КАТЮЫМ
О11А0КАТ1С
РОКМ5
, Р.К.5.
Оераг1теп1 оГ Риге Ма1Ьета11с$
апс! Ма1ЬетаИса1 51аи811сз,
СатЬпс1&е,
1
Асайегшс Ргезз
Ьопйоп Ые^ Уогк 5ап Ргапазсо
А 5иЬз1сПагу о* Нагсоиг! Вгасе ^оVапоV^сЬ, РиЬН'зЬегв
1978

Дж. КАССЕ ЛС
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ
Перевод с английского
Б. Б. ВЕНКОВА
под редакцией
А. В. МАЛЫШЕВА
МОСКВА «МИР» 1982

ББК 22.13
К 28
УДК 511
Касселс Дж.
К 28 Рациональные квадратичные формы: Пер. с англ.—М.:
Мир, 1982.—440 с, ил.
Монография известного английского математика, посвященная одному из
активно разрабатываемых разделов современной теории чисел — арифметике квад-
квадратичных форм. Отличается удачным отбором материала, высокими методическими
достоинствами. Может быть использована и как учебное пособие для первоначаль-
первоначального изучения предмета.
Для математиков! преподавателей, аспирантов и студентов университетов
1702030000
20203-006
6
К
041 @1)-82
Редакция литературы по математическим наукам
© 1978 Ьу Асайегшс ргезз ШС. (Ьопс!оп)
© Перевод на русский язык, «Мир»,
1982

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Эта книга—первая монография на русском языке, посвящен-
посвященная арифметике квадратичных форм. Ее автор, известный англий-
английский математик проф. Дж. Касселс, опубликовал уже несколько
книг, отличающихся большими методическими достоинствами. Ряд
из них переведен на русский язык: «Введение в теорию диофан-
товых приближений» (М.: ИЛ, 1961), «Введение в геометрию чи-
чисел» (М.: Мир, 1965), а также коллективная монография «Алге-
«Алгебраическая теория чисел» под редакцией Дж. Касселса и А. Фрелиха
(М.: Мир, 1969). Все они, как и предлагаемая читателям новая
книга,—научные монографии, которые можно использовать и как
учебники для первого ознакомления с предметом.
Теория квадратичных форм была начата трудами Лагранжа
и Гаусса (а еще ранее — Ферма и Эйлера). Они построили теорию
бинарных квадратичных форм, с которой можно ознакомиться по
книге Б. А. Венкова «Элементарная теория чисел» (М.: ГИТТЛ,
1937). Классическая арифметика квадратичных форм от п пере-
переменных была построена Эйзенштейном, Смитом и Минковским.
Довольно полно эти исследования собраны в книге Бахмана A898).
Более полувека эта монография была единственной по арифме-
арифметике квадратичных форм, и лишь начиная с 1950 г. появился
ряд книг по арифметике квадратичных форм—Джонса A950),
Эйхлера A952), Уотсона A960), О'Миры A963), Лама A973) и др.
Предлагаемая читателям книга Дж. Касселса более элемен-
элементарна, чем книга О'Миры. Автор сознательно ограничивает себя
рассмотрением квадратичных форм только над полем рациональ-
рациональных чисел О и над кольцом целых рациональных чисел 2, а
также над р-адическими числами (Хр и целыми /?-адическими чис-
числами 2р. Это облегчает первоначальное ознакомление с предме-
предметом и выявление идейной стороны дела. ,Но и в. этих рамках
книга достаточно полно отражает современное состояние теории.
Содержание книги видно из оглавления и условно разбивается
на три части. Главы 2—6 посвящены теории квадратичных форм
над полем, главным образом над 1&р и СЬ В гл. 7—11 и 14 рас-
рассматриваются квадратичные формы над ^и 2. Это—основная
часть книги. Особенно интересно изложение теории спинорных
родов (гл. 10—11)—существенного современного дополнения к
классической арифметике квадратичных форм. Главы 12—-13 от-
относятся к так называемой геометрии квадратичных форм. В них

Предисловие редактора перевода
рассматривается теория приведения и теория автоморфизмов ква-
квадратичных форм. Особняком стоит приложение Б, где дается бег-
беглый набросок аналитической теории квадратичных форм.
Стиль автора обладает своеобразными чертами. Так, например,
в первом пункте каждой главы формулируются основные результа-
результаты, которые в оставшейся части главы доказываются; главы сопро-
сопровождаются замечаниями о дальнейших результатах. Особенно
ценно то, что все главы (кроме первой) сопровождаются интерес-
интересными задачами. Это существенно повышает педагогическую зна-
значимость книги; подобных книг по арифметике квадратичных
форм нет.
Выход в свет русского перевода книги Дж. Касселса несом-
несомненно повысит интерес математиков к теории квадратичных
форм — актуальному, быстро развивающемуся разделу алгебры и
теории чисел. Эта книга вместе с цитированными выше книга-
книгами О'Миры A963) и Лама A973) дают хорошую базу для даль-
дальнейшего изучения теории квадратичных форм по журнальным
статьям и для самостоятельных исследований.
Так как этот перевод—первая монография по арифметике
квадратичных форм на русском языке, то возник вопрос о термино-
терминологии. До сих пор русские термины, относящиеся к квадратичным
формам, были разбросаны по разным книгам, касались, как пра-
правило, частных случаев (в основном бинарных квадратичных форм)
и подчас противоречили друг другу. В переводе принята система
русских терминов, представляющаяся нам и логичной и лаконич-
лаконичной. Так, везде используются 1) «целые формы», «целые матрицы»,
«целые представления», «целая эквивалентность» (и даже «цело
эквивалентные»), а не (более привычные) «целочисленные формы»,
«целочисленная эквивалентность», и т. д. В противном случае нуж-
нужно было бы говорить — если быть последовательным — о «рацио-
нальночисленных формах», «рациональночисленной эквивалент-
эквивалентности». Редактор, который несет полную ответственность за эту
систему терминологии, хотел бы надеяться, что она будет при-
принята.
Редактор и переводчик приносят глубокую благодарность проф.
Дж. Касселсу, который любезно прислал нам дополнения и спис-
списки опечаток, а также помог в работе над библиографическим
списком.
А. В. Малышев
Кстати, и в оригинале: Ые&га! Гоггш, т!е§га1 таШсез, 1п1е^га1 гергезеп-
11 е^и^Vа1е^1се, 111 1{

ПРЕДИСЛОВИЕ
Хотя рациональные квадратичные формы относятся к старейшим областям
теории чисел, они до сих пор сколько-нибудь полно изучены только для би-
бинарного случая. Все выходящее за эти рамки находится в неудовлетворитель-
неудовлетворительном и хаотическом состоянии, как это отчетливо видно из энциклопедического
изложения Бахмана. Нигде не видно, чтобы ведущие идеи были выдвинуты
на передний план, а второстепенные им подчинились.
Н. Вгапс11. ОЬег 51агшпГак1огеп Ье1 1егпагеп
диасЗгаИзспеп Рогтеп. Вег. УегЬ. засЬз. Акад.
1е\ргщ (Ма1Ь.-Ш. Ю) 100 A952), Не!1 1, B4рр).
... в целом, сейчас по-прежнему теория находится в хаотическом состоя-
состоянии, как правильно сказал Брандт.
В. Ь. уап ёег Шаегёеп. О1е
йет розШуеп диаскаНзспеп Рогтеп. Ас1а
МаШетаИса 96 A956), 265—309.
Приведенные высказывания могут создать неправильное впе-
впечатление. Настоящая книга не является трактатом в традициях
Бахмана, Эйхлера, Уотсона и О'Миры. Она имеет намного более
скромные цели: осветить некоторые из основных тем классичес-
классической арифметической теории квадратичных форм в свете наших
современных знаний, но с вполне элементарной точки зрения.
Это предисловие рассчитано на читателя, который в той или
иной мере уже знаком с предметом и который хочет выяснить,
как книга соответствует его знаниям и суждениям. Начинающего
мы отсылаем к введению, где дано более мотивированное обсуж-
обсуждение содержания. Когда он прочтет книгу, то может с пользой
для себя вернуться к предисловию.
Материал, изложенный в этой книге, относится в основном к
девятнадцатому веку, однако на его изложение оказали влияние
две точки зрения, принадлежащие двадцатому веку. Первая из
них, нашедшая свое выражение в работах Хассе и Витта, состо-
состоит в том, что теория форм над полями логически проще и более
полна, чем соответствующая теория над кольцами. Следовательно,
вопреки тому, что казалось естественным ранее, нужно изучать
формы с рациональными коэффициентами и относительно раци-
рациональной эквивалентности, прежде чем исследовать формы с це-
целыми коэффициентами и относительно целой (целочисленной) эк-
эквивалентности. Второе важное достижение, принадлежащее Гензелю
и Хассе, состоит в применении /?-адической точки зрения. Оно

8 Предисловие
приводит к радикальному упрощению логической структуры и, в
частности, избавляет1) от необходимости разнообразных «характе-
«характеров» и «инвариантов», с помощью которых ранние (и некоторые
более поздние) авторы различали р-адически неэквивалентные
формы, р-адические числа так же естественны, как и веществен-
вещественные; вероятно, можно даже утверждать, что они логически проще
вещественных чисел и что только под влиянием традиционного
образования мы чувствуем себя привычнее с вещественными чис-
числами. Однако, поскольку широкой аудитории, на которую рас-
рассчитана настоящая книга, р-адические числа еще не так хорошо
известны, как они того заслуживают, никаких предварительных
знаний о них не предполагается.
В нашем изложении внимание сосредоточено на самих формах,
а не на различных связанных с ними структурах. Третьим важ-
важным достижением, которое относится к двадцатому веку, можно
считать открытие того, что квадратичные пространства являются
однородными пространствами относительно своих ортогональных
групп, так что многое из их теории оказывается аспектом общей
теории линейных алгебраических групп. Однако обзор открываю-
открывающихся здесь перспектив не входит в наши планы. Также не
используем мы и теорию алгебр, разве что совсем немного и на
поздней стадии, при изучении спинорной группы и спинорного
рода; все, что потребуется, будет изложено с самого начала.
При написании книги автор придерживался той точки зрения,
что новые концепции лучше всего усваиваются в простейшем
контексте. Поэтому изложение ограничивается формами с рацио-
рациональными или целыми рациональными коэффициентами (и их /?-
-адическими пополнениями). Большая часть из того, что сделано,
просто и естественно распространяется на поля алгебраических
чисел. Если читатель знаком с теорией этих полей, то у него
не будет трудностей, чтобы убедиться в этом и сделать необходи-
необходимые видоизменения. В противном же случае более общая поста-
постановка вопроса была бы только лишним препятствием на его пути.
Имеется однако одно место, где теорию форм над рациональ-
рациональными числами можно построить проще, чем над алгебраическими
числовыми полями, а именно сильная теорема Хассе для форм
от трех переменных. Эта теорема является частным случаем общей
теоремы из теории полей классов о нормах в циклических расши-
расширениях полей алгебраических чисел. Однако в случае поля рацио-
рациональных чисел имеется совсем другое, простое доказательство этой
теоремы (которое, по-видимому, не переносится на алгебраические
числовые поля).
Однако на этом пути остается в стороне целый ряд интересных задач.—
Прим. ред.

Предисловие 9
Некоторые из доказательств, и в частности то, которое только
что упомянуто, используют идеи геометрии чисел. Как объяснено
в тексте, для главных приложений почти так же легко можно
было бы обойтись теоремой Эрмита о минимуме определенной
формы. Однако автору кажется, что изложение, использующее
геометрию чисел, более перспективно, хотя это, конечно, дело
вкуса. Основные идеи геометрии чисел настолько естественны,
что ими обязан владеть любой работающий математик. Однако,
будучи реалистом, автор кратко изложил их с самого начала
и в несколько нестандартной форме, более удобной для прило-
приложений. Это дает технику, которую можно с успехом использовать
в аналогичных ситуациях, когда обращение к теореме Эрмита
было бы менее естественным.
Имеется одна неэлементарная теорема, которая предполагается
известной—это теорема Дирихле о существовании простых чисел
в арифметической прогрессии. Это четко и просто формулируемая
теорема, которую можно принять на веру, если даже читатель
и не знает ее аналитического (сравнительно простого) доказатель-
доказательства. Ее использование позволяет провести доказательства основ-
основных теорем существенно более прямым путем и, кстати, так же,
как эта теорема, обобщаются на поля алгебраических чисел
и доказательства, приведенные в книге. Использование теоремы
Дирихле может показаться парадоксальным, так как она приме-
применяется для доказательства теорем о существовании рациональных
и целых форм с заранее заданными локальными свойствами,
которые были доказаны Гауссом в его <Ющш&Шопез» еще до
рождения Дирихле. И именно эти результаты из теории квадра-
квадратичных форм были использованы Атле Сельбергом в его знамени-
знаменитом "элементарном" доказательстве теоремы Дирихле (которая
первоначально была доказана аналитическими методами).
Бинарные квадратичные формы обладают рядом специальных
свойств: в частности, для них есть "композиция". Мы отложим
изложение этих свойств до конца книги, после того как будет
изложена общая теория. Именно эту теорию использовал Гаусс
для доказательства теорем существования, упомянутых в преды-
предыдущем абзаце, и тем самым мы ретроспективно обойдем исполь-
использование теоремы Дирихле. Имеется еще одно место, в котором
мы использовали теорему Дирихле: сильная теорема Хассе для
форм от четырех переменных. Показано, что здесь также можно
обойтись без теоремы Дирихле. Следует заметить, что если бы
мы развивали теорию над произвольным полем алгебраических
чисел, то теоремы существования для бинарных, форм можно было
бы интерпретировать как результаты о нормах в квадратичных
расширениях, что, как уже было сказано, является следствием
более общих теорем. По-видимому, метод исключения теоремы
Дирихле из сильной теоремы Хассе для кватернарных форм

10 Предисловие
не обобщается, так как основан на элементарном доказательстве
слабой теоремы Хассе, найденном недавно Милнором и позднее
независимо Конвеем. В контексте форм над полями алгебраичес-
алгебраических чисел имеется изящное доказательство (О'Мира A959), стр. 187),
в котором рассматривается алгебраическое расширение основного
поля. Кажется, это единственное место, где мы лишены возмож-
возможности применять аналогичную тактику из-за нашего решения
работать исключительно над полем рациональных чисел.
Вероятно, следует кое-что сказать об использованном опре-
определении целых квадратичных форм. Как хорошо известно, Гаусс
называл форму целой (или целочисленной), если она имеет вид
/(х) —х'Ах, где А—симметрическая матрица с целыми коэффициен-
коэффициентами; в широко известной рецензии на книгу малоизвестного мате-
математика Зеебера как пример простодушия последнего приводилось
его определение целой формы: /(х)— целая, если она является мно-
многочленом с целыми коэффициентами. Так, форма х\-\-х1х2-\-х\—
целая по Зееберу, но не по Гауссу. Определение Гаусса („классиче-
(„классическое определение") было принято более поздними авторами; Брандт
в статье, которую мы уже цитировали, замечает, что тем самым
Гаусс отодвинул прогресс на 100 лет. Конечно, Брандт преуве-
преувеличивает, но с некоторой точки зрения Зеебер и Брандт правы.
В частности, „неклассическое" определение Зеебера имеет больше
смысла над полями характеристики два. Однако для вопросов,
рассматриваемых в этой книге, выбор определения целой формы
не очень важен. Более существенным является выбор понятия
эквивалентности, относительно которой все рассматривается, и вмес-
вместо того, чтобы ссылаться на целые формы (в любом определении),
мы могли бы формулировать большинство теорем в терминах
поведения форм с рациональными коэффициентами относительной
целой (или целочисленной) эквивалентностих). Главным образом
из-за удобства матричных обозначений мы решили вопреки Брандту
выбрать „классическое" определение. Это означает, что в несколь-
нескольких местах 2-адический случай выглядит более аномальным, чем
при другом определении, но 2 в любом случае аномально (все прос-
простые числа странные, и 2 —самое странное из них!J). Возможно,
что выбор определения целой формы требовал бы больших раз-
размышлений, если бы мы работали над общими полями алгебраичес-
алгебраических чисел. Имеется однако одна глава, где выбор неклассического
определения имеет явные преимущества — это глава о композиции
бинарных квадратичных форм, и там мы пользуемся этим.
х) То есть эквивалентности над 2, над Хр и вообще над областью целостно-
целостности /. Точное определение см. в п. 2 гл. 1; какое именно понятие целой экви-
эквивалентности используется, видно из контекста.— Прим. ред.
2) Известная игра слов: а11 рптез аге ойс! — апс! 2 15 1Ье осШез! рпте о[
а!1; ос!с1 — странный, необычный, нечетный.—Прим. перев.

Предисловие И
Дух этой книги должен быть уже ясен из того, что сказано,
и из схемы зависимости глав, но возможно, несколько указаний
будут полезны. За введением следует раздел о квадратичных
формах над общими полями характеристики ф2, включая важную
„лемму Витта". Затем идут формы над полем р-адических чисел
0,р и формы над полем рациональных чисел О. Здесь связь с О.р
очень тесная. Нечто происходит над О тогда и только тогда, когда
это происходит над всеми 0,р\ существуют формы с любым наперед
заданным локальным (т. е. р-адическим) поведением, если только
выполнены очевидные необходимые условия. Потом та же после-
последовательность повторяется для целых форм. Сначала развивается
теория над общими областями главных идеалов, потом над целы-
целыми /?-адическими числами и," наконец, над целыми рациональны-
рациональными числами. Для целых форм связь между локальным и глобаль-
глобальным уже не такая тесная, как для рациональных форм, и понятие
„рода" описывает эту разницу. Две формы лежат в одном роде,
если чисто локальными методами нельзя показать, что они не
являются цело эквивалентными.
Понятие рода не исчерпывает собой всех возможностей пере-
перехода „локальное"—».„глобальное". Две формы из одного рода
рационально эквивалентны, хотя они и не обязаны быть цело
эквивалентными, и мы можем изучать новую ситуацию (с учетом
заданной эквивалентности) как локально, так и глобально. Здесь
играет роль спинорная группа (двулистная односвязная накрываю-
накрывающая группа для ортогональной группы), которая должна быть
введена. Локальные рассмотрения приводят теперь к понятию
„спинорного рода", которое является промежуточным между клас-
классом целой эквивалентности и родом. Для неопределенных форм
от ^ 3 переменных оказывается, что спинорный род совпадает
с классом целой эквивалентности, и потому снова глобальная
ситуация полностью определяется локальной. Здесь, конечно, под
"неопределенными" формами мы понимаем неопределенные формы
в обычном смысле, т. е. по отношению к вещественному вложению
поля рациональных чисел, или, выражаясь на языке, принятом
в этой книге, „относительно бесконечного простого числа". Вся
теория может быть также развита и в том случае, когда некото-
некоторое обычное поле р-адических чисел 0^ играет рбль поля К,
и эта теория применяется к формам, которые являются опре-
определенными в обычном смысле. В соответствии с нашим методичес-
методическим подходом, мы не развиваем эту теорию сразу в такой общ-
общности, однако имеем возможность обсудить это позднее.
Обратимся теперь к другой классической теме, а именно
к приведению определенных форм. Эта теория была построена
Эрмитом и — в лучшем варианте—Минковским. Она дает средство
из данного класса целой эквивалентности выбрать один (вообще
говоря) канонический представитель. Теория приведения работает

12 Предисловие
с формами с вещественными коэффициентами и выделяет множест-
множество приведенных форм (при приведении по Минковскому) с помощью
конечного числа линейных неравенств. Эти исследования тесно
связаны с арифметической структурой целой унимодулярной группы.
Имеется также теория приведения и для неопределенных форм.
Она гораздо сложнее, основывается на теории приведения опреде-
определенных форм и намного более арифметична. Неопределенная форма
может быть цело эквивалентна нескольким „приведенным формам";
более того, общая вещественная форма может быть цело экви-
эквивалентна бесконечному числу приведенных форм. Имеется тонкая
теорема (принадлежащая Зигелю): целая- форма может быть
эквивалентна только конечному числу приведенных. Приведение
неопределенных квадратичных форм тесно связано с группой
целых автоморфизмов индивидуальной формы и с тем, как эта
группа вложена в группу всех вещественных автоморфизмов (соот-
(соответствующую вещественную ортогональную группу). Для малых
размерностей эта ситуация много изучалась в девятнадцатом веке
в связи с неевклидовой геометрией и дискретными группами (см,,
например, обширные трактаты Клейна —Фрикке A890) и Фрикке —
Клейна A897)). В этой книге мы пытаемся единообразно объяс-
объяснить эти связи и с помощью новых подходов и новой техники,
которые возникли позднее.
Следующая глава имеет дело с композицией бинарных квадра-
квадратичных форм, и ее содержание уже было достаточно описано. Ее
вполне можно было бы поместить и раньше; она помещена в конце
только из соображений удобства. Многое из материала о бинарных
формах можно было бы естественным образом разместить в раз-
различных местах. Кстати, приведение и автоморфизмы бинарных
форм — материал, который мог бы быть включен в эту главу,—
в действительности попал в главы о приведении и об автомор-
автоморфизмах форм; эти две главы и были написаны ранее всего.
Два приложения к книге сильно отличаются от остального
материала. Они не преследуют цель полного изложения, а скорее
дают обзор ряда разделов теории, которые не включены полностью,
из-за недостатка места и так как они далеки от интересов автора.
Аналитические методы уже издавна применяются к теории квадра-
квадратичных форм, например, формула Дирихле о числе классов или
формулы для веса (Ма55!огте1п) Эйзенштейна и Минковского.
Эти и многие другие формулы содержатся в грандиозной формуле
Зигеля, которая количественно суммирует связь между локаль-
локальным и глобальным, качественно описанную в этой книге. Сама
формула Зигеля перенесена в арифметику алгебраических групп
и получила здесь сжатую формулировку — „число Тамагавы для
ортогональной группы равно 2". Другой аналитической теорией,
имеющей приложения к квадратичным формам, является теория
модулярных форм. Она дает, в частности, соотношения между

Благодарности 13
числами целых представлений чисел различными квадратичными
формами. Эти соотношения, по-видимому, недостижимы элементар-
элементарными методами. (Кое-что, впрочем, можно сделать элементарно.
Этот материал обсуждается в книге Эйхлера, но не здесь.) Все
это кратко описано в приложении Б.
Имеются несколько результатов об определенных формах,
которые получаются различными методами, но не укладываются
естественным образом в прокрустову структуру этой книги. Они
описаны в приложении А.
В этой книге излагается только та чгсть теории квадратич-
квадратичных форм, которая имеет отношение к формам над рациональными
числами. Недавно возродился интерес к изучению квадратичных
форм над общими полями, стимулированный в первую очередь
исследованиями Пфистера, получившего несколько неожиданных
результатов с помощью простых и элегантных методов. Обзор
этих результатов имеется у Лама A973), Лоренца A970) и Шар-
яау A969). Следует также упомянуть, что имеется теория квадра-
квадратичных форм над более общими кольцами с приложениями
к топологии, которая развивается в духе алгебраической К-теории.
Это— книга по математике, а не по истории математики. Я снаб-
снабжал именами некоторые теоремы, когда это было удобно, и осо-
особенно когда общепринято связывать теорему с тем или иным
именем. Но чаще я ссылался на оригинальные работы и др. только
случайно и бессистемно.
Должен сказать, что более чем за 30 лет, в течение которых
я интересуюсь квадратичными формами, я почерпнул очень многое
из самых разных источников и многие из них уже не помню.
Если бы я не боялся путаницы, я выбрал бы в качестве назва-
названия для этой книги заглавие антологии фельдмаршала Уовела
„Чужие цветы" ("О1Ьег теп'з По^егз"). Мне доставило большое
удовольствие собрать эти цветы в букет, чтобы показать их
прелесть наилучшим образом. Я надеюсь, что читатель сможет
насладиться этой красотой.
Дж. Касселс
Кембридж
Октябрь 1978
БЛАГОДАРНОСТИ
Профессор Уотсон, профессор Кон, д-р Конвей и д-р Паттерсои
сделали ряд полезных предложений относительно первого вариан-
варианта книги, а профессор Кнезер предложил несколько существен-
существенных улучшений. Г-жа Шарплз и г-жа Макклеланд приготовили
аккуратный машинописный текст с моей, обычно неразборчивой
рукописи. Д-р О'Донохоу написал программу на ЭВМ Кембридж-

14
Благодарности
ского университета, чтобы построить рисунки 12.1 и 13.1, а г-жа
Хьюгес начертила остальные рисунки. Моя жена самоотверженно
помогала править корректуры. Издательство „Академик пресс"
и типография были эффективны и четки. Я хотел бы выразить
мою благодарность всем им, а профессору Кону (Р. М. СоЬп)
также и за то, что он принял эту книгу в знаменитую серию
монографий Лондонского математического общества.
3. р-адические числа
, Введение
5. Геометрия
чисел
А. Определен-
Определенные формы
10. Ортогональная
группа и груп-
группа 5рт
11. Спинорный
род
I
2. Формы над полями
4. Формы над локальными
полями
I
6. Формы над рациональными
числами
I
7. Формы над областями
целостности
8. Формы над целыми р-адическими
числами
9.Формы над целыми рациональными
числами
12. Приведение определенных форм
13. Автоморфизмы целых форм
Б. Аналитические методы
14. Композиция бинар-
бинарных форм
[Замечание. Пунктирные стрелки показывают, что только материал о бинар-
бинарных формах из начала гл. 12 и 13 важен для гл. 14.]

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ
Арифметическая1) теория квадратичных форм почти так же
стара, как и сама математика (см. Диксон A919), том 2). Реше-
Решения уравнения
0 A.1)
в целых числах х, у, г дают прямоугольные треугольники с це-
целыми сторонами. Уравнение
х2 + у2—2г2=*0, A.2)
выражающее тот факт, что квадраты ха, г2, у2 лежат в арифме-
арифметической прогрессии, также имеет респектабельную родословную.
Уравнения A.1) и A.2)—однородные, так что нет существенной
разницы между их целыми (целочисленными) и рациональными
решениями. Если (х, у, г)=^(а, 6, с)—рациональное решение,
скажем уравнения A.1), то найдется такое целое число 1фОу
что /а, /6, 1с—целые числа, дающие целое решение. Для неодно-
неоднородных задач разница между целыми и просто рациональными
решениями существенна. Например, если С—целое положительное
число, то рациональные решения уравнения
х2_су» = 1 A.3)
находятся тривиально. Индусские математики Брахмагупта (седь-
(седьмой век) и Бхаскара (двенадцатый век) внесли нетривиальный
вклад в решение уравнения A.3) и более общих уравнений в целых
числах. Независимо от них уравнение A.3) много изучалось Ферма
и его современниками. Ферма утверждал в 1657 г., что он умеет
доказывать, что уравнение A.3) всегда имеет целое решение при
у^О, если только С > 0 не является полным квадратом2). Фор-
Формальное доказательство этого было опубликовано Лагранжем
в 1769 г. Само уравнение A.3) известно как „уравнение Пелля",
однако это основано на исторической неточности, допущенной
Эйлером (см. Диксон A919) или Уитфорд A912)).
) Мы предпочитаем термины „арифметика" и „арифметический" неуклю-
неуклюжему перифразу „теория чисел" и варваризму „теоретико-числовой".
2) Ясно, что это условие необходимо, так как если С~с2, то х2—Су2 =
=-(х-\-су)(х— су), и из A.3) следует, что х-\-су~х— су= ± 1, т; е. {/ = 0.

16 Гл. /. Введение
Проблема представления целого положительного числа п в виде
суммы 2, 3 или 4 квадратов целых чисел также имеет длинную
и запутанную историю. В 1749 г. Эйлер показал, что необходи-
необходимым и достаточным условием для представимости целого числа
«>0в виде
=:п A.4)
с целыми числами х, у является условие, чтобы простые числа
вида <7 = 3 (той 4) входили ъ по, четными показателями. В 1798 г,
Лежандр1) показал, что существует представление
х2 + у2 + г* = п, A.5)
кроме тех случаев, когда п — 4а (8Ь + 7) с целыми неотрицатель-
неотрицательными а и Ь. В 1772 г. Лагранж показал, что всякое целое поло-
положительное число есть сумма четырех квадратов:
х* + у2 + г2 + Р = п. A.6)
В каждом из этих случаев соответствующий результат задолго
до доказательства был сформулирован в виде гипотезы (снова об
истории вопроса см. Диксон A919)).
Обратимся теперь к более общему вопросу о целой предста-
представимости целого числа целой квадратичной формой2). Очевидное
необходимое условие получается из рассмотрения вещественной
разрешимости. Безнадежно, например, пытаться найти целые реше-
решения (х, у) уравнения
A.7)
так как это уравнение не имеет даже вещественных решений. Дру-
Другие необходимые условия получаются из рассмотрения сравнений.
Так, для любого целого числа х имеем
лг2 = 0 или 1 (той 4), A.8)
а потому, если целое число а может быть представлено в виде
суммы двух квадратов, то должно быть афЪ(той4). Дальней-
Дальнейший тип условий на сравнения3) („конгруенциальных условий")
можно проиллюстрировать на примере уравнения
A.9)
) См. А. М. Ье^епйге „Е8за1 (Типе 1пеопе Aез потЬгез" (Рапз, аппо VI).
Его доказательство довольно сложно. Гаусс независимо нашел другое доказа-
доказательство, которое изложено в его „^^5^и^5Шопе5 агНЬтеисае" (Ь1р51ае) 1801).
По существу, это доказательство и будет приведено в нашей книге.
2) Смысл этих терминов должен быть ясен из контекста. В п. 2 есть фор-
формальные определения.
3) Как мы увидим, этот тип условий встречается только для бинарных форм.

/. Введение 17
Здесь 21 = 1 (той 4), но тем не менее .уравнение не имеет решений
в целых числах #, у, так как из A.9) следует, что
а потому л; = # = 0 (тойЗ), что противоречит A.9).
Вещественная разрешимость и выполнение конгруенциальных
условий, однако, недостаточны для целой представимости. Так,
ясно, что у уравнения
A.10)
нет целых решений, хотя имеются вещественные решения и можно
показать, что сравнение
х* + 82у2 = 2 (той М)
имеет целое решение (х, у) для любого целого положительного
числа М. Точно так же уравнение
имеет вещественное решение и разрешимы соответствующие срав-
сравнения по любому модулю, но уравнение не имеет целых решений;
правда, это гораздо менее тривиально (ср. п. 3 гл. 13).
Обратимся теперь к однородному уравнению
A.11)
где /—целая квадратичная форма (например, форма A.1) или
A.2)). Всегда имеется тривиальное решение л^— ... — ... —хп — 0,
и когда мы говорим, что уравнение A.11) разрешимо, то будем
подразумевать, что существует нетривиальное решение. Если урав-
уравнение A.11) имеет нетривиальное решение в целых числах, то мы
можем всегда поделить на общий наибольший делитель чисел
#1, ..., хп и считать, что
н. о. д. (*1, ..., хп)~1. A,12)
Такое решение называется примитивным. Как и прежде, имеются
необходимые условия, выражающие вещественную разрешимость
уравнения A.11) и конгруенциальные условия. Однако формули-
формулировка последних требует некоторых уточнений. Сравнение
}(хи ..., хп) = 0 (той М) A.13)
всегда имеет тривиальное решение х1 = . . == хп = 0 (той М).
Мы будем называть (хи . .., хп) примитивным решением сравне-
сравнения A.13), если
н. о. д. (хи ..., хп, М) = 1. A-14)
Например, сравнение
х2 + у2 = 0 (той 9),

18 Гл. 1. Введение
имеет нетривиальные решения, но не имеет примитивных решений.
Существует фундаментальная теорема, утверждающая, что если
уравнение A.11) имеет нетривиальное вещественное решение и если
сравнение A.13) имеет примитивное решение для любого целого
положительного числа М, то A.11) имеет нетривиальное решение
(теорема 1.1. гл. 6).
Одна из основных тем этой книги, возможно даже основная
тема,— это информация, которую можно извлечь из вещественных
и конгруенциальных рассмотрений. Однако обращение со сравне-
сравнениями становится чрезвычайно утомительным, главным образом
потому, что кольцо1) Ъ (той М) может иметь делители нуля.
Имеется другой подход, гораздо более удобный, а именно форму-
формулировки в терминах р-адических чисел. Свойства р-адических чисел
будут изложены с самого начала в гл. 3; поэтому здесь мы дадим
только краткое предварительное объяснение. Пусть р—фиксиро-
р—фиксированное простое число. Тогда любое рациональное число афО
может быть записано в виде
где а—целое (положительное, отрицательное или нуль), а^иу —
целые числа, не делящиеся на р. Это представление однозначно,
если потребовать, чтобы V > 0 и чтобы и и V были взаимно просты;
во всяком случае, а однозначно определяется числом а. Опреде-
Определим функцию | \р (р-адическое нормирование) на поле рациональ-
рациональных чисел О, положив
для афО, где а определено формулой A.15), и положив
Тогда, как легко проверить (п. 1 гл. 3):
A) \а\р^0, причем равенство имеет место только при а =
(и) \аЬ\р = \а\р\Ь\р,
(ш) \а + Ь\р^тах{\а\ру \Ь\р}.
Из свойства AИ) следует „неравенство треугольника"
(НО* \а + Ь\р<\а\р + \Ь\р.
Теперь вспомним, что обычная абсолютная величина 11 обла-
обладает свойствами A), (и) и A11)*. Один из способов построения
вещественных чисел состоит в „пополнении" поля рациональных
чисел О с помощью абсолютной величины 11. Совершенно анало-
аналогично мы можем пополнить О с помощью | \р\ поле, полученное
таким образом, называется полем р-адических чисел и обозна-
обозначается через 0^. Чтобы подчеркнуть аналогию, мы будем обозна-
х) Здесь 2 обозначает кольцо целых рациональных (или просто целых)
Чисел.

2. Основные понятия 19
чать обычную абсолютную величину через Ц^ и писать К—
Использование в этом контексте символа оо общепринято и связано
с некоторыми историческими причинами, в рассмотрение которых
мы не будем входить. Аналогия между К = (}то и (Хр неполная,
так как | |те не удовлетворяет условию A11), однако мы увидим,
что она полезна.
В терминах р-адических чисел теорема о разрешимости урав-
уравнения A.11), которую мы формулировали выше в терминах срав-
сравнений, может быть переформулирована в сжатом виде следующим
образом. Пусть уравнение A.11) имеет нетривиальное решение
в каждом (Хр{р — простое число) и в С^. Тогда A.11) имеет не-
нетривиальное решение в О.
Мы закончим это введение замечанием, что уравнение Пелля
A.3) поднимает и другие вопросы. Оно всегда имеет целое реше-
решение (я, у)~A, 0). Следовательно, нужна количественная тео-
теория множества решений. На самом деле уравнение Пелля играет
весьма специальную роль в теории, ибо оно связано с автомор-
автоморфизмами бинарных форм (п. 3 гл. 13).
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть /—кольцо1) в поле к характеристики Ф2. Мы допускаем
возможность / — к. Под квадратичной формой / = / (х) от п пере-
переменных х = (*! ,.., хп) мы будем понимать функцию
/ (х) ^ 2 ///*,-*/ = 1ах\ + 2/12*1*2 + • • •» BЛ)
*./
где
/,/=-//!€*. 1<*. /</*. B.2)
Иногда мы будем говорить, что форма / имеет размерность п.
Форма / представляет элемент с^к над I (или /-представляет),
если найдется такое Ь = (Ь*, ..., Ьп)^1п (т. е. Ь;^1У 1^/<п),
что
/(Ь)-с. B.3)
В частности, если к есть поле рациональных чисел (}, то мы
будем говорить о рациональных представлениях, если 1-й,
и о целых (или целочисленных) представлениях, если / = 2—кольцо
целых чисел.
Вообще, форма / (х) от п переменных представляет форму § (у)
от т переменных над I (или /-представляет), если найдутся такие
Ът ^ /", что выполняется тождество
гК + • • • + утЪт) =* § (уи ..., ут)=*в1У) B-4)
Мы предполагаем, что 1^/ (все кольца „унитарны").

20 Гл. 1. Введение
для переменных у. Здесь мы воспользовались векторными обозна-
обозначениями, так что
• • • +УтЪт =
B.5)
где
Ь/=
Ясно, что / представляет над / всякий элемент с^к9 представи-
мый над / формой @.
Мы гоюрим, что две формы / и § от одного и того же числа
переменных эквивалентны над I (или /-эквивалентны), если каж-
каждая из них представляет другую1). Ясно, что /-эквивалентность
является отношением эквивалентности в техническом смысле слова,
т. е. рефлексивна, симметрична и транзитивна. Следовательно,
мы можем говорить о классах /-эквивалентности квадратичных
форм. По приведенному выше замечанию /-эквивалентные формы
/-представляют одни и те же элементы поля к. Поэтому имеет
смысл говорить о /-представимости /-классом квадратичных форм.
Введем теперь матричные обозначения. Транспонирование мат-
матрицы Т будем обозначать через Т\ Общепринято рассматривать
вектор х как столбец, хотя по типографским причинам мы будем
писать его компоненты в виде строки. Таким образом, мы можем
записать B.1) в виде
/(х)=*х'Рх, B.7)
где Р—квадратная симметрическая матрица
Р = (///)• B.8)
Определителем & (/) формы / называется определитель йе1 Р мат-
матрицы Р. Если й(/) = 0, то мы будем говорить, что/—особая, или
сингулярная, форма. В противном случае /—неособая, или регу-
регулярная, форма. Мы сконцентрируем наше внимание на регулярных
формах, так как по крайней мере в тех вопросах, которые нас
будут интересовать, особые формы можно свести к регулярным
формам от меньшего числа переменных (п. 6 гл. 2; п. 4 гл. 7).
) В книге использованы различные (в том числе и неравнозначные) опре-
определения понятия эквивалентности над /. Говорим, что формы / и § эквива-
эквивалентны над / в широком смысле (этот термин автор употребляет и в другом
смысле — см. п. 1 гл. 11), если каждая из них представляет другую над /;
здесь не предполагается, что число переменных форм / и § одинаково (см.,
например, лемму 4.1. гл. 7). Говорим, что формы / и. § эквивалентны над /
(в узком смысле), если найдется обратимая над / матрица Г, переводящая /
в @, I (Тх) — §(х); тогда число переменных форм / и § будет одинаковым (см.,
например, п. 1 гл. 9). Для регулярных форм / и § эти понятия совпадают.
Читатель из контекста без труда поймет, какое определение используется.—
Прим. ред.

2. Основные понятия 21
В матричных обозначениях B.4) превращается в равенство
С = В'РВ, B.9)
где Р, О—симметричные матрицы, соответствующие /, @, а
<1<П, 1</<Ш B.10)
— матрица с элементами из /. Предположим теперь, что /, § —
эквивалентные формы, так что т = п, и в дополнение к B.9) мы
имеем
= С'ОС, B.11)
где С—некоторая матрица с элементами из /. Тогда B.9) и B.11)
дают соответственно
й C) = (с1е1 В)Ы (/), B.12)
B.13)
Отсюда следует, что если одна из форм / или § особая, то осо-
особая и вторая форма, так что можно говорить об особых клас-
классах форм. Далее, если формы /, § регулярны, то
(с!е1 ВJ (с1е!СJ= 1.
Следовательно, <3е1 В ^ Л/, где V — группа единиц (т. е. обратимых
элементов) кольца /:
11 = {и: и^1, и^^1}. B.14)
Имеется и обратное утверждение.
Лемма 2.1. Необходимым и достаточным условием {-эквивалент-
{-эквивалентности двух регулярных форм / и § от п переменных является
равенство
С = В'РВ, B.15)
где В — матрица с элементами из I и
B.16)
Доказательство. Мы уже видели, что это условие необходимо.
Для доказательства достаточности нужно заметить, что из B.16)
следует, что матрица С^В имеет элементы из / и что Р = С/ОС.
До конца этого пункта мы будем предполагать, что / не сов-
совпадает с к. Типичным случаем является & —О, /~2; поэтому
мы будем говорить об элементах из / как о целых. Мы будем
говорить, что квадратичная форма / (х) целозначна, если / (Ь) ^ /
для всех Ь^ /". Ясно, что свойство целозначности сохраняется при
/-эквивалентности. Легко проверяется, что в терминах коэффициен-
коэффициентов /^ необходимым и достаточным условием целозначности яв-

22 Гл. 1. Введение
ляется
я. B.17)
Мы будем говорить, что / — целая (или целочисленная) в классиче-
классическом смысле (или классически целая) форма1), если
т. е. если элементы соответствующей матрицы лежат в /» По B.9)
и B.11) все формы класса /-эквивалентности классически целые,
если это верно для одной из них; поэтому можно говорить о клас-
классически целом классе эквивалентности (или о целом классе в клас-
классическом смысле). Заметим, что классически целые формы цело-
значны и что если /(х) целозначна, то 2/(х)—классически целая
форма. Поэтому эти два понятия совпадают, если 2 есть единица
кольца /.
В случае когда / = 2, велись длинные и часто язвительные
дебаты о правильном определении целых (целочисленных) квадра-
квадратичных форм. Некоторые предпочитали целозначность, в то время
как другие (в особенности Гаусс) предпочитали то, что мы назвали
целыми в классическом смысле. В действительности, каждое из
определений имеет свои преимущества в некоторых контекстах, но
часто оба определения одинаково хороши. Обычно лучше не накла-
накладывать условий целости на форму, даже если работать с /-экви-
/-эквивалентностью. Таким образом, дискуссия между последователями
двух определений целости напоминает дискуссию между Остроко-:
нечниками и Тупоконечниками в Лилипутии. Когда нам потре-
потребуется понятие целости для форм, то мы будем пользоваться
классическим определением, кроме тех случаев (как в гл. 14), когда
другое определение намного удобнее.
3. ПЛАН КНИГИ
Предмет этой книги — изучение квадратичных форм над полем О
рациональных чисел и над кольцом 2 целых чисел. Здесь мы очень
кратко опишем ее содержание.
Как указано в п. 1, стратегия будет состоять в том, чтобы
работать с помощью полей р-адических чисел 0р и колец целых
/7-адических чисел 2ру которые будут определены в гл. 3. Удобно
ввести современный жаргон и говорить о О как о глобальном
поле, а о ^ (включая К=ОТО)—как о локальных полях.
Хотя исторически квадратичные формы сначала рассматрива-
рассматривались над 2 и только позднее над О, теперь мы знаем, что теория
квадратичных форм над полями проще и находится в более удов-
х) Удобным здесь является и термин „собственно целая"; ср. Малышев
A962).- Прим. ред,

3. План книги 23
летворительном состоянии, чем теория форм над областями целост-
целостности. Поэтому мы обращаем исторический порядок и начинаем
с квадратичных форм над полями.
Глава 2 содержит общую теорию квадратичных форм над поля-
полями характеристики ф2. Витт был, вероятно, первым, кто заметил,
что удобным языком для теории является язык векторных прост-
пространств с квадратичным функционалом, обобщающим обычную евкли-
евклидову метрику Кп. После этого мы должны прервать повествование и
ввести 4р-адические числа с самого начала. Это сделано в гл. 3.
В гл. 4 можно найти вполне удовлетворительную теорию квадратич-
квадратичных форм над С1р: имеется удобное описание классов эквивалентности
форм в терминах трех инвариантов вместе с описанием того мно-
множества значений, принимаемых инвариантами, которые действи-
действительно соответствуют формам. Здесь мы снова вынуждены прервать
повествование, чтобы ввести некоторые основные понятия геометрии
чисел: это сделано в гл. 5, причем изложение ведется с самого
начала. В гл. 6 мы рассматриваем квадратичные формы над (}.
Мы используем геометрию чисел скорее потому, что она доставляет
наиболее удобный язык, а не потому, что это абсолютно необхо-
необходимо. Мы пользуемся также теоремой Дирихле о существовании
простых чисел в арифметической прогрессии; это позволяет нам
дать очень прозрачное обсуждение связи между глобальными и
локальными свойствами. Теорему Дирихле мы не доказываем, а
относимся к ней как к йеиз ех тасЫпа. Впрочем, в гл. 14 мы
покажем, как можно обойтись без ее использования. В гл. 6 мы
увидим, что проблемы квадратичных форм над (} могут быть весьма
удовлетворительным образом сведены к аналогичным проблемам
над локальными полями. Квадратичная форма /(х) с рациональ-
рациональными коэффициентами представляет элемент а б О, если она пред-
представляет а над всеми С^, включая С^^К; или на языке, которым
мы будем пользоваться: „/ представляет а глобально, если она
представляет а всюду локально". Две формы / и§ эквивалентны
глобально, если они эквивалентны всюду локально. Имеется также
элегантный критерий существования глобальной формы с заранее
заданными локальными свойствами.
Далее три главы G—9) следуют тому же образцу для целой
(целочисленной) эквивалентности (эквивалентности над /, в част-
частности, над 2 и 2р). В гл. 7 излагается теория для общих областей
целостности, причем иногда на область целостности налагается
условие, чтобы она была областью главных идеалов. Глава 8 имеет
дело с формами над целыми /?-адическими числами 2р; здесь
имеется весьма четкое описание классов эквивалентности для рф2
и значительно более беспорядочное и неполное при р — 2. Глава 9
имеет дело с формами над 2. Здесь локальная теория проливает
значительный свет, но не дает полного описания. Две формы,
например х2 + 82у2 и 2х2 + 41у2, могут быть вск^ду локально цело

24 Гл. 7. Введение
эквивалентными, но не быть глобально цело эквивалентными.
Говорят, что формы принадлежат одному роду, если они цело
эквивалентны всюду локально. Оказывается, что род содержит
только конечное число классов целой эквивалентности. В некотором
смысле глобальная ситуация определяется всеми локальными ситуа-
ситуациями только с точностью до конечного числа возможностей.
Теорема о переходе „от локального к глобальному" утверждает
теперь только то, что если число а цело представимо всюду ло-
локально формой /, то оно представимо глобально некоторой фор-
формой /*, принадлежащей тому же роду, что и /. Это говорит нам
нечто о представлениях формой /, только если мы знаем, что род
формы / состоит из одного класса целой эквивалентности, как,
например, в случае форм х2 + у2, х2-\-у2-\-гг и х2^у2-{-г2 + №.
Эта глава содержит также простой критерий существования глобаль-
глобальной формы с наперед заданными локальными свойствами.
Главы 10 и 11 имеют дело с аргументацией „от локального
к глобальному" другого рода; для описания ее здесь требовалось
бы слишком много предварительных рассмотрений. Следствием яв-
является то, что род неопределенных целых квадратичных форм от
трех или более переменных обычно состоит из одного класса целой
эквивалентности. Имеются очень простые условия, которые гаран-
гарантируют это, и есть точное описание исключительной ситуации,
когда имеется более чем один класс в роде. Это означает, что мы
имеем, по крайней мере обычно, хорошие теоремы о переходе „от
локального к глобальному" для целой представимости неопреде-
неопределенными формами от трех или более переменных. Положение для
определенных форм совершенно другое. Здесь нормальным яв-
является положение, когда род состоит из многих классов. Однако
методы гл. 10 и 11 показывают, что определенные целые формы
от пяти и более переменных представляют над 2 все целые числа,
представимые формой всюду локально, за исключением конечного
числа таких чисел; это же верно и для форм от четырех перемен-
переменных, но с некоторыми ограничениями.
Результаты, упомянутые в последнем абзаце, дают более пол-
полную информацию о неопределенных формах, чем об определенных.
Это несколько парадоксально, так как с наивной точки зрения
определенные формы кажутся более простыми в обращении, чем
неопределенные формы. Например, если мы хотим узнать, пред-
представляет ли целозначная определенная форма / (х) целое число с,
то уравнение /(х) — с дает границу для целых чисел хи ..., хп, и
мы можем выяснить, имеется ли представление, конечным числом
проб. Аналогично конечным числом проб можно всегда выяснить,
эквивалентны или нет две данные целые определенные формы.
В гл. 12 изучается так называемое приведение определенных квадра-
квадратичных форм. Эта теория имеет дело с формами над К и описывает,
как можно выбцать единственную („приведенную") форму из класса

3. План книги 25
2-эквивалентных определенных форм; при этом в исключительных
случаях класс эквивалентности может содержать конечное число
приведенных форм. Имеется несколько различных теорий приве-
приведения. Та, которую мы используем, была развита Минковским.
Приведенные формы задаются набором линейных неравенств для
коэффициентов. Показывается, что для данного п множество при-
приведенных форм определяется конечным числом таких неравенств
и что они определяют интересную геометрическую конфигурацию.
Имеется также теория приведения для неопределенных 'форм;
однако эта теория значительно более деликатна и гораздо менее
полезна. Как будет объяснено в гл. 13, теорию приведения неопре-
неопределенных форм можно сделать зависящей от приведения опреде-
определенных форм. Конструкция, принадлежащая Эрмиту, дает также
хорошее описание группы 0г{!) целых автоморфизмов заданной
неопределенной целой квадратичной формы /, т. е. группы таких
целых матриц Т, что / (Тх) = / (х) тождественно по х. Группа О г (/)
конечно порождена1). Говоря не совсем точно, группа Ох (/) столь
велика, как это только допускается очевидными ограничениями,
возникающими из геометрии ситуации. Изучение группы 0г(/)
вскрывает интересные связи с неевклидовой геометрией.
Глава 14 не зависит от большей части материала из предыдущих
глав; в ней изучаются целые (целозначные) бинарные формы.
Гауссом было показано, что классы примитивных целых бинарных
квадратичных форм относительно собственной эквивалентности2)
обладают естественной структурой абелевой группы; при этом
групповым законом является операция, называемая „композицией".
Роды играют особую роль. Гаусс использовал композицию для
доказательства существования форм с данными локальными свой-
свойствами. Мы изложим теорию Гаусса в варианте, принадлежащем
Дирихле, и покажем, как она может быть использована, чтобы
сделать доказательства предыдущих глав не зависимыми от тео-
теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
На этом заканчивается обзор материала, детально изложен-
изложенного в книге. В приложениях дается довольно краткий обзор
родственных областей, которые не укладываются в общий план
книги.
Доказательство этого утверждения в книге отсутствует.— Прим. ред.
Смысл этих терминов будет объяснен в дальнейших главах.

Глава 2
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ПОЛЕМ
!. ВВЕДЕНИЕ
Пусть к— поле характеристики Ф2. Под квадратичным про-
пространством над к мы будем понимать конечномерное й-векторное
пространство V вместе с симметрической билинейной формой ф,
определенной на V и принимающей значения в к. Мы будем
обозначать размерность пространства V через п\ положим
Ф(и)=«ф(и, и), (и 6^). A.1)
Функция ф (и) от одной переменной и определяет симметрическую
билинейную форму ср(и^ и2) по формуле
Ф(иь и2)=т{ф(и14-и2)—ср(щ —щ)}. A.2)
Таким образом, вместо того чтобы начинать с билинейной формы
Ф (и*, и2), мы могли бы начать с функции ф (и) от одной перемен-
переменной, удовлетворяющей условиям
(I) Ф (Хи) - Х«ф (и), (Х€*);
(И) правая часть формулы A.2) является билинейной формой
от иг и и2.
Вырожденным случаем определения является 0-мерное вектор-
векторное пространство, состоящее только из нулевого вектора О,
с ф@) = 0. Имеются случаи, например, при определении группы
Витта в п. 5, когда удобно включать это тривиальное простран-
пространство в определение квадратичного пространства, но, вообще говоря,
мы будем исключать этот случай из определения квадратичного
пространства.
Для дальнейших ссылок может быть сформулирована
Лемма 1.1. Пусть билинейная форма ф (и1э и2) не равна тожде-
тождественно 0. Тогда найдется и^(/, для которого ф(и)=^=0.
Доказательство. Тривиально.
Если их, ..., ип—любой базис (У,,то ясно, что
A.3)

./. Введение 27
является квадратичной формой над к. Если и1, ..., х\'п—любой
другой базис (У, то
эквивалентна /; и всякая форма, эквивалентная /, возникает таким
образом. Далее, всякая квадратичная форма / над к возникает
из некоторого квадратичного пространства V\ ср. Чтобы это уви*
деть, достаточно взять пространство 11 подходящего числа изме-
измерений с базисом и1э ..., \хп и определить ф через / по формуле
A.3). Мы увидим, что язык квадратичных пространств очень есте-
естествен при изучении квадратичных форм над полями.
Обозначим множество /г-линейных отображений V —* к через
Нот {V, к) {двойственное пространство к (/). Билинейная форма ф
определяет 6-линейное отображение
1/-*НотA/, /г), A.5)
где \у ^ V переходит в ф™ € Нот (I/, к), задаваемое формулой
Ф^: и —ф(и, \у). A.6)
Мы будем говорить, что квадратичное пространство (У, ф регулярно
(или несингулярно, неособо), если A.5) является изоморфизмом.
В противном случае будем говорить, что V', ф сингулярно. Сфор-
Сформулируем тривиальную лемму.
Лемма 1.2. Следующие четыре утверждения эквивалентны:
A) (У, ф регулярно',
(п) если от^[/ и ф(и, \у) = 0 для всех и^(У, то и^ = 0;
A11) с!е1 ф(и,-, и;)=^0, где щ, ..., ип—любой ба-
(У;
(IV) форма /, задаваемая A.3), регулярна.
Доказательство. Очевидно.
Теперь мы в состоянии ввести важный инвариант регулярного
квадратичного пространства. Пусть и*, ..., ил и V*, ..., \м —
два базиса (/, так что
где $(/€к и йе\(8(/)ф0. Легко проверяется, что
§/ф(V,, V/)=«(ае^/,/E,/))^8де^/,/ф(и/, и;). A.7).
Следовательно, если мы обозначим, как обычно, через к* мульти-
мультипликативную группу ненулевых элементов поля к, то видим, что
(Ы<р(и;, иу) лежит в классе к* по модулю (к*J, который не зави-
зависит от выбора базиса иь ..., ип. Мы будем называть элемент
из к*/(к*J, заданный таким образом, определителем й(<р) для I/, ф.
Если Ц, ф сингулярно, то мы считаем его определитель равным
нулю.

28 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
"Квадратичное пространство (У, <р является обобщением обычной
евклидовой геометрии. Мы будем говорить, например, что щ нор-
нормально (или ортогонально, или перпендикулярно) к и2, если ф (иь
иа)=г0. Заметим, однако, что мы не можем исключить возможности
того, что ф(и)=*ф(и, и) = 0, т, е. что и нормально к самому себе
(см. п. 2).
Пусть V, ф—квадратичное пространство, и пусть V—линейное
подпространство в V'. Тогда ф задает на У структуру квадратич-
квадратичного пространства. Когда мы говорим о линейных подпространствах
в V, то будем, естественно, рассматривать их с этой структурой
квадратичного пространства. Мы будем обозначать через V1- мно-
множество всех элементов из С/, перпендикулярных ко всем элемен-
элементам из У (ортогональное дополнение к V):
1/х=:{и: ф(и, у) = 0 для всех у
Ясно, что V1 также является линейным подпространством в /У.
Говорим, что векторное пространство I? является прямой сум-
суммой подпространств V и №, если всякий элемент и ^ V однозначно
представим в виде и —у + м, \^У, и^И?. Если {У, <р — квадра-
квадратичное пространство, то прямая сумма называется ортогональной,
если ф (V, V/) = 0, для всех V ^ V, ум ^ й?. Так как прямые суммы,
которые мы будем рассматривать, будут всегда ортогональными, то
мы часто будем опускать это прилагательное.
Лемма 1.3. Пусть V, ф—квадратичное пространство, не
обязательно регулярное. Пусть V—регулярное гюд пространство в II.
Тогда V есть прямая сумма V и
Доказательство. Пусть и^Ц. Тогда и определяет элемент
из Нот (V, к), задаваемый отображением
у-*ср(и, V).
По определению регулярности существует такой однозначно опре-
определенный элемент \у«\у(и)бУ, что для всех \У
Ф(\у, у)«ф(и, V).
Следовательно,
где
п€У, и
Наоборот, если
то
ф(8, у) = ф(и, у) = ф(\у, V)
для всех у^, и поэтому снова по регулярности $ =

и Введение 29
Определение. Базис х\ъ ..., ип квадратичного пространства
называется нормальным, если
Ф(и„ и,)-0, 1ф\. A.8)
Лемма 1.4. Каждое квадратичное пространство имеет нор-
нормальный базис.
Доказательство. Если ф тождественно равно нулю, то всякий
базис нормален. В противном случае по лемме 1.1 найдется такое
1*16 V* что Ф (Щ) Ф 0- Одномерное пространство V, натянутое на щ9
будет, таким образом, регулярным, и V является прямой суммой
V и УК Индукцией по размерности получаем, что существует
нормальный базис и2, . -., ип пространства 1ЛЦ и тогда ии ..., ип
является требуемым нормальным базисом Ц.
Замечание. В обычной геометрии евклидовых пространств над
вещественными числами часто работают с ортонормальными ба-
базисами, т. е. с базисами, в которых в дополнение к A.8) выпол-
выполняется ф (иу) = 1 для всех /. В более общем контексте, рассмат-
рассматриваемом здесь, ортонормальные базисы обычно не существуют, и
мы редко, а может быть, и вовсе не будем рассматривать их.
Лемма 1.5. Если и1э ..., \хп—нормальный базис (У, ф, то для
того чтобы V, ф было регулярным, необходимо и достаточно,
чтобы
Доказательство. См. лемму 1.2.
Мы будем главным образом заниматься случаем, когда (У,
регулярно.
Лемма 1.6. Пусть V, ф регулярно. Тогда
(VI)! « V
для любого линейного подпространства V в II.
Доказательство. Ясно, что
V с
По определению регулярности
Следовательно,
<Нт (УЦ± = <Нт V,
откуда следует результат.
Лемма 1.7. Пусть V —линейное подпространство регулярного
квадратичного пространства V у <р. Тогда следующее утверждения
эквивалентны,;

30 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
1) {}
(и) V регулярно;
(ш) V1 регулярно.
Доказательство. Согласно лемме 1.6, достаточно доказать
эквивалентность @ и (и), а это прямо следует из определения
регулярности.
2. ИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Будем говорить, что квадратичное пространство /У, <р пред-
представляет Ъ^к% если найдется такое Ь^{/, что <р(Ь) = 6. Мы будем
говорить, что 0 представляется нетривиально, если найдется Ь ф 0
с ф (Ь) — 0. Регулярное пространство называется изотропным,
если оно представляет 0 нетривиально; в противном случае про-
пространство анизотропно.
Примером изотропного пространства является гиперболическая
плоскость. Это двумерное пространство II, ср с таким базисом
Ф (Щ) =* Ф () =* 0. Ф(, иа)=*1. B.1)
и2, что
Лемма 2.1. Каждое изотропное квадратичное пространство
II, ф содержит гиперболическую плоскость.
Доказательство. По определению изотропии найдется иг Ф 0
с ф (их) = 0. Так как изотропное пространство регулярно, то
найдется такое IV, что Ц)(щ, \у)=^=0; не умаляя общности, можно
считать, что
, .V)—1. , B.2)
Пусть ищзячг + Кщ, где Х$к определяется из условия
Ф (и») - Ф
Тогда и^, и2 порождают гиперболическую плоскость Н с
Замечание. Так как ш может быть любой точкой из С/, удов-
удовлетворяющей B.2), то мы далее увидим, что приведенный в этом
доказательстве алгоритм оказывается очень удобным для по-
построения точек и2 с ф (и8) = 0, обладающими другими желательны-
желательными свойствами.
Следствие 1. V есть прямая сумма Н и Я1.
Доказательство. Лемма 1.3.
Определение. Регулярное пространство I/, ф называется уни-
универсальным, если оно представляет любой ненулевой элемент из к,

2^ Изотропные пространства 31
Следствие 2. Изотропное пространство универсально.
Доказательство. В силу очевидной универсальности гипербо-
гиперболической плоскости.
Лемма 2.2. Пусть ^=Р»—конечное поле из р элементов, где
рф2— простое число. Тогда всякое двумерное регулярное про-
пространство /7, ф универсально.
Доказательство. Пусть и^, и2—нормальный базис, и пусть
где по регулярности агф0, а2ф0. Тогда для ЬфО мы должны
показать, что найдутся такие с±% с2 ^ ?р, что
ахс\ + а2с1 = Ь.
Перепишем это в виде
. B.3)
Пусть 5 и Т—множества значений, принимаемых соответственно
щс\ и Ь—а2с\, когда с± и с2 пробегают все поле Рр. Каждое
из множеств 5 и Т состоит из -^-(р-\-1) элементов, поэтому ЗпТ
непусто, т. е. B.3) имеет решение, как и требовалось.
Следствие. Пространство Ц9 ф может быть универсальным,
но не быть изотропным.
Доказательство. Мы можем взять а± — 1 и выбрать а2 так,
чтобы —а2 не было квадратом в Р^.
В заключение мы докажем одну техническую лемму, которой
будем постоянно пользоваться. Воспользуемся языком форм, а не
квадратичных пространств, так как лемма будет использована
в этом контексте.
Лемма 2.3. Пусть к—любое поле характеристики Ф 2. Пусть
/(х) и § (у)—регулярные формы от переменных х = (хи ..., хп)
и у=(у19 ..., ут) соответственно. Предположим, что /(х)—^(у)
изотропна как форма отт-\-п переменных (хи ..., хю уи ..., ут).
Тогда найдется ЬфО, которое представимо как формой /, так и
формой
Доказательство. По предположению найдутся такие а
> из которых по крайней мере одно отлично от 0, что
Если /(а) ФО, то все доказано. Если /(а)=0, а=^=0, то форма
/(х) изотропна, а потому по следствию 2 леммы 2.1 универсальна.

32 Гл. 2* Квадратичные формы над полем
Пусть Ь—любой ненулевой элемент из к, представимый фор-
формой §"(у). Тогда Ь представим /(х), и лемма доказана. Если а = О,
то Ь=т^0, и можно рассуждать аналогично.
3. НОРМАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
Мы уже видели (лемма 1.4), что всякое квадратичное про-
пространство обладает . нормальным базисом. Часто бывает удобно
определять различные свойства квадратичных пространств в тер-
терминах нормального базиса. При этом надо будет доказывать, что
это определение не зависит от выбора базиса. В этом контексте
будет существенным следующий результат.
Лемма 3.1. Пусть О, ф — регулярное квадратичное простран-
пространство, и пусть Л:а,, ..., ап и В:Ъ^ ..., Ь„—любая пара нор-
нормальных базисов. Тогда найдется такая поеледовательность нор-
нормальных базисов
что
(г) С1— Л, СГ=
(п) для каждого (, 1 < / < Т9 базшы Сг и См имеют по
крайней мере п—2 общих элементов в том вмысле, что
по меньшей мере для п—2 значений ].
Доказательство. Прежде всего заметим, что утверждение спра-
справедливо, если Ьь ..., Ъп есть перестановка а^, ..., ай. Это
следует из того, что всякая перестановка разлагается в произ-
произведение транспозиций. Поэтому можно не обращать внимания на
порядок элементов в различных базисах.
Далее, достаточно построить последовательность базисов Си
связывающую А с каким-нибудь нормальным базисом вида В*:Ъ^
Ъ*у ..., Ъ*п, где К, ..., Ъп^С/. Поскольку одномерное подпро-
подпространство V, натянутое на Ь1э регулярно, V1- также регулярно
(см. лемму 1.7). По индукции по п можно предполагать сущест-
существование последовательности базисов требуемого вида в V1, свя-
связывающей Ьг, ..., Ь^ с Ь2, ..., Ь„. Добавляя к ним Ъ*, мы
получим последовательность базисов (/, связывающую В* с В.
Пусть
Мы покажем, как построить последовательность базисов, связы-
связывающую А с некоторым В*, используя теперь индукцию по

3. Нормальные базисы 33
числу ^ ненулевых элементов 5у. После подходящей перестановки
элементов базиса Л, можно считать, что
Первый случай: ^ — \. Возьмем
Ь* = ал 2 < / < п\
требуемая последовательность состоит только из Л и В*.
Второй случай: У ^ 2. Пусть
Ф E^ + 52а2) Ф 0.
Мы можем выбрать ненулевые 1и /2, так что
0 = ф ($га% + 52а2,
Например,
и = 52ф (а2),
Положим
а/^а,, 2 < /
Тогда базисы Л и Л*:а1, ..., а*п имеют п—2 общих элементов.
Так как
, = а,
то все сводится к случаю ^ — ^, и мы можем использовать ин-
индукцию но ^.
Заметим, что второй случай заведомо имеет место при У == 2,
так как тогда
Ф E,^ + 52а2) = ф (Ьг) ф 0.
Третий случай: У > 2. Если найдутся индексы I, /, 1 ^ г <
ф (8^ + 5/а,) =7^=0,
то мы можем переставить а и свести все ко второму случаю.
Следовательно, осталось рассмотреть только возможность, когда
0 = ф E^, + ?2а2) == 5^ф (а^ + 5^ф (а2)э
(а3),
Но тогда
Противоречие.
0 =
0 =
4
к
Ф E2а«; +
ф E3ая _[.
51ф (а1) =
^1а1) = 5з
с^гп Ля ^ -—
■э2^ V 2/ —
ф(а2)
Ф(а3)
= §зф (
156

34 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
4. ИЗОМЕТРИИ И АВТОМЕТРИИ
Пусть 11и ф2 и V2, ф2—квадратичные пространства над одним
и тем же полем к. Изоморфизм
а: */,-**/,
^-линейных пространств называется изометрией, если он сохраняет
структуру квадратичных пространств, т. е. если
Ф1(сш)==ф1(и)
для всех и^их. Два квадратичных пространства называются
изометржными (или лежащими в одном классе эквивалентности),
если существует изометрия одного на другое. Ясно, что два
квадратичных пространства изометричны тогда и только тогда,
когда они соответствуют одному и тому же классу эквивалент-
эквивалентности квадратичных форм в смысле п. 1.
Хотя этот термин еще нестандартен, мы будем называть изо
метрию пространства У, ф на себя автометрией. Автометрии
квадратичного пространства V, ф образуют группу относительно
композиции—ортогональную группу 0@) = О.
Лемма 4.1. Пусть а—автометрия регулярного простран-
пространства V, ф. Тогда с1е((а)=±1.
Доказательство. Пусть и*, ..., ип—любой базис простран-
пространства С/. Тогда
для всех /, /. Выражая аи,., аи/ через и,., и7 и пользуясь били-
билинейностью ф, получим
(Aе1аJ Ы (ф (и,, и;)) = деЦср (и,., и,)).
I < I< п 1 < / < п
Но Aе1(ф(и/, и^фЪ по лемме 1.2, что и дает требуемое.
Если <3е1 сг = -|-1, то автометрия а называется собственной, в
противном случае она несобственная. Собственные автометрии об-
образуют собственную ортогональную группу О+ (/У). Как мы сей-
сейчас увидим, несобственные автометрии всегда существуют. Поэтому
индекс О+A1) в О (V) равен 2, и множество О" (Ц) несобственных
автометрии образует класс смежности.
Пусть V—любое регулярное подпространство в Ц, ф, так что
по лемме 1.3 V есть прямая сумма V и V1-. Тогда имеется такое
однозначно определенное отображение а: II—+ С/, что
аи = — и, и б V,
аи = и, и^К1.
Ясно, что а является автометрией. В частности, если у^С1 с
, то мы можем взять в качестве V одномерное подпро-

4. Изометрии и автометрии 35
странство, натянутое на V. Обозначим через ту такую автомет-
автометрию, что
ТуУ = — V, 1
туи = и, если ф (и, "ч — п '
Ясно, что
с1е{Ту = -~1. D.2)
Автометрии Ту называются симметриями. В обычном п-мерном
пространстве они соответствуют отражениям в (п—1)-мерной ги-
гиперплоскости. Легко видеть, что формулы D.1) эквивалентны
»..-.._2ф(«. У)у. D.3)
Лемма 4.2. Пусть и, \^11 с ф(и) = ф(у) и ф (и—
Тогда
Доказательство. Используем выражение D.3) с и—V вместо V.
Вычисляя, получим
Ф(и, и—у) = ф(и) —ф(и, V)
и
Ф(и—у, и—у) = ф(и) — 2ф (и, у) + ср (у)==2{ф(и)—ф (и, у)},
а потому
ти_у и = и —(и—у) = V,
что и требовалось.
Следствие 1. Если и, V € V с ф (и) = ф (у) Ф 0, то найдется
такая автометрия а, что аи==у. При этом в качестве а можно
взять или симметрию, или произведение двух симметрии.
Доказательство. Если ф(и—у)=^=0, то мы можем взять
а = ти_у. Если ф(и + у)=^=0, то
и поэтому можно взять а = ТуТи4.у. По крайней мере один из этих
случаев должен иметь место, так как
Ф (и + V) + ф (и — у) = 2ф (и) + 2ф (у) =* 4ф (и) Ф 0.
Следствие 2. Если II, ф регулярно и п = й'т\ (/> 1, то в ка-
качестве о из следствия 1 всегда можцо взящь произведение ровно
двух симметрии^,

36 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
Доказательство. Действительно, найдется \у, ортогональное
к и, с ц>(\ч)фО. Если ф(и — у)фО, то можно взять а = ти_ут^,
Лемма 4.3. Предположим, что пространство С/, ф регулярно.
Тогда всякая автометрия есть произведение симметрии.
Замечание. Приведенное ниже доказательство показывает, что
достаточно 2п симметрии, где и = сНт V. Более сложные сообра-
соображения (см. пример 8) показывают, что достаточно п симметрии.
Доказательство. Пусть р—любая автометрия пространства (/,
и пусть V—любой элемент из (У с ф (V) ФО. Тогда
Ф ^) = Ф (V) Ф 0,
а потому по следствию 1 леммы 4.2 существует такое произведе-
произведение симметрии а, что
(ар) V = V.
Так как ар является автометрией пространства и, отображающей
V в V, то она отображает пространство У1- векторов, ортогональ-
ортогональных к V, в себя. Индукция по размерности пространства V поз-
позволяет предполагать, что имеется такая последовательность эле-
элементов и>A), . ., \ч (Т) из К-1-, что
а* = т^ A)Т^ B) ... т^ (Т)
и ар одинаково действуют на У1-. Но все т^^ оставляют эле-
элемент V неподвижным, так как и> (Об^1- Поэтому как а*, так и
ар оставляют V неподвижным. Следовательно, сгр = а*, а потому
р = ст~а* есть произведение симметрии, как и требуется.
Следующая теорема, принадлежащая Витту, будет совершенно
необходимой в дальнейшем. Она показывает всю силу его подхода
к теории квадратичных форм с помощью квадратичных пространств.
Теорема 4.1. Пусть 1^, У2—подпространства квадратичного
пространства II, ф. Пусть существует изометрия р. V^ —> У2 и
V] (а следовательно, и У2) регулярно. Тогда существует авто-
автометрия о пространства V\ ф, которая на Уг совпадает с р.
Замечание. Не требуется, чтобы V было регулярным, хотя это
наиболее интересный случай.
Доказательство. По лемме \.\ существует \^У± с
По следствию 1 леммы 4.2 найдется такая автометрия % прост-
пространства С/, что ^(ру) = у. Взяв Хр, ХК2 вместо р, У2 соответ-
соответственно, можно, не умаляя общности, предполагать, что Уб^ЩЛ,
иру = у. Если <НтУ1=1, то все готово. Иначе применим индук-
индукцию по размерности сИтУ*. Пусть (У*—ортогональное дополне-

5. Группы Гротендика и Ватта , 37
ние к 1-мерному пространству, натянутому на V; положим
* 2.
Тогда рУ* =У*. По предположению индукции существует автомет-
автометрия а* пространства (/*, которая совпадает с р на VI. Ясно, что
автометрия а пространства (У, определенная условиями ау-у и
= а*и для и^^*, обладает требуемыми свойствами.
Следствие 1 („лемма Витта"). Пусть /7Х, ц>г и /72, ф2 — изо-
метричные квадратичные пространства, и пусть V,- с: /7У, /=1,
2, также изометричны. Предположим, что Уг (а значит, и У2)
регулярно. Обозначим через У-^ ортогональное дополнение к V,- в
II. Тогда У^ и У^- изометричны.
Доказательство. По условию существует изометрия \л: Ц2 —
Взяв ^и2У \лУ2 вместо /72, У2 соответственно, можно считать, что
1/г = 02 =1 С/, фх = ф2 = ф. По теореме существует такая автомет-
автометрия а пространства /7, что оУг~У2. Тогда оУ^ — У^, что и тре-
требовалось.
Из-за важности предыдущего следствия сформулируем его ин-
интерпретацию в терминах квадратичных форм.
Следствие 2. Пусть х = (х1, ..., хг) и у = (уи ..., ут)—два
независимых набора переменных, и пусть /, (х), §;- (у), / = 1, 2,—
квадратичные формы. Предположим, что
A) /х (х) ^ /2 (х) эквивалентны и регулярны;
(п) /Лх)^-^!^) и /2 (х) + ё (У) эквивалентны как формы от
переменных (х1у ..., х1У уи ..., у^).
§± (у) ^ ^2 (у) эквивалентны.
Доказательство. Пусть V\ — /г-векторное пространство с бази-
базисом щ, .. ., и/+/л; определим фх равенством
пусть Кг с: /7! натянуто на иь ..., иг. Определим [/2, ф2,
аналогично, но с /2, §2 вместо /1э §х. Тогда условия и заключе-
заключение следствия 2 перейдут в условия и заключение следствия 1.
б. ГРУППЫ ГРОТЕНДИКА И ВИТТА
Вопросы, рассматриваемые в этовд. пункте, не будут играть
основной роли в этой книге, однако они важны для теории квад-
квадратичных форм над общими кольцами и полями. Все квадратич-
квадратичные пространства, рассматриваемые в этом пункте, будут предпо-
предполагаться регулярными, а поле к фиксированным.
Пусть II1У фх и (/2, ф2 — регулярные квадратичные простран-
пространства над к. Пусть II = 0гф(У* — прямая сумма; определим ф

38 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
V равенством
Ф (и, ф и2) = ф!(иг) + Ф2(и2), и; 6 VV
Тогда V', ф—квадратичное пространство; ясно, что класс эквива-
эквивалентности (=класс относительно изометрий) {У, ф зависит только
от классов эквивалентности ии ф, и (У2, ф2. Пусть 5 —множество
всех классов эквивалентности регулярных квадратичных про-
пространств. Если определенные выше 0г, фх; Ц29 ф2 и (У, ф лежат
соответственно в классах 515 52 и §, то мы будем писать
5=<>1+52.
Ясно, что
Eт + 5,) + 58 = 5, + E2 + $я)>
так что + снабжает 5 структурой полугруппы. Эта полугруппа
абелева, т.е.
$1 ~Г *>2 == 52 -Г $1,
так как ясно, что {/,©С/2 изометрично 1/,ф(У,. Далее, по „лемме
Витта*' (следствие 1 теоремм 4.1) из
&| "г 5з == ^? г 53
следует, что
для любых 5Ь §2, 53€5. Таким образом, мы доказали следующую
лемму.
Лемма 5.1. Множество 5 классов эквивалентности квадратич-
квадратичных пространств с операцией +, определенной выше, является
абелевой полугруппой с сокращением.
В этом пункте удобно принять определение квадратичного
пространства, включающее 0-мерное квадратичное пространство
(ср. вводные замечания в п. 1). Его класс эквивалентности, ко-
который можно обозначить через 05 = 0, является нулем для полу-
полугруппы 5, т.е. 0 + 5 = 5 + 0 = 5 для всех 5
Лемма 5.2. 5 порождена (как полугруппа с нулем) классами
1-мерных пространств.
Доказательство Если О, ф имеет нормальный базис и,, .. ., ип,
то 5= 5т + ...+5П, где 5, —класс 1-мерного квадратичного про-
пространства, натянутого на и^
Под размерностью элемента 8 из 5 мы будем понимать раз-
размерность любого квадратичного пространства [/, ф в классе экви-
эквивалентности 5: аналогично для определителя 5. Так как V,
регулярно, то определитель элемента $ ^ 5 есть элемент иэ

5. Группы Гротендика и Витта 39
(где, как всегда, к*— группа ненулевых элементов из к относи-
относительно умножения).
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма 5.3. Существует автоморфизм 8—> 8* полугруппы 5,
определенный следующим образом. Если и, ф лежит в классе 8,
то I)', —ф лежит в классе 8*. Далее,
8*= пИ, E.1)
где Н^8— класс гиперболической плоскости, а п — размерность 5.
Доказательство. Ясно, что операция * корректно определена
и является автоморфизмом. Для доказательства E.1) достаточно
предполагать (лемма 5.2), что 8 одномерно. Пусть 8 — класс 1-мер-
1-мерного пространства V с базисом и и с ф(и) = а-фО. Тогда 8 + 8*
есть класс 2-мерного пространства I/, ф с нормальным базисом и,
и* с г|)(и) = а, гр(и*) =—а. Это пространство изотропно и потому
является гиперболической плоскостью.
Применим теперь следующий образец „абстрактной чепухи".
Лемма 5.4. Пусть 3 — абелева полугруппа с сокращением.
Тогда существуют абелева группа О и полугрупповой гомоморфизм
а: 8 —* О со следующим свойством:
Р. Пусть Н — любая абелева группа и C: 5—> Н — полугруп-
полугрупповой гомоморфизм. Тогда существует единственный групповой
гомоморфизм у. О —► /У, для которого диаграмма
E.2)
коммутативна.
Группа О определена этим свойством однозначно с точностью
до изоморфизма. Наконец, а: 8 —> С — вложение.
Замечание. Прозаический случай леммы 5.4: 5 — мультиплика-
мультипликативная полугруппа целых чисел, С—мультипликативная группа
рациональных чисел.
Набросок доказательства. Это типичное „универсальное свой-
свойство" отображения, и, как обычно, однозначность рутинно следует
из существования. Действительно, если два гомоморфизма
а- 8-~^0^, / = 1, 2, обладают свойством Р, то (полагаем Н ~02
соответственно 0х) найдутся единственные групповые гомомор-

40 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
_ физмы уь у2, для которых диаграмма
72
коммутативна. Отсюда следует, что у1у у2—изоморфизмы.
Чтобы доказать существование, обозначим через 5x5 множе-
множество пар E, 5') с 5, §'б5. Тогда 5x5 имеет полугрупповую
структуру, определяемую
8,'
Легко проверяется, что 5x5 — полугруппа с сокращением.
Пишем E1э 5{) = E2, 5а), если 5х Ц- §2 = 5| + 52. Просто прове-
проверяется, что === является отношением эквивалентности, т. е. оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно, и что это отношение
совместимо со сложением в полугруппе 5x5. Следовательно,
множество С классов эквивалентности относительно = обладает
структурой полугруппы, индуцированной структурой 5x5.
Покажем теперь, что эта структура превращает С в группу.
Действительно, класс О^С, состоящий из E, 5), 5^5, удовлет-
удовлетворяет условию 0+'8 = 8 +® = 8 для всех §^О. Если E, 5')€&»
то класс (—§), которому принадлежит (§', 5), удовлетворяет ус-
условию (—§)+ § = 0. Тем самым выполнены групповые аксиомы.
Отображение а: 5 —> С, сопоставляющее 5 класс элемента
E + 5ь 5Х), инъективно.
Наконец, любой полугрупповой гомоморфизм |1 5—>Н в абе-
леву группу Н можно распространить на 5x5 отображением
E, §') в р§ — E5'; это индуцирует групповой гомоморфизм С—>Н,
который удовлетворяет всем требуемым свойствам. Это завершает
доказательство.
Если применить лемму 5.4 к полугруппе 5 классов эквива-
эквивалентности регулярных квадратичных пространств, то мы получим
группу Гротендика С — С (к) поля к. По этой лемме размерность
и определитель элемента из 5 распространяются до групповых
гомоморфизмов
сНт: С—2, E.3)
Ае\: С-+к*/(к*)\ E.4)
которые мы будем продолжать называть размерностью и опреде-
определителем соответственно.
Введем теперь группу Витта Ц7 = Ц7(й). Это более конкретное
образование, возникшее исторически раньше группы Гротендика;
однако нам удобнее ввести ее с помощью группы Гротендика.

5. Группы Гротендика и Витта 41
Пусть й? с: 5 —множество классов эквивалентности анизотропных
форм. Нульмерная форма по определению анизотропна, так что
0^№. Пусть 5—любой элемент из 5; тогда либо 5 6^» либо по
следствию 1 леммы 2.1, $ = $'+Л, где/г —класс гиперболической
плоскости и §'^ 5. Отсюда следует по индукции, что
8~10-\-тк, E.5)
где хю = хю($) ^ Н7, а т~т(8) — неотрицательное целое число.
В частности, если щ9 щ^^у то щ + щ = щ + т12к с некоторым
щ ^ И7 и некоторым неотрицательным целым числом т12. Пишем
щ. Тогда -+- определяет на множестве УХ/ структуру
абелевой полугруппы с нулем 0.
Далее, если г&>* определено для &у^№, как в лемме 5.3, то
— пк с некоторым п ^2, а потому 10 + 10* ~ 0. Следовательно,
с операцией -(- является абелевой группой, которая назы-
вается группой Витта й? (к).
Отображение § —*до, задаваемое E.5), является полугрупповым
гомоморфизмом 5 —> И7. Оно распространяется на групповой го-
гомоморфизм О —+ И7, ядро которого порождено й. Это дает сле-
следующую лемму.
Лемма 5.5. Й^ = С/К, где К —подгруппа группы С, порожден-
нал к.
Так как гиперболическая плоскость к имеет размерность 2, то
мы имеем гомоморфизм
,: Й7-.2/22 E.6)
на И?, который будем называть размерностью (его не следует
путать с размерностью (Нт(^), определенной на 5). Далее, так
как <1е1 (/г) = (—1)(/г*J, то мы можем определить детерминантное
отображение только как х)
йе1тг:Ф-+Ь*1К* E.7)
где К\& — подгруппа &*, порожденная —1 и (к*J.
Теперь мы в состоянии описать группу Гротендика О (к) и
группу Витта № (к) с помощью образующих и соотношений. Если
а^к*у то обозначим через <а> класс эквивалентности 1-мерного
регулярного квадратичного пространства (/, ф с базисом иъ где
Ф (Щ) = а.
) Некоторые авторы вводят модифицированный определитель на 5 (и на О):
с1е1*E) = (— 1)" (л~1)/2 с!е1 E), где л = (НтE). Он индуцирует корректно опре-
определенный Aе1\^ на Ц?, но ни йеЬ*, ни с!е1^ не являются гомоморфизмами.

42 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
Лемма 5.6. С (к) есть абелева группа, задаваемая образующими
, а^к*, и соотношениями
A)
(и)
для а, Ь^к* с а + Ь^к*.
Доказательство. По лемме 5.2 элементы <а> порождают О.
Проверим сначала, что соотношения A) и (и) выполняются, а
затем покажем, что все другие соотношения следуют из них.
Соотношение A*) выражает тот факт, что 1-мерное простран-
пространство Ц, ф с базисом и,, ф(и1)==а, имеет также базис Ьщ с
Левая часть соотношения (и) есть класс эквивалентности
2-мерного пространства (У,ф с нормальным базисом щ, и2, где
Ф(и1)==а, ф(и2) = й. Если а + ЬфОу то в качестве другого базиса
можно взять Гт+иа и Ьщ—аи2. Этот базис снова нормален и
ф(и7 +\\2) = а + о, (р(Ьи1—аи2) = аЬ(а-{-Ь). (Отметим, что опреде-
определители обеих частей равенства (и) дают один и тот же элемент
из &*/(/?*J, что может служить проверкой.)
Теперь проверим, что нет никаких других соотношений. Вся-
Всякое соотношение можно записать в виде
п п
2<а/>=21<с/> E.8)
/= 1 7=1
с а^ с;-€к*. Это выражает тот факт, что существует регуляр-
регулярное квадратичное пространство (/, ф с двумя нормальными бази-
базисами иг, ..., ип и \19 ..., у„, причем (р(и/) — а/ и ф(у/) = с^.
Предположим сначала, что м=1. Тогда у1 = йи1, Ь^к*у и мы
имеем соотношение A). Пусть теперь я = 2. Тогда У1 = й1и1 + й2и2.
Если либо #з = 0, либо #2~0, то соотношение E.8) является
следствием соотношения вида @ и, возможно, того факта, что
С (к) задана как абелева группа. В противном случае, используя
соотношения A), мы можем предполагать, не умаляя общности,
что Ъл — Ь2=\. Тогда 0Ф ф (уа) = ф (щ) + ф(и2), и мы имеем соот-
соотношение вида (и).
Наконец, предположим, что п > 2. По лемме 3.1 мы можем
перейти от базиса ии ..., ип к базису \1У ..., \п с помощью
последовательности нормальных базисов, в которых каждый раз
меняется не более двух базисных векторов. Следовательно, E.8)
должно быть следствием таких же соотношений с п=1 и п
Это завершает доказательство.
Следствие. Группа Витта V? (к) задается образующими
с а^к* и соотношениям у.

6. Сингулярные формы 3
хг <аЬа> = <а>, а,
Доказательство. Соотношения A)и?, (и)ц; воспроизводят соот-
соотношения A) и A1) с -|~ вместо +. Следствие вытекает теперь из
леммы 5.5, так как в О
Мы закончим этот пункт отысканием групп С (к) и № (к) для
двух частных случаев.
Лемма 5.7. Пусть К—поле вещественных чисел. Тогда О (К)
есть свободная абелева группа с двумя образующими <1> и <—1>.
Доказательство. Утверждение очевидно, так как это не что
иное, как „закон инерции Сильвестра14.
Следствие. № (К)—свободная группа с одной образующей <1>.
Лемма 5.8. Пусть ?р—конечное поле из р элементов, где
рф2 — простое число. Пусть а € Р^, а^(РоJ- Тогда О (?р) по-
порождается <1> и <а> с соотношением
Доказательство. Группа Р^ДРрJ имеет порядок 2, а потому
имеются ровно два регулярных 1-мерных квадратичных простран-
пространства <1> и <ос> По лемме 2.2 форма <1> + <1> унивеэсальна, а
потому представляет а. Следовательно, < 1 > -}- < 1 > = <ос> + <а>.
Это является единственным соотношением, так как из любого
другого соотношения следовало бы <1> = <а>, что неверно.
Следствие. Группа ^(Р^) имеет порядок 4. Она нециклична,
если —1 С(РрJ» и циклична в противном случае.
6. СИНГУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
В этом пункте мы кратко укажем, как предыдущая теория
распространяется на сингулярные квадратичные пространства и
сингулярные квадратичные формы.
Пусть V, ф — квадратичное пространство размерности п над
полем к (характеристики ф2, как обычно); при этом V, ф может
быть сингулярным. ]/0~Ух назовем радикалом пространства V, ф.
Радикал Уо пространства V, ф состоит из а € V с условием ф (а, Ь)=*
=0 для всех Ь^У. Если аг, а2€У0, то ясно, что и^ + щ^^Уо
для всех «!, и2^к. Следовательно, Уо — линейное подпростран-
подпространство в V. По определению, данному в п. 1, пространство регу-
регулярно тогда и только тогда, когда Уо состоит только из 0.

44 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
Если Ъг — Ь2^1/0, то ясно, что ф(Ьх) = ф(Ь2). Следовательно,
Ф дает корректно определенную функцию ф на факторпростран-
стве У — У/Уо. Просто проверяете , что У, ф есть й-квадратичное
пространство. Далее, У, ф регулярно: действительно, если а^У
такое, что ф (а, Ь) —0 для всех Ъ^У, то ф (а, Ь) = 0 для всех
а б а и всех Ь € V. а тогда а € Уо и а — 0.
Пусть ег, ..., еп_г — базис пространства У, а еи_г+1, ..., еп —
базис 1/0, где г = й\тУ0. Пусть ех, ..., еп„г — любые представи-
представители классов ег, ..., е„_г. Тогда ясно, что е1э ..., еп является
базисом пространства V. Пусть У1— подпространство V, натяну-
натянутое на'е1? ..., е„_г, так что У есть прямая сумма Уо и У1. ф,
ограниченное на У19 дает структуру квадратичного пространства,
изоморфного К, ф, а потому регулярного. Таким образом мы
доказали следующее предложение.
Лемма 6.1. Любое квадратичное пространство У, ф предста-
вимо в виде прямой суммы Ко©^, где \\—радикал, а ф, огра-
ограниченное на Ух, дает регулярное квадратичное пространство.
На языке квадратичных форм это может быть переформули-
переформулировано следующим образом.
Лемма 6.2. Всякая квадратичная' форма над к эквивалентна
форме
где к — регулярная квадратичная форма от п — г^п переменных
с некоторым г.
ЗАМЕЧАНИЯ
Возможности точки зрения квадратичных пространств, изло-
изложенной здесь, впервые были поняты Виттом A936). По поводу
обобщений см. Артин ,A957) и Дьедонне A955).
П.5. Можно также определить тензорное произведение двух
квадратичных пространств IIи ц>г и {/2, ф2, полагая
Ф(и1(х)и2, У1®уа) = ф1(и1, ^)ф2(и2, у2),
где
и,-, ууе С!/, /=1, 2.
Это снабжает группы Гротендика и Витта структурами колец.
По этому поводу см. Лам A973), Лоренц A970), Милнор и Хьюз-
моллер A973), Шарлау A969).

Примеры _ 45
ПРИМЕРЬ!
1. Найти такие аЛч а2, я3€0, что / (аи а2, ап) = 5, где /(х)=
0^2 Оу'2 V2
■— слЛ- I л-Л 2 А з.
[Указание. /A, 1, 1) = 0.]
2. Пусть / (х) — регулярная изотропная форма от переменных
х — (хх% ..., хп) над полем к. Показать, что существуют такие
к
ап, &!,..., Ьп^к, что
тождественно по переменной г.
3. Пусть Ь^к* фиксировано. Пусть А множество тех а
которые представимы над к бинарной формой х'2-\-Ьх2. Показать,
что А есть подгруппа мультипликативной группы /г*.
[Указание. Ср. доказательство леммы 2.1
4. Пусть а, Ь^к*. Показать, что форма
: х + ах 4- Ьх\
изотропна тогда и только тогда, когда изотропна форма
хл + ах + '1Х:, + аЪх\.
[Указание. См. предыдущий пример.]
5. Если о —любая автометрия пространства G, ф и а, Ь ^ (У, то
Ф(аа —а, Ь) + ф(а, аЬ —Ь) + ср(аа — а, аЬ — Ь)=0.
6. Пусть G, ф —регулярное квадратичное пространство раз-
размерности я, и пусть ф обращается в нуль на подпространстве V
размерности г. Показать, что 2г ^ п и что V есть прямая сумма г
гиперболических плоскостей Ни ..., Нг и регулярного подпрост-
подпространства № размерности п — 2г, причем все подпространства вза-
взаимно ортогональны,
7. Пусть (У, ф —регулярное квадратичное пространство раз-
размерности п = 2г, и пусть V — подпространство размерности г, на
котором ф обращается в нуль.
A) Показать, что V есть прямая сумма V и подпространства
Ц? размерности г, на котором ф также равно нулю.
(и) Если уг> ..., \г -—базис V, то показать, что № имеет
такой базис и^, ..., \уг, что
1, если /=:/,
0, в противном случае.
A11) Пусть й?* — любое подпространство пространства V',
обладающее такими же свойствами, что и № из A). Показать,

46 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
что ИР* имеет базис \у*, ..., уу*г, для которого
где и + /(
AУ) Пусть а —такая автометрия пространства G, что аУ =У.
Показать, что а является собственной автометрией (т. е. Aе1с =
[Указание. Свести к случаю, когда и
8. Показать, что автометрия а регулярного квадратичного
пространства (/, ф размерности п может быть представлена в
виде произведения не более чем п симметрии, продумав детали
следующего рассуждения:
A) Если существует анизотропный1) вектор а с аа-а, то
использовать индукцию по п.
(и) Если существует такой анизотропный вектора, что Ъ = аа—а
также анизотропен, то рассмотреть ать и применить индукцию.
(III) Следовательно, начиная с этого места можно предпола-
предполагать, что справедливы утверждения: (А) из аа — а следует, что
а изотропен; (В) аа —а изотропен, если а анизотропен.
(IV) Если а изотропен, то существует такой Ь, что оба а ± Ь ани-
анизотропны. Следовательно, аа —а изотропно.
[Указание. (ШВ).]
(V) Следовательно, ф равно нулю на
={аа —а:
и УУ
(VI) Если Ъ^У1, то ф(а, аЬ — Ь) = 0 для всех а € V % а потому
[Указание. Пример 5.]
(VII ) Следовательно, ф равно нулю на У*- по A11 А).
(VIII) Следовательно, сНт V ==■■ 2сНт У = 2г.
(IX) Следовательно, о ^0+ (У).
[Указание. Пример 7.]
(х) Пусть т —любая симметрия. Тогда та не удовлетворяет
условию A11) и потом у представимо в виде произведения не более
чем п = 2г симметрии.
(х1) Из рассмотрения определителей вывести, что та есть про-
произведение не более чем п — \ симметрии, а потому а есть произ-
произведение не более чем п симметрии.
[В качестве шпаргалки см. Артин A957), стр. 129—130, или
О'Мира A963), стр. 102—103.]
То есть а ^ V с ср (а) Ф 0.— Прим. редш

Примеры 47
9. Пусть о^0+(У), гДе п = <НтУ нечетно. Показать, что су-
существует а Ф О, а^К, для которого аа=^а.
[Указание. Показать, что а есть произведение < п симмет-
симметрии. Ср. также пример П.]
10. Если о^О(У) может быть представлено в виде произве-
произведения п=д\тУ симметрии, то показать, что в качестве первой
симметрии можно взять любую симметрию.
11. A) Пусть ф(^)~ йе! (Т — М), где Т собственный автомор-
автоморфизм регулярной квадратичной формы / от п переменных. Пока-
Показать, что ц>(к) = (—А^.ф^").
(и) Если п нечетно, то вывести, что фA)=*0, и получить
другое решение примера 9.
[Указание. Т'= РТ"?", где Т' транспонированная матрица,
а Р матрица формы /.]
12. Показать, что порядок мультипликативной группы пхп-
матриц с элементами из конечного поля из р элементов равен
[Указание. Матрица Т определяется векторами 1/- = Те/. Далее,
Т неособа, если ^^О и 1; линейно не зависит от Хи ..., {,_.<
для каждого /> 1.]
13. В этом примере к есть поле, состоящее из р элементов,
где р — нечетное простое число. Пусть / — регулярная квадра-
квадратичная форма над к\ обозначим через N', /?, А соответственно:
а) число представлений нуля формой / (включая' тривиальное
представление /@) = 0; Ь) число представлений 1 формой /;
с) порядок группы собственных автоморфизмов формы /\
@ Показать, что Л/, /?, А зависят только от размерности п
формы I и определителя й как элемента из й*/(#*J; обозначим
их через Ып(й)у /?„(<*), Ая(ф.
(и) Показать, что
~1> если
1, если
A11) Для я^З показать, что
[Указание. Рассмотреть форму ^~2х1х2+§(ха, ..., хп).]
(IV) Вывести, что
= Р2Я\

48 Гл. 2. Квадратичные формы над полем
где
1, если а ^ (к*J,
1, в противном лучае.
(V) Показать, что
», т>0,
[Указание. Рассмотреть представления нуля формой — х1-{-
ъ •••» хп)> различая случаи ^0-0и хоф0.]
(VI) Показать, что
где
. Показать, что Ап(д) = /?л(^) Ап_х
14. |Пусть К—квадратичное пространство размерности п над
полем вещественных чисел К. Определим топологию,*на О (V) сле-
следующим образом: пусть Ь1э ..., Ьп—базис V. Каждому а ^ О
соответствует точка Кл^ с координатами $,.,-, где ^Ь,-==
€ К).
A) Показать, что эта топология на О (V) не зависит от выбора
базиса Ъи . - ., Ьл.
(И) Показать, что 0+ (V) как открыто, так и замкнуто в О
Показать, что О+ (V) связно.
{Указание. Всякое о^О+(У) есть произведение выражений
тать. Выяснить, что происходит, когда Ь стремится к а.]
15. Пусть /(х) — регулярная квадратичная форма над полем
характеристики Ф2. Предположим, что / изотропна над /С, где
К—алгебраическое расширение поля к нечетной степени. Показать,
что / изотропна над к.
[Указание. Предположим противное. Пусть степень расширения
К/к минимально возможная. Пусть /( = &F), где 6 удовлетворяет
неприводимому уравнению Р (г) =* 0. Пусть / (ос) = 0, где а,- =
= 2 #//$/\ (а/г(:&). Положим А; (I) = ^а/г(г. Показать, что
0< г<т г
делится на неприводимый многочлен 0A) нечетной степени <т.
Вывести, что / изотропна над Ь=*к(к), где О 0]

Примеры 49
16. Пусть С/, ф—анизотропное квадратичное пространство над
полем к характеристики Ф2. Пусть /( = &F), где б2 = О ^к*, но
(^(к*J. Предположим, что ф (и + уб) = 0, где и, \^11 не оба 0.
Пусть V с: V—/^-подпространство в (У, натянутое на и и V. Пока-
Показать, что (НтК~2 и что ф индуцирует на V регулярную форму
определителя —О (к*J.
17. Пусть И, ф — регулярное квадратичное пространство над
полем к характеристики Ф2. Предположим, что (Нт/7 = 4, что
й (<р) = й (к*)* и что V, ф изотропно над К ==^F), где б2 ~й. Пока-
Показать, что 0, ф изотропно над к.
[Указание Можно предполагать, что Кфк. В обозначениях
предыдущего примера показать, что V1 есть гиперболическая
плоскость.]
18. Вывести из соотношений для группы Витта (следствие
леммы 5.6), что
для всех а^к*.
19. Пусть I — независимая переменная над полем к, и пусть
/(х) = ^(х) + ^(х), где ^(х) и Н(х)—квадратичные формы над к.
Показать, что следующие утверждения эквивалентны:
A) I (х) изотропна над к A)\
(И) существует такой а=й=О в кп, что §"(а)~й(а) =0.
{Указание. Пусть Ь — с + 1тА для некоторого т > 0, где А
элементами с являются многочлены от г степени < т, и/(Ь) = 0,
I (й) Ф 0. Показать, что Ь* = та Ь удовлетворяет условиям / (Ь*) = 0,
Ь* ф0 и что элементами Ь* являются многочлены степеней < т.]
[Замечание. См. Брюмер A978). Это, по существу, частный
случай метода Обри A912), ср. п. 8 гл. 6 и пример 6.]
20. Пусть ^(х), Н(х)—квадратичные формы с коэффициентами
в поле к, и пусть К—алгебраическое расширение поля к нечетной
степени. Предположим, что существует такой кфО в /С", что
=^0. Показать, что существует такой афО в кп% что
(
[Указание. Примеры 15, 19. См. Брюмер A978).]

Глава 3
/7-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1. ВВЕДЕНИЕ
Именно введение Гензелем р-адических чисел и применение их
к теории квадратичных форм его учеником Хассе привело к эле-
элегантной формулировке теории квадратичных форм над рациональ-
рациональными числами, которая здесь излагается. р-Адические числа играют
все более важную роль в теории чисел и вообще в математике.
В этом пункте мы введем /?-адические числа с самого начала для
тех, кто не встречался с ними ранее. В п. 2 мы определим символ
Гильберта норменного вычета, а в п. 3 обсудим связь между по-
поведением над рациональными числами и над различными /?-адиче-
скими полями.
Повсюду мы будем доказывать только тот минимум, который
необходим для наших целей. Практически все результаты этой
главы могут быть обобщены на поля алгебраических чисел и соот-
соответствующие локальные поля, однако часто с существенно более
сложными доказательствами. (См.,-например, О'Мира A963), Серр
A962), Касселс и Фрёлих A967), особенно упражнения в конце.)
Пусть к—любое поле. Вещественнозначная функция \а \ (а ^к)
называется нормированием (точнее, нормированием ранга 1, однако
никаких других нормирований у нас не будет), если она обладает
следующими свойствами:
(\) |а|^0; \а | — 0 тогда и только тогда, когда а = 0\
(и) \аЬ\ = \а \\Ь\, а,
( \ \ а,
Например, если к — поле рациональных чисел, то обычная абсо-
абсолютная величина обладает этими свойствами. Чтобы отличать обыч-
обычную абсолютную величину от других нормирований, которые нам
будут встречаться, мы будем обозначать ее через | 1^.
Пусть р—любое простое число, которое мы зафиксируем. Тогда
любое г ^ О, отличное от нуля, можно записать в виде
г = р91ф, A.1)
где р, и, V—целые числа, р\и, р \V, р может быть положитель-
положительным, отрицательным или нулем. В силу однозначности разложе-
разложения р полностью определяется числами р и г. Положим

/. Введение 51
и дополним определение, полагая
Тогда функция | \р также является нормированием. Свойства A)
и (и) проверяются просто. Покажем, что | * | ===== | \р удовлетворяет
не только свойству A11), но и более сильному условию
A11)' |а + Ь|<тах{|а|, \Ь\).
Действительно, предположим, что
где и, V, х, у—целые числа, взаимно-простые с р. Не умаляя
общности, можно считать, что |« |^ ^^ | Ь |^, т.е. Р^а. Тогда
где ра~^иу + Vx = р6г9 р\г и 8^0. Здесь р\щ, а потому
\а + Ь\р^р-^^р^ = \Ь\р^тгх {\а\р9 \Ь\р\.
Свойство A11) называется „неравенством треугольника", а A11)'—
„ультраметрическим неравенством". Нормирование, которое удов-
удовлетворяет ультраметрическому неравенству, называется неархиме-
довым. Из неравенства треугольника следует, что нормирование
| | на поле к задает метрику, если считать, что расстояние между
а и Ь равно \а—Ь\. Если выполняется ультраметрическое нера-
неравенство, то эта метрика обладает несколько парадоксальными
свойствами. Например, всякая точка в круге может быть взята
в качестве его центра.
Прежде чем продолжить изложение, заметим, что, как следует
ИЗ A) И A1),
I —11 = 1 11 = 1,
а потому
| — а | = | а | для всех а
Далее, мы имеем
Лемма 1.1. Пусть нормирование \ \ неархимедово. Тогда
\а + Ь\=*тах{\а1 \Ь\\,
если \а\Ф\Ъ\.
Доказательство. Действительно, пусть, например, | а \ < | Ь |,
и |а-Ь&|<|Н Тогда Ь=-а + Ь-{г(—а), а потому
0-2)
Противоречие!
Напомним теперь определения, приводящие к понятию полноты
для поля к с нормированием | |. Во-первых, последовательность
о,-, /™1, 2, ... элементов из к стремится к пределу Ь, если для

62 Гл. 3. р-адшеские числа
любого е > 0 найдется такое я0 —яо(е), что \а/—Ъ\ < с, как только
п^ п0. Ясно, что последовательность может иметь не более одного
предела. Последовательность, которая имеет предел, называется
сходящейся. Последовательность а;- называется фундаментальной
последовательностью (или последовательностью Коши), если для
любого е>0 найдется такое #0(е), что \а{—аг | < е, как только
Ясно, что всякая сходящаяся последовательность является
фундаментальной последовательностью. Поле к называется полным
(по отношению к данному нормированию), если всякая фундамен-
фундаментальная последовательность сходящаяся.
Всякое поле с нормированием может быть вложено в полное
поле, которое называется его пополнением по отношению к данному
нормированию. Например, поле вещественных чисел Р есть попол-
пополнение поля рациональных чисел О по отношению к нормированию
| 1^. Аналогично поле р-адических чисел 0р есть пополнение поля О
по отношению к нормированию | \р. Мы иногда будем писать
К=($ов для пополнения по отношению к бесконечному простому"
оо, которым мы занумеровали обычное абсолютное значение. Ана-
Аналогия здесь неполная, но мы увидим, что она очень полезна.
Имеется параллельный случай, в котором аналогия еще более
полная. Пусть к0—любое алгебраически замкнутое поле, и пусть
к=?ко({)у где /—независимая переменная над к0. Пусть с^к0.
Всякий элемент / (/) ^ к0 (/), отличный от нуля, может быть записан
в виде
где //@€*о[*]» //(с)=7^0, /=1> 2, и р(с) положительное, отри-
отрицательное или нуль. Положим
| Г (О I, - *-р (С\
где е> 1—некоторая постоянная. Аналогично, если
7 @=а (')/&(').
где §7@€^оМ» и р(°°) — ^еёё2 — ^§^1» то мы имеем бесконеч-
бесконечное нормирование
Тогда все нормирования | |с и | Ц неархимедовы, и нетрудно пока-
показать, что любое нормирование поля /го(О, которое „тривиально"
на к0, „эквивалентно" одному из нормирований | \с или | 1^ (при
подходящем смысле слов „тривиально и эквивалентно"). Но те-
пеРь I I» совершенно аналогично | \с. Действительно, какое именно
нормирование поля ко(() снабжено индексом оо,— это зависит от
выбора образующей I поля к0 A)/к0. Если мы возьмем другую обра-
образующую, например /•= 1// (или, более обще,

/. Введение53
а, Ь, с, й^к0), то другое нормирование станет „бесконечным", или
нормированием „на бесконечности".
Лемма 1.2. Существует поле (}р, содержащее поле рациональ-
рациональных чисел О,, и неархимедово нормирование \ \р на (±р, обладающие
следующими свойствами:
A) На О нормирование | \р совпадает с определенным выше;
(и) 0,р полно по отношению к \ \р;
(ш) (Хр совпадает с замыканием 6 в топологии, определяемой
нормированием \ \р.
С1р единственно с точностью до изоморфизма.
Замечания. Единственность тривиальна. Действительно, пусть
К—любое поле, содержащее <}, и пусть | |—такое нормирование
поля /С, что 1) К полно, 2) | | совпадает с | \р на <}. Ясно, что
замыкание С поля (X в К изоморфно 0^. Далее мы приведем фор-
формальное доказательство существования поля 0^. Так как детали
доказательства нам нигде более не понадобятся, то доверчивый
читатель может опустить все до леммы 1.3.
Доказательство. По сказанному выше достаточно доказывать
только существование. Это есть частный случай общей теоремы
о существовании пополнения нормированного поля. Однако мы вос-
воспользуемся некоторыми упрощениями, которые возможны в нашем
частном случае.
Пусть & —множество фундаментальных последовательностей
а = \а1у а2, . . .}, которые были определены выше, где к есть поле (},
а | | есть /7-адическое нормирование | | . Тогда Ш является коль-
кольцом при покомпонентном действии операций +, —, х:
+ , + , + , (
X X X I
Последовательность а^=\а1, а2, ...} называется нулевой, если она
имеет 0 в качестве своего предела. Множество с)\Г нулевых после-
последовательностей образует идеал в Зг.
Предположим, что а^<!Г, а^сЛГ. Тогда найдется такое 6>0
(зависящее от а), что |а/|я^ б для бесконечного числа у. По опре-
определению оГ существует такое п0 = яо(б), что | а1 —а7- \ < б для всех
и 1^п0. Выбирая / так, чтобы \а^ \р^ б, мы видим по лемме 1.1,
что \а1\р=\а/\р для всех 1^п0. Обозначим это общее значение
через ||а||. Если а^сЛГ, то положим |]а|| = 0. Легко проверяется,
что
0)' IIа 11^ 0 с равенством только при
аЬ
' < шах {II а II, |]Ь

54 Гл. 3. р-адические числи
(IV)' если а — Ь€<ЛГ, то ||а|| = ||Ь||.
Следующий шаг состоит в том, чтобы показать, что оЛГ есть
максимальный .идеал в $Г. Действительно, пусть 3—идеал в <!Г,
строго больший, чем <ЛГ, так что 3 содержит элемент с = {си с9, . . .} ^
^оЛГ. Мы можем предполагать, что все сг- отличны от нуля, так
как замена нуля, например, на единицу, сводится к добавлению
нулевой последовательности к с. Теперь определена последователь-
последовательность с" ={сг\ С21, ..., я/, . . .}. Она является фундаментальной,
так как
Iсгк—сг I = \с{—^ |/(| с,11 с, |) -1с( —е,
если /, / достаточно велики, и так как с—фундаментальная после-
последовательность по определению. Так как с" € & и с б 3, то идеал 3
содержит с^с = \ 1, 1, ... \. Следовательно, 3 — Ш\ и оЛГ есть макси-
максимальный идеал.
Так как оЛГ—максимальный идеал, то факторкольцо <!Г/оЛГ яв-
является полем уо-адических чисел 0^, которое мы строим. Для а ^ $Г,'Ж
будем временно писать |а|' —|а|| с а^а. По (IV)' это определение
корректно, а по A)' A1)', A11) функция | |' является неархимедо-
неархимедовым нормированием на О.р.
Для любого г ^0 обозначим через ^(г)^(Хр класс по модулю
<АГ фундаментальной последовательности {г, г, ...}. Ясно, что
осуществляет вложение О в (±р и | X (г) |' = | г \р. Следовательно, мы
можем отождествить О с МО) с: 0,р. Будем писать (а^ вместо |а|'
для всех а^0,р. С этим отождествлением любая фундаментальная
последовательность а={аг, а2, .. .} элементов из 0 имеет предел
а ^ 0,р, где а ^ а, т. е. 0,р есть замыкание О по отношению к | \р.
Остается показать, что поле (Хр полно. Пусть ос = {а1, ...,
ау-, . .. }•—фундаментальная последовательность элементов из 0^.
По предыдущему существует такое а} б О» что |«/ ~а) \Р < 2"Л
Тогда последовательность а* = {а{, . . ., а}, .. .} будет фундамен-
фундаментальной и, значит, определяет элемент а* ^ 0^, который и совпа-
совпадает с пределом для а. Здесь 2~у можно было, конечно, заменить
любой последовательностью положительных веще твенных чисел,
стремящейся к нулю. Лемма доказана.
Лемма 1.3. Для а^О^ | сх |я есть степень р.
Доказательство. Так как (Хр совпадает с замыканием О, то
р
найдется такое а ^ О, что | а —а \р < | а \р. Тогда | а \р = | а \р.
ч
Определение. Элементы а^О-р с !а1^^1 называются целыми
р-адическими. Их множество обозначается через Ър. Ясно, что Ър
есть кольцо.

/, Введение 55
Определение. Множество 11 р тех а^С^, для которых |а|я=^
есть группа относительно умножения. Эти элементы называются
р-адическими единицами.
Удобно также ввести понятие сходимости для бесконечных
сумм в 0^. Мы будем говорить, что
оо
•сходится, если последовательность частичных сумм
Л/
стремится к пределу. Этот предел называется суммой бесконечного
ряда.
Лемма 1.4. Для того чтобы ряд A.3) сходился, необходимой
достаточно, чтобы Р„ —* 0 (конечно, в р-адическом смысле).
Доказательство. Если ряд сходится, то а^ образуют фунда-
фундаментальную последовательность и $п = оп — оп_г стремится к ну-
нулю. Наоборот, если т > п, то
М —^О
ПрИ П—► оо
(здесь, конечно, —*0 и —► оо понимается в обычном смысле).
Лемма 1.5. Каждое о*€.1р может, быть записано, и прит&м
единственным об разом > в виде
оо
2
м-о
где все а1 принадлежат множеству {0, 1, 2, ..., /?—-1}.
Доказательство. По лемме 1.4 ряд A.4) сходится, и его сумма
принадлежит 2р. Обратно, пусть а^2я. Тогда найдется с ^ О,
для которого |а —^^^1/^. Это с имеет вид с—и/ю, глеи, а^2
и р \ V. Следовательно, мы можем найти ао^{О, 1,...,/?— 1},
для которого и = а^ (той р), т.е. | с—а0 |я^ 1/р. Следовательно,
и где
Теперь процесс повторяется, и мы получаем по а число ах и т. д.
Лемма 1.6. Пусть а^0*р и
Тогда а е (О;J.

56 . Гл. 3. р-адические числа
Доказательство. Мы должны показать, что найдется такое
I € %* что ^2 = а.
Предположим, что мы имеем 1-и, для которого
п
Попытаемся найти ^Л+] в виде
Тогда
если
"и
Имеем
Поэтому
6.
По условию леммы мы можем взять 51 = 1, рф2л
В любом случае мы получаем фундаментальную последователь-
последовательность \пУ имеющую предел \% который должен удовлетворять ус-
условию |2 = С6.
Следствие. A) Факторгруппа 0,*2/((ЦJ имеет порядок 8. В
качестве образующих можно взять 2, —1,5.
(и) Пусть рф2, и пусть г —квадратичный невычет. Тогда
факторгруппа Ор/(ОрJ имеет порядок 4. В качестве образую-
образующих можно взять риг.
Доказательство. (\) Пусть а^Ог, сс = 2/гр, где |Р| = 1. Тогда
(—-1)и5^Р==у^ 1 (той23) при некоторых и, V = 0 или 1. Далее,
у с |у|2=1 является квадратом, только если у^1 (тос123).
(и) Элемент а^Ор может быть записан в виде а = рп$ с
1E(^=1. Тогда E^ а2 (той р) или E = га2 (той р) для некоторого
а ^2. Имеем а"~2$=1 (той р) или г^а'2^^ 1 (тодр). Остальное
просто.
В заключение дадим одно приложение к квадратичным фор-
формам.
Лемма 1.7> Пусть рф29 и пусть
(V ^ /7 - У \ ■ П У^ - ' -г* ■**&
Тогда форма /(х) изотропна.

2. Символ норменного вычета 57
Доказательство. Не умаляя общности, можно предполагать,
что
Р — I а2 \Р — I аз \Р — 1 •
По лемме 2.2. гл. 2 найдутся такие ии и2^2р9 что
аги\ + #2*4 = — я3 (той р).
Тогда
а2и\ + а3и1 = О
при некотором ^3 б 2р, ^3 ^ 1 (той р).
Следствие. Всякая квадратичная форма от п^Ъ перемен-
переменных над полем 0,р изотропна.
Доказательство. Не умаляя общности, можно предполагать
форму диагональной:
= 2 а-А
I < I < П
Сделав подстановку Х1~+сгх{, 6/^Ор, мы можем добиться то-
того, чтобы три из {а^р были одинаковыми.
Замечание. Следствие, но не лемма, верно и для р = 2 (см.
лемму 2.7 гл 4).
2. СИМВОЛ НОРМЕННОГО ВЫЧЕТА
В этом пункте мы допускаем /?—оо, и тогда 0го —К. Гильбер-
товский символ норменного вычета (символ Гильберта норменного
вычета, символ норменного вычета, символ Гильберта)
(а,
для а, &€Ор определяется равенством
1, если форма ах2 +Ьу2 — г2 изотропна,
(а, Ь)=< -
4 ( —1, в противном случае.
Ясно, что (ау Ъ) зависит только от а, Ъ по модулю квадратов.
Существует несимметричная форма этого определения. А имен-
именно, (а, Ъ) — 1 тогда и только тогда, когда
B.1)
при некоторых у, г^(Хр. Действительно, предположим, что
4-Ьу2 —г2 — 0 при некоторых х, у, г€.0.р, из которых хотя бы

58 Гл. 3. р-адические числа
одно отлично от нуля. Если хФ§, то B.1) имеет решение по
однородности. Если же х = 0, го форма г2—Ъу2 изотропна, а зна-
значит, универсальна, и снова все сделано (см. лемму 2.3 гл.2).
Лемма 2.1. Символ норменного вычета обладает следующими
свойствами:
(О (а,Ь)=ф,а),
(И) (ад,, Ь)=*(аъ Ь)(а2, Ь),
(и)' (а, &А) = (а, Ьг)(а, Ь2),
(III) если (а, Ь)=\ для всех Ь, то
A11)' если (а, 6) = 1 для всех а, то
(IV) (а, —а)==1 для те* а,
(у) еош рф2, оо и |а|/? = |й|/?= 1, то (а, #)=
Доказательство. Утверждения A) и (IV) следуют немедленно
из определения. Из @ следует также эквивалентность (ш) и (ш)',
а также A1) и (п)'. Наконец, утверждение (V) следует из лем-
леммы 1.7.
Покажем теперь, что при фиксированном Ъ все а, для кото-
которых (а, &) = 1, образуют группу относительно умножения. Дей-
Действительно,- такие а имеют вид B.1). Пусть
= г) — Ь/1$ /=«1, 2;
тогда
— Ь {ггу2 + г2угJ.
Чтобы завершить доказательство утверждения (и), достаточно пока-
показать, что группа тех а^0*р> которые представимы в виде B.1), либо
совпадаете 6р, либо имеет индекс 2. При принятом в этой книге при-
примитивно-агрессивном подходе этот факт просто следует из таблиц
для (а, 6), приведенных ниже. Аналогично A11) и (ш)' немедленно
следует из таблиц. Однако „с высшей точки зрения" лемма 2.1
есть очень частный случай весьма общего явления. Уравнение
B.1) выражает тот факт, что а является нормой для элемента
из квадратичного расширения (Хр {Уь)/О.р> откуда название „сим-
„символ норменного вычета". По поводу всего этого см., например,
О'Мира A963), Серр A962) или Касселс и Фрёлих A967), гл. 4.
Чтобы закончить доказательство, осталось выписать таблицы
для (а, Ъ). Мы будем различать три случая: (а) р — нечетное
простое число, (Р) р~2 и (у) р=<х>.
(а) р — нечетное простое число. В этом случае группа п*р/(п*рJ
порождена р и г, где г ^ 2 и несравнимо с квадратом по моду-
модулю р. Имеем

2. Символ нормеиного вычета
59
1
г
Р
рг
1
+ 1
+ 1
4-1
4-1
г
4-1
4-1
— 1
—1
Р
4-1
-1
г
— е
рг
+ 1
-1
-в
с
Здесь. 8=1, если — 1 € (ОрJ (т.е. если /? = 1 (той 4)), ие=-1
в противном случае.
Для проверки этой таблицы заметим сначала, что по лемме
1.7 (а, Ъ) = 1, если | а \р — | Ъ \р = 1. Далее, если форма ах2 +&#2—г2
изотропна, то по однородности найдется решение х0У у0,
уравнения ах\ + Ъу\ — г\ = 0 с тах{|л:0|,
пусть о = /?, & = /'. Если
<р~2 и
| |о|}=1. Например,
< 1, то мы бы имели
х01 < 1, что противоре-
противоречит нормировке. Следовательно, тах{|уо|, |го|} = 1, \гу1—-г1\~
= [ рлГр | < 1, " мы получаем противоречие. Таким образом,
(^ г)= — 1. Другие элементы таблицы проверяются аналогично.
(Р) р = 2. Здесь группа (КДОгJ порождена 2, 5, —1.
Имеем ч
1
5
— 1
-5
2
10
-2
-10
1
-И
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
4-1
5
+ 1
+ 1
+ 1
+ 1
__^
-1
— 1
-1
-1
4-1
-м
-1
-1
+ 1
4-1
— 1
X
-5
+ 1
4-1
-1
— 1
_ ^
-1
+ 1
+ 1
2
4-1
ч
— 1
4-1
-1
+ 1
_ |
41
— 1
10
+ 1
— 1
4-1
-1
-1
+ 1
-1
4-1
-2
4-1
-1
-1
м
4-1
4-1
__ 1
— 1
+ 1
-10
4-1
-1
— 1
4-1
-1
41
+ 1
-1

60
Гл. 3. р-адические числа
Это также проверяется* непосредственно. Заметим, что .если х0
есть 2-адическая единица, то #о=1 (тос123).
(у) /? = оо. Здесь группа п*00/(п*00J порождена — 1. Имеем
1
-1
1
+ 1
+ 1
-1
+1
-1
3. ЛОКАЛЬНОЕ И ГЛОБАЛЬНОЕ
Принято называть поля (Хр локальными а поле <} — глобаль-
глобальным. Основная тема первой части этой книги —связь между
„локальным" и „глобальным" поведением квадратичных форм.
В этом пункте мы сначала покажем, что поведение элементов из
О в конечном множестве полей ОГУ совершенно независимо. После
этого мы получим две формулы, которые связывают поведение
элементов из 0 во всех (Хр. Они будут играть основную роль.в
дальнейших главах.
Лемма 3.1 („Сильная теорема о приближениях"I). Пусть Р—
конечное множество простых чисел рфоо. Для каждого р^Р
пусть произвольно заданы гр^2р, и пусть г > 0 сколь угодно ма-
мало Тогда найдется такое г € 2, что
для всех р
Доказательство. Это, по существу, прямая переформулировка
„китайской теоремы об остатках", которая утверждает, что если
И/» 1^/^У, —попарно взаимно простые ненулевые целые числа
и а; — произвольные целые числа, то найдется целое число Ь, для
которого
(ее можно найти в любом элементарном учебнике теории чисел).
Так как 2 плотно в Ър относительно нормирования | \р (лемма 1.5.),
то найдутся г*р^29 для которых \гр — г*|/7<е.
П йй б й
р \р |/
По китайской теореме об остатках найдется такое г ^ 2, что
?Е=г*р (той
Иначе леммы 3.1 и 3.2 (см. также ниже) называются «аппроксимацион-
ными теоремами» (арргсштаНоп *Ьеогет).— Прим. ред,

8. Локальное и глобальное " 61
для всех р^Р. Здесь т (р)—целые положительные числа, для
которых
Тогда
и все доказано.
Лемма 3.2 („Слабая теорема о приближениях"). Пусть Р—ко-
Р—конечное множество простых чисел р, возможно содержащее р = оо.
Пусть для каждого р б Р задано ар € О.р, и пусть г > 0 сколь
угодно мало. Тогда найдется такое а^О» что
\а-ар\р<в C.1)
для всех р ^ Р.
Замечание. Лемма 3.2 есть частный случай общей теоремы о
независимости нормирований в полях (см., например, Касселс и
Фрёлих A967), гл. 2), в то время как лемма 3.1 носит более,
специальный характер. Однако с нашей практической точки зре-
зрения удобно вывести лемму 3.2 из леммы 3.1.
Доказательство. Для р$Р> рФ°°, пусть п(р)^0—такое
целое число, что рп(р^ар^Ъг Пусть
Положим
гр = Нар
для всех р (включая р = оо, если оо^Р). Тогда гр^Ър (при
рфоо). Пусть г) > 0—заданное, сколь угодно малое число. По
лемме 3.1 найдется такое г 6 2, что
г—гр\р<х\ C.2)
для всех р^Р, рфоо. Если оо^Р, то все сделано, так как мы
можем взять а==г/Н и выбрать г\ так, чтобы |/г |^е > т]. Поэтому
предположим, что оо^Р. Д$я р^Р> рф°°> выберем )
так, чтобы рт(р\ > 1. Положим
Л== Црт'Р\ C.3)
ре Р
Выберем теперь такое целое положительное число В, вза: мно
простое с А (т. е. взаимно простое с р Ф сю в Р), что
А/В<1\. C.4)

62 Гл. 3. р-адические числа
Положим
где г^2 будет выбрано позднее. Тогда в силу C.2) и C.3)
\Ь—гр\р<г1, р€Р, рф оо
Далее, по C.4) мы можем выбрать целое число г так, чтобы
Полагая а=Ь/И и выбирая подходящим образом г), мы получим
заключение леммы.
Удобно ввести соглашение, согласно которому некоторое ут-
утверждение выполняется ,для почти всех р, если оно не выпол-
выполняется только для конечного числа простых чисел
Лемма 3.3, Пусть а^п*. Тогда | ^аг |^ ===== 1 для почти всех про-
простых р 'и
П
р
ВКЛ. оо
Доказательство. Мы имеем
где а (р) ^ 2 и а (р) = 0 для почти всех р. Тогда
\ рфоо
и
I а I -
«о
Лемма 3.4 („Формула произведения для символа норменного
вычета" *). Пусть а>Ъ$, О*. Тогда (а* ) = 1 для почти всех р и
П \рГ1' C.5)
р
ВКЛ. оо
Доказательство. Мы выведем эту лемму из квадратичного зако-
закона взаимности. Наоборот, из леммы 3.4 легко вывести квадра-
квадратичный закон взаимности.
По лемме 3.3 |а|-=|6|р== 1 для почти всех р, причем в этом
а» 1 = 1, если рФ2, оо (лемма 2.1). Обозначим левую
*) Или ,?3зкон рз^имности для символа норменного вычета",—Прим.

4. Лемма Гензеля . _?
часть равенства C.5) через /(я, Ь). По лемме 2.1
/ (а^, Ь) = [(аи Ь)[(а2, Ь)$
/(а, ЬЛ)==/(^, М/К й.)-
Следовательно, достаточно показать, что /(а, Ь) = 1, когда а и
6 пробегают множество образующих группы О*:
— 1, 2, д— нечетное простое число.
Первый случай, а == д^ 6 ===== д2, где 91 =^= Я? — нечетные простые
числа. Тогда
~ нечетно>
= 1, р=оо,
где ( —)—обычный символ Лежандра квадратичного вычета.
Теперь утверждение
п
ВКЛ. оо
эквивалентно квадратичному закону взаимности,
*
Второй случай. а = Ь~—1. Мы имеем
Р=, оо,
—+1 - в противном случае,
и снова /(—1. —1)=1.
Другие случаи разбираются аналогично.
4. ЛЕММА ГЕНЗЕЛЯ
В заключение этой главы вернемся снова к чисто локальной
ситуации. Метод решения уравнений, который* в вещественном
случае носит имя Ньютона, применим также и к р-адическим
полям, где на него обычно ссылаются как на «лемму Гензеля».
Ниже мы приведем простейший ее вариант. Она приведена больше
для полноты, так как мы будем мало ее использовать. Для наших
целей достаточна лемма 1.6, являющаяся ее частным случаем.

64 Гл. 3. р-адшеские числа
Лемма 4.1. Пусть / (х) ^2р[х] — многочлен от одной перемен-
переменной х, и пусть существует такое а € 2ру что
| / (а) \р < | /' (а) \% D.1)
где /'(*) — ф рмальная производная по х. Тогда найдется такое
, что
Замечание. Лемма 1.6 есть частный случай при /(х) = л:2—а,
а— 1.
Доказательство. Имеем тождество
! (* + ») = /(*) + /, (х)У + {2 (х) У*+... D.2)
по паре переменных ху у, где
1,(х)$гр[х\ D.3)
Положим в D.2) х = а, у — й, где А выбрано так, чтобы ли-
линейные члены по у исчезли, т. е.
й-ЧШ1(а\ D.4)
так что по D.1)
Тогда в силу D.3) ^(а)^2р, а потому из D.2) следует, что
р, D.5)
по D.1). Далее, используя разложение, аналогичное D.2), для
/' (х), замечаем, что
и потому
\Г (а + О)\р = \Г (а)\г D.6)
Построим теперь бесконечную последовательность элементов
из 2р, задаваемую рекуррентно:
, = -/(«/)//'(«/)• D.7)
Тогда по D.6) для всех /
\Г (а-)\р = \Г (а)\Р,
и потому
I! (по) \Р>\! (а,) \р>\! (а,) \р> .... D.8)

примеры 65
Следовательно, в силу D.7)
р-адически и яу стремятся к некоторому пределу Ь ^ Ър. Наконец,
/(H D.8), /F) 0 б
у р ру ру
0 по D.8), так что /F) = 0, как и требуется.
ЗАМЕЧАЙИЯ
ПЛ. Имеется много приложений /?-адических чисел к диофан-
товым проблемам, однако нет достаточно удовлетворительного их
изложения. Наилучшими являются работы: Морделл A969), гл. 23
и (менее элементарно) Боревич и Шафаревич A972), см. также
Касселс A976). Имеются введения в теорию р-адических чисел
с различных точек зрения в книгах: Бахман A964), Малер A973),
Коблиц A977). По поводу общей теории локальных полей см.
Серр A962).
П.2 и 3. Гильбертовский символ норменного вычета обобща-
обобщается на любые конечные, расширения к поля р-адических чисел.
Это обобщение само является частным случаем К~к(\/Т) символа
(/С, а), где а^к* и К — абелево расширение поля к (т. е. нормаль-
нормальное расширение, группа Галуа которого абелева). См. Хассе A926),
Касселс и Фрёлих A967), упражнение 2; по поводу только
локальной теории см. Серр A962). Все, что необходимо для теории
квадратичных форм над произвольным полем1 алгебраических
чисел, с самого начала изложено у О'Миры A963).
Доказательства квадратичного закона взаимности имеются
почти в любом элементарном учебнике теории чисел; см., напри-
например, Виноградов. A981), Венков A937), Харди и Райт A938)..
ПРИМЕРЫ
1. Элементы а%, а% из 23 определены условиями
5ах+ 1 =0; о! = 7, |ай-1|8<1.
Найти такие &?, Ь2€2, что
3, /=1, 2.
2. Для каких а^Ъ уравнение 5л;2 = а разрешимо в 27, в
3. Найти такие а, Ъ^ЪУ что
5|б<5-4.
4. Пусть с € Ър удовлетворяет | с \р < 1. Показать, что
3 № 156

66 Гл. 3. р-адшеские числа
Пользуясь этим, или иным методом найти такое а € 2, что
5. Для целого положительного числа п определим
/а\ _ а (а— 1)... (а—п+1)
Показать, что (а)^2р, если а
[Указание. Аппроксимировать а /7-адически с помощью целых
положительных чисел.]
6. Пусть рф2> и пусть с$.0.р удовлетворяет |с|/?<1. Пока-
Показать, что
сходится к квадратному корню из 1 +с. Этим способом, или
иначе, найти такое ^6 0» что
и2—
7. Подходящим видоизменением метода предыдущего вопроса
найти такое и$29 что
8. Пусть /7=^2, и пусть а^1р удовлетворяет |а—1|/?<1.
Показать, что р\а? — \\р — \а — \\р. Каков будет соответствующий
результат для р = 2?
9. Для #€0р, афО9 1 показать, что
а+\, —д
и
(ау а\_/а, —1\
\ Р /""V Р )'
10. Пусть а + Ь + с=0, где а, Ь, с^й*р. Показать, что
/—1, — оЬс\ /а, Ь\(Ь, с\(с, а\
\ Р ) = \Р )\ Р )\Р )•
11. Пусть р = 2т +1 — нечетное простое число, и пусть
ау Ь—р-адические единицы. Пусть и, а^2. Показать, что
/а/?и, Ьр*\ _ ^т

Примеры 67
12. Пусть п^О-р- Предположим, что
если
если р=^
Показать, что р
[Указание. Лемма Гензеля.]
13. Пусть [(х) — х2 + Ьх + с с &, с€2г Предположим, что
\Ь* — 4с\р*=*1. Пусть, далее, /(с/) и0 (тойр) для некоторого V^2р.
Показать, что найдется такое и$2р, что /(«)== 0 и и «эр (той р).
[Указание. Лемма Гензеля.]
14. Пусть р>2—простое число.
A) Пусть А — п х л-матрица с элементами из 1ру и пусть
А= I (тойр), но АФ\. Показать, что А имеет бесконечный по-
порядок в мультипликативной группе лхл-матриц.
[Указание. Показать, что А<* Ф 1 для простого числа ц, и ис-
использовать индукцию. Необходимо различать случаи ц = р и ц Фр.~\
(Н) Пусть О—конечная группа пхп-матриц с элементами
из 2р. Показать, что порядок О делит
[Указание. Рассмотреть матрицы в О по модулю р\ см. пример
12 гл. 2.]
15. Пусть А — пх п-матрица с элементами из 22. Показать:
A) Если Ае== I (тосН), но А=^1, то А имеет бесконечный
порядок.
(И) Если А ^=1 (той 2), то или А2 = 1, или А имеет бесконеч-
бесконечный порядок.
(III) Пусть Я—конечная группа матриц А» 1 (той2); тогда Я
имеет порядок 2т при некотором т^п.
[Указание. Я есть группа лхп-матриц показателя 2, а по-
потому абелева. Выбрать базис в 02, состоящий из общих собствен*
ных векторов . А € Я.]
(IV) Пусть С—конечная группа матриц А, тогда порядок О
делит
2» B« — 1) B»—2)... B«—2"-*).
[Указание. Предыдущий пример.]
16. (О Пусть О—конечная группа пх«-матриц с элементами
из О. Показать, что порядок % группы О делит
<7 простое
где

68 . __ Гл. 3. ргадические числа
(И) Если все элементы группы О имеют определитель +1» то
показать, что § делит ^
[Указание. О имеет элементы из 2р для всех р, больших, чем
некоторое /?0. Для нечетного д найти р с помощью теоремы
Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии так, чтобы
р было примитивным корнем по модулю д2у и после этого приме-
применить пример 14, (и). Для д = 2 взять /? = 3 (той 8).
Замечание. См. Бурбаки A972) или Бернсайд A911); см. так-
также пример 7 гл. 6.]
Следующие примеры предназначены проиллюстрировать возмож-
возможности /?-адических методов и не связаны с основной темой настоя-
настоящей книги.
17. Пусть [(х)=ах2 + Ьх + с, где а, Ь, с€2, афО. Показать,
что существует бесконечно много простых чисел р, для которых
найдется ир^1р с [(ир) = 0.
[Замечание. Соответствующий результат верен для многочленов
любой степени. По поводу дальнейших обобщений см. Касселс
A976).
Указание. Заменой х на х/а можно свести к случаю а = 1.
Если с — 0, то результат тривиален, так что пусть сфО. Если
Ь2 = 4с, то /(а:) является полным квадратом, так что можно пред-
предполагать, что с1 = Ь2~4сф0. Пусть в—любое целое число, деля-
делящееся на все простые числа, входящие в 2сй. Тогда / (е^) —* оо
при УУ-~>оо, но 1/(^I/, ограничено снизу для р \ е. Следователь-
Следовательно, при достаточно большом # НеМ) делится на некоторое прос*
тое число ц\е. Применить пример 13 с джр.]
18. Для целого положительного числа т показать, что
\т\\р**р~м.
где
Вывести, что
М<тЦр—\).
19. Пусть заданы а^^пр для /, / = 0, 1, 2, ..., и пусть
аи —^ 0 /?-адически, когда /, / —> оо независимо друг от друга в
обычном смысле. Показать, что
2 B я//) =
20. Пусть Ь € пр удовлетворяет
р, е
У^, если р =2,

Примеры 69
Показать, что найдется последовательность с1!, сй% ..., с,
элементов изЪр с условием
• * I
для всех целых положительных т.
[Указание.
оо
Использовать два предыдущих примера для того, чтобы оправдать
разложение по степеням т.]
21 (Теорема Штрассмана). Пусть с0, с^ с2, ..., сю ...—
элементы из 2ру не все равные нулю, и пусть сп —► 0 (/?-адически).
Положим
- --+С„Хп+ ...
для х: б 2^. Показать, что существует лцшь конечное число эле
ментов а^7р1 для которых /(а)=0.
Точнее, определим N ^0 условиями
А2
г, для всех я
Показать, что урабнение /(а)=*0 имеет не более N решений.
[Указание. Показать, что если /(а)»0, то
(х),
где д(х) обладает аналогичными свойствами, что и / (х), но с #~~
вместо #.]
22. Пусть &, ^ 1>€2, и пусть последовательность «0,
ив, ... элементов из 2 определена рекуррентным соотношением
Показать, что либо имеется лишь конечное число п, для которых
ип = у, либо ип = ъ для всех л из некоторой арифметической прогрес-
прогрессии.
[Замечание. Это частный случай теоремы Малера, которая
была обобщена Лехом. См. обсуждение у Касселса A976).
Указание. Если с = 0 или если многочлен х2—Ьх—с имеет
равные корни, то это тривиально. В противном случае
где а, Р—корни многочлена х2—Ьх—с, а К, ^ определяются
условиями к + 11 = и09 Ка + 1ф^иг. По примеру 17 мь] можем

70 Гл. 3. р-адические числа
найти такое простое число рф29 что а, |3—р-адические единицы
и X, \х ^ 2р. Положим А «аР, В = Р/?~1, так что Л = В = 1 (той /
Следовательно, для фиксированного г, 0^г</?—1, мы имеем
сю
/У - х= х. Р з <?/
где 0у€7р по примеру 20. Применить теперь пример 21 к
/() = иг+ (я-1) 5—V.]
23. Определим последовательность ия условиями
и
Показать, что единственными решениями уравнения ип~±\ яв-
являются /г=8 1, 2, 3, 5, 13.
[У/сашш/е. Многочлен л:2—л:+ 2 имеет корни в О^.
Замечание. Можно показать, что решения уравнения и„ = ±1
соответствуют решениям уравнения л:2 + 7 = 2"+2, которое впервые
было изучено Нагелем с помощью О7. Однако его доказательство
не следует плану предыдущего примера. См. Морделл A969),
гл. .23, теорема 6.]
24 (Теорема фон Штаудта, доказательство Витта).
0) Определим числа Бернулли равенством
• • • .
Показать, что Во=1, В^=* — -к и что Вк~0 дл^ всех нечетных
A1) (Формула Эйлера—Маклорена). Показать, что
5л(л)*1*+2*+...-Мд— 1)*
совпадает с
[Указание. Рассмотреть тождество
(Ш) Пусть р—любое простое число. Вывести, что
Вк= Нт пЗк(п)9
п -> 0
где предел понимается в р-адическом смысле.
(IV) Пусть р=2 и к четно. Показать, что

Примеры 71
[Указание. Выбрать область суммирования в определении
+1) в виДе ирт + у, где 0<^<р и ]
(V) ВывеСТИ ИЗ A11) И (IV), ЧТО
и, следовательно, что
р в противном случае.
(VI) Следовательно,
вк+ 2
р— простое

Глава 4
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы построим теорию квадратичных форм над
локальным полем 0^. Если не оговорено противное, мы допускаем
возможность р=оо, и тогда О^К.
Пусть /—регулярная форма от п леременных рад (Хр. Над
она эквивалентна диагональной форме
Мы увидим в п. 2, что
фф Ц „ а,)
зависит только от класса эквивалентности формы /, а не от спе-
специального выбора диагональной формы в этом классе. Здесь,
конечно,
— гильбертовский символ норменного вычета. Таким образом
определенный инвариант срф = ±1 называется инвариантом
Хассе—Минковского (или инвариантом ХассеI). Мы уже знаем
два инварианта класса эквивалентности регулярной формы /,
определенной над любым полем к: размерность я(/) (т. е. число
переменных) и определитель2)
а (/) е ь*1(к*)\
Теорема 1.1. Пусть рфоо. Тогда п(/), йф и сф являются
полной системой инвариантов класса эквивалентности формы /.
Другими словами, если п ([г) ^ п (/2), а (/х) — й (/2) и с (/х) =« с (/2),
то формы Д и /2 эквивалентны.
) Предостережение, В литературе имеется несколько различных опреде-
определений инварианта Хассе—Минковского. Все они отличаются друг от друга
множителем, зависящим только от числа переменных и от определителя.
2) Так как мы интересуемся формой / только с точностью до эквивалент-
эквивалентности, то мы рассматриваем й(() как элемент из к*/(к*J, а не как элемент
из к*.

2. Доказательства 73
I
Для полноты напомним хорошо известный случай, когда р~ оо.
Теорема 1.2. Полной системой инвариантов класса эквивалент-
эквивалентности регулярной формы / над К = 0то является пара п (/), 5 (/),
где $ (/) — число отрицательных коэффициентов в любой диагональ-
диагональной форме, эквивалентной форме /. Далее,
и
Значения <2 (/) и сж (/) следуют сразу из определений. Осталь-
Остальное было уже доказано в лемме 5.7 гл. 2.
Теорема 1.3. Если п= 1, то с (/) = 1. Если п-2мй(/) = — @р)а»
то с(/)=1. Пусть рфоо, тогда тройки {я(/), й(/), с(/)} про-
пробегают все значения у кроме указанных запретов.
В п. 2 мы докажем эти утверждения, а также охарактеризуем
изотропные формы их инвариантами.
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Лемма 2.1. Пусть §—регулярная бинарная квадратичная форма
над (}г Тогда те Ь^ Ор, которые представимы формой §9 в точ-
точности совпадают с теми Ь9 для которых
= в, B.1)
где е =* ± 1 зависит только от формы §.
Доказательство. Можно считать, не умаляя общности, что
форма § диагональна:
§ (х) = ахх\ + а2х1
Она представляет Ъ тогда и только тогда, когда форма
изотропна (лемма 2.3 гл. 2), т. е. когда форма
изотропна. По определению гильбертовского символа норменного
вычета для этого необходимо и достаточно, чтобы

74 Гл. 4. Квадратичные формы над локальными полями
По свойству мультипликативности символа норменного вычета
(лемма 2.1 гл. 3) левая часть последнего равенства равна
(Ь, а2)ф, аг)ф, Ь)(аъ а2).
Мы имеем также ф> Ь)~ф, —1), и поэтому
F, а2)(Ьу а±)ф% Ь) = (&, — ага2) = фу —(!(§)).
Таким образом, условие представимости есть
B.2)
Следствие. Пусть бинарная форма § эквивалентна форме
агх1-)-а2х1. Тогда (а*, а2) зависит только от §> а не от специаль-
специального выбора диагональной формы.
Лемма 2.2» Пусть регулярные диагональные формы
п п
эквивалентны. Тогда
П <«|.«,) - П Ф§.
* < / I < /
Доказательство. Это верно при п—1, так как пустое произ-
произведение равно 1 по определению. Это верно при п —2 по преды-
предыдущему следствию. Следовательно, можно считать, что п > 2.
По лемме 3.1 гл. 2 мы можем перейти от одной диагональной
формы к эквивалентной диагональной форме с помощью цепочки
диагональных форм, меняя каждый раз не более двух коэффи-
коэффициентов. Следовательно, можно считать а{фЪг для не более чем
двух индексов /. Далее, так как Д (&/,&;) не зависит от порядка
#ь • • • > ап1 то можно предполагать, что
и что форма а^хХ + а^Х эквивалентна форме Ъ^хХ^Ь^хХ. В частно-
частности,
вА 6 & А (С^
и
по предыдущему следствию. Но тогда
П К» Я/) = (аь ай) П («^2, ау)
I < / / > 2 2 < I < /
= 01. *.) П (*А. */) П „ , П
/ > 2 2 < * < / I < /
как и утверждалось.

2. Доказательства 75
Следствие 1, Значение инварианта Хассе— Минковского с([),
определенного в п. 1, зависит только от /.
Следствие 2. Пусть п(/) = 2. Тогда для представимости
формой / необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Следует из B.1) (с § вместо /).
Пусть / и §—регулярные квадратичные формы. Под } + § мы
будем понимать квадратичную форму /(х) + ?(у)> где х, у — неза-
независимые наборы переменных. В терминологии квадратичных про-
пространств это соответствует прямой сумме квадратичных пространств
(следствие 2 теоремы 4.1 гл. 2). Ясно, что форма 1+у снова
регулярна.
'Лемма 2.3. Пусть / и § — регулярные формы, а } + §—опре-
делена, как выше, тогда
• @ л (/ + 0 = л (Л+*<*).
(и) (Щ + ?) = (ЦП а {в),
A11) сA + 2) = (йф, Л (ё)) с (?) с (ё),
где (а, Ь)—символ норменного вычета, а п( ), й( ), с( ) — раз-
размерность, определитель и инвариант Хассе — Минковского соот-
соответственно.
Доказательство. A) и (И) уже были доказаны в гл. 2 для форм
над общими полями, а потому остается только доказать (ш).
Не умаляя общности, можно считать / и § диагональными:
п т
2
/ = 1
с Аг=гп(/), т~п(§). Тогда
П К, а,) Д (Ь|§
I < / I < /
что и требовалось.
Найдем теперь условия изотропности формы /. Следующая
лемма носит общий характер и приведена для полноты.
Лемма 2.4. Регулярная бинарная квадратичная форма / над
полем к изотропна тогда и только тогда, когда
Доказательство. Действительно, соответствующее квадратичное
пространство должно быть гиперболической плоскостью, а / экви-
эквивалентна х\—х\ или ххх%.

76 Гл. 4. Квадратичные формы над локальными полями
Лемма 2*5. Регулярная тернарная форма / изотропна тогда
и только тогда, когда
<?(/) = (-!,-<*(/)). B.3)
Доказательство. Не умаляя общности, будем считать форму /
диагональной:
По определению символа норменного вычета форма / изотропна
тогда и только тогда, когда
(—аг/а9, —а2/а3)=*
Остальная часть доказательства следует из таких же преобразо-
преобразований символа норменного вычета, как при доказательстве лем-
леммы 2.1. Заметим, что если форма / изотропна, то соответствующее
квадратичное пространство содержит гиперболическую плоскость,
и поэтому она эквивалентна форме х\—х\—йох1 с некоторым й0.
Это показывает, что изотропная форма удовлетворяет условию B.3).
Обратное утверждение можно доказать рассуждением, подобным
приведенному выше.
Лемма 2,6» Регулярная кватернарная форма / анизотропна
тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
(О <цп = (<х;)\
(и) *(/)«_(_ 1,-1).
Доказательство. Без потери общности можем считать форму /
диагональной. Запишем ее в виде
где
8
Ь (У) — Ьгу\ +
По лемме 2.3 гл. 2 форма / изотропна тогда и только тогда,
когда найдется е^0*р, представимое как формой §у так и Н.
По лемме 2.1 необходимым и достаточным условием для того,
чтобы е было представимо формами §" и А, является выполнение
равенств
(е, —а1а2) = (а1, а2),
(е, —ЬгЬ2)^
Множество элементов е, удовлетворяющих каждому из этих усло-
условий, лежит ровно в половине1) классов О* той (О*J. Следова-
) Предполагается, что формы § и Н анизотропны. В противном случае
требуется простое дополнительное рассуждение.— Прим. ред.

2. Доказательства 77
тельно, форма / анизотропна тогда и только тогда, когда эти
множества дополнительны друг другу. По свойствам символа
норменного вычета (лемма 2.1 гл. 3) это возможно тогда и только
тогда, когда
^2(О;J = ЬЛ(О;J B.4)
и
(а1у а2) = — (Ьи Ь2). B.5)
Здесь условие B.4) эквивалентно условию
Теперь, пользуясь свойствами мультипликативности символа нор-
норменного вычета, легко проверить, что B.5) эквивалентно условию
= — (—1,—1), как и требовалось.
Замечание. Коль скоро теорема 1.1 будет доказана, из этой
леммы будет следовать, что существует в точности один класс
анизотропных кватернарных форм над С}^. В качестве формы из
этого класса можно взять
где
В любом случае мы имеем
Следствие. Регулярная тернарная форма / представляет все,
за исключением, возможно, одного, классы смежности Ор гпос!
Доказательство. Действительно, если форма / не представ-
представляет е, то форма §(хи ..., *4) — Нхи *2» х3)—ех1 должна быть
анизотропной (лемма 2.3 гл. 2). Теперь по лемме
А {в) = ~ ей (!) = (О;J.
Лемма 2.7. Пусть рфоо. Тогда всякая регулярная форма
над 0,р размерности п ^ 5 изотропна.
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что
диагональна и имеет размерность ровно 5. Если /= 2] а{х\,
\ < I < 5
то достаточно показать, что найдется элемент #€0р, представи-
мый как формой
а^х ~р" аХ ~р ^^
так и формой
По последнему следствию тернарная форма представляет все,
кроме, возможно, одного, смежные классы ОрПкх! (ОрJ. По лем-

78? Гл. 4. Квадратичные формы над локальными полями
ме 2.1 бинарная форма представляет по меньшей мере половину
смежных классов О* тос! (О^J. Так как р Ф оо, то порядок Ор/(ОрJ
больше чем 2. Отсюда следует результат.
Замечание. В случае рф2 эта лемма уже была у нас более
просто доказана в гл. 3 (следствие леммы 1.7 гл. 3). Если бы
нашей единственной целью было получить лемму 2.7, то нам было
бы достаточно привести специальное доказательство для р = 2,
что, впрочем, соответствовало бы обывательскому подходу, при-
принятому в этой книге. Однако приведенное доказательство (которое
на почтительном расстоянии следует Фрёлиху A967)) попутно дает
дополнительную информацию. Кроме того, оно имеет то большое
достоинство, что проходит в любом конечном алгебраическом рас-
расширении поля
Доказательство теоремы 1.1. Эта теорема утверждает, что
если рфоо, то я(/), й(/), с(/) образуют полную систему инва-
инвариантов для класса эквивалентности формы /. Пусть /х, /2—
регулярные формы с
Мы хотим показать, что форма /х эквивалентна форме /2. Это
тривиально при п=1. Поэтому предположим, что и>1. В ка-
качестве первого шага докажем, что найдется Ь^п*ру представимый
как /п так и /2. При п = 2 это вытекает из следствия 2 леммы 2.2,
которое утверждает, что при п = 2 множество элементов из 0^,
представимых формой /, определяется <2(/) и с(/). Для п > 2 это
следует из леммы 2.7, которая утверждает, что форма /\ (х)—/2 (у)
от 2и>5 переменных (х, у) изотропна, и из леммы 2.3 гл. 2.
В обоих случаях форма /у, /=1, 2, эквивалентна форме
> • • •» хп)> / ^
Сразу же проверяется при помощи леммы 2.3, что п ,) (§{)
и с (@{) однозначно определяются п (/у), й (/,), с (/;) и Ь. В частности,
=* 1—1,
По индукционному предположению формы ^ и ^2 эквивалентны,
а потому эквивалентны и формы /х и /2.
Доказательство теоремы 1.3. Это теперь тривиально. Предпо-
Предположим, что /1 = 2и что й€(Х*р задано. Тогда форма
= ах{ + (с1/а) х\

2. Доказательства 79
имеет определитель
и инвариант
Это доказывает наше утверждение при п=*
Пусть теперь я = 3, и пусть й€.0*р задано, как и прежде.
Выберем #6 0?; так, чтобы —ас1^(й*рJ. Рассмотрим форму
где й(ё) = ай{О*р)\ Тогда Л(/) = а@;J и
Как и в предыдущем случае, мы можем выбрать ^ так, чтобы
с(§) было либо -И, либо —1, поэтому сф также может прини-
принимать два знака. Индукция по п > 3 теперь очевидна.
В заключение этого пункта приведем одну техническую лемму,
которая будет нужна в дальнейшем. Она утверждает, что если
форма /(х) изотропна над 0^, то найдутся решения с уравнения
/ (с) = 0 с дополнительными полезными свойствами. (Ср. замечание
после доказательства леммы 2.1 гл. 2). Ясно, что рассуждения
могут быть обобщены.
Лемма 2.8. Пусть /(*!, ..., хп)— регулярная форма над О.р
от п^З переменных, и пусть
— линейная форма, причем не все Н,- равны нулю. Пусть ^
и Ь=И=О—решение уравнения /(Ь) = 0. Тогда в любой окрестности
вектора Ь найдется решение с^Ор, /(с) = 0, Н(о)Ф0.
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что
= A, 0, ..., 0) и что
I (х) = 2?их,х2 + / @, л:*, ..., хп),
где /12=7^0. Сделав замену переменных
#1 --* #1 + линейная форма от х29 ..., хп,
мы сможем добиться того, чтобы
I (х) = 2/^x^2 + §" (х3у ..., л:
где §—регулярная форма от п—2 переменных.
Если /1х=^=0, то нечего доказывать; поэтому можно предпола-
предполагать, что /^ = 0. Предположим далее, что по крайней мере одно
из /13, • •., йп отлично от 0. Выберем й3, ..., йп€0,р так, чтобы

80 Гл. 4. Квадратичные формы над локальными полями
Тогда для любого ^^.(Хр точка Ья с координатами
, ..., Ып)
удовлетворяет уравнению / (Ъя) — 0. Она удовлетворяет также
условию Н(Ъь)фО для достаточно малых Л, что и требуе:ся.
• Наконец, предположим, что Н8= . .. =кп = 0, так что
Выберем й3, ..., йп^(Хр так, чтобы §(й3, ..., йп) Ф0. Тогда
Ь удовлетворяет условиям /(Ья)=*0 и /Г(Ья)=^0 при ^0
3. ГРУППА ВИТТА
Нетрудно вычислить группу Витта № ((Хр), основываясь не-
непосредственно на определениях. Однако мы приведем следующий
результат, при доказательстве которого будут использованы но-
новые идеи, которые понадобятся позднее, при обсуждении И? (О)
(см. п. 11 гл. 6).
Лемма 3.1. Пусть р нечетно. Тогда группа ЧР ((Хр) изоморфна
прямой сумме двух экземпляров № (Рр), где Рр—поле из р эле-
элементов.
Доказательство. В этом доказательстве малые латинские буквы
будут обозначать элементы из 0^, а малые греческие буквы на-
начала алфавита—элементы из Гр. Группу единиц поля 0^ обозна-
обозначим через V. Отображение редукции 2р —* Р^ будем обозначать
через а—+а. Мы знаем, что оно индуцирует изоморфизм между
V/Ц2 и Р*/(Р*J. В гл. 2 для сложения в группе Витта мы ввели
обозначение +» здесь же мы будем его обозначать просто через'
так как это не приведет к путанице. По следствию леммы 5.6 гл. 2
группа 1^@^) порождена символами <а>, а^О*р, удовлетворяю-
удовлетворяющими следующим соотношениям:
A) <аЬ2> = <а>, а, ЬеОЦ,
<п) <а> + <Ь> = <а + Ь> + <аЬ(а + Ь)>, а, Ь, а + Ь$(Х;,
A11) <1> + <-1>=0.
Из этих аксиом следует также, что
(IV) <а> + <—а>=0, а б О;.
Прежде всего определим отображение
C.1)
задав его равенством
ссо<а> = <ы>, а€Р;, C.2)
где и—любой элемент из (У, для которого и= а. Если щ—любой
другой элемент из V с условием и1 = а1 то иг=иу2 при некото-
некотором о^Ц, и потому <&!> = <&>. Таким образом, отображение
определено корректно на нашем множестве образующих группы

3. Группа Витта81
(?р). Чтобы показать, что отображение соо корректно определено
всюду, мы должны проверить, что оно сохраняет соотношения,
определяющие группу ^(Р^). Но это легко сделать. Действи-
Действительно, надо написать аналоги соотношений A) — A11) для поля Рр\
тогда соо переведет их в соотношения (\)—(ш).
Более замечательным обстоятельством является существование
отображения в обратную сторону
C.3)
Оно определяется следующим образом. Всякий элемент а
однозначно записывается в виде
а=*рЧ C.4)
где /^2, и ^11. Положим
0, если / нечетно,
- - C.5)
и>, если / четно. к '
Снова надо проверить, что сохраняются соотношения A) — (ш).
Затруднение может вызвать только проверка соотношений (и).
Рассмотрим три случая.
(I) \а\р и \Ъ\р различны, скажем \Ь\р<\а\р. Тогда а + Ь=ас2
при некотором с ^ 0^. В этом случае г|H отображает обе части*
соотношения (и) в один и тот же элемент из И? (Р^).
(II) \а\/? = \Ь\р > \а+Ь \р. В этом случае Ь = — ас2 для некото-
некоторого с(^О.р и обе части соотношения (И) отображаются в 0 или
в выражение вида <а> + <—^а>-, которое равно 0 по аналогу (IV)
для ^(Р,).
(III) \а\р = \Ь\р = \а + Ь\р = р~1. Если / нечетно, то 1|H отображает
каждый член в соотношении (и) в 0. Если / четно, то (п) отобра-
отображается в соотношение (И) для № (Р^).
Таким образом, отображение ф0 корректно определено. Ясно,
что
»о C.6)
— тождественное отображение ^
Можно "построить дальнейшие отображения. Во-первых, отобра-
отображение
со,: № (Р,) — 1^@^), C.7)
задаваемое равенством
со^ <а> = <ри>, C.8)
где и^и, и = а. Во-вторых, отображение
, C.9)

82 Гл. 4. Квадратичные формы над локальными полями
задаваемое равенством
О, если / четно,
, (ЗЛО)
[и>, если / нечетно, х '
где / и и—те же, что и в формуле C.4). Сразу же проверяется,
что отображения соь я^ корректно определены и что
(З.П)
— тождественное отображение на № (Ря).
Наконец, с помощью C.6) и C.11) легко проверяется, что
отображение 4я, сопоставляющее элементу <а> ^ №((Хр) пару (г|50<а>,
•ф1 <а», является изоморфизмом между ЧР @(р) и прямой суммой
двух экземпляров группы ЧР (Р^). Это завершает доказательство.
Для полноты'рассмотрим случай р = 2
Лемма 3.2. Группа Ш @§) является прямой суммой циклической
группы порядка^ 8 и двух циклических групп порядка 2.
Доказательство. Положим
так что
Тогда
поэтому
Далее,
< 1 > + <2> = <3> + <6> = — <5> — <10>,
а потому
и, следовательно,
Мы имеем
так как форма х'1-\-х1-\-х1 + х1 не изотропна над О2. Далее,

Примеры 83
(рассмотрением определителей обеих сторон). Поэтому
Аналогично
Следовательно, группа И? (О2) порождена элементами е,
и единственные соотношения между ними следующие:
ЗАМЕЧАНИЯ
П. 1 и 2. Все непосредственно обобщается на конечные рас-
расширения поля р-адических чисел, если считать известными основ-
основные свойства гильбертовского символа норменного вычета (см.
О'Мира A963) или Фрёлих A967)).
П. 3. Лемма 3.1 была доказана Шпрингером A955) для ло-
локальных полей, поле классов вычетов которых имеет характерис-
характеристику ф2\ его-результаты для характеристики 2 менее полны.
Вообще, свойства квадратичных форм над конечными расши-
расширениями поля О2 сложны, и их трудно получать; см. О'Мира A963).
ПРИМЕРЫ
1. Для каких простых чисел р следующие формы изотропны
над 0^: .
(I) О#1 — Х2 * оХа,
(И) х1+х1+7х1+Ьх\.
2. Для каждой из следующих пар форм найти простые р, для
которых они эквивалентны над О •
A) 3x1 + 7x1 и х\ + 844,
(II) Х\ — ОХ% —р 1 О^з И ОХ\ — О#2
(III) Х\ — О#2 "т" *^з—/А^4 И Х\ — Х%
3. Пусть &60р, где рфоо. Показать, что формы
и Ь {х\ + х\ + х\ + х\) эквивалентны над 0^. Что происходит для
р = оо?
4. Пусть т^Ор, ™>Ф — 1. Показать, что с/,(/) = 1, где
Вывести отсюда, что если рфоо, то/ (^-эквивалентна форме
Что происходит при р = оо

Глава 5
СРЕДСТВА ИЗ ГЕОМЕТРИИ ЧИСЕЛ
1. ВВЕДЕНИЕ
Большим преимуществом изучения квадратичных форм над
полем рациональных чисел по сравнению с общими числовыми
полями является то, что одна из основных теорем—сильный
принцип Хассе — может быть доказана очень просто с помощью
некоторых идей из геометрии чисел. Соответствующая теорема
верна для любых числовых полей; однако для нее до сих пор
нет такого же простого доказательства. Действительно, сущест-
существенная часть книги О'Мира A963) посвящена изложению необ-
необходимого материала.
На самом деле, при доказательстве сильного принципа Хассе
можно было бы обойтись без использования геометрии чисел,
воспользовавшись одним рассуждением Эрмита, которое будет
приведено позднее в книге. Мы предпочли использовать геометрию
чисел частично потому, что при этом доказательство становится
прозрачнее, а частично потому, что геометрия чисел будет по-
полезна и в других случаях.
В п. 2 излагаются необходимые результаты по геометрии чисел
в том виде, в котором они нам потребуются. Этот вид не совсем
обычный, и в п. 3, который не нужен для дальнейшего, резуль-
результаты из п. 2 будут заново изложены на более стандартном языке;
мы также укажем связь с упомянутым выше рассуждением
Эрмита.
2. СРЕДСТВА
В этом пункте мы будем заниматься множествами с5^, лежа-
лежащими в п-мерном пространстве Рл. В приложениях это будут
крайне простые множества: эллипсоиды или параллелепипеды.
Однако в формальных доказательствах мы будем требовать от них
только, чтобы они были измеримы по Лебегу. Мы будем говорить
о мере множества & как о его объеме, обозначая его через V (о?).
Снабдим Кл фиксированной системой координат, так что его
элементами будут наборы из п вещественных чисел г = (гь ...,
гп). Мы используем обычные обозначения для векторного сложения
и для умножения на элементы из К. Через 2п будем обозначать
множество и = (ии ..., ип)€Кп, для которых иу € 2,

2. Средства 85
Теорема 2.1 (Блихфельд). Пусть к —целое положительное
число, и пусть &—множество в Кп с
V (&) > к.
Тогда найдутся к + 1 различных точек $0> 8ъ • • •» $н € & с условием
2», 0 <*'</< Л.
Замечание. Эта теорема является непрерывным аналогом сле-
следующего обобщения принципа ящиков Дирихле: если т объектов
размещены в п ящиков и если т > кп, то по крайней мере один
ящик будет содержать к + 1 объектов.
Оригинальная теорема Блихфельда относится к случаю
Доказательство. Для и € 2" обозначим через & (и) множество
точек 5 из (У, которые лежат в кубе:
и/ ^ 5у. < и;- + 1, 1 ^ / ^ я.
Множества о? (и) попарно не пересекаются, и их объединение
есть сУ. Поэтому
Обозначим через <У* (и) множество
8 —и, $€<^ (и).
Тогда
^*(и)с^Г, B.1)
где Ж — единичный куб:
Далее,
- 0(^* (и)) = 0
и поэтому
22^ B.2)
и и
Из B.1) и B.2) следует, что по крайней мере одна точка \у
из Ж должна содержаться в к + \ множествах вида с^*(и), ска-
скажем для и = и0, ..., ик. Тогда
& B.3)
удовлетворяют условиям теоремы.
Первую часть этого доказательства можно переформулировать
и так (что может быть более перспективным). Пусть о (х) — харак-
характеристическая функция множества У
о/х)== I1» если
в противном случае.

86 Гл. 5. Средства ив геометрии чисел
Тогда
Поэтому
5 ( ) 5 \\
и к»
Таким образом, найдется такая \ч$.Ж, что
и, следовательно, ^&+1, так как оба выражения являются це-
целыми числами. Теперь мы можем положить B.3), как и прежде,
где а(\у + иу)=1.
Минковский первым осознал важность выпуклости в этом кон-
контексте. Напомним, что множество # называется выпуклым, если
ЯА + Ллб*, B-4)
как только
и
Множество & называется симметричным относительно точки О,
если —$(:<^\ как только $^с^\ Знаменитая теорема Минковского
о выпуклом теле в простейшей формулировке выглядит так.
Теорема 2,2 (Минковский). Пусть %—выпуклое симметричное
тело и
V (%) > 2п.
Тогда % содержит точку и^2пу отличную от 0.
Доказательство, Пусть с^=г —^, т. е. ^ — множество элемен-
элементов вида 5" с, сё#. Тогда
Следовательно, по теореме 2.1 (случай к=\) найдутся такие раз
личные точки — с0 и ^сг из ^■<ё, что
^^
Но тогда —С! б #, так как # симметрично, и

2. Средства 9 87
по выпуклости {%1=:%2 = — в B*4) 1. Это завершает доказатель-
доказательство.
Мы хотим получить следующее обобщение этой теоремы.
Теорема 2* 3» Пусть Л—множество всех элементов и
удовлетворяющих конечной системе сравнений
где
Ну€2, т{$2, т,> 1.
Пусть
и пусть %—выпуклое симметричное тело с
V (#) > 2пт.
Тогда *в содержит точку и ё Л, отличную от 0.
Доказательство. Мы имеем
и поэтому по теореме 2.1 найдутся т + 1 различных точек ^
••• » о"Сда» ДЛЯ КОТОРЫХ
о" Ч — о"с/ ^ 2П, 0 ^ ^ ^ / ^ т.
Множество Ъп образует абелеву группу по сложению, а Л явля-
является подгруппой индекса ^т. Следовательно, два элемента из
1 1
должны лежать в одном и том же классе смежности по модулю Л
(принцип ящиков). Пусть это будут \к и У|. Тогда
С другой стороны,
и == 2" сл ~^ 2"с
если рассуждать так же, как в конце доказательства теоремы 2.2.
Вернемся теперь к теореме 2.2. Если множество % является
параллелепипедом, то условие V (*в) > 2" можно ослабить.
Теорема 2.4 (Теорема Минковского о линейных формах). Пусть
(х), 1 <! / ^п,—вещественные линейные формы от п переменных

Гл. 5. Среддпеа из геометрии чисел
х=: (#1,..., хп) определителя ИфО. Пусть (/>0, 1 ^/ ^ п, та-
таковы, что
Тогда найдется такая ненулевая точка а ^ 2", что
|Ма)|<*, B.6)
| л. B.7)
Доказательство. Здесь || обозначает обычную абсолютную ве-
величину. Пусть 0<е<1. Множество %ъ , задаваемое условиями
имеет объем
Это просто проверяется введением новых переменных уу — у
1^/^п. Далее, так как $?е —^г-мерный параллелепипед, то
выпукло и симметрично. Следовательно, #е содержит точку ае
ае=^=0. Но ё'е с: ё*!, а ^, будучи ограниченным, содержит лишь
конечное число элементов а=й=0 из Ъп. Мы только что показали,
что по одному из них содержится в каждом из %г , а поэтому
должен найтись и элемент в Л #е . Последнее множество и есть
8
множество, описываемое неравенствами B.6) и B.7).
Замечание. Подобные рассуждения показывают, что условие
V (%) > 2" в теореме 2.2 может быть ослаблено до условия V {%) ^ 2",
если <в ограничено и замкнуто, т. е. компактно. Для доказатель-
доказательства достаточно рассмотреть множества A-|-е)# с е > 0.
Нам понадобится один результат о совместных приближениях,
который в действительности является частным случаем теоремы
2.4.
Следствие. Пусть п^ 1, М > 1 —целые числа, 6^ ..., дп — ве-
вещественные числа. Тогда найдется целое число т:
0<т<М B.8)
и такие целые числа /*,..., /„, что
|тв, — //|</И-1/", 1</<л. B.9)
Доказательство, Применим предыдущую теорему к п+1 ли-
линейным формам

8. Задний план 89
Здесь О = ±1. Возьмем /у = М-1//?, 1 ^/<п и ^+1==Л1. По те-
теореме найдется такая а = (/1,...., /„, т)=й=0, что а^Х и
М-1/", 1</<п, B.10)
т|<М. B.11)
Если т=*0, то из B.10) следует, что /у == 0, так как М> 1, что
противоречит тому, что а=^=0. Таким образом, взяв, если нужно,
—/у, —т вместо /;-, т, можем предполагать, что т > 0. В этом
случае B.10) и B.11) доказывают следствие.
3. ЗАДНИЙ ПЛАН
Результаты этого пункта не будут использоваться в дальней-
дальнейшем. Наша цель —осветить результаты п. 2 с более общей точки
зрения.
Обычное изложение геометрии чисел (см. , например, Касселс
A959)) основано на понятии решетки в К". Это —множество Г то-
точек
где Ъ*,..., Ьп — множество линейно независимых элементов из К"
(базис решетки Г), а ии ... ,ип пробегают 2. Легко видеть, что Г
являемся подгруппой К", рассматриваемой как группа относитель-
относительно сложения, и что Г дискретна в обычной топологии простран-
пространства К". Наоборот, можно показать, что всякая дискретная под-
подгруппа группы К", которая содержит п линейно независимых эле-
элементов, является решеткой. Число
Л{Т) = | ее* (Ь, Ь„)| C.1)
не зависит от выбора базиса Ъи..., Ь„ и называется определите-
лем решетки Г.
В этой терминологии из теоремы 2.2 сразу же вытекает
Теорема 3.1. Пусть Г — решетка, %—выпуклое симметричное
тело в К" с условием
ю{%)>2пй(Т). C.2)
Тогда % содержит точку решетки Г, отличную от 0.
Действительно, достаточно ввести новые координаты
У = @1» •••» Уп)у так» чт0
где Ь*,..., Ъп—базис Г, и заметить, что якобиан преобразования
отхк у равен ±й(Г).
В этом контексте теорема 2.3 не является более общей, чем
теорема 2.2. Действительно, всякая подгруппа Л конечного ин-

90 Гл. 5. Средства из геометрии чисел
декса в решетке Г снова является решеткой. Это следует сразу
из характеризации решеток, приведенной выше; это также есть
прямое следствие леммы 3.3 гл. 7.
Пусть теперь
—• точка решетки Г с базисом Ь^ ... ,ЬЯ. Тогда
^+... + Йя?(Ч,..., ип) C.4)
— положительно определенная квадратичная форма с веществен-
вещественными коэффициентами и с
К C.5)
Наоборот, всякая' положительно определенная форма § может
быть получена этим способом, например с помощью последователь-
последовательного „выделения квадратов".
Пусть т — минимум, принимаемый формой § при целых и
Тогда в выпуклом симметричном теле
Кп <т C.6)
нет точек из Г, кроме 0. По теореме 3.1 мы должны иметь
V (V) < 24 (Г).
Но
V (V) =
где Vп—объем единичного шара. Отсюда следует, что
т<Ся(а<а)*'\ C.7)
где
СЛ-4У;2/Л. C.8)
В действительности еще прежде, чем Минковский изобрел ге-
геометрию чисел, Эрмит получил доказательство формулы C.7) с
постоянной
C.9)
вместо C.8). Мы воспроизведем его рассуждения в п. 3 гл. 9 как
часть доказательства более общей теоремы.
Оценка Минковского значительно лучше, т. е. меньше, при
больших значениях я, но оценка Эрмита лучше при п ^8. Напри-
Например, при п—2 значение C.9) наилучшее, как показывает пример
формы и1 + и1и2 + и1. Допустимые значения для постоянной Сп мно-
много изучались, и наилучшие значения для Сп известны теперь для
п^8. По поводу всего этого см. Касселс A959) или лучше Мил-
нор и Хьюзмоллер A973).
Отсюда следует, что тогда, когда мы применяем теоремы 2.2
и 2.3 к эллипсоидам, мы могли бы получить лучшие численные

Примеры -91
оценки, если бы воспользовались информацией о возможных зна-
значениях Сп. Это относится, в частности, к следствию теоремы 4.1
гл. 6.
ЗАМЕЧАНИЯ
Геометрия чисел — создание Германа Минковского. Он приме-
применил ее с большим эффектом к теории чисел. Современные изло-
изложения имеются у Касселса A959) и Леккеркеркера A969).
ПРИМЕРЫ
1. A) Пусть т>0, г—целые числа, причем га = —1 (тоёт).
Пусть Л—множество (х, у)^22 с условием х = гу (тоёт). Пока-
Показать, что для всех х, у <ЕЛ, х2-{-у2 = 0(тойт). Показать, далее,
что в Л найдется а = (а, Ъ) с а^О и #2 + Ь2< 2т. Вывести отсю-
отсюда, что а2 + Ь2 = т.
(и) Показать, что условия задачи A) выполняются, еслит—не-
еслит—нечетное простое число =1(тос14).
A11) Обобщение: показать, что условия задачи 0) выполняются,
если т = т0 или т = 2т0 и если все простые множители т0 срав-
сравнимы с 1 (той 4).
2. A) Пусть т > 0, г, 5—целые числа, для которых г2 + $2 +
4-1 е==0(тоёт). Пусть Л—множество всех (х, у, г, хю)^24 с ус-
условиями
л х = гг + 8хю, у еее $г—гхю (тойт).
Показать, что найдется точка (а, Ь, с, й)Ф0 из Л, для которой
а8 + Ь2 + с2 + й2<2т. Вывести отсюда, что т = а2+Ь2 + с2 + A2.
(И) Показать, что условия A) выполняются, если т—нечет-
т—нечетное или удвоенное нечетное целое число. Вывести, что всякое
целое положительное число представимо в виде суммы четырех
квадратов.

Глава 6
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Тема этой главы —связь между поведением квадратичных форм
над полем рациональных чисел О и над „локальными" полями йр,
где C^ = 1^. Общие теоремы позволяют нам сводить вопросы о
формах над О к аналогичным вопросам над
Теорема 1.1 (Сильный принцип Хассе), Пусть /—регулярная
квадратичная форма над й. Форма изотропна над О тогда и
только тогда, когда она изотропна над всеми (±р1 включая р = оо
Очевидный аналог этой теоремы справедлив для любого поля
алгебраических чисел вместо поля Ц. Формулировка и доказа-
доказательство принадлежат Хассе A923, 1923а, 1924, 1924а, б). Мы,
однако, как обычно, ограничимся полем О. Когда число перемен-
переменных п равно 3, мы приведем доказательство, основанное на не-
некоторых соображениях из геометрии чисел. Это доказательство,
по-видимому, не обобщается. Для п^4 мы будем пользоваться
теоремой Дирихле о существовании простых чисел в арифметичес-
арифметических прогрессиях. Это дает очень ясное доказательство, но, как
может показаться, привносящее чужеродный элемент. В гл. 14
мы покажем, следуя идеям Гаусса из его 018ди1зШопе$9 что эту
теорию можио развить без привлечения теоремы Дирихле.
Доказательство теоремы 1.1 займет пп. 3—5. Сразу же выве-
выведем два важных следствия.
Следствие I (Теорема Мейера). Неопределенная регулярная
форма от п^Ъ переменных изотропна.
Доказательство. По предположению / изотропна над О^гя
а по лемме 2.7 гл. 4 / изотропна над 0я рфоо.
Следствие 2. Пусть / — регулярная форма над О, и пусть
задано е^(}*- Предположим, что форма / представляет е в каж-
каждом (Хр, включая р=юо. Тогда / представляет е в О..
Доказательство. Представимость числа е формой / (хг, ..., хп)
эквивалентна изотропии формы ?(хи ..., хп)— ех2п+1 отп + 1 пере-
переменной (лемма 2.3 гл. 2).
Другой основной теоремой является

7. Введение 93
Теорема 1.2 (Слабый принцип Хассе). Две регулярные формы
над 0, эквивалентные над каждым О.р (включая р=*оо)9 эквива-
эквивалентны над О.
В п. 2 мы выведем теорему 1.2 из теоремы 1.1. Возможно,
следует заметить, что имеются ситуации, в целом похожие на ту,
которую мы рассматриваем в этой главе, когда слабый принцип
Хассе выполняется, а сильный —нет. Например, это будет так,
если основное поле есть к=К^), где /—трансцендентный эле-
элемент; см. последний раздел в работе: Касселс, Эллисон, Пфистер
A971), а также Сия A973).
В пп. 3, 4, 5 и 6 мы докажем сильный принцип для п
лг = 3, п —4 и п^5 соответственно.
Другая общая проблема такова: пусть для каждого р задана
квадратичная форма [ру определенная над 0^. Когда существует
форма /, определенная над О, которая над 0^ эквивалентна
форме [р? Эта проблема имеет вполне удовлетворительное реше-
решение, однако нам потребуются предварительные рассмотрения.
Так как О с: пр, то для любой регулярной формы / над О опре-
определен инвариант Хассе —Минковского ср([).
Лемма 1.1. срф=1 для почти всех р и
р
Замечание. Напомним, что выражение „для почти всех" озна-
означает: „для всех, кроме конечного числа",
Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что
диагональна:
/ (х) - 0^1 + ...
Тогда
Лемма 1.1 следует теперь из соответствующих свойств гильбер-
товского символа нормейного вычета (лемма 3.4 гл. 3).
Следующая теорема показывает, что лемма 1.1 доставляет
единственное соотношение между ср({).
Теорема 1.3. Пусть м^2, и пусть задано ^0€О*. Пусть
для каждого р (включая р=*оо) задана регулярная форма
хи ..., х ], причем
A1) ср ([р) = 1 для почти всех р и \\ср ([р) = 1.
р
Тогда найдется форма / ^0 [хи .. , хп] с й (/) — й0 (О*J, кото-
которая эквивалентна /« над 09 для каждого р.

94 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
В п. 7 мы дадим короткое доказательство теоремы 1.3 с исполь-
использованием теоремы Дирихле о простых числах в арифметической
прогрессии. Позднее, в гл. 14 будет приведено элементарное, хотя
и более сложное чдоказательство. В пп. 8—10 мы получим два
небольших уточнения сильного принципа Хассе и приложение
к теории проективных плоскостей. Наконец, в п. 11 мы вычислим
группу Витта ЧР (О). Это даст одновременно и доказательство
слабого принципа Хассе, которое и просто и элементарно (в том
смысле, что оно не использует теорему Дирихле о простых числах
в арифметической прогрессии).
2. СЛАБЫЙ ПРИНЦИП ХАССЕ
В этом пункте мы покажем, что из сильного принципа Хассе
(теорема 1.1) следует слабый принцип Хассе (теорема 1.2).
Пусть /(х) и ^(х) —регулярные формы от п переменных с ра-
рациональными коэффициентами. Предположим, что они эквива-
эквивалентны над всеми йру включая р=оо. Мы должны показать, что
/ и § эквивалентны над О.
Для каждого р (^-эквивалентные формы представляют над 0^
одни и те же элементы из 0р. В частности, форма /(х)-— §(у) от
2п переменных (х, у) изотропна над 0^. По теореме 1.1, которую
мы предполагаем справедливой, форма /(х) — ^(у) должна быть
изотропной над О. По лемме 2.3 гл. 2 найдется ефО, который
представим как формой /, так и формой § над О. Отсюда следует,
что формы / и§ эквивалентны над О формам
B.1)
где <е> — одномерная форма ех2, а /х и ^-—регулярные формы от
я —1 переменных. По предположению формы / и # эквивалентны
над каждым 0я а потому по лемме Витта (следствие 1 теоремы 4.1
гл. 2) формы }х и #х эквивалентны над каждым йр. Теперь мы
можем использовать индукцию по размерности п форм "/• б- Так
как Д и & являются формами от л — 1 переменной и удовлетво-
удовлетворяют условиям слабого принципа Хассе, то они удовлетворяют
и его заключению, т. е. /* и цх эквивалентны над О. Но тогда
формы / и? также эквивалентны над 0. Это завершает доказа-
доказательство.
8. СИЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ХАССЕ, п<2
Пусть / (х) — регулярная квадратичная форма с рациональными
коэффициентами, которая изотропна над всеми (Хру включая р— оо.
Сильный принцип Хассе утверждает, что тогда / изотропна над О.
Справедливость этого утверждения «зависит только от классачэкви-
валентности формы /, поэтому можно, например, предполагать, что

4. Сильный принцип Хассе, п=-3 95
форма / диагональна. Справедливость утверждения не изменится
также при замене / на а/, где а^О*.
Принцип Хассе ^лишен содержания, если размерность п формы /
равна 1. Если п = 2, то в силу только что сделанных замечаний
достаточно рассматривать формы / вида
Такая форма изотропна над (}р тогда и только тогда, когда
&€@^J- Поэтому для проверки сильного принципа Хассе при
т — 2 достаточно доказать следующее утверждение.
Лемма 3.1. Пусть Ь ё О* и Ъ ё (Ор)? для всех р {включая р = оо).
Тогда Ъ 6 (О*J.
Доказательство, Мы имеем
где а (р) ^ 2 и а (р) = 0 для почти всех р. Так как Ь € (ОрJ, то
а(р) четно. Так как &€@1J, то знак ± есть на самом деле +.
Заметим, что лемма останется справедливой, даже если исклю-
исключить условие для р=оо. Достаточно заметить, что —^*
4. СИЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ХАССЕ, /1 = 3
Лемма 4.1. Пусть [—любая регулярная тернарная квадра-
квадратичная форма над О. Тогда найдется такое а ^ О*, что форма
ар рационально эквивалентна форме вида
§ (х) = агх\ + а2х\ + апх1 D.1)
где а*, а2У ав^2 и ага2а3 свободно от квадратов.
Доказательство. Не умаляя общности, можно предполагать,
что форма / диагональна и что ее коэффициенты целые:
= Ьхх\ + Ь2х
Если Ъх делится на квадрат, Ьг'~Ь[с%% то, заменяя хг на С~гхи
мы сможем заменить Ъг на Ь[. Если найдется простое число р,
для которого р\Ь1у р\Ь2, т, е. Ьг=*рЬ[, Ь2 = рЬ'ъ, то
где Ь'3 = рЬ3. Обе описанные операции уменьшают абсолютное
значение целого числа ЬгЬ2ЬЗУ которое отлично от 0. Следовательно,
после конечного числа шагов мы придем к виду, описанному
в лемме.
Лемма 4.2. Пусть §(х) имеет вид, описанный в лемме 4.1.
Пусть р —нечетное простое число, р|а3. Предположим, что

96 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
изотропна над (Хр. Тогда найдется такое г^Ъ, что агг2-\-а2 =
= 0 (тос1р).
Доказательство. По условиям леммы найдутся 1и г2, р
не все равные 0, для которых §(^, 1$, ^) —0- По однородности
можно предполагать, что
Так как 2а/// = 0, Т0 п0 крайней мере два из чисел |а///к долж-
должны быть равны. Если \а$\р — р~* (/), то ясно, что (яA), \х B)
четны, а (я C) нечетно. Следовательно, единственной возможно-
возможностью является
— | аг1\ \р = | а2Ц \р > | а3Ц \р.
Требуемый результат получится, если взять 2^/^/ п0 М°ДУЛЮ Р-
Лемма 4.3. Пусть §(х) имеет вид, описанный в лемме 4.1,
и пусть §(х) изотропна над (Х2.
(\) Предположим, что 2^а1а2а3. Тогда, переставляя, если
необходимо, индексы 1, 2, 3, можно добиться того, чтобы
(и) Предположим, что 2|а3. Тогда найдется такое 5 = 0 или 1,
что
а\ + #2 + а382 аз* 0 (той 8).
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.2, можно
б ^О
Д р ,
предполагать, не умаляя общности, что существуют такие ^
что
Отсюда и следует лемма, так как Р = 1 (той 8) равносильно
Теорема 4.1 (Лежандр). Пусть
§ (х) = аЛх\ + а2х\ + а^с\, D.2)
где а,, а2, а3 ^ 2 ^ а^зйд свободно от квадратов. Предположим,
что выполняются следующие условия:
(\) если р—нечетное простое число, входящее в агага^у ска-
скажем р\а3, то найдется целое число гр1 для которого
а1г; + ая = 0(тос1р); D.3)
(и) если 2\а^а2а3, скажем 21 а3, то
а* + °>2 + а352 = 0 (той 8), D.4)
где 5=--0 или 1;

4. Сильный принцип Хассе> п—3 97
A11) если 2^а1а2а8У то
а^ + а2 п 0 (той 4), D.5)
возможно, после перестановки индексов 1, 2, 3.
Тогда найдутся такие Ьи /?$, &8€2, не все равные О, адго
а.Ы + а.Ы + аф^О. D.6)
Доказательство. Мы будем применять теорему 2.3 гл. 5, обо-
обозначив через Л множество всех г = (г1У г2, г3) ^ 23, удовлетворяю-
удовлетворяющих сравнениям, которые мы сейчас опишем*.
(О Пусть р — нечетное простое число, р\а3. Наложим условие
D.7)
где гр—то число, которое участвует в формулировке теоремы.
Тогда
§ (г) = аЛг\ + а2г1 + а9г\ = ахг\ + а2г\ (той р) =
= (алг% + а2) г\ (тоё р) = 0 (той /?).
(И) Пусть 2|а3. Наложим условия
где $ = 0 или 1, как в формулировке теоремы. Рассматривая по
отдельности случаи г2 нечетно, г2^=2(тос14) и г2==0 (тос14),
легко проверить, что из этих сравнений следует, что
§(х) = 0 (той 8).
Предположим, что 2^а1а2а3. В этом случае мы имеем,
что о^+аг^ЕЕО (той4). Наложим условия
гя = 0 (той 2). { 2)
Собирая все эти условия вместе, мы получим набор сравнений
Ьу (г) ее» 0 (той ту),
где /.у — линейные формы с целыми коэффициентами и где
Из них следует, что
(г) = 0 (той 4а1а8а8).
Применим теперь теорему 2.3 гл. 5, где Л есть множество
всех (>!, г2, г3), удовлетворяющих нашим сравнениям, и где
Здесь, как и дальше, | |—обычная абсолютная величина.
4 № 156-

98 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
В качестве множества % возьмем эллипсоид
I 1 I 1 ~Т~ I 2 I 2 ~Х~ I ^*3 I 3 *^» I ^*1^*2 3 Г
Он имеет объем
V ($) = ~. 23 • 14а1а2а31 > 23т.
о
Таким образом, в % найдется точка Ь б Л, Ь =^=0. Так как Ь б А, то
агЪ1 + а2Ь\ + аф\ = 0 (той 4 | ага
Так как Ь б #, то
Отсюда следует, что
агЪ\ + а2&1 + аф\ = 0
что и требовалось.
В процессе доказательства мы получили также
Следствие 1. Существует решение уравнения ^(Ь)=^0 с
а21 Ъ\
21 Ъ\
Из доказательства следует, что постоянную 4 в правой части
неравенства можно несколько уменьшить. Существует большая
литература по поводу "наименьших" решений уравнения /(Ь) — 0
при различных определениях "величины" вектора Ь. Пример форм
вида х\ + х\ — рх\ с простым р е== 1 (той 4) показывает, что по-
постоянная 4 не может быть заменена на 2.
1 Заметим, что для доказательства теоремы 4.1 нам не нужно
было предполагать, что форма ^(х) неопределенна, т. е. изотропна
над р^гЦ^. Таким образом, в этом случае теорема 4.1 сильнее,
чем сильный принцип Хассе. Действительно, имеет место
Следствие 2. Пусть / (х) — регулярная тернарная квадратич-
квадратичная форма над <}. Предположим, что / изотропна над (Хр для
всех р (включая оо), кроме, возможно, одного р0, которое может
быть либо конечным простым, либо оо. Тогда форма } изотроп-
изотропна над (X.
Замечание. В теореме, фактически доказанной Лежандром,
ро = 2. Поэтому в формулировке теоремы можно было бы опустить
условия (и) и A11) и добавить условие, чтобы форма § была не-
неопределенной.
Доказательство. Достаточно рассматривать формы ^(х) вида
D.1). По определению гильбертовского символа норменного вычета

5. Сильный принцип Хассе, п=4 99
форма ^(х) изотропна, над (}р тогда и только тогда, когда
D.9)
Р
Формула произведения для символа норменного вычета (лем-
(лемма 3.4 гл. 3) показывает, что количество тех р, включая оо, для
которых D.9) не выполняется, четно. В частности, если D.9) вы-
выполняется для всех рФр^ то оно выполняется также и для р0.
Следствие вытекает теперь из теоремы 4.1, если вспомнить леммы
4.2 и 4.3.
В заключение приведем одно историческое замечание. Из тео-
теоремы 4.1 можно вывести некоторые следствия квадратичного закона
взаимности. Так предположим, что существуют такие нечетные
простые числа цх, #2, что
(а) #, = 3 (той 4),
(Р) —Ял есть квадратичный вычет для
(У) ~Яч есть квадратичный вычет для
При этом условия теоремы 4.1 были бы выполнены с аЛ=
а2 = д2, щ=\. Однако заключение теоремы не может быть вер-
верным, так как форма дл2 + б/2*? + *з определенна. Отсюда следует,
что условия (а), (|3), (у) не могут выполняться одновременно.
Таким способом, а также и другими, доказывали различные част-
частные, случаи квадратичного закона взаимности до того, как Гаусс
нашел первое полное доказательство.
5. СИЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ХАССЕ, л = 4.
Теперь мы воспользуемся теоремрй Дирихле о простых числах
в арифметических прогрессиях.
Теорема 5.1 (Дирихле). Пусть I >.О и т — пара взаимно про-
простых целых чисел. Тогда существует бесконечно много простых
чисел р, таких, что р^т (той/).
Доказательство можно найти почти в любой книге по анали-
аналитической теории чисел. Нам потребуется только
Следствие. Пусть Р — конечное множество простых ру вклю-
включая, возможно, оо^Р. Для р^Р пусть заданы ^€0]$. Тогда
найдется такое (€ О*» что
A) '€',№ для всех р$Р,
00 |*1р=1 для всех р^Р, рфоо, кроме, может быть, одного
исключения р = р0.
Доказательство. Пусть 1р = ра{р)$р для р^Р% рФ х>, где?
=1,' Будем искать I в виде
п
рея
4*

100 , Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
где ро^Р—простое число. Если оо^Р, то знак ± выберем так,
чтобы он совпадал со знаком /ов; если же со (^Р, то возьмем любой
знак. Теперь выбираем простое число р0 > 0 так, чтобы удовлет-
удовлетворялось сравнение
( й р
Ясно, что / удовлетворяет нужным условиям.
Перейдем теперь к доказательству сильного принципа Хассе
для п = 4. Достаточно рассмотреть формы I вида
(х) = агх + а2х + а3х
1 </<4.
Пусть множество Р состоит из р — оо и из простых делителей
числа 2а1а2а3а4. Мы предполагаем, что форма /(х) изотропна над
всеми О-, включая р = <х>. Следовательно, в 0^ существуют такие
Ь/р, 1^/<4, не все равные 0, и 1р, что
По лемме 2,3 гл. 2 мы можем предполагать, что (рф0. Приме-
Применим теперь следствие теоремы 5.1 к этим 1р и обозначим через I
и р0 те элементы, которые там так обозначены.
Мы имеем две тернарные формы
от переменных (лс,, #2, и) и (лг3, х4У V). Они изотропны над (Хр для
р^Р по построению г. Если р^Р, рфр^ то формы E.1) изот-
изотропны над (Хр по лемме 1.7 гл. 5, так как 1^1^=1, 1^/^4 и
,= 1. По следствию 2 теоремы 4.1 формы E.1) изотропны над О.
Таким образом, существуют такие Ъи Ь2, &8, &46О, что
1 = 0,
а потому
что и требовалось.
6. СИЛЬНЫЙ ПРИНЦИП ХАССЕ, л
Снова достаточно рассматривать формы вида
с целыми коэффициентами

7. Теорема существования 101
Пусть множество Я состоит из оо и из простых делителей
числа 2а, ... ап. Как и в п. 5, найдутся такие 1р ^ 0^ для р ^ Я,
что обе формы
И
изотропны над (Хр. Пусть
где Ь1ру Ь2р б (}р. По теореме о слабой аппроксимации (лемма 3.2
гл. 3) мы можем найти Ъи &2€0, столь близкие к Ь±р% Ь2р в (Хр
для р^Р, что
F.1)
удовлетворяет условию
''€*„(о;)а, рея. F.2)
Но тогда форма
F.3)
будет изотропна над всеми 0^, р^Р. Она изотропна также и над
0^ для р ^ Я. Действительно, если р ^ Я, то | а3 \р = ... = | а„ 1^= 1,
и так как п^5, то по «демме 1.7 гл. 3 уже форма а3л:з+---
... +апх2п изотропна над 0^.
Применим теперь индукцию, предположив, что сильный прин-
принцип Хассе уже доказан для форм размерности, меньшей п. Тогда
форма F.3^ будет изотропной над О. Делая подстановку F.1), мы
получим, что и форма агх{+ ... -\-апх% изотропна над О, что и
требовалось.
7. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
В этом пункте мы докажем теорему 1.3. Она утверждает, что
если нам заданы формы \р над О» от п^2 переменных «одного
и того >ке» определителя с1и € О*/F*J (в том смысле, что й (/^) =
, причем
то найдется рациональная форма /, которая (^-эквивалентна
форме 1р для каждого р.
. Докажем сначала этот результат для п == 2. Обозначим через Р
конечное множество таких простых чисел р, что
(I) оо<ЕЯ, 2€Я;
(II) если \ао\ =^=1У то р€Р\
(ш) если ср0р) = — 1, то

102 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
Для каждого р^Р выберем (р€(ХР, представимое формой у
По следствию теоремы 5.1 существуют ро^Р -и /^0* с условием
, ЈРи |*|,= 1 для р^Р% рФРо. Пусть
Тогда для
Для
\ р /
Наконец, если р = р0, то формула произведения \\ср(П — 1 вместе
с условием П с (Ю = 1 лает
р р
с условием Л ср ([р) = 1 дает
что и завершает доказательство ^случая и = 2.
Предположим теперь, что /г^З. Определим множество Р, как
и выше, условиями О), (И), (ш). Для /?б^ выберем элемент
^€0р» представиМый формой /^ над 0^. Пусть I — любой элемент
из О* с условием 1/1 р б (ОрJ для всех р^Р. Если р^ Р, то | й0 \р= 1,
сР{1р)~ 1» а потому форма /^ изотропна.• По следствию 2 лем-
леммы 2.1 гл. 2 она представляет г. Следовательно, для любого р
форма \р эквивалентна форме
где §р — некоторая форма над (Хр от п—1-переменных. Покажем
теперь, что формы цр удовлетворяют условиям теоремы 1.3.
Во-первых,
Во-вторых,
Следовательно, так как Ц ср (?р) = 1 и имеет место формула
р
произведения для символа норменного вычета, то
Индукцией по размерности найдем рациональную форму
эквивалентную форме §р над (Хр. Тогда форма
и будет требуемой.

8. Размер решений 103
8. РАЗМЕР РЕШЕНИЙ
•
В п. 4 для тернарной формы / мы не только доказали, что
если она локально всюду изотропна, то она изотропна над О,
но и показали, что в этом случае уравнение / (а) = 0 имеет реше-
решение, которое в некотором смысле «не слишком велико». Для п > 3
доказательства в пп. 5, 6 не дают такой оценки, и не видно, как
их перестроить, чтобы получить разумную оценку. Здесь мы пока-
покажем совсем другим способом, что если рациональная форма изо-
изотропна, то уравнение /(а) = 0 всегда имеет решение, которое не
слишком велико.
Лемма 8Л. Пусть
/ (х) - 2 ///*/*/ € 2 [*,,..., *я] (8.1)
— изотропная форма от п переменных. Тогда найдется такое
аб2л, а=^=0, (8.2)
что
I (а) = 0, (8.3)
тах[а/|<C/7)^-1)/2, (8.4)
где
2 (8.5)
Здесь | | —обычная абсолютная величина.
Замечание. Хотя постоянная 3 в уравнении (8.4), безусловно,
может быть улучшена, показатель (я—1)/2 улучшен быть не
может. Действительно, пусть Ь—большое целое положительное
число; рассмотрим форму
п
Для нее
Р = п—2 + 2(п— 1) Ь + (п — 1) б2. (8.7)
Пусть /(а) = 0, а фО. Тогда ясно, что а^фО и
<*п = К + К-1Ь+ • +КЬп~2 + а1Ь»-\ (8.8)
где
и потому
К + К-1 + • • • + V = а\. (8.9)
Легко проверить, что из этих уравнений следует, что
(8.10)

104Гл. §. Квадратичные формы над рациональными числами
Доказательстве леммы. Пусть аё2", а=^=О,— такое решение
уравнения /(а) = 0, для которого
(8.11)
минимально. Мы можем предполагать, заменяя а на —а и пере-
переставляя, если нужно, индексы, что
а1==тах|а/|. (8.12)
Если 0^=1, то доказывать нечего. Поэтому можно считать, что
Я1>2. - (8.13)
Пусть 62, ..., дп—любые вещественные числа. По теореме
о диофантовых приближениях (следствие теоремы 2.4 гл. 5) най-
найдутся такие целые числа Ь19 ..., Ьп, что
(8.14)
/ м. (8.15)
Применим это к
Л (8.16)
Тогда
\Ъ, I < I Ье^ + аТ1'1"-1* < ЪЛ
и потому
\ (8.17)
Из минимальности ||а|| следует, что
/(Ь)^0. (8.18)
Выберем теперь %, \1^2 так, чтобы
• а* = Яа + |хЬ (8.19)
удовлетворяло уравнению
/(а*)=^0. (8.20)
Мы имеем
/ (а*) = X*? (а) + 2V/ (а, Ь) + ^2/(Ь) - 2^/(а, Ъ) + ц7(Ь),
и поэтому достаточно выбрать
/(ЬN 2, Я^=0,. (8.21)
-2/(а, Ь)€2. (8.22)
Заметим, что
а* Ф 0, (8.23)

9. Теорема о приближении 105
так как в противном случае из (8.19) следовало бы, что [(Ь) =
=Да) = 0, а это противоречит (8.18).
С помощью формул (8.16) неравенства (8.15) могут быть пе-
переписаны в виде
где
п. (8.24)
Выразим теперь а* через а и 8, исключив Ь. Мы имеем
Да, Ь) = /(а, Фа + 6) = ф/(а) + /(а, 6)=/(а,6),
Следовательно, по (8.19), (8.21), (8.22)
а*=/(Ь)а-2/(а,Ь)ЬН2Ф/(а, 8)+/(8)} а--2/(а,
= /(8) а —2/(а, 8N.
Оценивая грубо и вспоминая определение (8.5), получим
Но в силу минимальности ||а[|
Таким образом,
З/7 Ц 61|2 ^ 1. (8.25)
С другой стороны, по (8.24)
I) 81| ^аг^-^Н!* II" 1/(/г~1)-
Вместе с (8.25) это даёт
как и утверждалось.
9. ТЕОРЕМА О ПРИБЛИЖЕНИИ
Целью этого пункта является доказательство следующего
утверждения.
Лемма 9.1. Пусть /(х) — изотропная форма над О от п
переменных. Пусть е>0—произвольно малое число, Р —конечное
множество простых чисел, причем допускается оо ^ Р. Пусть
для каждого р^Рзадан вектор Ър€О.%с условием /(Ь^^О. Тогда
найдется такое Ь(ЕО",

106 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
для всех р^Ру где
|) аЦ =-- тах |а/ |
Отметим сразу же
Следствие. Пусть % (х)—регулярная рациональная квадратич-
квадратичная форма от п^2 переменных, и пусть а^О* рационально
представимо формой §. Для р^Р пусть заданы ър € О" с §(ар)=а.
Тогда найдется такое а^О"» что
для всех
Доказательство следствия. Достаточно применить лемму к
/ \-^1» • • • » Хп+1) = § \Хгу . . . , Хп) ОХп + х.
Доказательство леммы 9.1. По условию существует такое
0, что
Предположим сначала, что
ГЪH (9.1)
для всех р^Р. Здесь, как обычно, /(х, у)—билинейная форма,
соответствующая квадратичной форме /(х). По слабой теореме
приближения (леммы 3.2 гл. 3) мы можем найти й^О", которое
сколь угодно близко р-адически к Ьр для каждого р$.Р. Выбе-
Выберем теперь X, [х^О так, чтобы
/ Aс + 1x6) =: 0.
Так как /(с) = 0, то для этого нужно, чтобы
2Щ (с, с!) + ,и2/ (й) = 0.
Можно, например, взять
»х==1, Л — / (й)/2/(с, й).
Когда 6 стремится к Ър в р-адической метрике, то
в силу (9.1). Поэтому
Ър.
Так как пределы можно достичь одновременно для всех
то это завершает доказательство леммы, если только выполнены
условия (9.1).

10. Приложение. Конечные проективные плоскости 107
Наконец, если условие (9.1) нарушено для какого-нибудь р,
то по лемме 2.8 гл. 4 мы можем найти Ър, сколь угодно
близкое к Ьри такое, что / (с, Ь^) Ф 0. После этого можно рас-
рассуждать с Ь' вместо Ър.
10. ПРИЛОЖЕНИЕ. КОНЕЧНЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ
В этом пункте мы приведем довольно удивительное приложе-
приложение развитой теории, принадлежащее Браку и Райзеру A949).
Конечная проективная плоскость состоит из двух конечных
множеств — множества „точек" и множества „прямых". Имеется
отношение—„точка лежит на прямой", и выполняются две аксиомы:
(I) любые две различные точки лежат на одной и только одной
прямой,
(II) любые две различные прямые пересекаются ровно в одной
точке.
Если исключить некоторые вырожденные случаи, например
когда имеется только одна прямая, то легко видеть, что суще-
существует такое целое числр л, что всякая прямая содержит /1 + 1
точек, а всякая точка лежит на л+1 прямых. Число п назы-
называется порядком проективной плоскости. Тогда имеется всего
точек и столько'же прямых.
Примером проективной плоскости может служить обычная про-
проективная плоскость над конечным полем Р. В этом случае срав-
сравняется числу элементов в поле Р, а потому является степенью
простого числа. Былц найдены и другие примеры конечных про-
проективных плоскостей, однако во всех известных примерах поря-
порядок плоскости есть, степень простого числа. Однако, например,
не известно, существуют ли конечные проективные плоскости
порядка 10, хотя на исследование этого вопроса с помощью вы-
вычислительных машин было затрачено машинного времени на тысячи
долларов.
Возможно, единственным общим критерием несуществования
проективной плоскости является приводимый далее критерий.
Из него следует, в частности, что нет проективных плоскостей
порядка 6. Имеются также обобщения этого критерия на некото-
некоторые блок-схемы, см. М. Холл A954), лекция 5.
Лемма 10.1 (Брак и Райзер). Пусть п—порядок конечной
проективной плоскости и
п= 1 или 2 (той 4). A0.1)
Тогда всякое нечетное простое число р, которое входит в п в
нечетной степени, имеет вид
= 1(тос14). A0.2)

108 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
Доказательство. Возьмем N переменных х^ по одной для каж-
каждой точки Яу. С каждой прямой Кк сопоставим линейную форму
где суммирование распространено на те /, для которых я7- лежит
на %к. Из аксиом проективной плоскости следует, что
N
2 « = (" + 1) 2 *Н 2 */*/-
6 / 1
Обозначим эту форму через ё"(х). Ее можно диагонализовать,
если ввести, например, новые переменные
Мы получим, что она рационально эквивалентна форме
Из A0.3) следует, что форма §(х) (а потому и Н (у)) рационально
эквивалентна форме
В частности, / и И должны иметь одни и те же инварианты Хае-
се—Минковского
р р A0.5)
С другой стороны, из A0.4)
Л (Л/-1)(Л/-2)
так как в силу A0.1) N = п2 + п-}-1 =3 (той 4).
Из общих свойств гильбертовского символа норменного вычета
следует, что
A0.7)
Собирая вместе A0.5) — A0.7), мы получим
A0.8)
Пусть теперь р—нечетное простое число, делящее п в нечет-
нечетной степени. Тогда из A0.8) следует, что —1 есть квадратичный
вычет той р, т. е. что р=1(пюй4), как и утверждалось.

/7. Группа Вшпта 109
11. ГРУППА ВИТТА
В этом пункте мы определим группу Витта № (О). Из наших
рассуждений будет также следовать простое и элементарное до-
доказательство слабого принципа Хассе.
Напомним (лемма 5.6 гл. 2), что группа № @) порождена сим-
символами <а>, #€0*, подчиненными следующим соотношениям
A) <аь2> = <а>,
(И) <а> + <Ь> = <о + 6> + <аЬ (а + /?)>,
A11) <1>+<_1> = 0.
Для каждого простого числа р, включая оо, имеется отобра-
отображение локализации
V «7 (О) — «7
которое отображает <а>, рассматриваемый как элемент из № (О),
в <а>, рассматриваемый как элемент И? (О.р).
Для нечетных простых чисел р обозначим
, A1.1)
где Рр — поле из р элементов. В п. 3 гл. 3 мы ввели два ото-
отображения \|H, \|), из 1^@^) в Й7 (р). Для нас важную роль будет
играть отображение г^; мы обозначим его композицию с отобра-
отображением локализации через ф(р). Таким образом, отображение
(Ц.2)
определено следующим образом. Всякий элемент а ^0* однозначно
может быть записан в виде
а^р'и, \и\р=19 A1.3)
и тогда
1» если I нечетно
п , A1.4)
0, если / четно. '
Здесь и—образ и при отображении редукции 2^^Р/7.
Положим теперь
№ B)=* 2/22 A1.5)
(циклическая группа порядка 2). Определим отображение \))B)
равенством
фB)<а> = /(той2), A1.6)
где
*. A1.7)
Это отображение корректно определено, так как ясно, что оно
сохраняет соотношения A), (и) и (ш).
Наконец, положим

ПО Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
и определим отображение
, если а > О
. ^п A1.9)
— 1, если а < 0. 1 '
Оно снова корректно определено.
Теперь мы можем сформулировать теорему.
Теорема 11.1. Отображения ^(р) (включая р=оо) осущест-
осуществляют изоморфизм между № (О) и прямой суммой групп № (р).
Прежде чем переходить к доказательству, отметим два след-
следствия.
Следствие 1. Если элемент из И? (О.) лежит в ядре всех лока-
локализаций кр (включая оо), то он равен 0.
Действительно, такой элемент заведомо лежит и в ядре всех
отображений
Следствие 2. Имеет место слабый принцип Хассе.
Действительно, пусть /, д^ О [*\ —квадратичные формы, кото-
которые эквивалентны над всеми О7„ включая р —оо. Тогда форма
/—§", рассматриваемая как элемент из И? (О), лежит в ядре всех
локализаций. Следовательно, это нулевой элемент \Р (О).
Доказательство теоремы 11.1. Пусть р>0 — простое число.
Обозначим через Р = Р(р) (соответственно Р') множество нену-
ненулевых целых чисел, все простые множители ц которых не превы-
превышают (соответственно меньше) р Пусть /, (р) (соответственноЬ'(р))—
подгруппа группы 1^@), порожденная <а>, где а^Р(р) (соответ-
(соответственно а^Р' (р)). Ясно, что V? (О,) есть объединение всех 1(р).
Пусть р > 2, и пусть р' — такое наибольшее простое число,
что р' <р. Ясно, что Р' (р)^=Р(рг) и С (р)^Ь(р'). Далее Р'B)
состоит только из ±1, и V B) есть подгруппа №7@), порожден-
порожденная <—1> — — <1> и <1>. Ясно, что г^(оо) осуществляет изомор-
изоморфизм между V B) и И7(оо) = 2. Если рфоо, то отображение
•\р(р) тривиально на V (р). Поэтому для доказательства теоремы
достаточно показать, что ^(р) индуцирует изоморфизм между
Ь(р)Ц' (р) и №(р), или, что эквивалентно этому, что ядро
при отображении Ь (р) в точности равно V (р).
Сначала пусть р = 2. Тогда
<2> + <2> = < 1 > + < 1 > е ^' B)
и
Следовательно, ядро ^B) есть в точности V B).
Случай р>2 более сложен. Наша первая цель, будет состоять
в том, чтобы показать, что
A1.10)

. Группа Витта 111
как только
\ A1.11)
Предположим сначала, что и, у, хю—целые числа из интервала
— р<и9 ад, и< + р
и
V = и'ш(тод. р).
Тогда
ихю—у — р1,
где
— Р< *< + р.
Следовательно,
<^Р> + Ф = <^Р> + <Чр*> =-ф+ (р) р> + <Ы (V + (р)> =
и потому
(той // (р)). A1.12)
Пусть теперь и—любой элемент из Я'. Тогда либо —р<;и<С+р,
либо найдется такое простое число ц < р, что и = 9^1 Для неко-
некоторого ^х из Я', либо выполняется и то и другое. Простая ин-
индукция по абсолютному значению | и \ показывает, что если вы-
выполняется A1.11) и —р < V < + р, то выполняется A1.10). Нако-
Наконец, если V не удовлетворяет этому дополнительному ограничению,
то пусть хю—любое из двух целых чисел, удовлетворяющих
: —Р
Тогда <ри> = <рад> = <ру> (той Ь\р)). Это завершает доказательст-
доказательство того, что из A1.11) следует A1.10).
Теперь мы должны определить отображение
V.
Напомним, что Ц7(р) = Ц7(рр). Мы будем обозначать элементы из
?р буквами а, р... . Если а €2 является представителем класса
ег/хр и .
то определим
V <а> = <ар> (той
Нужно ^показать, что V корректно определено. Для этого до-
достаточно показать,, что V сохраняет определяющие соотношения
@, (И), A11) для №(Рр). Единственные соотношения, проверка

112 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
которых может вызвать затруднения, это (и). Предположим, что
и Ь связано с Р так же, как аса. Тогда
так что а, 6, а-\-Ь и аЬ(а-\-Ь) лежат в Р'. По A1.10) мы имеем
<ар> + <Ьр> = ф + Ь)р> + <аЬ (а
= <ср> + <ар> (той Ь'
где
с = а + Ь(тойр), —-^
и
(той р), ^^
Следовательно, V сохраняет аналог соотношения (и) для
Это показывает, что V корректно определено. Так как
есть тождественное отображение на ЧР(р) = №(Тр)9 а V•ф(/?)—тож-
V•ф(/?)—тождественное отображение на Ь(р)/Ь' (/?), то ^(р) — изоморфизм
Ь(р)/Ь' (р) на №(р). Что и требовалось.
ЗАМЕЧАНИЯ
Как было упомянуто в п. 1, существуют поля, для которых
выполняется аналог слабого принципа Хассе, но не выполняется
аналог сильного принципа Хассе. Однако над полем алгебраиче-
алгебраических чисел сильный принцип Хассе имеет место, а следовательно,
выполняется и слабый. Использование геометрии чисел, по-види-
по-видимому, не обобщается, и приходится использовать довольно глу-
глубокие результаты из теории алгебраических чисел. Мы дадим
набросок доказательства (см. Хассе A924а), О'Мира A963)).
Легко видеть, что для п = 3 сильный принцип Хассе экви-
эквивалентен следующему. Пусть К/к—квадратичное расширение.
Тогда элемент Ь^к* является нормой элемента р из /С*, если он
является нормой „всюду локально". Соответствующий результат
в действительности выполняется всегда, когда К/к—абелево рас-
расширение (т. е. нормальное расширение, группа Галуа которого
абелева), хотя, вообще говоря, не выполняется для произвольных
расширений (Хассе A931)). Доказательство того, что необходимо
для квадратичных форм, можно найти у О'Мира A963). Другой
подход к сильному принципу Хассе для п~ 3, связанный с пре-
предыдущим, возникает из теории алгебр. Четная алгебра Клиффорда
Со(/) для тернарной формы / является „обобщенной алгеброй
кватернионов". Она изоморфна полной матричной алгебре над
основным полем в точности тогда, когда форма / изотропна (ср.
зэмечания к гл. 10). И таким образом, сильный принцип Хасс$

Замечания ИЗ
для тернарных квадратичных форм над полем алгебраических
чисел является частным случаем принципа Хассе для алгебр
(Дойринг A935), гл. 7).
Для п = 4 первоначальное рассуждение Хассе (Хассе A924а))
было аналогично использованному в п. 5 с подходящим обобще-
обобщением теоремы Дирихле о простых в арифметической прогрессии.
Однако если случай л — 3 известен для общих числовых полей,
то имеется следующее простое рассуждение (Шпрингер A957),
О'Мира A963), стр. 187, или Касселс и Фрёлих A967), упраж-
упражнение 4). Если кватернарная форма такова, что й(/)ё(&*J, то все
можно свести к случаю п = 3 с помощью примера 4 гл. 2. Общий
случай сводится к этому случаю над квадратичным расширением
поля к с использованием примера 17 гл. 2.
Наконец, если п ^ 5, то рассуждения п. 6 обобщаются на
поля алгебраических чисел.
Теорема 4.1, в том виде как она была доказана Лежандром,
предполагала, что аха2а^ свободно от квадратов, а условия A),
B) и C) заменялись на следующее: предполагалось существова-
существование целых чисел е^е2^еъ с условиями
2 — 0 (той а
а2е\ + а3 = 0 (той ах),
а3е1 + ах = 0 (той а2).
Предполагалось также, что форма §(х) неопределенна. Его дока-
доказательство (Лежандр A798), ч. 1, п. 4) использовало индукцию.
Мы наметим вариант этого доказательства, при котором исполь-
используется целое число
Если 7 ===== 1, то ау==±1 для всех /, и нечего доказывать. В про-
противном случае, не умаляя общности, можно считать, что
По (*) найдется такое г^2, что
и2 — а.
с некоторым Л36 2. Положим
А —о о
/т-2 и'1ы'2»
тогда
Х\
2
1з

114 Гл. б. Квадратичные формы над рациональными числами
Существуют такие целые числа, а'1у а'2, а3, Ъ что
А2 = а[а2у
и а[а'2аъ свободно от квадратов. Приведенное тождество показы-
показывает, что форма ^(х) изотропна в точности тогда, когда изо-
изотропна форма
' (х) =* а[х\ + а'гх\ + а3х\.
Можно показать, что если § удовлетворяет условиям теоремы
Лежандра, то и §' им удовлетворяет. Далее, легко видеть, что
Тем самым мы имеем требуемую индукцию. Варианты этого рас-
рассуждения приведены в нескольких книгах.
Гаусс A801), аи. 294, доказывает теорему Лежандра совсем
иначе. Он показывает, что из условий (*) следует, что ^(х) цело
эквивалентна форме к(х)^=^к{/х(х/ с А\к22У й\к33 и й\к23, где
й^=ага2ав. Тогда Н(йхи х2г х3) = с1к(х), где к(х)— классически
целая форма определителя 1. Если форма ^(х)—неопределенна,
то таковой же будет и к(х), а Гаусс уже до этого показал, что
классически целая неопределенная форма определителя 1 цело
эквивалентна форме —х] + 2х2х3. В частности, формы к (х) и § (х)
изотропны'. Доказательство Гаусса существования формы к (х) со-
совершенно явно, но не очень прозрачно, что, возможно, объясняет
тот факт, что оно не часто воспроизводится в литературе. Однако
существование А(х) следует сразу же из леммы 4.2 гл. 9. Иначе,
можно рассмотреть решетку Г, состоящую из точек (г^ г2, г3),
для которых
гг = егг2 (той а3),
г2 = е2г3 (той а^),
где е^ е2, ея—целые числа, участвующие в условиях (*). Пусть
Ь1,Ь2,Ь3—базис решетки Г. Тогда из условий (*) следует, что
§ (л^Ь, +х2Ь2 + хвЪя) = ага2авК (х),
где К (х) — классически целая форма определителя ±1. Теперь
можно применить рассуждение Гаусса с /С (х) вместо к(х).
Доказательство теоремы 4.1, приведенное в тексте, очевидным
образом похоже на доказательство Гаусса. Пусть с^ с2, с3—базис
решетки Л из текста. Тогда
гсг +х2с2
где /(х)—целая форма определителя + -^ . После этого можно
показать, что /(х) цело эквивалентна форме ± (^1+^3)» восполь-

Примеры 115
зовавшись для этого результатами п. З'гл. 9 Теми же методами
можно получить и следствие теоремы 4.1, даже с лучшей посто-
постоянной. Положим
т (х) = | а± | х\ +1 аг \ х\ + \а3 \ х%
У У \
Тогда М — определенная квадратичная форма определителя —-
с рациональными коэффициентами. По лемме 3.2 гл. 9 найдется
, отличный от 0, с условием
Но |/(х)|<М(х) для всех х^К3; поэтому /(й) = 0. Таким обра-
образом, мы имеем решение ^г(х) = О, х^23, хфО с
х\ +1 а21 х\ +1 а31 х\ < D/3)
Заметим, наконец, что рассуждение в тексте, или его вариант,
который мы только что обсудили, по-видимому, не имеет аналога,
относящегося к решетке Г, определяемой условиями (##). Этим
объясняется наш выбор доказательства теоремы 4.1, отличного от
первоначального варианта Лежандра.
П. 4. По поводу оценок наименьшего решения уравнения
агх\ + а2х\ + а^х\"= 0 см. Кнезер A959), а в случае полей алгеб-
алгебраических чисел—Зигель A973), см. также замечания к п. 8.
Дискуссию о том, до какой степени квадратичный закон вза-
взаимности можно вывести из теоремы 4.1, см. Гаусс A801), аг1. 296.
П. 8. Рассуждение, использованное при доказательстве леммы
8.1, впервые, по-видимому, появилось у Обри A912), в контексте
примера 6. Контрпример (8.6) принадлежит Кнезеру (см. Касселс
A955)). По поводу обобщений см. Бёрч и Давенпорт A958), по
поводу обобщений на числовые поля см. Рагаван A973). См. также
Давенпорт A971).
По поводу других приложений метода Обри см. Касселс A964)
и Пфистер A965), п. 3.
П. 9. Ср. Милнор и Хьюзмоллер A973), гл. 4, и Конвей A973).
См. также Сия A973) и Уотерхауз A976, 1977).
ПРИМЕРЫ
1. Определить, какие из следующих форм изотропны над
0) 151 Ц
'3»
(и) Зх1 + 2х%—7х,
A11) 3^ + 2^—1
(IV) 3x1 + 2*1—7x1 + 2#2*3 + 2X3*1 +

116 Гл. 6. Квадратичные формы над рациональными числами
2. Определить, какие из следующих пар форм эквивалентны
над О; указать преобразования эквивалентности, если они сущест-
существуют:
(I) х\-\Ьх\ и 3*1—5*2,
(II) х!—82х| и 2x1—41x1
(III) х\ + х\ + 16*1 и 2х\ 4- 2x1 + 5x1—2х2х3 — 2хгх3.
3. Пусть С—множество всех тех рациональных чисел с, для
которых форма
/ (х) = 42х] — 20x1 + 15x1—
рационально эквивалентна форме вида
31 х4)
с бинарной формой §, которая может, конечно, зависеть от с.
Показать, что найдется такое 6^0*, что множество ЬС есть под-
подгруппа группы О*, получив тем самым полное описание С.
4. Показать, что формы х\ + х? + х. + ^ и Ь (х\ + х! + А + ^1) Ра-
Рационально эквивалентны для любого рационального числа Ь>0.
[Указание. Ср. пример 3 гл. 4.]
5. Для каких рациональных т следующие две формы раци-
рационально эквивалентны:
(х\
х\-\-х\ + т (т-\-
[Указание. Ср. пример 4 гл. 4.]
6. Пусть с—целое положительное число, и пусть /(х) — одна
из следующих форм:
СХ\ —~~ )
СХ\ )
к* :
X* ;
^3»
^з-
у!
-л5.
Если форма /(х) изотропна, то методами п. 8 показать суще-
существование целого числа ас /(а) = 0 и а, = 1. Вывести отсюда,
что с есть сумма /г целых квадратов тогда и только тогда, когда
с представимо суммой п рациональных квадратов, п=2, 3, 4.
Вывести, что всякое целое положительное число с есть сумма
четырех целых квадратов; получить необходимые и достаточные
условия для того, чтобы с представлялось в виде суммы двух и
трех целых квадратов.
[Замечание. Это рассуждение, по-видимому, впервые было най-
найдено Обри A912), но оно было переоткрыто, по крайней мере еще
один раз. См. также Серр A970).]
7. Пусть С — конечная группа собственных рациональных
автоморфизмов регулярной квадратичной формы [€п[х1У ..., хп].

Примеры
Показать, что порядок § группы С есть делитель числа
=* П
д —простое
где
2.
[Указание. Применить указание к примеру 16 гл. 3 к резуль-
результатам примера 13 гл. 2.
Замечание. По сравнению с прямым использованием приме
ра 16
п
гл. 3 получается улучшение при д = 2, где мы выигрываем 2*- -».
О связи между §(п) и числами Бернулли см. Минковский A887).]
8. Пусть /(х), § (у) — формы с рациональными коэффициен-
коэффициентами от я, т переменных соответственно. Предположим, что
A) / (х) регулярна,
и) п>т + 3,
(Ш) / представляет & над К.
Показать, что тогда / представляет § над О.
Показать далее, что для любого т условие (и) не может быть
заменено на п ^ т + 2.
[Указание. Без потери общности можно считать § диагональ-
диагональной. Использовать индукцию по т.]
9. Пусть /(х), § (х) — регулярные рациональные формы от п
переменных. Предположим, что они эквивалентны над К и над
0^ для всех конечных простых чисел р, за исключением, возмож-
возможно, единственного простого числа р0. Показать, что они эквива-
эквивалентны над О.
10. Пусть Р (п)— утверждение: имеется регулярный п-мерный
симплекс в 0п (с обычной евклидовой метрикой).
(О Показать, что Р (п) верно, если п — к2 — 1 для некоторого
целого числа к, и если п четно, то это единственная воз-
возможность.
(и) Показать, что Р Dт — 1) всегда верно и что РЦт+1)
верно тогда и только тогда, когда 2т +1 есть сумма двух
квадратов.

Глава 7
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦЕЛОСТНОСТИ
1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть к—произвольное поле характеристики Ф2, и пусть
/—произвольное подкольцо поля к, содержащее 1. Наиболее
часто встречающийся случай: к совпадает с полем отношений
кольца /, однако к может быть и больше поля отношений. Обоз-
Обозначим через V множество единиц из /, т. е. множество таких
элементов и^19 что и'1^!. Ясно, что V — группа относительно
умножения.
В гл. 2 мы видели, что классы квадратичных форм
относительно ^-эквивалентности можно было изучать с помощью
квадратичных пространств V, ср. В п. 2 мы введем понятие решетки
и покажем, как классы /-эквивалентности форм / соответствуют
решеткам в V, ср. В п. 3 мы изучим некоторые общие свойства
решеток, необходимые для дальнейшего.
В этой главе мало (если вообще есть) сколько-нибудь глубо-
глубокого материала. Ее цель—ввести удобный язык для последующих
глав.
2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И РЕШЕТКИ
Пусть V—л-мерное векторное пространство над полем к. Если
Ь$, ..., Ъп—любой базис V как векторного пространства над к, то
м ожество элементов вида
+ ■ ■ • + ' А, B.1)
где гъ ..., гп пробегают все /, мы будем называть решеткой
с базисом Ьх, ..., Ъп. Если нужно подчеркнуть роль кольца /,
то мы будем говорить о /-решетке.
Решетка обладает многими базисами. Ясно, что необходимое
и достаточное условие для того, чтобы Ъи ..., Ъп и с^, ..., сп
были базисами одной и той же решетки, состоит в том, чтобы
нашлись такие элементы г/7, 5/7 € Л что
, B.2)
. B.3)

3. Решетки 119
Исключая Су из формул B.2) и B.3) и пользуясь тем, что
Ь1У ..., Ьп есть базис векторного пространства V, мы получаем
2A, если 1' = /,
/ ( 0 в противном случае.
Следовательно,
В частности, йе1 (г/у) лежит в группе единиц G кольца /. Наобо-
Наоборот, если йе1 (г|7)^ (У, то мы можем решить уравнения B.2) и
получить для Ьу выражения типа B.3) с 8ц ^ /. Тем самым мы
доказали следующую лемму,
Лемма 2.1. Пусть Л—решетка с базисом Ь1? ..., Ь„, и пусть
заданы элементы с1у ...,сп г/з Л. Если с{ записаны в виде B.2),
то для того, чтобы с1У ..., сп образовали базис Л, необходимо
и достаточно, чтобы
B.4)
Пусть теперь
/ (Я], . . . , #п) С & I -^1» • • • , Хп
— квадратичная форма. В гл. 2 мы ввели квадратичное простран-
пространство V, ф с базисом Ь„. ..., Ъп, где
, .. ., хп) — ц
Пусть Л—решетка с базисом Ь,, .. ., Ъп. Если си ..., сп —
другой базис решетки Л, то положим
(У (V - V \ •—— ГП (V С I I V р \
Тогда
По условию B.4) формы § и I /-эквивалентны. Наоборот, если
§ /-эквивалентна форме /, то мы можем обратить процесс.
Тем самым мы установили требуемое соответствие между клас-
классами /-эквивалентности квадратичных форм, определенных над к,
и /-решетками в квадратичных пространствах. Конечно, две раз-
различные решетки могут соответствовать одному и тому же классу
форм (ср. гл. Г1).
3. РЕШЕТКИ
В этом пункте мы докажем несколько общих результатов
о решетках. За исключением самого начала, мы будем предпо-
предполагать, что кольцо / есть область главных цдеалов} т. е. что

120 Гл. 7. Квадратичные формы над областями целостности
всякий идеал в / порожден одним элементом. В приложениях
/ будет либо кольцом 2 целых чисел, либо кольцом Ър целых
р-адических чисел.
Пусть Л, Г — решетки в одном и том же /2-мерном простран-
пространстве V с базисами Ьи ..., Ъп и е1у ..., еп. Так как оба эти
базиса являются базисами V как векторного пространства над к,
то
2], '//€&, C.1)
Aи) ф 0. C.2)
Значение й зависит не только от Л и Г, но и от выбора ба-
базисов. По лемме 2.1 другой выбор базиса в Л или Г приведет
к умножению А на элемент из II. Мы будем обозначать образ й
в к*II] через %А (Г/Л) и называть его относительным определите-
определителем. Если Л—решетка, а / — ненулевой элемент из к, то через /Л
мы будем обозначать множество /а, а^Л. Ясно, что это снова
решетка. Она зависит только от образа / в к*/11.
Лемма 3.1. Пусть Л, Г—решетки и Г с: Л. Тогда
Д/ и
А (Г/Л) Л с Г. C.3)
Доказательство. Мы используем те же обозначения, что и
в C.1). Так как е^ГсЛ, то ///€ Л а потому- по C.2)
Так что Л (Г/Л) е/ДА
Решая уравнения C.1) относительно Ьу-, получим
, = 21 «/Л
с некоторыми 5,у € /- Поэтому НА си Г.
Лемма 3.2. Предположим, что I—область главных идеалов.
Пусть Л, Г—решетки, Г си Л, и пусть Ъ1у ..., Ьп—любой базис
решетки Л. Тогда найдется базис с1э ..., сп решетки Г вида
, C.4)
C.5)
Замечание. Здесь базис Ь1У ..., Ьл задан. О том, что проис-
происходит, если его тоже разрешается менять, см. теорему 5.1 гл. 11.
Доказательство. По лемме 3.1 существует
C.6)

3. Решетки 121
с условием
ОА а Г. C.7)
Для фиксированного / обозначим через Г4^ множество
имеющих вид
8=5,1),+ . +5уЬу. C.8)
Если аA\ аB)бГ(^, то г^' + ^'еГ^ при любых г1у г26/.
Поэтому множество, тех $у-, которые встречаются в C.8), есть
идеал в /. Обозначим его через 5у. Так как йЬуб^ЛсгГ, то
й^8/у и поэтому 5у-—ненулевой идеал. Из условий следует, что
5у-—главный идеал. Поэтому мы можем найти
9/= 'л Ь, + ... + </уЬ/ 6 Г,
такой, что 1ц порождает 5;. Покажем, что с^ ..., сп образуют
базис решетки Г.
Действительно, пусть
— любой элемент из Г. Тогда 8п^8п, и поэтому &п = ип1пп. для
некоторого Vп^I. Следовательно,
с некоторыми^, ..., 8п^1^1. Мы можем повторить это рассуж-
рассуждение:
Тогда
и т. д. Окончательно мы голучим
при некоторых юг. ..., оп^1, что и требовалось.
Подобным же рассуждением доказывается
Лемма 3.3. Предположим, что 1 = 2. Пусть А —решетка,
Г—подгруппа конечного индекса в Л относительно сложения. Тогда
Г — решетка.
Доказательство. Действительно, йЛ си Г, где на этот раз
й—групповой индекс. Далее мы можем рассуждать в точности
так же, как при доказательстве леммы 3.2, и найти с^, ..., с„,
которые образуют базис 1^, где Г можно рассматривать либо как
группу, либо как решетку.
Лемма 3.4. Предположим, что I—область главных идеалов.
Пусть си ..., су—набор линейно независимых элементов из Л.

122 Гл. 7. Квадратичные формы над областями целостности
Тогда найдется базис Ь19 ..., Ъп решетки Л, для которого
с некоторыми
*//€/, «//=^0. C.10)
Замечание. Можно не уточнять, над / или над к требуется
линейная независимость элементов сх, ..., су. Всякие элементы
из решетки, которые линейно независимы над /, будут линейно
независимыми и над к.
Доказательство. Мы можем выбрать су+1, ..., сп € Л так, чтобы
с!» •••» сп были линейно независимыми. Пусть Г — решетка с ба-
базисом сь .. ., сп. По лемме 3.1 йЛ си Г для некоторого й^ /,
йфО, а потому по лемме 3.2 найдется базис Ъи ..., Ъп решетки Л,
для которого
1ппсп,
где 1и$1, 1иф0:
Решая последовательно эти уравнения, мы получим алн с,-
выражения типа C.9), где первоначально мы знаем лишь го, что
8и (^к. Но Ьь .. ., Ьп образуют базис решетки Лису б Л, поэтому
8ц в действительности лежат в /. Далее,
5// = <№л Ф 0.
Это завершает доказательство.
Теорема 3.1. Пусть I —область главных идеалов\ содержащаяся
в пом к. Исключим тривиальный случай, когда к=1. Пусть
е!> •••» еп—любой I-базис решетки Л, и пусть с19 ..., су —
элементы из Л. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
A) Существуют такие су+1, ..., сп, что с1э ...,с„ образуют
базис решетки Л.
(и) Пусть
п
с/=2'7,е„ 1</</, C.11)
С = 1
— выражение элементов с;- через заданный базис е^ ..., еп. Тогда
множество миноров размера ^x^ в ]хп-матрице(г^^ взаимно^
просто.
A11) Если
а = ^с, + ... + V^с^ € Л C.12)
с юг, ..., V^^к^ то обязательно V/^ I, 1 ^ /

3. Решетки 123
Замечание. Если /—любое кольцо, содержащееЛ, то мы будем
говорить, что множество }1у 1^/^1, элементов из / взаимно
просто, если идеал, порожденный этим множеством, совпадает с /.
Другими словами, если найдутся такие ц1% 1<1/<!/,, что
Если / есть область главных идеалов, что мы и предполагаем,
то это условие эквивалентно тому, что всякий элемент Н € /,
который делит в / все /г, является единицей кольца /.
Доказательство. Заметим прежде всего, что можно предпола-
предполагать с19 ..., су линейно независимыми. Действительно, условия
A) и (И) сразу же влекут за собой линейную независимость. Это
же верно и для условия A11), если исключить тривиальный случай
к=1 (это единственное место, где нужно сделать такое исклю-
исключение).
Введем теперь четвертое условие:
(IV) Пусть Ьь ..., Ъп—б зис, существование которого утверж-
утверждается в лемме 3.4, и пуст ${/ заданы формулами C.9). Тогда
5у/ является единицей ольца / для всех 1 </<./.
Мы покажем, что для линейно независимых си ..., су все
условия A), A1), (Щ), (IV) эквивалентны. Для этого мы докажем
следующие импликации:
Имеются, конечно, и другие логические пути для доказатель-
доказательства эквив>алентности: в частности, импликация A) —* A11) три-
тривиальна.
(III) —± (IV). Действительно, если бы $и не было единицей, то
выбор а=Ьу противоречил бы (ш).
(IV) —»► A). Действительно, если все 5Д| ..., 8п являются еди-
единицами, то ясно, что Сх, ..., су,Ьу+1, ..., Ъп образуют базис
решетки Л.
A)—^ A1). Действительно, пусть су+1, ...,с„ существуют,
доопределим элементы г/{ так, чтобы
п
7\2
тргда по лемме 2.1

124 Гл. 7. Квадратичные формы над областями целостности
будет единицей кольца /. Разлагая этот определитель по пер-
первым Л и последним п — У строкам по формуле Лапласа, получим
где Км пробегает определители /х ./-матриц, образованных пер-
первыми Л строками, а Я'м>—определители „дополнительных"
(п — /)х(п—/)-матриц. Так как 7?^ € Л то отсюда следует, что
взаимно просты, т. е. выполняется (и).
A1) —♦ A11). Подставляя C.11) в C.12), мы получим
где
до,=в 2 0/О/- C.13)
Здесь гп б /, а из C.12) следует, что до, ^ /, 1 ^ / ^ п. Мы можем
выбрать любые У из м уравнений C.13) и решить их относи-
относительно V;. Получим
где /?Д1 — определитель некоторой подматрицы М размера ^x^
матрицы (Гц). По условию (п) существуют такие км^11 что
Следовательно,
V/ — & Ам у^м0/) V: * »
м
Это и гарантирует A11).
Этим завершается доказательство теоремы.
Случай У=1 особенно важен. Говорим, что вектор с^Л при-
примитивен, если в Л существует базис вида с^с^ с2, ..., сп.
Следствие. Пусть
где еи ..., еп—любой базис. Для того чтобы вектор е*был при-
примитивным, необходимо и достаточно, чтобы си ..., сп были вза-
взаимно просты. ;
4. СИНГУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
В этом пункте мы коротко укажем, как теория решеток в син-
сингулярных квадратичных пространствах, а следовательно, теория
сингулярных квадратичных форм может быть сведена к регуляр-
регулярному случаю. Рассмотрим только ситуацию, когда кольцо / я|-

Замечания л 125
ляется областью главных идеалов. Эта ситуация очень похожа
на ту, которая складывается в случае полей (см. п. 6 гл. 2).
Итак, пусть Л — /-решетка в ^-векторном пространстве I/, ф,
где /—область главных идеалов. Радикал Ло решетки Л состоит
из всех таких а ё А, что ф (а, Ь) = О для всех Ь ^ Л. Пусть г —
максимальное число линейно независимых элементов из Ло. Если
сь ..., сг —линейно независимое множество элементов из Ло, то
по лемме 3.4 найдется такой базис Ь^, ..., Ьп решетки Л, что
== $21^1 ~Г
где 8и 6 / и «и ^ О, 1 < I < г. Легко видеть, что Ь, € Ло, 1 ^ /
и в силу максимальности г радикал Ло есть в точности /-под-
/-подмодуль решетки Л, порожденный Ьг, ..., Ъг, т.е. множество,
игЪ^ + ... +игЪп и( ё /, 1 ^ ь ^ г.
Пусть Л^ —подмодуль Л, порожденный Ъг+и ...,ЬЛ. Ясно, что
квадратичная форма, индуцированная формой ф на Л1Э ре-
регулярна. Интерпретируя это в терминах квадратичных форм, по-
получим
Лемма 4.1. Пусть I —область главных идеалов. Тогда любая
сингулярная квадратичная форма I-эквивалентна1) регулярной
форме от меньшего числа переменных
В заключение заметим, что лемма 4.1 не обязательно имеет
место, если / не является областью главных идеалов. Например,
пусть / = 2 [К — $]; тогда форма
{{I + 2]Г=Ъ) хг
не эквивалентна над Ъ\У — 5] форме от одной переменной.
ЗАМЕЧАНИЯ
Если область целостности / не является областью главных
идеалов, то мы должны делать различие между двумя обобщени-
обобщениями понятия решетки:
A) определение B.1), принятое в тексте: Л есть свободный
/-модуль, порождающий V как векторное пространство над по-
полем к,
(и) любой конечно порожденный /-модуль, который порожда-
порождает V как векторное пространство над к.
Если / есть область главных идеалов, то определения A) и
(и) совпадают. В противном случае они не совпадают даже при
*>Ср. прим. ред. в п. % гл. I.

126 Гл. 7. Квадратичные формы над областями целостности
п—\. Пусть V — одномерное векторное пространство с базисным
вектором Ь19 и пусть У —неглавный идеал в /. Тогда множество
8Ъ1У $€Л не будет решеткой в смысле определения A), однако
будет решеткой в смысле (И), если идеал У коне*гно порожден.
Определение A) более естественно в связи с квадратичными
формами. Определение (и), однако, может оказаться более естест-
естественным, если работать с решетками. Так контрпример, приведен-
приведенный в конце п. 4, больше не возникает.
Если /—дедекиндово кольцо, например кольцо целых чисел
в поле алгебраических чисел, то имеется обобщение понятия ба-
базиса решетки Л в смысле определения (и). Эта такое множество
линейно независимых элементов Ьх, ..., Ъп из V и идеал У в /,
что Л есть в точности множество
где •
Л 1 < У < п, $п € ^.
ПРИМЕРЫ
В примерах 1, 2 и 3 вводятся понятия, которые играют важ-
важную роль в классической теории, но не нужны для этой книги.
1. Пусть / — область гла ных идеалов. Для классически це-
целой квадратичной формы [ (х1У .. ., хп) и для целого числа г,
1 < г < п, определим (г (/) б к*IV как общий наибольший делитель
гхг-миноров матрицы формы Р. Показать, что 1гф зависит
только от г и от класса эквивалентности формы /. Показать так-
также, что и 1'г (/) обладает этими же свойствами, где 1'г (/) опреде-
определяется так же, кроме того, что, п ежде чем взять общий наи-
наибольший делитель, неглавные миноры умножаются на 2.
2. Пусть / и /—такие же, как в примере 1. Предположим,
далее, что / примитивна и регулярна. Пусть Р{/ — элементы мат-
матрицы, присоединенной к матрице Р, и пусть /?/,«€ ^ таковы, что
н. о. д. - (/$ =* 1.
Положим /• (х) = 2 Гах1х/> так что /* определена формой / одно-
однозначно с точностью до умножения на единицу.
A) Показать, что если / и § эквивалентны, то §* эквивалент-
эквивалентна и$* с некоторой единицей и кольца /.
(и) Показать, что (/*)* = у/ с некоторой единицей V.
3. Обозначения те же, что в примере 2. Предположим, что
/=*2 и что / положительно определена. Показать, что /* мо-
может быть выбрана положительно определенной и тргдз она одно
значно определена формой /

Глава 8
ЦЕЛЫЕ /9-АДИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
I.ВВЕДЕНИЕ
В этой главе р всегда будет обозначать обыкновенное простое
число, а не символ оо. Цель главы — обсудитыюведение 0^-знач-
ных форм относительно 2^-эквивалентности („целой р-адической
эквивалентности"). В частности, наши результаты применяются к
целым р-адическим формам, где мы используем классическое оп-
определение целости:
п
5
(ср. гл. 1). Разумеется, оба определения целых форм различа-
различаются только при р = 2.
МУ будем называть целую форму / примитивной, если
тах|/17|=1,
т.е. если / — целая, а р/ —нет. В случае р = 2 мы говорим,
что /—собственно примитивна, если она примитивна, и
Если / примитивна, но не собственно примитивна, то будем на-
называть ее несобственно примитивной. Так, форма х1 + 2х1х2 соб-
собственно примитивна, а форма 2х^-\-2ххх2 несобственно прими-
примитивна.
Следующий п. 2 носит подготовительный характер, в нем изу-
изучаются специальные свойства решеток над Ър. В п. 3 мы сначала
докажем, что всякая 0^-значная форма обладает целым автомор-
автоморфизмом определителя —I. Этот результат будет играть важную
роль позднее, при изучении родов. После этого мы ограничим
наше внимание случаем рф2 \\ получим весьма приятное мно-
множество % канонических форм относительно 2^-экви валентности,
так что всякая 0^-значная форма ^-эквивалентна одной и толь-
только одной форме / из %. Важным средством для получения этого
результата является частичное обобщение „леммы Витта" (см.

128 Гл. 8. Целые р-адические формы
следствие теоремы 4.1 гл. 2), которая, в том виде как она сфор-
сформулирована, применима только к полям.
В п. 4 сделана попытка распространить результат^ п. 3 на
случай /?=2. Положение здесь менее удовлетворительное, как
потому, что результаты менее элегентны, так и потому, что до-
доказательства усложняются. К счастью, результаты этого пункта
не понадобятся в дальнейшем. Когда мы будем применять ре-
результаты этой главы к глобальной 2-эквивалентности, то всегда
будет конечное множество „плохих" простых чисел, которые надо
будет рассматривать отдельно, и 2 всегда будет „плохим".
Важным свойством целых р-адических форм является то, что
две формы, коэффициенты которых достаточно близки р-адически,
всегда 2^-эквивалентны. Мы дадим простое доказательство этого
факта, основанное на рассуждении, использующем „лемму Ген-
зеля", а потом приведем немного более сильный результат, осно-
основанный на пп. 3 и 4.
2. БАЗИСЫ РЕШЕТКИ 2?
Под 2{5 мы, конечно, понимаем множество а =* (а1э ..., ап) о
2. Мы рассматриваем 2% как решетку в 0
Лемма 2»1. Пусть сх, ... 9 ^ — линейно независимые элементы
из 2пр. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
(О найдутся такие с7+ ь ..., с„ € 22, что сг, ..., сп образуют
базис;
(И) матрица с1э с2, ...,с7 размера пx^ содержит ^x^ ми-
минор, определитель которого есть р-адическая единица;
A11) если
р B.1)
с некоторыми а1э ...,0/бОр» мл обязательно Vи .. ,у V^
Доказательство. Кольцо 7р есть область главных идеалов и
всякий идеал порожден рт, т = 0, 1, ... . Таким образом, лемма
является частным случаем теоремы 3.1 гл. 7.
В соответствии с терминологией гл. 7 будем называть элемент
р примитивным, если тах 10/1^=^1. Следствие теоремы 3.1
гл. 7 дает
Следствие. Необходимым и достаточным условием для того,
чтобы вектор а^2р. был частью некоторого базиса, является
примитивность а.

3. Канонические формы 129
3. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
В этом пункте мы будем рассматривать свойства О^-значных
форм относительно 2^-эквивалентности. Вначале мы будем допу-
допускать все значения для р, но как только случай р = 2 начнет
вызывать затруднения, мы сделаем ограничение рф2 и отложим
случай р»2 до п. 4.
Пусть
— регулярная квадратичная форма от п переменных. Ясно, что
|/(а)| для а^2р ограничено сверху. Далее,
2/(а, Ъ)-/(а + Ъ)-/(а)-/(Ъ), C.2)
а потому
зир|2/(а, Ъ)|<8ир|/(а)|, C.3)
а, Ь а
где точная верхняя граница берется по всем
а^2», Ъ§г% C.4)
Так как р-адическое нормирование принимает только дискрет-
дискретное множество значений, то ясно, что точная верхняя граница
в обоих частях неравенства C.3) достигается. В частности, най-
найдется такое с 6^, что
15 I ? (г\\ ~» «пп I * /аМ /3 ^
а
Это с должно быть примитивным, так как если бы с=*рЪ, то мы
имели бы |/(Ь) | = р2|/(с)|. Это дает следующий результат.
Лемма ЗЛ. Форма /(х) эквивалентна над 2р форме #(х) с
|*A.0 0)|- зцр |$(а)|. C.6)
а€2«
Доказательство. По лемме 2.1 существует базис
С = С1Э Сг, . . ., Сп
решетки Ъпр , где с задано условием C.5).
Напомним (п. 4 гл. 2), что если Ь^О
то симметрия
2/(Ь, х)
х>х\
есть 0^-автоморфизм формы /.
5 № 156

130 Гл. 8. Целые р-адические формы
Лемма 3.2. Пусть Ь таково, что
а
ть есть 2р-автоморфизм формы /.
Доказательство. Так как ть есть тождественное отображение,
то достаточно показать, что тьаС2^ для всех а 6 2р. По C.3) и
C.8) мы имеем
так что
2/(а, Ь)
/<Ь)
Тогда из C.7) сразу же следует, что
В дальнейшем будет важно
Следствие. Форма / (х) обладает Ъ-автоморфизмом с йе1 о
1 И
X ■
Доказательство. Мы можем взять а = ть.
Ограничим теперь наше внимание случаем рФ 2.
Лемма 3,3 (р #2). Пусть ах, а2С2^ удовлетворяют условию
/(а!)-/(а,),
а
найдется такой целыйх) автоморфизм о формы /,
а2.
Доказательство (ср. с „леммой Витта"). Имеем
) |
так как рф2. Следовательно, имеет место по меньшей мере один
из двух случаев:
A) Ц(а1— а2) | = зир | / (а) |,
а
(И)
В случае @ мы можем применить лемму 3.2 с Ь = ах — а2.
Автоморфизм а = ть —целый и тьа1 = а2. Аналогично в случае (И)
мы можем положить Ь = а1+а2 и а =
Следствие 1 (рф2). Пусть о—любой целый автоморфизм фор-
формы /(х). Тогда о есть произведение целых симметрии ть с целы-
целыми Ъ.
1) „Целый" здесь и далее в этой главе—„2^-целый". То же для „эквива-
„эквивалентности" и „единиц". — Прим, ред9

8. Канонические формы 131
Доказательство. Действительно, мы можем взять а8 = аа1, гд§
— любой элемент из Ъпр, такой, что
По лемме найдется такое ах являющееся произведением ть, что
°Л *■ аа. Следовательно, взяв огго вместо а, можно предпо-
предполагать, что аа1=«а1. Тогда а индуцирует автоморфизм на орто-
ортогональном дополнении к элементу ах. Всякий элемент ъ^Ъ%
можно записать в виде и&1 + й, где и€2р, а й ортогонально к
аг Следовательно, мы можем применить индукцию по размерности
(ср. доказательство леммы 4.3 гл. 2).
Следствие 2 (рф2). Пусть /(х) — целая форма, а ее опреде-
определитель есть р-адическая единица. Тогда всякий целый автомор-
автоморфизм формы I есть произведение симметрии ть, где Ь — целый
вектор, / (Ь) есть р-адическая единица, так что ть—целое.
Доказательство. Совпадает с доказательством следствия 1.
Следующая лемма является частным случаем теоремы 3.1.
Лемма 3,4 (рф2). Пусть и19 ..., ип—р-адические единицы.
Тогда форма
цело эквивалентна форме
#1 -Ь • • • Н~ *л-1 Н" их>п%
еде и**их.. ,ип.
Доказательство. Случай п**2. По лемме 2.2 гл. 2 найдутся
такие целые р-адические числа аи а3, что
иха\ +и9а\ ■■ 1 (той р).
Кроме того, меняя, если нужно, индексы 1 и 2, мы можем пред-
предполагать, что аг есть р-адическая единица. Тогда, так как рф2,
то по лемме 1.6 гл. 3 найдется такое а! €2,, что
иха1* Ч- и2а\ = 1.
Таким образом, у нас есть примитивное представление числа
1 формой игх\-\-и2х\. Его можно далее расширить до целой экви-
эквивалентности данной формы форме х\-\-иги2х1.
Случай п > 2. По индукции.
Теорема 3.1. Пусть рф2, и пусть г—фиксированный квад-
квадратичный невычет числа р, т. е.
-1, г$Ю*. C.9)

132 Га» 8. Целые р*адмвские формы
Для е —О, 1 и дм т=* 1, 2, ,,, обозначим через Н(у) **Н(е, т, у)
форму
у1+ • •.+#т, если в^
Л (е, т, у)
C.10)
+Ут-г+гУт> если •«
невырожденная форма / (х) € 0^ [*] эквивалентна над
1р форме
C.11)
2
Зля некоторого ^% некоторых еЦ) с
еA)<еB)<... <*(/) C.12)
некоторых е/% т^ с
C.13)
C.14)
Никакие две различные формы C.11) не эквивалентны друг другу
над 2р.
Заметим сразу же полезное
Следствие (рф2). Пусть Д, /а—целые формы и й ([г) == й (/2) —
единица. Тогда формы /, и /2 эквивалентны.
Доказательство теоремы. Мы покажем сначала, что форма /
эквивалентна над 1р форме вида C.11)» а потом докажем единст-
единственность.
По лемме ЗЛ форма / эквивалентна над 1р форме
где
и по C.3), так как рФ2ч то
Следовательно,
где Л—некоторая квадратичная форма, //у7/ц € 2^. Следователь
но, /(х) эквивалентна над 1р форме

4, Канонические формы, р**2133
По индукции получаем, что / эквиэалентна «ад 1р диагональной
форме
в
Собирая вместе члены с одним и тем же \}н\% мы видим, что
/ эквивалентна сумме вида
где §/(у(/)) имеют вид
иту2т
с единицами и^ ..., ит. По лемме 3.4 последние цело эквива-
эквивалентны формам
с некоторой единицей и. Но либо и = г>2, либо г/ =* гуа с некоторой
единицей у, где г—то же, что в C.9). Это показывает, что форма
/ эквивалентна форме вида C.11).
Остается показать, что форма / определяет форму вида C.11)
однозначно. Это легко следует из леммы 3.3, являющейся обоб*
щением леммы Витта. Взяв ре$ вместо / при некотором целом е%
мы можем Предполагать, что /—целая примитивная. Тогда пра-
правило для явного построения формы C.11) следующее:
«если / цело представляет квадрат единицы, то нужно отще-
отщепить форму <1>. В противном случае / обязательно представляет
г, поэтому отщепляется <г> (напомним, что <а> есть одномерная
форма ах8)»
По лемме 3.3 любые два представления формы <1> или любые
два представления формы <г> эквивалентны относительно группы
целых автоморфизмов. Однозначность C.11) следует теперь индук-
индукцией по размерности п.
4. КАНОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ, р=2
Свойства 02 значных форм относительно эквивалентности над
22 действительно очень утомительны. К счастью, как было объяс-
объяснено в вводном п. 1, их детальное знание не нужно для обсуж-
обсуждения «глобальных» форм. Только мазохисту можно посоветовать
читать оставшуюся часть этого пункта.
Лемма 4.1 (р = 2). Всякая регулярная квадратичная форма,
принимающая значения е 08, эквивалентна над 2? сумме форм от

134 Гл. 8. Целые р-адичесше формы
непересекающихся переменных следуюищх типов:
2ех\ 2е (Зж8), 2'E*»), 2еGл:я), е$1, D.1)
2е B*Л), D.2)
2' Bх\ + 2х,*4 4- 2лг|). D.3)
Замечание. Не утверждается, что представление однозначно.
На самом деле, между суммами форм D.1)—D.3) имеются 24-эк-
вивалентности. Например,
х1+х1 ~5*?+5*1, D.4)
*? 4- 2х\ ~ Ъх\ + 64, D.5)
х\ 4- 4*| ~ 5*? 4- 20*1, D.6)
их\4-2л;аД;8 ~их\-\-х\—х\> \и\ = 1, D.7)
? 4- B44- 2жл 4- 2дф - и (Зл:,2—ж22—^), | и \ = I. D.8)
4- 2дг,д;2 + 2л;|) 4- Bx1 + 2х3х4 + 2*2) ~ 2хгх* + 2хвх4. D.9)
Доказательство. Пусть
вир|/(а, Ь)|=.2-, D.10)
где а, Ь пробегают все 2". Как и в случае рФ 2, эта точная верх-
верхняя граница достигается, и тогда а, Ь примитивны. Будем раз-
различать два случая.
A) Существует Ъ^2% такое, что |/(Ь)| = 2~е.Этот случай ана-
аналогичен случаю рф2. Найдется такой базис 5=^, ..., Ь„ для
21, что
Следовательно,
! (У&1 + У*Ъ* + ... + упЪп) ш 2<иу\+8 (У*, ..., Уп)>
где и—единица; и имеет виду8, За*, 5а* или 7а*, где а—единица.
(II) Имеет место
|/(а)|<2-« D.11)
при всех а <~2% По условию, найдутся такие примитивные
Ья, Ь8, €2?, что
|/(Ь*, Ьа)|=^2-в# D.12)
В частности, по D.11)
\ЦЪД\<2-\ |/(Ь,)|<2^. D.13)
Предположим сначала, что с= у(Ь1 + Ь2) ^2?. Тогда по D.12) и
D.13;
1 1
[. Ь8)
у/(Ь», Ь2)

4. Канонические формы, р=2 135
что противоречит определению е. Следовательно, -^ (Ъг + Ь2) ^22.
Из леммы 2.1 следует, что Ь^, Ь2 можно расширить до базиса
2"* Ь Ь Ь
2- и1> °2» • • • » °П'
Покажем теперь, что если й 6 22, то найдутся такие А,1э К2 ^ 2Я,
что
удовлетворяет условию
/(Ьь
Действительно, ^ и А,2 определяются условиями
Ь2)=/(Ьг, ф,
, й).
Как следует из D.10), D.12), D.13), решение этих уравнений
лежит в 22.
Применяя это последнее замечание к Д = Ь/, / > 2, где
Ьх, ..., Ъп—базис, построенный ранее, мы построим такой новый
базис, что
Тогда
/(УгЬг+ .. . Л-упЬп)=-2еН{уи у2)+§(у3, ..., уп),
где й и §—некоторые формы и
^ (Уи У2) =
с
Но теперь читатель легко проверит, что Н(уи у2) эквивалентна
над 22 форме
или
в соответствии с тем, выполняется ли
Л?2—ЛцАва= 1 (той 8),
или
=е=5 (той 8).
Это и завершает доказательство.
Отметим сразу же
Следствие. Пусть /, §—несобственно примитивные целые
формы, причем й ([)=с1(8)—единица. Тогда / и & эквивалентны
над 2а.

136 Гл. 8. Целые р-адические формы
Доказательство. Действительно, / эквивалентна сумме форм
типа 2хгх2 и 2х\-\-2х1х2-\-2х\. По D.9) можно предполагать, что
все, кроме, возможно, одной из этих форм, имеют вид 2ххх2. По-
Последняя же имеет вид 2хгх2 или 2х\-\-2х1х2+2х\ согласно тому
(той 8)
или
в ±5 (той 8).
Мы не будем пытаться получить однозначную каноническую
форму (см. Джонс A944), Полл A945), Уотсон A976а)): это скорее
работа для составителя документов в парламенте, чем для мате-
математика. Однако мы докажем подходящее обобщение „леммы Витта".
Здесь снова возникают трудности: эквивалентность D.7) показы-
показывает, что прямое обобщение не верно.
Лемма 4.2 (р = 2). Пусть и — 2-адшеская единица, и пусть
ёг(х) иёг(х)—классически целые 2-адические формы. Предполо-
Предположим, что
либо A) §г и §2 собственно примитивны,
либо (п) ни §^ ни §2 не являются собственно примитивными.
Тогда если
<и>+§1~<и> + §2, D.14)
то
D.15)
Замечание. Напомним, что <и> есть одномерная форма их\.
В обозначениях D.14) неявно подразумевается, что <и> и ц^ суть
формы от разных переменных (ср. п. 5 гл. 2).
Доказательство. Эквивалентность D.14) означает, что левая
и правая части соответствуют различным выборам базисов в ре-
решетке Л, лежащей в квадратичном пространстве V, <р. Имеются
два вектора Ь, с^Л с
Для того чтобы доказать D.15), будет достаточно найти_ такой
автоморфизм а квадратичного пространства V, ср, что аЛ = Л и
аЪ=с. Мы будем различать несколько случаев.
(I) Пусть ф(Ь, с) = 0 (той 2). Имеем
Ф(Ь— с) = 2и—2ф(Ь, с) = 2 (той4).
Тогда а=»ть-с обладает требуемым свойством, так как
D.16)

4. Канонические формы, р~2 137
где
2ф(а, Ь—
Ф(Ъ—с)
и потому
ть-са € А.
00 В противном случае
Ф(Ь, с)=1 (той 2)
и
Ф(Ь±с) = 2и±2ф(Ь, с) = 4(той8)
при подходящем выборе знака. Заменяя, если необходимо, —с
на с, можем предполагать, что
Ф(Ь— с) =4 (той 8). D.17)
Предположим теперь, что
Ф(Ь—с, а) = 0 (той 2) для всех
По D.16) и D.17)
хь-са^Л для а б Л,
что и требовалось.
Остается случай, когда для некоторого
Ф(Ь—с, а) =1 (той2).
Положим
Ь1=5Ь, Ь2 = Ь—С, Ь3=гд.
Тогда
0 ?ч
(<р(Ь„ Ь^Цо 0 1 )(той2), D.18)
? 1 ?
где «?» показывает, что об этой величине у нас нет никакой
информации. Отсюда следует, что
Йе1 (ф (Ь„ Ъ,))
есть 2-адическая единица. Так как ф — целая на Л, то отсюда
следует, что Ъ*, Ь2, Ь3 можно расширить до базиса решетки Л.
Отсюда следует также, что для любого а^Л существуют такие
2, что
Ф(Ь/Э а—М^—Х2Ь5—^3Ьз) = 0, /=:1, 2, 3.
Собирая эти замечания вместе, мы видим, что найдется такой
базис

138 Гл. 8. Целые р-адические формы
ЧТО
• Ф(Ь„ Ьу) = 0, 1 = 1, 2, 3, /
На языке квадратичных форм это означает, что существуют
такие бинарные формы Ни Н2 и форма к от (п—3) переменных,
что для форм §*, #2 из D.14)
Далее,
где
*=Цуи У
»
Детальное рассмотрение ортогонального дополнения к Ь, и
с = Ь! — Ь2 в пространстве, натянутом на Ь1э Ь2, Ь3, с использо-
использованием D.18), показывает, что
л
или наоборот. Если к не является собственно примитивной, то фор-
форма ёг^Нх+к несобственно примитивна, а форма ^2~^2 + # собст-
собственно примитивна, что противоречит условию A) или (и). Если
же к—собственно примитивна, то к~^> + кг с некоторой фор-
формой <!,ис некоторой единицей V. Тогда по D.7)
Это завершает доказательство.
Следствие. Пусть §1, @2—целые формы, не являющиеся собст-
собственно примитивными. Если "
Л + й~Л + $„ D.19)
где
Ь(*и х2) = 2хгх2 D.20)
или
Н{хъ х2) = 2x1 + 2x^ + 2x1 D.21)
то "~
Доказательство. Действительно, из D.19) следует, что
Но
<1> + /<1> + <1> + <—1> или
в случаях D.20) или D.21) соответственно. Теперь мы получим
следствие, если три раза применим лемму.

б. Теоремы о приближении 139
5. ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИИ
Пусть й^2р, йфО\ определим б условием |й| = р*°. Пусть
\
, если /? = 2, 5 -
0 в противном случае. V ' '
Пусть
— классически целая форма, т. е.
!и € гр. E.3)
Предположим, что
а (П=а. E.4)
Пусть §(х)—другая целая форма.
Лемма 5.1. Пусть
Тогда формы / и § эквивалентны над 2р.
Лемма 5.2. Пусть
й(§)^йи\ E.6)
где и — некоторая единица, и пусть
в|/-/!/(той^ + '1). E.7)
Тогда формы / и § эквивалентны над 2р.
Замечание. Лемма 5.1 следует из леммы 5.2, так как из E.5)
следует, что
и, следовательно, выполняется условие E.6). Однако мы приве-
приведем простое доказательство леммы 5.1, не зависимое от пп 3,4.
Доказательство леммы 5.1. Пусть Р и О—симметрические
матрицы, соответствующие / и §. Нам нужно показать сущест-
существование матрицы Т, определитель которой есть единица, с усло-
условием Т'РТ=;О. Здесь ' обозначает транспонированную матрицу.
Мы будем строить Т с помощью последовательных приближе-
приближений, как в лемме Гензеля. Если 1—единичная матрица, то
Положим
E.8)

140 Гл. 8. Целые р-адические формы
и предположим, что
С = Р (той/?**), E.9)
где
Тогда
так как присоединенная матрица асЦ(Р) к целой матрице Р
целая. Следовательно,
5 ез 0 (той /?»-*-*). E.10)
Положим
Тогда по E.8)
О —Р{ =
Следовательно, по E.9) и E.10)
С —Р, = 0 (той р2ц-б-2Я).
Так как 2|ы — б — 2К > \х9 то мы можем заменить Р на Р( и про-
продолжать индукцию.
Доказательство леммы 5.2. Так как мы интересуемся только
эквивалентностью над 2р9 то, не умаляя общности, можно считать,
что / имеет канонический вид, задаваемый теоремой 3.1, если
рф2, и леммой 4.1, если /? = 2. Доказательство теперь почти
очевидно, если рф2> и немного более сложно при р=*2.
ЗАМЕЧАНИЯ
Материал этой главы без труда обобщается на конечные рас-
расширения полей (}р при рф2. Конечные расширения поля <32
причиняют намного больше беспокойства, см. О'Мира A963).
ПРИМЕРЫ
1. Пусть /(х)=*бл:2 + 2л:у + 5#2. Найти диагональные формы,
которые над Ър эквивалентны форме / при /? = 2, 3, 5.
2. Над какими кольцами Ър следующие пары форм экви-
эквивалентны:
A) /1X1X2 И ДГ]_ — #2»
(И) 2хгХ2 И Ла+Х!,
(Ш) 5x1 + 1 Заг! + 11x1 + 2лг2лг3 + 2х9х1 + 16хгх2 >
и х\ + 16л:! + 1 Олгд + 14х2хв—Ах^хг + 2хгх29
(IV) х\ + 2х\ + б^+блг^з и 2x1 + Щ + 5x1?

Примеры141
3. Пусть /—несобственно примитивная 22-форма от п пере-
переменных. Доказать следующие утверждения?
A) Если й(}) есть единица, то 21 /г и / эквивалентна над 2§
сумме форм 2ху и 2х2 + 2ху + 2у*.
(и) Если й(/)=1, то 4|/г и / эквивалентна над 22 сумме
форм 2ху.
A11) Если й (/)=*! ис2(/)=1, то 8|/г.
4. Пусть /(х) — классически целая квадратичная 22-форма
от п переменных, и пусть й(?)—единица.
A) Показать, что найдется такой Ь ^ 2", что для всех а
-Д(а, Ь)(той2).
Такой Ь определен однозначно той 2.
(и) Показать, что /(Ь) определено однозначно той 8.
(Ш) Показать, что / (Ь) = п (той 2) и что
/(Ъ) —п = й(?)— 1(той4).
(IV) Показать, что
где 5—любой элемент из 2, для которого
(той 8).
[Указание. Лемма 4.1.]
5. Пусть /х и /2—формы от п переменных, такие же, что и в
предыдущем примере. Пусть Ь*, Ь2—соответствующие им эле-
элементы из 2?. Показать, что /, и /2 эквивалентны над 02 тогда
и только тогда, когда выполнены следующие условия:
(той 8), (а)
(той 8). (Р)
[Замечание. См. Касселс A962).]
6. Пусть V, ф—регулярное квадратичное пространство над
(Хр. 2«-решетка АсУ называется (классически) максимальной,
если @ ф индуцирует на Л (классически) целую квадратичную
форму, (и) если Г есть 2^-решетка в V, собственно содержащая
А, то ф не индуцирует на Г целой формы.
A) Показать, что всякая решетка Л содержится по крайней
мере в одной максимальной решетке.
(и) Пусть рФ2 и А максимальна. Показать, что в Л есть
такой базис Ь*, ..., Ьп, что
где | С; |=1 или р~г для всех /, причем |су|=*р~* не более чем
для двух значений /.

142 Гл. 8. Целые р-адические формы
(ш) Сформулировать и доказать соответствующие утвержде-
утверждения для р = 2.
7. Проделать то же самое, только с неклассическим определе-
определением целости (Л—целая, если ц(с)^Тр для всех с^Л).
8. A) Пусть Л—2^-решетка в регулярном квадратичном прост-
пространстве У, ф над 0^. Предположим, что <р(с)€2т, для всех её Л.
Пусть Г—множество таких й^Л, что
= ф(с)(тоA/?) для всех её Л.
Показать, что
а) Г — решетка,
б) Ц)(й)^р2р для всех
в) Л:эГ:э/?Л.
(п) Пусть Д получена из Г так же, как Г из Л, но с
вместо ф, т. е. А состоит из всех таких е ^ Г, что
Ф (й + е) = Ф (й) (той р2) для всех
Показать, что
АзрЛ.
A11) Положим Л0=*Л и
Показать, что последовательным применением этой операции по-
получается такая последовательность решеток Лу-, что для всех т
и что ф—целая на каждой Л^. Вывести отсюда, что найдется т,
для которого Л|Я+1 = Л|Л.
(IV) Пусть рф2 и Л=гЛо=вЛ^. Показать, что Л обладает
таким базисом Ь^, ,.., Ьп, что
где | С/ |=^1 или р для всех /".
(V) Рассмотреть случай, когда Л = Л0 = Л± и р=*2.

Глава 9
ЦЕЛЫЕ ФОРМЫ НАД ЦЕЛЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ
I. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы будем изучать поведение форм относительно
2-эквивалентности. В первую очередь нас будут интересовать
целые формы, однако начальные замечания относятся к любым
0-значным формам. Напомним из общей теории (гл. 1), что две
такие формы /, ^ называются 2-эквивалентными, если сущест-
существует такая целая квадратная матрица Т, что
^(х)-/(Тх), A.1)
и если йе1Т есть обратимый элемент в 2. Единственными обра-
обратимыми элементами кольца 2 являются ± 1. Мы будем говорить,
что эквивалентность / и §, задаваемая формулой A.1), собствен-
собственная, если йе{Т= + 1» и несобственная, если йеН —— 1. Ясно, что
собственная эквивалентность есть отношение эквивалентности, и
можно говорить о классах собственной эквивалентности, понимая
под этим все формы, собственно эквивалентные данной форме.
Конечно, несобственная эквивалентность не является отношением
эквивалентности.
Напомним, что определителем йф формы 2///*/*) называется
По сказанному выше имеет место
Лемма 1.1. Две Ъ-эквивалентные формы имеют одинаковый
определитель.
Эквивалентностьх), формы самой себе называется целым авто-
автоморфизмом (или просто автоморфизмом) формы /. Опять мы можем
различать собственные автоморфизмы (с определителем +1) и
несобственные автоморфизмы (с определителем — 1). Как мно-
множество О (/) всех автоморфизмов формы /, так и множество 0+ (/)
собственных автоморфизмов формы / образуют группы относи-
относительно композиции. Либо для / не существует несобственных
автоморфизмов, и тогда 0+(/)==0(/), либо 0+ (/) имеет индекс 2
) Точнее, отображение Т с условием / (Тх) — / (х), задающее эту экви-
эквивалентность. — Прим. ред.

144 /л. 0. Целые формы над целыми рациональными числами
в группе 0(/). Оба случая возможны. Например, форма
имеет несобственный автоморфизм
а форма
не имеет несобственных автоморфизмов; это предоставляется про-
проверить читателю- (Для этого достаточно заметить, что все целые
представления числа 3 формой /2 имеют вид а=±A, 0). Если
Т—автоморфизм, то ТA,0) = ±A, 0) и Т-=±1.)
Если форма / обладает несобственным автоморфизмом, то ясно,
что класс эквивалентности и класс собственной эквивалентности,
к которым принадлежит /, совпадают. Если же у / нет несобст-
несобственных автоморфизмов, то класс эквивалентности формы / рас-
распадается на два класса собственной эквивалентности.
Специально мы будем изучать целые автоморфизмы в гл. 13.
Мы будем интересоваться в первую очередь целыми (целочис-
(целочисленными) формами и будем пользоваться классическим определе-
определением: форма
целая, если
/#62 для всех *, /.
Форма / называется примитивной, если
н.о.д. (///)= 1.
Она собственно примитивна, если по меньшей мере один из и
нечетен, в противном случае она несобственно примитивна. Если
/ несобственно примитивна, то у / (х) € 2 [х], но -^ / (х) не явля-
является целой формой (в классическом понимании).
Имея эти определения, сделаем обзор содержания этой главы.
В п. 2 собран вспомогательный материал о базисах Ъп и о том,
как с их помощью можно приближать базисы 2{}. В п. 3 мы
докажем следующую важную теорему конечности:
Теорема 1.1. Пусть заданы целые числа п^\ и йфО. Тогда
существует лишь конечное число классов эквивалентности целпх
квадратичных форм / от п переменных о определителем
В соответствии с нашим общим подходом мы будем рассмат-
рассматривать „глобальные" свойства целых форм (т. е. их свойства

1. Введение 145
над 2) в связи с их соответствующими „локальными" свойствами
(т. е. свойствами над 2р). Мы будем говорить, что две невырож-
невырожденные формы принадлежат одному роду, если они 2^-эквивалент-
ны для всех р, включая /? = оо, где, как обычно, 2оо = К. Две
формы, которые эквивалентны глобально (т. е. над 2), принад-
принадлежат одному роду. Однако обратное утверждение, вообще говоря,
не верно. Например, формы
/,(*, у) =
М*. У) =
по очевидным причинам не эквивалентны глобально, но принад-
принадлежат одному роду. Действительно, они 22-эквивалентны, потому
что 41€@гJ, и они 241-эквивалентны, потому что 2 €@41J. Ясно,
что они эквивалентны над 2^, а то, что они 2^-эквивалентны
для рф2, 41, оо, следует из леммы 3.4 (или из теоремы 3.1)
гл. 8.
Аналогично этому существуют неопределенные формы, кото-
которые принадлежат одному роду, но не эквивалентны. Однако для
доказательства неэквивалентности требуется аппарат теории авто-
автоморфизмов. Так, в п. 3 гл. 13 мы покажем, что формы х%—82у2
и 2л:2—-41#2 неэквивалентны, хотя и принадлежат одному роду,
по причинам, аналогичным приведенным выше. Однако род неоп-
неопределенных форм от п^З переменных обычно (но не всегда)
состоит из одного класса. Критерии для этого будут даны в гл. 11.
В п. 4 мы рассмотрим элементарные следствия понятия рода.
В этом введении мы упомянем лишь о двух из них. Во-первых,
две формы, принадлежащие одному роду, имеют одинаковый опре-
определитель, и потому по теореме 1.1 род содержит только конечное
число классов. Во-вторых, если /, # — две формы, принадлежащие
одному роду, и М — любое целое положительное число, то най-
найдется форма /*, собственно эквивалентная форме /, для которой
/I/— &,у (пюё М) для всех /, /.
Это второе свойство подчеркивает тот факт, что невозможно раз-
различить два класса, принадлежащие одному роду, только с помо-
помощью сравнений.
В п. 5 мы изучим вопрос о существовании родов с наперед
заданными локальными свойствами. Оказывается, что не требу-
требуется никаких дальнейших условий по сравнению с теми, которые
вводились ранее, когда мы изучали аналогичную проблему для
рациональных форм и по отношению к рациональной эквивалент-
эквивалентности. Точнее, имеет место
Теорема 1.2. Пусть заданы целые числа п^\ и с!фО. Для
каждого р (включая р—оо) пусть задана 2р-целая форма /я(х)
определителя й от п переменных х = {х^ ..., хп). Предположим,

146 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
что существует рациональная форма §(х), которая О,р~эквива-
лентна форме [р (х) для всех р. Тогда существует 2-целая форма
/(х), которая 2р-эквивалентна форме /я(х) для всех р.
Доказательство этой теоремы дает в качестве побочного резуль-
результата следующую важную теорему о целых представлениях:
Теорема 1.3. Пусть /(х) — регулярная целая форма, и пусть
афО — целое число, которое представит формой / над каждым
2р9 включая /?=оо. Тогда а представимо над 2 некоторой фор-
формой /*, которая принадлежит тому же роду, что и форма /.
Имеется соответствующий результат, в котором слова „пред-
„представим" оба раза заменены на „примитивно представим). Заме-
Заметим, что пример формы /(х)=*2х\-\-А\х\ ио=1, показывает, что
не всегда /* —/. Теорема 1.3 особенно полезна, когда форма /
принадлежит роду, состоящему только из одного класса. В этом
случае она дает необходимые и достаточные условия для пред-
представимости числа а формой /. Например, из теоремы 1,3 следует,
что всякое целое положительное число представимо формой х{ +
В п. 6 мы обсудим количественную сторону теоремы 1.3.
Если Ъ —целое представление числа а целой формой /, то
/ (ТЬ) - а
для любого целого автоморфизма Т формы /. Про представления
Ь и ТЬ мы будем говорить, что они лежат в одной орбите. Во-
Вообще говоря, имеется бесконечно много представлений числа а
формой /; однако нетрудно видеть, что все целые представления
распадаются на конечное число орбит. Число таких орбит зада-
задается формулой, в которую входит число классов в некоторых
родах форм от п — 1 переменной, где п — число переменных фор-
формы /. Мы проиллюстрируем эту теорию, рассмотрев число пред-
представлений данного целого положительного числа в виде суммы
2, 3 и 4 квадратов. С точки зрения, принятой в этой книге,
результаты п. 6 являются отклонением от основной темы, но они
играют фундаментальную роль в аналитической теории квадра-
квадратичных форм (см. приложение Б).
В п. 7 мы обратимся к другому аспекту теории родов. Мы
уже видели, что две формы, принадлежащие одному роду, не
обязательно цело эквивалентны. Однако они „почти" цело эквива-
эквивалентны. Пусть Р—любое непустое множество простых чисел
рфоо. Обозначим через 2(/>) множество рациональных чисел,
которые не имеют ни одного р^Р в своих знаменателях:
для всех
Говорим, что представление Ь числа Ъ формой / примитивно, если век-
вектор Ь примитивен.

/. Введение 147
Ясно, что 2(Я> есть кольцо. Мы будем говорить, что две регулярные
целые квадратичные формы / и § полуэквивалентны, если они
эквивалентны над 2(Р) для любого конечного множества Р прос-
простых чисел. Имеет место
Теорема 1.4. Две регулярные целые формы принадлежат одному
роду тогда и только тогда, когда они полу эквивалентны.
Доказательство достаточности тривиально и может быть при-
приведено здесь. Для рфоо мы имеем 2{№)с:2р, где \р)—мно-
\р)—множество, состоящее из одного р. Если две формы полуэквивалентны,
то они эквивалентны над 2{*р*) по определению и потому эквива-
эквивалентны над 2р. Далее, 2(/>)с:К = 2оо для любого Р, и потому из
полуэквивалентности следует эквивалентность над 2оо. Следова-
Следовательно, полуэквивалентные формы эквивалентны над всеми 2р,
включая оо, т. е. они принадлежат одному роду. Доказательство
необходимости должно быть отложено до п. 7; там оно будет
связано с теоремами о приближениях для ортогональной группы,
которые будут более подробно изучены в гл. 11.
Теорема 1.3 о представлениях чисел рассматривает представ-
представления числа формами из данного рода. Однако она ничего не
говорит о представлениях чисел индивидуальными классами форм
из рода, и это лежит в существе дела. Однако для неопределен-
неопределенных форм от д^4 переменных имеется удивительно сильный
результат, который мы докажем в последнем пункте этой главы
(п. 8).-
Теорема 1.5. Пусть [ — регулярная неопределенная целая форма
от д^4 переменных, и пусть афО—целое число. Предположим,
что а представимо формой / над каждым 2р. Тогда а преде та-
вимо формой / над 2.
Далее, пусть Р —заданное конечное множество простых чисел
рфоо, и пусть Ър€2р — любое представление а формой / над
2р для р^Р. Тогда найдется представление Ъ^2п числа а формой
/ над 2, -сколь угодно близкое к Ьр для каждого р^Р.
Доказательство теоремы 1.5 использует теорему 1.4 и является
самым трудным рассуждением в этой главе. Сам результат будет
играть ключевую роль, когда мы перейдем к теоремам прибли-
приближения на ортогональной и спинорной группах и к теории спинор-
ных родов в гл. 10 и И.
Мы заключим этот вводный пункт разъяснениями одного ло-
логического момента, который был недостаточно освещен в преды-
предыдущих рассмотрениях. Пусть /—регулярная целая форма, а —
целое число. Если / положительно определена, то за конечное
число действий мы всегда можем решить, представляет / данное
а или нет. Действительно, уравнение
х2, ..., хп)=-а A.2)

148 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
определяет эллипсоид в я-мерном пространстве. В частности, из
A.2) следует, что
/=1, 2, ..., п, A.3)
где А может быть явно выражено через а и коэффициенты формы
/. Поэтому для того, чтобы решить, представляет форма / число
а или нет, достаточно рассмотреть целые векторы, удовлетворя-
удовлетворяющие A.3). Если же форма / неопределенна, то предыдущие рас-
рассмотрения не позволяют нам сказать с уверенностью, пред-
представляет ли / число а.
Аналогичное положение имеет место и по отношению к экви-
эквивалентности двух форм / и ^. Конечно, формы / и § эквивалент-
эквивалентны, если мы можем найти такое целое преобразование Т, что
§(х) = }:(Гх). Но как можно показать, что такого Т не сущест-
существует? На логическом жаргоне наше определение эквивалентности
„неэффективно". Читатель легко построит для себя процедуру,
позволяющую решить для двух данных положительных форм,
эквивалентны они или нет. Однако вплоть до недавнего времени
такая процедура была неизвестна для неопределенных форм.
Поразительным примером этому может служить сноска на стр.
147 книги Диксона A930): ни он, ни А. Е. Росс, оба страстные
вычислители, не могли решить, эквивалентны или нет тернарные
формы
х2 — Зу2 —2уг—23г2,'
х2 — 7у2—6уг—11г2.
В действительности, эффективная процедура для решения воп-
вопроса об эквивалентности неопределенных форм от д^З перемен-
переменных дается теорией спинорных родов, развитой в гл. И. Для
неопределенных форм от двух переменных такая процедура сле-
следует из теории целых автоморфизмов (п. 3 гл. 13). Другой эф-
эффективный способ, применимый ко всем неопределенным формам,
дан в п. 12 гл. 13, где этот вопрос рассматривается подробнее.
2. БАЗИСЫ В Ъп
Основная цель этого пункта — показать, что базисы 2M для
нескольких р могут быть одновременно приближены базисом 2Л,
если только выполнено очевидное необходимое условие, состоя-
состоящее в том, чтобы все базисы имели одинаковый определитель
+ 1 или —1. См. также п. 2 гл. И.
Однако вначале мы переформулируем теорему 3.1 гл. 7 для
кольца / = 2 по причине ее важности.
Лемма 2.1. Пусть си ..., с7 — элементы из Ъп. Тогда следую-
следующие три утверждения эквивалентны:

2. Базисы в Т.п 149
(I) существуют с7+1, ..., сп, такие, что с^ ..., сп есть базис Ъп;
(И) определители подматриц размера /X./ в пу^Л-матриир
.. с, не имеют общих делителей, больших 1;
(ш) если
а = V1с1 + ... +V^с^€ 1п
о Щ, . • •, Ча€О, то обязательно V!, ..., ь:
Продолжая переформулировать гл. 7, назовем элемент
примитивным, если существует базис вида 0 = 0^, с2, ..., сл.
Мы имеем
Следствие. Необходимое и достаточное условие того, чтобы
с= (с±, ..., сп) € 2" бь/л примитивным, есть
н.о.д.
Все это частные случаи того, что было доказано в гл. 7, так
как 2 есть область главных идеалов. Перейдем теперь к основ-
основному результату этого пункта.
Теорема 2.1. Пусть Р—конечное мнооюество простых чисел
рфоо. Пусть для каждого р^Р
с(Л ...,сУ> B.1)
— такой базис Ъ%% что
<1е1(сГ, .... с8")=«1. B.2)
Тогда для любого е > 0 найдется базис с%, ..., с„ решетки 2п с
йеЦс,, ...,сЛ)=а, B.3)
Зля которого
|с/-с<И,<в, 1</<я, р€Л B.4)
Здесь мы используем следующее обозначение:
если Ь =
Доказательство основано на следующей простой лемме:
Лемма 2.2, Пусть К > 1— целое число, и пусть заданы
для р$Р и 1 <&</(. Пусть
B.5)
к
Тогда найдутся такие тк^Ъ, что
\Щ-тТ\Р<* B.6)
для всех \^к^К и всех р^Р, причем
н. о. д. (т*, ..., тА) =< 1. B.7)

150 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Доказательство леммы. По китайской теореме об остатках мы
можем найти такое тг=^=0у что выполняется B.6) при к=1. Пусть
Р*—множество простых чисел /?*, которые делят ти но не входят
в Р. Применяя снова китайскую теорему об остатках, мы сможем
найти такое т2^2, что B.6) выполняется для к = 2 и
B.8)
для всех р*^Р*. Для #>2 выберем тк^2 так, чтобы выпол-
выполнялись условия B.6). Из условий B.5) будет следовать, что
н. о. д. (ти ...,тК) не делится ни на какое р$Р9 а из B.8)
будет следовать, что оно не делится ни на какое из остальных
простых чисел.
Доказательство теоремы. Мы будем строить с^, ..., сп после-
последовательно, используя следующее индукционное предположение:
Ну. существует такой базис в Ъп\
что выполняется B.4) для всех /<
Гипотеза Н1 тривиальна. Предположим, что Нл уже доказано.
Тогда мы можем выразить с(^\ р€.Р, через базис B.9).
Получим
... +тЦ»Ъа, B.10)
где
НР) 1лр) т(р) т(р
1*1 » • • • , ^7-1, ''* / , • • • 9 [ПП
Далее, по ^-адическому аналогу леммы 2.1 (см. лемму 2.1 гл. 8)
имеем
тах \т)р)\р^\. B.12)
По китайской теореме об остатках мы сможем найти такие /у б 2,
что
I'/ — 1Т\Р<^ /<А Для всех р$Р. B.13)
Предположим сначала, что
]фп. B.14)
Тогда по B.12) и по лемме 2.2 с К = п—/ + 1 мы сможем найти
такие Ш/^2, У^/^п, что
\т1—ту)\р< е, «/</<п, для всех р$Р, B.15)
н. о. д. (ту, -.., тп) =* 1. B.16)
Положим
... +тпЪп. B.17)

3. Теорема конечности 151
Тогда B.4) выполняется с / = / по B.10), B.13), B.15). Далее,
в силу B.16) по лемме1) 2.1, векторы С{, ..., су можно расширить
до базиса с*, ..., су, Ь}+1, ..., Ь^ решетки 2п. Тем самым мы
имеем утверждение Н^+1.
Предположим теперь, что
Воспользуемся условием B.2) формулировки теоремы. Из него
следует, что
где тп не зависит от р. Теперь выберем /у так, чтобы удовлет-
удовлетворялись условия B.13), после чего доказательство проходит, как
и раньше, и дает требуемый базис с^, . .., с„.
3. ТЕОРЕМА КОНЕЧНОСТИ
В этом пункте мы докажем теорему 1.1, которая утверждает
конечность числа классов эквивалентности целых квадратичных
форм от п переменных заданного определителя йФО. Это ёне-
медленно вытекает из следующей леммы:
Лемма 3.1 • Для каждого п^ 1 существует постоянная Сп со
следующим свойством.
Пусть /(х)—регулярная целая квадратичная форма от п пе-
переменных. Тогда найдется такой целый вектор а, что
/(а)*" 0, C.1)
|/(а)|<Сп|^/«, C.2)
где
C.3)
есть определитель формы /.
Здесь и дальше в этом пункте | |—обычная абсолютная вели-
величина | |оо. Условие C.1) принципиально: если его заменить на
а Ф 0, то было бы нетрудно получить необходимую оценку, од-
однако этот результат недостаточен для наших целей.
В действительности мы докажем немного более точный ре-
результат, чем лемма 3.1 (это лемма 3.2), и применим его к изу-
изучению некоторых специальных случаев. Однако прежде всего
покажем, что теорема 1.1 следует из леммы 3.1*
х) Эквивалентность A) и (И), когда B.9) берется в качестве базиса 2".
Альтернативно можно обратиться к теореме 3.1 гл. 7 и положить

162 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Доказательство теоремы 1.1. Не умаляя общности, можно
предполагать, что вектор а, задаваемый леммой 3.1, примитивен.
Действительно, если а = са' для целого числа с > 1 и целого
вектора а', то 0 < |/ (а') | ^ | / (а) |. Положим
Л = /(а), C.4)
так что по C.1) и C.2) Н принадлежит конечному множеству
ненулевых целых чисел, зависящему только от пи А Так как
вектор а примитивен, то по следствию леммы 2,1 существует
базис а = а19 а2, ..., ал решетки 2Л, и потому / эквивалентна
форме
/* (х) — ^ !цх Iх/» /а =
Выделяя квадрат линейной формы, мы получаем
Щ* (х) = (Их, + /;Л + ... + ГшХпГ +1 (**, • • •, *„), C.5)
где ё"—некоторая целая форма от п—1 переменных определителя
C.6)
Можно предполагать (индукция по д), что ё(х$, ..., хп) эквива-
эквивалентна одной из конечного числа форм. Применяя подходящее
целое унимодулярное преобразование к переменным аг2, ...,*„,
можно считать, что § (д:2, ..., хп) сама есть одна из форм этого
конечного множества. Теперь, сохраняя х29 ..., хп неизменными,
проделаем подстановку
Х\ * #1 "Т* #2-^2 Г • • • "Т* МпХп
с целыми коэффициентами и29 ..., ип и с ее помощью добьемся
того, чтобы
1/Г/К1Н 2</<л.
Таким образом, правая часть формулы C.5) есть одна из ко-
конечного числа форм, зависящих только от д, А и к. Так как
множество возможных к само ограничено, то отсюда следует,
что [*(х) есть форма из конечного множества. Это завершает до-
доказательство теоремы 1.1.
Остается доказать лемму 3.1. Она является непосредственным
следствием другой леммы.
Лемма 3.2. Для любой пары целых чисел г^\ и 5^0 су-
существует постоянная 6=6 (г, 5), обладающая следующим свойством.
Пусть I (х) — регулярная целая квадратичная форма, которая
вещественно эквивалентна форме
Ъ1 \ • • * Г Ъг ЬГ+1 •'• ЪП-59 Г -{-$=■ П.

8. Теорема конечности 153
Тогда существует такой целый вектор а, что
0</(а)<е|й|1/«, C.8)
где
Щ C.9)
В качестве 6 можно взять постоянную, определяемую из
уравнения
. Г C.10)
Замечание 1. Эта лемма остается верной и для форм с ве-
вещественными коэффициентами. Мы используем целость только
для того, чтобы гарантировать достижимость наименьшего зна-
значения М, которое определяется далее. По поводу общего случая
см. Блэни A948).
Замечание 2. Примеры форм 2ху и 2х2 + 2ху-\-2у2. показывают,
что постоянная C.10) не может быть улучшена для п=2. Наи-
Наилучшее значение постоянной для п=*3 также известно, см.
Давен порт A949).
Доказательство. Результат, конечно, верен при п=\ с 6—1.
Поэтому мы можем предполагать, что п > 1, и воспользоваться
индукцией.
Пусть М—наименьшее строго положительное значение, при-
принимаемое формой I при целых значениях переменных. Тогда
М=/:(а) и ясно, что целый вектор а примитивен. Переходя к
эквивалентной форме, мы можем предполагать, что
, 0, ..., 0).
Как и прежде, можно считать, что
Щ(х)-(Мхг + /**,+ ... +/1ЛI+*(*!. • • •, *я), C.1
где
^)аМ»*Ч. C.12)
Будем различать теперь два случая.
A) г > 1. В этом случае, пользуясь индукцией, мы можем
применить лемму к § с (г — 1, 5) вместо (г, в). Тогда найдутся
такие целые числа Ь2, ..., Ьп, что
0 < § (Ь,, ..., Ьп) < в! | М-V р/*-«, C.13)
где
61Й=е(г—1, в).
Мы можем выбрать целое число Ь, так, чтобы
М C.14)

154 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Тогда /(Ъ)>0, где Ь=?(^1э ..., Ьп), и по минимальности М
[(Ъ)^М. C.15)
С другой стороны, по C.11), C.13) и C.14)
Щ (Ь) <\ М2 +6, | Мп-Ч^»-». C.16)
Исключая /(Ь) из C.15) и C.16), получим
Таким образом, можно предполагать, что
0« = D91/3)«-1. C.17)
(и) /-=й1. В этом случае, пользуясь индукцией, мы можем
применить лемму к —§ с E, 0) вместо (г, $). Таким образом,
найдутся такие целые числа &2, ..., Ъпу что
0>^F2, ..., Ьп)^-д2\М»-Ы\^»-»9 C.18)
где
02=*6E, 0). C.19)
Мы можем найти целое число Ьг так, чтобы
1М < | МЬг + /12&2 + • • • + кфп I < М. C.20)
Тогда по C.11), C.18), C.20)
и потому
/ (Ь) < о.
Рассуждая, как и в предыдущем случае, мы получим
а потому можно предполагать, что
-1. C.21)
Наконец, формула C.10) следует по индукции из C.17) и C.21).
Это завершает доказательство леммы.
Следствие 1. Пусть / (х)—вещественная регулярная форма от п
переменных. Тогда найдется такой целый вектор а Ф 0, что
Замечание. Мы не исключаем, что / (а) == 0.
Доказательство. Предположим сначала, что / положительно
определена. В этом случае доказательство леммы проходит и для /,

8. Теорема конечности 155
так как минимум М достигается, а это, как уже отмечалось,
единственное место, где использовалась целость формы. Так как
(ЗЛО) при 8^0 дает 6**4/3(/1"-1)/2, то все доказано,
В общем случае мы имеем
для некоторых линейных форм %и • • •» %>п от переменных х. По-
Положим
Тогда форма § положительно определена и
Кроме того,
для всех вещественных векторов а. Следствие для / вытекает
теперь из соответствующего результата для положительно опре-
определенной формы §.
Следствие 2. Пусть / — целая положительно определенная
форма с й (/) = 1 и п^ 5. Тогда [ эквивалентна
%1 "Т" * • • Ч %П'
Доказательство. Действительно, по лемме существует такой
целый вектор а, что
0 < / (а) < D/Зу-1*/» < D/3J < 2,
а потому
Применяя целое унимодулярное преобразование, мы можем
предполагать, что
/A,0, ...,0)-1,
а после дальнейшего преобразования
с целыми «а, ..., ип мы получим
где § удовлетворяет условиям следствия, но с п—1 вместо п.
Далее, очевидная индукция.
В заключение— одно методологическое замечание. Вообще
говоря, мы интересуемся числом классов в роде. Как мы докажем
в следующем пункте, формы, принадлежащие одному роду, имеют
одинаковый определитель. Они также рационально эквивалентны,
а потому или все изотропны, или все анизотропны. Если они

156 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
анизотропны, то может оказаться, что лучше использовать след-
следствие 1 леммы 3.2, чем саму лемму. В качестве примера рассмот*
рим формы /, лежащие в том же роде, что и форма
которая анизотропна. По следствию найдется целый вектор а с
I/(а)|< D/3) 3*/з < 2|
а потому
так как случай /(а)»0 исключается. Следовательно, / эквива-
эквивалентна форме
с некоторой бинарной формой §. Теперь нетрудно получить, что
она эквивалентна форме (*).
4. РОДЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
1
Мы напомним, что две регулярные целые квадратичные формы
/, ^ называются принадлежащими одному роду, если они экви-
эквивалентны над каждым Ъру включая р==оо. То есть если
(О» D.1)
где матрица Тр имеет элементы из Ър и где йе1: Тр есть единица
кольца Ър для всех р. В этом пункте мы введем несколько прос-
простых следствий из этого определения.
Лемма 4.1. Две формы, принадлежащие одному роду, имеют
одинаковые определители»
Замечание. Эта лемма позволит нам говорить об определителе
рода, понимая под этим определитель любой формы в роде.
Доказательство. В обозначениях D.1) мы имеем
ОД. D.2)
В частности, рациональное число <М$IA(ё) является р-адической
единицей для всех р, поэтому оно должно быть ±1. Наконец,
применяя D.2) с р = оо, мы видим, что й{]) и й(§) должны иметь
одинаковый знак.
Следствие 1. Число классов в роде конечно.
Доказательство следует из леммы 4.1 и теоремы 1.1.
Лемма 4.2. Пусть Р--конечное множество простых чисел
, и пусть /—целая квадратичная форма определителя

4. Роды. Элементарные свойства157
Для р%Р пусть \р-~Ър-целая форма определителя й, которая р
эквивалентна форме /. Тогда существует форма /*, собственно
эквивалентная форме /, коэффициенты которой для каждого р$Р
сколь угодно близки в р-адической топологии к соответствующим
коэффициентам форм [р.
Доказательство. По предположению для каждого р$Р суще»
ствует такая целая р-адическая матрица Т^, что
/*(х)-/(Т,х). D.3)
Так как
то мы имеем
так что
По следствию леммы 3.2 гл. 8 форма [р обладает целым р-ади-
ческим автоморфизмом 5^ с ^1:5^ =—1. Заменяя, если нужно,
1р на &рТр, мы можем предполагать, что D.3) выполняется с
Тогда по теореме 2.1 найдется глобально целая матрица Т с
которая произвольно близка р-адически к каждой Тр. Ясно, что
форма
/• (х) - / (Тх)
и будет требуемой.
Следствие 1. Пусть множество Р такое же, как и выше,
Пусть формы ! и в принадлежат одному роду* Тогда найдется
форма /*, собственно эквивалентная форме /, которая сколь угодно
близка к в р-адически для всех р € А
Замечание. Это заключение можно выразить иначе: пусть
М > 1 —произвольное целое число. Тогда найдется такая /•, соб-
собственно эквивалентная форме /, что для коэффициентов /* и ц
выполняется сравнение
Доказательство. По лемме 4.1 мы можем положить 1р — 8 Для
всех р^Р и применить лемму.
Наконец, как некоторый вариант обращения леммы 4.2
имеем

158 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Лемма 4.3. Пусть / (х), ^ (х)—целые формы определителя йфО,
Предположим, что они вещественно эквивалентны и что
ёи
для всех I, /. Тогда / и § принадлежат одному роду.
Доказательство. Действительно, они эквивалентны над каждым
рфоо по лемме 5.2 гл. 8.
б. СУЩЕСТВОВАНИЕ РОДОВ. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
В этом пункте мы докажем теорему 1.2 о существовании родов
с наперед заданными локальными свойствами и теорему 1.3 о
представлениях формами рода. В качестве примера мы применим
теорему 1.3 к изучению представлений целых чисел суммами 2,
3 и 4 квадратов.
Для того чтобы доказать теорему 1.2, мы должны доказать
для каждого п ^ 1 следующее утверждение.
9П: Пусть АфО — данное целое число, и пусть для каждого
рфоо задана 2^-целая форма /^(х) от х = (хи ..., хп) определите-
определителя А. Пусть существует рациональная форма #(х), (^-эквивалент-
(^-эквивалентная форме/^ (х) для каждого р. Тогда найдется 2-целая форма/(х),
2^-эквивалентная форме./я(х) для каждого р и О-эквивалентная
форме
Замечание. Удобно считать, что /^ заданы для всех р. Однако
по следствию теоремы 3.1 гл. 8 существует только один класс
эквивалентности над 2р определителя й% если р\Ы. Следова*
тельно, условие, что /(х) эквивалентна над Ър форме /я(х), на*
лагает ограничения на / только для конечного множества простых р.
Утверждение вг тривиально, так как тогда !р{х)**йх\ для
всех р. Следовательно, мы можем предположить, что п ^2, и
воспользоваться индукцией по п. Ключевой шаг состоит в сле-
следующей лемме, значительно более общей, чем это необходимо
для доказательства теоремы 1.2. Она же приведет к теореме 1.3.
Лемма 5.1. Пусть п^2 и выполняется условие впт.%. Пусть
/^(х)| 8(*) такие же, как в условиях 8„, и пусть аФО—целое
число, которое примитивно представило каждой рр над Ър и
формой @(х) над 2оо=Р. Тогда существует форма /(х), которая
удовлетворяет условиям 9га и которая примитивно представляет
а над 2.
Замечание. После того как мы завершим доказательство тео-
теоремы 1.2, требование, чтобы выполнялись условия §п^ъ окажется
ненужным.

5. Существование родов. Представления 159
Доказательство, Заменяя каждое /я(х) эквивалентной ей над
Ър формой, мы можем предполагать, не умаляя общности, что
/рA» 0» •••» 0) = а для всех р. E.1)
Далее, по сильному принципу Хассе (следствие 2 теоремы 1.1
гл. 6) форма ^(х) представляет а над О, а потому, заменяя ^(х)
на О-эквивалентную форму, мы можем считать, что
§(\, О, ..., 0)=*а. E.2)
Выделяя квадрат, мы получим
а!р (х)« (ах1 + Ь2рх2 + ... + ЬпрхпJ + Ц (х2, .. , хп) E.3)
при некоторых
Ь2р% .*., Ъпр^Ър, E.4)
где /р—2р-целая форма от (п—-1)-переменных определителя
# = ая-ай. E.5)
Аналогично
ОД (х) — (ад:1 + V. + ♦ • • + спхпJ + 8* (х9, ..., хп) E.6)
при некоторых
с2, ..., сп € О E.7)
и для некоторой рациональной формы ^* от (п—1)-переменных.
Так как по условию /^(х), ^(х) Оя-эквивалентны, то в силу
E.3) и E.6) мы можем применить лемму Витта (следствие 2 тео-
теоремы 4.1 гл. 2), из которой следует, что формы /р (х2, ..., хп)
и 8* (*2> • • •» хп) эквивалентны над О.р. Следовательно, }*р вместе
с й*, §* удовлетворяют условиям Вга-1, которые мы предполагаем
выполненными. Поэтому существует глобально целая форма
/* (х2, ..., хп) определителя й*, которая эквивалентна над Ър форме
?р(х2> •••» хп) Для всех Р> а наД О эквивалентна форме §*.
Заменяя форму /* эквивалентной, мы можем предполагать по
лемме 4.2, что /* сколь угодно близка р-адически к р*р для всех р,
делящих 2ай. Далее по китайской теореме об остатках мы можем
найти
которые сколь угодно близки р-адически к
^2/7» • • # > "пр
для р | 2ай. Определим квадратичную форму / (х) равенством
а/(х) = (ахг + Ъ2х2 + . - - + ЬпхпJ + /* (х%, ...,*„). E.8)
так что / (х) имеет определитель & и сколь угодно близка р-ади-
чески к /я(х) для всех р\2ай. По построению, форма /(х) имеет

160 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
только рациональные коэффициенты, так как она получена деле-
делением целой формы на а. Однако коэффициенты формы / (х) будут
целыми, так как она может быть сделана достаточно близкой к 1р
для всех р\а, что мы и будем предполагать.
Так как / сколь угодно близка р-адически к $р для р\2й, то
по лемме 5.1 или лемме 5.2 гл. 8 мы получаем, что / и $р экви-
эквивалентны над Ър для этих р. По замечанию, приведенному после
формулировки условия 8„, формы / и }р будут автоматически
эквивалентны над Ър для всех остальных р.
Наконец, форма /(х) эквивалентна над О форме §(\) по E.6)
и E.8), так как формы /• (хй9 ..., хп) и §"* (х2, ..., хп) эквивалентны
над О.
Доказательство теоремы 1.2. Нам нужно доказать условие 8Л
для всех п. По лемме 5.1 достаточно показать, что существует
число а, удовлетворяющее условиям этой леммы.
Пусть Ь—любое ненулевое целое число, представимое формой
§ над О, и пусть Р — множество простых делителей числа 2Ьй.
Если р($Р, то очевидно, что Ъ примитивно представимо формой
}р над 2р (см. замечание после формулировки 8Л). Если р^Р9 то
форма [р представляет б.над 0^, так как / и § эквивалентны
над 0,р по условию. Если
то выберем Р (р) ^ 2 так, чтобы
был примитивным элементом из 2р. Тогда элемент
будет требуемым.
Теперь мы сделали все для доказательства следующего результата:
Теорема 5.1. Пусть /(х)—целая форма от п переменных опре-
определителя йфО. Пусть афО — целое число, представимое формой
/ (х) над К и примитивно представимое формой / (х) над 2р для
всех р | 2й, если п^З, и для всех р | 2ай, если п== 2. Тогда а при-
примитивно представимо над 2 некоторой формой /*, принадлежа-
принадлежащей тому же роду, что и форма /.
Замечание. Теорема 1.3 сразу же следует отсюда.
Доказательство. Только что приведенное выше доказательство
показывает, что а примитивно представимо формой / над 1р для
всех р. Следовательно, мы можем применить лемму 5.1, полагая

5. Количественное изучение представлений 161
§(х) и все /„(х) равными /(х). Тогда /*(х) — форма, которая обо-
обозначалась /(х) в лемме 5.1. Это завершает доказательство.
Отметим следующее полезное, хотя и тривиальное
Следствие. Пусть / принадлежит роду, содержащему только
один класс. Тогда /•==/.
По следствию 2 леммы 3.2 формы *1+•••+*/! принадлежат
одноклассным родам при п ^ 5. Последнее следствие вместе с про-
простым /?-адическим анализом, который мы опустим, дает следую-
следующие результаты:
(О целое положительное число а примитивно представимо фор-
формой л:Ц-л:| тогда и только тогда, когда оно не делится на 4 или
на какое-нибудь простое число р = 3(тос14);
(и) целое положительное число а примитивно представимо
формой х1 + х1 + х1 тогда и только тогда, когда
а=1, 2, 3, 5, 6(той8);
A11) целое положительное число а примитивно представимо
формой х\ + лг2 + л;1 + #4 тогда и только тогда, когда аф О (той 8).
Заметим, что в случаях (И) и (ш) условия возникают из-за
представимости над 22, в то время как для бинарной формы х\-\-х\
мы должны учитывать также условия над Ър для р \ а.
6. КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Здесь мы покажем, как методы предыдущих пунктов могут
быть применены к получению количественных результатов о числе
представлений чисел формами. Эти результаты не будут исполь-
использованы в дальнейшем, однако мы будем на них ссылаться в обзоре
аналитических методов теории квадратичных форм (приложение Б).
Если / (х) —регулярная целая квадратичная форма, то мы обо-
обозначим через 0+ (/) — Ог (/) группу собственных целых автомор-
автоморфизмов формы /, т. е. множество таких целых матриц Т, что
с!е1 Т = 1. F.1)
F.2)
Мы будем говорить, что два целых вектора Ь, Ь* лежат на одной
орбите относительно 0+ (/), если существует Т^0+ (/), для кото-
которого
Ь*^ТЬ. F.3)
Ясно, что это—отношение эквивалентности. Если Ь, Ь* лежат на
одной орбите, то
/(Ь*)=/(Ь), F.4)
но, вообще говоря, не наоборот.
6 № 156

162 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Лемма 6.1. Пусть афО— любое целое число. Тогда множество
представлений числа а распадается на конечное число орбит.
Доказательство. Ясно, что достаточно рассматривать прими-
примитивные представления. Предположим, что Ь — целый примитивный
вектор с / (Ь) = а. Рассуждение, использованное при доказатель-
доказательстве теоремы 1.1 в начале п. 3, показывает, что существует такой
базис
^=Ьх, Ь2, ..., Ьп F.5)
решетки 2Л, что
И (х) = / (хгЪЛ + .. . +хпЪп) F.6)
является одной из конечного множества форм. Кроме того, заме-
заменяя, если нужно, Ьл на — Ь„, можно считать, что
F.7)
Мы покажем, что два вектора Ь, которые этим способом приво-
приводят к одной и той же форме й, должны лежать на одной орбите.
Действительно, предположим, что
— другой базис решетки 2п с условием
/ (^Ьг + ... +хпК) = И (х),
йе1(Ъ*19 ..., Ь*) = 1.
Тогда мы можем определить преобразование Т условием
Ясно, что /(Тх);=/(х) и Т —целая матрица с определителем +1,
т. е.
Далее, Ь* = ТЬ, а потому Ь и Ь* лежат на одной орбите. Это
завершает доказательство.
Изучим теперь форму F.6) более внимательно. Если Ь^!^
задает примитивное представление числа афО, то, выделяя квад-
квадрат линейной формы, получим
аН (х) = (ахл + с2х2 + ... + спхпJ + § (х2% ..., хп)9 F.8)
где с2, ..., сп — целые числа, а §— форма от (п— 1)-переменных
определителя ап~2<1. Ясно, что класс § собственной эквивалент-
эквивалентности не4 зависит от выбора Ь2, ..., Ьп, а зависит только от Ь^Ь^
Будем говорить, что представление Ь числа а ассоциировано с клас-
классом §. Мы собираемся использовать это понятие для классифи-
классификации и перечисления представлений числа а формой /, а точнее

6. Количественное изучение представлений 163
формами заданного рода. Сконцентрируем наше внимание на про-
простейшем случае, когда формы положительно определены. Число
представлений заданного числа а будет тогда конечным. Прежде
чем сформулировать основную теорему, мы должны ввести не-
несколько новых понятий и обозначений.
Для положительно определенной формы / мы будем обозна-
обозначать порядок конечной группы 0+ (/) через о+ (/). Ясно, что он
зависит только от класса эквивалентности формы /. Вообще го-
говоря, две формы из одного рода не обязательно имеют группы
автоморфизмов одинакового порядка. Важную роль играет вес
(по-английски \\ге12Ы;, по-немецки Ма$$) Щ<ЗГ) рода 1Г, опреде-
определяемый формулой

Е^ F-9)
где сумма распространена по всем представителям / классов соб-
собственной эквивалентности в роде Зг.
Замечание: Некоторые авторы рассматривают сумму У ,, .
где суммирование ведется по классам эквивалентности в роде и
где о(/) — полное число автоморфизмов, собственных или несоб-
несобственных. Эта сумма есть половина суммы F.9). Доказательство
оставляется читателю в качестве упражнения.
Пусть теперь аГ — заданный д-мерный род определителя й,
афО, и пусть §(х)—заданная (п—1)-мерная целая форма опреде-
определителя ап~2й. Рассмотрим такие целые векторы (с2, ..., сп) =
= с, что форма й(х), определенная формулой F.8), принадле-
принадлежит §г. Если мы заменим с на любой вектор, сравнимый с с по
модулю а, то новая к будет эквивалентна прежней И и потому
будет принадлежать <1Г. Пусть р — число классов с по модулю а,
для которых й€<!Г. Ясно, что р зависит только от класса экви-
эквивалентности формы §".
На самом деле р зависит только от рода формы §", так как
по следствию I леммы 4.2 всякий класс рода содержит форму §*,
сколь угодно близкую р-адически к § для всех р\2ай. Тогда
соответствующая к* будет сколь угодно близка к к для тех же /?э
а потому по лемме 4.3 она будет лежать в том же роде.
Следовательно, мы можем писать
= р(Г, 8), F.10)
где § — род формы ё". Ясно, что р можно найти с помощью чисто
вокальных, т. е. р-адических, рассмотрений.
Наконец, мы будем называть -щк весом представления фор
мой /\ Обозначим через
*(*,*■») F. И)
6*

164 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
сумму весов всех представлений числа а представителями всех
классов рода 8Г9 которые ассоциированы с формами из #. Теперь
имеет место
Лемма 6.2. Имеем
о {а, Г, »)=р(Г, »IР(»), F.12)
где №(#)—вес рода $.
Доказательство. Пусть Ь — представление числа а некоторой
формой /6<^. Орбита Ь—это множество различных векторов
вида ТЬ, где Т^0+(/:). Таким образом, общее число элементов
N (Ъ) этой орбиты равно о+(/)/о+(Ь, /), где о+ (Ь, /) — порядок
стабилизатора 0+ (Ь, /), т. е. подгруппы тех Т, для которых ТЬ=Ь.
Итак, число элементов N (Ь) орбиты равно
<6ЛЗ>
Удобно изменить обозначения. Положим
п = т + 1 F.14)
и будем писать
е/ = Ь/+1, 1</<т, F.15)
тгк что Ь, еь ..., ет есть базис 2т+1 с
Aе1(Ь, еь ..., ел) = + 1. F.16)
Положим
х = (#, г), F.17)
где
г=(гь ..., гт). F.18)
Тогда F.8) превратится в
аЬ (у, т) = (ау+ю^ + ... + VтгтJ + §(г), F.19)
где
F.20)
Здесь элементы е^, ..., ет до некоторой степени произвольны,
и мы должны исследовать, как F.19) зависит от их выбора. Дру-
Другой выбор е/, удовлетворяющий F.16), имеет вид
2*/* / F.21)
к
где и/, 8к/—целые числа и
йе! EЛ/) = 1. - F.22)
Если х*=(^, 2*)—координаты 2т+1 в базисе Ь, еГ, ..., е^,
то мы имеем тождественно
F-23)

6, Количественное изучение представлений 165
Следовательно,
=* 0* + 2 и*г*э F.24)
к
// </<#г, F.25)
к
что мы запишем как
г = 8г*. F.26)
Подставляя это в F.19) и отмечая то, что относится к новому
базису, звездочкой, получим
8* (*0 =*(&•), F.27)
у*=аи + 8'у, F.28)
где 8'—транспонированная матрица к 8. Уравнение F.27) под-
подтверждает то, что мы уже знали, а именно что §* собственно
эквивалентна §. В нашем алгорифме мы выбираем по одному пред-
представителю из каждого класса, а потому мы должны иметь
F.29)
так что
F.30)
Далее, преобразование, задаваемое формулами F.24) и F.26),
является автоморфизмом формы / тогда и только тогда, когда
V* = V.
Следовательно, элемент 8€О+(#) может быть расширен под-
подходящим выбором и до элемента из О+ (Ъ, /) тогда и только тогда,
когда
8'у = у(тоAа). F.31)
Наоборот, всякий элемент из О+ (Ьу /) возникает таким способом.
Отсюда следует, что общее число различных векторов у
которые могут соответствовать данному Ь, есть
Исключая о+ (Ь, /) из формул F.13), F.32), получим
М (Ь) _ 1 _ N ( )
Заметим, что правая часть есть сумма весов всех представлений
в орбите Ь,
Зафиксируем теперь §, и пусть /, Ь нробегают соответственно
представители всех классов рода аГ й представители Ь всех орбит
представлений числа а, ассоциированных с §. По определению

166 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
и потому
есть сумма весов представлений во всех орбитах, ассоциирован-
ассоциированных с §.
Наконец, заставляя § пробегать все представители классов
в $ и суммируя, мы и получим F.12), если вспомнить, что
Это завершает доказательство леммы.
Часто хотелось бы использовать лемму 6.2, когда род <!Г за-
зафиксирован, а целое число а меняется. За множителем р («Г, $)
в F.12) нетрудно следить, однако нужна формула для веса рода
и?(#), который, конечно, меняется при изменении а. Имеются
полезные формулы для №($), но их доказательство, вообще го-
говоря, требует использования аналитической теории квадратичных
форм (см. приложение Б).
В оставшейся части этого пункта мы займемся приложениями
леммы 6.2 к представлениям целых чисел суммами 2, 3 и 4 квад-
квадратов. Изложение для случая трех квадратов остается несовер-
несовершенным, так как формула для веса соответствующего бинарного
рода может быть получена только аналитическими средствами.
К счастью, однако, веса тернарных родов, необходимые для рас-
рассмотрения сумм четырех квадратов, в виде исключения, могут
быть получены элементарно. Для простоты мы ограничимся в слу-
случае 3 и 4 квадратов представлениями бесквадратных и нечетных
бесквадратных чисел соответственно.
Лемма 6.3. Чтобы целое число а > 0 было примитивно пред-
представило суммой двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы
оно не делилось ни на 4, ни на простое число /?=—1 (той 4). Если
а обладает этими свойствами, то число примитивных представ-
представлений есть 2а+2, где а—число различных нечетных простых дели-
делителей числа а.
Замечание. Метод доказательства сразу же распространяется
на представления любым родом определенных бинарных форм.
У читателя не должно возникнуть трудностей при проведении
этого обобщения самостоятельно; или же он может посмотреть
любую достаточно элементарную книгу (см. таки# я 2
жения Б)»

6. Количественное изучение представлений 167
Доказательство. По следствию 2 леммы 3.2 род & формы
?> х%) = х1 + х1 состоит из одного класса. Ясно, что о+(/)=4.
Уравнение F.8) принимает вид
аН(х) = (ах{ + сх2J + § (х9),
где Н (х) эквивалентна / (х), а потому, сравнивая определители,
получаем §(х2) — х\. Следовательно, о+(ё") = 1. Мы должны найти
число решений сравнения
С2 +1=0 (той а).
Ясно, что решений нет, если 4|а или а делится на простое
/?е==—1(тос14). Если же этого не происходит, то число решений
сравнения есть 2а, где а определено в формулировке леммы. Лемма
следует теперь из леммы 6.2.
Лемма 6.4. Пусть а — целое положительное бесквадратное
число, причем
а#7(тос18).
Тогда число ч(а) представлений а в виде суммы трех квадратов
имеет вид
где т — число нечетных простых делителей а, а N—число классов
собственной эквивалентности в некотором роде положительных
бинарных форм определителя а.
Замечание 1. В гл. 14 мы увидим, что число классов в любом
роде примитивных бинарных форм зависит только от определи-
определителя, поэтому можно не указывать род более точно.
Замечание 2. Имеются соответствующие результаты, когда а
не свободно от квадратов, но тогда нужно различать примитив-
ные и непримитивные представления и нужно учитывать возмож-
возможность того, что форма § не примитивна.
Доказательство. По следствию 2 леммы 3.2 род сГ формы
$ (У У У \ V2 I У2 1 У2
состоит из одного класса. Единственными представлениями +1
формой / являются (±1, 0, 0), @, ±1, 0), @, 0, ±1). Любой
элемент из О+ (/) должен переставлять их, а потому легко про-
проверить, что
о+(/)-24. F.34)
Пусть §(%)—бинарная форма, фигурирующая в F.19). Так как
всякая целая положительно определенная тернарная форма опре-
определителя 1 эквивалентна /, то условия на § следующие:

168 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
(\) § имеет определитель а\
(и) ^ положительно определена;
A11) существуют такие целые числа ^, V2, что форма
г2) F.35)
делится на а в том смысле, что отношение должно быть целой
формой.
Так как а свободно от квадратов, то условие A11) эквива-
эквивалентно следующим условиям (ш)'р, по одному для каждого р\а:
(ШУр существуют такие целые числа юг, V2^ что форма F.35)
делится на р.
Посмотрим теперь, какую информацию о символе Хассе—Мин-
Хассе—Минковского ср (§) дают нам эти требования. Из условия положи-
положительной определенности вытекает, что
с. &) = + !. F.36.)
Если р—нечетное простое число и р\аь то условие (ш)р эквива-
эквивалентно тому, что форма ^ представляет —1; поэтому
ср(В) = [ ж'р а)> Р\Ъ РФ2. F.37)
Если р\2а, то автоматически для любой формы определителя
мы имеем
ср(д)=+19 р\с1а. F.38)
Наконец, независимо от того, делится а иг 2 или нет, усло-
условие (ш)з не дает никаких 2-адических условий на ^. Однако,
используя формулу произведения для гильбертовского символа
норменного вычета и для символов Хассе—Минковского, мы можем
вывести из F.36), F.37), F.38), что
р Ф2 рФ2
ВКЛ .оо рф оо
F.39)
Если а^=е7(той8), то —«^(ОгJ, поэтому с2(@) = +1 для лю-
любой формы определителя ау но правая часть формулы F.39) равна
(-|-1)(—1) = —1. Противоречие. Это очень удачно, так как три-
тривиально, что никакое а = 7 (той 8) не может быть суммой трех
квадратов. Во всех остальных случаях по теореме 1.2 существуют
формы ^, удовлетворяющие условиям F.36) и F.37). Они все
принадлежат одному роду #, так как тот факт, что а свободно
от квадратов, и условия F.36) — F.39) определяют § с точностью
до 2^-эквивалентности для каждого р.
Так как афЗ, то единственные элементы О+ (§) суть ±1, так
что о+(§) = 2. Следовательно,
F.40)

6. Количественное изучение представлений 169
где №($) — вес рода, а N —число классов собственной эквива-
эквивалентности в нем.
Если р нечетно и р\а, то условие, что форма F.35) делится
на р, дает в точности две возможности для (уь V2) по модулю р.
С другой стороны, если 21 а, то (уг, ь2) определено однозначно
по модулю 2. Следовательно, в обозначениях леммы 6.2 мы имеем
р(|Г, %)=2т. F.41)
Наконец, по F.34) всякое представление имеет вес 1/24, а
потому
о (а, <Г, 3)=^(а)/24. F.42)
Лемма следует теперь из леммы 6.2 и из вычисленных значений
F.40), F.41), F.42).
Лемма 6.5. Пусть а > 0 нечетно и свободно от квадратов'
Тогда число примитивных представлений числа а формой
\ F.43)
равно
8П(Р+1). F-44)
р I а
где /?, как всегда, простое число.
Доказательство. Как и прежде, по следствию 2 леммы 3.2
форма F.43) лежит в одноклассном роде. Легко проверяется, что
F.45)
Также непосредственно проверяется, что с представлениями а фор-
формой / может быть ассоциирован только один род #, а именно
род форм §, которые A) положительно определены, (И) класси-
классически целые с определителем й(@)=а2, (Ш) эквивалентны над,Ър
форме
2 ? F.46)
для любого нечетного простого числа р. В обозначениях леммы 6.2
где а—число простых множителей числа а. Таким образом, из
леммы 6.2 следует, что для того, чтобы завершить доказатель-
доказательство, достаточно доказать следующее:
Лемма 6.6. Пусть а > 0 нечетно и свободно от квадратов.
Пусть %-^-род положительно определенных форм § с определи-
определителем (!(§) = а2у которые эквивалентны над 2р форме F.46) для
всех нечетных простых чисел р. Тогда
р I а

170 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Доказательство. Нам будет удобнее работать с автоморфиз-
автоморфизмами форм, а не с собственными автоморфизмами. Это не должно
вызвать затруднений, так как для любой тернарной формы
о(Л)=2о+(Л), ибо Н всегда обладает несобственным автоморфиз-
автоморфизмом — I.
Представим класс эквивалентности (в широком смысле) формы §
рода $ решеткой Г в квадратичном пространстве У, <р:
^(У1^1 + У2^2 + Уз^з) = ё(Уи У2> Уз), F.48)
где еь е2, е3 — некоторый базис Г. По предположению, мы можем
выбрать базис так, чтобы
§ (Уи У%, Уз) ^ — У1 + ?ау2у3 (той а2). F.49)
Имеется в точности 2а максимальных подрешеток А решетки Г,
на которых значения ср делятся на а2, а именно подрешеток
У&1 +У 1*2+ !****•
где
уг = 0 (той а),
F.50)
у3 = 0 (той а3),
и а=:а2а3 — одно из 2а разложений числа а на множители.
Пусть А — одна из только что описанных решеток. Тогда а~\
индуцирует на А классически целую положительно определенную
квадратичную форму определителя 1, а потому эквивалентную
форме х\-\-х\-\-х1. Поэтому введем новое квадратичное простран-
пространство ПР, г|) и решетку Л в УР с базисом Ьг, Ь2, Ь3, так что
+ ^. F.51)
Тогда, как мы только что показали, имеется такая изометрия
е: У, <р-+Г, я|), F.52)
что
еД = аЛ. F.53)
Изометрия е определена только с точностью до автоморфизма
решетки Л, и поэтому имеется в точности о (Л) различных е, для
которых выполняется F.53). Кроме того, имеется 2а возможных
выборов для А. Таким образом, имеется ровно1) 2а-о(Л) отобра-
отображений типа F.52), при которых
аЛсгеГсЛ. F.54)
Хотя все эти отображения е различны, образы еГ могут и совпа-
совпадать. Действительно, г^^г^Т тогда и только тогда, когда е^
Здесь о (Л) — порядок группы О (А) автоморфизмов решетки А,

6. Количественное изучение представлений171
для некоторого автоморфизма Р решетки Г. Обозначим через
N (Г) число решеток в с условием
аАаваА, F.55)
изометричныхх) Г. Мы показали, что
N (Г) = 2ао (Л)/о (Г). F.56)
Обозначим через М число решеток в, удовлетворяющих* F.55),
на которых я|) индуцирует форму рода ^. Тогда
F.57)
где сумма распространена на классы решеток Г рода
Сравнивая F.56), F.57) и пользуясь равенствами о (Л)=2о+ (Л),
"' =2о+(Г) (ср. начало доказательства), мы получим
М . . F.58)
Так как о+(Л) —24, то остается только найти М.
Всякая подрешетка в индекса а2 в Л, которая удовлетво-
удовлетворяет F.55), однозначно определена циклической подгруппой
®(тойаА) в Л(гтюс1аЛ) (вспомним, что а предполагается бесквад-
бесквадратным). Легко проверить, что такая в принадлежит роду $ тогда
и только тогда, когда ср (Ь) = 0 (гтюс! а) для всех Ъ^в. Теперь
можно оставить читателю проверку того, что число М таких в
равно
М = П(Р+1). F.59)
V I а
(По китайской теореме об остатках все сводится к случаю а = р.)
Лемма следует теперь сразу же из F.58) и F.59), если вспом-
вспомнить, что а есть количество таких р, что р \ а.
Следствие. Число классов в роде может быть сколь угодно велико.
Доказательство. Действительно, число классов в $ по мень-
меньшей мере равно № (#) по определению F.9) веса рода %. С дру-
другой стороны, правая часть равенства F.47) стремится к беско-
бесконечности при а—> оо. •
Отметим в заключение, что имеется соответствующая теория
представлений форм (меньшего числа переменных) формами. Если
формы положительно определенные, то эта теория не глубже рас-
рассмотренной, но гораздо более сложная. Хорошей ссылкой может
служить работа Полла- A959). Если формы неопределенные, то
возникают дальнейшие осложнения, так как группы автоморфиз-
автоморфизмов становятся бесконечными и нужно действовать с групповыми
х> То есть квадратичная форма, индуцированная -ф на 6с:№, эквивалентна
форме, индуцированной <р на ГУ

172 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
индексами. Здесь современное изложение в терминах, «аделей»,
которые мы кратко обсудим в приложении Б, возможно, приво-
приводит к лучшим формулировкам. По этому поводу см., например,
Вейль A962).
7. ПОЛУЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Пусть Р—конечное множество простых чисел рФ оо. Обоз-
Обозначим через 2(р) множество рациональных чисел, которые /?-целы
для всех р^Р\ 2(Р>—кольцо. В этом пункте мы докажем сле-
следующую теорему, из которой следует теорема 1.4.
Теорема 7.1. Пусть /, §•—регулярные формы с рациональными
коэффициентами. Предположим, что они эквивалентны над О,
и над Ър для каждого р^Р. Тогда они эквивалентны над 2(Р).
Мы выведем эту теорему из одной теоремы о приближениях
к элементам в группе собственных автоморфизмов 0+ (/). Это одно
из простейших приложений точки зрения, которую мы разовьем
глубже в гл. 11.
Сначала мы должны ввести некоторые обозначения. Пусть
/ — регулярная квадратичная форма, коэффициенты которой лежат
в некотором поле к характеристики ф2. Пусть А — кольцо; пред-
предположим, что есть некоторое поле К, которое содержит и к, и Л.
Мы будем обозначать через 0л(/) группу Л-автоморфизмов формы /,
а через 0% (/)—подгруппу собственных автоморфизмов. Элементы
группы 0% (/) являются матрицами с элементами из А. Поэтому
любая топология на А (такая, как /?-адическая топология на 0^
или на 2р) будет индуцировать топологию на 0\ (/). Теперь можно
сформулировать следующую теорему.
Теорема 7.2. («Слабая теорема о приближениях».) Пусть / —
регулярная квадратичная форма с рациональными коэффи-
коэффициентами, и пусть Р—конечное множество простых чисел
рфоо. Пусть задан Т^^Оо (/) для каждого р^Р. Тогда суще-
существует Т^Оо(/), который сколь угодно близок к каждому Тр
в соответствующей р-адической топологии.
Замечание. Мы могли бы допустить оо^Р с аналогичной фор-
формулировкой и доказательством, однако нам этот случай не по-
потребуется.
Доказательство теоремы 7.2. Пусть п, как обычно, размер-
размерность формы /. По лемме 5.4 гл. 2 каждое Тр можно записать
в виде произведения симметрии, которые мы будем обозначать
через т (и) вместо прежнего обозначения ти . Здесь и может быть
любым элементом из 0%, для которого /(и)^=0. Пусть гр — коли-

7. Полу эквивалентность• 173
чество симметрии в выражении для Т^. гр четно, так как р
€ О о (/), а Aе1 (т (и)) = —1. Добавляя тождественные соотношения
т (V) т (у) = 1, можно считать, что все эти выражения имеют одну
и ту же длину г. То есть
Мы будем приближаться к этим Тр элементами вида
= т(и1) ... т(иг),
где и,- ^ 0п, 1 ^ / ^ г- По слабой теореме о приближениях для
поля О (лемма 3.2 гл. 3) мы можем найти и,, сколь угодно близ-
близкие к и/р одновременно для всех р^,Р. Это и есть то, что тре-
требуется, так как формула D.3) гл. 2 показывает, что т(у)^Оо (/)
есть непрерывная функция от у^Ор при /()^0
Доказательство теоремы 7.1. По предположению существуют
такие рациональная обратимая матрица 8^ и матрицы 5р,
Ъ 1115I
с элементами из Ър и с 1A615^)^—1, что
G.1)
/ G.2)
Следовательно, Тя=5о150€0о (/). Далее, по лемме 3.2 гл. 8
форма / обладает несобственным автоморфизмом К^ над Ър. Взяв
Р^З^ вместо 8^, если нужно, мы можем предполагать, что каж-
каждое Тр— собственный автоморфизм:
Пусть Т — рациональный автоморфизм, построенный в. теоре-
теореме 7.2. Положим
З^ЗоТ-1. G.3)
Тогда 5 имеет рациональные коэффициенты и сколь угодно бли-
близок одновременно ко всем $я. В частности, можно добиться того,
чтобы 8 и 5 имели элементы в 2{Р\ что и требовалось.
В заключение отметим совсем другой подход к теореме 7.1,
принадлежащий Зигелю и использующий формулу Кэли.
Пусть Р- квадратная симметрическая матрица формы /. Т явля-
является автоморфизмом тогда и только тогда, когда
Т'РТ=Р, G.4)
где Т—матрица, транспонированная к Т. Предположим, что
G.5)

174 Гл. Р. Целые формы над целыми рациональными числами
где I — единичная матрица, и положим
Ь = (Т—1М1+Т)-1. G.6)
Тогда
Т = A + Ь)A-Ь)-*. G.7)
Теперь немедленно проверяется, что условие {/А) эквивалентно
' РЬ-0. G.8)
Здесь важно то, лто G.8) образуют набор линейных условий на
коэффициенты матрицы Ь.
Предположим теперь, что Тр те же самые, что и в теоре-
теореме 7.2. Если
G.9)
то мы можем определить Ър по формулам G.6); они удовлетво-
удовлетворяют G.8). После этого мы можем найти глобальное решение Ь
уравнений G.8), а оно в свою очередь даст глобальное Т, кото-
которое и удовлетворяет теореме 7.2.
Это рассуждение не может служить доказательством теоре-
теоремы 7.2, если не выполняется условие G.9). Однако, чтобы полу-
получить доказательство теоремы 7.1, Зигель замечает, что в условиях
G.1) и G.2) мы можем - заменить 50 и 5Я на 80У0 и 8р\ где
Уо и V"—соответственно О- и 2^-автоморфизмы формы /. После
этого он показывает с помощью простого рассуждения, которое
мы не будем воспроизводить, что можно так подобрать Уо и \
чтобы условие G.9) выполнялось для новых Тя = 515
8. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫМИ ФОРМАМИ
Результаты, полученные ранее в этой главе, касались пред-
представлений чисел родами, й было отмечено, что из них не следуют
результаты о представлениях индивидуальными формами, за
исключением, конечно, тех случаев, когда в роде только один
класс. Главная цель этого пункта—доказать теорему 1.5,
которая утверждает, что для неопределенных форм от я^4
переменных локальные условия достаточны для того, чтобы обес-
обеспечить глобальную разрешимость, и даже допускают приближение
целых локальных решений глобальными решениями. Доказатель-
Доказательство довольно сложное, и оно использует многое из того, что
мы уже доказали. Прежде чем в него погрузиться, мы приведем
один простой результат, имеющий самостоятельный интерес, кото-
который применим ко всем целым формам, определенным или неопре-
неопределенным, от любого числа переменных.
Теорема 8.1. Пусть /—регулярная целая форма, и пусть
Ц > 1 —любое целое число. Тогда найдется целое число т, взаимно

8. Представление индивидуальными формами 175
простое с /И, которое обладает следующим свойством: пусть
а 6 2 и пусть а представимо формой [ над каждым 2р, включая
р*=оо. Тогда ат2 представимо формой / над 2.
Доказательство. Пусть /4, ..., /^—представители всех клас-
классов рода формы /. По теореме 1.4 каждая /у эквивалентна форме /
над 2{Р\ где множество Р можно выбрать так, чтобы оно содер-
содержало все простые делители числа М. Отсюда следует, что най-
найдутся такие /Пу, взаимно простые с М, и целые матрицы Т/э что
м)Г, (х) - / (Т,х). (8.1)
Положим
т = т1т9... т./, (8.2)
По теореме 1.3 целое число а представимо над 2 некоторой фор-
мой из рода формы /, а потому найдется некоторое / и вектор
Ь^2Л с условием
я = //(Ь). (8.3)
Тогда по (8.1)
т)а=*?(Т,Ъ). (8.4)
Таким образом, т)а, а следовательно, и т2а представимы фор-
формой /, что и требовалось.
Доказательство теоремы 1.5. Напомним, что нам задана не-
неопределенная целая форма / от п^4 переменных, целое число
афО и для каждого р такой вектор
Ьр € 2*. (8.5)
что
/ (Ър) = а. (8.6)
Нам надо найти такой вектор Ь € 2ЛЭ что
-а, (8.7)
причем Ь сколь угодно близок р-адически к Ьр для всех
в заданном конечном множестве Р.
Рассматривая, если нужно, а/с2 вместо а при подходящем целом
числе с, можем предполагать все Ь^ примитивными. Далее, рас-
расширяя, если необходимо, первоначальное множество Р, можно
предполагать, что оно содержит все простые делители числа 2ай (/).
Пусть задано е>0. По лемме 9.1 гл. 6 найдется такой
, что
для всех р^Р. Здесь, как обычно,

176 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Существуют два взаимно простых целых числа /, с с условием
/г =
где 8^2"—примитивный вектор. В силу примитивности векторов Ъ
для всех р$Р. Далее,
/ (8) - (Р/с*) I (г) =
и потому с2=Л, так как Р содержит все р\а.
После подходящего целого унимодулярного преобразования
мы можем предполагать, что
С8=±8 = е1 = A, 0, ..., 0).
Теперь мы имеем
/A,0, ..., 0)^аР, (8.8)
где
| /1^ = 1 э для всех р$Р. (8.9)
Нам нужно найти целый вектор Ь с
(8.10)
/е (8.11)
для всех р$ Р.
Применяя еще одно целое унимодулярное преобразование
к переменным х29 ..., хп, но, оставляя хх без изменений, мы мо-
можем добиться того, чтобы
и потому
/ (хи ..., хп) = аРх\ + 2^2хгх2 +1 @, л:2, ..., хп). (8.12)
Мы будем рассматривать толвко те представления числа а, для
которых хй делится на аР, и будем писать
(8.13)
(8.14)
Тогда
1(хи аРу, хп, ..., хп) = а12г2 + §(у, хЯ9 ..., хп)у (8.15)
где §—некоторая целая форма с
й{в)=>аРйЦ). (8.16)
Ограничим выбор переменных. Пусть
, (8.17)

8. Представление индивидуальными формами 177
где целое положительное число N выбрано так, чтобы
|М|„<е (8.18)
для всех р^Р. Положим
у?=Ми2, / (8.19)
Х/ = Ми/9 3</<п, (8.20)
где и29 ..., ип—целые числа. Это автоматически обеспечит
|*/|/,<е Для всех р$Р> 2^/<я. (8.21)
Таким образом, нам „только" осталось найти такие целые
числа 2, и2, ..., ип, что
\1г — 1\р<г для всех р$Р, (8.22)
аA—12г2)=*М2§(и2, ..., «„). (8.23)
Применим теперь теорему 8.1. Она утверждает, что найдется
целое число т, взаимно простое с любым наперед заданным чис-
числом, в частности с Ш, причем т2ь представимо формой ^ над 2,
коль скоро у представимо над каждым 2р, включая р= оо. Таким
образом, для нас будет достаточно найти такое целое число г, что
выполняется (8.22) и
а(\— 1*г2) = т2М2у, (8.24)
где V представимо формой § над каждым 2р. Так как § есть
форма от п—1 2^3 переменных, то нам достаточно рассматривать
только р=оо и простые числа р, делящие
Ы (§) = 2а1Ч (/). (8.25)
Мы должны прежде всего обеспечить, чтобы левая часть (8.24)
делилась на т2М2. Мы сделаем это, просто потребовав, чтобы
/2=1 (той т2М2). (8.26)
Это возможно, так как / строилось взаимно простым с Л4, а т—
взаимно простым с /. Положим
\—1г^т2М2хюу (8.27)
так что
ю. (8.28)
Теперь мы должны наложить условия на г, чтобы V было
представимо над 2рдляр=оо и для р, делящих 2й(&). По (8.25)
имеются три случая, которые мы рассмотрим по очереди.
A) р —оо, это условие выполняется автоматически. По (8.24)
а и V имеют противоположные знаки. Так как / неопределенна
по условию, то из уравнения (8.15) следует, что § представляет V
над 2оо = К.

178 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
(и) р [ 2ас1фу поэтому р^Р и, следовательно, ры \ М.
Из (8.27) следует, что
1 + 1г еег 2 (той *
и потому
2
Р
для некоторой р-адической единицы 1р. (Для р = 2 это требует
Л/^2, что можно предполагать.) Следовательно, по (8.28) мы
должны обеспечить, чтобы
было представимо формой ц над 2р. Это можно сделать, налагая
условия, чтобы г (а следовательно, и до) лежали в арифметической
прогрессии по подходящей степени р.
A11) р | /. В этом случае р\2ай{1) и р^тУИ. По (8.24) мы
должны показать, что а представимо формой § над Ър. Действи-
Действительно, а представимо даже формой
Л(и3, ..., ип)=е@9 и3, .. , ий) = /((), 0, и8, ...,
По (8.12)
а потому если р^2^(/), то р^2й(Л). Так как форма й имеет
размерность п—2^2 и |а| =1, то требуемая представимость а
отсюда и следует.
Имеется бесконечно много 2, удовлетворяющих (8.26) и усло-
условиям, наложенным на г в (и). Любое из этих г годится. Это за-
завершает доказательство.
ЗАМЕЧАНИЯ
Результаты этой главы обобщаются без большого труда на
поля алгебраических чисел, ср. О'Мира A963).
П.З. Конечность числа классов утверждалась Эрмитом, но,
по-видимому, его доказательство годится только для анизотропных
форм, см. замечание в п. И гл. 13. Для неопределенных тер-
тернарных форм доказательство было дано уже Гауссом A801), аг1
274—276. Доказательство, справедливое для любого поля алгеб-
алгебраических чисел, есть у Зигеля A937), лемма 40. Лемма 3.2 при-
принадлежит Блэни A948), который доказал ее для всех веществен-
вещественных регулярных форм.
П.8. Количественная форма теоремы 1.5 в другом виде была
получена Зигелем A951) с помощью аналитических методов.
Формулировка, приведенная в тексте, была найдена независимо
Уотсоном A955), и мы следуем его доказательству. Ср. такще

Примеры 179
Кнезер A961), откуда следует результат Зигеля. У О'Миры A963),
теорема 104:3, имеется обобщение на поля алгебраических чисел;
в этом случае неопределенность надо заменить изотропией при
любой локализации (см. также п. 8 гл. 11).
Теорема 1.5 не верна при п = 3. Имеются неопределенные тер-
тернарные формы, которые не представляют некоторых чисел, хотя
это допускается конгруенциальными условиями (ср. пример 23).
Теорема 1.5 будет основным инструментом при доказательстве
сильной теоремы о приближениях (теоремз 7.1 гл. 10) и тем са-
самым при доказательстве того, что при п^З любой неопределен-
неопределенный спинорный род состоит из одного класса (теорема 1.4 гл. 11).
Наоборот, в силу теоремы 7.1 гл. 11 теорема 1.5 сразу же сле-
следует из теории спинорных родов.
ПРИМЕРЫ
1. Найти форму ах2 + 2Ьху + су2, которая собственно цело эк-
эквивалентна форме Зх2 + 2ху + \2у2 и для которой Ь^=0(тос181).
2. Показать, что целые формы
2х2—ху
принадлежат одному роду, но что никакие две из них не являются
собственно цело эквивалентными. Показать, что всякая положи-
положительно определенная целозначная форма того же определителя
собственно цело эквивалентна одной из них.
3. @ Показать, что формы
к(х, у) =
принадлежат одному роду, но не эквивалентны,
(и) Показать, что тернарные формы
> У)*
9 у)
собственно цело эквивалентны.
[Указание. 52—йA, 1)—1. Ср. замечание в конце п. 1.]
4. Определить, какие пары из следующих форм собственно
цело эквивалентны:
х2 + у2 — Юг2,
х*—у2+\0г*9

180 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
5. Показать, что форма
+ сг*
принадлежит одноклассному роду при с = ± I, ±2, ±3. Вывести
необходимые и достаточные условия для примитивной представи-
представимости данного числа т каждой из этих форм.
6. Пусть
- /2 = 12л:2—у2 + 2хг + Зг2,
* у2 ,,2 72
7 = 2л;2—2ху + 2у2 + 4 г2.
Найти классически целую форму @(х, у, г) определителя 5, кото-
которая эквивалентна \р над 2„ при /? = 2, 3, 5, 7.
7. A) Найти классически целую тернарную форму /, которая
вещественно эквивалентна форме х2 + у2—г2 и для которой
«=+> при р^2, 3.
Насколько малым может быть определитель такой формы?
Ш) Существует ли классически целая тернарная форма Д ко-
которая вещественно эквив'алентна форме х%—у2—г2 и для которой
выполняются условия (*)?
8. Пусть /(х)—целая квадратичная форма от п переменных
и пусть Т — целая пхя-матрица с с1е1Т = —1. Показать, что
/(х) и /(Тх) принадлежат одному роду. Вывести отсюда, что
если / принадлежит роду, состоящему из одного класса относи-
относительно собственной эквивалентности, то / обладает целым автомор-
автоморфизмом определителя —1.
9. Пусть /(х)—изотропная классически целая форма от п пере-
переменных. Показать, что / собственно цело эквивалентна форме
с ё/ = 0, \ф2. Вывести, что ц\ъ\й(]).
[Замечание. Этот результат можно использовать для того, чтобы
свести доказательство теоремы 1.1 индукцией по п к случаю ани-
анизотропных форм. Для них использование леммы 3.1 можно заме-
заменить более простым следствием 1 леммы 3.2. Подробности см.
Кнезер A974).]
10. Провести детали следующего рассуждения, показываю-
показывающего, что положительно определенные несобственно примитивные
целые формы / с й (/) = 1 от п переменных существуют тогда и
только тогда, когда 8| п.
@ ся(/) = 1 Для Р=й=2, оо для всех целых форм / с й(/) =
A1) Соо(/)=1 для всех положительно определенных форм.

Примеры 181
(III) Следовательно, с2([) = 1 для всех оложительно опреде-
определенных целых форм / с й (/) = 1.
(IV) Для существования несобственно примитивной 22-целой
формы §2 с с2 (§2) = 1 и А (§2) = 1 необходимо и достаточно, чтобы
8|п.
[Указание. См. пример 4 гл. 8.]
(V) Если 8|п, то по теореме 1.2 существует глобальная форма
^ с й (/) = 1, которая 22-эквивалентна форме ^2 и ^-эквивален-
^-эквивалентна форме х\-\-...-\-Хп для рф2 (включая /?=оо).
[Для существования, конечно, достаточно предъявить одну
форму при п = 8, см. следствие 2 теоремы 8.4 гл. 11. Однако
существует форма с требуемыми свойствами от 16 переменных,
которая не является прямой суммой двух экземпляров формы от
8 переменных. См. Серр A970) и приложение А, пример 1.]
11. В этом примере /, §, Н с индексами или без них будут
обозначать классически целые формы определителя ± 1. Размер-
Размерности /, §, Н соответственно равны п9. п—2 и 8.
{1) Пусть /(х) неопределенна и собственно примитивна. Пока-
Показать, что она эквивалентна у\—у\-\-ё(г) с некоторой §". [Указа-
[Указание. Ср. пример 9.]
(И) Пусть /г, /2—обе неопределенные и собственно примитив-
примитивные. Показать, что если они К-эквивалентны, то они 2-эквива-
лентны.
(III) Пусть /(х) неопределенна и несобственно примитивна.
Показать, что она эквивалентна 2угу2 + ё(г) с некоторой §.
(IV) Пусть §г и ^2 несобственно примитивны. Показать, что
если у\—$+81B) и у\—у1 + §2(г) эквивалентны, то 2у1у2 + §1(х)
и 2угу2-\-82(т) эквивалентны.
(V) Пусть /1э /2—обе неопределенны и несобственно прими-
примитивны. Показать, что если они К-эквивалентны, то они 2-экви-
валентны.
(VI) Пусть / неопределенна и несобственно примитивна. По-
Показать, что либо +/, либо —/ эквивалентна сумме нескольких
экземпляров форм 2хгх2 и Н (х^ ..., л:8), где Н положительно оп-
определена (ср. пример 10).
[См. Серр A964) или A970). Доказательство (IV) — довольно
трудное. Оно позволяет свести (V) к (н).]
12. Пусть р—нечетное простое число, и пусть I/, ф—2-мерное
регулярное квадратичное пространство.
A) Пусть А аУ такая решетка, что индуцированная квадра-
квадратичная форма на Л примитивна, цела и имеет определитель кр2
для некоторого целого числа йФО. Показать, что существует
такая единственная решетка Г з Л, что ср индуцирует на Г при-
примитивную целую форму определителя й.
(п) Пусть Г такая решетка, что <р индуцирует на Г прими-
примитивную целую форму определителя й, где й—некоторое целое

182 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
число. Пусть N— число решеток Л с Г, на которых ф индуци-
индуцирует примитивную целую форму определителя йр2. Показать, что
кт
N =
где ( —)—символ квадратичного вычета, т.е. О, если р\йу 1,
если —с/ = Ь2(тос1/?) при некотором Ь, и —1 в остальных слу-
случаях.
(И1) Предположим, что й>3. Пусть НF), к (ф2) — числа клас-
классов целых примитивных бинарных форм определителей <2, йр2 со-
соответственно. Показать, что
И (йр2) = ЫН (й)
где N то же, что и выше.
[Указание. Целая примитивная форма определителя А > 3 имеет
только автоморфизмы ±1.] •
(IV) Используя теорию автоморфизмов бинарных форм (п. 3
гл. 13), найти и доказать соответствующие обобщения A11) на
случаи й—'\ А=\ и й< 0.
[Замечание. Случай, когда —й есть квадрат, требует особого
рассмотрения.]
13. A) Пусть й^Ъ, B = 3(той4), и пусть Н(д), соответственно
К (<2),— число классов (собственной целой эквивалентности) соб-
собственно примитивных, соответственно несобственно примитивных,
целых форм определителя й. Показать, что Н(й)=^Нг (й), за
исключением случая, когда й=3(тос18) и выполняется одно из
следующих условий:
(а) й > 3,
(Р) с?<0 и в любом целом решении уравнения ^2 + ^2 = 4,
I четно. Показать, что в случаях (а) и (Р) Н(й) = ЪН' (ф.
(и) Найти и доказать аналог примера 12 для /? —2, учитывая
различие между собственно и несобственно примитивными фор-
формами.
[Снова предполагается знание автоморфизмов бинарных форм.
По поводу A) см. Джоунс A950), теорема 82.]
14. Пусть О^=Ох{[)—группа целых автоморфизмов определи-
определителя + 1 положительно определенной целой бинарной квадратич-
квадратичной формы ?(хи х2). Показать, что О состоит только из ±1,
кроме тех случаев, когда / цело эквивалентна форме, кратной
^ = х\-\-х\ или ?6 = 2(х2 + х1х2 + х1). Показать далее, что поря-
порядок О для /4 и /в равен соответственно 4 и 6.
[Указание. Рассмотреть целые векторы Ь=И=0, на которых /(Ь)
принимает минимальное значение.]
15. Пусть }(х, у, г)€О[*, У, г]—положительно определенная
квадратичная форма.

Примеры 183
A) Показать, что всякий собственный целый автоморфизм Т
имеет порядок 1, 2, 3, 4 или 6.
[Указание. См. пример 9 гл. 2.]
(и) Показать, что если / обладает собственным целым авто-
автоморфизмом порядка 3, то / собственно цело эквивалентна форме
или форме
при некоторых / > 0, т > 0. Вывести отсюда, что / обладает
также собственным автоморфизмом порядка 2.
[Указание. Можно считать, что Те! — ех; выделить квадрат
линейной формы.]
A11) Если |/ обладает собственным целым автоморфизмом,
отличным от тождественного, то показать, что она собственно
цело эквивалентна форме
ах2 + Ьу2 + сг2 + 1уг
или
ах2 + Ьу2 + сг2 + аху + 1уг. ~~
[Указание. См. предыдущее указание.]
(IV) Показать, что порядок группы собственных целых авто-
автоморфизмов формы / есть одно из чисел 1, 2, 4, 6, 8, 12, 24 и
что все эти порядки реализуются для некоторых форм /.
{Указание. Ср. пример 7 гл. 6. Подробнее см. Меннике A967).]
16. Пусть х = (л:, у, г) и
({) Пусть ах, а2, а3 —симметрии относительно точек @, 1, 1),
A, 0, 1), A,1, 0). Показать, что
, /-1, 2,3.
(и) Пусть а ^ К3 таково, что /(а)>0 и что по меньшей мере
одно из аи а21 а3 строго положительно, и одно строго отрицательно.
Показать, что найдется такое / — 1, 2, 3, что
обладает свойством
тах | Ь( | < тах | а71, I =* 1, 2, 3.
I"
A11) Пусть С! —группа, порожденная ои сг2, а3 и ±1. Пусть
, /(а)>0. Показать, что найдется такое о^0г, что

184 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
обладает свойством
, *=-1, 2, 3.
(IV) Пусть С2--группа, порожденная 01 и всеми перестанов-
перестановками множества х, у, г. Предположим, что / (а) == 1 для а € 23.
Показать', что а = аA, 1, 0) для некоторого о^02.
(V) Если х = (х, у, г) ортогонально A, 1, 0), то показать, что
/(х) =— (у + гJ — г2. Вывести, что группа тех о^Ог{!), для ко-
которых аA, 1, 0)=гA, I, 0), конечна и содержится в С2.
(VI) Вывести, что Ог(/) = С2.
(VII) Найти множество (возможно, избыточное) образующих для
[Замечание, Ср. пп. 6—8 ср. гл. 13. См. МогйеП Ь. Л., Атег
Ма1Н., 45 A923), 1—4.]
17. Пусть
V2 V2 V2 V2
и пусть т — симметрия относительно A, I, 1, 1).
A) Показать, что если /(а)>0, где а = (а0, а19 а2, а3) и все
а/ ^ 0, то для Ь = та имеем |Ьо|<1^о1-
(И) Вывести, что Ог (/) порождена т, отображениями Лу —*
и перестановками дг^ ^2, #3.
[Указание. Пример 15. См. также Уолл A964).]
18. Пусть 3<т^9, и пусть
Обозначим через т симметрию относительно A, 1, 1, 1,0, ..., 0).
Показать, что Ог{}) порождена т, отображениями х;-~*±х;- и
перестановками х19 ..., хт.
[Указание. Показать, что если Ьо, Ъ^ ..., Ът^Ъ и
то
Теперь следовать примеру 16. Подсказка: Уолл A964). См. также
Винберг A972, 1972а), Мейер A977).]
19. Определить Ог(!) Для / (х) = х1—х\— х\ и
X з Х
[Подсказка: Уолл A964).]
20. Пусть Л —решетка с базисом е^, е2, е3, е4; Г1$ Г2, Г3,
Д?, Д9 —решетки, порожденные Л и парами точек, указанными

Примеры . 185
ниже:
Г .1 1
* 1' 2 ^1» 2 ^2*
г, 1 1
х 2 • 2 з • 2 4'
( + )
А 1
А • —
*-*2 • 2
Показать, что
2 2, АД
где
( 1, если х ^ Л,
М(х, Л)= п
| 0
в противном случае.
[Замечание. Это просто, но нужно для дальнейшего.]
21. Пусть
/1 У*) ==: %1 I ^2 "Т" 4Х3 -р ОХ4 -р ^1^4 ~^" ■^2-^3»
/2 (*) =г -^1 I «^2 "Г "^"з Т" ^4 "Г #1#4 -^2^3»
/ 3 (^) == " (-^1 ~Г -^2 "Г ^3 Н" -^4/ ^1^з ^2-^4 "Т" ^1-^4 "Г ^2-^
Обозначим через Л^у- (а) число целых представлений а формой
Показать, что для всех а
[Указание. В обозначениях предыдущего примера определить
функцию ф:
Ф (&е, + ... + У4е4) = 4#? + 4г/1 + Щ + 8^ + 2г/,у4 — 2у2у^.
и рассмотреть квадратичные формы, индуцированные ею на Гу
1 1
и А/. Использовать базис -^-(е, ± е3), у (е2 ± е4) Для Г9 и анало-
аналогично для А3.]
22. Пусть ЛГу (а) — число целых представлений числа а фор-
формой /у, где
/1 — -^1-4" X^X2 I дХ^ "Т" -^.3 "Ь ^3-^4 ~Ь ^4>
I 2:=: А \Х\ -р Х-2 -р Х3 ~Г -^4/ ~Т" ^Х-\%ъ "Т" ^1-^4 ~Т~ Х^Х^ /Л^2^4»
/В == ^1 ~Г 4 (#2 "Г ^3 ~Г -*-4/ Ч~ Я Г* 8 ~Ь "*^.2^8 ~Ь ^2^4 "Г ' Х^Х^.

186 Гл. 9. Целые формы над целыми рациональными числами
Показать, что
для всех а.
[Указание. Применить пример 20, ср. пример 21.
Замечание. По поводу общей теории подобных тождеств в кон-
контексте модулярных форм см. приложение Б. По поводу именно
этих тождеств см., в частности, Гекке A940), п. И, примеры 2
и 4. По поводу более сложного и глубокого приложения этого
метода см. Кнезер A967а).]
23. Пусть т= чь 3(тоA8). Показать, что т2 примитивно
представимой формой х2 —2у2 +64г2 над каждым Ър% но не над 2.
[Указание. Длях9у^2 всякое р = ± 3(той8) входит в х2 —• 2у2
в четной степени. Рассмотреть х2—-2у2=^ (т + 8г) (т — 8г).
Замечание. Ср. лемму 7.1 гл. 11 и примеры 7, 8.]

Глава 10
СПИНОРНЛЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ГРУППЫ
1. ВВЕДЕНИЕ
Цель этой главы в основном утилитарная. В гл. 9 мы дока-
доказали теорему 7.2— „слабую теорему о приближениях". В ней рас-
рассматриваются рациональные < втоморфизмы регулярной квадра-
квадратичной формы и утверждается, что если заданы любые собствен-
собственные автоморфизмы Тр формы /, определенные над 0,р9 где р про-
пробегает конечное множество р^Р, то существует собственный
рациональный автоморфизм Т формы /, который одновременно
близок к каждому Тр в соответствующем р-адическом смысле.
Теорема ничего не говорит о /?-адическом поведении для р(^Р.
В следующей главе нам потребуется „сильная теорема о прибли-
приближении", которая при подходящих условиях гарантирует существо-
существование такого Т, которое не только близко к Тя, но и р-адически
цело для всех р^Р. Связь между слабой теоремой о приближе-
приближениях, которая у нас уже есть, и сильной теоремой о приближе-
приближениях, которую мы хотим получить, аналогична связи между двумя
теоремами о приближениях, которые мы рассматривали в п. 3 гл. 3.
Оказывается, как мы увидим, имеются серьезные соображения в
пользу того, что нет сильной теоремы о приближениях рассматри-
рассматриваемого типа без дополнительных условий на Т . Это связано с тем
обстоятельством, что собственная ортогональная группа О+ не одно-
связна. (Имеется в виду неодносвязность в топологическом смысле,
если мы рассматриваем группу над К; над любым полем нужно
рассматривать соответствующее алгебраическое обобщение этого
понятия, которое, однако, мы не будем рассматривать). Если
размерность п больше 2, то имеется односвязная группа, „спи-
норная группа", группа 5рт, которая дает „двойное накрытие"
группы О+. Для спинорной группы есть сильная теорема о при-
приближениях. В этой главе мы введем спинорную группу 5рт, дока-
докажем для нее сильную теорему о приближениях и изучим следствия
для группы О+.
В качестве мотивировки мы сейчас опишем группу 5рт в клас-
классическом случае обычной ортогональной группы в Замерном веще-
ственном пространстве К8. Идея восходит к Уильяму Гамильтону
и использует изобретенные им кватернионы, Это некоммутати»*
ря ассоциативная алгебра над рещестренщми чтпщц с

188 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группа
1, I, /, к и таблицей умножения
Общий кватернион имеет вид
„Сопряженный к и кватернион определяется как
и' =* и0 — а^' — и
так что
Далее,
называется „нормой" кватерниона и. Ясно, что
Мы отождествим К8 с „чистыми" кватернионами1)
которые характеризуются уравнением х'= —х. Если х — чистый,
а и—любой кватернионы, то легко проверить, что
у == ихи'
снова чистый кватернион и
М(у) = М (х) {Ы (и)}2.
В частности, если
A.1)
то преобразование х—►у, которое мы будем обозначать через
а (и), лежит в ортогональной группе. Можно показать, что оно
собственное2). Далее,
а (иу) = а (и) а (у).
Определим спинорную группу 5рт как группу относительно умно-
умножения всех и с Л^(и)=1. Тем самым мы построим гомоморфизм
8рш в О+.
Можно показать, что этот гомоморфизм 5рт в О+ есть отобра-
отображение на, а его ядро состоит из ±1. Таким образом, топологи-
топологически мы имеем двойное накрытие. Наконец, 5рт как топологи-
топологическое многообразие есть 3-мерная сфера, а потому односвязно.
*) Иногда их называют „векторами",— Прим. ред.
*) Ибо на A.1) ёе*(с(и)—непрерывная функция (/♦

2. Алгебра Клиффорда 189
Это показывает (хотя мы не будем использовать этот факт), что
нет другой группы С, которая была бы в таком отношении к 5рт,
как 5рт к 0+. Точнее, пусть С—группа, являющаяся связным
вещественным многообразием. Тогда любой сюръективный груп-
групповой гомоморфизм О —> 5рт с конечным ядром, который непре-
непрерывен в вещественной топологии, обязательно является изомор-
изоморфизмом.
Предположим теперь, что вместо К основное поле есть поле ра-
рациональных чисел О. Большая часть предыдущего рассуждения
остается в силе. Любой элемент р из 02 может быть записан
в виде
х -* рх = {// (и)}-1 ихи' =^ о (и) х, A.2)
где кватернион и имеет рациональные коэффициенты и0, ии и2, и8.
Однако нормализацию (!.1), вообще говоря, нельзя сделать. Мы
будем продолжать определять группу 5рт~ условием A.1), и по-
поэтому образом 5рт при отображении и —► а (и) будет только под-
подгруппа в группы Оо". Далее, если у —любой такой кватернион,
что р —а (и)==а(у), то легко видеть, что у = /и для некоторого
Следовательно, отображение
(и) (О*J = в (р)
дает гомоморфизм группы Оо в 0*/@*J, так называемую спи-
норную норму в (р).
В оставшейся части этой главы мы обобщим эти рассмотрения
на любые квадратичные формы над любыми полями. Это делается
с помощью алгебр Клиффорда, которые играют роль, более или
менее аналогичную роли кватернионов.
2. АЛГЕБРА КЛИФФОРДА
Под алгеброй А над полем к мы будем понимать конечномер-
конечномерное векторное пространство над к, снабженное бинарной опера-
операцией, „произведением", которая любой упорядоченной паре
и, V элементов из А сопоставляет элемент их € А. Это произведение
предполагается ассоциативным:
(иу) IV = и (уту) = иу\у B.1)
и А-линейным:
Щ) V =* ^ЩУ + /2и2у; 1Ъ /2 € *; Щ, и2, V е А, B.2)
/2у2) = 11и\1 + /2иу2; 1и 12^к\ и, у1э У2$А. B.3)
Мы будем также предполагать, что существует единица е^ А:
еи = ие = и для всех и^А. B.4)

190Гл. 10. Спинор нал и ортогональная группы
Тогда множество /е, 1^ку образует подалгебру в Л, естественно
изоморфную к. Мы обычно будем делать это отождествление
и писать ./ вместо /е (так что пишем 1 вместо е). Нам потребуется
один общий результат о существовании обратных элементов
в алгебрах.
Лемма 2.1. Пусть и—элемент к-алгебры Л, и пусть суще-
существует либо решение \ уравнения
иу-1, B.5)
либо решение ^ уравнения
*ги—1. B.6)
Тогда существует решение каждого из этих уравнений, и
у=*\у. B.7)
Эти решения V, V/ единственны.
Замечание. Если оно существует, то общее значение для V, \у
обозначается через и и называется обратным к и.
Доказательство. Предположим, что V существует. Соответ-
Соответствие
х-*хи, х€Л B.8)
есть линейное отображение Л, рассматриваемого как векторное
пространство над к, в себя. Предположим, что у лежит в его
ядре. Тогда
0 = (уи) V =* у (иу) = у.
Следовательно, отображение B.8) не особо, и по конечномерности
найдется \у, удовлетворяющий B.6). Точно так же, если ж суще-
существует, то и V существует. Далее,
= V/ (иУ) = (\У11) V =а V.
Это завершает доказательство.
Перенесемся теперь в ситуацию, рассмотренную в гл. 2.
Клиффордом было показано, что связь кватернионной алгебры
с обычной ортогональной группой (см. п. 1) можно обобщить на
любое квадратичное пространство над полем к характеристики Ф2.
Сформулируем это обобщение в виде теоремы.
Теорема 2.1. Пусть V, ср— квадратичное пространство раз-
размерности п над полем к характеристики ф2. Тогда существует
алгебра С(У) („алгебра Клиффорда пространств V, ф") над к,
которая содержит V как линейное подпространство, причем
{I) С{У) имеет размерность %

2. Алгебра Клиффорда 191
(И) С (V) порождена V. Точнее, она порождена (как векторное
пространство над к) единицей 1 и произведениями
ххх2... хг, г > О, X/ € V, 1 ^ / ^ г. B.9)
A11) хх —ф(х) для всех х^
Этими свойствами С (V) определена однозначно. Точнее, если
С (У) —другая алгебра, содержащая V и удовлетворяющая (\), (и),
A11), то существует изоморфизм между С (V) и С (V), который
является изоморфизмом к-алгебр и который тождествен на эле-
элементах из V.
Замечание. Мы не требуем, чтобы ф было регулярным, хотя
это наиболее интересный случай.
Доказательство. Сначала найдем свойства, которыми должна
обладать С(У), если она существует, а потом покажем, что эти
свойства полностью определяют ее структуру. Затем мы довольно
утомительными вычислениями покажем, что алгебра с такими свой-
свойствами действительно существует.
Прежде1 всего, если х, у—любые элементы из V, то из свой-
свойства
A11) следует, что
*У + ух=(х + у)(х + у)—хх-уу=ф(х + у) — Ф(х) — ф(у)=2ф(х,у),
B.10)
где ф(х, у)—билинейная форма, ассоциированная с ф.
Далее, пусть ех, ..., еп—любой нормальный базис для V, т. е.
По B.10)
е^ + е/е/- 0, 1ф\. B.11)
Кроме того, по B.9)
е,е, = ф (е,.) € *- B.12)
Пусть У —любое подмножество множества {1,2, ..., п\, распо-
расположенное в возрастающем порядке
/1 </■<-..< /г,
где г <[ п. Положим
е(У)-е(/1)е(/2)...е(/г), B.13)
где
е(/) = еЛ B.130
Дополним определение B.13) условием
B.14)

192 Гл. 10. Спинор пая и ортогональная группы
где Е — пустое множество. Из свойства (и) и из B.12) следует,
что элементы е (У) порождают С (V) как векторное пространство.
Тогда, по свойству A), они линейно независимы и образуют базис.
Далее, если /, У —два подмножества в {1, 2, ..., п\, то из B.11)
и B.12) следует, что
е(/)е (/)-/(/, У)е(/С), B.15)
где К—множество индексов, встречающихся только в одном из /,
а
/(/,/)=
/с/
П Ф(е,I. B.16)
Точное значение /(/, У) для нас не важно, а "только следующее
свойство: если ^1^ У2, ^3—любые три подмножества в {1, 2, ..., п\,
то
где произведение считается согласно правилам B.15) и B.16).
Проверка этого оставляется читателю.
Теперь мы в состоянии построить С (V). Возьмем векторное
пространство размерности 2" с базисом, который мы будем обо-
обозначать через е (У), где ^ пробегает все подмножества {1,2, .., п\.
Определим умножение на С (У) с помощью формул B.15) и B.16).
По линейности это определение распространяется на все С (V).
Это умножение будет ассоциативным, так как уже было замечено,
B.17) есть следствие B.15) и B.16).
Наконец, отождествим V е подпространством в С(У), полагая
где {1} — одноэлементное подмножество, состоящее из I. Из B.15)
и B.16) следует, что
е/е,- = ф (е,), е^у + е,^. = 0, %Ф /. B.18)
Наконец, если х — 2 **е/ — любой элемент V, то, как следует из
B.14) и линейности,
Таким образом, только что построенная алгебра обладает свой-
свойствами A), (И), (Ш). Справедливость последнего предложения
формулировки также ясна, что доказывает теорему.
Автоморфизм
х-*—х B.19)
V в себя индуцирует автоморфизм порядка 2 алгебры С(У). Обо-
Обозначим через С0(У) подпространство тех элементов из С (У), кото-
которые неподвижны относительно этого автоморфизма, а через

2. Алгебра Клиффорда ' Г93
те элементы и, которые отображаются в —и. Ясно, что СО(У)У
Сг(У) имеют в качестве базисов элементы е(У), где число эле-
элементов ^ соответственно четно или нечетно. Ясно, что С (V) есть
прямая сумма Со (V) и С4 (V), и каждое из них имеет размерность 2я"*.
Лемма 2.2. Имеем
С{(У)С,(У)с:Ст<У)9
где I, /, т = 0, 1 м т^=±\ + /(той2). Если и^С!(У) и сущест-
сущест1 СУ
вует и", то (
Доказательство. В левой части включения, конечно, имеется
в виду множество иу, где п^С((У)9 ^^С;(У). Первая часть
следует из рассмотрения действия инволюции, порожденной B.19).
Последнее свойство получается аналогично, если заметить, что
по лемме 2.1 и, если существует, то единственно.
Следствие. С 0(У) —подалгебра алгебры С(У).
Замечание. Назовем С() (V) „четной алгеброй Клиффорда".
В следующем пункте нам понадобится
Лемма 2.3. Пусть V, ф регулярно. Любой элемент из С0(У)9
который коммутирует с каждым элементом из У', лежит в к.
Доказательство. Если число элементов в множестве 3 четно,
то легко проверить, что
I + е (У) е" есЛИ
е е (П- I " $
е'е(</)" )_е(У)е„ если ^\^.
При фиксированном / "элементы е^-е (У) линейно независимы над
так как е(У) линейно независимы, а е/ обратимы в С(У), потому
что е^- = ф (е^-) Ф 0. Отсюда следует, что если элемент
коммутирует с е/э то / (У) с 4 61 должны равняться нулю. Так
как это верно для всех 4, то отсюда следует справедливость леммы.
Лемма 2.4. Существует к-линейное отображение С (У) —> С (У),
обозначаемое и—* и', со следующими свойствами:
(I) и' = и, ес/ш иб& и;ш и^У,
(II) (иу)' = у'и' для всех и, у€С(У),
(III) (и')'= и для всех и б С (У).
. Замечание. Мы будем называть ' канонической инволюцией или
просто инволюцией на С(У).
Доказательство. Достаточно определить ' на базисных элемен-
элементах е(У) в С (У). Если е(У) задано уравнениями B.13), то положим
е (У)' ^ е (/,) е (/г_г).. .е (/х). B.21)
Требуемые свойства легко проверяются.
7 м 156 ч

194 Гл. 10. Спинорпая и ортогональная группы
Лемма 2.5. Пусть и^СA/) таково, что
ии'е^*. B.22)
Тогда
и'и = Ш1\ B.23)
и существует обратный элемент
и-^Ош'Г1!!'. B.24)
Доказательство. Положим
у^ии')-1»'- B.25)
Тогда V обладает свойством B.5). Остальное следует из леммы 2.1.
3. СПИНОРНАЯ НОРМА И СПИНОРНАЯ ГРУППА
Начиная с этого места мы будем предполагать, что квадра-
квадратичное пространство V, ф регулярно. То, что алгебра Клиффорда
имеет отношение к ортогональной группе, видно из следующего
результата.
Лемма 3.1. Пусть элемент и^С(У) имеет обратный и и
для всех
Тогда линейное отображение
Ти: х-* ихи # C.1)
является автометрией квадратичного пространства У, ф.
Доказательство. Имеем
Ф (ихи") = (ихи) (ихи") = и (хх) и" = (хх) (ии) = (хх) = ф (х),
так как хх = ф(х)^& лежит в центре С (V).
Частный случай и = у^У с ф (у)
Тогда
Прямое вычисление с использованием B.9) и B.10) дает
уху = (ух + ху) у —хуу = 2ф (х, у) у — ф (у) х,
а потому
уху-1- — тух, C.2)
где Ту — симметрия относительно у в смысле п. 4 гл. 2. Эти сим-
симметрии будут играть основную роль в последующем; чтобы не
усложнять обозначения, мы будем иногда писать
=*у. . C.3)

3. Спинорная норма и спинорная группа 195
Оказывается удобным в приложениях леммы 3.1 ограничиться
четной алгеброй Клиффорда С0(У). Обозначим через М0(У) мно-
множество таких и^С0(У), что
A) и существует;
(И) ихи^ Для всех \^У.
Ясно, что /И0 A/) —группа относительно умножения.
Теорема ЗА. Отображение и —-► Т„ , задаваемое формулой (ЗА),
устанавливает изоморфизм между М0(У)/к* и 0+.
Доказательство. Ясно, что и—+ Ти есть групповой гомомор-
гомоморфизм. Из леммы 2.3 сразу же следует, что ядро этого гомоморфиз-
гомоморфизма есть к*. Мы должны доказать, что его образ есть в точнос-
точности 0+.
Предположим сначала, что о^О+(У). Тогда по п. 4 гл. 2
а = т(ах)т(а2) ..т(аг) C.4)
в обозначениях C.3) для некоторого четного гиа^Кс ф (а^^О.
Положим
и == а^-.. * аг. (о. о)
Тогда
и' = аг.. .а,
и
Повторным применением C.2) получаем, что Тих==ах для всех
У Итак, образ гомоморфизма и—* Ти содержит 0+.
Теперь предположим, что существует и^М0(У), для которого
0+. Тогда Ти б О" по лемме 3.1, и потому
Ти = т(аг).. .т(аг)
где г нечетно. Положим
Теперь по C.2)
УХУ = — ТиХ
для всех х^У. Тогда по лемме 2.2 то = и~1у удовлетворяет
C.6)
для всех х^У- Теперь легко показать, аналогично тому, как мы
доказывали лемму 2.3, что-из C.6) следует ^=«0. Это противоречие
и показывает, что Ти ^О+. Теорема доказана.
Следствие 1. Если и^М0(У), то
иг== а^ • * • а.у
7*

196 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
где ау ^ V и г четно. Далее,
Доказательство. Мы показали, что о~Ти имеет вид C.4), а
тогда по лемме 2.3 и = /а1...аг с 1^к*. Мы можем взять /а,
вместо а^
Случай л = 3, где (как обычно) п—размерность I/, представ-
представляет особый интерес; кроме того, детали нам понадобятся в даль-
дальнейшем.
Следствие 2. Пусть п = 3. Тогда
для всех и^С0(У). СледовательноА), М0(У) состоит точно из тех
, для которых ии'
Замечание. Случай / (х) = х\ + х2 + х'^ к = К рассматривался
в п. 1.
Доказательство. Пусть еъ е2, е3 — нормальный базис; положим
й-базис для С>(У) состоит из
1 Р Р Р
*» ^-1» Ь2> ^3»
где
Тогда
Е, — — Е;-, /=1, 2, 3,
и
где
//М- /1/2/3»
что легко проверить. Полагая
и = и0 + игЕх + и9Еч
получим
ии' = и! + Рхи\ + Р7и1 + Р^щ = и, 4-
как и требовалось. Заметим для дальнейшего, что правая часть
последнего равенства есть регулярная квадратичная форма от
^и» ии и2у М'8, определитель которой есть полный квадрат.
Вернемся теперь к общему п.
Легко проверить, что ихи'^У Для всех Х6^» заметив, например, что
это следует из C.?) тогда, когда и = уг при у, ^К

3. Спинорная норма и спинорная группа 197
Следствие 3. Существует гомоморфизм 0: о—*0(а) группы 0+
в к*/(к*J, определенный следующим образом. Пусть о = Ти\тогда
'. C.7)
Это немедленно следует из теоремы. Мы будем называть 0(а)
спинорной нормой элемента а. Ядро отображения 0 будем обоз-
обозначать через в, т. е.
Многие авторы, включая О'Мира, пишут О' вместо в, однако
это может вызвать путаницу с коммутатором (коммутаторной под.-
группой), который также играет роль в этой теории, что и будет
сейчас объяснено.
Сначала напомним теоретик о-групповые определения. Комму-
Коммутантом С группы С называется подгруппа, порожденная ком-
коммутаторами
[а, Ь] = аЬа-Ч-1, ауЬ$О. C.8)
Она является нормальным делителем, так как
с\а, Ь\с~1 = [сас~\ сЬс~г\ C.9)
При этом О/С является абелезой группой; если Н—такой
нормальный делитель, .что 0/Н абелева, то О'аН. Все это
хорошо знакомо. Нам потребуется
Лемма 3.2. Пусть В— множество образующих группы О
(т. е. не существует собственной подгруппы группы С, содержа-
содержащей В). Тогда коммутант О' порожден коммутаторами
(ЗЛО)
Доказательство. Пусть Н — подгруппа, порожденная C.10).
Тогда по C.9) Н—нормальный делитель, и ясно, что На С.
С другой стороны, факторгруппа О/Н абелевз, так как образы Ь
в ней элементов Ь коммутируют между собой и порождают все
С///. Следовательно, О' аН, а потому 0' =
Лемма 3.3. Коммутант Я группы О (V) порожден множеством
[ха,хь]=^хатьтахь, а, Ь 6 V, ф (а) Ф0, ф(Ь)=^=О.
Замечание. Я есть коммутант О (У), а не 0+ (V).
Доказательство. Выражение для коммутатора записано в таком
виде, так как хГ1=яха. Доказательство следует из предыдущей
леммы. Действительно, по лемме 4.3 гл. 2 мы можем взять
и В—множество та. Следовательно, П порожден
; а, Ъ$У. C.11)

198 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
Формула
а-1 = хоа C.12)
следует сразу же из определения симметрии. Тем самым множество
коммутаторов C.11) совпадает с множеством, указанным в лемме.
Следствие 1. й порожден элементами
та тс, а, с
Доказательство. Действительно, по следствию 1 леммы 4.2 гл. 2,
если ф (а) = ф (с) Ф О, то найдется такое о ^ О (V), что с = о а,
и тогда
татг =таатаа~1 ^
Множество образующих, указанное в лемме, содержится в мно-
множестве, указанном в следствии, так ак
==г Та Тс ,
где с = тьа. Это завершает доказательство.
Теорема 3.2. йсб. Если V изотропно, то й —
Замечание. Имеются также и другие общие случаи, когда
=в. По этому поводу см. О'Мира A963).
Доказательство. Образующие группы й, указанные в лемме 3.3,
лежат в в, а потому йсб. Остается доказать равенство для
изотропных V.
Предположим сначала, что ]/ = Н есть гиперболическая плос-
плоскость. В этом случае мы можем проверить теорему явным вычис-
вычислением. В Н существует такой базис е1э е2, что
Ф (ех) = ф (е2) = 0, ср (е1э е2) = 1.
Группа О+ (V) состоит в точности из отображений
причем
Далее, О" ссстоит из отображений
а~: ех — ге2, е8 -^ г-1
и мы имеем
Далее,

3. Спинорная норма и спинорная группа 199
Отсюда следует, что спинорная норма есть
0 (о?) - / (к*)\
Властности, а^в тогда и только тогда, когда /^(й*J. Если
это так, то
для любых г, 5 с условием 1=(г~18J. Следовательно,
т. е. © с: Й. Это завершает случай У~Н.
Пусть теперь V—любое изотропное пространаво. Оно содер-
содержит гиперболическую плоскость Н, и имеется ортогональное
разложение
Распространим действие группы О (//) на все V, заставляя
действовать на Я1 тождественно. Сначала мы покажем, что если
0^0A/), 10 найдется такое ах^0{Н)у что
C.13)
Так как Й—нормальный делитель, то достаточно проверить это,
когда о пробегает множество образующих ха группы 0A/). Так
как Н изотропно, то найдется Ъ^Н с <р(Ь) ==ф(а), а тогда в силу
следствия 1 леммы 4.2 гл. 2 Ь = ра при некотором р^О(У). Поло-
Положим о = та и вг = тъ. Тогда
=±= Т
что и требовалось.
Предположим теперь, что в€®(У). Тогда о1^@(У)у так как
с: @(У), и потому
(Последнее равенство ясно потому, что для элемента из 0+ (//)
спинорная норма не зависит от того, вычислять ли ее в Н или в V.)
Мы уже видели, что 6 (Н) = & (Я). Поэтому
а тогда по C.13) а^п(У). Это завершает доказательство.
В приложениях этой теории мы будем иметь дело в основном
со сппнорной нормой и с группами в, Я, а не с самой спинорной
группой. Однако мы должны формально представить божество,
которое скрывается за кулисами:
Спинорная группа 5рт (У) определяется как множество тех
элементов и^М0(У)9 для которых ии'~1, причем групповой
операцией считается умножение в С(У). Другими словами, 5ртA/)
состоит из таких и, что
0) и€С,(У);

200 Гл. 10. Спинор нал и ортогональная группы
A1)
(Ш) ихи' ^ V для всех х € V.
Теорема 3.3. Отображение и —► Ти, определенное формулой
C.1), есть гомоморфизм группы 5ртA0 на ©(V). Его ядро есть
группа {1, —1} порядка 2.
Доказательство. Следует немедленно из теоремы 3.1.
В дальнейшем нам потребуется
Лемма 3.4. Пусть я> 1 и Ти€^, где и€$рт(Ю. Тогда и
есть произведена0 коммутаторов вида
™ = аЪа^Ь = {ф (а)}-1 {ф (Ь)} аЬаЬ,
где
Доказательство. Ясно, что ^€$р1п(У). Предположим, что и
удовлетворяет условиям леммы. Тогда
и = 1уцх ... \уг
для некоторого I ^к* и некоторых коммутаторов \у19 ..., \уг. Мы
должны иметь /^ЗртA/), так как и, ^1э ..., и^г^Зрш(V), а
потому
Следовательно, достаточно доказать, что —1 есть коммутатор.
Так как п > 1, то найдутся а0, Ьо, которые анизотропны и орто-
ортогональны. Тогда
о = {ф (ао)Г1 {ф (Ьо)} аоЬоаоЬо =
(Ьо)) а0а0Ь0Ь0 = —1,
что и требовалось.
4. РЕШЕТКИ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦЕЛОСТНОСТИ
В этом пункте мы обсудим, как результаты п. 3 обобщаются
на области целостности, и приведем специальные результаты
Для Ъг
Пусть / — область целостности (которая в приложениях будет
2 или 2р), и пусть к — поле, содержащее /. Мы напомним, что
решеткой Л в квадратичном пространстве V, ф называется мно-
множество вида о^е, + • • • +^пеп» гДе а/ пробегают все /, а еь ..., еЛ
есть некоторый &-базис для V. Определим О (Л) как множество
тех о^О(У), для которых
D.1)

4. Решетки над областями целостности 201
И ПОЛОЖИМ
D.2)
D.3)
(Л) = О (Л) П в (V). D.4)
Если О (Л) представлена матрицами по отношению к базису
*ь -••» ел> который задает решетку Л, то элементы этих матриц
принадлежат/. Ясно, что О (Л) фактически зависит не от квадра-
квадратичного пространства V, ср, а только от квадратичной формы,
индуцированной ф на Л (то же верно для О+(Л)). С другой сторо-
стороны, Й(Л) и в (Л) зависят, по крайней мере на первый взгляд, от
выбора поля &, содержащего /. Если не оговорено противное, мы
будем считать его совпадающим с полем отношений области /. Заме-
Заметим также, что й (Л) не обязана совпадать с коммутантом группы
О (Л): она может быть больше.
Предположим теперь, что для всех х ё Л
D.5)
(т. е. форма, индуцированная ф на Л, целозначна). Обозначим
через С (Л) подкол ьцо кольца С (Л), порожденное / и х^Л.
Если е1э ..., ел—базис решетки Л, не обязательно нормаль-
нормальный, то ясно, что С (Л) как /-модуль порождено 1 и выражениями
... е(/г) D.6)
/1 < /2 < • • • </,. D.7)
которые были введены в п. 2. Положим
С0(Л) = С(Л)ПС0(Ю, D.8)
5рт (Л) =* С (Л) П 5рт (У). ]4.9)
Ясно, что С0(Л) есть /-подалгебра алгебры С (Л); 5рт(Л) есть
подгруппа группы 5рт (V). Также ясно, что С (Л), С0(Л), 5рт (Л)
не зависят от выбора поля к и могли быть определены исключи-
исключительно в терминах Л и квадратичной формы на ней.
Случай д = 3, возможно, стоит упомянуть отдельно. Пусть
^1, е2, е3—базис решетки Л, для которой выполняется условие
D.5). Тогда легко видеть, что С0(Л) состоит из
и = и0 + иЛе2еп + и2е3е1 + и9 ег е2, и09и19и29и9
и что
Ш1' = #(ы0, ..., иа)€ 1\и0, ..., и9].
Квадратичная форма § не обязана быть диагональной, так как
в общем случае мы не можем выбрать базис ег, е2, е3 нормальным.
Элементы группы 8р1п (Л) соответствуют в точности решениям

202 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
" ' И | ■■■■■! «-У 114 I I ■■ —^—П I I.. ■■ ■ I- Н ■ 1^^——1^—1^1^ ^——» Ч^———^—
уравнения
Вернемся теперь к общему п. Теорема 3.3 дает групповой
гомоморфизм
5рт (Л)-* в (Л) D.10)
с ядром { + 1, —1}- Его образ не обязан совпадать со всей в (Л).
Однако мы имеем следующую лемму:
Лемма 4.1. Пусть 1 = 2р, рф2,оо и я>1. Предположим,
что выполняется D.5) и что д.^1]ру где й—определитель формы,
индуцированной на Л, и где Vр—множество р-адических едш иц.
Тогда D.10) есть отображение на. Далее, образ 0(Л) группы
О+ (Л) при спинорно-норменном отображении есть
' 6(Л) = *7Я(О;)«. D.11)
Доказательство. По следствию 2 леммы 3.3 гл. 8 О+ (Л) состоит
в точности из
0 = 1A)!) ... т(Ь,), <4.12)
где
Ь,€Л, | Ф (Ьу) |^ == 1 D.13)
и г четное (конечно, представление в виде D.12) не однозначно).
Тогда
где
и = Ь^ . .. Ьг,
так что
ии' = ф (Ьх) ... ф (Ьг)
Далее, так как мы предполагаем, что л>1, то каждое ф (Ьу)
может принимать любое значение из Vр (например, см. лемму 3.4
гл^ 8). Это доказывает D.11).
Теперь предположим, что а^В(Л), так что
Тогда
и а = Ту. Это завершает доказательство.
5. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РАССМОТРЕНИЯ
В этом пункте мы будем предполагать, что к—токологическое
поле. Это означает, что на к как на множестве введена тополо-
топология, относительно которой полевые операции: сумма, произведение

5. Топологические рассмотрения 203
и взятие обратного — являются непрерывными отображениями.
На практике к будет 0,р или К с обычной топологией. По опре-
определению С (V) является конечномерным векторным пространством
над к, а потому обладает естественной топологией. Ясно, что сло-
сложение, умножение и инволюция и —♦ и' непрерывны на С (У).
Далее, взятие обратного элемента непрерывно на Мо (V), так как
и" = (и'и) и по следствию 1 теоремы 3.1. Следовательно, Мо (V)
является топологической группой, т. е. в ней произведение и
переход к обратному элементу непрерывны.
Группа О (V) также обладает естественной топологией, инду-
индуцированной топологией поля к. Действительно, если мы зафикси-
зафиксируем в V базис е1э- ..., е„, то элементы из 0A/) будут представ-
представлены матрицами размера пхп, и на них есть естественная
топология, если их рассматривать как подмножество векторного
пространства размерности п2' Ясно, что эта топология не зависит
от выбора базиса.
Ясно, что гомоморфизм Мь (V) —* 0+ (V), задаваемый и—^ Ти ,
(см. теорему 3.1), непрерывен. Немного менее тривиально следую-
следующее:
Лемма 5.1. Отображение и—»-Ти группы М0(У)вО+ обладает
локально непрерывным сечением. То есть если ао = Т«, для некото-
некоторого от€ М0(У), то найдется окрестность <АГ элемента а0 и не-
непрерывное отображение
ч:о —+\ (а)
сЛГ в Мо (V), так что
V (а0) = V/, Ту(ст) = а
для всех а
Доказательство. Достаточно показать, что в выражении C.4)
элементы ах, ...,аг можно выбрать так, чтобы они локально не-
непрерывно зависели от а. А это ясно, если просмотреть доказа-
доказательства п. 4 гл. 2. Это завершает доказательство.
Следствие 1. Спинорно-норменное отображение 0 0+ (V) в к*/(к*J<
непрерывно.
Замечание. Здесь к*/(к*J имеет обычную фактортопологию *).
Доказательство. Ясно, что отображение и —► ии' из Мо (V)
в к*/(к*J непрерывно. Спино зная норма локально задается отобра-
*) Каноническая топология на /г*—та, которая индуцируется вложением
а—► (а, а) группы к* в к2. Если же топология на к задается нормированием,
как в 0.р и К, то каноническая топология совпадает с топологией к* как под-
подмножества к. По определению подмножество множества к*/(к*J открыто в фак-
тортопологии, когда соответствующее подмножество множества к* открыто.

204 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
жением
—у(ог){у(ог)}\
где а —* у (а)— локальное сечение, определенное в лемме.
Следствие 2. Отображение 5рт (V) —+ О+ (V) обладает локально
2
непрерывным сечением, если только отображение к* —* к*, задава-
задаваемое Ь ~* Ь2(Ь €&*)* обладает локально непрерывным сечением.
Замечание, Ясно, что условие о к* —+ к* выполняется в полях
р и К, с которыми мы будем иметь дело, как, впрочем, и в лю-
любом полном нормированном поле.
Доказательство. Ясно из определения 5рт (V).
6. ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛЕЙ И КОЛЕЦ
Пусть К — любое поле, содержащее поле к, а ^ — кольцо
с условием /Сз Уз /. Тогда, как мы уже несколько раз замечали
ранее, всякое квадратичное пространство V, ф над к приводит
к квадратичному пространству VК% фА над К („тензорному произ-
произведению" с полем К) и аналогично всякая /-решетка Л в V дает
У-решетку А^ в Ук с „тем же" базисом. Имеются естественные
гомоморфизмы
<УК)9
С (V) - С (Ук),
5рш (V) — 5рш
и (в условиях D.5), гарантирующих существование рассматрива-
рассматриваемых объектов)
С (Л)-* С (Л,),
5р1П (Л) —► 5рт (Л,)
и т. д. с очевидными свойствами. Любой алгебраист может углу-
углубить этот вопрос строго, использовав тензорные произведения и
отображения вложений, а также введя массу ненужных обозна-
обозначений. В дальнейшем мы будем относиться к подобным вопросам
как к тривиальным.
7. СИЛЬНАЯ ТЕОРЕМА О ПРИБЛИЖЕНИЯХ
В этом пункте мы сделаем ограничение
рф<х>. G.1)
Прежде всего применим общие рассуждения п. 5 о топологи-
полях к случаю к = (Хр. Пусть Л^ —2^-решетка в квадра-

7. Сильная теорема о приближениях 205
тичном пространстве Урч ф над 0р. Ясно, что Ар является откры-
открытым уС замкнутым подмножеством в Vру а О(Лр) — открытой и
замкнутой подгруппой группы О(Ур).
Если мы предположим, далее, что
<2 G.2)
для всех х^Ля, то кольцо С (Ар) будет определено, и ясно, что
оно является открытым и замкнутым подмножеством в С(Ур).
Отсюда следует, что группа 5рт (Лр) корректно определена и
является открытой и замкнутой подгруппой группы 5рт (Ур).
Пусть теперь Л — 2-решетка в регулярном квадратичном про-
пространстве V', ф над О. Обозначим через Л^ и У ру ф. соответственно
результат расширения основного кольца с 2 до Ър и основного
поля с О до 0^. (Приверженец чистоты настаивал бы на том,
чтобы писать Ур,ур> но мы выше —или ниже—таких тонкостей.)
Под выражением „почти все р" мы понимаем, как всегда,
„все р, кроме, возможно, их конечного числа". Приняв это со-
соглашение, можно сформулировать главный результат этого пункта.
Теорема 7.1. (Сильная теорема о приближениях для спинор-
ной группы.) Пусть п^З и 0-квадратичное пространство V, ф
неопределенно (т. е. изотропно над К — 0^). Пусть Л — любая
Ъ-решетка в V, ф. Для каждого р зададим непустое открытое
подмножество Ч1р в 5р1пA/)Р), причем пусть
G.3)
для почти всех /?. Тогда найдется такое и ^ 5рт У, что
м$Ч1р G.4)
для всех
Прежде чем погрузиться в доказательство теоремы, сделаем
несколько замечаний. Во-первых, условие G.2) выполняется почти
для всех р (рассмотреть базис Л); поэтому группа 5рт (Л^) су-
существует для почти всех р, и условие G.3) имеет смысл. Во-вто-
Во-вторых, если Г —любая другая 2-решетка в У, ф, то Г^ = Л^ для
почти всех р, как будет подробно объяснено в следующей главе.
Следовательно, условие G.3) фактически не зависит от выбора
решетки Л. В-третьих, в G.4) имеется в виду естественный го-
гомоморфизм (на самом деле—вложение) 5рт(У) —* §р\п(Ур), рас-
рассматривавшийся в п. 6.
Фактически мы будем применять не саму теорему 7.1; а ее
Следствие. Предположим, что выполнены условия теоремы 7.1.
Для каждого р пусть задано непустое открытое подмножество
в(^ причем
=в(Л,) G.5)

206 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
для почти всех р. Тогда найдется такое о € в (Ур), что
а € *% G.6)
для всех р.
Чтобы вывести следствие из теоремы, достаточно заметить, что
гомоморфизм 5рт (Ур) —► в (Ур), задаваемый теоремой 3.3, непре-
непрерывен.
Мы приведем соображения, показывающие, что утверждение,
аналогичное следствию, но с 0+ (V) вместо в(У), не может быть
верным. По лемме 4.1 найдется конечное множество Р простых
чисел, так что Ъ(ор)€1/р(п1)*, если только р^Р и ор$0+ (Ар).
Предположим, что ор€0+(Ур) задано для всех р^Р. Если бы
результат, который мы вам предлагаем, был верен, то по след-
следствию леммы 5.1 мы могли бы найти такое сг^О+(У), что
е (а) € е (ар) (о;J,
Однако может случиться, что в О* нет элемента, который удов-
удовлетворяет этим условиям на в (от). Легко построить конкретный
пример. Возьмем
/ (Я) === -^1 ~Т~ -^2 Щ
и Р = {2\. Положим
С2 ==г
где
а = A,0,0), Ь = B, 1,0).
Тогда
6 (о,) - 5
Легко видеть, что не существует такого V € О*, что
V е 5 (О2*J,
Тем более не существует такого а, что V = 8 (а) обладает этими
свойствами.
Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.
Лемма 7.1. Пусть § (х) € О [х] — регулярная неопределенная
квадратичная форма определителя йот п^А переменных, и пусть
я^О*. Пусть Р—некоторое конечное множество простых чисел,
причем
2$Р G.7)
и
, г(х)€2я[х], G.8)
\й\р=1 т G.9)

7. Сильная теорема о приближениях207
для всех р^Р. Для р^Р пусть Ьр€Ор—решение уравнения
ё(Ър)= а. Тогда найдется такое Ь^О", что
, G.10)
для всех р^Р и что Ъ сколь угодно близко р адически к каждому Ър.
Это только переформулировка теоремы 1.5 гл. 9. Действительно,
для р^Р из условий G.8) и G.9) следует существование Ър€%%
с }(Ър)~а. Умножая §(х), Ър, р^Р, и а соответственно на т, т
и т3, где
а N достаточно велико, мы можем предполагать, что §г(х) и Ър,
р€Р> целы, а тогда мы находимся в условиях упомянутой тео-
теоремы.
Теперь мы докажем теорему 7.1. Случаи л = 3 и п > 3 будут
рассмотрены отдельно.
Доказательство теоремы 7.1, дг = 3. Пусть еь е2, е3—базис
решетки Л. Тогда С0(Л) состоит из
и ==^ + ^63 + ^^+ «^2, Ы/6 0 G.Н)
и
— квадратичная форма. Далее, 5рт {V) состоит из аких и, что
Пусть Р — любое конечное, множество простых чисел с условиями
(II) <ир=:$р1п (Ар) для всех ^
(III) §(и0, .... Мя)€2я[и0> ...,гг3] Для всех
(IV) 1^1^ = 1 для всех р^Р9
где й — определитель формы §". Так как квадратичное простран-
пространство V, ф неопределенно, то форма § (и09 ..., и3) также неопреде-
неопределенна. Это проще всего проверить для нормального базиса.
Пусть теперь
с координатами (и(ор\ ..., иCр)). По лймме 7.1 существуют
(и09 ..., и3) ^ О4 с ^ (^0, ..., и3) = 1, для которых и? сколь угодно
близки р-адически к и)р\ 0 ^ / ^ 3, р€Р, причем и;- —гцелые
р-адические числа для р€ Р. Тогда и, задаваемое G.11), обладаег
свойствами, требуемыми в теореме.
Доказательство теоремы 7.1, л^4. Обозначим через / форму,
индуцированную формой ер на Л; пусть её определитель равен 4»

208 Гл. 10. Спинорпая и ортогональная группы
Обозначим через Р1 конечное множество простых чисел с усло-
условиями
(и) ЭДя=*5рт(Ля) для всех ^
(Ш) / имеет коэффициенты в 2р для всех
(IV) |й|я=1 для всех р$/\.
Для р^Рг выберем и{р) € ^я- Тогда (как при доказательстве след-
следствия 1 теоремы 3.1) мы имеем
где
Здесь г четно, и на первый взгляд может зависеть от р. Однако,
добавляя члены вида аа = ф(а), мы можем предполагать, что г —
одно и то же для всех р ^ Рг. Тогда, взяв /(^а}р) вмёёто а[р\ мо-
можем считать, что
/<^> = 1 для всех р € /V
Мы имеем
для всех р€Рц так как и(^} ^5р1п (]/р).
Следующий этап состоит в том, чтобы найти такие а,^^, что
ц).. .ф(аг)=
где а, сколь угодно близки к а)р). Заметим, что мы не требуем,
чтобы а7 ^ Л для р^Рг. Для /^2 мы берем любые а, ^ V, доста-
достаточно близкие к а)р\ Определим т^О* из равенства
(а2)... ф (аг) == 1.
Тогда найдутся &[{р}€Ур* близкие к а\р\' причем
Ф (а; V») = т для всех р
Так как квадратичное пространство V, ф неопределенно и от п
переменных, то по сильному принципу Хассе (теорема 1.1 гл. 6
и два ее следствия) оно универсально, а потому по следствию
леммы 9.1 той же главы найдется аг^У с ф(а1) = т, которое
сколь угодно близко к а;{р).
Положим
Обозначим теперь через Р2 конечное множество тех р^Ри для
которых и^5рш(Ля). Если Р2 пусто, то все доказано. В против-
противном случае определим открытые множества 41 ра 5рт (Ур) условие^

7. Сильная теорема о приближениях 209
так что
^Гя-5рт(Лр) для
Положим
у^-1 для р
чр = и" для р 6 Я*
Тогда
Пространство Vр для р € Я? изотропно в силу условий A), (ш), (IV),
определяющих множество РА (которое не пересекается с Р2), и
и ^4. Следовательно, по теореме 3.2 в (Ур) = !3 A^) при р^Р2.
Отсюда следует, что Т™€"Й(У/?) для р^Р2, но это же тривиально
следует и для р € /V По лемме 3.4 каждое \р для /^ ^ Л II ^2 есть
р
произведение коммутаторов
где каждое \у}-Р) имеет вид
На первый взгляд, число членов 5 зависит от /?, но мы можем
сделать его не зависящим от р, вставляя тривиальные коммута-
коммутаторы с ар = Ър, которые равны 1.
Таким образом, для того чтобы завершить доказательство
теоремы 7 1, нам будет достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 7.2. Пусть д^4 и V, ф, Л такие же, как в теореме.
Пусть Р—множество простых чисел с условиями
A) 2 € Л
(И) форма /, индуцированная формой ф яа Л, имеет коэффи-
коэффициенты из Ър для рфР,
A11) если й—определитель формы /, то 1^1^ = 1 для
Для р$Р пусть
— коммутатор из группы Зрт^). Тогда найдется и
которое сколь угодно близко к каждому из мру с условием
для всех
Доказательство. Сначала выберем а, Ь € Ур, которые сколь
угодно близки к ар, Ър для р^Р. Мы не требуем никаких усло-
условий для р^Р. Тогда

210 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
где
с = = —ть а
по C.1.) В частности,
Ф(с) = ф(а) = т. /7.12)
Пусть Я3 —конечное множество простых чисел, не пересекающееся
с Р, для которого
а, сбЛ,, р$Р1)Рв, G.13)
|т|,=-1, р&Р1)Р3. G.14)
По лемме 7.1 найдется такое д$У, что
г <р(с1)=:т, G.15)
с! близко к с р-адически для р€Р, G.16)
с! близко к а р-адически для р^Р3у G.17)
й$Лр для р$Р1}Р3. G.18)
Тогда
в силу G.12) и, G.15). Далее, и близко к ч/р для р^Р и близко
к 1 для р € ^зэ так что мы можем предполагать, что
и € 5рт (Ля), р € /V
Наконец,
в силу G.13), G.14) и G.18).
ЗАМЕЧАНИЯ
Большая часть материала этой главы обобщается на поля
алгебраических чисел; см. О'Мира A963), где содержится даль-
дальнейшее изучение алгебр Клиффорда. По поводу алгебр Клиффорда
см. также Лам A973) и Шарлау A969). По поводу более широ-
широкого контекста теории линейных алгебраических групп см. Ар-
тин A957) и Дьедонне A955).
Арифметика кватернионов, введенных в п. I, подверглась
тщательному изучению как естественное обобщение арифметики
колец 2 и 2 [\]. Получившаяся теория применялась к изучению
представлений целых чисел суммами квадратов. Липшиц A886)
определил целые кватернионы как такие, у которых «0, и1$ и2, и3^2
(см. п. 1 по поводу обозначений). Однако Гурвиц A896, 1919)
использовал другое определение: ' 2«у^2, 2«0 = 2^ = 2«2 =
е= 2иа (той 2). Отчет об .этом есть у Гарди и Райта A938) (где
первое издание следует Липшицу, а более поздние — Гурвицу).

Примеры 211
Венков A922, 1928, 1929, 1931) применил кватернионы к различ-
различным вопросам представления чисел и бинарных форм суммами
квадратов; он .получил также для многих случаев элементарное
доказательство формул о числе классов бинарных положительных
форм данного определителя1), ср. приложение Б. По поводу при-
приложения кватернионов над полями алгебраических чисел см.
Кирмзе A924).
Если /—любая тернарная форма над й, то четная алгебра
Клиффорда Со(/) является естественным обобщением кватернио-
кватернионов и называется обобщенной кватернионной алгеброй. Если /
анизотропна, то она является алгеброй с делением (ср. пример 4
гл. 2). Обобщенные кватернионы можно использовать для изу-
изучения представлений целых чисел тернарными формами. Они
подробно исследовались Брандтом (см. его обзор, Брандт A943))
и Линником под названием „эрмитионов" (Линник A939, 1940,
1949), Линник и Малышев A953)), Отчет об этом есть у Малы-
Малышева A962), гл. 4. По поводу арифметики кватернионов в более
общем контексте см. Дойринг A9*5), особенно стр. 135—137,
где имеются ссылки на более ранние работы, в которых изуча-
изучаются специальные вопросы. См. также Джоунс и Полл A939)
(ср. пример 4 гл. 11), Полл A946а) и Пэтерс A969).
Использование обобщенных кватернионных алгебр для тер-
тернарных форм можно рассматривать как очень частный случай
теории, которая будет развита в следующей главе, и некоторые
частные результаты в упомянутых работах прекрасно укладыва-
укладываются теперь в о5щую картину.
П.З. Липшиц A886, 1959) дал явные формулы для спинорной
нормы в обычной ортогональной группе.
П. 10. Имеется общая теория теорем о сильных приближениях
для линейных алгебраических групп. В частности, такая теорема
может быть, только если группа односвязна. См. Кнезер A965,
1966). См. также Платонов A969).
ПРИМЕРЫ
1. Пусть Л^ —- 2^-решетка в 3-мернгом регулярном квадра-
квадратичном пространстве Уру ср, где рф2. Предположим, что ср цело-
значна на Л^ и что определитель квадратичной формы, индуциро-
индуцированной ф на Л^, делится на /?, но не на р2. Показать, что 0(а)
пробегает все классы 0^ по модулю (ЦрJ, когда а пробегает
О+ (Л,).
2. Обозначения и предположения такие же, как в примере 1.
Предположим, кроме того, что Ур, ф анизотропно. Пусть Ь —
1) В связи с элементарным доказательством формул Дирихле см. недавние
работы Дзвиса (Оау1е5 $. XV.) A976) и Орде (Огёе Н.Л.5.) A978).— Прим. ред.

212 Гл. 10. Спинорная и ортогональная группы
любой элемент из Л^ с | ф (Ь) |^ == /7""х, и пусть а^О* (Ар)
Показать, что
аЬ = еЬ (той рАр)9
где
+1,
-1,
3. Пусть Л—2-решетка в 3-мерном регулярном квадратич-
квадратичном пространстве V, ф. Предположим, что
A) ф неопределенна;
(И) ф целозначна на Л;
A11) для любого р множество р-адических единиц Vр содер-
жится в объединении 6 (а), где а пробегает О+ {Ар)9 а Ар—лока-
Ар—локализация решетки Л.
Пусть Р* такое множество простых чисел, что Ар удовлетво-
удовлетворяет условиям примеров 1,2, и пусть для р^Р* произвольно
заданы 1цр = ±:1. Пусть Ь^А таково, что для всех р
Показать, что найдется такое р^О+(Л), что
для всех р^Р*.
4. Пусть V, ф — регулярное 3-мерное квадратичное пространство
над полем к с определителем й (к*J.
A) Показать, что центр полной алгебры Клиффорда С (V)
имеет над к размерность 2; он имеет базис 1,с с с2 б— с!(к*J.
(и) Предположим, что V, ф изотропно. Показать, что суще-
существует изоморфное отображение
К: Со (V) — А
четной алгебры Клиффорда на полную алгебру матриц А раз-
размера 2x2-над полем к. Показать, что К можно выбрать так,
чтобы
(Я (и))'-Я (и'), иеС0A0,
где ' в левой части равенства — переход к транспонированной мат-
матрице, ' в первой части—каноническая инволюция на С0(У).
A11) Предположения такие же, как в (и); предположим еще,
что —1 ^к(к*J. Показать, что изоморфизм Я можно двумя спо-
способами расширить до гомоморфизма алгебр
/=1,2.
(IV) Предположения такие же, как в A11). Для любого / по-
показать, что А как векторное пространство над к порождено Цу A)

Примеры213
и [лу- (V), у$.У. Показать далее, что [А/(V)— в точности те эле-
элементы из Л, след которых равен 0.
5. Пусть рф2 и Л—2^-решетка в 3-мерном квадратичном про-
пространстве У,ф над полем. к = С1р. Предположим, что ф принимает
целые значения на Л и что определитель квадратичной формы,
ицдуцированной на Л, есть р-адическая единица. Пусть и^/И0(У)
таково, что Тиб О+ (Л) в обозначениях теоремы 3.1. Показать,
что и = /и0, где / ^ Ор, и0 6 Мо (Л) и V'оио есть единица кольца 2р.
[Указание. Заменой ф на /ф, где ^О*—единица, можно
добиться выполнения условий предыдущего примера. Показать,
что [л, можно выбрать так, чтобы образ М0(Л) состоял из группы
Ао 2х2-матриц с элементами из 2р1 определитель которых есть
единица. Теперь воспользоваться тем, что всякая невырожден-
невырожденная 2х2-матрица В с элементами из 0^ имеет вид В=В1В2В3,
где В1э В36ЛО, а В2 —диагональна.
Замечание. Это частный случай примера 7.]
6. Пусть Л —2-решетка в 3-мерном квадратичном простран-
пространстве V, ф над & = (}. Предположим, что ф индуцируем на Л це-
целую форму определителя А. Пусть и € Мо (V) таково, что
Ти 6 0+(Л). Показать, что и = /и0, где /6 0*, ио€Мо(Л) и
о11о 1^=1 для всех р \ 2±
[Указание. Локализовать и применить предыдущий пример.
Замечание. Это частный случай примера 7.]
7. Пусть / — область целостности с полем отношений к, и
пусть Л — /-решетка в регулярном 3-мерном квадратичном про-
пространстве V, ф над к. Пусть ет, е2, е3-— /-базис решетки Л и
и, € /.
A) Показать, что С0(Л) имеет /-базис
1су су ДО
, ©]_, Од, С^д,
где
г
•^З ^^3 / 23»
Од С-| С^ * /12"
A1) Показать, что в- = — е/э /=1,2,3, и что
.2 _:_ у»
О' МЯВ*
где (Рц) — матрица, присоединейная к (/,у).
(Ш) Пусть е- =2'#/е/—"другойбазис Л,
и пусть еу* определены через е? тем же способом, как е^ через
—_

214 Гл. 10. Спинор ноя и ортогональная группы
Показать, что в/=25//8/» гДе 5//€ Л йе! E//Г) = 1. Показать,
далее, что E^)—матрица, присоединенная к матрице у
(IV) Пусть /—область главных идеалов, и пусть и —любой
элемент из Со (Л). Показать, что базис ег, е2, е3 решетки Л можно
выбрать таким способом, чтобы и = 1 + тв1 для некоторых /, т^ /.
(V) Пусть /—область главных идеалов. Мы будем называть
элемент и^Сб(А) примитивным, если он —примитивный элемент
С0(Л), рассматриваемой как 4-мерная решетка над /. Показать,
что если и примитивен и Ти € О+ (Л), то
где
[Указание. Использовать (IV). Если и'е/и =
то и'и\гу для всех"/, /, и результат легко следует. Доказатель-
Доказательство, не использующее (IV), есть у Бахмана A898), гл. 4, п. 1.
Замечание Этот пример обобщает примеры 5, 6. Имеются
близкие результаты Полла A946), см. теоремы 4, 5.]

Глава 11
СПИНОРНЫЙ РОД
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы введем новое подразделение квадратичных
форм над 2, которое будет промежуточным между классом собст-
собственной эквивалентности и родом, а именно спинорный род. Всегда
можно эффективно решить, лежат ли две заданные формы в одном
и том же спинорном роде; оказывается, что при довольно общих
условиях в роде имеется только один спинорный род. С другой
стороны, из результатов этой главы будет следовать, что для
неопределенных форм от трех или более переменных любые две
формы из одного спинорного рода собственно эквивалентны. Сле-
Следовательно, результаты этой главы дают эффективный способ
распознавать, когда две данные неопределенные формы от п^З
переменных собственно эквивалентны. Соответствующая проб-
проблема для определенных форм тривиальна по крайней мере в прин-
принципе, а для неопределенных бинарных форм ее можно решить
методами п. 3. гл. 13. Тем самым мы заполним логический про-
пробел, о котором упоминалось в конце п. 1 гл. 9.
Теория, развитая в этой главе, будет представлена в основ-
основном на языке решеток в квадратичном пространстве V, и мы
начнем с того, что дополним то, что было изложено в гл. 7
в таком же общем контексте. Пусть /—область главных идеалов,
лежащая в поле к характеристики Ф2, и пусть I/, ср.— регуляр-
регулярное квадратичное пространство над к. Мы будем говорить, что
две /-решетки Л, Г в V эквивалентны, если существует такое
а^ООО, что Г —аЛ. Мы будем называть эквивалентность собст-
собственной или несобственной в зависимости от того, а^О+(У) или
а$0~ (V). Если мы-хотим подчеркнуть, что эквивалентность мо-
может быть как собственной, так и несобственной, то будем гово-
говорить оэ эквивалентности в широком смысле1).
Если а1э ...,ая- любой /-базис решетки Л, то
1, • • •, *„) = Ф (^а, + ... +хпип) A.1)
будет квадратичной формой, приним ющей значения в к. Различ-
Различные выборы базисов аг, . .., ап дают в точности все формы, кото-
которые /-эквивалентны в широком смысле форме /.
Не следует путать это понятие с тем же термином, использованным
редактором в другом смысле в примечании на стр. 20.— Прим. ред.

216 Гл. 11. Спинорный род
Лемма 1.1. Приведенное выше построение устанавливает
взаимно однозначное соответствие между классами эквивалент-
эквивалентности в широком смысле 1-решеток и классами I-эквивалентности
в широком смысле квадратичных форм, которые к-эквивалентны
форме /.
Доказательство. Предположим сначала, что Л, Г — эквивалент-
эквивалентные решетки, скажем Г = аЛ. Пусть аь ,.., ап —базис Л; тогда
, . ..,аа„—базис Г. Так как а — автометрия V, то
Ф (л^а, + ... + хпап) = ф (а (х^ + + хпьп)) =
Следовательно, Л, Г соответствуют одному и тому же классу ква-
квадратичных форм.
Наоборот, предположим, что две решетки Л, Г соответствуют
одному и тому же классу эквивалентности квадратичных форм.
Тогда мы можем выбрать базисы а,,..., аЛ в Л и Ь1§ ..., Ьп в Г
так, чтобы тождественно выполнялось
Тогда существует единственное линейное преобразование а прост-
пространства V в себя, для которого
Ясно, что а — автометрия и аЛ*=Г, как и требовалось.
Нас будет больше интересовать собственная эквивалентность.
Отметим
Следствие 1. Пусть класс решетки Л и класс формы! соответ-
соответствуют друг другу. Л несобственно эквивалентна самой себе тог-
тогда и т аько тогда, когда это же верно для /.
Доказательство. Это очевидно.
Если п нечетно, то и Л и / имеют несобственный автомор-
автоморфизм х -♦ — х, поэтому следствие фактически относится к четному п.
Точно так же, если I— 2ру к = 0.р, то не нужно делать раз-
различия между собственной и несобственной эквивалентностью, так
как по следствию леммы 3.2 гл 8 квадратичная форма со
р фр
чениями в (Хр всегда несобственно эквивалентна над 2р самой
себе.
Если /=:2, /г = 0, то ложно получить более точное утверж-
утверждение.
Следствие 2. Существует взаимно однозначное соответствие
между классами собственной эквивалентности Ъ решеток в фик-
фиксированном (^-квадратичном пространстве V и классами собствен-

/. Введение 217
ной Ъ-эквивалентности квадратичных форм, которые лежат в не-
некотором фиксированном классе собственной (Х-эквивалентности.
Доказательство. Пусть еь ..., еп—- некоторый фиксированный
в дальнейшем базис пространства V над О. Мы назовем последо-
последовательность п линейно независимых элементов аг, ...,а„ положи-
положительно ориентированной, если ёе1 (а^) > 0, где
Если а*,..., ап и Ьи..., Ьп—два положительно ориентированных
базиса одной и той же решетки Л, то формы ср (д^а, + ... -\-хп&п)
и ф^^Ч- ...-\-хпЪп) собственно эквивалентны. Мы сопоставим Л
этот собственный класс эквивалентности. Если а^О+(У) и а1э...,
аЛ—положительно ориентированный базис решетки Л, то аа1т...,
аа„ будет положительно ориентированным базисом решетки аЛ.
Остальное очевидно.
Замечание. Это соответствие не „канонично", так как зависит
от выбора базиса еь ..., еп.
После этого вспомогательного материала вернемся к основной
теме этой главы. Любые две квадратичные формы из одного
рода по теореме 1.4 гл. 9 эквивалентны над О. Поэтому можно
сделать так, чтобы соответствующие им решетки лежали в одном
и том же квадратичном пространстве над О. Тем самым мы мо-
можем исследовать формы в данном роде, изучая решетки в фикси-
фиксированном О-квадратичном пространстве V и их поведение при
„локализациях" по простым р.
В дальнейшем р всегда будет обозначать обычное простое
число, т. е.
°°. A.2)
Символы Л, Г будут сохранены для 2-решеток в V. Символы ]/ру
Ар, Гр будут использованы для локализаций в смысле пп. 6, 7
предыдущей главы, так что Ар есть 2^-решетка в Vр. С другой
стороны, А^\ Г(^ будут обозначать 2^-решетки, которые, вообще
говоря, никак не связаны с решетками над 2. Группа собствен-
собственных автометрии V и Vр обозначается через 0+ (V) и 0+ (У )
соответственно. Нет необходимости указывать в обозначениях по-
поле определения, так как ясно, что это должно быть О для 0+ (V)
и (Хр для 0+ (Ур). Мы будем рассматривать 0+ (V) как подгруппу
группы 0+ (Ур); поэтому будем использовать одну и ту же букву
как для элемента из О* (К), так и для его локализации как ав-
автометрии Vр. Элементы из 0+ (Ур) будут обозначаться ар, р^....
Заметим, что мы здесь не последовательны, так как ар, вообще
говоря, не есть локализация какого-то а. Наконец, если Л, Л(^ —
2-решетка в V и 2^-решетка в Vр соответственно, то 0+ (Л),

218 Гл. П. Спинорный род*
0+ (А{р]) являются подгруппами 0+ (V), 0+ (Ур), которые остав-
оставляют Л, Л^ инвариантными, как подмножества.
Имеется удивительно простой критерий, чтобы узнать, когда
набор локальных решеток получается локализациями глобальной
решетки.
Теорема 1.1» Для каждого р пусть Г{?' есть 2р-решетка в Ур,
и пусть Л — Ъ-решетка в V. Тогда для того, чтобы существова-
существовала такая 2-решетка Г, что для всех р
Г, = Г</», A.3)
необходимо и достаточно, чтобы для почти всех р
. A.4)
Если решетка Г существует, то она однозначно определена зада-
заданием A.3).
Доказательство будет дано в п. 2.
Естественно говорить, что две решетки Л, Г над 2 принадле-
принадлежат одному роду, если они собственно эквивалентны всюду ло-
локально для каждого р. Т. е. для всех р
Г, = Р,Л,. A.5)
где
РУ A.6)
В A.6) мы могли бы писать 0(Ур) вместо 0+ (Ур), так как
всякая 2^-решетка несобственно эквивалентна самой себе по след-
следствию леммы 3.2 гл. 8. Однако в этой главе упор делается на
собственную ортогональную группу. Ясно, что род решетки соот-
соответствует роду квадратичных форм в смысле леммы 1.1.
По теореме 1.1 мы имеем: ,Г/? = Л/7 для почти всех р, а
потому из A.5) следует, что
Рр€О+(Л,) A.7)
для почти всех р.
Наоборот, если заданы C^, удовлетворяющие A.6) и A.7), то
по теореме 1.1 найдется единственная 2-решетка Г, удовлетворяю-
удовлетворяющая A.5). Более общо, пусть заданы два множества \$'р} и {C^},
удовлетворяющие A.6) и A.7), и пусть Г', Г" —- соответствующие
решетки, так что
A.8)
; р, A.9)
Тогда справедлива
Лемма 1.2. A)Г' = Г" тогда и только тогда, когда сущест-
существует такое
A.10)

/. Введение 219
что для всех р
$;~$'рУр- A-й)
4
(и) Решетки Г", Г" собственно эквивалентны,
A.12)
с
а€0+ (V) A.13)
в точности тогда, когда существуют такие уру удовлетворяющие
A.10), что для всех р
Р; = ^Тр. A.14)
Доказательство, (г) По теореме 1.1 мы имеем Г' = Г", если
для всех р
A.15)
а это эквивалентно A.11).
(И) Доказывается аналогично.
Таким образом, мы перевели задачу нахождения собственных
классов в роде в некоторую задачу о собственной ортогональной
группе и о ее локализациях, хотя и не видно, как эту послед-
последнюю задачу решать. Теперь мы объясним, как с помощью спи-
норной нормы можно разбить эту задачу на две более простые
задачи.
Вспомним, что спинорная норма 6 дает отображения
а+00-^О*/(О*J A.16)
0+(У,)-О;/(СО2- A.17)
Мы условились рассматривать 0+ (V) как подгруппу 0+ (Ур)>
и это вложение соответствует естественному юмоморфизму 0*/@*)а
в Ор/(ОрJ. Ядра отображений A.16) и A.17) обозначаются соот-
соответственно через в (V) и 6A^), в (Л) =Ь(У) ПО+ (Л), и в (Ля) =
— ® (УР) П 0+ (Лр). Удобно также ввести обозначения для образов
спинорной нормы. Положим
е(ЮН6(а) аеО+ООЬ A.18)
и аналогично ,
A.19)
A.20)
в(Ар) = {6 (а): абОЧЛ,)}. A.21)
Нам будет нужна следующая
Лемма 1.3. A) Если решетки А и Г эквивалентны, то

220 Гл. 11. Спинор ный род
(И) Если решетки Л и Г принадлежат одному роду, то
е (л,) - е (Г,) A.23)
для всех р.
Доказательство, (\) Как сказал бы старина Бурбаки, это сле-
следует „по переносу структуры).
(и) Это следует из локального варианта для A), так как по
определению рода Г^ эквивалентна Л^.
Мы будем временно говорить, что для упорядоченной пары
решеток Л, Г выполняется условие 5 (Л, Г), если существуют
такие
Ьр$ЫУР). A.26)
что для всех р
Гр = уЯрЛр. A.27)
Лемма 1.4. A) Только что описанное отношение 8 является
отношением эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрич-
симметрично и транзитивно.
(и) Если А и Г собственно эквивалентны, то справедливо
5(Л, Г). . . -
(III) Если справедливо 8 (Л, Г), то Л и Г принадлежат одно-
одному роду.
(IV) Если Г', Г", E^, Рр (для всех р) такие же, как в A.8),
A.9), то 8 (Г', Г") справедливо тогда и только тогда, когда
существует такой у^О+(У)у что для всех р
A.28)
Замечание. После того как мы докажем A), мы будем назы-
называть класс эквивалентности для отношения 5 спинорным родом.
Из (и) и A11) будет тогда следовать, что это промежуточный
класс между классом собственной эквивалентности и родом. По
следствию 2 леммы 1.1 мы можем также говорить о спинорном
роде квадратичных форм.
Доказательство, (и) и A11) очевидны из A.27). Пусть спра-
справедливо 5(Г', Г"), так что найдутся такие у^О+(У) 8р€в(Ур)ш
что для всех р
. A.29)
*) Доказательство, приведенное в оригинале, некорректно, ибо оно исполь-
вует формулу
6 (<ртГ1)'-е (V) в (а){6 (т)}-1*^ (а), A.24)
имеющую смысл только для у$О+ (V). На эту погрешность указал автор.-»
Прим. ред9

у. Введение 221
Следовательно,
при некоторых
ея€О+(Ля). A.31)
Применяя спинорную норму 0 к A.30) и вспоминая, что 0 (бя) == 1
по определению, мы получим
Отсюда следует A-.28), так как 0 принимает значения в коммута-
коммутативной группе 0,*р/(A*рJ показателя 2 и так как 0 (гр) ^ В (Л-).
Обратно, предположим, что существует такое у€О+(К), что
выполняется A.28). Но определению 0(ЛЯ) существуют такие
гре0+(Ар), что
A.32)
Уравнение A.30) определяет §р как элемент из О+(Ур). Из
A.30) и A.32) следует, что 0F^ = 1, и потому 6р^@(Ур)у что и
требовалось доказать.
A). По (IV) условие 5 (Г', Г") есть отношение эквивалентно-
эквивалентности, если решетки принадлежат одному роду. Поэтому @ следует
ИЗ (IV).
Это завершает доказательство. Заметим мимоходом, что пра-
правая часть A.28) на первый взгляд зависит от выбора решетки в
роде. Однако из теоремы следует, что это не так, и действитель-
действительно, лемма 1.3 (и) подтверждает это.
Теперь мы можем сформулировать теорему, которая будет
основной целью этого пункта.
Теорема 1.2. Число спинорных родов в роде всегда конечно и
равно степени 2. Это число всегда может быть эффективно най-
найдено.
Конечность следует сразу же из конечности числа классов в
роде (см. теорему 1.1 гл. 9). То, что число спинорных родов в
фиксированном роде есть степень 2, есть почти непосредственное
следствие того факта, что спинорная норма принимает значения
в абелевой • группе показателя 2. Таким образом, нетривиальная
часть теоремы содержится в ее последней фразе, а это будет до-
доказано в теореме 3.1.
Очень часто в роде имеется только один спинорный род.
Простой критерий для этого следующий.
*
Теорема 1.3. Пусть V, ср—квадратичное пространство раз
мерности п. Предположим, что ф принимает целые значения на
решетке Л; обозначим через й определитель соответствующей
квадратичной формы. Пусть род решетки Л содержит больше

222 Гл. П. Спинорный род
одного спйнорного рода. Тогда выполняется по меньшей мере одно
из следующих условий:
(\) найдется такое нечетное простое число р, что
A1) квадратичная форма, индуцированная на Л, целая в клас-
классическом смысле, и
2п{п-3)/2+
Здесь квадратные скобки [ ] обозначают „целую часть". От-
Отметим, что условия A), (и) вообще говоря, не достаточны для
того, чтобы род содержал более одного спйнорного рода.
Доказательство будет дано в п. 3.
Теорема 1.4. Пусть V, ср—неопределенное квадратичное про-
пространство размерности п ^ 3. Тогда всякий спинорный род
содержит ровно один собственный класс.
Доказательство. Основная работа уже проделана в предыду-
предыдущей главе. Поэтому мы можем сразу же доказать теорему. Нам
нужно показать, что если даны такие решетки Г, Л, что для всех р
то Г и Л собственно эквивалентны. Мы уже видели в A.7), что
для почти всех р
По следствию теоремы 7.1 гл. 10 найдется такое а^вA/), что
для всех р
Тогда Г^аЛ^ для всех р, а потому Г = аЛ, что и требова-
требовалось. Это- завершает, доказательство.
Ничего похожего на теорему 1.4 не выполняется для опреде-
определенных форм; Действительно, имеет место
Лемма 1.5. Для всякого п^З существуют решетки, спинор-
спинорный род которых содержит более одного класса.
Доказательство. Пусть Л — решетка с базисом Ь^. ., Ь„, и
пусть ф определено равенствами
ф(ь„ ьу)=о, 1
где д{ — 1-е нечетное простое число, так что дг = 3, ^2 ~ 5,.... Тогда
по теореме 1.3 род решетки Л содержит только один спинорный
род. С другой стороны, легко видеть, что 1 представймо формой ф
на каждой Ар для всех р, включая оо; Следовательно, по теоре-
теореме 1.3 гл. 9 число 1 представймо формой ф на некоторой решет-
решетке Г, принадлежащей тому же роду* ято..и.Л. Но ф на Л не

/. Введение 223
представляет 1, так как
Ф (хгЪг + .. + хпЪп) =*до? + ,. . +япх2п > 1
для *!,..., #„^2, когда хотя бы один хг не равен нулю. Таким
образом, Л и Г лежат в одном и том же спинорном роде, но не
эквивалентны.
Сформулируем явно на языке квадратичных форм важное след-
следствие теорем 1.3 и 1.4.
Теорема 1.5. Пусть }{х1% •.., хп) — целозначная неопределенная
квадратичная форма определителя йфО от п^З переменных.
Предположим, что
A) рпш-1)/2 ^ й для любого нечетного простого числа р\
(и) либо / не классически целая, либо 2п(п - 3)/2 + К" + 1
Тогда всякая форма, принадлежащая тому же роду, что и
собственно эквивалентна /. Кроме того, I несобственно эквивалент-
эквивалентна самой себе.
Доказательство. Форма ^ соответствует решетке Л в квадра-
квадратичном пространстве V, ф над О. По теоремам 1.3 и 1.4 всякая
'решетка, принадлежащая тому же роду, что и Л, собственно экви-
эквивалентна Л. Последнее свойство следует из того, что две формы,
которые несобственно эквивалентны, принадлежат одному роду
(или, иначе, по следствию 1 леммы 1.1).
Теория спинорных родов, развитая в этой главе, проводится
на языке решеток. В пп. 4—6 мы покажем, как все можно ин-
интерпретировать на языке квадратичных форм. Пусть /, §—целые
формы от п^З переменных, принадлежащие одному роду. По
теореме 1.4 гл. 9 эти формы эквивалентны над кольцом 2(Р), где,
как обычно, Р—конечное множество простых чисел, а 2(Р) состоит
из рациональных чисел, которые являются целыми р-адическими
для всех р^Р. Мы можем предположить, что 2 € Р и что опре-
определитель й рода есть ^-адическая единица для всех ?^Я. Част-
Частный вид 2(Я)-эквивалентности можно получить так. Пусть
и пусть г ^ 2—р-адическая единица для всех р^Р. Тогда форма
' Н(х) = 1(г^1х19 гх2, х9, ..., *„) A.33)
будет целой, если / — целая и если
Ясно, что тогда И будет эквивалентна / над 2(Р). Оказывается,
что всякая 2(р)-эквивалентность может быть разложена в компо-
композицию 2-эквивалентностей и эквивалентностей вида A.33), Далее,
спинорный род И зависит только от г и от спинорного рода /.
Результаты, описанные выше, дают весьма удовлетворительные
знания о формах, принадлежащих родам неопределенных форм,

224 Гл. П. Спинорный род
по крайней мере когда число переменных не меньше трех. Они
проливают гораздо меньше света на теорию определенных форм.
Как уже неоднократно отмечалось, в принципе нетрудно решить,
будут ли две определенные формы над Ъ эквивалентными; однако
эта процедура мало что дает для понимания определенных форм.
В пп. 7—8 мы приведем некоторые следствия развитой теории
для определенных форм, а в заключение, в п. 9, докажем сле-
следующую теорему.
Теорема 1.6. Пусть /(х) — целая положительно определенная
форма от п^\ переменных. Тогда существует целое число Ы9
обладающее следующим свойством:
Пусть а^N—целое число, примитивно представите фор-
формой / над Ър для каждого р. Тогда а примитивно представимо
формой / над 2.
На примерах мы покажем, что эта теорема не имеет места, если
я--3 или если опустить слово „примитивно".
2. ЛОКАЛИЗАЦИЯ РЕШЕТОК
В этом пункте мы докажем теорему 1.1.
Предположим сначала, что Л, Г —две 2-решетки в одном и
том же О-векторном пространстве V с базисами ах, . . ., а„ и Ъи
..., Ъп соответственно. Тогда существуют такие &1/9 ?,/€0,
п
С/ л, B.1)
п
Ь, = 2 гиъ,, 1 < (< п. B.2)
При этом
п B.3)
почти всех р. Ясно, что из B.3) следует, что
Г, = ЛЯ, B.4)
поэтому B.4) выполняется для почти всех р.
Пусть теперь заданы 2^-решетки Г(я> в Vр для всех р\ пред-
предположим, что для почти всехр
Г</»^ЛЯ. B.5)
Мы должны показать, что найдется такая 2-решетка Г, что
B.6)
для всех р.
Пусть Р — конечное множество простых чисел р, причем
B.7)

Локализация решеток 225
для всех р(^Р. Для каждого р^Р найдется такое целое число
()^0 что
Рассматривая вместо Л решетку
Х
реР
мы не нарушим условия B.7). Это позволяет, не умаляя общности,
предполагать, что для р^Р
Г<*>сЛг B.8)
Положим
Г^ П (ЛПГ*>). B.9)
Мы покажем, что Г является решеткой и что она удовлетворя-
удовлетворяет B.6).
Для р € Р существует такое целое число Н (/?) ^ 0$ что •
/тЛ(я>ЛгсГ(я\ B.10)
Следовательно,
П B.11)
Так как Г, определенная формулой B.9), очевидным образом есть
группа по сложению, то она по лемме 3.3 гл. 7 должна быть
решеткой.
Из B.7) и B.9) следует, что для всех р
Чтобы завершить доказательство, мы должны только показать,
что Г^сГ^. Так как Г^ есть замыкание Г в Ур в /?-адической
топологии, то достаточно показать, что любая точка из Т{р] может
быть сколь угодно близко /?-адически аппроксимирована точками
из Г. А это—небольшое упражнение на сильную теорему о при-
приближениях для 2 (или же китайскую теорему об остатках), лемма
3.1 гл. 3. Точнее, пусть р фиксированно, и пусть с^—любой
элемент из Г4^. Тогда
ая, B.12)
где а1у ..., а„—фиксированный базис решетки Л, а &р€Ър.
Пусть N сколь угодно велико, в частности
Ы^Н(р) B.13)
для р^Р- По китайской теореме об остатках найдутся такие
Ч* • - •» сп € 2, что
с, «а ср} (той р% 1 < г < п9 . B.14)
с, не 0 (той <7Л(«>), 1 < / < л, 9 € Р, 9 Ф р. B.15)
8 М156

226 Гл. П. Спинорный род
Положим
Тогда
в силу B.15). Если р^Р, то
в силу B.13) и B.14), и тогда с^Г(р\ так как с^^Г4^ по ус-
условию. Следовательно, по B.9) с^Г. Но с можно выбрать сколь
угодно близким к с(^7) за счет выбора N. а потому с{?} € Г^. Это
завершает доказательство.
Аналогичным рассуждением читатель легко докажет сле-
следующую лемму.
Лемма 2.1. Пусть Л, Г—2-решетки с ГсгЛ. Тогда индекс
Г в Л есть произведение индексов Тр в Ар по всем простым чис-
числам р.
В заключение этого пункта укажем перевод теоремы 2.1 гл. 9
на язык решеток.
Если Л—/-решетка, где / — кольцо, то через 8Ь(А)—8Ь1 (А)
мы будем обозначать группу автоморфизмов Л с определителем +1.
Теорема 2.1. Пусть Л—2-решетка, и пусть заданы $р € §1< (Ар)
для конечного множества р^Р. Тогда найдется $$8Ь(А), кото-
которое сколь угодно* близко р-адически к каждому из
3. ЧИСЛО СПИНОРНЫХ РОДОВ
В этом пункте мы покажем, что число спинорных родов в дан*
ном роде равно порядку некоторой группы, которая, конечно,
зависит от рода и которая легко вычисляется. В дальнейшем мы
будем предполагать, что
C.1)
где п—размерность. Если /г == 2, то имеются дополнительные труд-
трудности; однако читатель, если он того пожелает, легко проделает
сам соответствующие видоизменения в рассуждениях и в форму-
лировках (или см. Кнезер A956)). Нам не потребуется теория
спинорных родов для п = 2, так как в этом случае мы имеем более
полную информацию с помощью композиции бинарных форм
(см. гл. 14).
Лемма ЗвЬ Пусть п^З. Тогда
е (у) - а;. C.2)

8. Число спинорных родов227
Доказательство. Форма ф представляет все элементы из р
на Ур, кроме, возможно, случая п^=3. В этом исключительном
случае элементы из 0*р$ которые не представимы, лежат в одном
классе, назовем его ер((Х*ру по модулю (ОрJ (см. следствие леммы
2.6 гл. 4). Пусть и)—любой элемент из 0*. Пусть щ V—элементы
из 0Ср с
В исключительном случае мы можем предположить еще, что
' ибо Ор/(ОрJ имеет порядок 4 или 8. Найдутся такие а, Ь
что
Тогда
Это завершает доказательство.
Лемма 3*2„ Пусть п^З. Тогда
{ (}*, если V, ц> неопределенно, C.3)
\ О+, если V, ц> определенно, C.4)
еде 0+—группа положительных элементов из 0.*.
Доказательство. Мы используем принцип Хассе (более точно,
следствие 2 теоремы 1.1 гл. 6), а также рассуждение, аналогич-
аналогичное предыдущему. Форма ф представляет все элементы каждого
С1* над Уру. кроме п»3, когда может существовать конечное
множество простых чисел р€Л для которых элементы одного
класса ер@,*р)% опускаются. Пусть но—любой элемент из 0* или
из 0+, соответственно рассматриваемому случаю. Тогда мы можем
выбрать и, V^^^ так, чтобы иу*=*хю и
для всех р€Р. Если квадратичное пространство У, ф опреде-
определенно, то мы можем, кроме того, выбрать у и знак так, чтобы и
представлялось формой ф над У^; тогда это же будет верно и
для V. По принципу Хассе найдутся такие а, Ь € V, что ф (а) = иу
(Ь) = V. Дальше можно рассуждать, как в предыдущей лемме.
Лемма 3.3. Пусть я>2, рф2\ № —решетка в Ур. Пред-
Предположим, что ф принимает целые значения на Л(^} и что опре-
определитель квадратичной формрс, индщирово,нщй на №\ являетдц

228 . Гл. 11, Спинорный род
р-адической единицей. Тогда
, C.5)
еде Vр—группа р-адических единиц.
Доказательство. Всякий элемент и ё V р представим ср на А{р>
(см., например, лемму 3.4 гл. 8). Как и в доказательстве леммы
8.1, отсюда следует, что 0(Л(^))з[У/7(Ц*J.
По следствию 2 леммы 3.3 гл. 8 из условий леммы вытекает,
что всякий элемент а ^ О (А{р}) может быть представлен в виде
произведения элементов ть, где Ь^Л^ и у(Ъ)€Ур- В частности,
если а ^ О+ (Л*^), то 8 (а) ^ V {(XIJ. Это завершает доказательство.
Теперь мы построим группу, относительно которой будет дока-
доказано, что ее порядок совпадает с числом спинорных родов в дан-
данном роде, содержащем решетку Л. Обозначим через Р любое
конечное множество простых чисел с условиями
C.6)
Р C.7)
для всех р^Р. Такие множества Р существуют по лемме 3.3.
Заметим, что по лемме 1.3 условия C.6) и C.7) зависят только
от рода решетки Л, а не от самой Л. Пусть
C.8)
Д;
реР
— произведение групп фр по р^Р. Его элементами являются
последовательности
\с(р)}р^р^{с(р1), с(рй), ...,с(ру)}, C.9)
где ръ ♦.., рз—элементы из Р, расположенные в некотором по-
порядке, а с (рх) независимо друг от друга пробегают все (Х*р , при-
причем групповая операция покомпонентная. /? содержит очевидным
образом группу
причем
\ , C.11)
где /?а—множество элементов вида га,
Обозначим через Т = Тр множество таких <6О*, что для всех
Р C.12)
ц если пространство Уу ф определенно, то
C.13)

3. Число спинорных родов 229
Мы можем рассматривать Т как подгруппу группы /?, вложен-
вложенную с помощью „диагонального отображения", т. е. мы будем
отождествлять I с
C.14)
Наконец, определим факторгруппу
0=0р = Кр/8рТр, C.15)
где 8РТР—группа, состоящая из 5<, 5^5Р, 1$.ТР. По C.11)
ч C.16)
Оказывается, что руппа 0р фактически не зависит от Я, конечно,
при условии, что выполняются условия C#6) и C.7). Это будет
следовать из доказанного далее или легко может быть проверено
непосредственно.
Лемма 3.4. Пусть п^З. Всякая решетка Д, принадлежащая
тому же роду, что и решетка Л, собственно эквивалентна ре-
решетке Г, для которой
ГР=РРАР, Р„еО+(^) C.17)
вЮ C.18)
C.19)
Доказательство. Предположим, что
где, не умаляя общности, можно считать, что 6р—тождественное
отображение для почти всех р. Тогда можно найти положитель-
положительное рациональное число с так, что для всех р
По лемме 3.2 найдется у€О4(У) с 6(у)яшя. Положим
Г«уД C.20)
так, что для всех р
По C.7) для каждого р € Р существует такое ар € О* (Ар), что
6(ар) = Ъ(у6р). C.21)
Тогда
удовлетворяет условиям C.17), C.18) и C.19), что и требовалось,

230 Гл. 11. Спинорный род
Следствие* Всякий спинорный род в роде решетки Л содержит
решетку Г, удовлетворяющую условиям C.17), C.18), для которой
C.22)
Доказательство. Утверждение C.19) эквивалентно тому, что
при р^Р. Определим новую решетку Г1 условиями
Тогда Г' принадлежит тому же спинорному роду, что и Г. Так
как решетки Г, Д эквивалентны, то Г' удовлетворяет заключению
следствия.
Лемма 3.5. Пусть п^З, и пусть Г, А—решетки из того
же рода, что и решетка Л. Пусть
Тр = р^Л,, Д, = б^Л,, р,, в, € О* (Ур) C.23)
$ C.24)
Тогда для того, чтобы Г, Л принадлежали одному спинорному
роду, необходимо и достаточно, чтобы
и
принадлежали одтму классу смежности К по модулю 8Т.
Замечание. Обозначения те же, что и в C.9) и C.15). Есть
некоторая двусмысленность в обозначениях, так как 0(Р/7), 6F)
р у (Р/) (^)
определены не как элементы из Ор, а только как классы О^тоё @*рJ.
Однако по C.11) неважно, какие представители в 0*р брать из
этих классов.
Доказательство. По лемме 1,4 (IV) для того, чтобы Г, Д
принадлежали одному спинорному роду, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы существовало такое V € О+ (к)» что для всех р
в(Ря)в(бя)в(у)€в(Лр. C.26)
В силу C.7) и C.24) условие C.25) для р^Р эквивалентно
условию
в (V) 6 V, (ОЙ1
для всех р$Р, а это последнее условие по C.12) эквивалентно
0(Т) $Т @?)*. C.26)
С другой стороны, условие C.25) для всех р$Р эквивалентно
(вя)в(Т)ия€в. C.27)
силу C.11) это завершу?

3. Число спинорных родов 231
Следствие. Пусть Г —решетка из того оюе рода, что и Л,
причем для всех р^Р
Г, = ЛЯ. C.28)
Пусть А— решетка, определяемая условиями
,,я €Л C.29)
А,-Л,, р$Р. C.30)
*Р$О+(Ур). C.31)
Тогда спинорный род <^2 решетки А зависит только от спинор-
ного рода &х решетки Г и от образа § элемента {®(ар)\реР в.
О = #/57.
Доказательство. Очевидно.
Если выполняются условия следствия, то мы будем писать
C.32)
Теорема 3.1» A) Спинорный род ц^^ корректно определен для
всех ё^О и каждого спинорного рода &>1 в роде решетки Л.
A1) §1с^71 = §2а?2 тогда и только тогда, когда 8^ = §2-
(ш) Если <Уи о?2—любые два спинорных рода в роде Л, то
найдется такой §6 О» что <^1 = ^2-
(IV) ййЛ«Й^^ дляцъ 8ъ€0г где в&%—произведение
в группе О.
Замечание 1. Это доказывает теорему 1.2.
Замечание 2. На алгебраическом жаргоне теорема 3.1 может
быть переформулирована так: спинорные роды в заданном роде
образуют „главное однородное пространство" над С.
Доказательство, (г) По следствию леммы 3.4 всякий спинор-
спинорный род сУ, рода решетки А содержит решетку Г, удовлетворя-
удовлетворяющую C.28). Пусть §—любой элемент С, и пусть г={г/7}р€р—^
цюбой представитель § в /?. По лемме 3.1, существуют ар^0+(Ур)
I в(ар) = гр(а*J. Тогда по определению C.29) и C.30) задают
решетку А в спинорном роде ^х.
(И) A11) (IV) являются прямым следствием леммы 3.5.
На первый взгляд действие группы С йа множестве спинор-
спинорных родов, содержащихся в данном роде, зависит от выбора
специальной решетки Л в роде, так как мы использовали C.28).
На самом деле мы имеем
Следствие. Определение C.32) не зависит от выбора решетки
Л в роде. Точнее: пусть Т—любая решетка из того оюе рода,
что и Л, не обязательно удовлетворяющая условию C.28). Пусть

232 Гл. 11. Спинорный род
А—любая решетка, для которой
-Р/,, Ря€ 0+ <УР). Р € Л
^, где сУ1э <5%—спинорные роды решеток Г и к со-
соответственно, а §—образ {6фя)}рв/> в О.
Доказательство. Ясно из доказательства следствия леммы 3,4.
В доказательстве мы нигде не пользовались условиями C.18);
это показывает, что при описании группы О мы могли бы ис-
использовать меньшую группу, чем /?. Проверим это с помощыо
чисто групповых манипуляций. Недостатком этого описания яв-
является то, что группа У, введенная далее, оказывается более
сложной, чем 57.
. Положим
^ (з.зз)
И
C.34)
Ясно, что /?=аХ7\ а потому
Сложности в описании V возникают из-за возможного сущест-
существования простых чисел ц ё Р, для которых существует ая ё 0+ (Аа) с
Пусть Я*—множество всех таких ^ (возможно, оно пусто);
для каждого ц выберем одно аг Положим
где
и
Ясно, что 8а € 5Т, и потому 8а ^ У.
Лемма 3.6. Группа V порождена следующими множествами:
(I) П
неопРе^еленно>
ОПределенно;
элементами $а, описанными выше.
Доказательство. Очевидно. >

8. Число спинорных родов 233
Следствие. Пусть 1/рс:в(Ар) для всех р. Тогда род решетки
А состоит из одного спинорного рода.
Доказательство. Действительно, тогда
В заключение этого пункта приведем достаточные (но не не-
необходимые) условия, при которых выполняются условия преды-
предыдущего следствия. Мы будем говорить, что решетка Л'сЛв под-
подпространстве V пространства V является прямым ортогональным
слагаемым1) решетки Л, если существует такая решетка Л" с:Л
в ортогональном дополнении V'1- подпространства V, что всякий
элемент а^А может быть представлен в виде а = а'4-а", а'^Л',
а" 6 А". На языке квадратичных форм это означает, что в Л сущест-
существует такой базис Ъ*, ... Ьп, что Ь19 .. • , Ът9 т=~- сИтЛ', есть базис и
ф (яА + . • + хпЪп) =* ф (ХхЬх + ... +хтЬт) + '
+ Ч>(хт+1Ът+±+...+хпЪп).
Л' иЕсли Л' — прямое ортогональное слагаемое решетки Л, то вся-
всякий элемент из 0+ (Л') можно расширить до элемента из 0+ (Л),
заставляя его действовать тривиально на Л". Следовательно,
7 в (А') с в (Л).
Применим это замечание к Ар.
Лемма 3.7. Пусть рф2, и пусть А{р)—такая 2-мерная
2р-решетка с базисом Ъ*, Ь2, что
Ф (*1Ь1 + х2Ъ2) = ахх\ + а%х1 \ а1 \р = | а2 \р ф 0.
Тогда
Доказательство. Следует из леммы 3.3.
Следствие. Пусть ф принимает на Ар целые р-адические зна-
значения и 11Р<Х® (Ар). Тогда определитель решетки Ар делится на
рп(п-\)/2
Доказательство. По теореме 3.1 гл. 8 в Ля существует такой
2^-базис Ь1, ..., Ь„, что
ф (яА + •. • +хпЪп) = а1х1
где «у б Яр- Если два из | а^ \р были бы равны, то Л^ содержало
бы прямое ортогональное слагаемое типа А(р) и потому мы бы
имели IIей(А&)ей(Ар) вопреки условию. Следовательно, все
\а/\р различны и степень /?, делящая аг...ап, есть по крайней
мере
п— 1) = п(п
Как обычно, 2-адический случай более сложен.
1) Еще об этом понятии см. приложение А,

234 Гл. П. Спинорный род
Лемма 3.8. Пусть р = 2. В следующих случаях 1Уас:0(ЛB)).'
(О ЛB) есть 2-мерная решетка с базисом Ъи Ъш и
= 2%л;2 или =* 2е (х\+ххх2
для некоторого
(Н ) Л<2) есть 3-мерная решетка с базисом Ь*, Ь2, Ь3 и
Ф (^Ь^+х2Ъ2 + х3Ъ3) = а±х\ + а^х\ + а3х\
или •^
A11) то же самое, что и в (И), но €
Доказательство. Оно оставляется читателю. По поводу более
сильного результата см. Эрнест A975), п. 4,
Следствие. Пусть форма ф принимает целые 2-адические зна-
значения на Л2 и 6/2^в(Л2). Тогда квадратичная форма, индуци-
индуцированная ф на Л2, является 2-адически целой в классическом смысле
и ее определитель делится на 2Т, где Т =-^- п(п — 3)+ -^ (п-\-1) .
Доказательство. По лемме 4Л гл. 8 решетка Л2 есть ортого-
ортогональная прямая сумма \ -мерных решеток и 2-мерных решеток
типа A) леммы. По условиям следствия последние не могут при-
присутствовать, а потому Л2 имеет 22-базис, в котором
ф (^Ь, + • - • +хпЪп) — а1х21+ ... +«„4
с #у € 22/ Условие, что Л2 не содержит прямых слагаемых типа
(п) или A11), показывает, что степень двойки, делящая ага%...ап9
должна быть по крайней мере
Это завершает доказательство следствия.
В заключение отметим, что теорема 1.3 сразу же вытекает
из следствий лемм 3.6, 3.7 и 3.8.
4. ДРУГОЙ ПОДХОД
Пусть Л, Г—две 2-решетки в квадратичном пространстве
V, ф над О. Предположим, что они имеют одинаковый определитель
относительно некоторого фиксированного базиса пространства V;
иначе можно сказать, что их относительный определитель (в смысле
п.  гл. 7) равен единице. Тогда Л Г) Г будет также решеткой

4. Другой подход 235
и она будет иметь одинаковый индекс как в Л, так и в Г. Положим
/(Л, Г)=-[ЛПГ: Л] = [ЛПГ: Г]. D.1)
По лемме 2.1 локализации Л^, Гр удовлетворяют
Л, = Гр D.2)
тогда и только тогда, когда
р^ЦА, Г). D.3)
Так как Л, Г имеют одинаковый определитель, то и квадратич-
квадратичные формы, индуцированные формой ф на Л и Г, имеют одина-
одинаковый определитель.
Лемма 4.1 Предположим, что А, Г такие же, как и выше,
и что I (Л, Г) нечетно. Предположим, что для каждого р\ / (Л, Г)
квадратичные формы, индуцированные формой ф яа Л, Г, р-ади-
чески целые и что их определители являются р-адическими еди-
единицами. Тогда Л и Г принадлежат одному роду.
Доказательство. Из условий леммы следует, что для р \ I (Л, Г)
квадратичные формы, индуцированные формой ф на Л^, Гр, Ър-
эквивалентны (см. лемму 3.4 гл. 8х)), а потому и решетки Ар,
Тр эквивалентны. Для р\\ (Л, Г) мы имеем D.2). Это и доказы-
доказывает лемму.
Следующая лемма идет в противоположном направлении.
Лемма. 4.2. Пусть Л, Д — решетки из одного рода, и пусть
Р+—любое конечное множество простых чисел. Тогда найдется
решетка Г, собственно эквивалентная решетке Д, для которой
/(Л, Г) не делится ни на какое
Замечание. Это в основном перевод на язык решеток теоремы
о том, что две формы из одного рода „полуэквивалентны"
(теорема 1.4 гл. 9).
Доказательство. Предположим, что
для р^Ри По „слабой теореме о приближениях" (теорема 7.2
гл. 9) найдется такое Ь^О+(У), что для всех
Положим
Г ^=6-
Тогда для всех р^Р± имеем Гр = Хр. Лемма следует теперь из
того, что условия D.2) и D.3) эквивалентны.
1) См. также следствие теоремы 3,1 гл. 89—Прим. ред,

236 /л. П. Спинорный род
Теперь мы обсудим связь с материалом предыдущего пункта.
Рассмотрим фиксированный род, содержащий решетку Л, обо-
обозначим через Р* любое конечное множество простых чисел с ус-
условиями
(И) для всех р$Р* квадратичная форма, индуцированная
формой ф на Ля, — целая и ее определитель есть р-адичес-
кая единица.
Заметим, что эти условия зависят только от рода решетки Л,
а не от самой Л. Далее, Р* удовлетворяет условиям C.6) и C.7),
наложенным на множество Р. Однако условие (и) может ока-
оказаться сильнее условия C.7). В любом случае мы будем пред-
предполагать, что
РсР*. D.4)
Теперь мы должны просить читателя вспомнить определения
групп /?, 5, Г, С, которые приведены в C.8) — C.15). Группа О* мо-
может быть отождествлена с диагональной подгруппой в /? = Д О*.
реР
Для с С О* мы будем обозначать через §(с)^0 образ с при со-
составном отображении
Для дальнейшего употребления отметим сразу же следующий
результат.
Лемма 4.3. A) Если с19 с2€0* и
^1 1
— —— 1
^2 2
н
с2
то
1
(и) Если заданы §*^0 и целое положительное число УИ, то
найдется целое положительное число с> взаимно простое с М, для
которого
8
Доказательство. A) Из заданных условий следует, что
для всех р$Р, а потому

4. Другой подход 237
(н) Как было отмечено при выводе C.35), образ группы
в 0=*%/8Т есть все С. Следовательно, существует последователь-
последовательность \ир\р(:р€ ХсЯ, образ которой в'/?/ХК —С есть §*. Теперь
достаточно выбрать целое положительное число с так, чтобы
с = и2 (тос1 23),
с^и (тойр), р$Р, рф2у
и чтобы оно было взаимно простым с М. Это завершает доказа-
доказательство.
Теперь может быть сформулирован основной результат этого
пункта.
Теоремг 4.1. Предположим, что п^З. Пусть Г и Д— решет-
решетки из того же рода, что и А, и пусть / (Г, Д) не делится ни на
какое простое число р € Р*. Тогда
Рг = 8<Ри D.6)
где о? и о?2—спинорные роды Г и Д соответственно и где
D.7)
есть образ /(Г, Д) при отображении D.5).
Прежде чем переходить к доказательству, нам потребуется
несколько лемм. Первая из них I овеем общая, и мы сформули-
сформулируем ее так, чтобы включить случай р=*2, хотя он нам и не
потребуется.
Лемма 4.4. Пусть Л, Г — Ъ-решетки в V*, ф, имеющие одина-
одинаковый определитель, и пусть р—простое число, делящее I (А, Г).
Предположим, что квадратичные формы, индуцированные формой <р
на Ар, Тр, классически целые. Тогда найдется решетка Д того же
определителя, что А и V с условиями
/(Л,А)-р, D.8)
/ (Д, Г) =* / (Л, Г)/р, D.9)
причем форма, индуцированная ф на Д, классически целая.
Доказательство. По условиям найдется такая
что
^ Л.
Тогда из условий-целости на Л выводим
РФ (а, Ь) = ф (ра, Ь)

238 Гл. 11. Спинорный род
для всех Ь^Л, а из таких же условий на Г
Ф (а, Ь) ё 1р для всех Ь 6 Г.
Пусть ЛA)—множество тех с^Л, для которых
Ф (ра9 с) в 0 (той р).
Тогда
и ЛЦ) либо совпадает с Л, либо имеет индекс рв Л. Во втором
случае возьмем ЛA) = ЛB), а в первом случае возьмем в качестве
ЛB) любую подрешетку Л индекса р с условием
ЛпГсЛB)сЛ.
(Легко видеть, что такие ЛB) существуют; см., например, лемму 3.2
гл. 7). В обоих случаях имеем д,ля всех Л(
Ф («а, с)
р.
Теперь в качестве Д возьмем решетку, порожденную ЛB) и а.
Тогда ЛB) = ДГ)Л имеет индекс р как в А, так и в Л, что дает
D.8). Наконец, D.9) следует из того, что ДГ)Г есть решетка,
порожденная Л П Г и а. Это завершает доказательство.
Следствие. Пусть квадратичные формы, индуцированные фор-
формой ф на Л, Г, классически р-адически целые для некоторого мно-
множества простых чисел Р, содержащего все простые делители
р | / (Л, Г). Тогда найдутся решетки Д(у\ 1 ^ / <! У, имеющие тот
же определитель^ что и А, Г с условиями
(О ЛA) = Л, А(У)=:Г;
(и) /(А^, А(/+1)) есть простое число, 1^/</;
(Ш) /(Л, Г)=П/(Д</\Д</+1>);
/< ^
(IV) квадратичные формы, индуцированные формой ф на
классически р-адически целые для всех
Доказательство. Оно следует из леммы индукцией по / (Л, Г), ес-
если учесть, что при условии D.8) А^ = Л^ для всех ц 6 Р, яФр> и что
условия D.2) и D.3) эквивалентны.
Если Ар, Г^ — р-адические решетки одного определителя, то
мы можем определить для них I (Ар, Г^) формулой D.1). Если Ля,
Г^ — локализации глобальных решеток Л, Г одного определителя,
то по лемме 2.1 /(Ар% Гр) есть степень р, делящая /(Л, Г)..
Лемма 4;5. Пусть рф2\ пусть Ар, Гр—решетки одинакового
определителя в Vр, ф и
D.10)

4. Другой подход 239
Предположим, что ф индуцирует р-адически целые квадратичные
формы на Ару Г\р и что определщряль одной из них (а тогда и
обеих) есть р-аоическая единица. Тогда существуют такие Ь|, ...
. ••» Ъп€Ур, что
1
0) Ф(Ь1)-Ф(Ь1)=О,.Ф(Ь1,Ь1) = 1; D.11)
(И) Ф(ЬЬ Ь7) = ф(Ь2, Ь7)-0, />2; D.12)
A11) наборы
Ь2, ..., Ь„, D.13)
*, рЬ2, ..., Ъп D.14)
образуют базисы решеток Ар и Гр соответственно.
Доказательство. Пусть Ь—ректор, лежащий в Г^, но не в Л^.
Тогда рЪ^Ар и является там примитивным элементом. Следова-
Следовательно, по условию об определителе индуцированной формы на
найдется такое с^Л^, что,
|ф(рЬ, с)|,= 1.
Так как ф (Ь) ё 2^, ф (с) ё 2^, то по лемме Гензеля (п. 4. гл. 3)
мы можем найти такое Н ё 2^, что
Ф (Ь + Нрс) *= ф (Ь) + 2Лф (рЪ, с) -Н р2Л2ф (с) = 0.
Тогда рНс^рАрс: Гр, и потому Ъ+рНс^Тр9 но Ъ-\-рНс^Ар. По-
Положим Ъх — Ъ + ркс и определим Ь2 аналогично, поменяв ролями
и Гр.
Для й^АрпГр мы имеем
По условию на определитель формы, индуцированной на Ар, дол-
должен существовать е € Л^, для которого ф (Ь1? е) есть р-адическая
единица. Так как Л^ как группа порождена Л^ П Г^ и Ь2, то от-
отсюда следует, что
Следовательно, умножая Ь2 на элемент из Vру мы можем пред-
предполагать, что
РФ(Ьп Ь^ —ф(рЬ1э Ь2) = 1.
Наконец, если А^Ар{]Тру то
(Г = й—агрЪх — а2рЪ2
с
«1 = Ф (Ь2, й) € 2^, а2 = ф (Ь1Э
удовлетворяет условиям
', ь1)-Ф(а\ ь,)=о.

240 Гл. 11. Спинорный род
Следовательно, мы можем расширить рЪи рЪ2 до базиса рЪ19 рЪй,
Ь3, ...,ЬЛ решетки Л^ЛГ^ так, чтобы выполнялось D.12). Это
завершает доказательство.
Доказательство теоремы 4.1. По следствию леммы 4.4 и по
теореме 3.1 и ее следствию нам достаточно рассмотреть только
случай, когда
/(Г, Д)=<?
— простое число. По условию
По эквивалентности условий D.2) и D.3)
По лемме 4.5
Г —
1 Я —
где $я определяется формулами
а Ь|, ..м Ь„—такой базис Ур, что
... + хпЪп)« ^~1хта:2 + ф (дс3Ьз +... + х„Ъп).
Рассуждением, аналогичным использованному в начале доказа-
доказательства теоремы 3.2 гл. 10 с / = ?, ^1 = Ъи еа=Ь2, мы получим
По лемме 3.2 существует такой а ^ О+ (У), что
Тогда Г"=^аГ собственно эквивалентна решетке Г и
где
Тя^оРя» Т^яа Для всех
Поэтому
Следовательно, Г принадлежит тому же спинорному роду, что и
решетка Г-, определенная условиями
Теорема вытекает теперь из следствия теоремы 3.1?

5. Одновременные базисы решеток 241
5. ОДНОВРЕМЕННЫЕ БАЗИСЫ ДВУХ РЕШЕТОК
В этом пункте мы докажем несколько элементарных резуль-
результатов, которые потребуются в следующем пункте. Мы формули-
формулируем и доказываем их для1 2, но с минимальными видоизменени-
видоизменениями формулировки и доказательства проходят для любой области
главных идеалов.
Теорема 5.1. Пусть Л, Г—Ъ-решетки размерности п с
ГсЛ. E.1)
Тогда найдутся базис Ъ*, ..., Ъп решетки А и целые числа з1у ...
..., 5И, для которых
$гЪи .. , 8пЪп E.2)
будет базисом решетки Г. При этом можно предполагать, что
E.3)
п. E.4)
Доказательство. Факторгруппа Л/Г есть конечная абелева
группа, и наше доказательство будет основано на той же идее,
которая используется в одном из стандартных доказательств
структурной теоремы для таких групп.
Пусть
.*- II Ри(и\- т(и)>0, E.5)
1 <«< V
— общее наименьшее кратное порядков элементов Ь ^ Л по моду-
модулю Г. Покажем сначала, что существует элемент Ьх, порядок
которого есть в точности $4. Ясно, что для любого и существует
, порядок которого по модулю Г есть р%ш. Рассмотрим
Покажем, что й имеет порядок 5^. Для каждого и положим *
р — ТТ
Тогда
V Ф и
а так как Ри взаимно просто с ри, то порядок й по модулю Г
делится на порядок си, т. е. на р%ш. Следовательно, порядок A
делится на Г[р21(")=г5ь что и утверждалось.
Элемент 6 должен быть кратным некоторому примитивному
элементу решетки Л, скажем

242^ |Г л, 11. Спинорный род
Порядок элемента 1^ по модулю Г должен быть не меньше по-
порядка элемента Л, т. е. не меньше 5Ь и, следовательно, должен
равняться 52 по определению 54. Покажем теперь, что «^ есть
примитивный элемент решетки Г. Действительно, если это не так,
то 51Ь1==?е, где е^ Г, ц— простое число. Если ц\$х, то мы по-
получаем противоречие с тем, что % есть порядок Ь^ по модулю Г.
Если же <7 взаимно просто с 5$, то Ь, должно делиться на ц в Л,
что опять невозможно.
Пусть Л — (п — 1)-мерная ешетка, полученная факторизацией
Л по модулю Ь1в Тогда образ Г решетки Г в Л есть Г по мо-
модулю 5^!. По индукции существуют такие базисЪ2,... ,ЪМ решетки Л
и целые числа 52, ..., 8п, что выполняются условия E.4) для
\Ф\ и 52Ь2, . ..,5ИЬ"П—базис решетки Г.
Пусть Ь/, \Ф\Л — любой элемент из Б,. Ясно, что Ь^, Ь2, ...
..., Ьп образуют базис решетки Л. Порядок Ъ^ по модулю Г де-
делит порядок Ь/ по модулю Г и тем более делит $г, т. е.
% = 5/^. E.6)
Кстати, это подтверждает условия E.4) для /=*1.
По определению 8/ мы имеем
5/Ь, = **,!>! (той Г), /ф19 E.7)
при некоторых и;^2. Следовательно,
= 5^, = 0 (той Г).
Но Ь2 имеет по модулю Г в точности порядок 5^, а потому 521
т. е. по E.6) 5у|«у. Заменяя Ь; на Ъ^—ь^^ где 5/^ = «у, мы
можем считать, что
5уЬ/ = 0 (той Г).
Наконец, ^Ь^ 52Ь2, . ..,5ПЬП образуют базис решетки Г, так
как Г есть Г по модулю в^, а 52Ь2, ..., 8пЪп образуют базис ре-
решетки Г. Это завершает доказательство.
Следствие. Пусть Г, А—Х-решетки одинакового определителя
в 0,-векторном пространстве V, и пусть
/(Г,Д) = р E.8)
— простое число. Тогда найдутся такие Бь Ь2, ..., Ъп€У, что
рЪи Ь2, ..., Ь„, E.9)
Ь^рЬ,, Ь3, ..., Ьп E.10)
являются базисами Г и Д соответственно.

5. Одновременные базисы решеток 243
Доказательство. Следует из теоремы, примененной к паре
рТа А. Нетрудно доказать и непосредственно.
Следующая лемма будет использована только для получения
одного не очень важного результата.
Лемма 5.1. Пусть Л, Г — 2-решетки одинакового определителя
в ^.-квадратичном пространстве V, ф размерности п. Предпо-
Предположим, что для всякого р \ 1 (Л, Г) квадратичные формы, индуци-
индуцированные формой ф на Ар и Гр, являются классически р-адически
целыми, а их определители являются р-адическими единицами.
Тогда существуют такие базис Ьи ..., Ьи решетки А и целые
числа «1, ..., 8п ё О, что
E.11)
есть базис решетки Г, причем
0) 5, > 0,
A1)
A11)
(IV)
Доказательство. Мы имеем ^АсТ при некотором положитель-
положительном целом числе I. Применяя теорему 5.1 к Г и ^Л, найдем Ь1э ...
*.., Ьи, 51у ..., зп, удовлетворяющие всем условиям леммы, кроме,
возможно, (Ш) и (IV). Покажем, что A11) и (IV) также удовлет-
удовлетворяются. Так как (IV) сразу же следует из (и) и (Ш), то доста-
достаточно проверить A11).
В этом доказательстве мы будем обозначать через Р множе-
множество всех простых делителей числа / (Л, Г).
Тогда Ар = Г^ при р^Ру а потому
|5У|,= 1', 1</<п, р$Р. E.12)
Положим
«/у=<р(Ь/, Ь7), 1 <*',/< я. E.13)
По условиям леммы мы имеем
Д//€2,, р€ Л E.14)
и
щаи$гр% р$Р. E.15)
Из (п) следует, что
E.16)
Пусть теперь, если это возможно, существуют такие р^Р и и, V
с и + V^п_+ 1, что 15Ц5^\р> I. Тогда из E.16) следует аи €р1р
для г ^ и, I ^ V и по E.14) йе! {аи) 6 р1р, что противоречит усло-
условию. Следовательно,
О E.17)

244 ^ Гл. 11. Спинорный род
Аналогично, меняя ролями Л и Г и заменяя 5/ на (8п+1-/)~1; мы
будем иметь
К«Л>1. р$Р, и + ю>п+\. E.18)
Наконец, из E.17) и E.18) следует, что
Это вместе с E.12) и A) дает A11).
6. ЯЗЫК ФОРМ
В этом пункте мы переведем некоторые из уже* полученных
результатов на язык квадратичных форм.
Теорема 6.1. Пусть /а и [2—классически целые квадратичные
формы над 2 от п>2 переменных, имеющие одинаковый опреде-
определитель йфО. Предположим, что они рационально эквивалентны.
Тогда найдется последовательность квадратичных форм
1 ^ V ^ V, в которой все формы классически целые определителя
причем
и для каждого V < V выполняется одно из следующих двух, условий:
(\) форма ^+1 собственно Ъ-эквивалентна форме @у;
(и) существует такое простое число р, зависящее от V, что
» • • •» Хп) ~ ёу (Р Х1>
Доказательство. Всякая форма несобственно О-эквивалентна
самой себе; поэтому формы Д и /2 собственно эквивалентны над О.
Пусть V—п-мерное векторное пространство над (} с базисом
еь ..., еп; определим на V форму ф равенством
хпеп) =г /1 (хи ..., хп).
Тогда собственная эквивалентности /х и /2 дает на V другой
базис ех', ..., е'пу для которого
Ф (хге[ + . .. +хпе'п)=?2 (хи • • •, хп),
причем определитель перехода от е^, ..., е'п к еь ..., еп равен 1.
Тогда последовательности е1у .. ., еп и е^, . . ., е'п имеют одина-
одинаковую ориентацию в смысле, введенном при доказательстве след-
следствия 2 леммы 1.1. Назовем эту ориентацию „положительной".
Пусть Л и Г—2-решетки с базисами е1э ..., еп и е^ .., е^
соответственно. Теперь выполнены условия следствия леммы 4.4
и поэтому найдется последовательность решеток Д^, 1^/^У,
в которой все решетки имеют тот же определитель, что Л и Г, и

6. Язык форм 245
при этом
где Р]—простые числа. Кроме того, ф индуцирует на каждой Д(/)
целую в классическом смысле форму.
По следствию теоремы 5.1 для каждого / имеется такая по-
последовательность Ь1э ..., Ь„ элементов V, что
рЪи Ь2, ..., ЪпУ F.1)
, ..., Ъп F.2)
с р—р; образуют базисы Д(/) и Д('+1). Выбирая, если нужно,
— !>! вместо Ь1э мы можем предполагать последовательность
Ьх, . .., Ьп положительно ориентированной.
Теорема теперь ясна. Те V, которые отвечают типу (И), соот-
соответствуют замене базиса вида F.1) на базис вида F.2), а те,
которые имеют тип A), соответствуют переходу от одного положи-
положительно ориентированного базиса решетки Д(у) к другому такому
же базису той же решетки.
Теорема 6.2. Пусть /х, }2—классически целые формы от п
переменных, принадлежащие одному роду определителя
ЛустьхР—любое конечное множество простых чисел. Тогда вы-
выполняется заключение теоремы 6.1, причем в условиях (и) можно
предполагать, что р^Р.
Обратно, если /х и /2—классически целые формы определи-
определителя й и если существует такая последовательность форм
что для каждого V выполняется либо {[), либо (И) с р\с1й, то
и [2 принадлежат одному роду.
Доказательство. Первая половина теоремы следует из леммы
4.2 и из приведенного доказательства теоремы 6.1. Обратное
утверждение очевидно, так как если выполняется условие (и) с
\ то $„+1 и цю эквивалентны над Ър для любого р.
Следствие. Предположим, что п^З. Пусть &^—спинорный
род формы /у, /== 1, 2. Пусть № — произведение простых чисел р,
участвующих в преобразованиях типа (п). Тогда
в обозначениях теоремы 3.1, где до = §(№) есть образ V? при ото-
отображении D.5).
Доказательство. Следует сразу же из теоремы 4.1.
Теорема 6.3. Пусть /х и /9 — классически целые формы ^
переменных определителя йфО. Пусть у ^Тх —такое линейное

246
Гл.. П. Спинорный род
преобразование
У1 = 2
<*/€0,
что тождественно
причем'
все* р\2й и
Тогда существуют целые положительные числа
преобразования
, с1е* (у/7) =
для которых
1-1 = ЬУп+у-и 1
т,
т+
нечетно.
Кроме того, можно предполагать, что
Наконец, если п ^ 3, то для спинорных родов
имеем
где
обозначениях теорем 3.1 I/ 4.1.
F.3)
F.4)
F.5)
F.6)
F.8)
F.9)
F.10)
F.11)
форм Д, /2
F.12)
F.13)
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6.1, пре-
преобразование F.3) может быть реализовано заданием двух одинаково
ориентированных базисов решеток Л, Г в одном О-квадратичном
пространстве V. Из условия F.5) следует, что Л^^Г^ для р \ 2й,
а потому / (Л, Г) взаимно просто с 2A по эквивалентности усло-
условий D.2) и D.3). Таким образом, выполнены условия леммы 5.1.
Преобразования F.8) и F.9)—это и есть те преобразования,
которые переводят первоначальные базисы в решетках Л, Г в

7. Представления спинорным родом 247
специальные базисы, даваемые леммой 5.1. При этом мы всегда
можем считать базис Ъ*, ..., Ьи, задаваемый леммой 5.1, поло-
положительно ориентированным, меняя, если нужно, знак одного из
Ъ/. С использованием условий (ш) леммы 5.1 легко видеть, что
выполняются условия F.10).
Наконец, очевидно, что
/ (Л, Г) я*
..
а потому F.13) следует из теоремы 4.1.
Это завершает доказательство. Однако, чтобы по Т найти ,
не обязательно находить преобразования F.8) и F.9).
Следствие. V? есть наименьшее общее кратное знаменателей
миноров порядка тхт в матрице 1ц, где т= —■ .
Доказательство. Один из стандартных результатов в теории
матриц—„тождество Бине—Коши"—утверждает, что если
А = ВС,
где А, В, С—матрицы, то всякий минор размера тхт матрицы А
' выражается в виде суммы 2]/Ь/,сА где &7, с7—миноры размера тхт
матриц В и С. Здесь т—любое целое число, а матрицы не обя-
обязаны быть квадратными. См. любой достаточно старомодный учеб-
учебник по алгебре.
7. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СПИНОРНЫМ РОДОМ
Результаты этого пункта справедливы как для определенных
форм, так и для неопределенных форм; однако они интересны
в первую очередь в случае определенных форм.
Теорема 7.1. Пусть /—классически целая квадратичная форма
над Ъ от л^4 переменных. Предположим, что а^Ъ> афО% при-
примитивно представимо формой / над каждым Ър {включая р — оо).
Тогда а примитивно представимо над Ъ некоторой формой, при-
принадлежащей тому же спинорному роду, что и /.
Замечание 1. Для неопределенных форм это слабее, чем тео-
теорема 1.5 гл. 9.
Замечание 2. Теорема становится неверной при л = 3. Об этом
ниже.
Доказательство. По теореме 1.3 гл. 9 число а примитивно
представимо некоторой формой /*, принадлежащей тому же роду,
что и /. В обозначениях теоремы 3.1 пусть §*—тот элемент из О,

248 Гл. 11. Спинорный род
для которого
G.1)
где <У, оУ*—спинорные роды форм / и /• соответственно. По
лемме 4.3 существует целое положительное о, взаимно простое
с 2ай, где й—определитель /, так что
G.2)
Мы можем считать, не умаляя общности, что
/*A, 0, ..., 0)~а,
«/* (*!, • • •, Хп) = (Я*, + &§*2 + • • •
для некоторых Ь2у ..., Ьп^1 и для некоторой классически целой
формы Л от/г — 1 переменных определителя ап~2й. Так как /г—1^3,
а б1 взаимно просто с 2аЛу то форма к изотропна над С1р для всех
р | с. Следовательно, применив подходящее целое преобразование
*2> • • •» я* определителя +1, мы можем по лемме 4.2 гл. 9 пред-
предполагать, что
— классически целая форма. Ясно, что эта форма принадлежит
тому же роду, что и Л, и потому снова по лемме 4.2 гл. 9 най-
найдется форма Ь!', собственно эквивалентная форме Н* и сколь угодно
близкая к к р-адически для всех р \ 2ай. В частности, мы можем
выбрать к' тдк, чтобы форма /' (хъ ..., хп), определяемая условием
была классически целой и принадлежала тому же роду, что /•
и /. Для спинорных родов <&", о?* форм /', /* имеем
<У*=*ё(с)<?" G.3)
по следствию теоремы 6.2. Так как §(с)=§*, то <У> = <У>/ по тео-
теореме 3.1. Это завершает доказательство.
Теорема 7.1 не верна при п — 3. Например (Уотсон A960),
стр. 115) формы
— представители двух классов одного рода, лежащих в разных
спинорных родах. При этом 4 примитивно представимо формой /2,
но не формой /4. (См. также примеры этой главы.)
Мы будем называть число а исключительным для рода тер-
тернарных форм, если оно примитивно представимо одним, но не
всеми спинорными родами из данного рода. Так, 4 исключительно
для рода, представленного формами G.4).

7. Представления спинорным родом 249
Лемма 7.1. Пусть р Ф2—-простое число\ не делящее опреде-
определитель рода & целых тернарных форм. Тогда для любого целого
числа афО, если одно из чисел а, ар2 исключительно, то таким
оюе будет и другое.
Доказательство. Всякая форма / ,рода & эквивалентна форме
где
2/Гз = 2/з1 = 1 тос
/*2 = — Ы тос! (Р'
/*У гэ 0 той (р2) в остальных случаях,
или иначе:
/* ^ ХгХ&—4с1х1 (той р2). G.6)
Тогда форма
G.7)
также принадлежит роду <!Г. Далее^ по теореме 3.1 /р пробегает
представители всех спинорных родов из ^, когда / (а также /•)
пробегает представители всех спинорных родов из сГ. Предполо-
Предположим теперь, что а примитивно представимо формой /, а потому
и /*:
« = /*FГ. К, Ь1)9 н. о. д. (Ы, Ы9 6з) = 1. G.8)
Тогда
и это представление примитивно, если
Р\Ь1 G.9)
Обратно, предположим, что ар* примитивно представимо формой /:
ар*=*р(с19с;9(&)9 и.о. д. (сГ,с.\с;)«1. G.10)
Тогда
а~Ге(Р~2с1 Р~гс1 й), G.11)
и это представление целое, если
РК\ р\с\щ G.12)
так как тогда р\с\ до примитивности и, следовательно, р2 \с*х по
G.6) и G.10). Таким образом, для доказательства леммы доста-
достаточно убедиться, что можно найти форму /*, эквивалентную форме/
и такую, чтобы выполнялись условия G.6) и G.9) или GЛ2)
в зависимости от случая.
Рассмотрим сначала G.12). В этом случае по условию суще-
существует такое с ^2*, что
/(с)-

250 Гл. 11. Спинорный род
Будем сначала работать р-адически. Так как р не входит в опре-
определитель формы Д то существует такое с'^23р9 что
/(с, с')=4;
выбирая ос+|3с' вместо с' с а, $€2р, мы можем считать, что
Аналогично, найдется такое с" €1%, что
/ (с, О - / (с', с") =* О, Ы (с\ с\ с) = 1.
По теореме 2.1 гл. 9 в 28 существует такой базис е1э е2, е3, что
е1» е2» ез сколь угодно близки р-адически к с", с', с соответст-
соответственно. Тогда ясно, что /• (хи х2, х3) =* / (дс, е, + х2е2 -\- х3е3) удов-
удовлетворяет требуемым условиям.
Случай G.9) можно разобрать аналогичным, но более громозд-
громоздким рассуждением, так как теперь нужно различать случаи р\а
и р\а. Иначе, можно заметить, что если р\Ь\, но р$Ь1, то до-
достаточно сделать подстановку
а если р|бГ, р\Ь1 (и тогда р^Ь2)9 то можно взять
х
х2
при этом
Х
8. ОБОБЩЕНИЯ СИЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ О ПРИБЛИЖЕНИЯХ
В этом пункте мы наметим доказательство одного обобщения
„сильной теоремы о приближениях для спинорной группы" (тео-
(теорема 7.1 гл. 10),и затем дадим некоторые приложения к опреде-
определенным формам. В п. 9 мы используем это обобщение для дока-
доказательства теоремы 1.6.
Мы начнем с нескольких наблюдений теологической природы.
Как мы уже отмечали в гл. 3 и позднее, существует аналогия
между обычным абсолютным значением | | ^ и р-адическим норми-
нормированием | 1^; мы отобразили эту аналогию в обозначении К^С^.
Некоторые наши результаты (например, „теорема о произведении
для символа норменного вычета", см. лемму 3.4 гл. 3) относи-
относились ко всем нормированиям, включая | 1^. Однако большая
часть результатов этой книги относится только к множеству
р-адических нормирований, а | 1^ либо вообще не упоминается,

8. Обобщения сильной теоремы о приближениях _^ 251
либо играет исключительную роль. Во многих случаях имеются
более общие формулировки этих результатов, в которых исклю-
исключительную роль играет некоторое р-адическое нормирование. До
сих пор мы не приводили эти более общие формулировки, так
как аналогия между | |ж и | \р далека до полной (это потребо-
потребовало бы много дополнительных разъяснений и привело бы к услож-
усложнениям в доказательствах). Теперь мы должны упомянуть неко-
некоторые из этих обобщений. Мы ограничимся только набросками
доказательств.
Обозначим множество всех нормирований поля О через й:
Я = {а: я=оо или V = р—простое число}. (8.1)
Лемма 8.1. Пусть и$.О>, и пусть для всех V^^9 юфи, задано
непустое открытое подмножество ф*9 в 0„ {в ю-топологии).
Предположим, что ^^ = 2^ для почти всех V. Тогда найдется
такое а 6 О» что для всех Х)фи
а €*"..• (8.2)
Замечание, Как обычно, „почти все" значит „все, кроме конеч-
конечного числа". Мы пользуемся соглашением, что 2^ = 1^, но ясно,
что смысл леммы не зависит от этого соглашения.
Доказательство. Если и = оо9 то это другая переформули-
переформулировка „сильной теоремы о приближениях" (лемма 3.1 гл. 3). Если
и = <7—простое число, то мы воспользуемся леммой 3.1, чтобы
найти такое Ь^п* что
Теперь мы можем удовлетворить (8.2), полагая
г
,
где в> М, г находятся последовательно:
(I) 5 выбирается так, чтобы оно делилось на достаточно высо-
высокие степени р для конечного числа тех р, для, которых 20Ф*У*р
чтобы гарантировать, что а € 9*р независимо от г и #;
(II) № выбирается так, чтобы «/^ было достаточно малым
по абсолютной величине;
(III) г выбирается так, чтобы а
Теорема 8.1, Пусть /—регулярная форма над 2 от
переменных, причем [ изотропна над пт где и$п фиксировано.
Предположим, что а$2 представимо формой / над 29 для всех
V^^. Пусть заданы Ъю^2пь для всех V^^и где Я,—любое конеч-
конечное подмножество в п, не содержащее и. Тогда найдется такое
&0
(О /(Ь)-а,
(Ц) Ь^2П для всю

252 Гл. 11. Спинорный род
A11) Ь сколь угодно близок к \ в V-адической топологии для
всех V
Доказательство, Для # = оо это теорема 1.5 гл. 9. Доказа-
Доказательство для иф оо оставляется читателю. Обобщение теоремы 8.1
на поля алгебраических чисел, доказанное со всеми подробно-
подробностями, см. О'Мира A963), теорема 104.3.
Имеется аналогичное обобщение теоремы о сильных приближе.
ниях для спинорной группы (см. теорему 7.1 гл. 10 и ее следст.
вия). Мы ограничимся тем, что приведем обобщение следствия
■
Теорема 8.2. Пусть V', ф—регулярное (Х-квадратичное прост-
пространство размерности п^З, которое изотропно над 0и для неко-
некоторого фиксированного и^О*. Для всех V^^9 ьфи> пусть задано
непустое открытое подмножество сУ°г, в в (Ур). Предположим,
что
для почти всех V, где Л—некоторая 2-решетка в V, ф. Тогда
существует такое ст^в(К), что
для всех Vфи.
Доказательство. Оставляется читателю; или см. О'Мира A963),
теорема 104.4.
Теперь мы достигли такого этапа, когда переформулировка
результатов, в которых роль специального нормирования играет
нормирование, отличное от оо, становится не такой прямой.
Причина этого в том, что С^^Х^, и потому нам не надо, и
даже мы не можем, различать рациональную и целую эквива-
эквивалентности в оо. Мы не будем пытаться формулировать определе-
определения и теоремы об „и-родах" или об „и-спинорных родах". Однако
укажем следствия теоремы 8.2, в которых мы используем обыч-
обычные определения для рода или спинорного рода. Если р — про-
простое число, то мы будем обозначать через 1М кольцо рацио-
рациональных чисел, знаменатели которых являются степенями р.
Другими словами,
2Ы«в{а: 1*21^1 для всех ЦФрл оо\.
Теорема 8*3, Пусть /, §—две целые формы от п^8 пере-
переменных, принадлежащие одному спинорному роду. Предположим,
что они изотропны над (}д для некоторого простого числа д.
Тогда они собственно эквивалентны над \\
Доказательство. Такое же, как и доказательство теоремы 1.4,
но с использованием теоремы 8.2 вместо следствия теоремы 7Л

8. Обобщения сильной теоремы о приближениях 253
гл. 10. В обозначениях теоремы 1.4 мы должны найти такое
а€©(К), что для всех рфц <х*€РР®(\)- При этом нет условий
на бесконечности.
Следствие, Пусть \+—целая форма- от п переменных, которая
изотропна над 0,я для некоторого ц. Предположим, что или
п ^ 4, или я = 3 и род формы / состоит только из одного спи-
норного рода. Тогда найдется целое число т^О, обладающее
следующим свойством: пусть с^Ъ, сфО, делится на <?2/я и
с представимо формой / над каждым Ър и над К = 2^. Тогда
с представимо формой / над 2, с = /(с). При этом можно счи-
считать, что р^с для всех рфц, для которых с примитивно
представимо над 2р.
Доказательство. Действительно, пусть Ъ^Ъ,. ЬфО, предста-
представимо формой / над каждым Ър, включая /? = оо. Тогда Ь пред-
представимо некоторой формой §", принадлежащей тому же спинор-
ному роду, что и /. Это следует из теоремы 7.1, если п\
и из теоремы 1.3 гл> 9, если п=^3. Тогда по теореме 8.3 с~
представимо формой / над 2 при некотором т^О, которое
можно выбрать не зависящим от Ь, так как в спинор ном роде
имеется лишь конечное число классов. Это завершает доказатель-
доказательство.
Теорема 8.3 не исчерпывает всех возможностей теоремы 8.2,
которая дает даже связи между формами из разных родов. Мы
приведем один частный случай, принадлежащий Кнезеру A957).
Теорема 8.4. Пусть /*, /2—классически целые формы от п
переменных, обе изотропные над (}2 и имеющие одинаковый опре-
определитель й. Предположим, что они эквивалентны над К
и над Ър для всех рф2. Предположим далее, что рпКп^
для всех рф2. Тогда /^ и /3 собственно эквивалентны над
Доказательство. Так как /^ /8 эквивалентны над A^ и над
0^ для %ф2, то они должны быть эквивалентны над О. Следо-
Следовательно)' их можно представить решетками Л, Г в одном и том
же векторном пространстве над 0. Далее, Ар и Г^ эквивалентны
над ,Ър для рф2, а из условия ря<я-1>/«>д следует, что
Vр (Ор)* с 6 (Ар) при р Ф 2 по следствию леммы 23.7, Оставшуюся
часть доказательства можно доверить читателю (ср. следствие
леммы 3.6).
Следствие 1. Формы /$ и /$ всегда можно связать последова-
последовательностью форм, описанной в теореме 6.1, причем так, чтобы
в условии (И) всегда было р = 2.
В качестве очень частного случая мы имеем
Следствие 2. Имеется ровно один класс собственной эквива-
эквивалентности классически целых форм определителя й=\ от п

254 Гл. 11. Спинорный род
переменных при п<С7. Для п = 8 имеется ровно два таких
класса, один—собственно примитивный, м другой—несобственно
примитивный.
Набросок доказательства. Для п < 5 этот результат уже был
доказан в следствии 2 леммы 3.2 гл; 9. Поэтому можно предпо-
предполагать, что п^5. Любые две такие формы 2«-эквивалентны для
рф2у так как р\й. Далее, так как п> 5, то любая такая
форма изотропна над 02. Следовательно, выполняются условия
теоремы. Одной из форм, которая удовлетворяет всем условиям,
является х1+ ... +х%. Мы хотим показать, что эта форма дает
единственный класс при я = 5, б, 7 и что есть еще один класс
при п = 8. Удобно пользоваться языком решеток. Пусть Л—ре-
Л—решетка с базисом е*, ..., еЛ, а ф определена условием
Ф (^е, + ... +хпеп) = х\
По теореме для любой другой формы @, удовлетворяющей усло-
условиям следствия, найдется соответствующая ей решетка Г, такая что
/(Л, Г) = 2' при некотором (. Будем предполагать / минималь-
минимальным для фиксированной §. Мы знаем, что существует последова-
последовательность решеток
Д
2,
каждая из которых соответствует целой форме определите-
определителя 1, причем
Пусть Ъ^Аи Ь^Л; тогда 2Ь6Л. Так как й=1 нечетно, то
подрешетка Л', состоящая из тех с 6 Л, для которых
, фBЬ, с) я 0 (той 2),
должна иметь в Л индекс 2 и Д* порождена Ле и Ь, Таким обра-
зом, решетка Д* однозначно определена элементом Ь. Далее,
ЬиЬ + сс с^Л приводят к той же самой решетке Д*, если
только ф BЬ, с) четно.
Мы имеем
при некоторых Ь/ € 2. По крайней мере одно из йу нечетно, так
как Ь^Л. Так как ф(Ь)^2, то число # нечетных йу должно
делиться на 4.
Предположим сначала, что 5^п^7. Тогда единственная
возможность: Л/=^4. По симметрии мы можем считать, что
Ь2 ^ Ь3 =е 64 ^ 1 (той 2), а Ьъ% ..., Ьп—четны. Заменяя Ь на
, как описано выше, замечаем, что достаточно рассматри-
рассматривать только
2Ъ « ± е; ± е

9. Представления определенными формами 255
делая, если необходимо, замены знаков у еь ...,е4, мы видим,
что можно предполагать
2Ъ = ех + ... + е4.
В этом случае легко проверить, что Д] собственно эквивалентна Л.
При и =-*8 имеются две возможности: N = 4 и N = 8. Если
= 8, то решетка А1 порождена Ь и Л', где
2Ь =г е
а Л' состоит из с = ^е, + .. . + ^ве« с
•.. +с8Е==0(тос12).
Легко проверить, что ф (с!) = 0 (той 2) для всех й ^Аи а потому
Дх соответствует несобственно примитивной форме. Далее, можно
проверить, что Д2 собственно эквивалентна либо До, либо Д*.
Таким образом, имеется только два класса эквивалентности.
По поводу дальнейших приложений этой техники см. Кнезер
A957) и пример 6.
9. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ФОРМАМИ
Цель этого пункта—доказать теорему 1.6, которая утверж-
утверждает, что если /(х) — регулярная положительно определенная
целая форма от /2^4 переменных, то существует постоянная
М^Ыф со следующим свойством: если а^ N — целое число,
которое примитивно представимо формой / над всеми Ър, то а
примитивно предетавимо формой / над 2. Ясно, что неважно,
какое из двух определений целости („классически целые" или
„целозначные" формы) использовать, так как мы можем взять
N (ф = сЫ (/) для любого с>0. Мы могли бы, если угодно,
предполагать даже, что / имеет рациональные коэффициенты.
Теорема становится неверной, если /2 = 3, как следует из
леммы 7.1 и замечания 2 к теореме 7.1. Теорема также неверна
для /2 = 4, если опустить слово „примитивно". Рассмотрим, на-
например, форму
/о(х)=*? + ^ + 5D + х42). (9.1)
Она представляет 3-22/л для любого т^О над каждым 2р, что
достаточно проверить только для р = 2, 5. Однако она не пред-
представляет 3-22/л над 2. Действительно, предположим, что а{+а1+
+5 (а23 + а1) = 3-22т с целыми т > 0, аи ..., а4. Тогда аи ..., а4
должны быть все четными и есть аналогичное представление для
3.22</я-1)# По индукции мы получим представление с т = 0, что,
очевидно, невозможно.
Этот контрпример срабатывает потому, что /0 анизотропна над
Оа. Если квадратичная форма / изотропна над С^, то существует

256 ' Гл. П. Спинорный^
М = М (/, р) со следующим свойством: если а представимо фор-
формой / над Ър, то найдется такое т~т(а, р, /)^ УИ, что р~2та
примитивно представимо над 2р. Проверка этого утверждения
оставляется читателю. Отсюда следует, что если / изотропна над
всеми 0я, в частности если п ^5, то утверждение теоремы 1.6
остается справедливым, если опустить слово „примитивно" в двух
местах, где оно встречается.
Так как доказательство теоремы 1.6 довольно сложное, мы
не делали попыток получить хорошие значения для постоянной
N = N ([). В частности, мы будем применять простейшие способы
преодоления возникающих трудностей, не обращая внимания на
то, какой эффект они оказывают на N (/). Возможно, что эти
эффекты можно было бы смягчить за счет выбора более сложной
тактики. Доказательство для п^Ъ проводится совсем иначе,
чем для /2 = 4, и так как оно существенно проще, то мы его
приведем первым. Для обоих доказательств мы будем обозна-
обозначать через Р любое конечное множество простых чисел р с усло-
условиями
(О 2€Л
(И) если р делит определитель формы /, то р$Р. Заметим,
что любое а$2 примитивно представимо над 2р для всех р^Р\
поэтому на самом деле условия теоремы относятся только к р ^ Р.
Доказательство теоремы 1.6, п ^ 5. Основной шаг будет со-
состоять в том, чтобы найти конечное множество V подстановок
(9.2)
где
1|>: хг = зпуг + ... + з(пуп9 1 < I < п, (9.3)
«/у€2, йе1(8и)ф0, (9.4)
причем
(У)) = Я (Уь У*) + Л (Уз, ..., уп), (9.5)
где целые квадратичные формы 8=*д^ и Н — Н^ обладают рядом
хороших свойств. В частности, мы будем требовать:
(а) Если а ^ 2 примитивно представимо формой / над всеми
2Я, р^Р, то найдется та ая 'ф^1?, что а аналогично представи-
представимо формой # = #*.
(Р) Если Ъъ ...,ЬП€2 и н. о. д. (Ьи &2) = 1, то г|)(Ь)е2Л
примитивен.
$ Существуют такие простое число ^Р и целое число
что если с^Ъ положительно, делится на цгт и предста-
представимо формой Н над каждым Хр, то с представимо формой Н над 2.
(б) Для каждого \|> имеется конечное множество В = В (ч|)) пар
взаимно простых чисел с условием: если а ^ Ъ примитивно пред-
представимо формой #=^ над каждым 2р, р^Р9 то найдется такая

9. Представления определенными формами 257
пара фи Ь2) 6 В, что
с^а-иФь Ьд (9.6)
удовлетворяет всем условиям (у), кроме, возможно, того, что с
положительно.
Заметим, что в (у) мы не делаем ограничения, чтор^Р. Кро-
Кроме того, в (у) речь идет о „представимости", а не о „примитив-
„примитивной представимости".
Покажем, что, как только мы установим свойства (а), ф), (у),
F), все будет сделано. Действительно, пусть
8ир в*Фь Ь2) (9.7)
ф
и а > N примитивно представимо формой / над каждым 1Р,
р€Р- Тогда а примитивно представимо некоторой д^9 а из (9./)
следует, что с9 задаваемое формулой (9.6), положительно. Сле-
Следовательно, к нему применимо (у), и
л—8 Фи Ь2)=с = кф89 ...,Ьп)
при некоторых Ь39...,Ьп. Тогда а = /(г|)(Ъ)) по (9.5), где Ъ =
= фи .. ., Ьп)9 ич|)(Ь) примитивно по ф).
Теперь мы погрузимся в детали и должны начать с локаль-
локальных рассмотрений.
Зафиксируем временно р^Р. Так как /2^5, то форма /(х)
изотропна над 0^ и потому найдется примитивный вектор и0 =
= ио(/?)€22 с /(ио) = О. Так как форма / регулярна, то найдется
элемент у0 = у0 (р) ^ 2р, для которого /(и0, уо)=т^=О. Не умаляя
общности, можно считать пару и0, у0 примитивной парой векто-
векторов, т. е. по определению такой парой, которую можно расширить
до базиса Ъпр. Тогда
/(Р0) B) = /<0) (ги г,) = / (г^о + гву0) = 2г^ (и0, у0) + гЦ (у0) (9.8)
является регулярной формой. Она примитивно представляет все
достаточно малые ар ё 2Я, даже с гх = 1.
Если /(х) примитивно представляет некоторый элемент ар из
2Я, то ясно, что она примитивно представляет все элементы
из ар1]\9 где, как обычно, Vр — группа /?-адических единиц. * Сле-
Следовательно, имеется только конечное число ^ — ^ (р) классов из
Ър11}\ь которые примитивно представимы формой /, но не 1$\
Пусть иу = иу(р)~примитивные элементы из Ъпр9 для которых
/(), I <;/<!*/, пробегает полный набор представителей классов
рру представимых формой /, но не формой 1Р°\ Для каждого
/ выберем У/6 2^ так, чтобы и/у V,- было примитивной парой, и
положим
^ B) = /Bx11, + ^). (9.9)
Тогда всякое ар б Тр, которое примитивно представимо формой /,
будет примитивно представимо одной из форм/^, 0^/^«/(/?).
9 к« 156

258 Гл. //. Спинорный род
Теперь мы построим некоторую глобальную форму. Пусть
для каждого р^Р задано к = к(р) с 0^ к (р) ^ Л (р). По теоре-
теореме 2.1 гл. 9 мы можем найти примитивную пару векторов и,
\^2пу которые для каждого р^Р сколь угодно близки р-ади-
чески к ик (р), \к(р). В частности, мы будем предполагать, что
и, V выбраны так, чтобы
была 2^-эквивалентна форме 1рк) (г) с к = к(р) для каждого
Далее, мы можем предполагать, что не все коэффициенты формы
ё(гъ гг) делятся на некоторое р^Я. Что это можно сделать,
следует из доказательства уже цитированной теоремы 2.1 гл. 9,
так как и, V строятся последовательно, и мы можем обеспечить,
чтобы / (и) Ф 0, а потом чтобы / (у) не делилось на любое простое
р^Р, на которое делится /(и). Ясно, что любое а^2, которое
примитивно представимо формой / над всеми 2Я, р^Р, будет
также примитивно представимо формой §(г) для подходящего
выбора к(р). Это дает условие (а).
Теперь мы перейдем к построению многочлена й, который по-
появляется в формуле (9.5). Пусть 1/ш — 2-мерное векторное прост-
пространство над О, натянутое на и, у, и пусть ДсгУA)-—2-решетка,
порожденная и, у. Обозначим через 1/B) (п — 2)-мерное подпрост-
подпространство V, ортогональное У{1\ так что V есть прямая ортогональ-
ортогональная сумма 1/A) и У{2). Мы определим к в терминах некоторой
решетки Г в У{2) П 2", а саму решетку определим ее локализаци-
локализациями Гр. Чтобы получить условие (р), нам нужно будет добиться
того, чтобы из того, что еA) —примитивный элемент решетки А,
а е<2)—любой элемент решетки Г, следовало бы, что еA) + еB) —
примитивный элемент в 2п. Для этого достаточно требовать, что-
чтобы из
я я (9.100
следовало бы
еANрА/? (9.102)
для каждого р. Мы будем требовать также, чтобы
(9.11)
для всех р, так как это, согласно следствию леммы 3.6, будет
гарантировать то, что род формы Г состоит из единственного
спинорного рода. Мы будем различать три типа простых чисел р.
(I) р^Р. Во-первых, мы потребуем, чтобы ТрарХпр. Тогда,
конечно, из (9.10х) следует (9.102). Во-вторых, мы потребуем вы-
выполнения (9.11). Это условие будет выполнено, если Гр обладает
таким базисом \у1? ..., жл_2€ 2$ПУ{р\ что /(\у,-, \Ну) = 0 при 1ф\
и | / (\Уу) \р принимает только значения р~1 и р~1~1 при некотором

9. Представления определенными формами259
2. Мы выберем в качестве Тр любую решетку в У<?\ удовлет-
удовлетворяющую этим двум условиям.
(II) р(^Р, но р\A(&), где й(§)—определитель формы §. Мы
уже обеспечили, что р не входит во все коэффициенты формы §*,
так что когда мы ее диагонализуем над 2р1 то один коэффициент
будет единицей, а другой нет. В терминах (9.10) это означает,
что существуют г, 8 ^ 2]5, оторые порождают ту же 2-мерную
2я-решетку, что и, V, и для которых
|/(г)|^ = 1, /(г, 8) = 0, |/(8)|,<1. (9.12)
Так как р(^Р, то определитель формы / есть /?-адическая еди-
единица, а потому найдется \ € Ъ% для которого
/(г, 1) = 0, |/(8, 1)|,= 1. (9.13)
Так как из р^Р следует, что рф2у то бинарная форма, ин-
индуцированная на пространстве, натянутом на 8, I, есть гипербо-
гиперболическая плоскость. В частности, существуют такие Г2,г3б2^, что
/ (г5) = -/ (гй) = 1, / (г8, г3) = 0 (9.14)
и
где
Следовательно, существуют г4, гм ..., гя € 2^, для которых
есть базис 2$ о
; (9.15)
Далее, 2рП^2) имеет базис
IV, Г4, -...Г,,, (9,16)
где
так что
Мы возьмем в качестве Г^ решетку с базисом
Тогда ясно, что из (9.10ц) следует (9.102), как и требуется. Да-
Далее, (9.11) следует из (9.15) и из того, что рф2. Заметим, что
/ на Г^ представляет все Vр (по (9.15) это даже верно для дву-
двумерной подрешетки, натянутой на г4, гБ).
(III) р^Р и р\A(ё)- Рассуждением, аналогичным использо-
использованному р случае П, показывается, что в Щ существует базид

260 Гл. 11. Спинорный род
гь • • •, г„, для которого выполняется (9.15), причем гь г2 есть
базис для Ар. Возьмем в качестве Гр решетку над 2Я, порож-
порожденную
так что
Гр^2»пУ™. (9.17)
Ясно, что из (9.10^ следует (9.102), а также выполняется
(9.11), как и требуется. По (9.15) /(Гр)з2р.
Так как (9.17) выполняется для почти всех р, то по теореме
1.1 существует глобальная решетка Г с [заданными локализа-
локализациями Гр. Пусть 1У3, ...,игл есть 2-базис решетки Г. Для у €2"
определим
(У) = У& + У%* + у3щ + ... + упчп. (9.18)
Тогда мы имеем (9.5), где к есть форма, определенная базисом
^з» • • •»™п- Из приведенного выше следует, что мы добились вы-
выполнения условия (Р). Для дальнейшего отметим, что мы дока-
доказали также следующее:
(е) Если р$Р9 р|^(#)> то к представляет все элементы Vр
над Ър. Если р^Ру р\й{ё)> то Л представляет все элементы Ър
над Ър.
Теперь мы выберем простое число ц— ?('Ф), которое будет иг-
играть особую роль в рассуждениях. Оно должно удовлетворять
условиям
^Р \й(к (9.19)
(9.20)
но в остальном может быть выбрано произвольно. Такие простые
числа существуют. Действительно, пусть О—целое число, пред-
ставимое формой х*-\-<Цв)У*9 которое взаимно просто с й(§)й(к)
и не делится ни на какое р^Р. В качестве ц можно взять лю-
любое простое число ц \ О.
Из (9.20) следует, что форма ё(уиу2) эквивалентна над 2д
форме 2ухуъ а потому примитивно представляет всякий элемент
из Ъг Далее, как уже отмечалось, род формы к(у3, ...,#„) со-
состоит из одного спинорного рода (см. (9.11) и следствие леммы
3.6). Далее, эта форма изотропна над йд по (9.19), так как она
имеет размерность п — 2^3. Поэтому по следствию теоремы 8.3
найдется целое число т > 0, для которого если с € 2, сфО де-
делится на #2/я и представимо формой к над каждым 2р, включая
2то = К, то 'с представимо формой к над 2. Таким образом, мы
имеем (у).
Теперь мы можем приступить к последнему этапу доказатель-
доказательства. Пусть ф^^ и р^Р фиксированы. Обозначим через Лр =
=р Ар (г|?) множество тех элементов ар из Ър, которые примитивнр

9. Представления определенными формами 261
цредставимы формой ёг = ёг1р, т.е.
Ясно, что если ср, с"р пробегают р-адические окрестности Ьр, Ъ"рч
то ар—@(Ср, с'р) пробегает окрестность начала координат, а по-
потому мы можем найти такие с'р, с'р, что
отлично от нуля и представимо формой к над Ър. Тогда найдется
окрестность Эр элемента с1р, состоящая из ненулевых элементов
кольца 2р, все элементы которой представимы формой к над 2р%
так что
Ор + 8(с'р, ср)сЛг (9.22)
Множество ЛраХр замкнуто в р-адической топологии, а потому
оно покрывается конечным числом открытых множеств вида (9.22).
[Заметим, что это рассуждение было выбрано для того, чтобы
охватить случай, когда форма § изотропна над 2р. В противном
случае достаточно заметить, что если д примитивно представляет
ар, то она примитивно представляет и все ар1?1.]
Предположим теперь, что а ё 2 примитивно представимо фор-
формой / над каждым Ър. Тогда по построению найдется по мень-
меньшей мере одно такое я]), что а примитивно представимо формой
ц = 1& над каждым Ъг Выберем теперь Ь^ &2ё2так, чтобы они
удовлетворяли следующим условиям:
: н.о.д. (Ьи
С2: Пусть р^Р. Тогда а^Лр1 а потому а лежит в одном из
множеств (9.22). Мы потребуем, чтобы Ьъ Ь2 были достаточно
близки р-адически к ср, с», так чтобы а—дфи Ь2)^пр.
С3: Пусть р^Я, но р\й(ё). Мы требуем, чтобы а—ёФь Ьй)
была р-адической единицей. Это всегда можно сделать, так как
мы уже побеспокоились о том, чтобы не все коэффициенты фор-
формы § делились на р (см. случай II выше).
С4: Мы требуем, чтобы а—8 Фи Ь2) делилась на цгт. Этого
можно добиться, поскольку, как уже было отмечено, форма §
эквивалентна над 2д форме 2*/1*/2.
Ясно, что можно добиться того, чтобы все эти условия выпол
нялись одновременно. Действительно, имеется такое конечное мно-
множество В = ВA|)) пар Ь = (&!, Ь2) целых чисел, что для лю-
любого заданного а б 2 наши условия выполняются для по крайней
мере одного Ь^В. Это следует из того, что имеется лишь конеч-
конечное число простых чисел р, удовлетворяющих условиям С8 и С4э
и из того, что для данного р имеется лишь конечное число мно-
множеств вида (9.22). Далее, а—цф±% Ъ2) представимо формой А над
Ъг Это следует для р $ Р из С?, а^Ц

262 Гл. 11. Спинорный род
Тем самым мы добились выполнения условия (б). Так как мы
уже имеем условия (а), (Р), (у), то это заканчивает доказатель-
доказательство теоремы для п ^ 5.
Доказательство теоремы 1.6, п = 4. Оно будет проведено по
тому же общему плану, что и для случая п > 4, за исключением
того, что форма ц будет теперь формой от одной переменной.
Это приводит к дополнительным усложнениям. Для целой квад-
квадратичной формы / и для а € 2 удобно обозначить через Э1 (/, а)
следующее предложение, которое может быть верным или нет:
^(/, а): Если а примитивно представимо формой/ над всеми
2р, то а примитивно представимо формой / над 2.
Нам потребуется следующая
Лемма 9.1. Пусть / — целая положительно определенная фор-
форма определителя й (/) = й Ф 0 от п = 4 переменных, и пусть а >0—
целое число. Пусть цф1 —такое простое число, что а^Ид и
д,(Ц]\. Предположим, что Э1(ё, а) выполняется для данного а и
для всех целых положительно определенных форм § от 4 перемен-
переменных с с1(§) = й. Тогда 91 (/, цта) выполняется для всех целых чи-
чисел
Доказательство. Утверждение тривиально при т = 0; поэтому
зададимся т > 0. Предположим, что цта примитивно представимо
формой / над всеми Ър\ в противном случае нечего доказывать.
Так как й^(/| и цф2, то форма / эквивалентна над Ъц фор-
форме 2X1X3+ 26л;2л;4, гДе б2 = с?. Следовательно, переходя к форме,
2-эквивалентной форме /, можно предполагать, не умаляя общ-
общности, что
2/***/. (9-23)
где
/1з==/з1 =
24 = /« = б (той <72Л+1), (9 24)
/у = 0(тос192|Я+1) в остальных случаях,
или
/ (х) = 2хгх9 + 28х2х4 (той <?2|*+1). (9.25)
Следовательно, форма
8(*) = Я-тГ(Хи *■, 9"*., 9"*4) (9.26)
целая; она удовлетворяет сравнению
В (х) = 2хгх9 + 26лг2*4 (той я). (9.27)
Далее,
^ () ( (9.28)

9. Представления определенными формами 263
Ясно, что д,({У) = й и что а примитивно представимо формой
над каждым Ър. (Это тривиально для рфя и автоматически вы-
выполняется для р = <7> так как <7 ^2й.) Следовательно, по условиям
леммы существует примитивный вектор Ь^24, для которого
По (9.27), так как я\ау то по меньшей мере один из коэффи-
коэффициентов Ъ\% Ьй не делится на ц. Следовательно, представление
примитивно. Это доказывает лемму.
После леммы 9.1 достаточно будет доказать следующее.
Лемма 9.2. Пусть /—целая положительно определенная форма
определителя й от 4 переменных, и пусть ц Ф 2— простое число,
причем д. б Щ. Тогда найдется постоянная Ы1 = Ы1 (/, G), для
которой 5$(/, а) выполняется при всех а> Ыг с ц\а.
Прежде чем доказывать лемму 9.2, покажем, что из нее дейст-
действительно следует теорема 1.6 для п = 4. Пусть/, й> ц такие же,
как в леммах 9.1, 9.2. Положим
(9.29)
где максимум берется по всем классам целых форм от 4 перемен-
переменных определителя й. Тогда из лемм 9.1 и 9.2 следует, что
&(/, Ята0) (9.30)
выполняется, как только
т>0, <7|а0, ао>#2D 9). (9.31)
Пусть теперь ц A), ц B) — два таких различных простых числа,
что с1€Щц» ^€^B). Мы уже ранее отмечали, что такие ц
существуют. Покажем, что
#(/) = Л/2(й, ЧA)) Ы2(A, Я B)) (9.32)
обладает свойствами, требуемыми теоремой 1.6. Действительно,
пусть
а>Ы (/). (9.33)
Тогда
а==а8(G A))яа) (я B))т B) (9.34)
для некоторых тA)^0, тB)^0 и а8, взаимно простым с (/A)
и <7 B). По (9.32), (9.33) мы имеем по меньшей мере одно из
неравенств
■ а* = *, (Я B))" B) > Л/2 (й, 9 A)), (9.35)
а2 -^з (Я (I)I"A) > Л/2 D ? B)). (9.36)

664/л. 11. Спинорный род
Следовательно, условия (9.31) выполнены либо с <7 = #() о
т = т A), либо с ц = ц B), а0 = а2, т== тB). В обоих случаях (9.30)
есть теперь утверждение 2Я (/, а). Следовательно, мы показали,
что из (9.33) следует М([, а). В этом и состоит теорема 1.6.
Доказательство леммы 9.2. Нам потребуется
Лемма 9.3. Пусть / — регулярная кеатер парная изотропная
форма над 1р. Тогда найдется I = 1р € 1р с / (X) Ф 0 и решетка
Д
р р р
=*ДЯ в 3-мерном пространстве, ортогональном к I, со следую-
следующими свойствами:
@-/A) представимо формой / на Ая;
(и) если |/A + с)|я < |/A)|я, с^Дя, /по 1 + с ^/пь примитив-
примитивный элемент в 2*
(III)
Доказательство, По условию найдется примитивный вектор е5
для которого
/ (е4) = 0.
Пусть е1э е2, е3, е4 — базис 2^. Тогда по меньшей мере один из
/^, еу) отличен от нуля, и можно считать, что |/(е1§ е2) | ^
/(еъ еу)|, / = 3, 4.
Заменяя е/ на еу—/уе2, / = 3, 4, с/у^2р, можно считать, что
/(еь е2)=^0, /(е1э ед)=/(е1, е^) = 0.
Так как форма / регулярна, то / (х3е3 + х4е4) не обращается тождест-
тождественно в нуль, и можно считать, что
/ (е3) Ф 0.
Положим
= П, если р = 2,
0 в противном случае.
Пусть 5, г — целые положительные числа; определим г, [х из ус-
условий
Положим
Тогда
/(Г1) = /(гь г3)=/(гь г4) = 0, 2/(г1э г^
Ясно, что мы можем выбрать 5, / столь большими, что
/(Г/, гу) <Ер^2я, (/, /)=тМ1, 2) B, 1), C, 3).

9. Представления определенными формами
265
Следовательно, мы можем найти такие &2, к4$р2р, что
/(Г/-А/П. г3) = 0, / = 2, 4.
Положим 1 =
Тогда
Далее,
= г3; пусть Др — решетка с базисом
=.Г1=е1, Уй = Г9
= 2/ (\и уя) */т*/§ + члены от уй9 у9 === р%у,у2 (той р»+1)
» Ув€%Р- В частности, форма / примитивно представляет
все р^Ор на Дя и даже с ^/2 = 1, #3 = 0. Отсюда следуют усло-
условия A) И A11).
Наконец, предположим, что
где
Тогда
где с==:
Выражая
где
(I)
р и Ь = 2р~^ф (у1э у2) б 1/я. Следовательно,
с через базис е1э ..., е4 решетки Ъ%, мы получим
I ~р- С ==:
хг =
(той р),
так что Х1^1)р. Отсюда следует, что
доказывает (И), а тем самым и лемму.
с примитивен в 2*. Это
Следствие. Для всякого
для которого / A + с) = г.
с \ г \р < | / (I) \р найдется с
Доказательство. Очевидно.
После этого .вспомогательного материала перейдем к доказа-
доказательству леммы 9.2. Мы используем ту же стратегию, что и при
доказательстве теоремы 1.6 для п ^5, кроме того, что форма §
теперь будет одномерной. Напомним, что Р есть любое конечное
множество простых чисел с условиями 2 € Р и й (/) 6 Ур для всех
- Кроме того, мы предположим, что
(9.37)

266 Гл. 11. Спинорный род
Сначала локальное рассуждение. Пусть р^ и / изотропна
над 0^. Определим ио = ио(р)€2$ как 1, задаваемый леммой 9.3.
Имеется только конечное число классов г^ЪртоА Щ, для кото-
которых |г\р>|/(и0)\р. Выберем конечное множество и/ = и/(р),
1 < / < У (р), примитивных элементов из 2^, так что / (х\[) Щ
содержат все г € Ър с \г\р^\! (и0) \р9 которые примитивно пред-
представимы формой / над 2р.
Если р€Р> а / анизотропна над 0я, то / примитивно пред-
представляет только конечное число классов 2ятос1 Щ. Выберем
примитивные иу = и/ (р) 6 2^, 1 ^ / ^ У (р), так, чтобы [) / (и,)
/
содержало все г € 2Я, которые примитивно представимы формой /.
Наконец, для р — ц выберем два таких примитивных вектора
в 2}, что [(и^^Щ и
Мы перейдем теперь к глобальной конструкции, и для этого
нам понадобится еще одно вспомогательное простое число п с
условиями
(9.38)
[Тот факт, что мы используем греческие буквы, объясняется тем,
что мы исчерпали возможности латинского алфавита, и не имеет
другого смысла.]
Пусть теперь задано к (р) для р^Р и р = 9> дей(<7)=*1 или
2, 0 ^ & (р) <: У (р) или 1 ^ к (р) <; 3 (р), соответственно тому,
изотропна или анизотропна над 0р форма /. По теореме Ди-
Дирихле г) о простых числах в арифметической прогрессии мы можем
найти такое целое число цг > 0, что
A) #16/ (и,{р) (р)) VI, р$Р\} М, (9.39*)
(И) А 6 */«, (9.392)
О») Й = &Р@), (9.40)
где р@)^/>и{<7, я}—простое число, и все простые делители #2
лежат в Р. Тогда д^ представимо формой / над каждым Ъру а
тогда по теореме 8.1 найдется примитивный вектор и^24, для
которого
/(и)=*йя"=:в (9.41)
с некоторым / ^ 0, причем п~1и сколь угодно близко к щ{р) (р) для
Теперь мы построим решетку Г в 3-мерном пространстве 1/B),
состоящем из векторов, ортогональных к и. Как и для п ^ 5,
мы определим Г с помощью ее локализаций Г^. Мы должны
рассмотреть несколько случаев.
(а) р€Р, &(р)=0. В этом случае и близко к пЧ, где I — век-
вектор, задаваемый леммой 9.3. Так как п1 есть р-адическая еди-
х) Примеры в конце главы показывают, как можно избежать применения
тер реми» Дирихле.

9. Представления определенными формами 267
ница, то найдется такой элемент о^0B4р) (т. е. автоморфизм
формы / над 2д), что х\ — ив\ для некоторого и^И^. Возьмем
в качестве Г,, 3-мерную решетку Гр = оАр. Тогда и, Тр обладают
всеми свойствами, установленными в лемме 9.3 и ее следствии
для 1, Ар.
(Ь) р^Р, Ъ>КР)Ф 0. Как и в случае (I) для п ^ 5, мы выбираем
любую
Грс:р2*ПУ$> (9.42)
. (9.43)
Тогда, как прежде,
$ . (9.44)
(с) р^Ру р\@. Этот случай касается только двух простых
чисел /? = к и р — р@).
Как и в случае (II) для п^5, существуют такие гь г2, г3,
что
„ г,)=0§ 1ФЪ (9.45)
(9.46)
(9.47)
и = Хг! + цх2 (9.48)
К ^е^я, Л."-^-^ (9.49)
Базисом для Ъ%[\У<$* является
IV, г3, г4, (9.50)
где
ет = [лг, + А,г2, (9.51)
так что
/ (IV) - -8. (9.52)
Так как
—II1 = 2 — 0 (той/?), (9.53)
то мы можем предполагать, не умаляя общности, что
Х==5|х(тос1/?). (9.54)
*
Тогда необходимым и достаточным условием, чтобы
#1*1 + у2ъ + у9г3 + #4г4 6 рЪ%, у( € 2р, (9.55)
является
Л + У 2 = Уз = & = ° (тос1 Р). (9-56)
Теперь мы будем различать случаи.
(сх) р = п. Так как й(/)€ ^я, то мы можем предполагать, что
(9.57)

268 Гл. П. Спинорный род
Возьмем в качестве Гл решетку с базисом
яцу, г3, г4. (9.58)
Тогда имеет место (9.44) с р = я, как сразу следует из эквива-
эквивалентности (9.55) и (9.56). Заметим также, что по (9.57) форма /
примитивно представляет все 2П на Гя.
(с2) р=:р@). Возьмем
(9.59)
Заметим, что при этом выборе не обязательно выполняется (9.44),
и позднее нам надо будет принять особые меры предосторожности.
Заметим также, что / примитивно представляет на Гр по мень-
меньшей мере все 0р и —&Щ.
F) р^Ру р\§. Этот случай включает р — ц. Снова возьмем
(9.59). Теперь в Ъ% существует такой нормальный базис
и = Г{, г2, г3, г4,
что
причем Гд, г3, г4 образуют базис для Гр. Ясно, что (9.44) выпол-
выполняется и / примитивно представляет на Г^ все 2р.
Это завершает определение решеток Г^, а с ними Г. Заметим,
что
(9.60)
выполняется для всех р (в случае (а)—по лемме 9.3). Следова-
Следовательно, род решетки Г состоит только из одного спинорного
рода. Отсюда следует, как в случае п ^5, что существует такое
целое число т ^ 0, что если с ^ 2 положительно, делится на ц%т
и локально представимо на Г^ для всех /?, то с представимо на Г.
Пусть теперь задано а ^2. Выбираем к(р), р€Р> так же, как
для п!>5. По условиям леммы 9.2 (а именно ее мы сейчас до-
доказываем) имеем я\а> а потому мы можем выбрать к(с()^\ или
2 так, чтобы
Обозначим через Р* множество всех простых чисел, которые мы
рассматривали до сих пор, т. е.
Р* = Ри{д, к, р@)\.
Тогда существует такое Ь^29 что
р
= а—§Ь2 = 0 (той
причем с представимо формой / на всех Г^, р^Р*. Проверка
этого оставляется читателю, причем единственный случай, кото<

Замечания269
рый требует размышлений, это р —р@). Представление можно
выбрать примитивным, но нам это не нужно.
Предположим также, что
Тогда по определению т существует такое с^Г, что
и тогда
Мы хотим показать, что с можно выбрать так, чтобы Ьи + с было
примитивным элементом из 24. Предположим, что это не так;
тогда существует такое простое число р, что р\Ьи + с.
Рассмотрим несколько случаев.
р^Р*. Этот случай входит в случай (й), разбиравшийся выше.
По следствию теоремы 8.3 мы можем выбрать с^Г так, чтобы
оно не имело вида рд, д^Г, а тогда р\Ьи-\-с по (9.44).
р=:р@). Это случай (с2). В обозначениях (9.55) мч имеем
и
Заменяя с на —с, если нужно, мы видим, что (9.56) не выпол-
выполняется, а тогда р^/щ + с, что и требуется.
р^Р*, рфрФ). В случае (а) это следует из леммы 9.3,
а в случаях (Ь), (сг), (й) — из (9.44), так как ЬфО(тойр).
Как в и случае п^5, чтобы завершить доказательство леммы 9.2,
нужно показать, что конечное множество Ь покроет все значе-
значения а. Мы опустим детали и заметим только, что это завершает
доказательство теоремы 1.6.
ЗАМЕЧАНИЯ
Многое из этой главы обобщается на поля алгебраических чисел,
см. О'Мира A963).
Мейер A891) был первым, кто получил результаты о числе
классов неопределенных форм от п^З переменных. Уже Эйзен-
Эйзенштейн A851) заметил на основании своих таблиц неопределенных
тернарных форм, что число классов, по-видимому, всегда равно 1.
Понятие спинорного рода было введено Эйхлером A952а), но
его определение отлично от того, которое выкристаллизовалось
впоследствии и которое использовано О'Мира A963). Уотсон A960)
ввел другое определение *). По поводу близкого понятия см.
Джоунс A977).
Эти определения не эквивалентны, в частности, потому, что Уотсон
работает с эквивалентностью, не обязательно собственной.

270 Гл. //. Спинорный род
П.2. Теорема 1.1 обобщается на дедекиндовы области, напри-
например на кольца целых чисел в полях алгебраических чисел, если
решетку понимать в смысле (и) замечаний к гл. 7.
П.7. Кнезер A961) доказал более точный результат, что над
любым полем алгебраических чисел для /2^4 вес представлений
данного афО любыми двумя спинорными родами из одного рода
один и тот же. Для неопределенных тернарных форм он показал,
что либо вес представлений всеми классами (которые совпадают
со спинорными родами) рода одинаков, либо имеется ровно два
веса, каждый из которых реализуется половиной классов. См.
также Джоунс и Уотсон A956). Имеются также результаты
о представлениях форм формами, см. Вейль A962).
П.9. Рассуждения этого пункта взяты в основном из статьи
Кнезера A974). По поводу обобщений на представления форм
формами и на поля алгебраических чисел см. Сия, Китаока и
Кнезер A978).
Вариант теоремы 1.6 был доказан аналитическими средствами
Тартаковским A929), после'* того как диагональный случай был
разобран Клостерманом A926). Другой подход предложен Рос-
Россом и Поллом A946). Уотсон A960а) рассматривает более общее
уравнение
2 + 2 Ъ + с =*
с линейным членом и получает оценки для числа решений. Малы-
Малышев (см. Малышев A962), гл. 3) и Поммеренке A959) аналити-
аналитическими методами получают оценки распределения целых точек Ь
на поверхности /(х) = Ь, где / — целая положительно определен-
определенная форма от /2^4 переменных, а Ь—большое целое положи-
положительное число.
Относительно представлений определенными тернарными фор-
формами положение гораздо менее ясное. Некоторые определенные
формы не представляют бесконечно много целых чисел, хотя это
разрешено конгруенциальными условиями (Джоунс и Полл A939),
ср. с примером 6). С другой стороны, Линник1) A940) разрабо-
разработал метод, использующий обобщенные кватернионы и технику из
теории вероятностей, который дает результаты в противоположном
направлении. Он дает условия на род определенных тернарных
форм /, которые гарантируют, что форма / представляет все доста-
достаточно большие целые числа Ь, удовлетворяющие дополнительному
*■) Полл A949) указал на пробел в первоначальной работе Линника A940).
[Этот технический дефект легко устраним, см. Полл A949), Линник, Малышев
A953), Малышев A962).— Прим. ред.]

Замечания271
условию
/ и \
наперед задано. (*)
(I)
Здесь ц может быть любым простым числом из некоторого беско-
бесконечного множества, зависящего от /. Условие («•) можно опустить,
если выполняется некоторое обобщение гипотезы Римана. Разви-
Развитие метода показывает также, что представления числа Ь стре-
стремятся к равномерному распределению на эллипсоиде /(х) = Ь,
когда Ь—*оо, с сохранением условия («•) (имеется большое число
исследований Линника и Малышева, описанных в монографии2)
Малышева A962)). Кнезер заметил, что из условий работы Лин-
Линника A940) следует, что все рассматриваемые им формы принад-
принадлежат родам, содержащим только один спинорный род3).
Линник A955) приложил также свой метод к неопределенной
форме хгх3—х\. Результат можно интерпретировать, как утверж-
утверждение о распределении множеств коэффициентов (а, Ьу с)
целых форм ах2 + 2Ьху + су2 с заданным определителем A =
= ас—Ь2 > 0. Случай й<0 рассмотрел Скубенко A962). По по-
поводу одного безусловного результата, не предполагающего («•),
см. Паттерсон A975); по поводу близких результатов см. Фри-
кер A971).
Уотсон A976) нашел все определенные тернарные формы, кото-
которые принадлежат родам, содержащим больше чем один класс,
но представляют все целые числа, разрешенные родовыми усло-
условиями. Он также построил (Уотсон A954)) определенные тернар-
тернарные формы с большим множеством исключительных примитивных
значений т (где т исключительно, если оно удовлетворяет родо-
родовым условиям, но не представимо. Оно примитивно исключи-
исключительно, если оно не имеет вида т^т0т2у где т0 исключительно).
Кстати, по-видимому, неизвестно, может ли положительная тернар-
тернарная форма иметь бесконечно много примитивных исключитель-
исключительных значений. По поводу представлений тернарными формами
см. также Петере A978) и Ломадзе A978). Об определенных
кватернарных формах, представляющих все целые положительные
числа, см. Виллердинг A948).
) Обычно условие (*) входит в число необходимых родовых условий фор-
формы /, т. е. условий представимости Ь родом формы /. Например, для представи-
представимости среди родов инвариантов [Й, I]. Й, нечетно, лишь один род действи-
действительно требует дополнительного условия (*).— Прим. ред.]
2) См. также Линник A967), его собрание сочинений, A979) и содержащуюся
в этой книге обзорную статью Малышев A979), где изложена история развития
метода Линника—дискретного эргодического метода — и приведена библиогра-
библиография.— Прим. ред.
3) То же касается и исследований, описанных в монографии Малышев
A962). Однако Петере A978) применил метод Линника и к произвольным родам
положительных форм.— Прим. ред.

272 Гл. П. Спинорный род
Имеются две монографии о представлениях положительно
определенными квадратичными формами. Книга Малышева A962)
посвящена в основном изложению результатов его и Линника,
уже упоминавшихся выше; книга Когана A971) посвящена в пер-
первую очередь результатам о конкретных формах.
Лиувиль A858—1865) дал явные формулы для числа представ-
представлений чисел большим количеством специальных определенных
форм как следствие тщательно разработанных общих тождеств.
Эти тождества включают функции общего вида от нескольких
переменных, а формулы получаются при их специализации и,
возможно, последующей обработке. Доказательства тождеств ком-
комбинаторные и абсолютно элементарные, однако первоначальная
мотивировка, по-видимому, произошла из тождеств для модуляр-
модулярных форм (см. приложение Б). См. также Диксон A919), том 2,
г,з. 9, Бахман A910), том 2, стр. 365—433; Успенский и Хислвт
A939), гл. 13; Коган A971).
ПРИМЕРЫ
1. Использовать теорию спинорных родов, чтобы показать,
что род формы [ = х2-\-5у2—7 г2 состоит из одного собственного
класса. Вывести необходимые и достаточные условия того, чтобы
целое число а было примитивно представимо формой /.
2. Показать, что формы
х2— Зу2 — 2уг — 23г2,
х2 — 7у2—Ьуг—\\г2
цело эквивалентны (см. конец п. 1 гл. 9).
3. Показать, что род формы
состоит из одного класса. Показать, что эта форма цело эквива-
эквивалентна форме
8 = — х* + Ъу2 + 25г2.
Найти эквивалентность.
4. Пусть /7>2—простое число, и пусть Ар есть «-мерная
2^-решетка. Предположим, что Ар обладает таким нормальным
базисом Ь/э 1^/<я, что |<р(Ьу)|я все различны. Показать, что
8(ЛЯ) как группа порождена ((}*)* и ф(Ь1)ф(Ь/), 1 </<я.
[Указание. См. доказательство следствия 1 леммы 3.3 гл. 8.]
5. Пусть р>2—простое число. Показать, что род формы
состоит из двух классов, если /?е==1 (тос18), и из одного класса
в противном случае.

Примеры 273
Показать, что / эквивалентна форме —х2 4- РУ2 + Р%& тогда,
когда /?е= 1 (той 4).
6. Пусть
/(, У, г)=
A) Показать, что множество Р, участвующее в определении
C.15) группы О, можно выбрать состоящим только из /?г=2 и
что О имеет порядок 2. Вывести, что род формы / состоит из двух
спинорных родов с представителями } и
(и) В обозначениях теоремы 4.1 показать, что #(доNб для
нечетного целого положительного числа до есть единица О тогда
и только тогда, когда гю= 1 (той 4).
(III) Показать, что оба спинорных рода из рода формы / со-
состоят из одного класса.
[Указание. Герои могут воспользоваться методами гл. 9 для
того, чтобы перечислить все целые определенные формы опреде-
определителя 16. Другой подход: использовать технику следствия 2
теоремы 8.4, но брать последовательности решеток Ду с
/(Д., Д,+1)=*3.]
(IV) Показать, что всякий нечетный квадрат т2 примитивно
представим ровно одной из форм /, §. А именно он представим
/ или §, в соответствии с тем, т=1 или т^3(той4) (см.
Джоунс и Полл A939), которые использовали другую технику).
7. A) Показать, что формы
представляют два спинорных рода из одного рода и что каждый
из спинорных родов состоит из одного класса.
(и) Показать, что 4т2, для целого числа т > 0, 1\ту при-
примитивно представимо формой / при т = 2(тос13) и формой §
при т=1 (тос13), но никогда одновременно / и §.
A11) Доказать предыдущее утверждение, не используя теорию
спинорных родов.
[Указание. Если 4т2 представимо формой /, то
х2 + ху + у2 = Bт + Зг) Bт — Зг).
Всякое простое число рф39 которое делит левую часть в нечет-
нечетной степени, должно быть р=1(тос13). Ср. Уотсон A960),
стр. 115.]
8. Применить методы двух предыдущих примеров к квадра-
квадратам, которые цело, примитивно представимы формами
хъ—

274 Гл. П. Спинорный род
[Замечание. Ср. пример 23, гл. 9; Зигель A951), разд. 1,
§7.]
9. Показать, что род формы
состоит более чем из одного спинорного рода. Определить все
классы в роде. (См. Уотсон A960), стр. 114.)
10. Доказать следующее утверждение, доказательство которого
было оставлено читателю в начале п. 9:
Пусть /—изотропная форма от п>2 переменных, принимаю-
принимающая значения в Ъг Тогда существует М = М (/, р) со следующим
свойством. Если а представимо формой / над 2р9 то существует
такое т = т(а\ р, /) с О^т^М, что р~2та примитивно пред-
пред(
ставимо над 7,р.
И. Пусть Л—решетка в регулярном О-квадратичном про-
пространстве размерности 3. Предположим, что ф целозначна на Л.
Пусть ц—такое простое число, что ф изотропна над 0^.
Пусть Р*—множество простых чисел рф2 с условиями
A) ф анизотропна над йр, р^Р*;
(и) определитель формы, индуцированной ф на Л, делится
на /?, но не на р2, р^Р*.
Далее, пусть для Ь 6 Л
и пусть г\р = ± 1 произвольно заданы для р ^ Я*. Показать, что
тогда существует такой а^0+(У), что для всех
аЬ = г)рЪ (той рА)
и
для всех
{Указание, Это в точности аналог в смысле п. 8 примера 3
гл. 10.]
12. Показать, что доказательство теоремы 1.6 в п. 9 может
быть освобождено от ссылок на теорему Дирихле о простых чис-
числах в а ифметической прогрессии.
{Указание. Теорема Дирихле использовалась для доказатель-
доказательства существования ^, удовлетворяющего (9.39) и (9.40). В любом
случае мы можем найти целое число §г > 0, которое удовлетво-
удовлетворяет (9.39) и не делится на квадрат р^Р. Пусть ^ задано урав-
уравнением (9.41). Если р^Р, р\§ и У^2) изотропно, то рассуждаем
как в доказательстве. Для множества РА тех р^Р, р\@, для
которых У{ру анизотропно, мы можем по предыдущему примеру
найти такое а^0+(УB)), что

Примеры 275
для всех рфц, причем
ас г у]рс (той рЛ(р2))
для всех р^РА9 где ^^=+1 произвольны. Теперь мы можем
выбрать цр так, чтобы Ьи+ас не делилось на р, точно так же,
как это сделано при рассмотрении р @) в предпоследнем абза-
абзаце п. 9.]
13. В лемме 9.3 при рф2 показать, что 1 всегда можно выб-
выбрать примитивным элементом из 2Р.
[Указание. Форма / 2^-эквивалентна диагональной форме
М
14. Пусть [ (х^ ..., хп) — неопределенная форма сп>3. Пока-
Показать, что она имеет несобственный 2-автоморфизм в точности
тогда, когда лежит в одном спинорном роде с §(хь ...,д:п) =
15. (О формах, у которых нет несобственных автоморфизмов.)
Пусть г, 5, ц—простые числа с ге==5 = 1 (той8); (~1 = (—^ = 1;
()()
()
A) Показать, что существует бинарная форма к^и,V) =
определителя с1(к) = — гз.
A1) Показать, что форма
х2) + (г$J к
не имеет несобственных автоморфизмов.
A11) Найти целые числа ^у г, 5, Ь, с, удовлетворяющие ука-
указанным условиям.
[Указание. Предыдущий пример.]

Глава 12
ПРИВЕДЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ
КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
I. ВВЕДЕНИЕ
Теория приведения определенных квадратичных форм—это
чисто вещественная теория. Мы будем рассматривать формы
A.1)
2
и /
которые (строго) положительно определены. Цель теории — выбрать
из бесконечного множества форм, цело эквивалентных форме /,
одну, характеризуемую некоторым внутренним образом. Способ
приведения, который оказывается наиболее удобным, был пред-
предложен Минковским.
Определение, Положительно определенная квадратичная форма
A.1) называется приведенной (по Минковскому), если для любого /
A.2)
где е/ = @, ... ,0, 1,0, ..., 0), а е] пробегает все такие целые век-
векторы, что е1э . ..,еу_ь еу может быть расширено до базиса ре-
решетки целых векторов. (Для / = 1 это означает, что еГ пробегает
множество примитивных векторов.)
Иначе условие A.2) может быть записано так:
/у/=/@, ... ,0, 1,0, ...,0)</(^, . ..,*?„), A.3)
где Ьх, ...,&„ пробегают все множества целых чисел с
н. о. д ф,9 Ь,+и .... &„) —1. A.4)
Так как мы будем их непрерывно использовать, то отметим
два частных случая условий A.4).
Лемма 1.1. Если форма / приведена, то
0 </«</■,<■..</„,, A.5)
. A.6)
Доказательство. Действительно, если / < /, то мы можем взять
е? = еу и е* = е; ± е(.
Сразу же имеем:

/. Введение 277
Теорема 1.1. Всякая положительно определенная форма экви-
эквивалентна по меньшей мере одной и не более чем конечному числу
приведенных форм.
Доказательство. Отметим сначала, что для любого М > О
множество векторов х ё К" с
ограничено. В частности, имеется только конечное число целых
векторов ш с условием
Теперь очевидно, что по индукции можно выбрать такой базис
Ь19 . •., Ь„ решетки 2", что
A.7)
где 1п! берется по всем таким векторам Ь], что Ь1? ..., Ь/тт19 Ь* можно
расширить до базиса решетки Ъп. Тогда ясно, что форма
8 (Уи --->Уп) = [ {Уг^г + . • - +УпК)
приведена и эквивалентна форме [. Вообще, векторы Ь^, ..., Ъп
однозначно определяются формой /; однако в частных случаях
может быть несколько (конечное число.—Ред,) векторов Ьу, удов-
удовлетворяющих условиям A.7).
Основные факты о приведении—это теорема 1.1 и теоремы 1.2
и 1.3, доказательство которых будет изложено в последующих
пунктах этой главы.
Теорема 1.2. Пусть обе формы
/(х), /<Тх)
приведены, причем
т - (<„)
— целая унимодулярная матрица. Тогда
где С?—постоянная, зависящая только от числа п переменных.
Теорема 1.3. Существует конечное подмножество % условий
A.3), обладающее следующим свойством*.
Пусть /(*!, ..., хп)— форма (не обязательно определенная),
которая удовлетворяет условиям % и
/A,0, ...,0)>0.
Тогда [-—приведенная положительно определенная форма.

278 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Теорема 1.3, которая будет доказана в п. 5, имеет геометри-
геометрическое описание. Мы можем представлять форму / (х) = 2/|у*|*/
от п переменных точкой в К^, где N ~ п(п-\-1)/2 с координата-
координатами ///э /^/. Тогда теорема 1.3 утверждает, что множество приве-
приведенных положительно определенных форм задается в Р^конусом^,
ограниченным конечным числом гиперплоскостей. Группа 5^ целых
матриц Т с йе! Т = ± 1 действует на НА, если определить Т/ как
форму /(Тх). Так как всякая положительно определенная форма
эквивалентна приведенной форме, то объединение 1|Т«5?, Т^8Ьп9
т
совпадает с множеством всех положительно определенных форм.
Мы изучим эту геометрическую конфигурацию более подробно
в пп. 5—7.
Конус 51 явно известен только для п ^ 7. Для « = 5,6 резуль-
результат был сформулирован без доказательства Минковским и восп:оиз-
веден в 1911 г. [A886), A887), A911), том I, стр. 154, 218]. Доказа-
Доказательства были даны недавно Рышковым A971) и Таммелой A973).
Случай п = 7 принадлежит Таммеле A977). Для /г ^ 4 доказатель-
доказательство Минковского настолько просто, что мы приведем его сейчас.
Лемма 1.2. Пусть п^.4. Необходимое и достаточное условие
для того, чтобы форма /(х) была приведенной положительно оп-
определенной формой, есть
(О 0</11</22<...</йй,
(и) / (8) ^ {л для 1 ^ У ^ /2 и для всех 8 с
=:0 или ± 1, / < ^\ $/= 1; 5/ = 0, / > У.
Замечание 1. Для /2 = 2 условия 0) и (и) — это знакомые нера-
неравенства
О < /« < /м, 21 /121 < Га-
Замечание 2. Множество векторов 8 в условии (и) нельзя за-
заменить на меньшее множество. В этом можно убедиться, рассма-
рассматривая формы в окрестностях
и формы, полученные из них подстановками а:/-~^±а:/, а также
перестановками переменных в §4.
Доказательство. Ясно, что условия A) и (п) необходимы. Для
доказательства того, что они достаточны, нужно показать, что
/ (а) > 1„
для любого целого вектора а с
«у Ф 0, а, =0, / >

/. Введение 279
Если форма /, удовлетворяет условиям A) и (И), то это же верно
и для формы от п—т переменных, полученной приравниванием т
переменных нулю. Следовательно, можно предполагать, не умаляя
общности, что
и надо доказать, что
/ (а) > 1„п-
После подстановки х,- —► ± Лу можно считать, что
я,- > 0, 1 ^ / <; п.
Пусть Л^тахау. Если Л=*1, то требуемое неравенство совпа-
совпадает с одним из данных неравенств (И). Поэтому мы можем
предполагать, что А > 1. Воспользуемся индукцией по ^луия.
Пусть В~ттау>0. Если ап = В, то положим к=*п. В против-
противном случае пусть к—любой из индексов, для которого ак=^ В.
Положим
Ь, = а, — В, \фк\ Ьк=*ак=
так что
а„ Ьпф0.
Простое вычисление показывает, что
1фк
Если-мы сможем показать, что /(а)^/(Ь), то все сделано, так
как / (Ь) ^ /яи по индукционному предположению. Но по усло-
условию (и)
пи •..,
а по A.6), являющемуся прямым следствием A) и (Н),
\фк
\Ф1
Это и завершает доказательство.
Зигель показал, что теорема 1.2 является частным случаем од-
одного свойства того, что теперь называют областями Зигеля, которые
полезны не только при изучении определенных форм, но также и
для неопределенных форм и в общей теории линейных алгебраи-
алгебраических групп.
Определение. Пусть б > 0, г\ > 0. Область Зигеля &>п F, ц) =
= сУ(б, г])—это множество квадратичных форм
ь ..., хп) = А, (хг + с12х2
(х2

280 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
В пп. 3, 4 мы докажем:
Лемма 1.3. Существуют такие $пУ цп1 зависящие только от п,
что всякая приведенная форма лежит в $Рп FЛ, ц
Георема 1.4. Пусть /(х) а ) (Тх) принадлежат одной области
Зигеля о?п(§,ц), где Т — целая унимодулярная матрица. Тогда
существует такая постоянная С = С(п, 6, г]), что элементы 1
матрицы Т удовлетворяют неравенству
Ясно, что теорема 1.2 следует из леммы 1.3 и теоремы 1.4.
Определение приведения по Минковскому не совпадает с перво-
первоначальным определением приведения, введенным Эрмитом.
Эрмит определял свойство положительно определенной формы
/ быть приведенной рекурсивно следующим образом:
@ /A,0, ...,0)= 1пГ /(ш);
тб2". т Ф 0
00 | 2/,71 < /й1 / > 1, причем § (х2, ..., хп)—приведенная фор-
форма как форма от (п—1) переменных; здесь
A.8)
D 1 \
Следовательно, для приведения по Эрмиту выполняется аналог
теоремы 1.2. С другой стороны, нет простой характеризации при-
приведения по Эрмиту в терминах коэффициентов /,у, аналогичного
теореме 1.3.
Замечание. Имеются еще два других определения приведения,
которые связывают с именем Эрмита. Одно, также для опреде-
определенных форм, будет упомянуто в замечаниях к этой главе. Дру-
Другое относится к неопределенным формам и будет главной темой
гл. 13.
Прежде чем погрузиться в основной материал, напомним не-
некоторые простые факты, полезные для дальнейшего.
Положительная форма /(х) от п переменных эквивалент-
т
на над Р сумме квадратов §(у)= %у'; с т^п. Если т=п,
«1
то / — строго положительно определенная, а если т<п, то /—
полуопределенная форма. Ясно, что положительная форма полуо-
полуопределена тогда и только тогда, когда она сингулярна.

2. Последовательные минимумы __81_
Для любых двух векторов хь х2 мы имеем
V! (х, + х2) < УТЩ +
)
так как соответствующее неравенство для ^ (у) есть неравенство
треугольника для расстояний в т-мерном пространстве. Отсюда
следует, что
/7Ж^ ) < 21 %> I УШд A-9)
для любых вещественных векторов х/ и вещественных чисел 'к^.
Наконец, для любого М множество векторов х^ К", Для кото-
которых /(х)^Л4, симметрично и выпукло. Оно ограничено тогда
и только тогда, когда / положительно определена. Эти утвержде-
утверждения очевидны в терминах
2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ МИНИМУМЫ
Обозначим через
п
положительно определенную квадратичную форму с определителем
0.
Теорема 2.1. Существует такая постоянная уп, что
тб2й, т ф 0
Хотя это частный случай леммы 3.2 гл. 9 (см. замечание 1), мы
приведем два независимых доказательства.
A) (ЭрмитI). Пусть / приведена по Эрмиту в смысле опреде-
определения, которое рассматривалось в конце предыдущего пункта,
так что
!и = Щ B.1)
и
с!е* § =
Предположим, что ■ув-! уже найдена. Тогда существуют такие
целые числа тг, ...,тп, не все равные нулю, что
8(ш„ ...,т„
Выберем теперь т, так, чтобы
х) По существу оно совпадает (в частном случае 5 = 0) с тем, которое
использовалось при доказательстве леммы 3.2 гл. 9. — Прим. ред%

282
Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Очевидно, что это возможно. Тогда
По B.1) имеем
т. е.
/11 ^ I у
П-1
Так как ясно, что мы можем взять
получаем, что можно взять
~ 1, то по индукции мы
(и) (Минковский). Для любого М множество х^КЛ, удовлет-
удовлетворяющих неравенству
выпукло, симметрично и имеет объем
Ч\ B.2)
где /(„—объем единичного «-мерного шара. По теореме Минков-
ского о выпуклом теле (см. гл. 5) этот шар содержит целую точку,
отличную от начала координат, если объем B.2) больше или ра-
равен 2п. Это показывает, что мы можем взять
п
Неулучшаемые значения для уп известны для п ^ 8 (см. при-
приложение в книге Касселса A959) по поводу этих значений и даль-
дальнейшую литературу). Мы удовольствуемся тем, что покажем, что
наилучшая постоянная для п = 2 есть 2/1/3. Можно предполагать,
что / — приведенная форма, так что
21Г и К /и < /22.
Тогда
т. е.
Знак равенства достигается для Х ^ +
Для положительно определенных форм введем теперь последова-
последовательные минимумы.
Определение. Назовем /-м минимумом формы / такое по-
положительное число УИ/, что
- А > Пх -

2. Последовательные минимумы 283
(I) множество всех целых векторов т с условием у
порождает подпространство размерности ^ /;
(II) множество всех целых векторов т с условием / (т) < М/
порождает подпространство размерности < /.
Ясно, что М19 ..., Мп корректно определены и удовлетворяют
условию
, B.3)
причем имеется множество целых линейно независимых векторов
т/ с
!(т/)^М/. B.4)
Числа М; однозначно определены формой /; однако для незави-
независимых наборов целых векторов п^, удовлетворяющих B.4), могут
быть разные выборы. Тем не менее для любого выбора выпол-
выполняется следующая очевидная
Лемма 2.1. Пусть с —целый вектор и /(с) < Мг Тогда с ли-
линейно зависит от
Следующая оценка, принадлежащая Минковскому, является
ключевой для последующего.
Теорема 2.2. Имеем
М,. .М„<Т«О, B.5)
где у „—любая постоянная, удовлетворяющая условиям теоремы 2 Л .
Доказательство. Введем новые переменные у = (уи ..., уп)
так, чтобы
х = У!пц + ... + уптп. B.6)
Тогда
У = Тх, B.7)
где Т—некоторое линейное преобразование. Последовательно вы-
выделяя квадрат линейной формы относительно переменных у, получим
/(х)-I?+«+...+«, B.8)
где
I, = Ь, (у) = Ь, (у/9 ... § уп) B.9)
— вещественные линейные формы от у/9 ..., уп. Определим те-
теперь новую квадратичную форму Н(х) равенством
Н (х) = 1ЦМ1 + ... + Ц/Мп9 B.10)
что определитель с!(Н) формы Н равен

284 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Покажем, что
й(Ь)>1 B.12)
для всех Ь € 2Л, отличных от 0. Действительно, пусть ТЬ =
•••> *»)> и пусть 3—наибольший индекс /, для которого
^. Тогда Ь не может линейно зависеть от т1у ..., гп^, и
потому по лемме 2.1
/(ЬМ. B.13)
С другой стороны, из B.9) следует, что
М*) = 0> />А B14)
а потому
А (Ь) = 2 Ц D)/ЛГ, > Му1 2 ^ (I) =* М71/ (Ь) > 1 B.15)
в силу B.3) и B.13). Следовательно, по теореме 2.1, применен-
примененной к форме А, имеем
<». B.16)
Теорема теперь следует из B.11) и B.16).
3. ПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМЫ И ОБЛАСТИ ЗИГЕЛЯ
Нашей основной целью является
Теорема 3.1. Пусть
(х) = 2 !цхр, = *! (*! + с^х2 + ... + С(пл:пJ +
(х2 + с23х3 + ... +с2плд2+ ... +Нпх2п C.1)
— приведенная по Минковскому форма с последовательными мини-
минимумами Ми ..., Мп. Тогда для любого /, 1 ^ \ ^ п, отношение
любых двух из чисел Н/9 /уу, Му- ограничено постоянной, зависящей
только от п. Точнее, существуют такие постоянные С4 (/), СБ (п),
Св (п), зависящие соответственно от / ^ п,
(О лу < Г//.
(и) \п < С4 (/
A11) Ж, < СБ (Л) „
(IV) /,/ < Св (л) Л„
(у) к, < /„.
Доказательство. (\) Имеем
Ц/ C.2)
(и) Пусть Шу—как и прежде, множество линейно независи-
независимых целых векторов с / (гп^) =* М^ При фиксированном / по мень-
й мере один из векторов т$, ..., т/ должен бщь лияейнд

3. Приведенные формы и области Зигеля 285
независимым от е1э ..., е/-{, где е,-—/-и единичный вектор. Пред-
Предположим, что это есть тк. Тогда найдется вектор еу, который
вместе с е1э ..., е;_, может быть расширен до базиса, причем
где 5 > 0, ?1, ..., 1;„х — целые числа.
Заменяя е/ на е;* +г1е1-\-... +г/_1е/_1 с подходящими це-
целыми числами ги ..., Гу«1, мы можем предполагать, не умаляя
общности, что
Теперь
е?, = A/5) тк—
а потому по A.9) (выпуклость функции
C.3)
К1
По индукции можно предполагать, что (и) выполняется для
всех I < /, а потому
Так как ^ ^ /, то
Следовательно, из C.3) следует, что
/ (е;> < С4 (/) М/9
где
Но е^, ..., еув1, еу можно расширить до базиса, а тогда по опре-
определению приведения
/// < / (е,').
Тем самым мы по индукции доказали (и).
Замечание 1. Мы оценили С4(/), но грубо. Лучшие оценки
см. ван дер Варден A956), п. 6.
Замечание 2. Родственный этому результат принадлежит
леру (см. Касселс A959), стр. 135? лемма 8).

286 Гл. 12* Приведение квадратичных форм
A11) Сравнивая определители в C.1), мы имеем
По теореме 2.2
Следовательно,
у» > (Мг/Нх) ... (Мп/Нп) > (М,/Н,) П С, (О
'чб/
в силу (II), которое уже доказано. Тем самым
М,/Н, < Св (л),
где Сб (л)—постоянная, зависящая только от п, что и требовалось.
Наконец, (IV) следует немедленно из (и) и A11); (V) тривиально.
Доказательство леммы 1.3. Она утверждает, что приведенная
форма лежит в области Зигеля &п(Ьп% т\п) для некоторых би, г)Л,
зависящих только от /г.
По определению приведения и по предыдущей теореме имеем
C.4)
Таким образом, мы можем взять 6м =
Далее для / < / имеем
а потому
+Х1^| C.5)

Тогда из условий приведения
и по C.4) имеем
Запишем временно Я/ = тах|сг7| Тогда из C.5) следует, что
>1
C.6)
Но так как форма / приведена, то
Сл, 1 =
<
ГГ ^ Т

4. Области Зигеля 287
Т. е.
Теперь из C.6) следует по индукции, что Я2, НЬУ ..., Нп все
ограничены некоторой постоянной цп, которая зависит только от п.
Тогда / принадлежит <&„(&„, г)п)> что и требуется.
4. ОБЛАСТИ ЗИГЕЛЯ
В этом пункте
п п
/(х)= 2 /*/***/- 2М^ + с/1/+Л+1 + ...+^вI D.1)
— положительно определенная форма, лежащая в некоторой об-
области Зигеля <^„ F, т|) с б> 1, но не обязательно приведенная.
Обозначим через М1 последовательные минимумы формы /, а через
т/ = (т/1, ..., т/и), 1</<я, D.2)
— любое множество линейно независимых целых векторов, для
которых
/(ш^Му, 1</<я. D.3)
Сначала мы докажем для областей Зигеля аналог теоремы 3.1.
«Лемма 4.1. Пусть форма D.1) лежит в <^„(б, ц). Тогда для
любого /, 1^/<1#, отношение любых двух из чисел Н/9 /у,-, М/
ограничено постоянной, зависящей только от п, б, г|.
Доказательство. Имеем
*/ < //у=Лу + 2 Л/4
где
С1о=*С1о(п, б, т]) = 1 -Ьт]2 2 6/.
Векторы еь ..., еу линейно независимы, а потому
тах /(е.-)^С10 тах
где
Сц=*Си(п, б,
Наконец, пусть а=(ах, ..., а„) — целый вектор, линейно не-
независимый от еи ..., е/-_1. Тогда найдется такое &^/, что
аЛ =^= 0, а( > 0, / < й. Из D.1) немедленно следует, что / (а) ^ Нк.
Следовательно,
у {А,,
где С1а - в*"».

288 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Это завершает доказательство.
Лемма 4.2. В обозначениях D.1) и D.2) для фиксированного ^
запишем
111=*тл + с1щМтА(+ъ+ ...+с/%„ту„, 1<*<я, D.3.6/8)
так что
Тогда
\1*>{\<Си~Си(п, б, г]),
Доказательство. Зафиксируем / и будем различать два случая.
Вначале рассмотрим случай, когда / сравнительно мало.
0) Предположим сначала, что
/(еи)<Му, 1<и<*. D.5)
В частности, г < У. Положим
где ^, ..•, гг—целые числа. Мы утверждаем, что
D.6)
Действительно, в противном случае гп, было бы линейной комби-
комбинацией векторов т}, е1э ..., е/э для которых / (х) < /Иу, что
противоречит определению последовательных минимумов.
Выберем последовательно целые числа 1Ь 1(_ъ //-2, ...,
так, чтобы
где ^, ..., \х*п—аналоги выражений (А.ЪЫз) для т}. Очевидно,
что это можно сделать. При этом ясно, что
Следовательно, из D.6) вытекает
В частности,
что и доказывает лемму в этом случае.
A1) Предположим, что D.5) не выполняется, так что
/(еи) для некоторого и<л. Тогда по лемме 4.1
С10Ни

4. Области Зигеля 289
где использованы обозначения этой леммы. Тогда из D.4) следует
и лемма доказана также и в этом случае.
Следствие. Имеем
IтлI^Си(я, б, г]), 1<У<п,
Доказательство. Можно последовательно найти тУп, ту п_±% ...
..., тл из равенств
где
Доказательство теоремы 1.4. Она утверждает, что если формы
/(х) и /(Тх) лежат в <&пф, г\), то элементы (у целой унимо-
дулярной матрицы Т удовлетворяют
|^|<С(/2, б, Г])
с некоторой постоянной С (/г, б, к\).
Действительно, теперь у нас есть два таких базиса е^\.., ел
и е?, ..., е^, что обе формы
КХ&+ ... +хпеп)
и
/ {хге1 + ... + хпе*п)
лежат в <^п(б, г\). Предыдущее следствие утверждает, что
с
Так как все симметрично по отношению к е( и е|, то
с некоторыми т}^ б 2, где
т*л I < Си.
Исключая из двух равенств линейно независимые векторы гпуэ
получим
156

290 Гл. 12. Приведение квадратичных форц
где 1ц€О> ограничены некоторой постоянной С (п, б, г\). Так как
{е,} и {е^}—базисы, то г^^Х. Это завершает доказательство.
б. ГЕОМЕТРИЯ ПРИВЕДЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФОРМ
В этом пункте мы будем представлять вещественную квадра-
квадратичную форму
п
/ (х) ж ^ ?их1х1' ?и в // ь
и /—1
от п переменных точкой в п(п+ 1)/2-мерном пространстве с коор-
координатами //у-, /^/. Рассмотрим геометрическую и топологическую
природу подмножеств Цп(п+1У2У соответствующих приведенным
положительно определенным формам. Мы будем обозначать обыч-
обычную евклидову длину как в рл(л+1>/2^ так и в р/» через | |. Так
что
1/12-1<2/<лП/, 1Х1* = 1<?<„^-
Нам понадобятся следующие две простые леммы.
Лемма 5.1. Для любой квадратичной формы / и любого ве-
вещественного вектора х
Доказательство. По неравенству Коши—Буняковского
Шварца
Лемма 5.2. Пусть / — положительно определенная форма.
Тогда существует такая постоянная К =* К/ > 0, что для всех
вещественных векторов х
Доказательство. Функция / (х) от переменной х непрерывна
на компактном множестве I х | = 1 и достигает там своей точной
нижней границы, которую обозначим через /С. Ясно, что К > 0,
так как / положительно определена. Требуемое неравенство сле-
следует теперь из однородности по х.
Теорема 5.1. A) Множество Э*° всех положительно определен-
определенных форм / есть открытое выпуклое множество в рл (л+!)/*.
(И) Замыкание множества 3*° есть мнооюество 3* всех положи-
положительно определенных и полуопределенных форм.

5, Геометрия приведенных определенных форм 291
Доказательство. A) Если /0 и^—положительно определенные
формы, то такой же будет и
/я-A-Я)/0 + ^ E.1)
для всех вещественных чисел К в интервале 0 ^ К ^ 1. Это по-
показывает, что 2Р° выпукло. Пусть теперь /0(х)—любая положи-
положительно определенная форма, и пусть К определено леммой 5.2.
Пусть /—любая форма с
F.2)
Тогда по лемме 5.1 для любого х
а потому
/ E.3)
Следовательно, / положительно определена. Это показывает,
что ^° открыто.
(и) Покажем сначала, что Э* замкнуто. Действительно, пред-
предположим, что /о^^. Тогда существует такой вещественный век-
вектор ха, что /о (хо) < 0- Ясно, что / (х0) < 0 для всех / в некоторой
окрестности формы /„, что показывает, что дополнение 5* открыто.
Теперь пусть /0—любая точка 5\ а }г—любая точка 5*°.
Тогда ясно, что /^, определенное формулой E.1), принадлежит
9*° при 0<Х^1. Следовательно, /A лежит в замыкании 5*°, что
и требовалось.
Замечание. Имеем й(/)>0 на ^с, 4(/) = 0 на Р—Рс. Следо-
Следовательно, 5*° есть одна из компонент дополнения к алгебраичес-
алгебраической гиперповерхности й(/)=*0.
Теперь нам потребуется новое
Определение. Форма /(х) называется строго приведенной, если
она приведена и если единственными целыми унимодулярными
преобразованиями Т, для которых форма /(Тх) также приведена,
являются диагональные преобразования с элементами ±1. Дру-
Другими словами, если еь .... е/в1, е* можно расширить до базиса
и е1*&±е/У то
E.4)
Лемма 5.3. A) Множество 81° строго приведенных форм вы-
выпукло и открыто.
A1) Множество сИ всех приведенных форм совпадает с отно-
относительным замыканием сЯ° в Зь0.
Эта лемма будет усилена теоремой 5.2. Доказательство следует
доказательству теоремы 5.1.
Доказательство. (\) Выпуклость §1° доказывается точно так
же» как и выпуклость 3*° в теореме 5.1. Теперь пусть /0€$Г и
10*

292 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
пусть сЛГ0—множество форм /, определенных условием E.2), так
что для них выполнено E.3). В частности» имеется такая посто-
постоянная X, что
{/€сГ0; |х|>Х}=>/(х)>1+ тах /0(еу). E.5)
Обозначим через 0ЛГ1 множество тех /6<ЛГ0, для которых
E.6)
Тогда сЛГх открыто. Далее, из E.5) и E.6) следует, что E.4) вы-
выполняется для всех тех е,*, для которых \€\\^Х. Пусть с(\Г2 —
подмножество Ж\ тех элементов, которые удовлетворяют остав-
оставшимся неравенствам E.4), т. е. тем, для которых |е;*|<Х,
1^/<п. Тогда оЛГ2 открыто и /0 (ЕеЛГ2с:ейо.
(п) По определению имеем ейс:«!Ро. Пусть /0€«^°, /о$;ей- Тогда
найдется некоторое /' и такой целый вектор е/, что еи ..., С/-1У е*-
можно расширить до базиса и /0 (е/) </о (е/)- Тогда существует
окрестность сЛГ формы ^0, в которой /(е/) </(еу), и потому ни
одна точка из сЛГ не лежит в ей. Это показывает, что ой относи-
относительно замкнуто. Доказательство того, что ей есть относительное
замыкание сИ°, проводится так же, как в теореме 5.1.
Определение Для 1 ^ / ^ п обозначим через №у- множество
целых векторов е/, обладающих следующими свойствами:
{{) Существуют такие целые векторы е*-+1у . ♦ ., е*, что е1? ...
..., еу«х, е;*, е;*+1, ..., е^ есть базис.
(П) Существует такая квадратичная форма /(х), что и
/ (х) * / (л:1е1 + ... + хпеп)
и
(х) = !(^е, + ... +.*/-1е/-1 + */е/+ • • • 4-Агле*
— приведенные формы. По теореме 1.2 множество №у конечно.
Теорема 5.2. Множество сК° строго приведенных форм опре-
определяется конечным набором линейных неравенств
(а) /(ех)>0,
(Р) /7
Замечание. Эти неравенства линейны и однородны по
Доказательство. Всякая /^еЙ° удовлетворяет (а) и (|3). Мы
хотим показать, что элемент /^сй° не будет удовлетворять одному
из неравенств (а) или ф). Предположим, что /0^сЙо» а /чбсЙ0,
и рассмотрим
E.7)
Пусть у—точная верхняя граница тех Я, что /я^сй°. Тогда

6. Геометрия бинарного случая 293
лежит на границе $1°. Рассмотрим два случая:
О) /щ—положительно определенная форма. Тогда ^ приведе-
приведена, но не строго приведена; поэтому существуют такие / и
}№, что
Так как /х строго приведена, то
/х (е/) > Д
а потому по E.7)
;
Следовательно, /0 не удовлетворяет условию ф).
(и) /р,—не положительно определенная форма. Тогда /я стро-
строго приведена для К > |х. В частности,
для всех К > [х и для всех целых Ь =И=0. По непрерывности
для всех целых векторов Ь=^0. Так как/д—полуопределенная,
но не определенная форма, то из леммы 5.4 (см. ниже) следует,
что /^(е^-^О. Как и в случае A), мы выводим, что /0(ех)^0.
Следовательно, /х не удовлетворяет (а). Это завершает доказа-
доказательство теоремы.
Следствие. Множество сК приведенных форм определяется не-
неравенствами (а) и неравенствами (Р^), которые получаются, если
в ф) вместо > поставить ^.
Доказательство следует из теоремы и леммы 5.3»
Чтобы завершить доказательство теоремы 5,2 нам осталось
лишь доказать следующую лемму.
Лемма 5.4. Пусть { — положительно полуопределенная, но не
определенная форма. Тогда точная нижняя граница /(Ь) для
целых ЬфО равна 0.
Доказательство. Пусть е > 0—множество тех х, для которых
выпукло и симметрично относительно начала координат. Оно
имеет бесконечный объем и потому по теореме Минковского о
выпуклом теле содержит целую точку ЬО
6. ГЕОМЕТРИЯ БИНАРНОГО СЛУЧАЯ
Прежде чем продолжать изучение общего случая, рассмотрим
приведение бинарных форм. Напомним, что форма
*| F.1)

294
Гл. 12. Приведение квадратичных форм
положительно определена, если
/и > 0, /«/„-/!, > О,
и что условиями приведения являются
F.2)
F.3)
Как множество 5*° положительно определенных форм, так и мно-
множество с& приведенных форм, являются конусами в К* с верши-
Л
С
в
с
A,0).
<у> •
Л]
)-[3,9,7]
~ [1,1,1]
ЙЛ-Р.З.Ч
D/5,3/5)- [1,4,4]
Рис. 12.1. Круг имеет единичный радиус. Координатами являются (?, т]),
и мы пишем F, тйН/ш 2^2» /22] в обозначениях F.4). На рисунке показана
фундаментальная область |р и некоторые из преобразованных областей Т|Г.
Каждая Т<|р имеет одну вершину на окружности и две внутри круга. Имеется
бесконечно много Т^*, и все они полностью покрывают внутренность круга
без перекрытий; при этом они сгущаются только к точкам на окружности.
В каждой внутренней вершине сходятся шесть треугольников Т^". Множество
вершин на окружности всюду плотно, и каждая вершина на окружности при-
принадлежит бесконечному числу треугольников Т|р,

6. Геометрия бинарного случая 295
ной в начале координат. Это следует из того, что условия F.2)
и F.3) однородные. Удобно положить
/22 + /11~~*' Гшш + Ги' F*4)
Тогда условия положительной определенности F.2) превратятся в
12 + у]2 < 1. F.5)
Аналогично, условия F.3) перейдут в
F.6)
г]>0.
Заметим, что заданные значения 1 и г] соответствуют формам
так что условие /п > 0 в F.5) отсутствует.
Таким образом, положительно определенным формам соответ-
соответствуют точки (I, г)) внутри единичного круга. Приведенным фор-
формам соответствуют точки треугольника & с вершинами @, 1),
(±-7)-, 0)- Вершины соответствуют полуопределенной форме х\
и формам х\±ххх2-{-х\. Внутренние точки треугольника <1Г соот-
соответствуют строго приведенным формам, а граничные точки $~,
кроме точки @, 1), — приведенным, но не строго приведенным
формам.
Рассмотрим теперь, как действует цело€ унимодулярное пре-
преобразование 7^8^:
Т(V V ^ -!-«*' /лу I У>лг /»у
Это преобразование переводит форму / в эквивалентную форму
Т/, определяемую условием / (Т (хи х2)) -■ (Т/) (хи х2). Нам фактиче-
фактически не нужно явное выражение для формы Т/, но для полноты
мы его все-таки приведем:
■ (/11' /12> /2г) ==
(о
или в терминах ? и тр
Т F, Т1) - Bр/т, а/г),
где
р =* (аЬ + с^О + (лс( + Ьс) I + (ей—аЬ) т|,
а = (&2+ й2—а2—са)+ 2 (М—ая) |+ (а
т = (а2 + № + с8 + с(а) + 2 (ас + Ы) 64- (с1 + <*2—а* — Щ г\

296 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Преобразование Т переводит строго определенные формы в
строго определенные формы, а потому оно отображает внутрен-
внутренность единичного круга в себя, причем взаимно однозначно.
Так как Т действует линейно на коэффициенты формы /, то
образом ТОГ треугольника 1Г при преобразовании Т в плоскости
(&» Л) будет снова треугольник. Теперь мы в состоянии доказать
следующие факты (напомним, что Ш' соответствует приведенным
формам, поэтому содержит все свои граничные точки, кроме @, 1):
A) Множества ТоГ полностью покрывают весь открытый круг
^2 + т]?< 1, когда Т пробегает всю группу 5/^, т. е. всякая по-
положительно определенная форма / может быть записана в виде
/=.-Т/0 для некоторого Т и некоторой приведенной формы /0.
(и) Если внутренняя точка ^©Г принадлежит Т2<!Г, то Т^оГ
и Т2<!Г совпадают. Действительно, пусть Тх (|1? ть) —ТЯ(БЯ, Л2)»
гДе F1, щ) — внутренняя точка <!Г, а (^2, г]2) принадлежит §г9
но не обязательно является внутренней точкой. Тогда Т^Т^п ^1)=^
==A2> Лг)- Таким образом, Т^Т* переводит строго приведенную
форму /х в приведенную форму /2. Но из самих определений
следует, что Т^Т* должна быть диагональной матрицей
/±1 0\
V о ±1>
которая переводит & в себя.
A11) Всякая сторона треугольника ТеГ принадлежит ровно
одному треугольнику Т'^. Одна из вершин любого треугольника
ТоГ лежит на единичной окружности |2 + т]а = 1, а две другие
вершины принадлежат ровно пяти другим треугольникам. Дейст-
Действительно, это все верно для самого <!Г, а любой треугольник
можно перевести в ©Г подходящим преобразованием Т.
Прежде чем оставить бинарный случай, отметим, что наш ри-
рисунок может быть использован для доказательства некоторых
свойств унимодулярной группы. Легко проверить, что три тре-
треугольника, имеющие общие стороны с <!Г,—это 8,-<!Г, где
Ог (*!, Х2) =г (
о2 (#1, Х2) ==г \Х1
Следовательно, три треугольника, имеющие общую сторону с
ТеГ,— это Т8у<!Г, /=яв1, 2, 3. Теперь пусть Т*—любое унимоду-
лярное преобразование. Тогда легко видеть, что мы можем
найти такую последовательность треугольников
ОТ , 11<2Г , I 2<гГ , . . . ,
что Тдг^^Т*^", и любые два последовательных треугольника
имеют общую сторону (формальное доказательство этого есть в

7. Геометрия общего случая 297
следующем пункте). Следовательно, для каждого 1^т<!Л/ су-
существует такое 8(т)^{8!, 82, 83}, что
Следовательно,
где К отображает |Г в себя, а потому имеет вид
1 0
0
Эго показывает, что унимодулярная группа порождена элемен-
элементами 8Ь 82, 83 и диагональными матрицами. Кроме того, 88 —8а1,
так что 83 можно опустить.
В заключение отметим, что наш рисунок эквивалентен более
традиционному рисунку, который обычно связывают с унимоду-
лярной группой. Подробности см. в гл. 13, п. 8.
7. ГЕОМЕТРИЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ
Здесь мы покажем, что большинство результатов, доказанных
в предыдущем пункте, обобщается,' хотя некоторые доказатель-
доказательства и усложняются.
Теорема 7.1. Имеем
у та,
т
где Т пробегает все целые унимодулярные преобразования.
Доказательств. Это просто другой способ сказать, что всякая
положительно определенная форма /0 записывается в виде /0 = Т/1
с некоторым Т и некоторой приведенной формой /
Теорема 7.2. Если ТсЯ = с11, то Т имеет вид
п. G.1)
Доказательство. Действительно, пусть /0—строго приведен-
приведенная форма. По условию Т/о—снова приведенная форма, а тогда
G.1) следует из определения строго приведенной формы.
Теорема 7.3. Для любого целого унимодулярного преобразова-
преобразования Т множество 191 определяется включением
G.2)

298 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
и конечным числом условий
G.3)
где ^8—линейные однородные формы от /,у. Условие G.2) можно
заменить на
п (/) > 0, G.4)
где Ьо — еще одна линейная однородная форма.
Доказательство. Действительно, все эти утверждения верны
для 91 по следствию теоремы 5.2. Тогда они верны и для 191,
так как Т действует линейно на пространстве форм и сохраняет 5*°.
Теорема 7.4. Пусть Т±91 и Т291 имеют общую форму /0, кото-
которая является внутренней точкой по меньшей мере одного из этих
множеств. Тогда 191 191
Доказательство. Действительно, пусть /О6Т,^ПТ2^ и пусть
/0—внутренняя точка Тг91. Тогда формы Т^/о и Т^7о эквива-
эквивалентны и обе приведены, причем первая строго приведена. Резуль-
Результат теперь следует из определений.
Теорема 7.5. Существует такое конечное множество 2 ==
= {§и §2» • • •» 8/} унимодулярных преобразований, что Тг91 Г) Т291
непусто тогда и только тогда, когда ^ = ^5 для некоторого
862.
Доказательство. Возьмем в качестве 2 множество тех 5, для
которых ^Г)8^ непусто. Если /06«^П5^, то и /0 ив/©—при-
ив/©—приведенные формы, и конечность 2 следует из теоремы 1.1. Общий
результат теперь ясен, так как
п
Следствие. Любая форма / принадлежит не более чем I мно
жествам 191, где I — число элементов 2.
До сих пор рассуждения следовали случаю п = 2с незначи
тельными видоизменениями. Однако следующая теорема сущест
венно сложнее для общего п.
Теорема 7.6. Компактное подмножество # в 3*° пересекается
лишь с конечным числом множеств
Замечание. Это свойство покрытия !Р° множествами Т5? назы-
называется локальной конечностью. Оно исключает многие виды пато-
патологического поведения.
Доказательство. По лемме 1.3 91 содержится в некоторой обла-
области Зигеля <^F, г]), а потому и во внутренности с^о = ^°(б', г\')
любой области Зигеля & (б', г]') с 6' > б, х\ > т). По теореме 7.1

7. Геометрия общего случая 299
открытые множества Те^° покрывают %, а по компактности
покрывается конечным набором Туо^°, 1<1/<!«/. Но каждое Ту
по теореме 1.4 пересекается лишь с конечным числом множеств
: Так как Т5й с ТсУ°, то этим все доказано.
Следствие. Пусть /в—любой элемент 3*°. Тогда существует
некоторая окрестность оЛГ элемента /0, содержащаяся в объедине-
объединении тех Т5й, которые содержат /0.
Доказательство. Так как 9*° открыто, то найдутся открытое
множество о)\р1 и компактное множество #, для которых
По теореме таких Т5?, которые пересекают #, но не содержат /0,
конечное число. Пусть это Т^, 1^&^/(. По лемме 5.3 (И) до-
дополнения !Р° — ТкЭ1 открыты. Тогда
обладает требуемыми свойствами.
Теорема 7.7. Пусть 2—множество тех целых унимодулярных
преобразований 8, для которых 31 пересекается с 851. Тогда 2
конечно, и всякое целое унимодулярное преобразование Т есть
произведение элементов из 2.
Доказательство. Конечность 2 следует из теоремы 1.2. Ясно,
что ТХ5$ и Т25$ пересекаются тогда и только тогда, когда ^ = ^8
для некоторого 8^2. Пусть теперь Т—любое целое унимодуляр-
унимодулярное преобразование, и пусть /0 и [г—любые две точки в 31 и Т51
соответственно. Отрезок
соединяющий /0 и /^, компактен, а потому по теореме 7.6 пере-
пересекается только конечным числом множеств ТЛ5$, 1^/^^/С. Так
как ТЛ5й выпуклы, то они пересекают % или в точке, или по
замкнутому отрезку. Следовательно, можно считать, что Т\—тож-
Т\—тождественное отображение Тк — Т, а для 1 <! к < К множество Тй5й
пересекает ТЛ+154. Отсюда следует, что Тк^1 = Тк8к для некоторого
8^6 2, а тогда Т^Т/<^=828з.. .8^..!, что и требовалось.
Теорему 7.7 можно несколько улучшить. Для любых Т1э Т2
множества Тх5й, Т25й выпуклые, а значит, выпукло и их пересе-
пересечение Т^ПТУ^- Мы будем говорить, что 1гЭ{ и Т25^ соседи, если
их пересечение имеет коразмерность один. Ясно, что Т^ и Т251
соседи в точности тогда, когда Т^Т^, где 8 таково, что Э1 и
831 являются соседями. Обозначим множество тех 8, которые обла-
обладают этим последним свойством, через 21э так что 2* си 2.

300
Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Следствие, Любое Т можно представить в виде произведения
элементов из 2Х и матрицы, имеющей ±1 на главной диагонали
и 0 вне ее.
Доказательство. Пусть /0—внутренняя точка из 31, а Л—замк-
Л—замкнутый шар, содержащийся в 191. Тогда множество
*: A-
компактно' и потому пересекает только конечное множество эле-
элементов Ь5$, где Ь пробегает целочисленные унимодулярные ма-
матрицы. Обозначим через @> объединение всех тех 1^51 П Ь2«^> кото-
которые имеют коразмерность по меньшей мере 2, причем и Ь^ и
Рис. 12.2. Этот рисунок иллюстрирует доказательство следствия теоремы
7.7 в размерности 2. Множество <&) состоит из точек, таких, как точка Р,
которые принадлежат двум Ь5$, не являющимся соседними (т. е. не имеющим
общей стороны). Имеется лишь конечное число таких точек Р в треугольнике
ЛЯ/о, а потому можно выбрать 1\$.<Д так, чтобы отрезок /0/1 не проходил
ни через одну из них.
пересекаются с #. Так как И> есть объединение конечного числа
множеств коразмерности, не меньшей 2, то найдется такая /х ^ Л,
что отрезок, соединяющий /0 и /1? не пересекается с @). Далее
можно рассуждать, как и при доказательстве теоремы.
В заключение отметим одно утверждение, которое очевидно
в 2-мерном случае, но не обобщено на я-мерный случай. В 2-мер-
2-мерном случае, если ТгЭ1 и Т25? имеют пересечение коразмерности 1,
то они имеют общую сторону. По-видимому, неизвестно, справед-
справедливо ли это для всех п.
ЗАМЕЧАНИЯ
Основная работа Минковского о приведении опубликована
в 1905 г. Подход Зигеля развит им в многочисленных работах.
Б частности, работа Зигеля, вышедшая в 1940 г., содержит многие

Замечания 301
ключевые идеи этой и следующей глав. В основном обзорная
работа ван дер Вардена A956) содержит исторический материал
и ссылки. По поводу обобщений на поля алгебраических чисел,
см. Умбер A940, 1949). По поводу областей Зигеля в контексте
линейных алгебраических групп см. Борель A969). Обзор со спе-
специальными ссылками на работы советских математиков см. у
Рышкова A974).. [См. также Делоне A937), Рышков, Барановский
A979).— Ред.]
Условия приведения для п=--5,6 были сформулированы без
доказательства Минковским A886, 1887) и доказаны Рышковым
A971, 1973) и Таммелой A973, 1975). Условия для п — 1 были
найдены Таммелой A977).
Мы не пытались получить хорошие оценки для различных по-
постоянных, встречающихся в теоремах, так как это сильно услож-
усложнило бы рассуждения. По поводу таких оценок см. Ремак A938),
ван дер Варден A956), Зигель A972) и приведенную там лите-
литературу.
Имеется несколько таблиц приведенных целых тернарных и
кватернарных квадратичных форм, использующих различные опре-
определения приведения и целости. По поводу тернарных форм см.
Эйзенштейн A851), Диксон A930), Джоу не A935), Брандт и Интрау
A948). По поводу кватернарных форм см. ТаунсA940), Германн
A963).
Способ приведения определенных форм по Минковскому — это
самый обычный способ приведения, однако Венков A940) предло-
предложил другой подход, который мы сейчас кратко опишем. Он зависит
от того обстоятельства, что множество всех вещественных квад-
квадратичных форм от п переменных естественным образом само яв-
является квадратичным пространством размерности N == у п (п-\-1),
причем конус положительно определенных форм играет относи-
относительно этой структуры особую роль. Для двух форм /(х)==
= 2///*/■*/ и ^ (х) =* 2'1//л;/л' от п пеРеменных рассмотрим били-
билинейную форму
{/, Щ = 2 .
где Р и Н — соответствующие матрицы. Для специальной формы
Ло (х) = (/,*! + ... + /„*„)"
имеем
По билинейности отсюда сразу же следует, что
если /, к^!Р. (Для того чтобы /6^\ необходимо и достаточно
выполнение условия {/, й}>0 для всех Н^)

302 Гл. 12. Приведение квадратичных форм
Зафиксируем теперь некоторую положительно определенную
форму Нг. Пусть V==]/(кг)—множество всех положительно опре-
определенных форм /, для которых
где 8 пробегают группу 8Ь+ и где по определению 8кг (х) = Нг (8х).
Венков доказывает, что V (к^ ограничено конечным числом гипер-
гиперплоскостей. Если кг не имеет собственных нетривиальных целых
автоморфизмов, то У(кг) является фундаментальной областью дей-
действия группы 5/>+ на Р. Если й$ обладает нетривиальной груп-
группой О целых автоморфизмов, то V (кг) есть объединение ^ фунда-
фундаментальных областей, где ^ — порядок группы О. Для малых
значений1) п получается область приведения Минковского, если
в качестве Л, взять кг(х) = ^х*.
Метод Венкова тесно связан с работами Вороного A908) о
«совершенных» формах. Рассмотрим множество М квадратичных
форм / =/т (х) — (т^ + ... +тпхпJ, где т пробегает все нену-
ненулевые целые векторы. Форма к называется совершенной (с мини-
минимумом 1), если гиперплоскость
является гранью выпуклой оболочки множества М. Это условие
эквивалентно следующим двум условиям:
0) {/т, Л}>1 для всех т^М;
(п) если через М0(Н) обозначить множество тех т^ М, для ко-
которых в A) выполняется равенство, то единственной квадратичной
формой, для которой для всех т^ Мо (к)
является / = к. '
Вороной сопоставляет всякой совершенной форме к множество
й (к) форм /, для которых
где точная нижняя граница берется по всем совершенным фор-
формам @. Он показывает, что каждое \Х7 (к) ограничено конечным
числом гиперплоскостей, и строит алгоритм для нахождения всех
совершенных форм с точностью до целой эквивалентности. Совер-
Совершенные формы могут быть использованы для нахождения наилуч-
наилучшей постоянной уп в теореме 2.1. Форма к называется экстре-
экстремальной с минимумом 1, если
Точнее, для п ^ 6, причем область приведения Минковского симметри-
зуется по группе подстановок */—»-±^/,, ('==1, •••, п, (]ъ ..., /п) — пере-
перестановка). Для п > 6 это уже не верно, см. Рышков A974)..— Прим. ред.

Примеры 303
@
т
(и) й(Н)—локальный максимум на формах, удовлетворяющих
УСЛОВИЮ A).
Чтобы вычислить наилучшее значение постоянной уп, достаточно
рассматривать только экстремальные формы.
Вороной показывает, что экстремальные формы —это в точно-
точности совершенные формы, удовлетворяющие одному дополнитель-
дополнительному условию. Совершенные формы известны для п^б (Барнс
A957). Ддя п = 7 см. Стэйси A975, 1976).
Другое доказательство того, что множество приведенных форм
ограничено конечным числом гиперплоскостей, см. в работе Малы-
Малышева A961).
Следует отметить, что некоторые авторы, особенно советской
школы, используют термин «приведенный по Эрмиту» в другом
смысле, чем он был определен в п. 1. Определенная форма назы-
называется приведенной в этом смысле, если
для всех форм /*, цело эквивалентных /. Такая форма приведена
по Минковскому, но не наоборот. Обсуждение связей между этим
понятием, приведением по Минковскому и приведением по Венкову
см. у Рышкова A971, 1972, 1973).
ПРИМЕРЫ
1. Проверить, что следующие формы положительно определены;
найти такие целые унимодулярные преобразования Т, что форма
(/Тх) приведена по Минковскому:
A) 6л:2 —
A1)
(
2. Пусть форма /(*, у) = ах2 + 2Ьху + су2 приведена по Мин-
Минковскому и имеет определитель й — ас—Ь2. Показать, что
ас < D/3) й\
найти все случаи, когда имеет место знак равенства.
3. Пусть / (х) =ь 2///^/"приведенная по Минковскому тер*
нарная форма определителя й. Показать, что
1111 221
33
Найти все случаи, когда имеет место знак равенства.
[Замечание. Это упражнение намного более утомительное. Один
из подходов, принадлежащий Гауссу, следующий. Показать сна-
сначала, что, не умаляя общности, можно считать, что или /^у ^ О

304 Г л, 12. Приведение квадратичных форм
для всех 1ф1, или //7^0 для всех ьФ /. В первом случае взять
г1=*1и — 2/, у и показать, что
где сумма берется по всем циклическим перестановкам чисел 1,
2, 3. Во втором случае взять Ни = [п + 2[{/ и й/ = /A, 1, 1)— /„
и показать, что
— 3/ц/аа/зз + ^23^31^12 + 2Й32^13^21 "™
1 ~Г /23/13^21) •
4. Пусть Ь1э ..., Ь„ —векторы в вещественном положительно
определенном квадратичном пространстве V, ср. Показать, что
[. Неравенство тривиально, если Ъ^ линейно зависимы;
оно также тривиально, если Ьу взаимно ортогональны. В против-
противном случае существует множество взаимно ортогональных векто-
векторов Су, для которых
ьу= 21.'//с,-
Показать, что ф(с7-) ^ф(Ьу), и свести все к случаю Су = у]
[Замечание. Это неравенство, принадлежащее Адамару, обоб-
обобщает утверждение, что объем параллелепипеда не превышает про-
произведения длин сторон.]
5. Пусть / — положительно определенная форма от п перемен-
переменных с последовательными минимумами М;- = / (ту).
A) Показать, что
П М, > 14 (/),
где / = | (и , „)|
(II) Вывести отсюда, что / ограничено сверху постоянной, за-
зависящей только от п.
(III) Показать, что /=1 при п = 2 и /г=*3.

Глава 13
АВТОМОРФИЗМЫ ЦЕЛЫХ ФОРМ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе группа целых автоморфизмов формы / будет для
удобства обозначаться через О(/), а не Ог (/)• Обычно мы будем
рассматривать ее как подгруппу группы Оц (/) вещественных авто-
автоморфизмов. Как обычно, число переменных будет обозначаться
через п.
Если форма / определенная, то группа 0(/) конечна. Хотя
выявление теоретико-групповой структуры О (/) в этом случае, как
недавно показал Конвей, может иметь интересные следствия, мы
этим заниматься не будем.
Для неопределенной формы / общий принцип состоит в том,
что, грубо говоря, группа 0(/) настолько велика, насколько это
разрешено геометрией рассматриваемой ситуации. Если форма ани-
анизотропна (под чем, конечно, понимается анизотропность над (}), то
этот принцип принимает особенно простой вид: для всякого веще-
вещественного автоморфизма 8 ^ О к (/) найдется такой целый автомор-
автоморфизм Т ^ О (/), что все элементы матрицы Т8~* ограничены постоян-
постоянной, зависящей только от / (теорема 2.2). Отсюда вытекает
(следствие теоремы 2.2), что если Ь — целый вектор и [(Ъ) = ту то
существует такой Т ^ О (/), что координаты вектора ТЬ ограничены
постоянной, зависящей только от / и га. Для анизотропных форм
это дает эффективный способ узнать, представляет или нет форма /
данное целое число, а также эквивалентны ли над 2 две данные
формы. Для бинарных форм это заполняет пробел, который оста-
оставался после гл. 11, где теория спинорных родов строилась только
для п>2 переменных. И для других анизотропных форм методы
этой главы иногда проще применять на практике, чем методы
гл. И. Рассмотрение вопросов эффективности имеется в п. 12, где
мы приводим общий алгорифм, не зависящий от теории спинор-
спинорных родов.
По теореме Мейера (следствие 1 теоремы 1.1 гл. 6) неопреде-
неопределенная форма может быть анизотропна только при п^4. Таким
образом, эти результаты не применимы к «большинству» форм.
Для изотропных форм формулировка общего принципа о сущест-
существовании целых автоморфизмов намного более сложная (см. тео-
теорему 11.2). Однако для бинарных изотропных форм (которые
в любом случае аномальны) и для изотропных тернарных форм

306 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
имеется простое прямое рассуждение (см. пп. 3 и 5); для общего п
имеется простой способ построения целых автоморфизмов (см. тео-
теорему 4.2).
Теория целых автоморфизмов тесно связана с теорией приве-
приведения неопределенных форм. Такая теория была построена Эрми-
том на основе теории приведения положительно определенных
форм. В противоположность теории приведения определенных форм
теория приведения неопределенных форм1) существенно арифме-
арифметическая: основные теоремы зависят от целости или по меньшей
мере от рациональности рассматриваемых форм.
Теперь кратко опишем содержание этой главы. В п. 2 мы опре-
определим приведение по Эрмиту и детально рассмотрим анизотропный
случай. Более сложный изотропный случай отложен доп. 11.
В п. 3 мы разбираем бинарный случай: изложение ведется доста-
достаточно подробно, частично в качестве подготовки'к гл. 14.
Для неопределенных тернарных форм вещественная группа
Од (/) тесно связана с геометрией неевклидовой плоскости. В пп. 6—
8 мы рассматриваем эту связь и используем ее для изучения
О(/) для анизотропных тернарных форм, а также для представ-
представлений чисел такими формами. Случай изотропных форм /, который
может быть явно разобран, рассмотрен в п. 5.
В п. 9 мы даем описание вещественных автоморфизмов неопре-
неопределенных кватернарных форм в терминах неевклидовой геометрии,
а в п. 10 даем более общее представление группы вещественных
автоморфизмов, которое годится для всех неопределенных форм.
Мы подробно не рассматриваем следствие для группы целых авто-
автоморфизмов. Наконец, в п. 11 рассматривается приведение поЭрмиту
для изотропных форм.
2. ПРИВЕДЕНИЕ ПО ЭРМИТУ. АНИЗОТРОПНЫЕ ФОРМЫ
Эрмит ввел определение приведения для неопределенных форм,
которое тесно связано с теорией автоморфизмов. Метод самого
Эрмита работает только для анизотропных форм, и после перво-
первоначальных определений мы будем рассматривать в этом пункте
только такие формы. Зигель показал, что некоторые, но не все
результаты распространяются на изотропные формы; однако дока-
доказательства усложняются. Мы отложим рассмотрение изотропных
форм до п. 11.
Основная идея Эрмита очень естественная. Любая веществен-
вещественная регулярная форма может быть записана многими способами
г) Это приведение неопределенных форм не следует смешивать с методами
приведения определенных форм, также связанных с именем Эрмита (см. стр. 280
Л 303),

2. Приведение по Эрмиту ' 307
в виде
(х) = Г« (х)« + ... +Ь1 (хГ-Ь1+г (хJ-... -Ь1+т (х)*, - B.1)
где п'=/ + т—число переменных, а ^ (х), 1^/^п, — линейно
независимые вещественные линейные формы. Вещественная квад-
квадратичная форма
B.2)
называется эрмитовой мажорантой формы /(х). Ясно, что
положительно .определена, причем
Л (й) = \й (!) |. B-3)
Далее,
|/(а)|<|(а) B.4)
для любого а ^ Кл.
Мы будем говорить, что / (х) приведена по Эрмиту (или просто
приведена), если она. обладает эрмитовой мажорантой д(х)у кото-
которая приведена по Минковскому (в смысле предыдущей главы).
Это определение не вполне исторично, так как Эрмит работал с
другим способом приведения определенных форм.
Лемма 2.1. Всякая регулярная форма /(х) цело эквивалентна
приведенной форме.
Доказательство. Пусть д(х)—любая эрмитова мажоранта
формы /(х). По теореме 1.1 гл. 12 существует такое целое уни-
модулярное преобразование Т, что форма §(Тх) приведена йо
Минковскому. Ясно, что §(Тх) есть эрмитова мажоранта для
/(Тх), а потому /(Тх) приведена по Эрмиту.
Теорема 2.1. Имеется талька конечное число приведенных це-
целых анизотропных форм / данного определителя
Замечание. Позднее мы покажем (см. теорему 11.1), что в фор-
формулировке этой теоремы слово «анизотропный» можно опустить.
Доказательство. Так как /—целая анизотропная форма, то
I / (а) | > 1 B.5)
для всех а ^ 2", а=^0. Следовательно, по B.4) для а^2", а=^0,
*(а)>1 ' B.6)
для любой эрмитовой мажоранты ц. Тогда последовательные ми-
минимумы формы ^ (в смысле п. 2 гл. 12) удовлетворяют условию
1 < МЛ < М2< ... < Мп. B.7)
Но по теореме 2.2 гл. 12

308 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
где постоянная С зависит только от п. Далее, й{д) = |
где й—то же, что и в формулировке теоремы. Поэтому
Мы можем предполагать, что ^ приведена по Минковскому, а
тогда по лемме 1.1 и теореме 3.1 гл. 12 коэффициенты §1;- фор-
формы § удовлетворяют неравенствам
Ш<с'\а\,
где С зависит только от п. Наконец, по B.4), учитывая, что
где е1? ..., ем—единичные векторы, получим
где С" зависит только от п. Но Дуб2; поэтому для каждого
имеется только конечное число возможностей* значит, это же
верно и для /.
Для дальнейшего отметим
Следствие 1. Коэффициенты / и § ограничены величиной С"\й\,
где С" зависит только от п.
Более важно
Следствие 2. Пусть [ (х)—регулярная анизотропная квадра-
квадратичная форма с рациональными коэффициентами. Тогда сущест-
существует по меньшей мере одна, но не более чем конечное число при-
приведенных по Эрмиту форм, цело эквивалентных ^рорме /.
Доказательство. Существование «по меньшей мере одной» фор-
формы следует из леммы 2.1. «Не более чем конечное число» следует
из теоремы 2.1, так как форму / умножением на подходящее
число можно превратить в целую и так как эквивалентные формы
имеют одинаковый определитель.
Теорема 2.2. Пусть}—целая регулярная анизотропная форма.
Тогда существует такая постоянная к, зависящая только от /,
что для всякого вещественного автоморфизма 8 формы [ найдутся
целые автоморфизмы Т, >У, для которых все элементы матриц
Т8 и З^АУ по абсолютной величине не превышают к.
Замечание. Теорема неверна для всякой изотропной формы.
Например, форма хгх2 обладает вещественными автоморфизмами 8:
х1-^8Хи х2—+8~1х2 для любого 5^ К*, а группа ее целых авто-
автоморфизмов конечна. Имеется, однако, более слабое утверждение,
которое остается справедливым также и для изотропных форм
(см. теорему 11.2).

2. Приведение по Эрмиту 309
Доказательство. Заметим сначала, что достаточно доказать
существование \У; так как (ТЗ)^ 8Т, то достаточно взять
\УЬ построенное для 8, вместо 8 и положить Т = \Уг\
Пусть §(х)—эрмитова мажоранта для формы /. Тогда для
любого вещественного автоморфизма 8 формы / форма § (8х) так-
также будет эрмитовой мажорантой для /. Пусть Ы=Ы(8)—такая
целая унимодулярная матрица, что форма #(8Ых) приведена по
Минковскому. Тогда
будет приведена по Эрмиту и цело эквивалентна форме /. По
следствию 2 теоремы 2.1 /A1х) — одна из конечного набора форм,
скажем
/,(х), 1 </<</.
Для каждого /, 1 ^/^У, выберем раз и навсегда вещественный
автоморфизм 8у- формы / и целую унимодулярную матрицу
так, чтобы форма
была приведена по Минковскому и чтобы
Пусть теперь снова 8—любой вещественный автоморфизм
формы /, и пусть Ы = Ы(8)—то же самое, что и в начале дока-
доказательства. Тогда /(Ш) должно быть равно /у (х) при некото-
некотором / т е
ром /, т. е.
Следовательно,
автоморфизм формы /.
Форма
приведена по Минковскому, а потому по следствию 1 теоремы 2.1
коэффициенты формы Н ограничены постоянной /С, зависящей
только от п и от определителя формы /. С другой стороны,
где
По лемме 5.2 гл. 12, примененной к х = Уеу (где е^ ..., е„ —
единичные векторы), элементы вещественной матрицы V ограни-

310 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
чены постоянной, зависящей только от К и §у. Но имеется лишь
конечное число /, поэтому элементы V ограничены постоянной,
не зависящей от 8.
Наконец,
имеет элементы, ограниченные постоянной, не зависящей от 8.
Заменяя 8 на 8~\ мы получим утверждение теоремы.
Следствие. Существует постоянная С = С(/:)У зависящая толь-
только от /, со следующим свойством: пусть Ь^Р" и /(Ь)^=0; тогда
найдется такой целый автоморфизм Т формы /, что
Доказательство. Здесь мы используем обозначение ||х||=
= тах\х/\. Не умаляя общности, можно считать, что /(Ь)>0;
пусть а—любой фиксированный вектор с /(а) > 0. По теореме 4.1
гл. 2 существует такой вещественный автоморфизм 8 формы /, что
где
Пусть Т — целый автоморфизм, задаваемый теоремой. Тогда
где все элементы (Т8) а ограничены.
3. БИНАРНЫЕ ФСРМЫ
В этом пункте мы будем изучать автоморфизмы неопределенных*
целых бинарных форм и целые представления бинарными формами.
В доказательствах мы будем использовать теорию приведения по
Эрмиту. Имеется более старая теория приведения бинарных форм,
которую можно было бы использовать, но которая естественным
образом не обобщается на п > 2. Мы ее вкратце обсудим в конце
пункта.
Рассмотрим сначала вещественные автоморфизмы.
Лемма 3.1. Группа О к (/) собственных вещественных автомор-
автоморфизмов неопределенной бинарной формы изоморфна мультиплика-
мультипликативной группе Р* поля вещественных чисел. Несобственные веще-
вещественные автоморфизмы всегда существуют; все они имеют поря-
порядок 2.
Доказательство. Действительно, форма / вещественно эквива-
эквивалентна форме
C.1)

8. Бинарные формы 311
Ясно, что ее собственными автоморфизмами являются
8: х-»8Х, г/->5-1г/, 5 б К*, C.2)
а несобственные автоморфизмы имеют вид
8: х-+8у, У-+8-Н, $еК*. C.3)
Тем самым все доказано.
Чтобы избежать изобилия индексов, положим
х«(*, у). C.4)
Запишем нашу форму в виде
/ (*, у) = ах* + 2Ьху + су* (З.В)
с матрицей
а. Ь
Ь с) <3-6>
и определителем
а^с1(Ц=ас—Ь2. C.7)
Мы будем предполагать, что /—классически целая, т.е.
а, Ь9 с 6 2, C.8)
и примитивна, т. е.
н.о. д. (а, Ь, с) = 1. C.9)
Нам нужно будет различать собственно примитивные формы, для
которых
н.о.д, (а, 26, с)=1, C.10)
и несобственно примитивные формы, для которых -»-/ (х, #)^
€2[а:, у], но у/(*, у) не классически цела.
Разберем сначала случай изотропных форм.
Лемма 3.2. Пусть /—изотропная бинарная целая форма. Тогда
(\) единственными собственными целыми автоморфизмами Т
формы / являются ± I;
(и) 5ля заданного целого числа ефО существует лишь конеч-
конечное число целых представлений формой /.
Доказательство. (I) Имеем
/(*, у) = Ш(х, у)У(х, у)9 C.11)
где к ^ 2, а II (х, у), V (х, у) — целые примитивные линейные
формы. Так как автоморфизм Т собственный, то

312 . Гл. 13. Автоморизмы целых форм
Так как Т целый, а V примитивна, то ^2. По этим же сооб-
соображениям I ^2, так что / =
(И) Если
/(а,
то
1/(а, 6)== а, У (а, 6) = о,
где и, 0^2 и кш) — е. Имеется лишь конечное число возможностей
для выбора пар (и, V); при этом каждая пара определяет не бо-
более одной пары целых чисел (а, Ъ). Лемма доказана. .
Перейдем теперь к рассмотрению анизотропных форм. Их соб-
собственные автоморфизмы связаны с решениями «уравнения Пелля»
C.13)
Теорема 3.1. Группа 0+ (/) собственных целых автоморфизмов
примитивной неопределенной анизотропной бинарной формы /
состоит из элементов Т — ± Т2, V ^ 2, где образующая То имеет
бесконечный порядок. Элементами 0+ (/) являются матрицы
(I—Ьи —си \
ТН / . и . (ЗЛ4)
, и удовлетворяют C.13), причем
г, и^2, еслг/ / собственно примитивна; C.15!)
2и, 21, I—и^2, если I несобственно примитивна. C.152)
Доказательство. Группа 0+ (/) содержит ± I и является под-
подгруппой группы 0р"(/), которая по лемме 3.1 изоморфна В[*. По тео-
теореме 2.2 0+ (/) не может состоять только из ± I. С другой стороны,
образ 0+ (/) в 0+(/)^К* дискретен. Единственные дискретные
подгруппы группы К*, строго содержащие {±1}, имеют вид
{± Ло» ^€2} при некотором ч\оф ± 1. В качестве То нужно взять
автоморфизм, соответствующий ц0. Остается получить C.14). Пусть
—собственный целый автоморфизм, т.е.
Т'РТ = Р, C.17)
йе1Т=1. C.18)
Тогда
РТ^ОГ'НР, C.19)
где по C.18)
( г —п\
( C-20)

. У. Бинарные формы 313
Уравнение C.19) линейно относительно /, т, я, г. Приравнивая
элементы в обоих частях равенства C.19) и учитывай C.6), по-
получим
а (г—/) = 2/2&, сA—г) = 2тЬ, ат-\-сп = 0.
Отсюда следует, что уравнение C.14) имеет место; однако отно-
относительно I, и можно утверждать пока только то, что они рацио-
рациональны. Условие целости Т сразу же дает условия C.15). Нако-
Наконец, уравнение C.13) следует из C.14) и C.18). Наоборот, из
C.14) и C.15) следует, что Т^0+(/). Это завершает доказа-
доказательство.
Имеется другое описание группы 0+ (/). Положим
О = |й|= — а. C.21)
Тогда
а[ (х, у) - (ах + ЬуУ—йу*^ _
= (ах + Ьу + уУЮ) (ах-\-Ьу—уУО)=Ь (*, у) М (х, у). C.22)
Легко проверяется, что
I (Тх) = х\Ь (х), М (Тх) =«т]-М1 (х), C.23)
где
г\ = г + и]/"В. C.24)
Если Т =- ± Т?, то для соответствующих у\ имеем г) = ± г]^. Заме-
Заменяя Г1О на ±г)^1, можно считать, что тH>1; т]0 = ^0 + ^0КО-
Решение ^0, г/0 уравнения Пелля называется фундаментальным
решением.
Для некоторых значений й могут существовать решения урав-
уравнения
= — 1, C.25)
которое отличается от уравнения Пелля значением —1 в пра-
правой части. Однако нет простого критерия разрешимости уравне-
уравнения C.25). Этот вопрос будет рассматриваться в гл. 1,4. Мы имеем
Следствие, Пусть I, и—решение уравнения C.25), удовлетво-
удовлетворяющее условиям целости C.15). Тогда матрица Т, задаваемая
C.14), осуществляет несобственную эквивалентность форм [и —/.
Если <х > 0, ^>0 — решение уравнения C.25), для которого
наименьшее, то тH —л!-
Доказательство. Очевидно.
Замечание. Если % существует, то его, а не г\0 иногда назы-
называют фундаментальным решением.

§14 Гл. 1В. Автоморфизмы целых форм
Мы приведем теперь более явный вариант следствия теоремы
2.2 для п =*2.
Лемма 3.3. Пусть Ь^О. Тогда найдется таков Т%0+ (/), что
еде гH задается формулой C.24) с фундаментальным решением
(/•:, щ) и где ^, М определены C.22).
Доказательство. Зададим ю^Ъ условием
да (Ь) | < | т,о/(Ь) |'/
Тогда по C.23)
Но 1(Т&Ъ)Л1(Т8Ь)=«/(Ъ), и потому
Цо1и | / (Ь) Г/2 < | М №Ъ) \<Ш (Ь)
Теперь возьмем
Следствие 1. Можно эффективно найти представители всех
орбит представлений данного целого числа Ь«^0 формой /.
Доказательство очевидно.
Следствие 2. Можно^ эффективно определить, эквивалентны
или нет две заданные целые бинарные формы.
Доказательство. Достаточно рассмотреть только случай, когда
формы / и § неопределенные и анизотропные, так как остальные
случаи тривиальны. Пусть /(х), §(х) классически целые. Мы
должны определить, существует ли такой базис Ь, с решетки 28,
что I{хЪ + ус)=-§(х, у). Если Ь, с обладают этим свойством, то
это же верно и для ТЬ, Тс, где Т—любой элемент из 0(/). Сле-
Следовательно, не нарушая общности, можно считать, что Ь—один
из представителей предыдущего следствия. Для каждого возмож-
возможного Ь прямо проверяется, существует • ли нужное с.
Пример. Уравнение а2 — 82Ь2 = 2 не имеет целых решений
а, Ь, хотя это уравнение разрешимо в Ър для всех р. Это пока-
показывает, что для целых представлений принцип «от локального
к глобальному» не применим. Здесь /(х, у)~х2—82#2, и уравне-
уравнение г\ — 82и2 = —1 имеет решение ^=9, ^ = 1. По следствию
теоремы 3.1 в лемме 3.3 можно использовать гц вместо т]0, если
искать представления +2 и —2 вместе.

3. Бинарные формы 315
Таким образом, если уравнение / (а, Ъ) «* ± 2 вообще имеет
решение, то есть решение с
\а
Тогда
УШ (9
откуда следует, что & = 0, а это невозможно.
Отсюда следует также, что формы х2—82у2 и 2х%—41#а не
эквивалентны, хотя они принадлежат одному роду.
Вопрос о том, имеет ли заданная бинарная форма несобст-
несобственный автоморфизм, будет играть центральную роль в гл. 14.
Теорема 3.2. Регулярная вещественная бинарная форма /
имеет несобственный целый автоморфизм тогда и только тогда,
когда она цело эквивалентна форме
Г (х, у)=-а'х* + 2Ь'ху + с'у\ C.26)
где или
V -0, C.27)
или
2Ь' = а*. C.28)
Замечание. Теорема применима как к определенным, так и
к неопределенным формам, а также как к изотропным, так и к
анизотропным формам. В гл. 14 мы будем интересоваться только
целыми формами.
Нам потребуется
Лемма 3.4» Пусть Т — целая 2х2-матрица в
Т»-1, с!е*Т — —1. C.29)
Тогда существует целая матрица 8 а йе18«я + 1> для которой
\
еде
ау = О или 1. C.31)
Доказательство. По C.29) собственные значения матрицы Т
равны ± 1. Следовательно, существует целый вектор а с
Та = а. C.32)
Не умаляя общности, можно считать а примитивным. Пусть
Ь—такой вектор, что а, Ь образуют базис 22 и Aе1 (а, Ь)=1.
Тогда а, ТЬ—также базис 22, и так как йе1Т = —1, то
= ша—Ь C.33)

316ч Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
с некоторым хю^1. Если мы заменим Ь на уа + Ь, V € 2, то хю
заменится на ш + 2с. Таким образом, мы получим C.31) при
подходящем выборе V. В качестве 5 нужно взять матрицу, пере-
переводящую канонический базис в базис а, Ь.
Доказательство теоремы 3.2. Пусть Т — несобственный целый
автоморфизм /, и пусть 5—матрица, определяемая леммой 3.4.
Тогда форма /'(х)=^ /(З^х) имеет в качестве автоморфизма пра-
правую часть C.30). Сразу же проверяется, что C.27) и C.28)
соответствуют случаям ы)~0 или Г0=1. Наоборот, форма C.26)
при выполнении условий C.27) или C.28) обладает очевидным
несобственным целым автоморфизмом.
Существует классическая теория приведения неопределенных
бинарных форм, которая отлична от теории Эрмита. Она тесно
связана с теорией непрерывных дробей и естественным образом
не обобщается на формы от п > 2 переменных. Сейчас мы дадим
краткий обзор этой классической теории. На оставшуюся часть
этого пункта больше не будет ссылок, и читатель, если хочет,
может прямо перейти к п. 4.
Чтобы избежать несущественных усложнений, мы будем пред-
предполагать вещественную неопределенную бинарную форму / анизо-
анизотропной над О. Форма / называется классически приведенной,
если она имеет вид
/(*, у)=^а(х+ву)(х — Фу), C.34)
где
0 < <р < 1 < в.- C.35)
Ясно, что C.35) эквивалентно следующим условиям:
C.36)
Лемма 3.5. Существует только конечное число классически
целых классически приведенных бинарных форм данного определи-
определителя й < 0.
Доказательство. Пусть
(*, у) = ах* + 2Ьху + су* C.37)
/A,0)/A, 1)>0,
— такая форма. Тогда
~4й = а2F + фJ. C.38)
Так как по C.35) 0 + ф> 1, то это дает для а 62 только конеч-
конечное число возможностей. Далее, так как по C.35) 0 и ф поло-
положительны, то по C.38)
261 -1 а (в—ф) |< | а F + ф) | = 21Л \ V., C.39)

3. Бинарные формы 317
Следовательно, имеется только конечное число возможностей для
. Наконец, с однозначно определяется равенством ас—Ь2=й.
Лемма 3.6. Всякая вещественная неопределенная ^-анизотроп-
^-анизотропная бинарная форма / цело эквивалентна классически приведенной
форме.
Доказательство (набросок). Мы имеем
?(х,у) = и(х,у)У(х9у)9 C.40)
где V\ V — некоторые (неоднозначно определенные) вещественные
линейные формы. По условию из II (а, 6) —0, а, 6^0, следует,
что а~Ь = О, и аналогично для V. Далее,
\йе1(Ц, У)\ = 1/2\с1\1/* = Ь. C.41)
Множество точек | = (^, г\) с
1 = Ц(а9 6), т| =* V(а, Ь), а,Ь$2, C.42)
образует решетку Л в К2 в смысле геометрии чисел. Ясно, что
можно найти даже бесконечным числом способов такую точку
1о — Йо, Чо) € Л, что в области
1М<ио|, 1л1<1Яв| C.43)
нет других точек из Л, кроме 0^=@, 0). Среди всех (?, т])^Л
с IЛ I < I Ло I найдется точка, у которой § наименьшее. Пусть это
будет 11 = (Бь ть). Тогда
1%|<|г|в|, |5в|<|б1|, C.44)
и нет точек из Л, кроме 0, с условием
|ЧКЫ. 16К1511. C.45)
Заменяя, если нужно, 17 на ±%/9 можно предполагать, что
0 < Бо < 1г. C.46)
Тогда
т|0т|1 < 0, C.47)
так как в противном случае точка 1Х—10 лежала бы в C.45).
Из того, что в области C.45) нет других точек решетки Л,
кроме 0, по теореме Минковского о линейных формах (теорема 2.4
гл. 5) с учетом C.41) следует, что
Поэтому
26.
По условию имеем
/), У (а,)), / = 0, 1,

318 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
и потому
О < | Ш (а0, ах) | < 2,
т. в.
Следовательно, а0, а!—базис 28. Отсюда следует, что форма /
целоэквивалентна форме
/о (*> #)в (*6о + #У (*Чо + УП1) = ^о (* + М (л:—
где
ф0 =± — Т]1/Т]о < 1 < 60
Это завершает доказательство леммы.
Мы продолжим это рассуждение немного дальше. Взяв в этом
построении |х вместо |0, мы найдем такое |2 б Л, что пара |ь |2
обладает свойствами, аналогичными свойствам пары |0, |а. Точно
так же существует пара |_х, |0 с аналогичными свойствами.
Таким способом мы получим бесконечную последовательность
точек решетки Л:
6* = (Б*. Чш). ^ оо<т<оо,
с условиями
0 < Бя < 5я+ь ЧшЧш+1 < 0, | Чш+1 К I Ч« I • C.48)
Каждому т соответствует классически приведенная форма
Х> У) в (^я + !Ят+д (ХУ\т + УЧи+1) =* Л« (* + °«У) (^~Ч>тУ)-
Так как FШ.,, 1а) и AЛ, |да+|) —базисы решетки Л и
(З.БО)
то, как легко видеть, существует такое шЛ€2, что
Далее, в силу C.48)
Отсюда следует, что
0
Это рекурсивное соотношение позволяет выразить вт в виде не-
непрерывной дроби с ту, /^т. Аналогично фт выражаются в виде
непрерывной дроби с «у, / > т.
Мы не будем развивать эти соображения дальше (см., напри-
например, Касселс A957)).

$. Бинарные формы 819
Следствие. Всякая классически приведенная форма, которая
собственно эквивалентна форме /, совпадает с одной из форм
Доказательство (набросок). Действительно, такой форме со-
соответствует пара точек !*, 1* решетки Л, для которой выполня-
выполняются соотношения C.44) — C.47). Простое геометрическое рас-
рассуждение показывает, что тогда |о = 1т, 11=г$т+1 Для некоторого
целого т.
Предположим теперь, что первоначальная форма ?(х,у) цела
и анизотропна. Тогда по лемме З.б в бесконечной последователь-
последовательности форм \т (х, у) содержится только конечное число различ-
различных форм. Отсюда немедленно следует существование автомор-
автоморфизмов, отличных от ± I. Точнее, имеет место
Лемма 3.7. Пусть /(л:, у)—неопределенная анизотропная
целая форма. Тогда последовательность хют, построенная выше,
периодична. Пусть «>0—наименьший четный период, и пусть
То — преобразование, определенное условиями
То!о*~|5, ТДх — бл.!. (8.61)
Тогда группа собственных целых автоморфизмов порождена
То и —I.
Форма / несобственно эквивалентна форме —/ тогда и
только тогда, когда последовательность хют имеет нечетный
период.
Доказательство (набросок). Предположим, что при некоторых
т и г > О
}т+г^±?т. C.62)
Тогда из построения следует, что хюп=*тп+г для всех целых п$
т.е. г—период. Наоборот, если гюп~гз)п+г для всех целых п, то
®т = ®т+п Фю^Ф/я+г Для всех Целых /л, и, сравнивая определи-
определители, из C.49) получаем C.52). Так как [т A, 0)/от+1A, 0)< О,
то знак в C.52) должен быть (—1)г. Так как формы /я+1 и /л
в силу C.50) несобственно эквивалентны, то отсюда следует
последнее утверждение леммы. Аналогично если г четно, то пре-
преобразование, переводящее §0, |х в \г, 1г+1, является собственным
автоморфизмом формы /. Оставшаяся часть доказательства подобна
доказательству следствия леммы 3.6 и оставляется читателю. "
Следствие. Пусть /—целая примитивная форма определи-
определителя А. Уравнение C.25) Пелля с —1 имеет решение тогда
и только тогда, когда последовательность хют имеет нечетный
период.
Доказательство, См. следствие теоремы 3.1.

Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
4. ПОСТРОЕНИЕ АВТОМОРФИЗМОВ
Прежде чем переходить к систематическому изложению, мы
рассмотрим специальные приемы построения целых автоморфиз-
автоморфизмов целых квадратичных форм.
Мы уже видели в п. 4 гл. 2, что группа рациональных авто"-
морфизмов формы / порождена симметриями
2/ (а, х) ,, 1Ч
~ * ~ ~ 'а, . D.1)
а
/(а)
где а — рациональный вектор с /(а) =5^0. Симметрия та будет
целой, если /—классически целая форма, а — целый вектор и
/(а) —±1 или ±2. По поводу этой конструкции см. примеры
15—18 гл. 9. Напомним также, что спинорная группа дает под-
подход к построению элементов О(/) (см. п. 4 гл. 10).
Другую возможность построения автоморфизмов можно про-
проиллюстрировать на примере формы
^(х) = ах*-Ьу*-сг\ D.2)
где а, Ь, с—целые положительные числа. Если аЬ не есть пол-
полный квадрат, то бинарная форма ах2—Ьу2 обладает бесконечной
группой автоморфизмов, которые можно расширить до автомор-
автоморфизмов формы /0, считая, что они не меняют г. Аналогично если
ас не есть полный квадрат, то есть бесконечная группа автомор-
автоморфизмов, не меняющих у. Если ни аЬ, ни ас не являются пол-
полными квадратами, то эти две группы порождают неабелеву под-
подгруппу группы О (/0). Если нам повезет, то мы можем получить
всю О (/0), но в любом случае эта конструкция дает существен-
существенный прогресс в нахождении О(/0) (ср. пример в конце п. 6).
Это наводит на мысль изучать автоморфизмы Т формы /,
оставляющие неподвижным данный целый вектор Ь. Не умаляя
общности, Ь можно считать примитивным, а потому достаточно
рассматривать случай, когда
Те^еь D.3)
где, как обычно, ет, ...,ега—единичные векторы. (Если п не-
нечетно, а Т—произвольный собственный автоморфизм, то всегда
существует такой Ь, что ТЬ =г Ь, см. пример 9 гл. 2, так что
в этом случае всегда выполняется D.3) при подходящем выборе
базиса.) Случаи /(е,)=^0 и /(е^^О требуют отдельного изуче-
изучения. Первый случай по существу уже рассматривался в п. 6 гл. 9,
но мы повторим эти простые рассуждения.
Итак, пусть /|, == / (ех) Ф 0. Тогда
/и/ (х) = (/и*! + /12*2 + • • • 4- ЛлI + Я (*«•••. *и). D-4)

4. Построение автоморфизмов321
где §—некоторая целая форма. Условие D.3) эквивалентно тому,
что преобразование у —Тх имеет вид
D.6)
2 < / < л
* * • » Уп) ™
где 8 — автоморфизм формы §. Наоборот, автоморфизм 8 формы д
можно расширить до автоморфизма D.5) формы /, если можно
подобрать подходящие ^••••»'я€2. Это можно сделать, если
матрица 8 сравнима с единичной матрицей по модулю /л-
Тем самым доказана
Теорема 4.1. Всякий автоморфизм Т^О(/) с условием D.3)
и /и — /(еО^О индуцирует автоморфизм 8^О(§). Множество
всех таких 8 есть подгруппа конечного индекса группы
содержащая все 8=1 (той /и).
Если выполняется D.3) и /(е^ — 0, то удобно упростить вид
формы / дальнейшими унимодулярными преобразованиями. Мы
имеем
/ (X) = 1Х\ (/12^2 I ' • • "Г 11пХп) ~Г • • • •
Подходящим унимодулярным преобразованием переменных
х2> ..., хп можно добиться того, что /13 = /и == .. • = !гп = О,
а тогда
/ (х) = 2х2 (!12хл + }23х3 + ... + 12пхп) + члены от (х8, ..., хп). D.6)
Дальше можно было бы выделять квадраты линейных форм по
отношению к паре переменных х^ х2 и получить аналог теоре-
теоремы 4.1 с формой § от п—2 переменных. Однако имеется даль*
нейшая возможность.
Теорема 4.2. Пусть форма / имеет вид D.6), и пусть
К* •••» Ьп—любые целые числа с к; = 0(тос12/12). Тогда най*
дутся такие целые числа /2, ..., /„, что преобразование
D.7)
/ / • / а» I <г у
есть автоморфизм формы /.
Доказательство очевидно.
Пример. Форма 2хгхй + х1 имеет автоморфизмы
11 № 156

322 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Она имеет также автоморфизмы, получающиеся перестановкой
#з и х2. Вместе они порождают неабелеву группу.
Заметим, что автоморфизмы D.7) „унипотентны", т. е. все их
собственные значения равны единице. В общей теории алгебраи-
алгебраических групп унипотентные элементы играют весьма специальную
роль (см., например, Борель A969)). Группа автоморфизмов
квадратичной формы содержит унипотентные элементы, отличные
от I, только если форма изотропна и число ее переменных п > 2.
Наконец, заметим, что имеется тесная связь между группами
целых автоморфизмов двух форм, которые рационально эквива-
эквивалентны.
Лемма 4.1. Пусть /(х) и ^(х) = /(8х)—квадратичные формы
от п переменных\ где 8—невырожденная матрица с рациональ-
рациональными коэффициентами. Если Т ^ О (/) и если матрица З^ТЗ = II
целая, то V ^ О (§). Множество таких Т образует подгруппу
конечного индекса в О (/), а множество соответствующих V —
подгруппу конечного индекса в О ()
Доказательство. Матрица II будет наверняка целой, если
1тоЙ8152, где $ь 52—такие ненулевые целые числа, что
д и §28 являются целыми матрицами. Отсюда следует утверж-
утверждение о том, что множество матриц Т имеет конечный индекс.
Остальное даже еще проще.
5. ИЗОТРОПНЫЕ ТЕРНАРНЫЕ ФОРМЫ
Мы изучим сначала частный случай
—х19 E.1)
к которому позднее сведем изучение общих изотропных тернар-
тернарных форм.
К изучению формы EЛ) мы применим теорию бинарных квад-
квадратичных форм, так как }0(х) есть в точности определитель би-
бинарной формы
<рх (и) = хли2х + 2х9щщ + х3и%. E.2)
Обозначим через СЬ группу матриц
где
а, Р, V. б € О, E.4)
E.5)

5. Изотропные тернарные формы 323
Определитель формы срх(8и) есть X2, умноженное на определи-
определитель формы Фх(и). Отсюда следует, что
/а2 2ау у2 \
Т(8)-Х-1 ( ар аб + ру Тв ) E.6)
\р2 2ре б2 /
есть автоморфизм формы /0. Легко проверить непосредственно, что
с!е1 (Т (8)) = +1. E.7)
Лемма 5.1. Отображение 8—*Т(8) есть групповой гомомор-
гомоморфизм СЬ на 0+ (/0). Его ядро есть множество скалярных крат-
них матрицы I.
Замечание. Это спинорное представление группы 0+ в не-
несколько завуалированном виде, но мы действуем независимо от
гл. 10 и 11.
Доказательство. То, что отображение 8 —>• Т (8) является
групповым гомоморфизмом, ясно из способа определения Т(8), а
утверждение о ядре отображения немедленно проверяется.
Остается показать, что всякий элемент Т^О+(/0) может быть
записан в виде Т = Т(8).
Пусть Т = (^у) — любой элемент 0+(/0). Сравнивая коэффи-
коэффициенты при х\ в равенстве /0(Тх) =/0(х), поручаем
й-'81'« = 0, F.8)
и потому
E.9)
с некоторыми
аъ р^О. E.10)
Выберем ух, б];€0 так, чтобы агЬх—р1у1^О. Пусть
Тогда первые столбцы Т(8Х) и Т пропорциональны, и поэтому,
рассматривая {Т^)}! вместо Т, можно предполагать, что
'■1 = <81 = 0. F.12)
Сравнивая теперь коэффициенты при ххх% в /0(Тх)=»=/0(х), по-
получим
<а8=«0. E.13)
Следовательно,
Ы^Т-^ц^и, (б. И)

324 Гл. 18. Автоморфизмы целых форм
так что г99 Ф 0. Сравнивая коэффициенты при х\ в /0 (Тх) = /0 (х),
мы видим, что существует такое у2 ^ О, что
1^1у1 I =*1 V. E.15)
Рассматривая {Т(82)}Т вместо Т, где
\% ?)' (бЛ6)
мы сводим все к случаю, когда матрица Т диагональна, а это
просто.
Получим теперь группу О+ (/0) целых автоморфизмов. Обозна-
Обозначим через З/^ подгруппу группы СЬ, состоящую из элементов вида
E.3), где
а, р, т, б €2 F.17)
и
F.18)
Лемма 5.2. Отображение 8—*Т(8) есть гомоморфизм группы
± на О+ (/0) с яйрол/ ±1.
Доказательство, Доказательство точно следует доказательству
предыдущей леммы; поэтому мы сделаем только несколько до-
дополнений. В E.9) можно предполагать, что а19 рх — целые числа
без общего множителя, а тогда можно подобрать у19 6^2 так,
чтобы а±&г—РдУд = 1. Тогда 8x^5^ и имеем сведение к E.12).
Теперь из E.14) следует, что 288 = ±1, и поэтому у2, задаваемый
соотношением E.15), лежит теперь в 2. Следовательно, З^З/^,
и снова все сводится к диагональному случаю, который три-
тривиален.
Обозначим через 8Ь+ подгруппу группы 5/,*, состоящую из 8
с йе! 5=1, и пусть в —образ 8Ь+ в О+ (/0). Тогда в есть под-
подгруппа группы О+ (/0) индекса 2. (Это множество тех элементов
из О+ (/0), которые имеют спинорную норму +1.)
Лемма 5.3. Пусть га€2, тфО. Орбиты целых Ь с /0(Ь) = га
относительно действия в находятся во взаимно однозначном со-
соответствии с собственными классами эквивалентности класси-
классически целых бинарных форм определителя га.
Доказательство очевидно.
Следствие. Орбиты относительно в могут быть эффективно
найдены.
Доказательство. Мы видели в п.З, что собственные классы
эквивалентности бинарных форм данного определителя могут быть
эффективно найдены.

б. Представления анизотропными тернарными формами 326
Лемма 5.4. Орбиты целых Ь с [0(Ъ) = т относительно 0+ (/0)
при заданном т могут быть эффективно определены.
Доказательство следует из леммы 5.2 и следствия леммы 5.3.
Теперь мы рассмотрим общую целую изотропную тернарную
форму /(х). Существуют целое число т=^0 и неособая целая
3x3-матрица М, для которых
т/(х)-/0(Мх). E.19)
Следовательно, всякое целое представление Ь данного числа Ь
формой / дает целое представление МЬ числа тЪ формой /0. На-
Наоборот, все представления тЪ формой /0 имеют вид Т (8) с, где с
пробегает конечное множество, а 8 пробегает 5/Ж Далее, Т (8) с
происходит из целого представления Ъ формой Дх), если
. E.20)
Условие E.20) при фиксированном с есть набор сравнений для
элементов ос, |3, у, б матрицы 8 по модулю с1е1М. Таким образом,
мы можем определить, представимо ли данное Ъ формой /, и если
да, то дать набор формул для всех представлений.
С помощью E.19) и леммы 4.1 мы можем определить группу
автоморфизмов формы /(х). Можно определить и все орбиты отно-
относительно О+ (/) целых представлений данного целого числа Ь.
Однако численные детали в каждом конкретном случае могут
быть утомительными.
6. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫМИ ТЕРНАРНЫМИ
ФОРМАМИ
В этом пункте мы покажем, как определить все орбиты пред-
представлений данного целого числа неопределенной анизотропной
целой тернарной формой /. Рассуждения будут опираться на
результаты о действии собственной ортогональной группы О+ (/),
которые будут доказаны в п.8, но описаны будут вначале здесь.
Сначала мы не используем предположения, что форма / анизот-
анизотропна.
Неопределенная тернарная форма / (х4, х2, х9) ^ О [хх, х2, х3]
может быть записана в виде
/ (х) - а.Ц (хJ + а2Ь2 (хJ + а^а (х)й, F.1)
где Ьу (х) ^ О [х] — линейные формы, а пу б О*, 1 ^ У ^ 3. Заменяя,
если нужно, / на —/, можно предполагать, что
яг > 0, а2>0, а8<0. F.2)
Тогда
F.3)

326 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
где
Х/ = \а/\^Ь/еЯ[х]. F.4)
Положим
Е/ = Х//Х8> / = 1, 2. F.6)
Мы будем писать
1 = &, 6,)=*я(х). F.6)
Отображение
п: х-+1 F.7)
определено для х^К8, не лежащих на гиперплоскости Х8(х) = 0;
в частности, оно определено, если /(х)<0.
Обозначим через 3) открытый круг
®: й + й<1. F.8)
Ясно, что
A) л(хN®, если /(х)<0;
A1) п(х) лежит на границе <2>, если /(х)=«0;
A11) если /(х)>0, то либо я(х) лежит вне замыкания й),
либо оно не определено.
Линейное преобразование х —► Тх пространства Р8 в себя с
помощью и индуцирует дробно-линейное преобразование плоско-
плоскости, которое мы будем обозначать через
I —ТA). F.9)
В частности, если
ТеО*(/), F.10)
то дробно-линейное преобразование F.9) отображает @) на себя.
Действие группы
F.11)
на Ж> обладает фундаментальной областью с хорошими свойст-
свойствами.
Теорема 6.1. Пусть форма / анизотропна. Тогда существует
выпуклый многоугольник % с вершинами в Й>, который обладает
следующими свойствами:
(|) если а$@), то найдется Т^О+(/), такое, что
(Н) если а есть внутренняя точка *$ и
то Т=1.
Следствие, % лежит в круге
Ы 1 F.12)
F.13)

6. Представления анизотропными тернарными формами 32?
Доказательство теоремы 6.1 будет дано в п.8. В конце этого
пункта мы подробнее рассмотрим один конкретный пример. Отме-
Отметим, что для изотропных форм теорема 6.1 не имеет места; однако
сохраняется более слабый ее вариант, когда многоугольнику
разрешается иметь вершины на границе @). Для формы х^ —
это следует из п.5 и теории приведения определенных бинарных
форм. Общий изотропный случай легко сводится к этому случаю.
Отсюда вытекает, что следствие теоремы 6.1 не выполняется ни
для какой изотропной формы.
Теперь мы применим теорему 6.1 к исследованию целых пред-
представлений целого числа т формой /. Мы будем различать случаи
т < О и т > 0.
Мы будем говорить, что целый вектор Ь с / (Ь) = т < 0 есть
приведенное представление (по отношению к данной фундамен-
фундаментальной области #), если
п (Ь) б ».
Теорема 6.2. Пусть / — целая анизотропная форма, которая
над К эквивалентна форме Х\ + Х\ — Х\, и пусть т < 0 — целое
число. Тогда
(I) всякое целое представление с числа т формой / эквива-
эквивалентно приведенному представлению, т. е. с = ТЬ, где Т^О+(/),
а Ь приведено',
(II) приведенные целые представления Ь могут быть эффек-
эффективно найдены.
Доказательство. Утверждение A) есть непосредственное след-
следствие определения фундаментальной области (т. е. теоремы 6.1 A));
поэтому остается проверить (и). Положим
В = Х(Ъ), Р = я(Ь) F.14)
(где X определено по F.4)). Так как по условию Р^#, то по
следствию теоремы 6.1 имеем
й
т. е.
С другой стороны,
Отсюда следует, что
Таким образом, у нас есть оценки для ВУ = ХУ(Ь), / = 1, 2, 3,
а значит, и для целых чисел Ьи Ь2, Ь3. Это завершает доказа-
доказательство.

& Ш-
Прежде чем рассматривать представления т > О, нам потре-
потребуется еще одно определение. Две точки ос, р из К2 называются
кополярными, если
F1Б)
Таким образом, множество точек ос, кополярных данной точке
образует прямую (полярную прямую точки Р). Это известно из
элементарной геометрии. Легко проверяется, что если Т€0+(/)
и а и Р кополярны, то и Т (ос) и Т (Р) кополярны. (Это следует
из того, что Т сохраняет квадратичную форму Х1-\-Х\ — Х\ и
соответствующую билинейную форму.)
Мы будем говорить, что целый вектор Ь с /(Ь) = т>0 есть
приведенное представление (по отношению к данной фундамен-
фундаментальной области #), если либо A) п (Ъ) не определено, т. е.
Х3(Ъ)=*0, либо (п) существует такое сс^Й\ что ос ир = я(Ь) ко-
кополярны. (Если начало координат лежит в #, что обычно вы-
выполняется, то условие A) можно рассматривать как частный
случай условия (И) в смысле проективной геометрии. Действи-
Действительно, в случае (П точка п (Ь) есть „бесконечно удаленная"
точка, а „бесконечно удаленная прямая" есть полярная прямая
начала координат.)
Теорема 6.3. Пусть / — целая анизотропная форма, которая
эквивалентна над Р форме Х1 + Х1—Х\, и пусть т>0 — целое
число. Тогда
(\) всякое целое представление с числа т формой / эквива-
эквивалентно приведенному представлению;
(п) приведенных целых представлений Ь конечное число, и они
могут быть эффективно найдены.
Доказательство. (\) Если у = п (с) не определено, то с приве-
приведено по определению. В противном случае у лежит вне замыка-
замыкания <2>, а тогда полярная прямая у пересекает 3), Кстати, эта
прямая совпадает с прямой, соединяющей точки касания двух
касательных, проходящих через у, к окружности Ц + Ц= 1. Пусть
б—любая точка из й>, кополярная у. Существует такое Т^О+ (/),
что ос = ТF)^ё>. Тогда Ь = Тс приведена,
(Заметим, что имеется большой произвол в выборе 6, а зна-
значит, и Т в [противоположность случаю т < 0. Это объясняется
тем, что для Ь ^ 23 множество тех Т ^ О+ (/), для которых ТЬ = Ь,
конечно при / (Ь) < 0 и бесконечно при / (Ь) > 0. Это последнее
утверждение оставляется читателю в качестве упражнения.)
(И) Предположим, что Ь приведено и /(Ь)~т > 0. Мы должны
различать два случая в определении приведенных представлений.
Если В3= Х3(Ъ) = 0, то Щ + В1 = т, и тогда имеются границы
для В, а значит, и Ь. Если же В3ф0, то р = я(Ъ) определено,

0, представления анизотропными тернарнрщи формами 329
и пусть а ^ % кополярна р. Тогда
(«5+а22) (й + р!) > {афг + а2р2J - 1,
тек что
в силу следствия теоремы 6.1. Поэтому
так что
В? + В22</п/A— г2).
Таким образом, мы имеем оценки для В, а значит, и для Ь. Это
завершает доказательство.
В заключение этого пункта в качестве иллюстративного при-
примера мы рассмотрим группу 0+ (/) для конкретной формы
(Однако доказательства некоторых утверждений будут даны
только в следующем пункте.)
Мы можем взять
1 1» 2 2> %=2д Л^з,
так что
Ь,=*х,1&1*хъ, /=1, 2.
Однако, чтобы избежать иррациональности 31/2, удобнее взять
Ъ = х,1хъ~&1%, / = 1, 2,
так что © имеет вид
Существует автоморфизм Т^:
I ^^ = 2^ -)- оЛ^8, 11Л^2 == Х2, I
Его действие на ^-плоскости есть
где
В частности, 1$ переводит прямую ^^—1 в прямую
Переставляя х± и х2, получим автоморфизм Т2:
Обозначим через ^с® квадрат

330
Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Пусть ГсгО+ (/) — подгруппа, порожденная Т^ и Т2. Легко убе-
убедить себя, что образы Т(<^), Т^Г, покрывают все Й> без пересе-
пересечений (т. е. если Т3 ($) и Т4(^), Т8, Т4(ЕГ, имеют внутреннюю
точку, то они совпадают, см. рис. 13.1. Например, имеется 6 мно-
многоугольников Т(<^), Т^Г, которые окружают точку A,1). То, что
в
^ с
А - A,1) В = A/3,5/3) С = E/7,11/7)
О = A,7/5) Е = (И/9,11/9) О « @,0)
Рис. 13.1. Круг имеет радиус 1^3. Точки В, С, />, Е лежат строго внут-
внутри него, хотя это может быть и не очевидно из-за конечной толщины линий.
Рисунок иллюстрирует первый этап в построении фундаментальной области
для группы целых автоморфизмов формы й\-\-х\—Ъх% и показывает $ вместе
Т ($) В Т $
д ру ц рф фр \\\% и оказ $
с некоторыми из Т ($). ^Все Т ($) покрывают внутренность <Э круга без
перекрытий; они не имеют точек сгущения внутри *2), но быстро сгущаются
к любой точке на границе.
действительно покрывают $й без перекрытий, будет следо-
следовать из результатов п. 7.
Рассмотрим теперь множество А тех 5бО+(/), для которых
5@)б<^, где 0=:@, 0) есть центр И>. Для каждого такого 5 век-
вектор Ь = 8 @, 0, 1) € 28 обладает свойствами / (Ь) = —3 и я (Ь) € <В.
Используя те же рассуждения, что и при доказательстве теоре-
теоремы 6.2, легко выводим, что Ь = @, 0, 1). Таким образом, А есть

7. Неевклидова плоскость
331
группа, состоящая из преобразований
х
у
,2,3,
ЬяОо " X
Пусть #—замкнутый треугольник с вершинами @,0), A,0),
A, 1). Тогда 8D?), 8 6 Л, покрывают <§ без перекрытий.
Л
\
/
^-@,1) К-A,0) О = @,0)
Рис. 13.2. Этот рисунок иллюстрирует последний этап в построении фунда-
фундаментальной области % для группы целых автоморфизмов формы х1-\-х\—3x1»
Большой квадрат есть граница множества $, построенного на первом этапе
(ср. рис. 13.1).
Пусть теперь Т—любой элемент из О+ (/). Тогда
для некоторого Т* ^ Г, и потому ЩО)^^ для II ^(Т*)"!. От-
Отсюда вытекает, что V ^ А. Это влечет за собой два следствия.
Во-первых, % есть фундаментальная область для О+ (/). Во-вто-
Во-вторых, всякое Т^О+(/) имеет вид Т = Т*и, Т*^Г, Ь1 ^ А; в част-
частности, группа О+ (/) порождена Т^ Т2 и элементами II ^ Д.
7. НЕЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ
В этом пункте мы сначала исследуем группу М вещественных
дробно-линейных преобразований, которые отображают единичный
круг
Й й1 G.1)
в себя. Изучение свойств й), инвариантных относительно дейст-
действия М, совпадает с изучением модели Бельтрами — Клейна
неевклидовой плоскости. Нам это понадобится в следующем пунк-
пункте для доказательства и интерпретации теоремы 6.1.

332Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Лемма 7.1. A) Группа М действует транзитивно на
(и) Группа 8То тех элементов из М, которые оставляют
на месте начало координат 0 (стабилизатор О), состоит из вра-
вращений вокруг точки О в обычном евклидовом смысле и отражений
относительно прямых, проходящих через О.
Следствие. Существует взаимно однозначное соответствие меж-
между точками @) и классами смежности М/8То.
Следствие, конечно, прямо вытекает из леммы. Сама же лемма
немедленно выводится из леммы 7.2 (ниже), в которой дается па-
параметрическое представление для группы М. Обозначим через 5/, к
группу матриц
(?) G.2)
G.3)
Лемма 7.2. A) Группа М изоморфна 5/,^/{±1}.
(и) Этот изоморфизм можно выбрать так, чтобы стабилиза-
стабилизатор 8То точки О был бы /С±/{±1}>, где К±с^8Ь^ есть группа,
состоящая из
Aа) G.4)
и из
(°) G.5)
Доказательства. Используем технику, введенную в начале п.6.
Пусть
/0 (х) = —хЛх3 + х1 G.6)
() Х ^ (+) G.7)
. G.8)
Как и в п. 6, эти подстановки индуцируют гомоморфизм
Ок (/о) ~* М; легко проверяется, что он является изоморфизмом.
С другой стороны, легко видоизменить рассуждения п. 5,
чтобы показать, что всякий элемент из О+ (/0) имеет вид E.6),
где по однородности мы можем предполагать, что Я = аб—^у^
=^± 1. (По сравнению с п. 5 мы изменили знак у /0> однако это
неважно.)
Наконец, элемент 5 из 5/,р отображается в элемент из стаби-
стабилизатора точки 0 тогда и только тогда, когда соответствующий
элемент E.6) из О+ (/) переводит точку х=A, 0, 1) в скалярную

7. Неевклидова плоскость 333
кратную самой себе. Легко проверяется, что тогда 5 должен иметь
вид G.4) или G.5). Это завершает доказательство леммы 7.2.
Как уже отмечалось, лемма 7.1 легко следует отсюда.
Следствие. Точки множества 3) можно отождествить с клас-
классами смежности 8Ь^/Кн$ а также с 5^к//Ск, где /С+ = К±
есть множество G.4).
Лемма 7.3. На 3) существует метрика, которая инвариантна
относительно действия М. Она определена однозначно с точностью
до скалярного множителя.
Доказательство. Мы можем выписать явную формулу для мет-
метрики, а именно расстояние между | и т) есть
««. л)-аг8
однако она нам не понадобится.
Мы используем методы дифференциальной геометрии и не
будем церемониться с деталями. Пусть § и % + с$>—две беско-
бесконечно близкие точки из ©. Тогда имеется такое дробно-линейное
преобразование н^б^, что ^01 = 0. Преобразование \х0 неодно-
неоднозначно, но любое другое |ы с теми же свойствами имеет вид (ы — н^о»
где ^ есть вращение около начала координат или отражение
(см. лемму 7.1). Следовательно, инфинитезимальное евклидово
расстояние между 0 = \х (|) и \х A + й|). не зависит от (и,. Мы и опре-
определим его как инфинитезимальное неевклидово расстояние й$
между 1 и 1 + й|. Ясно, что это единственно возможное опреде-
определение инвариантной метрики, которая совпадает с евклидовой
метрикой в инфинитезимальной окрестности начала координат.
Легко проверить, что в полярных координатах около точки 0:
G.10)
имеем
(Й5J==A_Г2)-2(йгJ + A_ Г1)-1(Г<ЙI. G.Ц)
Следствие 1. Геодезическими являются отрезки прямых.
Доказательство. Любитель трудностей может проверить это
стандартными методами дифференциальной геометрии, но проще
использовать такой прием. Пусть т], |—любые две точки из 3).
Существует такое дробно-линейное преобразование |ы ^ /И, что
|ы(|):=0 и |1(<п) = (#, 0) с 0</?< 1. Из G.11) ясно, что геоде-
геодезическая от 0 к (/?, 0) есть прямая, соединяющая их. Но дроб-
дробно-линейные преобразования переводят отрезки в отрезки.

§34 Гл. 18, Автоморфивмы целых форм
Следствие 2. Множество точек, равноудаленных в неевклидовой
метрике от двух заданных точек |, ц, совпадает с множеством
точек из ёй, лежащих на некоторой прямой.
Замечание. Будем называть это множество „эквидистантой".
Доказательство. Как легко видеть, существует такое
что ^(|) = (—/?, 0), (!х (г]) = G?, 0) для некоторого 7? > 0. Тогда
требуемое место точек есть @, I), —1 </< 1. Отсюда вытекает
общий результат.
Следствие 3. Эквидистанта точек 0 и (г, 0), г > 0, есть
отрезок E, |2), где
G.12)
Доказательство. Согласно следствию 1, достаточно проверить,
что если точка E, 0) одинаково удалена от точек @, 0) и (г, 0),
то 5 задается формулой G.12). Это можно проверить, как в след-
следствии 2, или можно заметить, что дробно-линейное преобразование
сохраняет двойные отношения. Поэтому двойное отношение для
—1, 0, 5, +1 должно совпадать с двойным отношением для
, 5, Г, ~\- У .
Наконец, заметим, что на 3> есть инвариантная мера, которая
имеет очень простую интерпретацию.
Лемма 7.4. Пусть #с:® и д~1(Й>) есть множество тех
Х2, Х3), для которых
Определим га(#) как обычную меру Лебега множества п~г )
Тогда т (#) есть инвариантная мера на 3) относительно дейст-
действия группы М.
Доказательство. Мы уже видели, что всякий элемент \
индуцирован некоторым элементом Т из О+ (Д), где /х (X) = Х\-\-
+Х\—XI. В очевидных обозначениях
Так как с1е{ Т — 1, то это и дает требуемый результат.
В качестве приложения мы опишем связь между моделью
Бельтрами — Клейна и другими моделями неевклидовой плоскости.
Пусть N—„верхняя полуплоскость" комплексной переменной г,
т. е. множество комплексных чисел с положительной мнимой
частью. Точка г^Н определяет положительно определенную квад-

8. Доказательство теоремы 6.1 335
ратичную форму
§г (и) = (и± + гщ)(щ + гщ) —
а также точку
| 1 (г)
задаваемую формулами G.7) и G.8). Ясно, что это дает взаимно
однозначное соответствие между ® и й. Если
(*
*
имеет определитель X (8) == + 1, то соответствующее действие на Н
есть обычное конформное отображение
Если же Х(8)==—1, то действие антиконформно:
а+уг
Если а, Р, V» ^ € 2, то это дает известное веем представление
модулярной группы.
Преобразование
2-е
и; =я
переводит Я в единичный круг:
Опять элементы из 5^к действуют конформно, а элементы из
81, к—антиконформно. Можно проверить, что точка оу = л
соответствует 5 ?
8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 6.1
В этом пункте мы будем использовать язык неевклидовой гео-
геометрии для исследования дальнейших свойств представления
группы О+ (/), введенного в начале п. 6, и, в частности, для того,
чтобы получить доказательство теоремы 6.1. Форма / будет пред-
предполагаться целой и неопределенной. Мы сохраним все обозначе-
обозначения п. 6. В частности, если Т^О+(/), то результат его действия
будет обозначаться через Т(|).

336 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Лемма 8.1. Пусть заданы г\€@> и г, 0<г< 1. Тогда су-
существует только конечное число ТбО+(/), для которых! (г\)
лежит в й + й
Доказательство. Обратите внимание, что мы не требуем, чтобы
была анизотропной. Предположим сначала, что т] = л(а), где
а б 23 и т — /(а) < 0. Тогда Т (к\) — л (Та) и / (Та) =т. Конечность
требуемого множества получается теперь, как при доказательстве
теоремы 6.2.
Для общего ц используем инвариантную метрику, построен-
построенную в п. 7. Условие Ц + Ш^г2— это то же, что й@, |) <! й0 для
некоторого й0. Пусть %■—любой элемент из @) вида
. Тогда
по инвариантности метрики. Таким образом, из того что й@, Тт])
^^о, следует й@, Тц^)^^ с й1=^йй-\-й(х\, %), и все сводится
к предыдущему случаю.
Лемма 8.2. Пусть форма / анизотропна. Тогда существует
й2, зависящее только от /, со следующим свойством: для всякого
\€@) найдется такое Т^О+(/), что
^A, Т@))<^2. (8.1)
Доказательство. По лемме 2.3 (или по лемме 7.1 A)) сущест-
существует такое 5€Ок(Л, что 5@) = 5. По теореме 2.2 (с 8, Т"
вместо 8, Т) существует такое Т^О+(/), что элементы матрицы
V = Т-18 ограничены постоянной к, зависящей только от /. По
инвариантности метрики
^ар-чъ), 0)=A(и@)9 о).
Лемма вытекает теперь из следующей очень общей леммы
Лемма 8.3. Пусть задано к > 0. Тогда существует постоян-
постоянная &ъ зависящая только от к и /, со следующим свойством:
если элементы матрицы V ^ 0^ (/) по абсолютной величине не
превышают к, то
а (о,
Доказательство. Пусть Х/ (х), 1 ^ / ^ 3, —такие линейные
формы, что
и
Пусть а б К8 таково, что
» (а) = X,(а) = 0,

8. Доказательство теоремы 6.1 337
Легко видеть, что
ограничены постоянной, зависящей только от к и /. Кроме того,
так как И — автоморфизм. Тогда
Ц@)—ч —<т,ь тJ), гу = у
так что
-п?+л! - E?+вц/т = (В1+В1)/A + В!
где г0 < 1 зависит толвко от к и /. Это завершает доказательство
леммы 8.3, а с ней и леммы 8.2.
Следующий этап доказательства теоремы 6.1 состоит в опре-
определении понятия области Дирихле. По лемме 8.1 для любого |
точная нижняя граница
Т@)) (8.2)
достигается. Множество тех |, для которых эта точная нижняя
граница достигается для Т=1, называется областью Дирихле (В
(по отношению к 0). По инвариантности расстояния мы имеем
=, у Т(#). (8.3)
Т6О+ (?)
Область ^? определяется бесконечным набором неравенств
(8.4)
По следствию 2 леммы 7.3 каждое из этих неравенств означает,
что 1 лежит в некоторой замкнутой полуплоскости. Следователь-
Следовательно, <В выпукло и относительно замкнуто в й>.
До сих пор мы не использовали условия теоремы 6.1 о том,
что форма / анизотропна.
Лемма 8.4. Предположим, что форума / анизотропна. Пусть
й2 — то же самое, что в лемме 8.2. Тогда $ определена теми из
уравнений (8.4), для которых Т удовлетворяет условию
й@, Т@))<2^2. (8.5)
Доказательство. Из леммы 8.2 следует, что (8.2) ограничено
сверху постоянной й2. В частности, <§ лежит в круге
а<&, о)<4. (8.6)
Пусть е>0 сколь угодно мало, и пусть |^й>— любая точка с
. (8.7)

338 Гл. 13. Абтоморфивмы целых форм
По лемме 8.2 найдется такое Т (зависящее от |), что
AA, Т@))<4 (8.8)
По (8.7) и (8.8)
, Т@))<2й,+в. (8.9)
Следовательно, 1 с условиями (8.7) лежит в <$, если выполнены
неравенства (8.4) для всех Т, удовлетворяющих (8.9). Однако все
<В содержится в области (8.6); поэтому, как легко видеть, оно
определяется только условиями (8.4) и (8.9). Наконец, устремляя
е—*0 и используя лемму 8.1, мы можем заменить условие (8.9)
условием (8.5), что и требовалось.
Следствие. <В есть выпуклый замкнутый многоугольник, все
вершины которого лежат в Й
Доказательство. Это многоугольник, так как по лемме 8.1
имеется лишь конечное число Т, удовлетворяющих условиям
(8.5). Все вершины лежат в© в силу (8.6).
Пусть теперь 8ТаО+ (/)—стабилизатор точки 0. Это конеч-
конечная группа, состоящая из вращений и отражений вокруг 0, и
ясно, что 8(<§) = $ для. 8(Е57\ Пусть т—порядок группы 57\
Тогда часть <В, лежащая в секторе с углом 2п/т в 0, будет
фундаментальной областью <ё. Это завершает доказательство тео-
теоремы 6.1.
В конце п. 6. мы уже рассмотрели численный пример к тео-
теореме 6.1. У Фрикке — Клейна A897) рассмотрены и другие при-
примеры на языке действия О+ (/) на верхней полуплоскости, опи-
описанном в конце п. 7.
В заключение этого пункта мы покажем, что группа О+ ф
конечно порождена, и найдем множество ее образующих.
Теорема 8.1. Предположим, что форма / анизотропна. Пусть
3*—любое открытое множество, содержащее область Дирихле
<В для точки 0, и пусть 2 — множество тех Т^О+(/), для ко-
которых Т ($) пересекается с 3*. Тогда группа О+ (/) порождена
множеством 2 и стабилизатором точки 0.
Доказательство. Мы имеем
Ц Т(^). (8.10)
2
Пусть Г — группа, порожденная множеством 2. Тогда
и т(^)= и Т(р)=т. (8.П)
тег тег
Следовательно, 91 открыто, так как 3* открыто. С другой сторо-
стороны, пересечение 91 с любым замкнутым кругом
4@, !)<<*! (8.12)

Р. Кватернарные формы 339
замкнуто, так как (8.12) пересекает лишь конечное число много-
многоугольников Т(<^). Следовательно, 31 содержит (8.12). Так как <Х±
произвольно, то
31 = ®. (8.13)
Пусть теперь Т —любой элемент из О+ (/). По (8.11) и (8.13) мы
имеем, что Т@)^8(^?) для некоторого 8^Г. Тогда З!^)^^,
и потому Б!* лежит в стабилизаторе точки 0. Это завершит
доказательство.
Численный пример для теоремы 8.1 уже был разобран в
конце п. 6.
9. КВАТЕРНАРНЫЕ ФОРМЫ
Имеются описания вещественных ортогональных групп для
неопределенных кватернарных форм с помощью неевклидовой гео-
геометрии, в чем-то аналогичные случаю тернарных форм, рассмот-
рассмотренному в п. 7. Эти описания можно таким же образом применить
для изучения групп целых автоморфизмов. В этом пункте мы
рассмотрим только вещественные ортогональные группы. С точ-
точностью до знака имеются два класса вещественной эквивалент-
эквивалентности неопределенных кватернарных форм, и их приходится рас-
рассматривать по-разному.
Пусть сначала
Дх) = /3,1(х) = 4 + *!+4-4. (9.1)
Введем
Е (9.2)
и рассмотрим единичный шар
(9.3)
Элементы Т ^ О« (/) действуют как дробно-линейные преобразо-
преобразования, переводящие 33 в себя. Следовательно, мы имеем дело с
3-мерным неевклидовым пространством.
Мы можем интерпретировать—/(х) как определитель эрмито-
эрмитовой формы
(ии и2)=(х9+хА) и1и1 + (х1—1х2) ихи2+(х1+1х2) и1и2+(х3—хА) и2ий.
(9.4)
Таким образом, любая комплексная матрица
(9.6)
индуцирует автоморфизм Т (А) € О« (/), получающийся из преоб-
преобразования
и -н- Аи. (9.7)

340 Гл. 18. Автоморфизмы целых форм
Другими словами, Т(А) есть
X —А'ХА, (9.8)
где
х /*з + *4 х, + 1х9 \ ^99)
\Х1 1Х2 Яд + ^4/
Можно проверить прямым вычислением, что йе( (Т (А)) = +1 • Од-
Однако проще заметить, что сН (Т (А)) = ±1 есть непрерывная функ-
функция от А и что множество всех А связно.
Множество элементов Т (А) образует подгруппу в группы
Ок (/), имеющую конечный индекс, и в действует транзитивно
на 33. Те А, которые не меняют точку х —@, 0, 0, 1), совпадают
с теми, для которых
т. е. с унитарными матрицами. Обозначим унитарную группу
через К- Таким образом, мы отождествили 3& с пространством
классов смежности С/К, где О—группа матриц с (9.5) и (9.6),
а /С —унитарная группа, являющаяся максимальной компактной
подгруппой.
По-видимому, идея применить это представление ортогональ-
ортогональной группы формы /8§, (х) к изучению целых автоморфизмов
форм, вещественно эквивалентных форме /8, и принадлежит Бьян-
ки. См. Фрикке—Клейн A897), стр. 577 — 584.
Перейдем теперь к рассмотрению формы
(х) =* Д. ,<х) = *? + *!-*!—*1 (9.10)
Она является определителем матрицы
\Х4 Х29 %1 Х9/
Пусть А, В —две вещественные 2х2-матрицы о
(Ы А «. ее! В =« 1. (9.12)
Автоморфизм Т (А, В) € О« (/) задается отображением
X —АХВ. (9.13)
Множество этих автоморфизмов образует подгруппу в группы
* (/)» имеющую конечный индекс.
Обозначим через К подгруппу группы в, сохраняющую
Тгасе Х*Х = 2 (х{ + х\ + *5 + а:1). (9.14)
Тогда К есть подгруппа ортогональной группы формы х
1, а потому компактна. Можно дать явное описание труп-

Р. Кватерпарные формы 341
пы К. Действительно, Т(А, В)^/С означает, что тождественно
Х'Х = Тгасе(В'Х'А'АХВ)-Тгасе(Х'А'АХВВ'). (9.15)
(Вспомним, что для любых двух матриц Тгасе 11У = Тгасе VII.)
Достаточным условием для (9.15) является
А'А-В'В-1. (9.16)
Покажем, что условие (9.16) также и необходимо. Действитель-
Действительно, пусть С, О —любые вещественные матрицы с
СС=*О'и=19 Ае1С=>йеЮ=*1. (9.17)
Заменяя X на СХЭ, мы не изменим левую часть формулы (9.15),
а в правой части А'А и В'В заменяются соответственно на
С'А'АС и ОВВ'О'. (9.18)
Мы можем выбрать С, О так, чтобы матрицы (9.18) были диаго-
нальны, а проверка того, что условия (9.16) необходимы для
выполнения (9.15), когда матрицы А'А, ВВ' диагональны, очень
проста.
Таким образом, мы отождествили 6//С с произведением двух
экземпляров 8Ь+/К2, гДе §Ь+— группа вещественных матриц А
с с!е1 А=1 и где К2 состоит из А^8Ь+ с А'А = 1. Сравнение со
следствием леммы 7.2 показывает, что @/К есть произведение
двух экземпляров неевклидовой плоскости.
В заключение укажем другой подход к форме /2, а. Она экви-
эквивалентна форме
Уравнение
Г (у)=
определяет конику (коническое сечение) в 3-мерном проективном
пространстве. Эта коника содержит два семейства прямых:
Ж — Ж — п -^1 — Ж — в
Ул У а Уг У* !
где а, р — параметры. Элемент Т из группы 0« (/') либо сохра-
сохраняет каждое из этих семейств как целое, либо переставляет их;
поэтому имеется подгруппа индекса 2, которая сохраняет семей-
семейства. Из общих геометрических соображений следует, что Т ин-
индуцирует дробно-линейные отображения на а и
а+ Ьа а.
с + аа* {
где а, Ь, с, Л, г, «, I, «бК, зависят только от Т. Это показы-
показывает, что Т имеет вид (9.13).

342 Гл. 18. Автоморфизмы целых форм
Можно проделать аналогичный анализ и в случае (9.1), но
работая над полем комплексных чисел. Имеются два пучка пря-
прямых, которые переводятся друг в друга комплексным сопряже-
сопряжением. Следовательно, действия на двух пучках тоже должны быть
сопряженными над К.
10. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В этом пункте мы обобщим полученные результаты для неоп-
неопределенных тернарных и кватернарных форм и получим пред-
представление <§ для Ок (/)//(, где / — общая неопределенная форма,
а К — максимальная компактная подгруппа. Действие Ок (/) на <§
будет иметь вид, напоминающий действие модулярной группы.
Пусть
/(х) == //ял(Х) =*1 ~Ь • • • +А:т —хт+1 — • • • —
где
т>0, />0, т + 1 = п. A0.2)
Соответствующая матрица есть
о" -?,), <10-3>
где \т, I,—единичные тхт- и /х/-матрицы.
Матрица
II (
) (Ш>4)
будет автоморфизмом, если
&И = 1Я, У'У = 1,. A0.5)
Группа К таких \У компактна.
Матрица
А В
о
лежит в Оц (/), если
А'А=1в+С'С, A0.7)
' ' A0.8)
A0.9)
Из A0.7) и A0.8) следует, что квадратичные формы, определяе-
определяемые матрицами А'А и О'Ь, положительно определенные. В част-

10. Вещественные автоморфизмы 343
ности, А и О — неособые матрицы, так что можно определить
Е = (А/)-1С/-=ВО-1. A0.10)
Подставляя С и В в A0.7) и A0.8), получим
'* A0.11)
A0.12)
Лемма 10.1. Обозначим через $ множество всех таких вещест-
вещественных 1хт-матриц Е, что
зири'Еу< 1, A0.13)
и, V
где точная верхняя граница берется по всем и € К*, у^йс ус-
условием
и'и = у'у=1. A0.14)
Тогда A0.10) осуществляет взаимно однозначное соответствие
между $ и множеством классов смежности О к {1I К-
Доказательство Легко проверить, что следующие три утвержде-
утверждения эквивалентны: A) правая часть формулы A0.11) есть матрица
положительно определенной формы; (и) правая часть формулы
A0.12) есть матрица положительно определенной формы; (ш)
имеет место A0.13). (Заметим, что если то^К", то и'то с и'и = 1
достигает своего максимума при и = |^|"^. Нужно взять \у =
= Еу.) Мы уже видели, что М однозначно определяет Е. Далее
М и М^ по A0.5) определяют одно и то же Е. Наоборот, если Е
задано, то существуют квадратные матрицы А, О, удовлетворяю-
удовлетворяющие A0.11) и A0.12), а тогда В и С определяются по A0.10).
Матрицы А, О не определяются уравнениями A0.11), A0.12) од-
однозначно, но если А, О есть решение, то общее решение имеет
вид АЦ1, О\, где выполняется условие A0.5).
Лемма 10.2. Пусть М, Мь М2^Ок(/) и
МЙ = ММ1. A0.15)
Тогда
1. A0.16)
Здесь использованы обозначения A0.6), а Е|, Еа€^—элементы,
соответствующие Щ9 М2.
Доказательство Оно состоит в прямой проверке. Имеем
, A0.17)
. A0.18)
Так как Е, = В,В?>1, то отсюда следует A0.16).

344 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
11. ПРИВЕДЕНИЕ ПО ЗРМИТУ. ИЗОТРОПНЫЙ СЛУЧАЙ
В этом пункте мы обсудим возможность распространения ре-
результатов п. 2 на случай изотропных форм. Сначала покажем,
что теорема 2.1 сохраняется и для изотропных форм, хотя дока-
доказательство становится гораздо деликатнее. Как мы уже отмечали,
теорема 2.2 не выполняется ни для какой изотропной формы.
В заключение этого пункта сформулируем без доказательства
более слабую теорему, которая верна и для изотропных форм.
Теорема 11.1. Существует лишь конечное число классически
целых, приведенных по Эрмиту квадратичных форм данного оп-
определителя
Сформулируем основные шаги доказательства в виде лемм, а
общие свойства приведения по Эрмиту будем брать из п. 2.
Лемма 11.1. Пусть Р, О—матрицы неопределенной формы /
и ее эрмитовой мажоранты §. Тогда
A1.1)
Доказательство. По условию существует такая лхя-матрица
Ь, где, как обычно, п есть размерность /, что
О-Ь'Ь, A1.3)
причем т, /-—неотрицательные целые числа с т + 1 = п. Теперь
проверка A1.1) тривиальна.
Следуя Зигелю, мы перепишем соотношение A1.1) в виде
A1.4)
(так как Р' = Р по определению). Таким образом, Р можно рас-
рассматривать как целое, но вообще говоря, не унимодулярное пре-
преобразование, задающее рациональную эквивалентность квадра-
квадратичных форм с матрицами С" и О.
Нам понадобится теория областей Зигеля. Мы используем
обозначения гл. 12. Обозначим через Л яхя-матрицу
11, если / + к = п + 1,
~иш» ни ^о в противном случае."
Тогда преобразование
х—► Лх
обращает порядок следования переменных Хи ...,*„. Заметим,
что
(П.б)

Ц. Приведение по Эрмиту 345
Лемма 11.2. Существует % > 0, зависящее только от г\ > О
и п, которое обладает следующим свойством. Пусть О—мат-
О—матрица квадратичной формы, лежащей в области Зигеля <^„F, г]).
Тогда ЛО-1Л есть матрица формы из с^„(б, г]х).
Доказательство. Мы имеем С = С'НС для матриц
\ О ... 0 0
О Нг «,. О О
о о .,# о н,
4 < 4
0 0 0 ,,,1
где по определению областей Зигеля
Следовательно,
где
Остальное доказывается просто.
Лемма 11.3. Пусть (л—матрица квадратичной формы из об-
области Зигеля <^„F, г]), и пусть Т—неособая целая матрица.
Пусть т19 ..., тп—линейно независимые целые векторы, дающие
последовательные минимумы квадратичной формы с матрицей
ТОТ.
Тогда все элементы векторов Тту ограничены постоянной, зави-
зависящей только от пу 6, г) и с!е1Т {но не от О и Т).
Доказательство. Это обобщение следствия леммы 4.2 гл. 12. У
читателя не должно возникнуть трудностей при перенесении то-
того доказательства на этот случай. Множество ТЬ, Ь^2Л, обра-
образует подрешетку Л решетки Ъп\ надо рассмотреть значения, при-
принимаемые формой О на Л; ср. Зигель A940).
Доказательство теоремы 11.1. Пусть /--классически целая
форма заданного определителя йу и пусть ^ — приведенная по

346 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Минковскому эрмитова мажоранта формы /. Пусть ти ..., тп—
линейно независимые векторы, дающие последовательные мини-
минимумы формы §. По следствию леммы 4.2 гл. 12 элементы векто-
векторов ту ограничены постоянной, зависящей только от п.
По лемме 1.2 гл. 12 форма §■ лежит в некоторой области Зи-
геля &п (б, г]), где б, х\ зависят только от п. По лемме 11.2 фор-
форма с матрицей ЛО~1Л лежит в <^„F, г^), где % зависит только
от п.
По лемме 11.1
где
Т-ЛР;
при этом мы использовали A1.5) и то, что Р' = Р. По лемме
11.3 (с ЛС~*Л вместо С и х\х вместо ц) элементы векторов Тту.
ограничены постоянной, зависящей только от т), б, % и с!е1Т,
т. е. только от п и й = с1е1Р.
Так как т^ и Тт^ ограничены, то это же относится и к мат-
матрице Т = ЛР, что и требовалось.
Теперь мы обсудим, что соответствует теореме 2.2 для изот-
изотропных форм. Для любой вещественной регулярной формы / груп-
группа Ок (/) обладает естественной топологией. Если форма / целая,
то8х, 82 б Ок (/) можно назвать эквивалентными, если 82= Т8! для
некоторого Т^О+(/). Тогда теорема 2.2 утверждает, что если
форма / анизотропна, то существует компактное подмножество
в Ок (/), которое содержит представителей всех классов эквива-
эквивалентности. Группа Ок (/) обладает не только топологией, но и
инвариантной мерой —мерой Хаара, которая определена одноз-
однозначно, с точностью до умножения на постоянную. Имеет место
теорема, которую мы не будем доказывать.
Теорема 11.2. Пусть форма / не есть изотропная бинарная
форма. Тогда в О« (/) существует подмножество, имеющее конеч-
конечную инвариантную меру, которое содержит представители всех
классов эквивалентности по модулю О+ (/).
Здесь мы предполагали, что О+ (/) действует на О« (/) слева,
но с таким же успехом могли предполагать, что группа действу-
действует справа. Изотропные бинарные формы действительно являются
исключениями.
За доказательством мы должны отослать к Зигелю A940). Он
использует представление для группы О+ (/), построенное в п. 10.
Существует явное описание инвариантной меры, и мера, индуци-
индуцированная на факторпространстве О+ (/)\Ок (/), играет важную
роль в аналитической теории, см. приложение Б.

12. Эффективность
12. ЭФФЕКТИВНОСТЬ
Как было указано в конце п. 1 гл. 9, не очевидно, что мы
всегда можем решить следующие задачи:
Задача 1. Представляет ли цело данная целая форма данное
целое число ^О
Задача 2. Являются ли цело эквивалентными две заданные це-
целые квадратичные формы Д и /2? Если да, то можно ли явно
найти целое преобразование, переводящее }г в /2?
Решение задачи 1 можно свести к решению задачи 2 рассуж-
рассуждением, аналогичным тому, которое использовалось в начале п. 6
гл. 9. Детали оставляются читателю. В этом пункте мы наметим
алгоритм для решения задачи 2, принадлежащий Зигелю A972).
На самом деле мы уже в разных местах построили несколько ал-
алгорифмов, которые вместе решают задачу 2. Мы напомним их
в конце этого пункта и приведем дальнейшие комментарии.
Алгорифм Зигеля следует идеям предыдущего пункта в соче-
сочетании с результатами п. 7 гл. 12. Как и в гл. 12, мы будем
рассматривать формы от п переменных как точки в К\ где
N = -=- п (п+ !)• Множество всех положительно определенных форм
обозначается, как и прежде, через 5*°. Введем новое обозначе-
обозначение Ф = Ф (/) для множества всех эрмитовых мажорант формы /.
Лемма 12.1. Ф(/) есть замкнутое подмножество х) в 3*°.
Доказательство немедленно следует из леммы 11.1.
Лемма 12.2. Ф(/) состоит из всех ё*(8х), где 8 пробегает
группу О к (/), а §—любой элемент из Ф(/).
Доказательство. В A1.2) можно предполагать, что
Aе1Ь>0, A2.1)
так как в противном случае Ь можно умножить на диагональ-
диагональную матрицу, у которой первый элемент есть —1, а осталь-
остальные +1 •
Если 1.и Ц—два решения A1.2) и A2.1), то мы должны иметь
1^ = 1^8, где 8^Ок(/). При этом по A1.3) соответствующие ма-
мажоранты будут С^Щ.! и О ЬЬ 8/С§
Следствие. Ф (/)— связное множество.
Доказательство. Действительно, Ф(/)— непрерывный образ
связного множества Ок (/) (ср. пример 14 гл. 2).
) На самом деле Ф (/) замкнуто как подмножество К^, так как (д)
(/)| — постоянная для #^Ф(/); ср. замечание после теоремы 5.1 гл. 12.

348 Гл. 13. Автоморфизмы целых форм
Лемма 12.3. Пусть заданы целые числа О>0 и п>0. Тогда
коэффициенты целой приведенной по Эрмиту формы / от
п переменных с \с1ф\=*Ь не превышают В, где В = В(п, ^эф-
^эффективно вычислимо.
Доказательство. Мы оставляем читателю проверку того, что
доказательство теоремы 11.1 может быть переработано так, что-
чтобы на каждом этапе получались эффективно вычислимые оценки.
Следствие. Существует не более чем А различных приведен-
приведенных по Эрмиту целых форм от п переменных с \ й (/) | = О, где
А = А(п, й) эффективно вычислимо.
Доказательство очевидно.
Пусть теперь /—любая целая форма от л переменных, и пусть
2? = |й(/)|. Любая форма § из Ф(/) принадлежит по меньшей ме-
мере одному из множеств Т<5$, где Т^8Ь, а &1 — множество при-
приведенных по Минковскому форм. Тогда форма Т^ приведена по
Минковскому; следовательно, форма Т/ приведена по Эрмиту.
Всякая приведенная по Эрмиту форма й, эквивалентная форме /,
получается этим способом. Обозначим через Ф(/; Н) множество
соответствующих #6Ф(/)» т* е*
A2.2)
где объединение берется по всем Т, для которых
Т^!^Н. A2.3)
Лемма 12.4. Ф(/; Н) замкнуто в 9*°.
Доказательство. По лемме 5.3 (И) гл. 12 и по лемме 12.1
каждое пересечение Ф (/) Г) Т31 замкнуто. Лемма следует теперь
из локальной конечности покрытия Т51 пространства ^° (см. тео-
теорему 7« 6 гл. 12).
Лемма 12.5. Существует постоянная Е, зависящая только от п
и обладающая следующим свойством: пусть Ф(/; Нг) и Ф(/; Н2)
имеют непустое пересечение; тогда ^ = 8^ для некоторого 8^8Ь,
причем все элементы матрицы 8 по абсолютной величине не пре-
превышают Е.
Доказательство. Пусть #6Ф(/; ^)Г)Ф(/; Нг). Тогда сущест-
существуют такие Тх, Т2, что
Л/ —Т//, /==1, 2,
причем
1*. /-1, 2,

12. Эффективность 349
приведены по Минковскому. Применяя теорему 1.2 гл. 12 к
мы получим, что все элементы матрицы Та^ — 8 ограничены
постоянной Сг. Так как Н2 = 8Н19 то отсюда следует результат.
Теорема 12.1. Пусть /^, /2—целые приведенные по Эрмиту
формы. Если /х и /2 эквивалентны, то существует такое Т € 5Ь9 что
причем элементы матрицы Т не превышают постоянной /С, завися-
зависящей только от числа переменных п и от определителя форм \г.
Постоянная К эффективно вычислима.
Доказательство. Применим предыдущие рассуждения, взяв
в качестве / любую форму, эквивалентную /х и /2 (например,
^ = Д). Множества Ф(/; Л), где Н приведена по Эрмиту, образуют
конечное покрытие множества Ф(/). По лемме 12.1 и следствию
леммы 12.2 найдется такая последовательность к/, /
приведенных по Эрмиту форм, что
причем
непусто для 1 ^ / < </. По лемме 12.5 имеем
где элементы матриц 57 ограничены постоянной/:. Тогда ?2 =
где
Так как по следствию леммы 12.3 У ^ Л, то элементы матрицы Т
ограничены постоянной К требуемого типа.
Заметим, что теорема 12.1 действительно дает эффективное
решение задачи 2. Ясно, что достаточно решить эту задачу, пред-
предполагая, что Д и /2 приведены. Они не могут быть эквивалент-
эквивалентными, если у них разное число переменных или разные определи-
определители. Если же эти условия выполнены, то мы должны „только"
рассмотреть все формы вида Т/х, где Т пробегает все матрицы
из 5/,, элементы которых ограничены постоянной К из теоремы
12.1. Если форма /2 не совпадает ни с одной из этих Т/х, то
формы /1э /2 не могут быть эквивалентными. Конечно, постоянная
К, полученная выше, настолько велика, что этот метод едва ли
может быть применен на практике.
В заключение мы перечислим другие подходы к задаче 2,
которые применимы в частных случаях, но все вместе покрывают
все возможности. Ясно, что достаточно рассматривать формы /ь
лежащие в одном роде.

350 Гл. 18. Автоморфизмы целых форм
(\) /^ и /2—определенные формы. Тогда решение проблемы 2
тривиально, как уже отмечалось в п. 1 гл. 9.
(и) /х и /2—неопределенные бинарные^ формы. Пункт 3 этой
главы дает алгорифм решения.
(Ш) /г и /2—неопределенные формы, и п^З. Они эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда принадлежат одному спинор-
ному роду (см. теорему 1.4 гл. 11), и гл. И описывает эффектив-
эффективные процедуры, позволяющие выяснить, когда это имеет место.
Это отвечает на первый из вопросов в задаче 2. На второй вопрос
можно ответить, проанализировав рассуждения гл. 11, но в дей-
действительности в этом нет необходимости. С логической точки зре-
зрения второй вопрос является чистой риторикой, если существует
эффективный ответ на первый вопрос. Пусть мы знаем, что формы
Д и /2 эквивалентны, и пусть Ть Т2, ... —все элементы из 5/,, вы-
выписанные в некотором порядке. Будем рассматривать Т/2 по по-
порядку. Одна из них должна быть равна /2, и это вполне прие-
приемлемый способ нахождения того Т, для которого Т^=[2.
Случаи A), (и), (Ш) исчерпывают все возможности. Мы могли
бы упомянуть также следующий случай.
(IV) /а и /2 анизотропны. Пусть 6 = /2A, 0, ..., 0). Тогда
следствие теоремы 2.2 дает эффективный способ нахождения мно-
множества векторов Ьу- с Л (Ьу) = 6, которое содержит по меньшей
мере один представитель из каждой орбиты примитивных представ-
представлений числа Ь формой /х. Выделяя квадрат линейной формы по
отношению к каждому Ьу, как в п. 6 гл. 9, можно использовать
индукцию по размерности. Детали оставляются читателю.
ЗАМЕЧАНИЯ
По поводу обобщений на поля алгебраических чисел см. Умбер
A949) и Раманатан A951, 1962). У Спрингера A956) есть аналог
приведения по Эрмиту для полей с дискретным нормированием.
У Диксона A930) имеется таблица классов неопределенных
тернарных форм небольших определителей. См. также работу Вен-
кова A945), где одна задача из геометрии чисел привела к по-
построению ряда анизотропных тернарных форм.
Группа целых автоморфизмов целой формы конечно порождена;
см. Зигель A940).
Пункт 2. Уотсон A957), получил слабое обобщение теоремы 2.2
на все неопределенные формы от /2^4 переменных. Он показы-
показывает, что если форма / представляет данное целое число Ьф0$
то всегда есть ограниченное представление, однако он не показы-
показывает, что всякая орбита содержит ограниченное представление.
Пункт 7. По поводу изложения неевклидовой геометрии см.
Бонола A912), Коксетер A942), Гринберг A972), Клейн A928),

Примеры 351
Пункт 11. Теорема 11.1 утверждалась Эрмитом и была дока-
доказана им для тернарных форм при молчаливом предположении, что
последние анизотропны. Согласно Зигелю A940): „Утверждение
Эрмита в действительности верно во всех случаях без исключения.
Это было доказано Штуфом в 1902 г., однако это доказательство
настолько сложно, что оно не изложено полностью в очень по-
подробной книге Бахмана).
ПРИМЕРЫ
(Замечание. Имеются примеры о целых автоморфизмах и в более
ранних главах, особенно примеры 14—19 в гл. 9.)
1. Пусть ах2 + 2Ъху + су2—положительно определенная прими-
примитивная классически целая форма. Показать, что ее единственными
собственными автоморфизмами являются ±1, кроме того случая,
когда й = ас—Ь2 равно 1 или 3. Найти все собственные автомор-
автоморфизмы в исключительных случаях.
2. Найти образующие группы целых автоморфизмов формы
Зх2 + 2ху—27 у2.
3. @ показать, что 5 не представимо цело формой л:2—79у2.
(И) Вывести отсюда, что формы *2—79^/2 и 5л:2 + 4л;#—15#а
не эквивалентны, хотя и лежат в одном роде.
A11) Найти все собственные классы эквивалентности для клас-
классически целых форм ах2 + 2Ьху + су2 с ас—Ъ2 — — 79.
4. A) Показать, что 4 не представимо примитивно формой
х2 + ху—36у2.
(и) Вывести, что формы х2+ху—Збу2 и 4л:2 + ху—9у2 не экви-
эквивалентны.
A11) Найти все классы целозначных квадратичных форм
Ах2+Вху+Су2 с В2 — 4ЛС=145.
5. Пусть к— целое положительное число. Показать, что форма
кх2+кху—у2 не представляет ни одного целого числа т с 0 < т < к.
6 Пусть /(л:, у) = ах2 + 2Ьху + су2—классически целая форма
с а > 0> с. Пусть I, и — решение уравнения Пелля B+(ас—Ь2)и2=\
с г > 0, и > 0. Показать, что всякое целое решение уравнения
/(*. у) — е, где е > 0, лежит в той же орбите (относительно группы
целых автоморфизмов формы /), что и решение с
7. Показать элементарно, что имеется лишь конечное число
приведенных по Эрмиту целых форм ах2 -\-2Ьху-\-су2 данного опре
делителя й
1) Венков A937, 1959) строит фундаментальную область (в виде бесконеч-
бесконечной пирамиды с конечным числом граней) группы автоморфизмов неопределен-
неопределенных целых квадратичных форм сигнатуры A, п—1) или (п—1, 1). Эти инте-
интересные исследования связаны с работами Вороного A908, 1909),— Прим. ред.

352 Гл. 18. Автоморфизмы целых форм
[Замечание. Трудным случаем является а = 0.]
8. Пусть /(л:, у, г)—классически целая форма, вещественно
эквивалентная форме Х2+У2—22. Пусть Ь^23, и пусть О состоит
из таких целых автоморфизмов Т формы /, что ТЬ = Ь.
A) если /(Ь)<0, то показать, что О конечна;
A1) если / анизотропна и / (Ь) > 0, то показать, что С беско-
бесконечна;
A11) если / изотропна и /(Ь)>0, то показать, что О обычно
бесконечна, и обсудить случаи, когда она конечна.
9. Найти группу целых автоморфизмов формы
[Указание. Форма / изотропна, и потому 1=^г(Х^ъ—XI) для
некоторого г ^ О и некоторых линейных форм Х19 Х2, Х3.]
10. Найти образующие группы автоморфизмов формы
Г{х, у, г) = 3х* + 2у*-г*.
11. A) Найти образующие группы автоморфизмов формы
, у, г) = х2—3у2—2уг—23г2.
(и) Показать, что существуют ровно две орбиты целых пред-
представлений числа 1 формой /.
[Замечание. Ср. конец п. 1 гл. 9, где есть ссылка на эту
форму. Хотя этот пример можно сделать вручную, возможно,
лучше использовать вычислительную машину для поиска пред-
представлений числа 1 формой / с небольшими ху у, г.]
12. Найти группу целых автоморфизмов формы
13. Показать, что порядок группы собственных автоморфизмов
положительно определенной формы от п переменных должен делить
д- простое
где
V(?) = [«/(?-1)] +[л/?(?-1)] +И?2(<7-!)]+••., <7>2.
[Указание. См. пример 7 гл. 6.]

Глава 14
КОМПОЗИЦИЯ БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе удобнее рассматривать целые квадратичные формы
с неклассическим определением целости*
/(*, у)=а** + Ьху + с!/* A.1)
целая, если
а, Ь, с€ 2. A.2)
Такая форма примитивна, если
н.о. д. (а, 6, с) = \. A.3)
Мы будем использовать дискриминант
О = О(/)=Ь2— 4ас. A.4)
Он связан с определителем й(/) формулой
О(/) = -44(/). A.8)
Заметим, что
О = 0 или 1 (той 4) A.6)
И ЧТО
ЫО (той 2). A.7)
Далее, под классом эквивалентности мы всегда в этой главе
будем понимать класс собственной эквивалентности. Гауссом (кото-
(который, однако, работал с классическим определением целости) было
показано, что классы примитивных форм данного дискриминанта О
обладают естественной структурой абелевой группы %. Эта группа
тесно связана с группой классов идеалов в некотором квадратич-
квадратичном кольце; в этом по существу состоит подход Гаусса, однако
мы будем следовать Дирихле. Подробности см. в п. 2; основная
идея состоит в том, что если
//(х, У) = а/х* + Ьху + с,у\ /=1, 2, 3, A.8)
— три примитивные формы дискриминанта О с одинаковым цен-
центральным коэффициентом Ъ и если
а3 = ага2, A.9)
12 д. 156

354 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
то соответствующие классы удовлетворяют
То о "—■ То л То о.
О 1. а
Оказывается, что это определение не зависит от выбора
Единичный элемент группы — класс $ формы
х2—~гОу2, если О —четно
, A.11)
-г A—О) у2, если О —нечетно.
Класс #~\ обратный классу #, состоит из форм, несобственно
эквивалентных формам из #.
Гаусс рассмотрел отображение
A.12)
группы $ в себя. Он показал, что класс лежит в образе A 12)
в точности тогда, когда он лежит в главном роде, т. е. по опре-
определению в роде класса <^, содержащего /0, задаваемую A.11).
Оказывается даже, что роды совпадают с классами смежности
У/%2. Отсюда следует, что каждый род содержит одно и то же
число классов. Этот факт верен только для бинарных форм.
Гаусс заметил, что эти факты позволяют найти число родов.
Так как *& — конечная группа, то число родов, т, е. порядок $/$2,
равно порядку ядра Л отображения A.12). Класс # лежит в Л,
если (ё2 = <§> т. е. если
A.13)
Следовательно, % ^Л тогда и только тогда, когда формы в нем
несобственно эквивалентны сами себе. Такие формы и классы,
к которым они принадлежат, называются амбиговыми1).
Ясно, что формы вида
ах2-\-су2 A-14)
и
ах2 + аху + су2 A.15)
амбиговые. Наоборот, можно показать, что, за исключением '
некоторых специальных случаев, амбиговый класс содержит ровно
две формы вида A.14) или A.15), если В < 0, и ровно четыре
таких формы, если О > 0. Это позволяет найти порядок группы Л,
а значит, и порядок группы родов $/$2.
Эти результаты позволяют дать доказательство существования
родов бинарных форм с заданными локальными свойствами, если
выполнены очевидные необходимые условия (теорема 1.2 гл. 9).
Раньше мы доказали это с привлечением теоремы Дирихле о про-
То есть формами (классами) апсерз, или двусторонними.— Прим. ред.

2, Композиция бинарных форм 355
стых числах в арифметической прогрессии1). Доказательство Гауссаэ
которое здесь теперь будет изложено, и есть первоначальное
доказательство: оно предшествовало теореме Дирихле. В дейст-
действительности в „элементарном" доказательстве теоремы Дирихле
(Сельберг A949)) использование существования родов играет зна-
значительную роль.
Имеются еще два места в тексте книги, где использование
теоремы Дирихле является важным моментом. Первое—это суще-
существование рациональных форм с наперед заданными локальными
свойствами (теорема 1.3 гл. 6). Оно легко следует из теоремы
о существовании родов и не требует специального обсуждения.
Второе—это случай лг = 4 сильного принципа Хассе (п. 5 гл. 6).
Мы покажем в п. 7, что и в этом случае можно обойтись без
использования теоремы Дирихле.
Тот факт, что группа #/#2 есть группа родов, дает нам неко-
некоторую информацию о 2-компоненте группы классов *&. Методы
этой главы могут быть использованы, чтобы дать дальнейшую
информацию о 2-компоненте, например, чтобы выяснить, когда
она содержит элементы порядка 4. Любопытным побочным про-
продуктом является информация о том, когда отрицательное урав-
уравнение Пелля"
= —4 A.16)
имеет целое решение I, и. Мы видели, что обычное уравнение
Пелля с +4 в правой части всегда разрешимо, если только О > О
и О не есть полный квадрат; его решения дают автоморфизмы
форм / дискриминанта В (п. 3 гл. 13). Уравнение A.16) может
быть или не быть разрешимым. Если оно разрешимо, то всякая
форма / дискриминанта В несобственно эквивалентна —/ (следст-
(следствие теоремы 3.1 гл. 13).
2. КОМПОЗИЦИЯ БИНАРНЫХ ФОРМ
В этом пункте мы установим существование группового за-
закона на множестве собственных классов эквивалентности при-
примитивных бинарных форм данного дискриминанта О и получим
его основные свойства. Этот групповой закон по традиции назы-
называется композицией". Удобно ввести обозначение
/=Ф> Ь, с] B.1)
для формы
Ь B.2)
Мы будем использовать знак ^ для обозначения собственной
эквивалентности.
1) Через теорему 1,3 IV}. §»

356Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
Лемма 2.1. Пусть / = [а, 6, с]—примитивная форма, и пусть
М — любое целое число. Тогда / представляет целое число, взаимно
простое с М.
Замечание. Это, конечно, частный случай теоремы о формах
от любого числа переменных.
Доказательство. Пусть р—простое число, делящее М. Рас-
Рассмотрим т
(О Р
(И) Р
A11) р
эй случая (не исключающие друг друга):
'а. Если р\х и р|#, то /(х, у) взаимно просто с р.
"с. Аналогично.
а, р | с, так что /? \ Ь. Тогда р ^ х, р \ у гарантирует, что
, у) взаимно просто с р.
Лемма 2.2. Предположим, что
[аи Ь, ъ] ~ [а2, Ь, с2], B.3)
еде обе формы примитивны и имеют одинаковый средний коэф-
коэффициент. Пусть I—целое число,
1\съ 1\сг B.4)
и
н. о. д. (аи а2, 0 = 1. B.5)
Тогда
\1а*% Ь% 1~1сЛ'^ \1а~% Ь% 1~~1сЛ. B.6)
Доказательство. По условию существует целая матрица
для которой
/2а, Ь \ Bа,
где Т—транспонированная матрица. Тогда
и потому
/2а^ Ь \/г §\ / и — I
\ Ь 2с%)\1 «/""\—5 г
2с2
Приравнивая матричные элементы в обеих частях равенства и
исключая г, и, получим
аг8—с21 =

2. Композиция бинарных форм 357
Но теперь 1\$7 по B.4) и B.5). Тогда матрица
г 1
И и
целая, осуществляющая требуемую эквивалентность форм B.6).
В дальнейшем нам не часто понадобится значение третьего
коэффициента с формы [а, Ь, с]. Если афО, что всегда будет
выполняться, то с определяется коэффициентами а, Ь и дискри-
дискриминантом О. Поэтому мы условимся обозначать звездочкой *
коэффициент, величина которого для нас не важна.
Мы будем говорить, что две примитивные формы
/,4а,, &/> о,1 /-1, 2, B.7)
дискриминанта О согласны, если
A) ага2фО\
(И) их средние коэффициенты одинаковы:
ЪХ=Ъ^Ъ\ B.8)
форма
, Ь, *] B.9)
дискриминанта О целая. Как уже было замечено в п. 1, /8 при-
примитивна. Будем называть ее композицией форм /5 и /2.
Замечание. Если н. о. д. (а^)—!, то (ш) автоматически сле-
следует из A) и (И). Действительно, из' целости B.7) следует, что
О—Ь2 делится на 4ах и на 4#2; следовательно, оно делится на
4ага2У так что форма B.9) целая.
Лемма 2.3. Пусть ё\, #2—два класса примитивных форм
дискриминанта бфО. Тогда существуют согласные формы
/у =: [а,, Ь, *] ^ $,. Их можно выбрать так, чтобы а19 а2 были
взаимно просты друг с другом и с любым наперед заданным целым
числом М.
Доказательство. По лемме 2.1 класс *&\ представляет некото-
некоторое целое число а19 взаимно простое с /И, а #2 представляет
некоторое я2, взаимно простое с агМ. Следовательно, найдутся
формы
[а/9 Ь/9
Подстановка
позволяет заменить Ь/ на
Щ

358 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
По A.7) мы имеем •61^6а(тос12), и так как пи &г взаимно
просты, то можно выбрать 1и /2 так, чтобы 6* = ^~й, как и
требуется.
Лемма 2.4. Пусть #ь %%—два класса примитивных форм
дискриминанта пфО. Тогда существует такой класс $, что
композиция форм /уб^л /==11 2, всегда лежит в <ё.
Доказательство. П усть
К Ь\ *]€#/, / = 1,2, B.10)
, /==1,2, B.11)
— две пары согласных форм. Мы должны показать, что
[а[а2, Ь\ *]~Ка';, Ь\ *]. B.12)
По лемме 2.3 с М^а!ха'^а[а\ существует согласная пара
[а„ Ь, *]€#/, / = 1,2, B.13)
с условием
н. о. д. (а,, а2) = н. о. д. (аха2, а^а'^а^ = 1. B.14)
По симметрии достаточно показать, что
[а[а'2, Ь\ *]~ [аЛа2у Ь, *]. B.15)
Так как по B.14) аЛа2 взаимно просто с а[а'29 то мы можем, как
при доказательстве леммы 2.3, найти такое целое число В, что
одновременно В е==& (той2а1а2), В = Ъ' (той 2а\а'2).
Тогда
ау, Ь% *]-[ау, В, *], /=1, 2, B.16)
[а,а27 6, *]~ [ага2, В, *], B.17)
[я/, Ь\ *]-[ау, В, *], /=1, 2, B.18)
[л;а;, &', *]~[а^, В, *]. B.19)
Теперь мы имеем
[аи В, *] - [о1, В, *] B.20)
по B.10), B.13), B.16) и B.18). Условия леммы 2.2 выполнены1)
с /=О2, и потому
я^, В, *]~[а[а'2, В, *]. B.21)
*) То, что условие B.4) удовлетворяется, следует из рассуждения, аналогично-
аналогичного использованному в вамечании перед леммой 2.3. Точнее, О—В2 делится на
^а'хпч, потому 1то форму B-10) согдасвд, и на Щ, ще щ взаимно просто
9 фг пр

2. Композиция бинарных форм 359
Аналогично по лемме 2.2 с 1 = аг
[ага2> В, *]~[яг^, В, *]. B.22)
Наконец, требуемая эквивалентность B.15) следует из B.17),
B.19), B.21) и B.22). Это завершает доказательство леммы.
Легко видеть, что любые формы одинакового дискриминанта
которые представляют 1, собственно эквивалентны. Мы обозначим
этот класс эквивалентности через <$>. Тогда /0€<$\ где /0 дается
формулой A.11).
Теорема 2.1. Если %ъ #2—примитивные классы дискрими-
дискриминанта О, то будем писать
где %—класс, задаваемый леммой 2.4. Это правило композиции
снабжает множество $ примитивных классов дискриминанта О
структурой конечной абелевой группы. Нейтральным элементом
(„единицей*1) служит только что введенный класс <§. Обратным
& классу % является класс, содержащий формы, несобственно
эквивалентные формам из
Доказательство. Конечность $ есть частный случай теоре*
мы 1.1 гл. 9, а
следует сразу же из определения.
Теперь ассоциативность. Пусть %и #2, #3—любые три класса.
Тогда мы можем выбрать последовательно аи а2у а3, представи*
мые этими классами так, чтобы а2 было взаимно просто с а1у
а а3 — взаимно просто с аха2. Рассуждением, которым мы уже
пользовались несколько раз, устанавливается, что найдется
такое 6, что
[а/9 6, •]€«/, /=1, 2, 3.
Тогда легко видеть, что и (#1#2) #з, и #1 (#2#з) являются
классами, содержащими целую форму
[ага2аВ9 Ь, *].
Следовательно,
Ясно, что
для любого класса %. Наконец, [с, 6, а] несобственно эквива-
эквивалентна [а, Ь, с], и их композиция
[ас, Ь, 1]

йбб Гл. 14. Композиция бинарных квадратичны* форм
представляет 1 и потому лежит в <В- Это дает утверждение о
и заканчивает доказательство.
Следующий простой результат, вытекающий из теоремы 2.1,
будет полезен позднее.
Лемма 2.5. Пусть п > 1 —целое число. Для того чтобы класс
имел вид # = #?, необходимо и достаточно, чтобы # примитивно
представлял целое число вида до", где до взаимно просто с 2Э.
Доказательство. Предположим сначала, что класс % пред-
представляет до". Тогда он содержит форму
/ = [до", Ьу с]
с некоторыми 6, с. Так как О = 62—4до"с, то средний член Ь
взаимно прост с до. Следовательно, форма
/ч=[до, Ь, хюп~хс]
примитивна. Ясно, что класс %1 формы /т обладает требуемым
свойством.
Предположим теперь, что # = #?. По лемме 2.1 класс
представляет некоторое целое число до, взаимно простое с
и потому содержит форму
и=к ьи сх\
Как и прежде, Ьг взаимно просто с хю. Подстановка х—
у —► у позволяет заменить сх на
Мы можем найти такое целое число /, что с2 делится на
(например, индукцией по п или с помощью леммы Гензеля и
китайской теоремы об остатках). Следовательно, #, содержит
форму
1 = [до, 6, хюп"хс\.
Тогда класс # = #? содержит [до", &, с], что и требуется.
3. УДВОЕНИЕ И РОДЫ
Под главным родом мы понимаем род, содержащий главный
класс <$\ т. е. множество форм, эквивалентных формам A.11) над
каждым Ър (включая р = оо).
Теорема 3.1 (Гаусс). Для того чтобы класс % принадлеоюал
главному роду, необходимо и достаточно, чтобы %~%\ для неко-
некоторого класса
Доказательство. A) Предположим сначала, что форма / при-
принадлежит главному роду. Тогда по следствию леммы 9Л гл. 6

8. Удвоение и роды 361
(или альтернативно по теореме 7.1 гл. 9) форма / собственно
представляет квадрат до, взаимно простой с любым заданным
числом, в частности с 2О. Следовательно, по лемме 2.5 %~%\
для некоторого класса <ё1.
(И) Предположим теперь, что <в — %\. Тогда по лемме 2.5
класс # представляет некоторое до2, взаимно простое с 2О. Сле-
Следовательно, % представляет 1 над Ър для р = оо и для всех
р\2п, а потому лежит в главном роде.
Для того чтобы иметь возможность рассматривать роды, отлич-
отличные от главного рода, нам потребуются некоторые тривиальности
о 2^-эквивалентности. Обозначим через *&р множество классов
2^-эквивалентности примитивных 2^-целых форм дискриминанта О.
Повторяя рассуждения п. 2, просто получим, что *6р обладает
естественной структурой абелевой группы. Имеется естественный
групповой гомоморфизм
, C.1)
который отображает # ^ $ в 2^-класс, содержащий
Следующий результат получается немедленно.
Следствие (теоремы 3.1). Роды суть классы смежности % по
модулю %2. В частности, любые два рода содержат одинаковое
число классов.
Теперь более полно исследуем %р. Так как всякая р-адическая
форма несобственно 2^-эквивалентна самой себе (следствие лем-
леммы 3.2 гл. 8), то любой элемент из ^ отличный от единицы,
имеет порядок 2. Это подтверждается также следующими пере-
перечислениями, которые потребуются позднее.
Лемма 3.1. Пусть р—любое нечетное простое число. Тогда
(\) если р\Т)у то группа % тривиальна-,
(и) если р | О, то имеется ровно два класса с представите-
представителями х2—г Ву2 и гх2—-т-г~1Оу2, где г—любая единица, кото-
которая не лежит в @СрJ (т. е. квадратичный невычет).
Лемма 3.2 (р = оо).
A), если О > 0, то группа %ж тривиальна;
(И), если О < 0, то ^ состоит из двух элементов с предста-
представителями х2—-т-Оу2 и 2 +
Лемма 3.3 (р =
A) если 1\В, то группа Ъ% тривиальна',
(и) если 210, то
О = 44, а 6 22, C.2)
и имеются следующие четыре случая:

362Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
(па) й=1(тос14), тогда $2 тривиальна;
(НР) й = —1 (той 4), тогда %2 имеет порядок 2;
(Ну) 2|й, но 2Ъ\&, тогда $2 имеет порядок 2;
(пб) 23|й, тогда $2—нециклическая группа порядка 4.
Доказательство. Только случай (И) леммы 3.3 требует обсуж-
обсуждения, остальная часть трех лемм тривиальна. Если выполняется
C.2), то всякий класс содержит форму
где
и = 1, 3, 5 или 7.
Далее,
тогда и только тогда, когда /й представляет V по модулю 8.
После этого доказательство легко завершается.
Так как *6р тривиальна для всех р, кроме конечного числа,
то произведение групп
V *р (з.з)
ВКЛ. оо
будет конечным. В п. 5 мы будем заниматься нахождением образа *&
в группе C.3) при гомоморфизмах C.1). Для дальнейших ссылок
сформулируем следствие лемм 3.1, 3.2 и 3.3.
Лемма 3.4. Пусть X—число различных нечетных простых
делителей В и
1, если V < О,
О, если V > О,
О, если 2\п или 0 = 4A, й^=\ (той4),
г = - 2, если 2- |С,
1 в противном случае.
Тогда порядок группы C.3) равен 2^+^+^^.
4. АМБИГОВЫЕ ФОРМЫ И КЛАССЫ
В этом пункте мы рассмотрим группу Л таких классов #,
что <ё2 = $, или, что одно и то же,
D.1)
Такие классы называются амбиговыми классами. По теореме 2.1
они являются классами, которые несобственно эквивалентны
сами себе.

4. Амбиговые формы и классы _ 363
В п. 3 гл. 13 было показано, что несобственный автоморфизм
8 бинарной формы ^ удовлетворяет условию
D.2)
Существует такой примитивный вектор Ь, что
Ь, D.3)
и его можно дополнить до базиса а, Ь решетки 22 с с1е1 (а, Ь) = 1.
Далее,
5а = а + оуЬ D.4)
с некоторым хю^Ъ. Заменяя а на а + иЬ с целым числом и, мы
заменим \ю на \ю—2и. Следовательно, не умаляя общности,
можно предполагать, что
до = 0 или 1. D.5)
Следовательно, / эквивалентна форме одного из следующих двух
типов:
а* 0, с], п = -4ас, D.6)
[а, а, с], О=а(а — 4с). D.7)
Мы будем называть эти формы амбиговыми формами первого и
второго типа соответственно. Таким образом, мы доказали сле-
следующую лемму:
Лемма 4.1. Всякий амбиговый класс содержит по меньшей
мере одну амбигову форму.
Заметим, что а\Э и в D.6) и в D.7). Перечислить примитив-
примитивные формы вида D.6) и D.7) тривиально. У читателя не должно
возникнуть трудностей при проверке деталей или он может по-
посмотреть доказательство леммы 6.1 ниже, где приведена более
полная информация. Для дальнейших ссылок приведем сам
результат в следующем виде.
Лемма. 4.2. Пусть %—число различных нечетных простых дели-
делителей числа О. Тогда число (примитивных) амбиговьа форм
дается следующей таблицей:

364 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
в
2) нечетно
А = 1D)
1>=4Л
й = -1D)
первого рода
2Я+1
2л+2
2А+г
второго рода
2А+1
2А+1
2
всего
2.м
2„,
2„.
Однако нас будет интересовать не столько число амбиговых
форм, сколько число амбиговых классов. Чтобы найти это по-
последнее, мы должны определить число различных амбиговых
форм в одном амбиговом классе. Для этой цели мы должны более
тщательно просмотреть рассуждение, приведенное в начале этого
пункта. Заметим сначала, что если Т—собственный, а 8—не-
8—несобственный автоморфизмы, то Т8 — несобственный автоморфизм,
и применение D.2) к нему дает
Т8Т8=1. D.8)
Ясно, что несобственный автоморфизм 8 определяет прими-
примитивный вектор Ь в D.3) с точностью до знака и потому опреде-
определяет получающуюся формулу D.6) или D.7) однозначно. Пусть
теперь 8Х—другой несобственный автоморфизм, который приводит
к той же самой форме D.6) или D.7), что и 8, и пусть ^—-со-
^—-соответствующий собственный вектор. Тогда мы должны иметь
для некоторого собственного автоморфизма Т. Но тогда ясно, что
Ъг является собственным вектором для Т8Т, так что по D.8)
С другой стороны, общий несобственный автоморфизм 82 имеет
вид
8, = Т8,
где Т пробегает группу О+ собственных автоморфизмов. Следо-
Следовательно, число амбиговых форм в данном амбиговом классе сов-
совпадает с порядком факторгруппы О+/(О+J. В этом есть смысл,
так как мы знаем, что собственная ортогональная группа 0+
абелева, причем

5. Теорема существования 365
(I) она имеет порядок 2, если О<—4;
(II) она циклическая порядка 4 или 6, если О = —4 или —3;
(III) она циклическая порядка 2, если О есть квадрат, она
является произведением циклической порядка 2 на бесконечную
циклическую, если О > 0 не является полным квадратом
(п. 3 гл. 13).
Вычисляя О+/{О+J для этих групп, получим:
Лемма 4.3. Число амбиговых форм в амбивовом классе равно 4,
если Э положительно, но не является полным квадратом; в про-
противном случае оно равно 2
Следствие. Число амбиговых классов получается делением вы-
выражения, стоящего в последнем столбце таблицы леммы 4.29 на 4
или на 2 соответственно
5. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
Пусть Ъ, как всегда, группа классов целых примитивных
форм дискриминанта О, и пусть Ър—соответствующая группа
над Ъг В п. 3 мы видели, что имеются естественные гомомор-
гомоморфизмы
* - «V EЛ)
и, следовательно,
— П
0, ВКЛ со
Теорема 5.1. Если О есть полный квадрат, то образ гомомор-
гомоморфизма E.2) есть вся группа! в противном случая образ есть под-
подгруппа индекса 2.
Доказательство. Рассуждение уже было кратко намечено
в п. 1. По теореме 3.1 ядро отображения E.2) есть в точности #2,
а потому его образ изоморфен <&/<&2.
Согласно общему свойству конечных абелевых групп, порядок
группы $/$2 равен порядку ядра отображения # —► #2 группы %
в себя. Это ядро есть группа Л амбиговых классов, порядок
которой задается следствием леммы 4.3. Таким образом, мы знаем
порядок образа отображения E.2).
Порядок всей группы
П *„ E.3)
р, вкл в»
задается леммой 3.4. Происходит небольшое чудо: порядок груп-
группы E.3) оказывается равным порядку группы А в случае, если О
есть полный квадрат, и удвоенному порядку группы Л в про-
противном случае. Это завершает доказательство.

366 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
Следствие. Для каждого р (включая оо) пусть [р — целая при-
примитивная р-адическая форма дискриминанта й. Предположим,
что
П *,(/,) = 1, E.4)
ВКЛ. оо
где ср—-инвариант Хассе— Минковского. Тогда существует гло-
глобально целая форма /, которая Ър-эквивалентна /р для каждого р.
Доказательство. Мы знаем, что условие E.4) необходимо.
Условие E.4) определяет подгруппу группы E.3), которая имеет
индекс 2, если О не есть полный квадрат, и совпадает со всей
группой в противном случае. Эта подгруппа содержит образ ото-
отображения E.2), а потому должна совпадать с ним.
Отметим, что это доказательство не использует формулу про-'
изведения для символа норменного вычета, или, что эквива-
эквивалентно, квадратичного закона взаимности. В действительности
теорему 5.1 можно использовать для доказательства квадратич-
квадратичного закона взаимности („второе доказательство Гаусса", Гаусс
A801), 257—262; см. также Дирихле—Дедекинд A863), допол-
дополнение X). Мы дадим только один случай. Для этого нам пона-
понадобится
/--1_\ I +1* если Р=1(тос14),
\ Р / I—1, если р=—1(тос14). * ' '
Это легко доказать с помощью квадратичных форм; однако в лю-
любом случае это почти непосредственное следствие определений,
так что мы будем предполагать E.5) известным. Докажем теперь
равенство
где г, 5—простые числа, удовлетворяющие
Г5ЕЕ=5=_1 (той 4). E.7)
Рассмотрим формы дискриминанта 4г§. Так как г$== 1 (той 4),
то локальная группа %р тривиальна, кроме случаев р = г, /7 = 8,
когда она имеет порядок 2. Для р = г, 5 обозначим через %р
нетривиальный характер на *§р. Класс эквивалентности над Ъг
формы / задается равенством
где а —любая г-адическая единица, представимая формой ^ над 2Г\
определяется аналогично.

5. Теорема существования 367
Форма
имеет характеры
%г (/о) = X, (/о) =
По E.5) и E.7) форма —/^ имеет характеры
Хг ( /о)== %$ ( /о)^ *•
Из теоремы 5.1 следует, что
%ЛП = %Л!) E-8)
для любой формы / с п = 4г8, и в частности для
/ = [Г, 0, -5].
Здесь
И
() E.10)
Теперь E.6) следует из E.8), E.9) и E.10).
Отметим явно из-за его важности следующее приложение ре-
результатов этого пункта к вопросу о рациональной эквивалент-
эквивалентности:
Лемма 5.1. Пусть 0^0*. Для каждого р, включая оо, пусть
задана (Хр-форма цр(х, у) дискриминанта О. Предположим, что
инвариант Хассе — Минковского ср (§р) равен +1 для всех р,
кроме конечного числа, и что
П ср(ёр) = 1.
р
ВКЛ. оо
Тогда существует 0,-форма дискриминанта Ю, которая эквива-
эквивалентна форме §р над О.р для каждого р.
Доказательство. Для каждого р мы можем заменить §р фор-
формой дискриминанта О, которая 0^-эквивалентна ей. Если @р эк-
эквивалентна форме
то мы и заменим цр на #0. Это заведомо можно сделать, если
рфоо, р\2В и ср(др)=+1. В частности, имеется только ко-
конечное число р, для которых 8рфЦо. Мы можем найти такое
целое число т Ф 0, что форма
/Л*, У)*=1П8р(х, У)

368 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
2^-цела и примитивна для каждого р. По следствию теоремы 5.1
существует глобальная форма /, которая 2^-эквивалентна форме /^
для каждого р. Тогда форма т"/^^ обладает требуемым свой-
свойством.
6. 2-К0МП0НЕНТА ГРУППЫ КЛАССОВ
И УРАВНЕНИЕ ПЕЛЛЯ
Уже полученные результаты дают способ исследования 2-ком-
поненты группы классов #. Мы имеем следующую информацию:
A) группа Л амбиговых классов состоит в точности из эле-
элементов порядка 2 в % вместе с главным классом (В (см. п. 4);
(И) класс # имеет вид # = #1 в точности тогда, когда #
лежит в главном роде (теорема 3.1).
Простейшим случаем является тот, когда <§ является единст-
единственным классом из Л, лежащим в главном роде. В этом случае
# не может содержать элементов порядка 4 и Л должна быть
полной 2-компонентой группы %.
Если этого не происходит, то найдется % Ф<В в Л, который
принадлежит главному роду. Тогда
F.1)
с некоторым %х. Следовательно, #, имеет порядок 4. Если #2 есть
одно из решений уравнения F.1), то общее решение имеет вид
» F.2)
где #3 пробегает элементы порядка 2 из $, т. е. элементы из Л.
Если ни один из элементов F.2) не принадлежит главному роду,
то % нельзя записать в виде % = Чэ\. Если же среди элементов
F.2) есть элемент из главного рода, то такое #4 существует: оно
имеет порядок 8, и мы можем продолжить процесс.
В действительности, однако, рассуждения предыдущих пунк-
пунктов дают нам не столько группу Л амбиговых классов, сколько
множеств 38 амбиговых форм. Оказывается, что если мы пытаемся
работать с 93, а не с Л, то мы получаем информацию не только
о 2-компоненте группы Й, но и об уравнении Полля
Это не удивительно, так как уравнение Пелля определяет авто-
автоморфизмы форм дискриминанта О, а они играли важную роль
в рассуждениях п. 4.
Ключевую роль играет F.3)
Лемма 6.1. Множество 33 амбиговых форм можно снабдить
структурой абелевой группы показателя 2 таким образом, что
отображение
— Л, F.4)

6. 2-компонента группы классов и уравнение Пелля 369
сопоставляющее форме ее класс эквивалентности, является груп-
групповым гомоморфизмом.'
Доказательство^. Из типографских соображений удобно видо-
видоизменить наши обозначения для амбиговых форм и писать
а) = [а, 0, с], О = — 4ас, F.5)
= [а, а, с], О — а (а — 4с). F.6)
Главную форму обозначим через е, так что
Г|,0, _±о]=/A), О четно
1, 1, ±A_О)]=^A), О нечетно
Это будет единичный элемент для группового закона на 38. Опе-
Операцию на 33 мы будем обозначать звездочкой *.
Так как мы хотим, чтобы 33 имела показатель 2, то должно
быть
е9 F.8)
= е F.9)
для всех тех а, для которых /(а) или §(а) определены. Далее,
возьмем
/(*!)•/(<*•)=*/(я.), F.10)
где
ала2=*а9{п.о. д. (а*, а2)}2. F.11)
Дальнейшие правила для * различны в зависимости от 2-адиче-
ского характера О, и мы должны рассмотреть ряд случаев:
A) О нечетно, так что О^1 (той4). В этом случае нет ам-
амбиговых форм типа [(а). Мы имеем
*(!) = *; F.12)
определим
8 (Ъ)* 8 (<**)= в {<**)* F-13)
где аи а2, а3 связаны соотношением F.11).
(и) О = 4й, ^=1D). В этом случае всякий элемент из
имеет тип /(а), так что формул F.10) достаточно для опреде-
определения *.
A11) О = 4^, й = — 1 D). Элементы из ^ имеют тип / (а) и § Bа),
где а нечетно. Определим * следующей таблицей:
1) Несколько искусственное доказательство, приводимое ниже, мотивиро-
мотивировано умножением соответствующих идеалов (ср. замечания).

370
Гл. 14, Композиция бинарных квадратичных форм
/К)
Да,)
где
аха2 = а8 {н. о. д. (аи а2)}2.
F.14)
(IV) 28|О, но 2б-^О. В этом случае всякий элемент из 33
имеет тип /(а), так что формулы F.10) достаточно.
(V) 26|О, пусть п--=22+Ю19 где 2|О и б>3. Амбиговые
формы имеют вид /(а), /B6а), ё"B2а) и ё"B6а), где а нечетно.
Определим * таблицей
Д«2)
Д2Ч)
9B2«2)
9B%)
/К)
/к>
Д2в«
&**
9B%
з)
\)
№\)
Л2\)
Д«э>
*
дB ос^)
дB2й
9B4
дB°а
Д«з)
Д2<а
•
з)
',)
9B'
д&
9(>
Д2
Л*
з)
где а4, а2, а8 связаны соотношением F.14).
Легко проверяется, что так определенная операция * является
групповым законом и что F.4) является групповым гомоморфиз-
гомоморфизмом. Это завершает доказательство леммы 6.1.
Исследуем теперь ядро отображения F.4). Форма Н^_Ш лежит
в ядре, если она эквивалентна главной форме е, т. е. если Н пред-
представляет 1. Имеется один очевидный элемент в ядре, а именно
/(-4) =
-п, —О,-1.A—Г))],
■й, 0, 1],
F.15)
так как
2)=1, /(—<0@, 1)=1. Заметим, что
F.16)
F.17)
и легко проверить непосредственно, что /(а)~/(а'),

6. 2-компонента группы классов и уравнение Пелля 371
Когда О < 0 (т. е. формы определенные), лемма 4.3 утверж-
утверждает, что ядро отображения ЗВ —* Л имеет в точности порядок 2,
и если О Ф—4, то из теории приведения бинарных форм нетрудно
вывести, что е и е' являются единственными элементами из 33',
которые могут представлять 1 Оставшийся случай О = —4 ано-
аномальный; тогда е^е\ но тем не менее ядро имеет порядок 2.
Когда О > 0, но не есть полный квадрат, лемма 4.3 утверж-
утверждает, что в ядре имеются два элемента помимо е и е'. Мы можем
получить их из решения уравнения Пелля
F.18)
Из теории автоморфизмов бинарных форм мы знаем, что это урав-
уравнение имеет решения, и все решения с / > 0 являются в некото-
некотором смысле „степенями" фундаментального решения.
Итак, предположим, что ^, и является целым решением урав-
уравнения F.18). Тогда
Ц—2), F.19)
где ( + 2, I—2 могут иметь только 1, 2 или 4 в качестве наи-
наибольшего общего делителя. Рассмотрим их разложения в свете
F.19); будем различать три случая.
A) г нечетно, так что Оии нечетны. Тогда
где
Исключая 1У получим
о^;—ад=4.
Так как иги2 нечетны, то можно положить
и тогда
1Ф, и2).
(И) * е= 2 (той 4). Тогда
где
X — У = 1,
Предположим сначала, что п четно, так что О = Ы. Тогда
=йхи1, У = й2и\ при целых числах Лъ й2, ии и2 с йхA2=^й и
Если же О нечетно, то Х=О1и|, У = О2и\, О1п2 = О, и тогда
х—и2, 2и2).

372 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
(Ш) *5Е== 0 (той 4). Тогда
где X, V нечетны и
X—У = 2,
Если С = 4й четно, то
так что й = ^2 = 3 (той 4). Положим щ — и2 + 2а. Тогда
Если же О нечетно, то Х — п^и У = О2и1 с О = Л1/J, и тогда
Это—противоречие, так как нечетный дискриминант удовлетво-
удовлетворяет О= 1 (той 4).
Резюмируем полученное до сих пор: всякое решение уравне-
уравнения Пелля F.18) приводит к представлению числа 1 некоторой
формой к €.33) которая, следовательно, лежит в ядре отображе-
отображения 33—+ А. Это рассуждение проходит и в обратную сторону,
притом даже проще (детали оставляются читателю): представление
числа 1 формой к ^ 33 дает решение (/, и) уравнения Пелля.
Далее непосредственно проверяется, что если к = е или к = е\
то (/, и) есть „квадрат" другого решения уравнения Пелля. Сле-
Следовательно, если (/, и) не есть „квадрат", например если это
фундаментальное решение, то к—элемент ядра отображения
33 —* Л, отличный от е и е'. Таким образом, на самом деле мы
передоказали лемму 4.3 и вместе с тем получили новую инфор-
информацию.
Теперь мы можем обратить алгоритм, описанный в начале
этого пункта. Если мы не знаем решения уравнения Пелля или
не хотим его использовать, то мы могли бы работать с 33 вместо Л.
Если к б 33, то мы можем последовательно найти, существуют ли
классы <ёт с условиями
, /И =
Если т может быть взято сколь угодно велико, то к лежит в
ядре отображения 33 —♦ Л. Если же нет, то мы получим элементы
из 2-компоненты группы #, и трудоемкое, но простое исследо-
исследование показывает, что можно вычислить точную структуру 2-ком-
2-компоненты.
Мы не будем обсуждать эту процедуру вообще, а рассмотрим
конкретный пример. В действительности удобнее работать с 33Х>
факторгруппой 33 по подгруппе {е, е'\ порядка 2. Если О > О

• 6. 2-компонента группы классов и уравнение Пелля 373
не есть полный квадрат, то ядро отображения ЗВХ —* Л имеет
порядок 2.
Наш пример следующий:
где г, 5—простые числа и
г, 5 = 1 (той 4).
Единственными нетривиальными локальными группами являются
группы, соответствующие р — г и р = 8. Следовательно, имеются
два рода, которые мы обозначим через 8 = 4-1 и е =—1. Если
а взаимно просто с г и представимо классом #, то % принадле-
принадлежит роду е, где
(т)-
и аналогично с 5 вместо г (ср. E.8)).
Имеется восемь форм в Э& и четыре класса смежности по
модулю {е, е'\. В качестве их представителей можно взять
/A)-[1,0, -гз], F.20)
= [-1,0,г5], F.21)
Г(г)~[г,О9 -5], F.22)
-[з,0, -г]. F.23)
Сразу же следует, что группа Л имеет порядок 2, так что
*& содержит только один элемент точного порядка 2; следовательно,
2-компонента группы *& циклическая.
Так как
то форма /(—1) всегда лежит в главном роде. Заметим далее,
что по квадратичному закону взаимности
Предположим сначала, что г] — —1. Тогда ?(г) и /E) обе
принадлежат роду 8 = —1. Следовательно, они не могут быть
в ядре. Так как ядро имеет порядок 2, то форма [(—1) должна
быть в ядре. В частности, должно быть целое решение уравнения
х2—гзу2 = —1. Далее, 2-компонента группы классов *& имеет
порядок точно 2.
Предположим теперь, что т)=-(-1. Тогда все формы из Зд
принадлежат главному роду. В частности, существует целое
число до, взаимно простое с 2г5, и целые числа х, у, для которых
(г) (х,у) = гх*—зу2 == 1ю\ F.24)

374
Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
Следовательно, /(г) лежит в квадрате класса %г формы
у, Ьу с]
с некоторыми Ь, с. Класс #, не определен однозначно, а род
определен однозначно: ибо любой другой кандидат должен иметь
вид #г#!, где <ё1—амбиговый класс, а значит, из главного рода.
Характер е для <вг есть
Чт)-(т)-
Покажем теперь, что е может быть описан исключительно
в терминах г и 8. Для этого мы должны ввести так называемый
«условный биквадратичный символ». Если а есть квадратичный
вычет простого числа /?=1(той4), то будем писать
а , |
если существует решение Ь сравнения а = й4 (той г)\ в противном
случае
Ясно, что
г
в том смысле, что если два из символов определены, то опреде-
определен третий и справедливо указанное равенство.
В этих обозначениях имеем
— 5у2
Вычислим теперь (~). Пусть ц—любой простой нечетный дели
тель у. Тогда ( — Ь-= 1 по F.24), а потому (-2Л = 1, по квадра
тичному закону взаимности. Следовательно,
где 2г есть точная степень двойки, делящая у.
Теперь мы должны рассмотреть несколько случаев,
ложим, сначала, что г= 1 (той 8). Тогда
Предпо
и потому
F.25)

7. Исключение теоремы Дирихле 375
Пусть теперь г = 5(гтюс18). Тогда
С другой стороны, если г = 5(гтюс18), то / = 1, что следует, если
F.14) взять по модулю 8. Следовательно, опять выполняется
F.25).
Резюмируем достигнутое: форма /(г) лежит в классе Чэъг с не-
некоторым #г. Род %г не зависит от выбора %г и имеет характер
Аналогично / (в) б #1 для некоторого класса <ё3 с характером
Рассмотрим теперь различные возможные значения для ег, е5.
Случай (\) гг = г3 = —1. Тогда ни /(г), ни /(з) не лежат в
классе #4, в частности, они не могут быть в ядре. Следова-
Следовательно, ^(—1) должна быть в ядре, и уравнение х2—згу2 — —1
должно быть разрешимо. 2-компонента группы % циклическая,
порядка 4.
Случай (и) ъгг8~—1, скажем ег —+1, е5 = —1. Тогда
/ (г) ^ #4 с некоторым #, но / E) не лежит в четвертой степени
класса. Но /A), }(—1), /(г), /(з) попарно эквивалентны, так
что /A), /(г) должны быть в ядре отображения 33 —► Л, а /(—1),
/(з) не принадлежат ядру. В частности, уравнение гх2—5у2=1
разрешимо, а уравнение х2 — г$у2 = —1 не разрешимо. 2-компо-
2-компонента группы % циклическая, порядка 4.
Случай (ш) 8г=^85 = + 1. Здесь обе /(г) и /(8) в классах
при некоторых <ё. Мы не имеем информации о ядре отображения
33 —* Л. 2-компонента группы % циклическая, порядка по мень-
меньшей мере 8.
7. ИСКЛЮЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДИРИХЛЕ
Как уже было отмечено ранее, представляет методологический
интерес развить теорию квадратичных форм без использования
теоремы Дирихле о существовании простых чисел в арифмети-
арифметических прогрессиях.
Эта теорема была использована в двух местах:
A) В теореме 1.3 гл. 6. Здесь теорема Дирихле использова-
использовалась только для бинарных форм, и лемма 5.1 представляет собой
в точности утверждение той теоремы в этом случае.

376 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
(и) В доказательстве случая п = 4 сильного принципа Хассе
(п. 5 гл. 6). Мы покажем, что этот случай может быть выведен
из слабого принципа Хассе. Так как последний может быть до-
доказан без использования теоремы Дирихле (п. 11 гл. 6), то это
и даст то, чего мы хотим.
Итак, пусть /(хь ..., х4)—регулярная квадратичная форма
с коэффициентами из О, которая изотропна над каждым 0-,
включая /?=оо. Мы должны показать, что / изотропна над B.
По предположению, для каждого р существует такая бинарная
форма ц , что / эквивалентна над С^ форме
где Я—гиперболическая плоскость. Тогда
ВКЛ. оо
так как
ср (/) = ср (ёр) ср (Я)
Следовательно, по лемме 5.1 существует глобальная форма
которая эквивалентна §р над каждым (Хр.
Рассмотрим форму от шести переменных
И (х- х ) ?
Над каждым 0^ форма Н эквивалентна сумме трех гиперболи-
гиперболических плоскостей. Из слабого принципа Хассе (в формулировке:
элемент из глобальной группы Витта, который всюду локально
тривиален, должен быть тривиальным) следует, что Н глобально
является суммой трех гиперболических плоскостей. Это означает,
что имеется шесть линейных форм 1и ..., 1% от хи ..., х6 с ра-
рациональными коэффициентами, для которых
а (Х-^у . . ., Хв) =* 1у
Теперь мы можем решить три однородных уравнения
9 а2, ав, а4, 0, 0) =* 0, / = 1, 2, 3,
в рациональных числах аи •.., я4» не все из которых равны
нулю. Тогда
, ..., а4, 0,
как и требовалось. (По поводу варианта этого доказательства,
использующего геометрию чисел вместо слабого принципа Хассе,
см. Касселс A959а).)

Замечаний
ЗАМЕЧАНИЯ
В пп. 2—5 мы следовали Гауссу A801), за исключением того,
что вместо его определения композиции мы использовали экви-
эквивалентное определение, принадлежащее Дирихле A851) (ср. Ди-
Дирихле—Дедекинд A863), Полл A948)). Гаусс называет класс #
формы / (х, у) композицией классов #у, содержащих формы /у,
1, 2, если существуют такие целые билинейные формы
(х1у Уъ х2> Уг), * {хи У\\ Х2> У2)>
что тождественно
г Теория композиции над 2 эквивалентна теории идеалов в коль-
кольцах целых алгебраических чисел размерности 2 над 2. Кратко
наметим эту связь, предполагая, что читатель знаком с алгебраи-
алгебраической теорией чисел. Для простоты мы будем рассматривать
только фундаментальные дискриминанты1). (Более полное изло-
изложение см. Джоунс A949) или Джоунс A950). По поводу обоб-
обобщений см. Капланский A968).)
Пусть Д=тМ—свободное от квадратов целое рациональное
число; положим
Кольцо целых чисел / поля 0F) имеет 2-базис 1, со, где
I
— I у(+)» если Л =+1 (той4),
6 в противном случае.
Тогда
Д
есть фундаментальный дискриминант.
Пусть ^—идеал в / с 2-базисом а, р. Тогда
=/7
где N — норма расширения О (б)/0, форма /(х,у) имеет дискри-
дискриминант О и / > 0 есть норма идеала У. Если мы заменим а, Р
на другой 2-базис идеала «/, то / заменится на форму, собст-
собственно или несобственно эквивалентную ей.
Если ^^/, то идеал X./ имеет базис ?^а, ЭД5 и потому приво-
приводит к форме ±Л Мы будем говорить, что два идеала ^и У2
эквивалентны в широком смысле, если существуют такие к19
По поводу определения см. пример 1,

378 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
(не нули), что
Приведенное выше рассуждение показывает, что тогда ^и ^2
приводят к одному и тому же классу в широком смысле форм ±/.
Наоборот, предположим, что базисы аи ^ и а2, |32 идеалов
и У2 приводят к одной и той же квадратичной форме /, т. е.
-уу (*,*/),
=*М(х, у),
/, /2—нормы ^^^ У2. Тогда вх =^р1/сх1 и 62 — |32/а2 являются
корнями уравнения /F,—1) = 0. Таким образом, имеются две
возможности. Первая состоит в том, что 61 = 62, в этом случае
^19 У2 эквивалентны в широком смысле, как только что было
определено. Вторая возможность, что 62 сопряжено с 6Ь а тогда
У2 эквивалентно в широком смысле с идеалом, сопряженным к ^1.
Идеал У кольца / имеет базис специального вида
— т -\- псо,
где /, т, п^2 и />0, п>0 (здесь п\1,п\т, так как /со ^ У,
сор б У, но нам это не понадобится). Следовательно, У опреде-
определяет не только класс в широком смысле, но и класс в узком
смысле (= собственный) форм. Далее, можно показать, что классы
в узком смысле, определенные ^1, У2, совпадают, если
(К) N (К) > 0. (§§)
Мы будем говорить, что идеалы Уг-, У2 эквивалентны в узком
смысле, если выполняются условия (§), (§§). Приведенное выше
рассуждение устанавливает взаимно однозначное соответствие
между собственными классами квадратичных форм и узкими
классами идеалов. Определим произведение У — УгУ2 двух идеалов
^1, У2 как идеал, порожденный у^, где У/бУ/, /=1, 2. Тогда
форма /, соответствующая У, есть композиция форм /1э /2, соот-
соответствующих ^и у2.
Брандт показал, что определение Гаусса композиции может
быть расширено на некоторые классы кватернарных форм с квад-
квадратными определителями. Это связано с идеалами в кольцах
обобщенных кватернионов; однако все значительно сложнее, чем
в бинарном случае: например, классы не образуют группы,
а только „группоид" (Брандт A924, 1925, 1925а, 1928) и обзор:
A943). По поводу обобщений см. Капланский A969)).
Отсутствие дальнейших обобщений композиции для произволь-
произвольного п связано с теоремой Гурвица A898, 1923) (см. также Экман
A943)). Чтобы объяснить ее напомним, что для п~2, 4, 8 су-

Замечания379
ществуют такие билинейные формы Ху (у, я), 1 ^ /' ^ п, от пере-
переменных у =(*/!, ..., уп), 2 = (гь ..., гл), что
Формулы для п — 2,4 задаются правилами умножения в 2 [г] и
в кватернионах, а для п = 8—в неассоциативной системе, извест-
известной как октонионы (октавы), или числа Кели. Теорема Гурвица
утверждает, что ни для какого другого значения п > 1 не может
существовать билинейных форм X^ с вещественными коэффициен-
коэффициентами, так чтобы выполнялось (^). Более того, топологическая
теорема Адамса об отображениях с хопфовским инвариантом 1
утверждает, что E) не может иметь места при пф2, 4, 8, даже
если мы разрешим для Х/ любые непрерывные функции от веще-
вещественных векторов у, г.
Было тем более удивительно, когда Пфистер A965) создал
теорию мультипликативных форм, которую можно рассматривать
как частичное обобщение композиции и которая имеет важные
следствия для теории квадратичных форм над общими полыми
(Пфистер A966), см. также Лам A973), Лоренц A970) или Шарло
A969)). Например, очень частным следствием теории Пфистера
является то, что для каждого п = 2т и для любого поля к множе-
п
ство ненулевых значений, принимаемых формой 2**, есть группа
относительно умножения.
Имеется весьма значительный объем исследований по теории
и численным данным для числа классов и группы классов бинар-
бинарных форм, большая часть которых изложена на языке квадра-
квадратичных числовых полей. Мы приведем здесь только несколько
замечаний и ссылок и рассмотрим сначала определенные формы.
(По поводу формул для числа классов см. приложение Б, п. 2.)
Гаусс построил обширные таблицы для числа классов клас-
классически целых положительных форм данного определителя; они
воспроизведены во втором томе его сочинений (Гаусс A870)).
По поводу таблиц, дающих групповую структуру, см. Вада
A970). Шенксом A969) была разработана вычислительная про-
программа нахождения группы классов для очень больших положи-
положительных дискриминантов; он использовал ее и как эффективное
средство для разложения больших целых чисел на множители,
и для нахождения групп классов специального типа; см. также
Бьюел A977).
Зигель A935а) показал, что число классов Н(п) дискрими»
нанта О стремится к оо при О —* — оо. (По поводу количествен-
количественно обобщения щ поля алгебраические адсел? известного

380 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
теорема Зигеля — Брауера, см. Старк A975)). Единственными
О < 0, для которых Н(Г))--=>\У являются
—3, —4, —7, —8, —11, —19, —43, —67, —163,
—12, —16, —28, —27
(расположенные в верхней строке суть фундаментальные дискри-
дискриминанты), см. Старк A967) и Бейкер A975), гл. 5. Имеется 101
известное значение О, для которых есть только один класс в каж-
каждом роде. Предполагается, что других О нет (ср. Бриггс и Човла
A954), Гроссуолд A963), Бейкер и Шинцель A971)). Имеется 65
из этих О, которые имеют вид О = 4е, т. е. которые соответст-
соответствуют классически целым формам. Значения е являются удобными
числами Эйлера (питеп !с1опе1), который использовал их для
разложения на множители больших целых чисел (ср. Мэтьюз
A892), гл. 9).
Имеется обширная информация о неопределенных бинарных
формах в таблицах Инса A934). Он дает не только группу клас-
классов и фундаментальное решение уравнения Пелля, но и все при-
приведенные формы вместе с их эквивалентностями. Существует много
простых чисел р, для которых число классов равно 1, и даже
численные данные согласуются с гипотезой, что их бесконечно
много (см. Шенкс A969) и Хенди A975)). В литературе есть не-
несколько таблиц различного объема и точности, в которых дается
разложение в непрерывную дробь |/"л Для целого числа п, а
иногда также и =- (|/^м -+-1) для /2=1 (тос! 4). В некоторых слу-
случаях указаны фундаментальные решения уравнения Пелля. Чет-
Четность длины периода определяет, имеет ли решение уравнение
Пелля с —1 (ср. п. 3 гл. 13). Похоже, что самыми обширными
таблицами являются Патц A955) и Кортум и Мак-Нил A968);
обе дают непрерывные дроби для \Гп при и^ 10000, а последняя
дает и решения уравнения Пелля. С помощью современных ЭВМ
такие таблицы легко строить.
Для любого заданного п существуют как положительные, так
и отрицательные дискриминанты, для которых число классов де-
делится на п (Нагелль A922), Ямамото A970) и Вейнбергер A973)).
Дискриминант О называется иррегулярным, если /^-компонента
группы классов нециклична для некоторого рф2. Такие дискри-
дискриминанты существуют, как положительные, так и отрицательные
(ср. Шенкс A969) и Нилд и Шенкс A974)).
Пункт 6. Изложение здесь следует Редей A953а), где рас-
рассматриваются 2-группы классов квадратичных полей; ср, также
Редей A953). По поводу символа ограниченного биквадратичного

Примеры , 381
вычета см. Фрёлих A959). По поводу современных работ о 2-ком-
понентах групп классов см. Шенкс A971а), Бауер A972) и
Хассе A975). Спинорные роды для бинарных форм являются эле-
элементами из #/#4; см. Эстес и Полл A973).
ПРИМЕРЫ
1. Назовем целое число пфО дискриминантом, если О =
или 1 (той 4). Дискриминант О называется фундаментальным
дискриминантом, если он не представим в виде О = О062, где
О0—дискриминант и 62> 1.
A) Показать, что всякий дискриминант О может быть одно-
однозначно записан в виде О = О062, где Эо—фундаментальный дис-
дискриминант.
(и) Показать, что ±8, —4, (—1)(р-1)/2р, где р—нечетное
простое число, являются фундаментальными дискриминантами и
что всякий фундаментальный дискриминант однозначно предста-
представим в виде произведения различных элементов этого множества.
2. Пусть О—дискриминант; определим символ Кронекера ( = )
следующим образом.
(а) Если р нечетно и р\В, то
р) \р
где справа стоит обычный символ квадратичного вычета ( =
если б б (ОрJ'» = —1 в противном случае),
(р) Если 2|О, то
если О= 1 (той 8),
если й = 5 (той 8).
(у) Если Ъ = Ц/?р (р) взаимно просто с О, то
A) Показать, что если р\Т), то р представимо некоторой
целозначной формой /(л:, у) дискриминанта п тогда и только
р (
тогда, когда (в) = +1
О нечетно,
(И) Если О нечетно, то показать, что
где справа стоит обычный символ Якоби

382 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
A11) Показать, что если &1 г== &2 (той #) и Ь±9 Ь2 взаимно просты
с Э% то
(IV) Распространить определение (у] на Ь < 0, пользуясь пе-
периодичностью по тос^. Показать, что
Б \ I + 1, если ^ > О,
^" — 1, если Я<0.
Указание. Использовать квадратичный закон взаимности.
Иначе, использовать формулу произведения для гильбертова сим-
символа норменного вычета, чтобы показать, что
р
3. Определить (■=), как в предыдущем вопросе, если
и положить ( «*» 1 =й 0, если р | ^. Пусть / (х, у)—примитивная
целозначная форма дискриминанта В. Показать, что число таких
пар целых чисел х, у(тойр), что /(*, у) взаимно просто с р, есть
[Замечание. Случай р=*2 не исключается.]
4. Пусть ^<0—дискриминант, и пусть ^—такое простое
число, что Г—Лв=-(-1. Показать, что число Н(Р) классов форм
определителя и удовлетворяет
[Указание. Пусть @(х, у)—форма дискриминанта п, представ-
представляющая <7« Если § имеет порядок М в группе классов, то дм
представимо формой /0, заданной формулой A.11), и потому
1
5. A) Пусть Л^ произвольно. Показать, что существует дискри-
дискриминант О < 0, группа классов которого содержит элемент по-
порядка #.
(Н) Показать, что в качестве Р цощпо р§ять
й дискриминант^

Примеры
[Указание. Выбрать целое число с > 1 и целое число М > О
с Ы\М. Выбрать О так, чтобы см было представимо формой
/0 (х, у) из A.11), скажем /0(е, 1) = см для некоторого е. Тогда
с представимо некоторой формой § дискриминанта О. Показать,
что с, Му е можно выбрать так, чтобы порядок формы в группе
классов делился бы на N. Для (и) выбрать М четным.
Замечание. Результаты примеров 4 и 5 принадлежат Нагеллю
A922). Пример 5 переоткрывался несколько раз с различными
вариантами доказательств. Результат, соответствующий примеру 5
для О > О, также справедлив, см. Ямамото A970) или Вейнбер-
гер A973).]
6. Пусть / (х, у) = ах2 + Ьху + су2 — примитивная целозначная
форма дискриминанта й = Ь2 — 4асфО. Показать, что для того,
чтобы / принадлежала главному роду, необходимо и достаточно,
чтобы она была примитивно представима формой
У> г)=у2—хг.
Последнее условие означает, что существует такой базис г, 8, I
23, что
[Замечание. Это частный случай обобщения п. 6 гл. 9 на пред-
представления форм формами.
Указание. Если ($) имеет место, то показать, что § представ-
представляет 1 над 2р для каждого р. Обратно, если / принадлежит глав-
главному роду, то показать, что найдутся такие /, т, п^2, что опре-
определитель й(С) формы
С (л:, у, г) —^ ах2 + Ьху + су2 + 1хг + туг + пг%
удовлетворяет
„1@)-—/(т, — 1)
Показать, что С цело эквивалентна &]
7. В обозначениях предыдущего примера пусть
1» 52» 5з)»
^ 1 А 3 12
Н (х, у) = егх2—е2ху + е3у2.
(I) Показать, что Н является примитивной целозначной фор-
формой дискриминанта О.
(и) Пусть Т — целый автоморфизм формы #, заданный форму-
формулой E.6) гл. 13 с а, |3, у, 6^2 и К = аЬ—$у=: + 1. Положим
Показать, что
(** Ц, у).

384 Гл. 14. Композиция бинарных квадратичных форм
Пусть Л*—форма, построенная из г*, 8* так же, как Н строилась
из г, 8. Показать, что Н и Л* собственно цело эквивалентны и что
всякая форма, собственно эквивалентная И, имеет вид Н* при
подходящем Т.
A11) Пусть #, ® — классы форм /, Н соответственно. Пока-
Показать, что # = ®~2.
[Замечание. Это дает другое доказательство теоремы 3.1
(с %>% = <&)-1). Аналог для классически целых форм несколько
менее элегантен (см. Гаусс A801), аг1. 286). Рассуждение дает
также способ нахождения ®, который хорошо приспособлен для
машинного вычисления; см. Шенкс A971а) по поводу эффектив-
эффективного алгорифма для определения 2-компоненты группы классов.]
[Указание. Части A) и (и) могут быть проверены прямым вы-
вычислением. Для части A11) сначала нужно добиться, чтобы ^бы-
^было взаимно просто с О с помощью подходящего Т из (и), а потом
положить г3 — 8г = 0, заменяя / на форму, собственно эквивалент-
эквивалентную ей. Из явного выражения для Н (х, у) следует теперь, что
53| н. о. д. (е1У О), а потому $3 = ±1. Форма к(х, у) = к(х, —у) ле-
лежит в классе З). Из явного выражения для /(я, у)к(х, у) в
терминах г2, $2, 53 видно, что композиция класса формы к с со-
собой дает класс формы /. Следует отметить, что гауссово опреде-
определение композиции дает более простое доказательство: достаточно
проверить, что форма
Г (X, -У) = (г2Х-82УУ-(ггХ -8гУ)(г9Х-83У)
превращается в к(х, у)И(%, г\) при подстановке
X = 83х% + 52 (**) + У%) + ЧУЧ\ у = г9x1 + г2 (хц + у%) + ггуг\.]

Приложение А
ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ
I. ВВЕДЕНИЕ
В этом приложении мы рассмотрим некоторые аспекты теории
положительно определенных целых форм, которые выпадают из
общего контекста книги. Эти аспекты взаимосвязаны, и здесь мы
приведем ситуацию, противоположную той, которая существует
для неопределенных форм. Чтение этого приложения предпола-
предполагает знание первых 9 глав и части гл. 11.
2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Пусть Л есть 2-решетка в некотором регулярном Ц-квадратич-
ном пространстве V, ф размерности я. Любая подгруппа Г ре-
решетки Л является свободной абелевой группой от т^п образу-
образующих и потому является решеткой в т-мерном подпространстве
Ш, натянутом на Г. До сих пор мы говорили о Г как о подре-
шетке Л, только если т = п. Однако в этом приложении удобно
расширить определение подрешетки и на случай т < п. Мы бу-
будем говорить, ч-Го Л является ортогональной суммой подрешеток
1\, Г2, если
A) Л есть прямая сумма 1\ и Г2 как аддитивных групп (т. е.
Г состоит только из 0, и всякий элемент Ь^Л представим
в виде Ь = ЬХ + Ь, Ь/^Г,.).
(и) Любой элемент из 1\ ортогонален любому элементу из Г2.
Если решетка Л не может быть представлена в виде ортого-
ортогональной суммы двух подрешеток Г/=^Л, то Л называется нераз-
неразложимой. Например, неразложимой будет бинарная решетка с ба-
зисом Ьи Ь2 и
х2Ь2) = х\ + хгх2 + х\.
(Почему?). Ясно, что если решетка Л разложима, т. е. не явля-
является неразложимой, то она может быть разложена в ортогональ-
ортогональную сумму двух или более неразложимых подрешеток. В неопре-
неопределенном случае это разложение не обязано быть однозначным.
Например, пусть Л—бинарная решетка с базисом ЬХ| Ь2, и пусть
Ф
13 №156

Я86 Приложение А. Определенные формы
Тогда Л является ортогональной суммой 1-мерных подрешеток
Га, Г2, натянутых на Ьи Ь2 соответственно. Но Л является так-
также ортогональной суммой Т1\, ТГ2, где Т—любой автоморфизм Л.
Аналогичное рассуждение показывает, что ортогональное разло-
разложение разложимой решетки Л никогда не может быть однознач-
однозначным, если Л неопределена, кроме, возможно, очень частного
случая, когда п = 2 и ц) изотропна.
Однако для определенных форм ф имеет место следующая те-
теорема. Она принадлежит Эйхлеру, но приводимое элегантное
доказательство взято у Кнезера A954).
Теорема 2.1. Пусть Л — решетка в положительно определенном
0,-квадратичном пространстве V, ф. Тогда ортогональное раз-
разложение А в сумму неразложимых подрешеток единственно.
Доказательство. Умножая, если нужно, ф на подходящее це-
целое число, можно предполагать, что ф принимает на Л целые
значения.
Рассмотрим сначала разложения векторов решетки Л. Если
Ь,, B.1)
где
, Ф(ЬЬ Ь2) = 0, B.2)
то вектор Ь С Л называется разложимым. В противном случае Ь
неразложим.
Если разложение B.1), B.2) существует, то
и потому
Ф(ЬУ)<Ф(Ь), /=1, 2.
Легкая индукция показывает, что всякий элемент Ь € Л предста-
представим в виде суммы неразложимых векторов Ъ^. Не утверждается,
что Ъ/ однозначно определены по Ь или что они взаимно орто-
ортогональны.
Предположим, что Л есть ортогональная сумма подрешеток
Г/, 1 </<./. Всякий Ь^Л имеет вид Ь = 2с/> с/^^/» П0ЭТ0МУ
если Ь неразложим, то он должен принадлежать одной из Г7-.
Далее, если Ьь Ь2 неразложимы и ф(Ьь Ь2)=#=0, то Ь^ Ь2 должны
принадлежать одной Г7. Это замечание мотивирует следующее
построение.
Обозначим через / множество всех неразложимых векторов
из Л. Мы назовем Ьь Ь2 € / эквивалентными, если существует
такая последовательность сЛёЛ 1^^^/С, что
ф(сЛ,

8. Число классов в роде и в спинорном роде 387
Это действительно является отношением эквивалентности. Пусть
/г, 1 <!/•<!/?,— соответствующие классы эквивалентности, и пусть
Аг—подрешетка, порожденная элементами из 1Г. Ясно, что Л
есть ортогональная сумма подрешеток Аг и что каждая Д,. не-
неразложима. Замечания, приведенные выше показывают, что если
Л есть ортогональная сумма подрешеток Г7-, то каждое Дг должно
содержаться в одном из Гу-. Если Гу- неразложимы, то они должны
совпадать с Дг с точностью до порядка.
3. ЧИСЛО КЛАССОВ В РОДЕ И В СПИНОРНОМ РОДЕ
В противоположность неопределенным формам (ср. гл. 11) для
определенных форм редко бывает, чтобы род или спинорный род
состояли из одного класса. Уотсон показал, что всякий род оп-
определенных форм от п^П переменных состоит по меньшей мере
из двух классов; он получил много информации об одноклассных
родах от п<!10 переменных. Число классов в роде, и даже в
спинорном роде, стремится к бесконечности, когда число пере-
переменных стремится к бесконечности. (Относительно всего этого см.
Уотсон A975), Герстен A972) и ссылки, приведенные там.)
Точные результаты для малых п требуют большого объема
детальных рассмотрений. Оценки для числа классов при боль-
больших п, которые получаются элементарными средствами, намного
слабее тех, которые получаются аналитически (Магнус A937); ср.
п. 3 приложения Б).
В силу всего этого мы ограничимся тем, что приведем набросок
доказательства следующего результата.
Теорема 3.1. Пусть с(п)—минимальное число классов в роде
целозначных положительно определенных форм от п переменных.
Тогда с (п) —► оо при п —► оо.
Замечание. В конце мы укажем, как слово „род" можно заме-
заменить на „спинорный род".
Доказательство. Удобно несколько видоизменить наши обо-
обозначения. Мы будем иметь дело с парами Л, ср, состоящими из
2-решетки Л и регулярной положительно определенной квадра-
квадратичной формы ф на Л. Обычно мы будем иметь дело только с
одной квадратичной формой на каждой решетке, опуская упоми-
упоминание о формах. Таким образом, утверждение „решетки Л, Г
изоморфны" является сокращением для „решетки Л, Г вместе с
их квадратичными формами изоморфны". Решетки, которые мы
будем рассматривать, более не предполагаются лежащими в одном
и том же векторном пространстве. Мы будем писать Л = Г-|-Д
для обозначения того, что Л есть ортогональная сумма подреше-
13*

383 Приложение А. Определенные формы
ток, изоморфных Г и А. Аналогично Л = /Т означает, что Л есть
ортогональная сумма г решеток, каждая из которых изоморфна Г.
Нам потребуется существой&ние и свойства двух специальных
решеток. Первая из них есть 8-мерная решетка Г8 с целозначнои
квадратичной формой ф8 определителя 1. (Здесь „определитель"
понимается в смысле, приспособленном для целозначных форм.
В классическом смысле 2ф8 является несобственно примитивной
целой формой определителя 1.) Мы обозначим через Г16 16-мер-
16-мерную решетку с целозначнои квадратичной формой ф16 определи-
определителя 1, которая не изоморфна 2Г8. Нам понадобится тот факт,
что Г16 и 2Г8 лежат в одном роде (см. пример 10 гл. 9 и при-
примеры этого приложения).
Предположим теперь, что в данном роде $ содержится ре-
решетка вида
>Т8 + Д, (.1)
где /*> 1, А — некоторая подрешетка. Тогда в этом роде содер-
содержатся также решетки
(г-2/)Г8 + А C.2)
для всех /, О^/^у/-. По теореме 2.1 все эти решетки не изо-
изоморфны друг другу, так что число классов в роде $ не меньше1)
Однако не в каждом роде есть решетка вида C.1). Следуя
Уотсону, мы введем теперь одну операцию над родами, которая
A) не увеличивает числа классов в йоде и (и) при повторном
применении приводит к роду, который содержит решетку типа
C.1), где г велико, если п велико. Эта операция следующая.
Пусть ф — положительно определенная, целозначная квадратич-
квадратичная форма на решетке А, и пусть р—простое число. Обозначим
через А, множество тех с^А, для которых
Ф (Ь + с) = ф (Ь) (той р)
при всех Ь^А. Тогда (см. пример 8 гл. 8) Ах есть решетка,
Ф (с) = 0 (той р)
для всех с^Л,. Следовательно, квадратичная форма
1) Это очень слабый результат. В действительности род формы ЗГ8 содер-
содержит 22 неразложимых класса вместе с двумя разложимыми ЗГ8 и Г8-|-Г]в
(Нимайер A973)). Аналитические методы (ср. приложение Б) показывают, что
число классов в роде формы гТв растет очень быстро с ростом г.

4. Представления целых чисел определенными формами 389
целозначна на Л,. Ясно, что изоморфные решетки Л, ф приво-
приводят к изоморфньШ решеткам Л*, <р,. Далее, если Л^, %—любая
решетка из того же рода, что и Ль <р$, то легко построить1)
такую решетку Л'зЛ^, что Л', <р' с <р' = р<р{ лежит в том же
роде, что Л, ф, причем Л^, ф1 получается этой операцией из
Л', ф\ Следовательно, род Ъ\ формы Л1? фа содержит не больше
классов, чем род $ формы Л, ф.
Теперь мы повторяем весь процесс, возможно с другим р 2).
Локальное изучение (см. пример 8 гл. 8) показывает, что, начав
с данного рода $, в результате получаем лишь конечное мно-
множество родов. Обозначим через #0 тот род, который получается
из $ повторным применением этой операции и для которого
определитель наименьший. Тогда локальное изучение показывает,
что $ содержит решетку вида C.1), для которой г^(п—6)/16.
Так как число классов в #0 больше или равно у , а число
классов в % больше или равно числу классов в #0, то это и
доказывает георему 3.1.
Остается только выполнить обещание о том, что в формули-
формулировке теоремы можно заменить „род" на „спинорный род". В пре-
предыдущем доказательстве имеются два момента, которые требуют
внимания. Во-первых, мы должны показать, что если Л1? <рх и
Л1, <р! лежат в одном спинорном роде, то мы можем выбрать Л',
<р' лежащим в одном спинорном роде с Л, ф. Мы можем пред-
предполагать, что A) А1 и Л] лежат в одном квадратичном простран-
пространстве V, г|г, (и) г|) индуцирует щ, ф^ на Ль Л^ соответственно;
A11) для каждого простого <7 существует такое ад€:® О^К что
а^Л]^ — (Л^ (где, как обычно, значок ц внизу обозначает ло-
локализацию по ц). Тогда мы можем взять в качестве Л' такую
решетку, чГто (Л')^ = а^Ла для всех д. Во-вторых, мы должны
показать, что спинорный род содержит решетку типа C.1), если
род, содержащий этот спинорный род, содержит такую решетку,
по крайней мере если Д имеет размерность ^ 3. Это доказывается
так же, как при доказательстве теоремы 7.1 гл. 11.
4. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ФОРМАМИ
Так как обычно род состоит более чем из одного класса,
то общие вопросы о представимости имеют тенденцию быть на-
намного более трудными для определенных форм, чем для неопре-
неопределенных. Эти вопросы имеют длинную историю, в особенности
вопросы представимости тернарными формами. Некоторые общие
теоремы доказаны в п. 8 гл. 11, и мы отсылаем читателя к этому
пункту и к замечаниям в конце гл. 11.
) Например, как указано ниже.
а) $1 = $> кроме р = 2 и /?, делящих определитель.
13' № 156

390 Приложение А. Определенные формы
ЗАМЕЧАНИЯ
Имеется краткий обзор теории определенных форм (включая
формы над полями алгебраических чисел) вместе с обширной
библиографией: О'Мира A976), п. 9.
ПРИМЕРЫ
1. Пусть п = 81, и пусть Л—решетка с базисом е*, ..., еп в
квадратичном пространстве V, <р, для которой
Ф B*/е/)= 24
Пусть А—подрешетка Л, состоящая из точек
2"/*/, «/€2, 2й/ = ° (тос1
и пусть Г = ГП—решетка, порожденная А и
A) Показать, что квадратичная форма, индуцированная фор-
формой ф на Г, имеет определитель 1.
(и) Показать, что ф принимает на Г значения из 22.
(III) Показать, что решетка Г неразложима.
(IV) Вывести отсюда, что Г1б и 2Г8 лежат в одном роде, но
не изоморфны.

Приложение Б
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
1. ВВЕДЕНИЕ
В этой книге не использовалась современная теория функций
вещественного или комплексного переменного, хотя имеются
результаты, которые могут быть получены только, или лучше
всего, с помощью этих теорий. И наоборот, теория квадратичных
форм оказала глубокое влияние на теорию функций комплексного
переменного, а в более позднее время на общий гармонический
анализ. Однако, чтобы адекватно изложить эти области, пона-
понадобилась бы другая книга и другой автор. Цель этого приложе-
приложения— дать лишь краткий обзор двух отчасти связанных друг с
другом направлений исследований.
Первое из этих направлений восходит к Дирихле и к най-
найденным им формулам для числа классов целых бинарных форм
данного определителя. Хотя сами формулы даются элементар-
элементарными выражениями, никакого действительно элементарного
доказательства для них не было найдено (см. замечания). Очень
(простое аналитическое доказательство будет намечено в п. 2.
Поэтапно формулы Дирихле обобщались, и в 1935 г. Зигель дал
общие и глубокие формулы для веса данного рода положительно
определенных форм, а также формулы для веса представлений
числа (и даже формы) таким родом. Позднее он распространил
свои формулы и на неопределенные формы. В п. 3 мы объясним,
но не докажем формулы Зигеля и проиллюстрируем их примене-
применение. Совсем недавно было найдено, что формулы Зигеля мо ут
быть весьма содержательно выражены в терминах теории меры
на аделях ортогональной группы. Это будет объяснено в п. 4.
Другое направление также восходит к началу 19-го века.
Пусть
оо
A.1)
= — оо
ряд сходится для всех комплексных чисел г с |г|< 1. Если мы
положим
1т$>0,
то функция 6E) имеет простое поведение при действии моду-
модулярной группы
о*

392 Приложение Б. Аналитические методы
где
а, Ь, с, й^2, аи—Ьс= + 1.
Ясно, что
6E + 2) = 6E).
Менее очевидно, что
^ A.1 Ы8)
где корни |/$, Уг нормализованы так, что их вещественные и
мнимые части положительны. Якоби использовал теорию подоб-
подобных функций для доказательства следующих тождеств:
-, A.2)
A.3)
т>1
+ 16
т>о
Эти тождества со степенными рядами, конечно, эквивалентны
формулам для числа представлений ^ (т) целого числа т фор-
формой /, где
и я = 2, 4, 6 и 8 (формулы для п = 2 и п = 4 уже были полу-
получены элементарно).
Глэшер и Рамануджан нашли аналогичные тождества для
{в (г)}" для всех четных п ^24, но они могут содержать и чле-
члены, определенные только как коэффициенты некоторых модуляр-
модулярных форм. Одним из простейших примеров является тождество
Рамануджана
691 {в (г)}24 = Я (г) + С (г), A.6)
где
1 " , A.7)

V
г (г) = —33152С (—г) —65536С (г2), A.8)
. A.9)
Здесь С (г) — важная в теории модулярных форм „дискрими-
нантная" функция, коэффициенты которой суть значения известной
функции Рамануджана т(т).

2. Бинарные формы 393
Исследование {в (г)}п для нечетных п значительно труднее,
чем для четных п. Случаи п = 5 и п=^7 были разобраны Мор-
деллом и Харди, но формулы для числа представлений суммой 5
или 7 квадратов были уже раньше получены другими средствами
Минковским и Смитом. Имеется хорошее изложение теории пред-
представлений суммами квадратов у Харди A940), и более краткое,
Харди, Райт A938); в обеих работах приведена история вопроса.
Главным образом работами Гекке теория модулярных форм
была развита настолько, что она стала применимой ко всем поло-
положительно определенным формам от четного числа переменных.
Эта теория очень мощная: например, „операторы Гекке" дают
информацию такого же типа, как в случае бинарных форм дает
теория композиции. Мы обсудим это в п. 5. Имеются обобщения
на случай положительных форм от нечетного числа переменных
и на неопределенные формы; однако эти обобщения менее ясно
очерчены, и мы только сошлемся на них. Зигель развил теорию
модулярных форм от нескольких переменных (для „зигелевой
модулярной группы"), которая применяется для изучения пред.
ставлений форм формами, но мы ее не будем рассматривать.
2. БИНАРНЫЕ ФОРМЫ
Дискриминант
B.1)
целой бинарной формы
/(*, у)~ах* + Ьху + су* B.2)
удовлетворяет условиям
#==0 или 1 (той 4). B.3)
Через к (О) мы будем обозначать A) для й > 0 число классов
(собственной целой эквивалентности) примитивных форм дискри-
дискриминанта О; (Н) для п < 0 число таких классов для положительно
определенных форм.
Если
B.4)
и О0 удовлетворяет B.3), то к (/?) элементарно выражается через
к (й0) (ср. пример 12 гл. 9). Поэтому, хотя это и не является
абсолютно необходимым, в дальнейшем мы будем предполагать,
что О не имеет вида B.4), или, как мы будем говорить, О яв-
является фундаментальным дискриминантом.
4ерез
(т) ™
мы будем обозначать символ Кронекера (ср. пример 2 гл. 14).

394 Приложение Б. Аналитические методу
Теорема 2.1. Пусть О—фундаментальный дискриминант.
Тогда
(I) 2|0|Л(Я) = и> 2 (Ц)г B.6)
Ч
для О<0,
ю=\ 4, если О = —4, B.7)
2 в остальных случаях;
(и) Aо§ т]) к ф) = — V (—) 1о§ (зш (я/-/О)) B.8)
О > 0, где г] > 1 —фундаментальная единица. (Определение
фундаментальной единицы1) см. п. 3 гл. 13.)
Напомним, что два представления данного целого числа т
формой /(а:, у) принадлежат одной орбите, если они могут быть
Переведены одно в другое собственным автоморфизмом формы /.
Число орбит таких представлений, примитивных или нет, будет
обозначаться через а*(т) = а*1 (т). Обозначим также2)
B.9)
Лемма 2.1.
(т, Я) = 1
0< т < М
Нт М-М*(М) = ^ _ 11° B.10)
A/1/О)П A) О>0
Доказательство. Предположим сначала, что О < 0. Тогда хю
есть число собственных автоморфизмов формы /, и общее число
представлений числа т формой / равно ша*(т). Следовательно,
и)А* (М) совпадает с числом таких целых пар х9 у, что
!(ху у)<М, B.11)
(*, у), О) = 1. B.12)
Если р\й, то сравнение /(а:, у)^=Ъ(то&р) эквивалентно ли-
линейному сравнению для я, у. Поэтому число решений B.11) и
B.12) приблизительно равно
р I й
) \ {У автор здесь называет фундаментальной единицей, если
и — фундаментальное решение уравнения Пелля C.13) гл. 13. — Прим. ред.
* Мы пишем (т, й) вместо н.о.д. (т, п).

2. Бинарные формы 391}
умноженному на площадь фигуры B.11), которая равна
2пМ1\Г\Щ .
Это и дает B.10) при п < 0. Случай О>0 аналогичен, за
исключением того, что теперь в каждой орбите есть ровно один
представитель, удовлетворяющий лемме 3.3 гл. 13. Поэтому до-
достаточно вычислить площадь области, ограниченной двумя радиу-
радиусами и сегментом гиперболы.
Можно работать прямо с B.10) (см., например, Ландау A927)),
однако технически проще взять взвешенное среднее.
Следствие.
[ Bя/даУШ) II A -Р'1)' О < 0*
Нт E — 1) 2 а*{т)т-$ = \ _ "' °
5+ е»7й)°=1 A08Ч/КЯ) ПО-/>-»). 0 0-
V р\ о
B.12Ы5)
Доказательство следует из B.10) суммированием по частям,
так как
Нт E-
Лемма 2.2. Целое число т > 0, взаимно простое с п, прими-
примитивно представимо некоторой примитивной формой / дискри-
дискриминанта О, только если всякий простой делитель р числа т
удовлетворяет условиюх) ( —) = +1. Если это условие выполнено,
то общее число орбит примитивных представлений числа т всеми
классами форм равно 2*\ где \л—число различных простых дели-
делителей числа т.
Доказательство. Действительно, классы представлений взаимно
однозначно соответствуют множеству форм
где
и2—
Нетрудно видеть, что имеется 2* таких форм.
Следствие.
Г I М-)—, П
! > 0 ( — ] =
т > 0
1) Следует напомнить, что (—) — символ Кронекера. В частности,
= 1, если 1>=1 (той 8); (у^—!» если ^^5 (той 8).— Прим, ред*

396 Приложение Б. Аналитические методы
где 5 > 1, сумма 21* распространена на все классы форм дискри-
минанта О, а^{т)—число орбит примитивных представлений
числа т формой /.
Доказательство. По лемме левая часть B.13) равна
что совпадает с правой частью B.13).
Для сравнения с формулой B.12Ыз) мы должны заменить в
левой части равенства B.13) а^(т) на а] (т). Ясно, что
а](т)= 2 а* (т/и2). B.14)
Следовательно,
^ т > О
(т. Я)=
2 «м-а о4-),/1 (йЯ)-
т > О Р^Г^ Г - )-1
= 11, / ! /вч—у <2-15)
Устремим теперь 5—<■ 1 + и сравним с формулой B.12Ы$).
Прежде всего
Легко показать, что ряд сходится, и мы можем отбросить усло-
условие р{О из B.15), так как ( — ]=0, если /?|Опо определению.
С другой стороны,
Ит E-1I1 A^)=Ип1E-1)^; т-^1. B.17)
Учитывая условие р\О в B.15), мы получаем из формул B.11),
B.15), B.16), B.17), что
1 Х( т ДЛЯ

B.18)
Таким образом, доказательство теоремы 2.1 будет завершено,
после того как мы получим следующую лемму.

3. Формулы Зигеля 397
Лемма 2.3. Пусть О—фундаментальный дискриминант. Тогда
-Я |О |-8/2
\ о 2 1ов EШ (яг/О)), О >0.
V 0 < г <Я
Доказательство. Нам понадобится сумма Гаусса
(*1\(ап1гт/\о\=в1 )"( B.20)
которую мы предполагаем известной (см. пример 5 этого прило-
приложения); здесь О—фундаментальный дискриминант1). Нам пона-
понадобится также следующее равенство:
/о О1\
] 1в^ Тф)+^тТф), B.21)
где
0 < ф < 2я, B.22)
которое легко получается из степенного разложения для
— 1о§A—г), если положить г—*еая'ф, ибо правая часть B.21)
сходится.
Теперь требуемый результат получится, если в B.21) поло-
положить ф = 2яг/|О|, умножить все на (~), просуммировать по
О < г < | О | и вспомнить, что
§ если
—1, если О<0
(пример 2 гл. 14). Детали оставляются читателю.
3. ФОРМУЛЫ ЗИГЕЛЯ
При обобщении формулы Дирихле о числе классов на формы
от большего числа переменных возникают два дополнительных
усложнения: два рода одного и того же определителя не обя-
обязательно содержат одинаковое число классов и два класса опре-
определенных форм не обязательно имеют одинаковое число авто<
морфизмов. Эйзенштейн A847а) заметил, что подходящее обоб-
х) Это единственное место, где мы используем тот факт, что О—фунда-
О—фундаментальный дискриминант. Если Л = О0т2, где Г>0—фундаментальный дискри-
дискриминант, то гауссова сумма для В получается из гауссовой суммы для #0
умножением на множители ( р— ( —^ ] ) для р\т (ср. пример 12 гл. 9).

398 Приложение Б. Аналитические методы
щение на определенные формы должен давать вес рода (в смысле
п. 6 гл. 9); он привел без доказательства формулы для веса
положительно определенных тернарных форм, удовлетворяющих
некоторым дополнительным условиям. В работе Эйзенштейна
A852), опубликованной незадолго до его смерти, он показал, что
в некоторых очень частных случаях вес рода может быть полу-
получен чисто элементарным способом. (Это рассуждение воспроиз-
воспроизведено в лемме 6.6 гл. 9, а также у Бахмана A898), однако
только Смит A867) получил доказательство формул Эйзенштейна.)
В своей инаугурационной диссертации Минковский A885) дал
формулу для веса любого рода положительно определенных
форм. Его доказательство основано на индукции по числу пе-
переменных и использует лемму 6.2 нашей гл. 9. Его формула
для п > 2 представляет собой довольно простое выражение,
умноженное на сходящееся бесконечное произведение, взятое
по всем простым числам р. Следует заметить, что формула
B.18) имеет такой же тип, так как бесконечная сумма
равна
Однако сходимость произведения C.1) представляет собой до-
довольно глубокий факт (ср. Ландау A909), п. 109), в то время
как сходимость суммы проверяется непосредственно.
Зигель A935) заметил, что формула Минковского для веса в
общем случае содержала неправильную степень двойки. Он по-
получил правильную формулу несколько другого вида, а также
получил более общую формулу для веса представлений формы
от меньшего числа переменных данным родом, частным случаем
которой является формула для веса представлений данного числа.
Доказательства Зигеля аналитические. В серии последующих
работ (которые все воспроизведены в собрании сочинений Зигеля
A966)) он обобщил эту формулу на неопределенные формы, а
также на формы над полями алгебраических чисел.
Недавно формулы Зигеля как для определенных, так и для
неопределенных родов получили новую интерпретацию и новые
доказательства через „числа Тамагавы". Мы обсудим это в п. 4.
В оставшейся части этого пункта мы сформулируем формулы
Зигеля для определенных родов и рассмотрим некоторые следст-
следствия. Мы не приводим никаких доказательств.
Сравнивая формулй, которые будут приведены далее, с теми,
которые есть у Зигеля A935), следует отметить, что Зигель ра-
работает с эквивалентностью квадратичных форм в широком смысле,
в то время как мы определяли класс как класс собственной
эквивалентности, Далее, Зигель определяет вес рода как
, где о (/) порядок О (/), а / пробегает все представители

8, Формулы Зигеля 399
классов в широком смысле. Мы же определяли вес как 2 1/о+ (/)>
где сумма берется по представителям собственных классов экви-
эквивалентности. Следовательно, вес рода в нашем смысле в два раза
больше, чем вес в смысле Зигеля.
Формула Зигеля для веса № (оГ) рода 4Г положительно опре-
определенных целых форм есть
П Р„ C-2)
где Ря и Рто определяются следующим способом.
Пусть Р—квадратная матрица, представляющая форму / в
роде <!Г, и пусть ?>0 — целое число. Обозначим через Йг число
таких яхя-матриц 8той/?*, что
= Р(тос1/?<). C.3)
Можно показать, что р 2 Л^ не зависит от г, если г достаточ-
достаточно велико (где п—число переменных, а „достаточно велико" может
зависеть от р и <!Г). Обозначим эту величину через 2Рр\ Множи-
Множитель 2 можно рассматривать как отражение того факта, что из
C.3) следует, что <1е13 /7-адически близок к ±1, а мы инте-
интересуемся теми 8, для которых он близок к+1. Если рФ2 и
р не делит определитель форм из оГ, то значение 1=\ уже
„достаточно велико" и значение $р дается примером 13 (VI) гл. 2,
а именно
I (/)(-/?"*)...О-/), +,
где
(к=!р*у C.5)
Для /7 = 2 или для р\й вычисление ря требует специального рас-
рассмотрения. В любом случае Ря зависит от / как от формы над Ър
и потому определяется только родом 4Г.
Интерпретация для р^ аналогична. Мы рассматриваем вещест-
вещественные матрицы О в окрестности матрицы Р и такие веществен-
вещественные квадратные матрицы 8, что
8'Р8 = С. C.6)
Пусть $—окрестность матрицы Р, и пусть сУ—множество тех 8,
для которых О^^- Пусть ю^)^^) — объемы #, <У, рассматри-
рассматриваемых как подмножества в у п (п -)-1)- и я2-мерных простран-
пространствах соответственно. Тогда Рто есть предел 2у (й)/у(с^), когда $
стягивается к Р. (Заметим, что йе!8 становится близок к ±1,
и множитель 2 связан с тем, что нас интересуют те 8, для ко-

400 Приложение Б. Аналитические методы
торых с1е18 близок к 1.) Численное значение для (Зто следующее:
< ПГ(//2)>^<"+1>/2 C.7)
где Г—„гамма-функция".
Формулы C.4) гарантируют абсолютную сходимость произве-
произведения Пр^, если п > 2. На самом деле получается даже конеч-
конечное произведение, умноженное на конечное число членов вида
5 Bт) и на значение /,-функции, если п четно. Однако получаю-
получающаяся формула не так прозрачна, как формула C.2).
Рассмотрим теперь случай, когда оГ= <!Г0 есть род формы
/о = *?+•..+4- C.8)
Тогда формула Зигеля дает (Магнус A937))
А > п>8>
причем
5Г ТЭТ* " = 9; Г (Гв) = 2*ЛоГ ' Тз? • я =
Так как форма /0 имеет 2п'1 п\ собственных целых автоморфиз-
автоморфизмов, отсюда следует, что оГо состоит из одного класса при
п ^8, но содержит всегда еще классы при я>8. В действи-
действительности
л—|—1ов 2я) + О (п 1о§ л) C.9)
при п—>-оо; поэтому число классов в роде ^0 растет очень
быстро с ростом п.
В той же работе, Магнус A937), формула Зигеля применена
для доказательства того, что существует лишь конечное число
родов примитивных целых форм от п^З переменных, которые
содержат только один класс. В частности, всякий род от п^35
переменных содержит по крайней мере два класса. (О последних
результатах в этом направлении см. приложение А.)
Обратимся теперь к другой формуле Зигеля. Пусть /, §—ре-
§—регулярные целые формы от п и / переменных, / < п. Говорят, что
целая /хп-матрица X дает целое представление формы §• фор-
формой /, если
' C.10)
где Р, О—матрицы форм /, §". Если /=1, то это сводится к
определению представления числа формой. Если форма / поло-
положительно определена, что мы всегда предполагаем, то число це-
целых представлений § формой / конечно; будем обозначать его
через Л(/,

3. Формулы Зигеля 40 У
Сумма
5 (Г, ») = 2М(/, |?)/о+(/), C.11)
где / пробегает представителей (собственных) классов рода 1ГV
зависит только от рода $ формы §, как будет следовать из по-
последующих формул (ср. лемму 6.2 гл. 9). Отношение
(У, 8) = 5 (Г, 3)/Й?(Г) C.12)»
представляет собой взвешенное среднее для Л (/, §) по всем клас-
классам в роде оГ, так как № (<!Г) есть 2
Формула Зигеля следующая:
( II «Я(Г, *), Кп-1,
I р, вкл. оо
. _ C.13)!
4" П «„(^ »), / = л-1,
Р,ВКЛ.оо
где Ыр^, %) зависит только от р-адического поведения зГ и
Если бы нам было разрешено взять 1 = п, то мы могли бы
взять д из рода 5", и тогда выражение C.12) свелось бы к
{^(еГ)}-1, и мы получили бы формулу C.2) как частный случай
формулы C.12). На самом деле определения множителей а.р(ЁГ,$)
являются естественными обобщениями определений (Зр1, кроме
множителя 2. Точнее, &р(йГ§ *&) обладает тем свойством, что число
решений по модулю р* сравнения
Х'РХеееС(гтюA/?') C.14)
при достаточно больших / есть
' C.15)
Определение ато(^, %) есть очевидное видоизменение определения
у |3ТО ] . Оно приводит к выражению
1, C.16)
где й, О — определители оГ и $ соответственно и где
{г 072)}-ч (ЗЛ7)
л - / < / < л
Как замечает Зигель, формула C.13) имеет весьма интересную
интерпретацию. Числа «^A^, !$) измеряют количество целых р-ади-
ческих представлений формы §€$ формой /^^, а ^(^", #) сов-
совпадает с подходяще взвешенным средним числа 2-представлений,
когда §, / пробегают $ и I* соответственно.
Формула C.13) особенно полезна, если §" — одноклассный род,
так как тогда Л AГ, #) = Л (/, §•) есть число представлений формы

402 Приложение Б. Аналитические методы
формой /. В частности, если |Г0 есть род формы C.8) и/1<8,
/= 1, то из C.13) получаются уже известные выражения для числа
представлений целого числа формой /0 (см. Зигель A935), п. 10).
Если п > 8, то этого уже не происходит. То, что получается,
совпадает с „сингулярными рядами", получающимися из „круго-
„кругового метода" Харди—Литтлвуда, о которых давно известно, что
они дают правильное число решений только для п^8, но не для
п > 8. Дальнейшее обсуждение этого см. в п. 5.
4. ЧИСЛА ТАМАГАВЫ
Существует очень сжатая формулировка теоремы Зигеля, кото-
которая имеет смысл для общих линейных алгебраических групп. Она
использует понятие аделей, обобщающих идели из алгебраической
теории чисел (см., например, Касселс A967)). Эти идеи тесно свя-
связаны с идеями гл. 10 и 11.
Мы должны напомнить обозначения. Пусть V, ф— квадратич-
квадратичное пространство размерности п над О. Как обычно, локализации
-будут обозначаться через Уру где р—простое число или р—оо.
Аналогично для 2-решетки Л с: V локализации обозначаются через Л^.
Они являются 2^-решетками в Ур. Нам не требуется определять,
что такое Лто. Соответствующие собственные ортогональные группы
обозначаются через О+ (V), О+ (Л), О+ (Ур) и О+ (Ар). Две последние
группы рассматриваются как топологические группы с их /?-ади-
ческой топологией.
По определению адель а^а^} есть набор ар^О+ (Ур) для
всех /?, включая /?=^оо, с условием, что а^О+(Ар) для почти
всех р. Здесь Л —любая 2-решетка; определение не зависит от
выбора Л в силу теоремы 1.1 гл. 11. Разница между аделями
и объектами, рассматриваемыми в гл. 11, состоит в том, что теперь
есть компонента для /?=оо. Адели образуют группу Од относи-
относительно покомпонентного умножения:
Группа ОX очевидным образом наследует топологию групп О+ (Ур)
(„топологию ограниченного произведения", см., например, Касселс
A967)). Группа О+ (У) вкладывается в Од с помощью отображе-
отображения, которое каждому а^О+(У) сопоставляет адель, все компо-
компоненты которого равны а. Можно показать, что О+ (V) будет ди-
дискретной подгруппой группы Од.
Так как группы О+ (Ур) локально компактны, то они обладают
инвариантной мерой Хаара \лр, которая определена однозначно,
с точностью до умножения на постоянную. Так как группы 0+ (Ур)
унимодулярны, то меры \1р инвариантны как слева, так и справа.

4. Числа Тамагавы 403
Если произвольные постоянные в \лр выбраны так, чтобы про-
произведение
П М0+(Л„)) D.1)
сходилось, то эти \1р определяют меру произведения \х на ОХ- Эта
мера снова инвариантна и справа и слева.
Тот факт, что группа О+ является алгебраической группой,
позволяет единственным образом выбрать нормирующие множители.
Пусть N — размерность группы 0+ (так что N = п(п — \)!2).
Существует инвариантная дифференциальная форма со на 0+ раз-
размерности Л/, которая рациональна и определена над Ц и которая
определена однозначно с точностью до множителя из О*. Диффе-
Дифференциальная форма со дает средство строить меры \лр на 0+ (Ур).
Это делается следующим образом. Пусть §— общая точка на 0+;
тогда
со = й $) Л*... Л^, D.2)
где <$, ..., ^—локальные параметры в точке §, а к ^—функ-
^—функция, определенная над О. Для любого множества & с: 0+ (Уто)
положим
5. D.3)
Можно показать, что это задает на группе 0+ (Уто) меру Хаара,
зависящую только от выбора со. Для рфоо мера \ар определяется
с помощью р-адического аналога формулы D.3).
Далее, оказывается что условие сходимости произведения D.1)
выполнено (с некоторыми трудностями при п = 2), а потому F
определяет меру на Од. Если мы заменим со на ш, с(^0,*, то
мера \хр умножится на \с\ру а потому мера \л умножится на
П
р
вкл. оо
Эта однозначно определенная мера \л называется мерой Тамагавы
и будет обозначаться через т.
Так как '0+ (V) есть дискретная подгруппа в Од, то множество
0а/0+ (V) наследует меру, которую мы также будем обозначать
через т.
Теорема 4.1. Имеем
@Х0+(У)) 2 D.4)
Доказательства имеются у Вейля A961) и Кнезера A974).
Как уже отмечалось, понятие числа Тамагавы2) имеет смысл и для
То есть выражения в левой части DА).—Прим9 ред.

404 Приложение Б. Аналитические методы
других алгебраических групп. Доказательство Вейля использует
индукцию, для которой нужны и другие группы, кроме ортого-
ортогональных. Изложение Кнезера проведено исключительно в рамках
квадратичных форм. Обсуждение приложений теоремы 4.1 см.
Кнезер A961) или Вейль A962); по поводу мотивировок, включая
другие приложения теории алгебраических групп к квадратичным
формам, см. Кнезер A967).
Мы ограничимся наброском вывода одного частного случая
формулы Зигеля из теоремы 4.1. Группа Од действует на мно-
множестве 2-решеток в V. Действительно, как было показано в
гл. 11, если а = {ар\^0Х и Л есть 2-решетка в V, то сущест-
существует единственная 2-решетка Г, для которой
*РЛР==ГР D.5)
для всех рфоо. Мы будем писать
Г^ссЛ. D.6)
На языке, применявшемся в гл. 11, решетки Л и Г лежат в одном
роде. Они эквивалентны, если а можно выбрать из О+ (V).
Пусть теперь Л^Л^ фиксирована; пусть Л;-, 1 ^/<!«/, — пред-
представители классов решеток из того же рода, что и Л, и пусть
Р/ 6 ОX — такие элементы, что
РуЛ-Л,, D.7)
Ясно, что ОХ есть объединение непересекающихся двойных классов
0+(ЮР/5(Л), D.8)
где 5 (Л) — стабилизатор решетки Л, т. е.
5 (Л) = {«6 0^, аЛ = Л}. D.9)
При этом
5(Л/) = Р/5(Л)р-1. D.10)
Взяв классы смежности относительно 0+ (V) и пользуясь инва-
инвариантностью меры т относительно Р/, получим
где
Л) =* О+ (У)\О+ (V) 8 (Л,). D.12)
(Здесь мы имеем левые классы смежности, а теорема 4.1 форму-
формулировалась для правых классов. Но так как мера т инвариантна
с двух сторон, то это безразлично.)
Ясно, что
0+(Уг)П5(Лу)«0+(Л/). D.13)

4. Числа Тамагавы 405
А потому из D.12) следует, что
Ху = О+ (Л7)\5 (Лу). D.12 Ыз)
По определению 5 (Лу) есть произведение О+ (Уто) и
О+((Л,)Я), р =7^оо. D.12 1ег)
Диагональное отображение 0+ (V) —► Од (V) вкладывает 0+ (V)
в каждую локальную компоненту, в частности в 0+ (Уто). Отсюда
следует, что X/ есть произведение D.121ег) и
0+ (Лу)\0+ (Уто). D.12 Чиа1ег)
Следовательно,
т(X,) =* т. @+ (Л/)\0+ (V.)) П Ъ @+ ((Л,),)), D.14)
где тто и хр—локальные компоненты меры Тамагавы т. По фор-
формуле D.10) меры множеств
тр@+((\,)р)) = кр D.15)
не зависят от /', а зависят только от рода. С другой стороны,
о, = т. <0+(Л,)\0+(V.)) D.16)
представляет собой меру фундаментальной области группы целых
автоморфизмов в группе вещественных автоморфизмов и, вообще
говоря, зависит от /.
Таким образом, соотношение D.11) превращается в
2 а, = 2 П V- D.17)
Р Ф оо
Предположим теперь, что мы находимся в случае положительно
определенных форм. Тогда группа 0+ (Уто) компактна и имеет
конечную меру А,то. Ясно, что
ау =^/0+(Лу), D.18)
и формула D.17) превращается в
И7 (Г) = 2 1Ю+ (Л,) - 2Я„ П V D-19)
где оГ — род форм Л/# Эту формулу можно отождествить с фор-
формулой Зигеля C.2) при подходящем выборе дифференциаль-
дифференциальной формы со, с помощью которой определялись меры хр> тте.
Формула D.17) представляет собой обобщение формулы C.2)
на неопределенные формы. Формула Зигеля C.13) и ее обобщения
на неопределенные формы могут быть получены аналогично рас-
рассмотрением меры Тамагавы на подгруппе группы 0+ (У), остав-
оставляющей инвариантным фиксированное подпространство V про-
пространства У.

406 Приложение Б. Аналитические методы
5. МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
Пусть /(х) — целая положительно определенная квадратичная
форма, и пусть
7г-, F.1)
т> 0
где а,;{т) — число представлений числа т формой / (представле-
(представления целые, но не обязательно примитивные). Эта функция является
модулярной формой в том смысле, как это будет определено ниже.
Теория модулярных форм позволяет наиболее полно изучать свой-
свойства таких функций, хотя в некоторых частных случаях их можно
изучать более элементарными средствами.
Нам понадобится понятие преобразования Меллина сЖ(§) для
степенного ряда
E.2)
По определению это следующий ряд Дирихле
сМ(§) E)=-§11-'у + §22~5+ . . . -\-дтт~*-{- .. . . E.3)
Мы будем рассматривать это преобразование как чисто формаль-
формальную операцию, хотя его можно определить аналитически. Заме-
Заметим, что в E.3) не учитывается постоянный член §0.
Если число переменных равно двум, то теория модулярных
форм не добавляет ничего нового по сравнению с тем, что следует
из теории композиции бинарных форм, развитой в гл. 14, и не-
некоторые аспекты теории модулярных форм лучше всего рассмат-
рассматривать как обобщение композиции на случай п > 2. Поэтому мы
начнем с того, что рассмотрим функции E.1) для бинарных форм
с использованием композиции. Пусть О<0—фундаментальный
дискриминант, и пусть % — любой характер группы классов собст-
собственной эквивалентности целозначных форм /(*, у) дискриминанта Э.
Положим
вх (г) = 2 х (/) в (/, г), F.4)
где сумма берется по всем представителям / этих классов. Заме-
Заметим, что постоянный член у вх равен нулю, кроме того случая,
когда х —главный характер (т. е. тождественно равный 1). Пре-
Преобразование Меллина <^(ОХ) может быть записано в виде про-
произведения
П A-М) П О-Ря/Г')-^
H г 8(р)=+1
1 П A-р-')-\ F.5)
е(р)=-1

. Модулярные формы 407
где @ г{р)^(—\ ; (Н) $р, ур для е(р) = + 1 являются характе-
характерами двух классов форм рх2 ±Ьху + су2 дискриминанта О; A11) $р
для е (р)—- 0 есть характер единственного класса рх2 + Ьху + су2
дискриминанта й. Все это легко проверяется с помощью теории
композиции. Мы можем переписать E.5) в виде
вх) = Д A -МР) Р'1 + е (р) р-»*), E.6)
где
' Р,, ^ (р) = 0,
я
0,
Теперь мы должны ввести понятие модулярной формы. За
доказательствами всех дальнейших утверждений мы должны ото-
отослать читателя к соответствующим книгам. Имеются хорошие
введения в теорию с приложениями к квадратичным формам:
Ганнинг A962), Огг A969), Серр A970) и Ранкин A977); имеется
также изложение Гекке A940) весьма высокого уровня; последняя
книга и теперь постоянно цитируется.
Пусть Г(=5/,+) — группа матриц
о—( V а, Ь, с, й^2, ай—Ьс~\. E.8)
Она действует на верхней полуплоскости Н комплексного пере-
переменного I с положительной мнимой частью, если задать преоб-
преобразование
Пусть к — целое число. Определим действие группы Г на функ-
функции Ф @э ^6 С, с помощью
ф|*<т = Ч>, E.100
где
ф@ = (с< + й)-*ф(а@). E.10.)
Сразу же проверяется, что для т, о^
(ф и а> ит ^ ф и
Пусть теперь Д — подгруппа конечного индекса в Г. Пусть
е: Л—*С*—характер группы Д конечного порядка. Неограничен-
Неограниченной модулярной формой веса к относительно группы Д и харак-
характера е называется аналитическая на Н функция ф A)} удовлетво-
удовлетворяющая условию

408 Приложение Б. Аналитические методы
для всех о б Д. Модулярной формой называется неограниченная
модулярная форма, удовлетворяющая неким условиям конечности*
которые мы сейчас опишем.
Стандартная фундаментальная область оГг группы Г имеет
единственную вершину на бесконечности (обычно обозначаемую х^)
в том смысле, что она приближается к границе Н только в этой
точке. (Вероятно, проще понять эту точку, если проделать кон-
конформное преобразование Н в единичный круг, ср. конец п. 7
гл. 13). В качестве фундаментальной области <!Гд для Д можно
взять объединение нескольких преобразованных <!Гг, а поэтому
она, вообще говоря, обладает несколькими вершинами. Мы будем
говорить, что неограниченная модулярная форма ф для Д имеет
конечное значение V в точке х^, если ф (() стремится к у, когда
I стремится к х^ изнутри оГд. Аналогично определяется ограни-
ограниченность в других вершинах, если перевести эти вершины в [^
с помощью элементов из Г. Модулярной формой называется не-
неограниченная модулярная форма ф, принимающая конечные значе-
значения во всех вершинах. Если ф принимает значение 0 во всех вер-
вершинах, то она называется параболической формой.
Для заданной группы Д, веса к и характера 8 множества
модулярных форм М(к, Д, е) образует векторное пространства
над С. Одна из основных теорем утверждает, что это простран-
пространство конечномерно. Множество 5 (к, Д, е) параболических форм
есть подпространство в М (к, Д, е).
Частным случаем модулярных форм являются ряды Эйзен-
Эйзенштейна. Мы приведем их определение только для Д = Г ие=1;
определение для любых Д, е аналогично. Положим
Ек(*) = %№ + $-*> E.12)
где суммирование распространено на все пары взаимно простых
целых чисел с, й. Ряды абсолютно сходятся для к^ 4 и равны О
для нечетных к. Ясно, что Ен(г) является модулярной формой
веса к относительно Г. В частности, можно показать, что Ек{1)
обладает разложением в ряд Фурье:
00
Ек @ = 2? (к) + ^^! ^ з^ (Г) е™"<, 21 к, E.13)
где
2 <**-\ с (*) =
й\п
Для общих Д, е существуют ряды Эйзенштейна, соответству-
соответствующие каждой вершине. Ряд Эйзенштейна не обращается в 0 ровно
на* одном классе Д-эквивалентных параболических вершин, и мо-

б. Модулярные формы 409
дулярная форма однозначно разлагается в сумму линейной ком-
комбинации рядов Эйзенштейна и параболической формы.
Нас будут интересовать только группы Д и характеры е част-
частного вида. Пусть N^1— целое число. Множество матриц E.8),
для которых
с Е-0 (той М), E.13 Ыз)
есть подгруппа Г0(Л^) группы Г. Пусть е — любой характер муль-
мультипликативной группы целых чисел по модулю N. Тогда 8 (а) =
*=е(а) задает характер группы Го (Л/). Мы будем писать М (к, Ы, е)
вместо М (к, Т0(Ы), б) для соответствующего пространства моду-
модулярных форм и аналогично 5 (к, Л1, г) для подпространства пара-
параболических форм. Заметим, что а@ —* для всех I, если а== — I.
Поэтому в силу E.11) имеем
. E.14)
Далее, из E.11) с с —0, а = й=1, е(а)=1 следует, что всякая
функция ф из М (к, Ы, е) периодична с периодом 1, а потому
имеет разложение в ряд Фурье
Ф(О= 2фя*М1*1' E.15)
т>0
да =«0 при гп < 0, что следует из ограниченности ф {г) при I —»> 1^
Пусть /(х)—примитивная целозначная положительно опреде-
определенная квадратичная форма от четного числа переменных
я = 26>4. E.16)
Запишем / в виде
1, E.17)
так что все элементы матрицы Р—целые числа, причем элементы
на главной диагонали четны. Тогда существует, и только одно,
такое целое число N > 0, что матрица
1 E.18)
соответствует некоторой примитивной целозначной форме. Мы
будем называть N ступенью формы /. Легко проверяется, что N
и с1е1 Р имеют одни и те же простые множители, но, вообще го-
говоря, с разными кратностями. Определим
где выражение справа—символ Кронекера1). Можно показать,
Ср. пример 2 гл. 14. Заметим, что (—\)к йе! Р= 1 (тоё 4), если с1е1 Р
нечетен, как сразу же следует из канонической формы для целых 2-адических
форм.
№156

410 Приложение Б. Аналитические методы
что е (а) есть характер по модулю N и что
в(/, 0€М(*. Л/, б), E.20)
где
в (Л 0 = 2*2ш7(х)'; E.21)
суммирование ведется по всем целым векторам х. (Доказательство
использует преобразование Фурье и обобщает классическое дока-
доказательство того, что 0-функции Якоби являются модулярными^
формами. Детали см. у Шенберга A939).) В обозначениях E.1)
в (Л 0 = в(Л еш% E.22)
Заметим, что как ступень М, так и характер г зависят только
от рода формы /\
Тот факт, что б^, г) является модулярной формой, влечет
за собой много более или менее непосредственных следствий.
В первую очередь
в (Л 0 = елМ)+бДМ>> E.23)
где в,(/, I)—параболическая форма, а 6е(/, /) — линейная комби-
комбинация рядов Эйзенштейна. Если не существует нетривиальных
параболических форм, то 6, (/, I) = 0, и мы имеем явное выраже-
выражение для 6(/:, *), а значит, и для чисел представлений а,;(т).
Например, это происходит, если / есть сумма п квадратов и
п = 2к^9> (ср. формулы A.2)—A.5)). Здесь имеется только одна
форма в роде. Гораздо более замечательным является род несоб-
несобственно примитивных целых форм определителя 1 от 16 перемен-
переменных. Здесь N=1, е=1. Имеются два класса в роде, и нет не-
нетривиальных параболических форм. Отсюда следует, что
в (Л, 0 = в(Л, 0.
где /х и /2—формы из двух различных классов, т. е. формы
и /2 представляют каждое целое число одинаковое число раз
(см. Витт A941)).
Имеются оценки коэффициентов параболических форм, кото-
которые показывают, что при к ^ 2 они асимптотически имеют мень-
меньший порядок роста, чем соответствующие коэффициенты рядов
Эйзенштейна. Отсюда следует, что коэффициенты ряда 0е(/, ()
дают главные члены в асимптотике для числа а^(т) представле-
представлений. Оказывается, что коэффициенты 9е(/, I) совпадают с „син-
„сингулярным рядом", получающимся применением „кругового метода"
Харди—Литтлвуда. Имеется еще одна интерпретация. Пусть §
пробегает представители всех классов рода 5?. Тогда можно по-
показать, что
Ц . О,

Модулярные формы 4Ц
где /—любая форма из #, 1^(^)—вес родэ #. Это совпадает
с формулой Зигеля C.12).
Если базис пространства М(к9 ДО, е) известен из каких-нибудь
других соображений и если /—такая квадратичная форма, что
8(/, 1)$М (к% ДО, е), то 6(/, /) можно разложить по этому базису;
для этого достаточно рассмотреть только несколько первых ко-
коэффициентов. Например, если к «=12, #«=1, е«=1, то все пара»
болические формы кратны „дискриминантной функции"
(г) = г П A — гт)*\ г = еш*> E.25)
т
коэффициенты Фурье которой суть числа Рамануджана т(т).
Отсюда следует, что число представлений а,; (т) числа т несоб-
несобственно примитивной формой / определителя 1 от 24 переменных
выражается через коэффициенты Фурье ряда Эйзенштейна /?12 и
числа Рамануджана %(т) (см. Серр A970)). Случай, когда имеется
более одной параболической формы, доставляет сумма 24 квад-
квадратов; здесь имеются две параболические формы С(—г) и С (г2)
и ряд Эйзенштейна A.7). Сравнение нескольких первых коэффи-
коэффициентов позволяет найти коэффициенты д формулах A.6) — A.8).
Снова пусть /ь ..., Д/—такие формы, что
Л/, е),
при некоторых /г, /V, б, и пусть 1 больше, чем размерность про*
странства М(к, п, г). Тогда должно выполняться соотношение
2>ув(//, 0-.0, E.26)
где Ь}^1 н не все Ь} равны 0. Такие соотношения иногда можно
доказывать элементарно (см., например, Кнеэер A967а)» ср. при-
примеры 20*-22 гл. 9). Однако теория модулярных форм позволяет
не только предсказывать, когда такие соотношения должны су»
ществовать, но также дает мощный метод для их доказательства.
Соотношение E.26) обязательно выполняется, если оно выпол-
выполняется для первых т0 коэффициентов Фурье левой части равен-
равенства, где т0 зависит только от к, N и е.
Гекке показал, что формула типа E.6) также обобщается на
формы от п»2Л>2 переменных и даже на модулярные формы
Ф^Л1(&, #, е). Мы будем говорить, что ф обладает каноническим
эйлеровым произведением, если преобразование Меллина от соот-
соответствующего степенного ряда по г = е2я" имеет вид
П A - X (р)р~* + р (р) р*-*-")-*. E.27)
Гекке показал, что модулярные формы ф такого типа порождают
все М(к}Ы,е). Докзззтедьдтед ЭТРГР получается из изучедвд
И*

412 Приложение Б. Аналитические методы
действия замечательного семейства линейных операторов Тр на
М(к, М, е), так называемых операторов Гекке. По этому поводу
мы должны отослать читателя к литературе. Эйхлер A952) пока-
показал, что в некоторых случаях действие операторов Гекке может
быть описано с помощью такой целой матрицы А, что /г (Ах) «■
*=/7г/а(х), где /п^2, а /$, /а—квадратичные формы из одного
рода. Однако кажется, что элементарный подход не столь мощен
и перспективен, как аналитический.
Если форма / положительно определена, но число перемен-
переменных нечетно, то требуется теория модулярных форм „полуцелого
веса". Эта теория оказывается не такой элегантной и не так
далеко развитой, как теория форм целого веса. Для неопреде-
неопределенных форм / некоторую информацию можно извлечь из анали-
аналитических функций, но модулярные формы, которые здесь естест-
естественно возникают, не являются аналитическими функциями от
переменной г, и опять теория становится менее удовлетворитель-
удовлетворительной и более глубокой, чем та, что обсуждалась в этом прило-
приложении.
ЗАМЕЧАНИЯ
Пункт 2. Формулы для числа классов бинарных форм явля-
являются частными случаями по крайней мере для фундаментальных
дискриминантов, формул для числа классов идеалов числовых
полей с абелевой группой Галуа.
Когда т > О представимо в виде суммы трех квадратов, Вен-
Венков A928, 1931, 1937) доказал формулы для числа классов Н (—т\
с помощью кватернионов. Его доказательство, хотя и элемен-
элементарно, но довольно сложно и не применимо к /пзэ 7 (той 8).
См. также Дэвис A976) и Орде A978).
Пункт 3. Результат Магнуса A937) о числах классов поло-
положительных квадратичных форм был обобщен на положительные
формы над вполне вещественными полями (Пфейфер A971)).
В письме к Гауссу, которое было опубликовано только не-
недавно, Эйзенштейн приводит формулы для числа классов поло-
положительных тернарных форм данного определителя (Эйзенштейн
A975), том 2, стр. 860—865). Не приводится никаких подроб-
подробностей доказательств, но похоже (см. там же, стр. 874—875), что
он использует знание веса рода и число форм данного опреде-
определителя, обладающих нетривиальными собственными автоморфиз-
автоморфизмами (ср. пример 15 гл. 9).
Пункт 5. Рассмотрение многих аспектов теории модулярных
форм от одной переменной и их приложений имеется в трудах
летней школы, которая в нашей библиографии стоит под назва-
названием Антверпен A972).

Примеры 413
Мы следовали многим определениям, принятым в этой школе;
в частности, вес модулярной формы определяли формулами E.10),
E.11). По этому поводу в литературе имеется масса терминоло-
терминологической путаницы. Так, Гекке использовал термин „размерность4*,
которую он определял равной —й. Ганнинг использует термин
„вес", но понимает под этим у к.
Существуют примеры неэквивалентных форм, которые обла»
дают одинаковыми 0-рядами, см. Витт A941), Кнезер A967а) и
Китаока A977).
По поводу приложений теории модулярных форм от многих
переменных см. относящиеся к этому работы Зигеля A966), а также
Зигель A934, 1967), Маас A971).
ПРИМЕРЫ
1. В обозначениях теоремы 2.1 показать, что
[]
— Е D).
если О<0—фундаментальный дискриминант.
2. Обозначим через % (г) характер мультипликативной группы
целых чисел, взаимно простых с я, по модулю п.
(г) Показать, что если я = /т, где / и т взаимно просты, то
где *ф и ф—характеры по модулю / и модулю т соответственно.
(II) Пусть
, л)-2%@*07/1),
где сумма распространена по всем целым числам по модулю л,
взаимно простым с я, и где
е(х) =*
Показать, что
г|?(т)ф(/)т(х, л
3. Показать, что кроме тривиального характера, равного тож-
тождественно 1, существует ровно один вещественнозначный харак-
характер по модулю р, где р—заданное простое число. Показать, что

414 Приложение Б. Аналитические методы
[Указание. Левая часть совпадает с
2 %(гв)е({г+8)/р).
г, с той р
Заменить переменные суммирования на г, I, где 5 «г? той р.
Тогда сумма по г равна нулю, кроме случая, когда I«— 1 (той р).]
4. Пусть О—фундаментальный дискриминант. Показать, что
[Указание, С помощью примера 2 свести к случаям, когда
= ±/?е=е 1 (той 4), где р — простое число, 0 = —4 или О = ±8.
После этого применить пример 3.
Замечание. Это совпадает с формулой B.20), кроме знака.
Набор различных доказательств того, что. знак всегда есть +,
имеется у Ландау A927), том 1, стр. 153—171. Одно из них на-
намечено ниже.]
5. Пусть я>1—целое число, и пусть Уп — положительный
квадратный корень. Для
пусть
— преобразование Фурье, задаваемое
Рассмотрим Р как линейное преобразование С" ~»С»,
(I) Показать, что Р*-»1, Вывести отсюда, что собственными
значениями для Р являются Iй, («««О, 1, 2, 3) с кратностями тш
где
л 4" т2 4-
(И) Показать, что Ра есть преобразование
а0 -►До, Д/ -^ «п-/, 1 О < п.
Найти отсюда то-\-т9 и т,4-т3.
^111> Ес^и я = /?, то показать, что след Р

Примеры 415
где х есть характер порядка ? мультипликативной группы целых
чисел по модулю р, взаимно простых с р. Вывести отсюда, что
(IV) Вычислить сИ Р. Вывести отсюда значение
и
и определить т0, ти т2, т3.
[Указание. Определитель является определителем Вандермонда
и выражается в виде произведения корней из единицы и синусов
рациональных углов.]
(V) Вывести, что
^ — 1(тоа4).
(VI) Обобщить приведенное выше так, чтобы вычислить гаус
сову сумму
й
различая случаи, когда п нечетно, я5= 2(той4) и па0(той4)
(см. Шур A921)).

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ
Термин „определитель" и обозначение й (•) используются в книге
в нескольких различных, но родственных смыслах в зависимости
от контекста. Для удобства они собраны ниже.
A) Пусть / (х) = 2 \цх1х] — квадратичная форма над полем к.
Тогда определитель й(}) формы / есть
а (/) = с1е1
где в правой части стоит определитель квадратной матрицы. Здесь
—элемент поля к.
(II) Определитель ^-класса эквивалентности регулярных квад-
квадратичных форм есть элемент из к*/(к*J, т. е. множество опреде-
определителей всех форм в классе. Для краткости, если форма / рас-
рассматривается как представитель своего класса, то ее определи-
определитель ^(/) иногда рассматривается -как элемент из к*/(к*J, а не
из к*\ например, это делается в гл. 4.
(Ш) Более общо, пусть I — кольцо в поле к и пусть V — его
группа единиц. Тогда определитель класса I-эквивалентности
Л-значных регулярных квадратичных форм есть элемент из к*/Ц2
(стр. 21). Если форма / рассматривается как представитель
своего класса I-эквивалентности, то для краткости возможно
такое же употребление термина определитель, как и в (и).
(IV) Если &*=<}, / —2, то в ситуации, рассматривавшейся в (Ш),
имеем {У*={±1}. Следовательно, определитель класса 2-эквива-
лентности регулярных 0-значных форм можно рассматривать как
элемент из О*.
(V) Два класса одного рода имеют одинаковый определитель
в смысле (IV) (стр. 156). Следовательно, определитель й($Г)
рода оГ можно считать элементом О*.
(VI) Определитель й(ц>) квадратичного пространства V, ф был
определен на стр. 27. Он либо равен нулю, либо есть элемент
из к*/(к*J.
В дополнение к перечисленному выше имеются обозначения
й(А) для определителя решетки А в К" (стр. 89) и с!(Г/А) для
относительного определителя двух решеток, лежащих в одном и
том же векторном пространстве (стр. 120). Определитель квад-
квадратной матрицы Т и эндоморфизма о векторного пространства
обозначаются соответственно через с!е1 Т и <1е4 (а).

ЛИТЕРАТУРА1)
Работы цитируются по фамилиям авторов и годам публикации. Если име-
имеется более одной работы того же самого автора за один год, то работы,
следующие за первой, различаются буквами а, Ь, с ..., следующими за годом,
например Шенкс A971), Шенкс A971а). Названия журналов приводятся, как
в Ма*Ь. Кеу1е\У5.
Не предп-ринималось'попытки отразить необъятную литературу по квад-
квадратичным формам. Читатель сможет найти дальнейшие ссылки в цитированной
"литературе. По этой причине была проявлена тенденция указывать более позд-
поздние работы по данной тематике, даже если они менее важны, чем не указан-
указанные более ранние работы. Ссылки на более раннюю литературу см. также:
Бахман A898), Диксон A919) и Лемер A941),
Антверпен (Ап1шегр)
A972) МосМаг ГипсНопз щ опе уапаЫе. I—VI. 5рпп&ег, ВегНп (Ьес1. по1ез т
,та1п., V. 320, 1973; V. 349, 1973; V. 350, 1973; V. 476, 1975; V. 601, 1977;
V. 627, 1977).
Артин (АтИп Е.)
A957) Оеоте1пс а1§еЬга. Ыегзаепсе, Ьопс1оп апс! №\у Уогк.
[Имеется перевод: Артин Е. Геометрическая алгебра.—М.: Наука, 1969.]
Барнс (Вагпез Е. 5)
A957) ТЬе сотрЫе епитегаНоп о! ех*гете зепагу Ьгтз. РЬПоз. Тгапз. Ноуа1
5ос. ЬопсЬп А 249, 461—506.
Бауер (Ваиег Н.)
A972) О1е 2-К1а$5еп2аЫеп зре21е11ег ^иас^га^^8спе^ 2аЫкбгрег. 3. тете ап§е\у,
Ма^Ь. 252, 79—81.
рахман (ВасЬтапп Р.)
О898) О1е Аг1*ЬтеНк с!ег яиайгаНзсЬеп Рогтеп. 1. АЫ., 1898.; B. АЫ., 1923)
ТеиЬпег, Ьегрг'щ.
A910) №ес!еге 2аЫеп1Ьеог1е. Вс1. I — II, ТеиЬпег, Ье1р2!§.
Бейкер (Вакег А.)
A975) ТгапзсепйепЫ питЬег И\еогу. С.II.Р., СатЬпс1§е.
Бейкер, Шинцель (Вакег А.7 5сЬтге1 А.)
A971) Оп Ше 1еаз1: 1п<;е§ег5 герге5еп1ес! Ьу ^епега оГ Ыпагу ^иа(^га^;^с Ьгтз.
Ас*а Аг11Ь. 18, 137—144.
Бернсайд (ВигпзШе ^.)
A911) ТЬеогу о! §гоирз о! НпНе огс!ег. Bпс1 ее!.) С.и.Р. СатЪпс1§е.
Берч, Давенпорт (В1гсЬ" В. 1.. Оауепрог* Н.)
A958) С?иас1га11с е^иа^^оп5 т зеуега1 уаг1аЫез. Ргос. СатЬпс1§е РЬНоз. 5ос. 54,
135— 138(=Оауепрог*, Со11. Шогкз Вс1. III, 1120 — 1123).
Бечмен (ВасЬггып О.)
A964) ЫгойисИоп {о р-ас11с питЬегз апй уа1иа1юп 1Ьеогу. "АР", Кеш Уогк—
Ьопс1оп. __
Блэни (В1апеу Н.)
A948) 1пс1еПш1е ^иас^га^;^с [огтз 1п п уаг1аЫез. Л. Ьопёоп МаШ. 5ос. 23,
153—160.
1) Работы, добавленные редактором, отмечены *.— Прим. ред.

418 Литература
Бонола (Вопо1а К)
A912) 1Чоп-еис11с1еап §еоте*гу. Ореп Соиг! РиЫ.
[Имеется перевод: A906): Бонола Р. Неевклидова геометрия. Пер. о
итал.—СПБ, 1906.]
Боревич 3. И., Шафаревич И» Р.
A972) Теория чисел. 2-е изд.—М.: Наука.
Борель (Воге1 А.)
A969) 1п1гос1исиоп аих &гоирез агИптё^иез. Ас*иаШёз 5с1. 1пс1., 1341, Нег-
тапп, Рапз.
Брак, Райзер (Вгиск К. Н., Кузег Н. Л.)
A949) ТЬе поп-ех1з1епсе о\ сег*ат НпНе рго]ес!1уе р1апез. СапасНап Л. МаШ.
2, 93 — 99.
Брандт (ВгапсИ Н.)
A924) Оег КотрозШопзЬе^гШ Ье1 с!еп диа!егпагеп диаск-атлзспеп Рогтеп. Ма*п.
Апп. 91, 300—315.
A925) О1е Наир1к1аззеп т с!ег КотрозШопз1:пеопе йег яиа*егпагеп яиайгаизсЬеп
Рогтеп. Ма1Ь. Апп. 94, 166—175.
A925а) ЦЬег сНе Котроп1еЬагкеИ диа1егпагег диайгаизсЬег Рогтеп. Ма1Ь.
Апп. 94, 179—197.
A928) ЫеаНЬеопе 1п риа!егпюпепа1§еЬгеп. Ма1Ь. Апп. 99, 1—29.
A943) 2иг 2аЬ1еп1Ьеопе с1ег (Зиа1егпюпеп. ЛЬег. Оеи1<;сп. Ма1Ь.-Уеге1п. 53.
23—57.
Брандт, Интрау (Вгапс11 Н., 1п1гаи О.)
A948) ТаЬеНеп гес!и21ег1ег розШуег 1егпагег яиас!га115сЬег Рогтеп. АЬЬ. ЗасЬз.
Акай. Ш155. Ма1Ь.—Иа1 К1. 45, N0 4, 261 рр.
Бриггс. Човла (Вп§^8 ^- Е., СЬо^1а 5.)
A954) Оп с!15СГ1т1пап1§ оГ Ыпагу ^иас1га^^с Ьгтз ^1Ь а 81п§1е с1а§з 1п еасЬ
^епиз, Сапас11ап Л. Ма1Ь. 6, 463—470.
Брюмер (Вгитег А.)
A978) Кета^^ие8 зиг 1ез соир1ез с!е Ьгтез яиас!га11^ие5. С. Я. Асас1. §С1,
Рапз, зег А 286, 679—681.
Бурбаки (ВоигЬаИ К.)
A972) Е1ётеп15 с!е та1Ьёта^ие. Огоирез е! а1§еЬгез с!е [ле, СЬар. 1, СЬар.
2—3. „Негтапп", Раг15.
[Имеется перевод: Элементы математики. Группы и алгебры Ли, гл. 1—3.
Пер. с фр. — М.: Мир, 1976.]
Бьюэл (Вие11 О. А.)
A977) 5та11 с1азз-питЬегз апс! ех!егете уа1иезо! Ь-!ипс1юпз оГ диайгаис ПеЫз.
Ма1Ь. Сотр. 31, 786—796.
Вада (\Уас1а Н)
A970) ТаЫе оГ 1с1еа1 с1азз дгоирз т 1та§1пагу диа^гаИс ПеИз. Ргос. 3арап
Асас1. 46, 401-403.
ван дер Варден (уап с1ег \^аегс!еп В. Ь.)
A956) Э1е Йес1исиопз1Ьеог1е с!ег роз1иуеп яиа^гаизсНеп Рогтеп, Ас1а, МаШ.
96, 265 — 309.
Вейль (ШеП А.)
A961) Ас1е1ез апс! а1&еЪгак ^гоирз. Ьес1иге по!еь. 1пз1. Ас1. 51ис1у, Рппсе1оп.
[Имеется перевод: Вейль А. Адели и алгебраические группы. — В сб.
пер Математика, 8: 4 A964). 3 — 74.]
A962) 5иг 1а 1пёопе с!ез гогтез циайгайдиез. — 1п. СоПояие зиг 1а 1пёопе с1ез
дгоиреь а!бёЬг1диеь (Вгихе11е$^ 1962, 9 — 20). Ьоиуат е! Оаи1г11ег-У111агз
Раг15, 9 — 22 (^Оеиугез ял., V. И, 471-484).
A965) 5иг 1а ?огти1е с1е 51еде1 с!апь 1а 1Ьёог1е с!е §гоиРе8 с1аз5^^иез Ас1а
МаШ. ИЗ, 1 —87 (= Оеиуге^ 5С1.. V. III, 71 — 157).
*A980) Оеиугез «с1епт1Пдиеч, V. I — III. B. Рпп1.) Зрпп^ег, N6^ Уогк а. о.
Вейнбергер (\УетЬег^ег Р. ^.)

Литература~419
A973) Кеа1 яиас1гаис ПеЫз м1Ь с1азз питЬег с11У1з1Ые Ьу п. Л. ШтЬег ТЬе-
огу 5, 237—241.
Венков Б. А,
A922) Об арифметике кватернионов. I—-II. Изв. Росс. Акад. наук F) 16,
205—220, 221—246
A928) О числе классов бинарных квадратичных форм отрицательных опреде-
определителей.—Изв. АН СССР, отд физ.-мат. наук, 375—392, 455—480.
A929) Об арифметике кватернионов III — V. Изв. АН СССР, отд. физ.-мат. на-
наук 489 — 504, 535 — 562, 607—622,
A931) ОЬег (Не ЮаззепгаЫ розШуег Ыпагег ^иас^гаи5спег Рогтеп. Ма1Ь. 2.
33, 350—374.
A937) Элементарная теория чисел. ОНТИ, М. -Л. (есть англ. пер с доп.: Уеп-
коу В. А. Е1етеп1агу пшпЪег 1Ьеогу. ШоИегз—ИоогсШоГГ, Сгопт^еп, 1970).
*( 1937а) Об арифметической группе автоморфизмов неопределенной квадратич-
квадратичной формы. Изв. АН СССР, сер. мат., 1, 139—170.
A940) О приведении положительных квадратичных форм. Изв. АН СССР, сер.
мат., 4, 37—52.
A945) Об экстремальной проблеме Маркова для неопределенных тройничных
форм. Изв. АН СССР, сер. мат., 9, 429 — 494.
*( 1951) О неопределенных квадратичных формах с целыми коэффициентами.
Труды Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 38, 30 — 41.
*A981) Исследования по теории чисел. Избранные труды.—Л.: Наука [содер-
[содержит все цитированные работы, кроме A937)].
Виллердинг (\\Ш1егшп|[ М. Р.)
A948) Ое1ептппаиоп оГ а11 скззез о! розШуё диа(егпагу ^иас^га^^с Гогтз \уЫсЬ
гергезеп! а11 (розШуе) т1е&егз, Ви11. Атег. Ма1Ь. Зое. 54, 334 — 337.
Винберг Э. Б.
A972) О группах единиц некоторых квадратичных форм. Мат. сборн. (н. с.)
87, 18—36.
A972а) Об унимодулярных целочисленных квадратичных формах. Функц.
анализ и прил. 6, 24 — 31.
Виноградов И. М.
*A965) Основы теории чисел.—М.: Наука.
Витт (ШИ Е.)
A936) ТЬеопе с1ег циа^гаИзспеп Рогтеп т ЬеНеЫ^еп Кбгрегп, Л, гете ап§ето.
Ма1Ь. 176, 31—44.
A941) Ете ЫепШа! гш15сЬеп Мос1и11огтеп гшеЛеп Сгайез, АЬЬ. Ма1, Зет.
Нап515сЬеп Итч. (НатЬигб) 14, 323—337.
Вороной Г. Ф.
A908) Зиг ^ие^^иез ргорпё!ё$ с1ез Гогтез ^иасIга^^^ие5 розШуез рагГаНез, ^.
ге1пе ап§еш. Ма1Н. 133, 97—178.
[Имеется перевод: О некоторых свойствах положительных совершен-
совершенных квадратичных форм. Собр. соч., т. II, 171—238.]
♦A909) КесЬегспез зиг 1ез рага11е!оёс1гез рптЦН, I — II, гете ап^е\у. Ма1Ь.
134 A908), 198 — 287; 136 A909), 67—179.
[Имеется перевод: Исследование о примитивных параллелоэдрах. Собр.
соч., т. II, 239—368.]
♦A952) Собрание сочинений. Изд. АН УССР, Киев, тт. I —II, 1952; т. III, 1953.
Ганнинг (Сшпшпд К. С.)
A962) Ьес1игез оп тосЫаг Гогтз. Р.II.Р., Рппсе1оп.
[Имеется перевод: Лекции о модулярных формах.—В сб. пер. Мате-
Математика, 8: 6 A964), 3 — 68.)
Гаусс (Саизз С. Р.)
A801) О^шзШопез агИптеНсае. Р1е1зсЬег, Ыр51ае A.е\ргщ) (= Шегке, Вс1. I.)
[Имеется перевод: Арифметические исследования.—В кн.: Труды по тео-
теории чисел. М.: Изд. АН СССР, 1959 7—583.]
A870) ХУк ОбШ

420 Литература
Гекке (Неске Е.)
A940) Апа1уНзсЬе АпИипеНк йет розШуеп ^иас^^а^^5Ьеп Рогтеп. Эапзке V^с^.
5е1зк. Ма1Ь.-И8. МесМ. 17 № 12, 134 р. (= Ма*Ь. №егке, 789—918).
A959) Ма1ЬетаизсЬе Шегке. Уап^епЬоеск ипс! КиргесЫ, СоШп^еп..
Германн (Оегтапп К.)
A963) ТаЪеПеп гес11шег1ег, розШуег яиа!егпагег яиайгаизсЬег Рогтеп. Соттеп!.
Ма1Ь. Не1у. 38, 56—83.
Герстен (СеЫеп I.. 3.)
A972) ТЬе §го\у!Ь оГ с1азз питЪеп* оГ ^иас^^аис Гогтз, Атег. 3. Ма1Ь. 94,
221—236.
Головизин В. В.
* A981) О распределении целых точек на поверхностях второго порядка. Зап.
науч. семинаров ЛОМИ, 106.
Гринберг (ОгеепЬегб М. 3.)
A972) ЕисНйеап апс1 поп-еисН<1еап ^еотеШез. Ргеетап, Зап. Ргапазсо.
Гроссуолд (Огозз^аЫ Е.)
A963) Ке^атлуе A15сг1гп1пап15 о[ Ь1пагу диайгаНс Гогтз ш!Ь опе с1аз5 1п еасЬ
§епиз, Ас1а АгНЬт. 8, 295—306.
Гурвиц./Нипу^г А.)
A896) ОЬег (Ие 2аЫеп1Ьеопе с!ег риа1егпюпеп, КасЬг. К. ОезеН. Ш155. ОбШп-
^еп, Ма1Ь. —РЬуз. К1. 1896, 313 — 340. (= Ма!п. Шегке, Вс1. И, 303—330).
A898) ОЬег (Не КотрозхНоп с!ег ^иас^^а^^5спеп Рогтеп уоп ЬеНеЫ^ У1е1еп
УапаЬе1п, КасЬг. К. ОезеИ. Ш155. ОоШп^еп, Ма1Ь. —РЬуз. К1. 1898,
309—316. (= Ма1Ь. ^егке, В± II, 565—571).
A919) УрНезип^еп йЬег (Не 2аЫеп1пеопе с!ег риа1егп1опеп, 5рпп§ег, ВегНп.
A923) ОЪег.сНе Котро5111'оп с!ег ^иас^га^^5сЬеп Рогтеп, Ма1Ь. Апп. 88, 1—25.
(= Ма1Ь. Шегке Вс1. II, 641—666).
A962) Ма1ЬетаизсЬе.Шегке (В4. I —II). ВккЬаизег, Вазе1 —51и11§аг1.
Давенпорт (Оауепрог! Н.)
A949) Оп тйеПпЦе 1егпагу ^иа(^га^^с Гогтз, Ргос. Ьопс1оп МаШ. 5ос. B), 51,
145—160. (= Со11. Шогкз, V. 1,261—276).
A971) Ното^епеоиз ^иа(^гаис еяиаНопз, Ма1ЬетаНка 18, 1—4 (Со11. Шогк§,
V. 3, 1125—1128).
A977) Со11ес1ес1 Шогкз, V. I — IV, А. Р., Ьопск>п.
Давенпорт см. Берч
Дарфи (ригГее А. Н)
A977) ВШпеаг апб ^иа(^га^^с Гогтз оп 1огзюп тос!и1ез, А^уапсез 1п МаШ. 25,
133 — 164.
Дедекинд см. Дирихле.
Делоне Б. Н.
* A937) Геометрия положительных квадратичных форм. Успехи мат. наук,
вып. III, 1937, 16 — 62; вып. IV, 1938, 102—164.
Джоунс (Лопез В. \\Л)
A935) А 1аЫе ог Е1зепз1е1п — гейисес! розШуе 1егпагу ^иа(^га^^с Гогтз о? с1е1ег-
тшап! < 200, Ви11. N81. 1^ез. Соипа1, 11.5.А. 97, 1—51.
A944) А сапошса1 ^иас^га^^с Гогт !ог 1Ье г1Пб о! 2-асИс 1п1ебегз, Эике Ма1Ь. ,1.
11, 715 — 727.
A949) ТЬе сотрозШоп о! ^иас^гаис Ыпагу Гогтз, Атег. Ма1Ь. Моп1Ыу, 56,
380—391.
A950) ТЬе апШтеНс 1Ьеогу оГ аиа^гаНс Гогтз, \^Иеу, Ва1Нтоге.
A977) (ЗиазЬ^епега оГ аиайгаНс Гогтз, 3. ИитЪег ТЬеогу 9, 393 — 412.
Джоунс, Полл («Ьпез В. XV., Ра11 С.)
A939) Ке§и1аг апб 5ет1-ге^и1аг розШуе 1егпагу ^иас^гаис Гогтз, Ас1а Ма1Ь. 70,
165—191.
Джоунс, Уотсон (Лопез В. XV., Ша1зоп С. Ь.)
A956) Оп 1ПAеГ1Л11е ^егпагу ^иас^га^^с Гогтз, Сапас11ап 3. Ма1Ь., 8, 592—608.
Диксон (Оккзоп Ь. Е.)

Литература21
A919) Шз1огу оНЬе 1Ьеогу о\ питЬегз, уо1з I— 1И,Сагпе&1е 1пзШи1е,
1оп. Керг.: "СЬе1зеа", №\у Уогк, 1952.
.A930) 51исНе5 т 1Ье 1Ьеогу о\ питЬегз, и.СЬ.Р., СЫса^о.
Дирихле (Ье}еипе ЭтсЫе! Р. О.)
A851) Ое Гогтагит Ыпагшт зесипсН §гас1и5 сотрозШопе, ВегоНш Тур1з Аса-
Издано и снабжено дополнениями Дедекиндом в: Л. гете ап§е\у. Ма1Ь,
47 A854), 155—160 (= Шегке Вс1. II, 105—114, Кеипег, ВегНп 1897).
Дирихле, Дедекинд (Ье]еипе ОтсЫе! Р. С, ОейеЫпс! К.)
A863) Уог1е5ип§еп йЬег 2ап1еп1Ьеопе. У1е^е^, ВгаипзсЬ\уе1§.
(Последующие издания: третье A879), четвертое A894) содержат сущест-
существенно больше материала Дедекинда, чем первое издание). (Имеется пе-
перевод: Лежен Дирихле П. Г. Лекции по теории чисел, „ОНТИ", М. Л.,
1936.)
Дойринг (Оеипп§. М.)
A935) А1§геЪгеп, 8рпп§ег, ВегНп а.о. (герг.: СЬе1зеа риЬ. Со., №\у Уогк, 1948).
Дьедонне (О1еис1оппё Л.)
A955) Ьа §ёотё!г1е с!ез §гоирез с1а^5^^ие5, 5рг1п§ег ВегНп а.о.
[Русск. пер.: Геометрия классических групп. Пер. с фр.— М.: Мир. 1974.]
Дэвис (Оау1ез К. Ш.)
A976) С1аз5 питЬег Гогти1ае Гог 1та§тагу ^иа(^гаис ПеМз, I — П. Л. гете
ап^е™. Ма1Ь., 286/287 A976), 369—379; 299/300 A978), 247—255.
Зигель E1е§е1 С. Ь.)
A934) Ьес1игез оп 1Ье апа1уНс 1Ьеогу о\ ^иас^га^^с Гогтз, [Зге! геу. ее!.]:
РеррегтйНег, ОоШп^еп, 1963, 243 р.
A935) СЬег (Не апа1уизспе ТЬеопе с!ег ^иа(^га^^5сЬеп Рогтеп, Апп. оГ Ма1Ь.
36%, 527—606 ( = Се5. АЬЬ. Вс1. I, 326—405).
A935а) Шег сИе СЬззепгаЫ яиа^гаНзсЬег Когрег, Ас1а АпШ. I, 83—86
..( = Сез. АЬЬ., Вс1. I, 406—409).
A937) ОЪег йГе апа1у115сЬе ТЬеопе с1ег ^иа(^га^^5сЬеп Рогтеп III Апп. о\ Ма1п,
38, 212 — 291 ( = Оез. АЬЬ., Вс1. I, 469—548).
A940) ЕтпеМеп ^иа(^га^^5сЬег Рогтеп, АЬЬ., Ма1Ь. Зет. Напз15сЬеп \3х\\\.
(НатЬиг§) 13; 209—239 ( = Се§. АЬЬ., Вс1. II, 138-168.)
A941) Е^шуа1епсе о\ ^иас^га^^с Гогтз, Атег. 3. Ма1Ь. 63, 658—680 ( = Оез.
АЬЬ., Вс1. II, 217—239).
A951) 1пс1еНп11е ^иас1гаи5сЬе Рогтеп ипс! РипкНопеп1Ьеопе I, Ма1Ь. Апп. 124,
17 — 54 ( = Се5. АЬЬ., ВЬ. III, 105—142).
A959) 2иг Кес1ис1юп51Ьеопе яиа^гаизсЬег Рогтеп, РиЫ. Ма1Ь. 5ос. ^арап 5,
IX+69 рр. ( = Сез. АЬЬ., ВЬ. III, 275—327; ВЬ. IV, 329—330.)
A966) Сезаттеке АЬЬапсИип^еп Зрпп^ег, ВегНп. Вс1. I —III, 1966; Вс1. IV, 1979.
A967) Ьес1игез оп ^иа(^гаис Ьгтз [Та1а 1пз1. Ьес1. 1п Ма1Ь., N 7]. ВотЬау,
192рр.
A972) 2иг ТЬеопе с!ег яиа^гаНзсЬеп Рогтеп, №спг. Акас1. Ш1зз. Со111п§еп
1972, 21—46 ( = Сез. АЬЬ., ВЬ. IV, 224—249).
A973) 1Чогтеп а!беЬга1зсЬег 2аЫеп, №спг. АкасЗ. Ш|зз, Сои1п^еп, Ма1Ь.— РЬуз.
К1. 1973, Ш7—215 (=Сез. АЬЬ., ВЬ., IV, 250—268).
Инс Aпсе Е. Ь.)
A934) Сус1ез о! гейисес! 1Aеа1з 1П ^иас1га^^с ПеЫз, Ма1ЬетаИса1 1аЫез, уо1.
IV, ВпИзЬ Аззос1аНоп.
Капланский (Кар1апзку I.)
A968) СотрозШоп о! Ыпагу ^иа(^га^^с Ьгтз, 51ис11а Ма1Ь. 31, 85 — 92.
A969) ЗиЬтосЫез о! ^иа^егп^оп а1§еЬгаз, Ргос. Ьопйоп Ма1Ь. 5оз. C), 19
219-232.
Касселс (Са^зе1з Л. XV. 5.)
A955) Воипс1? Гог 1Ье 1еаз1 зокШопз о! Ьото^епеоиз ^иас1га^^с е^иа^^опь) Ргос.
СатЬпс^е РЬНоз. 5ос. 51, 262—264 апё 52 П956), 604.

422 Литература
A957) Ап ш1гос1исНоп 1о сНорЬапНпе арргохипаНоп, "С. II. Р.", СатЬпс1§е.
[Имеется перевод: Касселс Дж. Введение в теорию диофантовых при-
приближений.—М.: ИЛ, 1961.)
A959) Ап ЫгойисНоп 1о 1Ье §еоте1гу о\ питЪегз, рпп§ег", ВегИп а.о
ОоШп^еп, Не1с1е1Ьег§.
[Имеется перевод: Касселс Дж. Введение в геометрию чисел.— М.
Мир, 1965.]
A959а) Ыо1е оп яиайгаИс Гогтз оуег 1Ье гаНопа1 ПеЫ, Ргос. СатЪпс^е РЬПоз
5ос. 55, 267—270.
A962) Шег (Не Аашуа1епг 2-асИзсЬег ^иас1га^^5сЬег Рогтеп, Соттеп*. Ма1Ь.
Не1у. 37, 61—64.
A964) Оп 1Ье гергезегйаНопз о\ гахюпа1 гипсНопз' аз зитз о\ щигтеъ, Ас1а
АгйЬт. 79—82.
A967) С1оЬа1 ПеЫз. 1п: А^еЬгаш питЬег 1Ьеогу (ейз. 3. XV. 5. СаззеЬ апс!
А. РгоЬИсЬ). СЬ. 2, "А. Р.", Ьопдоп, №\у Уогк.
[Имеется перевод: Глобальные поля: В кн. Алгебраическая теория
чисел.—М.: Мир, 1969, 72—134.]
A976) Ап 1тЪес1сНп& 1Ьеогет Гог ПеИз, Ви11. Аиз1га1. Ма1Ь. 5ос. 14, 193—198,
479—480.
* A980) КаНопа1е яиаагаНзсЬе Рогтеп. ЛЬег. Оеи1зсЬ. Ма1Ь.— Уегет, 82, 81—93.
Касселс, Эллисон, Пфистер (СаззеЬ Л. ^. 5., ЕШзоп XV. Л., РПз1ег А.)
A971) Оп зитз о? 5^иаге5 апс1 оп е1Нр{1с сигуез оуег ГипсНоп !1е1с1$, 3. ЫитЬег
ТЬеогу 3, 125—149.
Касселс, Фрёлих (СаззеЬ 3. XV. 5., РгбЬНсЬ А.)
A967) (Ейз.) А1§еЬга1с питЬег Шеогу, "А. Р.", Ьрпйоп, N6^ Уогк.
[Имеется перевод: Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория
чисел.— М.: Мир. 1969.]
Кирмзе (К1гтзе 3.)
A924) 2иг Оагз1е11ип§ 1о!а1 розШуег 2аЫеп а1$ Зитте уоп У1ег Риас1га1еп,
МаШ. I. 21, 195—202.
Китаока (К^аока V.)
A977) РозШуе йеПпИе Ьггп5 ш!Ь 1Ье зате герге5еп1а11оп питЬегз, АгсЬ. МаШ.
(Вазе1) 28, 495—497.
A977а) 5са1аг ех!еп510П5 о! яиа^гаНс 1аШсез, №§оуа Ма1Ь. 3. 66, 139—149.
Китаока см. Сия
Клейн (К1еш Р.)
A928) УоНезип^еп йЬег п1сЫ-еикНA15сЬе Оеоте1г1е. рпп§ег", ВегНп.
[Имеется перевод: Неевклидова геометрия—М.-Л.: ОНТИ, 1936.]
Клейн, Фрикке (К1ет Р., Рг1ске 1^.)
A890) ТЬеог1е с!ег еШрИзсЬеп МоскшипсМопеп B Vо15.) ТеиЬпег, Ъе\р2'щ.
Клейн см. Фрикке
Клостерман (К1оо51ёгтап Н. Б.)
A926) Оп 1Ье гергезеп^Ноп оГ питЬег$ т 1Ье Гогт ах2 + Ьу2 + сг2 + Ш2. Ас!а
Ма1Ь. 49, 407—464.
Кнезер (Кпезег М.)
A954) 2иг ТЬеопе дет Кп51а11бШег, Ма1Ь. Апп. 127, 105—106.
A956) К1аз5еп2аЫеп тёеПпйег диайгаИзсЬег Рогтеп, АгсЬ. Ма1Ь. (Вазе1) 7,
A957) ЮаззепгаЫеп йеПпНег яиайгаИзсЬег Рогтеп, АгсЬ. Ма1Ь. (Вазе!) 8,
241—250.
A959) Юете Ьозип^еп с!ег (НорЬапи8сЬеп С1е1сЬип§ ах2 + Ьу2 = сг2. АЬЬ.
Ма1Ь. Зет. \5му. НатЬиг§ 23, 163-173
A961) Оаг81е11ипб5та55етс1еГ1П11ег яиа^гаизсЬег Рогтеп, Ма1Ь. 2. 77, 188 — 194.
A965) 51агке Арргох1таНоп 1п а1§еЬга15сЬеп Сгирреп I, 3. тете ап§еш. МаШ.
218, 190—203.
A966) 5!гоп§ арргохтаНоп, 1п: А1деЬгак ^гоирз апс! сНзсопНпиош зиЬ^гоирз.
(Ргос. Зутроз. Риге Ма*Ь., ВоиЫег, Со1о. 1965), 187—196.

Литература 423
A967) 8егш-51тр1е а^еЪгак &гоирз, 1п: А1§>еЬга1с питЬег Шеогу (см. Касселс,
Фрёлих A967), 250—265).
A967а) Ьтеаге Ке1а1юпеп г\мзспеп ОагзгеНип^апгаЫеп дигйгаизсЬег Рогтеп,
МаШ.* Апп. 168, 31—39.
A974) С2иас1гаи$сЬе Рогтеп, МаНаетаНзсЬез 1п51Ни1, СоШп&еп рирНса1ес1
1ес1иге погез].
Кнезер см. Сия
Коблиц (КоЫИг N0
A977) р-ас1ю питЬегз, р-асНс апа1уз18 апс! гега-ГипсНопз, рпп§ег", №\у Уогк
Коган Л. А.
A971) О представлении целых чисел положительно определенными квадратич-
квадратичными формами.— Ташкент: Фан.
Коксетер (Сохе1ег Н. 8. М.)
A942) 1Уоп-еисНс1еап §еоте!гу, I]. Т. Р., Тогопго.
Конвей (Сопхуеу »!. Н.) ^
A973) 1пуапап!$ Гог ^иа(^га^^с Гогш8, ;!. ЫитЬег ТЬеогу 5, 390—404.
Кортум, Мак Нил (Ког1ит 1^., МсЫ1е1 О.)
A968) А 1аЫе оГ рег1рсИс сопЦпиес! Ггас1юп$, ЬосЬпеес!, 5иппус1а1е, СаНГот1а
(Согг.: Ма1Ь. Сотр. 23 A969), 217, 219.)
Лам (Ьат Т. V.)
A973) ТЬе а1§еЬга1с 1Ьеогу о! ^иас^га^^с Гогта, Веп]ат1п, Неас31Пб. Ма58.
Ландау (Ьапс1аи Е.)
A909) НапйЬисЬ с1ег ЬеЬге уоп с!ег Уег1еИип§ с1ег РптгаЫеп, ВсЗ. I —II.
"ТеиЬпег", 1е\рг'щ, ВегНп (Керг.: СЬе1зеа, Ые\у Уогк, 1953).
A927) УоНезип^еп иЬег 2ап1еп1пеопе, Вё. I — III, Шг2е1, Ье1р21§. (Керг.:
СЬеЬеа, Ые\у Уогк, 1950, 1952).
Лежандр Aе&епс!ге А. М.)
A798) Е5$а1 зиг 1а Шёопе с1ез потЬгез, Раг1з
(Третье издание: ТЬеопе с!ез потЬгез, V. I — II, Ркгшп О1<Ы Ргёгез,
Раг13, 1830, Керг.: Негтапп, Раг13, 1900.)
Леккеркеркер (Ьеккегкегкег О. О.)
A969) Оеоте1гу о! питЬегз, ШоИегз—ЫоогсЗЬоИ, Сгоп1п§еп; Ког1Ь-Но11апс1,
Атз<;егс1ат — Ьопс1оп.
Лемер (ЬеЬтег О. Н.)
A941) Си1с1е 1о 1аЫез 1п 1Ье 1Ьеогу о! питЬегз, Ка1. Асас1. 5с1., ^азЬ1п§1оп, ^. С.
Линник Ю. В.
A939) Одна общая теорема о представлении чисел отдельными тернарными
квадратичными формами. Изв. АН СССР, сер. мат., 3 87—108. (=Избр.
тр., 59—81.)
A940) О представлении больших чисел положительными тернарными квадра-
квадратичными формами. Изв АН СССР, сер. мат., 4, 363—402 (=Избр. тр.,
84—122.)
A949) Кватернионы и числа Кэли: некоторые приложения арифметики кватер-
кватернионов. Успехи маг. наук 4, № 5, 49—90.
A956) Асимптотическая геометрия гауссовых родов: аналог эргодической
теоремы. Докл. АН СССР 108, 1018—1021. ( = Избр. тр., 201—205.)
*A967) Эргодические свойства алгебраических полей.— Л.: Изд. Ленинград,
ун-та.
*A979) Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и /,-функции.—
Л.: Наука.
Линник Ю. В., Малышев А. В.
A953) Приложения арифметики кватернионов к теории тернарных квадратичных
форм и к разложению чисел на кубы. Успехи мат. наук 8, № 5, 3—71;
10, № 1, 1955, 243—244.
ЛИПШИЦ Aлр5СГП12

424 Литература
A886) 1Мег5исЬипбеп йЬег (Не Зитгпеп уоп (Эиас1га1ец, Мах СоЬеп ипс! 5оЬп,
Вопп.
A959) Соггезропс1епсе, Апп. Ма1Ь. 69, 247—251.
Лиувилль AЛо1ш11е 3.)
A858—65) 5иг ^ие1^ие5 Гогти1ез ^епёта\е8 яш реиуеп! ёЧге иН1ез йапз 1а 1Ьёопе
с!ея потЬгез, 3. Ма*Ь. ригез арр1. B) 3 A858), 143 — 152, 193—200,
201—208, 241—250, 273—288, 325—336; 4 A859), 1—8, 72 — 80,
111-120, 195—204, 281—304; 5 A860), 1—8; 9 A864), 249-256,
281—288, 321—336, 389—400; 10 A865), 135—144, 169—176.
Ломадзе Г. А.
A978) Формулы для чисел представлений чисел некоторыми регулярными и
полурегулярными квадратичными формами, принадлежащими двуклас-
двуклассным родам, Ас1а агМЬ. 34, 131 —162.
Лоренц (Ьогепг Р.)
A970) (ЭиайгаНзсЬе Рогтеп йЬег Когрегп, "Зрпп^ег", ВегНп [Ьес1. по*ез т
та*Ь., V. 130].
Маас (Маазз Н.)
A971) 51е&е1'$ тос!и1аг Гогтз апс1 О1НсЬе11 зепеБ, "Зрпп&ег", ВегНп [Ьес*.
по*ез 1П та!Ь., V. 216].
Магнус (Ма^пиз XV.)
A937) 11Ьег сИе АпгаЫ йет \п е!тет ОезсЫесЫ еп!Ьакепеп К1а$5еп уоп розь
Нуо-с1еПпЦеп ^иас^га^:^5сЬеп Рогтеп, Ма1Ь. Апп. 114, 465 — 475; 115,
643—644.
Малер (МаЫег К.)
A973) 1п<;гос1исНоп 1о р-асИс питЬегз апс! 1Ье1Г ГипсМопз, С. II. Р., СатЬг1с1бе.
Малышев А. В.
A961) Новый вариант доказательства теоремы Штуффа—Минковского око-
оконечности числа граней области проведения Зрмита. Успехи мат. наук
16, № 2, 127—129.
A962) О представлении целых чисел положительными квадратичными формами,
Труды МИАН т. 65. М.—Л.:. Изд. АН.
* A979) Дискретный эргодический метод Ю. В. Линника и его дальнейшее
развитие.— В кн.: Линник. Избранные труды A979), 418 — 430.
Матьюз (Ма1пе\У5 О. В.)
A892) ТЬеогу оГ питЬегз, Эе^Моп ВеП, СетЪгМбе; герг.: Спе1зеа, №\у Уогк.
Меннике (Мепшске Л.)
A967) Оп 1пе ^оир оГ ипПз оГ 1егпагу ^иа(^га^;^с Гогтз ш1Ь га!1опа1 соеГПс1-
еп!з, Ргос. Коу. 5ос. ЕйтЬигбЬ А 67, 309 — 352.
Мейер (Меуег А.)
A891) 2иг ТЬеопе с!ег шйеГшкеп яиайгаизсЬеп Рогтеп, 3. тете ап^е^. Ма1Ь.
108, 125—139.
* A894) ОЬег шйеПпИе 1егпаге ^иас^га^;^зсЬе Рогтеп. 3. тете ап^е^. МаШ.,
113 A894), 186—206; 114 A895), 233—254; 115 A895), 160—182; 116
A896), 307—325.
Мейер И. (Меуег 3.)
A977) РгазепЫюп с1ег ЕтпеМеп^гирре с1ег ^иа(^га^;^5сЬеп Рогт Р(х) = — х1~\-
+х1+...+х21 АгсЬ. Ма1Ь. (Вазе1), 29, 261—266.
Милнор, Хьюзмоллер (М11пог Л., НизетоНег О.)
A973) 5утте1пс ЫНпеаг Гогтз, Зрип^ег, ВегНп а.о.
Минковский (М1пко^зк1 Н.)
A885) 1Мегзиспип^еп йЬег яиайгаНзсЬе Рогтеп. Ас1;а Ма^Ь. 7, 201 —258
(=Сез. АЬЬ. Вс1. I, 157 — 202).
A886) ОЬег розШуе яиайгаНзсЬе Рогтеп, 3. гете а^е\у. Ма{\\. 99, 1—9 ( = Сез.
АЬЬ. Б± I, 149—156).
A887) 2иг ТЬеог1е с1ег роз1{1уеп яиа^гаизсЬеп Рогтеп, 3. тете а^е\у. Ма1:Ь.
10.1, 196 — 202 (-Оез. АЬЬ. Вс1. I, 212-218).
*A890) ОЬег (Не ВесИп^ип^еп, ип!ег \уе!сЬеп хше! ^иаAга^^5сЬеп Рогтеп тИ

Литература425
га1юпа1еп КоеШ2леп1еп 1пе1пап<1ег гаНопа1 1гап$!оггшег{ тоегйвп кбппеп.
3. гете ап^е^. Ма*Ь., 106, 5—26 ( = Оез. АЬЬ., Вс1. I, 219—
230).
A905) О15коп1:тш1а15Ъеге1сЬ Шг агИЬтеИзсЬе А^и^Vа1еп2, 3, ге\пе а^ето. Ма1Ь.
129, 220—274 ( = Сез. АЬЬ. Вй. II, 53 — 100).
A911) СезаттеНе АЬЬапсИипбеп, Вс1. I — II, ТеиЬпег, Ье1р21#—ВегНп. (Керг.:
СЬе1зеа, Ые\у Уогк, 1967).
Морделл (Могс1е11 Ь. 3.)
A969) ОюрЬагллпе еяиаНопз, АР, ЬопсЬп—№™ Уогк.
Нагелл (№&е1] Т.)
A922) \]Ъет (Не ЮаззепгаЫ 1та^1паг^иас1га115сЬег 2аЫкогрег, АЬЬ. Ма1Ь.
Зет. Шу. НатЬигб 1, 140—150.
Нилд. Шенкс (ЫеПс1 С, ЗЬапкз Б.)
A974) Оп 1Ье 3-гапк о^ ^иа(^га^^с НеЫ8 апс! Ше Еи1ег ргойис!, Ма1Ь. Сотр. 28,
279—291.
Нимайер (Ы1ете1ег Н. V.)
A973) Е)еПт1е яиайгаизсЬе Рогтеп <1ег О18спт1пап1е 1 ипсЗ В1теп81оп 24, ч1.
ЫитЬег ТЬеогу 5, 142—178.
Обри (АиЬгу Ь.)
A912) 5о1ииоп с!е ^ие1^ие8 ^ие5иоп5 б'апа1у5е шс1е1егпппее, ЗрЫпх — ЕсПре 7
81 —84.
Огг (О^ А.)
A969) МосМаг Гогтз апд О1псЫе1 зепез, Веп]ат1п, Ые\у Уогк—Ат51егс1ат.
О'Мира (О'Меага О. Т.)
A958) ТЬе 1п1ебга1 герге$еп1аиоп оГ ^иа(^га^^с Гогтз оуег 1оса1 ГгеЫз, Атег. 3.
Ма1Ь. 80, 843 — 878.
A963) 1п1гос1исиоп 1о ^иа(^гаис Логтз, Зрпп^ег, ВегНп
A976) НИЬег1'5 е!еуеп1Ь ргоЫет: 1Ье ап1Ьте11с Шеогу оГ ^иаCга^^с Гогтз. 1п:
Ма1Ьета1:1са1 Aеуе1ортеп15 аг151пб Ггот НЛЬег! ргоЫетз (ее!. Р. Е. Вго\у-
с!ег) [Ргосеес11пб8 о[ 5утроз1а т Риге Ма^ЬетаНсз, V. 28], 379—400.
Орде (Огс1е Н. Ьз.)
A978) Оп ОтсЫеГз с!а88 питЬег Гогти1а, 3. ЬопсЬп МаШ. 5ос. 18, 409—420.
Паттерсон (РаНегзоп 5. ^.)
A975) А 1аШсе рот! ргоЫет 1п ЬурегЬоНс зрасе, Ма1ЬетаНса 22, 81—88.
Патц (Ра1г \\^.)
A955) ТаГе! с!ег гебе1тазз1^еп КеНепЬгисЬе ипс1 1Ьгег уо11з1апс!1беп ^ио^^еп^еп
Гиг (Не 0иас1га1^иг2еЫп. аиз с!еп па1игНсЬеп 2аЫеп уоп 1 —10 000,
Акас1ет1е—Уег1а^ ВегНп.
Пеллинг (РеШп^ М. ^.)
A977) Ви11. Ьопйоп Ма1Ь. 5ос. 9, 199—200.
Петере (Ре1ег8 М.)
A969) Тегпаге ип<5 ^иа^егпаге ^иа(^га^^зсЬе Рогтеп ипс! риа1егп1опепа1§еЬгеп,
Ас1а АгНЬт. 15, 329 — 365.
A973) <2иас1гаизсЬе Рогтеп иЬег гаЫпп^еп, Ас1а Ап1Ь. 24, 157 — 164.
A978) 6агз1е11ип^еп <ЗигсЬ ёеПпИе 1егпаге диа^гаизсЬе Рогтеп, Ас1а АгНЬ. 34,
.57 — 80.
*A980) ЕхсерНопз о^ 1п1е^га1 ^иас^^а^^с Ьгтз. 3. тете ап^еш. Ма1Ь. 314,
196—199.
Платонов В. Л.
*A969) Проблема сильной аппроксимации и гипотеза Кнезера — Титса для алге-
алгебраических групп, Изв. АН СССР, сер. мат. 33, 1211 —1219.
Полл (Ра11 С.)
A945) ТЬе ап1птеиса1 туапап!з о? ^иаAга^^с Гогтз, Ви11. Атег. Ма1Ь. 5ос. 51,
185—197.
A946) ТЬе сстр1е1юп о! а ргоЫет оГ К1ооз1егтап, Атег. Л. МаШ. 68, 47—58.
A946а) Оп ^епегаНзес! ^иа^е^п^оп$, Тгапз. Атег. Ма1Ь. 5ос. 59, 280—332.

426 " Литература
A948) СотрозШоп о! Ыпагу яиайгаис Ьгтз, Ви11. Атег. Ма1п. Зое. B), 54,
1171—1175.
A949) Кергезеп1а1юп Ьу ^иас^^а^^с Ьгтз, Сапас1. 3. Ма1п. I, 344—364.
Полл см. Росс.
Поммер.енке (Роттегепке С.)
A959) ОЬег сИе О1е1спуег1еПип§ уоп СпИегрипМеп аи! т-сИтепзюпа1еп ЕШр-
зоМеп, Ас1а Ап1Ь. 5, 227—257.
Пфистер (РНз1ег А.)
A965) МиШрИкаНуе яиайгаизсЬе Рогтеп, АгсЬ. Ма*п. (Вазе1). 16, 363—370.
A966) (ЗиаскаНзсЬе Рогтеп т ЪеНеЫ^еп Когрегп, 1пуеп1. Ма1п. 1, 116—132.
A967) 2иг Оаг81е11ип§ йеПпНег РипкТюпеп а1з Зитте уоп Bиас1га1еп, 1пуеп1
МаШ. 4, 229—237.
Пфистер см. Касселс
Пфойфер (Р^еиКег Н.)
A971) Етк1азз1§е ОезсЫесЫег 1о1а1розШуег циабтаИьсЪет Рогтеп 1п 1оЫгее1-
1еп а1§еЬга18сЬеп 2аЫкогрегп, 3. ШтЬег ТЬеогу 3, 371—411.
Рагаван (^а^Ьауап 5.)
A975) Воипйз !ог т1П1та1 зоЫНопз оГ AюрЬапипе е^иа^^оп5, ЫасЬг. Акас1.
Ш155. ОоШпвеп, II, Ма1Ь.—РЬуз. К1. 1975, 9, 109—114.
Раманатан A^атапа1Ьап К. О.)
A951) ТЬеогу о! ит!5 оГ ^иас^га^^с апс! Ьегт11еап Гогтз, Атег. 3. Ма1Ь. 73,
2зз 255
A952) Цт*8 оГ яиас1гаис Ьгтз, Апп. о! Ма1Ь. B), 56, 1—10.
Рамануджан (Кататцап 5.)
A917) Оп 1Ье ехрге551оп оГ а питЬег 1п 1Ье Гогт ах2 + Ьу2-\- сг2-\- йи2. Ргос.
СатЬпс1§е. РЫЬз. 5ос. 19, 11—21 (= Со11ес1есЗ Рарегз. С. и. Р., Сат-
Ьпс1§е, 1927, 169—178; см. также замечание, 341—343).
Ранкин (Капкт 1^. А.)
A977) Моби1аг Гогтз апс! ГипсНопз, С. и. Р., СатЪпс1§е.
Редей A^е<1е1 Ь.)
A953) Вес1т§1е5 АгИпвсЬез 5утЬо1 т1^ Ап\уепс1ип§ 1п йег КЛаззепкогрегШеопе,
Ас1а МаШ. Асай. 5с1. Нип^аг. 4, 1—29.
A953а) Т)\е 2-Кт§к1а55еп§гирре с1ез ^иа(^га^^5сЬеп 2аЫкогрегз ипс! (Не ТЬеог1е
с!ег РеНзсЬеп О1е1сЬип§, Ас1а Ма1Ь. Асай. 5с1. Нип^аг 4, 30—87.
Ремйк (Кетак К.)
A938) 11Ьег (Не М1пко^зк15сЬе ^ейикНоп с!ег с!еНп11еп ^иас1га^^5сЬеп Рогтеп,
Сотро51Но Ма1Ь. 5, 368—391.
Росс (Ко85 А. Е.)
A946) Оп а ргоЫет о\ Катапфп, Атег. ^. Ма1Ь. 68, 29—46.
Росс, Полл (Кобз А. Е., Ра11 О.)
A946) Ап ех!еп8юп о! а ргоЫет оГ К1ооз1егтап, Атег. 3. Ма1Ь. 68, 59—65.
Рышков С. С.
A971) К теории приведения положительных квадратичных форм. Докл. АН
СССР 198, 1028—1031.
A972) О приведении положительных квадратичных форм от п переменных по
Эрмиту, по Минковскому и поВенкову. Докл. АН СССР 207, 1054—1056.
A973) К теории приведения положительных квадратичных форм по Эрмиту —
Минковскому. Зап. научн. семинаров ЛОМИ 33, 37—64. '
A974) Геометрия положительных квадратичных форм. В кн.: РгосеесНп§5 о!
1Ье 1п1егпа1юпа1 Соп^гезз оГ МаШетаНаапз, Уапсошгег, 1974, 1,501—505.
Рышков С. С, Барановский Е. П.
*A979) Классические методы теории решетчатых упаковок. Успехи мат. наук,
34, № 4, 3—63.
Сельберг Eе1Ьег§ А.)
A949) Ап е1етеп!агу ргоо! о* ИтсЫе^з Шеогет аЪои! рптез т ап агНЬтеНс
рго§гез81оп, Апп. о\ Ма1Ь. B), 50, 297—304.

Литература . 427
Серр (Зегге Л.-Р.)
A962) Согрз Ьсаих, Негтапп, Рапз.
A964) Рогтез ЫИпеакез зуте1^иез епИегез а (Нзспттап! ±1. 5етта1ге Непп
^ Саг*ап, 14е аппее, 1961/1962, Ехр. 14—15, 16 рр.
A970) Соигз ХаппипЫщие, Р. II. р. Рапз.
[Имеется перевод: Серр Ж.-П. Курс арифметики.— М.: Мир, 1972.]
Сия (Нз1а Л. 5.)
A973) Оп 1Ье Наззе рппс1р1е ?ог ^иас^^а^^с Ьппз, Ргос. Атег. Ма1Ь. 5ос. 39,
468—470.
*A976) Кергезеп1а1юп Ьу зртог §епега. РасШс. Л. Ма1Ь., 63, 147—152.
*A979) АгШипеИс 1Ьеогу о! т!е§га1 ^иас1^а^^с Ьгтз. Лп: Кесеп! йеуеЬртепЬ
т питЬег 1Ьеогу, (^иееп'з 11шу., Кт§з1:оп.
Сия, Китаока, Кнезер (Нз1а Л. 5., КИаока V., Кпезег М.) ,
A978) 1^ерге5еп1аиоп5 о! розШуе сЗе!1П11е ^иас^^а^^с Ьгтз, Л. ге1пе ап§е\у. Ма!Ь.,
301, 132—141.
Сия см. Эрнест
Скубенко Б. Ф.
*( 1962) Асимптотическое распределение целых точек на однополосном гипербо-
гиперболоиде и эргодические теоремы. Изв. АН СССР, сер. мат.. 26, 721—752.
Смит <Зпп1Ь Н. Л. 5.)
A859) Керог! оп 1Ье 1Ьеогу о! пшпЪегз, Керой о! 1пе Вг1и^Ь А55ос1аНоп 1859,
228—267; 1860, 120—169; 1861,292—340; 1862, 503—526; 1863, 768—786;
1865, 322—375 (= Со11. Ма1Ь. Рарегз, V. I, 38—364).
A867) Оп Ше огйегз апй §епега оГ 1егпагу ^иас^^а^;^с Ьгтз РЬПоз. Тгапз. Коу.
5ос. Ьопаоп 157, 255—298 (= Со11. Ма1Ь. Рарегз, V. I, 455—509).
A894) Со11ес1ес1 Ма1ЬетаЦса1 Рарегз уо1з. I—II, С. II. Р., СатЬпс1§е, 1^ерг.:
СЬеЬеа, N6^ Уогк, 1965.
Спрингер Eрпп§ег Т. А.)
A955) Оиас1гаис Ьгтз оуег ПеЫз \уЛЬ сИзсге^е уа1иа1юп. I. Еяшуа1епсе с1аз5ез
о! с1еПш1е Ьгтз, N6A611. Ше1епзсЬ. Ргос. 5ег. А 58 (= 1пс1а^. Ма1Ь. 17),
352—362.
A956) Оиайгаис Ьгтз оуег ПеЫз ш!Ь с!15сге1е уа1иа1тп. II. №гтз, 1Мес1ег1.
Асас1. Ше1епзсЬ. Ргос. 5ег. А 59 (= 1пAа§. Ма1Ь. 18), 238—246.
A957) Ио1;е оп яиайгаИс Ьгтз оуег а1§еЬга1с питЬег Пе1с18, Кес1ег1. Акас1.
ШекпзсЬ. Ргос. 5ег. А 60 (= 1пс1а§. Ма*Ь. 19), 39—40. у
A959) Оп 1Ье е^ШVа1епсе оГ ^иаAга^^с Ьгтз, Кес1ег1. Акас1. \^е1;еп5сЬ. Ргос.
5ег. А 62 (=1пс1а§. МагЬ. 21), 241—253.
Старк E*агк Н. М.)
A967) А соптр1е1;е Aе1егт1папг1оп о^ гЬе сотр1ех ^иас^^аг^с НеМз о[ с1азз питЬег
опе, М1сЬ. МаШ. Л. 14, 1—27.
A975) ТЬе апа1у!1с гЬеогу о! а1§еЬга1с питЬегз, Ви11. Атег. МаШ. 5ос. 81,
951 972.
Стэйси E*асеу К. С.)
A975) ТЬе етитегаНоп оГ регГес! г.ер!епагу Ьгтз, Л. Ьопйоп Ма1Ь. 5ос. B),
10, 97—104.
A976) ТЬе регГес* зеркпагу Ьгтз шЛЬ А4 = 2, Л. ДизтгаК Ма1Ь. 5ос. (зег. А)
22, 144—164.
Таммела П. П.
A973) К теории приведения положительных квадратичных форм. Докл. АН
СССР, 209, 1299—1302.
A975) К теории приведения положительных квадратичных форм. Зап. научн.
семинаров ЛОМИ 50, 6—96.
A977) Область приведений Минковского для положительных форм от семи пе-
переменных. Зап. научн. семинаров ЛОМИ 67, 108—143.
Тартаковский В. А.
A929) О1еОе$ат1Ье11 с1ег 2аЫеп, (Не йигсЬ ете ^иас^^а^15сЬе Рогт Р (хъ х2, ..., х
4) с1агзЫ1Ьаг ътй, Изв. АН СССР, 111—122, 165—196.

428•Литература
Таунс (ТоАУпез 5. В.)
A940) ТаЫе оГ гес1исес1 роз'Шуе яиа1;егпагу Ьгтз, Апп. о! Ма{Ь. 41, 57—58
Сй: Ма1Ь. Кеу. 5 A944), 141—142 (СЬао Ко апс! 5. С.
, щ))
Уитфорд (ШЬИЬгс! Е. Е.)
A912) ТЬе Ре11 едиаНоп, РиЬНзЬес! Ьу 1Ье аи*Ьог, №\у Уогк.
Умбер (НитЬег! Р.)
A940) ТЬеопе с1е 1а гес1ис{юп йез Гогтез ^иас^га1:^^ие5 йеПтез с1ап5 ип согрз'
а1§еЬпдие К Пш, Соттегй. Ма1Ь. Не1у. 12, 263—306.
A949) Кес1ис1юп йез Гогтея яиайга^иез. йапз ип согрз а!^еЬг1яие Пш, Сот-
тет* МаШ. Не1у. 23, 50—63.
Уолл (Ша11 С. Т. С.)
A964) Оп {Ье ог1Ьо§опа1 бгоиР8 ^ иштосШаг ^иас^га^^с Гогтз II 3. гете
ап^е\у. Ма*Ь. 213, 122—136.
Уотерхауз (Ша1;егЬои5е XV. С.)
A976) Ра1гз о? яиайгаНс Ьгтз, 1пуел*. МаШ. 37, 157—164.
A977) А попзуттеЫс Наззе — М1пкоу$к1 ТЬеогет, Атег. 3. Ма1Ь.99, 755—759.
Уотсон (Ша15оп О. 1^.)
A954) ТЬе гергезепЫюп о[ 1п1е§ег5 Ьу розШуе 1егпагу ^иа(^^а^^с ^огтз, Ма1Ье-
таНка I, 104—140.
A955) Нергезеп^аиоп о! 1п1;е^ег8 Ьу 1пс1еПп!{е ^иаAга^^с Тогтз, Ма1Ьета1;1ка 2,
32—38.
^A956) ТЬе едшуа!епсе о! ^иаAга^^с Гогтз. Сапас1. 3. Ма1Ь. 9, 526—548.
A957) Воипс1ес1 герге5еп1а1;1оп5 о! 1п1е^ег5 Ьу ^иас1га^^с ^огтз, Ма1ЬетаНка 4,
17—24.
A960) 1п1е^га1 диайгаИс Ьгтз. С V. Р., СатЬг1A^е.
A960а) риаЯгаНс с!1орЬап{1пе ечиаНопз, РЬПоз. Тгапз. Роу. 5ос. Ьопйоп
А 253, 227—254.
*A961) 1пс1е!1П11е ^иас^^а^^с сПорЬапипе е^иа^^оп. МаШетаИка 8, 32—38.
A963) ТЬе Ыазз питЬег оГ а розЩуе диайгаНс Гогт, Ргос. Ьопйоп Ма1Ь.
5ос. C), 13, 549—576.
*( 1963а) Опе-с1аз5 ^епега о? ро81Иуе ^иас^гаис Ьгтз. 3. Ьопс1оп Ма1Ь. Зое. 38,
387—392.
*A963Ь) Ро8111уе диас!га11с Ьгтз ш1\\ зтаИ с1азз-питЬег8. Ргос. Ьопскт Ма1Ь.
5ос. C), 13 C), 577—592.
*A972) Опе с1аз8 ^епега оГ ро511;1уе 1егпагу ^иа(^га^^с Гогтз. I—II. Ма1Ьета-
Кка, 19, 96—104; 22 A975), 1—11.
*A974) Опе с1а88 ^епега о! розШуе диа!егпагу ^иа(^га^^с .^огт$. АсЬ агЛЬ.,
24, 461—475.
A975) Опе-с1аз8 ^епега о! роз11;1Уе циабтаИс [огт$ 1п а! 1еаз1 5 уапаЫез,
Ас*а Аг1*Ь. 26, 309—327.
A976) Ке&и1аг розИ^уе 1егпагу ^иас^га^^с Гогтз, 3. Ьопйоп, Ма1Ь. Зое. B),
13, 97—102.
A976а) ТЬе 2-асНс депзКу о[ а яиа^га^с Гогт, МаШегпаНка 23, 94—106.
Уотсон см. Джоунс
Успенский, Хислет A15реп8ку 3. V., Неаз1е1 М. А.)
A939) Е1етеп1агу.питЬег 1Ьеогу, МсОга^-НЛ1, Кеш Уогк — Ьопс1оп. -
Фрёлих (РгоЬНсЬ А.)
A959) ТЬе гезШсЫ Ыяиас1гаис5утЬо1, Ргос. Ьопйоп Ма*Ь. 5ос. C),9, 189—207.
A967) риайгаНс Гогтз а 1а 1оса1 1Ьеогу, Ргос. СатЬпс1&е РЬ11оз. 5ос. 63,
579—586.
Фрёлих см. Касселс.
Фрикке, Клейн (Рпске ^., К1е1п Р.)
A897) Уог1езип§еп йЬег сИе ТЬеог1е йег аи1отогрЬеп Рипс11опеп. Вс1. I—II,
ТеиЬпег, Ье1рг1^.
Фрикке см. Клейн.
Фриккер (Рпскег К.)

Литература 429
A971) Ете Ве21еЬип& 2\у1зсЬеп с1ег ЬурегЬоНзсЬеп ОеотеШе ипс1 с!ег 2аЫеп-
1Ьеопе, Ма1Ь. Апп. 191, 293—312.
Харди (Нагс!у С. Н.)
A940) Рататфп, С. II. Р., СатЬгМбе.
Харди, Райт (Нагйу О. Н., Шп§Ы; Е. М.)
A938) Ап тЪгодисНоп {о 1Ье 1Ьеогу о! питЬег , ОхГ. II. Р., ОхГогс!.
Хассе (Наззе Н.)
A923) ОЬег сНе ОагзЫШагкеН уоп 2аЫеп с!игсЬ ^иас^^а1;^5сЬе Рогтеп 1т Кбг-
рег с!ег га{юпа1еп 2аЫеп, 3. гете ап&е\у. Ма{Ь. 152, 129—148(=Ма1Ь.
АЬЬ. Вс1. I, 3—22).
A923а) Шег с!1е А^и^Vа1еп2 ^иас^^а1;^5спег Рогтеп 1т Кбгрег с1ег га{юпа1еп
2аЫеп, 3. тете а§е\у. Ма1Ь. 152,205—224 (=Ма*Ь. АЬЬ. Вс1. I, 23—42).
A924) ЗуттеШзсЬе МаЫгеп 1т Кбгрег с!ег га1юпа1еп 2аЫеп, 3. тете ап§е\у.
Ма1Ь. 153, 12—43 (= Ма1Ь. АЬЬ. Ва. I, 43—74).
A924а) Оагз1е11 ЪагкеИ уоп 2аЫеп с!игсЬ ^иас^^а1;^8сЬе Рогтеп т етет ЬеНеЫ-
§еп а1§еЬга15сЬеп 2аЫкбгрег, 3. тете ап§е\у. Ма1;Ь. 153, 113^-130
(=МаШ. АЬЬ. Вс1. I, 75—92).
A924Ь) А^и^Vа1еп2 ^иас1га1;^5сЬег Рогтеп 1п е1пет ЬеНеЫ^еп а1§еЬга15сЬеп 2аЫ-
когрег, ^. гете ап^елу. МаШ. 153, 158—162 (= МаШ. АЬЬ. Вс1. I, 93—97).
A926) ВепсЫ; йЬег пеиеге 11п1;ег5исЬип^еп ипй РгоЫете аиз <1ег ТЬеопе с!ег
а1§еЬга18сЬеп 2аЫкбгрег, ^Ье^. Оеи1зсЬ. Ма1Ь.-Уегет. 35, 1—55; 36
A927), 233—311; Ег^апгип^зЬапс! 6 A930), 1—204. Керг.: ТеиЬпег, Ье1р-
21^ A930); РЬуз1са-Уег1аб, игиг2Ьиг§, \\Пеп A965).
A931) Ве\уе1з е!пез 5а1;2е5 ипс! Ш1с1ег1е§ип§ е1пег Уегти1;ип§ йЬег йаз аИ§ете1пе
Ногтепге51;8утЬо1, КасЬг. ОезеИ. Ш155. ОбШп^еп, Ма1;Ь. РЬуз. К1. 1931,
64—69 (=Ма*Ь. АЬЬ. Вс1. I, 155—160).
A975) Ап а1§оп1;Ьт Ьг с!е1;егт1П1п§ 1Ъе 2-5у1оу зиЬгоир о! 1;Ье Й1У15ог с1а$5
§гоир о[ а ^иас^га1;^с питЬег Пе1с1, 5утроз1а Ма1Ьета1;1са, 1п811{и1о N82.
с!1 аНа Ма*., 15, 341—352 (нет в Ма1Ь. АЬЬ.)
A975а) Ма1;Ьета1;15сЬе АЬЬапсПип^еп (Вс1. I—III, с!е Огиу1;ег, ВегНп, \Те\у Уогк.
Хенди (Непйу М. О.)
A975) ТЬе ё1з1;г1Ьи{1оп о[ 1с1еа1 скзз питЬегз о[ геа1 с}иас1га1ю ПеМз, Ма1;Ь. Сотр.
29, 1129—1134 апё 30 A976), 679.
Холл (На11 МагзЬаИ Лг.)
A954) Рго]ес1леп ркпёз апс! ге1а!ес! 1;ор1С5, СаНГогта 1пзШи1:е о! ТесЬпоЬ^у.
Шарлау EсЬаг1аи XV.)
A969) РиайгаНс !огтз, (Зиееп'з рарегз оп риге апб аррНес! та!Ьз. 22, Риееп'з
Ш1уегз11у, Кт^51оп, Оп1;аг1о.
Шенберг Б. (ЗсЬоепЬег^ В.)
A939) Баз УегЬаНеп уоп теЬНасЬеп ТЬе1аге1Ьеп Ье1 Мо^иЬиЬз^НиНопеп, Ма1;Ь.
Апп. 116, 511—523.
Шенберг И. EсЬоепЬег& I. Л.)
A937) Ке&и1аг 51трНсез апс! ^иас^га1;^с Гогтз, 3. Ьопс1оп Ма1Ь. Зое. 12, 48—
Шенкс (ЗЬапкз Б.)
A969) Оп Оаизз'з скзз питЬег ргоЫетз, Ма1Ь, Сотр. 23, 151—163.
A971) Скзз питЬег, а Шеогу о[ [ас1ог1заиоп апс! ^епега, рГос. 5утроз1а т Риге
Ма1Ь., у. 20, A969 1пзШи*е оп ИитЬег 1Ьеогу), 415—440, Атепсап
Ма1;Ь. 5ос.
A971а) Оаизз'з 1;егпагу Гогтз гес!ис1;1оп апс! 1;Ье 2-5у1оу зиЬ^гоир, МаШ. Сотр.
25, 837—853.
Шенкс см. Нилд.
Шур (ЗсЬиг I.)
A921) СЪег сЛе ОаизгзсЬеп Зиттеп, КасЬг. с1. к. СезеН. ОоШп^еп Ма1;Ь.-РЬуз.
К1. 1921, 147—153 (Оез. АЬЬ. Eргт§ег, ВегНп, 1973) 2, 327—333).

430 . Литература
Эйзенштейн (Е15еп51ет С.)
A847) МаШетаизсЬе АЪЬапс11ип§еп, О. Ке1тег, ВегНп. Рерпгй: С. О1тз, 1967,
НИс1е8Ье1т. (Опубликованы еще при жизни и не содержат многих
важных работ.)
A847а) Иеие ТЬеогете с1ег ЬоЬегеп АгНЬтеНк., Л. гете ап^е\у. Ма1;Ь. 35, 117—
136 (==Ма1Ь. АЬЬ. 177—196; ДЫЬ. Шегке. Вс1. I, 483—502)
A851) ТаЬеИе с!ег гейиайеп розШуеп яиаскаШсЬеп Рогтеп, пеЪз! с!еп КезиЬ
Ыеп пеиегег РогзсЬип^еп, Л. гете ап§е\у. Ма1;Ь. 41, 140—190. АпЬап§.
227—242 (== Ма*Ь. Шегке V. 2, 637—702).
A852) 11Ьег <11е Уег§1е1сЬип§ уоп 5о1сЬеп 1;егпагеп ^иас^^а1;^5сЬеп Рогтеп, ^е1сЬе
уегзсЫес1епе Ое1;егт1пап1еп ЬаЬеп 5112ип§5Ьег1сЫе с!ег Ргеизз. Акас1.
Ш155 ги ВегНп 1852 350—389. МаШ. Шегке, V. II, 722—761).
A975) Ма1ЬетаизсЬе Шегке, Виз I—И, СМзеа, N6^ Уогк.
Эйхлер (ЕкЫег М.)
A952) О1е АЬпНсЬке^зккязеп тйеНпНег О1Пег, Ма1Ь. 2. 55, 216—252.
A952а) (ЗиаскаИзсЬе Рогтеп ипс1 ог1;Ьо§опа1е Огирреп, 5рг1п§ег, ВегНп.
Экман (Есктапп В.)
A943) Огирреп1;Ьеоге1;15сЬег Ве^е15 с!ез 5а1;2е5 уоп НипуНг — 1^ас1оп иЬег (Не Кот-
розШоп яиайгаИзсЬег Рогтеп, Соттеп*. Ма1;Ь. Не1у. 15, 358—366.
Эрнест, Сия (Еагпез! А. С, ЬЫа Л. 5.)
A975) Зртог погтз оГ 1оса1 Ы;е§га1 го^аИопз II, Рас1Пс Л. Ма1;Ь. 61, 71—86.
*A979) ЕхсерИопа! 1п1е§ег5 о[ зоте 1егпагу ^иас1^а^:^с Гогтз (ргергеп!).
Эстес, Полл (Ез1;е5 О., Ра11 С.)
A973) Зртог §епега о! Ыпагу ^иас^^аНс Ьгтз, Л. №тЬег 1;Ьеогу 5, 421—432.
Ямамото (Уатато1;о У.)
A970) Оп ипгатШес! ех1;еп51оп5 о[ яиас1га1;1с питЬег ПеЫз, Озака. Л. Ма1Ь. 7,
57—76.

УКАЗАТЕЛЬ
Автометрия 34
Адели 402
Амбиговые формы и классы 354, 362,
363
Анизотропность 30
Ассоциированные представления 162
Базис 118
Блихфельда теорема 85
Вес рода 398
Вшпта группа 41
— лемма 37
Гильбертовский символ норменного вы-
вычета 57
Гиперболическая плоскость 30
Главный род 354, 360
Глобальное поле 22
Гротендика группа 40
Двойственное пространство 27
Дискриминант бинарной формы 353, 381
Единицы 118
Изометрия 34
Изотропность 30
Исключительные числа 248
Каноническая инволюция 193
Канонические формы 127
Квадратичная форма 19
Квадратичное пространство 26
Кватернионы 187
Классически приведенная форма 316
— целая форма 22
Класс собственной эквивалентности 147
Класс эквивалентности 34
Клиффорда четная алгебра 293
Коммутант 197
Коммутатор 197
Композиция форм 356
Кополярные точки 328
Локальная конечность 298
Локальное поле 22
Меллина преобразование 406
Мейера теорема 92
Маяковского приведение 276
— теорема 86, 87
Модулярная группа 391
Модулярные формы 408
Неархимедово нормирование 51
Неособая форма 20
Неразложимая решетка 385
Неравенство треугольника 51
— ультраметрическое 51
Несингулярное квадратичное простран-
пространство 27
Несобственная эквивалентность 34, 143,
215
Несобственно примитивные формы 311
Несобственные автоморфизмы 143
Нетривиальное представление нуля 30
Нормальный базис 29
Нормирование 50
Область главных идеалов 119
— Дирихле 337
— Зигеля 279
Определитель 120, 416
Ортогональная группа 34
— сумма 385
Ортогональное дополнение 28
Особая форма 20
Относительный определитель 120
Параболическая форма 408
Пелля уравнение 313
— — отрицательное 355
Подрешетка 385
Поле р-адических чисел 52
Полярная прямая 328
Пополнение 52

432
Указатель
Последовательные минимумы 282
Приведение по Минковскому 276
Эрмиту 307
Приведенная форма 24, 328
Приведенное представление числа фор-
формой 327
Примитивность 12, 124, 128, 144, 149
Прямое ортогональное слагаемое 233
Радикал 125
Размерность 19
Рациональное представление числа фор-
формой 19
Решетка 119
Род 218
Сильная теорема о приближениях 205
Симметрия 35, 86
Сингулярное квадратичное простран-
пространство 27
Собственная эквивалентность 143, 215,
353
Собственно ортогональная группа 34
— примитивная форма 127, 144, 311
Совершенная форма 302
Согласные формы 357
Спинорная группа 199
— норма 197
Спинорный род 220
Строго приведенная форма 291
Тамагавы мера 403
Фундаментальная область 326
Фундаментальный дискриминант 381
391
Хассе-Минковского- инвариант 72
Целозначная форма 21
Целая (целочисленная) форма 22
Чистые кватернионы 18
Эйзенштейна ряд 408
Эквивалентность форм над кольцом 20
Экстремальная форма 302
Эрмитова. мажоранта 307 '

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 6
Предисловие 7
Благодарности 13
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 15
1. Введение 15
2. Основные понятия 19
3. План книги 22
ГЛАВА 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ПОЛЕМ 26
1. Введение 26
2. Изотропные пространства 30
Зс Нормальные базисы 32
4. Изометрии и автометрии . . 34
5. Группы Гротендика и Витта . 37
6. Сингулярные формы 43
Замечания 44
Примеры 45
ГЛАВА 8. р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 60
1. Введение 50
2. Символ норменного вычета 57
3. Локальное и глобальное 60
4. Лемма Гензеля 63
Замечания 65
Примеры ^ 65
ГЛАВА 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ЛОКАЛЬНЫМИ ПОЛЯМИ 72
1. Введение 72
2. Доказательства 73
3. Группа Витта 80
Замечания 83
Примеры 83
ГЛАВА 5. СРЕДСТВА ИЗ ГЕОМЕТРИИ ЧИСЕЛ 84
1. Введение 84
2. Средства 84
3. Задний план 89
Замечания Г" . . . 91
Примеры 91

434 Оглавление
ГЛАВА 6. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ 92
1. Введение -. 92
2. Слабый принцип Хассе 94
3. Сильный принцип Хассе, п <: 2 94
4. Сильный принцип Хассе, п=3 95*
5. Сильный принцип Хассе, п = 4 99
6. Сильный принцип Хассе, я ^ 5 100
7. Теорема существования 101
8. Размер решений 103
9. Теорема о приближении 105
10. Приложение. Конечные проективные плоскости 107
11. Группа Витта 109
Замечания 112
Примеры 116
ГЛАВА 7. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦЕЛОСТ-
ЦЕЛОСТНОСТИ 118
1. Введение » . 118
2. Квадратичные формы и решетки 118
3. Решетки 119
4. Сингулярные формы . 124
Замечания 125
Примеры 126
ГЛАВА 8. ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ФОРМЫ 127
1. Введение 127
2. Базисы решетки 2р 128
3. Канонические формы 129
4. Канонические формы, р = 2 133
5.. Теоремы о приближении 139
Замечания 140
Примеры 140
ГЛАВА 9. ЦЕЛЫЕ ФОРМЫ НАД ЦЕЛЫМИ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ 143
1. Введение 143
2. Базисы в 2п 148
3. Теорема конечности 151
4. Роды. Элементарные свойства 156
5. Существование родов. Представления 158
6. Количественное изучение представлений 161
7. Полуэквивалентность 172
8. Представление индивидуальными формами 174
Замечания 178
Примеры 179
ГЛАВА 10. СПИНОРНАЯ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ГРУППЫ 187
1. Введение - 187
2. Алгебра Клиффорда 189
3. Спинорная норма и спинорная группа 194
4. Решетки над областями целостности 200
5. Топологические рассмотрения 202
6. Изменение полей и колец 204

Оглавление « 4%
7Г Сильная теорема о приближениям ..,,.,.,,.,, 204
Замечания . , ,,,,,,,,,,,, 210
Примеры ,,,,,., , , , , 21)
ГЛАВА 11. СПИНОРНЫЙ РОД 215
1. Введение 215
2. Локализация решеток 224
3. Число спинорных родов 226
4. Другой подход 234
5. Одновременные базисы двух решеток 241
6. Язык форм . ./ ', 244
7. Представления спинорным родом 247
8. Обобщения сильной теоремы о приближениях 250
9. Представления определенными формами , . . . . 255
Замечания 269
Примеры 272
ГЛАВА 12. ПРИВЕДЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ КВА-
КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 276
1. Введение 276
2. Последовательные минимумы 281
3. Приведенные формы и области Зигеля 284
4. Области Зигеля 287
5. Геометрия приведенных определенных форм 290
6. Геометрия бинарного случая 293
7. Геометрия общего случая 297
Замечания 300
Примеры « . 303
ГЛАВА 13. АВТОМОРФИЗМЫ ЦЕЛЫХ ФОРМ 306
1. введение 305
2. Приведение по Эрмиту. Анизотропные формы ♦♦«♦.,, 306
3. Бинарные формы . . . , * , * « * * 310
4. Построение автоморфизмов » **,*«» 320
б. Изотропные тернарные формы ♦ * * * 3221
6. Представления анизотропными тернарными формами . . . * 32Й
1. Неевклидова плоскость ,.....«..*»» 331
8. Доказательство теоремы 6.1 ♦ 335
9. Кватернарные формы •.,.»» ЗЗЭ
10. Вещественные автоморфизмы. Общий случай ..«..». 342
П. Приведение по Эрмиту. Изотропный случай 344
12. Эффективность 347
Замечания 350
Примеры 351
ГЛАВА 14. КОМПОЗИЦИЯ БИНАРНЫХ КВАРАТИЧНЫХ ФСРМ . . 353
1. Введение 353
2. Композиция "бинарных форм 355
3. Удвоение и роды ЗЫ)
4. Амбиговые формы и классы * 362
5. Теорема существования , 3E
6. 2-компонента группы классов и уравнение Пелля ?6Я
7. Исключение теоремы Дирихле . ' 375
Замечания 377
^ Примеры .,,,,, ,,,,,,,,,,,,

436 Оглавление
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ 385
1. Введение . 385
2. Ортогональные разложения 385
3. Число классов в роде и в спинор ном роде , , 387
4. Представления целых чисел определенными формами , . . 389
Замечания • • • 390
Примеры 390
ПРИЛОЖЕНИЕ Б, АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 391
1. Введение 391
2. Бинарные формы '. . . . 393
3. Формулы Зигеля 397
4. Числа Тамагавы 402
5. Модулярные формы 406
Замечания 412
Примеры 413
Замечания об определителях 416
Литература 417
Указатель . » . . 481

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформле-
оформлении, качестве перевода и другие просим присылать
по адресу: 129820, Москва, И-110, 1-й Рижский пере-
переулок, д. 2, Издательство „Мир*4.

Джон Уильям Скотт Кассело
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Научн. ред. А. А. Бряндинская, И. А. Маховая
Мл. ред. Л. В. Бекренева
Художник Н. Г. Блинов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. Д. Толстякова
Корректор В. С. Соколов
ИБ № 2707
Сдано в набор 08.10.81 г.
Подписано к печати 22.02.82 г.
Формат 60X90716-
Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем. 13,75 бум. л. Усл. печ. л. 27,50.
Усл. кр. отт. 27,50. Уч.-изд. л. 22,72.
Изд. № 1/1228. Тираж 4600 экз.
Заказ № 3400. Цена 3 р. 40 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Набрано и сматрицировано в
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
Первой Образцовой типографии
имени А. А* Жданова Союз полиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам
издательств» полиграфии и книжной торговли»
Москва, М-54, Валовая, 28
в Ленинградской типографии № б ордена
Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союз полиграфпрома
'при Государственном Комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10. Заказ 156.

Имеются в продаже книги издательства «Мир»
по математике и программированию
Андерсен Т. Статический анализ временных рядов. 1976
3 р. 52 к.
Ауман Р., Шепли Л. Значение для неатомических игр.
1977. 2 р.
Баррон Д. Введение в языки программирования. (Ма-
(Математическое обеспечение ЭВМ.) 1980. 70 к.
Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных
и теория. 1980. 2 р. 40 к.
Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл. 1—3. 1976.
2 р. 48 к.
Гилман Л., Роуз А. Курс АПЛ: диалоговый подход.
1979. 2 р. 10 к.
Гловински Р., Лионе Ж. -Л., Тремольер Р. Числен-
Численное исследование вариационных неравенств. 1979.
2 р. 50 к.
Гренандер У. Лекции по теории образов. В 3-х тт.
Т. I. Синтез образов. 1979. 1 р. 80 к.
Грисуолд Р., Поудж Дж., Пблонски И. Язык програм-
программирования СНОБОЛ-4. 1980. 95 к.
Гудман Ф., Вахман Г., Вахман Н. Г. Динамика рас-
рассеяния газа поверхностью. 1980. 4 р. 10 к.
Драммонд М. Методы оценки и измерений дискретных
вычислительных систем. (Математическое обеспечение
ЭВМ.) 1977. 1 р. 81 к.
Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В
7-ми томах. Т. 3. Сортировка и поиск. 1978. 4 р. 80 к.
Кон П. Свободные кольца и их связи. 1975. 2 р. 30 к.
Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния для автоморф-
ных функций. 1979. 1 р. 80 к.
Ленг С. Введение в теорию модулярных форм, 1979.
1 р. 10 к.
Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп.
1980. 2 р. 80 к.

Люк Ю. Специальные математические функции и их
аппроксимации. 1980. 1 р. 90 к.
Маджинис Дж. Программирование на стандартном
КОБОЛЕ. 1979. 2 р. 30 к.
Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. 1973. 1 р. 62 к.
Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и ди-
динамические системы. (Математика. Новое в зарубеж-
зарубежной науке.) 1978. 65 к.
Пейган Ф. Практическое руководство по Алголу-68.
(Математическое обеспечение ЭВМ.) 1979. 85 к.
Пересмотренное сообщение об Алголе-68. (Математи-
(Математическое обеспечение ЭВМ.) 1979. 2 р. 60 к.
Перечислительные задачи комбинаторного анализа»
Сб. ст. 1975—1977. (Библиотека кибернетического сбор-
сборника.) 1979. 2 р.
Пратт Т. Языки программирования. Разработка и
реализация. 1979. 2 р. 90 к.
Психология машинного зрения. П/р П. Уинстона. 1978.
1 р. 80 к.
Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные
алгоритмы. Теория и практика. 1980. 2 р. 30 к.
Рид М., Саймон Б. Методы современной математи-
математической физики. Т. 2.
Гармонический анализ и самосопряженность. 1978.
1 р. 90 к.
Русас Дж. Континуальность вероятностных мер. 197Б.
1 р. 12 к.
Такеути Дж. Теория доказательств» 1978. 2 р. 10 к.
Трибель X. Теория интерполяции, функциональные
пространства, дифференциальные операторы. 1980.
Зр. 50 к.
Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез
оценивания. 1979. 1 р. 90 к.
Шоу А. Логическое проектирование операционных
систем. 1981. 1 р. 70 к.
Штойян Д. Качественные свойства и оценки стохасти-
стохастических моделей. 1979. 1 р. 60 к.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные
проблемы. 1979. 1 р. 80 к.
Заказы на приобретение этих книг направляйте по адресу:
191040, Ленинград, Пушкинская ул., 2, Магазин № 5 «Техни-
«Техническая книга» — опорный пункт издательства «Мир».