов и, очевидно, только они. С другой стороны/;
из 20) следует, что а содержится во всяком замкнутом эле-1
менте, содержащем а, т. е. отношение замыкания одно*]
значно определяется заданием системы замкнутых эле*
ментов.
Во всяком частично упорядоченном множестве мож*
но задать тривиальное замыкание, полагая п = а для,
всех а. 1 ;<
2. Отношение замыкания можно ввести, в частности,!
в систему М всех подмножеств произвольного множества М, |
частично упорядоченную по теоретико-множественному вклки |
чению. В дальнейшем именно в этом смысле мы будем гово- |
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 335
ригь об отношении замыкания, заданном в произвольном
множестве М. Вполне определен, ясно, смысл таких поня-
понятий, как замыкание подмножества из Ж и замкнутое под-
подмножество; по существу сохраняются и формулировки усло-
условий 10) — 30) из У1.7.1.
Заметим, что если в множестве М задано отношение за-
замыкания, то само множество М замкнуто, как замыкание
самого себя. С другой стороны, пересечение любой системы
замкнутых в М подмножеств само замкнуто.
В самом деле, пусть в М задана система замкнутых под-
подмножеств Аа (а пробегает некоторое множество индексов)
и пусть
В=^\Ла.
Тогда, по условию 20) из У1.7.1, из В <=г Аа следует В <= Аа =
. /\ 1* г\
• Лги А» ^»
а
Так как, с другой стороны, В с= В по условию 10) из N/1.7.1,
то В = В, что и требовалось доказать.
Справедлива следующая обратная теорема:
Во всяком множестве М можно задать замыкание,
беря в качестве системы замкнутых подмножеств любую
систему подмножеств 2, содержащую как само М, так
и пересечение любой своей подсистемы.
В самом деле, если в качестве замыкания Л для любого
подмножества А из М будет взято пересечение всех подмно-
подмножеств, входящих в 2 и содержащих А — такие существуют,
например само Ж,— то условия 10) — 30) будут удовлетво-
удовлетворены, а замкнутыми окажутся подмножества из 2 и толь-
только они.
3. Два частично упорядоченных множества с замыканиями
естественно называть изоморфными, если между ними суще-
существует такое изоморфное соответствие в смысле 1.4.3, при
котором образы и прообразы замкнутых элементов замкнуты.
В этом же смысле можно говорить об изоморфном вложе-
вложении одного частично упорядоченного множества с замыка-
замыканиями в другое.
* Если М — частично упорядоченное множество с за-
мыканиями, то в частично упорядоченной системе М всех
336 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
подмножеств множества М можно так задать отношение
замыкания, что М будет изоморфно вкладываться в М. *
4. Понятие множества с отношением замыкания для под-
подмножеств, введенное в У1.7.2, является слишком широким.
Накладывая на отношение замыкания некоторые дополнитель-
дополнительные ограничения, мы придем к понятию топологического
пространства, одному из важнейших общематематических по-
понятий, во многих случаях играющему роль, параллельную
роли частично упорядоченных множеств.
Говорят, что в множестве М задана топология или что
М является топологическим пространством, если в нем
задано замыкание, удовлетворяющее помимо условий 10)~30)
(или равносильных им условий, указанных в формулировке
теоремы У1.7.2) также следующим дополнительным условиям:
40) замыкание объединения двух (а поэтому и любого
конечного числа) подмножеств из М равно объединению за-
замыканий этих подмножеств,
В = А[)В;
50) всякое подмножество, состоящее из одного элемента,
замкнуто.
В действительности условия 10) и 20) могут быть вы-
выведены из условий 40) и 50). Так, пусть А — любое подмно-
подмножество из Ж и деА Тогда, ввиду условий 40) и 50),
т. е. а е Л, откуда следует включение А ^ Л, доказывающее
условие 10). С другой стороны, если подмножества А и В
таковы, что А ^ В, то, ввиду условия 40),
т. е. Л с: В, чем и доказано условие 20).
Если топологическое пространство М содержит более
одного элемента — лишь такие пространства могут пред-
представлять интерес, — то его пустое подмножество замкнуто.
Действительно, оно будет замкнутым как пересечение лю-
любых двух различных элементов из Ж, являющихся, по усло-
условию 50), замкнутыми подмножествами.
Заметим, наконец, что, как следует из условия 40), объ-
объединение любого конечного числа замкнутых подмножеств
топологического пространства замкнуто.
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 337
5. Система всех замкнутых подмножеств топологического
пространства М частично упорядочена по включению. Частично
упорядочена по включению и система всех дополнений в М
к замкнутым подмножествам, т. е. система открытых под-
подмножеств. Мы получим инверсно изоморфное соответствие
(см. 1.4.6) между этими двумя частично упорядоченными си-
системами, если всякому замкнутому подмножеству А поставим
в соответствие открытое подмножество М \ А. Это позво-
позволяет путем дуализации вывести из известных нам резуль-
результатов, относящихся к замкнутым множествам, результаты,
относящиеся к открытым множествам.
Так, учитывая, что дополнением для пересечения (или объ-
объединения) заданной системы подмножеств любого множества
всегда служит объединение (соответственно пересечение) до-
дополнений ко всем этим подмножествам, мы получаем, что
объединение любой системы открытых подмножеств и
пересечение любого конечного числа открытых подмно-
подмножеств сами открыты, С другой стороны, и само про-
пространство М, и пустое подмножество являются откры-
открытыми, так как они служат дополнениями друг для друга.
6. Всякое отношение замыкания в множестве М, а поэтому
и всякая топология вполне определяются, как мы знаем,
заданием системы всех замкнутых подмножеств. Топологию
в М можно определить, следовательно, и заданием системы
всех открытых подмножеств. Учитывая, что объединение лю-
любой системы открытых множеств открыто, можно ограни-
ограничиться заданием лишь такой системы открытых подмножеств 2,
что всякое (непустое) открытое подмножество пространства М
является объединением подмножеств из 2. Такая система 2,
называемая полной системой окрестностей пространства М,
определяется, понятно, неоднозначно.
Подмножества, составляющие данную полную систему
окрестностей 2, будут называться окрестностями; все те
окрестности из 2, которые содержат данный элемент а^М,
составляют полную систему окрестностей этого элемента.
Пусть топология в М задана полной системой окрестно-
окрестностей 2. Тогда подмножество А из М открыто тогда и
только тогда, если для всякого элемента де А можно
Указать такую окрестность V из 2, что а е V и \]<=^ А —
это следует из того, что А открыто тогда и только тогда,
если оно является объединением окрестностей из 2.
12 А. Г. Курош
338 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
С другой стороны, если А — произвольное подмножество
пространства М, то его замыкание А состоит из тех и
только тех элементов, любая окрестность которых со-
содержит хотя бы один элемент из А.
В самом деле, если элемент х ф Л, то х содержится
в открытом множестве /И\Д, а поэтому существует окрест-
окрестность элемента х, содержащаяся в М \ А, т. е. имеющая с А
пустое пересечение. С другой стороны, если некоторый эле-
элемент х обладает окрестностью V, не содержащей элементов
из А, то А содержится в замкнутом множестве М \ С/, а по-
поэтому, ввиду свойства 20) из У1.7.1,
А с
т. е. х ф А.
Отсюда следует, что подмножество А топологического
пространства М замкнуто тогда и только тогда, если
всякий элемент х, каждая окрестность которого содер-
содержит хотя бы один элемент из А, сам принадлежит к А.
7. Некоторая система 2 подмножеств множества М
тогда и только тогда является полной системой окрест-
окрестностей при некоторой топологии, заданной в М, если
а) для любой упорядоченной пары различных элемен-
элементов а, Ъ из М можно указать такое подмножество Ц,
принадлежащее к 2, что аЕЙ Ь ф Ц;
Р) для любых двух подмножеств I], V, входящих в 2
и содержащих некоторый элемент а, всегда можно ука-
указать в 2 такое подмножество №, что а е М и Ш <=к1) {] V.
Доказательство. Пусть 2 — полная система окрест-
окрестностей топологического пространства М. Если а и Ь — раз-
различные элементы из М, то, ввиду замкнутости Ь, подмно-
подмножество Ж\й открыто и поэтому является объединением
окрестностей из 2. Так как а е М\Ь, то, по У1.7.6, в 2
можно найти такую окрестность Ц, что а е И и [] д= М\ЬУ
а поэтому Ь фЦ. Этим доказано а). С другой стороны, если
заданы окрестности Ц и V элемента а, то, по У1.7.5, их
пересечение V П V открыто, а так как а содержится в этом
пересечении, то, снова по У1.7.6, существует окрестность V?
элемента а, содержащаяся в II [\ V.
Пусть теперь в множестве М задана произвольная си-
система подмножеств 2, обладающая свойствами а) и р). Для
всякого подмножества А ^ М обозначим через А совокуп-
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 339
ность таких элементов хеЖ, что всякое подмножество из
2, содержащее х9 содержит хотя бы один элемент из Л, и
покажем, что этим в М введена топология. Достаточно пока-
показать, ввиду VI. 7.4, что выполняются условия 30), 40) и 50).
Если д;еД то любое подмножество (У из 2, содержа-
содержащее х, содержит хотя бы один элемент )/еД а поэтому,
снова по определению Л, подмножество V содержит хотя бы
один элемент из Л. Отсюда следует, что хеД т. е. А ^ Л.
Так как очевидно, с другой стороны, что всегда Л <=: Л, то
ДдД и поэтому Л = Л, т. е. условие 30) доказано.
Далее, если Л и В — произвольные подмножества из УИ,
а х — любой элемент из объединения Л [) В, то всякое под-
подмножество из 2, содержащее х, содержит хотя бы один
элемент или из Л, или из В, т. е. хотя бы один элемент
из Л [} В> а поэтому х ^ А[} В. Этим доказано, что А[} В^
^ А\] В. С другой стороны, если элемент у ^ А\] В, то лю-
любое подмножество из 2, содержащее у, содержит хотя бы
один элемент из А\] В. Пусть в 2 существуют такие два
подмножества V и V, содержащие у, что V не содержит
элементов из Л, а V — элементов из В. Тогда, по условию |3),
мы найдем в 2 подмножество №, содержащее у и лежащее
в пересечении V П V, т. е. не содержащее элементов ни из Л,
ни из В, что невозможно. Таким образом, или все подмно-
подмножества из 2, содержащие у, содержат элементы из Л, а тогда
или же все они содержат элементы из В, а тогда
В. Отсюда следует, что А\] В ^ А\] В. Справедливость
условия 40) также доказана.
Наконец, справедливость условия 50) вытекает из того,
что для любого элемента Ь е М его замыкание Ъ состоит
лишь из Ь, так как, по условию а), для любого другого
элемента а можно указать такое подмножество из 2, кото-
которое содержит а, но не содержит Ъ.
Для завершения доказательства теоремы остается пока-
показать, что система 2 служит полной системой окрестностей
для топологии, построенной нами в множестве М. Если Ц —
подмножество из 2, то его дополнение Ж\(/ будет замкну-
замкнутым, так как любой элемент из М, лежащий вне 7И\У,
содержится в II, т. е. лежит в подмножестве из 2, не содер-
содержащем ни одного элемента из М\{/. Этим доказано, что {]
открыто. С другой стороны, пусть Л — любое открытое
12*
340 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI 1
ч
подмножество, а— элемент из А. Тогда Ж\Л замкнуто,!
а ф Ж\Л, а поэтому существует такое подмножество V изц|
2, содержащее а, пересечение которого с Ж\Л пусто, т. е,|
V <= А. Подмножество А может быть представлено, следовав!
тельно, как объединение некоторой системы подмножестш]
из 2. Теорема доказана.
I. Два множества с замыканиями, М и Ж', называются!
изоморфными, если между ними существует такое взаимна!
однозначное соответствие %, которое сохраняет отношение!
замыкания, т. е. для всех А ^ М
Отображение % называется при этом изоморфным отобра-\
жением или изоморфизмом. Обратное отображение %"**■(
будет, очевидно, также изоморфным. |
Очевидна связь этого понятия с введенным в VI. 7.3 псМ
нятием изоморфизма для частично упорядоченных множеств |
с замыканиями. В частном случае топологических пространств'
термин «изоморфизм» заменяется обычно термином «гомео-;
морфизм»; мы не будем, однако, употреблять этого специаль-.
ного термина.
При изоморфном соответствии между множествами с за-
замыканиями замкнутые подмножества переходят в замкнутые^
и обратно, причем, ввиду VI. 7.1, это свойство можно было
бы принять в качестве определения изоморфизма. Отсюда
следует, что в случае топологических пространств изо*;
морфизм может быть определен также как такое вза- ;
имно однозначное соответствие между этими простран~*
ствами, при котором открытые подмножества переходят •;
в открытые и обратно.
Если в топологических пространствах М и М' то*!
пологий заданы соответственно при помощи полных си*
с тем окрестностей 2 и 2', то взаимно однозначное
отображение % пространства М на пространство М'
тогда и только тогда будет изоморфным, если для вся*
кого элемента а' е М' и любой его окрестности {]' су*
ществует такая окрестность V элемента а'%~г е М,
что 0% <= Vу и если для всякого элемента а е М и лю*
бой его окрестности V существует такая окрестность
V элемента а%, что У'уС1 ^У* '\
§ 7] ЗАМЫКАНИЯ. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 341
Действительно, пусть % —изоморфизм и пусть, например,
заданы элемент а' е М' и его окрестность V. Тогда мно-
множество С/'х~г 9= М будет открытым, т. е. содержит окрест-
окрестность V элемента а'%. Ясно, что /7% с= {]'.
Обратно, пусть отображение % удовлетворяет условиям,
указанным в формулировке теоремы, и пусть, например, дано
открытое подмножество А пространства М. Если а% — про-
произвольный элемент из А%, то йе/1и в /1 содержится неко-
некоторая окрестность V элемента а. Тогда, по условию теоремы,
существует такая окрестность V элемента а%, что УуС1 9= V.
Отсюда
Этим доказано, что А% будет открытым подмножеством
пространства М'. Теорема доказана.
Применяя эту теорему к случаю, когда М и М! совпа-
совпадают, а х является тождественным отображением простран-
пространства М на себя, т. е. а%—а для всех а е М, мы придем
к условию эквивалентности двух заданных в М полных
систем окрестностей 2 и 2', т. е. к условию для того,
чтобы эти две полные системы окрестностей определяли в М
одну и ту же топологию: это будет тогда и только
тогда, когда всякая окрестность любого элемента а^М,
взятая в одной из систем 2, 2', содержит некоторую
окрестность элемента а из другой системы.
9. Топология, заданная в множестве М, индуцирует то-
топологию во всяком подмножестве А <= М. Именно, если
топология в М задается полной системой окрестностей 2, то
обозначим через 2д совокупность всевозможных пересечений
I] П А, где УеЕ. Из справедливости для системы 2 усло-
условий а) и Р) теоремы VI. 7.7 немедленно следует справедли-
справедливость аналогичных условий для системы 2д, т. е. эта система
служит полной системой окрестностей для некоторой топо-
топологии, заданной в А.
Если в пространстве М задана другая полная система
окрестностей 2', эквивалентная с 2, то эквивалентность в А
полных систем окрестностей 2д и 2д проверяется на осно-
основании VI. 7.8 без всяких затруднений. Таким образом, топо-
топология в М однозначно определяет топологию в подмножестве
А Полученное этим путем топологическое пространство А
называется подпространством пространства М.
342
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Из определения подпространства немедленно следует, что
открытыми и замкнутыми подмножествами подпро-
подпространства А пространства М будут пересечения с А
открытых и соответственно замкнутых подмножеств
из М и только они.
10. Тривиальное замыкание (см. VI. 7.1), введенное в си-
систему всех подмножеств произвольного множества Ж, удо-
удовлетворяет, очевидно, условиям 40) и 50) из VI. 7.4, т. е.
является топологией. Эта топология называется дискретной;
все подмножества множества М будут в этой топологии и
замкнутыми, и открытыми. Всякое множество может рас-
рассматриваться, следовательно, как дискретное топологическое
пространство, причем в конечных множествах, где всякое
подмножество является объединением конечного числа эле-
элементов, возможна лишь дискретная топология.
Первым примером недискретного топологического про-
пространства служит прямая линия. Рассматривая ее как чис-
числовую прямую и определяя для каждого подмножества А
замыкание А как совокупность чисел, являющихся пределами
сходящихся последовательностей чисел из Л, мы получим
топологию — условия 30), 40) и 50) проверяются без затруд-
затруднений. Одной из полных систем окрестностей для этой
естественной топологии прямой служит система всех (откры-
(открытых) интервалов. В дальнейшем, говоря о числовой прямой
как о топологическом пространстве, мы будем всегда под-
подразумевать ее естественную топологию.
Плоскость и вообще всякое я-мерное действительное
евклидово пространство также рассматриваются обычно как
топологические пространства. Топология вводится в них так
же, как выше в случае прямой, причем используется покоор-
покоординатная сходимость. В случае плоскости полной системой
окрестностей служит система всех (открытых) кругов; экви-
эквивалентной полной системой окрестностей будет система всех
(открытых) квадратов.
§ 8. Частные типы топологических пространств
1. Как мы знаем (см., например, VI .7.7), для любых двух
различных элементов а, Ь топологического пространства
можно указать открытое подмножество (/, содержащее эле-
элемент а, но не содержащее элемента Ь. Ограничения более
§ 8] ЧАСТНЫЕ ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 343
сильные, чем это свойство, позволяют выделить некоторые
специальные важные типы топологических пространств.
Так, топологическое пространство называется хаусдор-
фовым, если для любых двух различных его элементов а,
Ъ можно указать такие открытые подмножества С1, V, что
а е V, Ъ е V и пересечение V П V пусто.
Если топология в М задана полной системой окрест-
окрестностей 2, то пространство М тогда и только тогда
будет хаусдорфовым, когда пересечение замыканий всех
окрестностей любого элемента а содержит лишь сам
этот элемент.
В самом деле, если пространство М хаусдорфово, а эле-
элемент Ь отличен от а, то, беря для а и Ь такие окрестности,
соответственно V и V, что II [\ V пусто, мы получим, что
II ф Ь. С другой стороны, если пространство М удовлетво-
удовлетворяет условию, указанному в формулировке теоремы, и если
в нем даны два различных элемента а и Ь, то существует
такая окрестность V элемента а, что Ь ф V. Тогда элемент Ь
содержится в открытом подмножестве У=ЛГ\11, причем
IIО V пусто.
2. Топологическое пространство называется регулярным,
если для любого элемента а и любого замкнутого подмно-
подмножества В, не содержащего а, можно указать такие непере-
непересекающиеся открытые подмножества II, V, что а е У, 5 9 V.
Ясно, что всякое регулярное пространство будет хаус-
хаусдорфовым. Все пространства, указанные в VI. 7.10, регу-
регулярны.
Если топология в М задана полной системой окрест-
окрестностей 2, то пространство М тогда и только тогда
регулярно, когда для всякой окрестности V любого эле-
элемента а можно указать такую окрестность V этого
элемента, замыкание которой V содержится в /7.
Действительно, если пространство М регулярно и в нем
взята окрестность V некоторого элемента а, то для а и
замкнутого подмножества ЛГ\С/" можно указать такие непе-
непересекающиеся открытые подмножества V и Ш, что а е V,
ЧУ. Тогда в V содержится некоторая окрестность
элемента а, причем
с= у
344 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Обратно, пусть пространство М обладает свойством, ука-
указанным в формулировке теоремы, и пусть в нем заданы эле-
элемент а и замкнутое подмножество В, причем а ф В. Тогда,
по условию, существует такая окрестность V элемента а,
замыкание которой V содержится в открытом подмножестве
М\Б. Пересечение открытых подмножеств И и М\П
пусто, а так как
= В,
то регулярность пространства М доказана.
Легко проверяется, что свойство топологического про-
пространства быть хаусдорфовым или регулярным пере-
переносится на подпространства этого пространства.
Более специальным, чем понятие регулярного пространства,
является понятие нормального пространства: это такое топо-
топологическое пространство, что для любых его непересекаю-
непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют такие непе-
непересекающиеся открытые множества V и V, что А 9= (У, В д= V.
# Промежуточный класс между регулярными и нормаль-
нормальными пространствами составляют вполне регулярные топо-
топологические пространства, т. е. пространства со следующим
свойством: для любого элемента а и любого замкнутого
множества В> не содержащего этого элемента, можно опре-
определить на этом пространстве такую непрерывную (в смысле
топологии этого пространства) действительную функцию /,
что /(а) = 0, /(#)=1 для всех Ь^В и О^/(лг)^ I для
всех х, -х
3. Очень важный класс топологических пространств
составляют бикомпактные пространства. Именно, простран-
пространство М называется бикомпактным, если оно удовлетворяет
любому из следующих условий, эквивалентность которых
немедленно следует из сказанного в VI.7.5:
I. Из всякой системы открытых подмножеств, объедине-
объединение которых совпадает с Л1, можно выбрать такую конеч-
конечную подсистему, что уже объединение составляющих ее под-
подмножеств совпадает с Ж
II. Из всякой системы замкнутых подмножеств, пересе-
пересечение которых пусто, можно выбрать такую конечную под-
сис!ему, что уже пересечение составляющих ее подмножеств
пусто.
§ 8] ЧАСТНЫЕ ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 345
Как вытекает из доказываемой в курсах математического
анализа теоремы Гейне — Бореля, любой конечный замкнутый
отрезок числовой прямой является бикомпактным простран-
пространством.
■к Каждое из следующих двух условий эквивалентно
условиям I и II, и поэтому может быть использовано для
определения бикомпактного пространства:
III. Объединение всякой цепи (см. 1.4.1), составленной
из отличных от М открытых подмножеств, само отлично
от М.
IV. Пересечение всякой цепи, составленной из непустых
замкнутых подмножеств, само не пусто. *
4. Топологическое пространство называется локально
бикомпактным, если всякий элемент этого пространства
содержится в открытом подмножестве, замыкание которого
бикомпактно.
Всякое бикомпактное пространство локально бикомпактно.
Примером локально бикомпактного, но не бикомпактного
пространства служит числовая прямая. Действительно, всякая
точка прямой обладает окрестностью, являющейся конечным
открытым интервалом. Замыкание такой окрестности будет
замкнутым отрезком, т. е., как отмечено выше, бикомпактно.
С другой стороны, сама прямая не бикомпактна: она явля-
является объединением всех своих интервалов конечной длины,
но не может быть представлена как объединение конечного
числа таких интервалов.
В качестве другого примера локально бикомпактного,
но не бикомпактного пространства можно назвать любое
бесконечное дискретное пространство.
5. Всякое замкнутое подмножество бикомпактного
пространства бикомпактно, а локально бикомпактного
пространства — локально бикомпактно.
Заметим сперва, что если А — замкнутое подмножество
любого топологического пространства УИ, то всякое подмно-
подмножество /3 из А замкнутое в подпространстве Л, будет
замкнутым и в Ж. В самом деле, асли В — замыкание В в М,
то, как следует из У1.7.9, В [\ А будет замыканием В в А,
т. е., ввиду замкнутости В в Д
A)
346 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Так как, однако, само А замкнуто в М> то из В с= А сле-
следует В д= Д а поэтому, ввиду A), В — В.
Теперь ясно, что из справедливости в бикомпактном
пространстве М условия II из У1.8.3 следует справедливость
этого условия во всяком замкнутом подпространстве про-
пространства М. Если же пространство М локально бикомпактно
и А — его замкнутое подпространство, то для всякого а е А
существует в М такая окрестность V, замыкание которой
I] бикомпактно. Тогда пересечение V [\ А служит окрест-
окрестностью для а в Л, причем ее замыканием в А является
П Г) А. Это последнее пересечение будет, однако, биком-
бикомпактным, так как оно замкнуто в Ж (как пересечение замкну-
замкнутых подмножеств) и содержится в бикомпактном простран-
пространстве {/.
# Всякое открытое подмножество локально бикомпакт-
бикомпактного (в частности, бикомпактного) пространства локально
бикомпактно.
Всякое локально бикомпактное пространство изоморфно
открытому подпространству некоторого бикомпактного про-
пространства [П. С. Александров, Ма1п. Апп. 92 A924),
294—301]. х
6. Топологическое пространство М называется несвяз-
несвязным, если оно распадается на два непустые непересекающие-
непересекающиеся замкнутые подмножества (каждое из которых будет,
очевидно, и открытым), и связным в противоположном
случае.
Топологическое пространство М называется вполне не-
несвязным, если для любых двух различных элементов а, Ь^М
существует такое разбиение М на два непересекающиеся
замкнутые подмножества Л, В, что аЕД Ъ е В.
Всякое дискретное пространство будет, конечно, вполне
несвязным. Примером недискретного вполне несвязного про-
пространства служит рациональная прямая, т. е. подпростран-
подпространство числовой прямой, составленное из рациональных чисел.
Оно не дискретно, так как всякая окрестность на числовой
прямой содержит бесконечно много рациональных чисел.
С другой стороны, если а и & —два различные рациональ-
рациональные числа, а<^Ь, то существует иррациональное число а,
расположенное между ними, и мы получим искомое разбие-
разбиение, беря в качестве А совокупность рациональных чисел,
§ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 347
меньших а, а в качестве В — совокупность рациональных
чисел, больших а.
Отметим, что всякое подпространство вполне несвязного
топологического пространства само вполне несвязно.
§ 9. Топологические группы
1. Рассмотрение многочисленных примеров алгебраиче-
алгебраических образований, являющихся в то же время топологиче-
топологическими пространствами (см. У1.7.4), приводит к следующим
определениям.
Группоид О, одновременно являющийся топологическим
пространством, называется топологическим группоидом,
если умножение в группоиде О непрерывно в заданной топо-
топологии, т. е. для любых элементов а, Ь еО и любой окрест-
окрестности № элемента аЪ (см. У1.7.6) можно указать такие
окрестности I] и V элементов а и Ъ соответственно, что
[IV ^ Ш (где IIV есть множество элементов из О, предста-
вимых хотя бы одним способом в виде произведения XIV,
Частным случаем топологического группоида будет топо-
топологическая полугруппа.
Группа О называется топологической группой, если она
является топологической полугруппой и если, сверх того,
операция взятия обратного элемента непрерывна в заданной
топологии, т. е. для любого элемента аеОи любой окрест-
окрестности V элемента аГ1 существует такая окрестность {] эле-
элемента а, что II'1 <= V (где О есть множество элементов
вида 1С1 для всех и е II).
Легко проверить, применяя условия эквивалентности пол-
полных систем окрестностей топологического пространства
(см. VI.7.8), что свойство операции умножения (или опера-
операции перехода к обратному элементу) быть непрерывной не
зависит от выбора в О полной системы окрестностей. Инту-
Интуитивный смысл непрерывности операций состоит в том, что
малым изменениям сомножителей (или элемента) соответст-
соответствуют малые изменения произведения (или обратного элемента).
Задание в группе О такой топологии, по которой эта
группа будет топологической группой, называется ее топо-
логизацией.
■к Существуют группы, являющиеся топологическими полу-
полугруппами, но не топологическими группами.
348 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Всякая хаусдорфова бикомпактная топологическая полу-
полугруппа (см. VI.8.1 и VI.8.3), в которой выполняется закон
сокращения (см. 11.5.1), будет группой и даже топологиче-
топологической группой [см. Арене, ВиН. Атег. Ма1п. 5ос. 53 A947),
623—630].-х
2. Всякая группа может рассматриваться как топологи-
топологическая группа с дискретной топологией (см. V1.7Л0). Конеч-
Конечная группа допускает, понятно, лишь дискретную топологи-
зацию. Вопрос о возможности недискретной топологизаиии
любой бесконечной группы пока открыт.
•х Всякая бесконечная абелева группа может быть сде-
сделана топологической группой с недискретной топологией
[Кертес и Селе, РиЫ. МаШ. 3 A953), 187—189].*
3. Если А — открытое подмножество топологической
группы О и $ — элемент из О, то множества А& §А, А~г
также будут открытыми.
Докажем лишь первое из этих утверждений. Если Ь = а&
оеД то а = Ь§~1. Из непрерывности умножения вытекает
существование такой окрестности II элемента Ь, что Ц§~г <== А
(напомним, что А — открытое множество). Отсюда V <== А&
т. е. множество А§ вместе со всяким своим элементом Ь
содержит и некоторую его окрестность, что и требовалось
доказать.
Если § — элемент топологической группы О, то ото-
отображения {для всех х
х -► х& х-+ $х, х
являются изоморфными отображениями (см. VI. 7.8) О,
как топологического пространства, на себя.
Взаимная однозначность указанных отображений очевидна
и поэтому можно сослаться на предшествующую теорему,
учитывая, что обратным отображением для правой трансля-
трансляции х -> х§ будет правая же трансляция Х-+ХЗ, а ото-
отображение х-^х обратно самому себе.
Отсюда, ввиду VI. 7.8, следует, что если А — замкнутое
подмножество топологической группы О и^ — элемент из О,
то множества А§, §А, А также будут замкнутыми.
4, Если а и Ь — элементы топологической группы О,
то трансляция х-^ха^Ь, х^О, переводит а в Ь. Отсюда
$ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 340
и из установленного выше следует, что при доказательстве
свойств пространства топологической группы, относящихся
к отдельным элементам, достаточно рассмотреть лишь один
фиксированный элемент, например единицу. Отсюда же сле-
следует, что при задании топологии в группе нет необходи-
необходимости задавать всю полную систему окрестностей и можно
ограничиться заданием полной системы окрестностей еди-
единицы (см. VI. 7.6).
■^Система 2 подмножеств группы О тогда и только
тогда может служить полной системой окрестностей единицы
при некоторой топологизации этой группы, если выполняются
следующие условия:
1) пересечение всех множеств, входящих в 2, содержит
лишь единицу группы О;
2) пересечение любых двух множеств из 2 содержит
некоторое третье множество, принадлежащее к 2;
3) для всякого множества I] из 2 можно найти в 2
такое множество У, что У У'1 <== 11\
4) для всякого множества I] из 2 и всякого элемента
а е V в 2 можно найти такое множество У, что
У а д= {/;
5) для всякого множества I] из 2 и любого элемента а
группы О можно найти в 2 такое множество У, что
а №с[/л
5. Пространство всякой топологической группы О
регулярно и, следовательно, хаусдорфово (см. VI. 8.1
и VI. 8.2).
Используя критерий регулярности из VI.8.2 и учитывая
сказанное в предшествующем пункте, возьмем любую окрест-
окрестность V единицы группы О. Так как 1-1=1, то суще-
существуют такие окрестности Уг и У2 элементов 1 и I (= 1,
понятно), что У±У2 Я^ V. Существует, далее, такая окрест-
окрестность единицы 173, что У%1 с= У2, Существует, наконец,
окрестность единицы У9 лежащая в пересечении Уг {] У3
(см. У1.7.7). Ясно, что
УУ^^Ц. A)
Пусть йе У. Так как множество а У открытое, по VI.9.3,
и содержит элемент а — а • 1 из замыкания множества У,
то, по VI.7.6, в аУ можно найти элемент Ъ из У, Пусть
350 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Ь=ас, се V. Отсюда, ввиду A),
т. е. V с= У, что и требовалось доказать.
* Пространство всякой топологической группы вполне
регулярно (см. У1.8.2).
Существуют топологические группы, пространства кото-
которых не являются нормальными [А. А. Марков, Изв. АН СССР,
сер. матем. 9 A945), 3 — 64]. *
6. Всякая подгруппа А топологической группы О сама
будет, очевидно, топологической группой по топологии, ин-
индуцируемой в ней (см. У1.7.9) топологией группы О.
Замыкание А подгруппы А топологической группы О
само будет подгруппой. Если А — нормальный делитель
в О, то и А будет нормальным делителем. Если Л —
абелева подгруппа, то и А будет абелевой подгруппой.
В самом деле, если ху у е А и Ц — любая окрестность
элемента ху, то существуют такие окрестности У элемента х
и Ш элемента у, что УУР <= V. Существуют, далее, такие
элементы х\ у' е А, что х' е К / Е \У. Принадлежащий
к подгруппе А элемент х'у' содержится, следовательно,
в V. Этим доказано, что ху е А*
С другой стороны, если х е А и II — любая окрестность
элемента х, то существует такая окрестность У элемента х,
что У~1 9= V. Существует далее, такой элемент х' е А, что
х' е- У, а поэтому принадлежащий к подгруппе А элемент
х'~х содержится в V. Этим доказано, что х~г е А. Таким
образом, А оказалась подгруппой группы О-
Пусть, далее, Л —нормальный делитель группы О. Если
д:еД ^еО и II — любая окрестность элемента ^~1.хг#,
то существует такая окрестность У элементах, что ^~11/^с= V.
В У можно найти элемент х' е Л, поэтому в {] содержится
элемент ^х'%^. §А§= А. Этим доказано, что ^"^еА
т. е. Л — нормальный делитель.
Пусть, наконец, подгруппа Л абелева. Если х, у ^ А и
/7—произвольная окрестность элемента х^у^ху — комму-
коммутатора элементов х и у, — то из непрерывности операций
в группе О легко следует существование таких окрестно-
§ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 351
стей V элемента х и № элемента у, что У~
Существуют, далее, такие элементы х', у' е А, что х' <= V,
Отсюда
т. е. всякая окрестность элемента х~ху~хху содержит еди-
единицу, а поэтому х~ху~хху — 1, т. е. ху=**ух. Теорема доказана.
Всякая открытая подгруппа А топологической груп-
группы О замкнута.
Действительно, пусть х е А. Смежный класс Ах содер-
содержит х и, ввиду VI.9.3, открыт, а поэтому в нем содержится
элемент из подгруппы А. Это возможно, однако, лишь при
Ах = А, откуда хеД т. е. А — А.
7. Гомоморфизм ф топологической группы О на тополо-
топологическую группу О' называется непрерывным, если он удов-
удовлетворяет любому из следующих условий, эквивалентность
которых проверяется без всяких затруднений:
1) для всякого подмножества Л из О
2) для всякого замкнутого подмножества Л' из О' его
полный прообраз А'ф замкнут в О;
3) для всякого открытого подмножества А' из С его
полный прообраз А'ф открыт в О;
4) для всякой окрестности V единицы группы С ее
полный прообраз Уф" открыт в О.
Непрерывный гомоморфизм ф топологической группы О
на топологическую группу О' называется открытым, если
он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных
между собою условий:
Г) для всякого открытого подмножества А из О его
образ Аф открыт в О';
2') для всякой окрестности V единицы группы О ее
образ /Уф содержит некоторую окрестность 0' единицы
группы О'.
Наконец, топологические группы О и С называются
изоморфными, если между ними существует взаимно одно-
однозначное соответствие, являющееся изоморфизмом для О и О'
как для групп (см. 11.4.1) и как для топологических про-
пространств (см. У1.7.8).
352 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
8. Пусть А—замкнутая подгруппа топологической группы О,
М — множество правых смежных классов группы О по под-
подгруппе А, ф — отображение О на Ж, переводящее каждый
элемент х е О в смежный класс Ах, 2 — полная система
окрестностей пространства О, Еф —система образов окрест-
окрестностей, входящих в 2, при отображении ф.
Множество М можно считать топологическим про-
пространством с Еф б качестве полной системы окрест-
окрестностей.
Для доказательства достаточно применить критерий из
У1.7.7. Если Ах Ф Ау, то, ввиду замкнутости Ау (см. У1.9.3),
в 2 существует такая окрестность II, что х е V и {] (] Ау
пусто. Тогда Оср содержит смежный класс Ах, но не содержит
смежного класса Ау, т. е. условие а) выполнено.
Пусть, с другой стороны, окрестности I] и У из Б
таковы, что Ц*р П ^ф содержит смежный класс Ах. Так как,
по У1.9.3, множество а\] открыто при всяком деД то
и произведение А\] будет открытым; это же справедливо
для АУ. Элемент х содержится в АЦ[\АУ и, следовательно,
в этом пересечении содержится окрестность № из 2, содер-
содержащая х. Так как (Л{У)ф = ^/ф, (АУ)ср=Уср, то
с= (Цср р| \/ф), причем Ах е 1^ф. Этим доказано, что усло-
условие Р) также выполняется, т. е. закончено доказательство
теоремы.
Именно в смысле указанной топологии мы будем говорить
о пространстве правых (или, аналогично, левых) смежных
классов топологической группы по замкнутой подгруппе и,
в частности, о топологии в фактор-группе топологической
группы по замкнутому нормальному делителю.
■х Фактор-группа О/А топологической группы О по зам-
замкнутому нормальному делителю является топологической
группой, а естественный гомоморфизм О на О/А — открытым
гомоморфизмом.
Если ф—открытый гомоморфизм топологической группы О
на топологическую группу О', то ядро А этого гомоморфизма
является замкнутым нормальным делителем и существует
такое изоморфное отображение г|з топологической группы О'
на топологическую группу О/А, что произведение ф'ф совпа-
совпадает с естественным гомоморфизмом О на О/А.
Фактор-группа О/А топологической группы О тогда и
только тогда дискретна, если нормальный делитель А
открыт. #
§ 9] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 353
9. Топологизация группы О называется линейной (соот-
(соответственно вполне линейной), если она может быть задана
полной системой окрестностей единицы, состоящей из под-
подгрупп (из нормальных делителей) этой группы.
Дискретная топологизация всякой группы будет, очевидно,
вполне линейной.
Система 2 нормальных делителей группы О тогда
и только тогда служит полной системой окрестностей
единицы при некоторой {вполне линейной) топологизации
этой группы, если
1') пересечение всех нормальных делителей, входящих
в 2, содержит лишь единицу группы О;
2') пересечение любых двух нормальных делителей
из 2 содержат некоторый третий нормальный делитель,
принадлежащий к 2.
Необходимость условий 1') и 2') очевидна. С другой
стороны, если система нормальных делителей 2 удовлетворяет
этим условиям, то система 20 всех смежных классов по всем
нормальным делителям из 2 удовлетворяет условиям ее) и |3)
из VI.7.7, т. е. служит полной системой окрестностей для
некоторой топологии в множестве О. Действительно, если
а, Ь е О, афЬ, то, по 1'), в 2 найдется такой нормальный
делитель А, что аГхЬ ф А, а тогда а и Ь лежат в разных
смежных классах по А. Если же аЕО, Д 5еИ, то, по 2'),
в 2 содержится такой нормальный делитель С, что С^А [\В>
а тогда аС <== (аА [\ аВ).
Остается показать, что операции группы О непрерывны
в этой топологии (см. VI.9.1). Если а, Ь^О} Л е 2, то
аА-ЬА = (аЬ) А, что доказывает непрерывность умножения;
если же аеО, Ле2, то (аА)~1 = а~1А, откуда вытекает
непрерывность операции взятия обратного элемента. Теорема
доказана.
Из этой теоремы следует, в частности, что всякая
убывающая последовательность нормальных делителей
группы О, пересечение которой равно Е, определяет вполне
линейную топологизацию этой группы.
10. Всякая линейно топологическая группа О вполне
несвязна (см. У1.8.6).
В самом деле, пусть система подгрупп 2 служит полной
системой окрестностей единицы группы О. Если а, Ь е О,
, то в 2 содержится такая подгруппа А, что а'хЬ ф А7
354
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
т. е. аАфЪА. Ввиду VI.9.3 всякий смежный класс хА,
в том числе и аА, является открытым множеством. Открытым
будет и множество О\аЛ как объединение всех отличных
от аА левых смежных классов группы О по подгруппе А.
Мы получили разбиение группы О на два непересекающиеся
открытые (замкнутые) подмножества, причем а е аА
Ъ е= О\аА
X Всякая локально бикомпактная (см. VI.8.4) вполне
несвязная топологизация произвольной группы линейна.
Всякая бикомпактная (см. У1.8.3) вполне несвязная топо-
топологизация произвольной группы вполне линейна. #
§ 10. Связь топологии и нормирования
в кольцах и телах
1. Кольцо Я называется топологическим кольцом, если
в множестве Н задана топология, относительно которой
аддитивная группа кольца Н является топологической группой,
а мультипликативный группоид этого кольца—топологическим
группоидом (см. У1.9.1).
Ассоциативное тело К называется топологическим
телом, если в К задана топология, относительно которой
оно является топологическим кольцом, и если, сверх того,
операция взятия обратного элемента непрерывна в смысле
У1.9.1. Мультипликативная группа топологического тела будет,
следовательно, топологической группой. Определение топо-
топологического тела легко преобразуется к такому виду, когда
его можно применить и к неассоциативным телам или кольцам
с делением.
Читатель без труда сформулирует определение изомор-
изоморфизма топологических колец. Вообще, многие вопросы,
рассмотренные в предшествующем параграфе для топологи-
топологических групп, могут быть поставлены и для топологических
колец и тел. Мы не будем, однако, этим сейчас заниматься.
2. Всякое псевдонормированное кольцо Я (см. \П.4.7)
с действительными значениями псевдонормы %ю является
топологическим кольцом, причем его полную систему
окрестностей нуля составляют множества Ца (где
а — любое положительное действительное число) тех
элементов а из Н, для которых
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 355
Доказательство. Мы знаем из У1.9.3, что если бы
аддитивная группа кольца Н уже была топологической группой,
то в ней вместе с Ца открытыми были бы и все множества
вида а-\-С1а. Покажем, что система всех таких множеств
(при любых а е Н и любых положительных действительных а)
на самом деле служит полной системой окрестностей для
некоторой топологии в множестве Н (см. VI.7.7).
Пусть а, Ь е Ну афЪ. Если Х0(Ь — а) = у, то у>0.
Множество а-\- Цу содержит элемент а, так как 0 е 0у> но
не содержит элемента Ь, так как Ъ — а ф Ц
Пусть, с другой стороны,
Тогда т(а — &) = 81<С Р, Х0(а — с) = 82<у. Положим
а = гшп (Р — б!, у — б2).
Если х е Ну хй) (х) <С а, то
причем
Этим доказано, что а + ^а^^ + ^р- Аналогично и а
Мы получили топологию в множестве /?, причем видим,
что во всякой окрестности элемента а ^ Н содержится
окрестность вида а-\-Ца. Докажем непрерывность операций
кольца /? в этой топологии.
Пусть а, Ь е Н и а -\- Ь -\- Цу — данная окрестность эле-
элемента а-\-Ь. Если 6 = у у и х, у е II&, то
У)^ () + О)< 28
Этим доказано, что
т. е. доказана непрерывность сложения.
Пусть, далее, а^Н и — а-\- II а — данная окрестность
элемента —а. Если ^Е(/а, то, так как х^(—х)==^(лг) и
, будет
356 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. VI
Этим доказана непрерывность операции взятия противо-
противоположного элемента.
Если, наконец, а, & е/?, 10{а) = ау Х0(Ь) = $ и аЬ~\-Цу—
данная окрестность элемента аЬ, то в качестве б возьмем
такое положительное действительное число, что
+ бр + б2 << у.
Если Ху у ^ 11& то
10 (ау + хЪ + ху) ^т (а) т (у) +10 (х) 10 (Ъ) -\-10(хI0 (у) <; у,
т. е.
*
чем доказана непрерывность произведения. Теорема доказана.
3. Если в ассоциативном теле К задана действитель-
действительная норма 10 (а) (см. VI. 4.1), то в топологии, определен-
определенной в VI. 10.2, К будет топологическим телом.
Мы уже знаем, что К будет топологическим кольцом, и
поэтому остается доказать лишь непрерывность операции
взятия обратного элемента.
Заметим сперва, что из
10 (а) = 10 (а- 1) =
следует зд>A)=1. Поэтому для афО, ввиду
10 (а) -10 (а) = 10 (аа) = 10 A) = 1,
будет
(а) = [10 (а)].
Пусть теперь йе /С, афО, 10(а) = а и пусть а ^
данная окрестность элемента а. Положим
°У - A)
ясно, что 0 < 6 < а. Пусть 10 (х) << б. Тогда а ~\- х Ф 0 и
существует такое у е /С, что
Отсюда
= (а 4- х)'1 — а = а [а — (а + ^)] (я 4- лг) =
= а (—х) (а 4- х)~\
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 357
Однако хю (а) = а, хю{—х) = хю (х) <С б. Далее,
хю (а) = хю [(а + х) — х] ^ хю (а ~\- х) + хю (х\
откуда
хю (а + х) ^ хю (а) — хю (х) ^> а — б >> 0,
а поэтому
хю [{а + х)] = [^ (а + х)] < (а — б).
Таким образом,
хю (у) <: а-1б (а — б),
что после замены б его выражением A) приводит к
^ (У) < 7-
Этим доказано, что (а + Уб) ~ а~х + Уу Теорема доказана.
4. Обычное нормирование поля действительных чисел и
поля комплексных чисел при помощи абсолютной величины
(модуля) индуцирует (в смысле доказанных выше теорем)
обычную топологизашш этих полей. Обычное нормирование
тела кватернионов (см. VI.4.1) индуцирует топологизацию
этого тела, совпадающую на его аддитивной группе с обыч-
обычной топологизацией четырехмерного евклидова пространства
(см. У1.7.10). Именно эти топологизации указанных трех тел
мы будем иметь в виду, когда будем говорить об этих телах
как о топологических телах.
В поле рациональных чисел и в поле /7-адических чисел
(см. III.3.12) их /?-адическое нормирование (см. У1.5.6 и
VI.5.8) также индуцирует топологизацию. Эта топологизация
(равно как и порождаемые ею топологизации кольца целых
/7-адических чисел и аддитивных групп указанных полей и
кольца) называется их р-аджеской топологизацией. Ввиду
целочисленности и логарифмичности /?-адической нормы
систему окрестностей нуля в этой топологии составляют
множества \]к (где к — любое целое число) таких чисел а
(рациональных или /7-адических), /?-адическая норма которых
строго больше к.
5. Пусть К — ассоциативное топологическое тело. Эле-
Элемент а е К называется топологически нильпотентным,
если последовательность его степеней ап, п=1, 2, ..., схо-
сходится к нулю, т. е. любая окрестность нуля /7 содержит все
358 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
эти степени, кроме, может быть, конечного числа их. Элемент
а е /С, а Ф- 0, называется нейтральным, если ни а, ни а
не являются топологически нильпотентными. Наконец, мно-
множество Л, А а К, называется ограниченным справа, если
для любой окрестности нуля II можно указать такую окрест-
окрестность нуля V, что А V 9= V.
Докажем следующую теорему [К а п л а н с к и й, Бике
Ма1п. Л. 14 A947), 527—541; для топологических полей,
в несколько иной формулировке —И. Р. Шафаревич,
ДАН СССР 40 A943), 149—151]:
Пусть К—ассоциативное топологическое тело. Топо-
Топология этого тела тогда и только тогда индуцируется
действительной нормой, если выполняются условия:
1) множество N всех топологически нильпотентных
элементов тела К открыто и ограничено справа;
2) если элемент а — топологически нильпотентный,
а элемент Ь —топологически нильпотентный или ней-
нейтральный, то произведение Ьа топологически ныльпо-
тентно.
6. Необходимость этих условий проверяется без
затруднений. Если топология тела К индуцируется действи-
действительной нормой т@(а)> то топологическая нильпотентность
элемента а равносильна тому, что т(а)<^ 1, а нейтральность
элемента а —тому, что т(а)—\. Отсюда сразу вытекает
условие 2). Ограниченность справа множества УУ следует
из включения МУ-у ^ 11Т Наконец, множество N будет и
открытым, так как N=1
7. Перейдем к доказательству достаточности этих
условий. Покажем сперва, что если а^УУ и а Ф 0, то а ф N.
Пусть это не так и пусть Ц — произвольная окрестность
нуля. Тогда, ввиду равенства 0-0 = 0 и непрерывности
умножения, существуют такие окрестности нуля V и \^, что
V'• УР^Ц. Так как при достаточно больших натуральных п
агаеУ, а"лЕ1^, то 1^11, что невозможно, так как I] была
произвольная окрестность нуля.
Обозначим через М множество всех нейтральных элемен-
элементов. Условие 2) из формулировки теоремы можно записать
теперь в виде
(И [) М) N с= N. B)
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 359
Ясно, что 1еМ. Из определения нейтрального элемента
следует, что если а е Ж, то и а е Ж. Пусть, далее,
а, Ь ^ М. Если аЬ<=:М, то, по B), аГ1{аЬ)^=Ь е УУ; если же
(аи) е А/, то й (аи) = а е УУ. Таким образом, аЬ еЖ, т. е.
с М. C)
Пусть теперь йеМ 6 е Ж. Если аЬ е Ж, то, ввиду C)
и й е Ж, (аЬ) Ь~х = а е Ж. Если же (&&) е УУ, то
Ь (аЬу1 = сг1 ^ N. Таким образом, аЬ^Ы, т. е.
МИ с А/. D)
Из B) — D) следует
М){Ы\] М) с (Д^у Ж). E)
Пусть, далее, а е УУ, а х — произвольный элемент тела /С,
отличный от нуля. Если II — заданная окрестность нуля,
то из л;*О*лг = О и непрерывности умножения следует
существование такой окрестности нуля V, что х \Лхг <=/У.
Так как ап ^ V при достаточно больших натуральных я,
то х~1апх = (х~1ах)п ^ Ц; отсюда ^-1ад; е М т. е.
F)
Если же а е Ж, х =^= 0, то лг^ал: е Ж, так как из Ъ = л:"аах е А/
следовало бы, ввиду F), хЬх'1 = аЕМ а из Ь ^ N сле-
следовало бы а е М Таким образом,
е Ж. G)
8. Из полученных результатов, в частности из C) и G),
вытекает, что Ж будет нормальным делителем в мульти-
мультипликативной группе /С* отличных от нуля элементов
тела К- Можно рассмотреть, следовательно, фактор-
факторгруппу ЛГ*/Ж. Отметим, что эта фактор-группа будет еди-
единичной тогда и только тогда, если УУ состоит лишь из одного
нуля, т. е., ввиду условия 1), если топология тела К
дискретна, — следует учесть, что тело К не может содержать
нильпотентных элементов, т. е. таких элементов а, что
а Ф 0, но ап — 0 при некотором натуральном п.
Ввиду E) множество N {] М (без нуля) распадается на
полные смежные классы по М и эти смежные классы соста-
составляют в фактор-группе К*/М подполугруппу. Легко прове-
проверяются, ввиду F) и G), условия 1) —4) из VI.!.3, т. е.
360
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
эта подполугруппа будет полугруппой положительных элемен*
тов при некоторой линейной упорядоченности группы К*/Мщ
Полученная упорядоченность оказывается архимедо*
вой (см. VI. 3.3). В самом деле, если а, Ь е /С* и смежные
классы аМ и ЪМ строго положительны, то йеЛ/, йеМ
Пусть {]—данная окрестность нуля; можно считать, что
/7с=УУ, так как N открыто. Ввиду 0-Ь~1 = 0 существует
такая окрестность нуля V, что УЬ'1 с= Ц, а так как из аЕЛ/
вытекает существование такого натурального числа #, что
ак е V, то а^й ^ II и поэтому а^й'1 е А/. Отсюда следует,
что в упорядоченной группе К*/М будет (аМ)к > ЬМ, т. е.
архимедовость этой группы доказана.
9. Ввиду теоремы Гельдера (VI. 3.4) группа К*/М изо-
изоморфна подгруппе аддитивной группы действительных чисел
с ее естественной упорядоченностью. Это определяет гомо-
гомоморфное отображение ф группы ЛТ* в аддитивную группу
действительных чисел, причем в нуль отображаются элементы
из Ж и только они, а образы отличных от нуля элементов
из N (и только этих элементов) строго положительны.
Пусть X — пока произвольное положительное действительное
число. Положим для а е К
(8)
Ясно, что условия 1 и 2 из VI. 4.1 выполняются. Позже мы
покажем, что возможен такой выбор Я, при котором будет
выполняться и условие 3.
Из (8) легко следует, что 1® (а) = 1 тогда и только
тогда, когда аЕД а хю(а)< 1 тогда и только тогда, когда
а ^ N. Как в VI. 10.2, обозначим через /7а (где а —положи-
—положительное действительное число) множество тех элементов
а е /С, для которых (г2'{а)<<а. Если топология тела К
дискретна, то при а<1 будет /7а
р, р у а
Пусть топология тела К не дискретна. Рассмотрим произ-
произвольное /7а. В К существует такой элемент 6, что тю (Ь) > а.
Так кгк множество N открытое, то найдется такая окрест-
окрестность нуля /7, что Ы] ^N=11^ Поэтому /7^ IIа.
Обратно, пусть /7— произвольная окрестность нуля
тела /С. Ввиду ограниченности справа множества N и пред-
предположенной нами недискретности тела К существует такое
§ 10] СВЯЗЬ ТОПОЛОГИИ И НОРМИРОВАНИЯ В КОЛЬЦАХ 361
с ф. 0, что Ыс с= {]. Отсюда следует, что если а — ш(с), то
1/а ^ (/, так как Уа—[/^ — д^
Таким образом, если X будет подобрано так, что хю{а)
окажется нормой, то топология, индуцируемая этой
нормой в смысле VI. 10.2, будет совпадать с исходной
топологией тела К (см. определение эквивалентности систем
окрестностей в VI. 7.8).
10. Продолжая- считать X выбранным произвольно, дока-
докажем существование такого числа /, что для всех оеК,
имеет место неравенство
(9)
В самом деле, если бы такого числа / не существовало, то
мы нашли бы такую последовательность элементов ап е /С,
апф—\, #=*=1, 2, ,.., что при п-^оо
и> (Д) 0
ш(\+ап) ш(\+ап) ' т(\+ап)
т. е.
1 =»((!+««Г1)-> О,
и)(ап)
Отсюда следовало бы, однако, ввиду доказанного в пред-
предшествующем пункте, что последовательности
(\+ап)-1 и ааA+аяу\ /2=1,2,..., A0)
сходились бы к нулю в топологии тела /С, что невозможно,
так как сложение в теле К непрерывно, а сумма п-х членов
последовательностей A0) равна 1.
Из (9) следует, что если хотя бы один из элементов
а, Ъ е К отличен от нуля, то
тв> (а + Ь) ^ / (Г0 (а) + хв> {Ь)). A1)
Действительно, если афО, то
то (а + Ь) = № [а (I + а~гЬ)] ^
^ 1x0 (а) [ 1 + ш~1 (а) хю (Ь)] = I (хм (а)-\-XV (Ь)).
Ясно, что A1) справедливо и при а = Ь = 0. Из A1) следует
A2)
362
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
11. Существует столь малое положительное действитель-
действительное число V, что B1у ^ 2. Заменим в определении (8) число А,
числом Ху. Так как при этом число Х0(а) возводится в сте-
степень V, то, относя с этого момента символ хю
к новому выбору числа X, мы из A2) получим
хю(а + #)<2 шах{по(а), по(Ь)). A3)
Отсюда легко следует для А=1, 2, ...
Условимся обозначать через п я-кратное единицы тела К;
этот элемент будет встречаться лишь под знаком хю, и поэтому
нет опасности смешать его с натуральным числом п. Отметим
также, что К не предполагается телом без характеристики.
Из A4) следует
тг>B*Х2*, А=1, 2, ... A5)
Покажем, что для любого натурального п
м(п)^2п. A6)
В самом деле, пусть 2к^п<С2к+1. Будем доказывать A6)
индукцией по к, так как при к = 0 это утверждение спра-
справедливо. Так как п = (п — 2к) -\- 2к, то при %ю (п — 2к) ^ %ю Bк)
из A3) и A5) вытекает
то (п) < 2т {2к) ^2-2к^2п.
Если же Х0 (п — 2к) ^ гю Bк), то, применяя, ввиду л — 2
индуктивное предположение, получаем, что
по(п)^2х0(п-2к)^2.2(п-2к) = 4п- 2к+*< 2п.
12. Возьмем теперь произвольный элемент а^К и приме-
применим A4) к разложению элемента A-|-а)л~1 по формуле би-
бинома, полагая п равным некоторой степени
числа 2. Формула бинома в рассматриваемом случае при-
применима, так как элементы а и 1 перестановочны. Так как,
ввиду A6),
где Сп — 1 — биномиальный коэффициент, то
2/2 шах (С* _ {т1 (а)) < 2п A + по (а))п1.
§ 111 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 363
Отсюда следует
а так как п может быть сколь угодно большой степенью
числа 2, то
-\-а)
Неравенство 32 из VI. 4.1, равносильное в рассматривае-
рассматриваемом нами случае действительной нормы условию 3 из опре-
определения нормы — именно, в этом случае тю{— 1)= 1 и поэтому
выполняется равенство Зх из VI. 4.1, — выводится теперь так же,
как A1) было выведено из (9). Теорема VI. 10.5 доказана.
* Если ассоциативное топологическое тело локально би-
бикомпактно (см. VI. 8.4), то его топология индуцируется дей-
действительной нормой [Капланский, Эике Ма1п. Л. 14
A947), 527—541].
Поле действительных чисел, поле комплексных чисел и
тело кватернионов, рассматриваемые с их естественной топо-
топологией (см. VI. 10.4), являются единственными связными
(см. VI. 8.6) локально бикомпактными ассоциативными топо-
топологическими телами [Л. С. П о н т р я г и н, Апп. о! МаШ. 33
A932), 163—174].
Пусть Р — топологическое поле. Топология поля Р тогда
и только тогда индуцируется неархимедовой нормой (см.
VI. 4.3) со значениями в некоторой линейно упорядоченной
группе, пополненной нулем, если: 1) в Р существует окрест-
окрестность нуля, порождающая ограниченную аддитивную под-
подгруппу; 2) если подмножество А а Р не пересекается с не-
некоторой окрестностью нуля, то Л ограничено [Зелинский,
Ви11. Атег. МаШ. Зое. 54 A948), 1145—1150].*
§11. Соответствия Галуа. Основная теорема
теории Галуа
1. Говорят, что между частично упорядоченными мно-
множествами М и М' установлено соответствие Галуа, если
указаны отображения ср: М —>■ М' и г|х М' -> Ж, удовлетво-
удовлетворяющие (для любых а, ^еМ, а'^'Е/И') следующим тре-
требованиям:
а) если а^Ь, то аср ^
если а'^Ь'', то а'г|)
Р)
364
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Это понятие тесно связано с понятием замыкания в ча-
частично упорядоченном множестве (см. VI. 7.1):
Если между частично упорядоченными множествами
М и М' установлено соответствие Галуа, то равенства
определяют соответственно в М и в М' отношения за*
мыкания. Если Мо и М'о — системы всех элементов ив
М и М' соответственно, замкнутых при этих замы-
замыканиях, то ф отображает инверсно изоморфно Мо на
М'о, а ч|) отображает инверсно изоморфно М'о на М&
причем на этих множествах отображения ф и г|) об-
ратны друг другу.
Покажем, что равенства A) вводят в множествах М и
ЛГ отношения замыкания. Ясно, что |3) непосредственно
приводит к условию 10) из VI. 7.1, а из а) следует усло-
условие 20). С другой стороны, из |3) следует, ввиду
неравенство
| ^ аф,
а так как, по а), из афг|)^а вытекает
то на самом деле
афг|)ф = аф, B)
и поэтому
афг|)фг|) = афг|), аЕЖ. C)
Этим доказано, что выполняется и условие 30) из VI. 7.1.
Системы Мо и М'о элементов, замкнутых в Ж и Ж' отно-
относительно построенных нами замыканий, состоят соответст-
соответственно из элементов аф\|), где а^М, и аЧ|)ф, где '
Равенство B), записанное в виде
(аф) г|хр =
показывает, что образ при ф любого элемента а из Ж за-
замкнут в М'. Отсюда следует, что ф отображает систему
Мо в систему М'о. Аналогично отображение г|) переводит
М'о в Мо.
Из справедливости равенства C) и аналогичного ему ра-
равенства
а'г|хрг|хр = а'г|)ф, а
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 365
вытекает, однако, что в действительности ф и ч|), рассмат-
рассматриваемые лишь на Мо и Жо, будут обратными друг другу
взаимно однозначными отображениями. Они являются даже
инверсными изоморфизмами, как следует из а). Теорема
доказана.
2. Приведем лишь одно из многочисленных применений
соответствий Галуа в алгебре. Рассмотрим поле К с отме-
отмеченным в нем подполем Р и обозначим через О(К,Р) мно-
множество всех автоморфизмов поля /С, оставляющих на месте
каждый элемент из Р. Это множество будет, очевидно,
группой относительно умножения автоморфизмов. Группа
О (К, Р) называется группой Галуа поля К над подполем Р.
Обозначим через М множество всех подмножеств А
поля К, содержащих в себе подполе Р,
Р е А д=
а через М' — множество всех подмножеств А' группы О (К, Р),
причем оба эти множества рассматриваются с их теорети-
теоретико-множественной частичной упорядоченностью. Для всякого
А^М обозначим через Лф совокупность тех автоморфиз-
автоморфизмов из О (/С, Р), которые оставляют множество А поэле-
поэлементно неподвижным. С другой стороны, для всякого Д'еМ'
обозначим через А'г|) множество всех элементов поля /С,
оставляемых на месте всеми автоморфизмами из А'.
Ясно, что Аф будет подгруппой группы Галуа О (К, Р)
и А'тр —подполем поля К, содержащим Р. Немедленно
проверяется также, что отображения ф и г|) удовлетворяют
условиям а) и |3) из VI. 11.1. Нами установлено, следова-
следовательно, соответствие Галуа между множествами М и М',
что определяет замыкания в каждом из этих двух множеств.
Наконец, отображения ф и г|) являются обратными друг
другу инверсно изоморфными соответствиями между
системами Мо с: М и М'о а М' замкнутых элементов, т. е.
между некоторой системой подполей поля К, содержа-
содержащих подполе Р, и некоторой системой подгрупп группы
Галуа О {К, Р).
3. Особенно интересны те случаи, когда оказываются
замкнутыми как все подполя, промежуточные между Р и /С,
так и все подгруппы группы Галуа, т. е. когда обозрение
всех подполей поля К, содержащих поле Р, сводится на
366 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
обозрение всех подгрупп группы <3(/С,Р). Рассмотрим
один такой случай.
Будем предполагать, что рассматриваются лишь
поля без характеристики (см. III. 2.11). Будем счи-
считать также, что читатель уже знаком из курса высшей алгебры
с основами алгебры многочленов над полями [см., например,
А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, изд. 10, 1971,
§§ 47 — 49; дальше цитируется как «Курс»].
Пусть, как и выше, Р а К. Элемент йеК называется
алгебраическим над полем Р, если он является корнем не-
некоторого многочлена из кольца Р [х] и, следовательно, кор-
корнем однозначно определенного неприводимого многочлена
Ф (х), старший коэффициент которого равен единице. Степень
этого многочлена называется степенью элемента а, а его
корни, лежащие в поле К или в некотором расширении
этого поля, — элементами, сопряженными с а.
Поле К называется алгебраическим расширением поля Р,
если всякий элемент из К алгебраичен над Р. Поле К есть
конечное расширение поля Р, а именно расширение сте-
степени п, если К является конечномерной линейной алгеброй
над Р (см. V. 6.6), причем имеет размерность п. Степень К
над Р будет обозначаться символом (К'.Р\
Всякое конечное расширение является алгебраическим
расширением.
Действительно, если (К:Р) = л, то всякие п-\-1 элементы
из К линейно зависимы над Р. В частности, если аеК, то
элементы 1, а, а2, ...,ап линейно зависимы над Р, а это
означает, что а является корнем многочлена степени п из
кольца Р [х].
4. Теорема о примитивном элементе. Если поле К
без характеристики является алгебраическим расшире-
расширением поля Р и порождается присоединением к Р ко-
конечного числа элементов, то К порождается присоеди-
присоединением к Р одного элемента.
Достаточно рассмотреть случай присоединения двух эле-
элементов. Пусть
Если ф (х) и ^(лт)—-неприводимые над Р многочлены, име-
имеющие своими корнями соответственно а и р, то существует
такое расширение Ь поля К (например, поле разложения про-
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 367
изведения ф (х)ур (х)> см. «Курс», § 49), в котором оба эти
многочлена имеют все свои корни.
Пусть
0&1 г= ОС, 0^2> . . • > ОС^
будут все лежащие в Ь корни многочлена ф(х); они раз-
различны, так как ф(х) не имеет кратных корней. Аналогично
будут все лежащие в Ъ корни многочлена ^(х). Так как Р,
как поле без характеристики, бесконечно, то найдется такой
элемент с е Р, что
щ + с^фа + сЬ D)
если хотя бы один из индексов /, ] отличен от 1.
Положим
? = а + <:р. E)
Ясно, что Р(у)я^К. Рассмотрим теперь многочлен
ф (х) = ф (у — сх)
с коэффициентами из поля Р(у). Так как, по E),
и, как мы знаем, г|) (Р) = 0, то многочлены ф (х) и г|? (х)
имеют общий корень |3. Это единственный их общий корень:
если Ф (Ру) = 0, ]ф\, то
Ф (V - <фу) = О,
т. е. 7"~СР/ Равно некоторому щ в противоречие с усло-
условием D).
Отсюда следует, что х —13 будет наибольшим общим дели-
делителем многочленов ф (х) и тр(х). Коэффициенты этих много-
многочленов, а поэтому и их наибольшего общего делителя, лежат
в поле Р (у), т. е. РеР (у). Отсюда, по E), иаЕ
Таким образом,
что и требовалось доказать.
5. Алгебраическое расширение К поля Р называется нор-
нормальным расширением, если всякий неприводимый многочлен
из кольца Р [х]9 имеющий в поле К хотя бы один корень,
имеет в К все свои корни, т. е. разлагается над К на линей-
линейные множители.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА ГГЛ. V!
-х- Поле К тогда и только тогда будет нормальным расши-
расширением своего подполя Р, если К порождается присоедине-
присоединением к Р всех корней некоторого множества многочленов
из кольца Р [х]. #
6. Если поле К без характеристики является конеч-
конечным степени п и нормальным расширением своего подполя
Р, то группа Галуа О (К, Р) конечна и имеет порядок п.
В самом деле, К алгебраично над Р, но VI. 11.3, и, по
VI. 11.4, обладает примитивным элементом,
К=Р (а).
Так как (К:Р) — п, то всякий элемент |3 е К обладает одно-
однозначной записью вида
Р = К + *1« + Ь2а2 + ...+ Ьп-гап-\
ьь ь2, ..., &„_! е р,
а поэтому а имеет степень п над полем Р. Ввиду нормаль-
нормальности К над Р в поле К содержаться п различных (так как
поле без характеристики) элементов, сопряженных с а:
<Х\ — ОС, 0&2, . . о 0Сп.
Ясно, что
/= 1, 2, ..., п.
Как известно (см. «Курс», § 49), существует однозначно
определенный автоморфизм поля /С, оставляющий элементы
поля Р на месте и переводящий а в а/, /=1, 2, ..., л,
а именно автоморфизм фг, отображающий элемент |3 из F)
в элемент
1
Р/ = ^ + М + М! + + Ь^ ~
Это дает п элементов группы Галуа О (К, Р). С другой
стороны, пусть ф будет произвольный автоморфизм поля /С,
принадлежащий к О (/С, Р), и пусть аф = а'. Если
= Хп
— тот неприводимый многочлен из кольца Р [х], корнем ко-
которого является а, то, так как аср == а для всех а
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 369
Элемент а' совпадает, следовательно, с одним из элементов
аг из G), а поэтому автоморфизм ср совпадает с соответст-
соответствующим автоморфизмом ср*. Теорема доказана.
7. Ясно, что поля 01, промежуточные между Р и /С,
Р <= 0 <= /С, (8)
составляют структуру по теоретико-множественному вклю-
включению. Ясно также, что из К = Р(а) следует /С =B (а) для
всякого B, удовлетворяющего включениям (8).
Если поле К конечно над полем Р, то промежуточное
поле 01 конечно над Ру К конечно над 01 и
В самом деле, конечность C над Р следует из того, что
B является подпространством векторного пространства К над
полем Р. Конечность К над C вытекает из того, что мы
получим базу К над 0}, если возьмем в базе К над Р мак-
максимальную подсистему, линейно независимую над B. Пусть,
наконец, аь а2, ..., ак будет база К над 0}, а $ъ C2> •••>
база C над Р. Тогда для любого уеК будет
Ц /=1, 2, ..., А, (9)
/=1
а так как
ТО
Линейная независимость над Р системы &/ элементов а^$^
вытекает из того, что из равенства нулю правой части равен-
равенства A1) следовало бы, ввиду линейной независимости си-
системы аь а2, ..., ак над 01, равенство нулю коэффициен-
коэффициентов Ьг в (9), где Ьг имеют вид A0), а тогда, ввиду линейной
независимости системы C^ |32> •••> Р/ наД Р> равны нулю все
коэффициенты а^.
Если поле К нормально над полем Р, то оно нор-
малъно и над всяким промежуточным полем О
13 А, Г. Курош
370 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА \ГЛ. VI
Пусть, в самом деле, неприводимый над С? многочлен
обладает в К корнем а. Неприводимый над Р многочлен
корнем которого является а, имеет в поле К все свои корни,
а так как %(х) служит делителем для /(х) в кольце С1[х]
(см. «Курс», § 48), то и @(х) разлагается над полем К на
линейные множители.
8. Основная теорема теории Галуа. Если поле К без
характеристики является конечным и нормальным рас-
расширением поля Р, то соответствие, сопоставляющее
всякому промежу точному полю 0. (см. (8)) группу Галуа
О (К, О) поля К над этим полем С}, является инверс-
инверсным изоморфизмом между структурой всех промежу-
промежуточных полей и структурой всех подгрупп группы Га-
луа О {К, Р).
Действительно, отображение ср из соответствия Галуа,
рассмотренного в VI. 11.2, сопоставляет всякому промежу-
промежуточному полю B подгруппу группы О(К,Р), являющуюся
группой Галуа К над B,
Основная теорема будет, следовательно, доказана, если мы
покажем, что при замыканиях, определяемых указанным соот-
соответствием Галуа, будут замкнутыми как все промежуточные
поля, так и все подгруппы группы Галуа.
Если B — произвольное промежуточное поле, то
'ф=о (/с, с}') = V = г/фф д= о (/с, р).
Поэтому С} ^ С}', V с= {]'. Обозначим через 5 и $' соответ-
соответственно порядки подгрупп V и 1}\ Тогда
и, по VI. 11.7,
(/С: 0J*(/С: 0'). A2)
Однако, по VI. 11.6,
§ 11] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 371
Поэтому в A2) имеет место равенство, откуда
Пусть теперь G—произвольная подгруппа группы О(К, Р).
Положим
A3)
, Р).
Тогда (/с= {/', т. е., как и выше, $^$'. Пусть, однако,
= С} (а). Если
а2, ..., а5 A4)
— все автоморфизмы, включая тождественный автоморфизм е,
составляющие подгруппу V, то а будет корнем многочлена
степени 5
/(х) = (х — аох) (х — аа2)... (х — аа5).
Коэффициенты этого многочлена, написанные по формулам
Вьета, не меняются при любом из автоморфизмов A4) —умно-
—умножение всех элементов группы /У справа на один из ее эле-
элементов лишь переставляет эти элементы. Поэтому, в силу
определения отображения гр и A3),
т. е. степень а над Р не больше 5, откуда
Таким образом, $' = $, т. е. Ц'=1). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, в частности, что в рассмат-
рассматриваемых условиях число полей, промежуточных между
Р и К, будет конечным.
^ В условиях основной теоремы промежуточное поле B
тогда и только тогда нормально над полем Р, если соот-
соответствующая подгруппа Ц = О(К, <3) является нормальным
делителем группы О (/С, Р). Группа О (B, Р) изоморфна при
этом фактор-группе
О (К Р)/A.
В случае полей без характеристики конечность и нор-
нормальность К над Р не только достаточны, но и необходимы
для справедливости утверждения основной теоремы.
13*
372 УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ТОПОЛОГ. ГРУППЫ И КОЛЬЦА [ГЛ. VI
Если поле К без характеристики является алгебраическим
и нормальным (но не обязательно конечным) расширением
поля Р, то соответствие
является инверсным изоморфизмом между структурой всех
подполей, промежуточных между Р и К, и структурой всех
подгрупп группы О (К, Р), замкнутых в линейной топологии
этой группы (см. У1.9.9), определяемой следующим образом:
полную систему окрестностей единицы составляют подгруппы
О (К, <Эо)> где (Эо пробегает все подполя поля /С, являющиеся
конечными нормальными расширениями поля Р [Крулль,
Ма1п. Апп. 100 A928), 687-698].*
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
1 А д а м с о н* И. Т. (Айатзоп I. Т.), К^з, тос!и15 апс! а1^еЪга8,
ЕсПпЬигбЬ, 1971.
2*. А з у м а я Г. (Агитауа С), Алгебраическая теория простых
колец (на японском языке), Токио, 1951.
3*. А л б е р т А. А. (А1Ьег1 А. А.), Мойегп Ыфет а1&еЪга, СЫса^о,
1937.
4*. А л б е р т А. А. (А1Ъег1 А. А.), 51шс1иге оГ а1&еЪгаз, N. У., 1939.
5* А л б е р т А. А. (А1Ъег1 А. А.), Рипс1атеп1а1 сопсер1з оГ Ы^Ьег
а1&еЪга, СЫса^о — Ьопйоп, 1956; перепечатки, 1959, 1961.
6*. Александров П. С, Введение в теорию групп, М., 1938;
2-е изд., М., 1951; румынский перевод, Бухарест, 1954; немецкий
перевод, Берлин, 1954, 1960, 1971; украинский перевод, Киев,
1955; польский перевод, Варшава, 1956; английский перевод,
Лондон, 1959.
7. Александров П. С, Комбинаторная топология, М. — Л.,
1947.
8. Александров П. С, Введение в общую теорию множеств
и функций, М. — Л., 1948.
9. Александров П. С. и Хопф X, (А1ехапс1гоН Р. ипс!
НорГ Н.), Торо1о^е I, ВегНп, 1935.
10*. Альмейда Коста А. (А1те1с!а Соз1а А.), АЬеНап &гоирз,
попсотти1аИуе пп^з апс! 1с1еа1з, Ьурегсотркх зуз1етз апс!
гергезеп1а11оп, Ь1зЬоа, в 2-х тт., 1942, 1948.
И*. Альмейда Коста А. (А1те1с1а Соз1а А.), Апё1з аззос1а-
Иуоз пао соти1аИуоз, Ь1зЬоа, 1955.
12. Альмейда Коста А. (А1те1с1а Соз1а А.), Соигз сГа1^ёЪге
^ёпёга1е, в 2-х тт., ЫзЪоа, 1968.
13. Андрунакиевич В. А., Арнаутов В. И. и Рябу-
Рябухи н Ю. М., Кольца, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия.
1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 133—180.
14*. Ар тин Э. (АгИп Е.), ОаЫз Шеогу, Ыо1ге Оате, 1942; 2-е
изд., 1946, 1948; китайский перевод, Шанхай, 1958; немецкий
перевод, Лейпциг, 1960.
15*. А р т и н Э. (Аг1т Е.), ОеотеШс а1§еЬга, N. У. — Ьопйоп,
1957; русский перевод, «Геометрическая алгебра», М., 1969.
16. А р т и н Э. (АгИп Е.), А1беЬга1с питЬегз апс! а1^еЬга1с ГипсИопз,
Ьопс1оп, 1968.
Звездочкой отмечена литература, вошедшая в 1-е издание книги.
374 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
17*. Артин Э., Несбитт Ц. иТрэлл Р. (АгИп Е.,
Ы11 С. Л. апс! ТЬгаП К- М.), Шп^з \\а1Ь пиштшп сопсНИоп,
Апп. АгЬог, 1944.
18. Атья М. иМакдональд И. (АНуаЬ М. Р. апс! Масс!о-
паЫ I. С), 1п1гос!ис{юп 1о сотгтйаНуе а1§еЬга, КеасНп& (Маз5.),
1969; русский перевод, «Введение в коммутативную алгебру»,
М., 1972.
19. Б а л ь ц е ж и к С. (ЕЫсеггук 5.), \Уз1§р с!о а1^еЬгу пото1о-
&сге), \^агз2а\^а, 1970.
20. Б а р а н о в и ч Т. М., Универсальные алгебры, в сб. «Алгебра.
Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)»,
М., 1968, 109—136.
21*. Барбильян Д. (ВагЫНап О.), Теопа агНтеИса а 1с!еа1е1ог
(т 1пе1е песоти1аИуе), Висиге^И, 1956.
22. Б а р ш а й Я. (Вагзпау Л.), Тор1сз т пп^з Шеогу, N. У., 1969.
23*. Баумгартнер Л. (Ваит&аг1пег Ь.), Огирреп1Ьеог1е, Вег-
Нп — 1.е\рг'щ, 1921; 3-е изд., 1958; русский перевод «Теория
групп», М. —Л., 1934.
24. Белоусов В. Д., Неассоциативные бинарные системы, в сб.
«Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ
АН СССР)», М., 1967, 63—81.
25. Белоусов В. Д., Основы теории квазигрупп и луп, М., 1967.
26. Б е л о у с о в В. Д., Алгебраические сети и квазигруппы,
Кишинев, 1971.
27. Б е р ж К- (Вег^е С1.), ТЬёопе с!ез ^гарЬез е! зез аррНсаНопз,
Рапз, 1958.
28. Б е р л е к э м п Э. (ВеНекатр Е. К-)» А^еЪгак сосИп^ 1Ьеогу,
N. У. — 51. Ьои15 — 5ап Ргапс1зсо — Тогоп1о — Ьопйоп — 5ус1-
пеу, 1968; русский перевод, «Алгебраическая теория кодирова-
кодирования», М., 1971.
29. Берм ан С. Д., Представления конечных групп, веб. «Алгебра.
1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 83-122.
30*. Б ё р н е р X. (Воегпег Н.), Оаг51е11ип&еп уоп Огирреп тИ
Вегйск51сп11&ипб с!ег Вес1йгГп15зе с!ег тойегпеп Рпуз1к, ВегНп —
ОбШп^еп — НеЫе1Ъег&, 1955.
31*. Бернсайд В. (ВигпзМе \^.), ТЬеогу оГ ^гоирз оГ ПпИе огйег,
СатЬг1с1бе, 1897; 2-е изд., СатЬпс^е, 1911; перепечатки, N. У.,
1955, 1958.
32*. Биркгоф Г. (Вп-кпоН С), ЬаШсе Шеогу, N. У., 1940; 2-е,
переработанное изд., N. У., 1948; 3-е изд., РгоуЫепсе, 1967;
русский перевод, «Теория структур», М., 1952.
33. Б и р к г о ф Г. (В1гкпоН С), ТЬе го1е оГ тойегп а1^еЬга 1П
сотри1т§, «Сотри!. А1^^га апс! питЬег Шеогу E1АМ — АМ5
Ргос. 4)», РгоуЫепсе, 1971, 1—47.
34. Биркгоф Г. и Барти Т. (В1гкпоГГ О. апс! Ваг1ее Т.), Мо-
с!егп аррНес! а1§еЬга, N. У., 1970.
35*. Биркгоф Г. иМаклейн С. (В1гкпоГГ О. апс! МасЬапе 5.),
А зигуеу о[ тос!егп а1&еЪга, N. У., 1941; перепечатка, 1944;
2-е, переработанное изд., 1953; 3-е изд., 1965.
36. В о к у т ь Л. А., Ж е в л а к о в К- А. и КузьминЕ. Н.,
Теория колец, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги
науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970, 9—56.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 375
37*. Боревич 3. И. и Фаддеев Д. К., Теория гомологии
в группах, 1, 'Вестник Ленингр. ун-та, 1956, № 7, 3—39; II, там
же, 1959, № 7, 72—87.
38. Боревич 3. И. и Шафаревич И. Р., Теория чисел,
М., 1964; 2-е изд., 1972.
39. Б о р е л ь А. (Воге1 А.), Глпеаг а^еЪЫс &гоирз, N. У. — Атз-
1егс!ат, 1969; русский перевод, «Линейные алгебраические груп-
группы», М., 1972.
40*. Борувка О. (Вогиука О,), Оуос! с!о Шеопе &гир, Ргапа,
1944; 2-е изд., 1952.
41. Борувка О. (Вогиука О.), ОгипсИа^еп с!ег ОшрроМ- ипс!
ОгиррепШеопе, ВегНп, 1960.
42*. Брак Р. (Вгиск К. Н.), А зигуеу оГ Ыпагу зуз1етз, Вег-
Нп — ОоШп^еп — НеШЪегб, 1958; 2-е изд., 1966; 3-е изд.,
1971.
43. Б р а у н X. и К ё х е р М. (Вгаип Н. апс! КоесЬег М.), Логс!ап-
А1&еЪгеп, ВегНп — НеШЪегв — N. У., 1966.
44. Бринкман Г.-Б. и Пуппе Д. (Вппктапп Н.-В. ипс!
Рирре О.), Ка1е&опеп ипс! Рипс1огеп, «Ьес1иге N0165 т
МаШ.», № 18, ВегПп — НеЫеШегб — N. У., 1966.
45. Бринкман Г.-Б. и Пуппе Д. (Вппктапп Н.-В. ипс!
Рирре О.), АЬеЬсЬе ипс! ехак1е Ка1е^опеп, Коггезропйепгеп,
ВегНп — НеЫеШегб — N. У., 1969.
46. Б у к с б а у м Д. (ВиспзЪаит О. А.), Ехас! са1е^опез апс!
с!иаН1у, Тгапз. Атег. МаШ. 5ос. 80, № 1 A955), 1—34; русский
перевод, «Точные категории и двойственность» (в книге: К а р -
тан А. и Эйленберг С, Гомологическая алгебра, М.,
1960, стр. 451—496).
47. Букур И. иДеляну А. (Викиг I. апс! Ое1еапу А.), 1п1го-
йисИоп 1о Ше 1Ьеогу о[ са1е§ог1е5 апс! Гипс1ог$, Ьопс!оп — N. У. —
5ус!пеу, 1969; русский перевод, «Введение в теорию категорий и
функторов», М., 1972.
48. Б у р б а к и Н. (ВоигЬак1 N0, Ё1ётеп1з с!е та^пёта^^^ие;
рагИе I, Нуге I, Тпёопе с!ез епзетЫез, Рапз, 1957—1963; рус-
русский перевод, «Начала математики», часть 1, книга 1, «Теория
множеств», М., 1965.
49. Б у р б а к и Н. (ВоигЬак1 Ы.)» Ё1ётеп1з с!е та^Ьёта^^^ие;
рагИе I, Нуге II, А1^ёЬге, Рат15, 1958—1964; существенно пере-
переработанное изд., Рапз, 1970; русский перевод, «Элементы мате-
математики», книга 2, «Алгебра», в 3-х тт. (I. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра; II. Многочлены и
поля. Упорядоченные группы; III. Модули. Кольца. Формы),
М., 1962—1966.
50. Б у р б а к и Н. (ВоигЬак1 Ы.), Ё1ётеп1з с!е таШёта^ие; раг
Не I, Нуге III, Торо1о&1е ^ёпёга1е, Раг1з, 1940—1947; существенно
переработанное издание, Рапз, 1960—1967; русские переводы,
«Элементы математики», книга 3, «Общая топология», в 2-х кни-
книгах (I. Основные структуры; II. Числа и связанные с ними группы
и пространства), М., 1958—1959; с переработанного француз-
французского изд. (I. Основные структуры; II. Топологические группы
Числа и связанные с ними группы и пространства), М., 1968—
1969.
376 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
51. Бурбаки Н. (ВоигЬаЫ N0, Ё1ётеп1з с!е таШёта^ие; раг-
Ие II, А1^ёЬге сотти1аИуе, Рапз, 1960—1965; русский пере-
перевод, «Элементы математики. Коммутативная алгебра», М.,
1971.
52. Б у р б а к и Н. (ВоигЬак1 1М.), Ё1ёгпеп1з с!е таШёта^ие;
рагИе II, Огоирез е! а1&ёЪгез с!е 1ле, Рапз, 1968; русский пере-
перевод, «Элементы математики. Группы и алгебры Ли (гл. IV.
Группы Кокстера и системы Титса; гл. V. Группы, порожденные
отражениями; гл. VI. Системы корней)», М., 1972.
53. Б у р б а к и Н. (ВоигЪак1 Ы.), Ё1ётеп1з с!е та1пёта1^ие;
!азс. XXXII, ТЬёопез зрес1га1ез, Рапз, 1967; русский перевод,
«Элементы математики. Спектральная теория», М., 1972.
54. Б у р р о у М. (Вшто\у М.), КергезепЫюп 1Ьеогу о! ПпНе
^гоирз, N. У. — Ьэпскт, 1965.
55. Б у с а р к и н В. М. и Горчаков Ю. М., Конечные рас-
расщепляемые группы, М., 1968.
56. Бэр Р. (Ваег К-), АиЬтогрЫзтеп уоп ЕшеНегип&5бгирреп,
Рапз, 1935.
57*. Бэр Р. (Ваег К.)» Ьлпеаг а1^еЬга апс! рго]есИуе &еоте1гу,
N. У., 1952; русский перевод, «Линейная алгебра и проектив-
проективная геометрия», М., 1955.
58. Б э р е н с Э.-А. (ВеЬгепз Е.-А.), Шп& 1Ьеогу, N. У. — Ьопйоп,
1971.
59*. Ван-дер-Варден Б. Л. (уап с!ег ^аегйеп В. Ь.), Мойегпе
А1беЬга, в 2-х тт., ВегПп, 1930, 1931; 2-е изд., 1937, 1940; 3-е изд.,
1950; 4-е изд., «А1&еЪга», ВегНп — ОбШп^еп — Не1с1е1Ьег^,
1955; перепечатка, 1959; 5-е изд., 1960; 6-е изд., 1964; русский
перевод, «Современная алгебра», М. — Л., 1934, 1937; 2-й рус-
русский перевод, М. — Л., 1947; английский перевод, Нью-Йорк,
1949; венгерский перевод, Будапешт, 1953; португальский пере-
перевод, Лиссабон, 1954; китайский перевод, Ухань, 1943.
60. Ван-дер-Варден Б. Л. (уап с!ег ^аегйеп В. Ь.), О1е
ОшррепШеогеИзспе Ме1пос!е ш ёег С)иап1ептеспатк, ВегПп,
1932.
61*. Ван-дер-Варден Б. Л. (уап с!ег ^аегйеп В. Ь.), Сгир-
реп уоп Ппеагеп Тгапз!огтаИопеп, ВегПп, 1935; перепечатка,
N. У., 1948.
62. Ван-дер-Варден Б. Л. (уап с!ег ^аегс!еп В. Ь), Е1п!йЬ-
гип& 1п сИе а1беЬга1зсЬе Оеоте!г1е, ВегПп, 1939.
63. В а р н е р С. (^агпег 5.), С1азз1са1 тойегп а1^еЬга, N. У., 1971.
64. В а р у с ф е л ь А. (^агиз!е1 А.), 51гис1игез а1бёЬг1яиез !1п1ез,
^гоирез, аппеаих, согрз, Раг13, 1971.
65*. Василаке С. (УазПаспе 5.), Е1етеп1е с!е 1еог1а тиШтПог
§1 а з1гис1игПог а1беЬг1се, Висиге§И, 1956.
66. В е б е р Г. М. (^еЬег Н. М.), ЬепгЪисп с!ег А1беЬга, в 2-х тт.,
Вгаипзс1ше1б, 1895, 1896; 2-е изд., в 3-х тт., ВгаизсЬ\уе1б, 1898,
1899, 1908; 3-е изд., в 3-х тт., N. У., 1962.
67*. В е й л ь А. (^еП А.), Ь'т1ё&га1юп с!апз 1ез бгоирез 1оро1о-
б1чиез е! зез аррПсаИопз, Рапз, 1940; русский перевод, «Интегри-
«Интегрирование в топологических группах и его применения», М., 1950.
68. В е й л ь А. (\УеП А.), Роипс1а1юп5 о! а1^еЬга1с §еоте1гу, N. У.,
1946.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 377
69. В е й л ь А. (№еП А.), Ваз1С питЬег (пеогу, ВегПп — Не!с1е1-
Ъег& — N. У., 1967; русский перевод, «Основы теории чисел»,
М., 1972.
70. В е й л ь Г. (\\^еу1 Н.), Огирреп1пеопе ипс! (Зиап1ептеспатк,
Ье1р21б, 1931.
71*. В ей ль Г. (\\^еу1 Н.), Тпе с1азз1са1 &гоирз, 1пе1г туапапЬ
апс! гергезеп1а1юпз, РппсеЬп, 1939; 2-е изд., 1946; русский
перевод, «Классические группы, их инварианты и представле-
представления», М., 1947.
72. В е й л ь Г. (\\^еу1 Н.), А1&еЪга1с 1пеогу о! питЪегз, 1940; рус-
русский перевод, «Алгебраическая теория чисел», М., 1947.
73. В е й л ь Г. (\Уеу1 Н.), 5утте1гу, Ьопскт, 1952; немецкий пере-
перевод, Вазе1 — 51и11&аг1, 1955; русский перевод «Симметрия», М.,
1968.
74. В е й с Э. (^е135 Е.), Сопото1о&у о! &гоирз, N. У. — Ьэпс1оп,
1969.
75. В е н к о в Б. Б., Гомологическая алгебра, в сб. «Алгебра.
1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 203—235.
76. В и л а н д т Г. (^1е1агк11 Н. №.), ШепсШспе Регггш1а1юпз-
^гирреп, ТйЫп^еп, 1960.
77. В и л а н д т Г. (\\Пе1апсН Н. ^.), РшНе регтиШюп ^гоирз,
N. У. — Ьэпскт, 1964; 2-е изд., 1968.
78*. Виленкин Н. Я-, Теория топологических групп, II, Успехи
матем. наук 5, № 4 A950), 19—74.
79. В и н б е р г Э. Б., Группы Ли и однородные пространства,
в сб. «Алгебра. Топология, 1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН
СССР)», М., 1963, 5—32.
80. В и н о г р а д о в А. А., Упорядоченные алгебраические си-
системы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 83—131.
81. Виноградов А. А., Упорядоченные алгебраические си-
системы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 91—108.
82. В л а д и м и р о в Д. А., Булевы алгебры, М., 1969.
83. Вольвачев Р. Т. и Супруненко Д. А., Линейные
группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1965 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967, 45—61.
84*. Вольф П. (№оИ Р.), А1&еЪга1зсЬе Тпеопе с!ег ОаЫззсЬеп
А1&еЪгеп, ВегПп, 1956.
85. Г а б р и э л ь П. (ОаЪпе1 Р.), Оез са1ё&опез аЬёНеппез, Ви11.
5ос. та!п. Ргапсе 90, № 3 A962), 323—448.
86. Габриель П. и Цисман М. (ОаЪпе1 Р. апс! 21зтап М.),
Са1си1из о! ГгасИопз апё ЬотоЬру 1Ьеогу, ЕегПп — Не1с1е1Ьегб —
N. У., 1967; русский перевод, «Категории частных и теория го-
мотопий», М., 1971.
87. Г а л у а Э. (ОаЫз Ё.), Оеиугез таШётаИяиез, Раг13, 1897;
2-е изд., 1951; русский перевод, «Сочинения», М.—Л., 1936.
88. Г е л ь ф а н д И. М., Райков Д. А. и Шилов Г. Е.,
Коммутативные нормированные кольца, М., 1960.
89. Г е р и к е X. (Сенеке Н.), ТЬеог1е с!ег УегЬапс1е, МаппЬе1т, 1963.
90. Г е ч е г Ф. и П е а к И. (Оёсзе^ Р. апс! Реак I.), А1^еЬгак
1Ьеогу о! аи!ота!а, Вийарез!, 1972.
378 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
91. Гинзбург А. (СшгЪиг^ А.), А1&еЪга1С {Ьеогу оГ аи!ота1а,
N. У. — Ьопскт, 1968.
92. Г и р о Ж- (СНгаис! Леап), Сопото1о&1е поп аЬёНеппе, ВегНп —
НеМеШегб — N. У., 1971.
93. Глейхгевихт Б. (О1е1сп§е\У1сМ В.), Е1етеп1у а1&еЪгу
аЪз1гаксу]'пе], в 2-х тт., ^агзга\уа, 1966, 1970.
94*. Гл и вен ко В. И., Тпёопе §ёпёга1е с!ез $1гис1игез, Рапз,
1938.
95. Г л у с к и н Л. М., Полугруппы, в сб. «Алгебра. Топология.
1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 33—58.
96. Г л у с к и н Л. М., Полугруппы, в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги
науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 161—202.
97. Г л у с к и н Л. М., Ш а й н Б. М. иШеврин Л. Н., Полу-
Полугруппы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966 (Итоги
науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 9—56.
98. Г л у х о в М. М., Стеллецкий И. В. и Фофа-
Фофанова Т. С, Теория структур, в сб. «Алгебра. Топология.
Геометрия. 1968 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1970
101—154.
99*. Глушков В. М., Строение локально бикомпактных групп
и пятая проблема Гильберта, УМН 12, № 2 A957), 3—41.
100. Глушков В. М., Абстрактная теория автоматов, УМН 16,
№ 5 A961), 3—62; поправка, там же 17, № 2 A962), 270.
101. Глушков В. М., Теория алгоритмов, Киев, 1961.
102. Годеман Р. (Оойетеп! К.), Торо1о&1е а\%ёЪг'щие е! Шёопе
с!ез Ызсеаих, Рапз, 1958.
103. Годеман Р. (Сос1етеп1 К.), Соигз сГа1&ёЪге, Рапз, 1963.
104. Горенштейн Д. (ОогепзЫп Э.), РшИе &гоирз, N. У. —
Еуапз1еп — Ьопйоп, 1968.
105. Г р а в е Д. А., Теория конечных групп, Киев, 1908.
106*. Г р а е в М. И., Теория топологических групп, I, УМН
5, № 2 A950), 3—56.
107. Грёбнер В. (ОгоЬпег \У\), Монете а1&еЪга1зспе Оеоте1пе.
О1е ЫеаНпеогеИзспеп ОгипсНа^еп, \\Чеп — 1ппзЬгиск, 1949.
108. Грей М. (Огау М.), А гас11са1 арргоасЬ 1о а1^еЬга, КеасИп^
(Мазз.), 1970.
109. Гретцер Г. (ОгаЧгег С), ишуегза1 а1^еЬга, РппсеЬп (N. Л.),
1968.
ПО. Гретцер Г. (Ога1гег С), ЬаШсе 1Ьеогу. Р1гз1 сопсер!з апс1
сИз1г1Ьи11уе 1аШсе, 5ап Ргапс1зсо, 1971.
111. Гросман И. и Магнус В. (Огоззтап I. апс! Ма^пиз ^.),
Огоирз апс! Ше1г &гаРП8> N. У., 1964; русский перевод, «Группы
и их графы», М., 1971.
112. Г р о т е н д и к А. (Сго1пепсНеск А.), 5иг яиеЦиез рот1з с!'а1-
§ёЬге пото1о§1^ие, ТоЬоки Ма1Ь. Л., зесопс! зепез, 9, № 2—3
A957), 119—221; русский перевод, «О некоторых вопросах гомо-
гомологической алгебры», М., 1961.
ИЗ. Гротендик А. и Дьёдонне Ж- (Сго1пепсНеск А. е!
О1епс1оппё Л. А.), Е1ётеп1з с!е беотё1г1е а1бёЬг1яие I, ВегНп—
НеЫеШег^ — N. У., 1971.
114. Гу детей н Р. (Соос1з1е1П К-)» Воо1еап а1^еЬга7 Ох!огс1-=-
й — Рапз — РгапИшЧ — N. У.7 1963..
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 379
115. Д в и н г е р Ф. (Ошп^ег РЬ.), 1п1гос!ис1юп 1о Воо1еап а1&еЪгаз,
и^йггЬиг^, 1961; 2-е, дополненное изд., 1971.
116*. Дёйринг М. (Оеиппб М.), А^еЬгеп, ВегНп, 1935; N. У.,
1948.
117. Д ей сен П. (Оеиззеп Р.), На1Ь§гирреп ипс! Аи1ота1еп, Вег-
Нп — НеМЫЬегб — N. У., 1971.
118. Демазюр М. и Габриэль П. (Оетагиге М. е! ОаЬ-
пе1 Р.), Огоирез а1&ёЪпяиез. I. Оёотё1пе а1§ёЪ1^ие—^ёпёгаШёз,
^гоирез сотти1аШз, Рапз — Атз1егс1ат, 1970.
119. Д ё м у ш к и н СП., Теория полей классов. Расширения по-
полей, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1969, 59—69.
120. Д ж а н с И. П. (Лапз Л. Р.), Шп^з апс! пото1о&у, N. У., 1964.
121. Джейтеджейнкар А. (Ла1е&аопкаг А. V.), Ье[1 рппа-
ра1 1Aеа1з пп^з, ВегНп — НеМеШег^ — N. У., 1970.
122*. Джекобсон Н. (ЛасоЪзоп Ы.), ТЬе Шеогу о[ ип^з, N. У.,
1943; русский перевод, «Теория колец», М., 1947.
123*. Джекобсон Н. (ЛасоЪзоп N0, Ьес1игез т аЬз!гас1 а1^еЬга,
Рг1псе1оп (Ы. 3.) — Тогоп1о — N. У. — Ьопйоп, уо1. I, 1951;
уо1. II, 1953; уо1. III, 1964; китайский перевод, Пекин, 1960.
124*. Джекобсон Н. (ЛасоЬзоп N0, 51гис1иге о[ г1п§з, Ргоу1с1епсе,
К. I., 1956; 2-е изд., 1964; русский перевод, «Строение колец»,
М., 1961.
125. Джекобсон Н. (ЛасоЬзоп Ы.), Ые а1беЬгаз, N. У. — Ьоп-
с!оп, 1962; русский перевод, «Алгебры Ли», М., 1964.
126. Джонсон Б. (Лбпззоп В.), Тор1сз 1П ип1уегза1 а1^еЬга, «Ьес1.
N0163 Ма1Ь.», 1972.
127*. Джонсон Р. (ЛоЬпзоп К. Е.), Пгз! соигз о[ аЬз!гас1 а1^еЬга,
N. У., 1953.
128. Дивинский Н. (Ошпзку N. Л.), Шп^з апс! гасНса1, Ьоп-
с!оп, 1965.
129. Диксон Дж. Д. (О1хоп Лопп О.), ТЬе з!гис!иге оГ Нпеаг
^гоирз, Ьопс1оп, 1971.
130*. Диксон Л. (Оккзоп Ь. Е.), Ыпеаг ^гоирз \уИЬ ап ехрозШоп
о[ 1Ье Оа1о1з ПеЫ 1Ьеогу, Ье1р21&, 1901; перепечатка, N. У.,
1958.
131. Диксон Л. Фккзоп Ь. Е.), Ыпеаг а1^еЬгаз, СатЬг1Aбе, 1914;
русский перевод, «Линейные алгебры», Харьков, 1935.
132. Диксон Л. (Оккзоп Ь. Е.), А1^еЬгаз апс! 1Ье1Г агНЬтеИсз,
СЫса^о, 1923; перепечатка, N. У., 1938; N. У., 1960.
133. Диксон Л. (Оюкзоп Ь. Е.), Мойегп а1беЬга1с 1Ьеог1ез, СЫ-
са^о, 1926; перепечатка, N. У. — Ьопйоп, 1959.
134. Д и н Р. (Оеап К. А.), Е1етеп1з оГ аЬз!гас1 а1беЬга, N. У., 1966.
135. Доннелен Т. (боппеНап ТЬ.), ЬаШсе 1Ьеогу, ОхГогс! —
Ьопс1оп, 1968.
136. Д ы н к и н Е. Б., Структура полупростых алгебр Ли, УМН 2,
№ 4 A947), 59—127.
137. Дьёдонне Ж- (О1епс1оппё Л.), 5иг 1ез ^гоирез с1азз^^иез,
Раг13, 1948; перепечатка, Рапз, 1958.
138. Дьёдонне Ж- (О1епс1оппё Л.), Ьа &ё"отё1пе с!ез ^гоирез
с1азз1яиез, ВегПп — ОбШп^еп — Не1с1е1Ьег§, 1955; 2-е изд.,
ВегНп — ОбШп^еп — НеМеШег^, 1963; 3-е изд., ВегНп, 1971.
380 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
139*. Д юбр ей П. (ОиЪгеП Р.), А1&ёЪге, у. I, Рапз, 1946; 2-е изд.,
Рапз, 1954; 3-е изд., 1963.
140. Дюбрей П. и Дюбр ей-Жакотэ н М. Л. (ОиЪгеП Р.
е! ОиЪгеП-Л асоПп М. Ь.), Ьесюпз сГа1^ёЪге тойегпе, Рапз, 1961;
2-е изд., Рапз, 1964.
141*. Д ю б р е й - Ж а к о т э н М. Л., Лезьё Л. и КруазоР.
(ОиЪгеП-Л асоИп М. Ь., Ьез1еиг Ь. е! Сго1зо1 К.), Ьес.опз зиг 1а
1Ьёопе с!ез 1геПНз, с!ез з1гис1игез а^ёЪ^иез огйоппёез е! с!ез
1геПНз &ёотё11^ие5, Рапз, 1953.
142. Жаффар П. (ЛаНагс! Р.), Ьез 5уз1ётез сГЫёаих, Рапз,
1960.
143. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представ-
представления, М., 1970.
144*. Ж о р д а н К- (Логс!ап С), ТгаНё с!ез зиЪзШиИопз е! с!ез
ёяиаИопз а^ёЪ^иез, Рапз, 1870; фоторепродукция, Рапз,
1957.
145. Зарисский О. Bапзк1 О.), Ап 1п1гос1ис11оп 1о 1Ье 1Ьеогу
о[ а1^еЬга1С зигГасез, ВегНп — НеЫе1Ъег& — N. У., 1969; 2-е,
пополненное изд., «А1&еЪга1С зигГасез», там же, 1971.
146*. Зарисский О. и Самюэль П. Bапзк1 О. апс! 5атие1
Р.), СогштйаНуе а^еЬга, V. 1, 1958; V. 2, 1960; Рппсект (Ы. Л.) —
Тогоп1о — Ьопйоп — N. У.; русский перевод, «Коммутативная
алгебра», в 2-х тт., М., 1963.
147. Зыков А. А., Теория конечных графов, I, Новосибирск, 1969.
148*. Капланский И. (Кар1апзку I.), 1пПш1е АЬеНап &гоиР8,
Апп. АгЬог, 1954; перепечатка, 1956; 2-е изд., 1969.
149*. Капланский И. (Кар1апзку I.), Ап 1п1гос1ис11оп 1о сИГГе-
геп!1а1 а1^еЬга, Раг1з, 1957; русский перевод, «Введение в диффе-
дифференциальную алгебру», М., 1959.
150. Капланский И. (Кар1апзку I.), К1пбз о[ орега!огз, N. У.,
1968.
151. К а п л а н с к и й И. (Кар1апзку I.), ПеЫз апс! пп^з, СЫса^о,
1969.
152. Капланский И. (Кар1апзку I.), Сотти1а11уег1П^5, Воз1оп,
1970.
153. Капп К- М. иШнейдер X. (Карр К. М. апс! ЗсппеМег Н.),
Сотр1е1е1у 0-з1тр1е зегш^гоирз, N. у#| 1969.
154. Карвалло М. (СагуаПо М.), Мопо^гарЫе с!ез 1геИНз е!
а1бёЬге с!е Воо1е, Раг13, 1962.
155. Каргаполов М. И. и Мерзляков Ю. И., Беско-
Бесконечные группы, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1966
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1968, 57—90.
156. Каргаполов М. И. и Мерзляков Ю. И., Основы
теории групп, М., 1972.
157*. Кармайкл Р. (Сагггиспае1 К. ^.), 1п1гос1ис1юп 1о
1Ье 1Ьеогу о[ ^гоирз о[ ПпИе огс!ег, ВозЬп, 1937; перепечатка,
N. У., 1956.
158*. Картан А. иЭйленберг С. (Саг! ап Н. апс! ЕПепЪег& 5.),
Ното1о&1са1 а1беЬга, Рг1псе1оп (N. .1.), 1956; русский перевод,
«Гомологическая алгебра», М., 1960.
159. К а р т а н Э. (Саг1ап Е.), 5иг 1а з!гис!иге с!ез ^гоирез с!е 1гапз-
1огта1юпз Пп15 е! сопИпиз? ТЬёзе, Рапз, 1894.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 381
160*. Кейсан М. иДеляше А. ((Эиеузаппе М. е! Ое1асЬе1 А.),
Ь'а1&еЪге тос!егпе, Рапз, 1955; 2-е изд., 1957; 3-е изд., 1960.
161. Кертес А. (Кег1ёз2 А.), Уог1езип&еп йЬег АгИпзспе Шп^е,
Вис1арез1, 1968; Ъе\р7Л&, 1968.
162. К л ауда Д. (К1аис1а О.), АН^етете Меп&еп1епге, в 2-х тт.,
2-е, дополненное изд., ВегНп, 1968.
163. К л и н и С. (К1еепе 5. С), 1п1гос!ис1юп 1о те1ата1ЬетаИсз,
N. У.—Тогоп1о, 1952; русский перевод, «Введение в метама-
метаматематику», М., 1957.
164. Клиффорд А. и Престон Г. (С1Шогс! А. Н. апс! Ргез-
1оп О. В.), ТЬе а1&еЪга1С 1Ьеогу о[ зегш^гоирз, в 2-х тт., РгоуЬ
йепсе, 1961, 1967; русский перевод, «Алгебраическая теория полу-
полугрупп», в 2-х тт., М., 1972.
165. Кнайт Дж. Т. (Кш^п! Л. Т.), Сотти1аИуе а1&еЪга, «Ьес1.
Мо1ез Ма1Ь.», Ьопс!оп, 1971.
166. Кнатсон Д. (Кпи1зоп Э.), А1§еЬга1С зрасез, «Ьес1. N0165
Ма1Ь.», Ьопс!оп, 1971.
167. Кокорин А. И. и Копытов В. М., Линейно упорядо-
упорядоченные группы, М., 1972.
168*. Кокстер Х.С.М. иМозер В.О.Дж. (Сохе1ег Н. 5. М. апс!
Мозег №. О. Л.), Оепега1огз апс! ге1а1юпз Гог сНзсге1е &гоирз, Вег-
ВегНп — ОбШп^еп — Не1с1е1Ьегё, 1957; 2-е изд., 1965.
169. К о н П. М. (Сопп Р. М.), Ые ^гоирз, СатЬг1с1бе, 1957.
170. Кон П. М. (Сопп Р. М.), Ш1уегза1 а1беЬга, N. У. — Ьопс1оп,
1965; русский перевод, «Универсальная алгебра», М., 1968.
171. Кон П. М. (СоЬп Р. М.), Ргее г1п^з апс! 1Ье1г ге1а!1опз, N. У. —
Ьопйоп, 1971.
172. Кострикин А. И., Конечные группы, в сб. «Алгебра.
1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 7—46.
173*. Кохендёрфер Р. (КоспепсШгНег К-), ЕИпШЬгип^ 1П сНе
А1^еЬга, ВегНп, 1955; 2-е изд., ВегНп, 1962.
174. Кохендёрфер Р. (КосйепсШгНег К.), ЬеЬгЬисЬ с!ег Огир-
репШеог1е ип!ег Ьезопс1егег Вегйскз1сЫ1бипб с!ег епс1НсЬеп Огир-
реп, Ье1р21б, 1966.
175. К о э н П. Дж. (СоЬеп Р. Л.), 5е1 1Ьеогу апс! 1пе сопИпиит Ьуро-
1пез1з, N. У. — Атз1егс1ат, 1966; русский перевод, «Теория
множеств и континуум-гипотеза», М., 1969.
176. Крауч Р. Б. и Бэкмен Д. Н. (СгоисЬ К. В. апс! Веск-
тап О. N0, ТЬе з!гис!иге о[ аЬз!гас1 а1беЬга, О1епше\у (Ш.)-
177*. К р У л л ь В. (Кги11 ^.), Ыеа11Ьеог1е, ВегНп, 1935; перепе-
перепечатка, N. У., 1948; 2-е изд., ВегНп — НеЫеШегб — N. У., 1968.
178. К р У з Р. Л. и Прайс Д. Т. (Кгизе К. Ь. апс! Рпсе Э. Т.),
ЫИро1еп1 пп&5, N. У. — Ьопс!оп — Рапз, 1969.
179. Кур атовский К- (Кига1о\узк1 К-), ТороЬ^у, в 2-х тт.,
N. У. — Ьопс!оп — \Уагз2а\уа, 1966, 1968; русский перевод,
«Топология», М., 1966, 1969.
180. Куратовский К- и Мостовский А. (Кига1о\узк1 К.
апс! Моз1о\узк1 А.), Теопа тпо^о§С1, \^агзга\уа, 1952; 2-е, перера-
переработанное изд., 1966; английское изд., «5е1 1Ьеогу», Атз1егс!ат —
\Уагз2а\уа, 1967; русский перевод, «Теория множеств», М., 1970.
181*. К У Р о ш А. Г., Пути развития и некоторые очередные проблемы
теории бесконечных групп, УМН 3 A937), 5—15.
382 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
182*. Курош А. Г., Теория групп, М. —Л., 1944, 2-е, перерабо-
переработанное изд., М., 1953; 3-е, дополненное (с обзором «Развитие тео-
теории бесконечных групп за 1952—1965 гг.») изд., М., 1967. Пере-
Переводы: с 1-го изд. — на немецкий (с добавлением Б. Неймана),
Берлин, 1953; со 2-го изд. — на венгерский (с добавлением
Б. Неймана), Будапешт, 1955; на английский {в 2-х тт., с добав-
добавлением К. Хирша), Нью-Йорк, 1955, 1956 (повторно — в 1960);
на румынский, Бухарест, 1959; на японский (в 2-х тт.), Япония,
1960, 1961; на китайский, КНР (первый из двух томов), 1964;
с 3-го изд. — на немецкий в 2-х тт., с пополнением автором
библиографии за 1966—1968 гг.), Берлин, 1970, 1972.
183*. Курош А. Г., Современное состояние теории колец и алгебр,
УМН 6, № 2 A951), 3—15.
184. Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 1-е изд., М., 1962;
переводы: на английский (авторизованный перевод К- А. Хирша),
Нью-Йорк, 1963; перепечатка, 1965; на немецкий, Лейпциг,
1964; на китайский, КНР, 1964; на польский, Варшава, 1965;
на французский, Париж, 1967; на чешский, Прага, 1968; на япон-
японский (в 2-х тт.), 1966, 1970.
185. Курош А. Г., Мультиоператорные кольца и алгебры, УМН 24,
№ 1 A969), 3—15.
186. Курош А. Г., Общая алгебра (лекции 1969/70 учебного года),
МГУ, М., 1970.
187. Курош А. Г., ЛившицА. X. и Шульгейфер Е. Г.,
Основы теории категорий, УМН 15, № 6 A960), 3—52; переводы:
на румынский, Бухарест, 1961; на английский, США, 1962; на
немецкий, Берлин, 1963 [см. 187'].
187'. Курош А. Г., Лившиц А. X., Шульгейфер Е. Г.
иЦаленко М. Ш. (Кигозсп А. С, Ьш^спИг А. СИ., 5спи1-
&еНег Е. О. ипс! 2а1епко М. 5.), 2иг ТЬеопе с!ег Ка1е&опеп, ВегНп,
1963 (книга состоит из немецких переводов статей [187] и [374]).
188*. Курош А. Г. иЧер ников С. Н., Разрешимые и нильпо-
тентные группы, УМН 2, № 3 A947), 18—59; английский пере-
перевод, Нью-Йорк, 1953.
189. Кэртис Ч. иРайнер И. (СигИз С. XV. апй Кетег I.),
КергезепШюп 1Ьеогу о[ ПпНе &гоирз апд аззоааНуе а1&еЪгаз,
N. У. — Ьопйоп, 1962; русский перевод, «Теория представлений
конечных групп и ассоциативных алгебр», М., 1969.
190. Л а м б е к И. (ЬатЬек Л.), Ьес1игез оп пп&з апс! тосШез, \Уа1-
1пат — Тогоп1о — Ьопйоп, 1966; русский перевод, «Кольца и
модули», М., 1971.
191. Л а м б е к И. (ЬатЬек Л.), Тогзюп 1пеопез, асЫШуе зетапИсз
апс! пп&5 о[ ^ио^^еп^з, ВегНп — НеМеШег^ — N. У., 1971.
192. Леви-Брюль Ж- (Ьёуу-ВшЫ Л.), ШгоскюНоп аих з!ги-
с!игез а^ёЪ^иез, Рапз, 1968.
193*. Ледерман В. (Ьейегтапп XV.), 1п1гос1ис1юп 1о 1Ье 1Ьеогу
оГ Пш1е бгоирз, ЕсНпЪоиг&п — Ьопскт — N. У., 1949; 2-е изд.,
1953; 3-е изд., 1957; 4-е, дополненное изд., 1961.
194. Лезьё Л. и Круазо Р. (Ьез1еиг Ь. е! Сплзо! К.)> А1&ёЪге
^е!пёпеппе поп сотти1а11уе, Раг13, 1963.
195. Л е м а н А. (Ьептап А.), Роз1и1а1ез !ог а погтес! Воо1еап а1-
МасНзоп (^1зсоп51п), 1963.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 383
196. Л е н г С. (Ьащ 5.), 1п1гос1ис1юп 1о а1^еЬга1с §еоте!гу, N. V. —
Ьопс!оп, 1958.
197. Ленг С. (Ьап^ 5.), АЬеНап уапеИез, N. У. — Ьопс1оп, 1959
198. Ленг С. (Ьап^ 5.), ОюрЬапНпе ^еоте!гу, N. У., 1962.
199. Л е н г С. (Ьащ* 5.), А1&еЪга1с питЪегз, КеасНп§ (Мазз.) — Ра1о
АНо — Ьопс1оп, 1964; русский перевод, «Алгебраические числа»,
М., 1966.
200. Ленг С. (Ьап& 5.), А1&еЪга, КеасНщ* (Мазз.), 1965; русский
перевод, «Алгебра», М., 1968.
201. Л е н е р И. (ЬеЬпег Л.), О1зсоп1тиои5 ^гоирз апс! аи1отогрЫс
1ипс1юпз, РгоуЫепс, 1964.
202*. Лентин А. иРиво Ж- (Ьептш А. е! К^аис! <1.), Ё1ётеп15
сГа1бёЪге тонете, Рапз, 1956; 2-е изд., 1957; 3-е изд., 1958.
203. Лентин А. и Риво Ж., (ЬегШп А. е\ К1уаис1 ^.), Ьес,опз
сГа1^ёЪге тойегпе, Раг1з, 1961; 2-е изд., «А1&еЪга тойегпа» (исп.),
МасШ, 1967.
204. Лившиц А. X., Цаленко М. Ш. и Шульгей-
ф е р Е. Г., Теория категорий, в сб. «Алгебра. Топология. 1962
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 90—106.
205. Линдон Р. (Ьупйоп К. С), N0163 оп 1о^1С, Тогоп1о — N. У. —
Ьопйоп, 1966; русский перевод, «Заметки по логике», М.,
1968.
206*. Литлвуд Д. Е. AлШе\уоос! О. Е.), ТЬе 1Ьеогу о{ ^гоир
сЬагас!егз апс! та1г1х гергезеп1а1юп5 о[ ^гоирз, 2-е изд., Охгогс!,
1950.
207. Литлвуд Д. Е. AлШе\уоос! В. Е.), ТЬе зке1е!оп-кеу о!
Ма1Ьета11Сз, 3-е изд., Ьопйоп, 1960.
208. Лифшиц В. Н. и Садовский Л. Е., Алгебраические
модели вычислительных машин, УМН 27, № 3 A972), 79—125.
209. Лоренц Ф. (Ьогепг Р.), (ЗиайгаИзспе Рогтеп йЬег Кбгрегп,
ВегНп — НеЫе1Ъегб — N. У., 1970.
210*. Л о у м о н т Дж. (Ьотоп! *1. 5.), АррИсаНоп о[ ПпИе ^гоирз,
N. У. — Ьопс1оп, 1959.
211*. Луговский Г. и Вейнерт Г. И. (Ьи^о\узк1 Н. ипс!
^е1пег! Н. *1.), Отипдгще с!ег А1^еЬга, ТеП 1, А11бете1пе Огир-
реп!Ьеог1е, Ье1р21§, 1957; ТеП 2, АИбете1пе Шп&- ипс! Кбгрег-
1Ьеог1е, Ье1р21б, 1958, 1959; 3-е изд., 1967; ТеП 3, АиИбзищ^пео-
пе а1беЬга1зсЬег О1е1спип&еп, Т^ехргщ, 1960; 2-е изд., 1967.
212. Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение к физике,
М., 1958.
213*. Л я п и н Е. С, Полугруппы, М., 1960.
214. Магнус В. (Ма^пиз №.), АП^етете ОгиррепШеопе Aп Епгук-
1орасИе с!ег та1Ьета11зсЬеп ^1ззепзсЬаГ1еп, 2-е изд., Вс1. 1/1.
Н. 9, 1939).
215. Магнус В., Каррас А. и Солитэр Д. (Ма^пиз V/.,
Каггазз А. апй ЗоШаг О.), СотЫпа1опа1 ^гоир 1Ьеогу: ргезеп-
1аИопз о[ ^гоирз 1п 1егтз о[ &епега*0Г8 ап^ ге1а11оп5, N. У. —
Ьопйоп — 5ус1пеу, 1966.
216. Макдаффи Г. (МасОиНее С. С), Ап 1п1гос1ис11оп 1о аЬз!гас1
а1&еЬга, N. У., 1940; О1оисез1ег (Мазз.), 1966.
217*. М а к к о й Н. X. (МсСоу N. Н.), Шп&> апс! ЫеаЬ, ВаШтоге,
1948,
384 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
218. М а к к о й Н. X. (МсСоу N. Н.), 1п1егос1ис1юп 1о тос!егп а1&еЪга,
Воз1оп (Мазз.) — Ьэпскт, 1960.
219. М а к к о й Н. X. (МсСоу N. Н.), ТЬе 1Ьеогу о! пп^з, N. У. —
Ьэпскш, 1964.
220. Маклейн С. (МасЬапе 5.), Ното1о&у, ВегНп — ОбШп^еп —
НеМеШег^, 1963; русский перевод, «Гомология», М., 1966.
221. Маклейн С. (МасЬапе 5.), Ка1е&опеп. Ве^гШззргасЬе ипс!
та1Ьета115сЬе ТЬеопе, ВегНп — НеЫеШег^ — N. У., 1972.
222. Маклейн С. иБиркгоф Г. (МасЬапе 5. апс! В1гкЬоН С),
А1&еЪга, N. У. — Ьопскш, 1967.
223. Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы,
в сб. «Математика, ее содержание, методы и значение», т. 3, М.,
1956, 248—331.
224. Мальцев А. И., Конструктивные алгебры, I, УМН 16, № 3
A961), 3—60.
225. Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М.,
1965.
226. Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970.
227. Мамфорд Д. (МитГогс! Э.), Ьес1игез оп сигуез оп ап а1&е-
Ьга1С зигГасе, Рппсе1оп (Ы. 11.), 1966; русский перевод, «Лекции
о кривых на алгебраической поверхности», М., 1968.
228. Мамфорд Д. (МитГогс! О.), АЬеПап уапеИез, ВотЬау, 1968;
русский перевод, «Абелевы многообразия», М., 1971.
229. М а н и н Ю. И., Кубические формы. Алгебра, геометрия, ариф-
арифметика, М., 1972.
230. Маркус С. (Магсиз 5.), А1^еЬга1С Нп^тзИсз; Апа1уИса1
тос!е1з, N. У. — Ьопйоп, 1967; русский перевод, «Теоретико-
множественные модели языков», М., 1970.
231. Мацумура X. (Ма1зитига Н.), Сотти1а11уе а1^еЬга, N. У.,
1970.
232. Маэда Ф. и Маэда С. (Маейа Р. апс! Маейа 5.), ТЬеогу о!
зутте1г1с 1аШсез, ВегНп — Не1с1е1Ьегб — N. У., 1970.
233. Мендельсон Э. (Мепс1е1зоп Е.), 1п1гос1ис11оп 1о та1пета-
иса1 1о^1С, Рг1псе1оп (Ы. *1.) — Тогоп1о — N. У. — Ьэпс1оп,
1963; русский перевод, «Введение в математическую логику»,
М., 1971.
234. Мерзляков Ю. И., Линейные группы, в сб. «Алгебра. То-
Топология. Геометрия, 1970 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)»,
М., 1971, 75—110.
235*. Миллер Г., Бличфилд Х.и Диксон Л. (МШег О. А.
ВНсЫеЫ! Н. Р. апс! Оюкзоп Ь. Е.), ТЬеогу апс! аррНсаИопз о{
Пш1е бгоирз, N. У. — Ьэпс1оп, 1916; 2-е изд., 1938.
236*. Миллер К- (МШег К. 5.), Е1етеп1з о[ тойегп аЬз!гас1 а1^еЬга,
N. У., 1958.
237. М и т ч е л Б. (МНсЬеН В.), ТЬеогу о[ са!ебог1ез, N. У. — Ьоп-
с!оп, 1965.
238. Михалев А. В., С к о р н я к о в Л. А., Модули, в сб.
«Алгебра. Топология. Геометрия. 1968 (Итоги науки, ВИНИТИ
АН СССР)», М., 1970, 57-100. .
239. Мишина А. П., Абелевы группы, в сб. «Алгебра. Топология.
Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967,
9-44.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 385
240. Мишина А. П., Скорняков Л. А., Абелевы группы и
модули, М., 1969.
241*. М о и с и л Г. К. (МО15П Ог. С), 1п1гос1исеге т а1&еЪга, I, 1пе1е
§1 1с1еа1е, т. 1, Висиге§И, 1954.
242*. Монтгомери Д. и Циппин Л. (Могй^отегу
21рр1П I..), Торо1о^1са1 1гапзк)гта1юп &гоирз, ^.У. —
1955.
243*. Монтейро А. А. (Моп1е1го А. А.), РШгоз е ЫеаЬ, Кю с!е
Лапе1го, 1955.
244*. Моргадо Ж- (Мог&ас!о Л.), Е1етеп(оз с!е а1&еЪга тойегпа:
ге!1си1ас!о5, З151етаз рагаа1теп1е огс!епас1о5, т. 1, Рог1о, 1956.
245* Мурнаган Ф. (Мигпа^пап Р. О.), ТЬе 1Ьеогу о[ &гоир герге-
$еп1аНопз, 1938; русский перевод, «Теория представлений групп»,
М., 1950.
246. Н агата М. (№&а!а М.), Ьоса! пп§з, N. У., 1962.
247. Н а й м а р к М. А., Нормированные кольца, М., 1956.
248. Наймарк М. А., Линейные представления группы Лоренца,
М., 1958.
249*. Накаяма Т. иАдзумая Г. (№кауата Т. апб Аги-
тауа С), Оо15й§аки П. Капгоп (Алгебра. II. Теория колец, на
японском яз.), Токуо, 1954.
250. Нейкирх Ю. (№ик1гсп Л.), ЮаззепкбгреНпеопе, МаппЬе1т—
^1еп — 2йг1сЬ, 1969.
251*. Нейман Дж. (№итапп Л., уоп), Ьес1игез оп сопИпиоиз ^ео-
те!г1ез, в 2-х тт., РппсеЬп, 1936, 1937.
252. Нейман Дж. (№итапп Л., уоп), СопИпиоиз &еоте1гу, рг|п-
се!оп (Ы. Л.), 1960.
253. Нейман Дж. (Меитапп Л., уоп), Со11ес1ес1 \уогкз, уо1. I
1Ьеогу о[ зе(з апс! ^^1ап^ит тесЬап1Сз), уо1. 2 (Орега1огз,
1Ьеогу апс! а1тоз! регюсНс [ипсИопз 1п а бг°ир)» у°1- 3
(б о[ орега!огз), уо1. 4 (СопИпиоиз ^еоте1гу апс! о!пег 1ор1сз),
уо1. 5 (Оез1^п о[ сотри!егз, 1Ьеогу о[ аи!ота1а апс! питепса!
апа1уз1з), уо1. 6 (ТЬеогу о[ баг^е§, аз1горЬуз1Сз, Ьус!гос1упат1сз
апс! те!еого1обу), ОхГсгс! — Ьопскт — N. У. — Раг1з, 1961—1963.
254. Нейман X. (Меитапп Наппа), УапеИез о[ бг°ирз, Вег1т —
Не1с1е1Ъег& — N. У., 1967; русский перевод, «Многообразия
групп», М., 1969.
255. Новиков П. С, Алгоритмическая неразрешимость проблемы
слов в теории групп, Труды Матем. ин-та им. Стеклова АН СССР
44, 1955.
256. Новиков П. С, Элементы математической логики, М.,
1959; 2-е изд., 1973.
257. Новиков П. С. и Адян С. И., О бесконечных периоди-
периодических группах, Изв. АН СССР, серия матем., 32 A968), 212—
244, 251—524, 709—731.
258*. Норскотт Д. Г. (№г1псо11 О. С), Иеа1 1пеогу, Ьопс!оп,
СатЪгМбе, 1953.
259. Норскотт Д. Г. ^ог1псо11 П. С), Ап т1гос1ис1юп 1о Ьото-
1о&1са1 а1&еЪга, Ьэпс1оп, СатЪпА&е, 1960.
260*. Оку н ев Л. Я-,. Основы современной алгебры, М., 1941.
261. О р е О. (Оге О.), Тпеогу оГ^гарпз, РгоуЫепсе (КЬос1е Ыапс!),
1962; русский перевод, «Теория графов», М., 1968.
386 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
262*. О с и м а, Теория групп (японск.), Кёрицу —Сюппан, 1954.
263. Парейгис Б. (Раге^з В.), К.а1е&опеп ипс1 Рипс1огеп, 51и11-
^аг1, 1969; английский перевод, «Са1е&опез апс! Гипс1огз», N. У. —
ЬопсЗоп, 1970.
264. Паршин А. Н., Арифметика алгебраических многообразий,
в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1970 (Итоги науки,
ВИНИТИ, АН СССР)», М., 1971, 111—151.
265. Перрон О. (Реггоп О.), и'\е Ьепге уоп с!еп КаНепЪгйспеп,
Ье1р21б — ВегНп, 1913; 2-е, улучшенное изд., Ье1р21е — Вег-
Пп, 1929.
266. Перрон О. (Реггоп О.), А1&еЪга, в 2-х тт., ВегПп — Ье1р21&,
1927.
267*. П и к е р т Г. (Рюкег! С), ЕтШпгищ* т сНе ЬбЬеге А1&еЪга,
ОбШп^еп, 1951.
268*. П и к е р т Г. (Рюкег! С), Рго]екИуе ЕЬепеп, ВегНп — ОбШп-
&еп — НеЫе1Ъегб, 1955.
269. Пирс Р. (Р1егсе К. 5.), 1п1гос1ис1юп 1о 1пе 1пеогу о[ аЪз1гас1
а1&еЪгаз, N. У., 1968.
270*. Плоткин Б. И., Обобщенные разрешимые и обобщенные
нильпотентные группы, УМН 13, № 4 A958), 89—172.
271. Плоткин Б. И., Группы автоморфизмов алгебраических
систем, М., 1966.
272. Плоткин Б. И., Общая теория групп, в сб. «Алгебра. Топо-
Топология. Геометрия. 1970 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)»,
М., 1971, 5—73.
273*. Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, М. — Л., 1938;
2-е изд., М., 1954; 3-е, исправленное изд., М., 1973; переводы: анг-
английский, Принстон, 1939; румынский (в 2-х тт.), Бухарест, 1956;
немецкий, Лейпциг (в 2-х тт.), 1957, 1958; польский, Варшава,
1961.
274. Понтрягин Л. С, Основы комбинаторной топологии,
М. — Л., 1947.
275. Попеску Н. (Рорезси Ы.), Са1е&огп аЬеПепе, Висиге^И,
1971.
276. Попеску Н. иРаду А. (Рорезси N. апс! Кас1и А.), Тпеопа
са!е^огШог §1 а 1азс1сй1е1ог, Висиге^И, 1971.
277*. П о.с т н и к о в М. М., Определенные семейства функций и ал-
алгебры без делителей нуля над полем действительных чисел,
УМН 9, № 2 A954), 67—104.
278*. Постников М. М., Основы теории Галуа, М., 1960.
279. Пуанкаре А. (Рошсагё Н.), С^иеЦиез гетагяиез зиг 1ез
^гоирез Пшз е! согШпиз, Оеиугез сотрШез, III, Рапз, 1954.
280. П у а т у^ Г. и Ж а ф ф а р П. (РоНои О. е! ЛаНагс! Р.), Ыго-
йисИоп а 1а 1пёопе с!ез са1ё^ог1ез, Рапз, 1965.
281. Пуп пе Д. (Рирре О.), Коггезропйепгеп т АЬеЬсЬеп Ка1е-
&опеп, Ма1Ь. Апп. 148, № 1 A962), 1—30; русский перевод,
«Соответствия в абелевых категориях», сб. «Математика» 8,
№ 6 A964), 109—139.
282*. Редей Л. (Кёс1е1 Ь.), А1&еЪга; у. I, Вийарез!, 1954; немецкий,
переработанный перевод, Ье1рг1&, 1959.
283. Редей Л. (Кёс1е1 Ь.), ТЬеог1е с!ег епёНсЬ еггеи^Ьагеп котти-
На1Ь§гирреп, Ь.е1р21^, 1963.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 387
284. Резерфорд Д. (Ки1пегк>гс1 О.), 1п1гос1ис1юп 1о 1аШсе
1Ьеогу, ЕсНпЪигб — Ьопскш, 1965.
285*. Рейдемейстер К. (Р.е1с1ете151ег К.)» ЕтШпшп^ ш сНе
котЫпа1опзспе ТорсЛо^е, Вгаипзс1ше1§, 1932.
286. Рибенбойм П. (ШЪепЪснт Р-)> ТЬёопе с!ез &гоирез огскш-
пёз, ВаЫа В1апса, 1963.
287. Рибенбойм П. (ШЪепЫнт Р.), Кш^з апс! тос!и1ез, N. У. —
Ьопскт — 5ус1пеу — Тогоп1о, 1969.
288. Р и г е р Л. (Ше^ег Ь.), А1&еЪга1с теНюск о[ та1петаИса1
1о^1С (перевод с чешского), N. У. — Ьопс!оп, 1967.
289. Р и к а р т Ч. (Шскаг! СИ. Е.), Оепега1 1Ьеогу о[ ВапасЬ а1&еЪ-
газ, Рппсе1оп (Ы. Л.) — Тогоп1о — N. У. — Ьопскш, 1960.
290*. Р и тт Дж. Ф. (КИ1 ^. Р.), О11!егеп11а1 еяиаНопз Ггот 1Ье а1^е-
Ьга1с з!апс1ро1п1, N. У., 1932; 2-е изд., 1947.
291*. Р и тт Дж. Ф. (КН1 Л. Р.), ОШегепИа1 а^еЬга, N. У., 1950.
292. Робертсон А. П. и Робертсон В. Дж. (КоЬег!-
зоп А. Р. апс! КоЬег1зоп \^. Л.), Торо1об1са1 уес!ог зрасез, СатЬ-
гЫ&е, 1964; русский перевод, «Топологические векторные про-
пространства», М., 1967.
293. Робинсон А. (КоЫпзоп А.), Оп 1Ье те!ата1Ьета11С8 о!
а1^еЬга, Атз1егс1ат, 1951.
294. Робинсон А. (КоЫпзоп А.), 1п1гос1исиоп 1о тос!е1 1Ьеогу
апс! 1о 1пе те1ата1ЬетаИсз о[ а1^еЬга, Атз1егс1ат, 1963; рус-
русский перевод, «Введение в теорию моделей и метаматематику
алгебры», М., 1967.
295. Робинсон Г. (КоЫпзоп О. с!е В.), Кергезеп1а1юп 1Ьеогу о[
1Ье зутте1г1с &гоир, Тогоп1о, 1961.
296. Р отм а н Дж. Дж. (Ко1тап Л. Л.), ТЬе Шеогу о! бгоирз; ап
т1гос1ис1юп, Воз1оп, 1965.
297. Са Чин-хан Eап СЫп-Ьап), АЬз1гас1 а^еЬга, N. У., 1967.
298. Садовский Л. Е., Некоторые теоретико-структурные во-
вопросы теории групп, УМН 23, № 3 A968), 123—157.
299*. Самуэль П. Eатие1 Р.), А1&ёЪге 1оса1е, Рапз, 1953.
300. Самуэль П. Eатие1 Р.), Ме1Ьос1ез с1'а1^ёЬге аЬ51гаИе еп
бёотё1г1е а1беЬг1яие, ВегНп — ОбШп^еп — Не1с1е1Ьегб, 1955.
301. С а с Г. (Зхазг С), Веуе2е1ёз а Ьа16е1тё1е1Ье, Вийарез!;, 1959;
немецкий перевод, «ЕтШпгип^ 1п сИе УегЬапс1з1пеог1е», Вис1арез1,
1962; французский, пополненный перевод, «ТЬёопе с!ез 1геИП8»,
Вис1арез1, 1971.
302*. Сато С., Теория групп (на японском); китайский перевод,
Шанхай, 1934.
303. С е г ь е Ж- А., де (Зё^шег Л. А., с!е), ТЬёопе с!ез ^гоирез Пп1з,
V. 1, Ё1ётеп1з с!е 1а 1Ьёог1е с!ез бгоирез аЬз1га11з, Раг15, 1904.
304. С е г ь е Ж- А., де (Зё^шег ^. А., с!е), Ё1ётеп1з ее 1а 1пёог1е с!ез
^гоирез с!е зиЬз111и11Опз, Раг13, 1912.
305. Сегье Ж- А., де, и П о т р о н М. (Зё^шег 3. А., с!е, е1 Ро1-
гоп М.), ТЬёог1е с!е ^гоирез аЬ51гаИз, Рапз, 1938.
306. Семадени 3. и Вивегер А. Eетас1ет 2., \Уше&ег А.),
\У$1$р с!о 1еогИ ка1е&огп 1 [ипс!ого^, \Уагзга^а, 1972.
307. Семинар «Софус Ли» Eётта1ге «ЗорЬиз Ь1е»), ТЬёог1е с!ез а1^ё-
Ьгез с!е Ые. — Торо1об1е с!ез ^гоирез с!е Ь1е, Раг1з, 1955; русский
перевод, «Теория алгебр Ли. — Топология групп Ли», М., 1962.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
388
308. С е р р Ж.-П. (Зегге ^-Р.), Согрз 1осаих, Рапз, 1962; 2-е, исправ-
исправленное изд, Рапз, 1968.
309. С е р р Ж--П. (Зегге <1.-Р.), 1л е а^еЬгаз апс! 1л е &гоирз; N. У. —
Атз1егс1ат, 1965; русский перевод, «Алгебры Ли и группы Ли»,
М., 1969.
310. Серр Ж--П. (Зегге <1.-Р.), А1&еЪгез с!е 1ле зет1-з1тр1ез сотр-
1ехез, N. У. — Атз1егс1ат, 1966; русский перевод, «Комплексные
полупростые алгебры Ли» (помещен в качестве 3-й части в пере-
переводе книги [309]).
311. Серр Ж--П. (Зегге ^-Р.), КергёзепЫюпз Ппёа1гез с!ез &гои-
рез Пшз, Рапз, 1967; 2-е, переработанное изд., 1971; русский
перевод, «Линейные представления конечных групп», М., 1970.
312. Серр Ж.-П. (Зегге ^-Р.), АЬеПап /-асНс гергезепЫюпз апс!
еШрИс сигуез, N. У., 1968.
313. Серр Ж.-П. (Зегге ^-Р.), Соигз сГагйптёИяие, Рапз, 1970;
русский перевод, «Курс арифметики», М., 1972.
314. Сикорский Р. E1ког5К1 К.), Воо1еап а1^еЬгаз, ВегПп —
ОбШп^еп — Не1с!е1Ъеп* — N. У., 1960; 2-е изд., 1964; русский
перевод, «Булевы алгебры», М., 1969.
315. Сколем Т. Eко1ет Т.), 2иг Тпеопе с!ег аззос1аИуеп 2аЫеп-
зуз1ете, Оз1о, 1927.
316*. Скорняков Л. А., Проективные плоскости, УМН 6, № 6
A951), 112—154; английский перевод, 1953.
317. Скорняков Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями
и регулярные кольца, М., 1961.
318. Скорняков Л. А., Кольца, в сб. «Алгебра. Топология. 1962
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 59—79.
319. Скорняков Л. А., Модули, в сб. «Алгебра. Топология.
1962 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1963, 80—89.
320. Скорняков Л. А., Теория структур, в сб. «Алгебра. 1964
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», 1966, 237—274.
321. Скорняков Л. А., Модули, в сб. «Алгебра. Топология.
Геометрия. 1965 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1967.
322. Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970.
323. С к о р ц а Г. (Зсогга С), Согр1 питепае а1^еЬге, Меззта,
1921.
324*. С к о р ц а Г. (Зсогга С), Огирр1 аз1гаШ, Кота, 1942.
325. Скотт В. Р. (ЗсоП XV. К.), Сгоир 1Ьеогу, Еп&1е\уоос1 С1Шз
(Ы. У.), 1964.
326. Спеньер Э. (Зратег Е.), А1^еЬга1С 1оро1о&у, N. У. — Ьопйоп,
1966; русский перевод, «Алгебраическая топология», М., 1971.
327. Стинрод Н. иЭйленберг С. (ЕПепЪег& 3. апс! 31ееп-
гос1 Г^.), РоипйаНопз о[ а1^еЬга1с 1оро1о&у, Рг1псе1оп (Ы. ^.)
1952; русский перевод, «Основания алгебраической топологии»,
М., 1958.
328*. С у д з у к и М. (Зигик1 М.), 51гис1иге о[ а §гоир апс! 1Ье з!гис-
1иге о[ Из 1аШсе о[ зиЬ^гоирз, ВегНп — Оби1Пбеп — Не1с!е1-
Ъег&, 1956; русский перевод, «Строение группы и строение струк-
структуры ее подгрупп», М., 1960.
329. Супруненко Д. А., Разрешимые и нильпотентные линей-
линейные группы, Минск, 1958.
330. Супруненко Д. А., Группы матриц, М., 1972.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 389
331. Супру ненко Д. А. иТышкевич Р. И., Перестано-
Перестановочные матрицы, Минск, 1966.
332*. Сушкевич А. К-, Теория обобщенных групп, Харьков —
Киев, 1937.
333*. Т а н н а к а Т., Принцип двойственности (на японском), То-
Токио, 1951.
334 У айтхед А. Н. (\УЫ1епеас1 А. Ы.), А 1геаИзе оп ишуегза1
а1^еЬга, \уНЬ аррПсаИоп, I, СатЬпс^е, 1898; перепечатка,
N. У., 1960.
335. Уокер Р. (\Уа1кег К. 3.), А1&еЬга1с сигуез, Рппсе1оп (Ы. *1.),
1950; русский перевод, «Алгебраические кривые», М., 1952.
336. Ф е й т В. (РеН XV.), СЬагас1егз о[ Пш1е &гоирз, N. У. — Ат-
з1егс!ат, 1967.
337. Фейт В. и Томпсон Дж. (РеН XV. апс1 ТЬотрзоп 5. С),
5о1уаЬШ1у о[ &гоирз о[ ос!с1 огс!ег, РасН. Л. Ма1Ь. 13, № 3 A963),
775—1029.
338. Феферман С. (РеГегтап 5.), ТЬе питЬег зуз1етз. Роипс1а-
1юпз о[ а1&еЬга апс! апа1уз1з, Ра1о А11о — Ьопйоп, 1963; русский
перевод, «Числовые системы. Основания алгебры и анализа»,
М., 1971.
339. Ф и р е г е X. (\71еге^е Н.), ЕтГйЬгип& т сИе К1азз1зсЬе А1^еЬга,
ВегНп, 1972.
340. Форэ Р. иХёргонЕ. (Раиге К- апс! Неиг^оп Е.), 51гис1игез
огйопёез е! а1^ёЬгез с!е Воо1е, Рапз, 1971.
341. Фрейд П. (Ргеус! Р.), АЬеПап са!ебог1ез: Ап 1п1гос1ис11оп 1о
1Ье 1Ьеогу о[ [ипс!огз, N. У., 1964.
342. Френкель А. (Ргаепке1 А. А.), Меп^еЫеЬге ипс! Ьо^с, Вег-
ВегНп, 1959.
343. Френкель А. и Бар-Хиллел И. (Ргаепке1 А. А. апс!
Ваг-НП1е1 У.), РоипйаНопз о[ зе! 1Ьеогу, Атз1егс1ат, 1958; рус-
русский перевод, «Основания теории множеств», М., 1966.
344. Фробениус Ф. Г. (РгоЪепшз Р. С), Теория характеров и
представлений групп (сборник переводов с немецкого 9 работ
Фробениуса), Харьков, 1937.
345. Фробениус Ф. Г. (РгоЪепшз Р. С), ОезаттеНе АЪпапс!-
1ип§еп, пегаи5&е&еЪеп уоп ^_р. Зегге, в 3-х тт., ВегПп — Не1-
с1е1Ьегб —N. У., 1968.
346*. Фукс Л. (РисЬз Ь.), АЬеПап бгоиР8» Вис1арез1, 1958; перепе-
перепечатка, ОхГогс! — Ьопс1оп — N. У. — Рапз, 1960.
347. Фукс Л. (РисЬз Ь.), РагИаПу огйегес! а1беЬга1с зуз1етз, Ох-
ОхГогс! — Ьопс1оп — N. У. — Рапз, 1963; русский перевод, «Ча-
«Частично упорядоченные алгебраические системы», М., 1965.
348. Фукс Л. (РисЬз Ь.), 1пПш1е АЬеПап &гоиР8> V. 1, N. У. —
Ьопс1оп, 1970; русский перевод, «Бесконечные абелевы группы»,
М., 1973.
349. X а л м о ш П. Р. (На1тоз Р. К.), А1&еЬга1С 10^с, N. У., 1962.
350. X а л м о ш П. Р. (На1тоз Р. К.), Ьес1игез оп Воо1еап а^еЬгаз,
Тогоп1о — N. У. — Ьопс1оп, 1963.
351. Хассе М. иМихлер Л. (Наззе М. ипс! АМсЫег Ь.), ТЬеог1е
с!ег Ка1е&опеп, ВегПп, 1966.
352. Хассе X. (Наззе Не1ти1), НбЬеге А1^еЬга, уу. 1, 2, ВегНп —
Ь1 1926, 1927.
390 УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
353*. X а у п т О. (Наир! О.). ЕтГйЬгищ> т сНе А1§еЬга, в 2-х тт.
Ье1р21&, 1929; 2-е изд., 1.е[ргщ, 1952; 3-е изд., Ье1р21&, 1956.
354. Хаусдорф Ф. (Наизс1огГГ Р.), Отпеките с!ег Меп§еп1епге,
1.еиргщ, 1914; 2-е, переработанное изд., «Мещ*еп1епге», ВегНп —
Ье1р21&, 1927; русский перевод, «Теория множеств», М. —Л., 1937.
355. Хауснер М. и Шварц Дж. Т. (Наизпег М. апс! 5сп\уаг1г
3. Т.), Ые &гоирз; Ые а1&еЪгаз, N. У., 1968.
356. X е й н е В. (Нете V.), Огоир 1Ьеогу т яиап1ит теспатсз,
Ьопскт — ОхГогс! — N. У. — Рапз, 1960; русский перевод,
«Теория групп в квантовой механике», М., 1963.
357*. X е р м е с X. (Негтез Н.), Ет!йпгип& т сНе УегЪапсЫЬеопе,
ВегНп — ОоШп^еп — НеМеШег^, 1955; 2-е изд., ВегНп — Не1-
йЫЬегб —N. У., 1967.
358. Херстейн И. Н. (Негз1ет I. Ы.), Торшз ш а^еЬга, N. У. —
Тогоп1о — Ьопсюп, 1964.
359. Херстейн И. Н. (Негз1еш I. N.), Nопсотти^а^^Vе Г1п^з,
N. У., 1968.
360. X и л л Э. (НШ Е.), РипсИопа1 апа1уз1з апс! зегш-^гоирз, N. У.,
1948; русский перевод, «Функциональный анализ и полугруппы»,
М., 1951.
361. Хилл Э. и Филлипс Р. (НШе Е. апс! РпПНрз К.), Рип-
сИопа1 апа1уз1з апс! зет1-бгоирз, РгоУ1с!епсе, 1957.
362. Хилтон П. иУайли С. (ШИоп Р. ^ апс! \^уНе 5.), Ното-
1о^у 1Ьеогу: ап т1гос1ис1юп 1о а1^еЬга1с 1оро1о^у, СатЬг1с!бе,
Ьопс!оп, 1960; русский перевод, «Теория гомологии: введение
в алгебраическую топологию», М., 1966.
363. Хилтон П. и Штэмбах У. (ШНоп Р. ^. апс! 51атт-
ЬасЬ II.), А соигзе 1п Ьото1об1са1 а1^еЬга, N. У. — ВегПп —
Не1с!е1Ьегб, 1971.
364. Хилтон X. (НП1оп Н.), Ап 1п1гос!ис11оп 1о 1Ье 1пеогу о[
^гоирз о[ НпИе огс!ег, ОхГогс!, 1908.
365. Ходж В. иПидо Д. (Нос^е ^.У.О. апс! Ресюе Э.), Ме1Ьос1з
о[ а1&еЪга1С ^еоте!гу, в 3-х тт., СатЪпс1§е, 1947, 1952, 1954;
русский перевод, «Методы алгебраической геометрии», в 3-х тт.,
М., 1954—1955.
366*. Холл М. (На11 М.), Рго^есИуе р1апез апс! ге1а1ес! 1ор1сз, СаН!.
1пз1. о[ 1есЬпо1., 1954.
367. Холл М. (НаН М.), ТЬе 1пеогу о! бгоирз, N. У., 1959; рус-
русский перевод, «Теория групп», М., 1962.
368. X о л л М. (На11 М.), СотЫпа1ог1а1 Шеогу, \^аНЬат (Мазз.) —
Тогоп1о — Ьопс!оп, 1967; русский перевод, «Комбинаторика»,
М., 1970.
369. Холл М. и Сеньор Дж. К- (НаП М. апс! Зешог <1. К.)»
ТЬе бгоирз 0[ Огс1ег 2п (п ^ 6), N. У. — Ьопсюп, 1964.
370. Холл Ф. М. (НаП Р. М.), Ап 1п1гос!ис11оп 1о аЬз!гас1 а1беЬга$,
в 2-х тт. СатЪгМве (Ьопс!оп), 1966, 1969; 2-е изд., 1972.
371. X о л ь ц е р Л. (Но1гег Ь.), К1аззепкбгрег1Ьеопе, Ье1рг1^,
1966.
372. X у С. Т. (Ни 5. Т.), 1п1гос1ис1юп 1о Ьото1об1са1 а^еЬга, 5ап
Ргапс1зсо, 1968.
373. Хупперт Б. (Ниррег! В.), ЕпсШсЬе Огирреп, I, ВегНп —
Ш — N. У., 1967.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ 39!
374. Цаленко М. Ш., К основам теории категорий, УМН 15,
№ 6 A960), 53—58; немецкий перевод — в книге [187'].
375. Цаленко М. Ш. иШульгейфер Е. Г., Категории,,
в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия. 1967 (Итоги науки„
ВИНИТИ АН СССР)» М., 1969, 9—57.
376. Цаленко М. Ш. иШульгейфер Е. Г., Лекции по
теории категорий, МГУ, М., 1970.
377*. Ц а п п а Г. Bарра С), Огирр1, согр1, щ\\аг\от\ 2-е изд.,
ЫароН, 1954.
378. Ц а п п а Г. Bарра С), РопйатепИ сН 1еопа с!е1 &гирр1, в 2-х тт.,
Кота, 1965, 1970.
379*. Цассенхауз Г. Bаззеппаиз Н.), ЬепгЪисЬ с!ег Огиррегь
1Ьеопе, Вс1. I, Ье1р21& — ВегНп, 1937; 2-е изд., «ТЬе 1Ьеогу о?
&гоирз», ОбШп^еп, 1956; перепечатка, N. У., 1958.
380. Чарин В. С, Топологические группы, в сб. «Алгебра. 1964
(Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М., 1966, 123—160.
381*. Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, в 2-х тт., Л. — М.,
1934—1937; немецкий перевод, Гронинген, 1950.
382*. Чеботарев Н. Г., Теория Галуа, М. — Л., 1936.
383. Чеботарев Н. Г., Теория групп Ли, М. — Л., 1940.
384. Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М. —
Л., 1948.
385*. Чеботарев Н. Г., Введение в теорию алгебр, М. — Л.,
1949; китайский перевод, Пекин, 1954.
386. Чеботарев Н. Г., Собрание сочинений, в 3-х тт., М. — Л.,
1949-1950.
387. Чейз Си Свидлер М. (СЬазе 5. II. апс! 5\уеес!1ег М. Е.),
Нор[ а1&еЪгаз апс! ОаЫз Шеогу, ВегНп, 1969.
388*. Черников С. Н., Условия конечности в общей теории групп,
УМН 14, № 5 A959), 45—96.
389. Черников С. Н., Линейные неравенства, М., 1968.
390. Черников С. Н., Линейные неравенства, в сб. «Алгебра.
Топология. Геометрия. 1966 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)»,
М., 1968, 137—187.
391. Черников С. Н., О группах с ограничениями для подгрупп,
в сб. «Группы с ограничениями для подгрупп», Киев, 1971.
392. Ч ё р ч А. (Ошгсп А.), 1п1гос1ис1юп 1о та1ЬетаИса1 1о&1С, I.,
Рппсе1оп (Ы. 3.), 1956; русский перевод, «Введение в математи-
математическую логику, I», М., 1960.
393*. Чжан Хо-жуй, Основы современной алгебры (на китай-
китайском), Шанхай, 1952.
394. Чунихин С. А., Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
395. Чунихин С. А. и Шеметков Л. А., Конечные группы,
в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 (Итоги науки,
ВИНИТИ АН СССР)», М., 1971, 7—70.
396. Ш а т л е А. (СЬа1е1е1 А.), Ьез &гоирез аЬёНепз Пшз е1 1ез тос!и-
1ез с!е рот1з епИёге, Рапз — 1Л11е, 1925.
397*. Ш а т л е А. (СЬа1е1е1 А.), А^^^Ьтё^^^ие е1 а1^ёЬге тойегпез,
уо1. 1 (ЫоИопз !опс!атеп1а1ез, бг°ирез), Раг1з, 1954; уо1. 2 (Ап-
пеаихе! согрз,са1си1 а1^ёЬг^^ие, 1с1ёаих е! сИу131ЫШё), Рапз, 1956.
398. Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии,
М 1972.
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
392
399. Шафер Р. (ЗсЬаГег К. О.), Ап т1гос!ис1юп 1о попаззоааНуе
а1&еЪгаз, N. У. — Ьопскш, 1966.
400. Шевалле К- (СЬеуаПеу С), ТЬеогу о[ 1ле &гоирз, уо1. 1,
Рппсекш, 1946; русский перевод, «Теория групп Ли», М., 1948.
401. Шевалле К. (СЬеуаПеу С), 1п1гос1ис1юп 1о 1Ье 1Ьеогу о!
а1^еЬга1с [ипс1юпз о! опе уапаЫе, N. У., 1951; русский перевод,
«Введение в теорию алгебраических функций от одной перемен-
переменной», М., 1959.
402. Шевалле К- (СпеуаПеу С), ТЬёопе с!ез &гоиРе5 &е 1ле,
уо1. 2, Огоирез а1&ёЪпяиез, Рапз, 1951; русский перевод, «Тео-
«Теория групп Ли, т. 2, Алгебраические группы», М., 1958.
403*. Шевалле К- (СЬеуаПеу С), ТЬёопе с!ез &гоирез с!е 1ле,
уо1. 3, Тпёогётез ^ёпёгаих зиг 1ез а1^ёЬгез с!е 1л е, Рапз, 1955;
русский перевод, «Теория групп Ли, т. 3, Общая теория алгебр
Ли», М., 1958.
404*. Шевалле К- (СЬеуаПеу С), Рипс1атеп1а1 сопсер!з о! а1&еЪга,
N. У., 1956; допечатка, N. У., 1965.
405. Шенкман Е. (ЗсЬепктап Е.), Огоир 1Ьеогу, Тогоп1о —
N. У. — Ьопскт, 1965.
406*. Шиллинг О. ($спПНп& О. Р. С), ТЬе 1Ьеогу о! уа1иа!1опз,
N. У., 1950.
407*. Ширшов А. И., Некоторые вопросы теории колец, близких
к ассоциативным, УМН 13, № 6 A958), 3—20.
408. Шмелькин А. Л., Абстрактная теория бесконечных групп,
в сб. «Алгебра. 1964 (Итоги науки, ВИНИТИ АН СССР)», М.,
1966, 47—82.
409*. Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, Киев, 1916; 2-е
изд., М. —Л., 1933 (см. также в [410]).
410. Шмидт О. Ю., Избранные труды. Математика, М., 1959.
411. Шмидт Э. Т. (ЗспгшсН Е. Т.), Коп&гиеп2ге1а1юпеп а1&еЪгаь
зсЬег 51шс1игеп, ВегПп, 1969.
412*. Ш о д а К-, Общая алгебра (на японском), Токио, 1947.
413. Шпайзер А. Eре1зег А.), О1е ТЬеопе с!ег Огирреп уоп епё-
Пспег Огс1пип§, ВегНп, 1923; 2-е изд., ВегНп, 1927; 3-е изд.,
ВегНп, 1937; 4-е, дополненное и исправленное изд., Вазе1 —
ЗЫи^аг!, 1956; английский перевод, 1945.
414*. Ш п е х т В. (ЗресЫ №.), Огирреп1Ьеог1е, ВегНп — ОбШп-
§еп — Не1с1е1Ъегб, 1956.
415. Штейнштрём Б. E1епз1гбт В.), К1пбз апс! тос!и1ез о!
^ио^^еп^5, ВегНп — НеЫе1Ъег& — N. У., 1971.
416. Шуберт X. (ЗспиЪег! Н.), Ка1ебог1еп, в 2-х тт., ВегПп —
НеШЪегб — N. У., 1970.
417. Энглефилд М. (Еп^еПеН М. I.), Огоир 1Ьеогу апс! 1Ье
Сои1отЬ ргоЫет, N. У., 1972.
418*. Э н д р ю Р. В. (Апогее К. V.), 5е1ес1юп5 [гот тойегп аЬз-
1гас1 а1беЬга, N. У., 1958.
419. Эресман Ш. (Епгезтапп СИ.), Са1ёбог1ез е! 51гис1игез, Ра-
Г1з, 1965.
420. Эресман Ш. (Епгезтапп СИ.), А1&ёЪге, раг! 1, Рапз, 1968.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев группоид 34
Абелева группа 34
с кольцом операторов (= мо-
модуль) 222
— Й-группа 145
— полугруппа 34
Абсолютно вырожденный примитив-
примитивный класс алгебр 158
Автоморфизм 125
— внутренний (ассоциативного
кольца) 127
— — (полугруппы) 126
— операторный 221
— тождественный 125
Аддитивная группа кольца 39
— — рациональных (действитель-
(действительных, комплексных) чисел 37
— — целых чисел 37
•— полугруппа натуральных чисел
37
Аксиома выбора 13
Алгебра ( = линейная алгебра) 256
— булева (=булева структура) 217
— групповая 259
— группоидная 259
— действительная 260
— кватернионов 260
— Кэли 261
— линейная 256
— над полем (= линейная алге-
алгебра) 256
— — — конечномерная 259
— нормированная 328
— полугрупповая 259
— псевдонормированная 328
— с делением 256
— — однозначным делением 256
— свободная 155
— слов 155
— универсальная 108
Алгебраическая операция 33
— — бинарная 33
— — нульарная 108
— — /г-арная 107
— — тернарная 107
— — унарная 108
— — частичная 107
Алгебраический элемент 366
Алгебраическое расширение 366
Альтернативное кольцо 264, 265
Аннулятор кольца 208
— подмножества кольца 247
Аннуляторный изоморфизм 208
Антиизоморфизм (колец) 224
Антикоммутативность 40
Антисимметричность 16
Архимедов класс 309
Архимедова группа 309
Архимедово кольцо 313
— нормирование 317
Ассоциативное кольцо 39
— тело 46
Ассоциативно-коммутативное коль-
кольцо 39
Ассоциативность 34
Ассоциатор 264
Ассоциированные разложения 86
— элементы 82
База (векторного пространства) 239
— (свободного модуля) 228
Бикомпактное пространство 344
Бинарная операция 33
Бинарное отношение 14
Булева алгебра (=булева струк-
структура) 217
— структура множеств 217
Булево кольцо 218
Векторное (= линейное) простран-
пространство 236
— — конечномерное 240
Верхняя грань 28
Взаимно простые элементы полу-
полугруппы 85
Взаимный коммутант (в Й-группе)
142
— — (в группе) 143
Включение бинарного отношения 14
Внутреннее дифференцирование
288, 289
Внутренний автоморфизм (кольца)
127
— — (полугруппы) 126
Возрастающая цепь 28
Возрастающий нормальный ряд 140
Вполне линейная топологизация
353
— несвязное пространство 346
— регулярное пространство 344
— упорядоченное множество 27
394
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вполне характеристическая под-
подгруппа 223
Выпуклое подмножество 307
Высота элемента 235
Вычитание 37
Гауссова полугруппа 86
Гауссово кольцо 89
Главная производная операция 154
Главный дробный идеал 99
— идеал 90
— изотоп 69
— полный идеал 229
— ряд (Й-группы) 141
— — (структуры) 192
Гомеоморфизм 340
— (линейной алгебры) 256
— (универсальной алгебры) ПО
— естественный 112
— инверсный 313
— монотонный 307
— непрерывный 351
— нулевой 129
— операторный (группоидов) 221
— — (колец) 225
— открытый 351
Гомоморфный образ ПО
Группа 34
— абелева 34
— — с кольцом операторов (= мо-
модуль) 222
— автоморфизмов 125
— архимедова 309
— без кручения 50
— Галуа 365
— знакопеременная 76
— квазиклиническая (= типа р )
131
— коммутативная (= абелева) 34
— корней из единицы 38
— направленная 296
— операторная 220
— периодическая 50
— примарная 235
— простая 76
— с конечным числом образую-
образующих 52
— — системой мультиоператоров й
114
— свободная 160, 162
— — абелева 163
— симметрическая 38
— — л-й степени 38
— типа р 131
— топологическая 347
— упорядоченная 293
— циклическая 52
Групповая алгебра 259
Группоид 34
— абелев 34
— значений нормы 318
— операторный 220
— с полугруппой операторов 221
— свободный 159
— топологический 347
— упорядоченный 293
Группоидная алгебра 259
Двусторонний идеал 80
Дедекиндова (= модулярная) струк-
структура 188, 189, 192
Дедекиндово кольцо 99
Действительная алгебра 260
Делитель 82
— единицы 81, 125
— нуля 42
Дискретная топология 342
Дистрибутивная структура 188,
214
Дистрибутивность 39
Дифференциальное кольцо 290
— подкольцо 291
Дифференциальный идеал 291
Дифференцирование 286
— внутреннее 288, 289
Длина нормального ряда 139
Дополнение к бинарному отноше-
отношению 14
— элемента (структуры) 217
Допустимое подкольцо 225
Допустимый идеал 225
— подгруппоид 221
Дробный идеал 99
Дробь 59
Евклидово кольцо 91
Единица (группы) 35
— (кольца) 46
— (структуры) 184
Единичная подгруппа 48
Единичное отношение 16
Естественное отображение 20
Естественный гомоморфизм 112
Закон антикоммутативности 40
— ассоциативности 34
— дистрибутивности 39
— коммутативности 34
— сокращения 34, 58
Замкнутое подмножество 335
Замкнутый элемент 334
Замыкание подмножества 335
— тривиальное 334
— элемента 334
Знакопеременная группа 76
Идеал (алгебры) 256
— (кольца) 78
— (й-группы) 115
— (частично упорядоченного мно-
множества) 186
— главный 90
— главный дробный 99
— — правый 229
— двусторонний 80
— дифференциальный 291
— допустимый 225
— дробный 99
— — обратимый 100
— левый 80
— максимальный 98
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
395
Идеал нормирования 324
— односторонний 80
— правый 80
— простой 98
— целый 99
Идемпотент 255
Изоморфизм аннуляторный 208
— векторных пространств 236
— группоидов (полугрупп, групп)
52
— колец 53
— линейных алгебр 256
— множеств с замыканиями 340
— нормальных рядов 139
— нормированных полей 327
— однотипных универсальных ал-
алгебр 109
— операторный (группоидов) 221
— — (колец) 225
— свободных разложений группы
176
— структур 182
— топологических групп 351
— — пространств 340
— центральный 207
— частично упорядоченных груп-
группоидов 294
— — — множеств 22
— — — — инверсный 23
— — — — с замыканиями 335
Изоморфное вложение группоида 55
— — структуры 182
— — частично упорядоченного
множества 22
— — — — — с замыканиями 335
Изотоп главный 69
Изотопия (группоидов) 68
— (колец) 70
Инвариантная подгруппа (== нор-
нормальный делитель) 73
Инвариантный ряд 141
Инверсный гомоморфизм 313
— изоморфизм 23
Индекс подгруппы 73
Индуцированная топология 341
Йорданово кольцо 42
Квадрат кольца 144
— множества 14
Квазигруппа 67
Квазитело 67
Квазициклическая группа (= груп-
группа типа р ) 131
Кватернион 261
Класс ассоциированных элемен-
элементов 82
Кольцо 39
— альтернативное 264, 265
— архимедово 313
— ассоциативное 37
— ассоциативно-коммутативное 37
— булево 218
— векторов трехмерного евкли-
евклидова пространства 40
— вычетов по модулю п 120
— гауссово 89
Кольцо главных идеалов 90
— дедекиндово 99
-— дифференциальное 290
— дифференциальных многочленов
292
— дробей 63
— евклидово 91
— значений нормы 316
— йорданово 42
— лиево 40
— — эндоморфизмов абелевой
группы 287
— линейных преобразований 241
— — — плотное 248
— матриц 40
— — полное 43
— многочленов 44
— нормирования 321
— нормированное 315
— нулевое 39
— операторное 225, 226
— операторных эндоморфизмов абе-
абелевой группы 227
— простое 79
— с ассоциативными степенями 264
— — делением 67
— свободное 163
— — ассоциативное 163
— — ассоциативно-коммутатив-
ассоциативно-коммутативное 163
— степенных рядов 45
— топологическое 354
— упорядоченное 300
— функций 43
— целозамкнутое в своем поле
дробей 106
— целочисленное групповое (груп-
поидное, полугрупповое) 57
— целых чисел 40
— — р-адических чисел 133
— эндоморфизмов абелевой группы
130
Коммутант 144
Коммутативная (== абелева) группа
(полугруппа) 34
Коммутативность 34
Коммутативный (— абелев) груп-
группоид 34
Коммутатор 142
Композиционный ряд 140
Конгруенция 111
Конечное расширение поля 366
Конечномерная алгебра над полем
259
Конечномерное векторное простран-
пространство 240
Левое умножение 224
Левостороннее разложение группы
72
Левый аннулятор кольца 80
-— — подмножества кольца 247
— идеал 80
— смежный класс 72
Лемма Гаусса 93
-— Цасенхауза 137
— Шура 251
396
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лиево кольцо 40
— — эндоморфизмов абелевой
группы 287
Линейная алгебра (= алгебра над
полем) 256
— зависимость 237, 238
— топологизация 353
Линейно упорядоченное кольцо 300
— — множество 21
— упорядоченный группоид 293
Линейное подпространство 236
— преобразование 241
— — конечного ранга 248
— (= векторное) пространство 236
Логарифмическое нормирование 320
Локально бикомпактное простран-
пространство 345
Лоранов степенной ряд 66
Лупа 67
Максимальная цепь 28
Максимальный идеал 98
— элемент 28
Минимальный элемент 23
Многочлен 44
Множество вполне упорядочен-
упорядоченное 27
— линейно упорядоченное 21
— направленное 296
— упорядоченное 21
— частично упорядоченное 21
Модели 17
Модуль (= абелева группа с коль-
кольцом операторов) 222
— свободный 228
— унитарный 223
Модулярная (= дедекиндова) струк-
структура 188, 189, 192
Монотонное отображение 185
— преобразование 294
Монотонный гомоморфизм 307
Мультиоператоры 114
Мультипликативная группа кор-
корней из единицы 38
— — тела 46
— полугруппа ассоциативного коль-
кольца 39
Мультипликативный группоид коль-
кольца 39
Наибольший общий делитель 83
Направленная группа 296
Направленное множество 296
Неархимедово нормирование 317,
318
Нейтральный элемент 358
Непрерывность умножения 347
Непрерывный гомоморфизм 351
Неприводимое кольцо эндоморфиз-
эндоморфизмов 251
Неприводимый элемент (полугруп-
(полугруппы) 82
Неразложимый элемент (структу-
(структуры) 200 "
Несвязное пространство 346
Нижняя грань 28
— центральная цепь 146
Нильпотентная й-группа 146
Норма 315
Нормальное пространство 344
— расширение поля 367
Нормальный делитель 73
— ряд (й-группы) 138
— — (структуры) 191
Нормирование архимедово 317
— логарифмическое 320
— неархимедово 317, 318
— р-адическое 325
Нормированная алгебра 328
Нормированное кольцо 315
Нулевое кольцо 39
— умножение 39
Нулевой гомоморфизм 129
Нуль (группы) 37
— (структуры) 184
Нульарная алгебраическая опе-
операция 108
Нуль-идеал 79
Нуль-подкольцо 48
п-арная алгебраическая операция
107
п-арное отношение 17
Область операторов 220
— целостности 44
Обобщенная теорема Фробениуса
270
Образующие (группы) 52
— (универсальной алгебры) 109
Обратимый дробный идеал 100
Обратное отношение 15
Обратный элемент 35
Обрыв убывающих цепей 24
Объединение бинарных отношений
14
— отношений эквивалентности 19
— элементов (структуры) 178
Односторонний идеал 80
Однотипные универсальные алгебры
109
Окрестность 337
Оператор 220
Операторная группа 220
Операторное кольцо 225
— — с кольцом операторов 225,
226
Операторный автоморфизм 221
— гомоморфизм (группоидов) 221
— — (колец) 225
— группоид 220
— изоморфизм (группоидов) 221
— — (колец) 225
— эндоморфизм 221
Определяющие соотношения 164
Основная теорема об абелевых
группах с конечным числом обра-
образующих 232
— — теории Галуа 370
Открытое подмножество 337
Открытый гомоморфизм 351
Отношение бинарное 14
— единичное 16
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
397
Отношение замыкания 334, 335
— л-арное 17
— обратное 15
— пустое 16
— тернарное 17
— частичной упорядоченности 20
— эквивалентности 17
й-группа 114
— абелева 145
— нильпотентная 146
— простая 116
— разрешимая 148
й-подгруппа 114
й-фактор-группа 115, 118
Пересечение бинарных отношений
14
—- разбиений 19
-^ элементов (структуры) 178
Периодическая группа 50
— часть (группы) 235
Плотное кольцо линейных преобра-
преобразований 248
Подалгебра (линейной алгебры) 256
— (универсальной алгебры) 109
Подгруппа 48
— вполне характеристическая 223
— единичная 48
— инвариантная (= нормальный
делитель) 73
—, порожденная множеством эле-
элементов 51
—, — системой подгрупп 52
— характеристическая 223
— циклическая 49
Подгруппоид 47
— допустимый 221
Подкольцо 48
— дифференциальное 291
— допустимое 225
—, порожденное одним элементом
50
Подполе 48
Подполугруппа 47
— циклическая 49
Подпространство линейное 236
Подпрямая сумма алгебр 210
Подпрямо неразложимая алгебра
211
Подстановка 38
Подструктура 181
Подтело 48
Поле 46
— вычетов нормирования 324
— дробей 64
— лорановых степенных рядов 66
— полное по норме 327
— р-адических чисел 135
— рациональных дробей 66
Полная прямая сумма алгебр 210
— система окрестностей 337
— — — единицы 349
— структура 183, 184
Полное кольцо матриц 43
— — функций 43
— поле 327
Полный прообраз 123
Полугруппа 34
— абелева 34
— гауссова 86
— идеалов (кольца) 97
— положительных элементов 295
— свободная 160
— симметрическая 38
— топологическая 347
— эндоморфизмов 127
Полулинейное соответствие 242
Пополнение поля с нормой 327
Порядок группы 38
— элемента 49
Правое умножение 224
Правостороннее разложение груп-
группы 72
Правый аннулятор кольца 226
— — подмножества кольца 247
— главный идеал 229
— идеал 80
— смежный класс 72
Предельный элемент вполне упо-
упорядоченного множества 27
Преобразование множества 38
Примарная группа 235
— циклическая группа 234
Примитивный класс алгебр 152
— многочлен 92
Продолжение свободного разложе-
разложения 176
— частичного упорядочения 297
Произведение бинарных отношений
14
— идеалов 97
— отображений 12
Производная операция алгебры 153
Простая группа 76
— Й-группа 116
Простое кольцо 79
— подполе 121, 122
Простой идеал 98
— элемент (полугруппы) 83
Пространство бикомпактное 344
— векторное (= линейное) 236
— — конечномерное 240
— вполне несвязное 346
— — регулярное 344
— локально бикомпактное 345
— несвязное 346
— нормальное 344
— регулярное 343
— связное 346
— топологическое 336
— хаусдорфово 343
Противоположный элемент 37
Прямая сумма й-групп 204,
213
Прямо подобные разложения 199
— — элементы (структуры) 199
Прямое объединение (в структуре)
195
— произведение (групп) 204, 207
— — (колец) 204, 207
Псевдонормирование 320
Псевдонормированная алгебра 328
Пустое отношение 16
р-адическая топологизация 357
р-адическое нормирование 325
— число 133, 135
398
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разбиение множества на классы 18
Разложение группы по двойному
модулю 169
— — — нормальному делителю 73
— — — подгруппе 72
— 12-группы по идеалу 117
Размерность (векторного простран-
пространства) 240
— (=ранг) (линейной алгебры) 259
Разность 37
Разрешимая Й-группа 148
Разрешимый ряд 148
Ранг (линейного преобразования)
248
— (= размерность) (линейной ал-
алгебры) 259
— (свободной абелевой группы) 231
Расширение поля 366
Рациональная дробь 66
Регулярное пространство 343
Рекуррентное отношение 26
Рефлексивность 16
Свободная абелева группа 163
— алгебра примитивного класса
155
— группа 160, 162
— полугруппа 160
— структура 182
Свободное ассоциативное
163
кольцо
— ассоц и ати в но-коммутативное
кольцо 163
— кольцо 163
— объединение алгебр 165
— произведение групп 166, 177
Свободные образующие 155
— элементы 151
Свободный группоид 159
— модуль 228
Связное пространство 346
Симметрическая группа 38
— — л-й степени 38
— полугруппа 38
Симметричность 16
Система образующих (группы) 52
— — (универсальной алгебры) 109
— определяющих соотношений 164
— свободных образующих 155
Скалярная матрица 55
Слово 151, 159, 160, 163, 222
Сложение 37 <>•
Смежный класс 72
Соответствие Галуа 363
Сопряженные подгруппы 74
— элементы (группы) 73
— — (поля) 366
Сравнимые элементы 21
Степенной ряд 45
Степень (алгебраического элемента)
366
— (многочлена) 44
— (множества) 17
— (расширения поля) 366
— (элемента) 48, 49
Структура 178, 179
— булева (=булева алгебра) 217
Структура дедекиндова (=» моду-
модулярная) 188, 189, 192
— дистрибутивная 188, 214
— множеств 215
— — булева 217
— отношений эквивалентности 183
— подалгебр 179
— подгрупп 179
— подколец 179
— подмножеств 179
— полная 183, 184
— свободная 182
Сумма гомоморфизмов 128
— идеалов (й-группы) 117
Суммируемые гомоморфизмы 128
Сходящаяся последовательность 327
Таблица умножения ли нейной ал-
алгебры 258
Тело 67
— ассоциативное 46
— без характеристики 122
— конечной (= простой) характе-
характеристики 123
— топологическое 354
— характеристики нуль (= тело без
характеристики) 123
р 123
Теорема Алберта о лупах 70
— — — нормированных алгебрах
329
— Артина 265
— Биркгофа — Витта 280
— Гельдера 310
— Джекобсона 250
— Жордана— Гельдера 141
— Кришнана 294
— Куратовского — Цорна 29
— Лагранжа 73
— Леви 299
— Нильсена — Шрейера 176
— — гомоморфизмах 112
— — подгруппах свободного про-
произведения групп 168
— — примитивном элементе 366
— об изоморфизме 136
— основная об абелевых группах
с конечным числом образующих
232
— — теории Галуа 370
— Фробениуса 270
— — обобщенная 270
— Фудзивары 1-я 158
— — 2-я 159
— Хаусдорфа 28
— Цермело 28
— Шимбиревой 299
— Шмидта — Орэ 200
— Шрейера 139
Тернарная алгебраическая опера-
операция 107
Тернарное отношение 17
Тождественная подстановка 38
Тождественное соотношение 152
Тождественный автоморфизм 125
Тождество Якоби 40
Топологизация группы 347
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
399
Топологическая группа 347
— полугруппа 347
Топологически нильпотентный эле-
элемент 357
Топологический группоид 347
Топологическое кольцо 354
— подпространство 341
— пространство 336
— тело 354
Топология 336
— смежных классов 352
— фактор-группы 352
Транзитивность 16
Трансляция 348
Трансформирование 73
Тривиальная норма 317
Тривиальное замыкание 334
Убывающая цепь 24
Убывающий нормальный ряд 140
Умножение 33
Унарная алгебраическая операция
108
Универсальная алгебра 108
Унитарный модуль 223
Уплотнение нормального ряда (Й-
группы) 139
— — — (структуры) 191
Упорядоченное кольцо 300
— множество 21
Условие индуктивности 24
— максимальности 28
— минимальности 24
— обрыва убывающих цепей 24
Фактор-алгебра (линейной алге-
алгебры) 256
— (универсальной алгебры) 112
Фактор-группа 112, 118
Фактор-группоид 112
Фактор-кольцо 112, 118
Фактор-множество 20
Факторы нормального ряда 139
Фундаментальная последователь-
последовательность 326
Функция 43
Характеристика тела 123
Характеристическая подгруппа 223
Хаусдорфово пространство 343
Целочисленное групповое кольцо 57
— группоидное кольцо 57
— полугрупповое кольцо 57
Целые р-адические числа 133
Целый идеал 99
Центр (группы) 127
— (кольца) 121
Центральный изоморфизм 207
— ряд 146
Цепь 21
— коммутантов 148
Циклическая группа 52
— подгруппа 49
— подполугруппа 49
Частичная алгебраическая опера-
операция 107
— упорядоченность 20
Частично упорядоченное кольцо
300
— — множество 21
— упорядоченный группоид 293
Эквивалентность 17
— по двойному модулю 169
— полных систем окрестностей 341
— систем операций 154
— слов 155
Элемент бесконечного порядка 49
— конечного порядка 49
Эндоморфизм 127
— операторный 221
Ядро гомоморфизма 119
Александр Геннадиевич Курош
ЛЕКЦИИ ПО ОБЩЕЙ АЛГЕБРЕ
М., 1973 г., 400 стр. с илл.
Редакторы О. Н. Головин, Ф. И. Кизнер
Техн. редактор Е. Н. Земская
Корректоры 3. В. Автонеева, А. Л. Ипатова
Сдано в набор 23/1II 1973 г. Подписано к печати
26/УП 1973 г. Бумага 84Х108'/з2. тип. № 1. Физ.
печ. л. 12,5. Условн. печ. л. 21. Уч.-изд. л. 20,93.
Тираж 30 000 экз. Т-Ш58. Цена книги 1 р. 62 к.
Заказ № 778.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинград-
Ленинградская типография № 1 «Печатный Двор» имени
А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государ-
Государственном комитете Совета Министров СССР по
делам издательств, полиграфии и книжной тор-
торговли. Ленинград, Гатчинская ул., 26.